Текст
                    Высшее образование
Классики отечественной науки
И. М. Бабаков
ТЕОРИЯ
КОЛЕБАНИЙ


Классики отечественной науки (§каэ) ЕСТЕСТВЕННЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ГУМАНИТАРНЫЕ НАУКИ Р^ Брофа
Классики отечественной науки И. М. Бабаков ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Издание четвертое, исправленное Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям и специальностям МОСКВА 2004 Брофа
УДК 534.1@75.8) ББК 22.213я73 Б12 Серия «Классики отечественной науки» основана в 2003 году Рецензенты: академик РАН, д-р техн. наук Р. Ф. Ганиев (директор Научного центра нелинейной волновой механики и технологии РАН); д-р техн. наук А. С. Сидоренко (проф. кафедры машиноведения и деталей машин МАИ) Бабаков, И. М. Б12 Теория колебаний : учеб. пособие /И. М. Бабаков. — 4-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2004. — 591, [1] с.: 130 ил., 15 табл. — (Классики отечественной науки). 18ВЫ 5-7107-7397-2 В книге C-е изд. — 1968 г.) содержатся традиционные разделы теории колебаний: колебания систем с конечным числом степеней свободы, колебания распределенных систем (стержней и пластин), колебания нелинейных систем. Изложены основы теории устойчивости движения. Для описания колебаний используются преимущественно классические методы, развитые Дж. Рэлеем и А. Н. Крыловым. Приводится большое число пояснительных примеров, имеющих самостоятельную прикладную ценность и служащих справочным материалом. Даны сведения из аналитической механики, матричного и операционного исчисления, не входящие в обычные вузовские программы. В приложениях приводятся данные, позволяющие получать численные решения. Для студентов вузов и втузов, инженеров, аспирантов и научных работников. УДК 534.1@75.8) ББК 22.213я73 Учебное издание Бабаков Иван Михайлович ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ Учебное пособие для вузов Зав. редакцией Б. В. Понкратов. Редактор Е.А.Волъмир Художественное оформление Ю. В. Христич. Технические редакторы Н. И. Герасимова, И. В. Грибкова. Компьютерная верстка А. В. Маркин. Компьютерная графика О. И. Колотова. Корректор Г. И. Мосякина Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003. Подписано к печати 27.08.04. Формат 60x90 1/\б. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 37,0. Тираж 3 000 экз. Заказ № 10450. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: @95) 795-05-50, 795-05-51. Факс: @95) 795-05-52. Торговыйдом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: @95) 911-70-24,912-15-16,912-45-76. Магазины «Переплетныептицы»: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: @95) 912-45-76; 140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2. Тел.: @95) 741-59-76. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивор в ОАО 'Тульская типография". 300600,г. Тула,пр. Ленина, 109. 18ВМ 5-7107-7397-2 © ООО «Дрофа», 2004
ВСТУПЛЕНИЕ Настоящая книга представляет собой один из немногих примеров многолетней популярности учебника по достаточно сложной и постоянно развивающейся отрасли механики. Она создавалась как учебное пособие для студентов, обучающихся по специальности динамика и прочность машин, но, помимо этого, в течение сорока лет широко использовалась студентами, аспирантами и специалистами в различных отраслях механики и выдержала три издания. Преимуществом данного учебного пособия является первоклассный методический уровень, обусловленный тем, что его основой послужили лекции автора по курсам теории колебаний и устойчивости движения, отработанные в течение многих лет. В то же время материал книги изложен на высоком теоретическом уровне и сопровождается рассмотрением большого числа конкретных примеров и задач. Выпуск после долгого перерыва четвертого издания пособия был необходим, потому что за последнее время образовался существенный дефицит классической учебной и научной литературы в данной области и, вместе с тем, не появились равноценные или более высокие по качеству книги. Несмотря на то, что в настоящее время широкое распространение получили численные методы исследований колебаний и устойчивости машин и конструкций, реализованные в виде программных систем для ПЭВМ, аналитические методы расчета не потеряли своей актуальности. Они во многих случаях позволяют получать удовлетворительные по точности количественные оценки характеристик движения, оценивать корректность результатов численных решений. Во вводной главе книги даны сведения из аналитической механики, матричного и операционного исчисления, не входящие в обычные вузовские программы для машиностроительных специальностей, но используемые при изложении основного материала.
Центральная часть книги содержит традиционные разделы теории колебаний: колебания систем с конечным числом степеней свободы, колебания распределенных систем (стержней и пластин), колебания нелинейных систем. Приведены также основы теории устойчивости движения. Для описания колебаний используются преимущественно классические методы, развитые Рэлеем и А. Н. Крыловым. Изложение теоретических основ сопровождается большим количеством пояснительных примеров, которые имеют самостоятельную прикладную ценность и могут служить справочным материалом. Наибольший интерес для практических расчетов имеют главы, посвященные колебаниям систем с конечным числом степеней свободы и приближенным методам определения собственных частот. Поэтому в книге эти главы имеют достаточно большой объем. Особенностью книги является наличие приложения, в котором помещены справочные данные, позволяющие при необходимости получать численные решения для отдельных задач. Выпуск в свет нового издания книги И. М. Бабакова «Теория колебаний» восполнит дефицит высококачественной учебной и научной литературы в области колебаний и устойчивости механических систем. Она представляется полезной для всех читателей, интересующихся этими вопросами. Академик РАН Р. Ф. Ганиев
*п^ ъЛ-—'
Оглавление Из предисловия к первому изданию 15 Предисловие ко второму изданию 17 Часть первая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Глава I. Введение НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 1. Связи механической системы 19 2. Виртуальные перемещения 20 3. Независимые или обобщенные координаты 22 4. Обобщенные силы 23 5. Уравнения Лагранжа 26 6. Циклические координаты и уравнения Рауса 29 7. Принцип Остроградского — Гамильтона 35 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ 8. Определения 38 9. Обратная матрица 42 10. Собственные значения матрицы 43 11. Квадратичные формы 48 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 12. Определение изображения функции 51 13. Изображения некоторых функций и действий над ними 53 14. Простейшие правила построения начальной функции по данному изображению 60 15. Начальные функции целых положительных степеней оператора р 65
Оглавление 9 Глава II. Системы с одной степенью свободы 1. Системы с одной степенью свободы 67 2. Малые свободные колебания системы около устойчивого равновесного состояния 68 3. Уравнения малых свободных колебаний линейной системы 71 4. Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы 78 5. Разложение возмущающей силы в ряд Фурье 94 Глава III. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 1. Системы с конечным числом степеней свободы 99 2. Кинетическая и потенциальная энергия малых свободных колебаний консервативной системы 103 3. Уравнения малых колебаний системы около состояния устойчивого равновесия 106 4. Уравнения крутильных колебаний приведенного вала с пятью дисками 110 5. Уравнения поперечных колебаний балки, шарнирно опертой по концам, с четырьмя сосредоточенными массами 116 6. Нормальные координаты и главные колебания 119 7. Уравнение частот, или вековое уравнение 122 8. Теорема о положительности и разделении корней векового уравнения 124 9. Собственные формы колебаний и их свойства 129 10. Общий интеграл дифференциальных уравнений малых колебаний и теорема о разложении 135 11. Разложения коэффициентов уравнений малых колебаний по собственным формам 137 12. Свободные колебания с сопротивлением 141 13. Теоремы об изменении частот системы при наложении связей 146 14. Функция Рэлея 148 15. Теоремы об экстремальных свойствах собственных частот 151 16. Теоремы о влиянии на частоты изменений масс и жесткостей системы 153
10 Оглавление 17. Уравнения вынужденных колебаний 156 18. Гармонические коэффициенты влияния 160 19. Вынужденные колебания систем с внутренним неупругим сопротивлением 166 Глава IV. Приближенные методы определения собственных частот систем с конечным числом степеней свободы ОСНОВНАЯ ЧАСТОТА 1. Метод последовательных приближений формами колебаний 170 2. Теоремы о границах основной частоты 173 3. Приведение матрицы коэффициентов уравнений малых колебаний к матрице с положительными элементами . . 177 4. Графическая форма метода последовательных приближений формами колебаний — метод Стодолы .... 182 5. Метод Рэлея 188 6. Графическая форма метода Рэлея 191 ВЫСШИЕ ЧАСТОТЫ 7. Общие замечания 192 8. Метод последовательных приближений формами колебаний — метод итераций 193 9. Метод исключения первой формы 198 10. Метод гармонических коэффициентов влияния 201 Глава V. Явления резонанса в машинах 1. Критические числа оборотов прямых валов 205 2. Гироскопический момент 209 3. Уравнения для критической скорости вала со многими дисками 212 4. Метод начальных параметров 218 5. Крутильные колебания коленчатых валов 229 6. Приведение постоянных масс 230 7. Приведение масс кривошипно-шатунного механизма . . 232 8. Вычисление податливостей участков вала 234 9. Приведенная схема 236 10. Матричная форма таблиц Толле — метод начальных параметров 240 11. Гармонические составляющие вращающего момента 245
Оглавление 11 Часть вторая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Глава VI. Продольные и крутильные колебания прямых стержней 1. Уравнения продольных и крутильных колебаний прямого стержня 250 2. Свободные колебания стержня с линейным сопротивлением 259 3. Уравнения форм колебаний с правой частью 261 4. Метод начальных параметров в матричной форме 268 Глава VII. Поперечные колебания прямых стержней 1. Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня 271 2. Краевые и начальные условия 274 3. Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие 275 4. Основные задачи 277 5. Уравнения форм колебаний с правой частью 288 6. Гармонические коэффициенты влияния 291 7. Критические числа оборотов прямого вала с дисками . . 298 8. Метод начальных параметров в матричной форме 301 9. Поперечные колебания прямых стержней с внутренним неупругим сопротивлением 304 Глава VIII. Некоторые приближенные методы расчета колебаний прямых стержней переменного сечения 1. Вариационные методы 310 2. Метод Ритца 313 3. Метод Рэлея . 317 4. Метод Галеркина 328 5. Об оценке погрешности расчета основной частоты 334 6. Метод последовательных приближений формами колебаний 338 Глава IX. Поперечные колебания пластинок 1. Основные допущения и формулы 343 2. Потенциальная и кинетическая энергия пластинки. . . . 345
12 Оглавление 3. Вариационное уравнение поперечных колебаний пластинки 347 4. Дифференциальное уравнение форм поперечных колебаний пластинки и краевые условия 350 5. Некоторые свойства собственных форм колебаний пластинки 352 6. Приближенные методы расчета собственных форм и частот поперечных колебаний пластинки — методы Ритца и Галеркина 357 7. Уравнения поперечных колебаний круглой пластинки . 364 8. Формы колебаний однородной круглой пластинки .... 366 9. Аксиальные колебания дисков паровых турбин 374 10. Экспериментальные исследования аксиальных колебаний диска по Кэмпбеллу 376 11. Критическое число оборотов диска 379 Часть третья УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Глава X. Введение в общую теорию устойчивости движения 1. Предварительные замечания 380 2. Определение устойчивости равновесного состояния системы 381 3. Функции Ляпунова 386 4. О функциях, обладающих бесконечно малым высшим пределом 392 5. Геометрическая интерпретация свойств функций Ляпунова первого рода двух переменных . 394 6. Теорема об устойчивости равновесного состояния системы 395 7. Теорема Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы 397 8. Определение устойчивости движения 402 9. Уравнения возмущенного движения в относительных координатах. 405
Оглавление 13 10. Функции Ляпунова второго рода 406 11. Теорема Ляпунова об устойчивости неустановившегося движения 412 12. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости .. 416 13. Об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами — теорема Рауса 419 14. Теорема Ляпунова о неустойчивости движения 422 Глава XI. Об устойчивости по первому приближению 1. Предварительные замечания 424 2. Каноническая форма уравнений первого приближения 426 3. Случай кратных корней характеристического уравнения 428 4. Система с одной степенью свободы 432 5. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению 441 6. Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению 446 7. Критерии отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения 451 8. Критерий Рауса 451 9. Критерий Гурвица 457 10. Влияние возмущающих диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия консервативной системы 459 Глава XII. Простейшие нелинейные системы 1. Нелинейные системы 467 2. Метод изоклин 472 3. Нелинейные консервативные системы с одной степенью свободы 473 4. Периодические движения нелинейных консервативных систем 481 5. Формулы прямой линеаризации 490 6. Диссипативные системы 491 7. Метод Льенара построения фазовых траекторий 494 8. Автоколебательные системы 500 9. Метод Ван-дер-Поля 508 10. Устойчивость предельных циклов 516
14 Оглавление Глава XIII. Некоторые общие методы нелинейной механики 1. Предварительные замечания 523 2. Теорема Пуанкаре. Случай вынужденных колебаний . . 524 3. Теорема Пуанкаре. Случай свободных колебаний автономных квазилинейных систем 531 4. Метод А. Н. Крылова 538 5. Метод П. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова 542 6. Системы А. М. Ляпунова 545 7. Вынужденные колебания нелинейных систем — метод осреднения 549 8. Вынужденные колебания нелинейных систем — метод Галеркина 552 9. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами и задача об устойчивости периодических решений нелинейных систем 559 10. Устойчивость периодических решений 562 Приложение Таблица I. Значения параметров Х1 и коэффициентов Аь, Вь и С7 балочных функций 572 Таблицы II, III. Численные значения некоторых интегралов, встречающихся в расчетах 573 Таблица IV. Некоторые тригонометрические формулы, встречающиеся в расчетах 575 Литература 576 Именной указатель 583 Предметный указатель 585 Об авторе 590
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга воспроизводит с некоторыми дополнениями лекции автора по специальным курсам теории колебаний и устойчивости движения, которые он читал в течение многих лет студентам отделения динамика и прочность машин инженерно-физического факультета Харьковского машиностроительного, а затем Харьковского политехнического института имени В. И. Ленина1). Она была задумана как учебное пособие по теории колебаний для студентов указанной специальности, чем и определился в основном первоначальный отбор материала и общий характер его изложения. Внесенные в процессе работы над книгой дополнения значительно расширили ее содержание, так что некоторые разделы в их окончательном виде вышли за пределы программного учебного материала. Но и в таком расширенном объеме она никак не может претендовать на сколько-либо исчерпывающее изложение даже тех немногих вопросов теории, которые нашли в ней место. Теория колебаний в настоящее время представляет собой столь обширную и разностороннюю отрасль науки и техники, что уже при изложении основных ее положений приходится делать среди них определенный выбор, ограничиваться рассмотрением только некоторых, опуская многие другие не менее важные и интересные. Книга состоит из трех частей. В первой излагается теория колебаний упрощенных {приведенных) систем с конечным числом степеней свободы. Вторая часть посвящена изложению основ теории колебаний систем с распределенными параметрами (систем с бесконечным числом степеней свободы). Третья часть содержит В настоящее время — Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт». — Ред.
16 элементарные сведения из учения об устойчивости движения и теории нелинейных колебаний. Выдвижение на первый план теории колебаний систем с конечным числом степеней свободы и несколько расширенный объем этого раздела объясняются тем значением, какое имеет расчет упрощенных (приведенных) систем в практических вибрационных расчетах. Несмотря на неточность результатов, получаемых в расчетах приведенных систем, теория колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы сохраняет и в настоящее время значение основного раздела общей теории колебаний. Колебания систем с распределенными параметрами во второй части курса трактуются преимущественно в духе классических методов Рэлея и А. Н. Крылова. Попытка добиться методического единства приемов вибрационных расчетов линейных механических систем выразилась в книге главным образом в систематическом использовании методов А. Н. Крылова: метода разложения по собственным формам колебаний и метода, основанного на применении универсальной формулы упругой линии. Операционное исчисление используется в книге не как систематически применяемый метод, а только как весьма удобное вспомогательное средство при составлении общих решений некоторых уравнений (например, универсальной формулы упругой линии). В третьей части дано элементарное изложение второго метода А. М. Ляпунова исследования устойчивости движения и приведены некоторые сведения о нелинейных колебаниях (главы XVI и XVII). Предполагается, что читатель знаком с основами высшей математики и теоретической механики в объеме обычных втузовских программ для машиностроительных специальностей. Теоретические обоснования и доказательства сходимости некоторых излагаемых в книге методов по возможности упрощены, а там, где подобные упрощения могли бы дать неправильное представление о сущности проблемы или о трудностях ее решения, эти доказательства просто опущены со ссылками на первоисточник или заменены более или менее подробным описанием вытекающих из их содержания приемов решения проблемы. И. Бабаков
17 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание несколько сокращено по сравнению с первым. В нем опущены разделы и параграфы, содержавшие изложение некоторых теоретических положений, не получивших в книге дальнейшего развития и приложений (например, раздел об интегральных уравнениях малых колебаний). Необходимые сведения из аналитической механики, матричного и операционного исчислений, которые в первом издании давались по ходу изложения курса в различных главах, во втором издании сконцентрированы в первой вступительной главе. Это дало возможность более компактно расположить материал по отдельным главам, придав последним большую законченность и некоторую относительную независимость. Существенной переработке подверглись разделы, относящиеся к приближенным методам расчета на колебания систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы, с широким использованием вариационных методов. В основу практических приемов вибрационных расчетов стержней и валов с дискретным и непрерывным распределением масс и жесткостей положены методы начальных параметров в матричной форме. Применение матричных алгоритмов в сочетании с подходящим выбором масштабов для сил (моментов) и длин делают необходимые вычисления не только весьма удобными при программировании для электронных вычислительных машин, но и вообще значительно упрощают эти вычисления, позволяя даже в сравнительно сложных задачах выполнять их с помощью элементарных счетных устройств (арифмометр, счетная линейка). Состав примеров несколько обновлен. Числовые расчеты заново проверены, и в тексте страниц, оставшихся без особых редакционных изменений, исправлены замеченные опечатки. Автор считает своим долгом принести глубокую благодарность профессорам Н. В. Бутенину и И. М. Глазману и редактору В. В. Крементуло, просмотревшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний и рекомендаций, которые учтены автором при переработке книги. И. Бабаков
18 ОТ РЕДАКТОРА В предыдущем A968 г.) издании ссылки на цитированную литературу были даны в сносках и отчасти непосредственно в тексте. Многие из этих монографий, учебников, статей с тех пор не переиздавались и в настоящее время труднодоступны, поэтому здесь они сведены в общий список литературы в конце книги. Ссылки на литературу, выходившую в свет после 1968 г., сохранены в прежнем виде с добавлением ссылки на последнее переиздание. В подготовке настоящего издания большая помощь была оказана докт. техн. наук проф. Г. И. Львовым (заведующим кафедрой динамики и прочности машин Национального технического университета «Харьковский политехнический институт»), заслуженным деятелем науки и техники Украины, докт. физ.-мат. наук проф. И. Т. Селезовым, докт. техн. наук М. С. Герштейном и дочерью автора канд. техн. наук О. И. Бабаковой. Особенно много времени и внимания уделила книге доцент кафедры машиноведения и деталей машин Московского авиационного института (государственного технического университета) канд. техн. наук Г. Н. Хромова.
Час т ь п е р в а я ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Г -л а в а I Введение НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 1. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. Связями механической системы называются ограничения, стесняющие движение системы и осуществляемые какими-либо другими материальными телами. Обычно это различного рода закрепления системы: подшипники для валов поршневых и ротативных машин, шарнирные опоры, жесткие или упругие заделки концов стержней и балок, опорные поверхности, по которым должна перемещаться или на которых должна оставаться в покое система, и т. п. В дальнейшем предполагается, что, каковы бы ни были устройства, осуществляющие связи, их действия на систему выражаются силами, приложенными к системе и определенным образом направленными. Эти силы называются реакциями связей. Предполагается также, что связи могут быть аналитически представлены уравнениями, которым должны удовлетворять координаты точек системы и производные от координат по времени. При этом связи, представленные уравнениями1* 4 (х19 у19 гг; х2, у2, 22; ... ; хм, ум, гм; 0 = 0, A.1) к = 1, 2, ... , пг; пг < ЗЫ, ] Такие связи называются иногда «удерживающими» или «двусторонними» связями. Связи «неудерживающие» (или «односторонние»), выражающиеся неравенствами, дальше не рассматриваются.
20 Глава I. ВВЕДЕНИЕ не содержащими производных координат по времени (Ы — число точек системы; х[9 у19 г{ — их координаты), или уравнениями, содержащими производные, но интегрируемыми и приводящимися к виду A.1), называются голономными связями. Такие связи ограничивают главным образом выбо^ возможных положений системы. Связи, представленные уравнениями, содержащими производные координат и неинтегрируемыми, называются неголономными. Не- голономные связи, не налагая, как правило, ограничений на выбор положений системы, большей частью вынуждают последнюю двигаться из данного положения в некотором определенном направлении, т. е. ограничивают выбор величины и направления скоростей точек системыХ). В задачах механики реакции связей являются обычно неизвестными. Задаются или описываются лишь способы осуществления связей. Полное определение реакций связей, т. е. определение их точек приложения, направления и величины, производится с помощью некоторых допущений из условий равновесия или уравнений движения системы, причем в последнем случае — после того, как будет найдено движение системы. Реакции, полученные из условий равновесия с учетом других приложенных к системе сил2), называются статическими реакциями; реакции связей во время движения системы — реакции, определяемые из уравнений движения, — называются динамическими реакциями. Определение динамических реакций, возникающих в колеблющихся системах, и связанные с этим расчеты вибрационной прочности деталей машин — одна из важнейших прикладных задач учения о колебаниях. Когда в уравнения связей A.1) время явно не входит, связи называются стационарными (неизменяемыми) или склерономными. В противном случае их называют нестационарными или реономными. 2. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. Виртуальными перемещениями называются воображаемые бесконечно малые перемещения системы из одного ее положения в данный момент времени в другое положение, допускаемое связями в тот же момент времени, — перемещения без освобождения от связей. Х) В дальнейшем рассматриваются только голономные системы, т. е. системы, подчиненные голономным связям. 2) Все другие силы, приложенные к системе, кроме реакций связей, называются дальше заданными или активными силами.
2. Виртуальные перемещения 21 Виртуальным перемещениям соответствуют изменения координат, происходящие в результате изменения формы зависимости их от времени, в частности от изменения параметров, определяющих эту зависимость, при фиксированном I. Такие изменения.координат называются изохронными вариациями^ координат и обозначаются через 5х, 5г/, Ъг в отличие от обозначения дифференциалов с!х, сЦ/, 6.2. Последние — тоже бесконечно малые изменения координат, но изменения, происходящие за бесконечно малый промежуток времени д.1, под действием приложенных к системе сил. Операции дифференцирования и варьирования являются, таким образом, операциями, независимыми одна от другой. Поэтому имеет место равенство 8(<1/) = <1(8/), A.2) где / — какая-либо непрерывная функция координат, скоростей и времени. Различие между дифференцированием и варьированием обнаруживается также при вычислении бесконечно малых изменений функции Дх, у, г, О» с одной стороны, вследствие бесконечно малых приращений координат в действительном движении за промежуток времени М, с другой — вследствие вариаций координат при виртуальных перемещениях системы, относящихся к одному и тому же моменту времени. В первом случае с точностью до бесконечно малых второго порядка Дх + их, у + йу, г + &г,1 + &1) - Дх, I/, 2, О = = &йх+У-йу+&&г+дГы = йГ(х,у,г,Ъ, A.3) дх ду дг ^ во втором Дх + бх, у + ду, 2 + Ьг, г) - /(х, г/, 2, о = = IЪх+%Ъу+1Ъг=Щх> у> *> *>¦ A-4) Изменение функции /от вариаций координат, т. е. 5Дх, у, 2, г), называется вариацией функции /. Из сопоставления формул A.3) и A.4) следует, что вариация функции Дх, у, 2, I) вычисляется по тому же правилу, что и ее дифференциал при фиксированном значении аргумента I. Здесь изохронные — относящиеся к одному и тому же моменту времени.
22 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ их реакций К1 на всех виртуальных перемещениях системы равна нулю, т. е. если Е#.5г. = 0, A.5) / = 1 где 5г- — вариации радиусов-векторов точек приложения Еь; или в проекциях реакций Е1х, Е} , Е1г и перемещений Ъх19 5*/., Ъгь на оси прямоугольной системы координат: Е (Д;ж8хг + ^ + Л^) = 0. A.6) I = 1 ^ Идеальными связями будут, например, абсолютно гладкие (без трения) опорные поверхности; нерастяжимые, несжимаемые и несгибаемые стержни; нерастяжимые абсолютно гибкие нити и т. п. Большей частью это все те тела и все те связи, упрощенные (идеализированные) представления о которых (как абсолютно гладких, абсолютно твердых и т. д.) входят в состав основных допущений теоретической механики в первоначальных ее исследованиях, представляющих первое приближение к действительности. 3. НЕЗАВИСИМЫЕ ИЛИ ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ. Предположим, что система из N частиц (точек), ЗЫ координат которых определяют ее положение в момент 19 подчинена т, т < ЗтУ, голоном- ным связям: ?к(х19 уг, г19 ... , Хд,, уМ9 гю 0 = 0» & = 1, 2, ... , т. A.7) В этом случае т координат могут быть выражены через остальные (ЗЛ^ - т) независимые координаты, которым можно давать любые (достаточно малые) изменения без нарушения связей. Вариации этих независимых координат однозначно определяют вариации остальных зависимых координат. Число независимых координат системы, подчиненной только голономным связям A.7), определяет число степеней свободы системы. Вместо декартовых координат в качестве независимых координат выбирают обычно другие, связанные с ними величины, иногда другой физической природы и другой размерности. Эти независимые величины называются обобщенными координатами. Далее они обозначаются через дх, д2, ... , дд, где п = ЗЫ - т. Число обобщенных координат должно быть равно числу независимых величин, однозначно определяющих положение системы,
4. Обобщенные силы 23 и через них должны выражаться все декартовы координаты системы в форме, например, уравнений *,. = *;(*, дг1? ... ,<?„), | Уг = У\ (*» Яг> - , <?„)> [> * = 1, 2, ... , N. A.8) 2; = *;(*, GХ, ... , дл), | Эти уравнения являются уравнениями тех же связей A.7), представленными в параметрической форме. 4. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ. К понятию обобщенных сил приходим, преобразуя к обобщенным координатам выражение виртуальной работы заданных (активных) сил Р19 т. е. сумму I Г^г, = I (Х,5х,. + У.8^ + 2^), A.9) I =-- 1 / = 1 где Х(, Уп %1 — проекции Р1 на оси координат. Из уравнений A.8) находим п дх- дхч = X —^ бег,, 1 к = 1ддк к 8у.= I ^бд„ п дг- Подставив эти выражения в A.9), получим X (Х1Ьх1 + У!6у1 + 2,$>гх A.10) /г = 1 1_/ - 1 ч G<7/, с^* 'одй Коэффициент при Ъцк в последнем выражении, т. е. сумма I (^+У/^+^) = вк, A.11) / = Л 1ддк 1ддк 1 ддк ) и есть обобщенная сила, соответствующая координате дкг\ 1) Размерность обобщенной силы не всегда совпадает с размерностью силы [кГ]. Обобщенная сила часто имеет размерность момента [кГ • м] или размерность какой-либо другой механической или геометрической величины.
24 Глава I. ВВЕДЕНИЕ В изложенном определении обобщенной силы содержится указание и на другой способ ее вычисления. Чтобы получить обобщенную силу С2к, соответствующую координате дк, даем последней (мысленно) бесконечно малое изменение и на перемещении системы, соответствующем этому изменению 5^, при фиксированных значениях других координат, вычисляем работу всех активных сил, приложенных к системе. Коэффициент при ддк в выражении этой работы и будет обобщенной силой, соответствующей координате дк. Еще один способ вычисления обобщенных сил относится к силам стационарного потенциального силового поля. Стационарным потенциальным силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на находящуюся в ней (или на проходящую через нее) материальную частицу системы действует сила, зависящая только от положения этой точки, причем работа силы не зависит от пути, по которому перемещается точка приложения силы, а определяется начальным и конечным положениями точки. Потенциальное силовое поле можно еще определить как поле сил, элементарная работа которых представляет точный дифференциал некоторой функции П от координат системы. Для одной силы это определение выражается равенством Х&х + У &у + 2&г = -о1П, A.12) где знак минус означает, что работа силы поля Р связана с убыванием функции П. В этом случае, действительно, работа силы Р на любом перемещении не зависит от пути, по какому движется система, а определяется значениями П в начальном и конечном положениях системы. Обозначив через (А) и (В) начальное и конечное положения точки приложения силы Р, из равенства A.12) находим (В) | (X &х + У йу + 2 йг) = ПА - Пв, A.13) (А) где ПА и Пв — значения функции П соответственно в положениях (А) и (В). Равенством A.12) функция П определена до произвольного постоянного слагаемого. Отсюда следует, что начало отсчета П можно выбрать в любом месте поля, в частности, например, считать, что начало отсчета П совпадает с началом отсчета координат и, таким образом, положить П @, 0, ... , 0) = 0.
4. Обобщенные силы 25 После того как выбрано начало отсчета, каждому положению системы в поле будет однозначно соответствовать определенное значение П. Если в равенстве A.13) положение (В) совпадает с началом отсчета П., то (В) I (X о!х + У &у 4- ^ йг) = ПА. A.14) (А) Таким образом, значение П в каком-либо положении (А) системы равно работе силы поля на перемещении (по любому пути) из этого положения до нулевого (т. е. до выбранного начала отсчета). Функция П с указанными свойствами определяет так называемую потенциальную энергию системы в положении (А). При фиксированном начале отсчета потенциальная энергия системы определяется только ее положением в силовом поле. Потенциальная энергия является, как иногда говорят, энергией положения системы в силовом поле. Из равенства A.12)следует Поэтому X о!х + У &у + % йг = -20 Ах - ^ Лу - ^ Лг. * дх ду •* дг Х = -™ У=-?П,Я = -2П. A.15) дх оу дг С помощью последних равенств мы получаем следующую формулу для вычисления обобщенных сил потенциального силового поля: <2 =-^1, к =1,2, ... ,л, A.16) где потенциальная энергия П предполагается выраженной через обобщенные координаты. Согласно принципу виртуальных перемещений необходимым и достаточным условием равновесного состояния или покоя1) системы2), определяемого постоянными значениями координат и ну- Здесь и в дальнейшем различается положение системы в некоторый момент времени, определяемое соответствующими значениями координат цк, от состояния движения ее в тот же момент, определяемого значениями в этот момент координат (/й и скоростей дй (например, положение равновесия от состояния равновесия, или покоя). В связи с этим одновременные значения «^ и цк называются иногда координатами состояния системы. Подчиненной идеальным связям.
26 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ левыми значениями скоростей д х, д2, ... , д п, является равенство нулю суммы элементарных работ заданных сил на всех виртуальных перемещениях системы из этого состояния. Преобразованное к обобщенным силам, это условие выражается равенством или, так как Ъдк — независимые величины: ^ = 0, А =1,2, ... , я. A.17) Для консервативной системы условия A.17) имеют вид |П =о, А = 1,2, ... , п. A.18) Последние равенства свидетельствуют, что в состоянии равновесия потенциальная энергия имеет стационарное значение. 5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА. Теоретической основой большей части исследований колебаний голономных систем с конечным числом степеней свободы служат уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. Составленные в предположении, что связи, наложенные на систему, идеальные, эти уравнения не содержат реакций связей, и входящие в них величины, определяющие движение системы (обобщенные координаты и их производные по времени), непосредственно связаны с заданными (обобщенными) силами. Обозначим обобщенные координаты рассматриваемой системы с п степенями свободы через дх, г/2, ... , дп. Пусть связи системы представлены уравнениями A.8). Обозначим через т1 массы частиц (точек) системы; приложенные к ним заданные силы — через Рь; их проекции на оси координат — через Х19 У/? ^; проекции на те же оси реакций связей К1 — через В1х, К1 , Е-12. Из выражений производных по 1 от координат х{, уп г;, записанных в виде A.8) Л ОХ: . дХ; } Уг= Е Н~^ + 77' ) *=1,2,...,ЛГ A.19) к = 10Чк 11
5. Уравнения Лагранжа 27 следует, что д*1 _ дхг- # д_У± __ ду{ # 2^1 = дг1 д$к д<1к9 дЯк дЧъ' дЯк ддк' С помощью этих формул можно представить производную от кинетической энергии Г = ± 2 тЛ х? + г/? + 22 Aш20) ^ / = 1 ^ у по обобщенной скорости дд следующим образом: ддк 1 = 1 К одк с1дк одк Взяв от обеих частей последнего равенства производную по 1, получим А (Ё1) = Е т (х ^ + и ^ + г ^ С дх- ди- д%- \ + 1тД^^+^^+2^ . A.21) * = 1 ' V * ддА ддк ддк ) Принимая во внимание уравнения движения т1*1 ^ Х/ + Я1х> тгУ1 = У1 + ^, /П^* / = ^ + Д.,, равенство A.21) можно переписать в следующем виде: а* чз<у с)дА ,- = 1V 'э^ 'э<?А '<здА / = 1 V ** адк 1у ддк 1г ддк Первая сумма справа — обобщенная активная сила Як A.11), соответствующая координате дк> вторая — обобщенная реакция связей, равная нулю в силу того, что связи, наложенные на систему, по предположению, идеальные. Таким образом, &1 Щк) дд Т-Л^)- ^Г -Як = °> к =1,2,... ,71. • A.22) Полученные равенства и представляют собой уравнения Лагранжа в обобщенных координатах.
28 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Для консервативной системы с потенциальной энергией П уравнения A.22) запишутся следующим образом: й(|Г)_|Г+аПи.0 *=1,2,...,л, A.23) <** ^Як' дAк дЯк или, если ввести функцию Лагранжа Ь = Т7 - П: ,+ ,я. , . О, А =1,2, ... ,71. A.24) Перед подстановкой в уравнения Лагранжа функции 7\ ^, П, Ь должны быть выражены в обобщенных координатах. Если связи, наложенные на систему, стационарные, то в формулах A.19) частные производные от координат х19 уь> гь по времени отсутствуют и кинетическая энергия Т будет однородной квадратичной формой обобщенных скоростей дх, д2> ••• > Яп- ^ этом случае полная механическая энергия системы сохраняет свою величину во все время движения1*. Для доказательства умножим каждое уравнение A.23) на соответствующую (по индексу) производную с[к и просуммируем по к: Первую сумму можно заменить разностью и затем переписать по теореме Эйлера об однородных функциях [Б. И. Смирнов, 41, т.1, с. 367] следующим образом: после чего из выражения A.25) получаем 2) В связи с этим силы потенциального поля называются консервативными силами.
б. Циклические координаты и уравнения Рауса 29 ИЛИ ^ (Г+П) = 0 и Т + П = сопз1. A.26) Равенство A.26) представляет первый интеграл уравнений движения A.23) — именно интеграл сохранения полной механической энергии. 6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И УРАВНЕНИЯ РАУСА. Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в выражение функции Лагранжа Ь = Т - П. Такими координатами будут, например, координаты, изменения которых при сохранении значений остальных координат соответствуют перемещениям системы, не изменяющим относительного распределения ее масс, например, как это имеет место в твердом теле, обладающем полной материальной симметрией относительно некоторой оси и вращающемся вокруг этой оси. Угол поворота такого тела будет его циклической координатой. Каждой циклической координате соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа, называемый циклическим интегралом. Пусть рассматриваемая система с п степенями свободы имеет /п, т <п, циклических координат дк, к = 1, 2, ... , т, и (п - т) нециклических да, а = т + 1, ... , п. Из уравнений Лагранжа, соответствующих циклическим координатам г, (Ц) = 0- * = 1-2 "'• находим т циклических первых интегралов, соответствующих координатам дк\ |^ =рл, /г =1,2, ... ,т, A.27) где р^ — постоянные, определяемые из начальных условий. Если из равенств A.27), рассматривая их как уравнения относительно циклических скоростей, можно найти последние как функции нециклических координат и скоростей и постоянных $к: A.28) к = 1, 2, ... , т,
30 Глава I. ВВЕДЕНИЕ то в таком случае из оставшихся п - т уравнений Лагранжа Л ,,. , , 0, а = т + 1, ... , п A.29) си ^ддаУ сс]а можно исключить все циклические скорости и привести таким образом решение задачи к интегрированию (п - т) уравнений, содержащих только нециклические координаты и скорости и постоянные р^. Можно показать, что эти уравнения будут иметь форму уравнений Лагранжа, но вместо функции Лагранжа в них будет фигурировать другая функция — так называемая функция Рауса [81, гл.VIII] т к = 1 В самом деле, найдем производные от Е по нециклическим координатам и скоростям, предполагая, что в выражение для Е A.30) подставлены дк из A.28): ЁК = Ёк + X — — - I В д^к ЁИ = Ёк + 2 — ^ - ХВ^ тп + 1, ... , я, откуда аь ал аь ал , -, ,, 01Ч — =—,—-=—-, а = /и + 1, ... , /г. A.31) д<7а дда дда дда Теперь уравнения A.29) перепишутся следующим образом: |т(Р)-|^-0, а = т+1,...,/г. A.32) Эти уравнения называются уравнениями Рауса с игнорированными (т. е. с исключенными) циклическими координатами и скоростями. После того как из уравнений A.32) будут найдены #т+1, ... , цп как функции I и 2 (п - т) постоянных, из формул 9* = -|г> *=1,2,...,т 67 Р* найдутся циклические координаты д1, ... , дт с добавочными т постоянными.
6. Циклические координаты и уравнения Рауса 31 Уравнения Рауса находят применение в исследованиях стационарных движений систем с циклическими координатами (в частности, в исследованиях устойчивости движения таких систем). При этом под стационарным движением системы с циклическими координатами разумеется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Пример 1. СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ОДНОДИСКОВОГО ГИБКОГО ВАЛА. В качестве примера стационарного движения системы с циклическими координатами рассмотрим так называемое обращение1^ вертикального гибкого вала с насаженным на него посередине, между опорными подшипниками, диском (рис. 1, а). При изгибе вала в вертикальной плоскости диск перемещается в горизонтальной плоскости, вынесенной на рис. 1, б в плоскость чертежа. Пусть т — масса диска; / = тр2 — момент инерции относительно центра тяжести О (р — радиус инерции); е = РО — эксцентриситет (Р — место крепления диска на валу); О — точка пересечения линии подшипников с диском (на рис. 1, б эта точка служит началом координат неподвижной системы Оху). Кинетическая энергия системы в переменных г = ОО, ф, у, если пренебречь массой вала, равна Т=±т(г2 + г2ц2) + 1 тр2 (ф + уJ; потенциальная энергия — П = )¦ с • ОР2 = ^ (г2 + е2 + 2ге созу), где с = т\х — жесткость вала на прогиб; функция Лагранжа — Ь = - т (г2 + г2ф2) + - тр2 (ф + уJ - - - т\1 (г2 + е2 + 2ге сову). Циклической координатой оказывается здесь угол Ф (угол поворота вала относительно оси О). Этой координате соответствует циклический интеграл —г = -г-г = тг*<р + тр* (ф + у) = р = ту, б) Рис. 1 1) Под обращением вала здесь разумеется вращение изогнутой оси АРВ вала вокруг линии подшипников АОВ. Обращение следует отличать от вращения вала, передающего вращающий момент на рабочий орган.
32 Глава I. ВВЕДЕНИЕ из которого Функция Рауса Ф=Ч1Й- A-33) р2 + г2 Е = Ь - —- ф дф после исключения циклической скорости ф имеет вид Л = 5 т \р - НГГ-5 + -г^-2 V2 + -Р& V - И (^ + е2 + 2ге сову)]. A.34) 2 |_ р2 + г2 р2 + г2 р2 + г2 ] В стационарном движении системы г и у сохраняют постоянные значения и г = ф — 0. Поэтому в уравнениях Рауса А (^) - Ш = о — (—) - — = о „ дя ал первые слагаемые равны нулю. Положив в производных —— и —- значения дг су г — ф = 0, получим уравнения стационарного движения О 1 цг - \хе соз у = 0, (р2 + г2J ^ ^ ' ^ A.35) Г 8Н1 \ф^ == 0. ] Из этих уравнений, введя обозначение ф = со= ? , р2 + г2 найдем г=Н^08ч,; з1пу = 0. A.36) со2 - ц Таким образом, имеются два стационарных движения вала, соответствующих двум решениям системы A.36): • у = 0, г= -Р—\ A.37) со2 - \х • у = я, г= -^. A.38) ц - со2 В движении A.37) точки О, B, Р располагаются на одной прямой, причем центр тяжести лежит между О и Р (рис. 2, а). Когда со, оставаясь все время больше ц, неограниченно увеличивается, то г-0, т. е. центр тяжести приближается к точке О. Происходит, как говорят, «самоцентрирование» диска. Диск совершает при этом вместе с Р простое вращательное движение вокруг линии подшипников. В движении A.38) точки О, Р, О располагаются также на одной прямой, как показано на рис. 2, б: центр тяжести диска лежит на продолжении отрезка ОР.
6. Циклические координаты и уравнения Рауса 33 Когда со2 приближается к \х — с/т, значение г растет неограниченно. Угловая скорость со = 4с/ т называется критической угловой скоростью гибкого вала» Пример 2. РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ ТЯЖЕЛОГО СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА. Симметричным гироскопом называется тело, обладающее полной материальной симметрией относительно некоторой оси, закрепленной в неподвижной точке1 \ и вращающееся вокруг этой оси с очень большой угловой скоростью со2). Гироскоп называется тяжелым, если центр тяжести его не совпадает с неподвижной точкой (см. рис. 3, где О — неподвижная точка, О — центр тяжести, / — расстояние 00). Для определения положения гироскопа выбираем неподвижную точку О за начало двух систем координат — неподвижной Ох1у1г1 и подвижной, неизменно связанной с гироскопом, Охуг. Оси последней системы пусть будут главными осями инерции гироскопа для точки О. Ось Ог — ось симметрии гироскопа. Положение гироскопа будет однозначно определено заданием трех углов (углы Эйлера): ^ угла прецессии у — угла между осью Охх и «линией узлов» ОЫ, линией пересечения плоскости Оху с плоскостью Олс11/1; ^ угла нутации 0 — угла между осью Ог и неподвижной осью Огг; ^ угла собственного вращения ф — угла между линией узлов и осью Ох. Эти три угла мы и примем за обобщенные координаты гироскопа. Если проекции угловой скорости гироскопа вокруг мгновенной оси на оси подвижной системы обозначить через/?, д, г, то кинетическая энергия гироскопа будет иметь следующее выражение: 2Т=Ар2 + Вд2 + Сг2, где А, В, С — главные моменты инерции гироскопа относительно осей Ох, Оу, Ог, причем А = В. 1) Или опирающейся на неподвижную точку. 2) В широком смысле гироскоп — твердое тело произвольной формы, которое, будучи закреплено в одной из своих точек (фактически или хотя бы мысленно), может вращаться около этой точки. См. [Р. Граммелъ, 69, т. 1, с. 10] или [С. М. Тарг, 45, с. 410]. 2- 10456 Бабаков
34 Глава I. ВВЕДЕНИЕ С помощью известных формул Р = \|/ 8И1 0 81П ф + 0 С08 ф, д = \|/ 8И1 0 С08 ф ~ 0 8111 ф, Г = \|/ С08 0 + ф этому выражению можно дать такой вид: 2Т = А(ф2 8Ш2 0 + 02) + С(у сое 0 + фJ. Обозначив через М массу гироскопа, запишем выражение функции Лаг- ранжа следующим образом: Ь=\ \А(Ч>2 зт2 0 + 02) + С(\|/ соз 0 + \|/J] + М§1A - сое 0). Система обладает только одной нециклической координатой 0, две другие — \|/ и ф — являются циклическими. Последним соответствуют два циклических интеграла Ау 8И1 0 + С(\|/ соз 0 + ф) соз 0 = рх, С(ф С08 0 + ф) = Р2. Функция Рауса имеет здесь вид Я=1 №(У2 ЗИ12 0 + 02) + С(\|/ соз 0 + фJ] + М§1A - соз 0) - р^ - р2ф. A.39) Стационарное движение определяется постоянными значениями нециклической координаты 0 и циклических скоростей \|/ и ф. Это стационарное движение и есть регулярная прецессия тяжелого гироскопа: гироскоп вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ф = со, в то время как его ось (ось Ог), образуя с неподвижной осью Огх постоянный угол 0, вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью \|/ = со^ Уравнение регулярной прецессии гироскопа получим как уравнение стационарного движения 30 ' которое в силу A.39) будет иметь вид со! 8И1 0[Ссо + (С -А) сох соз 0] = Мд1 зт 0. A.40) Выражение К = -сох зт 0 [Ссо + (С -А) сог соз 0] A.41) называется гироскопическим моментом тяжелого гироскопа, совершающего регулярную прецессию.
7. Принцип Остроградского —Гамильтона 35 Гироскопический момент является моментом сил инерции гироскопа относительно неподвижной точки О. Уравнение A.40) можно поэтому трактовать, согласно принципу Даламбера, как условие равновесия между моментом внешних сил и моментом сил инерции относительно точки О при регулярной прецессии гироскопа. Гироскопический момент направлен по линии узлов в сторону, противоположную моменту М§1 зт 0. В приближенных расчетах, когда со весьма велика в сравнении сш^ в выражении гироскопического момента можно пренебречь вторым слагаемым в квадратных скобках, приняв К = -С(о1Ы8тд, A.42) или в векторной форме К = [(ох<й1]. A.43) Формула A.42) лежит в основе так называемой элементарной теории гироскопов и выражает известное правило Жуковского [18, с. 216]: «Если какое-нибудь тело вращения вращается около своей оси с угловой скоростью © и мы будем повертывать ось этого тела около некоторой оси, образующей с осью тела угол 0, с угловой скоростью ©р то явится пара с Моментом, равным произведению сосо181П 0 на момент инерции тела, стремящаяся повернуть ось тела к оси сообщаемого вращения так, чтобы при совпадении осей вращения со и сох совершались бы в одну сторону». 7. ПРИНЦИП ОСТРОГРАДСКОГО—ГАМИЛЬТОНА. Отметим два положения движущейся системы: в момент %х положение (А) и в момент 1г положение (Б); 12 > 1Х. Действительное перемещение системы из (А) в (Б) за промежуток времени 12 - 1Х определяется уравнениями 9* = ?*(*)> А = 1, 2, ... , п, которые с надлежащим числом постоянных представляют решения дифференциальных уравнений движения A.23) рассматриваемой системы. Наряду с действительным перемещением системы из (А) в (Б), для сравнения с ним, рассмотрим воображаемые бесконечно близкие к нему перемещения из (А) в (Б) за тот же промежуток 12- 1х, определяемые уравнениями 9* (О = Чъ @ + 8д* @> * = 1, 2, ... , п, A.44) где Ъ^к — изохронные вариации координат дг, д2, ... , ^п, т. е. бесконечно малые величины, на какие координаты дк в действительном движении отличаются от координат дй в движениях, привлекаемых для сравнения, в один и тот же момент времени %. Перемещения системы, происходящие согласно уравнениям A.44), назовем окольными перемещениями. Все перемещения —
36 Глава I. ВВЕДЕНИЕ и действительное, и привлекаемые для сравнения с ним окольные — начинаются одновременно из положения (А) и заканчиваются одновременно в положении (В), так что в этих положениях 8?*(*1) = &Ъ(*2) = 0- A-45) На построенной таким образом совокупности (или классе) перемещений, совместимых со связями, рассмотрим интеграл ч 5=1 Ь(И, A.46) где Ь = (Т - П) — функция Лагранжа. Числовые значения этого интеграла зависят от вида подставляемых в Ь функций ^к{к)9 определяющих какое-либо перемещение системы из построенной нами совокупности. Этот интеграл является, таким образом, функционалом от функций дД*) и С[кA). Функционал 5 имеет размерность произведения работы на время [кГ • м • с]. Величины с такой размерностью называются в физике действиями. Функционал 8 представляет специальный вид действия, которое называется действием по Остроградско- му — Гамильтону. Сравним значения действия 5 на действительном перемещении с его значениями на окольных перемещениях A.44), для чего построим разность Я («1 + 8?1> Ч2 + 6<?2> — > Чп + 39п> Яг + 801 > — > Чп + 8<^> *) " -«($!, ...', д„, дх, ... , д„, *)- Совокупность членов первого порядка в разложении этой разности по степеням 8дл и Ьс[к по определению есть первая вариация 5: Проинтегрировав по частям первое слагаемое подынтегрального выражения, будем иметь | ^ НАг = ^, 8 |'« _ |2 й Г|Ь M9аA*. Первое слагаемое правой части в силу A.46) равно нулю и, таким образом,
7. Принцип Остроградского — Гамильтона 37 Но на действительном пути *(|*)-|Ь«0, кжв19299тт9Пт и* Уддк; ддк Следовательно, на этом пути вариация действия 5 равна нулю: 55 = 0. A.47) Обращение в нуль первой вариации функционала есть необходимое условие его стационарности [Л. Э. Элъсголъц, 58, с. 22]. I Таким образом, действие 8 A.46) на действительном перемещении имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на окольных путях, переводящих систему из одного начального положения в одно и то же конечное за один и тот же промежуток времени 12 - 1г. В этом и заключается содержание принципа I Остроградского — Гамильтона для консервативной системы. Принцип Остроградского — Гамильтона может быть распространен и на неконсервативные системы. В этом случае он выражается следующим равенством: ч \ Ыт + хеЛ8дЛ) <а = о, A.48) где Т —кинетическая энергия системы, Bк — обобщенные неконсервативные силы, так что сумма 2Ф&&7& не является точным дифференциалом [П. Аппель, 62, т.II, с. 386]. Принцип Остроградского — Гамильтона часто называют принципом наименьшего действия. Такое наименование может быть присвоено этому принципу только с некоторыми существенными оговорками. Дело в том, что наименьшее значение действие 5 имеет не между двумя любыми положениями, а только тогда, когда начальное положение (А) и конечное (В) достаточно близки друг к другу1*. На перемещениях, превышающих некоторую границу, действие 5, оставаясь стационарным, может не иметь минимума и даже оказаться максимумом. Впрочем, для приложений принципа Остроградского — Гамильтона в теории колебаний достаточно установленного факта — обращения в нуль первой вариации 5 на действительном перемещении. Поэтому другие свойства действия 8 здесь не рассматриваются [Ф. Р. Гантмахер, 12]. *> См. [А И. Лурье, 26, с. 649], [К. Якоби, 72, лекция 8].
38 Глава I. ВВЕДЕНИЕ В изложенном выводе принципа Остроградского — Гамильтона уравнения Лагранжа выступают в новой роли — необходимых и достаточных условий стационарности функционала 5 на действительном пути системы. Тем самым устанавливается эквивалентность задачи об интегрировании дифференциальных уравнений при заданных краевых условиях с вариационной задачей нахождения экстремума функционала и, таким образом, открывается возможность привлечения к решению вибрационных задач методов вариационного исчисления. Как необходимые условия экстремума функционала уравнения Лагранжа A.24) были получены Л. Эйлером A744 г.). В вариационном исчислении их называют поэтому уравнениями Эйлера — Лагранжа. Подынтегральная функция функционала 5 может зависеть не только от производных первого порядка, но и от производных второго и высших порядков. Для таких функционалов необходимые условия экстремума будут выражаться уравнениями в частных производных четвертого и более высоких порядков. Так, если подынтегральная функция зависит от двух переменных I и х, а также от первых и вторых производных по этим переменным, т. е. если, например, функционал имеет вид ^о ^ дг дх дг2 дгдх дх2; то уравнение, соответствующее уравнению Эйлера — Лагранжа, запишется следующим образом [Л. Е. Элъсголъц, 58, с. 47] дЬ__ д_(дЬ\_ д (дЬЛ+ д2ГдЬЛ + д2 ГдЬЛ + д2 (дЬ)_0 ди дАдъ) дхУда) г)*2Удг) д1дх^дз) дх2Уди) A.49) ду дЪ^др; дх^дду д^^дг; д1дх\дз; дх2^ди^ где п = дМ- п=дУ- г=^М- «.-¦ д2У - и - д2У р ы* д дх' а*2' дгдх9 дх2' ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ1) 8. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Матрицами называются системы чисел, расположенных в виде прямоугольных таблиц, над которыми, пользуясь определенными правилами, можно производить различные Х) См. [Ф. Р. Гантмахер, 13], [В. Дункан, Р. Фрезер, А. Коллар, 68].
8. Определения 39 алгебраические действия. Матрица, таким образом, представляет нечто большее, чем просто таблицу, и ее элементы должны поэтому рассматриваться как единое целое в заданном расположении. В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с квадратными матрицами, матрицами-столбцами и матрицами-строками. В квадратной матрице число1* строк равно числу столбцов, и она имеет следующий вид и обозначение: ^-11 ^-12 ••• Аы Л.пл А-оо ... Ао„ Ап\ Ап2 ..Ая Часто матрица ||А|| обозначается просто через А. Матрица-столбец состоит из п элементов, расположенных в одном столбце, например: Матрицу-столбец называют также вектором, а ее элементы х19 х2, ... , хп — составляющими этого вектора, что и отмечено в ее обозначении через х. Матрица-строка состоит из одной строки и имеет вид У = \\Уг> У2> ••• > УпЬ Квадратной матрице А сопоставляется ее определитель Ал А = \А\ = ^¦11 ^-12 •• ^21 ^•22 ••• А2п Ап\ Ап2 A.50) Когда этот определитель не равен нулю, матрица называется неособенной; матрица, определитель которой равен нулю, называется особенной или вырожденной. Квадратная матрица, все элементы которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица порядка п, все элементы кото- Х) Это число определяет порядок квадратной матрицы.
40 Глава I. ВВЕДЕНИЕ рой, расположенные на главной диагонали, равны единице, называется единичной порядка п и обозначается буквой Е. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю; она обозначается через 0. Матрицы одного и того же порядка считаются равными, если равны их соответствующие элементы. Суммой двух матриц А и В называется матрица С=А + В, общий элемент которой Ськ = Аьк + Вш. Разность матриц А и В В^А-В есть матрица, общий элемент которой В1к = Аьк - В1к. Сложение матриц подчиняется тем же общим законам, что и сложение скалярных величин. Умножение матрицы на число I (которое можно записать как справа, так и слева матрицы) эквивалентно умножению на / каждого элемента этой матрицы: если 1А=А1 = С, то Произведение двух матриц согласованных1^ порядков Р = АВ определяется следующим образом: Ь-й элемент к-то столбца произведения равен сумме произведений соответствующих элементов 1-й строки матрицы А и к-го столбца матрицы Б, начиная с левой стороны и сверху2*: п Л*=ДАуЯ;*. A.51) Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно: ВА^АВ. Например, произведение матрицы-столбца на матрицу-строку есть матрица *1У1 Х1У2 •" Х\Уп II Х2У\ хъУг ••• хгУп ХпУ\ ХпУ2 "• ХпУп Х) Согласованных по правилу: число строк правого множителя равно числу столбцов левого. 2) Сокращенно: «строки левой матрицы на столбцы.правой». И*/1> */2> — »М = '
8. Определения 41 Произведение той же матрицы-строки на ту же матрицу-столбец равно выражению И*/1> У2> у Л *1У1 + Х2у2 + ...+Хпуп, которое представляет скалярное произведение векторов хну с составляющими х19 х2, ... , хп и у19 у2, ... , уп и обозначается простыми скобками (х, у). В том случае, когда В А =АВ, матрицы В к А называются перестановочными или коммутирующими. Умножение матриц ассоциативно. Это значит, что при сохранении порядка умножения матрицы можно группировать как угодно. Наконец, умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, так что имеет место равенство Р(А + БK = ГАЗ + ГВ8. Матрица А', строками которой служат столбцы матрицы А, называется транспонированной по отношению к А. Если Аш = Аы, то матрица называется симметричной; такая матрица совпадает со своей транспонированной. Матрица А называется ортогональной, если произведение ее на транспонированную А' равно единичной матрице, т. е. если АА'=АА = Е. В ортогональной матрице элементы любых двух строк и любых двух столбцов ортогональны между собой и сумма квадратов элементов каждой строки и каждого столбца равна единице: ,?Л^ = 8у. 1,7 = 1.2, п, где 1, 1 = ]> О, I*]. Матрица, транспонированная по отношению к матрице, составленной из алгебраических дополнений (миноров со знаками) элементов определителя |А|, называется взаимной1* к матрице А. Если обозначить алгебраические дополнения элементов Аш через аш, то ** Или присоединенной.
42 Глава I. ВВЕДЕНИЕ матрицей, взаимной к А, будет матрица а = ||а^||. Произведение определителей \А\ и |а| матриц А и а, как легко видеть, равно \А\п и, следовательно, |а| = \А\п~ Ч Отсюда получаем следующее соотношение между минорами определителей \А\ и |а|, которое мы запишем для определителей четвертого порядка: 41 1 0 ^¦31 1 ^-41 0 0 1 0 ^32 ^33 ^¦42 ^-43 0 0 ^34 А44 43 44 *23 ^33 МЗ *-24 А34 с12 0 0 а22 0 0 а32 \А\ 0 а4 0 \А из которого следует ^33 Л34 А43 А44 42 Л22 A.52) Эта формула может быть распространена на миноры любого порядка. 9. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Для каждой неособенной матрицы А можно однозначно определить обратную матрицу А'1, произведение которой на А (справа или слева) равно единичной матрице А-1А=АА~1 = Е. Обратной матрице А-1 можно дать следующее выражение: -1 = А21 кп2 а А' A.53) где а — матрица, взаимная к А; Д = \А\ — определитель матрицы А. В самом деле, составим произведение АА-1 = ^. А В матрице Аа отличными от нуля будут только суммы произведений элементов 1-й строки А на элементы 1-го столбца матрицы а, / = 1, 2, ... , п. Эти произведения, равные каждое определителю Д, расположатся по главной диагонали матрицы-произведения. Разделив эту последнюю на А, получим единичную матрицу Е. Обратная матрица разрешает систему линейных алгебраических уравнений п Ъ^Ашхк = В1, г=1,2,..., п,
10. Собственные значения матрицы 43 которую в матричной форме можно записать так: ^11 А12 ^•21 ^22 Ащ А2п Апп • хх х2 ' хп != \ВЛ в2\ 1в»1 A.54) или сокращенно Ах = В. A.55) В самом деле, умножив обе части этого уравнения на А, получим Х=А1В. A.56) Существуют многочисленные методы обращения неособенных матриц. С этими методами можно ознакомиться в книгах по высшей алгебре и вычислительной математике, в частности Щ. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева, 50]. 10. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ. Уравнение Ах = Хх9 где X — скаляр, представляет сокращенную матричную запись системы п линейных однородных уравнений относительно составляющих вектора х (х19 х2, ... , хп): (Аи - Х)хг + А12х2 + ... + А1пхп = 0, А21хг + (А22 - Х)х2 + ... +А2пхп = 0, A.57) Ап1*1 + Ап2*2 + - + (Апп ~ Х)Хп = 0. Условием, при котором не все х1 одновременно равны нулю, является обращение в нуль определителя системы A.57): ... АЛп А(Х) Ап X А12 *21 *22 *-2п Апп~Х 0. A.58) *-п1 ^п2 Это условие представляет характеристическое уравнение матрицы А, а определитель Д (X) — ее характеристический определитель. Корни характеристического уравнения называются собственными значениями или характеристическими числами матрицы А, Каждому собственному значению матрицы Хк соот-
44 Глава I. ВВЕДЕНИЕ ветствует совокупность п определяемых до произвольного постоянного множителя из уравнений A.57) значений хь, или так называемый собственный вектор, соответствующий А^1*. В теории колебаний приходится иметь дело главным образом с симметрическими матрицами с вещественными элементами. Некоторые свойства собственных значений и собственных векторов таких матриц можно установить, не решая характеристического уравнения. Из таких свойств отметим здесь следующие: ¦ Если матрица А симметрична, то для двух любых векторов х и у с составляющими хг, х2, ... , хп и у19 у2, ... , уп имеет место очевидное равенство2* (х,Ау) = (Ах,у). A.59) ¦ Все характеристические числа вещественной симметрической матрицы вещественны. В самом деле, переписав уравнения A.57) в виде п КХ^ — 1а А^Х^, I — 1, А, ... , 71, к = 1 умножим каждое из них на соответствующее комплексно сопряженное хь и затем все уравнения сложим. Тогда получим п п X 2, хьхь = Ъ А1кхкхь, I = 1 I, к = 1 или п п п к Е \х1\2= Е А;|хг|2 + I\А1к (Х1хк + х„х}, 1 = 1 1 = 1 1^к что и доказывает вещественность X. ¦ Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой. Это означает, что их скалярные произведения равны нулю. Запишем уравнения A.57) в сокращенной форме для двух векторов хну, соответствующих различным собственным значениям X и \х: Хх = Ах, \щ =Ау. Так как А — симметрическая матрица, то (Ах, у) = (х, Ау) и, следовательно, Х(х, у) = 1х(у, х), что при Хф\х возможно, только когда (Х,у) = 0. A.60) х) Здесь и дальше, кроме случаев особо оговоренных, предполагается, что корни уравнения A.58) простые. 2) Скобки обозначают скалярные произведения.
10. Собственные значения матрицы 45 При изучении устойчивости движения по первому приближению приходится для определения всех корней характеристического уравнения развертывать характеристический определитель, превращая уравнение A.58) в обыкновенное алгебраическое уравнение п-й степени относительно X. Для п > 5 это развертывание становится сложной (по числу операций) задачей. Для некоторого упрощения решения этой задачи были разработаны специальные методы. Из этих методов наиболее эффективными являются методы, предложенные А. Н. Крыловым [105]1*, А. М. Данилевским [97] и Ш. Е. Микеладзе [112]. В технических задачах теории колебаний, где приходится иметь дело главным образом с вещественными симметричными уравнениями типа A.58) и вычислять небольшое число их корней, последние, вместе с соответствующими собственными векторами, могут быть найдены с любой заданной точностью с помощью простых итерационных расчетов без развертывания определи- теля2). Пример 5. Требуется развернуть определитель уравнения 4,53 - а 5,59 5,05 3,99 5,59 8,33-а 7,99 6,48 5,05 7,99 8,33-а 7,09 3,99 6,48 7,09 = 0, A.61) 6,61 -а а = Ю5/Р2, по методу А. М. Данилевского; здесь сущность метода заключается в приведении уравнения A.61) к форме Фробениуса Ни - а 1 0 ^12 -а 1 Н13 . 0 . -а . • ^1(п-1) 0 0 Н\п 0 0 = 0. A.62) 0 0 0 ... 1 -а Приведение может быть выполнено самыми простыми средствами, причем с вполне достаточной для практических приложений точностью3*. Чтобы обратить в единицу предпоследний элемент четвертой строки, делим все элементы третьего столбца на 7,09, а чтобы не вводить дробных ко- Кроме метода самого А. Н. Крылова, в этой статье даны описание и сравнительная оценка методов Лагранжа, Леверье, Якоби и Лапласа. См. гл. V. Здесь имеются в виду так называемые вековые уравнения. Матричный способ приведения к форме Фробениуса см. в [Б. П. Демидович, И. А. Марон, 16].
46 Глава I. ВВЕДЕНИЕ эффициентов при а, на то же число 7,09 умножаем все элементы третьей строки; получим = 0. Далее умножаем третий столбец последовательно на 3,99; 6,48; 6,61 и вычитаем его из первого, второго и четвертого столбцов. В результате приходим к определителю, в котором последняя строка имеет требуемую форму: 4,53 - 5,59 35,80 3,99 а 5,59 8,33- 56,65 6,48 0,71 а 1,13 3,99 6,48 8,33-а 50,27 1 6,61 1,70-а 1,08 2,56 + 3,99а 0 0,99 0,71 1,01-а 1,13 2,67 +6,48а 8,33- 0 1 а -0,70 -0,99 -4,79 -а 6,61а = 0. Чтобы закончить первый цикл преобразований, нужно в полученном определителе избавиться от слагаемых с а в первом, втором и четвертом элементах третьей строки. Для этого умножаем первую строку на 3,99; вторую на 6,48, четвертую на 6,61 и прибавляем их к третьей, после чего имеем: 1,70 - 1,08 6,34 0 -а 0,99 1,01 - 13,16 0 0,71 а 1,13 25,09 - 1 - а -0,70 -0,99 -14,00 -а Этим заканчивается первый цикл приведения уравнения A.61) к форме Фро- бениуса. Отметим, что сумма диагональных коэффициентов в последнем определителе должна быть равна сумме таковых в определителе A.61I). Второй цикл должен привести третью строку последнего определителя к виду 0 1 -а 0. Он выполняется аналогично первому и приводит к уравнению = 0. Третий и четвертый циклы заканчивают приведение уравнения A.61) к форме Фробениуса 0,39- 4,08 0 0 -а 0,08 27,41 - 1 0 - а -1,30 -45,71 -а 1 0,42 7,97 0 -а 27,80-а 56,07 1 -а 0 1 0 0 20,50 1,40 0 0 -а 0 1 -а Х) В методе Данилевского это — контрольное правило.
10. Собственные значения матрицы 47 Ио последнего уравнения получаем а4 - 27,80а3 + 56,07а2 - 20,50а + 1,40 = 0. A.63) Решение уравнения A.63) проведем по методу Лобачевского — Греффе. Этот метод не требует предварительного отделения корней и дает возможность получить все корни с любой точностью. Исходя из уравнения A.63), составляем ряд уравнений, из которых каждое имело бы корнями квадраты корней предыдущего, руководствуясь следующим правилом. В уравнении, корни которого равны квадратам корней предыдущего, коэффициент любого члена равняется квадрату коэффициента члена с той же степенью неизвестного данного уравнения минус удвоенное произведение коэффициентов тех двух членов, между которыми этот член заключается, плюс удвоенное произведение коэффициентов, между которыми заключаются эти два, минус и т. д. ..., пока не дойдем до крайнего (с той или другой стороны) члена данного уравнения. В табл. 1 расчет проведен до уравнения с четвертыми степенями корней а, т. е. до восьмых степеней р. Через А0, А19 А2, А3, А4 обозначены коэффициенты уравнений. Приближенные значения а = 105/р2 находим по формулам Гл /"^2 1"^3 /"^4 а1*4л/А1' а2*4АТ-, а3«4—, а4*4—, А/^-1 Н^2 1^3 Таблица 1 а а2 а4 А) 1 1 1 А -27,80 А2 = 772,84 - 2А2 = = -112,14 660,70 А2 = 436524,49 - - 2А2 = -4013,68 432510,81 А2 56,07 А2 = 3143,84 - -2А1А3 =-1139,80 2А4 = 2,80 2006,84 А2 = 4027406,79 - -2А1А3 =-347858,55 2А4 = 3,92 3679552,16 А -20,50 А2 = 420,25 - - 2А2А4 = -157,00 263,25 А2 = 69300,56 - - 2А2АА = -7866,82 61433,74 ^4 1,40 А|=1,96 1,96 А2 = 3,84 3,84
48 Глава I. ВВЕДЕНИЕ откуда рг = 8 1020 432510,81 62,46; 432510,81 • 1020 ОЛЛ ак. Р* = ^ 3679552,16 =241>95> л _ „/3679552,16-1020_ копг лк. Р* ~ Щ 61433Д4 527'45' 'И33^ ^ - 1060,49, 11. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени 1/(х19 х2, ... , хЛ) = А11х1 + А22х2 ~*~ ••• ~^~Аппхп + + (Аг-1,*+А*,*-1К-1**- С1'64) В дальнейших приложениях коэффициенты формы большей частью удовлетворяют условию симметрии А1к = Акг В этом случае форма запишется так: 17(хг, х2, ... , хп) = А11х1 + А22х2 + ... + Аппхп + + гЛ^х^ + 2А13хгх3 + ... + 2А„_1? д *„_! хл A.65) или {/(*!, х2, ... , хп) - 2 А1кхьхк. I, к = 1 A.66) Определитель, составленный из коэффициентов формы I/, ^¦11 ^-12 ^21 ^-22 х2п называется дискриминантом формы. В дальнейшем предполагается, что дискриминант формы A.66) не равен нулю. Всякая квадратичная форма 11(х19 х2, ... , хп) с помощью линейного преобразования У\~ х\ + Ь\2Х2 ~*~ 3*3 + ••• + ^1пХп9 \ у2= х2~^~ 'г23х3 + ... 4- к2пхп, A.67) Уп
11. Квадратичные формы 49 может быть приведена к каноническому виду Щх19 х2, ... , хп) = аху{ + а2г/| + ... + апу*. A.68) В самом деле, определитель преобразования A.67) равен единице. Следовательно, дискриминанты форм A.68) и A.66) и их главные диагональные миноры равны между собой: ах 0 ... 0 0 а2 ... 0 0 0 ... а, = А А 11 ^12 ••• -^1* ь21 ^-22 ••• А21 Ац Аь2 ... Аи > или, если ввести обозначения с,- ^11 ^12 ••• ^11 ^21 ^22 ••• А21 Ац А12 ... Аи то 0 4 е а2-... *а^ = С 1' 1=1,2, п, A.69) A.70) Отсюда следуют равенства ал С1? а2 «3=7^ аи Сг' ~» С2 С помощью этих равенств форма A.68) запишется следующим образом (в предположении, что все СХФ 0): к = с1У1 + ^у1 + ^у1 + ...+ VI A.71) '1 ^2 °л-1 Практически приведение формы A.66) к виду A.71) осуществляется путем выделения в A.66) полных квадратов некоторых линейных форм, совпадающих (с точностью до постоянных множителей) с правыми частями преобразования A.67). В этом легко убедиться, рассмотрев числовой пример. Пример 6. Пусть дана форма V = 6х$ + 11л:| + 22х| + \2ххх2 + 22x^3 + 28х2х3, A.72) которую нужно привести к каноническому виду. Чтобы избежать дробных коэффициентов, умножаем обе части A.72) на 6 и затем дополняем до полного квадрата члены, содержащие хг: 6*7 = F*! + 6х2 + 11х3J + 30х| + 11х| + 36х2хг.
50 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Далее умножаем обе части последнего равенства на 30 и дополняем до полного квадрата члены, содержащие (вне скобок) х2: 30 • 6 • II = 30 Fхг + 6х2 + 11х3J + C0х2 + 18х3J + 6*|. Подстановка, соответствующая преобразованию A.67), 6г/х = 6х1 + 6х2 + 11х3, 6-30*/2 = 30х2 + 18х3, 30г/з = х3 приводит форму A.72) к каноническому виду V = 6*/2 + 1801/| + 30у|. Квадратичная форма называется положительно-определенной, если она принимает только положительные значения, обращаясь в нуль, когда все переменные х19 х2, ... , хп равны нулю. Для того чтобы форма была положительно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты формы после приведения ее к каноническому виду были положительны. Этому условию можно дать следующее выражение. Как мы знаем, квадратичная форма может быть приведена к виду С„ и = с1у{ + с7±У1 + ...+ У п ' A.73) '1 ^л-1 где С. равны A.69). Эта форма положительно-определенная, если все ее коэффициенты больше нуля. В частности, Сг должен быть больше нуля. Следовательно, все С- положительны. Таким образом, форма тогда и только тогда будет положительно-определенной, когда дискриминант формы и все его последовательные главные диагональные миноры больше нуля, т. е. когда Ап > 0; ^-11 ^12 ^13 ^¦21 ^-22 ^23 ^31 ^32 ^-33 >0; ^¦11 ^12 ^¦21 ^-22 ^-11 ^12 ^•21 ^-22 >0; Ап\ Ап2 A.74) >0. Неравенства A.74) выражают критерий положительной определенности квадратичной формы, известный под названием критерия Сильвестра.
12. Определение изображения функции 51 Две квадратичные формы п п I, Л = 1 I, А = 1 из которых одна, например II х, положительно-определенная, могут быть приведены к каноническому виду одним и тем же линейным преобразованием координат. В самом деле, положительно-определенную форму II г можно, например, путем последовательного выделения полных квадратов привести к каноническому виду ^1=г/? + у| + .- + ^- A-75) В новых переменных ух, у2, ... , уп вторая форма будет иметь вид п 172 = . .2 Ъ1ку#к. I, к = 1 Всегда найдется ортогональная подстановка, которая приведет форму II2 к виду сохранив при этом канонический вид формы II х, так как я п ЪУ?= 2 &?. A.77) г = 1 1 = 1 Выразив переменные д1, #2, ... , дп через ух, г/2, ... , г/д, а последние — через ^1? ^2, ••• » %Л> мы получим то единственное линейное преобразование, которым обе формы II х и С/2 приводятся к каноническому виду. Отметим, что постоянные являются собственными значениями матрицы коэффициентов формы II2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ФУНКЦИИ. В операционном исчислении функции, входящие в состав дифференциальных уравнений, заменяются их изображениями, построенными с помощью функционального преобразования Лапласа или Карсона. Действиям дифференцирования и интегрирования сопоставляются некоторые простые алгебраические действия над изображениями
52 Глава I. ВВЕДЕНИЕ этих функций. Задача операционного исчисления заключается в построении изображений функций и действий над ними и в последующем истолковании полученных операционных выражений, т. е. в переходе от изображения к так называемой начальной функции (оригиналу). Операционное исчисление вносит значительные упрощения в решение задач на вынужденные колебания в тех случаях, когда возмущающие силы имеют характер импульсов или сил, закон действия которых представляется в различные промежутки времени различными аналитическими выражениями. Кроме того, операционный метод дает возможность сразу составлять решения, удовлетворяющие начальным условиям, что делает его особо ценным в исследованиях переходных режимов, т. е. движений системы непосредственно после ее возмущения, когда начальные условия имеют существенное значение. Изображением функции /(*) по Карсону называется интеграл оо р\ е-Рг1Ц)(Ы9 A.78) о где р — комплексный параметр с положительной вещественной частью, достаточно большой для того, чтобы интеграл A.78) сходился. Относительно начальной функции, или оригинала, /(*) мы предполагаем, что это — кусочно-непрерывная функция, заданная в интервале 0 < I < + оо, равная тождественно нулю для I < О и удовлетворяющая условию в-(Кер)*дг)_>о при г_+ + 0о. A.79) Изображение /(*) есть функция параметра р. Мы обозначим эту функцию через Р{р): оо Р(Р) =Р\ е~Р*№) А*. A.80) о Для записи зависимости между /(*) и Р(р), выражаемой последним равенством, мы будем пользоваться обозначением Р(Р) ~^-> Л*). Это — символическая запись обыкновенного равенства A.80), представляющего собой карсоново преобразование функции /(*). Преобразование A.80) линейно, т. е. изображение суммы двух функций равно сумме изображений каждой функции в отдельности
13. Изображения некоторых функций и действий над ними 53 и умножению функции на постоянный множитель соответствует умножение на тот же множитель изображения. Поэтому если Аь — некоторые постоянные (I = 1, 2, ... , п) и Рь(р) —т—> /ДО, то A.81) 13. ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ И ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ. ¦ Изображение единицы. Введем единичную функцию а0(*), которая имеет следующее определение: _ [0 при *<0, ао^ = 11 при г > 0. A.82) График этой функции представлен на рис. 4. Изображением единичной функции а0@ будет единица: 1 -т-> а0(*). A.83) Это следует из очевидного равенства оо р\е-Р*о0Ц)<И = 1. Так как в промежутке от 0 до +оо имеем а0(^) = 1, то в этом промежутке изображение единицы равно единице: 1 -т-> 1. ¦ Изображение производной и дифференцирования. Если и /(О) = 0, то рР(р) -т-> ^Л*). A.84) В самом деле, интегрируя по частям в правой части равенства оо рР(р)=р1ре-Р*№Ы, о получим: ОО , р рр(р)=р[-е->*нт +р] е~рг%ы- 1 1 0 Рк [с. 4 1 °о(*) 1 *
54 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Выражение в скобках равно нулю в силу A.79) и предположения, что /@) = 0. Следовательно, о или о аг р?(р)-^±ГЦ). A.85) Дифференцирование начальной функции «изображается» умножением ее изображения на параметр р. Если /@) Ф 0, то о оо , » р2?,(р)=р/@)+р|в-^5{A* п си или р[Р(р)-/@)]-г->^/(*). A.86) Чтобы найти изображение я-й производной /(*), интегрируем по частям я раз в правой части равенства оо рп Р(р) = р\ рпе-Р*№)И. о Тогда получим: рпР{р) = рд/@) + рл "х/' @) + ... + р/*я - !) @) + р| «г/*/**) @ и*, о откуда следует Рп[Р(Р) ~ /@) " - Г @) " ... —^Ц /<*- !> @)] -г-> /<*>(*)• A.87) Если для I = 0 функция /@ обращается в нуль вместе со своими /1-1 первыми производными, то рпР(р) -г-> /^(О- A-88) ^ Изображение интеграла и интегрирования. Переписав A.80) в виде .| ОО ±Др) = 1е-Р*№И Р о и выполнив в правой части интегрирование по частям, получим . I \ е-Р*№) й*=р\е~Р* Г/ /(т)Aт1 <И. о о 1-о -I
13. Изображения некоторых функций и действий над ними 55 Таким образом, или ±Р(р)=р]е-Р*\1ГШ'*]ы, Р 5 1-0-1 1^(р)-т->//(х)Aх. A.89) Интегрирование функции «изображается» делением ее изображения на параметр р. Из A.89) находим г I ***=*• откуда откуда ->*, *2 -» _ 2!' У о (з - 1)! в! откуда A.90) Формулы A.90) определяют оригиналы целых отрицательных степеней параметра р. ¦ Теорема смещения. Если г(р) -т-> №, то -^— Р(р + а) Ч-> е-°'/@. р + а ^ ' ч ' Доказательство. В соотношении Р{р)=р1е-**№& о заменим р нар + а и перепишем его в виде A.91) —2_ ^(р + а) = р I е-Р*[е-а*№)] М. р + а о Отсюда следует: -^— Р(р + а) -Ч-> е-а'/@- р + а Из теоремы смещения можно получить изображения некоторых часто встречающихся в приложениях функций.
56 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Так, для изображения функции е±а* находим, полагая в A.91) /(*) = 1 и принимая во внимание, что 1 .* > 1: р + а -г-> е±аК A.92) Так как , . еа* + е~аг , . еаг - е~а* сп а* = , зпа^= . то —^— -Н> сп а*, -^— -г-> зп а*. A.93) рг - аг рг - а* Заменяя в A.93) а на га, получим: —^—- -=-» соз а*, -ИгЧ "^ 81п а*' A,94) рг + аг рг + аг откуда по той же теореме смещения можно найти изображения произведений соз а* и зт а1 на е~$г: Р(Р + ^ Н-> е~&* соз а*, ^ 5 "^ *~р* з1п а'- С1-95) 0? + рJ + а2 (р + рJ + а2 Из формулы /? + а на основании теоремы об изображении интегрирования имеем р р + а или о 1 ' »± A-*Га*). A.96) р + а а Полагая здесь а = ио, получим -Ит-з ~^ ~ 81п ю'> БГТ—2 "^ ~ <Х ~ с°8 <»*)• <Ь97> р2 + со2 со Р2 + со2 со ¦ Теорема запаздывания. Рассмотрим функцию ао(* ~ т)» которая по определению равна нулю для Кти единице для 1> х. График этой функции сдвинут вправо на расстояние т (рис. 5) по сравнению с графиком функции а0(*) (рис. 4).
13. Изображения некоторых функций и действий над ними 57 Найдем изображение этой функции: X со оо Р(р)=р\ е~Р* а0 (* - т) (И +р\е~Р* а0 (* - т) <М=р\е~Р1 И = «г**. О х т Таким образом, е-рх _^_> ^ ^ _ т)# ц 98) Сопоставляя полученное соотношение с формулой 1 -г-> а0 (О, заключаем, что умножение изображения на е~?х сдвигает график функции а0(*) вправо на т. Это заключение остается верным для любой функции /(*). Если то Р(Р) -т-> №, е~Рх Р(р) —г-> /(* - т). A.99) В самом деле, умножив обе части равенства оо о на е~Рх, получим, положив % + т = *': оо X Прибавим к правой части интеграл X р\ е~Р*' /(*' - т) йГ. о Этот интеграл равен нулю, так как в пределах изменения V от 0 до т *'-т<0, ДГ-т) = 0. Опуская штрих у V', окончательно получим оо е~Рх Р(р) =р\е~Р* /(* - т) а*, или 1 0 , т 1 о0(*-т) 1 ' 1 «г^(р)-Н>/(*-т). A.100) Рис. 5
58 Глава I. ВВЕДЕНИЕ /(*-т) Рис. 6 Умножение изображения на е~рх сдвигает график функции /(*) вправо на т (рис. 6). Теорема запаздывания дает простой способ построения изображений разрывных функций, например функций, определяющих интенсивность нагрузки, распределенной по отдельным участкам балки. В этом последнем случае переменная I обозначает не время, а расстояние (абсциссу) и ее целесообразно заменить буквой х. Рассмотрим сначала случай равномерно распределенной на участке (х0, хг) нагрузки интенсивностью д. Такую нагрузку можно представить наложением двух скачков одной и той же высоты д, начинающихся в точках х0 и хх и направленных в противоположные стороны (рис. 7). Аналитическое выражение этой нагрузки можно построить с помощью единичной функции а0(х): Дх) = да0(х - х0) - да0(х - хг). Ее изображение, согласно теореме запаздывания, будет де -рх0 де -рх1 -> /(X). A.101) Предположим теперь, что интенсивность нагрузки /(х) задана следующим образом: [ 0 при х < х0, Дх) = \ ё(х) при х0 < х < хг, I 0 при хх < х, '/ Х- *о|~ *! д|1 ШПШНПШПП X Рис. 7
13. Изображения некоторых функций и действий над ними 59 ё(х) ёх(х) Рис. 8 где функция &(х) определена для всей положительной части оси Ох (рис. 8). Полагая ё0(х) = §(х0 + х), получим для всех х > 0 ту ветвь функции §(х), которая начинается от х = х0. Помещая в эту точку начало координат, построим изображение функции #0(х): ед Й0(х). Чтобы вернуться к заданному расположению нагрузки Дх), нужно сдвинуть график функции #0(х) вправо на отрезок х0. В соответствии с теоремой запаздывания для х > х0 е~рх° О0(р) -Ч-> д0 (х - х0) = ё(х). Точно так же, полагая 8х (*) = ё(хх + х), Ог(р) -=-> ёх (х), приходим для х > хх к соотношению е~рх1 Ог(р) -г-> *! (х - хг) = §{х). Изображение нагрузки Дх) представится формулой е~рх° О0(Р) ~ е~рХ1 Ог(р) -=-> /(х). A.Ю2) В качестве одного из приложений формулы A.102) рассмотрим задачу о построении изображения периодической функции. Пусть /(*) — периодическая функция с периодом т: т = т + х).
60 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Введем вспомогательную функцию у@, которая равна /(*) для всех 1:, удовлетворяющих неравенству 0 < I < т, и равна нулю для К0и^>т: [ 0 при I < х0, Ч>@ = ] /(*) при 0 < г < т, [ 0 при ^ > х. Изображение этой функции по формуле A.102): Ч(р) = е-р**Р0(р) - е~р*1 Гг(р) -г-> у(*), AЛ03) где в рассматриваемом случае следует положить *0 ~ "' *1 == ^' ВД -^* Л*), ЗД) Н-> /(* + Т). ЯО - Л* + т), ВД - *» = **(р)- *(р) = 2?(рК1 - е~П Полученная формула дает изображение периодической функции /(г) через изображение вспомогательной функции \|/@> совпадающей с /(*) на протяжении периода и равной нулю вне его. Существует и обратная теорема, которую мы приведем без доказательства [А. И, Лурье, 28]. Теорема. Начальная функция, изображение которой имеет вид A.104), причем числитель ^(р) представляет изображение функции \|/@, равной нулю при I > т, является периодической периода т; эта периодическая функция /(*) для 0 < I < травна начальной функции \|/(г) изображения Ч*(р) в формуле A.104). 14. ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДАННОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ. К таким правилам относятся прежде всего теорема свертывания и теорема о разложении. Теорема свертывания дает возможность построить начальную функцию произведения изображений двух заданных функций и заключается в следующем. Так как то Поэтому или
14. Правила построения начальной функции 61 Теорема свертывания. Если *1 (?)-г-> ш, ?2(р)-^т, тох' 1^ (р) ^(р) -=-> 1 ^(т) /2(* - т) ат = I /^ - т) /2(т) ат. а.нвд р о о Доказательство. В самом деле, по теореме запаздывания <г^2(р) -г-> /2 (* - т) или оо Умножим обе части этого равенства на /хA:)йх и проинтегрируем по т в пределах от 0 до +°°: со оо оо Р2(рI е~Р* ^(т) Ах = р\ Гг (т) Ах I е~г* Г2 (* ~ т) Ы, о о о или оо оо 1 ^2 (р) *\(р) = р| <П* [[ Г2И ~ т) /х(т) <1т]<1* = оо г = рЬ-^[1/2(^-т)/1(х)с1т]а^ так как /(* - т) = О для т > I. Отсюда следует: I ± Рг (р) Р2(р) Н"> 1 /2(* - X) /!(Т) ЙТ. A.106) Таким же путем можно получить и второе выражение теоремы свертывания ± Р1 (р) Р2(р) -г~> | /!<* - т) /2(Х) ИХ. A.107) Теорема о разложении. Предположим, что функция Р(р) представляет собой рациональную дробь Р(п) = М(Я) = аоРт + а1Рт~1 + -+ат Х(р) Ь0р" + 61р"-Ч-... +Ьп ' х) Интегралы в соотношении A.105) называются свертками функций /5(<) и /@-
62 Глава I. ВВЕДЕНИЕ причем п > т. Обозначим через р19 р2, ... , рп корни знаменателя. Можно построить начальную функцию для такого изображения, если предварительно разложить Р(р) на элементарные дроби. Здесь могут встретиться два случая: 1) корни рк знаменателя Ы(р) — простые и не равные нулю; 2) корни знаменателя А^(р) — кратные. 1-й случай. Корни знаменателя А^(р) — простые и среди них нет нулевого корня. В этом случае разлагаем на элементарные дроби функцию М(р) рЩр)' полагая сначала формально ^=^+1_^ AЛ08) рН(р) р ъР-Рк Чтобы найти коэффициент С0, умножаем обе части равенства A.108) нар и полагаем/? = 0. Тогда г -М@) 0 N@) ' Умножив обе части A.108) на (р - рк), найдем коэффициент Вк как предел отношения М(р)(р-рк) рМ(р) при р —* рк. По правилу Лопиталя: _ М(рк) к Рк*'(Рк) ' Таким образом, М(р) = М@) + у М(рк) 1 рЩр) рЩО) ^ркМ\Рк)р-рк или Щр) = Щ0) +у М(рк) р М(р) N@) ^ркМ'(рк)р-рк' Так как Р~Рк -> еРк\ то М(р) . > М@) , у М(рк) + у Н^1_вРй*. A.110) Щр) N@) ГРкМ'(рк) 1 )
14. Правила построения начальной функции 63 Если знаменатель Л^(р) имеет один нулевой корень р = рп, то, положив Ы(р) = рЛ^(р), где Л/\@) ф О, будем иметь ([А. И. Лурье, 28, с. 47]) вместо A.110) Щр) -^\±Щр1] + м@) -у1 м(рк) щР) • ир лг^^.о ^1@) Др^'Ср*) ' 2-й случай. Корни знаменателя А^(р) — кратные. Пусть корни знаменателя рг, р2, ... , рк, среди которых нет нулевых, имеют кратности, соответственно равные иг, и2, ... , ик, причем V1 + V2 + ... + ик = п. Разложение дроби М(р) рЩр) на простейшие будет иметь вид РМ(р) Р +ДЛ(Р-Л)Г ( } Корню р8 кратности V;, соответствует в этом разложении группа членов С""8 + ^'^ , +...+ -2И-. A.113) (Р-Ре)"° (Р-ЛH' Р-Л Для определения коэффициентов С, 8 умножаем обе части A.112) на высшую степень (р - р8) 8. Введем обозначение Тогда С,(р)=С1><>в+С„4_1>в(р-р,) + ...+ + Си(р - р,)"- ^ +К(р- рв)"« , A.114) где .ЙГ обозначает совокупность членов, в знаменатели которых не входит кореньр8 и которые при р = р8 остаются конечными. Положив р = р8, получим С„„. = С$(р3).
64 Глава I. ВВЕДЕНИЕ Дифференцируя A.114) один раз пор и полагая затем/? =/?5, получим С(°8~Х)(р ) сV8-^,8 = с;(рв>,... ,сх>в= 8A;8-х)! • Коэффициент С0 определяется, как и в случае простых корней, С -М@) С° N@) • Теперь разложение A.112) можно записать следующим образом: М(р) __ М@) * ^ Ф~Х)(ра) 1 р#(р) />ЛГ@) ДА (и.-Х)! (р-р,)* или N(р) Щ0) Ах-1 К-^)! (Р-Р.) С помощью соотношения1) Л' A.115) приходим к выражению теоремы о разложении для случая кратных корней знаменателя 2У(р): Щр) _,_> Щ0) * ^ С<р'-ц(р.Ьь-у.« *(р) • ЛГ@) ДД («,-Я.)! (Х-1)Г AЛ1Ь) Теорема о разложении является весьма эффективным средством построения начальной функции операторного выражения, имеющего вид рациональной дроби. Теорема может быть обобщена на случай, когда Е(р) — мероморфная функция с простыми полюсами рь* 0. Такую функцию можно представить в виде отношения двух целых трансцендентных функций: В этом случае Р(р) = щи. Щр) ^ М@) Л М(рк) Ы(р) ^ N@) + ё1РкМ'(рк)е к • AД17) Х) Это соотношение можно получить из формул A.90) с помощью теоремы смещения.
15. Начальные функции степеней оператора р. 65 Если полюсырг, р2, — —простые, то, обозначая вычеты Р(р) относительно этих полюсов соответственно через Ъг, Ь2, ... и принимая во внимание известную формулу Ьк Шп(р рк) Щр) м,(рк), представим формулу A.117) в следующем виде: Р(Р) ~т-> Р@) + 2 Л<?к%- A.118) 15. НАЧАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА р. Рассмотрим функцию о{^, Н), которая равна 1/Н для 0 < I < Н и нулю для 1> Н (рис. 9): ,., , ч | у при 0 < I < Л, а{(*, /г) - 1 /г I 0 при 1> Н. Изображение этой функции найдем, вычислив интеграл A.119) откуда р\е~Р1 ст? (*, Н)<И=Р-\ е~Р* № = у A - е ^/г), о Л о /^ 1 A-в-рЛ) _^ а* (*,/*). A.120) В полученном соотношении полагаем Н = 0. Предел левой части будет изображением предела правой. Но предел левой части (по правилу Лопиталя) 1 ~ е-рп пт—; = р. /г - о /г Предел правой части принимаем за определение импульсивной функции первого порядка ах@. Таким образом, аг(*) = Цта}'(^, /г) A.121) р-т^а^). A.122) По теореме об изображении интегрирования 1 1 аг(г)И СТГ* 1 н 1 11' ' о 1ш * Рис. 9 * 10456 Бабаков
66 Глава I. ВВЕДЕНИЕ или { агШг. С другой стороны, 1 -» а0@- Следовательно, ^@ = ^@. A.123) A.124) Функция а1(^) равна нулю для всех I, кроме I = 0, где она обращается в оо. На основании A.123) ее можно истолковать как мгновенную силу, импульс которой равен единице. Мгновенную силу, сообщающую массе т в начальный момент 1 = 0 начальную скорость у0, можно представить с помощью функции ах(^) выражением огA;)ти0. Если I — время, то размерность функции агЦ) будет [1/с]. Рассмотрим теперь функцию ст2(*, п), определяемую следующим образом (рис. 10): ст2(*> н) к2 'к2 0 при при при Изображение этой функции Л A " %е~рН + *~2рН) к2 Предел левой части A.125) равен 0 < I < к, г> 2Л. а2(*, Л>- A.125) а2| 1 1 к2 \ № и1 11! г.1|1 1 к 2к тпт \\к ±1 1 ~* НтЛ A - 2е-*Л + е~2Рн)=р2. к - ок2 Предел правой части есть импульсивная функция второго порядка, обозначаемая дальше через ст2@: а2(*) = Нт а|(*, /г). A.126) /г - - 0 Таким образом, при к = 0 из A.126) имеем: -» а2@- A.127) Рис. 10 Из последней формулы находим I р -=-> 1 а2(*)A*, а2(*) = а{(*). о Размерность а2(*)> как следует из ее определения, есть [1/с2].
1. Системы с одной степенью свободы 67 Функция Р = тх0<з2A;), полученная умножением функции ст2@ на массу т и длину х0, приобретает размерность силы [кГ], причем, когда т = 1 и х0 = 1, Р = а2@- На этом основании функцию а2(^) можно трактовать как мгновенную силу, которая единичной массе сообщает единичное перемещение. С помощью функций аг(х) и а2(х), где вместо времени независимой переменной служит абсцисса х, можно определять интенсивность сосредоточенных нагрузок и таким образом включать в состав распределенной по балке нагрузки сосредоточенные силы и моменты. В самом деле, размерность функции, которой задается закон распределения нагрузки вдоль балки и которая фигурирует, например, в правой части уравнения упругой линии есть размерность интенсивности нагрузки [кГ/м]. Произведения сосредоточенной силы Р [кГ] и сосредоточенного момента М [кГ • м] соответственно на функции аг(х - х0), а2(х - х0) Рсуг(х - х0), Ма2(х - х0) имеют ту же размерность [кГ/м]. Эти произведения можно, таким образом, рассматривать как величины, определяющие интенсивность сосредоточенной в точке х = х0 нагрузки силой или моментом. Г л а в а П Системы с одной степенью свободы 1. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Механической системой с одной степенью свободы называется система, положение которой в пространстве однозначно определяется заданием одной обобщенной координаты д, а движение системы под действием приложенных к ней сил — изменением этой координаты с течением времени. Такой системой является, например, маятник часов, колеблющийся в вертикальной плоскости, перпендикулярной к его
68 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ оси О (рис. 11). Положение такого маятника однозначно определяется одной обобщенной координатой — углом 6 между вертикалью Оу и плоскостью, проходящей через ось и центр тяжести С. Простейшим колебательным движением системы с одной степенью свободы является гармоническое колебание, в котором обобщенная координата <7 изменяется с течением времени по закону синуса (или косинуса) #@ =^.зш(со^ - а). B.1) Коэффициент А — значение координаты д, соответствующее максимальному отклонению системы в одну сторону, — называется амплитудой колебания. Аргумент синуса — величина (со^ + а) — называется фазой колебания; а — начальной фазой. Множитель со представляет так называемую собственную круговую частоту колебания. Обозначим через т [с] наименьший промежуток времени, за который система, выйдя из некоторого состояния д, с), снова возвращается в него с теми же значениями #, д, совершив одно полное колебание. Этот промежуток времени называется периодом колебания. С круговой частотой со период связан соотношением С0 = 27Т/Т, B.2) из которого следует, что круговая частота равна числу полных колебаний системы за 2к с. Вместе с тем, очевидно, B.3) д(* + т) = д@> 1 д(* + т) = $(*). I Последние равенства являются необходимыми и достаточными условиями периодичности состояний движения системы. 2. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ. Условимся отсчитывать «координаты состояния» системы ди д от равновесного ее состояния, предполагая, что в этом состоянии не только д, но и д равны нулю. Тогда отличные от нуля значения координат #, с/ будут определять отклонения системы от этого состояния или возмущения ее равновесного состояния. Получив некоторое начальное возмущение и предоставленная затем самой себе, система будет совершать
2. Малые свободные колебания системы 69 возмущенное движение. Равновесное состояние, определяемое нулевыми значениями координат д и д, называется устойчивым, если, задавшись сколь угодно малым положительным числом 8 > О, мы сумеем подобрать по нему другое положительное число л > О, зависящее от с, такое, что во время возмущенного движения дид не превзойдут по абсолютной величине 8, если их начальные значения д0, д0 были выбраны согласно неравенствам 1?о1<тЪ ^оКл- B.4) Это значит, что, получив достаточно малое начальное возмущение, система в дальнейшем движении пребывает в ближайшей окрестности невозмущенного равновесного состояния или возвращается в равновесное состояние, совершая около него более или менее быстро затухающие колебания. Ни одна координата состояния — ни д, ни # — в этих колебаниях не превзойдет по абсолютной величине числа 8: колебания системы будут, как говорят, малыми колебаниями около состояния устойчивого равновесия. При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. В соответствии с изложенными замечаниями о линеаризации составим выражения кинетической и потенциальной энергии малых колебаний консервативной системы, подчиненной стационарным связям, около устойчивого состояния равновесия, предполагая, что оно определяется нулевыми значениями координат G = ф = 0. Для такой системы уравнения связей A.8) имеют вид
70 Глава II. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Подставив в выражение кинетической энергии системы Т=\Ъ /^ (*? + $? + *?) */ = 1 производные дХ: . . ду} . . дг-. . 1 дц 1 сщ 1 дд получим Ограничиваясь в разложении коэффициента А(д) по степеням д первым членом, т.е. положив приближенно А(д)*А@) = а, придем к следующему выражению кинетической энергии линеаризованной системы: Т==-ад2. B.5) Здесь а — существенно положительная величина, так как кинетическая энергия отрицательных значений иметь не может1). Что касается потенциальной энергии П, то в случае стационарных связей она является функцией только координаты д: П = Щд) и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если за начало отсчета потенциальной энергии выбрано равновесное состояние системы, в котором д = 0, то П@)= 0. В этом состоянии равна нулю и первая производная — . Поэтому разложение Щд) по степеням д в области д = 0 начинается с членов не ниже второй степени относительно д, т. е. будет иметь вид Щд) - \сд* + ... , где с = —- . Для малых колебаний 1_с1д2_1<7-о ^ Щя)=\сд2. B,6) Г) Обычно а — масса или момент инерции. 2) См. A.18).
3. Уравнения малых свободных колебаний 71 В рассматриваемых дальше линейных системах с > О, так что нулевое значение потенциальной энергии в устойчивом равновесном состоянии является ее минимальным значением для всех д, не превосходящих по абсолютной величине некоторой достаточно малой границы. В равновесном состоянии равна нулю и кинетическая энергия системы. Таким образом, равенство нулю потенциальной энергии в равновесном состоянии влечет за собой равенство нулю полной энергии системы в этом состоянии и наоборот. 3. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ. Колебания системы называются свободными, если скорость изменения состояния системы определяется только состоянием самой системы, а именно восстанавливающей равновесное состояние силой, зависящей от величины д, которая определяет отклонение системы из этого состояния, и сопротивлением, пропорциональным скорости д. Такую систему мы называем дальше линейным осциллятором. Если не учитывать сопротивлений, то уравнение колебаний линейного осциллятора будет иметь вид ад = -сд. B.7) Введя обозначение с/а = к2, найдем д = В соз Ы + С 8П1 Ы. B.8) Заменив произвольные постоянные В и С другими А и а по формулам В = А 81П а, С = А соз а, представим решение B.8) в следующем виде: д^ А 8Ш (Ы + а). B.9) Если в начальный момент, когда I = О, то в = <7о> С= ~к' I \ ТЛ ка | B.10) V к2 д0 ] Таким образом, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний определяются начальными условиями, а круговая частота к = /с/а B.11)
72 Тлава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ и период т = 2к/к = 2п 4&1 с от начальных условий не зависят. Предположим теперь, что кроме восстанавливающей силы на систему действует сопротивление, обобщенная сила которого В пропорциональна скорости д (здесь а > 0): В = -ад. В этом случае уравнение колебаний системы, составленное по схеме уравнения Лагранжа, будет иметь вид ад + сд = -ад или, если ввести обозначения а/а = 2п, с/а = к2: д + 2дд = /г2д = 0. B.12) Решение уравнения B.12) будет иметь различную форму в зависимости от соотношений между пик. 1°. Случай малого сопротивления: п < к. Характеристическое уравнение 22 + 2п2 + к2 = 0 B.13) при п < к имеет комплексные корни гх = -п + 1кх, 22 = -п- 1кг, где кг = 4к2 - п2, Ь = л/-Т. В этом случае У = е-П1 ^1 С08 ^ _(_ B^ 8^п %^ = - е~пг (д0 сой кх1 4- Яо пд° зш кг*), B.14) к1 где д0 и д0 — начальные значения координат д и д, когда * = 0. Введя вместо постоянных Вх и Сг другие А и Р по формулам Вг=А 81П C, Сх = А С08 Р, представим решение B.14) в виде д=Ае~пг 81П {к{Ь + Р). B.15) Сравнивая последнее уравнение с уравнением B.9), приходим к следующим заключениям.
3. Уравнения малых свободных колебаний 73 Рис. 12 ¦ Отклонения Ае~п* системы с сопротивлением с течением времени убывают по экспоненциальному закону, асимптотически приближаясь к нулю (рис. 12): колебания, как говорят, затухают. В этом затухании и выражается прежде всего влияние сопротивления на свободные колебания. ¦ Из уравнения B.15) видно, что д меняет знак периодически, т. е. система проходит положение равновесия через одинаковые промежутки времени. Промежуток времени тх между двумя последовательными прохождениями системы через положение равновесия с одинаковым направлением скорости называется периодом затухающих колебаний. Это наименование является условным, так как для затухающих колебаний условия периодичности B.3), за исключением моментов прохождения через равновесное положение, не выполняются. В таком же смысле затухающие колебания могут быть названы изохронными колебаниями, поскольку промежуток времени между прохождением через положение равновесия (с одинаковым направлением скорости), т. е. период колебания, остается постоянным, как бы малы ни были отклонения системы. Величина периода тх вычисляется по формуле 2п т0 Лг2- п2 ^^(п/кJ B.16) где т0 = 2п/к — период свободных колебаний той же системы без сопротивлений. При достаточно малом п период хг можно вычислять по приближенной формуле ¦ Отношение двух последовательных амплитудных отклонений системы от равновесного положения в одну сторону называется коэффициентом затухания \|/: Ае~п1 _ пхЛ У: B.17) Так как у — величина постоянная, то значения амплитудных отклонений убывают в геометрической прогрессии.
74 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Коэффициент затухания используют для характеристики быстроты убывания амплитуд. Однако более подходящим для этой цели является натуральный логарифм коэффициента затухания у, называемый логарифмическим декрементом колебаний 5 = 1п 1|/ = ПХ1 = П — . B.18) ^(к/пJ- 1 Из формул B.16) и B.18) следует, что т0 А/ 4я2 Как видно из последней формулы, сопротивление значительно больше влияет на убывание амплитуд, чем на изменение периода колебаний. Так, при т1/х0 = 1,1, что соответствует увеличению периода на 0,1т0, значения 8 « 2,879 ир 17,80. За два полных колебания амплитуда уменьшится почти в 316 раз, т. е. практически колебания прекратятся. Для опытного определения декремента 5 часто пользуются еще одной приближенной формулой. Обозначим через у и ух два последовательных (через период) отклонения, и пусть у-ух = Ау. Тогда 5 = 1П -У— = 1пГ1 + ^ + (Щ2 + ... ] - ** . B.19) у - Ду I у [- у } ^ у Отношение Ау/у можно найти, например, путем замеров на осциллограмме изменений отклонения за один или несколько периодов колебаний (рис. 12). 2°. Случай большого сопротивления: п > к. В этом случае оба корня характеристического уравнения B.13) вещественны и отрицательны: гг = -п + к2, г2 = ~п ~ &2> где к2 = *]п2 _ &2- Общий интеграл уравнения B.12) будет иметь вид д = е-п*(С1ек2' +С2в"*2'). B.20) Постоянные СЛ и С2 находятся из начальных условий. Если при I = 0
3. Уравнения малых свободных колебаний 15 ТО Сг = д0(к2 + п) + Г = _ <7о(^2 - л) - <7о 2к2 г 2к2 B.21) = , гд0(Ь2 + п) + д0 ь2г д0(к2 - п) - д0 _*2* 1 V 2к2 2/г2 Отклонение д обращается в нуль, т. е. система проходит через положение равновесного состояния в моменты времени, определяемые уравнением {к. + 71)* Г д0(к2 + п) + д0 2к2г , д0(к2 — е * -г п)-д0 2к9 2к9 0. B.23) Каковы бы ни были значения выражения в квадратных скобках, левая часть последнего уравнения стремится к нулю, когда I —> °°. Следовательно, при любых начальных условиях система асимптотически приближается к невозмущенному равновесному состоянию. Но это приближение может происходить по-разному. Второй множитель B.23) может обратиться в нуль еще и в момент времени 0 < I < °°, т. е. система может пройти через равновесное состояние и отклониться в другую сторону, если е2к21 = др + (п - к2)д0 д0 + (п + к2)д0 0, B.24) что при д0 > 0 возможно, если д0 < 0 и 1Gо1 > (п + ^2)^о- Найдется, таким образом, единственный момент, в который система совершит переход через равновесное положение, отклонившись от него один раз в другую (по отношению к начальному) сторону, после чего система с этой другой стороны возвращается в равновесное положение. График изменений д в этом случае будет иметь вид рис. 13, е. Во всех других случаях д будет все время такого же знака, что и д0: система а) б)
76 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ будет асимптотически приближаться к равновесному состоянию с одной стороны, не переходя на другую сторону (рис. 13, а и б). Итак, в случае, когда п > /г, возмущенное движение системы не будет колебательным. Оно носит название апериодического движения. 3°. Случай п = к. Корни характеристического уравнения в этом случае будут вещественными, равными и отрицательными, а общий интеграл уравнения B.11) будет иметь вид д = е-т(С1г + С2). B.25) Возмущенное движение, как и в предыдущем случае, будет апе- риодическим1), и ход изменения д графически представится кривыми, подобными кривым на рис. 13. Пример 1. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ДЛИНОЙ / И МАССОЙ т (рис. 14). За обобщенную координату возьмем угол 6. Координаты массы т равны X = / 8111 0, у = / СОЗ О, а ее кинетическая энергия Т = \ гп(х2 + у2) = | /п/292. Потенциальная энергия маятника в указанном на рисунке положении равна работе, которую совершит вес те на перемещении маятника из этого положения в положение устойчивого равновесия (на вертикали О у) П = т§1A -С08б). Для малых колебаний П = 1 т§Ш2. Из уравнения малых колебаний гармонического осциллятора B.7), которое в данном случае примет вид 9 + (ё/1H = О, найдем частоту к и период Т колебаний маятника к=4§Т1, Т = 2пЛ7ё- B.26) Пример 2. Найти частоту малых крутильных колебаний диска, прикрепленного к нижнему концу невесомого упругого стержня, верхний конец которого жестко закреплен (рис. 15). ¦) Его называют предельным апериодическим движением.
3. Уравнения малых свободных колебаний 77 1)|= А^Х \ ° 1 -= II р В З^Е II 1г Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 Задача решается аналогично предыдущей. Пусть масса диска М, радиус инерции относительно оси стержня р; жесткость стержня на кручение равна 01п где О — модуль сдвига [кГ/см2]; I — момент инерции поперечного сечения стержня [см4]. Кинетическая энергия диска равна т= ^мР2е2, где 6 — угол отклонения от положения равновесия. Потенциальная энергия для малых отклонений в пределах действия закона Гука выражается в виде Из уравнения П= ^сЭ2. мр2е + се = о находим частоту малых крутильных колебаний Шр2 ' Пример 3. УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА ИЛИ КАТАРАКТА. Его принципиальная схема представлена на рис. 16. Демпфер состоит из наполненного вязкой жидкостью цилиндра I), в котором движется поршень Р, снабженный отверстиями Л. Поршень штоком В соединен с грузом О, подвешенным пружиной С к неподвижной точке О. Сопро-
78 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ тивление, встречаемое поршнем при движении его в цилиндре, называемое вязким трением, пропорционально первой степени скорости К = -ад, причем д есть расстояние центра тяжести системы {Р — В — О} от положения равновесия. Наиболее сложной частью расчета является определение величины коэффициента а, зависящего от многих факторов. Мы воспользуемся здесь следующим выражением этого коэффициента [Л. Г. Лойцянский, А И. Лурье, 24, т. II, с. 85]: п = 128ц/а2 а ТЕ*** ' где ц — коэффициент вязкости, выраженный в технической системе единиц [кГ • см2], / — длина отверстий А, а1 — диаметр отверстий, а — площадь поршня, г — число отверстий. Если Я — вес всей колеблющейся системы {груз, поршень и поршневой шток}, Н — диаметр поршня, то п = 64ц/а2^ = 4п§\х1 (НL Пользуясь этой формулой, можно подсчитать размеры основных деталей конструкции и выбрать жидкость для заполнения демпфера под заданное торможение. Пусть, например, г = 100; длина отверстий / = 5 см; отношение Н/а1 = = 10; коэффициент вязкости (для толуола) 59 • 10 6 кГ • см2. При таких данных п « 0,365/$ 1/с. Если Я = ОД кГ, статическое удлинение пружины ОД см, то к = 31 1/с и п = 3,65 1/с. Мы имеем, таким образом, дело со случаем малого сопротивления и затухания колебаний. Логарифмический декремент § = 0,37. Заполнив цилиндр жидкостью большей вязкости, например глицерином, можно будет получить и апериодическое движение. 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Вынужденные колебания возникают в механической системе в результате воздействия на нее внешних (обычно периодических) возмущающих сил или ударов (импульсов). Мы начнем с разбора простейшего случая, когда внешняя возмущающая сила изменяется по гармоническому закону где Н — максимальное значение или амплитуда возмущающей силы; р — число полных циклов изменения силы за 2я секунд. Уравнение колебаний линейного осциллятора в предположении, что, кроме силы ©, на него действует восстанавливающая сила, пропорциональная отклонению д, и сопротивление отсутствует, запишем следующим образом: ад + сд = Н зтр^
4. Вынужденные колебания линейной системы 79 ИЛИ 'о' + к2д = к ътрг, B.27) где к = Н/а, к2 = с/а. Общее решение этого уравнения при р ф к получится как сумма общего решения однородного уравнения д + к2д = О и частного решения уравнения B.27): д = Сг С08 Ы + С2 81П Ы + — 8111/7^; А. /г2 -> здесь С1иС2 — произвольные постоянные. Пусть <7 = <7ои^ = (?о ПРИ ^ ^ 0. Тогда с2 к(к _ <7о _ к кр 2~-р2) к(к2 ~ р2) дп С08 Ы + — 81П М - -2 _ 81П Й* + —~—0 8Ш^. B.28) /г /г(/г2 - /И) /г2 - р2 Первые два слагаемых правой части уравнения B.28) соответствуют свободным колебаниям с собственной частотой к, т. е. колебаниям, какие совершал бы осциллятор в отсутствие возмущающей силы. При называемых нулевыми начальных условиях, когда д0 = д0 = 0 при I = 0, такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают. Третье слагаемое — гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой ^, но с амплитудой, зависящей от возмущающей силы. Это колебание также относится к свободным колебаниям. Оно всегда сопровождает вынужденные колебания, при любых начальных условиях, от которых оно вообще не зависит. Его мы будем называть свободным сопровождающим колебанием. Четвертое слагаемое к к2- р 8111 р1 = д3 B.29) представляет чисто вынужденные колебания осциллятора. Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассматриваемом случае представляют линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных; сопровождающих свободных и чисто вынужденных.
80 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Отметим свойства вынужденных колебаний, вытекающие из уравнения B.29). Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы. Вынужденные колебания в отличие от свободных ни в чем не зависят от начальных условий. Поэтому для изменения, например, амплитуды вынужденных колебаний необходимы (при заданной возмущающей силе) существенные изменения параметров системы: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменения начального отклонения или начальной скорости. Если к > р, то знак отклонения д3 будет совпадать со знаком силы B, т. е. сила и вызванные ею вынужденные перемещения будут находиться в одной фазе. Если к < р, то знак силы будет противоположен знаку отклонения. Переписав для этого случая уравнение B.29) следующим образом: ?3 = ^4р 81П № + Л)' мы можем сказать, что при к < р возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположных фазах. Когда к = р, выражение B.29) теряет смысл. Теряет смысл также и слагаемое общего решения B.28), соответствующее свободным сопровождающим колебаниям. Однако рассматриваемые совместно, оба названные слагаемые при к = р дают только неопределенность к(к2-р2) к2-р2 и I к(к2-р2) _|* = о 0' которую можно раскрыть по правилу Лопиталя, заменив дробь в квадратных скобках пределом при р —* к отношения производных пор от числителя и знаменателя: , Г-р 8И1&* + к зтр!1 _,. у Г-зт/г^ + Ы созр^ I к(к2-р2) \ /Л 1 |_ ~12кр = 81П Ы - — СОЗ Ы. 2к2 2к
4. Вынужденные колебания линейной системы 81 Таким образом, общий интеграл B.28) будет иметь вид д = д0 соз Ы + ~ зги Ы + + -Д- 81П Ы - ^ С08 Ы. 2к2 2к B.30) И здесь, как в B.28), движение ос- рис> Х7 циллятора представляет линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от B.28): вынужденные колебания представлены в нем непериодическим членом ~^Т С08 Ы, 2к в коэффициент которого входит множителем время I. Такой член называется вековым. С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем определяемые им колебания происходят с возрастающими по линейному закону отклонениями, как показано на рис. 17. Совпадение частоты возмущающей силы с собственной частотой системы и сопровождающие его явления носят название резонанса. При наличии сопротивления, которое мы, как и раньше, примем пропорциональным первой степени скорости д, положив К = -ад, мы найдем только одно решение, годное для любых значений р, в частности, и для резонансного р = к. В самом деле, уравнение колебаний линейного осциллятора в прежних обозначениях будет в этом случае иметь вид '4 + 2п([ + к2д = к зшр^. B.31) Его общее решение найдется как сумма общего решения уравнения без правой части: § + 2пд +&2д = 0, B.32) и частного решения уравнения B.31) с правой частью. Решения уравнения B.32) при различных соотношениях между п и к нам известны. В частности, при п < к решение этого уравнения дг = е~пг (Сх соз кхХ + С2 8Н1 кх1), кх = ^к2 - п2, определяет свободные затухающие колебания.
82 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Частное решение ^2 уравнения B.31) мы будем искать, положив <72 = А 8111 (р1 - С) и подбирая величины А и г так, чтобы это выражение, будучи подставлено в уравнение B.31), обратило его в тождество. Из уравнений А(к2-р2) = к соз е, 2Апр — к 8Ш г, получающихся при сравнении коэффициентов при зт р1 и со8 р1 в обеих частях уравнения B.31), находим А= / Н =, 1*е--|йЦ. 7(/г2-/?2J + 4/г2р2 ^2 - Р2 Общий интеграл уравнения B.31), таким образом, имеет вид а = е'пЬ (С, соз кЛ + С9 зш й^) + , зт (р1 - е). 1121 7(/г2-р2J + 4тг2р2 Если д = д0ид = д0в начальный момент ^ = 0, то д = е-т ^^ С08 А^ + д° дд° 8ш ь^ + 1 B.33) + Ае~п* (з1п 8 сое V + Я81п8~рс°88 зт А^) + А зт (р* - г). Первые два слагаемых полученного решения соответствуют свободным и свободным сопровождающим колебаниям. И те, и другие с течением времени затухают, так что через более или менее продолжительный промежуток времени ими можно будет вообще пренебречь и считать, что в дальнейшем движении система совершает только чисто вынужденные колебания согласно уравнению зт [р% - г). B.34) 7(/г2-/?2J + 4л2р Этим уравнением будет определяться установившийся колебательный режим линейного осциллятора и при других отношениях между пик: когда п > к или п = к. На рис. 18 представлен общий ход установления колебательного режима системы с сопротивлением при действии на нее гармонической возмущающей силы.
4. Вынужденные колебания линейной системы 83 Из уравнения B.34) можно сделать несколько выводов. Свободные колебания «* Вынужденные колебания и при наличии сопротивлений происходят с частотой возмущающей силы. Это всеобщий закон вынужденных колебаний линейного осциллятора, имеющий место независимо от условий, в каких происходят его вынужденные колебания, в частности, независимо от того, имеются ли в системе сопротивления или нет. Амплитуда вынужденных колебаний от начальных условий и времени не зависит. С течением времени она не изменяется и, следовательно, вынужденные колебания, в отличие от свободных, от сопротивлений не затухают. При резонансе, когда р = /г, амплитуда вынужденных колебаний остается конечной и притом не самой большой из возможных ее значений для данной системы. В самом деле, разыскивая значение р, при котором амплитуда Рис. 18 7(/г2-р2J + Ап2р2 B.35) достигает максимума, найдем, что это случится, когда р2 = к2- 2п2, т. е. до наступления резонанса, прир < к. '- В вынужденных колебаниях с сопротивлением всегда имеет место сдвиг фазы колебания по сравнению с фазой возмущающей силы. Величина 8 этого сдвига определяется формулой 2пр *ее = к2-р2 B.36) Максимальное значение, равное тг/2, сдвиг фазы имеет при резонансе, когда р = к.
84 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Амплитудой вынужденных колебаний определяются максимальные динамические напряжения, возникающие в упругих системах от воздействия на них гармонических возмущающих сил. В высшей степени важно заметить, что величина этих напряжений, как и амплитуды А, зависит не столько от величины возмущающей силы, сколько от частоты ее изменений во времени. При одном и том же значении Н амплитуда и возникающие в системе напряжения могут значительно изменяться в зависимости от изменений частоты р. Для оценки этих изменений их сравнивают со статическим отклонением А0 системы при действии на нее силы Н а0^=А. B.37) Отношение амплитуды А к А0, равное ~ = ч = * , B.38) Ао 7A - а2J + Аа2Ъ2 где а = р/к, Ъ = п/к, называется коэффициентом динамичности. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз максимальное динамическое отклонение при вынужденных колебаниях от силы Н 8Ш р1 больше максимального статического отклонения от постоянной силы Н. На рис. 19 резонансными кривыми представлен ход изменения абсолютной величины коэффициента динамичности л в зависимости от частоты возмущающей силы (от а = р/к) для некоторых значений коэффициента сопротивления Ъ = п/к. Пунктиром показана резонансная кривая для я = Ов отсутствие сопротивления, когда коэффициент динамичности * ~ 1 B.39) ' 1-а2 1~р2/к2 Эта кривая имеет разрыв в точке а = 1. Из рассмотрения резонансных кривых на рис. 19 обнаруживается следующий факт, имеющий значение в приближенных расчетах амплитуд вынужденных колебаний. В областях, достаточно далеких от резонанса, амплитуды при относительно малом сопротивлении почти не отличаются от соответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления, определяемых более простой формулой
4. Вынужденные колебания линейной системы 85 Ж СЮН д ж Рис. 19 Рис. 20 В этих областях при вычислении амплитуд можно совсем не учитывать сопротивлений, которые вообще с трудом поддаются точному определению. Хотя амплитуды вынужденных колебаний с сопротивлением остаются конечными и при резонансе, однако при более или менее продолжительной работе деталей машин в резонансных условиях всегда имеется опасность полного или частичного их разрушения от усталостных напряжений. При проектировании конструкции, подверженной воздействиям возмущающих сил, стараются поэтому подобрать соотношения размеров и прочности ее деталей так, чтобы по возможности отодвинуть условия нормального режима работы ее от резонансных условий1*. Для той же цели служат специальные устройства, как, например, нелинейные муфты, вибро- гасители и т. п. Пример 4. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВИБРОГРАФА ДЛЯ ЗАПИСИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФУНДАМЕНТА. Схема устройства вибрографа показана на рис. 20. Груз Я подвешен на пружине, прикрепленной к раме прибора. Рама жестко соединяется с фундаментом и таким образом участвует в колебаниях последнего — так же, как и вращающийся барабан Б, на котором груз ф, перемещаясь вверх и вниз, с помощью пера Р записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения груза ф являются относительными перемещениями по отношению к раме и барабану. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам, действующим на груз, добавить переносную силу инерции его ¦) О некоторых явлениях резонанса в машинах см. гл. V.
86 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ массы. Предположим, что фундамент вместе с вибрографом совершает гармонические колебания с амплитудой а и частотойр, т. е. согласно уравнению х = а зтр*. Переносная сила инерции груза Я в этом движении равна Я •• Я 2 • -- х = а-рг 81П р1. § ё Уравнение относительных колебаний груза будет поэтому <1 + &2д = ар2 8гп р1, где к2 = с§/Я, с — жесткость пружины. Установившиеся вынужденные колебания груза Я относительно барабана, если пренебречь свободными колебаниями, будут происходить согласно уравнению Амплитуда этих колебаний (к/рJ - 1 не будет точно равна амплитуде колебаний фундамента, но ее искажение будет тем меньше, чем меньше собственная частота прибора к сравнительно с/?, т. е. чем меньше будет жесткость пружины и чем больше ма^са груза. Например, если к/р = 0,1, то \А\= -±- =1,01 а. 1 ' 0,99 Ошибка прибора в этом случае не будет превосходить 1 % . Пример 5. КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА, ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ВРЕМЕНИ. Если за начало отсчета отклонений принять положение равновесия груза, то уравнение движения будет иметь вид тх + сх = /(*), B.40) где т — масса груза, ас — жесткость пружины. Полагая в начальный момент х@) — х0 и х@) = и0 и введя обозначения Х(р)-г-> л**), .Р(Р)-Н> ДО, составим изображение уравнения B.40): тр* [Х(р) -х0- и0/р] + сХ(р) = Р(р), из которого Х(р)=^+^+-Ц^±. B.41) тр1 + с трг + с тр1 Л- с Начальную функцию первого слагаемого находим по теореме свертывания: тр2 + с ткр ^'р2 + к2 тк * К ' ' здесь к = 4с I т.
4. Вынужденные колебания линейной системы 87 Второе слагаемое дает тр2 + с к рА + кг к а третье <>п2 4-Ь2 ' "О > хп соз /г*. тр2 + с "р2 + &2 Начальная функция всего выражения B.41), т. е. искомое решение уравнения B.40), имеет вид I Х@ = Х0 С08 &* + у 3111 &* + ~- | Дх) 31П & (* - х) ИХ B.42) ИЛИ I х{1) = а 81П (/г* + а) + у- \ Дх) зт /г [г ~ х) с!х, где Изображение уравнения B.40) можно было бы получить еще и таким образом. Можно считать, что в начальный момент х@) = 0, х@) = 0, а к грузу в этот момент, кроме силы ДО, приложены две мгновенные силы ти0о1 @* тх0а2 @, где а-ДО и о2@ — импульсивные функции первого и второго порядков. Исходное дифференциальное уравнение B.40) теперь запишется в виде тх + сх = ДО + /шHо1 @ + тх0СJ (I). Построив изображение этого уравнения с помощью формул A.122) и A.127), мы снова придем к выражениям B.41) и B.42). Решение B.42) при произвольных х0 и о0 не является периодическим. Однако в том случае, когда возмущающая сила ДО — периодическая функция с известным периодом х, можно подобрать начальные значения х@) = х0 и х@) = = о0 так, что соответствующее этим начальным значениям решение уравнения B.40) будет периодическим с тем же периодом х. Оно определит при таких условиях чисто вынужденные колебания системы. Пусть, например, ДО = Л 81П со*, со = 2тс/т. Тогда р2 + со2 и изображение уравнения B.40) будет иметь вид (тр* + с) Х(р) = -^_ + тР€0 + тр2х0.
88 Глава И. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Отсюда и 1 Х(р) = хA) = т(к к 2 _ к со2 Г сор ) 1р2 + со2 - 8Ш 00^ ' кр2 + к2\ к(р2 + к2) р2 + к2 ^ 81П Ы) + Хп С05 Ы + ^ 81П Л*. B.43) Функция #@ будет периодической с периодом т = 2тг/со, если х0 и 1?0 будут удовлетворять условиям периодичности х(т) - *@) = 0, х(т) - х@) = О, которые, после подстановки в них B.43), обратятся в уравнения ^0 „•« и _ ЛС081П &Т х0 A - соз кх) - -7 31П &т = - /г кт(к2 - со2) Х0 81П ЛТ + ^ A - С08 *Т> = /г(°A'С08^Т) . 0 /г V ' кт(к2 - со2) Из этих уравнений находим Х° "' ^° ш^-со2)' - При таких начальных условиях система под действием возмущающей силы /г 81П Ы будет совершать чисто вынужденные гармонические колебания с периодом т = 2 л/со, определяемые уравнением х^ = ~7Г^ ^ 81п Ш' т(кг - со2) В приложениях получение периодического частого решения уравнения B.40), соответствующего чисто вынужденным колебаниям, является большей частью единственной целью расчета. Иногда такое решение легко построить с помощью условий периодичности, как в только что рассмотренном примере. В других случаях более удобным оказывается использование обратной теоремы об изображении периодических функций (с. 60), что дает возможность уже в изображении общего решения выделить изображение решения периодического и таким образом получить периодическое решение без предварительного составления общего решения. Пример 6. КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА, ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВТОРЯЮЩИХСЯ С ПЕРИОДОМ т ИМПУЛЬСОВ. Уравнение движения груза можно представить так: х + к2х = 8 [о1 @ + ах (* - т) + ах (* - 2т) + ... ]. B.44)
4. Вынужденные колебания линейной системы 89 Здесь к2 = с/т — квадрат собственной частоты колебаний груза, 8 — отнесенный к единице массы импульс, огЦ) — импульсивная функция первого порядка, х — отклонение центра тяжести груза от положения равновесия. Из изображения уравнения B.44) при начальных условиях х@) = х0 и х@) = ь>0 р2[х(р)-х()-^] + ^Х(р)=г^_ находим изображение искомой функции — общего решения уравнения B.44) Х(п) = 8р + р2х0+ри0 ^; (р2 + А2)A-е-/») р2 + к2 ' Чтобы выделить отсюда изображение периодического решения периода х, представим Х(р) в виде дроби 1 - еРТ ' положив Ч» = Т^Г* + Р2Х2\+Г° A - е~П, B.45) р1 + кг рг + й2 и подберем значения х0, (;0 так, чтобы оригинал ц/(^) функции Ч'(р) был равен нулю для * > х. Но для 1> х \цA) = - 8Н1 /г^ + х0 соз &г - соз к {I - х)\ + -^ зт /г^ - зт к (I - х) = = 81П &И т _ ^о 8Ш ^Х + Т ^ ~ С°8 ^ + + С08 Ы Х0 A - СОЗ кх) + -^ 81П кх\. Чтобы это выражение равнялось нулю для I > х, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Х0 8111 кх - -^ A - С08 кх) = - , откуда х0 A - соз кх) + -2 зт кх = 0, Х° 2/г С^ 2 ' Т 2& ' Подставив эти значения в B.45), получим изображение искомого периодического решения уравнения B.44)
90 Глава И. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Этому изображению соответствует оригинал \|/@ = — Г81п Ы + сое Ы оХ% -~ + 81П к (I - т) - соз к {I ~ х) с!§; кх- 2 . Периодическое решение в промежутке 0 < I < т получим, отбросив в выражении \|/(*) последние слагаемые 81П Л (* - т), соз к{1 - х) с1ё (кх/2), как равные нулю для I < т. В результате приходим к следующему уравнению вынужденных колебаний груза: х(г) = ^г (зт &* + сое Ы с1ё у ), B.46) определяющему движение в течение первого периода 0 < I < т. Чтобы найти отклонения груза для I > т, нужно периодически подвинуть график функции B.46) на промежуток, содержащий это значение I. Общее решение уравнения B.44) получим, построив оригинал изображения гJ Л Х(р) = р^ + р"° + §5 Оригинал первого слагаемого есть Хп С08 Ы + -^ 81П Ы. Оригинал второго слагаемого1) найдем с помощью теоремы о разложении Щр) _^ Щ0) + у „МШ-еРК, B.47) М[р) N@) }^1РнЫ\рн) где М(р)-8р, М(р) = (р2 + к2) A - е~Рх). Знаменатель И(р) имеет простые корни ¦2) ±1к;±^±, /г = 0, 1, 2, ... . Первое слагаемое правой части B.47) М@) = цтМЧр) ^ А N@) р-оАГ'(Р) Л2*' Х) Второе слагаемое является мероморфной функцией с простыми полюсами. Здесь оно трактуется как рациональная дробь, причем используется теорема о разложении дроби, когда знаменатель ее имеет простые корни. 2) Нуль является простым корнем и знаменателя, и числителя, а потому в число полюсов функции не входит.
4. Вынужденные колебания линейной системы 91 Корням ±1к знаменателя соответствуют два слагаемых под знаком суммы: 8 . еш 8 я е~ш 2Ы ' 1 - е1кх ' 2Ы * 1 - е1кх ' где I = V—1 . Объединив эти слагаемые, получим 2йЛ1 - б1~1*т х _ в*/гт ; 2/г V &2^ Слагаемые, соответствующие другим корням знаменателя, имеют вид _^-в._^1_, Л-...,-8,-2.-1.0, 1.2. 8,.... Ра# (Ра) т А2 _ 4/*2^2 т2 Объединив под знаком суммы в правой части B.47) слагаемые с одинаковыми по абсолютной величине индексами, получим +оо 2/гкИ 8 V"* е х 28 1 ?! 4/г2тг2 2Ъп1 СОЗ X 4^ 8 /г2- Н = -оо х2 /г = -°° т2 Окончательно для общего решения уравнения B.44) имеем 8 (^ ь+ _ ™0 ы- „+„Ьх ^25 V соз {2пЫ/х) , Л К \ Сл ' X шш^ к2 -4/127Г2/х2 Л =0 + Хп СОЗ Ы + -? 81П &*. и /г Периодическое решение с периодом возмущающих импульсов может быть найдено и более простыми средствами. В самом деле, получив в начальный момент удар 8, груз в течение промежутка времени х до следующего удара движется под действием только упругой восстанавливающей силы -сх, так что в течение этого промежутка уравнение движения его имеет вид х + к2х = 0, к2 = сд/Сд = с/т с общим решением X = А С08 Ы + В 8И1 Ы. В этом решении нужно подобрать постоянные А и В так, чтобы для х были выполнены условия периодичности B.3), которые в рассматриваемом случае следует написать так: х@) - х(х) = 0, *@)-Гх(т)+ |П =0. Подставив сюда общее решение, получим для постоянных А й В уравнения А A - сое кх) - В зт кх = 0, А зт кх + В A - соз кх) = ^8/кт.
92 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Из этих уравнений находим А = 2Ш °^ У ' В = 2Ш ' Искомое частное периодическое решение для значений 1; в пределах первого периода 0 < I < т будет иметь вид 1/ 2/П/Л & 2 / 2Ь 5111 (Ь/2) Чтобы получить отклонения для I > т, нужно периодически продолжить график х{1) на соответствующий участок оси I. Резонанс будет иметь место, когда кх/2 = пп, к = 2пп/ху где п — целое число, т. е. при совпадении собственной частоты с кратным частоты ударов. Пример 7. СИСТЕМЫ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ СКОРОСТИ. Уравнение вынужденных колебаний с сопротивлением, пропорциональным скорости, может быть приведено к форме х + 2ах + п2х = /A), B.48) где 2а — отнесенный к единице массы коэффициент сопротивления, /(^) — отнесенная к единице массы возмущающая сила, п2 = с/т — квадрат собственной частоты системы. Если Р(Р) -т-> ДО, Х(р) -+-> х(г), то при начальных условиях д:@) = х0, х@) = 1>0 изображение уравнения B.48) будет иметь вид р2 [Х(р) -х0- и0/р] + 2ар [Х(р) - х0] + п*Х(р) = Р(р). Изображение искомой функции — Х(п) = Р№ + хоР2 + ^о + 2ахо)Р {Р) р2 4- 2ар + п2 р2 + 2ар + п2 ' Рассмотрим отдельные случаи. 1°.Случай малого сопротивления:а</г. Положив п\ = п2 - а2, представим изображение Х(р) в таком виде: р ^} {р + аJ + п\ (р + аJ + п\ (р + аJ + п\ '
4. Вынужденные колебания линейной системы 93 Начальную функцию первого слагаемого находим по теореме свертывания. Так как -Ц- 5 *. > е~аг 31П пЛ, (р 4- аJ 4- п\ х то - Р(Р) = , ^ * 2 -Г-> - I /(*) е"а« - Х) 81П И! (* ~ Т) ИХ. р (р 4- аJ 4- п^ /1Х о Второе и третье слагаемые изображают функции 0 (р + аJ 4- п\ 00 + аХ0 А2!Р ~г-> х0е а* сое п1^, Ч  Искомая функция *(*) = е-"* (х0 соз пх1 4- ^° + а*° 8Ш пхг] + — I /(х) е~а <*" т> 81П дх (* - т) с1т. B.49) 2°.Случай большого сопротивления: а> п. Положив п\ = а2 - /г2, находим изображение искомой функции Х(р)= I дР) = е__ + ^<р + «> + ("°+ а*°>*. ^' р ^' (р 4 аJ - д2 (р 4 аJ - п\ (р 4- аJ - п\ Оригиналы второго и третьего слагаемых строим с помощью теоремы смещения: (р4-аJ-д| °(р 4- х) (р4 аJ - д| ° 2' (ц0 4 ах0)р = у0 4- ах0 р п2(р 4- а) . > у0 4- ах0 ^„а^ з^ (р 4 аJ - /г| д2 р 4 а (р 4- аJ - п\ * п2 2 Оригинал первого слагаемого находим по теореме свертывания: р ^' (р4-аJ-п| п2^ 2' Таким образом, при а > п хA) = е-«* (х0 сп п2% 4- "° + ах° зп пА + -1 { Дх) е-*«-^ зп тг2 (* - х) <1т. B.50)
94 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 3°. Случай предельного апериодического движения: а = тг, п1 = п2 = 0. Тогда Х(р)=±Р(р)—1!—2 + *оР , (*>о + «*о)Р р {р + аJ р + а (р + аJ По формулам A.92) и A.90) находим р + а * (р 4- аJ По теореме свертывания * Др) —^— -г-> | «т) (* - т) е-^ - х) йх# Р (Р + «J о Таким образом, в случае а = п г хA) = е~аг [х0 + (у0 + ах0) *] + / /(т) (* - т) е~а('-т> Aт. B.51) о 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ В РЯД ФУРЬЕ. В этом разделе мы рассмотрим более общий случай вынужденных колебаний, когда возмущающая сила — периодическая функция времени. Для нахождения чисто вынужденных колебаний системы в установившемся ее колебательном режиме иногда эффективным является метод разложения возмущающей силы в ряд Фурье. Мы изложим этот метод применительно к уравнению д + к2д = /(*), B.52) где /@ — отнесенная к единице массы или момента инерции периодическая возмущающая сила с периодом т. При известных условиях [В. И. Смирнов, 42, гл. VI], которые мы будем считать выполненными, функция /(^) разлагается в конечный или бесконечный тригонометрический ряд (ряд Фурье) оо /@ = Ь0 + 2 (аг зги гсо^ + Ьг соз гсо^), B.53) г = 1 где г ю = ^, ь0 = 11 до а*, х то т аг=-] /@ 8Н1 гсо^ оХ 6Г=-] /(Осоз гы1 &1. ] B.53') то то
5. Разложение возмущающей силы в ряд Фурье 95 С помощью преобразования Вт гЫ = ^ (е1гЫ - еЧгШ), соз гЫ = ^ (е1гЫ + е-*™')» где I = л/-1, ряд B.53) приводится к комплексной форме, которая во многих случаях оказывается более пригодной для рассматриваемой здесь задачи, чем обычная B.53). В комплексной форме ряд Фурье имеет вид /(*) = 2 Сге1гШ, B.54) г = —оо где т т о Перепишем теперь уравнение B.52) следующим образом: + оо '4 + к2д= I Сге1поК B.55) г = -оо Опираясь на известное свойство линейных дифференциальных уравнений, в силу которого решение уравнения B.55) может быть получено как линейная сумма частных решений, соответствующих каждому отдельному слагаемому правой части, будем искать функцию д(^), удовлетворяющую уравнению B.55), также в форме комплексного ряда +оо д@= 2 Аге1шК B.56) Г = -оо Подставив B.56) в уравнение B.55) и приравняв коэффициенты при одинаковых е1гШ, получим г А = и тогда B.56) перепишется в виде ^>= Е ьа'' 2 2- B-57> Чтобы получить разложение д(^) в вещественной форме, нужно в выражении B.57) отделить действительную часть от мнимой и сохранить в качестве решения одну из них (в зависимости от условий задачи).
96 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Как видно из B.57), для получения функции ^{^), определяющей чисто вынужденные колебания, достаточно умножить каждый член ряда + 00 I Сге1™* Г — —со на соответствующий (по индексу) множитель к* - г^со^ Этот множитель мы назовем гармоническим коэффициентом влияния частоты гсо. Гармонический коэффициент равен амплитуде установившихся вынужденных колебаний системы от единичной возмущающей силы частоты гсо. Ряд B.57) теряет смысл, если при каком-либо г гсо = к, так как тогда соответствующий такому г член ряда обращается в бесконечность. Это — случай резонанса с г-й гармонической составляющей гармоникой возмущающей силы /(^). Таких резонан- сов теоретически может быть бесконечное число. В практических расчетах ряд B.57) ограничивают конечным числом членов, так как они обычно довольно быстро убывают (по абсолютной величине). Впрочем, опасность той или иной гармоники в резонансном отношении определяется не столько величиной ее коэффициента, сколько близостью ее частоты к собственной частоте системы, т. е. величиной разности к2 - г2со2. Когда эта разность для некоторого г достаточно мала, в приближенном расчете можно иногда ограничиться одной г-й гармоникой, отбросив все остальные, как не влияющие существенно на величину динамических отклонений (напряжений) системы. Пример 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА МАССЫ т, ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ /(*) = /о V8111 <°* + —з— У Обозначим жесткость пружины через с. Дифференциальное уравнение колебаний, если пренебречь сопротивлением, можно записать следующим образом: д + к2д = л(8т со* + ^Н^ ), B.59)
5. Разложение возмущающей силы в ряд Фурье 97 где к — /0/#г, к2 = с/т. Чтобы получить решение этого уравнения, соответствующее чисто вынужденным колебаниям, находим по формуле B.58) гармонические коэффициенты частот со и Зсо: А^ = 1^—2 > АCм) = иг ^ 2 • кА - ыг кг - 9осг Искомое решение будет аA) = А(со) к 81П со^ + А(Зсо) - зт Зсо* = — зт со* + —————- зт Зсо^. 3 кг - со^ 3(кг - 9со2) Оно имеет смысл только для к, не равного со или Зсо, т. е. в отсутствие резонанса. Если бы к равнялось со, то решение уравнения B.59) имело бы вид 9@ = -|1 С08^-^ 8111 3@*. Периодическая функция /(*) часто задается графически или таблицей равноотстоящих числовых значений на протяжении одного периода. В таких случаях ее разложение в ряд Фурье производится приближенно одним из способов практического гармонического анализа. Так, например, разлагается в ряде Фурье вращающий момент от давления газов в цилиндре, приложенный к одному из колен вала двигателя внутреннего сгорания. Этот момент представляет сложную периодическую функцию угла поворота вала а, которая строится известным образом по экспериментальной индикаторной диаграмме. Для одного цилиндра двухтактного двигателя эта функция на протяжении одного периода 2 л; (соответствующего одному обороту вала) имеет вид кривой, представленной на рис. 21, где первая половина периода @ - тс) соответствует сжатию, а вторая (к - 2тс) — рабочему ходу. О к 2тг 4 11L56 Ьабаков Рис. 21
98 Глава П. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ В практических расчетах большей частью достаточно бывает получения небольшого числа первых членов — гармоник — ряда, иногда только одной гармоники. В зависимости от требуемой точности разложение выполняется по 6, 12, 24 и т. д. равноотстоящим значениям, или ординатам функции /(а). Так, при разложении по 12 ординатам снимают с графика функции /(а) значения ее для 12 равноотстоящих значений аргумента а (через каждые 30°): 5,25,3=,... ,11= 12=. 6 6 6 6 6 Пусть эти значения / будут '1' '2> /3> ••• > '12" Тогда вместо интегралов B.53') будем иметь суммы 1 12 6°^12;?Л B'60) 1 12 -и л 12 и &^6,Е/'С°8Т2' а^6,?^31ПТ2- B-61) Коэффициенты Ак и фазовые углы у^ гармоник ряда Фурье вычисляются по формулам А = Ы + Ч > №к = аи/Ьи- B-62) Для вычисления нескольких гармоник функции /(а) прибегают к одной из вычислительных схем, описание которых можно найти в любом достаточно полном курсе математического анализа или в курсах приближенных вычислений1^ Пример 9. Формулами B.61) можно пользоваться непосредственно, когда требуется вычислить только одну какую-либо, например так называемую «опасную» в резонансном отношении, гармонику. Для такого вычисления можно построить следующую элементарную схему. Разделив окружность (рис. 22) на 12 равных частей, выписываем значения синуса для 12 углов рядом с делениями, в направлении от С против часовой стрелки. Различных по абсолютной величине значений синуса будет всего лишь четыре: 0; 0,500; 0,866; 1. Значения 8И1 2а, Вт За, ... получим, беря написанные числа через 2, 3, 4, ... интервала. Умножив затем эти значения на рядом стоящие в таблице 2 значения Яа;)> ]) См. также книгу И. А. Лурье [29, с. 187].
1. Системы с конечным числом степеней свободы 99 -0,500 -0,866 Рис. 22 0,866 0,500 складываем полученные произведения и, разделив сумму на 6, получаем приближенное значение ак. Для вычисления Ьк обходим окружность на рис. 22 от точки В по часовой стрелке, беря написанные числа через 2, 3, 4, ... интервала; умножаем эти числа на соответствующие значения /(а,.) и сумму полученных произведений делим на 6. По формуле B.62) вычисляем коэффициент Ак искомой гармоники и ее фазовый угол ук. Вычислим, например, вторую гармонику вращающего момента, ход изменения которого за один период представлен на рис. 21. В табл. 2 приведены результаты вычисления коэффициентов а2 и Ь2. Таблица 2 а° 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 /(а) -0,9 -2,3 -4,5 -7,1 -8,1 0 22,7 18,0 10,2 4,8 11,5 0 соз 2 а +0,5 -0,5 -1 -0,5 0,5 1 0,5 -0,5 -1 -0,5 0,5 1 /(а) сов 2а -0,45 1,15 4,50 3,55 4,05 0 11,35 -9,00 10,20 -2,40 0,75 0 Ь2 = 0,80 81П 2а 0,866 0,866 0 -0,866 -0,866 0 0,866 0,866 0 -0,866 -0,866 0 /(а) 81П 2а -0,9-0,866 -2,3-0,866 0 7,1-0,866 8,1-0,866 0 22,7-0,866 18,0-0,866 0 -4,8-0,866 -1,5-0,866 0 а2 = 7,73 Глава III Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 1. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. Механические системы, расчет колебаний которых составляет содержание многих практических задач, являются большей частью слож-
100 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ными упругими системами. Это балки и стержни постоянного и переменного сечений; прямые (ступенчатые) валы с насаженными на них дисками; коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания; лопатки, диски турбин и т. п. Для полного определения деформаций, возникающих в таких системах при колебаниях, необходимо знать перемещения всех точек системы; иначе говоря, нужно найти в виде некоторых функций времени и положения точек бесконечное число величин (координат), определяющих эти перемещения в любой момент времени. Упругие системы являются, таким образом, системами с бесконечным числом степеней свободы. Во многих случаях изучение колебаний сплошных упругих систем, как систем с бесконечным числом степеней свободы, связано с большими затруднениями. Такие затруднения встречаются, например, при исследовании крутильных колебаний коленчатого вала с движущимися вместе с ним различными присоединенными системами (кривошипные механизмы, зубчатые передачи и пр.). Здесь возможность математической трактовки задачи о колебаниях становится осуществимой только при условии введения в расчет решительных упрощений. Техническая практика выработала много различных приемов целесообразного построения упрощенных схем устройств, для которых приходится выполнять вибрационные расчеты. Одним из таких приемов, особенно широко используемым в машиностроении, является замена данной сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, но «близкой» к данной в том смысле, что ее расчет приводит к значениям искомых величин, не слишком сильно отличающимся от действительных для данной системы. Такая упрощенная система носит название приведенной или эквивалентной приведенной системы. Существуют специальные правила приведения сплошных упругих систем, которые рассматриваются в разделах, относящихся к частным случаям колебаний упругих тел. Сейчас ограничимся описанием только одного из возможных его результатов: замены данной системы с бесконечным числом степеней свободы эквивалентной системой с конечным числом степеней свободы. Именно этот результат приведения или упрощения сложной системы кладется обычно в основу первоначальных исследований теории колебаний. На нем построена первая часть настоящей книги — о колебаниях систем с конечным числом степеней свободы.
1. Системы с конечным числом степеней свободы 101 \А А В ^ у Рис. 23 Рис. 24 Рассмотрим несколько простых примеров такого приведения. Груз, подвешенный к неподвижной точке А на пружине АВ (рис. 23), если учитывать распределенную массу пружины, представляет систему с бесконечным числом степеней свободы. Но когда масса груза значительно превышает массу пружины, при нахождении наименьшей (основной) частоты колебаний без большой погрешности можно пренебречь массой пружины, сохраняя все ее свойства упругости. Если, кроме того, предположить, что груз совершает прямолинейные (вертикальные) колебания, то рассматриваемая система обращается в приведенную систему с одной степенью свободы. Для определения движения такой системы достаточно найти только одну величину в функции времени — именно, отклонение х центра тяжести груза от положения равновесия О. При определении основной (наименьшей) частоты крутильных колебаний диска, прикрепленного к концу В круглого стержня АВ (рис. 24), другой конец которого закреплен неподвижно в точке А, можно пренебречь моментом инерции стержня, если он достаточно мал по сравнению с моментом инерции диска. Тогда заданная система с бесконечным числом степеней свободы приведется к простой системе с одной степенью свободы. При определении основных частот поперечных колебаний горизонтальной балки, шарнирно закрепленной на двух опорах (рис. 25), массу, распределенную по тому или иному закону вдоль длины балки1*, заменяют несколькими сосредоточенными массами (на нашем рисунке четырьмя), величина и положение которых определяются особыми правилами. Рассматривая малые колебания балки, обычно пренебрегают незначительными горизонталь- Это распределение на рис. 25 показано заштрихованной площадью.
102 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ т2 т3 Рис. 25 ными смещениями масс. При таких условиях для определения поперечных перемещений приведенной системы достаточно найти в функции от времени только четыре величины, именно, вертикальные отклонения дх, д2, д3> #4 сосредоточенных масс т19 т2, т3, т4 от положения равновесия системы. Этими величинами будут определяться прогибы отдельных масс при колебаниях, а вместе с ними и форма упругой линии балки в наибольшем ее отклонении. Здесь мы имеем случай замены упругой системы эквивалентной системой с четырьмя степенями свободы. При расчете крутильных колебаний коленчатого вала последний приводится к круглому валу постоянного сечения. Движущиеся вместе с ним массы (маховика, генератора, пропеллера, кривошипных механизмов) приводятся к сосредоточенным на определенных местах дискам с постоянными моментами инерции. Если не учитывать массы отрезков вала между дисками, то угловые отклонения дисков полностью определят деформацию системы при крутильных колебаниях. Мы снова приходим к упрощенной приведенной системе с конечным числом степеней свободы. Само собой разумеется, что расчет, основанный на подобных упрощениях, может дать только приближенные значения искомых величин (например, частот или периодов колебаний), вернее, более или менее тесные границы их возможных значений. При этом значительная часть возможных значений искомых величин для заданной системы вообще выпадает. Но найденные таким путем границы значений величин, характеризующих основные колебания (колебания с наименьшими частотами), почти всегда являются одновременно и границами соответствующих значений
2. Кинетическая и потенциальная энергия 103 тех же величин для заданной неупрощенной системы. С другой стороны, пользование приведенными системами дает значительную экономию труда и времени. Поэтому при всех своих недостатках в отношении точности результатов приведение упругих систем к системам с конечным числом степеней свободы является одним из наиболее распространенных методов практических вибрационных расчетов. 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ. Кинетическую энергию Т системы с конечным числом степеней свободы мы получим, подставив в формулу вместо х[9 у ь, г/ их выражения A.19) через обобщенные координаты и скорости. В случае стационарных связей кинетическая энергия будет квадратичной формой обобщенных скоростей п 2Т = Апд* + ... + Аппц\ + 2А12д,д2 + ... = 2 А/Л,<Ь> <зл> I, к = I где А1к = Аы. Коэффициенты А1к зависят от обобщенных координат. В случае малых колебаний около положения устойчивого равновесия, в котором Ял - Я2 = - = Чп = °> в разложениях коэффициентов А1к по степеням координат дк Л* = (Л*)о + 2(^) 9. + ... C-2) можно ограничиться лишь постоянными членами (А1кH, полагая А/г ~ (А/г)о = а1к- (дА ¦ \ Здесь (АыH; (——) , ... — значения величин, стоящих в скобках, при дл = д2 = ... = дп = 0. Тогда выражение кинетической энергии малых колебаний системы около положения равновесия, в котором дк = 0, к = 1, 2, ... , я, будет иметь вид п *Т = «П91 + о22д| + ... + аппя2п + 2а12<7 ^2 + ... = I а,Ад^. г, /г = 1 C.3)
104 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Таким образом, кинетическая энергия малых колебаний системы около положения равновесия может быть представлена положительно-определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Что касается потенциальной энергии, то, как и для систем с одной степенью свободы, в случае стационарных связей она является функцией только координат П = П (<?!, д2, ... , дп). В положении равновесия она имеет стационарное значение, так как здесь равны нулю частные производные от нее по всем обобщенным координатам. Так как далее потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, то этим обстоятельством можно распорядиться так, чтобы в положении равновесия, где все дк равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю: П @, 0, ... , 0) = 0. В силу указанных обстоятельств разложение функции П (дх, ... , дл) в области пулевого положения начнется с членов не ниже второго порядка относительно д^. При достаточно малом начальном возмущении в разложении потенциальной энергии по степеням дк можно ограничиться только членами второго порядка. Мы приходим к следующему выражению для потенциальной энергии системы, совершающей малые колебания около положения устойчивого равновесия, в котором дх = д2 = ... = дп = 0: п 2П = сид? + с2^\ + ... + сп^1 + 2с12(?1<72 + ... = Е с№адк. C.4) I, к = 1 Составление выражения потенциальной энергии в виде квадратичной формы от обобщенных координат для системы с конечным числом степеней свободы иногда затруднительно. В таких случаях оказываются полезными другие выражения потенциальной энергии. Обозначим через Р19 Р2, ... , Рп обобщенные силы, которые нужно приложить к системе, чтобы удержать ее в равновесном положении, определяемом не равными нулю значениями обобщенных координат д^, д2, ... , дл. В этом положении силы Р. должны уравновешивать восстанавливающие силы в* = ~5Г' 1 = 1,2, ...,71. C.5)
2. Кинетическая и потенциальная энергия 105 Следовательно, Р; + 0; = 0, 1=1,2, ...,71. Отсюда, принимая во внимание C.4) и C.5), получаем Р1 = СП°1 + С12°2 + — + С1п°п> 1==1>2> — > Л. C-6) Равенства C.6) являются условиями равновесия системы в положении, определяемом координатами ^1, #2, ... , дд. Представив выражение C.4) потенциальной энергии в виде 1,к = 1 1 = 1 и воспользовавшись затем соотношениями C.6), получим 2П = Р1дг1 + Р2д2+...+Р^. C.7) Таково выражение удвоенной потенциальной энергии системы, удерживаемой в равновесном положении (д1, #2, ... , дп) силами Р19 Р2, ... , Рп. Так как в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет, согласно сделанным предположениям, равный нулю изолированный минимум, то определитель уравнений C.6) не равен нулю. Эти уравнения можно разрешить относительно координат д.: 01 = а11Р1 + а12Р2 + — + а1,Л> | °2 = а21Р1 + а22^2 + — + <*2пРп> { Яп = ^п1р1 + ап2Р2 + ... + аппРп. \ Уравнения C.8) представляют собой выражения обобщенного закона Гука для системы с п степенями свободы. Их также можно рассматривать как условия равновесия между силами Р1 и восстанавливающими силами (}р записанные в так называемой обратной форме. Если каждое из уравнений C.8) умножить на соответствующее Р- и затем сложить, то получится еще одно выражение для потенциальной энергии П=|«.?-1(Х'*Р*Р*- C-9) В этом выражении потенциальная энергия представлена квадратичной формой обобщенных сил Р.. Коэффициенты сш называются статическими коэффициентами жесткости. Если в уравнениях C.6) положить 01 = -» = ?1-1 = 0/ + 1 = -" = 0л==О, д,= 1,
106 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ТО Следовательно, коэффициенты си равны силам Р., которые нужно приложить к системе, чтобы удержать ее в равновесном положении, где координата д/ = 1, а все остальные равны нулю. Коэффициенты жесткости удовлетворяют условию симметрии -кР C.10) выражающему принцип взаимности сил. Коэффициенты аш в уравнениях C.8) называются статическими коэффициентами влияния. Если положить в уравнениях C.8) все силы Р., кроме Рр равными нулю, а Р1 сделать равной единице, то аи = Ъ> *^ *> 2> «. » п. Коэффициент а^ определяет перемещение или конфигурацию равновесного положения системы, когда к ней будет приложена только одна единичная сила Р/ = 1. Иначе говоря, а^ — это изменения координат д[ от единичной обобщенной силы, соответствующей координате д{. И здесь, как и для коэффициентов жесткости сш, имеет место симметрия а/А = аА/, C.11) выражающая принцип взаимности перемещений. Указанные свойства коэффициентов сш и аш известны из курса сопротивления материалов и потому приведены здесь без доказательства. 3. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ОКОЛО СОСТОЯНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ. Подставив в уравнения Лагранжа A.23) выражения кинетической и потенциальной энергии 2Г=1а^гдА, 2П - I\сшдлдк C.12) I, к I, к ОТ и приняв во внимание, что -— =0, к = 1, 2, ... , /г, мы придем к с'Чк следующей системе дифференциальных уравнений малых свободных колебаний: а11$1 + ^12^2+ - + <*>\тАтГ ^М^Х' С12Я2~~ ••• ~ С1гДп, а2\ЯЛ + а22§2+ ... + а2пдп= -с2^- с22д2- ... - с2пдп, V C.13) аш'A1 + ап2д2+ ... + аппдп= ~сп1дл- сп2д2- ... - сппдп.
3. Уравнения малых колебаний системы 107 Это — система п линейных, однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно координат д1? д2, ... , дп с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений определяет малые линейные колебания системы около состояния устойчивого равновесия. Приведением одной из квадратичных форм — кинетической или потенциальной энергии — к каноническому виду достигается значительное упрощение как основной системы C.13), так и других, связанных с ней уравнений общей теории колебаний. ш Если к сумме квадратов приведена кинетическая энергия и 2Г = в?+ «! + ...+ «2, 2П=1бй8Л /, к C.14) (в/ — новые обобщенные координаты, линейно связанные с д.), то система C.13) переходит в эквивалентную систему уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат: 81 = ~^1181~ ^1282~ 8г ^2181 ^2252~ Ь1п8п> ^2п8п'> Кп8п' C.15) 5п=-Ьп181-Ьп282-' Это — прямая форма уравнений малых колебаний. Ш Если к сумме квадратов приведена потенциальная энергия и мы имеем 2Т= X й/Д-й.., 2П= у? + VI и у = 1 VI где V} — новые обобщенные координаты, то система C.13) переходит в систему уравнений, разрешенных относительно обобщенных координат: ог = -йцй!- к12ь\-... - н1пип9 | у2= -*21В1- *22У2 ~ — ~ ^А> *ЛЛ^Л- Это — обратная форма уравнений колебаний C.16) Приведение системы C.13) к прямой или обратной форме может быть выполнено и другими способами. Для упругих колеба-
108 Тлава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ний обратную систему уравнений можно, например, составить, исходя из уравнений C.8): ?2 = а21Р1+ а22Р2+ — + <*2пРп> Чп= ап1Р1+ ап2Р2+ - + <*ппРп- C.17) Эти уравнения, как уже было отмечено, выражают условия равновесия между внешними силами Р- и восстанавливающими силами, возникающими при отклонении системы из положения устойчивого равновесия. Когда система совершает малые свободные колебания, можно считать, что к ней в качестве внешних сил приложены обобщенные силы инерции: Р<—й©' '-1.2, ...,». C.18) Согласно принципу Даламбера во время движения эти силы вместе с упругими восстанавливающими силами удовлетворяют условиям равновесия. Уравнения Лагранжа для малых колебаний, записанные следующим образом: как раз и являются условиями этого равновесия. Подставив поэтому в уравнения C.8) вместо Р; обобщенные силы инерции C.18), мы получим уравнения свободных колебаний системы ^=Аа4-Щ)]' *=1.2,....». C.20) Эти уравнения совпадают с уравнениями обратной системы C.16). В самом деле, Подставив эти выражения в C.19) и положив п кь1 = X ааа1}, и ] = 1, 2, ... , я, C.21) приведем уравнения C.20) к виду д1 = - I А^д., 1 = 1,2, ... , п. C.22)
3. Уравнения малых колебаний системы 109 Коэффициенты кь- уравнений C.22) зависят от коэффициентов влияния аЬ: и коэффициентов кинетической энергии а- (коэффициентов инерции). Для их вычисления и, следовательно, для составления уравнений C.22) нет надобности в предварительном построении выражения потенциальной энергии в виде квадратичной формы от обобщенных координат. Эго обстоятельство особенно важно для расчета поперечных колебаний балок или стержней, где построение такого выражения потенциальной энергии представляет некоторые затруднения. Пример 1. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ Рис. 26 ДВОЙНОГО МАЯТНИКА ОКОЛО ВЕРТИКАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ (рис. 26). Двойной маятник состоит из двух однородных стержней одинаковой длины АВ = ВС = 21 и одного веса Рх= Р2 = Р> связанных шарниром В. Маятник совершает малые колебания в вертикальной плоскости около равновесного положения Аг/, причем стержень АВ вращается вокруг оси А, а стержень ВС — вокруг шарнира В. Если стержни абсолютно твердые, то рассматриваемая система имеет две степени свободы. Примем за обобщенные координаты углы 61 и 92, образуемые стержнями АВ и ВС с вертикалью. В положении устойчивого равновесия, когда оба стержня располагаются по Ауу в1 = е2 = о. Выберем оси координат, как показано на рисунке. Кинетическая энергия двойного маятника равна сумме кинетических энергий каждого стержня. Стержень АВ вращается вокруг оси А. Следовательно, его кинетическая энергия 1 2 А 1 3 § где 1А — момент инерции стержня относительно оси А. Стержень ВС совершает сложное движение; его кинетическая энергия Т2 по известной теореме равна кинетической энергии центра инерции (если предположить, что в нем сосредоточена вся масса стержня), сложенной с кинетической энергией стержня в относительном вращении его вокруг центра инерции: где хв, ув — координаты середины В стержня ВС, а 1В носительно I). Подставив в это выражение Хв = 1B 8И1 6Х + 81П 92), ув = 1B С08 02 + С08 02), момент инерции от- т = Р12 1в *з'
ПО Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ получим: 2Г2 = Ц- \Щ + Ц + 4в1в2 соз @, - 92)] + ^ Ц. & 8 о Кинетическая энергия всей системы составляет Т = Ц1- [Щ + 0| + 30г02 сов @! - 92)]. C.23) Если маятник совершает малые колебания, то в разложении соз @1 - 02) можно ограничиться одним первым членом, положив сов@г-02)~ 1. Тогда ор/2 • • • Г=^-[4в? + 01 + Зв1О2). Потенциальная энергия равна работе весов стержней при перемещении системы из некоторого положения @1? 02) в вертикальное положение равновесия. Работа веса первого стержня на этом перемещении будет равна П1 = Р1A -соз 0^. Работа веса второго стержня ВС П2 = Р1 [2A - соз 02) + A - соз 02)]. Потенциальная энергия всей системы равна П = Р1 D 3 соз 0г - соз 02]. C.24) Разложение П по степеням 01 и 02 начнется с членов второго порядка относительно 0] и 02 и будет для малых 0г и 02 иметь вид 2П = Р/(ЗО2 + 0|). Уравнения колебаний запишутся здесь в обратной форме, так как в выражение потенциальной энергии входят только квадраты координат: 2ГА 41'А { C-25) 01 ~з5е 4. УРАВНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВАЛА С ПЯТЬЮ ДИСКАМИ (рис. 21)х\ Обозначим моменты инерции дисков относительно оси вала через /. [кГ • м • с2], 1= 1, 2, 3, 4, 5, и погонную жесткость на кручение участков вала между двумя последовательными дисками через с/? / = 1, 2, 3, 4, причем С-Т сь= —2- [кГ-м]. *> Приведенные ниже формулы и уравнения без труда обобщаются на случай п дисков.
4. Уравнения крутильных колебаний вала 111 О /1 ©/« о/ч от, ©/. Рис. 27 Здесь О — модуль сдвига; I — полярный момент поперечного сечения вала, постоянный по всей длине его; /• — длина соответствующего участка. Пренебрегая массой вала, получим систему с пятью степенями свободы. Деформированная конфигурация такой системы может быть определена угловыми отклонениями 6- дисков от положения равновесия вала, в котором участки вала между дисками не закручены. Эти угловые отклонения обычно принимаются за обобщенные координаты системы. Кинетическая энергия системы в этих координатах представится выражением т = \ Aхь\ + /2е22 + /Зе23 +/4е2 + /5й§). C.26) Потенциальная энергия П = | [*1 (91 - 92J + С2 (в2 ~ 9зJ + ^3 (93 - Э4J + С4 (94 - 05J]. C.27) Подставив C.26) и C.27) в уравнения C.13), приходим к следующей системе уравнений крутильных колебаний вала в угловых отклонениях дисков: /2ё2= с1(в1-в2)-с2(в2-в8) * /Зё8 = * с2 (в2 - е8) -с8 (б8 - е4) 1А= * * с8(в8-е4)-с4(в4-в5) /5ё5= * * * с4(е4-е5). C.28) Принятая в этих уравнениях система координат не является ни единственной, ни самой удобной в данном случае.
112 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Некоторое неудобство представляет то обстоятельство, что в угловых отклонениях дисков потенциальная энергия C.27) не является положительно-определенной формой, как это должно быть согласно изложенной выше общей теории. Колебания системы, описываемые изменениями координат 0., происходят не около положения устойчивого равновесия системы, а около общего вращательного движения последней. Представляется целесообразным поэтому перейти к другой системе координат, именно к системе, в которой роль обобщенных координат выполняют углы кручения участков вала между дисками, определяемые относительными угловыми отклонениями дисков [И. М. Бабаков, 92] а; = е/-е/ + 1> г=1,2,3,4. C.29) В относительных угловых отклонениях исключено общее вращение вала, одинаковое для всех дисков, а вместе с тем уменьшено на единицу число степеней свободы системы. Соответственно уменьшается и число уравнений колебаний вала. Чтобы получить эти уравнения, умножим первое уравнение C.28) на /2, второе на 1Х и вычтем последнее из первого. Далее, третье уравнение, умноженное на /2, вычтем из второго, умноженного на /3» и т- Д- После элементарных преобразований получим следующие уравнения крутильных колебаний в относительных угловых отклонениях дисков (или в углах кручения участков вала): _ _ СгЦ, + /2) с, а, /Л аг+/2а2 а = С-1 п - С2^2 + 7з) , ^3 * 12 1213 23 * с2 сгAг + *4> , с4 <*з = * г а2 " —П аз + г а4 ^3 1314 ^4 а4 т а3 т т а4 14 141§ C.30) Одно из преимуществ координат а- заключается в том, что в этих координатах может быть составлена не только прямая, но и обратная система уравнений, чего нельзя сделать, пользуясь координатами 0^ причем это составление не потребует обращения матриц, а может быть выполнено более простыми средствами. В самом деле, потенциальная энергия получается из C.27) сразу в виде суммы квадратов координат П = - {сха\ + с2а| 4- с3а| 4- с4а|). C.31)
4. Уравнения крутильных колебаний вала 113 Чтобы найти кинетическую энергию в координатах о^, воспользуемся законом сохранения момента количества движения, выражение которого можно получить из уравнений C.28). Складывая эти уравнения почленно, получим г А + *А + Мз + 'А + *А = °> откуда /А + 12®2 + Мз + 7А + Мб = С°П8*- C-32) Сумма, стоящая в левой части C.32), представляет собой момент количества движения приведенного вала относительно его оси. Этот момент сохраняет постоянное значение, так как внешние силы, моменты которых могли бы вызвать изменение момента количества движения, здесь отсутствуют. Если предположить, что в начальный момент диски повернуты на углы в., 1=1,2, 3, 4, 5, и затем без начальных скоростей предоставлены самим себе, то постоянная в правой части уравнения C.32) будет равна нулю, и будем иметь /А + ^А + 7з63 + 7А + Мб = °- <3-33) С помощью уравнения C.33) и осуществляется преобразование выражения кинетической энергии C.26) к координатам а-. Умножим и разделим удвоенную кинетическую энергию /10? + 12е! + /,6§ + 14е2 + 15е§ на сумму моментов инерции и затем из числителя полученной дроби вычтем равное нулю выражение A& + /202 + 1303 + /А + 1505J. После несложных преобразований получим 2Т = I [1,A, + 13 + 14 + 1Ъ) а\ + (I, + 12)(/3 + 14 + 16) Ь.\ + + (I, + 12 + /3)G4 + 15) а| + Aу + 12 + 13 + 14) 15а24 + + 2/^/д + /4 + 15) аха2 + 21,A4 + /5) а^ + Щ1Ь а^ + + 2A\ + 12)A4 + 15) а2а3 + 2AХ + 12) /5й2а4 + + 2A, + 12+ 13) 15 а3а4]. C.34)
114 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Правило составления коэффициентов правой части можно изложить следующим образом. Коэффициент при б^а-1*, I ^ у, равен произведению (когда I = у) или удвоенному произведению (когда I < у) суммы моментов инерции дисков, лежащих слева от участка Ь на сумму моментов инерции дисков, лежащих справа от участка у. Теперь остается подставить выражения C.31) и C.34) в уравнения Лагранжа, чтобы получить уравнения крутильных колебаний в обратной форме: *!<*! = -\ [Ч12 + - + 7б] «1 + 1г V* + 1а + № + с2а2 = Л [^(/д + /4+ 7б] «1 + (А + ^Х'з + 74 + + /5)а2 + (/х + /2)(/4 + /5)а3 + (/х + /2]/5а4], СЗаЗ = "| [ВД + 7б1 Й1 + (*1 + 12) + <74 + Тъ\ Й2 + I <3'35) + Aг + /2 + /3)(/4 + /5) а3 + (/! + 12 + /3)/5а4]» *4а4 = "| СА^! + G1 + *2O5й2 + G1 + 72 + *зO5аз + + (/1 + ...+/4)/5а4]. ] Для приведения уравнений C.30) к симметричной форме (для их симметризации) следует применить подстановку Ф* = а*л/^» ^=1,2,3,4. В новых координатах уравнения примут вид: х2 * с2('2 + *з) СЛAл + /о) л/<?1С9 М-* 2 Ф2 = V- Ф1 Фз = Ф4 = '2'з Ф2 + Ф2 Фз ¦*з с3(^з + I*) ЛЛ Фз + СоСл Ф4 с%Са Фз С4(^4 + *5) ^5 Ф4- C.36) ¦' Начиная с диагональных членов.
4. Уравнения крутильных колебаний вала 115 Такая же подстановка приведет уравнения C.35) к виду /1(/2 + ... + /5) .. __ 1ХA3 + 1А + /5) ф] - 7= Ф2 Ас л ^•л/С1С2 Л^4 +^б) А Ус, с. Фз ' Ф4> ¦^л/^ 1 ^*4 /1(/3 + /4 + /5) GХ + /2)(/8 + 74 + /5) ф1" АсТ ^ ^7С2С1 (/, + /2)(/4 + /5) .. (/!+/2)/5 » — 7= ~ Фз" Р=~ Ф4> ^л/С2сЗ ^7С2С4 Фз 7^4 + /5) ;• (/1+/2)(/4 + ^5) » р=— Фг - Г7= ^2 ' ^7С3С1 ^-а/С2С3 G1 + /2 + /3)G,4 + /5) (/1 + /2 + /3)/5 Фз ~ т= ^4' Ф4 ^лЯ,С, Ас3 - (Г, +/2)/5 •• Ф] ~ . г—Г Ф2 А^с (/1+/2 + ^з)^5 ;• (/1+... + 14)*5 ;- ФЗ" Т7 Ф4- ^/с4с3 Ас4 C.37) Если коэффициенты в аналогичных уравнениях для системы с п степенями свободы обозначить через В •, то, начиная с элементов главной диагонали, ЕЛ I Ь / - 1 C.38) Отметим очевидное соотношение между коэффициентами, значительно облегчающее их вычисление: ВГ = В1}^9 * = 2,3... ,л-1; ; = *, *+1, ... , л - I1). C.39) Х) По формулам C.38) и C.39) можно вычислять элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов уравнений C.36), непосредственно по данным моментам инерции и жесткостям, не прибегая к специальным методам линейной алгебры.
116 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 5. УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ, ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПО КОНЦАМ, С ЧЕТЫРЬМЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ. Рассмотрим поперечные колебания шарнирно опертой по концам балки (рис. 28), несущей четыре сосредоточенные массы т19 т2, т3, т4. Пренебрегая массой балки и считая перемещения сосредоточенных масс прямолинейными, мы приходим к системе с четырьмя степенями свободы, положение которой при колебаниях будет определяться вертикальными отклонениями д1? д2, д3> Я4 гРУзов от горизонтальной прямой1), проходящей через опоры. Эти отклонения принимаем за обобщенные координаты системы. Выражение кинетической энергии получается при этом в виде суммы квадратов (тгд1 + т2д\ + га3д| + тп4д|) C.40) Составление выражения потенциальной энергии как квадратичной формы координат д. оказывается здесь значительно более сложным, чем во всех рассмотренных выше примерах. К такому выражению потенциальной энергии можно было бы прийти, например, следующим образом. Вычислив с помощью известных формул сопротивления материалов коэффициенты влияния а1к, подставляем их в уравнения C.17) и затем решаем эти уравнения относительно сш. Последние получаются в виде отношений определителей п-го порядка (в нашем примере — четвертого порядка). Их вычисление связано с большими затратами времени. Значительно менее трудоемким является в рассматриваемом случае способ составления уравнения малых колебаний, основанный на использовании уравнений обобщенного закона Гука C.8). Рис. 28 г) Точнее, от линии равновесия, принимаемой за горизонтальную.
5. Уравнения поперечных колебаний балки 117 Обобщенные силы инерции, как следует из выражения кинетической энергии C.40), равны силам инерции масс т., совершающих прямолинейные перемещения д.: с1 (дТ\ Подставив их вместо Р- в уравнения Ъ = аПР1 + а12Р2 + — + аЫРп> 1= 1» 2> — > П> сразу получаем уравнения поперечных колебаний балки (в обратной форме) дх = -а11тп^х - а12т2<?2- а13т3<73- ос14т4д4, д2 = -а21тп1С[1 - а22ш242- а23т3'43- а24т4§4, % = -а31^1^1 - а32^2^2 ~ «ЗЗ^З^З ~ а34т4?4> д4 = -а41/п1§1 - а42т2'42- а43лг3#з- а44т4§4, или, сокращенно, для системы с п степенями свободы <?; = - 2 аут;.§;., 1= 1, 2, ... , /г. Для симметризации уравнений C.42) полагаем */* =9/ л/^Ь» 1= 1, 2, ... , п. C.41) C.42) Тогда или где уь = - I а^га-га^., 1 = 1,2, ... , л, C.43) п у^-Ъ кь.у.у 1=1,2, ... ,п, C.44) ;' = 1 ^ ^ Лу = ^ = аи^т1т], *, ; = 1, 2, ... , и. C.45) Пример 2. СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВАЛА С ПЯТЬЮ МАХОВЫМИ МАССАМИ (дисками) в прямой и обратной форме. Даны моменты инерции дисков /• [кГ • м • с2] и жесткости с1 [кГ • м] участков вала. 7"! = 10,78 сг = 10,48 • 104 /2 = 82,82 с2 = 34,80 • 104 13 = 14,27 с3 = 24,40 • 104 /4 = 29,56 с4 = 40,60-104 /5 = 21,66
118 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Коэффициенты прямой системы вычисляем по формулам для коэффициентов уравнений C.36). Положив а =/?2'10~4 (р — собственная частота колебаний), получим1* аХг = 1,0987^ - 0,23П2 аХ2 = - аХ3 = 0,231^ + 2,859^2 - 2,042^3, - 2,042П2 + 2,535^ - 1,065^4 -1,065^ + 3,248^.] C.46) Симметризованную обратную систему получим, вычислив коэффициенты Б- по формулам C.38) и C.39). Матрица коэффициентов обратных уравнений будет иметь вид *«. = 95,89 23,23 21,70 7,12 23,23 110,72 103,41 33,90 21,70 103,41 143,52 46,50 7,12 33,90 46,50 46,08 10~6. C.47) Пример 3. СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОЙ БАЛКИ, ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПО КОНЦАМ, С ЧЕТЫРЬМЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ГРУЗАМИ Рг = 100 кГ; Р2 = Р3 = 60 кГ; Р4 = 80 кГ. Расположение грузов показано на рис. 29. Длина балки / = 240 см; момент инерции поперечного сечения / = 100 см4 (одинаковый по всей длине балки); модуль упругости Е = = 2-106кГ/см2. Симметризованные уравнения поперечных колебаний балки имеют вид Х>=р2 I а1к^щпГкХк9 /=1,2, ... ,л, к — 1 где аш — коэффициенты влияния; т1 — массы грузов; Х1 — амплитуды2* колебаний грузов. Коэффициенты влияния вычисляются по формулам _а2A -аJ 1 31Е1 _аЪ{12- а2 - Ь2) 6ЕП C.48) 40 см 9 Я 60 см ?2 1 4 9 \ 40 см ^3 1 1 9 Я 40 см Ра * А 60 см Рис. 29 Х) В этих уравнениях, так же как и в уравнениях C.36), Х1 = <7/л/^» где ^^ —углы кручения отрезков вала. 2) Здесь Х1 = #/Л//п";, где дЛ — прогибы под массами тг
6. Нормальные координаты и главные колебания 119 где расстояния а и Ь показаны на рис. 30. Положив а : тему уравнений 105/р2, получим сис- оцЦ = 4,53^ + 5,59Х2 + 5,05А,3 + 3,99Х4, аХ2 - 5,59Х1 + 8,33^2 + 7,99^3 + 6,48^4, а^3 - 5,05а.! + 7,99^2 + 8,ЗЗА,3 + 7,09^4, а)ч = 3,99лт + 6,48л2 + 7,09л3 + 6,61А.4. Так же могут быть составлены уравнения поперечных колебаний балки и при других способах закрепления ее концов, например, когда оба конца жестко заделаны или один конец жестко заделан, а другой свободен. Формулы для коэффициентов влияния будут уже другие. Например, для балки (или стержня), заделанной одним концом и свободной на другом (рис. 31), прогиб в точке х от единичной силы, приложенной в точке а, будет равен 6Е7 (Зх - а), 6Е1 а3 ЗЕ1 ' (За - х), а<х</, х < а < I, C.49) 6. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. Как известно, две квадратичные формы, из которых одна положительно-определенная, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив надлежащим образом^ линейное преобразование ?2 = Ь21^1 + &22^2+- + Ь2л^ Чп !ЬЛ1^ + ЬП2^2+"-+ЬпЛ|> C.50) А- 1 а 1^. ) Р - 1 кг 1_ А ъ ^. Рис. 30 Рис. 31 !) См. с.51.
120 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ можно две квадратичные формы — кинетическую и потенциальную энергию — из которых, во всяком случае, одна — кинетическая энергия — положительно-определенная, привести к виду Координаты %., в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами системы. В нормальных координатах уравнения малых колебаний приобретают особенно простую форму. В самом деле, подставив выражения ТиПв уравнения Лагранжа, получим 11 = -^1. 12 = -^2,..., \П = -К^п- C-51) Переменные в этих уравнениях разделены, и интегрирование каждого уравнения может быть выполнено независимо от других. Найдем решение &-го уравнения. Так как все Хк положительны1), то корни характеристического уравнения 4 + К = о мнимые, и решение к-то уравнения C.51) имеет вид ^ = ук 81П {ркг + еА), к= 1, 2, ... , /г, C.52) где рк = 1^кк. Постоянные ук и гк определяются известным образом из начальных условий. Так как изменения нормальных координат происходят независимо одна от другой, то, подбирая надлежащим образом начальные условия, можно сделать все ук9 кроме одной, например уг, равными нулю. Тогда во все время движения системы ^ = уг 81П (рх* + вх), ^2 = ^3 = ... = ^ = 0, ) Это следует из положительности формы П.
6. Нормальные координаты и главные колебания 121 т. е. будет изменяться только одна координата 2^, все же остальные будут постоянно равны нулю. На основании формул C.50): а\ = Ьпуг 8Ш (р^ + гх) = Хп зт (рх1 + ег), ] °2 = &21У1 81п (Р1* + 81> = ^21 б1п (Р^ + 81>> I C 53) °п = Ьп1У1 з1п (Р1* + 81> = ^л1 81п 0>1* + 81>' ' Обобщенные координаты дк, а следовательно, и определяемые ими перемещения системы будут изменяться по одному и тому же гармоническому закону, с одной частотой рг. Система в этом случае совершает гармоническое колебание, и все точки ее одновременно достигают положений наибольшего отклонения и одновременно проходят через положения равновесия. Колебания системы, определяемые изменением только одной нормальной координаты, называются главными колебаниями. Система с п степенями свободы в общем случае может совершать п независимых гармонических главных колебаний, каждому из которых соответствует определенное значение частоты рк. В обычных условиях при колебаниях системы изменяются все ее нормальные координаты и тогда °1 ^ ^11 8Ш (/V + 81) + ^12 8*П (/V + Е2) + ... + ^1п 81П (рп1 + 8Д), 1 д2 = Х21 81П (ргг + 8Х) + Х22 81П (р2г + 62) + ... + Х2п 8Н1 (р„* + 8„), I ?« = ^Л1 8Ш (?1* + 81> + К2 81п 0>2* + 82> + — + Кп 8Ш (РЛ* + 8гс>' ^ Таким образом, приходим к следующему выводу. I Малые колебания системы с п степенями свободы около положения устойчивого равновесия, определяемые изменениями обобщенных координат C.54), представляют собой линейное нало- I жение п главных гармонических колебаний. В этом разложении колебательного процесса, совершаемого системой, на ряд простых гармонических колебаний и заключается, в применении к нашей задаче, физический смысл приведения кинетической и потенциальной энергии к нормальным координатам. Главные колебания системы чаще называют собственными колебаниями, а их частоты — собственными частотами систе-
122 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ мы. Система с п степенями свободы имеет п> в общем случае различных, собственных частот. Из выражений C.54) следует, что колебания системы, определяемые изменениями обобщенных координат ^к^ представляют сложное движение, которое может и не быть периодическим. Но оно всегда составлено линейно из гармонических колебаний. Поэтому выражения частота или период колебаний для системы, у которой число степеней свободы больше единицы, имеют определенный смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. Как видно из вышеизложенного, приведение одной линейной подстановкой кинетической и потенциальной энергии к суммам квадратов полностью решает задачу об определении колебаний системы. Однако этот способ решения, несмотря на кажущуюся простоту, на самом деле столь же сложен, как и обычный, т. е. способ непосредственного интегрирования уравнений колебаний. В технических расчетах он нашел некоторое применение в методе последовательной диагонализации, разработанном К. Якоби [105] и используемом в некоторых задачах квантовой механики [98]. 7. УРАВНЕНИЕ ЧАСТОТ, ИЛИ ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ. В практической постановке задача об интегрировании системы дифференциальных уравнений малых колебаний сводится к нахождению частных решений, соответствующих главным колебаниям. Именно с этими колебаниями связаны критические (резонансные) состояния системы. В предыдущем разделе была установлена форма таких частных решений: когда система совершает одно из главных колебаний, все координаты д1 изменяются по одному и тому же гармоническому закону ^ = Х1 8гп (р1 4- с), г =1,2, ... , я. C.55) Подставив эти выражения в уравнения C.13), приходим к следующей системе алгебраических уравнений с неизвестными Хк ир: (аир2 - сп) Хг + (а12р2 - с12) Х2 + ... + (а1пр2 - с1п) Хп = 0, ] (а21р2 - с21) Хг + (а22р2 - с22) А,2 + ... + (а2пр2 - с2п) Хп = 0, ^ ( C.56) (атР2 ~ спг) К + (ап2Р2 ~ сп2) Ь2 + - + (апУ - спп) К = 0. \ Эти уравнения дальше называются основными уравнениями малых колебаний системы с п степенями свободы.
7. Уравнение частот, или вековое уравнение 123 Условие, при котором не все Хк равны нулю одновременно, выражается равенством нулю определителя системы C.56) апр 2 _ 0-12Р* а2\Р ~ С21 а22Р '12 -22 а1пР" а2пР2 '1/1 -2п ап1Р2~сп1 ап2р2~сп2 ЯппР' = 0. C.57) Из уравнений C.56) и C.57) могут быть найдены неизвестные в нашей задаче: частота колебаний/? и соответствующие этой частоте амплитуды Хк, к = 1, 2, ... , п. Уравнение C.57) называется уравнением частот или вековым уравнением. Последнее наименование связано с тем, что в теоретической астрономии аналогичные уравнения служат для определения периодов вековых неравенств в движении планет1*. Вековое уравнение C.57) представляет собой уравнение п-й степени относительно р2. При условии положительности потенциальной энергии оно определяет п положительных2*, в общем случае различных значений квадратов собственных частот системы. Если кинетическая (или потенциальная) энергия приведена к сумме квадратов, то вековое уравнение имеет диагональную форму: члены с р2 располагаются по главной диагонали. Так, для уравнений в прямой форме р%= Е Ь1кХк, *=1, 2, ... ,п к = 1 C.58) вековое уравнение имеет вид и-Р2 ъ\2 ... ь1п Р2 ...Ъ2п Ьпп-Р2 = 0, C.59) а для уравнений в обратной форме Хг=р2 X к1кХк, 1=1,2, ... ,/1 к = 1 C.60) Х) Вековые неравенства — это периодические отклонения движения планет от эллиптического, имеющие периоды, исчисляемые сотнями лет. 2) См. ниже теорему о положительности и разделении корней векового уравнения.
124 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ вековое уравнение имеет вид РЛ ... НЛ г22 — ... Н2п C.61) *"п2 8. ТЕОРЕМА О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ И РАЗДЕЛЕНИИ КОРНЕЙ ВЕКОВОГО УРАВНЕНИЯ. Некоторые заключения о свойствах корней векового уравнения можно сделать, не раскрывая его определитель. К таким заключениям относится, в частности, следующая теорема [Э. Раус, 80, р. 49]. Теорема. Если потенциальная энергия системы является положительно-определенной функцией обобщенных координат, то корни^ векового уравнения положительны и разделяются корнями минора, соответствующего первому элементу. Доказательство. Вековое уравнение возьмем в прямой форме ЪЛ0 Д(а) = Ьп-а ^22 ... ъ а ... Ь Ьп\ Ьп2 ••• Ьпп~а = 0. C.62) Обозначим через Дх, Д2, ... , Ап_ х последовательные главные диагональные миноры определителя Д. Положив Ап = 1, составим ряд А,А1,А2,...9Ап__1,Ап. C.63) Для а = 0 все члены этого ряда положительны, так как они совпадают в этом случае с дискриминантом и его последовательными главными минорами положительно-определенной квадратиче- ской формы — потенциальной энергии. Для а = 0 ряд C.63) не имеет перемен знака. Для а = + °о ряд C.63) имеет п перемен знака. Таким образом, при изменении а от 0 до + °о рЯд C.63) приобретает п перемен знака. Х) Под корнями векового уравнения здесь подразумеваются квадраты частот р2, которые обозначены в уравнении C.62) через а.
8. Теорема о корнях векового уравнения 125 При изменении а от 0 до + °° могут обращаться в нуль и менять знаки разные члены ряда C.63), кроме, естественно, /\п = 1. Однако каждая потеря или приобретение рядом C.63) перемены знака может произойти только за счет перемены знака Д, т. е. первого члена ряда C.63), при переходе Д через нуль. Когда в нуль обращается один из промежуточных членов ряда, например Д/? два соседние Дь _ х и Дм х будут противоположных знаков. Поэтому перемена знака Д • (при переходе через нуль) не увеличит и не уменьшит числа перемен знака ряда C.63) в целом. Только переход через нуль первого члена Д может увеличить или уменьшить число перемен знака ряда C.63). Первую перемену знака ряд C.63) получит при переходе Д через наименьший нуль (а = ах). Эта перемена знака, однако, пропадет при переходе Д через следующий нуль а = а2, а2 > а1? если в промежутке между аг и а2 не обратится в нуль второй член ряда C.63), т. е. Дх. Значит, для приобретения второй перемены знака Д должен пройти через свой второй нуль а2 и между первыми двумя нулями Д должен лежать первый нуль Дг Продолжая аналогичные рассуждения, придем к заключению, что п перемен знака ряда C.63) для а = +оо приобретены им в результате того, что Д, при изменении а от 0 до +°°, п раз обращается в нуль, т. е. имеет в промежутке от 0 до +°о все п своих корней и между этими корнями лежат корни уравнения Дх = 0. Таким образом, п - 1 корней последнего уравнения разделяют п корней векового уравнения Д = 0. Изложенное доказательство предполагает, что корни векового уравнения Д = 0 различны. В практических задачах на колебания это предположение почти всегда осуществлено. Поэтому случая равных корней мы не рассматриваем. Утверждение, что при Д• = 0 соседние миноры Д. _ х и Д. + г имеют противоположные знаки, вытекает из формулы A.52). Если в определителе уравнения C.62) мы обозначим через ^12 = = ^21 и е/22 миноры элементов Ь12, Ь21 и Ь22 - а, то формулу A.52) можно будет записать для миноров второго порядка следующим образом: АА2 = Д1С/22 - 3\2 (Д, Дх, Д2 имеют прежнее значение). Когда Дх = 0, ДД2 = -</22, т. е. Д и Д2 имеют противоположные знаки.
126 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Пример 4. КОЛЕБАНИЯ НИТИ С БУСИНКАМИ. Как отмечают в своей книге Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [14, с. 142—143], «этой задаче принадлежит совершенно особая роль в истории механики и математики. Пожалуй, она была первой задачей на исследование малых колебаний системы с п степенями свободы. В связи с ней Ж. Даламбер предложил свой метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отправляясь от нее, Даниил Бернулли высказал свое знаменитое предположение, что решение задачи о свободном колебании струны можно представить в виде тригонометрического ряда, что вызвало между Л. Эйлером, Ж. Даламбером, Д. Бернулли и др. дискуссию о природе тригонометрических рядов, затянувшуюся на несколько десятилетий. Впоследствии Ж. Лагранж показал более строго, как можно предельным переходом из решения задачи о колебаниях нити с бусинками получить решение задачи о колебании струны. Наконец, этой задачей (и аналогичной задачей из теории теплопроводности) руководствовался Ш. Штурм в своих замечательных исследованиях по высшей алгебре и теории дифференциальных уравнений». Применяя к решению задачи о колебаниях нити с бусинками уравнения в конечных разностях, Э. Раус [80] пришел к теореме об узлах собственных форм колебаний нити, которая устанавливает закономерности в распределении перемен знака амплитудных отклонений отдельных бусинок Ч Мы будем предполагать, что все п бусинок имеют одинаковую массу т и закреплены на нити на одинаковых расстояниях а друг от друга (рис. 32). Если пренебречь смещениями бусинок, параллельными линии равновесия нити, то малые перемещения бусинок г/1» У2> •» > Уп> перпендикулярные линии равновесия нити, будут определять ее расположение при поперечных колебаниях. Эти перемещения, в предположении, что все они происходят в одной плоскости, примем за обобщенные координаты. Тогда кинетическая энергия системы Г=|(т1у? + т2у|+... + щпу2). Предположим, что натяжение нити 5 остается неизменным при деформациях нити, т. е. при отклонениях бусинок от равновесного расположения. 1 л т*+1л т1 т12^^ ^ \^—Т ч^ с Г а 1 *—" 2* У1 + 1 "*-^^^ Рис. 32 Х) Теорему об узлах собственных форм см. ниже (с. 132).
8. Теорема о корнях векового уравнения 127 Если это равновесное расположение принять за нулевое для потенциальной энергии, то в деформированном расположении она будет равна П = ЗА/, где А1 — общее удлинение нити. Чтобы найти Д/, рассмотрим удлинение Д^ участка нити между массами ^ит| + 1.Из треугольника АВС (рис. 32) Л*! = Лу,+1-У1J + а* ~ а = а \ 1 + (гл + 1 -уд2 -']¦ Разлагая выражение Д^ в ряд по степеням (уь + х — у^) и ограничиваясь в этом разложении только первым членом, получим А/*= 2а" (У1 + 1~У1J> 1==0> Х>2' ••* 'Л; Уо==Уп + 1==0- Так как Д/ = 1А^, потенциальная энергия всей системы п=±Ы + (у2-у1J + ... + (уп-уп.1J + у*\. C.64) Найденные выражения кинетической и потенциальной энергии подставляем в уравнения Лагранжа. Тогда та •• о I — I/! =-2^+ у2, та У1-2у2 + Уг> — I/ :</„ </д-2~2 Уп-\ + Уп> Уп- 2. C.65) Если система совершает одно из главных колебаний, то Ух = А- 81П (р1 + 8), /¦ = 1, 2, ... , П. Коэффициенты А1 и частота р удовлетворяют уравнениям — Ах — 2 Ах А2, — А2 А! + 2А2 А3, -Ап_1 + 2Ап. C.66)
128 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Здесь через Ъ обозначено Ъ = 8/ат. Вековое уравнение системы C.66) г>2 -1 О О -1 2 -* 2-Ц- может быть развернуто по рекуррентным формулам: = 0 C.67) П = 2 - 2- Х>, 2-^^-1, Ьк [2-РТ)о,!_1-Ок_2. C.68) и, следовательно, Можно поэтому положить C.69) Так как все корни векового уравнения положительны, 2-р2/Ь>0 0<р2/2Ъ< 1. 1 -р2/2Ь = соз а. Тогда к-е уравнение C.68) будет выполнено тождественно, если Бк = В зт (& + 1) а, 1)Л _ х = В зт &а, Бк_2 = В зт (/г - 1) а. В самом деле, для таких значений Бк, Вк _ х, Эк _ 2 оно обращается в тождество зт (к + 1) а + зт (& - 1) а = 2 соз а зт ка. Постоянную В найдем, положив к = 1, т. е. воспользовавшись первым уравнением C.68): В зт 2а = 2 соз а, откуда В = 1/зт а. Теперь вековое уравнение системы C.67) будет иметь вид 81П (п + 1)а _ о, откуда а. / = 1,2, ... , п. п + 1 Из формулы C.69) получаем затем все частоты системы р =2-2- зш Ы 1 Л/ т п 2(п + 1) 1, 2, ... , п. C.70)
9. Собственные формы колебаний и их свойства 129 Амплитуды отдельных масс пропорциональны минорам определителя C.67), соответствующим, например, элементам первой строки, т. е. пропорциональны величинам Оп _ х, 1)п _ 2, ... , 1H = (-1)л х. Обозначив амплитуды через А^ (где / — порядок формы, к — номер амплитуды), а через Н1 постоянную, будем иметь А^ = я*81п;гтт C-71) 9. СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ И ИХ СВОЙСТВА. Вековое уравнение определяет п положительных значений р2. Предполагаем, что они различны, и в дальнейшем всегда нумеруем их в возрастающем порядке: р\<р\< ... <р2п. Зная собственные частоты, можно перейти к решению уравнений C.56) относительно амплитуд Хг, ограничившись при этом только одной системой уравнений, например прямой: п р% = X Ъ1кХк, I = 1, 2, ... , п. C.72) к = 1 Все выводы, касающиеся амплитуд, сделанные для этой системы, без изменений могут быть перенесены и на обратную систему. Подставив одно из найденных значений р2, например р2 = а8, в уравнения C.72), получим систему п линейных однородных уравнений относительно Х1 (Ьп - а8)Хг + Ь12Х2 + ... + Ь1л Хп = О, Ъ21Х1 + (Ъ22 - а8)Х2 + ... + Ъ2пХп = 0, (з ^ Ь„А+ Ъп2Х2+...+(Ъпп-а8)кп = 0. I Определитель этой системы равен нулю, а ранг матрицы коэффициентов равен (п - 1), поскольку равные корни по предположению отсутствуют. Предположим, что не равен нулю минор определителя системы C.73), соответствующий элементу (Ьпп - а8). Тогда, отбросив последнее уравнение C.73), из оставшихся (п - 1) уравнений находим обычным путем (п - 1) амплитуд Хг, Х2, ... , Хп _ х, выраженных через Хп, которое может иметь произвольное значение. Обозначим миноры определителя системы C.72), соответствующие элементам последней строки, через <Гп1 Ю» с1п2 Ю, ... , <Зп, л- 1(а8), 3Ш1 (а8). 5 - 10456 Бабаков
130 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ следовательно, 2— = СОП81 =С.., C.74) где С8 — произвольное постоянное число. Полученный результат можно также записать следующим образом: Хг : Х2 : ... : ХгГ ^п1(а8) : ^п2(а8) : ... : е/лл(ав). C.75) Мы находим, таким образом, не самые Х[ (амплитуды), а их отношения C.75). Уравнениями C.73) амплитуды, соответствующие взятой частоте, определяются до произвольного постоянного общего множителя. Отношения амплитуд, соответствующих частоте р8, равны отношениям не только миноров элементов последней строки, но и отношениям миноров элементов любой другой строки. Миноры элементов различных строк определителя системы C.73), куда подставлена какая-нибудь собственная частота системы, пропорциональны. В обозначениях этих миноров можно поэтому опус- тить первый индекс и переписать C.75) следующим образом: Хх : Х2 : ... : Хп = ,1Х (сх8) : 3 2 (а8) :...:</„ (а8). C.76) Отношения C.76) определяют собственную форму колебаний, соответствующую собственной частоте р8. Собственная форма — это отношение амплитуд или пропорциональных им миноров элементов любой строки определителя системы C.73) после подстановки в него корня ач векового уравнения. Число собственных форм колебаний системы равно числу степеней свободы. Собственную форму задают обычно числовыми значениями амплитуд (или графически — ординатами определенной длины), отношения которых равны отношениям C.76). Произвольным общим множителем С8, входящим в определение амплитуд данной формы, можно распорядиться так, чтобы сумма квадратов амплитуд была равна единице. Форма, сумма квадратов амплитуд которой равна единице, называется нормированной формой. Для нормирования формы нужно найти нор мирующий множитель N из условия Ц№ 4- Х1М2 + ... + Ц^2 - 1
9. Собственные формы колебаний и их свойства 131 и иптсм на этот множитель умножить все амплитуды Х1 данной формы. Н дальнейшем нормированные амплитуды собственных форм обозначаются буквами и1к, с двумя индексами, из которых перцы и / означает порядок формы, второй к — номер амплитуды. Свойства собственных форм выражаются следующими теоре- мами. ш Т е о р е м а. Собственные формы не зависят от начальных условий. .г)то ясно из состава миноров, входящих в отношения C.76): миноры ^к(с^8) зависят только от коэффициентов Ъ[к и от значения ин р2.. Никакие другие величины в состав этих миноров не входят. Собственная форма существенным образом связана с колеблющейся системой и, аналогично собственной частоте, может быть изменена только в результате изменений параметров системы: изменений масс или жесткостей отдельных ее частей и их распределения в системе. * Теорема об о р т о г о н алъности с о б с т- венных фор м. Если - система амплитуд, соответствующая 8 и собственной форме, и --- система амплитуд у-й формы колебаний, причем то Ы81и\1 "*" и82и\2 + •*• + изпи\'п = ^* C.77) Равенство C.77) называется условием ортогональности. В записанном виде оно имеет место, только когда Ь[к = Ък1, т. е. для симметризованных систем. Доказательство. Для доказательства выпишем систему уравнений малых колебаний (в прямой форме) для 8-й собственной формы и 8-й собственной частоты: п рЫ^. - I Ь1ки.„ I = 1, 2, ... , п. C.78)
132 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Умножим каждое из этих уравнений на соответствующую ампли туду у-й формы и просуммируем по I: п п п п п п 2 РХ;"« = 2 "« 2 Ъ1киЛ = I и8к I Ъыиу1 = I р?ц и г = 1 1 = 1 & = 1 /г = 1 г = 1 /г = 1 Так как I и /г пробегают один и тот же ряд значений, то п п 1 = 1 1 = 1 Отсюда при условии р23^р1 следует: И и и ¦ = 0. . -, 81 VI I = 1 Для несимметризованных форм условия ортогональности выражаются равенствами: ^ для крутильных колебаний приведенного вала п 2 САА« = °> 1 = 1 где с^ — погонная жесткость на кручение /-го участка вала; ^ для поперечных колебаний стержня с сосредоточенными массами т1 п 1 = 1 Эти выражения получаются из C.77) с помощью формул и81 = К^ и81 = Х81^т19 1 = 1,2, ...,л. - Теорема об узлах собственных форм. Из условия ортогональности C.77) следует, что амплитуды форм главных колебаний различных порядков (соответствующих различным собственным частотам) не могут быть все одного и того же знака. Если, например, все амплитуды первой формы положительны, то амплитуды остальных форм для выполнения условия C.77) должны иметь по крайней мере по одной перемене знака каждая. Существует закономерность в распределении числа перемен знака амплитуд собственных форм, устанавливаемая теоремой об узлах собственных форм. Число перемен знака (число «узлов») собственной формы к-го порядка равно к - 1,
9. Собственные формы колебаний и их свойства 133 Доказательство. Докажем эту теорему для форм колебаний системы, вековое уравнение которой имеет вид «и - «21 0 0 - а -«12 «22 ~ 0 0 - а 0 .. -а23 •• 0 .. 0 .. . 0 . 0 • ап~1,п- • ~ап,п ~ 1 1 " - а Миноры элементов первой строки имеют следующие выражения: ^п = Дх(а); <3Х2 = а12Д2(а); ^13 = а12а23Д3(а); ... ; ^1п-1 = а12а23— аЯ-2,п-1АЛ-1(аM <11п = а12а23 • •• ап.- 1,п ' *• Они пропорциональны амплитудам собственной формы, соответствующей корню а уравнения C.79). Множители Д^а), Д2(а), ... , Дл_!(а), Дл(а)= 1 C.80) совпадают с последовательными главными диагональными минорами определителя C.79), и ряд C.80) обладает всеми свойствами ряда главных миноров, установленными при доказательстве теоремы о разделении корней векового уравнения. Только этот ряд начинается не с определителя векового уравнения Д(а), а с первого главного минора этого определителя. Для а = 0 все члены этого ряда положительны. Приобретение или потеря этим рядом перемены знака возможны только при прохождении через нуль первого члена Дх(а). Первый нуль Дх(а), как это следует из упомянутой теоремы, больше ах = р\ и меньше а2 = р\. Следовательно, для аг = р\ все члены ряда C.80) продолжают оставаться положительными. Первая собственная форма, таким образом, не имеет перемен знака. После перехода через первый нуль полинома Дх(а) ряд C.80) приобретает одну перемену знака и сохранит одну перемену до второго нуля Дх(а), и так как а2= р\ — вторая собственная частота системы — лежит между первым и вторым нулем полинома Д2(а), то для а2 = р\ ряд имеет одну перемену знака. Продолжая аналогичные рассуждения, можно убедиться, что для а3 = р% ряд C.80) имеет две перемены знака и т. д. Последняя, п-я форма будет иметь (п — 1) перемену знака.
134 1'лива III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Мы изложили доказательство теоремы об узлах для частной формы векового уравнения, имен но для векового уравнения крутильных колебаний приведенного вала. Теорема остается в силе для форм колебаний других линейных систем с конечным числом степеней свободы, в частности для поперечных колебаний однопролет- ных стержней и балок. Доказательство этой теоремы в общей форме дано Ф. Р. Гантмахером и М. Г. Крейном [14]. Содержание теоремы можно иллюстрировать следующим примером. Предположим, что речь идет о поперечных колебаниях балки, шарнирно опертой на концах и несущей три сосредоточенные массы т1, т2, гп3 (рис. 33). Когда эта система совершает первое главное колебание, собственная форма не имеет перемен знака и все массы т1 отклоняются в одну сторону (рис. 33, а). Когда система совершает второе главное колебание, со ответствующая форма имеет одну перемену знака. В этом случае одна или две массы слева отклоняются в одну сторону, а остальные — в другую. Сколько масс отклоняется здесь слева или справа в одну сторону, две или одна, зависит каждый раз от их величины, расположения и от упругих свойств балки. На рис. 33, б представлен вид кривой прогиба (упругой линии). Одна из точек балки А остается при таких колебаниях неподвижной. Она называется узлом второй формы колебаний. Форма колебания третьего порядка имеет две перемены знака; следовательно, соответствующая этой форме линия прогиба пересекает линию ММ в двух точках В и С (рис. 33, в): форма колебаний имеет два узла. Следует иметь в виду, что неподвижные точки стержня на опорах в счет узлов не входят1*. В примере нити с бусинками собственные формы колебаний определяются отношениями амплитуд А7, == Н. 81П -^-, *, А = 1, 2, ... , п, !) Условии закрепления стержня, например неподвижные точки на опорах, входят в краевые условия задач.
10. (Nи|ий интеграл дифференциальных уравнений 135 (формула C.71)). Здесь / — порядок формы, к — номер амплитуды. Когда / = 1, а к пробегает значения 1, 2, ... , я, значение остается положительным, так как его аргумент изменяется в пределах первых двух четвертей. Первая форма, таким образом, не имеет перемен знака. В случае, когда I = 2, а к пробегает значения 1, 2,..., /г, аргумент синуса изменяется в пределах четырех четвертей и синус в этих пределах будет иметь одну перемену знака. Вторая собственная форма будет иметь один узел. Когда / = п, число перемен знака равно п - 1. 10. ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ И ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ. Частное решение уравнений C.13), соответствующее 8-й собственной частоте, как это установлено выше, имеет вид цн1 = н8/ 8П1 (рч* + е8), /=1,2,..., п, C.81) где ин1 — амплитуды нормированной 8-й собственной формы; здесь / = 1,2,..., п. Общий интеграл представляет линейную сумму частных решений п С11 = Е ДА/ 8^п (Рз* + с«)» '- г" 1» 2> ••* > п> C.82) где А8 и г — произвольные постоянные, здесь 8 = 1, 2, ... , п. Они определяются из начальных условий, которые в данном случае выражаются заданием для начального момента I = 0 значений обобщенных координат и обобщенных скоростей ^10' ^20> — > Я пО' Подставив в C.82) / = 0, получим систему 2п уравнений п ?т= Х А„ия, зт е„, ( *У > C.83) п.; которых могут быть найдены все 2п постоянных Ач и еч; здесь / 1,2, ... ,п.
136 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Уравнения C.83) можно использовать для доказательства теоремы о разложении, имеющей большое значение для обосно вания приближенных методов расчета собственных частот и форм колебаний. Сформулируем эту теорему. Теорема. Любую форму колебаний можно разложить по собственным формам колебаний некоторой системы с п степе нями свободы. Это значит, что любую заданную совокупность п амплитуд Л-р К2, ••• > А*п можно представить следующими линейными выражениями: Х1=а1ип + а2и21 + ...+апип1, Х2 = аги12 + а2и22 + ... + апип2, К = а1и1п + а2и2п.+ — + *пипп> C.84) где иш — амплитуды собственных форм колебаний системы; здесь I, к = 1, 2, ... , п. Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно вытекает из первых п уравнений C.83) п #ю= ЕА8^8ШС8, 1= 1,2, ... , П. C.85) 8 = 1 Эти уравнения изменением только обозначений переводятся в уравнения C.84). Достаточно, таким образом, посчитать заданную совокупность Хь за начальные значения амплитуд, чтобы тем самым, опираясь на известную теорему существования общего интеграла системы дифференциальных уравнений, обосновать справедливость соотношений C.84I*. Коэффициенты а3 вычисляются с помощью теоремы об ортогональности собственных форм. Запишем разложения C.84) в сокращенном виде: п Хь= X а8из1, 1=1,2, ... , п. C.86) 8 = 1 Х) Справедливость теоремы следует также из неравенства нулю определителя, составленного из ортонормированных амплитуд и1к — коэффициентов уравнений C.84).
I I. Разложения коэффициентов уравнений малых колебаний 137 Чтобы найти коэффициент а19 умножим обе части C.86) на ии и Просуммируем по г. п п 2 х1ии = Л иа 2,аЛ/ = 2 ав 2 иаиа = а1 Ъи% /1 / = 1 8=1 5=1 / = 1 г = 1 откуда следует п п аГ.Ъ\ии/2и%. C.87) I. = 1 г = 1 Если м,,. нормированы, то Е и| = 1 и / = 1 п а{= I ^^, /=1,2,..., п. C.88) / = 1 11. РАЗЛОЖЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФОРМАМ. Выпишем систему уравнений для /-го собственного колебания в прямой форме: п Р21ии = ^*ци»> * = !' 2— ' п- <3-89> к = 1 Положив ьш = 2" А*- C-9°) б* = 1 умножим обе части этого равенства на и1к и просуммируем по к: п п п п п 2 Ъшиш = Е и№ 1«а = 1о, I ц№ц„л = аи. к = 1 & = 1 8 = 1 8 = 1 /г = 1 Таким образом, или на основании C.89) аи= ^ЪиРш аи = ииР1 Подставив найденное выражение аи в C.90), получим разложение коэффициентов прямых уравнений по собственным формам 1к = %р*и81изк, *=1,2,... ,/1. C.91) Таким же способом, но исходя из системы уравнений, записанной для /-го главного колебания в обратной форме п "(Г/'/^.^А- 1 = 1, 2,... ,71,
138 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ получим разложения по собственным формам коэффициентов /г/А Н}к = Е ^ф^, I = 1, 2,... , /г. C.92 8 = 1 Р* С помощью формул C.91) и C.92) можно найти разложения итт раций коэффициентов Н1к любого порядка, т. е. сумм //. п МО) = и /7A) = V /,@I, Миг) = V и(т 1) и п 1к п1к"> п 1к н^г п1кп8к1 •* > п 1к ^ и 1я пякЛ Из формул C.92) находим и „и . _ C.93 ^.?(~^ Для итераций коэффициентов прямых уравнений Ы$ = X из1и8кр*т+1К ик=1, 2,... , /г. C.9ь Пример 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ. Разделим стержень на три равные части и сосредоточим их массы в серединах частей (рис. 34). Обозначим длину стержня через / массу единицы длины через \х. Массы сосредоточенных грузов равны т 1 = т2 =" тз = Ц^/3. Обозначим модуль упругости через Е |кГ/см2] и момент инерции поперечно го сечения (постоянный по всей длине стержня) через I [см1]. С помощь.**.) формул C.48) найдем коэффициенты влияния 25 /3 3888 Е1 ' сх12, сх13, 39 1* С1]2 3888 Е1 ' 81 /3 СХ22 3888 Е7" ' а32 ^ а23> а13 = а23 = азз " 17 /з 3888 Я/ ' 39 Iя 3888 Е/ ' 25 /3 3888 Я/ ' а31 - а Уравнения колебаний запишутся в обратной форме \,=р*Ц 1«А- »= 1,2,3. о /? = 1 Подставив сюда значения а1к и полагая для сокращения письма Е1 1 _ 11 664-Е/ со2 = 3888 /з р2\х1/3 р2\\14
П. Разложения коэффициентов уравнений малых колебаний 139 приходим к системе уравнении >чо.J = 25^ + 39^+ 17А,3,] л2со2 - 39лт + 8Щ + 39л3, \ C.95) А,.,<о2 = 17^ +39Х2 + 25Х3. 1 Вековое уравнение этой системы _ЯГ 25 - со2 39 1 7 39 81 - (о2 39 17 39 25 - (о2 О после развертывания имеет вид (о6 - 131ш4 + 1344аJ - 2880 = 0. Оно легко разлагается на множители: (со2 - 1.20) (со2 - 8) (со2 - 3) = 0. Квадраты его корней равны со2 = 120, со2 = 8, со2 = 3, а соответствующие собственные частоты колебаний стержня _ 9,859 Е1 38,184 \Е1 рх - __ ^_ , р2 - __ ^_ Рис. 34 а) Рз 62,354 /Е/ /2 И Для нахождения собственных форм отберем из системы C.95) два уравнения, например B5-(о2)?„, Ч- 39л2 = - 1 7Л.3, 39 Хх Ч- (81 -(о2)Х2 = - 39/,3. Подставив сюда со2 = 120, со2 = 8, со| --= 3, получим соответственно: ^ \х : к2 : А-з = 1 : 2 : 1 (первая форма); ^ Х} : Х2 : л3 = 1 : 0 : -1 (вторая скорма); ^ Л-! : Л.2 : Л-з = 1 : -1 : 1 (третья форма). Графическое изображение форм представлено на рис. 35. Условия ортогональности здесь выполнены. Выполнено также и правило перемен знака для амплитуд собственных форм. Нормирующие множители для первой, второй и третьей форм соответственно равны 1 _ 1 л г 1 л г _ 1 #1 = ,/12 4- 22 Ч- 14 -1, /у^-1, л/О л/^ *я " Л
140 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Амплитуды нормированных собственных форм: первой второй _1_ . _2_ . _1_ . л/6 а/6 а/6 третьей }_ . _\_ . \_ л/О л/О л/О Пример 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА. Для симметризации уравнений малых колебаний двойного маятника 39, 16/ п 2/ а " —— 01 ~' \Э<). ^/ А 4/ /л _ — у — у которые были составлены в примере 1, полагаем 04 = 01 л/3 , а2 = 62. В переменных 04 и а2 эти уравнения перепишутся следующим образом: 16/ •• 2/ •• 04 = --— 04 - —- а2, 2/ •• _ 4/ •• 2 |г7з ' з§ 2 Предполагая, что система совершает одно из главных колебаний и, следовательно, а! = ?4 81П (р1 + е), а2 = Х2 зш (р1 + с), получим для амплитуд \х, Х2 однородную систему '16/ 1 ь , 2а/3/ 3^ ^2=0, 2 УЗ/ 3* ^(Ё-^)^о з# C.96) Из уравнения частот представив его в виде Ш-1. 2а/3/ 9§ р2 3§ 2а/3/ 4/ _ _1_ 3^ 3^ р2 1-28/1+ М1! /?4 9# р2 27^г2 о, о, находим Р! = 0,61 */§/1, Р2 = 1,62 л/^//
12. Свободные колебания с сопротивлением 141 Подстанив в первое уравнение C.70) сначала значение р1? затем р2, получим собственные формы колебаний двойного маятника: ^ первая форма: А,1:А,2 = Зл/3 : 4,29; ^ вторая форма: Х1:Х2 = Зл/3 : -6,29. Условие ортогональности здесь выполнено11. Следует заметить, что в симметризо- 11и и пых координатах оно имеет вид апа21 + а12а22 = 0; п координатах 6Х и 92 ЗЭ11621 + Э12Э22 = 0, где ()у1, 0-2 — угловые амплитуды стержней маятника в первом и втором главных колебаниях; здесь / = 1, 2. Как следует из пропорций еп:612 = 3:4,29, 022 = 3 : -6,29, первая и вторая собственные формы двойного маятника имеют общий вид, показанный на рис. 36. 12. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ. В классической теории линейных колебаний исследование влияния сопротивлений на свободные и вынужденные колебания основывалось на допущении, что силы сопротивления, действующие на колеблющуюся систему, являются линейными функциями обобщенных скоростей. Хотя такое допущение не оправдывается в действительности, тем не менее разработанные на его основе приемы некоторых расчетов и результаты этих расчетов имеют и в настоящее время большое практическое значение. Прежде всего, принимая такое допущение, мы остаемся в пределах линейной теории, а это приводит к значительному упрощению задачи в отношении математической ее трактовки, причем большей частью без существенного искажения качественной стороны общего направления вносимых сопротивлением изменений. Далее, уравнения с линейным сопротивлением получаются во многих случаях в результате линеаризации2) некоторых реальных систем, а не каких-либо предположений о физической природе сопротивления. 1' В пределах точности вычислений. :;) Под линеаризацией здесь, как и в первой главе, мы понимаем отбрасывание нелинейных членов.
142 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Решение таких линеаризованных задач дает иногда возможности сделать правильные заключения об истинном характере движс ния исходной неупрощенной системы. Сохраняя прежние предположения относительно начала коор динат и прежние обозначения для кинетической и потенциаль ной энергии, примем, что обобщенные силы сопротивления явля ются линейными функциями обобщенных скоростей Е1 = ьпЯ\ + Ь12д2 + ... + Ь/лдл, / = 1, 2, ... , п. Большей частью коэффициенты Ъ1к удовлетворяют условию сим метрии При этом условии силы Е[ равны частным производным о'\ квадратичной функции по соответствующим обобщенным скоростям: Предположим, что Е — положительная квадратичная функция обобщенных скоростей. В этом случае ее можно истолковать как меру интенсивности или скорости рассеяния механической энергии системы. Она называется поэтому функцией рассеяния или диссипативной функцией. В самом деле, написав уравнение свободных колебаний системы в виде с! (дТ\ дП дР ¦ -, о ~~ — = - — - — , г = 1, 2, ... , п, C.98) умножим каждое из них на соответствующее д, и просуммируем по /: Д а (дТ\ . , А дП . " дР . Принимая во внимание соотношения " с! (дТ\ . A ( Д дТ . А A /грл
12. Свободные колебания с сопротивлением 143 найдем А(Т + П) = -2^. C.99) Из этого уравнения следует, что при положительном Р полная анергия системы убывает и скорость этого убывания по абсолютной величине равна 2Р. Подставим в уравнения C.98) функцию Р C.97), а также выражения функций П, Т. Если коэффициенты в выражениях Т и П имеют прежние обозначения, то после подстановки мы получим систему уравнений ("/1</1 + Ь1\Я\ + СпЯл) + («72^2 + &/2?2 + ^/2^) + ••• + + (аЛп + ьыЯп + с///я) = 0, 1=1, 2, ... , п. (З.юо) Решение уравнений C.100) будем искать, положив ц.^АрР1, 1= 1,2, ... , л, C.101) после чего эти уравнения запишутся в виде (апр2 + 6пр + си) Ах + (а12р2 + 612р + с12) Л2 ! ... 1 ; + (аи1р2 + Ь1пр + с[п)Ап = 0, | (а21р2 + Ь21р + с21) А1 + (а22р2 + 522р 4- с22) Л2 +¦ ... I- \ + (<*2пР2 + Ь2пр + С2п)А„ = 0, ; C.102) (ап1Р2 + ЬщР + Сп0А\ + (ал2Р2 + &Л2Р + С,12>^2 + - ; + (аппР2 + ЬппР + Спп)^- °' ] Чтобы не все А7- одновременно обращались в нуль, значение р должно быть корнем характеристического уравнения «ИР2 + ЬПР + С11 «12Р2 + &12Р + ^12 — 01лр2 + &Ь|Р + Сь, I 1Р2 + Ь21р + с21 а22р2 + Ь22р + с22 ... а2пр2 + Ь2пр 1- с2/? | _ ^ а/ПР2 + Ьп\Р + Сн1 ««2Р2 + &/12Р + Сл2 ••• а„цР2 + ЪппР + Спп \ C.103) Некоторые заключения об общем направлении изменений координат можно сделать, не решая этого уравнения1*. " См. Дж. Рэлея [77, V.!], Э. Рауса [79]; о решении уравнения C.103) см. также Л. Н. Крылова [106, с. 69--70].
144 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Из уравнений C.102) для каждого корня р характеристического уравнения найдем систему отношений А1:А2: ... : Ап, причем для вещественного р все А- будут также вещественны, для комплексного р коэффициенты А- будут комплексными. Подставим в уравнения C.102) один из вещественных корней. Умножив затем первое уравнение на А1? второе — на А2 и т. д. и сложив почленно, получим: р2Т (А) + рР (А) + П (А) = 0, C.104) где через Т(А), П(А), Р(А) обозначены результаты подстановки в Т, П, Р вместо обобщенных координат ^ и скоростей д • соответствующих амплитуд А.. Умножим теперь уравнения C.102), написанные для корня р, на значения А[, соответствующие другому корню р\ и почленно сложим. Введя обозначения получим 2Т (А, А') = апАгА[ + ... + аппАпА + + а12 (АгА'2 + А[А2) + ... , 2П (А, А') = спАгА[ + ... + сппАпА'п + + с12(А1А2+А;А2) + ..., 2Р (А, А') = ЪпАгА[ + ... + ЪппАпА'п + + ь12(а1а2 + а;а2) + ..., р2Т (А, А') + /*Р (А, А') + П (А, А') = 0. C.105) Вследствие симметрии выражений C.105) относительно А и А' имеет место также и уравнение р'2Т (А, А') + р'Р (А, А') + П (А, А') - 0. Таким образом, р и р' удовлетворяют одному и тому же квадратному уравнению р2Т (А, А') + рР (А, А') + П (А, А') = 0. Следовательно, Р+Р' Р(А, А') Т(А, А') ' РР П(А, А') Т(А, А') ' C.106)
12. Свободные колебания с сопротивлением 145 Пусть р и р' — два сопряженных комплексных корня уравнения C.103): р = а + ф, р' = а - ф. Соответствующие этим корням А и А' пусть имеют вид А = Р + 1Я, А' = Р-1Я. Тогда 2Т(А, А') = 2Т(Р) + 2Т@), 22?(А, А') = 2Р(Р) + 21?^), 2П(А, А') = 2П(Р) + 2П(ф), и формулы C.106) перепишутся в виде 2а__р(р)+па) а2 + В2-ЩР) + щ(?) ^а г(Р) + г(с?)' а + р т(Р) + г@)' (ЗЛ07) Теперь можно ответить на вопрос о том, как будут изменяться координаты системы в возмущенном движении. Предположим, что все три формы Т, Р, П положительны. Из C.104) заключаем, что при вещественных Аь и положительных Т(А), Р(А), П(А) вещественные значения р отрицательны. Каждому вещественному отрицательному корню р = -т2 соответствует частное решение дк=Аке~т2* C.108) с вещественным Ак. Такие координаты дк с течением времени убывают, асимптотически приближаясь к нулевым значениям. Если все корни уравнения C.103) вещественны и отрицательны, то система в возмущенном движении будет асимптотически приближаться к положению равновесия (апериодическое движение). Из первой формулы C.106) при тех же предположениях относительно Т, Р, П заключаем, что вещественные части комплексных корней отрицательны. Каждой паре комплексных корней р = а + ф, р' = а + ф будет соответствовать решение дк = еаг (Вк соз р* + Ск зш C0 C.109) с отрицательным а. Это решение определяет затухающие колебания. Поскольку Вк и Ск неодинаковы для различных к> изменения координат дк не однофазны. Общее решение получится как результат линейного наложения частных решений C.108) и C.109).
146 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 13. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛОЖЕНИИ СВЯЗЕЙ. Связь, наложенную на систему, совершающую малые линейные колебания около положения устойчивого равновесия и не смещающую этого положения, можно выразить линейным однородным уравнением относительно координат системы. В самом деле, пусть связь задана уравнением /(^,02, ... , д„) = 0. Так как она не должна смещать положения равновесия, в котором по предположению все <7? = 0, то /(О, 0, ... , 0) = 0. Разложение функции /(дх, ... , дп) по степеням координат дь начнется поэтому с членов первого порядка. Ограничиваясь, в соответствии с основными допущениями теории малых линейных колебаний, только этими членами, мы представим уравнение связи следующим линейным уравнением: А11д1+А12д2 + ...+А1л9л = 0, (ЗЛЮ) гдеА11, А12, ... , А1п — постоянные числа. Произведем в заданной системе (до наложения на нее связи) подстановку: г1 = АиЯл +А\гЧг + - + АА> ] ?2> Гп = Яп- C.111) От такой подстановки собственные частоты системы не изменятся. Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах гь, I = 1, 2, ... , я, будут иметь выражения 1 2 /, к = 1 * П 1 у , . . а вековое уравнение получит вид апР2 - «21Р2 " -си ' С21 «1'2Р2 - а22^2 ~ С12 * ~ С22 * .. а^2- .. а2>2 - ~^ -*2„ ап\Р2 - С'п\ ап2Р2 - Сп2 ¦¦¦ аппР2 - Сп О. C.112)
13. Теоремы об изменении частот системы 147 Предположим теперь, что на систему наложена связь C.110). В новых координатах г- эта связь имеет уравнение гх = 0. Вековое уравнение связанной системы получится из векового уравнения C.112) вычеркиванием в последнем первой строки и первого столбца. Согласно теореме о разделении корней векового уравнения, (п - 1) корней р[, связанной системы располагаются между корнями рк векового уравнения данной системы: ?! < Р[ < Р2 ^ Р2 < - < Рп -1^Рп-1^ Рп> Таким образом, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а. Если на систему с п степенями свободы наложена линейная связь, то частоты полученной системы с п - 1 степенью свободы располагаются между частотами первоначальной. Теорема может быть обобщена на случай наложения на систему нескольких линейных связей. Теорема. Если на систему с п степенями свободы наложены к линейных связей Ав (<?) = Ан1цх КА,2д2 + ... + А8Гдп = 0, з = 1, 2, ... , к, C.113) то частоты связанной системы п{A) -- пAг) <- <- п{п) Р \ Р 2 *•• Рп - к удовлетворяют н е равен с швам рк< р<*> <рк + н, й = 1, 2, ... ,п-к, C.114) где рк — частоты заданной системы с п степенями свободы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Связи C.113) можно всегда представить уравнениями Ап91+А12<?2 + ...+А1лдл = 0, ] В99д9+ ... +В9лG„ = 0, НкнЯь+ ••-Нкп°п=0 \ и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно одну за другой.
148 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Переход к координатам г-, связанным с #г соотношениями C.111), не изменит уравнений остальных связей. Положив г. = О, получим систему с (п - 1) степенью свободы, собственные частоты /?ф которой удовлетворяют неравенствам ^^ РФ^Ра + 1» * = 1,2, ... , л- 1. C.116) Эту последнюю мы преобразуем к координатам $., связанным с г., / = 2, 3, ..., я, уравнениями 82 = Б22Г2 + 523Г3 + - + Я2лГл, 83 = Г3> Полагая $2 = 0, получим систему с (д - 2) степенями свободы, частоты которой р(р будут удовлетворять неравенствам рф<р<!><р<1>+1, А = 1,2,...,/»-2 или, на основании неравенств C.116), рк<р^<рк + 2, А=1,2, ... ,п-2. Продолжая аналогичные рассуждения и вводя последовательно связи C.115), мы придем к неравенствам C.114), которые будут иметь место для частот системы после наложения на нее всех к связей C.115). 14. ФУНКЦИЯ РЭЛЕЯ. Когда система совершает свободные колебания в отсутствие сопротивлений, полная механическая энергия ее остается неизменной. В свободных колебаниях система предоставлена самой себе и начальный запас ее энергии не может увеличиться. Но он и не уменьшается, так как сопротивления, на преодоление которых расходовалась бы энергия, по предположению, отсутствуют. Мы можем поэтому, пользуясь прежними обозначениями, написать Т + П = к = сопз*. Если система совершает одно из главных колебаний, то все точки ее одновременно достигают положений наибольшего отклонения (в этот момент все обобщенные скорости равны нулю) и
14. Функция Рэлея 149 одновременно проходят через положение равновесия (в этот момент равны нулю все обобщенные координаты). В положении наибольшего отклонения кинетическая энергия обращается в нуль, и, следовательно, потенциальная достигает своего максимального значения: Птах = А- В положении равновесия, наоборот, обращается в нуль потенциальная энергия и достигает своего максимума кинетическая энергия. Этот максимум равен, очевидно, той же постоянной к: Т = к 1 тах п' Таким образом, когда система совершает одно из главных колебаний, справедливо Гтах = Птах. C.117) Это равенство выражает принцип сохранения энергии для главных колебаний системы. Если в выражения кинетической и потенциальной энергии т = \ . ? а^ЧЯ» п = \ . ? лсмЯАк 6 I, /г = 1 & I, к =* 1 подставить, предполагая, что система совершает 8-е главное колебание, выражения обобщенных координат и скоростей Чъ = ивг 81п (Рз* + *8У> Ь = из1Р8 СОЗ (р8г + 88), 1=1,2, ... п, то 1 п Т=-р28 соз2 (р81 + ев) . ,Е а1ки81и8к, 1 п П = - 8Ш2 (р8г + ев) I с1ки81иак. & I, к = 1 Отсюда для рассматриваемого главного колебания максимальные значения кинетической и потенциальной энергии составляют ^шах = \р1 . 2_ аьки81и8к, Птах = | _ 2= **»*»*- C.118) Подставив эти выражения в C.117), найдем Р% = . ? леи,и*и.к /. .2 ««"./».*• (З.И9) I, й = 1 I, Л == 1
150 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Формула C.119) дает точное значение 5-й собственной частоты только при подстановке в правую часть соответствующей точной 8-й формы колебаний. Если же в правую часть этой формулы подставить вместо и81 произвольную совокупность п чисел Х19Х2> ... Дд, C.120) то ее значение не будет равно ни одному из квадратов собственных частот данной системы. По ряду соображений, которые далее подробно разъясняются, представляется целесообразным рассматривать соотношение C.119) как определение некоторой функции п независимых переменных Хь (или отношений переменных Х1 к одной из них): Е (Хг, Х2, ... , Хп) = 2 с1кХьХк/ 2 а1кХьХк. C.121) I, к = 1 I, к = 1 Эту функцию будем в дальнейшем называть функцией Рэлея. Запишем функцию Рэлея, предполагая, что квадратичная форма, стоящая в знаменателе, в координатах Х1 имеет вид суммы квадратов: Е (Х19 Х2, ... Лп) = 2 6;Лла/ ^ Хг C-122) /*, к = 1 / = 1 Подставим вместо Х1 их разложения по собственным формам данной системы: п Х1 = 2 а8м8/, 1=1,2, ... , /г. C.123) _ 8 = 1' Тогда а? /г п п . ? , 6***А = 2А (&;А + ••• + ьыЮ = .2 ^ 2, аЯи» = I, к =- 1 I = 1 г = 1 8 = 1 /г я я /г 8 = 1 1 = 1 / = 1 8 = 1 2 Х|= 2 а?, / = 1 ' 8-1 * и мы придем к следующему выражению: %»,.~.^-В^,"!!!Р;. C.124) Это — выражение функции Рэлея в нормальных координатах, каковыми, таким образом, оказываются коэффициенты а8 разложений Х- по собственным формам.
15. Теоремы об экстремальных свойствах собственных частот 151 15. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ. Из формулы C.124) можно сделать следующие заключения. Если форма C.120) точно совпадает с первой собственной формой данной системы, то значение Е, определяемое формулой C.124) или C.122), точно равно квадрату первой (основной) частоты. В этом случае ал - 1, а2=... -ап = Ъ, и из формулы C.124) мы имеем К==р\. Кели форма C.120) не совпадает с первой формой, то значение Е будет во всяком случае не меньше квадрата первой частоты р\ и не больше квадрата наивысшей частоты р2п. Это следует из того, что значение дроби, стоящей справа в C.124), всегда лежит между наименьшей и наибольшей из положительных дробей и, следовательно, Таким образом, квадрат первой частоты является минимумом функции Рэлея при любом выборе формы C.120). -¦'¦ Если форма C.120) ортогональна первой собственной форме данной системы, т. е, если II X Я^и^О, C.125) . 1 то а1 = 0 и р1< В<р2п, причем Е = р§> когДа форма >./ точно совпадает со второй собственной формой; здесь I = 1, 2, ... , п. Таким образом, квадрат второй собственной частоты является относительным минимумом функции Е при условии C.125). Аналогичным образом можно доказать, что квадрат третьей собственной частоты р\ является относительным минимумом функции Рэлея при наличии двух условий ортогональности формы C.120) п п X \:ЫЛ; = 0, X \;и91 = 0
152 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ с первой и второй собственными формами. Квадрат четвертой частоты будет, очевидно, минимумом функции В при условиях п п п I = 1 г = 1 г = 1 и т. д. Таким образом, приходим к теореме о минимальных свой ствах собственных частот. Теорема. Квадрат Н-й собственной частоты р\ может быть получен как относительный минимум функции Рэлея р\ = ппп В, если привлекаемые для сравнения формы колебаний подчинены условиям: п п п ЛХ1ии = 0, X А,ги2г = 0, ... , ЪХ1ин_11 = 0. C.126) / = 1 / = 1 г' = 1 ' Относительный минимум достигается только для формы, точно совпадающей с Н-й собственной формой. Из изложенного следует, что собственные частоты системы могут быть найдены как решение минимум-задачи. Те же частоты, начиная со второй, могут быть получены и как решение некоторой минимум-максимум задачи на основании теоремы Куранта [66] о минимаксимальных свойствах собственных частот. Предположим, что на заданную систему, собственные частоты которой мы обозначим через р1У I = 1, 2, ... , п, наложены (Н - 1) линейных связей Аз1Хг +А82Х2 + ... +АтХп = О, 8 - 1, 2, ... , А - 1. C.127) Заданная система, после наложения на нее связей C.127), обратится в систему с (п - Н + 1) степенями свободы. Квадрат наименьшей частоты этой системы [р[н ~ ХЦ2 будет минимумом функции Рэлея для системы, полученной после наложения связей, что мы запишем следующим образом: [р(*-1)]2 = ттЛ(А./;А1/,Л2(,...,АА_1>(). Изменяя произвольно А8[, мы будем получать различные значения для ппп В(Х^ Аи, ... , Ан _ г /). Среди этих минимумов будет и р\. Его мы получим, когда А8Ь = из1> * = !> 2' - > п'> 8 = 1, 2, ... , А - 1,
16. Теоремы о влиянии на частоты изменений масс 153 т. е. когда уравнения связей C.127) совпадут с условиями ортогональности формы А./5 г = 1, 2, ... , пу с (к - 1) первыми собственными формами заданной системы. Этот минимум будет наибольшим из всех минимумов функции Е при условиях C.127), так как на основании предыдущей теоремы при любом выборе А81 Р1<Р^_1)<РА. Таким образом, можно сформулировать теорему. Теорема. Квадрат частоты р\ данной системы совпадает с наибольшим из минимальных значений, какие принимает функция Рэлея, когда формы А,/? I = 1, 2, ... , /г, удовлетворяют (Н - 1) линейным связям: Л,Л + А^2 + — + АА = 0, з=1,2, ... А - 1, где А8Ь могут принимать какие угодно значения. В дальнейшем содержание этой теоремы мы будем записывать сокращенно следующим равенством: р1 = та^[ттЕ(Х1;Аи, ... ,АА_М)] . C.128) 16. ТЕОРЕМЫ О ВЛИЯНИИ НА ЧАСТОТЫ ИЗМЕНЕНИЙ МАСС И ЖЕСТ- КОСТЕЙ СИСТЕМЫ1*. Если в результате каких-либо изменений кинетической и потенциальной энергии системы функция Рэлея увеличивается, то собственные частоты системы могут только возрастать. В самом деле, обозначим через Е функцию Рэлея исходной системы, через Е — измененной системы, и пусть Е < Е. Но тогда ПИП Е < ПИП Е , и так как р\ = тт Е, р\ = тт Е, то р\<рЬ Чтобы найти, как изменяются высшие частоты, наложим на системы — исходную и измененную — (Н - 1) линейных связей вида 1 > См. книгу Р. Ф. Гантмахера и М. Г. Крейна [14].
154 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ C.127). По теореме о минимаксимальных свойствах собственны частот р\ = тах [тт Е (^; Ан, ... , Ан _ х ,)], р \ = тах [тт К (А,,.; Аи, ... , Ал х /)]. Так как тт Л (^; Ах/, ... , Ан . у ;.) < 1I111 Я (л.,.; Аи, ... , Ал _ ь,), то тах [тт # (Х(; Аи, ... , А/г _ 1? ,)] < тах [тт К (Х-; Ап, ... , А/г... 1?,.)] и, следовательно, р1^р\. C.129» Изменение жесткости системы связано с изменением потенциальной энергии. Если жесткость системы увеличивается без изменения кинетической энергии, то частоты системы увеличиваются или по крайней мере не уменьшаются. Изменение массы системы связано с изменением ее кинетической энергии. Если масса системы увеличивается без изменения потенциальной энергии, то частоты системы убывают или по крайней мере не возрастают. Более определенные утверждения о действии на частоты системы изменений жесткости и массы содержатся в следующих теоремах, которые мы приводим без доказательства. Теорема 1. Если функция Рэлея растет вследствие при бавления к максимальной потенциальной энергии г квадратов вида х1 (Ю = (ЯкгК + — + <1кпЮ2> к = !> 2' - > г> без изменения кинетической энергии, то частоты данной сие темы рн и частоты измененной р1г связаны неравенствами рн < р,г, 1г = 1, 2, ... , п; C.130) Рн <Ра + г» Л = 1, 2, ... , п- г. Теорема 2. Если функция Рэлея убывает вследствие при бавления к максимальной кинетической энергии г квадратов вида Ч &г) = (ЧыК + - + ЯМ2* к = *> 2> - > г>
16. Теоремы о влиянии на частоты изменений масс 155 то частоты рк исходной системы и частоты рн измененной удовлетворяют неравенствам рн<рн, Н = 1, 2, ... , п; C.131) Рн-г^ Рн> Ъ = г + 1 ... , п. Теоремы Рэлея об эффекте наложения связи и изменений жесткости и масс системы имеют многочисленные приложения в практических расчетах. Они позволяют во многих случаях с достаточной уверенностью следить за направлением изменений частот системы при различных конструктивных изменениях, связанных с изменениями масс и жесткостеи отдельных ее частей. На этих теоремах основаны методы варьирования масс и жесткостеи, с помощью которых в проектируемой машине обеспечивается достаточная удаленность рабочего режима от критических или резонансных зон. Этими теоремами в некоторых случаях молено пользоваться для разделения корней векового уравнения. Пример 7. Рассмотрим вековое уравнение крутильных колебаний приведенного вала однородной машины с двумя присоединенными на левом конце массами при следующих данных относительно моментов инерции 11 [кГ • м • с2] и погонных жесткостеи с, [кГ • м]г): /1 = 684-102, /2 = 2196-102, /3 = /4=...=/10 = / = = 195,5 -102, Наложив на систему связь 20,68 -106, 2970 -106, 2810-106. 0, C.132) будем иметь систему с восемью степенями свободы, вековое уравнение которой получим из векового уравнения первоначальной системы, если в нем вычеркнем вторую строку и второй столбец. Тогда левая часть векового уравнения распадется на произведение двух множителей: 2с I с 1 I 2с I 0 ... 0 ... 0 2с 1) Числовые данные примера взяты из статьи П. Функа [ 127].
156 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Таким образом, корни первоначального уравнения будут разделяться корнями двух уравнений: 1) уравнения первой степени с решением х = 396,51; 2) уравнения седьмой степени, соответствующего однородной части, где с = 2810 • 106 и / = 195,5 • 102. Все корни последнего уравнения получаются из одной формулы (см. с. 128) Х.-41ВШ2Д, «-1,2,....7. В частности, наименьший корень равен 21847,57. Таким образом, квадрат второй частоты лежит между 396,51 и 21847,57. Наложением связей типа C.132) можно разделять корни вековых уравнений не только однородных машин. Вообще можно было бы доказать, что корни векового уравнения крутильных колебаний разделяются корнями уравнений ^ = 0, XX»-*-!> = 0, где Иь — главный минор определителя Ип9 получаемый вычеркиванием в Вп всех последних строк и столбцов, начиная с {I + 1)-х; Х>(/г - * - 1) — главный минор Х>д, получаемый вычеркиванием в Х>ге всех первых строк и столбцов до (/ + 1)-х включительно [101]. 17. УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ. Обозначим через B19 ф2> — > ®п обобщенные возмущающие силы, соответствующие координатам системы д1У д2, ••• > Я.п* Пусть в этих координатах уравнения вынужденных колебаний системы могут быть записаны в прямой форме: '4Ь = - 2 Ьь1дк - Я19 1 = 1, 2, ... , д. (злзз) к = 1 Такую форму имеют, например, уравнения вынужденных крутильных колебаний приведенного вала от возмущающих крутящих моментов, приложенных к участкам вала. Предположим сначала, что силы Яь — гармонические, одной и той же частоты и фазы: ф; = Р. 8Ш (ш* + а), I = 1, 2, ... , д. В отсутствие сопротивлений частное решение системы C.133), определяющее вынужденные колебания, имеет вид д1 = Хг 8И1 (со* + а), I = 1, 2, ... , /г. C.134)
17. Уравнения вынужденных колебаний 157 Здесь искомыми являются амплитуды Хг Подставив выражения C.134) в уравнения C.133), получим систему алгебраических уравнений п ш2А,. = - X Ъ1ккк -Р., 1 = 1, 2, ... , п. C.135) /г = 1 Самым простым способом нахождения амплитуд Хг является решение уравнений C.135) по правилам элементарной алгебры. Чтобы, однако, иметь возможность сделать некоторые общие заключения о формах вынужденных колебаний, мы воспользуемся для решения этих уравнений предложенным в 1905 г. А. Н. Крыловым [107] методом разложения искомых амплитуд по собственным формам соответствующей однородной задачи. Обозначим через и81, из2, ... , и8П ортонормированные амплитуды 8-й собственной формы рассматриваемой системы, удовлетворяющие однородным уравнениям (уравнениям свободных колебаний системы) рХ/ = 2 Ь1ки8к, * = 1, 2, ... , п. C.136) Положив Хь= X а8и81, 1 = 1,2, ... , д, C.137) 8=1 подберем коэффициенты а8 этого разложения так, чтобы были выполнены уравнения C.135). Подставим выражения C.137) в уравнения C.135). Приняв во внимание уравнения C.136), получим п п ю2 2 а,ия. = Ъа8р*ив1 - Р,, 1 = 1,2, ... , п, 8 = 1 8 = 1 откуда следует п I а3ич1 (р28 - со2) = Рь, г = 1, 2, ... , п. C.138) 8 = 1' Заменим теперь в уравнениях C.138) возмущающие силы Рь их разложениями по собственным формам и8[ п Рь= X В8и81, 1 = 1,2, ... , п, C.139) 8 = 1 где п В8 = X Рьи81, 8 = 1,2, ... , п. I = 1 Тогда п п ^«А( (?5 " ю2) = 2А"8«> » = 1, 2, ... , п, 8=1 8=1
158 Тпава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ откуда получим а8 = В8/(р*-(о2), 8 = 1,2, ... , п. Таким образом, искомые амплитуды равны " Вм„, . л п Х1= X 9 9» 1 = 1,2, ...,П, C.140) а частное решение системы уравнений C.133) имеет вид п Вм, я.\= У! -^-^ 8^п ((°* + а)» * ^ 1» ^> •••> я- 8 = 1Рз - <** Следует отметить аналогию между выражением C.140) и формулой B.57). I Коэффициенты разложений по собственным формам амплитуд вынужденных колебаний получаются из соответствующих коэффициентов разложений возмущающих сил умножением последних на множители -—-—-. р- - о2 Предположим теперь, что уравнения вынужденных колебаний системы в обобщенных координатах </3, д2, ... , дп имеют вид п д{ = - I й/Л#А + ф, г' = 1, 2, ... , п. A.141) /г = 1 К такой форме могут быть приведены уравнения вынужденных поперечных колебаний стержня или балки от возмущающих сил, приложенных к сосредоточенным на балке массам. В самом деле, пусть на массы пгь действуют силы Р/? г = 1, 2, ... , п. Уравнения поперечных колебаний такой балки, в соответствии с C.42), запишутся в виде п уь = X аш(-ткук + Рк), /=1,2, ... , я, к = 1 где а//г — статические коэффициенты влияния, г// — поперечные смещения масс т.. Полагая в этих уравнениях п получим п У1 = - 2 а1кткук + ©., /= 1, 2, ... , п. C.142) /г = 1
17. Уравнения вынужденных колебаний 159 После подстановки Ъ = У г №ь приходим к симметризованной системе C.141) п ?« = ~ 2Л*#* + в<' * = 1. 2, ... ,п, где Нш = а1к ^тьтк, <Э/ - Яь/^т19 Ь,к=1, 2, ... , п. Размерность величин (^ в уравнениях C.142) совпадает с размерностью координат у1 — это перемещения сосредоточенных масс т1 от одновременного действия на балку всех сил Р.. Можно сказать, что вынужденные колебания системы, определяемые уравнениями C.141), возникают в результате сообщаемых массам т1 возмущающих перемещений. Полагая, что возмущающие перемещения ^/ происходят по одному и тому же гармоническому закону (?; = Е1 81П (со* + а), I = 1, 2, ... , п, будем искать частное решение уравнений C.141) в форме дг = Хь 81П (со* + а), I = 1, 2, ... , п. Подставив эти выражения в уравнения C.141), придем к системе алгебраических уравнений для Х1 п >^ = со2 Ък^ь + Кр 1=1,2, ... , п. C.143) к = 1 Полагая далее п п Хь = Ъ а8и8[, Е1 = I А8и8(9 /=1,2, ... , /I, C.144) 8 = 1' 8 = 1" способом, аналогичным изложенному для прямых уравнений, получим разложения амплитуд вынужденных колебаний по собственным формам Х1 = Е 7 Л^/ 2 > /=1'2, ... , П, C.145) ^ 1 - со2/Р82 где коэффициенты А8 имеют значения п А8 = X -Н^81-» 5 = 1,2, ... , п. C.146) / = 1
160 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Из формул C.140) и C.145) можно сделать следующие заключения. ¦ Когда частота со возмущающей силы равна одной из собственных частот системы, например р8, соответствующий член разложения C.140) или C.145) с течением времени растет неограниченно. Происходит явление резонанса. Частота возмущающей силы называется в этом случае критической частотой. В системе с п степенями свободы при действии на нее гармонических сил одной частоты и фазы возможны п резонансных состояний, так как частота возмущающей силы может оказаться равной каждой из п собственных частот. Определение возможных для системы резонансных состояний, так называемая проверка системы на резонанс, составляет одну из важнейших задач технических расчетов на колебания. ¦ Когда частота со возмущающей силы близка к одной из собственных частот системы, соответствующий член в разложениях C.140) и C.145) значительно превышает все остальные и форма вынужденных колебаний почти совпадает с соответствующей собственной формой. Вынужденные колебания системы в этом случае почти точно воспроизводят форму одного из собственных главных колебаний системы. 18. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ. Значительные упрощения в решение задач на вынужденные колебания от гармонических возмущающих сил вносит метод гармонических коэффициентов влияния. Применительно к уравнениям в обратной форме и, в частности, к поперечным колебаниям балки с сосредоточенными массами гармонические коэффициенты влияния можно определить следующим образом. I Гармоническим коэффициентом влияния Аш частоты со называется амплитуда массы I в установившихся вынужденных колебаниях от единичного гармонического возмущающего пере- I мещения той же частоты со, сообщаемого массе к. Изложим определение гармонических коэффициентов для уравнений в прямой форме и, в частности, для крутильных колебаний приводного вала.
18. Гармонические коэффициенты влияния 161 Гармоническим коэффициентом влияния Вш частоты со называется амплитудный угол кручения участка I от единичного гармонического крутящего момента той же частоты со, приложенного на участке к1\ Из формул C.146), полагая в них Вк= 1,11} = О, I* к, находим: В аналогичном случае и в8 = изк- Для таких значений возмущающего усилия из формул C.145) и C.140) находим ия!ияк Л " иа!ия йи8к А _ Хр и81и8к В[к ^^^' Аш ^ I №-<»* ш ^,1-^/р, 2/п2 C.147) Формулы C.147) дают разложения гармонических коэффициентов влияния по собственным формам соответствующей однородной задачи. Из формул C.147) следует, что А/г = АЫу Вш = Вк1, т. е. гармонические коэффициенты удовлетворяют условию симметрии. Симметрия гармонических коэффициентов выражает обобщенный принцип взаимности Рэлея [77]. Предположим, что ко всем массам (или дискам) приложены гармонические возмущающие перемещения (или моменты) с одинаковыми фазами Яь = Р. вш (со^ + а), 1=1,2, ... , лг. Согласно принципу линейного наложения, вынужденная амплитуда 1-й массы от одновременного действия всех ()к будет равна Аь = АаРг +А12Р2 + ... + А1пРп, /=1,2, ... , п C.148) и соответственно В1 = ВаР1 + В12Р2 + ... + В1пРа, * = 1, 2, ... , п. 1) В симметризованных уравнениях Вш — это угол кручения участка I, умноженный на ^/с,. 6 - 10456 Бабаков
162 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Если требуется вычислить только одну амплитуду А-, то для получения гармонических коэффициентов, входящих в выражение C.148), достаточно решить одну систему уравнений поперечных колебаний, приложив единичное перемещение или момент к 1-й массе, так как А1к = АЫ" Если фазы перемещений или моментов С?; неодинаковы, то амплитуда 1-й массы от одновременного действия на все массы возмущающих перемещений или моментов будет равна геометрической сумме Аг =АПР1 + А12Р2 + - + АтРп' C-149) При построении этой суммы векторы Рк, умноженные на соответствующие гармонические коэффициенты, откладываются в векторном многоугольнике под углами (относительно, например, оси Ох), равными начальным фазам (дк. В самом деле, приложив к к-й массе обобщенную силу 1 • еш, I = л/-1, мы получим для амплитуды 1-й массы в установившихся вынужденных колебаниях гармонический коэффициент А1к. Если теперь ко всем массам приложены возмущающие силы Ркеш, /г=1,2,... , я, то амплитуда 1-й массы будет, как в уже рассмотренном случае, А1 = А11Р1 + А12Р2 + ••• + А1пРп* Пусть теперь ко всем массам будут приложены обобщенные силы Р^™**^ =Рке1у*ё**. По предыдущему Аг =АаРге^ +А12Р2е1^ + ... + А1пРпе1^ или, что то же, А1 =А11Р1 ~^А12Р2 + ••• + А1пРп' Абсолютную величину (модуль) вектора А1 можно найти по его проекциям на две оси подходящим образом выбранной прямоугольной системы координат. Пусть, например, на к масс системы действуют одинаковые по величине, но смещенные по фазе гармонические силы (или моменты) Як = Р зш (со* + рА), А = 1, 2, ... , к.
18. Гармонические коэффициенты влияния 163 Такой случай встречается при расчете вынужденных колебаний коленчатого вала, к коленам которого приложены одинаковые по величине, но смещенные по фазе касательные усилия от давления газов в цилиндрах. В этом случае А= Н 2>/*С08рА ХА*81ПРЛ -Р. Ч = 1 C.150) Начальная фаза ук колебаний к-й массы найдется из формулы к I I = 1 п п *8УЛ= 2 Аызт ^ I 2 Аысов р,. C.151) Пример 8. Найти амплитуды вынужденных крутильных колебаний приведенного вала с пятью дисками от единичного гармонического момента, приложенного на первом участке. Числовые данные те же, что и в примере 2 (с. 117). Частота возмущающего момента со = 100 1/с. Решение задачи сводится к обращению матрицы коэффициентов при Хк в неоднородной системе уравнений вынужденных колебаний со%= 10 987^- 2306^2 * * со% = -2306 ?4 + 28589?12 - 2042П3 * со2;Ц * 2042П2 + 25350^ - Ю643^4 сА4 * * _ Ю643^3 + 32474^4 щы (после подстановки со2 = 104) 987 -2306 * * -2306 18589 -20421 * * -20421 15350 -10643 * * -10643 22474 +1 C.152) Выполнив обращение этой матрицы, получим 81,27 -8,58 -16,91 -8,04 -8,58 -3,67 -7,24 -3,45 -16,91 -7,24 -4,66 -2,22 -8,04 -3,45 -2,22 3,39 10- C.153) Элементы первого столбца и будут искомыми амплитудами. Остальные столбцы будут амплитудами вынужденных колебаний от единичных гармонических моментов, приложенных на других участках вала. Одновременно эти амплитуды являются и гармоническими коэффициентами частоты со. Пример 9. Найти амплитуды вынужденных поперечных колебаний балки с четырьмя сосредоточенными грузами (рис. 29) от единичного гармонического смещения частоты со = 200 1/с, приложенного к первой слева массе. Числовые данные взять из примера 3 (с. 118).
164 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Вычисление амплитуд по предыдущему сводится к решению системы не однородных уравнений 2,5^ = 4,53^ + 5,59?.2 + 5,05А.3 + 3,99Х4 + 2,5,1 2,5^2 = 5,59^ + 8,ЗЗА,2 + 7,99^3 + 6,48Х4, 2,5А,3 = 5,05^ + 7,99?12 + 8,33^3 + 7,09^4 2,5^4 = 3,99^ + 6,48А.2 + 7,09Я.3 + 6,6П4, т. е. к обращению матрицы 2,03 5,59 5,05 3,99 5,59 5,83 7,99 6,48 5,05 7,99 5,83 7,09 3,99 6,48 7,09 4,11 C.154) и последующему умножению всех ее элементов на 2,5. Матрица амплитуд вынужденных колебаний или гармонических коэффициентов от единичных гармонических смещений частоты 200 1/с будет иметь вид 1,92 0,14 0,62 1,02 -0,14 -0,91 0,43 0,72 0,62 0,43 -0,82 -0,03 1,02 0,72 -0,03 -1,56 Пример 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГЛОТИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ1 >. Принципиальную схему динамического поглотителя колебаний можно представить в виде двух грузов Рх и Р2, подвешенных последовательно с помощью пружин АВ и ВС к неподвижной точке А (рис. 37). Жесткости пружин обозначим через сг и с2. К грузу Рх приложена вертикальная гармоническая возмущающая сила ф 81П со*. Описанная схема является, таким образом, последовательным соединением двух линейных осцилляторов — первого (основного) с грузом Рх и жесткостью сх и второго — с грузом Р2 и жесткостью с2. Пренебрегая массами пружин, получим систему с двумя степенями свободы, положение которой при колебаниях будет определяться отклонениями хх и х2 грузов от положения равновесия. Уравнения вынужденных колебаний системы будут иметь вид: — ХЛ + С и 1 р —- х2 + с2 (х2 — X}) = 0. С2 (Х2 - Хг) = Я 81П СО*, C.155) В установившихся вынужденных колебаниях Хг = Аг 81П СО*, Х2 = А2 8ГП СО*. х> См. С. П. Тимошенко [85].
18. Гармонические коэффициенты влияния 165 Амплитуды Аг и А2 найдутся из уравнений (сг + с2~ Р1ы2/§)А1 - с2А2 = С, -с2А1 + (с2 - Р2оJ/§)А2 - О, Д = с2 --Р1ю2/^ с2 - Р2т2/§ *0, т. е. если частота ю возмущающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот системы. В этом случае л ^Я(с - ^ со21 А = Я с C.156) Из первого уравнения C.156) видно, что амплитуду Ах груза Рх можно сделать равной ну- Рис. 37 лю, т. е. устранить его колебания, если выбрать вес Р2 второго груза и жесткость с2 таким образом, чтобы с2-Р2со2/# = 0, или @= ^ё7Т2 =р2, C.157) C.158) где р2 — собственная частота добавочного осциллятора. Аналогичное явление имеет место в крутильной системе, состоящей из двух маховых масс, когда к одной из них присоединяется добавочная система, состоящая из вала с крутильной жесткостью с0 и маховика с моментом инерции /0 (рис. 38). Колебания массы /2 (например, приведенной массы генератора) будут устранены, если жесткость с0 и момент инерции /0 выбрать так, чтобы с0//0 = со2, т. е. чтобы собственная частота присоединенной системы была равна частоте возмущающего момента, приложенного к массе 12. Полное устранение колебаний основного осциллятора в силу соотношения C.158) возможно только в том 1\ /9 случае, когда частота со возмущающей силы будет равна собственной частоте колебаний добавочного осциллятора. Если это условие не выполнено, то присоединение второго осциллятора не устранит колебаний первого. В последнем случае будут возможны два резо- Рис. 38
166 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ нансных состояния, когда со совпадает с одной из двух собственных частот системы, равных корням уравнения I с1 + с2 - Рха2/§ -с2 I | ~с2 с2-Р2со2/#| Таким образом, описанный поглотитель может быть «настроен» только на одну частоту, и применение его ограничено машинами, работающими с постоянной скоростью. 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ВНУТРЕННИМ НЕУПРУ ГИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Среди сопротивлений, возникающих при колебаниях упругих систем, особое значение имеет внутреннее неупругое сопротивление, действие которого выражается в гис- терезисных потерях энергии деформации. Многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями (в частности, выполненными Н. Н. Давиденковым, И. Л. Корчинским, Д. Ю. Пановым, Е. С. Сорокиным) установлены следующие основные свойства внутреннего неупругого сопротивления. ¦ В пределах обычных в машиностроении продолжительностей циклов деформации (от нескольких минут до тысячных долей секунды) внутреннее неупругое сопротивление не зависит от скорости деформации. ¦ Внутреннее неупругое сопротивление зависит от величины деформации, причем зависимость между внешней нагрузкой (силой, моментом) и общей деформацией (прогибом, углом поворота) нелинейна и различна при нагружении и разгрузке. При циклических нагружении и разгрузке эта зависимость для полного цикла изменения нагрузки графически представляется замкнутой кривой, которая носит название петли гистерезиса (рис. 39). Большая часть формул, предложенных различными авторами для выражения зависимости между внешним усилием и деформацией, преследует цель отобразить по возможности более точно опытную форму петли гистерезиса. Так, Е. С. Сорокин [44], основываясь на допущении, что петля гистерезиса является эллипсом и что в установившихся вынужденных колебаниях от гармонической возмущающей нагрузки деформа- Рис. 39
19. Системы с внутренним неупругим сопротивлением 167 ции упругой системы происходят по гармоническому закону, приходит к заключению, что внутреннее неупругое сопротивление К пропорционально упругой восстанавливающей силе, но сдвинуто относительно последней по фазе на тс/2. Математическим выражением такого сопротивления является формула Я = *^-8, C.159) АТС где I = л/-1 — мнимая единица, умножение на которую соответствует повороту вектора 8 на угол л/2, осуществляющему сдвиг фазы Е на этот угол; 8 — упругая восстанавливающая сила (или момент); ц/ — коэффициент поглощения, равный отношению энергии ДТ^, поглощенной материалом за один цикл деформации, к полной механической энергии Ж системы: У=-^Г. C.160) Приближенное значение коэффициента поглощения, которым обычно пользуются в практических расчетах, дается формулой у = 25, C.161) где 5 — логарифмический декремент колебания. В соответствии с формулами C.159) и C.161) суммарная внутренняя сила сопротивления 8*, включающая упругую восстанавливающую силу (или момент) и неупругое сопротивление, может быть представлена следующими выражениями: 8* = (\ + ш. )з * (г + - )з. C.162) Существенным свойством этих выражений является их линейность относительно 8, что дает возможность вести расчеты вынужденных колебаний систем с внутренним неупругим сопротивлением, оставаясь в пределах линейной теории. Силы 8 для различных упругих систем и различных напряженных состояний определяются методами теории упругости. Если, например, на упругую систему действует сосредоточенная нагрузка (сила или момент), то 8 = су, где у — упругое перемещение в месте приложения нагрузки, ас — соответствующий коэффициент жесткости. Если на упругую систе-
168 Глава III. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ му действует несколько сосредоточенных нагрузок С$х, ф2, ... , С2/2, то восстанавливающая сила, соответствующая нагрузке <^к, равна 8А = Ск1У1 + Ск2У2 + — + СкпУп> (ЗЛ63) где у19 ... , уп — перемещения в точках приложения внешних сил; ск1 — коэффициенты жесткости. Переходим к составлению уравнений вынужденных колебаний с учетом внутреннего неупругого сопротивления. Предположим, что масса системы приведена к п сосредоточенным массам и пусть на эти массы действуют гармонические возмущающие силы (или моменты) ~Якеш; здесь к = 1, 2, ... , п; Ь = ^~Л . Уравнения малых колебаний системы без учета внутреннего сопротивления имели бы в этом случае вид (прямая форма): п ук = -^1СЫУ1 ~ Якеш, к = 1,2, ... , п. С учетом внутреннего сопротивления эти уравнения запишутся следующим образом: У к = Ч1 + ^ ) Ас*^ ~ ®ьеШ> к=1>2> ••• > п- (злб4> Частное решение этих уравнений, определяющее вынужденные колебания, будем искать, согласно сделанным допущениям, в виде Ук=АкеШ> Ь=1,2,...9п. C.165) Подставив эти выражения в C.164), получим Ак(В2 = A + ^)/?1СкЛ + в*. * = 1,2,...,/» ИЛИ п рАк= Ес^ + Р^, к = 1, 2, ... , /г, C.166) где р-(о2A + 18/кГ\ Рк = ЯкA + 1Ь/к)-К Система уравнений C.166) не отличается по форме от уравнений вынужденных колебаний без сопротивлений. Результаты исследований последних могут быть поэтому без существенных изменений перенесены и на рассматриваемый случай вынужденных колебаний с сопротивлением. В частности, с помощью формул
19. Системы с внутренним неупругим сопротивлением 169 C.140) можно сразу написать решение уравнений C.166), т. е. выражения вынужденных амплитуд Ак в виде разложений по собственным формам Ак= A + ^Т1 2 ^^ , * = 1, 2, ... , я, C.167) где Б8 — коэффициенты разложений по собственным формам сил Як: п Як= X В8гг8/г, /г = 1, 2, ... , п. 8 = 1 Подставив в C.167) значение/?, найдем А = у ^8^8*: * ДР2A + /5/71) -0J* Полученное выражение для Ак можно представить еще и в форме где Ак= I Ваиаке1*'9 8 =¦ 1 *,= ^=1=_, .8ф,- « 7(р62 - со2) + 82р84/тс2 ' 8 ^(Р,2 - ^2) ' 8 = 1, 2, ... , п. Искомое частное решение будет в этом случае иметь вид п 8 = 1 Взяв в качестве решения вещественную часть этого выражения, получим п ук= X Еик сов (ю* + ф ). C.168) з = 1 При резонансе с первой собственной частотой (со =рх) т __я р _Б1* Подставив эти значения в C.168) и выделив первый член, получим Ук= тЬ * 81п^ + ?, Д.и«* С°8 0>1* + Ф,)-
170 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ При малом 5 и достаточно большом промежутке между первой и второй собственными частотами можно иногда в полученном вы ражении отбросить справа все члены, кроме первого, и, таким образом, посчитать, что резонансные амплитуды пропорциональны амплитудам первой собственной формы. Глава IV Приближенные методы определения собственных частот систем с конечным числом степеней свободы ОСНОВНАЯ ЧАСТОТА 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ КОЛЕБАНИЙ. Метод последовательных приближений формами колебаний, или метод итераций, является одним из наиболее распространенных приближенных методов определения основной (наименьшей) частоты систем с конечным числом степеней свободы. В графической форме он широко используется в расчетах первых критических чисел оборотов ступенчатых валов. С помощью некоторых предварительных преобразований исходной системы уравнений метод последовательных приближений формами колебаний позволяет найти и любую высшую частоту, причем с наперед заданной точностью и без предварительного определения низших частот1*. При расчете методом последовательных приближений наименьшей частоты мы будем исходить из уравнений малых колебаний, составленных в обратной форме: п \ = р2 I й^А, 1 = 1,2,..., п. D.1) к = 1 Содержание метода заключается в выполнении следующих операций. Задаемся исходной формой — произвольной системой п чисел х> См. метод гармонических коэффициентов влияния, с. 201.
1. Метод последовательных приближений 171 и вычисляем первое приближение по формулам Х^= ^НШХ^\ 1=1,2, ... ,п. D.2) С помощью тех же формул, но исходя из системы амплитуд только что найденного первого приближения, вычисляем второе приближение, по второму — третье и т. д.; наконец, по (т - 1)-му приближению т-е: Цт^ = Е к1к№ " !>, 1 = 1,2, ... , п. D.3) I к = 1 1К К При достаточно большом т отношения соответственных амплитуд двух последовательных приближений стремятся к квадрату основной частоты: Цт) Р\ ' а отношения амплитуд одного и того же приближения — к отношениям амплитуд первой собственной формы: А.(»> : *.<"»> :...:Х(Г^ип:и12:...:иы. Для доказательства найдем разложения последовательных приближений по собственным формам, начиная с исходной формы. Пусть разложение последней будет Х<°> = Ъа8и81, 1=1,2, ... , я. Подставим в D.2) эти разложения вместо Х^ ; тогда п п п п Х(^ = 2 Ни 2 а и и — 2 а 2 Нии и% I г. а 1& л 8 8& *-*' 8 , , *1к"8к> к = 1 8 = 1 8 = 1 к = 1 откуда на основании D.1) следует М1} - 2 ^, . = 1,2,..., п. 8 = 1 р| Таково разложение по собственным формам первого приближения. Аналогичным путем найдем разложение второго приближения и последующих и, наконец, тп-го: *.(»>= I Ц^, 1=1,2, ...,п. D.4)
172 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Так как Р\ <Р1 <••• <Р%> первый член суммы правой части D.4) при достаточно большом т превосходит все остальные. Можно поэтому при достаточно большом т положить 1 р'(т-1) и Чт)*^ёг' г =1,2,..., л. Из последних соотношений находим Ит-1) Мл ~р1, D.5) у (га) . \ (т) . . у (га) ^ ,. . 7. . . ,. Если в формулу D.4) подставить значения коэффициентов п а8= Т,Х{к0)и8к, 8=1,2, ... ,п, то ^с/ ^ л/П\ ^ *т\ ХЧ ^е,^о Х(т)== 2-^-1 Ч°Ча= 2 Ч°} 2 ^12* = Е ^Мга-!) D б) где, согласно формулам C.93) на с. 138, й(»-1)= Е ^*, » = 1,2,...,п. *« я = 1 п2т Амплитуды Атг-го приближения являются, таким образом, линейными функциями (т - 1)-х итераций коэффициентов Н1к. Когда в исходной форме одна из амплитуд Х^ равна единице, а все остальные — нули,то Х(т)= й^), 1= 1, 2, ... , П. I II 7 7 7 Возможность получить значения первой частоты и первой формы колебаний основана существенным образом на том, что при вычислении последовательных приближений мы пользуемся обратными уравнениями D.1). Итерации форм с помощью прямых уравнений можно использовать для расчета наибольшей частоты способом, аналогичным описанному автором [89].
2. Теоремы о границах основной частоты 173 2. ТЕОРЕМЫ О ГРАНИЦАХ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ [90]. Установим неравенства, с помощью которых можно оценить погрешность каждого отдельного приближения и, таким образом, выполнить расчет с любой наперед заданной точностью. Для этого докажем теоремы о границах основной частоты применительно к обратным уравнениям в предположении1*, что Нш>0, Н1к>Ны, Ч0)>0. D.7) Теорема 1. Точное значение квадрата первой частоты лежит между наименьшим и наибольшим из отношений Цт ~ 1)Д}т): Х{.т ~ 1) Х^т ~ Х) Ш1П * . , < р? < шах * . . D.8) Доказательство. В самом деле, записав уравнения D.1) для первой частоты и первой собственной формы п «и = Р? ЕД*И1*> » = 1, 2, ... ,п, к = 1 умножим каждое из них на соответствующее \\т ~ ^ и затем сложим. Тогда ,?1«1Л(т)=Р12|?1М,"L|1Лй* = = р? Е ии Е А^}"-1) =р1 Е и1кХ\т>, к = 1 1 = 1 к = 1 Е ии[Х\т ~У) - р\ \\т)] = 0. D.9) / = 1 Если бы р\ при положительных ии было больше наибольшего из отношений Х\т ~ 1^/Х\т\ то все слагаемые суммы D.9) были бы отрицательными; если бы р\ было меньше наименьшего из отношений Х\т ~ ^/Х^, то все слагаемые суммы D.9) были бы положительными. Следовательно, р\ должно быть меньше наибольшего и больше наименьшего из отношений Х\т-1)/Х\т\ 1=1,2, ...,71. -D.10) Х) При выполнении первого из условий D.7) амплитуды первой формы во всех последовательных приближениях, начиная с первого, положительны.
174 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Теорема 2. С увеличением т наименьшее из отношений D.10) возрастает, а наибольшее убывает, так что разность между ними при достаточно большом т может быть сделана как угодно малой. Доказательств о. В самом деле, л (т - 1) п п ?1МГ2,/1?1^Г1). D.Н) Значения дроби Е А^т~2)/ X Н^Ц?-", 1=1,2, ...,л лежат между наименьшей и наибольшей из положительных дробей: х[т~2^ х[т - 2> А41»-2) >(ш-1)» л(т-1)' "• ' 1(ш-1)" D.12) Значит, наименьшее из отношений D.11) больше наименьшего из отношений D.12), а наибольшее из отношений D.11) меньше наибольшего из отношений D.12): Х(т-2) ХСп-1) Х^-1) Х(т-2) пип -* гч < пип 1 . Л < р? < тах * , Л < тах -* Гч. Так как, далее, верхняя граница наименьших отношений и нижняя граница наибольших отношений одна и та же, именно р\, то разность между этими отношениями при достаточно большом т может быть сделана как угодно малой. Теорема 3. Точное значение квадрата основной частоты р\ удовлетворяет неравенству^ ^(т- 1) Ь "-1 'Ч г = 1 Выбирая подходящим образом исходную форму, мы можем придать правой части неравенства D.13) более простой вид. Так, если в исходной форме Х^ = Ц0) = ... = Х^ = 1, то X Цт~и Х(т) Х(т-1) тт -Ц-^г- < р? < -— . D.14) I = 1 -) Доказательство неравенства D.13) см. в статье автора [93].
2. Теоремы о границах основной частоты 175 Другие неравенства для оценки нижней и верхней границ основной частоты даны П. Ф. Папковичем [117], С. А. Бернштей- ном [3] и другими авторами. Пример 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛА С ПЯТЬЮ ДИСКАМИ. Числовые данные взять из примера 2 гл. III. Для уравнений обратной формы матрица коэффициентов, вычисленных по формулам C.38) (с. 115): 95,89 23,23 21,70 7,12 II 23,23 110,72 103,41 33,904 21,70 103,41 143,52 46,53 * 7,12 33,904 46,53 46,085 || Приняв исходную форму в первом приближении получим Х[^ = 147,94 • 10; к™ = 271,26 • 10~6; Ц1* = 315,16 • 10~6; Х[г) = 133,64 • 10~6. о 4 Делением всех А,?1) на первую Х[ ) = 147,94 • 10~6 приводим полученную форму к виду Х[^ = 1; ^ = 1,834; А,*,1) = 2,130; Л.^> = 0,903. 1 ^ о 4 После подстановки этих значений в формулы D.2) находим второе приближение и т. д. Результаты вычисления пяти приближений приведены в табл. 3. Отношения соответственных амплитуд последовательных приближений, минимальные значения этих отношений, а также дроби X Мт_1)/ 2 Мт) 1 = 1 1 = 1 Таблица 3 2 № амплиту 1 2 3 4 Последовательные приближения А<?> 1 1 1 1 Щ> х 106 147,94 271,25 315,16 133,64 1 1,834 2,130 0,903 Х^х х Ю6 191,14 477,17 559,07 210,03 1 2,50 2,93 1,10 Х^х хЮ6 225,16 640,32 750,73 278,48 1 2,844 3,334 1,24 х Ю6 243,15 724,83 851,86 315,68 1 2,931 3,504 1,30 Х^х х 106 250,42 759,65 893,26 331,05 Х^ 1 3,034 3,551 1,322 1М =
176 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ и границы первой частоты приведены в табл. 4. Таблица 4 1 Х^/Х(}] х™№ 1 6759,5 5231,8 4441,3 4113,2 2 3636,4 3843,5 3898,4 3923,7 3 3172,9 3809,9 3896,1 3913,8 4 7462,7 4299,4 3946,2 3918,5 тт 3172,9 3809,9 3896,1 3913,8 4608,3 4081,7 3968,9 3940,5 Границы основной частоты 56,32 <р1 <67,9 61,6 <р1<63,8 62.4 </?1<62,9 62.5 </?х<62,7 Для практических надобностей точность второго приближения более чем достаточна. Расчет, впрочем, можно еще более сократить, если с самого начала, при выборе исходной формы, учесть возможные отношения углов кручения отдельных участков вала, обычно легко определяемые по расположению и относительной величине масс и жесткостей. Пример 2. Найти границы основной частоты поперечных колебаний балки с четырьмя сосредоточенными нагрузками. Числовые данные взять из примера 3 гл. III. Матрица коэффициентов Н1к: || 4,53 5,59 5,05 3,99 II ,, ,,5,59 8,33 7,99 6,48 " //г"~ 5,05 7,99 8,33 7,09 II 3,99 6,48 7,09 6,61 || Последовательные приближения приведены в табл. 5, составленной аналогично табл. 3. Таблица 5 № амплитуды 1 2 3 4 хар 1 1 1 1 Последовательные приближения А^-105 19,16 28,39 24,46 24,17 1 1,482 1,485 1,261 ^B) • 105 25,34 37,98 38,20 32,46 1 1,50 1,51 1,281 Я??*' 25,53 38,42 38,66 32,85 105 1 1,50 1,51 1,282 Отношения соответственных амплитуд и границы приближенных значений первой частоты приведены в табл. 6. Таблица 6 1 х^/х'Р х{1]/х(^ ^B)дC) 1 5219,2 3945,3 3901,7 2 3522,3 3902,1 3901,6 3 3513,7 3887,4 3898,1 4 4137,3 3884,8 3899,5 ППП 3513,7 3884,8 3898,1 3992,8 3902,1 3900,1 Границы основной частоты 59,3 <рх <63,2 62,3 <рг <62,4
3. Приведение матрицы коэффициентов уравнений 177 3. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ К МАТРИЦЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ. Найдем границы основной частоты трехпролетной балки постоянного сечения с несимметричной нагрузкой, если (рис. 40) Яг = 100 кГ, Я2 = 60 кГ, ф3 = 80 кГ> к = 10° см> к = 20° см> /3 = 150см, ах = Ъг = 50 см, а2 = Ъ2 = 100 см, а3 = Ь3 = 75 см, Е = 2 • 106 кГ/см2, / = 63,62 см4. Коэффициенты влияния а1к могут быть вычислены по формулам1* а1Ъ1гЪ1 AХ + аг)A2 + /3). ап Ш1ТХ -Ц-а2//2)], _ а1а2Ь211[12A2 + а2) - 2A2 + *3)(*2 + &2>]/-, _ о п2\ 0^19 тттттт-^; V1 а1/^1Л П2 6ЕП2Р 0113 6Ё71^ и а1/11>' а2Ъ2 \2а2Ъ2 _ Ъ2[2A3 + Ь3)(/2 + Ь2) - 12A2 + а2)]A - Ь|/ф 0122 6Ё7 177" ^ + а2[2(/х + /2)(/2 + а2) - 12{12 + Ь2)]A - аЦЩ) _ «г^г^з^зЕ^С^ + &г) ~ 2(*1 + ^)(^2 + а2>] п _ 1,2 //2ч <*23 оЩр Ц ^з/'з)' а а3Ь§га3 (/х + *2)(/3 + Ь3) зз ЗЕ1Ц A"Ь|/Ф]. О! <?2 вз Рис. 40 Х) Формулы для коэффициентов влияния и числовые данные задачи взяты из кн. Е. Б. Лунца [25].
178 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ где 1? = 4A1 + 12)A2 + 13)-1$. В рассматриваемом примере аи = 129,80 • 10~6; а12 = -96,95 • 10; а13 = 21,81 • 10~6; а21 = а12» а22 = 611,7 • 10; а23 = -174,5 • 10; а31 = а13; а32 = а23; а33 = 405,4 • 10~6. Уравнения колебаний после подстановки где Хь, — прогибы под нагрузками, запишутся в виде Хг=р2 A3,231*.!- 7,655 А,2 + 1,988А,3) • Ю-6, 1 ^2 =Р2 (-7,655^ + 37,412А,2 - 12,323А.3) • 10~6, D.15) Х3=р2( 1,988^-12,323X2 + 33,060^)-10~6. | Первая форма колебаний (соответствующая основной наименьшей частоте) для трехпролетной балки имеет вид кривой, изображенной на рис. 41. Амплитуды этой формы имеют две перемены знака, т. е. столько же и на тех же местах, что и коэффициенты уравнений D.15). Полагая 1хг = Х19 \л2 = -Х2, \л3 = Х3, D.16) мы получим для \1Ь систему уравнений с положительными коэффициентами: \хг = р2 A3,231^ 4- 7,655ц2 + 1,988ц3) • 10~6, | ц2 = р2 G,655^ + 37,412ц2 + 12,323ц3) • 10~6, I D.17) ц3=р2A,988ц1 + 12,323|и2 + 33,060ц3)-10-6. I Коэффициенты этой системы удовлетворяют условиям симметрии и все больше нуля. К ней, следовательно, применимы тео- Рис. 41
3. Приведение матрицы коэффициентов уравнений 179 ремы о границах основной частоты. Если в качестве исходной формы возьмем |л^0) = |1^0) = ц^0) = 1, то получим: ^ в первом приближении ^ = 22,874 • ЮЛ ц41} = 57,390 • ЮЛ ц^ - 47,371 • 10~6 с отношением амплитуд 1 : 2,509 : 2,071; ^ во втором приближении ц<2> =36,554 -ЮЛ ц^2) =127,043-ЮЛ ^3) = 101,373 • Ю6 с отношением амплитуд 1 : 3,475 : 2,773; ^ в третьем приближении и^ =45,345-Ю, ц^3) =171,834-ЮЛ ц^3) = 136,485-10 с отношением амплитуд 1 : 3,789 : 3,010. Основная частота во втором приближении 140,5 <р1< 145,1, в третьем 142,2 <рх< 143,2. Приведение уравнений D.15) с помощью преобразования D.16) к системе D.17) с положительными коэффициентами без изменения корней векового уравнения оказалось возможным вследствие наличия определенного соответствия между, с одной стороны, числом и местом перемен знака коэффициентов Н1к и, с другой стороны, числом и местом перемен знака амплитуд первой формы колебаний. Такое соответствие имеет место всякий раз, когда в разложениях коэффициентов Н1к по собственным формам Й/А = 2 ^, *, А =1,2, ...,л 8 = 1 Р1 доминируют слагаемые, соответствующие наименьшей частоте, так что знаки коэффициентов Нш определяются этими слагаемыми, т. е. знаками амплитуд первой собственной формы. Большей частью так бывает, когда вторая частота значительно превосходит первую. Если первые частоты близки друг к другу, то соответствие между знаками коэффициентов Нш и амплитуд первой формы может нарушиться. В этом случае использованный в пос-
180 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ леднем примере способ приведения к системе уравнений с положительными коэффициентами не может быть непосредственно применен к заданным уравнениям. Однако и здесь можно выявить надлежащее соответствие знаков, заменив уравнения D.1) уравнениями, коэффициенты которых равны итерациям коэффициентов к1к некоторого порядка т - 1 (т принимает значения 1, 2, 3, ... , причем к$ = кш), т. е. уравнениями ^=р2™ 2 МГ}^, 1 = 1,2,... , п. D.18) При достаточно большом т в разложениях л<Г"'1) = ^ Чк 1,к = 1, 2, ... члены с наименьшей частотой будут определять знаки коэффициентов уравнений D.18), и подстановкой, аналогичной D.16), мы сможем привести их к уравнениям с положительными коэффициентами. Для этих уравнений будут выполнены условия D.7) и при итерациях формами с положительными амплитудами можно будет пользоваться всеми теоремами о границах основной частоты. Следует только иметь в виду, что таким образом будут получены основная частота в степени 2т и абсолютные значения амплитуд первой формы. Рассмотрим, например, систему уравнений с матрицей коэффициентов -1,94 0,15 -0,57 -20,13 -0,15 0,90 -0,89 -0,03 -0,57 -0,89 1,01 -0,21 -20,13 -0,03 0,21 -0,16 II А/* 11 = Она приводится к эквивалентной системе с положительными коэффициентами с помощью подстановки ^ = ъ*ч9> Для системы А2 Ц2' ^3 81,30 -8,58 -8,58 -3,67 16,91 -7,24 -8,04 -3,45 ~Из' К -16,91 -7,24 -4,56 -2,22 = -ц4- -8,04 -3,45 -2,22 3,39 Ю
3. Приведение матрицы коэффициентов уравнений 181 такой способ приведения непосредственно неприменим. Но достаточно вычислить первую итерацию коэффициентов по формулам М2)== 2АЛ*» *¦ * = 1,2, ... ,п, чтобы получить систему с коэффициентами и*}*41 7033,99 -575,89 -575,89 151,41 -1216,01 213,06 -613,77 86,01 -1216,01 -613,77 213,06 86,01 365,02 163,76 163,76 92,96 10 -10 которую подстановка Хг = щ; Х2 = ~И2» ^з = ~Из' ^4 = "~М-4 превратит в эквивалентную систему с положительными коэффициентами. Дальнейшим обобщением теорем о границах основной частоты является переход от заданной системы с коэффициентами Ньк к системе с абсолютными значениями этих коэффициентов1*. За исключением отмеченного выше случая, система, полученная из заданной простой заменой отрицательных коэффициентов их абсолютными значениями, не будет эквивалентна последней. Однако метод итераций с неотрицательными амплитудами исходной формы и в применении к измененной таким образом системе приведет к квадрату основной частоты заданной системы. В самом деле, предположим для простоты, что в исходной форме одна амплитуда равна единице, а все остальные нулю, например ^°> 1; 40) Ц°> = 0. В этом случае, как уже отмечалось, амплитуды последовательных приближений в заданной (неизмененной) системе будут равны соответствующим итерациям2* коэффициентов кш А<т> *(--!>, 1,2, п. Х) См. статью автора [91]. 2) При другом выборе исходной формы амплитуды последовательных приближений будут линейными функциями соответствующих итераций коэффициентов Нш.
182 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В разложениях коэффициентов и их итераций по собственным формам заданной системы, как видно из формул C.93) и C.94), фигурируют только члены вида и81и8к/Р2Ш> содержащие каждый только одну частоту. Члены с произведениями частот в знаменателях при образовании каждой последующей итерации, начиная со второй, в неизмененной системе выпадают в силу условий ортогональности. Когда мы меняем знаки некоторых коэффициентов заданной системы, общая структура разложений этих коэффициентов сохраняется. Но знаки слагаемых в этих разложениях изменяются на обратные. Вследствие этого при образовании последующих итераций условия ортогональности в измененной системе не везде будут выполнены, и в разложениях последовательных итераций появятся члены, содержащие в знаменателях произведения квадратов нескольких частот, причем сумма показателей частот во всех членах будет одна и та же, именно 2т (где т — порядок итерации). При достаточно большом т и в таких разложениях, как и в неизмененной системе, доминирующими будут члены, содержащие наименьшую частоту в степени 2т, и к этим членам будут асимптотически приближаться амплитуды последовательных приближений. Таким образом, и здесь отношения соответственных амплитуд двух последовательных приближений будут стремиться к квадрату основной частоты. Однако форма, соответствующая этой частоте, не будет, вообще говоря, совпадать с первой собственной формой колебаний заданной системы. 4. ГРАФИЧЕСКАЯ ФОРМА МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ КОЛЕБАНИЙ — МЕТОД СТОДОЛЫ [82]. Применение метода итераций к определению основной частоты в изложенной аналитической форме предполагает известными числовые значения коэффициентов Н1к уравнений D.1). Для крутильных колебаний приведенного вала или поперечных колебаний прямых стержней постоянного сечения вычисление этих коэффициентов особых затруднений не представляет. Однако большинство практических задач на поперечные колебания относится к стержням переменного сечения. Вычисление коэффициентов влияния, входящих в состав к1к, для таких стержней, особенно многопролетных, представляет большие трудности и обычно в практических
4. Метод Стодолы 183 расчетах заменяется приближенным графическим построением линии прогибов (упругой линии). Возможность применения и в этих случаях метода последовательных приближений формами колебаний для нахождения основной частоты может быть обоснована следующей простой интерпретацией формул D.3). Обозначим массы сосредоточенных грузов через т19 т2, ... , тп. Уравнения поперечных колебаний вала можно представить в виде Хг =-р2 (ацт^! + а12т2Х2 4- ... + а1птпХп), ^2=Р2 (а21^А + а22^2 + — + а2птпЮ> К=Р2 (атт1К + ал2т2А,2 + ... + апптпХп), D.19) где аш = аы — статические коэффициенты влияния. Для 1-го приближения по формулам D.3) найдем Х21) =а21т1А.<1'-1> +а22т2^-1> + ... + а2„т„^-1)), 4° =а»1«1^~1) +ап2/п2^-1> + ... + а,тт„^'-1>). Сопоставляя эти выражения с формулами D.20) Ъ ^аЛ. /:== !> 2> — > л» где д; — прогибы в точках I от сосредоточенных грузов Рк, приходим к следующему истолкованию формы /-го приближения. Амплитуды формы 1-го приближения равны статическим прогибам в точках I от нагрузки т\^\ ^Г1'- , т Л''. т. е. от нагрузки, численно равной амплитудам предыдущего (I - 1)-го приближения, умноженным на соответствующие массых\ Х) Чтобы придать этим нагрузкам размерность сил, их умножают на квадрат некоторой (произвольно выбранной) угловой скорости <а>$, от которой в окончательном результате расчета можно освободиться изменением масштаба.
184 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Амплитуды 1-го приближения можно, следовательно, найти построением линии прогибов вала от указанной нагрузки. На этом основан следующий метод графического определения наименьшей частоты. На схематическом чертеже вала проводим от руки кривую, достаточно близкую к первой форме и удовлетворяющую условиям закрепления вала (рис. 42). Эту кривую принимаем за исходную форму колебаний. Сняв с чертежа прогибы Х|0) под грузами, умножаем их на массы т1 соответствующих грузов и на квадрат произвольной угловой скорости со^ и произведения тьХ^ со$ принимаем за нагрузку, для которой по известным правилам строим упругую линию. Прогибы А,|1) под грузами в построенной таким образом упругой линии дадут первое приближение формы колебаний, а отношения Х\0) /Х\1>> — первое приближение квадрата основной частоты. Если исходная форма была выбрана достаточно близкой к первой форме, то эти отношения будут почти одинаковыми. Если этого нет, то по нагрузкам т^1^ сод строим еще одну упругую линию так же, как по нагрузкам /тг/Я|0) оо$ была построена предыдущая, и т. д. В обычных случаях достаточно бывает одного, редко двух построений упругой линии, чтобы по- Рис. 42
4. Метод Стодолы 185 лучить основную частоту с допустимой в практических расчетах погрешностью. Само собою разумеется, для ускорения расчета можно и здесь пользоваться установленными выше теоремами о границах основной частоты. Пример 3. Найти основную частоту поперечных колебаний консольного вала на двух опорах (рис. 43, а). Нагрузка на вал приведена к семи сосредоточенным грузам, в которых учтен собственный вес отдельных участков вала1*: Яг = 5 кГ, Я2 = Я3 = Я4 = в5 = 25 кГ, в6 = 4 кГ, <Э7 = 15 кГ. 0123456789 10 см I I I 1 1 I I I I I I Рис. 43 •) Числовые данные примера взяты из кн. И. Холбы [71, 8. 124].
186 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Решение задачи в первом приближении сводится к построению упругой линии вала от 7 сосредоточенных сил Р1 = т^Х^оу^, I = 1, 2, ... , 7, где т1 — массы грузов B;; ?^0) — прогибы под грузами, снятые с исходной формы; со$ — квадрат произвольно выбранной в качестве масштабного множителя угловой скорости (например, со0 = 10 1/с). Для исходной формы, построенной от руки на рис. 43, б, прогибы под грузами и соответствующие значения сил Р. приведены в табл. 7. Поместив начало координат в левой опоре, рассмотрим дифференциальное уравнение упругой линии: Е1 = ^=-М(х), D.21) их2 где Е1 — жесткость на изгиб, а М(х) — изгибающий момент в сечении х от нагрузки силами Р.. В валах переменного сечения жесткость Е1 изменяется вместе с моментом / [см4]. Умножив обе части уравнения F.27) на отношение /0//, где 10 — некоторый постоянный момент, т. е., представив это уравнение в виде Е1от^=-м^т> D-22) мы приведем задачу построения упругой линии вала переменного сечения к построению упругой линии вала постоянной жесткости Е10, но от нагрузки М1(х)-М^). D.23) Тем самым изменения жесткости вала будут отнесены к соответствующим изменениям изгибающего момента. Эпюра изгибающих моментов М^х) представлена на рис. 43, в, причем ее построение выполнено в масштабах1* 10 см длины 1 см 1 кГ силы 1 см 10 кГ полюсного расстояния 10 см Таблица 7 1 1 2 3 4 5 6 7 <Э, (кг) 5 25 25 25 25 4 15 гп1 (кг «см1 *с2) 0,0051 0,0255 0,0255 0,0255 0,0255 0,0041 0,0153 А.(?> (см) 1,20 1,84 2,00 1,92 1,97 1,01 -0,90 Р1 - т.^^1 (кг) 0,612 4,69 5,10 4,90 4,26 0,413 -1,38 Х) Силовые многоугольники с полюсными расстояниями Н1 и Н2 на рис. 43 не приведены.
4. Метод Стодолы 187 В качестве момента 10 выбран наибольший поперечный момент вала /о = Е^г = 201см4- Полагая Ф(Р) -Н~> Чх), Р(р) -Н» Мг (х), с помощью теоремы свертывания найдем интеграл уравнения D.22): 1 х Е10Х(х) = ^\{1-^) М^) (Ц - | (х - у Мх (у <^, D.24) 1 о о где I — расстояние между опорами. Первый интеграл правой части / 1 о представляет собой момент относительно сечения х левой опорной реакции при нагрузке, интенсивность которой равна Мх(^); второй интеграл х о момент относительно сечения х части той же нагрузки, расположенной слева от х. Вся правая часть D.24) — это изгибающий момент в сечении х от мо- ментной нагрузки Мх{х). Таким образом, упругая линия У = Чх) представляет собой веревочный многоугольник для нагрузки плотности жг0ММ)- Чтобы построить этот веревочный многоугольник, делим моментную площадь на 12 частей, как показано на рис. 43, в, находим центр тяжести и площадь Д5/ каждой части: 1 А81 [см2] 1 0,434 2 1,56 3 1,76 4 3,26 5 4,06 6 4,29 7 3,93 8 4,14 9 1,33 10 0,73 11 0,19 12 0,10 Согласно принятым масштабам один квадратный сантиметр моментной площади Мх(^) соответствует 1000 кГ • см. Величины Д^-ЮООкГ-см принимаем за нагрузки, которые располагаем на вертикалях, проходящих через центры тяжести площадок Дб^. Если линейный масштаб для изображения этих нагрузок (во втором силовом многоугольнике) выбран так, что соответствует 1 см = 1000 кГ«см2, то приведенные значения Д$. [см2] будут
188 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ равны этим нагрузкам. Полюсное расстояние во втором силовом многоугольнике целесообразно взять равным 2,1 • 106-201 NA кГ-см2, где й — масштаб длин, N — целое число. Тогда ординаты упругой линии получатся в N раз увеличенными против натуральной величины, что облегчит их измерение. На рис. 43 имеем й = 10 и N = 2000, так что V Т Я2=2ШГ211°°КГ-СМ2' что в принятом для моментной нагрузки масштабе составляет 21,1 см. Результаты расчета приведены в табл. 8. Границы первой частоты представляются следующим образом: л. 1} со, р! 1М @I2 2575 • 102 < р1 < 2658,6 • 102, 507,4 <рг< 515,6. 5. МЕТОД РЭЛЕЯ. Метод Рэлея является одним из вариационных методов определения приближенных значений собственных частот. Его обоснованием могут служить теоремы об экстремальных свойствах частот, изложенные в § 15 гл. III. В частности, задача о нахождении основной (наименьшей) частоты может быть решена как задача об абсолютном минимуме функции Рэлея I, к = 1 I, к = 1 как функции амплитуд Х19 т. е. форм колебаний. D.25) Таблица 8 1 1 2 3 4 5 6 7 хр • ю4 4,100 7,000 7,700 7,500 6,356 3,606 -2,908 х^/хр 2850 2590 2580 2573 2670 2890 3220 [^0)]2 1,44 3,39 4.00 3,69 2,79 1,02 0,81 1=17,14 ^0).^A).104 4,92 12,88 15,40 14,40 10,61 3,64 6,62 1 = 64,47
5. Метод Рэлея 189 Формула Рэлея дает точное значение квадрата основной частоты, когда подставляемые в правую часть амплитуды Х1 точно совпадают с амплитудами первой собственной формы колебаний. Для других амплитуд значение Е больше квадрата первой частоты. Формула D.25) определяет, таким образом, верхнюю границу квадрата первой частоты. Эта верхняя граница будет тем ближе к истинному значению квадрата первой частоты, чем ближе будет взятая форма к первой собственной форме. Первое предложение о способе выбора формы, близкой к первой собственной форме колебаний, было сделано Дж. Рэлеем [77, V. I]. Дж. Рэлей предложил брать в качестве формы, близкой к первой основной форме колебаний, форму статической деформации системы от нагрузки, приложенной к системе или приблизительно с этой нагрузкой совпадающей. Такая форма является физически возможной формой первого собственного колебания, удовлетворяющей условиям закрепления системы. В дальнейшем совокупность значений А,-, реализующая минимум функции Е, называется минимизирующей формой. Дж. Рэлей, таким образом, предложил способ построения минимизирующей формы для прямого решения задачи о нахождении минимального значения функции Е. Вместе с теоремой о минимальных свойствах собственных частот, это предложение составляет содержание принципа Рэлея. Основанный на этом принципе способ приближенного определения основной частоты называется методом Рэлея. Точность получаемого по методу Рэлея значения первой частоты даже при весьма упрощенном выборе минимизирующей формы и возможность применения этого метода в графической форме сделали его одним из наиболее употребительных способов определения основной частоты в технических расчетах. Его недостатком является отсутствие каких-либо данных для суждения о допускаемой при пользовании той или иной формой статической деформации погрешности в определении основной частоты. Впрочем, когда имеется возможность построения некоторой закономерной последовательности форм, приближающихся к основной форме, вместе с тем может быть установлена и верхняя граница погрешности определения основной частоты по методу Рэлея1). > См. в статье автора [93].
190 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Пример 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОЙ БАЛКИ, ОПЕРТОЙ ПО КОНЦАМ (см. пример 5 гл. III). Уравнения малых колебаний приведенной системы с тремя степенями свободы имеют вид Хг = р2 B5кХг + 39кХ2 + 17кХ3), Х2=р2 C9кХг + 81кХ2 + 39кХ3), Х3=р2 {17кХ1 + 39кХ2 + 25ккв), /г = |а/4/П66Е/. где По формуле Рэлея п п Е= I X2/ X к^К, D.26) I, 8 = 1 где к1з равны соответственно коэффициентам при ^5 в правых частях записанных выше уравнений. Подставляя их значения в D.26), получим о _ Хх + Х2 + Х3 к 25^2 + 81^1 + 25Я,| + 78^ + 34Я,1А,3 + 78А.2А,3 ' В качестве минимизирующей формы возьмем совокупность статических прогибов в точках, где сосредоточены массы, от единичной нагрузки A кГ), приложенной к середине балки: Хх = 39р, Х2 = 81[3, ^з = 39Р> где C: '" Рг = 1x1/3 3888Е1' После подстановки получим 9,8607 Щ I2 V Ц Пример 5. В условиях п. 3 настоящей главы (с. 177) найти основную частоту колебаний трехпролетной балки с несимметричной нагрузкой (рис. 40). Несмотря на то, что в уравнениях D.15) к1=р2A39231Х1- 7,655Х2 + 1,988^)-10, Х2=р2 (-7,655^ + 37,412А,2 - 12,323Х3) • Ю 6, Х3=р2( 1,988^ - 12,323?12 + 33,060^3) • Ю не все коэффициенты положительные, формула D.26) остается столь же хорошо применимой здесь, как и в случае однопролетной балки. Взяв для минимизирующей формы второе приближение, найденное в § 3 (методом итераций), ^' = 1, ц(!>=-3,5, ц<§>=2,8,
б. Графическая форма метода Рэлея 191 и подставив эти значения вместо Хь в D.26), получим /^ = 20 338. Метод последовательных приближений приводит к такому значению только в четвертом приближении. 6. ГРАФИЧЕСКАЯ ФОРМА МЕТОДА РЭЛЕЯ. В графической форме метод Рэлея применяется главным образом при расчете основной частоты поперечных колебаний и является одним из простейших способов приближенного вычисления ее. Предположим, что на балку (или вал) действует несколько сосредоточенных грузов (}19 B2> — > Яп> и ПУСТЬ максимальные прогибы в точках приложения этих грузов будут соответственно Хг, Х2, ... , Хп. Тогда максимальное значение потенциальной энергии 2ГТ I = 1 Максимальное значение кинетической энергии где ть — массы грузов С?;, а р\ — квадрат основной частоты. По формуле Рэлея I = 1 1 = 1 ^(ДеЛ/ДвЛ?)- D.27) Расчет исчерпывается построением одной упругой линии вала от заданной нагрузки и снятием с чертежа прогибов Хг Пример 6. Найти основную частоту двухопорного ступенчатого вала, нагруженного сосредоточенными силами Фх = 100 кГ и ^2 = 50 кГ (рис. 44). Длина вала между опорами / = 200 см; диаметр левой половины вала 8 см, правой — 6 см. Предполагается, что в нагрузках фх и Я2 учтен собственный вес вала и в дальнейшем вал рассматривается как невесомый. 0123456789 10 см Ях = 100 кг Рис. 44
192 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Построение упругой линии вала от нагрузок ($1 и ф2 выполнено в масштабах: Длина 1 см ~ 20 см Сила 1 см ~ 50 кГ Первое полюсное расстояние Н1 3 см ~ 150 кГ Моментная площадь 1 см2 ~ 20 • 3000 = б • 104 кГ • см2 Моментная нагрузка 1 см ~ 6 • 104 кГ • см2 Ординаты моментнои площади на правой половине вала умножены на отношение 1г/12 = 3,16, где / = Е1%1 = 201 см4, /2 = Ц^ = 63,58 см4. 1 64 ^64 Моментная площадь разделена на четыре части, площади которых соответственно равны Д5; (см2) =1,3; 3,7; 7,3; 5,25, что в принятых масштабах соответствует следующим значениям моментнои нагрузки: $! = 7,8 х 10 кГ • см2, 82 = 22,5 х 10 кГ • см2, 83 = 43,8 х 10 кГ • см2, 84 = 31,5 х 10 кГ • см2. Второе полюсное расстояние Н2 принято равным Я = -М- = 422 • 103 кГ • см2 ~ 7 см, Л 20 • 50 для того чтобы ординаты второй моментнои площади были равны действительным прогибам, увеличенным в 50 раз. Подставив снятые с чертежа прогибы Хх = 3,8 • 10~2, Х2 = 7 • 10~2 см в формулу D.27), найдемрг = 135,7 1/с. ВЫСШИЕ ЧАСТОТЫ 7. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Почти все рассматриваемые в этой главе методы расчета высших частот — алгебраические. В них использованы некоторые общеизвестные вычислительные методы линейной алгебры, обоснованием которых служат теоремы о разложении по собственным формам, в частности теоремы о разложении коэффициентов прямых (Ъ1к) и обратных (Н1к) уравнений: Ъш= 2Рв2м м й = I ^2*. D.28)
8. Метод итераций 193 Графические варианты некоторых из рассматриваемых дальше методов в применении к расчету высших частот требуют обычно больших затрат труда и времени и при этом недостаточно надежны в отношении точности результатов. В дальнейшем по поводу этих методов делаются лишь краткие замечания, без подробного рассмотрения1*. 8. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ КОЛЕБАНИЙ — МЕТОД ИТЕРАЦИЙ. Чтобы выяснить условия, при которых метод итераций может быть использован для расчета высших частот, рассмотрим еще раз состав разложений последовательных итераций по собственным формам, несколько видоизменив форму этих разложений. Возьмем за исходную форму совокупность амплитуд х.(°>,Ц0),...,Ч°> и составим первое приближение по формулам X™ = Д^Ч0)> 1=1,2, ... , п9 D.29) где Ньк — коэффициенты обратных уравнений. Подставив сюда и — "V и&^и8к 8 = 1 Рз получим А = 1 8 = 1 г8 8 = 1Р8 к = 1 Аналогичные соотношения будут иметь место между двумя любыми последовательными приближениями: к = \ к=*1 гз 8 = 1^8/г = 1 Формы Х\т^ при достаточно большом т будут приближаться ко второй собственной форме, если первое слагаемое, содержащее первую частоту р\ в разложениях всех приближений, будет отсутствовать, т. е. если при т > 1 2Ч",-1)^-^Ё»1*Ч",-1)-0. D.31) ¦> Весьма обстоятельное изложение некоторых графических методов расчета высших частот вместе с примерными расчетами можно найти в кн. И. Холбы [71]. 7- 10456 Бабаков
194 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В противном случае мы неизбежно придем к основной частоте, так как первый член, с наименьшей частотой в знаменателе, как бы мал ни был его коэффициент, при итерациях растет значительно быстрее, чем все остальные. Условие D.31) будет выполнено, если первая собственная форма будет ортогональна как исходной форме, так и всем последующим, т. е. если для любого т > 1 Л = 1 1К П а также если перед вычислением итераций из разложения каждого коэффициента Нш будет изъято первое слагаемое П1и1к р! I) гС ±, ^, ... , ТЬ» Аналогично выражаются условия, при которых метод итераций приведет к третьей собственной форме и соответственно к третьей собственной частоте. Это случится, если для любого тп > 1 Ц Е и1Нху ~ !> + Щ X и2кХ[т " *> = О, D.32) т. е. если в разложениях последовательных итераций будут отсутствовать первые два слагаемых, содержащих в знаменателях р\ и /?|. Это будет иметь место, когда итерируемая форма в любом приближении будет ортогональна первой и второй собственным формам или когда в разложениях коэффициентов Нш с самого начала будут изъяты первые два члена и\1и\к и21и2к р! ' р1 В практических расчетах следует иметь в виду, что условия ортогональности форм различных приближений первой собственной форме и изъятие первых членов из разложений коэффициентов Нш могут быть выполнены только приближенно, с некоторой неизбежной погрешностью. При этом погрешность, с которой выполнено изъятие первых членов из Н1к> не увеличивается вместе с порядком итераций, так как при вычислении итераций любого порядка мы остаемся, как это видно из формул D.30), в тех же условиях, как и
8. Метод итераций 195 при вычислении первой итерации. Иначе обстоит дело с другим условием — условием ортогональности приближенных форм первой собственной форме. Неточное выполнение этого условия означает, что член с р* в разложениях последовательных итераций не исключен полностью. В этом случае вместе с порядком итераций будет расти в этих разложениях и относительное значение члена с р\ (по сравнению с другими членами, содержащими высшие частоты). Здесь будет, таким образом, иметь место своего рода накопление погрешности. Избежать такого накопления можно, подвергая каждую приближенную форму проверке на ортогональность первой собственной форме и исправляя обнаруженные отклонения от ортогональности. Пусть, например, в качестве исходной формы выбрана совокупность амплитуд Р1<»;й&°>;„.;Д(°> с одной переменой знака и притом так, что I = 1 т. е. условие ортогональности первой собственной форме выполнено. Подставив д|0) в D.29), вычислим первое приближение пA). пA). . пA) Так как первая собственная форма и1к9 найденная предварительным, также приближенным расчетом, определена с некоторой погрешностью, форма \х^ не будет точно ортогональна первой форме. Подвергаем поэтому форму ц[1) исправлению, вычитая из каждой амплитуды первый член разложения по собственным формам, т. е. составляя выражения (черточка над обозначением амплитуды обозначает исправленную указанным способом амплитуду) рA) = цA) -а[^ии, 1=1,2, ... , я, где По исправленному первому приближению вычисляем второе приближение \х[2\ Ь = 1, 2, ... , п, которое подвергаем аналогично-
196 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ му исправлению, вычитая из каждой амплитуды первый член разложения ее по собственным формам п и т. д. Делая такие исправления, мы при удачном выборе исходной формы ц(°) после небольшого числа итераций можем ожидать с достаточной уверенностью, что отношения исправленных амплитуд двух последовательных приближений дадут значения квадрата второй частоты с погрешностью, допустимой в практических расчетах. Важной частью такого способа расчета второй частоты является выбор исходной формы с надлежащим местом перемены знака ее амплитуд. Если первая форма и первая частота вычислены методом итераций, то результаты этого предварительного расчета можно использовать для получения некоторых данных относительно величин и знаков амплитуд второй формы. Обозначим через Х\т^ амплитуды т-то приближения первой формы и составим форму ц(т) = Цт) _ р2 Цт + 1)^ { = ^ 2? _ ^ ^ D 33) где р\ — квадрат первой частоты. Можно доказать, что форма D.33) при всяком целом и положительном т ортогональна первой собственной форме и при достаточно большом т асимптотически приближается ко второй собственной форме. В самом деле, ортогональность формы D.33) первой собственной форме была установлена при доказательстве первой теоремы о границах основной частоты. Подставив в D.33) разложения Х(т^ и Х^т + Х) по собственным формам, получим Г1 1а п2т ^1 1а п2т + 2 1а и8из1 { 2т п2т + 2 ) 8 = 1 Г8 8 = 1^8 5 = 1 Рз Р§ П п2 — 712 = V аи Рз Рх 1а и8и81 п2т + 2 ' 8=2 V8 Если т —> °°, то Щ ~ а2Ы21 от + 2 Г 8
8. Метод итераций 197 И ц^> : цЦ» : ... : ц</»> - ип : и22 : ... : и2п. Таким образом, составив для достаточно большого т разности Цт)-р2Цт + 1)9 * = 1, 2, ... , /I, получим амплитуды второй формы с высокой точностью, причем для этого не требуется никаких других расчетов, кроме уже выполненного для определения первой формы. Свойства формы D.33) можно было бы использовать непосредственно для определения второй частоты, для чего пришлось бы вычислить отношения И" Щ (т+ 1), I = 1, 2, ... , п. Однако при большом т в состав этих отношений входят разности между весьма близкими друг к другу величинами. Расчет поэтому требует весьма высокой точности вычислений, которая не может быть достигнута в обычных технических задачах на колебания. Графический вариант изложенного метода представляет собой распространение на случай второй частоты метода Стодолы (§ 4 гл. IV). Предварительным, также графическим, расчетом определяется с возможно большей точностью первая собственная форма. Далее, от руки, на чертеже вала (или балки) строится кривая с одним узлом, удовлетворяющая условиям закрепления (рис. 45). Рис. 45
198 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Снятые с чертежа прогибы \л@^ под массами должны быть предварительно исправлены путем вычитания из каждого величины а@)„ =и у .,@) Амплитуды исправленной формы р<°> = ц^ - а<°4;, 1 = 1,2,...,п, умноженные на соответствующие массы т{, рассматриваются далее как нагрузки на вал. Для этих нагрузок строится упругая линия. Прогибы ц|1) этой линии под массами, исправленные по вышеуказанному способу, т. е. величины Щ^ = ^-а[^ии, 1=1,2, ... , п, где A) = V A) 1 к = 1^к ПУ дадут первое приближение искомой второй формы. Первое приближение второй частоты найдем, составив отношения Р/0) —-тт, I — 1, А, ... , п, или, что всегда дает более точный результат, воспользовавшись формулой Рэлея д- 1ы*ЪЧ Ъ&'Ч" ~р1- D-34) к = 1 к = 1 Изложенный графический прием определения второй частоты является также одним из наиболее простых способов расчета второй частоты вала переменного сечения. 9. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРВОЙ ФОРМЫ. Другим способом выполнения условия D.31) при вычислении второй частоты является исключение из разложений коэффициентов Н1к первого слагаемого иии1к 2 » Рг или, как мы будем дальше говорить, исключение первой формы. После исключения первой формы разложения всех приближенных форм будут начинаться со слагаемого, содержащего в знаме-
9. Метод исключения первой формы 199 нателе вторую частоту, независимо от выбора исходной формы. Процесс итераций с произвольной исходной формой приведет автоматически, т. е. без направляющих поправок, ко второй собственной форме и соответственно ко второй частоте. Этот способ однако мало пригоден для практических расчетов, так как требует обширных и точных вычислений. Мы изложим здесь более удобный вариант этого метода, иногда называемый также методом понижения [В. Н. Фаддеева, 51]. Обозначим нормированные амплитуды первой собственной формы через ^11' ^12' ^13» иЫ' Искомая вторая форма ортогональна первой. Следовательно, амплитуды второй формы ^1> Ц2> ^3> ^4 удовлетворяют условию ортогональности ИЦ^1 + Ц12^2 + ^13^3 + ^14^4 = °- <4'35) С помощью этого условия мы можем исключить из уравнений п ^=р2 ^ кш^к, 1=1,2, ...,/1 D.36) одну из амплитуд, например ц1, и, таким образом, привести данную систему к новой с меньшим на единицу числом степеней свободы. Основная частота этой системы будет совпадать со второй частотой данной системы. Чтобы убедиться в этом, достаточно составить разложения коэффициентов приведенной системы по собственным формам данной (исходной) системы. После исключения первой амплитуды уравнения D.36) будут иметь вид1) п Ъ =р2 .?,(*» " Л'1 7гУ» *= *» 2» " ' п- D-37> к = 1 ч и\1 Разложения коэффициентов этих уравнений легко найдутся по известным разложениям коэффициентов исходной системы: н,к~На ^ ~&~7Г~ ^Д^Г '2^*' ^ 81)- } Первое уравнение D.36) можно отбросить, так как первая амплитуда не входит в правые части уравнений D.37) и ее величина не будет влиять на значения амплитуд [12, ц3, ц4.
200 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Когда 8=1, *,*- :Г-Ч1 = 0, иоЪ - и, следовательно, ъ - Ь ^1* = V !^ Гм - и1ки Вычисление коэффициентов уравнений D.37) можно расположить в матричную схему, представив матрицу этих коэффициентов в виде произведения \Н1Ь ~ Л*1 нп ^21 7*31 \НШ н12 . ^22 • ^32 • К* ¦ •• ъ1п1 •• ъ2А - Л3п •• Нпп\ 0 0 0 II ° _^12 "и 1 0 0 _^13 0 .. 1 .. 0 .. и и . 0 . 0 . 1 D.38) Первую строку произведения вместе с первой колонкой следует опустить и, начав умножение со второй строки первого множителя, построить матрицу (п - 1)-го порядка. С полученной матрицей можно дальше вычислять последовательные итерации по общему правилу, взяв за исходную произвольную матрицу столбец (например, матрицу-столбец с единичными элементами). После того как будут найдены с достаточной точностью амплитуды ц2, ц3> — » ЦЛ» первую амплитуду \хг мы получим из условия ортогональности D.35). Пример 7. Найти вторую частоту системы, рассмотренной в примере 1 (с. 175), Взяв из указанного примера амплитуды первой формы в пятом приближении 1; 3,03; 3,55; 1,32 (последний столбец табл. 3), найдем из условия ортогональности D.35) цх = -3,03ц2 - 3,55ц3 - 1,32ц4. Второй множитель произведения D.38) здесь будет 0 -3,03 -3,55 -1,32 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
10. Метод гармонических коэффициентов влияния 201 Если умножить его слева на матрицу коэффициентов ||Л^||, опуская при этом первую строку и первый столбец, получим матрицу 3-го порядка 40,24 20,92 3,19 37,57 66,46 17,84 12,30 21,25 36,68 10~6. С этой матрицей вычисляем дальше последовательные приближения, взяв в качестве исходной формы Во втором приближении получим ц2 = 1, 113 = 2,21, ц4=1,11. Вторая собственная форма всей системы имеет 1^ = 1, ц2 =-0,08, ц3 = -0,18, ц4 = -0,09. Границы для второй частоты во втором приближении будут 102,2 <р2< 105,2. 10. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ. Изложенные выше методы определения высших частот требуют предварительного нахождения собственных форм и частот, предшествующих по порядку искомым. Во многих практических задачах, например в исследованиях безопасности работы двигателя на заданном числе оборотов, где требуется лишь оценка отклонения рабочего числа оборотов от ближайшего «критического», расчет предшествующих частот является лишней, осложняющей дело, процедурой. Здесь важно иметь способ, позволяющий находить любую промежуточную частоту независимо от других и, в частности, предшествующих частот системы. Одним из таких способов является излагаемый далее метод гармонических коэффициентов1^. Этот метод дает возможность найти отклонение от заданного числа ближайшего к нему квадрата собственной частоты системы, а вместе с тем и сам квадрат этой частоты. Напомним определения гармонических коэффициентов влияния. В случае поперечных колебаний стержня (вала или балки) гармоническим коэффициентом влияния Аш называется максимальный (амплитудный) прогиб в точке I от единичного гармонического возмущающего перемещения, сообщаемого точке &, в ус- Х) См. статью автора [91].
202 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ тановившихся вынужденных колебаниях системы. Разложения коэффициентов А1к по собственным формам имеют вид Аш = X Л ^"Л 2> 1,Ь=1, 2, ... , /г, D.39) где ю2 — квадрат частоты возмущающего гармонического перемещения, причем со2 ф р2. В применении к крутильным колебаниям приведенного вала гармоническим коэффициентом Вш называется угол кручения участка Ь от единичного возмущающего гармонического момента, приложенного на участке к в установившихся вынужденных крутильных колебаниях системы. Разложения коэффициентов В1к по собственным формам в этом случае имеют вид вш = X 4^> *,й = 1,2,...,л, D.40) где со2 —квадрат частоты возмущающего единичного момента [оз2 ф рв2]. Коэффициенты А1к> В1к, обладают свойством симметрии: А/г = Аы, Вш = Вы и могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. Линейное преобразование Ц<*> = ЪВШ^\ 1=1,2, ...,П D.41) можно рассматривать, аналогично D.29), как совокупность формул1), с помощью которых по исходной форме „(О) „@) „@) Н-1 » М-2 > ••• > Ия вычисляется первое приближение, т. е. форма мA) мA) мA) М-1 » Н2 > ••• » Гп • Пусть разложение амплитуд исходной формы по собственным формам имеет вид п н|0)= 2 а8и8/, 1= 1, 2, ... , п. .9 = 1 Х) Вместо коэффициентов Вш в этих формулах могут быть взяты также и коэффициенты А1к.
10. Метод гармонических коэффициентов влияния 203 Тогда для разложений первого приближения, принимая во внимание формулы D.40), будем иметь П П 11 -г! П П л П П П п 7/ ^ = 15 = 1^8 ш / = 1 8-1^8 ш / = 1 А = 1 8 = 1^8 Ш Для второго приближения по формулам »12)=ЛвМ1]> *= 1,2, ...,/» получим: Продолжая вычисления, найдем для т-го приближения ^)=ЕТ7Г37^' /-1,2,..., п. D.42) а8Ц При достаточно большом т ^1 Гп2-гл2\т-1' р* где р2 — квадрат ближайшей к со собственной частоты системы. При достаточно большом т отношения соответственных амплитуд двух последовательных приближений будут стремиться к наименьшей разности р2 - со2: при т —> °° Лт- 1) ц(ш) Р82 "СО,2, D.43) а отношения амплитуд одного и того же приближения — к отношениям амплитуд собственной формы, соответствующей этой ближайшей к со собственной частоте р8. Таким образом, может быть построен сходящийся процесс итераций, результатом которого будет получение 8-й собственной формы и наименьшей по абсолютной величине разности р2 - со2. При этом число перемен знака амплитуд \л\т\ 1 = 1, 2, ... , я, определит порядок частотыр8, т. е. значение 8. Знак разности р2 - со2 и частота р8 определяются подстановкой в исходные уравнения найденной 8-й формы колебаний. Заменив в уравнениях D.41) коэффициенты Вш их абсолютными значениями, мы получим возможность судить и о погрешности расчета.
204 Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Пример 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВТОРОЙ ЧАСТОТЫ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВАЛА С ПЯТЬЮ ДИСКАМИ. Это тот же вал, о котором шла речь в примерах 2 и 8 гл. III (с. 117, 163). В расчете второй частоты мы будем исходить из уравнений: D.44) Гармонические коэффициенты от единичного гармонического момента частоты со =100 1/с, приложенного к различным участкам вала, будут (см. с. 163): Р2^1 = Р2^2 = л= Р2Ц4 = 10 987^ - 2 306 -2 306^ +28 589 * -20 421 * * ^2 |12-20 421 ц2 + 25 350 -10 643 ± ¦ 1 * Из ц3- Ю643 ц4 Цз+32 474 ц4 ЦБ, 81,30 -8,58 -16,91 -8,04 -8,58 -3,67 -7,24 -3,45 -16,91 -7,24 -4,66 -2,22 -8,04 -3,45 -2,22 3,39 10 5. D.45) 100 среди частот Не делая никаких предположений относительно места со системы, возьмем в качестве исходной формы Такую форму никак нельзя назвать близкой ко второй форме уже потому, что она не имеет перемен знака. Тем не менее и при такой форме мы получим из уравнений D.45) ответ на все вопросы, которые здесь вообще могут возникнуть. Неудачный выбор исходной формы только удлинит расчет. Вычислив но формулам D.41), где Вьк имеют значения D.45), первые пять приближений, получим табл. 9. Подставив в первое уравнение D.44) отношение ц2/И1 = -0,079, получим, чтор2 = 105,6. Для определения погрешности расчета мы используем свойства матрицы абсолютных значений коэффициентов В1к, которая в рассматриваемом примере имеет вид 10 81,30 8,58 16,91 8,04 8,58 3,67 7,24 3,45 16,91 7,24 4,66 2,22 8,04 3,45 2,22 3,39 Таблица 9 1 2 3 4 ,,@) Я/ 1 1 1 1 и(,1}* хЮ5 47,82 -22,94 -31,03 -10,32 ц<*> № 1 -0,480 -0,649 -0,216 Ц?} х хЮ5 98,13 -1,37 -9,93 -5,67 № А2) 1 -0,014 -0,101 -0,058 № х хЮ5 83,60 -7,60 -16,21 -7,97 И<3) Л3) 1 -0,091 -0,194 -0,095 ц<4> х хЮ5 86,12 -6,52 -15,14 -7,62 № № 1 -0,076 -0,176 -0,088 ц<«>х хЮ5 85,64 -6,73 -15,34 -7,69 № № 1 -0,079 -0,179 -0,090
1. Критические числа оборотов прямых валов 205 Таблица 10 1 1 2 3 4 ц<?> 1 1 1 1 цA).Ю5 114,81 22,94 31,03 17,10 № № 1,00 0,20 0,27 0,15 ^2) • 105 88,78 11,78 19,95 9,82 Л2) Л2) 1,00 0,13 0,22 0,11 Границы р| - со2 В первом приближении 871,0 <(р|- со2) < 2151,93 Во втором приближении 1126,36 < (р| - со2) < 1242,81 Значения амплитуд в первом и втором приближениях при исходной форме |1г@) =1, *=1,2,...,л, а также границы разности р\ - со2 приведены в табл. 10. Так как Р\ > со2, для второй частоты во втором приближении будем иметь 105,5 <р2< 106,0. Глава V Явления резонанса в машинах 1. КРИТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОБОРОТОВ ПРЯМЫХ ВАЛОВ. Расчеты критических скоростей или чисел оборотов прямых валов ротатив- ных машин представляют собой одно из главных практических приложений теории, изложенной в предыдущих главах. В обычном словоупотреблении критическими скоростями принято называть все скорости, при которых наступают разного рода нарушения нормального хода машины, выражающиеся большей частью в появлении биений вала или вибраций всей установки в целом. Не все, однако, такие критические скорости имеют непосредственное отношение к теории колебаний вообще и, в частности, к линейным задачам последней. Некоторые критические состояния вала связаны со сложными (большей частью, нелинейными) процессами, и их исследование, составляющее важный
206 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ раздел учения об упругой устойчивости и конструктивной прочности деталей машины, выходит за рамки линейной механики. Мы ограничимся кратким изучением главных критических скоростей, расчет которых приводит к задачам об определении собственных значений линейных систем, аналогичным задачам об определении собственных частот колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Первые теории критических состояний вала и первые определения главных критических скоростей были построены в связи с опытами над балансировкой роторов паровых турбин с большим числом оборотов1*. Из этих теорий практическое значение получила главным образом теория Стодолы, которую мы и положим в основу наших исследований [82, § 191]. Согласно теории Стодолы, хорошо согласующейся с опытом, общий характер поведения вала в критическом состоянии можно описать следующим образом. Точно сбалансированный вертикальный2) вращающийся вал в некритических условиях сохраняет прямолинейную форму, которая в этих условиях является формой его устойчивого упругого равновесия. Небольшие изгибные колебания вала, возникающие от случайных воздействий, быстро затухают, не вызывая заметных нарушений нормальной работы машины. При некоторых определенных скоростях вращения прямолинейная форма перестает быть формой устойчивого равновесия. Получив при одной из таких скоростей прогиб, вал не возвращается в прямолинейное расположение: его изогнутая ось, сохраняя свою форму, начинает обращаться вокруг линии подшипников, обычно в ту же сторону и с той же скоростью, с какой совершается вращение вала, передающее вращающий момент на рабочий орган машины (случай прямого или положительного обращения)^. Скорость или число оборотов, при которых происходит описанное явление, на- Х) В частности, в связи с известными опытами шведского инженера Г. Лаваля, изобретателя турбины Лаваля. Вал турбины Лаваля делал свыше 30 000 оборотов в минуту. 2) Рассматривая точно сбалансированный вертикальный вал, мы можем не учитывать при определении критических скоростей его собственного веса. 3) Термин вращение (или собственное вращение) мы сохраняем для вращения, передающего вращающий момент; обращение относится к движению изогнутой оси вала вокруг линии подшипников в критическом состоянии. В дальнейшем обращение называется также прецессионным движением или прецессией.
1. Критические числа оборотов прямых валов 207 зываются критическими. А. Стодола установил также возможность обращения изогнутой оси вала в сторону, противоположную собственному вращению вала (обратное или отрицательное обращение). При отрицательном обращении изогнутая ось вала располагается по кривой двоякой кривизны, и вал подвергается дополнительному кручению1*. При весьма большой жесткости на кручение, которой обычно обладают ступенчатые валы турбин, и при наличии эксцентриситета насадки дисков такое обращение само по себе возникнуть не может. Этим объясняется значительно меньшая вероятность критических состояний с отрицательным обращением по сравнению с критическими состояниями прямого обращения. Для возникновения отрицательного обращения необходимо наличие условий, редко осуществляющихся в промышленных машинах: полное отсутствие неуравновешенности (статической и динамической), малая крутильная жесткость вала и, наконец, наличие возмущающей периодической силы (не вызванной неуравновешенностью) [К. Б. Бицено, Р. Граммель, 63]. Основываясь на результатах теоретических и экспериментальных исследований критического состояния прямых валов, выполненных А. Стодолой, можно сформулировать определение критической скорости вращающегося вала. I Критической угловой скоростью вращающегося вала называется такая скорость его вращения, при которой упругие восстанавливающие силы и моменты, возникающие при прогибе вала, уравновешиваются силами инерции и моментами сил инерции сосредоточенных масс в их обращении вокруг линии подшип- I никое. В обычных расчетах на критическое число оборотов жестких валов2) рассматривают в первом приближении массы сосредоточенных нагрузок как точечные и не учитывают моментов сил инерции этих масс (и соответственно упругих восстанавливающих моментов). Для таких расчетов определение критической скорости можно изложить следующим образом. Х) Кроме кручения, вызванного передачей вращающего момента. 2) Жестким называется вал, рассчитанный так, что его наименьшее критическое число оборотов выше нормального рабочего числа оборотов. Вал, наименьшее критическое число оборотов которого ниже нормального рабочего, называется гибким валом.
208 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ т Критической угловой скоростью называется угловая скорость вращения вала, при которой упругие восстанавливающие силы, возникающие при прогибе вала, уравновешиваются силами инерции сосредоточенных масс в их обращении вокруг линии подшипников. т Легко видеть, что задача о вычислении таких критических скоростей приводится к нахождению собственных частот поперечных колебаний рассматриваемого #2 1 вала. Рассмотрим, например, вал на двух опорах с тремя сосредоточенными массами тг, т2, т3, вращающийся с угловой скоростью со 1/с. При обращении изогнутой Уз[ оси вала вокруг линии подшипников возникают центробежные силы га^со2, т2у2ы2, т3у3ы2, где у19 у2, у3 — отклонения1* оси вала (рис. 46) от линии подшипников в местах крепления сосредоточенных масс. В критическом состоянии эти силы должны уравнове- Рис. 46 шиваться упругими восстанавливающими силами, возникающими при деформации вала. Условия такого равновесия могут быть записаны в форме уравнений C.8) обобщенного закона Гука, если заменить в них силы Р. на яг-г/.оо2: п уь = ю2 Е ашткук, 1=1,2, ...,п E.1) к = 1 (а^ — статические коэффициенты влияния). Исключив отсюда уь, приходим к уравнению для критической скорости со апт1 - 1/со2 а12т2 а13/п3 а21т1 а22т2 - 1/со2 а23т3 аг\т\ ^Ъ2т2 а3з^з " 1/с°2 0, E.2) которое ничем не отличается от уравнения частот (векового уравнения) поперечных колебаний того же вала. Вал, масса которого (вместе с дисками) приведена к сосредоточенным точечным массам, представляет собой систему с п степе- Х) Эти отклонения предполагаются прямолинейными и перпендикулярными линии подшипников.
2. Гироскопический момент 209 нями свободы и имеет п собственных частот. Каждой из этих частот соответствует особое значение критической скорости. Число критических скоростей приведенного вала в первом приближении равно, таким образом, числу его степеней свободы. Из изложенного следует, что все рассмотренные в предыдущих разделах способы приближенного определения частот и форм поперечных колебаний стержней и балок могут быть использованы без особых изменений в качестве способов расчета критических скоростей в первом приближении1). 2. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ МОМЕНТ. При определении критической скорости в первом приближении рассматриваем расположенные по валу массы как точечные и учитываем только центробежные силы этих масс. Но обычно последние представляют собой диски иногда значительных поперечных размеров. При прогибе вала плоскость диска поворачивается вокруг одного из своих диаметров. Возникающие при этом силы инерции будут приводиться не только к главному вектору (приложенному в месте крепления диска), но и к главному моменту, который, смотря по обстоятельствам, может действовать на вал и как изгибающий, и как восстанавливающий, соответственно уменьшая или увеличивая критическое число оборотов. Отметим прежде всего, что когда главный момент сил инерции сосредоточенных на валу масс (дисков) отличен от нуля, критические скорости не равны собственным частотам поперечных колебаний вала. В самом деле, при плоских поперечных колебаниях вала диск поворачивается вокруг оси, перпендикулярной плоскости прогиба, и момент сил инерции равен М = -А§, где 0 — угол поворота касательной к оси вала в месте крепления диска, А — экваториальный момент инерции диска (момент инерции относительно диаметра, перпендикулярного плоскости прогиба). Когда вал совершает одно из главных колебаний 9 = а виг (р1 + у), максимальный момент сил инерции равен Мтах=^Р2<*' Х) Большое число расчетных схем приведено в книгах М. И. Яновского [59] и И. Холбы [71].
210 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ Рис. 47 Этот момент имеет знак, одинаковый со знаком а (рис. 47). Он действует как изгибающий момент, увеличивает прогиб вала, как бы делая его менее жестким. В критическом состоянии момент сил инерции имеет другое значение. Здесь к собственному вращению вала, передающему рабочее усилие, присоединяется обращение изогнутой оси вала вокруг линии подшипников. Обращение вала в критическом состоянии не является простым вращением твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно не может быть также без существенных оговорок определено и как прецессионное движение, в котором роль гироскопа играет диск, совершающий собственное вращение. Как показывает опыт, обращение представляет своеобразную деформацию вала, которую можно считать вращением не вала, а его прогиба вокруг линии подшипников. Такое вращение прогиба можно воспроизвести, зажав концы свободно свисающего резинового шланга и затем поворачивая изогнутую форму шланга вокруг оси, проходящей через зажимы. Если предположить, что вал несет один диск, жестко закрепленный в точке, где касательная к изогнутой оси вала почти параллельна линии подшипников, т. е. образует с последней малый угол а, то при таком движении поперечное сечение вала в точке крепления диска будет вместе с диском совершать поступательное движение, кинематически эквивалентное паре вращений с угловыми скоростями, равными угловой скорости обращения. Когда вал передает вращающий момент (в собственном вращении) и совершает обращение, диск, жестко насаженный на вал указанным выше способом, имеет три угловые скорости: угловую скорость собственного вращения со и две угловые скорости ыг и -(ог обращения, направленные, как показано на рис. 48. Отсюда следует, что диск можно рассматривать как гироскоп, совершающий прецессионное движение, только при условии добавления к скорости собственного вращения одной из угловых скоростей пары обращения.
2. Гироскопический момент 211 Это обстоятельство нужно иметь в виду при использовании формул теории гироскопов для вычисления момента сил инерции диска как гироскопического момента, в частности, известной формулы для величины О гироскопического момента при регулярной прецессии гироскопа1* О = -П^СО 81П а + + (С - А) Г2г 81П а сое а], E.3) где С1 — угловая скорость собственного вращения гироскопа, С1г — угловая скорость прецессии, А и С — экваториальный и полярный моменты инерции ротора гироскопа. Направлен гироскопический момент в сторону векторного произведения При применении формулы E.3) для вычисления гироскопического момента диска в критическом состоянии следует различать два случая. ¦ Случай прямой или положительной прецессии: изогнутая ось вала обращается со скоростью собственного вращения в ту же сторону, в которую происходит последнее (рис. 48, а). В этом случае, как видно из рисунка, вал вместе с диском совершает одно простое вращение вокруг линии подшипников с угловой скоростью С1г = оо1 = со. Величину гироскопического момента найдем из формулы E.3), полагая в ней С1, = со, О. = 0: Рис. 48 О = -(С - А) со2 8И1 а соз а, 1} См. формулу A.41) на с. 34.
212 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ или приближенно О = -(С -А) со2а. E.4) Когда С > А, гироскопический момент имеет знак, противоположный знаку угла а. Он действует в этом случае как восстанавливающий момент, увеличивая жесткость вала и повышая критическую угловую скорость. ¦ Случай обратной пли отрицательной прецессии, изогнутая ось вала обращается с той же угловой скоростью, с какой происходит собственное вращение, но в сторону, противоположную последнему. В этом случае, как видно из рис. 48, б, ^ = 2со, 0.х = сох = + со. Отсюда, принимая во внимание, что теперь угол между О и С1г равен а + л, из формулы E.3) получаем О = со [2Ссо зги а - (С - А) со зт а соз а], или приближенно <3 = (С+А)со2а. E.5) Знак гироскопического момента совпадает со знаком угла а; этот момент действует, таким образом, как изгибающий момент, увеличивая прогиб вала, как бы уменьшая его жесткость, а вместе с ней и критическую угловую скорость. 3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ВАЛА СО МНОГИМИ ДИСКАМИ. В уточненных расчетах критической скорости гибких валов учитываются не только силы инерции дисков, но и гироскопические моменты последних, так что уравнения для определения критических скоростей, прогибов и углов поворота составляются как уравнения равновесия между центробежными силами и гироскопическими моментами — с одной стороны и упругими восстанавливающими силами и моментами — с другой. И здесь мы снова приходим к задаче об определении собственных значений линейной системы. Однако эта задача уже не совпадает с задачей об определении собственных частот поперечных колебаний (как это имело место в первом приближении). Мы ограничимся случаем прямой прецессии и для упрощения расчетов предположим, что С = 2А. В этом случае гироскопический момент О = -Асо2а.
3. Уравнения для критической скорости вала 213 Обозначим через а1к и р^ соответственно прогибы и углы поворота в точках I от единичных сил, приложенных в точках /г. Пусть далее а-д, и р-^ будут соответственно прогибы и углы поворота в точках I от единичных моментов, приложенных в точках к. Величины а1к9 Р^, а[к, р^ удовлетворяют условиям симметрии, причем а1к = Р-д,. Прогибы уь и углы поворота 6- в точках I от совместного действия сил Ек и моментов Ок> приложенных в точках к, определяются соотношениями E.6) к = 1 /е = 1 Эти соотношения являются одновременно уравнениями равновесия между силами Кк, моментами Ок и упругими восстанавливающими силами и моментами, возникающими при прогибе вала. В критическом состоянии вала этим уравнениям удовлетворяют центробежные силы и гироскопические моменты дисков. Положив поэтому Кк = тка2ук, Ок = -АкыЧк, приходим к системе уравнений п п \ п У E.7) 1_^1кткУк' к^^1кА^к\' \ Условие, при котором прогибы уь и углы поворота 0^ не равны нулю (что как раз и имеет место в критическом состоянии), запишется в виде равенства нулю определителя системы E.7): Ч1"Ч ^1птп апАг а1п^п ап1т1 апптп ~ —2 ап1А1 ... аппАп Р1п^п РиА + ~2 -• ^пАп КхА1 - РпЖ + 0. E.8)
214 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ В рассматриваемом случае (прямая прецессия) это уравнение имеет п положительных корней. Остальные п корней этого уравнения — отрицательные. Таким образом, в случае прямой прецессии система имеет п вещественных критических скоростей1*. В практических расчетах уравнением E.8) можно пользоваться, когда число дисков не превышает двух. В других случаях приходится прибегать к построению специальных приближенных способов. Такой способ дает, например, формула Рэлея C.119), надлежащим образом приспособленная к рассматриваемой задаче. Чтобы получить эту формулу, умножим каждое из первых п уравнений E.7) на соответствующие тп0 = Bьш сложим все уравнения почленно. После суммирования получим п п п п п §1 тпу^оу2 2 Я{ 2 а1кткУк - со2 I Я1 2 а'1кАквк = 1 = 1 1 = 1 к = 1 1 = 1 к = 1 п п п п = ш2 2 в^Ео^-со2 I Аквк Еа^, E.9) к=1 1=1 к=1 1=1 Суммы 1 = 1 1 = 1 1 = 1 представляют: первая (?к) — статический прогиб в точке к от совместного действия всех нагрузок (?•; вторая (<рк) — угол поворота в точке к от совместного действия тех же нагрузок. Подставив эти обозначения в E.9), получим п п п 1 = 1 1=1 1 = 1 откуда следует ё^гпьуь со2 = —- 1- . E.10) I I Если принять в соответствии с принципом Рэлея, что прогибы пропорциональны статическим прогибам /., а углы 0^ пропорциональны статическим углам поворота ф^, то из E.10) получится Х) В случае обратной прецессии уравнение E.8) определяет 2п положительных значений со2, как в системе с 2п степенями свободы. То же имеет место и при С < А. См. Е. Л. Николаи [38].
3. Уравнения для критической скорости вала 215 следующая формула для квадрата первой (наименьшей) критической скорости при прямой прецессии: *Х>«Л со. ]>>*/? - ЕЛф? E.11) или, если обозначить через со критическую угловую скорость, вычисленную без учета гироскопических моментов то ^кр ^кр 1 I I 1 1-1А4ф2/1/п,7? E.12) Применение формулы E.12) не требует дополнительных построений, кроме тех, которые необходимы для нахождения основной частоты без учета гироскопических моментов. С построенной один раз статической упругой линии нужно снять вместе с прогибами /• углы поворота касательных ср;., причем последние только в местах крепления дисков1). Пример 1. Найти критическое число оборотов гибкого консольного вала с одним диском (рис. 49) при следующих данных: Я = 60 см, с* = 10 см, Н = 8см, * = 100 см, / = 491 см4, у = 7,8 Г/см3, Е = 2 • 106 кГ/см2, т = 0,18 ^1211^19 А = 40,5 кГ • см • с2, С = 81 кГ • см - с2. Вал укреплен в обыкновенном (не поворачивающемся) подшипнике, который можно рассматривать как жесткое закрепление. Вычислим коэффициенты влияния по формулам I3 Г3 ЗЕГ ЕГ гг  1 / *^ ~ к _ _1 \н , и«е— Рис. 49 Х) При очень больших А, из формулы E.12) для (о может получиться мнимое значение. В этом случае гироскопические моменты делают вал настолько жестким, что совершенно устраняют возможность появления критических состояний.
216 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ = 0, В рассматриваемом случае ап = 0,34-10-3, а11 = р11 = 0,51-10-5, р{х = 1,02 • 10~7, ацр^-а^ОДЮ-Ю0. Уравнение E.8) для критической скорости прямой прецессии запишется следующим образом: I а11т - 1/со2 а'цА I рпт р'пА + 1/ео2 или со4 + ап^-Ар{1 ш2_ 1 =() Ат(апр^ - ай) Агп(ап^{1 - а{\) После подстановки числовых значений получим со4 + 8,3934 • 105со2 - 1,5242 • 1010 = 0. Это уравнение имеет один положительный корень со2 ~ 0,1776 • 105, которому соответствует одна вещественная критическая скорость сокр = 133 1/с. Критическая скорость, вычисленная без учета гироскопического момента диска из уравнения а11тсо2 - 1 = 0, составляет около 128 1/с. Гироскопический момент прямой прецессии повышает критическое число оборотов. В случае обратной прецессии уравнение, аналогичное уравнению E.8), имело бы в рассматриваемом случае вид - За[хА риш ЗРпА--^ 0, откуда следует со4 - 3,7393 • 105со2 + 0,5081 • 1010 = 0. Это уравнение имеет два положительных корня для со2, которым соответствуют два вещественных значения критической скорости обратной прецессии ю1кр « 119 1/с, ш2кр « 600 1/с. Таким образом, для однодискового консольного вала возможны три критических состояния при скоростях вращения 119 1/с, 133 1/с, 600 1/с. Из этих возможных для консольного вала критических состояний критические состояния обратной прецессии возникают в специальных условиях, о которых речь шла раньше.
3. Уравнения для критической скорости вала 217 Жесткий консольный вал можно рассчитывать на критическое число оборотов по одной массе диска, не принимая во внимание гироскопического момента. Отметим, что критическое число оборотов без учета гироскопического момента всегда лежит между двумя критическими числами обратной прецессии. Когда С < А, однодисковый вал имеет две вещественные критические скорости и при прямой прецессии, в чем легко убедиться в нашем примере, подобрав подходящим образом численные значения моментов А и С. Однако в этом случае оба значения критической скорости лежат выше критической скорости без учета гироскопического момента, причем область между двумя критическими скоростями прямой прецессии является областью неустойчивых движений вала. Аналогичное явление имеет место также в случае, когда на вал насажен не диск, а тело с неодинаковыми главными поперечными моментами (например, пропеллер или ротор генератора). В заключение приводим таблицу коэффициентов влияния для однодис- кового вала (при различных способах закрепления). Схема Ри «11011 м ЗЕ1 I2 2Е1 Е1 I4 12(Е1J а2Ъ2 31Е1 аЬ(Ь - а) 31Е1 а3 + Ь3 312Е1 а3Ь* 912(Е1J а3Ь3 313Е1 а2Ь2(Ь - а) 213Е1 аЬ(а3 + Ь3) а*Ь4 1*Е1 \21\Е1J а3Ъ2(За +46) а2ЬBЬ2- а2) аDЬ3 + а3) а*Ъ3 \213Е1 А13Е1 и3Е1 1213(Е1J
218 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ 4. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ. Метод начальных параметров в матричной форме является одним из весьма эффективных приемов расчета динамических напряжений в сечениях вала при любых сосредоточенных или распределенных гармонических нагрузках. В окончательных результатах расчета этот метод приводит к развернутому вековому уравнению, что дает возможность использования его для нахождения всех собственных частот (или критических чисел оборотов) вала. С помощью введения подходящих масштабов для длин и нагрузок расчеты по этому методу становятся легко выполнимыми даже ручными счетными приспособлениями, не говоря уже о быстродействующих цифровых машинах, где итеративная природа метода начальных параметров оказывается особенно приспособленной для программирования и выполнения вычислений. Имея в виду применения метода начальных параметров к расчету критических чисел оборотов прямых (безмассовых) валов, нагруженных сосредоточенными силами и моментами, мы будем исходить в обосновании метода из универсальной формулы упругой линии, формулы, представляющей общий интеграл уравнения 6.x2 Е1(х)±-Ц= М(х) E.13) при различных предположениях относительно моментной нагрузки М и жесткости Е1 (см. А. Н. Крылов, [102]). Обозначим через СЭ0 и М0 соответственно поперечную силу и изгибающий момент на левом конце вала (х = 0). Пусть в точках а-, / = 1, 2, 3, ..., на вал действуют сосредоточенные силы Р- и моменты М). Уравнение упругой линии E.13) в этом случае будет иметь вид с\2и Ян* М() /3,(х - а,) _ М, ^-Л = -22 + 5_ + V — - + V — E 14) 6х2 Е1(х) Е1(х) ^ Е1(х) ^ЕЦх)' К' } где в суммы, стоящие справа, входят только силы и моменты, расположенные слева от сечения х. Чтобы найти решение уравнения E.14), составим его изображение по правилам операционного исчисления. Положив У(р) -т-> у(х), Рг(р) -:-> т4-, р2(р) -^ -етп^ • р№ "^ Е1(х) 1УГ' Е1(х)
4. Метод начальных параметров 219 найдем изображение уравнения E.14): р2 [у(р) - у@) - |г/'@)] = ЯоР.ф) + М0Р2(р) + 1Р;ад + 1МЛ(Р)- Отсюда изображение искомой функции у(х): У(р) = у@) + 1 г/'@) + ^ «о^1(Р) + р Мо-Р2(Р) + + 2Р,1^(Р)+2:м/1р2(р). Применяя к слагаемым, содержащим сосредоточенные силы и моменты, теорему свертывания, получим *,> - ,@) + * @) + Я, [ Ь^&р + м011^И + Такова универсальная формула упругой линии вала переменного сечения1*. В суммы справа входят только слагаемые, в которых х больше а19 и следовательно, для различных отрезков, на которые вал разделяется точками аь, функция у(х) имеет различные аналитические выражения. Аналогичным путем может быть построена универсальная формула и для более сложных видов нагрузки. Для ступенчатых валов интегралы, входящие в формулу E.15) и содержащие в промежутках интегрирования точки, в которых момент инерции 1(Ь) скачком меняет одно конечное значение на другое, также конечное значение, вычисляются просто как суммы интегралов, взятых по участкам с постоянным 1(%). В других случаях эти интегралы находятся приближенно — графически или по одной из квадратурных формул. Для вала постоянного сечения по всей длине интегралы в формуле E.15) легко вычисляются и формула приобретает более простой вид: у(х) = у@) + у'@) х + |°^ + ^^ + + ёШ^Р>{х " а'K + Ш^Щх " а<J' EЛ6) !) Вывод универсальной формулы упругой линии при помощи ряда Маклорена см. в ст. Н. К. Снитко [118]; другой вывод — в кн. Ш. Е. Микеладзе [34].
220 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ Величины 1/@), у'@), М0, ф0, обозначающие соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу на одном из концов вала, называются начальными параметра ми. В простейших случаях закрепления концов вала два параметра на каждом конце равны нулю и формулы E.15) и E.16) содержат только по два неизвестных параметра. Так, например, если на одном конце вала шарнирная опора, то на этом конце у = М0 = 0. Если этот конец жестко закреплен, то У = У' = 0, если свободен, то м0 = Я0 = о. Два других параметра определяются из условий закрепления другого конца вала. В критическом состоянии на вал, совершающий прямое обращение, действуют сосредоточенные центробежные силы тьуь(^2 и гироскопические моменты (-А^со2), где уь, у\ — прогибы и углы поворота в точках а-; /п., А- — соответственно массы и экваториальные моменты инерции дисков; со — критическая угловая скорость. Выражения для этих сил и моментов следует подставить вместо Рь и М- в формулы E.15) и E.16), после чего последние принимают вид: формула E.15) X X М - „@) + ч,чо) + е„} (*-у + м„ [ <^М5 + формула E.16) «0 „3 4- М0Г2 у(х) = 1/@) + ху'@) + ^ ** + ^ ж* + + ем ? т^ю2 (х ~ а*K ~ ш ? А^*(°2 (* ~ а<J- EЛ8) Вычислив по правилу дифференцирования по параметру последовательно первую, вторую и третью производные от у(х).
4. Метод начальных параметров 221 приходим к основным уравнениям метода начальных параметров" у(х) = 1/@) + у'@) х + М0 / (* \^ + $0 / (ХГГ%^ + о ДЩ) ЕЩ) ЕР,! (*-<;)(!; ЯД5) + ; Ч И(У : У^-^) + мАеЖ)+ЯЛШ) + + 1Р,1 ЕМ Л Е1(%) E.19) ($-а,)а!; Я/D) М(х) = М0 + ф0х + 1Рг (х - а;) + ХМ;, С помощью этих уравнений можно найти прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в любом сечении вала по значениям этих величин (параметров) в сечении, принятом за начальное (обычно на одном из концов вала), т. е. по начальным значениям этих параметров. Знаки отдельных членов в формулах E.19) ставятся в соответствии с принятыми направлениями осей координат, прогибов, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы. Соотношения между начальными параметрами и их значениями в каком-либо сечении вала можно представить в виде произведения некоторой квадратной матрицы на матрицу-столбец. Это произведение строится следующим образом. Рассмотрим участок вала между /-м и (I + 1)-м сечениями (ведя счет индексов справа налево), состоящий из безмассового отрезка стержня длиной /•, жесткостью Е11 и сосредоточенной массой т1 (рис. 50). Обозначим параметры в сечении I через у., 6^, Мр ф., в сечении (Ь 4- 1) — через 1//+х, 9/+1, М1 + 1,Я1 + 1. Между этими параметрами в силу E.19) ; + 1 Рис. 50 Х) См. статью Н. И. Безухова [94, с. 172].
222 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ при принятом порядке нумерации сечении и масс имеют место соотношения 0,4-1 -У1-^г11 + М1Ум^Я1Уя.^ \ м^^м^я^ E.20) где УМ; Ум, = 'г ^ - & ^ = 1^ 0 Е1; ' У<?; 'Г (*, - ^ <^ 1 я/, о Е1, Подставив в четвертое уравнение вместо у1 + г его выражение из первого, получим систему уравнений, в которых параметры в сечении (г + 1) выражены через параметры в сечении г: У 1+\ = У1 - еЛ + м;.1/м, + $/«/<?,> 9, + 1 =%-М,умГЯ1у1д1, <2, + ] = т-ю2г/, - т,<о2/,0,. + щ;ю2М;г/м. + [1 + т-со2^.] ф;. Принимая во внимание правило умножения матриц, последние соотношения можно записать следующим образом: У1 + 1 е; + 1 м1 + 1 в/+1 = 1 0 0 ~1' 1 0 Ум, ~Ум! 1 Уа. ~Уя 1; У-1 E.21) т7оз2 -т-оJ/, /п,-со 2 г/м 1 + т^уд Если жесткость .Б/, рассматриваемого участка постоянна, то уравнение E.21) будет иметь вид I? Уь + 1 м,. «1 + 1 1 0 0 т,со2 1 0 *? 2Е11 _±_ 1 6Е1{ _ I? 2ЕЦ I, -т,(я211 т,ш 1} 2 1 2Е1, 1 + ^;со2— 6ЕЕ Уг E.22)
4. Метод начальных параметров 223 Значения параметров в сечении (* 4- 1) будут начальными для следующего слева участка вала и т. д. до левого конца вала, где, приравняв нулю два параметра, в соответствии с условиями закрепления этого конца получим уравнение частот системы. Квадратную матрицу в уравнении E.22), руководствуясь тем же правилом умножения, можно представить произведением двух матриц более простой структуры: О О -и 1 О -т,со2/7- I? 2Е1( _к_ Е1, 1 1} 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2Е1, 1 -/ -А 2Е1Ь /? 6ЕГ + 1 I? 0 0 0  1 0 0 2Е11 Е1ь 1 0 6Я7; 2Е1 1ь 1 1 II II - 'Ай1ь Ъи1ь || I I2 О 10 0 0 1 —1- —1— . E.23) Е11 2Е1Ь 0 тьа>2 Первый множитель в этом произведении называется матрицей массы; дальше он обозначается через 2)?; второй — матрицей жесткости @. Если нужно учесть гироскопический момент (-А^со2) сосредоточенной массы, то в матрице 5ДО появится еще один отличный от нуля элемент, и она будет иметь вид ж- 1 0 0 0 0 10 0 0 -А;»2 1 0 тп,со2 0 0 1 E.24) Произведению Шг% можно дать и другое выражение, удобное для некоторых числовых расчетов: ЗМ^ = тьы2В1 + %, E.25)
224 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ где Д 0 0 0 1 0 0 0 -и 0 0 0 1? 2Е1 0 0 0 1? 6Е1 Можно составить также матрицы для упругих опор и сосредоточенных пульсирующих сил, но использование этих матриц в случае, например, жестких опор связано с некоторыми осложнениями, требующими развернутых объяснений1*. Можно, впрочем, обойтись без построения специальных матриц жестких опор, с помощью простого приема, как это показано в примере 3. Пример 2. РАСЧЕТ ПЕРВОГО И ВТОРОГО КРИТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОБОРОТОВ СТУПЕНЧАТОГО ВАЛА (рис. 51) МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МАТРИЧ НОЙ ФОРМЕ. Матрица-столбец начальных параметров на правой опоре сод ер жит два отличных от нуля параметра: угол поворота Э0 и поперечную силу ($0. Эту матрицу мы представим в виде суммы 0 во 0 #0 = 0 1 0 0 0О + 0 1 0 0 1 1 Яо " А>- Перенумеровав участки, на которые вал разделяется точками приложения сил (?!» Я2 и переходным сечением С, а также массы нагрузок в порядке1 IV III II <Э2 = 100 кг Ю^бОкг В 60 см 40 см >^< ^ 13 = 40 см 12 = 100 см 1г = 60 см Рис. 51 Х) См. статью X. Фурке [125].
4. Метод начальных параметров 225 их следования от Б к А (т. е. справа налево), запишем план расчета в таком виде: # = ©4 ЗЯ4 ®3 ®2 2Й! ©1 А) ^> (^-26) где ^ — матрица-столбец значений параметров на левом конце. За единицу длины I принимаем длину первого участка вала 1Х = 60 см, за единицу силы Р = 6Е1г/1\ кГ, где 1г — момент поперечного сечения первой половины вала, /х = 63,58 см4, Е = 2,1 • 106 кГ/см2. В этих единицах элементы матриц 6* и ЭЭТ будут иметь числовые значения: на первом участке / = 1 ./ 1* = 1.1 ** = ч! -Ь- = (\— • 1 ' 6Е1, Р' 2Е1, Р' Е1Х 1Р ' на втором участке *»=?/ = 0,67/, Л_=о,зо1, Л_=1,зз±, _^_=4^ 2 3 ' 6Е1г ' Р' 2Е11 ' Р' Д/2 /Р' на третьем участке *о = 1-/, -А. =0,321, _М_=о,9б1, -^-=1,90-1-; 3 ' 6Е12 ' Р' 2Е/2 ' Р' Д/2 ' 1Р' на четвертом участке ^=о'б7г' ей-,-0'09?- ш;-0,42?- йг1-26^- Буквы / и Р — это названия новых единиц длин и сил. В расчете фигурируют только числовые коэффициенты при этих названиях. В единицах / и Р элементы матриц массы т^2 и га2оо2 имеют следующие выражения: т1ш2 = 5[10-2со2^-] = 5р2, /п2со2 = 10 Гю-2ю2 -4Ь" 1 = 10Р2' где со2=6д/118°8^2 =370 881р2. E.27) ч ч Самые вычисления в соответствии с планом E.26) располагаем в виде схемы (табл. 11), построенной по правилу: умножив вектор И0 на @х, произведение Й^о располагаем под /H. Так же поступаем с произведениями 30?1@1^>о» @23)?1@1^05 ®з®2^1®1-^о - и т* д-> они на схеме располагаются каждое под предыдущим. N 10456 Бабаков
226 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ 1 г _1 0 1 0 0 1 о о 1 * ° 0 1 0 0 I 5р2 0 I 1 -0,67 0 1 0 0 1 ° ° II 1 -1 0 1 0 0 || 0 0 1 г ° 0 1 0 0 || Юр2 0 1 1 -0,67 0 1 0 0 1 ° ° 3 -6 1 0 0 0 1 0 1,33 -4 1 0 0,95 -1,90 1 0 0 0 1 0 0,42 -1,26 1 0 Таблиц 1 I -3 1 1 II 0 1 0 0 1 1 0,30 | -1,33 0,67 1 1 0,32 | -0,95 1 1 || 0 1 0 0 1 1 0,09 | -0,42 0,67 1 1 1 ° 1 0 II о 1 _1 1 0 || 0 II _1 1 0 1 ~5 е0 + е0 + е0 + 0 0 0 — 3 а 1 1 Я0 я0 — 3 | 1 + 5р2 | -1,67 - 1,5р2 1 + 6,65р2 -3,35р2 -5р2 | -2,67 - 12,93р2 1 + 17,77р2 -8,35р2 1 -5р2 ко бп + е° 1 II -2,67 - 12,93/?2 | 1 + 17,77р2 -8,35р2 1 -31,7р2 - 129,Зр4| о0 + 4,64 + 1,5/?2 -8,33 - 6,65р2 1,67 + 3,35р2 1 + 5р2 14,88 + 12,93р2 -12,45 - 17,77р2 2,67+ 8,35р2 1 + 5р2 к>п **о Яо || 14,88 + 12,93р2 -12,45 - 17,76р2 2,67+ 8,35р2 || 1 + 153,8р2 + 129,Зр4 #0 в = -3,34- 31,20р2- 11,66р4 -29,59р2-86,63р4 24,43 + 42,18р2 + 11,64р4 3,34 + 111,4р2-86,63р4 Яо Отмеченные звездочками элементы последних матриц вычислять не нуж но, так как они в условия на левом конце (шарнирная неподвижная опора) не входят. Таким образом, на левом конце (-3,34 - 31,20р2 - 11,66р4) 90 + B4,43 + 42,18р2 + 11,64р4) <Э0 = 0, (-29,59р2 - 86,63р4) 90 + C,34 + 111,40р2 + 86,63р4) Я0= 0.
4. Метод начальных параметров 227 Исключив из этих уравнений 60 и ф0, приходим к вековому уравнению системы, которое после приведения подобных членов будет иметь вид Его корни 439,48р4 - 246,59р2 + 11,16 = 0. р\ =0,0497, р| = 0,5113. По формулам E.27) получаем для первой и второй критических скоростей 0)^135,8, со2« 435,5. Первое из этих значений почти не отличается от найденного графически по методу Рэлея в примере 6 на с. 191. Пример 3. Найти первую и вторую критические скорости консольного вала (рис. 52) постоянной жесткости с двумя сосредоточенными нагрузками: фх = 80 кГ и (?2 = 60 кГ. Момент поперечного сечения / = 63,58 см4, Е = = 2 • 106 кГ/см2, Е1 = 127,16 • 106 кГ • см2. За единицу длины берем / = 50 см, за единицу сил Р = 6Е1/12 кГ. Матрица жесткости для всех участков вала одна и та же, и ее элементы в единицах / и Р равны I3 вЕ1 = 1^, Р' I2 2Е1 = я1, р9 1 Е1 = 6^- 1Р 1 = 1-1; В матрицах масс т^2 = 0,08со2 = 8 Гю-2(о2^1 = 8р2, т2ы2 = 0,06ю2 = 6 ^Ю-2©2^! = 6р2, 2 6Е1р2 • 103 где E.28) По сравнению с предыдущей задача осложнена наличием промежуточной жесткой опоры. Однако для решения этой задачи нет надобности в построении специальной матрицы перехода через жесткую опору вроде матриц шестого порядка Фурке [125]. Заменив промежуточную жесткую опору поперечной реакцией К (неизвестной), продолжаем расчет до левого конца вала и к двум краевым условиям на этом конце добавляем третье — равенство нулю прогиба на опоре. Разделив вал на три участка, как показано на рис. 52, записываем план расчета следующим образом: 1) Вх = (Ш^Яо; 2) В = ЭЯЩВг + Вя), где В0, Вк, В — матрицы-столбцы соответственно начальных параметров, реакции Н и значений параметров на левом конце вала. 1^2 1 1^ —*> г ¦^ ^ —*- Яг 1 1 -« 1 —^- Рис. 52
228 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ Результаты расчета располагаем в табл. 12. Имеем три уравнения1*: -1бр20о + C + 16р2) Я0 + Е = 0У) (-26р2 - 384р4) 90 + A + 170р2 + 384р4) Я0 + A + 6р2) В = оА -A + 4р2)ео + 4A+р2H0 = 0. \ Исключив Е из уравнений E.29), приходим к уравнению частот системы -5р2 - 144р4 -1 + 68р2 + 144р4 -1-4р2 4+ 4р2 180р4 - 44р2 + 1 = 0, E.29) 0 E.30) Таблица 12 II 1 -1 3 1 0 1-6 -3 0 0 11 10 0 0 1 | 1 0 0 0 1 0 10 0 0 0 10 1 8р2 0 0 1 1 1-13 1 0 1-6 -3 0 0 11 1 0 0 0 1 | 1-1-3 1 0 1-6 -3 0 0 11 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 10 0 0 0 10 | 6р2 0 0 1 ^ -\ V. ¦^~ ^~ ^~ ^" 0 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 -8р2 \% + к + е0 + -2 - 8р2 1 1 + 24р2 -8р2 -8р2 1 -3 - 64р2 1 + 96р2 -16р2 -8р2 0 0 0 — о —3 1 + 8р2 е0 + е0 + \Яо #0 #0 8 + 8р2 -12 - 24р2 2 + 8р2 1 + 8р2 27 + 64р2 -27 - 96р2 3 + 16р2 1 + 8р2 $0 + ко + 0 0 0 1 1 -3 1 1 К \в -16р2 -26р2 - 384р4 3 + 16р2 1 + 170р2 - 384р4 Яо + 6р2 :) Первые два уравнения выражают равенство нулю изгибающего момента и по перечной силы на левом свободном конце вала; третье — равенство нулю про гиба на промежуточной опоре.
5. Крутильные колебания коленчатых валов 229 откуда р\ = 0,025, р| = 0,219. Из формулы E.28) находим значения ш2 и со: со|-15268,80, со| = 133754,70, со1*124, со2*365. Изложенный прием легко обобщается на случай вала с любым числом промежуточных жестких опор. 5. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОЛЕНЧАТЫХ ВАЛОВ. Крутильные колебания коленчатых валов поршневых машин возникают вследствие периодических изменений усилий, передаваемых на вал кривошипными механизмами от давления газов в цилиндрах. Так как вал — упругая система, то вызываемые этими изменениями периодические колебания угловой скорости вращения наступают в различных его частях не одновременно. Отдельные участки вала получают периодические относительные угловые смещения. Эти периодические угловые смещения участков вала и представляют собой крутильные колебания1*. В работающей машине установившиеся крутильные колебания вала являются вынужденными. В условиях резонанса при совпадении частоты какой-либо из гармонических составляющих возмущающего момента с одной из собственных частот свободных колебаний относительные угловые смещения участков вала могут выйти за пределы допускаемых, что может привести к поломке вала. Числа оборотов вала, при которых наступают указанные явления, называются критическими. Критические состояния коленчатого вала при резонансных крутильных колебаниях представляют собой, таким образом, явление, принципиально отличное от критических состояний прямого вала ротативных машин (по крайней мере, в стодоловской трактовке этих состояний). Задачей расчета коленчатого вала на крутильные колебания является определение критических скоростей, вычисление резонансных амплитуд и максимальных динамических напряжений, возникающих на валу двигателя. Эти расчеты обычно ведутся по Г) Если бы вал был абсолютно жестким, то от изменений вращающего момента появились бы только незначительные колебания угловой скорости вращения вала в целом, так называемая периодическая неравномерность хода, для выравнивания которой служит маховое колесо.
230 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ упрощенной схеме действительного вала, которая строится с помощью специальных правил приведения вала. Все связанные с валом и движущиеся с ним массы заменяются эквивалентными маховыми массами, иначе говоря, сосредоточенными в определенных местах дисками постоянных моментов инерции. Такая операция называется приведением масс. Делая такое приведение, мы пренебрегаем периодическими изменениями моментов инерции масс кривошипно-шатунных механизмов, в результате чего уравнения крутильных колебаний вала становятся линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Далее, при составлении дифференциальных уравнений крутильных колебаний собственной массой отрезков вала между дисками обычно пренебрегают. В результате получается система сосредоточенных масс, связанных между собою упругими, но безынерционными отрезками круглого вала. Такая система имеет конечное число степеней свободы. При таких решительных упрощениях мы не можем рассчитывать на получение точных значений искомых величин для заданной системы. Приходится ограничиваться нахождением более или менее тесных границ для основных критических скоростей, на которые эти упрощения оказывают сравнительно малое влияние. 6. ПРИВЕДЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ МАСС1). Приведение масс или замена масс, движущихся с валом, массами сосредоточенных в определенных местах дисков производится по следующему общему принципу: кинетическая энергия эквивалентных дисков должна равняться средней (за один оборот) кинетической энергии движущихся масс. Когда движущиеся с валом массы совершают вращательное движение, их приведение заключается просто в вычислении моментов инерции относительно оси вала. Такие массы называются постоянными: их приведенные моменты инерции при вращении вала не изменяются. Сюда относятся прежде всего собственная масса вала; затем — колена, маховик, ротор генератора, гребной винт, пропеллер и т. п. При этом собственная масса вала учиты- г) Мы предполагаем, что читатель знаком в общих чертах с устройством поршневого двигателя и в дальнейшем пользуемся наименованиями отдельных частей его без особых пояснений.
6. Приведение постоянных масс 231 вается только для длинных участков валопровода, если таковые в установке имеются. Приведение масс колена заключается в вычислении моментов инерции относительно оси вала: ' 1ъ прилегающих к колену частей коренных шеек (эти части берутся равными половине длины / коренной шейки между соседними коленами); ^ 1Ш — моты левой шейки; ^ 21щ — двух щек колена. Первые два момента вычисляются по формулам (см. обозначения на рис. 53) 7-= ~§ й {1L ~ а4)- Момент инерции щеки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле Рис. 53
232 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ Если щека не имеет правильной геометрической формы и нет возможности воспользоваться для ее момента инерции готовой формулой из справочника, то прибегают к одному из приближенных аналитических или графических способов. Щеку разбивают на части цилиндрическими поверхностями, описанными вокруг оси вала (рис. 54) на достаточно малых расстояниях АЕ одна от другой и по возможности так, чтобы высота Н каждой из этих поверхностей была постоянной. Если у — вес единицы объема материала щеки, то момент инерции одной такой части относительно оси вала равен д/= 1^-НК3АЕ. § 180 Момент инерции всей щеки Угол а = 360° для цилиндрических частей, радиус которых Е < с; во всех других случаях а < 360°. Так, для части АВ цилиндрической поверхности а = аг. Если же цилиндрическая поверхность разрезает щеку на более чем две части, как, например, е/тп на рис. 54, то а = а2 + а3 + а4. Если имеются противовесы, то их рассматривают как части соответствующих щек. Рис. 54
7. Приведение масс кривошипно-шатунного механизма 233 7. ПРИВЕДЕНИЕ МАСС КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА. Кривошипно-шатунный механизм представляет собой систему с переменным моментом инерции. В приближенных расчетах пользуются обычно постоянным средним значением этого момента за один оборот вала1). Достаточно близкую к среднему значению величину приведенного момента можно получить следующим образом. Масса шатуна разносится на мотылевую шейку (в количестве от 3/5 до 2/3 всей массы) и на крейцкопф (остальная часть). Момент инерции первой, вращающейся части вычисляют в предположении, что ее масса сосредоточена на оси мотылевой шейки на расстоянии от оси вала, равном радиусу колена. Момент масс, совершающих вместе со второй частью шатуна возвратно-поступательное движение (крейцкопф, порпгень), принимается равным моменту инерции полусуммы этих масс в предположении, что все они сосредоточены также на оси мотылевой шейки. Пусть момент инерции колена будет /0, масса шатуна М, суммарная масса частей, совершающих возвратно-поступательное движение, Мг. Тогда момент инерции всего кривошипно-шатунного механизма I = /0 + \аМ + \ [A - а) М + М^Щ , где а — правильная дробь, определяющая часть массы шатуна, отнесенную на мотылевую шейку. Иногда применяется уточненная формула: 7 = /0 + |аМ+|[A-а)М + М1]A + ^2)|л2, где К0/Ь — отношение длины кривошипа (расстояние между осью вала и осью мотылевой шейки) к длине Ь шатуна (между центрами цапф). Необходимо отметить, что хотя изменения момента инерции кривошипного механизма в общем невелики, однако в некоторых машинах наличие таких изменений весьма заметно сказывается на критических скоростях. Вместо отдельных (дискретных) значений критической скорости появляются сплошные зоны значений последней, т. е. целые области, в пределах которых может колебаться критическая скорость работаю- > Этот момент называется дальше моментом цилиндровой массы.
234 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ щей машины. Определение этих критических зон представляет сложную задачу, решение которой связано с интегрированием системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами1^ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОДАТЛИВОСТЕЙ УЧАСТКОВ ВАЛА. Приведенны- ми массами (дисками) вал разделяется на ряд безынерционных участков, упругие свойства которых в крутильных колебаниях характеризуются упругой податливостью или упругой жестко стью на кручение. Податливостью участка вала длиной / называется угол е, на который закручивается этот участок от приложенного к нему единичного крутящего момента. Если обозначить через а угол кручения участка от момента М, а через О и / соответственно модуль сдвига [кГ/см2] и полярный момент инерции поперечного сечения вала [см4], то ^Ш^Мк^} E'31) Величина, обратная податливости, представляет собой жесткость на кручение -гт[кГ<с4 Закручивание участка на некоторый угол а осуществляется обычно приложенными к крайним сечениям участка парами равных, но противоположных по знаку моментов М и -М, абсолютное значение которых и есть крутящий момент М на участке. Приведенной длиной 10 участка вала длины / называется длина отрезка круглого вала с постоянным моментом инерции /0, податливость которого равна податливости данного участка. Согласно формуле E.31) Вычисление податливостей, которое иначе называют приведением длин вала, производится по готовым, большей частью эмпирическим, формулам. Подробнейшую сводку этих формул с многочисленными графиками и номограммами можно найти в справочном пособии по расчету крутильных колебаний В. П. Терских [47, 48]. х> См. статью Н. Е. Кочина [100].
8. Вычисление податливостей участков вала 235 Достаточно подробные сведения о приведении коленчатых валов можно найти также в книге И. А. Лурье [29]. Здесь мы ограничимся небольшим числом формул, наиболее часто встречающихся в расчетах податливостей участков вала. ¦ Податливость цилиндрического круглого участка длиной I с осевым сверлением вычисляется по формуле 32 1 ко я4 - ^4' где 2) — диаметр вала, й — диаметр осевого сверления. Ш Податливость конического участка длиной Ь с диаметрами крайних сечений Ох < Б2 где 12 — момент инерции крайнего сечения диаметра Б2, а 3 Иг 1Л1У Бх \ ¦ Податливость галтели (рис. 55, а) вычисляется по формуле 32 \1\ + Х , 12 ->Ч где буквы 119 12> X, 1I, ^2 имеют указанное на рисунке значение. Увеличение податливости галтели здесь выражено удлинением X участка с меньшим диаметром за счет участка с большим диаметром. Величина X зависит от отношения 1I/1J. Если, например, радиус галтели г < 0,11I, то Х/Б убывает от 0,1 до 0,04, когда Вх/В2 растет от 0,5 до 0,9. Формула податливости галтели применяется и для фланцевых соединений (рис. 55, б). В этом случае диаметр И2 берется равным диаметру болтового кольца. а) Г :3+- "^ б) Рис. 55
236 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ ш Для приведения колен (рис. 53) чаще всего пользуются формулой Картера е=Ц.\1 + *>*Ъ +0,75 / 4+1Д5Л1 и формулой С. Зиманенко1) 9. ПРИВЕДЕННАЯ СХЕМА. Приведение масс и вычисление подат- ливостей участков вала завершаются построением приведенной схемы заданной системы. Для этого выбирается некоторая жесткость О10 (например, жесткость коренной шейки вала) и на нее умножаются податливости участков вала. В результате получается круглый вал сплошь одного и того же диаметра В0 (диаметр приведения), разделенный сосредоточенными маховыми массами на безынерционные участки длиной 11 = е1О10, 1=1,2, ... ,п- 1. Таким образом, мы получаем приведенную схему вала, заменяющую действительный вал при расчете на колебания (рис. 56). Именно такая схема была положена в основу вычисления кинетической и потенциальной энергии крутильных колебаний вала и вывода уравнений колебаний в прямой и обратной форме, приведенных в гл. П. В гл. IV изложены методы расчета собственных частот такой схемы. Это были методы приближенного решения системы однородных линейных уравнений специального типа. Существуют, однако, методы расчета собственных частот крутильных колебаний, не требующие ни вычисления кинетической и потенциальной энергии системы, ни предварительного составления уравнений. Эти методы являются самыми распространенными в расчетной практике. Из них мы рассмотрим только метод последовательных проб, известный под названием метода Толле, вместе с матричным оформлением этого метода. -) Формула Картера применяется при расчете валов авиационных двигателей, формула Зиманенко — для двигателей стационарных. / + 0,6 0,8а+ 0,2/*^ + в\ Л\ ~ Ьк*Л>\'
9. Приведенная схема 237 Ф 'з и ч и © © © © ф © © ф к к «^—*• ч Рис. 56 Рис. 57 В основе метода Толле лежат рекуррентные формулы для амплитудных угловых отклонений маховых масс приведенного вала е2 = ех - е1Рч^ е3 = е2-в2р2(/1е1 + ^2^ е =е„ E.32) 1-е/г_1р2(/1е1 + -..+ ^-А-1>. Способ приближенного расчета собственных частот заключается в последовательном вычислении числовых значений левой части векового уравнения системы для пробных значений квадрата частоты р2. Эти вычисления выполняются по приведенной ниже схеме, которая носит название таблицы Толле. Задавшись некоторым значением квадрата частоты р2, например р2 = у19 и положив 6Х = 1, вычисляем по формулам E.32) последовательно значения углов 62, 63, ... , 0Я. Эти значения подставляем в левую часть последнего уравнения. При произвольно выбранном значении/J это уравнение не будет выполнено: левая часть его будет иметь некоторое отличное от нуля числовое значение, которое мы обозначим через А(У1) и будем называть остаточным моментом. Давая р2 другие значения у2, у3, ... и т. д., получим ряд остаточных моментов Д(у2), Д(у3), .... Пары соответствующих значений А, у отмечаем точками в координатной системе Д, у. По этим точкам строим кривую остаточных моментов (рис. 57). Абсциссы точек пересечения этой кри-
238 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ вой с осью у дадут приближенные значения искомых частот. Вы числение остаточных моментов можно расположить в удобные расчетные схемы. Одна из таких схем приведена ниже (табл. 13). В основной своей части она состоит из шести столбцов. Два край них содержат нумерацию участков (столбец 1) и маховых масс (столбец 6), причем строки участков чередуются со строками масс. Столбцы 3 и 4 содержат соответственно податливости еь (или жесткости с.) и произведения моментов инерции 1Ь на квадрат выбранного значения частоты/?2. Эти столбцы заполняются с самого начала, причем податливости помещаются в строках участков, а произведения 1ьр2 — в строках маховых масс. В столбцах 5 и 2 располагаются вычисленные по формулам E.32) амплитуды маховых масс и крутящие моменты на участках вала. Заполнение этих столбцов производится в следующем порядке. Записав амплитуду первой массы 0Х = 1 в первую клетку 5-го столбца, умножаем ее на -1гр2 и результат записываем в первой клетке 2-го столбца. Это — крутящий момент на первом участке; его без изменений переписываем в том же столбце в строку первого участка A—2). Далее умножаем этот момент на податливость ех и произведение подписываем (в той же строке 1—2) под первой амплитудой. Сумма первой амплитуды и только что полученного произведения (-11р2е1), согласно первой формуле E.32), даст амплитуду 2-й массы. С этой амплитудой поступаем так же, как и с первой; только, получив произведение (~12р2в2), мы его не просто переписываем в строку второго участка B—3), а прибавляем к Таблица 13 (М) 1 1—2 2-3 3—4 4—5 2 М -'Ар2 3 4 е -1р2 - -11Р2 е1 -* - 12Р2 е2 -* - 1,Р2 ез ~+ ^ 1,Р2 - 1,Р2 5 0 01 = 1 Д(у) = 6 1 2 3 4 5 F)
9. Приведенная схема 239 предыдущему (в том же столбце 2) моменту Мх и в строке второго Участка B—3) ставим полученную сумму. Дальнейшие вычисления ведутся в аналогичном порядке. При этом в 5-м столбце, в строках масс, получаются амплитуды, а в строках участков — произведения которые согласно уравнениям E.32) нужно прибавить к предыдущей амплитуде, чтобы получить следующую. Остаточный момент получится в дополнительной строке, которую можно было бы считать относящейся к 5-му, не существующему в рассматриваемой системе участку. Для контроля вычисление остаточного момента следует провести еще один раз с тем же значением р2, но в обратном порядке, т. е., начиная с амплитуды последней (пятой) массы, приняв эту амплитуду за единицу. Результаты такого контрольного расчета — амплитуды масс и моменты на участках — размещаются в дополнительных столбцах @) и (М) справа и слева основной таблицы, заполняемых снизу вверх аналогично столбцам 5 и 2. Остаточный момент в этом обратном расчете должен совпадать с остаточным моментом в прямом. Из табл. 13, составленной только для одного пробного значения квадрата частоты, можно сделать ряд важных выводов. ¦ Подсчитав число перемен знака величин, стоящих в строках участков (во втором столбце), мы определим место пробного значения среди частот заданной системы. Следует при этом иметь в виду, что число перемен знака указанных величин здесь1) совпадает с порядком соответствующей собственной формы или частоты, так что, например, первая форма имеет одну перемену знака, вторая — две и т. д. Это, однако, не противоречит теореме о переменах знака амплитуд собственных форм, изложенной в гл. III. Дело в том, что частота, называемая здесь первой, является, строго говоря, второй. Первая частота равна нулю, и соответствующее ей главное колебание представляет общее вращение вала. ¦ Заполнив несколько таблиц для разных значений р2, можно разделить корни векового уравнения и затем с помощью простого интерполирования найти все частоты системы с достаточно хорошим приближением. ) В координатах Эг
240 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ # Выполнив действия, показанные в таблице с неопределенным значением р2, придем к развернутому вековому уравнению рас сматриваемой системы (см. пример 5). Этот способ развертыва ния векового уравнения крутильных колебаний является, по-видимому, одним из простейших, особенно если надлежащим образом подобрать масштабы для податливостей и произведений 1ьр2- Ш Используя некоторые промежуточные результаты расчета таблицы Толле, мы можем получить гармонические коэффициенты влияния частоты, равной взятому пробному значению р, и вместе с тем вычислить собственную частоту, ближайшую к этому значению1*. Ш Простой перестройкой таблицы Толле без изменения порядка и содержания последовательных вычислений мы можем представить ее в матричной форме. В своем первоначальном виде схема таблицы Толле отличается от матричного расчета только иным расположением отдельных операций (см. табл. 15). 10. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ТАБЛИЦ ТОЛЛЕ — МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ. Начальными параметрами здесь будут угол поворота 92 и момент Мг (внешний или инерционный) на одном из концов вала. Матрица жесткости или податливости и матрица массы (моментов инерции) будут матрицами второго порядка. Чтобы построить эти матрицы, рассмотрим систему, состоящую из двух дисков с моментами инерции 1г и /2, соединенных валом с податливостью ех (рис. 58). Концы вала — свободны. Матрица-столбец начальных параметров на правом конце2)(до перехода через диск 1г) будет II 01 II- II 0 В Диск /х, совершающий крутильные колебания с частотой р, создает инерционный момент на правом конце, равный -11р2в1. С учетом этого момента матрица параметров на правом конце будет записать в виде 91 II 0 I х) См. статью автора [91]. 2) Счет моментов инерции и податливостей отрезков вала ведется справа налево. е„м2 е1,м1 Рис. 58 -1ХР'\ Эту матрицу можно произведения 1 0 -1гР2 1
10. Матричная форма таблиц Толле 241 Таким образом, переход через массу с моментом 1г осуществляется матрицей II г °1 «™ II ~Т1Р2 1 II Эту матрицу по аналогии с матрицей E.23) можно назвать матрицей массы. Из первого уравнения E.32) находим В сечении перед диском 12 угол поворота и момент, если не учитывать собственной массы вала, будут элементами матрицы-столбца Ц^^гР^гЦ E.34) II -^Р20! II которая получается из матрицы E.33), если умножить ее слева на матрицу 1 вх I E.35) II 0 1 || Эту последнюю матрицу мы назовем матрицей податливости. Для перехода через диск /2 нужно матрицу E.34) умножить слева на матрицу массы 1 ° . E.36) II ~^Р2 г II Таким образом, переход от начальных параметров на свободном правом конце, несущем массу с моментом /х, к значениям этих параметров на свободном левом конце с массой /2 можно представить следующей матричной схемой: E.37) I М2\ I -12р2 1 II 0 1 II -1гР2 1 ||| 0 || Положив М2 = 0, получим уравнение частот 1^A-1^4^ + 1^ = 0, из которого находим два значения/?2: Р\ и> Рг Р т т ' е\1\12 Первое соответствует общему вращению вала с дисками: второе дает собственную частоту крутильных колебаний.
242 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ Если левый конец вала жестко закреплен, то 02 = 0 и уравнение частот будет иметь вид 1-/^ = 0, из чего следует Р2 = сх11х. Распространение схемы E.37) на многомассовые приведенные валы не требует дополнительных замечаний. Пример 4. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИВЕДЕННОГО ВАЛА С ПЯТЬЮ ДИСКАМИ. Даны моменты инерции [кГ • м • с2] и погонные жесткости [кГ • м] участков вала. 1Х = 10,78 сх = 10,48 • 104 12 = 82,82 с2 = 34,80 • 104 /3 = 14,27 с3 = 24,40-104 14 = 29,56 с4 = 40,60 -104 /5 = 21,66 Для упрощения вычислений выбираем за единицу податливости податливость первого участка 10,48 [_кГ • м] ' С помощью этой единицы, положив для дальнейшего упрощения р2 = а-104, получим вместо 1±р2 безразмерные произведения /^ос-Ю4^, / = 1,2,3,4,5. Пересчитав данные примера на новые единицы, будем иметь: 1хр2 = 1,03 а, ег = 1, 12р2 = 7,90 а, е2 = 0,30, 13р2 = 1,36 а, б3 = 0,43, 14р2 = 2,82 а, е4 = 0,26. 1ьр2 = 2,07 а, Расчет с неопределенным значением^2 проводим, как показано в табл. 14, располагая матрицы-множители и результаты отдельных умножений так же, как и в табл. 13.
10. Матричная форма таблиц Толле 243 Таблица 14 II 1 0 | 1 -1,03а 1 1 1 1 | 0 1 | 1 0 | 1 -7,90а 1 1 0,30 || 0 1 | || 1 0 1 -1,36а 1 1 0,43 0 1 II * ° 1 || -2,82а 1 1 0,26 0 1 II 1 ° -2,07а 1 и | -1,03а [ | 1 ~ 1,03а | 1 ,03а 1 II 1 - 1,03а 1 -8,93а + || 1 - 3,71а + || -8,93а + | 1 - 3,71а + 1 -10,29а + 8,14а2 1 2,44а2 I 8,14а2 1 2,44а2 13,19а2 - | 1 - 8,13а + 8,11а2 - || -10,29а + 13,19а2 - | 1 - 8,13а + 8,11а2 - | -13,11а + 36,12а2- | 1 - 11,54а + 17,50а2 - 1 -13,11а + 36,12а2 - 3,32а3 1 1,43а3 | 3,32а3 1,43а3 26,19а3 + 8,24а3 + 26,19а3+ 4,03а4 | 1,05а4 | 4,03а4 || * -15,18а + 60,01а2 - 62,42а3 + 21,09а4 - 2,17а5 Приравняв нулю, в соответствии с условиями на левом конце, второй элемент последней матрицы-столбца, получим вековое уравнение системы а (а4 - 9,74а3 + 28,91а2 - 27,83а + 7,04) = 0. Корни этого уравнения, вычисленные по методу Лобачевского — Греффе (до четвертых степеней а), дают д,ляр1 следующие значения: р1 = 62,6, р2 = 105,4, Рз = 175>8> ^4 = 229,1, и один нулевой корень, соответствующий общему вращению вала. Пример 5. Чтобы продемонстрировать тождественность схемы Толле с матричной схемой (табл. 14), для той же системы составлено вековое уравнение по методу Толле (табл. 15), исходя из тех же безразмерных величин, что и в предыдущем примере.
Таблица 15 1 1—2 2—3 3—4 4—5 5—6 2 - 1,03а - 1,03а - 7,90а + 8,14а2 - 8,93а 4- 8,14а2 - 1,36а + 5,05а2- 3,32а3 -10,29а + 13,19а2- 3,32а3 - 2,82а + 22,93а2 - 22,87а3 + 4,03а4 -13,11а + 36,12а2-26,19а3 + 4,03а4 - 2,07а + 23,89а2 - 36,23а3 + 17,06а4 - 2,17а5 -15,18а + 60,01а2 - 62,42а3 + 21,09а4 - 2,17а5 3 4 — -1,03а 1 — — -7,90а 0,30 — - -1,36а 0,43 -* — 2,82а 0,26 — — -2,07а 5 1 - 1,03а 1 - 1,03а - 2,68а + 2,44а2 1- 3,71а + 2,44а2 - 4,42а + 5,67а2-1,43а3 1- 8,13а + 8,11а2-1,43а3 - 3,41а + 9,39а2-6,81а3 + 1,05а4 1 - 11,54а + 17,50а2- 8,24а3 + 1,05а4 6 1 2 3 4 5 а = 0; а4- 9,70а3 + 28,71а2 - 27,60а + 6,98 = 0.
11. Гармонические составляющие вращающего момента 245 11. ГАРМОНИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА. В заключение приведем краткие замечания о возмущающих гармонических моментах, действующих на цилиндровые массы приведенного вала. Крутильные колебания вала в установившемся режиме работы машины, как было уже отмечено раньше, являются колебаниями вынужденными. Они возбуждаются гармоническими составляющими вращающих моментов (от давления газов в цилиндре), приложенных к цилиндровым массам, и инерционных моментов масс кривошипных механизмов. Вращающий момент от давления газов в цилиндре представляет собой сложную периодическую функцию угла а поворота вала, которая определяется графически по заданной индикаторной диаграмме. Для одного цилиндра четырехтактного двигателя эта функция имеет вид кривой, изображенной на рис. 59, а для двухтактного — на рис. 60, где представлен ход изменения вращающего момента на протяжении одного периода Dл; — для четырехтактного процесса, 2 л — для двухтактного). Отдельные участки кривой (рис. 59) на отрезках в л радианов каждый представляют изменения вращающего момента для четырех ходов поршня: @, тс) — рабочий ход (ход расширения), (л, 2л) — выхлоп, Bл, Зл) — ход всасывания, (Зл, 4 л) — ход сжатия. На кривой рис. 60 первый промежуток @, л) соответствует рабочему ходу, второй (л, 2л) — сжатию. В расчетах обычно принимают, что вращающий момент на ходах выхлопа и всасывания равен нулю. Вычисление гармонических составляющих вращающего момента производится путем разложения последнего в ряд Фурье с помощью одного из способов практического гармонического анализа1^. Обозначив период вращающего момента через Т, будем иметь в результате такого анализа: М(а)=А0 + ах зш Bла/Т) 4- а2 зт Dла/Т) + ... + + Ъг соз Bла/Т) + Ь2 соз Dла/Т) 4-... , E.38) М4 МА Рис. 59 Х) См., например, в книге И. А. Лурье [29].
246 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ где т А) = 4 / М(а) = аа E.39) То есть среднее значение вращающего момента за один период: т т а = || М(а) зт ^^ с!а; Ьк = 11 М(а) соз ^-^ Да. * Го Т * Го Г Объединяя члены с синусами и косинусами одинаковых аргументов, можно представить разложение E.38) для одного цилиндра двухтактного двигателя (Т = 2л) в виде М(а) =А0 +Аг зт (а + 8Х) + А2 зт Bа + 82) + ... , E.40) а предположив, что угловая скорость вращения вала со = 2п/Т постоянна, — М(Ш) = А0 + Аг зт (со* + 5Х) + А2 зт Bсо* + 52) + ... E.41) Отдельные слагаемые этого разложения Ак зт (ка + 8к) и являются гармоническими составляющими вращающего момента М, которые называются также гармоническими моментами или гармониками момента М. При этом Аь= Ы + ЪЬ *е8к = Ьк/ак. E.42) В двухтактном двигателе порядок гармоники, обозначаемый индексом к, совпадает с числом полных ее изменений за один оборот вала, так как время одного оборота вала совпадает с периодом вращающего момента. В четырехтактном двигателе время одного оборота вала составляет половину периода Т = 4тт. Разложение вращающего момента в этом случае будет иметь вид М(а) = А'0 + А[ зт (а/2 + 8{) + А2 зт (а + 52) + ... Число полных изменений гармонических составляющих за один оборот вала здесь может быть и целым, и дробным. Тем не менее и для четырехтактного двигателя порядок гармоник принято считать, как и в случае двухтактного, равным числу полных изменений гармоники за один оборот вала. В разложении вращающего момента четырехтактного двигателя будут вследствие этого встречаться гармоники и целых, и дробных порядков. Сохраняя соот-
11. Гармонические составляющие вращающего момента 247 ветствие между нумерацией коэффициентов Ак и порядком гармоник, пишут разложение вращающего момента E.40) для одного цилиндра четырехтактного двигателя следующим образом: М(а) = А0 + А1/2 зт (а/2 + 5Х) + Аг зт (а + 52) + ... E.43) Ряды E.41) и E.43), представляющие разложения вращающих моментов, заданных графически, бесконечны. Но обычно коэффициенты Ак гармоник высоких порядков невелики и можно поэтому, оставаясь в пределах допускаемых в практических расчетах погрешностей, ограничиться некоторым конечным числом первых гармоник, например шестью, двенадцатью или двадцатью четырьмя, отбросив все остальные, как не имеющие существенного влияния на амплитуды вынужденных колебаний1*. Можно считать, что в пределах периода моменты, приложенные к различным цилиндровым массам, изменяются одинаково и именно так, как изменяется момент, действующий на крайнюю слева цилиндровую массу (с которой обычно начинается нумерация цилиндровых масс — см. рис. 61). Так как колена расположены на валу под некоторыми неизменными углами друг к другу и поскольку моменты зажигания газовой смеси, соответствующие началу рабочих ходов, чередуются в различных цилиндрах в определенном порядке, то вращающие моменты, приложенные к различным цилиндровым массам, смещены по фазе. Фазовые смещения вращающих моментов определяются расположением колен и принятым порядком зажиганий. Условимся отсчитывать эти смещения от момента вспышки (зажигания) в первом ци- 1 2 3 4 © © 5 6 ф & & © © © © Рис. 61 щ Х) Вопрос о том, сколько гармоник следует оставить в разложении вращающего момента, решается в каждом конкретном случае особо, в зависимости от того, какие гармоники попадают в резонанс и насколько могут быть опасны возникающие при этом резонансные колебания.
248 Глава V. ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В МАШИНАХ линдре. Тогда фазовое смещение вращающего момента на Ь-м колене (на 1-й цилиндровой массе) будет равно углу, на который повернется вал от момента вспышки в первом цилиндре до момента вспышки в 1-м цилиндре. Подсчет фазовых смещений при известном расположении колен и заданном порядке чередования вспышек не представляет затруднений. Рассмотрим, например, шестицилиндровый четырехтактный двигатель, схема расположения колен которого показана слева на рис. 61 (в проекции на плоскость, перпендикулярную оси вала). Внешней стрелкой указано направление вращения вала; угол |3 = 120°. Чередование зажиганий здесь возможно в четырех вариантах1): 1°. 1—3—5—6—4—2; 2°.1—3—2—6—4—5; 3°.1—4—5—6—3—2; 4°.1—4—2—6—3—5. Фазовые смещения для каждого из четырех вариантов приведены в табл. 16. Аналогичным образом определяются фазовые смещения и в двухтактном двигателе. Из разложений E.41) или E.43) и только что сделанных замечаний о фазовых смещениях вращающих моментов можно вывести правило фазовых смещений гармоник одного и того же порядка, приложенных к различным цилиндровым массам. I Фазовое смещение гармоники к-го порядка момента, приложенного к 1-й цилиндровой массе, равно углу, на который повернется вал от момента вспышки в первом цилиндре до момента I вспышки в 1-м цилиндре, умноженному на к. Таблица 16 Вариант 1° 2° 3° 4° 1 0 0 0 0 2 600° 240 600 240 № цилиндра 3 120° 120 480 480 4 480° 480 120 120 5 240° 600 240 600 6 360° 360 360 360 Х) Цифры на рис. 61 и в таблице вариантов зажиганий обозначают номера цилиндров (или цилиндровых масс).
11. Гармонические составляющие вращающего момента 249 Чтобы учесть изменения вращающего момента от инерционных моментов движущихся масс кривошипного механизма, эти моменты также представляют в виде разложений по гармоническим составляющим, ограничиваясь в разложениях, самое большее, первыми четырьмя членами. Достаточно хорошее приближение представляет следующая формула1* для момента О инерционных сил масс т, совершающих возвратно-поступательное движение (сюда относятся масса поршня, крейцкопфа, поршневого штока и части шатуна, присоединяемой по известному правилу к крейцкопфу): О = тЯ2со2 @,25^ зш а - 0,5 зт 2а - 0,75^ зт За - 0,25^2 зт 4а), E.44) где К — радиус кривошипа, X = В/1 — отношение длины кривошипа к длине шатуна, со — угловая скорость. В формулу E.44) входят четыре синусных члена, так что поправка на силы инерции коснется только первых четырех коэффициентов а- в разложении E.38). Сведения о других поправках, например от дополнительного инерционного момента шатуна, крутящего момента веса кривошипного механизма и т. д., можно найти в специальной литературе. 1) См. книгу Я. Ден-Гартога [67, с. 219].
Часть вторая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Глава VI Продольные и крутильные колебания прямых стержней 1. УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ И КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯ МОГО СТЕРЖНЯ. Обозначим через \х(х) погонную массу стержня [кГ • с2/м2]; 1(х) — погонный момент инерции относительно осиХ) стержня [кГ • с2]; через А{х) — площадь поперечного сечения [м2]; I — экваториальный момент поперечного сечения [м4]; Е — модуль Юнга [кГ/м2]; О — модуль сдвига [кГ/м2]. Пусть у(х, I) и в(х, Ь) — соответственно продольное смещение и угол поворота какого-либо сечения стержня в момент ^. Обозначим далее через С?(х, О интенсивность внешней нагрузки — продольной, направленной по оси стержня, в случае продольных колебаний и мо- ментной — в случае колебаний крутильных. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня мы получим как необходимые условия экстремума функционалов: для продольных колебаний и 5«= \ 11 [/(х) ©2 -01^2 -яе) «х * F-2) для крутильных. Х) Под осью стержня здесь подразумевается линия, соединяющая центры тяжести поперечных сечений стержня, — линия прямая в недеформированном состоянии стержня. Здесь предполагается, что она совпадает с упругой осью стержня. См. с. 271.
1. Уравнения продольных и крутильных колебаний 251 Интегралы по х, взятые в пределах от 0 до / (/ — длина стержня) от первого и двух последних слагаемых в квадратных скобках, представляют соответственно кинетическую и потенциальную энергию рассматриваемой системы. Согласно A.49) необходимое условие экстремума функционала 81 будет иметь вид необходимое условие экстремума функционала 82 — Условия F.3) и F.4) и будут уравнениями продольных и крутильных колебаний соответственно. Когда (?(х, О = 0 и жесткости ЕА и 01 постоянны по всей длине стержня, уравнения свободных колебаний (продольных и крутильных) однородного стержня имеют вид т г^-о, ,в.в, а*2 ' дх2 где с2 = ЕА/^х; у2 = 01 /I. Уравнения F.5) и F.6) — линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Для продольных и крутильных колебаний однородного стержня они имеют одинаковую форму. Можно поэтому в общей теории ограничиться рассмотрением одного из них, например, второго, т. е. уравнения крутильных колебаний. При этом рассмотрении мы будем опираться на общий принцип линейной теории колебаний — принцип суперпозиции малых колебаний, который был положен в основу изучения колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Мы будем предполагать, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы также представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний. Руководствуясь этим принципом, мы будем искать главные гармонические крутильные колебания стержня в виде у(х, г) = 0(х) 8Ш (рг + а), F.7) где 0(х) — функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных угловых отклонений сечений стержня от их равно-
252 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ весных положений. В дискретных системах с конечным числом степеней свободы эта функция вырождается в конечную совокуп ность амплитудных смещений сосредоточенных масс. Подставив F.7) в F.6), получим уравнение собственных форм С1рв"(х) +/?2/6(х) = 0 F.8) или в"(х) + аЩх) = О, где а2 = р21/С1р. Уравнение собственных форм продольных колебаний будет иметь аналогичную форму ф"(х) + а2ф(х) = 0, F.9) где а2 = р2\х/ЕА. Величины р21д(х) и р2\мр(х) называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея [77], выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки р^д^х) на перемещении &к(х) работе нагрузки р%1вк(х) на перемещении 6-(х), получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ р2 \ Щх) дк(х) йх = р2\) 1вк(х) Цх) Ах, если р? * р%, получим I /0.(х) вк(х) их = 0. F.10) Для продольных колебаний условие ортогональности запишется аналогичным образом: } цф,(х)фДх)с1л: = 0. F.11) о Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения F.8) для крутильных колебаний будет иметь вид1* 0^ (х) = В соз а{х + В 81П аьх, F.12) Х) Штрих везде обозначает производную по х, производные по времени I обозна чаются точками.
1. Уравнения продольных и крутильных колебаний 253 ИЛИ 6' 6; (х) = 90 соз аьх + — 8Ш а-х, F.12) где 60 и 00 — значения угла поворота и производной от него по х для х = 0. Постоянные Б и I) или 60 и 6^, а также собственные значения а^ определяются из краевых условий задачи, т. е. из условий закрепления концов стержня. В простейших случаях концы стержня (один или оба) свободны или жестко закреплены. Эти способы закрепления выражаются следующими соотношениями: * для крутильных колебаний на свободном конце С1рв'(х) = 0; F.13) ^ на закрепленном 9(х) = 0; F.14) ^ в случае продольных колебаний на свободном конце ЕАу'(х) = 0; F.15) ^ на закрепленном ф(х) = 0. F.16) Другие свойства собственных форм аналогичны свойствам форм систем с конечным числом степеней свободы. Так, остается в силе теорема об узлах собственных форм: число узлов собственной формы тг-го порядка равно п - 1; при этом узлы двух последовательных форм перемежаются1*. Остается также в силе и теорема о разложении любой формы по собственным формам однородной задачи. Общее решение уравнения F.8) мы получим как бесконечную линейную сумму главных колебаний оо у(х, 0=2 Нкдк (х) Вт {рк1 + ак) F.17) к = 1 или оо у(х, 0 = X 9Л (х) (Мк соз рЛ + Ык атрЛ). F.18) к = 1 Постоянные Нк, акУ Мк, Ык определяются из начальных условий, которые в случае крутильных колебаний выражаются заданием в начальный момент (^ = 0) распределения по стержню угловых отклонений у(х, 0) = Г(х) 1) См. книгу Ф. Р. Гантмахера, М. Г. Крейна [14].
254 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ и их производных по I у(х, 0) = л(х), где /(х) и г|(х)—некоторые заданные функции переменной х. Само вычисление постоянных производится следующим образом. Прежде всего находим из F.18I) Мк сов ркг + Ык втркг = I/(8, *) вк (з) Аз. F.19) Положив здесь I = 0, получим мк= 1" б*(«) Л»)Й5- F-2°) Взяв производную от F.19) по I, найдем / А^-^ООЛООЙЗ. F.21) Рко Как видно из последних формул, постоянные Мк и Ык являются коэффициентами разложения заданных функций /(х) и л(х) по собственным формам дк(х). Частоты главных колебаний стержня образуют бесконечный дискретный ряд значений. Перенумерованные в порядке возрастания, они вместе с порядковым номером растут до бесконечности. Пример 1. Рассмотрим продольные колебания однородного стержня с одним жестко закрепленным (х = 0) и другим свободным (х = I) концами. В этом случае краевые условия выражаются равенствами ф@) = о, ф'@ = о. Из этих условий находим значения постоянных В и I) общего решения ф(х) = В соз ах + В 81П ах. Имеем: В = 0, И сое а1 = 0. Постоянная 2) не может, очевидно, равняться нулю, так как в противном случае ц>(х) = 0. Нетривиальное решение получится при условии соза/ = 0. F.22) Из этого условия находим а4 = <**^; Рк={Ы_1)Ер, А» 1,2,3 F.23) Х) Имея в виду однородный стержень.
1. Уравнения продольных и крутильных колебаний 255 Таким образом, уравнение F.22) отбирает собственные значения параметра а и вместе с тем определяет собственные частоты системы. Оно называется характеристическим уравнением или уравнением частот и соответствует вековому уравнению систем с конечным числом степеней свободы. Для собственных форм получаются выражения ц>к(х) = Вк БтBк~21)пх , А = 1, 2, 3, ... . F.24) Общее решение можно выписать сразу по формуле F.18): сю у(х,*)= Е (Мк созр^ + Ык втркг) з1п Bк ~})пх . F.25) к = 1 &*> Постоянные Мк и Ик определяются из начальных условий. Чтобы найти Мк, полагаем X = О, затем умножаем обе части F.25) на зт акх и интегрируем по х в пределах от 0 до /. Вследствие ортогональности форм зт акх I I ^ у(х, 0) зт акх 6.x = Мк) зт2 акх 6х = Мк- о о 2 и / Мк = - ] у(х, 0) зт ак1 6.x. I 0 Так же найдется Ык по заданному значению производной у(х> 0): I Ык = -— } у (х, 0) зт акх 6х. 1Рк 0 Пусть, например, в начальный момент (I = 0) стержень растянут приложенной в конце его продольной1* силой 8 и затем без начальной скорости предоставлен самому себе. В этом случае у(х'0) = т> у(*,о) = о, I а* 28 Г . т 25 зш ак1 ЛТ Л В выражении для Мк значение зт ак1 = ±1; +1 для к нечетного и -1 для четного. Общее решение F.25) запишем поэтому следующим образом: оо у (*,*)= 28 X (-1)»-'со»Р»*вм«»* , F26) 1ЕА н = 1 а1 !) В исследованиях продольных колебаний, излагаемых в этой главе, всегда предполагается, что действующие на стержень силы направлены по оси стержня.
256 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Для проверки подставим в F.26) I = 0. Мы должны получить справа 8х/ЕА. При г = о г Лч 28 Г8Ш а1х 8Ш а2х I 8Ш азх 1 _ 25 422Г„- кх _ аЩЗпх/21) , 8шEтсл;/20 _ 1 Ряд в квадратных скобках является рядом Фурье для функции Следовательно, ппх _ п^х Ж' 8х 4 21 ЕА Пример 2. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ С ГРУЗОМ НА КОНЦЕ1* (рис. 62, а). Обозна чим массу груза, прикрепленного к нижнему свободному концу стержня, че рез М; отношение массы стержня к массе груза — через а, так что а = /ц/М; через / — длину стержня в равновесном положении, около которого происходят колебания системы и в котором вес груза уравновешен статической упругой силой (поэтому вес груза в уравнение колебаний около положения равновесия не войдет); через 8 — расстояние от нижнего конца стержня до центра тяжести гру за. Считая груз точечным, можно пренебречь его размерами и положить в « 0. Для других величин сохраняем прежние обозначения. Относя действие груза к краевому условию на нижнем конце, будем считать, что продольное натяжение стержня при колебаниях уравновеше но здесь силой инерции груза. Это приводит к сле- I —I—^ дующему условию на нижнем конце стержня: '4Ж В ЕА ---т. На верхнем закрепленном конце У@,*) = 0. F.27) F.28) В начальный момент стержень растянут приложенной к нижнему концу продольной силой 8 и затем без начальной скорости предоставлен самому себе, так что а) б) Рис. 62 г/(*,о) = |^, у(*,о) = о. F.29) Х) Рассматриваемый пример представляет одну из существенных частей расчета на колебания поршня индикатора паровой машины. См. книгу А. Н. Крылова [21, с. 278].
1. Уравнения продольных и крутильных колебаний 257 Решение задачи сводится к вычислению постоянных В и В и значений параметра а в уравнении форм колебаний ц)(х) = В сое ах + В 81П ах в соответствии с краевыми условиями F.27) и F.28), которые для собственных форм ф(х) выражаются соотношениями Ф@) = 0, ЕАу'{I) = Мр2ц>A) F.30) и постоянных общего решения F.18) в соответствии с начальными условиями F.29). После этого из второго условия получается уравнение частот где Р^Р = а, F.31) Р = а/, а = 1\х/М. Таким образом, уравнение собственных форм колебаний стержня имеет вид Р** Ф,(х) = Вк 8Ш ^- , А = 1,2,3,... F.32) где Р/, — корни уравнения F.31). Уравнение F.31) часто встречается в задачах на продольные колебания прямых стержней. Решается оно проще всего графическим путем; в частности, такое решение можно найти в книге А. Н. Крылова [21, с. 284]. Приводим наименьшие корни этого уравнения для некоторых значений отношения массы стержня к массе груза: а Р1 0,01 0,10 0,10 0,32 0,30 0,52 0,50 0,65 0,70 0,75 1 0,86 1,50 0,98 2 1,08 оо те/2 Соответствующие этим значениям р] наименьшие частоты вычисляются по формуле „ _ р. т F.33) Переходим к составлению решения Ра* У(Х, 0=2 [Мк СОЗ рк1 + Ык 81П р^] 81П ~ т. е. к подбору постоянных Мк и Nк согласно условиям F.29). Из второго условия находим N, = 0. Из первого условия следует: 8х э п F.34) 9- 10456 Бабаков
258 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Для вычисления коэффициентов Мк воспользуемся условием ортогональности собственных форм. В рассматриваемой задаче условие ортогональности F.11) нужно записать следующим образом: / \ [\1 + М<5г (X ~ I)] = 8Н1 ^ 81П ^ &Х = О, О II где ах(х - I) — импульсивная функция первого порядка. Из этого условия находим I \ 31П Ё^ 81П ^ ^ = ~- 31П |к 8111 &. F.35) О I I ос Умножим теперь обе части F.34) на зт ф^х/1) 6.x и проинтегрируем от 0 до I: \ |* 8Щ Ъ1 йх = 1 МЛ ВН1 ^ 8Ш ^ ИХ. О ЕА I к=1 Ло * * Интегрируя по частям левую часть полученного уравнения, найдем / Г 8х Ч1л Р'ХНг= 8/2 Г-С°8 Р< 4- 81П Р< & ЁА8Ш~Т аХ ЁА V ~рГ "рГ Интегралы в правой части, в которых I * /г, по F.35) равны ^ 81П ^- 81П 4-С-Х = -- 81П В*, 81П В,.; о / / а К Г1 интеграл, в котором / = к, равен I Г . о М А И Л 81п 2Р* Следовательно1*, |^г совр, зшр, N и ЙП2Р, Л 1 ^ ЯА^ р. рг ; ^2^ 2р; ^ а 4 = 1 * * Из уравнения F.34), положив в нем х = /, будем иметь оо Отсюда, принимая во внимание F.31), находим 45/втр, М, ЕАРД2Р, + зт2р,) Х) Штрих у знака суммы здесь означает, что сумма распространяется на все значения к от 1 до оо, кроме к — I. Соответствующее этому индексу слагаемое записано отдельно.
2. Колебания стержня с линейным сопротивлением 259 Искомое решение имеет вид ( +\ = *§1 V 81пР*81п(Р/х/0созр^ У {Х' } АЕ .^ р,Bр, + зтгр^) ' Когда груз велик сравнительно со стержнем и массой последнего можно пренебречь, из уравнения F.31), полагая для наименьшей частоты 1% рх « рх, найдем р?=а. В этом случае основная частота = р1 Ща = Ща = [§_ Р1 I V ц 4М1 а/5ст ' где 5СТ = М§1/ЕА — статическое удлинение стержня от груза М§у подвешенного к нижнему концу стержня. Мы приходим таким образом к известной элементарной формуле для частоты колебаний груза на пружине, массой которой можно пренебречь. Если, наоборот, масса груза исчезающе мала сравнительно с массой стержня, то, положив в уравнении F.31) а = °°, найдем рг = я/2. В этом случае для наименьшей частоты получим значение л Ща совпадающее со значением основной частоты свободных колебаний стержня (пример 1). 2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ С ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Уравнение свободных колебаний стержня с сопротивлением Нду/д1, пропорциональным скорости смещения его элементов, запишем в виде: обозначив Я/ц = 2й, ЕА/[х = с2. Решение уравнения будем искать в виде разложения искомой функции у(х, I) по собственным формам <рк(х) главных колебаний однородного стержня без сопротивления, т. е. по формам, удовлетворяющим уравнению (р;'(х) + а%ук(х) = 0, F.37) где ак = Рк\ь/ЕА'
260 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Положив оо у(х^) = X Тк(*)<рк(х), F.38) к = 1 получим, подставив это выражение в F.36): оо 2 [тк @ Фл (х) + 2Л тА @ фа (х) - с2 тк (г) Ф;' (*)] = о. /г = 1 Последнее равенство, приняв во внимание F.37), можно представить в форме: со X [Тк (*) + 2А Т, <*) + р|ГЛ (*)] Фа (х) = 0, к = 1 откуда следует При Л <рА, & = 1, 2, 3, ..., получаем Тк (*) = <ГЛ< (Мк соз дЛ* + ЛГЛ 81П ЯкЦ где Теперь решение F.38) будет иметь вид со у (х, 0 = е~ы Е [Мк соз дА* + Ык зт д^] фА (х). F.39) Л = 1 Постоянные МЛ и Ык найдутся из начальных условий. Так, если в начальный момент г/(х,0) = |^, у(х,0) = 09 то / / (хц>к(хN.х \хц)к(хN.х 8 о дг _ 8Н о ЕА I к ЕАдк I |ф|(х)с!л: |ф|(х)Aх М^ ^ " ' *ь = ^ГГ ~ • F-40) Для стержня, жестко закрепленного на конце х = 0 и свободного на конце х = /, 2к — 1 ц>к (х) = зт акх, ак1 = —-—п, к = 1, 2, 3, ... . В этом случае * /ЯАа| 1 1ЕАа1 к дк к
3. Уравнения форм колебаний с правой частью 261 От уравнения F.25) свободных колебаний без сопротивления решение F.39) отличается множителем е~ы. Колебания стержня затухают, и он асимптотически приближается к равновесному положению. 3. УРАВНЕНИЯ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ. Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила Я 81П со^, приложенная в точке х = хх. Уравнение колебаний стержня в этом случае можно записать следующим образом: цЦ| - ЕА^р- = Я 81П 0>*СТ1 (X - Хг), д12 дхг где ах(х - хх) — импульсивная функция первого порядка. Чисто вынужденные колебания в отсутствие сопротивлений будут происходить по закону г/(х, I) = ф(х) зги со^, где ф(х) — форма вынужденных колебаний. Подставив это выражение для у(х, О в предыдущее уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с правой частью для формы колебаний ср" (х) + а\ (х) = -^ аг (х - хг); F.41) здесь а2 = \аы2/ЕА. Правую часть будет иметь и уравнение собственных форм свободных колебаний стержня, несущего сосредоточенные массы. Силы инерции этих масс в каком-либо из главных колебаний стержня изменяются по гармоническому закону с частотами главных колебаний. Формально они ведут себя так же, как и сосредоточенные возмущающие силы. Так, сила инерции массы т, расположенной в точке х = х1? д2у(х19г) т д*2 для главного колебания у (хх, О = ф (хх) зги <М имеет выражение тсо2ф (хх) зги Ш,
262 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ и уравнение собственных форм ф(х) будет уравнением с правой частью, аналогичным уравнению F.41): ,, / ч , 9 , ч /ПС02ф(Х1) <р" (х) + а2ф (х) = -—-~^- аг (х - хг). F.42) Нужно только помнить, что в уравнении вынужденных колебаний частота возмущающей силы со — наперед заданная, известная величина, в уравнении же F.42) она является наряду с ф(х) искомой величиной. Обозначим правую часть уравнения F.41) через /(х) и будем искать его общий интеграл операционным методом. Положив Р(р) -г-> /(*); х(р) -г-> ф(*), получим р2 [Х(р) - Ф@) - ± <р'@)] + а*Х(р) = Ш , откуда ЕА(рг + а2) р2 + а2 р2 + а2 ф(х) = ф@) соз ах + ^-^ зт ах + ——- } /(%) зт а (х - %) сЩ. F.43) а аЕА о В частности, когда /(^) = C(^B; - хх), ф(х) = Б соз ах + I) зт ах + —^- зт а (х - хх), F.44) где В = ф@), 2) = A/а) ф'@). Такой вид имеет форма колебаний при всех х > хг. Для х < х19 т. е. на участке стержня до точки приложения силы или массы, ф(х) = В соз ах + I) зт ах. Таким образом, в рассматриваемом случае форма колебаний представлена двумя выражениями: ^ ф(х) = В соз ах + В зт ах при х < хг, ^ ф(х) = В соз ах + X) зт ах + —^— зт а (х - хх) аЕА при х > хх. F.45) Постоянные В и Б найдутся из краевых условий задачи. Предположим, что в точке х = хх к стержню приложена продольная единичная гармоническая возмущающая сила 1 • зт со*
3. Уравнения форм колебаний с правой частью 263 так, что функция ф(х) — форма вынужденных колебаний системы. Пусть левый конец х = 0 стержня жестко закреплен, правый X = I — свободен. Тогда В = 0; вторую постоянную Б найдем из условия ф'@ = 0: 2У_ _ 1 сов аA - хг) аЕА сое а/ Формулы F.45) будут теперь иметь вид1* у т- / 2ч 1 С08 а(/ - Хг) . * Г (х, хг; аг) = -—— г—1- 8ш ах при х < х19 аЕА сов а/ ^ , 9ч 1 зт ахп . . ^ Г (х, хл; аг) = - ——¦ г зт аA - х) при х> хл. 1 аЕА сое а/ 1 F.46) Если оба конца стержня свободны, то из условий (для крутильных колебаний) 9' @) = 6' @ = 0 найдем у т,, 2\ 1 соз а{1 - хг) . ^ Г (х, хп; от) = - —— —- зт ах при х < хл, 1 яб^р С08 а^ ^ т- / 2ч 1 соз ах1 | ^ Г (х, х,; от) = -——1 : г соз аA - х) при х > хл. 1 а<2^ 81П а^ ^ Формулы F.46) и F.47) дают простой способ вычисления динамических напряжений в любом сечении стержня или вала при действии на него сосредоточенной возмущающей силы или момента. Впервые такие формулы были найдены А. Н. Крыловым [21, с. 240]. Пример 3. Сохраняя обозначения примера 2 и замечания, сделанные там по поводу расстояния 8, предположим, что на верхний конец вертикального стержня, к которому прикреплен покоящийся в начальный момент груз (рис. 62, б), действуют периодически повторяющиеся с периодом т импульсы 5. Требуется найти установившиеся вынужденные колебания груза. Задача приводится к нахождению частного решения уравнения % - с2Ш= I [Ст1 (()+ст* ((-т)+•••] °1(х -1) F-48) 1} Г(х, хг; со2) обозначает гармонический коэффициент влияния (продольное смещение) в сечении х от единичной продольной гармонической силы частоты со, приложенной в сечении хх. Сокращенно Т{хЬУ хк; со2) = Гш.
264 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ при краевых условиях МШ1гЕА(Ш~г у{0'г)=0 F-49) и начальных условиях у(х,0) = у(х,0) = 0. F.50) Это решение будем искать в виде разложения оо У(х,*)= X Тк{г)ук(х) F.51) к = 1 по собственным формам свободных колебаний стержня с грузом на конце (пример 2): ФЛ(*) = 31п(рЛх//), F.52) где $к — корни уравнения Р 1ё Р = а. Подставив F.51) в уравнение F.48) и обозначив о1(*) + о1(*-т)+...=/@, получим оо ** _ 5 Е Г, + р| ГЛ) Вт ^ = 2 /(О ах (х - /), F.53) где р| = с2р|//2 — квадраты собственных частот главных колебаний системы. Взяв производную от F.53) по х, умножим обе части на соз р^// и проинтегрируем в пределах от 0 до /. Тогда оо 1 1 X (тк + р1Тк)Ц\ соз^ со8^ Aх= -/(О/ а{(х-/)соз Ь± ах. к==1у к гн к) 1 0 1 1 Ц 0 / Интегрируя, получим1* I \ о{ (X - I) С08 ^у- <1Х = у 81П р.. Что касается левой части, то здесь I ^ соз ^— соз ^— си; = 0, г * к о * * и 1соИ^«1х-,BР'Ч;?п2Р'). о / 4р^ *> См. книгу И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова [15, с. 32].
3. Уравнения форм колебаний с правой частью 265 Следовательно, Последнее уравнение будем решать операционным методом. Положив ^(р)-Н>Г,(*), найдем при нулевых начальных условиях р ( V = 4Р»81П Р^ . 5Р *^; ц/BC, + зт2р,) A-^х)(р2+р2)- Начальная функция, соответствующая чисто вынужденным колебаниям с периодом возмущающих импульсов т, для значении I в пределах первого периода, т. е. для 0 < I < т, на основании формулы B.46) будет иметь вид Г* (() = ц^Bр7+81п2Р>) 181ПР^ + С1ё X С08^> Из формулы F.51) теперь находим: оо '2а что с помощью равенства после деления числителя и знаменателя дроби под знаком суммы на зт2 $к можно представить еще и в форме УУ> } Мс Ъ рЛA + а + рЛс*в Р*) ' к = 1 Пример 4. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ОТ ВНЕЗАПНО ПРИЛОЖЕННОЙ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ. Колебания, возникающие в стержне от силы Р, внезапно приложенной к свободному концу в начальный момент, можно формально отнести к категории вынужденных колебаний, так как расчет таких колебаний приводится к интегрированию уравнений с правой частью. В самом деле, уравнение колебаний в этом случае будет иметь вид Нужно найти частное решение этого уравнения при краевых условиях ,@,0 = 0; ^) -0
266 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ и начальных условиях у(х, 0) = у(х, 0) = 0. Положив у(х, 0= 2 га@ф*D /г = 1 где, как и в примере 1, получим для ТкAI>> 2к — 1 Фа (*) = в* з1п акх' ак = —2Т-" я> П@ + Р|^@=^з1па,г Тк @ = М» соз рк1 + Я, 8Ш р.* + —^г- • При нулевых начальных условиях Следовательно, 2Рзт аА/ 2Рзт а*,/ 1№к П@=^Е^A"СО8^). Таким образом, искомое решение будет п а{ ~Bк - 1) , Лч 8Р1 ^ 81п ай/зт акх . ^^()%1й1 BЕ-1J Ц ~ С°8^)- & = 1 С его помощью, положив х — I, найдем перемещение конца стержня ^' ' л2ЕА ^ Bй- IJ ' /е = 1 так как зт2 ак1 = 1. Максимальное отклонение конца будет иметь место, когда соз рк1 = -1. При этом #тах „2дА\, З2 52 V ЯА Максимальное отклонение конца стержня от внезапно приложенной силы оказывается в два раза большим статического отклонения от той же силы, равного Р1/ЕА. Пример 5. Формулы А. Н. Крылова F.45), F.46) и F.47) могут быть использованы для составления уравнений колебаний сложных систем, составленных из простых частей, по гармоническим коэффициентам на соединяе- Х) Дальше Вк принято равным единице.
3. Уравнения форм колебаний с правой частью 267 _ш м о Ща ЕгАг в Е,А2 С I И 1 м А ДА В в Е^2 с I I =1 а) б) Рис. 63 мых концах (сечениях) последних. В прилегающих концах (сечениях) двух смежных частей (до их разделения) гармонические коэффициенты равны по величине, но противоположны по знаку, так как здесь смещения сечений прилегающих частей одинаковы, а действующие в этих сечениях усилия уравновешены, т. е. равны по величине и противоположны по знаку1*. Рассмотрим в качестве первого примера продольные колебания стержня, зажатого левым концом и несущего на другом конце сосредоточенную массу М. Здесь длина стержня /, погонная масса ц, жесткость ЕА. Делим систему по сечению А, прилегающему к массе М, на две части — стержень ОА со свободным концом А и массу М (рис. 63, а). Из второй формулы F.46) находим гармонический коэффициент на конце А: Г (/, /, со2) = - 1 8И1 а\ аЕА соз а1 = -—9 Ца1. ЦСО^ Для сосредоточенной массы М гармонический коэффициент, т. е., согласно определению, отношение смещения д этой массы к ее силе инерции (-Мдсо2) будет равен (-1/Мсо2). Присоединяя массу М к концу стержня А, будем иметь в месте соединения цосг 1ё а1 Мсо2 ' откуда а11% а1 = \х1/М или, положив, как в примере 2, а = ц//М, р = а/, Р 48 Р = а. Это уравнение совпадает с уравнением F.31), полученным другим путем. Пример 6. УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, составленного из двух однородных отрезков. Пусть на отрезке АВ жесткость равна ЕХАХ, а на отрезке ВС — #2^2 (Рис- 63, б). Гармонический коэффициент в В для левого отрезка составляет Г (/, /, со2) = - а1Е1А1 1ёаг1г. Х) Дальнейшее развитие и матричное обобщение излагаемого приема см. в статье Э. Хюбнера[128].
268 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ Гармонический коэффициент в В для правого отрезка Из уравнения Г @, 0, со2) 1 1 1« VI = с1ё а212. а% а212 а^^] а2Е2А2 находим уравнение частот колебаний рассматриваемого составного стержня и^А Приведенные примеры легко решаются также изложенным в следующем разделе методом начальных параметров в матричной форме. 4. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ. Расчет крутильных или продольных колебаний стержня с непрерывным или кусочно-непрерывным распределением массы и жесткости можно представить в матричной форме с помощью матриц сосредоточенных масс (см. формулу E.33)) и матриц перехода для участков стержня. Начальными параметрами здесь будут: для крутильных колебаний угол поворота и крутящий момент на одном из концов стержня, для продольных — продольное смещение и натяжение на одном из концов стержня. Имея в виду крутильные колебания, обозначим через 63 угол поворота, через М1 — момент на правом конце отрезка стержня длиной /. Для угла поворота и момента на левом конце отрезка будем иметь (из уравнения F.9)I) МЛ 1 Э(/) = дг соз а1 + „Т Вт а.1, или а01р 01рв'A) = -01рвга 81п а\ + М\ соз а/, М- F.54) Э2 = 6Х сое а/ + а01, 81П а/, М2 = -01 авг 8гп а1 + М3 соз а1. Полученные соотношения можно представить в матричной форме 1 е9 м9 сов а1 -аСг/ 8И1 а/ аО! ¦81П а/ р соз а/ М1 F.55) Х) Счет — справа налево.
4. Метод начальных параметров в матричной форме 269 Аналогичное матричное уравнение можно выписать для продольных колебаний стержня: 1 соз а1 -аЕА&т а\ „ -8И1 а1 аЕА соз а1 «1 F.56) где хх и х2 — продольные смещения соответствующих сечении; 8Х и $2 — продольные натяжения в этих сечениях. Уравнения F.55) и F.56) могут быть использованы прежде всего для динамического расчета колеблющихся систем, т. е. для определения динамических деформаций и напряжений в сечениях стержня при продольных или крутильных колебаниях. Эти уравнения можно также использовать для определения собственных частот колебаний однородных стержней при заданных краевых условиях. Так, например, для стержня с грузом на конце (пример 2) можно записать, взяв за начало верхний закрепленный конец: -8111 а1 аЕА сое а/ Смещение нижнего конца равно соз а1 аЕАзт а1 81П а1 аЕА соз а\ <Р@ = зт а/. аЕА ' натяжение на этом конце — Мр2 ф(/) = соз а/. Исключив из этих уравнений ср(/) и введя, как раньше, обозначения а = \х1/М, р = а/, получим прежнее уравнение частот F.31) Р 1« Р = а- Если груз на конце стержня отсутствует (М = 0), то уравнение частот будет иметь вид (как в примере 1) соз а1 = 0. С помощью уравнений F.55) и F.56) можно составлять уравнения частот и для более сложных систем. Рассмотрим вал со свободными концами, несущий три сосредоточенные маховые массы с моментами инерции /1, /2, /3 (Рис- 64). Обозначим через Аг и А2 матрицы перехода для первого и второго участков со- О" / 1 2222 -77Т, I. X г 222^ ^7Т 'з Рис. 64
270 Глава VI. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ответственно. Тогда порядок вычислений при составлении уравнения частот или при расчете напряжений в каком-либо сечении вала можно представить следующей матричной схемой: МЛ 1 0 >2 1 А* 1 0 -12Р2 1 Л1 о -11Р* 1 Эп 0 F.57) Приравняв Мх = 0, получим уравнение частот рассматриваемой системы1*. Во многих случаях непосредственное использование общих формул F.45) для гармонических коэффициентов представляет более простой путь составления уравнений крутильных (продольных) колебаний стержней, несущих сосредоточенные массы. Для приведенного на рис. 64 вала, несущего в точках О, х, I сосредоточенные маховые массы с моментами инерции 119 /2, 13, отнеся инерционные моменты крайних масс /1са2ф@) и /3(о2ф(/) к граничным условиям, получим из формул F.45) следующие уравнения: из условий на левом свободном конце, несущем маховую массу /1: из условий на правом свободном конце, несущем маховую массу /3: ф@) соз а\ + ^^ 8Ш а1 + 2^ФГ зт а (I - х) - ср@ = 0, F.58) аС1п а01„ х^ч . 7 /1С02ф@) 7 /осо2ф(л:) ., ч /осо2ф(х) -ф@) зт а1 + \^тк ' соз а1 + 2 ^/ } соз а A-х)- 3 _ ; = 0. а01п аС1п аО!п F.59) Наконец, для углового смещения массы 12 из первого уравнения F.45) находим ф@) соз ах + /1со2Ф@) . аО!п зт ах - ф(х) = 0. F.60) 1) Матрицу сосредоточенной маховой массы E.33) и матрицу жесткости E.35) для безмассового участка вала можно получить из матрицы F.55), полагая в ней или 1-+ 0, II -+ I (для матрицы массы), или / —> 0 (для матрицы жесткости) — см. статьи X. Фурке [126], а также С. Фалька [124].
1. Основные допущения 271 Мы получаем, таким образом, три уравнения F.58), F.59) и F.60) с тремя неизвестными ф@), ф(х), ф(/)- Исключив последние из этих уравнений, приходим к уравнению частот системы соз ах + сое а\ + /1ш25т ах аОК -1 /1со28т а\ 12ы2зт аA - х) аО!п аО!п -8111 а1 + /1со28т а1 /2оJсо8 аA - х) аО!п аО!п 0 -1 /зОЗ2 а01„ Разворачивать определитель этого уравнения нет надобности, хотя такое разворачивание легко можно было бы выполнить по рекуррентным формулам В. Я. Натансона [115]. Проще вычислять значения этого определителя для ряда пробных значений частоты с последующим интерполированием. Глава VII Поперечные колебания прямых стержней 1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ. При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в неде- формированном состоянии упругая ось1) стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось х и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек Х) Упругая ось стержня — это геометрическое место точек {центров жесткости), к которым должны быть приложены внешние силы, чтобы вызвать изгиб стержня без кручения. Если упругая ось не совпадает с линией центров тяжести, то, как известно, стержень, изгибаясь, будет закручиваться.
272 Глава VII. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ оси стержня происходят перпендикулярно прямолинейному, не- деформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси. Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости (плоскость колебаний) и являются малыми отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности. При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных — координаты х и времени ^: у = у(х, г). Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом. Обозначим через ц(х) [кГ • с2/см2] массу единицы длины стержня, через Е1 — жесткость на прогиб (Е [кГ/см2] — модуль упругости, / [см4] — момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний), /0 [кГ • см • с2/см] — момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через /(х, ^), а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью Р(х, I). Эти нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени. Кинетическая энергия колеблющегося стержня складывается из кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня Т1=\{ И(*)(§?JA* GЛ) и кинетической энергии вращений элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных плоскости колебаний,
1. Основные допущения 273 Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых: ^ потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил) п^НЕ1&^ G-3) ^ потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки /(х, *) П2 = \\ К*> О У <**; G.4) ^ о ^ потенциальной энергии растяжения1^ от продольной силы Р(х, I) I П8=|{ Р(х, <) (|J Ах. G.5) Функционал Остроградского — Гамильтона 8 имеет здесь вид 8-ШИЧЗ),+'*>®"-»(Ё0,+ + Дх, г)у + Р(х, г) (^J1 Аг Ах. G.6) Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала 8 уравнение Эйлера по формуле A.49) ^ сП2 дх2 V дх2 ) дх V дх - Дх, г) + & Г/0^й. ") = 0. G.7) Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы. В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения G.7) последний член. ^ Вычисляемой так же, как и потенциальная энергия продольных натяжений в продольных колебаниях.
274 Глава VII. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ Положив /(х, *) = 0 и р(х, I) = О, мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянными жесткостью Е1 и погонной массой ц. Обозначим с = *]Е1 /\\.. Тогда для таких колебаний уравнение G.7) будет иметь вид 2. КРАЕВЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ. В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнир- но оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями: ^ конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила; следовательно, Ё!й =0, ^ =0; дх2 ' дхг ^ конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е. »-0. |=0; ^ конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т. е. Краевые условия, ограничивающие свободу перемещений концов стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, например, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т. е. условия , = о, 1=0. Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами дх2 дх3 мы будем называть динамическими условиями.
3. Собственные формы колебаний стержня 275 В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. С некоторыми видами упругих закреплений мы встретимся в разобранных дальше примерах. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин ду д2у дгу дх9 дх2' дх3' Начальные условия выражаются соотношениями у(х, 0) = и(х), у(х, 0) = о(х), имеющими место в момент I = 0, где и(х) и и(х) — некоторые заданные функции переменной х, определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов. 3. СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ И ФУНКЦИИ, ИХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ. Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня является главное колебание, в котором у(х, I) изменяется с течением времени по гармоническому закону у(х, I) = ф(х) 8Н1 {р1 + а). G.10) Функция ф(х), устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямог