Автор: Аничковъ Д.  

Теги: математика   алгебра   арифметика   естественные науки  

Год: 1781

Похожие

Краткое изложеніе уроковъ о дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіе

Энциклопедія элементарной математики. Томъ 2. Тригонометрія, аналитическая геометрія, геометрія, стереометрія

Основанія физики. Часть 1. Кинематика, принципы динамики, статика и кинетика твердаго тела

Элементарная алгебра. Систематическій курсъ. Томъ 1. Теорія

Текст 
                    

^,оVI
0О*.ѵІиіі.
ШЖ^Ж
. у?а ЛЬ	а	ла л- а 6-^

 НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
АЛГЕБРЫ, "и
или	А
ариѳметики литеральной,
СЛУЖАЩІЯ
для
Удобнѣйшаго и скорѣйшаго вычисленія какЪ Ариѳ-
метическихъ , такЪ и Геометрическихъ задачъ,
въ
пользу и УПОТРЕБЛЕНІЕ
^РОССІЙСКАГО ІОНОШЕСТВ^^^
УПРАЖНЯЮЩАГОСЯ 1^: гМЛТ^-АѴ
<\ /§ в-ь
ХЬЙЙАТИЧЕСКИХЪ НАУКАХЪ.Ѵ^
,Ѵ-<2 ОБРАННЫЯ
, «въ
*г РАЗНЫХЪ АВТОРОВЪ
\	сЪ	*' •-
ПріоъщФі$5ді&'* ^раоиропанныхЪ фигуръ на ^пѣ-
натцати тавлицахЪ,
Императорскаго Московскаго Университета ПубчичнымБ
Ординарнымъ Профессоромъ, и Московскаго Россійска-
го Собранія при томЪ же Университетъ Членомъ
ДМИТРІЕМЪ АН ИЧкОВЪіМЪ.
*
— ........
въ Москвѣ,
ВЪ Университетской Типографіи у Н. Новикова

Проіерка
1
ОДОБРЕНІЕ.	|
По приказанію Императорскаго Москоі
скаго Университета Господѣ Кураторовъ, я ч,
типѣ книгу подЪ заглавіемъ Начальныя Осное
нія Алгебры , и не нашелѣ пЪ ней ничего проти.
наго наставленію , данному мнѣ о разсматрип
ніи печатаемыхъ пЪ Университетской Тнпогр
фіи книгѣпочему оная и напечатана ныть гл
экетЪ. Коллежскій Совѣтникѣ н Красноречія Пр
фессорѣ и Ценсорѣ печатаемыхъ пѣ Унииерситеі
ской Типографіи книгЪ.
АНТОНЪ БАРСОВЪ.


НАЧАЛЬНЫЯ ОСНОВАНІЯ
А Л Г Е
Б Р Ы.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
о
НаименопаніяхЪ, употреБЯЯемыхЪ пЬ Апгеврѣ
п перпыхЪ оной начаяахЪ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ I.
т.
Аягеъра ( АІдеЬга , ѵеі апаіузіз ) , или псеоыцая
Ариѳметика ( АгісЬтесіса ѵпіиегзаііз ) , ИЛИ
Литеральная Ариѳметика ( Агкіітегіса $ре-
сіоза , зеч Еодізгіса ) есть наука ИзЪ данныхЪ
нѣсколькихъ количествъ, помощію сравне-
ній , находить другія неизвѣстныя коли-
чества тогожЪ роду , о которыхЪ, вЪ раз-
сужденіи данныхъ , нѣчто знать дается.
Или Алгебра есть наука изъ данныхъ, или
извѣстныхъ количествъ, помощію сравне-
ній, находить неизвѣстныя.
А 2
ПРИ-

4
ПРИМѢЧАНІЕ.
§. г. Алгебра Всеоъщею Ариѳметикъ
называется потому, что чрезъ оную в
числяется все , что можно вычислить. II
чему великой Аглинской Математиі
ИсаакЪ НевтонЪ руководство свое кЪ А
гебрЪ и назвалъ всеобщею Ариѳметико
ДитпералъноюжЪ Ариѳметикою именуепь
потому, что вЪ оной вмѣсто цыфрЪ уп
требляются всеобщіе знаки, то есть, аі
бучныя буквы , и чрезЪ оныя дѣлаютс
обыкновенныя Алгебраическія выкладки
коихЪ употребленіе первой ввелъ вЪ Алгі
бру Францискъ Біета. СпецгозажЪ назь
ваешся потому , что она предметом
имѣетъ роды , или виды вещей; а Алге
рою названа она отъ АраповЪ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ II.
3. Одно, или многія количества, о;
каченныя буквами, почитаются Алгеъраі
ческими количествами , или величинами (А
цеЬгаісае диашісагез , зси та^пігийіпеа).
ПОЛОЖЕНІЕ I.
4. Данныя , или извѣстныя количе-
ства вЪ Алгебрѣ всегда означаются первы
ми азбучными буквами, на пр. а, Ъ, с, <1,
и проч. а неизвѣстныя, или искомыя ко-
личества послѣдними , на пр. х , у, г , и проч.
ПО

5

ПОЛОЖЕНІЕ II.
ф. у. Знакъ сложенія есть |, а вычи-
танія — 5 первой выговаривается чрезъ
ріиз, а другой чрезЪ тіпиз. На пр. сумма
двухъ количествѣ а и Ь пишется а | Ъ, а
выговаривается а ріиз Ъ; напротивъ того
разность двухъ количествъ пишется а — Ъ,
а выговаривается а тіпи$ Ъ. Положимъ , чгпо
а = 7 руб. Ь = 8 коп. то а | Ъ будетъ
значить 7 рублей сЪ 8 копѣйками; на про-
тивъ того а — Ь будетъ значить 7 руб-
лей безъ 8 копѣекъ,
ПОЛОЖЕНІЕ ПІ.
§. 6. Алгебраическое умноженіе или со
всемъ не имѣетъ никакого знака, и умно-
жаемыя между собою буквы ставятся безъ
всякаго знака одна подлѣ другой; или оз-
начаются запятою, или точкою, а вообще
употребляется слѣдующей знакъ х. На
пр. ежели должно умножить а на Ь; то
произведеніе пишется а Ъ , или а , Ъ , или
а. Ъ, или на конецъ а х Ь ; и во всѢхЪ
случаяхъ выговаривается а умножено на Ъ.
ПРИМѢЧАНІЕ. .
7. Когда многія количества вмѣстѣ
умножаются на одно, или одно количе-
ство на многія; то оныя многія коли іе-
ства заключаются вЪ вмѣстительной, а
А з	умно-

6
умножающее количество ’ ставится безъ
всякаго знака прежде, или послѣ вмѣсти!
тельной. На пр. произведеніе изЪ а | Ъ — 1
на 6, пишется или такимЪ образомъ: (а|І
Ъ — с) й, или сі (а^Ь — с). ВообщежЪ такое прЛ
изведеніе изображается слѣдующимъ обръі
зомЪ : а|Ь — с х <3, или йха|Ь-—сі
или надъ составленнымъ количествомъ
проводится черта , на пр. а | Ъ — с х й.
ПОЛОЖЕНІЕ IV.
§. 8. Знакъ дѣленія вЪ Алгебрѣ у по пи
ребляется двоеточіе, или дѣлимыя коля
чества изображаются дробью. На пр. ежм
ли а должно раздѣлить на Ъ ; то частно»
число пишется или такимЪ образомъ: а: Ь, или
а
—, и вЪ обоихъ случаяхъ выговаривается
а раздѣлено на Ъ.
ПРИМѢЧАНІЕ.
9. Ежели многія количества вмѣстѣ!
дѣлятся на одно , или одно на многія 1
то оныя многія количества заключаются
вЪ вмѣстительной, а дѣлящее количество!
стаьится сЪ знакомъ дѣленія , прежде 1
или послѣ Вмѣстительной. На пр. Частное I
число изЪ а ! Ъ на с пишется или такимЪ
образомъ: ( а | Ъ ) : с, или с : ( а | Ь ). Во-
общежь частное число изображается слѣдую-
щимъ образомъ: а |Ь.	1
с	ПО«

7
ПОЛОЖЕНІЕ V.
іо. Знакъ равенства вЪ Алгебрѣ
такойже, какой и вЪ Ариѳметикѣ , упо-
требляется , то есть, (= •)
ОПРЕДѢЛЕНІЕ III.
§. іі. Количества простыя, или одина-
кія ( диапсісагез зітріісез , зеи іпсотріехае ) су шь
тѣ, которыя сЪ другимъ количествомъ
чрезъ знакъ | не соединены, или отЪ дру-
гаго чрезЪ знакъ — не отдѣлены. На пр.
х или у. На противъ того количества
сложныя, или составныя (циаінкасез сотройгае,
зеи сотріехае) суть тѣ, которыя сЪ дру-
гимъ количествомъ или чрезЪ знакъ | со-
единены , или отЪ другаго чрезЪ знакѣ —
отдѣлены. На пр. х | у , или х — у.
О ПРЕ ДѢЛ Е Н I Е IV
12. Коли честна , предъ которыми на-
ходится знакъ или которыя не имѣютъ
предЬ собою никакого знака, или вЪ началѣ
поставляются безъ всякаго знака, именуют-
ся положительными, или подтвердите льны ми
( сріатчагсз розійиае ; иеі аЯіппасіиае ) , или боль-
шими ничего ( таіогез піЫіо ) ; на противъ
того тѣ количества, предъ которыми на-
ходится знакъ —, называются недоста-
точными , или отрицательными (диашісак»
ргшапиае , ѵеі педасіиае ), или меньшими ничего
(тіпогез піЫІо) , или непристойными (аЪСиг-
А 4	гіае ) ;

8

сіае) • и первыя изЪ оныхЪ показываютъ са
мую вещь, а послѣднія означаютъ недо
статочесшво вещи.
ПРИБАВЛЕНІЕ
§ 13. ИзЪ чего явствуетъ что количе
ства положительныя и отрицательныя
какъ имѣющія между собою нБкоторое оіг
ношеніе, противополагаются другЪ друг
такимЪ образомъ, что одно изЪ нихЪ
будучи приложено КЪ другому, сіе уни
чгпожаетЪ.
ются на пр.
и уъаиленіе ?
проч.
Такими количествами почиша
ъарыщЪ и накла&Ь , приращені
продолженіе И цозираіценіе і
ПРИМѢЧАНІЕ
§. 14. Положимъ, что ты не имЬеш
ничего денегъ, однако подарено шебЬ ю
руб. то ты получа юо. руб. будешь и
міяпь больше ничего. Напротивъ тогс
положимъ, что ты, не имЪя ничего денегъ
долженъ заплатить юо. руб. Почему юа
руб. вЪ долгъ возьмешь, и прежде нежели
заплатишь, будешь имЪть меньше ничего
Ибо должно шебЬ заплатить юо. руб.
чтобъ ничего не имЬть; и потому юо
руб. составляющіе долгъ , будутъ изобра-
жать количество отрицательное, иди не*
достаточное.^
ПРИ-

9
ПРИБАВЛЕНІЕ I.
ту. Почему, когда недостаточное
прикладываешь кЪ положительному, вЪ
самой вещи уничтожаешь , на пр. — ЗІ 3
•— о ; когдажь недостаточное вычитаешь
изЪ положительнаго, тогда вЪ самой вещи
прикладываешь , на пр. •— 3 ~ 3 “ — 6.
Ибо недостатокъ безъ приложенія уничто-
женъ быть не можетъ,
ПРИБАВЛЕНІЕ г,
§. 16. И какъ одинъ недостатокъ боль-
ше другаго быть можетъ і то сумму и
разность недостаточныхъ неравныхъ ко-
личествъ по справедливости должно прини-
мать вЪ разсужденіе.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ V.	__
17. Число приписанное кЪ какому
количеству называется множителемъ ( соеЖ-
сіеп8) того количества , то есть, показы-
ваетъ оно , сколько то количество должно
взято быть. На пр, 8 х, значитъ, что ко-
личество х должно взять восемь разъ,
также |х- значитъ, что количества х- долж-
но взять половину.
ПРИБАВЛЕНІЕ
§ Почему о всякомъ количествѣ,
предъ которымъ хотя и не будетъ на-
ходиться явнаго множителя, должно по-
А у	ни-

ІО
нимать, что предъ онымЪ находится 11
На пр. а-тоже значитъ, что и іа; такожъ
<3 Г тоже значитъ, что и і сіГ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ VI.
19. Количесиіаа подобныя (сріапшасй Я
тііез) называются всѣ тѣ, которыя ознаі
чаются одинакими буквами, хотя вЪ про!
чемЪ будутъ имѣть разныхъ множителей]
На пр. 3 а Ь с и 5 а Ь с суть количества по-
добныя. На противъ того количестиа иепс-
ровныя (сраінісагсз ёійітііез) суть тѣ , коточ
рыя означаются разными буквами. На пр.
3 а Ъ сі и з аЪ с суть количества неподоб-
ныя.
ПОЛОЖЕНІЕ VI.
§. іо. Знакъ подобія такойже и здѣсь
употребляется , какой вЪ Ариѳметикѣ и
Геометріи употребляемъ былъ. На пр. сл.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
о
ПерпыхЪ дѣйствіяхъ Алгебраическаго счисленія.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ VII.
!§• 11.
Припеуенге (гсбиДіо) есть такое дѣй-
ствіе , чрезъ которое количества, не пере-
мѣняя содержанія оныхЪ, приводятся вЪ
простѣйшей видъ.
ПРИ-

11
ПРИМѢЧАНІЕ і.
22. Сіе дѣйствіе утверждается на
слѣдующихъ двухъ правилахъ: і. для у-
добнѣйшаго сношенія между собою коли-
чествѣ , означенныхъ буквами, полезно вЪ
постановленіи буквъ наблюдать порядокъ
азбучной. На пр. количество Ь а і с • б |еб
раъ — сЪа лучше изображено быть мо-
жетъ такЪ: аЪ —аЪс|ЬсЦс — б|де. 2.
Многія подобныя количества приводятся
кЪ одинакому; а тѣ, которыя другЪ дру-
га уничтожаютъ, выбросываются. На пр.
вмѣсто аЬ|аЬ|сс! лучше и короче можно
изобразить г а Ъ | с й ; вмѣсто аа|2ас|зас
проспіѣе можно написать аа| $ а с; вмѣсто
аЪі'ЪЪ|с<і — ЬЬ лучше можно изобразить
а Ъ | с сі $ ибо | Ь Ь и — Ъ Ъ взаимно другЪ
друга уничтожаютъ з на конецъ вмѣсто
а— з Ъ — 4 Ъ короче можно написать а —.
7 Ь.	'
ПРИМѢЧАНІЕ 2.
§ 23. Количество Алгебраическое сло-
жное изЪ многихъ другихъ количествъ не
перемѣняетъ своего знаменованія, когда
вЪ буквахъ, означающихъ оное, не бу-
детъ наблюдаемъ вышепомянутой поря-
докъ. На гір. естьли вмѣсто а | Ь — с напи-
шешь Ъ .— с I а, или •— с | а | Ь; то изЪ того
никакой вЪ знаменованіи количествъ пере-
мѣны

12

мѣны не произойдетъ.- ибо одно премѢІ
неніе порядка вЪ буквахъ не перемѣняетъ
знаменованія какъ частей, такъ и цѣлаго.
ТЕОРЕМА I.
§. 24. Всякое количество за единицу
принято быть можетъ,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, 1
Когда всякое количество само въ себѣ
есть одно, и кЪ другому опредѣленному
количеству, какъ бы кЪ единицѣ не от-
носится; то само оно за единицу приня-
то быть можетъ,
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ѴШ
§. 2 у.	Аятеъраическое (агісііио
аІсгеЪгаіса) есть такое дѣйствіе, чрезЪ ко-
торое количества , означенныя буквами ,
пишутся по порядку с'Ь приложеньемъ кЪ
положительнымъ количествамъ знака і, а
кЪ недостаточнымъ знака , и потомъ,
ежели можно, дѣлается приведеніе очыхЪ.
ЗАДАЧА I.
§. 26. Сложитъ количества, сЪ одина-
кими и разными знаками находящіяся.
РѢШЕНІЕ,	/
і-	Когда количества имѣютъ одинакіе
знаки ; то складывай оныя вмѣстѣ, какъ
и вѣ Ариѳметикѣ,
2.	Когда количества будутъ сЪ разны-
ми знаками, тогда сложеніе перемѣняет-
ся

13
"я вЪ вычитаніе, то есть, тогда меньшее
количество вычитается изЪ большаго н
едЬ остаткомъ ставится знакъ больша-
го количества.
3.	ЕстълижЪ количества будутъ озна-
чена і разными буквами; то оныя соединя-
ются между собою чрезЪ	знакъ	На	пр.
х ; 2 Ь — 2 с — $ 6 — %	а	—	Ъ
5 а~:Ь і 6 с | 2 — 3
9 а , І 4 с ~ 3 <1 •— 4 &	сумма	а	—	Ъ | с
сумма.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Когда всякая буква, которою означает-
ся количество, можетъ принята быть за
единицу (§. і8. и 24); то означенныя
одинакою буквою количества можно счи-
тать, какъ вещи одного роду ( §. 44. Ариѳ );
а что количествъ сЪ разными знаками на-
ходящихся сложенье перемѣняется вЪ вы-
читаніе , и предъ остаткомъ ставится
знакъ большаго количества , сіе яснѣе мо-
жно видѣть изЪ слѣдующаго примѣра; по-
ложимъ, что должно сложить
руб. грив. кои.
7	9-----у
—	5----2
руб. Грив. коп.
10 “— 4 — 4 сумма
То


Н
То видно, что вЪ суммѣ іо руб. не|
достаетъ 9. гривенЪ; по чему, естьли при-
ложишь ; гривенЪ , недостатокъ умень-1
іиится и приведенъ будетъ вЬ 4 гривны.1
ПоеликужЪ не цѣлыя у гривенЪ, но безь
9 гривенЪ надлежало приложишь кЪ сум-І
мѣ, и сумма ю руб. безъ 4 гривенЪ пре-
восходитъ настоящую 9. грирнами, и по-I
тому оныя надлежало отнять. Также!
когда вЪ веръхнемЪ числ!>, сЪ которым а
складывается нижнее, находятся у. копѣ-1
екЪ, сіи дѣйствительно отняты быти
могутъ, недостающіяжЪ 4. копѣйки над-І
лежитъ замѣтить какъ недостатокъ. И
шакЪ по справедливости сложеніе коли-
чествъ , сЪ разными знаками находящихся,
премѣняется вЪ вычитаніе и предъ остат-І
комъ ставится знакъ большаго количества.^
Ч. н. д.
__ ОПРЕДѢЛЕНІЕ IX.
§. 27. Вычитаніе Алгебраическое ( 8иЫіа-
Діо аІ^еЪгаіса) есть, такое дѣйствіе, чрезЪ
которое количества, означенныя буквами ,
пишутся одно подъ другимъ по порядку
сЪ принадлежащими имЪ знаками и потомъ
находится разность оныхЪ.
ТЕОРЕМА II.
§• 28- ВЪ вычитаніи простыхъ, или со-
ставныхъ количествъ, знаки вычитаемаго
коли-

количества перемѣняются въ прошивные,
то есть, |ВЪ-, а-вЪІ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Ежели количество с । <1 вычтешь изЪ ко-
личества а | Ь; то разность оныхЪ будетъ
а | Ь — с — а , и потому знакъ | в'Ь вычи-
таемомъ количествѣ перемѣняется вЪ
знакъ —5 н0 ежели количество с —а выч-
тешь изЪ количества а | Ъ ; то , когда цѣ-
лое с вычтено будетъ , вычтешь больше ,
нежели надлежало; и потому то , что боль-
ше вычтено на пр. а-надлежиліЪ приложить.
Слѣдовательно будетъ разность данныхъ
количествъ а | Ь — с | д , то есть, вЪ семЪ
случаѣ знакъ—перемѣняется вЪ Ч.н. д.
ЗАДАЧА И.
29. Вычесть количества, сЪ одинаки-
мй и разными знаками находящіяся.
РѢШЕНІЕ
і.	Когда количества имѣютъ 'одинакіе
знаки и меньшее количество должно вы-
читать изЪ большаго; то дѣлай вычита-
ніе такъ , какъ и вЪ Ариѳметикѣ дѢлалЪ.
2.	Есіпьли должно будетъ вычитать
меньшее количество изЪ большаго; то вы-
чти меньшее изъ большаго и предЬ остат-
комъ поставь знакъ •—, когда вычитае-
мыя количества будутъ сЪ знакомъ і; на-*
прсЦ

противъ того предъ остаткомъ постав
знакър, когда тѣ количества будутъ I
знакомъ —.
3-	Когда вычитаемыя количества будущ
сЪ разными знаками ; то сложи тВ количі
ства, между коими надлежало дБлатпь в]
читаніе, и предъ суммою оныхЪ постай
знакъ того количества у изъ котораго вь
читать надлежало.
4.	Естьли количества будутъ означені
разными буквами; то вЪ такомЪ случая
знаки вычитаемаго количества токмо перя
мѣняются въ противные. На пр.
руб. грив. коп.	і
8 — 7 І 9	I
6 — 8—7	!
2 | з 116 разность.
Я а—- у с|9 а
6 а — 8 с—7 а
2 а| з е| іб а
а | Ь — с
а — е|Е
а । а
с — е —
а|Ь—с—а|е—Г разность а|с!—срс-[о разности
9 Ь 11 у с— 7 <і| 8 е— Г
6 Ъ | ао с — 9 а—9 е | уі
ЗЬ—ус | 2а+і7е—8^'разность]
Д ОК АЗАТЕ ЛЬСТВ О.
Поелику количества означенныя едина]
кими буквами суть единицы одного и то]
гожЪ роду ( §. 24.); того ради и вычитм
йіе
.4

17
ніе оныхЪ дЪлается какъ простыхъ чи-
селъ вЪ Ариѳметикѣ. Но когда большее
количество вычитается изЪ меньшаго , и
оба оныя имЪютЪ знакъ I, на пр. 20с
изЪ 15с; то отнимается 20с , напротивб
того вЪ верьху должно прибавишь 15с,
чего ради недостаетъ еще столько с,
сколько разности находится между 20 и
іу , а имянно у. КогдажЪ вычитаемыя
количества будутъ сЪ знакомъ •—, на пр.
когда надлежитъ вычитать ----- 9 <1 изЪ —
7 а; то — 9 <1 должно придать , потому
что сЪ лишкомЪ вычтено ; ибо надлежало
отнять токмо 20с— 96, а отнято цБ-
лые го с, и поелику вЪ верьху не доста-
нетъ 7 б ; то изЪ придаваемыхъ 9 д уни-
чтожаются 7, и остаются только еще 26. То-
го ради вЪ такихЪ случаяхъ надлежитъ все-
гда вычитать только меньшее изъ большаго
и предъ остаткомъ ставишь знакъ проти-
вной , то есть , —- вмВсіпд і, а | вмБсто
—Наконецъ , когда количества бы-
ваютъ сЪ разными знаками, и должно на
пр. вычесть----9 е изЪ і 8 е ; извѣстно изЪ
предыдущаго , что — 9 е должно придать
для того , что напереди сЪ лишкомЪ вы-
чтено ; и такъ будетъ і* 17 е. Напротивъ
того , когда должно будетъ, на пр. | 7 і
Жііесшь изЪ — Г; то вЪ ліакомЪ случай
IV	Б	не-
'«№И«Т«М»
•О***»*»"»
•*»

и
недостаетъ одного Г вБ веръху , отщ
маяжЬ еще 7Г, будетъ недоставать
го 8Г; чего ради вЪ обоихъ случая*
требуется только сложить оныя колич<
ства и предъ суммою ихЪ поставить знак]
находящейся при томъ количествъ,
котораго вычитается. Ч. н д.
ПРИМѢЧАНІЕ.
30. ВЪ Ариѳметикѣ сказано быяЛ
что числа слагаемыя должны быть одной
роду ( §. 44. Ариѳ.); то удивительно п<и
кажется, для чего в'Ь АлгебрЪ положи
тельныя количества сЪ недостаточными!
и обратно недостаточныя сЪ положите ли
нь ми складываются и вычитаются, когда
оныя суть разнородныя. Но обстоятель
нЪе разсматривая увидишь , что недостатсі
чное количество никогда не складывается си
положительнымъ и изЪ онаго не вычишаепі
ся но вЪ сложеніи вычитается потому,
что болЪе, нежели надлежало, придано
было, а вЪ вычитаніи складывается потс*
му, что болЪе, нежели надлежало , выч-
тено было.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ X.
§. 3 т. умноженіе аяте&раичес.кое ( тиііі
ріісапо аІееЪгаіса) есть такое дЪйсшвіе
чрезЪ которое умножаемыя между собою
количества , означенныя буквами, пишутся
по порядку одно ПОДЪ друГимЪ сЪ прина-
длежащити имЬ знаками 3 й потомъ на-
ходится произведеніе оныхЪ.
ТЕ ОРЕМА ІЙ.
§. 32. Одинакіе знаки умножаемыхъ
между собою количествъ ѣЪ произведеніи
дЪламітЪ і4 а разные —•.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Когда | на | умножается, то видно
Что и произведеніе Должно имЪшь Рав-
нымъ образомъ не трудно понять, что
вЪ произведеніи долженъ быть знакъ —*,
когда | на — умножается, потому что не-
нЪсколько разЪ берется. Но
— на — і то не весь-
ЯСНО кажется , для чегобъ вЪ пройзве-
іи былъ знакъ I, й потому надлежитъ
, что когда на пр. 3 — 2 умно-
2 , недостатокъ —- 2 столько
сколько з 2 единицъ и-
какЪ ВЪ семь случай
достатокъ
когда умножается
Ма ясно кажется,
Деніи ---
прймЪчать
жаются на — г ,
разъ берется,
мЪ’ет'Б > то есть, какъ въ семх>
одинъ разъ ( §. бо. Ариѳ.). Но когда з сЪ
; ійо недосШашок Ь
Начала умножатся на —* 2
а возьмется три раза , и потому два ра-
за чрезЪ лишекЪ; того ради должно его
еще два раза назадъ Придать; и такъ — 2
на — 2 дѣлаютъ вЪ произведеніи 1 4. Ч. и. д.-
ЗА-
3
2



ЗАДАЧА ИГ.
$. 3 3* Умножить между собою коли?;
гтва, сЪ одинакими и разными знака?,
находящіяся.
РѢШЕНІЕ.
умножай между собою количества', о
тгаченныя буква ми такъ , какъ простыя
чиселъ умноженіе вЪ Ариѳметикѣ дѣлай
было, наблюдая притомъ только
одинакіе -знаки вЪ произведеніи дѣлаю,
і, а разные —На пр.
а | Ъ — д
а—Ъ — а
НТО, ЧПІ
10 = 8
2 = 8
І 4 - г
-4 — 2
—аа—.ъа|аа
— а Ъ — Ь Ь | Ь а
а а | а Ъ — а а
аа — ЬЬ — 2 а а| ба произведеніе іѳ - 88= Я
9 Т г = и
7 І 3 =
с
ъ । а
\ а а | с а
а Ъ і Ъ с
аьіааіьс|са
— Іб— 81
— Іб і з
— 32
64 I 32 — іб '
2 7 16.
б з }'і4|27!6=і іоі
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XI.
§. з 4.	алгеъраическос (аіѵійо а’^е-
Ьгака ) есть такое дѣйствіе, чрезЪ которое
дѣлимыя между собою количества, озна-
ченныя буквами, пишутся по порядку сЪ
принадлежащими имЪ знаками, и потбмЗ
находится частное число оныхъ.
МРЖЛ2Г собою количе-
§• 35- ^’^ими и разными знаками
егпва, СЪ одинакими и р
находящіяся, рѢШЕНІЕ.
ь когда одно
экетЪ дѣйствительно ртмI • какЪ при
другое» тогда посту <	/»иѳметнк®
дѣленіи простыхъ чис	итом Ь толь-
посгауплено было, пл6люд“ р’ частНомЪ
ко то, что одинакіе знаки вЪ част
числѣ дѣлаютъ і, а разные •	•	.
г. ЕстьлижЪ дѣйствительнаго Д®ле
учинить не можно будетъ ; то въ такомъ
Глучіѣ поступай такъ, какъ выше сего
сказано ( $ 8« и 9- )• ПР"
^-Ъ-а’аа—ЪЬ^2Э(ЦЦа|Ъ—а частное ЧИСЛО
аа—аЪ—аб	[
ЪЪ—асІ+СЗ \
|аЪ—ЬЪ—Ъб
-ЬЬб—аЩ(1б
|Ъб—аб|бб
о *	___
а| Ъ, или (а|Ъ): с, или а|Ъ : с
с
$ I аіа ъ і а а Т Ъ с I с ак1
I а Ъ і а а I


Ъ с |с4
Ъ с I с (і
о
' 27І6
Д7І6
9
ПРИМѢЧАНІЕ
36. Поелику буквы, це какъ числа
це имѣютъ знаменованія по мѣсту, я
коемЪ находятся; то здѣсь нѣтъ нужд
наблюдать порядокъ, но можно искать ча-
стное число во всякомъ членѣ, вЪ которомі
найти его, можно; что также можеті
служить вЪ вычитаніи и вЪ произведена
изЪ дѣлителя на частныя числа. На. пр. 1
са|1?—4ааІ4аЬ-4ас-і 4ас1|ЬЬ-2Ъс-7Ьб|4ссІ|іО(14.
ІгаІЬ-іс-уЛ
2 а Ь
і а Ь
4.аа|2аЪ—4ас—I оаіі
4 а й
| Ъ Ъ зЪс-уЪсГ^сі
— 4 а <1
—- 4 а 6
—	2 Ъ (1
— 2 Ъ (1
о
ГЛАВА

33
ГЛАВА ТРЕТІЯ
*
о
КояичестпахЪ алгебраическихъ, предстаплен-
ныхЬ пЪ дровякЪ, или ломаныхЪ числахЬ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XII.
$• 37-
Количестпо алгебраическое , иредста-
пленное пЪ дробяхъ ( Ггассіо аІ^еЪгаіса ) есть
не что иное, какъ изображеніе геометриче-
скаго содержанія.
ПРИБАВЛЕНІЕ
-?8. Почему вЬ алгебраическихъ дро-
бях Ь такимЪ же образомъ, какъ и вЪ Ариѳ-
метикъ , дБлимое количество числителемЬ
( питегдгог ) а дБлящее количество знамена-
телемъ (сіепощіпасог) называется. На. пр. а; Ь =
а
Г- —
ъ
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ХШ.
39* Дробь, вЬ которой числители кЪ
знаменателю содержится, какъ часть кЪ
цЪлому , называется соъстаенною, или
працильною (ргоргіа). Дробижь, вЪ копіо-
рыхЪ числители къ своимЪ знаменателямъ
содержатся, какЪ цЪлое къ части, или
какъ равное кЪ равному, именуются несов*
Сталиными) иди непрааильными (ітргоргіае).
Б 4
ПРИ-

3$.
< ЧЬ *Гч!
прибавленіе і.
40. ИзЪ чего явствуетъ, что всяко
Алгебраическое количество, представленію
вЪ дроби, имѣетъ свойство дѣленія,
обратно всякое дѣленіе алребраическ,
пріемлетъ на себя свойство дѣленія.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
41. И такъ тѣ дроби почитаютсИ
рапными ( ас^иа1с5) , вЪ которыхЪ числитЯ
ли кЪ своимЪ знаменителямЪ имѣютъ
одинакое содержаніе.
ПРИМѢЧАНІЕ. /
§. 42. Поелику алгебраическія количеі
ства , представленныя вЪ дробяхѣ, вбвсѣ::
дѣйствіяхъ, то есть , вЪ сложеніи, вычи
таніи, умноженіи и дѣленіи тіѢм'Ъж:
правиламъ послѣдуютъ, какимЪ в/Б Ариѳ-
метикѣ послѣдовали ломаныя числа ; того
ради одни токмо примѣры оныхЪ здѣсі
предложены Сыть имѣютъ.
„ ЗІйМенвтеля первой ДР°Хш^°и"
знаменателя пПІ0Р ’ менателя первой »
„енятеля второй И — я > буду^ и-
—елей. На пР.
а с
даны дроби -- И— э
ны будутъ кЪ одному
дующимБ образомъ,
а х а = а__а
Ьх іі
или
Ъ д
с х
<1 X
I И I; то приведе-
знатенателю слѣ*
Ъ с
Ъ
Ъ = Ъ <і
3x3=^
4 х 3 = 12
Естьли дано будетъ
§. 43. Привести кЪ одному знамена-] і
телю количества алгебраическія, предста
вленныя вЪ дробяхъ , кои имѣютъ раз-
ныхъ знаменателей.
РѢШЕНІЕ.
Тіертісіі .случаи. Ежели даны будутъ двѣ
дроби; то вЪ такомъ случаѣ числителя I
з X 4 = 8 _____
3* х 4 = 1 2 м
прилети *кЪ одному знаменателю нБсколь-
на по ®> -’т’ то О числите-
ко дробей» на ЛР- а р
ля и знаменателя первой дроби умножь на
знаменателя второй и третьей, 2) числи-
теля и знаменателя второй на знамена-
теля первой и третьей; 3) наконецъ чи-
слителя и знаменателя третьей на знаме-
нателя первой и второй; дроби изЪ тога
произшедшія, будутъ имѣть одинакихЬ
знаменателей. На пр.
а с е	* т а
ъ’ а’ с Т
е я


2б
*?
аХ<1 = а(іхЕ = а6Е
Ъ хё —Ь с! х Е~Ъ <1 Е
схЪ = Ъсхі = ЪсЕ
ахЬ = Ъс!хЕ=Ь<іЕ
е х Ь — Ь е х <1 = Ь с! е
ГхЬ==ЬЕх<1 — ЬсИ
2Х2 = 4Х $ ^20 I
3x2 = 6x7=30!
ІХЗ = ЗХ7 = іу
2x3=6x7 = 30!
2ХЗ=6Х2 = 1 2 I
^ХЗ=ИХ2 = 20 |
ПРИБАВЛЕНІЕ.
44. ИзЪ чего явствуетъ, что чрезъ|
приведеніе дробей кѣ одному^ знаменаіке-,
лю не перемѣняется содержаніе оныхЪ по-|
тому, что вЪ такомъ случаѣ два члена!
одного и іпогожъ содержанія умножаются
на одно количество (§. 141, Ариѳ. )<
ПРИМѢЧАНІЕ.
§. 47. ТдкимЪже образомъ должно по-
ступать , когда будетъ дано больше др<ь
бей, то, есть, и вЪ такомъ случаѣ надле-
житъ каждой дроби числителя и знамена-*
тлля умножащь на знаменателей прочихЪ
всѢхЪ дробей,
ЗАДАЧА VI,
46. Сложишь количества алгебраи-
ческія, представленныя вЪ дробяхъ.
РѢШЕНІЕ.
і. Сперьва приведи дроби кЪ одному,
знаменателю (§. 43.),
На
а Ь г I1 с й Е
----------сумма.
се
2. Подъ суммою числителей подпиши
Общаго ихЪ знаменателя; такимЪ обра-
зомъ произойдетъ сумма данныхъ дробей.
аЬ	аг
пр. дано — сложить сЪ —• то будетъ.
* с
а Ь х д — а Ъ о-
с х д = с о-
<1 Е х с	с <1 Г
К хс =
Или вЬ чиг
2 X =
3~Х
3 х
- с8 с
дахЬ I сложить сЪ 1710 будетъ.
=2 ю С
=: іу / ЮІ5
' >------ сумма.
и
= 17 2
ЗАДАЧА VII
количества алгебраиче-
3
? * 3
§. 47. Вычесть
СКІя, представленныя вЪ дробяхъ.
РѢШЕНІЕ.
і. Сперьва приведи данныя дроби кЪ
одному знаменателю ( §, 43.).
2 Потомъ числителя одной дроби изЪ
числителя другой вычтя, подпиши общаго
знаменителя; такимЪ образомъ произой-
дешь данныхъ дробей разность. На. пр.
а	с
изъ — вычесть — - также вЪ числахъ изЪ і
Ъ	а
вычесть | $ то будетъ,
я
2.

2?
ая
аХ(2=а<1г
ы;<і=ьЗ^_Ьс
схЪ==Ъс’
Ьхѵі=Ьс1?
3x3=9/
♦х5=і’>9-8
разность 2Х4= 8
3Х4—І 2
ПРИМѢЧАНІЕ.
§. 48* Ежели случится составное алге.
браическое количество, представленное ві
дробяхъ сЪ цВлыми, вычесть изЪ составі
нагож'Ь сЪ цЪлыми; то вЪ такомЪ случая
сперъва ціэлыя , при дробяхъ находящіяся д
приведи вЪ неправильную дробь (§. 21 іі
Ариѳ), потбмЪ къ одному знаменатели!
(§• 43-) и наконецъ вычитай одну изЪ другой [
Ь<
показаннымъ образомъ. На пр. цзЪ 2 у ~7І
сх
вычесть а — то будетЬ
2ухГ=ауГіЬ Ъб цВлыя, при дробяхъ]
р 9 находящіяся, приве-1
1 — а й__ с х Дены вЪ неправиль-1
---5—^ную дробь.
X б = 2уШ|ЬЪ<1
X в =
X Е
------ разиосіхі:
12
произведеніе
ауГ|ЬЬ
ай—сх
’ а
2уШ
/ дроби приведены кЪ
асІГ—сЕхс одному знаменате-
~ню-
| ЪЪс] — абЕісГх
------!—	разность
ЗА-
ЗАДАЧА VIII.
. ,д, умножить между собою количе-
ства' алгебраическія, представленныя вЪ
ДГ°6ЯХЪ- РѢШЕНІЕ.
Перпой случай. Ежели будутъ даны
дроби безъ цЪлыхЪ; то числителя одной
на знаменителя другой умножь, произой-
детъ изъ того желаемое произведеніе дан-
а	с
ныхЪ дробей. На пр. — умножишь на—;
ь	<з
то будетъ.
а’Х с = а е
Ьхсі=:Ь (1
Второй случай. Ежели при дробяхъ бу*
дутъ находиться цЬлыя; то вЪ такомЪ
случаЪ , приведши цБлыя въ неправильную
дробь (§. 211. Ариѳ.), умножь показан-
нымъ образомъ, и произойдетъ желаемое
произведеніе. На п^>.	~ у умножить на
Я
Ьх
7^-ту; то будетъ
•
Ъх ау х Ъх^ау ~ ЪЬхх—Ъхау|Ьхау<—аауу
а х а =	аа
ЬЪхх аауу (§. 21И22.) произведеніе.
аа
Также въ числахъ » умножить на а : то
| будетъ	* ’	,


3®
|х — I произведеніе
или у | ушножигпъ 7 й ; то будетъ
5 | -==»,» —. у х */ — —произведеніе
11= Ч
ЗАДАЧА IX.
уд. Раздѣлить между собою количі
сшва алгебраическія ь представленныя в
^робяхЪ.
РѢШЕНІЕ
і. Числителя дѣлимой дроби умной
на знаменателя дѣлящей, произйёдені
изЪ того будетъ числитель частнаго числ
1.	Знаменателя дѣлимой дроби умножь
на числителя дѣлящей, произведеніе из
того будетъ знаменатель частнаго числ
й	с
На. пр. —раздѣлить на-; то будетъ
аХсІ = а<1
—	— частное число
Ъхс*= Ьс
ВЪ числахъ I раздѣлить на I; то будет
3	27
—	л частное чйсЛо.
4x2—-8
_	аЬ —-се	.	аа
Также —----- должно раздѣлить на ; т
будетъ
а Ь — с с х с — аЬс — ссе > .
----		частное число.
йхаа=	ааі
Г /Г А В

I
3»
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
О
СвоЯстп* степеней н ирраціональныхъ ко-
лічесгппЪ
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XIV.
$• 5».
Когда какое количество будетъ умножено
само на себя; шопроизшедшее изЪгпого произ-
веденіе называется вторая стеленъ (весипйа
рогешіа,ѵеі<іі§ппа5), или квадратѣ (^ѵабгагит) того
количества. КогдажЪ вторая степень умно-
жится на первую; то изЪ того происхо-
дитъ третья степень ( гегйа рогепба ь ѵеі сіі-
&ппа8 ), илихуві , (спЬиз); умноживъ третью
на первую, получишь четвертую степень
(сріапат рогетіат, ѵеі бі^пігагет), или ъшсиадратЪ
(Ьідѵадгасит) 5 а изЪ умноженія четвертой сте-
пи на первую происходитъ пятая степень
(срііпга росепгіа, ѵеі сіі^пийз) , пли суперсояидЪ
(аирегеоІкЫ) и такъ. даліэе. Первоначаль-
ігоеж'Ь количество именуется перпо/д
степенью (ргіта рогеппа , ѵеі бі&пйаз)} или ра-
диксомъ (іайіх) той^ иди другой сте-
пени.
ПОЛОЖЕНІЕ ѴІТ.
§. у2. Возвышенное количество вЪ та-
кую, иди другую степень означается цыф-
рою. На пр. естьли будетъ изображено
а

3*
а*; пго значитъ, что количество а возвыЛ
шено во вторую степень; когдажЪ а’ 5 то1
гда значитъ, что количество а находится!
в'Ь третьей степени; а когда а4, тогда вь
четвертой; и такъ далБе.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XV.
$з. Числа надписанныя надъ количе.
ешвами называются указателями, или зяа.
менатеяямп (ехропешез ) степеней. На пр,
надъ количествомъ х’, число з надписані
ное есть знаменитель, или указатель той
степени, вЪ какую то количество- возвы.І
шено, то есть, показываетъ оно, что
количество х находится вЪ третьей сте«
пени. КогдажЪ какое количество - не бу.
детЪ имБть надписаннаго знаменителя,
тогда почитается оно находящимся вЪ
первой степени.
ПРИМѢЧАНІЕ
74. Естьли какое количество будетъ
изображено такимЪ образомъ х", то сіе оз-
начаетъ , что изЪ количества х не можно
извлечь полнаго, или совершеннаго радикса»*
ПРИБАВЛЕНІЕ I.
§. у у. ИзЪ чего явствуетъ, что когда-
должно будетъ одну степень на другую
умножить, тогда складываются только^
ихЪ знименители (§. $88» Ариѳ.), На пр.
х

35
а	«*
х	У
4	* Г
X	У
7
X	У
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
§. у 6. Напротивъ того когда должно
будетъ одну степень раздѣлить на дру-
гую , тогда надлежитъ только знамена-
телей ихЪ между собою вычесть (§. 292.
Ариѳ.). На пр.
л	у і | т | п п т
а : а = а ‘ х : х — х
ПРИБАВЛЕНІЕ 3.
§. 57. Наконецъ, ежели какую степень,
взятую за радиксъ, надобью будетъ возвы-
сить вЪ друГую степень, вЪ такомЪ слу-
чай надлежитъ только умножить знаме-
нателя первой степени на знаменателя
другой. На пр. ежели количество х’, нахо-
дящееся вЪ третьей епіепени, надобно воз-
высить вЪ четвертую степень ; то умножь
только з на 4, и получить желаемое, то
3X4	13
есть, х = х.
ПРИБАВЛЕНІЕ 4;
$8- СлБдоватеЛьно, когда, нзЪ Дан-
ной степени должно будетъ извлечь тре-
буемой радиксъ, надлежитъ только зна-
В	мена-

34	*гч!«»гѵ1<*тчій*г*^
менятеля ея раздѣлить на знаменатели
той степени, коей радиксъ требуется
то есть, для квадратнаго радикса должна
раздѣлить на г, для кубическаго на 3
для биквадратнаго на 4, и такъ далЬе,
, 6:2
На пр. радиксъ квадратной изЪ есть а — 1
6	6: 3
радиксЪ кубической изЪ а есть а — а2} ипроч.
ПРИБАВЛЕНІЕ у.
§. у9. ИзЪ чего явствуетъ, что радиы
сы количествъ принимаемы быть могуліа
за такія степени, коихъ знаменатели
суть дроби (§. 204. Ариѳ.).
ПОЛОЖЕНІЕ VIII.
§. бо. Знакъ радикальной такой я
и здЪсъ, какой вЪ Ариѳметикъ,употребляете!
На пр. V" х значитъ, что изЪ количеств
х должно извлечь кубической радиксЪ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ХѴі(
§. бі. Радикальныя , (гаііісаіез ) яесок
мѣримыя , (іпсогптепГигаЬіІсз), ирраціональны
(іггайопаіез) и глухія количестпа ( зиісіае ци|
гісагез) суть тЪ, изЪ которыхЪ настоі
іцаго радикса желаемой степени извлечь
можно.
ПРИМѢЧАНІЕ і.
§. 62. Такіе радиксы обыкновенно , кай
бы настоящіе и истинные, поставляютъ
поЯ


35
подъ знакомъ радикальнымъ. На пр. Уі,
9	-
Угу и проч. Напротивъ того гпѢ
радиксы, кои извлечены быть могутъ безъ
остатка изЪ данныхъ количествъ, на пр.
і
Уіб, или У27 , поставляются безъ ради-
кальнаго знака , такимЪ образомъ : 4 ,
или 3.
ПРИМѢЧАНІЕ 2.
63. ЕжеліГ несоизмѣримое количе-
ство , возвышенное вЪ какую нибудь сте-
пень , будетъ имѣть надписаннаго знаме-
нателя степени, равнаго числу, надБ зна-
комъ радикальнымъ надписанному ; то вЪ
лтакцмЪ случаѣ никакой перемѣны не про-
изойдетъ изЪ того э когда оно безъ надпи-
саннаго знаменителя степени поставлено,
будетъ предъ знакомъ радикальнымъ. На
з ?	?
пр. вмѣсто УаЬ можно составить ауЬ
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 64. ИзЪ чего явствуетъ, что не-
соизмѣримыя количества могутъ приведе-
ны быть вЪ простѣйшей видЪ. На пр.
вмѣсто V а2Ь , можно поставить а уЬ
( §• 63.). Также вЪ числахъ: вмѣсто
У12 —У4ХУ3 можно поставить 2У3 ,
3	3 з
вмѣсто У54 = УгхѴ27 можно поста-
13 2	вить

I
?	3	3?
вить 3Т2, вмѣсто Ѵ72 = ^8 х Ѵ9 мом
?
но поставить 2 У9, такожЪ вмѣсто
— Ѵ25 хѴі можно поставить 5Т2 и вмК
сто Ѵі8 = Ѵ9 х Ѵз можно поставишь
3Ѵ2, и такъ далѣе.
ПРИМѢЧАНІЕ.
6?. Такія количества , какъ два по]
слѣднія , на пр. у Ѵі и 3Ѵ2 , почитаются
соизмѣримыми (сотшепГіігаЬіІез) между собою,'
по елику оныя какъ послѣ злаковъ ради-
кальныхъ оказываются одинаковыми^ такъ,
и знакъ радикальной имѣютъ одинакой.'
Называются ж'Ъ ВЪ особливости соизмѣри-
мыми между собою потому, что’ содер-
жаніе оныхЪ по крайней мѣрѣ вЪ числахъ
изображено быть можетъ; ибо оныя со-
держатся между собою, какЪ $ : 3.
3 А Д А Ч А X. ,
§. 66. Привести кЪ одному наимено-І
ванію ирраціональныя количества разнаго |
наименованія.
РѢШЕНІЕ.
Положимъ, что должно привести кЪІ
Ш 5
одному наименованію количества Ѵхи и Ууг ;
т	п : т 8	* •’5
то, поелику Ѵхп = х и Ѵуг= У (§-у8.)>
разность наименованія зависитъ отъ раз-
ныхъ

37
ныхЪ знаменателей, знамеиателижЪ нѣ-
что иное сушь, какъ дроби ( §. 59.), ко-
торыя вЪ другія имЪ равныя, но подъ
однимЬ знаменателемъ состоящія приве-
дены быть могутъ ( § 222. Ариѳ.); слѣ-
довательно количества ирраціональныя при-
водятся кЪ одному наименованію чрезЪ
приведеніе знаменателей ихЪ кЪ одному
знаменованію, ч. н. с. и. д.
Положимъ, что должно привести ко-
п: ш
личества х и у кЪ одному наименованію;
п $: ш 5 ш г: т і
то будутъ приведены х и у , или
и • іи . т $	і': 5 т 5
х — V х"5 и у — V ут также Ѵ' г =
і: а 5	і: і	3:62:6
а и = 7 будутъ приведены з и у ,
6 3	62
то есть, У2 и Уу , или дѣйствительно
возвысивъ вЬ третью и во вторую степень,
6	\ 6
будешь имѣть Уз и'Узу. .
ЗАДАЧА XI.
§• 67. Изобразить проспіѣе ирраціональ-
ныя количества.
РѢШЕНІЕ. 1
Хотя выше сего (64. ) и упомяну-
то было, что ирраціональныя количества
Могутъ приведены быть вЪ простѣйшей
В з	видъ $

3«

видъ ; однако здѣсь обстоятельнѣе о шомм
предлагается; то есть.
і.	Находящееся подъ знакомъ радикалЦ
нымЪ количество раздѣли на равную радик.І
совому знаку степень, на пр. на кубЪ(|
когда ирраціональное количество будете
кубической радиксъ 5 естьлижь сего учинипці
не возможно; то почитать, что количя
стпво ирраціональное простѣе изображено'
быть не можетъ.
2.	Частное число поставь подЪ знакомы
радикальнымъ и предъ онымъ , “ вмѣсто!
множителя , радиксъ той степени , на кы
з	з
торую дѣлилъ. На пр. Ѵ24 = х |
== 2Ѵ3 ; Ѵі8 = Ѵ9 х 2 = 3Ѵ2 ; >48.
4	4
— И б X 3 = 2 Ѵ3.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
§. 68. Ежели ирраціональныя количе-
ства одной степени , вЪ простѣйшій
видѣ приведенныя , подъ знаками р»
дикальными составятъ одинакое количе-
ство ; то оныя будутъ содержаться ме
жду собою , какъ раціональная количества
предъ знаками находящіяся ; слѣдователь
но ирраціональныя количества могутъ были
соизмѣримыя между собою.1 На пр.

Г4 х 2 = 2 Ѵ2 , И И 8 = Ѵ'е X 2 =
, у 2  по чему 2К1: 3У2. = 2:3.
(§• бу.).
ПРИБАВЛЕНІЕ а.
§.69. И такъ количество отЪ части
раціональное, отЪ части ирраціональное
приводится вЪ точное ирраціональное, ког-
да оно возвышается вЬ такую степень,
какую показываетъ надписанной надЬ зна-
комъ радикалы&імЪ знаменатель, и при-
томъ оная степень умножится на количе-
ство , подъ знакомъ радикальнымъ нахо-
дящееся. На пр. уѴз = Иу х 2 =
3	3	3
Ѵ50, и 5Ѵ3 = ѴІ25 X
ПРИМѢЧАНІЕ.
70. Ежели захочешь сыскать то, ка-
кимЪ бы образомі^ можно было узнать
при рѣшеніи, дѣлится ли количество , подЬ
знакомъ радикальнымъ находящееся, на
какую желаемую степень, или нБтЪ, и
какая та будетъ степень ? то вЪ такомЪ
случаЬ должно раздѣлить оное количество
на дѣлители, между коими непремВнно-
должны имЪть мБсто всЬ степени, начи-
ная отЪ первой до желаемой. На пр. спра-
+
ищваешся , количество Ѵ368 можетБ ли
В 4	раз-

4°
раздѣлиться на четвертую степень; то чц.
сло 368 разбивъ на его дѣлители, на пр.
а	-	г	-	184
4	_	.	-	92
8	-	-	-	4§
іб	Т	-	-	23
Отвѣдывай дѣленіе чрезЪ меньшія чц
сла, и частныя большія числа сЪ боку за.
мѣчая, найдешь 2 первую степень, 4 вто|
рую степень, 8 третью степень и 16 че-
твертую степень; слѣдовательно і б если
4	4
искомой дѣлитель, и потому V368	2У23.
ЗАДАЧА XII.
71. Сложить ирраціональныя количе-
ства у или одно изЪ другаго вычесть.
РѢШЕНІЕ
і. Ежели количества ирраціональныя
будутъ соизмѣримыя; то складываются,
«ли вычитаются только числа, предъ зна-
комъ радикальнымъ находящіяся. На пр.
4Кб I з Ѵ6 - 7 Кб сумма*
7 И б — 3 К6 = 4 Хб разность»
Также V 8 I V і 8 = Е"4х2ІЗ/9Х2 = 2У‘$
| з Кг = 5 Ѵ' г = Ка 5 х 2 Куо сумма.
4 IК8 і = Ѵ8 х 3 І 2 7 х 3 = 2Ѵ3І з V $
^У^З^Ѵ'іаухзгххѴ'зѵу сумма,
Или

I
41
рЛИ Гі 8— Ѵ8==Г9Х2-Г4Х2 = 3>лі
__гуг =. Ѵг разность.
и Ѵ'ЗТУ -- Йіг = 5Гз —3?3 = 2^3
? »
г—, у §. х з = "г 24 разность.
с. Еспіьлижь количества будутъ несо-
измѣримыя ; то сложеніе и вычитаніе оз-
начается знаками | и—. На пр. количествъ
У7 х Уу , поелику суть несоизмѣримыя, бу-
детъ сумма Ѵ"і | Ѵ$ $ оныхЪже разность =
г7 —п. *
3. Равнымъ -образомъ надлежитъ по-
ступать, когда будутъ даны составныя
ирраціопанальныя количества. На пр.
4Ѵ3 — у Ѵ21 7У7 I 8 У;
У~3 і 9У2 і 3У7 — 4УѴ_
5 У 3 і 4 У2 і 10У7 цУу сумма,
то есть, У 2 5x3* Уі 6x2 |Уіоох7 Ѵі 6х 7.
иди У7 7 і У3 2 + У7°о і У"8о*
у Ѵі — 7 У з । § У і о *
3 У~2 і ; У~з — 9 К і о
2 У2 — г 2 К3 + 17К10 разность.
то есть К4 х 2 — К144 х 3 ^289 х ю»
или "У8 — У4З2 + У— 2 89°«
ЗАДАЧА ХШ.
§. 72. умножить и раздѣлить между
•сбою ирраціональныя количества.
В у	РѢ-

=4

РѢШЕНІЕ
і.	Для сысканія произведенія иррапЦ
нальныхЪ количествъ, умножь, а для ы
сканія частнаго числа оныхЪ , раздЪ,г<(
количества, предъ знакомъ радикальныхД
и подъ онымЪ находящіяся , и вЪ первомі
случай предъ произведеніемъ, а во второлл
предъ частнымъ числомъ поставь тотъИ
радикальной знакъ сЪ его знаменателемъ
2.	Естьлижь радикальныя количести
будутъ разнаго наименованія: то прежі*
умноженія, или дѣленія, приведи/зныя кЧ
одному наименованію (§.66.), и, еже;і
можно, изобрази проспіѣе (§. 67. На
Ѵ'Зх^2=Ѵ'6 произведеніе.
Также 2X3 х 4 ^3 — 8 Ѵ9 — /64x9 ~
У;76 — 2 4 произв.
К3ІК2	К 2 і "Р 3
V 3 — 1^2	Ѵ_2 рГ з
— Ѵб— "И 4	Ѵ' 6 I V" д
Р? І ~К 6____ ~К 4	6
3	2=і произв. 2 і Г6 і зпроиз»
7 К3 — 5	2-
7 Г8 і 3 Ѵ6
і 21 Кі8 —15 ^12
3 у Ѵ24 — 2 7 Ѵ'іб
з у К24 і 21Р18 — 15 Кі 2 — 2 К16.
Но поелику (зу К24 — 25 Ѵ'і6) = юо;

43
то будетъ 35^4 + 2іГ18
і; Ѵі$ — юо
произвед.
у’ §: Ѵ2 —- ѴЧ = 2 частное число,
Кі2:К6 — Хг частное число.
у 48: V і а — Ѵ4 = 2 частное число.
илиГ48=Гібх з = 4 Г? и Г/2
= Ѵ4х 3 = 2І<35
и потому 4Ѵ"3:2^3 = 2 частное число.
Г Л А А ПЯТАЯ
о
Алгебраическомъ составленіи киадратопЪ и хѵ-
іопЬ иизплеченіи изЪ оныхЪ кпадратныхЪ и хуч
внческичЪ радиксопЪ.
ЗАДАЧА IV.
§• 73-
Найти . свойство квадрату , то есть а
составить квадратъ алгебраическимъ обра-
зомъ.
РѢШЕНІЕ.
і. Возьми двучастной радиксъ, то
есть , состоящей изъ двухъ членовъ > на
пр. а|Ъ.
2. Оной умножь самЪ на себя, то
произшедшее изъ того произведеніе будетъ
квадратъ, то есть, видно будетъ свой-»
сшво и составленіе квадрата. На пр.

44
4$
а + Ъ
И ь
а Ь | Ьг
а 1 і а Ь
ае|2аЬ|Ь2 квадратъ.
ПРИМѢЧАНІЕ.
§. 74. ИзЪ самаго дѣйствія видно
кимЪ образомъ составляется квадратъ пі
что оной вЪ себѣ заключаетъ, то есть '
квадратъ изЪ двучастнаго радикса произ.
шедшій заключаетъ вЪ себѣ квадраты обѣ>|
ихЪ частей и сверьхЪ того произведеніе
изЪ первой, или изЪ второй части,,взятое
дважды и умноженное на спорую, иди на
первую часть.
ЗАДАЧА XV.
7 у. Извлечь алгебраическимъ обра-
зомъ квадратной радиксъ изЪ даннаго ква-
драта.
РѢШЕНІЕ.
і. Квадратъ первой части, напр а* от-
ними отЪ прочихЪ двухъ членовъ и его
радиксъ а поставь на мѣстѣ частнаго числа.
2. Найденное частное число возьми два-
жды, на пр. 2а и поставь вмѣсто дѣлите-
ля , которой отнявъ, получишь вторую
часть радикса, на пр. Ь.
3-
5. Наконецъ найденную вторую часть
радикса взявЬ квадратно а на пр. Ь* , выч-
гпи изЪ послѣдняго члена, и произойдетъ
желаемой квадратной радиксъ. На пр.
2	2
а | 2 а Ь | Ъ
2
а
--	2
2 а| 1 а Ъ | Ь
1 2аЬ|Ъ8
0 *
ПРИМѢЧАНІЕ.
Равнымъ образомъ должно по’
когда квадратъ будетъ состав-
радикса, состоящаго изЪ трехъ,
. или болѣе частей : только то
а | Ь квадратной
радиксъ.
ка.'
§• 7 6.
ступать,
ленъ изЪ
четырехъ, ...... --
притомъ должно наблюдать , что двѣ , или
(три и проч. найденныя части радикса при-
нимаются ---- ’Ж,Р1Г’Ш за однѵ. какЪ
Іто яснѣе
при извлеченіи за одну, какл
видѣть можно из'Ъ слѣдующаго
примѣра:
а |Ь Іс
а | Ь | с
ас|Ьс|са
а Ь I Ь2 | Ъ с
а/ | а Ь і а с___________
а?І2аЬі‘Ь'І2ас|2Ьсі'са

4<>
а| 2 аЬ|Ь|2 ас
а
а
2 аі 2 а Ь | Ь2
1 2 а Ь | Ь®
2 а с | 2 Ь с | с 2
о
а й і Ь д | с 6 | д*
« С I Ь с | с 2 і с <1
аЪ | Ь 2 | Ь с | Ь <1
а’ІаЬіасіасі
а2|2аЬіЬ2|2асІ2Ьс|сг-|-2ас1|2Іхі1 гса^д2! а|Ь|с|
а2	I
за) г аЪ |Ъ2
2а|2Ь 2 а с | 2 Ъ с | с*
2ас|2Ьс|с*
2а|2Ь|2С 2аа|2Ъа|2Са1
2аа|2ьа|2са|й'
о
ЗАДАЧА XVI.
§ 77. Найти свойство куба, то есть
составишь кубъ алгебраическимъ образомъ
РѢШЕНІЕ
і.	возьми двучастной радиксЪ, іпо есть
состоящій изъ двухъ членовъ, на пр. а р

2	умножь оной самЪ на себя ; то про-
изойдешь квадратъ. ш	о
3.	Квадратъ умножь еще на свои ра-
диксъ , и произойдетъ кубъ, то есть*, ви-
дно будетъ свойство и составленіе куба.
Йа пр.
а |Ъ
а | Ь
:Ь, Ь7
а*і а Ъ*
2 а Ь I Ьг
а | Ъ ’
а'Ь | 2 а Ь2 I Ь’
а’і 2 а2 Ъ іа Ь2
а’і з а2 Ъ і 5 а Ь2 | Ь’ кубЪ.
ПРИМѢЧАНІЕ-
78- ИзЪ самаго дѣйствія видно, ка-
кимЪ образомъ составляется кубъ и что
оной вЪ себБ заключаетъ ; то есть, кубЪ
изЪ двучастнаго радикса пройзшедшій заклю-
чаетъ вЪ себЪ кубы обЪихЪ частей и
сверьхЪ того квадратъ первой части взя-
той трижды и умноженной на вторую
часть, и квадратъ второй части взятой
трижды и умноженной на первую часть.
ЗАДАЧА ХѴП.
§. 7-9. Извлечь алгебраическимъ образомъ
кубической радиксъ изЪ даннаго куба.
РК-

4*

РѢШЕНІЕ. '	I
і.	Кубъ первой части, на пр. а’ отняв||
отъ четырехъ членовъ, радиксъ его по.
ставь на мѣстѣ частнаго числа.
2.	Найденнаго частнаго числа взявЪ мваі
дратЪ трижды и поставивъ оной вмѣсші
дѣлителя, умножь на вторую часть радикса
на пр. на Ь.
3-	Произіиедшее изЪ того произведеніе
отними отЪ трехъ членовъ.
4.	ЙвадрапіБ второй части радикса
взявЪ трижды умножь на первую таешь ра-
дикса , и произведеніе изЪ того отними
отЪ двухъ членовъ.
у. Наконецъ взявЪ кубЪ второй части,
отними оной отЪ послѣдняго члена, и
произойдетъ желаемой радиксъ. На пр.
5	2	2	?
а|заЬ|зЪаі1^аіЪ
а
2 I
да
За'Ь і 3 Ъ а і Ь
2	2	'
3&Ь|зЪа|Ь
о
ПРИМѢЧАНІЕ.
§>. 8о. Равнымъ образомъ должно по-і
ступать, когда кубъ будетъ составленъ
изЪ радикса, состоящаго изъ трехъ, че-
ты-


49
тырехЪ и болБе частей 5 только то при-
томъ надлежитъ наблюдать , что двВ ,
три и проч. найденныя части радикса при-
нимаются при извлеченіи за одну, ЪякЪ
то яснБе можно видЬть изЬ слѣдующаго
примѣра:
а | Ъ | с
а|Ъ [ с
а с | Ъ с I с2
а Ь і Ъ2 5 Ь с
а* | а Ь | а с
а2 |2аЬ|Ь2|2ас|2Ьсі-с2
а | Ь | с
а2с|2аЬс| Ь2с | 2 а с2 | 2 Ъ с21 с1
а2Ь |2аЪ2-іЬ’|2аЬс|2Ь2с | Ъ с2
а’ с | 2 а2 Ъ Т аЪ2 | 2 а2с |2аЪс|ас2
*	2	2	1	2	2	2»
аІ ?аЬ| заЬ | Ь І зас 16аЬс| зЬс| зас | зЬс| с ’Іа|Ь|с
а’	1
3а2	3 а2 Ъ | з а Ъ2 } Ъ’’
3 а2 Ь | з а Ь2 і Ъ’
3 а2 I 6 а Ь |з Ь2І за2с|6аЬс|з Ъ2с
’За2с|баЪсі-з Ъ2с
Зас2|зЪс2|с*
Зас2|зЪс2-іс?
Г
ЗА-

5°
ЗАДАЧА X ѴПГ.
§. $т. Найти своистно биквядратя ,
есть, возвысить количество въ четвертую
степень алгебраическимъ образомъ.
РѢШЕНІЕ
і.	Возьми дву частной радиксъ, то если
состоящій изЬ двухъ членовъ, на пр. а|Ь
2.	Оной умножь самЪ на себя, то про.'
изойдетъ квадратъ.
3.	КвалратЬ умножь на свой радиксъ
и произойдешь кубъ, или третья степень
($• И-)-
4-	Наконецъ кубъ умножь еще на свой
радиксЬ , и произойдетъ биквадратъ., иди
четвертая степень ($. $і.). На пр
а I Ь	.
а | Ь
а Ь | Ье
а3 | а Ь
а2|2аЬ|Ь*' квадратъ
а|Ь
а2ЬЬаЬ2|Ь’
аЧ-а’НаЬ8
а3іза2Ь|заЬг|Ь’ КубЪ
а|Ъ
а’ьіза'Ь"ІзаЬ’іЬ4
аЧза’ЬЧза’ЬЧгЬ8
а414а’ Ь|6а2 Ь2 І4аЬ ’ |Ь4 биквадратъ.
ПРИ-
ПРИМѢЧАНІЕ
8 2. ИзЪ самаго дѣйствія и состав-
ленія биквадрата явствуетъ , что оной
заключаешь вЪ сеэБ биквадратъ первой ча-
сти и биквадратъ второй части, также
кубЪ первой части, взятой четырежды и
умноженной на вторую часть, и кубБ
второй части, взятой четырежды и умно-
женной на первую часть, и сверьхЪ того
квадратъ первой или второй части, взя-
той шесть разъ и умноженной или на
вторую , иди на первую часть.
ЗАДАЧА XIX.
§. 83- Извлечь алгебраическимъ образомъ
биквадратной радиксъ и?Ь даннаго биква-
драта, или изЪ количества возвышеннаго
вЬ четвертую степень.
РѢШЕНІЕ
Когда знаешь , изЪ сколькихъ и какихЪ
точно частей состоитъ биквадратъ; то
не трудно будетъ и вынуть изЪ онаго
то, что оно вЬ себЬ заключаетъ. На пр.
а4 І 4 а3 Ъ і 6 а2 Ъ2 | 4 Ь’ а | ь 4 I а | Ь
а4
* 4®*І 4 а’Ь Т 6 а8 Ь* | 4 Ъ’а | Ь*
4 а3 Ъ | 6 а' Ъг | 4 Ъ3 а | Ь+
О	-	”
Г 2	ЗА-

52
ЗАДАЧА XX.
Я 4. Показать способъ премѣненія
или преложенія нБсколькихЪ количеству
РѢШЕНІЕ
Сперьва возьми двБ буквы, потеку
три, четыре, или больше, и отвѣдывай,
сколько разЪ оныя могутъ преложены
быть, и узнаешь , что число преложенія
количествъ , означенныхъ буквами , еспи
не что иное, какъ произведеніе всБх\
единицъ, изЪ коих'Ъ оное количество со
стоитъ. На пр.
Вмѣсто а Ъ можно поставить Ъ а, |
потому двВ буквы могутъ преложеш
быть только дважды, потому что 1.2=2
Вмѣсто а Ъ с можно поставить : Ь с а
Ъас,саЪ,сЪа,асЬ,аЪс, то есть, тр
буквы могутъ преложены быть шесіга
разъ , потому что і. 2. 3 = б.
Вмѣсто а Ь с д можно поставить :
аЬс(1,Ъсда,с(1аЬ,(1аЬс,(1сЬа,сЬа(1,
Ьайс,а<1сЪ,адЬс, Ъсад,асЬ(1,ЬдаС|
сгіЬа,Ьс!са,саЪс1,сіЬса,ассіЬ,<ЗЬас,
са6Ъ,сЬс!а,(1саЬ,аЪс1с,Ьасс1,(1асЬ.
То есть , четыре буквы могушЪ предо
жены быть дватиать четыре раза , пото>’
что і. 2. 3.4.— 24. И такъ далБе.
бук

53
буквы
5 - - - ’
6 - - - -
число преложен.
1 20
720	*
7 - - - -5040
8 - - -4°32°
9 - - -362880
іо-----3628Зоо и проч.
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
г °
Изобрѣтеніи « приведеніи срапненій.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XVII.
§• «5-
Сравненіе ( ассрасю) есть сношеніе ме-
жду собою двухъ равныхъ количествъ.
ЗАДАЧА XXI.
§. 86. Привести данную задачу вЪ сра-
вненіе.
РѢШЕНІЕ
і. При всякой задачѣ должно принимать
вЪ разсужденіе три обстоятельства , и о-
ныя весьма различать между собою: і )
количества извѣстныя, или данныя ; 2 ) хо-
личестаа неизвѣстныя и 3 ) взаимное от-
ношеніе между извѣстными и неизвѣстны-
ми количествами.
а. Для удобнѣйшаго различенія извѣ-
стныхъ количествъ отъ неизвѣстных Ь ,
Г' з	из-

54
извѣстныя количества первыми азбучнымц!
буквами, на пр. а,Ь,с и проч. а неизвѣ.]
спіныя послѣдними, на пр. х, у, г означаются,
3. Иногда извѣстное , или неизвѣст.
ное количество означается начальною бук.
вою того имени, какимъ оно называется)
на пр. Сумма ( штта) чрезЪ з, а раэноспц
((іЖгетіа ) чрезЪ 6.
4. Когда неизвѣстныя количества ера-
впиваются сЪ извѣстными такимЪ обра-
зомъ , что означивъ одно изЪ нихЪ , прочіл
чрезЪ сравненіе сЪ извѣстными познаются;
то вЪ шакомЪ случаѣ довольно бываетъ и
одной буквы для означенія неизвѣстныхъ
количествъ. На пр. ежели разность неизвѣ-
стныхъ количествъ дана ; то она будучи
приложена кЪ меньшему количеству про-
изводитъ большее.
у. По означеніи извѣстныхъ и неиз
вѣстныхъ количествъ, надлежитъ разсу-
ждать о томЪ, какое оныя имѣютъ взаи
мное между собою отношеніе, чтобъ из'Ь
сравненія ихЪ можно было произвести два
равныя количества; ибо сіи, знакомъ равен-
ства между ими поставленнымъ будучи
соединены, составятъ сравненіе.
6. Стараться притомъ надлежитъ
чтобЪ вЪ сравненіи всѣ количества извѢсШ
мня и неизвѣстныя были соединены.

•ч Наконецъ, когда будептЪ много неиз-
вѣстныхъ количествъ , означенныхъ особ-
дивыми буквами; вЬ такомЬ случаѣ долж-
но составлять столько сравненіи, сколько на-
ходится неизвѣстныхъ количествѣ На пр.
Дана сумма и разность двухъ коли-
чествЬ, требуется наити самыя тѣ ко-
дичес.пва.
Положимъ, что сумма тѢхЪ ксли-
чествЬ — а , разновпіь оных'Ь = б , большее
количество — у , меньшее — х ; то здѣсь
можно вывести двоякое количествъ отно-
шеніе, то есть, вЪ разсужденіи суммы и вЬ
разсужденіи разности ихЬ, потому что два
неизвѣстныя количества , вмѣстѣ взятыя,
суть равны суммѣ; слѣдовательно
а — у і х
Когдажь меньшее количество вычтетъ
изЪ большаго ; то остатокъ будетъ равенъ
разности; и потому ,	.
—	с! — у — х
удобнѣежь здѣлаешь наименованіе ко-
личестзЬ , когда вмѣсто большаго количе-
ства приложишь кЬ меньшему разность;
и'іо извѣстно, что меньшее количество,
будучи сложено сЪ разностью, составляетъ
большее ( §. 74. Ариѳ.); почему
а — х і д | х
ИЛИ а — 2 х } сі
Г 4	ОПРЕ.

5*
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XVIII.
§. 87. Членами сравненія (тегпЬга аед^
ГІОПІ8) называются самыя количества, см
единенныя между собою знакомъ равец.
ства. На пр а есть первой ^ленЪ, а х | 4
второй член Ь сравненія. .а	1
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XIX.
§. 88- Сравненіе, по числу измѣреній не.
извѣстнаго количества, есть , или проста
(БІтр’ех), когда неизвѣстное количество
будетъ первая степень, или радиксѣ ; или
кпадратичесхое ( диабгчіса ), Или хуъическц
( спЬіса ), когда неизвѣстное количество бу.
дегпЪ вторая , или третья степень, и так
далѣе. На пр.
а = і х і (1 простое сравненіе
а2 | Ъ2=х2 квадратическое,
а*—Ы—х’ кубическое
О П Р Е Д Ѣ Л Е НI Е XX.
§. 89- Сравненіе л иадратичесхое неполна
( ае^^Iасіо диайгаиса айесга, $еи ітрегйесіа ) есть,
когда вЪ оном'Ь не достаетъ квадрата из-
вѣстнаго количества. На. пр х2І2ах — Ь2,
видно , что здѣсь недостаетъ а‘ , по при-
ложеніи котораго сЪ обѣихъ сторонъ сра-
вненія, произойдетъ полное, или совершенное
сравненіе. На пр. х2| і а х і а2— Ь2 | а2.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXI.
§. 90. Приведеніе сранненій (гсскіссіб ае-
диасіопит) есть способъ, помощію котора-
го

57
г0 отдѣляется неизвѣстное количество
отЪ извѣстныхъ, и содержаніе онаго кЪ
симЪ означается знакомъ равенства.
ЗАДАЧА XXII.
91. Сдѣлать приведеніе сравненій.
РѢШЕНІЕ.
і. Извѣстно изЪ свойства равныхъ ко-
личествъ , о которыхъ *вЪ Ариѳметикѣ
упомянуто было , что чрезЪ сложеніе рав-
ныхъ сЪ равнылій и вычитаніе - равныхъ
изЪ равныхъ , или чрезЪ умноженіе и дѣ-
леніе оныхЪ на равныя , или чрезЪ извле-
ченіе подобныхъ радиксовъ, или произве-
деніе подобныхъ степеней , равенство та-
кихЪ количествѣ не уничтожается; то ,
чтобъ неизвѣстныя количества, с Ь извѣ-
стными перемѣшанныя, отЪ извѣстныхъ
отдѣлены быть могли , надлежитъ сложен-
ныя количества вычитать , вычтенныя
складывать , умноженныя дѣлить , раздѣ-
ленныя умножать, изЪ степеней извле-
кать радиксы, или, когда йадобно будетъ,
радиксы приводить вЪ степени; такимЪ
образомъ наконецъ произойдутъ два члена
сравненія , изъ коихЪ одинъ членъ неизвѣ-
. стныя, а другой извѣстныя количества
изображать будетъ. На пр.

1 6 I 4 СЛОУК.
х — 4 — іб
х =
х+ 4 — 2 4
х = 24 — 4 вычтен.’
X
~~ = б
3
х — 18 умнож.
3* = 12
х — 4 раздѣл.
х2=ГТб
х — Уі б = 4 изэлеч. радиксЪ
2. Когда вЬ задачѣ случатся два неиз-
вѣстныя количества, и оная потому при-
ведена вЪ два сравненія; то вЬ такомІ
случаѣ сперьва надлежитъ сыскать содер.
знаніе одного неизвѣстнаго количества, ]
оное вЪ другомъ сравненіи , вЪ которомЪ
содержится то неизвѣстное количество.
на мЪсто сего поставить, чтобъ имѣли
новое сравненіе, вЪ которомъ другое не-
извѣстное количество уничтожено. Ибо,
какъ напослѣдокъ сіе неизвѣстное количе-
ство неизвѣстнымъ уравнено будетъ, по
елику отношеніе его кЪ другому неизвѣ-
стному количеству изъ перваго сравненія
ридно, и другое неизвѣстное количество
найдено быть можетъ. На пр.

55
а = х | у сі ~у — х
а — х —:у	<1 і Т=у
а__х — б|х рав. вмБсшо рав. посшав.
а Г= <1 і 2 X
а— Й—2Х
2
Слѣдовательно сыскавЪ. х, будетъ из-
вѣстно и у.
ПРИБАВЛЕНІЕ
*	- а — <1
§. 92. ИзЪ найденнаго сравненія -
== х явствуешь, что , ежели изЪ суммы
двухъ количествъ вычтешь разность ихЪ
и остатокъ раздѣлишь на а , частное чи-
сло будетъ меньшее количество; естьлижЪ
к'Ь суммѣ двухъ количествъ приложивъ
разность ихЪ, сумму раздѣлишь на 2 ; то
частное будешь большее количество. На
пр.
Положимъ, что а = 30*, Ь = 8 ; то
будетъ ( а — Ь): 2 =(30 — 8); 2 = и,
(а|Ь): 2—(30І8): 2=19-
ЗАДЛЧА XXIII.
§. 93. Рѣшить неполное квадратиче-
ское сравненіе.
РѢШЕНІЕ.
Положимъ , что дано неполное ква-
дратическое сравненіе ха|ах = Ь% то, ко-
1	ли-

6о
личество х принявъ за одну часть двуи
стнаго радикса , будетъ извѣстно количе
сілво второй части онаго, то есть, вщ0
рая часть радикса дважды взятая, на пр
—а. И какъ до полнаго квадрата нед&
стаетъ только квадрата сей части , то есгпь,
^-а2; то приложивъ оной сЪ обВихі
сторонъ сравненія, произойдетъ полно*
квадратическое сравненіе. На пр.
х2 | а х — Ъ2
I I I 2
;	.— а ____а ,	*
4______4_
х*Ы,а’=ЬЧіа*
*==Ѵ\ЬЧ}а’)—5»
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
О
Алгебраическомъ рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ
пообще.
ЗАДАЧА XXIII.
$• 94-
Дана сумма и разность двухъ коли-
чествъ ; найти самыя шВ количества.
РѢШЕНІЕ-
Положимъ , что сумма а = 48 , раз-
ность д = і2 ? меньшее количество х, боль-
шее.

шее } или меньшее ^а = х| 12 ; то 2х| —а 2 X = а — <1 х = а — ё	сложенное сЪ разностью будетъ 2 х | 12 = 48 2 X = 48 — 12 2 X = 36	
2	х=^ = 2 *	: 18 меньшее количество.
Слѣдовательно большее количество =
X|а = 18 І 12 = 30.
Или
Положивъ , что сумма = а , разность =
ё, меньшее количество — х , большее = у ;
то будетъ
а = х|у	ё=у—х
а — х = у	(1 + х = у
По чему а — х = ё | х (§. 32. Ариѳ.)
а — ё | х | х
а ~ ё | 2 х
а — ё = 2. х . •
а — ё •
--------------- =х
2
прибавленіе
. э —
§. 9у. ИзЪ произшедшаго сравненія--
~ х выводится слѣдующее правило : ежели
изъ суммы двухъ данныхъ количествъ вы-
чтешь ихЪ разность . и остатокъ раздѣ-
лить

42

лишь на 2 ; то изЪ того ]
іпее количество. На пр.
то будетъ.
48
I 2
а — 48 , <3= і
а|зб| і8 меньшее количество.
ЗАДАЧА XXIV.
§. 96. Найти два количества, коихі
извѣстно содержаніе и разность.
РѢШЕНІЕ
Положимъ, что разность количествъ
Ъ = 4у, знаменишель содержанія оныхЪ1
= 6, меньшее количество х, большее ко*
личество е х — 6 х 5 то будетъ.
ех— х—Ь 6х — х — ух — 47
ех—і—Ь	х = 4У=9. меня
х = Ь	< код.
е—і
ПРИБАВЛЕНІЕ
$. 97. ИзЪ произведшаго сравненія х — -—-I
Выводится слѣдующее правило: ежели раз-
ность двухъ количествъ раздѣлится на
знаменателя содержанія безъ единицы}
то частное число будетъ меньшее количе-
ство. На пр.
6—.і = 5[4У|9 меньшее количество.
ЗА-
।

ЗАДАЧА^ XXV.
Дана сумма двухъ которыхъ ни-
будь чиселъ изЪ трехъ ; найти оныя числа.
РѢШЕНІЕ.
Положимъ, что искомыя числа будутъ
х, у і г, сумма перваго и втораго а —40,
сумма втораго и третьяго Ь = 18, сумма
перваго и третьяго 0=36-5 то будетъ
х|у=а	у|г —Ь	хф2 = с
Х=а —у	г~Ь — у	х —с—х
а — у — с — х ( § 32- Ариѳ )
а — у — с — Ь | у (§. 31. Ариѳ. )
а — с — Ь | 2 у
а — с| Ь~ 2 у
а — с | Ь — у
2
То есть , у = 40 —.36 = 4128 = 32:2 =
16 ; х = 40 — і 6 = 24 ; г = 28 — 16 = 12.
ЗАДАЧА XXVI.
99. Дана сумма- двухъ количествъ
и разность ихЪ квадрайіовЪ $ наиіпи са-
мыя количества.
РѢШЕНІЕ.
Положимъ, что сумма оныхЪ 2 а, раз-
ность квадратовъ ихЪ Ь , разность количе-
ствь 2Х; то будешь большее количество
* іх > меньшее а — х (8 о. Тригоном.). По

а21 2 а х | х2
2	I 2	*	4
а —захтх
-----------вычтено.
4 а х = Ь
Ь
х =----
4 а
тг.,	. Ь
ИзЪ произшедшаго сравненія х = — вц.
4 а
водится слѣдующее правило: ежели раз
ность квадратовъ раздѣлится на суміѵ-
количествъ, вдвое взятую ; то частное числ
будетъ половина разности тѢхЪ ко іи
чествЪ ; а когда половинная разность ь
вѣстна, то кЪ половинѣ суммы тѣх
количествъ приложивъ оную, получили
большее количество $ когдажЪ оную изъ по-
ловины суммы тѢхЪ же количествъ вы
чтешь; то получишь меньшее количесшв
( §. 8 о. Тригоном. ).
ЗАДАЧА XXVII.
і оо. Найти такое число , котораго по
ловина сЪ третьей» и четвертою долею пре
вышаетЪ то число единицею.
РѢШЕНІ Е.
Положимъ, что искомое число = х$ Ш
ПО содержанію задачи будетъ
4хііхі*х = хіі

+ =х*1
«271 = х т і *
2бх —24X^24
2бх- 24 X—24
2Х — 24
х = V = 12. Искомое число.
ПовѢрк а
2 І2І6
3 I 2 4
4ІІ2ІЗ__
13 ~ 12 ѴТ.
ЗАДАЧА. ХХѴІТІ.
§ юі. Найти-такое число, коіпорага
бы ? , ’ и * вмѣстѣ сЪ б составляли ісо.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что неизвѣстное число =
х; то , вЪ силу содержанія задачи, будетъ
бо
2ОХ
хН хц хк
I ух
I 2Х
47Х I б = юо
6э-
47Х | 360 = бооо
47Х — бооо — 360
47х = 7640
х — 5640
471У640 тіо. Неизвѣстное
число
Повѣрка

бб
Повѣрка
3
4
5
Т2О 40
I 20 3 у
120 24
94
6
юо
ЗАДАЧА XXIX.
§ Найти такое число, изЪ котораго
когда вычтетъ \и притомъ з ; то
бы оставалось ничего.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что неизвѣстное число
= х} то , вЪ силу содержанія задачи, будетъ
I 2.
_х 3	4х	X	9х
X	3х		I 2
X	2Х	зх	
вычтено
Лх
I 2
3=о
12
3х — 36 — 0
Зх — зб
3|3б|і2. Неиз*
вѣстное числа
х— х — х
7 4
Или
х х X   X
7	4	6 ~ 3

X--- 24*-- *8х -- І2Х
72	3
„2Х     24 X- I 8 X   I 2 X — 2 I 6
і8х   2 іб
X   2 I 6
І812і6[і2.
Поворка
3112 4
4'12 3
9| I 2 2	*
9
3
12 — І2 — О.
ЗАДАЧА XXX.
103. Найти три такія числа , изЪ
котпорыхЪ бы первое равно было второму
безъ 16, второежЪ равно третьему безъ
2 > а всБ вмЬсшЬ составляли сумму 94.
РѢШЕНІЕ. „
Положивъ, что первое число ~ х ,
второе —. у, третье — г ; то , вЪ силу
содержанія задачи , будетъ.
х = у — іб
У = 2 — 2
х + у= 9 4
у— ібіуіг = 9 4 ( §. ;т Ариѳ.,
2— 2 — I 6 |X— 2І2— 94Х §.31. Ариѳ. )
3 2— 2—16 — 2 —94
Д 2	3

Зг — 2О — 94
3=И4
2 — I 14
31 і Т4 | 38. Третье неиз. число
Слѣдовательно у — 38 — 2 — 36 ; х-
36---іб = 20 ; ибо 38 I 36 I 20 — 94.
ЗАДАЧА XXXI.
104. Найти такое число, по сложеніи
бы котораго самого сЪ собою , по умноженіі
суммы на тожЪ число, по вычтеніи то.
гожЪ числа изЪ произведенія и по раздѣло
нти остатка на тоже число , частное чи
сло произошло 13.
РѢШЕНІЕ *
Положивъ, что неизвѣстное число I
х; то3 вЪ силу содержанія задачи, будеш!
X
2 X
X
2
а х — х
-------= і3
х
2
2 X — X = I 3 X
2 X — 1 = 13
2 х= 14
х = т 4
2 I 14 17- Неизвѣстное число*

йбо7І7 = 14x7 = 9? — 7=9і:7=іЗ-
ЗАДАЧА XXXII.
то;. Дана сумма и произведеніе двухъ
количествъ; найти самыя тѣ количества.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что сумма = а, половина
разности =х ; произведеніе — Ь ;шо будетъ
большое количество = Та^х , меньшое
та — х ( §. 8о. Тригоном. ). И такъ,
вЪ силу содержаніе задачи, будетъ
р + х
і а—х
--» аХ—х*
Н* Нах_______
| а* — х2 — Ь
іа* — Ь | х2
•4	1
I а2 —Ь— х2
•И(|а2—Ъ) = х
ПРИБАВЛ ЕНір
§. іоб, ИзЪ произшедшаго сравненія Ѵ'
Ца2—Ь) = х выводится слѣдующее пра-
вило : ежели изъ квадрата половины сум-
мы двухъ количествъ вычтешь произве-
деніе оныхЪ и изъ остатка извлечешь
квадратной радиксъ'; то оной будетъ по-
ловина разности искомыхъ количествъ.
На пр. а = 14, Ь —48; то будетъ
— К ( 49 — 48 ) = і- И пото-
Д 3	му

7°
МуІ-аІХ==г7І’І = 8 большое
личество; | а — х — 7 -- і = 6 меж,
іиое (§. 8 о. Тригоном). Ибо 8x6 = 4$
и И б = ц.
ПРИМѢРЫ. ЗАДАЧЪ,
Которыя могутъ рТиітмы быть чрезі
одно сравненіе.
і.	НБкотораго войска третья часть по-
бита , четвертая часть вЪ полонъ взята, да
сверьхЪ того іооо человѣкъ убѣжали. Спр
сколь велико было все то войско?
Положивъ, что все то войско 4= х, юсо
чедовБк'Ъ =а; то будетъ
у х П х I а = х
М М а = х
Лі- | і а = х
эНг І а = х
7х | 12а = І2Х
12а = ух
=. х
То есть, когда а = іооо; то х =?
іооо х іг = 12000: у = 2400. Столько
всего войска было. Ибо 2400: 3 = аоо я
2400 : 4 = боо ; по чему $оо | боо | іооо
= 2400.
2.	НЪкто треть дороги БхалЪ верь*
хомЪ, пятую долю шелъ пЬшкомЪ, чпто
все

*
вСе составляетъ у о верстЪ. Спр. Сколь
велика была вся дорога?
Положивъ, что вся дорога = х, уо ==
а: то будетъ
8х — іуа
х .= і уа
8
То есть, когда а — уо • то х — у о х т у =
7?о:8 = 93 I вся дорога. Ибо 31 і$ « = уо
3.	КЪ находящемуся вЪ нѣкоторомъ
городѣ гварнизону ежели прибавить тре-
тью его часть , и сверьхЪ того іоо чело-
вѣкъ ; то будетъ состоять тотЪ гарнизонъ
изъ 3000 человѣкъ. Спр. сколько человѣкъ
вЬ ліомЪ гварнизонѣ прежде находилось?
Положивъ., что весь гварнизонЪ = х ,
3000 человѣкъ -- а; шо будетъ
х | у-1 юо1 — а
3 х | х | 300 ~ 3а
4 х | 300 = 3а
4 х з а — зоо
х =. за-—300
4
Д 4
То

7»

73
То есть , когда а = 3000 ; тло х— 3^
х з = 9000 — 300 = 8^00: 4 — 217.
ИзЬ сіпольких'Ъ человѣкъ гпошЪ гварнизоцЛ
прежде состоялъ. Ибо 2175 : 3 — 7-5
2 177 І юэ “ 3000.
4 Александръ Великій старѣе были
Эфестіона двумя годами, КлитЪ превосхо.
дилЬ обоихъ их'Ь четырьмя, годами, а
всѢмЪ имЪ вообще было 96 лѢшБ. Спр
по скольку лѢшЪ каждому изЪ нихЪ во-
особливости было ?
Положивъ, что ЭфестіонЪ имѣя!
лѣтЬ — х; то Александръ Великій будепйі
имѣть х | 2 , КлитЪ же 2х | 6. И по тому
X І X | 2 | 2 X | 6 — $6
4х I 8 = 96
4х = 9б — 8
х =	= 22 Эфестіоновы годы.
То есть, когда ЭфестіонЪ имѣли
отЪ роду 22 года; то Александръ Ве-
ликій имѣлъ 24, КлитЪ же 50 лѣтъ; ибо
22 І 24 | уО — 96.
5.	ОтецЪ сЪ Сыномъ имѣли вообще
отЪ роду 126 лѣтъ, но одинъ другаго
былъ моложе 30 годами. Спр. Сколько ко-'
торому лѣтъ ?
Положивъ , что сумма лѣтЪ — а, раз-
ность оныхЪ — Ь, возрасть сына .— х;
то будетъ отцу лѣтъ = х і Ь; и потому
і Ь і х = а
2х = Ц
х □= а
: а
а — Ь
* | 30 I х = 126
і
126 — 30 — 9^
96 — 48 Столько
2Х | 30 = 12б
2 X = (
X
2
2
лѢшЪ имѣлъ СЫНЪ.
То есть , когда сыну 4? лЬтЪ ’> т0
огацу будетъ 78 лЬтЪ; и5о48ІЗ° — 7**»
ѵ 126 — 4^	~ 7$*	-
6	Число 6о< раздѣлить на двЬ части
такъ что бы \ большой части СЪ *Т мень-
Хй, вмБстЪ взятыя, составляли і4.
Спр.’Какія шБ части суть?
Положивъ , что меньшая часть =. х ;
то будешь большая часть — 6о — х ; по чему
5	4
4х + 300-25— ТА
20	20
4ХІ-300 —х_ и
і° •
4 х | 300 — 5 х —
300 |
3001
х =
280
280
5 х“ 4Х =
х = 280
Зоо — 2§о = 20. Меньшая час.
КогдажЪ меньшая часть 2о-, то бу-
детъ большая часть 6о 20 == 40-
Д 5	И5°

74
Ибо 40: 4 = ю изо: 5 = 4. И таю
іо + 4 = 14.
7.	Одинъ ИталіанецЪ пришедши въ Ве-
нецію издержалъ вЪ первой день изЪ всЪх'ь
своихЪ денегъ, сколько онЪ имБлЪ , |, ві
другой день * , вЪ третей день х, такъ
что напослѣдокъ осталось у него толь,
ко 26 руб. Спр. Сколько онЪ денегъ при.
несЪ сЪ собою?
Положивъ, что онъ принесъ денегъ
== х 5 то будетъ.
X  X X• X
—	—	— = 2б
3	4	5
х — 47Х
-—= 1560
6о *
І3х= 1560
х = і ;6о
---------- = 120
13
Столько денегъ
принесъ онЪ сЪ
собою.
Ибо 120: з =40; 120: 4 — 30; 120:
5 — 24; по чему 40 | 30 і 24 = 94. И
иіак'Ь но — 94 — 26.
8.	НБкто изъ бо руб. заплатилъ столь-
ко долгу, что | остальныхъ равняются л дол-
говыхъ денегъ. Спр. Сколько у него еще
осталось ?
По-

75
Положивъ , что долгу было = х  то
остагпкЪ будетъ бо — х ; почему
( бо — х ): | = і8о— 3 х
4
і8о — 3х
і8о — 3х = 4Х
2.
360 — 6 х	4 х
360 = ю х
х—360 — 36. Столько на немЪ
7о	долгу было.
Ибо бо —36=24:4 = 6x3 = 18 =
36:2= і8-
9 НЪкто нанялъ работника на годЪ сЪ
такимЪ договоромъ, чтобъ за каждой ра-
ботной день давать ему по и коп’БекЪ,
а за всякой неработной ‘день вычитать у
него по 8 копБекЪ. . Но по прошествіи го-
да и по расчету хозяинъ сЪ работникомъ
взаимно другЪ другу не оказались должными.
Спр. Сколько дней показанной работникъ
работая Ь и сколько дней гулялъ ?
Положивъ, что число работныхъ дней
= х; то число заработныхъ дней бу-
детъ == 36 5 — х; почему
і : і а х: 12 х „
і; 8 —Зб5~х•“ 8х
2920

2920	— 8х—	І2Х	
2920	= 20 X	
х =	2920 = 146	Столько дней рабо.
20	талъ
И такъ збу—146—219 столько дней гулялъ
іо. Три человѣка должны раздѣлить меж.
ду собою 400 рублей такимЪ образомъ;
первой долженъ взять меньше другаго и
руб. третей больше другагожЪ іб рубд
Спр. сколько которому достанется изъ
той суммы.
Положивъ, что второй возметЪ изъ
той суммы денегъ = у; то первой возметі
= у | іб; и такъ
(у—І2)ІУІ(УІ іб) = 4оо
3 у— 12 I іб — 400
3 У І 4 = 4оо
3 У — 396
у = 396 — 132. Столько второй по-
2 лучитЪ изЪ той суммы.
И такъ первой возметЪ изЪ той сум-
мы 132'— 12 = 12о(, а третей 13 2 | 16 =
148. Ибо I 32 I 120 I 148 — 400.
11. Нѣкоторое число умножено на 2, кЪ
произведенію приложено 6о', сумма раздѣ-
лена на и , изЪ часіп> -.го числа вычтено
іу , остатокъ умноженъ на г I, вышло іоо.
Спр. сколь велико было то число ?
По


.77
Положивъ, что неизвѣстное число = х;
ЛЮ будетъ
(2х|б-~ іу)Х2|=ІОО
11
40 X I 1200   ЗОО — ІОО
99	9
360 I ІО$ОО — 29700 = ІОО
89і	891*”'"
360 х | юЯоо — 29790 = 89100
360’хІ іоЗоог— 118800
360 х = 108000
х = 108000 = 300 Искомое число.
• 360
Ибо 300 х 2 = боо I бо = ббо: іі
— 6о іу — 4у: 2| =: ІОО.
і2. Сидоръ да КарпЪ стали играть въ
карты , имѣя по равному~Числу денегъ. Но
какъ СидорЬ проигралъ 12 руб. а КарпЪ
у 7 руб. гпо , по окончаніи игры , у Сидора
осталось денегъ вчетверо больше, нежели
у Карпа. Спр. по скольку денегъ каждой
изЪ нихЪ имѣл Ь ?
Положивъ , что каждой изЪ нихЪ имѣлъ
Денегъ х; = то будешь.
х— у 7
4
X — 12 = 4Х — 2 28
х = 4Х — 216
о

78
О - ЗХ — 2 16
3 X =. 2 I 6
х - - 216 — 7 2. По стольку денегъ
3	каждой изЪ нихъ
имѣлъ.
Ибо 72 — І2=6о,и 72—77=17 Х4 = бо.
і з- Ежели неизвѣстнаго числа людей
каждому изЪ неизвѣстной суммы дать но 3
руб. то не достанетъ денегъ на з чело-
вѣка ; а когда каждому дать но 2 руб. то*
гда останется денегъ на 4 человѣка. Спр.
сколько было людей ?
Положивъ, что число людей было — х>
то будетъ.
х з х 4
3322
Зх — 9 — 2 х
Зх — 2х —- 9 — 8
х — 9 — 8
х = 17. Число людей!
Ибо 17 хз=уі—9 = 42 ,и 17 х 2
34 І 8 = 42.
14. ИзЪ двухъ артелей работныхъ людей
одной дано і 37 руб. а другая, которая
была меньше первой 2 человѣками, получила
бо руб. притомъ сколько изЪ первой артели
получили двое, столько изЪ второй взяли
трое*

79
ое, Спр. Сколько Ъюдей вЪ первой и
другой артели находилось?
Положивъ, что вЪ первой артели на-
ходилось людей х; то второй во будетъ х
г ; почему.
х: 135 = і:	х 2 = 270 (§ 173. Ариѳ)
х	х
х — 2 :бо= і: бо х з =480 ($. 173. Ариѳ)
X — 2	X — 2
И такъ 270 = і (§. 31. Ариѳ.)
X X ----- 2
270Х — 540 = і8ох
270Х — і8ох | 540
270Х — 18ох — 540
9ох = 540
х = 540: 90 = б. Столько людей
находилось вЪ
первой артели.
Слѣдовательно во второй артели было
людей б — 2 = 4. . Ибо б: 235= і:
135 х 2 = 270 — 45, и 4: бо = і : бо
4
б	б
X 3 — 180 = 4Г
4
іу. Нѣкто оставшимся послѣ себя
Девятерымъ дѣтямъ завѣщалъ раздѣ-
лишь имѣніе свое, состоящее вЪ 17000
РУб. шакЪ, чтобъ каждой сынЪ взялЪ
по


по 2ооо руб. а каждая дочь по т8оо ру?
Спр. Сколько послѣ того человѣка оспц
лось сыновей и дочерей ?
Положивъ, что послѣ того человЪ^.
осталось сыновей — х; то будетъ доче.
рей 9 — х; и потому.
і : 2соо = х: 2000 х (§. 117 и 173. Ариѳ]
і : і$оо = 9 —х: 16200'— г8оо х(§. ц>
и 17 з Арвѳ,;
2000Х і 16200 — і8оох — 1700с
(§. 34. Ариѳ;
2О0ОХ --- І8ООХ = 8оо
2О0Х — 800
х — 8оо: 200 ±= 4. Столько сынове
осталось.
Слѣдовательно было дочерей у. Ибо
2000x4 — 8роо, и 8ооо х 5 = 9000. 1!
такъ 8ооо | 9000 = 17000.
16. ИзЪ троихъ одинъ положивъ ьЪ склад
ку больше противъ другаго 3 5 рублями, °
прочіе двое вмѣстѣ 84 руб. пригпорговалі
66 руб. изЪ котораго барыша третей по-
лучилъ 21 руб. Спр. по скольку руб. подо*
жили вЪ складку ?
Положивъ, Цчто второй положилъ в'Ь
складку х • то первой положилъ х | 3 5 } і
третей 84 — х; и потому

81

х
ХІ 35
84— х
119 | х Складка всѢхЪ троихъ.
119 | х: 66 = 84
2499 I 2і х= 5$44 — 66 х(§ 136.
х: 21 (§ «ту Ариѳ.).
1499 — 5534---^7*
$544 — 2499 — 8?х
• 3045 =Ш87*
87 х = 3°45
х = 304$
’ ~87 “ 3;
Сптогьчо ПОЛО-
ЖИЛЪ вЬ склад-
ку второй.
Слѣдовательно положилъ первой з ; |
35 = 70;а третей 84 — 35 — 49- Ибо з$|
49 = 84.
17. Клавгій жилЪ вдвое бОхТЫіг? Карла , и
сверьхЪ того 4 го^а ; ПаведЬ жилЬ столь-
ко лЪтЪ, сколько очи оба вмЪ.тВ и
сверьхЬ того 6 лотъвсѣ же они вмѢзтЪ
жили 6о лЪшЬ Спр. сколько которой изЪ
нихъ жилЬ ?
Положивъ, что Каріъ жилъ лЬтЪ х;
^0 будутъ Клавдіевы г,оды 2 х 14, а Па-
вловы годы з х і і □. И пошоліу.
1	,	X

82
X
2 X I 4
3 х [ іо
6 х I 14 — 60 ( §. 34. Ариѳ.).
6 х = 4 6
х = 46
= 7 | Карловы годы.
СлЪдовательно 74x2=17414-;
194 Клавдіевы годы; ч\ і 19 і і 6 —
Павловы годы- Ибо 7? } 19 4І 33—60.
18- ИзЪ четырехъ пушекъ выйпрѣлено
было н оскслъко зарядовъ : изъ первой вы-
стрѣлено изЪ всего числа зарЯдовЪ; изі
другой і того числа зарядовъ э сколько вы.
стрелѣ^о было изЪ первой; изЪ третьей
выстрелЪно | того числа зарядовъ^ сколь-
ко выстрелѣно было изЪ второй ; и нако-
нецъ для четвертой пушки осталось ток-
мо 39 зарядовъ. Спр. Сколько всѢхЪ заря-
довъ выстрелѣно было изЪ всБхЪ пушекЪ?
Положивъ, что всѢхЪ было зарядовъ
х} то будетъ
X Ы X	I
3 1223	8^4	.
X---396 X
«бГ = 39	I
864Х -— 39бх = 33606
-	468х

4б8х— 33606
33606
— - = 72 СтольковсѣхЪ
4	зарядовъ было,
Слѣдовательно- изЪ первой пушки вы-
стрѣлено зарядовъ 72:3 = 245 изъ второй
24:4 — 6; из'Ьтретей 6:2=3. Ибо 24 І- 6 і 3
— 33. И потому 72-----= 39-
ПРИМѢРЫ ЗАДАЧЪ,
ъ
которыя могутѣ рѣшены выть чрезЪ дао,
или многія срапненія.
і.	Нѣкоторое войско состоитъ изЪ Иш-
панцовЪ , Нидерландцевъ и НѢмцовЪ: вЪ
томъ числѣ находится НѢмцовЪ юооо че-
ловѣкъ, Нидерландцы составляютъ третью
часть НѢмцовЪ и Ишпанцо^Ъ вмѣстѣ, а
Ишпанцы составляютъ половину НѢмцовЪ
и Нидерландцевъ вмѣстѣ. Спр. сколько на-
ходилось въ томъ войскѣ Нидерландцевъ и
ИшпанцовЪ? %
Положивъ , что Нидерландцоц'Б было у,
а ИшпанцовЪ х; то будетъ
У = I ОООО і X	X - 1 ОООО і у
3	2
ЗУ = ІОООО | X
ЗУ= ІОООО І ІОООО | у
х *

84

6у = 20000 I I ОООО I у
УУ = 2ОСОО I ЮООО
5У = 30000
у = 30000: у — бооо. Столько Нидер,
ландловЪ было.
•
Слѣдовательно бооо | юооо : 2 = 8осо.
Столько было ИшпанцовЪ. Ибо юооо | 8соо
= 18000: з — бооо, и ісоое і-біЬооіЛ
ібсоо : 2 = 8ооо.
2.	Ежели изЪ Цесарскаго войска убѣгутъ
900 человѣкѣ вЪ Прусское; то будутъ вой
ска сЪ обѢхЪ сторонѣ равныя; естьлиж'Ь
изЪ Прусскаго убѣжитъ толикоежЪ число
вЪ Цесарское ; то Цесарское войско будеші
вдесятеро больше оставшагося Прусскаго.
Спр. по скольку человѣкъ находилось вЪ
обоихъ войскахъ?
ПоложцвЪ, что ЦесарцовЪ было х, Пру-
саковъ у; то будетъ
у і 900 == х — 900
у —1800. Прусское войско»
Слѣдовательно, когда изЪ онаго убБ-
гутЪ 900 человѣкъ; останется у _ х —
1800— 900 ; и потому Цесарское войско,
получивъ 900 человѣкъ бѣглыхъ вЪ прибав-
ку, сдѣлается вдесятеро больше оставша-
гося Прусскаго войска. И такъ
х


х | 900 = іо х — 18ооо 9000
х — і о х ( 18ооо — 900с 900)
х = юх ---- 27900
х I 27900,— ЮХ
27900 — 9х
9х — 27900
х — 27900; 9 = 3100. Столько
4было ЦесарцовЬ.
Слѣдовательно 3100 — 1800 = 1300.
Столько-было Прусаковъ. Ибо 3100 — осо
2 200 = 1300 Т 9°о *= 220.0.
3.	Насколько человѣкъ желаютъ соста-
вить нѣкоторую сумму, для составленія
которой ежели каждой изъ нихъ положитъ
по і. руб. шо будетъ не доставишь іоруб.
а ежели каждой положить по 2 руб. то
будетъ лишку іо. руб. Спр. ^коль велика
та складываемая сумма и сколько чело-
вѣкъ складываютъ оную.
Положивъ^ что складываетъ оную чис-
ло людей х, а составляемая сумма у; то
будетъ
X. I =~ У ІО	X. 2 = у | ІО
I X ±= у-   ІО	2 X ~ У I ІО
х — у ---- іо	х — у | ю
I .	2
У — ю = у і до	х
---------	—(§• 32- Ариѳ.)
Е з	2У

16
2 У - 2 0 = у | ІО
гу = у і 30
у = 3°« Столь велика была скла-
дываемая сумма.
СлВдователвно 30.— іо = 20. Столь
велико было число складыва-
ющихъ ту сумму людей.
Ибо 20 х і — 20, то есть, точно
недостаетъ претивъ суммы іо руб. и 20
х 2 = 40, то есть, точно выходитъ
лишку ю. руб. противъ суммы.
4. НЪкто вЪ двухъ мЪшкахЪ имЪл’Ь
по стольку денегъ, что ежели изЪ перва-
го мВшка переложитъ вЪ другой і у. руб.
то вЪ обоихъ мЪшкахЪ сдѣлается порав-
ну 5 а когда изЪ втораго мБшка перело-
жить вЪ первой толикоежЪ число денегъ;
то »Ъ ономъ будетъ находиться вдвое
больше , нежели во второмъ. Спр. по сколь-
ку денегъ находилось вЪ іиБхЪ мЪшкахЪ?
Положивъ, что вЪ первомъ мВшкЪна-
ходилось денегъ х , во второмъ у; то будетъ
X — I у = у і і у у — I у = х| И
2
X -- 30 == у	2Ѵ--- 30— х| I?
2 X — 60 — 30 “ X | I Ч
(§. 31. Ариѳ.)
2Х — 90 — х і И

87
;х— іо; = х
2 х — х = іо;
х = ю; Столько денегъ нахо-
дилось вЪ первомъ
мВшкВ.
СлЪдовательно во второмъ мБшкЪ бы-
ло денегъ ю;— 30 = 7 7- Ибо іо$ -----
і; == 905 И75 і і; = 9®; также 7; —
Іу= бо , и іо; і і ; = 120: 3 = 60.
;. Молодой ос^лЬ и ослица несли на-
полненные виномъ мЪхи: ослица неся
мВхЪ, для престарЪлыхЬ своихЬ лЪшЬ,
такъ устала, что сЪ мБста сойти не мо-
гла ; видя то молодой оселъ , сказалъ ей:
что ты такъ устала, неся меньшій мБхЪ
противъ моего. Ибо естьли я изЪ своего
мЪха перелью одно ведро вЪ твой мЪхЪ;
то у обоихъ насЪ вЪ мЪхахЪ сдѣлается
поравну. Но я того сдЪлагпь не хочу;
ты вЪ мой мБхЪ изЪ своего перелей одно
ведро, то у меня будетъ вдвое больше
твоего. Спр. по Скольку ведер'Ь вина вЪ
мБхахЪ	у осла и ослицы находилось?
X .-- I = у І I	у  I — X I I
2
X--- I —I — у	2 у — 2 =х| I
X---- 2 — у	2 X  4 — 2 = X І	I
2 X —г- 6 — X | I
Е 4
2Х

88
2 X--- б--- I = X
2 X--- 7 — X
2 X — X "і 7
2 X X = 7
х = 7 Столько ведеръ вина нахо.
лилось у осла вЪ мБху.
СлЪдоватедьно у ослицы вЪ мБху на.
холилось ведсрЪ вина 7 — г = у. цбо 7
-— і = 6 , и 5 і і = 6; также $ •— і — 4 и
7 І і ~ 8-
6. ВЪ одномъ городБ находились от-
части НБмцы } стЬ части Агдичане , от'І
части Голландцы и отЬ части Ишпанцы;
и во время продолжавшейся осады топ
города, померло изЪ НБмцовЪ, АгдичанІ
и Голландцевъ вмБсшБ столько, сколько
составляютъ Ишпанцы и сверьхЪ того 62с
человѣкъ { и-зЪ НБмг овЪ, АгличанЪ и Ишпан
цовЪ вмБстБ померло столько, скольіи
• числомъ было всБхЪ Голландцевъ, исверъхі
того 460 человѣкъ ; изЪ НБмцовЪ, Голланд
цовЪ и ИшпанцовЪ вмБстБ столько по
мерло, сколько составляютъ всБ Агдичані
сЪ 380 человБками, и наконецъ изЪ Агли
чанЪ, Голландцевъ и Испанцевъ вмБсвг
столько померло, сколько составдяют'
НБмцы, и сверьхЪ того $оо человБкЪ. Сп{
сколько померло в'Ь особливости НБмцові>
АгличанЪ , Голландцевъ и ИшпанцовЪ ?


89 
Положивъ, что находилось НЪмповЪ и,
дгдичан'Ь х? Голландцевъ у, ИшпанцовЪ а;
1Ю будетъ
иі х і у — т. | 620 и|х|у—-6ю=е
и І х і 2 = у І460
и|у|г = хіз8о
х|у|2 = и| 500
и | х | г = у | 460
и|х| и | х| у — 620 с= у І 460
(§ 31. Ариѳ.)
2и|гм|у— 620 = у і 460
2и|2х|у= у| 460 | 620
2 и12хіу ~у| іо 8о
2и-|2х= ю8о
2 и— іо 8э — 2 х
и|у|г = хі 380
и|у|иіх|у — 620 =х|
38о ( §. 31. Ариѳ.)
2 и і 2 у |х—620 ~х | 380
2и | гѵ і х = х і 380 Т 620
2и I 2у I X = X I ІООО
2и I 2у = ІООО
2у — ІООО-- 2Н
X І у з=и і боо
х I у | иіх|у— біо^гиіуоо	31 'Ариѳ.).
2х | гу і и-620 = и I 500
2Х I 2у і и — и I 500 і бю
2х| гу | и == и | иго
2х | гу -: I 1 20
2Х= 1120---- 2Х
Е у	ай

211 = 4^0 | 620 —- 2Х
211 — 1080 -- 2Х
211=1080----(біОІуОО)---(62О| 38о)—-2ц
211 = Ю8О —-(I120 — ІООО) - 24
2и = ю8о — 120------2іі
411 = 960
и — 960
--=240. Столько НЬмпобЪ по.
мерло вЪ особливости.
2у — 620 I 38о -- 211
2У = ІОСО --- 480
2у = 520
у =520:2 = 260. Столько Голландцевъ
померло.
* 2Х = 620 | 500 -- ЗУ
2Х = 1 I 20 - 52О
2Х = боо
х— боо: 2 = 300 Столько. Агли-
чанЪ померло,
и = 240
у = 260
х= 300
х = 8оо — 620 = 18о. Столько Иш-
панцовЪ померло.
Ибо 240 | 300 | 260 = 8оэ = 18о | 620 ,
и 240 і 300 I 180 = 720 = 260 | 460.
7» Найти два такія числа, чтобъ про-
изведеніе оныхЪ было равно суммВ, а раз-
ности бы больше было вчетверо ?
Поло-

91
Положивъ, что большое число = х, мень-
аіОе = У; то будетъ
х	хуг=(х — у)4
у	ху — 4Х 4у
ху = х|у
х Т У = 4х-4У
у — Зх---цу
5У = 3х
5У
-- — х
3	» 4
ху = х т у
5У*У 5У,
$у —; г з
5У=*%
у = 8: $ = 14- Меньшое
число.
Слѣдовательно большое число = 2 г. Ибо
і}х г= 4/т и іт і = 4тѴ. .
8. Найти три числа такія , изЪ кото-
рыхъ бы первое ра^но было второму безъ
іб, второе равно третьему безъ 2, сум-
мажЪ всЁхЪ* равна была 94.
Положивъ, что первое число — х, вто-
рое — у, третіе = г; то будетъ
х —у----іб	у = г---2
X І іб "У -	2 = у | 2
,Х = X і 16 --- 16

92
у «= х і іб	I
г — х | іб I 2
Зх | 34 — 94	|
Зх = бо	!
х = бо: з = 20. Первое число. 
Слѣдовательно второе ю + іб = 36,1
третіе 20 | 18 = 38. Ибо 20 і 36 | 38 = 94
9. Число 178 раздѣлить на три на-
сти такъ, чтобъ у первой части была ві
восьмеро больше третьей, а гйретья ввось-
меро меньше	-	второй части.
Положивъ,	что	первая часть ~ х,
вторая — у, третья = х 5 то будетъ
* =	Х = Ъ	I
5	6
х ~ 40г	у = 48г
2 I 40 х і 48 г г= 178
892	178
2=178*. 89 — 2. Третья часть
Слѣдовательно вторая часть 48 х і
= 96, а первая 40 х 2 = 8о; ибо 2 І
96 і 8о — 176
ю. 154. руб. раздѣлить на 3 чело-
вѣка такъ , чтобъ \ удѣла , принадлежа-
щаго первому равна была ’ удѣла, при-
принадлежащаго второму ; притомъ, ко-
гда

93
а первой получитъ 2» руб. третей бы
^огда взялъ 7 руб. Спр. сколько которому
3<5 ітіБх'Ъ денегъ достанется?
Положивъ , что первой из Б той сум.
мы получилъ х, второй у, третей г - ліо
будетъ
25= 2_
3	4
ЗУ— 4Х *
у = 4Х
3
: х — 7
. *4х
’	—— — 2
5
х | 4х | і4х
3	5
іух і 2ОХ I 42Х — 2310
, 77х — 2310
х 2310: 77 = 30. удЪлЪ перваго.
СлЪдоваптельно'удБл'Б втораго 30 х
4 = 120: з.= 40; удЪлЪ третьяго 30
х ’4 = 42О: 5 — 84. Ибо 30 і 40 | 84 = 1 У4*
11.	Два человѣка имБли по посколь-
ку денегъ: первой говорилъ другому, еже-
Ли я изЪ твоихЪ денегъ получу |, то бу-
ДУ имВть 6э руб. а* второй сказалъ пер-
вому ; ежели я изЪ гпвоихЪ денегъ получу
і .
л»

94

I; то буду имБть 8о руб. Спр. по скМ
ку денегЬ каждой изЪ нихЪ имБлЬ?
Положивъ, что первой имЪлЪ денегъ .
другой у; то будетъ
 ХІ 2у _	у | 5Х
-----5о — =8о
ух | 2у — а ;о
ау = 250 ;х
у = 250   ух
2	
іуо -- ух	"	
----2-----+ г=8о(§ 31. Ариѳ.)
250 — 5Х+3Х	1
г
500 — іох і Зх = 320
500 —- 7Х = 320
7х — 180
х = 180:7 = 2 5^. Столько денегИ
имБлЪ первой.
СлБдов. втор. имБлЪ 250 —- У 4 х у„
Ибобо 4-'4 = 24_7 і 25 ~ = 50, и 25 4:4
19-у! 604=80.
із. Четверо вообще имБли нЬкотору»
сумму денегъ , выключая перваго , было У
всЬх'Ъ И5 руб. безъ денегъ перваго было
у нихЪ 115 руб. безъ денегъ третьяго на-
ходилось у нихЪ юо руб. безъ денегъ
четвер


9У
четвертаго было у нихЪ 97 руб, Спр. по
сколь*? денегъ каждой изЪ нихъ имБдЪ ?
Положивъ, что первой имБлъ денегъ х
ргпорой у, третей г, четвертой ѵ, всяжЪ
сумма 8; то будетъ
8-- х = 125
8 — у — ну
’	8 — г — іоо
8 — ѵ— 97
47 — 437
37 = 437
8 — 43: з = 147. Вся сумма
СдБ^овательно первой имБлЪ денегъ
147 — 125 — го ; второй 145 — 117 — 30;
третей 145— іоо = 45, четвертой 147 —
95 = 50. Ибо 20 30 | 45 | 5° = 147-
13.	Трое имБли по нБскольку денегъ,
такъ что ежели первой возметЪ 7- изъ всБхЪ
денегъ втораго , -второй | изъ всБхЪ де-
негъ третьяго, а третей * изЪ всБхЪ де-
негъ перваго ; то у всякаго изЪ нихЪ бу-
детъ по іоо руб. Спр. по скрльку денегъ
каждой изЪ -нихЪ имБлЪ ?
Положивъ, что Первой имБлЪ денегъ
х, второй у , третей 2; то будетъ
хЦ — юо;у| | = 10052 I* = ІОО;
2х|у-=2ОО
У = 200   24
200
[

У I ТОО
200---2х|* = юо (§. 31. Ариѳ.)
бОО---6х ! 2 = 500
300--- бх | 2 = о
2 — 6х--- 3ОО
2 | * = ТОО
бх — 300 | * = і оэ ( з і. Ариѳ.).
24Х--- I 200 I X = 400
2 ух — ібоо
х = 1650:25 = 64. Столько денегъ имѣлъ
первой.
Слѣдовательно второй 200 — ( 64 х 2 =
128) = 72 ; третей 64x6 — 384—300 =
84. Ибо 64 І ~= юо, 72 Щ — 100 И 84І
~ = Юо.
14.	Трое имѣли по нѣскольку денегъ: у
перваго со вторымъ была 70 руб. у перваго
сЪ третьимъ находилось 170 руб. а вто-
рый сЪ третьимъ имѣлъ 230 руб. Спр.
Сколько денегъ каждой изЪ нихЪ имѣлъ ?
Положивъ, что первой имѣлъ денегъ х>
второй у, третей 25 то будетъ
«ІУ — 70
X | 2 = 170
2 | у — 2 30

2Х і ау I 22 — 470
хіу |г— 255
х і у = *?о вычтено
г — іб;. Столько денегъ ймѢлЪ тре-
тей.
Слѣдовательно второй имѣлъ 130 —
ібт —бу, первой 70—65 = 5. Ибо уі
65 — 70; 5Іі6» = і7О5 »&5І6у —2?о.
15* г 26 раздѣлить на три части тікЪ5
чпюбЬ, когда первая часть раздѣлится на у ,
вторая умножится на 8 $ йзЪ третьей вы-
чптепгся 12 ; частное число $ произведеніе и
остатокъ были равны между собою. Спр.
какія супТѢ именно тѣ части ?
Положивъ , что первая часть = х , вто-»
рая = у, третья — і 5 то будетъ
X } у I 2 = І2б
но
* = 8у — 2— 12
40 у = х и 52-—бо — X
У—52 = х|бо -
5
•<Щх' X I бо
--- + ---= 1 20
4°	5
2Оох і ух І 4ОХI 2460 == 2 У 20(3
245 х | 2400 = 25200
245Х — 2І&ОО*
х= 21800: 245 —93 Т^.ііёрвая чЯсгпь.
Ж	Сл'ьд-

СлБдоваптельно вторая часть 93 ті : 40
і Й? третья 93	| бо: ; = 30 ш
ІИ 30^=126.
16. Ежели изъ троихъ первой возьметъ^
руб. у втораго, то онЪ сдѣлается вдвое бога,
гпЪе его ; ежелижЪ второй получить оіщ
третьяго 6о руб. то онЪ будетъ вгпрое
богатБе третьяго ; а еспіьди третей возь
метЪ у перваго 92 руб. то онЪ сдБлаеш.
ся вчетверо богатБе перваго. Спр. По сколь
ку денегъ у каждаго изЪ нихЪ было ?
Положи» Ь , что первой имБлЪ денегъ х
второй у, третей ; то будетъ
-2УІ92	у 169—32—207
92 = 2у	у—3г—207—69
— гу	У=32—27^
X Т 46
х| 46
X і 13
х|
2
2 I 92 = 4Х - 368
7 I 460 = 4Х
7 | 46О
х =--------
4
х|із8	,
7----- = 37------ 276
х і I з 8 = бг — у у 2
138ІХІ460
-------- = 6г — ; ; 2
4
у$2 I г I 460 == 2 4«  2 208
7 І 1012 =• 24г - 2208


99
2 І ?2 2О = 242
3220 = 232
2 = 3220:23 = 140, Столько денегъ
имѣлъ третей.
Слѣдовательно первой 140^460
•	—7----- ~іуО;
второй 140 х з = 420— 276 = 144* Ибо
150 I 46 = 196 = 114 — 46 = 98 х 2 = 196.
17. Трое издержали нѣкоторую сумму
денегъ: первой со вторымъ вмѣстѣ издер-
жалъ 2 руб. больш^ третьяго, первой сЪ
третьимъ 6. руб. больше втораго, а тре-
тей со вторымъ іо. руб. больше перваго.
Спр. По скольку каждой изЪ нихЪ издер-
жалъ ?
Положивъ, что первой издержалъ де-
негъ х , второй у* третей 2; то будетъ
X | у = 2 | 2
X | 2 = у | 6
У | 2 = X + ІО
2 X | 2 у|22 = ХІу|2| I 8
X р у | 2 = Т 8
X -- 18 - у - 2
х=і8— х—іо (§. 32. Ариѳ)
2Х — 18 — іо
2 х = 8
х = 8: 2 =4, Столько издержалъ первой.
х І У і 2 — і8
У = 18 --- х г
Ж 2	у

ІОО
у = і8 — У — 6 (§. 32. Ариѳ.)
2 у = 18 — 6
2у = 12
у = 12; 2=6. Столько издержалъ второй.
х + у і 2 == і8
2 — і8 ---- х — у
2 = 18 — 2 — 2 (§. 32. Ариѳ)
22—18 — 2
22 ~ іб
г = іб: 2 = 8. Столько издержалъ
трепТей.
Ибо 4 і 6 = 8 1 2 — іо ; 4 |8 = 6
I б = 12 , и 6 | 8 — 4 і 10=14.
18. ИзЪ троихъ первой сказалъ про-
чимъ : дайпте мнБ 2. руб. то у меня бу-
детъ столько денегъ , сколько у васЪ оста-
нется ; второй вЪ такомЪ же смыслБ тре-
бовалъ з руб. а третей 4. руб. Спр. по
скольку денегъ каждой изЪ нихЪ имБлЪ?
Положивъ, что первой имЪлЪ денегъ
х , второй у, третей г , а всЪх'Ь ихЪ тро-
ихъ сумма 8; то будетъ
х | у I 2= 8
х|2=8 — х— 2 у^з = 8 —у—3 г|4 = 8 —г—4
2хІ2—8-—2 2у|з~ 8—3 22І4 —8 — 4
2Х = 8 —4 2у —8— 6	2 2 = 8—8
ѵ __ 5 — 4	8 — 6	8 — 8
X --------у ----------2 = ---------
2	7	2.	2

ІОІ
+ 5~6 і ІПЛ =5
2	2	2
8__ 4 | — 6 | 8 — 8 = 2 8
з 8 — 18 = 2 8	(
3 8 = 2 8 і 18
8 — і8 Столько денегЪ всѣ трое
имѣли.
Ибо 7І2 — 9 = 6|5'~»2 = 9, и 6 + з
= 9 = 7 + 7 — 3==9 также,- 7 Т 4 =
9 = 7 + б — 4^9-
19. Нѣкто имѣлъ три коня, да сѣд-
ло сЪ приборомъ вЬ 57. руб. первой осѣд-
ланной кфнь стоитъ столько, сколько
второй и третей конь вмѣстѣ неосѣдлан-
ные ; второму осѣдла нному цѣна была
вдвое больше перваго и третьяго ко-
ня неосѣдланныхъ ; осѣдланой же третей
конь стоилъ втрое больше перваго и вто-
раго коня неосѣдланныхъ. Спр. чего сто-
итъ каждой конь.
Положивъ, что первой конь стоитъ
х, второму цѣна у, а третьету г; то
будетъ
х+ 75 = у + г‘, у + 77= 2х| 22, г і 57 = дх | Зу
х==уІ2—55,у| 5 5 — 2х=2х,г|55 — ЗУ—3 х
УІИ — 2 2	' 2 + И — 5 У _
2	3
ж 3	У

102
у |2— ; у =УІИ —22, у і х— у у = х| у у -_5у
2	~Я
2у!22-у і о—уі 55-22, зУ132“ 1 б 5 =г| 5 у-3у
УІ27—I ІО—57 —22,	ЗуЬг— ібу=55—Зу
у--- ііо=5У—42? бу Т 2г-----ібу = ^
У і 4Х = I 1 о = 5 5 бу + 22 = 220
у I 47    16у	6ѵ = 220  2г
У — ібу -- 42	у = 220	27.
6	'
ібу -- 4 7 — 220 — 2 7ч
6
990 — 24г — 220 — 27
990 - 220 — 24Х = 27
770 — 247 = 27
770 - 227 — О
77° = 222
г = 2~ =35. ЦБна третьему коню.
’СлЪдовательно второму коню цБна
165— 3 5 х 4 = 2у ; первому 2 у 1 3 у = бо -
55=5- Ибо 5Іуу=бо3и2уізу = бо.
20. Трое положили вЪ складку: пер-
вой положилъ столько, сколько имѣлі
второй , и сверьхЪ піого I денегъ треть-
яго ; второй столько 3 сколько имБдЪ
третей и сверьхЪ | денегъ перваго ; а
третей положилъ іо. руб. и сверьхЪ I
денегъ первагожЪ. Спр. по скольку денегЬ
каждой изЪ нихЪ положилъ в'Ъ складку ?
Поло-


103
Положивъ, что первой положилъ а,
гПТор°й Ь, а третей с; то будетъ
а=*Ь|»с, Ь — с| ?. а, с—ю |і а
а = з Ь | с, Ь — с — 4 а , с  і о — | а
3	3 Ъ — 3 с — а 3 с — зэ — а
3 Ь + с .	, -
---:—-гг зЬ — ЗС , зЬ — ЗС — 3с- 30
3
дЪ р с = 9Ъ — 9с, зЪ=/>с—30
с — 6Ь —• 9с, Ъ — 2С — ю
о = бЬ — юс^
бЬ = юо
Ь = іѣс
Т
ЮО = 12С — бо
О = 2С —, бо
бо = 2С
С — ЙО: 2 — 30.Столь-
ко денегъ третей по-
. дожилъ вЪ складку,
второй положилъ 30 х іо
Слѣдовательно
!= уо ; первой ПОЛОЖИЛЪ уо X 3 — I у о —
(30x3) = бо. Ибо бо “ $о |	= бо.
2і. Данъ путь дневной одного ходока
и путь дневной другаго ходока/ вЪ дан-
ное время за первымъ пошедшаго; найти
время, вЪ которое онЪ настижепіЪ пер-
ваго?
Ж 4
Поло-


Положивъ, что путь дневной перваГ()
ходока =а, втораго = Ь, данное вре.-ц»
= с, искомое время = х, то будешь пуЛ
въ данное время первымъ перейденной == а с*
И что он Ъ же вЪ искомое время переи.
депТБ = а х; путь же втораго , вЪ иском0е
время перейденной = Ьх; то, вЪ силу
Содержанія задачи , будетъ слѣдующее сра-
вненіе :
ас|ах = Ьх
а с "'Ь х— а х
ас
?= х. Искомое время,
То есть, ежели а = 6, Ъ = 8 , с — 4 ?
що будетъ х == 24: 2 = 12. Ибо естьли пер-
рои ходокъ вЪ іб, а другой вЪ 12 дней
переходятъ показанной путь, пока не сой.
дутся вмЪстЪ, и первой изЪ ннхЪ идетъ
по 6У версшЪ на денр, а другой по 8 верстЪ;
Піо путь перваго будещЪ 6x16 — 96,3
ртораго § X і а = 96-
ПРИМѢЧАНІЕ,
§, 107. Цоедику изЪ сравненія ас=?.
Ь х —- а х можно вывести слѣдующую про-
порцію : Ь — а: а == с : х; то изъ сего про--
НСходишЪ слѣдующее правила:
Ежели одинъ ходокъ догоняетъ дру-
гаго, по прошествіи никотораго времени;
то вЪ діакомъ случай.разность путей, ко-
торые


105
орьіе вЪ одно время переходятъ оба хо-
ока, кЪ путю перваго будетъ содержать-
ся іпакЪ, какъ время, сЪ начала пути пер-
ваГо, ДО начала пути втораго прошедшее,
удержится кЪ времени , вЪ крторое вто-
рой ходокъ догоняетъ перваго.
22/ДанЪ путь дневной одного ходока
ц притомъ извѣстно время^, сЪ начала пу-
ти его минувшее; найти путь дневной
втораго ходока , то^есть, по скольку верстЬ
на день долженъ итти второй ходокЪ,
чтобъ онЪ мог'Ь вЪ данное время догнать
перваго ходока ?
Положивъ, что путъ дневной перваго
ходока = а, минувшее время' = Ь , дан-
ное время — с, путь дневной втораго хо-
дока = х; то будетъ
аЪіас — сх
а Ъ | а с
-----»• = х
С
На пр, а = 6, Ь — 4, с — іі• то будетъ
=8.
12
ПРИМѢЧАНІЕ,
§. ю8- Поелику изЪ сравненія аЬ|ас
- сх можно вывести слѣдующую пропор-
Шю: с: Ъ | с — а: х ; то изЪ сего происхо-.
Актъ слѣдующее правило:
Ж у	Ежели

юб
г оу
Ежели одинъ ходокъ догоняетъ др„
Гаго, по прошествіи нѣкотораго време^
то вЪ такомЪ случаѣ время , вЪ котор0(
онЪ догоняетъ другаго , кЪ времени , I
начала пути минувшему, будетъ содер
жаться такъ , какъ дневной путь первап
ходока содержится кЪ дневному пути вгп0
раго ходока.
23. Дано разстояніе мѣстъ, изъ ко-
ихЪ вЪ одно время пошли два ходока, и
притомъ извѣстенъ дневной путь обоихр
найти время , въ которое они встрѣтят-
ся между собою ?
Положивъ , что разстояніе мѣстъ =
а, дневной путь перваго = Ъ, дневной путь
втораго — с, времяжЪ встрѣчи ихЪ — х;
то путь первымъ ходокомъ во время г
перейденной будетъ =
рымЪ ходокомЪ вЪ тоже
ной = с х.
По чему, когда они
разстояніе мѣстъ, изЪ
время пошли, будетъ
Ъ х | с х — а
Ь х | с х	а
Г	ч
і4_. Дана пѣна одной мѣры вина; най-
й? сколько воды надобно прибавить вЪ
іду мѣру > чтобы можно было продавать
оКОе смѣшеніе меньшею противъ прежня-
го цѣною?
Положивъ , что большая пѣна вина
меньшая — Ь , количество воды =
поелику вода никакой ц-Ѣны не имѣетъ,
ЩО 3
будетъ
Ъ I Ь Х = а
Ьх= а—Ъ
а — Ъ
х
Ь х, путь Ешо-
время перейден-
оба перешли все
коихЪ вЪ
ОДНО
Ъ } с Х Ъ | с
На пр. я= іао,Ь = б,с = 4; то бу*
детъ х — Ѵо° =. 12. Время , вЪ которое он#
встрѣтятся между собою.
х = —г  — а : Ъ — I
Ь
іб , Ь = іо,- то будетъ х *=
- 3
- Г
ПРИМѢЧ А НІЕ
109. Поелику изЪ сравненія Ъх
— Ь можно вывести такую пропорцію
і = а — Ъ : Ъ ; то ЪзЪ сего происходитъ
слѣдующее правило:
Количество примѣшиваемой воды кЪ ко-
личеству вина содержится такъ , какъ раз-
ность цѢнЪ кЪ меньшей цѣнѣ.
2 у. Даны цѣны дорогаго и де-
шеваго вина ; найти, сколько изЪ котора-
г° должно взять вЪ смѣшеніе, чтобъ из-
вѣ-
Напр. а =
1в __ Т --- _±- -
х5 — 1 —'хо
= а
х:
24-

ю8
вЬстную смѣшеннаго вина мБру можно рь,
ло продавать по данной средней цЬнЪ ?
Положивъ , что пЪна одной мЪры виц|
дорогаго — а , дешеваго = Ь , цБна средц^
= с , количество одной мБры = і , количс
ство дешеваго вина, употребленнаго щ
смѣшеніе = х; то будетъ цЪна онаго -
Ьк , количество дорогаго вина, употреб.
леннаго в'Ь смѣшеніе = і —• х, цЪна она.
ГО — а---ах ; и шакЪ *
а---ах | Ьх = с
а | Ъх = с | ах
а г— с | ах -— Ъх
а---с — ах----Ьх
Ь — с
----к ==х
а — Ь
с= іх; то бу-
2
3
Напр. а—іб, Ь = іо
іб — 12	д
детЪ х=	:
16— ю	6
2 6. Трое приторговали вообще 9000 руб. но
изЪ того барыша первой со вторымъ взялі
у ооо руб. первой сЪ третьимъ бооо руб-
а второй сЪ третьимъ 7000 руб. Спр. Сколь-
ко которой вЪ особливости взялЪ изъ іпо*
го барыша?
Поло*

Ю9
Положивъ , что бирышЪ перваго = х ,
«птораго = у, третьяго = а, 5000 = Ь,
6аоо = с > 7000 — <2; то будетъ
X + у — Ъ X I 7 =с	у і 7 = сіу
Х = Ь--у Х=С---------а 2=^(1 -----
Ь ---у = С — 7 —“У
Ь----у = с — сі і р
Ь с----- СІ І 2у
. Ь і с! = с + 2у
Ь I (1-с=х іу
Ь | с!.— с
То есть, у — уооо } 7000 — бооо =
бооо: 2 = 3000; X = уооо — 3000 = 2000;
2 = 7000 — 3000 = 4000. Ибо 3000 і 2000
І 4000 = 9000.
27. Трое положили вЪ складку: первой
изЪ нихЪ положилъ. 20 руб. на 3 мѣсяца;
второй 40 руб. на 4 мѣсяца; третей у о
руб. на у мѣсяцевъ; и-приторговали вооб-
ще 8о. руб..Спр. Сколько которой получитъ
изъ того барыша ?
Положивъ, что складка перваго = а ,
ипіораго складка 40 = Ъ , третьяго у о = с,
Ьесь барышЪ 8о — <1; барышЪ перваго = х ,
Спораго = у, третьяго == 7 ; то будетъ
х р у 17 = д
х: у = 33:46 у:г = 4Ь:ус
х:

ІЮ

х : за = у: 4Ь у : 4Ъ = 2: ус I
За:х—-4Ь;у	4Ъ:У—$с;г
за:х —4Ъ:у— ус.г'’
За|4Ь| 5с:хТуІг==за:х
— 4Ь:у
= ус: г
За | 4Ъ I ус : й = 3а : х
За а
За І 4ЬI $с
зЬ а
За| 4Ь| ус ““У
ус а
За|4Ьі;с ~г
То е^пть , х — 48оо : 4.70 = іо ~ ; у =
12800: 47О= 27 77; г = 20000: 4.70 — 42 р
Ибо ю 27	= 8о.
28. Нѣкто на 4 руб. и 8 гривенЪ ку-
пилъ 8о птицЪ, то есть, гусей, утокЪ и
цыпдяпіЪ ; за каждаго гуся платилъ по п
копБекЪ, за каждую утку по 6 копВекЪи
за каждаго цыпленка по 3 копѣйки. Спр
Сколько какихЬ птиц'Ь вЪ особливости ку-
плено ?
Положивъ, что гусей куплено = х , У'
токъ = у, цыплятъ 8о — х — у; то будепіі
х у 8о------------х---у
I 2	6	3

І1Х | бу і 240—зх—ЗУ = 480
4х|2у|8о«--х — у — ібо
3х І У == 1 бо 18 о = 8о
у = 80--3х
ИптакЪ, ежели х= ю, будетъ у== 50,
а цыпляшБ = 20. Ибо іо р 50 | 20 = 8о.
&9. Случилось 24человВкамЪ, то есть,
Грекамъ , Туркамъ и Французамъ вмЪстБ
Бхать моремъ, сЪ ко&хЪ за провозъ взято 64
гривны; Греки заплатили по 2 гривны, Турки
по 4 гривны, а Французы по 6 гривенЪ. Спр.
Сколько быЛЪ вЪ томъ чисдБ Грековъ, Ту-
рокъ и Французовъ ?
Положивъ , что было Грековъ = х , Ту-
рокъ = у, Французовъ = 24 —х — у; то бу-
детъ
X	У *	24_х —у
2	4	. ________6	
2Х | 4у I 144 —6х—бу = 64
144—4Х— 2у= 64 разд. на 2.
7 2   2Х   у   32
40 — 2Х — у — о
У — 4° — 2ХІ
И такъ , ежели х = 18 , будетъ у — 4>
* Французовъ — 2. Ибо 18 1 4 I 2 = 24.
ПРИ-

ПРИМѢЧАНІЕ
по. ИзЪ рѣшеній сихЪ двухъ п
слѢднихЪ задачъ явствуетъ, что перваі
изЪ онь’хЪ можешь рѣшена бытъ 26 разі
то есть, вмѣсто х вЪ сной можно взяц
по изволенію отмѣнныя числа 26 разъ. Иі
2б х з = 78; 17 же разъ по изволенію ощ
мѣнныя числа брать не можно , по том
что 27 х з = 8і превышаетъ сіе чис4С
данное вЬ задачѣ 8о единицею. А. втора:
задача можетъ рѣшиться точно 12 разі.
Ибо 12 х 2 — 24. То есть, вмѣсто х ві
опой можно взять отмѣнныя числа і 2 разі
ПРИМѢРЫ ЗАДАЧЪ,
состоящихъ изЪ смішеинокпагатнаго срам
НІЯ.
і. Найти такое число , которое бы умно-
жено будучи на 8 вмѣстѣ сЪ квадратомі
своимЪ равно было 66о.
Положивъ, что искомое число — 4
то, вЪ силу содержанья задачи, будетъ сдЕ
дующее сравненіе:
х. 8 = 8х |	— 66
________16___ 16 дополя, квад» ИзЪ ".-=4
х2 |8х| іб = б6о|ібо
Кх2 | 8х| іб = 676
х | 4 — еб
X — 26 — 4- — 22. Искомое число.
Ибо

ІІ3
Ибо 22 X 22 = 484І (22 X 8) = 66(5.
2, Найти такое число , которое бы умно-
жено будучи на б и изЪ квадрата своего
учтено, было равно 72.
Положивъчто искомое число = х^ шО
будешь
к2 — 6 х = 72
9	9 дополи, квадр. изЪ ~ — 3
х2 — 6х|9 = 72 I 9
У х: — 6х | 9 =Ъ I
х -—-3=9
х= 12. Искомое числд.
Ибо І2ХІ2=І44------( І2Хб) = 72.
3. Найти такое число , когпорое бы слд-
5кено будучи сЬ і уб, было равно квадрату
Своему.
Положивъ > Что неизвѣстное число = х,
іпо буДет'Ь
х2 == х^- і 56
X2 -- х = і уо
Ѵх2 — х-і ^-= 156 |
X--	= 12 4-
х = 13. Искомое число.
Ибо 13x13 — 169 = (156113) — іё$;
4- Число 30. раздѣлить на двЪ Частпй
^акія } чтобы квадраты оных'Ь ѵодержадйсв
Между 'собою і какъ 9 : 4-.
-3	ПоЛО*

іі4
Положивъ, что первая часть изъ даі,
наго числа —х, вторая = 30 — х; то
депіЪ
х2:900 — бо х | х2 = 9:4
4х* * * * * х = 8юо—74<эх|9х2
8юо — 540ХІ9Х2 —4х2==о
8 юо — 540Х І == °
8 юо | ух"1 — 540Х
5х2 = 540.x — 8юо
740x^-8100
х —---------------
5
х2 —ю8х = —1620
2916	2916 доп.кв.из-^~-=у,
х2 —108x^291б — 1620—2916
Ѵх2 —ю8х| 2916 = 1296
х — 54= 39
х — 54 — 36 ~ о
х — 18 = &
х — 18 Первая часть неизвѣсш. числа.
Слѣдовательно вторая часть 30 — іі
— 12- ИбО 18 X 1 8 = 324, И 12 X 12 — 144
И потому
324: 144 — 9: 4-
36
То есть, ^2 =»
144 4	4-

5.	НБкпто отдавъ вЪ долгъ 2700 руб.
п0 прошествіи двухъ лЪтЪ получилъ все-
г0 и сЪ процентами 302$: руб. Спр сколь
ведикЪ былъ процентъ ?
Положивъ, чіпо проценту получаемо
было со і оо рубл. по х; то будетъ
юо : х = 2700
2$ООХ і	-
.—“т^— =2 ух вЪ первой годЪ проценпг.
юо: х — 2500 | 2^х
зуоо | 25Х2 во второй годъ процешп.
юо
2$ОО І*2 ух | 25.ОО 1 2 5Х2
•----------- — 302 5
ЮО
250000 І25ООХ I 2500 I 25Х2 = 302500
25ООХ I 2 5ООХ I 2 ух2 = 3°- 500 — 250000
2500Х | 25ООХ і 25Х2 = 52500
уооох I 2 ух2 ~ 52500
25Х® | уооох — 52500
X2 I 2ООХ*=: 2 100
юооо ірооо допол.квадр.изЪ
/ “	*	^22 — юо
X® 1 2ООХ I ІООО — 2 ЮО I ІООО
"Их2 І 2ООХ I ЮООО = 12 100
X | ЮО = I Ю
х = 11 о— і оо=і о. По стольку руб.
получаемо бы-
ло проценту
на юо руб.
3 2	Ибо

ііб
Ибо 100:10 = 250: 2 5 о вЪ первой год. проь
юо ю: = 2750:275.вовшор.год.про^'
И птакЬ 250 І275 | 2500 = 3025.
6. Насколько прохожихъ должны были
заплатишь за ночлегѣ і. руб. 75. копБекЪ. ц0
какъ двое изЪ нихЪ ушли тайно; то на ка.
ждаго человѣка изЪ оставшихся прибавилось
за ушедшихъ платить лишку по іо. копК
екЪ противъ настоящаго платежа. Спр.
сколько было прохожихъ ?	‘	
Положивъ, что число прохожихъ было
Ьх, а останется их'Ъ = х — г , то будегпі
х:і75 = і:і75.По стольку бы коп.
х каждой изЪ всЪхі
долженъ былъ запла-
тить.
х — 2:175 = 1:175. По стольку коп.
х__________________2 каждой изЪ оста-
вшихся заплатя.
17 5 = 17 У--ю
X	X—2
І”5 — 175   ІОХ І 20
X	X  2
175   350 = І75Х   ІОХ2 І 2 0Х
- 350 = і^5х 175Х--------тох2 | 20*
•-- 3 5° ~ -- ІОХ2 р 2ОХ
ІОХ2 - 3 50 = 2ОХ
х2 — 35 = 2Х

П7
х:< = 2ХІ 35
х2 — 2х = 35
і і. доп. кв. изЪ
х7"-*-2х I і = 3 5 І I
Кх2 --- 2Х | I = 36
X -- 1=6
х — 7. Число прихожихъ.
Ибо 175 .'7 = 2 5, и 175 : О — 2) = 35 ;
И такъ з 5 — 25 = I о.
7. На двЪхнеравныя части по 1200. руб.
раздѣлить піакЪ, ФпобЪ каждой человѣкъ
изЪ меньшей части получилъ 5. руб. свыше
прошивъ каждаго изЪ большей; вЪ первой
же части находилось 40 человЪкЪ больше,
нежели во второй. Спр. по скольку чело-
вѣкъ находилось вЪ каждой части ?
Положивъ, что вЪ меньшей части на-
ходилось людей = х 5 а вЪ большей х 140 $
іпо будетъ
1200 == 1200 | 5
X х І 4°
1200 = I 200-1" 5Х I 200
* X	х Т 40
1200 — 1400 1 5х
X	х I 40
I4ООХ} 5Х2 — I2ООХ І 48000.
І4оох — І2(}ох | 5х = 4800а
2оох I ;х2 == 48000
з 3	ух*

ухг і 2ООХ — 48000
х2 I 4ОХ = 9600
400	400 ДОПОЛ. КВ.ИЗЪ^ = 23
х*. I 4ОХ I 400 = 9600 I 400
Ух2 I 4ОХ і 400 = ІОООО
X | 20 = ЮО
х = 8о. Столько людей было мень,
шеи части.
СлЬдовашельно людей было большей ча«
сти 8о | 40 = 120. Ибо 1200:80 = и
и 1200 : 120 = іо | у = і$. Почему 8о
X 15 ~ 1200 И 120 X ІО == 1200.
8. Найти два числа, которыхъ бы про-,
изведеніе было равно 48 , а разность их'Ь
квадратовъ равна 28-
Положивъ , что меньшее число = х 5 то
большое будетъ — И такъ
48_ 48_азоо4и
XX х2 X2
2304 х4 — 28х’
2304 — 28.x2 I X4
х4 1 28 х2 = 2304
196______196. допол. квадр. изЪ ~	14
X4 І 28 X2 1^96 = 2304 I 196
Ѵх4 | 282 I 196 = 2500
х2 | 14 — уо
х2

119
х= = 50 — Ц
Ѵх* = 3^
х — 6. Меньшое число.
СлБдовательно большое = 48:6 = 8.
}{бо 8 х 6 = 48 ,и 8 х 8 = 64-36 — 28
9. НЬкито купи коня, продалЬ онаго
зі руб- и по такому прибытку еще на
іоо руб, пригпорговалЬ то, что прежде за-
платилъ за коня. Спр. скоЛУко денегъ за-
платилъ онЪ ^а коня ?
Положивъ , что *цБна коня = х ; то
будетъ
іоо: х ~ х : 56 — х
х2 ~ убоо — юох
X2 І ІОО х = 5600
2500	2500. Доп. кв. изЪ-1?2 = 50
х2 | ІОО х | 2500 = 5600 І 2500
Ух2| юок | 2^00 — 8100
X Т 50 — 90,
х=4О. Щ>на искомая коня.
Ибо 100:40 = 40:16=56 — 40
іо. Найти два числа, которыхЪ бы про-
изведеніе было 20 , а сумма ихЪ кубовъ 189-
Положивъ , что первое число = х, вто-
рое -^2; то будетъ
:с’ 20 ^оо 2 0 __ Я ООО ’
— и
ХХХ = Х2-Х = Х?	- і89
Xй Т 8ооо = 189 х’
хб — 189	= — 8ооо
3 4	Дополн.

120
Дополи, квад. изЪ — 893°
9
8930 і
Xе — 189 X5 І 893°і = 893°4-8о«Х)
х6 — і89х’ і 8930; == 93°*	
х5 — 94 т ==. 3°"	I
X* = 125	
Кх* = I 25 “	1
х — Первое искомое число,
Слѣдовательно второе 20 : 5 = 4. ибо
5x4 — 20, И 5x5x5=12; I 64 =189.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
9
Употребленіи срапненій Алгебраическихъ при рі.
віеніи заначь, кЪ пропорціи и прогрессіи хахі
Ариѳметической , такЬ и Геометрической при-
надлежащихъ.
ЗАДАЧА XXXIII. I
іи. Показать количество произве
деиія двухъ крайнихъ членовъ вЪ пропор
п,іи Геометрической.
** ’
РѢШЕНІЕ.	1
Перпои случай. Когда будутъ даны гпр
члена. На пр. первой = а, знаменательс<
держанія = т 5 то будетъ елѣдукіцая пр
Пррція:
а , та , т2а
та а
(та/ = т2й2

121
Второй случай. Когда будутъ даны че-г
ртыре члена. На пр. первой = а, знамена-
^рлъ содержанія — т, третей членъ = Ъ;
р будетъ слѣдующая пропорція:
а: та:— Ъ : тЪ
Ь а
таЬ таЪ
ПРИБАВЛЕНІЕ
§. іі і. ИзЪ чего выводятся слѣдующія
рравила : • ког)га вЪ^ пропорціи Геометриче-
ской даны будутъ три члена; що вЪ гпа-
комЪ случай произведеніе двухъ крайнихъ
членовъ бываетъ равно квадрату средняго
члена. (136, Ариѳ.). КогдажЪ пропорція Геоме-
трическая будетъ состоять изЪ четырехъ
членовъ , тогда произведеніе двухъ край-
нихъ члёіювЪ бываетъ равно произведе-
нію двухъ4 среднихъ ( §. і3 у. Ариѳ. ).
ЗАДАЧА XXXIV.
§. 113. ВЪ пропорціи Геометрической
непрерывной дано произведеніе изъ квадра-
та третьяго члена на первой; найти пер-
вой членъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что первой членъ = х , зна-
менатель содержанія — т, произведеніе
изЪ крадрлта третьяго члена на первой
= а ; то , поелику второй членъ = хт ,
третей — т2х , будетъ
3 5	а

12?
а = т4х’
а : т4 ~ х’
а: т4 = х
На пр. а = 648 , т = з ; то будетъ I
= г ( 648 • 81 ) ~ ^ 8 = 2. Слѣдовательно
тх = 6, т2х — 18. Ибо г- і 8 = 6. б — 56 .
задача. XXXV.
§• іі 4. ВЪ пропорціи Геометрической
даны сумма перваго и четвертаго члена г
сумма втораго и третьяго члена , знаме-
натель содержанія; найти первой чденБ,
Положивъ, что перваго и четверта
го члена -= а , сумма втораго и третьяго
члена = Ь, знаменатель содержанія =1
т, первой членъ = х; то будетъ вто-
рой членъ — тх ? третей = Ъ — тх,
четвертой = а — х. И такъ.
х : тх = Ъ — тх : а ---- х
ах-—х2 — тЪх — т2х2
а---х = тЪ —— пі2х
тг х — х = тЬ — а раздѣлить на
т2 —- і
тЪ — а.
х —-------
2	_
т — г
На пр. а = 13 , Ь *= I I, т -— 2 ; то бу->
детЪ х *3 =	3. Первой членъ. По че-
му тх = 6. И такъ будутъ четыре пропор-
ціональные члена з ; 6 = 5: ю.
ЗАДА-

12 3
ЗА>ДАЧА XXXVI.
п$. ВЪ пропорціи Геометрической
^прерывной даны сумма перваго и трепіь-
о члена : знаменатель содержанія ; най-
до первой членъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что сумма перваго и тре-
ріяго члена — а, знаменатель содержа-
нія = т, первой членъ — ’х; то будетъ
второй член'К — тх, третей = т2х.
И шакЪ, ’	*
а — т2х Г х
е а : (т2 р і) — х
На пр. а = уо , т = 2 ; то будетъ
х = уо : ( 4 | і ) = г—ю первой членъ
тх = ю второй, т2х = 40 третей; слѢ-
довагпельно^ю : 20 = 40: 8о.
ЗАДАЧА ХХХѴП.
§. іі6. Показать, сколькими спосо-
бами перемѣнены быть могутъ члены
Геометрической пропорціи, не теряя со-
держанія между собою.
РѢШЕНІЕ.
Перемѣняя данные члены пропорціи
Геометрической вййкимЪ возможнымъ об-
разомъ , и сравнивая суммы и разности
И*Ъ и проч- между собою, тотчасЪ можно
Усмотрѣть, вЪ какихъ случаяхъ останет-
ся

’24

ся пропорція, наблюдая при томЪ всег
то только , чтобъ одинъ знаменатель ВЛ
обоихъ сравниваемыхъ между собою СгЧ
держаніяхъ находился. На пр. положу
слѣдующую пропорцію : ата = Ь : ц,
що будетъ,
I:
2.
3-
4.
5-
6.
7-
₽*
?о.
іі.
I 2.
14-
іу*
іб.
17-
а: Ъ = та : тЬ
та : а = тЬ: Ъ
а | та: а — Ь | тЬ: Ъ
а | та: та — Ъ | тЬ: тЬ
та --- а: а = Ъ — тЬ : Ь
та --- а: та — Ь — тЪ; тЬ
а2: т2а2 = Ъ2 :тгЪ2
а: тас = Ъ : тЬс
а: та , тЪ
	= Ь : 	
с-------------с
ас: та = Ьс : тЪ
а .	Ь .
—. та = —: тЪ
с	с
ас : тас — Ъ ; тЬ
а : та .	.
— ---- = Ь : тЬ
с с
ас: тас = Ъсі: тМ
а	.	та _ Ь'	тЪ
С	С	(1(1
ас: таЪ =	Ъс:	тЪс!
а	.	та	Ь е	тЬ
с	(1	с	4

125
а: тпа — Ъ: тпЪ
ір, а»: тпа — ~ : тЬ.
п
'ПРИМѢЧАНІЕ і.
§• іі 7. Во всБхЪ сихЪ пропорціяхъ
знаменители содержаній сЪ обѣихъ сто-
рой Ь равны между собОю. На пр. вЪ про-
порціи а і та--а = Ь^тЪі Ъ знамена-
щель перваг^ содержанія а + та: а, есть
і | т, й во второмъ содержаніи Ь і тЬ:
Ь есть такойже і і т.
• ПРИМѢЧАНІЕ 2.
§. іі8. Каждая изЪ показанныхъ 19»
пропорцій предлагаетъ особливое правило.
На пр. пропорція подъ Ьіо : і. положенная
а: та ДЬ: т показываетъ, что когда
четыре количества будутъ пропорціональ-
ны между собою; то тогда первой членъ
сордежится кЪ второму, такъ какъ тре-
тей кЪ четвертому. Равнымъ образомъ
Пропорція, подъ Хо: 12. положенная ас:
тас — Ь : тЪ , изъявляетъ , что , когда
в'Б пропорціи Геометрической первой и
второй члены будутъ умножены на одно$
по изволенію взятое число, и вЪ такомЪ
Случай члены.оной будутъ пропорціоналъ
Пы между собою.
ЗАДА3

І2б

ЗАДАЧА XXXVIII.	
§. 119. Показать, какимЪ образолг
перемѣнены быть могутъ два количества
нетеряя прежняго содержанія ме^д,
собою.
РѢШЕНІЕ.	
Положивъ, что тѣ количества суть I
и та, которыя содержатся между собою,
какъ і : т; то будетъ
I.	II.
а I та	а : та
с с	с с
ас : тас = а : та
г"-~ і . та
III.
а : ти
Ъ : тЬ
е—Ь;та—тЬ = а:
=Ъ:
а : та == і : та
с с
= I : т
IV.
а : та
Ъ тЪ
а | Ь: та | тЬ — а: та
= Ь;тЪ
. = т: т
і :т
ПРИМѢЧАНІЕ
§. 120. ИзЪ показанныхъ четырехъ пере-
мѣнъ, учиненныхъ вЪ разсужденіи двух'Ь
количествъ , выводятся четыре слѣдующія
правила:
і. Когда два количества будутъ умно-
жены на одно третіе, по изволенію взя-
тое число; то произшедшія кзЪ того
произ-

127
произведенія содержатся между собою,
какЬ умноженныя тѣ количества.
2. Когда два количества будутъ раздѣ-
,ены на одно третіе , го изволенію взя-
ъ эе число ; то проишедт.ія изЪ того ча-
стныя числа содержатся между собою, какЪ
тЪ раздѣленныя количества.
3. Когда отнятыя части содержатся
между собою , КакЪ" цѣлыя количества; то
и оставшіяся части будутъ содержаться ме-
жду собою , к^Ъ цѣлыя количества.
4- Когда приданныя количества содер-
жатся между собою, КакЪ тѣ , кЪ коимЪ
оныя приданы ; то и суммы, изЪ того
произшедшія, будутъ имѣть такоежЪ со-
держаніе между собою.
ЗАДАЧА XXXIX.
І2і. ВЪ прогрессій Ариѳметической
даны первой членъ, послѣдней членъ и
разность членовъ; найти число членовъ и
сумму оныхЪ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, Что первой членъ — а,
послѣдней членъ — Ъ, разность членовъ —
, число членовъ = х, сумма оныхЪ =
У 5 пю будетъ
х

128
х--- і	Ь|а	I
_______а	У=~-Хх'$і8*Арц5,
Ь —сіх— а|а($.і 78-Ариѳ)	Ь | а
Ь — а I а = сіх	У — —о х в а Т г
Ь~а г і	аЯ
а т	ьг^а2Иы
у =------- ----
2с1
Ъ2 — а2 а|Ь
>= -^Г~т —
* На пр. а==2,Ь = і7,а = з ; іпо бу.
деш'Ь х = ( 17 — 2 ) : з = у | і = 6 ; у **
17x17 = 289-^(2x2) = 285:6 = 471!
( 17І 2 : а)= 57-
ЗАДАЧА ХЬ.
§. 12 2* ВЪ прогрессіи Ариѳметической
даны первой членъ> разность членовъ й
сумма всЪхЪ оныхЪ ; найти число чденовЬ
й послѣдней *іленЪ;
ІР ѣ ш е н і Е.
Положивъ, что первой членъ = й
разносгііь членовъ — а, сумма всЪхЪ члё;
новъ = с, число членовъ = х посл^ дней
^леііЪ = у і то будетъ.
с== * (а і у) а | а х -= а = у
2 с —• а х | х у
2с — ах — ху
2с--ах
*------ = У
к
•	іС

>29
X
2С — ах — ах | (1х2 — дх
ас == ах2 | ах — ах І ах
1с = ах2 і 2 ах — ах
Л5. — х2 | (гах — ах) — 2- . — т
а	Т“а	й
X8 і (га — а) х
' .а %	*——
= х2 і тх
а
*!/' ас ♦
| А-т = х2 і тх Т ~ т*
Сх *
^-СІІ-т2=хіЬт
(г^4гт2 )—Г т —*
а
х і=: (4а2 14аа2 }а2*— гс) ।— га | а
4а	а га
Йа пр. & = 2 , а = з , с == у7; шо будетъ
ЗАДАЧА. ХЕІ.
Т2 3. ВЬ прогрессіи Ариѳмитической
^ны первой членъ, послѣдній членъ, сум-
И	ма

Т30
ма всБхЪ членовъ; найти число члено^
и разность оныхЪ.
РѢШЕНІЕ.
у = Ь
у = Ь — а
а і ху
ху —
ху = Ь і у — а
Ьі у — а
х= ------
с.
разность оныхЪ =у;
ЪI у — а
ау -
— а
Положивъ, что первой членъ = а, п0.
слБдней = Ь , сумма всЕхЪ членовъ
число членовъ — х,
то будетъ
X
7 мъ) =с
х ( а I Ь ) — 2с
2С
х — ——-
а |Ь
2С
а|Ь
2Су к +
— =Ьіу —а
2су — аЪ | ау — а2 і Ъ3 і Ъу — аЬ
асу — ау — а2 |Ъ2 | Ьу
2су   аѵ —— Ьу =з Ь2  а 2
Ъ* — а2
у =---------
2 с—ас—Ь
На пр. а = 2, Ь = 17, с = 77; то будетъх
= 77X2 = 2Т“= 6, У — 17x17 = 289!
( 2 X 2 3=4) =--------= 3.
114—2—17	’
ЗАДА-

Г \
13 1
ЗАДАЧА ХЫІ.
124.	'ВЬ прогрессіи Ариѳметической
5аны разность членовъ, сумма оныхЪ, и
тинЪ членъ изЪ прогрессіи 5 найти первой
я дослБдней члены.
Р Ѣ Ш Е ЛIЕ.
Положивъ, что разность членовъ =
3} сумма оныхЪ =. с , данной изЪ про-
фессіи членъ = п, первой членѣ = х, а
поСлВд^ей = у; то будет’Г"
“-п(хіуі—с у=х|п4 —а
П (х|у)=2С
2С
2С \
—х | па — а
П—X '
2с •: п — х = х | па —— а ,
ас: п — гх | па — а
2с: п | а = 2х | па
2с: п | а — па = гх
2С
— I (а —— па) = йх
с
П + (а ~~ па) = х
2
На пр* а = з, с = ^7 , п “ 6; то
«Метъ х = і з = іУ -
И і	Т
	

13 2
І 9 = ?!=> 1 — 9=2;у=2|15
— 2О --- 3 = 17-
ЗАДА Ч А ХЪІП.
§. і2 у. ВЪ прогрессіи Ариѳиметическо^
даны послѣдней членЪ) разность членовъ
сумма оныхЪ; найти первой членъ и число
членовъ.
I Е Н I Е.
послѣдней членъ == ъ
= а , сумма оныхъ
х , число членовъ ==у.
Ь = х | <1у — <1
Ъ •}- (3 == х ф сіу
Ь і <1 -— бу = х
Положивъ; что
разность членовъ ;
с, первой членъ —
то будешь
- (х | Ь) —с
2 4
у (х}Ь)— 2С
2с
х і Ь = —
У
2С
—----Ь = Ъ | б-----сіу
У
2С---Ьу = Ьу | бу — бу2
2с Ъу | бу2 = Ъу }- бу
2с | бу * — іЬу | бу
бу’ =— іЬу } бу --- 2С
бу2 ---зЬу --- бу == 2С
у2 — (аЬ — б) у==«— 2С
а V


43
у3 =— ту = — 2с
и
ас
у2 —туііт2 = л т3 — -^
|-т— у, или у у-т = К(|т2 — гс)
<1
У = 4 т ± К( 4 щ1 — 2с).
<Г
Или, у аЪ }4 —Ѵ*(4Ье і 4Ы | <1* — іс)
4^	Т
= 21 а ± К(4ъ214Ы | а2 — $са
за
Слѣдовательно х = Ь | а — Ъ — 4 а ±
I Ѵ(4ь2 і4ъара2 — 8са) = 4а±г ѵ<4ьг
|4ьаі а2 — 8са). Но какъ (4Ьг 14ъа | аг)
~(2Ь|а)2 ; то положивъ, что 6=17,
<1 = 3, с = 57, будетъ гЪ і а = 34 | 3 = 37.
И потому у = 37-.— У'(13691368) =
5^3 = ІИ = 6 • х = — + - = — =2.
6	6	О , X 2*2	2
ЗАДАЧА ХЫѴ.
$. 126. ВЪ погрессіи Ариѳметической
Даны сумма всБхЪ членовъ, число оныхЪ и
произведеніе ИзЪ перваго члена на послѣд-
ней; найти первой и послѣдней члены.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что сумма всѢхЪ членовъ
Ч число оныхЪ = п, произведеніе изЪ
Перваго члена на послѣдней — а, первой
члеиъ = х, послѣдней -= у; то будешь
И з	4

»34

|-п(х |у) = с
п(Х |у)г= 2С
1С
х| у = —'
п
2с
а =? ху
а — у
х
а
х2
х2
а1	2с
— ~ — — х
X	п
2вХ
а =-----------х
п
2СХ
П
2СХ Т С2 = <Г
*” ’	2 г	1 а
Л П , 11
сг
=	- а)
, с2
а)'= X
с
п
с
и
То есть, принимая знакъ — , найдет-
ся х , принимаяжЪ знакъ |, найдется )’•
На пр. с = 57 , п = б
ДдтЪ х =	— ѴГг
і
X 2
V
а = 34 ; то бу
~ — 34) V |
<5
К2 О 2 Т _ * 7
3 б	6
7	4 *	,	,	10 2	--.
б	б	I
О II Р Ъ ДѢЛЕНІЕ XXII.
§. 127. Сумма нБсколькихЪ членовъ
состоящихъ вЪ прогрессіи Ариѳметической!
начй'

*₽*і*'?*Л*'»ЧІ»*!,*А*	1 3 5
учиняющейся сЪ единицы, называется
роямгональное число (питешз Роіу^отиз ) >• вЪ
уобднвостижЪ именуется ліреуголъ«ое(пите-
Ги5 ггіап^иіагіз), когда разность членовъ вЪ
прогрессіи Ариѳметической будешь і ; хвад-
рапіное , или , тетрагональное (питегиз
^иайгагаз) , когда разность будешЪ 2; пента-
тональное (репгад;оііи5), когда разность бу-
детъ 3 ; эксагоналъное (Ьеха^опш), когда
разность будетъ 4 , и такъ далВе. На пр.
Ариѳ. прогрессіи: і. 2. 3, 4, у, 6, 7, 8.
Треугол. число і. 3. 6. іо. і у. 21. а8- 36.
Ариѳ. прогр. і. 3. у. 7. 9. іі. 13. і у.
Квядр. число, і. 4- 9- іб. 2$• Зб. 49- 64
Ариѳ. прогр. і. 4. 7. іо. 13. іб. 19. 22.
Пентаг. число, і. у. 12. 22. 37. уі. 70. 92.
Ариѳ. прогр. I. 5. 9. 13- 17. 2 1. 2?. 29.
^ксагон. число і. 6. іу. 28. 4 У- 66. 9х- ДО-
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXIII.
§. 128. БохомЪ (Іасиз) полигональнаго
*исла называется число тВхЪ членовъ про-
фессіи Ариѳметической, которые склады-
ваются и составляютъ полигональное чи-
сло.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXIV.
§. 129- ЧксломЪ углопЪ (пипіегиз апоц.
называется число показывающее, сколъ-
угловъ та фигура имЪетЪ, отЪкото-
И 4	рой

136
рой полигональное число получаетъ СВо
названіе,
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
§. 130. ТакимЪ образомъ число I
ловъ вЬ треугольныхъ есть 3 , вЪ квад.
ратныхъ 4, в'Ь пентагональныхЪ 5. и прсч.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
§. 131. По елику разность членовъ ві
треугольномъ числЬ есть і, вЪ квадращ.
номЪ 3. и проч. то число угловъ всегда
бываетъ числомъ і больше разности чдс.
новъ той' прогрессіи, изъ сложенія кото
рой полигональныя числа происходятъ.
ЗАДАЧА ХЬѴ,
132. Показать, чему равняется
Произведеніе двухъ крайнихъ членовъ іі
Прогрессіи Геометрической.
РАЩЕНІЕ.
Положивъ, что первой членъ про-
грессіи = а , знаменаталь содержанія = нц
то будетъ слЪдукщая прогрессія:
2	»	4	5 «Г
а, та , та , та,	іва , та , та
I	?	2
та	та	та	а
6	<5	<5	<5
та = та—та = та
ИзЪ самаго рѣшенія явствуетъ, чій°
ВЪ прогрессіи Геометрической произведена
двухъ крайнихъ членовъ равняется про,13<
нол$


47
еденіі0 другихъ двухЪ членовъ, вЪ рав-
нОмЪ разстояніи находящихся отъ оныхЪ,
среднему, безъ сравненія сЪ другимъ
оСіПающемуся. самому на себя умноженному.
ПРИБАВЛЕНІЕ і,
133- И такъ вЪ прогрессіи геоме-
трической послѣдней членъ равняется про-
изведенію , произшедшему изЪ умноженія
перваго члена на знаменатель содержанія,
возвышеннаго вЪ степень единицею мень-
ше противъ числа членовъ. На пр.
Положивъ , что первой членъ = а,
знаменитель содержанія = т, число чле-
новъ = п, послѣдней членъ — х; то бу-
п—і
детЪ х = та. То есть, еспіьли а = і ,
т — 2, п = 8; то будетъ х = 2 х 2 х 2 х
2X2X2X2X2=128X1— I 28.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
134. ИзЪ чего явствуетъ , что есть-
ли разность крайнихъ членовъ вЪ прогрессіи
Геометрической раздѣлится на знамена-
теля , единецею уменьшеннаго, и кЬ то-
му прч(ложится послѣдней членъ $ то про-
изойдетъ изЪ того сумма всѢхЪ членовъ.
На пр положивъ, что первой членъ = а ,
Знаменатель содержанія = т , число чле-
новъ = п; то будетъ послѣдней членѣ
($, 133). Слѣдовательно сумма всѢхЪ
И у	чле-

138
т а — а .
членовъ “ ---------Т т
„ Т т — і
ли а ~	т = 2, п = 8 •, то б\
детЪ 128 ---- і : (2 — 1) = 127 | і = 12
сумма всБхЪ членовъ.
п — I	|
а» То есть ?
ЗАДАЧА ХЬѴІ.
§. 13 у. ВЬ прогрессіи Геометрической
даны первой и послѣдней члены такому
число оныхЪ; найти знаменатель содер]
жанія.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что первой членъ — а(
послѣдней членъ = Ъ, число членовъ =
п, знаменатель содержанія “х; шо будеші
П -I
Ъ = х а
Ъ	п—1
— = х
а	ч	।
і: п — і	і: (п — і )
Ь:	а ===== х	।
То есть, ежели а = 2, Ъ = 486, п р
6 ; то будетъ х = (486 : -^г) —	234 '
3. Или 6:2 = 3.
ЗАДАЧА. ХІ.ѴП.
136. ВЪ прогрессіи Геометрической
даны знаменатель содержанія , число чле-
новъ # сумма оныхЪ і найти первой членъ
ГѢІІІЕ-


49
РѢШЕНІЕ
Положивъ, что знаменатель содержа-
нія — т , число членовъ = п, сумма
всЪхЪ членовъ = с , первой членъ = х;
'	п - х
т0 будетъ послѣдней членъ = т х. И такъ.
П - I	11-1
с = ( т х — х ): т-11 тх
П - I
т с — с”т х — X
( т с.— с ) : ( т —- і ) = х =
(т — і) с :т — і
То есть, ежели т = 3 , п = 6 , с =
728; то будетъ х = 2 х 728: 728 = 2.
Ибо (486— 2): 2 | 486 = 243 — і і 486
= 242 і 486 — 728.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 137. Поелику изЪ сравненія т с —•
п-і
с = т х — х , можно вывести такую про-
п
поріцію : с: х — т —— і: т — і ; то про-
исходитъ изъ сего слѣдующее правило:
сумма членовъ вЪ прогрессіи Геометриче-
ской кЪ первому оной члену содержится ,
какъ степень знаменателя содержанія,
коей указатель равенъ числу членовъ,
Уменьшенная единицею, къ самому зна-
менателю , единицеюжЪ уменьшенному.
зада;

140
ЗАДАЧА ХЬѴПі.
138. ВЪ прогрессіи Геометричес^
даны первой и послѣдней члены , тако^
знаменатель содержанія; найти число чде.
новъ.
РѢШЕНІЕ.	I
Положивъ , что первой членъ = а, по.
слБдней членъ = Ь, знаменатель содер.
жанія = п , число членовъ = х; то бу.
дет'Ь
п — I
Ь = т а
ВмѢстожЪ а принявъ логарцмѳЪ его =:
аі, и вмѣсто т также принявъ логариѳмѣ
его = 1 т ; то будетъ
хіт—Іт + Іа — 1Ъ (§. 290 и 28$. Ариѳ.)
х 1 т = 1 Ъ — 1 а 11 т
х — ( 1 Ь —*-1 а ) ; 1 т і I
То есть, ежели а — 2, Ь =448 6, га
3 ; то будетъ
1 Ь = г. 6866363
1 а = о. 3010300
ІЬг—Іа = 2. 3856063 с у'
1 т = о. 4771212 { г
6 = х. Число член«
ЗАДАЧА ХЫХ.
139. ВЪ прогрессіи Геометрической
даны произведеніе изъ перваго члена на по-
слѣдней , число членовъ и знаменатель
содер-


»4і
удержанія $ найти первой и послѣдней
’деНЬІ‘	РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что произведеніе изЪ пер-
ваГо члена на послѣдней = Е, число чле-
новъ = п, знаменатель содержанія = т,
вербой членъ х, послѣдней = у; то
будстЪ
х у == Е т х у
у =Е: х
П — I
Е: х= т х
п — 1
1 — т х1
п —*1
Е: т х*
ь — І
* — УЕ: Гт
То есть, ежели т — з 3 п ~ 6 5 Е—
972 ; то будетЪ х = У 972: У 243= V*
4—2.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXV.
§. 140. Три, или четыре количества
Гармонически пропорціональныя ( диатігагев
Ьагтопісе ргорогйопаіез ) называются , когда
ВЪ первомъ случай разность перваго и вто-
раго члена кЪ разности втораго и треть-
яго содержанія такъ, какъ первой къ
Третьему; а во второмъ случаЪ, когда
Разность перваго и втораго члена кЪ раз*
ности

143


М5
носити третьяго и четвертаго содержите
так Б» какъ первой кЪ четвертому. На пр
Гармонически пропорціональныя будущ
три слѣдующія числа: 2. 3. 6. Ибо раа
ноешь перваго и втораго =. і. содержипь
ся какъ і: з = 2: 6
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 141. Пропорціональные члены, по
первому случаю продолжающіеся, составдя.
ютБ Гармоническую прогрессію ( Наггаопісащ
ргодгейюпеш ).
ЗАДАЧА Ь.
§. 142. Найти третіе Гармонически про-
порціональное число кЪ двумЪ даннымъ
числамъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что первое число а, вто-
рое = Ъ, третье = х; то будетъ
а — Ь;Ь — х = а:х ( §. 139.)
ах—Ьх~аЬ—ах
2 ах — Ь х = аЬ
а Ъ	'
х е=----—
2 а — Ь
На пр. а ~ і о , Ъ == 16 ; то будетпЪ
х — 16 х іо: (іо х 2 — іб) = 40. Ияо
іо -- іб: іб — 40 = іо: 40, или 6'-
24 = Ю : 40
ЗАДА'
задача и.
143. Найти среднее Гармонически
пропорціональное число между двумя дан-
ями числами.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что первое число == а >
Лііорое == Ъ, среднее = х; то будетъ
а —— х х — Ь — а: Ъ ( §. 139.)
а Ь— Ъ х — аЬ —ах
2 аЬ — Ьх-'ах
2 а Ъ — а х I Ъ х
2.а Ъ
а I Ъ “ Х
На пр. а = і о, Ь = 40; то будетъ
; = ЮХ2Х 40 : (ю| 40 ) = іб.
ЗАДАЧА. ІЛІ.
§. 144. Найти четвертое Гармониче-
ски пропорціональное число кЪ тремъ
эннымъ числамъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что первое число — а ,
второе — Ъ, третіе = с, четвертое =
1; то будетъ
а--Ь : с — х =: а: х (§. 159)
ах — Ьх = ас •— ах
2ах — Ъх “ ас
ас
х -------
2а— Ь
На

44

Ня пр. а = 6, Ь = 8 , с = і і
будетъ х — 6х іа: (6x2 — 8) = і§.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
о
^потребленіи сравненій Алгебраическихъ
при рѣшеніи Геометрическихъ задачѣ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXVI.
§. 14у. Конструкціею Геометрически
(сопйгиДіо Сеотеггіса) называется такое искус-
ство, помощію котораго члены Алгебраи-
ческихъ сравненій изображаются динеями.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 146. Поелику въ сей пракший
вмѣсто А/ігебраическихЪ знаковъ постав-
ляются линеи; то должно смотрѣть на
взаимное отношеніе количествѣ , содер
жащихся вЪ сравненіи) и стараться1© томБ>
чтобъ, по надлежащемъ соединеніи Ариѳ-
метическихъ и Геометрическихъ истинно
тоже было сравненіе. Что всего яснБе
можно понять изъ приложенныхъ ПрЯ
семЪ разныхъ примѣровъ.
ЗАДАЧА ЕШ.
§. 147. Рѣшить алгебраическимъ об-
разомъ Геометрическую задачу.
РѢІІІЕ-


45
РѢШЕНІЕ
Что при рѣшеніи ариѳметическихъ
задачЪ чрезЪ сравненія наблюдать предпи-
сано , все то самое и здѣсь наблюдать
должно И какъ весьма рѣдко при рѣше-
ніи геометрическихъ задачъ доходить мо-
жно до такогожЪ сравненія, какое для
рБшенія ариѳметическихъ задачъ употре-
бляется ; то сверьх'Ъ того здѣсь примѣ-
чать надлежитъ вЪ особливости слѣдующее :
і.	Все то, что для рѣшенія предла-
гается , должно представлять уже рѣше-
нымЪ, или сдѣланнымъ.
2.	Должно изыскивать взаимныя отно-
шенія всѣхЪ линей, вЪ фигурѣ изображен-
ныхъ , не дѣлая притомъ никакого разли-
ченія между извѣстными и неизвѣстными ,
чтобъ видно было , какимЪ образомъ однѣ
линеи отЪ другихЪ зависятъ, то есть ,
какимЪ образомъ чрезЪ однѣ данныя ли-
неи находятся купно и другія иди чрезЪ
подобные треугольники , или чрезЪ прямо-
угольники , или чрезЪ другія Теоремы.
3-	Чтобъ имѣть подобные треуголь-
ники и прямоугольники; то часто надоб-
но продолжать линеи до тѣхЪ поръ, по-
ка онѣ прямо, или не прямо сдѣлаются
Равныя даннымъ , или оныя пересѣкутъ ;
^асто надобно проводить параллельныя и
I	пер-

і4б
перпендикулярныя линеи; часто надо5Р
соединять нйкоторыя точти , и наконецъ
часто надобно дЪлашь углы равные д
нымЪ. И какъ все сіе почерпается Иэ^
Геометріи ; то на сей конецъ надлежц^
твердо содержать вЬ памяти Теоремы 0
равенствъ угловъ и подобіи треугольна
ковЪ.
4.	Ежели иойдено будетъ до такого
сравненія, которое не согласно сЪ содер
жаніемЪ задачи; то вЪ такомЪ случай дод.
жно другнмЪ образомъ изыскивать взаим.
ныя отношенія линей. ИногдажЪ нахо-
дится и не прямо искомая линея, но дру-
гая , чрезЪ которую и самая данная извѣ-
стна бываетъ.
у. По учиненіи приведенія сравненія,
должно выводить Геометрическую констру-
кцію разными образами , смотря по разли-
чію сравненій.
ПРИМѢЧАНІЕ.
148- Поелику здйсь одни токмо прс-
сптйишіе Алгебраическіе случаи примБря-
ми Геометрическими объяснены быть им$*
ют'Ь; то довольно показать, какимъ обра*
зомЪ составляются простыя и квадратѣ
ческія сравненія.
ЗАДАЧА ЫѴ.",
§. 149. Составить простыя сравненія-.


«47
РѢШЕНІЕ,
Все искусство состоитъ вЪ томъ, чтобъ
дроби , коимЪ не извѣстное число равно ,
приведены были вЪ пропорціональные чле-
ны. Что самое гораздо лучше примѣрами,
нежели правилами , показать можно. И такъ
і. Сравненіе х = а показываетъ , что
данной линеѣ а равна неизвѣстная х.
о. х. = а | Ъ, или х — а ----Ь пока-
зываетъ , что неизвѣстная линея х равна
суммѣ, или разности двухъ извѣстныхъ
линей.
а
3. х = — показываетъ, что неизвѣ-
стная линея х изображаетъ содержаніе
двухъ данныхъ линей , то есть , неизвѣ-
стная линея х имѣетъ такое содержаніе,
какое имѣютъ между собою двѣ данныя
а и Ъ.
аЪ
4. х — — изображаетъ слѣдующую про-
порцію : с: а — Ь : х , то есть , показываетъ,
Что неизвѣстная линея х есть четвертая
пропорціональная кЪ тремъ даннымъ а,Ь, с,
у. х = изображаетъ слѣдующую
Пропорцію: сі | Ь ; с " а | Ь :х,
I 2
ЗАДА-

148

ЗАДАЧА. ЬѴ.
§. іуо. Составить квадратическія Ср
вненія.	
РѢШЕНІЕ.	I
г. х2 = аЪ , или, а: х = х: Ъ, показу,
ваетЬ, что неизвѣстная динея х ест
средняя пропорціональная между двумя
данными а и Ъ.	2
2. Сравненіе х2 = аЪ і сд, или х =
Ѵ(аЬ | ссі) показываетъ, что между аиЬ
такожЪ между с и <1 должно найти сред-
нія пропорціональныя линеи, то есть, а:
т — т : Ь и с : п = п: (і; почему будешь
х — Ѵгт2 | п2). Такого сравненія кон-
струкцію показываетъ Пиѳагорова Теорема;
зло есть , сдѣлай прямоугольной треуголь-
никъ изЪ линей т и п, то ипотенуза бу-
детъ Ѵ'(т2 | п2) (§. 372. Геом).
а2Ъс
3. № --, вмѣсто аі возми тг; ибо
тп 7	7
тгЪс	гЬс
т: а — а: г; то будетъ х2 —-, или, х =
тп	П
вмѢстожЪ гЪ поставь пз; ибо п: г = Ъ:$;
ПЗС
то будетъ х-=-^—; иди, хх = зс; то есть,
неизвѣстная линея х есть средняя про-
порціональная между з и с.
4 х2 — ах | Ъ2 , или х2 -ах = Ь ,
ИЛИ х2 —ах і I а2 =Ь!|?а2, или,
Г(ь1

*
| I а2) I а. ИзЪ сего сравненія яв-
.двуегпЪ, что неизвѣстная линея х бу-
,егпЪ извѣстна, когда изЪ Ь21 | а2'извлечет-
ся квадратной радиксЪ , которой находит-
ся чрезЪ Пиѳагорову Теорему, и потомъ
оному радиксу приложится 4а; то
еСпіь, ежели надобно будетъ составить
іадиксЪ изЪ Ь2 і 4 а2 ; то на половинѣ а,
вакЪ какъ на попершникѢ, описывается
полкруга, и на оной переносится АВ—і
ио учиненіи сего бокъ ВС. будетъ искомой
іадиксЪ (§- 372. Геом.).
ТЕОРЕМА IV.
іуі. Ежели изЪ какой нибудь попе-
іешника точки , на пр. Р, возставится пер-
пендикулярная линея РК , простирающая-
ся до самой окружности круга, то она Ф. э.
будетъ средняя пропррціональная между
отрѣзками поперешника АР и РВ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Положимъ
СИ и СВ = г, СР = X
летъ АР = г | х и РВ = г — х;
остается только доказать
что полу поперетчики АС,
РК = у ; то бу-
и такъ
что г | х : у
у: г — х. Но как'Ь вЪ пропорціи Гео-
^пірической произведеніе крайнихъ членовъ
двинется произведенію двухъ среднихъ
§ Ариѳ.), или среднему, самому на
Себя умноженному (§.136. Ариѳ.), то есть,
12
3	ѵ

&—хг ~ у2; слѣдовательно между дщЯ
прямыми линеями АР и РВ найдется сре
дняя пропорціональная линея РЕ , есгпьдц
двѣ прямыя линеи соединятся въ одну
которую потомъ въ точкѣ С должно Я
дѣлить на двѣ равныя части, и изЪ тпой
точки, какъ изЪ центра, описавъ полкруга
изъ Р до самой окружности провести пер
пендикулярную линею. ч. н. д.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. іуі. ИзЪ чего явствуетъ, что есть-
. ли прямоугольнаго треугольника АВЕ ипо-
тенуза АВ вЪ точкѣ С раздѣлится на двѣ
равныя части; то прямая линея СЕ будешь
равна СВ, такъ что всегда половинная
ф. 2. часть ипотенузы однимъ своимЪ концомъ,
какъ полупопереіиникЪ , проходит Ь чрезЬ
верьхЪ прямаго угла; и потому всякой
прямоугольной треугольникъ заключается
вЪ полукружіи. Ибо изЪ точки Е на ипо-
гченузу АВ опустивъ перпендикулярную
линею КР, будешь имѣть слѣдующую про
порцію: АР: РЕ = РЕ: РВ: (§. 267 и 268). Подо*
жимЪ , что СВ , или АС — г, СЕ “ Ь , С?
— х , РЕ — у и РВ — г — х; то будепгё
г і х: у == : г — х, то есть, г2 — х2 == у’ ’
также Ъ2 —х2 =у2 , и потому г2-—х
= Ъ2 -— х , или г2 — Ъ2, или г = Ь»

ЗАДАЧА ЬѴІ.
1^3. Дан'Ь полупоперешникЪ круга
Гр, найти бокЬ АВ правильнаго, то есть,з*
дрносшороннаго треугольника, которой
ч шомЪ кругѣ начерченъ быть можетъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что ВВ бокЪ шестіугольни-
р; то, поелику ВВ—ЦЕ (§. 297. Геом.),
яакже при Г находятся углы прямые (§.
Т§7. Геом.) , будетъ ВЕ = ЕЕ (§. 186. Геом.).
Н пгакЬ , положивъ ВВ — а, ВА — х, будетъ
РЕ = а , ВЕ = । х ; слѣдовательно
I а2 =4 хг
да2 = х2
Уда2 — х
То есть , найдется х , когда между да
и а сыщешь среднюю пропорціональную ли-
нею (§. 267. Геом.).
ПРИМѢЧАНІЕ.
§ і у4. Желаемой бокЪ описываемаго
вЪ кругЬ равностороннаго треугольника
способное можно сыскать слѣдующимъ обра-
зомъ: изЪ А иВ поперешникомЪ АВ сдѣлайф. 4.
разрѣзъ вЪ В , и изЪ центра С проведи пря-
мую линею СВ , которая будетъ искомой
бокъ треугольника. Ибо, поелику ВБ2 =
4 а2 , СВ2 = а2 , будетъ СВ2 = д а2 (§. д74.
Геом. ) 5 слѣдовательно СВ = Уда2. Или ,
Цѣлай АЕ = а; то, по причинѣ прямаго
I 4	угла

угла При Е ($. 260. Геом.), будетъ Ев <
VЗа2 ( §• 3 74- Геом. ) .
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
$. іи- поелику да2 — х2 (§. І43
Ф- 3. то аг: х2 = і : з , то есть, В Е2: а вг'
= 1:3.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
$. іуб. Еспіьли будетъ данЪ бокЪ пЛ
угольника, на пр. АВ — Ъ, и надобно бу-
детъ найти полупоперешникЬ круга, на
3' пр. ВЕ = у, которымъ около того шре-
угольника описанъ кругъ; то будешь
ЗУ2 —Ь2 (§. і4у.), или у = V і Ъ2, то
есть, вЪ такомЪ случай надлежитъ толь-
ко между линеею АВ и третьею частью
оной сыскать среднюю пропорціональную
линею (§. 267. Геом.).
ЗАДАЧА ЬѴІІ.
$. іу7- ВЪ прямоугольномъ треуголь-
Ф. 5. никѣ АВС дана сумма всБхЪ боковъ и пло-
скость онаго; найти ипотенузу АС.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что АВ | ВС | СА = а,
АС = х, плоскость — Ъ2 • то будетъ АВ
| ВС = а — х. Но какъ АС2 = АВ2 | ВС*
(§. 372. Геом.), и АВ2 | ВСЛ = (АВ^ВС2),
— 2АВ. ВС (§. 2У9. Ариѳ.)); то будетъ
АС2 = (АБ= | ВС2 ) — 2 АВ. ВС ( §. 3®-
Ариѳ. ). По положеніюжЪ АС2 = х2 5 (АВ
I ВС2)


’ 53
. рС ’) == а’- 2 а х | х1, 2ЛВ. ВС =
і/ ; почему
х" — а2--г а х х2 — 4В2
2 а х — а’ — 4В2
х = і а — іЬ2
а
И такЪ, естъли вЪ силу произшедшаго
сревненгя 3 надобно будетъ составишь тре-
угольникъ 5 то высоту ВІЭ, то ееть, пер-
пендикулЪ на ипотезуну АС опущенной
назови у, и будетъ
I ху — Ьа (§. 338. Геом.)
Ъ*
у =іГ
То есть, вЪ концѣ линеи ВБ = а воз-
ставь перпендикулярную линею АВ = 2 Ъ,
и сдѣлавъ ВС — Ъ , найди четвертую про-
порціональную линею ВН — гЬ2: а; по-
томъ сдѣлай СВ = | а и С1 — ВН ; то
будетъ ВІ = « а -- 2 Ь2: а = х. РаздѢ-Ф. б.
ливЪже Ві на двѣ равныя части вЪ точ-
кѣ О. найди кЪ ВО — іх и ВЕ ВС
= Ь третью пропорціональную линею ВК,
которая будетъ искомая высота треуголь-
ника = Ь2: | х. Почему, естьли на линеѣ
ВІ опишешь полкруга и чрезЪ точку К озна-
чишь сЪ оною перпендикулярную линею КЪ,
Пересѣкающую полкруга вЪ точкѣ Ь, и
15	по-

потомъ проведешь прямыя линеи ВЬ пи
произойдетъ желаемой треугольникъ ВЦ,*
ЗАДАЧА ЬѴІП.
§. 158. Начертишь ромбъ АЕГВ вЪ прл,
Ф. 7- моугольномЪ четвероугольникѣ АВСБ ,
РѢШЕНІЕ.
Поелику надобно сыскать только ча-
стицу ВЕ, или ЕС, отрѣзанную от'Ъ бока
прямоугольнаго чегпвероульника , чтобь
остался бокЪ ромба ; то положивъ, чпю
АВ = а, ВІ) , = Ь, ВЕ = х, будетъ АЕ
— V (а’ | х2) (§. 372. Геом.). Но АЕ =
ЕО, и ВЕ = ІИ) ---- ВЕ = Ь --- х. По
Пиѳагоровой же Теоремѣ АВ2 | ВС2 = АЕ2
— ЕО2 ; то будетЬ.
а2 | х2 = Ъ2—2 Ъ х | х*
а2 | гЪ х — Ь2
2Ъ х — Ь2 — а2
Ъ2 —а2
То есть найдется х, когда кЪ 2Ь, Ы
а и Ь — а будетъ найдена четвертая про-
порціональная линея. Ибо 2Ъ : Ь | а = Ь
-— а: х.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXVII.
159.	Прямая линея ѵЪ среднемъ я
хройнемЪ содержаніи раздѣленною (тегііа ег
ехігета іагіопе вейа) называется , когда вся
ли-

* 5 5
?{ИеЯ АС кЪ большому отрѣзку АВ со дер-ф. 8.
*ипіся шакЬ, какъ большой отрѣзокъ АВ
ІСЪ меньшому отрѣзку ВС.
ЗАДАЧА ЫХ.
ібо.	Раздѣлишь прямую линею АС
^казаннымъ образомъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что вся линея АС = а,
большой ошрБзокЪ АВ = х ; то будетъ
меньшой отрѣзокъ ВС = а — х. И такъ,
вЪ силу опредЪлепія.
а: х = х : а — х
а2-- ах = х2
а2 = х21 а х
аг і | а2 = ха | а х і^а*
‘ V (а21 < а2 )-4 а = х
То есть, сЪ цѣлою линеею АС соеди- Ф* 8*
ни подъ прямымъ угломъ половинную ея
часть АВ , и изЪ центра В полупопереш-
никомЪ ВС начерти дугу СЕ такъ, чтобъ
было ВС = ВЕ — К (а21 | а2 ) (§. 372.
геом.). Но какъ ВА = | а; то будетъ АЕ = х.
ПРИМѢЧАНІЕ.
ібі.	Такое раздѣленіе прямой ли-
неи древніе Геометры называли Божестпен-
нымЪ разд%яенгемЪ ( сііпіпат Ге&іопет ) , по
елику изЪ того много доказывая©, какъ
то видно изЪ Эвклида.
ПРИ-

гпре-
ипо-
ПРИБАВЛЕНІЕ. ’
§. 162. Когда вся линея АС —
Ф. ю.детЪ полупоперешникЪ круга; то
тая ея часть. ГС = х будетъ бокъ
тиугольника.
ЗАДАЧА ЬХ.
163. Начертить прямоугольной
голъникЬ АВВ, когда будутъ даны
ІЬ піенуза АВ и плоскость онаго.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что АВ — а , перпенди-
кулЪ ПС — у , плоскость — Ьь; то глаже
будетъ плоскость == I ау (§. 338- геом.).
И такъ.
1	к»
— ау = Ь
2Ь’
У =—	—-
а
То есть , на АВ — а йачершивЪ пол-
круга , вЪ точкБ А возставь перпендикулЪ
АЕ — іЬ , и проведи линею ЕВ. Потомъ
сдЪлавЪ АС = I АЕ — Ь, проведи линею
ГС параллельную сЪ ЕВ; то будетъ АЕ
2Ь2
----—. Наконецъ означь линею РВ. парал-
лельную сЪ АВ, то и означится искомой
треугольникъ АВВ.
а бу.
боль.
ДССЛ-
ЗАДА'

15“ 7
ЗАДАЧА БХІ.
164. Найти вЪ прямоугольномъ
треугольникѣ АВС ипотенузу АС; когда
будутъ даны разность катетовъ АЕ и
перпендикулЪ, изЪ прямаго угла на ипоте-
лузу опущенной ВБ.
Ф.І2.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что ра'зность катетовъ
АЕ = а, перпендикулЪ БВ — Ь, ипоте-
нуза АС = х, сумма двухъ катетовъ АВ
| ВС — у; то будетъ АВ = 4 у і ~ а, ВС
= 4 у — * а (§. 8о- Тригон). И такъ.
4у2|>а2“х2(§. 372. Геом.)
у2 | а2 — 2х2
_у2 — 2Х2 — а2
Или ВС: ВБ — АС: АВ(§. 269. Геом.)
4 у — т а: Ь — х: 4 у і 4 а
Ъх = 4 у2---- 4 а2
4Ьх = у2 — а2
4Ьх | а2 -= у2
4Ьх | а2= 2х2— а2 (§.31. Ариѳ.)
4Ъх і 2а2 = 2х2
2а2 = 2х2---- 4Ъх
а2 — х2 зЬх
а21Ъ2 — х2 — аЪх | Ъ2 дополн. квадр.
V (а2 і Ь2 ) | Ь — х
То есть, вЪ силу 4. пункта (§. 140.)
сдЬлавЪ Ѵ" (а2 Ъ2 ), кЪ оному приложи Ь,
й произойдетъ ипотенуза х. КогдажЪ из-

ьѣстна ипоптенуза • то самой треугольникъ
коего разность боковЪ извѣстна, соспь’
вится слѣдующимъ образомъ: сдѣлавъ пр
мой уголъ, на обоихъ бокахъ онаго сз,
начь перпендикулЪ х; то будетъ ипогпе.
нуза СІ = V х2; на сей ипотенузѣ на-
чертивъ полкруга, отъ С до Н означь
-хорду СН = а ; то будетъ НІ =Ѵ\ 2ха — аг)
Ф.І3.= У (§• 374 геом). КогдажЪ извѣстна сум.
ма боковЪ = у и разность оныхЪ = а;
то самые бока удобно находятся, и потомъ
изъ оныхЪ составляется искомой треу-
гольникъ.
ЗАДАЧА ЕХЧ.
ібу Найти вЪпрямоугольномъ тре-
угольникѣ катеты АВ и АС; когда будутъ
даны сумма оныхЪ АВ | АС и перпенди-
кулЪ, изъ прямаго угла на илотенузу
опущенной АВ.
РЕІИЕНІЕ
Положивъ , что сумма катетовъ АВ
АС = а, перпендикул'Ь АВ = Ь; СА —
АВ = у, ВС = х; то будетъ АС = *
(_а I У ), АВ = I (а—у) ( §. 8о. трогон-)-
И такъ.
х2 == 2 (а21 у2 ) ВА: ВА = ВС: АС
2х2 = а*Ту2	4<а— у): Ъх: 4(а|у)
2х2 — а2 = у2 з (а2 — у2 ) = Ъ х
а2---4Ьх =уг
2Х

г 59
ах2--а2 — а2---4.Ъх
х2 | гЬх = а2
х21 2Ъх, і Ъ2 = а2 | Ъ2 допол. квадр.
х = "И (а2 і Ъ2 ) --- Ь
То есть, на данной линеѣ СО — ана-фі5>
черти прямоугольной продолговатой чет-
вероугольникъ СОЕС, котораго бы высота
рЕ равно была данному чперпендикулу АО
Ь$ шакимБ образомъ будетъ СЕ ~
V ( а2 | Ь ). Потомъ сдѣлай ЕЕ == ГО, и
СВ = СЕ ; то будетъ СВ = V* ( а2 | Ь2 )
.—- Ъ.
И такъ на СВ начертивъ полкруга и
проведши линеи АВ и АС, получишь желае-
мой треугольникъ САВ.
ЗАДАЧА ЕХІІІ
§. ібб. Найти высоту АО треугольника АВ
С; когда будутъ даны всѣ три бока онаго.
РѢШЕНІЕ
Положивъ, что АВ = а, ВС =Ъ, АС
= с, ВО = х ; то будетЪ- ОС — Ь — х.
Но поелику АВ2 — ВО2 — АО,2 и АС2 ---
ОС2 = АО2 (§. 374. геом.); то будетъ АВг
— ВО2 = АС2 — ОС2 ($. 32. Ариѳ.)і слѣ-
довательно
аг —х2 — с2 —Ъ2 | 2бх — х3
а2 |Ь2 —-с2 =2Ъх
а2 | Ь2 + с
2Ь Х
ПРИ-

Ібо
ПРИБАВЛЕНЕ.
§. 167. ИзЪ чего явствуетъ, что естьЛц
вЪ триугольникЬ АВС изЪ верьху угла А 1І?
основаніе ВС опустится перпендикулЪ; щ0
вЬ такомЪ случаЬ основаніе ВС кЪ суммі
двухъ боковъ АВ і АС будетъ содержать,
ся такъ 3 какъ разность оныхЪ боксод
АВ --- АС содержится кЪ разности ощ-
рБзковЪ отЪ основанія ВБ — СО • піо
есть, ВС: АВ | АС = АВ — АС: ВО
СО. Сыскавъ же ВО, можно будетъ найти
АО (§. 374. Геом.). Положивъ, что а =6,
Ь = 4, с — 3; то будетъ х = 36 I іб
= № ----- 9 — 43 : 8 = 5 і
АВ2 _ 2304:64
ВО — 1849 : 64
АО — Ѵ'^- = 21	= -*-**
<5 4	1 о о   8 0 0
ЗАДАЧА ЬХІУ;
§. іб8- СдБлать одному данному тре-
угольнику НЫ равной , а другому данно*
Ф.17. му треугольнику ЬЮР подобной треуголь-
никъ.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что НІ = Г, ЬМ = е,
КР = т ОР = п, основаніе искомаго
треугольника = у , высота = г - то будегпЪ-
т ;п=у: г (§. з 4 з. Геом.) Ге=уг (§. 3 3 8 Геом.)
П12

ібі
	Ее
Л1г=”у	— = 2 У . тЕе •— == тг У пу = тЕе
И такъ	пу2 —тЕе тЕе у’ = — у = ѴтЕе ~ п
То есть , продолжи высоту ОС^ тре-
угольника ЫОР до М такъ, чтобъ было ОМ
= ЬМ, также продолжи бока того тре-
угольника до К и 8, и чрезЪ точку М
проведи линею К.8, параллельную сЪ №Р;
то будетъ К8 = потомъ между К8 и
Я = Г, найди среднюю пропорціональную
линею Г8 =	, на которой, по причи-
нѣ данныхъ угловъ К иР, можно начер-
тить треугольникъ Т8Ѵ (§. 174. Геом.)
ЗАДАЧА. ЬХѴ.
§. 169. Провести отъ данной точки фл8>
Е прямую линею ЕО, которая бы КЪ дан-
ному кругу СБГО сдЬдала токмо прико-
сновеніе.
К
ИэШЕ-

Ф.І9-
РѢШЕНІЕ.
По елику улочка Е положеніемъ
кругъ СВГС какъ положеніемъ, такъ ’
величиною извѣстенъ• то будутъ Шак?
извѣстны линеи ЕС и СС. И такъ , под^
жив Б , что ЕС = а , СС = Ь, ЕВ ==
будетъ = ЕЕ = а | аЬ 5 почему вЬ сЛ
(§. 330. Геом.)
а2 | 2аЬ = х2
х — V' ( а2 I 2аЬ )
То есть, соединивъ центръ круга С и
данную точку Е прямою линеею ЕС, опи.
ти на соединенной линеѣ полкруга СБЕ и
проведи хорды СВ и ВЕ; то уголъ В бу-
детъ прямой (§. 2 6о. Геом.). Почему СЕ!
а2 + 2аЪ | Ь2 , СВ2 == Ъ2  слѣдовательно
І)Е = Ѵ( 2аЪ |а2) (§. 372. Геом ).
ТЕОРЕМА V,	Г
§. 170. ВЪ прямоугольномъ треуголь-
никѣ квадратъ ипотетгузы равенъ квадра-
тамъ, вмѣстѣ взятымъ , двухъ катетовъ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЕ.
КЪ боку С вЪ прямой линеѣ присово-
купивъ бокЪ В, начерти на В | С квадратѣ
которой будетъ заключать вЪ себѣ ква-
дратъ НН и четыре треугольника равные
между собою. Ибо углы п | г | т, тако*1*
8|п|т, поелику составляютъ по 18°
(§. 133. и із?. Геом.), суть равны межлУ
собок?

163
обою (§• 86. Геом.). И естьли отЪ рав-
ньіхЪ отнимешь по равному, шо есть,
г й § и общей имЬ уголъ т, то и оста-
нутся равные п = п (§. 36. Ариѳ.). По-
чеМу т = т, и для того треугольники зпт
и кпт равны между собою.; слБдовательно
л другіе два треугольника также равны
между собою. Но какъ всякой треуголь-
никъ изЪ оныхЪ — т В х с ; то четыре
треугольника = 4 х 4 ВС — 2 ВС. И такъ
( С| В)2 = НН і п. ВС
также (СІВ)2 = ВВІ2 ВС|СС ($31.) ;
то будетъ НН | г ВС — ВВ і 2 ВС | СС
НН = ВВ Т СС. ч. н. д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЕ.
На ипошенузу АВ	Ь изъ прямаго угла ф. 20.
опустивъ перпендикулЬ СВ, и положивъ,
что отрБзокЬ основанія ВО — х; то бу-
детъ другой отрЪзокЪ АО = Ь — х, при-
томъ положивъ , что АС == а , ВС = с; то
будетъ
АВ : ВС = ВС: ВО и ВА:АС=АС:АО
Ъ : с с : х Ь : а = а : Ь — х
с2 = Ьх	а2 — Ь2—Ьх
с2 іа2~Ьх|Ь2—Ьх
с2 |а2Э=Ь2 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРЕТІЕ. ф.2І.
БокомЬ АС, такъ какъ полупопереш-
НикомБ , описавъ кругъ , продолжи ВС до
!	" К а	М;


іб5
М; пто угол'Ь КАМ, какъ состоящей
полукружіи , будетъ прямой , и уголь
есть также прямой по положенію • и еже,
ли отъ сихЪ угловъ отнимешь общей илц
уголъ п; то останутся равные о и 8. ц
какъ треугольникъ МСА есть равнобедрен.
ной • то углы, при основаніи находящіе,
ся г и 8 , будутъ равны между собою, ц
такъ треугольники МВА и АВК, по причи'
нВ равныхъ угловъ г ио и общаго В, сушь
подобны между собою; и потому
ВМ : АВ = АВ: ВК
АВ2 = ВМ х ВК
или АВ2 == ( 2СК | КВ) х КВ
АВ2 — 2СК х КВ | КВ2
Приложивъ же сЪ обЬихЪ сторонъ рав«
ные квадраты АС2 и СК2 , будетъ
АВ2 | АС2 = СК21 2СК х КВ | КВ2.
Но какъ послѣдней членъ изображаетъ
квадратъ ипотенузы, состоящей изъ частей
СК|КВ, или СВ2$ то будетъ АВ2 | АС2
ВС2, ч. н. д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧЕТВЕРТОЕ.
Положивъ, что АС — а, ВС = с, и симЪ
бокомъ , такъ какъ полупоперешникомЪ,
опиши кругъ , которой пересБчетЪ ипоте-
ф'32’ нузу вЪ точкЬ Ё. ПоіпбмЪ ипотенузУ
' АВ = Ь раздЪливЬ на двЪ равныя части вЬ
точкѣ I, продолжи АС до Е а ІС до С 5
также
^кже проведи линеи ЕЕ и РВ, и будетъ
ІВ = І Ь (§ 142.); почему 1О^= 4 Ь —.
, Но какъ треугольники АЕЕ и АВР суть
удобные, по причинѣ общаго угла А и
равныхъ угловъ Е и В, при окружности
находящихся; то будетъ
ВА : АР = АР : АЕ
ВА: ЕА = АР: АЕ
а2 <— с
или Ь : а| с = а — с: —г— = АЕ
Ь
также ІВ : ІС = ІС^: ІЕ
Ь2—4с2
или 1Ь:іЬ|с = 1 Ь:---г--= ІЕ
' 2Ь
Но какъ -4 Ь = АЕ — ІЕ =—-----—
Ь	20
іЬ
то Ъ
Почему
или
2а2- 20!	Ь2|4с2	2а2-ьг|2с2	•
--------------------=	-----= Т О
гЬ-------------------------гЬ
4а2 — 2ЬгІ4с2 2а2 —Ъ21 2С*.
гЬ	Ь
2Ъ2а— Ь 31 гЬс2
Ъ2=-------------=2а’ —ЬгІ2сг
Ъ2 — 2а2 — Ь2 2С*
1Ь2 = 2а2 і 2са
Ь2 = а2 і С2. Ч. Н. Д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЯТОЕ.
Положивъ, что АВ = а, АС=Ь, ВС = с, и
°пУстивЪ изЪ верьху прямаго угла наипо-ф.30.
^енузу перпендикулЪ СО;.то произойдутъ
К з	тре-

166
треугольники АВС = Т , ВВС = с, АВС=
между собою подобные (§. 269. Геом.
содержатся, какъ квадраты сходствен,
ныхЪ ихЪ боков'Ь (§. 346. Геом.). Почему
Т:г —Ъ2:с2	I
г:Т = Ь2:а2
Т;Ь2 — г: с2 — Т : а2
ТІНТ: Ь2 |сг | а2 ==Т: Ьг
ТЪ2 [ гс2 I Та2 = ТЪ2 і Л2 | ТЪ’
Тс2 і Та2 — гЬ2 | ТЬ2.
ИзЪ сего сравненія можно вывести слТ
дующую пропорцію:
Т:г|Т- Ъ2 : а 2 і с’
Но какъ вЪ сей пропорціи первой члені
равенъ второму ; то есть , Т ~ Т • то
будетъ и третей членъ равенъ четверто'
му , то есть , Ъ2 = а2 і с2 ч. н .д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ШЕСТОЕ.
Оставя гиВ же наименованія , какія бы-
бы вЪ предложеніемъ пятомъ доказатель
ствЬ, а назовемЬ только здБсь основанія
части АІ) ~ г > СВ — х пгакЪ, чтобъ бы-
ло Ь — ? | х. И такъ , поелику Ь , с, х,
такожЪ Ъ, а, г суть количества непреры5
вно пропорціональныя, будетъ Ъ: г — Ь2:
Ф.2О.а* } то есть, вЪ пропорціи непрерывной
первой членъ къ третьему содержится
такъ , какъ квадратъ перваго кЪ квадрату
втораго; притомъ Ьх = с2 и Ьг = а2. По
чему»
I


іб?
| ,му 9 вЪ силу того , естьли равныя бу-
| іпЪ умножены на равныя ; то и произ-
Ьденія произойдутъ равныя , будетъ
а2 Ь х = с1 Ь г
2	-	2
а х = с 2
ИзЪ сего сравненія можно вывести слЬ-
^ующую пропорцію:
с2: а2 = х: х
с2 | а2: а2 = х | г : г( §. іуі. Ариѳ.)
с2|аТ:а2 = Ь:2 ( §. зі. Ариѳ.)
с2 | а2: аг = Ь2 : а2
с2 | а2 :Ь2 == а2 :а2
Но а2 =а2 •	'
піобудетъ, с21 а2 = Ъ2. Ч. н. д.
ТЕОРЕМА VI.
§. 171. Подобные прямоугольные четверо-
угольники содержатся между собою , какЪ
квадраты основаніи, или высотъ ихЪ, то
есть, АВ: аЬ = А* : а2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Когда А: а = В: Ь по положенію,* тоФ.зз*
будетъ АЬ — аВ ( §. 13 у. Ариѳ.), умно-
’кив'Ь же сіи произшедшія равныя произве-
денія на Аа, получишь слѣдующее сравне-
ніе: АааВ = ААаЬ, (§. 14 т. Ариѳ.), из'Ь
к°піораго можно вывести слѣдующую про-
Иорцію: АВ : аЬ = А2; а2. Ч. и. д.
К 4	ТЕОРЕ-

168
ТЕОРЕМА VII.
172. Подобные треугольники сод«ь
жатся между собою , какъ квадраты осцп
ваній , или высотъ ихЪ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
г
ф.?4« Положивъ , что сходственные бока д
и а, основанія В и Ь , перпендикулы Р и р
которые бокамЪ, а потому и основаніями
ихЪ пропорціональны такъ, что будешь
В : Ь — Р: р. Почему ВР ~ ВЬР (
Ариѳ.). Сіи произведенія, какъ равныя ко-
личества , есщьли умножишь на * ВЬ $ шо
произойдутъ равныя ьВ2Ьр = іВЬ2Р ($,
141. Ариѳ.) ; изЪ сего сравненія можно
вынести слѣдующую пропорцію: Б2: Ь2~
<’ВР: 2Ьр. Ибо треугольники , имБкіціе
одинакое основаніе и одинакую высоту
параллелограммовъ , суть половинныя тБх!
уасліи (290. Геом.). Ч. н. д.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 173. Слѣдовательно всВ параллело-
граммы и всЬ круги, то есть, плоскости
круговъ , какъ правильные многоугольники,
подобные между собою, и составленные изЪ
равно многихъ треугольниковъ, подобныхъ
И равныхъ , содержатся между собою,
какъ квадраты ноперединиковЪ, иди полУ*
ПоперешниковЪ ихЪ.'
С
ТЕОР&

іб9
ТЕОРЕМА ѴПІ.
174. Поперешники круговъ, на пр.
, и а , содержатся между собою > какъ ихЪ
дружности, на пр. Р и р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Когда плоскости круговъ, на пр. « БР
и । с!р, содержатся между собою, какъ
квадраты поперешников'Ь ихЪ, на пр. В2:
, то есть , | ВР : ’ др = Б2: сГ ( §. іб;.),
или раздѣливъ на 4, будетъ
ВР:^ = В2:йг
вра2 = аРв2 <$. 13у. Ариѳ.)
Рй=: рВ раздѣл. на ва.
ИзЪ сего сравненія можно вывести слѣ-
дующую пропорцію;
В: а —Р: р. Ч. н. д. •
ПРИБАВЛЕНІЕ,
§. 17 у. Поелику В: а — К: г; то бу-
детъ и К.: г = Р: р. То есть, когда по-
перешники содержатся между собою, какъ
полупоперешники; то и полупоперешники
пруговъ будутъ содержаться между собою,
Какъ окружности ихЪ.
ЗАДАЧА. ЬХѴІ.
§. 176. Найти плоскость равносторон-Ф»2І«
треугольника АВС ; когда будетъ данъ
единъ бокъ его.
К у
гѢШЕ-

І?О
РѢШЕНІЕ.
ИзЪ верьху В равносторонняго пд
угольника опусти на основаніе онаго пер,
пендикулЪ ВБ, которой раздѣлитъ оснс.
ваніе АС на двЪ равныя части вЪ гпочк$
I). И іпакЪ, положивъ СВ, или АС = ь
будетъ все основаніе, или сВ = зЬ ; и по-
тому ВВ2 , или сВ2 — сВ2 — зЪ2 —. ъ1
= 4Б2 — Ь2 — зЬ2; слѣдовательно Во
— V зЪ . То есть, плоскость равносшо-
роннаго треугольника = Ь х УзЬ2 Ц
338. Геом.), или КзЬ2 х Ь2 ( §. 67,68,69.).
ТЕОРЕМА IX.
Ф. 2о.	$. 177. Во всякомъ треугольникъ, на
пр. АВС естьли на самой болыйой бокЪ его,
какъ на основаніе, изЪ верьху опустится
перпендикулярная линея, на пр. СВ =у;
то она основаніе на пр. АВ = Ъ, раздѣ-
лить на двЪ части, то есть, на ВО = х
и ВА = Ь -— х такъ, что квадратъ бо-
ка АС = а , противоположеннаго острому
углу В, будетъ равенъ квадратамъ про-
чихЪ двухъ боковЪ , вмЪстЪ взятымъ,
безъ двухъ параллелограммовъ, произшед-
шихЪ изъ умноженія АВ на ВВ; то есть
а2 = с2 | Ь2 — зЬх.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
А.	а* = у* | (Ь2— 2Ьх | х2)
В.	с2 — у2 | х2 (Л — В)
с.


I?!
с. а’ — с2 = Ь2 — гЪх ( С | с2 )
р. а2 = Ъ2 і с2— гЬх. Ч. н. д.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
178. Когда, вЪ ^илу доказаннаго,
Ъ2| с2— 2Ьх; то будетъ гЬх = Ь2
< с2 — а2, или раздѣливъ на зЪ, будетъ
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
179. Равнымъ образомъ положивъ
а2 |Ь2-с!
АП = х, будетъ АО —----—---. И по-
рому во всякомъ треугольникѣ, по дан-
нымъ тремъ его бокамъ, можно найти
оілрЪзокЪ х , слБдовательно и перпендику-
лярную линею у, и наконецъ всю плос-
кость треугольника.
ПРИБАВЛЕНІЕ 3.
Ь2|с2 —а2 „
х8о. Когда ВО = --—(§. 170.)
аг + Ь2_ с2
и АО = —-------~ ( §. 171. ) ; то будетъ
2В
Ь2 |с2 —а2
разность отрѣзковъ ВО — АО ~”
^_а2 | Ь2 — с2 __Ь2 |с2 —а2 аг—Ь2іс2
зЬ	2Ь
2С2 —- 2а2 __ с2 --а2 _ (Ф)х(с-а) Из:ь
гЬ	аЬ	Ь
сего

172
ъ — а
Ф.24.
сего сравненія можно вывести слѣдую^
пропорцію :
Ь : с | а = а-а : ВБ — АВ
вмѣсто ВО — АО, положивъ 4 , будетъ
Ь : с|а — са: 6
То есть, а есть четвертое пропор.
ціонадьное число; знавшижЪ а, будетъ боль,
„	ь|а
шои отрѣзокъ ВВ =-----, а меньшой ди
(§. 8 о. Тригон. ) ; слѣдовательно
ПРрпендикулЪ у = К (а2 — АВ) = V (сг—.
в°2) (§• 374* Геом.).
ТЕОРЕМА X-
§. т8і. Два треугольника АВС и аЬс.
имѣющіе по одному равному углу, на пр
А — а, содержатся между собою, как!
произведенія , произшедшія изЪ умноженіе
двухъ боковЪ, тѣ равные углы замыкаю-
іиихЪ; то есть АВС: аЪс ~ АС х АВ: ас х аЬ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Плоскости треугольниковъ содержат-
ся собою , какъ произведенія , произшед
и. ія изъ умноженія половинныхъ основа
ліл на высоты ихЪ (. 338- Геом.), или
какъ произведенія, произшедшія изъ умно
Ж.енія основаній на высоты; ибо какое со
держаніе имѣютъ между собою половин


173
іЯ части, такое будутъ имѣть и цѣлыя,
о есть, АВС: аЬс — АВ х СВ : аЪ х сЛ : по
ичинѣжЬ подобія треугольниковъ АВС и
Е, будетъ.
АС: СВ = ас: с<3
ІіСх АВ: СВ х АВ —асхаЬ: сбхаЬ ($. 141. Ариѳ )
[^СхАВ: асхаЬ — СБхАВ: сбхаЬ (§. 139. Ариѳ.)
10 как Ь АВ х СВ: аЬ х ссі — АВС: аЬс (§. 3I. Ариѳ)
то бу депіЪ АС х АВ : ас х аЬ = АВС: аЬс (§. 3 г.
Ариѳ.). Ч. н. д.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
і82* Слѣдовательно и параллелограм-
мы, какЪ вЪ разсужденіи шреугольниковЬ,
имѣющихъ сЪ ними одинакое основаніе и
одинакую высоту, суть вдвое, ежели бу-
дутъ имѣть по одному равному углу,
содержатся между собою, какъ произве-
денія , произшедшія изЪ умноженія боковъ,
равные углы замыкающихъ.
ЗАДАЧА ЬХѴП.
§. 18 3  Сдѣлать такой треугольникъ Ф- 26.
АМЫ, которой бы кЪ данному треуголь-
нику АВС содержался , какъ і : 3 ; то есть,
°піЪ даннаго треугольника АВС отрѣзать
брешью его часть.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что АС — А, АВ — В
й отъ АС отрѣзываемая извѣстная часть
= а; то сыскать надобно будетъ х,
или

174
или АМ такъ чшобЪ было АМЫ: д^
Но какъ і: з — ЛМі\т: АВС (§. } і. и 140 Ари
также 3: і = АВС: АММ (§.138. Ариѳ
то будетъ 3:1= АхВ : а х х
или зах = АхВ (§. 136. Ариѳ)
АхВ
х =----------
3а
ИЛИ За: А = В :
То есть, х есть четвертая пропсг.
щональная линея кЪ тремъ даннымъ 3а, А.Е
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
184. Естьли КМ параллельна сЪ СВ;
то будетъ
х
а : ь — а: х
А: А = а: а ($. 141, Ариѳ.)
А2:АВ = а2:ах
А2: а2 = АВ : ах (§. 139. Ариѳ.)
Но какъ треугольники АВС и АМХ
содержатся между собою, какъ АВ : ах;
то они будутъ содержаться между собо»
также, какъ А2: а2 (§. 31. Ариѳ.), то
есть , подобные треугольники содержаній
между собою , какъ квадраты сходствек
ныхЪ ихЪ боковЪ.
ПРИБАВЛЕНІЕ а.
18 у. Ежели отЪ извѣстной плоско
сти треугольника АВС пожелаешь опір'Б

х >
То
гПЬ какую нибудь треугольную часть ,
?апр« третью часть изЪ всей плоскости
^РезЬ параллельную МХ, чтобъ имѣть а,
то положивъ.
3: і =АВС:АМКТ (§. Т7Г)
3:і=В3:х2 (§.32. Ариѳ.)
зх2 = В2 (§. 136. Ариѳ )
._В’
X = —
3 ч
Х = В2
есть, х есть средняя пропорці-
овальная линея между В и В
1	3
ЗАДАЧА ЪХѴШ.
186. Найти бокЪ правильнаго пяти-
угольника АВСВЕ; когда будетъ дана вЪф<27І
ономЪ діагональная линея АО.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что АЕ АО = а; то,
поелику мѣра угла АЕГ есть дуга АВ (§.
279. Геом.), и мѣра угла ЕГО есть поло-
винная дуга АЕ сЪ половинною дугою ЕО
(§.263. Геом.), или дуга АВ; будетъ у-
голЪ АЕГ = углу АЕГ , и потому АЕ = АЕ
(§. 67.) — х ; слѣдовательно ІО — а — х.
Также мѣра угла АЕО есть дуга АВ | 4 В
§• 279 ), и угла Г мѣрою дуга АВ | т ВС
263. Геом.), притомъ уголъ АОЕ обо-
Й*МѢ треугольникамъ ^ХБЕ и ЕГО есть об-
щей;

І7б

щей; шого ради, для подобія сихъ щр«
угольниковъ, будетъ имБгпь здЪсь мЬсв
слѣдующая пропорція:
АО .- ЕВ = ЕП : ГВ ( §. 21 о. Геом.)
а : х = х:а — х (§. 31. Ариѳ.)
а2 — ах — х2
а2 = х2 | ах
То есть, х есть большая часть линеи
а, вЪ среднемъ и крайнемъ содержаніи раз.
дѣленной (§. 149 и іуо.).
ЗАДАЧА ЕХІХ.
§. 187. Найти кругъ равной поверьхно.
сти цилиндра.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что поперешникЪ цилиндра
= <1, окружность его — р, высота онаго
= а; то будетъ поверьхность цилиндра
= ар (§. 514. Геом.). Положивъ также,
что поперешникЪ круга — х; то будешь
рх	I
й:р = -ѵ окружность круга (§. 276. Геом.),
и	2
плоскость же его = — (§.364. Геом.).ИпіакЬ
рх2 —
-ар
рх2 = 4<Іар
х2 = 4аа
X = Ѵ' гай — 1 Ѵай
ТО

41
ли-
ци-
’ро есть, поверьхность цилиндра рав-
няется такому кругу , коего полупопере-
дціикЪ есть средняя пропорціональная
яея между поперешникомЪ и высотою
диадра •
ЗАДАЧА ЬХХ.
§. і§8- Найти цилиндръ, коего бы
верьхносіпь равна была данному кругу.
РѢШЕНІЕ.
по-
Положивъ , что полупоперешникЪ кру-
га — г, окружность онаго — р, высота
цилиндра == х, полупоперешникЪ основа-
нія = у то будетъ окружность его г: р
РУ
= у:— (§.276)5 поверьхность же онаго
Судетъ
РУХ	„
і— = 4рг (§. У14. Геом.)
рух = 4рг4
ух = 4г4
г2
X = “—*
2У
ИзЪ чего явствуетъ, что сія задача
еспіь неопре дБ ленная такЪ3 что полупо-
йерешникЪ, или, что все равно , высота
110 изволенію взята быть можетъ.
Л	- ЗАДА-

>78
ЗАДАЧА. ЕХХІ.
§. і§9* Найти поперешникЪ пилинЖ]
когда будутъ даны поперешникЪ шара
высота цилиндра, равнаго шару.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что поперешникЪ іпара
= <], окружность = Р, высота цилин-
дра = а, поперешникЪ его = х; то бу.
детЪ толщина шара і р«Г (§. у 38- Геом.),
окружность цилиндра = рх , толщина
сі
онаго арх2 (§. 714. Геом.). И такъ
4а
» ,2 _ аРх2
г?а -7г
грсі’ — арх2
= __ ,
--- = X
да
^2СІ’
х == V ----
3а
По еликѵ изъ сравненія — можно
*	1	в ОД	1
вывести слѣдующую пропорцію: 3 3а: 2й
= а2: х2: то квадратъ поперешника ша}'а
кЪ квадрату поперешника цилиндра, рав-
наго шару , содержится такЬ ? какъ втрое
рзяптая высота цилиндра къ ноперешяикУ
шара, вдвое взятому.

і79
ВС = I й ,ф.-а8,
ій2
— і слЪ-
За ’
То есть, сдВлай АВ = а
др == й; то будетъ ВЕ — ВЕ =
_ ~2Й’
д0валіельно ВС =
ЗАДАЧА ЬХХП.
§. 190. Найти высоту и поперешникЪ
цилиндра; когда убудутъ даны содержаніе
высоты цилиндра кЪ его поперешнику, и
поперешникЪ такого круга, которой ра-
венъ плоскости цилиндра.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ данное содержаніе т і п , по-
перешникЪ круга = б, окружность = р,
высота цилиндра — х;
решникЪ его =
пх прх
р —- = -6-5 и
т /по
трх2
то будешь попе-
пх
—, окружность же — й:
потому
тй '
X1
I рЬ
тй2
4п
Дпіі*
X = г------
4п
То есть, сдѣлавъ АВ = а, возставь на ф. зг
оной перпендикулЬ ВС = сдѣлай так-
Л 2	же

і8о
же АС = і ё, и вЪ С возставь парпенди
тсі
ку лЪ СЕ = —; на конецъ сдѣлай СГ^п^
и на АЕ начерти полкруга; то будешь
тсі2	, тсі	іГ.л»
ОС = У—— • Ибо п: т = ? с!: —, или У —I
4П	2П	4п *
ЗАДАЧА ЬХХІІІ.
§. 191. Найти поперешникЪ шара, рав.
наго конусу; когда будутъ даны поперещ.
ник'Ъ и высота того конуса.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что поперешникЪ основанія
конуса ~ (1, окружность = р , высота его
= а , поперешникЪ же шара = х; то будепіі
толщина конуса = авр ; на противъ того
рх
толщина шара = —; слѣдовательно
г . РХ
- ара = -
4 асГ = х3
у Іасі2 = х
ЗАДАЧА ЬХХІѴ.
192. Нгйти бокЪ тетраэдра АС , опи-
сываемаго вЪ шарѣ; когда будетъ данБ
поперешникЪ АВ іпого шара.
29‘	РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что поперешникЪ шара АВ
а, бокЪ тетраэдра АС — х; то бу-
детъ СС полупоперешникЪ круга , вЪ ко-
то-

К^рОмЪ одинъ изЪ треугольниковъ того
Ьешраэдра начерченъ быть можетъ = Ѵ'І
(§.212. Геом.)положивъ также, что
дС = У 5 то будетъ СВ — а — у • слѣдо-
«.-іпіельно
дССІЪхСВ:СВ §.267.ГДАіЭ2^АС: |СБ(§,372.Г.)
‘;У4х2 =Ѵ| х2 : а — у х2 = у2 | I х2
’	•?	2	2	12	-	2
ау — У = з х ? х “У
ау — { хг = | х’ у = КІ х’
ау = ха
іѴі х2 = -X2 ,
| а2 х2 = х4
| а2 = х2 '
ГІ а2 = х
илих2: а2 = 2:3.
То есть, квадратъ бока тетраэдра кЪ
квадрату поперешника тара, вЪ кото-
ромЪ онЪ описанъ быть можетъ, содер-
жится , какъ 2 : 3.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
193. Слѣдовательно бокЪ тетраэдра
къ поперешнику шара, вЪ которомЪ онЪ
описанъ быть можетъ, содержится, какъ
^2:^3, и потому есть несоизмѣримой.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
§. 194. Поелику у = |х2 = ?ау; то
Еспгь , тетраэдръ опишется вЪ тарѣ, есть-ф,за*
поперешникЪ АВ раздѣлится на три
равныя части и сдѣлается АС = | АВ.
А з	ЗАДА- :

Х82
'М.'ХА.'гѵД.
ЗАДАЧА ЬХХѴ.
§• 19 Г- Наигпи бокЪ эксаэдра, или ку^
ЕС, описываемаго вЪ шарѣ; когда будещ
данЪ поперешникЪ шара.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, чгпо поперешникЪ шара, ра,
вной діагональной линеЪ ЕН = а, бокъ
куба ГС ~ х; то будетъ ЕІ2 = ех2 , Грр
= 3х* (§• 37*. Геом.); слѣдовательно
дх2 “ а2
X = а2	!
То есть, квадратъ бока эксаэдра къ
квадрату поперешника шара содержится,
какъ 1:3.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
196. Слѣдовательно бокЪ эксаэдра к5
поперешнику шара, въ которомъ онЪ спи-
санъ быть можетъ , содержится, какъ Ѵг<
К з , и потому есть несоизмѣримой.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
Ф-ЗО. § Т97« Естьли на поперешникЪ шаря
сдЪлаешь АС — * а и СВ == р а; то бу-
детъ до = V га2; и потому ОВ =
или бокъ эксаэдра.
ЗАМ*

ЗАДАЧА ЬХХѴІ.
§. 198. Найти бокЪ октаэдра, описы-
ваемаго вБ шарѣ 5 когда будешь данѣ по-
яерешникЪ шара.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что Ш х , поперешникЪ Ф.52.
піара КЬ—Ь то, по елику МЬ есть хор-
да четверти круга, будешь
зЬ2,или*Ьг = хг(§. 372. Геом.)
х = Кз Ъ2
То есть , квадратѣ бока октаэдра кЪ
квадрату поперетчика шара содержится,
какъ і: Ѵ2, и потому есть несоизмѣри-
мой.	,
ПРИБАВЛЕНЕ.
199. И такъ, есппли изЪ центраф.3э.
піара Е возставишь перпендикулярную ли-
лею ЕЕ, положивъ поперешникЪ шара = Ь;
будетъ ЕА — Ѵл Ъ2 бокЪ описываемаго
вЪ шарѣ октаэдра. БокЪ же додекаэдра
есть большая часть ВС бока эксаэдра ПВ,
вЬ томже шарѣ написаннаго, вЪ сред-
немъ и крайнемъ содержаніи раздѣленнаго
вЪ точкѣ С.
ПРИМѢЧАНІЕ!.
зоо. Естьлл поперешникЪ шара бу-
детъ юоооо; то будетъ бокЪ тетраэдра,
въ пемЬ написаннаго , 8і649 , октаэдра
70710 , эксаэдра 77736 , икосаэдра $2773 ,
Д 4	до

х$4

ло декаэдра 35682. См. Геригон. Маніей
.Том. I. сшр. 779.
ПРИМѢЧАНІЕ 2.
2оі. Когда изЪ поперешника шара
около правильныхъ піѢлЪ описаннаго, мож-
но находить бока тѢхЪ піѢлЪ; то не тру.
дно и дальнѣйшее изысканіе дѣлать вЪ раз.
сужденіи оныхЪ: то есть, можно также
поверьхности и толстоты ихЪ, какъ ме-
жду собою , такъ сЪ квадратомъ и кубомі
поперешника шара сравнивать.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
о
Употребленіи Алгебраическихъ срапненій при рі,
теніи Тригонометрическихъ за^ачЪ.
і	|
ЗАДАЧА ЬХХѴІІ.
§. 202. Найти высоту ЪМ треугольни-
17<ка НЫ , когда будутъ даны углы, при
основаніи онаго находящіеся Н и I, ипри-
томъ основаніе НІ.
РѢШЕНІЕ ПЕРВОЕ.
Положивъ , что НІ = а, ЕМ = х, си-
нуСЪ угла МІЬ — 8, косинусъ его = с,
синусъ угла ЬНМ = р, косинусъ его =
4 5 то ( §. 69. и 70 Тригон.), будетъ $:

’85
с: МІ, И р : х — д: НМ , или, МІ =
|.х , МН = дх (§. 175. Ариѳ.). и тй.кЪ (32.
р	₽
дриѳ.)
сх і дх*
8 р = а
рсх і 8ЦХ — азр
азр
рФч
Поелику из'Ь сравненія рсх | здх = азр
можно вывести слѣдующую пропорцію:
рс|зд: зр = а:	; то изЪ сего явствуетъ»
что вЬ треугольникѣ НІЬ основаніе НІ кЪ
высотЬ МЬ содержится та»Ъ , какъ сумма
прямоугольныхъ четвероугольниковъ, про-
изшедшихЪ изЪ умноженія синуса одного
угла , при основаніи находящагося , на ко-
синусъ другаго, кЪ прямоугольному чет-
вероугольнику , произшедшему изЪ умно-
женія синусовъ угловъ, при основаніи на-
ходящихся.
РЕШЕНІЕ ВТОРОЕ.
Принявъ МЬ за цЪлой сикусЪ, будутъ
НМ и МІ тангенсы угловъ НЬМ и МЫ, или
котангенсы данныхъ Н и I. И такъ, поло-
живъ синус'Ь цЪлой = ч, котангенсы ~
П1 и и , ЬМ = х, НІ — а , будетъ г: т
= X : НМ , И С .' П = X : МІ (§.81. Тригон. ) ;
Л у	слЪд-

слѣдовательно НМ = тх, МІ пх, и п0
с	г
тому	!
( т х I пх )
а =?• --------- „
г ($. 32. Ариѳ.)
аг = тх і пх
аг
тіп Х	1
То есть, основаніе треугольника со-
держится кЪ высотѣ его такъ, какъ сум-
ма котангенсовъ угловъ 3 при основаніи на-
ходящихся , кЪ цѣлому синусу.
ЗАДАЧА ЬХХѴПІ.
§ 20 3- Найти бока НЬ и ІД треуголъ-
Ф,17.ника НЫ; когда будутъ даны углы, при
основаніи находящіеся Н и I, и притомъ
сумма боковъ НЬ | Ы.
РЕШЕ НІЕ
Положивъ , что НЬ = ІД = а, синусЪ
угла Н = т э синусЪ угла I — п, НЬ
х; то будетъ 1Ь = а — х. Итакъ ( §
Тригон.)
х : п — а — х : щ
т х = па — пх
тх | пх = па
па
Х = —г
— - трі
а---х = { та | па — па): ( т |п) = та: (тіп1,
ТО

То есть, сумма боковъ НЬ і Ы къ
сдцому боку НЬ содержится такъ , какъ
сумма синусовъ угловъ, при основаніи на-
ходящихся Н и I, кЪ синусу угла I, ко-
корой противополагается боку Н Ь.
ЗАДАЧА Г*КХІХ.
204.	Найти отрБзокЪ МІ отЪ осно-Ф*1
ванія НІ вЪ треугольникѣ НЫ ; когда бу-
дутъ даны углы, при основаніи онаго на-
ходящіеся Н и I , и притомъ другой от-
рѣзокъ нм.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ , что НМ /= а , МІ = х ,
синусЪ угла Н — т , косинусъ его — п ,
синусЪ угла I = р , косинусъ его = д. ;
іпо будетъ п : а = т : МЬ , или МЬ = ат ,
п
и 9: х = р; МЬ, или МЬ —- рх (§. 69. и
Ч
70. Тригон.). И такъ
рх	ат
•— =----- (§ 32. Ариѳ,)
Ч	п
рхп ~ атц
х = атд
рп
И рп: тд — а : х
То есть, изъ верьху даннаго тре-
угольника Ь на основаніе НІ опусти пер-
'	пен-

18 8
пендикулЪ ЬМ; то одинъ отрѣзокъ
кЪ другому отрѣзку МІ будетъ содер.
жаться такъ , какъ прямоугольной четве
роугольникЪ, произшедшей изЪ умноженія
синуса угла , при отрБзкБ МІ находящаго,
ся, на косинусъ угла, при отрЪзкЬ нод
находящагося , содержится кЪ прямоуголъ
ному четвероугольнику , произшедшему
изЪ умноженія синуса угла Н на косину^
угла I.
ЗАДАЧА ЬХХХ.
§. 20у. Найти бока АВ и ВС прямо*
ф’ 5‘ угольнаго треугольника АВС 5 когда будутъ
даны плоскость онаго и притомъ уголъ С.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что плоскость даннаго
треугольника = Ъ2, ВС “ х , синусЪ цБлой
= Г; то будетъ ВА — іЬ2 ($. 339. Геом.).
И такъ.	«
2Ъг
х: — =г: с
X
X2: 2ъгг
с
х — ИгЪ?г
с
То есть, плоскость прямоугольнаго
треугольника к'Ь квадрату одного бока ВС
содержится такъ, какъ половинной тан-
генсѣ


189
‘уеНсЪ угла,
МУ синусу.
при С находящагося, кЪ цѣло-
Или,
-	Ф.32.
между боками даннаго угла
дОМ возставь перп^ндикул'Ь ГЕ, точку Е
рзявЪ по изволенію , будетъ ВЕ = г и ГЕ
г (§. $6. Тригон.) ; сдѣлай ЕС — ЕЕ, ВН
= Ь, и сЪ ЕС означь параллельную линею
НІ; то будетъ ВІ = Ъг: г (§. ггг. Геом.).
Сдѣлай МІ 2Ь, и между МІ и ВІ найди
среднюю пропорціональную линею ІК, ко-
торая будетъ одинъ бок'Ь. По томъ раздѣ-
ливъ МІ на двѣ разныя части вЪ точкѣ
Е, сдѣлай І\Т = Ы и проведи линею МО
параллельную сЪ МК; то будетъ ІО — аЬ2:
х (§. 2 2 2. Геом.) другой бокѣ ; слѣдова-
тельно КОІ есть искомой треугольникъ.
Или, вЪ углѣ по изволенію взятомъ
ЕВА сдѣлавъ бокъ ВЕ — гЬ, возставь пер-
пендикулЪ АЕ; то будетЬ АВ = г, АЕ
= і (§. у6. Тригон.) ; продолживъ ЕА до
С, означь линею ВС$ то будетъ АС ?=
‘7'5 сдѣлай АН = АС и раздѣли АВ на
Двѣ равный части вЪ точкѣ I такъ, чтобЬ
было АІ = Ь. На линеѢ НІ начерти пол-
круга; то будетъ АЕ =	. Наконецъ
сДѣдай АВ = АЬ, и изЪ В проведи линею
4	ВС,

Ф 14-
«90

ВС, параллельную сЪ ВЕ; то будетъ Д^р
искомой треугольникъ.
ЗАДАЧА ЪХХХІ.
§ 2 о6. Найти высоту АВ треугод*.
ника АВС; когда будутъ даны основаніе
его ВС и углы , при томЪ основаніи нахо.
дящіеся В и С.
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что ВС — а , АВ = х •
и поелику углы при П находящіеся суть
прямые; то будутъ углы ВДВ и ВАС из-
вѣстны (§. 198- Геом.). Также положивъ,
что синус'Ъ угла АВВ = с, синусЪ угла
ВАВ = г , синусЪ угла ВАС = с}, синусЪ
угла АСВ = р • то будетъ.
г: г = х: ВВ с	_
р: ч = х: СО г	6?- 7° и 71. Тригои.);
ГХ Г
слБдователыю ВВ = _ і
с 1 (§. 222. Геом.)
ВС — 511
Р і
Но какъ ВВ|ВС — ВС (§. 34- Ариѳ) 5 то
будетъ
гх ох
_ | а
с 1 Р
ргх і гдх ~ арг
х =
I ДрУ'

>9і
другимъ ОБРАЗОМЪ.
Принявъ АО за цѣлой синусЪ, будетъ
рр тангенсъ угла ВАО, ОС тангенсъ угла
рАС (§• 56. Тригон.). И такъ положивъ,
,;іпо цѣлой синусЪ г, тангенсы т да п,
будешь.
П = х: ЕС р- 5б- ТРИГ0Н-):
слѣдовательно ВО = ~
=!(<$. 222. Геом.)
ВС — пх |
— ।
г I
Но какъ ВОіОС= ВС ( §. 34. Ариѳ.);
шо будетъ
а — ( п х I т х )
с
йс = пх | тх
ас
—— ~х
п | т
То есть, кЪ суммѣ тангенсовъ угловъ
ВАО и О АС, кЪ цѣлому синусу и кЪ осно-
ванію ВС сыскавъ четвертое пропорціональ-
ное число , получишь искомую высоту АО
Даннаго треугольника.
ЗАДАЧА 1ХХХП.
§. 207. Найти хорду СВ дуги, сложен-
ной изЪ дугижЪ АВ и половиннаго ея до-
Ф 33*
ПОЛ-

і9а
волненія кЪ полкругу; когда будутъ дан1{
хорда дуги АВ меньшей, нежели четверо
круга , и притомъ полупоперешникЪ круГа
СЕ.
РѢШЕНІЕ.
Данную хорду АВ означивъ параллельно
сЪ поперешникомЪ круга СВ, сдѣлай Вр
= АВ и проведи прямыя линеи ЕВ, АО н
ВГ; то, по елику х ~ о (278- Геом.),
и для параллельныхъ линей АВ и ВР
(194. Геом.), х — у ($. і89- Геом.),
будетъ о — у (§. 32. Ариѳ-). Но какъ СЕ
— ЕВ (§. -9. Геом.) 5 то будетъ и = о
( §. 186. Геом.) и и = у ( §. 32. Ариѳ.).
'Слѣдовательно СЕ: СВ = СВ: СЕ ( §. 210
Геом.;. И такЪ, положивъ, что АВ —- а,
СЕ = г, СВ = х, будетъ СЕ — а | 2г;
слѣдовательно.
а | 2 г х = х : г
а г | 2 г2 = х2
V ( аг | і г2 ) = х
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
§. 2 08- Когда уголъ СВО есть прямой
(§. гбэ. Геом ); то будешь ВО2 — 4 г2
— аг — 2 г2 = 2 г2 -— аг ( §. 372-Геом.);
слѣдовяшгльно ВО хорда половиннаго до-
полненія кЪ полкругу дуги АС = Ѵ( г г2
— ,»і ).	I
ПРИ'

'г'-'»
193
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
$. 209* И птэ.кЪ квадратб хорды ОВ,
проведенной подъ меньшею дугою, нежели
четверть круга , равняется прямоугольно-
му четвероугольнику , происшедшему изъ
умноженія полупоперешника СЕ на "раз-
роешь , какая находится между хордою
АВ, сЪ понереш-никомЬ чрезЪ точку - В
проведенною параллельно, и между по-
перешникомЬ СИ.
ПРИБАВЛЕНІЕ 3.
2іо. ИзЪ чего явствуетъ , что ква-
др?шы хордЪ СВ и ВО содержатся между
собою, какъ 2г2 | аг: гг2 — аг ( іЗ?.и і88.),
то есть, какъ 2г | а: 2г — а ( §. 146. Ариѳ.);
то есть, квадраты хор/і Б СВ и ВО содер-
жатся между собою, какъ сумма изъ по-
перешника СО и хорды АЗ кЪ разности,
какая находится между сею хордою и по-
перечникомъ.
ЗАДАЧА ЬХХХіІІ.
§. 2іі. Найти діагональную линею АВ,
Проведенную вЪ четвероугольникъ АВСЕ,
Написанномъ вЪ кругЪ 5 когда будутъ да-ф*3-
Ны бока онаго четвероугольника АЕ , ЕВ,
и АС, и притомъ другая діагональная
ПИнея ЕС.
гі	РЕПІЕ-


РѢШЕНІЕ.
Положивъ, чпю АЕ = а, ЕВ = Ъ}
= с, АС — <3, ЕС = Г, АВ — у, про.
веди линею ЕЕ такъ, чтобъ было о = х
( §. г 68- Геом.}. ПоеликужЪ сверьхЪ піог
I АСЕ = і АВЕ ( §. 258. Геом.); то бу.
детъ ЕС: АС — ЕВ : ВЕ э то есть , г,- \
== Ь: ВЕ (§. 2іо. Геом.). И такъ ВЕ ==
—; поелику также к ЕАВ = Д ЕСВ (§.
Геом.), к АЕЕ = к СЕВ (§. 3 5. Ариѳ.);
то будетъ ЕС: СВ — ЕА : АЕ, то есть,
Г; сс а: АЕ ( §. 210. Геом.). И такъ АЕ
== і слѣдовательно
ьа । ас — у	Ариѳ.).
Ы I ас
“г— = У
Ьа | ае — Гу
То есть, вЪ четвероугольникѣ, капп-
санномв вЪ кругѣ АЕВС, прямоугольной
четвероугольникъ происходящей діагональ*
пой линеи ЕС на другую діагональную АВ
равняется прямоугольнымъ четгероуголь-
ь икамЪ, происходящимъ изъ умноженія
противоположенныхъ боковЪ ЕВ на АС, й
АЕ на ВС.
ГЛАВА

ГЛАВА ОДИННАТЦАТАЯ
о
Спсистпо крипыхЪ линіи»
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ХХѴПЬ
§ ±12. ПопереішіихЪ ( 01 апіесег ) кривой
Ьцнеи есть линея АВ, раздѣляющія въ
пючкЪ Р прямыя линеи ММ, между собою ^‘Зі*
параллельныя, на двѣ равныя части. И вЪ
особливости осью ( ахіз) называется , есть-
ли она прямыя лйиеи, параллельныя меж-
ду собою э при прямыхъ углахЪ пересѣка-
етъ на двѣ равныя части.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXIX.
§. 213- ВеръхЪ (ѵепех) кривой линей
есть точка А, изЪ которой проводится
поперешникЪ*
ОПРЕДѢЛЕНІЙ XXX.
214. Ординаты ( огаіаагае ) сугйь ЛИНей
параллельныя ММ , кой поперетчикомъ пе-
ресѣкаются на двѣ разныя части; половин-
ныя оныхЪ части РМ, называются семіор*
%чнапш (Зетіогаіпасае ).
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXI.
§. 2іу. Аосцчсса (аЪСсіЯа) есть часть попе-
Рещника АР или другой линеи, кЬ которой срй-
Ваяо относится, между верьхомЪ иди двуГоід
*аксю неподвижною точкою и семіординат ио
‘	М 2	Ш

І$б •
РМ умѣщающаяся; нѣкоторые называютъ
абсциссу стрѣлою (Га^іпат).
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXII.	I
§. а 16. ПоперешникЪ пкосъ прспеден.
Ф 36. (йіатегег сгапГиегГа) АВ есть такая линея(
которая, сЪ обѣихъ сторонъ между крц>
выми линеями продолженная , пересѣкаешь
на двѣ равныя части прямыя линеи ММ
между шѢмижЪ кривыми линеями парад.
лельныя.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXIII.
§. 217. ПоперешникЪ сопряженной (ёіа-
Ф,^1. тесег сопіи§аса) есть прямая линея ОЕ, ко=
іпорая пересѣкаетъ на двѣ равныя части
линеи, сЪ другимъ поперешником'Ъ на пр.
АВ проведенныя параллельно. Или, сопря-
женной поперешникЪ ВЕ есть линея па-
раллельная сЪ семіординатами, или орди-
натами МР другаго поперешника АВ.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXIV.
§. 2і 8. Параметръ (рагатесег) , или пря-
мой ъокЪ (Іашз гесгит) есть такая линея,
’38’которая, будучи умножена на абсциссу, ра*
вняется квадрату семіординаты.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXV.
§. 219. Линеи изЪ кривыхъ перемѣня-
емыя (ѵагіаЪікз , тпЕаЫІсз , Іпсопйапгез) сугпЬ»
кои при возрастѣніи, или умаленіи дрУ'

линей, сами возрастаютъ } или ума-
дЯются. На пр, Семіординаты РМ и абсцис-
су АР. Ибо онѣ, при возрастаніи, иди
умаленіи круга, сами возрастаютъ , или
умаляются. На противъ того линеи изЪ
Кривыхъ неперемѣняемыя (іттигаЬіІез, сопйап-
ІС5, іпѵагіаЬіІея) суть тѣ , кои, при возра-
станіи , или умаленіи другихъ, сами не
возрастаютъ и не умаляются. На пр. по-
дупоперешникЪ куга АС есть линея непе-
ремѣняемая ; ибо при возрастаніи, или
умаленіи абсциссъ и семіординатЪ АР и РМ,
самЪ онЪ не перемѣняется. Равнымъ об-
разомъ параметръ вЪ трехъ коническихъ
сѣченіяхъ и поперешникЪ вЪ Эллипсисѣ и
параболѣ почитаются неперемѣняемыми
линеями.
ПОЛОЖЕНІЕ IX.
120. Линеи неперемѣняемыя первы-
ми азбучными буквами, на лр. а, Ь , с , и
проч. а перемѣняемыя послѣдними, на
пр, х, у, г означаются. И вЪ особливо-
сти абсцисса буквою х, а семіордината
буквою у означается.
ПРИМѢЧАНІЕ.
§ 2 2Т. Между кривыми линеями осо-
бливо извѣстны тѣ, которыя изЪ иску-
снаго разрѣзыванія конуса происходятъ ,
Почему и называются сѣченіями конически*
і	М 3	ми

«9?

(5есІіопс5 сопісае). ОныхЪ считаете*
три : Парабола, Эллипсисъ и Ипербола.
О ПРЕ ДѢЛЕНІ XXXVI.
§ 222. Паравояа (рагаЬоІа) есть така*
39’кривая линея, вЪ которой квадратъ семі.
ординаты равняется прямоугольному чепъ
вероуголънику, произщедшему изЪ умно-
жекія абсциссы на прямую неперемЪняемую
линею, называемую параметромъ. То есть,
вЪ парабодБ ах — у2.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
223. СлЪдовательно вЪ парабодЬ
Ф = у2: х, то есть, параметръ есть шреіпьд
пропорціональная линея ко всякой абсцссЁ
ц кЪ принадлежащей до нея семіординатБ.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
§. 224. СверьхЪ сего у = Ѵах, тло
есть , вЪ параболЪ семіордината есть
* средняя пропорціональная линея между
параметромъ и принадлежащею до нея аб-
сциссою,
ПРИБАВЛЕНІЕ 3.
§. 22у. На ппслЪдокЪ х = у2 : а, иго
есть, вЪ парабол'Б абсцисса есть третья
Пропорціональная линея кЪ параметру й
семіординатЬ.
ЗАДАЧА. ЪХХХІѴ.
226. Начертить параболу.
РІ.ІД&


РѢШЕНІЕ.
і.	На прямой линеБ ЬР означь пара-ф
ЬеПтрЪ АЬ описываемой параболы.
2.	ВЪ А возставивъ неопредѣленной
Едины перпендикулЪ Ага , и по изволенію
113 динеЪ ЬР выбравЪ насколько центровъ,
Еячерти полукружія ЬМР, Ьтр, и проч.
Ьо будетъ АР, Ар и проч. абсциссы, АМ,
Ідт и проч. семіординаты параболы.
3.	ТакимЪ образомъ, естьли на ось
ыР перенесешь найденныя абсциссы, и на
оныхЪ под'Ь прямыми углами означишь
[ординаты, изъ верьху А чрезЪ крайнія
|точки сихЪ означенныхъ ординатъ про-
ходящая кривая линея будетъ желаемая
парабола.
другимъ ОБРАЗОМЪ.
і.	Данной параболы параметръ АВф*53.
продолживъ до С} вЪ точкѣ В, внизъ ли-
неи ЛС, возставь перпендикулярную линею
ВМ.
2.	ИзЪ центровъ, по изволенію взя-
тыхъ , растворивъ ножку циркула до А,
Начерти дуги, прямую линею ВѴ вЪ I. П.
ІИ. IV. V. и проч. прямуюжЪ ВС вЪ і. 2. з.
4- у. и проч. пересѣкающія ; то будетъ Вц
з В3 , В4 , Ву , и проч. абсциссы, а ВІ.
вш. віѵ. ВѴ. и проч. семіординаты ($.
8б7’ Геом.).
М 4
3-

201
200
полукружіе чрезЪ точку М ? Есть-
•содишЪ; то почитать, что та то-
находится вЪ параболѣ ($• 267. Геом.)
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXVII.
§. 228. Зажигательная і
такая на оси находящаяся точка Г.
Лз'Ь которой проведенная семіордината Еы *
равняется семипараметру. Или, есть та-
кая точка, гдѣ параметръ составляетъ
ординату.1
ЗАДАЧА ІА XXV.
§. 229. Найти разстояніе зажигатель-
ной точки Е отЪ верьху А, то есть,
, найти АГ.
РѢШЕНІЕ
Положивъ, что АЕ — х, параметръ = а -,
то будетъ Еы = I а ( §• 208.); слѣдо-
вательно
« ат — ах ( §. 202. )
| а = х
То есть , вЪ параболѣ разстояніе АЕ
зажигательной точки Г отЪ верьху А есть
I четвертая чьсть параметра.
ПРИМѢЧАНІЕ і.
§. 230. Показанная здѣсь парабола обы-
кновенно называется Адоллоніевою, для
1 того что изъ древнихъ онЪ одинъ писалъ
О ней основательнѣе.
	.	Му	ПРИ-
3.	Потомъ частицы Ві. Вг. Вз и проч чеЯное 1
. на прямой лииеѣ ВС назначенныя, перенесу дИ проходитъ
на линею ВЫ, и вЪ точкахъ і. і. 3. и проч чКа і:""'"”™''*
возставь перпендикуды II. — ВІ, 2ІІ =	о	, госи5 \
II. 3Ш — ВПІ и проч. ТакимЪ образомъ кру. л. 228. Зажигательная точка I
пая линея чрезъ точки I. П. ІИ. ипроч.пр> ть такая на оси «“^Хмйната 1ХМ*'
ходящая будстЬ желаемая парабола. 1	-----«ччо
ТРЕТЬИМЪ ОБРАЗОМЪ.
/ Принявъ линею Ах за ось параболы , а
точку А за верьхЪ оной, и соединивъ па-
раметръ АВ сЪ линеею Ах, проведи пря-
’мую линею СО такъ, чтобъ она Вх нере-
сѣкала подъ прямыми углами; потомъ на-
черти по изволенію насколько круговъ,
проходящихъ чрезЪ точку В и пересѣкаю-
щихъ ось вЪ Р. Р. Р. и проч. ТакимЪ обра-
зомъ АР. АР. АР. и проч. будутъ абсциссы,
а РІ — АІ , Р1І — Аг , РІІІ = Аз и проч.
семіординаты параболы (§. 267. Геом.).
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 227. Изъ сего явствуетъ , что вся»
кую точку параболы можно опредѣлить
геометрическимъ образомъ. На пр. есть-
ли пожелаешь знать , находится ли точ-
ка М вЪ параболѣ, или нѣтъ ? То для се-
Ф«39-го изЪ точки М на линею ВК опусти пер-
пендикулЪ РМ и сдѣлай РЫ равную пара'
метру АВ; притомъ на линеѢ ВЫ описавЬ
полкруга, смотри, проходитъ ли начер*
чеН-

302
ПРИМѢЧАНІЕ. 2
§. 231. ВЪ параболѣ квадраты ординатъ
содержатся между собою, какъ абсциссы.
а параметръ кЪ суммѣ двухъ полови^’
ныхЪ ординатъ содержится, г
ноешь ихЪ кЪ разности абсциссъ.
ПРИМѢЧАНІЕ, з
232. Прямая линея ГМ проведен*.
ная изЪ зажигательной точки Г параболы
кЪ концу ординаты равна суммѣ, со
яіцей изЪ абсциссы и изЪ разстоянія
жигашельной точки отъ верьху.
ПРИМѢЧАНІЕ. 4
233. Простѣйшій способъ для
черченія параболы есть слѣдующій:
^’43' і. вЪ какомъ нибудь треугольникѣ ,
на пр. ВСЭ раздѣливъ основаніе ВІ) вЪ
точкѣ Е на двѣ равныя части, возставь
перпендикулярную линею СЕ, и чрезъ точ-
ку О проведи сЪ нею параллельную не
опредѣленной длины.
2. Раздѣливъ половину основанія ЕП
на нѣсколько равныхъ частей, возставь
изЪ точекъ раздѣленія столькожЪ перпен-
дикуловЪ.
3. БокЪ ВС треугольника продолжи
до тѢхЪ поръ, пока онЪ не пересѣченій
динеи, чрезЪ точку О проведенной.
> СОСГПО.
і за*
на-
4. ПотпомЪ линею , изЪ точки О про-
репную и опредѣленную чрезЪ бокЪ ВС
Т^дѢливЪ на столькожЪ равныхъ частей,
’,д сколько раздѣлена половина основанія,
какъ ра^ пгочки В кЪ онымЬ раздѣленіямъ про-
йдя прямыя линеи , которыя , пересѣкая
перпендикулярныя, на половинѣ основанія
уставленныя , докажутъ точки сѣченія ,
?резЪ кои проведенная кривая линея СВ
будетъ параболъ См. Кн. г. Предлож. 51,
Конич. СѢчен. Михаила де Шале.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXVIII.
§.234. ЭллшісмсЪ (Еііірйз), или опалъ-»
\цая (оѵаіз) есть такая кривая линея, вЪ
| которой квадратъ семіординаты МР кЪ Ф.з?«
I прямоугольному четвероугольнику, произ-
шедшему изЪ уможенія отрѣзковъ оси АР
I и РВ содержится, какъ параметръ кЪ оси.
I То есть, естьли АВ = а, параметръ =
Ь; РМ — у, АР ~ х; то будетъ Ь : а
— у2: ах    х2 і и потому ау2 = аЪх
I Ъх*
ЗАДАЧА ІХХХѴІ,
§. 23у. Найти свойство эллипсиса.
РѢШЕНІЕ.
Принявъ за поперешникЪ эллипсиса Аа,
I в за параметрѣ АЪ , приложи кЪ крайнимъ
Поперешника точкамъ линѣйкц АК и аО,
дви-
/


движущіяся около точекъ А и а, и еспц□
сѣченіе линѢекЪ вЪ точкѣ М сдѣлаг 1
такъ, что будетъ АО — ІАГ, или ра,,
стояніе линѣйки аО отЪ верьху А будещ^
равно перпендикулу, изЪ кр°*"в*'4
піра точки Ь налинѣйку АК
то точка М будетъ ""
пенсѣ. Положивъ, что АЬ =
АР — х, ар = а ---- х, РМ
ш; то , поелику А АЬМ А АРМ, будетъ
имѣть мѣсто слѣдующая пропорція:
АЬ , ЬМ = РМ : АР
То есть, вЪ эллипсисъ крадратЪ семі-
еиіс^рдцнаты равенъ прямоугольному четверо-
10-одьНИКУ» произшедшему изЪ умноженія
крайне'' ' іяраметРа на абсциссу, безъ другаго прямо-
и (Параду ѵгСдЬнаго четвероугольника, произшедшаго
нахол °ПУШ; ’;ш°Му; умноженія гпойже абсциссы на чет-
Т0 Д] _ я Э-Ш рершую пропорціональную линею кЪ попе-
решнику, параметру и абсциссѣ. На пр.
рх
в;р—х,—
ПРИБАВЛЕНІЕ т.
Р, Аа-3
= У, ЬК
Р: т = у: X
рх ту
рх
--- = ш
У
И поелику А Да О ~ А Ра М, будетъ
Аа: АО — аР:РМ
а; ш = а   х : у
ау = піа — тх
ау
и потому рх
а—х — А.___
аѵ’	У
«У = арх — рх«
У .ТРХ"*~РХ*
а
2 Поелику у2: ахх2 = р: а; то
явствуетъ изЪ сего , что вЪ эллипсисЬ
квадратъ семіординаты кЪ прямоугольно-
му четвероугольнику, произшедшему изЪ
і отрѣзковъ поперешника, содержится, какъ
параметръ кЪ поперешнику.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
§. 238. И такъ вЪ эллипсисѣ меньшая
ось ЕВ есть средняя пропорціональная ли-
нея между большею осью АВ и параме-ф-?7
метромъ. Слѣдовательно параметръ есть
третья пропорціональная линея кЪ боль-
шей и меньшей оси. Ибо, естьли х — »а,
будетъ у24— I аЬ — а2Ь: 4а — * аЬ ; слѣ-
довательно у — СВ — Ѵ' |аЪ. Почему СЕ
аѴ^а = ѴаЬ.
ЗАДА-


2Сб

ЗАДАЧА ЕХХХѴП.
§. 239. Найти вЪ эілипсисѣ ось Др
ф'45,когда будуптб даны въ оной параметрѣ
перпендикулярной кЪ оси АЕ, абсцисса д?’
и семіордината РМ.	I
РѢШЕНІЕ,
і	. СдЁлавЪ АХ — д(^ = РМ, пров?д{|
ЫЕ параллельно сЪ І-Цз пю будептЪ АЕ
у2 : Ъ, слѣдовательно ХГ = х— у2 ; ь.
2	Продолживъ ЕД до С и сдѢлавЬ дн
— ГР, АС — АР, проведи СВ параллель-
но сЪ НР; то будетъ АВ — Ьх2 цЬх-у2),
то есть, искомая ось.
3	А Д 44 А ЕХХХѴІП.
§. 240. Найти вЪ Эллипсисѣ параметрѣ
Ф.46.АС; когда будутъ даны вЬ оной ось АВ,
абсцисса АР и семіоріината ЕМ.
РѢШЕНІЕ.
і.	Сдѣлавъ АІ — РМ, изЪ А чрезЪ М
проведи прямую линею АЬ.
2.	ВЪ точкѣ I возставь перпендикулЬ
ЬІ; то, по причинѣ АР:РМ = АІ; ЬІ (§. 206.
Геом.), будетъ ЕІ — у2 ; х.
3.	Продолживъ РМ до О такъ, чтобФ
было РО — Ь[ = уг : х, изЪ В чрезЪ О
проведи прямую линею ВС.
4.	ВЪ А возставь перпендикулЪ СА; гпо і
ПО причинѣ ВР; РО ~ ВА ; СА , будетъ
ау2 ‘

ау2: (ах — х2), то есть} искомой пара-
метрѣ.
прибавленіе»
241. Когда х = АС — 4 а; ТЛО ИЗЪ
сего происходитъ слѣдующая пропорція:ф*47
У» ; ^а2 = р: а, помощію сего величина
сопряженной оси находится; ибо сравне-
ніе изЪ вышеположенной пропорцій соста-
вляется слѣдующее :
ау2 = і а*р
у2 = зар
У = 4 Ѵар
2 у = "Кар
То есть, половинная сопряженная ось
ВС есть половинная часть средней пропор-
ціональной линеи между параметромъ и
поперешникомЪ; или, весь сопряженной
поперешникЪ ВО есть средняя пропорціональ-
ная линея между параметромъ и поперечни-
комъ. И поелику ау2 —ар, то выдетЪ изЪ сего
слѣдующая пропорція: а: 2 у = іу : р. То
есть, параметръ р есть третья пропор-
ціональная линея кЪ поперешнику и сЪ
нимъ сопряженному поперешнику 2 у.
ЗАДАЧА ЪХХХІХ.
§• 242. Начертить эллипсисѣ, или о-
Еальную фигуру.
РѢШЕ-

гс8
209
РѢШЕНІЕ.
і. Поелику вЪ зллипсисЬ
Ф-4Я-
то будешь у = Карх.7~^х
сего сравненія можно
пропорцію: х: р = х
рх
другимъ образомъ
у® —	т. ВЪ центръ А, раствореніемъ
а I уда АВ , начерти кругъ ВСО.
а ’ 110 какі ИзЦ 2. ТѢмже раствореніемъ циркула,
[, на окружности
начерченнаго круга взятой, начерти дру-
гой кругъ , которой чрезЪ центръ перваго
проходя, вЪ двухъ мѣстахъ пересѣчетъ
! оной.
3. Центры и сѣченія соедини прямыми
линеями САО и ЕВЕ, которыя вЪ Е или С '
на окружности круга покажутъ точку для
растворенія циркула изЪ противоположенъ
, наго круговъ сѣченія, изЪ коихЪ сѣченій
естьли чрезЪ найденныя точки дополнят-
ся дуги, сливающіяся сЪ окружностьми
ікруговъ ; то произойдетъ Эллипсисъ , илй
I овальная фигура*
Механическимъ образомъ
і. Выбравъ по изволенію двѣ точки на
к^кой нибудь плоскости, вЪ оныхЪ вколо»
кіи по гвоздю.
-3 I 2. Около тѢхЪ гвоздей обведя пройЗ*
Ар, найди среднія пропорціональный рдьной длины веревку, концами связанную ,
вьівеспін слВдую І„3ъ какой НИ5удЬ лючки
{начерченнаго круга взяш
Цир
Ф-49»
— ; ПІО
а
2.	Между у и а —х должно сыскать
среднюю пропорціональную линею, или се-
міординашу, взятой абсциссѣ соотвЕщ.
ствующую.
3.	Для сысканіяжЪ большаго числа се-
міординатЪ, кЪ поперешнику Аа приложи
подЬ прямымъ угломъ параметръ АЬ, и
начершивЪ ипотенузу Ьа , вЬ треугольникѣ
АаЬ проведи насколько перпендикулярныхъ
линей РК., рг и проч. которыя будутъ че-
твертыя пропорціональныя линеи кЪ Аа,
АЬ и аР. Или ар.
4.	Потомъ между сими четвертыми
пропорціональными линеями и а --- х, или
АР	——	*	*	~	'
линеи, которыя покажутъ, какія семіор- и заложивъ за оную что нибудь осшроко
динаілы должно наложить на абсциссы, ^чное, г— ------------ і
чрезъ крайнія точки коихЪ проведенная Ершится овальная фигура,
кривая линея будетъ эллипсисъ.
ДрУ’
динаты должно наложить
на абсциссы, ручное, черти онымъ вкругъ; то и на-

Н
ПРИ-

210
ПРИМѢЧАНІЕ.
§. 243. Помянутая веревка, по различу
точекъ, взятыхъ по изволенію, какЪцен.
тровЪ, различную и овальную фигуру опи.
сывать можетъ. Ибо чБмЪ ближе центры
будутъ друг'Ь кЪ другу, тБмЪ ближе к
фигура описываемая будетъ подходить къ
кругу , чБмЪ же далБе напротивъ того бу,
дутЪ отстоять другъ отъ друга центры,
тБмЪ и фигура продолговатЪе , или оваль-
нЪе начертится, такъ что ежели тБ цен-
тры соединятся; то уже вЪ таксмЪ слу.
чаБ не овальная фигура, но совершенной
кругъ произойдетъ.
ЗАДАЧА ХС.
Ф.47-	§• 244- Найти вЪ Эллипсисѣ разстояніе
зажигательной точки отЪ верьху-
РѢШЕНІЕ.
Когда МХ есть параметръ, а Г зажи-
гательная точка Эллипсиса; то будетъ
4х2
ІР2=рх-----— (§.198.11208.) | I
а
ар2 — арх---рх2
* ар = ах — х2
И поелику извѣстно, что АГ гораздо менЬ'
ше, нежели АС; то надлежитъ сдТ’лаіг.
обрапи

2ІХ
обратное сравненіе , такъ чтобъ было
* ,— ах , то есть •>
2	__ г
х --ах = — | ар
а2— ах|№= ? а2 — | ар допол. непо ли- квад.
4а — х ~( 4 а —— 4 аР- )
КогдажЪ приложишь х, и извлечешь ква-
ирашной радиксЪ; то будешь
4а—Ѵ(-|аг — 4ар)=х= АГ
То есть, составьрадиксъ, сыскавъ сред-
нюю пропорціональную линею между *а
— 4р и ха, которая будетъ ГС, и оную
вычти изЪ половинной оси АС , получишь
АЕ искомое разстояніе зажигательной то-
чки отЪ верьху.
ЗАДАЧА ХСІ.
245. Найти величину линей ВЕ иВЕ,
котовый изЬ двухъ зажигательныхъ іпо ф47-
чекъ Эллипсиса проведены кЪ крайней то-
чкБ сопряженнаго поперешника ВП.
РѢШЕНІЕ.
Когда выше сего сказано, что ГС и ЕС
К|а2 — ?ар (§. 223.), также выше
сего показано, какъ находить половинной
^ньшей поперешникЪ ВС — 4 V ар (2 до.);
, въ .силу Пиѳагоровой Теоремы, будешь
Н 2
ГС!

212
ГС2ІВС2 = вг2
| а2- | ар | ’ ар = ВЕ2
иди * а2 = ВР2
I а = ВГ	I
И поелику ВГ = ВЕ; пто видно, чпто
линеи изЪ зажигательныхъ точекъ кЪ край-
ней точкѣ меньшей оси Эллипсиса прове-
денныя , вмѣстѣ взятыя, равняются боль-
шей оси.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 246. Тоже самое и о другихъ вся-
кихъ линеяхЪ, кои изъ двухъ зажига-
тельныхъ точекъ кЪ точкамъ , на окру-
жности Эллипсиса находящимся, проводят-
ся, можно доказать.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ XXXIX.
Ф.36.	247. Иперъояа (НуреіЬоІа) есть такай
кривая линея , вЪ которой ау2 = аЪх
ІЬх2, то есть, Ъ: а — у : ах|х2, иди, ква-
дратъ семіординаты кЪ прямоугольному
четвероугольнику , произшедшему изъ ум-
ноженія абсциссы на прямую, сложенную
изЪ тойже абсциссы и нѣкоторой прямой
неперемѣняемой линеи, которая попе-
речною осью } или поперечнымъ ьокомЪ (ам$
ггапГѵегГиз, ѵеі Іагиз ггапГѵеііит) называется I
содержится такъ, какъ другая прямая
не-

21}
неперемЪняемая линея, именуемая пара*
^етрЪ оси (рагашесег ахіз), к'Ь поперечной оси.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
§, 248- Слѣдовательно и здѣсь , какъ
ВБ Эллипсисѣ, будетъ у2 = Ьх Ь
ау2: (ах|х2), а — Ьх2:(у2 — Ьх) и проч.
только сЪ того отмѣною , что здѣсь про-
шивные находятся знаки.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
249. ИзЪ чего явствуетъ, что вЪ
ИперболѢ, такъ какЪ и вЪ Эллипсисѣ,
сопряженною осью почитается средняя
пропорціональная линея между попереч-
ною осью и параметромъ.
О П Р Е Д Ѣ Л Е И I Е ХЬ.
2 5 о. Ежели поперечная ось АВ сЪ
осью АХ соединяется вЪ прямой линеѣ и
въ С раздѣляется на двѣ части; шо точка
С называется центромъ (сетгит).
ЗАДАЧА ХСП.
§, 251. Найти вЪ ИперболѢ разстояніе
АЕ зажигательной точки Г отЪ верьху АЕ;
Когда вЪ оной будутъ даны параметръ
й поперечная ось АВ.
Н з	РБШЕ-

214

РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что параметръ = Ъ,
= а то будетъ ГХ = I Ь.
Ь: а — 4 Ъ2: -ах I х 2
4 -аЬ2 ~ аЬх | Ьх2
4 аЬ = ах І х2
| а2 1 2 аЬ = ’ а2 | ах I х2
К (4 а2 | з аЬ) = 1 а + х
V і а21 2 аЬ ) — 4 -а = х
То есть находится х , сыскавЪ ме-
жду іаиіаітЬ среднюю пропорціональную
линею й отнявъ отЪ того іа. Или, по
едику V? аЬ — СЕ (§. 22^.), сдѣлавъ АС
= СЕ, будетъ СС = -а 2 і 4 аЬ). По
чб.-лу , когда АС = 4 а , изъ центра С по-
лу поперешником'Ь СС начерти дугу СЕ,
пересѣкающую ось вЪ Г, будетъ АГ =
V (2 а21 4 аЬ) — 4 а; слѣдовательно вЪ Г
будетъ зажигательная точка.
Ф-5®*
ЗАДАЧА ХСШ.
252. Найти свойство Иперболы.
РѢШЕНІЕ.
Принявъ за поперечную ось Аа, двБ
линѣйки подвижныя, кі крайнимъ оной оси
точкамъ приложенныя днигаГгпіакЪ, чтобЪ»
по положе ііи параметра АЬ, сдѣлалось АК

215
(ЧІ. По учиненіи сего, произойдутъ подоб-
ные треугольники, то есть } д АЬКГ ~ Д
^рХ , и потому
АЬ ; Е\Т = РМ : АР
р : т = у : х
рх = ту
Также, по причинѣ подобныхъ тре-
угольниковъ АаК и аРМ, будешЬ
Да ; АК = аР : РМ
- а : т — а | х : у
ау — та | тх
ау
— — т
ах
И такъ ау___ рх
ах у
ау2 = арх | рх2
2	Рх2
У =	+ -
То есть, вЪ ИперболБ квадратъ семі-
ординаты у2 равняется прямоугольному
четвероугольнику, произшедшему изЪумно-
жанія абсциссы на параметръ рх, прило-
живъ потомъ кЪ тому другой прямоуголь-
ной четвероугольникъ, произшедшей изЪ
умноженія абсциссы на четвертую пропор-
Н 4	ціональ-

ціональную линею кЪ поперешнику , пара,
метру и абсциссѣ.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
253. Для сысканіяжЪ вЪ ИперболЪ
(арх^рх2)
семюрдинатЪ, поелику у —V -----7} над.
0.
лежитъ сперьва найти четвертыя пропор-
рх
цюнальныя линеи — чрезЪ слЪдующую про-
рх	, ,
порцпо,а:р =хпотомъ среднія про,
а	Рх
порціона льныя линеи между — и а | х.
а
ПРИБАВЛЕНІЕ г.
§. 254. Какъ вЪ ЭллипсисЪ сумма линей ,
Ф5ькои изЪ двухъ зажигательныхъ точекъ
проводятся кЪ какимъ пибудь точкамъ,
на окружности находящимся, равняется
большей оси; такъ и вЪ ИперболБ напро-
тивъ того разность линей , кои изъ зажи-
гательныхъ точекъ проводятся кЪ какой
нибудь точкЪ Иперболы, равняется попе-
решнику А а.
ЗАДАЧА. ХСІѴ.
ф«>з.	255» Начертить ^Иперболу.


2 17
РѢШЕНІЕ.
у. На прямой неопредѣленной линеѣ
р-зявЪ ось Аа , означь на оной равныя для
зажигательной точки разстоянія отъ верь-
ху , какъ значитъ аГ и АЕ.
2. ВЪ нижней зажигательной точкѣ Г,
по изволенію взятымъ раствореніемъ цир-
| куда , начерти сЪ обѣихъ сторонъ оси ду-
I ги, расшвореніежЪ циркуля, взято'е по из-
воленію , тотчасъ изЪ верьху А перенеси
на ось внизу, такъ какъ абсциссу.
д. Потомъ смѢрявЪ циркулемъ сумму
поперечной оси Аа и абсциссы АР, или
смѢрявЪ линею аР и поставивъ одну нож-
ку циркула вЪ верьхней зажигательной
точкѣ Г, пересѣки сЪ обѣихъ сторонъ
тѣмъ раствореніемъ нижнія назначенныя
дуги, и естьли много такихЪ дугъ, вза-
имно другЪ друга пересѣкающихъ изЪ верь-
хней и нижней зажигательной точки про-
ведено будетъ, то изЪ верьху А чрезЪ
точки сѣченій М означится Ипербола.
Другимъ образомъ
і.	Сдѣлавъ АВ равно поперечной оси,
означь зажигательныя точки Г и Г. Ф.5
2.	Соединивъ сЪ ГО прямую линею ГК>
по<Ь какимБ нибудь острымъ угломъ , изЪ
пентрі Г полупоперешниками, взятыми
И Г	боль-

Ф-53
218

больше, нежели ГА, .начерти насколько
дугъ, изЪ одного и тпогожЪ центра пере,
сБкаюіцихЪ прямую линею ГК вЪ точкахъ
I. II. III. и проч.
3.	СдБлавЪ ЕЬ = АВ, изЪ зажигатель
ной точки Г раствореніями И. ІДІ. ЫЦ. и
проч. пересЬки сЪ обБихЪ сторонъ тБ ду.
ги вЪ точкахъ і. г. 3. и проч. то чрезъ
точки і. 2. 3. проведенная кривая линея
будетъ Ипербола.
Третьимъ образомъ
і. Начерти по изволенію такой тре-
угольникъ АВС, чтобъ оной былЪ или
весьма острой, или не очень острой око-
ло точки С.
а. Принявъ по изполенію за верьхЪ Ипер-
болы на пр. точку Е, проведи пониже оной
насколько линей параллельныхъ сЪ осно-
ваніемъ того треугольника, и чБмЪ болБе
такихЪ линей проведено будетъ, тБмЪ точ-
ное начертишся Ипербола. Проводить же
оныя параллельныя линеи должно между
боками треугольника такъ, чтобъ пер-
вая проведенная параллельная линея, на пр-
ЕН была средняя пропорціональная между
ЕЕ и ЕС , вторая КІ средняя пропорціо-
нальная между ЕК и КЬ, АБ средняя про-
порціональная между ЕА и АВ. и проч.
3-

«?*А«*?ѴЫ'ТК4^9!О
I
214
3. СЪ другой стороны поперешника АС
доповнивЪ тоже разстояніе параллельныхъ
диней, естьли проведешь чрезъ крайнія
оныхЪ точки кривую линею, то она бу-
детъ Ипербола.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ хи.
§. ауб. Естьлидинея ММ чрезЪ верьхЪ
р Иперболы проведена будетъ параллельная
Ф-54»
с'Ь ординатами ея; то изЪ центра А чрезЪ
оба той параллельной линеи концы про-
веденныя прямыя линеи АВ и АС называ-
ются Асимптоты (АГутріоіае).
ПРИМѢЧАНІЕ і.
§. 2^7..ИзЪ многихъ равнымъ обра-
зомъ пересѣкающихъ конусЪ линей, на по-
верьхности онаго произошли сіи, кои , по-
слѣдуя Аполлонію, новѣйшіе назвали Па-
раболою , Иперболою и Эллипсисомъ; то
есть , Парабола , или линея рапенстпа (Ііпеа
азріаіііагів) потому названа такимЪ именемъ,
что вѣ оной рх = у2; Эллипсисъ , или линея
неуостаточестиа (Ііпеа ЛеГейт ) потому, что
рх2
въ оной рх — ~— = у , а Ипербола, или
линея излишества (Ііпеа ехсейііз) потому,
. Рх2
что вЪ оной рх т — = у*. ДревніежЪ
а
Мате-

220
Математики называли такія линеи сЪче.
ніями конуса прямоугольнаго, тупоуголъ
наго и остроугольнаго.
ПРИМѢЧАНІЕ 2.
§. з $ 8- КромЬ вышепоказанныхъ кр«.
выхЪ линей, произшедшихЪ изЪ сЪченід
конуса, суть еще другія, которыя про-
исходятъ изЪ непрерывнаго движенія ка-
кой нибудь точки. На пр. НиклоисЪ, Кон.
хоисЪ , КвадратриксЪ и Спиральная линея.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ХЫІ.
§. 279. ЦикябисЪ, или ТрохоѵсЪ (Сусіоіз, иеі
ф.55_Тгос1юІ8) есть такая кривая линея АВ , ко-
торая происходитъ изъ обращенія круга АР-
НМ на прямой линеЪ ВС, то есть , изЪ дви-
женія точки А, на окружности круга на-
ходящейся , такъ что та точка при нача-
лъ движенія на концБ В , при окончаніижЪ
онаго движенія на концБ С той прямой
линеи ВС находится. Или ЦиклоисЪ про-
исходитъ изЪ того, когда кругъ на пря-
мой линеВ ВС двигается до піБхЪ порЪ,
пока весь не оборотится, то есть , когда
находящаяся на поверьхносши его точка
А опять не придетъ вЪ самой низЪ.
ПРИБАВЛЕНІЕ і.
гбо. ИзЪ чего явствуетъ , что при
шакомЪ обращеніи круга какъ бы вся его
окруж-

±21

дружность распростиралась вЪ прямую
дйнею ВС, и потому полкруга АРн ВН.
ПРИБАВЛЕНІЕ 2.
2 61. И такъ ВГ = четверти круга МЕ и
до — четверти круга АР = ЕН = МР, по-
тому что МЕ — РС.
Слѣдовательно прямыя линеи отЪ
дуги Циклоиса ВМА кЪ окружности АРН
проведенныя параллельно сЪ основаніемъ
ВН почитаются равными круга произво-
дителя дугѣ АР.
ОПРЕД ѢДЕНІЕ ХЫП.
§. 262. КонхоисЪ (сопсЪоіз), или КонхмяисЪ
(сопсіііііз), НикомедомЪ изобрѣтенная, есть
такая кривая линея , которая происхо-ф- 5б*
дитЪ изЪ того, когда на прямой упра-
вляющей линеѣ НЕ другая прямая линея
АС около точки С будетъ двигаться та-
ким'Ь образомъ, что движимой линеи ча-
стицы ЕВ и СЕ, по верьхЪ управляющей ли-
неи оказывающіяся, будутъ всегда равны
между собою.
ПРИМѢЧАНІЕ г.
263. Точка С, около которой дви-'
гается прямая линея АС, называется //о-
люсЪ ( Роіиг ).
ПРИМѢ-

223
222
ПРИМѢЧАНІЕ 2.
§. 264. ЧѢмЪ наклоненное движима*
линея АС будетъ имѣть свое положеніе
кЪ управляющей линеѢ, тѢмЪ частицы
СЕ и ЕС ближе кЪ ней будутъ наклонять-
ся; однако никогда не могутъ упасть на
оную, но всегда поверьхЪ ея должны ока-
зываться» И такъ КонхоисЪ хотя мало
по малу и подходитъ близко кЪ управля-
ющей линеѢ, такъ что разстояніе между
ими нечувствительно малое бываетъ , то-
кмо никогда сЪ нею не соединяется; по-
чему и называется Асимптота (сігіряггатоС).
ОПРЕДѢЛЕНІЕ. ХЫѴ.
§. 26 у. Когда на концѣ поперешника
АВ полкруга АОВ возставивъ перпендикулБ
неопредѣленной длины ВС, проведешь пря-
мую линею АН, и сдѣлаешь АМ = ІН,
или ЬС — ЛК; то чрезЪ точки М и Ь
проведенная кривая линея АМОЬ, отЪ Ді-
оклеса изобрѣтенная , называется ЦиссоисЪ
(Сійоіз).
ОПРЕДЕЛѢНІЕ ХЬѴ.
*
^бо. §• Ежели прямая линея АХ раз-
дѣлится на нѣсколько равныхъ частей и
изЪ раздѣленія точекъ А. Р. р и проч. бу-
дутъ означены прямыя линеи АМ, РМ, рт
и
Ф-У7-
267. Ежели
ВЪ точкахъ ЬГ и п
его АС вЪ —
дѣливъ на
про4- непрерывно пропорціональныя; то
чрезЪ точки кг, М, т и проч. проведен-
Ьая кривая линея называется Логистика
Ьро^ійіса), также Логариѳмика (ЪодагісЬтіса).
О ПРЕДѢЛЕНІЕ ХЕVI.
«
четверть круга АКБ
1-.	, и проч. поперешникЪ 5
точкахъ Р и р и проч. раз-
нѣсколько равныхъ частей,
проведешь полупоперешники СМ, сп и
проч. а изЪ точекъ Р и р. возставишь
перпендикулы РМ, рш и проч. то чрезЪ то-
чки М и т, и проч. проведенная кривая ли-
нея , отъ Динострата изобрѣтенная, на-
зывается каауратриксЪ (циасігасгіх , Геи Тстра,-
। ук'л^оѵсга ).
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 268. И такъ вЪ разсужденіи квадра-
триксы имѣетъ мѣсто слѣдующая пропор-
ція:
АВ : АМ = АС : АР
То есть, ежели положить, что АВ
АС — Ъ, АХ = х, АР — у; то бу-
— Ьх.
ОПРЕДѢЛЕНІЕ ХЬѴІІ,
§.269. Когда окружность круга АРрА и
полупоперешник'Ь АС раздѢливБ на нѣ-ф”9*
сколь-
— а ,
детЬ ау
его

224

сколько равныхъ частей, сдѣлаешь СМ рав-
но одной части, а Ст двумъ частямъ и
проч. полупоперешника ; пю кривая ’ линея
чрезЪ точки М. т. т и прч. проведенная
отЪ Архимеда изобрѣтенная, называется
спиральная ( Зрігаіів) , или ІелпксЪ (Нсііх)}
или 'Уяиткопая.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
§. 270. И такъ вЪ разсужденіи спираль-
ной линеи имѣешь мѣсто слѣдующая про-
порція :
АР : АРрА = СМ : СА
То есть, ежели положить , что АРрА
— р, АС = г, АР = х, РМ = у; то бу-
детъ СМ — г — у, и по причинѣ того,
что р : г _ х : г — у, будетъ также
рг — ру = гх,
ЗАДАЧА ХСѴ.
Ф.55.	§ 271. Найти свойство Циклоиды.
РѢШЕНІЕ.
Принявъ полупоперешникЪ АРН за лй»
нею абсциссъ, и назвавъ АР = х, РМ =. у;
АРН — с, ВН — й, будетъ имѣть мѣсто
слѣдующая пропорція:
АРН

АРН : ВН = АР РМ
с : (1 — х : у
гіх = су
По поелику с = <і $ то будетъ
х = у
ЗАДАЧА ХСѴІ.
272.	Найти свойство Квадратриксы,
РѢШЕНІЕ.
Положивъ, что четверть круга АКВф58-
= а; пВ — X, АС = г, рс = т(і = у; то бу-
детъ іимБть мѣсто слѣдующая пропорція:
АВ: пВ = АС: тО
а: х = г: у
ау — гх
То есть , вЪ квадратриксѣ произведеніе
четверти круга на синусъ квадратриксы
равняется прямоугольному четвероуголь-
нику , произшедтему изъ умноженія по-
лупоперешника на частицу четверти кру-
га , противоположенной синусу квадра-
Піриксы.
ПРИБАВЛЕНЕ.
273.	Слѣдовательно у = х, то
^сть, вЪ квадратриксѣ всякая часть чет-
верти круга есть четвертая пропорціо-
нальна^ линея, кЪ полупоперешнику , чет-

226
верши круга и синусу квадратриксы най-
денная.
- ПРИМѢЧАНІЕ I.
274.	Поелику какъ для Циклоиды,
шакЪ и для Квадрашриксы не можно со.
ставитъ сравненія чрезЪ сношеніе однихъ
токмо прямыхъ линей; но частицы крц-
вой линеи всегда вмѣшиваются вЪ оное 5
то видно, что сЪ такимЪ сравненіемъ
труднѣе обходиться: и потому такія
кривыя линеи имѣютъ отмѣнное свойство
ошЪ круга и шѣхЪ кривыхъ линей, кои
происходятъ изЪ сѣченія конуса. Почему
Лейбницій однѣ кривыя линеи Геометри-
ческими и Алгебраическими, а другія Ме-
ханическими называетъ. То есть , кри-
выя Геометрическія и Алгебраическія ли-
неи суть, коихЪ свойство объясняется
такимЪ сравненіемъ, которое не требу-
етъ никакой квадратуры кривой линеи,
какія на пр. суть кругъ и линеи произ-
шедшія изЪ сѣченія конуса , то есть , Па-
рабола , Ипербола и Эллипсисъ. Механиче-
скіяжЪ кривыя линеи сушь, кои объясня-
ются чрезЪ такое сравненіе, вЪ которое
входитъ квадратура другой кривой линеи,
какія на пр. сушь ЦиклоисЪ3 ЦвадрашриксЪ
и проч.
ПРИ-
ПРИ МѣЧАНІЕ 2.'	&
§. 27у. Прочія предложенія, принадле-
жащія суда , на пр о свойствѣ и разныхъ
премѣненіяхъ сравненій, о Геометриче-
скихъ мѣстахъ, о составленіи кубиче-
скихъ и биквадратическихЪ сравненій и
проч. оставляются; поелику оныя тре-
буютъ пространнѣйшаго объясненія. По-
чему желающій имѣть понятіе и о шакихЪ
предложеніяхъ , можешЪ почерпнуть оныя
изЪ другихЪ нарочно и пространно о томъ
объясняющихъ писателей.



Т(мг:]г


чыс ш.















Тп,г г

ТіиГ.-ХІ.



ТасГГ :хп.