Текст
                    ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОЕ
и
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИЗЧИСЛЕНІ

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНІЕ УРОКОВЪ о ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ И ИНТЕГРАЛЬНОМЪ ИЗЧИСЛЕНІИ ПРЕПОДАВАЕМЫХЪ ВЪ Королевской Политехнической школѣ Г. А, Л. КОШИ, Членомъ Парижской Академіи Наукъ и Кавалеромъ ордена Почетнаго Легіона, Перевелъ съ Французскаго Императорской Академіи Наукъ Экстраординарный Академикъ и Докторъ въ Наукахъ В. БУНЯКОВСКІЙ САНКТПЕТЕРБУРГЪ. Печатано при Императорской Академіи Наукъ, 18 3 1.
Печатано съ одобренія Академіи. 16 Іюня 1851 г. Павелъ Фуссъ Непремѣнный Секретарь»
ЕГО СІЯТЕЛЬСТВУ ГРАФУ АЛЕКСАНДРУ АЛЕКСАНДРОВИЧУ ТОРМАСОВУ, въ знакъ искренней дружбы и признательности посвящаетъ Переводчикъ.
ОТЪ ПЕРЕВОДЧИКА. Издавая нынѣ книгу: Везите ёез Іе.с.опз зиг Іе саісиі іп/тііёзітаі, соч. Коши, переведенную мною на Русскій языкъ нѣсколько лѣтъ тому назадъ, я имѣлъ въ виду познакомить моихъ соотечественниковъ съ произведеніемъ автора, коего труды на ученомъ поприщѣ, уже ознаменованы важными открытіями въ Анализѣ. Г. Коши, въ изложе- ніи правилъ дифференціальнаго и интегральнаго изчисленія, уклоняется отъ способовъ предшествовавшихъ ему писателей, и почти всегда преимущество остается на его сторонѣ. По сей-шо причинѣ, да бу- детъ мнѣ дозволено изъявитъ желаніе, чтобъ сей переводъ былъ при- нятъ за руководство въ Учебныхъ Заведеніяхъ. Я знаю, что Г. Коши издалъ новѣйшее сочиненіе о дифференціаль- номъ изчисленіи; но въ составъ онаго вовсе не входитъ интегральное. Я было намѣревался поручить кому-либо перевести подъ моимъ руководствомъ сію книгу, и замѣнить первые 20пгь уроковъ симъ новымъ переводомъ. Но дабы оный могъ вполнѣ соотвѣтствовать интегральному изчисленію , надлежало-бы сдѣлать значительныя измѣ- ненія въ текстѣ сочинителя, что, по моему мнѣнію, переводчикъ не долженъ дозволять себѣ ни въ какомъ случаѣ. Къ тому жъ, сіе но- вое сочиненіе не содержитъ въ себѣ никакихъ значительныхъ улучше- ній противъ перваго. Если читатели удостоятъ сію книгу своего вниманія; то я обя- зуюсь издать продолженіе интегральнаго изчисленія, коего переводъ будетъ сдѣланъ подъ моимъ надзоромъ. Сіе продолженіе не было еще издано на Французскомъ языкѣ, а находится только въ рукописи, которую, по дружескимъ сношеніямъ, я успѣлъ пріобрѣсти.
ПРЕДУВѢДОМЛЕНІЕ ОТЪ СОЧИНИТЕЛЯ. Сіе сочиненіе, составленное по порученію Ученаго Совѣта Королев- ской Политехнической школы, заключаетъ въ себѣ краткое изложеніе читанныхъ мною въ сей школѣ лекцій о дифференціальномъ и инте- гральномъ изчисленіи. Все сочиненіе будетъ состоять пзъ двухъ ча- стей, сообразно съ раздѣленіемъ курса, продолжающагося два года. Нынѣ издаю первую часть, содержащую сорокъ уроковъ; первые двадцать составляютъ дифференціальное изчисленіе, а послѣдніе — интегральное. Излагаемые здѣсь способы, во многомъ различествуютъ отъ тѣхъ, которые приняты въ другихъ сочиненіяхъ о томъ же предметѣ. Главною моею цѣлью было, соединить строгость въ доказатель- ствахъ (которую всегда старался сохранить въ моемъ Соигз й Лпа1у$е) съ простотою, произходящею отъ непосредственнаго разсматриванія безконечно-малыхъ количествъ. По сей-шо причинѣ, я вовсе не упо- треблялъ разложенія функцій въ безконечные ряды, когда сіи ряды были расходящіеся; также, я отнесъ Тейлорову Формулу къ интеграль- ному изчисленію; ибо сія Формула вообще справедлива только въ та- комъ случаѣ, когда рядъ входящій въ оную, содержитъ конечное число членовъ , съ дополнительнымъ опредѣленнымъ интеграломъ. Я знаю, что знаменитый авторъ Аналитической Механики, принялъ сію Фор- мулу за основаніе своей теоріи производныхъ функцій. Но не смотря на глубокое уваженіе, должное имени сего великаго мужа, почти всѣ математики признаютъ нынѣ, что употребленіе рядовъ расходящихся, можетъ, во многихъ случаяхъ , привести къ выводамъ ошибочнымъ; прибавлю даже, что разлагая нѣкоторыя Функціи посредствомъ Тей- лоровой теоремы, находимъ ряды, которые, хотя и кажутся сходя- щимися, однако же не выражаютъ разлагаемой Функціи (смогѣ, конецъ 58го урока). Впрочемъ, надѣюсь, что читатели сей книги, удостовѣ- рятся въ томъ, что правилу, относящіяся къ дифференціальному изчи-
IV сленію, и главныя приложенія онаго, могутъ быть изложены безъ по- собія безконечныхъ рядовъ. Я счёлъ за нужное , доказать въ интегральномъ изчисленіи суще- ствованіе интеграловъ или первообразныхъ функцій, прежде нежели изслѣдовалъ ихъ различныя свойства. Для сего, надлежало дать поня- тіе объ интегралахъ взятыхъ меледу данными предѣлами или объ опредѣленныхъ интегралахъ. Но какъ сіи послѣдніе могутъ имѣть, въ нѣкоторыхъ случаяхъ, величины безконечныя, или неопредѣленныя: то необходимо было разыскать условія, при которыхъ сіи самые ин- тегралы имѣютъ одну величину , конечную, и совершенно опредѣлен- ную. Простѣйшій способъ для разрѣшенія сего вопроса, состоитъ въ разсматриваніи близкопрёдѣлъныхъ опредѣленныхъ интеграловъ, о которыхъ говорено въ 25'"> урокѣ. Также, между безконечнымъ чи- сломъ значеній интеграла, коего величина неопредѣленна, существуетъ одна примѣчательная величина, которую я назвалъ главною велигиною. Разсматриваніе близкопредѣльныхъ интеграловъ и главныхъ величинъ интеграловъ, весьма полезно при рѣшеніи многихъ задачъ. Оно приво- дитъ къ многоразличнымъ Формуламъ, посредствомъ которыхъ можно вывесть величины разныхъ опредѣленныхъ интеграловъ, что уже по- казано мною въ разсужденіи представленномъ въ Институтъ въ 1814 году. Въ 34'ІЪ и 39,гь урокахъ помѣщена подобная Формула, которая и приложена къ разысканію величинъ многихъ опредѣленныхъ интегра- ловъ, изъ коихъ нѣкоторыя были уже извѣстны.
ОГЛАВЛЕНІЕ Сіпраи. Отъ переводчика ................ . . I Предувѣдомленіе отъ сочинителя ............ III ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНІЕ. Урокъ 1-й. О перемѣнныхъ величинахъ, ихъ предіълахъ, и вели- чинахъ безконечно-малыхъ........................ 3 Урокъ 2-й. О непрерывныхъ и прерывныхъ функціяхъ. Геоме- трическое изображеніе непрерывныхъ функцій . . 8 Урокъ 5-й. О производныхъ функціяхъ одной перемѣнной . . 13 Урокъ 4-й. Дифференцированіе фуункцій одной перемѣнкой . 18 Урокъ 5-й. Дифференціалъ суммы нѣсколькихъ функцій равенъ суммѣ ихъ дифференціаловъ. Слѣдствія выводимыя изъ сего правила. Дифференціалы мнимыхъ функцій 23 Урокъ 6-й. Употребленіе дифференціаловъ и производныхъ функцій при рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ. Наиболь- шая и наименьшая величина функцій одной измѣ- няемой. Величины дробей представллюіцихся въ о видѣ -..........................................28 Урокъ 7-й. О выраженіяхъ представллюіцихся въ неопредѣ- 00 ленномъ видѣ —, оо°, и проч. Взаимная зависи- оо мостъ между отношеніемъ конечныхъ разностей и производной функціей...............5-1 Урокъ 8-й. Дифференціалы функцій нѣсколькихъ перемѣнныхъ. Частныя производныя функціи и частныя диффе- ренціалы, ................ 39 Урокъ 9-й. Объ употребленіи частныхъ производныхъ придиф- ференцированіи сложныхъ функцій. Дифференціалы неявныхъ функцій ............ 44
VI Страя. Урокъ 10-й. Теорема однородныхъ функцій. Наибольшія и наи- меньшія величины функцій нѣсколькихъ перемѣн- ныхъ ............................. . . .................. 49 У рокъ 11-й. Объ употребленіи неопредѣленныхъ множителей при разысканіи наибольшихъ и наименьшихъ величинъ 55 Урокъ 12-й. Дифференціалы и производныя функціи разныхъ порядковъ выраженій заключающихъ одну перемѣн- ную. Объ измѣненіи перемѣннаго независимаго ко- личества ............................... . 61 Урокъ 13-й. Дифференціалы разныхъ порядковъ функцій мно- гихъ перемѣнныхъ ......................................61 Урокъ 14-й. Способы облегчающіе изысканіе полныхъдифферен- ціаловъ (функцій многихъ перемѣнныхъ. Символиче- скія выраженія для сихъ дифференціаловъ ... 13 Урокъ 15-й. Объ отношеніяхъ существующихъ между функція- ми одной перемѣнной, ихъ производными и диффе- ренціалами разныхъ порядковъ. Объ употребленіи сихъ дифференціаловъ при разысканіи наибольшихъ и наименьшихъ величинъ..........................19 Урокъ 16-й. Объ употребленіи дифференціаловъ разныхъ поряд- ковъ при разысканіи наибольшихъ и наименьшихъ величинъ фзункцій многихъ перемѣнныхъ .... 84 Урокъ 11-й. Объ условіяхъ, кои должны быть выполнены для. того, чтобы полный дифференціалъ не перемѣнялъ знака, тогда, какъ измѣняются величины диффе- ренціаловъ перемѣнныхъ независимыхъ количествъ 90 Урокъ 18-й. Дифференціалы какой-либо функціи многихъ пере- мѣнныхъ величинъ, изъ коихъ каждая есть линей- ная функція другихъ перемѣнныхъ независимыхъ количествъ. Разложеніе цѣлыхъ функцій на веще- ственные множители первой и второй степени . 96 Урокъ 19-й. Объ употребленіи производныхъ функційи дифферен- ціаловъ разныхъ порядковъ при разложеніи функцій 103
VII Страи. Урокъ 20-й. Разложеніе раціональныхъ [соизмѣримыхъ] дробей 108 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНІЕ. Урокъ 21-й. Объ опредѣленныхъ [междупредѣлъныхъ или част- ныхъ] интегралахъ........................................ 113 Урокъ 22-й. Формулы опредѣляющія точныя, или приближен- ныя величины между предѣльныхъ интеграловъ . . 119 Урокъ 23-й. Разложеніе опредѣленнаго интеграла на нѣсколько другихъ. Мнимые опредѣленные интегралы. Гео- метрическое значеніе вещественныхъ опредѣленныхъ интеграловъ. Разложеніе функціи находящейся подъ знакомъ / на два множителя, изъ коихъ одинъ удерживаетъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ . 126 Урокъ 24-й. О частныхъ интегралахъ, величины коихъ суть или безконечныя, или неопредѣленныя. Главныя величины неопредѣленныхъ интеграловъ................................150 Урокъ 25-й. О близкопрёдѣлъныхъ частныхъ интегралахъ . . 135 Урокъ 26-й. О неопредѣленныхъ интегралахъ..................141 Урокъ 27-й. Различныя свойства неопредѣленныхъ интеграловъ. Способы служащіе для опредѣленія оныхъ . . . 147 У рокъ 28-й. О неопредѣленныхъ интегралахъ заключающихъ въ себѣ алгебрическія- функцій................................155 Урокъ 29-й. Объ интегрированіи и приведеніи въ простѣйшій видъ двучленныхъ дифференціаловъ; о нѣкоторыхъ другихъ дифференціальныхъ выраженіяхъ такого же рода....................................................159 Урокъ 30-й. О неопредѣленныхъ интегралахъ заключающихъ въ себѣ неопредѣленно - степенныя , логариѳмическія, тригонометрическія и круговыя фхункціи .... 164 Урокъ 31-й. О разысканіи величинъ, и о приведеніи въ простѣй- шій видъ неопредѣленныхъ интеграловъ,, въ коихъ функція находящаяся подъ знакомъ / есть произ- веденіе двухъ множителей равныхъ нѣкоторымъ степенямъ синуса и косинуса перемѣнной . . . 170
VIII Страи. Урокъ 52-11. Переходъ отъ неопредѣленныхъ интеграловъ къ опре- дѣленнымъ ................................• ................не У рокъ 53-м. Дифференцированіе и интегрированіе подъ знакомъ /. Интегрированіе дифференціальныхъ выраженій, заключающихъ въ себѣ нѣсколько перемѣнныхъ не- зависимыхъ величинъ .......................................182 Урокъ 34-м. Сравненіе обоихъ родовъ простыхъ интеграловъ, получаемыхъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ чрезъ двой- ное интегрированіе ............ 188 Урокъ 35-й. Дифференцированіе опредѣленныхъ интеграловъ от- носительно къ перемѣнной входящей въ функцію находящуюся подъ знакомъ /, между предѣлами интегрированія. Интегралы высшихъ порядковъ для фп/нкцій содержащихъ одну перемѣнную . . 194 Урокъ 36-й. Преобразованіе какихъ ни-естъ (функцій перемѣн- ной х или х -\-1і въ цѣлыя (функціи перемѣнной х или 1і, съ дополнительнымъ опредѣленнымъ Инте- граломъ. Другія выраженія для сихъ самыхъ Инте- граловъ ...................................... ............ 199 Урокъ 37-м. Тейлорова и Маклоренова теоремы. Разпростра- неніе сихъ теоремъ на функціи нѣсколькихъ пере- мѣнныхъ . . ...............................................204 Урокъ 38-й. Правила относящіяся къ сходящимся рядамъ. Приложеніе сихъ правилъ къ Маклореновой теоремѣ 209 Урокъ 39-м. О неопредѣленно-степенныхъ и логариѳмическихъ мнимыхъ выраженіяхъ. Употребленіе сихъ выра- женій при разысканіи величинъ опредѣленныхъ й не- опредѣленныхъ Интеграловъ......................215 Урокъ 40-й. Интегрированіе посредствомъ рядовъ . ... . 221 Прибавленіе сочинителя .....................................227 Примѣчанія переводчика . ..................................241
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНІЕ УРОКОВЪ п ре под а в а е мыхЪ въ Королевской политехнической ій к о а ь Г. А. Л. КОШИ. ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНІЕ. УРОКЪ ПЕРВЫЙ. О перелсЪнныхЪ величинахъ, ихЪ предѣлахъ, и величинахъ безконечно - лсалвсхЪ. Перемѣннымъ или измѣняемымъ количествомъ называется такое количество, которое послѣдовательно переходитъ чрезъ многія величины различныя между собою. Постоянное же количество есть то, коего величина остается одна и та же. Ежели величины, приписываемыя какому либо перемѣнному количеству приближаются болѣе и болѣе къ величинѣ опре- дѣленной , такъ что наконецъ разнетвуютъ отъ оной столь мало сколько угодно, то сія послѣдняя величина называется предЪлоліЪ всѣхъ прочихъ. Такъ, на примѣръ, площадь круга есть предѣлъ, къ коему площади. вписанныхъ правильныхъ многоугольниковъ приближаются тѣмъ ближе, чѣмъ болѣе увеличивается число ихъ сторона.; равнымъ образомъ, радіусы векторы проведенные изъ центра Гиперболы къ ея точкамъ дуаляющимся болѣе и болѣе отъ сего центра , составляютъ I *
4 съ осью х углы имѣющіе предѣломъ уголъ, составленный ассимпшотою съ тою же осью, и проч...... Для краткости мы будемъ означать предѣлъ, къ которому стремится данная перемѣнная величина, поставляя передъ оной буквы пр. Иногда предълы, къ коимъ приближаются перемѣнныя Выраженія представляются въ неопредѣленномъ видѣ; несмо- тря на сіе, онѣ имѣютъ однако же совертенно опредѣленныя величины , которыя можно найти посредствомъ различныхъ пріемовъ. Такъ, напримѣръ, предѣлы къ коимъ безпрестанно приближаются два перемѣнныя выраженія (и-«А по мѣрѣ того, какъ а стремится къ нулю, представляюп/ся въ неопредѣленныхъ видахъ §, і±оо; не смотря на сіе, оба сіи предѣла имѣютъ величины опредѣленныя , которыя мож- но вычислить слѣдующимъ образомъ: •і Очевидно, что для весьма малыхъ численныхъ величинъ а, будемъ имѣть слѣдующія неравенства 8Іп а • 8Іп а 8іп а зіп а л іап§ а‘ , зіп а ъльдовательно отношеніе заключающееся всегда между 8іп а _______________________ зіп а двумя количествами -—— х, и -—- —> СО8 а, изъ коихъ пер- вое служитъ предѣломъ второму, будетъ само имѣть предѣ- ломъ единицу. Теперь будемъ искать предѣлъ къ коему стремится выра- і женіе (і -4-а) по мѣрѣ того, какъ а приближается къ ну- лю. Предполагая сперва что а есть количество положитель-
5 ноё и вида — 9 гдѣ т означаетъ число цѣлое , перемѣнное , и могущее сдѣлаться безконечно великимъ, получаемъ і Но такъ какъ во второй части сего уравненія, всѣ члены заключающіе количество т суть положительные, и при іпомъ же величина каждаго члена, равно какъ и число членовъ увеличивается вмѣстѣ съ увеличиніемъ количества т, то очевидно, что и выраженіе (1 возрастать будетъ вмѣстѣ съ цѣлымъ числомъ т, заключаясь всегда между двумя предѣлами । 1 , і । 1 । 1 , и і + 7 +1 + 2^2. +" и ПР04...........= і Ч- і + і = 3.; такъ что, для возрастающихъ величинъ иг, оно приближает- ся постепенно къ нѣкоторому предѣлу заключающемуся ме- жду 2 и 5. Сей предѣлъ есть число весьма важное въ Диф- ференціальномъ Изчисленіи; оный обыкновенно означаютъ бук- вою е. Взявъ Ш ™ юооо, найдемъ посредствомъ таблицъ де- сятичныхъ логариѳмовъ, слѣдующую приближенную величину числа е: ✓10001\100°° моооо/ 2,7183 которая разнствуетъ отъ настоящей не болѣе какъ на одну десяти-тысячную часть, какъ мы то въ послѣдствіи увидимъ. Теперь предположимъ что количество а, оставаясь поло- жительнымъ , не можетъ быть выражено чрезъ дробь ”.
6 Означимъ чрезъ т и п — т -(- і, два цѣлыя числа, изъ коихъ і одно непосредственно болѣе, а другое непосредственно менѣе —, въ такомъ случаѣ будемъ имѣть і — 771 п--V , гдѣ р, й ѵ суть числа заключающіяся между нулемъ и едини- і цею. Очевидно, что выраженіе (і—(~а)а будетъ заключаться между двумя слѣдующими: (1+Д)“=[(1+ЭТ и, какъ для величинъ а уменьшающихся до безконечности, или, что все равно, для величинъ т и п безконечно возрастаю- щихъ , количества (.1+") > ’ одно и другое стре- мятся къ предѣлу е, между тѣмъ какъ !+“> 1безпре- станно приближаются къ единицѣ, то изъ сего слѣдуетъ, что йаждое изъ выраженій і і + (1+ІЛ 1 а также и промежуточное выраженіе (і —[-«)“ будетъ стре- миться къ предѣлу е. Предположимъ наконецъ, что а сдѣлается количествомъ отрицательнымъ. Въ такомъ предположеніи, пусть будетъ І -Ь а —- гдѣ @ означаетъ количесійво положительное, и которое само будетъ стремиться къ нулю; найдемъ і 1 -р а 1 (1 + а)“ = (1 +.<?)“= [(1 + РГ
7 потомъ, переходя къ предѣламъ, 1 пр. (і ч- а) а т еп$' С1 + а) — е. Ежели перемѣнная величина уменьшаясь безпрест ан но сдѣлается наконецъ менѣе всякаго даннаго числа, то въ семъ случаѣ сія перемѣнная навивается безконечно-малымъ количе- ствомъ. Сего рода перемѣнная имѣетъ предѣломъ нуль, у по- требленное нами количество а въ предъидущихъ вычислені- яхъ, принадлежитъ къ величинамъ такого рода. Ежели перемѣнная величина безпрестанно увеличивается, такъ что наконецъ сдѣлается болѣе всякой данной величины, въ такомъ случаѣ сія величина имѣетъ предѣломъ положитель- ную или отрицательную безконечность, именно: она имѣ- етъ предѣломъ положительную безконечность, означаемую чрезъ знакъ оо , ежели она сама положительная; и отрица- тельную безконечность, изображаемую знакомъ оо, ежели идетъ дѣло о перемѣнной отрицательной. Таково есть пере- мѣнное число т, которое Мы предъ симъ употребляли.
УРОКЪ ВТОРЫЙ. О непрервівнбіхЪ и прербівнвіхЪ функціяхъ. Геометрическое изображеніе непрервівнвикЪ функцій. Ежели перемѣнныя количества зависятъ однѣ отъ другихъ такимъ образомъ, что по данной величинѣ одного изъ нихъ, можно вывести величины всѣхъ прочихъ, то всѣ сіи различ- ныя количества выражаются обыкновенно посредствомъ одного изъ нихъ, которое и называется въ такомъ случаѣ перемЪн- нвімЪ независимымъ; а другія количества, выраженныя по- средствомъ перемѣнной независимой, называются функціями сей перемѣнной. Равнымъ образомъ, ежели измѣняемыя количества зависятъ однѣ отъ другихъ, такъ что по даннымъ величинамъ нѣкото- рыхъ изъ нихъ, можно вывести величины всѣхъ прочихъ, то всѣ сіи различныя количества выражаются посредствомъ нѣкоторыхъ изъ нихъ, которыя и принимаютъ тогда назва- ніе перемЪннвіхЪ независимвіхЪ-, а другія выраженныя посред- ствомъ перемѣнныхъ независимыхъ, именуются функціями сихъ самыхъ перемѣнныхъ. Различныя Алгебраическія и Три- гонометрическія -выраженія, составленныя изъ перемѣнныхъ принимаемыхъ за независимыя, суть функціи сихъ перемѣн- ныхъ. Такъ, на примѣръ , Ь (х), 8ІП X, и проч. . . . суть функціи перемѣнной X; а х +у, х^, хуг,............ суть функціи перемѣнныхъ х и у я.лв. х, у и г; и проч.
9 Когда функціи одной или нѣсколькихъ измѣняемыхъ, какъ въ предъидущихъ примѣрахъ, непосредственно выражены чрезъ сіи самыя перемѣнныя, то онѣ называются функціями яднвсми. Но когда извѣстны однѣ только отношенія между функціями и измѣняемыми независимыми величинами, то есть, уравненія, которымъ всѣ сіи количества должны удовлетво- рять , то, доколѣ сіи уравненія не будутъ рѣшены, функціи, не бывъ выражены непосредственно чрезъ перемѣнныя, назы- ваются функціями неявнвьми. Чтобы сдѣлать ихъ явными, стоитъ только, ежели сіе* возможно, рѣтить уравненія ихъ опредѣдяющія. На примѣръ, пусть будетъ у функція неявная перемѣнной х, опредѣляемая уравненіемъ (У) — х > ежели представимъ чрезъ А основаніе разсматриваемой нами системы' логариѳмовъ, то таже самая функція, сдѣлается яв- ною чрезъ рѣшеніе даннаго уравненія, и будетъ у “ Ах. Когда потребуется означить явную функцію одной пе- ремѣнной х, или многихъ х, у, г.............не опредѣляя именно .какая функція , то употребляютъ обыкновенно одно изъ слѣдующихъ знакоположеній: /(х), Г(х), р(х), %(х), ф(х), о (х), ..... и проч. у> г . . . .), (х> У> • • • • •), ф у> 2.), и проч. Въ вычисленіяхъ употребляютъ часто букву Д для озна- ченія приращеній двухъ измѣняемыхъ величинъ, зависящихъ одна отъ другой. И такъ, ежели перемѣнная у выражена чрезъ функцію перемѣнной х уравненіемъ О) У=/(х)> то Ау, или приращеніе перемѣнной у соотвѣтствующее при- ращенію Д х перемѣнной х, опредѣлится формулою 2
до — (2) уЧ-Ду + Дя) И вообще, предполагая (5) Р (х, у) 2= О будемъ имѣть (4) К(х -+- Дх, у ч- Ду) — о. Замѣтимъ, что ежели изъ уравненія (2) вычтемъ уравне- ніе (і), то получимъ (5) Ду=/(х + Дх)—/ (х). Пусть будутъ теперь ки і два различныя количества, первое конечное, другое безконечно-малое, а а ~ безконечно- милое отношеніе сихъ двухъ количествъ. Ежели количеству Дх припитемъ величину конечную к, то величина Ду, взя- тая въ уравненіи (5) приметъ названіе конечной разности функціи у (х) п будетъ почти всегда конечнымъ количествомъ. Напротивъ того, ежели количеству Д х припишемъ безконечно малую величину, полагая на примѣръ , Д х ~ і И2 а Д , то величина А У, шо-есшь, У(х-ні)—У(х) или у(х 4-аД) —у(х), будетъ почти всегда безконечно - малое количество. Въ чемъ легко удостовѣримся въ разсужденіи слѣдующихъ функцій: Ах, зіп х, СО5 х, коимъ соотвѣтствуютъ разности АХ+І~АХ~ (А* — і) Ах, зіп (х + І) — зіп X “ 2 зіп -Д СО8 (х -(- у), СО8 (х -4- І) — СОЗ X ~ 2 ЗІП (х у), изъ коихъ каждая содержитъ или множителя А1 — I , или ЗІП у, оба ‘приближающіяся къ нулю вмѣстѣ съ і»
II •— Ежели функція / (х) измѣняется съ величиною х такимъ образомъ , что для каждаго. значенія сей измѣняемой величи- ны, заключающейся въ данныхъ предѣлахъ, она имѣетъ одну (*) совершенно опредѣленную, величину, тогда разность /(»-+-О—Л») м'ежду тредѣла’ми величины х будетъ количество безконечно5- малое; функція же / (х) удовлетворяющая сему условію, на- зывается между тѣми предѣлами непрерывною функціею из- мѣняемой' х. Равнымъ образомъ, функція / (х) будетъ непрерывною въ сопредѣльности какой либо частной величины количества X, когда сія функція есть непрерывная между двумя предѣлами, заключающими предъидущую частную величину х, хотя бы сіи предѣлы разнствовали весьма мало отъ оной величины. Наконецъ, когда функція перестаетъ быть непрерывною въ сопредѣльности какой-бы то ни было частной величины х, то въ такомъ случаѣ она принимаетъ названіе прерывной функ- ціи, ибо тогда для оной частной величины х имѣется ра&- рвівЪ непрербіенѳеНім (зѳІиНст сіе сопііпиііе). Такъ, на примѣръ, і для функціи — разрывъ непрерывности имѣетъ мѣсто когда х_о; для функціи ѣап§ х г сей разрывъ существуетъ для , СЗ^Н-іУтг , Х“_------2---> гдѣ Я есть ка'кое нибудь цѣлое число, и проч. Изъ сихъ изъясненій легко можно узнать, между какими предѣлами данная функція перемѣнной х будетъ непрерывною. (Подробнѣе о семъ изложено во II главѣ I части (іи Соиг& й'АпаІузе изданнаго въ 1821 году.) (*) Случается иногда что функція /"(х) для данной, совершенно опредѣленной ве- личины х, можетЪ имѣть нѣсколько различныхъ величинъ; такова есть 1 Функція----которая равняется -+- со когда х —і. х — 1’ Прилі. Переводчика. 2 *
12 Теперь вообразимъ кривую линію данную чрезъ уравненіе между Прямоугольными координатами. Ежели функ- ція /(х) будетъ непрерывною между предѣлами х~хо и х_Х, то каждой абсциссѣ х, заключающейся между сими предѣлами будетъ соотвѣтствовать одна только ордината; и сверхъ то- го, когда X получитъ безконечно-малое приращеніе Дх, то у увеличится на безконечно-малое же количество Ду, а посему двумъ безконечно-мало разнствующимъ абсцйссамъ х, х -Ь Дх, будутъ соотвѣтствовать на кривой линіи двѣ безконечно-близ- кія точки, ибо разстояніе .сихъ точекъ выразится чрезъ без- конечно-малую величину УЛх9' 4- Ду\ Симъ условіямъ можно удовлетворить только тогда , когда кривая линія будетъ не- прерывная между предѣлами х “ хо и х X. Примѣрѣ. Построить кривыя линіи выражаемыя уравне- ніями у=хт,у~7т, у = ^,у = 1(х)> У = 51ПХ, гдѣ А означаетъ положительное количество, а тп цѣлое число. Опредѣлить общій видъ сихъ кривыхъ линій.
УРОКЪ ТРЕТІЙ. О производныхъ срункціяхЪ одной перемѣнной. Положимъ, что функція у (х) есть непрерывная ме- жду Двумя данными предѣлами перемѣнной х , и что сей пе- ремѣнной дана величина содержащаяся между сими самыми предѣлами, то безконечно - малое приращеніе получаемое из- мѣняемымъ количествомъ, произведетъ безконечно же малое приращеніе самой функціи. Слѣдственно , полагая Д X 32: числитель и знаменатель отношенія разностей (1) Ьу __/(х+г) —/С*) Дх і будутъ количества безконечно-малыя. Но, между тѣмъ какъ числитель и знаменатели будутъ безпрестанно и въ одно время приближаться къ нулю, самая дробь будетъ стремиться къ другому, или . положительному , или отрицательному пре- дѣлу. Сей предѣлъ, для каждой данной величины х, имѣетъ опредѣленную же величину, которая впрочемъ измѣняется вмѣстѣ съ х. Такъ, на примѣръ, полагая / (х) — хт, гдѣ т означаетъ цѣлое число , отнотеніе безконечно-малыхъ разно- стей будетъ а предѣлъ онаго количество тхп которое есть новая функція перемѣнной х. Точно также и вообще; только видъ новой функ- ціи, которая будетъ служить предѣломъ отношенію
і4 — будетъ зависѣть отъ предложенной функціи у —/(х). Для означенія сей зависимости , даютъ обыкновенно предѣлу сего отношенія названіе производной функціи, которая и означается чрезъ знакоположеніе у/ или // (х). При изысканіи производныхъ функцій выраженія / (х), должно различать функціи называемыя проствши, и которыя изо- бражаютъ одно какое нибудь дѣйствіе произведенное надъ сею перемѣнною, отъ тѣхъ функцій, кои выводимъ посредствомъ многихъ дѣйствій и которыя «посему именуются сложивши. Простыя функціи произходяіція отъ алгебрическихъ и три- гонометрическихъ дѣйствій (Слюпіри I часть Ли Соигз Л’АпаІузе, Гл. I.), могутъ быть приведены къ слѣдующимъ ач-х, а — х, ах, х“, А*, І/(х), 8Іп X, СО8 X, агс 8ІП X, агс СО8 X, гдѣ А есть постоянное число, а — ± А постоянное же количе- ство, а буква Л означаетъ логариѳмъ взятой въ той системѣ, коей основаніе есть А. Полагая величину у равною одной изъ сихъ простыхъ функцій, вообще легко будешь получить произ- водную у'. Такимъ образомъ найдется, полагая у — а X, д у ДХ ГаЧ-хЧ-А —(аЧ-х) , . . — і, у — I; полагая Ау {а—х—г) — (а — х) _ У — а Дх _-г,у—~і; полагая У=ах, Ду «(хЧ-А— ах / . ДХ г — а > У — а > полагая а Ду У X ’ ДХ ' І Х^х-Н’)* / Х*> полагая у “ 8Ш X, Ду . Дх -уг- СО8 (X Ч- 5 і), У — СО8 X ГГ 81П (X 4- г); полагая У — СО8», Д у . 8ІПІІ . .. / . / Дх~~ 8111 ЫІІЛ—— ѴОо | 2/
15 Сверхъ того, полагая і~ ия, А* — ІЧ-(3 и (іЧ- а)а — I Ч- у, найдется 2. г /„>> Ау_і(я?-+-/)—-ІА*)2Ц1-Ч*)_,і(і+<х^а / і(«). полагая х = Ь(®), -- .х ^у_Ах~^г — Ах___ Л+-1 .х Ах , Ах полагая у—А , д*------у—— =— ру — !&> і а Д>^(хЧЧ)*—„„, _і(1+а)а , полагая у —х , =------------------х9 -------7 аха \у\ ь(і-нх)7 Въ сихъ послѣднихъ формулахъ,. буква е означаетъ число і 2,7182818 . . которое служиійъ предѣломъ выраженію (1 Принявъ сіе число за основаніе системы .логариѳмовъ, полу- чимъ Нспероааі, или гиперболическіе логариѳмы, іюшорые впредь будемъ означать всегда буквою I. И такъ, очевидно , что г(е)-і,’ , I. е Ія , 1 , ѣе —• І.Л ІА ІА? « сверхъ шого найдется . . 7У . , і полагая ЗС~Г(ЗС;, у _ у5 полагая у “ , у е . ПредъидуіцІя формулы выведены толико для величинъ х, кой&ъ соотвѣтствуютъ вегцественныя величины у; а посему должно, чтобы въ выраженіяхъ Ъ (х), 7 (X), величина х была положи- тельная, равнымъ образомъ и въ функціи ха , когда а озна- чаетъ дробь съ четнымъ знаменателемъ, или ирраціональное число. I ах Теперь пусть будетъ г другая функція х, сопряженная съ первою у формулою
іб — (2) гдѣ з или Р (/х) называется функціею отЪ функціи пере- мѣнной X; означивъ чрезъ Дх, Ду, Дг, безконечно - малыя и одновременныя приращенія трехъ перемѣнныхъ х, у, г, найдемъ А» Р(УЧ~ Ау) — Р(у) Р(у4-Ау)—,Р(у) Ау Дх ’ Дх Ь.у ' Дх’ потомъ, переходя къ предѣламъ, (3) У — У. Р7 (у) (х). Р' (/х). Напримѣръ, полагая з~ау, а. у~1(х), получимъ 2: — ау Помощію формулы (3) легко опредѣлятся производныя функ- ціи выраженій Ах, хау агс зіп х, агс соз х, предполагая извѣст- ными производныя функціи количествъ Ъ (х) , СОЗ х, х. И дѣйствительно, найдется полагая у ~АХ , Ь(у)~X, / ~~ ~ і, у' = = Ах I (А); полагая у -х1, Цу)~а1(х), У у = У —а^ — аха~1- полагая уггагс зіп х, зіпу~х, у созу~і, у ~ , / . у — 1 ___ — 1 полагая у^агссозх, со«у“х, —узіпу~і,у= Сверхъ того, производныя функціи сложныхъ количествъ еу, у будучи соотвѣтственно, въ слѣдствіе формулы (3), /е», —у^, то производныя слѣдующихъ функцій , _ 1 А , ее , зёсх —— -—, созесх — будутъ АВ* Вх I (А) I (В), е*ех ,
17 Замѣтимъ, что производныя функціи сложныхъ количествъ опредѣляются иногда съ такою же удобностію, какъ и произ- водныя функціи простыхъ количествъ. Такъ, на примѣръ, на- ходимъ -4_ 8ІП X Д *У 1 /8ІП (х+і) 8ІП _ 8ІП І полагаяу____________________________________________я» сое х’ Д« 1'СО8(я?+І} С08Х'_*С08Х'С08(х+І)* X — 2 > ✓ СО8аХ' ____________ ___сое х А у 1/со8(х+г)-созх\ віпг полагая у ~ соѣ.х ~ , —- — . _.-гг - - ) — , -г Л 8Ш X Д. X • I >81И ;«•+/) 8И1 X' Іішхяп(х+«Г __ . 1 8ІП 2 X * изъ сего выводимъ у' ' / > і . полагая у ~ агс 1ап§х, ?ап§у= х, —8 1, у = соз у — — полагая у г: агс соі х , соѣ у _ х, ~ 1, у?—-зіп’у — —
УРОКЪ ЧЕТВЕРТЫЙ. Дифференцированіе функцій одной- перемѣнной. Пусть будутъ у—^(х) функція измѣняемой х, і безконеч- но-|иалое количество, и к конечная величина. Полагая і~(Діу гдѣ а также безконечно-малое количество , получимъ /(* Ч- і) —УМ • __/(х-р-оА) — Л(х) і ’ аА ’ откуда произойдетъ ( 1) /(х-4-аА)—/(х) __ /(хЧ- і) — Предѣлъ, къ которому приблия?ается первая часть уравненія (і), между тѣмъ какъ а приближается къ нулю, а количе- ство к остается постояннымъ, называется дифференціаломъ функціи у ~/{х). Сей дифференціалъ означаютъ буквой чі, слѣдующимъ образомъ: йу или сі/(х). Зная величину производной функціи у^ или (х), легко най- ти оные дифференціалы. И дѣйствительно, взявъ предѣлы обѣихъ частей уравненія (і), найдется (2) =к/г (х). Въ частномъ случаѣ, і огда /(х) ~ х, уравненіе (2) даетъ (3) Нх^к. И такъ дифференціалъ перемѣнной независимой х, равняется постоянному количеству к. ура вненіе (2) можно замѣнить слѣдующимъ
19 (4) О) • или, что все равно, уравненіемъ (5) Лу—уЛл. Изъ сихъ послѣднихъ уравненій слѣдуетъ , что производная функція у7 (х) какой либо функціи у (х) равняется . <?У отношеній дифференціала функціи къ дифференціалу перемѣнной величины, или, что все равно, коеффиціенту, на котораго должно умножить дифференціалъ измѣняемой вели- чины, чтобы получить дифференціалъ функціи. По сей-то причинѣ производная функція иногда называется дифферен- ціалвнвімЪ коеффиціентомЪ. Дифференцированіе функцію, значитъ найти ея дифферен- ціалъ. Дѣйствіе для сего употребляемое называется диффе- ренцированіемъ . По уравненію (4)> весьма легко найти дифференціалы тѣхъ функцій, коихъ производныя функціи извѣстны. Приложивъ сіе уравненіе къ простымъ функціямъ, получимъ а(а+х)_ &х, &(а — х)~—Их, сІ(ах)—асІх, (1 (—) ——а^’> (1 (ха)^: аха~~І сіл; а.Ах=АхІ(А).Алі А.ех=.ех Лл-, (1.5ІП Л — СО8 Л . (ІЛ~ 8ІП (л Ч- у) &Л; (1 . СО8 Л~— 8Іп Л . ГІ Л ~ СО8 (л 4- ~) &Л-, , . с?х , Ах а. агс 8іп л ~ а . агс соз л ~ Ѵі—Х2 Ѵі-Хі Такимъ же образомъ найдемъ , __ А х , А X е а. = -а.соіл—-^-, з*
20 а . агс Іап§ х " 71^2 •> а . агс соі х “ — > , , 8ІПХ.<Дг , СО8ХСІХ а . зес х “—~2—> а. созес х ~ — ѵлѵ"* С08х х ’ вні* х Въ сихъ дифференціалахъ количеству х можно приписы- вать только тѣ величины, для коихъ, въ предъидущемъ урокѣ, мы опредѣлили производныя функціи соотвѣтствующія симъ дифференціала^ ъ. А посему, простыя функціи, коихъ дифференціалы мы нашли для всѣхъ вещественныхъ величинъ х, суть слѣдующія, а а 4-а?, а — х, ах, А*, еж, зіп а?, соз х; къ нимъ можно прибавить и функцію ха , когда количество а будетъ или цѣлое число или дробь съ нечетнымъ знамена- телемъ. Что же касается до дифференціаловъ простыхъ функцій агс зіп х, агс соз а?, Ъ(х), I (х) у то въ двухъ первыхъ величина а; должна заключаться между предѣлами 4- I, и — I, а въ двухъ послѣднихъ между предѣлами о и оо; между сими послѣдними предѣлами должна заключаться таже величина X въ дифференціалѣ функціи Ха, ежели численная величина количества а будетъ дробь съ четнымъ Знаменателемъ или ирраціональное число. Сообразно съ сказаннымъ нами въ I части (іи Соит$ (і'АпаІузе, мы будемъ употреблять знакоположенія агс зіп а?, агс соз а?, агс Іа п§ х, агс со іа?, агс зес а?, агс созеса?, для озна- ченія наименьшей изъ дугъ, соотвѣтствующихъ триго- нометрической линіи X; ежели же случится , что одной и той же тригонометрической величинѣ будутъ соотвѣт- ствовать двѣ равныя дуги, одна положительная, а другая отрицательная, то предъидущія знакоположенія будутъ озна- чать положительную дугу: изъ сего слѣдуетъ , что агС зіп а?, агс Іап§ х, агс со! а?, агс со ч'с х, суть дуги, заключающіяся ме-
21 7Г 1Г , жду предѣлами—у, +• у» а агс соз гг, агсзесгг, заключаются между предѣлами о и «т. Положивъ у ~/(х) а Дгг ~ аЪ., уравненіе (і), коего вторая часть имѣетъ предѣломъ Ау у можетъ быть предста- влено въ видѣ ^=<*у4-/?, гдѣ означаетъ безконечно-малое количество; отсюда выхо- дитъ (6) Ду ~ а (Ау 4- Пусть будетъ а другая функція перемѣнной х. То такимъ же образомъ получимъ Д г “ а (Аъ -г- ѵ), гдѣ ѵ означаетъ количество безконечно-малое. Раздѣливъ по- слѣднее уравненіе на предпослѣднее,/получимъ Да __ сіъ-\-ѵ Ау ^у+ Р потомъ, переходя къ предѣламъ , , . Да <7 х %' <іх ъ' ду ~~~ сіу у' <1х у'* Откуда слѣдуетъ, что отношеніе безконечно-малеіхЪ разно- стей деухЪ функцій перемѣнной \ееліілмнбі лс иліѢетЪ предѣ- ломъ отношеніе иаЪ ди<Ізференціалое>Ъ или ихЪ производнвілЪ функцій. Теперь положимъ что г есть функція у, выраженная ура- вненіемъ (8) г = Г(у). Отсюда выведемъ Д» Р(у-\- Ау}— Р\у} . Д У Л. у } потомъ, переходя Къ предѣламъ, и соображаясь съ формулою (7), получимъ
22 э?=7=Г(/)> (9) <І2 =?'Сг) <2/, г'=уг'(у). Второе изъ уравненій (д) не разнится отъ формулы (3) предъидущаго урока. Сверхъ того у ежели въ первомъ изъ уравненій (д) вмѣсто г поставимъ Р (у), то получимъ слѣ- дующее уравненіе (іо) АР(у) — Р'{у) Ау, коего видъ сходенъ съ видомъ формулы (4) и которое служіитъ для дифференцированія функціи у, даже тогда, когда у будетъ зависѣть отъ другой измѣняемой величины. ПримЬрві. А(а±у)~Ау, А(а—-у)——Ау, А(^ау)—аАу, (Іеу~еуАу, ЛІ О) ~у>АІ (/) = =. ~і А\1 (у'У— у, и проч.. . А . аэс™— а А (хт) ~тахт~'і Ах, Аее — ее А (е*) ~ее ех Ах, 3 7 • _ ЙІ8ІП X _ СО8ХСІХ <ІХ , С?Х а . / зіп х — — ---, А. ііапех—---—, и проч. . . . 8тх 8т х іап%х & 8іпх. созх Первая изъ сихъ формулъ показываетъ, что присовокупленіе постоянной величины кЪ функціи не измЪняетЪ ея дифферен- ціала, а слЪдователвно и ея производной функціи.
УРОКЪ пятый. Дифференці&лЪ сулімві. нЪсколвнихЪ функцій раеенЪ сумллЪ ихЪ дифференціаловЪ. Слѣдствія вбіводилібія, изЪ сево правила. Дифференціалві. ллнимыхЪ функцій. Въ предъидущихъ урокахъ , мы показали кавимъ образомъ находятся производныя функціи одной перемѣнной. Теперь войдемъ въ нѣкоторыя подробности по сему предмету.* Пусть будетъ х измѣійіемая независимая величина, а Да; безконечно-малое приращеніе сей перемѣнной. Означивъ чрезъ з, и, ѵ, іѵ..нѣсколько функцій х , а чрезъ Д$, Ди, І-Ѵ, Діѵ .... приращенія сихъ функцій соотвѣтствую- щія приращенію Дх измѣняемой х, то изъ самаго'опредѣле- нія дифференціаловъ слѣдуетъ, что сіи дифференціалы будутъ соотвѣтственно равны предѣламъ отношеній А/ А и Аг> Аи> а 9 а 9 а 9 а 9 * * * * ' Предположимъ теперь что (I) з ~и Ч~ ѵ -4- іѵ -4- и проч.... то найдется Д 5 “ Ди'-ь Ди 4-Д іѵ 4- . . . ., потомъ, раздѣливъ на а, будетъ А я _ А и . А ѵ . Аи> . V — Т-Т" V и ПР°Ч, наконецъ, переходя къ предѣламъ, (а) &з зг сіи сіѵ + ^*ѵ + • • • •
— 24 — Сіе уравненіе будучи раздѣлено на &х, доставитъ (3) —і/Ч-і/ч-м/. Сравнивъ формулу (з) или (3) съ уравненіемъ (і) окажется, что производная функція или дифференціалъ суллмви нЪсколв- кихЪ функцій равняется суммѣ ихЪ производнвіхЪ функцій или ихЪ дифференціаловъ. Изъ сего правила мы выведемъ слѣдующія слѣдствія. Во первыхъ, означивъ чрезъ т цѣлое число, а чрезъ а, Ъ, с . . . . р, ц, г постоянныя количества, найдемъ (4) й(и-\-ѵ)~сІи-^-сІѵ, сі(и—ѵ)~сІи—сіѵ, 8,(аич-Ъѵ)~аЛи-\-ЪЛѵ\ (5) сІ(аич-Ъѵ-+-сѵ)-+-. .. .')~асІи^г-Ь<1ѵ~[-с(1п)-+-. . . .; с с^ах^ -+-Ъхт~1 -]~схп~я~і- .. [-рхЩ-дхц-г) № < ~[тахт~'Ч-(то—і^Ъхт~я-\-(т—2)схт~3-1-2рх-і-д](1х. Выраженіе ахт +-Ъ хт~~1Ч- схт~®+ .. рх!>+ дх-]~г, въ кото- ромъ всѣ члены пропорціональны цѣлымъ степенямъ перемѣн- ной х, называется цѣлою функціею сей перемѣнной. Озна- чивъ сію функцію буквою 5, въ силу уравненія (6), получимъ, тахп~~1 ч- (то — і) Ъхт~~®ч-(то— з) схп~'3-Ц- . .. ч- ч.рзе Ч-'ф И такъ, для полученія производной какой нибудв цѣлой функ- ціи , должно умножите каждвсй ълёкѣ на ~сооііівЪтствующаео показателя перемѣнной, и уменьшите онаго единицею. — Легко видѣть, что сія теорема существуетъ и для мнивіыхъ величинъ х. Теперь пусть будетъ (7) 5 _ иѵл» . ... . гдѣ функціи и , ѵ, іѵ ... . суть положительныя величины; взявъ логариѳмы получится (8) ?(«) = /(«) 4-7(Ф) + 2бѵ)Н- . . . . Впрочемъ, каковы бы ни были и, <.., какъ 5 ~ .. . . , то будетъ
25 (9) И (52) (и2)+ 1/(и2)+ 1/ и приложивъ правило выражаемое формулою (8) 'или форму- лою (у), найдемъ <15 ___ Л и <1 ѵ . (1и> , .у • и । ѵ 1" выводимъ Л (иѵѵ).. . ^.ѵтз). .. Ли -|- ип). ІІримЪрос: Л (иѵ) — иЛѵ -ф ѵ&и, Л (иѵт) ~ ѵп)Ли итсіѵ-]- иѵЛт, Л. х 1(х) = [ і -ф- / (»)] Л х, Л (хае~ ж) — хае~х(^ — 1)Лх, и проч. откуда Л и [ Лѵ , &и> и ' ѵ 1 іѵ Пусть будетъ (12) $ — То взявъ дифференціалъ I ($) или 11 (л2), найдемъ Л$ Ли Лѵ , и /Ли Лѵ\ з и ѵ 3 8 ' ѵ \ и ѵ ) 5 і и г Ли — (іЗ) и наконецъ я Ли—ийѵ “'Уѵ/ ---- ѵ2 до того же самаго вывода, наблюдая что диффе- , / 1 \__ 1 , , , / 1 \_сіи и Л ѵ А х СО82 X 9 г г) « \ ѵ / і; СО8 X . Л 8ІП X — 8ІП X . <1 СО8 X СО82 X х2 Можно дойти ренціалъ Л (-) „ , , __ , 8ІП X Ириморвс: а . 1ап§ х — а . —— , йх а.соі х—— 81П2 X' , / Ъ \ __ — ЪЛ х Уа-Ь-х' ~~~ (аН-х)2* Ежели функціи и, ѵ будутъ цѣлыя, то отношеніе при- метъ названіе раціоналвной дроби. Легко опредѣлить диффе- ренціалъ оной употребляя формулы (6) и (іД). Сыскавъ дифференціалы произведенія и ѵ V) . . .. и частнаго и числа —> легко будетъ найти дифференціалы многихъ дру-
2б 1 IV • ѵ ѵ 7і ѵ _ гихъ выраженіи, каковы суть и , и, и , и проч. . .. Дѣйстви- тельно, найдется полагая 8—и-, 1(8)=ѵІ(и), ^=ѵ~+1(и)Нѵ, сІ8=.ѵи іНи+иІ(и')Нѵ; і і__* і_ полагая Нз-иѵ 1(и) ±- 4 ' ѵ к ' 5 иѵ 4 7 ѵ ѵ 7 г,2-* полагая , 7(5)=Л(и), <І8~и 1(и)Нѵ+1(и).1(ѵ).<іи>]; и проч........ і і ПримЪрбі’. (1 (хх)~хх [і -]-2 (х)] Нх, Н(х И . Xх* — и проч......... Мы окончимъ сей урокъ разысканіемъ дифференціала мни- мой, функціи ; сіе названіе дается каждому выраженію могущему принять видъ и-\-ѵ~Ѵ— I , гдѣ и и ѵ означаютъ вещественныя функціи. Назовемъ предѣломъ мнимой функ- ціи то выраженіе въ которое сія функція превратится, когда замѣнятся какъ вещественная ея часть такъ и коеффиціентъ у У — I соотвѣтствующими имъ предѣлами; сверхъ того, распространимъ данныя нами опредѣленія касательно произ- водныхъ функцій и дифференціаловъ вещественныхъ функцій и на мнимыя, то легко окажется, что уравненіе доставитъ слѣдующія формулы: Д5=ДиН-ДпУ=і; + ' Дх д X 1 Дх У гг: г/ ѵг А 5 Д и . Д ѵ -р/ а а ' а * (1з “ Ни-}- НѵѴ— і. Слѣдовательно
27 Видъ сего послѣдняго уравненія сходенъ съ видомъ уравненій (4)* Для примѣра положимъ 5 ~ Со8 X + V — I 8Іп X ; найдется 8з — [_СО8 (х + -+- У— і 8Іп (х 4"8х ~з . Ѵ~і8х. Прибавимъ еще, что формулы (4), (5), (б), (ц) и (і4) будутъ имѣть мѣсто и тогда, когда постоянныя величины а, Ъ, с ... р, ц, г, или функціи и, ѵ, V) ..., заключающіяся въ сихъ формулахъ сдѣлаются мнимыми.
УРОКЪ ШЕСТОЙ Употребленіе дифференціаловъ и производныхъ функцій при рѣшеніи нѢкоторвіхЪ задача. Наибольшая. и наименвшая вели- чина функцій одной измѣняелюй. Величинві, дробей предста- вляющихся вЪ видѣ Узнавъ какимъ образомъ сыскиваются производныя функціи и дифференціалы функцій одной перемѣнной, мы покажемъ употребленіе ихъ при рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ. гя Задача. Положимъ, что функція у (х) еств непре- рвсвная вЪ сопредѣльности частной величины, х ~ х0, спраши- вается, оная функція будетЪ ли увеличиваться или улленешать- ся, сЪ увеличеніемъ или сЪ уменвшеніемЪ, начиная отЪ х — х0, самой измѣняемой величины. Рѣшеніе. Пусть будутъ Дх, Ду, безконечно-малыя прира- щенія перемѣнныхъ х, у. Отношеніе будетъ имѣть пре- гіу________ х дѣломъ — у . Изъ сего должно заключить, что для весьма малыхъ численныхъ значеній Дх, и для настрой величины ___ . Лу X — хи, отношеніе будетъ положительное, ежели соотвѣт- / сшвуюіцая ему величина у есть количество конечное и поло- жительное, а отрицательное, ежели сія величина у^ будетъ
29 конечное но отрицательное количество. Въ первомъ случаѣ, поелику безконечно малыя разности Дх, Ду, имѣютъ одина- кой знакъ, то функція у будетъ увеличиваться вмѣстѣ съ перемѣнною х, начиная отъ ж±хо. Во второмъ случаѣ, по причинѣ того, что безконечно малыя разности имѣютъ про- тивные Знаки , функція у будетъ увеличиваться, когда пере- мѣнная х будетъ уменьшаться, и на противъ того, оная функ- ціи съ увеличеніемъ измѣняемой будешь уменьшаться. Положимъ что функція у~/(х) пребываетъ непрерывною между двумя данными предѣлами х — хо и х “ X. Ежели из- мѣняемая величина X будетъ нечувствительно увеличиваться переходя отъ перваго предѣла ко второму, то функція у бу- детъ также увеличиваться, когда ея производная функція бу- детъ положительною; ежели же сія производная функція бу- дешь отрицательною, то у будетъ уменьшаться. И такъ, функція у можетъ, переставъ увеличиваться, начать умень- шаться, или, переставъ уменьшаться, начать увеличиваться, тогда только, когда производная ея функція у/ перейдетъ изъ положительнаго состоянія въ отрицательное, или на оборотъ. Но чтобы сей переходъ могъ имѣть мѣсто, то необходимо должно, выключая тотъ случай, когда у' сдѣлается прерывною функціею, чтобы оная функція обратилась въ нуль. Когда какая нибудь величина функціи / (х) превосходитъ всѢ сопредѣльныя съ нею величины, то-есть, всѣ тѣ, кои по- лучатся, измѣняя безконечно мало перемѣнную х, то сія вели- чина функціи называется наибольшею. Когда же какая нибудь величина функціи у*(х) будетъ ме- нѣе всѣхъ смежныхъ съ нею величинъ г то оная называется наименьшею.
— Зо — И такъ ясно, что ежели двѣ функціи / (х), (х) Суть не- прерывныя въ сопредѣльности данной величины перемѣнной х; то сія величина доставитъ наиболешую или наилсенешую величину У(х), не иначе какъ уничтоживъ у (х). 2-я Задача. Найти наибольшія и наиліенвшія великины функціи одной перелсЬнной. Рѣшеніе. Пусть будетъ / (х) предложенная функція. Разы- щемъ сперва величины х, для которыхъ функціяф(х) сдѣлает- ся прерывною. Каждой изъ сихъ величинъ будетъ соотвѣт- ствовать извѣстная величина самой функціи; и обыкновенно случается, что величина сія бываетъ или безконечное коли- чество, или наибольшая или наилленешая величина функціи. Потомъ, найдемъ корни уравненія (і) / (х)=о и тѣ величины х, отъ которыхъ У(х) дѣлается прерывною; изъ нихъ самыя примѣчательныя суть корни уравненія (2) У' (X) — 42 оо или — о Пусть будетъ х — хо одинъ изъ сихъ корней. Соотвѣтствен- ная величина У (х), то-есть У(х0) будетъ наибольшая, ежели въ сопредѣльности х — Хй, производная функція ух (х) будетъ положительная для х < х0, и отрицательная для X > Хо. На- противъ того, У(х0) будетъ наилленешая, когда производная функція У (х) будетъ отрицательная для х < хо, и положи- тельная для х > хо. Наконецъ, ежели въ сопредѣльности X —х0, производная функція (х) будетъ постоянно положи- тельная, или постоянно отрицательная, то количество У(х0) не будетъ ни1 наибольшею ни наилленаиею величиною.
Зі Примѣра,. Функціи х^, при переходѣ величины х чрезъ нуль въ отрицательное состояніе, дѣлаются прерывными; онѣ изъ вещественныхъ становятся мнимыми; величина первой изъ сихъ функцій, для х — о, есть наименьшая, а величина второй функціи для той же величины измѣняемой х есть наибольшая. Выраженія х2. х7, имѣющія своими производными: первое функцію переходящую чрезъ нуль изъ положительнаго состоя- нія въ отрицательное , а второе функцію переходящую чрезъ безконечность изъ положительнаго состоянія въ отрицатель- ное , имѣютъ каждое наименвшую величину равную нулю. Что же касаепщя до функцій х’, х3, коихъ производныя обра- щаются, для х — О, одна въ нуль, а другая въ безконечность, но сами остаются положительными для всѣхъ возможныхъ величинъ х, то онѣ не имѣютъ ни наибольшей, ни наимень- шей величины. Функція х2ф-рх-^-^, коей производная функція есть 2X4-р> получаетъ наименвшую величину д — когда х ~ р, что легко можно повѣрить, представивъ данную функцію въ слѣ- дующемъ видѣ: (х -|- |р)2 + <7— | р2. . лх их г і ' і -і Функція — , коей производная есть — — у._] > полу- чаетъ наименвшую величину когда х — Ь (е), и когда А болѣе единицы. Функція , коей производная есть —2 [Ь (е)—Ь(х)]> а — получаетъ наиболвшую величину — у, когда х — е. Функція ха.е~х, коей производная есть ха.е~я(~—1)> получаетъ наибольшую величину аа . е~а, когда х ~ а.
32 5 я Задача. Опредѣлите наклонности кривой линіи вЪ данной тоскѣ? Рѣшеніе. Представимъ себѣ кривую линію, которой уравне- ніе между прямоугольными координатами есть у ~ /(х). Хорда проведенная въ сей кривой изъ точки (х, у) (*) въ точ- ку (х-|-Дх, у Ду), составляетъ съ осью х продолженною по направленію абсциссъ положительныхъ, два угла, одинъ острой, другой тупой, изъ коихъ первой измѣряетъ наклоне- ніе хорды къ оси х. Ежели вторая точка приближится на разстояніе безконечно-малое къ первой, то хорда чувствитель- но сольется съ касательною, проведенною къ кривой чрезъ первую точку; и наклоненіе хорды къ оси X, будетъ выражать наклоненіе касательной, или какъ то называютъ, наклоненіе кривой линіи къ оси х. И такъ, поелику уголъ наклонности хорды будетъ имѣть своимъ тангенсомъ численную величину отношенія д-^, то очевидно , что уголъ наклонности кривой линіи будетъ имѣть своимъ же тангенсомъ предѣлъ упомя- г . / _ <?У. нутаго отнотенія, то-есть, производную функцію у — Ежели у7 равенъ нулю или безконечности, то касательная кривой линіи будетъ параллельна или перпендикулярна къ оси х. Сіе обыкновенно случается тогда, когда ордината у сдѣлает- ся наиболвшею или наименвшею. ПрилЛрвс: у “*х2, у — х’, у — х™, у ~ х’ , у — хй; у гг у ~ зіп х, и проч. . . . (*) Мы означаемъ здѣсь точки посредствомъ ихЪ координатъ, заключая ихЪ ме- жду двумя скобками, что будемЪ дѣлать и вЪ послѣдствіи. Часто также будемъ означать кривыя линіи или кривыя поверхности посредствомъ ихѣ уравненій.
33 4'я Задача. Требуется найти величину дроби, вЪ коса еисли- теле и зналсенателв сутв функціи х, вЪ томЪ слусаЬ, когда для данной велисинбс х оная дробс, представится вб нео пре- дбленнолсЪ видѣ __ Рѣшеніе. Пусть будетъ 5 — — предложенная дробь, въ коей у и з суть двѣ функціи х; положимъ, что для частной вели- чины х — х0 оная дробь превращается въ §, то есть, что ея числитель и знаменатель обращаются въ нули. Означимъ чрезъ Дх, Ду, Да безконечно-малыя соотвѣтствующія приращенія X, у и 3, то каковъ бы ни былъ х, получимъ ___ к % д г для частной же величины х^:х0, будетъ А. х _ Л 2 _. г' (3) 5 _= пр.— — у~у — у- 25 И такъ, искомая величина дроби 8 или у будетъ равна ош- . с?2 г' ношенію -у- или ау У __ _ 8ІП X_ СО8 X_ Прилсѣрвс. Въ предположеніи х — б, будетъ ——— ———1, I (14- 7) 1 ___л I (х) 1 х — 1 ------— въ случаѣ х — 1, ~ — 1 , угт — = и проч. . . . 5
УРОКЪ СЕДЬМОЙ. О ввіраженіяхЪ представляющихся вЪ неопредѣленномъ видѣ 00 — , оо°, и прог. Взаимная зависимость между отношеніемъ конеснвіхЪ разностей и производной функціи. Въ предъидущемъ урокѣ мы разсматривали функціи измѣ- няемой величины х, которыя, для частнаго значенія сей измѣ- няемой принимали неопредѣленной видъ 5. Часто случается что функція представляется въ одномъ изъ слѣдующихъ ви- 00 довъ —, оо, о х оо , о0, и проч. .. . Итакъ, предположивъ что /(х) увеличивается до безконечности вмѣстѣ съ х, величины функцій 00 для х ~ оо , представляются въ неопредѣленномъ видѣ —, оо°. Сіи величины могутъ быть опредѣлены помощію двухъ тео- ремъ доказанныхъ нхшквъАпаІузеаІ§ёЪгідие (Гл.ІІ.стр. Д8и53). Мы ограничимся нѣсколькими примѣрами, которые покажутъ какимъ образомъ можно рѣшать задачи сего рода. Пусть —- будетъ предложенная функція, въ коей А боль- ше единицы; и положимъ что ищется истинная величина сей функціи дг.я х ^2 оо. Поелику для величинъ х превосхо- 1 т • дящихъ производная функція есть положительная, то предложенная функція будетъ увеличиваться вмѣстѣ съ х.
35 Сверхъ того, изобразивъ чрезъ т цѣлое число могущее увели- чиваться до безконечности, очевидно что выраженіе = (1±^ = 1 + СЛ_І)+^ (Л_І)>+.... будетъ имѣть предѣломъ положительную безконечность. Слѣ- довательно найдется (!) Изъ сей послѣдней формулы слѣдуетъ, что неопредѣлен- но-степенное количество Ах увеличивается несравненно скорѣе не- жели самая перемѣнная эс, кое ди А будетЪ больше единицей Т . х (х) Разыщемъ истинную величину функціи — для х “ оо , принявъ за основаніе логариѳмовъ число А превышающее еди- ницу. Положивъ у — Ь (х), найдется —— ~ и какъ функ- у. і _ ція -^у будетъ имѣть предѣломъ — — о , то изъ сего заклю- чаемъ что хч і (х) __ Л (2) пР- —х~ — °* И такъ, бб системѣ коей основаніе преввішаетЪ единицу, лоеариѳмві, чиселъ увеличиваются гораздо медлѣннѣе нежели самеія числа, і Опредѣлимъ еще величину хх для х — оо. Ясно что _ л(х> Xх — А х слѣдовательно і (3) пр. хх"А°—і. Ежели въ формулахъ (2) и (3), Замѣнимъ х дробью—, то увидимъ, что функціи хЬ (х) и Xх приближаются, когда х уменіпаясь стремится къ нулю, первая къ предѣлу о, а дру- гая къ предѣлу I. 5*
36 Мы покажемъ теперь отношеніе (*) существующее между производною функціею (х) и разностнымъ отношеніемъ /(х + А)-/(х) __ ----------• Положимъ х— х0, и х04-/г~Л, то предъиду- щее разностное отношеніе получитъ слѣдующій видъ —---, и потомъ легко будетъ доказать слѣдующую теорему: Теорема. Положивъ сто функція ф (л?) еств непрервюная между предѣлами х"х0 и х~Х, и ознасивб ѵрезЪ А наи- болвшую, а крезЪ В наименвшую великану ея производной функ- ціи ф/ («г) между тѣми же предѣлами, окажется кто разност- ное отношеніе необходимо будетЪ заклюкатвся между предѣлами А и В. Доказателвство. Означивъ буквами д, е, безконечно малыя числа, изъ коихъ первое пусть будетъ такого рода , что для численныхъ величинъ і меньшихъ нежели д, и для какой ни- будь величины х, заключающейся- между предѣлами х0, X, от- ношеніе /(ж + о —/со г пребываетъ всегда болѣе (х) — е, и менѣе (х) -ф Ежели между предѣлами Хо, X, вставимъ п — I новыхъ величинъ перемѣнной х, а именно, ХІ> .......ХП—1> такимъ образомъ, чтобы разность X — х0 разложена была на части X, —х0, Х3 — х„..........X — хп_ѵ, (*) По сему предмету можно читать Мётоіге <1е М. Мпреге, Лоигпаі <1е ГЕсоІе раіуіесітідие 13-е саЬіег, ра§е 1Д8—181.
__ Зу ___ которыя, будучи всѣ съ однимъ знакомъ, имѣли бы численныя величины меньшія нежели <5; шо дроби Л5\ Л*і)-/(*<) /(*а) -/О,) /(!)—Л»п-,) — ” ОС 1 ~ ОС о о. *—- ОС, -ІѴ —“— X д __ , заключаясь , первая между предѣлами (хо) — /х (хо) Ч~ г> вторая между предѣлами (хх) — й, /7 (х,) -ф е, и проч. .... будутъ всѣ болѣе количества А — е , но менѣе количества Ве. Сверхъ того, дроби (5) имѣя знаменателей съ однимъ знакамъ, шо раздѣливъ сумму ихъ числителей на сумму ихъ знаменателей, получимъ среднюю дробь ; то есть, такую ко- торая будетъ заключаться между наименьшею и наибольшею изъ оныхъ дробей {смотри Апаіузе а1§ёЬгіапе, примѣчаніе II, теорема 12, или примѣч. I переводчика). Но какъ выраженіе (4) есть ничшо иное какъ средняя дробь, то слѣдовательно оно будетъ заключаться между предѣлами А — е и В -ф Е : и какъ сіе заключеніе имѣетъ мѣсто сколь бы мало ни было чис- ло Е, то можно утвердишь, чшо выраженіе (ф) будетъ заклю- чаться между предѣлами А и В. Слѣдствіе. Ежели производная функція (х) сама будетъ непрерывная между предѣлами ,сс л0, х гг X, то переходя отъ однаго предѣла къ. другому, сія функція будетъ измѣнять- ся, заключаясь всегда между величинами А а В, и приметъ послѣдовательно всѣ промежуточныя величины. Слѣдовательно, всякое количество между А и В заключающееся, будетъ рав- но нѣкоторой величинѣ (х) соотвѣтствующей величинѣ х содержимой между предѣлами хо и X — х0 /г, или, что все равно, величинѣ х имѣющей видъ: х0-ф $к — -ф ${Х — х0), гдѣ 0 означаетъ число меньшее' единицы. Приложивъ сіе при- мѣчаніе къ выраженію (4) окажется, что всегда существуетъ
38 такая величина 0, которая заключаясь между предѣлами о и і, удовлетворяетъ уравненію. /{X) -(х0) =/'&> +КХ-хЛ, или, что все равно, слѣдующему /<-4 /(«О — А) —/(.г0) , (6) -------А----“ —Г О0 + 0 /г). Сія послѣдняя формула должна существовать, какую бы вели- чину х мы ни изобразили гго, лишь бы только функція / (.г) и ея производная /х О) были непрерывными между предѣлами гггг Л7в, х " а?к.', при семъ условіи будемъ имѣть вообще, , . /(»-+-А)—У(л?) . (?) -------з—- =/' о + е К), потомъ подставивъ Д.х вмѣсто /г, получимъ: (8) /О + -~/О) О-+- 0 Дгг) . Д X. Замѣтимъ, что въ уравненіяхъ (7) и (8), $ ОЗиачаетъ всегда неизвѣстное число, но меньшее единицы, какъ было сказано выше. ПримЪрві, Приложивъ формулу (7) къ функціямъ х“, 1(х найдется
ур о к ъ осьмой. Дифференціалві функцій нЪсколвкихЪ переліЪннбіхЪ. Частныя производныя функціи и ’састнвіе дифференціалві. Пусть и ”/(гг, у, г . . . .) будетъ функція нѣсколькихъ пе- ремѣнныхъ независимыхъ величинъ л?,у, 2 . . . . Означимъ бук- вою і безконечно-малое количество и чрезъ у, г .. .), / О>у, -г.), ф О,у, г . . . .) и проч.. . . предѣлы къ коимъ приближаются отношенія /(»+?, у,я. . /(ж.% 85 • • •) /(^» У + Й « • • )—/С*, . •), г ’ і * у, г + і ...) —/ (х, у, я . ..) ----------------------, л проч.. . въ то время когда і приближается къ нулю. (х, у, г...) будетъ производная функція выраженія и—/(гг, у, г. .разсматри- вая въ ономъ измѣняемымъ одно только количество х; сія производная называется састною производною количества и относительно къ х. Функціи у (х, у, г . . .), ф (гг, х, г . . •) и проч. называются частными производными функціи и отно- сительно къ у, 2 . . и проч. ... Теперь, вообразимъ что измѣняемыя о?, у, 2.... получатъ какія либо приращенія Дх, Ду, Дг . . . . и пусть Ди будетъ соотвѣтствующее приращеніе функціи и, такъ что (і) Ди=/(х-Ь Дх, уЧ-Ду, г-|-Дг, .. ..)—/(х,у,г. Ежели приращеніямъ Дх, Ду, Д 2.. . . припишутся конеч- ныя величины /г, /г, I .... то величина Ди, выражаемая ура-
— До — вненіемъ (1) будетъ «называться конечною разностію функціи и; оная бываетъ обыкновенно количество конечное. Ежели напротивъ того, положимъ (2) Дх~а/г, Дз=:а2, и проч....... гдѣ а означаетъ безконечно-малое число, то величина Ди, имейне, /(х-|-а7г, у + «7г, г-Ц-«7, . ... ) —/(х,у, г . . ..) будетъ почти всегда количество безконечно-малое; но раздѣ- ливъ сію величину на а, получится дробь Д ц _/(»-+- у -+- а Іс, г 4- а I. .. 1 •— / (х, у, г. ..) (3) — ------------------а—-------------- которая, вообще говоря, будетъ стремится къ предѣлу разн- ствующему отъ нуля. Предѣлъ сей называется полнбімЪ диф- ференціаломъ или просто дифференціаломъ функціи и. Его означаютъ буквою ф такимъ образомъ сіи или й/(х, у, г . . . .) И такъ, сколько бы ни было перемѣнныхъ независимыхъ за- ключающихся въ'фэункціи и, дифференціала, оной всегда опре- дѣлится формулою (4) (1 и — пр. Полагая послѣдовательно и ~ ,х, и^у , и~з, и проч...; получимъ изъ уравненій (2) и (4) (5) сіх ~ 7г, (іу~к, сія ~1, и проч.... Слѣдовательно, дифференціалы перемѣнныхъ независимыхъ количествъ х, у, г . . . . суть не иное что какъ постоянныя величины 7г, к, I . . . . Еікели частныя производныя функціи /(х, у, г . . .) будутъ извѣстны , то легко опредѣлится полный ея дифференціалъ. И дѣйствительно, ежели въ сей функціи перемѣнныя х, у,
— 4і г . . .. будутъ одна послѣ другой получатъ какія нибудь при- ращенія Дх,Ау, Да...., то изъ формулы (8) предъиду- щаго урона, выведемъ слѣдующія уравненія /44 Дх, у, г..) — /(.х> У> г..) — Д^^з 4~0, Дх, у, г..), /(х+Дх,у4-Ду, г..)-/(х4Дх,у,г..)=Ду/(х+Дх,у44Ду,г..), У(х4-Дх,у+Ду,г4-Дг..)-/(а?+Дх,у+Ду,г..)=Дгі/>(ос+Дх,у+Ду,г+03Дз..), и проч.....; гдѣ 0., 02, 03,. . . суть количества неизвѣстныя, но заключающіяся между нулемъ и единицею. Сложивъ всѣ сіи уравненія почленно, получится (6) /(х4~ Дх,.у 4-Ду, а-ф-Да...)—-/(х,у,г. ..) = Д ос . у (х 0х Д х, у, а ...) + Ау • X О + Ах, у 4- 02‘ Ау, г...) 4- Дг . ір(х 4- Дх, у 4-Ау, г4-03 Да...) 4“ и проч. Въ семъ послѣднемъ уравненій вмѣсто перваго члена можно подставить Ди; полагая же послѣ сего подстановленія Дх—а/г, Ду~«й, Да —а/, и раздѣляя потомъ обѣ части на а, получимъ слѣдующую формулу (7) — /і(^-Ь0І'а^У, 2...)4-А.^(/г4-а7г,у4-02ай, а....) 1.'ір (осаіг^ уакі а4~03 а/. ..)4- и проч., изъ которой, перейдя къ предѣламъ и подставивъ Исс , сіу, сіз . . ., вмѣсто /г, к, 1-. . . , найдется (8) сІи=:'р(х,у. з...)сІх4^(х,у,2...)сІу4ф(х,|у,г....)сІг4 и проч. ПришЪрбі,: сі (х 4~ у 4~ 2 • • • •) ~ сі х 4~ ^У 4~ 2 4“ • • • »» &(х—у)~с1.х—сіу, сІ(аос~уЪу-\-с г....)^:а(1ос-\-Ъ(1у~\-с(1г. сІ(хуг . ..) — у г.. ^ф-гг.^у 4~ ХУ • • ^2 4“ •••, Уь • • •) +-Х <г(Р=— и проч. б
— 42 — Замѣтимъ, что въ величинѣ Ли доставляемой уравненіемъ (8), членъ (р (л?, у, г.-.^Лх есть дифференціалъ функціи и ~У(гг, у, г • . .) разсматривая въ оной измѣняемымъ одно только количество х, прочія же величины у, г. . . принимая за постоянныя. По сей то причинѣ членъ сей называется ‘састнбілсЬ дифференціаломъ функціи и, взятымъ относитель- но къ Равнымъ образомъ и ^(гг,у, г...)сіу, ф (гг,у, г...)Лг>... суть частныя дифференціалы функціи и относительно къ у, къ г, . . . Озна.чивъ сіи частныя дифференціалы буквою сі, и подписавъ подъ оной ту измѣняемую величину, къ коей дифференціалъ относится, слѣдующимъ образомъ Лхщ Лу и Лти> . . . . и проч. получимъ х х і х х ^Х х х ‘А' ІЛ х X Саѵ (9) и проч... и уравненіе (8) можно будетъ представить или въ видѣ (ю) Ли — Лх и сіу и-|- с/а и -+- и проч., или въ слѣдующемъ * -х 7 __^ДС 7 » 7 і ^2, 3 ! (“) = ---------------------------------------- Въ уравненіяхъ (9) буквы поставленныя подъ Л для сокраще- нія не пишутся, а частныя относительно къ <ц у, 2 . . ніями производныя функціи и, взятыя . • изображаются знакоположе- (1 и и проч. , . сіи Л и С^2) ду 1 сіи . гдѣ не будетъ уже выражать полнаго дифференціала Ли раз- дѣленнаго на Лх; и тогда, для означенія частнаго дифференціа- ла количества и взятаго въ разсужденіи х, должно употре- бишь знакоположеніе Лх въ коемъ нельзя сократишь чи-
— 43 — слителя съ знаменателемъ. Въ силу сихъ условій формула (іі) приводится къ (іЗ) и проч.... Но какъ въ сей послѣдней формулѣ уже нельзя уничтожить дифференціаловъ сі гг, фу, сі з,.. . то уравненіе (іо) никакимъ другимъ замѣнить не можно. Данныя нами опредѣленія и формулы, можно, безъ затру- дненія , распространить и на тотъ случай когда функція сдѣлается мнимою. Такъ, напримѣръ, полагая и^ск-\- у~Ѵ—і, частныя производныя функціи и, и ея полный дифференціалъ будутъ относительно даны уравненіями — I, — V— 1, сіи— Лх-\- (1у.< Наконецъ, покажемъ весьма простое средство приводить изчисленіе полныхъ дифференціаловъ къ изчисленію производ- ныхъ функцій. Ежели въ выраженіи /(гг+а/ц у+ак, з+а/,...) примемъ одно только количество а за перемѣнное, и въ слѣд- ствіе сего положимъ 04) / 4- аку у-\- ак, г-[-кІ....) —Е(а)> то будетъ, не только (і5) п = Е(о), но и — Г (о), а посему , , .?(а)—Р(о) ту т х (іб) сіи — пр»-------— Н (о). И такъ, чтобъ составить полный дифференціалъ б/и, сто- итъ только найти частную величину производной функціи Р' (а)> Аля а —о. 6*
УРОКЪ ДЕВЯТЫЙ. ОбЪ употребленіи еастнбіхЪ производнвюсЪ при дифференциро- ваніи сложнвихЪ функцій. Дифференціалві, неявнвіссЪ функцій. Пусть будетъ 8 ~ Р(и, ѵ, іѵ . ..) какая нибудь функція перемѣнныхъ количествъ и, ѵ, зѵ . . . кои сами суть функціи измѣняемыхъ независимыхъ величинъ а?, у, г . . . : то 5 будетъ сложная функція сихъ послѣднихъ перемѣнныхъ; и ежели означимъ чрезъ Да?, Ду, Дг, ... произвольныя приращенія ко- личествъ а?, у, г . . . то соотвѣтствующія имъ приращенія Ди, Дѵ, Дзѵ, .... Д$ функцій и, ѵ, зѵ, . . . 5 будутъ имѣть между собою слѣдующее отношеніе : (і) Д 5 — Р (и 4~ Ди, ѵ Аѵ, іи Д іѵ,...) — Р (и, ѵ, іѵ ...). Сверхъ того означимъ чрезъ Ф (и, ѵ, зѵ. ..), Х(и, ѵ, іѵ...), ф(и, ѵ, іѵ...),... частныя производныя функціи Р(и,г>,зѵ...) взятыя относительно къ и, г>, іѵ. . . Но какъ уравненіе (6) предъидущаго урока имѣетъ мѣсто для какихъ нибудь величинъ перемѣн- ныхъ х, у, г . . . и ихъ приращеній Дх, Ду, Дг .. . .-, то за- мѣнивъ а?, у, г . . . величинами и, г>, іѵ. . . , а функцію / функ- ціею Р, получится (2) Г(и+Ди,ѵ+Дѵ,іѵ4-Дм’> ..)—К(и, ѵ,зѵ..)=ДиФ(и+^Ди,ѵ,зѵ..) +Дѵ_Х(и+-Д«, ѵ-{-02Дѵ,іѵ,..)+Діѵ Ф"(и4-Ди, ѵ+Дѵ, іѵ~Н)3 Діѵ..)+ и проч. Въ семъ послѣднемъ уравненіи . . означаютъ какъ и прежде количества неизвѣстныя, но меньшія единицы. Те-
45 перь, полагая Да“аА—асіх, Ду~а/г__асіу, Дз_а/~ас/з,..., и раздѣляя на а обѣ части уравненія (2), найдемъ < ~=ф(и4-^а/г, 2>,и>...)^4-Х(и4-а/г,ѵЧ-^ай, (3) < д ( -Ь-^у(иН_а7і,'У-|-аА> іѵ-Ь03а2...)-д-4~ и проч., и наконецъ, полагая а — о, (4) Лз—Ф(иіѵ,т...)Ли+Х(щѵ,ѵ)...}Лѵ+Ф(и,ѵі'іѵ...])Л'іѵ+ й проч. Величина Лз данная уравненіемъ (Д) сходствуетъ съ величи- ною Ли доставляемою уравненіемъ (8) предъидущаго урока. Главное различіе состоитъ въ томъ, что дифференціалы сіх, сіу, сіз,. .. содержащіеся въ величинѣ» Ли суть постоянные произвольные, дифференціалы же Ли, Лѵ, Лѵі). заключающіе- ся въ величинѣ Л 8 суть функціи перемѣнныхъ независимыхъ х, у, 3 . . . . и произвольныхъ постоянныхъ величинъ Лх, Лу, Лг.... Приложивъ формулу (4) къ нѣкоторымъ частнымъ случа- ямъ, найдемъ Л(и-}-ѵ-\-ѵ)...)~Ли-]-Лѵ-[-Ліѵ.., Л(и-ѵ)~Ли—Лѵ, ЛСаи-^-Ъѵ-^-сіѵ..^ — аЛи-\-ЪЛѵ-]-сЛп).., сі(иіпѵ..) —уіѵ. .Ли-]- ит..Лѵ-]-иѵ..Лѵ)-]-.., » у \ ѵ (і и “““ и (іѵ «•» «»» ѵ ? / \ і а{—) —----------> аи ~ѵи аи-\~и /(и)ат.., и проч.... Мы уже прежде вывели сіи уравненія (слютри 5* урокъ) по- ложивъ нто и, ѵ, IV . . . суть функціи одной перемѣнной не- зависимой X; а теперь видимъ, что сіи уравненія имѣютъ мѣсто, сколько бы ни было перемѣнныхъ независимыхъ коли- чествъ. Уравненіе (4) можно вывести изъ формулы (іо) предъ- идущаго урока , въ томъ частномъ случаѣ, когда величины и, ѵ, 11> . . .. будутъ: первая, функція одной измѣняемой х, вто-
— 4б — рая, одной измѣняемой у, третья, одной измѣняемой 2. ... И дѣйствительно, оная формула доставляетъ (5) Аз “ &хз 4- Ауз а%з 4- и проч. . . . И какъ сверхъ того , по предположенію, количество х заклю- чается въ одной только величинѣ и, то разсматривая 5, какъ функцію х, формула (іо) 4го урока. дастъ Ах з — Ах Р(и, ѵ, іѵ .. .) — Ф (и, ѵ, іѵ. ..) Ахи ~ф (и, ѵ, гѵ .. .) Ащ равнымъ образомъ найдется Ауз “ X (и, ѵ, іѵ ...) Аѵ, Ахз — ф(и, ѵ, іѵ ...) сііѵ, и проч. и подставивъ сіи величины ах8і ау8, Л%8 . . . въ формулу (5), ясно что оная будетъ одинакова съ уравненіемъ (Д). Теперь пусть будетъ т другая функція перемѣнныхъ неза- висимыхъ х, у, 2 . . . . Ежели, для всѣхъ возможныхъ величинъ сихъ измѣняемыхъ, будемъ имѣть (б) 8 — Т, то можно будетъ заключить что (7) Аз ш сіг. Въ частномъ случаѣ когда функція г или бываетъ равна нулю, или постоянной величинѣ с, найдется сіг“о; и потомъ уравненіе (8) 8 — о, или 5 ~ с , доставитъ слѣдующее (9) йз — о. Уравненія (7) и (д) называются дифференціалвнбслш уравне-. ніялас. Второе можетъ быть представлено въ видѣ (ю) Фі(и>ѵіхѵ...>)Аи-\-Х(и,ѵ.>ѵ)...>) аѵ-}- Ф(и,ѵ>ѵ>..>уатѵ-}--’’ — о> и имѣетъ мѣсто и тогда, когда нѣкоторыя изъ функцій и, ѵ, іѵ . . . сдѣлаются равными нѣкоторымъ изъ измѣняемыхъ независимыхъ х, у, 2... Такъ, напримѣръ, найдется
— 47 — полагая Г (х, ѵ) =: о, Ф (х, г>) Нх4-Х(х, г) И г — о; полагая Г(х,у,м>)=о, Ф(х,у,ж)Нх-|-Х(х,у,іѵ)Ну-|-^(х,у,м>)Нж=:о; и проч. Очевидно что въ сихъ послѣднихъ уравненіяхъ, ѵ есть неявная функція перемѣнной х, а іѵ неявная функція пере- мѣнныхъ □?, у, и проч. . . . Также, положивъ что перемѣнныя х, у, 2 . . . , вмѣсто того чтобъ быть независимыми, будутъ сопряжены между собою уравненіемъ (и) /(х, у, 2...)~0 то, употребивъ знакоположенія принятыя нами въ предъиду- іцемъ урокѣ, получимъ дифференціальное уравненіе (12) ^(х,у,г...)Нх4-^(х,у,г...)Ну4-^(х,у,г...)НгЧ----—о, изъ котораго можно будетъ опредѣлить дифференціалъ одной изъ перемѣнныхъ величинъ, принимаемыхъ за неявную функ- цію всѣхъ прочихъ. Такъ, напримѣръ, найдется, полагая х2у2гз а3, хсіх -\-усІу — о, Ну——-^Нх; полагая у3 — х2 — а2, уНу ’— х Нх — о, Ну ~ у И X; полагая х24-у2-]-г2та2, хНх+уНу+гНгг=о, Нг=—Нх —^Ну. Но какъ при томъ имѣемъ, въ первомъ случаѣ, у~±Ѵа2—х3, а во второмъ, у“±Уа2+<х2, то изъ предъидуіцихъ формулъ выведемъ (13) = У а*.— я2 И (Ѵа2-|-х2) “ хйх Ѵа2 +х3 7 что легко можно повѣрить. Означивъ буквою и функцію / (гг, у, 2 .. .) , уравненія (іі) и (12) могутъ быть выражены слѣдующимъ образомъ: и — о, Ни ~ о. Ежели бы перемѣнныя X, у, 2...., были сопряжены не однимъ уравненіемъ и — о, но двумя условными уравненіями
— 48 — (і4) и — о, ѵ — о, тогда получили бы два дифференціальныхъ уравненія (і5) (іи —о, Лѵ~ о, посредствомъ коихъ могли бы опредѣлить дифференціалы двухъ перемѣнныхъ, принимаемыхъ за неявныя функціи всѣхъ прочихъ. И вообще, ежели п перемѣнныхъ х, у, г . . • сопряжены бу- дутъ т условными уравненіями (іб) и —о, ѵ — о, іѵ —о, и проч...... то будемъ имѣть т дифференціальныхъ уравненій (17) (іи —о, <іи~о, Лѵ) — о, и проч.......... помощію коихъ можно будетъ опредѣлить дифференціалы т измѣняемыхъ величинъ, принимаемыхъ за неявныя функціи всѣхъ остальныхъ.
УРОКЪ ДЕСЯТЫЙ. Теорема однородныхъ функцій. Наибольшія и наименьшія величины функцій нѢсколвкихЪ перемѣнныхъ. Вообразимъ функцію нѣсколькихъ измѣняемыхъ величинъ, и положимъ что, увеличивъ или уменьшивъ всѣ измѣняемыя количества въ данномъ отношеніи, получаемъ какую нибудь степень сего отношенія помноженную на самую функцію, то сія функція будетъ называться однородною. Степень даннаго отношенія, будетъ измѣреніе или степени предложенной функ- ціи. Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что /(х,у, г . . .) будетъ однород- ная функція степени а, перемѣнныхъ х, у, г .. . когда означивъ чрезъ і новую измѣняемую , получимъ для всѣхъ возможныхъ величинъ і, (і) /(іх, іу, іг...) —2- Теорему однородныхъ функцій можно выразить слѣдующимъ образомъ: Теорема. Когда частныя производныя какой нибудв одно- родной функціи степени а, относителвно ко всѢмЪ измѣняе- мвсллЪ величинамъ, соотвѣтственно помножатся на самвся измѣняемвся, то сумма всѢхЪ сихЪ произведеній будетЪ рав- нятвся количеству а, помноженному на самую предложенную функцію. Доказателвство. Пусть будутъ и (х, у, г . . .) данная функція, и^(х,у,г...), у(х,у, г...), ^(х, у, г...) и проч.... частныя производныя оной относительно къ х, къ у, къ г, и проч. . . . Взявъ дифференціалы обѣихъ частей уравненія 7
5о (і), принимая въ немъ только і за перемѣнную величинѵ, по- лучимъ (іх, іу, іг . .) хси -]- у (ьх, іу, із ..) уАі -р ір (іх, 4у, іг • •) -+•• — ^““'/(х, У> 3 • •) потомъ, раздѣливъ на біі, и положивъ і , (2) х^'(х,у,2..)4-уу(х,у,2..)4-2Ѵ’(х,у,2..)Ч-—«/(х,у,2..), или, что все равно, ,_х 4 и 4 а сіи (3) жГх+/о+2^^-------------— аи- Слѣдствіе. Для однородной функціи степени нуль, будетъ , . х 4 и 4а 4 и (4) хГх+Уо + 2ггН— = °- Примѣра,. Приложить теорему къ функціямъ Ах'-^-Вху-уСу* ь О- Когда вещественная функція многихъ перемѣнныхъ не- зависимыхъ х, у, 2 . . . получитъ величину превосходящую всѣ сопредѣльныя съ нею величины, то есть, всѣ тѣ, которыя получились бы , измѣняя безконечно мало х, у, 2 . . . ; то сія величина функціи называется наиболвшею величиною. Когда же какая нибудь величина вещественной функціи х, у, 2 . . . будетъ менѣе всѣхъ сопредѣльныхъ съ нею вели- чинъ, то она принимаетъ названіе наименвшей велишнві. Изысканіе наиболвшихЪ и наиліенвшихѣ величинѣ функціи нѣсколькихъ перемѣнныхъ, легко приводится къ изысканію наибольшихъ и наилленвшихЪ велисинЪ функціи одной пере- мѣнной. И въ самомъ дѣлѣ, предположимъ что и—/(х.у,2...) сдѣлается наиболвшею величиною "для нѣкоторыхъ опредѣлен- ныхъ величинъ количествъ х, у, 2 . . то для сихъ частныхъ значеній, и для безконечно-малыхъ численныхъ величинъ а, получимъ
5і (5) /(®4-аЛ, у-рак, г -ф- аі,. . .) </(х, у, г...), какія бы впрочемъ ни были конечныя постоянныя Л, к, I, . лишь бы только онѣ взяты были такимъ образомъ, чтобъ первая часть формулы (5) оставалась вещественною. Поло- живъ для краткости (б) /(х + ак., у-{-ак, г + а/,. . .) — Р(а), формула (5) приведется къ слѣдующей (7) Г(а)<К(о). Сіе неравенство должно имѣть мѣсто для положительныхъ и отрицательныхъ величинъ а; откуда слѣдуетъ, что измѣняя одно только количество а, функція Г (а) будетъ имѣть наибольшую величину для а “ о. Такимъ же образомъ докажется , что ежели /(х, у, г. . .) получитъ наименьшую величину для нѣкоторыхъ частныхъ зна- ченій X, /, г..., то соотвѣтствующая величина функціи Р(а) будетъ наименвшая, для а — о. Теперь замѣтимъ , что ежели обѣ функціи Г (а), Р' (а) будутъ непрерывныя относительно къ а, въ сопредѣльности величины а — о, то сія величина не можетъ дать ни наи- болвшей ни наименьшей великанш для первой функціи, ежели не уничтожитъ вторую (смотри урокъ б'и), ‘то есть, долж- но быть (8) Р' (о) — о. Сверхъ того, подставивъ сіх, сіу, сіг. . . вмѣсто к, к, I. . , , уравненіе (8) получитъ видъ (д) біи —о, (смотри урокъ 8'й). Къ тому же, поелику функціи Р (а) и Р^ (а) суть не иное что какъ и и сіи, когда въ оныя поста- вимъ хак вмѣсто х,у ак вмѣсто у, %-\-аІ вмѣсто г...; то ясно, что ежели обѣ сіи функціи будутъ прерывныя от- носительно къ а, въ сопредѣльности величины — о, въ та- 7*
52 комъ случаѣ оба выраженія и и сіи, принимаемыя за функціи перемѣнныхъ х, у, 2 . .. будутъ также прерывные относи- тельно къ симъ перемѣннымъ въ сопредѣльности частныхъ величинъ имъ приписанныхъ. Присовокупивъ къ симъ замѣча- ніямъ сказанное выше , надлежитъ заключить чшо величины х, у, 2 .. • могущія доставишь наибольшія, или наиліенешія велисинбс функціи и, сушь или тѣ, отъ которыхъ и и (іи дѣлаются прерывными, или тѣ, которыя удовлетворяютъ уравненію (9) независимо отъ постоянныхъ величинъ сіх, сіу, сІ2.... Теперь легко будетъ рѣшишь слѣдующій вопросъ. Задача. Найти наибольшія и наиліенешія величины, функціи многихЪ перелЛѣннбіхЪ. Рѣшеніе. Пусть будетъ и — /(х, у, г.. .) предложенная функція. Сперва найдемъ величины х, у, 2 . . . отъ которыхъ функція и или (іи дѣлается прерывною; къ симъ величинамъ должно отнести шѣ, кои выводятся изъ формулы (іо) сіи —±оо. Потомъ, сыщемъ величины х, у, 2... удовлетворяющія ура- вненію (9), независимо отъ постоянныхъ величинъ сіх, сіу, сІ2... Сіе уравненіе можетъ быть представлено въ слѣдую- щемъ видѣ: /’х Л и ч & и - (іи- (и) + —------------------— о, откуда получаемъ х х іи іи __ іи_____ <12) і~х — о> і5~°> — и ПР°Ч- • • • 5 и дѣйствительно, сіх, сіу, сІ2 . . . . будучи независимы и какіе нибудь, первое изъ сихъ уравненій получится полагая сіх22:і, <іу — о, сІ2 — о ...; второе, полагая сіх — о, сіу — I, сІ2 го о . . .; и проч. ... Замѣтимъ , что какъ число уравненій (12) равно
— 53 числу неизвѣстныхъ х, у, г ... , то чаще всего получимъ опредѣленное число сихъ неизвѣстныхъ (*). Вообразимъ какую нибудь систему величинъ х, у, г .. . удовлетворяющихъ уравненіямъ (12); означимъ чрезъ х0, у0, г0... величины принадлежащія къ сей системѣ. Соотвѣтствующая величина функціи /(х, у, г...), именно, / (х0, у0, 20...) будетъ наибольшая-! когда разность (13) /(х04-а/, у0Н-а/Е, г0 ф- аі. ..)—/(х0, у0, г0...) для безконечно - малыхъ численныхъ величинъ а или какихъ нибудь величинъ 7г, А, I. . . останется постоянно отрицатель- ною. На оборотъ, /(х0, у0, г0.. .) будетъ .наименьшая когда оная разность останется постоянно положительною. Если же, измѣняя величины к, к, I..., сія разность будетъ иногда положительная , а иногда отрицательная , шо величина /(хо’ Уо» 2о • • •) не будетъ ни наибольшая ни наименьшая. Примѣрѣ. Функція Аха-}-'Вху'-\-Су:і-\-Ох-\-Еу‘~\-.Р полу- чаетъ наибольшую или наименьшую величину, когда В2— 4^4С<о, но не получаетъ ни той ни другой, когда В2 — !\АС >0. Примѣчаніе. Случится можетъ что одна и таже величина функціи Щ большая или меньшая всѣхъ смежныхъ величинъ шого же количества, будетъ соотвѣтствовать безконечному множе- ству различныхъ величинъ приписанныхъ измѣняемымъ х, у, 2... Оная величина и буритъ слѣдовательно наибольшая или наи- меньшая. Когда сіе случится въ сопредѣльности тѣхъ значеній х, у, г. . . Для которыхъ и и сіи суть непрерывныя, то сіи количества необходимо будутъ удовлетворять уравненіямъ (і2). И такъ, сіи уравненія могутъ иногда относиться къ тѣмъ, кои называются неопредѣленными. И дѣйствитель- (*) Сочинитель предполагаетъ, что функція и чаще всего алгебрическая. ПриліЪшніе переводчика»
но, можетъ случится что нѣкоторыя изъ нихъ заключаютъ всѣ остальныя. ІІримЬрЪ. Положивъ и (су — Ъ з -|- /)2 -|- (а г — с х тУ Ц- (Ъх — ау-р п)2, уравненія (і2) приводятъ только къ двумъ слѣдующимъ су — Ъ%+1 _ аъ-сх+т _~ Ъх—ау+п а ' Ъ с а величина и соотвѣтствующая безконечному множеству вели- чинъ х, у, 3 . . • удовлетворяющихъ двумъ послѣднимъ уравне- ніямъ, будетъ слѣдующая (а I -4- Ь т -4- с п'2 ~ «2 -+- 62 -И са > и можетъ быть принимаема за наименьшую.
УРОКЪ ОДИНАДЦАТЫЙ. ОбЪ употребленіи неопредѣленныхъ множителей при р'азвісканіи наиболвіиихЪ и наименвшихЪ велисинЪ. Означимъ чрезъ (і) и—/(х, у, г. ..) функцію, заключающую п перемѣнныхъ величинъ х, у, г. . , и вообразимъ, чшо сіи измѣняемыя удовлетворяютъ т услов- нымъ уравненіямъ (2) —О, іѵ — о, и проч. ... и слѣдовательно зависятъ однѣ отъ другихъ. Чтобъ приложить способъ показанный для опредѣленія наиболешихЪ и наименвшихЪ велисинЪ функціи и и къ настоя- щему случаю , должно сперва посредствомъ формулъ (2) вы- ключить изъ сей функціи т различныхъ перемѣнныхъ коли- чествъ. Потомъ , разсматривая оставшіяся п — т измѣняе- мыхъ независимыми, разыскать тѣ величины сихъ перемѣн- ныхъ, которыя содѣлываютъ функцію и и ея дифференціалъ Ли прерывными, или тѣ, кои удовлетворяютъ уравненію (5) Ли~ о независимо отъ дифференціаловъ сихъ самыхъ перемѣнныхъ. Разысканіе наиболешихЪ и наименвшихЪ велисинЪ соотвѣт- ствующихъ уравненію (3) можетъ быть облегчено слѣдую- щимъ образомъ: Полный дифференціалъ функціи и, разсматривая въ ней независимыми Всѣ величины х, у, г . * . будетъ
56 . . Ли. Ли . Ли. (4) ді йх + Ту и проч.. . . = о, заключающій п дифференціаловъ сіх, сіу, сіз . .. Но надлежитъ замѣтить, что изъ нихъ только п — т будетъ произвольныхъ, остальные же будутъ зависѣть отъ первыхъ и отъ самыхъ измѣняемыхъ х, у, 3 .. и сія зависимость опредѣлится уравне- ніями сіи~о, сіѵ—О, сігѵі^о... или, что все равно, (5) ^+^У+^-=о. ^+^+^г+..=о,к прон... И такъ, поелику уравненіе (4) Должно состояться, какіе бы ни были дифференціалы перемѣнныхъ независимыхъ, то ясно, что ежели выключимъ изъ сего уравненія число т дифферен- ціаловъ помощію формулъ (5) , то коеффиціенты п — т ос- тальныхъ дифференціаловъ должны быть порознь равны нулю. Дабы совертить таковое выключеніе, стоитъ только къ ура- вненію (4) придать формулы (5) помноженныя на неопредѣ- ленныя количества, — Я, — >л, — и проч. . . ., и опредѣлить сіи послѣдніе множители такъ, чтобъ въ получаемомъ послѣ сего уравненіи, коеффиціенты у т зависимыхъ дифферен- ціаловъ уничтожились. Сверхъ того, какъ окончательное ура- вненіе будетъ имѣть видъ (6) —ду+...=о> ' \Лх Лх ь сіх / \Лу сіу • сіу / у и какъ притомъ, по уничтоженіи въ ономъ коеффиціентовъ т дифференціаловъ, должно будетъ уравнять нулю коеффи- ціенты остальныхъ дифференціаловъ ; то можно заключить, что величины X, (Л, ѵ . . . выведенныя изъ которой нибудь изъ слѣдующихъ формулъ Ли ч <1 ѵ ..Ли) „ Ли ) сіѵ , сііѵ __ „ <7) з— л~~іл — ... — о, -— — /, —— и — •. • —о, и проч.. .. Лх сіх ‘ сіх Лу сіу ‘ сі у должны будутъ удовлетворять всѣмъ прочимъ. Слѣдовательно, величины х, у, з . . . удовлетворяющія формуламъ (Д) и (5)
— 57 должны также удовлетворять условнымъ уравненіямъ , кои найдутся по изключеніи неопредѣленныхъ 2, г... изъ фор- мулъ (7). .Число сихъ условныхъ уравненій будетъ п — т. Присовокупляя къ онымъ формулы. (2), получится всего п уравненій, изъ коихъ выведемся для данныхъ перемѣнныхъ х, у, г. . . нѣсколько системъ величинъ, между которыми не- обходимо будутъ находиться и тѣ, кои не содѣлывая прерыв- ною одну изъ функцій и и (і и , дадутъ для первой наиболь- шія м наименьшія величины. Не худо замѣтить, что условныя уравненія произходяіція отъ изключенія 2, ѵ . . . изъ формулъ (7), нисколько неизмѣнятся замѣнивъ функцію и какою нибудь изъ функцій ѵ, іѵ, . . . и на оборотъ. Слѣдовательно, условныя уравненій не измѣнятся если вмѣсто того чтобъ искать наибольшія и. наименьшія величины, функціи и, предполагая ѵ — о, іѵ — о,. . ., искали бы наибольшія и наименьшія вели- чины, функціи іѵ, предполагая и гп о, ѵ ~ о,. . . .; и проч. Даже, можно бы было, не измѣняя условныхъ уравненій, подставить и — а, ѵ — Ъ , іѵ — с, .... вмѣсто функцій и, ѵ, іѵ, . . . . гдѣ а, 5, с, . . . . означаютъ постоянныя произвольныя количества. Въ частномъ случаѣ, когда желаемъ получить наибольшія и наименьшія велисинві, функціи м, предполагая что ос, у, г,.. должны удовлетворять одному только уравненію (8) формулы (ѳ) ах V — о, (7) примутъ видъ . А ѵ А и . А ѵ А11 . Яѵ 0 — ^0 — °’ А^ — Іаі— °> и проч.... откуда, изключивъ 2, получаемъ (іо) ліц /Аи\ /’^и\ \А х' 'Ау' 'А --- — — ггг —у— — и проч. . . . /а ѵ\ /а ѵ\ /аѵ\ * 'е/х' '&У' 8
— 58 Сія послѣдняя формула заключаешь п — і различныхъ уравне- ній , кои будучи сопряжены съ уравненіемъ (8), опредѣлятъ искомыя величины перемѣнныхъ х, у, 2 . . . • І’“ Примѣрѣ. Предположимъ что требуется найти наи- болвшую и наименошую величину функціи и^ах-\-Ъу-\-сг-{-...у гдѣ а, 5, с . . . суть постоянныя количества , а х, у, г. . . . перемѣнныя удовлетворяющія уравненію х2 -|- уа -|- г2 -ф-... ~ г2 или х2 -|- у2 -ф- г2 4- ... — г3 — о. гдѣ г означаетъ постоянную величину. Формула (ю) доставитъ , ч а _ А ___ с (II) - — — И проч. . , изъ чего выведется (смотри ГАпаІузе аІ^ёЬгіцие, поіе ІI, или примѣч. 11 переводчика). ах -|- Ъу ея -|- . .. _|_У(а2 Ч--і2 + с2 —и । У(а24-52Ч-са-І--...) і2 + у + з2-+- ...~ ~Ѵ(х2 +>а-ь я2-ф’.'Тф’ ИЛИ г2-- г > слѣдственно (іа) ±г Ѵ(а’-ф 524“ с2. . .). ^абы удостовѣриться въ томъ, что изъ двухъ величинъ функ- ціи и, доставляемыхъ уравненіемъ (і а), одна наиболвшая.у а дру- гая наилленбіиая. величина, надлежитъ только замѣтишь, что всегда будемъ имѣть ((ах4-Ьу-}-сгф...)2+(Ьх—ау)2л-(сх — аг)2ф...ф(су— Ьг)Ч-... (=(а24-Ь24-сг+...)(х2фу2фгаф.. и слѣдовательно и2 < (а2 4" 4“ с* 4~ • »•) г2 > изключая тотъ, случай , когда величины перемѣнныхъ будутъ удовлетворять формулѣ (іі). 2‘“ ПриллЬрЪ. Означимъ чрезъ а, Ь, с . . • . к постоянныя количества, а чрезъ х, у, г... перемѣнныя удовлетворяющія уравненію
- 59 а х -н Ьу + с г 4- * •. “ к и станемъ искать наибольшую величину функціи и—х"4у”’+2’’-}-... Въ семъ предположеніи, получимъ опять формулу (и), изъ коей выведемъ К___ч_У(а2 + й2 -+-с24-...) ~ — —-----;—----------> и слѣдовательно , ,. __________к*_____. и— а24-Ь2-Нс3-Н.. .> ежели число перемѣнныхъ х, у, 2 . . . , будетъ равно тремъ, и ежели положимъ, что оныя означаютъ прямоугольныя коор- динаты, то величина "Vщ слѣдующая изъ уравненій (іф), оче- видно будетъ изображать кратчайшее разстояніе отъ начала координатъ до опредѣленной плоскости. 3*й ПримЪрЪ. Положимъ что требуется сыскать полу-оси эллипса или иперболы отнесенныхъ къ центру, и опредѣ- ляемыхъ уравненіемъ Л х2 2 В ху 4- Су2 — К. Каждая изъ сихъ полу-осей будетъ наибольшая или наимень- шая величина радіуса вектора г, проведеннаго отъ начала координатъ до кривой, и опредѣляемаго формулою г’~х'4-у« Поелику .будемъ имѣть сіг — - (хсіху сіу) , то нельзя бу- детъ уничтожишь сіт иначе, какъ предположивъ Г —оо или хсіх ~Н у сіу — о. Первое предположеніе можетъ только быть принято въ иперболѣ. Принявъ же второе, въ слѣдствіе формулы (іо) имѣемъ X ______у___________ха+уа______г^ — __Ті — — _ Р__ Лх+Ву~ Су+Вх^ х'^х+Ву^+у^Су+Вх) — К’ г2 га с — (і5) (^ —Л)(^ —С)=В-. 8*
— бо — Теперь замѣтимъ, что вещественнымъ величинамъ количества г, будутъ всегда соотвѣтствовать положительныя величины т\ и что уравненіе (15) доставляетъ двѣ положительныя ве- личины для г2 когда АК>о, Л С — В! > о ; одну , когда А С — В1 <о. И дѣйствительно , въ первомъ случаѣ кривая линія есть эллипсъ , и слѣдовательно будетъ имѣть обѣ оси вещественныя; во второмъ же случаѣ, какъ оная кривая линія есть ипербола, то и будетъ имѣть только одну возможную ось.
УРОКЪ ДВѢНАДЦАТЫЙ. Дифференціалві, и производныя, функціи разнвихЪ порядковъ ввіраженій заключающихъ одну перемѣнную. ОбЪ измѣненіи перемѣннаго независимаго количества. Іанъ какъ производныя функцій одной перемѣнной х обык- новенно бываютъ другія функціи сей самой перемѣнной, то очевидно что изъ данной функціи у~/(:хД можно будетъ вы- вести вообще множество новыхъ функцій, и каждая изъ нихъ будетъ производною предъидущей. Сіи новыя функціи назы- ваются производными функціями рмзнеяхЪ порядковъ количе- ства у или/(х) и оныя означаются знакоположеніями /, /л/> УІГ, уг> • • • • ум или /О), /"С*), /"О), Л(х)> • • -/(п} О)- И такъ у7 или (х) будетъ производная функція перваго по- рядка данной функціи у (х);- у^ или/’//(х) будетъ произ- водная втораго порядка количества у, или производная пер- ваго порядка функціи ; и проч. . . наконецъ у(п) или (гдѣ п означаетъ какое нибудь цѣлое число) будетъ производная п™ порядка количества у, или производная перваго порядна функціи у(п-_і). Пусть будетъ теперь б/х — Н дифференціалъ перемѣнной х разсматриваемой независимою. Изъ сказаннаго выше, полу- чится ѵ і У ------сіх* У іх* У Лх* ‘ У Лх * или, что все равно ,
62 — (2) а у =у'.іі, ау/=у'/.іІ, ау"=у"'.к,...ауш=у^-'.к. Сверхъ того, какъ дифференціалъ функціи перемѣнной х есть другая функція сей самой перемѣнной, то посему и можно будетъ дифференцировать у нѣсколько разъ сряду. Такимъ образомъ получимъ дифференціалві разнвикЪ порлдковЪ функ- ціи у, а именно: 8у—у'к ^у'8ху 88у ~к . 8 у' "у" Л у" 8х*, 888у — №8 у7' — у"' к3 зг: у7" 8х3, и проч. ^ля сокращенія пишется просто 8? у вмѣсто 88у, 83у вмѣсто 888у и проч....; посему 8у изображаетъ дифференціалъ перваго порядка , 8? у дифференціалъ втораго порядка и проч. . .. ; и вообще 8пу изображаетъ дифференціалъ тіго по- рядка. Въ слѣдствіе сихъ условій выйдетъ (3) 8у~у/8х-) 8-у=у//8х'1і 83у—у///8х3і 84у—уІГ’8х4і...8пу=ум8хп, отсюда , (П ѵ/ —12 -// — — ^2. ... г(п) — А-У., к'ту У сіх') У йх2’ У йх3> У Ах4* ’ 'У Ахп По послѣдней изъ формулъ (3) заключаемъ, что производ- ная функція п™ порядка , а именно у^ есть тотъ самой коеффиціеншъ, на который должно умножишь /г” степень постоянной величины к~8х, чтобъ получишь дифференціалъ пто порядка. По сей то причинѣ у^ называется иногда диф- ференцшлбнбі,ліЪ коеффиціентошЪ п™ порядка. Объясненныя правила для опредѣленія дифференціаловъ и производныхъ функцій перваго порядка выраженій заклю- чающихъ одну только перемѣнную , послужатъ равно и къ опредѣленію ихъ дифференціаловъ и производныхъ высшихъ порядковъ. Вычисленія сего рода очень просты , что можно видѣть изъ слѣдующихъ примѣровъ.
63 Возмемъ сперва у — біп у. Означивъ буквою а постоянное количество, получимъ сі біп (х 4~ а) — соз (х 4~ а) <1 (х 4~ а) — зіп (х -|- а 4~ з я) (іх, откуда Н зіп х — зіп (х Іяг) сіх, сізіп (х Н-1 я) “ 8Іп (х-|- <г) сіх, сі зіп (хфу?) — біп (х 4~ з яг) сіх . . ; слѣдовательно получимъ полагая у —зіпх, ~ зіп (х 4~ ѵ я-), ~ зіп (х 4~ сг), у/// ~ зіп (х 4- | я-),.... у^ — зіп (х 4~ 7 я}. Подобнымъ образомъ найдется: полагая упсозх, у/=соб(х+|яг), у//—соз^х+я-), у///—соз(хН4я/),.. у'^ з=: соз (х 4- 7 я-); полагая у—Ах, у'=Ах(ІАу у//~Ах(ІА')\ у'"=Ах(ІАу,. . . У(п)—Ах(<ІАуг', полагая у — Xе, у/ — а ха~’, у77 ~ а(а — і) ха~3, . .. у(п) ” а (а — і) (а — 2). . (а— п -]- і) ха~п. Замѣтимъ что каждое изъ выраженій біп 4 4-|гся), Соз (х 4“ і п я), съ измѣненіемъ п, доставляетъ только четыре величины разнствующія между собою, которыя будутъ всегда возвращаться въ одномъ и томъ же порядкѣ. Сіи четыре вели- чины получатся подставляя вмѣсто п цѣлыя числа вида 4^> 4Й + Ь 4^4-2 и 4/14-3 (гдѣ А цѣлое число), и оныя бу- дутъ по порядку зіп х, соз х, — зіп х, — соз х, для выраженія зіп (х 4- | п лу, и соз х, —зіп х, —соз х, біп х для выраженія СО8 (х 4“ I пя-). Что касается до выраженій Ах, ха, то под- ставляя въ первомъ вмѣсто А основаніе Неперовой системы логариѳмовъ е, а во второмъ п вмѣсто а, увидимъ что всѣ производныя функціи ех будутъ равны ех; производная же пто порядка функціи хп равна будетъ постоянному количе- ству 1.2.3.-П, а производныя высшихъ порядковъ уничтожатся. Вводя дифференціалы вмѣсто производныхъ функцій , въ слѣдствіе доказанныхъ нами формулъ, получимъ
— 64 — Нп8ІПХг:8Іп(х4-|ПГГ)с/х’1, с/пСО8Х—СОЗ^х44'ѢТ')с?Хп, ^.ПЛХ~ЛХ(ІЛ')П(ІХП, сІпех—ехсІхп, 4г1(ха;г:а(а-і)...(а—п+і)ха—71<іхл, ач()хп)=.і .2.3...п.ахп, ап1(х) — ах.<іл~’—і)п~т “-’3-’хп('П—-1-<2хл, и проч.. . . Разсмотримъ еще двѣ функціи /(хУа) и /(ах). Найдется полагая у=/(х+а), у—У(ху-а), у'^/Ух+а), . . /л’=/(л)(х+а), СІпу—/(л’(«+х) Их71. полагая у=/(ах), у'=ау (ах), у^а^У^ах)),.. у{п}=апУпХах), сІпу=.ап/(ах')(1хп. ПримЬрбі. ап(хуа)п— і .2.3.. .пУхп, ап.еах—апеах ахп, Ц,п 8Іп а х ~ и проч. ... Теперь пусть будутъ у~^(у) и г двЬ функціи измѣняе- мой х сопряженныя уравненіемъ (5) г — Дифференцируя сіе уравненіе нѣсколько разъ сряду, получится (б) аг=руу)ау, ач=р"(у)ауур'у)ау, ^г — р///у)аузузр//(у)ау.ауур'у)ау, и проч. ПримЪрві,. ап(а-+-у) — апу, ап(—у) ——апу, ап(ау)~аапу, ап(ахп) — і .2.3.. п. а.ахп, аеУ~е?ау, бГеУ ~ еУ^ау7 а2у), а*еуеУ'(аугузауауу-ау), и проч.... Полагая же перемѣнную х зависимою, уравненіе (7) будучи дифференцировано нѣсколько разъ сряду , доставитъ новыя формулы совершенно подобныя уравненіямъ (бф именно: (8) ау~у (х) ах, ау—У7 (х) ах*уу (у^х, а* у —//// У) а^сз -}- з/^ (х) ах а^х у у (х) азх, и проч.... изъ которыхъ получимъ
65 (э) = / 0'ГГ \__Ах(,<1хА3у—АуА'іх} — за3# (АхА2у — АуА2х) _ і і,АхА2у—АуЛ2х\ ГА Vх)— ах& ~йха\ Ах3 ~~)> х и проч. . . . Дабы перейти къ тому случаю , въ которомъ а? полагается перемѣнною независимою, стоитъ только принять дифферен- ціалъ еіа? за постоянную величину; посему <22а? ~ о, • (і3х ~~ о и проч. . .. Слѣдовательно формулы (9) превратятся въ (ю) /(& = %, = которыя сходны с'ъ уравненіями (4)« Сравнивая сіи послѣд- нія съ уравненіями (д) заключаемъ, что ежели послѣдователь- ныя производныя / (х~) будутъ выражены посредствомъ диф- ференціаловъ перемѣнныхъ а? и у”У(а;), то одна только производная перваго порядка(а?) не измѣнится, будемъ ли принимать х за перемѣнную зависимую, или за перемѣнную независимую. Еще прибавимъ, что дабы перейти отъ перваго АхА2у— Ау<12х случая ко второму, надобно будетъ подставишь ————— А2 у Ах(АхА3у—АуА3х}—ЗЛ2х(АхА2у— АуА2х) <і3 у вмѣсто ------ — - вмѣсто и проч. . . . Подобными под становленіями производится измѣ- неніе перемѣнной независимой. Между сложными функціями одной измѣняемой, находятся такія, коихъ послѣдовательныя дифференціалы представляют- ся въ весьма простомъ видѣ. Положимъ, напримѣръ , что и, ѵ, іу .. .. будутъ означать различныя функціи х. Диффе- ренцируя п разъ каждую изъ сложныхъ функцій и-\-ѵі и — у, и-{-'У У—і, пи Ъѵ -|- сіу -н .. ., найдется: 9
— 66 — (и) &п (и + ѵ) “ йпи + <1пѵ, сІп (и — ѵ)~сіпи— сІпѵ^ &п (и 4~ ѵ V — і)• — &п и 4~ ѵ V — і. (із) сІп (аи 4- Ъѵ 4- сіѵ 4~ • • •) —- о-йпи 4~ Ъйпѵ-\- ссІУ ѵо 4~ • • • Изъ формулы (із) слѣдуешь, чшо дифференціалъ ііпу цѣлой функціи у — ах’п,4“ Ьхт~1 4~ сх^1-а 4- ... -т-рх24- дх 4~ г обращается, для и—т, въ постоянное количество і.2.5...т.йс1х’гаі, а для п > т, въ нуль.
ими шпявЕиі/мдтвгявярав УРОКЪ ТРИНАДЦАТЫЙ. Дифференціалы разнеіхЪ порядковъ функцій лсноеихЪ пере- шЪннвіхЪ. Изобразимъ чрезъ и "/(х, у, з...) функцію многихъ пере- мѣнныхъ независимыхъ х, у, г. . . Дифференцируя сію функ- цію нѣсколько разъ сряду, относительно ко всѣмъ измѣняе- мымъ , или къ одной только изъ нихъ, получимъ нѣсколько новыхъ функцій, изъ коихъ каждая будетъ полная производная предъидущей функціи. Даже можно будетъ дифференциро- вать послѣдовательно функцію и—/(х,у, г . . , принимая за перемѣнную то одну, то другую изъ величинъ х, у, 3 .. . Во всѣхъ случаяхъ, выводъ получаемый чрезъ одно, два, три, . . . дифференцированій, называется полнеімЪ или ѵастнвілсЪ диф- ференціалоліЪ, перваго, ятораго, третьяго . .. . порядка. Такъ, напримѣръ , дифференцируя функцію и нѣсколько разъ сряду, относительно ко всѣмъ перемѣннымъ, составимъ полные диф- ференціалы сіи, (Ісіи, сісісіи . . . ., кои для краткости означают- ся знакоположеніями сіи, сі'и, &и .... Напротивъ того, взявъ дифференціалъ нѣсколько разъ сряду въ разсужденіи измѣняе- мой X, составимъ частные дифференціалы СІХ и, сІх(Іхи, сІх 4 сІх и, . . . кои означаются чрезъ сІх и, 4* и, сІх3и . . . Вообще, ежели п будетъ какое нибудь цѣлое число, то полный диффе- ренціалъ пго порядка изобразится чрезъ сІп и, а дифференціалъ того же порядка въ разсужденіи одной изъ измѣняемыхъ х, у, з . . . . чрезъ сІхпи, &уп и, <1лпи, и проч.. . . Когда будемъ 9*
68 дифференцировать функцію и два или нѣсколько разъ сряду относительно двухъ или нѣсколькихъ перемѣнныхъ, то полу- чимъ частные дифференціалы втораго или высшихъ порядковъ, которые изображаются такимъ образомъ: АуАхи, Ах Ая щ . . . . Ах Ау АХЩ . • • Легко усмотрѣть, что дифференціа- лы сего рода сохраняютъ однѣ и тѣже величины каковъ бы ни былъ порядокъ дифференцированій относительно перемѣн- ныхъ X, у, г. . . И такъ, напримѣръ, будемъ имѣть (і) Ах Ау и ~ Ау Ах и. Впрочемъ сіе уравненіе можно доказать слѣдующимъ образомъ. Означимъ чрезъ Дх поставленное впереди функціи и—/(х,у,2..У) приращеніе, которое получаетъ сія функція когда увеличива- емъ х количествомъ безконечно-малымъ аАх. Получится (2) 1\хи—/(х + айх,у,з...) —/(»,/, г...), Ахи=.пр. (3) и ~~~ ау (.и и>) — Ау и— Ау Дж и, слѣдовательно ^х і &х • а “ — а — “У ~(Г > потомъ, полагая что а, приближается къ нулю , въ слѣдствіе второй изъ формулъ (2) получится уравненіе (і). Подобнымъ образомъ можно доказать и слѣдующія тожественныя уравне- нія» Ах Ах и — Ах Ах и, Ах и —- Ах Ау и* и проч. . •« ПримЪрЪ. Полагая и — агс. 1ап§. —, найдется Ахи—_|_у'а А х, Ау и—я2 _|_^2 у> АуАхіі—АхАуіі — _|_^,2)2 А х Ау. Доказавъ уравненіе (і), выводимъ изъ онаго то слѣдствіе, что въ выраженіи, имѣющемъ видъ Ах Ау Ах .. . и, всегда можно перемѣщать между собою перемѣнныя, къ коимъ относятся два послѣдовательныя дифференцированія. Посему, легко усмотрѣть, что помощію одного или нѣсколькихъ подобныхъ перемѣщеній, можно будетъ измѣнишь по произволу порядокъ
— 69 — дифференцированій. Такъ, напримѣръ, чтобъ доказать ра- венство двухъ выраженій сІу <1Х и и сІх сіу и, должно сперва въ послѣднемъ изъ нихъ чрезъ два послѣдовательныя перемѣ- щенія, перевести букву ос на мѣсто буквы 2, потомъ перемѣ- стить буквы у и г, дабы буква у занимала опять второе мѣсто. И такъ, можно утвердить, что величина дифферен- ціала фсфуфа . . .и совершенно независима отъ порядка, въ ко- торомъ производимы были дифференцированія, относительно къ измѣняемымъ х, у, 2 • . . . Сіе предложеніе справедливо даже и въ .томъ случаѣ, когда нѣсколько дифференцированій отно- сятся къ одной изъ перемѣнныхъ, какъ напримѣръ, въ выра- женіяхъ сІх<ІуСІхи, сІх сіу СІХ сІх и, и проч. Тогда для сокращенія пишется (17х вмѣсто (Іх сИх> <і3х вмѣсто <1Х <іх СІХІ и проч. Въ слѣд- ствіе сего условія, будемъ имѣть д^^уи—Лх(1у(1хи~сІусГ~хи, сІ^ііуіІ^и—сІхЛуЛхСІ^сІхи—сІуСІ^хСІ^и— ипр.... (^х^уЦ—^у^хЩ йх^2у(і3яи—ііхЛ3я(і9уи—<12у<1х(і3%и— и пр.... и вообще, означая буквами 1} т, п .. . какія нибудь цѣлыя числа, получимъ (4) Л1х(іту^\’ • •и—<і1х(іп^ту.. .и—(ІтуСІ\(Іп%.>.и~ и проч. . . . Поелику чрезъ дифференцированіе функціи перемѣнныхъ независимыхъ а?, у, г .. . относительно къ одной изъ нихъ, получится новая функція сихъ самыхъ перемѣнныхъ, умножен- ная на постоянную конечную величину сіх или сіу или сІ2..., и какъ сверхъ того при дифференцированіи произведенія, по- стоянные множители всегда выносятся за знакъ Л: то очевид- но, чшо ежели будемъ дифференцировать функцію ь—/(х,у,2...), I разъ къ разсужденіи х, т разъ въ разсужденіи у, п разъ въ разсужденіи 2 . .., то окончательный дифференціалъ, а именно с11х (1ту (1пя ...и, будетъ равенъ произведенію новой функціи измѣняемыхъ х, у, 2.... на множителей йх, г/у, <І2.... воз-
7о вишенныхъ, первой въ степень Г, второй въ степень тп, тре- тій въ степень п . . . . Новая функція , о коей здѣсь говорит- ся , называется ѵастною производною функціи и, порядка . Означая оную чрезъ 57 (х, у, 2 . . .), будемъ имѣть (5) сі1х сІту . .и^тз (х, у, 2...) ііх1 &упЛгп . , .. , откуда (6) ^СЖ>У>2’”) — ах1 сіутА г"...* Легко выразить полные дифференціалы д?иг <13 и. . . посред- ствомъ частныхъ дифференціаловъ функціи и, или ихъ част- ныхъ производныхъ. И дѣйствительно, изъ формулы (іо} (8го урока} получится сІ?и — сісіи" сІхсІи-\- йуЛи-\- 4- • • • — Лх^хиД-Луид-^и. ..у±сІу(сІхи ^ЗуНД-сІ^и.. .')+^^(1хи-{-^уи-{-і12,и. и слѣдовательно (7) ^и—<Гхи-\-(12уі^-\-(1 ’2и-Н.• .-+-2НхЛуи-\-2(1х<і^-' ••~}-2(1у(1хи-\-... или, что все равно, (8) сІ?и — Лха~+- йу> 4- 4- . .. с?ге2 (I у2 ✓ с?г2 4-2 (ІХ Ну 4- 2 Лх (І2 . . . -4 2 <1у(І2 . . . ' йхсіу ахі% сіу йъ ' Подобнымъ образомъ можно опредѣлить и величины с13и, с2+щ.». ПримЪрві. & (х у 2) ~2(х(1усІ2~\--усІ2сІх-\- гЛхЛу\ (хуг^ — бсіхсіу<1 2, с?(гг2-+-у2-4-32...) — 2 (сЬ?24-сіу24- І2Г>...'), Ц3 (44 -ну3 -4- г3 ...) — б -Н <іу3 4- 4г3.. и проч. . . . ^ля сокращенія, буквы находящіяся подъ характеристикою (2, какъ напримѣръ въ уравненіяхъ (б'), (8), и проч. . . . обы- кновенно не пишутся , и второй членъ формулы (б) замѣ- няется просто слѣдующимъ :
71 частныя и проч.; (ю) “Т“ 7П> "-Г" 71 • • • ц- (9) Ау™ Посему частныя производныя втораго порядка изображаются г А2 и А2 и А2 и А2 и 43 и А2 и такимъ образомъ: ^2, , Л’ и А3 и А* и производныя третьяго порядка: у~3, ах'^3» величина же для сі2 и будетъ слѣдующая Н2 и — 1^(1х2+^с/у2+^а с/и9... Ах2 Ау2 ' ' Ли2 с/хс/у-|-2 СІХСІ2 ... 4“ 2 —— сіусіг ... ' АХАЯ Ду&Ъ что въ сей величинѣ нельзя сократишь на диф- с2у, А 2 . . . , потому что у^> 4-2 — - АхАу Но замѣтимъ, ференціалы сіх, сіу, сіг . .. , потому что ^^5, • • • не означаютъ частныхъ чиселъ произтедтихъ отъ раздѣленія Л?и на с/х2 или на ЛхЛу .... Ежели, вмѣсто функціи и ~/(х} у, 2...) разсмотримъ слѣдующую: (іі) $ — Р(и} ѵ, іѵ. . .), гдѣ количества и, ѵ, іѵ .. . сами означаютъ какія нибудь функ- ціи перемѣнныхъ независимыхъ х, у, 2..., то величины сі2 5, <13 8 . ,. опредѣлятся безъ малѣйшаго затрудненія по пра- виламъ выведеннымъ въ девятомъ урокѣ. И дѣйствительно, дифференцируя нѣсколько разъ сряду формулы (іі), найдется: ЛиЛ- Лѵ-\-Ё^’^22^4-... \ Ни 1 аѵ 1 Лш 1 (12) \л2з= Ли2+..+2 ЛиЛѵ+.‘+йР(и,г>’-^ ^+... 1 Аи2 АиАѵ Аи (и проч. . . . ПримЪрві. Лп (и 4“ ѵ) — и + ѵ> Лп (и — ѵ) ~ Лпи — Лп ѵ, Лп(и+ѵУ'—іу=.Лпи+Ѵ — 1 сГЧ>, Л\аи+Ъѵ+сю-і-..^^аіРи+ЪЛ^+ссРт-І--
“ 72 — Столь же легко опредѣляются и дифференціалы неявныхъ функцій, содержащихъ нѣсколько измѣняемыхъ независимыхъ количествъ. Для сего, должно дифференцировать одинъ разъ или нѣсколько разъ сряду уравненія, опредѣляющія сіи самыя функ- ціи, разсматривая постоянными дифференціалы перемѣнныхъ независимыхъ, и принимая другіе дифференціалы за новыя функціи сихъ самыхъ перемѣнныхъ.
УРОКЪ ЧЕТЫРНАДЦАТЫЙ. Способві облегчающіе извлеканіе полнвіхЪ дифференціаловъ функцій мноеихЪ перемЪннѳкхЪ. Силсволическія возраженія для сихЪ дифференціаловъ. Пусть и—/(х, у, будетъ функція перемѣнныхъ неза- висимыхъ количествъ х, у, 2 . . . ; сверхъ того изобразимъ чрезъ ф (х, у, 2 . . •), /(х,/, х...), ф(х,у, X...), и проч. ея частныя производныя функціи перваго порядка, взятыя отно- сительно къ х, у, г ... . Предположивъ, какъ въ урокѣ 8м®, (і) —/(х4~ абіх, у-фасіу, г-^-асІг . • и дифференцируя потомъ обѣ части уравненія (і) въ разсуж* деніи перемѣнной а, найдется: (2) Р (а) — ф (х -]- асіх, уасіу, х -]- а^х.. .) сіх ~Ь/ (® + У~\~асІу, х-|-а^х .. .) сіу + Ѵ’ а$х> / + асіу, 2 асІ2 ...) Лг -ф-...; полагая въ сей послѣдней формулѣ' а.~ о, получимъ слѣдующую: (3) Ріо^—ф^хцу,г...) б2х+/ (х, у,2.сІу+ ф(х,/,х...) б2х+...=(іи; которая равнозначуща съ уравненіемъ (іб) осьмаго урока. Сверхъ того, сравнивая между собою уравненія (і) Й (^2), легко усмотрѣть что чрезъ дифференцированіе относительно къ а какой нибудь функціи перемѣнныхъ количествъ (4) х-фасіх, у-]-асІу, г-\- асіг,. . .. получится производная, которая равна будетъ другой функціи сихъ самыхъ измѣняемыхъ, соединенныхъ извѣстнымъ образомъ ІО
— 74 — съ постоянными величинами Нх, Ну, <2г.... Продолжая диф- ференцировать относительно нъ перемѣнной а, получимъ новыя функціи такогоже рода; изъ сего заключаемъ, что кромѣ выраженій не будетъ входить другихъ перемѣнныхъ количествъ въ Е(а) и Р' (а), также и въ Е" (а), Е'//(^а) ..., и вообще въ Е(п) (а) , изображая чрезъ п какое нибудь цѣлое число. Слѣдовательно разности р(а)_р(0), Г(а)—Г(о), Е"(а)—Е"(о), ..Е^(«)—(о), будутъ равны приращеніямъ, которыя получаютъ функціи х, у, ъ , . . выраженныя чрезъ Р(о), Г(о), Г'-(о),....Р«’(о), когда припитемъ перемѣннымъ независимымъ безконечно-ма- лыя приращенія аНх, а Ну, аНг .... На семъ основаніи, пое- лику Е (р) ~ и: то предполагая что а приближается къ пре- дѣлу нуль, найдется постепенно: Е (о) _ пр.---------— пр. — — Ни, — Р'(о) ДЛи Е" (о) — пр.--------= пр. —— ~ННи — Н и, ТУ//Г \ — Р'^-Р"(0)_ Дсі’и ,,2 . Е^7\о) — пр. —*— ---— пр. — НН*и — Н3и, и проч.. •. Рп) (о)— пр.---------------— пр. —-— — ННп и — Нпи. Слѣдовательно (5) и~Е(о), Ни~Е'(о), НЪ-Р^о), Ніи—Р/\о),...Нпи~Рп\о'). И такъ , для опредѣленія полныхъ дифференціаловъ Ни, с!?и ... Нпи, стоитъ только вычислишь частныя величины производныхъ функцій Е\а), Е^^а). ..Е^п\а)> въ случаѣ а — о. Къ способамъ облегчающимъ опредѣленіе полныхъ диффе- ренціаловъ, должно отнести еще и шѣ, которые основаны на
разсматриваніи символическихъ величинъ сихъ дифференціа- ловъ. Въ анализѣ, символическимъ выраженіемъ или просто символомъ называется такое соединеніе алгебрическихъ зна- ковъ, которое само по себѣ не имѣетъ никакого значенія, или которому условно приписываютъ величину разнствующук) отъ настоящей. Равнымъ образомъ, символическими уравне- ніями называются такія уравненія, которыя, будучи разсма- триваемы въ строгомъ смыслѣ , согласно съ общепринятыми условіями, суть неточны или не имѣютъ опредѣленнаго смы- сла, но изъ коихъ однакоже можно вывести заключенія спра- ведливыя, ограничивая или измѣняя, сообразно съ нѣкоторыми правилами, сіи самыя уравненія или знаки входящіе въ оныя. Къ символическимъ уравненіямъ вой могутъ быть полезны (смотри Апаіузе аІ§еЬгідие, Главу VII), отнесемъ и шѣ, ко- торыя будутъ доказаны ниже. Означивъ чрезъ а, &, с... постоянныя количества, и чрезъ 7, т, п... р, г . .. цѣлыя числа, полный дифференціалъ вы- _ раженія (б) аИ1х сЦПу а*я . .. и -{- Ъс12х ЗЯу аг%... и 4- и проч. . .. опредѣлится формулою (7) бі [агі1х <іту ап%... и -]- Ьа2х вЯу <1ГЯ . .. и 4~. ..] ~ сіх [а(і1х ату ... и -I- Ьс1Рх (1ГЯ... и -4- .. .1 4- (іу [а ату . и -|- Ъ(іРх ЗЯу (іг% .. . и -]- . . .] 4- (1г, а (Рх (1ту йпг . • . и-\-Ъ №х (№у (1Гг, ... и ...]... — а11+'х ату ... и -4- ас^х ат+іу сІ\ •• - и 4- а а1х ату ап+ія... и... 4- а^^^у агя. •.. и 4- • • • I Л ! И» л . а» » Сличеніе сей формулы съ уравненіемъ (4) іЗго урона, непо- средственно приводитъ къ слѣдующему предложенію. іо*
— 76 - Теорема. Для. опредѣленія полнаго дифференціала ввіраженія (б), стоитЪ только умножите на сі произведеніе двухЪ мно- жителей а с11х сіту сІ\ ... -ф- Ъ с12х с№у йгя . .. -ф-. .. и и, полагая <1 ~ сІх (1у -ф- && + • • •» и производя умноженіе какЪ бві знако- положенія Л, сІх, Лу, изображали настоящія количе- ства различнеія между собою, потомЪ вЪ выводѣ умноже- нія^ поставите вЪ разнеіхЪ членахъ, множителей а, Ъ, с . . . на первое мѣсто, а букву и на послѣднее; совершивъ сіе, долж- но предположите что знаки сІх, сіу, Ля... перестали изобра- жать количества, а принимать онсіе вЪ прежнемъ ихЪ значеніи. Примѣрві. Опредѣляя, помощію сей теоремы, полный диф- ференціалъ выраженія (8) 4 ~~Ѣ" ~(~ ^2 ""I- • • • • > окажется, что найденная величина для сісіи или с12и есть та самая, которая выражена формулою (7) въ предъидущемъ урокѣ. Приложивъ теорему къ найденной величинѣ с12и, получится величина Н1 и, и такъ далѣе. Примѣчаніе. Когда означаемъ только умноженія, помощію коихъ , въ слѣдствіе послѣдней теоремы, можно опредѣлить полный дифференціалъ выраженія (б), то вмѣсто уравненія (7), получится символическая формула (9) ( (1[ай1х<іту(1пг,...и-\-Ъ^х(1І}у^г2і... и-ф—] — ( [а^жНт7^па... + ЬЛ^х^уйгя...-ф-...] [4-ффу + 4+—]м- Поелику въ формулѣ (д) , знаки 4» фу, 4 . . . , должны изо- бражать дифференціалы, то очевидно, что сія формула въ строгомъ смыслѣ не имѣетъ никакого опредѣленнаго значенія; но она становится точною, перемноживъ настоящимъ обра- зомъ множителей второй ея части, помощію обыкновенныхъ правилъ алгебрическаго умноженія, принимая 4> сіу, сІя . . . за количества, а не за знаки.
77 — Если выраженіе (6) будетъ замѣнено выраженіемъ (8), то дифференцируя послѣднее нѣсколько разъ сряду, получимъ, помощію тѣхъ же самыхъ способовъ, символическія вели- чины для полныхъ дифференціаловъ сРи , (і3и . . . , именно, (ФхЧ-ФуЧ-Фх-’Ч (^хЧ_4уЧ_‘^а,'0и’ (ФхН-фу4“Фз«’’) (Ф^Н-фу-р-Фа*’-) (Фя—|-фу Ч-^ • * •) иі И проч. Присовокупивъ къ символическимъ симъ выраженіямъ и сим- волическую величину для (іи, и. означивъ сверхъ того чрезъ (Фх-Ьфу-р-Фа—)3 выраженіе (ФдпЬфу-4-Фз-Ч (Фх+фу+Ф»*-)» чРе3ъ (Фя—Ч (іу—ЧФ^* • .) выраженіе (Фя | фу ЧФ^*’’) Ч фу I Фа***) (феН-фу+Фа-Ч, и проч. ... составимъ слѣдующія символическія уравненія: (іо) Фи—(фс4“фу4~Фг;,Ч^’ Ф3^—(Ф^-рфу-рФ^-Ч^> Ф3И—(Ф^-рфу-І-Фгг'Ч и вообще, означая чрезъ п какое нибудь цѣлое число, будетъ (іі) ФПМ — (Фя 4“ фу •+" Ф» • • Теперь возмемъ (і2) 5— Г (и, ѵ, IV . . . Ч> гдѣ и, V, іѵ .... изображаютъ функціи перемѣнныхъ независи- мыхъ х, у, 3 ...; найдется (іЗ) Фп5 — (ФхЧ~ фу 4“ Фа • • •)” Весьма легко разложить вторую часть сего послѣдняго ура- вненія въ томъ частномъ случаѣ, когда и предполагается функціею одной измѣняемой х, ѵ функціею одной измѣняемой у, іѵ функціею одной измѣняемой 2, и проч. . . . Впрочемъ, замѣтимъ, что отъ сего частнаго случая можно перейти и къ общему, подставляя Фи, Ф3и, Ф3и... вмѣсто Фя и, сі2хи, (іѵ, Л‘ѵ . . . вмѣсто фу ѵ, й'у ѵ . . . , и проч. .. . , или, что все равно, не подписывая подъ буквою Ф перемѣнныхъ х, у, г . . . И такъ, во всѣхъ случаяхъ, .легко будетъ опредѣлить помощію формулы (іЗ) величину (іп 8. Для объясненія сего способа, воз- мемъ з~иѵ. По вышесказанному, найдется послѣдовательно:
- 78 — (іД) сІп (и ~ и с1пу ѵу сІх и йп~'у ѵ 4~ п(п —О ,2 , , —ТТь" ахиапуѵ + . .. 4~ у сіу ѵ &п~\и-\-ѵ&пхщ (15) Ап (и р) — и сІп ѵ -|- у (1 и сІп~1 ѵ 4~ & и сІп—'і ѵ 4- • . • 4- ѵ сі11—12 и -\-ѵсІпи. Послѣдняя формула имѣетъ мѣсто, какія бы нибыли величины щ ѵ въ х, у, п даже въ томъ случаѣ, когда и и ѵ будутъ озна- чать двѣ функціи одной только измѣняемой х. Т7 *. 7 ДпСе0Х\__,апеах, п п(п~ 1) п(л—1)(п —2) ПримЪрЪ. )—---------------------------------------Н... п(п,—4)...3.2.1 ап я;71 ) (ІХп.
уро къ Пятнадцатый. ОбЪ отношеніяхъ существующихъ между функціями одной перемѣнной, ихЪ производителей и дифференціалами разнеіхЪ порядковъ. ОбЪ употребленіи сихЪ дифференціаловъ при разве- сканіи наибольшихъ и наименьшихъ величинъ. Положимъ что функція / (х) уничтожается для частной величины х ~ Хо. Сверхъ того, допустимъ что сія самая функція и ея послѣдовательныя производныя, до пго порядна, остаются непрерывными въ сопредѣльности той частной ве- личины о которой говорится, и что сія непрерывность суще- ствуетъ для каждой изъ нихъ между двумя предѣлами х~х0, х ~ х0 -|- /і. уравненіе (6) урока 7го даетъ у (.го _|_ /і) — / (щ>) + к/7 (х0 -\-$к) — И/' (х0 + 0 К), гдѣ 0 означаетъ число меньшее единицы; или, что все равно, положимъ (?) + изображая чрезъ кх количество имѣющее одинакій знакъ съ к, но численную величину меньтую. Если производныя функціи У^ (-х), у7/ (гг) . . .у(Л—0 (гг) уничтожатся отъ предположенія х ~ х0, то найдется также: ( Л Оо -Ь — 1г> (X + Ю > (2) < ///(Л7о + ^):=М///(Л7о + ^) » Ѵ У / И ир0*1, ’ • • ( - > + /,п_ _ ) = /(« + Ая) ;
— 8о — гдѣ \, /га, ’ * * * изо^Ражаютпъ количества съ одинакими знаками, но коихъ численныя величины постепенно умень- шаются. умноживъ уравненіе (і) на всѣ уравненія (2), по со- кращеніи получится: (3) + Оо+\), гдѣ кп будетъ имѣть одинакій знакъ съ /г, произведеніе же одинакій знакъ съ кп, Прибавимъ , что числен- яыя величины обоихъ отношеніи у,----------- будутъ содер- жаться между предѣлами о и і; и ежели означимъ чрезъ ()иѲ два числа сего рода, то уравненіе (3) можно будетъ предста- вить въ такомъ видѣ: (4) / Оо + = Ѳ ЬЛ/(П) Оо -ь 0&) • Предположимъ теперь что количество к дѣлается безконечно малымъ; очевидно что формула (4) будетъ имѣть мѣсто и въ семъ члучаѣ; посему, подставляя і вмѣсто Л, найдется: (5) / Оо о о — ® іпрп) Оо -н Сверхъ того , какъ для безконечно-малыхъ численныхъ вели- чинъ количества і, выраженіе /(Л) (а?0 -)- $і) будетъ весьма мало разнишься отъ /(п) Оо)» то въ силу уравненія (5), полу- чимъ слѣдующее предложеніе: Г* Теорема. Положимъ что функція /(х) и ея послЬдо- вателбнбія производнбія, до пю порядка, оставаясв непрервів- нбілш вЪ сопредѣлвности частной величинвь всЪ уничто- жаются , изключая /(п) О) , для сей самой величинбі эс ча .х0. ВЪ такомЪ случаѣ, означавъ чрезЪ і количество безконечно- малое, и полагая зс ~сс0-\-і, получится для / (о?)' величина имѣющая одинакій знакЪ сЪ произведеніемъ іп/іп) Легко повѣрить сію теорему, полагая напримѣръ, что функція /О) виАа: О '—^о)71 О)’
— 8і — Когда функція / (а?) не уничтожается отъ предположенія то теорема г* можетъ быть замѣнена слѣдующею. 2-я Теорема. Положимъ что функціи /О), 7 О)> У" О)> • • • • /(п> СО» оставаясв непрервівнвіми относителвно кЪ ж вЪ сопредЪлвно- сти частной величинві. ж~ ж0, всЪ уничтожаются, кромѣ пер- вой / (ж) и послѣдней /(п) (/г), для сей самой величины а?гг^х0. Изобразивъ чрезЪ і количество безконечно-малое, получится для безконечно же малой разности —/(гг0) величина имѣющая одинакій знакЪ сЪ произведеніемъ ія/(п) (а?0). Доказателвство. Дабы изъ і’“ теоремы вывести 2‘ю, сто- итъ только вмѣсто функціи / (а?) подставить / (а;) —/(а?0) имѣющую однѣ и тѣже производныя съ/(а?),, но которая, сверхъ того, уничтожается для ж _ а?0. Чрезъ таковое под- становленіе, уравненіе (5) приводится къ слѣдующему: (б) /Оо + 9 —/<Х) = ѲіпРп) (а?0 4- 0і). Подставивъ ж вмѣсто ж0, и полагая /(ж) —Уч Дж — і^. ак, уравненіе (б) приметъ видъ (7) А у = Ѳ ап (Дпу 4 (?), гдѣ 0 и а означаютъ количества безконечно-малыя. Но не должно забывать,, что формула (7) будетъ имѣть мѣсто толь- ко для частной величины ж~ж0. Слѣдствіе. Допустивъ тѣ же самыя условія какъ и во 2'“ теоремѣ, и замѣнивъ перемѣнную ж частною величиною ж0, положимъ, что сія самая перемѣнная получаетъ безконечно- малое приращеніе. Соотвѣтствующее приращеніе функціи У (а;) будетъ количество имѣющее одинакій знакъ съ величи- ною /(я) (х) или сІпу, для ж ^2 ж0, когда п четное число. На- противъ того, ежели п будетъ означать нечетное число, то приращеніе функціи перемѣнитъ знакъ вмѣстѣ съ прираще- ніемъ измѣняемой. II
82 Мы показали въ 6“ урокѣ что наибольшія и наименьшія величины, функціи /(х) соотвѣтствуютъ всегда величинамъ измѣняемой х, удовлетворяющимъ уравненію (8) / О) = О. ежели только для тѣхъ величинъ перемѣнной а?, функціи /(а?) и (а?) не дѣлаются прерывными. Слѣдственно , изъ сказаннаго нами выше, можно будетъ вообще судить, соотвѣтствуетъ ли какой нибудь корень ура- вненія (8) наибольшей или наименьшей величинѣ функціи /(х"). И дѣйствительно, пусть будетъ а?0 сей корень, а /(п) (а?) пер- вая изъ производныхъ функціи /(а?) , неуничшожающаяся вмѣстѣ съ (а?), для частнаго значенія х — хо. Сверхъ того, положимъ что въ сопредѣльности сей самой частной величи- ны, функціи /(а?), у7 (а;), . . . . (х) остаются всѣ непре- рывными относительно къ х. Очевидно изъ 2"“ теоремы, что величина /(а?0) будетъ наибольшая, когда п будетъ четное число, а величина /(п) (а?0) отрицательная; напротивъ того, У(а?0) будетъ наименьшая, когда п четное же число, но У(п)(х0) имѣетъ величину положительную. Если бы п было нечетное число, то приращеніе функціи перемѣняя знакъ вмѣстѣ съ приращеніемъ перемѣнной, величина /(а?0) не была бы ни наи- большая, ни наименьшая. Посему, наблюдая что дифферен- ціалы <2/(а?), с12у(а/), ... всегда уничтожаются вмѣстѣ съ производными функціями У' (а?), ух/ (а?), ... и что сверхъ того, для четныхъ величинъ и, (а?) сІхп имѣетъ оди- накій знакъ съ /(п) (а?), получимъ слѣдующее предложеніе. З'я Теорема. Пусть будетЪ у^/(х^ данная функція пере- мѣнной х. Дабы, узнать будетЪ ли соотвѣтствовать наиболь- шая или наименьшая величина предложенной функціи какому нибудь корню уравненія (1у~о, вообще достаточно опредѣлить величины, для с!?у, &'у, сНу. .., соотвѣтствующія сему корню.
— 83 — Если величина Н} у положительная или отрицательная. , то величина у будетЪ наименьшая вЪ перволіЪ случаѣ, а наиболь- шая во второмъ. Кое да же велигина 42 у обратится вЪ нуле^ то должно искать между дифференціалами Н3у, Н* у,... перваго которвій бві не уничтожался. Представимъ оный чрезЪ Нпу. Если п нечетное число, то величина у не будетЪ ни наибольшая ни наименьшая. Если же п четное число, то величина у будетЪ наи- меньшая, когда дифференціалъ Нпу положителвнбій, а наиболь- шая, когда сей самвій дифференціалъ будетЪ отрицать ленвш. Примѣчаніе. Въ 3'“ теоремѣ , какъ и въ двухъ первыхъ, должно допустить , что функція у и ея послѣдовательныя производныя, до пѵо порядна, остаются непрерывными въ со- предѣльности частной величины даваемой перемѣнной х. Ежели у будетъ неявная функція перемѣнной х, опредѣляе- мая напримѣръ уравненіемъ и ~ о , то 3~я теорема будетъ и въ такомъ случаѣ имѣть мѣсто. Только тогда должно будетъ вывести величины Ну, Н* у, Н3 у . . . изъ дифференціальныхъ уравненій Ни~о, Н*и — О, №и — О, и проч.... ПримЪрЪ. Пусть будетъ у _ ха . ё~х, гдѣ а есть количе- ство положительное. Получится I (у) — аі (х) —-• х. Диффе- ренцируя два раза сряду послѣднее уравненіе, найдется: (іу /а \ , А2 у г&ух1 /ЛхУ потомъ полагая Ну— о, не принимая въ разсмотрѣніе вели- чины у равной нулю, выйдетъ , х ч а і2у_______ „ чіх\2 (9) о = - —і, — — — Такъ какъ величина Н^у доставляемая второю изъ формулъ (д) есть отрицательная: то изъ сего слѣдуетъ, что отъ вели- чины X — а выведенной изъ перваго уравненія, функція у по- лучаетъ наибольшую величину. II *
УРОКЪ ШЕСТНАДЦАТЫЙ. ОбЪ употребленіи дифференціаловъ разныхъ порлдковЪ при развісканіи наибольшихъ и наименьшихъ величинъ функщй лснбеихЪ переліЪннвіосЪ. Пусть будетъ и ~/(х,у, з...) функція перемѣнныхъ неза- висимыхъ х, у, г.... и положимъ, какъ въ ІОЛЪ урокѣ, (О /(х+асіх, у-]~а(1у, з+асіз...) = Е(а). Дабы величина и соотвѣтствующая нѣкоторымъ частнымъ значеніямъ измѣняемыхъ х, у, г была наиболвгиал или наи- менвшаЛу то для сего необходимо и достаточно будетъ что- бы соотвѣтствующая величина Г (а) приводилась къ наиболв- шей или наилсенвшей отъ предположенія а—о. Изъ сего заклю- чаемъ (смотри 10й урокъ) что системы величинъ для х, у, з...» отъ которыхъ фунція и или сіи не дѣлаются прерывными, и которыя даютъ для первой наиболвшіл или наилсенвшіл вели- тинвс, необходимо должны удовлетворять уравненію: (2) Аи~о каковы бы ни были сіх, сіу, с2з.*«; а посему получимъ іи іи іи (3) ^=0’ °» и ПР04--- Пусть буДушъ х0, у0, з0... величины х, у, з... принадле- жащія одной изъ сихъ системъ. Соотвѣтствующая величина К(а) будетъ наиболвшал или наименвшал для а—о, каковы бы ни были дифференціалы сіх, сіу, сіз..., ежели, для всѣхъ возможныхъ величинъ сихъ самыхъ дифференціаловъ, первая
— 85 — изъ ноуничтожаюіцихся производныхъ функцій Г (о), (о), И" (о), и проч... будешь четнаго порядка, и сверхъ того сохранитъ во всѣхъ случаяхъ одинъ и тотъ же знакъ. (Смо- три і5-й урокъ). Прибавимъ что Р(о) будетъ наиболвшал, когда производная четнаго порядка о которой предъ симъ упомянули, будетъ отрицательная, а наименвшал, когда оная будетъ положительная. Если первая изъ неуничшожающихся производныхъ функцій Р/(о')> Р'/(о'), Р///(о').,. нечетнаго поряд- ка, для всѣхъ возможныхъ величинъ 4Іу, с/з..., илитолько для частныхъ величинъ сихъ самыхъ дифференціаловъ, или так- же, когда сія функція будетъ то положительная, то отрица- тельная, въ такомъ случаѣ^ Р(о) уже не можетъ быть ни наи- болвшею, ни наименвшею. Въ силу таковыхъ замѣчаній, и при- нявъ въ соображеніе уравненія (5) і4го урока, именно, Е(о) —-щ Р' (о)^с1и, Р'/(о')~д?щ и проч.... выведется слѣдующее предложеніе. Теорема. Изобразимъ чрезЪ и~/(х, у, г...) данную функ- цію перемѣннві^Ъ независимыхъ х, у, г... Дабвс узнатс, со- отвѣтствуетъ ли или нѣтѣ система величинъ х, у, г.... УДО- влетворлющал формуламъ (3) наибольтей или наименьшей величинѣ функціи и, должно опредѣлите величинві дифферен- ціаловъ сУ щ А3 и, (Р и, и проч.... для сей самой системві; оче- видно, что сіи дифференціала!, представляются вѣ видѣ полино- мій, вЪ коихЪ не будетЪ друеихЪ произеолвнвсхЪколичествѣ кромѣ дифференціаловъ сіх — к, Ну ^к, I. .. Пусто будетЪ (4) л = + - + Т 1 * +. • • , первая изЪ неуничтожаюіцихся полиномій, вЪ коей п означаетъ цѣлое число, могущее зависѣти отЪ величинѣ дифференціаловъ й, к, I. .. Ежели, длл всѢхЪ возможнвіхЪ величинъ сихЪ диф-
86 дифференціаловъ, песта четное еисло, а Лп и количество поло- жителвное; то найденная величина для функціи и будетЪ наи- меньшая. Оная же ввійдетЪ наибольшая, когда п оставаясв по прежнему четнвілсЪ числомъ, знакѣ предѣ Лпи будетЪ постоян- но отрицателвнвгй. Наконецъ, ежели п будетЪ иногда нечет- ное число, или ежели дифференціалъ Лпи будетЪ то положи- телвнвш, то отрицателвнваа, тогда, величина найденная для и не будетЪ ни наибольшая, ни наименьшая. Примѣчаніе. Предъидущая теорема справедлива, въ силу правилъ приведенныхъ въ іб*® урокѣ, когда функціи К (а), (а),. . К(п) (а) остаются непрерывными относительно къ , а, въ сопредѣльности частной величины а ~ о, или, что все равно, когда и, Ли, Л*и . . Лпи непрерывны, относительно къ измѣняемымъ х, у, 2 . . . въ сопредѣльности тѣхъ частныхъ значеній, которыя мы приписываемъ симъ самымъ перемѣн- нымъ. Слѣдствіе іое. Сдѣлаемъ приложеніе для сей теоремы. Опре- дѣлимъ сперва величину выраженія , . сі2и_ <12и7„ Д2 и. 7 7 (5) Ли — 1г к 2 кк-{-..., й2 и Н2 и с?2 и подставляя въ производныя функціи .... величины х, у, 2... доставляемыя формулами (5). Искомая величина для Лг и будетъ равна нулю, если всѣ сіи производ- ныя уничтожатся. Въ противномъ случаѣ, Л2 и будетъ одно- родная функція произвольныхъ количествъ к, к, I. . въ семъ предположеніи, измѣняя количества к, к, I . . ., могутъ про- изойти три случая. Или дифференціалъ и будетъ удер- живать постоянно одинъ и тотъ же знакъ, не обращаясь при томъ въ нуль; или онъ уничтожится для нѣкоторыхъ част- ныхъ величина, к, к, I. . . и приметъ прежній знакъ , когда перестанетъ обращаться въ нуль; или наконецъ, оный диффе-
— 87 - ренціалъ , будетъ шо положительный , то отрицательный. Величина опредѣленная для и будетъ всегда или наибольшая или наименьшая въ первомъ случаѣ, иногда во второмъ, но никогда въ третьемъ. Прибавимъ, что во второмъ случаѣ по- лучится наибольшая или наименьшая, велиъина, ежели для каж- дой изъ системъ величинъ Л, Л, I .. . удовлетворяющихъ ура- вненію б’и — о, первый изъ неуничшожающихся дифференціа- ловъ й3щ д?и .... будетъ всегда четнаго порядка, имѣя одина- кій знакъ съ дифференціалами не обращающимися въ нуль. Слѣдствіе 2е. Ежели подсшановленіе найденныхъ величинъ для х, у, г. . . обращаетъ въ нуль всѣ производныя втораго поряд- ка, то какъ въ семъ случаѣ (0? и будетъ тожественно равенъ нулю , посему и не можетъ быть ни наибольшей, ни наи- меньшей величины, развѣ что чрезъ таковое подстановленіе уничтожится и сі3 щ когда всѣ производныя третьяго порядна обратятся въ нули. Слѣдствіе 3е. Ежели бы чрезъ подстановленіе найденныхъ величинъ для х, у, 2 . . . уничтожились всѣ производныя вто- раго и третьяго порядка, то получились бы тожественныя уравненія А3и —О, и надлежало бы прибѣгнуть къ первому изъ дифференціаловъ и, и . . . которой тоже- ственно не обращается въ нуль. Ежели сей дифференціалъ будетъ нечетнаго порядка, то функція и не можетъ имѣть ни наибольшей, ни наименьшей величины. Полагая же что диф- ференціалъ четнаго порядка, а посему вида Гб'і и — ѣ3”* I —— /-'т I і —____гі2?ІЦ . К'т~1 Л і могли бы произойти опять три случая. Или дифференціалъ о ко- торомъ говорится, удержитъ одинъ и тотъ же знакъ не обра- щаясь въ нуль, когда станемъ измѣнять величины количествъ к, к. I . . . ; или онъ уничтожится для нѣкоторыхъ частныхъ
— 88 значеній к, к, I. . . ? и приметъ прежній знакъ , когда пере- станетъ обращаться въ нуль; или наконецъ, сей дифференці- алъ будетъ то положительный, то отрицательный. Найден- ная величина для и будетъ всегда наибольшая или наиліенвшая въ первомъ случаѣ, иногда во второмъ, но никогда въ треть- емъ. Сверхъ того, дабы судить, имѣется ли или нѣтъ во второмъ случаѣ наиболвшая или наиліенвшая величина, надле- житъ для каждой системы величинъ к, к, I. . . удовлетворяю- щихъ уравненію — найти между дифференціалами по- рядка превышающаго 2 иг, первый неуничтожающійся диффе- ренціалъ, и разсмотрѣть, будетъ ли оный всегда четнаго по- рядка, и сверхъ того, имѣетъ ли онъ одинакій знакъ съ величи- нами и разнствующими отъ нуля. Необходимо замѣтишь, что поелику величина <і2т І4, доста- вляемая формулою (б) есть функція цѣлая относительно ко- личествъ к,к, I.. ., то посему и не можетъ переходить, при измѣненіи сихъ количествъ, изъ положительнаго состоянія въ отрицательное, не обратившись въ нуль въ промежуткѣ. За- мѣтимъ еще , что еслибъ и была неявная функція перемѣн- ныхъ х, уг 2 ... , или еслибъ нѣкоторыя изъ сихъ измѣняемыхъ сдѣлались неявными функціями всѣхъ прочихъ, то каждое изъ количествъ (іи, д^и, <і3и .... опредѣлилось бы Посредствомъ одного или нѣсколькихъ дифференціальныхъ уравненій, въ функ- ціи дифференціаловъ перемѣнныхъ независимыхъ. ПриліЪрЪ, Положимъ что а, Ь, с, . . . к, р, (/, т . . . озна- чаютъ постоянныя положительныя количества , а х, у, г . перемѣнныя удовлетворяющія уравненію ах —|— Ъ у —|— с з —|. — к , и что ищется наиболвшая величина функціи и — х$ уСі гг . . . ; найдется:
— 8д — Ли Лх , Лу , Лх Лаи /Ли\* /Лх\і /Луч, V х 4-9У 4-^т+-’ V — Си ) ~—р^) —ч(у) —Чт) — •••> слѣдовательно изъ формулы (іо) (ііго урока) выведемъ: ----р±2±^, х=р,—А—, у=1-,--------*---, г=ипр. ах Ьу съ к а р+д+г.. ' Ъ р-\-д+г.. 1 Такъ какъ предъидущія величины для х, у, 2 . . . всегда об- ратятъ Ли въ нуль, а въ величину отрицательную, то посему заключаемъ, что онѣ соотвѣтствуютъ наиболешей величинѣ функціи и. 12
УРОКЪ СЕМНАДЦАТЫЙ. ОбЪ условіяхъ кои должны бвипв вбіполненбі для того, чтобвс полный дифференціалъ не перемѣнялъ знака, тогда, какЪ измѣ- няются величины дифференціаловъ перемЪннвіхЪ независимыхъ количествъ. 1ѴІЫ видѣли въ предъидущихъ урокахъ, что означая чрезъ и функцію перемѣнныхъ независимыхъ количествъ х, у, г..., и не принимая въ разсмотрѣніе тѣхъ величинъ сихъ перемѣн- ныхъ отъ которыхъ одна изъ функцій и, (Іи, и. проч. . . . дѣлается прерывною, функція и будетъ наиболвшею или наи- меньшею только въ томъ случаѣ, когда одинъ изъ полныхъ ея дифференціаловъ сРи, д?и, <16и..., а именно, первой изъ тѣхъ кои не будутъ всегда уничтожаться, удержитъ одинъ и тотъ же знакъ для всѣхъ возможныхъ величинъ произвольныхъ ко- личествъ Лх — Н, сІу~к, или по крайнѣй мѣрѣ, для тѣхъ величинъ сихъ количествъ кои не обратятъ его въ нуль. Прибавимъ еще, что въ послѣднемъ предположеніи, каждая изъ системъ величинъ к, к, I. . . обращающая въ нуль полный дифференціалъ ©которомъ говорится, должна будетъ перемѣ- нить другой полный дифференціалъ четнаго порядка, въ коли- чество имѣющее тотъ же самой знакъ какой удерживаетъ первой дифференціалъ, коль скоро оный не уничтожается. Замѣтимъ, что дифференціалы с12и, с16и. . ., для опредѣ- ленныхъ величинъ х, у, 2 . . . , обращаются въ цѣлыя и одно- родныя функціи произвольныхъ количествъ к, к, I. .. . Сверхъ
91 - того, означая буквами г, і.. . отношенія перваго, втораго, третьяго ... изъ сихъ количествъ, къ послѣднему изъ оныхъ, ^очевидно ч;то дифференціалъ / Тх Л т7І — ^>п_и тчт і мт і <^П'и. рті ,. - ^а7Пц ? 2т—і АX будетъ имѣть одинакій знакъ съ цѣлою функціею г, 5, которая получится раздѣливъ Зіти на 2тв степень послѣдняго изъ количествъ к,к,1. . ., слѣдовательно будетъ имѣть одинъ и тотъ же знакъ съ полиноміею ГдѴ I —^4. 2т__а™и ,т_Т к2? ~т~ауат& ~гая2тС і ^т—і^уТ Замѣняя таковою же полиноміею каждый изъ дифференціаловъ четнаго порядка, увидимъ что открытіе признаковъ наиболь- шихъ и наименьшихъ величинъ требуетъ рѣшенія слѣдующихъ вопросовъ. І’я Задача. Найти условія которыя должнвь бытв ввтолне- ны, для того , чтобес цѣлая функція количествъ г, 8, і... не перемѣняла знака, когда сіи количества измѣняются. Рѣшеніе. Пусть будетъ Р(г, 5, С .. .) данная функція, и по- ложимъ сперва что оная содержитъ только одно количество г. ^эсбы. функція Р (г) не могла перемѣнишь знака, то необхо- димо и достаточно того, чтобъ уравненіе (5) Р (г) = о не имѣло корней вещественныхъ неравныхъ, а также и не- четнаго числа вещественныхъ корней равныхъ между собою. И дѣйствительно, еслибъ имѣли Р (г) — (г — г0) й ИЛИ Р (г) — (г — г0)2т+1 В., гдѣ г0 означаетъ вещественный корень уравненія (3), т цѣлое число, а И полиномію которая не дѣлится на г—г0, то легко усмотрѣть, что для двухъ величинъ г весьма мало разнствую- 12*
92 щихъ отъ г0, но изъ коихъ одна болѣе, а другая менѣе г0, функ- ція Р(г) получила бы двѣ величины съ противйыми знаками. Сверхъ того , поелику непрерывная функція количества г не можетъ перемѣнить знака, съ измѣненіемъ г между двумя данными предѣлами, не обратясь въ нуль въ промежуткѣ: то утвердительно можно сказать, что если уравненіе (3) не бу- детъ имѣть вещественныхъ корней, то первая часть онаго удержитъ всегда одинъ и тотъ же знакъ, и никогда не обра- тится въ нуль; если же Р (г) иногда и обратится въ нуль, удерживая прежній знакъ, то оная будетъ равна произведенію нѣсколькихъ множителей вида (т — г0)ад на. полиномію, кото- рая не можетъ обратиться въ нуль ни для какой возможной величины г. Теперь разсмотримъ общій случай, когда имѣемъ функцію содержащую какое ни есть число количествъ г, 5, і . . . Тогда, чтобы Р (г, 8, і . • •) не могла перемѣнить знака, необходимое и притомъ достаточное условіе будетъ то , чтобъ уравненіе (4) Г(г, 5, і . . ,) = о разрѣшенное относительно къ г, не могло имѣть ни веще- ствейныхъ корней неравныхъ, также и нечетнаго числа веще- ственныхъ корней равныхъ, полагая впрочемъ 5, і . . . совер- шенно произвольными. Слѣдствіе 1е. Функція Р(г) или Р(г, 8, С. . .) удерживаетъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ , когда уравненіе (3) или (4) не имѣетъ вещественныхъ корней. (Слютри статью объ опредѣленіи числа вещественныхъ корней алгебрическихъ ура- вненій, въ 17й тетради сочиненія Зоитпаі (ІеГЕсоІе роіуіескпі- дие, стр. Д5?)• Слѣдствіе 2 е. Пусть будетъ и —/(х, у). Полный диффе- ренціалъ
— 93 — , . „ А3 и , , А3-и. , , А2 и ,. (5) ^и = Гхі /г2 + 2 Т^Гу кк 4- к удержитъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ, когда уравненіе , . , а2 и А3 и (6) й хі Г 4- 2 Г -Ь _ О не будетъ имѣть вещественныхъ корней, то-есть когда А2 и А3 и , А3 и \2 (7) іх2 * Ну3 \АхАу' О* Тотъ же самый дифференціалъ (5) могъ бы обратиться въ нуль, удерживая постоянно одинъ и тотъ же знакъ, еслибъ первый членъ формулы (7) уничтожился; но еслибы сей первый членъ сдѣлался отрицательнымъ, то оный дифферен- ціалъ получилъ бы величины съ противными знаками. Слѣдствіе 3е» Пусть будетъ и—/(х,. у, г). Полный диф- ференціалъ , „ _ сі2и,п Л,. . ЙаиЛ2и 7 А3и , , гіяи , , (8) <22и=^^-Н^-Д2+^^-Ь2^/гЛ-Ь2^-/гг-Ь2^йг постоянно удержитъ одинъ и тотъ же знакъ, когда уравненіе (9) Ах3 Г 4* ® \АхЛу 4~ АхА я/ Г 4“ 4 у3 5 4“ Ау сія 8 I- А я3 ' О> разрѣшенное относительно къ г, вовсе не будетъ имѣть веще- ственныхъ корней, то есть^ когда полагая $ совершенно произ- вольнымъ, имѣемъ неравенство г<І2и А2и / А‘2и \а~і 2 г<і3и А2и А3и А3и ~і 42ц 42и (ю) 1_4х2 Ау2 \АхАу/ _г ‘^[_Ах3АуАя АхАу АхАяЗ Ах3 Ая3 \АхАя' Сіе послѣднее условіе будетъ выполнено , если слѣдующія два неравенства будутъ имѣть мѣсто, А3и А3и / А3и , \ Ах3 Ау3 УАхАу) И А3и \^~]^~А2и А3и А2и ~| рй’и А3и А2и А3и -|2‘х^п (І_4х24уа ''АхАу) _Гі_4х2 <1я3 \АхАя' [_Ах3 АуАя АхАу АхАяЗ ПриліЪсаніе. Пусть будетъ и“/(х, у, г...) функція п измѣняемыхъ независимыхъ величинъ х, у, 2 . • • , и положимъ
94 ~ (12) Р(г, 5, і. . .) — <і2и й2и „ . <і2іі , А2 и , А2 и А2 п ах2 г2~^ <Гу2& а&ѣ “Ь** ,_Ь2 ах‘ог5“Ь2ах7^гі‘+'2 Дифференціалъ сі2и и функція Р (г, 8, і .. .) всегда будутъ й2и имѣть" одинакіе знаки съ количествомъ ^~2, если произведеніе ^2 Р (г} 5, і . . .) во всѣхъ случаяхъ будетъ имѣть положитель- ный знакъ, что очевидно случится, когда наименьшія, величины каждаго изъ произведеній 03) гі^Г0)> Тх2р(Г, *)> ^0, 5, О» и про- будутъ положительныя. Сверхъ того, полагая _ А2 и А2 и А2 и / А2 и \2 О5 ~ ’ и про-• • и изображая вообіце чрезъ І)п общаго знаменателя входящаго въ величины для А, к, I . . . выведенныя изъ уравненій (смотри Апаіузе аІ§еЬгідие стр. 8о) / А2 и 7 ( Рх2 "1 М 7. 1 м ~іхйу^ ~Г - . . . = I 04). У ~ ц 7, _1 Л й х йу И ~і и к I А2 и 1 \ ~~ сіу2 ' । йхНъ^' - ..." I / <і2и , А2 и , [ й2 и - X, <іхіх. г Г ДуДъ Дъ2 * Н - ... т легко докажется, что наибольшія и наименьшія величины функцій Р(г), Р(г, 5), Р(т, 5, і), и проч. будутъ соотвѣт- ственно равны /Тг-х -®2 -®4 05) 53’ и ПР04- • • • в~' И такъ дифференціалъ (Ри удержитъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ, если произведеніе каждой изъ дробей (і5) на І)1 будетъ положительное , или, что все равно , ежели
— д5 — І)2, Р)^ І)^..,Р)п будутъ имѣть одинакіе знаки съ количе- ствами О’,, • • • О71!» Полагая функцію и зависящею отъ трехъ только перемѣн- ныхъ количествъ ас, у, г, очевидно что найденныя нами усло- вія приведутся къ двумъ слѣдующимъ : IX > о, О3 > о» равнозначущія съ тѣми кои даютъ формулы (іі). 2‘я Задача. Данвс двѣ цЪлбія функціи переліѢннвіхЪ г,8,Е..., найти условія необходиліося для того, чтобві. вторая функ- ція удерживала опредѣленнбсй знакѣ вѣ тѣхѣ слусаяхѣ, когда первая изѣ нихѣ уничтожается. Рѣшеніе. Пусть будетъ Р(г, х, і . . .) первая функція а К ~ ЕЭ' (г, 8, 4 . . .) вторая. Изъ двухъ уравненій Р(г, 8, Е. ,.)“о и К — ЕУ (г, 8, Е . . .) изключимъ Г. Разрѣшая, относительно къ й уравненіе получаемое чрезъ изключеніе г, необходимо, чтобы найденная величина для й имѣла требуемый знакъ, когда пере- мѣннымъ 8, Е . . . припишутся вещественныя величины коимъ соотвѣтствуетъ также вещественная величина для измѣняе- мой г.
УРОКЪ ОСЬМНАДЦІТЫЙ. Дифференціалві, какой либо функціи мноеихЪ перемЪннвіхЪ величинъ, изЪ коихЪ каждая, еств линейная функція друеихЪ пе- ремЪннвіхЪ независимвіхЪ количествъ. Разложеніе цЬлеіхЪ функ- цій на вещ.ественнбсе множители первой и второй степени. Пусть будутъ а, Ъ, с . . . к постоянныя количества, а (і) и — ах + Ъу + сг. »-\-к линейная функція перемѣнныхъ независимыхъ х, у, г.. . Дифференціалъ (2) йи “ айх 4- Ь&у -+- ссіг + . .. будетъ постоянное же количество, и слѣдовательно диффе- ренціалы (Ри, сРи, . .. обратятся всѣ въ нули. Сіе самое при- водитъ насъ къ заключенію что послѣдовательные дифферен- ціалы функцій /(и), /(и, г»), /(и, ѵ, іѵ. .и проч. сохраня- ютъ одинъ и тотъ же видъ , когда перемѣнныя и, ѵ, іѵ . . . принимаются за независимыя, или когда и, ѵ, №... изобра- жаютъ линейныя функціи перемѣнныхъ независимыхъ х, у, г... И такъ, полагая 8 —(и), въ томъ и въ другомъ случаѣ най- дется : (5) Л-б~/'/(и)Ли2, полагая 5 —/ (и, ѵ') , (4) а«5 = 4^<ги«-ьі.^,^йи"-аѵ+...
— 97 полагая 5—/(и) (5) 5 = /(Л) С«)/0>) Лип^~рп-г) (и)/'(у) аип-1 Аѵ+... + (”) Шѵ'-' +/(И)/(Л) (ѵ) а»*, и проч.... Изобразивъ чрезъ /(и), У (у)і /(м» ѵ) . . . цѣ- лыя функціи перемѣнныхъ и, ѵ, іѵ..., и положивъ что и, V, іѵ . . . суть линейныя функціи перемѣнныхъ х, у, г . . ., легко удостовѣриться , что формулы (3), (4)> (5) . . • будутъ справедливы и въ томъ даже случаѣ, когда постоянныя коли- чества а, &, с . . . к и проч. входящія въ и, ѵ, іѵ .. . сдѣлаются мнимыми. Напримѣръ, полагая 5^У(х-[-уУ—і), получимъ, Аз (х 4- у У— і) . (Их 4- У— I Ну), . . ап8 =у(п)(х-|- у У—і).(с/х-|-У—і<іу)Л; 5=/(х —уУ— 1), а$ (х—у У— і) (<2х — У— іс?у),.. ап8=/^ (х—у у—. і) (с/х — у— і ау)п; $=У(х + у У— і).у(х— у У— і), (8) апз—/{п) (х-уу у— і) .у(х—у у— і). (а,х -|- У— і ауу Г/(Л~°(х4-у У— і^.^х—уУ—і).(г/х+У—іс/у)п—'(с/х-У- іау)+.. ^/(х+уУ— і) (х-у У—і). (сіх+У—і сіу)(с/х-У — і фг)я— 1 4-/(х4~уУ——уѴ—і).(сіх—У—кіу)Л. Изъ сей послѣдней формулы легко вывести слѣдующее предло- женіе. гя Теорема. Пустпв будетЪ /(х) вещественная, и цѣлая функція измЪняелсой х. Полагая іЗ (б) полагая (7) полагая
- 98 - (э) «=/(х + уУ- і) ./О — уѴ—~), всегда можно будетЪ удовлетворите вещественными величина' ми перемЪннвикЪ х и у уравненію (іо) 5 — 0 Доказателвство. Пусть будетъ п степень функціи /(х); слѣдовательно имѣемъ (и) / (х) — л0 хп-У щ хп—І -у... +ап_ххН-ая, гдѣ а0, аІ,...ап_І, ап означаютъ постоянныя количества, изъ коихъ первое , именно а0, не можетъ быть равно нулю. Сверхъ того, принявъ перемѣнныя х, у вещественными, озна- чимъ чрезъ г, (), Н, В.г, Да, и проч. ... модули (*) мнимыхъ выраженій лД-уѴ—і, сІ-хД-сІуѴ—і, /(л-\-уУ—і), ЛС^-Ь/У—і), ///(^ + уѴ'— і), И проч.... и въ слѣдствіе сего, положимъ (12) хЦ-уУ—і г (соз і -у У—ізіпі), сіх -|- йу У— і = р(созг-У У—і зіп т) ; !/ (х -у у У — і)~К (соз Т -у У— і зіп Т), 1/С* + У У— I) = В. (соз Т.-у У— і зіп Г,), |/Ѵ(х-Ь у У— і) — К3(со8 Т2+ У—_і зіп Т3) ... У^’(х-Уу У— і) = Лп(с08 ТП-у У— I зіп тп). г, р, К, Нр Н2... Кп будутъ количества положительныя; т, Т, Т\, Т2 .. . Тп вещественныя дуги; посему будемъ имѣть (і4) г = УхаН-/, (*) ПодЪ названіемъ: модуль мнимаго выраженія Х-\- УѴ — 1, сочинитель разу- мѣетъ положительную величину /Л2Н-Ка. Примѣчаніе Переводчика.
99 (і5) 5 = Я2гг[а0гпсо8иі4-а1гп хсо8(и—і)Н-...4-ап_/собі-4-ал]а -|-[аогп зіп пі ~ х8Іп (и— і) к-\-.. .-\-ап _ ггеіп і]2 -- 2П Г 2 I 2«о- «іс°8^. | ааі + 2«о аасовГ ~і __г |_а о і г г2 Изъ сихъ послѣднихъ формулъ слѣдуетъ, что количество 5, изо- бражающее функцію цѣлую и слѣдовательно непрерывную относительно перемѣннныхъ «г, у, останется всегда поло- жительнымъ и безпрестанно будетъ возрастать , когда ста- немъ давать симъ двумъ перемѣннымъ, или только одной изъ нихъ, а слѣдовательно и модулю г, численныя величины постепенно возрастающія. Изъ чего должно заключить, что функція 5 способна будетъ принять одну или нѣсколько наи- меньшихъ велиѵинЪ соотвѣтствующихъ одной или нѣсколь- кимъ системамъ конечныхъ величинъ для перемѣнныхъ Л? и у. Разсмотримъ въ частности одну изъ сихъ системъ, и опре- дѣлимъ соотвѣтствующія онымъ величины выраженій (іб) //(гг-ф-у У — і), //х(^-|-уУ — і)>. • ./(Л) (л?-)-уУ— і). Нѣкоторыя изъ сихъ величинъ могутъ быть равны нулю; но невозможно чтобы всѣ въ одно время уничтожились, ибо выраженіе (ггф-у У — і) , обращается вмѣстѣ съ (а?) въ произведеніе і . 2.3 . • • и . а0> и слѣдовательно равняется постоянной величинѣ и разнствуетъ отъ нуля. И такъ, пусті будетъ (х у У — і) первое изъ неуничтожающихся вы- раженій (іб). Ежели самая функція/(ггф-уУ — і) не обра- тится въ нуль, то (Ьт8 будетъ, въ силу формулы (8), первый изъ неуничтожающихся дифференціаловъ функціи 5. Напро- тивъ шого, ежели (17) /(ггф-у УЗТ-!) —о, то и дифференціалъ сІт 8 обратится въ нуль. Легко видѣть, іЗ*
— ІОО — что сей послѣдній только случай можно допустить. Ибо въ первомъ предположеніи, вывели бы изъ формулы (8) (і8) Лт8=: /(т) _|_у у- —у V— і) У— I ау)т /(а?-|-у У— і)У070 (а? —у У— і) (с/гг — У— і ау)т ~ 2В.Пт^тС08 (Тт — Т + тт)', и слѣдовательно, дифференціалъ (іт 5, перемѣняя знакъ когда 7Г вмѣсто г подставимъ Г-у-у, не будетъ для всѣхъ возможныхъ величинъ количествъ сІХ и Лу имѣть положительный знакъ, что есть необходимое условіе, когда функція 5 будетъ наи- меньшая. И такъ всѣ системы величинъ для х и у, соотвѣт- ствующія наилленвшимЪ величинамъ функціи 8 , будутъ удо- влетворять уравненію (і7)> которое также можно предста- вить въ видѣ: Л (соз Т -р У — I зіп Т) ~ о, откуда извлекает- ся И —о, 8~Ні^о. Слѣдовательно функція 5 обратится въ нуль при вещественныхъ и конечныхъ величинахъ пере- мѣнныхъ х и у, всякой разъ какъ оная достигнетъ одной изъ тѣхъ наименвшихЪ величинъ^ коей существованіе мы выше сего доказали. Слѣдствіе. Поелику вещественная функція 8 — В? не мо- жетъ уничтожиться иначе какъ въ случаѣ Н~о; то и мни- мыя функціи $'(х-\-у У — і) — К (соз Т-]-У — і зіп Т), /(х — у У —. і) — В. (соз Т — У — і зіп Т) уничтожатся также въ одно время съ 5. Слѣдовательно всѣ вещественныя величины измѣняемыхъ х и у, удовлетво- ряющія уравненію (іо), будутъ также удовлетворять уравне- нію (17) 11 еще слѣдующему:
— ІОІ (І9) /^-уУ-і) = о. Симъ величинамъ х и у будутъ соотвѣтствовать веществен- ныя величины г и к удовлетворяющія двумъ уравненіямъ (20) / (г соз/; + г біп/; У— і) — о, /(г сое 4— г зіп і У— і) — о. Въ частномъ случаѣ, когда величина у обращается въ нуль, уравненія (17), (ід) и (20) приводятся къ одному, именно: (21) /(х)~О, которому слѣдовательно удовлетворяетъ въ настоящемъ слу- чаѣ вещественная величина х. Сіи примѣчанія непосред- ственно приводятъ насъ къ слѣдующему предложенію. 2‘я Теорема. Ежели /(х) означаетъ вещественную функцію перемѣнной, х, то всегда можно удовлетворите уравненію (21), или вещественнвіми величинами сей перемѣнной, илипарносми мнимыми величинами вида (22) х “ г (соз к Н-У — і зіп і), х — г (соз к — У — і зіп к). Примѣчаніе. Изобразивъ чрезъ ха вещественный или мни- мый корень уравненія (20), полиномія / (а?) будетъ дѣлиться на множителя первой степени х — ха. И такъ, двумъ пар- нымъ мнимымъ корнямъ вида г (соз к + У —і зіп , г (соз к — У — і зіп к'), будутъ соотвѣтствовать два множителя первой степени а? — г созі — г зіп к У— і, х — г соз к-\-г зіп к У — і, кои буду- чи перемножены между собою, даютъ вещественный множи- тель второй степени, именно: (х—гсозі)24-г®зіп2і^га^2г^гсо5і4-г2. На семъ основаніи, въ силу 2‘“ теоремы, слѣдуетъ, что всякая вещественная и цѣлая функція перемѣнной х, дѣлится на вещественный множитель или первой, или второй степени. По раздѣленіи, получится въ частномъ другая вещественная
— 102 — и цѣлая функція , которая также сама будетъ дѣлиться на другаго множителя. Продолжая такимъ образомъ, данная функ- ція /(л?), разложится на вещественные множители первой и второй степени, уравнивая сихъ множителей нулю, опре- дѣлятся вещественные или мнимые корни уравненія (аі), число коихъ будетъ равно числу единицъ, заключающихся въ степени функціи /(л). (Смотри Апаіуье аІ$ёЪгіцие, Главу X).
УРОКЪ ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ. ОбЪ употребленіи производнвіхЪ функцій и дифференціаловъ разнылЪ порядковъ при разложеніи функцій. •Л-егко разложить цѣлую функцію количества х по воз- растающимъ цѣлымъ степенямъ сей перемѣнной, когда даны частныя величины самой функціи и ея послѣдовательныхъ производныхъ для х~о. И дѣйствительно, означивъ чрезъ р (а?) предложенную функцію, чрезъ и степень сей функціи, и чрезъ п0, лх, а2 ... ап неизвѣстные коеффиціенты при раз- ныхъ степеняхъ' х въ искомомъ разложеніи, будемъ имѣть (і) Р(а?) ~а04~ а1 а2 Xя. -4- апхп. Дифференцируя п разъ сряду уравненіе (і), получится: )Р' (а?) — і . а0-|- 2а, х -н ... -\-па^хп~1, Р^) — і . 2 . а.. +-------Ь (п — і) и проч.... Р(п)(а?) ~ і . 2.3 ... пап. Полагая во всѣхъ сихъ уравненіяхъ х “ о найдемъ : (3) ао = Г(о), а,=|Р'(о), слѣдовательно уравненіе (і) дастъ (4> Р О)=г (о) + г Р (о) ч- Р" С»)+• • • + пггз; ПриліЪрЪ. Возмемъ Р (х) — (і4“Э&)п; получимъ извѣстную формулу:
— юД —• (5) (і-у і+ -а?+ <х24- -'"Г^--л?3+-+т-х” +^п. Теперь изобразимъ чрезъ и (х, у, г . . •) цѣлую функцію перемѣнныхъ х, у, з. а чрезъ п степень сей функціи, то есть, наибольшую сумму, могущую произойти отъ сложе- нія показателей разныхъ перемѣнныхъ взятыхъ въ одномъ и томъ же членѣ. Пусть будетъ Е(а) — /(х -ф у-\-аАу, з 4~ • • •)’ то Е (а) можно принимать за цѣлую функцію количества а, степени п, а посему будемъ имѣть ад=ад+ у ^(0)4-^ г"(0) + У-3 рѵХо^-+^:-п Сія послѣдняя формула, въ силу предложеній доказанныхъ въ і4мъ урокѣ, можетъ быть изображена слѣдующимъ образомъ: (б) аАх, у-4-аАу, = “ + т м+г2і<і “+• • • +і’.т.з.™ » “• Прибавимъ , что таковое разложеніе будетъ справедливо для какихъ ни есть величинъ а, или конечныхъ , или безконечно- малыхъ. Принимая, для краткости, а~І} найдется: (7) /(л-±-Ал, у Н-с/у, г-Д-^З...) = и + 7 Аи + ~ Аі’и + уу^ А'и -}--}- —ц Ап и. Въ частномъ случаѣ, когда вмѣсто функціи /(эс, у, г .. .) бу- демъ разсматривать функцію одной перемѣнной а?, получимъ и —/(гг), А и ~ //(«х) А гг, А’’и—/І'''(уЕ) А гга... Ап и — /(Л) (а?) А эсп, въ силу же формулы (7), подставивъ к вмѣсто йгг, найдемъ: ь 7, а 7,3 ]7ті (8) /(а:+^(^+Т/^)+ кт+ ГГ3///М+-+ Впрочемъ, можно было бы прямо вывести сіе послѣднее ура- вненіе изъ формулы (Д).
-!Т- ГОб ПрцмЪрЪ, Полагйя/(х) — лѴ найдётся: (э) (.х Ч~ — хта н~~ г хП~1 + п(~іП."2 ж"~3 4~ . • • Н- ха кп~а-У ~ хкп~1 + к\ Примѣчаніе. Если У(х) дѣлится на (х — а)т, то есть, когда будетъ (іо) У(х) = (х — п)т^(х), гдѣ <р (х) означаетъ цѣлую функцію перемѣнной х, то разло- женіе величины /(а > по возрастающимъ степенямъ ку очевидно будетъ дѣлиться на кт. Въ силу доказаннаго выше, сіе разложеніе будетъ + и проч.... И такъ , когда / (х) _ (х — а)т (х) , то докажется что У(а)“о, также и у7 (а) — о, //х (а) — о, .. ° (а) — о. Тоже самое можно доказать дифференцируя нѣсколько разъ сряду уравненіе (іо), изъ котораго, помощію Іформулы (і5) (і4го урока) послѣдовательно выводимъ: !У (/г)—(,г—а)тр/ (^+т(х~-а)т’~г<р (а?), р>,/(ху=.(х—а)т~*р\л)+т(т— і)(-х-а)та~^р(а-'), /(т~г) (а?)—(х—а)трѵт~гу0х')-1-.. .+т(т— і)... 3.2 (х—а)р(а;'). И такъ, когда У(<х) будетъ цѣлая функція перемѣнной «х, можно утвердить, что если уравненіе (12) /(^)=О имѣетъ т корней равныхъ, шо каждому изъ производныхъ (іЗ) Уг(а?)“о, о, и проч.... /(т—І,(гг)—о будетъ удовлетворено величиною для а? равною а. Замѣтимъ еще, что поелику у (а?) дѣлится на («Х — л)т, то УХ1-*7) будетъ і4
— юб -- дѣлиться на —а)т~~ \ на (гг—а)т~я, и проч.... на- конецъ/(771—1) (^) только на —а. Что касается до функціи шо поелику оная опредѣляется формулою •гм (і4) /(т)(^)—(Л—а)т<р<'т\х')-\--^ т(х— а)”1-1^(те—І)(а?)4-и проч... -)~Т т(т—і)... 3.2.(.г—а)р/(гг) + т(т—і)... 3.2.і.^(гг), посему для частной величины а? —а, оная изобразится чрезъ (і5) /{т) (а) = і. 2.3 . .. (т — і)т . р (а). Всѣ сіи замѣчанія справедливы даже и въ томъ случаѣ, когда въ величинѣ / (х). выраженной уравненіемъ (ю), (р (х) не бу- детъ изображать цѣлую функцію перемѣнной х. Впрочемъ, извѣстно какимъ образомъ сіи примѣчанія приводятъ къ опре- дѣленію равныхъ корней въ алгебрическихъ уравненіяхъ. Теперь пусть будутъ у~Р(х), и 2”У(х) двѣ цѣлыя функціи перемѣнной х, обѣ дѣлимыя на (х — а)™. Если число- г 4 я _________________________________________________я! т. больше единицы, то величины дробей —, и ^у— у, для х~а, представятся въ одно и тоже время въ неопредѣленномъ 0 , я! видѣ —, и слѣдовательно дробь убудетъ безполезна для опре- дѣленія истиннаго значенія дроби у для частной величины X — а (слютри б“ урокъ). Не смотря на то, истинная вели- чина дроби - и въ настоящемъ случаѣ есть предѣлъ къ коему стремится отношеніе ^-у, тогда какъ разности Ду, Дз при- ближаются къ нулю. Положимъ что х получаетъ безконечно' малое приращеніе Дх~ асіх, то въ силу формулы (6), полу- чимъ : л __ , 7 а2, ДУ — У + ;<Нй а7П ат-Н 1.2.3...(т-нб ---“_____—лт-і 1.2.3...(т— 1)а У
— Ю7 — /у /7^1-1 Д а =: а 4- г іг + п і' а ... + ГЙТМ Л”-а нТИ - а^+і , | __-__Лт „ і ---_----- ,іт+і „ і 1.2.3...Ш а 1.2.3...(т-Н) а 2-|-. . . Теперь, подставляя вмѣсто х частную величину а, очевидно что отъ таковаго подстановленія производныя функціи ух, у'х. . . у(т__1), 2х, 2ХХ. . . 2(т—ѵ, а слѣдовательно и дифференціа- лы сіу, с?у, ... х)у, <2 2, йа2,.. . всѣ уничтожатся; посему получимъ: ^=г^У+ йтео ^+-=^(^у+^ ^уь-) й=шЛ+гтда)<г”+,^-го(л+;і;а’м->2+..) откуда = а"г+^‘г'+,г+---. потомъ, полагая а — о, найдется: ' ' А а Лт а „ а^ ПР’ ~Ь~у-с№~у ’ __ _ а У (а?) __ і _ И такъ величина дроби — или , для х — а\ будетъ равна Дроби дт.г- - или ' гдѣ должно также положить х —: а. \ ПриліЬрЪ. Ежели д> (х) означаетъ цѣлую функцію, которая не дѣлится на х — а, а Р (х) другую, цѣлую же функцію, дѣ- лимую' на (х — а)то, то для X — а, будемъ имѣть , > (х—а)т<р(х) 1.2.3...т^(,х') + 2-3...т.т(х—а)^(х)-}- и проч. і 2.3...т.<р(а) \1 о) р&Г~' — ' — Р<тЦ^Т~ •
УРОНЪ ДВАДЦАТЫЙ. Разложеніе раціоналвнбіэсЪ {соизмЪрилсоикЪ'у дробей. Изобразимъ чрезъ / (х) и Г (х) двѣ цѣлыя функціи пере- мѣнной х, изъ коихъ первая степени тп, а вторая степени п. Частное принимаетъ названіе ращоналеной дроби. Сверхъ того, уравненіе (і) К(х)-о будетъ имѣть п вещественныхъ или мнимыхъ корней, рав- ныхъ или неравныхъ; предположивъ сперва что они неравны, и означивъ оные чрезъ х0, х,> ха, . . •Х7г_1, необходимо будемъ имѣть (2) Р (х) = к (х — х0) (х — х,) (х — х2) ... (х — хп_ х), гдѣ к есть коеффиціентъ стоящій предъ хп въ Р (х), на семь осіЛваніи пусть будетъ (5) $(х)~к(х — х,) (х — х2) .. . (х — хп_х), и = Ао. Уравненіе (2) приметъ видъ (4) Г(х}±±(х;—х0)^(х); и поелику разность . _/(х) — О) 9 (х) ~ -Ао- — <р (х) обратится въ нуль для х — х0, то въ семъ предположеніи и полиномія У (х)—Ао р (х) также уничтожится. И такъ сію полиномію можно будетъ раздѣлить алгебрически на х — хо; слѣдовательно будетъ /(х) — Ааф (х) ~ (х — х0) (х), или (5) /(х) =А0^ (х) + (х — х0) / (х),
— Ю9 — гдѣ (х) изображаетъ другую цѣлую функцію перемѣнной. х. Раздѣливъ же обѣ части уравненія (5) на Р(х), получимъ: , _х У (*) Л>____। ХСО ло ,____________________X (х)________ ѴѴ Р(х) X— Хо. ' <р(х) X Хо к(х — (х Х2)...(х — хп і)* И такъ можно отъ раціональной дроби отдѣлить простую дробь вида , гдѣ есть количество постоянное; въ ос- таткѣ же получится другая раціональная дробь коей знаме- натель будетъ функція въ которую обратится полиномія р (х) когда оную раздѣлимъ на линейнаго множителя х—‘Хо. Положимъ, что такимъ образомъ, отдѣлили послѣдовательно отъ потомъ отъ , и проч...., рядъ простыхъ дробей -^О ^2 -^П—I X — Хо X —— Х^ X X X —— Х-^_’ такъ что наконецъ въ остаткѣ имѣемъ раціональную дробь, коей знаменатель есть постоянное количество к; слѣдователь- но сей остатокъ будетъ цѣлая функція перемѣнной х. Озна- чивъ оную чреаъ получимъ: XX / С?) _^1__ і -^-2. х~х1 Т X — Хй — хп_г откуда -х X /хт-1/ X л Р(Х) А Р(х) , А Р(х) А Р(х) (8) /(я) — <^-Р(.хУ+Д>х_Хо+Х_Х1 + +• • • н-Лп—і Хп_/ Въ семъ уравненіи всѢ члены слѣдующіе за произведеніемъ <2Г(х) сушь цѣлыя функціи перемѣнной х степени нйзтей чѣмъ п; посему заключаемъ что изображаетъ частное число произшедшее отъ алгебрическаго дѣленія / (х) на Р (х). Сверхъ того , поелику каждый изъ членовъ второй части уравненія (8) дѣлится на х—х0, а./(х) не дѣлится* то очевидно будемъ, имѣть, для х~х0, (9) /(х) = 4-^ = Л^ = ЛРСж). •о X------
ІЮ И такъ, чтобъ получить величину Ао, стоитъ только под- ставить хо вмѣсто х въ дробь Такимъ же образомъ опре- дѣлятся величины для Аіг А^...’, слѣдовательно имѣемъ: х х л /<хо') л /(хі) л $(*д) л _______ /(хп—і) (1°; -- Р\хо),> -- Х(хг)’ ^2 - -Р'(х3) ’ • • • I - ^(ХП_Т)‘ Видъ въ коемъ представляются сіи величины, показываетъ что онѣ совертенно независимы отъ вида производимаго раз- / (») _ _ ложенія на частныя дроби. Прибавимъ, что величина Ао, доставляемая формулою (д), можетъ быть представлена _ / («о) /(*о) или дробью или откуда слѣдуетъ, что первая изъ формулъ (іо) равнозначуща со вторымъ изъ уравненій (3). Когда два корня х0, хх будутъ мнимые и парные, то есть вида а @ V— I , и а — @ У—• I , то означивъ чрезъ А и В два вещественныя количества удовлетворяющія уравненію (и) А — В У— і — ^(а + рУ —1) найдемъ, что простыя дроби, соотвѣтствующія симъ корнямъ, будутъ г а ^ — -ВУ" ^+ДУ~7 ' х — а — (ЗУ— 1’ х — а+(ЗУ—1 Сложивъ сіи двѣ дроби, получится слѣдующая: / гг X 2^-Цх —а)-4-2_В{3 (х — а)2-+-(32 > коей числитель будетъ вещественная и линейная функція перемѣнной х, а знаменатель , множитель второй степени полиноміи Р (х). ПримЪреі,. Разложеніе дробей и проч. * Разсмотримъ случай , когда уравненіе (і) имѣетъ равные корни. Изобразивъ чрезъ а, Ъ> с . . . различные корни, чрезъ
III р, д, г. . . цѣлыя числа, и чрезъ к постоянный ноѳффиціентъ, полиномія I7 (х) будетъ вида (і4) Р (х) “ к (х — а,у (х — Ъу (х — су. . . Положимъ для сокращенія (і5) ^(х)=:Л(х — ъу(х — су..., и ~ — А, пю уравненіе (іф) получитъ видъ (іб) Г(х) = (х — а)* ф(х); •у а накъ обѣ разности —А, / (х) — А <р (х) уничтожают- ся въ предположеніи х 222 а, то необходимо будетъ О7) /(У) ~Аф (х) + (х — а) % (х), гдѣ (х) означаетъ новую цѣлую функцію перемѣнной х. На семъ основаніи, изъ уравненій (іф), (іб) и (17) выведемъ , о\ —_______4.____и ____।________Х(х)________ Р(х) ~~ (х —«)?(х —а)?—1 $Цх)““ (х — а)? к(х—а)Р~1(х-Ь/1(,х-с)г...’ тл- і ' • - Я /(ж> г И. такъ, отдѣляя отъ раціональной дроби простую дробь, вида въ остаткѣ получится другая раціональная дробь иоей знаменатель будетъ равенъ частному произходящему отъ раздѣленія полиноміи Р(х) на одного изъ множителей равныхъ х—а. Положимъ что помощію нѣсколькихъ подобныхъ разло- женій, отдѣлили послѣдовательно отъ знамеНагііеля остальной дроби, во іхъ. всѣхъ множителей равныхъ х — а; во 2*ъ. всѣхъ множителей равныхъ х—Ь; въэи. всѣхъ множителей равныхъ х — с , и проч.... Послѣдній изъ всѣхъ остатковъ будетъ раціональная дробь имѣющая постояннаго знаменателя , то есть, цѣлая функція перемѣнной х: и. означивъ чрезъ сію цѣлую функцію, а чрезъ А, А,, Ал,. • .Ар_1У В, Ва Вл . . -Вц_ѵ С, С0 С2...СГ_1, и проч... - постоянныхъ числителей раз- личныхъ простыхъ дробей, получимъ: , / (х)_А В С (19> +• ‘ •+ х-Г + (У-бУ +” •+ (х-с)’*+ • ”
— 112 Дабы доказать во Іхъ. что полиномія есть частное про- изшедшее отъ алгебрическаго дѣленія /(х) на Р (х) , во 2ХЪ. что величины постоянныхъ количествъ В, и проч. . . . совершенно независятъ отъ вида производимаго разложенія , стоитъ только разсмотрѣть слѣдующую формулу: (2о)Лх)=9Г(х)+^^+4<^-+..+Л-.“+в<^+-., получаемую чрезъ умноженіе уравненія (ід) на Рх(х); въ фор- мулѣ (20) всѣ члены слѣдующіе за произведеніемъ суть цѣлыя функціи перемѣнной х, степени низшей противъ степени функціи В(х); сверхъ того, если въ сей формулѣ (20) положимъ х±аф-2, и разложимъ потомъ обѣ части уравненія по воз- растающимъ степенямъ перемѣнной 2, (сліотри ідй урокъ), то сравненіе постоянныхъ членовъ и коеффиціентовъ при одинаковыхъ степеняхъ г въ обоихъ разложеніяхъ, доставитъ слѣдующія уравненія: С2 О — 1.2~3...р * / (&)—А 1.2 .3.. .(р + О 1.2.3 ...р> / 00— И пр. изъ коихъ выведемъ для постоянныхъ количествъ Ау А„А <,... одну только систему величинъ, именно: х X А___ 1.2 .3 ...р.р{а) . _ і.2.3...(р-і-і'і/'(а')—^р-і-і)(а) (22) Л— > -^і----- (Л-І)ХР) (а) > И проч. Такимъ же точно образомъ получатся величины для В, В1} в2,...с, с,, с„... Замѣтимъ что первая изъ формулъ (22) даетъ для постоянной А величину получаемую дробью (х — а)'Ру(х')_/(х) --------—94*)’ ког^а въ оной положимъ х — д, и слѣдова- тельно равную дроби (Подробнѣе о семъ предметѣ изло- жено въ Апаіузе аІ^ёЬгідие^ Гл-. XI).
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИЗЧИСЛЕНІЕ. УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ПЕРВЫЙ. ОбЪ опредѣленныхъ (междупредЪленбіхЪ или кастнвіхЪ') интеералахЪ. Положимъ что функція у—/'^х') есть непрерывная отно- сительно къ перемѣнной х между двумя конечными предѣлами х ~ хоі х~Х, и означимъ чрезъ хіУ . . •Х'П_.І другія вели- чины перемѣнной х вставленныя между сими двумя предѣла- ми, и которыя постепенно или возрастаютъ, или уменьшают- ся отъ перваго предѣла до втораго. Посредствомъ сихъ про- межуточныхъ величинъ, можно будетъ разложить разность X — х0 на элементы (і) х.—х^ Х2 — хі9 х3— Х2І .. .X — хп__19 которые будутъ имѣть всѣ одинъ знакъ. Далѣе, положимъ что каждый изъ сихъ элементовъ помножили на величину /(х), соотвѣтствующую накалу сего самаго элемента, именно, элементъ хг—х0 на/(а70), элементъ хг — хк на/(гг,) и проч..., наконецъ элементъ X—хп_г на/(ггп_І); и пусть будетъ (2) 5— (х.—х^х^ + (х—х^/^х,')4-...Ч-(X—Хп_^Ях^,) сумма всѣхь сихъ произведеній. Количество 5 очевидно бу- детъ зависѣть , во іхъ. отъ числа п элементовъ, на которые разложена будетъ разность X — хоі во 2ХЪ. отъ самыхъ вели- чинъ сихъ элементовъ, и слѣдовательно отъ образа произво- і5
— и4 — димаго разложенія. Необходимо замѣтить, что если численныя величины элементовъ принимаются весьма малыми, а число П весьма большимъ ; то образъ производимаго разложенія бу- детъ имѣть весьма малое вліяніе на величину 5, что можетъ быть доказано слѣдующимъ образомъ. Если бы, вмѣсто всѣхъ элементовъ, разсматривалась только одна разность X—о?0, то имѣли бы (5) Но ежели возмемъ выраженія (і) за элементы разности X—гг0, то величина 5, опредѣленная въ семъ случаѣ уравненіемъ (2), равна суммѣ всѣхъ элементовъ умноженной на среднюю вели- чину функцій /Оо)л 7(0» (смотри предварительныя предложенія въ Соигз (Ѵапаіухе, слѣдствіе 3*“ теоремы, или Ш прймѣч. перев.). Сверхъ того, поелику сіи коеффиціенты равны частнымъ значеніямъ выра- женія / |>о 4“ 0 -О] соотвѣтствующимъ величинамъ 0, заключающимся между пре- дѣлами нуль и единица, то докажется, подобно какъ въ 7МЪ уро- кѣ, что средняя величина, объ которой предъ симъ упомянули, изобразится также чрезъ / [х0 -4- 0 (X—.г0)], гдѣ 0 означаетъ, какъ и выше, число больтее нуля, но меньтее единицы. Итакъ, вмѣсто уравненія (2), можно будетъ принять слѣдующее: (4) + Чтобъ перейти отъ образа разложенія который мы предъ симъ употребляли къ другому, въ коемъ численныя величины элементовъ разности X-—х~0 были бы еще меньше, достаточ- но каждую изъ разностей (і) разложить на новые элементы. Тогда должно будетъ, во второй части уравненія (2), вмѣсто
— іі5 — произведенія (х, — х0)/Х)> подставить сумму подобныхъ про- изведеній, и потомъ сію послѣднюю сумму замѣнишь выраже- ніемъ вида X — хо)/[хоч- 0(х, — х0)], гдѣ $ будетъ означать число меньшее единицы, ибо между сею суммою и произведеніемъ (х,—хо)/(Х) существуетъ зависимость точно такая, какъ и между величинами 5 дан- ными уравненіями (4) и (3)» По той же причинѣ должно бу- детъ поставить вмѣсто произведенія (х2— хІ)/(х1) такую сумму членовъ, которая можетъ быть изображена въ видѣ X — X — Х>], гдѣ означаетъ число меньтее единицы. Продолжая та- кимъ образомъ далѣе, заключимъ наконецъ, что при новомъ образѣ разложенія, величина 5 будетъ вида (5) 5=(х,-хо)/[х0+в0(х,—х0)]+(х3-х,)/[х,-|-^(ж3—х,)] + ••• Полагая въ семъ послѣднемъ уравненіи /Х~Но<Х—^о)]=/Х)±«о» - .............. • • • /Х-х+^п-іХ-^-ОІХХ-Оі^-х» выведемъ (б) 5 = (х, — х0) [/ (х0) ± г0] + (х2 — х,) [/X) ± <И" • • • + ^-4-0 [/Х-і)±еп-і] потомъ, перемноживъ настоящимъ образомъ, будетъ (7) 5=Х—®о)/(<НХ-хд/(хд-+•••+X—»п-і)/Х-1) ±«оХ—X—• • •±®Я_І х— Прибавимъ, что если численныя величины элементовъ х:—х0, х2—х,,. . . X—хп_г будутъ весьма малы, то каждое изъ количествъ -н е0, -н . -+- еп_г будетъ весьма мало разн- ствовать отъ нуля, а посему и самая сумма і5*
— 116 — О ®і) —........— — х С-^ — і) > равная произведенію X—х0 на среднюю величину между коли- чествами + «0, -н г,, . . . -н гп г. Слѣдовательно, чрезъ сравне4- ніе уравненій (2) и (7) заключаемъ, что величина 5, опредѣ- ленная по образу разложенія, въ коемъ элементы разности X— х0 имѣютъ весьма малыя численныя величины, весьма мало измѣнится, если перейдемъ къ другому образу разложенія, гдѣ каждый изъ сихъ элементовъ подраздѣляется еіце на нѣ- сколько другихъ. Положимъ теперь , что разсматриваются въ одно время два образа разложенія разности X — х0, и что въ каждомъ изъ нихъ элементы сей разности имѣютъ весьма малыя чи- сленныя величины. Сіи два образа разложенія можно будетъ сравнить съ третьимъ, такимъ, чтобы каждый элементъ, или перваго, или втораго образа разложенія, былъ составленъ изъ суммы нѣсколькихъ элементовъ третьяго. Дабы выполнить сіе условіе, достаточно будетъ чтобы всѣ величины перемѣн- ной х, вставленныя въ двухъ первыхъ разложеніяхъ между предѣлами х0, X, были введены въ третій образъ разложенія, и тогда докажется что величина 5 весьма мало измѣняется, при переходѣ отъ перваго или втораго образа къ третьему, слѣдовательно также переходя и отъ перваго ко второму. И такъ, когда элементы ра&йости X — хв принимаются без- конечно-малыми , то образъ разложенія имѣетъ только беЗ- конёчно-малое вліяніе на величину 5; и если Мы будемъ без- престанно уменьшать численныя величины сйхъ элементовъ, увеличивая число оныхъ, то величина 5 сдѣлается наконецъ почти постоянною , то есть , оная достигнетъ нѣкотораго предѣла, который будетъ зависѣть единственно отъ вида функціи /(х), и предѣльныхъ величинъ перемѣнной х, именно:
— П7 — хо, X. Сей-то предѣлъ и называется опредЪленнб/ліЪ, или лсеждупредЪлвнбімЪ, или еще тастнылиЬ интеграломъ. Замѣтимъ теперь, что изображая чрезъ Дх:=Л“Лх ко- нечное приращеніе перемѣнной х, всѣ члены составляющіе величину 5, каковы суть произведенія (х — х/)/^/), (х2— хД/^х,), и проч.... будутъ заключаться въ общей формулѣ: (8) Ь/(х)=/(х)а«, изъ коей они выведутся одинъ за другимъ, полагая сперва х — х0 и 1г~х1— х0, потомъ х —Хх, и 7г — х2— х„ и проч... Посему можно принять количество 8 за сумму произведеній подобныхъ выраженію (8); что означаютъ иногда характери- стикою 2 такимъ образомъ: (9) (х) = 2/ (х) А х Что касается до опредѣленнаго интеграла, къ коему прибли- жается количество 8, между тѣмъ какъ элементы разности X— х0 дѣлаются безконечно-малыми: то оный условились изо- бражать знакоположеніемъ /1г/(х) или //(х) сІх, гдѣ буква / поставленная вмѣсто буквы 2> означаетъ уже не сумму произ- веденій подобныхъ выраженію (8), но предѣлъ таковой суммы. Сверхъ того, поелику величина разсматриваемаго нами опре- дѣленнаго интеграла, зависитъ отъ предѣльныхъ величинъ перемѣнной х, именно отъ х0 и X: то условились также ста- вить сіи двѣ величины, первую въ низу, а вторую въ верху буквы /і или писать ихъ съ боку интеграла, въ такомъ видѣ: (іо) /*./(»)Щ, ж«)С=Я- Первое изъ сихъ знакоположеній, въ первый разъ употреблен- ное Г. Фурве* есть самое удобное. Въ частномъ случаѣ, когда вмѣсто функціи /(х), имѣемъ постоянное количество а; то
— іт8 — каковъ бы ни былъ образъ разложенія разности X — х0 на эле^- менпіы, найдется , 5 = а(Х-х.), слѣдовательно (іі) а (1 х — а (X — х„). Полагая въ сей послѣдней формулѣ а.^.1, получимъ: (і2) /*ах=:Х—х0.
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ. Формулы опредѣляющія, тскнбія или приближенныя велиѵинві. между предЪ Лысенко интеграловъ. Изъ сказаннаго нами въ послѣднемъ урокѣ слѣдуетъ', что если разность X — х0, будетъ разложена на безконечно-малые элементы X, — х0, х2 —х„ . . . X — Хп—Д то сумма (і) 5=(хх—х0)/(х0)+(х2— х,)/(х,) +... + С?—х„_ і)/(х„_,) будетъ стремиться къ предѣлу, который изображается опре- дѣленнымъ интеграломъ (2) /хо/И^Х- Изъ правилъ, на коихъ мы основали сіе предложеніе, слѣдуетъ также , что тотъ же самой предѣлъ получили бы опредѣляя величину для 5 изъ уравненій (5) и (6) (2ІГ<* урока), вмѣсто того чтобы выводить оную по формулѣ (і), то есть, предпо- (3) 5=(х —хо),/[хо+0о(х1~хо)] + (х2—Х,)]+ • .. + --Хп-і)/^Хп — і~^^п—і(.Х , гдѣ $0, 0, . . . &п_1 означаютъ какія нибудь числа меньшія еди- ницы, или, (4) 8 — (х, — х0) [/(х0) ± г0] + (х2 — Х0 [/ (х>) ± е,] -4- - • . + (*-хп-0 ЕГС^-І>=±=^-х]> гдѣ • • • еЛ_г означаютъ числа уничтожающіяся вмѣстѣ съ элементами разности X — х0. Первая изъ двухъ предъ-
*— 120 идущихъ формулъ обратится въ уравненіе (і), когда возмемъ 0О ~ 0, — • . • ~ — О. Напротивъ того } полагая 0О ~ 0, — ... — 0П_ г гг о, найдется: (5) 8=(х,— хі)/(х2)4-... + (^—хп__^/(Ху Ежели въ сей послѣдней формулѣ, перемѣнимъ между собою два количества х0, X, равно какъ и всѣ члены, находящіеся на равныхъ разстояніяхъ отъ двухъ крайнихъ въ ряду х0, Х,...ХЛ_І, X; то получимъ новую величину для 5 равную той, которую даетъ уравненіе (і), но только съ противнымъ знакомъ. Пре- дѣлъ, къ коему будетъ стремиться сія новая величина 5, Дол- женъ быть равенъ интегралу (2) , съ противнымъ знакомъ; слѣдовательно сей новый интегралъ выводится изъ (2) чрезъ измѣненіе порядка предѣловъ. Посему (б) = — /*/(*)<**• Формулы (і) и (5) часто употребляются при изысканіи при- ближенныхъ величинъ опредѣленныхъ интеграловъ. Для боль- шей удобности въ выкладкахъ, обыкновенно предполагаютъ, что количества х0, хІ...хл_1, заключающіяся въ сихъ фор- мулахъ, составляютъ ариѳметическую прогрессію. Тогда каж- X___х дый элементъ разности X—х0 равенъ дроби - л °, и озна- чивъ сію дробь чрезъ і, уравненія (і) и (5) обратятся въ два слѣдующія: (7) 5—і[/(хо)-Ь/(хо-|-і)-4-/(х04-2і)-|-...-\-/(Х—2і)-\-/(Х—Г)], (8) 8=і|/(х.+і)+/(х0+2І) +... +/(Х-аі) +/(Х)]. Можно также положить, что количества Хо, хх . . . хл_1, X составляютъ геометрическую прогрессію , коей знаменатель весьма мало разнствуетъ отъ единицы.
121 — Въ семъ предположеніи, сдѣлавъ (—) — і -4- а , изъ фор- мулъ (і) и (5) получимъ двѣ новыя величины для 5; первая изъ нихъ будетъ (9) 5гга^в/(х0)-Ьх0<і + а)/[х0(і +а)] + „. + Замѣтимъ, что во многихъ случаяхъ, изъ уравненій (7) и (э) можно вывести, не только приближенныя величины интегра- ла (2), но даже и точную его величину, равную пр. 5. На примѣръ, найдется , л ч рХ (X— хо)(Х+хо-і) х*—х*а-і(Х~хо) Х3-хй„ (ІО) / хо Х^Х — ПР- ---2-----— ПР- -----1------ = ~Т- ’ х х рХ , ІЫХ-Лх°)___ЛХ-Лх° сХ „ , (”) ]ХоА Х<1х — пр.——]ХоехНх = е^ е*о; , х рХ а(^а4-і_а,оа4-1)__Ха-+-і_Хоа+і гХ Лх ,,Хх (12) /ХО х <1х=пр- (Н-^н-1-Г > ]Хо V =ИР- па=і(^>); послѣднее уравненіе должно быть допускаемо только въ томъ случаѣ, когда количества х0, X имѣютъ одинакіе знаки. При- бавимъ еще , что часто легко бываетъ найти зависимость между однимъ опредѣленнымъ интеграломъ и другимъ того же рода. Такъ, напримѣръ, изъ формулы (і) выводимъ: О3) а^х)ах=пр.а[(хІ—х0')^х0') +... + (X—хп__ х) (хп_,)] (М) /хоКх+а^х^пр.[(Хі-х0)/(х0+а)+...+(Х-хя_ ,)/(«„_,+«)] —і'х0+а/^х')аХз (і5) О(х-а)ах=^-:лх)ах, послѣднее уравненіе должно быть допускаемо только въ томъ случаѣ, когда хо — а и X — а изображаютъ количества имѣю- Іб
122 — щія одинакіе знаки. Сверхъ итого, полагая хо ГЗГ о въ формул ѣ (8), и подставляя потомъ /(X—х) вмѣсто / (х), получимъ: (іб) ^/(Х-хуіх—пр.і[/(Х—і)+/(Х— 2і)+...+/(2і)-4-/(0+Л°Л Отсюда, соображаясь съ уравненіемъ (іД), выводимъ (О) /Г”/(* - х) Лх=[^’/(х + хс) Лх =/*/(х) Ах. Также, подставляя въ формулѣ (д) ('«) вмѣсто /(х) и @ вмѣ- сто / (і 4- а), получимъ : , о\ Гх _____ /?Г—1 1 । , 1 ~[/ер— ГІ(Х) іх <1°) х0хі(х)—ПБві{хо)'і~Цх0-)+^’--Гі(Х)-?^ (3 7~~Л(х0) х — I Г^І —4 1-г(х0)> гдѣ количества хо, X должны быть положительныя , и оба больше, или оба меньше единицы. Здѣсь необходимо замѣтитъ, что видъ, въ которомъ пред- ставляется величина для 5, въ уравненіяхъ (ф) и (5) предъ- идущаго урока, приличествуетъ равно и интегралу (2). И дѣй- ствительно, сіи уравненія , оба имѣя мѣсто, тогда какъ или разность X — х0, или количества хІ —х0, хй — X,, ... X— разложены на безконечно-малые элементы, будутъ справедли- вы и при переходѣ къ предѣлу; посему будемъ имѣть (19) /*/(*) іх = (X - О + с О] > и (20) /,/(х)іх=(.х — Х<МХ°-МХ~=с«)]+(а=2—®ЭТ +......................-+-(^-х.-.)/К_ ,(Х-х._,)]. гДѣ 0, $0, изображаютъ величины неизвѣстныя , но. кои всѣ меньше единицы. Предположивъ, для большей про-
-- 123 --- сшошы, чшо количества хг—х0, х2— хг. . .X—хп__г равны между собою, и сдѣлавъ і — —~п—, найдется: (21) /я,о/(^)^ас—Н-^л—хО]’ Когда функція /(х) будетъ постоянно или возрастать или уменьшаться отъ х — хо до х — X, то вторая часть формулы (2і), очевидно будетъ заключаться между двумя величинами 5, данными уравненіями (7) и (8) ; и поелику разность сихъ величинъ есть -н і [/(X}—УС^о)], т0 принявъ въ семъ пред- положеніи, полу-сумму сихъ двухъ величинъ, то есть выра- женіе (212) і[|/(хо)Ч-/(хо-Н-0Ч-/(хо4 2І)+...4-/(^— 204-Л^-О-н/ОТ] за приближенную величину интеграла (2і), возможная погрѣш- ность будетъ меньше полу-разности -н і [і/(Х)— іу(х0)]. Примѣрѣ. Возмемъ / (х) — 1 , х0 — о, X ~ г, г — вы- раженіе (22) обратится въ 4 [4 + Щг 4 + 44 + — 0,78 . • - г1 Ах А посему 0,78 есть приближенная величина интеграла у ° 57^5» Въ семъ случаѣ, возможная погрѣшность не можетъ превы- шать і (| — 4) — т®. И дѣйствительно, оная будетъ менѣе одной сотой, какъ мы то въ послѣдствіи увидимъ. Когда же функція /(х), то возрастаетъ, то уменьшается между предѣлами х~хо, х — X; то возможная погрѣшность , когда примемъ одну изъ величинъ 5 доставляемыхъ уравненіями (7) и (8) за прибли- женную величину интеграла (2), очевидно будетъ менѣе про- изведенія количества п і — X — х0 на наибольшую численную величину какую можетъ получить разность (23) /(х-}-Дх)—/ (х) “ Дх/7 (х + 0Дх) іб*
—— 12Ц. - когда х предполагается заключающимся между предѣлами х„, X, а Дх между предѣлами О и і. И такъ, изображая буквою к самую большую изъ численныхъ величинъ какую получаетъ У(х), тогда какъ х измѣняется отъ X ~ х, , до х ~ X , воз- можная погрѣшность въ величинѣ интеграла (2) , будетъ за- ключаться между предѣлами — кі(Х-хс\ 4-Н(Х-х0).
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ТРЕТІЙ. Разложеніе опредѣленнаго интеграла на нЪсколвко другихЪ. Мнимвіе опредЪленнвсе интегралвь. Геометрическое значеніе вещественнвіхЪ опредѣленныхъ интеграловъ. Разложеніе функ- ціи находящейся. подЪ знакомЪ / на два множителя, изЪ коихЪ второй удерживаетъ постоянно одинЪ и тотЪ же знакЪ. Для разложенія опредѣленнаго интеграла (О на нѣсколько другихъ такого же рода , надлежитъ разложить, или функцію стоящую подъ знакомъ /, или разность X — хо, на нѣсколько частей»' Положимъ сперва что (х) -ф (х) + • • • 5 получимъ: (х —х0)/(х0) Н---+ (^Г—(Хг-О р Ы Ч- - +(х--х0)^(хс)+... + (X— х„_<Х_.) + (X—О ф(О +..» + (Х—хп_І)Ѵ'<хп_1)+ И проч. потомъ, переходя къ предѣламъ, и проч... Посему, означая чрезъ и, ѵ, іѵ. . . различныя функціи пере- мѣнной х, и чрезъ а, Ъ, с . . . постоянныя количества, осно- вываясь на уравненіи (іЗ) (22го урока), получимъ: (2) Iхо “Ь ѵ ~Ь 4“ —) — /х0 иЛх -\-/Хо ѵсіх Ѵ)Лх-Ь.
— І2б ---- (3) (и^^=2І^оиах+^оѵа^, (и-ѵ)ал=/^оиал^[^оѵал, (4) /* (лиф-Ьѵ+сіѵ...)а^^а^иах-^-Ъ/^ѵах-^с^ѵоаа;-^-... Разпространимъ опредѣленіе данное интегралу (і) и на тотъ случай, когда функція /(а?) будетъ мнимая; посему уравненіе (4) будетъ имѣть мѣсто и для мнимыхъ величинъ постоян- ныхъ количествъ я, Ъ, С . . . ; слѣдовательно (5) Гх (и-\-ѵѴ—і) Лх~Гх исіхVі Гх ѵсіх. Разложимъ теперь разность X—гго на конечное число эле- ментовъ — а?0, х2 — хх . .. X— хѵ_г, и каждый изъ сихъ элементовъ подраздѣлимъ на другіе, коихъ численныя величи- ны безконечно-малы; въ слѣдствіе сего измѣнится и самая величина для 5 данная уравненіемъ (і) (22го урока). Произве- деніе —,л^/(хс) должно будетъ замѣнить суммою подоб- ныхъ произведеній, имѣющею предѣломъ интегралъ У*1/ (а?) Лх: Равнымъ образомъ и произведенія —ггі)/’(а7І) .. . (Х-х ^ /слѣдуетъ замѣнить суммами, коихъ соотвѣтственными предѣлами будутъ опредѣленные интегралы/ х^/(/г) сІх, и проч... /*Ля Далѣе, сложивъ всѣ сіи различныя суммы, по- лучимъ полную сумму , предѣломъ коей будетъ самый инте- гралъ (і)- Но поелику предѣлъ суммы нѣсколькихъ величинъ, равенъ суммѣ ихъ предѣловъ: то будемъ имѣть (Ѳ /х0/(.л:') Хо/С’7)^’(ІХ-\-. • .~{\ІХп_г/(.х') Впрочемъ не должно забывать чт© цѣлое число іг изобра- жаетъ величину конечную. Когда между предѣлами а?0, X включимъ одну только величину перемѣнной х, именно шо уравненіе (б) обратится въ
— 127 ---- (7) Легко доказать что уравненія (б) и (7) имѣютъ мѣсто даже и въ томъ случаѣ, когда нѣкоторыя изъ количествъ хіг Х2 • ’ •*хп—Р не заключаются меяіду предѣлами хо, X, или еіце, когда разности -л?0, л?2—х^.Х—^п_1і §—^0> %—» не всѣ имѣютъ одинакіе знаки. Положимъ, напримѣръ, что разности — гго, X — § съ противными знаками. Въ такомъ случаѣ, смотря потому, будетъ ли хо взятъ между предѣлами § и X, или X между л?0 и найдется: /(л) —/рУС*7) +ЛУО) йа7» или Ддо +Л/о) Изъ формулы (б) (22го урока) видимъ почему сіи два уравне- нія согласуются съ уравненіемъ (7). И какъ послѣднее доказано во всѣхъ предположеніяхъ: то посему изъ онаго можно будетъ прямо вывести уравненіе (б), каковы бы ни были х^х ...хп_1. Въ предъидущемъ урокѣ видѣли , какъ легко опредѣляются, не только приближенныя величины интеграла (г) , но даже и предѣлы возможныхъ погрѣшностей, когда функція /(х) по- стоянно возрастаетъ или уменьшается отъ х ~ гго, до х ~ X. Когда сіе условіе не выполнено, то очевидно что помощію формулы (б), можно будетъ разложишь интегралъ (і) на нѣ- сколько другихъ, въ разсужденіи которыхъ сему условію будетъ удовлетворено. Положимъ теперь что предѣлъ X больше предѣла хаі и что функція / (х) есть положительныя отъ х^хо до Х—Х; пусйіь будутъ х и у прямоугольныя координаты, а А площадь заключающаяся съ одной стороны между осью х и кривою линіею у—/(гг), а съ другой стороны между ординатами Г(хс), и/(Х). Сія площадь, имѣющая основаніемъ линію X—ха
-- 128 — взятую на оси абсциссъ , будетъ средняя между площадями двухъ прямоугольниковъ построенныхъ на основаніи X— хо, и имѣющими высоты равныя , первый: меньшей , а второй: большей изъ двухъ ординатъ соотвѣтствующихъ крайнимъ точкамъ сего основанія. И такъ сія площадь равна прямо- угольнику, коего высота есть средняя ордината выраженная чрезъ / [х0 4- 0 (-Х" — х0)] ; слѣдовательно. (8) ^4 — (X — хо)/[хо4-0 (^— О] > гдѣ 0 означаетъ число меньшее единицы. Если основаніе Х—х0 будетъ разложено на безконечно - малые элементы х,— хоі х„ —X. . . . X — Хп_х, то и площадь А также разложится на соотвѣтствующіе имъ элементы, коихъ величины будутъ вы- ражены уравненіями подобными формулѣ (8). Посему, имѣемъ также (9) <)ЛхоЧЧ(я.—*0)]+(х2—хЭЛ^+0^—х^-ь... +(^-ѵІ)/[;сп-.І+и. х„_э], гдѣ 0О, 0І. . . 0Л_г изображаютъ, какъ выше, числа меньшія еди- ницы. Полагая что въ семъ послѣднемъ уравненіи, численныя величины элементовъ разности X—х0 безконечно-малы, и пе- реходя къ предѣламъ, получимъ: (ю) А—/^о/(х)Лх. ПрилсЪрві.. Приложить формулу (іо) къ кривымъ даннымъ по уравненіямъ: у — а х2, ху ” і, у — ех, . . - Оканчивая сей урокъ , покажемъ замѣчательное свойство вещественныхъ опредѣленныхъ интеграловъ. Предположимъчто /(х) — <р (х) . (х), гдѣ р (х) и у (х) изображаютъ двѣ новыя функціи перемѣнной х, непрерывныя между предѣлами х~хс, х~Х, и изъ коихъ, сверхъ того, вторая удерживаетъ по- стоянно одинъ и тотъ же знакъ между сими предѣлами; вели-
— 129 — чина 5 данная уравненіемъ (і) (22го урона) обратится въ слѣ- дующую : (11) 5 = (хх — х0) (хо) / (хс) -Ь (х2 — хх) ф (х,) 7 (х,) -ь . .. ч- {Х — хп_^ $ (хп_г) % (хп_г) и будетъ равна су}имѣ (Л - х0) I (хо) + (х2 — хх) X (хО + ... (X — хЛ_,) х (хп_^ умноженной на среднюю величину между коеффиціентами ф (яо), (х,) . . . ^ (хя_Т) > или, что все равно, на функцію вида ф (|) , гдѣ § означаетъ величину перемѣнной х, заклю- чающуюся между двумя предѣлами х0 и X. И такъ будетъ (12) 5=[(х-х0)%(хо)+(х2-хі)/(хі)+...+(Х-хп_і)^(хп_і)].^(^, откуда, переходя къ предѣлу величины 5, О3) /*/О)а х—/ъ?О) • / О)ах — Ф 0)/«о х (х) ах> гдѣ § имѣетъ прежнее же значеніе. ПришЬрбі. Принимая постепенно получимъ формулы: (4) ах=(х_ хо)/©> (15) О(х) ах=г/©/; ѵ -1 / ® • I (|) > (б) /«. Л^)^=(5-<і)/(^-“)^ й=(Ь>)ЛЬ>^ (^=Э. изъ коихъ первая равнозначуща съ уравненіемъ (19) 22го уро- ка. Прибавимъ что отношеніе — во второй формулѣ и отно- . Х—а шеніе въ третьей, предполагаются положительными. 17
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ. О ъастнбіхЪ интегралахъ, вели'синбі коихЪ сутв или безконес- нвіл или неопредЪленнбія. Главнвіл вели'синбі, неопредЪленнвіхЪ интеграловъ. Въ предъидущихъ урокахъ мы доказали нѣсколько замѣча- тельныхъ свойствъ опредѣленнаго интеграла О) но предполагая во іхъ: что предѣлы хо, X были конечныя коли- чества, во 2ХЪ: что функція / (х) оставалась конечною и не- прерывною между сими самыми предѣлами. Когда сіи два условія выполнены; то Означивъ чрезъ хі} Х2 . . . хп_х новыя величины перемѣнной х, вставленныя между предѣльными величинами х0, X, получимъ (2) /* ЯхУх—Г2(1х+• ••+/Х-,ж> Положимъ теперь что имѣемъ только двѣ промежуточныя величины и изъ коихъ первая, весьма мало разнствуетъ отъ хо, а вторая, отъ X; уравненіе (с) обратится въ слѣдую- щее: — ЙХ4/ІЛХ)^*4/*ЛХ) которое можно написать такимъ образомъ:
— іЗі — ГД'Ь (К и $ суть два числа меньшія единицы. Если, въ сей по- слѣдней формулѣ, ф будетъ стремиться къ предѣлу х0, а | къ предѣлу X, то, переходя къ предѣламъ, получимъ: (з) .О о) =пр- Д /о) а*- Когда предѣльныя величины х0, X полагаются безконечными, или когда функція ф (х) не будетъ, какъ выше, конечною и не- прерывною отъ х —х0 до х~Х: то въ такомъ случаѣ нельзя судить , имѣетъ ли количество означенное въ предъидущихъ урокахъ чрезъ 5, опредѣленный предѣлъ , и слѣдовательно не знаемъ также какой смыслъ заключаетъ въ себѣ. знакополо- женіе (і), вообще означающее предѣлъ величины 5. Для избѣ- жанія недоразумѣнія, мы разпространимъ, по аналогіи, формулы (2) и (3) и на тѣ случаи, когда оныя не могутъ быть строго доказаны; посему знакоположеніе (і) во всѣхъ случаяхъ будетъ имѣть ясное и опредѣленное значеніе. Нижеслѣдующіе при- мѣры объяснятъ сіе на самомъ дѣлѣ. Разсмотримъ, во первыхъ, интегралъ (4) ЩехЛх. Означивъ чрезъ и § два перемѣнныя количества, изъ коихъ первое стремится къ предѣлу —00, а второе къ предѣлу фоо: то изъ формулы (3) получится /^2» еХ^ х — пР- /|о ехсІх^± пр. — е^°) — е“ — с “ “ оо. И такъ , интегралъ (ф) равенъ безконечной положительной величинѣ. Во вторыхъ, разсмотримъ интегралъ (5) /: взятый между двумя предѣлами , изъ коихъ одинъ есть без- конечный, между тѣмъ какъ другой обращаетъ функцію подъ 17*
— і32 — знакомъ /, именно —, въ безконечную величину. Означимъ чрезъ |0 и два постоянныя количества , изъ коихъ первое стремится къ предѣлу нуль, а второе къ предѣлу оо; изъ формулы (3) выведемъ Лх Лх __ 1 \ _ 7 \ И такъ, интегралъ (5) имѣетъ также безконечную положи- тельную величину. Замѣтимъ, что если перемѣнная х и функція / (х) остают- ся обѣ конечными для одного изъ предѣловъ интеграла (і): то формулу (3) можно будетъ замѣнить одною изъ двухъ слѣдующихъ: (б) 1хо/^Лх = ПР' ЛО/(Х)^Х> /хо /(х)ах — пр. /^/(х)^Х. Въ слѣдствіе сихъ послѣднихъ формулъ, найдемъ напримѣръ: ехс1х~е0— е~х> — і, / ехсіх~е“—е° — со ; (V) < ° ) Г° Лх 7 х ч Г1 л х /1\ . С / —I X (°) — 00 ’ 0 ~х~ — (о) 00• Разсмотримъ теперь интегралъ (8) “Л въ коемъ функція подъ знакомъ именно —, обращается въ безконечность для частной величины х — о , заключающейся между предѣлами х — —і, х~-|-Т. По формулѣ (г) полу- чимъ : , ч /•+1 Лх г° Лх , г1 Лх , (э) ^+/<,ѵ=;—со+0° И такъ, величина интеграла (8) кажется неопредѣленною, а чтобъ увѣришься, что оная дѣйствительно такова , надле- житъ только замѣтить, что если означимъ чрезъ е безкоиеч-
— іЗЗ — но-малое число , а чрезъ ѵ два количества постоянныя и положительныя , но произвольныя; то въ силу формулъ (б), будемъ имѣть , ч с° іх г—еи.сІ.х г1 іх г1 й х (ю) / — — пр.] —=іпр.] —. Слѣдовательно, формула (9) обратится въ оо № * +/:, =і а и доставитъ для интеграла (8}, величину совершенно неопре- дѣленную, поелику сія величина равняется Неперову логариѳму М- постояннаго произвольнаго количества —• Положимъ теперь что функція / (х) дѣлается безконечною между предѣлами х — х0, х Х> отъ частныхъ величинъ пе- ремѣнной X, именно, отъ х — хл х — Х2 . , . . х — хт. Озна- чимъ чрезъ е безконечно-малое количество, а чрезъ ѵі} ѵ2, . . . ѵт постоянныя положительныя количества, но про- извольныя; то изъ формулъ (2) и (5) выведемъ о®) ах+ +у*„/'(х)іх - «?• <» ю а х+• • Сн юЦ- Замѣняя же предѣлы х, X, предѣлами —оо и -|-ао, получимъ ОЗ) — ПР‘ у / 1 /(х)^х-|-/ /(х)<іх-|-.ЕѴ /(х)^х^, (ѵ е р. * " хт.Н-еѵт і гдѣ ^4, ѵ означаютъ опять количества постоянныя и положи- тельныя, но произвольныя. Прибавимъ, что во второй, части формулы (іЗ), должно будетъ поставить X вмѣсто —, или х0 вмѣсто ——, если одинъ только изъ предѣловъ хо, X, будетъ безконечный. Во всѣхъ случаяхъ, величины интеграловъ
— і34 — 04) /І/(ж)^х’ /І“/О)^, доставляемыя уравненіями (і2) и (іЗ), могутъ быть, по свой- ству функціи /(х), или безконечныя, или конечныя и совер- шенно опредѣленныя количества , или еще величины неопре- дѣленныя , кои будутъ зависѣть отъ частныхъ значеній по- стоянныхъ произвольныхъ количествъ у, тт. Положивъ въ формулахъ (і2) и (іЗ) что постоянныя про- извольныя величины г, г,. . - рт гт всѣ равны единицѣ, получимъ: (15) ^х}Лх=пр. ІГ2~У(х)Лх+/2^ ’ (/•*!—« _ /•! ) (16) /_*/(х)ах=прА / _ 1/(х)^х4-/*2+У(х)бІх4-...4- / Ё /(х)сЦ. Е 1 хт+і ) Когда интегралы (і4) дѣлаются неопредѣленными, то уравне- нія (і5) и (іб) доставляютъ для каждаго изъ нихъ одну толь- ко частную величину, которую и назовемъ главною величиною. Если возмемъ, напримѣръ, интегралъ (8), коего обгцая величи- на неопредѣленная; то увидимъ, что главная величина сего интеграла обращается въ нуль.
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ. О блілзкопредЪлбНбіхЪ т.астнвіхЪ интегралахъ, Положимъ что интегралъ относительный къ х, и въ ко- емъ функція подъ знакомъ / означена чрезъ У(х), взятъ между двумя предѣлами безконечно близкими къ нѣкоторой частной величинѣ х, означенной чрезъ а. Если сія величина а есть количество конечное, и если, сверхъ того, функція /(х) бу- детъ конечная и непрерывная въ сопредѣльности частнаго значенія X — а: то, въ слѣдствіе формулы (19) (22го урока), найдется, что разсматриваемый интегралъ равенъ нулю. Но сей самый интегралъ можетъ получить величину конечную, разнствующую отъ нуля , или даже величину безконечную, если будетъ а~±оо, или у(а)~±оо. Интегралъ относя- щійся къ сему послѣднему предположенію, мы назовемъ близко- предЪлвнбіллЪ ’састноіліЪ интеграломъ. Величина онаго вообще легко опредѣлится помощію формулъ (і5) и (іб) (23го урока), какъ мы то ниже покажемъ Пусть будутъ 8 безконечно-малое число, а ѵ два посто- янныя положительныя количества, но впрочемъ произвольныя. Если , а будетъ количество конечное, удовлетворяющее уравне- нію /(х) ” ± оо, и если означимъ чрезъ Е предѣлъ къ коему приближается произведеніе (х — а)/(х) , между тѣмъ какъ первый его множитель приближается къ нулю: то величины близкопредѣльныхъ интеграловъ /^-.^/(х) <2х, /(х) Лх,
— іЗб — въ слѣдствіе формулы (іб) (23го урока) , будутъ весьма мало разнствовать отъ (і) Л-Г/(Х)^Х —= Напротивъ того , полагая а — ± оо , и изобразивъ буквою Г предѣлъ къ коему приближается произведеніе х/(х), между тѣмъ какъ перемѣнная х приближается къ предѣлу ч- оо, по- лучимъ для интеграловъ (по уравненію (і5), 25™ урока) слѣ- дующія величины, весьма мало разнствующія отъ настоящихъ, і і (3) /* Е Дх) ^х = Е.7(^), (4) /*Е7(х) <7х2=Е. 7(1). у і У і е ц. е Необходимо замѣтить, что предѣлъ произведенія (х— а)/(х) или х/(х), зависитъ иногда ртъ знака предъ первымъ его ______________________________________________________1 множителемъ. Такъ напримѣръ, произведеніе х(ха-|-х+) приближается къ предѣлу -4-1, или —і, смотря по тому, бу- детъ ли первый множитель, именно х, приближаясь къ нулю, переходить изъ положительнаго состоянія въ отрицательное, или обратно. Изъ сего замѣчанія слѣдуетъ, что количество Е можетъ иногда имѣть двѣ различныя величины въ уравне- ніяхъ (і) и (2), также въ уравненіяхъ (3) и (4)» Разсматриваніе близкопредѣльныхъ частныхъ интеграловъ приводитъ къ опредѣленію общей величины неопредѣленнаго интеграла, когда главная его величина извѣстна. И дѣйстви- тельно, возмемъ интегралъ (5) /хо/(х)^х’ и, сохранивъ знакоположенія предъидущаго урока, положимъ
— 157 — Сверхъ піого, пусть будетъ А ~ пр. Е общая величина, а В ~ пр. Р главная величина интеграла (5). Разность А — В — пр. (Е — Р) будетъ равна суммѣ близкопредѣльныхъ инте- граловъ («) у:;:г -у:х то есть, предѣлу къ коему приближается сумма интеграловъ (8), между тѣмъ какъ е постепенно уменьшаясь стремится къ нулю. Далѣе, изобразивъ чрезъ Г,, Е2.. Ат предѣлы, къ коимъ при- ближаются произведенія (х —^/(х), (х —х2)/(х) .. . (х — хт)/(х), между тѣмъ какъ первые ихъ множители стремятся къ нулю, найдемъ, что ежели сіи предѣлы не зависятъ отъ знаковъ сихъ первыхъ множителей: то сумма интеграловъ (8) весьма мало будетъ разнствовать отъ величины (э) с1.г(^+гг.г(^ + .... г Когда х, ~ Хо или Хт то въ разности А — В одинъ близкопредѣльный интегралъ уничтожится, именно, или пер- вый или послѣдній изъ интеграловъ (8). Если возмемъ хо~—оо, X —-|-а>, то уравненія (6) и (7) обратятся въ слѣдующія: /•»!—рх%—р і (ю) Б— / і /(х)б/х-|- / /(х)с/х4-...4- / /(х)^х, (и) Р~ Г 1 /(х)сіх-^- /* /(х)^х4-...-4- /*7 /(х)г7х. — — У X, + е У + е Г Въ томъ же самомъ предположеніи, къ интеграламъ (8) долж- но присовокупить еще другіе, именно: і і (12) /* Е /(х) (1х, ГіѴ'/(х') Ах, 18
— і38 — коихъ сумма будетъ весьма мало разнствовать отъ величины выраженія (13) если произведеніе х/ (х) стремится къ предѣлу Г, между тѣмъ какъ перемѣнная х приближается къ одному изъ двухъ предѣ- ловъ — оо, -]- оо. Когда же одинъ только изъ предѣловъ Хо, X равенъ безконечности: то въ разности А — В должно сохра- нить одинъ только изъ интеграловъ (і2). Когда для безконечно-малыхъ величинъ с, и для конечныхъ или безконечно-малыхъ значеній произвольныхъ коеффиціен- шовъ г, ѵт, всѣ близкопредѣльные интегралы (8) и (і2), или по крайнѣй мѣрѣ нѣкоторые изъ иихъ, обра- щаются въ безконечныя величины, или въ конечныя, но разн- ствующія отъ нуля: то очевидно что интегралы /(х) <іх, /(х') йх получаютъ величины безконечныя или неопредѣ- ленныя; а сіе случится, когда количества Г2 . . . (т не будутъ всѣ въ одно время равны нулю. Но обратное сему предложе- ніе не справедливо; дѣйствительно, можетъ случится что всѣ величины Г2 . . . Ст обратятся въ нули , между тѣмъ какъ интегралы (8) и О2)» или по крайней мѣрѣ нѣкоторые изъ нихъ, будутъ имѣть величины конечныя, разнствующія отъ нуля, для безконечно-малыхъ значеній коеффиціентовъ г, ' 1 ѵг. . . ѵт. Напримѣръ, возмемъ /(х) — произведеніе х/ (х) уничтожится отъ предположенія х 23:0, не смотря на то, близкопредѣльный интегралъ Г 4 Лх __7 Гт ^"1 1 і хі(х) * Ь1 । 7(е)2 не обратится въ нуль для безконечно-малыхъ величинъ коли- чества ѵ.
— іЗд — Когда близкопредѣльные интегралы, входящіе въ разность А — В всѣ уничтожаются для безконечно-малыхъ величинъ количества г, какія' бы впрочемъ ни были конечныя или безко- нечно-малыя величины коеффиціентовъ г, г\ .. . рт, гт: то можно заключить, что общая величина интеграла (5) об- ращается въ конечное и опредѣленное количество. И дѣй- ствительно , означимъ въ семъ предположеніи чрезъ д безко- нечно-малое число, а чрезъ г такое количество, что для ве- личинъ коеффиціентовъ ^4, ѵ, щ,. . . ѵт меньшихъ еди- ницы, каждый изъ интеграловъ (8) и (і2) имѣетъ численную величину менѣе Приближенная величина для В, изо- браженная чрезъ В, будетъ количество конечное, не содержа- щее уже никакой величины произвольной; и уменьшая потомъ коеффиціенты г, ѵг • . • Цп-> ѵт до безконечности, очевидно что Е будетъ болѣе и болѣе приближаться къ равенству съ А, заключаясь между предѣлами Р—д я Р-\-д> И такъ А будетъ за- ключаться между сими же самыми предѣлами; слѣдовательно, можно найти такое конечное количество Р, что разность А—Р будетъ менѣе даннаго числа д. Изъ сего должно заключить, что общая величина А интеграла (5), въ настоящемъ пред- положеніи , будетъ равняться конечному и опредѣленному ко- личеству. Въ силу сихъ правилъ, получимъ слѣдующее предложеніе. Теорема. Дабзс общая величина интеграла (і) была конеч- ная и опредѣленная, то для сего необходимо и при толіЪ до- статочно, чтобъ величины близкопредЪлвнвіхЪ интеграловъ (8) и (12) входящихъ вЪ разноств А — В, обратилисв вЪ нулв, для безконечно-малвсхЪ величинъ количества г, какія бві впро- челіЪ ни бвіли конечнвся или безконесно-лшлвся величина/, коеф- фиціентовЪ ід, ѵ, .. ит> ѵт. і8*
I /| О і (х) ПримЪрЪ. Пусть будетъ раціональная дробь. Дабы ин- г4-со Цх) , тегралъ /'_имѣлъ конечную и опредѣленную величи- ну; то для сего необходимо и достаточно во Iх*: чтобъ уравненіе Р(х) “О не имѣло вещественныхъ корней; во 2ХЪ: чтобъ сте- пень знаменателя Р (х), превосходила бы степень числителя Е (х), по крайней мѣрѣ двумя единицами.
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЙ. О неопредЪленнбихЪ интегралахъ. і /*.Х' Если, въ опредѣленномъ интегралѣ /х/(л) с/х, будемъ из- мѣнять одинъ изъ двухъ предѣловъ, напримѣръ, количество X: то и самая величина сего интеграла будетъ также измѣ- няться вмѣстѣ съ симъ предѣломъ; поставляя же х вмѣсто предѣла X, полагаемаго перемѣннымъ, получится новая функ- ція измѣняемой х, которая называется интеграломъ взятымъ отъ накала х ~ хо. Пусть будетъ (і) Ф(х) — Ах сія новая функція. Изъ формулы (ід) (22го урока) получимъ (2) 0(х) — (х —хо)/[хо4-0(х —Хо)], 0(хо)~О, гдѣ 0 есть число меньшее единицы; въ силу же формулы (7) (25го урока), имѣемъ —/х<ДХ) ах =/х+<Х/(х) — ®/(х + №)> или (5) Ф(» + а) — Ф (х) =з а/(х + 0а). Изъ уравненій (2) и (3) слѣдуетъ, что если функція /(х) будетъ конечная и непрерывная въ сопредѣльности какой либо частной величины перемѣнной X; то новая функція Ф(х) бу- детъ не только конечною, но и непрерывною въ сопредѣльно- сти сей же самой величины,, ибо безконечно-малому приращенію перемѣнной х , будетъ соотвѣтствовать безконечно же малое приращеніе функціи Ф (х). И такъ, если функція / (х) есть
--- 14-2 ----- конечная и непрерывная отъ х ~ Хо до Х~Х: то и функція ф(х) будетъ таковою же между сими самыми предѣлами. При- бавимъ, что раздѣливъ обѣ части формулы (3) на а, и пере- ходя потомъ къ предѣламъ, получимъ: (4) Ф' О) =/&)• Слѣдовательно производная интеграла (і), принимая оный за функцію перемѣнной х, равна функціи / (х) находящейся подъ интегральнымъ знакомъ /. Подобнымъ образомъ докажет- ся что производная интеграла / (х) А х — — / (х) сі х, принимаемаго за функцію перемѣнной х, равна функціи —/(х); посему (5) —/*о/(х)с/х=/(х), и /^/(х) сІх — —/(х). Основываясь на предъидущихъ формулахъ, а также и на ура- вненіи (б) (7го урока), легко будетъ рѣшить слѣдующія задачи. і’я Задача. Найти такую функцію хз (х), _ для. которой бві производная із7 (х) обращаласв вЪ нулв. Или, ина'се, рѣшите уравненіе (б) & (х) =2 о. Рѣшеніе. Ежели допустимъ что функція Е7 (х) остается конечною и непрерывною отъ х_—оо до х _ -(~ со : то означивъ чрезъ х0 какую ни есть частную величину перемѣн- ной х, изъ формулы (б) (7го урока) выведемъ: ет(х)—ет(хс) — (х— хс)^ [хо-(-0(х—хв)]—о, и слѣдовательно (7) ет(х) = ет(хс), или, изобразивъ чрезъ с постоянное количество 27 (хг), (8) И' (х) = с. И такъ, функція 27 (х) обращается въ постоянное количество с, и будетъ равна сей величинѣ с, отъ X —— оо до X—оо. Прибавимъ, что сія постоянная величина совершенно произ-
— 145 — вольная, поелику формула (8) удовлетворяетъ уравненію (б), каково бы ни было количество с. Если допустимъ, что функція ЗУ (х) дѣлается прерывною для нѣкоторыхъ частныхъ значеній перемѣнной х, и означимъ сіи частныя значенія измѣняемой х чрезъ хг, хз. . . хт, пред- полагая, что оныя поставлены по порядку, ихъ величинъ: то уравненіе (7) будетъ имѣть мѣсто только отъ X ——оо до X — Хг, или отъ х = хІ до X —хз и проч. . . или наконецъ, отъ Х — Хт до X—4-оо, смотря по тому, будетъ ли частная вели- чина перемѣнной х, означенная чрезъ х0, заключаться между предѣлами —оо и хТ, или между предѣлами х1 и хз и проч.... или наконецъ между предѣлами хт и +а>. Слѣдовательно, не будетъ никакой необходимости чтобъ функція <хГ (х) сохраняла одну и ту же величину отъ х = — оо до х — оо, но доста- точно того, чтобы только оная оставалась постоянною между двумя послѣдовательными членами ряда — 00, х„ х2...хте, -4-00. Сіе можно видѣть, полагая напримѣръ / \ А Со+сщ. і сГ~со х—хі । —сі х~ха , , ст~ст—і х~жт (9) гдѣ с0, С,, С2 . .. ст означаютъ количества постоянныя, но про- извольныя. И дѣйствительно, въ семъ случаѣ, функція бЗ'(х), между предѣлами х — — оо, х — хІ? будетъ равна постоянной величинѣ с0; между предѣлами Х—Х^ и хг=хз, оная будетъ ра- вна количеству с1, и проч.. . . наконецъ функція '<3 (х) равна постоянной величинѣ ст между предѣлами х — хот, X — со. Если пожелаемъ чтобъ КГ (х) обратилась въ с0 для отрица- тельныхъ величинъ перемѣнной х, и въ сх для положитель- ныхъ: то для сего стоитъ только взять
— 44 — X X / \ со + <І I Сг —• со X (ІО) а (х) — -т- + -=. 2-я Задача. Найти общую величину функціи у, удовлетво- ряющую уравненію (іі) &у~/(х) сіх. Рѣшеніе. Означимъ чрезъ Р (х) частную величину неизвѣ- стной функціи у, а чрезъ Р(х)-\-?з(х) общую ея величину; изъ формулы (іі), коей обѣ сіи величины должны удовлетво- рять, выведемъ Р' (х)~/(х')і Р' (х) 4~ Х3/ (х) — /(х)> и слѣдо- вательно й/ (х) — о. Но въ силу перваго изъ уравненій (5) слѣдуетъ, что формулѣ (іі) можно удовлетворить взявъ у _/*о/*(х)сіх. И такъ общая величина неизвѣстной функціи у будетъ: (і 2) у —/^о/ («) Лх 4- V (х), гдѣ ет (х) означаетъ функцію удовлетворяющую уравненію (б). Сія общая величина неизвѣстной у, которая заключаетъ въ себѣ, какъ частный случай, интегралъ (і) , и сохраняетъ тотъ же видъ, какое бы ни было начало хо сего интеграла, изображена просто въ изчисленіяхъ чрезъ //(х) сіх и назы- вается неопредЪленнвілсЪ интегралолсЪ. Посему, формула (іі) приводится къ слѣдующей : (і5) и обратно, будемъ также имѣть: 04) сі//(х) —/О) сіх. Если функція Р(х) разнится отъ интеграла О)» то общая величина неизвѣстной у, или //(эс) сіх, можетъ быть всегда представлена въ видѣ : 05) //О) сіх — К(х) 4- И1 (х) ,
и должна будетъ обратишься въ интегралъ (і), для частной величины функціи 33" (уг) удовлетворяющей въ одно время, какъ уравненію, (б), такъ и слѣдующему: (іб) Ф (х) / (х) ах = Р (х) 27 (х). Сверхъ того, если функціи /(х) и Ф(х) обѣ непрерывны между предѣлами х — х0, х “ X: то функція Р(х) будетъ сама так- же непрерывна, и слѣдовательно 27 (х) — Ф (х) — Р (х) посто- янно сохранитъ одну и туже величину между сими предѣлами, между коими имѣемъ: 27 (х) — 27 (хо), ф (х) _ Г(Х) -ф (Хо) _ Г(х0)=- К(хо), Ф (х)=Г(х) - Г(хо), (п) /:„л»)ах=Р(Х)-Р(х.). Наконецъ, полагая въ уравненіи (17) Х — Х, найдется 08> /Х/(х)<гх = Г(Х)-Р(х.,). Изъ уравненій (і5), (17) и (і8) слѣдуетъ, что если дана бу- детъ частная величина Р (х) неизвѣстной у, удовлетворяющая формулѣ (и); то изъ оной можно вывести, во іхъ: величину неопредѣленнаго интеграла /"/(х^^х, во 2ХЪ: величины двухъ опредѣленныхъ интеграловъ /Жо/(х) Лх и] х /(х)(іх, въ томъ случаѣ, когда функціи /(х) и Р (х) остаются непрерывными между предѣлами сихъ двухъ интеграловъ. • Л ГІримЪрЪ. Поелику удовлетворяемъ уравненію а у ~ у~р-ут; взявъ у —: агс 1ап§ х , и какъ обѣ функціи и агс іап§ х, остаются конечными и непрерывными между предѣлами X — — оо, х^оо; то изъ формулъ (і5)> (17) и (і8) выводимъ =агсіап§хН-ет(х), /о — агс 1апёх, — I — о,785... 19
— іДб — Примѣчаніе. Когда въ уравненіи (17) намѣрены разпросгара- нить величину перемѣнной х далѣе предѣла для котораго функ- ція /(х) имѣетъ разрывъ непрерывности: то обыкновенно должно прибавлять ко второй части сей формулы одинъ или нѣсколько близкопредѣльныхъ интеграловъ. (І X ПримЪрЪ. Поелику удовлетворяемъ уравненію іу — — принимая у ~ і I (х2); то означивъ чрезъ е безконечно-малое число, а чрезъ ѵ два положительные коеффиціента, для х < о найдемъ _і — — 11 (х2) — і I (і) — і I (х2); а для х х Лх_ с—іхе Лх , гх Лх , , ,ѵ , , х ѵ+Л.ѵ=Н(®’)—И(і)ч /хе сі х । ге 4 х г х ’ У бу х ---I
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ. Разливнвся свойства неопредѣленныхъ интеграловъ. Способві служащіе для опредѣленія онвіхЪ. Изъ сказаннаго нами въ предъидущемъ урокѣ, слѣдуетъ, что неопредѣленной интегралъ (і) //(х)біх есть не иное что, какъ общая величина неизвѣстной функціи у, удовлетворяющая дифференціальному уравненію (2) (1у=:/(х)(1х. Мы видѣли также , что по данной частной величинѣ Р (х) той же самой неизвѣстной функціи у, легко опредѣляется и общая величина для оной, придавъ къ Р(х) функцію ЕТ(х), удовлетворяющую уравненію й/(х)~о, или, что все равно, придавая къ Р(х) алгебрическое выраженіе, принимающее на себя конечное число постоянныхъ величинъ, изъ коихъ каждая, имѣетъ мѣсто между извѣстными предѣлами, приписанными перемѣнной х. Для краткости , мы будемъ впредь означать буквою С выраженіе такаго рода, и назовемъ оное произволв- нвсмЪ постояннвіліЪ колисестволсЪ, что впрочемъ не будетъ значить, что оно сохраняетъ всегда одну и ту же величину, какова бы ни была измѣняемая х. На семъ основаніи, имѣемъ (3) //(х) <іх=:Р(х)-і- С. Когда вмѣсто функціи Р (х) поставимъ интегралъ /(х^сіх, который есть частная величина неизвѣстной функціи у: то формула (3) обратится въ слѣдующую: 19*
~ Ц8 — (4) Жх) ^х + с- Разпространивъ опредѣленіе данное интегралу (і) и на тотъ случай, когда функція / (х) предполагается мнимою, удосто- вѣримся, что и въ семъ предположеніи , уравненія (3) и (4) будутъ также имѣть мѣсто. Только, тогда произвольное по- стоянное количество С обратится въ мнимое количество въ одно время съ / (х), то есть , оно приметъ видъ С2фС У—I, гдѣ С1 и С2 будутъ означать два произвольныя постоянныя, но вещественныя количества. Прежде нежели поступимъ далѣе, замѣтимъ что составивъ сумму или разность, или даже какую нибудь линейную функ- цію двухъ или нѣсколькихъ произвольныхъ постоянныхъ коли- чествъ, получимъ въ выводѣ новое произвольное постоянное же количество. Чрезъ сличеніе уравненія (4) съ формулами (іЗ) (22го уро- ка) и (2), (3), (4), (5) (23го урока), выводимъ различныя за- мѣчательныя свойства неопредѣленныхъ интеграловъ. И дѣй- ствительно, поставляя х вмѣсто X въ обѣ части каждой изъ сихъ формулъ, и придавъ къ интеграламъ, заключающимся въ сихъ частяхъ, произвольныя постоянныя количества, найдемъ: (5) /аисіх^. а/ийх, Г /(и -фѵ-ф ѵ).. .) сіх —/исіх -ф/ѵсіх сіх , — ѵ) (іх^/иИх —/Vсіх, ) У(аи -ф Ъѵсп?...) с/х — ауисіх -\-ЪуѵсІх -ф- су-іѵсіх -ф ( у (и -ф ѵ У — г) сіх ~уисІх-\- У — іуѵсіх, гдѣ а, Ъ , с . . . означаютъ данныя постоянныя количества, а и, ѵ, п?. . . какія нибудь функціи перемѣнной х. Сіи послѣднія уравненія имѣютъ мѣсто даже и въ томъ случаѣ, когда а, Ъ, с . . . и, ѵ, 1М будутъ изображать величины мнимыя.
— і4э — ИнтегрировОтв дифференціальную функцію /(х) Лх, или иначе, интегрироватв уравненіе (2), значитъ найти величину неопредѣленнаго интеграла //(х)Лх. Самое Же дѣйствіе назы- вается неопредЪленнвіліЪ интегрированіемъ. Опредѣленное же интегрированіе состоитъ въ изысканіи величины опредѣленнаго г-Х интеграла ] х /(х)Лх. Теперь мы покажемъ четыре главные способа, помощію коихъ можно производить, въ нѣкоторыхъ случаяхъ, неопредѣленное интегрированіе. Непосредственное интегрированіе. Когда въ формулѣ /(х) Лх узнаёмъ точный дифференціалъ опредѣленной функціи Р (х), то величина неопредѣленнаго интеграла //(х) Лх непосред- ственно выводится изъ уравненія (3). Число случаевъ въ ко- ихъ сей родъ интегрированія удается, увеличивается, наблю* дая что постоянные множители при функціи /(х)} могутъ быть поставлены по произволу подъ знакомъ / или внѣ онаго (смотри уравненіе (5)). | I ПримЪрві. /аЛх^ах+С, /(а+і)хаЛх~ха'і'І+С, /хаЛх~^-^~1-С, „ , , , , гЛ х 1 , гЛх 1 гЛх , /хЛх-^+с, /^---- + с, /^--(т_1)гет-і+с, ]^ = 2Ѵх+с, ГЛх Г Лх с Лх ]——у.(хі)+сі — агсіап§х-|-с, / =агсзіпх+с=:с44яг~ агссозх, /ех(1х—ех-]-с, /4х (ІА) Лх — 4х -]- с, /ЛхЛх с, /СОЗ Хі/х^ 81П X-|-С, /зіп XЛх ~--СО8Х-\-С, /Лх г Лх —2-~Ші§хЧ-с, — соіх4-с. Интегрированіе срезЪ подстановленіе. Положимъ, что вмѣсто перемѣнной х ввели другую измѣняемую з, сопряженную съ первою такимъ уравненіемъ, которое даетъ г~ф(х) и хзз^(г). Формула (2) замѣнится слѣдующею: (7) =/[% (2)] . / (г) Л г..
— і5о — Сдѣлавъ для краткости / (г)] . (г) — Г (г) , общая вели- чина неизвѣстной у, выведенная изъ уравненія (7), будетъ пред- ставлена чрезъ неопредѣленной интегралъ уЕ(г)с/г. Сверхъ того, сія общая величина должна согласоваться съ интеграломъ (і). Но какъ, въ силу отношенія, существующаго между х и г, имѣемъ тожественно (8) /(х) сіх ~ Е(г) б/з, то отсюда заключаемъ (9) //0е) &х —Л О) Л г. Положимъ теперь, что величина интеграла /Е(г)бІ2, дана ура- вненіемъ вида (го) /Е(з) ^2 = К(з) + С; изъ сего уравненія выведемъ, (и) /Дх)<г»=г[?(х)] + с. ПримЪрвс. Принимая формулу (іо) и полагая послѣдова- тельно х±а“г, дх — 2, х’ + а’—х, 2(х)~з, ех—&, зіп х 32 2, соз х — г, по формулѣ (и), сопряженной съ уравне- ніемъ (5), выводимъ /Е (х ± а) сіх — К(х ± а) 4- с, /Е (ах) сіх — ^р (ах) -і- с, /хЕ(х'4~аа)сіх~|Б'(х:,4-а:,)4- с, /ха “1Е(ха)б?х— | р(хау~]-с, /!(Іх)^ = Р(Іх) + с, /ехЕ(ех) сіх ~ Р(ех)-(-с, усо8хЕ(зіпх)біх — Р(8Іпх)4-с, /зіп х Е (созх) с/ X ——Р (созх) 4- с. Сличеніе сихъ послѣднихъ формулъ съ формулами, происхо- дящими отъ непосредственнаго интегрированія, приводитъ къ слѣдующимъ :
— і5і — /' Лх - , ѵ, Г Лх 1 х^а — -Ь с> / — (тп— 1)(х—а)т~ * С» . А+^Ь = "а аГС 1аПё (а Х) + С, /р+^“—^агсіапё(Э-нс, і+и) -- у X2 + а2 -+- с, ' Ѵх2+а2 /еахсІх~~еах-\-с, /е~~аХсІх~—ё~ах-/с, /соз ахсіх—-зіп ах-^с, / зіп а х (1 х — — соз а х 4- с, /-—сіх=іГі(х^Г+с) /4^=ИМ-/-Сі —Ц^-фс, •> х а1- К У-І 1 ' -1 хЦх) \ У і ’ У х(1х)т (т—1)(1х)т 1 ' Г ЁХЛх X „х ГЗІПжДх 1 ГС05ХСІХ 1 / ^іх~7—агсіапе;(ех)+с, / —— —— 4-с=зесх4-с. —. 2 ~ — —-- 4-с. •> еад,-{-1 О\ У 1 > со$2х созх 1 ‘ г а ат^х зтх 1 Интегрированіе грезЪ разложеніе. Сей родъ интегрированія производится помощію формулъ (б), когда функція подъ зна- комъ / можетъ быть разложена на нѣсколько такихъ частей, что каждая изъ нихъ, будучи умножена на сіх, даетъ произ- веденіе удобно интегрируемое. Сей способъ въ особенности употребляется въ томъ случаѣ, когда функція подъ знакомъ / будетъ или цѣлая функція, или раціональная дробь. _ , Г Лх _______ Г8ІПах+сО82Х , Г Лх р Лх ПриліЪрбі. -/ ТГп2,008^ =гап§х—соіх+С, У(а+&х4-сх’4-...)сіх—а/Ах-/Ь/хйх-\-с/хі<іх-\-... —ах-^Ъ^+с — +• • • 4-С. Интегрированіе по гастнмЪ. Пусть и и ѵ будутъ двѣ различ- ныя функціи перемѣнной х, а и1', ѵг соотвѣтствующія имъ производныя функціи ; иѵ будетъ частная величина неизвѣ- стной у, удовлетворяющая дифференціальному уравненію йу ~иЛѵѵНи — иѵ7йх-\-ѵи/<1х , изъ котораго получаемъ у — С — /иѵ7 йх -{-/ѵи7сіх ~/иИѵ -\-/ѵ(1и , и слѣдовательно /исіѵ — иѵ — (/ѵсіи—С), или, еіце проще
— і52 — (12) /и<1ѵ — иѵ—/ѵсіи; можно допустить что въ сей послѣдней формулѣ произволь- ное постоянное количество — С заключено въ интегралѣ /ѵ<1и. Примѣры. /1(х)<1х^хІ(х)—/х ^—х[1(х)—і'\+С,/хех^х~ех(х—і)-+-С, /хсо8<іх=х8Іпх4-со8хЧ-С, /хзіпхііх:^—хсобх-Ніпх-^-С, И проч... Примѣчаніе. Необходимо замѣтить что произвольныя по- стоянныя количества , скрытно заключающіяся въ неопредѣ- ленныхъ интегралахъ обѣихъ частей уравненія (12), могутъ имѣть весьма различныя численныя величины. Посему не трудно объяснить, по видимому, несообразную формулу г сіх _______________________ г сіх . 1 х I (х) 1 •! хі (х)> 1 которую получаемъ, полагая въ уравненіи (12) и ѵ г= I (х).
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ОСЬМОЙ. О неопредѣленныхъ интегралахъ заключающихъ вЪ себѣ алгебрическія функціи. Алгебрическилси функціями называются такія функціи, которыя произходятъ отъ соединенія перемѣнныхъ и постоян- ныхъ величинъ между собою, посредствомъ простыхъ алге- брическихъ дѣйствій, каковы суть: сложеніе, вычитаніе, умно- женіе, дѣленіе, и еще, возвышеніе перемѣнныхъ количествъ въ опредѣленныя степени. Алгебрическія функціи одной пере- мѣнной называются раціоналвнбіліи, когда онѣ содержатъ толь- ко цѣлыя степени сей перемѣнной, слѣдовательно, когда сіи функціи или цѣлыя, или представляются въ видѣ раціональ- ныхъ дробей. Въ противномъ случаѣ, функціи именуются ирращоналенбіми. Означимъ теперь чрезъ /(х) алгебрическую функцію пере- мѣнной х, и положимъ что требуется найти величину не- опредѣленнаго интеграла //(х) сІх. Если функція /(х) раціо- нальная, то можно будетъ разложить произведеніе У(х)с/х на нѣсколько членовъ, принимающихъ одинъ изъ слѣдующихъ видовъ: о; АХ ах, х_а, {х_а)т, х_а-?ѵ-^ гдѣ а, а, А, В означаютъ постоянныя вещественныя коли- чества, а т цѣлое число; потомъ опредѣлимъ интегралы сихъ различныхъ членовъ, посредствомъ формулъ 20
— 154 — . . т , .хт"+‘І г А сіх , ... . „ , _ г А сіх А /Ах сіх—24т^р^4-С, Уд._2в—»Л2(х—а) 4-С, /^^ут —~'(т_. г(ж—а)й~і+С, —(А^ВѴ^і) Г ^~аУ.х--иВ±АѴ~С) Г ---_. ' х-а^У-І к 1Л(;с_а)24-р2^ іѴ(х-аГ+^ — і ( АаВ V— і )1 [(х—а)аН-^]Ч-( В±А У— і) агс іап§ ~ 4~С, І'^А^-ВѴ—і~)сіх А^БѴ— 1 (х — аі^^Ѵ— 1)т (т — 1)(х— а^Зр/— і';т1 ’ изъ коихъ первыя четыре выводятся изъ правилъ доказанныхъ въ предъидущемъ урокѣ, а послѣднее, выведенное по аналогіи, соображаясь съ третьимъ уравненіемъ, можетъ быть впрочемъ легко повѣрено а роМегіогі. Примѣры. Д----------—— Ч---ТТ=) ах — АI Г(х — а) ~+- 3 ] х—а~ (3/— 1 я—аН-рУ— 1 у ' г-I -|- 2 В агс 1ап§ С, -------/^(х^А х+1) -* ^(х+1) Ч~С, И(х 4-і) + С, г Их /. / 1 х4-2 х , г (х—1)2 -| і-2x4-1 _ /х~згі=Л(^-^х^^=^1^^^~75агс1апё7Т4'с’ ипр‘ Когда функція /(х) будетъ хотя и алгебрическою, но ирра- ціональною : то въ такомъ случаѣ уже нѣтъ общихъ правилъ, посредствомъ коихъ возможнобъ было опредѣлить точнымъ образомъ величину интеграла //(х)сіх. Правда, что опредѣленіе интеграла //(х)сіх было бы возмож- но, еслибъ, вводя вмѣсто перемѣнной х новую перемѣнную г, выраженіе /(х) с/х чрезъ то обратилось въ другое Г (г) сіз, въ которомъ функція Г(г) была бы раціональною. Но для подобнаго преобразованія не имѣется вѣрнаго способа, изключая только нѣкоторые случаи, коихъ число весьма ограничено. Займемся изслѣдованіемъ сихъ самыхъ случаевъ. Изобразимъ сперва чрезъ Г (х, г) раціональную функцію перемѣнныхъ х и г, гдѣ г есть ирраціональная функція пере-
— 155 — мѣнной х, опредѣляемая алгебрическимъ уравненіемъ какой либо степени въ отношеніи къ 2, но первой степени въ разсужде- ніи х. Чтобъ дифференціальная функція Г (х, г) Лх обрати- лась въ раціональную, и могла быть интегрирована: то для сего, очевидно, надлежитъ подставить выраженіе перемѣнной х въ г. Разсмотримъ въ частности тѣ случаи, когда величина перемѣнной 2 опредѣляется однимъ изъ слѣдующихъ двучлен- ныхъ уравненій : (2) 2ге — (а х 4- 6) — о, (ао х -|- Ъо) гп — (щ х 4- Ъ,) — о, или еще уравненіемъ второй степени (3) (ао х -+- Ьо) г3 — 2 (ат х + &,) г — (п2 х -4 Ь2) = о; здѣсь а, Ъ, а0, Ъо, а,, Ъ„ а2, Ъ2 изображаютъ постоянныя веще- ственныя количества, а п какое нибудь цѣлое число. Поелику і же удовлетворяемъ уравненіямъ (2) , полагая 2 — (ах Ц- Ъу1, і или 2___~ । » а уравненію (о), полагая __ аІХ-+-Ъ1-+-Ѵ (а, X н- &Т)2 -+- (ао X -4- Ьо) (а2 х -4- Ь2) . 2 ао х -Ь Ъо > гпо изъ сего слѣдуетъ, что дифференціальная функція і 1 (4) Г [х, (аЪЪу1] Лх или Г[х, гЭТ обратится въ раціональную , и допуститъ интегрированіе, когда замѣнимъ перемѣнною 2 радикалъ лои степени входящій въ оную функцію. Равнымъ образомъ и формулы ( рГ 171 х -I- Ъ, Ч- V х -4- ЬТ)2 -I- (аох -4- &о) (а2х -4- 62)~] , 1 __ аох^Ъо________________ ( і’Езс, V (щ X 4-(аох + Ъ.;)(а2х 4- &3)] Лх, обратятся въ раціональныя, когда подставимъ въ оныя вмѣсто х, выраженіе сей перемѣнной въ 2, опредѣляемое уравненіемъ (3), или, что все равно, слѣдующимъ : 20*
— 156 — (б) Ѵ(а1х-|-&іУ4-(а0х-|-&о)(а2х4-Ь2)=(щх+Ьо)г—(аІх4-&,). Теперь положимъ что требуется обратить выраженіе (7) Г[х, V Ах- 4- В х 4- С] сіх, въ другое, удобное къ интегрированію; здѣсь А, В, С изображаютъ постоянныя вещественныя количества. Оче- видно , что надлежитъ для сего употребить уравненіе (б), приводя сперва выраженіе Ах*-+-ВхС къ виду (щ х 4~ 4~ 4~ &о) (а2х 4“ Ь2) , что можно произвести многоразличными образами; дѣйствительно, для сего стоитъ только взять такую биномію Щ X 4~ &і > чтобы разность Ах* —Вх -+- С — (^а1х-\~Ъ^)* могла разложиться на веществен- ные множители первой степени; сіе условіе будетъ выполне- но, если положимъ (8) АЪ\^гСа\ — Ва.Ъ^^В*— АС > о. Легко видѣть что самыя простыя величины для а{ и Ь, удо- влетворяющія сему неравенству, будутъ: 1°. когда ,В3— АС>о, і то аѵ~ О, 1^ = 0; 2°. когда ,А > о, то а, — А , Ъ. — О; 5°. когда і С > о, то Ъг _ С ,0,-0. Сверхъ того, поелику имѣемъ Лх’4-Вх+С-(^іху=і. (Вх-фС) и Лх’+Вх-ЬС-(с5-хМх-ЬВ), то можно будетъ взять во второмъ случаѣ а0Х-{-Ъ0~ I, а въ третьемъ аох -\-Ъ0~х. Изъ сего усматриваемъ, что если Ах* 4- Вх 4~ С разлагается на два вещественные множителя аехЬо, а2Х-}-Ъ2: то функція (7) обратится въ раціональ- ную, полагая (9) У (аох-^Ъв) (п2х4-62) = (щ х -4 5о.) г или — и© X —т~ Въ противномъ случаѣ, радикалъ V (А х* 4~ В х 4- С) не мо- жетъ быть вещественнымъ количествомъ, развѣ что оба коеф-
— і57 — фиціента А и С будутъ въ одно время положительные. Во всѣхъ случаяхъ, выраженіе (7) обратимъ въ раціональную функ- цію, полагая ! когда Л > о.............Ѵ(^4х24~Вх4“С)“2—А^х, а когда С > о, V (Лха4- Вх 4- С) Х2 — Са или V (Ав^-н С^)г= 2 — С*1-- Легко повѣрить а розкетіогі сіи различныя слѣдствія форму- лы (іб). ПримЪрбі. Первое изъ уравненій (іо) даетъ: г Лх ** ** У Лх1 Вх -р С У*— /(я-ф-Ѵх'Ц-і^-Ь-С, — 1(х-\-~Ѵ х*—і)-фС, и проч.... Необходимо замѣтить, что если означимъ чрезъ/(и, г>, іѵ...) цѣлую функцію перемѣнныхъ и, ѵ, іѵ . . . а чрезъ р, ц, г. . дѣлителей цѣлаго числа п: то дифференціальныя выраженія (и) Е[х, (ах -ф Ъ/, (а х 4-^)4 (ах 4~ &У • • •] <2х, будутъ одного вида съ выраженіями (4) , и могутъ быть ин- тегрированы точно такимъ же образомъ. И такъ, полагая х ~ 2б} найдется : /(х’4- Х?)“’ СІХ ^6= 6 [1 г3 — 2 -н 17 (і 4- 2)2] 4- С, Прибавимъ еще, что дифференціальныя выраженія і і (12) (ах’ + Ь/І.^-ах, 4х\
— і58 — въ коихъ ц, означаетъ какое нибудь постоянное количество, непосредственно приведутся къ виду выраженій а выра- женіе (іЗ) Г [х, (ав х + Ь0)3, (и, х 4- Ь,/] . &х къ виду функціи (7) > полагая въ выраженіяхъ (12) х^=у, а въ выраженіи (іЗ) аох-|-Ьо“у2. Х2ПМ-І Примѣра. Интегралъ функціи ууха I. найдется, полагая Xя ~ у, у I — & , или просто ха—і~г2; функціи же ----1-------г, полагая х—і ~у, потомъ (у-(-2у~л— у, (х — 1)" 4-(х + 1)Э । і или просто (х—і) -("(х-фі) — И. Оканчивая сей урокъ , замѣтимъ , что во всѣхъ случаяхъ, когда только найдемъ величину неопредѣленнаго интеграла за- ключающаго алгебрическую функцію, сія величина будетъ со- ставлена изъ нѣсколькихъ членовъ, изъ коихъ каждый будетъ имѣть одинъ изъ слѣдующихъ видовъ: (і4) Г(х), ^«/[Г(х)], ^4 . агс іап^ Г(х), гдѣ Е (х) изображаетъ алгебрическую функцію перемѣнной х, а А постоянное количество. Выраженія агс зіпх—агсѣап§ агс соз х, и другія подобныя, очевидно, всегда могутъ быть приведены къ виду А . агс іап§ Г (хф
УРОКЪ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТЫЙ. ОбЪ интегрированіи и приведеніи вЪ простѣйшій видЪ двуслен- нвикЪ дифференціаловъ; о нЪкоторвикЪ другихЪ дифференціалв- нвикЪ возраженіяхъ такого же рода. Означимъ чрезъ а, Ъ, а,, Ъ,, 2, (ц, ѵ постоянныя веще- ственныя количества, а чрезъ у перемѣнную величину, и поло- жимъ уХ~х. Выраженіе (ау*' Ау , въ коемъ коеффи- ціентъ у Ах будетъ нѣкоторая степень биноміи ау*'-\-Ъ, называется двугленнвіліЪ дифференціалолсЪ; неопредѣленной интегралъ 1_х О) + + хх Ах будетъ равенъ произведенію на другой интегралъ, который можетъ быть представленъ въ слѣдующемъ, болѣе общемъ видѣ: (2) /(ах -ф. (щ х -ф Ьу Ах. Симъ то послѣднимъ интеграломъ мы теперь займемся. Интегралъ (2~) легко опредѣлится, когда численныя вели- чины показателей р,, ѵ и ихъ сумма р, -|- ѵ будутъ всѣ три раціональныя числа, и сверхъ того одно изъ нихъ цѣлое. Дѣй- ствительно, означимъ чрезъ 2, т, п какія нибудь цѣлыя числа. Для интегрированія дифференціаллныіх,ь выраженій т т Ч—/ -4— — Ч- — (ах-}-Ь) (а,х +ЪІ') пАх, (ах+Ъ) п (архД-Ь^) Ах, тп т ±- ±1^ (ахфй) (сцх+ЪО п Ах,
ібо -- стоитъ только положить послѣдовательно (сліотри 28’“ урокъ) щх-І-Ь, —зп, ах+6=2 2п, 2* Поелику формула (ах -]- Ь)^ (а, х -|- Ь,)* (1х не всегда можетъ быть интегрирована точнымъ образомъ: то не худо показать какимъ средствомъ опредѣленіе интеграла (2) приводится къ опредѣленію другихъ интеграловъ такого же рода , но въ коихъ показатели биномій ах-\-Ъ, агх -р Ъ1 будутъ другіе. Таковое преобразованіе можно учинить самымъ простымъ способомъ, посредствомъ уравненія (і2) (27го урока) , которому дадимъ такой видъ: (3) /иѵ . I (11 (г>2) ~ иѵ—/иѵ . | ИІ (и?/, потомъ, будемъ полагать послѣдовательно что функціи и и ѵ пропорціональны нѣкоторымъ степенямъ двухъ изъ слѣдую- щихъ трехъ выраженій: (4) ах-ЬЬ, Поелику сіи три количества , взятыя по два, даютъ шесть различныхъ переложеній: то очевидно что формула (3) дастъ также шесть различныхъ уравненій. Изчисленіе будетъ про- ще, принимая въ выкладкахъ количества и аѵ за положитель- ныя: посему формулу {3) можно будетъ замѣнить слѣдующею: (5), /иѵ . (11 (у) ~иѵ -+-/иѵ . <11 (и)|; также будемъ имѣть уравненія йІ(ах+о)— ах+ь, аІ^х+Ъ^ — , <11 ^х+і^‘— (ах+3)(а,х-і-&і)’ изъ коихъ выведемъ величину количества <1 X , и подставимъ оную въ интегралъ (2). (\лк краткости , означимъ чрезъ А сей самый интегралъ. Найдется : Г*. Полагая и пропорціональнымъ степенному выраженію (а х -ф 6)^, а ѵ количеству (а, х&1)Ѵ“ЬІ,
— ібі — ѵаг <й(о,»+Ь,)=/^2(Оі»+Ь,)’+<«(«,аН-Ь,)’*- (ах+Ъ^(ахх+Ъ^+І Г(ах-І-Ъ^(атх-І-Ъ г)ѵ+і Л 7 г _ _ ( 7Ч|Л — (Н-і)вх > <у+і)аі аі(ах + Ь) , 2’е. Полагая и пропорціональнымъ степенному выраженію (ах х -|- а ѵ количеству (а х -]- (7) 5 е. Полагая и пропорціональнымъ степенному выраженію (оя-МхЦ / „ і 7.Ч1Ж+І «Гх~-+А^ ’ а ѵ количеству (ах х 4- Ьх)^ , Г(ах-+-6)^агх+5І)ѵ+1 , , , . /уах-4-^ц (аІх+ЬІ)НН-ѵ4-« , , чЦ.-Нн-г я_ ----------------агСа^+Ь,)—/ •- (^+ѵ+і)аГ __ г(ах+^(^Іх4-^І)ѵ+г , / лх-М ** (р.-4-ѵ-4~і)аІ 'в!#-]—Ъ^г 4"е. Полагая и пропорціональнымъ степенному выраженію а” количеетву (ах + Ь)м’,+', (9)Ла*+ЬЖ^)’*с=^ 5*е. Полагая и пропорціональнымъ степенному выраженію л і 7, ААЧ-Ѵ4-® / «х+5 чі-Н-і (а.х-^-Ь,)^ , а ѵ количеству (—, Хох+Й)'х+Г(дгх+Ь1)ѵн-1 хдх-ьйч _ Г(«1х+^1)'х4~ѵ+з / схЧ-^ 'вх-М'М-Н аЬт—ахЪ \аІх+6І/(р.4-1)(а6і—ах6) ’ чаіхН-бх/ “ (а1х-Ь-6І^ _ (ах-+-Л)^’Ъі{аІх4-&І)ѵ+і г(ах-|-6)^+'І(аІхЧ-ЛІ)ѵ'Ьі , ХЦ.4-Ѵ4-я ~ (М-ОСв*і—М) •/ К/А-І-іХаЬ.-аіб) аІ.^Х-^0,) , (ю) /(ах4~ &)^(аіХ + &і)ѵ ^х~ (ах+б^^х+Ъ^ (Ц4-ѵ+2)ві , , ѵ --------------(м.+1)^х-а16)/(аЗС+ (^зс-Ь&Э ах. пропорціональнымъ степенному выраженію ах—|— Ъ ч (ѵ+’1) (ц.+хХобх—аіб) 6 е. Полагая (ах &)к~нѵ4'2, а ѵ количеству (; и 21
— Іб2 — (іі) /(ах4-&)'х(аІхч-ЬІ)ѵ Нх=: (ах+У?х+і(аі:)с+^іУ-|~'1 (я--4-Н-2)я />✓ I М!1 / і Т, ѴМ-» л (ѵ-НіХ^б—аМ (Н-іЯвх^-аЙ!) /(аэс + &) (аіх~\-Ъ)‘ Лх. Помощію формулъ (б), (7)> (8), (9), (іо), (и)> можно будетъ всегда выразить интегралъ (2) посредствомъ другаго инте- грала одинаковаго съ нимъ вида , но въ которомъ каждая изъ двухъ биномій ах-\-Ъ, а1х-\-Ъ1 будетъ имѣть показателя, заклю- чающагося между предѣлами о и —I, Дѣйствительно,, для сего,, стоитъ только употребить одинъ или нѣсколько разъ сряду формулы (8) и (9) , или только одну изъ нихъ, когда показа- тели /л и ѵ будутъ положительные, или, если одинъ изъ нихъ положительный, а .другой заключается между предѣлами о и — I. Напротивъ того, должно будетъ прибѣгнуть къ фор- муламъ (іо) и (іі) , или только къ одной изъ нихъ, когда показатели [л, и ѵ будутъ оба отрицательные. Наконецъ, если одинъ изъ двухъ показателей будетъ положительный, а дру- гой менѣе — I , тогда, посредствомъ формулы (б) или (7) будемъ въ одно время уменьшать численныя величины обоихъ показателей до яіѣхъ поръ, пока одинъ изъ нихъ не обратит- ся въ количество заключающееся между предѣлами о и — і. Когда показатели р, и ѵ будутъ цѣлые , то посредствомъ вышеозначенныхъ приведеній , обратимъ ихъ всегда или въ о или въ — і; послѣ сихъ приведеній, очевидно что интегралъ (2) будетъ зависѣть отъ одного изъ четырехъ слѣдующихъ; (12) [Лх-х+С, /^ъ-га1 (ах4-Ь)ЧС, І^ХА-Ъ.у+С Лх________ 1 \__ 1 , / ах + Ь \2 2(аЬі—аІЬ') Вообще, когда функція (а X Н-Ь)^(щ X ^5)ѵ с/х будетъ допу- скать точное интегрированіе: то всегда, помощію найденныхъ нами формулъ въ семъ урокѣ, можно будетъ выразить инте-
— тбЗ — гралъ (2) посредствомъ другихъ простѣйшихъ интеграловъ, коихъ величины легко опредѣляются. Для приложенія тѣхъ же самыхъ способовъ къ приведенію въ простѣйшій видъ интеграла (і), должно будетъ въ форму- лѣ (5) предположишь и и ѵ пропорціональными уже не сте- пенямъ выраженій (4) > но степенямъ слѣдующихъ другихъ выраженій: (іЗ) ах^-Ь —ау9' _ „ ахЬ ау* Ч-5 ПримЪрЪ. Положимъ, что требуется привести въ простѣй- шій видъ интегралъ въ которомъ и означаетъ цѣлое число большее единицы. Должно положить и и ѵ пропорціональными степенямъ количествъ і -4-51® у1 и — з—; и поелику имѣемъ у* ) — 2^ц->2 у) аУ— у(і-і-у3У то изъ формулы (5) выведемъ: , , х Г Ау ______ р_у(і-^уау-пЧ-і /МЧУ’Ч (х4) ] 2 а!’ \ у2 ) ___. гу—2ТН-3 ЯЧ-1 —ПН-І ---У 2(п'—ТУ \~у2/ ___у(.і-+-у3)—п+і __ гуО-Ну2)71—1 ,, , 2п+эЛ --- 2(П—1) 2(п—1) аі \У ) ___ у . 2п—3 р йу 2(_п—1 2я—2^ (14->2)п—'** 21*
УРОКЪ ТРИДЦАТЫЙ. О неопредѣленныхъ интегралахъ заключающихъ вЪ себѣнеопре- дѣленно-степенныл, логариѳмическія^ тригонометрическія икру- говбія функціи. Неопредѣленно - степенными называются такія функціи, въ которыя входятъ количества имѣющія перемѣнныхъ пока- зателей; логариѳлшческими такія, которыя заключаютъ въ себѣ логариѳмы; тригонометрическія функціи составлены изъ три- гонометрическихъ линій, а круговвся изъ круговыхъ дугъ. Весьма бы полезно было имѣть средства для интегрированія дифференціальныхъ формулъ, содержащихъ подобныя функціи: но не имѣется къ тому вѣрныхъ способовъ; только, въ нѣко- торыхъ частныхъ случаяхъ, весьма ограниченныхъ, точное интегрированіе удается , что мы теперь и намѣрены пока- зать. Если означимъ чрезъ / такую функцію , что неопредѣлен- ный интегралъ //(%) <2.3 имѣетъ извѣстную величину: то въ семъ предположеніи, выведемъ величины интеграловъ С1) /еѴ(еХ) /СОЗХ./(81ПХ)<ІХ, /зіпХ.ДсОЗХ^Х, полагая послѣдовательно, какъ въ 27мъ урокѣ, /(х)"2, ех~2, 81 п х — 2, соз х ~ 2. Такимъ же образомъ опредѣлятся и слѣ- дующіе три интеграла: (2) /Г(агсіап§х) //(агс зіпх)—==, /Г(агс соз
— іб5 — полагая въ первомъ агс іап§ х — 2, а въ двухъ послѣднихъ агс зіп х — г или агс соз х 2. Еще замѣтимъ, что если Р (и), Р (и, і>), Р(и, г>, іѵ .. .), бу- дутъ изображать алгебрическія функціи перемѣнныхъ и, ѵ, іу..: то стоитъ только положить ех — 2, чтобъ обратить въ алге- брическую функцію , выраженіе находящееся подъ знакомъ / въ интегралѣ (5) /Е(ех)^х; также, полагая соз х — 2 или зіп х — 2 , достигаемъ той же цѣли въ разсужденіи двухъ интеграловъ (4) /Р(зіпх, созх) сіх, /Р(зіп х, зіп 2X, зіп 3X . . . СОЗ X, СОЗ 2 X, соз Зх .. .) <1X, изъ коихъ второй не будетъ общѣе перваго, ибо можно въ ономъ вмѣсто синусовъ и косинусовъ дугъ 2Х, Зх..., поставить ихъ величины выраженныя посредствомъ зіпх и созх, что произ- водится помощію извѣстныхъ уравненій: соз га х -|- У — і зіп пх ~ (соз х -ф- У — і зіп х)п, соз пх — У — і зіп пх ~ (соз х — У —> і зіп х)п. Прибавимъ, что если въ первомъ изъ интеграловъ (Д) п0" I • ‘5’ ложимъ зіпх равнымъ не 2, но ±2 ; то сей интегралъ при- метъ весьма простой видъ (5) /Р[±Д (г-2)4].-^. 2 з Напримѣръ , изобразивъ чрезъ у два постоянныя количе- ства, имѣемъ (б) /зіпц х . созѵ х. сіх ~± (і—2~) 2 Наконецъ замѣтимъ, что предполагая извѣстными величи- ны интеграловъ (3) и (Д), легко вывести изъ оныхъ и величины слѣдующихъ:
— Ібб — (7) Л(ев*)<*х, (8) /Е(зІп&Х, С08&х)<ІХ, /Е(8ІпЬх, ЗІП 2 Ъ X, бІпЗ^Х..., СОзЬх, СО82&Х, соз 3 Ъ X .. .) <2 X ибо, надлежитъ только раздѣлите на а, или на Ъ > получен- ныя функціи, и подставить потомъ въ оныя ах или Ъх вмѣ- сто х. Теперь пусть будутъ Р и г двѣ функціи перемѣнной х; положимъ, что первая изъ нихъ алгебрическая, а вторая имѣетъ алгебрическую производную "У. Если возмемъ /Рііхтф, /(^гб/хшЯ, /Дг^сіх “ 5 и проч.. . и получимъ для <2, И, 5. . . извѣстныя функціи перемѣнной х: то посредствомъ нѣсколькихъ интегрированій по частямъ, легко будетъ опредѣлишь величину интеграла (д) ’ /РгМх, гдѣ п изображаетъ цѣлое число. Дѣйствительно найдется постепенно : /Р2П Лх — (^2.п — п/(2 г/.гп—1 Нх, /(2/2и~і Лх — Кхп~1 — (п—і)/йгг.гп~2ах, и проч..., и слѣдовательно (іо) уРгпСІХ—(22П—пК2,п~'І-іГп(<п—^і')8гп~:‘-—• и проч... -}-С. Когда функція г изображена однимъ членомъ, то оная необхо- димо будетъ имѣть одинъ изъ слѣдующихъ двухъ видовъ: (^смотри 28"“ урокъ) АI [Е (х)], А агс іап§ Е (х), гдѣ А означаетъ постоянное количество, а Е (х) алгебрическую функцію перемѣнной х. ПримЪрбі. Предположивъ, что функція Р равна единицѣ, а г одной изъ слѣдующихъ функцій: / (х), агсбіпх, агс соз х, I (хѴх'2-р і), и проч., то изъ формулы (іо) выведемъ:
— іб7 — (ІХ}П (и) у(1х)п(1х=: С п , п(п—1) п(п—•!)... .3.2.15 X (I х)п і — ~х Ч- -(ГхК — и ПР°Ч.........----------------- (12) / (агс зіп х)п <1 х ~ хп< . пУ1—х2 п(п—1)х п(п — 1)(п—г)/!—х» , ? (аГСЗІПХ) | агс 8;п х (агсвіпх)8 (агсзіпх)3 • * *'} Г (13) /(агс соз х)71 <1X “ / х„г пѴі—X2 п(п—1)х п (п -1)(п — 2)/і^-”ха 0 1/"* (агс СОЗ Х)П,ІХ — — ^—^2 +-----------(агесоТх?-----+►••]+ пѴ Д72—Н1 Г/Гх+ѴхЧТ)Г >х- |___’____________п(Я-псп-^ч-2+>?_ *• С I(х-Н/х’-М) [ЦяН-/х®-Н)]а Е^х+Ух2-}-!)]3 ) и проч. . . . Предполагая Р~ха~\ а г 2(х), найдётся: (і5) /х^Хіх^х^(/х)п[і-^Ч-^у^- и проч...±Я(п~^У- Вводя 2 вмѣсто перемѣнной X, предъидущія формулы обра- тятся въ слѣдующія: (іб) /2.пеЫг—2пе%[і——ипроч...±^—Н~С, (17) /2ПСО82(ІЗ=2П ^8Іпг[і“ +♦..]+созг{^ +<+ с, (і8) -/гга8Іпг^г=гЛ^созг[і-~^)Ч-...]-еіпг[|- + с,. (І9) /2^-)^^ (20) ^1-^ + ^- и проч..±^=^^С. Можно было бы непосредственно вывести сіи послѣднія фор- мулы, помощію нѣсколькихъ интегрированій по частямъ, чрезъ что уменьшали бы постепенно показателя п, и наконецъ совсѣмъ уничтожили бы оный. Такъ, напримѣръ, формула (20) выводится изъ уравненій
— іб8 — (21) Лп ---- /г*-1 еа2 а г 22 “~”-~№3 еаг сЬ, и проч. Сіе послѣднее замѣчаніе относится ко всѣмъ интеграламъ, кои опредѣляются посредствомъ интеграла (іо) предполагаемаго извѣстнымъ, вводя г вмѣсто перемѣнной х. Интегрированіе по частямъ можетъ еще служить къ опре- дѣленію величинъ интеграловъ (22) /зп еаг совѣгііи, /зп еа* зіп Ьгсіз, гдѣ а иЬ означаютъ постоянныя количества, а га цѣлое число. Такъ , напримѣръ, чтобъ получить общія величины двухъ ин- теграловъ /са% СОЗ Ъ2 сі 3, /еах ЗІпЪзсІЗ, стоитъ только придать два постоянныя произвольныя количества къ величинамъ сихъ самыхъ интеграловъ, выведенныхъ изъ уравненій /е соз Ъга 222 — ------Н -/еа зіп Ьзсіз, и 7 і — 8Іп Ь% Ъ л у , I е° зіп огаг 22 —-------- Геа соз Ъзаз. V ай’'' Впрочемъ, можно опредѣлить интегралы (22) простѣйшимъ способомъ, какъ мы шо сей-часъ покажемъ. Поелику имѣемъ (усмотри конецъ пятаго урока), & (соз х 4- V — I зіп я?) — (соз х -ф У — і зіп х) &х У — і, то изъ сего выводимъ: (2З) ^[е^(созЬ.з4-Ѵ—І8ІП&2)] — (а-}-БУ— і)еа,г(собЬг4-Ѵ— ізіпЬг)<іг, (24) /еа* (соз Ъ з + УУ^І зіп Ь г) г = с> а-і-Ьу/ —1 гдѣ С вообще изображаетъ мнимое постоянное количество. Теперь замѣтимъ, что формулы (21), а посему и формула (20) равнозначущая съ формулою (21), будутъ имѣть мѣсто и въ такомъ случаѣ, когда подставимъ въ оныя вмѣсто неопре- дѣленно-степенной функціи евг, слѣдующее произведеніе:
— ібд — еая (соз Ь г Н- V — і зіп Ь г), а вмѣсто знаменателя а, мнимое количество а 4- Ъ V — 1. По- сему будемъ имѣть (25) /гТе0* (соз Ъ г 4- V — і зіп &з) зз: еаг(соя Ъ% + ?'—1 віп&з) ®_____ । । п(в—1) — 3.2.О а-ЬЬ/— 1 с (а4-6/—1)2 (а-\-ЪѴ—1)пгп) ' Ежели вторую часть сего послѣдняго уравненія приведемъ къ виду и 4- ѵ V — I , гдѣ и и ѵ означаютъ вещественныя коли- чества: то сіи количества будутъ изображать величины ин- теграловъ (22). Двѣ формулы, опредѣляющія сіи величины, будутъ заключать въ себѣ, какъ частные случаи , уравненія (іб), (17)» 08) и (20). Сверхъ того, оныя даютъ и уравне- ніе (19); предполагая же въ оныхъ п 332 о, получимъ: (26) /е“сО8Ь2а2 = -с-2^±^е“+С, /е“ 8Іп Ьг4г =—^>7^ е“ + С.
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ. О развісканіи велисинЪ, и о приведеніи вЪ простѣйшій видЪ неопредѢленнвіхЪ интеграловъ, вЪ коихЪ функція находящаяся подЪ знакомЪ / еств произведеніе двухЪ множителей равнвіхЪ нѢкоторвімЪ степенямъ синуса и косинуса перемѣнной. Пусть р,, г будутъ два постоянныя количества; разсмо- тримъ интегралъ (і) /зіпц х. созѵ х А х. Если положимъ зіпахг22 2> или зіпх~±з, то сей интегралъ приметъ видъ у. — 1 . у — 1 (2) ±1/2 2 (і — г) 2 Слѣдовательно оный легко опредѣлится, (смотри 2д'“ урокъ), „ у.— 1 ѵ — 1 когда численныя величины обоихъ показателей —%—5 -у— и р.-4-ѵ — 2 суммы ихъ-----, будутъ всѣ три раціональныя числа, и сверхъ того, одно изъ нихъ цѣлое. Если показатели и и ѵ у.— 1 V — 1 у.-І-Ѵ — 2 будутъ оба цѣлые: то количества, —у-, —2, удовле- творяютъ сему условію, и слѣдовательно интегралъ (і) опре- дѣляется безъ малѣйшаго затрудненія. Во всѣхъ случаяхъ, можно будетъ по крайней мѣрѣ приве- сти опредѣленіе интеграла (і) или (2) къ опредѣленію нѣ- сколькихъ другихъ интеграловъ одинаковаго съ ними вида, но въ коихъ показатели количествъ зіп х и СОЗ х, или а и I—г,
— І7і —• будутъ другіе. Для сего, надлежитъ употребить, какъ выше, формулу (5) (29го урОка), именно, (3) /иѵ . аI (у) — иѵ—/иѵ.аі(и)> предполагая что функціи и и ѵ пропорціональны нѣкоторымъ і — я степенямъ двухъ изъ трехъ количествъ г, I—3, “—,м или, что все равно, степенямъ двухъ изъ трехъ слѣдующихъ : (4) 8іпэс> СО5Х> Положимъ, напримѣръ, что желаемъ привести въ простѣй- шій видъ интегралъ (і). Для сего, подставимъ сперва въ сей интегралъ величину дифференціала <іх, опредѣленнаго однимъ изъ слѣдующихъ уравненій: (5) ^81ах=~^Г> у У _ зіп 7 7. __ 7 7 . & X ф ЛІСО8Х——, (ІІ^х — -~ аі соі:х = 8-5^7^, потомъ, изъ формулы (3) выводимъ: 1°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію 8Іпц—1 х, а ѵ количеству созѵ-Ь1х, і/5Іпмхсо8ѵх^х=/’—8Іп/л~Іхсозѵ+,хс//созх=:*С05Ѵ+іХ^/С08Ѵ+гХ 8ІП^ ІЖСО8''"+-1® I Г8т^ ІХСО8Ѵ-*'Іа? , , . П_г “ аізігг 1 х, 5ІПЦ~2 X СО8Ѵ+® X а~Х. ѵ-і-1 '1 ѵ+1 /. • 11 V 1 8Іп!Л~ ГХСО8Ѵ + ГХ Ц—1 (б) / зіп' х соз х ах ——------7^7------н 7+1 2°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію СОЗѵ“Іх, а ѵ количеству зіп^^х, , ~ л • п. V 7 8ІП^ ^ХСОЗ ^Х V — 1л • ц,_1_л м — ч (7) /зіпгхсоз хах~---------------------хсоз хах. 3°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію хап^-1 х, а ѵ количеству соз,А+1’ х, /зІпР'хСО5ѴХС?хг=/'— ЗІ!?1'-іХСО8Ѵ-ЬіХ(27сО6Х—/ -*а^_ѵ - 1 ХСО8Ѵ^хд1СО8}Чг'ІХ 22*
«— 172 --- __ 8Іп^~‘Іхсо8ѵ"+'Іх Л8Іп^ Іхсо8ѵ+Іх . „ =-----------------Н------—у------йі іап^-1 х, (8) / 811? X СОЗ ХСІХ“ —-------—--------Ь^/зіІ? 3ХСОЗѴХСІХ. 4°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію СоѴ~~х х, а ѵ количеству 8Іі?“І-ѵ~-Зх, х х _ • ц, VI 8ІП^+ІХСО8Ѵ—гХ , V—1 . „ ѵ_ (9) /зш- х соз хйх—------------------Ь^/81П' ХСО8Ѵ ’хсіх. 5°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію СО8Р'+Ѵ х, а ѵ количеству Тап^х^4-1, У 8Іі? X С08Ѵ X Л X “ х соз р.-н р.Н-1 , х _ . н V , 8ІП^+ІХСО8Ѵ-*-ІХ (іо) узіггхсоз хахз: —] м-і" іап§р-+і х&І Іа;щ] ’8ІП^и+'ІХСО8Ѵ+ІХ , , । аі соз1 Р--Н /8ІпЦ+з X СО8Ѵ X СІХ. X X б°. Предполагая и пропорціональнымъ степенному выраженію 8Іі?+ѵ+з х, а ѵ количеству соіѵ-Ніх, г X г • Ц, VI ______ 8ІП^"ЬІХСО8Ѵ+ІХ Р.-4-Ѵ-+-2 . „ ѵ , (іі) /зш^хсоз ХСІХ=:--------------------Ь~ѵ~4-І -Ліпхсоз^хс/х. Помощію формулъ (б), (7), (8), (э), (іо), (іі) можно будетъ всегда выразить интегралъ (г) посредствомъ другаго инте- грала, одинаковаго съ нимъ вида, но въ которомъ каждое изъ количествъ зіп X, СО8Х, будетъ имѣть показателемъ число содержащееся между предѣлами — I, I. И дѣйствительно, для подобнаго преобразованія, стоитъ только употребить одинъ или нѣсколько разъ сряду формулы (8) и (9) , или только одну изъ нихъ, когда показатели и та. ѵ оба положи- тельные , или если одинъ изъ нихъ положительный , а дру- гой заключается между предѣлами о, — I. Напротивъ того, должно употреблять формулы (іо) и (іі), когда показатели р, и ѵ оба отрицательные, или, если одинъ изъ нихъ отри-
— 175 —; дательный, а другой заключается между предѣлами о и і. Наконецъ, если одинъ изъ показателей будетъ положительный, но больше единицы, другой же отрицательный, но меньше — I; тогда, посредствомъ формулъ (б) и (7), будемъ въ одно время уменьшать обоихъ показателей до тѣхъ поръ, пока одинъ изъ нихъ не обратится въ количество, заключающееся между предѣлами — I и I. Если положимъ — о, то уравненія (б) и (7) обра- тятся въ слѣдующія: (і2) /Хап^хЛх~ а"^1 *—/іап^~3 хЛх, /соѣѵ хЛх = — С°ѵ2:^ — /соѣ*“3 хЛх. Когда показатели и и ѵ будутъ цѣлые, то поступая какъ было сказано выше, обратимъ наконецъ каждый изъ нихъ въ одно изъ трехъ количествъ і, о, — I, и интегралъ (і) чрезъ дао необходимо приведется къ одному изъ девяти слѣдующихъ: /Лх — х-ф-С, /зіпхЛх — —соз хС, /соз хЛх — зіпх-|- С, /зіп х соз хЛх — < зіп2 х ф-С, / СО8Х - а 2 СОЗ Х-4-С, / зіпа, —а I ЗІП X С, /ЛХ , „ , Х-. Г СІХ ГІ (х -4- | тг) „ /X , 7Г\ , _ /СоГх /зіп(х-|-^7Г) 3 Ѣап§ (2 •+" д) 4- С. Приложивъ сіи правила къ опредѣленію интеграловъ . • „ , г „ і /-8іппх , есо&х с сіх сіх Гзѵо^хЛх, Ісо&пхЛх. I—, гдѣ п изображаетъ цѣлое число , найдетСя; і°. предполагая п четнымъ числомъ,
— 174 “ У8Ітп х Л х ” ' СО8Х <; . П_Т , П—1 . п—3 3.5...(п—3)(п—1) . 1,3...(п—3\п—1) --- ’Х+^Ш х-Н-+2т4-(й=7)(^)(,-2)а • • У СО8П X СІ X — 8ІПХ п_т . п—1 п_3 3.5..ДХ—3)(п—1) ? 1.3...(п—З?(п-1) - ^СО8П іХ+^Г2СО8 Х+...+ГГД^=4)(--^СО8Х^ -|~^„(^--Х+С, _ , іап§"—'х іап§п—іх 1ап8п~ 5ж _ /ип^хсіх^-^------------~3— + - —5---------и проч... ±ѣап§х^х+С, „ . соіп ІИх . соіл Зх соіп _ /соіпхНх—- —4П~~ + ~4=3----------п—Г' + и ПРОЧ«‘- == соі; х2рх+С, , 8ІПХ$ п_т п— 2 п , 2.4...(п—4)(п—2) > „ /зеслх^х=-=І^есп ’х+^зес ?х+... + і.3„;(п_-5)(п_зізесх^-|-С, У созестехс2х “ -4=І^созес х+^=5с05ес х+ ... +1.з;.-лп_6)4-_3)С08есх^Ч-С; 2°. предполагая п нечетнымъ числомъ, ——3 со8есл~5 С08Х { • „___. , п— 1 . (п—1)(п-3) . 2.4...(П—3)(п— 1), \п—2)(п—4)8Ш »+•••+і.з...(в—4)(п—2)' 8ІпхС , п—1 (п— і'(п~3) „ = , , 2.4...(п—3)(п—1), — ^СО8 Х+п_2СО8 х+(п—2)(п—4)СО8 х+—+ 1.3... (п-4X^—2)' /іап§л х4х — (ап.?п Зх . іапкп ‘х , іап^х , . , 3~ 4-----п=5------И ПР°Ч- ‘ • ±-2—± І I СО82 X іап§п тх п—1 и проч СОІ2Х соіп—тх п—1 соі11 Зх соі71 ех ~п~з——4=7“+ и ПР°Ч- • У8ѲСП X 4х “ чіпх С . п—2 „ , . 3.5...(п—2) „ ? , 1.3../п—2) , ./х , тг\ , _ —х ^еесл х+ зес Х+...4-2А дх=з)зес х^ + 2.4...(п—і)5^ап§ (2^4^ /сО8еслх <іх " —$сс>8есп—гх+”-|со8есл-?х4-...+ 27:4^^созес’х? +С. Оканчивая сей урокъ, мы покажемъ нѣсколько способовъ, могущихъ служить, подобно предъидущимъ, къ приведенію въ
— 175 — І?11 ~4~та простѣйшій видъ и къ опредѣленію интеграла /зіп хсоз хс2х, въ которомъ т и п изображаютъ два цѣлыя числа. Во пер- выхъ, очевидно, что интегралъ /зіп~т х соз~п хсіх обратится въ другіе простѣйшіе, когда'умножимъ одинъ или нѣсколько разъ функцію подъ знакомъ / на зіп2 х -|- СОЗ2 х ~ I. Сверхъ того, дифференціальное выраженіе зіп—т х СОЗ—п хйх можно обратить въ раціональное, 1°. когда п есть нечетное число, полагая зіпх“з, 2°. когда т есть нечетное число, полагая СОЗХ~2. Наконецъ замѣтимъ, что величины интеграловъ /зіптехсІх,/соз”х Нх, /зіп7” х соз” хсіх , опредѣляются весьма простымъ образомъ по разложеніи зіптх, соз”х и зіптех соз”х на линейныя функціи количествъ зіпх, зіп2х, зіп 5 х.. .созх, соз 2Х, соз 5х .. ., что производится посредствомъ извѣстныхъ формулъ, (смотри Апаіузе аІ§ёЬгідие Гл. ѴП/
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ. Переходъ отЪ неопредЪленнвіхЪ интеграловъ кЬ опредЪленнбілсЪ, Опредѣлить интегралъ уравненія (і) Лу—/(х)Лх, или интегрировать дифференціальное выраженіе /(х) сіх, отъ X—хс, значитъ, найти такую непрерывную функцію перемѣнной X, которая удовлетворяла бы двумъ условіямъ, именно, чтобъ ея дифференціалъ былъ равенъ /(х) Лх, и чтобъ оная уничто- жалась для х “ хо. Поелику сія функція опредѣляется общею формулой //(х) сІх “/(х) Лх-\- С: то посему оная обра- тится въ интегралъ /Хо/ (х) <1 х , если самая функція /(х) будетъ непрерывною относительно къ х, между двумя предѣ- лами сего интеграла. Положимъ теперь, что общая величина для у, выведенная изъ уравненія (і) , представлена въ видѣ ф (х) -ф-(х) Лх, гдѣ функціи (р (х) и / (х) обѣ непрерывны между сими же предѣлами х0 и х. Очевидно , что искомая функція будетъ равна ?> (х)— ф (хо) -ф-/ (х) Л X. Основы- ваясь на семъ замѣчаніи , легко увидимъ во что обращаются формулы доказанныя въ предъидущихъ урокахъ , когда подчи- нимъ обѣ части каждой изъ оныхъ, уничтожаться для данной величины перемѣнной х. Такъ, напримѣръ, легко усматрива- емъ, что уравненія (9) и (12) (27го урока), именно //(х)Лх~ ^Г(г)Л&, и /иЛѵг^иѵ—/ѵЛи или /иѵ'Лх ~ иѵ—/ѵи7 Лх, превратятся въ слѣдующія:
— 177 — (2) ГхАх)ах=^ЛЛг^ и Г^^Ах—иѵ-и^-^ѵи'Ах, гдѣ з0, и0 и ѵ0 означаютъ величины перемѣнныхъ г, и и ѵ, соотвѣтствующія величинѣ х ~ ха. Полагая въ формулахъ (з) и (3) х ГЦ X, и изобразивъ, въ семъ предположеніи, чрезъ 2, 17 и V соотвѣтствующія вели- чины перемѣнныхъ г, и а ѵ, найдется; (4) и (5) І^ах"ѴК-и0ѵо—/^ѵи^х. Когда желаемъ приложить способъ интегрированія чрезъ под- становленіе , или интегрированія по частямъ къ разысканію величинъ опредѣленныхъ интеграловъ, или къ приведенію ихъ въ простѣйшій видъ: тогда , вмѣсто формулъ (9) и (із) (37го урока}, употребляются сіи послѣднія двѣ формулы; что касается до опредѣленныхъ интеграловъ, выводимыхъ чрезъ непосредственное интегрированіе , или чрезъ разложеніе: шо оные опредѣляются формулою (і8) (збго урока), или форму- лою (з) (23го урока). Основываясь на сихъ правилахъ и на способахъ изложенныхъ въ предъидущихъ урокахъ , можно будетъ найти величины многихъ опредѣленныхъ интеграловъ; выведемъ теперь величины замѣчательнѣйшихъ изъ оныхъ. Означимъ чрезъ т цѣлое число, хчрезъ а, ѵ положи- тельныя количества , чрезъ а, А, В, С . . . какія нибуДь по- стоянныя величины, наконецъ, чрезъ е количество безконечно- малое; изъ формулъ доказанныхъ въ 37“ъ и з8мъ урокахъ} вы- водимъ: / —1, / х~а~і йх — Юу / е~х Ах~ і, •'о а' о '•'о1 ' /еах Ах — ос, Де ах А х , Д (^4-ВхЧ- Сх\ . .')Ах — АА--2+^--^> 23
— 178 — Ах ,___________,іг ’- + ая а 1 еѵ хЛх 4 .'У'2-!-/»3 Ля і _ е ѵ ( — ВѴ ~ 1 1 | х—а. — РУ—1 ер. Е}Л 1 /е ѵ (х— а)Лх 1 (х—а)2фр2 “е/а 1 і жіх 1 х’+а2 г Лх __'7Г 2’ 1 Т (х—а)Лх _____0 1 (х—а)ЕН~Р2 е У+7ІУ-1 х—«+ Р У—1 Н х 2ГГ 2 гТ В. Сверхъ того, означивъ коей знаменатель не вообще чрезъ раціональную дробь, могъ бы уничтожиться ни для какой вещественной величины перемѣнной х, чрезъ хг, Х2 и проч..., тѣ изъ мнимыхъ корней уравненія Р(х)—о, въ коихъ коеффиціентъ при V—I положительный, и чрезъ —В^Ѵ—І> Аг—В2Ѵ—і, г- * и проч. . . . величины дроби соотвѣтствующія симъ самымъ корнямъ, получится формула: 1 (б) / 7Яйл*=2(4+4+449 + =мв.+д!+4- Когда сумма Аѵ -ф- А^ -ф-. . . равна нулю, то вторая часть сей формулы не будетъ заключать въ себѣ произвольнаго множи- теля I (-), въ слѣдствіе чего получимъ; (7) /-« т$)Лх—<2^(в^Ва + • сумма же Аг -ф- Ай -ф-. . . уничтожается въ томъ случаѣ, когда степень функціи В(х) превосходитъ по крайней мѣрѣ двумя единицами степень функціи Г(х). Можно вывести сіе же за- ключеніе, основываясь на замѣчаніи оканчивающимъ 25'“ урокъ.
— і79 —- Если бы степень функціи Р^х) превосходила только одною единицею степень функціи Г (х): то величина интеграла Г " ѵ.гхбіх была бы неопредѣленная, а общая его величина, — оо 2* (х) х 1 ’ ' ' . ' доставляемая уравненіемъ (6), заключала бы постоянное про- извольное отношеніе у. Но, полагая что сіе произвольное по- стоянное отношеніе равно единицѣ , получимъ уравненіе (7), которое, въ семъ случаѣ, доставитъ только главную величину упомянутаго интеграла. Прибавимъ, что сія главная величина не измѣнится , если, сверхъ мнимыхъ корней хі} х2, и проч. . . ., уравненіе Р(х) ~ о, будетъ имѣть и веществен- ные корни, что произходишъ отъ того, что всѣ интегралы /» оо Л СІX вида имѣютъ главныя величины равныя нулю. ПриліЪрві. Пусть т и п будутъ два цѣлыя числа, и т<щ Сдѣлавъ ——— ^22 а, найдется: Г оо хатйх_________________________ Тп [5іпагг+8ІпЗа?г+... + 8Іп(2п-і)аЯг]=: п . 81П --:- 2п откуда, полагая г ~ х2П, получимъ: Х0Х Г°о Мз_____ Г00 х2тЛх _ Г » х2тАх_л_ 7Г V- / -> о 1+г * о 1+^2га —оо 1-|-хзп «іп «тг* Также, выводя изъ неопредѣленныхъ величинъ интеграловъ, главныя ихъ величины, имѣемъ: л да1 х2т А х_ и — оо 1 — X ' ^[8ІП2аягЧ-5Іп4пяг+...+5Іп(2П—2)^]=— 7Г (2771+1)^ П . (апг 2—---- 2 п , ѵ />со 2я __ г 05 х2тЛх тг ѵ99 У 0 іг о —хап Иу—і—х2п іап^атг’ Равнымъ образомъ , изъ доказанныхъ формулъ въ 29“ъ и Зо“ь урокахъ, выведемъ: 20*
— і8о — Г»хп— 1&х_т—1 гх хт~аАх _ (тті — 1) . . , з . 2 . 1 /•» Лх _ /о (1 +хУі~~п — т'о (1 Н-х)п “(п — 771). .. (п — 3) (ті— 2)1 о — 1.2.3... (т — 1) х 1.2.3 . .. (п — тп — 1) 1.2 . 3 . . . (п — 1) * г00 сіу _____ 2п— 3 Ау __ 1 о (ІЧ-^ --- 2^11 о (1 +>3)п—1 1 .3. 5. .. (2ті — 3) гп Ау 1.3.5... (2ті — 3) тг 2 . 4.6 ... (2ті — 2) ] о 1 4->а 2.4.6 ... (2 л — 2) 2 * / гп е“2 сіг — і. 2.3.. .и, Д г,п ё~а% &?,— г11 е~а% (соз -|- У — і зіп& г) На — —1 •2 ;— •'о (« + &/ — 1)714-1 / гпе~аг соз Ъг<1 г — —* 2 3і.'(ДуГ)соз [(« +1) агс ѣап§ -, (а’-+-ь2) /СО Д! е~а% соз Ъг, Лг — , О СІ ~У“ о Гж „ _а2 • 7 , 1.2.3...71 . Гх , X Ь~\ гпе зіпогаг —--------------[_(«+і) агс Іап§^, (а2Ч-Ьа) /00 ъ о е а% 8тЪгі(1г=^-_^. Наконецъ, изъ формулъ доказанныхъ въ Зімъ урокѣ, выводимъ: во Іхъ. предполагая п четнымъ числомъ, /5 тг . „ , 1.3 . 5 ... (п — 1)тг ГІТГ , 81ПЛХСІХ~ -7-7------------- I С08пХ^Х, о 2.4.6... ті 2 •'о 1 /Ѵ-7Г „ 7 1 1 „ , 7Г о 1а慄Хб/х = -ч--_^+--.^і±і^р во 2ХЪ. предполагая п нечетнымъ числомъ, ГІ'ТГ . п , _2.4.6...<71—1) _ /-І7Г , ]о ЗІП71 X (і X — Г;3 ;• д С08иХ(ІХ, /І'ТГ Ч 1 1 . . , ✓ X о 1ап§гехс2х——ч —-_^-у...27:|±:|±: |2(у. Способы интегрированія показанные нами, часто доставляютъ средства къ преобразовавію даннаго опредѣленнаго интеграла въ другой простѣйшій. Такъ, напримѣръ , въ слѣдствіе фор- мулъ выведенныхъ въ 2умъ уровѣ, имѣемъ, какова бы ни была функція Г (х),
— і8і — (ю) 1 Г00 — Р(зс)йх, и проч.... 3,х—^й.[ х^""1 е~х сіх, I гм «іпаа? 7 г“ 8іп;г , I /-----ах п: I------ах, и проч. ... Когда, въ интегралѣ относительномъ къ перемѣнной X, функ- цій подъ знакомъ / заключаетъ другое количество и, коего величина произвольная: то сіе количество іл можно прини- мать за новую перемѣнную , а самый интегралъ за функцію количества р>. Между функціями сего рода, примѣчательна та, которую Г. ЛежандрЪ означилъ буквою Г, т которая, для положительныхъ величинъ количества р, опредѣляется ура- вненіемъ (и) Г(«)=/Дг(;у Лх^ ЕйлерЪ и Г. ЛежандрЪ весьма много занимались изслѣдовані- емъ оная свойствъ сей функцій; въ слѣдствіе выше доказаннаго, удовлетворяетъ уравненіямъ {Г(і)~I, Г(2) = І, Г(3)=:і.2, ..Г(п)=І.2.3...(п— I), -1 р—ахі — е а г — ап > , _а^ . , , Г(п)со8(п.агсип§~) е созЬгаг — о О (15) п (а’ + &2/ дг . , , Т(п) еіп (п.агсіап^^) : а Ып&гс/г —~ п г”; -Я2, ЛЮ _ .Г (т) Г (п — т) (14) /о е а Аг— -^7, ]о , въ коихъ п означаетъ цѣлое число, т другое цѣлое же число; но меньшее п, а р какое нибудь количество.
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ТРЕТІЙ. Дифференцированіе и интегрированіе подЪ знакомЪ /. Инте- грированіе дифференціалвнвіхЪ ввіраженій заключающихъ вЪ себЪ нЪсколвко персмЪннвіхЪ независимвіхЪ величинъ. Изобразимъ чрезъ х и у двѣ независимыя перемѣнныя ве- личины, чрезъ / (х, у) какую нибудь функцію сихъ двухъ пере- мѣнныхъ, а чрезъ хо и X двѣ частныя величины перемѣнной х. Полагая Ду асіу, и употребляя знакоположенія приня- тыя въ іЗмъ урокѣ, найдется: д^/(х,у)ах, потомъ, раздѣливъ на асіу , и переходя къ предѣлу полагая « —- о, получимъ: О) Ту у) ах=/хо Ах. Равнымъ образомъ имѣемъ г х Гх X л __ Сх а?(х,у) , (2) Ту і Хо / У) Х — / Хо —лГ~ А Х- Изъ сихъ формулъ слѣдуетъ, что для дифференцированія интеграловъ /^/(х, у) Нх, /(х, у) сіх относительно къ у, надлежитъ только дифференцированіе подЪ знакомЪ / функцію /(х,у)‘ Также, выводимъ и то слѣдствіе, что уравненія (3) /*/(х,у)сіх — Г(у), /2/(х,у)сІх — Г(х}у), // (х}у)ііх^Р (х,у) С,
— і9з — ствовать вещественномъ корнямъ. Въ слѣдствіе сего , для Г (х) “ I -|- X9, хг ~ У — I, найдется, (>8) а для Г (х) — I — х2, хх — —і, ха = + і, (19) /-« і~= І)~Г<1)] у— ь Сія послѣдняя формула даетъ главную величину интеграла входящаго въ оную. ПришЪрбі,. Пусть ръ будетъ число заключающееся между О и 2. Если возмемъ Г (х) — (—хУ— то мнимое вы- раженіе Е(х-|-уУ—і)~(у — хУ—і)^-1 будетъ имѣть одну, совершенно опредѣленную величину, для всѣхъ возмож- ныхъ положительныхъ величинъ перемѣнной у (слсотри Апа- Іузе аІ§ёЬгідие, Глав. VII); изъ формулъ же (і8) и (19) выве- демъ : ѵ20у 2 /“ ТГ V о ' 2 8ІП (,^р.ТГ)* / Г°° _’Г С08 (’ рлг) V ''•’о 1—х2 2 8Іп(ір.7г) 2 іап^ (ІЦ.7Г)* Подставляя г вмѣсто х! и 2а вмѣсто рі, въ послѣднія изъ ура- вненій (20) и (2і), найдемъ опять формулы (8) и (9) 32го урока, которыя такимъ образомъ будутъ доказаны, равно какъ и пер- вое изъ уравненій (іф) 53го урока, для всѣхъ возможныхъ вели- чинъ количества а, заключающихся между предѣлами о и і. 25
— 18 4 — (6) /XуУНуНх—[ууоЕ(х, у) Ну— /Уа ГХо/(х,у) НхНу. Дѣйствительно, изъ формулы (2) выводимъ /^о/(х,у)с2у<іх — У (х, у) Н х, потомъ, умноживъ обѣ части на Ну, и взявъ интегралы относительно къ у, отъ у~у0, получимъ опять формулу (6)» Слѣдовательно имѣемъ л > (>/^оГуо/(іх>уУаУах—/Ууо/хо/Сх’У^х(іУ> Формулы (6) и (7) показываютъ, что для интегрированія относительно къ у, и отъ у~у0, выраженій /(х, у) Нх, ]х У (х, у) И х, умноженныхъ на дифференціалъ Ну, надлежитъ интегрированіе подЪ знаколіЪ У также отъ у~уо, функцію У (х, у), умноженную на сей самый дифференціалъ. Часто интегрированіе подъ знакомъ У, доставляетъ сред- ство находить величины нѣкоторыхъ опредѣленныхъ инте- граловъ, не смотря на то, что не имѣемъ возможности опре- дѣлишь соотвѣтствующія величины неопредѣленныхъ инте- граловъ. И такъ, хотя интегралъ (ГА'Ь ръ и ѵ изо- бражаютъ два положительныя количества) , въ функціи х и неизвѣстенъ, однако же можно найти опредѣленный инте- гралъ У -Цх)~'~х'’ Дѣйствительно, для положительныхъ вели- чинъ количества {і, имѣемъ вообще (8) /У-Лх-'-, отсюда выводимъ, умноживъ обѣ части на Н р, потомъ взявъ интегралъ относительно къ р, отъ ^4 ~ ѵ , , х Г1 х^-х* іх_ ,/Вц (9) 10-Т{хГ'Т-1^)'
— і85 — Между таковыми интегралами, замѣчательны многіе другіе; опредѣлимъ величины нѣкоторыхъ изъ нихъ. Если означимъ чрезъ а, &, с положительныя количества, и умноживъ на (іа формулы лсо 4 Л00 п г00 г О о) /0 е~ах^ — х>іа е-^созЬхНх^^^ е ахзілЪхах=^-з9 станемъ ихъ потомъ интегрировать отъ а ~ с, по выше- изложенному правилу, то найдемъ: г е сх—е ах , _7 /а\ е9* е сх—е ах - . /а2 , . уо-----х---—/(-), ]в ----------созЬхйх = и(с-2+ьз;, ) г00 е сх—е ах . , , а с (] -------8Ш о х ах ~ агс і:ап§ у — атс 1ап§ у. Полагая въ сихъ формулахъ с —: о и а — оо , получимъ р” Лх г™ 7 Лх га . 7 Лх тг (І2) Л ѵ — 00’ Л созЬх —— со, Д ыпЪх—--2. Также, поелику для положительныхъ величинъ количества Ъ (смотри 32й урокъ), имѣемъ Ло 2 е аг— а слѣдовательно и -I л л®® ▼ то предполагая а, Ъ и Ъ — а положительными, выведемъ: ( Т /*“ жа~І Г“ а—* „—г д „ —д). Л (ія-х)6 — г(й}/о 2 е аг— Г<Ъ) , 2?п4-1 потомъ, сдѣлавъ о — і, и предполагая а вида——, а также наблюдая что Г(і) — I } найдется (смотри формулу (8) 32го урока): , м \г(а)Г(і-а)=^~9 [Г(1)Г = яг, ( г(0 — <Т —/о 2~іе аг—/_м е~^ Ах. Теперь пусть будутъ (р (х, у) и у (х} у) двѣ функціи удовле- творяющія уравненію 24
— і8б . . (а?, у} &У “ СІХ Подставляя послѣдовательно обѣ части сего уравненія вмѣсто функціи /(х, у) въ формулу (6), получится слѣдующая: (іб) /X[>(Ху)—^О>Уо)]^х=Іуо [/(^у) — %Оо,г)Иу. Сія формула справедлива когда функціи <р(х, у), у(х, у) оста- ются обѣ конечными и непрерывными относительно къ пере- мѣннымъ х и у, между предѣлами интегрированія. Положимъ теперь что ищемъ функцію и двухъ перемѣн- ныхъ х и у, удовлетворяющую уравненію (і7) Ди7=$ (х,у) гіх-ф/(х,у) йу, или, что все равно, двумъ слѣдующимъ: (і8) —у(х,у), (і9) ^ = у(х,у). Очевидно , что рѣшеніе сего вопроса будетъ только тогда возможно, когда формула (і5), коей каждая часть равна й2 и і -г, > . будетъ имѣть мѣсто. Если сіе условіе выполнено: то предложенный вопросъ легко разрѣшится. Дѣйствительно, пусть х0 и уо будутъ какія нибудь частныя величины пере- мѣнныхъ х и у, а С произвольное постоянное количество. Дабы удовлетворить уравненію (і 8), стоитъ только взять (2о) + гдѣ ѵ означаетъ произвольную функцію перемѣнной у; поелику же изъ формулы (2о) выводимъ (іи_рх (х, у} , іѵ__рх <іу(х,у} 7 Лѵ . х , <1 ѵ ау -1хо ~~а^~ 4х+ ау -1хо ~Гх~ + о =^>У)-/(Х»>У)+ о» то очевидно что удовлетворимъ и уравненію (і.р), если поло- жимъ (21) ё — у(х0,у) —о, —/^(Хс,у)г1у=:/Уд(хс,у) ^у-|-С
187 •— Слѣдовательно, общая величина для функціи и будетъ: (22) «=Д^(^у)ах+Д(х0,у)ау=/х^(х,у) ах+/^(хс,у}ау+ С. Когда въ предъидущихъ урокахъ перецѣнимъ между собою из- мѣняемыя х и у, то получимъ другое выраженіе для функціи и, которое, въ слѣдствіе формулы (іб), окажется равнознача- щимъ съ выраженіемъ (22). Интегрированіе дифференціала функціи трехъ, четырехъ... перемѣнныхъ независимыхъ количествъ, такъ же легко произ- водится какъ и интегрированіе дифференціала функціи содер- жащей двѣ перемѣнныя независимыя. Такъ, напримѣръ, если три слѣдующія условія / Ах^у,^)__Ау(х,у,ъ) А^>(х,у,%')_А<р(х,у,%) Аф(х,у,%)_А%(х,у, %) №5) Аъ Ау 9 Ах А'ъ 9 Ах ' Ау будутъ выполнены: то общая величина функцій в, удовлетво- ряющая уравненію (24) 4 и = ф (х, у, а)&х + % О> У> ъ)&у-\-$ (*> у, а)Я г, будетъ: (25) и—Цф (х,у, а) йх-\-[*о% (х0.у,а)(Іу-^Ц^(хс,уо, г) агЦ- С, гдѣ х0, у0, г0 изображаютъ какія нибудь частныя величины перемѣнныхъ х, у, а.
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ. Сравненіе обоихЪ родовЪ проствіхЪ интеграловъ, полусаелівіхЪ вЪ нЪкоторвіхЪ слусаяхЪ, ърезЪ двойное интегрированіе. Положимъ чшо функціи р (х, у) и /(х,у) удовлетворя- ютъ уравненію (і5) предъидущаго урока. Интегрируя два ра- за сіе уравненіе, именно, одинъ разъ относительно къ х, ме- жду предѣлами хо и X, а другой разъ относительно къ у, ме- жду предѣлами уо и У, найдется; О) О,у) — (х> л)] х [/ (Л у) — % (Ч’ у)] <*у- Сія послѣдняя формула показываетъ весьма примѣчательное отношеніе, существующее между интегралами входящими въ оную. Но оная перестаетъ быть справедливою, когда функ- ціи р (х, у), у (х, у) дѣлаются безконечными для одной, или нѣсколькихъ системъ величинъ перемѣнныхъ х и у, заключаю- щихся между предѣлами х ~ х0 , х ” X, и у ~ у0 , у ~ У. Предположимъ сперва что имѣемъ одну только систему об- ращающую въ безконечныя величины функціи ^(х, у) и у(х,у); пусть будутъ х_ а и у~Ь, частныя значенія перемѣн- ныхъ х и у, соотвѣтствующія сей системѣ. Въ семъ част- номъ случаѣ, выраженія , получаемыя чрезъ двойное интегри- рованіе обѣихъ частей формулы (і5) (33го урока), могутъ различествовать одно отъ другаго. Но они сдѣлаются опять равными, если въ изчисленіи замѣняли каждый интегралъ, относительный къ х, общею его величиною. Примѣчанія сего достаточно, чтобы видѣть какимъ образомъ уравненіе (і)
— 189 — должно быть измѣнено. Дѣйствительно, означивъ чрезъ г безконечно-малое число, найдется, въ настоящемъ предполо- женіи, (2) &(Х> У)-~^'(Х>Уо)] ^Х (—/уГ [%(Х, у) --/(а + е,у)+/(а—г,у) —/(х0,у)] сЬ; откуда выводимъ, полагая что е безпрестанно уменьшаясь, стремится къ нулю, (3) [?(*> у)—?& Уо)]<&= [%(*> у)—%(^о>у)]&У~ А, гдѣ величина Д опредѣляется формулой (4) ’ Д — пр. у) — у(а — е,у)] Ау. Въ общемъ случаѣ, количество Д будетъ равно суммѣ нѣс- колькихъ членовъ, подобныхъ второй части уравненія (4)* ПримЪрбі.. Полагая ф (х, у) — -23у (х, у) = -2^, х0=—I, I, у0 — — I, У — І> уравненія (3) и (4) даютъ: Г 1—2іх г 1 2 і у л л і 1 іъ<1у 1-г Д = ПР’1_ г = 2 Легко видѣть что функціи <р (х, у), у (х, у) будутъ удовле- творять уравненію (і5) (33го урока), если <р(х, у)^х-ф^(х, у) фу “/(и) Аи, а посему (5) ^(х,у)=:/(и) Й’ /(Х>У)=/(И) Гу> гдѣ и означаетъ какую нибудь функцію перемѣнныхъ х, у. Также легко удостовѣриться въ томъ, что формулы (і) и (3) имѣютъ мѣсто при вышеприведенныхъ условіяхъ, даже въ томъ случаѣ, когда функціи (р (х, у), у (х, у) будутъ мнимыя. Положимъ, напримѣръ , что функція /(х) есть алгебрическая, и что и_х-|-уУ — і. Изъ уравненій (5) выводимъ (х, у)
— ідо — + У V — І)> % (х>/) — — і/(.х 4- У V — I) , а изъ формулы (3) (.бу Л------ у -- -------------- Д-іД щх+гѵ- І)_/(х0+уѴ-І)]ау-д. Въ сей послѣдней формулѣ, Д уничтожимся , если функція У (х -ф у V — і) будетъ конечная и непрерывная для всѣхъ ве- личинъ перемѣнныхъ, х и у, содержащихся между предѣлами х ~ х0, х “ X, у ~уо, у — У. Но если между сими самыми предѣлами, функція/(х-фу У— і) обращается въ величину безконечную для системы х — а, у ~Ь: то величина количе- ства Д опредѣлится уравненіемъ (ф)> и предположивъ для краткости , (7) (х—а~ЬУ—і)/(х)~Г(л), у—Ьф-сз, г0=— 2 — ~ найдется: (8) Д—У — і "р-іу* [/(а+«4-уУ—1)~Ка~^уУ—і)]^у ,---Г 2 5М'а+е4-(Ь-+-еи)Ѵ—1] ,Р[а—еЧ-Сй-Рех'іУ—1П _ — У — і пр. к у-----------------------------ф сі г. ' % С 1-ЬаУ—1 —І-рхУ—1 > Теперь пусть будетъ г х Р[а-1-г+(6-1-ех)У—1] Р\а —е4-(6-І-ех')У—1] І-рхУ—І —1-ЬхУ—1 Л__ч игСе")— таг(о) у(5)_у(о) = а, --------і---- е гдѣ КГ {г), ір (е), а слѣдовательно и а, изображаютъ количе- ства вещественныя. Сверхъ того положимъ что У болѣе у0, и что. функціи Г(х4-уУ— і), Р (х-фуУ— і) остаются ко- нечными и непрерывными относительно къ перемѣннымъ х и у между предѣлами х0, Ху у0, У. Поелику, въ слѣдствіе фор- мулы (9) имѣемъ,
— іді — г/(е)+У-1 ?/(«)—^[а + е + +?г) 1 ] — Р’Т^—5 + (Ь+ез) У— і ] —Е'(а+ е+уУ—1)~У (а—е-УуУ- і), шо очевидно, что численныя величины количествъ ^(с),’/У^) бѵдутъ также весьма малыя, равно какъ и численныя величи- ны двухъ количествъ а и которыя могутъ быть представ- лены въ видѣ к/ О 0 и I// Ю’ ГА'Ъ ® означаетъ число мень- шее единицы. Посему, найдется: пр. е (а + 5 У — і) б/з — пр./у^ (а у — і) фу — о, пР- №) + У — [й(о) + У — потомъ, сдѣлавъ Е“Р(п-|-&У— і) ~пр. ;/ (а-|- Ъ У—і-|-е), получимъ: (іі) Д=У—і/_“ [^(о)+У-іф(о)]Нг=2?У-іД_^ А——2я-ГУ—і. Еслибъ имѣли у0“& или У ~ то въ такомъ случаѣ слѣ- довало бы брать, интегралъ относительный къ г въ формулѣ (іі), между предѣлами г ~ о, гзггоо, или между предѣлами 3 — — оо , г “ о, а посему величина количества Д обратилась бы въ гг ЕУ— і. Въ томъ же самомъ предположеніи, первая часть уравненія (б) изображаетъ главную величину интеграла неопре- дѣленнаго, (смотри урокъ 24)- Замѣтимъ также что а-УЬУ— I есть корень уравненія (і2) У(х) —У:оо. Если бы сіе уравненіе имѣло нѣсколько такихъ корней, коихъ вещественныя части заключались бы между предѣлами хс, X, а коеффиціенты при У—I между предѣлами уоУ У: то, озна- чивъ чрезъ х,, ха,.... хт сіи самые корни , а чрезъ Ер Еа, истинныя величины произведеній (х — х^/(х\ — ... (х — хт)/(х),
— 192 — соотвѣтствующія предположеніямъ х — х1 ~ о, х Х2 — о... х — хт ~ о, найдется: (іЗ) А — 2яг [Г, 4- Г2 4-... У— і Прибавимъ , что должно брать только половину каждаго изъ количествъ Г,, Е2 . . . іт, когда въ соотвѣтствующемъ оному корню, коеффиціентъ при У—і равенъ одному изъ предѣловъ У о или У. Когда функція / (х 4" У — і) уничтожается, і°. для Х~1Уоо, каковъ бы ни былъ у; 2°. для у — оо , каковъ бы ни былъ х: то взявъ Хо ”—оо, X — -4- со , уо —' о, У — оо, изъ формулы (6) выведемъ: 04) /ІГ/ООах^А. іг т " С / \ 1. (^0 Когда функція / (X) представляется въ видѣ и если не- уничтожающіеся члены изъ ряда Е,, Е2 . . . Ето всѣ соотвѣтству- ютъ корнямъ уравненія (і5) Г(х) —о: то очевидно что выраженіе А можетъ быть представлено въ такомъ видѣ: Л Т ггХ Л -- „ Г I Г(ха) I I *(Хт) ~І , ~ а уравненіе (іД) обращается въ слѣдующее : х х Г 00 л _____ п Г । і і Г (хто) ~1 , Во второй ч;асти сей послѣдней формулы должно принимать только вещественные корни уравненія (і5) и тѣ мнимые корни, для коихъ коеффиціенты при У—I будутъ положитель- ные, наблюдая то, чтобы брать только половину тѣхъ изъ €(х2) членовъ ряда которые будутъ соотвѣт-
— ідЗ — ствовагпь вещественнымъ корнямъ. Въ слѣдствіе сего , для р (х) ГГ I ф- X2, X, “ V — I, найдется, (18) Д^ахгзяГСѴ-Т); а для Р(х) “I — х2, хг~ — I, х2~ 4- і, (19) /Д ** = і ІЯ- О - КО] Ѵ-Т. Сія послѣдняя формула даетъ главную величину интеграла входящаго въ оную. ПриліЪрві,. Пусть а будетъ число заключающееся между О и 2. Если возмемъ Е (х) зз: (—хУ— і)^ *, то мнимое вы- раженіе Е(хф-уУ—і)~(/ — хѴ— і)Р'—’ будетъ имѣть одну, совершенно опредѣленную величину , для всѣхъ возмож- ныхъ положительныхъ величинъ перемѣнной у (сліотри Апа- Іузе аІ§ёЬгіциея Глав. VII); изъ формулъ же (і8) и (ір) выве- демъ : <2°) \ тг _ 1-|—-X2 ’ 2 ЗІП (1р.7Г)* . . ѵ_: 'ффм к^/+(- у-тл, > / Г™ ____7Г СОЗ (^ІГ)_ 7Г '•Іо 1— х2 ' 2 зіп (( ілтг) 2 1апх(ір.я)* Подставляя 2 вмѣсто х8 и 2а вмѣсто р, въ послѣднія изъ ура- вненій (20) и (2і), найдемъ опять формулы (8) и (9) 32го урока, которыя такимъ образомъ будутъ доказаны, равно какъ и пер- вое изъ уравненій (іф) 33го урока, для всѣхъ возможныхъ вели- чинъ количества а, заключающихся между предѣлами о и і. 25
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ пятый. Дифференцированіе опредѢленнвіхЪ интеграловъ относителвно кЪ перемѣнной входящей вЪ функцію находящуюся подЪ зна- комъ между предѣлами интегрированія. Интеералві. ввссшихЪ порядковъ для функцій содержащихъ одну перемѣнную. Пусть будетъ со опредѣленный интегралъ относительно къ г. Если въ семъ интегралѣ, будемъ измѣнять отдѣльно, и независимо одно отъ другаго , три количества .2, г0, х: то въ слѣдствіе формулъ (5) (2бго урока), и формулы (2) (33го урока), получимъ: О) й=Ж-г), ^=-/(х,гд Полагая же что оба количества Ио и 2, дѣлаются функціями перемѣнной х, и принимая посему А за функцію одной только измѣняемой х, найдется: (3) =/* * +/(-, -/(х, 2.) І5. Въ частномъ случаѣ, когда 20 будетъ постоянное количе- ство, а/(х} 2) равна нулю, то просто будетъ: (4) гХ г) Примѣрѣ. Означимъ чрезъ х0 частную, постоянную величину перемѣнной х, и положимъ г0—х0, 2—х, /(х, г)—(х—-г)те/(з); получимъ формулу
— 195 — (5) (х —2)та/(2)с/2 = т/^ (х —г)™ '/(^уНг, изъ коей выведемъ (6) ЛУХ (х—г)те“7(г)а2ах = ^/^(х-гГ/(г) Нг, и (7) с (х - »Г/М <»*<»* =й/,:(х - 2)”№)<га+с, гдѣ С изображаетъ постоянное произвольное количество. Если возмемъ т равнымъ единицѣ: то въ силу формулы (6) полу- чимъ: (8) /І/хо/(2)агах—ДХо(х — 2)/(г)аг. Теперь легко рѣшить слѣдующую задачу: Задача. Найти общую веллшшу перемѣнной у, удовлетво’ р тощую уравненію (9) Й =/(*)• Рѣшеніе. Поелику уравненіе (9) можетъ быть изображено въ видѣ то интегрируя обѣ части онаго относительно къ х, выведемъ а х =Д*/(х) ах н- с; или, что все равно, X X У - С* Г / \ 1 I (1 °) ---]Хо/ (г) 2 ~Ь С- Интегрируя опять относительно къ перемѣнной х нѣсколько разъ сряду, между предѣлами х0, X, сверхъ того, соображаясь съ формулами (б) и (8), и придавая постоянное произвольное количество послѣ каждаго интегрированія, найдется посте- пенно : 25*
— ідб — ^~ау СХ , ч л/ X 1 , /" ч , ^п—а=]Хо (х — з)/(г) йг 4- с (х — х0) + Сі, (іі) йп~3У__,сх (х—й)а с, . , (х— х0)« .^-/(2) Лг 4- с—— 4- Сі (х — Жо)+С2, и проч ... . (*— х0)ц~3 ( (х-х0)та—3 (~_Хоуі—* 1.2...(п-2) +Сі 1.2...(п-3) ^С2Т.2...(п-і) и наконецъ (12) __Г» (х—х)п 1 х і . (х—хо)п—1 (х—х0)п~а У----Ло1.2.3...(п-1)/(2) с2г4~С хл..\п—1) +СІ1.2...(П—2) . (X—Хр^—3 I Са 1.2... <_п—3) • • 4- Сп-! (х — О 4- Ся, гдѣ с, сІ, с2. . . сп_!, сп изображаютъ различныя постоянныя произвольныя количества. Замѣтимъ также что опредѣлен- ный интегралъ заключающійся во второй части уравненія (і2), легко можетъ быть приведенъ къ другому виду помощію фор- мулы (і?) (22го урока). Дѣйствительно, подставивъ въ сію формулу г вмѣсто X, и х вмѣсто X, получимъ ( 5) Лг =/ГХ°/<ъ + г') ~ г) йг, и слѣдовательно х , ч Г® (х—а)71—1 . . _____ гх— х0 (х—х0—х)п~1 с , 7 04) /х01.2.3...(п—і)/(г) —/о і.2.з...(п—і) /(хо 4- ех—хо гп 1 О --/(х---- 1.2.3...(п—1/ 4 7 Полагая, для большей простоты, х0~о, величина перемѣн- ной у, опредѣляемая уравненіемъ (і2), обратится въ слѣдующую: , ____ Гх (х—%')п—1 . хп~1 хп~а (і5) У---------}о І.2.3...(п-1)/(г) “^4- Сі.2...(п-1)4~ СіГ.2...(п-2) хп—з С2 172...(п-3)“Ь ’ • • + Сп—1 Х “Ь СП> и формула (і4), въ семъ предположеніи, приметъ видъ 00 /о^^з.^-^/С2) —/0ХП'.з...(п-Г)/(х — аг‘
— 197 ~ Когда употребляемъ неопредѣленные интегралы, и желаемъ только показать послѣдовательныя интегрированія: то вели- чины функцій --Іу &П 2у ДП — Зу 57^’ и ПР04- • • • У> выведенныя изъ уравненія (<у), изображаются слѣдующимъ //(х)Их, /.//(х) Лх . <іх, /./•//(х) Лх . Лх . Лх, и проч. •.•/./•/•••// (х) Лх . .. Лх . Лх . Лх. Сіи послѣднія выраженія называются интегралами перваго, втораго, третьяго . . . порядка, и наконецъ пто ііорл.рш, отно- сительно къ перемѣнной х. Для краткости, мы условимся впредь означать ихъ знакоположеніями (17) Я(х) Л х, ///(х) Л х\ Х///(х) Лх3,...//.. ./(х) Л хп, и вмѣсто сихъ послѣднихъ будемъ употреблять слѣдующія: (а; /Хл^1- когда каждое интегрированіе относительно къ х, будетъ про- изведено между предѣлами Хо, х. Песему имѣемъ: (19) /X- • . 7пХ/«^-т^77/(г)аг ? или, что все равно, (2°) 7Х /X • • •/ (х) ах"= гХ=ч 7"~7Х/(2:)ах-т^_7ІхДх)ах..±/Хі:”_'Лз:)‘:гЦ Сію послѣднюю формулу можно непосредственно вывесть по- мощію нѣсколькихъ интегрированій по частямъ. Теперь пусть Р (х) будетъ частная величина перемѣнной у, удовлетворяющая уравненію такъ что
— 198 — (21) Рл) («)=/ (х). Если Р (х), и ея послѣдовательныя производныя, до производ- ной пго порядка, будутъ непрерывныя между предѣлами х0, х: то полагая въ формулахъ (іо), (іі) и (і2) х~Х0, най- (22) С=Р"-’(хо), >(ХО), -и формула (12) даетъ (25) Р (х) - Р (х.) + *=*- Р’ (хо) + ... ч- Р‘п-’> (хо) Изъ сей послѣдней, соединенной съ уравненіемъ (19), выводит- ся слѣдующая формула: __ (х~хо -X) , х 1.2.3...(п—1) (Жо)> заключающая, какъ частный случай, формулу (17) (2бг<? урока). Предполагая х0 — О, уравненіе (24) приводится къ («) ПЛ Лх'=РІ» - р(°) -тр (°) - (о) - • • • - ПгЙдЬо Р"-’ (°)- Примѣрѣ. Пусть Р(х') — ех; имѣемъ / (х) — Р^ (х) — ех, и слѣдственно к2°у /о /0 ...еах— е і 4 і.г"' і.2.з...(п—і)—7О і.2.з...(п— і)е аг'
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ШЕСТОЙ. Преобразованіе какихЪ ни-еств функцій перемѣнной х или хЦ-Ъ. вЪ цЪлвил функціи перемѣнной х или 1г, сЪ дополнителвнвімЪ опредЪленнвсмЪ Интеграломъ. Другіл ввіраженіл длл сихЪ салівихЪ Интеграловъ. Если въ уравненіе (23) предъидущаго урока , подставимъ вмѣсто функціи / (г) величину оной Р(п) (з), выведенную изъ формулы (21): то, при тѣхъ же самыхъ условіяхъ, найдется: <ю+с и потомъ, взявъ х0_О, (2) Р(х) = Г(о)+іГ(о) + ЙР/(о) + --- + Р’"'1 (°) +С (О Полагая теперь Р (зс) — (х -]- /і) , и измѣняя порядокъ буквъ х и /г, получимъ уравненіе: (3) У(Х + Л) =/(») +т/ (х) + пЛ (X) +... 1 1 гіп-П/ \ ! (Л—г)п—1 г , х , + іТ5Ц^=і)/( (х)+/о ‘ (X + г) а г, въ которомъ послѣдній членъ можетъ быть представленъ въ различныхъ видахъ , ибо (въ слѣдствіе формулъ (14) и (19} 35го урока) имѣемъ: ^=/.4ГГ57^=Г)/<”^+Ь-г)іг— (4) I
200 — Въ уравненіи (3) предполагается, что функціи / (х г), /'(х + г), . . ./(п) (х + г), суть непрерывныя между предѣлами 2»2ГО, г —/г. Можно вывести оное непосредственно изъ фор- мулы (і),. полагая Х — Х„-^-к, потомъ, поставляя х вмѣсто х0, а / вмѣсто Г. Въ такомъ случаѣ, послѣдній членъ второй части, обратится въ третій изъ интеграловъ заключающихся въ формулѣ (Д). Впрочемъ, можно прямо доказать уравненіе (3), посред- ствомъ нѣсколькихъ интегрированій по частямъ, придержи- ваясь способа изложеннаго Г. Прони въ разсужденіи напеча- танномъ въ і8о5 году. Дѣйствительно, подставляя сперва въ формулу (3) предъидущаго урока, Х0-\~к вмѣсто X, а потомъ X вмѣсто Хо, получимъ : (5) +к — 2) слѣдовательно (О /(х + к) —/(х) (х4-х)сіх (х-{-к — г)йх. Интегрируя по частямъ нѣсколько разъ сряду, имѣемъ: (7) // (х 4- /і — г) 2 “ */(х 4- к — г) +Л/"(х -±-к—г)сІг О 2 = (х^к — х) 4-п// (х + к — г) 4-/ ^/"(х 4- к — х) сіх ~ и проч. . . . = Г Г <* + ь - г) + Й Г (* + Ь - *) • • • 7Г--1 , Г,П-1 + 7.2.4^)(х+/г—2)4-/ (х^-к-х)сіх, потомъ , производя каждое интегрированіе между предѣлами 2 — о, х~ку и предполагая что функціи /(х-|-з), /(х-4-г)... (х з) , остаются непрерывными между сими самыми предѣлами, получимъ:
201 (8) /ОѴ(Х + Ь — з) Нг =г/(х) — . .. +,.е.Г7п-Т)/<’,~,> (х) +С (х+ь- г)а2. Легко видѣть теперь, что изъ формулы (б), выводится уравненіе, которое будетъ согласоваться, въ слѣдствіе формулы (4), съ уравненіемъ (3). Сей же самый способъ можетъ еще служить для доказательства уравненія (2). Интегралы заключающіеся во вторыхъ частяхъ формулъ (2) и (3), не только могутъ быть замѣнены нѣсколькими другими, подобными тѣмъ интеграламъ, которые формула (4) содержитъ; но изъ уравненія (іЗ) (23го урока), должно еще за- ключить , что они равны двумъ произведеніямъ слѣдующаго вида: (9) («х) /; Г‘"’ »х), (ю) /<•’ (X + т (X + »к), гдѣ $ означаетъ неизвѣстное число, которое будучи менѣе еди- ницы, можетъ впрочемъ различествовать для каждаго произ- веденія. Слѣдовательно имѣемъ (и) Р(.) = Р(о)+?Г(о)+*Но)Ъ.. + г1 ’ (о) + к<-> ()х). (12) /(X + Ц =/(& +}/'' (*) + Й-Л*) + • (х)+пТ-./" (='+«')• Необходимо замѣтить, что функція Р(х^ и ея послѣдователь- ныя производныя , должны быть Непрерывныя , въ формулѣ (іі), между предѣлами О, X; а функція /(х-\-г) и ея послѣ- довательныя производныя, въ формулѣ (і2), между предѣлами 2 ~ О, 2 ~ И. 2б
— 202 — Теперь пусть будетъ и —/(х, у, г ...) функція нѣсколь- кихъ перемѣнныхъ независимыхъ величинъ х, у, г . . и поло- жимъ (іЗ) Г(а) — /(® 4“ а<1х, у + асіу, г 4- а^г,...). Подставляя а вмѣсто х, въ формулу (іі), выведемъ изъ оной, въ силу правилъ доказанныхъ въ іДм* урокѣ , (Ц) /(х -|- ау -|- аЛуі г 4- асіг,...) п (1^ /уМ Если предположимъ, что количество а есть безконечно-малое, то и разность Е{п} (0 а) — Е^ (о) или Е(п) (0а) — <1пи будетъ также безконечно-малая; означивъ оную чрезъ полу- чится (і5)' У(х-|-а^х, у 4-аНу, и 4-айг,...) ** /у 2 ^7і — ц4~г^“4-Г?2 • • • Н-І.2.з..(п-1) 1 “>+г2.з...п(^Ли+$)- Когда вмѣсто нѣсколькихъ перемѣнныхъ независимыхъ, воз- мемъ только одну измѣняемую х, и положимъ у~у(х): то получимъ формулу (і б)/(х+аах)=у-ь г Лу+ ~2 &У+...+ ІХзТп^’У^) • Положимъ теперь, что для частной величины х ~ х0, функція /(х) и ея послѣдовательныя производныя до произ- водной п — I порядка , всѣ уничтожаются. Въ семъ случаѣ, изъ формулы (і2), выводимъ: (17) № + '>) = г:2з7П/(”’(^+е'>); потомъ, подставляя въ сію послѣднюю формулу вмѣсто конеч- наго количества кг безконечно-малое і, получимъ . 1'П (і8) /(х0 4- і) = (®,4- ^)-
— 203 Когда , между функціями /(х), (х) . ,.рп~~^ (х) , одна только первая не уничтожается для І"ТО, то очевидно, что вмѣсто уравненія (і8), должно принимать слѣдующее: іп (19) /Оо-Н)— /0°) — Г2.3:::п/(п>Оо-НО- Если, въ томъ же самомъ предположеніи, напитемъ х вмѣ- сто х0, и сдѣлаемъ у(х) ~У, Дх — і ~ ак: то уравненіе (19) получитъ видъ , ап (2о) ду= г:'2.3... п(аѴ+^)> гдѣ равно какъ и а, означаютъ количества безконечно-ма- лыя.-Изъ уравненія (іб) можно также вывести формулу (2о), наблюдая что для величины перемѣнной х , обращающей въ нуль производныя функціи (х), /Л/(х) . . ./(П— х) (х), равнымъ образомъ уничтожаются и дифференціалы <іу, (Гу. . . с/п‘~Іу. Уравненіе (2о) доставляетъ средство къ рѣшенію задачи 6го урока, во многихъ случаяхъ, когда способъ, который мы прежде изложили, недостаточенъ. И дѣйствительно, предположимъ что у и г означаютъ двѣ функціи перемѣнной х, и что для частнаго значенія х, напримѣръ х ~ хс, не только _ й 0 . дробь 5 — - обращается въ у, но и слѣдующія еще дроби : а" й(т—і) у'' ’ ' Въ такомъ случаѣ, полагая 2дх_а ах, и изобра- зивъ чрезъ у, два безконечно-малыя количества, получимъ, ДЛЯ Х=2ХО, (21) Ду — 5. -Ь 0), Л2 = ~~^т2-^7), х х з4-Дг___ Да Итъ-ру _ йт% , а^ (22) 5 — Пр. — пР‘ Ху—ПР- — У1т)‘ ПримЪрЪ. ^ля х 22: о, будемъ имѣть ЗІП8 X С?8(зіп8х) _ 2 (соз® X- ЗІП8 х) _ 2 1 — СОЗ X <і2 (1 — соз х) ~~ СОЗ X, 26*
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ седьмой. Теіілорова и Маклоренова теоремы. Распространеніе сихЪ теорежЪ на функціи нЪсколскихЪ переліЪннбіхЪ. ТэезконеънбіжЪ рядожЪ или строкою называется совокуп- ность безконечнаго числа членовъ (і) и„, Щ, и2....ип, и проч.... выводимыхъ одинъ изъ другаго по извѣстному закону. Изобра- зимъ чрезъ 5 ^22 іл„ -4- и, -I- и -4-.. .. и сумму п первыхъ членовъ, гдѣ п означаетъ какое ни есть цѣ- лое, положительное число. Если, для величинъ количества п возрастающихъ по произволенію, сумма $п будетъ постепен- но приближаться къ нѣкоторому предѣлу 5: то безконечный рядъ получаетъ названіе сходящагося ряда, а предѣлъ б, изо- бражаемый слѣдующимъ образомъ: и0 иі + иа. "+~ из “Ь и про4’ именуется его сужмою. Напротивъ того , если сумма бп не приближается ни къ какому опредѣленному предѣлу, между тѣмъ какъ п увеличивается до безконечности : то безконеч- ный рядъ называется расходящимся рядожЪ, и не имѣетъ уже тогда суммы. Въ томъ и другомъ случаѣ, членъ соот- вѣтствующій указателю п, именно ип, именуется общижЪ "СленожЪ. Сверхъ того , если въ первомъ предположеніи воз- мемъ то гп будетъ изображать остатокъ безко- нечнаго ряда, отъ пго члена.
— 205 —• условившись въ сихъ опредѣленіяхъ, изъ формулъ (2) и (3) (36го урока) выводимъ то слѣдствіе, что безконечные ряды (2) Г (о), 7 Г (о), Й (о). Ш Р"' (°)> и "Р»ч..... (3) /(Ж)> і/Мі 'Ь/'(Х)> 11 проч... будутъ сходящіеся, и сверхъ того сумма перваго будетъ равна Р(х)> а втораго у (а;-ф-Л), когда величины двухъ интеграловъ (4) Л’<№ = ^1™ (9 х). (5) С^^/{-'(.х + ^)^=^/'"'(.х-+-91.), будутъ стремиться, для безконечно-возрастающихъ величинъ количества п, къ предѣлу нуль. Въ слѣдствіе сего найдемъ: (б) + И проч..., если выраженіе (4) уничтожается для безконечныхъ величинъ количества П; также (7) /(^+^)=ЯлО+г//Сг)+гі///(аО+^///('х) + и пр04---- если выраженіе (5) удовлетворяетъ сему же самому условію. Формулы (6) и (7) заключаютъ въ себѣ теоремы Маклорена и Тейлора. Когда интегралы (4) и (5) удовлетворяютъ пред- писаннымъ условіямъ: то теоремы сіи служатъ къ разложенію двухъ функцій Р (х) и /(х /г) въ безконечные ряды , про- стирающіеся по цѣлымъ и восходящимъ степенямъ количествъ х и. Іі. Остатки же сихъ безконечныхъ рядовъ опредѣляются двумя интегралами, о коихъ мы сей-часъ упомянули. Изобразимъ теперь чрезъ а_ Дх, у, з ...) функцію нѣсколь- кихъ перемѣнныхъ независимыхъ величинъ х, у, 2 • . . ; вмѣ- сто уравненій (2) и (5) предъидущаго урока , должно будетъ теперь употребить уравненіе (і4)> которое даетъ:
— 20б (8) /(»+ асіх, у-+-асіу, г-{- а^г,...) __ , а , । “2 7, , а3 7, — и * аи а и + и4~ и проч..., ап если только членъ ^3~ К(п> (0а), или, лучше, интегралъ (9) изображаемый симъ членомъ, будетъ уничтожаться для без- конечныхъ величинъ количества п. Посему , полагая а ~ і, найдется : (іо)/(х-н&, •••)==«-+-т+У+^+ и прон....; сія послѣдняя формула будетъ имѣть мѣсто, если интегралъ (и) удовлетворяетъ вышеупомянутому условію. Когда вмѣсто нѣсколькихъ перемѣнныхъ независимыхъ х, у, г . . . возмется одна только перемѣнная х; то уравненіе (іо) получитъ видъ (12) /(»+ ^зс)=:и+ т + гг2 + і“з+ и ПР°Ч- • • Сіе уравненіе будетъ равнозначуіцее съ уравненіемъ (7), то есть, съ Тейлоровою формулою. Полагая въ семъ уравненіи X равнымъ нулю, и поставляя потомъ а вмѣсто гіас, получится теорема Маклорена. Прибавимъ, что уравненіе (іо), а так- же и то, которое выведется изъ онаго, когда вмѣсто х,у, г... поставимъ нули, а вмѣсто СІХ, сіу, сІ2 . . . величины х,у, г... даютъ средство распространить теоремы Тейлора и Мекло- рена на функціи нѣсколькихъ перемѣнныхъ. Замѣтимъ еще, что уравненія (б), (8), (ю), (і2) равнозначущи съ уравненіями (4), (б), (7), (8) (19го урока), въ томъ случаѣ, когда Г(х) и /(х) изображаютъ цѣлыя функціи, степени п относительно къ х. Поелику, въ слѣдствіе формулы (ід) (22го урока), интег- ралъ (4) равенъ произведенію вида
-- 207 — (15) <№), гдѣ $ есть число меньшее единицы: шо ясно, что для безко- нечныхъ величинъ количества п} сей интегралъ уничтожается,, если функція 04) обратится въ нуль для всѣхъ величинъ количества г, заклю- чающихся между предѣлами о и х. Очевидно, что сіе послѣд- нее условіе будетъ выполнено, когда численная величина выра- женія Р^ (0х) предполагаемаго вещественнымъ, или модуль сего выраженія если оное будетъ мнимое, не будетъ возра- стать до безконечности, между тѣмъ какъ п будетъ увеличи- ваться. И дѣйствительно, поелику количество т (п— тп)^2 (п \а /И \2 з) —\2—т' возрастаетъ вмѣстѣ съ числомъ т, между пре- _________________п дѣлами тп—I, т—и какъ посему п— 1 і.(п—1)<2.(П—2)<5.(п—1.2.3...(и—і)>(п—і) 2 : то утвердительно можно сказать, что численная величина, или модуль выраженія (іД), будетъ всегда меньше численной величины, или модуля произведенія (15) произведеніе же сіе обратится въ нуль въ принятомъ предпо- ложеніи, именно для п гз: оо. ПримЬрві. Полагая постепенно Р (х) — ех, Р (х) ~ зіп х, Р (х) “ соз х, найдемъ, для соотвѣтствующихъ величинъ функціи слѣдующія выраженія: е’х, 8іп(— ч-^х), СО8 $х)' Такъ какъ сіи послѣднія количества остаются конечными при всякой величинѣ для х, между тѣмъ какъ п увеличиваете
«— 208 — ся: то изъ сего заключаемъ, что теорема Макларена ніот&етата быть всегда приложена къ тремъ вышеприведеннымъ функ- ціямъ. Въ слѣдствіе сего будемъ имѣть, для какихъ ни есть величинъ перемѣнной х, и для положительныхъ величинъ ко- личества А, (Іб) и проч.. . „ X . х X , X . /7Гх . X2 • /2чг\ I х* • /З'ТГч I (17) 81ПХ — 81П(о)+ і 81П(2) + ^81П (у)+-у 8іп(—)4~и ПР0*- __ X X3 । X* ~Гш + іщГ и пР°ч- (18) созх — соз(о)4-і-соз(2) 4~ соз(у) 4~іу5С08(т)+ ипр0’г- -----------------------Т__— -і---4----И проч. ---1 1.2 1.2.3.4 Г Когда функція Р(Л) (фх), для безконечныхъ величинъ количес- тва п, обращается въ безконечность: то выраженіе (14) мо- жетъ иногда приближаться къ предѣлу нуль. Сіе случится, напримѣръ для Г(х) ~ I (і 4~ ®) > когда перемѣнной X припи- шутся величины меньшія единицы. Дѣйствительно, предпо- лагая 2Г3 0Х, I, х2-< і, получимъ въ семъ случаѣ, х X (х —25)Л ' X X_______, _(х-г)п-» х’і—Тх1 — 9 . ОЭ) 1.2.3. .(.п—1) & С2)----(14-2;)п 1 — 0 \1+0х/ ’ 1 — 0 но какъ дробь у очевидно будетъ меньше единицы, то ясно,, что выраженіе (19) уничтожится, когда возмемъ П”00. Слѣдственно, для всѣхъ величинъ перемѣнной х заключающих- ся между предѣлами — I и 4~і, будемъ имѣть: (2о) 2(1 4-х) =2^- — у4-у — ^4~ и проч. ...
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ осьмой. Правила относящіяся кЪ сходящимся рядамЪ. Приложеніе сихЪ правилЪ кЪ Маклореновой теоремЪ. Займемся изысканіемъ условій при которыхъ какой ни-есть безконечный рядъ будетъ сходящійся. Сіе изысканіе весьма важно , ибо когда желаемъ разложить какую-либо функцію въ безконечный рядъ: то необходимо, чтобы сей рядъ былъ сходящійся, иначе оный не будетъ выражать величины данной функціи, то есть, функція не будетъ равна своему разложенію. Такъ , напримѣръ, уравненія (б) и (7) будутъ имѣть мѣсто только въ такомъ случаѣ , когда ряды (2) и (3) будутъ схо- дящіеся. Одинъ изъ простѣйшихъ рядовъ есть геометрическая про- грессія (і) а, ах, ах\ и проч. . .. которой общій членъ есть ахп. Сумма же П первыхъ членовъ сей прогрессіи, равна / , > 2 । । п__іх і — хп____ а ахп а (і -4-х-4-х2-4-. . .-4-х ) — а~.--— -—: -----. \ I I I I 7 1 — X 1 -X 1---X Ежели предположимъ, что численная величина х, или модуль сей величины когда она будетъ мнимая, меньше единицы: а аз? то оная сумма Т і — я? ПРИ возрастающихъ величинахъ п, будетъ приближаться къ предѣлу , и въ семъ случаѣ рядъ (і) будетъ сходящійся. Если же численная величина х, или ея модуль когда она есть мнимая, будетъ больше единицы: 27
-- 210 — то сумма 4 съ увеличеніемъ п, будетъ непрестанно увеличиваться , и превзойдетъ наконецъ всякую данную вели- чину. Въ семъ послѣднемъ случаѣ, рядъ (і) будетъ непремѣн- но расходящійся. Въ обоихъ случаяхъ, величина а можетъ быть вещественная, или мнимая. Теперь разсмотримъ рядъ (2) и0, щ, иа, и3..\,ипі и проч.... составленный изъ какихъ ни-есть вещественныхъ , или мни- мыхъ членовъ. Дабы судить, будетъ ли сей рядъ сходящійся, или расходящійся: то нѣтъ никакой надобности разсматри- вать первые его члены; можно начать съ слѣдующихъ: (3) ит, ит^, ит+2, и проч.... гдѣ т можетъ означать число , столь великое, сколько по- желаемъ. Изобразимъ чрезъ р численную величину, или модуль общаго члена ия; очевидно что рядъ (3),будетъ сходящійся, или расходящійся, при тѣхъ же условіяхъ какъ и рядъ модулей (4) и прон. ... На семъ основаніи, легко вывести двѣ слѣдующія теоремы: і'я Теорема. Изобразивъ ърезЪ 2 предЬлЪ, или наибольшій изЪ предѣловъ, кЪ которому, или кЪ которвімЪ стремится ве- і личина между тѢмЪ какЪ п увеличивается: окажется» что строка (2) будетЪ сходящаяся если Л < і , а расходя- щаяся, когда 2 > I. і Доказателвство. Положимъ сперва 2*0$ количество (р„)п, съ увеличеніемъ п, не можетъ непрестанно приближаться къ предѣлу 2, не сдѣлавшись меньше такого числа дл, которое удовлетворяетъ условію 2 < рь < I. Слѣдовательно , можно всегда дашь числу т такую большую величину, что положивъ
-- 211 --- 1 п — т, будемъ имѣть постоянно ((^У Очевидно, что тогда члены строки (4), будутъ менѣе соотвѣтствую- щихъ имъ членовъ слѣдующей геометрической прогрессіи: (5) Дт, УЛ Дт^2, и проч....; но какъ сія послѣдняя строка, по причинѣ < I , есть схо- дящаяся, то и рядъ (Д) непремѣнно долженъ быть также схо- дящійся. Предположимъ теперь, что 2 > I, и возмемъ число такое, і чтобы Очевидно, что величина съ непрестан- нымъ увеличеніемъ количества п, не можетъ безконечно при- ближаться къ 2, не превзойдя наконецъ р,; слѣдовательно, 1 при весьма большой величинѣ п> необходимо будетъ (^)п)п > и или и,п> I, и окажется, что рядъ (Д) будетъ содержать безконечное число членовъ превышающихъ единицу ; сего до- статочно для удостовѣренія въ томъ, что ряды (2) , (3) и (4) расходящіеся. 2 я Теорема. Если отношеніе приближается, сЪ непре- станнбімЪ увеличеніемъ п, кЪ постоянному предѣлу 2: пю рядѣ (2) будетЪ сходящійся вЪ томЪ случаѣ, когда 2 < I, а расхо- дящійся, когда 2 > I. Доказательство. Выберемъ по произволенію чивло е мень- шее разности вщжду I и 2. Очевидно, что можно взять та- кое число т, что положивъ п равнымъ т, или п болѣе т, соотвѣтсшвуюіцая величина отношенія —— , будетъ заключать- ся между предѣлами 2 — е, 2-(-в. Слѣдовательно величины членовъ строки (4) будутъ заключаться, между величинами соотвѣтствующихъ имъ членовъ двухъ слѣдующихъ геометри- ческихъ прогрессій: 27 *
212 у™, (X — е), (X — е)2, от (X — г)5, и проч.... (Л у™ (X -Ь е), ()т (X + г)2, (X 4- е)3, и проч. ... которыя, при X < I , суть обѣ сходящіеся, а когда X >• I, то онѣ будутъ обѣ расходящіеся. Слѣдовательно, и проч. . . . 1 Прилеганіе. Легко доказать, что выраженія и ((?п)п, съ увеличеніемъ п, приближаются къ одному и тому же пре- дѣлу, если сей предѣлъ есть опредѣленное количество. (Слсо- три Апаіузе аІ§ёЪгіцие, Гл. VI). Приложивъ теоремы (і) и (2) къ Маклоренову ряду (б) Г(о), ^(о), Г2^(о), и проч.... получимъ слѣдующее предложеніе: 3"я Теореліа. ОзначиліЪ чрезЪ оп кисленную величину, или ллодулв производной функціи Р(Л) (о) , и чрезЪ X предЪлЪ кЪ ко- тороллу непрестанно стрелштсл наибольшая изо величинъ от- ношенія при непрестанноллЪ увеличеніи количества-щ рядЪ (6) будетЪ сходящійся, кое да численная величина, или ліодулв количества х будетЪ ліеное а расходящійся, коеда оная ве- 1 личина, или оный ллодулв превзойдетъ За число X лложно будетЪ взятв величину отношенія , при п—со. ПриліЪрві. Полагая послѣдовательно Г(х)=ех, Е(х) —йіпх, К(х)—созх, Е(х) —7(іЧ-х), Р(х) =:(і+х)^, гдѣ есть количество постоянное, увидимъ что соотвѣт- ствующія величины дроби будутъ, 00 , 00 , 00, I, I. Слѣдовательно , ряды представляемые уравненіями (іб), (17), (і8) (37го урока) будутъ сходящіеся между предѣлами
2 Ю — х — — оо, X 222 4“ оо, то есть, для какихъ ни-есшь величинъ перемѣнной X. Напротивъ того, рядъ , х ц Щц-П , Щц—С(и—2) , Щц—1)-(М—п+1) _ (?) !> і Х1 1.2 Х> 1.2.3 X,... 1.2.3...П Х> И ПРОЧ. и тотъ, который представленъ формулой (20) (37го урока), будутъ сходящіеся при вещественныхъ величинахъ х, только между предѣлами х — I, X “ ф- I. Мы уже замѣтили, что когда х есть величина вещественная, когда количество г заключается между предѣлами о и х, и когда функція (п—і) Является равною нулю при п безко- нечномъ: то сумма ряда (6) равняется Р (х). Изъ сказан- наго же нами въ семъ урокѣ слѣдуетъ, что функція " 2 3<> ,Рп)(г) будетъ равняться нулю, прип~оо, когда, при п неопредѣлен- номъ, оная будетъ общимъ членомъ сходящагося ряда, то есть, когда, по 3"й теоремѣ, численная величина выраженія х — % Р^п~15(й) (.о) п ^п>(г) съ увеличеніемъ п, будетъ приближаться къ предѣлу мень- шему единицы. ПримЪрЪ. Пусть будетъ К(х) “ (і -ф- х),Л, гдѣ іі есть по- стоянное количество. Подставивъ въ выраженіе (8) 0х вмѣсто 2, получимъ выраженіе 1 — 5 ц — п 1 — 9 г р.х х Гфіх ~п~-- Х1 + 9х X1 п>> которое, для возрастающихъ величинъ количества п, будетъ _ 1 — 9 приближаться къ предѣлу имѣющему видъ — х х ; числен- ная величина онаго предѣла будетъ меньше единицы, предпо- лагая Х2< I. Слѣдовательно, при семъ условіи, имѣемъ (9) (і+ху—ін--х4--І?г-ха+-^- 112Х~ ;хЧ- и проч.... Равнымъ образомъ докажется, что уравненіе
2і4 — , . , , чц, __ , Р- .. , О , пСі-ГИц-г) „ , _ (ю) (і+аХ)—1+ -ах-\- а х 4- а’хЧ-и проч.... имѣетъ мѣсто , для вещественныхъ , или мнимыхъ величинъ постояннаго количества а, когда численная величина перемѣн- ной х, будетъ меньше численной величины, или модуля дроби Не должно заключать что рядъ (6) , предполагаемый схо- дящимся, имѣетъ всегда суммою Р(х), и что Р(х) равна нулю, когда всѣ члены сего ряда уничтожаются (*). Въ против- номъ можно удостовѣриться разсматривая функціи Р (х) “ _/Ц’ _ 2 /Ц3 ' е и ^(х)—е х 4-е 'х'; первая не будетъ тожественно равна нулю, не смотря на то, что каждый членъ ея разложенія уничтожается отдѣльно; вторая же, именно Р\х}—е х 4-е \х/» ____________________________________________#2 даетъ по разложеніи рядъ, имѣющій суммою е , а не на- /1 ѵ» — X2 | “*“ ( ) стоящую е 4~е • (*) Переводя сіе сочиненіе, я долгомъ поставилъ себѣ ни вЪ какомЪ случаѣ не от- ступать отЪ подлинника ; по сему сохранено здѣсь сіе замѣчаніе , хотя вЪ справедливости онаго Математики и не соглашаются сЪ г. Коши. Возраженія, сдѣланныя посему предмету Г. ПоассонЪ, можно видѣть вЪВйііеіт сіе ІаЗосіёіё Рііуіотаіі^ие сіе Рагіі, 1822 г. иа стпран. 84 — 85. Прилеганіе переводчика.
УРОКЪ ТРИДЦАТЬ ДЕВЯТЫЙ. О неоппедЪленно-степеннвіхЪ и Логариѳмическихъ мнимвіхЪ бвсраженінхЪ. Употребленіе сихЪ ввсраженій при развісканіи. величинъ опредѣленныхъ и неопрсдѣленнвсхЪ Интеграловъ, Въ 37яъ урокѣ уже доказано, что неопредѣленно-степенное выраженіе Ах (въ которомъ А изображаетъ постоянное, по- ложительное количество , а х перемѣнную вещественную), имѣетъ суммою рядъ состоящій изъ членовъ , . ХІА Х3(ІЛ)3 (і) I, —, — 2-'л —2—Э И проч...., слѣдовательно, для какихъ ни-есть вещественныхъ величинъ х, имѣемъ формулу, (2) Ах— I + —--------1--1.2 ---Г.2.3~~'- и проч. . . . Въ силу же 5"“. теоремы 58го урока, рядъ (і) будетъ сходя- щійся для какихъ ни-есть мнимыхъ величинъ перемѣнной X: то по сему условились распространить формулу (2) на всѣ возможные случаи, и употреблять оную даже при мнимыхъ ве- личинахъ измѣняемой х , дабы составить себѣ ясное понятіе о функціи Ах. На семъ основаніи, легко будетъ вывести, изъ уравненія (2) , различныя замѣчательныя формулы, которыя теперь приведемъ. Полагая въ уравненіи (2) А~ е; получимъ (5) ех~т + и проч........... Изобразивъ чрезъ 2 перемѣнную вещественную, и взявъ х ~ г ~Ѵ — I, уравненіе (3) обратится въ слѣдующее:
— 2іб — ъѴ—1 . аУ — і а2 а3/—г . е — I + ~і---------------Г.2?з—' и ПР°Ч- • • • а2 . а4 /и а3 х --- =1~ п+Г2.3Д-и пр°ч- +(? - ейи проч...;ѵ-іл кошорое даетъ (4) еат/ —1__ СО8 2 у— і.діпг. Такимъ же точно образомъ найдется: (5) е—аУ—і —соз г1—У—і.зіпг; соединяя между собой уравненія (4) и (5)» получимъ: а У — 1 . — г У — 1 25 У — 1 — г У — 1 , ' е -4-е е — е (б) СОЗ 2 — ---> 8іп 2 —---------------• 2 2 У-- I Также, означимъ чрезъ а и Ь двѣ вещественныя постоянныя величины, и возмемъ х — (а —рЪ У —і)г. Въ тавомъ пред- положеніи, вторая часть формулы (3) будетъ изображать не иное что какъ разложеніе мнимой функціи еаг(созЬгфУ—І.зіа&г), получаемое посредствомъ Маклореновой теоремы. Посему , (а+ЛУ—1)а аъ 7 -- . аа ЪхѴ — 1 (7) е ^ге (созог-|-У—і.зіпб2)_е .е Сія послѣдняя формула подобна тожественному уравненію (а+3)а__ аа іа е —е .е ; изъ сего послѣдняго можно вывести, по ана- (а4-5У^І1а аа ЪяѴ^і лопи, уравненіе € ;гзе . е , замѣняя вещественную постоянную величину Ъ, мнимою ЪѴ—I. Легко усмотрѣть, основываясь на формулѣ (7), что уравненіе (8) еи.е> имѣетъ мѣсто для какихъ ни-есть мнимыхъ величинъ пере- мѣнныхъ х и у. Также, сличеніе формулы (2) съ (3), приве- детъ насъ къ заключенію, что при всякой величинѣ х, имѣемъ (9)
— 217 — Изобразимъ теперь чрезъ и и ѵ два количества вещественныя, и будемъ искать различныя величины х, удовлетворяющія двумъ уравненіямъ: (іо) Ах — и-\-ѵѴ—1, (и) ех — и-[-ѵѴ—і. Сіи величины х будутъ изображать различныя лоеариѳмбі, количества и-^-ѵ'У—I, при основаніи А въ формулѣ (іо), и при основаніи е въ формулѣ (іі), слѣдовательно Неперовы логариѳмы въ послѣднемъ случаѣ. Но какъ въ слѣдствіе ура- вненія (д) , логариѳмъ выраженія и -ф ѵ У — I для системы коей основаніе есть А, равенъ Неперову логариѳму того жр самаго выраженія раздѣленному на I (,/ф) , то очевидно, что достаточно будетъ опредѣлить х изъ уравненія (іі). Итакъ, означивъ чрезъ а и @ двѣ величины вещественныя , и поло- живъ —I ВЪ формулѣ (іі), получимъ: а-ррУ—1_- . у ' е — и -ф г» у — і; откуда (въ силу формулы (7)), е СО8/?_к, еЛ8Іп^~т, слѣдо- вательно (і2) е“ = (и’ + У)‘ СО5 @---/(ц3+ѵ2)9 — /(«Ч-г’Ѵ (12) удовлетворяемъ одною только вещественною количества а , именно, полагая а ~ 11 (и? -ф ѵ*). Уравненію величиною Уравненіямъ же (іЗ), удовлетворимъ, когда и положительное всѣми величинами заключающимися въ формулѣ (Ц) ^^.2пяг-}-агс1ап§^, разумѣя подъ п произвольное цѣлое число; когда же и отрица- тельное, тогда величины @ опредѣлятся формулой (і5) @ = (2п-фі) я-фагсГап^. 28
— 2і8 --- Слѣдовательно, выраженіе и ѵ V — I имѣетъ безконечное множество мнимыхъ логариѳмовъ. Простѣйшій изъ сихъ лога- риѳмовъ, полагая и положительнымъ, соотвѣтствуетъ предпо- ложенію п=о, и равняется величинѣ:агс Сію-то величину мы будемъ изображать чрезъ 1(и-}-ѵѴ — і) (смотри Апаіузе аІзёЪгіцие, Гл. IX); посему, для положитель- ныхъ величинъ количества и, будемъ имѣть (іб) /(и-ф-ѵУ — і)=і -|-У — і. агс1ап§^; сей самый логариѳмъ, для ѵ — О, имѣетъ вещественную вели- чину равную 1(и). Изобразимъ теперь чрезъ г ѣел-яч.ѵгну положительную, и чрезъ і вещественную дугу, заключающуюся между предѣлами — уравненіе (17) х_ г(со8іф-У—I. зіп і) — г *, доставитъ слѣдующее: (і8) 2(х) — 1(г) -|- Ь У—I. Формулы, употребляемыя при диффенцированіи веществен- ныхъ неопредѣленно-степенныхъ и логариѳмическихъ выраже- ній, справедливы и въ томъ случаѣ , когда сіи выраженія бу- дутъ мнимыя. И такъ, легко видѣть, что имѣемъ во Iх®. для мнимыхъ величинъ перемѣнной х, (19) И ех — ех А х, (20) во 2ХЪ. для вещественныхъ величинъ перемѣнныхъ х, у, г, и постоянныхъ количествъ а, а, также вещественныхъ, (2і) ае‘+^=і=е’+}У~і(ах+ауу^іу, (22) а I [±(х+/Ѵ^Т)]
— 219 — (24) Л еС«+^-.)^ _ е<«+^-*(-а + ъ у~1)І2. Въ сихъ формулахъ, должно принимать выраженіе, котораго берется Неперовъ логариѳмъ, или съ ф, или съ —смотря по тому, будетъ ли вещественная часть сего выраженія поло- жительная, или отрицательная. Изъ сихъ самыхъ формулъ, непосредственно выводимъ и слѣдующія: ( (^-ВУ=Т)/[±:(х—а—^УГ7)]+С, (25) У . I Рт?^Г =(Л+ву-І)г[±(х-«+^-1)]+с> / р _____ —1)2 \ /е<а+^— ----------=г—|- С, Г2б\ Р а+Ьт/-1_ к Л ,хпе(«+^-і)« ( ж п(п-і) / / зле(а+^—--------=— чі—-------— Н----------— * \ </ . а+Л/—1 С (а-4-Ь/—1)35 (а+б/—1)22>® которыя согласуются съ формулами выведщіными въ 28м* и Зом® урокахъ. Неопредѣленно-степенныя и логариѳмическія мнимыя выра- женія, могутъ быть съ выгодою употребляемы при разысканіи нѣкоторыхъ опредѣленныхъ интеграловъ. Напримѣръ, по вто- рой изъ формулъ (26) видимъ, что можно замѣнить веще- ственное постоянное количество а, мнимою величиною а Ъ У — I въ интегралѣ найденномъ въ 32м® урокѣ. Въ слѣдствіе сего получимъ формулу (27) Г , 4 '' 7 О 1)П-М которая равнозначуща съ одною изъ тѣхъ, кои выведены были въ 32м® же уронѣ, именно съ слѣдующею: 28*
— 220 --- /*00гпе 02 (соз — і . зіпЬг) <іг~ —-,г,31‘'” . •'о —і)?Ч_І Равнымъ образомъ очевидно, что формула (і8) 54го урока, имѣетъ мѣсто и въ томъ случаѣ, когда предположимъ, что функція Е (х) не алгебрическая, аЪпредѢляется послѣдователь- но уравненіями Г(«)=е«'Л гдѣ р, аь г изображаютъ три постоянныя положительныя количества, изъ коихъ первое, заключается между предѣлами О и 2. Въ семъ предположеніи, найдется; , г“ еах>/—1 р «о соважіх ________ (^8) 7 —м і-рх» -------У—«о і-|-х2 ’ (29)/_« <2^«— еах1/_1 Их— 2/о х^-1 зіп (ѵ—ах) <те~а, Лгт \ Г “ (—X /— 1)еаж'|/~1 Ах ___ У—со 1(1—гхѴ—1) 1 ха~~“ У'” віпах.1(1 -Ѣ-гаха)-4-2созааг. агсіап&тя: хАх , іге—а о [р(1-і~^3*аЛаЧ“[агсип8гх]® і(І-р-г)*
УРОКЪ СОРОКОВОЙ. Интегрированіе посредствомъ рядовЪ. Разсмотримъ рядъ (і) ио, щ, иаі и? . . . ил, и проч.... коего различные члены изображаютъ функціи перемѣнной х, непрерывныя между предѣлами Х—Хо и х^2.Х. Помноживъ на Лх каждый изъ сихъ членовъ , и интегрируя потомъ между сими самыми предѣлами, получимъ другой рядъ, составленный изъ опредѣленныхъ интеграловъ (?) I* изах> ипах> и ПР°Ч- • • Сравнивая сей послѣдній рядъ съ рядомъ (і), легко будетъ до- казать слѣдующую теорему. г* Теорема. Положимъ сто предѣлві х0 и X оба конечная количества, и сто рядѣ (і) еств сходящійся, не толвко для састнвіхЪ значеній х — х0 и х — X, но и для всЪхЪ вели- синЪ перемѣнной х, заключающихся между предѣлами хо и X. ВЪ семЪ предположеніи, рядЪ (2) будетЪ также сходящійся; и если изобразимъ чрезЪ $ сулілсу ряда (і): то рядЪ (2) будетЪ имѣтв суммою интегралъ з Лх. Или, сто все равно, ура- вненіе (3) $ — и0 -ф- и, -}- иа 4- и3 4- и проч.... необходимо достпавляетЪ и слѣдующее'.
— 222 — (4) и прон.... Доказательство. Означимъ чрезъ (5) 5п = и04-иІЧ-иг4-....+ип_І сумму п первыхъ членовъ ряда (і), и чрезъ гп остатокъ она- го, начиная отъ пго члена. Получимъ (6) «=». + Г, = “.+“. + “.Н---Ь“»-, + г»> и слѣдовательно (7) !* ^х=/х* Щ&х+Ь*и^х+^ Но поелику въ слѣдствіе формулы (іф), 23го урока, интегралъ іх гп ^х будетъ равенъ произведенію гп (X—х0), соотвѣтствую- щему нѣкоторой величинѣ х, заключающейся между предѣла- ми х0 и X, и какъ сверхъ того, сіе произведеніе, для безко- нечныхъ величинъ п обращается въ нуль въ настоящемъ пред- положеніи: то и очевидно, что полагая въ формулѣ (7) п—со, получится уравненіе (4)* Слѣдствіе Iе®. Поставляя въ формулу (4) ® вмѣсто получимъ слѣдующую : (8) іх*и°ах+?х*и^х^Ь*и^х-^ и проч..., которая справедлива, подобно формулѣ (3), между предѣлами х = хо и х — X. Слѣдствіе 2'®. Положимъ что рядъ (і) есть сходящійся для Х~хо, и для всѣхъ величинъ перемѣнной х, заключающихся между предѣлами х0 и Х~, но дѣлается расходящимся для вто- раго предѣла, то есть для X — X. И въ семъ предположеніи, уравненія (3) и (8) будутъ имѣть мѣсто между предѣлами Хо и X. уравненіе (4) будетъ также имѣть мѣсто, если толь-
— 223 — ко интегралы, входящіе во вторую его часть, будутъ сами составлять рядъ сходящійся. Дѣйствительно, легко видѣть,, что при семъ условіи , обѣ части уравненія (8) будутъ изо- бражать функціи перемѣнной х, непрерывныя въ сопредѣльно' сти частнаго значенія х _ X (смотри. Апаіузе а.І^ёЪгідие, на стран. іЗі) ; предполагая же что х приближается къ сему предѣлу X, и наконецъ дѣлается оному равнымъ,, подучимъ уравненіе (4)‘ Напротивъ того, уравненіе (4) не будетъ имѣть мѣста , если интегралы , входящіе во вторую часть онаго, будутъ составлять расходящійся рядъ. Слѣдствіе 3’®. Положимъ что рядъ (і) есть сходящійся между предѣлами е^х0 и х — Х-, но дѣлается расходящимся для одного изъ двухъ предѣловъ, или для обоихъ. Означивъ, въ семъ предположеніи, чрезъ и § два количества, содержащія- ся между величинами х0 и X, получимъ уравненіе (д) /^б-б2х=/^иосІх+Д^щс!х-|-/^и3сІх4- и проч.. ., потомъ, предположивъ что |-0 стремится къ предѣлу х0, а § къ X, подучимъ опять формулу (4) > лишь бы только инте- гралы входящіе во вторую часть оной, сами составляли рядъ сходящійся. Сіе замѣчаніе справедливо даже и въ томъ случаѣ , когда одинъ изъ предѣловъ х0, или X, или даже оба въ одно время обращаются въ безконечность. Такъ, напримѣръ, можно взять х0~— со, Х~оо. Слѣдствіе 4'®. Пусть будетъ ий“Лпхк, гдѣ ап изображаетъ коеффиціеншъ вещественный, илИ^ мнимый. Означимъ чрезъ дп численную величину, или модуль количества и чрезъ Л 1 наибольшую величину выраженія при ПЗНОО. Рядъ (і)
— 224 — будетъ сходящійся между предѣлами х— — х~(смотри 3-к> теор. 38го урока). Слѣдовательно, положивъ что х Заклю- чается между сими предѣлами, и взявъ (ю) 5 згз ао 4- а, х 4- а& х2 и проч.. .., получимъ /*Х - X® X® (ц) / 7+^3 + и проч.... Сіе послѣднее уравненіе будетъ имѣть мѣсто (смотри 2-« слѣд- ствіе) даже для частныхъ Значеніи х — —ХГ7Г4~Х> если только сіи частныя величины не обратятъ рядъ аох, | а, х2, | а2 х3, и проч. въ расходящійся. Посредствомъ изложенныхъ въ семъ урокѣ правилъ, можно будетъ разложить многіе интегралы въ сходящіеся ряды, которые доставятъ величины для сихъ интеграловъ до такой степени точности, какой пожелаемъ. Въ этомъ и состоитъ способъ Интегрированія посредствомъ рядовЪ. Сей способъ съ удобностію можетъ быть приложенъ къ разложенію въ ряды различныхъ функцій. Для сего, чаще всего, функцію выражаютъ посредствомъ опредѣленнаго интеграла, который уже потомъ, разлагается въ рядъ по изъясненнымъ правиламъ. ПримЪрвс. Для разложенія въ ряды функцій /(і-рх), агсѣап^х, агс зіп х, употребимъ слѣдующія формулы; г(і4-х)=/оХТ^, агс гап§ х ~У^Х агс зіп х = /х (і — х2)~^х; поелику же, между предѣлами х“—I, я;“4-’І» имѣемъ: I — х 4- ха — и, проч. . .. 1 __ 2 14 --I — х24- х4 — и проч. . . . г і__ і 1 2 . 1*3 . 1.3.5 - (і—X1) — і4~і« 4-Г4Х 4-2лТбх Н- и ПР04--• •>
— 225 то и найдемъ, между сими самыми, предѣлами, посредствомъ интегрированія по рядамъ, ( 1(і-\-х)~х— у + у—ипроч..»л (12) < агсіап$х“х—у-фу— и проч.... Я 4 л*3 Л о 4 Я С м7 ” { агс8Іпх=г®4-2.у+у4--5-+у47ё*у4- и проч. Полагая въ уравненіяхъ (і2)х22іТ, получаемъ ряды сходящіеся; слѣдовательно имѣемъ (слѣдствіе 2‘е), Г I (2) “ і— 5 4“ — и проч. ... х _х ) іг 1 1 (іЗ) < 7-і-3 + 5- и проч. ... / -7Г 1 1 | 1.3 1 1.3.5 1 , V 2=і+і-з+2Т4-5+і4^-7+ И проч.... Легко доказать (смотри Апаіузе аІ§сЪгіцие , на стран. ібЗ), что два сходящіеся ряда, простирающіеся по возрастающимъ и цѣлымъ степенямъ перемѣнной х, не могутъ имѣть суммъ равныхъ для весьма малыхъ величинъ сей перемѣнной, если коеффиціенты при одинакихъ степеняхъ X не равны между собою въ обоихъ рядахъ. Изъ сего замѣчанія, совокупно съ 5'ю теоремою (38го урока), слѣдуетъ, что если два ряда будутъ сходящіеся, и будутъ имѣть одинакія суммы для Величинъ х, заключающихся между предѣлами — г, -ф г [полагая что г означаетъ величину положительную] : то они удовлетворятъ сему же самому условію при тѣхъ мнимыхъ величинахъ х, для коихъ модуль будетъ меньше г. Основываясь на сихъ за- мѣчаніяхъ, легко вывести слѣдующую теорему. 2‘я Теорема. Положимъ хто функціи /фг, г) и 04) г) йг 29
— 225 — моеутЪ бвітв разложены, посредствомъ Маклореновой теоремвь вЪ рядвс сходящіеся, простирающіеся по возрастающимъ и цѢлвімЪ степенямъ перемѣнной х: для вещественнвіхЪ вели- чинъ г, содержащихся между предѣлами %о т. 2, и для вели- чинъ х, заключающихся между предѣлами —г, -|-г; если для мнимвсхЪ веліссинЪ х, суммві сихЪ рядовЪ будутЪ, какЪ и прежде, равнятися функціямъ /(х, г)? Р(х): то уравненіе (іД) будетЪ имѣтв мѣсто при всдкой мнимой величинѣ х, коей модулв будетЪ менѣе г. ПримѢрЪ. Такъ какъ, при какой ри-есть величинѣ, и, имѣ- емъ і г 05 —х2 , /•00 — (х-Нс)* , —х’г» —х® , — 2хх 2ххч , я ]-те аъ~е 10 с ^"е и слѣдовательно Р «а е агхѵ г (і5) /о е (------------)(І2."%я е > то посему , замѣняя, величину х количествомъ х V — I, по- лучимъ : /оо __а2 » _х9 е ,со82гх.аг — Сія послѣдняя формула, найденная Г. ЛапласомЪ > весьма по- лезна при рѣшеніи многихъ задачъ.
ПРИБАВЛЕНІЕ СОЧИНИТЕЛЯ. По напечатаніи сего сочиненія, я усмотрѣлъ, что помощію весьма простой формулы, можно привести къ дифференціаль- ному изчисленію рѣшеніе многихъ задачъ, которыя были от- несены къ интегральному. Сперва я приведу сію формулу; потомъ покажу главныя приложенія оной. Въ урокѣ 7МЪ было доказано, что ежели функціи у*(а?) и УУ/г) будутъ непрерывныя между двумя предѣлами и эс~Х-. то изобразивъ чрезъ 0 число меньшее единицы, будемъ имѣть формулу Совершенно подобнымъ образомъ, можно будетъ доказать и слѣдующую: , X —У Г*о + гго)] О) ^(А)—Р(ха) — 7?'[ХО4- е (А — ;го)]’ гдѣ 0 означаетъ, какъ и выше, число меньшее единицы, а Р(х^ такую функцію перемѣнной гг, которая, или постоянно воз- растаетъ , или постоянно уменьшается отъ предѣла х — хо, до предѣла и остается непрерывною, вмѣстѣ съ ея производною Р (л1), между сими самыми предѣлами. Можно также прямо доказать формулу (і), основываясь на правилахъ изложенныхъ въ 6®ь урокѣ (стр. 28)» Дѣйстви- тельно, изъ сихъ правилъ слѣдуетъ, что въ настоящемъ пред- положеніи, функція Р(х) будетъ постоянно удерживать одинъ и тотъ же знакъ для всѣхъ величинъ X, отъ х — х0 до х “ X. 29*
— 228 — Слѣдовательно , если изобразимъ чрезъ А и В наибольшую и наименьшую изъ величинъ , которыя отношеніе способно принять между сими предѣлами: то оба произведенія останутся постоянно положительными, или постоянно отри- цательными , между тѣми же предѣлами х _ гг0 и х — X. Слѣдовательно, обѣ функціи /(х)-ЛОД, ВГ(х)-/^), коихъ производныя равны двумъ вышеприведеннымъ произве- деніямъ, будутъ въ одно время, или возрастать, или умень- шаться, отъ перваго предѣла до втораго. И такъ, разность между крайними величинами первой функціи, именно, /(X)-/(х0) - А [Т (X) - Г (х0)], и разность между крайними величинами другой, именно, в [р т - р (х0)] - і/т -№)], будутъ два количества съ одинакими знаками; отсюда заклю- чаемъ, что величина разности /(Х)-/(х0) будетъ заключаться между величинами двухъ произведеній а дробь ад-^’(хо)г между предѣлами А и В. Поелику же предполагается, что обѣ функціи (х) и Р/ (х) суть непрерывныя между предѣлами х “ хо, х т X: то посему , всякое количество, заключающееся между величинами А и В, будетъ равно выраженію вида /'[><>-М (X—-х0)] {X — х0 )} Г
229 — гдѣ ф означаешь число меньшее единицы. И такъ, необходимо будетъ существовать такое число которое, будучи менѣе единицы, удовлетворитъ уравненію (і), что и слѣдовало до- казать. Полагая Х~х0-\-к} уравненіе (і) приметъ видъ; , /(хо+^)~/(хо) /' (х0 + X2/ Р(хо + Н) — Р{ха) ' р\хо.+ ^у Сіе послѣднее уравненіе, заключающее въ себѣ, какъ частный случай, уравненіе (б) 7го урока , можетъ быть приложено къ рѣшенію многихъ замѣчательныхъ вопросовъ, что мы теперь вкратце покажемъ. Положимъ сперва, что обѣ функціи /(л^) л Р(х) уничто- жаются ири х~ха; возмемъ для краткости ^к—^к^ Въ семъ предположеніи, формула (2) даетъ / (Хр+Й)_/ (Х.-М1) V*' Р{х^) — р\хо+^ гдѣ кі есть количество имѣющее одинакій знакъ съ Л, нечис- ленную величину меньшую численной величины сего самаго количества к. Еслибъ всѣ функціи Я*)> 7(х), Л(х)......... Г(х), К(х), Г/(х),....Г<’—>(х), уничтожались при Х~ХО и оставались непрерывными, равно какъ и функціи /(п) (х) и (х) , между предѣлами х~х0, Х“х04^ шо, предполагая что каждая изъ функцій Р (х), Р%х), Р'\х) ... Р^> (х) - увеличивается, или уменьшается отъ перваго предѣла до вто- раго, и означивъ чрезъ к1, Ь2,... кп количества съ одинакими знаками, удовлетворяющія условіямъ А, > &3 > . .. > Ад, полу- чимъ сверхъ уравненія (3), рядъ подобныхъ уравненій, именно: / / х Яхо+Л) _/Тхо+Л0 ^/"(хо+А3) _ Сп}(Хо-+-Л„) Ш Р,хо-Уі} — ^'СхоН-Ах; — Р'\ха-+/1а)-~ • • • — 2ЛП)
— 230 Сравнивъ въ формудЪ (4.) только двѣ крайнія дроби, и Замѣ- нивъ величину Нп произведеніемъ 07і, получимъ: А)__/^п}(хо -4- 0Л) К5) хо -НН) Л п)(хо -+- №) "> гдѣ (^означаетъ, какъ и выше, число меньшее единицы. Нако- нецъ , подставимъ въ уравненіе (5), вмѣсто конечнаго количе- ства А, другое безконечно-малое' і; будемъ имѣть , . / (хо -4- ?) і ^{хо ч- V®/ Р^хо -4- г) Лп\хо -4- в і)' Полагая въ формулахъ (5) и (б) , Р(х) — (х — Х0)л, най- демъ Р(л) (х) ~ I і2.3. • . .п, и слѣдовательно / ч /в) (хо + ОА). Гйч \7) /іп 1.2.3....П ’ Іп 1.2.3...В • Сіи послѣднія уравненія равнозначуіци съ формулами (4) и (5) (і5го урока), и совершенно подобны формуламъ (і7)и(і8) (36го урока). Оныя съ удобностію могутъ быть приложены къ разысканію наибольшихъ и наименьшихъ велиѵинЪ, а так- же и къ опредѣленію истинныхъ значеній дробей представ- ляющихся въ видѣ Впрочемъ, для рѣшенія сей послѣдней задачи, по большой части, достаточно будетъ формулы (б)» Дѣйствительно, положимъ, что оба члена дроби Лу) Лх) и ихъ послѣдовательныя производныя , до производной п — I порядка, уничтожаются для Х_ХО. Формула (б) вообще бу- детъ имѣть мѣсто для весьма малыхъ численныхъ величинъ количества і, ибо, чаще всего, каждая изъ функцій К(х), Г(х), Г/г(х).........Г<л-Т)(х) будетъ непрестанно возрастать, или уменьшаться , начиная отъ частной величины X ” х0 , до другой величины , весьма мало разнствующей отъ хо; посему, полагая въ формулѣ (б) і безконечно-малымъ, получимъ
'шнйй 2» 5 X . . і(Хо/[п) («„-МО—/"1 (х0> (9) пР- Р{хй + і)—‘ ПРч*Ѵ(х0 4- «О —рСп)(Жо)« Поставляя въ формулу (7) нуль вмѣсто Хо, также' букву вмѣсто /і будемъ имѣть ля. (іо) (А) —і.2.3 — (п) (0&)• Замѣтимъ, что сія послѣдняя формула имѣетъ мѣсто въ томъ предположеніи, что функціи гда, / да, /чч....... всѣ непрерывныя, начиная отъ предѣла к ~ о, и всѣ уничто- жаются, за изключеніемъ функціи ^(п) (/і), для к “ О. Изобразимъ теперь чрезъ /(х) произвольную функцію пе- ремѣнной х, но такую, что функціи /(х + к), /(х + /г), //Х(х А), . .. ./<п) (х-Н к), всѣ остаются непрерывными относительно къ к , начиная отъ /і“О. Помощію формулы (іо), легко будетъ изъ у(х-\-1і), дли, что все равно, изъ разности У(х -4- к)—У(р^)» извлечь рядъ членовъ, пропорціональныхъ цѣлымъ положительнымъ степенямъ количества к; дѣйствительно поелику разность У (х к')—/(х)принимаемая за функцію количества Л, уничтожаетсй при к 223 о, и какъ производная перваго поряд- ка сей разности относительно къ к равняется У' (х -|- А): то очевидно что формула (іо) обратится въ слѣдующую: (іі) І(хРгк)—У(х)—^у/(х-\-&к)і когда въ оной вмѣсто ф (к), поставимъ /(х-|- к)—У(х), и по- ложимъ сверхъ того I. Ежели во второй части послѣдняго уравненія, положимъ 0 — О; то получимъ членъ рУ^х), и вычтя оный изъ первой части, остатокъ будешь новая функція количества к> именно:
— 232 — Поелику сія нрвая функція количества Л, уничтожается при Н — о, равно какъ и ея производная перваго порядка , и какъ сверхъ того, ея производная втораго порядка есть функція /"(х-ф/г): то взявъ ф (К) — /(х ф- Ъ)—/(х)—у /(х)> и поло- живъ п — 2, получимъ, въ слѣдствіе формулы (іо), Л Л2 (12) Дх + Ь) — / (х) — Т / (х) — 7<(х 4- е к). Ежели во второй части уравненія (і2), положимъ, какъ выше, 0 ~ О, то получимъ членъ и вычтя оный изъ пер- вой части, остатокъ будетъ третья функція количества к9 именно,: А Л2 Дх + А) -Дх) - гл (х) - пгГСх). Поелику же сія третья функція количества Н уничтожается при 1г ~ о, равно какъ и ея производныя перваго и втораго порядковъ, и какъ сверхъ того ея производная третьяго по- рядка есть функція (х -ф /і): то взявъ ^)“/(іфй)—• А А2 Дх)--- -ф (х)-- 172/ Х (Х)’ И ПОЛОЖИВЪ П — 3, получимъ, въ слѣдствіе формулы (іоД (15) Дх+Ь) -Л*)-?Л (*)- (х)=пЧГЧх+еЧ; и проч. Продолжая далѣе точно такимъ же образомъ , выве- демъ формулу 7, Л* 04) /(х + Л) _/(х) -|Г(х) - пГ(х)-------- - (х+«/.), которая совершенно подобна уравненію 36го урока. Если
— 235 — въ сей формулѣ положимъ х — о, поставимъ .х вмѣсто Л, и р вмѣсто/ (разумѣя подъ Р(х^ произвольную функцію перемѣн- ной х), то найдемъ: Сіе послѣднее уравненіе совершенно подобно формулѣ (ц) (36го урока). Впрочемъ, оную можно и прямо доказать слѣ- дующимъ образомъ. Пусть Р (х) будетъ какая-либо функція перемѣнной х, а 2У (х) цѣлая алгебрическая функція степени и—і, удовлетво- ряющая условнымъ уравненіямъ еу (о) = Р (о), е/(о) = Р' (о), еу" (о) Г" (о), и проч.... ЕУ^” (о) =2 Р<п~ІІ (о). Функція же ЕУ(я) (х) очевидно будетъ равна нулю. Подставляя теперь, въ формулу (іо) , х вмѣсто й, также Р (х) — ЕУ (х) вмѣсто / (х), получимъ ; (Іб) Р(х)-®(х) = 17^;Г<«>(«х); но какъ въ ідиъ урокѣ было доказано, что (17) »(і=)=ет(0)+г^(о)+Й®//(0)+"-+— =Яо)+’^(о)+ЙР'/(°)+---+гТІ^=оР"-',(о): то и очевидно, что формула (іб) доставляетъ уравненіе (і5). Замѣтимъ, что когда вторыя части уравненій (іД) и (і5) будутъ приближаться къ предѣлу нуль для возрастающихъ величинъ количества п: шо въ такомъ случаѣ, можно изъ сихъ уравненій вывести Тейлорову и Маклоренову теоремы. Полагая въ формулѣ (8) Х0~О, получимъ: , /(і) —/6х)<*П (Ло/ іл ~~ 1.2.3...и* Сія послѣдняя формула имѣетъ мѣсто въ томъ предположеніи, чшо функціи Зо
— 254 — /(>), /(>)» ГЧО............./'"’Ѳ. непрерывны для весьма малыхъ численныхъ величинъ количе- ства і, и сверхъ того, что онѣ всѣ уничтожаются, за изклю- ченіемъ послѣдней, для і о. Въ такомъ случаѣ и отношенія /(О /(О /(О 2 9 ,2 > • • * ,71—I » которыя соотвѣтственно равны выраженіямъ вида /'(«О 1 > 1.2 ’ * ’ ’ 1.2.3...(п — 1)’ всѣ уничтожаются, при і — о. Слѣдовательно, когда і и /(Г) будутъ изображать два количества безконечно-малыя: то от- ношеніе ІП будетъ первое изъ неуничшожающихся въ ряду членовъ гео- метрической прогрессіи (ід) ~9 -~іа-9 ~іГ9 И проч..,. если только функція /^п) (о) будетъ также первая изъ неуни- чтожающихся' въ ряду количествъ (2о) До), /(о), //Х(о), />), и проч.... Прибавимъ, что въ настоящемъ предположеніи, выраженіе " /Ы (о) 1.2.3...п будетъ изображать (въ слѣдствіе формулы (і8)) истинную величину дроби соотвѣтствующую частному значенію і ~ о. Сказанное предъ симъ, приводитъ насъ къ раздѣленію без- конечно-малыхъ количествъ на различные классы. сего, изобразимъ чрезъ і весьма малое число, и чрезъ /(і) функцію п . х • г /(О /(О сего числа. Разсмотримъ двѣ слѣдующія функціи: предположивъ, что п есть цѣлое число, большее нуля. Если,
— 235 — при і — о, рг^т— о, а^-ізгсо: то мы назовемъ / (і) безконеч- но-малою величиною пго класса. Если же послѣдняя функція, пю есіль^г, при і —о, будетъ какая нибудь опредѣленная величина: то / (і) именуется безконечно-малою величиною пго порядка-, такъ что безконечно-малая величина пго порядка бу* детъ, нѣкоторымъ образомъ, предѣлъ безконечно-малой вели- чины иго класса. Такъ, напримѣръ, ѣап§(і2) будетъ безконечно- . Іапг(гз) малая величина о класса; ибо, при г — о, —— — О, а іап& (гі) . —р— — оо. Функція же і:ап§(^ есть безконечно-малая вели- • . Іап^ (г3) (апд' (г3) чина 3го порядка, ибо, при і ~ о, —— — о, а —р—— I. условившись въ сихъ опредѣленіяхъ, легко вывести, въ слѣд- ствіе изложенныхъ правилъ, слѣдующія предложенія: і'я Теорема. Если изобразимъ чрезЪ / (і) безконечно-малое количество пТО класса: то перввій изЪ неуничтожающихся чле- новъ ряда (20), будетЪ членЪ /(п) (о), которвій вЪ семЪ предполо- женіи обратится вЪ безконечноств. Если же членЪ /(п)(о) имѣетъ какую-либо опредѣленную величину, разнствующую отЪ нуля: то / (і) будетЪ безконечно-малое количество пго порядка. ,2*я Теорема. Если изобразимъ чрезЪ /(і) безконечно-малое количество пТО класса, и положимъ, что функція / (х) и по- слѣдователвнвія ея производнвия, до производной пТО порядка, всѣ непрервівнві, между предѣлами х — о, х — й: то получимЪ формулу вЪ которой т люжетЪ изображатв число менвшее, или равное количеству п. Зо*
— 236 — Если въ послѣднее уравненіе поставимъ і вмѣсто к, также п вмѣсто т : то получимъ формулу (і8). Посредствомъ сей послѣдней, легко вывести слѣдующую теорему: З'я Теорема. Пуств / (і) будетЪ безконечно-малое количе- ство пТО порядка. Сіе количество перешЬнитЪ знакЪ влбЬстЬ сЪ і, если п будетЪ число нечетное, и постоянно будетЪ имЪтв одинЪ итопгЪже знакЪ сЪ количествомъ когда п будетЪ четное число. Въ сей послѣдней теоремѣ, подобно какъ и въ формулѣ (і8) предполагается, что функція /(г) и ея послѣдовательныя произ- водныя, до производной пго порядка, остаются непрерывными относительно къ і, въ сопредѣльности частной величины і~о. Если бы сіе условіе не удовлетворялось, то количество /(л)(о) могло бы имѣть нѣсколько величинъ; и если сіи величины не всѣ съ одинакими знаками, то 3"я теорема не будетъ имѣть мѣста. Сіе случится, напримѣръ, для безконечно-малаго коли- чества /(г) — У Въ семъ предположеніи , производная Г (0 =7^) будетъ имѣть разрывъ непрерывности при і“о, и получитъ двѣ величины, именно, -|-І и — I, смотря по тому, будетъ ли количество і положительное , или отрицательное. Впрочемъ, очевидно, что выраженіе У (У), которое можно принимать за безконечно-малое количество перваго порядка, удерживаетъ постоянно положительный знакъ, будетъ ли количество і по- ложительное , или отрицательное. То же самое должно разу- мѣть и о безконечно-маломъ количествѣ У (У), которое мож- но принимать за безконечно-малое количество третьяго по- рядка, и проч. . . . Помощію г* теоремы, легко будетъ судить, къ какому клас- су, или порядку относится данное безконечно-малое количе-
— 207 — ство. Такъ, напримѣръ, посредствомъ сей теоремы, увидимъ, что изъ четырехъ слѣдующихъ функцій: гТТу, 0), Л біпЬ первыя три изображаютъ безконечно-малыя количества пер- ваго класса, а послѣдняя, безконечно-малое количество перваго порядка. Такимъ же точно образомъ увидимъ, что изъ четы- рехъ функцій ’ •’ • □ • Д-у, I , 81П I, I СО8 I, первыя двѣ изображаютъ безконечно-малыя величины втораго класса, а двѣ послѣднія, безконечно-малыя величины втораго порядка; окажется также, что изъ трехъ функцій і > і з і зіп г, первая есть безконечно - малое количество третьяго класса, а двѣ послѣднія, безконечно-малыя количества третьяго порядка; и такъ далѣе. Когда безконечно-малое количество пто класса, или пто по- рядка помножится на величину постоянную, или на такую функцію количества і, которой предѣлъ есть величина опре- дѣленная, разнствующая отъ нуля: то въ такомъ случаѣ, оче- видно , получимъ въ произведеніи безконечно-малую величину того же самаго класса, или порядка, именно, пго. Легко также доказать, что безконечно-малыя количества высшихъ классовъ имѣютъ численныя величины меньшія, про- тивъ численныхъ величинъ безконечно - малыхъ количествъ низсшихъ классовъ. Дѣйствительно , изобразимъ чрезъ (і) и 2 (і) два безконечно-малыя количества, первое йго класса, второе тго; и положимъ пг < п. Очевидно, что изъ двухъ ( „ Ч> (О Г (0 , дробей —(-пз ~ійГз одна только первая обратится въ нуль, при і ^22 о; слѣдовательно отношеніе будетъ также стремиться къ нулю; а »для сего необходимое условіе есть то, чтобы чи-
— 238 — сленная величина числителя сей дроби, была менѣе численной величины ея знаменателя, ибо самая дробь должна быть менѣе единицы. Докажемъ наконецъ слѣдующую теорему: 4’л Теорема. Изобразивъ ѵрезЪ і и /(і) двѣ величины без- конесно-ліалвія, окажется, ъто отношеніе , . /о) (22) при і~о, будетЪ илЛтв, или одну велиѵину равную нулю, или нЪсколвко велисинЪ, между которвіліи необходимо будетЪ за- клюсатвся величина сего отношенія равная нулю. Доказателвство. Очевидно, что достаточно будетъ дока- зать 4‘ю теорему только въ томъ случаѣ , когда производная функція (і) обращается въ нуль вмѣстѣ съ функціей /(і), при і ~ о; ибо отношеніе у^7)> в° всякомъ другомъ предполо- женіи , будетъ равно нулю , по причинѣ. , что /(ъ) ~ о, для ІШО. Но если также то дробь представляется въ неопредѣленномъ видѣ Когда функціи У(л) и/^і) будутъ обѣ непрерывныя относительно къ і, въ сопредѣльности частнаго значенія і ~ о: то легко будетъ доказать , помощію т г о\ • /<°) с формулы ^Іо^, что отношеніе уцёі) обращается въ нуль въ на- стоящемъ случаѣ. Дѣйствительно, при такомъ условіи, выво- димъ изъ формулы (і8), полагая въ оной п~ I (23) /0 =. и слѣдовательно (24) 1 у(і)’ разумѣя подъ 0 число меньшее единицы. Положимъ теперь, что въ формулѣ. (24), численная величина количества і умень- шается до безконечности. Такъ какъ, въ настоящемъ пред-
— 239 — положеніи, (о) ГГ о , то легко видѣть, что изъ двухъ функ- цій (0 і) и (і), первая будетъ стремиться къ нулю ско- рѣе нежели вторая, ибо произведеніе заключается меж- ду двумя предѣлами о и і. Слѣдовательно , всѣ величины дроби .?(«/) 1 Пі) 5' (М) по будутъ менѣе единицы , а величины произведенія , весьма мало будутъ разнствовать отъ нуля. Посему предѣлы, или одинъ изъ предѣловъ величинъ дроби .ГС*О_. ЛО 1 ш будетъ равняться нулю. Примѣчаніе Г®. Легко удостовѣриться въ справедливости 4'“ теоремы въ разсужденіи слѣдующихъ функцій: . -(‘Г • і зіп г, і —• соз і, е 2 , і зіп , и проч.... Сія самая теорема справедлива даже и въ томъ случаѣ, когда функція /(і) будетъ только вещественною и безконечно-малою, при опредѣленномъ знакѣ количества і; можно сіе видѣть, при- нимая послѣдовательно за функцію /(і), одну изъ слѣдуюіцихъ: _і -Г* У I (і), ѵ (і), е 2, е ',27 , и проч. ... изъ которыхъ Iя, 3я и 4я не будутъ изображать безконечно- малыхъ количествъ, а 2я , обратится въ мнимую величину, при і отрицательномъ. Наконецъ, сія теорема можетъ быть справедлива, когда функція /7 (і) дѣлается прерывною, для і>~0. Такъ, напримѣръ, полагая (25) /(»)=: увидимъ, что производная функція (2б). /((») = 5ІП* — у СОЗ у , дѣлается неопредѣленною, слѣдовательно прерывною, при і~о; отнотеніе (22), опредѣляемое посредствомъ уравненій (25) и (2б), то есть
— 2До ---- , А ЛІ> — 1 (27у /(6 і і ’ I—7СОІ7 для і о } имѣетъ безчисленное множество величинъ , изъ коихъ одна будетъ равна нулю. ПрилсЬтаніе 2 е. Положимъ, что функція /(і) и ея произ- водныя, до (п — і)го порядка, всѣ непрерывны относительно къ і, въ сопредѣльности частнаго значенія і“о, и что сверхъ того, количества (28) /(О), г (о), /"(о),........../‘—'(о), всѣ уничтожаются. Когда станемъ уменьшать количество і до безконечности, то каждое изъ отношеній , . /(Л У(?) /"(/) */»-. )(П <2э; ухг)’ • • • • 7?йП7Г’ будетъ стремиться къ одному предѣлу , или къ нѣсколькимъ предѣламъ, изъ коихъ одинъ будетъ равенъ нулю; слѣдователь- но также и произведеніе всѣхъ сихъ дробей, именно /г, ч -НО' О) будетъ приближаться къ тому же предѣлу нуль. То-же самое должно разумѣть и о произведеніяхъ х У: (0 X1) (г)’ /Си) (і) ’ • • • • » получаемыхъ чрезъ умноженіе нѣкоторыхъ изъ дробей (2д), однѣ на другія. КОНЕЦЪ.
ПРИМѢЧАНІЯ ПЕРЕВОДЧИКА. Примѣчаніе I. Положимъ что дроби а' а^> Ъ'\ ь',л Ь'"9 * • ’ Ж» по порядку ихъ величинъ, Ь\ Ъ", Ъ'" ... поставлены тели оныхъ будетъ и что всѣ знамена- имѣютъ одинакіе знаки; посему по а' _ . а! О(П) а' У у Д(п> > У а' а!' в(»> а V < V > а! ' а'" 0(п) а'" Ъ'< Ь"' і(П) > а' а(п> а(п) . а(п> Ъ' < &(п) — ЬМ’ уничтоженіи знаменателей, выйдетъ: а? Ь' — а7 Ъ' Ь' > а' № а'У'<а" Ь' Ъ"> а7/Ъ^ а/Ъ"/<а"'Ѵ а^Ьм^а/г/Ъ(пі • • • • • • • 4 • » а/Ъ{п}<.а{п)Ь‘ а^Ъ^—а^Ъ^. Сложивъ сіи послѣднія неравенства, получимъ два слѣдующія , а гшо- рое на Ь(п) (У 4~ Ъа/ : а' а' -\-а" 4- Ь(л)), имѣемъ: а<п> «<«> Ып> < Ъі
а* -р а." -р а"' -Р ... -р - И такъ, дробь у у/ _|_ 6'" р_____р^п> будетъ болѣе наименьшей, „ - „ а.' а.'г а!" а(п) и менѣе наибольшей изъ дробей , #0* • • • ^п); слѣдова- тельно, оная выразитъ среднюю между сими дробями. И Р И М ѢЛА н I Е II. Должно доказать, что имѣя , X « Ь с _ Са) х у ' ъ ~ или, что все равно, ах , Ъ у с а х2 ““ у2 а2 будетъ также /і х сяі-орГ-са-г..._____і х ) х2 4- у2 -|- а2 -р... — Для сего, положивъ ах — ах Ъу ~ т . ах с 2 — т7. а х "/(сР -рЬ* + с2р-...) Хі — Хі у1 ~ 7Ц . X® г2 — т7- х2 получимъ: х ах -р Ъ у—Р с'% 4- • • • ах -Р т . ах + т'. ах -р.. . а хз -}-у2 _|_ х2 ~р ... —' х2 -рт . х2 —р т'. №-р . .. ~~ х' Также, уравненія (а\ Даютъ а2 Ь2 с2 х2 у2 »2 * 3 и полагая а2 — а2 Ь2 ~п. а9 с1 — п7. х2 — х2 у"1 — п . X1* г,2 — х2 получимъ: аа-р Ь2 -Р с2 -р ... __ а3.-$- п . а3 -Р пу. а® -р... ___ а2 л-2 + У2 -Р»’4-•.• ~ ж2-Р п.х2-\-п' ,Ж3-Р... — ж2
— 2ДЗ — слѣдовательно а ______________________ т/(а2-4-й2Ч-с5+. х — Ѵ(х3-У-у2~і-х,*-\~.. .)* а Сравнивъ сію послѣднюю величину для - съ величиною опре- дѣляемою уравненіемъ (с) , получимъ уравненіе (Ь) , которое слѣдовало доказать. Примѣчаніе III. Разсмотримъ рядъ количествъ /СЮ> ЛО................................../Сжп-х)> который можетъ быть также представленъ въ такомъ видѣ: (Хд-ХоУЧхо) (х2—хТ\ДхТ) (х3—х2)/(х2) (Л-хп__д)/(хп_д) Хд Хо Х% X} 2 Хд Х2 2 -X—Хдд__д Но какъ, по предположенію , всѣ разности Х1— х0, х2— х,> х3 — Ха, . . . X—хп_____1 имѣютъ одинакіе знаки: то сумма чи- слителей всѣхъ сихъ дробей, раздѣленная на сумму ихъ знамена- (^І Хо'^^Хц —д) телеи, будетъ средняя между величинами дробей------------Хі—Хо----* (Х2—Х-Д/іхД (х3 (X ЗС-л—Т''У(хл—д^ —X—;-----> —-----------» ‘ -------> или> что все равно, средняя между величинами функцій ДхД/(х;), Дх2).../(хя_ которую можно выразить чрезъ /[х0-\-ф(Х—хо)] (разумѣя подъ $ количество положительное, меньшее единицы). Посему получимъ уравненіе (яі-х0)Лхо)+(х2-хі)/(хі)-і-(х3-х2)/(х2)+...4-(Л-хп__д)/(хп_1) г -----------------:------Н-0(Л-Хо)], которое доставляетъ (*. — «.)/,(».) -н (®, — X,)/(»,) + (х3 — хя)/(ха) 4-. .. н- =(Х-»,.)Дхо + ЦХ_».)], что и надлежало доказать.
ЗАМѢЧЕННЫЯ ПОГРѢШНОСТИ сгпран. строк. Напечатано: Надобно поправить. 3. посл. дуаляющимся удаляющимся 8. 4- од^іѣ одни 8. іЗ. однѣ одни 8. 8 сниз. Алгебраическія Алгебрическія 9- з. онѣ они 9- 4- однѣ одни 22. I. Г (г) Г (у) 24- 2 сниз. 5 52 28. 3 сниз. Лу &х Д X Зі. 7. X2 . X*, X2, Х>, 5ь 18. X = кр х — —ір 54- 4- функціи. функціей. 00 — <Х> о 54. 9. > 0°> 00 — ,00', 00 58. 3. /(Л)-(*<,) Х—х0 X—ха 38. 5. 1г 1г 38. 9* х~ х° + /г х — Хо -|- /і 4и і. Да. Дх 47- >4* принимаемыхъ принимаемой 6 2,. і. &у№ ' у^п—. Н. ^у{п——у^ • б7. 8. будя™* полная будетъ полная» или частная 69. 5 сниз. что что. 76. 2 сниз. 4г > 79* ц. ЧШО1 что. 8о. 15. члучаѣ случаѣ. 90. 15. крайнѣй крайней 9і. 4- &™и —
сіпран. строк. Напечатано: Надобно поправить. ю8. 6 сниз. У(х) — Аф(х) /(х) — Аогр(х) п5. 4- & ѳ0 іі 5. 5- 0 120. • • • 0П ! I. 0» — • • • —I і32. 2. постоянныя положительныя і35. 4 сниз. /(х) = ±оо, Гх /(а) = ±оо, і4і. ІО. •/х0 /Х іДЗ. б. порядку, 1 ’ порядку 1 і55. 9 сниз. (аЪ-^-Ъу (ах Ъу1 х) 194- 12. Лх Лх СІ/(х, я) 194 іб. сіх сіх 20б. I I сниз. и. хп~1 і _ 0 п X нхп—1 / 208. б сниз. -і-.С+.х); 1 — Д1Н-0Х/ ’ 212. 3. сходящіеся, СХОДЯЩІЯСЯ , 212. 4- расходящіеся. расходящіяся. 232. 2 сниз. у(п—0 (х)