ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА
КУРСЪ СИСТЕМАТИЧЕСКІЙ
ВЪ ДВУХЪ ТОМАХЪ.
МОСКВА. ‘
Типо-литографія Т-ва И. Н. Кушнеревъ и К°, Пименовская улв| соб. дожъ, 1ѲОЗ.

О ГЛ А В Л Н Н I Е.
ОТДѢЛЪ ПЕРВЫЙ.
Алгебраическія дѣйствія.
Предисловіе..........
Глава I.
Стр, .
, V	Глава IX.
Алгебраическія дроби * .
107
Предварительныя понятія и опредѣленія ............................. 1
Глава II.
Положительныя и отрицательныя количества........................ 10
Глава Ш.
Цѣль алгебраическихъ дѣйствій.— Законъ Ганкеля.— Сложеніе и вычитаніе ............................ 17
Глава ІѴ.
Умноженіе  ..................... 34
Глава V.
Дѣленіе  ....................... 51
Глава VI.
Разложеніе на множителей.—Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами ......	69
Глава ѴП.
О дѣлимости на биномы х а. — Основаніе способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ ................... 77
Глава ѴШ.
Общій наивысшій дѣлитель и наин. кратное............................93
Глава X. Возвышеніе въ степень............120
Глава XI.
Извлеченіе корня (общія правила) . 126 Глава ХП.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ..............130
Глава XIII.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ .............  159
Глава XIV.
Объ ирраціональныхъ числахъ. . . 170
Глава XV.
Объ ирраціональныхъ выраженіяхъ . 186 Глава XVI. Степени и корни съ дробными и отрицательными показателями . .	. 199
Глава XVII.
Замѣчательныя формы алгебраическихъ выраженій..................  209
ОТДѢЛЪ ВТОРОЙ.
Уравненія и неравенства первой степени.
Глава XVIII.
Уравненія первой степени съ одппмъ неизвѣстнымъ .....................221
Глава XIX.
Уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными......................245
Глава XX.
Рѣшеніе системы трехъ уравненій съ 3 неизвѣстными.......... .	. 258
Глава XXI.
Рѣшеніе системы уравненій первой степени съ какий^ъ угодно числомъ неизвѣстныхъ......................266
Глава XXII.
Составленіе уравненій со многими неизвѣстными......................277
Глава XXIII. Теорія пропорцій.................283
Глава XXIV. Неравенства первой степени. . . . 300
Глава XXV. Изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. , . . 331
Глава XXVI.
Изслѣдованіе уравненій первой степени съ 2 неизвѣстными ...... 359
Глава XXVII.
Неопредѣленный анализъ первой степени..........................  385
ОТДѢЛЪ ТРЕТІЙ,
Уравненія и неравенства второй и высшихъ степеней.
Стр.
Глава XXVIII.
Мнимыя величины и дѣйствія надъ ними ............................  414
Глава XXIX.
Геометрическое представленіе мнимыхъ величинъ...................	. 421
Глава XXX.
Рѣшеніе квадратныхъ уравненій . . 432
Глава XXXI.
Связь между коэффиціентами и корнями квадратнаго уравненія.........460
Глава XXXII.
Квадратный триномъ................4Я
Глава XXXIII.
Сіпр. Глава XXXV.
Раціональныя уравненія, приводимыя къ квадратнымъ (продолженіе). . 538 Глава XXXVI.
Ирраціональныя уравненія .... 552 Глава XXXVII.
Системы уравненій высшихъ степеней 578 Глава XXXVIII.
Неравенства высшихъ степеней и прраніонаіьныя .......... 502
Глава XXXIV, Раціональныя уравненія, приводимыя къ квадратнымъ.................524
Уравненія; кубичное и четвертой степени.............................594
Глава XXXIX.
' Численные вопросы высшихъ степеней 604 і	Глава ХЬ.
Изслѣдованіе измѣненій нѣкоторыхъ функцій ♦...........................609
1	Глава ХЫ.
; Образцы изслѣдованія вопросовъ : второй степени (24 задачи).........634
і	Глава ХЫІ.
| Махіта и тіпіта въ задачахъ . . 709
ОТДѢЛЪ ЧЕТВЕРТЫЙ.
Анализъ соединеній и его приложенія.
Глава ХЫП.	Глава ХЫѴ.
Соединенія безъ повтореній и съ по-	Биномъ Ньютона..........790
втореніями............. 778
ОТДѢЛЪ ПЯТЫЙ.
Теорія рядовъ и логариѳмовъ.
Глава ХЬѴ.
Прогрессія ариѳметическая .... 810 Глава ХЬѴІ,
Прогрессія геометрическая . . - . 814 Глава ХЬѴІІ.
Элементарная теорія рядовъ . . . 834 Глава ХЬѴІІІ.
Формула бинома для всякаго показателя ............................852
Глава ХІЛХ.
Логариѳмы...............  •	. . 866
Глава Ь.
Вычисленіе логариѳмовъ посредствомъ рядовъ...................  876
Глава Ы.
О десятичныхъ логариѳмахъ,—Таблицы .............................885
Глава ЫІ.
Приложеніе логариѳмовъ къ рѣшенію показательныхъ уравненій и къ финансовымъ операціямъ..............896
ОТДѢЛЪ ШЕСТОЙ.
Непрерывныя дроби и ихъ приложенія.
Глава ЬПІ.
Непрерывныя дроби. .
Глава ЫГ,
. . 922
Неопредѣленный анализъ второй степени........................  950

ПРЕДИСЛОВІЕ.
Выпуская вл свѣтъ 2-е изданіе своею курса элементарной алгебры. авторъ позаботился тщательно исправитъ всякіе случайные недосмотры и промахи, почти неизбѣжные въ первомъ изданіи. Весь курсъ снлонгь былъ внимательно пересмотрѣнъ, причемъ, введены всѣ усовершенствованія и всѣ новинки, какія успѣли накопиться со времени появленія 1-ю изданія. Изложенію, при полной ею ясности и простотѣ,, авторъ старался придать совершенную научную строгость, съ устраненіемъ всякихъ мнимыхъ доказательствъ и недомолвокъ, обычныхъ въ нашихъ ходовыхъ курсахъ. Подъ мнимыми доказательствами мы разумѣемъ такіе пріемы, какъ, напримѣръ, выводъ разложеніи функцій въ безконечные ряды но способу неопредѣленныхъ коэффиціентовъ и т. п. Къ, особенностямъ курса, отличающимъ сю отъ другихъ аналогичныхъ явленій, принадлежитъ широкое развитіе одной стороны дѣла, весьма существенной и, несмотря на то, обыкновенно почти игнорируемой учебниками, именно изслѣдованія вопросовъ 1-й и 2-й степени. Въ связи съ этимъ дано и болѣе широкое развитіе статьямъ о неравенствахъ и объ измѣненіи простѣйшихъ функцій, куда примыкаютъ и элементарные способы нахожденія максимальныхъ н минимальныхъ значеній функцій. Благодаря этому, въ нашемъ курсѣ элементарная алгебра приведена въ болѣе тѣсную связь съ аналитическою геометріею и съ высшимъ анализомъ', читатель исподволь подготовляется къ этимъ высшимъ частямъ математики. Что касается новинокъ, введенныхъ во 2-е изданіе, но і.зъ числа ихъ важнѣе другихъ усовершенствованія въ менадахъ изслѣдованія вопросовъ 2-й степени: я разумѣю яла-
VI
ны Ніирода, и особенно Тартэнвилля. Расположеніе изслѣдованія, предложенное Тартэнвиллемъ, вноситъ- въ это нелегкое дгьло необыкновенную ясность, стройность, порядокъ и относительную простоту. Изъ числа другихъ новинокъ стоитъ упомянутъ: объ особомъ методѣ разложенія на множители симметричныхъ функцій; о новыхъ пріемахъ для отличенія паразитныхъ корней резольвента ирраціональнаго уравненія отъ корней, удовлетворяюгцихъ этому уравненію; о безукоризненно строгихъ доказательствахъ теоремы о тахітипі’ѣ произведенія, данныхъ Дарбу и Гурза; о преданномъ было забвенію, но возстановленномъ въ новыхъ курсахъ» Эйлеровомъ доказательствѣ формулы Ньютонова бинома и т. д. Кромѣ того, прибавлены двѣ новыя главы, изъ коихъ въ одной разсматривается ргьшеніе полныхъ уравненій 3-й и 4-й степени. въ другой—рѣшеніе неопредѣленнаго ур—нІя 2-й степенгг съ двумя перемѣнными.
Количество задачъ значительно увеличено введеніемъ тамъ и сямъ задачъ новыхъ типовъ и, кромѣ того, прибавленіемъ 400 смѣшанныхъ задачъ, носящихъ Характеръ болѣе трудныхъ» упражненій, на которыхъ могутъ пытать свои силы болѣе успѣвающіе и болѣе талантливые учащіеся старшаго возраста.
Такъ какъ авторъ имѣлъ въ виду не только учениковъ, обучающихся въ учебныхъ заведеніяхъ, гдѣ они всегда найдутъ опору въ своихъ наставникахъ, но и такихъ лицъ, которыя обстоятельствами вынуждены готовишься дома, гдгь они по большей части лишены опытныхъ руководителей,—въ виду этого, въ настоящемъ изданіи всѣ задачи снажбены отвѣтами, а болѣе трудныя—и полными рѣшеніями; вслѣдствіе этого, пришлось весг» матеріалъ задачъ соедингітг» въ особыіг томъ. Такимъ образомъ, весг» курсъ раздгьленъ на два тома: I—Теорія; 11—Задачи.
Въ видахъ удобства покупателей каждый томъ продается огпдпільно.
Составы ніел і».
Одесса,
I ноября Х902
. ОТДЪЛЪ ПЕРВЫЙ.
I
АЛГЕБРАИЧЕСКІЯ ДѢЙСТВІЯ.
ГЛАВА I.
Предварительныя понятія и опредѣленія.
1. Ньютонъ назвалъ алгебру	ариѳмепшкой*.
Называя ее ариніетикой, онъ хотѣлъ этимъ выразить, что предметъ алгебры тотъ же, что и ариѳметики,—изученіе чиселъ, слѣдовательно, что алгебра есть какъ бы продолженіе ариѳметики. Называя ее всеобщей, онъ этпмъ самымъ указалъ, что цѣль алгебры заключается въ обойлияш какъ самихъ вопросовъ  о числахъ, такъ и способовъ ихъ рѣшенія.
Возьмемъ задачу: найти два числа, которыхъ сумма равна 105, а разность 15?	*
Рѣшая эту задачу а/жбисеетшческгбнв	мы стали бы разсуждать
такъ: если бы оба искомыхъ числа были равны, то мы нашли бы ихъ, раздѣливъ пополамъ ихъ сумму. Но мы можемъ уравнять меньшее съ большимъ, если къ первому придадимъ 15, и если эту прибавку сдѣлать къ суммѣ обоихъ чиселъ, то результатъ 105 -р 15, иля 120, будетъ ни что пное, какъ удвоенное большее число, которое и найдемъ, раздѣливъ 120 на 2. Итакъ, большее число = 120:2, или 60; а слѣдовательно, меньшее найдемъ, уменьшивъ 60 на 15, что дастъ 45.
Для повѣрки достаточно числа 60 и 45 сложить, чтобы убѣдиться, составитъ ли ихъ сумма 105; повѣрка по отношенію къ разности (15) не нужна, такъ какъ меньшее число найдено вычитаніемъ этой разности изъ большаго.
Можно бы было идти ииымъ путемъ: приравнивая большее число меньшему, можно уменьшить для этого большее число на 15. Если уменьшить 15-ью сумму, то результатъ, 105 — 15 = 90, представлялъ бы удвоенное меньшее число; п слѣдовательно, раздѣливъ 90 пополамъ, нашли бы въ результатѣ меньшее число — 45; а придавъ къ нему 15, нашли бы большее.
Рѣшеніе задачи значительно і/яуэосяшяіся, если искомыя мы обозначимъ буквами, что сокращаетъ рп>чь, а дѣйствія будемъ обозначать зяатлш, что сокращаетъ письмо. Этого рода сокращенія допускаетъ и ариѳметика.
Итакъ, обозначимъ меньшее число буквою х; тогда большее число будетъ
__ о ____
#-р!5, а оба вмѣстѣ составятъ #4-#4-15, или, короче, 2#4-15, что* по условію, равно 105; записываемъ
2# 4"	= 105.
Неизвѣстное слагаемое (2#) опредѣляется вычитаніемъ изъ суммы (105) извѣстнаго слагаемаго (15); слѣд. 2# = 105 —15 = 90. Отсюда # — 90:2 = = 45. Придавъ 15 къ 45, найдемъ большее число.
Отсюда видно, какимъ образомъ введеніе знаковъ для обозначенія дѣйствій, и буквы # для обозначенія искомаго соіфаиюетв и письмо, н этимъ самымъ ускоряетъ рѣшеніе задачи. Чѣмъ сложнѣе задача, тѣмъ важнѣе введеніе этихъ, сокращающихъ запись и рѣчь, знаковъ.
2. Окончательные результаты, полученные нам при рѣшеніи задачи, т.-е. числа 45 и 60, не носятъ на себѣ слѣда данныхъ чиселъ и тѣхъ дѣйствій, путемъ которыхъ эти результаты найдены. Въ самомъ дѣлѣ, по мѣрѣ выполненія дѣйствій, данныя числа замѣнялись новыми; потому-то найденные результаты не даютъ никакого понятія о томъ, какія дѣйсшя и въ какомъ порядкѣ нужно совершить надъ данными числами для полученія искомыхъ. Чтобы это было видно, нужно только обозначать дѣйствія знаками, воздерживаясь отъ всякихъ вычисленій. Поступая такъ въ предыдущей задачѣ, мы нашли бы для меньшаго числа выраженіе
изъ котораго можно заключить, что для нахожденія меньшаго числа нужно изъ заданной суммы вычесть данную разность и остатокъ раздѣлить на 2. Но чтобы такая	формула служила отчетливымъ выраженіемъ правила
для рѣшенія даннаго вопроса, нужно, чтобы она удовлетворяла нѣкоторымъ требованіямъ. Необходимо: 1) чтобы данныя величины были выражены небольшими числами, иначе формула будетъ не достаточно я/юсяш; 2) чтобы числа эти были разнообразны: иначе формула будетъ* лишена яснястм. Но если эти условія и будутъ удовлетворены, то все-таки неизбѣжное выполненіе нѣкоторыхъ дѣйствій (каково, нанр», было соединеніе вмѣстѣ нѣсколькихъ #—совъ) можетъ ввести въ формулу числа одинаковыя съ' данными, а вслѣдствіе этого формула потеряетъ совершенную ясность. Неудобства подобныя этому, очевидно, будутъ возрастать вмѣстѣ съ сложностью задачъ. Но они легко устранимы. и легко видѣть—какими средствами.
Наша цѣль состоитъ въ томъ, чтобы достичь возможности выражать формулами правила для рѣшенія сколькихъ угодно задачъ одного рода, т.-е. разнящихся не условіями, а лишь числовыми значеніями данныхъ въ задачѣ величинъ. Пусть, напр., мы хотимъ найти правило для рѣшенія задачи: иаймш два числа по даннымъ суммѣ ихъ и разности, каковы бы ни были &та сумма и эта разность. Легко видѣть, что такое общее рѣшеніе для всѣхъ задачъ одного рода найти возможно* Въ самомъ дѣлѣ, дѣйствія, которыхъ требуетъ рѣшеніе задачи, зависятъ адсодечит&ияо отъ соотношеній между данными въ задачѣ числами, но никоимъ образомъ ‘ не отъ частныхъ значеній этихъ чиселъ. А слѣдовательно, эти данныя числа можно обозначить й/кгалш; но буквы не могутъ сливаться, не могутъ исчезать, замѣняясь другими; дѣйствія надъ ішмн можно только обозначать, но не выполнять; сл. полученное выраженіе будетъ ясно указывать, какія дѣйствія и въ какомъ порядкѣ нужно совершать надъ данными для нахожденія искомыхъ во всѣхъ задачахъ одного рода.
Итакъ, пусть данная сумма равна а, а данная разность гё. Пусть, далѣе, меньшее число = #; большее будетъ	по условію,	= идя
2x^(1 = $, откуда 2# = $— и слѣд.
5	&	/1 \
Х = ^~. . . (1)
$ (I
Формула (1) опредѣляетъ меньшее число, большее число будетъ ——рг?, или-----—г или, наконецъ,
Ч-- • 
Формулы (1) и (2) ясно показываютъ правило: для нахожденія большаго числа надо къ данной суммѣ придать данную разность и результатъ раздѣлить на 2; а для нахожденія меньшаго числа слѣдуетъ изъ данной суммы вычесть данную разность и остатокъ раздѣлить на 2.
Разъ такія буквенныя формулы найдены, мы при ихъ помощи можемъ рѣшать какія угодно задачи, однородныя съ данною; стоитъ только вмѣсто буквъ подставлять числа и выполнять указанныя дѣйствія.
Такъ, если данная сумма = 500, а разность 200, то, подставивъ 500 вмѣсто 5 и 200 вмѣсто (7, найдемъ, что:
500 — 200 большая часть =---------
500—200
а меньшая часть = -—~---
700
350,
Преимущества буквенныхъ формулъ передъ числовыми, какъ видно изъ вышеизложеннаго, заключаются въ слѣдующемъ:
1)	Подъ буквами можно разумѣть какія угодно числа, поэтому рѣшеніе, выраженное буквенною формулою, пригодно для всѣхъ однородныхъ задачъ: буквенная формула даетъ общее рѣшеніе цѣлаго класса задачъ.
2)	Алгебраическая формула даетъ наиболѣе ясное рѣшеніе задачи, ибо въ ней наиболѣе ясно изображаются порядокъ и послѣдовательность дѣйствій, которыя надо совершить надъ данными для нахожденія искомыхъ; между тѣмъ какъ въ ариометической формулѣ эта ясность, какъ мы видѣли, иногда теряется.
3)	Результатъ, представленный алгебраическою формулою, выражается обык
новенно коротко и потому дозволяетъ легко удержать въ памяти правило рѣшенія вопроса.
Но это еще не все. Алгебраическая формула, указывая связь между количествами задачи, позволяетъ вывести рядъ другихъ формулъ, дающихъ рѣшенія ряда другихъ задачъ, если брать послѣдовательно за неизвѣстное каждое изъ количествъ, входящихъ въ формулу. Для примѣра выведемъ общую формулу, которая давала бы рѣшеніе всѣхъ вопросовъ о простыхъ процентахъ.
Найти прибылъ, приносимую капиталомъ а, помѣщеннымъ на I лѣтъ по ^дъ, считая простые проценты?
100 руб. даютъ въ годъ прибыль руб.; слѣд. 1 р. дастъ въ то же время прибыль во 100 разъ меньшую, или р., а капиталъ а р. дастъ прибыль въ
а разъ большую, или
ар 100
* Это есть прибыль, приносимая капиталомъ « въ
1 годъ; прибылъ въ і лѣтъ будетъ въ і разъ больше, такъ что, назііівая эту прибыль Л получимъ соотношеніе
•-?Й-   О)
Это равенство связываетъ 4 количества: а, г и даетъ рѣшеніе 4 задачъ, позволяя по даннымъ тремъ количествамъ вычислить четвертое. Формула (1) позволяетъ находить прибыль, когда извѣстны—капиталъ, время и проценты.
Разсматривая а какъ одинъ изъ сомножителей, мы его найдемъ, раздѣливъ произведеніе (») на другого сомножителя так’ обр.
. рі	100»
а=':іоб’ или а = ^Г
Формула (2) даетъ рѣшеніе задачи: какой капиталъ надо помѣститъ по р* е на * лп»тэ7 что&ы яолумпть і руб. прибыли?
Подобныхъ хе образомъ, щншмхая въ формулѣ (1) за неизвѣстное А мы найдемъ этотъ сомножитель, раздѣливъ произведеніе (») на другой сомножитель аі 
100*
. аі	100»
Р=,:іоб’ или2’ = -^-  • (3)
аі
Формула (3) даетъ рѣшеніе задачи: На какіе проценты надо помѣститъ капиталъ а, чтобы онъ въ і лѣтъ далъ .прибыль і руб.?
Принимая, наконецъ, въ равенствѣ (1) за неизвѣстное і, найдемъ
і =	. (4)
ар 7
Такова формула, по которой рѣшается вопросъ: на сколько лѣтъ надо отдать капиталъ а по чтооь» онъ принесъ і да#. прибы.ш?
Подставляя въ формулы (1), (2), (3) н (4) вмѣсто буквъ числа, мы можемъ рѣшить любую числовую задачу на простые проценты. Напрл «а сколько % надо яожлапить капшпалъ 3000 р., чтобы въ 4 года получитъ 360 р. прибыли?
Положивъ въ формулѣ (3)
а —3000, * = 4, І =360, найдемъ
_ КЮ X 360 _
Р 3000X4 — 3'
Такимъ образомъ возможно обобщеніе какъ самыхъ вопросовъ, такъ н способовъ ихъ рѣшенія.
Наука,* занимающаяся обобщеніемъ вопросовъ о числахъ и способовъ ихъ /тѣшенія, называется алівброю.
3. Знаки, употребляемые въ алгебрѣ, частью тѣ же самые, что и въ ариѳметикѣ, частью другіе. Ихъ можно раздѣлить на три группы: 1) знаки, употребляемые для изображенія чиселъ; 2) для изображенія дѣйствій надъ числами^ п 3) для изображенія соотношеній между числами.
1.	Знаки для изображенія чиселъ. Числа изображаются въ алгебрѣ не цифрами, какъ въ ариѳметикѣ, а буквами; это обозначеніе было введено фран
цузскимъ математикомъ второй половины XVI вѣка Въетомъ (1540—1603). Вьетъ употреблялъ большія литеры; малыя буквы введены англійскимъ математикомъ Томасомъ ]\ярріотомъ (1560—1621).
Для обозначенія извѣстныхъ чиселъ употребляются первыя буквы латинской азбуки: а, 5, с, й, е, для обозначенія неизвѣстныхъ — послѣднія буквы: и, у, х, я, ...
Иногда при буквахъ ставятъ значки или указатели (индексы), когда хотятъ сохранить въ обозначеніи аналогію, существующую между изображаемыми количествами.
Такимъ образомъ пишутъ: а1, а11, аПІ, аІѴ,или: а1,
<!ъ тою же цѣлью употребляютъ еще буквы греческаго алфавита, соотвѣтствующія латинскимъ: а, [3, 7, 5, е, ...
Числа, изображенныя буквами, называются общими числами, нотому-что подъ каждою буквою разумѣютъ не одно какое-либо число, но какія-угодно числа.
2.	Знаки для изображенія дѣйствій.
Сложеніе обозначается знакомъ Ц- (плюсъ); такъ а + Ъ означаетъ сумму количествъ а и Ъ.
Вычитаніе обозначается знакомъ — (минусъ); такъ а — 5 означаетъ разность между а и 6.
Знаки — и — введены во всеобщее употребленіе нѣмецкими математиками XV столѣтія. Полагаютъ, что первый началъ ихъ употреблять ІТурбахъ (1423—1461). Въ «Алгебрѣ*	напечатанной въ 1525 г. подъ
заглавіемъ «Со8>>, і въ «Агійппеііса іпіегтаэ	напечатанной въ
1544 г., примѣнены уже эти знаки.
обозначается знакомъ X* или • (точкою), пли же между сомножителями не ставится никакого знака; такимъ образомъ а X - Ь, и аЬ одинаково означаютъ произведеніе а на 6.
Нужно замѣтить, что знакъ умноженія нельзя опускать, когда числа изображены цифрами; произведеніе 4 иа 7 нельзя представить въ видѣ 47, такъ какъ 47, по принятому способу изображенія чиселъ, означаетъ не произведеніе 4 на 7< а число сорокъ семь.
Опущеніе всякаго знака умноженія между различными факторами произведенія впервые встрѣчается у Стифеля (АгііЬтеііса 1544); знакъ X (косой крестъ) введенъ Ойшредолго (Он^Ьіге^), въ сочиненіи Сіаѵіз шаПіет. 1631; знакъ • (точка) введенъ Лейбницемъ во второй половинѣ XVII столѣтія.
Дѣленіе обозначается пли двоеточіемъ, или чертою; такъ а: Ь и ~ одинаково означаютъ частное отъ раздѣленія а на Ь.
Полагаютъ, что знакъ : введенъ во всеобщее употребленіе Лейбницемъ; знакъ — (черта) встрѣчается уже въ сочиненіи Фибоначчи Пизанскаго (1202 г.)
3.	Знаки соотношеній. Соотношенія между величинами могутъ быть двоякаго рода: двѣ величины могутъ быть или равны между собою, или неравны одна другой. Для изображенія равенства двухъ количествъ употребляется знакъ =; такъ, выраженіе
А —В означаетъ: А равно В.
Знакъ равенства (=) введенъ англійскимъ математикомъ Рекордомъ, который въ первый разъ употребилъ его въ своемъ сочиненіи «Брусокъ для ума*
(ТЬе ЖіеЫопе о( ѴѴіі), изданномъ въ 1557 г. Во всеобщее употребленіе знакъ этотъ вошелъ сто лѣтъ спустя.
Слово оолыае изображается’знакомъ >, слово .меямае знакомъ <. Такъ а _> Ь означаетъ: а больше Ь; а < 6 означаетъ: а меньше Ь.
Когда ютятъ выразить, что два количества не равны, не указывая, которое изъ нихъ больше, ихъ отдѣляютъ знакомъ такъ означаетъ, что а неравно &. Вмѣсто этого также пишутъ
Чтобы выразить, что а не меньше Ь, пишутъ а >6.
Такимъ же образомъ означаетъ, что а не больше Ъ,
Знаки > и <С введены англійскимъ математикомъ Гарріоточъ.
Коэффиціентъ. — Если какое-нибудь произведеніе, напрнм., аЬ, требуется повторить слагаемымъ нѣсколько разъ, напрім.. ^ліъ. то сумма будетъ аЬаЪаЬаЬ ~ аЪ. Очевидно, что тзт іі Хъ г? Сраженія суммы неудобенъ, когда число слагаемыхъ велико: письмец у- г	суммы заняло бы въ этомъ случаѣ много времени и И ъѴ* Л-?	_ - 2_лЪІі ь -граненія такого
неудобства ввели сокращенное обозначеніе стхш ч.тш слагаемыхъ, усло-
вившись слагаемое писать одинъ разъ, а перех^ ставить число, показы-
вающее. сколько разъ взятое выраженіе повторяется слагаемымъ. Такимъ образомъ наша сумма сокращенно выразятся въ видѣ 5аЬ.
Число 5. показывающее. сколько разъ слѣдующее за нимъ выраженіе повторяется слагаемымъ, называется коэффиціентомъ пли юредв-тояадыла. Коэф-
фиціенту можно дать и другое опредѣленіе. Въ самомъ дѣлѣ, повторить аЬ пять разъ слагаемымъ,—это все равно, что аЬ умножить на 5; слѣд. коэффиціентъ есть числовой множитель, стоящій передъ буквеннымъ выраженіемъ.
Такъ, въ выраженіяхъ 7аЬ,
множители 7 и суть, коэффиціенты.
Иногда и буквенные производители разсматриваются какъ коэффиціенты по отношенію къ слѣдующимъ за ними произведеніямъ; такъ, въ выраженіи аЬс можно а считать коэффиціентомъ произведенія Ьс. Если произведеніе состоитъ изъ однихъ буквенныхъ сомножителей, то коэффиціентъ его есть 1; вапр. коэффиціентъ произведенія аЬс есть 1, такъ какъ это произведеніе можно написать въ видѣ 1. аЪс.
Степень, — Степенью называется произведеніе равныхъ множителей.
Если число берется множителемъ два раза, то произведеніе называется второю степенью пли квадратомъ этого числа; такъ 5)-/5 иди 25 есть . квадратъ пяти. Когда число берется множителемъ три раза, то произведеніе называется третъею степенью или кубомъ этого числа; такъ 5.5.5 или 125 есть кубъ пяти. Произведеніе четырехъ равныхъ множителей паз. четвертою степенью; папр. а.а.а.а есть четвертая степень числа а. — Очевидно, что если число равныхъ множителей велико, то письменное изображеніе степени займетъ много времени и мѣста. Для устраненія этого неудобства введено слѣдующее сокращенное изображеніе степени: перемножаемое само на себя количество пишутъ одинъ разъ, а надъ нимъ справа ставятъ число, показывающее, сколько разъ это количество берется множителемъ. Согласно этому условію, квадратъ количества а, т.-е, произведеніе а. а, сокращенно пишется въ видѣ: а*; кубъ а, т.-е. произведеніе а.а.а, сокращенно изображается въ видѣ: а3; четвертая степень а, т.-е. а.а.а.а — въ видѣ а* и т. д. — Каждый изъ равныхъ множителей называется основаніемъ степепи; такъ въ формулѣ основаніе есть а — Числа 2, 3, 4 и т. д., стоящія надъ основаніемъ, называются показателями
степени. Итакъ, яолчттель степени есть число, которое ставится надъ буквою и означаетъ, сколько разъ эта буква берется множителемъ.
Показатель 1 не пишется, а подразумѣвается; такъ, вмѣсто 51 пишутъ Ь.
На основаніи сказаннаго, произведеніе ааааЬЪЪсаІ сокращенно пишутъ въ видѣ	Обратно, а253 есть сокращенно написанное произведеніе ааЬЬЬЬЬ.
Дѣйствіе нахожденія степени даннаго числа называется возвышеніемъ въ степень. Такъ, возвысивъ 7 въ кѵбъ, т.-е. взявъ 7 множителемъ
I	1
три раза, получимъ 343. Возвысивъ -у въ четвертую степень, т.-е. взявъ у
1 множителемъ четыре риза, найдемъ и т. д.
Полезно зпатъ на намять квадраты и кубы, по крайней мѣрѣ, первыхъ десяти чиселъ, которые мы и помѣщаемъ въ слѣдующей таблицѣ:
Числа:	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10.
Квадраты:	1,	4,	9,	16,	25,	36,	49,	64,	81,	100.
Кубы:	1,	8,	27,	64,	125,	216,	343,	512,	729,	1000.
Корень. — Корнемъ второй степени или квадратнымъ изъ даннаго числа называется такое число, квадратъ котораго равенъ данному числу. Такъ, квадратный корень изъ 9 равенъ 3, потому что квадратъ трехъ даетъ 9.
Кубическимъ корнемъ изъ даннаго числа называется такое число, котораго кубъ равенъ диплому числу. Напр., кубическій корень изъ 64 равенъ 4, пото-му-что кубъ четырехъ равенъ 64.
Корнемъ четвертаго порядка изъ даннагд числа называется такое, четвертая степень котораго равна данному числу. Такъ, корень четвертаго порядка изъ 16 равенъ 2, ибо 24 = 16.
Вообще, корнемъ п-іо порядка изъ даннаго числа наз. такое число, котораго п-ая степень равна данному числу. Такимъ образомъ корень п-го порядка изъ ад есть а.	_
Для обозначенія корня употребляютъ знакъ , подъ которымъ ставятъ данное число, называемое поэтому подкореянм.нъ тшело.мь. Въ отверстіе этого знака ставятъ число, которое показываетъ, въ какую степень должно возвысить корень для полученія даннаго числа: его называютъ	корня.
Такъ, чтобы обозначить письменно, что корень четвертаго порядка изъ 16 равенъ 2, пишутъ: |/16 = 2; здѣсь 2 есть самый корень, 16 — подкоренное число, 4 — показатель корня.
Если показатель корня равенъ 2, то его не пишутъ, а подразумѣваютъ. Такъ, для обозначенія, что квадратный корень изъ -у- равенъ пишутъ: і X—±
4	2 _
Коренной знакъ (К ) называется также рай«кало.н&. Дѣйствіе нахожденія корня называется извлеченіемъ корня.
Первые слѣды употребленія показателей находятся у Лароша (Агізшеііцие еі (іоотеігіе, 1520); онъ употребляетъ показатели 1, 2, 3. — Знакъ ]/ находимъ впервые у Христіана Рудольфа (1524).— Окончательно же эти знаки введены Деяар/но.иь. — Знакъ есть ни что иное, какъ искаженная буква г начальная буква слова гшііх — корень).

Скобки.—Для обозначенія дѣйствій употребляютъ еще особые знаки, называемые скобками. Имъ даютъ видъ: ( )т иля [ ], илп {	}, Скобки
перваго вида называютъ — простыла, второго — ксайраягпыла, третьяго — і/шгдакыла.
Такъ, для обозначенія, что разность а~Ь нужно умножить на с, пишутъ:
(а — Ь). с
Если это выраженіе написать безъ скобокъ, т.-е. въ видѣ
а — Ь . с.
то смыслъ его былъ бы иной, именно: оно выражало бы требованіе — вычесть изъ а произведеніе Ь на с, между тѣмъ какъ требуется раяосп» а — Ь умножить на с.
Если бы требовалось сумму а -4- Ь воівькггь въ кубъ і результатъ умножить на разность с — то слѣдуетъ сказанныя дѣісткіі обозначить такъ:
(а —	— й).
Если опустить скобки, т,-е, написать ♦
— с/,
то смыслъ новаго выраженія но былъ бы согласенъ съ требованіемъ, потому что послѣднее выраженіе означало бы слѣдующее требованіе: къ а придать произведеніе куба Ъ па с п изъ полученной суммы вычесть й.
Скобокъ не ставятъ всякій разъ, когда и безъ нихъ обозначеніе дѣйствій не представляетъ недоразумѣній, или когда для обозначенія дѣйствій вводится особый знакъ, устраняющій необходимость скобокъ. Напр., если бы требовалось выраженіе а2 -р (а — Ь)с раздѣлить на т2 — я2, то, обозначая дѣленіе знакомъ двоеточія, необходимо п дѣлимое и дѣлитель заключить въ скобки, написавъ:
[а2 (а -— Ь) с]: (т2 — п2).
Но если вмѣсто двоеточія знакомъ дѣленія взять черту, проведя ее подъ всѣмъ дѣлимымъ, то она устранитъ необходимость заключенія дѣлимаго и дѣлителя въ скобки; частное изобразится въ такомъ случаѣ въ видѣ
дЗ + (« —Ь)С
Точно также для обозначенія, что изъ выраженія а Ъ — с надо извлечь кубичный корень, слѣдуетъ данное выраженіе заключить въ скобки, написавши:
У'іаЦ-Ь — с).
Но если протянемъ горизонтальную черту радикала надъ всѣмъ даннымъ выраженіемъ, то послѣдняя устранитъ необходимость заключенія выраженія — с въ скобки; дѣйствіе изобразится слѣд. обр-:
з,___________
— с.
I
Употребленіе скобокъ въ первый разъ встрѣчается въ сочиненіи Ллъберта Жирара: «Іпѵепііоп поѵеііе <іапя ГаІ^еЬге еісл, изданномъ въ іѴмстердамѣ въ 1629 г.
4. Классификація алгебраическихъ формулъ.—Лліебраичшшлп шряже-яіачк или формулою называютъ совокупность буквъ, чиселъ и знаковъ, указывающую рядъ дѣйствій надъ числами, которыя иодразумѣваются подъ данными буквами. Такимъ образомъ:
8д2 —4^
а* — 63
3 /
6’(Р/а+ Гс)
суть алгебраическія выраженія или формулы*
Всякое алгебраическое выраженіе, ие содержащее корней изъ буквенныхъ выраженій, называется раціональнымъ; оно называется	если
содержитъ буквенные радикалы. Первыя два изъ вышеприведенныхъ выраженій раціональны, третье — ирраціональное. Нужно замѣтить, что выраженіе можетъ быть раціонально относительно нѣкоторыхъ буквъ, и ирраціонально относительно другихъ буквъ. Такъ, выраженіе	раціонально по отношенію къ а
н .г, но ирраціонально относительно Ь.
Раціональныя выраженія раздѣляются на цлиыя и гіробныя; цѣлымъ называютъ раціональное выраженіе, пе содержащее буквенныхъ дѣлителей; дробнымъ, — выраженіе, содержащее буквенныхъ дѣлителей. Такъ, выраженія
ІаѢ + ІаЬ* -!а*Ь*,	19а‘ — А „зЬ । &
1	1 і ’	3	1 о
суть алгебраическія цѣлыя, хотя второе и третье и содержатъ числовыхъ дѣлителей: выраженія же
а -|- 6	Яа2 — 4аб + ЗЬ2
а —	а3 — 63
алгебраически дробныя, такъ какъ имѣютъ буквенныхъ дѣлителей.
Одночленомъ называютъ такое выраженіе, въ которомъ послѣднее дѣйствіе есть умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень илн извлеченіе корня, но не сложеніе и не вычитаніе. Такъ выраженія
/аЬс’ 4^+7р*	(а2 — Ь8) (с + <0,	(х —у+*)‘, ра?» — у2
суть одночлены.
Многочленомъ наз. выраженіе, соединенныхъ знаками -|- или —.
Такъ, выраженія
состоящее изъ нѣсколькихъ одночленовъ,
а«~3«^ + 3аб2 —Ь3,
Зя*|/Ь _ 7а^	баідас
с 4с-	3
суть многочлены.
Одночлены, составляющіе многочленъ, называются его чдеяалш. Зпакъ, предшествующій одночлену, считается составною частью члена; такъ, члены перваго многочлена спь
4-а3,	— За2Ь, +Зй&2,
Если передъ первымъ членомъ не поставлено знака, то нужно подразумевать
Многочленъ, состоящій изъ двухъ членовъ, напр. «2 —Ь2, наз. бнноліожь или двучленомъ; состоящій изъ трекъ членовъ, какъ а2 —	— трино-
момъ или трехчленомъ; если же число членовъ больше, то многочлену не даютъ особаго названія.	і
Измѣреніе. — Число буквенныхъ множителей цѣлаго одночлена называется его ш-клреяі'елъ; такъ, одночленъ 4а3Ь2с будетъ шести измѣреній, потому что, представивъ его въ видѣ іаааЬЪс, видимъ,* что онъ содержитъ шесть буквенныхъ множите лей. Сложивъ показателей, получимъ 3 —2 —|—1 или 6; сл. для опредѣленія измѣренія цѣлаго одночлена нужно взять сумму показателей его буквъ.
Цѣлый многочленъ. состоящій изъ членовъ одинаковаго измѣренія, называется однороднымъ: измѣреніе каждаго члена такого многочлена называется также измѣреніемъ самого многочлена. Напр., выраженіе а* — За-6-^ЗаЬ2 — Ь3 есть однородный многочленъ третьяго измѣренія ілі трехъ измѣреній. Многочленъ, которого члены не*-инаковаго измѣренія. иаз.	напр. многочленъ
а* — За1 — аЛ1 — с — разнородныя.
Степенью многочлена относительно одной какой-либо буквы называется высшій показатель этой буквы въ многочленѣ. Такъ
Зах* - 2а2#2 Ц- ?а3;27 Н~
есть многочленъ третьей степени относительно буквы х.
5. Числовое значеніе формулы. — Числовымъ значеніемъ формулы называется то число, которое получится, если буквы замѣнимъ числами и выполнимъ указанныя знаками дѣйствія.
Такъ, если требуется вычислить числовое значеніе выраженія
2а* +
Зс
при а = 4, Ь = 3 и с =х1, то, подставивъ вмѣсто буквъ данныя числа, пай демъ
2 X 42 4-/4’2 + 3*2 = 2 X 16 + /16 -/9 _ 32 + /25 3X1	—	3	“	3
12— и есть числовое значеніе данной формулы.
О
ГЛАВА II.
Положительныя и отрицательныя количества.
6. Изображеніе количествъ буквами вмѣсто цифръ не составляетъ еще существеннаго отличія алгебры отъ ариѳметики: и ариѳметика, при доказательствѣ теоремъ и при рѣшеніи задачъ, также пользуется для изображенія чиселъ буквами, хотя въ ней употребленіе буквъ и не такъ систематично какъ въ алгебрѣ. Существенная разница между этими науками состоитъ въ томъ, что въ разсмотрѣніе величинъ алгебра вводитъ идею о направленіи, совершенно чуждую ариѳметикѣ.
Все, что можетъ увеличиваться или уменьшаться я быть измѣряемо, вазы-вается ,-ма-те.мат«ческою величиною, .Такъ — вѣсъ, объемъ, время, темпера-
тура, скорость, сила и т. п. суть величины.
Измѣритъ веля чину значитъ сравнить ее съ другою однородною съ нею величиною, называемою при этомъ едшшцею. лпъры; точнѣе говоря, это значитъ найти кутное отношеніе измѣряемой величины къ единицѣ мѣры. Такъ, измѣряя вѣсъ тѣла, мы узнаемъ, сколько въ немъ содержится единица вѣса (пудъ, Фунтъ і т. п.), пли какая-нибудь доля ея. Поэтому результатомъ измѣренія всегда является число отялсчекяое. Цѣлое или дробное отвлеченное
число, измѣряющее данную величину, называется абсолютнымъ числомъ; вмѣстѣ
съ названіемъ е
ГП !•
лл мѣры оно дастъ намъ точное понятіе о разсматриваемой
величинѣ, ёгл ш опредѣленія величины достаточно знать только ея размѣры.
Величины. <ъ которыми имѣетъ дѣло	вполнѣ опредѣляются,
какъ скоро г-в&лі* мхъ отношеніе къ 1-цѣ мѣры и самая эта единица; таковы — плошадѵ «йьеть. вѣсъ, капиталъ и т. и. Ихъ называютъ абсолютными
величиначи йххж>ы».
Но есть піл величины. для полнаго опредѣленія которыхъ недостаточно зпать. каково жгъ -тжшеніе къ единицѣ мѣры н какова самая эта единица. Такъ, ес.и я тт находясь сначала у двери, я отошелъ отъ нея на 4 аршнна. то >тмтъ м ** положеніе относительно двери еще не будетъ вполнѣ онреНме; і	указать — егг> какую сторону относительно
двери я удалился:	и въ такую-то комнату, или вышелъ изъ нея. Еще
примѣръ. Если мы кдх-іъ. что часы измѣнили свой ходъ въ теченіи сутокъ на 2 минуты, іѵ та ве даетъ ьпчлиѣ яснаго понятія о величинѣ измѣненія; въ саиьмъ дѣлѣ, ш должны указалъ еце направленіе измѣненія, т.-е. сказать, ускорили іл замедлили часы евмй іодъ на 2 минуты. Третій примѣръ. Если мы скажетъ, что температура воздуіа измѣнилась на 10 градусовъ, то этимъ мы не опредѣлимъ еще вполнѣ это измѣненіе; для полнаго опредѣленія измѣненія температуры надо указать —повысилась она на 10 градусовъ или понизилась. т.-е. опять надо указать направленіе измѣненія.
Большинство величинъ, существующихъ въ природѣ, имѣютъ два противоположныя направленія, и потому называются противоположными величинами;
таковы — зре.ия, которое можно считать въ направленіи будущаго и прошедшаго относительно даннаго момента; пространство. проходимое прямолинейно движущимся тѣломъ; ускореніе и замедленіе движенія; температура, потому что она можетъ быть выше нуля и ниже пуля; п/жоыль и убытокъ, ибо они измѣняютъ капиталъ въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ; суммы иосшу-ншомря въ кассу банкира и суммы выдаваемыя кассою; наконецъ мм’м, наносимыя на неограниченной прямой отъ нѣкоторой постоянной точки, называемой
началомъ.
Такого рода величины, взятыя въ одномъ направленіи, называются юоложм-а въ противоположномъ — отрицательными. Отъ насъ зависитъ, въ какомъ направленіи считать противоположныя величины положительными и въ какомъ — отрицательными; если условимся считать положительными: ^разстояніе вправо отъ начала, 2) время будущее, 3) ускореніе, 4) прибыль, 5) капиталъ, 6) температуру высшую нуля, то противоположныя этимъ величины, т.-е. разстояніе влѣво отъ начала, время прошедшее, замедленіе, убытокъ, долгъг температуру ниже нуля, нужно принимать отрицательными.
7. Существуютъ два способа изображенія противоположныхъ величинъ—графическій и а.иебраичеекйі.
1<- Условимся каждую единицу разсматриваемой величины изображать прямой линіей опредѣленной длины, напри*. линіей аЪ (черт. 1); отложивъ линію <іЬ на неограниченной прямой столько разъ, сколько въ разсматриваемой вели-

Черт. 1.
чинѣ находится единицъ, мы и получимъ графическое изображеніе абсолютнаго значенія этой величины.
Для изображенія противоположныхъ величинъ, какого бы рода онѣ ни были, условимся представлять нхъ прямыми, наносимыми на неограниченной прямой (называемой осью) хх\ начиная отъ нѣкоторой точки о (^е называютъ ло.иь); при чемъ положительныя величины будемъ наноситъ въ направленіи отъ хг къ х; а отрицательныя въ направленіи отъ х къ х’. т.-е. въ противоположную сторону (черт. 2).
Черт. 2.
Итакъ, абсолютныя значенія противоположныхъ величинъ можно представлять длинами извѣстныхъ линій, а направленія — положеніе.^ этпхъ линій относительно начала.
При такомъ представленіи противоположныхъ величинъ каждая изъ ннхъ имѣетъ опредѣленное начало и конеиа. Отрѣзки прямой, конечныя точки которыхъ играютъ различную роль, одна — начала, другая — конца, называются векторами.
Примѣчаніе. Графическимъ представленіемъ противоположныхъ величинъ пользуются при доказательствахъ тамъ, гдѣ чисто алгебраическіе методы трудно примѣнимы. Къ преимуществамъ графическихъ методовъ принадлежитъ ихъ наглядность, позволяющая легко усвоятъ истины весьма отвлеченнаго характера. Ниже мы воспользуемся этимъ методомъ при доказательствѣ теоремъ, относящихся къ свойствамъ суммы.
2. Для изображенія противоположныхъ величинъ, очевидно, можно поступать еще такъ. Взявъ ариеметическое число, выражающее абсолютное значеніе взятой величины, можно снабдить это число какимъ-либо условнымъ значкомъ, который служилъ бы указаніемъ направленія величины. На первый взглядъ кажется, что такой значокъ можно бы было выбрать произвольно; для указанія температуръ, напрнм., можно бы было, обозначивъ число градусовъ цифрою, ставить возлѣ этой цифры букву в для обозначенія градусовъ выше нуля, и букву н для обозначенія градусовъ ниже нуля. Такимъ образомъ, обозначало бы 8 градусовъ выше нуля, а обозначало бы 5 градусовъ ниже пуля. Можно бы было условиться обозначать градусы выше нуля знакомъ ударенія, градусы ниже нуля—двумя такими значками; при такомъ условіи вышеуказанныя температуры были бы выражены знаками: 8' и 5". Однако, болѣе глубокое изученіе вопроса привело къ заключенію, что изъ всѣхъ различительныхъ знаковъ, которыми можно пользоваться для обозначенія направленія противоположныхъ величинъ, всего лучше служатъ этой цѣли, и даже почти необходимы, знаки -|-и —, которыми въ ариеметикѣ указывается сложеніе и вычитаніе, при чемъ по-
ложительпыя величины обозначаютъ знакомъ -р, а отрицательныя—знакомъ —. Такимъ образомъ. вмѣсто того чтобы писать „8 градусовъ выше нуля“ или «8д> пишутъ 8 градл и произносятъ шлюсь $ градусовъ». Вмѣсто вы-раженія «5 градусовъ ниже нуля» или «5,<» пишутъ <— 5 гр.», произнося $ минусъ 5	Точно также, вмѣсто того чтобы писать «5 футовъ
вправо» пишутъ <-р 5 фут.», произнося «гмюеь 5 </»-»; вмѣсто выраженія «семь лѣтъ тому назадъ», пишутъ <— 7 лѣтъ», говоря: «зшн^сь 7 4>ьят, и т. п.
Въ отвѣтъ на вопросъ: почему для обозначенія направленія величинъ взяты знаки: — и —, т.-е. знаки дѣйствій сложенія и вычитанія, замѣтимъ пока слѣдующее. Положительныя величины одного рода слѣдуетъ разсматривать какъ слагаемыя между собою; дѣйствительно, имѣя какую-нибудь прибыль, мы всякую новую прибыль будемъ прикладывать къ прежней, такъ какъ опа служитъ къ увеличенію уже имѣющейся прибыли; если точка, находящаяся на прямой, перемѣщена вправо, то всякое новое перемѣщеніе вправо будетъ прикладываться къ прежнему в т. д. Потому-то положительныя величины, какъ слагаемая между собою, и сопровождаются знакомъ плюсъ. Отрицательныя величины одного рода, по отношенію къ положительнымъ, слѣдуетъ разсматривать какъ вычитаемыя. Дѣйствительно, имѣя капиталъ, мы всякій долгъ будемъ изъ него вычитать, такъ какъ долгъ служитъ къ уменьшенію капитала. Всякій проигрышъ, служа къ уменьшенію капитала, должно разсматривать какъ вычитаемое. Всякое перемѣщеніе точки влѣво, служа къ уменьшенію существующаго перемѣщенія вправо, есть вычнтамое и т. д. Потому-то отрицательныя величины, какъ вычитаемыя по отношенію къ положительнымъ, и сопровождаютъ знакомъ минусъ. Нулю также иногда приписываютъ тотъ или другой знакъ, когда въ изслѣдованіи задачи нужно, чтобы оставался какой-нибудь слѣдъ, показывающій происхожденіе этого нуля. Наприм., когда температура низшая нуля увеличивается, дѣлаясь наконецъ нулемъ, то, очевидно, нужно ее обозначить знакомъ (— 0), Тригонометрія представляетъ множество примѣровъ этого рода.
8.	Мы обобщили понятіе объ ариѳметическомъ количествѣ, введя въ это понятіе новый элементъ--яаяраоемге, при чемъ самое обобщеніе вывели изъ разсматриванія величинъ. Но къ тому же обобщенію можно придти еще другимъ путемъ—изъ разсмотрѣнія дѣйствій надъ числами.
Пусть изъ нѣкотораго числа а требуется вычесть Ь: разность выразится формулою а — Ь. Здѣсь слѣдуетъ разсмотрѣть три случая:
1)	Когда « больше Ь, то-есть уменьшаемое больше вычитаемаго^ то вычитаніе такое всегда возможно. Такъ, если а =10 и 4, то численная величина разности а — Ь равна 6,
2)	Если а=?\ т -е. вычитаемое равно уменьшаемому, то вычитаніе снова возможно, потому что отъ а всегда можно отнять столько единицъ, сколько ихъ въ немъ находится; но остатокъ вычитанія уже не представляетъ никакого числа: онъ есть нуль, выражающій отсутствіе всякой величины. Однако, уже и въ ариѳметикѣ принято н нуль называть числомъ.
3)	Когда а<^6, т.-е. вычитаемое больше уменьшаемаго, то вычитаніе не всегда возможно; разсмотримъ, когда оно возможно п когда пѣтъ.
Разсмотримъ сначала величину ариѳметическую, т.-с. такую, для которой не существуетъ противоположной. Различныя состоянія такой величины можно представлять графически разстояніями точекъ прямой, неограниченно простирающейся '• иько въ одну сторону отъ своей начальной точки, наприм., отъ точки О і~: іво (по направленію О.г).
Вычитаніе Ъ изъ а выразится графически нанесеніемъ линіи а вправо отъ точки О — въ направленіи возрастающихъ разстояній, а вычитаемой линіи Ъ отъ конца М линіи 0М = а въ направленіи, противоположномъ направленію возрастающихъ разстояній, т.-е. влѣво отъ М (черт. 3). Самое построеніе показы-
О м И н--_----------------------------------х
Ъ
Черт. 3.
ваетъ: что вычитаніе возможно до тѣхъ поръ, пока Ь —Если же Ь больше а, то построеніе укажетъ яеоо&ножяость дѣйствія. потому что конецъ линіи МХ — Ь упадетъ въ этомъ случаѣ влѣво отъ точкя 0. такъ ска-
зать, въ пустоту, ибо линія Ол, простираясь только
точекъ влѣво отъ 0.
Пусть а = 5, 6 = 7; тогда
а — 6 = 5 — 7;
разность 5 — 7 можно выразить однимъ числомъ; въ самомъ -7 изъ 5 все равно что сперва вычесть 5, а затѣмъ 2, слѣд.
дѣлѣ, вычесть
о і — о — 5	2;
но 5 — 5 = 0, слѣд. 5 — 7 = 0 — 2; опуская О, получимъ въ остаткѣ —2. Разность выражается отрицательнымъ числомъ — 2; во это отрицательное число въ данномъ случаѣ ничего не представляетъ, не имѣетъ никакого реальнаго значенія.
Но если разсматриваемая прямая простирается не только вправо, но п влѣво отъ точки 0, представляя такимъ образомъ величины, имѣющія два противоположныя направленія, то дѣйствіе вычитанія большаго числа изъ меньшаго, бывшее въ первомъ случаѣ невозможнымъ, теперь становится возможнымъ, ибо ли-
М о'р “ г::>.. М
6
Черт. 4.
нія л’х имѣетъ точки влѣво отъ 0, и разность &—Ъ = — 2 имѣетъ совершенно реальное значеніе, представляя линію ОМ, лежащую влѣво отъ начала 0.
Итакъ, при вычитаніи большаго числа изъ меньшаго получается отдогде-. желъноя число; оно не имѣетъ никакого реальнаго значенія въ случаѣ абсолютныхъ величинъ и, напротивъ, имѣетъ совершенно реальное значеніе въ случаѣ величинъ противоположныхъ.
Самое правило вычитанія большаго числа изъ меньшаго легко видѣть изъ приведеннаго примѣра
именно: нужно изъ большаго числа вычесть меньшее и передъ остаткомъ поставить знакъ (—).
Въ противоположность отрицательнымъ числамъ, числа, получаемыя при всегда возможномъ вычитаніи меньшаго числа изъ большаго, называются положительными п обозначаются знакомъ -|—
Такъ, если а = 5. с = 3; то
а — с = 5 — 3 = 4~--
Легко видѣть на чертежѣ, что значеніе положительнаго числа противоположно
значенію отрицательнаго: въ то время какъ отрицательное число а — Ъ = — 2
ОХ,_ лежащую влѣво отъ точки О, положительное число
означаетъ
С
а — с = —2. выражаетъ линію Ор, лежащую вправо отъ начала (черт. 4).
9.	Алгебраическое количество.—Количество, состоящее изъ двухъ элементовъ: 1) изъ численной величины, которая можетъ быть цѣлая или дробная, и 2) знака і —) или (—), указывающаго направленіе величины, и называется собственно аліебраическгімъ количествомъ. Такъ
5, -6,	+а, -а, +3а*, -5а*
суть количества алгебраическія.
Если къ количествѣ отбросить знакъ, то получится ариѳметическое число, которое называется абсолютнымъ или ч-ислоодлса зяаченіе-иь, также—модулемъ количества. Такъ, количества -{-8 н - имѣютъ абсолютными значе-с 1 ніями ын модулями числа Ь и у.
Для обозначенія абсолютнаго значенія или модуля числа ставятъ это число между двумя вертикальными чертами. Такъ, | а | означаетъ абсолютное значеніе нл модуль алгебраическаго числа а. Такимъ же образомъ:
| -|-5 | =5; | — 3 | =3,
Иногда ставятъ число въ квадратныя скобки; такъ [а] означаетъ модуль числа а.
10.	Выгоды, происходящія отъ, введенія отрицательныхъ количествъ.— Введеніе отрицательныхъ количествъ въ алгебру имѣетъ чрезвычайно большое значеніе, такъ какъ оно даетъ математическимъ выводамъ ту общность, которая безъ отрицательныхъ величинъ была бы недостижима. Пояснимъ это примѣрами.
Примѣръ I. Купленъ товаръ за а руб., а проданъ за Ь руб. Какое измѣненіе произошло отъ этого оборота въ капиталѣ?
Для опредѣленія измѣненія капитала вычтемъ изъ Ъ руб. а руб., найдемъ
Ъ — а.
Здѣсь могутъ быть три случая.
1)	Если Ь > а, то разность Ь — а будетъ положительная и выразитъ собою побылъ, полученную при продажѣ товара, потому что цѣна (Ь), за которую проданъ товаръ, больше цѣны (а), за которую онъ купленъ.
2)	Если Ъ = а, то разносгь Ь — а равна 0 и означаетъ, что при продажѣ не получено ни прибыли, ни убытка, что очевидно.
3)	Если Ь < а. то разность Ь — а будетъ отрицательная и выразитъ
убытокъ, полученный при продажѣ товара, потому что цѣна (&), которую купецъ беретъ, продавая товаръ, меньше цѣны (а), которую онъ самъ заплатилъ за товаръ*
Итакъ, всѣ частные случаи, которые могутъ встрѣтиться при рѣшеніи данной задачи, можно соединить въ одной формулѣ: 6 — », которая и выражаетъ собою измѣненіе капитала во всѣхъ случаяхъ, при чемъ положительный результатъ означаетъ прибыль, а отрицательный—-убытокъ. Правда, мы могли бы избѣжать полученія отрицательныхъ выводовъ, еслибы при Ъ<а стали дѣлать вычисленіе по формулѣ.» — й; но такое дробленіе задачи и формулы на нѣсколько отдѣльныхъ задачъ и формулъ соотвѣтственно частнымъ значеніямъ буквъ не соотвѣтствовало бы духу алгебры, стремящейся обобщать какъ самые вопросы, такъ и ихъ рѣшенія.
Примѣръ II, Нѣкоторое событіе случилось спустя і лѣтъ послѣ Р. Х,^ а другое событіе п годами раньше. Хоіда имѣло мѣсто второе событіе?
Время второго событія найдемъ, вычтя я ки> ?: сдѣь ов»» выразится фор- * мглою
/ — я.
Здѣсь опять возіомы три случая:
1)	Если * > я, разность і — п положительная; папр., если первое событіе имѣло мѣсто спустя 600 лѣтъ послѣ Р, X.. а второе 400 годами раньше, то подставивъ въ формулу < — я вмѣсто / число 600 п 400 вмѣсто п, найдемъ
— я = 600 — 400 = + 200,
Очевидно, этотъ положительный результатъ означаетъ, что второе событіе имѣло мѣсто черезъ 200 лѣтъ послѣ р, X.
2)	Если 2 = п,’то разность і — п = 0. Нулевое рѣшеніе, очевидно, означаетъ, что второе событіе совершилось въ самое Р. X.
3)	Если, наконецъ., *О, то разность / — п будетъ отрицательная. Если положимъ, что первое событіе совершилось спустя 600 лѣтъ послѣ Р. X., а второе за 800 лѣтъ до перваго, то подставляя въ формулу і — п этп числа, найдемъ
і—	п = 600 — 800= — 200 л.
Ясно, что отрицательный результатъ означаетъ, что второе событіе совершилось за 200 л. до Рг X,
Итакъ, замѣтивъ, что положительный результатъ означаетъ время послѣ Р. X., а отрицательный — время до Р. X,, мы въ формулѣ і— я имѣемъ рѣшеніе всѣхъ частныхъ случаевъ данной задачи. И здѣсь мы могли бы избѣжать отрицательнаго вывода, если бы вторую задачу рѣшили по пной формулѣ: ю — I; но такое дробленіе задачи и формулы не соотвѣтствовало бы духу общности, составляющей отличительный характеръ алгебры.
Итакъ, введеніе отрицательныхъ количествъ даетъ возможность какъ самые вопросы давать въ совершенно общей формѣ, такъ п рѣшенія всѣхъ частныхъ случаевъ выводить изъ одной общей формулы.
11.	Свойства положительныхъ и отрицательныхъ количествъ. — Если имѣемъ нѣсколько примѣровъ вычитанія, въ которыхъ уменьшаемыя равны, то остатки будутъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше вычитаемыя. Такъ, вычитая изъ 5 послѣдовательно 1, 2, 3,..., получимъ остатки

5 — 1 = 4~ 4
5 —2=4-3
5 —3 = + 2 5 —4 = 4-1 5 — 5 = О
5 — 6 = — 1 5 —7 = —2
5 — 8 = — 3 и т. д.
величина которыхъ становится все меньше и меньше. Сравнивая между собою остатки. іаіодимъ такимъ образомъ, что
— 4
слѣдуетъ, что:
1)	Всякое положительное количество больше нуля;
2)	Изъ двухъ положительныхъ чиселъ то больше, - у котораго модуль боль»:
3)	Всякое отрицательное количество меньше нуля;
4)	О составляетъ границу, отдѣляющую положительныя количества отъ отрицательныхъ;
5)	Изъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго абсолютное значеніе меньше.
Въ поясненіе выводовъ — третьяго и пятаго приведемъ слѣдующіе при-мѣры. Пусть изъ двухъ лицъ, А и В, первое ничего не имѣетъ (ни имущества пи долга), а второе, не имѣя никакого имущества, имѣетъ долгъ въ 50 руб. Долгъ и имущество величины противоположныя, при чемъ, согласно съ вышеприведеннымъ условіемъ, долгъ есть величина отрицательная, а имущество — положительная. Такимъ образомъ, состояніе А равно 0, состояніе В равно — 50 р. Лицо, имѣющее только долгъ, имѣетъ менѣе лица, ничего не имѣющаго, поэтому мы въ правѣ сказать, что отрицательное имущество В (— 50 р.) меньше пулеваго имущества А: отрицательное количество меньше нуля. Положимъ теперь, что А и В не имѣютъ никакого имущества, но А имѣртъ долгу 30 р+, а В — 80 р.; состояніе перваго выразится отрицательнымъ числомъ —30 р., второго—отриц. числомъ —80 р. Очевидно, что лицо, имѣющее долгу 30 р., богаче лица, долгъ котораго равенъ 80 р., слѣд. —30 р, >—80 р.: шъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго численное значеніе меньше. ч
ГЛАВА III
Цѣлъ алгебраическихъ дѣйствій.—Законъ Ганкеля.—Свойства суммы и разности.—
Свойства полинома. —Сложеніе и вычитаніе
12.	— Цѣль ариѳметическихъ дѣйствій состоитъ въ нахожденіи окончательно результата. Иное дѣло въ алгебрѣ. Количества, выраженныя буквами, не жгутъ сливаться, поэтому никакое алгебраическое дѣйствіе не можетъ быть до-до копца. Такимъ образомъ, алгебраическія дѣйствія имѣютъ цѣлью: указать знаками производимыя дѣйствія и преобразоеатъ полученный ре-сз тѣмъ. чтобы сдѣлать выраженіе его болѣе короткимъ
илм болѣе яснымъ. Въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что далѣе идти нельзя. При этомъ, такъ какъ алгебраическое количество состоитъ изъ двухъ элементовъ—абсолютной величины и знака, то и правило каждаго алгебраическаго дѣйствія должно состоять изъ двухъ частей- правила абсолютныхъ величинъ и правила знаковъ.
13.	— Приступая къ какому-либо дѣйствію, надо прежде всего опредѣлить смыслъ его. При этомъ, уже въ ариометикѣ мы видѣли, что обобщеніе понятія о числѣ ведетъ къ обобУцемзю опредѣленій самыхъ дѣйствій, въ тѣхъ видахъ, чтобы избѣжать накопленія частныхъ случаевъ и всѣ эп случаи соединить въ одно общее выраженіе. Такъ, опредѣленіе дѣйствія умноженія расширяется при переходѣ отъ цѣлыхъ чиселъ къ дробнымъ. При этихъ послѣдовательныхъ обобщеніяхъ могутъ иногда утратиться тѣ или другія сдойст дѣйствій. Такъ, мы увидимъ далѣе, что извлеченіе корня. — дѣйствіе. ар^еігтеекомъ смыслѣ дающее одинъ результатъ, въ алгебраическомъ смыслѣ ”і<»«іггъ жъ нѣсколькимъ различнымъ результатамъ; въ данномъ случаѣ, слѣ^еательн-?. обобщенное дѣйствіе теряетъ свойство давать ойкні результатъ.
Но если, въ видахъ обобщенія, и можно откинуть то или другое свойство операціи, необходимо условиться не прибавлять никакихъ новыхъ свойствъ къ тѣгь. которыя имѣли мѣсто для дѣйствій надъ количествами менѣе общими, и это въ тѣхъ видахъ, чтобы всякое правило, установленное для обобщеннаго дѣйствія, было приложимо и къ менѣе общему случаю, содержа въ себѣ, какъ частный случай, правило, найденное ранѣе для дѣйствія, разсматриваемаго въ болѣе узкомъ смыслѣ, совершенно такъ же, какъ менѣе общій видъ количествъ содержится какъ частный случай въ количествахъ обобщенныхъ.
Это начало, которое слѣдуетъ соблюдать при обобщеніи опредѣленій количествъ и дѣйствій надъ ними, названо Ганкелемъ началось постоянства правилъ вычисленія. Въ силу этого начала всякое правило, относящееся къ количествамъ обобщеннымъ, должно прилагаться п къ количествамъ низшаго порядка, такъ какъ обобщеніе не вводитъ новыхъ свойствъ, а стало быть п не даетъ мѣста такимъ правиламъ, которыя не вытекали бы уже изъ свойствъ ранѣе принятыхъ.
14.	— Установленіе правилъ вычисленія зависитъ единственно отъ свойствъ дѣйствій; отсюда необходимость предварительнаго изученія этихъ свойствъ. Ознакомимся прежде всего съ фундаментальными свойствами суммы и разности.
При выводѣ этихъ свойствъ мы будемъ означать противоположныя величины — каждую одною буквою; такимъ образомъ подъ буквами: а, с, гі, ... будемъ представлять противоположныя величины, т.-е. абсолютныя значенія съ сопровождающими ихъ знаками.
Свойства суммы.
15.	Понятіе о сложеніи есть основное, а потому и не поддается никакимъ опредѣленіямъ.
Мы видѣли, что каковы бы ни были противоположныя величины (скорости, времена, температуры), ихъ всегда можно представлять прямыми линіями, наносимыми на неограниченной прямой въ томъ пли другомъ направленіи. Поэтому, если мы желаемъ сложить нѣсколько вели чипъ, то должны помѣстить пхъ одну за другой, каждую въ направленіи, опредѣляемомъ ея знакомъ, т.-е. начало второй помѣстить въ концѣ первой, нанося ее въ направленіи, указываемомъ ея знакомъ, и т. д. Суммою будетъ разстояніе отъ начала первой до конца послѣдней. Это геометрическое представленіе сложенія полезно какъ облегчающее средство при доказательствѣ нѣкоторыхъ изъ нижеслѣдующихъ теоремъ.
Теорема. 1. — Придать къ данному количеству послѣдовательно ^сколько другихъ—все равно, что придать ихъ сумму; т.-е, 
а —|— Ъ —р- с = а 4~ (Ь —с).
Этою теоремою выражается такъ называемый законъ сочетательный въ сложеніи.
Доказательство.—Пусть, напр., а — -}-я, Ъ = — р, с = + у, гдѣ а, 5 і у суть абсолютныя величины. На линіи х'х отъ точки 0 вправо нанесемъ «ачала а: придемъ въ нѣкоторую точку М. Затѣмъ наносимъ — р, сообразно съ лакомъ этого количества, влѣво отъ точки М: придемъ въ точку И. Наконецъ,
.__________________О М -А М Р
X----—-------------------------------7^------7^------------
Черт. 5. « «гь точки К вправо наносимъ отрѣзокъ у: приходимъ въ точку Р. Сумма а 4“ + Ь с выразится линіей ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца третьяго.
Но &4“с составляетъ въ то же время сумму МР, ибо М есть начало слагаемаго Ь, а Р — конецъ слагаемаго с; сл. представляя линію ОР суммою ОМ 4~ МР» і замѣчая, что 0М = а, а МР = Ь4“С, имѣемъ:
0Р = а4-(&4-с)‘...(1),
А раньше мы нашли, что
0Р = а4~^4“с (2)-
Изъ (1) и (2) заключаемъ, что
а4“Ь"Ьс = а4” Ф + СХ
такъ какъ оба эти выраженія представляютъ одну и ту же линію ОР.
Теорема П.— Сумма не измѣнится отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.	Ь- сО
Этою теоремою выражается законъ перемѣстительный въ сложеніи.
Доказательство. — I. Докажемъ эту теорему сначала для двухъ сла-гэемыхъ, т.-е. что
а 4“" Ь =г= 6 4~
Доказательство это, въ свою очередь, распадается на нѣсколько случаевъ, смотря по знакамъ количествъ а и Ъ.
о ...С о м р
X-----------------------------------------------------&
» "а .......а‘
Черт. 6. с
I * Пусть а и Ь — положительныя количества. Наносимъ а по линіи Оя, нкш отъ точки 0: придемъ въ точку ,М. Затѣмъ, отъ точкй М въ томъ же
2*
направленіи наносимъ Ъ, и такимъ образомъ приходимъ въ точку Р. Сумма равна линіи ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца второго:
а-}-Ь = 0Р...(1).
Если теперь на линіи ОР отложимъ часть 0($ = Ь, то остальная ея часть <}Р будетъ равна а; слѣдов. линію ОР можно разсматривать также какъ сумму .линій Ь и а:
6-|-а —ОР... (2).
Изъ (I) и (2) слѣдуетъ, что ।	а —1"“ Ъ	Ь в.
2) Составимъ сумму полагая, что а положительно и равно -|-а, а Ь отрицательно и равно — положимъ сверхъ того, что а > 3-
Нанесемъ а на линію Оя: придемъ въ точку М: отъ точки М наносимъ ли-, нію 6, сообразно съ ея знакомъ, влѣво: придемъ въ точку Р* Сумма а^-Ъ выразится линіей ОР отъ начала перваго до конца второго слагаемаго:
а + Ь = 0Р.........(3).
X
Черт., 7.
, Нанесемъ теперь Ь, сообразно съ знакомъ этой линіи, влѣво отъ 0: придемъ въ точку ф очевидно, что линія (}Р = ОМ (ибо каждая состоитъ изъ 6, сложеннаго съ ОР); а потому, нанося а отъ точки вправо, придемъ въ точку Р, и сумма & + « выразится линіей ОР отъ начала слагаемаго Ъ до конца а,
Ь-4-а^ор..........(4).
Изъ равенствъ (3) и (4) находимъ опять, что
ибо та и другая сумма выражаетъ одну и ту же линію ОР-
Пусть Нанеся а на линію О# вправо отъ начала, придемъ въ точ-
О	Р О -----------------------м
X -------4------------------Ч-ГТТ7--------------------------------------------
Черт* 8.
ку М; отъ точки М папосимъ Ь въ направленіи Оа/; такъ какъ 8 > я, то придемъ въ нѣкоторую точку Р, лежащую влѣво отъ 0. Сумма выразится линіей ОР, отъ начала перваго до конца второго слагаемаго:
а + й = ОР. . . . : (5).
Отложимъ отъ точки 0 влѣво линію — МР ~ Ь; очевидно, что <^Р
рапа ОМ или а. Слѣд., линія ОР будетъ выражать сумму линій: — Ь і	= -1- а, т.-е.
Ь-|~а = ОР........(6).
??ъ равенствъ (5) и (6) заключаемъ:
О- —&----Ъ —(2.
3» Есл бы количества а и Ъ были оба отрицательны, то доказательство йі то же самое, что и въ случаѣ, 1-мъ, только обѣ линіи пришлось бы <^пщмать влѣво отъ начала.
Втакъ. теорема доказана для двухъ слагаемыхъ.
П- Докажемъ теперь, что если имѣемъ сумму трехъ слагаемыхъ, то можно
ть порядокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи теоремы
л 1
. пгѣемъ:
а Ь + с = а -|- (і + с);
мгѣигь въ скобкахъ порядокъ слагаемыхъ, отъ чего, по теоремѣ II для двухъ сотыхъ, сумма ихъ не измѣнится, находимъ
а4-Ь4-с = а + (с + 1>);
замѣняя, на основаніи теоремы I, выраженіе а 4~ (с 4“ равнымъ ему « — *4-6, получаемъ
а4-г>4-с = а4-с + Ь.
Ш. Въ суммѣ, состоящей изъ сколькихъ угодно слагаемыхъ, можно измѣнить медокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, такую сумму можно разсматри-вп какъ состоящую изъ трехъ слагаемыхъ.
П\ Во всякой суммѣ можно перемѣнить мѣста двухъ послѣдовательныхъ сла-тнпъ, гдѣ бы они ни находились.
Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи пункта III имѣемъ
о 4- Ь + с 4- == а 4- д 4“ $ 4-
отбавляя къ равнымъ величинамъ поровну (по і), получимъ равныя, слѣд.
а 4~ ь 4- с 4~ $ + &== а + ~Н $ ~Н & 4~
•жада такимъ же образомъ
а4-ь4"с4~^4“б +/"=а4~^4'^“Ьс4~е+А «л д.
V. Можно измѣнить какъ угодно мѣста слагаемыхъ въ суммѣ.
Въ самомъ дѣлѣ, перемѣщая два послѣдовательныхъ члена одинъ на мѣсто можно всякое слагаемое помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ.
Тморей а III. сколько «лаш&мът ложно	суммою
чкжпи ее), и наоборотъ—одно слагаемое можно замѣнитъ нѣскѳлъ-которыхъ сумму оно представляетъ.
іоказательств о.—I. Помѣстимъ въ началѣ всѣ слагаемыя,,которыя мы ъ*евгъ суммировать; вычислимъ ихъ сумму, сообразно съ нхъ знаками; наконецъ, жетгаый результатъ помѣстимъ тамъ, гдѣ хотимъ. Эти преобразованія, закончись догорыхъ выше доказана, доказываютъ первую часть теоремы.
X Помѣстимъ на первомъ мѣстѣ слагаемое, которое желаемъ разложить; уяпвжпгъ его на части, сумму которыхъ оно составляетъ; наконецъ, размѣ
стимъ какъ угодно эти части въ данной суммѣ. Всѣ эти преобразованія, которыя по вышедоказанному всегда можно сдѣлать, служатъ доказательствомъ второй части теоремы.
Свойства разности.
16. Опредѣленіе вычитанія.—Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сло- • жепію, Вычесть изъ первой величины вторую значитъ найти такую третью величину, которая будучи сложена со второю, давала бы первую, Итакъ, вычитаніе служитъ для рѣшенія слѣдующей задачи: «по данной суммѣ а двухъ количествъ и одному изъ нихъ Ъ найти другое*.
Дѣйствіе вычитанія и результатъ его, называемый остатка#^ или разностью, обозначается слѣдующимъ образомъ:
а — Ъ,
Назвавъ остатокъ буквою по опредѣленію вычитанія имѣемъ
а = Ь—
Теорема I.—Вычитаніе какой угодно величины всегда можно замѣнить приданіемъ величины ей противоположной (т.-е. противоположнаго знака).
Доказательство. Замѣтимъ сначала, что сумма двухъ количествъ а и а*) одинаковой абсолютной величины, но противоположныхъ знаковъ, равна нулю, т.-е.
а-}-а = 0.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть, наприм., а есть количество положительное и выражается отрѣзкомъ ОМ; придать а значитъ отъ точки М влѣво отложить линію МО; придемъ въ точку 0. Такнмъ образомъ сумма, т.-е. разстояніе отъ начала перваго до конца второго слагаемаго, равна 0. (См. черт. 3.)
Состояніе лица, имѣющаго 5 р. капитала и 5 р. долга, очевидно, равно нулю, сл. -|” 5 р. + ( — 5 р.) = 0; и т. и.
Пусть теперь изъ а нужно вычесть I). По опредѣленію вычитанія, это значитъ: найти такое третье количество, которое, будучи сложено съ Ьт давало бы а. Такимъ свойствомъ обладаетъ количество а4-Ь; въ самомъ дѣлѣ:
а4“&4“^ = а4~І^4“М
I
по теоремѣ 1 свойствъ суммы. Но, въ силу только^что сдѣланнаго замѣчанія, количество въ скобкахъ равно нулю; слѣд.
а — Ь = &4~^
что и требовалось доказать.
Теорема И.— Уяіо&д вычесть	кужяо вычесть послѣдова-
тельно всѣ ея члены.
Доказательство.—Въ самомъ дѣлѣ, пусть нужно вычислить выраженіе
М — (д 4- Ъ + с — сі)*.
*) Въ этой теоремѣ и въ теоремѣ ГѴ* мы обозначаемъ равныя, по противопс* ложныя количества одинаковыми литерами разныхъ начертаній.
разность буквою 8, мы, по опредѣленію вычитанія, имѣемъ равенство 5 —|— (<х —|— Ь	с —
Лт
. по теоремѣ I свойствъ суммы,
К = 8 —р а —р & —с с?1
і перемѣнивъ мѣста слагаемыхъ:
Х = а-|-5-|-й-|-с4-Ь, ши, по той же теоремѣ:
И	(5 —[- й —|- с —|-
Здѣсь И есть сумма, 8-|~^4“сЧ“^~одно слагаемое, а—другое; по опредѣленію вычитанія (по данной суммѣ Й и одному слагаемому, а, другое опредѣляется вычитаніемъ) имѣемъ:
К —— а = 8 —|- б? —с Ь,
Такимъ же точно разсужденіемъ изъ послѣдняго равенства находимъ послѣдовательно:
И — а — Ъ = с (5 <0»
К — а — Ь — €= 5 Л;
К -— а — Ъ — с — сі — і.
Подставивъ вмѣсто 8 равную ему величину, находимъ
К —	+	= — а— Ъ — с —
что и требовалось доказать.
Принципъ, выражаемый этою теоремой, служитъ, между прочимъ, основаніемъ теоріи вычитанія цѣлыхъ чиселъ: изъ уменьшаемаго послѣдовательно отнимаютъ всѣ части вычитаемаго, разсматривая его какъ сумму единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.
Теорема Ш.-—Чтобы придать разность^ нужно придать уменьшаемое и изъ результата отнять вычитаемое.
Доказательство/—Пусть будетъ дана разность
а — Ъ = 8;
по опредѣленію вычитанія, имѣемъ
(і = с Ъ.
Придавая равныя къ равнымъ, получимъ равныя величины (приданіе 8 -|- Ь означаемъ скобками); сл.
Н4-а = Я-|-(8 + Ь);
отсюда, по теор. I св. сум., имѣемъ:
К -р а = И + 8 + Ь,
а во опредѣленію вычитанія:
или,* замѣнивъ 2 его величиною, получаемъ
Х-І-а —Ь = К + —6), что и требовалось доказать.
Теорема IV.— Чтобы вычесть разность, нужно вычесть уменьшаемое и къ результату придать 'вычитаемое.
Доказательство.—Изъ равенства
а — 6 = 8, имѣемъ
а = Ь + Ъ,
Придавая къ обѣимъ частями по Ь, имѣемъ:
а4_Ь = ? + Ь + Ь = 8; вычитая равныя изъ равныхъ, получимъ:
Х-(а^Ь) = Х-г;
отсюда, по теор. П св. рази., имѣемъ
X — а — Ь = X — 8
но вычесть Ь — то же самое, что придать 6; слѣд.
К_а-4_Ь = Х-§ = Х_(а —Ь), что и требовалось доказать.
Слѣдствіе. Придавая или вычитая разность, всегда можемъ измѣнить порядокъ двухъ производимыхъ дѣйствій.
Доказательство. — Чтобы доказать теорему для случая приданія разности, напишемъ равенство
Х4”а — 6 = а Ц- X — 6, справедливое потому, что въ суммѣ К-ра можно перемѣнить порядокъ слагаемыхъ.
Вторую часть равенства, на основаніи теоремы III св. разн., можно представить въ видѣ: а 4- (К — 6); слѣд.
Х4-а — 6 = а + (Х-6);
перемѣнивъ снова мѣста слагаемыхъ во второй части, получимъ х 4"* & — 6 ^=5 (х — 6)
опустивъ скобки, такъ какъ и безъ нихъ смыслъ дѣйствій ясенъ, имѣемъ
И -I- а — Ь = И — Ъ а. »
Для случая вычитанія разности, па основаніи случая приданія прямо имѣемъ: X — а Ц- Ъ = X’ Ъ — а.
Теорема V. — Разность не измѣнится, если къ уменьшаемому и вычитаемому придать или изъ нихъ вычесть одно и то же количество.
I
Доказательство. — Въ самомъ дѣлѣ, изъ равенства
а — Ь = 5,
♦
ж опредѣленію вычитанія, имѣемъ
а = 8 Ь.
Предавая къ равнымъ поровну, получимъ количества равныя, слѣд.
а 4- ~ 8 Ц- Ь 4*
ни по теоремѣ 1 св. суммы:
а т= 2 Ц- (Ь -|~ т)-
Отсюда по опредѣленію вычитанія,
(а 4“ т) — (Ъ	т) = 8,
ли, замѣнивъ 8 его величиною, имѣемъ
(а 4* т) — (Ъ т) = а — 6.
Совершенно аналогичнымъ пріемомъ докажемъ, что
(а — т) — (Ь — т) — а — Ь.
Слѣдствіе. — Всякая разность ртвна обращенной разности, взятой со знакомъ минусъ.
Доказательство. — Имѣя разность а — Ь, мы не измѣнимъ ее, вычтя изъ обоихъ членовъ ея по а; поэтому
а — Ь = (а — а) — (Ъ — а); ли
а — Ь = О — (Ь — а);
опустивъ ноль, получимъ окончательно
а — Ъ = — (Ь — а). >
Теорема VI. — Количество не измѣнится, если къ нему придать и затѣмъ вычесть одну и ту же величину,
Доказательство. — Въ1 самомъ дѣлѣ, по теоремѣ ІП о приданіи разности имѣемъ:
р_)_а _ а ==Р-4(«-«) = ₽ + О = Р.
Свойства полинома.
17. Выраженіе вида
а-\-Ъ —	— е
газывающее рядъ сложеній и вычитаній, называется полиномомъ или многочле-шлъ, Члены, предшествуемые знакомъназываются положительными, а ^едшествуемые знакомъ—, отршдетелъяылш. Если передъ первымъ членомъ ж иходится никакого знака, надо подразумѣвать -р. Члены полинома суть жтетва, которыя сами по себѣ могутъ быть или положительныя, или отри-
дательныя. Отдѣльный членъ, называемый одночленомъ или лонялола, всегда можно разсматривать какъ двучленъ или биномъ; въ самомъ дѣлѣ:
а = а О = О а — а — О.
18. Теорема.'—Во всякомъ полиномѣ можно какъ угодно измѣнятъ порядокъ членовъ^ сохраняя передъ ними ихъ знаки: величина полинома отъ этого не измѣнится.
Доказательство. — I. Сначала докажемъ, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ членовъ; т.-е., назвавъ совокупность предшествующихъ членовъ буквою Р, докажемъ справедливость равенствъ:
р^а_р = Р„Ь —
Р — а — Ь — Р — Ь — а.
Р -к а — Ь = Р — Ь — а. ] » л
. Въ самомъ дѣлѣ, по теоремѣ П свойствъ суммы, величина суммы не измѣнится отъ перемѣны мѣстъ слагаемыхъ: слѣд. 1-е равенство доказано.
Для доказательства второго припомнилъ, что на основаніи теоремы II свойствъ разности имѣемъ
Р — а — Ь = Р — (а 4- &);
измѣнивъ въ суммѣ мѣста слагаемыхъ, получимъ
Р — а — 6 = Р — (і а);
отсюда, основываясь опять на теор. II св. разн., вторую часть замѣняемъ формулою Р — Ъ — а, послѣ чего окончательно находимъ
Р — а— 6 = Р— Ь— а.
Наконецъ, на основаніи слѣдствія теоремы IV св. разн., прямо имѣемъ
Р + а — Ъ = Р — Ъ -|- а ,
и третье равенство доказано.
II. Докажемъ теперь, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣдовательныхъ (рядомъ стоящихъ) членовъ полинома.
Въ самомъ дѣлѣ, всякіе два рядомъ стоящіе члена суть послѣдніе члены полинома, составленнаго изъ нихъ и имъ предшествующихъ членовъ; а по 1 пункту нашей теоремы такіе два члена могутъ быть переставлены одинъ на мѣсто другого.
III. Можно измѣнить какъ угодно порядокъ членовъ. Въ самомъ дѣлѣ, пере-. ставляя два послѣдовательные члена одинъ на мѣсто другого, можно какой , угодно членъ полинома перевести постепенно на какое угодно мѣсто.
19. Приведеніе подобныхъ членовъ полинома. — Два члена, состоящіе изъ одинаковыхъ буквъ и надъ одинаковыми буквами имѣющіе одинаковыхъ показателей, а коэффиціенты и знаки которыхъ могутъ быть какіе угодно, называются подобными. Короче, гсойооншш	называются такіет у кото-
рыхъ буквенная частъ одинакова. Такъ, ЗоЧі3с и — 7а3Ь®с — подобны; также 4 (х — у)2#3 н — у (х — у)3#3 — подобны между собою.
Когда многочленъ содержитъ подобные члены, его можно упроститъ, соеди-
шъ подобные члены въ одинъ. Соединеніе подобныхъ членовъ въ одинъ назы-пется приведеніемъ.
При выводѣ правилъ приведенія нужно разсмотрѣть слѣдующіе случаи.
1) Знака подобныхъ членовъ одинаковы. Пусть данъ двучленъ, состоящій «п> положительныхъ членовъ, напр., ЗааЬ-|-5«я&. Знакъ подразумеваемый жредъ членомъ ЗааЬ, показываетъ, что слѣдуетъ придать Заа6; 4~ передъ ггорымъ членомъ означаетъ, что придается 5а*&; но придать За*й, а затѣгь
— все равно что сразу придать 8а2Ь, слѣдовательно
Зайі ~р 5а4Ь —	8а3Ь.
Возьмемъ двучленъ — 4аЬ3— 5аЬ3. Знакъ (—) передъ первымъ членомъ иѵказываетъ, что нужно отнять 4аЬ3; тотъ же знакъ передъ вторымъ членомъ означаетъ, что нужно отнять 5аЬ8; но отнять 4аЬ3 и затѣмъ 5аЬ® — все равно что сразу отнять 9аЬ3; итакъ
— 4аЬ3 — 5аЬ3 = — 9а63й
Отсюда правило: ее-ш знаки подобныхъ членовъ одинаковы, то для приве-аенія членовъ въ одинъ нужно буквенное выраженіе оставитъ безъ перемѣны, коэффиціенты сложить, а знакъ поставитъ общій,
2) Знаки приводимыхъ членовъ различны. Возьмемъ выраженіе, состоящее изъ двухъ подобныхъ членовъ съ разными знаками, напр., 5а*Ь3 — За3Ь3. Знакъ (-}-), подразумѣваемый передъ первымъ членомъ, означаетъ, что нужно придать 5аЧ3; (—) передъ вторымъ членомъ показываетъ, что нужно вычесть ЗааЬ®. Придать 5 разъ а2і3, а затѣмъ вычесть 3 раза а*Ь3 — все равно что придать 2 раза а263; сл.
5ааЬ3 _	= + 2айЬ3.
Въ выраженія: —5а3Ь3-|-2а*Ь3 заакъ (—) передъ первымъ членомъ показываетъ, что нужно 5 разъ вычесть а2й3; (+) передъ вторымъ члепомъ показываетъ, что нужно придать 2 раза а2Ь3; по это — все равно что отнять 3 рана аа&3, Слѣд.
— 5а2Ь3 -к 2аЧ>3 = — За3Ь3.
<)тсюда правило: /ми да знаки подобныхъ членовъ разные, иго для соединенія членовъ въ одинъ нужно — буквенное выраженіе оставить безъ измѣненія, изъ большаго коэффиціента вычесть меньшій и передъ разностью поставитъ знакъ большаго коэффиціента,
Можетъ случиться, что подобные члены имѣютъ одинаковые коэффиціенты, но разные знаки, напр., ^-1— 2а — 2«; очевидно, что такіе члены взаимно уничтожаются, т.-е. даютъ въ результатѣ ноль. Слѣд.
4~ 2а — 2а — О.
При помощи этихъ правилъ можно дѣлать приведеніе подобныхъ членовъ по-лнома, сколько бы ихъ ни было. Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя первое правило, іы соединимъ въ одинъ членъ всѣ подобные члены, имѣющіе одинаковые знаки; і’ <лѣ этого придется сдѣлать приведеніе членовъ съ разными знаками, примѣ-Аіл второе правило. Пусть, напр., данъ полиномъ
7а6 — 5аЧ>2 + 5аЧ>* — За162 + 8а*63 - 13а*Ьа+ а4Ь3 - Ь6.
Членъ 7а®, не имѣющій себѣ подобнаго, остается неприводимымъ. Члены: — 5а4Ьа и 5а46я, какъ подобные члены съ разными знаками и равными коэффиціентами, взаимно уничтожаются. Затѣмъ: —За4і* и —13а*Ь3 даютъ, по первому правилу, — 16а46*; члены:	и	по тому же правилу, лаютъ	Члены: — 16аЧ>3 и	по второму правилу, даютъ
— 7а*№. Наконецъ — 6®, какъ не имѣющій себѣ подобнаго, остается не приводимымъ. Такимъ образомъ данный полиномъ приводится къ слѣдующему сокращенному виду:
7а® — ІаЧ)* — Ъ'.
20.	Расположеніе многочлена по степенямъ главной буквы. — Когда показатели нѣкоторой буквы въ послѣдовательныхъ членахъ идутъ постоянно уменьшаясь или увеличиваясь, то говорятъ, что полиномъ расположенъ по степенямъ этой буквы, которая въ такомъ случаѣ называется моеной.
Такъ, полиномъ
3 — 5х -Ь 6-г1 — х* — х1
расположенъ по возрастающимъ степенямъ буквы х. Многочленъ
62	6’5
расположенъ по убывающимъ степенямъ буквы х.
Многочленъ
$ах*у — 14 4- 7«вх2^в
расположенъ одновременно по убывающимъ степенямъ буквы х и по возрастающимъ буквы у.
Многочленъ называется полнымъ, если показатели главной буквы идутъ увеличиваясь или уменьшаясь постоянно на единицу и если имѣется членъ, не содержащій главной буквы. Таковъ, наприм., многочленъ
ах1 -|- Ьх1 сх* + Лг 4“ *
это есть полный многочленъ относительно буквы х.
Если же нѣкоторыхъ степеней главной буквы недостаетъ, многочленъ называется неполнымъ, Наприм., 3^4-2х-рі
есть неполный многочленъ четвертой степени относительно буквы х: въ немъ недостаетъ члена, содержащаго
Сложеніе.
21,	Сложеніе полиномовъ. Теорема. — Чтобы придать полиномъ къ какому-нибудь количеству, надо всѣ члены полинома приписать къ этому количеству — каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ находится.
Первое доказательств о.—Опо основано па правилѣ приданія суммы или разности. Пусть требуется къ Р придать полиномъ а — Ъ с — й; дѣйствіе обозначаемъ, заключивъ многочленъ въ скобки:
Разсматривая й какъ .количество вычитаемое изъ а — обозначаемъ хго дѣйствіе, заключивъ «— Ь-|-с въ новыя скобки; такимъ образомъ полупимъ:
Р 4- (а — Ь	с —(?) = Р + [(« — Ь 4" с) —1 й].
Разсматривая а — Ъ с какъ одинъ членъ разности, а (I какъ другой, и припоминая, что по теор, III св. разы., дли приданія разности надо придать первый членъ и отнять второй, найдемъ:
Р 4- (а — 6 4“ с — й) = Р 4~ О* — Ь 4- с) — й.
Разсматривая а — Ь какъ одинъ членъ суммы, а с какъ другой, что обозначаемъ соотвѣтствующими скобками, имѣемъ:
Р -р (4 — Ъ 4- с — й) = Р 4~ [(« — Ь) 4~ С1
На основаніи теоремы III св. суммы можно членъ [(«— Ь)4*с] замѣнить уммою составляющихъ его членовъ; так. обр.
Р 4- (а — 6 4“ г — (?) = Р 4~ (а — Ь) 4“ с
Наконецъ, по теоремѣ о приданіи разности получимъ окончательно
р 4“ (4 — Ь 4" с —й) — Р 4“ а — Ь 4" *с —
Второе доказательство, — Оно проще перваго. Разсматривая прида-яьемый полиномъ какъ одинъ членъ, мы, перемѣняя мѣста слагаемыхъ, можемъ шисать:
Р -1- (а — 6 4~с— й) = (а —	— (?)4~Р-
Вторая часть равенства означаетъ, что изъ а надо вычесть Ь, затѣмъ прилить с, вычесть й и, наконецъ, придать Р: но тотъ же смыслъ будетъ имѣть выраженіе, если въ немъ опустить скобки; сл. имѣемъ право написать
Р 4~ (« — Ь 4~ е — (I) = а — Ь 4~ * — й 4- Р.
Переставивъ затѣмъ послѣдній членъ второй части па первое мѣсто, полу-«гь окончательно
Р4~(4 — &4“с — й) = ?4^а —
Итакъ, для сложенія многочленовъ надо члены одного многочлена приписать «ъ другому, каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ находится, и, еслп сдѣлать приведеніе. Па практикѣ, для удобства приведенія, пишутъ чле-ж одного многочлена подъ другимъ, наблюдая, чтобы подобные члены пахо-шоиь въ одномъ вертикальномъ столбцѣ. Такъ, пусть требуется сдѣлать сло-
•г* — 5аЪг 4" 7я#2 — а3 4“ (^а3 — х2 4“	— ЗЛг) 4“	— 2яа 4“
Располагая многочлены сказаннымъ образомъ, имѣемъ:
Г 4я3
I «з
— 5л^4“ 7 л#*— — ЗаЪ; — 4а.г4^-
8а3
а3
Слагаемыя < — я3 — За*я
Сѵмма. . , *
х3 —	4~ 11 “р 8а3
или, располагая члены по убывающимъ степенямъ буквы а:
8а® — 4аЪ?4“ Пси?1-(-о?®.
22.	Сложеніе мономовъ.—Правило этого дѣйствія можетъ быть выведено на основаніи правила сложенія полиномовъ, такъ какъ всякій мономъ можно разсматривать какъ биномъ.
Пусть къ какому-нибудь количеству Р, подъ которымъ будемъ подразумѣвать или полиномъ, или мономъ, требуется придать -[--а* Разсматривая 4~а какъ биномъ 0 4- а, иа основаніи правила сложенія полиномовъ, получимъ
Р4-(4-в)=Р+(о-Н)=Р+о-Н;
опуская 0, имѣемъ: Р^(-|-а) = Р + а............................(1).
Разсматривая —а какъ биномъ о — а, подобнымъ же образомъ найдемъ:
Р + (— а) = Р — (0 — а) = Р4-0-а = Р-а...........(2).
Итакъ.	одночленъ надо приписывать къ данному коли-
честву съ ею знакомъ.
Такъ, наприм.
(— 11а®ЬЪ?) = 5а3Ьия —11а8^вх;
по приведеніи же найдемъ: — 6а863хф
Такимъ же образомъ найдемъ:
1.	-|- 5 4’(4"7) = 4~ 5 4~ 7 — 4“ 12, ибо 5 положительныхъ единицъ да 7 такихъ же единицъ даютъ 12 положительныхъ единицъ или 4“ 12.
2.	— 5 4~(— 7) = — 5 — 7 5= — 12, ибо 5 отрицательныхъ да 7 отриц. единицъ даютъ всего 12 отрицательныхъ единицъ или —12.
3.	4-8 4-(—5) = 4-8 — 5 = 4~ 8, ибо 8 положительныхъ да 5 отриц. единицъ даютъ въ совокупности 3 положительныхъ единицы или 4“3-
Примѣчаніе, — Изъ послѣднихъ примѣровъ заключаемъ, что съ алгебраическимъ сложеніемъ не всегда соединяется понятіе объ увеличеніи: приданіе положительнаго числа означаетъ увеличеніе, приданіе отрицательнаго — уменьшеніе.
Теорема. — Всякій полиномъ можно разсматривать какъ сумму членовъ, ею составляющихъ.
Такимъ образомъ:
а —Ь4-с-Л = (-}-«) + ( —6) 4-(+ с) + (—й).
Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя правило сложенія мономовъ ко второй части равенства, найдемъ выраженіе, стоящее въ первой его части; заключаемъ, что преобразованіе, указываемое этимъ равенствомъ, законно.
Вычитаніе,
23. Вычитаніе многочленовъ. Теорема.— Чтобы вычесть мноючленъ изъ какого-нибудь количества, надо къ этому количеству приписать всѣ члены вычитаемаго съ обратными знаками.
Первое доказательство. — Оно основано на правилахъ вычитанія
тупы пли разности. Пусть требуется изъ Р вычесть многочленъ а — 6 с — оГ; гкігтвіе обозначаемъ, заключивъ вычитаемое въ скобки:
Р — (а~ Ь4~с — ^).
Разсматривая (I какъ количество, вычитаемое изъ а — Ь с, обозначаемъ тѣйствіе этого вычитанія, заключивъ а—>Ь-|-е въ скобки. Такимъ образомъ
Р — (а — Ь с — — Р — [(а — Ъ с) — Л]. ,
Разсматривая а —&4~с какъ одинъ членъ разности, а какъ другой, на стованіи теоремы IV св. разности, имѣемъ:
Р — [(а — & 4“ с) — <4 = Р — (а — Ь 4* с) +
Выраженіе въ скобкахъ разсматриваемъ какъ сумму двухъ слагаемыхъ, изъ вторыхъ одно=а—й, а другое с; обозначая это соотвѣтствующими скобками, пемъ второй части послѣдняго равенства видъ
Р-[(а-Ь) + с] + (/.
Это выраженіе примѣненіемъ теоремы II св. раза, преобразовываемъ въ слѣдующее:
Р — (а — Ь) — с 4-
Примѣняя сюда теорему IV свойствъ разности, находимъ
Р — а + Ь — <? 4-
Итакъ, указанныя преобразованія приводятъ къ равенству:
Р — (а — & 4~с — ^) = Р — а4~&~ +
то и требовалось доказать*
Второе доказательство.—Эту теорему можно доказать иначе, осно-шваясь на опредѣленіи вычитанія и на правилѣ сложенія многочленовъ.
Вычесть изъ Р многочленъ а — Ь 4~ с — й, значитъ найти такой многочленъ, задавъ къ которому вычитаемое, нашли бы уменьшаемое Р. Полиномъ, имѣю-жіі такое свойство, есть
Р — а 4“ Ь с 4“
гь самомъ дѣлѣ, придавая къ нему данное вычитаемое, для чего надо всѣ члены ькдѣдняго приписать съ ихъ знаками, паходимъ
Р — а 4~Ь — с + й + а — Ь 4“ € — Ф
'Хілавъ въ этомъ выраженіи приведеніе, находимъ въ результатѣ Р. Стало дѣйствительно Р — а4”& — с 4" есть остатокъ вычитанія многочлена
* — Ь4~с — & изъ Р, т*-е.
Р — (а — Ь 4~ с — (1) = Р — а 4~ Ъ — с 4- й.
Итакъ, для вычитанія многочленовъ надо къ уменьшаемому приписать члены сжигаемаго съ обратными знаками и, если можно, сдѣлать приведеніе.
На практикѣ, для удобства приведенія, пишутъ члены вычитаемаго подъ жи^Ььзаеіымъ, наблюдая, чтобы подобные члены находились въ одномъ верти-и^ъ-ть столбцѣ.
Такъ, пусть требуется сдѣлать вычитаніе:
(5а36а _ 7аз6з  Ь5) _ (2а36* — 7аѢ* + Заі4 — 66й).
Располагая многочлены сказаннымъ образомъ и перемѣняя въ вычитаемомъ знаки на противоположные (измѣненные знаки поставлены на верху), имѣемъ:
Уменьшаемое. ....	5а362 —7а263 + 8а&4— Ь5
Вычитаемое............—2а362 + 7а263 ч- ЗяЬ4 Ч- 663
Остатокъ................ За362	+ баб4 + 56я
24. Вычитаніе мономовъ.—Правило вычитанія одночленовъ можно вывести на основаніи правила вычитанія многочленовъ, такъ какъ всякій одночленъ можно разсматривать какъ двучленъ.
Пусть изъ какого-нибудь количества Р, подъ которыхъ можно подразумѣ-вать или многочленъ, или одночленъ, требуется вычесть — а. Разсматривая + а какъ биномъ на основаніи правила вычитанія многочленовъ находимъ
Р — (—а) = Р — (О —а) = Р — О —а;
опустивъ О, имѣемъ:
Р —(+«) = Р —а. . . . (1).
Разсматривая — а какъ биномъ О — а, подобнымъ же образомъ найдемъ:
Р —(— а) = Р—(О —а) = Р — 0 + « = Р + а . . .(2).
Такимъ образомъ, вычитаемый одночленъ надо приписывать къ уменьшаемому съ обратнымъ знакомъ.
Напримѣръ
5а362с — (— 2а362с) = 5а361*с + 2а36'2с = 7а363с.
Такимъ же образомъ найдемъ:
1) 3 —(4-5) = 3 — 5 = — 2.
2) з — (— 5) = 3 + 5 =4-8.
Замѣчая, что остатокъ перваго вычитанія (—2) меньше уменьшаемаго, между тѣмъ какъ остатокъ второго (+8) больше уменьшаемаго, заключаемъ, что съ алгебраическимъ вычитаніемъ не всегда соединяется понятіе объ уменьшеніи: вычесть положительное число—значитъ уменьшить, вычесть отрицательное—значитъ увеличить.
Примѣчаніе.—Правило вычитанія одночленовъ можно бы было вывести непосредственно, основываясь на опредѣленіи этого дѣйствія; такой выводъ ничѣмъ не отличается отъ второго доказательства правила вычитанія многочленовъ, потому мы его и опускаемъ.
Употребленіе скобокъ.
25. Если многочленъ пли нѣсколько его членовъ заключены въ скобки, то можно ихъ опустить, написавъ многочленъ безъ скобокъ. Дѣйствіе это назыв. раскрытіемъ скобокъ, а правила его непосредственно вытекаютъ изъ правилъ сложенія п вычитанія многочленовъ. При этомъ слѣдуетъ разсмотрѣть два случая. V
1. Если передъ скобками стоитъ знакъ +, то можно опустить скобки вмѣ--гі съ знакомъ, который передъ нями находится, переписавъ члены, стоявшіе жъ скобкахъ, съ ихъ знаками. Такъ, выряженіе
а -|- (— Ь -}- с — -|- е), в» раскрытіи скобокъ, дастъ, по правилу сложенія, а — 6 4~ с —
2. Если многочленъ или часть его заключены иъ скобки, передъ которыми Т'<гь знакъ —, то можно опустить скобки вмѣстѣ съ знакомъ, который имъ і^ішествуетъ, перемѣнивъ знаки у всѣхъ членовъ, стоящихъ въ скобкахъ. Такъ, мзогочленъ
а —& — (—₽ + /•—А),
•• гласно съ правиломъ вычитанія, по раскрытіи скобокъ дастъ: а — Ь € — /’4~ Л.
Если многочленъ содержитъ нѣсколько паръ скобокъ, то ихъ можно уничто-вть послѣдовательно, начиная или съ внутреннихъ, или съ наружныхъ, руко-згитвуясь каждый разъ вышеприведенными правилами. Такъ, въ выраженіи х —[6 4"(С — Ф] раскрывъ сперва наружныя скобки, найдемъ •
а— Ь — (с —’ Й), пенимая на время с — за одинъ членъ. Раскрывая оставшіяся скобки, нахо-итъ окончательно
а — Ъ — с + й.
Наоборотъ, раскрывая сначала внутреннія скобки, т.-е. вида ( ), въ выжженіи
а —I——(<? — е)]|, вотчимъ
а - | - Ь + [с —
шарывъ затѣмъ квадратныя скобки, найдемъ
а — | — Ь 4“ с —- (7 4~ & 11
шаривъ, наконецъ, фигурныя скобки, получимъ окончательно: а 4- Ъ — <? 4-
Наоборотъ, можно многочленъ или часть его заключитъ вг> скобки, такъ чвмі передъ иими былъ опредѣленный знакъ. Здѣсь опять надо разсмотрѣть ж случая.
1. Если многочленъ или часть его желаемъ заключить въ скобки со зна-жп — передъ ними, то у членовъ, вносимыхъ въ скобки, слѣдуетъ сохранить къ жаки. Такъ въ выраженіи а4~Ь—с — внося три послѣдніе члена * скобки со знакомъ 4~ передъ ними, получимъ
а4~^“Ь(——е);
этого преобразованія подтверждается тѣмъ, что. раскрывъ скобки, вввнгъ іанное выраженіе а-\-Ь — с 4* — е.
2. Если же многочленъ или часть его требуется заключить въ скобки со знакомъ — передъ ними, то у членовъ, заключаемыхъ въ скобки, надо знаки перемѣнить на обратные. Такъ, если три средніе члена многочлена а — Ь-}-/— — А 4- к нужно заключить въ скобки со знакомъ -— передъ ними, то найдемъ:
(Ъ — /*4“ А) —к;
справедливость преобразованія доказывается тѣмъ, что, раскрывъ скобки, находимъ данное выраженіе
а — Ь —|— / — А —к.
Можно въ данный многочленъ вводить и нѣсколько паръ скобокъ. Такът наприм.. многочленъ а— 6-|-е — й4"е—/* можно написать въ видѣ
Л —[ — Ь 4“ С — — О 4*/)]'
ГЛАВА IV*
Умноженіе,
Опредѣленіе.—Правило знаковъ.—Законъ перемѣстительный. — Умноженіе одночленовъ.—Умноженіе многочлена на одночленъ и обратно.—Умноженіе многочленовъ.— Замѣчательные случаи умноженія.
26. Опредѣленіе. — Если для умноженія даны два ариѳметическія цѣлыя числа, иапр. 5 и 4, то умножить первое на второе значитъ взять первое сла-
»	4
гаемымъ 4 раза. Но если бы требовалось умножить о на -у, то данное опредѣленіе теряетъ смыслъ въ примѣненіи къ этомѵ случаю, потому что нельзя
4	"
взять 5 слагаемымъ у раза. Такимъ образомъ, опредѣленіе дѣйствія умноженія, въ случаѣ умноженія на дробь, должно быть измѣнено, но такъ, чтобы оно не противоречило опредѣленію умноженія на цѣлое число. Умножая 5 на 4. мы повторяемъ множимое слагаемымъ четыре раза, т.-е. составляемъ изъ множимаго новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы. Распространяя такое понятіе объ умноженіи па случай дробнаго множителя, т.-е.
г 4	,
понимая подъ умноженіемъ наприм. э па у —составленіе изъ э новаго числа такъ, какъ у составлено изъ единицы, мы даемъ такое опредѣленіе умноженія. которое, осмысливая случай умноженія на дробь, не противорѣчитъ въ то же время опредѣленію дѣйствія умноженія на цѣлое число. Распространяя это опредѣленіе и на алгебраическія количества, Лакруа даетъ слѣдующее общее опредѣленіе умноженія: умножитъ одно количество на другое значитъ— изъ множимаго составить новое количество такъ, какъ множитель составленъ изъ положительной единицы.
27, Правило знаковъ. — Примѣнимъ это опредѣленіе къ выводу правила знаковъ при умноженіи.
Пусть требуется положительное количество (4~ 5) помножить на положительное количество (4-4). Это значитъ: изъ -|-5 составить новое количество такъг какъ множитель 4“ 4 составленъ изъ положительной единицы. Но для составле-
ал — 4 изъ 4" 1 надо 4' 1 повторить слагаемымъ четыре раза; въ самомъ лл (4-1) 4“ (“Ь і) А- (4* 0 4* (4~ 0=+14" 14~14~1 = 4~ п по-^ку для нахожденія произведенія надо и 4"5 взять слагаемымъ четыре раза. Ъд~дімъ
5 .(+4) = (+5)4-(+5) + (^г5) + (+о) = + 5 + 5 + 5 + 5=х + 20 . . .(1).
Пусть требуется (—5) помножить на (Н-4), По опредѣленію, это значитъ іх~> і — 5) составить новое количество такъ, какъ (4~ 4) составлено изъ поло-хтт*льной единицы, т.-е. надо (— 5) повторить слагаемымъ четыре раза. На-
— 5і . (4-4) = (—5) + (— 5) + (— &) + (— 5) = —5 —5 — 5 — 5 = — 20. . .(2).
Дано:	помножить на (— 4). По опредѣленію, надо изъ (4" 5) госта-
«в новое количество такъ, какъ (—4) составлено изъ (4 1). По для соста-ояія (—4) изъ (4~ О нужно у (4“1) перемѣнить знакъ на обратный, я съ тжъ измѣненнымъ знакомъ взять ее слагаемой четыре раза; дѣйствительно: - в-|_(_ і) + (_ 1)_|_(_ 1) = -4.
'Свершая надъ множимымъ тѣ же дѣйствія, что и надъ (4~1), должно: у — 5) перемѣнить знакъ на обратный, вслѣдствіе чего получимъ (—5), а за-"Лжъ — 5 повторить слагаемымъ четыре раза. Найдемъ
-	.(-4)-(~5) + (-5) + (—5) + (— 5) = — 5 5 — 5-5 = —20. . . (3).
Пусть, наконецъ, требуется (— 5) помножить на (— 4). Согласно опредѣ--ря». нужно у ( — 5) перемѣнить знакъ на обратный, и съ этимъ измѣненнымъ жкдгь взять его слагаемымъ четыре раза. Получимъ
— 5 • * (— 4) — (+ 5) + (+ о) 4- (+ 5) + (Н- 5) —|- 5 + 5 }- 5 -(- 5 = |- 20 . . . (4).
Результаты: (1), (2), (3) и (4) приводятъ къ слѣдующему правилу: при ѵлхаженіи двухъ количествъ надо перемножитъ ихъ абсолютныя вели-«мы и передъ результатомъ поставитъ знакъ 4~> есл*{ множимое и лвь+зеителъ имѣютъ одинаковые знаки, и (—), если оба сомножителя знаки разные.
При выводѣ этого правила мы брали числа цѣлыя. Возьмемъ теперь дробію жда; пусть, паприм., требуется	уѴ Но опредѣленію умно-
ж’яьг надо изъ I — уі составить новое количество такъ, какъ
ілм» взъ (4'0- Но Для составленія уизъ (+1) надо: 1) 4~ 1 раздѣлить ян _ вслѣдствіе чего получимъ 14" у)? въ самомъ дѣлѣ, помноживъ на
* повторивъ слагаемымъ 7 разъ, найдемъ \4"у)4~(4"уу 4“ ’ ’ ' =Н”у ля—1; 2) затѣмъ слѣдуетъ (“Ьу) повторить слагаемымъ пять разъ; сдѣ-мі тгв. найдемъ —у; н 3) въ результатѣ перемѣнить знакъ на обратный,
і летъ	Поступая съ І~уу| такъ,екакъ сейчасъ мы поступали
2	2
• >—-1дѣлимъ, во-первыхъ. —у на 7, вслѣдствіе чего находимъ —;
соста-
х 2	>	2X5
повторяемъ, затѣмъ, — ^слагаемымъ пять разъ, что даетъ —3-77-?; нако
нецъ, въ результатѣ перемѣняемъ знакъ и находимъ
Итакъ:
/ П /	_.2 1
3 / Д 7 / —3* ‘ 7
что согласно съ вышеприведеннымъ правиломъ.
Такимъ образомъ, обозначая буквами а и абсолютныя числа, цѣлыя или дробныя, имѣемъ:
(+а) • (4“ = 4" н*
а). (+?) = — 2-?• (+ а).(— =І) = — а.?. (— з).(— =і) = 4-я.>.
28. Обобщеніе правила знаковъ — Пусть о и Ь будутъ два количества, которыя сами по себѣ представляютъ числа положительныя или отрицательныя; и распространимъ правило знаковъ и на этотъ случай. Докажемъ, напр., что каковы бы ни были знаки а и б, всегда (—а), (—й) =-|-яЬ. Разсмотримъ четыре случая:
1. Пусть а —-|-а,	гдѣ а и —числа абсолютныя, цѣлыя или
дробныя. Въ такомъ случаѣ: — а = — (4~ а) = — а, — Ъ = ~ (-{- }) = — ^ слѣдовательно
(— а). (— Ь) = -- а. —
Съ другой стороны
аЬ = -{* (+ * * 4” ?) = 4“ (+ °Ф) = 4“ яЗ.
Итакъ, количества (—а)(—б) и 4“^Л какъ равныя порознь одному и тому же количеству -р равны между собою, слѣд.
(—• (—&) = + а^
II. Пусть а =— а, Ь — + ^, гдѣ а и рі числа абсолютныя.
Въ этомъ случаѣ: —а = -(— а) = 4~я, и —Ь = — (4“?) —— слѣд.
(— а) . (— &) = + я • —? = —-а?-
Съ другой стороны
-I- аЬ — + (—і. 4-	— + (-а?) = — д?.
Заключаемъ опять, что и въ этомъ случаѣ
(— а) . (— 1)) = -}-аЬ.
Ш. Пусть а — + а, Ь — — отсюда: — а = — (-(- а) = — а, и — Ъ = = — (— ?) =+ ?; слѣд. (— а) . (—&) = — а . + ^ = — зф.
Но 4-аЬ = + (4-а. -?) = + (-!>) = -а?-
Опять находимъ, что
( — а) . (—* Ь) =
?т Пусть, наконецъ, а= — а, Ь = — въ такомъ случаѣ:
— а = — (— 1) — + 7; — 6 = — (— 3 — + 3? СЛѢД.
(—а) . (— Ь)=-|~а • + ?= +а?-
Я> і —а/, = + (~а . — 2)= + (+а?)==-Н2-
•'та имѣемъ
(— л) • (—	=+«6.
Итакъ, каковы бы пи были знаки количествъ а и &, всегда имѣемъ:
(— а) . (— 6) — а/л
Такимъ же точно образомъ можно убѣдиться, что вышедоказаиное правило жы<*въ распространяется и на три остальные случая; такъ что, каковы бы ни Чии количества а и Ь — положительныя или отрицательныя, и каковы бы ни •*л игъ абсолютныя величины — цѣлыя пли дробныя, всегда имѣемъ:
(+ а) • 0+ Ь) — + (“ а) • (+&) = — (+«) . (— Ь)=^аЬ;
(— а) , (— 6) = -}“
Правило знаковъ при умноженіи, въ сокращенной формѣ, выражаютъ такъ:
-«хшитяе знаки даютъ въ произведеніи плюсъ, а разные — минусъ.
Слѣдствія. — Укажемъ нѣкоторыя слѣдствія правила знаковъ:
1)	Произведеніе положительныхъ количествъ всегда положительно; такъ.
(-1- 2) . (+ 3) . (4- 4) = + 24.
-) Знакъ произведенія отрицательныхъ множителей зависитъ отъ числа ихъ, иенно: если число ихъ четное, то произведеніе будетъ положительное, потому ттѵ въ такомъ случаѣ его можно разбить на нары, изъ которыхъ каждая даетъ яакъ (+); еели же число отрицательныхъ множителей нечетное, то произведете будетъ отрицательное, такъ какъ въ этомъ случаѣ будетъ одинъ отрица-’-іьный множитель, для котораго пѣтъ нары. Такъ:
1) (+ 8) . (- 5). (- 2) = (~ 40) . (- 2) = + 80;
2)	(+ 8) . (- 5) . (- 2) . (- 3) = (+ 80) . (- 3) = - 240;
3)	(-}-8).(~5).(— 2) .	3) , (— 7^ = (— 240) .(-7) = +1680 и
под.
Примѣчаніе. — Правило знаковъ встрѣчаемъ уже у Діофанта (365 по ?. X.), но безъ' доказательства. Знаменитый Эйлеръ въ своей алгебрѣ даетъ лііующее доказательство: (—а) . (—Ъ) равно или + + или —аЬ, третьяго ^ультата быть не можетъ. Этимъ результатомъ не можетъ быть —аЬ, потому что такое произведеніе происходитъ илп Отъ (—а)(+Ь). или отъ — &).(+я). Поэтому, произведеніе будетъ = + «/>. Очевидно, это доказа-т-иіггво, какъ и доказательство Крампа. не выдерживаетъ критики. Крампъ гъ своей Всеобщей Аргюметикѣ говоритъ: «Теорема, въ силу которой два от-жіательные множителя даютъ произведеніе со знакомъ, противоположнымъ лш-•ку, и слѣд. положительное, сводится къ извѣстному правилу грамматики: шмеі пеШіо аГіігтаЬ.
29. Теорема.'— Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны порядка сомножителей. Эта теорема составляетъ такъ называемый законъ перемѣстительности въ умноженіи. Докажемъ ее:
1)	для цѣлыхъ положительныхъ сомножителей;
2)	для дробныхъ положительныхъ производителей;
3)	для отрицательныхъ, цѣлыхъ или дробныхъ производителей.
1. Имѣемъ два цѣлыхъ положительныхъ числа а и Ъ; умножить а на Ь1 значитъ повторить а слагаемымъ Ь разъ; сл.
а # Ъ — Я1 4~~ а ~I- я 4~ а —, но а — 1 -р 1 4~ 1 4~ 1	,
д . Ъ = 1 4” 1 1	1 4”
— (1 4“ 1 + 1 ~~ 1 4~
+ (і + і-н + і +
. (6 разъ):
. (а разъ); слѣд.
... а разъ)
... Ш)
... й) 
... И) )
Число горизонтальныхъ строкъ = 6.

Приходится составить сумму единицъ, содержащихся въ этигь Ь строкахъ. Это можно сдѣлать двоякимъ образомъ^
1) Складывая единицы въ каждыхъ скобкахъ, число которыхъ равно Ь9 мы получимъ Ъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое = я; такимъ образомъ нужно я повторять Ъ разъ слагаемыхъ, что и даетъ намъ произведеніе я.Ь,
2) Можно взять сумму единицъ, составляющихъ первый вертикальный рядъ и равняющуюся Ь; затѣмъ сумму единицъ второго вертикальнаго ряда, равную также Ь, и т. д., а какъ всѣхъ вертикальныхъ рядовъ а, то приходится Ъ повторить я разъ слагаемымъ: найдемъ.
й 4“ & 4“ Ь 4““ • -  (а разъ) = Ь. я.
Итакъ, сумма одного и того же числа единицъ можетъ быть представлена произведеніями а . Ь и Ь , я; т.-е.
аЬ = Ьа.
Возьмемъ теперь произведеніе нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ сомножителей и назовемъ буквою Р произведеніе всѣхъ ихъ, кромѣ двухъ послѣднихъ; можно доказать, что въ произведеніи Ршп можно перемѣнить мѣста двухъ послѣднихъ множителей, не измѣняя этимъ величины произведенія, т.-е. что Ртпв ~ Въ самомъ дѣлѣ
Рт = р	р 4- Р -|- . . . (т разъ\
1 а . ?
’Л
Произведеніе Ря»я- представляетъ сумму п ждое — Рш или, что тоже, = Р 4~ Р 4" Р Ч- *
слагаемыхъ, изъ. которыхъ ка-. . (т разъ); слѣдовательно
Ртн = (р 4- Р 4- р 4- .
. (т разъ) ій) И)
Число горизонтальныхъ строкъ = п.
Эту сумму можно вычислить двоякимъ образомъ:
I) Въ каждыхъ скобкахъ имѣемъ ж слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое
= ?: поэтому каждыя скобки даютъ Риі; это количество повторяется слага-мйкхъ п разъ, сл. сумма = Рти.
2) Иначе: въ каждомъ вертикальномъ ряду имѣемъ п слагаемыхъ, изъ кожъ каждое — ₽; сл. каждый вертикальный рядъ даетъ Ри; а какъ всѣхъ вер-чаиальныхъ рядовъ т, то общая сумма = Рпт, Итакъ
Ртп =рпт
Основываясь на этомъ выводѣ, докажемъ, что если дано произведеніе изъ гѴколькихъ цѣлыхъ положительныхъ' чиселъ, то каждое изъ нихъ можно помѣ-"гтть на каждомъ мѣстѣ.
Такъ, имѣя произведеніе аЬссІе^ можемъ, на основаніи предыдущей теоремы, замѣнить его произведеніемъ аЪсесі. Затѣмъ, разсматривая сіи какъ два по-лѣдніе множителя произведенія аЪсе, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ аЪес, такъ что аЬсеЛ ~ аЬес(і. Разсматривая Ь и е какъ два по-<^ѣдніе множителя произведенія дЬе, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ аеЬ, такъ что аЬесгі—аеЬсй, Наконецъ, перемѣняя мѣста множителей произведенія не, находимъ аеЪссІ — еаЪгіІ. Такимъ образомъ, послѣдовательно имѣемъ
аЬссІе =*= а Ъсесі = аЬеаІ — аеЪссІ = еаЬсЗ,
 ъкуда видимъ, что множитель # можетъ быть поставленъ на каждомъ мѣстѣ произведенія, ие измѣняя величины его.
. Это справедливо относительно каждаго множителя; слѣд. въ произведеніи цѣлыхъ положительныхъ множителей можно каждаго изъ нихъ помѣстить послѣ-ховательно па каждое мѣсто, не измѣняя этимъ величины произведенія.
II. Пусть множители будутъ положительныя дроби. Означая буквою Р про-взведеніе, предшествующее двумъ послѣднимъ множителямъ -- и нрипоми-іхя правило умноженія дробей и замѣчая, что правило знаковъ доказано и для дробныхъ множителей, находимъ
Такимъ образомъ и здѣсь произведеніе не измѣняется отъ перестановки двухъ послѣднихъ множителей. А отсюда, примѣняя вышеприведенныя разсужденія, находимъ, что
а
Ь
с	е	к	т	а	с	е	т	к	а	с е	к
(і	[	і	п	Ь	сі	г	ѣ	і	Ь	&	п ?	і
___ д т с е к_____________________т д с е к
Ь п ' <і * 7 ♦* і п' Ь ' (Г [ і
т.-е. въ произведеніи нѣсколькихъ дробныхъ положительныхъ множителей можно послѣдній изъ нихъ помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ произведенія, не взмѣняя величины послѣдняго. Правило это справедливо и для всѣхъ дробныхъ юдожительныхъ множителей.	*
III. Если множители произведенія будутъ отрицательные, дробные или цѣлые, то произведеніе, по абсолютной величинѣ, равно будетъ произведенію тѣхъ же множителей, но взятыхъ съ положительными знаками. Но. по доказанному, гь произведеніи положительныхъ множителей можно измѣнять порядокъ ихъ какъ угодно, не измѣняя этимъ величины произведенія. Поэтому абсолютная величина
нашего произведенія не измѣнится отъ перемѣны мѣсгь множителей. Слѣдовательно, если измѣненіе порядка множителей можетъ оказать какое-нибудь вліяніе на величину произведенія, то это вліяніе можетъ простираться только на его знакъ. По выше было показано (§ 28, р. 2), что знакъ произведенія отрицательныхъ множителей зависитъ только отъ ихъ числа, но не отъ порядка, въ которомъ они размѣщены; а какъ число ихъ при производимыхъ перестановкахъ остается то же самое, то и знакъ произведенія всегда будетъ одинъ и тотъ же. Итакъ, измѣняя порядокъ множителей въ произведеніи отрицательныхъ чиселъ, мы этимъ не измѣнимъ ни величины, ни знака произведенія.
С л ъ д с т в і я [. Чтобы умножить данное количество на произведеніе нѣсколькихъ другихъ, нужно его послѣдоватЛьио умножить на множители этого произведенія. Это—такъ-пазываемый законъ сочетательный въ умноженіи.
Въ самомъ дѣлѣ:
т(аЪс) = (о&срн,
по закону перемѣстительному: выраженіе во второй части показываетъ, что а нужно умножить на Ъ> произведеніе на с, и новое произведеніе на лГ; опустивъ, для сокращенія скобки, найдемъ
т(«6с) = абст,
но по закону перемѣст., аЬсш = юш&с, сл. окончательно
лЦабс) = таЬс.	•
II- Чтобы умножить произведеніе на нѣкоторое количество, нужно на это количество помножить одного изъ производителей.
Въ самомъ дѣлѣ:
(аЬсЛ)т = аЬаІт (опустивъ скобки)
= стаМ (по закону перемѣстительности) = (ст)аЪ(1 (цо смыслу скобокъ) — аЬ(ст)(1 (по закону перемѣст.).
ІИ. Во всякомъ произведеніи можно: нѣсколько множителей запѣнить ихъ • вычисленнымъ произведеніемъ и обратно, какой угодно множитель другими, которыхъ произведенію онъ равенъ.
Въ самомъ дѣлѣ:
1) Всегда возможно разсматриваемые множители перемѣстить такъ, чтобы они стояли рядомъ; составить затѣмъ ихъ произведеніе; и помѣстить послѣднее куда угодно какъ множителя.
2) Всегда возможно множителя, который желаемъ разложить, помѣстить на первомъ мѣстѣ; замѣнить его сомножителями, произведеніи» которыхъ онъ равнялся бы; и наконецъ расположить этихъ множителей, какъ угодно.
30. Правило показателей. — Разсмотримъ умноженіе степеней одного и того же основанія. Пусть, напр., требуется умножить л1 на а3. Мы знаемъ, что а* = а.а,а.а.а и а5 = а.а.а; слѣдовательно аѴ —а.а.«.а,а.«д.а = а8. Отсюда заключаемъ, что произведеніе имѣетъ то же самое основаніе^ а показатель его равенъ суммѣ показателей множителей. Пусть вообще дано помножить ат на гдѣ а какое-нибудь количество: а т и и — числа цѣлыя и положительныя.
Замѣчая, что ам = а.а.а . . . гдѣ « повторяется множителемъ т разъ, и аи = алі.аа . . . . гдѣ а берется множителемъ п разъ,
находимъ, что т разъ	» ризъ
ат,аи = а.а.а ....... а.а.а • •	. . =
— а.а. а......................=ат-г*г
роп
Итакъ: а^.а" — ат+л. Слѣд. имѣемъ правило:
Произведеніе двухъ степеней одного и тою же основанія есть другая степень тою же самаго основанія^ которой показателъ равенъ суммѣ показателей сомножителей.
31. Умноженіе одночленовъ. — Пусть дано перемножить одночлены
:;	6а562с3</4 X эа*Ь*ср.
Перемѣнивъ порядокъ множителей 6,а\д2,с3/?\5,аа и т. д., отъ чего величина произведенія не измѣнится, даемъ произведенію видъ
6.5.а\а2.ЬѴАс8.сл/4./^;
4	«
примѣняя сюда правило показателей 30), имѣемъ
6.5.а7Ь8с4йу2.
> №Ь*с9(1' X 5»*ЬV2 = 30а ѴсМУ2.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило умноженія одночленовъ:
1)	перемножить.
2) Затмись яаписать одну за другою вегъ различныя буквы, входящія въ оба одночлена, и при каждой поставитъ показателъ, равный суммѣ показателей этой буквы въ сомножителяхъ; если же буква вхо-  дитъ только въ одинъ изъ сомножителей, ее пишутъ въ произведеніи съ тѣмъ показателемъ, какой она имѣетъ.
Примѣръ. Умножить: —7ж”*удя2(и— я)8 на |	— ѵ)3.	।
Замѣчая, что знакъ произведенія долженъ быть (—), и примѣняя найденное правило, получимъ въ произведеніи
Умноженіе многочлена на одночленъ.
32. Пусть требуется умножить — с на с7, гдѣ подъ буквами а, Ь и с можно разумѣть какія угодно числа. Что же касается множителя (I, то слѣ-іуетъ различать нѣсколько' случаевъ.
1. Пусть <1 есть цѣлое положительное число, напр., б/~4. Припоминая •шредѣленіе умноженія и замѣчая, что 4 составлено повтореніемъ положительной
единицы, какъ слагаемаго, четыре раза, заключаемъ, что и множимое надо повторить слагаемымъ столько же разъ* Получимъ
(а —Ь — с). 4 = (д 6 — с) —|— (а —|— Ь — с)	(а -|— Ь — с) —(а —|" & — с) =
= 4а 46 — 4с.
4 Результатъ показываетъ, что для умноженія многочлена на цѣлое положительное число нужно каждый членъ множимаго отдѣльно помножить на это число, соблюдая правило знаковъ.
3
2.	Пусть сі равно нѣкоторой положительной дроби, напр. По опредѣле-
нію, умножить а 4- Ь — с на — значитъ изъ множимаго составить новое коли-і	4
честно такъ, какъ множитель составленъ изъ 4-1. Но для составленія А изъ 4-1,  і!	*	•	;	। і
надо отъ взять четверть, вслѣдствіе чего получимъ 4~"ра затѣмъ + у
'	3
помножить на 3, что и даетъ дѣйствительно 4--^- Итакъ, мы должны: 1) взять четверть отъ а 4~6 — с и 2) полученный результатъ умножить на 3.
Можно доказать, что для раздѣленія многочлена а 4~6 — с на 4 нужно каждый его членъ раздѣлить на 4, удерживая передъ каждымъ изъ отдѣльныхъ частныхъ тотъ знакъ, какой имѣетъ дѣлимый членъ, т.-е. что
а + 6 — с	а । Ь	с
-	«__.«•	•» «	ф
4	4’4	4
Для доказательства помножимъ частное на 4; по извѣстному уже правилу ум-. ноженія многочлена на цѣлое положительное число найдемъ:
(Л_1_ А_ 4 = — . 44-^ ‘4— — • 4.
\4 ’ 4	4 /	4	4*4*’
п »	а 1	. .	4
Замѣчая, что д- или -д-а, умноженная на 4, даетъ -*-а или а и т. д., находимъ, что
. _	4-^ — -^.4 = а4~Ь — с.
Итакъ, помноживъ частное на дѣлителя, мы нашли въ результатѣ дѣлимое, а потому дѣйствительно
Это выраженіе надо умножить на 3. По извѣстному уже правилу умноженія на цѣлое положительное число получаемъ
/ 1-а4-1Ь — -У • 3 = 1я • 3 + 4-і • 3 - -{-с . 3,
\ 4	1 4	4/	4	4	4 т
или, относя з множителемъ къ А, найдемъ окончательно:
*ж
•	/17	\ з ___ 3	। 31	3
(а 4- ь _ С). _ = _.а_|_	— тс,
I	X
т.-е. для умноженія многочлена на положительную дробь нужно каждый членъ множимаго умножить отдѣльно на эту дробь, соблюдая правило знаковъ.
3.	Пусть Л равно нѣкоторому отрицательному цѣлому числу, напр., = — 3. По опредѣленію умноженія, нужно съ множимымъ поступать такъ, какъ съ —Р 1 при составленіи изъ нея —3, т.-е. перемѣнить у множимаго знакъ, что даетъ — (« —|—6— с), и затѣмъ повторить это выраженіе слагаемымъ три раза. Итакъ
(а-|- Ъ — с) . —3 = —	— с) — (« + Ь — с) — (а-|-Ь — с).
По раскрытіи скобокъ и по приведеніи, находимъ
{а + Ь — с) . —3 — — За —3& + 3с.
Результатъ этотъ приводитъ къ тому же заключенію, какъ и два первые случая. 2
4.	Пусть наконецъ д=—	т.-е. отрицательной дроби. Замѣтивъ, что
2	2 ѵ і
— у = у X — 1 > имѣемъ:
(а4-ь — с). - Л =[(а4-г>—с).	— 1.
Отсюда видно, что иуждо а-1-Ь — с умножить сперва на положительную дробь 2
у> а затѣмъ результатъ п отрицательное цѣлое число — 1. Производя эти двѣ операціи, для которыхъ иравила уже найдены, находимъ послѣдовательно (а-р_с)._|=[(в_^б —	=	— |с). - 1 =
~ 3е Т* ‘ 3€‘
Отсюда тоже заключеик. что и прежде.
Итакъ, каково бы п было имѣемъ

откуда правило: для умноженія многочлена на одночленъ нужно каждый членъ множимаго помножитъ на множителя, соблюдая правило знаковъ.	-
Этимъ правиломъ выражается законъ распредѣлительный.—
Примѣръ I. Ь* — 4с2-Д?а^ -з). — |а4с = — Ь4 V |а»е-|-
4“ 4с2 X ъа*с — "аеР X	3 . ~а2с = — а*Ъ*с -4~ $ а2сэ1 —	-4-
о э о 1	□	1 а	Іо ’
-|- 2а4с.
Примѣръ И. {а*(г»-|-1)₽ — За(ж»4-1)>-1 + 5(х1-{-1)Р-г| X
—2ая(а;»-|-1)>+3=—2а»+г(а;»-|-1 )2Р4-84-6а“+І(х44-1 )4р+4— 10а"(х4-|-1)4Р+1.
4
Умноженіе одночлена на многочленъ.
33. Пусть требуется одночленъ умножить на многочленъ: <2 на а — Замѣчая, что отъ перемѣны мѣстъ производителей произведеніе не измѣняется, имѣемъ:
д(а — Ь-|-с) = (а —
— 44 —
На основаніи § 32, (ы —	. д — а<1 — Ьд-\-с<1; измѣняя въ каждомъ
членѣ этого произведенія порядокъ сомножителей, получимъ
с?(а — Ь -]- с) = да — дЬ
откуда правило: йлл ужяожея/я одмочлеил на многочленъ надо одночленъ помножитъ на каждый «ленъ многочлена, соблюдая правило знаковъ.
Такъ.
^2р-т-4-1 ,
Умноженіе многочлена на многочленъ.
34. Пусть требуется умножить а — на р — </+>'. Представивъ себѣ на время, что буквы множителя замѣнены опредѣленными числами, и выполнивъ указанныя въ немъ дѣйствія, мы представимъ множителя нѣкоторымъ числомъ. Означивъ это число буквою V, приводимъ вопросъ къ умноженію многочлена на одночленъ, н ло извѣстному уже правилу находимъ:
(а — & с) . V — аѴ — ІА’ *-|-сѴ.
Подставляя сюда вмѣсто V данное выраженіе р — <[ г, имѣемъ:
(а — Ь-\-с)(р — (? + »•) = «(/* — з + Н — Ъ(Р — 7 + 0 + ^/’ — 2 + г).
Но по правилу § 33 имѣемъ:
г)= ар—	Ь(р— ц-^г) = Ьр — с(р—^-Н*) =
= ср — су ег.
Слѣдовательно
(а —	—?Ч~Г) = ар — а$-]-аг—(Ьр—Ьу-\-йг)-\-(ср — с«/ -р сг) =
= ар — ау	-|- 6^ — />г-р ер — сд сг.
Разсматривая составъ произведенія, замѣчаемъ, что первые три члена его представляютъ произведеніе перваго члена множимаго на каждый членъ множителя, слѣдующіе три члена — произведеніе второго члена множимаго ва каждый членъ множителя, а три послѣдніе — произведеніе третьяго члена множимаго на множителя. Полное произведеніе состоитъ, слѣдовательно, изъ частныхъ произведеній каждаго члена множимаго на каждый членъ множителя, составленныхъ съ соблюденіемъ правила знаковъ; такъ членъ сг, представляющій произведеніе членовъ, имѣющихъ одинаковые знаки, является въ произведеніи съ знакомъ а членъ — — произведеніе членовъ, имѣющихъ разные знаки, является въ произведеніи со знакомъ —. Итакъ, имѣемъ
Правило, — Для умноженія многочлена на многочленъ нужно каждый членъ множимаго помножитъ на каждый членъ множителя, соблюдая правило знаковъ, и если окажется возможно, сдѣлать приведеніе, —
Существенное въ этомъ правилѣ то, что каждый членъ множимаго слѣдуетъ помножить на каждый членъ множителя съ соблюденіемъ правила знаковъ; порядокъ же частныхъ умноженій члена на членъ остается совершенно произвольнымъ.
Но во избѣжаніе ошибокъ (повтореніи или пропусковъ) соблюдаютъ опредѣленный порядокъ, поступая двоякимъ образомъ:
 і. Дѣлаютъ умноженіе въ томъ порядкѣ, па который мы натолкнулись при Кммдѣ правила, т.-е, умножаютъ сначала первый членъ множимаго на каждый множителя, затѣмъ второй членъ множимаго па каждый членъ множите-ж і т. д, Или
2. Умножаютъ каждый членъ множимаго сначала на первый, затѣмъ па вто-ін<. и т. д. члены множителя.
Если многочлены содержатч> одну и ту же букву, то для облегченія приве-міз подобныхъ членовъ удобнѣе расположить оба многочлена или по убынаю-
возрастающимъ степенямъ этой буквы. Затѣмъ, подписываютъ
или по
м» »
изъ многочленъ подъ другимъ, проводятъ горизонтальную черту, умножаютъ в»-жнчое на первый членъ множителя и подписываютъ это частное произведете подъ чертою.
Умножаютъ множимое на второй членъ множителя, и второе частное произ-жіеніе пишутъ подъ первымъ такъ, чтобы подобные члены находились въ одномъ ^тикальномъ столбцѣ.
Составляютъ и располагаютъ такимъ же образомъ и другія частныя произ-біенія; наконецъ, дѣлаютъ приведеніе.
Примѣръ І-. Умножить
— ЗаЛг2 — 2аЗя -р Зах3 4- а1 на 2л.г2	7а3 — 6а’2л\
Расположивъ оба сомножителя по убывающимъ степенямъ буквы ж, и со-•Сражаясь съ сказаннымъ, производимъ умноженіе такъ:
Ізожимое:
Іяожнтель:
8.Г1 За#3 — 5а2#*— 2аЪЦ-а4 2а#2— 6 а2# 4- 7а3
__йт2
30а4#8--12а*#2— ба6# 21а 4#3—35ая#2—14а®#4-7 а7
части, произв. 16а#в4- ба2#5—10а3#4— 4а4#84- 2айх
--ое части, произв. —48а3#5— 18а3#1-
*-ье части, произв.	4-56а3#4-
І-лное произв.	16а#6 — 42а2#я-|-28а3#4-‘-47а4#8—21а5#2—20ае#4-7а7
3	4	5	9
Примѣръ И. Умножить —^а3#	-|--а2#2 ~4#4 — ^а#3 на #й4~
Располагаемъ оба сомножителя по возрастающимъ степенямъ главной буквы ' н производимъ дѣйствіе слѣдующимъ образомъ:
II р и м г р ъ III. Умножить — За3^2 — 5а4я а5 на 7я2 — -р °2*
Располагая дѣйствіе такимъ же образомъ какъ и въ предыдущихъ примѣ’ рахъ, оставляя пустое мѣсто тамъ, гдѣ во множимомъ должны* бы были находиться члены, содержащіе и лт\ имѣемъ:
8#п	— ЗаАг2 — 5а*л; -р а5
7#2 —• 8ая -р а2
56.г7	21а3х1 — ЗЗа1^3^ 7а5х2
— 64ахк	ч- 24а	— 40а эх'2 — 8авх
4~ йа’2^:і	— За3х2 — 5а*я а1
56я7 — 64ая°	8а2#5 — 2 Іа3?1 — 1 Іа*^ — 44а5х2 — 1 За6#-^- а7.
Свойства произведенія двухъ полиномовъ.
35. І. Число членовъ произведенія. — Умножая множимое на первый членъ множителя, получаемъ первое частное произведеніе, имѣющее столько членовъ, сколько ихъ и во множимомъ. Произведеніе множимаго на второй членъ множителя содержитъ опять столько членовъ, сколько имъ во множимомъ, и т. д, Поэтому. если частныя произведенія не содержатъ подобныхъ членовъ, то число членовъ произведенія равно будетъ произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ множителя. Напр., если множимое имѣетъ 7 членовъ, а множитель 5, то въ произведеніи будетъ 7 X или 35 членовъ.
Но произведеніе двухъ многочленовъ можетъ содержать члены подобные; вслѣдствіе соединенія нѣсколькихъ подобныхъ членовъ въ одинъ, число членовъ произведенія можетъ уменьшиться, но никогда не можетъ сдѣлаться меньше двухъ. Въ самомъ дѣлѣ, легко доказать, что въ произведеніи двухъ полиномовъ, содержащихъ одну п ту же букву всегда есть по крайней мѣрѣ два члена, которые не имѣютъ себѣ подобныхъ между другими членами произведенія, и потому неприводимы. Для доказательства замѣтимъ, что всякій членъ произведенія происходитъ отъ умноженія какого-либо члена множимаго на одинъ изъ членовъ множителя; и показатель главной буквы въ немъ равенъ суммѣ показателей той же буквы въ членахъ множимаго и множителя, отъ которыхъ онъ произошелъ. Слѣдовательно, помноживъ высшій относительно главной буквы членъ множимаго па высшій членъ множителя, мы получимъ членъ произведенія. въ которомъ показатель главной буквы будетъ равенъ суммѣ наибольшихъ показателей той же буквы, какіе имѣются въ сомножителяхъ; очевидно, что такой членъ произведенія будетъ имѣть главную букву съ показателемъ большимъ ея показателей въ другихъ членахъ произведенія; поэтому означенный членъ не можетъ имѣть себѣ подобныхъ между остальными членами произведенія и слѣд. есть членъ неприводимый. — Помножая низшій относительно главной буквы членъ множимаго на низшій членъ множителя, получимъ членъ произведеніи, въ которомъ главная буква будетъ имѣть показатель, равный суммѣ наименьшихъ показателей той же буквы въ сомножителяхъ, слѣд. показатель главной буквы этого члена будетъ меньше чѣмъ въ другихъ членахъ произведенія, а потому это будетъ также членъ неприводимый. Заключаемъ, что произведеніе двухъ многочленовъ содержитъ, по меньшей мѣрѣ, два неприводимыхъ члена — высшій низшій относительно главной буквы. Итакъ:
наибольшее число членовъ произведенія равно произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ множителя, наименьшее же — два члена.
Примѣчаніе, Когда множимое и множитель расположены по нисходящимъ ш «сходящимъ степенямъ главной буквы, то неприводимые члены (высшій и нежеіі занимаютъ крайнія мѣста произведенія.
Нжжеслѣдующій примѣръ представляетъ одинъ изъ случаевъ, когда произве-мл имѣетъ только два члена,
х* 4-* хз -]“#2 -}~х "Ь і
х5 4~ х* 4” 4-	$
— ХІ~Х3 — Х1 — X-1
X3	— 1
II Свойство произведенія однородныхъ многочленовъ. — Произведеніе двухъ однородныхъ многочленовъ есть многочленъ однородный, а измѣреніе его равно суммѣ измѣреній множителей. Въ самомъ дѣлѣ, произведеніе двухъ какихъ-нибудь членовъ множимаго и множителя имѣетъ измѣреніе равное суммѣ показателей перемножаемыхъ членовъ; но оба многочлена однородны, слѣд. эта сумма во всѣхъ членахъ произведенія будетъ одинакова, т.-е. произведеніе само будетъ однородно, а его измѣреніе равно суммѣ измѣреній сомножителей.
Такъ, многочленъ аІ4-а8#4-«2яа4“ад?3_кй'< есть однородный многочленъ четырехъ измѣреній; а — х есть однородный двучленъ одного измѣренія; произведеніе же ихъ а$ — х5—однородное выраженіе пяти измѣреній.
Замѣчательные случаи умноженія.
36. Разсмотримъ нѣкоторые часто встрѣчающіеся особенные случаи умноженія.
I. Пусть требуется сумму а 4"^ возвысить въ квадратъ. Для этого надо в помножить само на себя:
а 4- Ь
а 4“ Ь аа 4" 4“ аі 4~ Ъ'2
аа 4"2ай 4- Ь*.
Итакъ: («4" й)а = аі4~ 2а64“^, т.-е.
квадратъ суммы двухъ количествъ равенъ: квадрату перваго члена, 4“ удвоенное произведеніе перваго члена на' второй, 4" квадратъ второго.
Наприм., (5й?а 4“	= (5ха)'2 4“ 2 . Зя1.2у4_(2#)а = 25х<4“20;Л/4’^2‘
11. Возвысимъ въ квадратъ разность а— Ь* т
а — Ь а — Ь а3 — аЬ
—- && 4-аа — 2а& 4“ ’ лѣдовательно: (а —	== а* — 2аЬ 4-	т.-е.
квадратъ разности двухъ количествъ равенъ квадрату перваго члена, — удвоенное произведеніе перваго на второй, 4~ квадратъ второго.
Напр. (О,За.?*—я2)2=ЦО,Зая)2— 2 . От3ая # л?3-|-(ж2)2—
Ш. Умножить сумму двухъ количествъ а и Ь на ихъ разность:
н-[-Ь
х	а — Ъ
а2 -[-аЪ
— аЪ — Ь*
а*
Итакъ: (а ~4 &)(а — />) = а2 — т-е.
произведеніе суммы двухъ количествъ на ихъ разность равно разности ихъ квадратовъ.
Напр. (4х2у тг Ху*#-!.*1# — і я#2) = (4х*у)2 — (І ху*Ѵ=16х>*—і х^у*.
IV. Найдемъ кубъ суммы а 4- Ь. Замѣчая, что (а 4" &)3 = (а ”Ь &)*.(« 4~ &), 'и что, (а 4“ ^4 — а‘2а&4"^ мы найдемъ искомый результатъ, умноживъ а2 4“ 4; № на а 4 Л:
а*4-2аЛ 4-йа а 4"^	,
а8—2а'21>—а№
ч .	4- а*& + 2аЬ24-Ь3
а84-3а^4-3а6а4-63, • Слѣдовательно: (а 4~ &)3 = а34* Зл26 4"	4"	т-‘е-
кубъ суммы двухъ количествъ равенъ: кубу перваго члена, 4” утроенное произ-' веденіе квадрата перваго члена на второй, 4" утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго, 4~ кубъ второго.
Напр. (2а2 4- 4/?2)3 = (2а2)3 + 3 . (2а2)2.46* 4- 3 . (2а2)(4Л2)2 4- (4Ь2)3 = = 8а€ 4-48а*62 + 96а2Ь* 4-646е.
V. Такимъ же образомъ найдемъ (а — Ь)8, умноживъ (а — Ь)2 или а2 — 2а&4~ 4~ Ь* на а — 6:
а2 — 2аЬ 4-а — Ь
а3 — 2а2Ь ~р аЬ2
— а2/; — 2ай& — Ь3
аЗ-^За26 + За62_Ь\
Слѣдовательно: (а — &)3 = а3 — За26 — Заі2 — Ь3Т т.-е.
кубъ разности двухъ членовъ равенъ кубу перваго члена, минусъ утроенное произведеніе квадрата перваго члена на второй, 4“ утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго, минусъ кубъ второго члена.
Напр. — 3x4= (4)’— 3. |дГ- +:} • |	| “
9	,
— -г х24~ я* — 27іс8.
4	1 2
37.	Формула № II можетъ битъ выведена изъ формулы № I, если ~ въ по-<гимей положить Ь — — V; находить
।	[а 4_(_Ь')]»==аі 4-2а (-&')+(-&')»•
I
г	Замѣтивъ, что а (— Ь')—а — У; затѣмъ, что 4“ М— &*) = — 2аУ, и что
I	—У)* = + имѣемъ
Г	(а — У)« = а’ — 2аУ-|-У».
І Такимъ же образомъ, подставляя въ формулу № IV вмѣсто 5 количество — Ь', і случаемъ
I	+ (“ ь')13 = а3 + За2(— Ю + За (- У)2 (— У)«.
Замѣчая, что а -{•(— У) = а — Ь\ что 4- За2( —У) = — За’У, что За(—У)1 = 4~ЗаУ2 и что (—У)3 =— У3, имѣемъ
(а — У) * = а* — За2У + ЗаУ2 - У«.
Приложенія.
38.	Приложимъ формулы § 36 къ нѣсколькимъ примѣрамъ.
Примѣръ I. Возвысить 79 въ квадратъ.
По формулѣ Л? I имѣемъ:
79’ = (70 -|- 9)* = 4900 + 1260 + 81 = 6241.
Примѣръ II. Возвысить 97 въ квадратъ.
По формулѣ № II имѣемъ:
97’ = (100 — 3)3 = 10000 — 600 + 9 = 9409.
Примѣръ ІП. Помножить 103 на 97.
По формулѣ № III находимъ:
103 X 97 = (ЮО + 3)(Ю0 - 3) = 10000 — 9 = 9991.
Примѣръ IV. Преобразовать:
(За2 — 2ай + ЗЬ2) (За2 + 2аЬ — ЗЬ2).
Первый множитель можно представить въ видѣ За2 — (2аЬ — ЗЬ2); второй въ видѣ За2-|-(2аЬ— ЗЬ2); примѣняя формулу № Ш, получимъ:
(За2)2 — (2аЬ-3&2)2,
или, выполняя дѣйствія:
9а4 — 4а262 + 12аЪ* — 9М.
Примѣръ V. Умножить	— * на + у
Представивъ данныя выраженія въ видѣ
(«+») + (* —О П («4-у) — (в — і)
и примѣняя формулу № III, находимъ
(ау-ру)» —(ж — 0».
4
Прилагая сюда теоремы I и II, получимъ
(ж5 2жу + у4) — (г4 — 2гІ 4- і3), или. раскрывъ скобки;
х2 4“ 2яу 4“ У® — #2 4-
Примѣръ VI- Составить произведеніе
(д + & 4~ с) (& 4г	’ ^)(а—ь Н-* ^)(— 4~^ 4~ с) *
Первые два множителя можно представить въ видѣ
(о + ь) 4- с и ихъ произведеніе =
(а4“^)а — с2 или а*-|-2и6 4_^2 — с3». (1).
V
Третій и четвертый множители
ІГ.ІИ
емъ въ видѣ
с 4- (а — і) и с — (а — 6);
ихъ произведеніе равно
с2— (а — 6)2 или с2 -—а®4’2а6 — й2... (2).	* -
Представивъ (1) и (2) въ формѣ
2аЬ 4~ (а2 + Ь2 — ^2) и 2аЬ — (а2 4~ &® — с2) 1
и перемноживъ эти выраженія! имѣемъ:
(2аЬ)2 — (а2 4- Ь2 — с2)2 или 4а2Ь2 — (а8 + &2 — с2)2.
Чтобы триномъ а2-|~Ь2—й® возвысить въ квадратъ, разсматриваемъ на-время а24"&3 какъ одинъ членъ; положивъ, что а24-Ь2 = $, имѣемъ:
(а2 4- Ь* —	= (,9 — С2)3 = 52 — 2зс* 4- <Л
Подставляя вмѣсто 5 его величину а24-&\ получимъ
з2 — 2л . с2 + с* = (а2 4- Ь2)2 — 2(а2 4- Ь2)с24~ = а* 4~ 2а%2 + &< — — 2аѴ — 2&2е24-е4.
Итакъ, искомое произведеніе равно
4а2Ь2 — а1 — 2аЧ>2 —4“ 2а2с24’ 2Ь2с2— с4, или 2а*Ь24' 2а2с2 4“ 2Ь2с2 — — а1 — Ъ* — с4.
Примѣръ VII. Возвысить въ квадратъ многочленъ 1 4~х — ^3 + гг3-
Въ предыдущемъ примѣрѣ намъ пришлось возвышать въ квадратъ триномъ ая4“Ьа — с2; для этого мы обозначили двучленъ а2 4“ 6® одною буквою и черезъ это получили возможность примѣнить къ данному случаю формулу квадрата бинома. Вообще указанный пріемъ можно съ удобствомъ примѣнять при возвышеніи многочленовъ въ квадратъ и кубъ. Такъ, въ данномъ выраженіи положимъ на время 14~х — #® = 5; данный многочленъ приметъ видъ $4"#8; возвышая въ квадратъ, получимъ
($ 4~ #а)® = “Ь 25. ж® 4-	— (1 4” % — я2)2 4“ 2(1 4“ х — #2)#а ^6*
Полагая въ членѣ (1-р^ — х2)2 на время = найдемъ:
.14-я — х2)2 = (І — х2)2 = Г2 — 2^а 4-з* = (1 + з)2 — 2 (1 4-л>24-— х* = I 4- 2з 4- з2 — 2х* — 2з34~^‘- Слѣд., данное выраженіе равно I 4“ 2з 4“ х* — 2я2 — 2з3 4“ з14“ -•г3 4~ 2з* — 2зй -|- хс, или 1 4” 2з — — х14" Зя* — 2зв + з6.
ГЛАВА V.
Дѣленіе.
опредѣленіе.—Правило знаковъ.—Правило показателей; значеніе символовъа~ѵ и а6.— .Дѣленіе одночленовъ; признаки невозможнаго дѣленія ихъ.—Дѣленіе многочлена на пноч ленъ.—Дѣленіе многочлена на многочленъ.—Признаки невозможнаго дѣленія многочленовъ.—Дѣленіе полинома послѣдовательно на нѣсколько данныхъ полиномовъ.—Замѣчательные случаи дѣленія (теорема Безу).
39.	Опредѣленіе. — Раздѣлить одно количество на другое значитъ найти такое третье количество, которое, будучи умножено на второе, дало бы въ про-юведеніи первое.— Первое данное количество называется дтьлгисьма, второе — Лълителеліз, а искомое количество—часткыль.
Если дѣлимое есть А. дѣлитель В, а частное Ч, то, по опредѣленію дѣйствія, связь между этими тремя количествами выразится равенствомъ:
40.	Правило знаковъ.—Основываясь на опредѣленіи дѣленія и на правилѣ знаковъ при умноженіи, легко найти правило знаковъ при дѣленіи.
Пусть требуется (4-«) раздѣлить па (4" Ь)* По опредѣленію дѣленія, част-юе, умноженное на дѣлителя, должно давать дѣлимое; но только количество, предшествуемое знакомъ 4“» при умноженіи на (-|-Ь) можетъ дать (4~а)* Слѣдов.
(“Ь а): (“К — 4"
При дѣленіи (—а) на (4“Ь), въ частномъ должно быть (—®), потому что только количество, предшествуемое знакомъ —, при умноженіи на (-|-6) можетъ дать (—а). Итакъ
(— а):(+ Ь) = —2-
Дѣля (+«):(—Ь), мы ищемъ количество, которое, будучи умножено на — Ь), давало бы (4~“); но какъ только количество со знакомъ —, при умноженіи на (—6), можетъ дать (-|-а), то
(+«):(— 6) = —2-
Наконецъ, припоминая, что при умноженіи (—) на (-{-) даётъ (—), наіо-имъ:
(—а);(—Ь) = -}-д.
Итакъ:
(~Ь а): (“1“ — “Ь 2-(— а): (+ Ь) = — 2-(+«):(— Ь) = — д_. (—а): (—*) = + 2-
Отсюда вытекаетъ правило* при дѣленіи количествъ съ одинаковыми знаками, въ частномъ получается (~р), при дѣленіи же количествъ съ разными знаками (—).
Правило это — совершенно общее: оно относится и къ тому случаю, когда знаки предшествуютъ абсолютнымъ значеніямъ количествъ, и къ тому — когда а и Ь сами суть количества положительныя или отрицательныя. Въ самомъ дѣлѣ, выводъ правила основанъ на правилѣ знаковъ при умноженіи, а это послѣднее правило доказано для какихъ угодно количествъ.
41.	Правило показателей.—Разсмотримъ дѣленіе степеней одного итого же основанія: пусть требуется раздѣлить а'п на а" гдѣ а — какое угодно количество, а т н п — числа цѣлыя и положительныя. Замѣтивъ, что въ частномъ должна получиться нѣкоторая степень буквы а, назовемъ неизвѣстнаго показателя этой степени буквою -е, такъ что частное выразится формулою ах:
а :а =а ... (1).
По опредѣленію дѣленія, частное, умноженное ва дѣлителя, должно давать дѣлимое, слѣд.
а*. а* — а";
но, по правилу показателей при умноженіи, аг.ап = ах+я, слѣд. имѣемъ равенство:
(Г-И = аш.
Но степени одного и того же основанія тогда будутъ равны, когда показатели ихъ равны, а потому должно быть
Чтобы по извѣстной суммѣ (т) и извѣстному слагаемому (п) найти другое слагаемое (#), нужно изъ суммы вычесть извѣстное слагаемое. Итакъ
х — т — п.
Подставляя въ равенство (1) вмѣсто & найденную величину, имѣемъ:
ат; ап =	... (2).
Отсюда правило: при дѣленіи степеней одною и тою же основанія нужно: основаніе въ частномъ написать то же самое, а изъ показателя дѣлимою вычесть показатель дѣлителя.
Изслѣдованіе. — Формула (2) даетъ мѣсто слѣдующимъ случаямъ:
1) т > я; 2) т = п; 3) т < н.
1-й случай, — Если т > п, то разность т — п даетъ положительное (цѣлое) число, и частное подходитъ подъ вышеданное опредѣленіе степени какъ произведенія равныхъ количеству « множителей. Такъ, если т = 8, а п = 5, то ат :ап = а*-* = а3, т.-е. «.а. а., и т. д. Этотъ случай не представляетъ, слѣдовательно, ничего особеннаго.
2-й случай. Если т = п, то разность т — п равна нулю, и частное принимаетъ видъ а0. Выраженіе само но себѣ не имѣетъ никакого смысла, т.-е, его нельзя разсматривать въ смыслѣ степени, ибо показатель долженъ означать, сколько разъ основаніе берется множителемъ. Значеніе символа а9 откроется,
если мы обратимъ вниманіе на его происхожденіе. При т = я дѣлимое аЛІ н дѣлитель а" дѣлаются равными, а частное отъ раздѣленія количества самого на себя есть 1; поэтому
а°=1,
а такъ какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что всякое количество въ нулевой степени даетъ единицу.
Такимъ образомъ: 7° = 1; гг°— I; (а2 — ??2)а = 1 и т. п.
Здѣсь самъ собою возникаетъ вопросъ: если мы знаемъ, что а"*: ат есть ни что иное какъ 1, то для чего замѣняютъ 1 особымъ символомъ я®, имѣющимъ только видъ степени, но не имѣющимъ смысла какъ степень? Это дѣлается для того, во-первыхъ, чтобы въ правилѣ показателей не дѣлать исключенія для случая юд = и, другими словами, — въ видахъ обобщенія этого правила; и, во-вторыхъ, чтобы имѣть возможность сохранить въ частномъ букву а, которая иначе не вошла бы въ частное, ибо была бы замѣнена единицею.
3-й случай. — Если ш < п, то разность т — и отрицательна; напр: если п превышаетъ т на д единицъ, то т — п = — д, и частное имѣетъ видъ Выраженіе а~ч опять не имѣетъ значенія степени, ибо а нельзя взять множителемъ отрицательное число разъ. Чтобы выяснить значеніе символа а-’, постараемся частное въ случаѣ т<п выразить въ иной формѣ.
Полагая, что « больше т на ? единицъ, т.-е. п = т-|-д, можемъ частное ат: а* представить въ видѣ ат:	Обозначивъ его буквою х* имѣемъ
ат :	— я.
По опредѣленію дѣленія, имѣемъ отсюда
= ат.
Раздѣливъ обѣ части этого равенства на а™, находимъ:
х‘а»*-Н__ат
ат ~ ат*
Замѣтивъ, что частное -7-^ равно (ибо, умноживъ его на дѣлителя
X* ам находимъ въ результатѣ дѣлимое и что—^ = 1, получаемъ равенство
а
ж . а?= 1, откуда
1 х = -=•
Но то же самое частное было представлено въ формѣ а-*: поэтому
Такъ какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что всякое количество съ отрицательнымъ показателемъ равно единицѣ, дѣленной на то же количество съ положительнымъ показателемъ.
Такимъ образомъ:
О"’ = І; («а —	и т. п.
Отрицательные показатели введены для того, чтобы: во-первыхъ, въ правилѣ показателей не дѣлать исключенія для того случая, когда показатель дѣлимаго меньше показателя дѣлителя, т.-е. въ видахъ обобщенія этого правила; и, во-вторыхъ, чтобы имѣть возможность дробь (какъ^ изображать безъ знаменателя, т.-е. въ формѣ цѣлаго алгебраическаго выраженія.
Итакъ, вводя показатели — нуль и отрицательный, іы можемъ всѣ случаи дѣленія степеней одного и того же основанія совершать по одному общему правилу: основаніе писать въ частномъ безъ перемѣны, а надъ нимъ показателя, равнаго разности показателей дѣлимаго и дѣлителя.
Дѣленіе одночленовъ.
42.	Пусть требуется раздѣлять	ва — 9а4Ь5с. Знакъ частнаго
долженъ быть (—), потому что дѣлимое і дѣятель ммѣжть разные знаки. По опредѣленію дѣленія, въ частномъ должно быть талое количество, которое, будучи умножено на дѣлителя, дажак* бы дѣлимое: слѣд., коэффиціентъ частнаго есть такое число, которое, по умноженіи на 9. давало бы 63; такое число мы найдемъ, раздѣливъ 63 на 9: получимъ 7. Далѣе, чтобы въ произведеніи имѣть а*, надо а1 умножить на а5: слѣд. буква а войдетъ въ частное съ показателемъ равнымъ разности показателей этой буквы въ дѣлимомъ и дѣлителѣ. Такимъ же точно образомъ убѣдимся, что буква Ь войдетъ въ частное — съ показателемъ 3. а буква с — съ показателемъ 4. Наконецъ, чтобы въ произведеніе вошло с?2, необходимо, — такъ какъ буквы Л нѣтъ въ дѣлителѣ, — чтобы опа вошла въ частное съ тѣмъ показателемъ, какой она имѣетъ въ дѣлимомъ. Итакъ
63а°6Ѵгі2; — 9^1б5с = — 7а5б3сМ2
Отсюда имѣемъ
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія одного одночлена па другой, нужно: 1) коэффиціентъ дѣлимаго раздѣлитъ на коэффиціентъ дѣлителя; 2) а затѣмъ написать всѣхъ множителей дѣлимаго — каждаго съ показателемъ, равнымъ разности его показателей въ дѣлимомъ и дѣлителѣ.
Въ частномъ случаѣ, если какой-либо множитель находится только въ дѣлимомъ, онъ входитъ въ частное безъ измѣненія показателя; если же какой-либо множитель имѣетъ въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ одинаковаго показателя, то въ частное войдетъ ^съ нулевымъ показателемъ. Напримѣръ
4а2Ьэс5: 2аЬ3с — 2айѴ.
Но, какъ = I, то можно частное представить въ видѣ 2ос*, Примѣняя это правило, найдемъ, что:
1)	9 2а3Ь Г,х2у9: 2 За2Ь *х2у ” = ѢаЪу \
2)	35а3іа(й?-|“у)1(л? — 2у)3:—7а2(л:-|-у)э(#— 2у)=—5аі2(ж-|-у)(#—2у)2.
3)	— 24а8М(а* —	4. Зу)*: — 86^ + Зу)2 = За>(а* — Ь*)(х + Зу)3.
43.	Признаки невозможнаго дѣленія одночленовъ. — Дѣленіе цѣлыхъ одночленовъ называется возможнымъ, если частное можетъ быть выражено цѣлого формулою, т.-е. не содержащею буквенныхъ дѣлителей; въ противномъ случаѣ,
у.-т. когда частное получается въ формѣ алгебраической дроби, дѣленіе считает-
Изъ самаго опредѣленія невозможнаго въ алгебраическомъ смыслѣ дѣленія *л г дуетъ, что если не дѣлятся другъ на друга только численные коэффиціенты, то дѣленіе слѣдуетъ считать алгебраически возможнымъ* Напр. дѣля 4а®5*с на 4
За*Ь, получимъ въ частномъ у аЪс— выраженіе алгебраически цѣлое, такъ какъ оно не содержитъ буквенныхъ дѣлителей.
Дѣленіе одночленовъ невозможно въ слѣдующихъ двухъ случаяхъ:
1)	Когда показатель хотя одной буквы дѣлителя больше показателя той же буквы въ дѣлимомъ. Такъ дѣленіе 6а3Ь* на 2аЪ* невозможно, потому что на какой бы цѣлый одночленъ пи умножили дѣлителя, всегда въ произведеніе буква Ь войдетъ съ показателемъ, большимъ 2: частное не можетъ быть, поэтому, выражено цѣлымъ одночленомъ.
Въ такомъ случаѣ дѣленіе только обозначается, и получается дробь
6«3?>2
2аЬ*'
послѣдняя, какъ будетъ показано далѣе, можетъ быть упрощена сокращеніемъ.
2)	Когда дѣлитель содержитъ такую букву, которой пѣтъ въ дѣлимомъ; напр. 4а3Ь не дѣлится на За2М\ Въ самомъ дѣлѣ, на какой бы цѣлый одночленъ мы ни умножили дѣлителя, въ произведеніе непремѣнно войдетъ буква с?, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, а слѣд. частное не можетъ быть представлено цѣлымъ одночленомъ.
Обозначая дѣленіе, получимъ дробь
4а?д Заадг
которая также подлежитъ сокращенію.
Дѣленіе многочлена на одночленъ.
44.	Пусть требуется раздѣлить многочленъ а—6-рС—<7 на одночленъ т. Частное не можетъ быть одночленомъ, потому что умноживъ одночленъ на одночленъ (т), въ произведеніи найдемъ одночленъ, между тѣмъ какъ должны получить многочленъ а —— & Итакъ, частное должно быть—многочленъ, для нахожденія котораго имѣемъ слѣдующее
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія многочлена на одночленъ, нужно каждый членъ дѣлимаго раздѣлитъ на дѣлителя, соблюдая привило знаковъ.
Это правила доказывается а ровіегіогі. Мы говоримъ, что
а — Ь-\-с — (і а 6 । с
т	т т'т т
Для доказательства умножаемъ частное многочлена на
на дѣлителя: по правилу умноженія
одночленъ находимъ:
а
т
о । с	а \ а
----Н----------------	.	— яі 1 т-------------------т	т
. т—	. т.
т
Но частное	умноженное на дѣлителя т, даетъ дѣлимое, слѣд. ш — а;
точно такъ же:	• т = Ь; — • т = с; и ~~ - т = Л. Такимъ образомъ
Я4	т/І
--------и------ — . юг = а — 6 4- с — а. т т 1 т ш /	1
т.-е. частное, умноженное на дѣлителя, воспроизвело дѣлимое, слѣд. это частное составлено вѣрно, и правило доказано.
Примѣры:
1)	(8а»Ь’ — За8Ь*4-12ааЬ‘): 4а*Ь»=2а’ — |аЬ-}-ЗЬ».
2)	{28а*Ь’(ж — у)’+ 12аяЬ’(ж* — у*)— 8вЬ’(х-|-у)(я:*—у1)’} ;
4аЬ8 (х — у) — 7аЬ (х — у)1 -|- За’ (х4" У)1 ~ 2(Л+?)*(* — У). «
Дѣленіе многочлена на многочленъ.
45,	Частное отъ раздѣленія нѣкотораго многочлена А на многочленъ В есть выраженіе алгебраически дробное, вида
А в'
Въ большинствѣ случаевъ такое выраженіе нельзя замѣнить другимъ — простѣйшимъ. Но когда цѣлые многочлены А и В содержатъ одну и ту же букву, то возможенъ такой третій многочленъ С, цѣлый относительно той же буквы, который, будучи умноженъ на дѣлителя, даетъ дѣлимое. Въ такомъ случаѣ говорятъ, что дѣленіе полинома А на В возможно.
Укажемъ, какъ въ этомъ исключительномъ случаѣ находятъ частное.
Допуская, что многочленъ
8*в4- ІО*1 — 31**4* 22*'2 — 29* + 12
дѣлится на многочленъ
4** — 5*® 4“ Зя — 4, постараемся опредѣлить члены частнаго.
Написавъ дѣлитель справа отъ дѣлимаго, отдѣляютъ ихъ вертикальною чертою; затѣмъ, дѣлителя отдѣляютъ горизонтальною чертою отъ частнаго, котораго члены, по мѣрѣ ихъ нахожденія, и пишутъ подъ этою чертою.
Дѣлимое... 8*в4“^іС<—31*84~22*а—29*4-12 4*1—5*34~^—4... дѣлитель
—8*в4-1О*і=ь 6*84- 8*3	2*‘2-45* —3,.ф частное
1-й остатокъ . .. 20**—37*84”ЗО*3—29*4“ 12
—20*4=25*4= 15*4=20*
2-й остатокъ .....—12*84”1^2— 9*4-12
4=12**4=15*4= 9*4=12
О
По опредѣленію, дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на частное.
Но по свойству произведенія двухъ многочленовъ 35), высшій членъ про-
дежи происходитъ.
безъ п^жвеЭенУя,
отъ умноженія а
высшихъ членовъ со-
иььхжтелей, т.-е. въ нашемъ случаѣ отъ умноженія высшаго члена дѣлителя на мкжіі членъ частнаго. Поэтому, назвавъ высшій членъ частнаго буквою ?, имѣ->-с3 = 4я3 Х Ъ откуда, замѣчая, что неизвѣстный сомножитель (?) опредѣляется дѣленіемъ произведенія (8$5) на извѣстнаго сомножителя (4а?3), на-
і-іжігь:
? — 8#я: 4а:3 — 2а:2.
Итакъ, чтобы найти высшій членъ частнаго, нужно высшій членъ дѣлимаго раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Для нахожденія слѣдующаго члена частнаго руководствуемся такими соображеніями. Дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго; а потому если изъ дѣлимаго вычесть произведеніе дѣлителя на первый членъ частнаго, то остатокъ будетъ представлять произведеніе дѣлителя на сумму остальныхъ членовъ частнаго- Умноживъ дѣлителя на высшій членъ частнаго и вычтя произведеніе 8х5— ІОя14- 6$3— В#2 изъ дѣлимаго, находимъ остатокъ, равный 20л1 — 37а;34“ ЗОл2 — 29$ 4" Такъ какъ этотъ остатокъ есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго, начиная со второго, то его высшій членъ (20$*) произошелъ безъ приведенія отъ умноженія высшаго члена дѣлителя (4а:3) на высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Называя послѣдній буквою ?\ имѣемъ такимъ образомъ: 2О$* = 4$8. откуда
?' = 20$1: 4$3 = 4- 5л.
Итакъ, для нахожденія второго члена частнаго нужно высшій членъ перваго остатка раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Замѣчая, что первый остатокъ есть произведеніе дѣлителя ва всѣ члены частнаго, начиная со второго, заключаемъ, что если вычтемъ изъ этого остатка произведеніе дѣлителя на второй членъ частнаго, то новый (второй) остатокъ будетъ представлять произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго, начиная съ третьяго. Умноживъ въ самомъ дѣлѣ дѣлителя на второй членъ частваго и вычти произведеніе изъ перваго остатка, находимъ второй остатокъ: —12$3--415о?3—9$-{-12. По свойству произведенія, высшій членъ этого остатка произошелъ безъ приведенія отъ умноженія высшаго члена дѣлителя на высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Слѣдоват., если назовемъ послѣдній буквою то найдемъ равенство: — 12$3 — 4х3, откуда д" = — 12$3: 4$3 — = — 3. Отсюда заключаемъ, что для нахожденія третьяго члена частнаго надо высшій членъ второго остатка раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Такими же разсуженіями какъ и прежде убѣдимся, что для нахожденія четвертаго члена частнаго, въ предположеніи что онъ существуетъ, надо дѣлителя умножить на третій членъ частнаго и произведеніе вычесть изъ второго остатка. Сдѣлавъ это, находимъ въ новомъ остаткѣ 0. Это значитъ, что дѣленіе окончено, и послѣдній членъ частнаго равенъ —3. Все же частное равно 2$а 4" — 3.
Что частное найдено вѣрно, въ этолт» убѣждаемся, помноживъ дѣлителя на частное: въ произведеніи получается дѣлимое.
Припоминая ходъ дѣйствія, заключаемъ, что для отысканія послѣдовательныхъ членовъ частнаго намъ приходилось дѣлить высшіе члены дѣлимаго и каждаго остатка на высшій членъ дѣлителя. Чтобы имѣть эти высшіе члены всегда на первомъ мѣстѣ, а также для удобства приведенія, до начала дѣйствія располагаютъ дѣлимое и дѣлителя по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Соображая все сказанное, приходимъ къ слѣдующему правилу дѣленія многочлена на многочленъ:
Правило.—Когда частное отъ раздѣленія двухъ цѣлыхъ полиномовъ можно представитъ въ формѣ цѣлаго полинома, члены частнаго находимъ слѣдующимъ образомъ:
Располагаемъ дѣлимое и дѣлителя по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Первый членъ дѣлимаго дѣлимъ на первый членъ дѣлителя: получаемъ первый членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ дѣлимаго произведеніе дѣлителя на первый членъ частнаго и получаемъ первый остатокъ.
Первый членъ этою остатка дѣлимъ на первый члент* дѣлителя: находимъ второй членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ порвало остатка произведеніе дѣлителя на второй членъ частнаго и получаемъ второй остатокъ.
Дѣлимъ первый члена огтшлкл на яг/жын члена (йълнтедя; находимъ третій членъ частнаго, и т, д., продолжая до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ получится налъ.
Вотъ еще примѣръ:
— 12лН: 15аей^21 аа62^24аі&3гЬ27а^1
-20а^- За^+54а*Ь3+ 29а^і-н7^Я-ЗІаДО+Зб^
Эа^нЖзб^Ъ^НЗ 1 аЬН 3657
____
:Ч6^+20«э&»+28а2&я--32адН36&’
±І 6аЧ^2^з^і^28й2&5±:32ог^36^
О
4а5а8^—7дД6Д+8аЬЗ—9Ь4
За®—оа^Ь—7аб®-- 4Ь®
(Измѣненные знаки вычитаемыхъ членовъ поставлены сверху).
46.	Такъ какъ низшій членъ дѣлимаго есть также членъ неприводимый и происходитъ отъ умноженія низшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, то можно начать дѣйствіе съ опредѣленія низшаго члена частнаго, который мы найдемъ, раздѣливъ низшій членъ дѣлимаго па низшій членъ дѣлителя.
Далѣе, дѣля низшій членъ перваго остатка на низшій членъ дѣлителя, най-демъ нисшій изъ ненайденныхъ еще членовъ частнаго и т. д. Однимъ словомъ, дѣленіе многочленовъ можетъ быть выполнено въ порядкѣ, обратномъ вышеизложенному, т.-е. начиная съ низшаго и восходя послѣдовательно до высшаго члена частнаго.
Приводимъ примѣръ такого расположенія дѣйствія:
6 —15я4-13і;*4-54я3 — 67а4-р&г— 9я6—56х7 3—4ха-|-5х3 —7.г*
—6 4г	14я*	2—5# 4“7гг2-|-7,т3
— 15^21л:»+44^3 —33і%38л:5— 9я* —56.т7
±15х	4=20а;3+25^І4:з5д?в	_______
21х2-р24а:3“28х<-р 3#й— 9я6—56л:7
— 21х*	Ч-28хІ4=35а;й-(-49хв
24я3	—32я54-4бяв'—56х7
— 24ж3	± 3 2#П=Р 40л6 ± 5 6я7
..О
47.	Когда дѣлимое есть многочленъ неполный, т.-е. содержитъ не всѣ степени главной буквы, то сохраняютъ мѣста недостающихъ членовъ, чтобы можно было писать подобные члены одинъ подъ другимъ.
Примѣръ. Раздѣлить 14х8 -|- 54х8 — 39х* — 7х 2 на 2#1 -|- 8х3 — — 5** —Зх+1.
Въ дѣлимомъ недостаетъ членовъ, содержащихъ ж3 и сохраняя мѣста, на которыхъ должны бы были находиться эти члены, располагаемъ дѣйствіе такъ:
14л76 —{— 54хк — 39#1	— 7х Ц- 2 і 2#18л:3—5я2 — Згг-|~ 1
—	+	+	+	7х2 7я*~ X +~2
— 2ггв — 4-я* -[- 21х3 — 7я*—7х-1- 2
Ч- 2#8-4- 8л:4 н- 5г3^р 3.таЧ- х
4я* +16ж3 — 1 Ох2— 6л: + 2
— 4ж1н=16г3і:10а:2±6жн=2 - —
Признаки невозможнаго дѣленія многочленовъ.
48. Когда частное отъ раздѣленія одного цѣлаго многочлена на другой можетъ йпъ шражеде цѣлымъ многочленомъ относительно входящихъ въ него бпагк. т» гин^іігь. «ого жѣмное возможно: если же частное нельзя представить гъ фвржѣ кѣлаги пвгѵтвежж, дѣлеае называется невозможнымъ.
Ізго мю а ртіогі питъ, совершается дѣленіе нацѣло, или нѣтъ; въ йлжпсгаі же случаевъ узиатъ этого нельзя, не совершая ня самомъ дѣлѣ дѣленія.
I.	Если дѣлитель содержитъ букву, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, то на какой бы цѣлый многочленъ ни умножили дѣлителя, эта буква остается въ произведеніи, которое поэтому никогда не будетъ равняться дѣлимому. Значитъ, въ этомъ случаѣ частное не можетъ быть представлено въ формѣ цѣлаго многочлена. и дѣленіе невозможно. Напримѣръ.
8а* 4~ ^аЪ —
не можетъ раздѣлиться нацѣло на 4 «4-^. Такъ какъ дѣлитель содержитъ букву с, которой пѣтъ въ дѣлимомъ. Частное изображаютъ въ видѣ дроби, означая дѣленіе горизонтальною
чертою:
8а2 4- 5аЬ — Ь2
4а + Ьс
II.	Когда дѣлимое есть одночленъ, а дѣлитель — многочленъ, то частное не можетъ быть выражено ни цѣлымъ одночленомъ, пи цѣлымъ многочленомъ. Одночленомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произведеніе многочленнаго дѣлителя на одночленное частное дало бы многочленъ, между тѣмъ какъ дѣлимое одночленъ. Многочленомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произведеніе многочлена — дѣлителя на многочленъ — частное содержитъ по меньшей мѣрѣ два неприводимыхъ члена, между тѣмъ какъ дѣлимое—-одночленъ.
Такъ, дѣленіе а2 на а-|-Ь невозможно, и частное имѣетъ видъ дроби
III.	Если возможенъ цѣлый полиномъ (частное), который, будучи умноженъ на дѣлителя, давалъ бы дѣлимое, то высшій членъ дѣлимаго долженъ быть произведеніемъ высшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, а низшій членъ дѣлимаго— произведеніемъ ихъ низшихъ членовъ. Поэтому, высшій членъ частнаго долженъ равняться частному отъ раздѣленія высшаго на высшій, а низшій членъ частнаго “частному отъ раздѣленія низшаго на низшій членовъ дѣлимаго и дѣлителя. Отсюда прямо слѣдуетъ, что если не дѣлятся нацѣло высшій членъ дѣлимаго па высшій членъ дѣлителя, или низшій на низшій, то дѣленіе невозможно.
Такъ, многочленъ
8х: — 6я64" &г3 — 4г4 — 2Н — "х* не дѣлится на
5х* — 2х4
потому что низшій членъ 7х* дѣлимаго не іѣлгтея на низшій членъ х* дѣлителя.
Точно такъ же многочленъ
не дѣлится на
X4 -р Д72-[- 1,
такъ какъ высшій членъ дѣлимаго (Зж3) не дѣлится на высшій членъ (я4) дѣлителя.
IV.	Но если высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій, то изъ этого еще никакъ не слѣдуетъ заключать, что дѣленіе возможно. Совершая въ этомъ случаѣ дѣленіе и продолжая его достаточно далеко, всегда можно открыть—возможно оно или нѣтъ.
При этомъ слѣдуетъ различать два случая:
1. Дѣлимое и дѣлитель расположены по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Въ этомъ случаѣ степень высшихъ членовъ послѣдовательныхъ остатковъ идетъ понижаясь. Для возможности дѣленія необходимо, чтобы высшій членъ каждаго остатка дѣлился на высшій членъ дѣлителя; поэтому, если дойдемъ до остатка, въ которомъ высшій членъ содержитъ главную букву въ меньшей степени чѣмъ высшій членъ дѣлителя, и слѣдовательно не дѣлится на высшій членъ дѣлителя, то заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Такъ, пусть требуется раздѣлить
2х4 4~ я3 — ж2 -|-	4
на
х2 — х 4-1 й
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій. Попробуемъ, не совершается ли дѣленіе на-цѣло:
2^*4" х3— #а4"’7хг4"4 — 2^4 +
Зз* —	4“ 4
— Зіг® -4" Зх2 4^ Зя
2х2 4- Зя
Высшій членъ второго остатка не дѣлится на высшій членъ дѣлителя: заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Иногда, прежде чѣмъ дойдемъ до такого остатка, можно ранѣе убѣдиться, возможно дѣленіе или пѣтъ. Въ самомъ дѣлѣ, предполагая, что дѣленіе возможно, можно напередъ опредѣлить—каковъ долженъ быть низшій членъ частнаго. Именно, если дѣленіе возможно, то дѣлимое будетъ произведеніемъ дѣлителя на частное, а потому низшій членъ дѣлимаго долженъ быть произведеніемъ низшихъ членовъ дѣлителя и частнаго; слѣдовательно, раздѣливъ низшій членъ дѣлимаго на низшій членъ дѣлителя, мы узнаемъ, каковъ долженъ быть низшій членъ частнаго. Совершая дѣленіе, пусть мы дошли въ частномъ до члена той степени, какую мы ранѣе нашли для послѣдняго члена частнаго; для того чтобы дѣленіе было возможно, необходимо: 1) чтобы членъ, найденный нами въ частномъ, былъ равенъ частному отъ раздѣленія послѣдняго члена дѣлимаго на послѣдній членъ дѣлителя; 2) чтобы слѣдующій остатокъ былъ равенъ нулю. Если хотя одно изъ этихъ условій не осуществляется, заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Приводимъ примѣры.
Раздѣлить х7 — Зх® — 4хя 4“ 2х4 на х* — 5х -|“ 1.
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій; при этомъ, если дѣленіе возможно, то послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть: 4“ 2х* ;	1 = 4"
Совершаемъ на самомъ дѣлѣ дѣленіе:
х1 — Зх® — 4х5 -4- 2х*, х4 —5х 4^ І — х~ -4- 5хв 4г х3 х* Ч- 2х*
2хе— ох3—2-г1
— 2х*— 10г5 = 2 х*
Раздѣлимъ жысѵіі члегь іерваго остатка на высшій членъ дѣлителя, находить -^-Зх1. т.-е. икъ разъ такой членъ, какимъ долженъ быть послѣдній членъ частшл»: но какъ слѣдующій остатокъ не равенъ нулю, то заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Другой примѣръ: раздѣлить
8х*4“ 10х“-— 32х4 — Зх8-р$4хЧ— 20х на 4х34“5х2 — 2х.
Первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя, и послѣдній на послѣдній; притомъ, частное отъ этого послѣдняго дѣленія есть — 20х; — 2 х или 4“ Ю- Членъ 4” Ю долженъ быть послѣднимъ въ частномъ, если дѣленіе совершается нацѣло, -
Выполняемъ дѣйствіе:
8х«-[-10хя -32х4 — Зх3 + 54ха —20х 4х34-5ха —2х
— 8х®	1 Ох5 =4 4х4	"зхв _7Ж"47з
- 28х* —~~ЗхГ+ 54х2 — 20х~
~Ь 28х* Ч- 35х3 4- 14х *
32х34-40х^ 20х”
— 32х3 Ч2 40хя Ч- 16х
Членъ частнаго, несодержащій буквы х, оказывается равнымъ 4"®і а не 10, какъ должно бы быть при возможномъ дѣленіи: заключаемъ, что дѣленіе невозможно. Вычтя изъ второго остатка произведете (4л34~Зл2—2х), 8, находимъ послѣдній остатокъ: — 4х*
2. Дѣлимое и дѣлитель расположены по восходящимъ степенямъ главной буквы.
Въ этомъ случаѣ степень низшаго члена послѣдовательныхъ остатковъ идетъ постепенно увеличиваясь, а потому низшіе члены остатковъ всегда будутъ дѣлиться на низшій членъ дѣлителя. Невозможность дѣленія открываемъ слѣдующимъ образомъ. Раздѣливъ высшій членъ дѣлимаго на высшій членъ дѣлителя, мы узнаемъ, каковъ долженъ быть высшій членъ частнаго, въ предположеніи, что дѣленіе возможно. Если, дойдя въ частномъ до члена, содержащаго главную букву въ степени, равной избытку показателя главной буквы въ послѣднемъ членѣ дѣлимаго надъ ея показателемъ въ послѣднемъ членѣ дѣлителя, найдемъ, что этотъ членъ отличенъ отъ члена, получаемаго дѣленіемъ послѣдняго члена дѣлимаго на послѣдній членъ дѣлителя, или если этотъ членъ будетъ и = указанному частному, но слѣдующій затѣмъ остатокъ не будетъ О, то дѣленіе— невозможно.
Пусть, напри*.. требуется раздѣлить
4 — Зх4“5ха-(-^а—19л1 на 1 — 2л — л2.
Здѣсь первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя и послѣдній членъ дѣлимаго на послѣдній дѣлителя.
Если дѣленіе возможно, послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть
(— 19^1) ; ( — д;2) =	19^
4 — 3x4“ 5л34~ л3 — 19л1	1—‘2л —	х*
— 4 4=83?	4л2	4-р5а?Ц-19#2
5 л9х24“ х3 — 19а4
— 5л + Юл2 =Н 5л8
19л2 + 6х3 — 19 л1
— 19л2 ± 38л3 =Ь 19л1
44л3
Третій членъ частнаго дѣйствительно =-|-19х2, но затѣмъ остатокъ не есть ноль: заключенъ, что дѣленіе невозможно*
Еще примѣръ: раздѣлить
— 2 4~ я — 5х3 4- 4л1 на —* 1 — 2л -|- л2.
Если дѣленіе возможно, послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть 4“ 4л2,
— 2л — 5 л8 Ц- 4л1 —1—2л+
+ 2 + 4л=ь 2х2	_	~ 2 —5х'фі2х2
5х — 2л2 — 5л3 4- 4л1
— 5 л 4" Юл2 + 5л3
— 12л2	+ 4л1
+ 12л2 ± 24л3 =р 12л*
івѣгтъ находимъ въ частномъ + 12яа; кромѣ того, соотвѣтствую-яй «татокъ долженъ бы быть нулемъ, а онъ равенъ 24х3— 8х4. Значитъ, .Йкѵж невозможно.
і*э4енность случая дѣленія цѣлыхъ полиномовъ, расположенныхъ но воз-рк-амимъ степенямъ главной буквы (при соблюденія условія дѣлимости край-К5 діеновъ дѣлимаго на крайніе члены дѣлителя), заключается въ возмож-жнш полученія въ частномъ неограниченнаго числа цѣлыхъ членовъ. Обусло-мвается это тѣмъ, что степени низшихъ членовъ остатковъ идутъ, постоянно мышаясь. Такъ, въ послѣднемъ примѣрѣ, продолжая дѣленіе, получили бы ^тьертый членъ — 24т8 и т. д.
49.	Когда частное отъ раздѣленія цѣлыхъ относительно х полиномовъ однога п другой не можетъ быть въ точности выражено цѣлымъ полиномомъ съ копеч-шхъ чцеломъ членовъ, то оно можетъ быть представлено въ видѣ суммы, состоящей изъ нѣкотораго цѣлаго относительно х полинома (когда таковой су-шествуетъ и не сводится къ нулю), и дроби, имѣющей числителемъ одинъ изъ остатковъ, а знаменателемъ — дѣлителя.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А и В будутъ два цѣлые по буквѣ х полинома, расположенные или по восходящимъ, пли но нисходящимъ степенямъ буквы т, — въ послѣднемъ случаѣ пусть степень А не ниже степени В, — и положимъ, что въ частномъ получился цѣлый по буквѣ # многочленъ Ц, а въ остаткѣ В. Замѣчая, что остатокъ К происходитъ послѣ вычитанія изъ А произведенія В<і, находимъ:
Н —А —В(),
или, выражая уменьшаемое посредствомъ вычитаемаго и остатка, находимъ а=вч+в...(і), отсюда, раздѣливъ обѣ части на В, имѣемъ
В = Ч+е-<2)-
Различаемъ теперь два случая: 1) А и В расположены по восходящимъ степенямъ буквы х\ 2) А и В расположены по нисходящимъ степенямъ я-са.
Въ первомъ случаѣ преобразованіе, указанное равенствомъ (2), возможно выполнить безчисленнымъ множествомъ способовъ. Въ самомъ дѣлѣ, число цѣлыхъ но буквѣ х остатковъ въ этомъ случаѣ неограниченно, и мы можемъ остановиться на какомъ угодно изъ нихъ. Такъ, дѣля 1 на 1 — я, и, останавливаясь послѣдовательно на 2-мъ, на 3-мъ, на 4-мъ и т. д, остаткахъ, найдемъ преобразованія:
Пусть теперь полиномы А и В расположены но нисходящимъ степенямъ буквы х, и пусть степень А не ниже степени В; то число преобразованій, выражаемыхъ равенствомъ (2), будетъ ограниченное. Степени послѣдовательныхъ остатковъ въ этомъ случаѣ идутъ, все понижаясь, и обыкновенно останавливаются па томъ остаткѣ, котораго степень по крайней мѣрѣ на 1-цу ниже степени дѣлителя. Пусть К ц будетъ такой именно остатокъ, а — цѣлая часть частнаго; при этомъ ограниченіи преобразованіе, указанное равенствомъ (2),
— 64
возможно исполнить только однша единственна^ способомъ; т*-е* при огра-X пиченіи, что степень К нвже степени В, существуетъ только одна пара цѣлыхъ полиномовъ Ч и К, дающихъ равенство (2), или, что то же (1). Чтобы доказать сто, допустимъ, что существуетъ другая пара цѣлыхъ по буквѣ х полиномовъ, Ц' и К\ гдѣ степень IV ниже степени В, такихъ, что
*
А = ВЦ' + К';
если это такъ, тополиному ВЦ -4 И и ВЦ'4^ IV, какъ равные одному и тому же полиному Ат должны быть совершенно одинаковы, или. какъ говорятъ, тождественны:
ВЦ + В = В<І' -4- К\
т-е* что, по выполненіи указанныхъ дѣйствій, по обѣ стороны знака = • должны получиться совершенно одинаковые полиномы, откуда, вычитая отъ равныхъ равныя К ВЦ', найдемъ ВЦ — ВЦ' = В' — В. что можно написать въ видѣ В(Ц — Ц')= = В'— К. Но такое равенство возможно только тогда, когда Ц = Ц' и вмѣстѣ съ тѣмъ К = К'; ибо въ противномъ случаѣ Ц — Ц', будучи цѣлымъ но буквѣ х полиномомъ или, въ крайнемъ случаѣ, будучи независимымъ отъ .г числомъ, по умноженіи на В дастъ полипомъ степени или высшей, или, по меньшей мѣрѣ, равной степени полинома В, между тѣмъ какъ К и В', будучи по степени лг-са ниже В, дадутъ въ разности полиномъ необходимо низшей степени, чѣмъ степень В; и такимъ образомъ полиномы В(Ц — Ц') ц К' — В были бы неодинаковой степени и, слѣдовательно, не могли бы быть тождественны между собою.
Итакъ, необходимо должно быть Ц' тождественно съ Ц и IV тождественно съ К; и потому при указанныхъ условіяхъ преобразованіе, представляемое равенствомъ (1), а слѣдовательно и (2), возможно выполнить только однимъ способомъ *
Такъ, если А = бх1 -|- 5#3 — 14~ 25% 4^ 4, В =	•—2я -|-1, то
полное частное отъ раздѣленія А па В будетъ
Л « । о л ।	14^4-8
4“ Зя 4 4“ Зх4 _ 2^ р
п, по доказанному, выразить полное частное въ такой формѣ (т.-е. въ формѣ цѣлаго полинома 4^ дробь) возможно только однимъ этимъ способомъ, если желаемъ, чтобы степень остатка была ниже степени дѣлителя.
Такимъ же образомъ найдемъ:
въ иной формѣ преобразованіе и не можетъ быть выполнено, если хотимъ, чтобы степень остатка была ниже степени дѣлителя*
50.	Раздѣлить полиномъ X послѣдовательно на полиномы В, С, О,... значитъ раздѣлить А на В, потомъ частное иа С, затѣмъ частное этого новаго дѣленія на В и т* д*
Теорема* Если полиномъ А раздѣлить послѣдовательно на полиномы В, С, I),... (не необходимо различные между собою), то послѣднее полученное частное есть вмѣстѣ съ тѣмъ частное отъ раздѣленія А на произведеніе ВСВ.
Въ самомъ дѣлѣ, полагая, что полиномы расположены по убывающимъ степенямъ главной буквы, имѣемъ тождества:
А — Яр
Чі = ($а 4-ма = п+к3*
причемъ всѣ полиномы Вп К?, В3, необходимо, низшей степени сравнительно съ В, С, И. Подставляя въ первое тождество вмѣсто равное ему выраженіе С9а4“В-а, имѣемъ
А-ВСС^ + В^ + В.,
а сюда вмѣсто подставляя П(?а -|—В3, найдемъ
А = В[С(В(4 + В3) + К2]+Вр
ИЛИ	А = Ю ,<І3 + (ВСВЭ 4-ВВз-НВ,).
Легко убѣдиться, что степень полинома въ скобкахъ ниже степени произведенія ВСИ. Слѣдовательно, послѣднее тождество показываетъ, что, раздѣляя А на ВСП, находимъ въ частномъ и въ остаткѣ ВСН3-|-’ ВВ24* ®і5 теорема доказана. Если послѣдовательныя дѣленія совершаются на-цѣло, то, значитъ, А дѣлится на ВСВ, и частное отъ раздѣленія А на ВСО есть послѣднее полученное частное. Обратно, если А = ВСВ. Ц, то А дѣлится на В, и въ частномъ получится СІКН это частное, въ свою очередь, дѣлится па С, и частнымъ этого новаго дѣленія будетъ ТК|: это частное дѣлится на В, и частнымъ этого третьяго дѣленія будетъ <}.
Слѣдствіе. — Основываясь на этомъ, если требуется узнать, дѣлится ли полиномъ А на (х — а)р (гдѣ р — цѣлое положительное число), можно поступать такъ. Дѣлимъ А на х— а; пусть дѣленіе совершается безъ остатка; частное этого дѣленія дѣлимъ опять на х — а и т. д. Если всѣ р дѣленій совершаются безъ остатка, то заключаемъ, что А дѣлится на (ж — а)р, и частное послѣдняго дѣленія будетъ частнымъ отъ раздѣленія А на (я? — а)р.
Замѣчательные случаи дѣленія.
51.	Приведемъ нѣкоторые частные случаи дѣленія, заслуживающіе особаго вниманія вслѣдствіе частаго ихъ примѣненія.
I. Разность одинаковыхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на разность основаній.
Пусть требуется раздѣлить х'п — ат па я —а. Совершая дѣленіе, имѣемъ: хт — ат х — а
— хт -4-а#"*-1 я”1-1	...
аз™-1 — ат
—ахт~} -4- а2#”*-2
а2д;т-2---ат
— а2х™ 4? а3#™"3
аЗдмм-з — агл
— ат
— а^1х ат
О
Расположивъ дѣлимое и дѣлителя по убывающимъ степенямъ буквы я, дѣлимъ первый членъ дѣлимаго па первый членъ дѣлителя и находимъ первый членъ частнаго, въ которомъ показатель буквы какъ равный разности показателей той же буквы въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ, будетъ —т — 1. Первый членъ частнаго есть т*'1. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ дѣлимаго, получаемъ первый остатокъ: ажт 1 — а". Раздѣливъ аят-1 на а?, находимъ второй членъ частнаго: а#”1-2. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ перваго остатка, получимъ второй остатокъ: а2х”*-2 — ат. Подобнымъ же образомъ найдемъ, что третій членъ частнаго <Лгт”3, а третій остатокъ а3#"1-3 — ат.
Не продолжая дѣйствія, разсмотримъ законъ (.оставленія послѣдовательныхъ остатковъ, Сравнивая ихъ между собою, замѣчаемъ, что всѣ остатки—двучлены, которыхъ вторые члены одинаковы и равны —а" первые же члены представляютъ произведенія степеней буквъ а и х. при четь показатели буквы а идутъ послѣдовательно увеличиваясь на 1, а показатели буквы х уменьшаясь на 1, сумма же обоихъ показателей всегда равна ш. Изъ этого слѣдуетъ, что, продолжая дѣленіе, мы непремѣнно дойдетъ до такого остатка, первый членъ котораго будетъ имѣть букву а съ показателемъ т—' 1, а слѣдовательно букву х съ показателемъ 1. такъ какъ сумма показателей должна равняться т. Этотъ остатокъ будетъ слѣдовательно: а"-1 я — а"1. Дѣля первый его членъ на я, найдемъ въ частномъ членъ а"1-1; а умноживъ этимъ членомъ дѣлителя и вычтя произведеніе изъ остатка, находимъ, что слѣдующій остатокъ есть 0: значитъ. х1*— а** дѣлится безъ остатка на х— а.
Мы не могли выполнить всѣхъ частныхъ дѣленій вслѣдствіе неопредѣленности числа т; мѣста, гдѣ надо подразумѣвать промежуточные остатки и члены частнаго, обозначены точками.
Законъ частнаго. — Всматриваясь въ составъ частнаго, замѣчаемъ, что оно имѣетъ слѣдующія свойства:
1.	Всѣмъ его членамъ предшествуетъ знакъ (-р), потому что они происходятъ отъ дѣленія первыхъ членовъ остатковъ, предшествуемыхъ знакомъ (-1-), па первый членъ дѣлителя, имѣющій тотъ же знакъ.
2.	Первый членъ частнаго есть послѣдній «гл-1; что же касается промежуточныхъ членовъ, то они представляютъ произведенія степеней обѣихъ буквъ х н а, причемъ показатели буквы х идутъ послѣдовательно уменьшаясь на 1, а показатели буквы а— послѣдовательно увеличиваясь на 1; такъ что сумма показателей въ каждомъ членѣ равна —1. Если въ первомъ членѣ подразумѣвать множителемъ а0, а въ послѣднемъ х°, то можно сказать, что члены частнаго расположены по убывающимъ степенямъ буквы я, которой показатели идутъ, уменьшаясь на I, начиная съ — 1 и кончая нулемъ; и но возрастающимъ степенямъ буквы а, которой показатели идутъ, увеличиваясь на 1, начиная съ О и кончая — 1.
3.	Число членовъ частнаго равно я», т.-е. степени дѣлимаго.
Въ самомъ дѣлѣ, показатели буквы а, наприм., идутъ послѣдовательно увеличиваясь на 1, начиная съ О и кончая ш — 1; но послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ отъ О до — 1 включительно ровно т. Столько же членонч, и въ частномъ.
При помощи выведенной нами формулы
іТт-1
4-ахт~2
Ц- ... 4~ ат~2х 4“
..ДА)
(12Хт~~^
4-а3я™~4

можно прямо писать частное отъ раздѣленія разности одинаковыхъ степеней двухъ количествъ па разность основаній. Вотъ примѣры:
3. Раздѣлить, по формулѣ (А), 125а3 — 863 на 5а — 26.
Замѣчая' что 125а3 = 5.5.5.а.а,а = 5а. 5а. 5а = (5а)8, и что 863= = 2.2.2.6. Ь. Ъ = 26.26.26 = (26)э, имѣемъ:
(5 5а=2І~ = (5а)“ +(5а) •(2Ь) + (26)3 = 25а* + 10а6+ 4Л1-
4. Подобнымъ же образомъ найдемъ;
— т4 = а* 4- а3™ -|-1 а*т* + І ат3 4" ***.
Слѣдствія. — Такъ какъ х і а означаютъ какія угодно количества, то можно положить а =—а'. Подставмвъ въ формулу (А) вмѣсто а количество—а', м замѣтивъ, что дѣлимое обращается въ лГ — ( — а*)"*, а дѣлитель въ х — (— а') или въ	находимъ:
4~ (— а')хт~2 4- (— а')*#т*3 4" ... 4- (— а')м-Лг 4^
4-(-а')”-1.
Изъ правила знаковъ при умноженіи заключаемъ, что (—а')*=(—а').(—а')= = + а'*; ( д')а = (-«>(- а') = (+ а'*)( - а')=-а'3; (-а')4 = ^а'\— — а'= 4-а'4 и т. д. Однимъ словомъ: четныя степени количества—а' даютъ знакъ 4^ а нечетныя—знакъ —. Замѣтивъ это, различаемъ два случая: т— четнаго и т— нечетнаго.
1. ш — число четное. — Въ такомъ случаѣ будетъ: т — 1 — число нечетное, т — 2 •— четное, т — 3 — нечетное п т. д. А потому найдемъ, что: (—а)т = 4»аУт; (—а')т“1 = — а^”1; ( - а')”—2 =	а'м~2 и т. д. При-
нимая это въ соображеніе, найдемъ, что послѣднее равенство принимаетъ видъ
М4
Отсюда заключаемъ, что разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится безъ остатка и на сумму основаній, при чемъ законъ составленія частнаго отличается отъ вышеуказаннаго только чередованіемъ знаковъ.
Напримѣръ, хв —а3 дѣлится не только на х — а, но и на #4“аі причемъ частное будетъ
2. т — число нечетное. — Въ такомъ случаѣ, т — 1 будетъ число четное, т — 2 — нечетное и т. д. Поэтому: (— а')щ — — сл. Дѣлимое будетъ хт — (— а,щ) = а?” а"Л; затѣмъ, (— а')"1-1 будетъ — -р а'”1”1; (— а')т-2= = — а'*1-2 и т. дм и мы получимъ:
---У г- = г*1-1 — ахт~2 я -|- а
а*хт~3 — а'Ъ?™-4— ат~2х а'1”-1... (С),
Равенство (С) показываетъ, что сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ колгічествъ дѣлится безъ остатка на сумму основаній,•причемъ въ частномъ знаки чередуются.
Напримѣръ:
II. Сумма одинаковыхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится безъ остатка на разность этихъ количествъ.
Пусть требуется раздѣлить сумму яш-|-аад на х — а:
мт ( _т	„
х -|- а х — а
— &т ± а#”-1 #т—1	ад?т*-2а2#1”-3	... -|- а”**1
ахт~1 -|- а”1
— ахт Ч~ а2я:т“2
— аЪ;т~-2 Ч- а8д;го~3
а8#"1”3 Ч- а”  ♦
I
V ѵ  *  « •
с » * * * Ф • ат-1я: -]“»** — ат—хх Ч— ат
2а”
Дѣленіе будетъ возможно, если, найдя въ частномъ членъ — ат-\ получимъ въ остаткѣ 0; но совершая дѣленіе, мы нашли въ частномъ членъ Ц-а”-1 и затѣмъ въ остаткѣ 2а”: заключаемъ, что дѣленіе не совершается безъ остатка. Что касается цѣлой части частнаго, то она составлена совершенно по тому же закону, какъ и въ первомъ случаѣ. Полное частное будетъ
х— а
— ж1"'1	а^‘“2
2ат я—а
... (0).
Слѣдствія. — Полагая въ этой формулѣ а = — а\ находимъ
4- Г
~г -а' ==ж"~1 + (~а>и,-2+ (- ^“-3+...+(-аГ-Ч“Ч4^
Іц ь*	.	«и •“ I ^“14 !
Разсмотримъ опять два случая: т — четнаго и т — нечетнаго.
1-й случай. — т — число четное» Въ этомъ случаѣ «я» і „гт	ч-ля
—а'^ + Д—, ...(Е).
Я? |	(К
Откуда заключаемъ, что сумма одинаковыхъ четные степеней двухъ количествъ не дѣлится на сумму тѣхъ же количествъ, и что остатокъ равенъ удвоенному второму члену дѣлимаго.
Такъ, г4-г я4 .	, т * о I 2а*
—;— = х1 — ах3 + а*х — €г -4- —;— • я	1	1 а? + а
2-й случай. — т — нечетное число. Въ этомъ случаѣ
Xм-ДГ1" х Ц-а'
—	— алхет“2 Ч-а'3#**-3 —... -4- а'*”-1
2а,от х + а'
(Р).
Слѣдовательно, разность одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится на сумму этихъ количествъ, и остатокъ равенъ удвоенному второму члену дѣлимаго.
Такъ, х5 — а5 *	» । » о я ।	*	2ав
—, — = х* — ах3 ч- а 2х3 — а Зх + а4--------= 
х + а	’	1	х + «
Выдѣляя изъ разсмотрѣнныхъ случаевъ тѣ, когда дѣленіе совершается безъ остатка, приходимъ къ слѣдующему выводу: раз«ос?п& одг/яакояът степеней двухъ количествъ всегда дѣлится на разность основаній; разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится 9 кромѣ того, и на сумму основаній; сумма же одинаковыхъ нечетныхъ степеней — на сумму основаній.
Теорема, доказанная въ этомъ параграфѣ, извѣстна подъ именемъ теоремы Везу (Вегопі).
ГЛАВА VI-
Разложеніе алгебраическихъ выраженій на множители.—Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами"
52.	Разложить выраженіе на множители — значитъ представить его въ формѣ произведенія, иначе говоря, въ формѣ одночлена. Опредѣленнаго неизмѣннаго правила для такого преобразованія нѣтъ; знаніе теоремъ и навыкъ въ преобразованіяхъ позволяютъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ открыть, каковы множители даннаго выраженія.
Естественно, первое, что нужно сдѣлать — это выдѣлить множителя, общаго всѣмъ членамъ даннаго выраженія, если таковой имѣется. Затѣмъ, дальнѣйшее разложеніе совершается примѣненіемъ одного изъ слѣдующихъ трехъ пріемовъ: 1) формулъ замѣчательныхъ случаевъ умноженія в дѣленія; 2) метода опредѣленной группировки членовъ; 3) метода двухчленныхъ дѣлителей. Откладывая взлаженіе послѣдняго метода до слѣдующей главы, ознакомимся въ этой главѣ съ остальными изъ указанныхъ пріемовъ.
53.	Вынесеніе за скобки общаго множителя членовъ даннаго многочлена. — Пусть всѣ члены многочлена имѣютъ общаго множителя, напр,,
АВ — ВБ + СП;
замѣтивъ, что величина многочлена не измѣнится, если мы его помножимъ и раздѣлимъ на одно и то же количество, множимъ и дѣлимъ на В; находимъ
АВ — ВО 4- СО = |)^АВ-ВВ.+ср),
Выполнивъ дѣленіе АВ — ВВ —[— СВ на В по правилу дѣленія многочлена на одночленъ, найдемъ въ частномъ А — В + С; слѣд.
АБ — ВВ + СВ = В(А — В + С).
Отсюда видимъ, что если всѣ члены многочлена имѣктъ общаго множителя, то этотъ множитель можно вынести за скобки, написавъ въ скобкахъ частное отъ раздѣленія даннаго многочлена на общій множитель его членовъ.
Такъ, всѣ члены многочлена 356М — 76с3ййЦ- 49а/?<?й4~34363с3 имѣютъ общимъ множителемъ 76са, который и выносимъ за скобки; въ скобкахъ же пишемъ частное отъ раздѣленія многочлена на 7/и?; такимъ образомъ найдемъ:
356 V — 7/>сМ* + 49а/?<Л?+ 3436Ѵ = 76с2(56с2 — есР + 7аМ + 49/?с).
Иногда выраженіе, получившееся въ скобкахъ, бываетъ способно къ дальнѣйшему разложенію, либо къ другимъ преобразованіямъ, могущимъ его упростить. Напр., 14а8/? — 28а4/?-|- І4аЧ>\ по вынесеніи за скобки общаго множителя 14а3/?, приводится къ виду 14аЧ?(аа— 2а6&2); замѣчая затѣмъ, что а2 — 2а6	/? = (а — Ь)*. замѣняемъ данное выраженіе простѣйшимъ
14а3/?(а — 6)2.
54,	Методъ примѣненія замѣчательныхъ формулъ умноженія и дѣленія.— Можно иногда съ успѣхомъ примѣнять къ разложенію на множители формулы замѣчательныхъ случаевъ умноженія и дѣленія.
Простѣйшая изъ этихъ формулъ есть
А3 — В2 = (А + В)( А — В)... (1).
Замѣтивъ далѣе, что
^в!=а*+ав+в’ и ^Нг = а’-ав+в»,
и опредѣляя изъ того и другого равенства дѣлимое но дѣлителю и частному, имѣемъ:
А» — В* = (А— В)(А* + АВ + В’)... (2)
А» + В* = (А-Ь В)(А8 - АВ 4- В»)... (3)
Затѣмъ имѣемъ:
А* -В»=(А8)8~(В8)8=(А8+В8) (А8 -В8)=(А»+В’)(А 4~ В)(А - В)...(4).
А» — В* = (А8)8 — (В8)8 = (А8 + В8) (А8 — В8) — = (А + В) (А - В) (А8 + АВ + В8) (А8 — АВ 4- В8)... (5).	.
Вотъ примѣры примѣненія этихъ формулъ:
1)	4х8 — 9у8 = (2л)8 - (Зу)8 = (2«4- Зу) (2х - Зу).
2)	(а + Ь — с)*— (а — 2Ь 4~ Зс)8 = (2а — Ь	2с) (ЗЬ — 4с).
3)	а8—Ь8=(«‘)8—(6‘)8=(а‘-Н>‘)(а‘—6‘)=(а8-|-д‘) (а8-|-Ь8) (а-|-Ь) (а—6).
4)	Вж8-|- 27у8 = (2х)8 + (Зу)8 = (2л 4 Зу) (4л8 — бжу + 9у8).
5)	8л8 — 27у8 = (2ж)8 — (Зу)8 = (2л - Зу) (4х8 -|- бжу 4~ 9у8).
6)	Разложить на множители
2а8Ь8 -(- 2Ь8с8 -|- 2а8с8 — а* — (>* — с*.
Придавъ къ этому выраженію и вычтя изъ него 2а8Ь8, находимъ:
АаѢ* — 2а868	268с8 -|- 2а8с8 — а‘ — — с* =
(2аЬУ — (а* 4- 2аѢ* 4~ 6‘) 4~ 2 (а8 4- 6») с8 - - с‘ =
(2аі)8 — (а8 4- 68)8 4- 2 (а8 4- 6») с2 - с‘
(2аі)8 — {(а8 4- 68)8 — 2 (а8 -}- Ь8) с8 4- с*} =
(2а/>)8 — I (а8 4- і8) — с8|8 = (2аЬ 4~ а8 4- Ь8 — с8) (2аЬ — а^ — Ь^ с8) = [(а 4- Ь)' - с8] [ — (а — Ь)* 4- с8] =
= (а 4"" 4~ № “І” — е) (а — Ъ 4~ с) (—* а 4~ &	с).
Разсмотримъ еще разложеніе выраженій А‘4-В‘, А*4-В* 4-А8В8, А‘4“ 4- В* — &А8В8
Придавая къ первому изъ этихъ выраженій и вычитая изъ него 2А8В8, находимъ:
А« 4- В* = А‘ 4- 2А8В8 4- В‘ — 2А^В8 = (А8 4~В8)8 — (УІ. АВ)8 = = (А8 4- В8 4- АВ У2) (А8 4- В8 — АВ У2).
Такимъ же образомъ найдемъ:
А* 4- В* 4- А8В8 = (А8 4- В8)8 - А8В8 =(А2 4- В8 4- АВ) (А8 4~В8 — АВ).
А‘ 4- В‘ - *А8В8 = (А8 4- В8)8 — (к 4- 2) А8В8 = = (А8 + В8 + АВ }/* + 2) (А8 4-В8 - АВ	+ 2).
55.	Методъ группировки членовъ. — Если всѣ члены многочлена не имѣютъ общаго множителя, то иногда возможно бываетъ разбить иіъ на группы такъ, чтобы*всѣ группы имѣли общаго множителя, который и. выносится за скобки. Общихъ правилъ для такихъ преобразованій нѣтъ; какъ ихъ совершать, укажутъ нижеслѣдующіе примѣры.
1.	Разложить на множителя выраженіе а*-\-Ьс — ас — аЬ. Разбиваемъ многочленъ на двѣ группы: а2 —ас и -рбс — аЬ; вынося въ первой группѣ за
скобки а, находимъ а(а—с); вынося во второй группѣ—6, получимъ —6(а—с). Слѣд. данное выраженіе = а(а — с) — Ь (а — с); вынося здѣсь за скобки а — с, получаемъ окончательно (а — с) (а — Ь).
2.	Взявъ трипомъ х2 4" (а 4“ Ь) х4"	раскроемъ скобки и сгруппируемъ
члены попарно; найдемъ
х* 4“ ах 4~ Н-* = х Iх Н~ а) Н- Ь (х 4“ а) = 4" а) &)•
Подобно этому, найдемъ
(х — а) (х — Ь) = х* — (а 4~ Ь) х 4~ а&, (х— а) (^4” Ь) = ха4^(—а +	— ай.
Отсюда заключаемъ, что всегда можно перейти отъ тринома вида ха4^Р^4^ къ произведенію двухъ биномовъ (#4“а) (х4“ &)• какъ скоро удастся подыскать два такихъ числа а и 6, произведеніе которыхэ равнялось бы а алгебраическая сумма давала бы р. Вотъ примѣры.
Пусть нужно разложить триномъ х5— 10x4“ 24, Пробуемъ, нельзя ди свободный членъ -|-24 разложить на два такихъ множителя, — эти множители должны быть одинаковаго знака, — алгебраическая сумма которыхъ давала бы коэффиціентъ при первой степени х, т.-е. —10. Во 24 можно разложить на слѣдующія пары множителей:
+ ІХ + 24, — 1 X—24,
2Х 12, ЗХ 8, 4Х О,
— 2Х”12т ~ЗХ — 8, —4X^6.
Изъ нихъ только послѣдняя пара даетъ въ суммѣ — 10. Такимъ образомъ прямо'находимъ, что искомые множители будутъ
х— 4 и х — 6; слѣд., х2 — 10х-|- 24 —(х — 4) (х — 6).
Пусть еще требуется разложить триномъ х2 -4- 2х — 35. Такъ какъ передъ свободнымъ членомъ стоитъ знакъ —то пытаемся, нельзя ли разбить — 35 на два такихъ множителя съ противоположными знаками, чтобы ихъ произведеніе было —35, а алгебраическая сумма -|-2. Множители—35 будутъ: +1 н + 35, + 5 и требованію удовлетворяютъ: 4”? и —5. Слѣд., искомые множители будутъ:
#4“ 7 и х— 5, и х‘24-2х — 35 = (х — 5) (х 4" 7).
3.	Взявъ асх2-\-(а(1-^Ьс)х-\-Ъс11 раскрывъ скобки и сгруппировавъ члены по два, имѣемъ
асх* 4- адх 4“ Ьсх -\-Ь(1=ах(сх-\- (I) 4“ Ь (сх 4- =(ах 4- Ь) (сх 4^ <0-
Отсюда видно, что разложеніе тринома рх2(?х 4~ ** на множители вида их-\-Ь и сх4-с? будетъ возможно, какъ скоро удастся разложить р па два множителя а и с, а г — на два множителя Ь и (I такъ, чтобы средній коэффиціентъ ц равнялся а<і~\-Ьс.
Пусть, напр., требуется разложить трипомъ Зх24~7х — 6. Коэффиціентъ 3 разлагается только на 1 и 3. Послѣдній членъ — 6 можетъ быть произведеніемъ: — 6 на 1. 4~г* на — 1. —2 на-4" + - на —3. Составляемъ те-
перь множители ая-|-Ь и	причемъ для коэффиціентовъ а и с при х
должно брать комбинаціи разложенія 3, а для Ъ и д— комбинаціи разложенія — 6, Такимъ образомъ испытываемъ комбинаціи:
(Зя+еНя + І), (За?Ч=1)(л±6),(Зя? + 2)(я;±3), (Зя + 3) (х ± 2).
Изъ этихъ комбинацій даетъ 4"?х для средняго члена —третья, если взять въ ней верхніе знаки; требуемое разложеніе будетъ, слѣдовательно,
(За; —2) (а; 4-3)
Триномы вида ая2 4“ 4“€ можно иногда легко разлагать способомъ дополненія первыхъ двухъ членовъ до полнаго квадрата, съ тѣмъ чтобы привести выраженіе къ разности двухъ квадратовъ. Вотъ примѣры.
Найти множители х2-|-7а:4_ 12. Обращаясь къ формулѣ (а6)2 = а2 4" 4~ 2аЬ-|-Ь2, замѣчаемъ, что х2 можно разсматривать какъ квадратъ перваго члена пока неизвѣстнаго бинома; помноживъ и раздѣливъ 7х на 2, что даетъ
2.x. —, мы можемъ іх разсматривать какъ удвоенное произведеніе перваго
члена (я) искомаго бинома на второй, который, слѣд., равенъ у Отсюда пря-
&
мо видно, что если къ данпомѵ трипому придать квадратъ этого второго члена. /7 V
[у) , при чемъ, понятно, нужно и вычесть столько же, т.-е. если написать данный трмвогь въ видѣ
то первые три члена даютъ квадратъ бинома а?4“Ѵ* такъ что данный триномъ можно написать въ видѣ
I і 7Ѵ	/49	I	। 'V	/IV
2/	\4	1 ИЛИ \ + 2/	\2/ д
а это, по формулѣ а2 — 62 = (а 4” &) (а “ равно
Еще примѣръ, легко рѣшаемый этимъ способомъ: разложить.
(а:2 4- 7х + 6) (я2 4- 7х + 12) — 280.
Раскрывая произведеніе, причемъ х24-'/^ считаемъ за одинъ членъ, имѣемъ
(х2 4- 7а?)* 4-18 (я2 4- 7л) + 72 — 280.
Замѣтивъ, что второй членъ можно написать въ видѣ 2. (а?24^7#) • на-юдимъ, что для требуемаго преобразованія надо придать и вычесть 92, и тогда выраженіе будетъ
(х2 + 7я4-9)а+72—280 —81=(г34-7я?+9)2 - 289 = (л2 +7x4-9)* — — (17)а = (ха4-7^ + 26)(х24-7х — 8) = (ж* + 7я4-26) (х— 1)(а?4-8).
4,	Иногда разложеніе группировкой удается, если расположить данное выраженіе по убывающимъ степенямъ одной и той же буквы. Такъ, въ выраженіи
а® (/> — с) 4- (с — а) + (а — Ь) мы не замѣчаемъ общаго множителя; но, расположивъ по убывающимъ степенямъ а, находимъ
а2 (& — с) — а (Ь2 — с*) + Ьс (і — с), откуда прямо виденъ множитель Ь — с. Вынося его за скобки, получимъ (Ь — с) [аа — а (Л Ц- е) + Ьс] = (Ь — с) [(а* — аЬ) — (ас — 1>с)] = = (& — с) [а (а — Ъ) — с (а — Ь)] = (Ь — с) (а — Ь) (а — с).
5.	Разложить па множители (а — 6) — аѴ(а — с) 4- Ь2с2 (Ъ — с). Можно бы было начать такъ, какъ указано въ предыдущемъ примѣрѣ. Но можно идти еще такимъ путемъ.
Имѣемъ послѣдовательно:
{6я (о — Ь) - е*0і —е)}4-іѴ(Ь- е)
= а2 \аІ>* — асэ + с> — М| + ЬѴ (Ь - с)
—- аа ] а (Ь2 — с2) — (6* — с*)| 4- Ъ2с* (Ь — с)
= а2 {а (6 — с) (Ь 4~ с) — (Ь — с) (Ь* 4“	^с2 (6 — с)
= ая (& — с) {а (Ь 4” с)— (^3 + + ^2)} + с)
= (Ь — с) (а3 (Ь + с) ~* я1 0* 4"	+ ^) +
= 0—с) {а*6(а — /;)4~л'Ма — й) + #2 № — а*)|
= (6 — с) (а — Ь) \а2Ь 4- а2с — ся 4 + Ь)}
= (& — е) (а — 6) {Ь(аа — са) + ас(а С)І
= (Ь — с) (а — 6) (а — с) (аЬ 4" +ас)-
6.	Разложить на множители ах+* — аѵ//' + 46Л— Ь*+|Г.
Замѣчая, что показатели складываются при умноженіи степеней одной и той же буквы, замѣняемъ 1-й и 4-й члены произведеніями ах. 4 и ЬХЬУ, послѣ чего данное выраженіе приметъ видъ ахау — аУЪ9 4~ а^*х — ЪХЬ\ или ау (ах — Ьѵ) 4“ 4- Ьх (а* — &ѵ). и наконецъ (ах — 4 (а* 4“ &*).
7.	Разложить на множители ж3 + 4я;* + я;— ®- Представивъ второй членъ въ видѣ Зх2 4- я2, а третій — въ видѣ Зх — 2х, получаемъ выраженіе
х3 4“ Зя* + я2 + Зя — 2х — 6 = а;2 4 + 8) + я 4 + 3) — 2 4 4“ 3) = = 44-3) 424’Л? и 2) = 44- 3) 424“2^—х—2) _ 44- з) 4 4+2)“ — 44-2)1 =4 + 3) {4 +2) 4- 1)1=4 + 3)44-2)4—1).
Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами.
56. Если въ данныхъ для умноженія многочленахъ встрѣчаются члены,
содержащіе одинаковыя степени главной буквы, то такіе члены разсматриваютъ
х 4 + 3) — 2 4 + 3) =
...ЛЧ^-т^ЛКЙМЪ
Пусть, напр.,
. х3 + Зя2 + х2 + Зл; — 2х — 6 = а;2 4 + 8)4
образомъ полученный, считаютъ коэффиціентомъ этой степени, требуется умножить
36* на
ах3  6я3 — а‘4‘2 + а3х — Забл2 —	- + /Д& — а1 -н
ах* + а2х — Ь2х — Ьх2 -4- а3 — 24
Сдѣлавъ вынесеніе за скобки, представимъ первый многочленъ въ видѣ
(а + Ь)я3 - (а* + ЗаЬ +	+ (а* + Ь8)я — а* ЗЬ\
а второй въ видѣ
(а — 6)х2 4“ (а* — 6а)ж-(“ а3 — 2б3.
Разсматриваемъ первый многочленъ какъ четырехчленъ, а второй какъ трехчленъ; а -|-&т	и а:іЦ-63—какъ коэффиціенты при степеняхъ х
перваго многочлена. —а44~^^4 какъ свободный членъ этого многочлена: а — Ь и а* — Ь1 — какъ коэффиціенты, и а3 — 27/ — какъ свободный членъ второго многочлена.
Чтобы многочлены уписались въ одной строкѣ, скобки замѣняютъ вертикальною чертою, справа отъ которой пишутъ степень буквы х, а слѣва одинъ подъ другимъ члены коэффиціента, каждый съ его знакомъ. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующ. образ.
о* о	о- а	ж3 — а8 — Заб — Ъ1 х* 4-а1 — 6»	х* -|-а* 4-6* х 4-а» — 2Ь* .	х — а1 4-36* . 	*	й	« * « • 			множимое множитель
а» — Ь* 1 1	х* — а* — 2а*й -|-2а6’ 4-6» +“* 4-а«Ь — аЬ* — Ъ*	х* -а‘ ’ — аѢ • -г-аЬ* — а* — За3Ь 4-Заб* Ха‘ 4-а3/? — 2а68 — 2Ь*	X3 — а* ’ Ч-а'Ь । 4-Заб1 - 368 4“ а3 — а3//2 1 -4 а263 — а3 — За4/; —а36* 4^2а363 -|- баб* 4-26*	х3 — а* -!-а‘Ь» ' За3М — 36* 4-«* — а863 — 26* ]	X	— а’) - 2а*63 - За*6* — 66"	Произведеніе до приведенія.
а’ -6*	х* — а*Ъ 4~аЬа	х* -4- а‘ — За36 4-2а63 — 26*	х3 — а” — 2а*6 — 2а363 + За363 і 4-9а6* і — 26я	1 х34-а‘63 '	- а*6’ ; 4-За*6‘ — 56* 1	X 1	— а71 - 2а*Ь3 - За8// — 6//	1	'X' і	и	и 1	*=с	*=с 1	ф У	и	я □ ® ® я с-Ы о
Сперва умножаютъ всѣ члены множимаго на ах2, потомъ на — 6х2, затѣмъ на 4“^ и т. д., располагая и произведеніе вертикальными колоннами по степенямъ буквы х; соединивъ, наконецъ, подобные члены въ каждой колоннѣ, получаютъ окончательное произведеніе.
57.	Пусть требуется раздѣлить многочленъ съ многочленными коэффиціентами на другой такого же рода. Дѣйствіе располагаютъ какъ обыкновенно, съ тою разницею, что вмѣсто скобокъ употребляютъ вертикальныя черты. Дѣленія
коэффиціентовъ совершаютъ отдѣльно, называя эти дѣйствія частными дѣленіями. Все это указано въ нижеслѣдующемъ примѣрѣ.
і I
X*
х* -ф-4а» і х -|-4а1
-|-10а6« I — 96»
а* -ф-а»6» ' '"/ +&*; а' -ф- а«6» + ь‘	х» -4-4а* -ф-ІОаб* 4~5а26 — 5а&2 ; Н-ЗЬЭ	х — 9Ь* X
ч	•	2а3 — 5аЧ -1- 5а&2 — 36* 2а3 — 5а2Л	х -|-4а* — 96» ♦ і х -4-4а» — 96»
-|- 5а6»
— 36»
О.
Частныя дѣленія, служащія для опредѣленія
1-ое частное дѣленіе.
а* — а
— а»6» + аЬ* — 6* — а»6«
коэффиціентовъ частнаго:
2-ое частное дѣленіе.
6‘	а2 — аЬ ~|- 6а	а* '	+6*	а2—аЪ-\~Ь*
	а» —6»	а4—		
-аб» — 6* б
аѢ	-4-6'
а»6-а»6»4-а6* ______	I
а*6»—а6»-|-6* а*6»—аб»
Ъ*
О
3-ье частное дѣленіе. 2а» - 5а»6 -ф- 5а6» — 36» а»
і
2а —36
_3а»г,_|_3а6»_ 36» — За»6—Заб» — 36»
О
ГЛАВА VII.
О дѣлимости на биномы вида х а. — Основанія способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.— Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ.
58.	Теорема I,— Если раціональный цѣлый относительно буквы х полиномъ, расположенный по убывающимъ степенямъ этой буквы, раздѣлимъ на биномъ х — а, то въ остаткѣ получимъ результатъ подстановки въ этотъ полиномъ буквы а вмѣсто х.
Приводимъ доказательство д'Аламбера.
Всякій полипомъ, цѣлый и раціональный относительно -с, можно представить въ видѣ
А,Х" +	4-	4-... + А,®* 4- А,® 4- А„.
разумѣя подъ т какое-нибудь цѣлое положительное число, а подъ А,н, Ат-і, ... АІГ Ао— нѣкоторые коэффиціенты, т.-е. выраженія, не содержащія буквы х. Если такой многочленъ раздѣлить на х — а, то окончательный остатокъ долженъ быть выраженіемъ, но содержащимъ буквы х; въ самомъ дѣлѣ, если допустить, что остатокъ содержитъ букву х хотя только въ первой степени, то можно бы было продолжать дѣленіе, потому что дѣлитель содержитъ также букву х въ первой степени. Означивъ этотъ, не содержащій буквы я, окончи-тъііныз остатокъ черезъ К, постараемся опредѣлить К, Назвавъ для этого част-эое. которое, какъ і дѣтое, должна быть многочленомъ, расположеннымъ но иисходящііъ стхпейжгь буквы х, черезъ 9, и замѣтивъ, что дѣлимое = произведенію дѣлителя на частное, сложенному о> остаткомъ, получимъ
А^х*Ат_ >л?ж 1	...	А|іК-|— Ао = (х—&). у-|—В.
Замѣчая, что обѣ части этого равенства представляютъ лишь различныя формы одного и того же выраженія, убѣждаемся этимъ, что равенство наше есть ничто иное какъ тождество, т.-е. равенство, справедливое при всякой величинѣ входящихъ въ него буквъ. Слѣдовательноѵ оно будетъ справедливо и тогда, когда, въ частности, положимъ х = а, Но при такой подстановкѣ первая часть приметъ видъ
А„«"‘ 4- Ап,-іап‘-1 + - + М 4- Ао ... (1).
и слѣд. не будетъ содержать буквы х, такъ какъ и коэффиціенты Ат,,.., Ап Ао не содержатъ х, Что касается второй части, то въ выраженіи 9 буква х также исчезнетъ; разность х—а, при подстановкѣ а вмѣсто х, обратится въ а — а, или въ ноль, а слѣд. и произведеніе	котораго одинъ мно-
житель равенъ О, также обратится въ 0. Во второй части останется, поэтому, только выраженіе К, которое не измѣнится отъ указанной подстановки, такъ какъ совсѣмъ не содержитъ буквы х. Итакъ, дѣлая х=а. мы вмѣсто прежняго равенства получимъ слѣдующее
АХ' + А™-^"'-1
Аі« + Ао — В,
которое и доказываетъ, что остатокъ имѣетъ форму даннаго многочлена, въ которомъ буква х замѣнена буквою а.
59.	Если бы дѣлитель былъ х то этотъ случай легко привести къ
разсмотрѣнному, замѣтивъ, что можно представить въ видѣ разности — а). Отсюда прямо вытекаетъ
Теорема П, служащая дополненіемъ первой:	родгональ-
кым относительно буквы х полинома раздѣлимъ на биномъ х + а, то въ остаткѣ получимъ результатъ подстановки въ этотъ полиномъ буквы (—а) вмѣсто х.
Примѣры. I. Найти остатокъ отъ раздѣленія многочлена
Зх5 — 4х4 — 2х2 -р 7 на я — 2.
Подставляя въ данный полиномъ 2 вмѣсто х. находимъ окончательный остатокъ
Н = 3.25— 4.21- 2.22 +7 = 96 — 64 — 8 + 7 = 31.
II, Найти остатокъ отъ раздѣленія тринома
х1 — 8х + 15 на х+5.
Подставляя въ данный триномъ (— 5) вмѣсто х, получимъ (— 5)2 — 8 . (— 5) + 15 = 25 + 40 + 15 = 80. Окончательный остатокъ = 80.
60.	Изъ доказанныхъ теоремъ вытекаютъ такія слѣдствія:
Слѣдствіе і. — Если многочленъ обращается въ ноль послѣ замѣны въ немъ буквы х буквою а, то онъ дѣлится на х — а; если многочленъ обращается въ ноль послѣ замѣны буквы х буквою ( - а), то онъ дѣлится на х-|-а.
Въ самомъ дѣлѣ, многочленъ, полученный послѣ замѣны буквы х буквою а или (— а)тесть ни что иное какъ окончательный остатокъ отъ раздѣленія даннаго многочлена въ первомъ случаѣ на х— а, во второмъ — на # + а. Но если оковчат. остатокъ равенъ нулю, то это значитъ, что многочленъ дѣлится безъ остатка — въ первомъ случаѣ на х — а, во второмъ на х + а.
Слѣдствіе II, обратное предыдущему. Если многочленъ дѣлится па х — а или иа х + а, то результатъ подставки въ него — въ первомъ случаѣ буквы а, а во второмъ (—а) вмѣсто х—долженъ быть равенъ нулю.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ, по условію, многочленъ дѣлится на х — а или то остатокъ въ обоихъ случаяхъ долженъ быть равенъ нулю; но этотъ остатокъ есть результатъ подстановки вмѣсто х буквы а или (— а); стало быть, этотъ результатъ долженъ быть равенъ нулю.
II р и м ѣ р ы. I. Трехчленъ х- — 2х + 1 обращается въ 0, если вмѣсто х подставить 1; слѣд. онъ дѣлится на х — 1.
ТІ. Многочленъ 4ах3—7а*х2— ба^ + ^а1 обращается въ 0 при х = а. а потому онъ дѣлится на х—-а.
Ш. Триномъ х* + 5х + 6 обращается въ 0 при х^— 3, слѣд. онъ дѣлится на х + 3,
61,	Законъ составленія частнаго отъ раздѣленія цѣлаго относительно буквы х полинома на биномъ х — а.
Легко вывести законъ, но которому составляется частное дѣленія многочлена
А„/м +	+... + А+ +	+ Аа на х — а.
Въ самомъ дѣлѣ, совершая дѣленіе, найдемъ:
Рх*-|- А *_ і	1+Ал_2^і-3+„ .
— РхЧ-ра#*"1
я^Н-А*-^*-2-)-,,.
Найдя первые три члена частнаго, замѣчаемъ, что частное есть полиномъ степени т — 1, при чемъ:
Коэффоіектъ перваго члена частнаго равенъ коэффиціенту 1-го члена дѣтаго:
Коэффиціентъ 2-го члена частнаго равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на а, сложенному со вторымъ коэффиціентомъ дѣлимаго;
Коэффиціентъ третьяго члена частнаго равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на лц сложенному съ третьимъ коэффиціентомъ дѣлимаго.
Докажемъ, что этотъ законъ общій. Пусть, слѣдуя обыкновенному правилу дѣленія, мы нашли въ частномъ членъ Рх*”1. Онъ получился отъ раздѣленія перваго члена соотвѣтствующаго остатка на х; сл. первый членъ остатка есть Рх\ а потому весь остатокъ будетъ РяЛ + Аь-ія*”1 + Лі-г#*”2 -р... Умножая членъ частнаго Ря;*-*1 на дѣлителя и вычитая это произведеніе изъ сказаннаго остатка, въ новомъ остаткѣ получимъ
(Ра + А*-і)ж*“1 -ф- А*_2^2 + ...
Раздѣливъ первый членъ этого остатка па находимъ слѣдующій членъ частнаго
(Р« +#*-2.
*	4
Коэффиціентъ его равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на а, сложенному съ коэффиціентомъ того же порядка дѣлимаго. Общность закона коэффиціентовъ такимъ образомъ доказана.
Если окажется, что дѣлимый полиномъ неполный, т,-е. въ немъ недостаетъ членовъ съ какими либо промежуточными степенями главной буквы, то для приложенія предыдущаго правила слѣдуетъ возстановить недостающіе члены, внося ихъ съ коэффиціентомъ 0.
62.	Если дѣлитель будетъ	то разсматривая его какъ х— (—а)*
заключаемъ, что для нахожденія частнаго нужно только въ частное § 61 вмѣсто а подставить (— а); сдѣлавъ это, найдемъ
Атят”1 —Аота  .тт“2 + Ата® . .тт“а . . .
+ Лт~1 ;	-—Ат-1&
+ Ат—2
62- Примѣры. I. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
5х* — 23#* + 3я: — 58 на х—2.
Дополняя данный полиномъ членомъ съ х\ имѣемъ 5х4 Ц- 0 + х* — 23х« — Зх —58.
Коэфф. 1-го чл/частнаго = 5	а 1-й чл. частнаго = 5х3
»	2-го	>	»	~ 5.2 +	0	т.-е.	-р	10	>	2-й	»	>	+	10х3
»	3-го	»	>	+ Ю.2 —	23	т.-е.	—	3	>	3-й	>	»	—— Зх
»	4-го	»	> = (—3).2-|-	3,	—	3	>	4-й	>	>	=— 3
Искомое частное, поэтому. = 5-г3 + ІОх* — Зх — 3.
Остатокъ В = 5 . 2* — 23.2*+3 . 2 — 58 = 80 — 92 + 6— 58 = — 64.
Итакъ: ^Аг-^ + Зх-эв = 5д.а ] Оал _ За. _ 3 .тіД X *— х	’	X —- х
П. Такимъ же образомъ найдемъ
= дЛ _ 2жа -4- 2х — 2 Н-------
4~ 1	1	1 х -р 1
III. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
х3 — Зха+2х — 1 на 2х—3.
Для приложенія нашего правила нужно дѣлимое расположить по степенямъ 2х, разсматривая 2х какъ главную букву. Множа и дѣля первый членъ на 8, изображаемъ его г въ видѣ (2л:)8; множа и дѣля второй членъ на 4, пишемъ 3
его въ видѣ д (2х)а. Дѣлимое так. обр. будетъ
§(2*)» —|(2*)»+(2*)-1.
Затѣмъ, прилагая правило, найдемъ
п
,г*-~3.г2 + 2я —1 _ х?_3	1	8
2ж — 3	~ 2 Iх	8	2.г —3
63.	Обобщеніе теоремы § 58. ~ Способомъ, указаннымъ въ § 58, докажемъ, что остатокъ отъ раздѣленія цѣлаіо по буквѣ х полинома на биномъ вида рх±у есть результатъ подстановки въ этотъ полиномъ • ‘такою значенія х, кояго/хьнь биномъ рх^у обращается въ ноль.
Разсмотримъ, наприм., случай дѣленія на да + д, и пусть частное будетъ <і> а остатокъ, который не будетъ содержать буквы х* пусть будетъ В; имѣемъ
+ Ат-1*”*-14- • • • + Ао = (Рж+«) • 4 + В’
Дадимъ ж-у значеніе—при которомъ + з обращается въ ноль; при лтомъ В. какъ не содержащій буквы х, останется безъ измѣненія, и получимъ
тѣть теорема и доказывается. Подобнымъ же образомъ докажемъ теорему и для сіучм. когда дѣлителемъ будетъ рл' —
Слѣдствія. — Отсюда непосредственно вытекаетъ: 1) если полиномъ обра-шстсі въ ноль по замѣнѣ въ немъ буквы х количествомъ —то онъ дѣ--итсі на	и 2) если полиномъ дѣлится на	то результатъ под-
ошавки въ него количества вмѣсто х равенъ нулю.
64.	Теорема III, — Для того чтобы цѣлый относительно х поли-я**хъ дѣлился на х — а или на #4"^; необходимо, чтоды низшій (свободный) членъ его дѣлился на а.
Въ самомъ дѣлѣ, если полипомъ 1* дѣлится, наприм., на х— а, то
Р = (2г —а) , ч(
гдѣ Ч — цѣлый относительно х полиномъ; изъ этого равенства слѣдуетъ, что низшій членъ полинома Р, какъ произведенія, равенъ произведенію а на низшій членъ частнаго Ч» а слѣд. долженъ дѣлиться на а.
65.	Теорема IV.—Нели полиномъ Р, цѣлый относительно х, дѣлится на каждый изъ биномовъ х — а, х— Ъ, х — с, гдѣ а, Ъ и с неравны между собою, то онъ дѣлится и на ихъ произведеніе.
По условію, полиномъ Р дѣлится на х — а: пусть частное будетъ Ч, гдѣ Ч есть также цѣлый относительно х полиномъ; въ такомъ случаѣ
Р= (я —а) , Ч . . . (1).
Но полиномъ Р, по условію, дѣлится и на х — Ь, слѣдов. при х = б онъ обращается въ ноль. Итакъ, если въ предыдущее равенство вмѣсто х подставимъ Ь, то первая часть его обратится въ ноль; слѣдов. и вторая, при подстановкѣ въ нее Ь вмѣсто х, должна обратиться въ ноль, т.-е. должно быть
(Ь — а). Чь = 0, .
гдѣ Чд означаетъ выраженіе Ч, въ которомъ х замѣненъ буквою Ь. Мы имѣемъ произведеніе двухъ множителей: Ь — а и Чм равное 0; для этого необходимо, чтобы по крайней мѣрѣ одинъ изъ нихъ былъ нулемъ. Но множитель Ь — а не есть 0, ибо, по условію, Ь неравпо слѣд. Чъ должно быть нулемъ. Итакъ, Ч обращается въ поль при х — Ь, слѣд. оно дѣлится па х — Ъ. Означивъ частное этого дѣленія черезъ Ч\ гдѣ Ч* есть цѣлый относит. х полиномъ, имѣемъ
Ч = (Я-Ь). Ч'. . .(2).
Вставляя вмѣсто Ч его величину въ равенство (1), получаемъ
Р = (я —а)(я —Ь)Ч'. . • (3).
По условію, Р дѣлится на х — с, слѣд. полиномъ Р, при х=с, обращается г» ишь; поэтому и вторая часть равенства (3)тпри# = с, должна обращаться п жиь, т.-е. должно быть:
(с — а) (с — Ь) Ч'с = 0.
гт /. *-ть значеніе полинома Ч" при х — с. Но разности с — а и с — Ъ пе-ъаж» ібо, по условію, а, Ь и с различны, слѣдов. чтобы произведеніе
было нулемъ, нужно чтобы было —0. Это значитъ, что <}' дѣлится на я — с; обозначивъ частное этого дѣленія черезъ имѣемъ
<Г= (* - с) . (Г
Внося величину. Ц' въ равенство (3), получаемъ
р =	— а) (а? — Ь) (х — с). Ч".
Теорема такимъ образомъ доказана.
Примѣр ъ. Доказать, что полиномъ
+ Лсг —	— уѴ — №
дѣлится на произведеніе (# — у) (-г — г) (у — г
Подставляя въ данный полиномъ у вмѣсто т, находимъ, что онъ обращается въ 0; слѣдоват. онъ дѣлится на х— у. Такимъ же образомъ убѣждаемся, что какъ при = такъ и при у —л полиномъ обращается въ 0; слѣдов. дѣлится какъ па х — такъ и на у — Дѣлясь на каждый изъ биномовъ х — у, х — з, у - г въ отдѣльности, онъ, въ силу теоремы IV, дѣлится и на ихъ произведеніе.
66.	Предыдущія теоремы служатъ для нахожденія цѣлыхъ дѣлителей вида х — а нѣкотораго даннаго цѣлаго относительно х полинома. При помощи теоремы III можно опредѣлить, какіе цѣлые биномы этого вида лсогушь ймь дѣлителями, а при помощи теоремы П, слѣдствіе I. опредѣляемъ тѣ изъ нихъ, которые въ самомъ дѣлѣ служатъ дѣлителями даннаго полинома.
Очевидно, что число дѣлителей полинома не можетъ превышать его степени; иначе, въ силу теоремы IV, онъ долженъ бы былъ дѣлиться на полиномъ, котораго степень выше его собственной, а это невозможно.
Приводимъ примѣры.
1. Найти всѣхъ цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
.г1 - 17.г3 + 98я?« — 232л:
192.
если таковые имѣются.
Находимъ дѣлителей числа 192; это будутъ числа 2, 3, 4, 6, 8 н т. д. По теоремѣ третьей, искомые дѣлители, если только они существуютъ, будутъ вида #±2, # + 3. я + 4т #±6, . . .
Подставляя въ данный полиномъ вмѣсто я число 2, легко убѣдимся, что полиномъ обращается въ ноль; стало быть онъ дѣлится на х—2,
Подставляя вмѣсто я число — 2, убѣдимся, что полиномъ не обращается въ ноль; слѣд. #-|-2 не есть его дѣлитель.
Подставляя вмѣсто х число 3, убѣдимся, что полиномъ обращается въ ноль; слѣд. дѣлится на х — 3.
Подставивъ вмѣсто х число — 3, замѣтимъ, что поликомъ не обращается въ ноль; слѣд. не дѣлится на я^З,?
Продолжая такимъ же образомъ, найдемъ, что данный полиномъ имѣетъ дѣлителями х— 4 и я — 8.
Мы уже нашли четыре дѣлителя: х — 2, х — 3^ х 4, .с —8; другихъ цѣлыхъ дѣлителей не можетъ быть, такъ какъ данный полиномъ — четвертой степени.
II. Найти цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
хэ — (а -|- Ь 4- с) х* -р (аЬ 4~ «с 4~ М х — аЬс,
еси таковые существуютъ.
Въ силу теоремы III, искомыми дѣлителями могутъ быть только
х — а, — Ь, х— с; я 4” ^4“	4“ с.
Но при х = а полиномъ обращается въ
а3 — (а Ь 4~ с)а* 4" (а& 4“ ас 4“ М а —
что, какъ легко видѣть, приводится къ нулю. Слѣдоват. х— а есть искомый дѣлитель.
Такимъ же образомъ убѣдимся, что х — Ъ и х — с также суть дѣлители даннаго полинома.
Нашъ полиномъ — третьей степени; мы нашли трехъ дѣлителей; другихъ не можетъ быть; слѣд. задача рѣшена.
67.	Такимъ же образомъ, какъ мы доказали теорему IV, докажемъ, что если полиномъ дѣлится въ отдѣльности на каждый изъ биномовъ рх
/ г / і //	«	.	о а и'1
рх-]-$, р , при условіи, что значенія х : —	уь при кото-
рыхъ эти дѣлители обращаются въ ноль, .всѣ различны, то онъ дѣлится и на ихъ произведеніе.
68.	Слѣдствія теоремы IV.
1* Если полиномъ Р, цѣлый относительно х. т-й степени:
4" Ат-і^-14- . . . 4" М + Ао
обращается въ ноль при т различныхъ значеніяхъ буквы х : а, 6, с, . . . А, А, то онъ можетъ быть представленъ въ видѣ
Ат (я — а) (я — А) (я — с) , . . (я — і) (я —А).
Въ самомъ дѣлѣ, пусть полиномъ четвертой степени
Р —	+ Аэя3 4“ А*#* 4- ^х 4“ Ав
обращается въ ноль при четырехъ различныхъ значеніяхъ я: а, с и й. Въ такомъ случаѣ, по теоремѣ IV» онъ дѣлится на произведеніе
(х — и) (х — Ъ) (х — с) (х — й),
которое само четвертой степени; стало быть частное не содержитъ я и есть нѣкоторое число; пусть это число будетъ А. Данный полиномъ равенъ произведенію А (я — а) (я — Ъ) (х — с) (х — й). Если выполнить умноженіе и расположить члены во убывающимъ степенямъ то полученный многочленъ долженъ быть тождественъ заданному, т.-е. состоять изъ совершенно такихъ же членовъ, і потому и высшіе члены обоихъ должны быть равны, т.-е. А^1 ~ Ах\ откуда А = А|: теорема доказана, и
Р — А4 (х — а) (# — Ъ) (х — с) (я — е?).
И_ Опредѣленіе. Если цѣлый относительно х полиномъ обращается въ ноль ~тл ютомъ значеніи х^ то говорятъ, что онъ тождественно равенъ нулю.
6*
Докажемъ, что если цѣлый относительно х .полиномъ, «т-ой степени, обращается въ ноль нри нѣсколькихъ значеніяхъ х, число которыхъ превышаетъ иі, то онъ тождественно равенъ нулю (т.-е. равенъ нулю при всякомъ я).
Пусть, наприм., полиномъ
Р = А^1 + А3х* Аах2 +	+ А0
•
обращается въ ноль при пяти различныхъ значеніяхъ х: а, б, с, е, Мы доказали, что если полиномъ Р обращается въ ноль при четырехъ значеніяхъ х: а, Ь, с и то онъ беретъ видъ
Р = А4 (х — а) (х — 6) (х — с) (х — й) . . . (1).
Но. по условію,’Р обращается въ ноль также и при х=.е; слѣдов, А4 (е — а) (е — 6) (е — с) (<? — гі) = О;
но какъ множители е— а* е — &, . . . отличны отъ нуля, то чтобы произведеніе равнялось нулю, необходимо, чтобы А4 равнялось нулю. Но если А4 = От то изъ (1) видно, что каково бы пи было х, всегда будетъ Р = О.
Итакъ, Р равно О при всякомъ х, т.-е. тождественно равняется нулю.
69.	Теорема V. цѣлый относительно х полиномъ [ (х) йіь-лится въ отдѣльности на (х —- а)1, (х — 6/, (х — с)\ . . . а, М . . , неравныя между собою числа* то онъ дѣлится и на произведеніе
(х — а)1. (х — &)?. (х — с)ч
Пусть /* (х) = (х — а)1. ср (х) и /Дх) = (х — 6)?. ф (х), гдѣ и (х) и ф (х) частныя отъ раздѣленія /Дх) на (х — а)а и (х — Ь)?. Имѣемъ
(х — а)1 «р (х) = (х — &)?ф(х) , . , (1).
Замѣнивъ въ атомъ тождествѣ х буквою Ъч получимъ
(6-а)*ф(6) = О
и какъ Ь — а, по условію, не есть О, то должно быть ф (6) = 0; другими словами, результатъ подстановки буквы Ъ вмѣсто х въ ф (х), обращаетъ эту’функ-цію въ О, слѣд. ср(х) дѣлится на нѣкоторую степень/^' разности (х — Ь), такъ что должно быть
? (х) = (х — &)₽' .	(х), . . .
съ условіемъ	Докажемъ, что Для этого подставимъ въ\тождество (1) (х — />)?	(х) вмѣсто ^(х); найдемъ
(х — а)а (х — б)?	(х) ~ (х — б)? ф (х).	•
Если бы было то обѣ части можно бы было раздѣлить на (х— и положивъ въ частныхъ х = 6, нашли бы
(Ь - а)* (&) = О,
но это невозможно, такъ какъ ни (Ъ — а)1, ни (6) не равны нулю. Заклю
чаемъ, что нельзя допустить, чтобы [Г было меньше Подобнымъ же образомъ докажемъ, что не можетъ быть и больше Слѣдовательно [*' ~ я потому
? (ж) = (х—г»)? (х),
п слѣдовательно
/(я:) = (х ~ а)’ (х — Ь)?	(®).
Продолжая подобныя же разсужденія, докажемъ, что (я) дѣлится на (х — е)?, а слѣд. Дл?) на (я — а)а (я—6)?(я — с)? и т. д. Теорема доказана.
70.	Теорема VI. Чтобы цѣлый относительно х полиномъ тождественно (т-е. при всякомъ значеніи х) равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы всѣ коэффиціенты его равнялись нулю.
Пусть данный полиномъ будетъ
Р = дж4 + Вл:« + С^4 В# + Е.
Такъ какъ этотъ полиномъ долженъ быть равенъ нулю при всякомъ х; стало быть, въ частности, онъ долженъ быть равенъ нулю и при х — 0. Но при х = О всѣ члены, содержащіе х, обращаются въ 0, слѣд. равенство
Кх* 4* в#3 -р с#2 -|- в = о . . „. (і) обращается въ
Е~0 . . . (И).
Откинувъ въ равенствѣ (І)Е, какъ количество, равное 0, а въ остальныхъ членахъ вынеся за скобки х, получимъ равенство
1> = ^Ая3 4-Вя24-{& + !>) = 0.
I
Для того, чтобы Р равнялось 0 при всякомъ я, необходимо, чтобы одинъ изъ его сомножителей всегда равнялся нулю; но х равняется нулю не всегда, а только при х = 0, слѣдовательно, необходимо, чтобы второй множитель всегда равнялся нулю. Такъ какъ Ля3 4" Вж*4“Са:Ч~® долженъ быть равенъ 0 при всякихъ значеніяхъ х, то онъ долженъ быть нулемъ и при я = 0. Но положивъ въ немъ х = Ъ, обратимъ его въ В, а равенство Лх34“В#*-4Ся:4" 4-1) — 0 въ
0 = 0. . . (III).
Откинувъ въ полиномѣ Р члены І)я и Е, какъ равные 0, а въ остальныхъ вынеся за скобки х8, получимъ произведеніе
Р = х4А^4-Вх + С),
которое должно быть равно 0 при всякомъ х. Отсюда, подобно предыдущему, докажемъ, что
0 = 0 . . . (IV)
і т. д. Такимъ образомъ всѣ коэффиціенты полинома Р должны быть равны 0. Доказали, что это условіе необходимо. Но оно и достаточно, потому что если всѣ коэффиціенты равны 0, то и полиномъ Р равенъ нулю.
71.	Теорема VII. Если два цѣлые относительно х полинома остаются равными при всякомъ значеніи х, то они тождественны.
Пусть полиномы
Ах5 4~ В#4 С#3 4* О#* 4“ Ея -^Р и о#3 -|- Ъх* -|"	"4 е
имѣютъ одинаковую численную величину при всякомъ тогда ихъ разность будетъ тождественно равна нулю. Но эта разность есть
Ая*-4 В#14- (С — а)#3 4“ (° —	4" (Е Н“ (Е — *):
слѣд., по теоремѣ V", имѣемъ:
А —О; В = О; с = а; О = Ь; Е — й; ? = С;
Изъ того, что А = О и В —О, заключаемъ, что члены Ахя и Вг4 исчезаютъ, такъ что число членовъ въ обоихъ полиномахъ одинаково; а какъ С = а, И = Ь, Е = й и Е = е, то коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ х равны. Оба полинома ничѣмъ не отличаются одинъ отъ другого, или, что тоже, тождественны.
Примѣчаніе. Теоремы VI и VII служатъ основаніемъ способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ, имѣющаго многочисленнѣйшія и разнообразнѣйшія приложенія въ алгебрѣ. Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ знаменитому французскому математику и философу Декарту (Сагіеяіь).
Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ.
72.	Приложеніе /.—Выведемъ условія дѣлимости суммы или разности одинаковыхъ степеней двухъ количествъ на сумму или разность основаній.
1. Пусть требуется раздѣлить хт— ат на х— а. Подставивъ въ дѣлимое букву а вмѣсто х, найдемъ окончательный остатокъ; онъ будетъ = а™ — ат или О, откуда заключаемъ, что дѣленіе совершается безъ остатка*
Для нахожденія частнаго представляемъ дѣлимое въ видѣ полнаго многочлена иг-ой степени;
хт 4- О . я"1'1 4- О .	+
4- О . х — а”1.
По правилу § 61, высшій членъ частнаго равенъ я”*-1. Второй членъ частнаго содержитъ ж®1’2; а коэффиціентъ его найдемъ, помноживъ коэффиціентъ перваго члена частнаго на а, что дастъ а, и придавъ сюда второй коэфф. дѣлимаго т.-е. О; итакъ, второй членъ частнаго ~ ахт~\ Продолжая такимъ образомъ, найдемъ
а.'М _
——— = Xя*"14~ал;т_24^ аЪ?та"34~ * * , 4^”’’  - . (1)*
2* Раздѣлить хт4“аШ па х — а, Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву а, найдемъ окончательный остатокъ 4~	= 2аи. Отсюда заключаемъ, что
дѣленіе не совершается безъ остатка. Составляя частное по предыдущему, получимъ
4-«т-1
2ат
х — а
- (2).
3. Раздѣлить хт— ат на #4~а’ Подставивъ въ дѣлимое вмѣсто а? коли-
чество (— а), найдемъ окончат, остатокъ. Онъ будетъ: а)1 при ш четномъ равенъ (—«)т— ат = ат — а™ = 0. Частное же будетъ въ этомъ случаѣ
---------=	.-рат’2ж-а’п-1 . . . (3).
при т нечетномчэ остатокъ = (— я)ш — ыИІ = — ам — ат = — 2аш; частное же
= ят-1
2дт
-г -|-д
 (4).


4.	Раздѣлить «” + °™ ва ® + «. Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву (— а), найдемъ окончательный остатокъ. Онъ будетъ: і) при т четномъ: (—а)“ 4" а"* — а"*-|-а"*= 2а“, такъ что
ггпі і цы	9лгм
—-±-	=	4-	— - . .	ат-2^ —	4- ——•. , 45).
х + а	1 х -р
р) при т нечетномъ: ( — а)" — а“ = —	= 0; слѣдов, дѣленіе совер-
шается безъ остатка я частное

. +ат-1 , . . (6).
Отсюда заключаемъ, что 1)	— аш всегда дѣлится на # — а; 2) а?л — ат
дѣлится на + если т четное; 3)	никогда не дѣлится наж — а,
но дѣлится па а? + а ПРИ т нечетномъ. Такимъ образомъ нашли тѣ же выводы, какіе получили раньше непосредственнымъ дѣленіемъ. Новый пріемъ далъ тѣ же результаты быстрѣе.
73.	Приложеніе II.—Мы видѣли, что — а™ всегда дѣлится на % — а; но ври четномъ дѣлится еще на Слѣдовательно, когда т четное, хт — а”\ дѣлясь на биномы + « и я —а, дѣлится, по теоремѣ 1Ѵ\ и на ихъ произведеніе (ж — а) (я -|- а), т,-е. на я* — Итакъ: разность одинаковыхъ четныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка па разность квадратовъ тѣхъ же количествъ. Частное будетъ
__
—— — - = я™-2 4“	4“
74.	Приложеніе III. — 1, При какомъ численномъ значеніи К полиномъ
дѣлится безъ остатка на х — 3?
Чтобы полиномъ дѣлился на я — 3, нужно, чтобы результатъ подстановки въ него 3 вмѣсто х обращался въ пуль, т.-е, чтобы
З3—3 ф За+5.3 4-К = О, или 15 + К = О,
Послѣднее равенство возможно только при К = — 15.
2. При какомъ значеніи К полипомъ
дѣлится на ^4-3?
гг3 — Зя2 4“ 4“ К
Нужно, чтобы результатъ подстановки въ этотъ полиномъ числа (— 3) вмѣсто х былъ равенъ нулю, т.-е. чтобы
(— з)3-3 ,	3)» + 5. (-3) + К = О, или — 69-)-К = О;
а это возможно только при К = 69.
3, При какомъ значеніи К полиномъ
я3 — 3:сй —5 а: —|— К
раздѣлится на Зг — 2?
На оси, § 63, Слѣдств., заключаемъ, что необходимо, чтобы результатъ 2
подстановки въ данный полиномъ числа вмѣсто х былъ нулемъ, т.-е, чтобы-
ѵ 62
а это возможно только при К = —
75. Приложеніе IV.—Теорема IV, § 65 можетъ быть примѣнена къ разложенію многочленовъ на множители. Методъ разложенія, на ней основанный, называется методомъ двучленныхъ дѣлителей и состоитъ въ слѣдующемъ. Расположивъ многочленъ по степенямъ какой-либо буквы, # напримѣръ, стараются открыть двучленныхъ дѣлителей х— а, х — Ь, , . . , я—А; составляютъ изъ нихъ произведеніе (я —а) (я — Ь) . . . (я — &); дѣлятъ на него данный полиномъ Р, и если въ частномъ получается выраженіе то
р =	— д) (я; — Ь) , , . (# — &),($.
Разложеніе такимъ образомъ будетъ совершено.
Впрочемъ, слѣдуетъ замѣтить, что этотъ методъ не такъ удобенъ въ практическомъ отношеніи, какъ выше указанные методы разложенія; потому что въ случаѣ большого числа возможныхъ дѣлителей придется дѣлать слишкомъ много вычисленій, чтобы выбрать тѣ изъ нихъ, которые дѣйствительно служатъ дѣлителями даннаго полинома. Поэтому онъ употребляется лишь въ рѣдкихъ, исключительныхъ случаяхъ; такъ, наприм., онъ весьма удобенъ для разложенія смль метричныхъ выраженій.
Круговая перестановка. — Разсмотримъ выраженіе Ъс-\-еа~\- аЬ- членъ, несодержащій буквы а, поставленъ на первомъ мѣстѣ, а остальные члены можно получить послѣдовательно круговою перестановкою буквъ, т.-е, перемѣною а на Ь, Ь па с и с на а *). Такое же расположеніе буквъ легко видѣть и въ выраженіи	— а)-|-с3(а— Ь); въ самомъ дѣлѣ, изъ а2(Ъ — с)
*) Если а, Ъ и с поставить на окружности крута (черт. 9) и, выходя отъ нѣкоторой буквы, а, двигаться по окружности крута въ направленіи, указанномъ'стрѣл-конл то мы будемъ слѣдовать въ циклическомъ порядкѣ аЬс, Ьса, саЪ, Слѣдованіе атому порядку, важно въ задачахъ, гдѣ имѣютъ дѣло съ разностями трехъ буквъ. Такъ, когда мы пишемъ Ь—- с, е — а, а - мы слѣдуемъ циклическому порядку; но нарушаемъ этотъ порядокъ, когда пишемъ Ь — с, а — с, а — 6 или а — с, 6 — а, Ь — с. Если съ самаго начала слѣдовать циклическому порядку, то вычисленія сокращаются и дѣлаются легче.
крумж перестановкою получаемъ Ъ*(с—а), а отсюда снова круговою пере-спмбою выводимъ с*{а — 6). Тоже самое замѣчаемъ въ выраженіи
(у-я) (я —ж) (я —у).
Симметричныя выраженія.—Выраженіе, которое не измѣняется отъ пе-і*твовки какой угодно пары буквъ, въ него входящихъ, одной на мѣсто дру-г*с_ называется смлсчетрычяыль выраженіемъ. Такъ, выраженія «6, в’ —	аа-|-аЬ-Ь&1, а& + &а — суть симметричныя выраженія изъ двухъ
**хгь: а-|-Ь-|-с, Ьс-^са -^аЬ, а3 — 63с3 — Завс—симметричныя вира-жшя изъ трехъ буквъ; потому что, наприм., аЬ — Ьа, а* &2 = Ьа -ф- аа; а — & -|-с = а-|-с4-й = с-ЬаН“Ь=. . . Но а — 6, яР, очевидно, не-лмметричны, ибо, наприм., а — Ъ неравно Ь — а, и т. д. Замѣтимъ, что единственная симметричная функція первой степени относительно а, Ъ, с есть М(а -|- Ъ 4- с), гдѣ М—числовой коэффиціентъ.
Выраженія, которыя остаются безъ измѣненія величины при круговой перестановкѣ входящихъ въ нихъ буквъ, называются циклически^симметричными. Таково, наприм., выраженіе (Ь — с) (с — а) (а — 6), ибо величина его не измѣняется, если на мѣсто а поставить 6. с на мѣсто 6, и а на мѣсто с.
Очевидно, произведеніе, или частное двухъ симметричныхъ выраженій симметрично; ибо если ни то, ни другое не измѣняется при перестановкѣ двухъ буквъ одной на мѣсто другой, то и произведеніе, и частное останутся безъ измѣненія при такой перестановкѣ.
Ясно также, что произведеніе, или частное двухъ циклически-симметричныхъ выраженій суть также выраженія циклпчески-симметричныя.
Послѣ этих'р предварительныхъ указаній переходимъ къ примѣрамъ.
Примѣръ 1. Разложить на множители
а\Ь — с)-^~й3(с — а)4-с3(а — і) . . -(1).
Положивъ въ этомъ выраженіи Ь = с, убѣдимся, что оно обращается въ воль; слѣдов. Ь — с есть множитель этого выраженія. Такимъ же точно образомъ докажемъ, что и с — а, и а — Ъ суть множители даннаго выраженія. Слѣдовательно, оно содержитъ множитель (&—с)(с — а) (а — Ь).
По данное выраженіе есть выраженіе четвертой степени, слѣдоват., кромѣ трехъ найденныхъ множителей, оно должно содержать еще одного множителя первой степени. Кромѣ того, этотъ множитель долженъ быть симметричнымъ выраженіемъ относительно буквъ а, Ь и с. Заключаемъ, что этотъ множитель долженъ быть = а “Ь
Итакъ, данное выраженіе должно быть —
ЦЬ —с)(с —а)(а —й)(а-|-г> + с) . . .(2),
гдѣ Ь есть нѣкоторое ч^сло, остающееся безъ всякаго измѣненія, каковы бы ни были зпаченія О и с
Чтобы найти И, замѣтимъ, что (1) и (2) тождественны, а слѣдов. коэффиціенты, наприм.. при а3, должны быть равны. Въ (1) этотъ коэффиціентъ есть Ь — с; во (2) онъ есть—Ь(Ь — с); слѣдов. Ь = — 1; а потому выраженіе (1) разлагается въ формѣ
— (6 — с) (с — и) (а — Ь) (а;	Ь 4- с).
Для нахожденія Ъ можно еще дать частныя значенія буквамъ а, & и е. Положивъ, наприм,, а = 0, &=1, с = 2; (1) обратится въ —6, а (2) въ 61; слѣдов. 61 = — 6, откуда Ь = —1.
Примѣръ П. Разложить (у — #)в + (# — х)3 + (я — ^)\
Убѣждаемся, что данное выраженіе обращается въ 0 при у = я, слѣдоват. у — я есть множитель даннаго выраженія. Такимъ же точно образомъ убѣдимся, что множителями его будутъ я— х и х— ул А какъ данное выраженіе есть выраженіе 5-й степени и циклически-симметрично, то оно должно быть — (у — в)(г — х}(х — у) )Ь(жа +	+	+ +	. .(I)
гдѣ въ фигурныхъ скобкахъ написана самая общая форма циклически-симметрич-наго выраженія второй степени.
Для опредѣленія Ь, безъ труда найдемъ, что коэффиціентъ при хЧ/ въ данномъ выраженіи есть —5, а въ (1) это будетъ —Ь, слѣдов. 1 = 5.
Для нахожденія М, полагаемъ х = 0. у =	* = 2, п сравниваемъ данпое
выраженіе со (2); найдемъ
-1+32- 1=(- 1).2.( 1)[5.5 + 2М].
откуда М = —5. Искомое разложеніе будетъ
5(у — я) (я — х) (х	(х2 + ^ + #2 - -уя —ях— ху).
П р и м ъ р ъ1III. Разложить на множители
а(Ь —• с)5 + 5(с — а)3 + с(а — &)ь.
Легко убѣдиться, что 6—с, с а, а - -Ь служатъ множителями, Слѣдоват. данное выраженіе, будучи симметричнымъ выраженіемъ 6 степени. =
{Ъ — с)(с~а)( а —Ь) | Е(а3 + &3 +	+
+ М|я3(^ + сО + ?Лс + а) + с^(а + ^)]4_^аМ • - • ( +
Остается опредѣлить числовые коэффиціенты 1, М и X.
Коэффиціентъ при въ данномъ выраженіи равенъ —1, а въ (I) равенъ —Ь; слѣдов. 1=1.
Коэффиціенты при въ данномъ выраженіи 0. а во (2) есть 1— М;
слѣдов. 1 — М = О, 1 = М = 1.
Чтобы найти X, положимъ а=1, Ъ — 2. с = 3; сравнивая данное съ (1), находимъ
_ 1 + 64 — 3 = 2 (1 + 8 +27+ 5 + 16 4-27 + 6ЬТ),
откуда М = — 9. Итакъ, данное выраженіе —
(Ь-*— с) (с — а) (а — і)*{а3 + 5® + еа + + а2(Ь + с) + Ь\с + а) + с2(а + 1>) — 9аЬс}. *
Примѣръ IV. Разложить полиномъ
р = а2Ь2с2(а — 6) (а —>с) (Ь — с) — а2ЪЫ2(а — Ь) (а — <?) (Ь — сі) +	—- с) (а — й) (с - - г?) — - йй с2 — е) (5 — й)(с - : й).	*
Легко убѣдиться, что полиномъ Р обращается въ ноль при а•=+ а = а = г?, Ь = с и т. д.; потому онъ дѣлится на а 6, а - с, «	с/, Ь — с и
т. д, Попытаемся выдѣлить этихъ множителей. Вынося изъ первыхъ двухъ чле-новъ а*Ь*(а—&), а изъ двухъ другихъ с^й2^- -й), полупимъ:
Р = д2&2(д — Ь) | с2(д — с) (Ь — с) — й*(д — с?) (& — й)}
4~ с2Й2(с —й) {д2(я- с) (а й) 62(й - с) {Ъ — й)І,
Располагая первый членъ въ первыхъ фигурныхъ скобкахъ по убывающимъ степенямъ сЛ а второй по убывающимъ степенямъ буквы й; затѣмъ, первый членъ во вторыхъ фигурныхъ скобкахъ—по убывающимъ степенямъ буквы «, а второй—буквы Ь, имѣемъ:
р = дЧа(д — Ь) [с4 — ся(д 4" Ь) -|- с?аЬ - - й4 4 й3(д -|- Ъ) (РаЪ І 4-с3й2(с — й)|д* а3(с— й)-]-аасй — 64-|- бэ(с~{-й) 6ѴЙ| или
р ^=_ д3/?а( д 6) 5 с* — й4 — (с3 —> йа) (а 6) 4“ (с3 - йа {
+ с3й2(с - й) |д4 - V (а3  Ь3) (с + й) + (а4— Ь3)сй{
Теперь видно, что въ первыхъ фигурныхъ скобкахъ имѣется множитель с — й, а во вторыхъ а— 6; выиоея ихъ, имѣемъ:
р=(а—Ъ) (с — й) І (са+й2) (с	й) — (йг-|-сй-4- й3) (а 4~ Ь) 4~ аЬ (с й) |
-|- с2й2 (с—й)(а — Ь)) (а34~ Ь3) (а Ь) — (а*4“ 4“ ^а) (с 4“Ф “р сй (а !
Вынося теперь за скобки (а — Ъ) (с—й), и означивъ третій множитель буквою Р\ положимъ
Р = (а-6)(с-й),Р';
гдѣ
р' =	| (С2 + й2) (с + й) — (с3 + сй 4- й2) (д + Ь) 4- аЬ (с 4- й) (
4~ с*й3;(д3— №) (а— Ъ) — (а* — аЪ— Ь2) (е -|-й) -|- сй(д -|-й)}
= дйЬ*{(с3 + й3) (с - а) 4- й(с3 +Й3)—Ь(с2 4 й*)— сй(а4-і)+ай(с ^й) |
-р С2Й2{(а2—Й3) (д—с) — &2)—й(«24”&2)-- «&(с — Й) 4^Й(Й6) 5 = а3Л3|(а — с) (Ьс^-^й — с2 — й2 —-сй)4~й2(й—,Ь)|
4- с2й2{(а — с) (а2 4- аЪ + Ь* - ай— Ьй) — Ь2(й — Ь)]
= (а — с) |а3Ь*(Ас“Ьй — с2 — й2 — сй) 4^ЛЙа* ^4	62—ай — М)}
4-Ь2й2(й-6)(аа — с3).
Вынося а — с, положимъ
Р' = (« - с)Р", гдѣ
р'^а2^|с(&~с) + й(Ь —с)|_а2Ь2й^4- с^а^с3^{а(Ъ ^-й)4-6(Ь-й)!
4-62й2(й— Ь) (д4-с)
=	(с-^й) —с^-Ьс’й2^- й)(а-Ьі)-Ь63й2(й—&) (а^с)
= а*(Ь — с){Ь2(с4^Ф — <^(Ь-|-с)І 4-Й46 — й)5с2(д-4&) 63(а4"с)!
= О2(Ь _ с); с(Ъ* — й2) 4- &й(& — й) I + й2(6 — й) Iа (с* — Ь2) 4~ Ьс(с — 6) |.
Здѣсь мы можемъ вынести за скобки (Ь — с) (Ь — й); полагаемъ
р" = (^^с}(6-й)Г\
гдѣ
р”' = д2{с(Ь 4- й) 4-М| — Й^я^ + с) +^с|
-	- й‘) -|- д сй( д - й) 4 (л — й) — (д — й) (лЛг4- и й'Н’ асй4	.
Итакъ, окончательно
Р = (а — 6) (а — с) (а — й) (6— с) (6 —чі) (с— й) (абс + «с^4“ Ъссі).
76.	Приложеніе Г. При какихъ значеніяхъ буквъ а и Ъ полиномъ гг3-*-+ Ц- 5л; — а дѣлится безъ остатка на х* 4“	— Ъ?
Вопросъ можно рѣшить двоякимъ путемъ.
1-й методъ. Онъ состоитъ въ томъ, что совершаютъ на самомъ дѣлѣ дѣленіе, доводя его до остатка, степень котораго была бы ниже степени дѣлителя; затѣмъ выражаютъ, что остатокъ долженъ быть тождественно равенъ нулю.
Выполняемъ дѣленіе:
ж3 4" — а 4~ — &
— х3 -р Згс® + Ъх х ~р~ 5
5 | х — а
4~ 6
—	15л: + 56
Ь х — а
Чтобы дѣленіе совершалось безъ остатка, остатокъ долженъ быть тождественно равенъ нулю; а для этого, по теоремѣ VI, § 70, необходимо и достаточно, чтобы
6—10 = 0. . . (1) и 56 — а = 0, . .(2).
Равенство (1) возможно только при 6=10.
Подставляя 10 вмѣсто 6 въ равенство (2), имѣемъ
50 — а = 0,
что возможно только при а = 50,
Итакъ, искомыя значенія а и 6 суть: а = 50, 6=10.
Не трудно провѣрить, что я8 + 8яа 4” &х — 50 дѣлится безъ остатка на я«4-зя—ю.
2-й методъ (неопредѣленныхъ коэффиціентовъ). Выражаютъ, что дѣлимое равно произведенію дѣлителя на цѣлый полиномъ, котораго степень равна разности степеней дѣлимаго и дѣлителя, ибо такова должна быть степень частнаго.
Такимъ образомъ пишемъ:
я3 4- 8д;2 -{-5л; — а
(х5-|-3а; —і) (рх' + д),
такъ какъ общій видъ цѣлаго полинома первой степени есть до 4" Располагая вторую часть по степенямъ имѣемъ тождество
х3 4~ 8ягя -{-^ 5л; — & =.р - х* 4" 3-Р
2
Отсюда, ло теор> ѴП, § 71, приравнивая между собою коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ буквы имѣемъ четыре условія для опредѣленія а, 6. р и а именно:
р=і;
3^ 4-д = 8;
— 6 .р
Здг=5;
Ъд = а.
Подставляя во второе равенство 1 вмѣсто р9 находимъ: 3 4“ $ = 8, откуда г; =5. Подставивъ въ третье равенство вмѣстои д ихъ величины, имѣемъ:
I
— Ь15 = 5, что.возможно только при 6 = 10. Наконецъ, вставляя въ четвертое равенство вмѣсто Ь и $ ихъ величины, находимъ: а = 50.
Итакъ: а = 50; Ь = 10; р = 1 и — 5.
Стало быть дѣленіе безъ остатка возможно только при а = 50 и‘ Л= 10; а частное	есть
77.	Приложеніе 1/. Въ какомъ случаѣ Xм —а** дѣлится на хр~а^ Выполняемъ дѣйствіе, чтобы найти законъ образованія послѣдовательныхъ
остатковъ:
хт — ат хр — ар____________________
хіп Ч— архт~? хт~р —ард;т—2р
р — ат
— архт~р Ч~
а2Ртт_2р — ат
„	2р дЗРдЛі—Зр
а’^-зр — ат
Итакъ, если А означаетъ нѣкоторое цѣлое число, одинъ изъ остатковъ будетъ имѣть видъ
д^т-Ар _ а«
Поэтому, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая цѣлая величина Л, при которой этотъ остатокъ тождественно равнялся бы нулю.
Онъ имѣетъ видъ многочлена, расположеннаго по убывающимъ степенямъ буквы я, и условія тождественности остатка нулю будутъ различны въ зависимости отъ того, будетъ ли т— кр равно 0, или отлично отъ нуля.
Если т — кр отлично отъ нуля, то коэффиціенты при степеняхъ х должны быть равны нулю, т.-е.
акр = 0 и а’" = 0;
это возможно только при а — 0. Но такой выводъ не соотвѣтствуетъ задачѣ.
Если т— кр = <\ то хт-Ар = 1; и остатокъ обратится въ ноль, когда акр = ат, т.-е. когда т = к . р.
Итакъ, необходимо и достаточно, чтобы т было кратнымъ числа р.
Въ такомъ случаѣ: и
.	- у = хт-р 4* архт-іі> 4- а*рхт-3р 4" • • • 4- а“_2р«р 4“ ат-І>-

ГЛАВА VIII.
Общій наивысшій дѣлитель и наинизшее кратное алгебраическихъ выраженій. *
78.	Дѣлителемъ цѣлаго алгебраическаго выраженія называется такое другое цѣлое выраженіе, на которое первое дѣлится на-цѣло. Такъ, есть дѣлитель выраженія 48.г8у*я; я— I есть дѣлитель тринома х* — 2я-|-1; х*— а* имѣетъ дѣлителями х— а,	— а2 и
Общимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ выраженій называется такое цѣлое выраженіе, которое дѣлитъ данныя на-цѣло или безъ остатка. Такъ, ^ураженія (а — 6)2 и а2— 62 имѣютъ общимъ дѣлителемъ а— Ь. Взявъ выраженія а3 4“— а№ — Ъ\а3 — ЗаЬ3 4- 263 и а3 — 2а26 — аЬ3 4^ 26е, и разложивъ ихъ на множители, находимъ:
а3 4“ а*Ъ — аЬ'1 — 63 — (а -)- Ь)2 (« — 6);
а3 — ЗаЪ3 4- 263 = (а — Ъ)3 (а + 26);
а3 _ 2а^ _ аъ* + 263 — (а + 6) (а — 6) а — 26);
откуда видно, что данные многочлены имѣютъ общимъ дѣлителемъ биномъ а—6.
Цѣлыя выраженія, не имѣющія никакихъ общихъ дѣлителей, называются первыми между собою или взаимно простыми. Такъ, а-\-Ъ и а — Ь— выраженія взаимно простыя.
Общимъ наивысшимъ дѣлителемъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій называется произведеніе всѣхъ простыхъ дѣлителей, общихъ даннымъ выраженіямъ. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ общій наивыстій дѣлитель есть а — 6, потому что иныхъ общихъ дѣлителей данныя выраженія и не имѣютъ. Взявъ выраженія х*— а* и #84-2ал;2- а3х — 2а3 и разложивъ ихъ на множители, находимъ:
х4 — а4 = (я 4~ а) — а) (^2 4" и2);
х3 4- 2ах3 — а3х — 2а3 — (я4~а) (# — й) (х 2«);
замѣчаемъ, что простые дѣлители, общіе этимъ выраженіямъ, суть: #4“а н х — а; ихъ произведеніе х3 — а3 и есть общій наивысшій дѣлитель двухъ данныхъ выраженій.
Очевидно, что если данныя выраженія раздѣлимъ на ихъ общаго наивысшаго дѣлителя, то черезъ это изъ нихъ исключатся общіе ихъ дѣлители, а потому частныя не будутъ имѣть уже никакихъ общихъ дѣлителей, т.-е. будутъ первыя между собою. Отсюда вытекаетъ другое опредѣленіе общаго наивысшаго дѣлителя: ото есть такой общій дѣлитель, по раздѣленіи на который данныхъ выраженій, получаются частныя первыя между собою. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, раздѣливъ выраженія я*—а4 и ^84~2ах2 — а2д?—2а3 на общаго дѣлителя х3 — а8, получаемъ частныя #2 4“ и х 4” 2а — первыя между собою. Заключаемъ, что, по опредѣленію, я2 — а2 и будетъ общій наивысшій дѣлитель данныхъ выраженій.
Примѣчаніе I.—Между алгебраическимъ общимъ наивысшимъ дѣлителемъ и общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ (въ ариѳметикѣ) есть существенное различіе. Общій наибольшій дѣлитель чиселъ есть такой ихъ общій дѣлитель, который по величинѣ больше всѣхъ другихъ общихъ дѣлителей. Отсюда и названіе его — наибольшій. Но общій наивасшій дѣлитель алгебраическихъ выраженій, какъ содержащій произведеніе всѣхъ общихъ дѣлителей, очевидно, будетъ по степени выше другихъ общихъ дѣлителей; но изъ этого еще не слѣдуетъ, чтобы онъ былъ больше но величинѣ: такъ а3 не необходимо больше а; папр.. если а есть положительное число меньшее 1, то «2 меньше а.
Примѣчаніе II.—Для краткости слова: общій дѣлитель будемъ означать начальными буквами о. д.; также слова: общій наивысшій дѣлитель — буквами о. н. д.
Переходимъ къ изложенію способовъ опредѣленія общаго напвысшаго дѣлителя алгебраическихъ выраженій.
79.	Способъ разложенія на множителей.—Пусть требуется найти о. н. а. одночленовъ
65а5Ь*с, ЗОаЧ® и 45а<Ьпй,
т.-е. такихъ выраженій, которыя пряно даны въ формѣ произведеній.
Согласно съ первымъ опредѣленіемъ, нужно составить произведеніе всѣхъ общихъ простыхъ дѣлителей — численныхъ и буквенныхъ. Произведеніе общихъ простыхъ числовыхъ дѣлителей есть о. н. д. коэффиціентовъ и = 5. Что касается буквенныхъ производителей, то нужно взять только общія буквы съ наименьшими показателями; общія буквы суть а и Ь; наименьшій показатель буквы а есть 4, буквы Ь—2, сл. о. н. д. = 5а*Ьа,
Выраженіе, такимъ образомъ составленное, удовлетворяетъ и второму ^опредѣленію общаго наиб. дѣлителя; въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ на него данные одночлены, получаемъ частныя: ІЗас, 6а3Ь и 9Ь9й — первыя между собою. Отсюда Правило. Для составленія о. н. д. одночленовъ нужно къ общему наив. дѣлителю коэффиціентовъ приписать всѣ общіе буквенные множители съ наименьшими показателями.
Что касается многочленовъ, то, когда онп легко разлагаются на множителей, и употребляютъ способъ разложенія на производителей, или, что то же, превращаютъ многочлены въ одночлены и прилагаютъ къ нимъ предыдущее правило. Вотъ примѣры.
I. Найти о. и. д. многочленовъ
9а2х* — 36 и 12а3х* 4> 48ая + 48.
Разлагая на множители, найдемъ:
9а*.г2 —36 = 3*. (ах 4= 2) (ах — 2);
12а^2 4-48а^-|-48 = 4,3(ал?+2)\
Взявъ произведеніе общихъ простыхъ множителей, найдемъ о. н. д. = 3 (аз -|- 2).
П. Найти о. и. д. многочленовъ
х'у3 — 3#3уа 4~ 2л;4у4 п х*у3 —
Разлагая на множители, находимъ:
.г4у* — Зт3у3 4” 2.г*у4 = #2у®(# — 2у) (я —у), — 4л V = л?ау*(х 4- 2у) (я — 2у);
слѣд. о. н. д. = #3у*(я:—2у).
Ш. Найти о. н. д. полиномовъ
х3 4~ 1 и х3 -|“ тх3 4- тх 1.
Разложивъ на множители, получимъ
#’4~ 1 — (#4“ 1)(#а —#4“ 1)-
х3 4~ тх3 4“1 ~ (^4- і)(#*—»-|-тх4~ О;
слѣд., о. н. д. = #4~ 1.
IV*. Найти о. н. д. полиномовъ ♦
Зх*у — За?8 Згу — Зхз п
I эх'*!/ — ЗОа?уя Ц- 15я*у — 15а;3 -|- 30а?ах? — 15хгЛ
Но разложеніи на множителей, найдемъ, что
1-й полиномъ = 3(а?а (у — а?),
2-й полиномъ = 3 . 5(у — а?) (а; — я)2.
Отсюда: о. п. д. = 3(# — а?).
80.	Способъ послѣдовательнаго дѣленія.—Такъ какъ многочлены только въ рѣдкихъ случаяхъ легко поддаются разложенію па простыхъ множителей, то и предыдущій способъ прилагается съ успѣхомъ только въ исключительныхъ случаяхъ. Вообще же, для опредѣленія о. н. д., полиномовъ пользуются общимъ способомъ, который носитъ названіе способа послѣдовательнаго дѣленія. Нахожденіе о. н. д, этимъ способомъ основывается на слѣдующихъ теоремахъ.
81.	Теорема I. — О. н. д. двухъ выраженій не измѣнится, если одно изъ нихъ помножимъ или раздѣлимъ на количество, первое съ другимъ.
Въ самомъ дѣлѣ, о. н. д. есть произведеніе множителей, общихъ тому и другому выраженію, а потому если введемъ (умноженіемъ), или уничтожимъ (дѣленіемъ) въ одномъ изъ нихъ множителя, не входящаго въ составъ другого выраженія, то отъ этого прибавится къ первому, или уничтожится въ немъ множитель, котораго нѣтѣ во второмъ, а слѣд. общіе множителп останутся тѣ же; значитъ не измѣнится н о. н. д.
Эта теорема облегчаетъ вычисленія, позволяя избѣгать дробныхъ коэффиціентовъ въ частныхъ.
82.	Теорема II.— О. н. д. у дѣлимаго и дѣлителя служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и остатка.
Пусть данные многочлены суть М и Я; обозначивъ частное отъ раздѣленія М на И буквою а остатокъ К, и замѣтивъ, что дѣлимое=произведенію дѣлителя на частное, сложенному съ остаткомъ, имѣемъ
М = ^Х9 + И . . . (1).
Обозначивъ общаго дѣлителя многочленовъ М и К буквою А, раздѣлимъ на А обѣ части полученнаго равенства, найдемъ:
М
А
-уХУ + ѵ
Но, по условію, А есть общій дѣлитель многочленовъ М и X, слѣд. частныя М X	. и	-	,	V/
д и у суть выраженія цѣлыя; обозначивъ ихъ соотвѣтственно черезъ М и л , представимъ послѣднее равенство въ видѣ
М' = К'Х94-К, откуда 5 = М' —УХЧ-
Это равенство показываетъ, что *д есть выраженіе цѣлое, иоо равно цѣлому выраженію М' — У X Ч, значитъ, К дѣлится на-цѣло на А,
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлимому и дѣлителю,
сііхггь общимъ дѣлителемъ у дѣлителя в остатка; а слѣд. и общій наив. дѣ-дѣлимаго и дѣлителя служитъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и •гзаста.
33. Теорема III, обратная. О* н. Э. у дѣлителя и остатка служитъ шгоге общимъ дѣлителямъ у дѣлимаго и дѣлителя.
Пусть \ будетъ общимъ дѣлителемъ выраженій X и К. Раздѣливъ обѣ ча--т равенства (1) па Лр получимъ
. Хт	.	К г
по условію, у есть цѣлое выраженіе, равно какъ и у; обозначивъ ихъ буі вами И' и В' нолучимъ
М ІТ, . .
М
Это равенство показываетъ, что т- равно суммѣ двухъ цѣлыхъ выраженій; значитъ, есть дѣлитель многочлена М.
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлителю и остатку, слу
житъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣлителя; а слѣд. и общій наив. дѣлитель дѣлителя и остатка служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣли-
теля.
Изъ этихъ двухъ теоремъ выводится слѣдующая
84. Теорема IV.—О. н. Э. ЭжАЫлам м джлмтіля равенъ о. м. дѣлителю дѣлителя и остатка.
Обозначимъ о. и. х жэогѵяжиовъ М  5 (т.-е. дѣлимаго и дѣлителя) буквою П: а о. х ъ у X і К у дѣлителя и остатка) буквою В'. Въ силу теоремы ІЕ шражесе Ь д	быть общимъ дѣлителемъ многочленовъ X и й,
слѣд. іи» дѣлпъ бт остатка выраженіе 1)' — общаго наив. дѣлителя
5 і К А. во теоремѣ III, выраженіе П' должно дѣлить на-цѣло «лгати I і -Ѵ а слѣд. и ихъ общаго наив. дѣлителя И. Такимъ образомъ В і IV должны дѣлить другъ друга на-цѣло; но это возможно только тогда, евсв ош равны. Итакъ
И = І)',  теорема доказана.
85, На послѣдней теоремѣ и основанъ способъ послѣдовательнаго дѣленія.
Пусть данные многочлены суть М и X. Ихъ общій наив. дѣл. можетъ содержать производителей одночленныхъ и многочленныхъ. Начинаютъ съ того, что отдѣляютъ въ многочленахъ М и X одночленныхъ производителей отъ многочленныхъ. Одночленный производитель многочлена М есть общій множитель всѣхъ членовъ этого многочлена; вынося его за скобки и означая черезъ а. а многочленъ, заключающійся въ скобкахъ, черезъ А, имѣемъ:
М —а. А.
Такъ же точно, вынося за скобки общаго множителя всѣхъ членовъ многочлена X и обозначая выраженіе, заключающееся въ скобкахъ, буквою В, получимъ:
х=?. в.
Производители — одночлены, общіе многочленамъ М и X, заключаются въ і и {І; а производители—многочлены, общіе многочленамъ М и X, содержатся въ А и В. Такъ какъ о. н. д. многочленовъ М и X есть произведеніе всѣхъ ихъ общихъ простыхъ множителей или дѣлителей, то очевидно, мы его найдемъ, если общаго наив. дѣлителя количествъ а и помножимъ на о. н. д. многочленовъ А и В. Обозначимъ о. н. д. многочленовъ М и X буквою А; о. н. д. одночленовъ а и [і—буквою п о. и, д. многочленовъ А и В—буквою И. На основаніи сказаннаго имѣемъ:
А = гі. П.
Пусть, напримѣръ:
М = 9аба#п — 30аЬа#3	45а6а# 4" 24а7А
X = ^аіЬісхй — 12(1^4^— ЖаіЬ2схі 4^ 24а46ас#34“ 78а46ас#а 4“
Вынося изъ всѣхъ членовъ перваго многочлена за скобки Заб®, а изъ всѣхъ членовъ второго 6а*&®сл:, получимъ:
М = ЗаЬа(Зх5 — ІО#3 -р 15# -1- 8),
X = 6а46ас#(#* — 2#4 — 6#3	4#а 4~ 13#	А).
Общ. н. д. й одночленовъ За6® п 6а*6асл есть За/А Теперь намъ слѣдуетъ опредѣлить Л, т.-е. о. н. д. многочленовъ
д — З.г5 — ІО#3 15#	8 и
В = #5 — 2#4 — 6#3 -|^ 4#а 4“ ІЗя + 6.
I
- Раздѣлимъ А на В. Если бы А раздѣлилось на В безъ остатка, то В и было бы о. н. дм потому что тогда всѣ производители В содержались бы въ А. Но если бы А не раздѣлилось на В безъ остатка, то все-таки рѣшеніе вопроса подвинется впередъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть дѣленіе А на В даетъ частное и остатокъ В; въ такомъ случаѣ
А = Вх(і + К . . . (I).
причемъ степень главной буквы остатка будетъ ниже чѣмъ въ дѣлителѣ В. Замѣтивъ теперь, что, по теоремѣ IV, о. н. д. многочленовъ А и В равенъ о. н. д. многочленовъ В и К, заключаемъ, что вопросъ сводится къ отысканію о. н. д. между прежнимъ дѣлителемъ и остаткомъ, т,-е. между многочленами съ меньшими степенями главной буквы, и слѣд, болѣе простыми. Если бы принтомъ В раздѣлилось на В, тогда В и было бы искомымъ общимъ наив. дѣлителемъ. Но пусть при дѣленіи В на К получается въ частномъ У' и въ остаткѣ IV; тогда
В = 3'ХН4-К'< * »(2)
Хотя дѣленіе В на В и не привело къ окончательному нахожденію о. п. д., но рѣшеніе задачи опять упростилось. Дѣйствительно, мы знаемъ, что о. н. д. между В и Н равеніі о. п. д. между Н и К', такъ что вопросъ приведенъ къ нахожденію о. н. д. между многочленами К и Н\ болѣе простыми, ибо показатель главной буквы въ В' меньше показатели ея въ В.
Пусть В дѣлится безъ остатка на Н' и даетъ въ частномъ такъ что
К = Ч"ХК' . . . (3).
Не трудно провѣрить, что послѣдній дѣлитель IV и есть искомый о. и. д. многочленовъ А и В. Въ самомъ дѣлѣ, равенство (3) показываетъ, что IV есть о. н. д. для самого себя и К; но о* н. д. остатка и дѣлителя (равенство (2)) ровенъ о. н. д. дѣлимаго и дѣлителя, т.-е. многочленовъ В и К; а отсюда, въ -•цт равенства (1) заключаемъ, что ІГ, будучи о. и. д. для В и В, служитъ вмѣстѣ съ тѣмъ (по теор. IV) и общ. каив, дѣлителемъ для А и В, что и требовалось доказать.
При послѣдовательныхъ дѣленіяхъ, здѣсь указанныхъ, возможны два слу-ш: 1) или мы дойдемъ до остатка равнаго нулю; въ такомъ случаѣ, какъ до-шаио, послѣдній дѣлитель и будетъ искомымъ о. п. д. многочленовъ А и В; іл 2| послѣ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ дѣленій, дойдемъ до остатка, ко-не содержа главной буквы, не будетъ, однакоже, нулемъ. Что такой лучіі возможенъ, объясняется тѣмъ, что степень главной буквы въ послѣдо-«тельныхъ остаткахъ постоянно понижается; слѣд, непремѣнно дойдемъ до ос-тжтъх іе содержащаго главной буквы. Легко доказать, что если этотъ остатокъ ж еггъ воль^ то слѣдуетъ заключить, что многочлены А и В не имѣютъ обща-шх дѣлителя. т.-е. первые между собою. Дѣйствительно, мы видѣли, что * ь ь тѣжгъ остатки послѣ каждаго дѣйствія, а потому онъ долженъ бы Литъ і «сидокъ. ж содержащій главной буквы. Для этого о, н. д, самъ не малъ сыфпхь іляѵі буквы: но въ такомъ случаѣ, чтобы онъ могъ раз-Гі ііи 6» «ві кштоиесы А и В. онъ долженъ дѣлить каждый коэффи-гъ цж <лнжадъ гпг>і4 буквы въ этихъ полиномахъ, а это невозможно, жй	уже исключены (они заключаются въ а и ^).
Іп^мжзчг*	примѣру. Дѣлимъ А на В (могли бы.
Литъ ? к* і -тг- къ данномъ случаѣ полиномы—едина-~**ЗгЗЗ ЛЪ Г.
і —	—-1	— і аг — х	х* — 2л4 — 6л4 + 4л* 4-1 Зх-|-6=В
- -1Н= 6л4 —1>л*=12л*4=39л4=18'3
ІУ ъл* — ъл3—12л*—24л —10
Въ <тлткѣ степень буквы х ниже чѣмъ въ дѣлителѣ, поэтому первое дѣ-ж* окончено: оно показываетъ, что В не есть о. н. д.
слѣдуя теорій, теперь нужно дѣлителя раздѣлить па первый остатокъ. Но, ^мѣш. что члены остатка имѣютъ общаго множителя 2, перваго съ новымъ іЛ-шымъ. мы на основаніи теоремы 1 можемъ сократить этотъ остатокъ на 2, » измѣняя этимъ о. н. д. Черезъ это новый дѣлитель упростится и будетъ равенъ
. Зл4 4л8 — 6л:2 — 12л — 5.
Для избѣжанія дробныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и въ остаткахъ, множитъ новое дѣлимое на 3, что возможно, такъ какъ 3 есть количество первое съ Зл*4-4л3 — 6х2—12л— 5, Совершаемъ дѣленіе
Злг>—6л1- 18л3 + 12^ + 39^+ 18
— Злп 4- 4л:1 + 6л3 + 12л*5л
— 10л* — 12л8 4“ 24л3 4“ 44л— 18 .
— 5л:4— 6л3 4“ 12л2--22л-- 9 , . — 15л*— 18л3 -|- 36ля--66л — 27 . , Ч- 15л* + 20 л3 4- 30л 60л 25
2І’4-^‘6л34Г 6л -РУ
Зл4 4л3 — 6л3 — 12л — 5 л\ — 5 . остатокъ
. остатокъ, но раздѣленіи иа 2 . остатокъ, но умноженіи на 3 ь
Степень главной буквы въ первомъ остаткѣ не ниже чѣмъ въ дѣлителѣ, а это даетъ возможность продолжать дѣленіе. Но такъ какъ коэффиціентъ перваго члена остатка не дѣлится на коэффиціентъ перваго члена дѣлителя, то мы условимся считать второе дѣленіе законченнымъ, и полученный остатокъ—окончательнымъ въ этомъ дѣленіи. Теперь, слѣдуя теоріи, мы должны искать о. н. д. между За? + 4д?— 6л?— 12$ — 5 и полученнымъ остаткомъ; принтомъ, остатокъ принимаемъ за дѣлимое, а дѣлителя оставляемъ прежняго. Приступая къ новому дѣленію, сокращаемъ дѣлимое па 2 и умножаемъ его на 3, что позволительно, потому что ни 2, ни 3 не входятъ множителями въ дѣлитель. Чтобы не переписывать дѣлителя, продолжаютъ дѣленіе въ томъ же столбцѣ, только членъ частнаго (— 5) отдѣляютъ отъ частнаго прежняго дѣленія запятою, чтобы этимъ показать, что — 5 не принадлежитъ къ числу членовъ одного и того же частнаго, а есть частное новаго, особаго, дѣленія.
Это дѣленіе даетъ остатокъ 2о?4-6л?4“&г4_ и вопросъ приведенъ къ отысканію о. н. д. между этимъ остаткомъ и дѣлителемъ. Во избѣжаніе дробныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и остаткахъ, сокращаемъ дѣлителя на 2, и дѣлимъ
3^*4- 4г1— 6о?—12х—5 о4р За?-|- 3^4-1 — Зл?4-9я?нн 9а?4- За; ~3х — 5.
— 5а? — 15х’2 — 15а; — 5 — 5а? — 15а? — 15а:— 5
О
Послѣдній дѣлитель а? 4“ За? 4“ За; 4" 1 и есть о, н. д. многочленовъ А и В.
Итакъ, мы нашли, что	а I) = а? 4- За? 4- За; 4" 1; сл. о. п, д.
данныхъ многочленовъ М и К, или
А = & I) = Заі?(а? 4- Зл? + За?+ ] )=ЗаЪ*х*+$аЪ№ 4» ѴаЪ*х 4> Эаб*.
86. Приводимъ еще примѣры.
Г Найти о. н. д, многочленовъ:
М = 2а*а? — 28аяа? + 142а Ѵ — 308а2д? 4~ 240ааа; и К = Зао? —ЗОоа? 87ао; — 60 а,
Выносимъ за скобки общихъ множителей членовъ каждаго многочлена:
М = 2ааа?(х1 — 14л? + 7 Іа? — 154а;4- 120), И = За(я? — 10а? 4- 29ж — 20).
Отсюда имѣемъ: сІ — ал
Ищемъ о. н. д. многочленовъ, заключенныхъ въ скобки.
Первое дѣленіе.
а? —14а?4^71а?—154а:4-120 я? — 10а? + 29а: — 20
— а? + І Оа? + 29а? + 20а:	а; — 4
— 4я?4-42я? - 134а; + 120 ± 4а? + 40л? ± 116а: 4= 80 .
1
Сокративъ остатокъ па 2, принимаемъ я2 — 9#4~20 за дѣлителя слѣдующаго дѣленія.
Второе дѣленіе.
ж’_ 10х’4-29х —20	#а — 9х 4“ -0
#3 4з в#2 нР 20#	# — 1
—	_ у/р 20
— #2 4- 9# — 20
/о
Заключаемъ, что #2 — 9#4" 20 есть о. н. д. многочленовъ, содержащихся жъ скобкахъ. Итакъ.
Д = гі. В — а(#2 — 9я 4“ 20) = ах* — 9а# -|- 20а.
II.	Найти о. н. д. многочленовъ
М— #3 — 8#113#357#2—198#4~135 и
Х = 2г’~ 15#*4“37х ™ 15.
*к жп глувк. гі = 1. Постараемся опредѣлить 0. Умноживъ предвари-яя» шгг-ѵгі 1 в 1 іѣлимъ:
Первое дѣленіе.
ДН— Івх* —114?- 396г4- 27012#*— 15#24-37х - 15
— 1т3 — 15х* —37х* — 15#1	#2,— #, — 37
— г* — 11#1 — 129#’— 396#4~ -70, умноживъ на 2:
— 2-г1 — 22#»+258#а— 792#-р 540
4г 2#<=г15#’ Ч- 37#2=р 15#
— 37#* + 295#2 — 807#~4 540, умноживъ на 2: _74хз_^5до#»— 1614#+ 1080
Ч- 74#8^ 555#2Ч- ІЗбЭ^Ч2 555
35#2— 245#4~ 525
Сокративъ остатокъ на 35, дѣлимъ
2#3— 15#*4~37я —15
—7#4“ І5
2і — 1
Итакъ, I) —#а — 7#4" 15.
Д = й, Г) — #2—7#4“15.
111.	Найти о. н. д. многочленовъ
М= 4” 2#8 — З#24- 5# * 12. в -— 4#8 4“	— 6# 4~ 5.
Умноживъ предварительно М на 4, дѣлимъ
4** 4“ &г8 — 1 2*2 4“ 20* — 48 к4*э 4~ 6*3 — (ія 4~
— 4*4 4“ б^3 + б*2 + 5*	- Н“ 1
2*3— 6*2+15*~ 48, умноживъ на 2:
4*3 — 12*2 + 30* — 96
—4а;3 4- 6*2Ч- 6*4-
— 18*2 + 36* — 101
Умноживъ дѣлителя на 9, дѣлимъ его на послѣдній остатокъ:
36х8 4" э4*2— 54* + 45
36*3— 7 2*2 4^20 2а;
4~ 126а?2 — 256*4“ ^5
126*2— 252*+ 707
— 4* — 662
— 18*9 + 36* — 101
^^2*~— 7
Раздѣливъ остатокъ на (— 2), дѣлимъ
18*2 — 36* +	101 2* + 331
— 18 4= 2979*	9*2 — 3015
— 3015* +	101, умноживъ на 2:
— 6030* +	202
- 6030* — 997965
+ 998167
При послѣднемъ дѣленіи мы нашли остатокъ, не содержащій главной буквы, не равный нулю, то заключаемъ, что данные многочлены не имѣютъ никакого общаго дѣлителя.
IV.	Найти о. н. д. многочленовъ
а3(Ь2 + 2Ъс + с2) — ааЬ( 2Ьа + 36о + с2) + аЬ3(6 + с) и а2(Ь2 — с2) - «5(26* + Ьс — о2) + Ь3(Ь + с).
Принявъ а за главную букву, посмотримъ, не имѣютъ ли коэффиціенты каждаго многочлена общихъ множителей; и для этого разложимъ коэффиціенты на множителей. Имѣемъ
62 + 2Ья+с2 = (Ь + с)2;
2^+36с+с2 = 2/>2+2Ьс+&с+с2=2Ь(Ь+с)4-с(^+с) = (Ь+е)(2Ь+с); Ь2 — с2 = (& + с)(й — с);
2Ь2 + йс- с2=Ь2+^+&с—с2=Ь(& + с)+(&+с)(6 — с) = (й+с)(26 - с).
Такимъ образомъ находимъ, что всѣ члены перваго многочлена имѣютъ общаго множителя а(& + с), всѣ члены второго: (& + с); слѣд. можемъ представить многочлены въ видѣ:
а(?> + с)| (Ь + с)а2 — 6(26 + с)а Ь3| и (б с){(6 — с)а2— Ь(25 — с)а — 68|.
отсюда видно, что ^=й-|-с. Затѣмъ, сокративъ первый мноі’очленъ на «/6-гс), второй на Ь-рс, л помноживъ всѣ члены перваго на Ъ—с, дѣлимъ
— Ь3с
+ Ъ*\а*±2Ь*а^Ъ1
4-е? 4- йас і 4^ Ь8с
-р Ьс'2 I
26?с. а — 268с, или, по сокращеніи на 26?с: а— Ь
Затѣмъ, дѣлимъ
— с
Итакъ, І)=а — Ь. А потому
Д = гі. В = (Ь-Нс)(а- Ь).
87.	Изъ сказаннаго выводимъ слѣдующее
Правило,— Чтобы найти о. м. д. двухъ многочленовъ, нужно*. Сначала исключитъ общіе одночленные множители каждаго многочлена; причемъ, если случится, что означенные множители имѣютъ о. п, д,< то послѣдній слѣдуетъ впослѣдствіи ввести множителемъ въ составъ искомаго об, н. д.
Затѣмъ высшій многочленъ дѣлятъ на низшій, преобразовавъ предварительно днлимое такъ, чтобы первый членъ его (предполагая, что многочлены расположены по степенямъ одной буквы) дѣлился на первый членъ дѣлителя.
Въ полученномъ отъ дѣленія остаткѣ сокращаютъ всѣхъ множите-общихъ коэффиціентамъ главной буквы, и дѣлятъ прежняго дѣлителя на этотъ остатокъ, поступая попрежнему.
Затѣмъ дѣлятъ первый остатокъ на второй и т, д., продолжая *ти послѣдовательныя дѣленія до тѣхъ поръ, пока: илгі получится остатокъ нуль,— и тогда послѣдній дѣлитель есть искомый о. н. д,; или въ остаткѣ получится выраженіе, не содержащее главной буквы, — м ндоба данныя вы/іаж?ен/я суть кол^честйі	ліежгіу собою, еелде
не имѣютъ общаго множителя, независящаго отъ главной буквы, и не открытаго егце въ началѣ дѣйствія.
При выполненіи послѣдовательныхъ дѣленій слѣдуетъ умножать промежуточные остатки на такихъ множителей, чтобы, первые члены ихъ дѣлились на первый членъ дѣлителя,
88.	Иногда процессъ нахожденія о* и. д. можно ускорять на основаніи слѣдующей теоремы.
Теорема, О. «. д, гівіда ишішоліояа А и В, содержащихъ главную букву х, тотъ же, что и о, н. д. выраженій ^А-р^В г/ гД-рзВ, гйп> р, г/, г, я—мзшоторьгл	или отрицательныя количества,
независящія отъ х.
Во-первыхъ, очевидно, что всякій множитель общій полиномамъ А и В, будетъ также общимъ множителемъ н выраженій рА-р^В и гЛ-р$В.
Во-вторыхъ, очевидно, что всякій множитель, общій выраженіямъ ^А-р<уВ и гА-|-зВ, служитъ также множителемъ выраженія $СрА-р*?В) — д(гА + $В), пли выраженія (яр~^г)А. А какъ — дг не содержитъ я, то всякій множитель, общій выраженіямъ рА-р^В и гА — гВ. долженъ быть множителемъ полинома А, если только не будетъ лр — ?г = 0. Подобно этому, всякій множитель, общій выраженіямъ у?А + я г А -р $В. будетъ татсже множителемъ и выраженія г(рА -р^В) “ р(гА + 3В) т.-е. выраженія (гд—ря)Вт и слѣд. полинома В,
Такимъ образомъ доказано, что всякій множитель, общій полиномамъ А и В, служитъ общимъ множителемъ и для />Л-р^В и гА-р«В, и обратно, о, м. двухъ послѣднихъ выраженій будетъ также общимъ множителемъ и для А и В; а сл. и о. н. д. у А и В таковъ же какъ и у рА-рдВ и **Л“рзВ.
Примѣръ. Найти о. н. д. полиномовъ
Зяэ4- 10я2 -р7ж - 2 . . . (1) и 3х3+13^+ 17яг-Р6 . . .(2)
. Вычитая (1) изъ (2), имѣемъ ІОаг-Р 8 . . . (3)
Помноживъ (1) на 3 и сложивъ со (2), получимъ
х(12я2-Р43я~Р 38) ... (4)
Слѣд. искомый о. н. д. тотъ же, что у (3) и у 1	4Зг38 , . . (5)
Помноживъ (3) на 4 п вычтя изъ (4), имѣемъ 3(я-р2). Слѣд., пск. о. я. д. = о. н. д. (3) и я-р2.
Но (3) при х = — 2 обращается въ О, слѣдоват., искомый о. н. д. = х-р 2,
89.	Общій наивысшій дѣлитель нѣсколькихъ многочленовъ. — Пусть требуется найти о. н. д. нѣсколькихъ многочленовъ Р, Ч, К и 8. Найдемъ о. н. д. между какими-нибудь двумя изъ данныхъ многочленовъ, напр. Р и Ч, и назвавъ его буквою И, замѣчаемъ, что I) есть ничто иное, какъ произведеніе всѣхъ множителей, общихъ многочленамъ Р и Ч- — Если теперь найдемъ о. н. д. между В и К, то, назвавъ его буквою В', замѣчаемъ, что В' есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ В и Й; а какъ В есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ Р и Ч, то В' есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ Р, Ч и К. Найдя затѣмъ о. и. д. для В' и 8,—пусть онъ будетъ В",—убѣдимся, что онъ будетъ = произведенію всѣхъ множителей, общихъ многочленамъ Р, Ч< К и 8. Поэтому В" и будетъ о. п. д. данныхъ многочленовъ.
Отсюда
Правило.— Чтобы найти о. и. д. нѣсколькихъ многочленовъ, находятъ его сперва между какими-нибудь двумя многочленами; потомъ
лежоу найденнымъ о. н. д. и третьимъ даннымъ многочленомъ; затѣмъ лежду вновь найденнымъ о. н. д. и четвертымъ многочленомъ и т. д. П+елъдній о. н. д. и будетъ требуемый.
Примѣръ. Найти о. и. д. многочленовъ
Р = &са— 12#2у ~ Югед
Ц = 6яа-|-12я2 — Зх^у—18#у, К = 6я2 — 1 Ззд бу*. 8=4^э„
0, н. д. многочленовъ К и 8 равенъ 2я — 3^; о. н. д. многочленомъ Р и ±г — Зу есть 2д?— Зу- наконецъ о. н, д, для Ц и Зу есть также 2х — Зу. Слѣдов. о. и. д. всѣхъ четырехъ мнегочленовъ есть 2х — Зу.
90.	Наинизшее кратное алгебраическихъ выраженій. — Ііратнымъ даннаго цѣлаго выраженія наз. такое другое цѣлое выраженіе которое на данное дѣлится ващѣло. Такъ 12а4ж2у есть кратное выраженія 2а2х. Очевидно, что ’для даннаго выраженія существуетъ безчисленное множество кратныхъ.
Такъ, для х — у кратными будутъ: (я — у)*, (я — #)3, (я — у)\ . , . я2—Уэ, ф3™^3,	— у1 и т. д.
кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій наз. такое, которое на всѣ данныя дѣлится безъ остатка. Такъ, если данныя выраженія суть:
2а26, 3(а - &)2, а2 - />3;
то общими кратными ихъ будутъ:
6а 2Ь (а “ &)2(а4~&);
12»463(а — Ь)4(а -|- &);
72а46*(а—і)3(а^-Ь)2 и т, д.
Очевидно, что для данныхъ выраженій существуетъ безчисленное множество общихъ кратныхъ.
Наинизшимъ кратнымъ данныхъ выраженій, расположенныхъ по степенямъ одной буквы, называется ихъ общее кратное, низшей степени относительно этой буквы.
Когда данныя выраженія — одночлены, то для составленія яаинизшаго кратнаго нужно перемножить всѣ простые множители, взявъ каждый изъ нихъ съ наибольшимъ показателемъ. Такъ, если даны одночлены 10ай6\ 12а^\ 6а4ЬсМ, то, взявъ всѣхъ простыхъ мпожит. въ высшихъ степеняхъ, т.-е, 2* 3, 5, а\ ѣэ, с2 и с?, найдемъ и. кр, 22.3,5.ай.&3.сі.^ или 60авЬ3сМ.
Такимъ же образомъ составляется и наинизшее кратное многочленовъ, когда послѣдніе легко разлагаются на множителей. Приводимъ примѣры,
I. Найти н. к. для — аа и Л73—-а1.
#2 — а2 = (я а)(# — а); х3 — а3 = (я — а)(#2 -|-.ш -|- а2)»
«
Н, кр. = (# + а)(ж — а)(#2 + ха -|- а1) = х* -|-	— а*г —а\
П. Найти и. кр. полиномовъ:
х3 2х-і/ — ху* — 2у3 и Л’3 — 2ла// — ху2 -|- 2?/3й
По разложеніи на множители, первый даетъ
_ у*) 4. 2і/(жа — у2) = (д ; Ц- 2//)(яа — у2); а второй
— у2) — 2у (х2 — у2) = (я —• 2*/)(#2 — у2).
Наин. кр. ™ (#а — з/2)(я 4- 2у)(я — 2у) — (х2 — уа)(я* — 4у2).
91. Если разложеніе многочленовъ па множители представляетъ затрудни ніе, то можно пользоваться слѣдующимъ пріемомъ.
Пусть А и В — данные многочлены, а 0 —ихъ о. н. д. Назвавъ частныя отъ раздѣленія многочленовъ А и В на В буквами А' и В', получимъ: А = А'И и.В = В'Ь. По свойству о. н. дѣлителя. А' и В' суть выраженія первыя между собою, а слѣд. ихъ наин. кр. = А'В'. Очевидно, что выраженіе наименьшей сте-' пени, дѣлящееся на А'П и ВІ), есть А'В'И. Итакъ, наин. кр. многочленовъ А и В есть А'В'П - - . (1). Это выраженіе можно также представить въ видѣ Л'В, если ВЧ) замѣнить черезъ В; или, въ видѣ В'А, замѣнивъ А'П черезъ А. Наконецъ, перемноживъ: А = А'В и В = В'Э найдемъ, А'В'В2=АВ; раздѣливъ
АВ
обѣ части на И, получимъ: А'В'І)=-^-* Итакъ, наин. кр. можетъ быть представлено въ каждой изъ слѣдующихъ формъ:
А'ВТ, АВ', ВА' и
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило нахожденія наинизшаго кратнаго двухъ многочленовъ: находятъ ихъ о. н. д.; дѣлятъ на него одно изъ данныхъ выраженій, и полученнымъ частнымъ умножаютъ другое; пли: произведеніе данныхъ многочленовъ дѣлятъ на ихъ о. н. д.; или: о. н. д. множатъ на частныя, происходящія отъ раздѣленія данныхъ многочленовъ на этого наив. дѣлителя.
Примѣчаніе I Раздѣливъ и. к. А'В'В на АФ (или А), находимъ въ частномъ В\ а раздѣливъ на В'И (или В), въ частномъ получаемъ А'; но А' и В' выраженія первыя между собою, сл. .можно дать наименьшему кратному такое опредѣленіе: это есть такое кратное данныхъ выраженій, которое по раздѣленіи на нихъ, даетъ частныя первыя между собою.
Примѣръ. Найти и. к. многочленовъ
а2 — аб — 1263 и	“Н 663.
0. н. д. ихъ = а 4” 36. Раздѣливъ первое выраженіе на а 4- 36, находимъ въ частномъ а — 46. Умноживъ второе выраженіе на это частное, найдемъ искомое н. к.
Итакъ, н. к. = (а2-|-5а6-|-662)(а—46) —	а1!) — 14а62 — 2463.
Примѣчаніе II Мы нашли, что наин. кр. для А н В равно отсюда, назвавъ наин. кр. буквою Ь, имѣемъ
Ь.Й = А.В,
фшзѵсОснге двухъ данныхъ выраженій равно произведенію ихъ наин. ф. « наив. дѣлитель,
Ж. Бел М есть н. к. для А и В, то очевидно, что всякое кратное колк-1 есть общее кратное для А и В.
53 Всякое общее кратное двухъ алгебраическихъ выраженій есть снявши ихъ наимизшаго кратнаго.
Ітгь А и В—два данныя выраженія, М—чіхъ н. к., и пусть К озна-«п какое-либо общее кратное. Допустимъ, если возможно, что при дѣленіи X * 1 волучается остатокъ В (при частномъ У). Въ такомъ случаѣ В = X — 9<М. 1* X і М дѣлятся на А, сл. и В дѣлится на А; X и М дѣлятся на В, сл. и 1 іѣлтся на В (§ 81), Но К есть выраженіе	степени чѣмъ М; сл.
♦смывается общее кратное количествъ А и В низшей степени, чѣмъ ихъ н. к. >> — нелѣпость: сл. остатокъ К не существуетъ, т.-е. X есть кратное количества М.
94.	Пусть требуется найти н. к. нѣсколькихъ многочленовъ, напр., трехъ: 1 В и С. Найдемъ н. к* двухъ изъ нихъ, напр. А и В: пусть опо будетъ М. Затѣмъ найдемъ н, к, для М и 0: пусть оно будетъ Ь, Докажемъ, что Ь и будетъ служить н. к. для А, В и С.
Назовемъ н. кр. А, В и С буквою х. Всякое общее кратное количествъ М і С есть общее кратное и для А, В и С (§ 92); слѣд, Ь должно дѣлиться на хЛ Всякое общее кратное А и В есть кратное и для М (§ 93); сл. всякое об-• щее кратное А, В и С есть общее кратное и для М и С; слѣд. .г должно дѣлиться на ѣ.
Итакъ, Ь должно дѣлиться на а х на Ь; поэтому х = Ь, и правило доказано.
Примѣчаніе. — Нахожденіе наин. кр, имѣетъ приложеніе въ приведеніи дробей къ общему знаменателю. 0. н. д. въ элементарной алгебрѣ прилагается къ сокращенію дробей; въ Высшей Алгебрѣ онъ имѣетъ другія, важнѣйшія примѣненія, именно въ теоріи уравненій.
ГЛАВА IX.
Алгебраическія дроби.
Опредѣленіе.—Основное свойство алгебраической дроби. —Сокращеніе алгебраическихъ дробей и приведеніе къ общему знаменателю.—Четыре основныя дѣйствія надъ дробями,
95.	Опредѣленіе. — Мы видѣли, что когда дѣленіе одного алгебраическаго выраженія на другое невозможно, то дѣйствіе только обозначается: дѣлителя пишутъ подъ дѣлимымъ, отдѣляя ихъ горизонтальною чертою. Такимъ образомъ частное отъ раздѣленія А на В изображается въ формѣ
А _ № В
Такое выраженіе называется алгебраическою дробью, причемъ дѣлимое получаетъ названіе ’шедоямм, а дѣлитель—зяалеиатіля» Итакъ: алгебраическая дробь есть частное отъ раздѣленія числителя на знаменателя.
Между дробями — ариѳметическою и алгебраическою есть существенная разница: въ самомъ дѣлѣ, числитель и знаменатель ариѳметической дроби суть числа цѣлыя и абсолютныя, между тѣмъ какъ члены алгебраической дроби могутъ быть какъ цѣлыми, такъ и дробными, какъ положительными, такъ н отрицательными, и вообще какими угодно алгебраическими выраженіями. Такимъ образомъ, понятіе объ алгебраической дроби обилье, нежели объ ариѳметической, а отсюда вытекаетъ необходимость вывода свойствъ алгебраической дроби и доказательства правилъ дѣйствій надъ этими дробями независимо отъ вывода этихъ свойствъ и правилъ для дроби ариѳметической.
Выводъ упомянутыхъ свойствъ и правилъ долженъ вытекать изъ самого опредѣленія алгебраической дроби какъ частнаго отъ раздѣленія числителя на знаменателя.
96.	Основное свойство алгебраической дроби состоитъ въ томъ, что величина ея не измѣнится, если числителя в знаменателя умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же количество. Докажемъ это.
Пусть величина дроби равна У:
В=Ч - - .(О-
Замѣчая, что дѣлимое = произведенію дѣлителя па частное, имѣемъ
А = В . Ч.
Означивъ буквою М какое-ниб. количество, умножимъ на него каждую изъ равныхъ величинъ А и В . Ц, вслѣдствіе чего получимъ и произведенія равныя:
АМ = В^М;
или, перемѣнивъ мѣста производителей () и М во второй части,
АМ = ВМ X
Это равенство показываетъ, что (}, будучи умножено на ВМ, даетъ въ произведеніи АМ; слѣд. Ч есть частное отъ раздѣленія АМ на ВМ; такимъ образомъ:
ВМ
Но Ч есть ничто иное какъ [см. (I)]; слѣд.
АМ ,_. А
ВМ — В
П	✓ А.М	,	,	.
Это равенство показываетъ, что дробь эдд можетъ быть замѣнена дробью т.-е. что величина дроби не измѣнится, если числитель и знамена* шелъ раздѣлимъ на одно, и то же количество.
На этомъ свойствѣ основано упрощеніе дроби сокращеніемъ, .
А
Равенство (2) показываетъ также, что, наоборотъ, дробь можетъ быть
АМ
шівв дробью іэдр т.-е. что величина дроби не измѣнится, если числи- » игш • знаменатель помножимъ на одно и то же количество.
>гомъ свойствѣ основано приведеніе дробей къ общему знаменателю.
57- Сокращеніе.—Для сокращенія дроби нужно ея числителя и знамена-тм мздѣ лить на ихъ общаго наивысшаго дѣлителя: отъ этого величина ея аг йѣтатся, но дробь будетъ приведена въ простѣйшій видъ, такъ какъ част-вд *п> раздѣленія ея членовъ на ихъ о. н. д. будутъ количества первыя Ж23Т СОбОЮ.
Приводимъ нѣсколько примѣровъ.
Е Сократить дробь
48а»б8Л
’бба^я6 ‘
0. н. д. числителя и знаменателя есть 12а8Ьх4. Раздѣливъ па это коли-*<тво оба члена дроби, имѣемъ: • *
И. Сократить дробь
Зба’б2 — 36а»Ь»
54аЧ>з _ іО8дЗЬ» + 54а’Ь» ’
Когда ч. и з. суть многочлены, легко поддающіеся разложенію на множители, то о. н. д. для нихъ находимъ этимъ способомъ:
36«Ч>» — 36а2Ь‘	_	36аа62(а2 — Ь2)	_ 18а2Ь2(а—б).2а(а + Ь)
54а‘б3 — 108«’Ь‘ + 54аЧН> — 54а2Ь»(а2 — 2аб + Ь2) ~ 18аЧ>2(«~ ?>) ЗЬ(а — Ь)' *
Замѣчая, что о. н. д. членовъ дроби равенъ 18а2бя(а— Ь), мы, раздѣливъ на него числителя и знаменателя, получимъ:
2а(а + б)
$Ь(а — Ь)'
НЕ Сократить дробь
я18 + а12
я1 -рах4 а*х + а5
Знаменатель = л;4(х 4~ а) 4“	4" а) = 4" а)(#4 4- а4).
Числитель = (х4)3 4“ (а<)’ = (ж< ~Ь а<)[(л;4)2 — х4а4-- (а4)8] = = (х4 4- а*)(#8 — х4а4 4- дв)*
По раздѣленіи обоихъ членовъ дроби на о. н. д. х44-а\ находимъ:
х® — х4а4 + а8 х 4- а
Въ этомъ примѣрѣ о. н. д. былъ л44“а\ ибо я®— х4а4-^а8, не обращаясь въ ноль при х =— а, не дѣлится на х4~а*
IV. Сократить дробь
бс(б — с) — <м?(л - е) 4~ аЬ(а — б)
Ь'№(Ь — с) — бАЯ(а — с) 4- а868(а — 6) ’
Числитель — с) — а(а — с)§ 4~	&) = с(а — 6)(с — а — Ь)-|-
-^аЬ(а — ?>)—(а — 7>)|с(с — а)—&е-|- а/?} = (а — &)(а — с)(Ь — с).
Въ § 54, 5, мы видѣли, что знаменатель = (а— Ь)(а—с)(Ъ—с)(а&-|-ас4--|- Ьс). Итакъ, видно, что о. н. д. числителя н знаменателя есть (а—Ь)(а—	с):
раздѣливъ на него оба члена дроби, получимъ
______1 * аЪ + ас + бг’
V.	Сократить дробь
Оба члена числителя и оба члена знаменателя дѣлятся на	раздѣ-
ливъ ихъ на этотъ биномъ, получимъ дробь
+ //)‘ — (г4 — дДу + ду — ту»
0й + У)2 —	-г У2)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
5«Л/ 4- 5л^2 + 5ту®
—--------о г~~—? или, сокративъ на
I (^ + «3/ + у4)-
VI.	Сократить дробь
2г» — 15л*+ 37® — 15
®» — 8®‘ + 13а* + 57а* — 198л | 135 '
Въ этомъ примѣрѣ, разложеніе числителя и знаменателя на множители пред-ставляетъ затрудненія; поэтому опредѣляемъ о. и. д. способомъ послѣдовательныхъ дѣленій. Такимъ образомъ найдемъ, что о. н. д = т3 — 7#-]-15. Сокративъ дробь, найдемъ
2л;— I
— я2 — 9а? + 9
98. Приведеніе дробей къ общему знаменателю.—Здѣсь слѣдуетъ различать тѣ же случаи какъ и въ ариѳметикѣ:
1.	Если каждые два знаменателя суть выраженія взаимно-простыя, нужно числителя и знаменателя каждой дроби помножать на произведеніе знаменателей прочихъ дробей. Черезъ это общимъ знаменателемъ всѣхъ дробей будетъ произведеніе всѣхъ знаменателей или ихъ наинизшее кратное, т.-е- общій знаменатель будетъ имѣть простѣйшую форму. -
Поступая сказаннымъ образомъ надъ дробями
3 т п
2а 36® И «-Н/
знаменатели которыхъ—количества взаимно-простыя, найдемъ:
. я . З.ЗЬ»(а + 0	9Ь»(«+6).
вмѣсто иервой дроби №^:б~у или -6аМ(я+ьг
х	ш. 2«(а 4“ Ь)	2ат(а + 6).
вмѣсто второй дроби ^2_2й(д-|-5)’ или вой®(« + ьу
,	я ,	п.2а.№	ЧаИ'-п
вмѣсто третьей дроби 2я-^о Ь), или
1- Когда знаменатели данныхъ дробей имѣютъ общихъ множителей, то наи-ѵнмве кратное знаменателей опять принимаемъ за общаго знаменателя; затѣмъ гт это наим. кр. на знаменателя, каждой дроби и полученнымъ частнымъ и пп числителя и знаменателя соотвѣтствующей дроби. Приводимъ примѣры.
к Привести къ общему знаменателю дроби:
а Ь с 4 4(1—^)’ 8(1—0!)’ 2(1 + х)' Г+^‘
Разлагая знаменателей на простые множители, получимъ:
4(1 —жа) = 2». (1—®)(1-|-а:); 8(1 — ж) = 23. (1 — х);
«гольные два знаменателя остаются въ данной формѣ. Ндм. кр. знаменателей, нлн об, знам. =
= 23. (1 -1-о;) (1—или 8(1—я4).
Раздѣливъ об, зн. на знаменателя первой дроби и умноживъ полученнымъ частнымъ 2(1-{-&*) оба члена первой дроби, получимъ:
2а(і + г3) 8(1 —г4)
Раздѣливъ об. зн. иа знаменателя второй дроби и помноживъ полученнымъ частнымъ (1 +#)(1 оба члена ея, найдемъ
6(1 + з)(1 + %2) 8(1—а?*)	*
Поступая подобнымъ же образомъ съ двумя остальными дробями, вмѣсто иигь получимъ:
4<1 —#)(1+^2)	8^(1 — я?)
8(1— х')	11 8(1—я1)
11. Привести къ общему знаменателю дроби:
1 1 _ 1
- 41	— За?-р^2’ я* + За?-р2
Разлагая знаменателей на множители, найдемъ:
х2 — 4 = О4~2) (я— 2);
х2 — Зл? 2 = (л? — 2) (# — 1) ^Ц-3^4-2=(а? + 2)(ж+1).  I
Наин. кратное знаменателей = (а; 4“ 2) (я — 2) (я -(--І) (я— 1) или (я?1—4) — 1). Поступая какъ въ примѣрѣ I, найдемъ слѣдующія, соотвѣтственно равныя даннымъ, дроби: •
я2 — 1	(д? 4- 2) (ж + 1)	(аз —- 2) (а? — 1)
4) (Э~Г/ ^ — 4) (я2— !)’ (ж^ —4) (^ —1)' «в
ПК Привести къ общему знаменателю дроби:	*
а	Ъ	с	(1
Ьі (а - с) (а—4)	(6—с}(Ь—4) (6 - а/ (с—гі) (с—а) (с—-а) (гі—6) (гі—с)'
Здѣсь знаменатели уже дани въ формѣ произведеній простыхъ множителей. Замѣтивъ, что « — Ь, а — с, а — Л и т. д. получаются изъ Ъ — а, с—а, (і — а, . . . умноженіемъ на —1, замѣняемъ данныя дроби слѣдующими:
а _______	_____— Ь________	с ____	—<2
(«—Ь) (а—с) (а—гі)’ (6—с)	(я - &)’ (с—<0 (а—с) (д—
Общій знаменатель = (а — Ь) (а — с) (а — Л) (Ъ — с) (Ъ — й) (с — гі). Дѣля его на знаменателя каждой дроби поочередно, и умножая частнымъ оба члена соотвѣтствующей дроби, найдемъ искомыя дроби:
а(6-с)(д—ф(с—ф___________.	____ — Ыа—с)
' (а—Ь) (а—с) (а—й) (6—с) (Ь—гі) (с—4)’ («—*) (а—с) (а—Ф	(с—
_______с(а—Ь) (а—ф (Ь—4) _______>_______—6) (а—с) (Ь—с)
(а—6) (г?—с) (а—А) (Ь—с) (&—ф (о—чі)’ (а—Ъ) (а—г) (а—гі)”ф—<0 (6 - </) (с - ф ’ *
НЕ Можетъ случиться, что одинъ изъ знаменателей дѣлится на всѣхъ остальныхъ, т.-е. служитъ наин. кратнымъ всѣхъ знаменателей; онъ и будетъ общимъ знаменателемъ.
Примѣръ. Привести къ общему знаменателю дроби:
а Ъ с
4- &2’	«<—М‘
Замѣчая, что а1 — Ь* = (а2	Ь2) (а* — Ь2), находимъ, что знаменатель
третьей дроби есть наин. кр. всѣхъ знаменателей; онъ и будетъ общимъ знаменателемъ. Третью дробь, какъ уже имѣющую общаго знаменателя, оставляемъ безъ перемѣны, а первыя двѣ приводимъ къ общему знаменателю пріемомъ, указаннымъ въ пунктѣ 2. Такимъ образомъ найдемъ, что данныя дроби могутъ быть замѣнены слѣдующими:
а(„2 — Ъ(а* + 62) с 0І_ &Г’	«4— М ’ «4—
39. Сложеніе и вычитаніе дробей.—Различаемъ два случая:
1. Сложить или вычесть дроби съ равными знаменателями:
а . Ь с т т т
Положимъ, что а_________________________ Ъ______	__
т т ж
Зная, что дѣлимое — произведенію дѣлителя на частное, имѣемъ
а = тд^	с = тц3.
Придавая къ равнымъ (а и равныя количества (& и получимъ и суммы равныя; слѣд.
а 4- Ь = • вычитая изъ равныхъ (а-|-Ь и *и#і4“7П^) равныя, найдемъ и остатки равные; слѣд.
а 4~ Ь — с =	4- тд* —
кж. авва за скобки т,
«+& — с = ($ -{- — &) . т-
ніСііЛіЛ Л3і
Залѣжия д2 и Ц3 ихъ величинами, находимъ: а г Ъ__________________________с___а-\-Ь— с
т т т т
-т^вда правило: чтобы сложитъ или вычесть дроби съ равными зна лшялелями, надо сложить или вычесть числители и подъ результа-ш; «т подписать общаго знаменателя *
— Когда данныя дроби имѣютъ различныхъ знаменателей, то сперва при-адп ихъ къ общему знаменателю, а затѣмъ поступаютъ по предыдущему*
Примѣры. I. Найти сумму дробей
а2 — аЬ  а2 4~ аЬ  д* — Ъ* а^-д ‘ а — Ъ ' а *
В» приведеніи къ общему знаменателю, имѣемъ
(д2—дд) (а—5) «-|-(ав-РаЬ) (д*-|~&)	—Ь2) (#+&) (а—&)
(а+Ь)(а—Ъ)а
яі_2лзг>+^2+(лі+2д^+д^2) + (а*”2«2&2+дІ)	Зд<+М
(а2—&2)а	— да-ад2’
И. Выполнить дѣйствія:	е
X	1	|	1
(х — 1) (д: + 2) (я — 3) ~ Я2 — I ‘ (я—2)(я—3)‘
Во приведеніи къ общему знаменателю (#а — 1) (х2— 4) (# — 3), имѣемъ шоѣіовательно:
х(х + 1) (я — 2) — (я2 —4) (я — 3) + (я2 — 1) (а?-|-2) _ (я2 — 1)02 — 4) (я — 3)	~
Н — х® — 2г — (я® — Зя2 — 4я 4~ 12) + (я® + 2я2 — х — 2) __ я3 + 4я2 -|-я —14 Оа— 1) 02 — 4) 0 — 3)	—	— (де2— 1 )(^— 4) (ж—3)'
Числитель не обращается въ ноль при х= 1, —1, -р2, —2 и +3, -ь ж дѣлится ни на одного множителя знаменателя, а потому результатъ не ъцежжтъ дальнѣйшему упрощенію.
Ш. Упростить выраженіе о®_____________________।_______________।_____с3
(д — 6) (а — с) ' (& — а) (Ь — с)	(с — а) (с — &)‘
• *«іі знаменатель = (а — Ъ)(Ь — с) (с — а); дѣля его на каждаго изъ зна-по порядку, получаемъ частныя:
— (Ь —с), — (с — а), —(а —6).
По приведеніи къ общему знаменателю, получимъ
— л3ф — с) — 6а(с — а) — ^(а — 6) (а — Ъ) (Ь — ё) (с — а)
Полагая въ числителѣ послѣдовательно а = Ъ* Ъ = с и с — а, замѣчаемъ, что онъ въ каждомъ случаѣ обращается въ ноль, а потому дѣлится на (а — І) (Ь — с) (с — а). Это произведеніе открываемъ въ числителѣ разложеніемъ 'на множители:	’	__
а*с— а’і — Ьас-|-аЬ3’— с3(а —	с(а3—Ь*) —аЬ(а* — Ьа) — с3(а — Ь) =
— (а — Ь)|с(а2-|-аі-|-Ьа) — а6(а-[“ Ь) —са| =
= (а — Ь)|(а8—с*)е — а6(а — с) — 6а(а — е)} =
— (а — 6) (а — с))(а — с)с — аЬ — Ьа| —
= (а - Ь) (а - с)|аф - Ь) + (& + с)(с - Ь)| =
— (а — Ь) (а —с)(е —&)(аН“Ь + <?) = (а —*} СЬ — с) (с — а) (а-НЬ-|-с).
Итакъ, данное выраженіе равно
(д-6)ф —с)(г —а) ф + 6 + е) _ і , । (л — &) (Ь —е) (с —л)
IV, Упростить выраженіе
4І>+<І=М
1 а
Если дробь соединена (плюсомъ или минусомъ) съ цѣлымъ выраженіемъ, то, помноживъ цѣлое и раздѣливъ на знаменателя дроби, получимъ сумму или разность двухъ дробей. Такъ, данное выраженіе умноженіемъ и дѣленіемъ 46 на а превращаемъ въ
4д6  (а—Ь)?_______6)а 4 дб+аа—-2_ а2-1-2аЬ-(-6* _ (а+6)а
а ' а	а ~ а	а ~ а
100.	Умноженіе дробей,— Перемножить дроби и
Положивъ а	с
д=* и ^ = д, имѣемъ отсюда *
а = Ьр и с —
Помноживъ равныя количества а и Ър па равныя с и найдемъ и произведенія равныя; слѣд.
ас = Ьр . гй/.
Перемѣнивъ во второй части мѣста сомножителей, получимъ
ас = М . 2^,
откуда
ас
Р-* = ы'
а ,	с ,
іл, подставивъ у вмѣсто А и вмѣсто
__ ас ~Ы '
•О).
Отсюда правило: чтобы умножитъ дробь на дробь* надо числителя «ервоы фобы полжожытъ на числителя второй. знаменателя первой на знаменателя второй* и первое произведеніе раздѣлитъ на второе.
Если въ равенствѣ *(1) положимъ 1, оно обратится въ
а ч / с__ ас
Ь’/М ~Гхѵ
замѣтивъ, что у есть тоже, что с, а Ъ X 1 равно 5, имѣемъ:
Итакъ, чтобы умножить дробь на цѣлое выраженіе, надо числителя умножить на ото цѣлое* и произведеніе раздѣлитъ на знаменателя *роби.
Положимъ въ равенствѣ (1) Ъ= 1, получимъ
вс	с ас
тХ7=1X3’ или ЙХ й = г
гтіуда правило: для умноженія	выраженія на дробь, надо цѣлое
^множитъ на числителя дроби, и произведеніе раздѣлить на ея знаменателя.
п	, л* — 64 ѵ/ а — 6  	(«* — О4)(а —• 6)	_
Цримѣры. 1.	2аЬ^. & А аі аЬ (а’ — 2аЬ 4- 6») (дЗ -|- аЬ) ~
62)(а-кб) (а — 6) (а - 5) л	✓ г і іл / тл«
-----' Сокративъ дробь на (аЪ) (а — Ъ)\ получимъ
ггоюе произведеніе:
а*+& а
п- П2_г>2X(а + °) — (а^.ъ)(а—Ь)	а — Ъ'
ш. (о. _ і.) х	=_
\	/ / х д2	^2	би _|_ ^2
= (а2 —	. 2а,
Примѣчаніе.—Доказанное правило распространяется на какое угодно чнс-» іробей; такъ
г а ч / е ас ’	. е
и дѣлѣ, по доказанному:	= умноживъ эту дробь на -у
найдемъ помноживъ эту дробь на четвертую у, найдемъ окончательное произведеніе
. асед ЪсІПГ Примѣръ. Вычислить
х8 + У3 х—у \/ (х4~у)5—х5—у5
х3—	Зх2у— Згу2
Прилагая предыдущее правило, найдемъ
(х3+у3) (х—у) [(х+у? — х* — уі.
(я* — У3) (х + у) (&г*у — Зху2)
Замѣтивъ, что (х-|“У)3— х5 — у5 = (х-|-у)5— Сг54~у3) = (^+у)(5х3у4-5хѴ + 5ух,) = (х + у) . эху . (х2 + ху + уа),
представляемъ произведеніе въ видѣ
5ху(х* + У3) (х —у) (х + У) (х* + ху +у*)
Зху(х3 —уЗ) (ж + у) (х —у) л
откуда, до сокращеніи, найдемъ
Б^ + уВ)
3(х - у) *
101.	Дѣленіе дробей.—Пусть требуется раздѣлить
Положимъ у =7? и у = 7; имѣемъ отсюда
а = Ър и с = &р
Раздѣливъ равныя величины (а и Ьр)*на равныя (с и гід), получимъ равныя; слѣд.
а___Ър
~с~йд
Умноживъ обѣ части этого равенства на у, найдемъ
агі_Ър&
сЪ '
Сокративъ вторую дробь на Ь<7, найдемъ
_____р Ьс /
Подставивъ вмѣсто р и д ихъ величины, получимъ а с
Отсюда правило: чтобы раздѣлитъ дробь на дробь, надо числителя первой дроби умножитъ на знаменателя второй, а знаменателя пер~
«мі ш числителя второй, и первое произведеніе раздѣлитъ на вто/юе. Слагая въ равенствѣ (1) гі=1, найдемъ
а	с	а X1	а	а
~7“ г	~і~ — " і_'_ НЛП	’т ~	* С	ч ’
О	1	ОС	О	ОС
Отсюда слѣдуетъ, что для раздѣленія дроби на цѣлое выраженіе надо: чьсмтеля раздѣлитъ на произведеніе знаменателя на цѣлое выраженіе.
Положивъ въ равенствѣ (1) Ь —1, получихъ
а с ай
Г ; ” Гх<?
с
ЯЛН а : -д-
Слѣд., чтобы уа^ьлитъ цѣлое выраженіе на дробь* надо цѣлое умножатъ на знаменателя дроби и произведеніе раздѣлитъ на числителя.
Примѣчаніе I.—Двѣ величины А и В называются взашеко-о^атяшш, «ли ихъ произведеніе равно 1. Итакъ, когда А.В = 1, то А есть количество кратное величинѣ В, а В обратно количеству А, Изъ равенства АВ=1 нахо-ижъ
И Ь = 4-" А
откуда заключаемъ, что обратная данной величины равна частному отъ раздѣ* ленія 1 на эту величину.
Очевидно, что дроби -4 и -у взаимно-обратны, потому что
А В АВ
В X А — АВ ~
Имѣя въ виду это замѣчаніе, можемъ правило дѣленія на дроби выразить въ слѣдующей формѣ. Изъ правила умноженія дробей слѣдуетъ, что и
можно представить въ видѣ произведеній: уХ“ и °Х_; а потому равен-0 с	с
ства (1) и (2) можно написать въ видѣ:
а с а ч / д с	(I
т:т=Т"Х““ и «:-э- = «Х—; о а о с а ' ' с
отсюда видно, что для раздѣленія цѣлаго или дробнаго выраженія на дробь надо дѣлимое умножить па величину обратную дѣлителю.
Примѣчаніе	нашли, что
а с асі
— -- *
Ь * д~Ьс
Величина дроби не измѣнится, если ш сдѣлавъ это, найдемъ:
числителя и знаменателя раздѣлимъ
ад ед
а с
« с __	__
Ъс~ Т
сй д
Слѣд. при дѣленіи дроби на дробь можно поступать еще слѣдующимъ образомъ: числителя первой дроби раздѣлить на числителя второй, а знаменателя первой на знаменателя второй, п первое частное раздѣлить на второе.
Очевидно, что этотъ- пріемъ слѣдуетъ примѣнять только тогда, когда числнт. и знамен. дѣлимаго дѣлятся нацѣло на числ. и знам. дѣлителя.
т 2а(аЪ — №)	, « .съ	— 6)	26
Примѣры. I.	:а<а ъ ) — (а4-Ь)«а(а—6)(« + &)!(«4-6)»'
іт 14&# _7.5а#б0________56//
1Е х : ~5Ъу~ ~ТйшГ-1Г
„У я? — а2 (я? -|- «)2___(# — п)!(# + а) _ (# — а)2
я? —	— а)3 (ж —	+ а)2	ж-|-а
а34~~За2# + За#24~х3	(а-г#)2 ___ (а-|~#)3______ . (а4~#)2
я3—+	(я — у)(х* + #0 +	’ ^-ря^+02’
Здѣсь числитель и знаменатель первой дроби дѣлятся соотвѣтственно на числ. и знам. второй, с.і. частное =
(я +#)3 : (я + я)2	___а 4“ 37
[(# — 0) (#2 + #0 + У2)]: (я* + #// + 0'2) — х — У
102.	Приводимъ еще нѣсколько примѣровъ дѣйствій надъ дробями. I. Упростить выраженіе
а — Ь а— і;—?
а(а
Умножаемъ прежде всего числителя и знаменателя данной дроби на 1 -р °^ч * чтобы привести ихъ къ цѣлому виду; сдѣлавъ это, найдемъ:
а(1 + (іЬ) — (а — 6) 1 4~ аб + я(а — 6)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
аѢ + 6	6(1 + а2)
Т+й*1 ЙЛИ “Г+^Г’ ИЛЙ
Данное выраженіе равно, слѣдовательно, 1>.
II. Упростить выраженіе
/ 2 а» +
11 а	- - -	т
а Д а + Ъ )
а -\-Ъ
Чтобы привести оба члена дроби къ цѣлому виду, множимъ ихъ на а(а-|-Ь); при чемъ въ числителѣ первый множитель умножаемъ на а, второй на а-[-Ъ. Такимъ образомъ найдемъ
(д2 — &2)(аЭ +	— а3 Д&2)
а{а + 6) —
(«2 — &2)а6(а— 6)	/
= к-----~ = («’—ЬЧ(« — ь).
119 —
II]. Помножить
Д.г3^2 Зл2уЗ 2ду1 у* 5л3 “ 2Й26 і“ Зоба ~“/7«
2х2у	Зху2	Зу3
За*	ЬаЬ	262
гдѣ оба сомножителя расположены по нисходящимъ степенямъ х>
4аЯР'___ Зэ^у*	і	2яу*	у*
эа3 "“	2а^7	За№~&
2&У _	3^2 _	З//3
За2	5аЪ	2Ь2
л4у4	।	Іх3?/5	2х2у*
15а*	' 9а^ “ ЗаФ /
__12#4//	।	9л*у*	2х*у*	।	Зху1
25й*Ь	’	10а362	5а2/Я	’	5а&4
Г2л'У . Эя4#6	ху1 । Зу*
___ — ТбаФ ‘	~‘2/7*
8г*?/3 37я4у4 I 13#у . 71 ^у6 Яку1 . Зу8 15й*	2аа*6 “Г Э67ДО ‘ ЙТда — 5оМ Т 2/3*
IV, Провѣрю юдученный результатъ: это будетъ примѣръ дѣленія дробинъ »тмцл. рас&хюженныіъ по степенямъ главной буквы.
ІЗ^5 23а Ч		71хУ ѲОаЗЗ	Зой4	, ЗИ 4т*у2 "2б> 5а3	Зт2//3 2«2б	 2ау* ‘ Заб2	Ъ3
15о* — а*5	— 4х*у* “^ЭяЧіі —	ЗаѢ*		а^у 3«г	_?Г^ 5аЪ	Зу» да’	
12д*у» 25а46 . 12^4у4 — 25а46	; ау । ЮаѢ^ ' — Эя’У1 . + Юа’Л2.—	37я2//> гада 2.г2у«	_ 2я^ 5абі 	Злу7 баЬ1		Г		
•	&Е*уВ , 5а%ч ’ ”г &»Ѵ і 5«3?;2 '	4?да ѲѵГ2//* 4а‘2/Я	аЬ1 	уу1 аЬ1	І_3у* г 2/>» 1 Зу8 । а»	4		
		О					
Опредѣленіе членовъ частнаго:
.	8^3 л 4я%2 _ 8зауа 4л4у2_________________ 2л2у
15а^ ’ 5а3	15а5 : 5а3 За-
9	12я**у2 . 4а,4у*	___12л;1?/1 : 4я3у1  Злу2
25а1/? ‘ 5а3	25а4б : 5а3	. 5аб”
~	в#3#5 ; 4а?//3   вя^З : 4л%2   Зу3
5а3І>2 * 5л3	5а3Ь2 : 5о3	2б\
ГЛАВА X.
Возвышеніе въ степень.
Опредѣленіе.—Правила: знаковъ и показателей.—Степень произведенія и дроби.— Возвышеніе одночлена въ степень.—Квадратъ п кубъ многочлена.
103. Опредѣленіе.—Въ этой главѣ мы разсмотримъ возвышеніе въ цѣлую положительную степень.
Возвысить количество ірьлую положительную степень значитъ повторитъ еіо множителемъ столько разъ, сколько въ показателѣ степени находится единицъ.
Такъ: а^ — а.а^ а3 = а . а . а; а" = а . а . а . . . (и разъ).
Такимъ образомъ, возвышеніе въ степень есть частный случай умноженія,— случай, когда всѣ производители равны. Количество, возвышаемое въ степень, . пазываетая оежтяіела степени. Такъ, въ формулѣ а8, а есть основаніе; въ выраженіи хл основаніе есть х.
104. Правило знаковъ. Правило знаковъ при возвышеніи въ степень вытекаетъ непосредственно изъ правила знаковъ при умноженіи; но послѣднее остается одинаковымъ, будутъ ли производители даны съ ихъ окончательными знаками, или же окончательные ихъ знаки неизвѣстны, поэтому и правило знаковъ при возвышеніи въ степень въ обоихъ случаяхъ будетъ одно и то же.
1, Случай возвышенія въ четную степень. Пусть требуется количества -[-а и — а возвысить въ четную степень 2п; это значитъ — то и другое основаніе надо повторить множителемъ 2п разъ. -|-а, взятое 2п разъ множителемъ, дастъ	взявъ (—а) множителемъ 2п разъ, можемъ все произведеніе
разбить на п паръ, изъ которыхъ каждая дастъ знакъ +, а потому и искомая степень имѣетъ знакъ
(—«)(—«) . (— а)(— а) . (— а)(— а) . . . (-а)(—а),
слѣд. (— а)2" = 4- а2в. Итакъ
(4- а)2п = -|-а2", т.-е. четная степень всегда даетъ знакъ будетъ ли передъ основаніемъ знакъ иля —.
2* Случай возвышенія въ нечетную степень. Если передъ основаніемъ находится знакъ+, то изъ правила знаковъ при умноженіи прямо слѣдуетъ, что и произведеніе будетъ имѣть тотъ же знакъ, слѣд.
(_^а)й«+1=_|_а.2п+1 . . .(1)
Если передъ основаніемъ будетъ знакъ —, то возвышая — а въ нечетную степень 2«—|—1, мы получимъ произведеніе 2п-|-1 множителей, изъ которыхъ составится п паръ, дающихъ знакъ и останется одинъ множитель (— &), вслѣдствіе чего произведеніе будетъ имѣть знакъ — :
(—«)(—а) . (—а)(—а) . (—а)(—а) . . . (—«)(—а) . (—а),
італ	(—	= — а2п+1 ... (2),
2гь (1) и (2) слѣдуетъ, что мечетная степень имѣетъ такой же знакъ сягі м основаніе.
Примѣры. (—3)3 = -|-9; (-(-5)4 =	625; (4'4)3 = + 64; (—4)3 =
— М; (±^)1 = + «4; (Ч-0)® = Ч~а5; (— а)3 = — ай, и т. д.
105. Правило показателей, — Пусть требуется ам возвысить въ степень2>, гіѣ а —какое угодно количество, а т и р— числа цѣлыя и положительныя. Возвысить аш въ степень значитъ повторить это выраженіе множителемъ р разъ; слѣд.
(ат)р = ат . ат . а™ . ат . . . а”4 (р разъ).
По при умноженіи показатели складываются, слѣд. вторую часть равенства можно представить въ видѣ ата+га+т»+*  гд^ т берется слагаемымъ р разъ; яі, повторенное слагаемымъ р разъ, даетъ юр; слѣд.
(ага/ = а”*
Отсюда правило: для возвышенія степени въ новую степень нужно показателя возвышаемаго количества помножить на показателя новой степени.
Такъ:	(а4)5 — а20; (ат-1)вд+1 = ат,_І и т. д.
* 106. Возвышеніе произведенія въ степень. — Пусть требуется произведеніе аЪс возвысить въ т-ую степень; это значитъ — повторить аЬс множителемъ т разъ; слѣд.
(айс)т = «Ьс . аЬс . аЬс . . . абс (гдѣ аЬс взято т разъ): перемѣняя мѣста производителей, имѣемъ
аЪс . аЬс . . . аЬс = ааа . . . а X ЬЬЪ , . . Ь X .  с;
здѣсь каждая изъ буквъ а, Ъ и с берется множителемъ т разъ. слѣд. послѣднее выраженіе въ сокращенномъ видѣ = атЬтст. Итакъ
(аЬс)т = аТс".
Отсюда правило: чтобы возвысить въ степень произведеніе должно каждало множителя отдѣльно возвысить въ требуемую степень и результаты перемножить.
107.	Возвышеніе въ степень дроби. — Пусть требуется дробь ~ возвы-снть въ ш-ую степень: это значитъ — дробь & повторить множителемъ т разъ. По правилу умноженія дробей имѣемъ
_ ааа а ѵ_______________________а.а.а . . . а(пі разъ)_а,я
~ Ъ ' Ъ ' Ъ	І^разъ; —Ё	разъу —
Итакъ	т =^>
т.-е. для возвышенія дроби въ степень слѣдуетъ возвысить въ данную степень числителя и знаменателя отдѣльно, и степень числителя раздѣлить на степень знаменателя.
,,	/ЗѴ 3*	9	/3\з	33	27
По этому правилу найдемъ: ІуІ	4/ =	п т’ [1’
108.	Возвышеніе одночлена въ степень. — Пусть требуется одночленъ 2а3/?Л? возвысить въ пятую степень. Для этого надо каждаго изъ множителей 2, а3, Ц и <1 возвысить въ данную степень и результаты перемножить, причемъ при возвышеніи степени въ данную степень — показателей перемножить. Такимъ образомъ, послѣдовательно найдемъ:
(2а36йсѴ)5 = 2й, (а3)3. (6Й)« . (с"У. <1* = 32а156аМ'^\
Итакъ, чтобы возвысить въ степень одночленъ, должно возвысить въ данную степень ею коэффиціентъ, а показателя каждаго изъ буквенныхъ множителей умножить на показателя степени.
При возвышеніи въ степень дроби нужно такимъ образомъ поступать съ числителемъ и знаменателемъ. Такъ, напр., послѣдовательно получимъ «
4аЗЬ'2сія—2\3	(4а!ОД»ш-2)3	6
7й/‘ ) ~— 7"$*? = 343^/15“ ’
109.	Для возвышенія многочлена въ какую угодно степень служитъ особая формула, извѣстная подъ именемъ формулы Ньютона. Оиа будетъ выведена впослѣдствіи; въ этой главѣ мы ограничимся выводомъ чаще употребляемыхъ формулъ квадрата и куба многочлена.
110,	Квадратъ многочлена—Мы видѣли, что каковы бы ни были количества а н Ь по знаку, всегда имѣемъ
(а -р 6)а = а2 -р 6й 4^ 2а6,
Взявъ триномъ а 4* 6 -1- с и разсматривая на время а-рб какъ одинъ членъ, найдемъ послѣдовательно
(бі + 64-с)я = [(а + б) + с]2 = (а + і)‘і4-2(а + Ь)с + с1 =
= а2 4~ Ъ* 4^ 2а6 4“ 2ас 4“ 26с 4“ с2 = а2 Ь2 4" с2 4“	4“	4” ^/С-
Послѣдняя формула показываетъ, что квадратъ тринома состоитъ изъ алгебраической суммы: квадратовъ всѣхъ его членовъ п удвоенныхъ произведеній каждаго члена на каждый, за нимъ слѣдующій. Докажемъ общность этого закона, т.-е. что онъ справедливъ для многочлена, состоящаго изъ сколькихъ угодно членовъ; а для этого, допустивъ, что законъ вѣренъ для многочлена, состоящаго изъ п членовъ, докажемъ, что окэ останется вѣренъ и для многочлена, содержагцаю однимъ членомъ больше.
Итакъ, допускаемъ, что замѣченный для квадрата тринома законъ вѣренъ для полинома а4_^4^4'^4--------Ь*4”^ состоящаго изъ п членовъ^ и возьмемъ полиномъ а~Р^4“с4-лН------4“ Ч содержащій п4~1 членъ.
Принявъ на время сумму а 4” Ь4“*”4’®4’^ нервыхъ п членовъ за одинъ членъ, а весь многочленъ а + Ъ 4---1- і 4" 4" за Двучленъ, по формулѣ квадрата бинома напишемъ: [(^ 4~ 4“ с 4“ 4----4 г 4~ О + Ч*==
= (а4-?>4'^4-^ + ^’+; + Ча4’2(^4'Ь + сН----------|-І-рЛ)й4-АЛ
Но, по допущенію, (а-^----------І-гЦ-АР состоитъ изъ: 1) суммы
квадратовъ всѣхъ членовъ отъ а до А включительно, т.-е. изъ а2 -|- Ь* с2 -р — й2-|_,*‘“Н-а Ч-^3; я -) суммы удвоенныхъ произведеній каждаго изъ чле-новъ Ъ, с, . . . г, А на каждый, за нимъ слѣдующій, т.-е. 2а& -^2ас-|-^2ай4’^^шЧ“2аАЧ_-^сЧ““^^Ч“***Ч_-1^ Всѣ эти члены написаны во второй части равенства (А) влѣво отъ вертикальной черты. Прибавивъ сюда 2(а-^&4"***4“	т.-е. алгебраическую сумму удвоенныхъ произведеній пер-
выхъ п членовъ на добавленный членъ А, и квадратъ ?ѵ3 этого новаго члена, получимъ:
(А) (<х—|—Ъ—с—б? -| -
ЛѴ| •— ІЛг	Ы Г *-> ] Ч-Ѵ | ’ ’ * I «' I г* 1 I	„ ч '-*/
-|~2а??-|~ 2ас—2а/?—*»*—~ 2аА|Ц~2аА. ..^)
-|-2іЛ Ч-2/А	7.)
^Ч- «аа	X)
Отсюда видно, что квадратъ новаго многочлена, содержащаго н-]-1 членъ, состоитъ: 1) изъ суммы квадратовъ всѣхъ его членовъ отъ перваго до послѣдняго включительно (строка а): 2) изъ алгебраической суммы удвоенныхъ произведеній — перваго члена па каждый за нимъ слѣдующій (строка ^). второго члена на каждый, слѣдуэл^іій лз нимъ (;р........третьяго члена отъ конца на
оба. стоящіе за имъ т>. и п^дп-хлѣдняго на послѣдній (а)- Однимъ словомъ, №> вто{ь>й часті умі>2<7ьл іЛі находятся алгебраическая сумма квадратовъ всѣхъ я — 1 иевокъ новаго многочлена п удвоенныхъ произведеній каждаго его члена нл каждый за нимъ слѣдующій.
Такихъ образомъ, допустивъ, что законъ вѣренъ для многочлена, содержащаго я членовъ, мы доказали, что онъ вѣренъ п для полинома, имѣющаго однимъ членомъ больше. Но вначалѣ мы видѣли, что законъ вѣренъ для трехчлена, слѣд., по доказанному, онъ вѣренъ и для четырехчлена; а будучи вѣренъ для четырехчлепа, онъ вѣренъ, по доказанному, и для пятичлена и т. д. — однимъ словомъ, для всякаго многочлена. Итакъ: явафат многочлена }>авенъ алгебраической суммѣ квад/штовъ всѣхъ его членовъ и удвоенныхъ произведеній каждаго члена на каждый за нимъ слѣдующій.
Новый методъ доказательства, съ которымъ мы здѣсь впервые встрѣтились, называется сиособола заключенія отъ п ка п -(-1; у англійскихъ математиковъ онъ извѣстенъ подъ именемъ метода математической или дамонсюумс-тивной индукціи., Изъ предыдущаго видно, что методъ этотъ состоитъ въ слѣдующемъ: сначала справедливость доказываемаго закона подтверждается на частномъ примѣрѣ, какъ напр. у насъ на трехчленѣ; затѣмъ,—и это существенная часть доказательства по этому способу, — доказывается, что если теорема вѣрна для какого-лпбо случая (папр. для п—члена), то она вѣрна и для ближайшаго случая (въ нашей теоремѣ—для нЦ-1—члена); отсюда слѣдуетъ, что будучи вѣрна въ одномъ случаѣ, она вѣрна въ ближайшемъ кіі нему, затѣмъ въ случаѣ —ближайшемъ къ послѣднему и т. д.; слѣдовательно, теорема вѣрна и для всѣхъ случаевъ, слѣдующихъ за тѣмъ, съ котораго мы начали.
Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ швейцарскому математику
111.	Сгруппировавъ члены квадрата полинома иначе, можемъ дать ему слѣдующій видъ:
(аЦ-1* + с + й-|-Н + Л)* = а2 + 2аЬ-р^ + 2(а + Ь)е + са+2(а +
4“ ь 4- <0^ Ч- 4~ -(й “Р & +сЧ-“Ь Ч-Ч ^2*
Откуда видно, что квадратъ многочлена равенъ: квадрату 1-го члена, 4“ удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-й, 4“ задрать 2-го, 4“ удвоенное произведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ на 3-й, 4“КІіаДРатъ 3-го, Ч~ удвоенное произведеніе суммы первыхъ трехъ членовъ на 4-й, 4~ квадратъ четвертаго и т. д.
Въ этой формѣ квадратъ многочлена примѣняется при извлеченіи квадратнаго корня изъ многочлена.
112.	Примѣръ. Найти (4а*я3—7 аЗх2— 6а*г4’Д3)2.
Примѣняя первую формулу» найдемъ
16аЪг*4- 49а*^ + 36а*г»4- а10 — 56а3яга — 48а "хе1 4~ 8а’х3 4~ 84а\г® — 14а8#2
— 12а^;
сдѣлавъ приведеніе и расположивъ члены по убывающимъ степенямъ буквы получимъ
ІбаѴт*— 56«’Ъ’Г) ~4	4“ 92а7#3Ч“ 22а8ж*— 12аЗ.г4«10.
Примѣчаніе. Если сумму квадратовъ членовъ полинома изобразить сокращенно знакомъ -а2, а въ суммѣ удвоенныхъ произведеній вынести за скобки 2, выраженіе же въ скобкахъ, равное алгебраической суммѣ произведеній каждаго члена на каждый, за нимъ слѣдующій, изобразить въ формѣ ЕаЬ, то формулу квадрата многочлена можно представить въ сокращенной формѣ такъ:
(а 4^ 4” с Ч-----р і 4” Л)2 = 4“
113, Кубъ многочлена. — Въ § 36, IV мы нашли, что (а-4&)3 = я8 + ’ 4- За2&4'3аѣ24“&3- На основаніи этой формулы, взявъ триномъ «4“^ + ° и принявъ на время а -]-Ъ за одинъ членъ, имѣемъ:
(а-4г? + с)а = [(а + г?)4-с]3 = (а4»Ь)3 + 3(а4-Ь)2с4-3(а + Ь)с2 + е3 = а3 4- ЗаЧ 4~ ЗаЪ* + Ь3 + (За* 4~ 6а& + зг,*)с + Зас2 4- ЗЬс* + с3 = а3 4~ Ьа 4” с3 Ч~ За2Ь 4- За2с 4-	4~ ЗЪ2с 4” Зс2а 4~ Зс2Ь -4 6аЬс.
Такимъ же образомъ, взявъ четырех членъ и возвысивъ его въ кубъ, кашли бы:
(а 4“ & 4“ е 4“ ^)3 = а3 + &3 4“ сЭ "Ч- с^3
				- За2Ь -	-За2с -	НЗа’й
				-З^а-	-ЗЬ2с -	-Зі»»<7
-				- Зс2а -	-Зс2Ь -	-Зс»й
	к	7		- З^а-	- Згі2Ь -	гЗй2с
	№ *_ •			- баЬс -	- 6аМ -	- баей
				- 6 Ьсг7		
Изъ этихъ частныхъ случаевъ видно, что куб> взятыхъ въ нихъ полиномовъ -стоитъ изъ алгебраической суммы/ кубовъ всѣхъ членовъ, утроенныхъ произволеній квадрата каждаго члена на каждый , изъ остальныхъ, и ушестеренныхъ і^изведеній этихіі членовъ, взятыхъ но три.
Докажемъ теперь, что если этотъ законъ вѣренъ для полинома объ п чле-виъ а4-^4_<?_Р^Н------р^ + ^-рЛ, то онъ будетъ вѣренъ и для ноли-
>«13 объ п 4“ 1 членахъ а Ц- Ъ 4~ с 4~ с? р -р * -р А + й. Принявъ на фш а~р&-рсН--------рі4~^ за одинъ членъ, по формулѣ куба бинома по-
луляіъ
** — Ь~Р с.-р ---р^~р^ ~Р ^~р й)3 = (а-р & + с-р^^Р”'4мЧ_й)аН“
— 3(а-Р& + е-{---рЛ)аі 4- 3(а + & + с + ^4-рг‘-рЛ)^ +
Іьпо допущенію, (а — Ъ~с-рс?-------------!-і-рЛ)> состоитъ изъ: 1) сумма ку-
^гъ всѣхъ -ъ отъ а до А включительно. 2) суммы утроенныхъ произве-
квалра?* і-^діго члена а, Ь, , .., А на каждый изъ остальныхъ, н
гттт
3» уѵестерешгь крокзведеній этихъ членовъ, взятыхъ по три. Всѣ эти члены
пшпп ккасе влѣво отъ вертикальной черты; вправо же отъ нея прибавлены шжрытыл ^жжлешя:

«“И* й !Ѵ’
, «іркмп получимъ:
рі —р ь 4“ с 4~ 4-  *  4“ $ 4- ® ~Р ”Р ’
м 4~ с®4“” -4^3+7і3 і
— ’.лЧ — Заас 4~ *
— Зс*а 4- Зс2А
• * - 4~ За3А - . .~рзь2л  * - + ЗСЧ
— к*
— За*к
— З&к
4- Зс*к
“) ?) V)
4- ЗЬ’а 4- ЗКѢ 4-.........4-	Зк*і
4~ 6аЬс 4- ЪаЪ(14“.......4~
— 3/ЛЬ	х)
— ЗА*а-рзіЬ2&4-3^с-|-----РЗА2Л X)
4* 6аЬА4-6асА-р   • 4” и)
Отсюда видно, что кубъ новаго многочлена объ п 4~ 1 членахъ содержитъ: 1) сумму кубовъ всѣхъ членовъ отъ а до і включительно (строка а); 2) алгебраическую сумму утроенныхъ произведеній квадрата каждаго члена отъ а до к на каждый изъ остальныхъ (строки у,. .., X); 3) алгебр. сумму ушестеренныхъ произведеній всѣхъ членовъ а, Ь, с, ... , А, А, взятыхъ по три. Однимъ словомъ, законъ, предположенный вѣрнымъ для многочлена объ п членахъ, оказывается вѣрнымъ и для многочлена, имѣющаго однимъ членомъ больше.
Но прямое возвышеніе въ кубъ показало, что онъ вѣренъ для четырехчлена, слѣд. онъ вѣренъ и для пятичлена; а потому и для шестнчлена и т, д. Общность закона такимъ образомъ доказана.
Сокращенно законъ этотъ выражается формулою:
(а + Ь4-с4-^4--рг4-Л + ^3 = 2а34-3^4-6Ѵа&с,
114.	Сгруппировавъ иначе члены второй части, можно написать: (а4^^4_с_р.._рг’_рА-рЛ:)а = а3-рЗа^4-За64 5 + ^4-3(а-рАрс4-4- з(а 4- ъу 4- с3 4- з(а 4- ъ -р ом 4-------р А3.
Въ этой формѣ теорема примѣняется при извлеченіи кубичныхъ корней изъ многочленовъ.
115.	Примѣръ. Найти (5#8— За#2-|-2а2#— а8)8.
Примѣняя правило § 113, найдемъ:
125#9 — 27а3#6 Ц- 8а6#3 —а9
— 225а#5	150а2#7	—	75а8#8
— 135а2#7— 54а4#3 — 27а8#4
— 60а4#8 — 36а8#4 — 12а7#2
«У 15а6#3 — 9а7#2 -|- 6а#8 — 180а3#6 + 90а4#8 — 60а8#4	36а6#3.
Сдѣлавъ приведеніе и расположивъ члены по убывающимъ степенямъ буквы #, получимъ:
125#9— 225а#8™]- 285а2#7 — 282а8#6-|- 204а1#8— 123а5#1 -|~ 59а6#3 — — 2 Іа7#2 -ф- 6а8# — а9.
ГЛАВА XI.
Извлеченіе корня.
Опредѣленіе—Правило знаковъ.—Правило показателей.—Корень изъ произведенія и дроби.—Извлеченіе корня изъ одночленовъ.
116.	Опредѣленіе. — Мед видѣли, что корне.о п № порядка изъ Л называется такое количество г, которое, будучи возвышено въ сте-п.—
пенЪ) даетъ Л. — Выражая это количество знакомъ ‘У А, ‘имѣемъ; по опредѣленію, два равенства:
... уА = Г и г" = А, имѣющія одинаковое значеніе.
Символъ |/ называется .расколола порядка п; п—показателемъ корня» если показатель п равенъ 2, его не пишутъ.
Дѣйствіе нахожденія корня называется извлеченіемъ корня.
Въ этой главѣ мы займемся выводомъ основныхъ правилъ извлеченія корня шьлаю положительнаго порядка.
117.	Правило знаковъ. — Слѣдуетъ разсмотрѣть 4 случая, смотря по тому, будетъ ли подкоренное количество положительное или отрицательное, а показатель корпя — четный или нечетный.
1. Коренъ четнаго порядка изъ положительнаго количества имѣетъ два значенія, одинаковыя по абсолютной величинѣ, но противоположныя по знаку.
Такъ квадратный корень изъ -|-9 имѣетъ два значенія:	и —3. То
и другое удовлетворяетъ данному выше опредѣленію корня, потому что какъ (4~ З)2 =	9, такъ и (—3)2 = + 9. Такимъ образомъ можно написать, что
)/-|-9 = ±3 (читается: квадр. корень изъ Ц- 9 равенъ плюсъ или минусъ 3).
Біфеяь четвертаго порядка изъ -р 16 также имѣетъ два значенія: + 2 и — 1 ь^гоиу что какъ (-]- 2)4 = 4“ 16, такъ и (— 2)4 = -^ 16. Итакъ + 1® = — Вообще
/+^-=4-0.
что и (4“а)2н = -г#2"« и (—а)-п = ^а2п.
/Гореяь нічдопяшо до/мижа кл положительною количества есть
якъ ип>	— 125. Очевидно, что первый корень не можетъ равняться
— Іа второ! — 5. эти числа не удовлетворяютъ опредѣленію корня; въ ов«ъ іЫ —2і — 5. будучи возвышены въ кубъ, даютъ —8 и — 125.
чт’ »—іі*—1 = 4'й2п+1; между тѣмъ какъ (— а)2^1 =— а2п-К
Хде» мечетнаго порядка изъ отрицательнаго количества есть мел^чяал три м отельная.
’ьп і —8 =— 2, потому что (—2)® = — 8;	—64 =— 4, ибо
—	=— 64. Вообще
і • : — а)2*1 = — дгм+1; между тѣмъ какъ (4“ а)2п+] = 4~
4. Коренъ четнаго порядка изъ отриггательнаго количества есть величина мнимая.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть требуется извлечь )/—25. Искомый корень, если бы онъ былъ возможенъ, по абсолютной величинѣ долженъ быть равенъ 5; но нп -|-5, ни —5, будучи возвышены въ квадратъ, не даютъ —25, такъ что у/— 25 не можетъ быть выраженъ никакимъ положительнымъ я никакимъ отрицательнымъ числомъ. Такія величины называютъ лютшылш. Въ противоположность имъ, обыкновенныя положительныя и отрицательныя количества, съ которыми мы до сихъ моръ имѣли дѣло, называютъ дѣйствительными.
Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что правило знаковъ при извлеченіи корня можетъ быть выражено такъ:
Коренъ нечетнаго порядка имѣетъ знакъ подкоренною количества; корень четнаго порядка изъ положительнаго количества имѣетъ двойной знакъ (+); корень четнаго порядка изъ отрицательнаго колггчества есть величина мнимая.
118.	Относительно двойного знака необходимо замѣтить, что его слѣдуетъ ставить только тогда, когда происхожденіе подкоренного количества остается неизвѣстнымъ. Напр., а2—2а&4“&а можетъ явиться какъ результатъ возвышенія въ квадратъ или разности а — 5, иди 5 — а, такъ что |/аа — 2аЬ 4~ = 4- (а— &)* Но если требуется извлечь квадратный корень изъ (а — 6)2, то не должно полагать ]/(а — Ь)2 = 4т (а — Ь), но приписывать ему только одно значеніе а — Ъ, Точно такъ же: |/(4~а)а = только 4" а |/(—а)* только —а.
Относительно правила знаковъ при извлеченіи корня слѣдуетъ еще замѣтить, что данное нами въ предыдущемъ § правило—далеко неполное. Въ главѣ XXIX будетъ доказано, что корень изъ какого угодно числа имѣетъ столько различитъ алгебраическихъ значеній, сколько единицъ въ показателѣ корня; такъ, кубичный корень имѣетъ три различныхъ значенія, корень четвертаго порядка’— четыре и т. д.
Примѣчаніе. Въ предстоящемъ намъ изложеніи преобразованій корней мы будемъ разсматривать только такъ называемыя ариѳметическія величины корней, т. е. какъ подкоренныя количества, такъ и салше корни будемъ брать положительные.
119.	Правило показателей. —Пусть требуется извлечь корень порядка изъ ар, гдѣ а — нѣкоторое положительное количества, а м и сверхъ того, числа цѣлыя. Искомый корень долженъ представлять нѣкоторую степень буквы а; назвавъ неизвѣстнаго показателя этой степени черезъ х, имѣемъ равенство
По опредѣленію корня, послѣдній, будучи возвышенъ въ степень, изобра жаемую показателемъ корня, даетъ подкоренное количество, а потому
(а1)'1 =
или по правилу возвышенія степени въ степень:
ахл = ар.
Чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы показатели обѣихъ частей были равны, т.-е. р, откуда
_ ₽_ Итакъ	у/аР = ап.
Отсюда правило: Лія извлеченія корня изъ степени должно показателя степепи раздѣлитъ на показателя корня.
Такъ напр. ]/а* = а3;	= У (а -|- Ь)й = (а -р Ь)1; и т. Д-
120.	Корень изъ произведенія. — Пусть требуется извлечь корень порядка изъ произведенія АВС. Докажемъ, что для этого должно извлечь корень даннаго порядка изъ каждаго производителя отдѣльно и результаты перемножитъ, т.-е. что
/ІВС = X "/в X /с. • •(!)
Дѣйствительно, если окажется, что вторая часть равенства, будучи возвышена въ пжу*° степень, даетъ АВС, то, согласно съ опредѣленіемъ корня, этимъ и будетъ доказано, что она въ самомъ дѣлѣ представляетъ корень порядка изъ АВС. Итакъ, возвышаемъ }/а X В X въ я’*® степень; замѣтивъ, что для этого каждаго производителя отдѣльно нужно возвысить въ степень н результаты перемножить, найдемъ
(І/ Л X /в X І/С)"=(я/ а)" - (в)" • (/ СГ.
Но, по опредѣленію корня, (^а) = А, (^^В) =В и (]/с)** = С, слѣд. (]Хахі/вХ?с)"=авс,
тігь справедливость теоремы (1) и доказана.
Очевидно, что способъ доказательства не зависитъ отъ числа множителей, а зотому теорема доказана для какого угодно числа множителей подкореннаго сраженія.
121-	Корень изъ дроби. Пусть требуется извлечь корень порядка изъ дмбя -р» Докажемъ, что для извлеченія корня изъ дроби должно извлечь « отдѣльно шв числителя и знаменателя, и первый раздѣлитъ на іяырой, т.-е. что
Если окажется, что степень второй части равенства равна , — этимъ «зраведливость равенства будетъ доказана. По правилу возвышенія въ степень т?оби имѣемъ
вк. ш гтлт ьдеь (" -Т)" = А. (|/В)" = В, слѣд. въ самомъ дѣлѣ
А
В’
к испытуемое равенство доказано.
Теоремы о корнѣ изъ произведенія и дроби доказаны не прямымъ путемъ— способомъ повѣрки. Впрочемъ, что касается второй теоремы, то она можетъ быть доказана и прямымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть
возвысивъ обѣ части въ и-®" степень, имѣемъ
А В“ Х'
откуда
А = В . Хп;
извлекая изъ. обѣихъ частей корень и40 порядка и примѣняя ко второй части теорему § 12(1, найдемъ
/а = ^В./Рі, или ^А = 7в.®.
Послѣднее равенство показываетъ, что х есть частное отъ раздѣленія на */в, сл.
Подставляя вмѣсто х въ равенство (1) его величину, находимъ
122.	Извлеченіе корня изъ одночлена.—Цѣлый одночленъ есть произведеніе, а потому для извлеченія изъ него корня нужно извлечь корень изъ каждаго производителя и результаты перемножить. Такъ
ь* & - У)«=|Г«ИХ
Отсюда правило:	извлечь корень изъ одночлена, должно извлечь
его изъ коэффиціента, а показателей всѣхъ буквенныхъ множителей раздѣлитъ на показателя корня.
При извлеченіи корня изъ дроби слѣдуетъ, примѣняя это правило, извлечь требуемый корень отдѣльно изъ числителя к знаменателя и первый раздѣлить на второй. Такъ
5/32я»Ь» _ /З2аі"бм _ 2д»і>»
. у	— /(еа_й4)І
ГЛАВА XII.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ.
Опредѣленія; предварительныя теоремы.—Извлеченіе квадратнаго корня: изъ цѣлаго
числа и изъ дроби съ точностью до 1 и до —.— Сокращенный способъ.— Извлечс-п
ніе квадратнаго корня изъ многочленовъ; приложенія.
123.	Когда число есть квадратъ другого числа, то первое называется точнымъ квадратомъ^ а второе точнымъ- квадратнымъ корнемъ изъ перваго.
Такъ, 49 есть точный квадратъ 7-ми; число же 7 — точный квадратный корень изъ 49.
124.	Теорема. Когда цѣлое число не есть точный квадратъ, то квадратный коренъ изъ него нельзя выразитъ точнымъ образомъ не только въ цѣлыхъ единицахъ, но и ни въ какихъ доляхъ единицы.
Пусть даниый неточный квадратъ будетъ И. Такъ какъ цѣлое число М не есть квадратъ другого цѣлаго числа, то очевидно, что квадратный корень изъ К не можетъ быть равенъ ни какому цѣлому числу. Посмотримъ, нельзя ли вы-
точно нѣкоторою дробью у, которую всегда можно представлять г -із^іенною къ виду несократимой дроби. Допустивъ возможность равенства
г* завысивъ обѣ его части въ квадратъ, нашли бы
и , а»	а.а	х
Но дробь = сл. числитель ея содержитъ только тѣхъ множителей, добрые находятся въ а, а знаменатель —только тѣхъ, которые заключаются въ Ь; »*- а и Ъ суть числа первыя между собою, слѣдовательно а2 и Ь® не имѣютъ д2
Мехъ множителей, а потому дробь несократима, Такимъ образомъ, допуще-яе. выражаемое равенствомъ (1), привело къ ложному заключенію, что цѣлое
А равно несократимой дроби -р, а потому это допущеніе невозможно.
Итакъ, квадратный корень изъ числа, не представляющаго точнаго квадрата, эиьзя точно выразить пи повтореніемъ цѣлой единицы, ни повтореніемъ какой-
ея доли. Такіе корни называютъ иесоизжьршшлш са единицею, въ •тхічіе отъ цѣлыхъ чиселъ и конечныхъ дробей, которыя можно точно выра-жать въ частяхъ единицы, и которыя называются поэтому	сь
-лвммиею.
Такъ, квадратные корни изъ чиселъ 2, 7, 10 и т. п. суть корни несоизмѣримые. Далѣе мы увидимъ, что такіе корни можно вычислять съ какою угодно "частью. Когда приближенный корень разнится отъ истинной величины мень-к чѣмъ на 1, то онъ называется точкы.м?, до единицы.
125.	Опредѣленія. Квадратный коренъ изъ цѣлаго числа, точный до «йввагмы, есть яорень шь наибольшаго квадрата, заключающагося въ аваша числѣ, или этотъ коренъ, увеличенный на 1.
Пусть К есть неточный квадратъ, и А’— наибольшій квадратъ, заключаю-жйігж въ этомъ числѣ; въ такомъ случаѣ, очевидно, X будетъ содержаться «яду двумя послѣдовательными квадратами: А8 и (А-рІ)2, т. е.
(А + 1)*>К>А\
•чиж. переходя къ корнямъ, находимъ:
А4-1 >і/х >А.
разность между А -р 1 и А равна единицѣ; а потому разности между В $ ж А. съ одной стороны, и между А^-1 и |/Й^съ другой, меньше 1; а^лкт^дьно, какъ А, такъ и АЦ-1 выражаютъ )/Х съ точностью до 1. Но а х&адратный корень изъ А®, т.-е. изъ наибольшаго квадрата, содержа-Жъ? -л тг X. а А+1 есть этотъ корень, увеличенный на 1: этимъ данное оправдывается.
о ък.ывается квадратнымъ корнемъ изъ X — точчм.мг до 1 по недостат-г» . — 1 — по избытку.
Такъ, замѣчая, что наибольшій квадратъ, содержащійся въ 109, есть 100, заключаемъ, что квадратный корень изъ 109, точный до 1 по недостатку, есть 10, а по избытку—11.
126.	Остаткомъ квадратнаго корня называютъ разность между даннымъ числомъ и квадратомъ его корня, точнаго до 1 по недостатку. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ остатокъ корня будетъ
109 — 10» или 9.
Вообще, если данное число есть X и корень изъ него, точный до 1 по недостатку, равенъ А, а остатокъ В, то, по опредѣленію остатка, В = Х— А2, откуда
Х = А* + В.
Въ частномъ случаѣ, когда число есть точный квадратъ, остатокъ корня равенъ нулю.
Теорема. Остатокъ корня не больше удвоеннаго квадратнаго корня изъ даннаго числа, точнаго до 1 по недостатку.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А есть квадратный корень изъ И, точный до 1 по недостатку. Въ такомъ случаѣ X содержится между А2 и (А 4“1)2, а потому разность между К и А2 меньше разности (А +1)2 — А2 или 2А + 1; слѣд.
X —А2<2А4~1
или	X— А2 <2 А,

ибо X — А2 — число цѣлое. Но X — А2 есть ничто иное какъ В; слѣд.
К^2А.
Слѣдствіе. — Если между цѣлыми числами X, А и В илсіьюпій ллъсяго соотношенія:
К = А2 4“ и К <2А,
то это значитъ} что А есть квадратный коренъ изъ X, точный до 1 «о недостатку, и чиго’В есть остатокъ этою корня.
Въ самомъ дѣлѣ, равенство доказываетъ, что А2 содержится въ X, а неравенство доказываетъ, что X не содержитъ въ себѣ (А-{-1)3т ибо Н не составляетъ 2 А-1- 1.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ цѣлаго числа съ точностью -до единицы. .
127.	Теорію этого дѣйствія мы подраздѣляемъ на три случая.
Первый случай. Данное число меньше 100.
Въ этомъ случаѣ квадратный корень находятъ при помощи таблицы квадратовъ первыхъ девяти чиселъ.
Числа:	1234	5	6	7	8	9
Квадраты:	1> 4 9 16	25	36	49	64	81.
Пусть, напр., требуется найти квадратный корень изъ 58 съ точностью до 1.
I ' таблицы квадратовъ видимъ, что 58 содержится между 49 и 64, сл. і ' • заключается между 7 и 8, поэтому искомый корень, точный до 1 по не-і равенъ 7, а остатокъ = 58 — 49 или 9.
128.	Второй случай. Данное число содержится между 100 и 10000.
Пусть данное число будетъ 7865; оно содержится между 100 и 10000, или в*жлу ІО3 и 100я, а потому квадратный корень изъ 7865 заключается между - і 100. Но между этими предѣлами находятся двузначныя числа, а потому чый корень, точный до 1, состоитъ изъ десятковъ и единицъ: пусть число >- ггковъ его будетъ й, а простыхъ единицъ и; искомый корень выразится *:<улою 10Л-(-и, и если остатокъ корня назовемъ буквою В, то. замѣчая, кі «снованіи § 126, что данное число равно квадрату своего корня, точнаго : 1 по недостатку, Ц-остатокъ, получимъ:
7865 = (1О^+и)2 + В=ІОО^ + 2.10й.н + ^4-Е.,Д1)
Чтобы найти цифру (й) десятковъ корня, замѣчаемъ, что слагаемое 100й'\ слкъ цѣлое число, оканчивающееся двумя нулями, есть цѣлое число сотенъ, я ’-тому должно содержаться въ 7800 суммы, а слѣд. (і* содержится въ 78. Докажемъ, что квадратный корень изъ наибольшаго квадрата, заключающагося гъ 78, и дастъ намъ й. Въ самомъ дѣлѣ, изъ таблицы квадратовъ видимъ, что 78 заключается между 64 и 81, или между 8а и 92:
8*<78<92.
Помножая эти числа на 100, мы не измѣнимъ неравенствъ, сл.
802 < 7800 < 902
Если въ 7800 прибавимъ 65, то этимъ не измѣнимъ смысла неравенствъ. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ 802 меньше 7800, то оно и подавно будетъ меньше 7865. Но 7865 будетъ также меньше 902. Дѣйствительно, 7800 и 9О3 (или 8100) суть два цѣлыя числа сотенъ; и какъ второе больше перваго, то оно превосходитъ первое, по крайней мѣрѣ, на одну сотню. Слѣд., прибавляя къ первому 65 — число меньше 100, получимъ результатъ, во всякомъ случаѣ, меньшій 90а. Итакъ
802 < 7865 < 902,
а отсюда, переходя къ корнямъ, получимъ:
80 < /7865 < 90.

Эти неравенства показываютъ, что искомый корень больше 8 десятковъ, но меньше 9 десятковъ, т.-е. что онъ содержитъ кгшш десятковъ 8 и, можетъ быть, нѣсколько простыхъ единицъ, число которыхъ никакъ не больше 9 (ибо величина корня меньше 9 десятковъ). Такимъ образомъ й = 8, т.-е. цифра десятковъ корня равна квадратному корню изъ наибольшаго квад-рата, содержащагося въ чмслть	Лзкшпо числа.
Подставляя въ равенство (1) 8 вмѣсто с/, найдемъ:
7865 = 6400 + 2.80ы + и* -(- И,
.а вычтя изъ обѣихъ частей по 6400:
1465 = 2.80и + 4-В.. .(2)
Постараемся теперь опредѣлить цифру и единицъ корня* Для этого замѣтимъ, что слагаемое 2.80.м суммы 1465, т.-е* удвоенное произведеніе 8 десятковъ на простыя единицы « корня, есть цѣлое число, оканчивающееся нулемъ и потому представляющее цѣлое число десятковъ. Число 2.80« заключается, поэтому, необходимо, въ 146 десяткахъ суммы. Но въ составъ этихъ 146 десятковъ могутъ входить также десятки отъ слагаемаго (квадрата единицъ корня) и отъ возможнаго остатка К. Въ виду этого мы не можемъ утверждать, что членъ 2.80м равняется 1460: онъ можетъ быть и меньше числа 1460. Итакъ:
2 . 80« < 1460.
Сокративъ на 10 и раздѣливъ обѣ части на 2 V 8. получимъ
164 м<2.8'
Цифра единицъ к есть число цѣлое, а потому изъ послѣдняго неравенства заключаемъ, что, раздѣливъ 146 на 2.8 и взявъ цѣлую часть частнаго, мы найдемъ число равное цифрѣ единицъ корня, либо ее превышающее,—однимъ словомъ, найдемъ высшій предѣлъ цифры единицъ корня. Замѣтивъ, что число 1465 называется первымъ остаткомъ, выводимъ изъ сказаннаго слѣдующее правило для нахожденія цифры единицъ корня: отдѣливъ въ первомъ остаткѣ правую цифру запятой и раздѣливъ находящееся влѣво отъ запятой число на удвоенную цифру десятковъ корня, вь цѣлой части частнаго будемъ имѣть высшій предѣлъ цифры единицъ корня.
Въ данномъ случаѣ цѣлая часть частнаго отъ раздѣленія 146 на 16 есть 9; заключаемъ, что цифра единицъ корня будетъ или 9, или число меньшее 9. Чтобы испытать, годится ли 9, мы должны корень 89 возвысить въ квадратъ и вычесть изъ даннаго числа: если вычитаніе будетъ возможно, то цифра 9 будетъ -требуемая; въ противномъ случаѣ, т, е* если окажется, что 392 больше 7865, надо уменьшить цифру 9 на единицу и испытать цифру 8, п т. д. до тѣхъ поръ, пока вычитаніе будетъ возможно. Но
89* = (804-9)»=80* 4~2.80.94-9»;
мы уже вычли изъ даннаго числа 80* и въ остаткѣ нашли 1465; остается изъ этого остатка вычесть 2 . 80.9 + 9®. Но, вынеся въ этой суммѣ за скобки 9, получимъ
(2.80+ 9) . 9, или 169X9*
откуда замѣчаемъ, что число, подлежащее вычитанію изъ перваго остатка, сокращенно составляется такъ:' удвоивъ цифру десятковъ корня (что даетъ 16), приписываютъ справа испытуемую цифру единицъ и составленное такимъ образомъ число множатъ па эту же цифру; выполнивъ вычисленіе, найдемъ
169X9 = 1521,
результатъ, превышающій первый остатокъ, откуда заключаемъ, что цифра 9 велика*
Взявъ 8 вмѣсто 9, составляемъ такимъ же образомъ
(2.80 + 8) X 8, т.-е, 168.8= 1344.
Полученное число меньше перваго остатка, слѣд. 8 и есть истинная цифра единицъ корня, ибо она ни слишкомъ велика, ни слишкомъ мала. Итакъ, искомый корень = 88, причемъ остатокъ
Н = 1465 — 1344 = 121.
Вычисленіе располагаютъ такимъ образомъ:
1/78,65 = 88 64
168 146.5
Х8 134 4
12 1
Для повѣрки дѣйствія, руководясь § 126, слѣд., сравниваемъ остатокъ съ удвоеннымъ корвеп: такъ какъ въ данномъ случаѣ 121 <2X88, то заклюемъ. чт’- 98 есть дѣйствительно квадратный корень изъ 7865, точный до 1 2	59 е-ть корень, точный до 1 по избытку.
129.	Ип туелнітжаго выводимъ слѣдующее правило вычисленія дву.шач-^/--ділгь дли»* чвсдѵ на двѣ грана отъ правой руки къ лѣвой, по гфры въ каждой пани (въ лѣвой грани можетъ быть и одна цифра), и і:.л.ггів>^еъ квадратный корень изъ наибольшаго квадрата. содержащагося въ вервой грани (слѣва): полученная цифра будетъ цифрой десятковъ корня. Квадратъ цифры десятковъ вычитаемъ изъ первой грани и къ остатку сносимъ вторую грань; въ полученномъ остаткѣ отдѣляемъ послѣднюю цифру справа запятой, а оставшееся влѣво отъ запятой число дѣлимъ на удвоенную цифру десятковъ корня: частное дастъ высшій предѣлъ цифры единицъ корня. Для повѣрки къ удвоенной цифрѣ десятковъ корня приписываемъ справа цифру единицъ и образовавшееся число умножаемъ на испытуемую цифру единицъ. Если произведеніе не превышаетъ остатка, то испытуемая цифра единицъ есть истинная. Въ противномъ случаѣ ее уменьшаютъ на 1, п т. д., поступая такимъ образомъ до тѣхъ поръ, пока составленное вышеуказаннымъ способомъ произведеніе не будетъ числомъ, не превышающимъ перваго остатка. Если во второмъ остаткѣ получится ноль,—это будетъ означать, что корень извлекается точно; въ противномъ случаѣ—приближенно, съ ошибкою меньшею 1.
130.	Приводимъ нѣсколько примѣровъ.
Примѣръ I.—Найти 1/1369. Руководясь сказаннымъ правиломъ, имѣемъ
/13,69 = 37.
9
67 46,9
(7 46 9
0~
Полученіе нуля въ остаткѣ показываетъ, что квадратъ 37-о въ точности равенъ 1369, т.-е. что 37 есть точный квадратный корень изъ даннаго числа.
Примѣръ И.—Найти }/б341.
/63,41 = 79. 49
149 Д44,Г
Х9 |134 1
100
При опредѣленіи цифры единицъ пришлось дѣлить 144 на 14, причемъ въ цѣлой части частнаго получилось 10; но какъ цифра единицъ не можетъ быть больше 9, то испытываемъ прежде всего эту цифру. Полученіе остатка показываетъ, что цифра единицъ корня дѣйствительно равна 9.
Примѣръ ПІ.—Извлечь |/5038;
|/50^8 49
14 |ТО
70
Дѣля 13 на 14, находимъ въ цѣлой части частнаго 0; сл. цифра единицъ корня равна 0, и самый корень = 70. Удвоенное произведеніе десятковъ на единицы и квадратъ единицъ корня составляютъ 0,. поэтому остатокъ дѣйствія есть 138; онъ меньше удвоеннаго корня, сл. 70 есть корень точный до 1 по недостатку.
Корень точный до 1 по избытку равенъ поэтому 71.
131.	Третій случай.—Это есть общій случай, который приводится къ двумъ предыдущимъ при помощи слѣдующей теоремы.
Теорема. Число десятковъ квадратнаго корня точнаго до 1 по недостатку изъ даннаго цѣлаго числа равно квадратному корню изъ наибольшаго квадрата, содержащагося в?> числѣ сотенъ этого числа^
Пусть данное число будетъ 78658143, и пусть наибольшій квадратъ, содержащійся въ 786581, т.-е. въ числѣ сотенъ его, будетъ а3.
Если число 786581 есть точный квадратъ, то оно равно а3, если неточный, то будетъ больше аа; но въ томъ и другомъ случаѣ будетъ меньше квадрата слѣдующаго за а цѣлаго числа, т.-е. меньше (аД-1)2.
И такъ
«3^786581<(а+ I)3;
Помножая эти три числа на 100, найдемъ:
(10а)3^ 78658100 < [(а-/ 1). ІО]3.
Придавъ къ среднему числу 43, мы этимъ нарушимъ возможное равенство, обративъ его въ неравенство (Юа)3 < 78658143, усилимъ первое неравенство, увеличивъ его большую часть, и, наконецъ, не нарушимъ второго неравенства. Послѣднее обстоятельство объясняется тѣмъ, что 78658100 и [(а —1). ІО]3 суть цѣлыя числа сотенъ, и какъ второе больше перваго, то оно превосходитъ первое по меньшей мѣрѣ на одну сотню; слѣдовательно, увеличивъ меньшее число на 43, т.-е. менѣе чѣмъ на сотню, получимъ результатъ все-таки меньшій [(а-рі). Ю]3. Такимъ образомъ имѣемъ
(10а)3 < 78658143 < [(а + 1) . ІО]3,
пи. з^еіодя къ корнямъ, найдемъ
10а < /78658143 <(«+1). 10.
неравенства доказываютъ, что искомый корень, будучи больше а десят-і -Гз- одержитъ въ себѣ эти а десятковъ и однако же не содержитъ а -|- 1 іг лтіи такъ какъ онъ меньше этого числа десятковъ (въ силу второго нера-Слѣдовательно, опредѣляемый корень состоитъ изъ а десятковъ и, > асггь быть, нѣсколькихъ простыхъ единицъ, число которыхъ не больше 9; •опъ словомъ,	десятковъ въ немъ будетъ а. Замѣтивъ же, что а
- ~ квадратный корень изъ а4, т.-е. изъ наибольшаго квадрата, содержаща-п въ числѣ сотенъ даннаго числа, заключаемъ, что теорема доказана*
132* Итакъ, число десятковъ квадратнаго корня изъ
78658143
есть квадратный корень изъ наибольшаго квадрата, заключающагося въ числѣ сотенъ этого числа, или, что то же,—квадратный корень, точный до 1 по недостатку, изъ 786581.
Число десятковъ этого корня, или, что все равно, число сотенъ перваго, есть, на основаніи теоремы § 131, квадратный корень, точный до 1 по недостатку, изъ 7865*
Число десятковъ этого корня, т.-е. число тысячъ перваго, по той же теоремѣ, есть квадратный корень, точный до 1 по недостатку, изъ 78.
Такимъ образомъ, отдѣляя отъ правой руки къ лѣвой по двѣ цифры, мы убѣдились, что искомый корень состоитъ изъ четырехъ цифръ, что для нахожденія старшей его цифры нужно извлечь, съ точностью до 1 по недостатку, квадратный коренъ изъ первой грани слѣва, и что число граней равно числу щіфръ искомаго корня.
Прилагая теорему § 131, мы видимъ, что число сотенъ искомаго корня равно точному до 1 по недостатку квадратному корню изъ 7865; находимъ этотъ корень по правилу Й 129:
78,65 | 8143 ] 88
64
168 146,5
Х8 134 4
12 1
88 есть число десятковъ квадратнаго корня изъ 786581; чтобы найти цифру единицъ этого корня, или, что то же, цифру десятковъ искомаго корня, нужно изъ 786581 вычесть квадратъ 880. Вычитаніе это, по частямъ сдѣланное, дало въ остаткѣ 12100—|— 81 или 12181—число, которое находимъ, снеся 81 къ остатку перваго корня* Этотъ остатокъ заключаетъ, слѣдовательно, удвоенное произведеніе 88 десятковъ на единицы и квадратъ единицъ корня изъ 786581 * Совершенно такимъ же образомъ, какъ было указано въ § 128, можно доказать, что, раздѣливъ число десятковъ 1218 новаго остатка на удвоенное число десятковъ, т*-е* на
2.88, или на 176,
чійіемъ въ цѣлой части частнаго высшій предѣлъ цифры единицъ корня і ' ТзбэЗЬЭтотъ предѣлъ есть 6; для испытанія этой цифры удвоиваемъ 88,
къ 176 приписываемъ справа 6 и множимъ 1766 на 6. Произведеніе 1766 X Х6= 10596 не превышаетъ 12181, а потому цифра 6 годится.
Итакъ, цифра десятковъ искомаго корня есть 886. Остается найти цифру ----------------------------------------------------------2
единицъ. Для этого изъ заданнаго числа слѣдуетъ вычесть 8860. Вычитаніе 880 десятковъ въ квадратѣ сдѣлано и дало въ остаткѣ 1218100, который въ совокупности съ 43, составляетъ 1218143. Вычитая отсюда остальныя двѣ части -----2
8860 т.-е. 10596 сотенъ, находимъ 158543.
Въ этомъ остаткѣ заключается удвоенное произведеніе 8860 на простыя единицы искомаго кория и квадратъ единицъ. Раздѣливъ число десятковъ этого остатка или 15854 на 2.886= 1772, въ цѣлой части этого частнаго будемъ имѣть высшій предѣлъ для цифры простыхъ единицъ искомаго корня. Предѣлъ этотъ есть 8; для испытанія цифры 8. приписываемъ ее къ 1772 и множимъ 17728 на 8. Произведеніе 141824 можно вычесть изъ 158543, сл. 8 есть дѣйствительно цифра единицъ искомаго корня. Итакъ, корень = 8868, а остатокъ =
158543 —141824 = 16719.
Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:
/78,65 81,43 = 8868 64
168 146,5 .............  1-й	частный остатокъ.
/8 1344
1766 "І218,1  ..........2-й
Х6 10596
17728“58Щ................3-й	>	»
Х$ 141824
16719..........окончательп.	остатокъ.
Окончательный остатокъ меньше 2X8868 = 17736, слѣдовательно 8868 есть дѣйствительно корень изъ даннаго числа, точный до 1 по недостатку.
Отсюда выводимъ
133.	Правило извлеченія квадратнаго корня точнаго до 2 по недостатку изъ цѣлаго числа.
Раздѣляютъ данное число на грани по двѣ цифры, отъ правой руки къ лѣвой (послѣдняя гранъ можетъ имѣть ы одну цифру)', число граней'*равно числу цифръ корня.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекаютъ квадратный коренъ изъ наибольшаго квадрата, заключающагося въ первой грани (слѣва).
Чтобы найти вторую цифру корня, вычитаютъ изъ первой грани квадратъ первой цифры корня и къ остатку сносятъ слѣдующую гранъ: получаютъ такъ называемый первый частный остатокъ. Отдѣляютъ въ немъ одну цифру справа запятой, а стоящее влѣво отъ запятой число дѣлятъ на удвоенную первую цифру корня; частное дастъ или вторую цифру корня, или больше ея. Для повѣрки приписываютъ эту цифру съ правой стороны дѣлителя и полученное число умножаютъ на ту же цифру; если произведеніе возможно вычесть изъ перваго частнаго остатка, то испытуемая цифра ц будетъ второю цифрою
корня; п яр&тивномъ случаѣ ее уменьшаютъ на 7, и дѣлаютъ новую «йодж> шжпгмг же точно образомъ, какъ и первую; продолжаютъ та-шп <Хмэсл^ до тѣхъ поръ, пока вычитаніе сдѣлается возможнымъ.
Зжс* найти третью цифру корня, къ остатку послѣдняго вычи-мш ек&слтъ третью гранъ, и получаютъ второй частный остатокъ; «шм іііывиж^ въ немъ одну цифру справа запятой, а оставшееся влѣво кшк ляпшшой число дѣлятъ на удвоенное число, образуемое первыми шфрами корня: частное дастъ высшій предѣлъ для третьей аеуи горня. Провѣряютъ цифру частнаго такимъ же образомъ, какъ в ж	случая,.
Гіжмль образомъ продолжаютъ поступать до тѣхъ поръ, пока не снесены всѣ храни, и не будетъ опредѣлена послѣднимъ дѣле-цифра простыхъ единицъ корня и окончательный остатокъ.
134.	Примѣры.
1. Найти /28164249. /28,16,42,49 = 5307
25
11. Извлечь /583749876429.
/58 37,49,87,64 29 = 764035 т	<	9 г Г <
103 31,6
ХЗ 30 9 1060 74,2
Хоооо
1060717424,9
X 717424 9 О
93,7 87 6 “біТ^ 609 6
146 Х6 1524 X*
152803
Хз 1528065
X
5 3876'4
4 5840 9
—8035 529
7640 325
395 20 4
Такъ какъ остатокъ меньше удвоеннаго корня, то 764035 есть корень точный до 1 по недостатку; слѣд. 764036 есть корень, точный до 1 по избытку.
135.	Опредѣлимъ, который изъ двухъ корней, точныхъ до 1, — корень по недостатку, или по избытку, точнѣе выражаетъ истинную величину несоизмѣримаго корня. Можно доказать, что если, найдя корень точный до 1 по недостатку, окажется, что остатокъ корня не болѣе самаго корня, то этотъ корень ошибоченъ менѣе чѣмъ па -у; если же остатокъ окажется больше корня, то корень по избытку будетъ ошибоченъ менѣе чѣмъ на -І--м'
Пусть данное число есть К; корень, точный до 1 по недостатку, пусть будетъ а; остатокъ выразится разностью К — а3.
Первый случай. — Имѣемъ
а3<К<(а-Н)*;
1
по условію, остатокъ Ь — а3<а; слѣд. К —	откуда
9 1 г I I I IV но а + гту) * а потому
Итакъ
откуда

1
Такъ какъ разность между крайними величинами равна -а-, то разность & г^~	1	1
между у И на меньше у- Слѣд. а есть корень, точный до у по недостат-
ку, т.-е. истинная величина (/Й" отличается отъ а менѣе, чѣмъ отъ
Второй случай. Если окажется, что
Я — а3-> а,1
1
то заключаемъ отсюда, что X — а4 > а	у, потому что (X — а3) есть число
цѣлое; слѣд.
і1	ѵ I і 1
Я>а2Ч-а + -г или К> « +	-
4	\	’ і /
Итакъ
а + у <а4-1.
откуда
Но разность между крайними числами равна -9-, слѣд. разность между (а0 и меньше у* Заключаемъ, что а-|-1 отличается отъ корня изъ X меньше нежели на 4"» т.-е. этотъ корень ближе лежитъ къ а-(-1, чѣмъ къ а.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что выгоднѣе братъ коренъ по избытку только тогда, когда остатокъ превышаетъ величину ко/тя, взятаго по недостатку.
Такъ, въ примѣрѣ II, § 134, получился остатокъ меньшій корня но недостатку, и потому 764035 точнѣе выражаетъ величину искомаго корня, чѣмъ число 764036. Въ примѣрѣ § 132 остатокъ больше найденнаго корня, и потому число 8869 ближе къ истинной величинѣ корня, чѣмъ число 8868.
ь я
Извлеченіе квадратнаго корня изъ дробей съ точностью до 1.
»
136. Теорема. Коренъ квадратный изъ несократимой дроби несоизмѣримъ * если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и знаменателя.
Пусть у есть данная несократимая дробь; равенство
Ѵт=‘.
гдѣ й— число цѣлое, невозможно, потому что, возвысивъ обѣ части въ квад-?агь, нашли бы '
т.-е. что несократимая дробь равна цѣлому числу. Итакъ, квадратный корень хзъ несократимой дроби не можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ* Посмотримъ, нельзя ли его выразить дробью, т.-е. не будетъ ли возможно равенство
л	і/ а с
гдѣ подъ у- всегда ыж разумѣть дробь несократимую. Возвысивъ обѣ части испытуемаго равенства къ квадратъ, найдемъ
а с2
~Ь~ Т2'
гдѣ есть др«4& «^«301201. тш какъ. по условію, с и а — числа вза-
имно-первыя- Вт гті	дроби могутъ быть равны только тогда,
когда числител егь зал когда а = с* і і = і*
в ѴЕКлу оНм. а знаменатели—между собою *), т.-е. іимік что а и Ь должны быть точными квад-
ратами. Инги ішрктхый жзъ несократимой дроби только тогда можетъ бытъ тию® мй4Х?п дробью, когда оба члена данной дроби суть точ-
ные квадраты Въ ^агввкгь случаѣ корень изъ дроби нельзя точно выразить
ни ііжп мвскіъ. Еі дробнымъ; поэтому онъ будетъ число несоизмѣримое.
что 64 и
гі
корень изъ извлекается точно, потому
1 — точные квадраты. Имѣемъ
а «1 *
*) Пусть -у и у будутъ двѣ несократимыя дроби, и посмотримъ условіяхъ возможно равенство
а о1
У — у " ‘ С1)- >
при какихъ
м
Опредѣляя а, имѣемъ: а = -у-; такъ какъ а — число цѣлое, то а1& должно дѣлиться на &1; но а1 есть число первое съ Ь1, сл. Ъ должно дѣлиться на Ы. Опредѣ-аМ
ля я изъ (1) а1, имѣемъ: а1 = -у-, откуда такимъ же то чао образомъ заключаемъ, что М должно дѣлиться на Ъ. Но два числа только тогда могутъ дѣлить взаимно другъ друга, когда они равны; слѣд. 6 — &і. Но въ такомъ случаѣ изъ равенства (1) слѣдуетъ, что и а = а<. Итакъ, чтобы двѣ несократимыя дроби были равны, необходимо, чтобы числители ихъ были равны и знаменатели. Это условіе, очевидно, есть я вполнѣ достаточное.
— несоизмѣримы, потому что у первой дроби знаменатель, у второй — числитель, а у третьей — оба члена суть неточные квадраты.
137. Теорема. — Квадратный корень шь дробнаго числа* точный до 1, есть квадратный корень изъ наибольшаго квадрата* заключаю* щагося въ цѣлой части даннаго числа* или этотъ коренъ, сложенный съ 7.
Пусть данное дробное число будетъ а -|- Ь, гдѣ а — цѣлое число, и Ъ — правильная дробь. Разсмотримъ два случая.
Первый случай: а — точный квадратъ, напр. а — г2; тогда очевидно, что
а Ь > г2.
Съ другой стороны: а, будучи — меньше (г 4” 1)*; но если изъ двухъ неравныхъ цѣлыхъ, (г-рі)2 н а, первое больше второго, то оно больше его, по меньшей мѣрѣ, на 1. сл. (г-рі)2 —а>Ь, или (гЦ-1)2^> Итакъ:
(г + 1)*>а + Ь>г*;
откуда, переходя къ корнямъ, находимъ:
г + 1 > \/а 4~ Ь > г.
Разность крайнихъ чиселъ: г-рі й г равна 1, а потому
|/а4~^“”Г<С1 и (ГЧ~1)—|/а4“&<1?
слѣд. какъ г, такъ и г 4-1 выражаютъ величину	съ ошибкою, мень-
шею 1; но г есть квадратный корень изъ а, а г4“1—этотъ корень 4~1і сл. для этого случая теорема доказана.
Второй случай:* а — неточный квадратъ, и пусть наибольшій квадратъ, содержащійся въ а, будетъ г3; въ такомъ случаѣ
<	г2<а<(г4“1Л
ш
По первому неравенству:	а потому и подавно
а 4- Ь
Въ силу второго неравенства, изъ двухъ цѣлыхъ чиселъ: (г1)3 и а, первое больше второго, сл. оно больше, по крайней мѣрѣ, на 1; а потому разность ихъ больше правильной дроби
(г 4" I)2 — откуда
(г+ 1)3>«4”ь*
Итакъ, имѣемъ:
1)’ > И 4-Ь > »’;
переходя къ корнямъ, находимъ:
(г-|-1) >}/а-|-Ь>г,
’ттда опять заключаемъ, что числа г н г +1 выражаютъ \/ а-\-Ь съ ошиб-з>ш- іея>шею І.Но г есть корень изъ цѣлой части а числа а-рЬ, точный до 1 і‘ «достатку, а — этотъ корень —1,. слѣд. теорема доказана и для случая. Отсюда
ІЛ- Правило. Для извлеченія квадратнаго корня изъ дробнаго числа як*«еж 4о I, слѣдуетъ отбросить дробь и извлечь, съ точностью до 7,. мп цѣлой части.	,	'
Примѣчаніе. Такъ какъ у правильной дроби цѣлая часть равна нулю, то
>^нв мзъ предыдущаго, что квадратный корень изъ такой дроби, точный до Е «еп: 0 — по недостатку, и 1 — по избытку.
/	41
Птіміры: I. Найти 1/72^ точно до 1.
* О—
дробь, извлекаемъ |/72 съ точностью до 1; находимъ, что ко-рвъ жтъ и-= * дроби. съ требуемою точностью, равенъ: 8 — по недостатку, и > —Г* ПЙИ іу.
_ у 7<1_±15 іиіикпю до Е
( :ді я г>—»-	| 761 съ требуемою точностью.
) 7Л1—27 4
47 ЗбТ
X ‘ | 329
32
' ііИівтуть. что искомый корень равенъ: 27 — но недостатку, и 28 — по
ЯИНІТГ-	1
_ _ .	'	./3417,31
- зііп. съ точностью до 1, 1 —ктко1
Імкм всего нужно выполнить указанное дѣленіе, ограничиваясь наіожде-аип гѣмй части частнаго, н извлечь изъ нея корень съ точностью до 1. 1“^*впяе располагаютъ такъ:
3417310
3164
2533
2260
2731
2712
190
452
75,60 = 86.
64
166 1160
X 996
164
Итакъ, искомый корень равенъ: 86 — но недостатку, и 87 — по избытку.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ цѣлыхъ чиселъ и изъ дробей 1 съ точностью до —•
Тѵ
139. Извлечь квадратный корень изъ цѣлаго или дробнаго числа А съ точ-ностью до — значитъ найти такую приближенную величину для искомаго корня, которая отличалась бы отъ его истинной величины менѣе чѣмъ на
Пусть требуется извлечь і/А, гдѣ А — цѣлое или дробное число, представляющее неточный квадратъ, съ точностью ’до при чемъ дробь называется степенью приближенія. Помноживъ и раздѣливъ ]/Л на я, мы не измѣнимъ его величины, слѣд.
,/Т —
1 А~—
Но п — у/п*; поэтому числителя можемъ представить въ видѣ или, по правилу извлеченія корня изъ произведенія, въ видѣ у^Ая3.
Такимъ образомъ
/А = ^-
гдѣ Ап3 — неточный квадратъ, потому что таково А. Извлекаемъ, по извѣстнымъ уже намъ правиламъ, |/Аи3 съ точностью до 1; найдемъ двѣ величины— г по недостатку, и у -р 1 по избытку, такъ что
г —1 >	г.
|/Ая^	/—
Раздѣливъ эти три числа на п н замѣтивъ, что-----------= уА, найдемъ
71
|/А
Г
п
п	Л	Г + 1 Г	1 х
Разность между крайними числами, — -----—> равна слѣдов. каждая изъ
. разностей: у А-’ — и| —------у А, меньше —; это значитъ, что каждая изъ
дробей:	и Г \ выражаетъ величину |/А съ ошибкою, меньшею
Отсюда выводимъ
440. Правило. Чтобы изъ даннаго цѣлаго или дробнаго числа извлечь квадратный коренъ съ точностью до нужно умножитъ это число на квадратъ знаменателя степени приближенія, ша полученнаго произведенія извлечь квадратный коренъ съ точностью до 1 и раздѣлитъ его на знаменателя степени приближенія.
Примѣры. 1. Найти у 32 съ точностью до Дк-~ Іо	Ліо
7
По правилу должны 32^ умножить на (273)*, что даетъ 2425059; извлечь
въ этого числа квадратный корень съ точностью до 1, и раздѣлять его на 273. Квадратный корень изъ 2425059, точный до 1 по недостатку, есть 1557, а по избытку — 1558; раздѣливъ тотъ и другой на 273, найдемъ: _ 192	.193
^ВЭ273'
заключается
192	193
между числами 5^ и 59^, отли-
шсь отъ каждаго изъ нихъ менѣе чѣмъ на
3- Найти }/3 съ точностью до 0,001.
Н осивъ 3 на 1 0002, извлекаемъ )/3000000 до 1; получимъ числа 1732 і 1753, Раздѣливъ каждое на 1000, найдемъ
1,732 и 1,733.
шмжэеть }/3 съ точностью до 0,001
7» »	Ж> избытка
V
по недостатку, вторая—
3,1415926
іі.'О* г	100*. хзвлекаемъ квадратный корень
~	г? 1. Цѣлая часть частнаго есть 59275, а корень
жз» «.	!-:• 1 по недостатку, есть 243, а по избытку 244. Раздѣливъ
вжкй ихъ ихъ ка 100, получимъ для искомыхъ приближеній, точныхъ до 1
2,43 (по пед.) и 2Л44 (по изб.)
Сокращенный способъ извлеченія квадратнаго корня.
141 - Предыдущія правила показываютъ, что извлеченіе квадратнаго корня кхгм приводится къ извлеченію его изъ цѣлаго числа съ точностью до 1. Это вклѣднее дѣйствіе дѣлается тѣмъ сложнѣе, чѣмъ больше цифръ содержитъ под-ю^еявое число; въ такихъ случаяхъ дѣйствіе значительно упрощается при по-»«и такъ называемаго сокращеннаго способа.
Пусть будетъ А цѣлое число, изъ котораго требуется извлечь квадратный іѵ-ренъ съ точностью до 1* Искомый корень можетъ имѣть или ^четкое, или чт«ое число цифръ.
7-й случай: коренъ имѣетъ нечетное число цифръ. Пусть въ немъ находится 2п -|- 1 цифръ; найдемъ обыкновеннымъ способомъ больше половины его цифръ, въ данномъ случаѣ м —|— 1 цифръ, и буквою а обозначимъ число, образуемое этими цифрами, сопровождаемыми столькими нулями, сколько цифръ осталось найти, т.-е* п нулями (папр., если корень долженъ содержать 5 цифръ и найденныя три первыя его цифры будутъ 234, то буквою а мы обозначаемъ
число 23400); такимъ образомъ, а будетъ число (2я-|-1) — злачное. Далѣе, назовемъ буквою х то, что слѣдуетъ придать къ а, чтобы получить истинный корень (я состоитъ изъ цѣлой части, имѣющей « цифръ и, можетъ быть, еще изъ несоизмѣримой десятичной дроби); полный корень выразится суммою Наша цѣль—дать правило для вычисленія цѣлой части я-а, т.-е. для нахожденія х съ точностью до 1 сокращеннымъ путемъ.
По опредѣленію корня имѣемъ:
А = (а4“ж)а =
гдѣ а уже извѣстно; вычтя а2 изъ обѣихъ частей и раздѣливъ ихъ на 2а найдемъ
А~~ а*_ и	/ ♦ \
^Г=х—ъГ • -(І)-
А — а2 есть остатокъ послѣ нахожденія части а корня (назовемъ его буквою К); раздѣливъ его, какъ указываетъ формула, на 2а, назовемъ частное этого дѣленія буквою а остатокъ—г, такъ что
Е । г
2й=®+2а
подставимъ это выраженіе въ первую часть равенства (1); найдемъ:
। г	і
д —г—	— х Ч-*
* 1 2а	1 2а
откуда г X1
Х~^ = 2а~2а
Докажемъ, что д и выражаетъ величину х съ ошибкою, меньшею 1. Такъ какъ ,	г	х
разница между х и д выражается формулою	то и слѣдуетъ доказать,
что
Г X*
2а 2а
Дѣйствительно, такъ какъ г есть остатокъ дѣленія, въ которомъ 2а есть дѣлитель, а остатокъ меньше дѣлителя, то < 1. Съ другой стороны, въ цѣлой части х находится п цифръ, а потому х меньше наименьшаго (п-|-1) — знач-наго числа 10н; а слѣд. а?а< 102п; затѣмъ, а есть (2п-|-1)—значное число, слѣд. оно >102и; а слѣд. 2а >2 . 102\ Составивъ двѣ дроби
102*
2а И 2 X 10»"
и замѣчая, что числитель первой меньше числителя второй, а знаменатель первой равенъ или больше знаменателя второй, заключаемъ, что первая дробь меньше второй: Я2 102п	1
2а < 2 X102"’ или 2а < 2‘
Итакъ, каждая изъ дробей разности
X2
меньше
1, слѣд. и самая раз-
ность < 1, т.-е. ошибка, происходящая отъ замѣны х частнымъ д, если только
т>п т существуетъ, непремѣнно меньше 1, такъ что есть величина тдемія до 1*
I—і случай: корень имѣетъ четное число цифръ 2ж Найдемъ опять *%і>«оыіъ способомъ больше половины всѣхъ цифръ корня, т-е. п-1-1 —і"к ♦’тзется найти п— I цифръ. Въ цѣлой части я>са находится (к— 1)— і мш. число, а потому х меньше наименьшаго м — эпичнаго числа, т.-е. х	откуда х* < ІО2"-2; а есть 2п — значное число, слѣд. оно = или >
—2п — значнаго числа, т.-е. а>102м-1, откуда 2а>2.102"-1.
гй^УХ ІО2"-1’ ИЛИ 2а 2 X ю’
• явлиеше относительно $ прежнее.
Ѣсп цѣлая часть корня, состоя изъ четнаго числа цифръ, имѣетъ первою дою 5 или больше 5, то достаточно обыкновеннымъ способомъ найти ровно всѣхъ цифръ корня. Въ самомъ дѣлѣ, въ этомъ случаѣ х < 10й, а ж^<у х* ІО2"; съ другой стороны а, какъ 2п— значное число, начинаю-ш цифрою 5 или большею, будетъ > упятереннаго наименьшаго 2п — знач-аг- ждя, т.-е,	10Ьі-1, откуда 2а^10, ІО2"”1, или 2а^102л, а
оі>тте.іьно
х*	102п	1
2 а	ІО2”’ Яли 2а < *♦
І^хжиее заключеніе относительно и здѣсь имѣетъ мѣсто.
Ізъ сказаннаго выводимъ слѣдующее
Правило. — Для извлеченія квадратнаго корня изъ цѣлаго числа съ шчжстью до 1 сокращеннымъ способомъ, находятъ обыкновеннымъ спо-ийгі ооліъе половины всѣхъ цифръ корня, іш же ровно половину, если, чгаяоліз	корня, первая его цифра не меньше 5; остапъ-
цифры найдемъ, раздѣливъ полный остатокъ на удвоенную найден-часть корня.
’42. Примѣръ, Найти квадратный корень съ точностью до 1 изъ числа
7316723456713.
ѵ^ень имѣетъ семь цифръ; находимъ четыре первыя прямымъ путемъ:
/7, 31, 67, 23, 45, 67, 13 2704
33,1
32 9
5404 2672,3
Х4 21616
5107456713 | 5408000
48672000	944
24025671
21632000 ”23936713
21632000
2304713
а = 2704000;
2? = 5107456713.
д = 944.
г =2304713.
Найдя первыя четыре цифры корня (2704), находимъ съ точностью до 1 частное отъ раздѣленія полнаго остатка 5107456713 на удвоенный найденный корень 2704000, т.-е. на 5408000. Это частное = 944; слѣд. искомый корень, точный до 1, есть
2704944.
143- По величинѣ частнаго <2 и остатка г дѣленія можно всегда узнать, будетъ ли найденный корень точный, или приближенный; и въ послѣднемъ случаѣ — опредѣлить, будетъ ли онъ ошибоченъ по недостатку, или по избытку.
Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ равенство
А — а2 = К, откуда А = аа-}~В;
но К = 2а# слѣдовательно
А = а* 4” 2ад 4~ г.
Съ другой стороны
(а “к “И
Отсюда:
1)	Если то
а* -р 2а# г а2 ~к ~к или
А > (а + З)4, откуда
/а > а
т.-е. &~к? будетъ приближеніе, точное до 1 по недостатку.
2)	Если г = #4, то
а2 4~ 2а# ~к г = “к 2а# 4“ или
А = (а + з)4, откуда
т.-е. «~к# есть точный корень изъ А.
3)	Если, наконецъ, то
а2 -|- 2ад 4~ ** <С яа 4" -а(І ”к или
А < (а + #)2, откуда
}/А <Са4~Зл
и потому а4~0 есть приближеніе, точное до 1 но избытку.
Итакъ: корень а 4” будетъ приближенный по недостатку, точный, или же приближенный по избытку, смотря по тому, будетъ ли остатокъ г дѣленія больше, равенъ или меньше квадрата частнаго.
Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ остатокъ 2304713 больше квадрата числа 944; поэтому корень 2704944 ошибоченъ менѣе чѣмъ на 1 по недостатку.
•ч^еіѣлим’ь такъ называемый остатокъ кормя, предполагая, что для здрня примѣняется сокращенный способъ; при этомъ различаемъ два і-этвл. 'т/т|я по тому, имѣетъ ли найденный этимъ способомъ корень приближу > «достатку, или по избытку.
_ л — 5 есть приближеніе по недостатку. Обыкновенный способъ далъ Ш ** » величину, а потому, называя остатокъ корня буквою р, получимъ
? = А—(а-Н)8. ^гтттаъ, что
д — аа_(-2а^-]-г, и (а4"3)2~а*4"'М4"в\
і^ѵы второе равенство изъ перваго, найдемъ:
А — (а + в)2 = г —
р — г —
*
Втш, въ разсматриваемомъ случаѣ: остатокъ корня расеяъ мммд отъ дѣленія надъ квадратомъ частнаго.
.1. а 4" 7—приближеніе по избытку. Обыкновенный способъ далъ бы для мнл величину
«4"3—К
йхѣя равенства
А = а2+2^-1-г, и (« + « — I)2 — а8 + 2а(д — 1) + («— I)2,
*ілп. что остатокъ отъ обыкновенной операціи былъ бы
р = А — (а -\-д — I)8 = г-|-2а — д1-}’ -3 — 1
= **+2(а + з)-(д84-1).
>к_*чемъ, что -въ данномъ случаѣ остатокъ корня найдется, если къ остатку ілмагія придать удвоенный найденный сокращеннымъ способомъ корень, • «35 результата вычесть сумму квадрата частнаго съ единицей.
145.	Сокращенный способъ, вмѣстѣ съ указанными замѣчаніями, даетъ сред-находить сколько угодно цифръ корня. Пусть, напр., требуется найти 1/2 ~ Неограниченнымъ приближеніемъ. Напишемъ справа отъ 2 вдвое больше ну-:-ч чѣмъ сколько желаемъ найти десятичныхъ знаковъ, и вычислимъ три пер-і..л імфры корня обыкновеннымъ способомъ.
2.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00,00.00.00.00 1
?4 10,0
4	96
281 400
X» 281
119
1,41
Іи иапля 141 въ корнѣ и 119 въ остаткѣ. Такимъ образомъ, 141 суть
—м грмпя цифры корня изъ 200000000; двѣ слѣдующія находимъ сокращен
нымъ способомъ. Для этого нужно полный остатокъ, равный 1190000, раздѣлить на удвоенную найденную часть корня, т.-е. на 28200,
119000.01 28200
112800 : 42
62000
56400
5600
. — 1764
3836
42 X 42
84 168 1764
Находимъ въ частномъ 42 и въ остаткѣ 5600. Чтобы узнать, въ какую сторону ошибоченъ корень 14142, нужно полученный остатокъ сравнить съ квадратомъ частнаго: 5600 >42’, слѣд. 14142 есть приближеніе но недостатку, и потому послѣднюю его цифру (2) уменьшать не слѣдуетъ.
Имѣя пять цифръ корня, можно сокращеннымъ способомъ найти слѣдующія четыре цифры. Для этого надо знать остатокъ, который дала бы обыкновенная операція послѣ нахожденія части 141420000 корня изъ 20000000000000000, т.-е. остатокъ корня р. Такъ какъ и-|-д' = 14142 есть приближеніе по недостатку, то р = г—д’ = 5600— 1764 = 3836. Приписавъ сюда 8 нулей, дѣлимъ полученное число на 2а =282840000
38360000. | 0000
28284і =і
100760ІІ
84852ІІ
159080І
141420^
176600
169704
68960000
— 1838736
67121264
28284 | 0000
1356
1356
1356
8136
6780
4068 1356 1838736.
Находимъ въ частномъ 1356, а въ остаткѣ 68960000. Такъ какъ этотъ остатокъ больше 1356’, корень снова ошибоченъ по недостатку: онъ равенъ 141421356.
Зная девять цифръ корня, можемъ сокращеннымъ способомъ найти слѣдующія восемь; для этого опредѣляемъ остатокъ корня:
р = 68960000 — (1356)’ = 67121264.
Приписавъ къ остатку корня 16 нулей, а къ удвоенному найденному корню 8 нулей, дѣлимъ
6712126400000000100000000| 282842712 | 00000000
1055272160 І НІИ	23730950
2067440240іИ = =
875412560= ? = і
2688442400 И
1428579920;
143663600
Въ частномъ мы нашли 23730950, и какъ остатокъ дѣленія больше квадрата частнаго, найденный результатъ ошибоченъ по недостатку; имѣемъ
/2 = 1,4142135023730950,
съ точностью до 1 шестнадцатаго десятичнаго мѣста. Очевидно, можно продолжи* такимъ образомъ находить сколько угодно новыхъ цифръ корня.
146.	Извлеченіе квадратнаго корня изъ числа, мало разнящагося отъ 1.
> результатъ, мало разнящійся отъ 1 4“ ъ если е есть весьма малая дробь; откинувъ юхучимъ приблизительное равенство ІІ-ру) — 14^, откуда, извлекая бъ обѣихъ частей квадратный корень, найдемъ:
рйіііііі и по. Опредѣлимъ предѣлъ погрѣшности этого приближенія, т.-е
Івшь и жкхілвъ я» шуатеніе на сумму
1	* а 1 1	*»
*
Откинувъ въ знаменателѣ малыя дроби у и в (подъ знакомъ корня), мы угить знаменателя уменьшимъ, а слѣдов. выраженіе второй части увеличимъ, такъ что будетъ
г*
а <Г—;или ‘+^ 8
Отсюда заключаемъ, что для извлеченія квадратнаго корня изъ числа мало превышающаго 1л достаточно прибавитъ къ 1 полотну избытка е: найдемъ результатъ, точный до по избытку. о
Примѣръ. Найти приближенно у/1,000694.
По правилу имѣемъ:
)/1,000694= к_}_ 9^2^694 = ! 000347
72	. . 1 п
съ точностью до 8 1с8 или до цр  Заключаемъ, что ошибка не вліяетъ на послѣдній десятичный знакъ прнближнія 1,000347.
147.	Признаки неточныхъ квадратовъ.—Въ заключеніе укажемъ нѣкоторые признаки неточныхъ квадратовъ.
1. (2я)3 = 4п\ т.-е. квадратъ всякаго четнаго числа (2п) дѣлится на 4, а слѣд. обратно, четное число только тогда можетъ бытъ квадратомъ, когда оно дѣлится на 4. Само собою разумѣется, что изъ этого не слѣдуетъ, чтобы всякое число, дѣлящееся на 4, было необходимо точнымъ квадратомъ; такъ, 40 есть неточный квадратъ.
2* (2п4~ 1)а = 4и24“4м-|-1, т.-е. всякое нечетное число имѣетъ квадратъ вида 4п-4п-|- 1, т.-е. такой, который, будучи уменьшенъ на ^дѣлится на 4; слѣд. обратно, нечетное число только тогда можетъ быть точнымъ квадратомъ, когда оно, уменьшенное на 1, дѣлится на 4.
3.	Изъ умноженія цѣлыхъ чиселъ извѣстно, что произведеніе двухъ такихъ чиселъ оканчивается тою же цифрою, какою и произведеніе ихъ простыхъ единицъ. Но квадраты чиселъ 1, 2, 3, .... 9 оканчиваются цифрами 1, 4, 5, 6, 9, но не оканчиваются цифрами 2, 3, 7 и 8. Изъ этого слѣдуетъ, что всякое цѣлое число, оканчивающееся одною изъ цифръ: 2, 3, 7 и 8, не можетъ быть точнымъ квадратомъ. Здѣсь опять слѣдуетъ замѣтить, что если число оканчивается одною изъ цифръ: 1, 4, 5, 6 и 9, то оно не есть необходимо точный квадратъ; такъ, 825 есть точный, а 15—неточный квадратъ.
4.	Если число оканчивается 5-ю, его квадратъ долженъ оканчиваться 25-ю. Въ самомъ дѣлѣ, разсматривая число какъ сумму десятковъ и простыхъ единицъ, находимъ, что квадратъ десятковъ оканчивается двумя нулями, удвоенное произведеніе десятковъ на единицы, въ данномъ случаѣ, будетъ оканчиваться также двумя нулями, слѣд. квадратъ числа, оканчивающагося 5-ю, необходимо оканчивается 25-ю. Слѣд., всякое число, оканчивающееся 5-ю, котораго предпослѣдняя цифра не есть 2, не можетъ быть точнымъ квадратомъ.
5.	Квадратъ числа, оканчивающагося нулями, имѣетъ нулей вдвое больше, т.-е. четное число ихъ. Слѣд., число, оканчивающееся нечетнымъ числомъ нул§й? не есть точный квадратъ.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочлена.
148.	Корень изъ многочлена только въ исключительныхъ случаяхъ извле-комъ, т.-е. можетъ быть выраженъ въ формѣ раціональнаго многочлена.
Для возможности извлеченія квадратнаго корпя изъ многочлена, послѣдній долженъ содержать не менѣе трехъ неприводимыхъ членовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если данный многочленъ есть двучленъ, то корень изъ него не можетъ быть выраженъ точно ни одночленомъ, пи мпогоченомъ, потому что квадратъ одночлена есть одночленъ, а квадратъ простѣйшаго многочлена — двучлена, содержитъ три неприводимыхъ члена.
Пусть данный многочленъ будетъ точный квадратъ:
25а*#6 ~ 20а а#й	7 4а*#1 — 48а5#3	57а6#2 — 28а'# -|- 4а8,
расположенный по убывающимъ степенямъ главпой буквы #0 и пусть
Р + 2 + г + *+-  
будетъ квадратный корень изъ него, также расположенный по убывающимъ сте
пенямъ х. Данный многочленъ, какъ квадратъ своего корня, будетъ = (#4”*? ”Ь "г4“5г|”‘* * * А ил1,і раскрывъ этотъ квадратъ, получимъ равенство
ЗоаАг6—20л3л*5+7 4а —48аМ+57аМ—28аЪ' 4- 4а8 = рз +	+д14*
+ 2Ср+д)г+г*
+ 2(р + дг4-г)5+$*+...(1)
Вторая часть этого равенства, по раскрытіи скобокъ и по приведеніи, должна давать первую часть, поэтому равенство это есть тождество, а слѣдов. высшіе члены въ обѣихъ частяхъ должны быть равны. Но вторая часть есть произведеніе (р + ^4”* *	* )» а потому высшій членъ ея равенъ
произведенію высшихъ членовъ сомножителей, т.-е. =р,р или Итакъ р2 = = 25а2хв, откуда
р ~ ]/25а2яА
Слѣдов. чтоб'ы найти высшій членъ корня, нужно извлечь квадратный корень изъ высшаго члена даннаго полинома.
|/25а’х* = + 5ах3. Возьмемъ для р его значеніе со знакомъ -рі т-*е- поло-жжгь р = — 5лх*. Вычтя изъ первой части равенства (1) 25а2#6, а изъ вто-МЙ р\ ІІДКГЪ ТмЖІгГГВО
—	------ 2р^4~2а4" 2(Р “Н/У 4“ГМ--(2),
шм	яггту тт р 1 < суть высжіе члены корня. Слѣдоват.
і_я.	р = 5ах* то: 10ах3.^= — 20а3дА откуда
. Чши-іг-і'
5 = — 20а’х5: ІОах® — — 2а-дА
Отсюда: чтобы	второй членъ корня, нужно вычесть изъ дан-
юк полинома квадршпь перваго члена корня, и высшій членъ перваго илшка раздіълить на удвоенный первый членъ корня.
Вычтемъ изъ обѣихъ частей тождества (2) до
2рдг -|- 52, или (2р
т.-е. въ данномъ случаѣ
(Юах* — 2а2х2) (— 2а2х3) = — 20а3х5 Ц- 4а4х4;
найдемъ тождество
70а4#4—48а5х3-|-^7а6х2-|-*- •=2(2?-4^)гЧ‘г8~г-й’_Н!_Ьг)5Ч_^2_[_* ‘ *(3)«
Высшіе члены обѣихъ частей его должны быть равны; но высшій членъ второй части есть 2рг, слѣдов. 2рг = 70а1х1; а какъ р = 5ах3, то
1 Оах3. г = 70а4х\ откуда г 70а4#4: Юох’ = 7а8х,
Отсюда заключаемъ: чтобы найти третій членъ корня, нужно вычесть изъ перваго остатка произведеніе втораго члена на алгебраиче
скую сумму удвоеннаго перваго члена со вторымъ, и высшій членъ второю остатка раздѣлитъ на удвоенный первый членъ корня *
Вычтемъ изъ обоихъ частей тождества (3) по
2(2?4“^)г+	т.-е. (2/? —2 г/—|—г). г,
нлп въ данномъ случаѣ
(10а#3 — 4а2#2 4" 7а3#). 7 а3# = 70а1#1 — 28а5#3 4" 49а6#2.
Сдѣлавъ это, получимъ тождество
— 20а5#3 4- 8ав#а — 28а7# 4“ 4а8 = 2(2? 4" у 4“ 0* 4~ 4~ - - • (4).
Высшіе члены обѣихъ частей должны быть равны, и какъ высшій членъ второй части есть 2^, то 2рз = — 20а5#3, или Юа#а. $ = — 20а3#3. откуда 5 = — 20а5#3:10а#3 = — 2а4.
Отсюда: чтобы найти четвертый членъ корня, нужно вычесть изъ второю остатка произведеніе третьяго члена корня на алгебраическую сумму удвоенныхъ первыхъ двухъ членовъ корня съ третьимъ, и высшій членъ третьяго остатка раздѣлить на удвоенный первый членъ корня.
Вычтемъ изъ обѣихъ частей тождества (4) но
2(2> + 2 + *’)« + «8, т.-е ’(2р + 2з + 2г 4-в). в,
или въ данномъ случаѣ
(10а#3 — 4а2#2 4-14а3#—2а*).(—2а1) = — 20а5#3-[- ^а6#2—28а7# 4^ 4а8;
въ первой части тождества получается въ остаткѣ ноль, слѣд. данный полиномъ есть квадратъ полинома р 4^ 74*“ г 4~ т.-е. въ данномъ случаѣ корень въ точности равенъ 5а#3 — 2аа#24~7а3#— 2а\
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
25а2#«—20а3#4+ 74а1#1—48аяя3-(-57 а6#2—28а“#+4а81 5а#3—2а г#2+ 7а3#—2а1
2±20аМір 4аМ______________;_________(Гба^2аад)(^2а2#3)
2-й ост. . . . 70а1#1—48а5#3+57а5#'2—28а7#+4а8 |
(10а#3—4а2#24-7а3#). 7а3#
—7 ОаМ 28ая#3=г 49аМ
3-й ост...............—20а*#3-!-	8а6#2—28а7#-р4а8
±і20айА^ 8ай#2^:28а‘7#ц^4а8
(10а#3- 4а2#2+14а3#-2а9(- 2а1)
149-	Правило. — Чтобы извлечь квадратный корень изъ цѣлаго по буквѣ # ко-шноліа, представляющаго точный квадратъ, располагаютъ полиномъ но убывающимъ степенямъ буквы ‘#; извлекая квадратный коцепь изъ перваго члена полинома, найдемъ первый членъ корня.
Вычтя изъ даннаго полинома квадратъ перваго члена корня, и раздѣливъ первый членъ остатка па удвоенный первый членъ корня, получимъ второй членъ ею,
Чтобы найти третій членъ корня, вычитаютъ изъ перваго остатка произведеніе второю члена корня на алгебраическую сумму удвоеннаго перваго члена корня со вторымъ, и дѣлятъ первый членъ второю остатка на удвоенный первый членъ корня: частное и будетъ третьимъ членомъ корня.
Для нахожденія четвертаго члена корня вычитаютъ изъ второго остатка произведеніе третьяго члена корня на алгебраическую сумму удвоенныхъ первыхъ двухъ членовъ корня съ третьимъ^ и дѣлятъ первый членъ третьяго остатка на удвоенный первый членъ корня: частное этого дѣленія и даетъ четвертый членъ корня.
Продолжаютъ эти дѣйствія до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ не получится НОЛЪ.
Это правило безъ измѣненія прилагается и къ тому случаю, когда данный полиномъ будетъ расположенъ по возрастающимъ степенямъ главной буквы.
150.	Примѣчанія. —1* Степень корня, очевидно, вдвое меньше степени полинома.
П* Для перваго члена корня (§ 148) мы могли бы взять: —5ая3; изъ формулъ для д, г и з видно, что въ такомъ случаѣ нашли бы: #
г = — 7а3я, $ — 2а*; слѣд. второе значеніе корня будетъ: — 5ая3 2аV* — 7а3ж-р2а*. Оно отличается отъ перваго только знакомъ. Итакъ, искомый корень имѣетъ два значенія:
+ (5ая3— 2а*&* -р 7а3х — 2а4)*
151.	Выводя правило § 149, мы предполагали, что существуетъ многочленъ съ конечнымъ числомъ членовъ, квадратъ котораго равенъ данному полному Р- Н - обыкновенно напередъ неизвѣстно, существуетъ ли такой многочленъ д? —	- * • — Е т.-е- будетъ ли Р точный квадратъ* Чтобы
ополнить прашкч іуж* . :і!і . сказать. чтѵ. примѣняя его, всегда послѣ ограныченмаъо числа съйстъй можно узнать, будетъ ли Р точный квадратъ, жл нѣтъ. Въ ?	<1 ? 14>. когда оно существуетъ, если полиномъ Р
і	убывающимъ степенямъ главной буквы, низшій членъ
• Г*) кшркп ъ э? имѣя себѣ подобныхъ, съ которыми могъ бы быть сое-жнп іэ»гЕт. долженъ равняться низшему члену,—назовемъ его Е,—
птаи ? -ззома. т.-е, должно быть ^ = Е, откуда 2 = ±]/Е. Слѣдовательно,
корня можетъ быть непосредственно найденъ извлеченіемъ корня

шъ ххз»го члена даннаго полинома. Поэтому, показатель главной буквы члена Е долженъ быть числомъ четнымъ. Пусть это такъ и есть, и пусть это число = 24. Когда, выполняя дѣйствія, мы дойдемъ въ корнѣ до члена степени 4, жлідя. наприм., что этотъ членъ = то, чтобы данный полиномъ былъ точилъ квадратомъ, необходимо: во-1-хъ, чтобы было (Па^)й = Е, и, во-2-хъ, ютобы слѣдующій остатокъ былъ нулемъ. Эти условія, будучи необходимы, очевидно, вмѣстѣ съ тѣмъ и достаточны.
Тѣ же разсужденія приложимы и къ случаю, когда оба полинома расположены по восходящимъ степенямъ главной буквы: стоитъ только вездѣ слово «пизшій» замѣнить словомъ «высшій >*
Когда указанныя условія не имѣютъ мѣста, то данный полиномъ не есть точный квадратъ*
Пусть, въ такомъ случаѣ, данный многочленъ есть Р, остатокъ, который долженъ бы быть нулемъ—В, а корень—П; такъ какъ остатокъ получился по вычитаніи изъ Р всѣхъ членовъ квадрата многочлена П, то Р — ІР = К, откуда
р=іі*4-к.
Эта формула и служитъ для преобразованія неточнаго квадрата.
Примѣръ I. Возьмемъ полиномъ, расположенный по убывающимъ степенямъ главной буквы, наприм.
9а2#* 1 — 24а3#3	46а1#2 — 20ав#	1 За6.
Если этотъ многочленъ есть тонный квадратъ, то низшій членъ корня долженъ быть равенъ }/13а3, а слѣдующій затѣмъ остатокъ долженъ быть нулемъ. Если оба эти условія окажутся невыполненными, то должно заключить, что данный полиномъ не есть точный квадратъ. Примѣняемъ правило § 149.
9а2#* г— 24а3#3	46а1#2 -— 20ай# -р 1 За6
Ч- 24а3#3 4= 16а1#2
30а1#2 — 20ав#+ 1 За6
— 30а*#2 + 40а 3#Ч- 25а3
20а’# — 12а3
За#3 — 4а3#	5а3
(6а#2 — 4а2#) (— 4а2#) (6а#2 — 8а2# -|- 5а3), 5а8
Найдя въ корнѣ членъ -рэа3, и замѣчая, что: 1) онъ не равенъ }/13а6, а 2) что слѣдующій остатокъ не есть 0, заключаемъ, что данный полиномъ не есть точный квадратъ. Примѣняя формулу Р =	можемъ его представить
въ видѣ
(За#2 — 4а2#	5а3)2	20а3# — 12а6,
Примѣръ II. Пусть данный полиномъ расположенъ по восходящимъ степенямъ главной буквы, наприм.
1 — 5# 4#2 — 6#3 4” 8#Ч
Если этотъ многочленъ—точный квадратъ, то дойдя въ корнѣ до члена, содержащаго #2, и получивъ затѣмъ остатокъ неравный 0, должны заключить, что данный полиномъ есть неточный квадратъ.
Разница этого случая отъ предыдущаго заключается въ томъ, что степени главной буквы въ послѣдовательныхъ остаткахъ повышаются, а это ведетъ за собою возможность полученія въ частномъ неограниченнаго числа членовъ цѣлыхъ относительно главной буквы, такъ что разложеніе многочлена по формулѣ Р = П24-К, гдѣ П и В—цѣлыя относительно # выраженія,—неопредѣленно.
152- Д» іджеяія. — I. Найти условіе, необходимое и достаточное
для тоъ*.	квадратный триномъ
%• лялодъ. Найдемъ остатокъ квадратнаго корня изъ даннаго тринома.
— 4а
&а
С'—Т" 4а
Іюбы триномъ былъ точнымъ #гь былъ равенъ нулю, т.-е.
п
с — ^ = 0,
4а ’
л»еягоЛ>. Положивъ
Ь
2Ѵа
квадратомъ, необходимо и достаточно, чтобы чтобы
или Ь2 — 4ас = О.
і раскрывъ вторую часть, найдемъ тождество
Ь
2 Ѵа
ах1-|- Ьх -|- с = оЛг2 4“ 21^	^2;
приравнивая коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ я, найдемъ три условія:
а = а2; Ь = 2я^; с = ^2.
Эти три условія должны существовать совмѣстно, а потому величины а и Эг выведенныя изъ 1-го и 3-го, должны удовлетворять второму.
Такимъ образомъ найдемъ: Ь = 4= 2 |/а . или Ь2 = 4ас.
Примѣчаніе. Если бы а равнялось нулю, то изъ условія Ь2 = 4ас, слѣдуетъ, что и Ь должно =0; триномъ приводится въ этомъ случаѣ къ с: это есть квадратъ количества |/с. Поэтому можно сказать, что каково бы пи было а. искомое условіе есть Ъ*—іас = 0,
И. Найти условіе, необходимое и достаточное для тою, чтобы триномъ
ах'2 -р 2Ьху 4“ су*
былъ точнымъ квадратомъ.
Различаемъ два случая: 1) а = 0; 2) а не равно 0.
Когда а = 0, то, какъ триномъ не можетъ имѣть высшею степенью х— первую, необходимо положить и Ъ = 0. Это условіе, будучи необходимымъ, вмѣстѣ съ тѣмъ и достаточно; ибо, если оно выполнено, то триномъ приводится къ су\ а это есть точный квадратъ количества }/с. у.
Пусть а не равно нулю. Извлеченіе корня даетъ:

а#2 2Ъху -|*
2
о	Ь1	б2 ас	гч
Заключаемъ, что если — — с, или —-— не равно нулю, т.-е. если о— ас отлично отъ нуля, .триномъ не есть точный квадратъ. Итакъ, необходимо* чтобы Ъ2 — ас равнялось нулю. Этого условія, вмѣстѣ съ тѣмъ, и достаточно; ибо равенство
ахі + 2Ъху	су* = Н'а. х 4~ ~=у
показываетъ, что какъ скоро Ьа = ас, данный триномъ превращается въ точный квадратъ количества
+ —-і/, или - - у-к а	У а
Ш. Найти условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы полиномъ
ах2 а'у2 -|- а"я* %Ъуг -|-	4“ 2Ь"яу
былъ точнымъ квадратомъ.
Къ этому примѣру можно приложить общій методъ, которымъ мы пользовались въ двухъ предыдущихъ примѣрахъ. Но мы выведемъ искомыя условія изъ условій, найденныхъ въ предыдущемъ примѣрѣ.
Различаемъ опять два случая: а = 0 и а не.равно 0.
Первый случай. Когда а = 0, то, какъ данный полиномъ, чтобы быть точнымъ квадратомъ, не долженъ содержать членовъ съ первою степенью я, мы должны при всякихъ у И 2 имѣть
6'^4-Ь"у = 0,
откуда, извѣстнымъ уже путемъ, заключаемъ, что
Ь' = 0 и 6" = 0.
Полиномъ приводится къ
а*у2	2Ъуз а”#2.
Изъ предыдущаго примѣра знаемъ, что триномъ этого вида будетъ точнымъ квадратомъ при условіи
а'а" —й« = 0.
Итакъ, искомыя условія суть:
V = 0, б" = 0, а'а" - = 0.
- Второй случай. Пусть а не равно 0. Дадимъ полиному видъ
ая* + 2 (Ь"у + 6'я) #	+ 2^ 4~ а' *
Его можно разсматривать какъ квадратный относительно х триномъ, котораго первый коэффиціентъ а отличенъ отъ нуля. Прилагая сюда доказанное въ предыдущемъ примѣрѣ условіе, найдемъ
(Ь"у -|- Ъ'я)2 = а(а'у2 -|- 2Ьу^ -|- а"яа).
Такъ какъ это равенство должно быть тождествомъ, оно должно имѣть мѣсто »уэм всяяолс у и при всякомъ откуда извѣстнымъ образомъ найдемъ условія:
Ь"* = ааг; ѴЬ" = аЬ; Ь9* = аа".
Этиіъ условій, вмѣстѣ съ тѣмъ, и вполнѣ достаточно. Въ самомъ дѣлѣ, изъ нихъ имѣемъ:
№
-  
Ідоиш этм значенія а', а" и Ь въ данный полиномъ, дадимъ ему видъ
*	, 26'6"ѵя .	। ЛѴ,
•г*  ---------------— -——	2о ях + 26 хи =
• в	а	1
«А”* — йгу — ЬѴ — Э6Ѵу? 4- 2а6^ 4- 2аЪ”ху________
« ат — Уу — 6'г\* \ Iх® /
Отсюда видно, что при найденныхъ условіяхъ данный полиномъ есть полный квадратъ количества
ах + Ъ"у 4- ЬЪ
Г а
ГЛАВА XIII.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ.
Ожредѣленія; предварительныя теоремы.—Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлыхъ и дробныхъ чиселъ съ точностью до 1 и до —.— Сокращенный способъ.—Извлеченіе кубичнаго корня изъ многочленовъ.
153.	Когда число есть кубъ другого числа, то первое называется точнымъ кубомъ, а второе — мочныла кубичнымъ корнемъ изъ перваго. Такъ 125 есть точный кубъ 5-ти, а 5 — точный кубичный корень изъ 125.
154.	Разсужденіями, приведенными въ § 124, докажемъ, что:
Когда цѣлое число не есть точный кубъ, то кубичный корень изъ нею, не выражаясь точно въ цѣлыхъ единицахъ, не можетъ быть точно выраженъ и ни въ какихъ доляхъ единицы.
Такіе корни называются несоизмѣримыми съ единицею: такъ» кубичные корни изъ чиселъ: 3, 10, 15 и т. д. суть числа несоизмѣримыя.
155.	Опредѣленія.—Кубичный коренъ изъ цѣлаго числа, точный до единицы, есть корень изъ наибольшаго куба, заключающагося въ этомъ числѣ, или этотъ корень -}~ 1 -
Первый называется корнемъ точнымъ до 1 по недостатку, второй — по избытку. Такъ, замѣчая, что наибольшій кубъ, заключающійся въ 70, есть 64, заключаемъ, что кубичный корень изъ 70, точный до 1 но недостатку, есть 4, а по избытку — 5.
156.	Остаткомъ кубичнаго корня изъ цѣлаго числа называется избытокъ этого числа надъ кубомъ его корня, точнаго до 1 по недостатку. Напр., остатокъ кубичнаго корня изъ 70 есть разность 70—64 или 6.
Вообще, если данное число есть X, кубичный корень изъ него, точный до 1 по недостатку, равенъ А, а остатокъ—К. то, по опредѣленію остатка, В = Х— А3, откуда
х = а34-в.
Въ частности, когда X есть точный кубъ, остатокъ корня равенъ нулю.
Теорема. — Остатокъ кубичнаго корня не больше утроеннаго произведенія корней изъ даннаго числа, точныхъ до 1 по недостатку и по избытку.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А есть кубичный корень изъ X, точный до 1 по недостатку; въ такомъ случаѣ X содержится между А3 и (А -|-1)3, и слѣд. разность между X и А3 меньше разности (А—I)3 — А3 или ЗА(А-}-1)4"Ь т.-е.
В <2 ЗА(А 4~ 1) 4~ 1 •
Но К и ЗА(А +1)4-1 суть числа цѣлыя, и К — меньше изъ нихъ, то оно меньше второго по крайней мѣрѣ на 1, т.-е.
й<ЗА(А4-1).
Слѣдствіе. Условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы А было кубичнымъ корнемъ изъ X, точнымъ до 1 по недостатку, суть:
К = А84-В и К<ЗА(А4-1).
Въ самомъ дѣлѣ, равенство выражаетъ, что кубъ числа А содержится въ X, а неравенство означаетъ, что X не заключаетъ въ себѣ куба числа А +1.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлаго числа съ точностью до 1.
Эту теорію подраздѣляемъ на три случая.
157.	Первый случай. Данное число меньше 1000.
Въ этомъ случаѣ кубичный корень находятъ прямо при помощи таблицы кубовъ первыхъ девяти чиселъ
Числа: 1	2	3	4	5	6	7	8	9
Кубы: 1	8	27	64	125	216	343	512	729.
г
Ьгтъ требуется извлечь кубичный корень* съ точностью до 1, изъ 427. ігѵ палицы кубовъ видно* что это число содержится между 343 и 512, слѣд.
кубъ, въ немъ заключающійся, есть 343; поэтому искомый корень — * а остатокъ есть 427 — 343 или 84.
158.	Второй случай. Данное число содержится между 1000 и 1000000.
Ітсть дано число 341254; оно больше 1000 или 10®, но меньше 1000000 о 100®, а потому кубичный корень изъ него больше 10, но меньше 100, т. состоитъ изъ десятковъ и единицъ; пусть число его десятковч» будетъ л якхтыіъ единицъ — »; искомый корень будетъ 10^4“ м> и если возможный ♦г-пг'.гь назовемъ буквою К, то получимъ равенство:
41254=( 10Л-р«)®-рК= 1ОООбР + 3 Л 00 й3. и^-3.1 Ой.	... (1).
Чтобы найти цифру десятковъ корня, замѣчаемъ, что слагаемое 1000с?®
«зъ жѣлое число тысячъ, а потому необходимо содержится въ 341000 суммы, а оід. (Р заключается въ 341. Докажемъ, что кубичный корень изъ наиболь-« куба, заключающагося въ 341, и дастъ намъ (2. Въ самомъ дѣлѣ, изъ
іи
кубовъ замѣчаемъ, что 341 содержится между 216 и 343, или между
•*2 і 7*:
63 < 341 < 73.
Помножая этн числа на 1000, мы не измѣнимъ неравенствъ, такъ что: —з	—з
60 < 341000 < 70 .
Прибавивъ къ 341000 число 254, мы усилимъ первое неравенство. Что ка-октгя второго, то какъ 341000 и 70 суть цѣлыя числа тысячъ и первое «Бше второго, то оно меньше его но крайней мѣрѣ на 1000; слѣд,, увели-чвъ первое на 254 — число, меньше 1000, получимъ результатъ, во всякомъ  з
лучаѣ, меньшій 70 , такъ что и второе неравенство не нарушится. Итакъ ---------------------------3	—3 60 < 341254 <70 ,
т^тда, переходя къ корнямъ, имѣемъ:
60 < ^341254 <70.
Эти неравенства доказываютъ, что искомый корень больше 6 десятковъ, но т- заключаетъ въ себѣ 7 десятковъ, т.-е. что онъ содержитъ 6 цѣлыхъ де-л г ко въ, и, можетъ быть, нѣсколько простыхъ единицъ, число которыхъ не боль-
9. Итакъ, й = 6, т.-е.	корня равна кубичному кор-
ню изъ наибольшаго куба, содержащагося въ числѣ тысячъ даннаго числа.
Подставивъ въ равенство (1) 6 вмѣсто й, получимъ:
341254 =216000 4-3 , 3600 , и + 3.60 . и24-«3-)-К.. .(2) изъ обѣихъ частей по 216000, найдемъ
125254 = 3.3600 . »-}-3.60 . и*4-и3-]-Н.
162 —
Для нахожденія цифры и единицъ корня замѣчаемъ, что слагаемое 3.3600л/ ость цѣлое число сотенъ, а потому необходимо заключается въ 1252 сотняхъ суммы* Но въ составъ этихъ сотенъ суммы могутъ входить сотни и отъ остальныхъ членовъ ея (т.-е. отъ 3 . 60 . и2, «3 и К). Поэтому, членъ 3 , ЗбООи или равенъ, или меньше 125200. Итакъ
3 . 3600* < 125200,
откуда
^1252
<3.36*
и
Но цифра единицъ и есть число цѣлое, а потому, раздѣливъ 1252 на 3.36, и взявъ цѣлую часть частнаго, найдемъ высшій предѣлъ цифры единицъ корня. Замѣтивъ, что 125254 называется первымъ остаткомъ, выводимъ изъ сказаннаго слѣдующее правило для нахожденія цифры единицъ корня: опиливъ аа первомъ остаткѣ двѣ цифры справа запятою и раздѣливъ оставшееся влѣво отъ запятой число на утроенный квадратъ цифры десятковъ корня, въ цѣлой части частнаго будемъ имѣть высшій предѣлъ цифры единицъ корня.
Въ данномъ случаѣ, цѣлая часть сказаннаго частнаго есть 10; слѣд., цифра единицъ корня будетъ 9 или меньше 9. Для испытанія цифры 9, мы должны составить сумму 3 . 3600.9 —3 . 60.9а —9В и вычесть ее изъ перваго остатка: если вычитаніе будетъ возможно, то цифра 9 будетъ требуемая; въ противномъ случаѣ ее надо послѣдовательно уменьшать на 1 до тѣхъ поръ, пока вычитаніе сдѣлается возможнымъ* Сумму, подлежащую вычитанію, можно написать такъ:
[3 X 3600 + (3 X 60 4- 9) X 9] X 9.
3X3600=10800; 3X604-9=189; 189X9 = 1701; 10800 4-1701 = = 12501; 12501 X 9 = 112509, что меньше 125254.
Итакъ, цифра единицъ равна 9; искомый корень = 69, а остатокъ корня = 125254 — 112509 = 12745.
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
у'341,254 216
10811252,54 1125 09
12 745
69
189
Х9
1701
4-10800
12501
Х9 112509
159. Общій случай. — Этотъ случай приводится къ двумъ предыдущимъ при помощи слѣдующей теоремы.
Теорема. —> Число десятковъ кубичнаго корня изъ даннаго числа равно кубичному корню изъ наибольшаго куба, содержащагося въ числѣ тысячъ этого числа. -
Пусть данное число будетъ 495864349, и пусть а8 будетъ наибольшій кубъ, содержащійся въ числѣ тысячъ этого числа, т.-е* въ 495864; въ такомъ случаѣ имѣемъ:
а3 <495864 < (а+ I)8;
откуда, умноживъ всѣ числа на 1ООО, получимъ:
(10а)а < 495864000 < [10 («+1)]®;
или. придавай къ среднему числу 349, что' не измѣнитъ смысла неравенствъ, но обратитъ возможное равенство въ неравенство:
(10а)3 < 495864349 < [10 (а 4~1)]\
Отсюда, переходя къ корнямъ, найдемъ:
10а < ^495864349 < (а +1). 10.
Итакъ, искомый корень заключается между а десятками и а 1 десяткомъ, а потому содержитъ а десятковъ, и нѣкоторое число единицъ, не большее 9. Теорема такимъ образомъ доказана.
160. Мы нашли, что число десятковъ кубическаго корня изъ числа 495864349 есть корень кубичный изъ 495864; число же десятковъ этого послѣдняго корня, или число сотенъ перваго, равно кубическому корню изъ 495 (по той же теоремѣ). Отсюда заключаемъ:
1. Чтобы найти цифру высшаго разряда кубичнаго корня изъ цѣлаго числа, достаточно раздѣлитъ его на грани, отдѣляя по три цифры отъ правой руки къ лѣвой, и извлечь кубичный коренъ изъ первой грани слѣва.
2. Число цифръ корня, точнаго до 1 по недостатку, изъ цѣлаго числа равно числу сказанныхъ граней.
161* Извлечемъ кубичный корень изъ 495864349.
Извлекая кубичный корень изъ 495864 такъ, какъ указано въ § 158, найдемъ число десятковъ искомаго корня: оно будетъ 79. Назвавъ цифру единицъ корня буквою и и возможный остатокъ черезъ К, имѣемъ:
—з	—2
495864349 = 79 . 10004-3 . 79 . 100 . и-{-3 . 790 . и*4-ыа4-В.
—з
Вычитая изъ обѣихъ частей этого равенства по 79 . 1000, получимъ:
—2
2825349 = 3 . 79 . 100 . ^4-3 . 790 . ««4-и84-В.
Отсюда, извѣстными разсужденіями убѣдимся, что высшій предѣлъ цифры единицъ * найдемъ, опредѣливъ цѣлую часть частнаго отъ раздѣленія 28253 на
3 . 79 , т.-е. на 18723. Цѣлая часть этого частнаго равна 1; поэтому цифра
единицъ корня будетъ или 1 или 0.
Для испытанія 1, составляемъ остальные три члена куба корня, т.-е. ---2
3 . 79 . 100 Х1 + 3 . 790 XI4 * * * 4-	470 Даетъ 1874671; такъ какъ это
число не превышаетъ остатка 2825349, заключаемъ, что цифра единицъ корня есть 1, самый корень = 791, а остатокъ корня =2825349 — 1874671,
или 950678.
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
}/ 495,864,349 343
147 9 '1528,64
' 1500 39
18723 1 ~| 28253,49
18746 71
9506 78
791
49 X 3 = 147^ 219 X 9 = 1971
14700
+ 1971
1667] X 9 = 150039
~	” 1971	“ ’	.
16671
81 _____	__2 18723 = 3X79 , 2371X1 = 2371. 1872300
2371
1874671 X1
Отсюда выводимъ:
162.	Правило извлеченія кубичнаго корня съ точностью до 1 изъ цѣлаго числа.
Раздѣляютъ данное число на грани по три цифры отъ правой руки къ лѣвой, при чемъ первая гранъ слѣва можетъ имѣть и двѣ цифры и даже одну.
Первую цифру корня найдемъ, извлекая кубичный коренъ изъ первой грани слѣва.
Чтобы найти вторую цифру, вычитаютъ изъ первой грани кубъ первой цифры корня, и къ остатку сносятъ вторую гранъ: такимъ образомъ получается первый частный остатокъ. Отдѣляютъ съ правой стороны его двѣ цифры, а оставшееся влѣво отъ запятой число дѣлятъ на утроенный квадратъ первой цифры корня: цѣлая частъ частнаго дастъ высшій предѣлъ для второй цифры корня.
Чтобы узнать, годится ли эта цифра, приписываютъ ее справа къ утроенной первой цифрѣ корня, и умножаютъ полученное число на испытуемую цифру; къ произведенію придаютъ утроенный квадратъ первой цифры корня (служившій сейчасъ дѣлггтелемъ), приписавъ къ нему справа два нуля, и умножаютъ полученную сумму на испытуемую цифру. Если это произведеніе не превыгиаетъ перваго остатка, испытуемая цифра годится; въ противномъ случаѣ уменьшаютъ ее на 1 и снова исполняютъ указанное испытаніе, и т. д., пока испытаніе не дастъ произведенія, не превышающаго первый частный остатокъ. Найденную цифру приписываютъ справа отъ первой цифры корня.
Для нахожденія третьей цифры корня, вычитаютъ составленное произведеніе изъ перваго остатка, и къ разности сносятъ третью грань: получится второй частный остатокъ. Съ правой стороны его отдѣ-. ялюли йвіъ цифры, и дѣлятъ оставшееся влѣво отъ запятой число на утроенный квадратъ числа, найденнаго въ корнѣ: цѣлая часть частнаго будетъ представлять высшій предѣлъ третьей цифры корня: испытываютъ эту цифру вышеуказаннымъ способомъ.
Такимъ образомъ продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока будутъ снесены всѣ грани.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ дробей съ точностью до 1.
163.	Теорема. /Губмчный корень изъ несократимой дроби несоизмѣримъ, если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и знаменателя. То же доказательство какъ въ § 136.
8
Такъ, члены дроби ^5 — точные кубы, поэтому кубичный корень изъ нея извлекается точно:
7/а =?.
У 125 ^125 5
8 3
Кубичные корни изъ дробей ттг и
9 «
3
— несоизмѣримы.
164.	Теоре м а. ~ Кубичный коренъ изъ дробиі точный до 1, есть корень изъ наибольшаго куба, заключающагося въ цѣлой части даннаго числа* или этотъ корень -}- 1*
Доказательство аналогично § 137. Отсюда
Правило, Чтобы извлечь кубичный коренъ изъ дроби точно до 1, надо отбросить дробную частъ, и извлечь кубичный корень изъ цѣлой части точно до 1,
Примѣръ. Извлечь кубичный корень изъ 2896,75 съ точностью до 1.
Откидывая дробь, извлекаемъ, съ указанною точностью, корень изъ 2896; находимъ результаты: 14 —по недостатку и 15 — по избытку.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлыхъ чиселъ и изъ дробей съ точностю до -* п
165.	/Троило, Ѵтпооод извлечь кубичный коренъ изъ цѣлаго или изъ 1
дробнаго числа съ точностью до нужно умножитъ это число на кубъ знаменателя степени приближенія, изъ произведенія извлечь коренъ точно до 1, и раздѣлитъ ею на знаменателя степени приближенія.
Доказательство такое же какъ н въ § 139. 3/-	1
Примѣръ. Вычислить у 3 съ точностью до
Для этого надо извлечь кубичный корень изъ 3)^ 100\ т.-е. изъ 3000000 съ точностью до 1; и раздѣлить результатъ на 100.
3/3,000,000
34 | 20,00
17 44 | 2560,00.
2419 84
140 16
1
Искомый корень = 1,44—
144
34X4 = 186
300
136
436 Х4 = 1744
136	424 Х4= 1696
436
16
’58800
1696
60496X4 = 241984
недостатку, и 1,45 — но избытку.
Сокращенный способъ извлеченія кубичнаго корня.
166.	Пусть требуется извлечь кубичный корень съ точностью до 1 изъ цѣлаго числа А — случай, къ которому приводятся всѣ остальные. Положимъ, что корень имѣетъ 2т 4* 1 цифръ, и что обыкновеннымъ способомъ найдено т -|-1 цифръ, т.-е. больше половины всѣхъ цифръ корня, а остается найти послѣднія т цифръ. Обозначимъ буквою а число, составленное найденными т-|-1 цифрами, сопровождаемыми т нулями, а буквою х остальную часть корня, которая вообще есть число несоизмѣримое: истинный корень выразится суммою Итакъ:
А = (а 4” х)8 = аа За2# За#2 4“ откуда
А—а3____	।
~3а» -:Г' «	За7:'
Найдемъ цѣлую часть ? частнаго отъ раздѣленія А — а3 на За3, и пусть остатокъ дѣленія будетъ г; слѣд. получимъ равенство:
А—а* За»

Приравнивая два выраженія частнаго
найдемъ:
откуда
Докажемъ, что абсолютная величина разности	4"^] меньше 2,
и что слѣд. д_ выражаетъ величину х съ ошибкою, меньшею 2 единицъ.
Замѣтивъ, что г есть остатокъ дѣленія, въ которомъ дѣлитель равенъ За2, заключаемъ, что 1. Затѣмъ, въ цѣлой части х находится т цифръ, поэтому х меньше наименьшаго (т4~1) значнаго числа, т.-е. #<1От, а потому х* < 1О2т; съ другой стороны а состоитъ изъ 2т 4“ 1 Цифръ, слѣд. а^ІО2™;
% 1
а потому — < 1. Наконецъ, За> 3 . ІО2”*, а потому < з ^т* Отсюда вид-но, что I 4“	< 2, и слѣдовательно
а?3 /. । а: \ а \ За/
.	г #3 /. । х \	п
а значитъ и абсолютная величина раности	—а ѵ ' За/ также меньше 2.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее заключеніе:
чтобы извлечь, съ точностью до 1, кубичный корень изъ цѣлаіо числа, находятъ обыкновеннымъ способомъ больше половины всѣхъ цифръ корня; затѣмъ остальныя, съ точностью до 2, находятъ, раздѣливъ полный
гмдтока яа утроенный квадратъ найденной части корня (т-е. числа, еюлоящаго изъ т-|-1 ж/юыяь съ т ж/лялш^-
Слѣдуетъ замѣтить, что лишь въ исключительныхъ, рѣдкихъ, случаяхъ при-<^женіе будетъ ошибочно болѣе чѣмъ на 1; обыкновенно же, ошибка бываетъ
ньше 1; во всякомъ случаѣ, найдя указаннымъ сокращеннымъ способомъ ко-
мъ, слѣдуетъ прямо вычислять предѣлъ разности
167.	Можно всегда опредѣлить, будетъ ли корень, вычисленный сокращен-югъ способомъ, т.-е. а 4- 5 — точный, или приближенный; а въ послѣднемъ случаѣ — въ какую сторону сдѣлана ошибка.
Въ самомъ дѣлѣ, назовемъ остатокъ по нахожденіи части а корня буквою К; имѣемъ равенство:
А — а’ = К, откуда А = <ъ3—К.
Раздѣливъ Н на За*, въ частномъ получимъ 0, и въ остаткѣ г; слѣд.
В За*. 0 4*
а потому
Отсюда:
А = а® Ц- За*д 4“
I)	Если г > (За 4-0)0*, то А>(а-[“#)3і я слѣд. будетъ приближеніе по недостатку.
2)	Если —(За4“5)52, то А = («4-®)®, слѣд. а 4*0 будетъ точный корень.
3)	Если же г<(За4-0)02, то А<(а4”0)\ а слѣд. а 4*0 будетъ приближеніемъ по избытку.
168.	Извлечь кубичный корень изъ 96428639457679. Первыя три цифры опредѣляемъ обыкновеннымъ способомъ.
96,428,639,457,679
324,28
5303639
356727
458
4800	125	607500	1358
625	5	10864	8
5425		618364	
25		64	
6075		629292	
Находимъ 458. Остатокъ К=356727457679; а=45800; За2=6292920000. ' ѵігѢ-гивъ В на За*, находимъ въ частномъ 56. Искомый корень = 45856.
Вычисляемъ предѣлъ разности	I 4~ V Такъ какъ а > 4.10\ и
- < !0\ то — < 7* Затѣмъ, За > 12 , ІО1 сл. а 4	7	’	3«
т
< 1 ~ плда Отсюда: 1 +з5/ <41 + Ила»)	< Е Сл- и У
^1—^)<1. Корень 45856 ошибоченъ меньше чѣмъ на 1, и какъ легко убѣдиться— по недостатку.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ многочленовъ.
169.	Пусть требуется извлечь кубичный корень изъ многочлена
— 125а9#12 4“ 150а8#114~ 165а7#16 — 172ай#й — 99ап#84~ ^^а1#7 Ц- 27а3#6, расположеннаго по убывающимъ степенямъ буквы х, которую мы принимаемъ за главную. Допуская, что многочленъ этотъ есть точный кубъ, и что корень изъ него, также расположенный по убывающимъ степенямъ буквы есть 4’^4“
г 4"3“Ь ’  •, замѣчаемъ, что данный многочленъ долженъ быть равенъ кубу своего корня, т.-е. (^4~ Г-Н5-Ь •*)* Такимъ образомъ имѣемъ тождество:
— 125аэ#,24’ 15Оа8#114~165а7#10— 172а6#9 — 99а5#84-54а4#74-27а3#6= р* -|“ ^Р2? 4“ Зр#2 4“ 7* 4“	?)*г “Ь ^Ср 4“	“Ь г* 4“ * ‘ (1 )•
По свойству тождества, высшіе члены обѣихъ частей должны быть равны, а потому р* =—125а°#Іа, откуда
р= і/—125а9#12 = —5а3#1.
Отсюда заключаемъ: сЬья нахожденія высшаго члена корня нужно извлечь кубичный коренъ изъ высшаго члена даннаго многочлена^
Вычтя изъ первой части тождества (1)—125а9#12, а изъ второй — равное ^тому количество р8, найдемъ тождество:
150а8#п 4” 165а7#10— 172а8#9— 99а5#8-}- 54а1#7 4~ 27а3#6 = Зр2#4“ 4- зр$*+г?3 + зСр+оУ*г+зср4~ ?)г2+ГЧ— (2)’
а потому высшіе по буквѣ # члены обѣихъ частей должны быть равны, т.-е.
З^а д = 150а8#11, или, такъ какъ = — 5а8#1, то 3.25а6#8. ц = 150а8#11, откуда
ц = 150а8#11 : 75а6#8 = 2аа#3.
Отсюда заключеніе: чтобы найти второй членъ корпя, нужно изъ даннаго полинома вычесть кубъ перваго члена и высшій членъ перваго остатка раздѣлитъ на утроенный квадратъ высшаго члена корпя.
Вычтемъ изъ второй части тождества (2) 3/>ядг4"3^324_?3і а изъ первой равное этому выраженіе: 3,{—5а3#1)а.2а2#34_^(—5а8#1)Д2аа#в)а4~(2а2#3)3 ил и 150а 8#н — 6 Оа7#1 * 4~	чай де мъ т ож дес тв о
225а7#10— 180а6#9 — 99аг,#84~ 54а1#7 4~ 27а3#6 3(^4_<?)2г4-+ 3(Р + д)г* + Г» 4-.. .(3).
Приравнивая снова высшіе члены обѣихъ частей, получимъ равенство
Зр3г = 225а7#10, или 3.25а6#\ г = 225а7#10, откуда г = 225а7#10: .75а6#8 = За#8
Отсюда заключаемъ: чтобы найти третій членъ корня, нужно изъ перваго остатка вычесть утроенное произведеніе квадрата 1-го члена корня на 2-й “I* утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго и кубъ второго, а первый членъ второго остатка раздѣлитъ на утроенный квадратъ 1-го члена корня.
Вычтемъ изъ второй части тождества (3) выраженіе 3(р-|-д)Ѵ-]-3(р-|-<2) г3-]-г3, а изъ первой равное емѵ количество: 3(—5а3#*-р2аа#3)а. За#2-^-3(— 5аа#*+2а2#а).(3а#а)я+(3а#й)3=225а7#19— 180аМ-^36а*а:8— 135аѴ -|= 54а*#7 — 27а3#6 = 225а7#16 — 180а6#3 — 99а3#8 -|- 54а*#7-|- 27а3#6, Но вычитаніи въ остаткѣ въ 1-й части получается ноль; поэтому, данный полиномъ есть точный кубъ, и искомый корень = — 5а3#*-р 2а2#3За#2.
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
— 125а9# 12+150а»#1 4-1 65а7#1®—172аМ—99а’#8-ь5^і1#Н 27а3#8 - 5а3#4 ^аЗД+Зая* ± 125а9#12	75ав#»
+Т50аВДН 165а7#10—І72д^^д3д^	- 5а^). 4а*а^4-( 2а'9Р)
—150а»#11 -р 60а7#1® 8а»#9	7 5а6#»
225а7#19—180а’#9—Э9а^4-54а1#7+27а5#»:3(—5аЗЛ<(_2а^ ^За^Ч-
—225аЗД9±180а«^^Ж(МТ54а^^27аЗ^'+3(—5аЗдГі_|_2а2#з).9а'#*Ч=27аз#9 ±135а5.г8
------------------б----------------
Отсюда выводимъ слѣдующее
170.	Драяімя. Распо^оэса^ъ полиномъ по убывающимъ степенямъ главной буквы, извлекаемъ кубичный коренъ изъ перваго его члена: получаемъ первый членъ корня.
Вычтя кубъ его изъ даннаго полинома, найдемъ первый остатокъ: раздѣливъ первый членъ этого остатка на утроенный квадратъ перваго члена корня, въ частномъ получимъ второй членъ корня.
<*	Вычтя изъ перваго остатка утроенное произведеніе квадрата пер*
ваго члена корня на второй, утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго и кубъ второго члена корня, получимъ второй остатокъ. Раздѣливъ первый его членъ на утроенный квадратъ перваго члена корня, получимъ въ частномъ третій членъ корня.
Вычтя гізъ второго остатка утроенное произведеніе квадрата суммы первыхъ двухъ членовъ корня на третій, утроенное произведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ на квадратъ третьяго а ят/бг> третьяго члена, найдемъ третій остатокъ. Раздѣливъ .первый его членъ на утроенный квадратъ перваго члена корня, получимъ въ частномъ четвертый членъ корня и т. д.
Дѣйствіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ получится ноль.	*
171.	Когда неизвѣстно, представляетъ ли данный полиномъ точный кубъ г	или нѣтъ, примѣняютъ къ нему предыдущее правило, замѣчая, что будетъ ли поли-
номъ расположенъ по нисходящимъ, пли но восходящимъ степенямъ главной буквы, всегда можно предвидѣть степень послѣдняго члена корня, въ предположеніи, что данный многочленъ есть точный кубъ; она должна быть втрое меньше степени послѣдняго члена его. Когда данный полиномъ есть точный кубъ, послѣдній членъ корня долженъ равняться кубичному корню изъ послѣдняго члена полинома, а слѣдующій остатокъ долженъ быть нулемъ. Въ противномъ случаѣ данный многочленъ не есть точный кубъ.
ГЛАВА XIV.
Объ ирраціональныхъ числахъ.
Происхожденіе ирраціональныхъ чиселъ.—Несоизмѣримыя величины въ геометріи.— Способъ предѣловъ. — Распространеніе основныхъ законовъ дѣйствій на числа несоизмѣримыя.
172,	Изученіе обратныхъ дѣйствій служитъ источниковъ для открытія новыхъ разрядовъ величинъ. Такъ, три прямыя ариѳметическія дѣйствія надъ цѣлыми числами, т.-е. сложеніе, умноженіе, которое есть только частный случай сложенія и возвышенія въ степень — частный случай умноженія, даютъ въ результатѣ всегда только цѣлыя числа. Прн изученіи же трехъ обратныхъ дѣйствій — вычитанія, дѣленія и извлеченія корня, открываются новые роды величинъ, а именно: вычитаніе приводитъ къ открытію отрицательныхъ величинъ, дѣленіе — къ открытію дробныхъ, а извлеченіе корня приводитъ къ двумъ но-вымъ разрядамъ величинъ — несоизмѣримыхъ и мнимыхъ* Въ этой главѣ мы займемся изученіемъ чиселъ несоизмѣримыхъ или ирраціональныхъ.
173.	Происхожденіе ирраціональныхъ чиселъ при извлеченіи корня.
Обобщимъ теоремы 124, 136, 154 и 163 для корня какого-угодно по-
рядка.
Теорема I. Если цѣлое число А есть неточная п-ая степень корень п-ю порядка изъ нею — несоизмѣримъ,
*Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ лаго числа, то і/А не можетъ же, что этотъ корень равняется можность равенства
то
цѣ-
А не есть точная «-ая степень другого равняться никакому цѣлому числу. Допустивъ
X	X Р
несократимой дроби
т.-е. допустивъ воз-
рп
имѣли бы отсюда, что
Но р есть число первое съ слѣд. рп — первое съ д’1, а потому не но-жетъ равняться цѣлому числу А, и допущенное равенство невозможно. Итакъ, корень п-го порядка изъ цѣлаго числа, не представляющаго точной п-ой степени, несоизмѣримъ съ единицею.
Таковы; /7, /32, /53, и т. д.
Теорема II. Корень п-ю порядка изъ несократимой дроби песо-измѣримъ, если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и знаменателя.
** /а
Въ самомъ дѣлѣ, равенство 1/ — = Р, гдѣ Р— число цѣлое, невозможно, \ в ,
ибо оно приводитъ къ равенству у = Рп, выражающему, что несократимая дробь
равна цѣлому числу. Такимъ образомъ, искомый корень не можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ. Но онъ не можетъ быть точно выраженъ и конечною
«/л	С С
* дробью. Въ самомъ дѣлѣ, допустивъ равенство т/ — =~, Г) — не~ ж А Сп ,	*
сократимая, имѣемъ: 3 = цні гдѣ вторая часть — также дробь несократимая.
Равенство этихъ дробей возможно .только тогда, когда А = СП, и В = В", т.-е.
„	м / А
когда А и В суть точныя я-ыя степени; если же этого нѣтъ, то 1/ — нельзя
точно выразить ни въ цѣлыхъ единицахъ, ни въ доляхъ единицы, слѣд. корень * этотъ будетъ несоизмѣримъ.
Таковы: р/Ч |/? и т. д.
174.	Хотя ирраціональныя числа нельзя вычислять точно, но всегда можно ихъ опредѣлять съ какою-угодно степенью точности.
Пусть, напр., требуется вычислить УА, гдѣ А есть цѣлое число, не представляющее точной я-ой степени, съ ошибкою меньшею гдѣ р—какъ угодно большое цѣлое число. Умноживъ и раздѣливъ данный корень на получимъ (подведя множителя р подъ знакъ корня):
"/т _ Р _ ѴАрп
* Р Р
Если наибольшая я-ая степень, содержащаяся въ Арм, будетъ цѣлое число гп, то »• + 1 >’/аР > г, откуда, раздѣливъ всѣ три' числа на р и замѣтивъ, что
*	= у"А, найдемъ
Г+1 >,/А>Г. ₽ г Р
,	г	г-4-1	/-
откуда прямо слѣдуетъ, что какъ такъ и - выражаютъ к А приближенно, съ ошибкою меньшею : требуемое доказано.
* /а а
Точно такъ же, если "| / гдѣ — дробь несократимая, нельзя вычислить точно, то можно найти его съ какимъ-угодно приближеніемъ. Въ самомъ дѣлѣ, помноживъ числ. и знам. на Вп“\ найдемъ:
"/а _ ”/ав*-і _ /аі>2 у В~|/ ВЛ в“;
но, по предыдущему, всегда можно найти двѣ
пусть эти дроби будутъ -
дроби, разнящіяся
А -4-1 и -----, такъ что
Р ’
меньше чѣмъ
на ~ Р
п______
отъ і/ІВ*”1;
раздѣливъ всѣ три числа на В, найдемъ,
у-і ВР
откуда заключаемъ, что крайнія дроби выражаютъ искомый корень съ ошибкою, меньшею о *	'
175, Несоизмѣримыя величины въ геометріи. Геометрія также представляетъ примѣры несоизмѣримыхъ величинъ; извѣстнѣйшія изъ нихъ: окружность круга и,діаметръ, діагональ квадрата и сторона. Чтобы показать, какимъ образомъ можно убѣдиться геометрически въ несоизмѣримости двухъ линій, докажемъ а ргіогі,—сравненіемъ на самомъ дѣлѣ этихъ линій, что діагоядль квадрата несоизмѣ2)има съ ею стороной.
Черт. 10,
Проведемъ діагональ АС квадрата АВСВ и продолжимъ ее ?а точку А. Изъ А, какъ изъ центра радіусомъ АВ опишемъ полуокружность, которая пересѣчетъ діагональ и ея продолженіе въ точкахъ М и К. Для доказательства, что АС несоизмѣрима съ АВ, постараемся измѣрить первую изъ этихъ линій помощію второй.* *
Итакъ, составимъ отношеніе
АС
АВ
Мы имѣемъ: АС = АМ МС = АВ МС. откуда
АС _ . д_ МС _ 1
АВ “ 1 АВ “ 1 "і" АВ *  *
МС
АВ
Вопросъ приводится къ опредѣленію отношенія Замѣчая, что СВ есть касательная, а СИ — сѣкущая къ окружности имѣемъ:
ав = св = смхс^
откуда
АВ _ Сі\т
МС — АЙ', а •	— X
Но Сй = ЙА-|- АМ —|—МС == 2АВ + МС, поэтому
АВ _ 2АВ + МС . о । МС _ о . 1
МС““ АВ “	। АВ — ~ ' АВ"
МС ‘
Внося эту величину въ равенство (1), находимъ
АС _ т ।	1
АВ ~	1
“+/АВ'\ \мс)‘
Итакъ, снова приходится опредѣлять отношеніе Но эта величина намъ извѣстна: она опредѣляется равенствомъ (2); такимъ образомъ снова мы вве-АВ
демъ которое опять нужно будетъ замѣнить его величиною изъ (2), и т. д.
Такія когда АВ МС’
подстановки будутъ продолжаться неограниченно, такъ что дѣйствіе ни-не можетъ бытъ закончено. потому что всегда будемъ получать отношеніе Итакъ, отношеніе представляется въ видѣ
ЛС- 1 _г ]_
АВ ~	' 2 + 1
2 + 1
2+ -
такъ что оно никогда не можетъ быть вычислено съ точностію: линіи АС и АВ — суть, слѣдовательно, линіи несоизмѣримыя.
176.	Дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами подчинены тѣмъ же законамъ, какъ и дѣйствія надъ числами соизмѣримыми. Доказательство этого положенія основано на особомъ способѣ, называемомъ способомъ предѣловъ, съ начальными основаніями котораго намъ необходимо, поэтому, теперь же ознакомитыя-
Способъ предѣловъ.
177.	Количество называется постояннымъ, если въ данномъ вопросѣ оно м-* измѣняетъ своей величины. Такъ: радіусъ въ данномъ кругѣ есть величина иклоянная, также сумма угловъ треугольника и т. и.
Количество наз. перемѣннымъ, если оно не имѣетъ одной опредѣленной млкчіны, но измѣняется въ болѣе или менѣе широкихъ границахъ. Напр», углы треугольника, хорда крута, и т. п.
Если перемѣнная величина, измѣняясь, приближается къ нѣкоторой постоянной^ такъ что разность между ними можетъ быть сдѣлана какъ угодно малою, то постоянная называется предѣломъ перемѣнной. Для выясненія понятія о предѣлѣ приводимъ слѣдующіе примѣры.
Примѣръ I.—Разсмотримъ выраженіе 1-р"* въ которомъ буквѣ х будемъ послѣдовательно давать цѣлыя положительныя значенія: 1, 2, 3,...; тогда будетъ принимать величины: 1 + р 1-р^ !+§»••• постепенно уменьшающіяся и приближающіяся къ 1.
Слѣд. 14“ - будетъ количество перемѣнное, приближающееся къ постоян-•Г
ному числовому значенію—къ 1.
При этомъ, разность между перемѣннымъ 1-|““ и постояннымъ 1 выра-. 1
жается дробью - которая можетъ быть сдѣлана какъ угодно малою; въ са-момъ дѣлѣ, желая, чтобы эта разность была меньше нужно только ^-су дать величину, большую 1ООООО.
і-	। і
Заключаемъ, что предѣломъ перемѣнной въ данномъ случаѣ, будетъ 1.
Слово предѣлъ означаютъ буквами Ііт (отъ франц. слова Іітііе—предѣлъ), такъ что можемъ предыдущій результатъ письменно выразить такъ:
Лт
1.
Примѣръ П. — Разсмотримъ еще величину а, выраженную линіей АВ.
Раздѣлимъ эту .линію пополамъ, потомъ одну изъ половинъ еще пополамъ и т. д. до безконечности, и разсмотримъ рядъ
іВ
Черт. 11.
состоящій изъ безконечнаго числа членовъ. Это будетъ величина перемѣнная, увеличивающаяся съ возрастаніемъ п и все болѣе и болѣе приближающаяся къ а. Если взять въ этой суммѣ п первыхъ членовъ, то она будетъ меньше а на чѣмъ больше будетъ п, тѣмъ эта разница будетъ ближе къ нулю, никогда, однако, его не достигая. Итакъ « есть предѣлъ перемѣнной	при
неограниченномъ увеличеніи п.
178.	Замѣтимъ, что одного приближенія перемѣнной величины къ постоянной еше недостаточно для того, чтобы постоянную принять за предѣлъ пе-
ремѣнно*: необходимо, чтобы разность между ними могла быть сдѣлана какъ угодно Такъ періодическая дробь 0,9898 - *., по мѣрѣ увеличенія числа і- ^’ичныіъ знаковъ, увеличивается, приближаясь къ 1, но 1 не лесть
предѣлъ >т <й дроби, ибо разность между 1 и данною дробью, сколько бы въ послѣтжі ни взяли десятичныхъ знаковъ, всегда больше Предѣлъ данной
дрси.і
179,	Выясняя понятіе о предѣлѣ, мы встрѣтились съ особаго рода вели-'ГйЕдті: перемѣнными, имѣющими свойство неограниченно уменьшаться, приблп-хді-:ь къ пулю. Перемѣнная величина, неограниченно приближающаяся къ нулю п •’.гѣтпвательпо имѣющая предѣломъ нуль, получаетъ названіе .калой. если ее разсматривать въ состояніи близкомъ къ нулю. Такъ, разность м-хіу перемѣнною и ея предѣломъ, когда перемѣнная приближается къ своему :*-іѣлу, есть безконечно-малая величина.
Нужно остерегаться смѣшивать понятія — #езконечно-лшлое и </есъл<а л/</-лле: эти понятія не имѣютъ ничего общаго между собою. Названіе весьма-малой примѣняется къ постоянной величинѣ, настолько малой, что она ускользаетъ > тъ оцѣнки ея нашими чувствами. Напротивъ, безконечно-малая, будучи существенно перемѣнною, не имѣетъ опредѣленной величины, и слѣд. величпна ея ничѣмъ не связана съ нашими физическими средствами оцѣнки величинъ. Сущность безконечно-малой заключается въ томъ, что она имѣетъ свойство неограниченно уменьшаться, становясь какъ угодно близкою къ нулю.
180.	величиною наз. такая перемѣнная, которая
можетъ быть сдѣлана болѣе всякой напередъ заданной величины, какъ бы послѣдняя ни была велика.
Примѣромъ безконечно-болыпой величины можетъ служить дробь -, *гдѣ х безконечно-малая величпна. Въ самомъ дѣлѣ, можетъ быть сдѣлана больше всякой заданной величины: желая, напр., сдѣлать эту дробь больше 100000, достаточно взять х меньше 0,00001.
Понятіе о безконечно-большой величинѣ не слѣдуетъ смѣшивать съ понятіемъ о весъла большой величинѣ. Такъ, 1000000 верстъ есть величина весьма большая, но не подходитъ подъ понятіе о безконечно-большой величинѣ. Названіе весьма большой дается величинѣ постоянной; напротивъ, безконечно-большая — есть величина существенно перемѣнная.
Не слѣдуетъ также смѣшивать понятіе о безконечно-большомъ съ абсолютною безконечностью, взятою въ обыкновенномъ смыслѣ. Абсолютная безконечность исключаетъ всякую идею ограниченія и численнаго опредѣленія, и потому не іожегь служить предметомъ математическаго изслѣдованія.
181.	Свойства безконечно - малыхъ. — I. Сумма безконечно- малыхъ, взятыхъ въ	числя^ есть величина безконечно-малая.
Возьменъ п безконечно-малыхъ величинъ:	аят..., ап; требуется
•}ѵ доказать, что сумма ихъ можетъ быть сдѣлана меньше всякой произвольно малой величины а. Такъ какъ і1э і2,... суть величины безконечно-малыя.
то каждая изъ нихъ можетъ быть сдѣлана меньше поэтому имѣемъ рядъ не-
равенствъ:
21
і н
а к
а
П
Сложивъ ихъ, пайдемъ
такъ какъ берется слагаемымъ га разъ; или

а

«< *
и требуемое доказано
'* га
й можетъ быть сдѣлана меньше а,
•II. Ралностъ гіаудъ бешжечно-.малыхь есть величина безконечномалая.
Дѣйствительно, если зц н л5 суть величины безконечно-малыя, то уменьшивъ на о*, получимъ разность — аа меньшую ап а потому и подавно безконечно-малую.
111.	Произведеніе нѣсколькихъ безконечно-малыхъ, взятыхъ въ опредѣленномъ числѣ, есть величина безконечно-малая.
Возьмемъ п безконечно-малыхъ:	аа, з3, ..., ай и докажемъ, что про-
изведеніе ихъ можетъ быть сдѣлано меньше произвольно малаго количества а. ап — будучи безконечно-малыми, могутъ быть сдѣланы меньше поэтому имѣемъ:
аі < Перемноживъ эти неравенства, найдемъ:
аа < /а	. а3 ...	< і/я  |/а -	— ’/а,
или а1.аа.а3...ап<(^)я;
но, но опредѣленію корня, (|/Гй)Л = ^ слѣд.
. <2а *	... Л,
что п требовалось доказать.
Слѣдствіе. Такъ какъ степень есть произведеніе равныхъ множителей, то изъ предыдущей теоремы прямо слѣдуетъ, что степень съ конечнымъ цѣлымъ положительнымъ показателемъ безконечно-малой есть величина безконечно
малая.
IV.	Произведеніе безконечно-малой на величину конечную—безконечно мало.
Пусть аг—безконечно-малое, а « — конечное количество; доказать, что можетъ быть сдѣлано меньше произвольно малаго количества а. Такъ какъ .	а	а
безконечно-мало, то всегда можно положить < — откуда	, «у или
< а.
V. Частное отъ раздѣленія безконечно-малой величины на конечную есть безконечно-малая величина.
Въ <ммгъ іілк если безконечно-мало, то всегда можно сдѣлать &!< па, гдѣ •—вмрѵь. а а — произвольно мало; а отсюда — < а.
1Т Лрегь еъ конечнымъ цѣлымъ положительнымъ показателемъ изъ безявшвшп-лллбй величины есть величина безконечно-малая,
<4рші прежнія обозначенія, имѣемъ: сц < ап, ибо сц безконечно-мало; а га»ш кмрень п-ой степени изъ обѣихъ частей, найдемъ і/зц < а.
1С- Сжеобъ находить постоянную величину, служащую предѣломъ пере-тім<, вливается способомъ предѣловъ, Онъ основавъ на нижеслѣдующихъ
РгМФСКП.
1ШХ Теорема I. — Если постоянная величина К заключается ме-перемѣнными и и ѵ (т.-е. если м<К<^у, или п "> К >> г), /идиютші которыхъ безконечно-мала, то К служитъ общимъ предѣломъ лереляшмыхъ и и ѵ.
омомъ дѣлѣ, такъ какъ К заключается между и и у, то разности К — « н К — у численно меньше разности и — ѵ, т.-е. безконечно-малой, а вт‘«у также безконечно-малы; отсюда, на основаніи опредѣленія предѣла, за-итееп. что К служитъ общимъ предѣломъ перемѣнныхъ и и ѵ.
Примѣръ. Окружность круга заключается между периметрами правиль-езъ одноименныхъ многоугольниковъ описаннаго и вписаннаго, разность между і^т^ыми при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ становится безконечно-вкюю: заключаемъ, что окружность есть общій предѣлъ для обоихъ пери->гтровъ.
184. Теорема П. .Если лерелпькная величина ѵ заключается между перемѣнною и и ея предѣломъ К, то ѵ имѣетъ тотъ же предѣлъ К.
Въ самомъ дѣлѣ, К есть но условію предѣлъ перемѣнной и7 слѣд, разность К — и есть величина безконечно-малая; но ѵ заключается между и и К, слѣд. разность К — у численно меньше разности К — п, т.-е. и подавно безконечномала, а потому К есть предѣлъ перемѣнной у.
185. Теорема ПК Если двѣ перемѣнныя величины іг и у связаны между собою такъ, что при всѣхъ измѣненіяхъ остаются равны между собою, или же разнятся одна отъ другой на безконечно-малую величину; если, притомъ, одна изъ нихъ стремится къ опредѣленному предѣлу, то и другая перемѣнная стремится къ тому же предѣлу.
Дѣйствительно, пусть и и у будутъ двѣ перемѣнныя, разность между которыми равна нулю или безконечно-малой, тогда
и = у-|- 5,
гдѣ 3 равно 0 или безконечно-мало; пусть, кромѣ того, и стремится къ предѣлу К; тогда, по опредѣленію предѣла, можпо положить
и К Е,
гдѣ н безконечно-мало. Сравнивая оба выраженія имѣемъ
Вторая часть равенства, какъ разность двухъ безконечно-малыхъ, безконечно-мала, слѣд. такова же и первая часть: значитъ ѵ имѣетъ предѣломъ К — ту же постоянную, что и «.
186* Теорема IV, Если двѣ перемѣнными и я «жгають общій предѣлъ К, »іо всякая посмѣнная заключающаяся между и и ѵ, «лгать тотъ же предѣлъ.
Въ самомъ дѣлѣ, если К служитъ предѣломъ для « п г, то
« К -|- 5 и #	К —
гдѣ 5 и е безконечно-малы. Вычитая второе равенство изъ перваго* имѣемъ:
и — ѵ = о — з,
т.-е* «— г? есть безконечно-малая величина* Но ю заключается между « и ѵ, слѣд* разности	и м? — г численно меньше безконечно-малой 3 — а, а
потому также безконечно-малы. Значить, перемѣнныя « и м?—съ одной стороны, и ѵ и го — съ другой, связаны между собою такъ, что разнятся между собою на безконечно-малую величину, а потому, по теор* III, заключаемъ, что ю имѣетъ тотъ же предѣлъ, что и и т*-е. К.
187.	Теорема V. Предѣлъ суммы конечнаго числа перемѣнныхъ равенъ суммѣ ихъ предѣловъ.
Пусть имѣемъ п перемѣнныхъ (гдѣ п— конечное число): «2,„*, «п, которыхъ предѣлы соотвѣтственно равны: Ки Ка,*.., Кп. По опредѣленію предѣла имѣемъ:
Кх —1^ = 0^ Здѣсь оц, а2, аа.„ безконечно-малы* Складывая эти равенства, Кі “ = з2 находимъ:
— «$ =	(^Ч-К^+К^Ч----ЬКИ)—(«іЧ-«аЧ—  •Ч-И^=а1Чйа3+- * •Ч-ян.
К»— «п ” а» называетъ, что «і —и„ • *  явная &! 4- Щі
Вторая часть этого равенства, какъ сумма конечнаго числа і безконечно-малыхъ, безконечно-мала, слѣд. равенство это по-разность между постоянной ^4-^4*-------------НКге и перемѣнной
— ил безконечно-мала, а слѣд* по опредѣленію предѣла, посто-------р Кп служитъ предѣломъ перемѣнной «! 4^	* - • + «л1
Примѣчаніе. Въ теоремѣ оговорено, что число слагаемыхъ должно быть и опредѣленное: безъ этого ограниченія теорема не имѣетъ мѣста*
Пояснимъ это примѣромъ*
Черт* 12.
Раздѣлимъ прямоугольникъ АВСП па нѣкоторое число равныхъ частей прямыми параллельными АП (черт* 12)* Если число дѣленій неограниченно увеличивать,
то каждый изъ малыхъ прямоугольниковъ, ВСКЕ и т* д., становится безконечно-малымъ, стремясь къ предѣлу—нулю. При конечномъ числѣ слагаемыхъ сумма предѣловъ была бы равна нулю; въ данномъ же случаѣ эта сумма предѣловъ равна прямоугольнику АВСІ), Слѣд., при неограниченномъ числѣ слагаемыхъ теорема не имѣетъ мѣста.
188.	Теорема VI. Предѣлъ суммы перемѣнной и постоянной равенъ суммѣ постоянной и предѣла перемѣнной.
Пусть перемѣнная и имѣетъ предѣлъ К; по опредѣленію предѣла имѣемъ: « —К = а, гдѣ а—безконечно-малая величина. Прибавивъ а вычтя въ первой части постоянную а, найдемъ: («4-а) ~ (К-|-а) = 2* Это равенство показываетъ, что разность между перемѣнною и + а н постоянною К а безконечно мала, а потому К-ра есть предѣлъ перемѣнной иЦ-а, и теорема доказана*
189.	Теорема ѴІЕ Предѣлъ разности двухъ перемѣнныхъ равенъ разности ихъ предѣловъ.
Пусть перемѣнныя и ия имѣютъ предѣлы К! и К2; по опредѣленію пре-тѣла имѣемъ:
«і — Кз = и щ — Ка =
а безконечно-я алы. Вычитая 2-е равенство изъ 1-го, имѣемъ:
ІЦ )	(К|	К.) -—- оц — сц.
Вф Ц —\	безконечно-малая: отсюда, по опредѣленію предѣла,
заключаемъ. что перемѣнная и| — «ц имѣетъ предѣломъ — 1ц, и теорема доказана.
190.	Теорема ѴПЕ Предѣлъ разности между перемѣнной и постоянной равенъ разности между предѣломъ перемѣнной и постоянною.
Если перемѣнная и имѣетъ предѣломъ К, то, по опредѣленію предѣла, и — К = а, гдѣ а—безконечно-мало. Вычтя и придавъ къ 1-й части равенства постоянную а, имѣемъ: (и — а) — (К — а) = а. Этимъ равенствомъ и доказывается, что предѣлъ величины и— а равенъ К — а*
191.	Теорема IX. Предѣлъ произведенія конечныхъ перемѣнныхъ, взятыхъ въ конечномъ числѣ, равенъ произведенію ихъ предѣловъ.
Пусть двѣ перемѣнныя и1 п ия имѣютъ предѣлы и ІЦ; въ такомъ случаѣ: шІ=К1+а1 и и2 = К24”2і7 гдѣ оц и безконечно-малы. Перемножая оба равенства, имѣемъ
и1 . =з (ІЦ 20 (Ка Я2) з= К1 . Ка • К2 -|— 2^ , ІЦ -|-	* ЗЦ.
Произведенія а,*К2 и сц.ІЦ, въ силу пункта IV § 181, ааі*сц—въ силу «•- ІП того же §, безконечно-малы, а потому послѣднее равенство показываетъ, что перемѣнная ил. и2 разнится безконечно мало отъ постоянной І^іц, сл. эта постоянная и есть предѣлъ перемѣнной ы1иа.
Теорема справедлива для сколькихъ угодно множителей; это можно доказать, разсматривая произведеніе нѣсколькихъ перемѣнныхъ какъ одну перемѣнную и прилагая сюда теорему о двухъ перемѣнныхъ* Такимъ образомъ найдемъ:
авд. (м1м1ыам|) = пред. (МіМі«з) • пРеД- иі = пред. (мі«з) • пред. «»’ “РеД- “* = пред. и,. пред. м,. пред. и3. пред. «4.
Примѣчаніе. Теорема справедлива только для случая, когда число множи-
1 V’*
телей конечно. Напримѣръ, въ случаѣ выраженія (1-р-у , при т = со каждый множитель имѣетъ предѣломъ 1, между тѣмъ какъ произведеніе имѣетъ предѣломъ не 1, которая, повидимому, должна бы была составлять произведеніе предѣловъ, а число е (2,71828...), какъ это будетъ доказано въ главѣ ХЫХ,
192* Теорема X. Предѣлъ произведенія перемѣнной на постоянную равенъ произведенію этой постоянной на предѣлъ перемѣнной,
Пусть « есть перемѣнная, предѣлъ которой = К, в а™данная постоянная.
По опредѣленію предѣла имѣемъ и — К - х гдѣ а — безконечно-мало. Помноживъ обѣ части равенства на а, получимъ: м. л = Ка-^а. а* но аа есть величина безконечно-малая 180. IV), сл. Ка разнится безконечно-мало отъ иа, а потому пред. (ш) = К. а* и теорема доказана.
193* Теорема XI- -Если гдер&шънгіыя при всѣхъ своихъ измѣненіяхъ сохраняютъ постоянное^ конечное, отношеніе^ то и предѣлы ихъ имѣютъ то же самое отногаеніе.
Пусть и двѣ перемѣнныя, отношеніе которыкъ всегда остается равнымъ постоянному т, т.-е.	= т- Отсюда: иТ = и2. т; но по предыдущей теоремѣ:
пред. («і) = т X пред. (и2), откуда	и теорема доказана.
*	Пред. ѵ*91
194.	Теорема XII. Предѣлъ отношенія двухъ конечныхъ перемѣн* их и и^ равенъ отношенію ихъ предѣловъ к\ и К2.
Пусть “і=#1 откуда	Изъ этого равенства, на осн. теор. III
$ 184 и теор. IX. § 190 имѣемъ: пред, («]) = пред. (и3) .пред. (я)< а отсюда, раздѣливъ обѣ части на пред, («*), получимъ Пред = пред, (#) иля =
Іні\
иред* И*
195.	Теоерма ХІП. Предѣлъ частнаго отъ раздѣленія перемѣнной на конечную постоянную равенъ частному отъ раздѣленія предѣла перемѣнной на эту постоянную.
Пусть предѣлъ перемѣнной « равенъ К, а постоянная = т* Положимъ откуда « = гдѣ # — перемѣнная* По теор* Ш § 184 и теор. X К
§ 191	имѣемъ иред. (и) или К = т* пред. (я), откуда пред* (ж) — —, или пред* (— = —, что и требовалось доказать*
196.	Теорема XIV’. Предѣлъ частнаго отъ раздѣленія конечной постоянной на конечную перемѣнную равенъ частному отъ раздѣленія этой постоянной на предѣлъ перемѣнной.
Пусть данная постоянная = а, перемѣнная = щ и пусть гдѣ х перемѣнная; отсюда а = их Пусть пред* («) = К, а пред. (х) = Ь; по опредѣленію орЛѣла: « = К +	= гдѣ 2 и =!—безконечно-малы. Пере-
множая <ги равенства, имѣемъ: и. х — (К + а) (Ь + !) = КЪ + Ья ±. Три послѣдніе члена, представляя алгебраическую сумму безконечно-малыіъ, могутъ давать въ результатѣ или безконечно-малую, или нуль. Въ первомъ случаѣ
вторая часть была бы перемѣнная величина» а этого не можетъ быть, потому что первая часть (ш?) равна постоянной а; слѣдовательно
отражается въ ноль, а потому яя = К.Е, или, замѣняя их равной сй величиной а. находимъ: а = К.Ь, откуда Ь = ^, что и треб. доказать.
197.	Теорема XV, Предѣлъ степени перемѣнной равенъ той же іжеяеэш нрейииа атой нерел?ьнмо«? полагая показатель цѣлымъ и по-лпжпжелънымъ числомъ.
Пусть и**1 есть данная степень; при т цѣломъ положительномъ она пред-сшиетъ произведеніе т перемѣнныхъ множителей	если пред.
то но теор. IX § 190 имѣемъ: пред. (*ш... и) =А. к... &, или пред. (м* і=к*.
198.	Теорема XVI. Предѣлъ корня съ цѣлымъ положительнымъ по-кпжпелемъ изъ перемѣнной равенъ корню того же порядка изъ предѣла зшяй перемѣнной.
Пусть имѣемъ Й*Л/, гдѣ и—перемѣнное и т— цѣлое положительное число. Здхѣтмжъ. что и = [7(г/)]Л по предыдущей теоремѣ имѣемъ: пред. («) = (Т7**)]"*; извлекая изъ обѣихъ частей корень ?п-го порядка, находимъ:
пред. ("/») = "/пред. (и).
ттѵ я трейшось юказать.
Распространеніе основныхъ законовъ на нееоизмѣрииыя числа.
199.	Мы видѣли, что есть такія, называемыя несоизмѣримыми. количества, которыя нельзя точнымъ образомъ выразить ни въ цѣлыхъ единицахъ, ни въ какихъ доляхъ единицы. Однако и между такимъ количествомъ и единицею существуетъ извѣстное отношеніе. Это-то отношеніе мы и попытаемся опредѣлить; выяснимъ, что слѣдуетъ разумѣть, напр., подъ і/2.
Извѣстнымъ способомъ нахожденія приближенныхъ квадратныхъ корней, можемъ вычислить сколько угодно десятичныхъ знаковъ корня кв. изъ 2; сдѣлавъ это, разсмотримъ рядъ чиселъ
1 1,4 1,41 1,414, 1,4142,.,.
которыя выражаютъ наибольшее число цѣлыхъ единицъ, десятыхъ, сотыхъ, тысячныхъ, квадраты которыхъ меньше 2.
Разсмотримъ затѣмъ другой рядъ чиселъ,
2, 1,5 1,42 1,415, 1,4143...
показывающихъ наименьшее число цѣлыхъ единицъ, десятыхъ, сотыхъ..., которыхъ квадратъ больше 2. Эти числа получаются прибавленіемъ 1-цы къ послѣдіе* цыфрѣ чиселъ перваго ряда.
Затѣмъ, взявъ неограниченную прямую ОХ
м нѣкоторый отрѣзокъ О А принявъ за 1, нанесемъ, начиная отъ точки 0, отрѣзки
ОА, ОА', ОД", ОА"\**-, равные 1; 1,4; 1,41;...; а затѣмъ, отрѣзки ОВ, ОВ\ ОВ", ОВ'",... равные 2; 1,5; 1,42; 1,415,... Отрѣзки О А, ОА', ОА",... идутъ возрастая, но при этомъ всегда остаются меньше нѣкоторой опредѣленной длины; напр., они всегда будутъ меньше ОВ. Но когда перемѣнное количество постоянно
01
—!--1 1—I——Ч- Ь-< 1 Н
А Л'ХГ В'В'В 'В
Черт. 13.
возрастаетъ и, однако, остается всегда меньше нѣкоторой опредѣленной величины, то очевидно, оно стремится къ нѣкоторому предѣлу. Слѣд. и перемѣнные отрѣзки ОА, 0А\ 0А",« •• увеличиваясь, стремятся къ нѣкоторому предѣлу; пусть этотъ предѣлъ будетъ ОМ.
Съ другой стороны, перемѣнныя количества 08, ОВ'. ОВ",... постоянно уменьшаются и однако всегда остаются больше нѣкоторой опредѣленной величины; напр., они всегда больше ОА; сл. и этотъ рядъ уменьшающихся отрѣзковъ стремится къ нѣкоторому предѣлу. Легко видѣть, что этотъ предѣлъ будетъ тотъ же, что и для перваго ряда, т.-е. = ОМ. Въ самомъдѣлѣ, составивъ разности между 1-ми значеніями того и другого ряда, затѣмъ между вторыми ихъ значеніями, потомъ между третьими, и т. д., замѣчаемъ, что эти разности суть 1; 0,1; 0,01; 0.001;... т.-е. постоянно убываютъ; заключаемъ, что разность между перемѣнными, ОВП — ОАН, есть величина безконечно-малая; а слѣд. ОВП стремится къ тому же предѣлу какъ и ОАП (§ 185), т.-е. къ предѣлу ОМ.
Итакъ, оба ряда значеній стремятся къ одному п тому же предѣлу, и квадратъ этого предѣла есть число 2; въ с. д. квадратъ этого общаго предѣла не м. б. ни больше 2, ни меньше 2, потому что онъ служитъ общимъ предѣломъ и чиселъ меньшихъ 2, и чиселъ большихъ 2.
Этотъ-то общій предѣлъ и называется квадратнымъ корнемъ изъ и обозначается символомъ |/2.
Совершая дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами, необходимо дать этимъ дѣйствіямъ опредѣленія, ибо точный смыслъ дѣйствій извѣстенъ только въ отношеніи соизмѣримыхъ чиселъ. Достаточно дать опредѣленія сложенія и умноженія; за обратными дѣйствіями мы сохранимъ ихъ общія опредѣленія.
200.	Опредѣленіе суммы. Пусть требуется опредѣлить, что слѣдуетъ разумѣть подъ суммою несоизмѣримыхъ чиселъ г и }/2.
т> 111
Взявъ ихъ приближенныя величины точныя до	'
статку и по избытку, получимъ:
по недо-
3,1 < я < 3,2
3,14 < - < 3,15 3,141 < л < 3,142
1,7 <]/3 <1,8 1,73 </3< 1,74 1,732 <]/3 <1,733
Отсюда, взявъ суммы, найдемъ два ряда (А) п (В):
3,2+ 1,8
3,15+ 1,74
3,142 + 1,733
*уімы группы (А) идутъ постоянно увеличиваясь, но всегда оставаясь конечными, ибо ихъ слагаемыя конечны; слѣд. эти суммы стремятся къ нѣкоторому предѣлу. Суммы группы (В) идутъ уменьшаясь, но оставаясь конечными, ибо мхъ слагаемыя конечны; слѣдовательно суммы и этой группы стремятся къ опредѣленному предѣлу. Каковы же эти предѣлы? Взявъ разность двухъ суммъ въ группахъ (А) и (В), соотвѣтствующихъ приближенію находимъ, что эта
2	-
разность равна слѣд. при неограниченномъ возрастаніи п, она стремится къ нулю. Это значитъ, что оба сказанные предѣла равны. Этотъ общій предѣлъ группъ (А) п (В) и называютъ суммою несоизмѣримыхъ * м |/3+ изображаютъ ее въ видѣ т:-|-]/3.
201.	Свойства суммы. I. <7дол<а несоизмѣримыхъ чиселъ не измѣняется отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.
По опредѣленію суммы несоизмѣримыхъ чиселъ имѣемъ
- + |/2 = пред. (а + Ь),
называя буквою а — приближенную величину числа * а буквою 5 — числа ]/2; точно такъ же _
|/2 + Ги = пред. (Ь-(- а).	, .
Но приближенія а и Ь суть числа соизмѣримыя, слѣд. по теор. II § 15, а-|-& всегда равно 6-)- а; если же перемѣнныя величины при своихъ измѣненіяхъ остаются равными, то по теор. Ш § 184 и предѣлы ихъ равны; слѣд.
и + ]/2 = |/24-~-
П. Придать сумму двухъ несоизмѣримыхъ чиселъ—все равно что придать послѣдовательно каждое изъ нихъ.
По опредѣленію суммы несоизмѣримыхъ чиселъ имѣемъ:
|/5 + (т^ + у/2) = пред. [« + {Ь + с)],
гдѣ а. Ь и с суть приближенныя величины чиселъ: |/5, ' и /2.
Точно такъ же *
)/5-|“" + 1/2 = пред. (а —Ь —с);
т . а. Ь и с соизмѣримы, то всегда
а —(Ъ —с) = а —|— Ь с;
предѣлы же равныхъ перемѣнныхъ равны, слѣд.
/5 (к~|- /2) = /5 Ч~“ +А
202.	Опредѣленіе произведенія. Опредѣлимъ произведеніе "ХА Для /— 11
этого составимъ произведенія приближеній чиселъ т и у 3, точныхъ до уур щу ГббОт'" ‘ па неД°статкЬ а также по избытку; такимъ образомъ получимъ двѣ группы произведеній:
(А)
ЗД X 1,7 3,14 XI,73 3,141 X 1.732
3,2 X 1,8 3.15 X 1,74 3.142X1-733
Произведенія ъруішы (А) постепенно увеличиваются; но, оставаясь конечными, стремятся къ нѣкоторому предѣлу. Произведенія груішы (В) идутъ уменьшаясь, но какъ онѣ остаются конечными, то приближаются также къ нѣкоторому предѣлу. Докажемъ, что предѣлъ обоихъ произведеній одинъ и тотъ же.
Въ самомъ дѣлѣ, взявъ для * и приближенія, точныя до найдемъ
Перемножая, получимъ:
Разность между этими приближенными произведеніями равна
1 Р і И і 1 іо*иоп+’іоп/-' І0*«
Членъ по мѣрѣ неограниченнаго возрастанія и, стремится къ нулю, сумма	стремится къ ”	у/3, т.-е. остается конечною, множитель же
1	1 / а । а \
Уфп стремится къ нулю, а потому произведеніе ІГо’1 + стремится къ нулю. Итакъ разность между перемѣнными приближенными произведеніями стремится къ нулю, а слѣд. сказанные предѣлы равны.
Этотъ общій предѣлъ рядовъ А и В и называютъ произведеніемъ к на |/Зф
203. Свойства произведенія. I.	йедяъ кесокздгърыжът
чиселъ не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей.
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію произведенія несоизмѣримыхъ чиселъ, имѣемъ:
т:. |/ 2 = пред. (а. Ь) и У 2 . к = пред. (Ь . а)
гдѣ а и Ъ соизмѣримыя приближенія чиселъ т: и Но, по свойству произведенія соизмѣримыхъ чиселъ всегда аЬ = Ъа; сл. и предѣлы этихъ перемѣнныхъ равны, т.-е.
т:.р/2 = р/2 .и.
II. Чтобы умножить на произведеніе двухъ множителей, достаточно умножитъ послѣдовательно на каждый изъ нихъ.
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію (§ 201), имѣемъ:
]/5 . (-]/ 2) = пред. [а (Ьс)]; и также
. т;.	= пред. (аЬс).
Но а, 6 и с соизмѣримы; слѣд. а(Ьс) = аЬс, а потому и предѣлы этихъ перемѣнныхъ равны, т.-е.
|/5(^}/2) = }/5.-.)/2.
III. Въ произведеніи сколькихъ угодно несоизмѣримыхъ множителей можно какъ угодно измѣнятъ порядокъ ихъ.
Докажемъ сперва, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ. Пусть а есть произведеніе всѣхъ множителей, за исключеніемъ двухъ послѣднихъ: ^2 и ]/ 5. Полное произведеніе будетъ
а.р 2.) 5,
или. въ силу пункта II,
а. (И2. }/5);
но, въ силу п. I, это выраженіе =
а. (]/5 . рх2),
а, на оси. п. II, это произведеніе равно
а.]/5. У 2.
Итакъ:
а . ]/2 . "|/5 = а)/5 ,)/2,
т.-е. можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ множителей.
Отсюда слѣдуетъ, что можно измѣнить порядокъ всякихъ двухъ смежныхъ множителей, ибо ихъ можно разсматривать послѣдними въ произведеніи, составленномъ изъ нихъ и имъ предшествующихъ.
Изъ этого слѣдуетъ, что переставляя послѣдовательно смежные сомножители, можно каждый изъ нихъ помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ произведенія. Слѣд. порядокъ сомножителей не вліяетъ па величину произведенія.
IV*. Чтобы умножитъ данное число на сумму двухъ несоизмѣримыхъ чиселъ, нужно умножитъ его на каждое слагаемое отдѣльно и результаты сложить.
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленіямъ, имѣемъ
5. (я+]/2) = пред. [а(Ь-Н)];
съ другой стороны:
|/ 5, т: -1- |/ 5.^2 = пред. [аб ос] = пред. [а(Ь -|- <0]-
Слѣдовательно
1/5 . (к + Ѵ'2) - 1^ . ~ +1<5.1/2.
Итакъ, вообще, основные законы дѣйствій, доказанные для соизмѣримыхъ чиселъ, распространяются и на несоизмѣримыя.
ГЛАВА XV.
Объ ирраціональныхъ выраженіяхъ, а
Происхожденіе ирраціональныхъ выраженіи. — Преобразованіе ихъ и дѣйствія надъ ними, “ Ирраціональныя дроби.— Примѣры.
к
204» Происхожденіе ирраціональныхъ выраженій. — Дѣйствіе извлеченія корня изъ алгебраическихъ выраженій не всегда возможно. Такъ, когда показатель подкореннаго количества не дѣлится на показателя корня, то извлеченіе корня можно только обозначитъ, но нельзя выполнивъ на самомъ дѣлѣ, напр. а7,	и т. д. Точно такъ же, корень изъ многочлена, не представляю-
щаго точной степени, не можетъ быть извлеченъ, а потому его только обозначаютъ при помощи знака |/	; примѣромъ можетъ служить )/а24-Ь2. Подоб-
наго рода выраженія, которыя нельзя привести къ раціональному виду, называютъ ирраціональными, также радикальными или коренными.
Не слѣдуетъ смѣшивать ирраціональныхъ выраженій съ несоизмѣримыми числами: ирраціональное выраженіе можетъ представлять и соизмѣримыя и несоизмѣримыя числа, смотря по числовому значенію входящихъ въ нето буквъ. Такъ, ]/а представляетъ'соизмѣримое число 3 при а = 9, и несоизмѣримое число ]/7 при а = 7; точно такъ же,	представляетъ соизмѣримое число 5 при
а = 3и& = 4, и несоизмѣримое число при а=1 и Ь =
Впослѣдствіи мы увидимъ, что |/А имѣетъ т различныхъ значеній, имѣю- • щиіъ одну и ту же абсолютную величину; въ этой главѣ мы изучимъ преобразованіе корней, ограничиваясь разсмотрѣніемъ ихъ абсолютныхъ значеній.
205. Преобразованіе ирраціональныхъ выраженій помощью выведенія множителей изъ - подъ знака корня и введенія множителей подъ коренной знакъ.
Е Если въ выраженіи А подкоренное количество Л разлагается на такіе два множителя, шь которылъ одинъ представляетъ точную степень съ показателемъ^ равнымъ показателю корня, но этотъ множитель — извлеченіемъ изъ нею корня — можетъ быть вынесенъ изъ-подъ знака корня.
Пусть А = Рт X Чі гдѣ Ч уже не есть точная т-ая степень; въ такомъ случаѣ
”і/а = 1/ГМ;
примѣняя правило извлеченія корня изъ произведенія, и замѣчая, что |/Рт = Р, найдемъ:
р/А = |/‘РМ X Ч = "/р™ X Уч=Р X ’кч-
Примѣры. 1* Упростить, выведеніемъ множителя изъ-подъ знака корня, выраженіе |/ 50а“Ь10.
Подкоренное количество разлагается на два множителя 25а8йІ0Х2а, изъ которыхъ первый есть квадратъ 5а*63; слѣд.
|/50а*і10 = у"25БЬі0Х2а = ]/(5«46Ф X = 5а4&3 • И 2а.
2.	Подобнымъ же образомъ получимъ:
^128а176^са = ^64а«6»Х2а2<?3 = ^(40*6% 2аМ = 4а56*. ^2а»с*.
3.	Точно -такимъ же образомъ:
4.	к	ѴЧН№Ч^)(®4-у)(®-у)=
+у)3 («’ -Н у2) * (®—у) = (®+у)(®*+у а) Vх — у 
Г/«"Н-зь»ч+5 _	' а^Ь'1 ?/(№
V С-тг^тг-і V с"‘г<І'“г<І V С^ПГ(І1ПГ ‘ (І Сг'}г У ГІ
>
И. Если передъ радикаломъ находится множитель, то этотъ множитель можно внести подъ знакъ корня, возвысивъ въ степеньу изображаемую показателемъ корня.
Требуется доказать, что_Р’|Хч = |/рот * Ч*
Замѣтивъ, что Р = что, по правилу извлеченія корня изъ произведенія (§ 120): |[/А.В = ^/АХ откуда обратно: ’^А .р^В ™ ^АВ, имѣемъ:
рх/ч=^х^=^і^іігхч*
требуемое, такимъ образомъ, доказано.
Примѣры. Сдѣлать внесеніе множителей подъ знакъ корня въ примѣрахъ:
1. (а-Ь) У= }/(« + Ь)(а-Ь) = Ѵ^-Ъ*.
"• *+^ г ^—2.ту+^ г (а-—— К 1®~ГУД® У) — V х У •
Дѣйствія надъ ирраціональными выраженіями.
206. Подобныя ирраціональныя выраженія; ихъ приведеніе. — Два ирраціональныя выраженія называются подобными, если у нихъ показатели корня и подкоренныя выраженія одинаковы; такъ напр. 2і]/ас и—Зх|/ ас суть иррац. выраженія подобныя; а 2^7&2с и |/2ас— неподоб-ны. Иногда корни, кажущіеся на первый взглядъ неподобными, могутъ быть приведены къ виду подобныхъ ирраціональныхъ выраженій: для этого ихъ надо упростить, сдѣлавъ, гдѣ возможно, вынесеніе множителей изъ-подъ знака корня. Напр. выраженія р/27а4х3 и р 12а2х\ имѣющія одинаковыхъ показателей корня, но неодинаковыя подкоренныя количества, кажутся на первый взглядъ не-подобными; но сдѣлавъ въ нихъ вынесеніе изъ-подъ знака корня, приведемъ ихъ къ виду
За2хр Зх и 2ах2| Зх,—
подобныхъ выраженій. Множители За2х и 2ах2 при радикалахъ называются козффиціен томи.
Соединеніе нѣсколькихъ подобныхъ ирраціональныхъ выраженій въ одно называется ихъ приведеніемъ. Дѣйствіе это состоитъ въ томъ, что коэффиціенты подобныхъ иррац. выраженій заключаютъ въ скобки, къ которымъ и приписываютъ множителемъ общій корень. Примѣры:
I. Выраженіе: р27а4х3— рі2аѴ4“р75а6х приводится къ
За2х| Зх — 2ах2р Зх 4~ 5а3|/Зх;
вынося въ немъ общій корень и а за скобки, получимъ:
(Зах — 2х2 -р 5а2)а |/ Зх.
II. Сдѣлать приведеніе въ выраженіи
|/10Гз _р р/20у — у'Ьу + уіОх3 — /8бу.
Вынесеніемъ множителей изъ-подъ радикаловъ выраженіе приводится къ виду
х р ІОхр/бу -** V 5? -Н 2х р іОх—4 рбу;
приводя подобные члены, получимъ
Зх	ІОх *— 3 р^бу*
207. Сложеніе и вычитаніе. При сложеніи иррац. выраженій ихъ пишутъ рядомъ съ тѣми знаками, какіе они имѣютъ; при вычитаніи же приписываютъ къ уменьшаемому члены вычитаемаго съ обратными знаками; затѣмъ члены суммы или разности приводятъ къ простѣйшему виду, и, если окажутся въ числѣ ихъ подобные члены, дѣлаютъ приведеніе.
Примѣры. I.	+ (“У6^)
« э/т^ г л 4 з/,	.	я/— । тп2 ъ/—	з/г*’	_ 3 Ѵ-Х
= тяа р/ -|- 3 тп* эу — 4иш* у эу -|—9 у ъу-------------— у лу = — тп* у іуу.
208. Умноженіе. Въ § 120 было доказано, что
У А . В . С=’/а . Ув . У С: написавъ это равенство въ обратномъ порядкѣ, найдемъ:
X V В X V С = У ГГвТс;
Отсюда правило:	насколько ирраи, выраженій
одинаковаго порядка, надо перемножитъ подрадикалъныя количества и изъ произведенія извлечь коренъ того же порядка.
Примѣры I. ^2ахуіу^у^а9ху3 ==]/12аіх*у1 = 2а?ху*\/Зу.
II. ]/л# -|- я*/|/Ъх — у/(лж-|- л2)(аЬ Ц“ Ьх) =	= («-}" х)
ПІ. а +]/а2 — б’Х^« — ]/о®“Ь’=г/аГ::Т«1‘— Ъ3)=^Ъ3=Ь.
IV. (а|/а —	Уа*-|- За3|/а,)Х(—6)/а®) = — 6а|/д* 4~3а2|/а6 —
— 18а*/а1^ — 6в84-3ав — 18а».	
209.	Дѣленіе. Въ § 121 было доказано, что
у А
іиг
Написавъ это равенство въ обратномъ порядкѣ, имѣемъ:
Отсюда правило: чтобы /уаздѣлитъ одинъ на другой два корня съ одинаковыми показателями^ надо первое подрадикалъное количество раздѣлитъ на второе, и изъ частнаго извлечь коренъ того же порядка.
— 4а2 }/аЬ -|-
+ 4а2 ]/ аЬ Ч-й
м	ІО
“о”
1)	Вычисленіе 1-го
2 ,/ ’ Заг а-
2)	Вычисленіе 2-го *
3)	Вычисленіе 3-го
члена частнаго: —4а2|/а6 ; 2а )/а ~ — 2а }/Т. члена частнаго: |айі: 2а|/а = |аЬ]/а*: 2а)/а =
210.	Возвышеніе въ степень. Пусть требуется |/а* возвысить въ ^р-ую степень, гдѣ т, к и р—цѣлыя положительныя числа. Это значитъ — данный корень взять множителемъ р разъ; слѣд.
($акУ* = ^/а*Х|/®*Х	• • - (всѣхъ множителей р);
но, по правилу перемноженія корней (§ 208), вторая часть равна
Итакъ:
|/а*.а*.а*. , . . (р разъ)= |/(а*)р.

т.-е. чтобы коренъ возвыситъ въ степень, нужно въ эту степень возвыситъ подрадикалъное выраженіе, и изъ результата извлечь коренъ даннаго порядка.
Примѣры: I. (^гЪ/3#)8 =
За* в/^Г— 51	3/^! — 81я^Н5 3
5?/ ‘ 1/ I ‘ 625?/* '•!/ узо 625^10 ’ 1/
211.	Извлеченіе корня. Пусть требуется извлечь корень йі-го порядка изъ ^А: положимъ, что результатъ этого дѣйствія будетъ т.-е. что
. (1).
Возвышая обѣ части равенства въ степень йг и замѣчая, что извлеченіе р/т
корня етг-го порядка изъ у А и возвышеніе результата въ йі-ую степень, какъ два противоположныя дѣйствія, взаимно уничтожаются, найдемъ:
?І=хт.
Возвышая обѣ части этого равенства въ степень р, получимъ
А=«и,?;
а извлекая изъ обѣихъ частей корень порядка тр, найдемъ:
7а=®.
Подставивъ эту величину вмѣсто х въ равенство (1), получимъ:
ІР'Та^Ѵа . . .(2).
Отсюда правило: чтобы шоечъ корень изъ корня, нужно подкоренное количество оставитъ безъ перемѣны и извлечь изъ него коренъ, котораго показатель = произведенію показателей данныхъ когтей.
Примѣры. I. V^/2ахі = |/2ах\
II. Ѵэа^аЬ5 = За’^аЬ*.
Если равенство (2) прочесть въ обратномъ порядкѣ, то найдемъ, что извлеченіе корня, показатель котораго разлагается на множители, можно замѣнить послѣдовательнымъ извлеченіемъ корней, которыхъ показатели равны этимъ множителямъ. Напр.
1) ^64=^)/б4 = ,/8 = 2.
2) 1^4096а’*і*®* = V /)/Ж96аа‘6‘а;8 = У]/біайЪ*х* —	=
= 2а'2
212. Теорема. Величина корня не измѣнится, если показателъ подкоренного количества и показателъ корня помножитъ или раздѣлитъ на одно и то же число.
Мы видѣли, что если у^а* возвысить въ степень р. то получится жзвлекая изъ полученнаго выраженія корень порядка у, на оси. § 211 найдемъ *і о*. Такъ какъ надъ выраженіемъ |/а* мы произвели два противоположныя г!>ггш, то величина его не измѣнилась, а потому
^=Уа*?.
Итакъ: 1) данное выраженіе можно замѣнить равнымъ ему:	т.-е. ве-
личина ирраціональнаго выраженія не измѣняется отъ умноженія показателей корня подкоренного количества на одно и то же число; 2) обратно, "У'а1*’ равенъ слѣд. величина корня не измѣнится отъ раздѣленія показателей корня и подкоренного количества на одно и то же число.
Слѣдствія I.—На первомъ изъ зтпгь свойствъ основано приведеніе ирраціональныхъ количествъ къ общему показателю корня. Для этого нужно составить паим. кратное всѣхъ показателей корней; оно и будетъ общимъ показателемъ; послѣдній дѣлятъ на показателей каждаго корня и соотвѣтствующими частными множатъ показатели корней и подкоренныхъ количествъ. При этомъ могутъ быть тѣ же случаи, какъ и при приведенія дробей къ общему знаменателю.
1.	Всѣ показатели корней числа взаимно первыя, напр.

Общій показатель = 2Х^ХЛ — 30; раздѣливъ его поочередно на 2, на 3 и на 5, множимъ показатели корней и подрадикальныхъ выраженій: перваго—на 15, второго—на Ю, третьяго—на 6; найдемъ:
“ 3* (2а6*)10 = ^210. а1 бЧ
У уі&а) У \2е*сі/ У
2.	Одинъ изъ показателей—число кратное для остальныхъ, напр.
^2А,	>^с.
Общій показатель корня =12; имѣемъ:
^2А = *^(2А)‘ = У ГбА4.
12/—
у С остается безъ перемѣны.
3.	Показатели корней имѣютъ общихъ множителей; напр. ’^А,	’^В, ѴС.
Общій показатель —180; получимъ:
1^А = 15Л^/А^ = 1^дТ2. 1^й = 12Л^вП = 1^зіі. 36/(1 _3€^/см =
Примѣчаніе. Правила, данныя въ §§ 208 и 209 для умноженія и дѣленія корней, относятся къ случаю корней съ одинаковыми показателями; если же показа
тели корней различны, то ихъ сначала приводятъ къ общему показателю, а затѣмъ уже производятъ умноженіе и дѣленіе по упомянутымъ правиламъ.
Примѣры. Ь Составить произведеніе: ]/аЁЛ?Х X
Приведя корни къ общему показателю 6, получимъ:
X	X УаЧЮ=
^ав61а Ха’&с’^ай2 . у'Х/Гс5.
„	Ѵа&с п
П. Составить частное	Приведя корни къ общему показателю, по-
Ш. Вторая часть теоремы этого § даетъ возможность сокращать ирраціональныя выраженія; для этого нужно показателя корня и показателей подкореннаго выраженія раздѣлить на ихъ общаго паиб. дѣлителя.
Такъ:	Vа^с”4 аѢс4’, ^16а‘Ь»= ^2аГ».
Ирраціональныя дроби.
213.	Когда числитель, или знаменатель, или оба — ирраціональны, дробь зазывается «рраиідяа-ѵьяото. Въ видахъ упрощенія вычисленій, дроби съ знаменателями ирраціональными выгодно замѣнять равными имъ дробями, но имѣю-жижи раціональные знаменатели. Такъ, если бы требовалось вычислить величину лроби
х— ~ 1
ГЗ-
то, пайдя (/3 = 1,732 и |/ 2 ~ 1,412 .. ., мы должны бы были раздѣлить 1 на приближенное число 0,320... Понесли умножимъ предварительно числителя и знаменателя дроби на (/3 + (/2, то найдемъ
Х= |/3 4-/2,
и простое сложеніе чиселъ ‘1,732 . . . и 1,412 ... дастъ величину а?,
#=3,144...
Такимъ образомъ дѣйствіе дѣленія приведено къ простѣйшему дѣйствію — сложенію; другая выгода указаннаго преобразованія состоитъ въ томъ, что найденная для х величина 3,144 ... допускаетъ непосредственное опредѣленіе предѣла погрѣшности, которая меньше 0,002, потому что каждое слагаемое ошибочно менѣе чѣмъ на 0,001.
Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ дроби безусловно всегда возможно. Не останавливаясь па доказательствѣ этого предложенія и на вытекаю-13
щемъ изъ него общемъ методѣ (о чемъ рѣчь будетъ ниже), разсмотримъ здѣсь частные случаи этой задачи, важные въ практикѣ.
214* Укажемъ пріемы, которыми можно уничтожить ирраціональность въ знаменателѣ, содержащемъ только квадратные корни.
1.	——• лмпожая числитель и знаменатель па у с, получимъ:
Ь V с
а __ аУс____аУс
ьѴс ~ Ь (» а) ~ Ье
2.	Умножая числитель и знаменатель на }/ Ь — ]/ с, найдемъ:
а _____ а (у Ь — I с)_____ а (У б — У с) _а (У6 ~ У <0 е
У 5 + У с “ о Б + Уё)(»г — Уё) О7*)* — (У с)*	Ь — С
3.	—Умножая чясл. и знам. на ш	получимъ:
тѴЬ—пУс
а _____ а(тІ У с) __ д (тУЙ-Ь п 1 с)
тI б—я! с (тУ?)3—(я Уё)2	т26—п*с
4* у&^ )ё__|_) 5 ^множая числ* 0 знам. на і/б-І-р^— найдемъ: а ___________________«(УЬ-рУс—УЗ) _ «(уб^-У с-—Угі)_______
Уб+Ус+УЭ^ (Уд+Ус+У5)(і/&+Уё-УЭ)^~ (УЬ + Уё)3—
_ а(у'дЦ-Ус—У5) Ъ + с — (І + 2 У бё*
умножая оба члена этой дроби на	— 2|/йс, получимъ:
а  а (уб+Уё—У2)(&+с—&—2 У де)
Уб -Ь У с+ УЭ	(6 + с—йр - 4бс
Общій способъ исключенія изъ знаменателя квадратныхъ корней, каково бы ни было ихъ число, заключается въ слѣдующемъ. Если )/ к есть одинъ изъ радикаловъ, который мы хотимъ исключить, выносимъ его за скобки изъ всѣхъ членовъ, его содержащихъ; знаменатель приметъ видъ Р4“9 р^, гдѣ Рн<і— раціональныя или ирраціональныя выраженія, не содержащія )/&. Если теперь умножимъ оба члена дроби на Р — () )/А, то новый знаменатель Р*— уже не будетъ содержать |/А. Такъ какъ произведенное умноженіе не вводитъ новыхъ радикаловъ, то очевидно, что примѣняя указанный пріемъ послѣдовательно къ каждому изъ нихъ, мы исключимъ всѣ радикалы.
Этотъ именно способъ мы и прилагали въ предыдущихъ примѣрахъ; приложимъ его еще къ дроби, содержащей въ знаменателѣ пять радикаловъ:
___ т _______
У а + У 6 + У с+УЗ -у У ё
Умноживъ оба члена ея на 4“ V & Н- 4"	— У7 получимъ но-
вый знаменатель, въ которомъ /* есть раціональная часть:
ЛЬ 2(|/а/6 + ]/а/с + у ь ]/с) 4-2(/а 4-+/с)• • - О)
Умножая оба члена долученной дроби на выраженіе» выведенное изъ (1) перемѣною на — )/й, получимъ новый знаменатель, въ которомъ д представляетъ раціональную часть:
^4(/4-2с-2(?)ѵ/оі/Ь+4К/+2г>-2<гу а-Н/+2а—2й)|/Ь]|/с . . . (2).
Помножая оба члена новой дроби на выраженіе, выведенное изъ предыдущаго перемѣною на — }/с, получимъ новый знаменатель, котораго раціональная часть обозначена буквою А:
А-р[8^(/ + 2с—2Л) —32с(/4-2а—2й)(/ + 2&-2Л)]|/аЬ . . , (3),
Умножая, наконецъ, оба члена послѣдней дроби на выраженіе, выведенное изъ предыдущаго перемѣною на — 1/аЬ, и означая числителя новой дроби буквою А, найдемъ
А
Л2 — І&р (Н-'2с — 2й) — 32с (/'+ 2а — 2й) (/ + 2Ь - 2й)|*, аЬ
Дробь, которой знаменатель раціоналенъ. Примѣчаніе I, Взявъ, напр,, дробь ________________________________________ ~/2+ИЗ + Ѵо
и примѣняя къ ней указанный пріемъ, мы должны начать исключеніе съ большаго корня, такъ какъ вычисленія при этомъ будутъ проще. Умножая, поэтому, оба члена на +	— 1^- найдетъ:
Гяш Иа это* дробя на получимъ окончательно:
_ гП+ѵ'Тв—г зб
12
Прѵлманіе І1Г Нерѣдко можно значительно упрощать вычисленія, пользу» слѣдующимъ замѣчаніемъ, _	_
Выраженіе “Ь с состоящее изъ четырехъ радикаловъ, разлагается на два множителя вида ]/А -|- уПВ, если числа а, Ь, с и й составляютъ кратную пропорцію.
- Въ самомъ дѣлѣ, пусть напр.
Л Ь 7	У □ I' 6	/-у	/	/— Л—	у--
откуда	н сл^д‘ у а—у с.ук в уЪ=уЛ.ук.
Знаменатель приметъ видъ
= (^+Ѵ^)(1+^)
или’7= (]/с + |/й) (]/^4-р/с).
V с
Примѣнимъ это замѣчаніе къ дроби _ 1__________________________________________
Х ”П0+ КІ5 + Н4 + КП *
Такъ какъ 10X21 = 15X 14, то, согласно сказанному, найдемъ:
1
Ж~(і/2-+-1/3)(і/о+Ѵ/7)’
умноживъ числ. и знам. на (]/3 — ]Л2)(і/7 —1/5), сразу уничтожимъ ирраціональность въ знаменателѣ, и найдемъ:	•
(КЗ-К2)(К7—Ко)
, __ •
215. Пусть знаменатель содержитъ только радикалы кубичные.
1. А - Положивъ:	и —у, имѣемъ: а —Ь
Взявъ разложеніе я> + У3^(^ + У)0с2вя;У + 2/2), и подставивъ вмѣсто хну ихъ величины, найдемъ:
а-]-Ь= (^а+ №>) фа' — УаЪ + ^Ь»),
откуда видно, что отъ умноженія знаменателя дроби на уа*—онъ обращается въ раціональное выраженіе, равное а-}-Ь. Итакъ, умноживъ числ. и знам. на указанный триномъ, получимъ:
2.	Подобнымъ же образомъ, пользуясь разложеніемъ: я8 — у3 =
($ — у) (#а яу 4~ У*)> найдемъ:
а — Ъ
‘ Положивъ въ равенствѣ
8 — Зяуя = (я -|- У + ^)(#2 + ув + — ху — хг — уг) я —	у =	я= у/с, найдемъ:
а 4-Ь+с - 3 ^аЪс = (^аЪ— ^ас— ^Ьс);
отсюда, умноживъ числителя и знам. данной дроби на ^2_І_ аЬ — ^ас— ^с?
А А(У^+ Уъ* +	- ѴаЪ-.753- МЬ)
найдемъ:	а + ь + ё- з^яй
Если аЪс есть точный кубъ, то преобразованіе окончено: новый знаменатель радмжмеяъ; если же лЬс не есть точный кубъ, то представивъ знаменатель въ
4" Ь с)а — 27аЪ(^
^«нпъ вопросъ къ предыдущему случаю.
4- ^+^4^+^ СЪ УСЛ0ВІеМЪ’ 470 «=5‘ Не трудно что знаменатель можно представить въ видѣ произведенія двухъ ілл и + ^ѵ, и вопросъ приводится къ примѣру 1.
216. Если знаменатель дроби есть сумма или разность двухъ
убѣдиться, множителей
радикаловъ
ыкого угодно порядка, то ихъ можно привести къ общему показателю корня; такимъ образомъ знаменатель будетъ вида ’р/а + Отсюда два случая:
I.	Положивъ у/а = % и *уЬ = У, откуда а = хт и Ь =
м замѣчая, что при всякомъ т — четномъ или нечетномъ, имѣемъ:
~	= (я — у) (я™”1 -р хт~2у
* 4-#ут-24_УИ1^1)*
подставивъ сюда вмѣсто х и у ихъ величины, найдемъ:
« — Ъ =( ра—’і/&)(Р'а’-’+р'а"-’Ь4-р/ав>-3Ьа	... +р'аЬв-г+^^Г1).
Это равенство показываетъ, что если числит. и знам. данной дроби помно-жимъ на і/а"*”1 -|- ^ат-2Ъ	то знаменатель обратится въ
раціональное выраженіе а — Ь; такимъ образомъ получимъ:
а-д~
Если ш—число четное, то замѣчая, что разность одинаковыхъ
четныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на сумму первыхъ степеней, имѣемъ:
хт " у,п = 4~ у) — хт~2у ^"“яу2 "4
Подставляя сюда |/а вмѣсто я, и вмѣсто у, дадимъ равенству видъ:
4^6 =	4- фЪ) — ^“2І +	—
— ^>-4
Отсюда видно, что для уничтоженія ирраціональности въ знаменателѣ дроби » четномъ, надо оба члена ея помножить на — |/ат-Ч) 4“ • * • — Сдѣлавъ это, найдемъ:
А Аф'а"-! — у/а«-2^4- . , #
Если т — число нечетное, то припомнивъ, что сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится на сумму первыхъ степеней, имѣемъ равенство:
+ Ут = (# +	— . . . + У1"”1);
т/	т/7	*
положивъ въ немъ я = у а и у=уо, имѣемъ:
а 4- Ь =	0/а^1 — ^-Ѣ + І/а"-3Ь’ - . . . -|- ^6—’).
Отсюда слѣдуетъ, что для уничтоженія ирраціональности въ знаменателѣ данной дроби, при т нечетномъ, надо оба ея члена умножить на |/ата-1 — —	сдѣлавъ это, найдемъ:
1
Примѣръ,-^—Приводя корни къ общему показателю 6, полу-і/ я —|- а/ ь
чимъ дробь
Множитель, обращающій знаменатель въ выраженіе раціональное, въ данномъ случаѣ есть
^(а^— ^(а’)‘Ь*+ ^(а»)’(Ь«)’ — ^Ѵ(Ь»)» + ^а»(Ь®)* — ^)®, или —	. ^ — аЬ-^-Уа .	—
Умноживъ имъ числитель и знаменатель дроби, получимъ:
1	—аа 0]/5 ,	—«^ + -|/а.б^5—
)АЧ-	а’ — Ь1
чч»-
217- Въ заключеніе этой главы приведемъ нѣсколько примѣровъ дѣйствій надъ ирраціональными выраженіями.
1.	Провѣрить равенство:
У—і—+]/ —2— = >/»+ А
Провѣрка равенства двухъ данныхъ выраженій, которыя > О, приводится къ провѣркѣ равенства ихъ квадратовъ, т.-е. что
а +	+2	_ а +^}
пли что	а +	« -р 1/^*
Но это равенство вѣрно; слѣд. вѣрно и предложенное.
2.	Упростить выраженіе:
|/3-Н
Это выраженіе можно представить въ видѣ
яли (^-(^+ № - '
3/—	3/~,
или, по сокращеніи на / х — у у.
х3^х — Уу) №х+&у)№хЧ~№—Уху)
т.-е.
X + у
3.	Разложить на множители выраженіе:
, '~аѢ* + к'ЬѴ -|- ’ЛЛІ* — ( */б*ё» 4- ^0*0* 4- ^а*Ьг).
Назвалъ это выраженіе буквою Р, имѣемъ послѣдовательно:
Р -	(’/'ьі _ _р */?	- ^Г‘) 4- ^‘.(^ — ^а»)
= (^ — ^7Г») {^((/аа4-^) — ^аѢ3 — )/<?}
=	— ^/7а){ ус3	(^Га — ^с2) }
= (^а> — ^Г») (^6® —	(у'с® — ^)-
к
Примѣчаніе. Индусамъ уже были извѣстны методы извлеченія корней — квадратнаго п кубичнаго. — Олсора Ллкахійялем (средина XI вѣка) доказалъ точность этиіъ методовъ и указалъ пріемы для нахожденія корней высшихъ порядковъ. Правила дѣйствій надъ коренными количествами находимъ уже въ ариѳметикѣ Алъкалъцади (-|- 1477).
ГЛАВА XVI.
Степени н корни съ дробными и отрицательными показателями.
Дробные показатели.
218. Происхожденіе с^пепеней съ д/}обными показателями.—Для извлеченія корня изъ степени надо показатель подкореннаго количества раздѣлить на
__	15
показателя корня; такимъ образомъ: /а13= а8 = адй Но если показатель под-
кореннаго количества не дѣлится на показателя корня, какъ напр. въ случаѣ _	2
то, примѣняя указанное правило, мы найдемъ выраженіе а3, пе имѣющее смысла степени какъ произведенія множителей, равныхъ основанію въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что нельзя а повторить множителемъ у раза» Однако, вполнѣ нозволительно допускать подобныя выраженія, если только подъ ними разумѣть ничто иное какъ новый особый способъ изображать ирраціональныя
2	_	^2
выраженія. Такимъ образомъ пишутъ: а3 вмѣсто а2 вмѣсто а5 тл
вмѣсто н т. д. Вообще, выра-жекге ап есть ничто иное какъ и называется количествомъ съ дробнымъ показателемъ. Итакъ: количество съ дробнымъ показателемъ есть корень, показатель котораго равенъ знаменателю дробнаго показателя, изъ количества въ степени^ равной числителю дробнаго показателя.
условное обозначеніе ирраціональныхъ выраженій въ видѣ дробныхъ степеней, распространяя правило показателей при извлеченіи корпи и на тотъ случай, когда показатель подрадикальпаго количества не дѣлится на показателя корня, т-е. обобщая это правило, вполнѣ соотвѣтствуетъ духу алгебры, стремящейся къ обобщеніямъ.
Разсматривая правила дѣйствій падъ дробными степенями, мы придемъ къ тому важному заключенію, что правила эти остаются тѣми же самыми, какія мы нашли раньше для показателей цѣлыхъ. Обстоятельство это, говоритъ Лакруа въ своей алгебрѣ, «служитъ однимъ изъ замѣчательнѣйшихъ примѣровъ пользы знаковъ, когда они удачно выбраны. Чѣмъ дальше мы подвигаемся въ алгебрѣ, тѣмъ болѣе узнаемъ безчисленныя выгоды, какія повело за собою введеніе показателей...»
Дробные показатели были введены Ньютономъ.
219, Теорема, Двѣ дробныя степени равны,
если
показатели изъ
равны*, т.-е.
т
то ап
р
а4.
т р если - =
Дѣйствительно, по опредѣленію степени съ дробнымъ показателемъ имѣемъ:
т	р
Приводя корни къ общему показателю, найдемъ
т	р
а» = ра* =	. (1) и «’ = ^а1’ =	.
• (2);
но изъ условія имѣемъ: «15=слѣд. вторыя части равенствъ (1) и (2) равны, а потому равны и первыя. Итакъ
«I р
220. Умноженіе. Умножить имѣемъ
т	р
ап на Но опредѣленію дробныхъ степеней
т а =
_	р	__
и а" =	а*;
* р ________ _	__
откуда а'ха'1- ^а,нХ^а^=^/апи1Хп^/аІГр (по приведеніи корней къ общему показателю). Такъ какъ и пр—числа цѣлыя и положительныя, то пригоняя правила—умноженія корней и степеней, доказанныя для такихъ показателей. получимъ: 4
’у/а^Х ”і/а’гр=іу/ а"ч'.а,'^='‘Уав,’+я<>.
Такъ какъ пц и 4“^^ Цѣлыя положительныя числа, то раздѣливъ въ П’<-гѣхнемъ выраженіи показатель подкореннаго количества на показателя корня. найдемъ:
тд-}'ІІР	тЧ пр т р	4
а—а^+"»=а" '
Итакъ: я» р яі р ^Ха?=а" + < . .(1).
Положивъ въ этомъ равенствѣ сперѣа п = 1, потомъ ? = 1 (на что имѣетъ право, такъ какъ п и $—цѣлыя положительныя числа) иайдемъ, въ первомъ случаѣ:
Г т+' атХа*=а ®. . . (2). а во второмъ т	т
а5 *Хл”=а" . . .(3).
Равенства (1), (2) и (3) показываютъ, что: будутъ ли оба показателя (робкые^или одинъ цѣлый, а другой дробный, при умноженіи степеней одною и тою же основанія показатели складываются.
1	1 Д + ± и 1 з+А И
Такъ: 1) а5Ха3=я3 2=а10; 2) а®Х&5=а	5—а5.
т	р
221. Дѣленіе. Раздѣлить а№ на а*, полагая, что “ >
Послѣдовательно имѣемъ:
т ’р
а*: а« =	= У а"4: апр = *^а’лі-"г.
приведеніи обѣихъ частей неравенства
»»
Я "'Я
къ общему знаменателю,
По
откуда:	а слѣдовательно разность тд—пр поло1
жктелып. Но при цѣлыхъ положительныхъ показателяхъ имѣемъ
явд—яр	тд пр я» р
Итакъ
т р я» р
. (1).
Положивъ я —1, находимъ изъ этого равенства:
р	т р
—	я» — —
а :	7 , .
 (2)-
Р	х
порядка^, т.-е. опредѣлить
Положивъ въ равенствѣ (1) д = 1, найдемъ: гп	т
а*: аѵ — а^~Р . . .(3)
Равенства (1), (2) и (3) доказываютъ, что правило показателей при дѣленіи, доказанное первоначально для цѣлыхъ показателей, остается справедливымъ и тогда, когда оба или одинъ изъ показателей — числа дробныя,
3_	5_	_5	4^	2
Примѣръ:#2 :а*=аа в=а 0=а1.	/
222. Возвышеніе въ степень. Пусть требуется ап возвысить въ степень т\ у
#пр. Замѣняя каждую изъ степеней съ дроб-
нымъ показателемъ — корнями, получимъ:  иі\ р	у
Такъ какъ показатели пу и тр— числа цѣлыя и положительныя, то тр т у а7* = а “ ‘ «. Слѣд.
(ш\ р й* у а“)« = а" . (I).
Полагая сперва д— 1, а затѣмъ н=1, найдемъ: т	р	р
а~к) =а!і'Р:	.(2); и (ат)^ = ат^. . .(3). •
Отсюда слѣдуетъ, что правило показателей при возвышеніи въ степень, выведенное въ § 104 для показателей цѣлыхъ, распространяется и на тѣ случаи, когда одинъ или оба показателя — дробные.
I -1\2_	_1 - 5	_5
Примѣръ. ^а4]в=а4 *=а8.
223.	Возвышеніе въ дробную степень произведенія и дроби.
। і'а\< -,7/аѴ -.7^ А’ »
к\В7 = у \в) ~у в? =	=—• Заключаемъ, что для возвыше
нія дроби въ дробную степень нужно отдѣльно возвысить въ данную степень числителя и знаменателя и первый результатъ раздѣлить на второй: то же самое правило, что и для возвышенія дроби въ цѣлую степень.
р___________________ __________ р р
2. (А.В)^= ^/(АВУ=^А/’.Вір= ^Р7.^/Вр= АУ.В^, слѣд. правило возвышенія произведенія въ дробную степень —такое же какъ и въ цѣлую степень.
224.	Извлеченіе корня. Пусть р
ПЧ	М
а* т.-е. найти V а*1. Распространяя опредѣленіе корня и на этотъ случай,
требуется извлечь корень порядка - изъ
т уэдишсся подъ корнемъ порядка ~ кзв ам разумѣть такое количество,
т
жммрее, будучи возвышено въ степень порядка ^давало бы а*. Согла-оэя лому опредѣленію, назвавъ искомый корень буквою т -е. положивъ
^ан=х . . . (1)
р >н
Аймяъ, что ха = а‘\ откуда, возвышая обѣ части
рф тд	т р
х°=ам, или х = ал Подставивъ въ равенство шраженіе, получимъ:
г
^-1
У / т »і р
V а7* = а* 1« . . . (2).
я
въ степень
(I) вмѣсто #
получимъ:
найденное
Полагая здѣсь сначала д — 1, а потомъ н = 1
?/ т т	Р	р
Уая=а"''Р. . . (3); 2/(?г=аИ‘!»
имѣемъ:'
: Р
. . (4)
Такимъ образомъ, будутъ ли показатели — корня и подкореннаго количества оба дробные, или одинъ — цѣлый, а другой — дробный, надо для извлеченія корня — показатель подрадикальнаго количества раздѣлить на показатель корня: то » самое, что к для цѣлыхъ показателей.
3 -1 1?
Примѣръ. * а7 =а7 3=ан.
225.	Корень дробнаго порядна изъ произведенія, дроби я корня съ дробнымъ показателемъ.
1. /а.В = ^(АВ)‘ = (АВ)1' *(§ 224,4) = (АВ)Р = А* . В₽(§ 223, 2)
1 ; Г 1 : *	Ѣ	Р. _
= А “ . В ' * = ^А X И* (§ 224, 4).
Заключаемъ, что правило извлеченія корня дробнаго порядка изъ произведенія— такое же точно какъ и корня съ цѣлымъ показателемъ.
и въ этомъ случаѣ для извлеченія корня изъ корня нужно показатели корней перемножить.
Итакъ, всѣ правила, доказанныя для показателей цѣлыхъ, распространяются я на дробные показатели. Замѣняя радикалы дробными показателями, мы получаемъ возможность совершать преобразованія ирраціональныхъ выраженій по тѣмъ же правиламъ, какія имѣемъ для выраженій раціональныхъ, а это ведетъ къ упрощенію вычисленій и болѣе быстрому полученію результатовъ.
226.	Приводимъ примѣры преобразованій выраженій съ дробными показателями.
I. Упростгітъ выраженіе
I А —♦ Л А\_1 \Д2 _|_д 86 8 ) ф	ф ,
_4	4^
Вынося въ первыхъ скобкахъ общаго множителя а а во вторыхъ Ь3» имѣемъ:
возвышая каждаго множителя отдѣльно въ степень находимъ:
/ Л ® V
взявъ общимъ множителемъ	имѣемъ
или, выполнивъ умноженіе:
II. ‘Провѣритъ равенство
_іг	— ПГ	-П-	-	3
22Ьа-}-(а2 — &2)2 Ла— (а* — Ь2)2Ъ ^=(а + &)2 — (а — Ь)2.
Для облегченія повѣрки положимъ:
х = а -1- Ъ . . . (1) п ~ — Ь. . .(2).
Сложивъ эти равенства, получимъ:
X -4- у 2а = я-|"2/>а отсюда а— —
перемноживъ (1) со (2), найдемъ
а2 — Ь2 = ху, откуда (а2 — Ь*)2 = (я$)3.
Первая часть даннаго равенства послѣ подстановки приметъ видъ:
2е .Ссу-|-(ху)4].
я + у +	—у4) ]’
А	2.
(а + Ь)4-(а-&)4,
что и требовалось найти.
Отрицательные показатели.
227.	Въ § 41 мы нашли, что а~т = ^ но тамъ формула эта установлена была для случая т цѣлаго. Если въ равенствѣ
т р т р
« “ ; а* = а " ~ ®,
доказанномъ въ > 221 пра условіи — > с условимся не дѣлать послѣдняго » = О ™ Л обратятся въ а* или въ 1, а самое ра-
* Итакъ
а«
«
т.-е. степень съ отрицательнымъ дробнымъ показателемъ равна единицѣ, дѣленной на то же основаніе съ положительнымъ показателемъ, равнымъ по абсолютной величинѣ отрицательному. Такимъ образомъ, будетъ ли т— цѣлое или дробное, всегда имѣемъ:
Отрицательные показатели даютъ возможность изображать дробь въ формѣ цѣлаго выраженія (безъ знаменателя). Такъ дробь можно написать въ вигѣ: 5а*Ь3- ~5 • замѣтивъ, что —с’5 и ^ = с?-7, найдемъ, что
= 5л263с~5 Д”7.
Такимъ образомъ, чтобы дробь представить безъ знаменателя, надо всѣ множители знаменателя перенести въ числитель съ отрицательными показателями.
Наоборотъ, всѣ множители числителя можно перенести въ знаменатель, написавъ игъ съ отрицательными показателями; въ самомъ дѣлѣ, напр.
_ 1
а'2 о
1
Перейдемъ теперь къ изученію дѣйствій надъ количествами съ отрицательными показателями.
228.	Умноженіе. I. Пусть требуется помножить ар на замѣтивъ, что
= получимъ:
П	д	р 1 ЯР
такъ какъ р и 2—числа положительныя, то, будутъ ли они цѣлыя или дробныя, нужно при раздѣленіи ар на а? вычесть $ изъ слѣд.
— лр_'7 =	слѣдовательно
ар .
т.-е. показатель произведенія равенъ алгебраической суммѣ показателей множимаго и множителя.
2. Пусть оба показателя—отрицательны; найдемъ:
а_р .	—-Д - Ду —	= а_(р-Н) = а-Р-?=а-р+(-?):
то же самое заключеніе, что и въ предыдущемъ случаѣ.
229.	Дѣленіе. I, Пусть будетъ одинъ изъ показателей — положительный, а другой — отрицательный.
а~р : ад — Д7:а9= а = -^г:і — а~(Р^) = а-Р~і= а-р-(+ч\
ар а? . а? шЖг ѵ 7	\
т.-е. изъ показателя дѣлимаго вычитается показатель дѣлителя.
2.	а_р:а~г = ^Д:	= а~р-Н = а-л-(-я); то же заключеніе.
/ I Ѵл 1
230.	Возвышеніе въ степень. 1. (^ш)” = І-ж) = по правилувоз-.	X1* і	/
1 I
вышенія дроби въ положительную степень; далѣе: ^р —	=	”.
(а")-" =	- а	= а- • - «.
Всѣ три результата приводятъ къ общему заключенію: при возвышеніи степени въ новую степень показатели перемножаются, будутъ ли они цѣлые или дробные, положительные или отрицательные.
231.	Возвышеніе въ отрицательную степень произведенія и дроби.
1	1 Ч і“ж— 1  —- - 1	1	V -—	иі т>—т
*-	(ДВ)т Ат. Вт	Ат ВНІ Л ’п
что Дзія возвышенія въ отрицательную степень (цѣлую или зрУдун и?жведенія нужно отдѣльно возвысить въ эту степень каждаго мно-жтгео і результаты перемножить.
. V— 1 I Вт А-т	. ,и
--	А"*^ А™~ В27™’ 00 перенесеніи А въ числителя, а
ІТГ) В"1
Р—гь аиенателя. Заключеніе: для возвышенія дроби въ отрицательную сте-в -	* въ эту степень возвысить отдѣльно числителя и знаменателя, и пер-
іті -тульгатъ раздѣлить на второй.
232.	Извлеченіе корня. I. Пусть требуется извлечь корень положительнаго іять степени съ отрицательнымъ показателемъ: )/а~р, гдѣ ши р —цѣ~ _ дробныя числа. Имѣемъ:
г
Т 1	1	--	—
р=—= — = а м = ат , т.-е. показатель подкореннаго ко-га” а"*
лгчрггва нужно раздѣлить на показатель корня.
2. Разсмотримъ теперь извлеченіе корня съ отрицательнымъ показателемъ.
дѣленіе корня, данное для цѣлаго положительнаго показателя и распростра-т—затѣмъ на корень дробнаго порядка, распространяютъ и на корни от-тщательнаго порядка. Такимъ образомъ, корнемъ минусъ ш-го порядка изъ А вызываютъ количество, которое по возвышеніи въ минусъ *п-ую степень даетъ А; согласно этому опредѣленію:
«ли ”|/а = В, то К“ш = А.
Докажемъ, что
1
7^»
—т
т.-е. что коренъ съ отрицательнымъ показателемъ равенъ единицѣ, раздѣленной на коренъ съ тѣмъ же по величинѣ, но положительнымъ по знаку? показателемъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть” |р/А = я; по опредѣленію корня найдемъ:	— А,
1	і
или^й — А, откуда х =-т, а извлекая изъ обѣихъ частей корень т-го (по-ложительнаго) порядка, получимъ:
ад /Т 1
= и требуемое доказано.
Пусть теперь требуется извлечь корень (—т)-ой степени изъ ар, гдѣ р— юйжжтельно; въ силу только что доказаннаго предложенія имѣемъ:
т.-е. и въ этомъ случаѣ
показатель под-
растпігътаго і^личества надо раздѣлить на показатель корня.
Пусть, наконецъ, оба показателя отрицательны; найдемъ, что ____ _____1__ ___________
Г/ «-р=^/^Т7р; но |Уа-*’ = а м (§ 232,1); слѣдовательно
а ’р = —р = а'н = а"ІЛ* прежнее заключеніе.
Итакъ, во всѣхъ случаяхъ, при извлеченіи корня нужно показателъ подрадикалънаю количества дѣлитъ на показателъ корня, будутъ ли оба показателя — цѣлые или дробные, положительные или отрицательные.
Напр. У а 4=а 4
233. Извлеченіе корня отрицательнаго порядка изъ произведенія, дроби и корня съ отрицат. или положит. показателемъ.
1
Ні
1
гп. Но, но доказанному,
туг—	н	слѣд.
т.-е. для извлеченія корня отрицательнаго порядка изъ произведенія нужно извлечь его отдѣльно изъ каждаго производителя и результаты перемножить.
і
(по §§ 231,2 и 232,2). Итакъ
т.-е. для извлеченія корня отрицательнаго порядка изъ дроби нужно извлечь его отдѣльно изъ числителя и знаменателя, и первый раздѣлить на второй.
3. Пусть, наконецъ, требуется извлечь корень (—т)-го порядка изъ  —™	।
г д-р—А р Ш =	=	=	т.-е. пока-
затели корней слѣдуетъ перемножать.
Итакъ, всѣ правила, относящіяся къ вычисленіямъ надъ количествами съ положительными показателями, относятся и къ отрицательнымъ показателямъ.
Отрицательные показатели были введены раньше дробныхъ; ихъ введеніе приписываютъ Михаилу Стифелю (1509—1567),
ГЛАВА XVII.
Замѣчательныя формы алгебраическихъ выраженій.
0	т	т	сс	О
Формы: —>	—>	—»
1 т	0	со	т	О
—, со — (X?.— Раскрытіе неопредѣленностей.
234. Въ силу общности алгебраическихъ формулъ онѣ могутъ представлять замѣчательныя формы при частныхъ предположеніяхъ относительно количествъ, входящихъ въ составъ ихъ. Займемся изученіемъ этихъ особыхъ, замѣчательныхъ формъ.
т а 0
235. Численная величина алгебраическаго выраженія равна нулю, если оно является въ видѣ частнаго отъ раздѣленія нуля на конечное количество отличное отъ нуля. Такимъ образомъ, если т есть конечное количество, отличное отъ нуля, то
°=0 т
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію частнаго, оно есть такое количество, которое, по умноженіи на дѣлителя, даетъ дѣлимое; но только нуль, умноженный на количество отличное отъ нуля, можетъ дать въ произведеніи нуль.
Примѣръ. — Дробь
.г* +	—10
х* -|- 5
при х = 2 обращается въ нуль; въ самомъ дѣлѣ, подставляя вмѣсто х число о	0	А
2. находимъ у» т.-е. 0.
П. Форма:
236. Численная величина алгебраическаго выраженія равна безконечности, если оно является подъ видомъ частнаго отъ раздѣленія числа отличнаго отъ нуля на нуль.
Въ самомъ дѣлѣ, взявъ дробь которой числитель т есть нѣкоторое ко
нечное число отличное отъ нуля, станемъ уменьшать ея знаменателя, неограниченно приближая его къ нулю: дробь будетъ безпредѣльно возрастать.
— = 1 Такъ, дѣля 1 послѣдовательно на 1, на	• • •
= 10 будемъ въ частномъ получать: 1, 10, 100, 1000,..., т.-е. числа
1 4100
= 100
возрастающія, такъ что когда численная величина знаменателя
—-1 000 1/іооо
и т. д.
велика.
будетъ менѣе всякой величины, т.-е. О, то численная величина дроби будетъ больше всякой величины, т.-е. будетъ безконечно-
Такъ какъ безконечность не можетъ быть выражена никакимъ числомъ, то для письменнаго изображенія ея необходимъ особый знакъ; такимъ знакомъ служитъ сс. Итакъ
т___
СГ
если т отлично отъ нуля.
Знакъ сс предложенъ Валлисомъ въ XVII столѣтіи.
Примѣчаніе. Иногда говорятъ, что есть символъ невозможности; это нужно понимать такъ, что невозможно найти никакого конечнаго числа^ которое, будучи помножено на нуль, давало бы т. И въ самомъ дѣдѣ, всякое конечное число, помноженное на 0, дастъ нуль.
Примѣръ. Дробь
а^Н-1
х* — За? — 4
обращается въ сѵ, если положить х — 4; въ самомъ дѣлѣ, тогда получимъ 17
-0 или сс.
Когда числитель и знаменатель дроби имѣютъ одинаковые знаки, то при постепенномъ уменьшеніи численной величины знаменателя до нуля дробь будетъ оставаться положительною, и потому она стремится къ положительной безконечности. Если же числитель и знаменатель имѣютъ разные знаки, то по мѣрѣ приближенія знаменателя къ нулю дробь стремится къ отрицательной безконечности. Положительная безконечность изображается знакомъ -р сс, _|_ 2
отрицательная—знакомъ — сс. Такъ, если въ дроби я, будучи больше 3, приближается къ 3, то х — 3 будетъ оставаться величиною положительною; а потому, когда я, въ концѣ своего измѣненія, обратится въ 3, дробь обратится въ -[-сс. Если же	будучи меньше 3, приближается къ 3, то раз-
ность х— 3 все время будетъ оставаться отрицательною; а потому, когда & достигнетъ своего предѣла 3, дробь обратится въ —ес. Но дробь будетъ ли х приближаться къ 1 уменьшаясь, или увеличиваясь, въ обоихъ случаяхъ при х = 1 обращается въ -р ос, потому что и въ томъ и въ другомъ случаѣ ея числитель и знаменатель остаются положительными.
III.	Формы: —
т
и
237.	Частное отъ раздѣленія безконечности на конечное количе ство—есть безконечность; т.-е.
ОС т
если т конечно.
Въ самомъ дѣлѣ, но опредѣленію частнаго,— это послѣднее, будучи умножено на конечное количество яц должно дать безконечность; но никакое конечное .количество, умноженное на конечное т, не можетъ дать безконечности; поэтому частное—безконечно велико.
238.	Частное отъ раздѣленія конечнаго количества на безконечно-большое равно нулю; т.-е.
если т конечно.
Въ самомъ дѣлѣ, если дѣлимое конечно, то при неограниченномъ возрастаніи дѣлителя частное неограниченно приближается къ нулю, сл. при безконечно-большомъ дѣлителѣ численная величина частнаго будетъ нуль.
239.	Частное отъ раздѣленія нуля на безконечность есть ноль, а частное отъ раздѣленія безконечности на нуль есть безконечность; т.-е.
Въ самомъ дѣлѣ, — есть 0 по двоякой причинѣ: съ одной стороны по-тому, что числитель =0 (§ 235), съ другой потому, что знаменатель равенъ безконечности (§ 238). — Подобнымъ же образомъ убѣдимся и въ томъ, что оэ О —
240.	Теорема. Численная величина цѣлаго по буквѣ х полинома съ конечными коэффиціентами, — конечна при х конечномъ, и безконечно-велика при х безконечномъ.
Пусть имѣемъ полипомъ
а#4 + Ья3 -р сх* -|- Лх о,
цѣлый относительно я, съ конечными коэффиціентами а, Ь, с, е, причемъ а отлично отъ нуля; понятно, что при всякомъ конечномъ значеніи х каждый членъ полинома конеченъ, а алгебраическая сумма конечнаго числа конечныхъ слагаемыхъ конечна.
Пусть теперь х будетъ безконечно-велико; вынеся л4 за скобки, дадимъ полиному видъ
Ч* х = каждый изъ членовъ въ скобкахъ, содержащій х въ знаменателѣ, обратится въ 0 (§ 238), такъ что въ скобкахъ останется а; поэтому произведете т.-е. данный полиномъ, обращается въ	т.-е. представляетъ про-
изведете конечнаго числа а, отличнаго отъ нуля, на безконечность; а такое провзведеніе, очевидно, есть безконечность. Очевидно, знакъ этой безконечности будетъ такой, какой имѣетъ членъ ах* — высшій членъ полинома.
іѵ А 0 П . Форма: -д*
241.	Выраженіе разсматриваемое сахо-по-себѣ, означаетъ какое угодно число. Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлить 0 па 0 значитъ найти такое число, которое, будучи умножено на О, давало бы 0; но всякое конечное число имѣетъ это свойство (такъ: 5X0 = 0, —2X0 = 0 и т. д.), слѣд. означаетъ не
л	іт	О
одно какое-либо число въ частности, но какія угодно числа. Поэтому -д называютъ символомъ неопредѣленности.
Изъ этого слѣдуетъ, что если два количества А и В равны третьему С, то нельзя еще заключить, что А = В, не увѣрившись предварительно, что С не О есть д-*
242.	Теорема, Когда алгебраическая дробь, которой числитель и знаменатель суть цѣлые раціональные относительно х полиномы, принимаетъ при нѣкоторомъ частномъ значеніи х неопредѣленную форму
—эта неопредѣленность—только кажущаяся, на самомъ же дѣлѣ дробь имѣетъ совершенно опредѣленную величину.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ дробь которой числитель и знаменатель обращаются въ ноль при х — а; это доказываетъ, что н А и В дѣлятся на х — а (§ 60). Пусть частное отъ раздѣленія А на х — а будетъ А'; въ такомъ случаѣ
А = (х — а)А';
цѣлый относительно х полиномъ А' можетъ также обращаться въ нуль при х — а; тогда онъ будетъ имѣть видъ
А' = (я— а)А", а слѣд.
А = (я — а)эА".
А”, въ свою очередь, также можетъ обратиться въ нуль при х = а и т. д. Такимъ образомъ можно написать:
А = (я—а)т.Р,
гдѣ Р есть цѣлый относительно ' х полиномъ, не обращающійся въ нуль при х = а; онъ можетъ быть и нулевой степени, т.-е. вовсе не содержать буквы х. Такимъ же образомъ можемъ написать:
В = (я— а)р . Ч,
гдѣ У — цѣлый относительно х полиномъ, который можетъ быть и нулевой степени, не обращающійся въ ноль при х = а. Данная дробь имѣетъ, такимъ образомъ, видъ:
(я —
Изслѣдуемъ всевозможные случаи, полагая послѣдовательно:
т <^р.
Первый случай. т>р. Положимъ х = а, найдемъ, что дробь обращается въ ’д” Но сокративъ ее на (я — а)р, дадимъ ей видъ
*	(я—а)1"—*’.?
гдѣ т—р — положительно; положивъ я = а, найдемъ, что (я — а)т-г = 0. а Р и Ч — отличны отъ нуля; поэтому, истинная величина дроби при я=а есть ноль.
Примѣръ. Дробь
(*-- 3)4*+ 1)
(* + 2)
при х=3 принимаетъ видъ но, сокративъ ее на (* — З)3, найдемъ
(*-3)^+1)
(* + 2) ’
и, положивъ ж = 3, найдемъ
0X4 п
—^— или 0.
Второй случай. т=р. Положивъ х = а, найдемъ, что дробь обращается въ — * а сокративъ ее иа (# — а)щ = (* — а)\ получимъ
А Р
В —
а гакъ Р в Ч не обращаются при х — а въ ноль, то представляетъ нѣ-которое овредѣіеиЕ^ чмо«.
Прімірк Дробь
іг— -н 3)
ця х= 1 ібрщіетті въ но, по сокращеніи на (х— 1)3Т она обращается
2
#+ 3 з
Положивъ въ этой дроби я — 1, найдемъ вполнѣ опредѣленное число Третій случай, т <,р. Положивъ я = а, найдемъ но если предварительно сократимъ дробь на (а? — а)т, то найдемъ
'	 А = __2^_;
В (ж —
такъ какъ р — ш — положительно, то при х = а знаменатель обратится въ воль; а какъ числитель отличенъ отъ нуля, то дробь обратится въ ео.
Примѣръ. Дробь
(яН-1)«(я — 2)
(я-Н)*бг —3)
при х = — 1 обращается въ но, по сокращеніи на (я-|-1)3, принимаетъ видъ
х__2
_з
Доживъ я = —1, найдемъ	Такимъ образомъ, истинное зиа-
«пе дроби при х = — 1 есть безконечность
243.	Первый способъ опредѣленія истиннаго значенія неопредѣленности О
вида уу.
Изъ предыдущаго § слѣдуетъ, что для опредѣленія истиннаго значенія неопредѣленности, или, какъ говорятъ, для раскрытія неопредѣленности, надо въ числителѣ и знаменателѣ дроби выдѣлить общаго множителя, обращающагося при сдѣланномъ частномъ предположеніи въ ноль, сократить дробь па этого множителя и потомъ ввести сказанное предположеніе.
Примѣръ I. Найти истинное значеніе дроби
'	а2-За 4-2
а2—а—6 при а — 2.
Замѣняя а числомъ 2, получаемъ т.-е. неопредѣленность; тѣмъ не менѣе, мы утверждаемъ, что при а = 2 данная дробь имѣетъ совершенно опредѣленную величину. Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ уже, что если числитель и знаменатель обращаются при а = 2 въ пуль, то они дѣлятся на а — 2, откуда находимъ, что дробь можно представить въ видѣ
(а— 2)<а—1).
(а - 2)(«+3)*
сокративъ па а — 2, находимъ
а — 1
положивъ здѣсь а = 2, найдемъ, что истинная величина дроби равна
2-1	1
2 4-3 или 5*
Примѣчаніе. 0 данномъ предметѣ нельзя составить себѣ вполнѣ яснаго представленія, не обращаясь къ теоремамъ о предѣлахъ. Здѣсь мы имѣемъ двѣ перемѣнныя величины:
а2—За 4- 2 а—1 а — 2 «2 + а—6 11 «4-3 ' а —2*
которыя, если а приближать къ 2, будутъ при всякомъ значеніи а оставаться равными. Но мы знаемъ, что въ такомъ случаѣ, въ силу теоремы III, § 184, и предѣлы этихъ перемѣнныхъ, при а = 2, будутъ равны? такъ что
Ііш
/а2 —Зя + 2\____р /а — 1 х а — 2\
Пт\л+"3Ха — 2)
при а = 2.,.(І).
Но, но теоремѣ XI, § 190,
Ііш
(а—	—2\ ѵ Іа—1\	М—2\
|,ГрзХ^—2,1- 1,гаІ5=з) • іт\а^2/і при а =2.
Но Ііш (д-ц-'з)» >ФИ «— 2, равенъ Что касается Ііш то, по теор. XI, § 192. этотъ предѣлъ =1. Подставляя въ (1), имѣемъ
— 215 —
Ііш(^»--у) =Ь<| = А.
\ Я2-{-<7 — 6 /а=2	5	5
1
при а = 2, есть *
т.-е. что истинное значеніе данной дроби,
Примѣръ II. Найти истинное значеніе дроби
я* — 4зг — 4^2 + 24а; — 9 я! — а?2 — 21я + 45
при х~ 3.
Подставляя 3 вмѣсто х, замѣчаемъ, что оба члена нуль; слѣд, они дѣлятся на х— 3. Совершивъ дѣленія, х* — я* — 7х “|- 3 и	— 15, такъ что дробь
видѣ
(дт — 3)(л^ — х^ —	4- 3)
(х —3)(^4-2х —15) 1
дроби обращаются въ найдемъ въ частныхъ: можно представить въ
или. по сокращеніи на х— 3:
яг» — х2 — ~х + 3
•	+ 2х —15
Для нахожденія истиннаго значенія нужно теперь положить х ~ 3» Сдѣ-лавъ это, находить, что новая дробь также обращается въ это значитъ, что оба чма ея дѣлятся снова на х — 3, такъ что дробь можно представить въ
(х —ЗХя*Ч-2г —1)	. я«+2т~1
^-ЗХг + 5)-»	™ сокращеніи, -^5—
п	О	14
Положивъ х = 3, находимъ ложенной дроби при х=3.
і
или -ц-’ это и ость истинное значеніе пред-
а
__ьт
Примѣръ III, Найти величину дроби ~р~"р ПРИ а — &•
При а = Ь оба члена дроби дѣлаются нулями; слѣд. они дѣлятся на а—6; по сокращеніи на а — дробь принимаетъ видъ
ат—і -|-	4" а1"-*^2 -Н.. 4* аЬ”»—- 4"
а₽—14-	4- ор-3&2 4-... 4“
положивъ а = Ъі находимъ	или “ ’а р: это и есть истинное зна-
ченіе данной дроби при а = 6.
О
244.	Второй способъ нахожденія истиннаго значенія неопредѣленности д*
Пусть дробь принимаетъ неопредѣленный видъ д при я? = а. Положивъ х = а + А, подставимъ въ данную дробь вмѣсто х> получимъ дробь Ірі сдѣлавъ въ ней приведеніе, найдемъ, что числитель и знаменатель ея бу* дутъ содержать общимъ множителемъ Л. Въ самомъ дѣлѣ, данная дробь при-шімаетъ видъ при х = а, сл. оба члена ея содерасатъ общій множитель х — а, т.-е. Л (ибо изъ равенства я=а-}-к9 слѣдуетъ х — а = к). Сокра-
щаемъ дробь на А, и если по сокращеніи количество Ь еще будетъ находиться въ дроби, нужно положить А=О: полученный результатъ и будетъ представлять истинную величину данной дроби при я = а, ибо изъ равенства я = а + Л слѣдуетъ, что положить Л = О — то же самое, что въ данной дроби положить х = а.
Способъ этотъ принадлежитъ Рушё (КопсЬё).
Примѣръ. Найти истинную величину дроби
іг3 — х2 — х 4-1 — я? — 3^-	— 2
при х= 1. .	О „
Положивъ х=1, найдемъ, что дробь принимаетъ видъ Подставляемъ въ нее вмѣсто х биномъ 1 + Л; находимъ
(1 ЛЛ)»-(1-НМ* — (1 + Л) + 1	_ 2Л*Ч- Л®
(1 + Л)4^(і ц_ ;оз_з(і + Л)2 _|_ 5(і +*) —2 ЗА®+ Л*‘
Сокративъ на А2, получимъ	а положивъ здѣсь Л = О, найдемъ
0 или <х>. Итакъ, истинное значеніе данной дроби при х = 1 есть ес.
V. Форма: 0Х<х.
245.	Если въ равенствѣ АХ^ = -^ положить: А=О и В = О, то получится ОХд = д» или 0Хс^=д- Итакъ, символъ ОХ<х, разматриваемый самъ по себѣ, означаетъ неопредѣленность.
Эта неопредѣленность можетъ быть только кажущеюся: ею можетъ маскироваться совершенно опредѣленная величина. Напримѣръ:
хл X = Зя; при х = О получаемъ: 0X^ = 0.
4
з
я* X = 3: при х = 0 получаемъ: О X = 3.
при ж = 0 получаемъ: 0Хс^ = сс.
• Итакъ, подъ видомъ неопредѣленности О х сс можетъ являться и 0, и конечное число, и безконечность.
246.	Изъ сказаннаго вытекаетъ, что если одинъ изъ сомножителей произведенія равенъ нулю* то мы не вправѣ утверждать, что и произведеніе равно нулю, не убѣдившись предварительно, что ни одинъ изъ остальныхъ сомножителей не есть безконечность.
247.	Такимъ образомъ, когда алгебраическое выраженіе принимаетъ видъ ОХ^Ѵ при частномъ значеніи какой-либо буквы, то является вопросъ объ опредѣленіи истинной величины этого выраженія.
Примѣръ. Найти истинную величину выраженія
(ж»4-5® + 6) X ів+^2 при х = — 2.
Подставивъ (— 2) вмѣсто а?, находимъ: О х Представивъ данное выраженіе въ видѣ	*	•
3(^+5а?Ч-6) ^4-3^4:2 ’
О	о
приводимъ вопросъ къ раскрытію неопредѣленности при # — — 2.
Примѣняя пріемъ § 243, находимъ:
3(я + 2)(я + 3) _ 3(^ + 3) (г + 2)(я"+1)	#+1
Истинное значеніе будетъ: 3( —2 + 3)	3	„
-ТТ2--+1- или
VI. Форма:
1
__ »
А. в
248.	Если въ равенствѣ	положить А = О и в —О, то полу-
В 1
О О	сс	О л .	со
чимъ: —р- — -0-	влп — = -ф~* Слѣдовательно, символъ —, разсматрнвае-
“0
мый самъ по себѣ, означаетъ неопредѣленность.
Неопредѣленность эта можетъ быть только кажущеюся. Такъ:
1 \ о	Л со
1)	--г- = 2ж; положивъ я ~ со, найдемъ: = оэ.
2)	—^-=‘2; положивъ 'л; = ос, найдемъ въ этомъ случаѣ, что
2я:	2	X Л	А
3)	— = —; положивъ я = ес, въ этомъ случаѣ найдемъ: — =0.
Итакъ, подъ видомъ неопредѣленности можетъ скрываться пли <х, или конечное количество, или нуль. Отсюда задача о раскрытіи неопредѣленности разсматриваемаго вида.
249.	Въ § 240 мы видѣли, что величина цѣлаго раціональнаго по буквѣ х полинома равна безконечности при х = сс, если коэффиціенты его конечны. Отсюда слѣдуетъ, что алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой суть цѣлые относительно х полиномы, обращается въ — при х — со. Докажемъ. что истинная величина такой дроби при х безконечномъ равна: яіулю.
если степень знаменателя выше степени числителя; безконечности — если, наоборотъ, степень знаменателя ниже степени числителя; и частному отъ раздѣленія коэффиціентовъ при высшихъ степеняхъ буквы х, если степень знаменателя равна степени чгіслителя.
Первый случай. Найти истинную величину дроби
при я = сс.
Дробь принимаетъ видъ ность, раздѣлимъ числ. и знам.
чтобы раскрыть эту кажущуюся неопредѣлеп-•	4
на высшую степень х, въ данномъ случаѣ на х3. Найдемъ
Если положить х = (Хі, каждый членъ, содержащій х въ знаменателѣ, обра-тится въ нуль, а дробь въ 2 или въ О.
Второй случай. Найти истинное значеніе дроби г
За?+2х — 1	- ,
5жЗ —2х»+3 при х = <х.	,
Дробь принимаетъ видъ Раздѣливъ оба члена ея на высшую степень х, въ данномъ случаѣ на х\ найдемъ:
2	12	3
При х = сѵ дроби:	— и обращаются въ пуль, и данная дробь
3' равна у, т.-е. отношенію коэффиціентовъ при высшихъ степеняхъ х.
1'ретій случай. 'Найти истинное значеніе дроби
ж3—я-}-1	*
— 2^ + 6	’	*
при х=<х>.
Раздѣливъ числителя и знаменателя на х\ получимъ:
При х = сіс числитель обращается въ 1, а знаменатель въ ОХ — 2 или въ—0, истинная величина дроби = —
VII. Форма: сс— со.
250.	Сумма двухъ безконечностей одного знака, очевидно, равна безконечности съ тѣмъ же знакомъ; разность двухъ безконечностей съ противоположными знаками равна безконечности; но разность двухъ безконечностей одного знака и сумма двухъ безконечностей противоположнаго знака суть формы неопредѣленныя.
Въ самомъ дѣлѣ, если въ равенствѣ ~положимъ	и
ИЛя110	1	0
В = 0, то найдемъ: п — 7т = тгі или сс —	= — -
ѵ У М	«О
Укажемъ, какъ раскрывать кажущуюся неопредѣленность этого вида.
П р и м ѣ*р ъ I. Найти истинное значеніе выраженія
При # = -|-сс данная разность принимаетъ видъ сс— ос. Вынося я3 за скобки, мы дадимъ ей видъ: #3 (1 — —), что приа? = 4-^> обращается въ 4-сс, При х = — сс данное выраженіе = ~ ес — сю = — сю.
Примѣръ II. Найти истинное значеніе разности
(х 4- 1) — )/2ха — Зх-|- 1
при я = + сс+
При х = — ос данная разность обращается въ — ес — ес или въ —
При =	равняется 4~^ равно какъ и 2х2 — Зх-|~Ъ сл.
мы получаемъ разность двухъ положительныхъ безконечностей — выраженіе не опредѣленное. Чтобы раскрыть эту кажущуюся неопредѣленность, множимъ и дѣлимъ данное выраженіе па сумму’ х 4* 1 -{-(/Яя:3 — За? -(- 1, и получаемъ
(.т + 1——Зж+1)(а?4-1 +	—Здг + 1)
х +1 +
или
(х -Н)3—(2^ — 4-1) х +1 +V2й^ —Зх + 1
или
л® 5а:
х +1	— Зя + 1
Раздѣливъ числ. и знам. на я;2, находимъ
или
Положивъ здѣсь # = наюдимъ
Примѣръ III. Найти истинное значеніе разности
х 2 — рЛг2 — 5х + 1 при =	>	*
При я — — находимъ — При	разность принимаетъ неопредѣленный видъ —
Чтобы раскрыть неопредѣленность, множимъ и дѣлимъ данное выраженіе на х 4~ 2 4- }/#3 — 5^4^ 1; находимъ:
_______9* + 3
х 4- 2 +	— 5 я +1
или
Раздѣливъ числителя и знаменателя на я, получаемъ
п	_г	9
Положивъ	+ со, находимъ -—
I “Ь г 1
.	9
даннаго выраженія, ври я~ 4^°°» равна
или
* Итакъ, истинная величина
ОТДЪЛЪ ВТОРОЙ.
УРАВНЕНІЯ и НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
ГЛАВА ХѴШ.
Уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Опредѣленія: равенство, тождество, уравненіе.—Уравненія эквивалентныя.—Преобразованія уравненія'въ другое ему эквивалентное. —Рѣшеніе уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.—Примѣры. „
Опредѣленія.
251.	Соединеніе двухъ равныхъ количествъ знакомъ = (знакъ равенства) называется равенствомъ. Такъ 7 = 5-|-2 есть равенство; общій видъ равенства есть	♦
А = В.
Количество А, находящееся влѣво отъ знака равенства, наз. первою частью, количество же В, стоящее вправо отъ этого знака, второю частью равенства. Равенства бываютъ двоякаго рода: тождества и уравненія.
Всякое очевидное равенство называютъ тождествомъ.
Такъ, равенства
5 = 5;	10 = 7 + 2 + 1; (а + й)а = (<* +
суть тождества.
Тождествомъ называютъ также всякое равенство двухъ буквенныхъ выраженій.* вѣрное при всѣхъ, какихъ угодно, значеніяхъ входящихъ въ нею буквъ. Такимъ образомъ, равенства
(а + к)2 = а2 -|- 2ай -|- 62, а2 — 62 = (а -|- 6) (а — 5), ат X ап — ат+*
суть тождества.
Но есл возьмемъ равенство 2 г—10 = 0, то легко убѣдимся, что оно будетъ вѣрю не при всякихъ частныхъ значеніяхъ буквы х; въ самомъ дѣлѣ, чтобы первая часть была нулемъ, нужно чтобы 2х равнялось 10, а это воз-
можно только при х равномъ 5, н ни при какомъ другомъ значеніи буквы х. Точно такъ же равенство #* = 16 возможно не нри всякомъ значеніи буквы х, а лишь при двухъ частныхъ значеніяхъ этой буквы, именно: при ж =	и
при х = — 4; въ самомъ дѣлѣ, какъ (4~4)2=16, такъ и (—4)а = 16.
Такія равенства у которыя вѣрны не при всѣхъ, а лишь при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ входящихъ въ нихъ буквъ, называются уравненіями.
Тѣ буквы, которымъ нужно дать особыя значенія для того, чтобы существовало равенство между обѣими частями ур—пія, иначе говоря, тѣ буквы, при частныхъ значеніяхъ которыхъ уравненіе въ самомъ дѣлѣ обращается въ тождество, называются неизвѣстными количествами уравненія, или просто неизвѣстными. Прочія же количества, входящія въ уравненія, паз.
Такъ, если мы ищемъ, при какомъ значеніи х равенство
а-\~Ь = 2х — с
будетъ справедливо, т.-е. обратится въ тождество, то # будетъ неылянісишыла этого уравненія. Легко видѣть, что ур. это обратится въ тождество, если л>су
'	* а I/ “4“ С	и ѵ
дать значеніе —Нр2—; въ самомъ дѣлѣ, вторая часть обращается при этомъ въ 2 X 2	— с ІІЛИ въ а 4“ & ~Ь с что равно а 6; ур—піе же
дѣйствительно дѣлается тождествомъ
л -’І— Ъ = а —Ъ.
Тѣ частныя - значенія неизвѣстныхъ, при которыхъ ур—ніе обращается въ тождество, называются рѣшеніями или корнями уравненія. Въ вышеприведенныхъ примѣрахъ:
ур—ніе 2д?— 10 = 0 имѣетъ одинъ корень' =5;
ур—піе я* =16 имѣетъ два корпя: -р4 и —4;
ур—піе и фо =	— с имѣетъ одинъ корень: — 2 - *
Рѣшить уравненіе значитъ найти ого корни, т.-е. тѣ значенія для неизвѣстныхъ, которыя обращаютъ уравненіе въ тождество.
Принято говорить, что коренъ удовлетворяетъ уравненію; этимъ сокращенно выражаютъ, что уравненіе обращается въ тождество, если замѣнить въ немъ неизвѣстныя корнями.
Для отличія неизвѣстныхъ количествъ ур-пія отъ извѣстныхъ, принято неизвѣстныя обозначать послѣдними буквами азбуки: х, у, и, ѵ, . . , ; извѣстныя же первыми: а, Ь, с,	т, п, . . .
Такъ, въ уравненіи а-\-Ъ = 2х — с неизвѣстное есть х, извѣстныя же: а, Ь и с.
252.	Классификація уравненій-—Уравненіе наз. алгебраическимъ, если въ немъ надъ неизвѣстными -не совершается иныхъ дѣйствій кромѣ сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія, возвышенія въ степень и извлеченія корня.
Во всѣхъ другихъ случаяхъ ур. называется
Такъ уравненіе 10х = 8 есть трансцендентное; оно называется нымъ, ибо въ немъ неизвѣстное является показателемъ.
Всѣ алгебраическія уравненія раздѣляются на два класса: на раціональныя и ирраціональныя.
Алгебраическое ур. называется раціональнымъ, если въ немъ неизвѣстныя не входятъ подъ знакомъ корня; если же въ уравненіи неизвѣстныя встрѣчаются подъ знакомъ корня, то оно наз. ирраціональнымъ.
Такъ, уравненіе
есть раціональное, ибо въ немъ неизвѣстное не встрѣчается подъ знакомъ корня. Уравненіе же 
}/ 5х — 1 =	— 3
есть ирраціональное, ибо членъ |/ 5л;-^1 содержитъ неизвѣстное подъ знакомъ корня.
Раціональныя уравненія, въ свою очередь, раздѣляются на цѣлыя и дробныя.
Цѣлымъ паз. такое раціональное ур., которое не содержитъ неизвѣстное въ знаменателѣ; напр. уравненія
— 4 = 0,	—10 = 5л;—1 и х — х 1/2 = 6
 
суть цѣлыя.
Если же уравненіе содержитъ неизвѣстныя въ знаменателѣ, то оно назыв. дробнымъ. Уравненіе
3 — 5<г
есть ур. дробное.
Такимъ образомъ обѣ части цѣлаго алгебраическаго уравненія суть полиномы цѣлые относительно неизвѣстнаго.
Степенью цѣлаго уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ называется высшій показатель при неизвѣстномъ въ этомъ уравненіи. Такъ:
ур—ніе ~ 0 есть ур—ніе первой степени;
ур—ніе аяа4-^ + с —0—второй степени;
ур—ніе 4л;8 — 2ая2 -|- 5я — 1 ~ 0— третьей степени.
Если же цѣлое ур. содержитъ нѣсколько неизвѣстныхъ, то степенью его наз. наибольшая сумма показателей при неизвѣстныхъ въ одномъ и томъ же членѣ.
Такъ, ур—ніе
ах Ъу + ея = &
есть ур. первой степени съ тремя неизвѣстными (я, у и ^)*

4л; — эху — У = 4у — 11х
есть гтчргі степени съ двумя неизвѣстными, ибо наибольшая сумма пока-итежі ф «жвѣстныхъ равна 2 (въ членѣ — 5л$).
Ур.
х3у1 4* у4 4-	-|~ ]/ с = 2
есть ур. седьмой степени, такъ какъ наибольшая сумма показателей при неизвѣстныхъ въ одномъ и томъ же членѣ равна 7 (въ первомъ членѣ).
Понятно, что нельзя говорить о степени ур^нія, если оно не есть раціональное цѣлое. Такъ мы не можемъ говорить о степени ур—пій
ибо они содержатъ члены пли дробные, идя ирраціональные относительно неизвѣстныхъ.
Уравненія раздѣляютъ еще на численныя и буквенныя; численнымъ ур—мъ называютъ такое, коэффиціенты котораго суть опредѣленныя числа, а буквеннымъ такое, коэффиціенты коего суть буквенныя выраженія. Такъ
ур—ніе	— у2 -р 5 = О есть численное;
.	а	<Х ~Р б л л   т
ур — ніе а2х---------х1 — 2 = а есть ур. буквенное.
Если два ур— нія имѣютъ одинаковые корни, то они наз. эквивалентными ур—ми. Итакъ, уравненія
А = В . . . (1) н А' = В' ... (2)
будутъ эквивалентны, если всякій корень ур—-нія (1) удовлетворяетъ (2), и обратно, каждый корень (2) удовлетворяетъ (1).
Такъ напр.. ур—нія
2^4-1 —7 ... (1) и 2^ + 4 = 10 ... (2)
эквивалентны, ибо какъ то, такъ и другое удовлетворяются однимъ и тѣмъ же корнемъ, равнымъ 3.
253.	Процессъ рѣшенія ур—нія заключается въ томъ, что отъ даннаго уравненія, путемъ послѣдовательныхъ преобразованій, стараются придти къ та-* кому уравненію, первая часть котораго есть само неизвѣстное; понятно, что вторая часть такого ур—нія и будетъ искомымъ корнемъ, если послѣднее эквивалентно данному.
Сказанныя преобразованія основаны на слѣдующихъ началахъ.
254.	Первое начало. — Придавая къ обѣимъ частямъ уравненія поровну ? или отнимая отъ обѣихъ частей равныя количества ? получимъ уравненіе эквивалентное данному.
Пусть данное уравненіе будетъ
А = В ... (I)
гдѣ А и В суть нѣкоторыя алгебраическія выраженія, содержащія одно или нѣсколько неизвѣстныхъ. Пусть будетъ, далѣе, М нѣкоторое произвольное ко-
лпчество, содержащее пли не содержащее неизвѣстныя. Требуется доказать, что уравненіе
А + М = В + М . . . (2)
эквивалентно данному. Это значитъ, нужно доказать, что всякій корень ур—нія (1) служитъ также корнемъ и для (2), и обратно—всякій корень ур—нія (2) удовлетворяетъ и ур—нію (1). Въ самомъ дѣлѣ:
1.	Пусть х = 5 будетъ корнемъ ур—нія (1); это значитъ, что при подстановкѣ числа 5 вмѣсто а? въ уравненіе (1) количества А и В дѣлаются равными; но такъ какъ М всегда остается равнымъ самому себѣ, то очевидно, что при х = 5, и Л + М будетъ равно В-рМ, т.-е. подстановка 5 вмѣсто х въ уравненіе (2) обращаетъ его въ тождество, а это и значитъ, что 5 есть корень уравненія (2). Такимъ образомъ, мы доказали, что всякій корень уравненія (1) удовлетворяетъ необходимо и уравненію (2).
2.	Наоборотъ: пусть х — а, будетъ корнемъ уравненія (2), т.-е. что при подстановкѣ количества а вмѣсто х въ уравненіе (2), А М дѣлается равнымъ В4-М; но какъ М всегда равно самому себѣ, то равенство суммъ А-рМ и В4~М требуетъ равенства выраженій А и В. Итакъ, при х~ъ имѣемъ А=В, т.-е. х = а. служитъ корнемъ ур—нія (1).
Итакъ, доказано, что уравненія (1) и (2) эквиваленты.
Если отъ обѣихъ частей ур—нія (1) отнять по М, то уравненіе Л—М=В—М также эквивалентно уравненію А = В. Въ самомъ дѣлѣ, отнять М все равно что придать (— М) къ обѣимъ частямъ даннаго ур—нія; но уже доказано, что приданіе равныхъ количествъ къ ^обѣимъ частямъ уравненія приводитъ къ уравненію, эквивалентному данному.
255.	Слѣдствіе I.— Всякій членъ уравненія можно перенести изъ одной части уравненія въ другую, написавъ ею въ этой другой части съ обратнымъ знакомъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть данное уравненіе будетъ
ах — Ь = (I . , . (1)
ідош гь обѣимъ частямъ по — сх, имѣемъ
ах — сх — Ь = сх —	или ах — сх — Ь = -\-сІ . . . (2)
причемъ, на основаніи доказаннаго начала, ур. (2) эквивалентно (1)-му. Придавая, затѣмъ, къ,обѣимъ частямъ ур. (2) по + &, находимъ
ах — сх—= или ах — с$= Ь-\- А . . . (3),
причемъ это ур. эквивалентно (2)-му, а слѣд. и (1)-му.
Сравнивая ур. (3) съ (1), замѣчаемъ, что членъ сх перешелъ въ первую часть съ знакомъ —, между тѣмъ какъ во второй части ур. (1) этотъ членъ имѣлъ знакъ -|-, членъ Ъ перешелъ во вторую часть съ знакомъ между тѣмъ какъ въ первой части уравненія этому члену предшествовалъ знакъ —. Отсюда выводится заключеніе: перенося члены изъ одной части уравненія въ другую, слѣдуетъ у переносимыхъ членовъ мѣнять знаки на противоположные.
256.	Слѣдствіе П, — Всякое уравненіе можно привести къ виду
Р = О.
Въ самомъ дѣлѣ, перенеся всѣ члены изъ второй части уравненія въ первую, очевидно, будемъ имѣть во второй части О.
Напримѣръ, уравненіе
'	4я2 — 7« + 2 = 3х — 6
эквивалентно уравненію
4^2 _ Юж + 8 О, । 
. Если имѣемъ уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, 'то перенеся всѣ члены въ первую часть и сдѣлавъ приведеніе, дадимъ такому ур—нію видъ
= О,
гдѣ а и Ь суть выраженія, не содержащія Это и есть, слѣд,, самый общій видъ уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Точпо такъ же уравненіе ах*	-(- с = О,
въ которомъ а, 6 и с не зависятъ отъ я, есть самый общій видъ ур—нія второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Уравненіе
-р -|- сл; -|- = О
представляетъ общій видъ ур^—нія третьей степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Наконецъ, уравненіе
Ктхт4- Ат-і X"-1 + А„_2 ж“~2 Н---------І-Л^’ +	+ Ао = О
есть общій видъ ур—нія ш-ой степени съ‘ 1 неизвѣстнымъ.
257.	Слѣдствіе ПК — Можно перемѣнить знаки у всіьхъ членовъ уравненія на обратные.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть дано уравненіе
19 — 7# = 5 —	. (1)
Замѣтимъ прежде всего, что всегда можно переставить части уравненія, т.-е. написать вторую часть уравненія влѣво отъ знака равенства н наоборотъ; ибо очевидно, что ур—ніе Л] = №, эквивалентно ур—нію $ = М*). Сдѣлавъ это, найдемъ •
5 — 4л; = 19 —7 л;.
Затѣмъ перенесемъ члены второй части въ первую и наоборотъ; получимъ
‘	‘	— 19 + 7л:= — 5-}-4я . , . (2).
• <
Сравнивая это ур. съ (1), замѣчаемъ, что оно отличается отъ (1) знаками при всѣхъ членахъ.
і) Дѣйствительно, всякое значеніе неизвѣстнаго, дѣлающее М равнымъ К, дѣлаетъ, наоборотъ, и Ы равнымъ М.
258. Второе начало. Помноживъ обѣ части уравненія на одно и то же количествоЛ полг/чижь уравненіе эквивалентное данному? если только взятый множитель не есть ни нуль? ни безконечность? и не содержитъ неизвѣстнаго.
Пусть дано уравненіе
А = В . . . (1),
 М— количество, не равное ни 0, ни со и не «вращающееся ни въ 0, ни въ со. Требуется доказать, что при такомъ ограниченіи относительно М, уравненіе
АЛІ = В.М . . . (2)
эквивалентно уравненію А — В, т.-е. что всякій корень перваго удовлетворяетъ второму и наоборотъ.
Для удобства доказательства замѣнимъ уравненія (1) и (2) имъ эквивалентными
А —В = 0. . . (I) и (А —В).М = О. . * (II)
ур. (I) эквивалентно (1)-му и (II) (2)-му, ибо перенесеніе членовъ изъ одной части въ другую приводитъ всегда къ ур—мъ эквивалентнымъ даннымъ. * Итакъ, докажемъ, что (I) эквивалентно (П)-му.
1.	Пусть я = а будетъ однимъ изъ корней уравненія (I); это значитъ, что при подстановкѣ а вмѣсто х въ ур. (I), это ур, обращается въ тождество, т.-е. А — В — въ нуль. Подставимъ теперь а вмѣсто х въ ур. (II); при этомъ А—В, какъ уже знаемъ, обратится въ 0; а произведеніе двухъ множителей: А —В и М, изъ коихъ одинъ равенъ нулю, само равняется 0, если только другой множитель не обращается въ оз; но, по условію, М не есть и не обращается въ со, сл. произведеніе (А — В) М, при ж = ат дѣйствительно обращается въ 0, а ур. (II) въ тождество 0=0, Значитъ х = а служитъ корнемъ ур—пія (И).
2.	Пусть я = есть одинъ изъ корней ур—нія (И); это значитъ, что при подстановкѣ ? вмѣсто х въ ур-піе (II) произведеніе (А — В)М дѣлается нулемъ; но чтобы произведеніе двухъ множителей было =0, необходимо, чтобы одинъ изъ множителей равнялся 0, и какъ М, по условію, не есть 0, то А—В должно обращаться въ нуль. Итакъ, при подстановкѣ вмѣсто х. выраженіе А —В обращается въ 0, а сл. служитъ корнемъ и (1) уравненія.
Итакъ, мы доказали, что при сдѣланномъ ограниченіи относительно М, всякій корень 1-го уравненія служитъ корнемъ и втораго, и паоберотъ; а слѣд. ур^кія (I) и (II) эквивалентны, и одно изъ нихъ можетъ быть замѣнено дру-ліъ.
259.	Можно раздѣлить обѣ части ур—нія на одно и то же количество М, ііжгь бы оно не было = ни нулю, ни безконечности; полученное ур* будетъ .гігЕалентно данному.. Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлить на М — все равно что по-хжтъ ка но если М не есть 0 или со, то не есть ни со, ни 0; а гін і у?<жггель. по доказанному, приводитъ къ эквивалентному съ даннымъ * «
260.	П р 11 о ж е а і е. На этомъ началѣ основано уничтоженіе дробей въ

уравненіи, когда знаменатели этихъ дробей не содержатъ неизвѣстныхъ. Пусть, напр,, требуется освободить отъ дробей уравненіе
I? _ ?____1 ]	| X
8	4 — 6 і 12 * "
Для этого нужно помножить обѣ части ур—нія, или, что то же, всѣ члены ур—нія на наименьшее кратное знаменателей, м затѣмъ въ каждомъ членѣ сократить общихъ множителей числителя и знаменателя; такъ какъ каждый знаменатель входитъ множителемъ въ составъ наименьшаго кратнаго, то очевидно, что указаннымъ сокращеніемъ всѣ дробные члены будутъ приведены къ цѣлому виду.
Наименьшее кратное знаменателей ур—нія (1) есть 23ХЗ = 24; умножаемъ всѣ члены на 24; имѣемъ
7л? X 24 _ З Х 24 _ 24 । 5* X 24
8	4	" 6 ‘	12
или. сокращая первую дробь на 8, вторую на 4, третью па б и четвертую на 12. находимъ
7.г X 3 — 3 X б = 4 X 2, или, наконецъ
21я— 18 = 44-1^ . . . (2).
Это ур. (2), но доказанному, эквивалентно (1)-му, ибо множитель въ данномъ случаѣ не содержалъ неизвѣстнаго, поэтому онъ не могъ измѣнять своей величины, а слѣдовательно и не могъ обратиться ни въ 0, ни въ сѵ: это была конечная величина 24.
Возьмемъ еще примѣръ: освободить отъ дробей уравненіе
х +« . х — Ь___ х х
Ъ ' а ~ а —Ъ
Наименьшее кратное знаменателей = (а — Ъ) (а 4 6); умноживъ на него всѣ члены уравненія, получимъ:
(а; 4 а)ав(а — 6) (п + 6) < {х— Ъ)аЬ(а — б) (а + 5)_(а — Ь) (а 4- 6)
‘Ь	'	а	~ а — Ъ
хаЬ(а — 6) (а + &) а + Ь
Сокративъ дроби, по порядку, на Ь. а, а — Ь и &4^ получимъ:
(#4а)а (а* — &2)-\-(х — Ь)Ь(а2 — Ьа) = х.аЪ(а4~&) — ха^ (а — ^).
Такъ какъ множитель въ данномъ случаѣ = аЬ(а“— Ь2)^ т-е. количеству, не зависящему отъ неизвѣстнаго, то послѣднее ур. эквивалентно данному.
261.	Случаи, когда множитель равенъ, безконечности, нулю или же содержитъ неизвѣстное.
При доказательствѣ предыдущей теоремы мы сдѣлали ограниченіе относительно величины множителя М, разумѣя подъ М количество опредѣленное, не равное ни 0, ни сс, и не зависящее отъ неизвѣстнаго. При такомъ ограниченіи
уравненіе, полученное по умноженіи на М, всегда эквивалентно данному. Разсмотримъ теперь случаи: М = со, М = О, М содержитъ неизвѣстное.
Случай: М = со. — Въ этомъ случаѣ уже нельзя утверждать, что всякій корень ур—нія (!) удовлетворяетъ и 11-му, потому что, ютя іѴ—В и равно О, но (А — В) . М, принимая теперь видъ О X не необходимо равно нулю. Но всякое рѣшеніе ур—нія (II) необходимо будетъ удовлетворять и І-му; въ самомъ дѣлѣ, (А — В) . М должно быть нулемъ, но какъ М = со, то необходимо, чтобы было А —В = О.
Случай: М = О. — Въ этомъ случаѣ всякій корень ур — нія (I) необходимо удовлетворяетъ ІІ-му, такъ какъ при А — В = О, первая часть ур—нія (И) обращается въ О X 0. Но не всякій корень ІІ-го ур. будетъ необходимо удовлетворять и І-му, потому что (А — В) . О равно О, хотя бы А — В и не было нулемъ.
Случаи, когда М зависитъ отъ неизвѣстнаго. — Если множитель М есть выраженіе, содержащее неизвѣстное, то при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ послѣдняго оно можетъ обращаться или въ О, или въ напримѣръ, если М |- 2, то при я = — 2, М дѣлается нулемъ; если М = ^—р то при х — 1, М обращается въ со. Разсужденія, служившія намъ при доказательствѣ теоремы, опять становятся неприложимыми, и мы не въ правѣ утверждать, что по умноженіи будемъ имѣть уравненіе эквивалентное данному. Вопросъ этотъ требуетъ, поэтому, особаго изслѣдованія, которое, въ видахъ ясности, подраздѣляемъ та трі случая.
I. Выраженія А —В и М —цѣлыя относительно неизвѣстнаго.— Кромѣ тлпх значенія х. обращающія М въ нуль, пусть не обращаютъ въ нуль А — В.
Доказать, что ур—нія
А — В = О ... (1) и М(А —В) = О ... (2)
не эквивалентны одно другому.
Здѣсь прежде всего необходимо замѣтить, что ур. Р = О, гдѣ Р — цѣлый относительно а? многочленъ съ конечными коэффиціентами, не можетъ имѣть безконечнаго корня, ибо цѣлый отн. я многочленъ съ конечными коэффиціентами обращается при # = оо въ оо, а не въ нуль, какъ требуетъ ур. Р = О. Слѣдоват., уравненіе (1) имѣетъ конечные корни; въ частности, нѣкоторые изъ нихъ могутъ быть нулями. Переходимъ къ доказательству теоремы.
Всякій корень ур—нія (1). обращая А — В въ нуль, дѣлаетъ нулемъ множителя А—В въ ур—ніи (2); выраженіе же М, какъ цѣлое относительно х, при корняхъ ур—нія (1), какъ конечныхъ количествахъ, не можетъ обратиться въ а будетъ конечнымъ количествомъ. Поэтому, произведеніе М (А — В) обратится въ нуль, а ур. (2) въ тождество 0 = 0.
Итакъ, всякій корень ур—нія (1) удовлетворяетъ и ур—нію (2).
Но корни ур—нія (2) не необходимо удовлетворяютъ и ур—нію (1). Въ самомъ дѣлѣ, кромѣ значеній я, обращающихъ А — В въ нуль, ур — ніе (2) удовлетворяется еще такими значеніями А при которыхъ М обращается въ пуль, ібо эти значенія, какъ неравныя не могутъ обратить А — В въ сс, Н, значенія х, обращающія въ нуль выраженіе М, по условію, не обращаютъ въ нуль количество А — В. Значитъ, этотъ второй родъ корней ур—нія (2) не удовлетворяетъ первому уравненію^ такъ что ур—ніе (2) имѣетъ большее чнгло корней нежели (1), и слѣдовательно, ему пе эквивалентно.
Заключаемъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ умноженіе ур—пія на множитель, зависящій отъ неизвѣстнаго, приводитъ къ уравненію, имѣющему лишніе корни сравнительно съ даннымъ, при чемъ эти лишніе корни суть тѣ значенія неизвѣстнаго^ при которыхъ множитель М обращается въ нуль.
Примѣръ, — Пусть дано ур—ніе
2х — 4 = 3& — 6
корень котораго есть х = 2. Умноживъ обѣ части на х—1, найдемъ новое уравненіе
(2я - 4) (х — 1) = (За? - 6) (х - 1).
Значеніе х = 2, удовлетворяющее первому, удовлетворяетъ п второму ур—'Нію/ ибо обращаетъ обѣ его части въ 0. Но легко видѣть, что второе ур—ніе обращается въ тождество н при #=1, слѣд., имѣетъ еще корень =1, не удовлетворяющій первому. Заключаемъ, что второе ур-—ніе не эквивалентно первому.
11. А — В — выраженіе цѣлое относительно неизвѣстнаго, М — дробное.— Въ этомъ случаѣ уравненія
д-В = 0...(1) и М(А-В) = О . . . (2)
не необходимо эквивалентны: ур—ніе (2) лсожета яв удовлетворя/яься нѣкоторыми корнями ур—нія (1).
Въ самомъ дѣлѣ, пусть х = а будетъ одипъ изъ корней ур—пія (1). Обращая, при подстановкѣ во (2), множителя А — В въ пуль, корень этотъ можетъ обратить М въ со; тогда первая часть ур—нія (2) приметъ видъ с^ХО, по это выраженіе можетъ и пе быть пуломъ. Такимъ образомъ, умноженіе ур—пія можетъ въ разсматриваемомъ случаѣ повести къ потерѣ нѣкоторыхъ корней; эяш теряемые корни суть тѣ значенія неизвѣстнаго, которыя обращаютъ множителя въ безконечность.
Примѣръ I. — Пусть данное ур. будетъ
(х-1)(Ж+2) = 0.. .(1).
Корни его, какъ легко видѣть, суть: ж'=1 и х” = —2. Помноживъ 1 ур—ше па ——г, получимъ «V  1
Ь-1-(.г-1)(Ж4-2) = 0...(2).
Подставивъ въ это ур—ніе 1 вмѣсто замѣчаемъ, что оно принимаетъ видъ
оо X 0 = 0.
Если теперь истинное значеніе неопредѣленности ооХО, при я=1, будетъ О, то я=1 будетъ служить корнемъ ур—нія (2); въ противномъ случаѣ, ур. (2) не имѣетъ корня равнаго 1.
й	/дн.— 1 /ф г
Для раскрытія неопредѣленности ~:. сокращаемъ дробь на х—1
я затѣмъ въ полученномъ выраженіи я-|-2 полагаемъ #=1: въ результатѣ находимъ 3. Значитъ ур. (2), при я=1, боретъ видъ
3 = 0,
и потому я = 1 не есть его корень.
Но х =—2 служитъ корнемъ и ур—нія (2). Итакъ, вслѣдствіе умноженія на М дробное, ур—ніе потеряло одинъ изъ корней, равный тому значенію неизвѣстнаго, при которомъ множитель обращается въ
Примѣръ II.— Пусть данное ур—ніе будетъ
я2 12 = 7#,
имѣющее корни х =3 и а/ =4. I
Умноживъ обѣ части на 5,
находимъ
х2 + 12_ 7®
’ г-:Г’г —3’
или &	= °’ или х Ц X (* — 3) (® — 4) = 0.
Это ур—ніе удовлетворяется значеніемъ #=4. Но подставивъ х = 3, находимъ сс X 0 = 0; и какъ истинное значеніе неопредѣленности ес X О, при х=3, есть —1, то второе ур. не имѣетъ корня =3. Здѣсь опять отъ умноженія на ^73 ур—піе потеряло коренъ 3, т.-е. равный тому значенію неизвѣстнаго, которое обращаетъ множителя въ оі.
Ш, А — В —выраженіе дробное относительно неизвѣстнаго, М — цѣлое.
Мы видѣли, что когда въ случаѣ М цѣлаго было и А — В — цѣлое относительно х, то ур—ніе М(А— В) = 0 имѣло больше корней чѣмъ ур—піе А — В = 0, и этими лишними корнями были тѣ значенія неизвѣстнаго, при которыхъ М обращалось въ нуль. По если, при цѣломъ М, А — В будетъ дробное, то уже нельзя утверждать, чтобы ур—піе М(А — В) = 0 удовлетворялось и всѣми корнями ур—нія М = 0; ибо можетъ случиться, что нѣкоторые изъ корней ур—нія М = 0 обратятъ А — В въ ес, и тогда произведеніе М(А — В) не необходимо будетъ нулемъ, по можетъ быть и отличнымъ отъ нуля. Это значитъ, что умноженіе на М, въ данномъ случаѣ, можетъ и не ввести постороннихъ рѣшеній; иначе говоря, можетъ получиться ур. эквивалентное данному.
262. Случай дробнаго ур—нія и цѣлаго множителя особенно важенъ, ибо онъ встрѣчается при освобожденіи ур—нія отъ дробей; поэтому мы должны разсмотрѣть съ особеннымъ вниманіемъ всѣ представляемыя имъ обстоятельства.
Приэтомъ, для большаго удобства, предположимъ, что всѣ члены перенесены въ первую часть, приведены къ общему знаменателю и соединены въ одпу Р
дробь ту гдѣ Р я — цѣлые относительно х полиномы. Ур. приметъ видъ
ояо всегда м. б. приведено къ этому виду.
Рѣшить это уравненіе — значитъ найти для неизвѣстнаго такія значенія, р
при которыхъ дробь обратилась бы въ нуль; но дробь можетъ обратиться въ нуль только при слѣдующихъ обстоятельствахъ:
1.	Если числитель обращается въ нуль, а знаменатель при этомъ остается отличнымъ отъ нуля.
2.	Если знаменатель обращается въ безконечность, а числитель не дѣлается безконечностью.
3.	Если числитель и знаменатель обращаются: оба въ нуль, или же оба въ СО, но истинная величина полученныхъ неопредѣленныхъ формъ равна О.
Разберемъ эти обстоятельства.
1. Во-первыхъ, числитель обращается въ нуль при значеніяхъ равныхъ корнямъ ур—нія Р = 0. Поэтому, приравнявъ числителя нулю, опредѣляемъ всѣ корни уравненія Р = О. Затѣмъ, каждый изъ найденныхъ корней подставляемъ въ знаменателя Ч: всѣ корни ур—нія Р = О, не обращающіе знаменателя Ч въ нуль, обращаютъ въ нуль дробь	поэтому удовлетворяютъ данному урав-
ненію 0 ~ 0; если же при какомъ-либо корнѣ я* = і ур—нія Р = О и знаме-натель 9 обратится въ О, такъ что дробь приметъ неопредѣленный видъ нужно будетъ найти истинное значеніе этой неопредѣленности; если это истинное значеніе будетъ нуль, то х = а удовлетворяетъ данному ур—нію; если же истинная величина неопредѣленности,* при	будетъ отлична отъ нуля,
корень а слѣдуетъ отбросить.
2. Во-вторыхъ, такъ какъ знаменатель Ц есть полиномъ цѣлый по буквѣ х, то онъ можетъ обратиться въ оэ только лри я = ес; но при этомъ и числитель, какъ цѣлый полиномъ относительно также обратится въ дробь же приметъ видъ истинная величина этой неопредѣленной формы будетъ нулемъ только тогда, когда степень знаменателя выше степени числителя. Въ р
этомъ, и только въ этомъ случаѣ, ур. ^ = 0 будетъ имѣть безконечный корень.
Это изслѣдованіе приводитъ къ слѣдующему заключенію: для рѣшенія ур— нія, содержащаго неизвѣстное въ знаменателяхъ дробей, собираемъ всѣ члены въ первую часть, приводимъ ихъ къ общему знаменателю и соединяемъ въ одну дробь; приравнявъ числителя этой дроби нулю, рѣшаемъ уравненіе Р = 0, Если окажется, что ни одинъ изъ корней этого ур. не обращаетъ знаменателя Ч въ нуль, то заключаемъ, что ур. Р = 0 эквивалентно данному, если оставить въ сторонѣ безконечные корни.
Если же окажется, что какой-либо изъ корней ур—нія Р = 0 обращаетъ л	> Р
и знаменателя Ч въ нуль, то истинная величина дроби при этомъ частномъ значеніи х покажетъ, слѣдуетъ ли его удержать пли отбросить.
Приведемъ нѣсколько примѣровъ въ поясненіе этого правила.
Примѣръ I. Рѣшить уравненіе 4
(дг— ір (х-ь 2)(а;—-3) _ 0	, п
(ж — 1)(а?Ч-2)»(жН-3)®
Приравнивая числителя пулю, рѣшаемъ уравненіе:
(х- 1)«(ж+2)(я — 3) = 0 . . .(2) «
Произведеніе (.г—I)2. (я 4“ 2) (я— 3) обращается въ О при .т—1, при х = — 2 и при я = 3. Слѣд, (2) имѣетъ три корня,
^=1; У' = —2; #"' = 3.
Подставляемъ каждый изъ нихъ, поочередно, въ знаменателя. При ж=1 знаменатель обращается въ О» а вся первая часть въ д; по сокративъ дробь на х — 1, и положивъ затѣмъ х = 1, находимъ, что истинная величина первой части ур—нія (1) есть О* Заключаемъ, что а/=1 есть одинъ изъ корней ур—нія (1),
При х =— 2, знаменатель снова обращается въ О, а первая часть ур—нія (1) въ но истинная величина этой неопредѣленности, при х=2, есть со, слѣд. корень х" =— 2 не удовлетворяетъ данному ур—нію.
Наконецъ, корень ./" = 3, обращая числителя въ О, знаменателя;—дѣлаетъ конечнымъ, а потому удовлетворяетъ ур—нію (1).
•Замѣчая, наконецъ, что степень знаменателя ур. (1) выше степени числителя (числитель 4-й степени относительно я, а знаменатель 6-й), заключаемъ, что данное ур. имѣетъ еще безконечный корень.
Итакъ, данное ур. имѣетъ три корня:
1, 3 и со.
Примѣръ II. Рѣшить уравненіе
Собравъ всѣ члены въ 1-ую часть и соединивъ ихъ въ одну дробь, найдемъ уравненіе
^~7іС+-6 = О;
1 —X	*
пли. разложивъ числитель на множители и умноживъ обѣ части на —1, получимъ
(ж-1)(ж-6) _п
(®-1) 
Приравнивая числитель нулю, находимъ уравненіе (я—О (%—6) = О, которое имѣетъ, какъ легко видѣть, два корня: #'=1 и я" =6. Изъ нихъ второй, какъ обращающій знаменателя въ конечную величину 5, удовлетворятъ и данному уравненію. Первый же, т-е. 1, обращаетъ дробь ----}--------БЪ о:
истинная величина этой неопредѣленности, при х=1, есть не 0, а —5, сл. корень х=1 не удовлетворяетъ предложенному уравненію*
Наконецъ, данное ур. не имѣетъ безконечнаго корпя, ибо степень числн-х а-2 — 7 а? 4-6 теля дроби ———р— выше степени ея знаменателя.
‘ Итакъ, данное ур. имѣетъ одинъ корень: д? = 6.
Рѣшеніе уравненій 1-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
263. Доказанныхъ началъ совершенно достаточно для рѣшенія уравненіи первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Механизмъ рѣшенія укажемъ на нѣсколькихъ примѣрахъ.
Примѣръ 1. Рѣшить уравненіе
1 — 5 — 4___— • • • (П
'	6	4	3	1 Л
Освобождаемъ уравненіе отъ дробей, умножая обѣ части его на общаго знаменателя 12; получимъ
7X12	я?хі2 .ч/11	5л*Х12
—6---------4- = 4Х12-----------з ’
или, по сокращеніи,
14 Зя = 48 —20я . . .(2).
Перенеся, затѣмъ, неизвѣстные члены въ первую часть, а*извѣстные во вторую, найдемъ ур.
20я —Зя = 48 — 14;
« сдѣлавши приведеніе въ той и другой части,
17^ = 34; . . . (3);
наконецъ, раздѣливши обѣ части па коэффиціентъ 17 при неизвѣстномъ, имѣемъ:
или #=2 . , ф (4).
Уравненія (I), (2), (3) и (4) всѣ эквивалентны между собою: въ самомъ  дѣлѣ, каждое изъ нихъ мы выводимъ изъ предыдущаго или умноженіемъ, или дѣленіемъ обѣихъ частей на одно и то же число, или перенесеніемъ членовъ изъ одной части въ другую; а всѣ этн преобразованія не измѣняютъ корней ур—нія. Но ур—ніе (4), очевидно, можетъ быть удовлетворено лишь величиною х равною 2; слѣд, 2 служитъ и корнемъ уравненія (1), эквивалентнаго (4).
Изъ предыдущаго выводимъ слѣдующее:
Общее правило. Для рѣшенія уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ нужно:
1.	Освободитъ ур-ніе отъ дробей, если таковыя имѣются;
2.	Перенести всѣ членъ}, содержащіе неизвѣстное* въ одну частъ* а всѣ извѣстные члены въ другую;
3.	Сдѣлать приведеніе подобныхъ членовъ, т.-е. всѣ члены* содержащіе неизвѣстное, соединитъ въ одинъ членъ* а также и члены извѣстные;
4.	Раздѣлить обѣ части полученнаго так. обр. уравненія на коэффиціентъ при неизвѣстномъ* частное и будетъ корнемъ предложеннаго уравненія.
* г * — 235 —
Примѣръ П. Рѣшить уравненіе .
Ц-1+^+2>=16 -
ъУ '
Умноживъ обѣ части на 12—общаго знаменателя дробей, получимъ • ‘д& .
’	6(^+1) + 4 (я 4-2) = 192 — 3(я 4-3);
раскрывъ скобки, найдемъ
&х4- 6 4- 4я + 8 = 192 — Зх — 9; сдѣлавъ приведеніе въ каждой части уравненія, получимъ болѣе простое ур—ніе 10^4-14=183 — Зя;
по перенесеніи членовъ, имѣемъ Юя4-3я= 183 — 14, по приведеніи: 13а? = 169.
* Отсюда, раздѣливъ обѣ части на 13, имѣемъ х= 13.
Повѣрка. Подставивъ вмѣсто х въ данное ур. 13, получимъ
44(1-4-2) =16-1(13 + 3), или 7 + 5 = 16-4, пли 12=12.
Слѣд. пайденпое рѣшеніе въ самомъ дѣлѣ удовлетворяетъ данному уравненію.
Примѣръ III. Рѣшить уравненіе • 5ж —9 —^ = 7ж— 19.
О Освободивъ отъ дробей, получимъ 15я —27 — 4я = 21я—57;
по перенесеніи членовъ имѣемъ: ♦
15я— 4я— 2 Ія = 27— 57; по приведеніи: • — Юя = — 30.
Умноживъ обѣ части на —1, найдемъ
Юя = 30;
откуда
х = 3.
Повѣрка не представляетъ никакого затрудненія.
Примѣръ IV. Рѣшить уравненіе ч
—|— 7	2^ — 2 2я 1	/іх
“15	77^6“ “7Г“ * • ’
Умножаемъ обѣ части на 15(7я —6) и рѣшаемъ полученное уравненіе; если найденный корень не обращаетъ въ нуль знаменателя, то онт> удовлетворяетъ данному уравненію. Но знаменатель 15(7х—6) обращается въ нуль при 6
& = сл. если корень освобожденнаго отъ дробей уравненія будетъ отличенъ 6 отъ онъ удовлетворяетъ предложенному ур—нію.
Освобожденное отъ дробей ур—ніе есть
(6х + 7)<7ж — 6) — (2х— 2) 15 = 3 (2я -Ь- 1)(7я — 6)
или, собирая всѣ члены въ первую часть и въ двухъ изъ нихъ выводя за скобки 7я— 6, находимъ
(7х—6) . 4 — 30 (г— 1) = О, или
2&г — 24 —- ЗОгг	30 = 0, или
— 2гг = — 6, откуда
х~ 3.
Итакъ, данному уравненію удовлетворяетъ значеніе х, равное 3, въ чемъ не трудно убѣдиться повѣркою.
Примѣръ V, Рѣшить уравненіе
1	। 2г । х ___ .	9 “I- 4л? / ч \
х2 4* 3$ + 2 ‘ г2 + 4х + 3 • х2 -|- 5ж 6	х 4- 3 '
Для нахожденія общаго знаменателя, разлагаемъ на множителей знаменатели первой части уравненія; находимъ:
я2 4* 3Ж-[-2 = (а?+ 1)(я4"2);
^4-4я + 3 = (#+1)(я4-3):
х2 -|- 5я + 6 — (х + 2)(я+ 3);
общій знаменатель = (х + 1)(я 4" 2)(я 4“ 3)-
Умноживъ обѣ части на общаго знаменателя и сдѣлавъ надлежащія сокращенія въ дробныхъ членахъ, имѣемъ:
л:+3+244?+2)4-^+іг=4(^+і)(л:+2)(^+3)—(9 + 4х)(^+1)(ж^2), или
Зяа + 6х + 3 = 4я3 4- 24яа 4- 44х 4> 24 — 4я3 — 21 — 35я — 18,
или, по приведеніи во второй части и по отнятіи отъ обѣихъ частей по Зга, имѣемъ:
6^4-3 =9г'4-6 . . . (2).
Это уравненіе не необходимо эквивалентно данному, такъ какъ оно получено умноженіемъ даннаго на выраженіе (#4” 1)(#4”	3), содержащее неиз-
вѣстное. Но если корень (2) не обращаетъ въ нуль общаго знаменателя, то онъ удовлетворяетъ и ур—нію (1); общій же знаменатель обращается въ О при значеніяхъ я, равныхъ —1, ~2 и ~3; поэтому, если корень ур—нія (2) не равенъ ни одному изъ этихъ чиселъ, то онъ необходимо уд—тъ данному ур—нію; если же равенъ одному изъ этихъ чиселъ, то необходимо дальнѣйшее изслѣдованіе.
Рѣшая ур. (2) имѣемъ:
б# — Эя = 6 — 3 или
— 3я=3, откуда
х = ’— 1.
Перенеся всѣ члены даннаго ур—нія въ первую часть и соединивъ ихъ въ одну дробь, имѣемъ
— Зя —3	- 3(^+1)
(а: + 1)(яГ+2)(ж + 3) ИЛИ (*+ 1)(х + 2)(^ + 3) “
Первая часть, при х =— 1, обращается въ но, сокративъ на я?4~Ь и положивъ затѣмъ х —— 1, найдемъ
— 3
—что не = Ѵ,
слѣд. — 1 не есть
— 3(д? +1)
(я 4- 1)(л* + 2)(я -р 3)
корень даннаго ур—нія. Но какъ степень знаменателя дроби
выше степени числителя, то данное ур. имѣетъ корень
Примѣръ VI. Рѣшить уравненіе
. । х + а 2а + Ь ~~	’ 2а — Ъ *
Умноживъ обѣ части на общаго знаменателя (2а-|-Ь)(2а — />)т найдемъ (2я + 76)(2а — Ь) = (2а	Ь)(2а — 6) -|- (ж 4- а)(2а 4- 6),
или, выполнивъ указанныя дѣйствія,
4ал 4“ 14га6 ~ 2&с — 7№ = 4а3 — № 4- 2а^ 4~ 2а3 4^
а нѵ перенесеніи членовъ,
4ах— 2Ьх — 2ах — Ьх — 4а3 — 63 4~ 2а3 4”— 14аЬ 4~ 763, или (2а — 3&) х = ба3 — 1 Заб 4~	откуда
6а2 — ІЗаЬ + 662
Х~ 2а— ІЪ
Г
Совершивъ дѣленіе, найдемъ окончательно
х = '3а— 26.
Если значенія, данныя буквамъ а и 6, обращаютъ одного изъ знаменателей въ нуль, тогда мы уже не имѣли бы права умножать ур. на произведеніе (2а-|-6)(2а— 6), какъ равное 0; но въ этомъ случаѣ самое ур., содержа дробь съ знаменателемъ равнымъ 0, не имѣло бы никакого смысла.
Примѣръ VII. Рѣшить уравненіе
1 ’ 2 1 Аг------------------— = 0 . . . (1).
х—2а	х—а	х 7
х— 6а
Приводя къ общему знаменателю, имѣемъ:
(#4-За)(&—2а)(а?—а)-{-2(#—6а)(л?—2а)(х—а)4-3{х—6а) (-г-)-За) (я—а)—6(,г—6а) (а?4-3а) (а;—2а) (я?—6а)(лг4-ЗаХд‘—2а)(а;—а)
Числитель м. б. упрощенъ; вынося въ первыхъ двухъ членахъ общій множитель (#—2а)(#— а), а въ двухъ послѣднихъ 3(ж— 6а)(ж-|-3а), найдемъ
(х—2а) (я —	За-т--^—12а]4-3(я?—6а) (я	За) [# — а — 2х-[-4а]=
(# “ 2а)(х — а)(3*г — 9а) -р 3(я — 6а) (я За)(— х За) = 3(х — 2а) (я — а)(гг — За) — 3(# — 6а)(я -|- За)(я — За) =
3(ж — За)[(ж— 2а)(я — а) — (я — 6а)(я	За)] = 3(х — За) X 20а*-
Уравненіе принимаетъ, поэтому, видъ
__________60а2(ж — За)__________,	,9*
(д? — 6а)(яг + За)(*г — 2аХ^ — а) ' ' -
Числитель обращается въ 0 только при х = За; и какъ это значеніе я не обращаетъ въ нуль знаменателя, то оно уд-—тъ и ур—нію (I). Кромѣ того, данное ур. имѣетъ еще безконечный корень, ибо степень знаменателя выше степени числителя. Итакъ, ур. имѣетъ два корня
х — За, и я” = сс.
Повѣрка. Подставляя За вмѣсто х въ данное ур*, находимъ
1,2,3	6 п
— К- + Н------о" — О, или
За • 6а 1 а 2а *
- = 0, а ’
что вѣрно*
Подставивъ вмѣсто х, замѣчаемъ, что каждый членъ цервой іцстн обращается въ 0, сл. ур* также обращается въ тождество 0 = 0.
Задачи, приводящія къ уравненіямъ 1-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
264.	Рѣшеніе задачи средствами алгебры состоитъ изъ четырехъ частей:
1)	составленія уравненій пли неравенствъ изъ условій, связывающихъ данныя величины съ неизвѣстными;
2)	рлшеяія полученныхъ эдшянеиш или неравенствъ;
3)	дезджЬваиія задачи, т.-е. а) опредѣленія условій, которымъ должны удовіетворжть данныя (предполагая, что они изображены буквами), для того чтобы задача была возможна; Ь) опредѣленія числа рѣшеній въ случаяхъ воз-клюоі задачи, и с) разсмотрѣнія всякихъ представляемыхъ ею особенностей. Слѣдуетъ замѣтить, что пе всякая задача даетъ матеріалъ для изслѣдованія;
4» амидо# найденныхъ рѣшеній, служащей удостовѣреніемъ въ правиль-мп рѣшетя задачи.
Въ этой главѣ мы займемся рѣшеніемъ только такихъ задачъ, которыя жрподггь къ уравненіямъ первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ; а изслѣдо-шкжъ рѣшеній займемся въ отдѣльной главѣ, по касаясь пока этого вопроса.
Что касается составленія уравненій изъ условій задачи, то па этотъ счетъ мѣтъ никакихъ общихъ правилъ; все, что можно сказать по этому предмету, оодмтся къ слѣдующему: назвавъ неизвѣстное (мы ограничиваемся здѣсь случаемъ одного неизвѣстнаго) буквою обозначаютъ при помощи этой буквы и данныхъ задачи всѣ дѣйствія, какія должно бы было произвести надъ ними для повѣрки рѣшенія, предполагая, что неизвѣстное найдено; такимъ образомъ получатся выраженія, которыя, по условію задачи, должны быть равны: соединяя дъ знакомъ равенства, и получимъ искомое уравненіе.
Укажемъ примѣненіе этого правила на нѣсколькихъ вопросахъ.
265.	Первая задача. Часовая и минутная стрѣлка находятся вмѣстѣ, показывая полденъ. Въ которомъ часу произойдетъ слѣдующая ихъ встрѣча ?
Составленіе уравненія. Циферблатъ часовъ раздѣленъ па 60 равныхъ , частей, каждую изъ которыхъ большая стрѣлка проходитъ въ минуту времени, и пусть отъ полудня до встрѣчи стрѣлокъ малая стрѣлка прошла х такихъ дѣленій. Минутная стрѣлка, чтобы догнать часовую, должна обойти весь циферблатъ, т.-е. пройти 60 дѣленій, да еще х дѣленій, пройденныхъ часовою, всего 60 + х дѣленій. По въ то время какъ часовая проходитъ 5 дѣленій (отъ XII до I), минутная стрѣлка проходитъ 60 такійгь дѣленій, сл. въ 12 разъ большее число ихъ. Изъ этого слѣдуетъ, что въ одно и то же время путь, пройденный минутною стрѣлкою, въ 12 разъ больше пути, пройденнаго часовою, т.-е. 60 -\-х въ 12 разъ больше х.
Итакъ, имѣемъ уравненіе
60 -|“ я — 12х.
Рѣшеніе уравненія. Перенеся # во вторую часть, находимъ >
60 = 1Ія;
откуда
60	.5
11 — 0 Г]
Слѣд., до встрѣчи стрѣлокъ часовая должна пройти 5^ минути. дѣленій, 5 встрѣча произойдетъ въ 1 ч. 5^ мнн.
Посѣрка. Пространство, пройденное минутною стрѣлкою, должно быть въ 12 разъ больше разстоянія, пройденнаго часовою; и въ самомъ дѣлѣ
5 с 5	720 60
65П:5П = Т1 :И
266.	Вторая задача. Въ трехзначномъ числѣ цифра десятковъ вдвое больше цифры сотенъ, цифра же единицъ втрое больше цифры сотенъ; если къ искомому числу придать 396, найдемъ число обращенное, т.-е. составленное тѣми же цифрами какъ и искомое, но написанными въ обратномъ порядкѣ. Опредѣлить неизвѣстное число?
Составленіе уравненія. Пусть цифра сотенъ искомаго числа будетъ тогда цифра десятковъ выразится черезъ 2х, а цифра единицъ формулою Зх.
Все число единицъ въ искомомъ числѣ будетъ
1 ООх + 20х + Зх.
Число единицъ въ обращенномъ числѣ будетъ
ЗООх 20х
Придавъ къ первому 396, найдемъ число обращенное; слѣдов.
1 ООх	20х —|— Зх —1“ 396	ЗООх —20х ~|— х.
*
Рѣшеніе уравненія. Отнявъ отъ обѣихъ частей по 20х, собравъ неизвѣстные члены въ одну часть и сдѣлавъ приведеніе, получимъ
396 = 198х, откуда
_ 396 _ 9
л ~ І98 — /
Итакъ, число сотенъ искомаго числа равно 2; слѣд. число десятковъ = 4, а число единицъ 6. Поэтому искомое число есть 246.
Повѣрка. Придавъ къ найденному числу 396т должны получить обращенное число, т.-е. 642; и дѣйствительно
246 + 396 = 642,
267.	Третья задача. Два капитала составляютъ въ совокупности 167280 руб. Первый, помѣщенный на 7°/й,	въ 3 м. при-
быль вдвое большую той, какую можетъ принести второй капиталъ* помѣщенный на 5%, въ 7 мѣсяцевъ. Опредѣлитъ оба капитала?
Составленіе уравненія. Пусть первый капиталъ = х; тогда второй будетъ = 167280 — х руб. Каждая сотня перваго капитала, принося въ 1 годъ 4	4	3
4 руб- прибыли, дастъ въ 1 мѣсяцъ въ 3 мѣсяца - или 1 руб.; слѣд.
каждый рубль
перваго капитала принесетъ руб. прибыли, а х рублей —
07
ІбО'
Такимъ же точно образомъ найдемъ, что капиталъ 167280 —х р., при 5%, дастъ въ 7 мѣсяцевъ
(167280 — а;) X 5 X 7	(167280 — ^X35
100X12 “ЛИ 100X12 р. прибыли.
4
Но условію, первая прибыль вдвое больше второй, слѣд.
л* (167280 —я) X 35 X 2
100—	100X12
Рѣшеніе уравненія. Освободивъ это ур. отъ дробей, имѣемъ
12х = 167280 X 70 — 7(Ч
12гН- 70л:— 167280 X ™ ,
82л: = 167280 X "О , 167280X70	1 4оепп
х—------—= 142800 р.
Итакъ: капиталъ, помѣщенный на 4%, =142800 р.; капиталъ, помѣщенный на 5%, =167280— 142800 = 24480 р.
тт тт „	142800X3X4
Повѣрка. Прибыль, приносимая первымъ капиталомъ, равна —= = 1428 р.; вторымъ — х * =714. Дѣйствительно, 1428 больше 714 въ 2 раза.
268.	Четвертая задача. Лисица, преслѣдуемая собакою, находится впереди послѣдней на 60 своихъ скачковъ^ и дѣлаетъ 0 скачковъ въ то время, въ какое собака дѣлаетъ только 6; но 3 скачка собаки равны 7 скачкамъ лисицы. Сколько скачковъ должна сдѣлать собака, чтобы д&інать лисицу?
Когда въ задачѣ рѣчь идетъ о разстояніяхъ, полезно изображать иіъ линіями; этимъ путемъ мы яснѣе представимъ себѣ зависимость между величинами і скорѣе съумѣемъ составить ур—піе.
Предложенная задача представляетъ примѣръ этого рода.
Составленіе уравненія. Пусть X (см. черт. 3) означаетъ мѣсто, въ которомъ находится собака; 0 — мѣсто, въ которомъ въ тотъ же самый моментъ сходится лисица; М — точка, въ которой собака настигаетъ лисицу. Пусть, затѣмъ, собака должна сдѣлать х скачковъ, чтобы догнать лисицу, т.-е. чтобы і робѣ жать разстояніе ХМ.
Выразимъ черезъ х число скачковъ, которое должна сдѣлать лисица на эдгтмяніи ОМ. Въ то время какъ собака дѣлаетъ 6 скачковъ, лисица дѣлаетъ иъ Ч. сл. пока собака дѣлаетъ 1 скачекъ, лисица дѣлаетъ или скачка;
ютожѵ, въ то время какъ собака дѣлаетъ х скачковъ отъ X до И, лисица 3 Зл?
'ііллетъ х разъ 2 или скачковъ отъ 0 до М.
Итакъ, на одномъ и томъ же разстояніи ХМ, собака дѣлаетъ х скачковъ, Зя:
а лжяцж 60-]--^ (60 скачковъ на разстояніи отъ X до 0).
принятыхъ
П’оеиъ скачекъ лисицы за единицу мѣры; тогда разстояніе ХМ, выра-жъ этихъ единицахъ, будетъ 1
<4 другой стороны, 3 скачка собаки равны 7 скачкамъ лисицы, ,7	г 7х
чекъ собаки =х скачка лисицы; а потому ж скачковъ собаки =-н-
сл. 1 ска-принятымъ
единицамъ: это дрѵгая формула, выражающая разстояніе ХМ въ тѣхъ же еди-ницахъ, какъ и формула 60
&
Приравнивая одну формулу другой, имѣемъ ур—ніе
Рѣшеніе уравненія* стей на 6, получаемъ
Освобождая ур. отъ дробей умноженіемъ обѣихъ ча~
5л: = 360, 360
Итакъ, собака сдѣлала 72 скачка, чтобы догнать лисицу.
Повѣрка не представляетъ затрудненій.
269.	Пятая задача. Два	выходятъ одновременно со станцій
А к В и идутъ на встрѣчу другъ другу; первый все разстояніе АВ можетъ пройти въ 4 ч. 20 м*; второй на прохожденіе того же пути употребляетъ 3 ч. 30 м. Разстояніе отъ А до В равно 211 верстамъ. На какомъ разстоянія отъ А оба поѣзда 'встрѣтятся, полагая, что каждый движется все время съ одинаковою скоростью?
Составленіе уравненія. Пусть будетъ х искомое разстояніе, т.-е. число верстъ отъ А до мѣста встрѣчи; разстояніе отъ мѣста встрѣчи до В равно, поэтому, 211—х, Такъ какъ оба поѣзда выходятъ со станцій одновременно, то до встрѣчи они находятся въ дорогѣ одинаковое время; выразивъ эти времена и приравнявъ полученныя выраженія, и найдемъ искомое уравненіе.
Первый поѣздъ въ 4 ч. 20 м. или въ 260 м. можетъ пройти 211 верстъ, сл. чтобы пройти одну версту, времени нужно мин., а для прохожденія х 260* т	 гл	х
верстъ мин. Такимъ же разсужденіемъ убѣдимся, что второму поѣзду для
.	Л 210(211—о-) л
прохожденія 211—х верстъ потребуется —91]---------- мин. Сл. ур—ніе есть
260ж _ 210 (211 — д-)
211 —	211
Рѣшеніе уравненія. Освобождая отъ дробей, имѣемъ
260л?= 210(211 — х);
выполняя умноженіе и перенося члены:
260x4-210л = 44310;
470х= 44310;
44310 п,із х=^- = 94й версты.
Итакъ, встрѣча произойдетъ въ разстояніи версты отъ А.
Провѣрить рѣшеніе нетрудно.
270.	Шестая задача. Раздѣлитъ 5600р. между пятью лицами такъ, 2-е имѣло вдвое больше 1-ю и еще 200 р.; 3-е втрое больше Т-» безъ 400 руб.; 4-е полусумму частей 2-го и З-іо и еще 150 р.; мжвдеда, 5-е четверть суммы остальныхъ четырехъ и еще 475 руб.
Составленіе уравненія. Пусть будетъ х часть перваго; часть второго вы-разжгся формулою 2х4- 200;—3-го Зх—400.
Четвертый получитъ
2х + 200 4- Зх — 400 2
Ц-150
5х-|-100 или —--------
Сумма частей четырехъ первыхъ лицъ =
х 4- 2х + 200 + Зх — 400 4-
или
17х —300
Пятый получитъ
17х — ЗСИ1
17-г 4- 3500 т.-е. -------т;------
По условію задачи части всѣхъ пяти лицъ въ совокупности составляютъ 5600 р.; отсюда уравненіе
П^-ЭДО 2
17х + 3500 8
= 5600,
Рѣшеніе уравненія. Освобождая уравненіе отъ дробей, находимъ
68х — 1200 4- 17х4- 3500 = 44800;
85х = 44800 4-1200 — 3500,	-
85х = 42500,
42500 -АЛ х= - оѵ— = эОО.
8о
Птакъ: часть 1-го =500 р.; часть 2-го = 1200; 3-го =1100; 4-го = 1300; 5-го =1500 р.
Повѣрка. Дѣйствительно, сумма 500	1200 4~ 1ЮО 4~ 1300 4~ 1500 =
= 5600.
Примѣчаніе. Задача эта приведена какъ примѣръ, указывающій, насколько кжо сокращать и приводить въ простѣйшій видъ сложный результатъ, прежде тѣшь иереходпть къ слѣдующему.
Яраѵіимъ примѣры съ буквенными данными.
27К Седьмая задача. Число а раздѣлитъ на двѣ части7 которыя (іитпямп бы между собою какъ т : п?
Составленіе уравненія. Пусть первая часть = х; тогда вторую можно шраяпъ зри иомощи х изъ пропорціи
х : второй части = т ; п.
откуда
Отсюда уравненіе
пх
вторая часть = — *
Рѣшеніе уравненія. Умноживъ обѣ части на ж, найдемъ •
тх -|-	= апі;
ат
Вторая часть = —х=-г	т т
та _ па ш -г п т + л
/
Повѣрка. Обѣ части должны въ суммѣ составлять а, И дѣйствительно
ли, < па _____________та 4- па_______(ш ’-ь п)«
т + п ’ т п т + п т -+• п
272.	Восьмая задача. .И/ьюло долженъ уплатить своему заимодавцу нѣсколько суммъ въ различные сроки, а именно: з руб. черезъ т мѣсяцевъ, $' руб. черезъ т* мц.? з” руб* яо истеченіи т" мѣсяцевъ, наконецъ в'" руб. черезъ тгг/ мѣсяцевъ. Заимодавецъ желаетъ получить всю сумму разомъ. Черезъ сколько мѣсяцевъ должна быть произведена эта уплата, чтобы ни та ни другая сторона не потерпѣла убытка?
Составленіе уравненія. Допустимъ, что каждые сто руб. приносятъ заимодавцу р % въ мѣсяцъ; тогда прибыль, которую заимодавецъ получилъ бы съ перваго капитала при уплатѣ его черезъ т мѣсяцевъ, составляетъ р.; при-1. чЛЛ быль, доставляемая вторымъ капиталомъ, при уплатѣ его черезъ т’ мѣсяцевъ* з'рт'	з”рт"	з'”рт"' х Л	.
равна ; третьимъ----------; и четвертымъ ; слѣдов. общая прибыль*
зрт і з'рт* । з"рт” . которую долженъ получить заимодавецъ, составляетъ юд Н—іоо”*”
-]—р. Время, по истеченіи котораго вся сумма а-|-зЦ-должна быть уплачена разомъ, должно быть таково, чтобы вся сумма давала прибыль равную вышеозначенной. П^сть это время =х мая капиталомъ	по истеченіи
мѣсяцамъ; прибыль, доставлявъ этого времени, составляетъ
(«-Ь а +$" +
100
руб..
Поэтому, уравненіе будетъ
(з + з* 4" &,г ”1“ 5 ^) .Рх ЗРПі  ^Рт' і 8ггртгг I
Ібб	ІОО “1“ ІѲСГ “г 100 “I	Гбо
Рѣшеніе уравненія. Сокращая обѣ части на общаго множителя на*
Ѵ’ІЮГЬ
откуда
($+$+-$ Т'? ) #= зт—(-5 Л? +- т т* < «
+ 5'шГ 4“ 3^" +
, Х ~	в"+ 8' -+- 5" + в'"	’
Повѣрка не представляетъ затрудненій.
ГЛАВА XIX.
1
Уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными.
Опредѣленія.—Начала п методы.
273.	Опредѣленія. Одного уравненія со многими неизвѣстными недостаточно для опредѣленія этихъ неизвѣстныхъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть два неизвѣстныя х и у связаны однимъ уравненіемъ, наприм.	•
4# — оу = 12.
Выражая отсюда я, имѣемъ
12 + 5^
откуда видно, что величина я-са зависитъ отъ у. самый же у остается вполнѣ произвольнымъ, такъ что ему можемъ давать какія угодно значенія; такъ, по
ложивъ
„	12 + 5X0 □
у — О, находимъ, что я — —------= о.
У = 1; . . *
у = 2,	»
»
п.
4 ’
11
9 >
И т. д.
/ Итакъ, одно ?//). съ 2 неизвѣстными имѣетъ безчисленное множество ѣаръ рѣшеній* и слѣд. неопредѣленно.
Если уравненіе содержитъ три неизвѣстныя, то двумъ изъ нихъ можно дать ^«вольныя значенія, а третье неизвѣстное получитъ совершенно опредѣленное зжічаіе; ур. будетъ имѣть опять безчисленное множество рѣшеній. Вообще, одно умвяеше съ нѣсколькими неизвѣстными имѣетъ безчисленное множество рѣшеній т читается поэтому неопредѣленнымъ.
Свстена совмѣстныхъ уравненій. Когда нѣсколько неизвѣстныхъ должны умаетафять одновременно нѣсколькимъ уравненіямъ, то совокупность ур—ніп ожтазляетъ то. что называется смсшелою совмѣстныхъ уравненій.
Простѣйшую систему составляютъ, очевидно, два уравненія съ двумя непз-
Рѣшитъ систему нѣсколькихъ уравненій со многими неизвѣстными значитъ найти значенія неизвѣстныхъ, удовлетворяющія одновременно всѣмъ уравненіямъ. Такъ, система
4х — 3$ — 8,
7я-(- 2у = 43
имѣетъ рѣшеніемъ х = 5, у = 4, потому что при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ и то и другое уравненія обращаются въ тождества.
Двѣ системы уравненій называются эквивалентными, если они принимаютъ одни и тѣ же рѣшенія.
Начала и методы.
274.	Начало первое. Если р, / і суть количества конечныя, т.-е. неравныя ни 0, ни оо, если притомъ ру—р'д неравно нулю, то системы
А = 0 | в=о; <4 и
р А + ?В = О |
р'А + д'В = О ) эквивалентны.
Доказательство. Въ самомъ дѣлѣ:
1) Пусть х = а и суть рѣшенія системы (1): это значитъ, что при подстановкѣ въ А и В вмѣсто х количества а и вм. у количества [і, А и В обращаются въ нули; но какъ р, у, р1 и у\ но условію, конечны, а произведеніе конечнаго количества на нуль равно 0, то при тѣхъ же значеніяхъ х и у выраженія рА 4" дВ и р'А + обращаются въ нули. Слѣд. х —а п У = ?» удовлетворяютъ системѣ (2),
2) Пусть теперь х = а и у = Ь будутъ рѣшенія системы (2), т.-е. пусть при этихъ величинахъ х и у выраженія рА^-дВ и р'А -|-д'В обращаются въ нули; въ такомъ случаѣ и выраженіе
$'(рА Д- дВ) — д(р'А -И' В) • • • (3 ),
въ которомъ и { конечвы, а рА дВ и р'А д'В равны нулю, обращается въ нуль; но выраженіе (3) равно
(рд' —.р'дІА;
слѣд. и это послѣднее равно кулю; но по условію ру' — р'у отлично отъ нуля, слѣд. А должно быть равно нулю при х = а и у = Ь, Но тогда и рА = О, а котому ур. рА + уВ = О обращается въ дВ = 0; а какъ у конечно, то должно быть В = О. Итакъ рѣшенія системы (2) удовлетворяютъ уравненіямъ системы (1).
Мы доказали, что системы (1) и (2) эквивалентны.
Па этомъ началѣ основанъ
275. Методъ уравниванія коэффиціентовъ при неизвѣстныхъ или методъ сложенія и вычитанія.
Пусть имѣемъ систему двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными
7х-^ 4у = 76
1 Ія ~ 9у = 43
Исключимъ изъ этихъ уравненій неизвѣстное яг; для этого помножимъ обѣ части 1-го ур. на коэффиціентъ 11 при я во второмъ уравненіи, а обѣ части 2-го ур. на —7, т.-е. на взятый съ обратнымъ знакомъ коэф. при х въ первомъ ур—ніи, и полученныя уравненія сложимъ. Такимъ обр. получимъ
77х -)- 44у —	836
77х	63у = — 301
107^“ 535.
Для исключенія у изъ системы (1), множимъ обѣ части перваго ур—нія на 9, а обѣ части втораго на 4 и складываемъ почленно полученныя уравненія:
63л + Збу = 684
44х— Збі/ = 172
107х	=856.
Па основаніи доказаннаго начала, система ур—ній
107^ = 535 и 1О7х = 856. . .(2)
эквивалентна данной системѣ; поэтому рѣшенія системы (2) будутъ удовлетворять и (1). Рѣшая ур—нія (2), находимъ
Нетрудно провѣрить, что рѣшенія
х = 8 и у = 5
дѣйствительно удовлетворяютъ даннымъ уравненіямъ.
Отсюда
Правило. Для нахожденія одного изъ неизвѣстныхъ* напр. х* умно* жаемъ данныя уравненія на такія количества^ чтобы коэффиціенты яри Оруюмъ неизвѣстномъ (у) сдѣлались равными, но имѣли бы про-тивоположные знаки; затѣмъ полученныя новыя ур--нія почленно скла-дываемъ. Такимъ обр. неизвѣстное у исключите# приведеніемъ и получится ур—ніе съ однимъ неизвѣстнымъ х, которое уже легко опредѣлитъ. Подобнымъ же образомъ найдемъ у, исключивши х.
На практикѣ нужно пользоваться всѣми обстоятельствами, ведущими къ упрощенію вычисленій. Пояснимъ это примѣрами.
1. Рѣшить уравненія
5х — 12у — 17 Зх -|- 8у = 71.
Для исключенія у замѣчаемъ, что нѣтъ надобности множить первое ур. на 8, а второе на 12, Въ самомъ дѣлѣ, наим. кратное чиселъ 12 и 8 есть 24, и для того чтобы коэффиціенты при у сдѣлались равными 24, достаточно первое ур. помножить на 2, а второе на 3. Сдѣлавъ это, найдемъ:
10* — 24 г/ 34 9*4-24// = 213;
сложивъ почленно оба ур—нія, найдемъ
откуда
Умноживъ 1-ое ур. на 3, а второе на — 5. имѣемъ
15г—36//=	51
— 15* — 40у = — 355;
сложивъ эти уравненія, получимъ
*— 7 бу = — 304, откуда
—304	.
' *	#	_ 76
2.	Рѣшить уравненія
5* + 2у = 40
11*—4у = 4.
Для исключенія у достаточно первое ур, умножить на 2, а второе оставить безъ перемѣны (или, что то же, умножить на 1); найдемъ
10*-)- 4у = 80
11* — 4у = 4;
сложивъ эти уравненія, получимъ
21*= 84, откуда * = 4.
Умноживъ первое ур. на 11, а второе на —5, находимъ ♦
55*4*22// =	440
— 55*	20у = — 20;
сложивъ, имѣемъ:
42у — 420, откуда у =* 10.
3.	Рѣшить ур—нія
4*4 9у = 127
8* — Зу = 23.
Умноживъ второе ур. на 3 и сложивъ съ первымъ, найдемъ 28л: = 196, откуда х = 7,
Умноживъ первое на —2 и сложивъ со вторымъ, полупимъ —	= —231, откуда ^=11. .
4.	Рѣшить уравненія
х-±у = а х — у = Ь.
Рѣшеніе этой системы встрѣчается на каждомъ шагу, и весьма просто. Складывая почленно оба ур— нія, получимъ
2х^аф6, откуда х = ^~;
вычитая изъ перваго второе, имѣемъ:	-	’
2у = а — Ь, откуда у=——
5,	Рѣшить систему уравненій
(а "Р 6) х 4~ (а — 6) у — а1 4~ 2аб — Ь* (а3 4~ б3) х (а3 — Ь3) у — а1 — Ьк-\-аЪ (а2	^>*)*
Для исключенія у замѣчаемъ, что а3 — Ь* — (а — 6)(а2 -к аб -|~ б2). откуда видно, что достаточно первое ур. помножить на а2 -|-4“ второе на 1, и изъ перваго вычесть второе.
Сдѣлавъ это, найдемъ
! (а + Ь)(а2 4- аЬ 4^*) — (а3 4~ 63) } х = (а2 + 2аб — б2)(а2 4~ аЬ 4- б2) -{а1 — г>*4^(а*+Ь2)}
или	%
2аЪ (а 4- 6) х = 2а?Ь (а 4^ б),
откуда
х — а.
Для исключенія х, т.-е. для нахожденія у, замѣчаемъ, что а34~б3 — = (а 4~ б)(а4 — «6 4“ й слѣд. достаточно, умноживъ первое уравн. на а2 — аЬ 4" б1, а второе на 1, вычесть второе изъ перваго. По упрощеніи, найдемъ	ч
у~Ъ.
6.	Рѣшимъ общія уравненія
ах-[~Ъу =с , . . (1) а'х — Ъ'у = с’ . . , (2).
Для исключенія у умножаемъ 1-е ур, на а второе на — би складываемъ почленно; так. обр. найдемъ е
(аѴ — а'Ъ^х — сІ}1 — Л, ... (3)
откуда
сЬ' — сЪ
«Л—а Ь
Для исключенія х, съ цѣлію опредѣлить у, умножимъ 1-ое ур. на —а', второе на сложивъ почленно оба ур., найдемъ
(аі/ — а*Ъ) у = ас — а'с, ... (4) откуда
___ас* — «'с  аЪ'— аЪ'
Уравненія (3) и (4) эквивалентны уравненіямъ (1) и (2); въ самомъ дѣлѣ, множители д, 2 имѣютъ здѣсь частныя значенія
< 4-а;
поэтому, эквивалентность обѣихъ системъ имѣетъ мѣсто всякій разъ, когда аЬг—а'б неравно нулю* Итакъ: если (аУ — аЬ) отлично отъ нуля, система ур—кій
ах 4- Ьу = с |
ах-\-Ъгу —- с' |
илпьеиіь единственное конечное и опредѣленное рѣшеніе:
__сЪ* — с*Ъ	__ас' — а'с
Х аЪ*—аЪ'	& аЪ'— агЬ'
276.	Начало второе, .Если р и ц суть количества конечныя и отлич-ныя отъ нуля, то ур—ніе
2> А — </В — О
.ножеиг© замѣнить одно изъ ур — нІй
Л-07 В-0;
шо-ест системы
А = 0 1	а = 0	1
В = о)^ “ рА + ?В = 0 | эквивалентны.
Доказательство. Дѣйствительно:
I.	Всякое рѣшеніе системы (1), обращая А и В въ нули, обращаетъ рХ и ?В въ нули, ибо р н $ конечны, а слѣд. удовлетворяетъ системѣ (2).
 2. Всякое рѣшеніе системы (2), обращая А въ нуль, тѣмъ самымъ удовлетворяетъ первому ур—нію системы (1); но если А обращается въ 0, то и рА равно нулю, а какъ сумма ^А 4" дБ, которой одно слагаемое равно 0, также обращается въ нуль, то должно, и. другое слагаемое ?В обратиться въ 0; но д конечно, слѣд. В должно равняться 0. А этимъ доказано, что всякое рѣшеніе системы (2), удовлетворяетъ и второму ур—нію системы (1), Эквивалентность системъ (1) и (2) такимъ образомъ доказана.
На этомъ началѣ основаны методы: пойстаяоялеяія, сравненія величинъ неизвѣстныхъ и методъ неопредѣленныхъ множителей или методъ Безу (Вегоиі).
277.	Методъ подстановленія. Пусть даны уравненія
| бгх —|— Ьу =с . . . (1) | ах'-^-Ь'у = с' . . . (2)
Опредѣлимъ изъ ур —нія (1) х, принимая на время у за извѣстное; находимъ х=с^і. . .(3) а
Подставляя эту величину въ ур—ніе (2), находимъ ур.
а'К-ъУ\^ъ'у=2С-
которое и рѣшаемъ:
ас — а'Ъу -|- аЬ'у — ас
(аЬ' — аЪ)у — ас—а'с . . .(4)
у~~аЪ’— аЪ	'
Подставляя эту величину у-ка въ формулу (3), получимъ , ас' — а'с
_саЬ’ — Ьа’с — Ьа<?
<і{аЬ' - а’С) ’
,__ а(с6' — </6)_сЬ — сЪ
Х <7(а6' —а’6) аб* — а'Ь"
Нужно доказать, что найденныя такимъ образомъ величины х и # удовлетворяютъ предложенной системѣ (1) и (-).
Въ самомъ дѣлѣ, перенесеніемъ ах и Ьу Ѵь другую часть замѣняемъ ур.
(1) эквивалентнымъ ему ур—емъ
— ах 4“ (с — Ъу) = О
н слѣд. вмѣсто системы (1) и (2) можемъ взять ей эквивалентную:
— ах+(с — Ьу) = 0. . .(Г)
а'х -р Ъ'у~ с' . . . (2).
а'
Помножая обѣ части ур—нія (1) на а (2) на 4-1 и складывая почленно, имѣемъ
[— ах -{- (с — Ьу)] а'х Ъ'у = с';
или
а'(с^Иь'у=с'-
А потому, на основаніи начала втораго, можемъ систему (!'), (2), а сл, к данную, замѣнить системою
• ах Ьу = с
(6>- •Ів'(^)+6'У=С',
которая и даетъ искомыя рѣшенія,
Ур—нія (6) позволяютъ формулировать слѣд, правило: Выводимъ изъ одного изъ предложенныхъ ур—ній величину одного изъ неизвѣстныхъ, ярмяилая другое за извѣстное, и подставляемъ эту величину во второе уравненіе. Изъ полученнаго так. обр. уравненія опредѣляемъ то неизвѣстное, которое въ немъ содержится; а внеся найденное неизвѣстное въ первое, ур^ получимъ изъ него величину и втораго неизвѣстнаго.
Нужно* впрочемъ, замѣтить, что (4) можно замѣнить ур—мъ (5) лишь тогда, когда аі)—
Приводимъ примѣры,
1* Рѣшить систему уравненій « — 51/ = 2
-У — ”
Рѣшая первое ур—ніе относительно при чемъ у принимаемъ на время за извѣстное* находимъ:
х =	. (1))
Подставляя эту величину х во второе уравненіе, имѣемъ:
4  Ц^4-2у = 7 . . . (2). О
Такимъ образомъ получаемъ систему уравненій (1) и (2), которая, по доказанному, эквивалентна данной. Рѣшая ур. (2), находимъ
1.
•	У
*
подставляя вмѣсто у въ ур, (1), получаемъ
3
Х~ 2"
2.	Рѣшить систему уравненій
(а’ _	4- Зу) = 2а&(4а — і) ... (1)
а*у----^-4_(а_|_&4-е)Ьа:=^4-аЬ(а + 26) . . .(2).
Выводимъ изъ перваго ур—нія	принимая на время у за извѣстное;
находимъ
__2ай(4а — 6) — 3(я2 —62}у	4
Подставляя это выраженіе х въ ур—ніе (2), имѣемъ:
+ ,г + > + еХ..|^1->,^-ЭД =	+	+ эд
Освобождаемъ это ур. отъ дробей, помножая обѣ его части на 5 (а2—62); найдемъ
5а2 (и2—— 5аЬ2с (а — Ь) -|- 2аЬа (а	Ь -|- с) (4а—Ь) — 3 (а2 — Ь2) (а -ЬЬ
с) Ъу = 5, (а2 — &2) Ь^у ЪаЪ (а 4" 2Ь)(а2 — б2).
Перенося неизвѣстные въ первую часть, а извѣстные члены во вторую и вынося за скобки, найдемъ
[5а2(а2 — &*) — 3 (а2 - &2)(а + Ь^-с)Ь — 5 (а2 — Ь2) Ь2] . у =
5аЬ (а -р 2Ь)(а2 — &) (а — Ь) — 2аЬ2 (а-{- 6 -р с)(4а — і), жди
(а2—Ь2)[5а2—8Б2“ ЗаЬ—36с]^=а&(5а34“2а*і— 1 ІаІ2—За&с*—8й3—ЗЬ^с) откуда
Внося эту величину у въ формулу для я, найдемъ
278.	Методъ сравненія величинъ,неизвѣстныхъ. Пусть требуется рѣшить уравненія
ах-^ Ьу “С ... (1)
а'х-[-Ь'у=с' . . ..(2).
Выражая изъ каждаго уравненія одно неизвѣстное черезъ другое, напр. х черезъ у. найдемъ:
с — Ъу /пч	с'—Ъ'і) /о
• • • (3) и « = -а,- • • • (4)
Вставивъ въ (4) на мѣсто х его величину изъ (3), находимъ уравненіе
е-Ьу=с^# . .(5) а а	'
которое вмѣстѣ съ (3) и составитъ систему, эквивалентную данной. Рѣшая (5)т найдемъ у; а подставивъ величину у въ (3), опредѣлимъ х.
Итакъ, надо доказать, что система уравненій (3) и (5) эквивалентна системѣ (1) и (2). Въ самомъ дѣлѣ,- перенеся Ьу и Ъ’у во вторыя части данныхъ ур—ній, найдемъ имъ эквивалентныя:
ах— с — Ьу . . . (Г) а'х = с'— Ь'у . . , (21).
Помноживъ (1') на и (2') на —и сложивъ, получимъ
с— Ъу______— Ь'у
а	а'
(6).
а это ур. вмѣстѣ съ (Г), на основаніи начала втораго, можетъ замѣнить систему (Г) и (2'). а слѣдовательно данную. Умноживъ обѣ части ур—нія (Г) на 1 •
получимъ
с'— Ъ'у	л
а перенеся--------—- изъ второй части ур—нія (6) въ первую, находимъ
Сѵ
— Ь'у _ с —Ьу а' а
ур—нія, эквивалентныя ур—мъ (Г) и (6). Такимъ образомъ данная система эквивалентна системѣ
с— бу
----~ И
а
с — Ьу сг — Ьгу а а'
требуемое доказано.
Примѣненіе этого метода, согласно началу II, требуетъ, чтобы а и а' были количества конечныя, отличныя отъ нуля; а рѣшеніе ур—нія (5) требуетъ кромѣ того, чтобы аѴ — а'Ь было отлично отъ нуля.
Изъ сказаннаго выводимъ третій пріемъ рѣшенія:
Выводимъ изъ обоихъ данныхъ ур—ній величину одною и того же неизвѣстнаго, напр. х и полученныя выраженія сравниваемъ; такимъ образомъ получаемъ одно ур. съ однимъ неизвѣстнымъ у, которое и опредѣляемъ. Внеся найденную для у величину въ одну изъ формулъ для х. находимъ и ото неизвѣстное.
Примѣръ. Рѣшить систему
5(4»+30=Й
Освобождаемъ ур—нія отъ дробей, и для этого множимъ обѣ части перваго на 4, а второго на 10. Находимъ: •
4лт-|- 2 (Згс —у — 1) = 1 4- 3 (V — 1),
2 (4я 4 Зу)= СУ + ’-О*
По перенесеніи членовъ и по упрощеніи, имѣемъ
ІО.г—0, или 2х — у = 0,
8х — у = 20.
Опредѣляя изъ каждаго ур—нія у, получаемъ:
у = 2х и у = &г—20. ♦
Сравнивая оба выраженія дл