Энциклопедія элементарной математики. Томъ 2. Тригонометрія, аналитическая геометрія, геометрія, стереометрія - Каганъ В., Веберъ Г., Велштейнъ Джъ.

Автор: Каганъ В. Веберъ Г. Велштейнъ Джъ.

Теги: математика педагогика элементарная математика геометрія стереометрія аналитическая геометрія математика для дѣтей ариѳметика тригонометрія руководство для учителей

Год: 1910

Похожие

Энциклопедія элементарной математики. Томъ 1. Элементарная алгебра и анализъ

Элементарная геометрія

Элементарная геометрiя.

Элементарная алгебра. Систематическій курсъ. Томъ 1. Теорія

Текст

. Weber
ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА
ВЪ СТРАСБУРГ Ь.
J. We/Istein
ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА
ВЪ ГИССЕН-В.
ЭНЦИКЛОПЕД1Я
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ.
РУКОВОДСТВО
для преподающих* и изучающих^ элементарную математику.
¦Л j.
ВЪ ТРЕХЪ ТОМАХЪ.
ПЕРЕВОДЪ СЪ Н-ЬМЕЦКАГО ПОДЪ РЕДАКЦ1ЕЙ И СЪ ПРИМ-ЬЧАНШМИ
В. к н Г я Н й
П/>пваи1ь-доиента Имперанюрскиго Новороссшскаго Университета.
ТОМЪ II.
ЭНЦИКЛОПЕД1Я ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРШ.
КНИГИ II и III.
ТРИГОНОМЕТР1Я, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТР1Я,
СТЕРЕОМЕТР1Я.
ОДЕССЛ, 1910.
БИБ/110ТЕНА
ПЕДАГСи" ЮЁ АКАДИИ
По ипвент.
отд4лъ Т^

ЭНЦИКЛОПЕДШ
ШМШШО! ГЕОМЕТРП,
СОСТАВИЛИ
J. Т$еберъ, J. Т^елыитейнъ и Т$. ^кобсталъ
Книги II и III.
ТРИГОНОМЕТР1Я, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТР1Я,
СТЕРЕОМЕТР1Я.
СОСТАВИЛИ
Г. Веберъ и В. Якобсталь.

0ГЛАВЛЕН1Е.
Книга II.
Тригонометр1я.
Глава V.
Плоская тригонометр!я и полигонометр!я.
Составилъ 7". Веберъ.
Стр.
§ 26. Тригонометрически функцш. Прямоугольный треугольникъ 3
§ 27. Гонюметр1я ... . ... . . . . 6
§ 28. Основный формулы тригонометрш . . . . . 13
§ 29. Гонюметричесюя формулы. . . . ... . 17
§ 30. Умножете и дЪлете угла. . 20
§ 31. РЪшете треугольниковъ 23
§ 32. P-feuieHie четырехугольниковъ 28
§ 33. Точки Брокара .... .33
§ 34. Основныя формулы для многоугольника .34
§ 35. Периметръ и площадь правильнаго многоугольника .... 37
Глава VI.
Геометр1я и тригонометр1я сферы.
Составилъ В. Якобстаяь.
А. ОР1ЕНТИРОВКА НА СФЕРЪ.
§ 36. Введете. — Эйлеровы треугольники . .... 40
§ 37. Стереографическая проекщя . . 43
§ 38. Треугольники Me6iyca . 47
§ 39. Полюсъ и поляра. . . . , 56
в. формулы перваго порядка.
§ 40. Введете. Теорема о проекшяхъ. . . . .... 63
§ 41. Теорема косинусовъ на сферЪ . 65
§ 42. Теорема синусовъ на сферЪ и синусъ Штаудта 67

VI
Стр.
§ 43. ДальнЪйиля формулы перваго порядка. - ПримЪнеше ихъ къ
прямоугольному треугольнику 71
С. ОСНОВНЫЯ ФОРМУЛЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
§ 44. Введеше . . 76
§ 45. Формулы Деламбра. . . 77
§ 46. Треугольники Гаусса-Стюди 85
§ 47. Теорема Стюди . 94
§ 48. Аналитическая постановка вопроса. Родственные треугольники.
Треугольники Стюди Р8
§ 49. ПримЪнеше теорш группъ 104
§ 50. Формулы Льюилье-Серре . 113
г> прикладная сферическая тригономегрш.
§ 51. Вспомогательныя предложешя, касаюиуяся точности тригоно-
метрическихъ вычислешй. Формулы перехода 116
§ 52. РЪшеше прямоугольныхъ сферическихъ треугольниковъ 119
§ 53. „Обыкновенныя" формулы косоугольнаго треугольника 122
§ 54. Ptuieme косоугольнаго треугольника 126
§ 55. ОпредЬлеше другихъ важныхъ частей треугольника. 137
§ 56. Соотношешя между сферической и плоской тригонометр1ей.
„Малые" треугольники: теорема Лежандра 141
Книга III.
Аналитическая геометр1я и стереометр1Я.
Составилъ Р. Вебсръ.
Глава VII.
Аналитическая геометр1я на плоскости.
§ 57. Координаты . . . 149
§ 58. Уравнеше прямой . .154
§ 59. Точки пересЪчешя прямыхъ. . 157
§ 60. ПримЪнешя къ геометрш треугольника 160
§ 61. Теоремы Чевы и Менелая. . 163
§ 62. Окружность . . 166
§ 63. Точки пересЬчешя двухъ окружностей . 169
§ 64. Центры подоб1я и оси подоб1я . . . 170
§ 65. Радикальныя оси и радикальный центръ . . . 172
S 66. Эллипсъ 175

VII
Стр.
§ 67. Гипербола. . ... . . 178
§ 68. Уравнеше эллипса и гиперболы . 179
§ 69. Парабола . . 182
§ 70. Преобразоваше координатъ . ... 185
§ 71. Кривыя второго порядка . . . . . . . .188
§ 72. Касательныя ... . . . . 190
§ 73. Асимптоты . .... 191
§ 74. Несобственный, или распадаюицяся кривыя второго порядка . 193
§ 75. Точки пересЬчешя двухъ кривыхъ второго порядка. 196
§ 76. Сопряженныя направлеьия и главный направлетя 199
§ 77. Центръ ... . 203
§ 78. Касательныя къ эллипсу . 207
§ 79. Геометрическое доказательство теоремы о касательной. . . 212
§ 80. Сопряженные д1аметры ... .. 214
§ 81. Окружность кривизны .... . . 220
§ 82. Касательныя и нормали, выходяцця изъ данной точки . . . 227
§ 83. Аналитическая сферика ... ....... 232
Глава VIII.
Точки, плоскости и прямыя въ пространств*.
§ 84. Основные образы геометрш пространства 241
§ 85. Углы . 245
§ 86. Кратчайшее разстояше двухъ скрещивающихся прямыхъ . . 248
§ 87. Телесные углы . . . 249
Глава IX.
ИзлгЬреше объема и поверхностей.
§ 88. МЪра объема . . . . 256
§ 89. Mtpa объема пирамиды ... 259
§ 90. Принципъ Кавальери ... 262
§ 91. Примеры . .267
§ 92. Существоваше чиселъ, выражающихь объемъ т%ла .... 270
§ 93. ИзмЪреше кривыхъ поверхностей . . . , . . .271
Глава X.
Группы вращенш и правильный тЬла.
§ 94. Вращешя и составлешя вращешй ... . 277
§ 95. Конечный группы вращешй . . .281
§ 96. Эйлерова теорема о многогранникахъ . 288
§ 97. Правильные многогранники 290

VIII
Глава XI.
Аналитическая геометр1Я въ пространств-fe.
Стр.
§ 98. Координаты. . . . . 293
§ 99. Направлешя въ пространств^ . . . 297
§ 100. Уравнеше плоскости 301
§ 101. Объемъ тетраэдра . . 302
§ 10:2. Поверхности 2-го порядка . . 304
§ 103. Площадь эллипса и объемъ эллипсоида 308
Алфавитный указатель. . .... . . 311

Книга 11.
ТРИГ0Н0МЕТР1Я.
Веберъ, Энцмклоп- элемент, гсометрйь

ГЛАВА V.
Плоская тригонометр1я и полигонометр*я.
§ 26. Тригонометрически функщи. Прямоугольный
треугольникъ.
1. Въ планиметрш мы узнали, что между сторонами и углами тре-
треугольника имеется известная зависимость.
Теоремы о конгруэнтности треугольниковъ обнаруживаютъ, что
треугольникъ вполне опредЪленъ по форме и по величине, если въ немъ
даны либо три стороны, либо две стороны и уголъ, между ними заклю-
заключенный, либо сторона и два прилежащихъ угла. Если даны две стороны и
уголъ, противолежаицй одной изъ нихъ, то треугольникъ этими данными
тоже определяется, если не однозначно, то, и не более, ч%мъ двузначно.
Мы можемъ, такимъ образомъ, сказать, что всяюй разъ, какъ изъ
шести элементовъ треугольника трехъ сторонъ и трехъ угловъ -даны
каюе-либо три, они опредЪляютъ уже три остальные. Единственное
исключеше отсюда представляютъ три угла, такъ какъ они не независимы
другъ отъ друга, а им%ютъ постоянную сумму въ два прямыхъ. Три
угла фактически составляюгь, такимъ образомъ, только два данныхъ,
а потому ихъ и недостаточно для опредЪлешя треугольника. Въ более
общей форме можно было бы сказать, что всяий разъ, какъ между
шестью элементами треугольника даны три каюя-либо зависимости, то
весь треугольникъ определяется либо однозначно, либо многозначно. На
этомъ основываются многочисленныя конструктивныя задачи, въ которыхъ
требуется построить треугольникъ по тремъ даннымъ: напримЪръ, по
тремъ высотамъ, по рашусамъ вписанной или описанной окружности и т. д.
Если мы хотимъ проследить эти соотношешя аналитически, то
нужно заметить, что углы и отрезки сами по себе представляютъ
совершенно различныя вещи, измеряемыя соответственно раз-
различными единицами. Единица въ томъ и въ другомъ случае пред-
ставляетъ собой совершенно произвольно выбранный объектъ, но одно-
однородный съ измеряемымъ: определенный отрезокъ въ одномъ

§ 26 4
случаъ и определенный уголъ въ другомъ случай. Углы и отръзки
могутъ быть, конечно, выражены числами; но это суть числа различнаго
рода, нисколько не связанный другъ съ другомъ.
Для измЪрешя отрЪзковъ повсюду въ наукЪ принята метрическая
система, такъ что единицей служить метръ или сантиметръ. Углы въ прак-
тическихъ примЪнемяхъ измеряются исключительно градусами, минутами
и секундами; при чемъ прямой уголъ делится на 90 равныхъ частей,
называемыхъ градусами; градусъ на 60 минуть, минута — на 60 секундъ.
Тупой уголъ имЪетъ больше 90 градусовъ, а выпрямленный - 180 граду-
совъ. Въ последнее время возникли стремлешя ввести и для угловъ де-
сятичныя дълешя; именно, дълить уголъ на 100 градусовъ, которые и
дальше дълить десятично. Такое десятичное дълеше имътю бы большое
преимущество на практик-fe; однако, по настоящее время тригонометри-
тригонометрическая таблицы еще не приспособлены къ атому дъпешю.
2. Если мы желаемъ выразить зависимость между углами и сторо-
сторонами треугольника при помощи уравнений, то нужно выразить при по-
помощи чиселъ не самые углы, а нъкоторыя друпя величины, зависящая
отъ угловъ и находящаяся въ то же время въ извъстномъ отношенш къ
„ длинамъ. Эти величины называются тригоно-
метрическими функщями. Значение ихъ
проще всего выясняется на прямоугольномъ
о- треугольник^.
Пусть ABC (фиг. 1) будетъ прямо-
прямоугольный треугольникъ съ прямымъ угломъ
при вершинъ С; п, Ъ катеты, с— гипотенуза.
Острые углы аи/? дополняютъ другъ друга до прямого; каждый изъ
нихъ называется дополнительнымъ угломъ по отношешю къ другому.
Отношеше катета а, противолежащаго углу а, къ гипотенузъ с
называютъ синусомъ угла о и выражаютъ это въ письмъ коротко такъ:
а
sin a = —
с
Синусъ представляетъ собой, такимъ образомъ, положительное число
и при томъ правильную положительную дробь, такъ какъ гипоте-
гипотенуза всегда больше катета.
Отношеше къ гипотенузъ катета прилежащаго называется коси-
нусомъ угла а. Пишутъ:
ь
cos a = —
с
Такимъ образомъ косинусъ представляетъ собой правильную положитель-
положительную дробь.

5 § 26
Отношение катета противолежащаго а къ катету прилежащему Ь
называется тангенсомъ угла а, а обратное отношеше катета прилежа-
щаго къ катету противолежащему называется котангенсомъ угла а.
Въ письмъ:
, а , Ъ
*ga=-b, cotg«=--
Наконецъ, иногда вводятъ еще остальныя два отношещя: гипоте-
гипотенузы къ катету прилежащему и гипотенузы къ катету противолежащему,
который называются соотвътственно секансомъ и косекансомъ угла а;
въ обозначешяхъ:
с с
sec а = . , cosec a =
п а
Такъ какъ тригонометрическая функщй sin a, cos a, tg a, cotg a,
sec а, cosec а определяются отношен1ями сторонъ треугольника, то они
не измъняются, если мы замъняемъ треугольникъ ABC другимъ, подоб-
нымъ ему треугольникомъ. Но два прямоугольныхъ треугольника всегда
подобны, если они имъютъ обшдй острый уголъ. Тригонометричесшя
функщй, поэтому, зависятъ только отъ угла а, а не отъ длины и поло-
жешя сторонъ треугольника, въ который входитъ этотъ уголъ.
Значешя четырехъ функщй sin a, cos а, tga и cotgo даются въ обык-
новенныхъ тригонометрическихъ таблицахъ. Функщй sec а и cosec а, ко-
торыя употребляются гораздо ръже, обыкновенно въ нихъ не приводятся.
Таблицы, большей частью, содержатъ не самыя функцш, а ихъ
Бригговы логариемы и, именно, для всЬхъ угловъ отъ 0° до 90°, отъ
минуты до минуты. Чтобы найти соотвътствукищя числа для промежуточ-
ныхъ угловъ, нужно производить интерполящю, правила которой всегда
указываются во введешяхъ къ таблицамъ *).
*) Происхожден1е и значеше слова „sinus" не совсЬмъ ясно. Оно пришло
къ намь черезъ посредство арабовъ и известно на запад-fe съ XII стол^пя.
Слово „cosinus" представляетъ собой сокращен1е термина „complementi sinus"
(синусъ дополнительнаго угла: cosa=sin/?) и вошло въ употреблеше съ XVII сто-
л-Ьйя. Къ этому, примерно, времени относятся и термины „tangens", „secans". Ср.
Cantor, „Gesch. d. Mathematik", Bd. I, S. 693; Bd. II, S. 604; v. Braunmuhl „Vor-
Iesungen uber Geschichte der Trigonometrie". Новое обосноваше тригонометр1и
можно найти въ учебникахъ элементарной математики. Мы упомянемъ зд-Ьсь сл-fe-
дующее: Hiibner, „Ebene und raumliche Geometrie des Masses" (Leipzig, Teubner_
1895); Hessenberg, „Ebene und spharische Trigonometrie" (Sammlung Goschen) и
сборники задачъ, принадлежащ1е авторамь: Reidt, Lieber и Luhmann. Haentz-
schel, „Uber die verschiedenen Grundlegungen in der Trigonometrie", Programm des
KoIInischen Gymnasiums zu Berlin.

§ 26 6
3. Тригонометричесюя функщи связаны различными соотнЪшемямн,
которыя легко выводятся изъ ихъ опредтлешй. Прежде всего по теор^чЪ
Пиеагора
а* + Ъ* = г2;
отсюда, принимая во внимаше опред"Ьлемя синуса и косинуса, получаемъ:
sin2 о + cos2 а = 1. A)
Поэтому каждое изъ чиселъ sin а и cos а можетъ быть выражено черезъ
другое:
cos а = У\ — sin* о, sin а = ]/~1 - cos2 а. B")
Далее, для остальныхъ четырехъ функшй получаемъ:
sin a cos а
tg а = , cote а = - • f Я'
cos а sin а
sec а = , cosec а = • D)
cos а sin а
Эти соотношешя можно многообразно комбинировать; можно, иг-
примЪръ, каждую изъ шести тригонометрическихъ функщи выразить
черезъ одну изъ нихъ; это очень хорошее упражнеше. Такъ, напрн-
м"Ьръ, мы получаемъ:
1 + tg2 а = —V-, 1 + cotg4 а = ~^- E)
^ s cos2 а' ^ s sin2 а ^ J
Уголъ ft въ прямоугольномъ треугольник% (фиг. 1) дополняегь
до прямого уголъ а; но, такъ какъ
. D Ъ о а
sin р = - , cos р = ,
то
cos a = sin /3, sin а = cos fi, F)
а также
cotg a = tg /3, cotg [i = tg a. G)
§ 27. Гон1ометр1я.
1. Такъ какъ въ прямоугольномъ треугольник^ кромЪ прямого угла,
могутъ быть только острые углы, то вышеизложеннымъ тригонометрк-
чесюя функщи опредЪляются только для острыхъ угловъ. Но даже въ трс-
угольник-Ь могутъ уже быть и тупые углы; въ четырехугольникЪ (фиг. 2)
уголъ уже можетъ быть больше двухъ прямыхъ, въ пятиугольникЪ же
можетъ встречаться и такой уголь, который больше четырехъ прi-
мыхъ, если мы согласимся, какъ это естественно, определять уголъ нь
многоугольник^, какъ часть плоскости, расположенной между двумя

§ 27
смежными сторонами внутри многоугольника. Но для такихъ угловъ,
которые больше четырехъ прямыхъ, необходимо принимать, что часть
площади многоугольника расположена надъ другою частью, какъ это,
Фиг. 2.
Фиг. 3.
наприм-връ, обозначено на фиг. 3 для пятиугольника. Здесь уголъ при
вершине А больше четырехъ прямыхъ 1).
Въ виду всего этого представляется необходимымъ определить три-
гонометричесюя величины не только для тупыхъ и сверхтупыхъ угловъ,
но и для угловъ любой вообще величины. Съ этою целью самый уголъ
определяется, какъ мера вращен1я, которое совершаетъ лучъ, выходящдй
изъ неподвижной точки, подобно, напримЪръ,
часовой стрелке. Мы имЪемъ тогда возможность
отметить знакомъ и направлеше вращен1я
вправо или вл^во; BMtcrfe съ т%мъ весь неограни-
неограниченный рядъ чиселъ можетъ служить для выражешя
угловъ. Чтобы это выразить несколько точнее,
возьмемъ окружность и лучъ СЕ, вращающШся
вокругъ ея центра С- Кроме того, на окружности
выберемъ произвольно нулевую точку А (фиг. 4).
Вращеше луча можно измерить тогда угломъ о,
который обошелъ вращаюпцйся лучъ, начиная съ
положетя С А', этотъ уголъ мы будемъ считать
положительнымъ, если для наблюдателя, стоящаго въ точке С, вращеше
происходитъ справа налево (въ направленш, обратномъ часовой стрелке),
а въ противоположномъ случае отрицательнымъ; по абсолютной величине
уголъ а можетъ возрастать неограниченно въ одну и въ другую сторону.
Уголъ измеряютъ двоякимъ способомъ. Во-первыхъ, можно разде-
разделить всю окружность на 360 градусовъ, а затемъ, когда точка обойдетъ
') Чтобы понять, въ какомъ смысле уголъ А на фиг. 3 превышаетъ А А,
нужно себе представить что прямая А В приходитъ въ положеше АЕ и образу етъ,
следовательно, уголъ А, вращаясь вокругъ вершины А и последовательно проходя
черезъ вершины С, D, Е.

§ 27
8
всю окружность, считать градусы дальше 360-ти. Можно также измЪрять
уголъ отношешемъ длины дуги, которую описываетъ на окружности
точка ея пересЪчешя X съ лучомъ, къ длинъ pafliyca; это отношеше
принимается положительнымъ въ одномъ направленш и отрицательнымъ
въ другомъ направленш (абсолютная или круговая мъра угловъ).
Это отношеше не зависитъ отъ величины рад!уса окружности, а
также не зависитъ и отъ принятой единицы длины. Если мы за единицу
длины примемъ самый рад!усъ, то самая длина дуги АХ, выраженная въ
этой единиц*, представляетъ собой мъру угла а. При этой систем* измъ-
решя угловъ выпрямленный уголъ A80°) измЪряется числомъ
л = 3,14159265. . .,
прямой уголъ измЪряется числомъ
Ц-= 1,57079632 . . .
и, наконецъ, вся перифер!я числомъ
2л = 6,28318530
Единицей угла въ этой систем* измърешя служитъ такой уголъ, длина
дуги котораго равняется радиусу. Мы получаемъ число градусовъ х для этого
угла изъ пропорщи: х: 180 = 1 : л, которая даетъ уголъ въ 57°17'44,8".
Двумя взаимно перпендикулярными
д1аметрами мы дътшмъ кругъ (а ихъ про-
должешями и всю плоскость) на 4 части
I, II, III, IV, которыя мы будемъ назы-
называть квадрантами, или четвертями, и,
именно, 1-мъ, 2-мъ, 3-мъ и 4-мъ квад-
рантомъ (фиг. 5). Мы можемъ также
вести счетъ дальше и говорить о 5-м ь,
6-мъ . . ., а также о 1-мъ, 2-мъ ...
квадрантахъ. Въ такомъ случаЪ 5-ый
квадрантъ, напримт,ръ, покрывается 1-мъ,
а 4-ый квадрантъ 1-мъ. Но при измъ-
ренш вращешя они различаются между
собой *).
2. Углы въ 1-мъ квадрант* соот-
вътствуютъ острымъ угламъ въ прямо-
угольномъ треугольникъ фиг. 1-ой; если мы, поэтому, изъ точки X
опустимъ перпендикуляръ на начальное положеше pafliyca С А, то длина а
этого перпендикуляра будетъ равна синусу угла а въ предположен^,
Фвг 5
*) Номеръ квадранта, уменьшенный единицей, выражаетъ число ц-Ьлыхъ еди-
ницъ, содержащихся въ угл-fe, когда за единицу принимается прямой уголъ.

§ 27
что мы попрежнему принимаемъ рад1усъ за единицу длины. ОтрЪзокъ
СУ =Ь представляетъ собой косинусъ угла о (фиг. 6).
Условимся теперь считать перпендикуляръ, опущенный на начальный
д1аметръ АЛ', положительным^., если онъ направленъ вверхъ, и
отрицательнымъ, если онъ направленъ внизъ. Точно такъ же пер-
перпендикуляръ къ д1аметру ВВ' мы будемъ считать положительнымъ,
если онъ направленъ въ сторону точки А (вправо) и отрица-
отрицательнымъ, если он ь направленъ въ сторону А' (влъво); вм-fecrfe съ
тъмъ числа, выражаюппя результатъ
измърешя, мы будемъ снабжать соот-
соответствующими знаками. После этихъ
соглашений мы будемъ разуметь подъ
синусомъ угла длину перпенди-
перпендикуляра изъ точки X на начальный
д!аметръ- подъ ко синусомъ отрЪ-
зокъ отъ центра до основан1я
этого перпендикуляра, или, что
то же, длину перпендикуляра изъ
точки X на прямую В В'.
Замътимъ здесь, что тригоно-
метричесшя функцш, собственно го-
говоря, представляютъ собой не длины,
а отношешя этихъ длинъ къ длине радиуса; но ихъ можно выражать
длинами этихъ перпендикуляровъ, что особенно наглядно, если мы вы-
беремъ рад!усъ за единицу длины; сообразно этому говорятъ также о
синусЪ и косинуст>, какъ о тригонометрическихъ лишяхъ.
Въ виду установленныхъ соглашен1й мы им-Ьемг следующее пра-
правило знаковъ:
въ I-мъ квадрант% синусъ -\-, косинусъ -}->
„ П-мъ „ „ +
„ Ш-мъ
. IV-мъ „ +
какъ это легко видъть на фиг. 5.
3. Першдичность. Если уголъ о возрастаетъ или убываетъ на
ц"Ьлую окружность, то точка X возвращается вь свое первоначальное
положеше. Поэтому синусы и косинусы также получают ь первоначальныя
значения. При круговой Mtpt угловъ это выражается следующими
формулами:
sin (а + 2л) = sin а, cos (а + 2лг) = cos а. A)
И вообще:
sin (а -j- ^kn) = sin а, cos (а + 2kn) = cos а, B)

§ 27 10
гдЪ /; произвольное положительное или отрицательное цЪлое число. То
свойство тригонометрическихъ величинъ, что онъ не измЪняются, когда
уголъ нарастаетъ на опредъленную величину, называется перюдич-
ностью; величина же 2л, равно какъ и всякое кратное 2л, называется
першдомъ. Каждый уголъ можно привести въ одинъ изъ пер-
выхъ четырехъ квадрантовъ, присоединяя надлежаще выбран-
выбранный першдъ.
4. Если уголъ возрастаетъ или убываетъ на половину окружности,
то точка X переходитъ въ д1аметрально противоположную точку Xt.
Функцш sin а и cos а по абсолютной величинъ не меняются, но объ
мъняютъ свой знакъ (на фиг. 6 треугольники СХ Y и СХг Y% конгру-
конгруэнтны). Мы имъемъ, такимъ образомъ:
sin (а + п) = - sin а, cos (а + л) = — cos а, C)
каковыя формулы остаются въ силъ для любого угла п.
Вычитывая л, мы можемъ привести уголъ 3-го и 4-го квадранта
къ 1-му или 2-му.
5. Если мы произведемъ вращеше АХ = и въ противоположномъ
направленш, то, каковъ бы ни былъ уголъ а, точка X приходитъ въ
положеше X,, симметричное съ X относительно А А'. Вслъдсгае этого,
синусъ мЪняетъ свой знакъ, а косинусъ остается безъ измЪнешя; вмъттъ
съ тъмъ мы получаемъ для всякаго угла а:
sin ( а) = sin а, cos ( а) = cos а. D)
Замъняя же а черезъ а въ соотношенш C), мы, такимъ образомъ,
получаемъ:
sin (л а) = sin a, cos (л а) = cos a. E)
Для двухъ угловъ, дополняющихъ другъ друга до л, си-
синусы равны, косинусы же равны по абсолютной величин^ но
имъютъ различные знаки.
6. Мы видъли уже въ предыдущемъ параграф* и убЪждаемся въ
этомъ непосредственно на фиг. 6, что синусъ остраго угла а равенъ
косинусу дополнительнаго угла; иначе говоря, когда уголъ а лежитъ въ
первомъ квадрангЬ1, то
¦ ( П \ ( П \ /-с,
cos a = sin I — а I, sin а = cos I —- а I ¦ F)
Если же а есть тупой уголъ, то а' = л — а есть острый уголъ;
поэтому, согласно соотношешю F), cos (яг — а) = sin (— л/2 -)- а),

11 § 27
или, въ виду соотношешй D) и E), опять-таки cos a = sin (л/2 а),
а также sin а = cos (яг/2 о). Формулы F) остаются, такимъ образомъ,
въ силтз и для тупыхъ угловъ. Если уголъ а лежитъ въ 3-мъ или 4-мъ
квадрант*, то уголъ а - п падаетъ въ 1-ый или во 2-й квадранты, а
потому и теперь cos (а л) = sin (л/2 a -f- п)\ въ силу же формулъ C)
отсюда опять-таки вытекаетъ соотношеше F).
Если, наконецъ, мы увеличимъ или уменьшимъ уголъ а на произволь-
произвольное крагное 2 л, то мы убедимся, что соотношеше F) справедливо всегда.
Наконецъ, что соотношеше
sin2 a -f- cos2 a = 1 G)
также справедливо при всякомъ углЪ а, можетъ быть такимъ же обра-
образомъ выведено изъ того, что оно имЪетъ мъхто для остраго угла; но и
въ общемъ случай оно представляетъ собою не что иное, какъ предло-
предложение Пиеагора.
7. Что касается функцШ tga, cotg a, sec« и coseca, то ихъ мы въ
общемъ случай опредЪляемъ просто формулами:
sin a cos a I
tg a = , cotg a = = ;— ,
cos a sin о tga
m
sec a = , cosec a =
os a i
, os a
cos a sin a
Въ виду соотношешй C) мы тогда получаемъ:
tg (а±л) = tg a, cotg (a±n) = cotg a; (9)
Эти дв-fe функцш также имЪють, следовательно, перюлъ, а именно
л или любое кратное п. ОнЪ положительны въ 1-мъ и 3-мъ квадрант*,
отрицательны во 2-мъ и 4-мъ.
Изъ соотношешй D) и F) получаемъ:
tg( a) = tga, cotg( -a) = -cotg a, A0)
tg(y a) = cotg a. A1)
ДалЪе, тангенсъ и секансъ можно также представить въ вид* линШ
круга съ рад1усомъ, равнымъ единиц*, и изь этого, именно, изображешя
выясняется назван1е этихъ функщй.
Мы ограничимся первымъ квадрантомъ. Въ точк* А проведемъ
касательную АН къ окружности (перпендикуляръ къ АС)', тогда по-
подобные треугольники СЕ А и CXY (фиг. 7) даютъ пропоршю:
ЛЕ :XY^AC: CY,

§ 27
12
а такъ какъ X Y = sin a, CY = cos а, АС = I, то отсюда сл%дуетъ,
что v^f = tga.
Далее, изъ техъ же треугольниковъ вытекаетъ: СЕ'. СХ = СА'. CY,
а потому СЕ = 1/cos a = sec a.
8. Если даны тригонометричесшя функщй sin а и cos а некотораго
угла, то этимъ уголъ а не вполне определяется; напротивъ, уголъ a
определяется вполне, если присоединяется еще тре-
боваше, что онъ лежитъ между 0 и 2 тс. Если дана
только одна изъ двухъ функщй, -скажемъ, sin a,
то и въ этомъ интервале имеются два угла, именно
а и тс - а, удовлетворяюице этому требованш; когда
данъ cos a, то этими углами будутъ аи 2 тс - а.
Поэтому, чтобы уголъ а въ интервале отъ 0 до 2 тс
былъ определенъ однозначно, должны быть даны
обе функщй; значешя ихъ, впрочемъ, не могутъ быть
произвольными, такъ какъ оне связаны соотношешемъ
sin2 a -f- cos2 a — 1.
9. Для некоторыхъ отдельныхъ угловъ числен-
ныя значешя тригонометрическихъ функщй легко опре-
определить. Если а = 0, то точка X падаетъ въ точку А; поэтому а = О
и Ъ — 1; следовательно:
sin 0 = 0, cosO=l, tgO = O.
Въ виду же формулы E)
sin si = 0, cos тс = 1.
Пользуясь перюдичностью функшй, мы можемъ это обобщить:
именно, каково бы ни было целое число /г,
т. е. coskTC = + 1, если к есть четное число, и cosksi = — 1, если k есть
число нечетное. Если а есть прямой уголъ, то точка X падаетъ въ
точку В (фиг. 6). Вместе съ темъ а= 1, Ь= 0; следовательно,
¦
sm--=
яг яг
cos „ =0, tg — =
2 ' — 2 ' ь 2
и вообще, если h есть нечетное целое число, то
A3)
яг
Л—1
cosh 2=0,
т. е. sin h -рг равняется -f- 1 или — 1, смотря по тому, имеетъ ли число Ь
видъ 4 и -\- 1, или 4п-\-3. Выражеше tgTc/2 = оо наглядно выясняется

13
§ 27
на фигурЪ 7, такъ какъ отрЪзокъ АЕ неограниченно возрастаетъ, когда
лучъ СЕ, вращаясь, приближается къ положешю, перпендикулярному къ С А-
Для угла а въ 45° sin а и cos а становятся равными. Общее ихъ
значеше, въ виду формулы G), равняется 1/7^2, а потому:
яг
Sln л =
4
1
ЯГ 1 , Л
cos — = —, tg - - = 1.
4 /2 4
Разсмотримъ, наконецъ, уголъ въ 60°, т. е. уголъ равносторонняго
треугольника.
Если мы въ равностороннемъ треугольник^, сторона котораго равна
единицЪ, проведемъ высоту, то она разд-fe-
литъ основаше на двЪ части, каждая изъ ко-
торыхъ равна половин^. Но каждый изъ этихъ
отрЪзковъ представляетъ собой косинусъ угла
треугольника; вмЪсгЬ съ гЬмъ, принимая во
внимаше соотношен1е G), мы получаемъ:
П Ко , П
C0S3 =
Фиг. 8.
Учете о свойствахъ тригонометрическихъ
функшй угловъ произвольной величины, следовательно, безъ непосред-
непосредственной связи съ вычислешемъ треугольниковъ, называется гоншметр!ей
(измт,рен1е угловъ).
§ 28. Основныя формулы тригонометрии.
1. Для опредЪлешя треугольникя, достаточно, чтобы были даны
три его элемента, опредЪляюице остальные его элементы и вообще все,
о чемъ можно спрашивать относительно треугольниковъ: высоты, бис-
сектриссы, рад{усы вписанной и описанной окружностей и т. п. Смотря
по выбору данныхъ элементовъ, эти опредЪлешя окажутся однознач-
однозначными или многозначными. Но между сторонами и углами треугольника
не существуетъ алгебраическихъ соотношенШ. Таковыя существуютъ
только между сторонами треугольника и тригонометрическими функщями
угловъ. Наша ближайшая задача и заключается въ томъ, чтобы устано-
установить достаточное число такого рода соотношений.
2. Теорема синусовъ. Стороны треугольника ABC мы будемъ
обозначать черезъ а, Ъ, с, противолежаипе углы черезъ о, /3, у. Если
мы опустимъ изъ вершины А перпендикуляръ AD на противоположную
сторону, то мы можемъ выразить этотъ перпендикуляръ Ьа (высоту тре-
треугольника) двумя способами; именно, два прямоугольныхъ треугольника
ABD и ACD даютъ:
ha = b sin у = г sin j9. (I")

§28
14
Эти соотношешя остаются правильными и въ томъ случай, когда
треугольникъ ABC имЪетъ тупой уголъ (фиг. 10 и 11). Но то же самое
построеше можно выполнить при каждой изъ трехъ вершинъ; мы, та-
кимъ образомъ, получаемъ также:
a sin |3 = Ь sin «, a sin у = с s'n a.
Отсюда получается двойное равенство, которое можно написать вь такой
форм Ь:
а _ _Ь_ _ с
sin a sin p sin у
B)
Это можно въ словахъ выразить слЪдующимъ образомъ:
Въ каждомъ треугольник^ стороны относятся, какъ синусы
противолежашихъ угловъ:
а : Ъ : с — sin a : sin J5 : sin ¦/.
3. Чтобы найти геометрически смыслъ общаго значешя трехъ отно-
иошенШ B), мы опишемъ около треугольника ABC окружность (фиг. 9);
пусть К будетъ центръ и г рад1усъ
этой окружности. Въ такомъ случай
центральный уголь СКВ будетъ вдвое
больше соотвътствующаго вписаннаго
угла CAB = а; и, если мы изъ точки К
опустимъ перпендикуляръ КН на прямую
СВ. то треугольники СНК и ВНК
конгруэнтны. Слъдовательно, ИКС = о.
и а/2 = г sin а, или й/sin о = 2 г. Если
мы опустимъ перпендикуляры изъ точки
К на остальныя стороны Ь, с, то мы
получимъ для 2?' также выражеше
Ь sin /5 и c/sin у.
Общее значен1е отношенШ B), такимъ образомъ, есть flia-
метръ описанной окружности.
4. Теорема косинусовъ. Въ прямоугольныхъ треугольникахъ
ABD и ACD (фиг. 10) DB = г cos /5, DC = b cos у и, такъ какъ сумма
этихъ двухъ отрЪзковъ равна а, то
а = bcosy + с cos/5;
эта формула остается въ силЪ и въ томъ случай, когда одинъ изъ угловъ,
скажемъ у, тупой: cosy имЪетъ въ этомъ случай отрицательное значеше,
но вмъттЪ съ гЬмъ а = ВО— DC (фиг. 11).
Фиг. Я.

15
§ 28
Такихъ формулъ мы опять-таки можемъ установить три:
а = Ь cos у + с cos |3,
Ъ — с cos a + tf cosy,
с = я cos|3 + bcosa.
C)
Съ помощью этихъ трехъ уравнешй можемъ определить cos a,
cos J9, cos у по даннымъ сторонамъ а, Ъ, с. Для этой цЪли умножаемъ
с/
А
/¦г
'А
и
\
\
'X.
а
Фиг. 10.
D
первое уравнеше на а и вставляемъ значешя произведен^ rtcosy и acosp,
взятыя изъ послЪднихъ двухъ уравнешй. Такимъ образомъ, мы получаемъ:
аг = b(b с cos а) + с(с - b cos а);
сдъттвъ же соотвътствующдя вычислешя для cos/3 и cosy, найдемъ:
а2 = Ьг + с2 — 2 be cos a,
b2 = с^ + а? 2cacosfi, D)
с2 = а'1 + b2 2abcos у.
5. Этимъ основныя задачи тригонометрш въ принцип^ разрешены:
1. Если даны стороны а, Ь, с, то мы находимъ cosn, cos/3 и cosy
изъ соотношешй D); напримЪръ,
fc2 + с2 й2
cos а = - —.
2 be
2. Если даны двЪ стороны b и с и заключенный между ними уголъ rt,
то изъ соотношенШ D) однимъ извлечешемъ квадратнаго корня
получаемъ:
а = ]/ /'2 + с* 2be cos о.
3. Если же даны двъ стороны /? и с и прилежаиий уголъ /5, то
для опредЪлешя стороны а приходится р-Ьшить квадратное ура-
внеше, которое мы получаемъ изъ второго равенства D). Для
опредълешя же другихъ угловъ лучше всего воспользоваться
теоремой синусовъ.

§ 28 16
4. Если даны два угла и одна сторона, то ттзмъ самымъ данъ и
третШ уголъ; вместе съ гЬмъ две друпя стороны определяются
по теореме синусовъ.
6. Теорема сложеюя. Такъ какъ каждый изъ трехъ угловъ тре-
треугольника определяется двумя другими, то и тригонометрическ1я вели-
величины каждаго угла определяются тригонометрическими величинами двухъ
другихъ угловъ. Эти тригонометричесшя величины должны, следовательно,
быть связаны уравнешями. Первое изъ относящихся сюда соотношенШ
мы получаемъ изъ уравнешй C). Такъ какъ это суть три однородныхъ
линейныхъ уравнешя относительно а, Ъ, с, то определитель системы
долженъ быть равенъ нулю (см. т. I, § 41, 2):
— 1, cosy, cos/5
cosy, 1, cos о
= 0,
cos/3, cos a, 1
или въ раскрытомъ виде:
cos* a + cos* /3 -f- cos* у -\- 2 cos a cos/5 cosy =1. E)
Подставляя же сюда у = sr, a - /3, получаемъ:
cos2 a + cos* /3 + cos* (a + fi) - 2 cos a cos /3 cos (a + /3) = 1. F)
Однако, это не простейшее соотношеше между этими величинами.
Отсюда, напримеръ, можно получить cos a, только решая квадратное
уравнеше, и тогда нужно было бы еще установить, который изъ двухь
корней слЬдуетъ взять. Более простыя формулы мы получаемъ слт>ду-
ющимъ образомъ.
По теорем-fe синусовъ мы можемъ заменить въ формулахъ C) сто-
стороны а, Ь, с черезь sin a, sin/5, sin у, и такимъ образомъ мы получаемъ:
sin a = sin j8 cosy + sin у cos/?,
sin/? = sin у cos a -f- sin a cosy, G)
sin у = sin «cos,? -f- sin/? cos a.
Этимъ, прежде всего, sin у выражается однозначно въ тригономе-
трическихъ функщяхъ угловъ а и ]3. Если же мы имЪемъ sin у, то можно
определить cosy изъ уравненШ G), именно:
sin a cosy = sin/5 - [cos «(sin « cos/3 + sin/3 cos a)
= — sina cos/5 cosa -\- sin/3A - cos*«)
= — sin «cos/5 cos « -|- sin/3sin*«,

§ 28
ДЪля же обе части равенства на sin а, получаемъ:
cosy = sin a sin /3 -cos a cos |3. (8)
Такимъ образомъ, и cosy определяется однозначно; аналогичныя две фор-
формулы можно вывести, если сделать круговыя перестановки угловъ а, /3, у.
Что соотношеше F) вытекаетъ изъ уравненШ G) и (8), можно
обнаружить простымъ вычислешемъ.
§ 29. Гонюметричесмя формулы.
Т. Прежде, чЪмъ пойдемъ дальше въ примтзненш тригонометри-
ческихъ формулъ къ р-Ьшешю треугольниковъ, мы воспользуемся послед-
последними результатами для пополнешя гонюметрическихъ формулъ.
Именно, если мы положимъ у = л — а — J3 и заметимъ, что, въ силу
соотношешя E) § 27-го, sin (яг — а — |3) = sin (о + /3), cos (яг — а — /?) =
= - cos (а + /?), то формулы G) и (8) предыдущихъ параграфовъ дадутъ:
sin (a -f- /S) = sin а cos/5 -f- cos а sin [d,
cos (а + /3) = cos a cos ]3 — sin a sin |3.
Эти формулы выражаютъ такъ называемую теорему сложен1я
синуса и косинуса.
2. Эти формулы покамъттъ доказаны только въ предположенш, что
какъ углы а и /?, такъ и ихъ сумма содержатся въ пределахъ между
О и я; однако, съ помощью предложешй § 27 ихъ легко обобщить.
Въ самомъ деле, нредположимъ сначала, что а и /з суть положи-
положительные углы, меныше я, но что сумма ихъ о + j3 больше л; полагая
тогда а'=яг— а, р'=гг —/?, мы будемъ иметь а' + Р' = 2лг— а — /?<яг;
вследсгае этого для угловъ а' и /?' ycnoeifl, при которыхъ формулы A)
доказаны, удовлетворены. Следовательно,
5шBяг - а — |3) = sin(^ — а)cos(jtt — р) -(- cos(?r — а) sin(^ — ,б),
что на основанш соотношен1я E) § 27-го можно написать такъ:
sin (а + /3) = sin а cos |3 + cos а sin |3;
совершенно такъ же мы получаемъ вторую изъ формулъ A), которая,
такимъ образомъ, справедлива дла всехъ положительныхъ угловъ а и /?,
меньшихъ зт,. Если теперь а есть совершенно произвольный уголъ, то мы
всегда имеемъ возможность выбрать целое число k такимъ образомъ,
чтобы а -\- kiv заключалось между Оил; следовательно, для любого о
sin(a + /З-f- кя) = sin(a + ksv)cos[i + cos (a + kn)s\n[i,
Ееберъ. Энциклоп. элеыонт. reoMGTpin. 2

§ 29 18
откуда, при помощи соотношенШ B) и C) § 27-го, мы вновь выводимъ
первую формулу A); такимъ же образомъ выводится и вторая. Такъ же
мы можемъ поступить и съ угломъ J9; такимъ образомъ, формулы A)
доказаны для любыхъ (положительныхъ и отрицательныхъ) угловъ а и /?.
Мы получимъ, поэтому, только другую форму ттзхъ же уравненШ, если
замтзнимъ /3 черезъ — /5 и такимъ образомъ найдемъ:
sin (а — /з) = sin а cos [i - cos а sin j3,
cos (а — fi) = cos a cos /3 -(- sin a sin |3.
3. Если мы раздтзлимъ другъ на друга формулы A), то получимъ
теоремы сложешя для тангенсовъ и котангенсовъ:
_ sin a cos [i -\- cos a sin [1 tgct -J— tg/5
cotg(a + /3) =
1 - tgatgjS1
cotg a cotg /3 — 1
cotg a -f- cotg /3
Приведемъ еще несколько гонюметрическихъ формулъ, которыя не-
непосредственно вытекаютъ изъ теоремы сложешя и очень часто применяются.
Складывая и вычитая соотношешя A) и B), мы получаемъ:
sin(a + /5) + sin(a — |S) = 2sina cos/5,
sin(a + /3) - sin (a - /5) = 2cosasin/3,
D)
cos(a + /5) -\- cos(a — /5) = 2cosa cos/5,
/5)- cos(a —/5) = — 2sinasinp.
Если мы положимъ a + /5 = rt, a — p = b, то получимъ:
, -i. п-й+^ а — Ь
sinfl + smo = 2sm —-—cos—-—,
. , _ a + b . a — b
sintf — smp = 2cos—-— sin —-—,
a + b a— b
cos a -f- cos .' "¦ 2 cos —-— cos — —,
, n . a -\-b . a — b
costf - coso = - 2sin—-—sin—
4. Если въ формулахъ сложешя мы положимъ a = /?, то получим ь
такъ называемыя формулы удвсенля угла:
sin 2 a — 2 sin a cos a,
F)
cos2a - cos2a —sin2a,

19 § 29
изъ которыхъ последняя можетъ быть представлена также въ любомъ
изъ двухъ видовъ:
cos2a = 2cos2a -1 = 1— 2sin2a. G)
Если здъхь заменить а черезъ а/2, то получимъ:
1 + cos а = 2 cos2 -—-,
J~t
1 cosa = 2sin2^-, (8)
a a
sina = 2sm —cos — -
Изъ первыхъ двухъ уравненШ E), умножая ихъ на cos^(tf + Ь) и
sin^(rt -f- Ъ), въ виду соотношешй (8) получаемъ:
а-\-Ъ, . . .,. .. ,,. а — Ъ
cos —-— (sma + sin о) = sin(fi + Ь) cos —-—,
sin —-— (sina — smb) = sm(a + b) sin —- —,
? JL
а отсюда путемъ дълешя:
, а — b
sine; sinfr _ 2
sinfl + sinfc a-\-b
Если мы еще воспользуемся формулой
то получимъ изъ соотношешй F) и G):
2tgo
Какъ видно отсюда, век тригонометричесьая функщи могутъ быть
выражены чрезъ тангенсъ половиннаго угла. Именно, если мы замЪ-
нимъ а чрезъ a 2 и для краткости положимъ

§ 29 20
то получимъ:
2t
sin a =
1 + Р '
cosa = -q-^, A1)
2t
tga =
j p
Эти формулы имтзютъ то преимущество, что онЪ свободны отъ
радикаловъ, или, какъ говорятъ, рашональны, между гЬмъ какъ выра-
жешя тригонометрическихъ функцШ черезъ одну изъ нихъ безъ помощи
функцШ половиннаго угла всегда содержатъ радикалы.
§ 30. Умножеше и дЪлеше угла.
1. Формулы F) и G) § 29-го выражаютъ синусъ и косинусъ угла 2 а
черезъ rfe же функщи самого угла а. Если мы положимъ для сокращешя
х = 2 cos a, A)
то эти формулы можно представить въ вид-Ь
! 2
¦ о ¦ B)
sin 2 a = sin a • x.
Изъ теоремы сложешя, полагая въ формулахъ D) § 29-го /5 = 2 а, полу-
чаемъ:
cos 3 a = 2 cos a cos 2 a — cos a,
C)
sin3a = 2 sinacos2a + sina,
откуда съ помощью соотношешй B) находимъ:
2 cos3a = ха — Зх,
D)
sin3a = sina(x2 — 1).
2. Эти формулы можно обобщить; именно*.
2 cosna = А„(х),
E)
sin и a = smaB,,(x),
rat подъ п мы можемъ разуметь 2 или 3, а Ап (л) и В„ {х) въ томъ и
другомъ случаЪ представляютъ собой ц"Ьлыя функцш отъ х соотвът-
ственно степеней п и п— 1 съ целыми коэффициентами. Что это
законъ обицй, нетрудно доказать съ помощью совершенной индукщи.

21 § 30
Въ самомъ д'бл'б, если въ формулахъ D) § 29-го положимъ J9 = па,
то мы получимъ:
cos(w + 1) а = 2cosocoswa — cos(w — 1) а,
sin (и + 1) а = 2cosasinwa — sin (и — 1)а.
Подставляя сюда выражешя E), найдемъ, что
Ап+1(х) = хАп (*) - Ап_х(х),
Вн+1(х)=хВн(х)-Вн_1{х).
Если мы поэтому будемъ считать уже доказаннымъ, что Аи(х), Ап_1(х),
Вп(х), Вп__1(х) суть ц4лыя функцш перемЪннаго х съ ц-Ьлыми коэффищен-
тами, то изъ этихъ формулъ то же самое вытекаеть для Ап,1{х) и Вн.л{х)\
и то обстоятельство, что Ап и В„ суть функщи соотв-Ьтственно степеней
п и и—1, также вытекаетъ отсюда во всей общности. Наконецъ, отсюда
мы заключаемъ, что при четномъ п функщя Ап содержитъ только четныя
степени х, а функшя Вп — только нечетныя. При нечетномъ п дътю
обстоитъ обратно.
Формулы F) даютъ возможность последовательно вычислять функщи
Ап и Вп- Для первыхъ прост"Ьйшихъ случаевъ мы получимъ:
Вг
Ая
Д,
в,
А,
в,
= X
= х3-
= хг
= *4-
= *8-
= л;5-
= л;4 —
Зл;,
1
4л;2
2л;
5 л;3
Зл;*
+
+
2,
5 л;,
1
G)
А6 = хе - 6х* + 9хг - 2,
В6 = хъ - 4л;3 + Зл;
А1 = л;7 - 7хъ + 14л-3 — 7х,
Б7=л;6-5л-4+ 6л;4 - 1.
Выражен1е тригонометрическихъ функшй кратнаго угла черезъ
так1я же функщи простого угла называется умножешемъ угла. Эта
задача, такимъ образомъ, формулами D), E), F) и G) разрешена вполне *).
*) Съ помощью совершенной индукщи легко доказать общдя формулы:
-)¦
v$n-2v-$\

§ 30 22
3- Обратную задачу представляетъ собой дълеше угла. Подъ
этимъ мы разумъемъ онредълеше cos (f/n и sin (р/п по даннымъ функщямъ
cos ф и sin ф. Эта задача, однако, не поддается такъ просто ръшешю,
а требуетъ разръшешя алгебраическаго уравнешя. Если мы положимъ
ф = па, х = 2 cos о, то мы представимъ уравнешя E) въ видъ:
2 cosy = Лг(х), sin а ==
Dn (X)
Первое изъ этихъ соотношешй даетъ намъ уравнеше w-той степени для
опредълешя х. Если мы возьмемъ одинъ изъ корней этого уравнешя, то
вторая формула дастъ намъ соотвътствующее значеше sin о.
4. Однако, уравнеше и-той степени
А„(х) =
имъетъ и корней. Слъдуюидо соображешя выяснять, какое значеше
имъютъ эти и корней. Если k есть любое цълое число, то
cos (ф + 2km) — cos ф, sin (ф + 2ksi) = sin <jp;
если поэтому
х0 = 2 cos — = 2 coso
и
удовлетворяетъ уравнешямъ (8), то тъмъ же уравнешямъ удовлетворяетъ
также
xk — 2 cos I о -
Но, когда k нарастаетъ на число, кратное и, то 2stk/n увеличивается на
число, кратное 2jr, и число xk остается, такимъ образомъ, безъ измъне-
шя. Сообразно этому имъется только п различныхъ значенШ xk, именно
Эти же ?г значен4й Bet различны, за исключешемъ только отд*льныхъ
частныхъ случаевъ *).
*) Если, напримЪръ, <р = я и w = 3, то мы получаемъ только два различ-
различныхъ значешя
-= I, *i= — 2.
Точно такъ же и тотъ случай, что Вп (v) = 0, при которомъ второе изъ уравнешй (8)
теряетъ свой смыслъ, можетъ имъть мъсто только при особыхъ значен1яхъ пере-
мъинаго (j9, именно, когда sin(j9 = 0, такъ что q> есть кратное п. Эти частные случаи
всегда ведутъ къ дълешю полной окружности на равныя части, вопросъ, который
мы разсмотр4ли въ томъ I.

23 § 30
5. Однако, уравнеше и-той степени, отъ котораго зависитъ дълеше
угла, имЪетъ замъчательную особенность; именно, при любомъ значенш п
оно принадлежитъ къ числу тъхъ уравнешй, который разрешаются въ
радикалахъ; для того частнаго случая, когда р-Ьчь идетъ о дъленш всей
окружности, мы это уже доказали въ томЪ 1. Не входя въ общую
теорш этихъ уравненШ, мы получаемъ результатъ по формул* Муавра
(т. I, § 47, 8), согласно которой
(cos о -f- /sine)" = cos и о + isinna.
Отсюда слЬдуетъ
н
cos о -f- г sin о = у cos go -f- t sin go,
п
cos о i sin о = jA:os go — i sin go.
1 = У cos qj -f- i sin go |/cosgo — г sin tjj,
такъ что
Н П
x = У cos go -f-1 sin go -f- V cos <P — i sin go, (9)
гдъ оба и-тыхъ корня связаны другъ съ другомъ такимъ образомъ, что
каждый изъ нихъ представляетъ обратное значеше другого; п различныхъ
значенШ х мы получаемъ, если даемъ и-тому корню п значенШ, которыя
онъ имъетъ. Всъ значешя х вещественны.
Въ случаъ п = 3 выражеше (9) представляетъ собой не что иное,
какъ формулы Кардана для неприводимаго случая кубическаго уравнешя;
въ TOMt I мы уже извлекли н-Ькоторую пользу изъ того, что привели
этотъ случай къ дъленш угла на три равныя части.
Здъсь, какъ и тамъ, ръшеше въ общемъ случаъ не можетъ быть
выражено въ вещественныхъ радикалахъ. Это возможно только
тогда, когда п есть степень 2; такъ, напримЪръ, для п = 2 и для и = 4
мы получаемъ:
— cosgr
У cosgo + i smgo = 1/ —^g— + г 1/
i/
Vcosgo
"I / 1 , . /l + COSg) . 1 / 1
1 -f- cosgj
8
§ 31. РЪшеше треугольниковъ.
1. Теперь мы возвращаемся къ примънешю тригонометрическихъ
формулъ къ ръшен!ю треугольниковъ. Формулы § 28-го содержатъ,
правда, все, что для этого принцишально необходимо; но изъ нихъ можно
вывести еще друпя формулы, которыя болъе удобны для различныхъ
частныхъ случаевъ.

§31 2А_
Мы будемъ исходить изъ задачи объ определенш угловъ а, /3, у
по даннымъ тремъ сторонамъ а, Ь, с Эта задача разрешается теоре-
теоремой косинусовъ въ форме
и, такъ какъ уголъ а заключается между 0 и я;, то онъ этимъ соотно-
шешемъ однозначно определяется. Однако, для практическихъ цълей,
особенно, при вычислешяхь съ логариемами, эта формула менее пригодна,
такъ какъ здЪсь необходимо вычислить сначала квадраты и произведешя
чиселъ а, Ъ, с, вычислить далъе значеше дроби и по ней уже по табли-
цамъ разыскать уголъ а. Между тъмъ таблицы не содержатъ самыхъ
косинусовъ, а только ихъ Бригговы логариемы. Если мы квадраты и
произведешя также желаемъ вычислять съ помощью логариемовъ, то
придется логариемировать нъсколько разъ, а это не только затрудни-
затруднительно, но и связано съ опасностью наслоешя погрешностей, съ кото-
которыми неизбежно связано логариемироваше. Этого можно было бы избе-
избежать, если бы мы располагали формулой, въ которой одна изъ тригономе-
трическихъ функщй была бы непосредственно выражена въ виде произве-
произведешя и частнаго или корня изъ данныхъ величинъ.
2. Чтобы этого достигнуть, мы изъ соотношешя A) выводимъ две
формулы:
1+cosa = We— = We ¦ '
B)
a*-(b-cJ (a + b-c)(a-b + c)
1 — coso = —. = —j ,
2bc 2bc
а, такъ какъ, согласно § 29 (8), 1 -|-coso = 2cos2^-a и 1 — cosa = 2sin2^-a, то
х.иь - —
Abe
Полагая здесь для сокращешя
a + b + c = 2s, C)
получаемъ:
где все радикалы должны быть взяты въ положительномъ ихъ значенш,
такъ какъ все углы меньше 90°.

25 § 31
3. Площадь треугольника А равна полупроизведенш стороны на
перпендикуляръ, опущенный на нее изъ противолежащей вершины, т. е.
равна \сЬс (фиг. 12). Но такъ какъ hc = bsina, то
А = \bc sino = be sin —- cos —-; F)
отсюда, вь виду формулъ D), получаемъ:
А = Vs{s - а) (Г^Ь) (s^c). G)
Площадь треугольника можно изящно выразить черезъ периметръ
и углы: именно, если мы зам"Бнимъ о черезъ /3 и у, то мы изъ соотно-
д шешя E) получимъ:
s(s — Ь)
1 -, /is — a)(s — b)
а отсюда путемь умножен1я:
s a =
s - b = stg^ytg^a, (8)
5 — С =
и, наконецъ, подставляя эти выражен!я въ формулу G), найдемъ:
(9)
1. Рад{усъ г описанной окружности, согласно формул*, полу-
полученной выше (§ 28, 3), равенъ tf/2sina; следовательно:
а = 2rsin« = 4r sin^acos^-a,
b = 2rsinj3 = 4rsin4-j3cos|/5, A0")
с = 2rsinj' = 4r sin-^7 cos\y.
Въ виду же соотношешй F) и (9)
аЬс = S = 4rJ =
Перемножая уравнешя A0) и слагая результатъ съ этимъ выражен1емъ,
мы найдемъ:
s
4 cos|-a cos|p cos^y
(И)

§ 31
26
Чтобы вычислить рад1усъ вписанной окружности q и три рад1уса вневпи-
санныхъ окружностей р,, р2, q3, замътимъ, какъ эго видно на фиг. 13, что
А 2A = Q(a + b + c) = Ql(-a + b + c);
поэтому
Л Л Л Л
s-b'
откуда
J_ l_ I _5—a s — b s — c_ l
tli fit Q»~ л ~4 Л ~V
Съ помощью формулъ G) и (8) мы отсюда
получаемъ:
, A2)
Q =
что легко вывести и чисто геометрически.
Если мы выразимъ Л черезъ а, Ь, с по формулъ G), то получимъ
с)(а-
а + Ь +
¦b--c)_/l(s-aHs-b)(s-c)
s(s b)(s с)
s—a
(а + b + с)(— а + b + c)(a + b — с)
а- Ь + с
= 4
c)(s- a)
A3)
(д
c)(fl -
s-b
a){s
s-c
Pj2 получается изъ р2, если мы замънимъ д на — д или же b и с на — b
и — с, аналогично получаются остальные рад1усы. Можно составить
уравнеше 4-ой степени, корнями котораго служатъ дг, р,2, р22, д3г, а
коэффишенты котораго содержатъ квадраты сторонъ д, Ь, с (ср. § 24).
5. Какъ раньше мы исходили отъ задачи - определить по тремъ
сторонамъ треугольника остальные его элементы, такъ здъсь мы примемъ,
что намъ даны двъ стороны д и Ь, заключенный между ними уголъ у,
требуется же определить третью сторону с и углы о и р.
Непосредственное ръшеше даетъ намъ сначала теорема косинусовъ,
когда же найдена сторона с, то теорема синусовъ. Если мы хотимъ раньше
определить углы а и /3. то первое изъ соотношенШ C) § 28-го даетъ:
ccosp = а — bcosy,

J27 § 31
а отсюда по теорем^Ь синусовъ (csin/3 = bsiny)
fccotg/3siny = a — bcosy;
а, следовательно,
r a—b cosy '
6. Однако, эти формулы страдаютъ тъмъ недостаткомъ, о которомъ
мы уже говорили выше, именно OHt не приспособлены для логариеми-
ческихъ вычисленШ. Лучийе результаты можно получить изъ гошометри-
ческихъ формулъ (9) § 29-го, въ которыхъ мы теперь напишемъ о и /3
вмъсто а и Ь:
cos "Г (sin о + sinjS) = sin (a -f- P) cos ——- ,
sin —~- (sin о — sin /3) = sin (о -f- /3) sin ——— •
Такъ какъ а + j3 = at — у, то sin (о + /3) = siny. Зам*няя же sin a, sin/3,
siny равными имъ, согласно соотношешямъ A0), величинами а/2 г, Ь/2г,
с/2г и устраняя общаго множителя 1/2г, получаемъ:
(д + Ь) cos —^ = с cos—^-,
A5)
(д - b) sin ——^ = с sin ——- •
Эти формулы изв*стны подъ назвашемъ уравнен1й Мольвейде *). Дъля эти
уравнешя почленно другъ на друга, мы получаемъ теорему тангенсовъ:
a+J? а + Ь
ё 2
Принимая во внимаше, что а + /3 -f- у = it, это уравнеше можемъ пред-
представить въ такомъ вид"б:
, а Р у а—Ъ
tor ?_ +р- ' — . .
ё 2 ё 2 д + fc
Если д, Ь, у даны, то отсюда можно получить разность о — /?, а съ по-
помощью ея и отдельные углы о и /3, ибо
2о = лг+о— J3 -у, 2J3 = лг- о + Р —у;
зат%мъсторону с можно опред-Ьлить при помощи любого изъуравненШ A5).
*) Mollweide, род. въ 1774 г. въ г. Вольфенбюттел-fe, былъ математикомъ
и астрономомъ, умеръ въ ЛейпцигЬ въ 1825 году.

§ 31
28
7. Уравнешя Мольвейде можно также получить очень просто при
помощи сл-Ьдующихъ геометрическихъ сооображенШ.
Если мы въ треугольник* ABC (фиг. 14) отложимъ
CD = СЕ = С А,
то
Фиг. 14.
= а
-ь, в,
ДалЪе
X
X
л
д;
= а-\
+ У
а
У
2
+ У
-Ъ.
= а.
-t-J3
п
2
+ ^ —
Л"
V —
а
л
У
а
; +
2
= Э.
— iff
2 '
J3
^-|ff
О
примъняя поэтому теорему синусовъ къ треугольнику ADB, получимъ:
{а — Ъ) sin
= с sm
Точно такъ же изъ треугольника ВАЕ имъемъ:
(а + V) cos —~- = с cos ——
что вполн* согласуется съ уравнениями A5).
§ 32. PtmeHie четырехугольниковъ.
1. прим*неше тригонометрическихъ формулъ къ р-Ьшенш много-
угольниковъ производится такимъ образомъ, что мы разбиваемъ много-
угольникъ на треугольники. Такъ, напримЪръ, въ четырехугольник* сумма
угловъ равняется четыремъ прямымъ, т. е. равня-
равняется 2гг, и четырехугольникъ определяется пятью
своими элементами.
Въ самомъ дълъ, если мы, напримъръ, при-
мемъ, что даны четыре стороны и одинъ изъ
угловъ, то мы получаемъ, во-первыхъ, треуголь-
никъ, въ которомъ даны двъ стороны и уголъ,
между ними заключенный, и третьей стороной
котораго служить д1агональ четырехугольника.
Эта д!агональ съ двумя другими сторонами че-
четырехугольника образуетъ второй треугольникъ, дополняющШ первый
до четырехугольника.

29 § 32
Положимъ теперь, что намъ даны четыре стороны и сумма двухъ
противолежащихъ угловъ. Стороны четырехугольника ABCD (фиг. 15)
мы обозначимъ черезъ а, Ь, с, d, а углы черезъ о, /3, у, 6 такимъ обра-
зомъ, что стороны а, Ъ заключаютъ уголъ о, а стороны с, d — уголъ у.
Если теперь черезъ R обозначимъ ддагональ BD, то теорема косинусовъ
въ примъненш къ двумъ треугольникамъ ABD и BCD даеть для R%
два выражешя
#« = а% + Ьг — 2abcosa = с2 + d% — 2cdcosy, A)
и отсюда первое соотношеше
\{а% + №-с*- d*) = ab coso - cdcosy. B)
Если дал"Ье выразимъ площадь G четырехугольника, складывая пло-
площади двухъ треугольниковъ, то мы получимъ
2 в = absma + cdsiny; C)
возвышая же уравнешя B) и C) въ квадратъ и складывая ихъ, полу-
получимъ (§ 27G), § 29A)):
4G2 + $(аг + fc2 - с2 - d2)* = аЧ* + c2d2 - - 2аЪсd cos (о + у).
Здъть мы положимъ:
аЧг + c%d? = (ab + cdf - 2abed,
и тогда мы получимъ (§ 29 (8)):
16G2 = ЦаЪ + cdf - (а2 + Ь* - с2 - d*y - I6abcd(cos ^
Съ другой стороны,
(я* + fc2 - с°- - J2J -ЦаЪ + cdy
= {(а + Ъ? - (с - dY) ((а - W - (с + df)
= (а + b + с — d)(a + b — с + d)(a — b + с + d)(a- b — с — d);
если мы поэтому обозначимъ черезъ s полупериметръ:
то предыдущее выражеше приметъ видъ:
- 16E - fl) (s -b)(s- с) (s - d).
Мы получаемъ, такимъ образомъ, окончательно для квадрата площади
четырехугольника выражеше:
в* = (s - a) (s - b) (s-c)(s-d)-abed (cos ^±A , D)
въ которомъ о -f- у можно замънить черезъ /3 -|- д.

§ 32
30
Это выражеше для G2 при данныхъ сторонахъ а, Ь, с, d принимаетъ
наибольшее значеше, если cos^-(o + у) = 0, т. е. если о -f- у = п. Что
сумма двухъ противолежащихъ угловъ равняется п, это служить крите-
р1емъ вписаннаго четырехугольника. Мы получаемъ, такимъ образомъ,
предложеше:
Изъ всЬхъ четырехугольниковъ, имЪющихъ те же самыя
стороны, наибольшую площадь им^Ьетъ вписанный въ кругъ
четырехугольникъ.
2. Соотношеше между отрезками, соединяющими четыре
точки. Четырехугольникъ также вполне опред-Ьляется, если даны его сто-
стороны и одна ддагональ. Въ самомъ дълъ, по
двумъ парамъ сторонъ и данной д1агонали
можно построить тъ два треугольника, ко-
которые совмъстно образуютъ нашъ четы-
четырехугольникъ. Однако, четырехугольникъ
опредъленъ однозначно только въ томъ
случаъ, когда вмъстъ съ тъмъ дано, как1я
стороны пересъкаются на данной д!агонали
и съ какой стороны ея. Такъ какъ этимъ
определяется вторая д1агональ, то отсюда
слъдуетъ, что между шестью отръзками, соединяющими попарно четыре
точки, существуетъ зависимость. Эту именно зависимость мы и желаемъ
определить.
Пусть 0, 1, 2, 3 (фиг. 16) будутъ четыре данныя точки, @1), @2),
@3), A2), A3), B3) отрезки, соединяюшде эти точки попарно. Применяя
теорему косинусовъ къ треугольникамъ @23), @31), @12), мы получаемъ:
Фиг. 16.
B3J = @2J + @3J - 2@2) @3) cos о,
C1J = @3)г + @1J - 2@3) @1) cos (о
A2J = @1)" + @2)* —2 @1) @2) cos р.
р),
E)
Если положимъ здесь для сокращешя:
а = @1J, А = @2J
то получимъ:
@3J B3J,
Ъ = @2J, В = @3J + @1J C1J,
с = @3J, С = @1)" + @2J - A2J,
2 Ybe cos а = А,
2 Yc~a cos (о + jS) = B,
F)
G)
8abc coso cosJ3 cos (a -f- J3) = ABC-

31
§ 32
Между тремя углами а, /3, (a -f- /3), согласно соотношешю F) § 28-го,
им^етъ м-fecTO зависимость:
cos2a + cos2/? + cos2(a + р) - 2 cos a cos /3 cos (a + /0=1;
вставляя же сюда выражешя G), получаемъ:
аЛ* + ЬВ* + сС* = ABC + 4abc (8)
Въ связи съ выражешями F) это и даетъ искомую зависимость *). При
этомъ вывод-b, а также въ окончательномъ результат*, точк* 0 принад-
лежитъ известное преимущество передъ другими. Однако, эта ассиметр1я
формулъ исчезаетъ, если мы въ равенство (8) вставимъ выражешя F).
Формулы становятся, однако, несколько длинными. Если мы возьмемъ
четыре точки въ пространств*, а не въ одной плоскости, то между ними
и ихъ разстояшями не будетъ никакой зависимости. Но въ этомъ случай
мы можемъ выразить обьемъ тетраэдра, вершинами котораго служатъ
эти точки, черезъ соединяюцце ихъ отрезки; приравнивая же этотъ
объемъ нулю, мы получимъ ycnoBie, при которомъ точки лежать въ
одной плоскости.
3. Теорема Птолемея **). Если положеше четырехъ точекъ не
вполнЪ произвольно, то между четырьмя отрезками, ихъ соединяющими,
могутъ имъть мЪсто и друпя соотно-
шен1я. Прежде всего, если точки лежать
на одной окружности, то им"Ьетъ мътто
теорема Птолемея, которую мы сейчасъ
выведемъ.
Пусть а, п' и Ъ, V будутъ дв-fe пары
противоположныхъ сторонъ вписаннаго
четырехугольника, с, с'—его д1агонали.
Между этими отрезками им^Ьетъ м^сто
зависимость, которую легко вывести изъ
теоремы косинусовъ.
Въ самомъ дЪлъ', обозначая уголъ,
содержащШся между сторонами а и Ъ,
черезъ (ab) и уголъ между сторонами а' и Ъ' черезъ (а'Ь1), мы изъ
треугольниковъ аЪс и а'Ъ'с' (фиг. 17) будемъ имъть:
С2 = й2 -\-Ъ* -2abcos(ab),
Р = rf*+ tf* - 2a'h'cos(a'b').
Такъ какъ дал-fee углы (ab) и (а'Ь') дополняютъ другъ друга до 2d, то
cos(ab) -{-cos(u'b') = 0. Поэтому изъ предыдущихъ соотношешй получаемъ:
Фиг. 17.
*) Gauss' Werke, Bd. IX, S. 248.
**) Ср. Franz Meyer, Archiv der Math, u Physik C) Bd. 7, S. 1.

§ 32 32
Такимъ же образомъ изъ треугольниковъ аЪ'с' и а'Ъс' получаемъ:
c'*(ab' + Ьа') = (аа' + ЪЪ') (ab + а'Ъ'). A0)
Если мы перемножимъ эти соотношешя почленно и сократимъ на
(аЪ + а'Ъ')(аЪ' + Ьа'), то мы получимъ с*с'* = (аа' + bb')*; извлекая же
отсюда квадратный корень, получимъ:
ее' = аа' + ЪЪ';
это и есть теорема Птолемея, которая въ словахъ выражается слъ\ду-
ющимъ образомъ:
Во вписанномъ въ кругъ четырехугольник^ прямоугольникъ,
построенный на двухъ его д1агоналяхъ, равенъ суммъ1 прямо-
угольниковъ, соответственно построенныхъ на противополож-
ныхъ сторонахъ.
Разделяя уравнения (9) и A0) другъ на друга и извлекая квад-
квадратный корень, получаемъ:
с =аЪ' + Ьа'
с' ~ ab + а'Ъ' '
4. Теорема Стюарта*). Другой частный случай расположешя
четырехъ точекъ им-Ьетъ м^сто, если три точки расположены на одной
прямой. Мы получаемъ тогда фиг. 18; р*чь идеть
о шести отръзкахъ А В, AC, AD, ВС, BD, CD,
между которыми, прежде всего, им%еть мъхто со-
отношеше ВС = BD + CD. Между этими отрез-
отрезками им^етъ место, однако, еще одно соотношеше,
которое мы также получаемъ изъ теоремы косину-
совъ. Именно, если обозначимъ уголъ ЛЛСчерезъ
а, то теорема косинусовъ даетъ:
AW = 'AD2 + ~BD2 + 2AD ¦ ~WD cosa,
'AC2 = ~AD2 + CD2 - 2AD CD cosa.
Если исключимъ отсюда cosa, умножая первое уравнеше на CD, а вто-
второе на BD, то получаемъ:
¦ Ш> + Ж2 ¦ Ш = A~ff(B"D + CD) + BD' ¦ CD + CD2 ¦ BD.
*) Mathew Stewart, теологъиматематикъ,жилъ 1717— 1785гг. въШотландш.

33
§ 33
Если же сюда подставимъ
BD + CD = ВС,
BD2 ¦ CD + CD2 ¦ BD = BD ¦ CD(BD + CD) = ВС ¦ IW • CD,
то получимъ:
AS ¦ CD + AC2 ¦ BD - AID2 ¦ ВС = ВС BD ¦ CD:
это и есть теорема Стюарта.
§ 33. Точки Брокара.
1. Если изъ точки R, расположенной внутри треугольника ABC,
проведемъ прямыя къ его вершинамъ, то последшя образуютъ со сто-
сторонами треугольника, вообще говоря, различные углы. Есть, однако, одно
особенное положеше точки R, при которомъ эти углы становятся равными:
-9 RAC = ¦? RCB = ^ RBA = со (фиг. 19). A)
Аналогичнымъ образомъ можно отыскать такую точку R', чтобы
Эти точки R и R' называются точками Брокара *).
Углы даннаго треугольника обозначимъ черезъ а, /3, у. Въ такомъ
случае въ треугольнике ACR уголъ при вершине А равенъ со, при
вершине С равенъ у со, а, следо-
следовательно, при вершине R уголъ ра- _--'"
венъ л -у. Если въ точке С возста- _-'-""'
вимъ перпендикуляръ CCt къ стороне
ВС и построимъ равнобедренный
треугольникъ АСС., то последшй
имеетъ при вершинахъ А и С углы
л/2 - у, а, следовательно, уголъ при
вершине d равенъ 2 у. Поэтому С\
есть центръ дуги ARC, вмещающей
вписанный уголъ si - у. Точка R ле-
житъ, следовательно, на окружности,
описанной изъточкиСt рад1усомъС,С-
Если мы произведемъ то же
иостроеше для двухъ другихъ сто-
ронъ треугольника, то мы получимъ
три окружности, который пересекаются въ искомой точке R.
*) Ср. главу о новой геометрш треугольника въ сочиненш: Е Pascal,
„Repertorium der hoheren Mathematik" ')•
') Подробное изложеше новой геометрш треугольника можно найти также
въ русскомъ сочиненш Д Ефремова „Новая геометр1я треугольника".
Веберъ. Энцнк.чоп. опемент. гоометрш. 3
Фиг. 19.

§ 33 34
2- Чтобы определить уголъ ю, применимъ теорему синусовъ къ
двумъ треугольникамъ CRA и CRB. Мы тогда получимъ:
¦у,- . & sin со flsin(j5 си)
KL = . = . г
sin у sinp
Если же здесь, опять-таки по теореме синусовъ въ примененш къ дан-
данному треугольнику, положимъ а '¦ h = sin a : sinp, то получимъ:
sinpsinco sinasin(p- w)
sin y sinp '
a такъ какъ по теореме сложетя
sin(/3 — hi) = ;
то
sin со
откуда
/sinS , smacos6\
i> I 4- - I = cos «о sin a,
\sin-/ sin/3 /
, , sin6
cotg<« cotgp +
;
sinysina
наконецъ, такъ какъ sin/5 — sinacosy 4-sinycosa, то
cotgw — cotga + cotgp 4- cotgy. A)
Если мы отложимъ тоть же уголъ со въ вершинахъ А, В, С не
при сторонахъ Ъ, а, с, а при сторонахъ с, а, />, то мы получим ь вторую
точку Брокара.
§ 34. Основныя формулы для многоугольника.
1. Разсмотримъ ломанную лишю 0, 1, 2, 3, . . ., п, состоящую изь
отрезковъ at, а2, п3, . . ., а„- Мы предположимъ, что каждый отрезокь
повернутъ отъ предыдущаго на определенный
уголъ въ одном ь оиределенномъ, произвольно
установленномъ направленш, которое мы при-
мемъ за направлеше иоложительнаго вращешя;
мы примемъ, что углы поворота, которые
мы обозначимъ послЬдовательно черезъ A2),
B3), . . ., (и 1, «)i вс* меньше тс, и что
сумма ихъ меньше четырех ь прямыхъ, такь
что направлен1е отрезков ь не сделало пол-
наго оборота (фиг. 20).
Если мы соединимъ конечную точку п съ исходной точкой 0 отрез-
комъ G, то мы получимъ многоугольникь (о п 4- 1 сторонахъ) съ исклю-
исключительно выходящими вершинами, въ которомь несмежныя стороны

35
§ 34
нигде не пересекаются. Углы же этого многоугольника равны я A2),
л B3)
Повороть (г, k) стороны аи относительно стороны а,-, если /,' > /",
выражается положительнымъ угломъ, именно
(/, к) = (/, i + 1) + (j + 1, / + 2) + . . . + (к 1, It).
Отрезками av аг, ..., а„ и углами поворота A2), B3), ..., (н 1, ;/)
ломанная, а вместе съ темъ и многоугольникъ, однозначно определены.
Но самые эти 2п 1 элементовъ (въ известныхъ пределахъ) могутъ быть
заданы совершенно произвольно.
Если ломанная замыкается, то она образуетъ ?г-угольникъ.
Сумма угловъ A2) + B3) +••- + (« 1. «) равна 2л, а отрезокъ
а долженъ быть равенъ нулю.
2. Постараемся определить замыкающШ отрезокъ а по даннымъ
элементамъ ах, а%, ¦ ¦ ., а„, A2), B3), . ., (н 1, п); мы начнемъ съ
случая и == 3 (фиг. 21).
Мы продолжимъ стороны at и as до пересеченш вь точке 4 и
обозначимъ отрезки 41, 42 черезъ я,' и аа'', тогда изъ треугольника
D12), въ которомъ уголъ при вершине 4 равен ь
я A3), получаемъ:
„,_„ sinB3) „,_ sin A2)
/ \
У
а, следовательно, по теореме косинусовъ,
rt2-
пользуясь же формулами
sin A3) sin A2) cosB3) + cos A2) sin B3),
cosA3) = cosA2)cosB3) sin A2) sin B3),
мы получаемь съ помощью простого вычислешя:
xat cosC1) + 2ata2cos(l2).
A)
Эта формула остается въ силе и въ томъ случае, когда прямыя
(?! и а3 пересекаются подъ стороной а.
3"

§ 34
36
Пользуясь знакомъ суммовашя, эту формулу можно представить въ
такомъ вид"Ь:
а* = -2а.* + 2 2а{ак cos (г, k). B)
Въ этой формЪ она справедлива для любого и, если мы распространимъ
первую сумму на вгё значешя i отъ 1 до п, а вторую на всЪ сочеташя
чиселъ 1, 2, . . ., п по два.
Эту формулу во всей ея общности легко доказать путемъ перехода
отъ п— 1 къ п; для этого достаточно ломанную а,, а2, а3, ¦ • -, fl« при-
привести къ п — 1 отр-Ьзкамъ, пропуская одну изъ сторонъ и продолжая
а
Фиг. 22.
Фиг. 23.
друпя до ихъ пересЬчешя, такъ что получится и — 1 отрЪзковъ
их, й3', й4, ..., а„, для которыхъ формула считается доказанной (фиг. 22).
Теперь остается' воспользоваться первой изъ двухъ формулъ:
sin A3) cos B4) = sin B3) cos A4) + sin A2) cos C4),
sinA3) sin B4) = sinB3) sin A4) + sinA2) sin C4),
C)
которыя легко получимъ изъ теоремы сложешя тригонометрическихъ
функщй, если положимъ (фиг. 23):
A4) = A3)+ C4),
B4) = B3) + C4),
A2) = A3) -B3).
3. Непосредственно мы можемъ придти къ формул^ B) гакже
слъ\дующимъ путемъ. Выберемъ произвольное постоянное направлеше А
въ плоскости многоугольника и обозначимъ черезъ п,, <х2, а3, . . ., а„
углы между направлен1емъ X и направлешями д,, д2, as, ¦ • ., п„, отсчи-
отсчитывая послЪдшя въ сторону положительнаго ripamcHisi. Тогда
(г, k) = ak- a.;
BMtcrt съ т-Ьмъ йАcosa^ есть проекшя отрезка ак на направлеше А', счи-
считая таковую положительной или отрицательной, смотря по тому, будетъ
ли соотвЪтствуюций уголъ а острый или тупой.

37
§ 34
Такъ какъ многоугольникъ замкнутый, то сумма всЬхъ положи-
тельныхъ проекщй должна имъть такую же длину, какъ и сумма всЬхъ
отрицательныхъ проекшй; сумма же всЬхъ этихъ проекшй равна нулю.
Это справедливо даже и въ томъ случай, если многоугольнихъ имЪетъ
входяцуе углы, а также, если стороны многоугольника другъ друга пере-
сЬкаютъ. Итакъ,
acosa = al cosa, -f- d2cosa2 + ... -f- ^„cosa,,.
Если мы теперь замъ'нимъ направлеше X перпендикулярнымъ къ нему
направлешемъ Y, то Bet углы а,- возрастутъ на лу2, и мы получаемъ:
, -f- a3s'ma2 -\- . . . -f- ^„si
asina =
Возвышая дв* послъ\дтя формулы въ квадрагъ, складывая ихъ и прини-
принимая во внимаше, что
cosa2 + sina* = 1,
cosa, cosa
ft
= cos(a^ — at),
мы получаемъ формулу B).
4. Легко выразить также площадь многоугольника черезъ стороны
ava2, ...,а„ и углы (i, k).
Мы опять начнемь съ четырехугольника 0 123 (фиг. 24), который
мы дополнимъ до треугольника 0 4 3. Если F есть
площадь четырехугольника, то
2Н = (а^аа' - (я/ + аО (я3' + аэ)) sin(l3);
съ помощью же формулъ
.,-_., si"B3) ., . _ л sinA2)
получаемъ:
2F = rt2a3s
Это выражен1е можно опять-таки написать въ
2f = ^flv^sin(j, k),
въ которой оно остается справедливымъ при любомъ числ"Ь сторонъ.
§ 35. Периметръ и площадь правильнаго многоугольника.
1. Если мы въ кругё рад1уса г возьмемъ центральный уголъ 2 а,
менышй ж, при чемъ а есть дуговая Mtpa угла, то длина соответ-
соответствующей дуги равна 2га, а площадь сектора равна г а. Хорда 2$ им^етъ

§ 35
38
длину 2rsina, а площадь А В'С равна r2tga (фиг. 25). Такъ какъ
хорда короче дуги, а площадь треугольника больше площади сектора, то
sina < a < tga.
О)
2. Положимъ, что аир суть два угла первой четверти, при чемь
a > /3. Въ такомъ случа*
sinP sina _ asinp psina
P ~~ a = ~af~ '
B)
и, если въ числител'Ь последней дроби поло-
положимъ
sina = sin(p -f- a — Р)
= sinpcos(a - Р) -f- cos/3 sin (a p),
то получимъ:
asinp — Psina
= (P + a-P)sinp-psinpcos(a p)
-pcosPsin(a -P)
¦=/3sin|3(l - cos(a-f|3))
Фиг. 25.
Но это выражен!е въ виду неравенства A) всегда им^етъ по-
положительное значен{е, ибо
cos (а
а, слЪдовате 1ьно, и разность B) также им^етъ положительное значен1е.
Итакъ:
Пока уголъ а остается между 0 и яг/2, дробь sina : а убы-
ваетъ, когда а возрастаетъ.
3. Въ томъ же предположен^ а> $ мы разсмотримъ еще разность
a
_ Psinacosp -
/3 ~~ apcosacosp
которую можно еще написать и въ такомъ вид-fc:
(a+p)sin(a-P)-(a—p)sin(a+p)_ a* -/32 /sin(a-jS) sin(a+/9)\
•iapcosacosp ~2«pcosacosp \ a—(^ )'
Такъ какъ a-|-p>a - P, то эта разность, въ силу предыдущей теоремы,
имъетъ положительное значеше. ВмътгЬ съ т'Ьмъ мы получаемъ пред-
ложеше:

39 § 35
Пока а остается между 0 и л/2, дробь tga : а возрастаетъ
съ а.
4. Если мы теперь возьмемъ уголъ 2а равнымъ «-той части четы-
рехъ прямыхъ, т. е. = 2лг я, то отрезки ВС и В'С становятся сторонами
правильныхъ н-угольниковъ, а треугольники ABC, А В'С составляютъ
каждый и-тую часть соответствующего многоугольника. Первый изъ этихъ
многоугольниковъ вписанъ въ окружность pafliyca г, второй описан ь.
Если мы обозначимъ черезь 5 и S' периметры этихъ многоуголь-
многоугольниковъ, черезъ р и р' ихъ площади, то
S 2«;sni I' H/-2sin cos ,
и п п
Длина окружности содержится между .S' и S', площадь круга между
F и р'. Ч^мъ бол^Ье возрастаетъ п, т^мъ ближе подходить другъ кь
другу 5 и S', сь одной стороны, р и р', съ другой стороны. Общимъ
пределомъ S и 5' служитъ окружность круга 2глг. общимъ предъломъ
F и р' - площадь круга г^л.
5. Мы можемъ выразить площадь н-угольника также черезъ пери-
метръ, если исключимъ г изъ выражен!й для 5 и F (или изъ выражешй
для S' и р'). Такимъ образомъ, мы получимъ
л- -- я
Если периметръ S не мтэняется, а п возрастаетъ, то п tg {it, n),
согласно п. 3, убываетъ; выражен!е для р возрастаетъ. Отсюда выте-
каетъ важное предложен1е :
Обыкновенный правильный многоугольникъ даннаго пери-
периметра имъетъ тЪмъ большую площадь, ч^мъ больше число его
вершинъ ц.
Верхней границей значешй F служитъ S^fin, г. е. площадь круга
радиуса S: 2л (т. I, § 118, 4).

ГЛАВА VI.
Геометр1я и тригонометр!я сферы.
А. Ор1ентировка на сфер*.
§ 36. Введете. Эйлеровы треугольники.
1. Въ плоской тригонометрш мы научились по тремъ независимымъ
элементамъ треугольника вычислять остальные. Практическое значеше
такихъ вычислешй заключается въ томъ, что мы прюбрътаемъ возмож-
возможность, установивъ одинъ базисъ, производить изм-fcpeme на земной по-
поверхности, определяя только углы.
Однако, совершенно ясно, что такого рода измЪрешя могутъ пре-
претендовать на точность лишь до ткхъ поръ, пока они ограничиваются
небольшими пространствами на поверхности земли, точнее, пока мы
можемъ пренебрегать кривизной земной поверхности. Если же намъ
приходится им^ть дътю съ измерениями большихъ пространствъ, то тре-
треугольники им^ютъ уже не плоскую поверхность, а кривую: вмътго
плоскихъ треугольниковъ появляются такимъ образомъ „сферичесюе
треугольники", вмъхто плоской тригонометрш намъ необходимо поль-
пользоваться сферической тригонометр!ей.
Однако, исторически сферическая тригонометр1я ведетъ свое начало
не отъ изм^решй на землъ1, а отъ изм^решй на небъч По возрасту она
является даже старшей сестрой плоской тригонометрш. Тайны зв^зднаго
неба съ древнихъ временъ имътш для людей непреодолимую привлека-
привлекательность; ихъ изслътювашю были посвящены древн^йи^я усил1я матема-
тиковъ. Отсюда и возникла сферическая тригонометр1я, и по сей день
она остается для астрономовъ необходимой и върной помощницей.
2. Какъ въ плоской тригономерш предполагаются известными важ-
н^йция свойства плоской геометрш, такъ и сферическая тригонометр1я
предполагаетъ знакомство съ геометрическими соотношешями на сфере.
Эту часть геометрш принято называть „сферикой" геометр1ей сферы.

41
§ 36
Однако, представляется нецт>лесобразнымъ строго разделять сфе-
рику отъ сферической тригонометрш. Обе дисциплины проникаютъ и
оплодотворяютъ другъ друга. Въ первой части мы будемъ, правда, зани-
заниматься исключительно чистой сферикой, во второй чистой сферической
тригонометр1ей, но въ третьей части нЪкоторыя замечательный свойства
формулъ сферической тригонометрш приведутъ насъ къ существеннымъ
и широкимъ обобщешямъ въ области чистой сферики. Четвертая часть
посвящена практическимъ примънешямъ сферической тригонометрш; на-
конецъ, позже, когда мы будемъ уже владеть методами аналитической
геометрш, мы познакомимся съ другимъ соединешемъ сферики, сфери-
сферической тригонометрш и аналитической геометрш съ такъ называемой
„аналитической сферикой" (§ 83).
3. Выбравъ три точки А, В, С на сфере, мы можемъ многооб-
многообразно соединять ихъ попарно кривыми лишями. Однако, подобно тому,
какъ на плоскости подъ треугольникомъ мы разумЪемъ систему трехъ
точекъ съ соединяющими ихъ кратчайшими лишями -прямыми, такъ мы
и сферическ1й треугольникъ опредЪляемъ, какъ систему трехъ
точекъ съ кратчайшими на поверхности сферы литями, ихъ
соединяющими; таковыми, какъ можно показать, являются дуги
окружностей большихъ круговь, не превосходящая полу-
полуокружности.
Наглядно можно изготовить такого рода треугольники изъ кусковъ
апельсинной корки.
4. Подь стороной сферическаго треугольника казалось бы наиболее
естественнымъ разуметь абсолютную длину 5 соответствующей дуги
большого круга. Если мы, однако, представимъ себе рядъ сферъ, кон-
центрическихъ съ данной сфе-
сферой, и на нихъ рядъ треугольни-
треугольниковъ, подобныхъ данному сфе-
сферическому треугольнику, то по-
слъ\дше отличаются другъ отъ
друга только масштабомъ, а не
по существу. Поэтому за сто-
стороны треугольниковъ стараются
принять так1я величины, кото-
рыя не зависятъ отъ pafliyca
сферы. Этого можно достигнуть,
если принять за стороны не длины соответствующихъ дугъ, а ихъ отно-
шешя къ pafliycy r. Если sAB есть длина дуги большого круга, прохо-
проходящей между точками А и В, и если мы обозначимь стороны, какъ и въ
плоскомъ треугольнике, строчными буквами, соответствующими противо-
Фиг. 28.

§ 36 42
положнымь вершинамь, то стороны сферическаго треугольника
определяются следующими уравнен1ями (фиг. 26):
а^ВС S-',
Ь=СА= $СА,
г
с= АВ= 'AR-
г
т
Но, съ другой стороны, sBC r есть не что иное, какъ уголь ВО С,
выраженный въ дуговой мере, если О есть центръ сферы. Мы можемъ
поэтому сказать:
Сторонами сферическаго треугольника служать плоск1е
углы трехграннаго угла, проектирующаго сферически тре-
угольникъ изь центра сферы.
Этимъ устанавливае1ся теснейшая связь между сферикой и геоме-
Tpiefl проектирующаго трехграннаго угла. Каждому предложенш, касаю-
касающемуся одного образа, соответствуетъ предложеше, относящееся къ дру-
другому образу.
5. За углы сферическаго треугольника мы будем ь принимать углы,
образуемые соответствующими дугами и содержаииеся между 0 и гг.
Такъ какъ углы между кривыми лишями измеряются углами между каса-
касательными, а последшя для сферическихъ кривыхъ перпендикулярны къ
pafliycy, проведенному къ точке касашя, то мы можемъ сказать:
Углами сферическаго треугольника служатъ двугранные
углы проектирующаго трехграннаго угла.
Эти углы мы будем ь помечать феческими буквами по соотвЬт-
ствующимъ вершинамъ.
6. Установленное выше поняпе о сферическомъ треугольник Н мы
будемь называть Эйлеровымъ; это будетъ намъ кстати напоминать, что
на Эйлера нужно смотреть, какъ на отца современной сферической
тригонометрш *).
Это понят!е исключительно господствовало въ науке до Х1Х-го
столе™, въ школахъ же до настоящего времени.
*) Principes de la Trigonometrie spherique, tires de la methode des plus grands
et plus petits. Mem. de l'Acad. de Berlin, t. IV, 1753 —Trigonometria sphaerica universa,
ex primis principiis breviter et dilucide derivata Act. Petrop. 1779. Оба мемуара (изъ
которыхъ первый, исходящШ отъ дифференц1альныхъ уравнен1й геодезическихъ
линШ, не элементаренъ) имеются на нЪмецкомъ язык^Ь въ издан1и классиковъ
Оствальда (Ostwalds Klassiker, № 73).

43_ § 36
Характерными особенностями Эйлеровыхъ треугольниковъ являются
слъдуюшдя:
a) Стороны и углы Эйлерова треугольника лежатъ между
О и я;.
b) Три точки на поверхности сферы опредтэляютъ один ь
и только одинъ Эйлеровъ треугольникъ, если никак!я двъ изъ
нихъ не расположены д1аметрально другу къ другу.
7. Изь геометрических ь свойствъ трехграннаго угла вытекаютъ Ht-
которыя предложешя относительно Эйлеровыхъ треу! ольниковъ, которыми
намъ придется часто пользоваться въ четвертомъ отдЪл'Б.
1. Сумма сторонъ Эйлерова треугольника содержится между 0 и 2л:.
2. Сумма угловъ Эйлерова треугольника лежитъ между л и Зл.
3. Въ Эйлеровом ь треугольник^ противъ большего угла лежитъ
большая сторона, а противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы.
§ 37. Стереографическая проекфя.
1. Чтобы избъжать затрудненШ при изображенш перспективных ь
чертежей, которые еше усложняются въ стЬдуюшемъ параграфа вслъть
cTBie особой формы фигурирующихъ тамь треугольниковъ, очень жела-
желательно имъть такое отображеше сферическихъ фигуръ на плоскости, по
которому можно было бы ясно распознавать первоначальныя простран-
ственныя соотношешя.
Это достигается при помощи отображешя, которое вь картографш
извъттно подъ назвашемъ „стереографической проекции".
При стереографической проекщи точки сферы проектируются изъ
точки (центръ проекцш), лежащей на сферъ, на плоскость, перпендику-
перпендикулярную къ диаметру, проходящему через ь центръ проекцш.
Для упрощешя р%чи мы представимъ себ+э сферу въ видЪ земного
шара и сообразно этому будемъ говорить о съверномъ полюсЬ, южном ь
полюс* и т. д.
За центръ проекщй мы выбираем ь южный полюсъ; за пло-
плоскость проекшй плоскость экватора е.
Каждой точк* Р сферы въ такомъ случаЪ отв%чаетъ точка Р' на
плоскости е. Точки, расположенныя на экватортз, отвъчаютъ каждая самой
ce6t. Изображен1я точекъ съвернаго полушар1я расположены внутри эква-
экватора, а изображешя точекъ южнаго полушар1я — вн-Ь экватора. Южному
полюсу соотвътствуетъ любая, безконечно удаленная точка плоскости t.
Въ видахъ однозначности цъттсообразно принять за безконечно удаленный
образь на плоскости не „безконечно удаленную прямую", а „безконечно
удаленную точку", какь это дЪлается въ ученш объ инверсш (§ 9).
Въ такомъ случай отображеше будетъ однозначное.

§ 37
44
2- Въ видахъ дальнЪйшихъ нашихъ разсуждещй мы воспользуемся
въ течете короткаго времени системой прямоугольныхъ координатъ, на-
начало которыхъ совпадаетъ съ центромъ сферы О, оси а'-овъ и ^-овъ
расположены въ плоскости экватора, а положительная ось ^-овъ идеть
отъ центра къ сЪверному полюсу -').
Нъкоторая точка Р на сфер* имъетъ координаты л", у, \.
Каковы координаты л', V ея изображен1я />'?.
Для отвъта на этоть вопросъ мы введемъ сверхъ прямоугольныхъ
координатъ еще полярныя. Пусть (р, q и ^ будутъ полярные коорди-
координаты точки Р, гдъ (/ означаетъ уголъ,
который образуетъ меридюнальная пло-
плоскость, проходящая черезъ точку Р, съ
плоскостью перваго мерид1ана, a q озна-
означаетъ разстояше точки Р отъ земной
оси; пусть (р' и q' будутъ координаты
точки Р'. Тогда, очевидно,
ц> =ч
A)
Фиг. 27.
Если рад1усъ сферы г извъчггень,
то положеше любой точки Р определя-
определяется двумя данными, напримъръ, ц> и ~.
Принимая во внимаше соотношеше A)
и то обстоятельство, что р зависитъ
только отъ ^, а не отъ ц>, намъ остается
еще только выразить q' черезъ ^ (и г).
Съ этою цъ\пыо мы можемъ выбрать точку Р въ плоскости чертежа
(фиг. 27). Тогда
ASOP'— Л SQP— Л PQK-
Поэтому
B)
C)
¦-?¦ №
сл*довательно:
Q' _ г -I.
„Г — 7
г + 1 ^
Предложен1е. Переходъ оть точекъ Р на сфер% къ соотвът-
ствующимъ точкамъ Р' на плоскости выражается уравнешями:
*) См. главу „Аналитическая геометр!я въ npocTpaHCTBt" (§ 98).

45 § 37
а переходъ отъ плоскости къ сфер*— уравнен1ями
г2 - Q'*
9 = 9. 1 = г^^^
3. Изсл*дуемъ теперь, какъ окружности плоскости отображаются
на сфер*.
Каждая окружность въ плоскости въ полярныхъ координатахъ вы-
выражается уравнешемъ:
о'г + Aq' cosy' + Во sing>' + С = 0. Ej
При помощи соотношешй B) и A) мы получаемъ:
, , х' , х г
Q'COS(p' = О —j = Q — =Х : ,
Q Q r + z'
у' у т
о' sinq/ = р' ^- = о' J- = у ;
Q " Q J r+i'
поэтому уравнен1е 5-ое переходитъ въ уравнеше
А гх + Вгу + (С - - г1) ~ + г( С + г2) = 0. F)
Это - уравнен1е плоскости. Плоскость же пересЬкаетъ сферу по
окружности. Такъ какъ, съ другой стороны, уравнеше F) можетъ выразить
любую плоскость, то и любая окружность на сфер* можетъ быть
разсматриваема, какъ пересъчеше ея съ н-Ькоторой плоскостью вида F).
Мы получаемъ такимъ образомъ предложеше.
Каждая окружность на сфер* при стереографической проек-
uiH отображается на плоскости окружностью и обратно - каждая
окружность на плоскости соотвътствуетъ окружности на сфер*.
Только въ томъ случаъ, если одинъ изъ коэффищентовъ А, В и С
обращается въ безконечность, окружность E) переходитъ въ прямую;
между тъмъ какъ уравнеше F), попрежнему, выражаетъ окружность
(проходящую черезъ южный полюсъ), какъ въ этомъ не трудно убъдиться
также изъ непосредственныхъ геометрическихъ соображенШ. Поэтому
:?дъть, какъ и въ планиметрш, целесообразно разсматривать прямую, какъ
выродившуюся окружность.
4. Дв* окружности, прохолиния черезъ южный полюсь и имЪющм
вторую точку пересъчешя Р, согласно п. 3, отображаются на плоскости t
двумя прямыми, пересекающимися въ некоторой точк* Р'. Уголъ, который
окружности образуютъ при точк* Р, всл*дств1е симметр1И, будетъ такой
же, какъ при точк* S- Посл*дн1й же, какъ легко видъть, определяется
перес*чен1емъ плоскостей двухъ окружностей съ касательной плоскостью
въ точке 5- Но такъ какъ эта касательная плоскость параллельна эква-
тор1альной плоскости, то отсюда следуетъ:

§ 37 46
окружности, проходящдя черезъ точку S, пересЪкаются
подъ тЪмъ же угломъ, какъ и изображающая ихъ прямыя.
Двумъ безконечно близкимъ точкамъ сферы также отвъчаютъ без-
конечно близюя точки на плоскости. Изъ послЪдняго предложешя поэтому
непосредственно вытекаетъ:
Любыя двъ кривыя на сфер* пересекаются подъ тъмъ же
угломъ, какь и ихъ стереографическ1я изображен1я.
Всякое отображеше, при которомъ сохраняются углы, называется
конформнымъ огображешемъ.
Стереографическая проекция представляетъ собой кон-
конформное отображен!е.
5. Для насъ наиболЪе важны изображешя окружностей большихъ
круговъ. Такъ какъ каждый большой кругъ дътштъ пополамъ экваторъ,
который представляетъ свое собственное изображеше, то изъ п. 3 слъдуетъ:
Каждая окружность большого круга и только таковая имъ-
етъ своимъ изображен1емъ окружность, делящую пополамъ
экваторъ; пользуясь терминолопей § 9, мы можемъ сказать, что изобра-
жешя окружностей большого круга перес+жаютъ экваторъ д1аметрально.
Сферическ1й греугольникъ изображается, такимъ образомъ,
треугольникомъ, образованным ь круговыми дугами, дълящими
пополамъ экваторъ. Оба треугольника имЪютъ одинаковые углы,
но различныя стороны.
Впрочемъ, и стороны эти легко могутъ быть найдены гео-
геометрическими построен1ями (§ 39, 15).
Обратно, любымъ тремъ окружностямъ на плоскости, имъющимъ
общую д!аметральную окружность е, всегда отвЪчаетъ сфера, на которой
треугольнику, составленному изъ дугъ названныхъ трехъ окружностей,
стереографически соотвътствуетъ сферическ1й треугольникъ; экваторомъ
этой сферы служитъ окружность t.
6. Представимъ ce6t касательную плоскость къ сферъ въ точкъ .V.
Если прямая SP встр^чаетъ эту плоскость вь точкФ. /¦"', го, по гео-
рем1\ Пивагора,
SP- SP" =4г2;
такь какъ, сь другой стороны, SP" = 2SP' вслкдств1е подоб1и треуголь-
никовь SOP' и SNP", то
SPSP' = 2г2.
Такимъ образомъ, мы получаемъ предложеме:
Стереографическая проекц!я есть не что иное, какъ ин-
верс1я съ центромъ S и степенью 2г2 (см. §§ 9, 11, 24).

47 § 38
§ 38. Треугольники Me6iyca.
1. Въ то время, какъ на плоскости между двумя точками проходитъ
только одинъ прямолинейный отртззокъ, мы можемъ на сфере соединить две
точки двумя дугами большихъ круговъ, дополняющихъ другъ друга до 2яг.
Изъ нихъ, правда, только одна, содержащаяся между Оия, представляетъ
собою въ то же время кратчайшую линш между обеими точками.
Но, если мы откажемся отъ этого послтздняго требовашя, то мы
придемъ къ сферическимъ треугольникамь болъе общаго вида,
стороны которыхъ не должны непременно, какъ выше, содер-
содержаться между 0 и л:, а могутъ быть также заключены между
О и 2яг. Въ связи съ этимъ представляется целесообразным ь
ввести еще дальнейшее обобщен1е, именно допустить также
сверхъ-тупые углы ').
Это обобщеше понята о треугольник ведетъ свое начало огъ
Me6iyca (Moebius). и мы будемъ поэтому raKie треугольники называть
впредь треугольниками Me6iyca *).
2. Относительно необходимости такого обобщешя самъ Мёб1усъ
высказывается слъдующимъ образомъ (Ges. Werke II, p. 74):
„Действительно, только вводя понят1е о сферическомъ треугольнике
вь наибольшей его общности, можно достигнуть полнаго соглаая между
формулами, съ одной стороны, и посгроешями, съ другой стороны. Въ
самомъ дъчтЬ, если изъ числа трехъ сторонъ и трехъ угловъ тре-
треугольника даны три элемента и требуется найти четвертый, то при по-
помощи соответствующей формулы всегда можно найти, вообще говоря,
два различныхъ значешя; и въ полномъ согласш съ этимъ по тремъ
даннымъ элементамъ, если мы допускаемъ сверхъ-тупые углы и стороны,
всегда можно построить два различныхъ треугольника, въ одномъ изъ
которыхъ мы всегда находимъ одно, а въ другомъ другое значеше эле-
элемента изъ найденныхъ при помощи упомянутой формулы; между тъмъ,
если мы присоединим ь произвольное само по себе ycnoBie, чтобы ни
одна сторона и ни одинъ уголъ не превышали яг, то въ большинстве
случаевь мы получимъ для четвертаго элемента только одно изь двухь
аначешй, которыя даетъ формула.
Если, напримъръ, въ сферическомъ треугольнике ABC даны двт.
стороны a, b и заключенный между ними уголъ у, и намь нужно найти
третью сторону б", то последней служить либо одна, либо другая изь
двухъ частей, на которую точки А и В делятъ проходящую черезъ нихь
') Т. е. углы, болыше п.
*) Moebius, Ueber eine neue Behandlungsweise der analytischen Spharik,
1846. Entwicklung der Grundformeln der Trigonometrie in grosstmoglicher Allge-
nieinheit, 1860. Vgl. Ges. Werke II.

§ 38 48
окружность большого круга; эта сторона имт>етъ поэтому два значешя,
дополняюпця другъ друга до 1st,. Съ другой стороны, сторона с опре-
определяется по элементамъ а, Ь и у при помощи формулы:
cose = cosfl cosh -f- sinfl sinfc cosy.
Такъ какъ дуга с определяется такимъ образомъ по косинусу, то и эта
формула даетъ для с два значешя, сумма которыхъ равна 2гг.
Или, если по гбмъ же элементамъ а, Ъ, у нужно определить уголъ а,
то мы получаемъ, смотря по тому, примемъ ли мы за третью сторону с,
какъ одну изъ сторонъ угла а, ту или другую изъ двухъ дугъ АВ, до-
полняющихъ другъ друга до цълой окружности, -два угла, отличающихся
другъ отъ друга на at; эти углы имъютъ одну общую сторону, а вторыя
стороны одного и другого угла направлены по окружности большого
круга, проходящего черезъ А и В въ противоположныхъ направленшхъ:
отсчитывать же самые углы необходимо отъ стороны АС въ одномъ и
томъ же направленш. Въ полномъ согласш съ этимъ находится формула
sinfccotgfl — sinycotga = cos/? cosy,
связывающая элементы а, Ъ, у и а; уголъ а определяется при этомь
своимъ тангенсомъ, а мы знаемъ, что каждому тангенсу отвечаютъ два
угла, отличакмшеся другъ отъ отъ друга на п".
3. Такъ говоритъ Моб1усъ. Къ этому мы прибавимъ следующее
соображеше, особенно важное для насъ:
Если мы будемъ допускать стороны и углы произвольной величи-
величины, то мы получимъ, по существу, те же треугольники Me6iyca, если
мы условимся считать стороны и углы, отличаюипеся другъ отъ
друга на кратныя In, т. е. сравнимые по модулю 2зх, за равные;
такое соглашен!е находитъ себе оправдан!е въ томъ, что три-
гонометричесюя функцш такихъ сторонъ и угловъ, каковыя въ
конечномъ счете только имеютъ для насъ значен!е, действи-
действительно равяы между собой.
4. Чтобы при той точке зрешя, на которой мы теперь стоимъ,
однозначно определять дуги и углы, необходимо установить следующее
соглашеше.
На каждой дуге большого круга мы будемъ считать установленнымъ
некоторое направление, которое мы будемъ принимать за положительное;
противоположное же направлеше мы будем ь считать отрицательнымъ.
Въ этомъ предположен^ пусть стороны а, Ь, с треуголь-
треугольника будутъ определены такимъ образомъ, чтобы мы отъ В кь
С, отъ С къ у} и отъ А къ В постоянно переходили въ поло-
жительномъ направленш (табл. I) *).
*) Треугольники на таблицъ I III начерчены въ стереографической проекцш (§ 37).

49 § .38
Если на окружности большого круга, на которомъ установлено по-
положительное направлеше, лежатъ точки А, В,С,..-, P,Q, то въ какомь
бы порядке эти точки ни были расположены, всегда имъетъ место сле-
следующее соотношеше
(mod. 2л:),
При точке зртзН1'я Me6iyca эти оби^я уравнешя могутъ быть за-
заменены бол-fee частными:
АВ+ВС+ . .. + PQ = AQ,
АВ = ВА.
5. Если мы выбрали две окружности большихъ круговъ а и b и
желаемъ определить образуемый ими уголь, то нужно прежде всего
установить, какую изъ двухъ точекъ ихъ пересЬчетя мы желаемъ при-
принимать за вершину (вторая точка пересЬчешя называется „противопо-
„противоположной вершиной"). Далее, на сфере нужно установить сторону того
вращешя, которое мы будемъ считать положительнымъ; противопо-
противоположное вращеше принимается тогда за отрицательное.
Въ этомъ предположена мы будемъ подъ угломъ (ab)
разуметь тотъ уголъ, па который нужно, стоя на сфере въ вер-
вершине угла, повернуть вокругъ нея положительное направлен!е
вь окружности а въ сторону положительнаго вращен1я, пока
она не совместится съ положительнымъ направлен!емъ въ окруж-
окружности I).
Вращеше на сфере называется правостороннимъ, если положитель-
положительное вращеше совершается по часовой стрелке, а въ противоположномъ
случае оно называется лЬвостороннимъ.
Если окружности большихъ круговъ й,Ь, С, ¦ ¦ ., р, q проходятъ все
черезъ одне и те же две точки, то, вь какомъ бы порядке окружности
ни были расположены, всегда имеетъ место соотношеше
(аЪ) + (be) +... + (pq) E (aq) (mod. 2 яг),
Cab) + фа) = 2п.
При точке зрешя Me6iyca эти обцця уравнешя могутъ быть за-
заменены более частными:
(ab) = фа).
Если мы изменим ь положительное направлеше на одной изъ двухъ
окружностей на противоположное, то уголъ (ab) переходитъ въ n-\-(ab). Од-
Одновременное изменеше обоихъ направленШ оставляетъ уголъ безъ перемены.
Веберъ Эицшслоп элеыоат гоометрш 4
Веберъ, Эицшслоп. элеыоат. гоометрш.

§ 38
50
Таблица la.
Треугольники Mc6iyca.
01

51
§ 38
Таблица Ib.
Треугольники Me6iyca.

§ 38 52
Напротивъ, уголъ (ab) переходить въ 2лг - (ah), если мы мЪпяемъ
сторону положительнаго вращешя на сфере, или же если мы замЪщаемъ
одну другою противоположный вершины угла.
6- Углы сферическаго треугочьника si ВС мы опредЪляемъ
вершинами А, В, С и равенствами:
а - фс\
/3 {с а),
У - ЫЬ).
Три точки на сфере определяютъ теперь 16 различныхъ
треугольниковъ Me6iyca. Въ самомъ деле, на каждой изъ грехь
дугъ мы можемъ двумя способами выбрать положительное направлете;
направлеше вращешя па сфер!; можетъ быть также выбрано двумя спо-
способами; такимъ образомъ, получается 2-2-2-2 =16 комбинашй.
Изъ этихъ 16 треугольниковъ 8 изображены на таблице 1-ой вь
стереографической проекцш; остальные 8 получаются по „типу" (п. 7) изъ
четырехъ средиихъ изображешй путемъ циклическихъ замЪщемй вершинъ.
Въ каждом ь горизонтальномъ ряду второй, третШ и четвертый треуголь-
треугольники получаются изъ перваго, если мы измЪнимъ направлеше соответ-
соответственно на одной, на двухъ или на всЬхь трехъ сторонахъ.
Верхшй рядъ содержитъ треугольники, соответствующее вращешю
влево, нижшй вращешю вправо.
Первый треугольникъ въ первой колоний есть Эйлеровъ
треугольникъ. ЗамЪтимъ, однако, что зд"Ьсь за углы треугольника мы
должны принимать углы, смежные гъ тЪми, которые мы считали тако
выми выше.
Мы будемъ отличать Эйлеровы треугольники и Эйлеровы
обозначешя. Къ первымь мы относимъ rb треугольники, углы и сто-
стороны которыхъ не превышаютъ at, независимо отъ того, придерживаемся
ли мы обозначенШ Эйлера или Me6iyca. Эйлерово же обозначен!е, кото-
которое находитъ себ"Ь прим-bHeiiie только въ Эйлеровыхъ же треугольникахъ,
мы указали въ § 36-омъ; оно имЪетъ решающее значипе въ четвертомъ
отделе настоящей главы. Эйлеровъ треугольникъ въ Эйлеро-
вомъ же обозначеши мы будемъ называть „обыкновеннымъ"
треугольникомъ.
7. Чтобы удобно обозначать все 16 формь треугольника, мы вве-
демъ некоторые символы. Относя къ сторонамь а, Ь, с соответственно
индексы k — 1, 2, 3, мы будемъ обозначать:
черезъ S®) треугольникъ, все стороны и углы котораго заключаются
между 0 и я;
треугольникъ, все стороны и углы котораго заключаются
между з^ и 2л;

53
§ 38
черезъ S^ треугольникъ, въ которомъ только А'-ая сторона заключается
между 0 и л;;
„ Л'^° треугольникъ, въ которомъ только /г-ая сторона заключается
между л и 2л.
Пусть символъ IF{i}{i~-0, 1, 2, 3; ft = О, 1) имъетъ соотвътству-
romin значешя для угловъ.
Достаточно посмотръть на таблицу I, чтобы убедиться, что воз-
возможны только таюя комбннащи 5J/1 JJr<'" (/, й- 0, 1, 2, 3; <5, е = 0, 1),
вь которыхъ i h; случаямъ же г ф b не соотв1.тствуютъ никаюя формы
треугольников ь.
Bet возможные 16 формь треугольниковъ M(;6iyca содер-
содержатся, такимъ образомь, въ символъ S$IIr^(i = 0, 1, 2, 3;
д, t = 1. 2).
Для такого треугольника мы впредь будемъ пользоваться
болЪе короткимъ обозначешемъ ТЩ, которое и будемъ называть
„типомъ" треугольника, а знакъ i мы будемъ называть „индек-
сомъ" треугольника.
НижеслЪдующая таблица, въ которой указаны пределы сторонъ и
угловъ каждаго типа, будетъ намъ часто полезна:
Типы:
7'.»)
'ПО)
1 01
1 16
1 11
7"(i)
1 00
Г'1)
' 01
1 10
1 и
Т(?)
' 00
1 01
1 10
ТB)
1 11
' on
7'C)
1 01
' 10
ТC)
' 11 • ¦ : ¦
0,
0,
л,
л,
0,
0,
. л.
л,
л,
0,
• о,
л,
л,
о,
0,
а
Л ,
Л
2л '
2 л
л
л
2 л
2 л
2 л
2 л
л
л
2 л
->Л
л
л
о,
0,
л,
л,
л;
л-,
о,
0,
о,
0,
л,
л,
л,
л,
о,
0,
л
л
2 л
2 л
2 л
2 л
л
л
л
л
2 л
2 л
2 л
2 л
л
л
I0'
'о,
1 Щ
л,
я,
1 л;.
0,
,0,
л,
л,
0,
о,
о,
о,
л,
л,
л
л
2л
2 л
2 л
2 л
л
л
2 л
2 л
л
л
л
л
2 л
2 л
!0'
л,
о,
л,
0,
i
л,
0,
л,
л,
о,
л,
о,
л,
о,
л,
0,
а
л
2л
л
2 л
л
2 л
л
2 л,
2 л
л
2 л-
л
2 л
л
2л
л
о,
л,
о,
л,
л,
о,
л,
о,
0,
л,
0,
л,
л-,
о,
лг,
о,
И
л
2 л
л
2 л
2 л
л
2 л
л
л
2 л
л
2 л
2 л
л
2 л
л
0,
л,
о,
л/,
л,
0,
л/,
0,
л,
0,
л,
0,
о,
лг,
0,
л,
У
л
2 л
л
2 л
2 л
л
2л
л
2 л
л
2 л
л
л
2 л
л
2 л

§ 38 54
Два характерныхъ свойства треугольника Me6iyca заключаются въ
сгёдующемъ (ср. § 36, 6):
a) Стороны и углы треугольника Me6iyca заключаются
между 0 и 1st.
b) Три точки на поверхности сферы опред-Ьляютъ 16 тре-
угольниковъ Me6iyca, если никак1я две изъ этихъ точекъ
не расположены д1аметрально.
8. Чтобы и для треугольниковъ Me6iyca сохранить соответств1е
между треугольникомъ и проектирующимъ его трехграннымъ угломъ,
нужны дальнейипя соглашешя относительно угловъ между прямыми и
плоскостями.
На каждой прямой мы будемъ считать установленнымъ определенное
направлеше, которое будемъ принимать за положительное; противоположное
направлеше считается тогда отрицательнымъ. Если на такого рода прямой
лажатъ точки А, В, С, ¦ ¦ ., Р, Q, то, какъ бы онт, ни были расположены,
всегда имЪютъ место соотношешя:
АВ+ ВА = О.
Положимъ далее, что и каждой плоскости присвоены положительная
и отрицательная стороны.
Подъ угломъ (gj, g.z) между двумя пересекающимися пря-
прямыми gx и g2 мы будемъ разуметь тотъ уголь, на который нужно,
стоя съ положительной стороны плоскости gigi, повернуть въ
сторону, обратную часовой стрелке, положительное направлен1е
прямой gl для его совмещен1я съ положительнымъ направлен1емъ
прямой gt.
Если несколько прямыхъ gx, g2, . . ., gn проходятъ черезъ одну и
ту же точку плоскости, то всегда имеютъ место соотношежя:
(gxg2) + (g^gs) + ¦¦¦ + (gn-ign) = (g^g,,) (mod. In),
(gigi) + (gigx) = 0 (mod. 2 л);
при этомъ для тригонометрическихъ величинъ сравнешя всегда могутъ
быть замещены равенствами.
Если прямыя gx и g2 не расположены въ одной плоскости, то че-
черезъ произвольную точку прямой g% мы проведемъ прямую g^, парал-
параллельную прямой gv и тогда положимъ (gtg2) = (gi'gi)-
Если мы на одной изъ прямыхъ изменимъ направлеше на противо-
противоположное, то уголъ (j?1gi) переходитъ въ зт-\- (?r,g)-
Если мы заменимъ другъ другомъ положительную и отрицательную
стороны плоскости, определяемой прямыми gt и g2 (или соответственно
gx и gz)> то Уголъ (^i^») переходитъ въ 2л; —Q^).

55 § 38
Чтобы определить уголъ между двумя плоскостями et и е2, мы
прежде всего установимъ положительное направлеше на прямой ихъ пе-
ресЬчен1я и обозначимъ положительныя нормали 2), возставленныя къ пло-
скостямъ въ какой-либо точке лиши ихъ пересЬчешя, черезъ nt и чц.
Подъ угломъ (fjS2) плоскостей et и е2 мы будемъ въ такомъ
случаи разуметь уголъ Гн,н2) между ихъ положительными нор-
нормалями. При этомъ за положительную сторону плоскости, опре-
определяемой нормалями nt и ?/2, нужно принимать ту, при которой
установленное уже выше положительное направлен1е линш пе-
ресечеп1я становится положительной нормалью.
9. Соотв-feTCTBie между трехгранпымъ угломъ и треугольникомъ уста-
устанавливается теперь слъдующимъ образомъ. Обозначимъ
черезъ га, Гь, гс рад!усы О А, ОБ, ОС,
„ 8а плоскость, определяемую прямыми Гь и гс,
» &Ь и п п 1 с № Та,
„ f-r „ „ я г„ и гь;
тогда мы получаемъ соотношежи:
а ¦= [пгЛ, а = (th8r),
Ь = {1сГ а), /3 = (8С8„),
с = (rnn,), у = (tnf*)
при слъ\п.ующихъ соглашен!яхъ:
Если на сфере принято левостороннее вращеже, то за положи-
положительныя направлешя прямыхъ /¦„, гл, ?'<• нужно принять
ОА, OB, ОС:
при правостороннемъ вращен1и должны быть приняты обратныя на-
правлен1я *).
Если, далее, мы будемъ называть те стороны плоскостей еа, е6, р-с,
которыя обращены внутрь тетраэдра О А ВС, „внутренними" сторо-
сторонами этихъ плоскостей, а друпя „внешними", то за положительную
сторону плоскости еп нужно принять внутреннюю, если 0 < а < л, и
2) Подъ положительными нормалями авторъ разум^Ьетъ перпендикуляры, воз-
ставленные съ положительной стороны плоскости.
¦:) Эти соглашен1я не вполне аналогичны тЬмъ, которыя приняты въ меха-
никъ (см. т. III); именно, если мы отождествимъ упоминаемую тамъ „положительную
ось вращенм" съ нашимъ „положительнымъ направлен1емъ" прямой га, то въ той
постановка, которая принята въ механикъ, за правостороннее вращете пришлось
бы считать какъ то, которое мы здъеь принимаемь за правостороннее, такъ и то,
которое мы принимаешь за лъвостороннее.

§ 38 56
внЪшнюю, если гг<я<2лг; соотв-Ьтственныя соглашешя нужно устано-
установить для плоскостей efc, ef въ зависимости отъ сторонъ /) и с
Въ Эйлеровомъ треугольник^ во всъхъ трехъ плоскостяхъ за по-
.южительныя допжны быть приняты внутрешпя стороны. За положитель-
ныя паправлешя га> >'ь, ic нужно принять
0/1, дв, ос,
если точки А, В и С, когда мы смотримъ на нихъ изъ точки О,
расположены въ направленш движежя часовой стрелки (какъ на нашихъ
фигурахъ- см., въ частности, ниже фиг. 34); въ противномъ случай нужно
принять противоположныя стороны за положительныя. Въ первомъ случай
мы говоримъ, что точки О, А, В, С образуюгъ „правую систему",
во второмъ - „лъвую" (ср. § 84, 3). При нашихъ соглашешяхъ въ Эйле-
Эйлеровомъ треугольник-Ь правому направлешю отв-Ьчаетъ на сферт, л1;вая
система QABC и обратно. *
10. Тетраэдръ О ABC мы будемъ называть сопряженнымъ
съ треугольникомъ ABC- Точку О мы будемъ принимать за вершину,
а А, В и С—за конечныя точки его реберъ. Объемъ тетраэдра мы
будемъ считать положительнымъ, если за положительное направлеше
реберъ приняты
6а, ов, дс:,
и если въ то же время точки О, А, В, С образуютъ правую систему, или
же если при противоположныхъ направлешяхъ реберъ конечныя точки
образуютъ лЪвую систему. Въ двухъ другихъ случаяхъ мы будемъ счи-
считать объемъ тетраэдра отрицательнымъ.
§ 39. Полюсъ и поляра.
1. Окружности болыиихъ круговъ, пересЬкаюидя перпендикулярно
одну данную окружность большого круга, проходятъ всъ черезъ дв-Ь
д1аметральныя точки, кОторыя называются полюсами данной окруж-
окружности.
Если на нашей окружности установлено определенное направлеше,
согласно § 38, то наблюдатель, движуиийся по этой окружности въ по-
ложительномъ направленш, видитъ одинь полюсъ съ лЪвой стороны, а
другой съ правой.
Подъ „положительнымъ полюсомъ" окружности большого
круга мы будемъ разуметь правый или лЪвый полюсъ, смотря
по тому, установлено ли на сферЪ правое или л"Ьвое вратеше.
Второй полюсъ мы будемъ называть „отрицательнымъ полю-
полюсомъ" или „противоположнымъ полюсом ь".

57
§ 39
2- Дуги, соединяюиия точку на окружности большого круга съ ея
потюсомъ, представляютъ собой квадранты. Сообразно этому полюсъ
данной окружности большого круга можно находить, либо проводя ни-
нисколько перпендикулярныхъ кь ней окружностей большихъ круговъ и
определяя точки ихъ пересъчешя, либо же проводя одну перпендику-
перпендикулярную окружность и откладывая на ней по квадранту по одну и дру-
другую сторону. Правый и л'Ьвый полюсъ устанавливаются тогда согласно п. 1.
3. Квадранты, выходяппе изъ одной точки на сферЪ, всЬ оканчи-
оканчиваются па той же окружности. Если мы присвоимъ этой окружности
такое направлеше, что данная точка будетъ служить для нея
правым ь полюсомъ, то она называется „полярой" данной точки.
4. Окружности болыиихь круговъ, выходяигш язь полюса, всЪ пе-
рес1жають поляру перпендикулярно. Поэтому, чтобы найти поляру данной
точки, нужно либо провести изъ нея два квадранта и соединить конечпыя
ихъ точки окружностью большого круга, либо отложить одинъ ква-
дрантъ и провести чрезъ конечную его точку окружность большого круга,
къ нему перпендикулярную. Направлеше на поляръ устанавливается
согласно п. 3.
5. Пусть а н b будутъ двЬ окружности большихъ круговъ (фиг. 28) *)
положительнаго направлешя, образуюищя уголъ (ab) съ вершиной въ
точкъ С (§ 38, 5). Если на дугахъ а и Ь мы отложимъ отъ точки С
въ положительномъ направлении квад-
квадранты С Л/ и CN и черезъ точки
Л/ и Лт проведемъ еще одну окруж-
окружность большого круга с' и последней
присвоимъ такое направлеше, чтобы
точка С была положительнымъ ея по-
полюсомъ, то
(ab) = MN
и
(ас') = 1, (be') = I ¦
Фиг. 28.
6. ПослЪдшя равенства можно
выразить также елтздующимъ обра-
зомъ: если С есть положительный полюсъ окружности с' и а есть окруж-
окружность бопьшого круга, проходящая черезъ любую точку \1 окруж-
окружности с', и
а) если при этомъ направлеше на окружности а устанавливается
такь, что СЛ/— яг/2, то и {ат') = л/2 (фиг. 29а);
*) Bet фигуры этого параграфа имЪютъ только схематически характеръ.

§ 39
58
b) если направлеше на окружности а установлено такъ, что
СМ = Ън 2, то и -? (ас') = Зя;/2 (фиг 29Ь).
М
Фиг. 2Я а.
Въ томъ и въ другом ь случа1; (ас') = СМ-
Предложен1е. Если С есть положительный полюсь окруж-
окружности большого круга с' и М есть произвольная точка на этой
окружности, то, каково бы ни было направлен1е окружности
большого круга а, проходящей черезъ точки С и М, всегда
имЪетъ м-Ьсто равенство -?с (ас') = СМ.
7. Если С и А' суть положительные полюсы двухъ окружностей
большихъ круговъ с' и а, пересЬкающихся подъ прямымъ угл. мъ въ
точк* М, то (фиг. 30)
{ас') = Cll, (с1 а) = АГМ,
Фпг. 31.
Фиг. 30.
а, следовательно, такъ какъ (пс') + (da) = 2л;, имъетъ мЬсто также
равенство
такь какъ дал+.е
ГМ + МЛ' *= 2л,
см = ма:

59_ § 39
Предложеше. Если С и А' суть положительные полюсы
двухъ окружностей большихъ круговъ, пересекающихся подъ
прямымъ угломь, то всегда
СА1 = Л/у/.
8. Предыдущее предложеше приводить къ важнъйшей теоремъ въ
теорш поляръ. Если а, I) суть двъ окружности большихъ круговъ, А' и В'
ихъ положительные полюсы, С положительный полюсь окружности с'
(фиг. 31), то
Ш = МА',
а такъ какъ СМ = CN = ft Q, то отсюда слъдуетъ, что
МЛ' - SB1,
или
MN + <ГЛ' = NA' + АН',
мк = лчу.
Въ виду п. 5, отсюда сльдуетъ:
Такимъ образомъ, мы приходимъ къ следующей основной тео-
въ теорш поляръ:
Если А' и В' суть положительные полюсы двухъ окружно-
окружностей большихъ круговъ а и /;, а С есть одна изъ точекъ ихъ пере-
съчен1я, а потому представляетъ собой также одинъ изъ полю-
совъ окружности большого круга с', проходящей черезъ точки
А' и В', если, далъе, мы выберемъ направлеше последней окруж-
окружности такъ, чтобы точка С была ея положительнымъ полюсомъ,
то всегда
(ab) = А'В'.
9. Изъ предложешя п. 8 вытекаетъ сл-Ьдуюш.ее двойное предложеме:
Если окружность большого круга вращается вокругъ нъ-
которой точки на сферъ въ положительную сторону, то ея поло-
положительный полюсъ движется по поляръ этой точки также въ
положительномъ направлен1и.
Если точка движется въ положительномъ направленш по
окружности большого круга, то ея поляра вращается вокругъ
полюса этой окружности также въ положительную сторону.
По формулировка своей эти предложешя покрываются предложе-
hjhmh, выведенными совершенно иначе, относительно полюса и поляры
коническаго съчешя.

§ 39 60
10. Эту аналопю можно провести и дальше. Въ планиметрш двЪ
плоскости rj и 7]', наложенный одна на другую, считаются взаимно-поляр-
взаимно-полярными, если каждой точкЬ Р плоскости t] отнесена прямая р' на плоскости
¦1) такъ, что каждой прямой g, проходящей на плоскости i) через ь
точку Р, отвЬчаетъ на плоскости ц' точка С, лежащая на прямой р';
аналогично этому мы можемъ представить себЪ и сферу покрывающей
себя самое въ видЪ двойнаго слоя и установить:
ДвЬ (совпадающая) сферы К и К' считаю 1ся „полярно сопряжен-
сопряженными", если каждой точк-Ь Р на сфере К отнесена окружность большого
круга р' на сфере К', при чемъ каждой окружности большого круга h,
проходящей черезъ точку Р, всегда отвЪчаетъ на сфере К' точка //,
лежащая на окружности р'.
Изъ сказаннаго слтздуетъ, что такого рода зависимость
будетъ установлена, коль скоро мы каждой точке сферы (считая
ее принадлежащей сфере К) отнесемъ ея поляру (считая ее
принадлежащей сфер-Ь К').
Этимъ путемъ принципъ двойственности, оказавш4йся столь
плодотворнымъ въ планиметр1и, переносится на сферу.
Целесообразно принимать, что дв"Ь точки на сферт, опредъляютъ
дв"Ь окружности большихъ круговъ, отличающ1яся одна отъ другой сво-
имъ направлешемъ. Тогда мы им-Ьемъ два взаимно-полярныя прелложен1я:
Дв-fe точки на сферъ опред-Ь- Дв-b окружности большихъ
ляютъ дв-b окружности большихъ круговъ опредъляклъ на сфертз
круговъ, на которыхъ он"Ь лежатъ. дв-fe точки пересЬчешя, черезъ ко-
торыя oHt проходятъ.
Каждой окружности 3), о которой идетъ рЪчь съ л-Ьвой стороны,
отвъчаетъ справа въ качеств-Ь соответствующей ей точки вполнЬ опре-
определенная точка -именно, ея положительный полюсъ, и обратно.
Изм-Ьнеше направлешя на окружности большого круга и замъщеше
полюса прогивоположнымъ полюсомъ являются процессами взаимно по-
полярными. Такъ какъ, съ другой стороны, замещеше полюса противопо-
ложнымъ полюсомъ, какъ мы видъли въ § 138, 5, оказываетъ то же
действ1е, что и изм-Ьнеше стороны вращен)я на сфере, то мы можемъ
сказать:
направлен!я на окружностяхъ большихъ кру-
круговъ и изм"Ьнен1е стороны вращешя являются взаимно-поляр-
взаимно-полярными процессами. Это намъ понадобится ниже.
а) Мы иногда будемъ говорить просто „окружность" вместо окружность
большого круга тамъ, пгЪ это не можетъ вызвать недоразум^нтп.

61 § 39
11. Если К и К' суть две совпадающая сферы, полярно отнесенный
одна къ другой, и точка Р описываетъ произвольную кривую 5 на сфере А,
го окружность р' описываетъ на сфере К' непрерывный рядъ окружностей,
который „огибаютъ кривую S, полярную къ кривой s". Если Q есть нъко-
торая определенная точка на кривой s, а точка Р неограниченно прибли-
приближается къ Q, то окружность большого круга PQ обращается въ сфери-
сферическую касательную къ кривой s въ точке Q. Ей отвЪчаетъ опре-
определенная точка S (направлете!) точка касажя окружности q', соответ-
соответствующей точке Q.
Если окружность большого круга имт^етъ съ кривой л п общихъ
точекъ, то послтхцнимъ отвечаютъ и касательныхъ кривой 5. При этомь
две совпадаюипя окружности противоположнаго направлешя нужно всегда
считать различными A0).
Этимъ путемъ каждой фигурЬ на сфере можетъ быть отне-
отнесена полярная ей фигура, каждому предложетю на сфере отве-
чаеть второе предложен!е, относящееся къ полярной фигуре.
12. Если к есть окружность малаго круга на сфере, а т парал-
параллельная ей окружность большого круга, то тотъ полюсь М окружности
т, который лежитъ на меныпемъ сегменте, называется „сферическимъ
центромъ" окружности к. Если мы будемъ соединять точки окруж-
окружности к дугами большихъ круговъ съ точкой Л/, то последшя, какъ это
очень легко обнаружит!., равны и потому называются „сферическими
pafliycaMii" окружности к.
Мы предоставляем ь читателю доказать следукшпя предложешя:
Каждой окружности малаго круга на сфере въ полярной
фигуре всегда огвечаеть другая окружность, плоскость кото-
которой параллельна первоначальной.
Сферическ1е рад1усы двухъ взаимно- полярныхъ окружно-
окружностей дополняютъ другъ друга до гг/2.
13. Особеннаго внимашя заслуживаютъ фигуры, которьщ ограничены
дугами большихъ круговъ, такъ называемые сферическ1е много-
многоугольники.
Легко видеть, что вершинам ь сферическаго многоугольника въ по-
полярной фигуре отвечаютъ ихъ поляры, сторонамъ же ихъ полюсы. Въ
виду этого п. 8 приводить къ следующему важному предложение
Стороны сферическаго многоугольника равны угламъ по-
лярнаго многоугольника, а углы многоугольника равны сторо-
сторонамъ полярнаго многоугольника.
Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ новаго рода двой-
двойственной зависимости между сторонами и углами многоуголь-
многоугольника; эта зависимость отличается отъ начала двойственности,

§ 39 62
съ которымъ мы познакомились въ планиметрш, своимъ метри-
ческимъ характеромъ; каждой метрической зависимости между
сторонами и углами сферическаго многоугольника всегда отвт,-
чаетъ другая, въ которой стороны и углы замещаются другъ
другом ь.
Впредь мы будемъ для краткости говорить о двухъ взаимно-поляр-
ныхъ фигурахъ или формулахъ, что онт, получаются одна изъ другой
посредствомъ „полярнаго преобразован1я".
14. Для насъ важную роль будетъ играть, главнымъ образомъ, по-
полярное преобразован1е треугольника. Изъ двухъ взаимно полярныхъ
треугольниковь каждый называется относительно другого его полярным ь
треугольникомъ. Стороны и углы двухъ такихъ треугольниковъ ABC и
А'В'С связаны зависимостями:
а = а', а а',
с у', у = с'.
Изъ п. 12 легко вывести предложеше:
Окружность, описанная около сферическаго треугольника
(вписанная въ сферически треугольникъ), переходитъ при по-
лярномъ преобразовали въ окружность, вписанную въ поляр-
полярный треугольникъ (описанную около полярнаго треугольника).
Сферическ1е рад1усы обЪихъ окружностей дополняютъ другъ
друга до л/2.
15. Если мы представимъ себЪ стереографическую проекщю окруж-
окружности большого круга, то, согласно п. 2 и въ виду § 37, 4 и 5, можно
найти проекщи его полюсовъ, если построить двЪ вспомогательныя
окружности, каждая изъ которыхъ дътштъ пополамъ экваторъ и пересЬ-
каетъ данную окружность ортогонально; точки ихъ пересЬчешя и будутъ
искомыми проекциями. За одну изъ этихъ вспомогательныхъ окружностей
лучше всего принять прямую, соединяющую центръ экватора съ центромъ
данной окружности, а центръ второй вспомогательной окружности удоб-
н-fee всего взять на этой прямой.
Такимъ образомъ, по стереографической проекцш сферическаго тре-
треугольника можно найти стереографическую проекщю полярнаго треуголь-
треугольника. Такъ какъ, съ другой стороны, углами полярнаго треугольника
служатъ стороны первоначальнаго треуюльника, а стереографическая про-
екщя представляетъ собой конформное преобразоваше, то отсюда сл-Ьдуетъ:
Если сферическ1й треугольникъ заданъ въ стереографи-
стереографической проекцш, то указаннымъ геометрическимъ построетемъ
мы им'Ьемъ возможность найти действительную величину его
сторонъ.

63 § 40
В. Формулы перваго порядка.
§ 40. Введете. Теорема о проекфяхъ.
1. Предыдущая соображения, носивипя преимущественно топографи-
ческШ характеръ, принадлежали сферической геометр^; обращаясь
теперь къ вычислешямъ, мы вступаемъ, такимъ образомъ, вь область
собственно сферической тригонометрш.
2. Изъ каждой тригонометрической формулы можно получить даль-
нъйиля формулы циклическимъ перемЪщеюемъ и полярнымъ пре-
образоваюемъ.
Циклическое перемт,щен1е заключается въ томъ, что мы замЪ-
щаемъ каждую изъ сторонъ а, I), с слЬдующей и въ то же время каждый
изъ угловъ а, р, у слЬдующимъ, а послЪднШ элементъ первымъ. Изъ каждой
формулы сферической тригонометрш мы можемъ обыкновенно цикличе-
циклическимъ перемЪщешемъ получить двЪ друпя формулы. Однако, иногда эти
три формулы сливаются въ одну.
Путемъ полярнаго преобразовашя (§ 39, 14) мы изъ каждой фор-
формулы сферической тригонометрш получаемъ новую формулу, вь которой
стороны замощены соответствующими углами, и обратно; иногда пре-
преобразованная такимъ образомъ формула совпадаетъ съ первоначальной.
3. Основной теоремой сферической тригонометрш является такъ
называемая теорема косинусовъ на сферъ и именно потому, что изъ
нея можно вывести всъ формулы сферической тригонометрш (за исклю-
чешемъ знака при нъкоторыхъ выражежяхъ) безъ геометрическихъ сооб-
раженШ, т. е. чисто гошометрически — фактъ, котораго нельзя не под-
подчеркнуть.
Однако, между формулами, который могутъ быть такимъ образомъ
выведены, обнаруживается глубокое различ1е. Именно, въ то время, какъ
для одной группы этихъ формулъ оказывается достаточнымъ то поште
о сферическомъ треугольник^, которое установлено Мёб1усомъ, мы бу-
демъ вынуждены для другой группы снова еще существенно расширить
это noHHTie.
Сообразно этому мы будемъ различать формулы перваго
порядка, т. е. тЪ, которыя относятся къ треугольникамъ Мё-
6iyca, и формулы второго порядка, т. е. Tt, для которыхъ по-
понятие о сферическомъ треугольник^, установленное Мёб!усомъ,
уже недостаточно.
Первый выведены въ настоящемъ второмъ отдълъ, а вторыя въ
третьемъ отдълъ.
4. Какъ въ плоской тригонометрш теорема косинусовъ предста-
вляетъ рацюнальную зависимость между тремя сторонами и косинусомъ

§ 40 64
одного угла, такь и вь сферической григонометрш теорема косинусовъ
представляетъ собою рацюнальную зависимость между тригонометри-
тригонометрическими функщнми трехь сторонъ и косинусомъ одного угла. Дело сво-
сводится, такимъ образом ь, къ тому, чтобы выразить, скажемъ, cosy рацю-
нально при помощи тригонометрическихъ функщй сторонъ а, I), с.
Въ примЬненш къ треугольнику Эйлера, на первый взглядъ, пред-
представляется наиболее естественнымъ привести эту задачу къ задаче плоской
тригонометрш следующимъ образомъ. Въ точке С проведем ь касательныя
къ сторонамъ а и Ь, которыя перес^кутъ прямыя О А и ОБ, скажемъ,
въ точкахъ А и В. Такимъ образомъ мы получимъ тетраэдръ ОСА В, въ
которомъ плоскими углами служатъ стороны а, Ь, с, АС В есть у, ребро
ОС равно г; отсюда уже легко получить искомую зависимость.
5. Эгимъ путемъ действительно шель Эйлеръ вь указанномъ
выше сочиненш. Но легко убедиться, что этотъ выводъ остается въ силт
только для Эйлеровыхъ треугольниковъ. Чтобы показать, что полученныя
формулы сохраняютъ силу и для треугольниковъ Me6iyca, необходимо
особое и притом ь пространное дополнительное доказательство.
Поэтому мы предпочитаем ь такое доказательство, которое непо-
непосредственно применяется во всей своей общности къ треугольникам ь
Ma6iyca x).
Третей выводъ, правда, применимый опять-таки только къ тре-
угольникамъ Эйлера, мы получимь ниже попутно, какъ результагь,
проистекающей изъ формулъ прямоугольнаго треугольника (§ 54, 2).
6. Прежде всего мы приведемъ здесь несколько вспомогательных ь
нредложешй, при чемь мы будем ь придерживаться соглашежй, устано-
вленныхъ въ § 38, 8.
a) Пусть I и gt будут ь двк прямыя, которымъ присвоены положи-
положительный направлен!я; если ЛАУ = \\ есть отрЬзокь на прямой gx, ro
подь проекцией отрезка 5, на прямую / мы будемь разуметь по ве-
величине и знаку произведете (§ 34, 3)
Pi -Sicos(lgt).
b) Если мы опустимъ изь точекь А и А, перпендикуляры на
прямую /, которые встретять последнюю въ точках ь А' и At', то простью
геометричесшя соображешя обнаруживаютъ:
Проекп.1Я отрЬзка ААг на прямую / по величине и знаку
равна отрезку А/А' *)'¦
Pi =-V -i'^i'-
*) Moebius, Ober eint neue Behandlungsweise der analytischen Sphiirik. Oes.
Werke, II, p. 22 ff.
*) Определяя знакъ отрезка А'Л/, нужно сообразоваться съ положитель-
положительным ь направлешемъ оси /.

65
§ 40
c) Если AAiA.l . . . An есть ломанная, состоящая изъ отрЪзковъ
j> • • -I Sn, т° ея проекщя р равна проекцш s' отрЪзка s = АА„-
Въ самомъ дЬлЪ, по § 38, 8,
р = 5, cos(Z^j) + s2 cos(lg2) + ...+$„ cos(lgn)
= A'At' + A'A^ + ... + A'H-tAa' = A'A,; s'.
d) Если А совпадаетъ съ А„, то отсюда вытекаетъ (фиг. ,Ч'2):
Фиг. 32.
Фиг. 33.
Теорема о проекциях ь. Мроеюпя каждой замкнутой ломан-
ломанной лин1и равна нулю: 2s,..cos(Ig,,) 0.
е) Вь частности, для плоскаго треугольника StS2S3 (фиг. 33):
у, cos (/s,J -\- s2cos(Is2) + s3cos(ls3) = 0.
Но по теорем^ сииусовъ плоской геометрш
Поэтому последняя формула принимаетъ для плоскаго треугольника видъ:
sin (s2s3) cos (lst) + sin E3i,) cos (ls2) + sin (s,.^) cos (/53) = 0.
§ 41. Теорема косинусовъ на сфер-fe.
1. Положимь, что треугольнику Me6iyca общаго вида ABC отне-
сенъ, вь смысл-h соглашешй и обозначен1й § 38, 8, трехгранный уголъ.
Отъ точки С*) на сторонахъ а и b мы отложимъ въ положительномъ
направлеши квадранты СМ и C.V и черезъ точки j\/ и ЖУ проведемъ
новую окружность большого круга, направлеше которой выберемъ
*) Ср. фиг. 28.
Веберъ, Энциклои. элемент, гиометрпт.

§ 41 66
такимъ образомъ, чтобы точка С была ея положительнымъ полюсомъ.
Тогда, согласно § 39, 5:
Положимъ, далъе, ОМ = г,„ и ON = г„ и установимъ на этихъ
лучахъ положительное направлеше, какъ на лучахъ г„, Гь, гс-
Теперь, во-первыхъ, въ некоторой плоскости, параллельной пло-
плоскости большого круга ВСМ, мы проведемъ прямыя, параллельныя пря-
мымъ Гь, Тс, Т-т такъ, чтобы онъ составили треугольникъ. Если мы
отождествимъ этотъ треугольникъ съ треугольникомъ SiS2S3 предыду-
предыдущего параграфа, а прямую / съ га, то:
ЗТ
= (гсг,„) = СМ = у.
= MB = МС + С В (h2) = (ГаП) = АС = - Ь,
= (rarm) = AM.
О)
Во-вторыхъ, въ некоторой плоскости, параллельной плоскости
большого круга CAN, мы проведемъ три прямыя, параллельныя пря-
мымъ гс, г , г„, опять такимъ образомъ, чтобы он"Ь образовали тре-
треугольникъ; если мы отождествимъ его съ треугольникомъ SiStSs, а пря-
прямую /съ г,„, то:
ОТ
(hh) = (гагя) = AN = AC + CN (lst) = (г,„гг) = МС = 2 ,
2 B)
ЗТ
(hh) = (r»rc) = -VC = — у > С5?) = (п»г„) = МА,
(hSi) = (rera) = С A =b, (ls3) = {г„,г„) = MN = у.
Вставляя теперь выражемя A) и B) въ гюслъднее равенство § 40-го,
мы получимъ уравнешя:
cosr — cosa cosb + sinfl cos AM = О,
— cos MA + sin b cosy = 0;
принимая же во внимаше, что cos AM = cos М-1, мы получимъ соотно-
шен1е, справедливое для всякаго треугольника Me6iyca:
cose = cosa cosb — sinfl sinfc cosy.

67 § 41
При помощи циклическихъ перемъщетй, мы получаемъ отсюда еще два
соотношетя, которыя совместно съ первымъ образуютъ
первую теорему косинусовъ на сферъ:
cosd =cosfccosc — sin b sin e cos a,
cosb = cose cosa — sine sin a cos]3, (I)
cose = cosacosfc — sina sinb cosy.
2. Полярнымъ преобразовашемъ мы отсюда получаемъ
вторую теорему косинусовъ не сферъ:
cosa = cosp cosy sin/3 siny cosfl,
cos/3 = cosy cosa siny sina cost,
cosy = cosacos/3 sin a sin/3 cose.
Но принцитальное значеше имъетъ тотъ фактъ, что (см. § 40, 3)
формулы (Г) могутъ быть выведены изъ формулъ (I) чисто гонюметри-
чески, какъ это и будетъ сдълано въ § 42. Это даетъ, такимъ обра-
зомъ, чисто аналитическое доказательство существования „полярнаго тре-
треугольника" для каждаго даннаго треугольника, т. е. такого треугольника,
въ которомъ сторонами служатъ углы даннаго треугольника, а углами
его стороны 5).
§ 42. Теорема синусовъ на сфер"Ь и синусъ Штаудта.
1. Первое изъ соотношемй (I) кожно представить въ видъ:
cosfccose - cosfl
cosa =
sin/; sine
Возвышая объ части этого равенства въ квадратъ, замъняя въ чи-
слителъ квадраты синусовъ квадратами косинусовъ посредствомь соотно-
шешя sin'jt = 1 - cos2jc и полагая:
D2 = 1 — cos2a — cos2b - cos2e + 2cosa cosb cose, A)
мы получимъ непосредственно и при помощи циклическихъ перем-вщешй
соотношен4я:
"' = - -т —- -5~ , S'n2)' = -^-» ~в С ¦
siirosm'c sin2esm'ia
*) Зам4тимъ, что этотъ выводъ можно было бы считать безупречнымъ лишь
въ томъ случаъ, если было бы доказано, что всякШ разъ, какъ даны шесть элемен-
товъ а, Ъ, с, а, #, у, связанные соотношетемъ (I), можно построить сферическШ тре-
угольникъ со сторонами а, Ъ, с и углами а, Р, у, — т. е. если бы была доказана
теорема, обратная первой теоремъ косинусовъ.
в*

§ 42 68 _
Отсюда мы получаемъ соотношеше:
sin2/; sin2с sin2a = sin2csin2fl sin2/? = sin2fl sin2/; sin2y = D2. B)
При помощи полярнаго преобразоватя мы получаемъ изъ соотно-
шенШ (_1) и B) два другихъ:
Л2 = 1 - cos2а — cos2/3—cos2y -|~ 2cosa cos/3 cosy; (I')
sin2/3sin'2ysin2rt = sin2y sin2asin2/; = sin2asin2/?sin2e = A1. B')
По таблицт,, приведенной на стр. 53, три произведешя sin b sin с sin о
sinesinfl sinp, sina sin/>siny, сь одной стороны, и sinjSsinysinrt, sinysinasin/?,
sinasinpsinr, съ другой стороны, имЪютъ одинаковые знаки. Въ виду
соотношешй [2) и B') мы можемъ поэтому нолЬжить:
1) — sin/; sin r sin a = sin г sin rt sinp = sinfl sin/) siny,
A siiijj siny sinrt — siny sinasin/) — sinrt sin^9 sinr,
чЬмъ опред-Ьляюгся также знаки выражеши /) и 1.
Отсюда мы получаемъ:
D'1 = sin2a sin/; sinr sin/3 siny,
D Л = siiirt sin/)sin<-sinosin/3siny,
sine
и
далЪе:
D
Л
sin a
sin a'
а
также
sin/?
sin?
siny
Такимъ образомь, мы приходимъ ко второму основному пред-
ложешю сферической тригонометрш, къ теорем^ синусовъ на
сфер Ь:
sina sinb sine _ D
sina sin/3 siny A '
D — sinb sine sina = sine sina sin/S = sinfl sinb siny,
Л — sin|5 siny sina = siny sina sinb = sina sin/3 sine.
2. Аналопя между этимъ предложешемъ и теоремой синусовъ въ
плоской геометрш совершенно ясна; вместо фигурирующаго тамъ д1аметра
описанной окружности (§ 28, 3) здЪсь появляется отношен1е D/A.
ЗдЪсь естественно также возникаетъ вопросъ о геометрической
интерпретации этой дроби; такую интерпретацию дМствительно далъ
Штаудтъ (v. Staudt), который назвалъ выражен!я D и А „синусами
вершинъ".
Въ самомъ дт^лт,, положимъ сначала, что мы имЪемъ Эйлеровъ
треугольникъ. Вычислим ь объемъ тетраэдра О ABC, соотв-Ьтствующаго

69
§ 42
этому треугольнику (§ 38, 10); площадь треугольника ОАВ по вели-
величинъ и по знаку равна
ОАВ = ±ОЛ- OB • sine = Ч2г*sine.
Высота определяется при помощи фигуры 34:
(Л;эт (л а) = г sin/) sina.
Поэтому объемъ равень
У = .ir3 sin/; sinr sina,
или
ГЗ)
Фиг. 84.
Для треугольника Me6iyca
общаго вида остается еще невы- q
яснеппымъ, даетъ ли формула C)
правильно знакъ объема. Но, если
мы сопоставим ь знакъ выражешя
/) вь формулахъ (II) въ разлнч-
ныхъ случаяхъ, сведенныхъ въ
таблнцъ на стр. 53, со знакомь,
принадлежащимъ вь соогвътствующемъ случаъ объему тетраэдра, какъ
это слъдуетъ изъ соглашен1я § 38, 9 и 10, то мы найдемъ:
Формула C) всегда правильно выражаетъ объемъ тетра-
тетраэдра, сопряженнаго съ треугольникомъ M66iyca, по величинъ
и по знаку.
Для объема сопряженнаго полярнаго тетраэдра мы получаемы
6У=г!Д
C')
ВмъстЬ съ тъмъ ми приходимъ къ следующему предложен1ю:
Фигурирующее въ теорем^ синусовь OTnoiueHie D-Л по
величинъ и по знаку равно отношент объемовъ сопряженнаго съ
треугольникомъ тетраэдра и сопряженнаго полярнаго тетраэдра.
3. Мы удълимъ мъсто еще одному замечательному преобразовашю
выражен!й D и Л, принадлежащему Стюди *).
*) Study, „Sjjharischc Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische
b'tinktionen". Leipzig, 1893. Это сочииешс должно быть признано основнымъ по
севременной трцгономстр!и. Въ настояшемъ изложеши введен)ю въ систему Стюди
посвященъ отдълъ С.

§ 42 70
Мы положимъ
2s0 = 2л
2.9, =
2 s, =
2 s, =
, какъ
-(а
а
+ а
+ а
+
+
-
+
это
д^лаетъ Стюди
he),
Ь + с,
ь-
ь-
he,
- с,
20О = 2яг
26, =
2а2 =
2О3 =
-(а +
а +
+ а-
+ а +
/з +
/з +
/з-
У)
У,
У,
Тогда уравнеше A) даетъ:
D2 = 1 — cos2 a — cos2b - cos2 e + 2cosa cosfccosc
= A - - cos2a) A cos2/7) - cos2a cos2b cos2e + 2cosfl cosb cose
= sin2a sin^b — cos2rt cos2fc - cos8c + cose • 2cosa cos/7
= — cos(a + /;) cos(a - b) cos2c + cose [cos(a - b) + cos(a + b)]
= [ - cos(a + b) + cose] • [cos(a — /7) cose]
. . a -\-b + с . a + fc с.й + г b . с + b — a
= 4 sin—— -1— sin sin — - sin •
•Z 2 2 2
Пользуясь же обозначежемь D), мы найдемъ:
D2 = 4sin50sins, sin5
3,
Аг = 4sin60 sin a,sin б.гsin63.
4. Намъ остается еще привести доказательство, о коюромъ была
р*чь вь § 41,2, что вторая теорема косинусовъ (Г) можетъ быть выве-
выведена изъ первой (I) безъ помощи полярныхъ треугольниковъ. Съ этою
ц.'Ьлыо замтугимъ прежде всего, что и теорема синусовъ получается непо-
непосредственно изъ формулъ B), которыя получены безъ помощи соогно-
шежй (Г). Изъ соотношешй же B) и A) мы получаемъ:
sin2fcsin2csin2a = (cost cose cos a) cos a
+ 1 — cos2fc - cos2c+ cosacosfceose.
Умножая же это на соэй, мы получаемъ:
cos a sin2/; sin2 с sin2 a = (cos/? cose -cosajsin*fl
+ (cosacose cosb) (cosa cosb cose).
Примъняя, наконецъ, соотношен!я (I), мы находимъ:
¦ 7 - sin2a , о
cos a sin /7 sine —— = cosa + cosfi cosy,
31Пгй r
откуда при помощи теоремы сииусовъуже непосредственно получается фор-
формула (Г), а остальныя выводятся изъ нея путем ь циклическихъ перемЪщешй.

71
§ 43
§ 43. ДальнЪйиня формулы перваго порядка. — ПримЪнеше
ихъ къ прямоугольному треугольнику.
1. Выведемь теперь рядъ формулъ, которыя отчасти интересны
сами по себЪ, частью же найдутъ примЪнеше въ отдъ\лъ D.
Согласно теоремЪ косинусовъ:
cosb cose cosй + sine sina cos/3 = 0
и
cosa = cosb cose - sin/; sine cos a.
Подставляя въ первое уравнеше вместо cos а последнее выражеше, мы
получимъ:
cos/;(l — cos2c) + sin/; sine cosr cos a 4- sine sina cos/3 = 0,
или
cos/; sine + sin/; cose cosu 4- sina cos/3 = 0.
Мы получаемъ, такимъ образомъ, первую систему формулъ:
sinflcos/34- cos/; sine + sin/; cose costs = 0,
sina cosy + cose sin/; 4- sine cosb cosa = 0;
sin/; cosy 4- cose sina 4- sine cosa cos/3 = 0,
sin/; costs 4- cosasinc 4- sind cose cosp = 0;
sine cosa 4- cosa sin/; + sina cos/; cosy = 0,
sine cos/3 4- cosb sin a 4- sin/; cosa cosy = 0.
Отсюда полярнымъ преобразовашемъ получаемъ непосредственно
вторую систему:
sina cos b 4" cos/3 siny 4- sin/? cosy cosa = 0,
sin a cose 4- cosy sin/3 4- smycospcosa = 0;
sin/3 cose 4- cosysina + sin у cos a cos/; = 0,
sin/3 cosa 4" cosa siny 4- sina cosy cos/; = 0;
sinycostf 4" cosa sin/3 4- sina cos/3 cose = 0,
siny cosb 4- cos/3 sina 4" sin/3 cosa cose = 0.
Если подставимъ въ первое изъ уравнешй A), согласно теоремъ сину-
совъ, sina = sin/; ¦ sina sin/3 и раздълимъ полученный результатъ на sin/;,
затЪмъ произведемъ такое же преобразоваше надъ остальными уравнешями
A), то мы получимъ:
sinacotg/? 4- cotg/;sinc 4- cose cosa = 0,
sinacotgy 4- cotgesin/; 4- cos/;cosa = 0;
sin/3 cotgy 4- cotgesina 4- cosa cos// = 0,
sin/3 cotga 4- cotgasinc 4- cose cos/? = 0;
sinycotga + cotgtf sin/; 4- cosb cosy = 0,
siny cotg/? 4- cotgb sin a 4~ cosa cosy = 0.
A')
B)

§ 43 72
Къ этому полярныя формулы:
cotg/; + cotgj5 siny -f- cosycosa = 0,
sirwj cotgc + cotg'/sin/3 4- cos/3costf = 0;
sin/; cotg r -f- cotgysinri -\- cos a cos/; =0,
sin/; cotgfl 4- cotgn siny -\- cosy cos/; =0;
sinr cotgrt + cotgasinp -f- cos/3cose = 0,
sinr cotg/; -+- cotg,3 sinri + cos a cose = 0.
2. Если третьи уравнешя системъ (I) и (Г) умножимъ соотвът-
ственно на cosy и cose, полученный два выражежя для произведешя
cosy cose приравняемъ другъ другу и воспользуемся соотношешемъ
cos2л" = 1 — sin2.г, то мы получимъ:
cos a cos/; cosy — sin a sin/? 4- sin a sin/; sin2 у
= = cos a cos/? cose sinasin/9 4- sin«sin/?sin2c.
Но съ об'Ьихь сторонъ этого равенства послЪдше члены равны,
ибо вь силу cooiHoineHiil (II)
sin a sin/; ¦ sin- у /> J2
sin a sin /i ¦ sin-с Л2 1Уг '
такимъ образомъ, мм получаемь систему формулъ:
cosrtcos/;cosy sinasin/; = cosacos/?cose sinnsinjS, |
cos /; cos с cos a — sin/; sine == cos ]S cos у cos a - sin/?siny, } C)
cos с cos a cos /3 — sin с sin a = cos у cos a cosb -sinysina. J
Эти формулы замечательны гЬмъ, что онЪ полярны самимъ себЪ;
если обозначимъ поэтому черезъ а', Ь', с', «', /?', у' стороны и углы по-
лярнаго треугольника, то мы будемъ имЪть:
cosfl' cos/7' cosy' sin a' sin/;' = cos a cos/; cosy — sin a sin/;, D)
cosa'cos/?'cose' sin a' sin /?' = cos и cos ft cos с - sin a sin ji. E)
Это обыкновенно выражають такъ: правыя и лЪвыя части уравне-
нiй C), взятыя сами по ce6t, представляютъ собой инвар!анты
при переход^ отъ треугольника къ его полярному треугольнику.
3. Неперовы аналопи. Для вывода следующей системы формулъ
мы воспользуемся формулами Деламбра, которыя, въ свою очередь,
будутъ выведены только вь следующемь отдт,л1, (§ 45, III); но вь то
время, какъ нослФ,дн1я, какъ мы увидим ь, нредставляютъ собой формулы

73 § 43
второго порядка, изъ нихъ путем ь дълешя могутъ быть выведены фор-
формулы перваго порядка. Это такъ называемый Неперовы *) аналопи
(ср. § 45, 5):
. Ъ—с . P-Y . Р У . Ъ с
^ S1" * ™
а й 2 2
F)
]S- -у А /З+у 6-c
! cos
. я /3+y' , a b + c'
tg 2 cos^- tg 2 cos^
Осгальныя восемь Неперовыхъ аналог!й получаются изъ этихъ путемъ
циклическихъ перемъщен{й.
Дв-fe рядомъ стоящш формулы переходятъ одна въ другую полярнымъ
преобразован1емъ.
Двъ формулы, стояния одна подъ другой, получаются также одна
изь другой при помощи подстановки П3, о которой будетъ pt4b ниже —
въ § 48.
Изъ одной Неперевой формулы могутъ быть получены всъ
остальныя путемъ полярнаго преобразовашя, подстановки Е3 и
циклическаго перемъщен1я.
4. Теорема тангенсовъ получается изъ двухъ стоящихъ одна подъ
другой Неперовыхъ аналопй путемъ д-Ьлешя:
G)
5. Стюди **) далъ Неперовымъ аналог1ямъ замечательную форму,
которую мы и выведемъ здъсь несколько инымъ путемъ. Если мы при-
мънимъ къ третьей изъ формулъ F) теорему сложешя тангенсовъ и ко-
синусовъ и вмъсто тангенсовъ введемъ котангенсы, то мы получимъ:
cotg 2 +cotg-|- a cos I- cos | + sin g-sin-^
t i
tg
tg
b
b
2
+
9
с
с
tg
tg
P
/3
2
4-
9,
У
Y
cotg ~~2~=
i Г ь 7сcotg 2i у р
1 - cotg 2 cotg -2 cos -L cos -| - sin -L sin
*) John Neper или Napier, Baron von Merchistnn, шотландецъ, жилъ 1550 —
1617 г. г.
**) 1. с, р. 136. Обыкновенный непосредственный выводъ Неперовыхъ
ачалопй (какъ, напримЪръ, у Эйлера) оставляеть невыисненнымъ вопросъ о
знак-fe.

§ 43
74
Замещая правую сторону лъвой, мы отсюда легко выведемъ:
cotg
Ь..с.а
-2 +cotg 2 cotg -
cotg—cotg- +
cotg -| cotg 2 - 1 1 - cotg -^ cotg 2
Почленнымъ сложешемъ и вычиташемъ мы получимъ:
cotg— cotg— =
1 - cotg- cotg — 4- cotg 2 cotg - 4- cotg — cotg —
ii * b . с . , с , а . , a b
- 1 4- cotg 2 cotg — 4- cotg — cotg 2 + cotg - cotg —
Если положимъ, какъ это д'Ьлаетъ Стюди:
cotg^ = h, cotg 2 = k>
cotg ~ = A,, cotg | = Ajj, cotg -| = Я3,
то мы отсюда получимъ, пользуясь также циклическимъ перемъщешемъ
и полярнымъ преобразовашемь, систему уравнен1й:
kU =
3Я, 4-
~\- Я2Я3 4" Я3Я, 4- Я,Я2'
4- Я3Л, 4" Я^з 4- Я2Я3
4- Я, Я2 4- ^-2^3 4- А3А,
(8)
(8')
6- Изъ соотношенШ (8) и (8') Стюди выводить интересное пред-
ложен1е:
„Четыре дроби
1 i 'г'з ^ 'г'з
3 1 ~1 1 2 2 S
'з'| "Г" М^2 'ji'l '1'2
1 4" ^-i^-3 ^3^1 ~ ^1^-2

75
§ 43
равно какъ и восемь другихъ, которыя могутъ быть изъ нихъ
получены путемъ циклическихъ перемъщешй индексов-ъ 1, 2, 3,
имъютъ всъ одно и то же значеше.
7. Случай прямоугольнаго треугольника. Мы примънимъ теперь
теоремы синусовъ и косинусовъ на сферъ къ прямоугольному тре-
треугольнику.
Если мы положимъ у = яг/2 (фиг. 35), то соотношешя (I), (Г) и (II)
непосредственно даютъ формулы:
cos a =
sin а
cose =
cose =
COSfS
sin /5
sin а
= cos a cos p,
cotgacotgft
, cosfc —
sin/3 - -
cosp
sin a '
i'mb
(9)
A0)
(И)
A2)
sine sine
Изъ соотношенш A1) и A2) при помощи формулы (9) получаемъ:
cosasmb
а потому
cosa =
cosa=
:
sine
coscsini
j . ,
cos» sine
tgc
A31
Наконець, дъля почленно уравне-
Hifl A2) на уравнешя A3) и пользуясь
соотношен1емъ (9), получаемъ:
A4
Формулы A2) A4) по строенш(
своему аналогичны соотвътствующимъ
формуламъ плоскойтригонометр1и; только
вмъсто самыхъ сторонъ а, Ь, С мы здъеь
имъемъ ихъ тригонометрическ1я функщи.
Различ1е въ знакахъ обусловливается нашимъ обозначен!емъ
Формулы (9) A1) не имъютъ аналогичныхъ въ плоской триго-
нометрп!.
8. Формулы прямоугольнаго треугольника въ Эйлеровомь
обозначены получаются изъ тъхъ, которыя приведены здъеь, путемъ
35

§ 43
76
замъщешя угловъ ихъ дополнешями до 180°; такимъ образомъ, мы полу-
чаемъ употребительныя *) въ практикъ формулы для обыкновеннаго
прямоугольнаго треугольника (фиг. 361:
cos с = cos a cos/;, (9*)
cose = cotgocotg]5, A0*)
COSfl =
cos a
sin/? '
cos/? =
cos]5
sinri
sin а =
sine'
. ,, sin/?
sin/j = . -
sine
tg/>
cosa =
t
cos/? = ^
tgfl
gc
A1*1
A2*)
A3*)
A4*)
P. Всъ эти формулы обьединяются въ такъ пазываемомь „правилъ.
Непера", болъе глубоюя основами котораго будутъ выяснены ниже.
Опуская прямые углы, папишемъ ос1аль-
пые пять элементовъ треугольника, за-
мъняя категы ихъ допол {ен!ями до л/2,
вдоль окружности вь томъ порядкЬ, въ
какомъ они слЬдуютъ другъ за другомъ
въ треугольникЬ (фиг. 37). Въ таком ь
случав правило Непера гласить:
1. Косинусъ каждаго элемен-
элемента равенъ произведение котанген-
совъ двухъ смежныхъ элементовъ.
2. Косинусъ каждаго элемен-
элемента равенъ произведение) синусовъ
двухъ несмежныхъ съ нимъ элементовъ.
Примънеже этихъ формулъ къ практическому ръшенпо прямо-
прямоугольнаго сферическаго треугольника см. въ § 52.
Фиг. 37.
С. Основныя формулы второго порядка.
§ 44. Введете.
1. Мы переходимъ теперь кь группамъ формулъ, которыя по самой
внутренней природъ своей существенно отличаются отъ тЪхъ,
которыя мы разсматривали до сихъ пор ь. Въ то время, какъ формулы
*) Ср § 52.

77 § 44
предыдущаго параграфа были въ одинаковой мере справедливы для всккъ
16 типовъ треугольниковъ, мы должны теперь произвести раздЬлеше
этихъ типовъ. Именно, новыя формулы содержать квадратный корень,
вслъдстае чего приходится дълать выборъ между двумя знаками этихъ
формулъ. Оказывается, что определенный выборъ этого знака ха-
рактеризуетъ 8 типовъ изъ числа 16, тогда какъ другой знакъ
соотвътствуетъ остальнымъ 8 типамъ. Наши треугольники те-
теперь распадаются, такимъ образомъ, на два класса, каждому изъ
которыхъ соотвътствуетъ определенный знакъ радикала.
Болъе того, если будемъ искать совокупность всъхъ треуголь-
треугольниковъ, соотвЬтствующихъ определенному знаку, то понят1е о треуголь-
треугольнике, установленное Мёб1усомъ, оказывается уже недостаточными Мы
приходимъ къ новому расширешю iiohhtjh о треугольнике,
именно, мы вынуждены разсматривать тате треугольники, въ которыхъ
стороны и углы, отличаюип'еся другъ оть друга на кратное 2зг, должны
считаться различными.
Въ такомъ случаЬ три точки определяютъ уже не 16 треугольни-
треугольниковъ, какъ у Me6iyca, но безчисленное множество ихъ, которые можно,
однако, наглядно представить при помощи 32 „представителей"; изь
этихъ представителей 16 относятся къ одному классу, а остальные 16 къ
другому. Это раздълеше треугольниковъ на два класса и связанное съ
этимъ обобщеше понятся о треугольнике было ясно уже Гауссу, въ
сочиненш котораго „Theoria motus" въ № 54 имеется такое место:
„Quodsi quidem idea Trianguli sphaerici in maxima generalitate concipitur,
ut nee latera nee anguli ullis limitibus restringantur, casus existere possunt,
ubi in cunctis aequationibus praecedentibus signum mutare oportet" c).
Однако, все значеше этого обобщешя было впервые усмотрено и
разработано Стюди*). Относительно наиболее глубокихъ корней этихь
явленШ у Гаусса, повидимому, неть никакихъ указашй. Они имеютъ
геометрическШ характеръ и находятъ себе выражеше въ „теореме
Стюди" (§ 47).
§ 45. Формулы Деламбра.
1. Для дальнейшаго изложешя основное значеше имеютъ такъ назы-
ваемыя „формулы Деламбра" **). Оне образуютъ систему, состоящую
6) „Если же взять наиболее общее noHHTie о сферическомъ треуголь-
никъ, т. е. не ограничивать ни сторонъ его ни угловъ никакими пределами, то
могутъ быть случаи, когда во всъхъ предыдущихъ формулахъ слъдуетъ перемъ-
нить знакъ".
*) См. выноску на стр. 69.
**; Эти формулы были впервые найдены Деламбромъ (Delambre) въ 1807 г.;
но послъ того онъ были открыты независимо Гауссомъ и Мольвейде, почему
ихъ часто и называютъ именами этихъ математиковъ. Ср. также § 31,6.

§ 45
78
изъ 3 • 4 = 12 формулъ, изъ которыхъ, однако, мы выведемъ только
первыя четыре, остальныя же получимъ циклическими перемтэшешями.
Съ этой цълью мы будемъ следовать совершенно тому же пути,
что и въ плоской тригонометрш (§ 31, 2); именно въ гонюметрическихъ
формулахъ
sin2 -?- =
1 — cos a
COS2 —- =
+ cos о
мы подставимъ вместо cos а его значеше, указанное въ § 42, 1. После
простыхъ преобразовали мы тогда получимъ:
2 Г = "^
sin2 Г =
sin So sin.?,
sin b sin с
sinsoslns,
sin с sin a
COS2 - =
COS - =
sins2sins3
sine sin a
sin* Z = -
sintf s'rnb '
_
sine! sin b
(U
гдъ 5. им1ьетъ то же значен!е, что и въ формулъ D) на стр. 70.
Мы приведемъ здъеь также формулы, полярныя этимъ, такъ какъ здъеь
ихъ естественнъе всего указать, хотя сейчасъ oHt намъ не нужны, а по-
понадобятся только въ отдълъ D:
й sin a0 sin o,
sln ~<S" = —¦—о—: >
2 sin p sin у
b sin oo sin o2
sin у sin a '
sin a0 sin a3
sin a sin/? '
Sln Т =
sin2 -i- =
2 ~
cos2 A =
COS2 -— =
sin/? sin у '
sin o3 sine,
sin у sin a '
sine, sin о„
sin a sin/?
A'J
Изъ соотношешй A) и A') почленнымъ дълен!емъ получаемъ:
a
2
sin50sin5,
. t И Т. Д.,
sins
sin oo sin о,
И Т. Д.
2 sino2sino3
Попутно замтзтимъ, что изъ формулъ A) и A') легко также полу-
получить теорему синусовъ. Действительно, перемножая попарно рядомъ
стояния формулы, мы получимъ:
4sinsosins1 sins2sin.s~3 = sin*fcsin2csin2a
= sin2csin2asin2/3
4sinoosino, sino2sino3 =
= sin2asin2/?sin2c.

79 § 45
ЛЪвыя части этихъ уравнешй представляютъ собой не что иное,
какъ полученный выше — стр. 70 — выражешя E) для D1 и Л'г; въ даль-
нъйшемъ выводъ производится такъ же, какъ и выше.
2. Мы возвращаемся теперь къ выводу формулъ Деламбра. Изъ
соотношешй A) слъ\цуетъ:
• Р У Р ¦ У
sin -= cos — / . , cos -- sin —
?L /l 2 2
- sin — / . „
2 2 = /sin»5,
a ]/ sin2a
in
. а У sin2fl ' a ]/ sin2a
sin 2 sin 2
Покажемъ теперь, что радикалы имъютъ здъсь одновременно оба
положительное или оба отрицательное значеше. Именно, если положимъ:
V\
"?, sins, -. /sin'?, sins,
-r1 = e ^r-1, 1/ -^r1 = e ^—, гдъ Q, Q- =
sm-'a sinfl
то будемъ имъть :
sin2a
Примъняя сюда формулы A), а также соотношешя E) и (II) § 42, мы
получаемъ:
qq' ¦ sins0 sins, sins2sins3 = sin2a sinpsiny sinfcsine
или
, „ sin/;sine . »„ . , . о i -l.
-" i2/?sinsy sm2a = I —.
tb ^ "sin^siny aillf"
такъ что pg' =-[- 1| что и требовалось доказать.
Соотношешя C) принимаютъ теперь видъ:
. Р У Р ¦ У
sin - cos -~ cos -^ sin —
2 2 _ sins, _2 2_ _ sins,
a sin a a sina
Sin -^- Sin -pr-
при чемъ р имъетъ въ обоихъ случаяхъ либо значеше -\- 1, либо — 1.
То же относится и къ слъдующимъ двумъ формуламъ Деламбра,
которыя получаются изъ предыдущихъ путемъ сложешя и вычиташя:
sin
+ У
2
а
cos
со
b
>s-
—
2
У
с
sin —
sin
1 у
2
~2~
. Ь-с
2
sin - -

§ 45
80
Чтобы получить остальныя двъ формулы, мы напишемъ теорему синусовъ
въ форм!,:
sinp + siny s'mb + sinr
sin a sin a
при верхнихъ знакахъ мы тогда, въ виду соотношешй E) и (8) на стр. 18
и 19, получимь:
2
о
sin
COS
sin
sin
2
a
cos -
. a
sm -
cos
я
а при нижнихъ знакахъ будемъ имтлъ:
. Р+у Р У Ъ-с . Ь+с
sin - -~- cos - -¦ cos — sin -=—
? ? ?i ?
sin
a
V,
cos
a
2
cos
a
sin
a

Сравнивая эти результаты съ соотношен1ями D), мы получимь:
cos
COS
2
a
b+c p-у
; — i — cos - „
sin
a
cos ^
cos
sin
2
Я
2 — 2 "" 2 """ 2
Сводя теперь вмъстЪ формулы D), D а), а также rfc, которыя нзь
нихъ получаются путемъ циклическихъ перестановокъ, мы получаемъ
сл%дуюния три
системы формулъ Деламбра:
sin
Р+У
COS-
. а
sin -
— = Q
b-c
2
sin'
— y
b-c
2
b) — — = - у
cos
sin-
COS
cos-
c)
a
cos-
= — o-
a
cos-
с— a
P — y
cos ~^
d) = о
sin
. 6
sin —
я
2
cos-
а
. a
s.nT
(III,)
sin|-
— = Q
cos-
c)
cos—
COS
COS -
2
b
2
+ я
2
Sin
b)
2
sin
С — а
sin -i
5
cos
2
- a
sin
sin-
COS
COS
fc '
d) -¦
= e-
COS
. b
s,n-
(III,)

81
§ 45
а
sin -
а)
sin
cos
a- b
— = о - —
cos
. а - в a — b
sin -- - sin- -
b) - - - =-q Z
. у .с
sin- sin 2
cos-
a
У
cos ^
fl + fc
cos--
°~ с :
cos 2
COS
COS
a —
sin
sin
2
(III.)
(е = -t-1).
3. Эти системы совершенно замкнуты въ себе и путемъ полярнаго
преобразовашя уже не получають дальнЬйишго расширешя; въ самомъ дтэлЬ,
формулы Ь) и с) полярны каждая самой себ'Ь, формулы же а) и d) при
полярномъ преобразонан!и переходятъ одна въ другую.
Въ каждой системЬ формулъ (III,) (/=1, 2, 3) q имЬетъ
одновременно либо значеше +1, либо значен!е — 1. Теперь
поставимъ себЬ вопросы:
1. Когда q им^еть въ каждой системЬ положительное и когда отри-
отрицательное значеше?
2. Какая зависимость существуетъ между значен1ями q въ различ-
ныхъ системахъ (III,)?
Оба вопроса разрешаются совмЬстно *). Мы начнемъ изсл'Ьдоваше
съ частнаго случая, именно, мы спросимъ: KaKie знаки мы должны взять
въ уравнешяхъ Делам бра, напримЬръ, для треугольниковъ типа Т$ ¦
Изъ таблицы, помещенной на стр. 53, мы беремъ сл'Ьдуюшле пределы
для сторонъ и угловъ въ треугольникахъ этого типа:
а
0, лг
л,
b
2л
с
л, 2 л
а
0, л
лг,
р
2л
У
л, 2 л-
Если мы теперь хотимъ определить для этого типа знакъ q въ фор"
мулЬ (III,) (а), то мы должны руководствоваться следующими пределами:
+ У
2
а
~2
л, 2 л
ь
-L- П
+ 2 '
-
2
с
л
~2
а
2
0,
л
*) Другое бол-fee простое изложеше можно найти въ § 50,4. То, которое
дано зд-Ьсь, нЪсколько сложнъе, но зато естественн-fee.
Беберъ. Эндивлоп. эленоят. геометр1и. 6

§ 45 82
Поэтому
В + у
sin —~~- имЬетъ отрицательное значеше,
. а
sin— „ положительное „
Ь-с
cos „ положительное „
а
cos „ положительное „ ;
поэтому здъсь q имЬетъ значеше - 1 и только это одно значеше. Сим-
Символически мы напишемъ теперь, когда ръчь идетъ только о знакъ, эту
формулу Деламбра въ такомъ видъ1:
следовательно, въ нашемъ случае q = - 1.
Но согласно, п. 2, этимъ путемъ уже доказано, что для типа 7^}
во всей систем^ (III]) должны быть взяты нижше знаки. Если бы
мы захотели применить тотъ же пр1емъ для рЬшешя вопроса о знакахъ
въ формуле (Ш2) (а), то это оказалось бы невозможными именно, здЬсь
пределы будуть таме:
у + а 3 с — а Ь
2 2 ~2 ~2
я Зггс зх, si
~2 ' 2 2 ' П ' П ~2'П
Поэтому мы будемъ имЬть знаки:
для sin -— - тотъ или другой,
„ sin ±- положительный,
с а
„ cos —— тотъ или другой,
ь
„ cos отрицательный.
Если мы будемъ здъть называть величину, которая можетъ иметь
какъ одинъ, такъ и другой знакъ, „неопределенной" и будемъ это отме-
отмечать вопросительнымъ знакомъ (?), то формула Деламбра AП2)(а) прини-
маетъ видъ:

83
§ 45
такъ что мы не можемъ сдЬлать заключешя относительно знака д; на-
противъ, формула (Ш2) (Ь) принимаетъ символическую форму
и, следовательно, въ этой формуле опять таки g = — 1. Но такъ какъ
въ одной и той же системЬ, какъ было доказано, q имеетъ всегда одно
и тоже значеше, то во всей системЬ (IIIa) q = — 1. Такимъ же обра-
зомъ можно обнаружить, что и во всей системЬ (Ш3) Q = — 1. Мы
пришли, такимъ образомъ, къ следующему результату. Для треуголь-
никовъ типа 7"^ во всЬхъ формулахъ Деламбра q = — 1. Поль-
Пользуясь т'Ьмъ же пр!емомъ, можно определить знаки для всЬхъ 16 типовъ.
4. Къ той же цЬли быстрЬе и нагляднЬе приводитъ следующая
таблица *), которую легко составить при помощи таблицы, приведенной
на стр. 53; она составляется чисто механически при помощи очень про-
стыхъ соображешй; нужно только заполнить немнопя мЬста указаннымъ
выше способом ъ:
' 00
rm
10
Гт
' 10
' 00
ll
1+
+
+
a
I6
-o
- о
a
= L>
- о
+ 1+ +1
i
+
+
Ш,
b'c
?
?
!±
?.±
с
+
j
+
d
+
d
o +
a
+ =УТ
+ -"S +
+ =?) +
t 0
a, ~ b
- —(Г
be
" I " 1
?
I +
L
h
h
d
II ! ll
± =e
с
= o-
+1+ '+
;i
I
d
,?
a
+ =-
+ =f
a
+
Шз
b с
_i
+
+ 1 +
+
b~
"?
?
??
-
°T 4
= e-
-
d
+ = P +
JL=' +
+
+=t> +
с d
- = о .>
-4- i '
i
E)
Таблицы, соотвЬтствующ1я индексамъ 2 и 3, получаются изъ таблицы
E) путемъ циклическаго перемещешя колоннъ (III,), AПг), (Ш3)-
*) По техническимъ причинамъ всзд^Ь въ этой таблиц^ вместо — д напе-
напечатано Q.
6*

§ 45 §4
Если индексы к, I, т обозначаютъ числа 1, 2, 3 въ некоторой
определенной последовательности, то мы получаемъ формулы, знаки ко-
торыхъ непосредственно определяются таблицей, и формулы, которыя
остаются неопределенными, по схеме:
Типъ
7»
1 йе ш " * -
TW
1 <I • ¦
А, ь = 0, 1
|| Определенный
,. ("М
• „ (Ш/а)
' (Ш»а)
I! (Ш*а)
•| (Ш/Ь)
'1 AП«Ь)
(IH*d)
(Ш/d)
(ПЫ)
(IHtd)
(Ш/с)
(Ш,„ с)
Неопределенный
(Ш*Ь)
(Ш/Ь)
(Ш,„ Ь)
(Ш*Ь)
(Ш/а)
(Ш„,а)
(Ш*с)
AП,с)
(Ш,„с)
(Ш*с)
(lH/d)
(IH,,,d)
F)
Эта схема показываетъ, что для треугольниковъ каждаго типа мы
всегда им'Ьемь вь своем ь распоряжеши для опред'Ьлен1я знака въ соот-
соответствующей системЬ (III,) (г = 1,2,3) двЬ формулы таблицы E), ч*мъ
определяется знакъ всей системы. Два вопроса, поставленные въ п. 3,
получаютъ теперь полное разр^шеше въ вид-Ь следующей теоремы, ко-
которая непосредственно вытекаетъ изъ таблицы E) и формулъ (Ш,):
Теорема: Во всЬхъ формулахъ Деламбра q одновременно
равняется либо +1, либо — 1; р = -f- 1 для типовъ:
'Г(О) -TiO) Г(*) ТИ) .,_. „ „
1 00 i 11 J 01 * 10 (* —J' А d)-
и q = 1 для типовъ:
7Ч<1) Г(*> 7"'*' (к-\
1 10 J 00 J 11 (* —1.
Въ частности во всякомъ Эйлеровомъ треугольнике р = -{-1-
5. Подчеркнемъ еще разъ, что эта теорема им-Ьетъ основное зна-
чен1е. Она обнаруживаете, что нельзя говорить просто о „сферическомъ"
треугольнике; имЬется два вида сферическихъ треугольниковъ, которые
настолько различны, что ихъ элементы связаны существенно различными
системами формулъ *). Въ виду этого глубокаго различ!я становится
ц-Ьлесообразнымъ обозначать треугольники этихъ двухъ кате-
ropifl различными назван1ями. Стюди называетъ сферическ1й
*) Уравнен1я Деламбра при о = +1 и р = —1 представляютъ уже собой
совершенно различныя системы формулъ. Но ниже мы познакомимся еще съ
другими формулами второго порядка, въ которыхъ различ1е между собственными
и несобственными треугольниками выступаетъ еще р^зче; въ нихъ въ случаяхъ
собственныхъ и несобственныхъ треугольниковъ появляются не только различные
знаки, но и различныя функцш (§ 50, (Н) и (IV)).

_85_ § 45
треугольникъ „собственнымъ", если р=+ 1 и „несобственнымъ",
если q = — 1.
Изъ 16 типовъ треугольниковъ Me6iyca восемь, а именно:
Т(°) Т<°> 7"'*> 7"t*)
1 00 J 11 J 01 J 10
представляютъ собой собственные треугольники, а остальные
восемь:
Т<0' Т<*> Tik)
01 J 10 00 J 11
несобственные.
На таблицЬ I (стр. 50) слЬва начерчены собственные типы, справа -
несобственные. На таблиц* E) собственные треугольники отделены отъ
несобственных ь двойными штрихами.
ТЬ формулы, который справедливы какъ для собственныхъ,
такъ и для несобственныхъ треугольниковъ, называются фор-
формулами перваго порядка; тЪ же формулы, который относятся
только къ собственнымъ или только къ несобственнымъ тре-
угольникамъ, называются формулами второго порядка.
На первый взглядъ это опредЬлеше формулъ перваго и второго
порядка отличается отъ того, которое было дано въ п. 3 § 40-го. Но
въ слЪдующемъ параграфЬ мы увидимъ, что введеше собственныхъ и
несобственныхъ треугольниковъ необходимо приводитъ къ развит1ю Мб-
6iycoBa понят о треугольникЬ; оба опред'Ьлешя оказываются поэтому
тождественными.
Замъчательно, что формулы Деламбра при почленномъ дЬленш
даютъ формулы перваго порядка; это—такъ называемый Неперовы
аналог1и, указанный въ § 43.
Гауссъ полагалъ, что формулы Деламбра при вычислешяхъ имЬ-
ютъ преимущество передъ Неперовыми аналопями, Деламбръ же оспа-
ривалъ эту точку зр'Ьшя *). ПослЬ того, что было изложено, формулы
Деламбра, съ теоретической точки зр^шя, несомненно стоять выше;
онЬ обнаруживаютъ существоваше двухъ классовъ треугольниковъ, тогда
какъ аналогш Непера одинаково относятся ко всЬмъ треугольниками
§ 46. Треугольники Гаусса -Стюди.
1. Два треугольника одного и того же индекса, (стр.53), изъ ко-
торыхъ одинъ собственный, а другой несобственный, мы будемъ называть
„противонаправленными". Мы получаемъ треугольникъ противонапра-
противонаправленный треугольнику 7'j^(i = 0,1,2,3), если дадимъ 6 и в другое возможное
*) v. В ran n mii lil, Vorlesungen iibcr Geschichte dcr Tiigoiiometrie, zweitcr
Band, p. 193.

§ 46
86
для него значеше; выражаясь геометрически, если мы либо измЪнимъ на-
правлеше всъхъ трехъ сторонъ треугольника, либо замЬнимъ направлеше
вращешя на сферЪ противоположнымъ—два процесса, которые, согласно
§ 39, 10, взаимно полярны. Выражая то же самое другими словами, можно
сказать, что съ этими процессами связана перемЬна знака коэффищента q.
2. Но это не единственный путь, который приводитъ къ пе-
ремЪн'Ь знака. Если мы увеличимъ одну изъ сторонъ или одинъ изъ
угловъ на 2л, то половина угла нарастетъ при этомъ на п, и мы легко
убеждаемся, что съ этимъ связана перемЬна знака въ формулахъ.
Это заставляетъ насъ считать различными и TaKie треуголь-
треугольники, которые отличаются на величину, кратную 2л. Изъ одного
и того же треугольника Me6iyca мы можемъ, такимъ образомъ, получить,
мЬняя неограниченно стороны и углы, безчисленное множество тре-
треугольниковъ. Треугольники, къ которымъ мы такимъ образомъ приходимъ,
мы будемъ называть треугольниками „Гаусса-Стюди".
Фиг. 38
Въ вычислетяхъ переходъ отъ треугольниковъ Me6iyca къ тре-
угольникамъ Гаусса-Стюди осуществляется тъмъ, что мы въ треуголь-
никЬ Me6iyca замЬняемъ стороны и углы новыми, полагая
а' = а + 2 пал, а' = а + 2vjn
d = с + 2пст, у' =у -f- 2vym
Въ этихъ линейныхъ подстановкахъ п и >' означаютъ цЪлыя числа,
положительныя или отрицательныя, или 0.
Мы обобщимъ понят1е о „типЬ" (стр. 53) такимъ образомъ, что
отнесемъ кь одному и тому же тину треугольники, которые отличаются
одинъ отъ другого только подстановкой вида (9Л).
Геометрически можно составить ce6t ясное представлеше о тре-
угольникЬ Гаусса-Стюди, если мы вообразимъ себъ1 такого рода тре-

87 § 46
угольникъ, который сдътшнъ изъ нитей, а углы между его сторонами на-
натянуты пружинами; нить можетъ обвивить сферу несколько разъ, а пру-
пружина можетъ имЬть несколько оборотовъ. На фигурЬ 38 *) изображены
два треугольника Гаусса-Стюди типа 7'JJJ; первый соотвЬтствуетъ под-
становкъ
а' = а, Ь' = Ъ, с = с, а' =а + 2п, р = Р, у = у,
а второй подстановка
а' = а, Ь' = Ь + 2л, С' = с, a' = a + 2st, ?'= ft у'= у.
3. Kanie же изъ треугольниковъ Гаусса-Стюди будутъ собствен-
собственными и каюе будутъ несобственными? Такъ какъ наращеше одной
стороны или одного угла на 2я измЬняетъ знакъ коэффищента q на
обратный, то мы должны отд-Ьлить подстановки (Ш), въ которыхъ сумма
па-\- nb-\- nc-\-va-\- vs-\- v., выражается четнымъ числомъ, отъ тЪхъ, въ
которыхъ она выражается нечетнымъ числомъ; при подстановкахъ перваго
рода q сохраняетъ свой знакъ, а при подстановкахъ второго ряда —
мЬняетъ его.
Теорема. Подстановки (9Л), для которыхъ выполняется срав-
HeHie
In + Iv E 0 (mod. 2), (91)
обращаютъ собственный треугольникъ въ собственный же, а не-
несобственный въ несобственный же; напротивъ, при наличности
сравнен1я
2п + 2v= I (mod. 2) (91')
собственный треугольникъ переходитъ въ несобственный, и
обратно.
Если мы теперь назовемъ треугольники, принадлежащее къ одному и
тому же типу и отличаюшдеся только подстановкой (9f), „эквивалент-
„эквивалентными", треугольники же, отличаюциеся только подстановкой (9J1), „суще-
„существенно различными", то эквивалентные треугольники всегда будутъ
одновременно собственными или несобственными; изъ двухъ же суще-
существенно различныхъ треугольниковъ одинъ будетъ собственнымъ, другой
несобственнымъ. Последнее предложеше можно теперь выразить слъду-
ющимъ образомъ.
Теорема. Подстановка (9f) обращаетъ всяк1й сферичесюй
треугольникъ въ эквивалентный ему треугольникъ, подстановка
же (91') - въ существенно отличный.
*) Символы, начерченные при этихъ фигурахъ, будутъ пояснены ниже.

§ 46
88
4. Мы можемъ сделать отсюда важный выводъ: то свойство сфе-
рическаго треугольника, что онъ можетъ быть собственным ь или не-
собственнымъ, уже не связано, какъ у Mfi6iyca, съ определенными
типами Т{р( (§ 45, 5); напротивъ, въ каждомъ тип'Ь мы теперь имЬемъ
группу собственныхъ и группу несобственныхъ треугольниковг. Такъ,
на фиг. 38 первый треугольник ь собственный, а второй несобственный,
хотя они оба принадлежать къ типу TJJ,1. Изъ 8 собственныхъ типовь
Me6iyca получается 8 группъ собственныхъ треугольниковъ при помощи
подстановки (Ш) и 8 группъ несобственныхъ треугольниковъ при помощи
подстановки (ЭТ'). То же имЬетъ мЬсто и для 8 несобственныхъ Me6iy-
совыхъ типовъ. Мы получаемъ, такимъ образомъ, 16 группъ
собственныхъ треугольниковъ и 16 группъ несобственныхъ;
первые мы будемъ обозначать символомъ Е^\, вторые — символомъ
[ДО Л=0.1.2. з\ Каждая группа можетъ быть представлена любымъ при-
Ое\б, ? = 0, 1 /
надлежащимъ ей треугольникомъ; всЬ остальные треугольники той же
группы эквивалентны съ этимъ „представителемъ" ея и получаются изъ
него посредствомъ подстановки (91). Въ качествъ такихъ представителей
особенно удобно взять формы, начерченныя на таблицахъ II и III; мы
будемъ называть ихъ „приведенными" треугольниками; целесообраз-
целесообразность такого выбора выяснится ниже.
5. СдЬлаемъ теперь сводку полученныхъ результатовъ.
Треугольники Me6iyca. | Треугольники Гаусса-Стюди.
а) Стороны и углы содер- а) Стороны и углы могутъ из-
изменяться безь всякаго ограничетя;
если они даже сравнимы по модулю
2лг, они все же считаются раз-
различными.
b) Тремъ даннымъ точкамъ
на сферЬ соотвЬтствуетъ безчи-
сленное множество треугольниковъ,
которые распадаются, однако, на
32 группы эквивалентныхъ тре-
треугольниковъ.
c) Изъ этихъ 32 группъ 16
содержатъ эквивалентные собствен-
собственные треугольники, а остальныя 16
содержатъ эквивалентные между
собой несобственные треугольники
каждая группа можетъ быть пред-
представлена однимъ изъ ея треуголь-
треугольниковъ, - напримЬръ, „приведен-
нымъ" треугольникомъ.
жатся между 0 и 2jt; стороны и
углы, сравнимые по модулю, In
считаются тождественными.
Ь) Тремъ даннымъ точкамь
на сферЬ соотвЬтствуютъ 16 раз-
личныхъ треугольниковъ.
с) Изъ нихъ 8 представля-
ютъ собою собственные, а 8 не-
несобственные треугольники.

89 § 46
6. Можетъ показаться, что принадлежащее Гауссу и Стюди обоб-
щеше Me6iycoBa поня™ о треугольникЬ идетъ безъ нужды слишкомъ
далеко. Мы условились считать различными треугольники, отличаюшдеся
по модулю 2яг; но такъ какъ прибавлеше 4я, 8jv . . . не вызываетъ ни-
никакого измЬнешя вь знакахъ, то на первый взглядъ казалось бы доста-
точнымъ ограничиться такого рода обобщежемъ: треугольники, коихъ
стороны (или углы) сравнимы по модулю 4лг, считаются тожде-
тождественными; при этомъ соглашенш можно найти число вс'Ьхъ треуголь-
треугольниковъ, которые получаются изь одного Me6iycoBa треугольника, если
числамъ п и г' дать только значешя 0 и 1; но тогда мы получаемъ
26 = 64 треугольника; а такъ какъ три точки опредЪляютъ 16 треуголь-
треугольниковъ Mc6iyca, то, съ этой точки зрЬшя, мы должны были бы сказать:
Три точки на сферЬ опредЬляютъ 16 • 64 = 1024 различ-
ныхъ треугольниковъ, половина которыхъ суть собственные
треугольники, а остальные несобственные.
Поскольку рЬчь идетъ только о формулахъ Деламбра, этого
обобщежя было бы уже достаточно. Если мы, однако, предпочли сразу
стать на бол1ье общую точку зрЪшя, то мы руководствовались при этомъ
двоякаго рода соображешями.
Подобно тому, какъ формулы Деламбра содержатъ половинные
углы, можно было бы также вывести формулы, которыя содержатъ третьи,
четвертыя, . . ., А'-ыя части угла; и это всегда приводило бы къ необхо-
необходимости ввести новое поня™ о треугольникЬ; мы должны были бы тогда
считать тождественными треугольники, сравнимые соответственно по
модулямъ блг, 8л, .; 2кл;.
Съ этой точки зрЬн1я мы получили бы цЬлую cepiio поняли о
треугольникЬ въ зависимости отъ того, что мы последовательно
признавали бы тождественными треугольники, сравнимые по
mod 2лг, mod 4jt, mod блг, . . ., mod 2kn *).
Совокупность всЬхъ треугольниковъ расчленяется, такимъ образомъ,
на треугольники 1-ой, 2-ой, 3-ей, . . ., /г-ой „ступени". Три точки опре-
опредЬляютъ 16 • /гв треугольниковъ /г-ой ступени.
Такимъ образомъ, noHHTie о треугольникЬ Гаусса-Стюди им"Ьеть
то преимущество, что оно сразу производитъ всЬ эти обобщешя и охва-
тываетъ вс'Ь мыслимыя формулы.
Гораздо глубже соображешя второго рода; они носятъ геометри-
геометрически характеръ и находятъ себт. выражеше въ „теоремЬ Стюди".
*) Ср. F Klein, „Ubcr die liypcrgeomotrisclie Reilie". Литографированный
лекщ'и. Стр. 312 и дальше.

§ 46
90
Таблица Па.
Приведенные собственны.1 треугольники.
Е

91
§ 46
Таблица lib.
Приведенные собственные треугольники.
ю

§ 46
92
Таблица Ilia.
Приведенные несобственные треугольники.

93
Таблица ШЬ.
Приведенные несобственные треугольники.
и,
01
If-0

§ 47 94_
§ 47. Теорема Стюди.
1. Если мы назовемъ совокупность всЬхъ треугольниковъ, которые
могутъ быть получены изъ какого-либо одного треугольника посредствомъ
непрерывной деформацш на сфере (т. е. передвижешемъ по сфере,
растяжешемъ или расширешемъ) „континуумомъ", то будетъ иметь мъхто
следующая теорема:
Теорема Стюди. Совокупность всЬхъ собственныхъ тре-
треугольниковъ и совокупность всЬхъ несобственныхъ образуютъ
каждая въ отдельности континуумъ.
Напротивъ, непрерывный переходъ отъ собственнаго тре-
треугольника къ несобственному невозможенъ *).
2. Это предложеше обнаруживаетъ, что последовательное разд-Ьлеше
треугольниковъ на „ступени", воздвигаетъ совершенно неестественную
грань между треугольниками, объединенными важнымъ свойствомъ, заклю-
заключающимся въ томъ, что они могутъ непрерывной деформащей переходить
другъ въ друга; отъ любого треугольника, скажемъ, первой ступени,
всегда можно непрерывной деформащей придти къ треугольникамъ любой
другой ступени. Съ этой точки зреюя разд-Ьле^е треугольниковъ
различныхъ ступеней представляется невыполнимыми Напро-
Напротивъ, разделение треугольниковъ на собственные и несобственные пред-
ставляетъ собою естественную грань. Такимъ образомъ, разъ мы вообще
пришли къ необходимости различать углы, отличаюшлеся на кратное 2 л,
то представляется наиболее целесообразнымъ положить въ основу поня-
Tie о треугольникахъ Гаусса-Стюди во всей его общности **). Чтобы
устранить всяюя недоразумешя, заметимъ еще следующее: определеше
формулъ перваго и второго порядка дословно, какъ оно приведено въ
§ 45, 5, остается въ силе также для треугольниковъ Гаусса-Стюди.
Формулы перваго порядка имеютъ точкой отправлешя теоремы
синусовъ и косинусов ь, формулы же второго порядка - уравнения Де-
ламбра ***).
3. Доказательство теоремы Стюди. Прежде всего, что тре-
треугольники Me6iyca одного и того же типа могутъ быть непрерывно
превращены одинъ въ другой, это непосредственно ясно и не нуждается
ни въ какомъ доказательстве. Что касается остального, то обращаясь къ
первой положительной части предложешя, мы и ее докажемъ посте-
постепенно. Именно, мы покажемъ:
*) Доказательство дано ниже, въ п. 3.
**) Мы не хотимъ зтимъ сказать, что при гЬхъ или иныхъ алгебраи-
ческихъ изслЪдовашяхъ не можетъ оказаться ц^лесообразнымь сохранить упо-
мянутыя „ступени".
***) Study, I. с, S. 130.

95
1) что Bcfe эквивалентные треугольники (§ 46, 3) всегда могутъ быть
преобразованы другъ въ друга непрерывной деформащей.
Этимъ путемъ мы можемъ каждый треугольникъ непрерывно пре-
преобразовать въ приведенный (§ 46, 4); намъ останется поэтому только
показать,
2) что 16 приведенныхъ типовъ собственныхъ треугольниковъ, равно
какъ и 16 типовъ несобственныхъ, могутъ быть всегда преобразованы
другъ въ друга.
1) Мы преобразуемъ треугольникъ — что всегда возможно - такимъ
образомъ, чтобы, скажемъ, было л = я: (mod. 2л). На фиг. 39 это показано
для Эйлерова треугольника: намъ нужно только вершину С продвинуть
въ положительномъ направленш стороны а до точки С; треугольникъ
получаетъ тогда форму, изображенную на фиг. 40. Если мы теперь,
Фиг. 39.
Фпг. 40.
сохраняя вершины В и С, заставимъ сторону а сделать к оборотовъ,
то при каждомъ оборогЬ углы /? и у нарастаютъ на 2лг. Наконецъ, мы
возвратимъ точку С въ ея первоначальное положение, при чемъ произве-
произведенное изм-Ьнеше угловъ сохранится; такимъ образомъ, мы непрерывной
деформащей произвели подстановку:
(а Ь
\й Ь
а
а
7 V
- 2 к п) '
аналогично могутъ быть произведены подстановки, которыя получаются
изъ этой циклическимъ перемтзщешемъ.
Будемъ теперь перемещать въ треугольник^ ABC вершину С по
дуг& ВС въ положительномъ направленш: тогда при каждомъ оборогЬ
сторона а возрастаетъ на 2 л, уголъ же а, смотря по установленному на

§ 47
96
сфер-fe направлешю вращешя возрастетъ или уменьшится на 2 л. Такимъ
образомъ, к оборотовъ приводить къ подстановк-fe:
а Ъ
2кл Ь
а
а
2кл
у)'
такимъ же образомъ можно осуществить o6t аналогичный подстановки.
Если мы теперь произведем ь аналогичный преобразовашя полярнаго тре-
треугольника и примемъ во внимаше, что непрерывной деформащи полярнаго
треугольника соотвЬтствуетъ непрерывная же деформащя первоначальнаго
треугольника, то мы уб-Ьдпмся, что мы имЬемъ возможность осуществить
также подстановки, который получаются изъ указанныхъ выше путемъ за-
мЪщешя сторонъ углами и обратно. Но изъ полученныхъ такнмъ образомъ
12 подстановокъ можно составить, какь въ этомь легко убЬдигься, каждую
подстановку E1). Итакъ, эквивалентные треугольники всегда мо-
гутъ быть преобразованы другь въ друга.
2) Доказательство второй части мы вновь раздътшмъ на двт, части,
а) Мы докажемъ, во первыхъ, что собственные приведенные типы,
отличаюииеся только направлением ь сторонъ, а не установленнымъ на сфер-fe
направлешемъ вращешя, могутъ быть непрерывно преобразованы одинь
въ другой. Слъдовагельно, типы, начерченные на таблицъ II въ верхнемъ
ряду, могутъ быть преобразованы другъ въ друга, равно какь и типы,
начерченные вь той же таблиц-fe въ
нижнемъ ряду. То же самое относится
и къ несобственнымъ треугольникамъ,
на таблицЪ III.
Ь) Во вторых ь, мы покажемъ,
что между типами верхняго и пижняго
рядовъ какъ на таблицЪ II, такъ и на
¦ аблнцБ III также возможенъ непре-
непрерывный переходъ. Мы будемъ обо-
обозначать нижже горизонтальные ряды
на нашихъ таблицахъ черезъ а, верх-
Hie черезъ /9.
а) Мы будемъ исходить отъ
приведеннаго треугольника Е$ и со-
совершенно такъ же, какъ выше, при-
дадимъ ему такую форму, чтобы а = л (фиг. 39, 40). ЗагЬмъ, сохраняя
точки В и С, мы повернемъ сторону а на полъ-оборота; при надлежа-
щемъ выборЪ направлешя этого оборота углы /? и у нарастутъ тогда
на л; въ полученномъ такимъ образомъ треугольник-fe проведемъ сто-
сторону а въ направленш, обратномъ прежнему, такъ что она перейдетъ въ
Фиг. 41.

97 § 47
2л—а; наконецъ, возвратимъ вершину С въ ея первоначальное поло-
жеше. Тогда нашъ треугольникъ Ji'fy псрейдетъ въ треугольникъ /:^> со
сторонами и углами 2л - а, Ь, с; а, л-\-ji, зт. + у. Весь этотъ процессъ
мы обозначимъ черезъ Et; точно такъ же черезъ Е2 и Е3 обозначимъ
процессы, которые изъ него получаются циклическимъ замещешемъ.
Каждый процессъ Ек непрерывно преобразовываетъ тре-
треугольникъ Е1^> вь треугольннкъ Е'$ (к = 1, 2, 3) и обратно.
Въ справедливости второй част» этого утверждежя легко убедиться.
Если мы, таким ь образомъ, произведемъ процессъ Е1г надъ тре-
угольникомъ Е$, то мы получимъ треугольникъ Е®*\ если же надъ
послЪднимъ треугольникомъ произведемъ процессъ Е3, то те же сооб-
ражешя, что и выше, обнаружатъ, что мы получимъ треугольникъ Е$.
Стороны и углы этого треугольника будутъ: а, 2л /;, 2я; с, 1st -\- п,
я -\- ji, л -\- у. Нужно заметить, что мы получаемъ собственный типъ
Е\^ благодаря прибавлешю 2л кь углу п. Мы будемъ говорить, что мы
„составили" этоть процессь изъ процессовь Ег и Е3 и будемъ его
обозначагь символически произведешемь Е2ЕЛ. Это та жетерминолопя, ко-
которой мы уже пользовались въ теорш группъ перестановокъ (т. I, § 50).
Если, стало быть, /', к, I означаютъ числа 1, 2, 3 въ любой последователь-
последовательности, то мы можемъ сказать: процессъ Е.Ек непрерывно преобра-
преобразовываетъ треугольникъ Е'$ въ треугольникъ Е&.
Точно такъ же легко усмотреть, что процессъ ЕгЕ2Е3 непрерывно
преобразуетъ треугольникъ Е^ въ треугольникъ Е1$- Стороны
и углы этого треугольника суть: 2л а, 2л Ь, 2л с, 2л-\-а,
2л -\-ji, 2л -\-у; благодаря прибавлен1ю 2л ко всЬмъ угламъ треуголь-
треугольникъ остается собственными
Такимъ образомъ, утвержден1е а) для ряда (а) доказано; но анало-
гичныя разсужден!я можно провести также для ряда (/?) и для соотвФ.т-
ствующихъ рядов ь несобственных ь треугольниковъ.
Теперь становится также яспымъ, почему мы выбрали
„приведенные" треугольники въ томъ видт,, какъ они начер-
начерчены на нагаихъ таблицахъ; выборъ сделань такъ. что тре-
треугольники, помещенные въ одномъ горизонтальномъ ряду,
преобразовываются одинъ вь другой непосредственно однимь
изъ процессовъ Е.
Ъ) Доказательство, что и ряды («) и (/i) непрерывно преобразо-
преобразовываются одинъ въ другой, легко выполняется при помощи полярнаго
преобразовашя. Процессъ E1EiE3 (помимо прибавлешя 2л ко всЪмъ
углам ь, при которомъ треугольникъ остается собственнымъ) мъняетъ
направлен1я всехъ стороиъ. Поэтому, согласно § 39, 10, этотъ процессь
Вобер-ь. Опцнкяоп. элемент, госшотрнг. 7

§ 47 98
для полярнаго треугольника равносиленъ измЪнешю стороны вращешя
на сферъ; при прибавлеши 2л; ко всъмъ тремъ сторонамъ полярнаго
треугольника, онъ также остается собственнымъ. Треугольникъ, кото-
который мы такимъ образомъ получаемъ, еще не приведенный, — но при
помощи подстановки вида (jV) онъ всегда можетъ быть непрерывно пре-
образованъ въ приведенный треугольникъ. Этимъ путемъ осуществленъ
переходъ отъ треугольника (а) къ треугольнику (/9), и мы можемъ сказать:
Процессъ, полярный процессу EXE2ES, непрерывно пре-
образуетъ рядъ (а) въ рядъ (/?).
Этимъ доказана положительная часть теоремы.
4. Обращаясь теперь къ отрицательной части теоремы, замътимъ,
что, въ виду доказанной первой части, намъ достаточно обнаружить су-
ществоваше хотя бы одной только пары сферическихъ треугольниковь,
которые не могутъ быть преобразованы другъ въ друга. Мы разсмотримъ
какой-либо собственный треугольникъ, въ которомъ только sin^a и
cos ^ а не равны нулю, и несобственный треугольникъ, который полу-
получается изъ перваго прибавлетемъ In къ углу п. Если бы таюе треуголь-
треугольники могли быть непрерывно преобразованы одинъ въ другой, то ура-
внетя (IIIj) должны были бы имъть мъхто одновременно какъ для q = 1,
такъ и для о = - 1; но тогда мы получипи бы почленнымъ сложежемь:
sln'+^-O, sin <%>' = (),
cos'_ ^1 = 0> cos' 2 / = 0;
что явно содержитъ противоръ^е.
Такимъ образомъ доказана и отрицательная часть теоремы.
5. Теорема Стюди приводить къ новому опредЪлетю собствен-
ныхъ и несобсгвенныхъ треугольниковъ.
Собственными называются всЬ т-fe треугольники, которые
могутъ быть получены изъ Эйлерова треугольника непрерывной
деформац1ей. ВсЬ остальные называются несобственными.
§ 48. Аналитическая постановка вопроса. Родственные
треугольники. Треугольники Стюди.
1. Процессы Ek(k= Ь 2, 3), которыми мы пользовались въ пре-
дылущемъ параграф^, можно безъ труда выразить аналитически. Какъ
было выяснено на стр. 96 и 97, эти процессы равносильны подстановкамъ:

99
§ 48
Ь с a
Ь с а
у
л-\-
,)¦
р
E-l п
р- — (а b с а
'2 ~ \а 2л Ь с л 4
F =(а b с а р -Л
3 \а b 2л-с л+п л + р у}'
мы будемъ ихъ впредь действительно отождествлять съ этими подстановками.
Нагляднее эти подстановки могутъ быть выражены следующей таблицей,
въ которой новые углы и стороны обозначены черезъ а', //, с', a', [i\ у'.
Ех
а'
2л~
Е% II а
а
а
V
Ъ
2л
ъ
ь
с'
с
с
2л
i
л
с л
II
а'
а
+
+
а
а
л
л
Л
р
4
~-Р
-Р
Л-
л
"I1
i
4
У
-у
-у
Если только к ] I, то каждая изъ подстановокъ /^ преобразовываетъ
любой типъ ряда (а) или (/?) въ слъдуюицй. При k = I каждый треуголь-
никъ преобразовывается въ эквивалентный треугольникъ.
Если мы будемъ обозначать эквивалентность (§ 46, 3) знакомъ ~ ,
а тождественную подстановку (т. I, § 50) черезъ J, то
2 _ (п Ъ С U
' \а Ь с а
Р
такъ что всегда
геометрическое значеше этой формулы, какъ и слъдующихъ, было уже
выяснено. Далт.е мы получаемь:
B)
ад '
а'
а
2^
i
а
2л -
Ъ
Ь
с'
2л-
2л
С
с
II
II
а'
2л+п
л ~\- а
Р
л + [>
2л +1
1 У
л +
в л +
У
V
Е,Е2 ' 2л - а 2л b
с л -\- а л-\- р \2л -\-у
kEt = Elhk, (*,/=!, 2,3;*ф/)
г F F -
1 * 3~
2л-а2л Ъ 2л- с
(а Ь с и Р у\
\-п -Ъ с а Р у)
D)

§ 48
100
2. На стр. 97 мы пользовались далт^е процессомъ, полярнымъ отно-
относительно Е1Е2Е3, чтобы отъ ряда (а) перейти къ ряду (,9). Но наше
основное положеше, что каждой операщи на сферъ соотвътствуетъ
полярная ей операщя, требуетъ, чтобы мы непосредственно ввели про-
процессы, полярные относительно операщи Ек(к = 1, 2, 3). Это чисто фор-
мальнымъ путемъ приводить насъ къ слЪдующимъ формуламъ:
а
л + b л + с 2л: а
Е2 л + а b л + с а ] 2л -
Ез л + а л + Ь с а /?
Ek2~J (k = \, 2, 3)
У
У
2л у
(Е)
Е.Ез
ЕзЕ,
Е,Е2
л + с a i 2л: ^ 2л; у
rt 2л +b л + с 2л а
2 л у
й я-\-Ь ' '2л + с 2л а 2л ,?
E/,El ~ Е/Е/,. (*, /=1,2.3:
Ь с
B-)
С3')
рг=( " Ь с a it у \
tC-t3 \2л+а 2л+Ь 2л + с 2л а 2л J 2л у/
D'
la b с а ,? у \
~ \а b с а - (i - у)
/Кк¦
*, /= 1,
E)
Что въ случай E) имЪетъ мЬсто эквивалентность, а не равенство,
это показывает ь примЪръ:
_ ,, _ (a b с а ,.? у \
tf 2 \д л Ь л + с Зл- a .i л + уГ
, / а Ь с a [i у \.
21 \й Зл: /i л + с л а р я+у)'
эти дв'Ь подстановки отличаются одна отъ другой подстановкой вида (91).
3. Если мы заинтересуемся геометрическимъ значетемъ подстано-
вокъ fA, то окажется, что между треугольниками, которые мы
разсматривали до сихъ поръ, не найдется ни одного, который
соотвътствовалъ бы подстановкЬ Eft. Это ясно геометрически. Вь

101 § 48
самомь дКл-fe, процессъ Elt по существу, производитъ только обра-
щеше направлешя одной лишь стороны а. Полярный процессъ долженъ
изменить наггравлеше вращешя на сфере, но только для одного лишь
угла ы; иными словами, уголъ а заменяется черезъ 2л—а, углы
же (i и у остаются безъ измЪнешя. Это измЪнеше получится, если мы
замЬнимъ точку А д1аметрально противоположной точкой А' (§ 38, 5).
Подстановка Ei преобразовывает^ следовательно, треугольникъ ABC
въ такой треугольникъ А'ВС, одна
изъ вершинъ котораго А' не при-
надлежитъ къ числу тъхъ неизмт,н-
ныхъ вершинъ, которыми мы поль-
пользовались до сихъ поръ (фиг. 42).
4. Важно, однако, заметить, что этимъ
путемъ мы получаемъ, правда, новые
треугольники, но отнюдь не новые
типы треугольниковъ. Такъ, напри-
мЪръ, треугольникъ типа Ё1®> преобра-
преобразуется подстановкой Ei въ треугольникъ
типа Е\Ц, какъ это видно на фиг. 42.
со' ч- Фиг 42
Это обстоятельство находитъ себе об-
общее выражете въ слт^дующемъ предложенш, въ справедливости котораго
очень легко убедиться. Пусть /: означаетъ подстановку, какимъ-либо
образомъ составленную изъ подстановокъ Eh, а ? подстановку, соот-
соответствующим ь образомъ составленную изъ подстановокъ ?к; если под-
подстановка Е преобразовываешь типъ 1^(Ь = 0, 1, 2, 3; д, е = 0, 1) въ
Т",\,, то подстановка Е преобразовываеть'его вь типъ 7 (?','л,; соб-
собственные типы при этомь всегда переходятъ въ собственные же, несоб-
несобственные - въ несобственные.
Отсюда слъдуетъ, что мы могли бы для получешя всъхъ возможныхъ
треугольниковь пользоваться въ качествъ „образующихъ" процессовъ
не операщями Ек, а операцшми Ед> это было бы только несколько мент^е
наглядно. За приведенные типы треугольниковъ тогда было бы целесообраз-
целесообразнее принять друпе, именно, такого рода, какъ вторая изъ фигуръ на стр. 86.
5. Мы видимъ теперь, что появлете подстановокъ ЕА приводить
къ необходимости ввести также въ разсмотръше и противоположныя
точки А', В', С. Такимъ образомь, на первый плань выступаютъ
уже не точки А, В, С, какъ это было до сихъ порь, а проекти-
проектирующей трехгранный уголъ (гяг6гг).
Для ближайшихъ нашихъ соображенШ было бы целесообразно раз-
сматривать эквивалентные треугольники, какъ тождественные; тогда
три точки на сфере определяютъ 16 собственныхъ и 16 несобственныхъ
треугольниковъ (§ 46, 4).

§ 48 102
Пусть теперь (rarbrr) будетъ трехгранный уголъ, ребра котораго
выръзываютъ на сферЪ точки А, В, С, А', В', С- Изъ нихъ можно
тогда составить 8 комбинащй по 3, если, естественно, не вводить вь
одну и ту же комбинашю двухъ противоположныхъ точекъ, какъ А и А'-
Таким ь образомъ, мы указаннымъ путемъ получимъ 8 • 16 = 128
собственныхъ и 128 несобственныхъ треугольников ь, которые всъ при-
принадлежать къ тому же трехгранному углу.
Соотвътственно этому мы будемъ для наглядности называть трех-
трехгранный уголъ „родомъ" этихъ треугольниковъ, а самые треугольники
„родственными".
Если мы теперь, съ другой стороны, возвратимся къ аналптическимъ
выражешямъ нашихъ преобразованШ и будемъ при этомъ помнить, что
мы считаемъ эквивалентные треугольники тождественными, то мы замъ-
тимъ, что въ виду соотношешй A), (Г), C), C'), E) самая общая под-
подстановка S можетъ быть представлена въ видъ
i — hx ht h3 Ei Ел Ез
F)
(t\, e2, e3; e,, e2, e3 = 0, 1).
Въ общемь это составляетъ 64 различныхъ подстановокь. При
такомъ аналитическомъ выраженш изъ одного треугольника получается
такимъ образомъ 64 собственныхъ родственныхъ треугольника или 64
несобственныхъ, смотря по тому, былъ ли исходный треугольникъ соб-
ственнымъ или несобственнымъ.
Геометричесюя соображен!я даютъ, такимъ образомъ, для каждаго
рода вдвое больше треугольниковъ, чъмъ аналитичесюя. Это происходитъ
просто оттого, что два симметрично росположенныхъ треугольника,
какъ, напримъръ, ЛВС и А'В'С', имъюгше Tt же углы и стороны,
отличаются другъ отъ друга только геометрически, а не аналитически; ана-
литичестя выражешя даютъ въдь только величины сторонъ и угловъ.
6. Чтобы достигнуть и здъсь единства, мы введемъ последнее
обобщен1е понят1я о треугольник^ и такимъ образомъ придемъ къ
„треугольникамъ Стюди".
Подъ треугольниками мы будемъ разуметь совокупность
сторонъ а, Ъ, с и угловъ a, ft, у, не касаясь случайнаго располо-
жен1я ихъ на сферъ.
Сообразно этому всъ треугольники, конгруэнтные одному
и тому же треугольнику и симметричные ему, поскольку они
имЬютъ Tt же стороны и углы, мы будемъ разсматривать, какъ
одинъ и тотъ же треугольникъ.

103 § 48
7. Если мы теперь эквивалентные треугольники будемь вновь раз-
сматривать, какъ различные, то мы сможемъ выразить наши результаты
следующим ь образомъ:
Совокупность всЪхъ треугольников ь, принадлежащих ь од-
одному и тому же роду, распадается на 64 группы собственныхь
и 64 группы несобственныхъ треугольниковъ. Мы можемъ по-
получить всъ эти треугольники, если къ одному изъ нихъ примъ-
нимъ 64 подстановки, содержащаяся въ схемъ
С _ ?¦/. р г,р г,р- flp Fjp ?»
(сл, e2, e3; et, ег, e3 = 0, 1);
изъ 64 треугольниковъ, къ которымъ мы такимъ образомъ при-
демъ, мы получимъ всъ родственные треугольники при помощи
подстановокъ (Щ и ('Л'); при этомъ подстановки (91) даютъ соб-
собственные треугольники отъ собственнаго исходнаго треуголь-
треугольника и несобственные отъ несобственнаго; напротивъ, подста-
подстановки ("Л') приводятъ отъ собственнаго исходнаго треугольника
кь несобственнымъ и обратно.
Если мы имъли первоначально Эйлеровъ треугольникъ, стороны и
углы котораго изменяются между 0 и ж, то подстановка (БУ1) даетъ всъ
вообще существующее собственные треугольники, а подстановка E9V)
даетъ всъ несобственные треугольники.
Что при этомъ многократно появляются одни и тъ же по типу тре-
треугольники, такъ какъ подстановки ?л, не вносятъ, по существу, ничего но-
ваго, - мы уже указали выше.
8. Въ заключеше мы удълимъ еще мъсто замъчатю о возможности
и другихъ обобщешй понят1я о треугольникъ. При томъ понятш о тре-
треугольникъ, которое установлено Стюди, точкой отправлешя все-таки
служитъ геометрически образь, хотя существеннымъ здъсь и при-
признается нъчто аналитическое, именно — величины элементовъ а, Ь, С»
о, /?, у. Отсюда остается уже только одинъ шагъ къ тому, чтобы совер-
совершенно отвтечься отъ геометрическаго образа и дать чисто аналитическое
определение:
„Подъ сферическимъ треугольникомъ мы будемъ разуметь сово-
совокупность шести величинъ а, Ь, С, и, [I, у, которыя связаны между собою
уравнешями (I) (стр. 67), выражающими теорему косинусовъ на сферъ".
Такое обобщеше даетъ возможность ввести также треугольники съ
комплексными сторонами и углами. Шиллингу *) удалось дать
геометрическую интерпретацию даже для такихъ „комплексныхъ треуголь-
*) Schilling, „Beitrage zur geom. Theorie der Schwarzschen i-Funktion". Math.
Ann., Bd. 44. —Ср. также Schoenflies, „Uber Kreisbogendreiecke" и т. д. —тамъ же.

§ 48 104
никовъ"; онъ воспользовался для этого неевклидовымъ мъроопредъле-
шемъ, абсолютной поверхностью котораго служить сфера (§ 11, 18).
Ребра проектирующего трехграннаго угла въ этомъ случай не проходятъ
черезъ центръ сферы и даже не пересекаются вообще 7).
Однако, эти послЬшя соображешя прюбрътаютъ значеше только
вь теорш функщй. ЗдЬсь же, гдъ мы ограничиваемся только вопросами
элементарной математики, мы должны оставить ихъ въ сторонъ.
§ 49. Прим-Ьнеше теорш группъ.
1. Предыдущ1е результаты гораздо легче обобщить, если восполь-
воспользоваться понят1емъ о группъ; строго говоря, мы фактически все время
уже пользовались этимъ основнымъ поня^емъ.
Какъ въ первомъ томъ мы разсматривали группы, „элементами"
которыхъ служили перестановки (§ 52), такъ здъсь мы займемся группами,
элементами которыхъ служатъ линейныя подстановки, „группами
подстановокъ". Группы перестановокъ представляютъ, очевидно, лишь
частный случай группъ подстановокъ.
2. Подстановки, которыя мы выше разсматривали, всегда имъли видь:
такъ что онъ могутъ быть выражены въ общей формъ
x'=px + q\ (I)
мы будемь обозначать ихъ буквой S, а точнее символомъ [р, q]\ при
этомь мы всегда будемъ считать р отличнымъ отъ нуля; помимо же
этого р и q могутъ пока имъть произвольныя значен!я.
Изъ двухъ подстановокъ
Л"' = рХ + ''' B)
х" =- р'х' + </'
получается третья, „составленная" изъ нихъ (т. I. стр. 178 и д.):
'/"= Р'Ч
') Нужно сказать, что идея положить въ основу совокупность элементов*.,
связанныхъ заданными уравнешями, и таковую разсматривать, какъ треугольникъ,
принадлежитъ Лобачевскому. Такую именно постановку вопроса мы находимъ у
него въ „Воображаемой Геометрш".

105 § 49
что мы будемъ выражать символически
С <.'' _ Сп )
или точнъе: [р, q] ¦ [р\ q'] = [р", ,/']
3. Подстановка [1, 0] = ] есть тождественная подстановка; отъ
составлетя съ нею никакая подстановка не изменяется:
SJ = JS = S. (.5)
4. Каждой подстановка S отвЪчаетъ одна и только одна
подстановка S" такого свойства, что
S lS-J.
Чтобы въ этомъ убедиться, достаточно положить въ выражен1яхъ C)
Подстановка^ называется обратной относительно подстановки S.
Относительно обратныхъ подстановок ь и подстановокъ съ отрица-
отрицательными показателями справедливо все, изложенное въ томЪ I (въ § 50
п. п. 9 11).
Если р и q представляють собой не произвольный числа, а чЪмъ-
либо ограниченныя (напримЪръ, цъчпыя), то, какъ показываютъ послЪдшя
уравнен1я, данной подстановка не всегда отвЪчаетъ обратная.
5. Въ примЪненш къ составлен1ю подстановокъ законъ перемъхти-
тельный вообще несправедливъ, какъ это видно уже изъ того, что къ
числу подстановокъ принадлежатъ и перестановки; такимъ образомъ, под-
подстановка ShSt можетъ быть отлична отъ подстановки SkSh-
Напротивъ, законъ сочетательный
всегда имт^етъ мКсто, какъ въ этомь нетрудно убедиться непосредствен-
нымъ вычислен!емъ.
6. Совершенно такъ же, какъ въ случай группы перестановокъ,
мы будемъ теперь говорить:
Система подстановокъ
Ч' 9 ^
''II >JS> ^»3> ' ' *
образуетъ группу подстановка <В, если она удовлетворяетъ
слтэдующимь услов!ямъ:
1) Если 5Л и Sk суть двтз подстановки системы, различныя
или тождественный, то въ составъ той же системы всегда вхо-
дитъ подстановка
S& =¦ S,,
составленная изъ нихъ.

§ 49 106
2) Каждой подстановкъ Sk въ той же системъ © отвъчаетъ
обратная подстановка S~ ¦
Въ виду замЪчашя, сдъланнаго въ п. 4, ycrcoBie 2) не разумеется
само собой, а должно быть явно выражено.
Но въ тъхъ подстановкахъ, сь которыми намъ придется имтлъ дъло,
р = ± 1, а каждому значешю q отвЪчаетъ противоположное значеше q.
Услов!е 2) для нашихъ подстановокъ будетъ поэтому всегда
выполняться.
Въ виду опредЪлешя обратной подстановки изъ услов1я 2) 8) вы-
текаетъ:
Каждая группа содержитъ тождественную подстановку J.
Часть полстановокъ группы S можетъ иногда и сама по себЪ
составлять группу; такая часть называется „дълителемъ" группы, или
ея „подгруппой".
7. Какъ на основное различ!е по сравненш съ группой перестано-
вокъ, укажемъ, что группа подстановокъ можетъ содержать без-
численное множество подстановокъ.
Сообразно этому мы будемъ различатьбезконечныя группы,
состояния изъ безконечнаго числа подстановокъ, и конечныя,
содержания ограниченное число ихъ.
Намъ придется встръчать примъры тtxъ и другихъ группъ.
Если группа (конечная или безконечная) обладаетъ тЬмъ свойствомъ,
что для любыхъ двухъ ея подстановокъ справедливъ законъ перемъ-
стительный, такъ что всегда
то она называется „Абелевой" или „перемЪстительной" группой.
8. Если группа конечна, то число различныхъ подстано-
подстановокъ, входящихъ въ ея составъ, называется порядкомъ группы.
Къ конечнымъ группамъ подстановокъ применимы вст, выводы
§ 52-го тома I. Въ частности:
Каждой подстановка S отвтзчаетъ некоторый паименьш1й
показатель 5, при которомъ
Ss = /; F)
это число 5 называется „порядком ь" подстановки S.
8) Въ связи, конечно, съ услов!емъ 1).

107_ § 49
Группа называется „инволюторной", если она содержитъ исклю-
исключительно подстановки второго порядка; такая группа будетъ всегда пере-
мъстительной я).
Если въ конечной группъ S порядка & содержится под-
подгруппа X порядка I), то h есть делитель числа v.
9. Если изъ трехъ подстановокъ 5Л, Sk, 5, конечной или
безконечной группы ? даны как1я-либо двъ, то онъ всегда
однозначно опредъляютъ третью группу такимъ образомъ, что
5*5, = Sr G)
Если неизвъстной является, напримъръ, подстановка S,., то мы со-
ставимъ подстановку
въ силу же п. 5-го отсюда слъдуетъ:
Аналогично, если неизвестна подстановка Sh, мы найдемъ:
с _ с с-1
10. Обратимся теперь къ примЪнешямъ вст^хъ этихъ соображен1й
къ сферической тригонометрш.
Сначала мы разсмотримъ н-Ькоторыя группы перестановокъ.
Разсмотримъ сначала полярное преобразован1е. Мы можемъ его
представить въ видъ группы $2 2-го порядка, состоящей изъ субституций10):
р_(й Ь с а р 7\
\а р у аЬ с)' J'
9) Действительно, пусть S и S' будутъ произвольный дв^Ь подстановки инво-
люторной группы; тогда 55' также будетъ подстановка группы и
(SS<) (SS') =/.
ВслЪдств1'е закона сочетательнаго
S(S'S)S'=J.
Поэтому
S[S(S'S)S'\S' = SS',
Опять въ силу закона сочетательнаго
(SS)(S'S)(S'S') = SS',
а потому
SfS=SS'.
10) Мы сохраняемъ принятый въ первомъ томъ (стр. 179 и прим. 3; терминъ
„субститущя", когда ръчь идетъ о перестановлен1И элементовъ, о переход* отъ одной
перестановки элементовъ (которые могутъ быть даже не числами, а какими угодно
предметами) къ другой. Когда же ръчь идетъ о зам-Ьщенш въ форму л ъ одного
перемъннаго другимъ, аналитически отъ него зависящимъ, мы употребляемъ тер-
терминъ „подстановка".

§ 49 108
Сообразно этому мы можемъ сказать:
Совокупность формулъ сферической тригонометрш инва-
piaHTHa относительно группы ^2, т. е. out сохраняются, когда
мы примт.няемъ къ нимъ субституции этой группы.
ДалЬе, цикличесмя иеремъщешя также образуютъ группу 3-го
порядка (?3. Если мы обозначимъ двойной циклъ
черезъ С, то группа 23 состоитъ изъ подстановокъ
С, С2, C'=J.
По отношение къ группъ <SH формулы сферической триго-
тригонометрш также остаются инвар1антными.
Но группа 63 представляетъ собой только дЬлитель группы всъхъ
перестановокъ трехъ паръ величинъ (я, и), (/', ft), {с, у). Относительно
этой группы 6-го порядка наша система формулъ также иивар1антна,
хотя этимъ ея свойствомъ мы не пользовались.
11. Мы обращаемся теперь къ собственнымъ группамъ подста-
подстановок ь. До сихъ поръ мы разсматривали слъдуюшдя подстановки:
1) Подстановки М системы Ш (§ 46, 2);
2) подстановки .V и У системы ?} и "Л' (§ 46, 3);
3) подстановки, которыя получаются нутемъ составлешя „произво-
дящихь" подстановокъ Кх, Е2, Е3, Ец Е2, Е3 въ произвольныхь
комбинац1яхъ; совокупность этихъ последнихь подстановокь мы
будемь впредь обозначать черезъ @.
Въ виду того, что было изложено въ п. п. 1 и 2 § 48-го, мы мо-
можемъ представить самую общую подстановку системы (й въ видъ:
Согласно опредълешю п. 6. мы можемъ теперь сказать:
Каждая изъ системъ 2I, 91, & представляетъ собой безко-
нечную группу.
Напротивъ, система 91' не представляетъ собой группы въ смыслt
опредЪлешя, данпаго въ п. 6. Если мы, однако, обозначимъ черезъ А '
какую-либо одну изъ подстановокъ 9Г, то система 91' можетъ быть

109 § 49
представлена въ вид-fe 91 Л" м)- Такую систему91', по Веберу*), принято
называть „согрупиой" относительно группы 9?; вмъстъ съ тЪмъ пишутъ:
Если мы применимь эти группы къ определенному „исходному
греугольнику", то
группа Ш дасть совокупность всЬхъ собственныхъ и несобствен-
ныхъ треугольниковъ, которые принадлежатъ къ одному типу съ исход-
нымъ треугольникомъ;
группа ЭД дастъ совокупность всъхъ треугольниковъ, эквивалентныхъ
исходному;
согруппа 91' дастъ всъ треугольники, принадлежаипе тому же типу,
что и исходный треугольникъ, но не эквивалентные съ нимъ;
группа & дастъ совокупность всъхъ собственныхъ или несобствен-
ныхъ родственныхъ между собой треугольниковъ, смотря по тому, бу-
детъ ли исходный треугольникъ собственным ь или несобственнымъ.
Если исходный треугольникъ былъ собственный и мы обозначимъ
черезь А' определенную подстановку системы W, то можно сказать:
Группа ffl и ея согруппа Q&N' охватывают ь совокупность
всъхъ родственныхъ треугольниковъ; и именно группа © охва-
тываетъ собственные, согруппа ПИДГ/ несобственные треуголь-
треугольники.
12. Какъ геометрически, такъ и аналитически совершенно ясно, что:
91 содержится въ Щ,
91' . . ®Х'
w и si' „ „ аи.
Сообразно этому группы (^ и Ш имЬютъ „общимъ дф,ли-
телемъ" группу ??, а системы ©Л' и Ш согруппу 9i'.
Выражаясь болъе геометрически:
Группы 6) и Ш имЬютъ своимъ ,Г1ерес^че1пемъ" группу 9?,
системы &\' и Ш согруппу 91'.
*') Hoflpo6nte: если мы составимъ подстановку Л" посл-Ьдовательно съ каждой
подстановкой группы 9?, то мы получись всЬ подстановки 9i'.
i:) H. Weber, „Lehrbuch der Algebra", 2. Aufl., Braunschweig, 1899. Bd. II.,
§ 1, ff. - Въ этомъ сочинен1и теор!я конечиыхъ группъ разработана въ наиболее
общемъ видъ-.

§ 49 ПО
13. Эти результаты выигрываютъ въ изяществе, если мы разсма-
триваемъ эквивалентные треугольники, не какъ различные, а какъ
тождественные, выражаясь аналитически, если смотримъ на подстановки
N группы 31, какъ на равносильный тождественной подстановке (§ 48, 5).
Безконечная группа © переходить тогда въ конечную
группу ©е4, состоящую изъ 64 подстановокъ, которыя все со-
содержатся въ форме:
г1 р е, -р г, р с, р е, р ? j p f3
(/,, е2, е3; еи е2, е3 = 0, 1).
Если мы применимъ группу (М64 къ какому-либо треугольнику неко-
тораго рода, то мы получимъ 64 „представителя этого рода", которые
будутъ собственными или несобственными, смотря по тому, былъ ли
исходный треугольникъ собственнымъ или несобственнымъ; изъ нихъ
уже легко получить посредствомъ подстановокъ 31 и 31' все родственные
треугольники (ср. § 48, 7).
Выражаясь акалигически:
@=©в4.5Я, О5Л'' = 65в1-5П'. (8)
Можно легко составить подгруппы этой группы @С4, порядки ко-
торыхъ, согласно п. 8, должны быть делителями числа 64.
Пусть /, к, I будутъ числа 1, 2, 3 въ любой последовательности;
положимъ:
;' 17 ТЛ г- г- Л
hLk = uv E,-E/ = Л/,
l-iF-iF'z = 1 > Ei ЕгЕз = Т;
тогда мы получимъ следуютщя замечательныя подгруппы 4 порядка:
i\ IX /л j («a
4, \ a., j (©.'),
Т Т 7'Т У (?«),
Геометрическое значен1е этихъ группъ легко усмотреть.
Замечательно, что все это инволюторныя группы (п. 8).
Самыя подстановки Et, E^, Es, J, какъ и полярныя относительно
нихъ подстановки, не образуютъ группы; это легко уяснить себе также
геометрически.

Ill § 49
14. Изъ п. п. 1 и 2 § 48 огЬдуетъ:
DJ~FV ЛД~Е, (Ю)
(k=l, 2, 3).
Такъ какъ подстановокъ Dk, Afc, 7, Т достаточно, чтобы составить
всЬ подстановки Е и [г^, то ими можно воспользоваться въ качеств^
образующихъ; въ применении къ группе © это имЪетъ следующее значен1е:
Группа W есть совокупность всЬхъ подстановокъ, который
можно получить, неограниченно повторяя подстановки
Dk, \, T, Т
Если мы отождествляемъ эквивалентность съ тождествомъ, то
мы вновь получаемъ группу ©64.
Съ точки 3ptHiH Teopin группъ этимъ образующимь подста-
новкамъ слЪдуеть дать предпочтете передъ гЬми, которыми мы пользова-
пользовались раньше, какъ так ь out сами образуютъ группу. Далъ'е легко вид-Ьть:
Составленныя изъ подстановокъ Ок и &к группы ©4 и 0>4'
образуютъ группу ®1в, которая также представляетъ собой
подгруппу группы ©64; составляя подстановки группъ ftt,e и ^4,
мы получаемъ всю группу ©с4.
15. Въ вид^Ь поагЬдняго приложен1я Teopin грунпъ мы дадимъ
обоснован1е правила Непера (§ 43, 9)*).
Мы познакомились выше съ этимъ правиломъ, какъ чисто эмпири-
эмпирической сводкой формулъ прямоугольнаго треугольника. Но уже Неперъ
A614) и, въ особенности, Ламбертъ**) искали болЪе глубокихъ осно-
ванШ этого правила; „доказательство Ламберта A765) неявно поль-
пользуется понялемъ группы" ***).
Если мы построимъ полюсы А' и Р (фиг. 43) катета а и гипоте-
гипотенузы с прямоугольнаго сферическаго треугольника xlBC и черезъ эти
*) См. Pund въ журнал-fe „Mitteilungen d. math. Gesellschaft in Hamburg".
Bd. Ill, № 4,1897; также Engel und Stackel, „Urkimden zur Geschichte der nichteukli-
dischen Geometrie". Leipzig, 1899, Bd. I, p. 150 und 326. Gauss, Werke, II, p. 401 ff
**) Ламбертъ (Johann Heinrich Lambert) былъ изв"Ьстенъ, не только какъ
выдающейся математикъ, но и какъ философ ь. Онъ родился въ МюльгаузенЪ въ
ЭльзасЬ въ 1728 г. и умерь вь 1877 г.; онъ быль членомъ Академш и имЪль
зваше „Oberbaurat".
й**) v. Braunmiihl, „Geschichte der Trigonometrie", II, p. 131.

§ 49
112
двъ точки проведемъ четвертую окружность большого круга, то, обозна-
обозначая вершину А также черезъ В', получимъ прямоугольный треугольникъ
А'В'С, элементы котораго связаны
съ элементами первоначальнаго тре-
угоьлника уравнешями:
а =
с =
л
2
2
л
с, а =
л
а,
Ь, у' = у
Каждому прямоугольному сфери-
сферическому треугольнику съ прямымъ
ФпГ-43- угломъ у соотвътствуетъ, такимъ
образомь, другой треугольникъ А'В'С, который связанъ съ нимъ под-
подстановкой:
a b с п {! у'
А - I л л. „ л л
2 С ? ^ 2 '' 2 " "
Заменяя у его значен!емъ л/2, мы можемъ написать эту подстановку
въ видъ^ цикла (ср. т. I, § 51):
, ( л л
А = I «, ? о, с, у
Это циклъ 5 порядка, такь чго подстановки
А А* у/3 Ак Аъ=]
обра^уютъ группу перестановокъ c]s 5-го порядка. Въ качествЪ
„образующей" зтой группы можно взять любую изъ ея подстанококъ.
Если возьмемь для этой ц1уш А'1 и положимъ А2 — В, такъ что
(л л \
«. <-. (А ._, а, 2 Ь\,
то группа С!5 состоить изъ подстановокъ:
В В* Вя В* В* - J. (S3)
Элементы, которые входятъ въ субституцш (S3) (это vk же, которые
мы выше на стр. 76 расположили по окружности), называются „круго-
„круговыми элементами".

113 § 49
Геометрическая интерпретащя этой группы о5 приводить къ сле-
следующему предложение:
Каждому прямоугольному треугольнику съ прямымъ
угломъ у соотвЬтствуютъ еще 4 другихъ, которые получаются
изъ него повторнымъ замЪщен1емъ „круговыхъ элементовъ",
содержащихся въ подстановкахъ A8).
Каждое соотношеше между круговыми элементами оста-
остается инвар!антнымъ относительно этихъ замЪщешй.
Но два изъ такого рода соотношенШ вытекаютъ непосредственно
нзъ теоремы косинусовъ, именно:
cose = sin у~2
а\ • sin y^ b\ ,
cos с = cotga ¦ cotg/?.
Применяя наше предложеше къ этимъ формуламъ, мы непосред-
непосредственно получаемъ правило Непера.
§ 50. Формулы Льюилье-Серре.
1. Изъ первой формулы Делам бра (стр. 80 (III, а)) почленным ь
сложетемъ и вычиташемъ получаемъ:
• Р + 7 ¦ а b -с а
S1H — Sin COS . Q COS
Li ?i Ci Ci
. [ + у . . a b - с . а
sin - - -f- sin - cos — \- у cos -
• Р "г- 7 , • 1 0 - С .
sin - ^ + sin - cos — f-
гдт.
I' —I— 1 \ собственныхъ
о i , для ; ^ треугольниковъ.
( 1 J несобственных ь
Применяя теорему сложешя, получаемъ:
. ,5 + 7 - « р + у + а ( . а + Ь - с . с + а - b\V
sin ' cos - ' — / sin ' sin *
4 4/4 4
/9 + 7 a . p + y + a \ a + b с c + a b
cos' - \ sin r ' \ cos ' cos '
4 4 4 4
Производя соотвЪтствуюиия преобразован!я надъ остальными фор-
формулами Деламбра и вводя обозначешя, содержаипяся въ уравнен!яхъ D)
§ 42-го, мы получаемъ:
Веберъ, Энцнклоп. влечент. геоиетрш. S

§50 114
первую систему формулъ Льюилье-Серре *).
cotg Sg
tg
= (
<J = (tg Sg
2"'g i =
(Н3)
*
(H)
Нельзя не указать, что въ системЪ (Н) формулы им^Ьють для соб-
ственныхь и несобственныхъ треугольниковъ существенно различное
строен1е; именно, вместо тангенсовъ отъ sr появляются котангенсы и
обратно (см. подстрочное прим-Ьчан1е на стр. 84).
2. Формулы (Н) могутъ быть сведены въ одну. Именно, изъ уравне-
Н1й (Н,), или (Н2), или (Н3) находимъ:
П
^ /
A)
Дал-fee получаемъ:
О,-
Si
т^-Г=Д/я B1
Если мы выберемъ i = k, то, въ виду соотношешй B). мы можем ь
определить знакъ корня гЬмъ, что положимъ
Si \Q , .
C)
1 = 0, 1, 2, 3).
Если подставимъ сюда значеше Л/ изъ уравнеши A), то мы получимъ
эквивалентную первой
*) Simon L'Huilier жилъ 1750 - 1840 г.; былъ профессоромъ математики
въ Женев-fe.—J. A. Serret, 1819-1885, былъ профессоромъ въ College de France
и членомъ Парижской Академш.

115 § 50
вторую систему формулъ Льюилье-Серре:
(t = 0, 1, 2, 3)
Знакъ корня здъсь, ес1ественно, не находится ни въ какой связи
съ подраздтэлешемъ треугольников ь на собственные и несобственные.
Для Эйлеровыхъ треугольниковъ корень постоянно имЪетъ
здесь положительное значен!е.
Формулы (IV) дають возможность многообразно определять углы
по даннымъ сторонамъ и обратно. Объ этомъ подробнее въ отдел-fe D-
3. Къ исторж формулъ Льюилье-Серре^). Льюилье принад-
лежитъ формула, которая получается, если въ уравнешяхъ (IV) положить
О = + 1 и i = 0; случаи же о = -\- 1, i = 1, 2, 3 были впервые даны
Серре въ его „Traite de Trigonometrie". Чрезвычайно изящная сводка (IV)
формулъ Льюилье-Серре принадлежатъ Стюди A. с, р. 130), который,
впрочемъ, разработалъ только случай о = -\- 1. Полная симметр1я фор-
формулъ (IV) относительно индексовъ г = 0, 1, 2, 3 обусловливается гЬмъ
обстоятельствомъ, что Стюди обозначаетъ черезъ 2s0 не сумму а-\-Ъ-{-с,
какъ это дтзлаютъ обыкновенно, а 2я- — {а + Ь -\- с), и соответственно
черезъ а0 обозначаетъ 2п [а -\- (I -\- у).
Выводъ формулъ Льюилье-Серре изъ формулъ Деламбра по-
членнымъ сложешемъ и вычитан1емъ, по Браун мюлю, принадлежит ь
Лобатто (Lobatto).
4. Формула A) приводить къ очень простому доказательству пред-
ложешя, доказаннаго уже вь § 45, что въ трехъ системахъ Деламбра
(IIIft)(/e= 1, 2, 3) коэффищентъ о всегда одновременно равенъ -\-\ или
1. Въ самомъ д-Ьл^Ь, каждой систем^ (HIt) соотв1;тствуетъ система (Hfc);
дал^Ье, какь мы уже упоминали, изъ каждой системы (Ик) можетъ быть
выведена формула A); если мы поэтому обозначимъ значеше о, отве-
отвечающее системе (III;,), черезъ ок, то
откуда непосредственно следуетъ:
Qt = Lh = о3-
*) v. Braunmiil, Geschichte der Trigonometrie, II, стр. 195 и ел.

§ 51 lib
D. Прикладная сферическая тригонометр1я.
§ 51. Вспомогательныя предложешя, касаюшшся точности три-
тригонометрическихъ вычисленш. — „Формулы перехода".
1. Если до сихъ порь у насъ на первомъ плане стояли вопросы
теоретичесме, то теперь мы обратимся къ вопросамъ практическимъ*).
По даннымъ элементамъ треугольника мы будемъ вычислять остальные;
для практики при этомъ, въ первую очередь, выступаютъ две стороны
дела:
a) удобство логариемических ь вычислешй;
b) возможная точность вычислешя.
2. Чтобы удовлетворить требовашю а), мы будемъ всегда стараться
заменять въ нашихъ формулахъ суммы и разности произведешями. Тамъ,
где этого непосредственно сделать нельзя, мы будемъ пользоваться вспо-
вспомогательными углами.
3. На второмъ требованш нужно остановиться несколько подробнее.
Такь какъ мы вынуждены вести вычислешя съ определеннымъ ограни-
ченнымъ числомъ десятичныхъ знаковъ, то тригонометрическая функшя
будеть всегда давать темъ более „точные" результаты, чемъ быстрее ея
„ходъ", т. е. чемъ большее значеше имеетъ (положительное или отри-
отрицательное) нарашеше функцш при томъ же маломъ наращенш д угла.
Чтобы судить о пригодности тригонометрическихъ функцш въ этомъ
отношенш, мы обратимся къ § 118 тома I. Приведенныя тамъ формулы
въ первомъ приближенш даютъ:
\*
COSA' = 1 - "- ,
. .A» I -t -^
ЫПА - X g - X у 1 (
Эти формулы темъ точнее, чемъ меньше х. Изъ нихь мы усматри-
ваемъ, что для значенШ х, близкихъ къ нулю, -для которыхъ, следова-
следовательно, л'2 мало по сравнешю съх, —косинусъ сохраняетъ почти постоянное
значеше, близкое къ 1, и потому непригоденъ для вычисленШ; напро-
тивъ, синусъ почти пропорщ'онален ь }глу и, следовательно, очень приго-
*) Лицамъ, желающимъ ближе познакомиться съ практикой тригонометрш,
получить свЪд-Ьшя о ц-Ьлесообразномъ расположен1и вычислен1й, о преимуществ^
т-Ьхъ или иныхъ методовъ вычислешя и т. д. мы можемъ рекомендовать весьма
содержательную книгу: Hammer, „Lehrbuch der ebenen und spharischen Trigono-
metrie". Stuttgart. 1897. Изь бол^Ье старыхъ сочинен(г) сл-Ьдуетъ указать книгу
Serret, „Traite de Trigonometrie".

117 § 51
яенъ для вычислешя. Если примемъ во внимаьйе, что sinA" = cos (лг/2 — х),
то вблизи значешя я 2, обратно, синусъ неудобенъ, а косинусъ удобенъ
для вычислешя.
Пусть, далее, б будетъ величина, настолько малая, что ея квадратомъ
гJ можно пренебречь по сравнешю съ б *); мы можемъ тогда положить
cosd = 1 и sinE = E. Если мы теперь дадимъ переменному х наращеше б,
то для соответственных ь наращенШ функщй sinA" и cos.x", которыя мы
обозначимъ черезъ Л sinjc и Jcos.x', получаются значешя:
A sin л' = sin (х + «5) — sin к = smx cos б -\- cos a sin б - sinA" = б cos.r,
Acosx = cos (л; -|- б) cosa = cosacosE — sin.r sin6 cosx = - б sin*'.
Для хода функщй G мы получаемъ:
„ Asinx
(j{smx)=—г = cos.x:.
л ' B)
„ Acosx
G(cosx) = г— = - sin.*;.
Ограничиваясь сначала первымъ квадрантомъ и им%я въ виду, что
насъ интересуетъ только абсолютная величина хода, мы находимъ:
¦77"
IG (sin лг) > | G (cos jc) j, коль скоро cosx>sinA', т.е. отъ х = 0 до х =
G(cosx) '>\G(s\nx) . коль скоро sinA'>cosA' т.е. отъд:= -. до х = -¦
Такъ какъ по абсолютной величин^ rk же значен!я повторяются во
второмъ квадрант^, то мы можемъ, пользуясь градусной мЪрой угловъ,
формулировать все это следующимъ образомъ:
Синусъ даетъ бол-fee точные результаты, нежели косинусъ,
въ интервалахъ отъ 0° до 45" и отъ 135° до 180°. Напротивъ,
косинусъ даетъ более точные результаты въ интервале отъ
45° до 135°.
Вблизи 0° и 180° косинусъ, а вблизи 90° синусъ даютъ
практически непригодные результаты.
4. Что касается тангенсовъ и котангенсовъ, то нужно заметить
прежде всего, что эти функщй, какъ взаимно обратныя величины, даютъ
одну и ту же точность. Такъ какъ, далее, tgO = 0 и sin0 = 0, a, кром-fc
того, согласно § 35, 1,
sina<tga, cos a < ctga,
*) При пятизначныхъ логариемахъ, наприм^ръ, это им-Ьло бы MtcTO, если бы
<) не превышало 20". Само собой разумеется, что Л должно быть здъхь выражено
въ дуговой Mtpt, а не въ градусахъ.

§ 51
118
то ходъ тангенса больше, нежели ходъ синуса, ходъ котангенса больше,
нежели ходъ косинуса. Поэтому:
Тангенсомъ и котангенсомъ уголъ всегда определяется
точнее, нежели синусомъ и косинусомъ.
Изъ уравнетй B) § 118-го I тома:
sina
lim = 1,
lim
= 1
C)
«=o а. ц=о о
следуетъ:
Весьма близко къ 0° и къ 180° уголъ приблизительно оди-
одинаково хорошо определяется какъ синусомъ, такъ и тангенсомъ
(или котангенсомъ); весьма же близко къ 90° уголъ одинаково
хорошо определяется косинусомъ или тангенсомъ (котан-
(котангенсомъ).
Чтобы убедиться въ справедливости высказанныхъ здесь предло-
женШ, достаточно заглянуть въ тригонометричесюя таблицы.
Въ какой мере отражаются на результатахъ ошибки наблюденШ,
это падаетъ за пределы нашихъ изследованШ.
5. Такь какъ на практике никогда не приходится иметь дело съ
треугольниками, стороны и углы которыхъ больше лг, и такъ какъ старыя
Эйлеровы обозначешя угловъ, по
своей наглядности, удобнее (§ 38, 6),
то мы установимъ теперь следующее
соглашеше:
Треугольники, которые мы
впредь будемъ разсматривать,
будутъ ^обыкновенные", т.е. Эй-
Эйлеровы треугольники въ Эйлеро-
вомъ обозначенш (фиг. 44).
Далее въ этомъ отделе мы
будемъ измерять стороны и
углы не дуговой, а градусной
мерой.
теперь не превышают ь
Фиг. 44.
Такъ какъ углы и стороны треугольника
180°, то они
однозначно определяются косинусомъ, тангенсомъ, ко-
котангенсомъ, и двузначно синусомь.
Однако, и синусомъ часто можно пользоваться, благодаря предло-
жен1ямъ объ Эйлеровомъ треугольнике, которыя мы привели въ
§ 36, 7; намъ придется здесь часто ими пользоваться.

119
§ 51
6. Отмечая теперь въ отлич!е отъ прежняго (Me6iycoBa) обозна-
чешя принятое сейчасъ „обыкновенное" значками вверху, мы введемъ
нижеслЪдуюцця сокращешя, которыхъ будемъ придерживаться во
всемъ этомъ отдели (углы выражены въ градусахъ):
2s0'= a' + b' + c', 2<то' = а'+
2*,' = - я' + V + С, 2a/ = - а' +
2у,'= а'-Ь' + с', 2<т2'= а'-
253'= a' + b'-с', 2а3'= а'+
6 = а' + р + у - 180°.
D)
Это дастъ сл'Ьдуюнпя „формулы для перехода" отъ Me6iyco-
выхъ обозначенШ къ „обыкновеннымъ":
я = я,
b = b',
с = с',
2so = 36O° -2So;
2 s, = 2s',
2s2 = 2s2',
E)
a = 180° a',
p = 180° — p,
у = 180° - /,
2<то = 2o0'- 180° = e,
2a, = 180° — 2 o/ = 2a' - e,
2a2= 180°-2ff2' = 2^' - e,
2s4 = 2\-' 2a, = 180° — 2 о ' = 2/ — e.
Когда переходъ къ „обыкновенной" систем^ формулъ при помощи
соотношен1й E) уже произведенъ, мы можемъ значки вверху снова
опустить.
§ 52. P-femeHie прямоугольныхъ сферическихъ треугольниковъ.
1. Пусть у = 90° фиг. 45; тогда имЪютъ мЪсто сведенныя уже нг.
стр. 76 и объединенныя Неперовымъ правиломъ формулы (9*) — A4*)
cos я =
cos a =
tga =
cose =
cose =
cos a
sin/V '
sin я
sine '
tgb
tgr '
cos я cos b.
cotgacotg/?.
cos/? =
cos^
COS/
cos/3
sin a '
sin/;
sine '
tga
tgc •
tgb
A)
B)
C)
D)
E)
F)

§ 52 120
2. Первый случай: Даны а, Ъ\ требуется опредълить а, /?, с.
cotga = cotga smb,
F)
cotg/? = cotgfrsinfl.
cose = cos я cos/?. A)
Если а, Ь или с имЪетъ значеше, близкое къ 0°, то формула A)
не годится; тогда пользуются формулой:
tgft = Jgfl
cos a cos/?
Въ этомъ случав всегда получается вещественное и однозначное ръшеше.
3. Второй случай: Даны а, с; требуется опредълить Ь, а, /3.
A)
D)
E)
однозначно; въ самомъ дъ71Ъ, когда найдена сторона Ь,
то изь двухъ значенШ, отвт5чаюшихъ данному значен1ю sin a, нужно
выбрать то, которое соотвътствуетъ теоремъ, что противъ болылаго угла
лежитъ большая сторона (§ 36, 7).
Условие вещественности ртлиешя: cose < соэд.
4. ТретШ случай: Даны а, а; требуется определить Ь, с, Р-
sin Ь = tgtf • cotg a. F)
sin д
sin с = -.— ¦ D)
sin a
cost
sin a
cos/?
cose
cos я
_ sin я
sin г
tgfl
~ tgc
C)
cos a
Условия вещественности p
1) sin a ^ sin a.
2) tg# и tgа должны имтлъ одновременно положительныя
или отрицательныя значешя, такъ какъ иначе мы получили бы
отрицательное значеше для sin Ь. Переводя это на геоме-
трическШ языкъ: а и а должны быть либо одновременно
острыми, либо одновременно тупыми углами (въ предъль-
номъ случай они могутъ быть оба прямыми).

121 § 52
РЪшеже получится вообще двузначное, за исключежемъ только
того случая, когда а = а; если а < а, то мы получимъ два смежныхъ
треугольника (фиг. 46).
Уравнешя дають, собственно, по два значения для всЪхъ трехъ
искомыхъ величинъ Ъ, с, ft- Но если b и 180 -Ъ суть два значешя пер-
первой изъ искомыхъ величинъ, то въ виду
соотношенШ F) и A) значению b отве-
чаютъ вполне опредт>ленныя значежя
ft и с; значежю 180 — ^ тогда отвт>-
чаютъ 180 -^ и 180 с.
Въ случат, а = а мы получаем ь
одинъ двупрямоугольный треугольникъ. Фиг" 46
5. Четвертый случай: Даны a, ft; требуется определить Ь, с, а.
tgb = sinatg^. F)
COtgC = COtgtf COSjff. E)
cos a = cos a sin ft. C)
Решения всегда вещественныя и однозначныя.
Если уголъ а близокъ къ 0°, то для опредт>ленш с нужно восполь-
воспользоваться формулой:
sina
sina = . — ¦ D)
sine v J
6. Пятый случай: Даны с, а; требуется найти a, b, ft.
sina = sine sina. D)
tg^ = tgecosa. E)
cotg/9 = cosctga. B)
PtmeHie однозначно; изъ двухъ значешй, которыя получаются
для стороны а, нужно выбрать то, которое отвъчаетъ предложешю § 36, 7.
Если сторона а имЪегъ значен!е, близкое къ 90°, то нужно вычислить
сначала b и ft, а затЪмъ определить сторону а по формуле
tgfl = tgccosft, E)
или же
cos с ,,л
cosa = , . A)
cosfr
7. Шестой случай: Даны a, ft; требуется найти а, Ь, с.
cosa . cos ft ,„.
cosa = . „, cos b = -^-?1- C)
sin^ sina
cose = cotga ¦ cotg/9. B)
Услов1е вещественности:
Если это услов1е удовлетворено, то решете однозначно

§ 53
122
§ 53. „Обыкновенный" формулы косоугольнаго треугольника.
Въ настоя щемъ параграфа формулы прежних ь отдътювъ, важныя
для рЪшешя треугольниковъ, приводятся къ „обыкновенному" виду при
помощи формулъ перехода E) на стр. 119. Легко усмотръть, что всъ
появляюицеся здъть радикалы нужно взять съ положительнымъ знакомъ;
для этого приходится только иногда пользоваться предложешями, касаю-
касающимися суммы угловъ треугольника и изложенными въ § 36, 7. Во всЬхъ
формулахъ второго порядка нужно, конечно, положить о = -(- 1.
Теорема синусовъ (§ 42, II и E)):
sin a sin b sin с D
sin a sin /? sin у Л '
D = sin/; sine sin a = sine sina sin/? = sina sin/; siny
= У 4 sinsoSin.?! sin ,?2 sin s3,
Л = sin/9 siny sina = siny sinasin/; =
= У A sin 0O sin 0j sin a2 sin a3.
Теоремы косинусовъ (§ 41, I и Г):
cos<7 = cos/; cost + sin/; sin с cos a,
cos/; = cose cosa + sine sina cos/5,
cose = cosa cosh -\- sina sin/;cosy.
cosa = cospcosy -|- sin/^siny cosa,
cos/i = cosy cosa-|- siny sina cos/;,
cosy = cosa cos/3-|-sina sin/3 cose.
ЗатЪмъ агЬдуютъ формулы A), (Г), B), B') § 43-го:
sina cos /5= cos/; sine sin b cos с cosa,
sina cosy = cose sin/; — sine cos/; cosa;
sin/; cosy = cose sina sine cosa cos/5,
sin/? cosa = cosa sine sine cosecos/3;
sine cosa = cosa sin b sin о cos/; cosy,
sine cos/5= cos/; sina - sin/; cosa cosy.
sin a cos/? = cos/3 siny 4- sin /? cos у cosa,
sinacose = cosysin/3 + sin у cos ? cosa;
sinpeose = cosysina -|- sin у cos a cos/;,
sin p cosa = cosa siny -|- sina cos у cos/;;
siny cos a — cosa sin [1 4- sina cos /3 cose,
siny cos/; = cos/3sina-|- sin/3 cos a cose.
(III)
(IV)
(V)

123
§ 53
sinacotg/? = cotgfrsinc cosccosa,
sinacotgy = cotg с sinb cos/;coso;
sinpcotgy = cotgtsina cosacos^,
sin J3 cotg a = cotg a sin с cosccos/9;
sinycotgo = cotga sinb cosacosy,
sinycotg/? = cotg/>sina cosacosy.
sin a cotg/; = cotg /3 sin у + cosy cos a,
sin a cotg с = cotg у sin/3 -)- cos/3 cos a;
sinb cotg с = cotgysina 4- cos о cos/;,
sinycotga = cotga sin у -f- cosy cos/;;
sin г cotga = cotg a sin /3 -|- cos/3 cose,
sin с cotg/; = cotg j3 sin a -\- cos a cose.
Неперовы аналопи (стр. 73 F)):
b + с
ё 2
to
tg 2
tgC4-
Vg^
tg2
P + 7
g 2
oft
NO
7 + a
tg 2
tolg2
a + /3
tg 2
cotg-|
cos
7
cos
cos--
a
cos
cos
cos -
cos —
с
cos -
а
cos -
COS
7
+ 7'
2
a
2~~
+ «'
Q
Q
+ /5'
- с
2
+ C
2
а
2
+ fl'
2
+ *'
2
to"
tg
tg^
to"
tg
*^
cotg
tg7
cotg
Tg
cotg
2
а
2
2'
/;
2
2
с
~2
2
a
2
2
2
2
7
2
с
а
b
У
a
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
/3
7
a
a
/;
с
с
a
a
2
+
2
2
+
2
2
2
2
+
2
—
2
4-
2
—
2
4-
2
7
7
a
a
/3
с
с
а
а
Л
(VI)
(VII)
(VIII)

§ 53
124
Формулы Деламбра (стр. III):
. b
sin
sin
sin -
sin
. a
sin —
sin
b
COS —
COS
с
COS —
COS
a
cos -
2
a
2
2
b
2
2
С
2
a
~2
2
~2
2
С
a
b
с
a
b
cos -
sin
У
cos
sin
a
sin
sin
У
cos —
sin
a
cos-
— у
2
a
2
a
2
/3 '
2
2
У '
2
+ 7
2
a '
2
+ «
2
/3 '
2
2
III):
та-
sin
. с
sin-
. a
sin -
та-
cos
с
COS
a
—
2
a
2
—
2
b
2
—
2
С
~2
—
2
a
T
—
2
2
-
2
с
a
b
с
a
b
sin -
cos
- У
sin'
COS
a
sin -
COS
sin —
cos
¦ У
sin —
COS
. a
sin
-
2
a
2
2
—
2
У
2
+
2
a
+
2
2
4-
2
У
a
i8
У
a
¦/3
cos
sin I
COS
COS
Если положимъ для сокращешя:
.. /sin s, sin s-i sin s3 , -! /cos 0, с
|/ s7n^ =k' V _"
то формулы A), (Г) и B) § 45-го даютъ:
cos 02 cos a3
COS0O
= к,
(IX)
. a /sins, sinS-, a , /sins» sins, a k
sin-=l/ --?—.— ; cos — = 1/ . ? . '-; tg „ = . ;
2 J/ sin^smc 2 |/ sinftsinr: S2 sins,
sincsina
sincsina ' 2 sins2'
v ., /sins, sins, 7 -. /sinsnsins<,
™-~-=l/- A ,-; cos-' =1/- —- ,-;
2 \ sinasin/; 2 (/ sinrtsiny
+ +
7 «
te— =
& 2 sins3
(X)

125
§ 53
. a . / cosoncoso^ a -. /coso, cosa. , #
sln , - I/ ¦ г т ; cos = 1/ т j -- ; tg
1 \ sin p sin;' . '2 у sin fy sin 7 2
+ +
. 7> ., / cos(Tncos09 /; -, /cosOoCostf. , b cos02
sin =1/ ; cos 1/ — - ; tg = , J
2 I/ sinysinn 2 ^ sinysina 6 2 к
+ +
с -, / cos(Tncos04 с , /cos0tcosa, , с
sm =1/- т ; cos - = 1/—— . о ; tg —
2 J/ sin a sin/?. 2 \ sinasin^ 62
С COS 03
У.
Формула Люилье получается изъ соотношенШ (IV) § 50-го, если
положишь Q=-f-l, г = 0 и воспользуемся вторымъ произвелен!емь:
h
2
(XII)
+
Формулы Серре (§ 50, (IV) при (? = + 1, г'= 1, 2, 3):
(ХШ)
Если въ соотношешяхъ (IV) § 50-го возьмемъ первое произведе-
произведете, то вместо уравнетй (XII) и (XIII) получимъ друпя формулы, также
принадлежацпя Серре:
г —т
*т-
I
(XIV)

§ 53
126
Б
~4
h
F
4
(
)
(¦
)
а
2
Р
¦2
:)
;)
(XIV)
Эти соотношешя зам-Ьняютъ собой формулы, полярныя относительно
формулъ (XII) и (XIII). Чтобы получить послЪдшя, следовало бы ввести
величину, полярную относительно е,
е = 360° (а + Ь + с).
Формула (XII) тогда дала бы
Эги формулы трудно рекомендовать въ виду того, что онЪ очень
мало изящны.
Обыкновенно ь называютъ „сферическимъ избыткомъ", а е —
„сферическимъ недостаткомъ" сферическаго треугольника.
§ 54. P-feiueHie косоугольнаго треугольника.
Зд^сь приходится различать 6 случаевъ, которые разбиваются, однако
на 3 взаимно полярный пары; каждую такую пару мы будемъ разсма-
тривать совместно.
Первый и второй случай:
Даны а, Ь, ','', требуется опре- Даны а, /?, с, требуется опре-
определить а, /?, с. делить а, Ь, у.
1. Методъ, наиболее напрашивающ1йся съ математической точки
зр+.жя, заключается въ слт>дующемъ:
разлагая треугольникъ на два прямо-
угольныхъ треугольника, мы получаемъ
возможность применить извт>стныя уже
намъ формулы прямоугольнаго треуголь-
треугольника; результаты, къ которымъ приво-
приводить этотъ методъ, съ точки зръжя вы-
числен1й, вполне удовлетворительны.
Для этой цъ7ш мы проводимъ вы-
иг' '¦ соту BD = Ъ (см. схематическ!й чер-
тежъ 47); изъ двухъ прямоуюльныхъ треугольниковъ, которые мы

127
§ 54
такимъ образомъ получаемъ, мы при помощи формулъ A), E), C), B)
§ 52-го находимъ:
cosr = cosh cos(b ш). A)
Для опред-Ьлешя гп и Ь слу-
жатъ формулы:
tg;« = tgrtcosy, B)
cos-/ = cos/>sin(p i>). A)
Для опред+.лен1я v и h слу-
жатъ формулы:
cotgj'^ tgacosc, B1
cosrt
C)
cosh =
cos m
Подставляя выражеше (З) въ
формулу A), мы получимъ для
вычислешя стороны с правило:
Нужно вычислить т при по-
помощи уравнешя:
tgm = tgacosy,
а затемъ с изь уравне!Йя
cosa cos(b — m) ...
cose = D)
cos иг
Вычисление угловъ а и ft =
= ^ + v изъ тт,хъ же прямо-
угольныхъ треугольниковъ, когда
изв-fecTHO с, уже не представляетъ
никакихъ затруднешй.
, cosa
cosh = r
sin v
C1
Подставляя выражеше C) въ
формулу A), мы получимъ для
вычислешя угла у правило:
Нужно вычислить v при по-
помощи уравнешя:
cotgj' = tga cose,
а затем ь у изъ уравнетя
cosa sin(p — /
sin v
cosy =
D)
Вычислен(е сюронъ д и /; =
= т-\-п изъ тЬхъ же прямо-
угольныхъ треугольниковъ, когда
изв-Ьстно у, уже не представляетъ
никакихъ затруднежй
2. Изъ формулъ D) можно получить интересный результат ь. При-
Применяя теорему сложешя и затъмъ формулы B), мы получимъ:
cose = cosacosb-{-cosasmbtgm cosy = cosa sin ftcigv cosacos/:?
— cosa cosh +sin a s'mb cosy. = cos a cos ft -|- sinasin /3cosc.
Но эти формулы представляютъ собой не что иное, какъ дв+. тео-
теоремы косинусовъ на сферт>. Если, какъ это обыкновенно делается въ
элементарныхъ учебникахъ, мы будемъ предполагать формулы прямо-
угольнаго треугольника известными раньше, то мы можемъ сказать:
Первая пара задачъ на косоугольный треугольникъ, если
исходить отъ треугольника прямоугольнаго, сама собой и при-
томъ съ необходимостью приводитъ къ теоремамъ косинусовь
на сфере.
Само собой разумеется, что это доказательство применимо только
къ Эйлеровымъ треугольникамъ

54
128
3. Съ нашей точки зрешя теорема косинусовь
cosr = cosa cosh E) cosy cos ri cos ? Ej
4- sin a sin b cosy -(- sin a sin j5 sin с
является первоначальнымъ решешемь нашей задачи; мы спроснмъ
теперь, наоборотъ: какъ привести ее къ виду D), который оказывается
предпочтительнее вследсгае того, чго онъ более пригоденъ для ло-
лога риемическихъ вычислешй?
Для этого нужно ввести вспомогательный уголъ (ср. § 51, 2).
Обозначая черезъ р, т, v вспомогательный величины, мы въ соотношешя
E) подставляемъ:
cosa = pcosm,
sinacosy = />sin;/z.
Если тогда т ? 180°, то ве-
величины р и т определяются одно-
однозначно изъ уравнешй:
tgm = tgdcosy, G)
cosa sinocosy
у - - ==~^ ¦ (о)
r cos от sin га
Вводя же выражешя G) и (8)
вь уравнеше E), мы приведемъ его
ьъ виду:
cose = pcos(b - m)
F)
F)
m)
cos m
C9)
cosn = р sin г>, j
sinacosr = pcosi». \
Если тогда v ^ 180", то ве-
величины р и v определяются одно-
однозначно изъ уравнешй:
cotgv = tgacosc, [7)
_ cosa _ sin a cose
p == : == ~ ' \P)
Вводя же выражен!» G) и (8)
вь уравнен!е E), мы приведемъ его
къ виду:
cosy = p sin(p - v)
_ cos a sin (J5 v)
sin-^ '
при этомъ v нужно определить
изъ уравнешя G).
при этомъ т нужно определить
изъ уравнешя G).
Съ точки зрешя геометрической, р такимъ образомъ тождественно
съ прежнимъ cos h.
й. Чтобы определить сто-
стороны а и Ь, когда уголъ у уже
4. Чтобы определить углы
а, /?, когда сторона с уже вычи-
вычислена, можно воспользоваться тео-
теоремой синусовъ
sina .
sin о = sin у
sin r
и соответственнымъ уравнешем ь
для угла /?.
Если же мы не предполагаемъ
уже определенной сторону с,
вычисленъ, можно воспользоваться
теоремой синусовъ
sin a
sine = —— sinr
sin у
и соотвЬтственнымь уравнешемъ
для стороны Ь.
Если же мы не предполагаем ь
уже определенным ь уголь у,

129
§ 54
iga =
то нужно скомбинировать теорему
синусовъ съ соотношешями (IV):
sine sin a sina sin у, j
sine cos a — cos a sin/; } (9 a)
+ sinn cosb cosy, J
откуда посредствомъ дт>лешя по-
получимъ формулу для tga.
Последнюю можно привести
къ логариемическому виду,
вводя тЪ же величины т и р. Изъ
уравнешй F) и (9) мы получимъ:
sine sina = sin a sin у,
sinccosn = psin(b /и),
такъ что
sina sin у
р sin (b т)
ПримЬняя второе выражеше
для р изъ уравнешя (8), найдемъ:
sinmtgy
tea -= - , - ;
s sin(b -m)
величину т нужно предварительно
вычислить изь уравнешя G).
Соответственный результатъ
получаемъ также для угла $.
5. Другой способъ опреде-
определения угловъ, также удобный для
логаривмическихъ вычислений, ла-
ютъ аналопи Непера (VIII):
а Ь
cos
*"V- C°tg2 a + b'
cos
. a-b
о Sln „
, a 8 у 2
tg ., " = COtg ., J- , L
2 2 . a + b
sin -
2
Если мы хотимъ вычислить
сторону е лишь посл-fe угловъ,
то это можно удобно произвести
Веоеръ, Эицпкчоп. :-tie\ienr. геометр1н.
то нужно скомбинировать теорему
синусовъ съ соотношешями (V):
sin у sin a = sin a sine, )
sin у cos a - -- cos о sin /? J (да)
откуда посредствомъ д'Ьлешя по-
получимъ формулу для tga.
Последнюю можно привести
къ логариемическому виду,
вводя rfe же величины v и р. Изъ
уравнешй F) и (9) мы получимъ:
sin у sina = sinn sine,
sinycosa= pcos(fi )'),
такъ что
sinn sine
tga — —
pcos\[i v)
[1римФ,няя второе выражеше
для р изъ уравнешя (8) найдемъ:
величину if нужно предварительно
вычислить изъ уравнешя G).
Соответственный результатъ
получаемъ также для стороны }?¦
5. Другой способъ опредъ-
лешя сторонъ, также удобный для
логарнемическихъ вычислешй, да-
ютъ аналоги! Непера (VIII):
а ,4
t a + b t с C°S 2
2
7
a b
- -
2
e
2
cos
sln
sin
Если мы хотимъ вычислить
уголъ у лишь посл-Ь сторон ь,
то это можно удобно произвести
8

§ 54 130
при помощи уравненШ Деламбра, при помощи уравнешй Деламбра,
напримт>ръ: наприм1;ръ:
с
it S1" о
с а + о 2
cos — = cos
cos =
2
cos -* I cos
или ' или
, , sin - , sin -
. С . а + О 2 .у а - р 2
sin = sin • — — - • sin - — cos ¦ , , •
2 2 а -В 2 a + b
cos | sin -
Изъ этихъ уравнешй слЪдуетъ выбрать то, которое даетъ наиболее
точный результатъ (§ 51).
Третш и четвертый случай.
Даны стороны а,Ь,С,требуется Даны углы a, /?, у; требуется
разыскать углы а, /9, у. разыскать стороны а, Ь, с
6. Первое рЪшеше. 6. Первое р-Ьшеше.
По формуламъ (II): По формуламъ (II):
cos а — cos Ъ cos с cos a 4- cos б cosy
coso = .-. . cosa = - .- -
sin о sin с sin р sin у
и т. д. и т. д.
Такъ какъ это ptmeHie неудобно для логариемическихъ вычислежй,
то предпочитаютъ слЪдуюцйя ptuieHifl.
7. Второе ptuieHie.
Мы ведемъ вычислеше по формуламъ (X) и (XI). Изъ нихъ, вслъд-
ств1е большей точности, наиболее рекомендуются формулы, выражаюция
тангенсы. Именно:
a k a cos at
2 sin 5, 2 у.
и т. д. и т. д.
COS0, COS0, COSCT
, , /sin 51 sin s9 sin Si -. /
k=V sin/0 • * = ]/¦
8. Третье ръшен1е. , 8. Третье ръшен!е.
Если положимъ (формула A) § 50-го)
V
ts*
l /1 e i t a ?\ * (P e\ i / У e\
I / tor . TP" I I < TP" I — I • TCfm — I
V g4 tg\2 4/ tg\2 A) tg\2 4/'

131
§ 54
то уравнешя (XII), (XIII) и (XIV) даютъ:
tg| = M.tgf,
T/
tg ^ = M . cotg ( -L-
Отсюда нетрудно уже получить углы а, /3, у или соответственно
стороны д, Ь, С нростымъ сложешемъ.
Этотъ методъ особенно ц-Ьненъ въ томъ отношение что
онъ даетъ возможность строго проверять результаты:
T +
A т)+A ¦:)
1 т
Пятый и шестой случай.
Даны с, а, у; требуется Даны у, а, с; требуется
найти а, р>, Ъ- найти а, Ь, ft.
9. Первое ръшеше.
По теорем-fe синусовь:
sina .
sina = siny. A0)
sine
Когда вычислень уголъ а,
формулы (VIII) даютъ:
. С-\-а
п Sln
, Р Я , У -а
cotg = tg - ,
s 2 . с- а & 2
sin - _
2
(И)
9. Первое р
По теорем-fe синусовъ:
sinfl = sine. A0)
sin у
Когда вычислена сторона а,
формулы (VIII) даютъ:
- У+
1 sin ' J- -
о ».». 2 с а
-2= : у «tg 2 -
sin
2
ъ
2
j
cotg -
sin
sin
Qin
olll
sin
y+a
2
у - a

2
c+a
2
2
с - a
l~ 2
у а
A1)

§ 54
132
10. Второе ptmeHie.
Если нужно вычислить только
сторону /; или вычислить ее раньше
угловъ, то теорема косинусовъ:
cos с = cos a cos/; -f- sin д sin/» cos 7
даетъ квадратное уравнеше отно-
относительно sin /;, если подставимъ
cos/7 = j/l sin2/i.
Значительно проше ведется
вычислеше, если мы опять вводим ь
вспомогательныя величины. Именно,
если опять положимъ, какъ въ
уравнеши G),
tgin = tgflcos-/, 0"<m<180n,
то соотношение (9) даетъ непо-
непосредственно:
cose cosm
cos(b - т) =
cos a
A2)
Если нужно вычислить уголъ
/? одинъ или въ первую очередь,
то теорема синусовъ и второе
уравнеше (V) даютъ:
sin a sine = sin у sin a
sin а cose = cosy sin/9,
-f- siny cos /? cos a.
ДЬля одно на другое и подставляя
cos/? = 1 1 sin8,.?, мы нолучаемъ
квадратное уравнеше относительно
sin/:/.
10. Второе p
Если нужно вычислить только
уголъ р или вычислить его раньше
сторонъ, то теорема косинусовь:
cosy = cos о cos j5 -f- sin a sin ft cos с
даетъ квадратное уравнеше отно-
относительно sin^, если подставимъ
cos// = |Л - sin2/?-
Значительно проще ведется
вычисление, если мы опять вводимъ
вспомогательныя величины. Именно,
если опять положим ь, какъ въ
уравнеши G),
cotgi' ^ tgacose, 0"<v< 180°,
то соотношеше (9) даетъ непо-
непосредственно:
cosy sinv
cos a
sin
v) =
A2)
Если нужно вычислить сто-
сторону Ь одну или въ первую оче-
очередь, то теорема синусовъ и вто-
второе уравнеше (IV) даютъ:
sin a s\ny = sine sin a,
sin a cosy = cose sin/;
sine cos/7 cos o.
ДЬля одно на другое и подставляя
cos/; = \ 1 sin'J/;, мы получаемь
квадратное уравнеше относительно
sin /;.
Чтобы и здЬсь ввести вспомогательный уголь для удобства вы-
числеиШ, мы вновь возвратимся къ фьг. 47 па стр. 126 и положим ь
(подь р разумея cosh):
A3)
cosy = p sin/i, I
cosrt = pcosfi. J
Тогда р и /i определяются
изъ уравнен!й:
cose =pcosh, I
sinecosa - psinn. J
Тогда р и п определяются
изъ уравнений: .

133 § 54
cotg/t = cosrt tg}',
sin/ cos a
' COS /I
Вм-hcrb съ тъмъ мы
чаемь:
A4)
A5)
полу-
tg» :
р=
BMtcrt
чаемъ:
= cosotgc,
sine cos a
sin«
съ т-Ьмъ мы
A4)
A5)
полу-
sin а sine sin}'sind, sin a sin у = sin с sin о,
sina cose = p cos (/? - //,); sin a cosy = p sin (/; «):
разделяя же первое изъ этихь разделяя же первое изъ этихъ
уравненш на второе и пользуясь уравнешй на второе и пользуясь
соотношешемъ A5), находнмъ: соотношениемь A5), находимъ:
rt _ sin?ttga
gt" cosO? 70' tgJ/~i[n(F" я)'
или, накоиецъ, или, паконецъ,
cos(^ /t) = tgd cotgt cos,u, A6) sin(/; и) = tgocotg-/sinH, A6)
при чемъ 3na4enie /t нужно взять при чемъ значеше п нужно взять
изъ уравнешя A4). изъ уравнен!я A4).
11. Изслъдоваше ptuieHifi. Н^колько сложное въ настоящемъ
cлyчat изсл-Ьдованге мы проведемъ только для пятаго случая, такъ какъ
результатъ непосредственно распространяется на шестой случай.
Уравненге A0) приводится къ тремъ главнымъ случаямъ.
sinfisiny
1. -. > 1. Веществепныхъ ръшешй вовсе нътъ.
sine
Одно вещественное pisuieHie; треуголь-
_ sinrt sin}'
¦i. . =1. никъ становится прямоугольнымъ съ пря-
sine
мымъ угломъ а.
Въ этомъ случай vpaBHeHie A0) даетъ два
sinrt sin}' . J '
о <Г 1. значешя для угла а, но нужно обсудить,
пригодны ли оба угла.
Чтобы провести это изсл-Кдоваже, мы обозначимъ острый уголь,
который получается изь уравнешя A0), черезъ а, а тупой- черезъ а",
такъ что
«"= 180° а'.
Наша задача будетъ имъть одно или два рЪшешя въ зависимости отъ
того, даеть ли точько одинъ изъ угловъ а' и а" или даютъ оба поло-
жительныя значешя для cotg/^/2 и cotg/7/2, когда мы эти углы подста-
вимъ вь уравнен!е A1). Но это означаетъ:
дли каждаго вещественнаго рЪшешя разности у а и
с- п должны им-Ьть одинаковые знаки.

§ 54 134
Различные случаи, которые здъть могутъ представиться, мы свели
въ табличку, помъщенную ниже. Чтобы выяснить, какъ она составлена,
мы остановимся подробнъе на первомъ изъ приведенныхъ въ ней слу-
чаевъ. Итакъ, положимъ, что
с ^ 90°, а < 90°, с < а.
Такъ какъ с а < 0, то и у а должно быть меньше 0. Но при
нашихъ предположешяхъ sinr<sina; поэтому, въ виду соотношешя A0)
sino>sinj'. Но, какъ мы показали, у должно быть меньше а; если по-
поэтому у > 90°, то мы не получаемъ ни одного рЪшешя, если же у < 90°,
то мы получаемъ 2 рЪшешя. Если мы положимъ:
с = 90° + <f, a = 90° + -»/>°,
то
(f < ijj означаетъ: сторона с ближе къ 90°, нежели а;
(р>4> означаетъ: сторона а ближе къ 90", нежели с.
ПослТз этихъ подготовительныхъ соображений пониман!е следующей
таблицы уже не представить никакихъ затрудненШ:
с < 90°, а < 90°,
два ръшешя ) у < 90°
С < а > смотря по тому, будетъ ли
ни одного ptmeHiHj у > 90°
с = а см. ниже
с>й одно ръшеше: а = а'.
с > 90°, а < 90°,
два ръшешя ) „ у > 90°
(р > ч/» \ смотря по тому, будетъ ли
ни одного ptmeHiflJ у < 90"
одно р-Ьшеше: а = а' \ ^ у > 90°
(р = ip У смотря по тому, будетъ ли
ни одного р-Ьшешя J у < 90°
(р < ip одно ptuieHie: a = о'.
с < 90°, а > 90°,
два ръшешя ) „ у < 90°
Ч > Ч> \ смотря по тому, будетъ ли
ни одного p-feiueHifl J у > 90°
одно ръшеше: а = а") ^ у < 90°
(f = ip \ смотря по тому, будетъ ли
ни одного ръшешя J у > 90°
(р < чр одно р-Ьшеше: а = а".

135 § 54
с > 90°, а > 90й,
два ръшешя 1 „ у > 90°
с > а смотря по тому, будетъ ли
ни одного ръчиешя J у < 90°
с = а см. ниже
с < а одно ръшеше: а = а".
Особаго изсл-Ьдоважя требует ь еще случай с = а. Вь этомъ случай
и а = у (§ 36, 7), и формула (VIII) даетъ:
cotg -|- = tgy cos с; tg — = tgc cosy.
Чтобы поэтому tg/?/2 и tgfc'2 им-Ьли положительныя значешя, не-
необходимо и достаточно, чтобы сну были одновременно больше 90°.
Зд-Ьсь мы получаемъ только одно р-Ьшеше за исключешемъ того
случая, когда а = С = у = 90°. Въ этомъ случай, какъ легко усмотреть,
мы получаемъ безчисленное множество ptuieHifl.
12. Изсл-Ьдоваше шестой задачи (у, а, с) проводится совершенно
такимъ же образомъ, только стороны и углы нужно всюду заменить
другъ другомъ. Если положимъ:
С = 90° + (р°, у = 90° + gf,
а = 90° Т у0, | а = 90° + V0.
s _ 1 + 1, когда л; и у однородные*) углы,
'" J 0, когда х и у неоднородные углы,
^ = число р-Ьшен1й,
то наша таблица приводить окончательно къ следующему результату:
sin n, sin v. . .. .-,. sin «sin с.
sin a sin у «^
sin /• ^
sin a sin у
sin r
sin a sin у ^,
sine
1: , = О
1. j,— I
a) if < гр.
b) v = 4':
A)
B)
C)
J =
sin у
sin a sin с
sin ее sin с
siu у
1:
= 1:
< I:
Исключен!е:
fl = г = у = 90°: i =
Исключеьпе:
*) Подъ „однородными" мы разумЪемъ два угла, если они оба острые или оба
тупые, подъ „неоднородными"— таше, изъ которыхъ одинъ острый, другой тупой.

§ 54
136
13. Въ техъ случаяхъ, когда имеются два рЬшешя, мы иолучаемъ
два значешя стороны /; и угла /?, полагая въ уравнешяхъ A1) разъ а а
(или соответственно й=й'\ а другой разъ а а" (соответственной - а").
Несколько иначе обстоять дело, если мы пользуемся вспомога-
тельнымъ углом ь (стр. 133).
Въ этомъ случае разность Въ этомь случае разность
Ь — т определяется по косинусу. /? v определяется по синусу.
Если и есть одно изъ значен'|й, Если /i есть одно изъ значенШ,
отвечающихъ этому косинусу, то отвЬчающнхъ этому синусу, то
другое есть я; вместе съ темъ
// = т -\- п,
Ь" = т п.
Точно так ь же и разность/3 /*
определяется по косинусу. Если
поэтому
—-—.
1
А
Фиг. is.
/1 = "" V,
= H + v,
-
JJ
ТО
Это подтверждается (схема-
тическимъ) чертежомъ 48, на ко-
тороыъ
DAt = ?>//2 = и,
CD - т,
-; CBD = ii.
другое есть 180° /л; вместе i
? = " + И,
Точно такъ же разность b И
определяется по синусу. Если
Фиг 19.
поэтому Ъ - п = ~ т, то
Ь' = п + т.
/," = ,1+180° т.
Это подтверждается черте-
чертежомъ 49, на которомь
=ii, C2BD =180° ц,
m, DC, = 180° -т,
JJ1D= A2BD -v,
. DAX = DA% = n.

137
§ 55
§ 55. Опред1>лен1е другихъ важныхъ частей треугольника.
1. Pafliycb о вписанной окружности.
Пусть о будетъ сферически pafliycb вписанной окружноаи, ц ея
центр ь, /), //, F точки касаши (фиг. 50, схематически чертежъ)
Совершенно такь же, какъ и въ планиметрш, мы убеждаемся, что
ЛМ= JF -st,
(
-- BD -*„
CD -CE^sa.
Изъ прямоугольнаго треуюльника
4' находимы
A)
sin s,
/? tg О
tp- — ь"
ь 2 sin.v2'
"' tco *иг' 50"
2 sin.<3
Сличая эти соотношешя сь формулами (X) § 53-го, находимъ:
y = |/sins"i sins, sini3 ^ ^
V sin-<o
tg
Уравнешя A) можно еще написать въ такомъ видъ:
a sin*.
B)
2 tgo '
складывая ихъ почленно, мы получимъ:
2sin'S|
cotg " + cotg ±- =
, 3 sin So
C°tg 2 - tgo"
1
cos 1
или
cotgp =
2 cos
sin
a b . с
2 S1" 2
При помощи посл-Ьдняго уравнешя Деламбра (§ 53, IX) этому
равенству можно придать теперь видъ:
cotgp =
cos
„ с . с . а .
2 cos 2 sin 2 sin 2- sin
4 cos cos - cos
sincsina sin,^

§ 55
138
Пользуясь, наконецъ, формулой (I) § 53-го, получаемъ:
4 ару
cotgo = - - - cos cos cos •
C)
2. Радиусы внъвписанныхъ окружностей р,, q2, р3.
Если pt есть радьусъ внъвписанной окружности, касающейся сторо-
стороны а, то легко сообразить, что эта окружность также вписана въ смежный
треугольникь со сторонами а, 180° Ь, 180° — с Поэтому формулы A) - C)
даютъ непосредственно:
D)
E)
2 siru0'
b •"> cin с ' & О <=."n .-
sins
sin i,,
= . /sin^sin^sin^ =_ /siiu0 sin.s3 sins,
+ +
, /sin.\n sin5. sin.«9
4 a P у
= r cos -— sin -— sin —-,
, 4 p . у . а
cotgp., = - r- cos ^ sin ' sin , Fj
4 У . n . P
COtgOg = - COS Sin Sin —
J 2 2 2
Перемножая уравнешя E) попарно, мы получаем ь замъчательныя
соотношешя:
i).l = sinsosin<f3,
G)
3. Каждой изъ формулъ A) - G) соотвътствуютъ аналогичныя въ
планиметр!и (ср. § 31 и § 24). Формула, аналогичная выражешю C), мо-
жетъ быть выведена изъ соотношенШ A1) и A2) § 31-го; она гласить:
14?- а Р у
= - -j COS COS COS ,
Q J 2 2 2
гдъ J есть площадь, а r—ратусъ окружности, описанной около плоскаго
треугольника. Вмъсто Л здъсь появилось отношеше J: г. То же относится
и къ уравнешю F).
Нужно заметить, что и самый выводъ этихъ формулъ въ плани-
MeTpin можно вести въ совершенно аналогичномъ порядкъ.

139
§ 55
4. Рад1усъ R описанной окружности.
Согласно § 39, 14, рад1усъ R описанной окружности является вели-
величиной, полярной относительно р. Если мы примемъ во внимаше, что при
обозначешяхъ, которыми мы теперь пользуемся, стороны треугольника
служатъ дополнешями угловъ полярнаго треугольника (а не равны
самимъ угламъ), то изь соотношенШ A) — C) получимъ:
, a cotg^ /; cotg R
cot8 -. = —^^ > cotg , = — i
2 cosrt, л L2 cos0,
, с cotgR
cote: = , (8)
ё 2 coscr.,' *" J
. г. -ш / COS 0, COS 02 COS 0„
cotg/? = 1/ - — — = и.
s J/ -cosrt0
, „ 4 . a . b . с
tgR = ¦ sin — sin — sin —
LJ ^ ii л
(9)
A0)
5. Площадь /' сферическаго треугольника.
Две окружности большихъ круговъ ограничиваютъ на сфере четыре
„двуугольника". Чтобы определить площадь ^ одного изъ нихъ, полезно
Фиг. 51.
Фиг. 52.
выразить углы въ дуговой мере. Если теперь г снова обозначаетъ
pafliycb сферы, Г— ея поверхность, ? -уголъ двуугольника, то очевидно
(фиг. 51), что:
откуда следуетъ, что
Положимъ теперь, что имеемъ на сфере треугольникъ ^1ВС (въ
Эйлеровомъ обозначенш); пусть ^Г, В', С будутъ противоположный
точки вершинъ Л, В, С (фиг. 52). Въ такомъ случае сумма сферическихъ
двуугольниковъ
ABAC, BAB'C, СВ'С'А'

§ 55 140
превышаетъ полусферу (на нашей фигуре переднюю) на треугольникъ
*1ВС и противоположный треугольникь Л'И'С Углы двуугольниковь
(выраженный въ дуговой мЪрЬ) суть о. ,?, ;', треугольники же ЛВС и
Л'В'С равновелики, какъ вь этомъ легко убедиться. Поэтому
Если мы снова положимъ
? = « + ? + 7 -я,
то
7 ?ге. A1)
6. Изь этого мы заключаемъ, что всегда ?>0, или что сумма
угловъ сферическаго треугольника всегда больше 180" (§ 36, 7).
При одном ь и томъ же pafliycfe круга площадь сферическаго тре-
треугольника, какъ видно изъ формулы A1), зависить только оть суммы
угловъ треугольника. Такъ какь большей площади соответствует ь, сле-
следовательно, большая сумма угловъ, то отсюда вытекаетъ предложеше:
Подобныхъ треугольниковъ, въ томъ смысле, какъ въ пла-
ииметрЬ!, на сфер-b не существуетъ; напротивъ, на сферахъ
различныхъ рад!усовъ бываютъ подобные треугольники, и ихъ
площади относятся, какъ квадраты этихъ рад1усовъ.
7- Подобно тому, какъ въ § 36, 4 стороны были выражены, неза-
независимо отъ pafliyca сферы, отвлеченными, лишенными измЪрешя числами,
подобно этому целесообразно иметь число, лишенное изм-Ьрешя, также
для выражешя площади треугольника. Сообразно этому, мы будем ь на-
называть „рашональной площадью" сферическаго треугольника
величину
X, \% = 8. A2)
съ тЬмъ имеетъ место предложеше:
Рацшнальная площадь сферическаго треугольника не зави-
ситъ отъ pafliyca сферы, а определяется виолл1> суммой углов ь
треугольника, а именно она равна его сферическому избытку.
8. Для вычислещя площади сферическаго треугольника по данпымъ
сторонамъ служитъ формула Люилье (§ 53, XII):
Г ^° tg -^ tg т* ^!, <-13)
въ связи съ выражен!емъ A1).
„Рацюнальную" площадь треугольника эта формула даетъ непо-
непосредственно.

141 § 56
§ 56. Соотношешя между сферической и плоской тригонометр1ей.
„Малые" треугольники: теорема Лежандра.
1. Если вершины А, В, A сферическаго треугольника остаются не
подвижными, а рад1усъ сферы г неограниченно возрастаетъ, то по прсд-
ставлетямъ обыкновенной Евклидовой геометрж сфера перехо-
дитъ въ плоскость, определяемую точками А, В, С, а сферичесюй тре-
угольникъ въ плосюй.
Стороны й, Ь, с стремятся при этомъ къ нулю, но длины дугъ,
содержащихся между вершинами, не обращаются въ нуль. Сообразно
тому, какъ это было выяснено въ § 36, 4, мы положим ь:
а . Ь с ,1Ч
а =¦ - b = — с = -, (I)
г г г
гдъ а, Ъ, С суть абсолютныя длины соотвЬтствующихъ дугъ. Мы наме-
намерены вывести формулы плоской тригонометрш путемъ пред^льнаго пе-
перехода изъ формулъ сферической тригонометрш.
2. Изъ формулы A2) § 55
', у, «
слъдуетъ, что е = 0 при г = -^.
Такимъ образомь, предложен1е о суммъ угловъ плоскаго
треугольника является вь плоской геометрш аналогичиымъ
теоремъ § 55, 7 о рациональной площади сферическаго тре-
треугольника.
Дал he, формула A1) § 55 приводить къ предложена:
¦
Въ планиметрш абсолютная величина площади при имастъ
форму 1'= 0 • оо. Этимь выясняется, что въ плоскомъ треуголь-
никЬ площадь не опред ьляется углами, такь какь произведете
О у^ прелставляетъ собо/i неопределенную величину.
3. Чтобы совершить предельный переходъ для собственно триго-
тригонометрических ь формулъ, мы воспользуемся приведенными вь I-мъ томЬ
на стр. 471 формулами, когорыя для безконечно малыхъ угловъ, т. е. при
безконечно большом ь R, справедливы съ безкопечно большою точностью12):
12) Это положеше выражено чрезвычайно неудачно. Въ действительности
сираведлиио то, что отношешя
sinv 2A cosv) / . \ т3 / х2
"Г" —V ' (V Slnv) 6' (C0SV l- 2-):24
стремятся къ 1, когда * стремится къ О. Мы дадимъ болъе простой выводъ пре-
д^льнаго перехода въ особомъ приложеши вь концЪ кни[и.
-):24

§ 56 142
Хл _ X X
Х~ 6 ~Т ~ 6г3'
Такимъ образомъ теорема синусовъ на сферъ непосред-
непосредственно переходитъ вь теорему синусовъ плоской тригоно-
4. Теорема косинусовъ:
собд - = cosЪ cose -\- sin/7 sin с cosa
принимаетъ форму:
2 4
а а
2г* ^24г
-tl b* 4- l)t \(l C% + " \ЛЬ - ~b'\i'c - ?
\ 21* "r24r4/\ 2ri"r24?-/"h\r b;3/\r 6r
cos a.
Раскрывая скобки, умножая на — 2/-2 и опуская члены, которые
содержать \/г вь степени выше четвертой, мы получаемь:
а = Р+~с2 - 2liccosa
B)
[bi+6b2C2 + ci д*-4*с(Р + C2)cosa].
При г = >"> отсюда следуетъ:
Теорема косинусовъ на сфере также переходить въ соот-
соответствующую теорему въ плоской тригонометрш.
5. Этимъ нутемъ можно для каждой формулы сферической триго-
нометр1и найти соответствующую ей въ плоской. Подчеркнемъ еще
формулу A3) § 55, заслуживающую особеннаго внимамя. Такъ какъ
е стремится къ 0, то tge/4 можно заменить черезъ е/4; далее st — sji".
Поэтому соотношен4е A3) даетъ для плоскаго треугольника известное
выражете площади треугольника
У s0 ¦ st ¦ Sj, • л'з = lim r2e = i,
(см. § 24, F); § 31, G)).
6. Мы разсматривали сейчасъ плоскШ треугольникъ, какъ предЬлъ
сферическаго.
Для геодезиста-практика несравненно боЛЬе важное значете имеетъ
вопросъ: Можно ли и, если можно, то при какихъ услов!яхъ --

143 § 56
трактовать сферичесмй треугольникъ при вычислешяхъ, какъ
плосюй.
Отв-Ьтъ на этотъ вопросъ даетъ теорема Лежандра, которая яъ
практике находить себе широкое применеше.
Если сферичесюй треугольникъ имеетъ малыя стороны,
а всл^дств1е этого и малый сферически избытокъ, то его пло-
площадь приближенно равняется площади плоскаго треугольника,
стороны котораго им-бютъ т-fe же абсолютныя длины; каждый же
уголъ сферическаго треугольника превышаетъ на одну треть
сферическаго избытка соответствующей уголъ плоскаго тре-
треугольника.
Выражеше „малый" треугольникъ страдаетъ, конечно, некоторой
неопределенностью. Геодез!я даетъ определенныя практическ1я правила
относительно предътювъ применимости этого предложешя. Намъ доста-
достаточно сказать такъ: если стороны сферическаго треугольника опреде-
определяются равенствами
а , Ъ с
а=г> * = -. с=г,
то дпины а, Ь, С должны быть малы по сравненш съ г и при томъ
настолько, чтобы членами порядка (а/г)* и выше, во всякомъ случай,
можно было иренеберечь. СферическШ же избытокъ долженъ быть на-
настолько малъ, чтобы съ гЬмъ же приближешемъ можно бы;:о принимать
г = tge = sine и cosf = 1. Сферичесюй треугольникъ ABC, въ которомъ
стороны а, Ъ, с выражены въ линейной мъръ, а углы суть о, /? у, сопо-
сопоставляется въ теорем^ Лежандра съ плоскимъ треугольникомь А1В1С1,
который им^етъ rfe же стороны а, Ъ с, углы же равны о, = a t/3,
/?i = ? - е/3, "Л = У - е/3.
При сдЬланныхъ предположен1яхъ мы получаемъ для площади со-
совершенно такъ же, какъ въ п. 5, выражение:
этимъ доказана первая часть предложешя.
7. Обращаясь къ доказательству второй части, мы выведемъ изъ
уравнешя B), опуская члены, содержания \/г въ четвертой степени и
высшихъ, соотношете
в* = (Ь* + ? - 2 be cos a)' + А,
где К есть величина, не завися1дая отъ г. Если мы подставимъ это вы-
ражете вместо й4 внутди прямоугольныхъ скобокъ въ уравнен!и B) и

§ 56 144
вновь опустимъ члены четвертой степени и выше относительно 1/г то
уравнеше B) приметь видъ:
-з та , - 2 „т- Ъ1 c2sm*a
а = b -\-c 2bccosa -
о Т
При пашихъ предположенisixb здЬсь можно положить
' Ь~ + с2 2bccosa bcsin
такъ что мы получимъ:
а' - Ь~ + с2 2bccosa — ^—пbcsina.
Такь какъ, съ другой стороны, согласно § 55, A2), {/у- = и, то
а2 - Ь' + с2 2bc I cos« -\- -sinп I;
такъ какъ лалЬе
(а
и мы можем ь положить cos е, 3 = 1, sin е/3 = е 3, то
cos | а -о ] cos a cos — -)- sin «sin —-,
а'2 = b2 + с2 2 be cos (a - * V C)
Если мы прпсоединимъ сюда еще двт, друг1я формулы, который
получаются изъ этой круговой замЬной то и вторая часть теоремы
Лежандра будетъ доказана.
8. Другое весьма изящное доказательство теоремы Лежандра, кг-
торое, вь противоположность предыдущему исходить изь теоремы си-
синусов ь, даль Эпштейнъ *).
Мы напншемь теорему синусовь вь такой формЬ:
. Ь . . . а
sirwism - sin/jsin
i Г
Выражая sin air и sin А/г рядами, мы отсюда получаемы
.' (Ь 1>я ,
sma\r 6V +
Умножая обт, части на ? и ограничиваясь членами, степень которыхъ
относительно 1/г не превышаетъ второй, мы получаемъ:
*) Epstein. Zcitschrift fur Vermessungswesen, Bd. 36, 1907.

145 § 56
b I Sinn - fi. a sirm ) = a I sin^ ~ r .2 sin[?) "
Вь виду же соотношешя
r2
мы получаемъ:
-, / . е b2 sin а\ ( . г е я2 sin б
о I sin а — - I = a I sin б —
\ 3 2j / \ 3 2?
O6t стороны этого равенства можно разсматривать, какъ ряды,
расположенные по восходящимъ степенямъ е. Такъ какъ зд"Ьсь нужно
сохранить только первый степени, то къ коэффищентамъ при е можно
непосредственно применить правила плоской тригонометрш. Сообразно
этому мы полагаемъ съ лЪвой стороны:
21 = b с sin a,
а съ правой:
2/ = tf.csin]3;
тогда мы получаемъ:
если здъхь снова положимъ сл"Ьва:
/; = с cos a + a cosy,
а справа:
а = ecos/5 -f- bcosy,
то получимь:
/л sin» I cos« -)- 1. cos^l = a sin/5 - I cos/5 + _ cosy 11-
Здъсь члень - - cosy сь одной и съ другой стороны отпа-
о с
даетъ, и остается
/>lsin« — cosal = a I sin/3 - cos/5 I,
ft sin (a з)=д5ш(/?
Это и есть теорема Лежандра
/.
Веиеръ, Энциклоп элемент. reoweTpin.
ИЛИ

Книга III.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРШ
И СТЕРЕОМЕТРШ.
10*

ГЛАВА VII.
Аналитическая геометргя на плоскости.
§ 57. Координаты.
1. Для нахождешя новыхъ истинъ и для ведешя доказательствъ
геометр!я пользуется двумя различными методами, изъ коихъ одинъ, бо-
лъе старый, называется синтетическимъ, другой- аналитическими
Синтетическая геометр1я имъетъ своимъ источникомъ непосредственное
созерцате пространственныхъ образовъ и является дальн^йшимь разви-
т1емъ „Началъ" Евклида. При каждомъ своемъ mart она позволяетъ
непосредственно видеть геометрическую природу npieMa, употребленнаго
при доказательств^, но не имъ-етъ въ своихъ изслътюватяхъ столь опре-
дътшннаго предуказаннаго пути, какъ аналитически методъ.
Искусство же аналитиковъ состоитъ въ томъ, что они, устраняя
неизящныя вычислежя, разрабатываютъ алгебраичесюя идеи и, такимъ
образомъ, вмъсто созерцатя пространства пользуются разсматри-
ван!емъ чиселъ*).
2. Средствомъ, къ которому преимущественно прибЪгаетъ аналити-
аналитическая геометр!я, являются координаты; мы ими уже пользовались вь
восьмой глав^ первой части для геометрическаго представлетя комплекс-
ныхъ чиселъ.
Возьмемъ на плоскости дв1; произвольныя взаимно перпендикулярныя
оси ось л-овъ и ось v-овъ, пересЬкающ!яся въ некоторой точк-fe О,
называемой началомъ координатъ. На каждой изъ этихъ прямыхъ мы
по произволу одно изъ направлен^ будемъ называть положительным ь.
*) Открьте аналитической геометр1и приписывается Декарту, сочинеже
котораго „Geomctrie" вышло въ св^тъ въ 1637 году. Одновременно и независимо
отъ него къ тЪмъ же идеямъ пришелъ и Ферма (письмо къ Робервалю, 1636);
въ статьяхъ, опубликованныхъ имъ позже, онъ уходитъ даже дальше Декарта.
Уже у Аполлошя заметны слъ\ды аналитическихъ пр1емовъ. У Гессе (Hesse)
A811 1874) методы аналитической геометрш получили наибол-fee совершенную
формальную разработку.

§ 57 150
Для того, чтобы определить положеше точки Р, опустимъ изъ нея
на обе оси перпендикуляры; основашя посл'Ьднихъ обозначимъ соотв-Ьт-
ственно черезъ () и R. Если длину каждаго изъ отр-Ьзковъ OQ и OR
снабдимъ положительнымъ или отрицательнымъ знакомъ, смОтря по тому,
лежить ли соответствующая изъ точекъ Q и R на своей оси въ поло-
жительномъ или отрицательномъ направлеши отъ О, то полученныя та-
кимъ образомъ числа х и у называются координатами точки Р. Если
он!, даны, то положете точки Р определяется однозначно. Ихъ называютъ
прямоугольными или Декартовыми координатами въ отлич1е отъ
других ь координатъ, примеръ которыхъ мы сейчасъ приведемъ.
3. Каждая прямая литя опред-Ьляетъ два противоположныя напра-
влешя. Если же изъ некоторой точки провести прямую, какъ „лучъ",
только въ одну сторону, то получается лишь одно определенное напра-
направлеше. Черезъ каждую произвольную точку плоскости можно провести
лучь, параллельный данному лучу; все таюе параллельные лучи имеютъ
одно и то же направлеше ').
Для того, чтобы некоторое направлете, заданное лучемъ, опре-
определить при помощи системы координатъ, проведемъ черезъ начало парал-
параллельный ему лучъ 5 и представимъ
себе, что некоторый подвижный луч ь
первоначально совпадавшШ съ осью
л>овъ, при помощи вращешя на по-
ao6ie часовой стрелки, достигаетъ
направлешя .<;.
Мы (по произволу) называемъ
вращеше положительнымъ, если
оно происходить въ направленш отъ
положительной части оси л:-овъ къ
Фиг. 53.
положительной части оси jy-овъ (на
нашемь чертеже это направлеше указано стрелкой); вращеше же въ
противоположную сторону мы называемъ отрицательнымъ. Если теперь
разум Ьть подь углом ь fr наименьшее положительное вращеше, при по-
помощи котораго можно перейти отъ положительнаго направлетя оси .т-овъ
къ направлетю .<>', то # содержится между 0 и 2п. Каждый уголъ ¦#,
взятый въ этомъ интервале, характеризуем одно и только одно на-
правлен!е г, но вращетя, отличаюппяся другь отъ друга на положи-
положительное или отрицательное число, кратное 2яг, характеризуют^ одно и
то же направлеше. Такимъ образомъ, направлеше определяется одно-
однозначно, коль скоро даны sin# и cost?1.
') Т. е., будучи параллельны, также направлены въ одну и ту же сторону.

151
§ 57
4. На основами изложеннаго положеше точки Р можетъ быть
определено также направлешемъ и длиною луча г, проведеннаго отъ
начала къ точкъ Р. Направлеше опредъляется угломъ ft; который можно
заключить въ любой интервалъ разм-Ьромъ въ 2гг, напримЬръ, въ интер-
валъ 0, 2 л; или — п, -\- л (при этомъ одно изъ двухъ предътшныхъ
значешй исключается изъ интервала, а другое включается въ него).
Длина г измЬряется произвольной единицей длины, по всегда разсматри-
вается, какъ положительная величина. Такимъ образомъ, величины гиг/
однозначно оиредъляютъ положете точки Р; поэтому и ихъ также назы-
ваютъ координатами точки Р, а именно полярными координатами, въ
отлич1е отъ прямоугольныхъ. Начальная точка О называется полюсом ь
этой системы координатъ.
5. Задача: Пусть дв^Ь точки 1 и 2 заданы координатами xv yt и
х\, у2. Требуется опред^ить ихъ разстояше A2) и направлен1е отъ
точки 1 къ TO4Kt 2.
Ptmenie задачи просто выводится изъ фиг. 54. Если черезъ точки
1, 2 провести прямыя, параллельныя оси
V'-овь и оси у-овъ, то получится прямо-
уготьный треугольникъ A23). въ кото-
ромь сторона A2) является гипотенузой>
а катеты A3) и B3) равны соответ-
соответственно х2 -V'i и у2 уу, если не обра-
обращать вниматя на знаки. Если уголъ '//
лежитъ вь первомъ квадрант^, то o6t
разности являются положительными чи-
числами и мы получаемь равенства:
Фпг. 54
;V2 Хх = A2)
A2) = V"
- ух = A2) Sin д;
A)
B)
Если же точка 2 вращается въ положительномъ направленш вокругъ
точки 1, то А'2 А", изм^Ьняетъ свой знакъ при переход^ изъ перваго
квадранта во второй, а у2 - у, при переход^ въ третШ квадрантъ.
Такимъ образомъ, эти разности измЪняютъ
свой знакъ точно такъ же, какъ cost?1 и sin-O;
и, следовательно, формулы A) справедливы
для всякаго положен1я точекъ 1, 2.
6. Пусть три точки 1, 2, 3, образующ1я
треугольникъ, заданы своими координатами z/-^z- a,
Хц vt; A'2, у.г; х3, у3 (фиг. 55). Обозначен1я фиг- 55-
мы выбираемъ такъ, чтобы движете по сторонам ь треугольника въ

§ 57
152
направленш 1, 2, 3 отвечало положительному вращен1ю (фиг. 56).
Требуется выразить съ помощью координать стороны аи A2, а3 и углы
Лх, *12, ,/3 треугольника.
Решеше этой задачи получается непосред-
непосредственно изъ соотношенШ A) и B). Прежде всего
имеютъ мЬсто равенства
- V\xx
)• + (у,
Фиг. 56.
л-,)*
2 - у
Если, далее, углы, образуемые направлениями 23, 31, 12 съ осью
Л"-овъ, обозначить черезъ #,, #2, #'3, то
у Ау = &2 i9-3 -4 л,
''з = &\ "г Я,
и, следовательно,
sin,/, -sin#3cos$2
cos Л, -cos^3cos*?2
Затемъ, согласно равенствамъ A),
fl2sin#2 — г, у3,
ЙГЛЧчТ *У 1*
Фиг. 57.
sin
У*
и, следовательно,
у,) (л-2
, V3),
Первая изь этихъ формуль вм^стъ1 съ тЪмъ даетъ намъ удвоен-
удвоенную площадь треугольника. И если мы эту удвоенную плошааь
обозначимъ черезъ Л, то, произведя умножение, получимъ:
А - (х
А'
3 Г
(А,Г2 -Х2 V,). C)
Пользуясь этимъ выражен1емъ, сл^Ьдуетъ, однако, обратить внимаше
на то, чтобы последовательность точекъ 1, 2, 3 была выбрана именно
такою, какъ мы ее установили выше. Если изменить эту последователь-
последовательность и заместить напримеръ, точки 1 и 2 одну другой, то выражеше
C) изменить свой знакъ и будетъ представлять, такимъ образомъ, удвоен-
удвоенную площадь съ обратнымъ знакомъ.

153 § 57
7. На прямой линш g существуютъ два противоположныхъ напра-
влешя. Одно изъ этихъ направлений по произволу мы назовемъ поло-
жительнымъ и обозначимъ его на фиг. 57 стрелкой.
Каждая точка, взятая на прямой, дЪлитъ ее на положительную и
отрицательную полупрямыя.
Для того же, чтобы вполне определить лишю g, необходимо, кроме
направлешя, указать еще одно ycnoBie, которому она должна уд^летво-
рять; можно, наприм-Ьръ, потребовать, чтобы лишя g проходила черезъ
данную точку. Вместо зтого можетъ быть да ю ея разстояше отъ начала
координатъ, выражаемое перпендикуляромъ, опущеннымъ на нее изъ на-
начала. Но если это разст^яше не равно нулю, т. е. прямая не проходить
черезъ начало, то она этимь путемъ определяется не однозначно, а
двузначно 2).
8. Съ целью устранить эту двузначность, мы зам-Ьтимъ, что пло-
плоскость делится прямой g на две полуплоскости, и будемъ считать поло-
положительной ту изъ нихъ, въ которую вступаетъ положительный
лучъ прямой g при положи'ельномъ вращети вокругъ какой-
ибо ея точки; на нашемъ чертежЬ положительной будетъ та полу-
полуплоскость, которая представляла бы левый берегъ ръки, текущей въ
направлеши, совпадающемъ съ положительнымъ направлежемъ линш g.
Далее, мы будем ь считать разстояше точки Р отъ лиши g поло-
положительнымъ или огрицательнымъ, смотря по тому, л ежить ли точка Р съ
положительной или отрицательной стороны отъ прямой g.
Прямая g определяется однозначно, если направлен1е ея
задано угломъ 9~ и разстоян1е ея S отъ начала координатъ,
дано по величине и по знаку.
9. Мы ставимъ себе теперь слЬдующую задачу. Положимъ,
что прямая g задана при помоши <>• и д, и что, сверхъ того, дана
нЬкоторая точка Р своими координатами х, V- Требуется определить
разстояше D точки Р отъ лиши g.
Для решен!я этой задачи опустим ь изь точки Р (^фиг. 57) на ли-
Hiio g перпендикуляръ PQ, длина котораго равна L). Затемъ проведемъ
через ь О прямую UR, параллельную g, и опустимъ на прямую g пер-
перпендикуляр ь OS = f'.
Если (р есть уголъ, который направлен!е ОР образуетъ съ поло-
положительным ь нанравлетемъ оси л-овъ, и г есть разстояше ОР, то, на
основанш п. 4.,
х = rcos<p, v = г sin гр,
2) На данномъ разстоян!н отъ начала нроходятъ дсЬ прямыя даннаго на-
иравлен1я по одну и по другую сторону отъ начала.

§ 57 154
изъ прямоуголышго -не треугольника OPR получаемъ:
PR = rsin((/ //) r(sinr/i cos// cosr/ sin//).
Ho D = PR+ RQ и /f(J = OS = д, откуда
D д: sin ('/ -|- у cos I) -\- д. D)
На чертеже точки О и Р обе лежать съ положительной стороны пря-
прямой g, и точка Р отстоитъ отъ последней дальше, чьмъ начало координатъ
О, т. е. D > й. Если же D < й и й остается еще положительнымъ, то
sin(g> - fh) будетъ отрицательнымъ числомъ, и тогда PR= rs'm((f lh).
Но одновременно съ этимъ также D = PR-\- RQ, если подъ PR и RO
разуметь абсолютныя величины соотв-Ьтствующихъ разстоян1й, a D брать
съ надлежащим ь знакомъ. Следовательно, равенство D) остается спра-
ведливымъ и въ этомъ случай. Подобнымъ же образомъ можно убедиться
въ справедливости этой формулы, если точка О лежитъ съ отрицательной
стороны прямой g и если разстоян^е д им-Ьетъ, такимъ образсмъ, отрица-
отрицательное значеше.
10. Если за прямую мы g возьмемъ ось .т-овъ и положительным ь
ея направлешемъ будемь считать положительное направлеше оси л;-овъ,
то й = 0, i9- = 0 и 1) = V. Если же за положительное напраЕлеше пря-
прямой g мы выберемъ положительное наиравлеше оси у-овъ, то iV- = л/2
И 1) = X.
§ 58. Уравнеше прямой.
1. Если мы хотимъ аналитически выразить то обстоятельство, чго
точка Р должна лежать на прямой g, то намь нужно только положить
равнымъ нулю разстояше 7) точки Р отъ прямой g, выражаемое соот-
в-Ьтствующимъ перпендикуляромъ, и мы получимъ, на основан1и § 57 D),
равенство
xsini'h + vcos;'> + д = 0. (.1)
Это равенство показываетъ, что координаты .г, у отвечают ь
н-Ькоторой точкт^ на прямой, определяемой величинами -it- и й.
На этомь ocHoeanin это равенство называють уравнен!.мъ прямой.
Такимъ образомъ, если одна изъ двухъ координатъ .т, у точки
прямой взята произвольно, го другая определяется изъ этого уравнетя,
и, если мы одну изъ нихъ будемъ непрерывно изменять, то и другая въ
зависимости отъ этого будетъ изменяться некоторымъ определеннымъ
образомъ.
Равенство A) не изменить своего содержашя, если мы умножимъ его
на число /;, отличное отъ нуля и, такимъ образом ь, представимъ вь форме:
— h х sin ¦'>¦ + hy cos г9- + h д = 0. B)

155 § 58
Далее, если положить
hsinft - a, bcosfl = b, hd — с, C)
то оно приметь видь:
ах + Ьу + с^О; D)
это равенство есть ypaBHenie той же прямой. Уравнеше A) называется
(по Гессе) нормальным ь видомъ, а уравнеше D) общим ь видомъ
уравнешя прямой.
2. Если мы имЪемъ ypaBnenie вида D) съ произвольно заданными
коэффищентами а, I), г (при чемъ а и Ь не равны одновременно нулю),
то всегда можно найти соответствующую прямую, уравнетемъ коей
оно является.
Въ самомъ деле, изь равенствъ C) вытекаетъ, что h ~ V п~ -\-1)-,
откуда
. ,, а ,. Ь
s\nv — , cosv = - ,
У а'г + b* Va'1 + b2
чЪмь определяются два противоположныя направлешя, отвечаюьщя одной
и той же прлмой. Если квадратному корню приписать определенный
знакъ, напримеръ, положительный, то темъ самымъ будетъ выбрано за
положительное одно изъ этихъ двухъ направлен!й; именно, если при
этомъ а положительное число, то положительнымъ окажется то на-
правлеже, уголъ котораго съ положительнымъ направлешемъ оси д-овъ
лежитъ въ третьемъ или въ четвертомъ квадранте. Итакъ, этимъ путемъ
определяется какъ направлеше прямой g, такъ и положительная ея сторона3).
Въ силу равенства
*= г* -
Yd1 + bl
прямая g отстоитъ на разстоян1и 0 отъ начала координатъ О, при чемъ
точка О лежитъ съ положительной или съ отрицательной стороны отъ g
вь зависимости отъ того, является ли 6 положительнымъ или отрица-
тельнымъ числомъ.
Поэтому каждое уравпеше вида D) мы будемъ называть уравне-
уравнетемъ прямой лиши, а также линейным ь уравнетемъ.
3- Если въ уравнеши B) положить
I) = , , д = Icostf,
cos */
') Т. е. изъ двухъ полуплоскостей, на который делится плоскость прямою g,
опредЪляется та, которую, согласно заключенному выше (§ 57, 8) условно, мы на-
зываемъ ноложительной.

§ 58 156
то оно приметь видъ
y l, E)
гдъ ордината у представлена въ видъ линейной функцш отъ х. Здъсь
/ является значетемъ у, которое отвъ-чаетъ абциссЬ х = 0, т. е. точкъ
пересЬчешя съ осью у-окъ.
ypaBHenie прямой не можетъ быть приведено къ этому виду, вь
которомъ оно часто употребляется, только въ томъ случай, если & есть
прямой уголъ, такъ что cos$- = 0. Въ этомъ случай прямая параллельна
оси у-овъ, и всЬмъ точкамъ прямой отвт>чаетъ озно и то же значеше
абсциссы х.
Если уравнеше прямой дано въ общемъ видЪ D), то всегда
tg# = --*-, F)
и, если v обозначаетъ уголъ, который образуетъ съ осью л:-овъ перпен-
дикуляръ къ прямой (нормаль прямой), то, каково бы ни было напра-
влеше нормали, имЬетъ м-Ьсто равенство
Такимъ образомъ, уравнен1я
ах+ Ьу + с = 0,
bx ay + d = 0,
каковы бы ни были значен1я постоянныхъ д, /;, с, d, представляютъ собой
уравнен1я двухъ взаимно перпендикулярныхъ прямыхъ.
4. Въ послтздуютемъ изложенш мы будемъ пользоваться равен-
равенствами двоякаго рода. Во-первыхъ, будутъ встречаться таюя равенства
между координатами х, V, которыя устанавливаютъ для этихъ координатъ
некоторое ограничен1е 4); таковы, напримЬръ, ypaBHenie прямой, удо-
удовлетворяющееся лишь гЬми значен1ями х, V, которыя являются координа-
координатами точки прямой; во-вторыхъ, мы будемъ употреблять также и так1я
равенства между х, у, которыя справедливы для всЬхъ точекъ пло-
плоскости; въ этомъ случай o6t части равенства являются, такъ сказать,
лишь различными обозначешями одного и того же объекта. Таюя ра-
ренства мы называемъ тождествами или тождественными равен-
равенствами. Иногда является целесообразным ь пользоваться различными
обозначешями для этихъ двухъ видовъ равенствъ. Въ такихъ случаяхъ,
мы будемъ употреблять для тождесгвъ знакъ = (въ словахъ: „тожде-
„тождественно равно").
'') Равенства именно такого рода и называются на русскомъ язык^Ь урав-
нен1ями.

157 § 58
5. Для простоты мы будемъ часто бол-fee сложныя алгебраически
выражешя обозначать одной буквой. Въ этомъ случаъ мы имъемъ дъло
съ тождествами; такимъ образомъ, если мы положимъ
А ==- Л" sin# -f- у cos# -|- д,
то равенство А = 0 будетъ уравнешемъ прямой въ нормальномъ видъ.
Если же положимъ
U = ах + Ьу + с,
то равенство U = 0 есть уравнете той же прямой въ общемъ видъ.
Мы иной разъ будемъ пользоваться символами A, U, какъ обозначешями
самой прямой. Въ такомъ случаъ, согласно § 57 D), имъетъ мъхто теорема:
Если въ выражен1е А, представляющее собою лъвую часть
уравнешя прямой g въ нормальномъ видъ, подставить коорди-
координаты х, у точки, не лежащей на прямой g, то получится раз-
стояте этой точки отъ прямой g (выраженное соотв-Ьтству-
ющимъ перпендикуляромъ), съ отрицательнымъ или положи-
тельнымъ знакомъ въ зависимости отъ того, лежитъ ли точка
х, у съ отрицательной или положительной стороны прямой g.
Всъ точки, равноотстояиия отъ двухъ данныхъ прямыхъ, лежать
на двухъ биссектрисахъ угловъ, составленныхъ этими прямыми.
Такимъ образомъ, если равенства Ал = О, А2 = 0 являются уравне-
hjhmh данныхъ прямыхъ въ нормальномъ видт., то равенства
Ах А2=0, Ах + Аг = О
представляютъ собой уравнешя об-Ьихъ биссектрисъ (не въ нормальномъ
BUflt), а именно: первая изъ этихъ прямыхъ дълитъ пополамъ какъ уголъ,
расположенный по положительную сторону объихъ прямыхъ, такъ и
уголъ, расположенный отъ нихь въ отрицательную сторону; вторая же
дътштъ пополамъ углы, расположенные по положительную сторону отъ
одной прямой и по отрицательную - отъ другой.
§ 59. Точки пересбчетя прямыхъ.
1. Если требуется найти точку пересъчешя ¦"¦) двухъ прямых ь, за-
заданны:^ уравнешями въ общемъ видъ:
[/, ^ atx + Ьху + сх = О,
?/, = а2х -f- b2y + с2 = О,
то величины х, у разсматриваютъ, какъ неизв-Ьстныя, которыя подлежатъ
определению изъ этихъ двухъ линейныхъ уравнешй.
5) Т. е., конечно, координаты точки пересъчен1я.

158 § 59
Согласно § 39 1-го томя существуетъ одна и только одна точка
пересЬчешя, за исключешемъ того случая, когда определитель <ХХЬ2 a2bx
равенъ нулю; тогда эти прямыя либо совпадають, либо же параллельны.
Мы всегда можемъ принять, что либо коэффициенты ах и аг, либо ко-
эффицденты b1ubi оба отличны отъ нуля; ибо, если #2 и axb2 д2/;,
равны нулю, то необходимо а, = 0, такъ какъ аг и Ь2 не должны обра-
обращаться въ нуль одновременно, такъ что /;, и Ь2 отличны отъ нуля. Если
примемъ, такимъ образомъ, что ах и Д2 не обращаются въ нуль, то при
dxb2 = п2Ьх получимь тождество:
aJJ2 а,г l\ — ахс2 + aic1 == 0,
при чемъ будетъ им-Ьть м-Ьсто первый или второй случай 6) въ зависи-
зависимости отъ того, обращается ли въ нуль выражеше й,С2 ^2ri> или "^гъ-
2. Для того, чтобы уравнешя f', = 0, [72 = 0 представляли одну
и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы существовали два
огличныхъ отъ нуля числовыхъ множителя /н,, тг, для которыхъ имъую
бы м^сто тождество
tn1Ut +Ш2?/2= 0. (_1)
Для того же, чтобы прямыя I Тх, lJ2 были параллельны, необходимо и
достаточно, чтобы могли быть указаны три отличныхъ отъ нуля числа
ш,, гщ, ш3, для которыхь
w, Ux + m%U-г + т3 = 0. B)
3. Мы разсмотримъ теперь три прямыхъ лиши и положимъ
L i =й1.г' + /;1у-т-с1,
1'ъ==а%х + Ь2у + Съ, C)
13 = а3х + bsy + cs.
Всегда можно определить три коэффищента mt, т.г, ;н3 такъ,
чтобы выполнялись равенства
fljW,-т-Я.гш2 + Я3ш8 0;
/71;н, + Л4;н2 + />а»н3 0.
Стоить лишь, согласно § 41 1-го тома, положить
m1:m2:m3 = {a.JK a3b2): (a3bx axb3): (axb2 a.Jh).
6) Т. е. прямыя совпадаютъ или параллельны. Если я, г., «,с, 0, то тождество,
приведенное въ текста, обнаруживаетъ, что координаты точки, удовлетворяюипя
одному ураоненш, удовлетворяютъ также другому, т. е. оба уравнешя выражаютъ
одну и ту же прямую; если же л^,- агсг _) 0, то то же тождество обнаруживаетъ, что
координаты точки, удовлетворяющая первому уравнешю, не могутъ удоачетворять
второму; уравнен!я выражаютъ поэтому прямыя, не им-Ькмщя точки персс*чен!я.

159 § 59
При этомъ если между тремя прямыми L\, I 2> f Тз нЪ'гъ двухъ параллель-
пыхъ, то числа /н,, Ш2, Щ отличны отъ нуля; но тогда изъ соотношежй C)
получается:
?»,?/, + m2U2 + m%L\ = mtcx + ni2c2 + ш3с3.
Если теперь эти три прямыя пересекаются въ одной точке, то су-
ществуетъ пара значешй х, у, для которыхъ Lu U2, l\ одновременно
обращаются въ нуль; тогда 7»,с, + ш2с2 + ш3с3 = О, и, такимъ образомъ,
должно существовать тождество:
/н1Г1 + 1ивС/в + «18?/8 = 0. D)
Если, наоборотъ, выполняется это тождество, то въ точке nepect-
чен1я прямыхъ fTj и U2 обращается въ нуль и Г73, и, такимъ образомь,
всЬ три прямыя проходятъ черезъ одну точку. Отсюда мы получаемъ
теорему:
Услов1емъ, необходимымъ и достаточнымъ для того, чтобы
три прямыя L ,, U2, U3 проходили черезъ одну точку, является
существовате трехъ отличныхъ отъ нуля множителей m,, m.lt ms,
для которыхь выполнялось бы тождество D).
Но теорема нуждается въ дополненш, такъ какь мы приняли, что
среди прямыхъ [',, l\, lr3 нътъ двухь параллельныхъ. Если выполняется
тождество D), и дв-fe изъ этихъ прямыхъ пересекаются вь нЬкоторой
точкЬ, то и третья прямая проходить черезъ ту же точку. Такимъ обра-
образомъ, если двЪ изъ названных ь прямыхъ параллельны, то и третья должна
быть параллельна двумь первымъ. Наоборотъ, изъ п. 2 слЪдуетъ, что
можно удовлетворить тождеству D), если три прямыя параллельны7).
Чтобы устранить это исключеше, говорятъ также, что параллельныя
прямыя пересЬкаются въ безконечно удаленной точке; тогда
формулированная выше теорема справедлива всегда.
4. Та же теорема иначе можетъ быть выражена такъ:
Если Ult L\ две данныя прямыя, то равенство
lr=mUl + )iU2= О,
где щ, и постоянные множители, представляетъ собою уравнеше не-
некоторой другой прямой, проходящей черезъ точку пересечешя прямых ь
/', и 12. Если ш отлично отъ нуля, такъ что прямая I' не совпадаетъ
съ прямой 1Т2, то можно заменить I' черезъ m I' и положить » —Km.
Этпмъ путемъ мы придадимъ уравнен1Ю 'прост-Ьйипй видъ:
'') Если три прямыя параллельны, то кроме тождества B) имеетъ еще место
тождество ,„1чг1 + т%ч]г + ш3' ^ 0. B')
Умножая тождество B) на ш3', тождество B') на ш3 и вычитывая, получимъ тож-
тождества D).

§ 60 160
если изменять въ немъ Я, то получатся все прямыя, проходяпия черезъ
точку пересЪчешя прямыхъ 1\ и I \, за исключешемъ лиши L2; можно
считать ее соответствующей значешю ?. = оо 8). Совокупность всЬхъ
этихъ прямыхъ называется пучком ь лучей; Я носитъ назваше пара-
параметра пучка.
§ 60. Прим-Ьнен1я къ геометрш треугольника.
1. Изъ теоремъ, изложенныхъ въ предыдущихъ параграфахъ, съ
большою легкостью могутъ быть получены теоремы о точкахъ пересвче-
шя трансверсалей треугольника, выходящихъ изь его вершинъ.
Положительныя направлешя для сторонъ треугольника мы выби-
раемъ такъ, чтобы движете по сторонам ь въ этихъ направлешяхъ отве-
отвечало направлешю положительнаго обхода; тогда внутреншя точки тре-
треугольника лежатъ съ положительной стороны отъ всЬхъ трехъ прямыхъ.
Пусть Ai = 0, А2 = 0, ,У3 — 0 будутъ уравнешя этихъ трехъ пря-
прямыхъ въ нормальномъ виде. Тогда равенства
А2 — АА = 0, А3 - Ах - 0, /, А2 = 0
являются уравнешями биссектрисъ внутреннихъ угловъ, а равенства
А% + Аь = 0, А3 + Лх = 0, Ах + А2 = 0
уравнешями биссектрисъ вн-Ьшнихъ угловъ (§ 58, 5). При этомъ им-Ьютъ
мътто тождества:
(At - As) + (Аъ At) + (А, А%) = 0,
(А2 А3) + (А3 + A,) UU + Аг) ? 0;
первое изъ нихъ показываетъ, что биссектрисы трехъ внутреннихъ
угловъ пересЬкаются въ одной точке, изь второго же явствуетъ, чго
въ одной точке пересекаются биссектрисы двухъ внЪшнихъ и третьяго
внутренняго угловъ.
2. Если мы обозначимь черезъ а,, а2, а3 три угла нашего тре-
треугольника, то для каждой точки высоты, опущенной на сторону B3),
какъ видно изъ фиг. 58, будет ь иметь место равенство
А.г : Аъ = cosa3 : cosa.2>
8) Какъ мы уже им-Ьли случай указать въ дополненш I къ 1-ой книгъ П-го тома,
этими немногими словами не только нельзя обосновать, но и нельзя даже достаточно
выяснить, почему въ указанномъ случае /. слъ\цуеть положить равнымъ <>э Это
выясняется больше, если мы замътимъ, что Л есть отношен1е синусовъ угловъ, ко-
которые соответствующШ лучъ L* образуетъ съ прямыми t/, и С'2; это OTHOiutHie
стремится къ безконсчности, когда лучъ U неограниченно приближается къ сл!я-
шю съ лучемъ U.

161
§ 60
и поэтому уравнешя трехъ высотъ имЪютъ видъ."
^..cosft., ^73cos«3 = 0,
//3cos«3 Л,cos «, = 0,
/I1cosn1 - jl.tcosa., = 0.
Если сложить ихъ л+.выя части, то получится выражеше, тожде-
тождественно равное нулю; этимъ доказывается теорема, что три высоты
треугольника пересекаются къ одной точк1;.
Фиг. Г>8.
Фиг. 59.
3. Для лижй, соединяющихъ вершины угловъ съ серединами про-
тивоположныхъ сторонь, мы столь же легко получимъ уравнешя:
г33 = 0, ,
Аъ sin «я — ж /, sin n, — 0,
а изь тождества
\ (,, t) ^ 0
снова вытекаетъ, что и эти три прямыи пересвкаются въ одной точкЪ.
4. Теорема Дезарга. Пусть (,, L 2, l's будутъ три прямыя
нерес Ькаюппяся въ одной точкт>. Если соотвт,тствуюипе постоянные
лгножигели мы будемь считать входящими уже въ выражетя ?',, [\,, l'v
то мы можемъ положить:
Возьмемъ теперь треугольникъ, вершины котораго лежать на пря-
мыхъ L\, 1\, 13, и допустимъ, что стороны этого треугольника имт>ютъ
уравнеши: //, 0, и.г - 0, и3 = 0.
Еспи нрямыя н2, и3 должны пересЬчься на прямой [ ,, то (§ 59, 4,
должны существовать численные множители и/,, н, такого свойства, что
U, = ш,;/2 И, IIл',
Веберъ, Энцнк.'юн- элнмент. гиометрж.
11

§ 60 162
подобнымь же образомь мы получимъ тождества:
U2 = т2иа - п2щ,
из = тащ и3м2.
Но, такъ какъ прямыя «,, н.г, иа не пересекаются въ одной точке,
то изъ тождества A) вытекаютъ равенства: n2 = ms, па = тг, н, = ш39);
такимъ образомъ, если мы снова включимъ множителей т, п въ обо-
значешя и, то можно положить:
L\ = н2 иа, U2 = м3 и„ U3 = н, м2.
Если теперь прямыя vx, V-t, V3 образуютъ второй треугольникъ, вершины
котораго, равнымъ образомъ, лежать на прямыхъ 1\, [*2, Ua, то полу-
получимъ тождества
= w2 - м3 =
vs,
U2^n3 u, = v3 г\, B)
U3 = ut ~ м2 = ^i «V
а отсюда:
ux -v, = u2- v.2 = м3 - w3 = Г. (.3)
Такимъ образомъ, равенство V = 0 есть уравнеше прямой, на которой
пересъкаются три пары прямыхъ щ, V,; м2, v^, ii3, v3 10); это и соста-
вляетъ содержан1е теоремы Дезарга, которую можно формулировать cnt-
дующимъ образомъ:
Если вершины двухъ треугольниковъ расположены такъ,
что три прямыя, соединяющая соответствующая вершины, пере-
пересекаются въ одной точке, то три точки пересЪчешя соотвЪт-
ствующихъ сторонъ лежатъ на одной прямой. \
Справедлива и обратная теорема. Въ самомъ дЪлъ, если соотвът-
ствующ!я стороны двухъ треугольниковъ пересекаются въ трехъ точкахъ,
лежащихъ на одной прямой, то уравнешя сторонъ треугольниковъ можно
•) Въ самомъ д-Ьл-fe, тождество A) принимаетъ видъ
(»и, я2) и, + (ш, - - «3) "а + (»'» - и,)», = 0.
Если бы всЬ три коэффиц1ента (тг я,\ (т, — и3\ (гпг -«,) были отличны отъ
нуля, то это означало бы, что прямыя и,, иг, и, проходятъ черезъ одну точку;
если бы два коэффищента — скажемъ, первые два—были отличны отъ нуля, а трепй
былъ бы равенъ нулю, то это означало бы, что прямыя м, и м, совпадаютъ; если бы,
наконецъ, отличенъ отъ нуля былъ только одинъ коэффишентъ скажемъ, первый
—то м, должно было бы тождественно обращаться въ нуль.
10) Въ точке пересЪчешя прямыхъ и, и vt разность it, — vx = V равна нулю,
т. е. эта точка пересъ-чешя лежитъ на прямой V=Q и т. д.

163
§ 61
взять въ такой формт>, чтобы выполнялись тождества C), изъ которыхъ
тогда обратно вытекаютъ тождества B) и A) ).
§ 61. Теоремы Чевы и Менелая.
1. КромЪ нормальнаго вида, мы будемъ разсматривать еще другой
частный видъ уравнешя прямой, который получается изъ выражешя для
площачи треугольника (§ 67,C)). Черезъ (д,, /?,), (да, Ь2) обозначимъ
координаты двухъ точекъ 1, 2 на прямой g. Направлеже отъ точки 1
къ точкт, 2 примемъ за положительное направлеше этой прямой
(фиг. 60). Пусть, далЪе, р есть произвольная точка плоскости съ коор-
координатами х, v. Тогда выражен1е
Л = x(bt Ьг) -у(ах — а2) + агЬ2 - я2?,
представляетъ удвоенную площадь треугольника A2^)) съ положитель-
нымъ или отрицательнымъ знакомъ въ зависимости отъ того, лежитъ ли
точка р съ положительной сто ы отъ прямой g, или съ отрицательной.
Р -А
Фиг. 60.
Если точка р лежитъ на прямой g, то /1 = 0, и это равенство,
такимъ образомъ, является уравнетемъ прямой.
2. Для того, чтобы дать примЪръ примЪнежя изложеннаго, раз-
смотримъ треугольникъ 12 3, вершины котораго перенумерованы такъ,
"} Въ самомъ дЪлЪ, положимъ, что уравнешя соотв-Ьтствующихъ сторонъ
треугольника суть:
и,' " 0, v,'-^0; и,' = 0, v% =0; и,' = 0, г-8' = 0.
Если прямая F=0 проходитъ черезъ точку пересъчешя первыхъ друхъ пря-
мыхъ, то, какъ было показано выше,
V' »и,и,' - я,г/,'.
Если по.этому мы положимъ »/,«,' = и, и ntv,'= г\, то уравнешя этой пары
прямыхъ примутъ видъ и, = 0 и vt = 0, при чемъ V _^,и, — г>,; такимъ же образомъ
мы приведемъ уравнен!я остальныхъ прямыхъ къ такому виду, чтобы выполнялись
тождества C).
11*

§ fil 164
что внутреншя точки треугольника лежать съ положительной сто-
стороны отъ прямыхь 23, 31, 12. Уравненш сторонь этого треугольника
могутъ быть представлены вь следующей формт,:
Л, = .г(/72 /73) у(а2 ал) + а.А я=А = °.
Ли = х(Ья Ь,) у(ал rt,) + rt3/), а,Ь3=0,
J3 = х(Ь{ /;2) v(G, rt2)+fli^ aibl — 0.
Если jt, у суть координаты произвольной точки р, то J,, J2, zl3 пред-
ставляютъ удвоенныя площади греугольниконъ B3/)), C1/)), A2/)) (съ
соответствующими знаками; поэтому если точка р лежитъ внутри тре-
треугольника, то всЪ три величины будутъ имъть положительныя значенш).
3. РаздЪлимь теперь сторону 23 нашего треугольника двумя точ-
точками «,, а,' внутренне и внЬшне вь отношенш, равномъ OTHomeiiito
двухь отрЪзковь l\'Cs. Если при этомъ точка р лежитъ на лижи 1а1.
то площади треугольниковъ A р2) и A/K) находятс i въ отношенш г2 : г3:
въ самомъ д-hjib, они им+.югъ одно и то же осиовате \р, а высоты
ихъ находятся въ отношенш с2'¦ С3', отсюда заключаемъ, что для такой
точки Л2: Л3 - г.2 : cs.
Вм+.ст-Ь съ тЬмъ мы получаемь уравнен!е прямой Aа,) въ сле-
следую щемъ видъ:
Л Л
0.
Л, Л3
Аналогично этому для прямой 1а,' получаемъ уравнен1е:
' - + 3 0.
с., с3.
РаздКлимь теперь точно такъ же сторону 31 точками а2, аг' въ
отношенш с3 '¦ с, и сторону 12 точками п3, а3 въ отношенш ct : с%;
тогда мы получимъ сл1^дующ1я уравнен1я шести прямых ь, проходящихъ
черезь точки д'Ьлен1Я и противоположный вершины:
J» J»=o, 4 Jl о, Jl J»^o. m
i 2 С•} С о Су C^ С2
J» + J» = 0, Ja + Jl =- 0, J> + i 0. B)
Ho iiMtiorb мЪста тождества
\.\ I \. АЛ
0,
0.
/J2_J3\ + /J3 J,\ + (J. _

165
§ 61
и еще два, имь аналогичный, откуда вытекает ь предложена, чго каждая
изь четырехь системъ прямыхъ
1а,, 2а2, За3
1а,, 2а2', За./
1а,', 2а2, За3'
1о,', 2«2', За,
обладаегь тЬмь свойством ь, чго составляющая ее гри примы»
пересекаются вь одной точке (фиг. 62). Это и есть (обобщенная)
теорема Чевы.
4. Разсмотримь далЬе прямыя, выражаемыя следующими уравнешями:
Ji
С2
L, C4 C$
Первое изь этихь уравнешй удовлетворяется, если величины
. А, . А,
J, и +
одновременно обращаются въ нуль, т. е. для точки а,': точно такь же
убеждаемся, что оно удовлетворяется и координатами точекъ а2', а3'; эти
три точки лежать, такимъ обра-
образом ь, на одной прямой. Вто-
Второе изь уравнешй C) удовле-
удовлетворяется, равнымъ образомъ,
координатами точки а,' и. сверхъ
того, координатами точекъ ы2>а3,
такь что и точки а,', а2, а3
лежать на одной прямой; ана-
аналогично этому находимъ, что
точки а,, а2', as, равно какь и
точки «,, а2, а,' лежать на
одной прямой (фиг.62). Въ этомь
состоить теорема Менелая.
Если въ треугольнике A23)
произвольно взять точку а, иа
стороне B3) и точку а2 на стороне C1), то можно однозначно по-
построить точку «3, соединивъ прямыми точки 1 и ft,. 2 и «2, и, нако-
нецъ, точку пересечешя эгихъ прямых!, сь точкой 3. Последняя соедини-
соединительная литя пересекаеть сторону A2) вь точке «3. Если затемь соеди-

§ 62 166
нить точки аг и а8, то эта литя пересЬкаетъ продолжеше стороны B3)
въ точкЪ а,'; такъ же можно построить и остальныя точки. Точки 2, 3
и а,, а,' представляютъ собой гармоничесюя пары точекъ.
§ 62. Окружность.
1. Если а, Ь и х, у суть координаты двухъ точекъ, то, по теоремЪ
Пиеагора, квадратъ ихъ разстояшя (г) выражается такъ:
г* = (* - а)г + (у- ЬJ.
Такимъ образомъ, если а, Ь, с суть данныя величины, то всъ точки
X, у, координаты которыхъ удовлетворяютъ уравнешю
К = (* - яJ + О' - Ь? - с* = 0 A)
лежатъ на окружности, описанной изъ точки я, Ъ, какъ изъ центра, ра-
д1усомъ с. Поэтому равенство К = 0 называется уравнешемъ этой
окружности въ томъ же смыатЬ, въ какомъ мы говорили объ уравненш
прямой. Равенство A) мы называемъ нормальнымъ видомъ уравнешя
окружности. Общ1й видъ L = 0 мы получимъ, если умножимъ К на
произвольный множитель, отличный отъ нуля.
Каждое уравнеме вида
у = 0, B)
въ которомъ т, а, /3, у — данныя величины, есть уравнеме окружности.
Въ самомъ д1угЬ, если мы положимъ
а = - та, р = - mb, у = т(а2 + Ъг с2),
то уравнеше B) приметъ видъ A). Координаты центра этой окружности
будутъ а = - а/т, Ъ = — /3 т, а рад1усъ с = Va2 + /3* ту т.
Такимъ образомъ, для того, чтобы рад1усъ выражался вещественнымъ
числомъ, необходимо, чтобы было ту<а2 + j9*. Если ту = «2 + [^, то
с = 0, и существуетъ лишь одна точка, координаты которой удовлетво-
удовлетворяютъ уравнешю B). Таюя окружности, которыя сводятся къ одной точкЪ,
называются точечными окружностями.
2. Если точка Р съ координатами х, у не лежитъ на окружности
К, то для этой точки выражеше К не обращается пъ нуль. Если мы
обозначимъ разстояте точки х, у отъ центра черезъ г, то
г2 = {х- аJ + {у - Ъ)\
откуда
А' = г2 - с2 = (г с) (г + с). C)
Эга величина называется степенью точки х,у относительно окружности Я.
Степень точки относительно окружности можно различно интерпретиро-

167
§ 62
вать геометрически. Если точка Р лежитъ внЪ круга, то г2 — с2 есть
положительное число. Въ такомъ случай можно провести изъ точки Р
дв-fe равныя по длинЪ касательныя t къ окружности; тогда изъ прямо-
угольнаго треугольника О ТР (фиг. 63) получится:
р = г2 - с1.
Такимъ образомъ, степень точки Р есть квадратъ касатель-
касательной, которую можно провести изъ этой точки къ окружности.
Согласно второму изъ выражешй C), степень равна также произ-
ведешю двухъ отрЪзковъ PQ ¦ PR, которые окружность отсЬкаетъ на
прямой, соединяющей точку Р съ центромъ. Это последнее свойство
степени сохраняется и въ томъ случай, когда Р есть внутренняя точка.
Г
Фиг. 63.
Фиг. 64.
Въ этомъ случаъ степень имъетъ отрицательное значеше, PQ = с — г,
PR — C-\-r\ такимъ образомъ, степень равна произведена этихъ
двухъ отрЪзковъ, взятому со знакомъ — , или квадрату наименьшей
проходящей черезъ точку Р полухорды, также взятому съ отрицатель-
нымъ знакомъ.
3. Мы переходимъ теперь къ разыскашю точекъ пересЬчен1я окруж-
окружности К съ некоторой прямой g. Пусть прямая g проходитъ черезъ
точку Р съ координатами л", у и пусть положительное ея направлете
составляетъ съ положительнымъ направлен1емъ оси л"-овъ уголъ а. Обо-
значимъ, далЪе, черезъ ^, 7] координаты переменной точки ж на прямой
g и черезъ q — разстояте Рж, которое будемъ считать положительнымъ,
если точка п лежитъ отъ Р съ положительной стороны прямой g, и
отрицательнымъ въ противномъ случа-fe. Тогда (§ 57, 5)
? —*л- = Q cos а, г] — у = q sin a.
Если теперь точка ж лежитъ на окружности К, то координаты ?, г\
должны удовлетворять уравнешю

§ 62
168
поэтому
(о cos a + л я)-+ (о sirm-f-v
и, наконець, раскрывая скобки, получимъ:
li)'1 с1 = О,
((x rtJ + (v />J t2) 0. D)
Такимь образомъ, мы имЬемъ квадратное уравнеше относительно о; два
корня этого уравнежя обозначимь черезь р,, о2; на основании предло-
жетя, даннаго вь § 46, 3, I тома
0,03 = (л-
с2;
E)
итакъ, произведете о,ог не зависитъ отъ угла а и равно степени
точки х, v относительно круга.
Это нредставляетъ собой обобщете указаннаю выше геометри-
ческаго опрелЪлетя степени точки относительно окружности.
Если мы обозначимъ черезь i
разстояте точки Р отъ центра О
окружности, черезъ A уголъ, ко-
который направление РО составлиетъ
съ положительнымъ направлешемъ
оси л'-овъ, и черезъ Н уголь
а ,], то
а х — г cos/?,
и, следовательно,
/;) sin и — г cos 0.
Уравнете D) гфинимаегь поэтому слъдуюиий видь:
ог 2 р г cos в -\- г2 - с2 = О,
16)
къ которому можно также придти при помощи теоремы косинусовь
(§ 28, 4); легко вндъть, что о, и р2 представляютъ собой огрызки
РО и PR.
Дискриминантъ этого уравнешя (т. I, § 43 B)) равенъ
4 (г2 cos2 в гг + с1) = 4 (с2 г2 sin2 в).
Онъ постоянно имЪетъ положительное значеше, если г2 < С~, т. е. если
точка Р лежитъ внутри круга. Для внутренней точки оба корня о,, о2,
такимъ образомъ, всегда оказываются вещественными. Если же Р есть
внъшняя точка, то о, и р2 только тогда могутъ быть вещественными,
когда sin'2!-) <" сг г'1. Значен!я sinH = с у отвъчаютъ двумъ выходящнмъ
изъ точки Р касательнымъ къ окружности.

169 § 63
§ 63. Точки пересЬчешя двухъ окружностей.
1. Изъ геометрш известно, чго апЪ окружности могутъ nepect,-
кагься въ двухъ точкахъ. Если требуется определить аналитически точки
пересечения двухъ окружностей /\,, /\ , то ръчь идетъ объ опредълеши
значетй неизвъхтныхъ л" V изъ двухь уравнешй /\, = 0, /\2 0, кото-
который оба - второй степени. Но особенное свойство эгихъ уравнений со-
стоитъ вь томь, чго они могуть быть сведены кь одному уравнетю
второй степени, такь какъ члены второго измъренпя входять вь оба
уравнения одинаковымъ образомъ, а именно, съ коэффициентами, равными
единиц-fe. BoTfcflCTBie этого разность Л', /\2, которая также обращается
вь нуль вь точкахъ пересЪчетя окружностей Kt, /\'2, есть выражете
первой степени, такъ что уравнеше /\, — /\'2 — 0 представляеть собой
уравнеше прямой; гакимъ образомь, вопросъ сводится къ разыскашю
точекь пересъчешя нъкоторой прямой съ одной изъ двухь окружностей 12).
Мы выведемъ теперь квадратное уравнете, къ которому приводится за-
задача, непосредственно изъ данныхъ уравнешй /\, = О, А'2 = 0.
2. Итакъ, пусть
Л',^(Л- at)* + (y bx)% с*,
Если мы положимъ
л ал = f,cos#,
у bt = с, sin Э;
то для каждаго значешя Ц- выражен1е /\, обращается въ нуль ; здЪсь
Л", v суть координаты произвольной точки первой окружности, & уголь,
образуемый рад1усомь окружности, проходящие черезъ эту точку, съ
осью .v-овъ. Подставивь эти выражетя въ уравнете второй окружности,
получимъ некоторое уравнете относительно #, которое удовлетворяется
вь томь и только вь томь случай, если точка л", у лежить на обт,ихъ
окружностяхъ. Это уравнеше им-ветъ видъ
(а, а.г + с, cos Я-)* + (/;, 1>2 + с, sin ft)* c22 - 0.
Если обозначить черезъ е разстоян1е между центрами объихъ окруж-
окружностей, го с2 = (fli — а^)г + (b-i /;2)*, и предыдущее уравнен1е пре-
преобразуется такъ:
С2 С^ + С,2 + 2с, |(t/, cl2) cos ih + (/;, lh) sin ft\ = 0.
Отсюда можно различными способами получить квадратное уравнете,
наиримЪръ, относительно sin ft, cos ft или tg#\ Вычислетя будутъ наи-
'-) Прямая А', К., О приходить черезъ точки пересечения окружностей;
чтобы разыскать nocfl^Hin достаточно, следовательно, разыскать точки пересЬчеши
одной изь окружностей съ этой примой.

§ 63 170
болъе простыми, если мы, согласно § 29 A1), положимъ:
о. 1/2 о/
тгг — г ГПЧ iT* — 41П if — , .
Въ этомъ случаъ можно х, у выразить рацюнально черезъ V.
и, такимь образомъ, величина t опредъляетъ точку л", у однозначно.
Для t получается тогда квадратное уравнете
или, если расположимъ лтзвую часть по степенямъ f.
f [e2 - с' + с* -2 с, (а, а2)] + 4c1(bl-bjt +
+ (е2 - - с8» + с,2) + 2Cl {а, - ая) = О,
которое можетъ быть разрешено по общему методу.
3. Составимъ еще дискриминантъ D этого уравнен1я;
D = 16^ (Ь, - Ь2J - 4 \[f - с88 + с/J - 4с/ (я, - a2f]
^ 4(f c + cf;
онъ можетъ быть разложенъ на множители слЪдующимъ образомъ:
D = — 4 (е + q + с2) (g + ct - c2) (e - q + c2) (e - cx - c2).
Если мы примемъ, что сх^с2, то D будетъ им%ть положительное зна-
чен1е, коль скоро
ci ~ с.2<е <cl-\-c2;
въ этомъ и только въ этомъ случаъ, слъдовательно, объ окружности
будутъ имъть вещественныя точки пересъчешя; этотъ результатъ ясенъ и
геометрически.
Если е = сх + с2 или ^ = с, — с2, то D обращается въ нуль; объ
точки пересъчешя сливаются при этомъ въ одну точку Kacanin.
§ 64. Центры подоб1я и оси подоб1я.
1. Дв% не пересъкаюийяся окружности Kv K2 имъютъ четыре общихъ
касательныхъ, изъ которыхъ двъ мы называемъ внутренними, и двъ
внъшними. Точки пересъчен1я а, а' общихъ касательныхъ съ прямой,
соединяющей центры тпл, т2 (ее мы будемъ называть центральной
лижей), дълитъ разстоян1е между центрами внутренне и внъшне въ отно-
шенш, равномъ отношен1ю рад1усовъ, что вытекаетъ изъ подоб1я тре-
угольниковъ /я^а, m2n2a и т^а', т2п2а' (фиг. 66).

171
S 64
Фиг. 66.
Точки а, а' называются центрами подоб1я обеихъ окружностей,
и именно, одна внутреннимъ, другая внъчинимъ.
Эти точки а, а' существуютъ и въ томъ случа-fe, когда окруж
пости пересекаются 13); но при этомь обиш касательныя къ обЪимъ
окружностямъ исходятъ
лишь изъ внешняго
центра подоб1я.
Если одна изъ окруж- / 7 у' \ ^>^Л1
ностей лежитъ внутри
другой, то и тогда также
можно найти два центра
подоб1я, но оба они
лежатъ во внутренней
окружности, и ни че-
резъ одинъ изъ нихъ
не проходятъ касательныя къ окружностямъ.
Во всехъ случаяхъ эти точки можно найти, если провести въ обеихъ
окружностяхъ параллельные д1аметры и соединить попарно ихъ конечныя
точки.
2. Разсмотримъ теперь систему трехъ окружностей Кх, К%, К3
съ рад1усами cv c2, с3, съ центрами тх, т2, т3, имеющими, соответ-
соответственно, координаты й,/?,, a2b2, asbs и не лежащими на одной прямой;
для каждой пары этихъ окружностей существуютъ центры подоб!я,
которые мы обозначимъ, соответственно, черезъ щаг', а2а2', а3а3'\ они
делятъ стороны треугольника тщт2тпй внутреннимъ и внешнимъ обра-
зомъ въ отношен1и с2 '¦ с3, с3 : сг, сх : с2, и мы можемъ применить къ
этому треугольнику теорему Менелая (§ 61, 4). Въ силу последней •
точки аг'а2'ай' лежатъ на одной прямой А',
„ (I, «2 «3 и ля » Ах ,
о, а.г ая' „ А3;
эти четыре прямыя называются осями подоб!я трехъ окружностей и, въ
частности, А' внешней, а остальныя три внутренними осями подоб1я.
Если мы, какъ въ § 61, 2., положимь:
Л,=а-(^2 b3) r(fl2- as) + a2b3- asb2,
А2в=х{Ь3 Ьг) у(а3 ax) + a3bt -atb3,
A3==x(bx - b2) y(at - аг) + агЬ2 —a2bit
13) Т. е. существуютъ точки,
и внтзшне въ отношен1и рад1усовъ.
разстояше между центрами внутренне

§ 65 172
то ypabiieiiie внешней оси подобю можно будетъ представить ьь вид1; и):
уравнешя же трехъ ьнутреннихъ осей получатся изъ него послкдова-
тельной заменой с,, сг, с3 черезъ -с,, с2, — с3.
§ 65. Радикальный оси и радикальный центръ.
1. Пусть
Kt = (x-atY + {y- /'.J -с,' = 0.
/v2 = (х Д2)а + (у b.tJ c2a = 0
будутъ уравнешями дьухь неконцентрических ь окружностей вь нормаль-
иомъ видЬ. Тогда разность
/v, /v8 = 2.v(fl» й,) + 2;Ч/;4 Aj) AJ
представляетъ собой выражен1'е первой степени относительно д и у, и
уравнеше
/vt A't = 0 B)
выражаеть, такимъ образомь, прямую лин1ю; эту прямую мы будемь
называть радикальной осью этихъ двухъ окружностей. Она предеia-
вляетъ собой геометрическое мЪсто точекъ плоскости, им^ющихъ
одну и ту же степень относительно обЪихь окружностей.
Равенство B) выполняется, если величины /\j и К.г обЪ обраща-
обращаются въ нуль.
Такимъ образомъ, если окружности пересекаются, то ихь ради-
радикальная ось проходитъ черезъ точки пересЬчеши. Поэтому эта лишя назы-
называется также общей хордой обЪихъ окружностей. Это выражеше,
ьь точномь смысла слова, применимо лишь въ томъ случат,, если окруж-
окружности пересекаются въ двухъ точкахъ. Если же OHt касаются другь
друга, то радикальная ось является ихъ общей касательной.
Радикальная ось перпендикулярна къ центральной лиши. Вь самомь
,чЬлтз, если мы обозначимъ черезъ а уголь, образуемый нормалью къ
радикальной оси и осью .\'-овъ, то изь соотношеши A), на основанш
§ 58, G), получимъ:
e ;
такимъ образомь, эта нормаль имт,етъ то же намраьлете, что и цеп-
тральная лишя.
") См. § 61, 4.

173 § 65
2. Относительно взаимнаго положены дьухь окружностей мы будемъ
различать три случая сообразно сь тЪмъ, пересекаются ли эти окруж-
окружности, или меньшая изъ нихь лежитъ внутри большей, или, наконецъ,
обЪ окружности расположены одна внъ другой.
Если черезъ с мы обозначимь разстояше между обоими центрами
и допустим ь, что ct J> С2> то упомянутые три случая характеризуются,
соответственно, следующими соотношешями:
1) 0<с, c2<e<ct + c3,
2) e<ct ct,
3) с>с,+с2.
Если черезь ? обозначить разсгояше некоторой точки центральной
лиши оть центра ш, первой окружности, считая это разсгояше положи-
гельнымъ въ направлеши отъ тх кь т.1, то для ючки пересЬчешя ради-
радикальной оси сь центральной лишей получится соотношен1е
? t-t — 1.ь> t) <-ч >
откуда
2s> = r> + <Yi c22.
Изъ этого соотношен1я мы прежде всего усматриваем^ что § по-
постоянно имЪетъ положительное значеше. Такимъ образомъ, радикальная
ось, если смотреть изъ центра большей окружности, расположена всегдя
со стороны центра меньшей окружности.
Вь случай 1) изъ соогношешя
о t _ 1'2 + С12 С* - . , ^> ^)(С, + С2)
z± — , ~ — ' + , i (.3)
зам Ьняя въ немъ справа сумму г, -f- с, л/еньшимъ числомъ с, а заткмъ
разность сх с, болыпимь числомь с, получимь:
с + с, с, < 2с<(' + г, + с,;
или, принимая во внимаше соотношен1е (\):
г < с + с, с2< 2$ Г с + с, + г2 <Г 2е.
Таким ь образом ь, ? заключается между },с и с, и радикальная ось
проходить между центрами обЪихъ окружностей, но ближе кь центру
меньшей изъ нихъ.
Въ случай 2) Сч < ct с и, слъдовагельно,
2S = (>+C' C* >e+Ct {Cl <] 2с,,
С ('
гакь что радикальная ось лежитъ внт> об-Ьихь окружностей, со стороны
меньшей изь нихъ.

§ 65
174
Вь случат, 3), замънивь вь соотношенш C) ct -\- сг болыпимъ
числомъ г, получим ь:
и, следовательно,
S f,<c S сг.
Такимъ образомь, радикальная ось въ этомъ случае проходить
между обеими окружностями, и притомъ ближе кь большей изъ нихь,
чемъ къ меньшей.
3. Обратимся теперь кь системе трехь окружностей Ки А'2> А3, центры
которыхъ не лежать на одной прямой. Обозначимъ черезъ рх, рг, р3
радикальныя оси каждой пары окружностей этой системы; тогда равенства
К% А3 = О, А А', = О, А", - А'2 = О
будутъ служить уравнешями этихъ осей. Но, такъ какъ
(А'2 А'3) + (А3 А',) + (A', K-i) = О,
то, очевидно, все три оси пересекаются вь одной точке; эта точка на-
называется радикальнымь центромъ трехь окружностей. Мы обозначимъ
Фиг. 67. Фиг. 68.
ее черезъ Р. Эта точка им%етъ одну и ту же степень въ отношенш
всЪхъ трехь окружностей, и притомъ является единственной точкой,
обладающей этимъ свойствомъ.
Если радикальный центръ лежитъ вн* одной изъ окружностей, то
онъ лежитъ также и вне остальныхъ двухъ окружностей, и изъ него въ
этомъ случае могутъ быть проведены кь тремъ окружностямъ шесть
касательныхъ, все одной длины.
Такимъ образомъ, шесть точекъ касашя лежатъ на н*ко-
тороН окружности, имеющей центръ въ точке Р. Эта окружность

175 §.66
называется ортогональной окружностью данныхъ трехъ окружностей,
такъ какъ въ точкахъ ея пересЪчешя съ каждой изъ данныхъ окружностей
касательный къ объимь окружностямъ взаимно перпендикулярны (фиг. 67).
Если же радик'альный центръ лежитъ внутри одной изъ трехъ
окружностей, то онъ лежитъ также внутри двухъ остальныхъ, такъ какъ
онъ имЪетъ въ этомъ случае отрицательную степень относительно всЪхъ
трехъ окружностей; ортогональной окружности въ этомь случае не су-
ществуетъ (фиг. 68).
Послъдшй случай, когда ортогональной окружности не сушествуетъ,
т. е. когда степень точки Р въ отношенш всъхъ трехъ окружностей
есть отрицательное число, можетъ иметь место лишь тогда, если любыя
двъ изъ данныхъ окружностей пересекаются въ двухъ точкахъ
и притомъ такъ, что третья окружность раздт,ляетъ эти двъ
точки пересвчешя.
Въ самомъ дълъ, если двъ окружности, — напримъръ, К1, К2 - не
пересекаются, то степень любой точки радикальной оси р3, а, слъдова-
тельно, и точки Р им"Ьетъ положительное значеше. Если же эти две
окружности пересекаются въ двухъ точкахъ a, ft, то только для точекъ
отрезка aft степень будетъ отрицательной; а потому, если степень точки Р
также имъетъ отрицательное значеше, то последняя необходимо лежитъ
на отръзкъ aft.
Если мы будемъ перемещать точку тс вдоль прямой рй, то разность
А'з A"i обратится въ нуль одинъ разъ, а именно въ точке Р, и при
переходе черезъ Р эта разность меняетъ знакъ. Такимъ образомъ, если
точка Р лежитъ между точками а и ft, го разность К3 - АЦ а, следова-
следовательно, и само выражеше К3 должны иметь въ точкахъ a, ft различные
знаки 15), т. е. изъ этихъ точекъ одна должна лежать внутри, а другая
вне окружности А'3.
§ 66. Эллипсъ.
1. Окружность определяется, какъ совокупность (геометрическое
мъсто) всъхъ точекъ, равноотстоящихъ отъ некоторой постоянной точки,
называемой центромъ. Мы обобщимъ теперь это определеше, замФ.нивъ
въ немъ одну постоянную точку двумя, которыя мы будемъ называть
фокусами, и определимъ
эллипсъ, какъ геометрическое место точекъ, для которыхъ
сумма разстояшй отъ двухъ фокусовъ есть постоянная вели-
величина 16).
и) Въ точкахъ в и /I Jf, = O, а потому, если разность K3 — Kt и\гЬетъ въ
этихъ точкахъ противные знаки, то и К3 имЪетъ въ этихъ точкахъ различные знаки.
") Если фокусы совпадаютъ, то эта сумма представляетъ собой двойное
разстояше точки кривой отъ двойного фокуса; это разстояше будетъ

§ 66
176
2. Изъ этого определены прежде всего можно вывести способъ
вычерчивашя эллипса, который почти столь же простъ, какъ и способъ
вычерчивашя окружности съ помощью циркуля (фиг. 69).
Въ обоихъ фокусахъ f и f укръпляютъ два штифта. Затъмъ свя-
зываютъ нитку въ замкнутое кольцо, длина котораго 2д + 2с больше,
чт,мъ удвоенное разстояше 4с между обоими фокусами, и кладутъ эту
петлю такъ, чтобы она
охватила оба штифта
въ точкахъ у и /'. Да-
Далее, съ помощью пишу-
щаго штифта р вытяги-
ваютъ эту петлю въ тре-
угольникъ (ff'p) и ве-
дутъ пишуццй штифтъ
по плоскости чертежа,
при чемъ нитку все вре-
время держатъ натянутой.
Штифтъ р тогда опи-
шетъ элли псъ, такъ какъ
мы предполагаемъ нитку нерастяжимой, потому периметръ треугольника
(ff'p) и, следовательно, сумма сторонъ fp -\- fp сохраняютъ одну и
ту же величину. Кривая тт,мъ болъе похожа на окружность, чт,мъ ближе,
при той же длине нити, лежатъ другъ къ другу фокусы.
3. Если мы хотимъ вместо указаннаго способа черчешя эллипса
съ помощью нити им^ть точное построеше, то нужно поступить
следующимъ образомъ (фиг. 70): изъ одного фокуса.-
напримеръ, изъ точки f, проводимъ въ произвольномъ
направлеши лучъ f g и на немъ откладываемъ отрезокъ
2 а. Затемъ соединяемъ точки g и / и полученный отре-
отрезокъ делимь пополамъ; пусть серединой его будетъ
точка h. Перпендикуляръ hp, возставленный къ отрезку
fg въ его середине, пересекаетъ отрезок ь f'g въ не-
некоторой точке р, принадлежащей эллипсу, такь какъ
треугольникъ (fpg) равнобедренный и, следовательно,
/' / 'р ~\~ У р = f'g ~ 2 й- Такимъ образом ь при данных ь
фокусахъ и данной длине '2а на каждомъ луче, исходя-
щемъ изъ /"', можно найти одну и только одну точку
эллипса; длина отрезка fp всегда меньше 2д. Кривая
поэтому замкнута и заключена целикомъ внутри окружности, описан-
описанной изъ точки /' рад!усомъ 2 д.
постоянное значеше, и въ этомъ смысла предыдущее опред"Ьлешс представлнетъ
обобщеше опредълеш'я окружности.
Фиг. 70.

177 § 66
4. Нъкоторыя друпя свойства эллипса вытекаютъ непосредственно
изъ опредъчпешя.
Если точка р принадлежитъ эллипсу, то и точка р', которая пред-
ставляетъ собой отражеше точки р отъ лиши АЛ', соединяющей фо-
фокусы, также лежитъ на кривой, ибо
fP+fp=fP'+fP'i
равнымъ образомъ лежитъ на кривой и точка р", которая получается
отражешемъ точки р отъ перпендикуляра ВВ', возставленнаго къ отрезку
рр въ его серединъч ОбЪ взаимно перпендикулярный лиши АА' и ВВ'
дътштъ, гакимъ образомъ, эллипсъ на четыре симметричныя и кон-
груэнтныя части (фиг. 70).
Точка М, лежащая по середин-Ь между / и /', называется центромъ
эллипса. Лиши АЛ'и ВВ' называются главными осями, а точки А, А',В,В',
въ которыхъ оси пересЬкаютъ кривую, вершинами эллипса. ОтрЪзокъ
А А' имт^етъ длину 2д; въ самомъ дъчпЪ, такъ какь Л есть точка кривой,
то р'А + fA = 2д; вслъдств1е же симметрш fA=J'A'. Сл-Ндовательно,
fA + f'A' = АЛ' -2а.
Отртззокъ АЛ' называется большой осью эллипса.
Отртззокъ ВВ' носитъ назваше малой оси и обозначается черезъ 2Ь.
Длины МЛ — п, MB— b называются также большой и малой лолу осями.
ДалЪе, отрт.зокъ А// = Л//' = с называется линейнымъ эксцен-
трис нте гомь эллипса. OiHOiueHie же с къ а, т. е. дробь
_ с
а
называютъ численнымъ эксцентриситетомь. Такимъ образомъ, въ
то время какь линейный эксцентриситетъ есть отртззокь, длина котораго
можеть быть выражена въ какой-нибудь единиц^ длины, численный экс-
эксцентриситет ь является просто числомъ и притомь правильной дробью.
ЧЪмъ меньше эта дробь, гЬмъ ближе по виду эллипс ь подходитъ къ
окружности. Окружность есть эллипсъ съ эксцентриситетомъ, равным ь
нулю. Такъ какъ /'В + /В = 2а, то fB = а, и изь нрямоугольнаго тре-
треугольника BMf, согласно Пиеагоровой теорем!., получается соотношеше:
5. Лучь, выходяиий изъ центра, встр'Ьчаетъ эллипсъ постоянно въ
одной и только въ одной гочкЬ; действительно, если мы будемъ пере-
переменную точку Р двигать по этому лучу, начиная отъ центра, постоянно
въ одномъ и томъ же направлеши, то сумма PJ -\- Рр', начиная со зна-
чен1я 2с, будетъ безиредельно возрастать и одинъ разь приметъ каждое
значеше, большее 2 с, въ томъ числе и значеше 2 д.
Веберъ. (Зндиклоп. элемент. reoueTpid. 12

§ 67
178
Если продолжать лучъ въ обратную сторону, то опь снова встре-
встретить кривую на такомъ же разстоянш отъ центра, но съ другой стороны.
ОтрЪзокъ, лежаний между этими двумя точками пересЬчетя, называется
Д1аметромъ эллипса.
§ 67. Гипербола.
1. Построение, которое было нами указано въ п. 3 предыдущаго
параграфа, можетъ быть выполнено также и тогда, когда а меньше с.
Но въ этомъ случае оно приводитъ къ другой кривой, точки которой р
удовлетворяють тому условто, что разность f'p — fp равняется посто-
постоянной величине 2д. Эта кривая называется гиперболой (фиг. 71).
Фиг. 71.
Фиг. 73.
Зд-fecb при нъкоторомъ опредъленномъ направленш лучаf'g (фиг. 72)
лучи fg и f'g могутъ оказаться взаимно перпендикулярными 17); тогда
лучи f'g и hp становятся параллельными, и точка р отодвигается на без-
конечное разстояше.
Если обозначимъ уголъ gf'f черезъ #, то упомянутый случай
им%етъ мъсто тогда, когда cos-fr = а/с Определяемое этимъ соотноше-
н1емъ направлен1е называется асимптотическимъ направлешемъ. Если
уголь i9* взять еще больше, то лишя hp уже не встретить луча f'g, но
пересъчетъ въ некоторой точке р' его продолжен1е въ обратную сторону,
для этой точки f'p f'p' = 2д. Такимъ образомъ получается вторая
ветвь, представляющая отражеше первой и составляющая вместе съ
первой полную гиперболу (фиг. 71). То обстоятельство, что обе ветви
гиперболы другъ съ другомъ связаны, было известно уже Аполлошю.
") Какъ и въ предыдущемъ параграф-Ь, черезъ g здъсь обозначена точка,
отстоящая отъ /' на разстояше f'g = 2а.

179 § 68
Точки А, А', въ которыхъ кривую пересъкаетъ лишя ff, называются
вершинами гиперболы. Разстояше между ними АЛ', равное 2а, назы-
называется главной осью гиперболы. Средняя точка М оси называется цен-
тромъ гиперболы, а перпендикуляръ къ оси, возставленный въ центръ
и не встръчаюипй вовсе кривой, называется мнимою осью.
§ 68. Уравнение эллипса и гиперболы.
1. Для того, чтобы выразить эллипсъ по методу аналитической
геометрш некоторым ь уравнешемъ, намъ нужно лишь выразить форму-
формулами указанное построеше.
Мы выбираемъ систему координатъ такъ, чтобы началомъ служилъ
фокусъу, а положительное направлеше оси д"-овъ совпадало съ направле-
шемъ отъ точки f' къ точкт>у. При этомъ положительнымъ направле-
шемъ оси у-овъ, перпендикулярной къ оси л'-овъ, мы будемъ считать ея
направлеше снизу вверхъ.
Обозначимъ черезъ х, v координаты точки р и черезъ г, у' раз-
стоян1я pf, pf. Тогда
,-» = х2 + v2; П)
если же /) есть точка нашего эллипса, то
г + г' = 2а. B)
Если теперь черезъ # обозначить уголъ, составляемый лучомъ f'p
сь положительнымъ направлешемъ оси л"-овъ, то
х = г cos fr, v = г sin Q-, - C)
откуда, согласно теоремъ косинусовъ (§ 28, 4),
,-' г = , -1 -f- 4 сг 4 г с cos ,9-. D)
Въ силу соотношешя B),
н, следовательно, согласно равенству D),
г (а -с cose) = д* - с2: ¦ E)
такъ какъ (§ 66, A)) а2 с2 = Ь2, то
а —
Это и есть уравнеше эллипса въ полярныхъ координатахъ.
12*

§ 68 180
Оно можетъ быть еще упрощено, если положимъ Ь2:с1=р, г'.П = (",
тогда получимъ:
Число е мы уже выше назвали численнымъ эксцентриситетом ь.
ОтрЪзокъ 2р носить назваше параметра эллипса. Число р есть то зна-
чеше, которое г принимаетъ для # = л/2 (cos# = 0), и, следовательно,
2р есть длина хорды эллипса, перпендикулярной въ точкЪ f' (или /)
кь большой оси.
Такъ какъ эксцентриситетъ е всегда есть правильная дробь, то число
1 -еcos# всегда им-ветъ положительное значеше. Если е = 0, то, со-
согласно уравнешю F), г = р, т. е. г становится постояннымъ, и кривая
превращается въ окружность.
2. Для того, чтобы получить уравнеше эллипса въ прямоугольныхъ
координатахъ, мы прежде всего изъ соотношешй E) и C) выведемъ
равенство:
аг = Ь* + сх;
возводя o6t части его въ квадратъ и принимая во внимаше соотношеше
A), получимъ:
й\х* +у2) = Ь' + 2сЬ*х + с*х\
или
Вместо этого мы можемъ также написать:
Ь'г(х сJ + fl2v* = Ь* + />2с2,
или, такъ какь /;2 + < ' ~ а*,
Ь*(х -сJ + а2у* = a'lbi. G)
Если мы перейдемъ къ другой систем^ координатъ хх, уи - именно,
сохранимъ то же направлеше осей эллипса, а начало перенесемъ въ центрь
эллипса, то будетъ х1 = х с, ух = v; уравнен1е эллипса, отнесенное къ
новой cncTeMt координать, мы получимъ въ слъдующемъ
или же
х 2 v 2
3. Переходя къ гипербол^, мы зам"Бчаемъ, что дв-fe ея в-бтви под-
подчинены различнымъ услов!'ямъ, именно, для той изъ нихъ, которая

181 § 68
огибаетъ фокусъ /' (мы будемъ ее называть первой), имъетъ мъсто
соотношеше
r' = r+2a, (9)
для другой —
/' = г — 2а. A0)
Если мы въ уравненш D), согласно соотношенш (9), положимъ
то для первой вътви получимъ:
г (а + с cos #) = с* <Л A1)
и если же въ послъднемъ равенствъ положимъ:
= р,
С-
то получимъ:
Это уравпеше построено совершенно аналогично уравнен1ю F). Можно
его представить даже въ такой же точно форм-fe, если зам-внить #¦ черезъ
яг — &. Число е, которое въ этомъ случаъ больше единицы, по прежнему,
называется численнымъ эксцентриситетомъ. Параметръ р и здъсь
также представляетъ собой длину хорды, перпендикулярной къ главной
оси въ фокусъ.
Для второй вътви, огибающей точку f, получимъ, полагая
г'2 = г2 4дг+4д»,
уравнен1е:
г (с cos V а)=с2-а2, A3)
или
Г
Таким ь образомъ, г обращается въ безконечность, если
,. 1 а
cos }h — — ,
с с
Sin^ = —, tg^= ^ ;
уголъ, удовлетворяющ!й этимъ соотношешямъ, опредтзляетъ асимпто-
асимптотическое направлен1е. Асимптотическое направлеше для первой вътви
получается (согласно равенству A2)), если положить cosS-= - 1 : е.

§ 69 182
4. Если, согласно равенству A1), для первой вътви положимъ
аг = Ьг — сх,
а для второй, согласно равенству A3),
— аг =Ь2 — сх,
то, возвышая въ квадратъ, получимъ для об-Ьихъ вътвей одно и то же
уравнеше:
а*(х2 + у2) = Ь4 - - 2cb2x + с2х*;
откуда, замъщая с2 — а2 черезъ Ь1 и /;4 черезъ Ьгс2 — a2b2, найдемъ:
Ь*х2 - а2у2 - 2сЬ'1х + Ь2с2 = аЧ)\
или, наконецъ,
Если положимъ теперь х — с = Л",, v = Vi. то получимъ уравнен!е ги-
гиперболы, отнесенное къ главнымъ осямъ, какъ осямъ координатъ, въ
слЪдующемъ вид-fe:
а2 Ъ%
Это уравнеше им-Ьетъ мъсто для об^ихъ в-Ьтвей гиперболы; безъ
помощи радикаловъ невозможно найти уравнение, отнесенное къ прямо-
прямоугольной систем^ координатъ, которое выражало бы лишь одну изъ
двухъ ветвей. Такимъ образомъ, и въ аналитической геометрш o6ti н^тви
также связаны другъ съ другом ь, какъ части одной кривой.
§ 69. Парабола.
1. Если 1 и #¦ суть полярныя координаты некоторой переменной
точки (§ 57, 4), то уравнешями вида
,- =
l
выражаются какъ эллипсъ, такъ и гипербола. Для того, чтобы получить
въ этомъ видтз уравнеше эллипса (§68,F)), достаточно лишь зам Ьнить ?h
черезъ л — &, т. е. повернуть всю фигуру вокругь оси у-овъ. Полюсомь
системы координатъ служитъ одинъ изь фокусовъ; е есть положительное
число, которое въ случаъ эллипса меньше единицы. Если придать пара-
параметру р постоянное значение и представить себъ изменяющимся число е,
то получится цълый рядъ кривыхъ, проходящихъ черезъ двъ постоянныя
точки г' = р, \9-= + л;/2; между этими кривыми будутъ какъ эллипсы,
такъ и гиперболы. Значежю с = 0 отвъчаетъ кругъ рад1уса р (фиг. 73).

183
§ 69
2. Разсмотримъ теперь, какое значеше имЪетъ это уравнение при
е=
Въ этомъ случа-fc мы получаемъ кривую, находящуюся между
эллипсомъ и гиперболой, и носящую назваше параболы (жирно на-
начерченная кривая на фиг. 73).
При с = 1 уравнение даетъ:
r(l +cos('>) =p;
положивь здт^сь rcos&=x, получимъ:
Г = р А. A)
Это уравнение прежде всего даетъ возможность указать способъ
образовали параболы. Отложимъ на положительной части оси л:-овъ
Фиг. 53.
отрЪзокъ р и вь концЪ его возставимъ перпендикуляръ D (фиг. 74). Эта
линш называется направляющей линией или директрисой параболы.
Если взять произвольную точку яг съ абсциссой х, то величина
р - х выражаетъ разстоян1е этой точки отъ директрисы; а такъ какъ г
означаетъ разстояше этой точки отъ фокуса f, то изъ уравнения A)
вытекаетъ, что парабола есть геометрическое м-fecTo точекъ, равно-
отстоящихъ отъ фокуса и отъ директрисы.
3. Для того, чтобы построить точку параболы, лежащую на произ-
произвольно заданномъ луч-fe у\ беремъ на этомъ луч-fe произвольную т'очку g,
проводимъ черезъ нее прямую ^Ь, параллельную оси л-овъ, откладываемъ
отрезокь gh —fg, такь что полученный греугольникъу^/; будетъ равно-

§ 69
184
бедреннымъ Прямая hf пересекаетъ директрису D въ некоторой точке k,
черезъ которую также проводимъ прямую, параллельную оси х-овъ. Эта
последняя пересекаетъ прямую fg въ некоторой точке л, принадлежащей
кривой; въ самомъ деле, треугольникъ fnk подобенъ треугольнику/g7;
и потому также является равнобедреннымъ
Л Этимъ способом ь можно найти произволь-
произвольное число точекъ кривой, черезъ который
можно уже отъ руки провести кривую съ
желаемою степенью точности. Кривая сим-
симметрична относительно оси .v-овъ. Точка
Л, въ которой она пересекается осью, на-
называется ея вершиной (фиг. 74).
4. Если мы хотимъ получить урав-
HeHie параболы въ прямоугольныхъ коор-
динатахъ, то достаточно возвести уравне-
Hie A) въ квадратъ и положить въ немъ
г2 = х2 -\-у%- Такимъ образомъ мы получимъ уравнеше
у2=рл 2рх, B)
которое содержитъ во второй степени только одну изь двухъ коорди-
натъ, а именно у.
5. Это уравнеше можно также представить и въ такомъ виде:
2") °'
или, если положить х р/2 = х,, V = \\, в ь вид-fe:
D)
Въ этомъ случае х\, у\ являются координатами точки, отнесенными
къ системе координатъ, начало которой совпадаетъ сь вершиной; по-
поэтому уравнеше D) называется уравнешемъ параболы, отнесеннымъ къ
вершине. Уравнеше
.V,* 2/)*, = 0 E)
представляетъ параболу, которая конгруэнтна первой и является ея отра-
жешемъ отъ оси у-овъ, такъ что отверстгя ихъ обращены въ нротиво-
положныя стороны.
6. Если возьмемъ уравнеше эллипса вь виде (§ 68 G)):
Ь2(х сJ + а2у2 = a2b\
положимъ въ немъ
= ср, a2 = c2

185 § 70
а также (х — сJ = х2 — 2сх -f- с2, и раздълимъ его на с2, то получимъ:
Если предположить, что с возрастаетъ безконечно, то дробь р : с
стремится къ нулю, и въ предЪлт, мы получаемъ уравнеше
у2 - 2рх = р\
которое при замънъ х черезъ х переходитъ въ уравнеше B) параболы.
Такимъ образомъ, если, оставляя неизменными одинъ изъ
фокусовъ эллипса и его параметръ 2р, мы другой фокусъ уда-
лимъ на безконечное разстояте, то эллипсъ перейдетъ въ па-
параболу.
Такимъ же образомъ можно параболу получить и изъ гиперболы.
Три вида кривых ь: эллипсъ, гипербола и парабола извъстны подъ
общимъ назвашемъ конических ь сЬчеюй.
Окружность содержится въ числ+з ихъ, какъ частный случай.
§ 70. Преобразование координатъ.
1. Формулы, которыми аналитическая геометр!я пользуется для вы-
ражен1я геометрических ь соотношешй, зависятъ отъ двухъ обстоятельствъ.
Во-первыхъ, онт, зависятъ отъ природы и свойствъ представляемой фи-
фигуры; но, съ другой стороны, он+з обусловлены также и положешемъ
системы координатъ, которое нисколько не связано со свойствами фигуры.
Такъ, каждое линейное уравнеше ах -\- bv -f- с = 0 представляеть нъко-
торую прямую, между тъмъ какъ геометрически всЬ ирямыя линш совер-
совершенно однородны; если же, напримъръ, принять за ось А"-овь прямую,
которую намъ нужно выразить, то мы получимъ значительно болъе
простое уравнеше у 0.
Такимъ образом ь, при болъе сложныхъ соотношешяхъ, является
прежде всего необходимымъ отделить то, что вытекаетъ изъ свойствъ
самой фигуры, отъ того, что зависитъ лишь отъ случайнаго выбора
системы координатъ; для этого служитъ преобразование координатъ.
2. Наша система координатъ состоитъ изъ двухъ взаимно перпен-
дикулярныхъ прямыхъ х, у, изъ коихъ каждая имъетъ некоторое опре-
определенное положительное направление; допустимъ, напримърь, что поло-
положительное направление оси j'-овъ лежитъ влъво отъ наблюдателя, дви-
движущегося по оси д>овъ въ положительномъ ея направлении. Каждая изъ
этихъ осей дълитъ плоскость на двъ полуплоскости. Мы будемъ считать
положительной ту сторону разсматриваемой оси, на которую указы-
ваетъ положительное направлеше другой оси.

§ 70
186
I
Фиг. 7о.
Замътимъ, что это опредълеме съ прежнимъ опредълешемъ поло-
положительной стороны прямой (§ 57, 8) совпадаетъ только для одной изъ
двухъ осей; для другой же эти опредълешя даютъ противоположные
результаты.
3. Возьмемъ теперь произвольную прямую § съ опредъленнымъ
положительнымъ направлешемъ. Тогда, какъ указано въ § 57, 8, часть
плоскости, лежащая влъво
отъ этого направлешя, яв-
является положительной
СТОРОНОЙ ЛИН1И ?.
Обозначимъ черезъ
Уразстояше отъ этой пря-
прямой некоторой точки Р съ
координатами х, у, черезъ
Yo разстояше начала ко-
ординатъ отъ нея, и, на-
конецъ, черезъ $• уголъ,
составленный положитель-
положительнымъ направлешемъ пря-
прямой ? съ положительнымъ
направлешемъ оси х-овъ; тогда, согласно § 57, D),
F= -xs\nfr+ycos&+ Yo, A)
при чемъ разстояше точки отъ прямой § считается положительнымъ, если
точка лежитъ съ положительной стороны прямой, а въ противополож-
номъ случай оно считается отрицательным ь.
Возьмемъ вторую прямую ц, положительное наиравленге которой
составляетъ съ положительнымъ направлешемъ прямой ? уголъ ю, и,
следовательно, съ положительнымъ направлешемъ оси х-окъ образуеть
уголъ -У" -\- ш. Обозначимъ разстояше отъ этой прямой точки Р черезъ
X, а начала координатъ черезъ — Хо; тогда (§ 57, D))
X = л- sin (д- + со) - у cos(# + (о) + Л'о. B)
Вь этомъ случай X ч Y выразятъ разстоян1я точки Р отъ обйихъ
прямыхъ, если (какъ это было условлено относительно осей координатъ)
для каждой изъ этихъ прямых ь положительной будетъ считаться та сто-
сторона, съ которой расположено положительное направлеше другой прямой.
Если положимъ еще
X = § sin со, Y = ч sinw
Хо = ?0 sin со, Yo= rto sin со,
то |, >/ будутъ сторонами н-Ькотораго параллелограмма, построеннаго на
прямыхь §, »/, при чемъ вершиной, противоположной этимъ сторонамъ,

187 § 70
является точка Р; то же можно сказать о величинахъ §0, Г]о и начале
координатъ.
Мы получаемъ соотношешя:
sin ft) = A-sin(# -)- to) — jycos($ -f- &)) + §osinw,
-\-y cos$ -f- r\0 sinco;
если sin ft) не обращается въ нуль, какъ мы это и допустимъ, то величины §, t]
называются координатами точки Р относительно системы координатъ
?, г]. Действительно, эти величины такъ же опредЪляютъ положеше
точки Р, какъ и координаты х, у (фиг. 75).
Если уголь со не прямой, то система координатъ ?, »/ называется
косоугольной.
4. Если мы желаемъ выразить старыя координаты х, у черезъ но-
выя §, ц, то нужно разрешить уравнен1я C) относительно х, V- Для
этой ц-Ьли умножимъ эти уравнешя, соответственно, на cos^, cos(&-f- ft))
и полученныя уравнен4я сложимъ, зат-Ьмъ умножимъ rfc же уравнен1я на
sinS~, sin(91 + ft») и результаты опять сложимъ. Принимая во вниман1е
соотношен!е
cos^sin((9i -J- со) - sin#cos(i9 + ft)) = simy
и полагая
Xo = |0 COSJ^ + y0 COS('(^ + ft)),
.v0 = & sini? + щ sin(^ + r,>),
получимъ:
A' = sCOS# + >ICOS@ -f- ft)) -f- До,
D)
"J) + )'o-
5. Если ^0, )/„, а следовательно, и А'о, V,, равны нулю, то обт,
системы координатъ им^готъ общее начало и лишь оси измЪняютъ свое
направлеше. Въ этомъ случай
X = § + ?( + ),
E)
V = §sin & + '/ sin(i? 4- g>);
отъ этихъ ypaBHeHifi мы снова приходим ь къ общему случаю, если за-
м-Ьнимъ х, v черезъ х - х0, V — уу) ¦
Преобразоваше координатъ можетъ быть разложено, такимъ обра-
образом ь, на два последовательныхъ частныхъ преобразован!я, изъ коихь
одно сводится къ вращешю осей, а другое — къ ихъ параллельному
перенесен^.
6. Если О) = jv/2, то новая система координатъ также является
прямоугольной. Вь этомъ случай формулы C) принимають видъ:

§ 71 188
Ь '° F)
>1 = »/,, — х sin * + j'cos//;
разрешивъ ихъ относительно х, у, получимъ:
х = х0 + §cos (9 »/ sin #,
Если положимъ ft) = - , то вторая система координатъ также
будетъ прямоугольной, но ось ?у будетъ имъть относительно оси § рас-
положеше, противоположное тому, которое ось у-овъ им^етъ относи-
относительно оси х-овъ.
§ 71. Кривыя второго порядка.
1. Въ уравнеше прямой лин1и
ах + by + с = о
координаты х, V переменной точки входятъ только въ первой степени
и не перемножаются; это свойство сохраняется и въ томъ случай, если
мы, согласно § 70, выразимъ д-, v черезъ координаты какой-нибудь косо-
косоугольной системы. Поэтому прямыя линш въ аналитической геометрш
называются лин!ями перваго порядка, а уравнешя, выражаюппя прямыя
лиши, носятъ назваше линейныхъ уравненпК
2. Въ уравнен1е окружности входягь квадраты величинь х и у, но
не входитъ ихъ произведете. Но это последнее появляется, коль скоро
мы, согласно § 70, переходимъ къ косоугольной систем^. Съ другой
стороны, къ какимъ бы преобразовашямъ мы ни прибегали, въ уравненш
окружности не встречаются степени перемъ-нныхъ, высш!я второй.
Мы приписываемъ членамъ х2, V2, XV порядок ь 2, первым ь степе-
нямъ х, у — порядокъ 1, наконецъ, постоянной величин^ - порядокъ 0;
въ связи съ этимъ мы называемъ функшей второго порядка или вто-
второй степени такую функшю, которая содержитъ члены второго порядка,
но не содержитъ членовъ болт>е высокаго порядка. Если мы приравни-
ваемъ эту функщю нулю, то получаемъ уравнен1е второй степени.
Уравнеше окружности, такимъ образомъ, есть уравнеше второй степени,
но не каждое уравнеше второй степени выражаетъ окружность. Уравнешя
коническихъ ct4eHifi, выведенныя нами въ §§ 68, 69, также представляютъ
собою уравнешя второй степени.
Совокупность точекъ, координаты которыхъ удовлетворяютъ некото-
некоторому уравнен!ю второй степени, образуетъ лишю, или кривую второго
порядка, или второй степени.

189 § 71
3. По опредЪлеьию, общШ видъ функцш второй степени (Т. I, § 90)
таковъ:
/(*, у) = ах* + by* + c + 2a'у + 2b'x + 2c ху. A)
При этомъ а, Ь, с, 2а', 2b', 2с' означаютъ каюе-либо постоянные
коэффициенты (обозначеше трехъ послътшихъ коэффищентовъ черезъ
2а', 2b', 2с' вмъсто а', V, С не имъетъ существеннаго значешя, оно
позноляетъ лишь несколько проще представлять нЪкоторыя формулы).
Въ случаЬ надобности можно и функщю первой степени разсма-
тривать, какъ частный случай функцш второй степени, положивъ коэф-
коэффициенты а, Ь, С равными нулю.
Функщю f(x, у) можно расположить по степенямъ одной изъ двухъ
перемънныхъ; располагая по степенямъ у, получимъ
Fi, B)
при чемъ мы полагаемъ
F, = cfx + а\ F2 = ах* + 2b' х + с. C)
4. Сопоставимъ теперь уравнеще второй степени
fix, у) = 0, 14)
которое мы будемъ называть уравнещемъ кривой J, съ уравнещемъ пря-
прямой линш /.
Если черезь #¦ мы обозначимъ уголь, составляемый прямой / съ
положительнымъ направлещемъ оси х-овъ, и положимъ р = tgft, то
уравнение прямой лиши получить видъ (§ 58, E))
У = рх + q, E)
гдЬ q представляетъ собой отр-Ьзокъ (съ положительнымъ или отрица-
гельнымъ знакомъ), отсекаемый прямой на оси у-овъ (т. е. значеше
координаты у для х = 0).
Частный случай, когда прямая параллельна оси v-овъ и, такимъ
образомъ, #¦ = гт/2, получится, если р будетъ стремиться къ безконечности.
Спросимъ себя теперь, какой смыслъ имт^етъ совместное существо-
ван1е обоихъ уравнен1й D) и E).
Если величины х, V удовлетворяютъ уравнешю D), то точка л,
имеющая координаты х, у, лежит ь на кривой j\ если же выполняется и
уравнеше E), то точка зг лежитъ и на прямой /. Такимъ образомъ, если
оба уравнешя выполняются совместно, то это показываетъ, что точка п
лежитъ одновременно на об-Ьихь лин!яхъ и является поэтому точкой пере-
ct4eHifl кривой f съ прямой /. Итакъ, совместное ptiiieHie обоихъ урав-
уравнений D) и E) относительно неизвъттныхъ л", v даетъ координаты точки
или точекъ nepec1i4eHiH обеихъ лин1й.

§ 72 190
5. Мы прихоаимъ, такимъ образомъ, къ алгебраической задаче,
а именно - къ опрелтлетю двухъ неизвестныхъ величинъ изъ уравнешй
первой и второй степени. Для того, чтобы разрешить ихъ, выразимъ
величину у черезъ х изъ уравнешя E) и подставимъ это выражеше въ
уравнение D), при чемъ функшю f(x, у) возьмемъ въ форме B); мы по-
лучимъ:
Ь(рх + qY + 2F, (рх + q) + F2= 0;
или, подставивъ вместо fr\ и F2 ихъ значен1я C) и расположивъ ре-
зультатъ по степенямъ ;v, найдемъ:
x + R = 0, F)
где мы, для сокращешя, положили:
Р = Ьрг +2с'р + а
Q = bp,1 + c'{i + a'p + b', G)
]{ = bif +2a'i} + c
Такимъ образомъ, мы получаемъ квадратное уравнеюе относи-
относительно х. Если мы возьмемъ одинъ изъ корней этого уравнешн, то
уравнеше E) дастъ возможность определить соответствующее значеше г,
такъ что каждому корню уравнешя F) отвечаетъ одна и только одна
точка пересечешя кривой J и прямой /.
§ 72. Касательный.
1. Квадратное уравнеше имеетъ либо два различныхъ веществен-
ныхъ корня, либо два мнимыхъ, либо, наконецъ, два равныхъ веществен-
ныхъ корня. Въ первомъ случае мы заключаемъ, что прямая / и кривая у
имеютъ две точки пересечешя. Мнимые корни не имЪютъ никакого
геометрическаго значения и не даютъ точекъ пересеченгя; если поэтому
уравнеше F) § 71-го имеетъ мнимые корни, то разсматриваемыя линш
вовсе не пересекаются. Но ради однообраз!я въ выражен1яхъ и въ этомъ
случае говорятъ, что прямая и кривая имеютъ две мнимыя точки пе-
ресечен1я.
Если, наконецъ, уравнеше F) имеетъ два равныхъ корня, то кривая
и прямая имеютъ только одну общую точку; она разсматривается тогда,
какъ точка, въ которой совпадаютъ две точки пересечешя. Въ этомь
случае прямая называется касательной, или прямой соприкосновеши,
къ кривой второго порядка.
2. Если мы разрешимъ уравнеше F) относительно х, то получимъ
(Т. I, § 43):

191 § 73
такимъ образомъ, если
Q2 — PR есть положительное число,
то будуть существовать дв"Ь д^йствительныя точки пересЬчежя; если
Q2 — PR есть отрицательное число,
то точки пересъчешя будутъ мнимыя; наконецъ, случаю
Q2 _ ря = 0 A)
отвъчаетъ совпадете точекъ пересъчен|'я въ одну.
3. Равенство A) можетъ быть представлено въ развернутомъ видЪ такъ:
(% + c'q + а'р + VY Фр2 + 2с'р + d) (bq* + 2 a'q + с) = 0; B)
если открыть скобки, то мнопе члены уничтожатся. Для того, чтобы
окончательное выражеше представить въ бол^е простомъ вид"Ь, мы вве-
демъ сл"Бдующ1я обозначен1я:
А = Ъс- д'а, А' = Ъ'с' - аа',
В = са V2, В' = с'а' bV, C)
C = ab с'*, C' = a'b' cc'.
Здъсь величины А, В, С, А', В', С являются минорами (ч. I, § 40)
определителя
а, с', Ь'
И = с', Ь, а'
Ь', а', с
и равенство B) принимаетъ простой видъ:
p + 2B'pq = 0. D)
Это равенство выражаетъ услов1е, которому должны удовлетворять
коэффищенты р, q, если прямая / есть касательная къ кривой J.
Если взять уравнеше прямой / въ вид*
их + vy -\- w = 0,
то р = u/v, (j = - w/v, и равенство D) получаетъ еще бол he изящ-
изящный видь:
Аи* + Bv1 + Civ1 + -2A'mv + 2B'uni + 2C'uv = 0.
§ 73. Асимптоты.
1. Относительно пересъчетя прямой и кривой второго порядка
встречаются и друпя особенности, къ разсмотрън1ю которыхъ мы сейчасъ
и приступаемъ.

§ 73 192
Можетъ случиться, что для нт.которыхъ значейй р, q коэффищентъ
Р въ уравненш F) § 71-го исчезаетъ, такъ что
Ьрг +2с'р + а = 0. (П
Если это им^етъ место, то уравнеше F) сводится къ уравнешю первой
степени, и лишя / имФ,еть только одну точку, общую съ кривой /, не
будучи, однако, касательной къ ней.
Такъ какъ уравнеше A) содержитъ только параметръ р, то ука-
указанное обстоятельство опредъляетъ только направлен1е прямой /;
направлеше это называется асимптотическимъ.
Линш, имеются асимптотическое направлеше, образуютъ, такимъ
образомъ, систему параллельныхъ прямыхъ.
2- Уравнеше A) является квадратнымъ относительно р; отсюда
можно заключить, что вообше существуютъ два асимптотическихъ на-
правлешя. Оба корня содержатся въ формуле:
Р- С'^Т "'¦¦ <ч
если зд-Ьсь положимъ
l) = d* — ab, C)
то получимъ
Ьр + с' = ? 1 7). D)
Встречающаяся здЬсь величина D (которая совпадаетъ съ известной
уже изъ § 72, C) величиной С) называется дискриминантомъ функцж
fix, У).
3. Вообще могутъ встретиться три случая, сообразно съ которыми
мы и различаем ь виды кривыхъ второго порядка.
a) /)<0, асимптотическ1я направлен1я являются мнимыми:
кривая называется эллипсомъ.
b) Г) > 0, асимптотичесюя направлен1я действительны:
кривая является гиперболой.
c) J) = 0, существуетъ лишь одно асимптотическое па-
нравлен!е: этому случаю отвечаетъ парабола.
Кривыя, отвечаюийя даннымъ въ §§ 68, 69 определежямъ эллипса,
гиперболы и параболы, разсматриваемыя, какъ кривыя второго порядка,
представляють собой примеры этихъ трехь случаевъ. Мы увидимъ позже,
насколько вообще прежшя определешя совпадаютъ съ теми, который
даны здесь.
4. Если вь уравненш F) § 71-го, кроме Р, обращается вь нуль также
и Q, между темъ какъ R отлично отъ нуля, то эгому уравнешю вообще

193 § 74
нельзя удовлетворить никакими значешями неизвестной величины, и пря-
прямая I не имеетъ сь кривой второго порядка ни действительной ни
мнимой общей точки. Въ этомъ случае прямая / называется асимптотой.
Такъ какъ Р = 0, то асимптота, во всякомъ случай, имеетъ асимптотическое
направлеше. Услов1я того, чтобы прямая была асимптотой, мы получимъ,
если, определивши р изъ уравнешя Р = 0, величину q определимъ изъ
линейнаго уравнешя B = 0. Принимая во внимате соотношеже D), найдемъ:
'. , и. -B'±a'VD. ,„
a'p+ /?'= - b - E)
такимъ образомъ, въ случае гиперболы существуютъ две веще-
вещественный асимптоты.
Если D = 0, то уравнеше E) вовсе не имеетъ решешй, такъ что
парабола не имеетъ асимптоты.
Исключеше представляется лишь въ томъ случае, когда одновре-
одновременно съ D обращается въ нуль и выражеже а'р -\- Ь'¦ Тогда уравнеше
E) выполняется для всехъ значешй q, и каждая лин1я съ асимптотическимъ
направлешемъ является въ то же время асимптотой. Но это обстоятельство
можетъ иметь место лишь для несобственныхъ кривыхъ второго порядка,
разсматриваемыхъ въ следующемъ параграфе.
5- Если b = 0, то одинъ изъ корней B) обращается въ безконеч-
ность, т. е. ocbjy-овъ имеетъ асимптотическое направлеше. Уравнеше линш,
параллельной оси v-овъ, имеетъ видъ х = х0, где х0 есть разстоян1е
этой лин1и отъ оси у-овъ. Ордината единственной точки пересечежя,
этой лин!и и кривой получится изъ уравнешя
2y((fx0 + а')'+ о V + 2Ъ'х0 + с = 0;
такимъ образомъ, если с'х0 + а' = 0, то не существуетъ вовсе точекъ пе-
ресечешя, и лишя х = х0 является асимптотой. Уравнеше с'х0 -\- а' = 0
определяетъ лишь одно значеше для л, за исключен1емъ того случая,
когда с' = 0. Если же, кроме /;, и с' обращается въ нуль, то снова D = 0.
§ 74. Несобственный, или распадающаяся кривыя
второго порядка.
1. Остается, наконецъ, изследовать тотъ случай, когда въ квадрат-
номъ уравненш F) § 71-го, отъ котораго зависятъ обиия точки кривой J
и прямой I, все три коэффициента Р, Q, R обращаются въ нуль. Если
это им"Ьетъ м-Ьсто, то каждая точка прямой I является въ то же время
точкой кривойу\ Такимъ образомъ, прямая оказывается частью этой кривой.
Въ этомъ случае функшя f(x, у) можетъ быть разложена на два
линейныхъ множителя L, L', и уравнеше f{x, у) = 0 только тогда
Be б ер-ь. Энцикпоп. элемент, геометрии. 13

§ 74 194
удовлетворяется, если исчезаетъ либо L, либо L ¦ Кривая, такимъ обра-
зомъ, распадается на дв"Ь прямыхъ 'лиши, уравненш которыхъ будутъ
L = О, U = 0. Мы будемъ такую кривую / называть несобственной,
или распадающейся кривой второго порядка.
2. Для того, чтобы обнаружить, разлагается ли функщя f на мно-
множителей и вмътгЬ съ гЬмъ въ благопр1ятномъ случай разыскать множи-
множителей L и L', замътимъ, что, если Р, Q, R одновременно исчезаютъ,
согласно § 71, 5, то уравнеше
Ь (рх + ф* + 2Ft(px + q) + F2 = 0 A)
обращается въ тождество, т. е. удовлетворяется для всЪхъ значенШ х>
ибо это уравнен1е тождественно съ уравнетемъ Рх2 ~\- 2Qx + R = 0.
Дал-fee, согласно § 71, B),
f{x,y) = by* + 2F,y + Fl; B)
и если вычесть уравнеше fl) изъ уравнение B) и воспользоваться разло-
жешемъ
j2 - {рх + qf = (у -рх - ф(у +рх + q),
то, заменяя Ft черезъ с'х -\- а' (§ 71, C)), получимъ:
fix, у) = (Г - рх q) \b{v + px + q) + 2(c'x + а')].
Такимъ образомъ, функщя f{x, у) разложена на два множителя
L=y-px q, L = by + (bp + 2с')х + bq + 2а1. C)
3. Въ § 90 тома 1-го yoioBie распадешя квадратной функщи f было
нами представлено въ вщгЬ равенства:
а, С, Ь'
Н = с', Ь, а' ' = 0,
V, а', с
которое въ развернутомъ вщгЪ можетъ быть переписано такъ:
abc -aa'* bb'* - сс'*-\- 2а'Ь'с' = 0. D)
Для того, чтобы вывести это услов1е изъ того обстоятельства, что
обращаются въ нуль величины Р, Q, R, можно поступить слъдушимъ
образомъ.
Мы постараемся изъ трехъ уравнешй Р = 0, Q = 0, R = 0, т. е.
Ьр* + 2с'р + а =0,
c'q + a'p + b' = O, E)
2а'q + c =0,

195 § 74
исключить обе неизвестный величины р и q. Изъ второго уравнешя
вытекаетъ:
q~ bp + c"
если мы это выражеше подставимъ въ третье уравнеше и умножимъ ре-
зультатъ на фр + с'J, то получимъ:
Ь(а'р + Ь'У - 2а'(а'р + Ь')фр + с') + с{Ьр + c'f = 0.
Расположимъ это уравнеше по степенямъ р; тогда, воспользовавшись
обозначешями C) § 72-го
А = Ьс а'\ В' = с'а' Ш, С = а'Ъ' ее',
придемъ къ равенству:
{Ьр* + 2с'р)Л- Ь'В' -с'С' = О,
которое въ связи съ равенствомъ E) даетъ:
Аа + B'U + С с" -= О,
что въ развернутомъ вид* совпадаетъ съ равенствомъ D).
Въ томъ случаъ (исключенномъ нами изъ раземотръшя), когда
функщя f(x, у) вовсе не содержитъ переменной у и, такимъ образомъ,
ypaeHeHie f=0 представляетъ две прямыя, параллельныя оси jy-овъ,
имеютъ место равенства а' — 0, b = 0, с' = 0 и, следовательно, yenoeie
D), равнымъ образомъ, выполняется.
4. Если черезъ # и #*' обозначимъ соответственно углы, образуемые
прямыми L и L' распадающейся кривой второго порядка съ осью х-овъ,
то, согласно уравнешю C) (если предположимъ Ъ отличнымъ отъ нуля),
такимъ образомъ, если оба эти выражешя равны другъ другу, т. е.
р = — с'/Ь, то обе лиши становятся взаимно параллельными. Въ этомъ
случае изъ перваго равенства E) вытекаетъ, что с'2 — ab = 0. Итакъ,
для того, чтобы кривая f распалась на две параллельныя прямыя,
необходимы услов1я, выражаемыя двумя равенствами
Я =0, D = 0.
5. Наконецъ, оба множителя L и L' могутъ также представлять
одну и ту же прямую, такъ что кривая обращается въ одну прямую,
дважды повторенную.
Въ этомъ случае выражешя L и L' должны отличаться только мно-
жителемъ Ь; поэтому должно быть:
с' а'
13*

§ 75 196
и равенства E) принимаютъ видъ:
ab — с'2 = О, ЪЬ' - а'с' = О, cb - а'2 = О, F)
откуда легко выводятся друпя равенства:
C(f - а'Ь' = 0, ас - /?'2 = О, аа' - с'Ь' = 0. G)
Такимъ образомъ, для того, чтобы функщя f представляла собой
квадратъ линейной функцш, необходимо, чтобы не только определитель
Н, но и вс% его миноры А, В, С, А', В', С обращались въ нуль.
Исключенный раньше случай b = 0, тъмъ не менъе, также содер-
содержится въ этихъ общихъ результатахъ. Въ самомъ д"ЬлЪ, если b = 0,
то уравнеше f = 0 только тогда можетъ представлять дв^ параллельныя
прямыя, если таковыя параллельны оси j-овъ, т. е. если одновременно
исчезаютъ величины а' и с', а, следовательно, также Я и D; об"Ь эти
прямыя совпадаютъ, если къ тому же и ас — Ь'* = 0. Такимъ образомъ,
и въ этомъ случаъ также выполняются равенства F), G).
6. Если сохранить прежшя обозначешя въ выражешяхъ
/(л-, v) = ах* + by2 + 2с'ху + 2b'x + 2a'v + c,
D = c'2 -ab,
то прямая съ асимптотическимъ направлешемъ, проходящая черезъ начало
координатъ, им^етъ уравнение (§ 71, E), § 73, D)):
перемноживъ заключаюиияся въ этомъ выраженш два уравнен1я и раз-
дъм1ивъ результатъ на Ь, получимъ равенство
ахг + Ьуг + 2 с'ху = 0, (81
представляющее уравнеше пары прямыхъ асимптотическаго напра-
влен1я.
§ 75. Точки перес-Ьчен1я двухъ кривыхъ второго порядка.
1. Если даны два уравнешя второй степени
f(x,y) = ах* + Ьуг + с + 2а'у + 2Ь'х + 2 с'ху = 0,
(р(х, у) = ах2 + Ру% + у + 2а'у + 2@'х + 2fxy = О,
то значен1я, удовлетворяю 1щя одновременно обоимъ уравнешямъ, являются
координатами точекъ пересъчешя кривыхъ / и до. Мы уже въ § 90
тома 1-го видъли, что существуютъ четыре системы ръшешй этихъ
уравнешй, при чемъ опред-Ьлеше ихъ зависитъ отъ ръшешя н-Ькотораго
уравнешя четвертой степени; отсюда мы заключаемъ, что две кривыя
второго порядка вообще пересекаются въ четырехъ точкахъ.

197 § 75
2. Уравнеше четвертой степени, которымъ определяются коорди-
координаты этихъ точекъ пересЪчешя, можетъ быть составлено следующимъ
образомъ. Мы полагаемъ:
fix, у) = by* + 2Fiy + F2 = 0 fi, - Ф2)
д>{х,у)=Руа + 2Ф1У + Ф% = 0 -Ъ, F\,
гд-fe
F = c'x + a' Р = ахг + 2Ь'х + с, ,„
V. )
Такимъ образомъ, Ft и Ф, являются функщями первой степени отно-
относительно х, a F2 и Ф2 — функщями второй степени.
Если мы последовательно умножимъ уравнешя B) на приписанныхъ
справа множителей и результаты сложимъ, то получимъ два уравнешя:
-Фг b)V + (FtP ФгЪ) = О,
(FJ - ФгЬ)у + 2(F^\ - F, Ф.) = О,
изъ которыхъ определяется у:
у~~ 2 FJ ФЛЬ~ FJ ФгЬ ' W
Отсюда вытекаетъ:
(F2^ Ф.гЬ? ~ 4(FiP ФХЬ){Р2Ф, Р,Ф2) = 0, E)
чго, въ виду обозначенШ C), представляетъ собою уравнеше четвертой
степени относительно х. Для каждаго значешя х, удовлетворяющего этому
уравнешю, изъ уравнен1я D) получимъ соответствующее значеше у.
3. Уравнеше E) въ частныхъ случаяхъ можетъ свестись къ уравне-
шю третьей степени. Для того, чтобы узнать, въ какихъ случаяхъ это
имеетъ мъхто, изследуемъ коэффищентъ при х* въ уравнеши E). Если
онъ исчезаетъ, то степень уравнешя понижается до третьей, и обе кри-
выя имеютъ лишь три точки пересечен!я. Согласно положен1ямъ C),
yoioBie, при которомъ это имеетъ место, выражается равенствомъ:
(«Z0 -ЬаУ Цс'р -ЬУ)(а/ -с'а) = О. F)
Вспомпимъ, что, согласно § 73, A), уравнешемъ
Ьр* + 2с' р + а = О
определяются асимптотичесшя направлежя для кривой f, и, равнымъ обра-
образомъ, уравнеше
Рр* + 2у'/> + а = О
определяетъ асимптотичесюя направлешя для кривой д\ Если же мы
нсключимъ р изъ этихъ двухъ уравненШ, подобно тому, какъ мы выше

§ 75 198
исключили х изъ уравненШ B), то получимъ въ точности ycnoBie F);
отсюда, такимъ образомъ, слъ\дуетъ:
кривыя второго порядка только тогда имЪютъ три
точки пересЪчен1я, когда он"Ь имЪютъ общее асимтотическое
направлеюе.
4. Уравнеше четвертой степени можетъ иногда свестись къ уравне-
шю еще бол"Ье низкой степени, такъ что встречаются пары кривыхъ
второго порядка, имЪюпия только две точки пересечежя, или только
одну, или, наконецъ, вовсе ихъ не имеюипя.
Если, напримеръ, члены второй степени
ах2 + 2с' ху + Ьу\ ах1 + 2у'ху + Ру2
отличаются только постояннымъ множителемъ, т. е. если
а:с':Ь = а:у':р, G)
то степень уравнешя E) сводится ко второй, и кривыя имеютъ, такимъ
образомъ, только две точки пересЬчен1я. Услов1я G) выражаютъ
совпаден1е обоихъ асимптотическихъ направлешй. Этотъ случай им%етъ
мъсто для двухъ окружностей, которыя, какъ изв-Ьстно, будучи кривыми
второго порядка, им^ютъ все же не бол^е двухъ общихъ точекъ. Асим-
птотичесюя направлешя въ этомъ случай оказываются мнимыми.
Кривыя второго порядка имЪютъ только дв^ общихъ точки также
и тогда, когда онЪ имЪюгь не только общее асимптотическое направлеше,
но и общую асимптоту.
Наконецъ, дв^ кривыя второго порядка могутъ им^ть только одну
общую точку или вовсе ея не имъть. Последнее им^етъ м^сто, напри-
мъръ, въ томъ случаъ, если функщи f и д> отличаются одна отъ другой
только постоянными членами, т. е. если д =а, Ъ = ft, а' = а', Ъ' = Р',
с' = у' и с отлично отъ у.
Наподоб1е того, какъ о двухъ параллельныхъ прямыхъ говорятъ, что
онЪ пересекаются въ безконечности, можно теорему о существованш четы-
рехъ точекъ пересЬчешя двухъ кривыхъ второго порядка распространить
и на эти случаи, взявши одну или болЪе точекъ пересЬчешя въ безко-
безконечности.
Этому способу выражешя можно придать реальный смыслъ, если
взять сначала функцш f и д> такими, чтобы существовали четыре точки
пересЬчешя, а загёмъ заставить коэффишенты а, Ь, ¦ ¦ ., а, C, . ..
непрерывно стремиться къ гёмъ частнымъ значещямъ, которыя удовле-
творяютъ спещальнымъ услов1ямъ. При этомъ оказывается, что исчезакнщя
въ пределе точки перес%чен1я неограниченно удаляются подобно тому,
какъ удаляется общая точка двухъ пересекающихся прямыхъ, если одна

199 § 76
изъ нихъ непрерывнымъ вращешемъ приводится къ направлежю, парал
лельному другой.
§ 76. Сопряженный направлен)я и главный направлен)я.
1. Мы переходимъ теперь къ упрошешю уравнешя второй степени,
при чемъ мы отнесемъ его къ нъкоторой системъ координатъ, наиболее
удобной при частномь вид"Ь функщи f, и разсмотримъ комплексъ кривыхъ,
выражаемыхъ этимъ уравнешемъ.
Сначала мы прибътнемъ къ вращешю системы координатъ, сохраняя
неизм"Ьннымъ начало. Согласно формуламъ § 70 E), мы, такимъ образомъ,
полагаемъ:
* = §cos# + *jcos(# + co),
у = § sin ¦У" -|- 7j sin (& -\- со),
такъ что функщя
Дх, у) = ах2 + by* + 2d ху + 2а'у + 2V х + с B)
переходитъ въ некоторую функщю такого же вида:
при чемъ, какъ легко проверить вычислешемъ,
а = a cos'i? -\- bsin2$ ~\-2c' sini? cos^,
у = п cos¦# cos{§¦ -)- со) -\- b sin^ sin(# -\- to)
+ с' (cos& sin (¦# -\- to) + sini? cos (ч?1 -\- со)),
a = a' sini? + b' cos^,
fj' = a' sin(# -\- со) -\- b' cos (^ -|- со),
у = с
2. Для упрощешя выражешя у (с, »;) мы располагаемъ значешями
обоихъ угловъ «9-, со: мы опред^лимъ ихъ такъ, чтобы у' = 0.
Если мы положимъ
cos (# -\- со) = cos #- cos со sin д- sin со,
sin(# + to) = sin .9- cos со -f- cos^sinca
то уравнеше / = 0 приметъ видъ:
cosco (a cos2# -|- /?sin2j.V- -f- 2c' sin# cos^)
4-sinco((/?- й) sin ¦#• cos^ -)- c'(cos2^ sin2i9-)) = 0.
Такимъ образомъ, если сначала оставить fr произвольными для со
получится уравнеше:
D)
(b ^sin^cos^ + c'Ccos2^ sin2^)' l J

§ 76 200
такъ что для каждаго произвольнаго направлешя оси ? получается одно
направлете (точнее—два противоположныхъ направлешя), для оси г\ та-
такого свойства, что въ уравнеше кривой, отнесенное къ системе осей ^щ,
не входить членъ, содержаний произведете §г]. Два такихъ направлешя
называются сопряженными направлен1ями.
3. Можетъ случиться, что оба сопряженныхъ направлешя совпадаютъ
въ одно, и тогда эти направлешя не могутъ служить осями координатъ.
Это имЪетъ место' въ томъ случай, когда уголъ & взятъ такъ, что
acos2#-|-/?sin2#-|- 2c'sin#cos# = 0.
Откуда выводится квадратное уравнеше для tg-9".
имеющее корни:
где, какъ и прежде,
D = c2 -ab,
обозначаетъ дискриминантъ функили f.
Сравнен1е полученнаго результата съ равенствомъ B) въ § 73 по-
казываетъ, что асимтотическ1я направлен1я и только они совпадаютъ
со своими сопряженными направлешями.
4. Постараемся теперь определить уголъ & такъ, чтобы оба сопря-
сопряженныхъ направлешя были взаимно перпендикулярны. Таюя направлешя
мы будемъ называть главными. Если мы огнесемъ уравнеше кривой къ
осямъ, совпадающимъ съ главными направлежями, то система координатъ
будетъ прямоугольной, и въ уравнеше кривой не войдетъ произведете
об^ихъ иеремЪнныхъ.
Главныя направлешя всегда сушествуютъ. Для того, чтобы по-
получить ихъ, положимъ въ формул^ F) со = ^-л, следовательно, tgro
равнымъ безконечности, т. е. знаменатель -равнымъ нулю. Это дастъ намъ:
(Ь — a) sin Э- cos it + с' (cos2 .V- sin2 #) = 0,
или, согласно формуламъ тригонометрш:
ф - a) sin2iV- + 2с' cos2i>- = 0, G)
откуда
*2*= Ь-а m
Такъ какъ каждому положительному или отрицательному значешю
тангенса отвечаетъ одинъ уголъ между —я2и -|- гг/2, то соотношен1е
(8) опредъляетъ одно значен1е для угла г^ въ пределахъ —л/4, +лт/4.
Этому же услов1Ю удовлетворяютъ и углы, отличающееся отъ указаннаго
значешя ч9- на число, кратное л/2; всъ они даютъ лишь двъ взаимно

201 § 76
перпендикулярныя прямыя лиши, изъ коихъ по произволу одна прини-
принимается за ось ?, другая — за ось г\.
5. Исключеше представляется въ томъ случай, когда уравнеше G)
выполняется для всякаго значешя угла &, что имЪетъ мътто, если
Въ этомъ случаЪ уравнеше f = 0 выражаетъ окружность, для каковой
любыя взаимно перпендикулярныя направления являются глав-
главными.
Функшя f(x, у) при этомъ имъетъ видъ
и можетъ быть представлена также въ видЪ
Ь \ . I . а\\ а2 + Ь2 —са
17
х +„...-.¦„.¦ а
т « Ъ а'
1акимъ ооразомъ, числа . являются координатами центра
а а
круга, а число (й'2 -|- Ъ — ас)/а есть квадратъ его рад1уса.
6. ДалЪе, можетъ также случиться, что для нЪкотораго опред'Ьленнаго
угла # числитель и знаменатель выражен1я F) одновременно исчезаютъ;
тогда при такомъ значенш ^ уравненте E) выполняется для всЬхъ зна-
qeHifl со, и коэффишентъ у' также для всЬхъ значешй со равенъ нулю. Для
этого величина #• должна быть такъ опредъттена, чтобы одновременно
выполнялись равенства
й cos2* + /'sin2* -\-'2c' sin* cos* = 0,
(/7 й) sin* cos* + с' (cos2* sin2*) = 0.
Оба эти равенства съ помощью соотношенШ
2cos2*= I +cos2*, 2sin2* = 1 - cos2*, 2sin*cos* = sin2*
могутъ быть также представлены въ видЪ:
(й - Ь) cos2* + 2с' sin2* = - (а + Ь),
(а - Ъ) sin2* — 2c'cos2* = 0;
если возведемъ ихъ въ квадратъ и сложимъ, то получимъ:
(й Ь)'1 + 4 с'2 = (й -f- bJ
или
г'2 аЬ = О.
Если же, наоборотъ, выполняется это ycnoBie, то изъ двухъ выше-
вышеприведенных ь равенствь одно является слЪдстемъ другого.

§ 76 202
Такимъ образомъ, тотъ частный случай, при которомъ у' исчезаетъ
для нЪкотораго значешя ¦$• и для любого значешя со, имЪетъ мЪсто
тогда и только тогда, когда дискриминантъ ?) обращается въ нуль, т. е.
когда кривая второго порядка является параболой. Направлеие
оси § въ этомъ случай совпадаетъ съ единственнымъ въ этомъ случай
асимптотическимъ направлешемъ (§ 73, 3.).
7. Дискриминантъ D функщи второй степени f(x, у) былъ опре-
дъттенъ равенствомъ
D = c'2- ah.
Равнымъ образомъ и дискриминать А преобразованной функщи
76, 1) опредъляется равенствомъ
А = с'2 - а/?;
между обоими дискриминантами существуеть некоторое соотношеше, вы-
вытекающее изъ выраженШ D) для а, /?, /. Именно, если ихъ подставить
въ выражеше для А, то простое вычислеще, которое мы предоставляемъ
выполнить читателю, приводить къ результату:
A = Dsmlco. (9)
Такимъ образомъ, частное
А : sin2 со
является совершенно независимой отъ измЪнешя системы координатъ ве-
величиной, которая служитъ для характеристики кривой, представляемой
уравнетемъ f = 0 или q, = 0. Эту величину мы будемъ называть дискри-
минантомъ этой кривой.
Классификащя кривыхъ второго порядка, которая была нами выше
произведена въ зависимости отъ знака дискриминанта, является, такимъ
образомъ, совершенно независимой отъ выбора системы координатъ. Итакъ,
мы будемъ различать:
1) кривыя второго порядка съ отрицательнымъ дискриминантомъ,
или эллипсы;
2) кривыя второго порядка съ положительнымъ дискриминантомъ,
или гиперболы;
3) кривыя второго порядка съ исчезающимъ дискриминантомъ,
или параболы.
Такъ какъ sin2со всегда есть положительное число (уголъ со не
можетъ быть ни равнымъ нулю, ни кратнымъ я), то о принадлежности
кривой къ одному изъ этихъ трехъ видовъ можно судить уже по функщи

203 § 77
Прежде, чЪмъ перейти къ геометрическимъ свойствамъ указанныхъ
трехъ видовъ кривыхъ, мы должны прибегнуть къ дальнейшему пре-
образованш координать, при чемъ къ вращешю системы осей мы при-
соединимъ еще ихь параллельное перенесете.
§ 77. Центръ.
1. Мы примемъ теперь, что уравнеше кривой второго порядка уже
отнесено къ системъ сопряженныхъ направленШ, взятыхъ за оси коорди-
натъ. Тогда въ уравненш этомъ нътъ члена съ произведшемъ ху, и оно
принимаетъ видъ:
ах* + Ьу* + 2а'у + 2Ь'х + с = 0. A)
Дискриминантомъ этой кривой является величина — ab, и мы раз-
личаемъ следующее случаи.
Уравнеше A) представляеть
эллипсъ, если коэффициенты а и Ъ имеютъ одинаковые знаки,
гиперболу, если коэффициенты a vt Ъ имъютъ различные знаки,
параболу, если одинъ изъ коэффищентовъ а или Ь равенъ нулю.
(Если оба коэффищента а, Ъ равны нулю, то уравнеше A) представляетъ
прямую линно).
2. Введемъ теперь опять новую систему координатъ ?, /у, оси ко-
которой параллельны, соответственно, осямъ х, у, а начало им^етъ коор-
динанты х0, у0. Въ этомъ случае
<; = х-х0, ц=у-уа.
Коэффицденты при |2, if совпадають съ коэффишентами при х2, у2, и
уравнеше A) принимаетъ видъ:
а?+ !>>? +2а'г]+ 2^ +у = 0, B)
где
«' = Ьу0 + а',
? = ах0 + b; C)
у = ах* + by* + 2а'у0 + 2b'xo + c
Надлежащ!й выборъ величинъ х0, у0 даетъ возможность сделать
дальнейипя упрощен1я.
3. Если коэффициенты а и b оба отличны отъ нуля, то положимъ
_ - у -а'
ха- - У,- b ,
благодаря чему а', (Г обращаются въ нуль, и уравнеше B) получаеть видъ:
0|" + *Ч8 + У = 0. D)

§ 77 204
4. Если же одинъ изъ обоихъ коэффишентовъ а, Ь, — напримЪръ, д,
— равенъ нулю, такъ что кривая представляетъ собой параболу, то нельзя
уже достигнуть того, чтобы величина /3' обратилась въ нуль. Сдълаемъ
тогда а' = 0, т. е. положимъ у0 = - а '. Ъ.
Если Ь' отлично отъ нуля, то координата х0 можеть быть опре-
определена изъ уравнешя у = 0, а именно
_ я'2 be
х° 2bb' '
и изъ уравнешя B) получимъ:
&Ч" + 2|8'!=0. E)
Если же Ъ' = 0, то также и /?' = 0 (для любого х0), величина же у
независимо отъ х0 становится равной (be—о'2) : Ь. Вместе съ тЬмъ
уравнеше принимаетъ видъ:
bv? + y = O. F)
Этимъ исчерпаны всЬ случаи, могущ!е представиться для уравнен!я A).
5. Равенства D) и F), въ которыхъ вовсе не содержится первыхъ
степеней неизвъхтныхъ величинъ, остаются въ силЪ, если заменить §
черезъ — § и щ черезъ — ц. Каждая прямая, проходящая черезъ начало,
пересЬкаетъ кривую въ двухъ точкахъ, равноотстояшихъ отъ начала.
Начало координатъ называется центромъ кривой 18).
Но между тЪмъ, какъ въ случай D) центромъ является един-
единственная вполнъ опредъленная точка, въ случаъ F) любая точка
оси | можетъ быть разематриваема, какъ центръ. Въ случаъ же
E) центра вовсе не существуетъ 19).
Въ случаяхъ D), E) и F) каждая хорда, параллельная оси г\, дЬ-
лится пополамъ осью ?; въ случаъ D) также и каждая параллельная оси
| хорда дъуштся пополамъ осью г/.
Мы изучимъ теперь всевозможные частные случаи, как1е могуть
представиться въ отношенш кривыхъ второго порядка.
6. Если въ уравненш D) коэффищентъ у отличенъ отъ нуля, и
величины а, Ь, у имЪютъ одинъ и тотъ же знакъ, то, разделивши на у
и написавши а2, Ьг вмътто у : а, у : b и х, у вместо f, ц, получимъ:
х2 v2
") Изъ сказаннаго сл-Ьдуетъ, что прямая, проходящая черезъ^начало и встре-
встречающая кривую въ точк-fe (с, rj), встр-вчаетъ ее также въ точк-fe ( -|, — г)), т. е. въ
двухъ точкахъ, равноудаленныхъ отъ начала.
19) Въ случаЪ D) координаты точки (х0, ^0), въ которую нужно перенести
начало, чтобы оно стало центромъ кривой, определяются однозначно; въ случае F)
координата \и остается произвольной; въ случае E) требуемыхъ значенШ для
\„ и у„ получить нельзя.

205 § 77
Но это уравнеше не удовлетворяется ни для одной вещественной
точки, такъ какъ сумма трехъ положительныхъ величинъ не можетъ
равняться нулю. Это уравнеше не им^Ьетъ никакого геометрическаго зна-
чешя: ему отвЪчаетъ мнимый эллипсъ.
7. Коэффиидентъ у отличенъ отъ нуля. Коэффищ'енты а, Ь им'Ьютъ
одинаковые знаки, противоположные знаку у. Если снова подставить
а1, Ьг вмъсто — у : а, - у : Ъ, то получится уравнеше
выражающее эллипсъ.
8. Коэффищентъ у отличенъ отъ нуля. Величины Ь, у им'Ьютъ оди-
одинаковые знаки, противоположные знаку а:
Мы получаемъ гиперболу.
Случай, когда а, у имъютъ одинаковые знаки, противоположные
знаку Ь, не существенно отличается отъ предыдущаго; получающееся при
этомъ уравнеше
4- - =1
переходитъ ьь уравнеше 3), если ось лг-овъ сделать осью у-овъ и на-
оборотъ.
9. у = 0, а, Ь имъютъ одинаковые знаки. Подставивъ 1 : я2, 1 : />а
вмъсто а, Ь, получимъ:
4) ^+^=о.
Это уравнен1е выполняется только для х = 0, у = 0, т. е. для начала
координатъ. Но лъъая его часть можетъ быть разложена на два ком-
плексныхъ множителя первой степени:
х iy х /у
~а + Ъ ' ~а Ь'
поэтому говорять, что уравнен1е 4) выражаетъ пару мнимыхъ прямыхъ.
10. у = 0; a, b имъютъ различные знаки. Подставивъ 1 : д2, 1 :/?2
вместо а, Ь, получимъ:
Это уравнеше выполняется, если
х у х v
~ — 0 или - + - — 0
a b a b

§ 77
206
и потому представляеть двЬ прямыя, которыя пересъкаются таким ь
образомъ въ началt и дълятся гармонически осями координать; итакъ,
уравненш 5) отвЪчаетъ пара прямыхъ.
11. Мы переходимъ къ уравнешю 5), въ которомъ коэффишентъ /;
отличенъ отъ нуля. Если и коэффищентъ /?' отличенъ отъ нуля и имЪетъ
притомъ знакъ, противоположный знаку Ъ, то, замъхтивъ /?': Ъ черезъ — р,
и снова написавъ х, у вместо ?, »/, получимъ:
6) У = Цх,
— это парабола.
Случай, когда Ъ, /?' имЪютъ одинаковые знаки, отличается не суще-
существенно отъ предыдущего и приводится къ нему заменой х черезъ - %.
12. Если въ уравненш 5) р' = 0, то получаемъ уравнение:
7) f = О,
которому удовлетворяютъ только точки оси х-овъ; въ этомъ случай
мы имЪемъ двЪ совпадающихъ прямыхъ.
13. Если въ уравненш 6) коэффищентъ у отличенъ отъ нуля и
имЪетъ знакъ, совпадаюшдй со знакомъ Ъ, то, положивъ у:Ъ^=с2, получаемъ
8) v2 + c2 = 0.
Это пара мнимыхъ параллельныхъ прямыхъ.
14. Если величины Ь и у въ уравненш 6) имъютъ различные знаки,
то мы приводимъ его къ виду:
9) v2 с2 =0, у = ± с
и получаемъ, такимъ образомъ, двъ
прямыя, параллельныя оси .v-овъ,
т. е. пару вещественныхъ па-
параллельныхъ прямыхъ.
Случай, когда въ уравненш 6)
у = 0, приводить снова къ урав-
нешю G); такимъ образомъ, нами
исчерпаны всевозможные случаи.
Уравнеше собственно кри-
выхъ второго парядка 2), 3), 6)
совпадаютъ съ выведенными въ
§§ 68, 69 другимъ путемъ уравне-
шями эллипса, гиперболы и пара-
параболы. При этихъ изслъмювашяхъ
за оси координатъ могла быть взята любая пара сопряженныхъ напра-
влеши. Но можно также, и притомъ однимъ лишь образомъ (исключая
Фиг. 76.

207 § 78
частный случай окружности), исходить изъ прямоугольной системы коор-
динатъ (главныя оси), не нарушая общности.
Такимъ образомъ мы получили снова rfe же кривыя, что и въ
§§ 68, 69, и сверхъ того — несобственныя, или распадаюшдяся кривыя.
15. Для гиперболы асимптотами являются прямыя съ асимптоти-
ческимъ направлешемъ, проходяшдя черезъ центръ. Если выбрать асимп-
асимптоты за оси координатъ, то для гиперболы получится уравнеше
10) ху = с
Если асимптоты взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равно-
равносторонней (фиг. 76).
§ 78. Касательный къ эллипсу.
1. Въ послтэдующемъ мы разсмотримъ некоторый свойства эллипса
и замътимъ лишь, что въ случай гиперболы и параболы можно вести
тамя же разсуждешя и получить аналогичные результаты. При этомъ
уравнеше эллипса мы возьмемъ отнесеннымъ къ главнымъ осямъ, т. е.
въ видъ
5 + 10 A>
при прямоугольной системъ координатъ.
Коэффищ'енты, которые въ общемъ изслътюваши (§ 76) мы обо-
обозначили черезъ
а, Ь, с, а', Ь', с',
теперь заменены черезъ
^. ~, -1, о, о, о,
и минорами детерминанта И являются величины:
А = - - В— — (л — 1 4' — R' — Г' — 0
2. Такимъ образомъ, для того, чтобы прямая /, имеющая уравнеше
y=px + q, B)
была касательной къ эллипсу, коэффиц1енты р и q должны удовлетворять
условш (§ 72, D)):
или

78 208
Если при этомъ прямая / проходить черезъ точку хр, vn, то должно
выполняться равенство:
'/ =.vo Рхо'<
если же точка х0, у0 принадлежитъ также кривой и, такимъ образомъ,
является точкой касашя, то ея координаты удовлетворяютъ уравнешю
эллипса, т. е.
v 2 ,, 2
Я2 + V ~ У)
Уравнеше C) въ этомъ предположены принимаетъ видъ:
(а2 - .г,,2)/J + 2рх0 v0 + Ь* - у<? = 0,
и, если, на основанш равенства D), положить
/12,., 2 |,Jr!
„2 г 2 _ Й_^0 L2 _ 2 _ 0 *0
то упомянутое уравнеше можетъ быть преобразовано такъ:
Л-ввая часть этого равенства представляетъ квадратъ выражешя
/7 ' а '
и мы въ результат^ получаемъ, что
Р = ~ а.," '
Такимъ образомъ, уравнеше B) принимаетъ видъ:
- х0 ? д_о =
л* v0 - -
откуда, умноживъ его на т0 • t2 и воспользовавшись еще разъ равенствомъ
D), мы придемъ къ уравнешю
ххр +.У1р ! = о E)
которое и будеть уравнен1емъ касательной къ эллипсу A) въ точкЪ
хо Уо (точку эту мы будемъ обозначать черезъ п).
3. Согласно § 58, (8), отсюда получается следующее уравнеше
для прямой, перпендикулярной къ касательной:
-то ~ -а-0, F)

209 § 78
гд-fe d — произвольная постоянная. Для того, чтобы этотъ перпендику-
ляръ проходилъ черезь точку д0, у0, должно выполняться равенство
d = хо\'пA/Ь^— 1/д*). такъ что уравнеше F) принимаетъ видъ:
(х^х„)у0 (у-Уо).хо
р а% и- I'J
Эта прямая называется нормалью къ эллипсу въ точкЪ х„, у0. Она
перпендикулярна къ касательной и проходитъ черезъ точку касашя.
4. Подъ направлен1емъ кривой линш въ некоторой ея точкъ
разумЬютъ направлен!е касательной. Кривая лишя, такимъ образомъ,
измЪняетъ свое направлен!е при переход^ отъ одной ея точки къ другой,
въ то время какъ прямая во всъхъ своихъ точкахъ имЪетъ одно и то же
направлеше. Итакъ, нормаль является перпендикулярной не только
къ направленш касательной, но и къ направлен^ самой кривой.
5. Если въ уравненш F) положить d = 0, то получимъ уравнеше
перпендикуляра, опущеннаго на касательную изъ центра:
Больш!й интересъ представляетъ для насъ перпендикуляръ, опу-
опущенный на касательную изъ фокуса. Если положить
С* = аг _ ja, (8)
то фокусы f, f имъютъ, соотвътственно координаты + с, 0 и — с, 0;
такимъ образомъ, уравнеше перпендикуляра, опущеннаго на ка-
касательную изъ фокуса у\ имЪетъ видъ:
(* ~ С)-У" У^ _ о гол
Для того, чтобы получить коородинаты основан!я п' этого перпен-
перпендикуляра, опредъляютъ величины х, у изъ уравнений E) и (9).
6. Если мы теперь станемъ передвигать точку л вдоль эллипса,
то, равнымъ образомъ, будеть перемъщатся и точка jtf и опишеть при
этомъ некоторую кривую, уравнеше которой мы сейчасъ опредътшмъ.
Мы должны будемъ для этого исключить х0, у0 изъ трехъ уравненШ:
•"¦„ . уу0 ,
), A0)
а-
- с) У о У-х
2
а*
Веберъ, Эвциклоп. элемент. геометр1и.
If- a
Х0 1^ Уп 1

§ 78
2143
Для выполнешя этого мы введемъ неопределенный множитель Я и, согласно
второму изъ уравненШ A0), положимъ:
= -V
с,
Если подставить эти выражешя въ первое и третье равенства A0),
то получимъ:
х(х с) -\-у2 = Я,
а*(х сJ + /?'V = Я2.
Возведемъ первое изъ этихъ равенствь
въ квадрать и приравняем ь оба вы-
выражешя для Я2; получимъ:
й2 (х cf + Ь V = (л (* с) +_у2J.
Это равенство поддается значитель-
значительному упрощешю. Именно, если по-
Фнг. 77.
ДОЖИТЬ
X2 +у* = Г*,
то получимъ:
- 2 r
Ь'1уг
2г2,
откуда, положивъ /;- = а'1 с2, найдемъ:
или
(г" a*) i
Но второй множитель
г2 -2сх-
= 0.
= {х - сJ
не можетъ быть равенъ нулю. Такимъ образомъ, г2 = а'1, чЪмъ доказы-
доказывается теорема:
Основан1я перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ фокуса на
касательныя къ эллипсу, лежатъ на некоторой окружности.
Окружность эта им-ветъ тотъ же иентръ, что эллипсъ, а д!аметромъ
ея является большая ось эллипса (фиг. 77).
7. Разсмотримъ двъ прямыя, соединяющ!я точку л эллипса съ фо-
фокусами у, f'. Уравнешямъ обт^ихъ прямыхъ должны удовлетворять значе-
тн х = А"о, v = V,, и, сверхъ того, первому изъ нихъ должны удовле-
удовлетвори гь значешя у = 0, х = + С. а второму значешя у — 0, л" = с
Отсюда мы получаемъ и самыя уравнен!я:
уо(х- .v0) (у - v,,) (с + л-„) = 0, (яг/"'),
уа(х - х0) + (у у„)(с а-„) = 0, (л/).

211 § 78
Согласно § 58, 2, чтобы привести эти уравнешя къ нормальному
виду, нужно разделить ихъ на корень квадратный изъ суммы квадратовъ
коэффищентовъ при х и при у, т. е. первое - на
а второе на
г - Vic" Xo
При этомъ г и г' суть отрезки J'jv и J л (какъ въ §§ 66 и 68,
такъ что ? лежитъ противъ фокуса j, r' противъ фокуса f') и, по
основному свойству эллипса,
г + г' = 2й ,
A2)
r + r' a
Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ нормальному виду уравнешй A1):
I ==Уп[х х"> ~(У -)'п) [с-h хп) _q
A3)
., уо(х л„) + (v_- т„) (с - л'„) =
г'
и, согласно § 58, 5, равенства
А' /7 = 0, Л' + Л = 0 A4)
являются уравнешями объихъ биссектрисъ угловъ, образуемыхъ пря-
прямыми fn и f тс.
Изь гождествъ
.,, i_ Уо(л- - л:,,) (г /') + (у уо) [с(г+г) - л0(г_ г')]
Л Л=' ~ ~ гг'
v , л _ vo(x х„) (г + г') + (у Го) \с(г >') хо(г + г')]
Л -+- fi ==' - ,
гг
съ помощью соотношешй A2) и D) получимъ:
^ 2сауа (хха _,_ г vn Л
гг' \ а1 ' Ь'1 }'
, _ 2 Ь'га \{х - х0) )¦„ (_>' )¦„) л0]
= п-7 Г F "«а J
Уравнения A4), такимъ образомъ, являются уравнешями касательной и
нормали къ эллипсу, откуда вытекаетъ теорема:
Касательная и нормаль къ эллипсу дълятъ пополамъ углы
между лучами, выходящими ил ьфокусовъ и проходящими черезъ
точку касан1я.

§ 79 212
§ 79. Геометрическое доказательство теоремы о касательной.
1. Последняя теорема предыдущего параграфа можетъ быть болт»е
просто доказана безъ помощи уравненШ, исходя изъ основного свойства
эллипса.
Обозначимъ черезъ рил дв-fe точки нЪкотораго эллипса съ фоку-
фокусами f, f' (фиг. 78). Лишя, соединяющая точки рил, является сЪкущей
эллипса, а отрЪзокъ лр, который мы обозначимъ черезъ s, есть хорда.
Мы положимъ
изъ основного свойства эллипса вытекаетъ, что
г + ^ = е + е' = 2в. A)
Въ треугольникахъ }'рл и /рл другъ противъ друга лежатъ, соот-
соответственно, слЪдующ1е стороны и углы.
въ треуг. /'рл: г противъ -?: $,
q - ¦$: л — t,
'(>¦ въ треуг. fpn: q' „ ¦&¦ f,
Фиг. 78. i' „ ->. {У /'.
Отсюда по теорем^ синусовъ (§ 28, 2) получается:
г sin# о _ sinf
i~ sin(i if)' s sin(t &)'
r' sin*' o' sin/'
')'
T ~~sinC#' П' 7 ~ sin(^' t')
следовательно, согласно (IV
smfl' sinf sinf
~&) sinp'~ ?1 "~ sin{t-~(f) sin^7" ~П
или
sinf sini5 sin^' - sin Г
Положимъ теперь, согласно тригонометрическимъ формуламъ (§ 29, E), F)),

213 § 79
smt smir = 2sin — cos - ,
• „ ил » ¦ * ~ & * *
Sltl(/ #) = 2sin COS — - ,
sin J sin/ = 2sin cos --
-^-cos -
тогда, сократив ь числителя и знаменателя на 2sin^(/ $) и на 2sin?(#' /'),
мы получимъ:
t+H- &+Г
cos —^- cos —
cos —2~ cos 2 —
Теперь мы приведемъ точки р и я кт, совпадеН1ю въ нЪкоторой
ro4Kt на эллипс^. Тогда сЪкущая рл станетъ касательной. Уголъ t ста-
станет ь равнымъ $, ( - равнымъ {У. Такимъ образомъ,
t & , #' - Г ,
cos 2 = 1, cos - - 1,
+ о. +
cos —-— = cos г/-, cos — = cos
— = cos г/-, cos
и равенство B) приметъ видъ:
въ виду того, что углы i9", {У лежатъ въ первомъ квадрант*, мы заклю-
чаемъ отсюда, что
,9- - .Г.
Вь этомъ и состоит ь теорема, изложенная въ концЪ § 78.
2. Еще бол-fee простымъ является следующее косвенное доказа-
доказательство (фиг. 79).
Обозначимъ черезъ /, J' фо-
фокусы эллипса, черезъ р — произ-
произвольную точку на иемъ; тогда
Ip -\-f'p = 2 а. Продолжимъ отр-fe-
зокъ fp вь сторону точки р, отло-
жимъ на продолжен1и отртэзокъ
f"p = fp и разд+ушмъ уголь f'pf"
пополамъ некоторой прямой t. При этом ь, если бы прямая лишя t

§ 80 214
съ эллипсомъ еще одну общую точку р', то должно было бы также
выполняться равенство:
/Р' +ГР' =./>' +/"/>' =./>/" = 2fl,
что однако невозможно, такъ какъ въ треугольник* fp'J" сторона JJ"
меньше суммы двухъ другихъ. Такимъ образомъ, прямая t им*етъ только
одну общую точку съ эллипсомъ; такъ какъ для эллипса не существуетъ
асимптотическаго направлешя. то она служитъ, следовательно, касательной.
Если обозначить черезъ О центръ эллипса и черезъ М середину
отр*зка /'/", то въ треугольник* /'//" лишя ОМ соединяетъ середины
двухъ сторонъ; следовательно, ОМ = \ff" = п, въ этомъ заключается
новое доказательство теоремы § 78, 6.
3. Теорема п. 1-го указываетъ на свойство касательной къ эллипсу,
съ которымъ связано происхождеше назвашя фокусъ.
По закону оптики световой лучъ отъ зеркальной поверхности отра-
отражается такъ, что перпендикуляръ къ отражающей поверхности въ точкъ
отражешя (перпендикуляръ паденш) лежитъ въ одной плоскости съ па-
дающимъ и отраженнымъ лучами и съ обоими обрг.зуетъ равные углы.
Такимъ образомъ, если представимъ себ* внутреннюю сторону периферш
эллипса въ качеств* отражающей поверхности, то каждый лучъ, выходящШ
изъ одного фокуса, отражается по направлешю къ другому фокусу, такъ
что вс* лучи, выходяшЛе изъ одного фокуса, собираются въ другомъ.
Это явлеше им*етъ мъхто и въ томъ случа*, если мы образуемъ
некоторую отражающую поверхность вращешемъ эллипса вокругъ его
главной оси. Эта поверхность, носящая назваше эллипсоида вращешя,
равнымъ образомъ им*етъ два фокуса и въ отношенш къ нимъ обла-
даетъ въ пространств* тъми же свойствами, что и эллипсъ- въ плоскости;
именно, сумма разстояшй отъ обоихъ фокусовъ является постоянной ве-
величиной для всей поверхности.
Если одинъ изъ двухъ фокусовъ удаляется въ безконечность, то
эллипсъ приближается къ парабол*, и эллипсоидъ вращешя переходитъ
въ параболоидъ вращен!я. Такимъ образомъ мы приходимъ къ поня-
Tiio о параболическомъ вогнутомъ зеркал*, обладающемъ т*мъ свойствомъ,
что лучи, падающ1е параллельно его оси (наприм*ръ, солнечные лучи),
собираются въ одной точк*, именно — въ фокус*, гд* благодаря этому
развивается сильный жаръ.
§ 80. Сопряженные диаметры.
1. Если черезъ центръ эллипса провести дв* прямыя съ сопряжен-
сопряженными направлешями, образующ1я другъ съ другомъ уголъ со, и взять

215
§ 80
эти прямыя за оси нъкоторой косоугольной системы координатъ, то
уравнеше эллипса, согласно § 77, приметь видъ:
Значешю v = 0 отвЪчаютъ значешя х = _t «. а значешю х = 0
— значешя v ='+ /?. Отръзки АЛ', В В' (фиг. 80) называются сопряжен-
сопряженными д1аметрами. Длины ихъ выражаются числами 2а и 2/?. Главныя
оси представляютъ собою частный случай сопряженныхъ Д1аметровъ.
2. Если черезъ н-Ькоторую точку Р съ координатами х(), у„ про-
провести лин1и, параллельныя сопряженнымъ Д1аметрамъ, то получатся сопря-
женныя хорды. Каждая изъ этихъ двухъ хордъ точкой Р дЪлится
на два отр*зка PQ17 PQi',
РРХ, РР.г (фиг. 80).
Точки Q,, Q.} им-Ьюгъ одну
и ту же абсциссу х0 и противо-
положныя по знаку ординаты
~ у, опред"БЛяемыя изъ урав-
нен1я
V2
B)
при этомъ PQt = v у0, PQ-, =
= у -f- Vn; следовательно,
Такимъ же образом ь по-
лучаемъ соотношеше:
РРХ ¦
х определяется изъ уравнешя
Л у.-г
Фиг. 811.
= \
C)
Изъ равенствъ B) и C) вычиташемъ получаемъ:
С» Л",,2 _ .V* -JV,,2
или
D)
такимь образомъ, мы приходимъ, къ теорем*:

§ 80 216 .
Сопрнженныя хорды пересекаются такъ, что произведеьпя
отсЬкаемыхъ на нихъ отрЪзковъ относятся, какъ квадраты flia-
метровъ, параллельныхъ хордамъ.
3. Для обтэихъ точекъ пересЬчешя эллипса съ некоторой прямой,
параллельной oCHjy-овъ, согласно уравнешю A), им"Ьетъ мЪсто соотношеше:
o6t эти точки совпадаютъ, если д- = f a.
Отсюда вытекаетъ теорема:
Касательныя въ концахъ Д1аметра эллипса им-Ьютъ напра-
влете, сопряженное съ направлеюемъ д!аметра.
4. Дискриминантъ уравнешя A) определяется рявенствомъ
J_
откуда, согласно § 76, 7, вытекаеть, что произведете
a/? sin со
есть величина, не зависящая отъ частнаго выбора сопряженныхъ напра-
влешй. Такъ какъ величина эта есть площадь параллелограмма О АС В,
то имЪетъ мъхто теорема:
Площадь описаннаго вокругъ эллипса параллелограмма,
стороны котораго имЪютъ сопряженныя направлен!я, есть вели-
величина постоянная, а именно, она равна площади прямоугольника,
построеннаго на осяхъ эллипса.
5. Постоянному значенш х, согласно E), отв'вчаютъ два равныхъ
по абсолютной величин-fe, но противоположныхъ по знаку значетя у.
Это приводитъ насъ къ теоремт^, содержащей теорему п. 3-го въ качеств*
частнаго случал:
Хорда эллипса делится пополамъ д1аметромъ, сопряжен-
нымъ съ ея направлен1емъ.
Отсюда вытекаютъ дальн-Ьйш1я слтздств1я. Если въ уравнеши
Я пробегаетъ рядъ различныхъ значешй, то оно представляетъ систему
подобныхъ и сходственно расположенныхъ эллипсовъ, при чемъ
всЬ кривыя этой системы им%ютъ одни и т-fe же сопряженныя направлен1я.
Въ самомъ д+^лтз, любую кривую этой системы мы можемъ получить,

217
§ 80
если вь одной изь этихъ кривыхъ координаты л-, v увеличимъ въ отно-
шенш |ЛЯ'. I. Кривыя системы отсЬкаютъ на пересекающей ихъ прямой
хорды, и век эти хорды д-Ьлятся пополамъ одной и той прямой.
Отсюда слъдуетъ, что кольцо ограниченное двумя подоб-
подобными и сходственно расположенными эллипсами отсъкаетъ на
каждой пересъкающей его прямой два равныхъ отръзка; если,
въ частности, эта прямая касается внутренняго края кольца
то оба отрезка, отсекаемые на касательной вн-Ьшнимъ краемъ,
равны между собой (фиг. 81, тп = т'п', pq = pq').
6. Аналогичная теорема имъетъ мъсто и въ отношенш гиперболы.
Нужно лишь въ уравненш F) замънить /?2 черезъ — /?2. Въ этомъ случаъ
Фиг. 81.
Фиг. В2.
уравнеше F) для Я = О представить пару асимптотъ, которыя также
принадлежатъ системе. Отсюда получается теорема:
Две асимптоты гиперболы отсекаютъ на каждой касатель-
касательной къ ней два равных ь отрезка (фиг. 82, pq = pq').
7. Уравнеше эллипса, отнесенное къ главнымъ осямъ, имеетъ видъ:
,.г .,2
л + Ui = L C'J
(Я)
Это уравнен1е удовлетворяется тождественно, если положить:
X = acosq>,
у = Ь sin (p,
гдъ q- есть переменный уголъ, который принимаетъ различныя значен1я
для различныхъ точекъ эллипса.

§
218
Геометрическое значеше этого угла <( легко усмотреть (фиг. 83).
Въ самомъ дтзЛ-fe, если Р есть произвольная точка эллипса, а {h - уголь,
образуемый съ осью д;-овъ рад1усомъ-векторомъ ОР (= р), то
х = ocosi9-,
у = q sin &.
(9)
Если мы изъ точки Р опустимъ перпендикуляръ на ось х-овь
и продолжимь его до пересЬчетн въ точкЪ О съ описанной вокругъ эл-
эллипса окружностью
рад1уса а, то, озна-
означая черезъ q> уголъ,
образуемый pafliy-
сомъ OQ съ осью
х-овъ, получимъ, что
х = a cosy, а изъ
уравнешя G) будегъ
вытекать, что у =
Ъ sin ср. Если <р изме-
изменяется отъ 0 до 2 яг,
точка Р обходитъ
весь эллипсъ.
8. Введете угла
(р является очень u.t-
лесообразнымъ, если
р-Ьчь идетъ о нахожденш сопряженныхъ д!аметровъ эллипса, изъ коихъ
одинъ имт^етъ произвольно заданное направлеше ОР- Если обозначимь
сопряженные полуд1аметры черезъ а, /?, то ypaBHeHie эллипса, отнесенное
къ нимъ, какъ къ осямъ координатъ, имт^етъ видъ:
(Ю)
соотношешя между величинами о, ft, а, Ъ получатся изь равенствъ D) § 76-го,
если заменить въ нихъ
Фиг. 83
черезъ
a, jl, у', a, b, с'
1 11 1
и положить # -|- (о = 1^,; выпэлнивши подстановку, мы придемь къ
равенствамъ:

219 § 80
I cos- // sin-1)
2
а'г
1 cos2#, sin2^,
cos I) cos fry sin (> sin i) x
Если мы введемъ вместо угловъ Ц-, .9-, углы у, (fv и, согласно
равенствамь (8) и (9), положимъ:
= acos<f, asin# = bsin<f,
/9 cos#, = fl cosy,, ,9 sin^, = b si
то изъ послтэдняго cooTHomeHin A1) вытекаетъ:
cosy cosy, -\- sine/ siny, = cos(y y,) = 0,
откуда <f, = </' -f- \n. Такимъ образомъ, лин1и (JQ и OQ' взаимно
перпендикулярны. Первыя два изъ равенствъ A1) выполняются при
этомъ тождественно, и изъ соотношешй A2) сл-Ьдуетъ
ncos'i) =flcoscp, ^,
A3)
ft cos#, = a sin (f, /J sin#, = fc cos(/ ;
o,9sinco = ah, aftcosco =
cotgco = — , sin2<^,
гдтз [0 = 1^, У" есть уголь между сопряженными полуд1аметрами. Та-
Такимъ образомъ, уголъ со становится прямымъ, если q =0 и у,=^лг;
въ остальныхъ случаяхъ (о является тупымъ угломъ и достигаетъ наи-
наибольшего значешя, когда (/ = лг/4.
Дал-fee, мы имЪемъ:
аг = a'1 cos2 и 4- b'1 sin - и ,
A5)
^ = аг sin2 r/ -f /?2 cos2 <j ,
a*
A6)
Эта формула выражаетъ теорему Аполлон1я:
Сумма квадратовъ сопряженныхъ полуд1аметровъ есть ве-
величина постоянная.
9. Изъ равенства A5) вытекаетъ еще:
a2 fl'-cos2</ -f //'sin2с/ /;2 а1 /)'
f ~ da sin2(j + ft» cos2<^ " ,г2 + a- (lrl + a1 tg2ц)' ( ^

§ 81 220
Если мы будемъ изменять if отъ 0 до л/2, то tg«/" будетъ непре-
непрерывно возрастать отъ 0 до безконечности, и отношеше «2/Дг> убывая,
будетъ измъняться отъ сР/У* до Ьг/а1.
10. Изъ соотношешй A2), въ виду равенствъ cosy =sin</1, sirw/ =
= cosy,, мы получаемъ также:
{а + b) cosY/ — ocosi9- -f- /?sini9-,,
A8)
(a + b) sin <f = asin# /?cos#-t;
возводя въ квадратъ и складывая эти равенства находимъ:
(д + bf = «- + j82 + 2a.fi s\no>
= (а + Р)'1 2 aj8(l sine»).
Такъ какъ 1 sin со всегда есть положительное число, то отсюда
вытекаетъ:
Сумма двухъ сопряженныхъ Д1аметровъ больше суммы осей.
Точно такь же:
(а Ь)* = (а р)*+2арA sin со),
откуда слЪдуетъ, что {а /;J больше, чт^мъ (а /?J, и величина (а—(9J
достигаетъ своего наименьшего значешя, равнаго нулю, когда q = л/А.
Эти теоремы и предложешя, аналогичныя имъ, находятся въ 7-ой книге
„Коническихъ съчешй" Аполлошя.
§ 81. Окружность кривизны.
1. Два коническихъ евчешя, какъ мы видели выше, имЪютъ четыре
общихъ точки. Но черезъ одитэ и rt же четыре точки проходитъ ц-Ьлый
рядъ кривыхъ, совокупность которыхъ носитъ назваше пучка кони-
коническихъ с*чен!й. Четыре точки, общихъ всЪмъ кривымъ пучка, назы-
называются основными точками пучка. Если два коническихъ евчешя изъ
разематриваемаго пучка выражаются уравнешями f=0, у = 0 и Я есть
постоянная величина, то равенство
/+ Яу = 0 A)
является уравнен1емъ нтэкотораго коническаго свчен1я, принадлежащаго
пучку, ибо оно выполняется, когда f и у одновременно обращаются въ
нуль, т. е. въ четырехъ точках ь переевчешя кривыхъ f и (р.
Если мы вообразимь ce6t одно изъ двухъ коническихъ свченШ
/ и <р неизменяющимся, а другое перем*ннымъ, то мы можемъ допустить,
чго двтэ изъ ихъ точекъ переевчетя совпали въ одну. Тогда оба кони-
конических ь сЬченш вь этой точкЪ имЬютъ общую касательную, и относи-

221
§ 81
тельно самихъ коническихъ сЬчешй говорятъ, что они имъютъ
въ этой точк"Ь касаше. Bet, коничесмя гЬчешя пучка касаются другъ
друга въ этой точк"Ь.
2. Дв-fe друпя точки пересъчешя, могутъ такимъ же образомъ, сов-
совпасть; тогда получаются коничесюя сЬчен!я, которыя касаются другъ
друга въ двухъ различныхъ точкахъ: вдвойне касаюиияся кониче-
коничесмя сЪчешя и.мЪютъ двойное касан1е.
3. Можетъ также случиться, что три точки пересъчешя совпадаютъ
въ одну, между гЬмъ какъ четвертая лежитъ отдельно. Тогда въ точкт,
совпадешя имт^етъ мЪсто бол"Ье гЬсное касате, которое носитъ назвате
касан1я второго порядка, соприкосновешя или трехточечнаго
касашя.
Наконецъ, и вст, четыре точки пересЬчетя могутъ совпасть въ
одну. Тогда получается касаюе третьяго порядка или четырехто-
четырехточечное KacaHie.
4. Среди всЪхъ коническихъ сЪченШ, которыя им%ютъ съ даннымъ
коническимъ сЪчешемъ вь некоторой данной точктэ л трехточечное
Kacaiiie, находится одна и только одна окружность, такъ какъ окружность
вполнъ опредъляется тремя точками. Эта окружности пересъчетъ данное
коническое сЬчен1е еще и въ чет-
четвертой точк"Ь. Она носитъ назваше
окружности кривизны коническаго
въ точк-fe л; коническому
въ точкт, л приписываютъ
такую же кривизну, какую имт^етъ
эта окружность. Такъ какъ, оче-
очевидно, окружность тЪмъ бол-fee изо-
изогнута, чЪмъ меньше рад1усъ, то за
Mtpy кривизны, принимаютъ
величину, обратную pafliycy
окружности кривизны. Этотъ
рад1усъ называется всл"Ьдств1е этого
рад1усомъ кривизны, а центръ окружности кривизни
визны коническаго сЬчен!я въ точктэ п.
Въ отд"Ьльныхъ точках ь (въ вершинахъ коническаго сЪчешя) окруж-
окружность кривизны можетъ имъть съ коническимъ сЪчешемъ четырехточеч-
четырехточечное касан1е.
5. Относительно положен5я окружности кривизны мы замЪтимъ следу-
следующее: возьмемъ прежде всего на н-Ькоторомъ коническимъ с-Ьченш, напри-
м*ръ, на эллипс-fe, -три не совпадаюиия точки 1, 2, 3. Этими точками опре-
дЬляется одна окружность, и если эта окружность въ точкЪ 1 выходитъ
Фиг. 84.
центромъ кри-

§ 81 222
изъ эллипса, то въ точк-fe '2 она обратно входитъ въ эллипсъ, а вь
точктэ 3 вторично выходить изъ него (фиг 84). Если теперь мы заставимъ
эти точки совпасть въ точк-fe л, то окружность перейдетъ въ окружность
кривизны, которая, такимъ образомъ, касаясь эллипса, въ то время пере-
ходитъ съ одной стороны его на другую. Она, напримъ-ръ, въ точк-fe л
выходить изъ эллипса и въ четвертой точк-fe пересЬчешя снова входитъ
внутрь эллипса (фиг. 85). Исключеше представляется только въ точкахъ
касашя третьяго порядка, въ которыхъ кругъ кривизны либо цЪликомъ
расположенъ внутри эллипса, либо — вн-fe его.
6. При аналитическомъ опредЪленш окружности кривизны мы огра-
ограничимся случаемъ эллипса, уравнеше котораго мы отнесемъ къ главнымъ
осямъ и возьмемъ въ вид^Ь:
при чемъ система координатъ прямоугольная.
Возьмемъ на этомъ эллипс-fe три не совпадаюоия точки 1, 2, 3, со-
единимъ точки 1, 3 прямою t и проведемъ затъмъ черезъ точку 2
вторую прямую s, которая пересЬкаетъ эллипсъ въ некоторой четвертой
точк-fe 4. Эти дв-fe прямыя мы будемъ разсматривать, какъ пару лиши
(распадающееся коническое с-Ъчете); и если ? = 0, s = 0 суть
уравнетя этихъ прямыхъ, то уравнете
H + ASt=O C)
характеризуетъ пучокъ, для котораго точки 1, 2, 3, 4 являются основ-
основными. Въ этомъ пучк-fe окружность содержится лишь въ томъ случа-fe,
если точка 4 является четвертой точкой пересЬчешя кривой съ окруж-
окружностью, проходящей черезъ точки 1, 2, 3.
7. Если, дал-fee, три точки 1, 2, 3 совпадаютъ въ некоторой точк-fe
л (съ координатами х0, у0), то прямая t становится касательной въ этой
точк-fe, а >¦ сЪкущей, проходящей черезъ точку л.
Мы можемъ поэтому положить:
s = а (х — х„) + ft (у у„),
гд-fe черезъ а, C обозначены неопределенные коэффищенты, отношен1е
которыхъ определяется точкой 4.
Такимъ образомъ, даже если точка 4 дана, остается неопред-Ьлен-
нымъ некоторый обипй множитель чиселъ a, ft; поэтому мы можемъ
заменить въуравненш C) Ха, kfi черезъ а, /? и представить его въ вид-fe:

223
§ 81
(a[x - xn)
х + ъ -1
-y0))
D)
= 0.
Если мы оставлясмъ оба коэффициента а, /? неопределенными, то оста-
остается неопределенною и точка 4, такъ что уравнеше D) представляетъ
совокупность коническихъ сечешй, соприкасающихся другъ съ другомъ
въ точке л. Въ ихъ числе находится и окружность кривизны.
8. Для того, чтобы найти ее, мы определимъ коэффишенты о, /?
такъ, чтобы уравнеше D) приняло видъ уравнешя окружности. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы въ уравнеше D) не входило произве-
произведете ху, и чтобы коэффишенты при л2 и у- были равны (§ 62, B))
услов1я эти приводятъ къ уравнешямъ:
х0 _
ах0
E)
яг
Первымъ изъ ннхъ определяется отношеше n-.fi; или, обозначая черезъ Я
неопределенный покаместъ множи-
множитель,
tt =
Яу».
F)
уравнен!е линш 5 можетъ быть пред-
представлено въ виде:
а-
а1
ъ*
9. Этого результата уже доста-
достаточно для того, чтобы съ помощью
даннаго эллипса построить вторую
точку пересечения 4 кривой s съ эллип-
сомъ и самую окружность кривизны,
если ни одна изъ координатъ х0, \'о фиг- 85"
не исчезаетъ, т. е. если точка л не является какою-либо изъ вершинъ
кривой. Действительно, въ уравнешяхъ прямыхъ i и s коэффищенты при
х и у отличаются только знакомъ одного изъ нихъ, такъ что прямая .<
образуетъ сь осью я'-овъ уголъ, отличающейся лишь знакомъ отъ угла
прямой t. Такъ какъ, кроме того, эта прямая проходитъ черезъ точку л,
то последняя можетъ быть непосредственно построена, а затемъ остается
провести окружность, касающуюся / въ точке л и проходящую черезъ
очку 4 (фиг. 85).

§ 81 224
10. Для аналитическаго опредЪлешя окружности кривизны, опредЪ-
ляютъ величину Я, подставляя выражешя F) во второе изъ равенствъ E);
если при этомъ положимъ для краткости
а1 - b* = с2, (8)
то получимъ:
/¦ = -..
С*Х0 э _ С2}',,
слЬдовательно,
откуда, пользуясь равенством ь
¦ 2 ,,, 2
получаемъ:
'У* * \! * V /7* /l* I
Г^Р I -^ I 4- _ — v *
=
а- 1)г
дал-fee:
Отсюда уравнеьпе D) окружности кривизны принимаетъ видъ:
-o -1=0,
или, наконецъ, если воспользоваться еще разь уравнешемъ эллипса:
Если координаты центра кривизны обозначить черезъ §, ?j, рад1усъ
кривизны черезъ р, то это уравнен!е, по освобожденж отъ множителя
-5-^, , можетъ быть представлено въ вшгЬ:
(х- |)* + 0'-чJ = Ра, (И)

225
§ 81
мриравнявъ коэффициенты при первыхъ степеняхъ л и v вь уравнешяхъ
A0) и A1), получимъ:
,.2 ,- 3
б л0
V =
}о
Такъ какъ точка х0, _у„ лежить на окружности A1), то
о- =(л« %)г + (у„ ПI,
а изь равенства A2) вытекаетъ:
д-„ й = Ь'1хаа,
A2)
У о П = сРуаа,
откуда
A3)
Знаки правыхъ часчей въ равенствахъ A2) обнаруживают^ что,
когда точка л лежитъ въ первомъ квадрантъ, центръ кривизны ле-
житъ въ четвертомъ квадрантЪ.
11. Теперь легко ужъ построить центры кривизны для вершинъ,
которыя мы выше исключили изъ разсмотръшя (фиг. 86). Согласно ра-
венствамъ A2), иско-
МЫЯ ТОЧКИ 2(, 98 ИМТзЮТЪ
координаты §=c2/rt,
4 = 0; |= 0, ч = с2/Ь.
Построимъ прямоуголь-
никъ ОАСВ со сто-
сторонами а, Ь, и опустимъ
на прямую АВ перпен-
дикуляръ C2IS?; этотъ
перпендикуляръ пере-
сЬчетъ оси въ искомыхъ
точкахъ 21 ?\ Действи-
Действительно, напримЪръ, для
точки 2Г, если поло- фцг SB
жить О2( = ?;, изъ по-
добныхъ треугольниковъ 9[СА и ABC получимъ: (а — ь) : Ь = Ь : а,
откуда ? = (a2 lr)/a = c2/rt; подобнымь же образомъ найдемъ, что
12. Изъ равенствъ A2) можно вывести слъдуюшля:
^о (а%\1 у0 (bnf
а ~ \сЧ ' Ь ~ \Ч
Веберъ, Энциклоп, элемент. геометр1н.

§ 81
226
если возвысимъ ихъ въ квадратъ и сложимъ, а заттзмъ примемъ во вни-
маше, что х0, у0 удовлетворяютъ уравнешю эллипса, то получимъ:
-- "«
Это уравнен!е не за-
виситъ отъ д, у0, такъ
что ему удовлетворяютъ
все центры кривизны эл-
эллипса; если разсматривать
величины |, //, какъ коор-
координаты переменной точки,
то равенство A4) явля-
является уравнетемъ некото-
некоторой кривой, называемой
разверткой эллипса.
Фиг-87-
Фигура 87 приблизительно изображаетъ ея форму.
13. Уравнеше A4) имъ-етъ иррацюнальный видъ, такъ какъ содер-
житъ Ky6n4ecKie корни. Для того, чтобы освободиться отъ нихъ, возве-
демъ прежде всего обт. части уравнешя въ третью степень:
1.
^+
Но, согласно равенству A4), им^етъ мътто соотношеше:
fm
следовательно, наше равенство можетъ быть преобразовано такъ:
_.
возведя обе части его въ третью степень, получимъ:
L 3
с8
= 0.
A5)
Это уравнете не содержитъ уже знаковъ извлечешя корня. Вы-
полнивъ въ левой его части возвышеше въ кубъ, можно расположить его
но степенямъ § и ?;, но мы этого делать не станемъ Для § = 0, ц = 0
левая часть уравнешя A5) принимаетъ отрицательное значете, для доста-

227
§ 82
точно же большихь значенШ ?;, ^ — положительное. Отсюда мы заклю-
чаемъ, что лъ^вая часть уравнешя A5) им"Ьетъ отрицательное или
положительное значеше въ зависимости отъ того, лежитъ ли
точка ?, т) внутри развертки или вит, ея.
§ 82. Касательный и нормали, выходяпи'я изъ данной точки.
1. Если данъ эллипсъ
-2 2
и произвольная точка р съ координатами §, i/, то можно поставить ce6t
задачу - провести касательную къ эллипсу, проходяшую черезъ точку р.
Если обозначить черезъ хо,уо
координаты искомой точки касашя,
то уравненш касательной въ этой
точк-fe
V V Л) Л)
лло i УУо 1 _ п
должны удовлетворять координа-
координаты точки р, т. е. должно имъть
равенство
Фиг. 88.
1 =0.
Такимъ образомъ, если мы черезъ х, у снова обозначимъ перемЬнныя
координаты, то уравнеьпе прямой
4V
^ 1,1
B)
должно выполняться для точки х0, у0. Но прямая эта перест,каеть эллипсъ
въ двухъ точкахъ, следовательно; существуютъ дв"Ь касательныя
къ эллипсу, проходящ1я черезъ точку р.
2. Прямая лшпя Р называется полярой точки р относительно
коническаго сЪчешя В.
Ее можно легко построит1., не пользуясь при этомъ эллипсомъ.
Въ самомъ д"ЬлЪ, если выражеше Р представить въ
X
а
V
Я
1 =0,
то непосредственно ясно, что величины а — а2 :
= /;2: '<] представляютъ
собою длины отрт,зковъ, отсъ-каемыхъ прямою Р на об%ихъ осяхъ. Такимъ
образомъ, для того, чтобы, напримъ-ръ, получить а, нужно по данному

§ 82 228
квадрату а2 построить равновелики ему прямоуголышкъ, одна изъ сто-
ронъ котораго имела бы данную длину §.
3. Обе точки пересечешя прямой Р съ коническимъ сечешемъ Е
могутъ быть вещественными или мнимыми. Въ последнемъ случае не
существуеть вовсе касательныхъ, проходящихъ черезъ точку р; простое
созерцаше показываетъ, что это имеетъ место, если точка р лежитъ
внутри элипса. Если же точка р лежитъ на самомъ эллипсе, то поляра
переходитъ въ касательную, т. е. обе точки пересечетя ея съ эллипсомъ
совпадаютъ.
Этотъ результатъ, полученный непосредственнымъ созерцашемъ, легко
можетъ быть найдемъ и аналитическимъ путемъ, если вычислить дискри-
дискриминант \> квадратнаго уравнешя, которое получается исключешемъ одной
изъ неизвестныхъ х, V изъ двухъ уравненШ A) и B). Но мы не будемъ
здесь заниматься этими изследовашями.
4. Для того, чтобы получить уравнешя касательныхъ, которыя можно
провести къ эллипсу изъ точки р съ координатами ?, щ, разсмотримъ
пучокъ
Е - ХР2 = 0, C)
кривыя котораго все касаются другъ друга въ точкахъ пересечешя
? и Р. Если определить значеше параметра / такъ, чтобы кривая C)
проходила черезъ точку р, то получимъ распадающееся коническое сече-
Hie, именно пару касательныхъ (проходящихъ черезъ р). Если черезъ
Ео и Р„ обозначить значешя выраженШ Е и Р въ точке р, то согласно
равенству B) Ео = Ро, и уравнеже пары касательныхъ C) можетъ быть
написано такъ:
ЕЕ, - Р2 = 0, D)
что въ развернутомъ виде даетъ:
(xv -ypl (х -_!)» _ (у_ - vY = 0
или
\S.x ъL" \У ч/Ь' \% э/ \У ^l) #л
а~и- а2 о2
Для того, чтобы получить отсюда уравнешя самыхъ касательныхъ,
нужно разрешить еще квадратное уравнеше. Последнее мы найдемъ,
положивъ
у -t} = l(x- i); E)
t, такимъ образомъ, является тангенсомъ угла, образуемаго искомой
ка.-ательной съ осью .т-овъ (§ 58, 3). Для t получается квадратное урав-
неше

229 § 82
D-*Da
или
Если черезъ /j, /2 обозначить корни этого уравнешя, то (томъ I, § 50)
Услов!емъ того, чтобы об-fe касательныя были взаимно перпендикулярны,
является равенство it12 = 1, или
|» + ,,* = д« + #». F)
Если мы будемъ разсматривать величины ^, /;, какъ перемънныя
координаты, то это равенство представитъ собою уравнеше окружности,
ч"Ьмъ доказывается теорема:
Если прямой уголъ передвигается такъ, что стороны его
постоянно касаются нЪкотораго эллипса съ главными полуосями
а, Ь, то вершина угла описываетъ концентрическую съ элли-
псомъ окружность pafliyca \^d2 -\- /;2.
Аналогичная теорема имЪетъ м+^сто и для гиперболы; но въ
этомъ случаъ рад1усъ окружности равенъ ]/д2 — /;2, такъ что онъ яв-
является вещественнымъ только въ томъ случаъ, если а > Ь, т. е. если
асимптоты гиперболы образуют ь острый уголъ.
5. Задача о нормали. Требуется изъ данной точки р съ коор-
координатами ?, )] провести прямолинейный отръзокъ къ некоторой иско-
искомой точк-fe п даннаго эллипса такъ, чтобы этотъ отрЪзокъ въ точкъ я
былъ перпендикуляренъ къ эллипсу, т. е. служилъ бы нормалью.
Если л", v суть координаты точки п, то онъ прежде всего должны
удовлетворять уравнешю A) даннаго эллипса:
«-;, + ; '-о;
съ другой же стороны, согласно уравнешю нормали въ точкъ х,у (§ 78, G)),
которое должно выполняться въ точкъ §, 'Ц, имветъ м%сто равенство:
Fss <'lfx = o. 17)
Искомая почка или (если ихъ есть нъсколько) искомыя точки,
такимъ образомъ, являются точками пересЪчешя двухъ кривыхъ /;' = 0,
F = 0; а, такъ какъ обЬ эти кривыя суть коническ1я съчеюя,

§ 82
230
то существуютъ четыре нормали, проходяипя черезъ данную
точку р (фиг. 89).
6. Кривая В = 0 есть данный эллипсъ. Кривая же F = 0 является
равносторонней гиперболой, проходящей черезъ точку .v = 0, у = 0,
т. е. черезъ центръ эллипса В, и
черезъ точку х = f, у = ц, т. е.
черезъ данную точку р. Оси коор-
динатъ относительно этой гипер-
гиперболы им'бютъ асимптотическое на-
правлеше.
Уравнеше гиперболы F мо-
жетъ быть переписано въ видт^:
-^-¦ = °. С8)
Фиг. 8).
гд-fe с1 = а2 — Ь1. Если представить уравнен!е f = 0 въ видЬ
(.v а) (у -Р)- а/У = 0,
то а, /? будутъ координатами центра гиперболы, для которыхъ получаемъ
значена:
Такимъ образомъ, если точка р лежитъ въ первомъ квадрант^, то
точка а, /? лежитъ въ четвертомъ квадрангЬ, и а всегда больше ?.
Та в%твь гиперболы /•', которая проходить черезъ центръ эллипса,
должна выйти изъ эллипса въ двухъ точкахъ, изъ коихъ одна лежитъ въ
первомъ квадрант-fe, а другая въ третьемъ; вторая же втэтвь, въ зависи-
зависимости отъ положешя точки р, можетъ либо встретить эллипсъ въ двухъ
точкахъ, либо касаться его въ одной точк-fe, либо же пройти вн-fe эллипса,
вовсе съ нимъ не пересекаясь.
Черезъ точку р (лежащую въ первомъ квадрантЪ) прохо-
дятъ, такимъ образомъ, дв^Ь д-Ьйствительныя нормали, основан!я
которыхъ лежатъ въ первомъ и въ третьемъ квадрантахъ.
Существуютъ также еще дв-fe другихъ нормали, которыя,
однако, могутъ совпадать или быть мнимыми; въ томъ случай,
когда он-fe действительны, ихъ основашя лежатъ въ четвертомъ
квадрант-fe.
7. Для того, чтобы отличить, какой изъ этихъ трехъ случаевъ
имЪетъ место, мы должны изслъ-довать уравнеше 4-ой степени, отъ ко-
тораго зависятъ основан!я нормалей.

231 § 82
Это уравнеше 4-ой степени всегда имеетъ два вещественныхъ корня.
Два другихъ могутъ быть либо вещественными, либо мнимыми.
Если вместо биквадратнаго уравнешя мы возьмемъ его кубическую
резольвенту (томъ I, § 87 и 88.), то эта последняя въ первомъ случай
имеетъ три вещественныхъ корня, а во второмъ — одинъ вещественный и
два сопряженныхъ мнимыхъ корня.
8. Въ качестве кубической резольвенты мы, естественно, выбираем ь
уравнеже, отъ котораго зависятъ три пары прямыхъ, проходяция черезъ
четыре основашя. Все эти прямыя действительны, если все четыре основашя
действительны. Есп.и же два основашя являются сопряженными мнимыми
точками, то одна пара прямыхъ действительная, две друпя -мнимыя. Нако-
нецъ, если два изъ основашй 1, 2, 3, 4,— напримеръ, 3 и 4, - совпадаютъ,
то две пары прямыхъ также совпадаютъ въ одну, а именно въ пару
31, 32. Другая же пара состоитъ изъ прямой 12 и касательной въ точке 3.
Если 3, 4 суть сопряженныя мнимня точки, то прямая, ихъ соеди-
соединяющая, действительна, по пересекаетъ эллипсъ вь мнимыхъ точкахъ.
Въ этомъ случае мы имеемъ пару действительныхъ прямыхъ 12, 34.
Пары 13, 24 и 14, 23 состоятъ изъ мнимыхъ сопряженныхъ прямыхъ.
9. Такимъ образомъ, мы должны теперь изследовать пары прямыхъ,
содержащаяся въ пучке коническихъ
(томъ 1, § 90). Уравнеше этого пучка въ развернутомъ виде предста-
представляется такъ:
- я = о,
и оно выражаетъ, согласно § 74, пару прямых ь, если определитель
1 J, > 1.
с1 ' с2 '
равенъ нулю. Отсюда для Я получается кубическое уравнеше:

§ 83 232
или же, если раздълить его на аЪ и положить Я : аЪ = гг.
Теперь легко составить дискриминантъ этого уравнешя.
Согласно §§ 83, 85 тома I, относительно вещественности корней
этого уравнешя нужно различать слъ\аующ1е случаи:
если
¦j + 4 - 1 I -|- 27 g - < 0: три вещественныхъ корня,
= 0: два равныхъ корня,
> 0: одинъ вещественный корень.
Но выражение, знакъ котораго здъть принимается во внимаше, въ
точности представляетъ собою лЪвую часть уравнешя эволюты, которая,
согласно § 81, 13, для точекъ внутри эволюты имЪеть отрицательный
значешя, а для точекъ вн"Б ея положительный: такимъ образомъ, нами
доказано предложеше:
Изъ точки, лежащей внутри эволюты, исходятъ четыре
нормали къ эллипсу, изъ точки на эволю^ - три нормали, а
изь точки, лежащей вн-б эволюты,"—только двЪ.
§ 83. Аналитическая сферика.
1. Иясл-кцовашя первой и четвертой частей сферической тригоно-
метрш неоднократно давали возможность усмотр-вть далеко проникающую
аналопю между сферикой и таниметрзей. Вопросъ теперь заключается
въ томъ, можетъ ли эта аналопя быть выведена аналитически.
И действительно, при искусномъ выбора системы координатъ по-
получается поразительное совпадете формулъ аналитической геометрж на
плоскости и соотвт^ствующихъ формулъ „аналитической сферики", осо-
особенно если каждыя дв-Ь противоположный точки шара разсматривать,
какъ одну „точку" (ср. § 10, 2). Аналитическая сферика является въ
этомъ случаъ точнымъ воспроизведешемъ аналитической геометрш на
плоскости.
Въ послтздующемъ рац1усъ шара мы будемъ считать равным ь
единиц-в. Окружность большого круга мы будемъ называть „сфе-
„сферической прямой", такъ какъ она является сферическимъ ана-
логомъ прямой.
Объ угл"Б между сферическими лучами мы будемъ говорить въ
обычномь смысл-б этого слова, следовательно, не въ согласш съ опре-

233
§ 83
д-Блешями § 38, 8. Поэтому нтзтъ также надобности здъть присваивать
каждой окружности большого круга опред-Ьленное направлеше.
Въ качеств^ „осей координать" мы выберемъ двЪ взаимно перпен-
дикулярныя сферическ1Я прямыя и одну изъ точекъ ихъ пересЬчешя
будемъ называть „начально/! точкой" О. Мы опредътшмъ дальше поло-
положительное направлеше абсциссъ
ОХ и положительное направлеше
ординатъ OY, при чемъ точки X
и Y отстоятъ отъ О на одинъ
квадрантъ (фиг. 90).
Обозначимъ черезъ Р произ-
произвольную точку шара. Изъ точки Р
мы опустимъ сферичесгае перпен-
перпендикуляры PQ — ц' и PR = ?' на
„оси координатъ" и положимъ,
принимая во внимаше знаки дугъ:
Подъ „сферическими ко-
координатами" х, У точки Р мы
разум"Бемъ тригонометричесюе тангенсы дугъ ? и
такъ что
v =
При зтомъ, согласно чертежу,
? l OYQ, ч OXR,
Для того, чтобы coOTBtTCTBie между координатами и точками было
однозначныыъ, мы, принимая во внимашя, что ig<f = ig{n-\- (f), должны огра-
ограничиться интерваломъ лг/2 ё |, >) = + at '1; выражаясь геометрически,
мы занимаемся геометр1ей полушар1я. На нашемъ чертеж-fe мы разсма-
триваемъ лишь переднее полушар1е.
Тогда каждой napt значен1й х, v между х и -f^ отв-fe-
чаетъ одна и только одна точка полушар1я, и иаоборотъ.
Окружность большого круга A', Y, X, Y образуетъ границу
разсматриваемой области и поэтому играетъ роль безконечно удаленной
прямой. Связь между величинами § и |', съ одной стороны, ij и •>]',
съ другой, устанавливается формулами (§ 5'2, F)):
tgf =
A)
2. Пусть некоторая сферическая прямая образуетъ съ сфери-
сферическою осью .\"-овъ уголъ </ и отстжаетъ на „осяхъ координатъ"

§ 83
234
отрЪзки а и ]S. Если P\xv\ есть точка сферической прямой, то имЪемъ:
tg/? tg'/. tg?/cos§
sin a sin (а
sin «cost cos a sin j'
sin a sin a cos«tg§
tgjt? tgv tgt)
пли
или
Если положить:
tga = a,
то уравнен1е сферической прямой получится въ вид-б:
+ ¦* = 1.
Если сферическая прямая проходитъ черезь постоянную точку
то ея уравнеше имЪетъ видъ:
_- л-,
.у
= 0.
((it)
Уравнеше (Q является линейнымъ относительно .г к у. Наоборотъ,
каждое линейное относительно х и у уравнеше представляетъ сфери-
сферическую прямую. Въ самомъ дтзЛТз, общее
линейное уравнеше рх -\- qy г = 0 при-
принимает ь видъ ((}), коль скоро положить
р г = а, и q/r = Ъ.
Поэтому и уравнен5е сферической
прямой, проходящей черезъ дв-Ь точки
Р, и Р2, въ точности совпадаетъ съ ана-
аналогичным ь уравнешемъ на плоскости:
Фиг. Я1.
3. Сферическимъ эллипсомъ (ги-
(гиперболой) называется геометриче-
геометрическое м-бсто точекъ, сферическ1я разстоян1я которыхъ д, д' отъ
двухъ постоянныхъ точекъ у и f („фокусовъ") им"бютъ посто-
постоянную сумму (разность) 2а.
Для того, чтобы получить уравнеше этихъ кривыхъ, мы возьмемъ
фокусы на сферической оси .v-овъ въ равномъ разстоянш отъ начала О;
при этомъ положимь

235 § 83
Мы разсмотримъ сначала сферическШ эллипсъ. Построивъ на дугЬ
ff равнобедренный сферическШ треугольникъ съ ребрами р = р' = a,
мы получимъ точку 5 на этомъ эллипсЬ. Высоту SO треугольника обо-
значпмъ черезъ /?. Дугу 2а называютъ „большой осью" сферическаго
эллипса, а дугу 2/? его „малой осью".
Согласно § 52, A):
о cosa.
cos/У = — > B)
COSE
возвышая об"Б части этого равенства въ квадратъ и выразивъ квадратъ
косинуса, согласно § 26, E), черезъ тангенсъ, получимъ:
Далte:
cosq' = cos*/' cos(e ?), i
cosp = cos?/'cos(f -f- i). S
Пользуясь обозначешями:
o-)-p' = 2a, p y' = 2d,
изъ равенств ь D), на основанш § 29, E), выведемъ соотношен1я:
^(cosp -(- cosp') = cos a cos б,
., , r. cose cos ?
-j- cos p ) = cos */ cos fc cos i; =
cose cost
cos a cos o= -r^-^. - ,
откуда, согласно A) и (*J):
cos ^ 1
cos/? cos-5 = - — ^=- , --»— г = 1 + tg'^+tg2?/,
"Л- ¦ »t. » COS2/3COS2f)
A + tg2^) A + tg26) = 1 + tg2§ + tg2»/. E)
Выразимъ теперь 6 черезъ о и §. Изъ равенства D), на основанш
§ 29, E), вытекаетъ:
cosp — cosp' = — 2 sin a sin д = - 2 cost/ sin e sin j,
cosp + cosp'= 2cosacos'5= 2cosr/cosecos?.
Раздътшвъ одно равенство на другое, получимъ:
. «в

§ 83 236
откуда, согласно соотношешю C):
tg»a" 1+tg^
Поэтому лтэвая часть равенства E) можетъ быть преобразована такъ:
1 + tgV + tg| ,
и изъ равенства E) теперь слтздуетъ:
такимъ образомъ, мы приходимъ къ уравнеюю сферическаго эллипса
tg2f tg3*; _
или
?L _|_ У._ = 1 j
при чемъ мы полагаемъ
tg« = a, tg/? = ft.
Аналогичнымъ путемъ получается и уравнеше сферической
гиперболы
•V2 у2
яг о
Но въ этомъ случай ft (или fi) не поддается геометрической интер-
преташи. Поэтому величину 2A называютъ не малою, а „мнимою осью".
4. Мы переходимъ теперь къ изслЪдоватю уравнешя (Е).
Такъ какъ въ него величины х и у входятъ только во второй степени,
то сферичесюй эллипсъ симметриченъ относительно осей координатъ.
Съ другой стороны, такъ какъ л"ввая часть уравнешя (Е) является суще-
существенно положительной величиной, то сферичесюй эллипсъ представляется
замкнутой кривой, цЪликомъ содержащейся въ сферическомъ прямоуголь-
ник"Б съ вершинами въ точкахъ (a, ft), ( п, ft), (й, — ft), ( й, — ft).
Равнымъ образомъ легко вид-бть, что эллипсъ симметриченъ отно-
относительно точки О- Она называется центромъ эллипса, а концы осей -
его вершинами.
Если отбросить ограничеше, выражаемое двумя соотношешями
я;/2й|?, г/ ^ -|- лг/2, то окажется, что уравненш (Л) удовлетворяютъ
еще точки, д!аметрально противоположныя тт^мъ, которыя до сихъ поръ

237
§ 83
разсматривались. Въ этомъ случай вся кривая (Е) состоитъ изъ
двухъ Д1аметрально противоположных!,, но замкнутыхъ и спм-
метричныхъ относительно осей координатъ ветвей /: и hx.
При этомъ для вътви Ех не имъетъ мъста равенство о-|-р' = 2а,
но, что геометрически очевидно, о -\- q' = In 2а. Это обстоятельство
обуславливается тъмъ, при составленш уравнешя мы разсматриваемъ, какъ
постоянную величину, не 2 о, а cos'ia.
И здъть мы можемъ, однако, избежать
раздъчпешя на два случая, если мы самое
опредтзлеше сведемъ къ тому, чтобы
cos (q -\- о') = const.
5. В1;твь Нх можно также разсматри-
вать, какъ первоначальную; она им-Ьетъ
при этомъ свои фокусы /, и // и свой
центръ CV, за ft мы принимяемъ точку,
д1аметрально противоположную точкъ^, а
за// точку, противоположную TO4Kty'.
Пусть теперь А будеть некоторая
Фиг. 91.
точка эллипса ht (фиг. 92). Проведемъ
изъ фокусовъ/и// черезъ точку А лучи fA = g' и_/,'у^ = У|.Такъ какъ точки
f и jx Д1аметрально противоположны, то каждый большой кругъ, прове-
проведенный черезъ точки А и f, проходитъ также и черезъ точку _Д. Поэтому:
Но Ajt = 2а AJX' = 2а у1; откуда
о' gj = л - 2а = 2 а = const.
Такимъ образомъ, если разсматриваемый таръ (фиг. 91) повернуть
такъ, чтобы точки jx' и f оказались на переднемъ иолушарш, и снова
ограничиться разсмотръшемъ лишь этого посл"бдняго, то кривая сведется
тогда къ двумъ ограниченнымь втзтвямъ, представляющимъ половины
прежнихъ в^вей Е и Ех\ фокусами же будутъ точки /,' и /. Полученная
кривая является геометрическимъ мтзстомъ точекъ, разстоян1я которыхъ
отъ фокусовъ f и ft' имtloтъ постоянную разность 2 а.
Такимъ образомъ, сферическ1й эллипс ь можно также раз-
сматривать, какъ сферическую гиперболу съ фокусами въ точ-
кахь f и fx. Вольная оси дополняютъ другъ друга до In.
Такъ какъ окружность, ограничивающая разсматриваемое полушар1'е,
согласно заключешю п. 1, отвЪчаетъ безконечно удаленной прямой,
то сферическая гипербола аналогична плоской также и вь томъ

§ 83 238
огношен1и, что она, такъ сказать, простирается до безконеч-
ности.
6. Касательной къ сферической кривой является сферическая
прямая, имеющая съ кривой две совпадающихъ общихъ точки.
Для того, чтобы вывести уравнете касательной къ сфериче-
сферическому эллипсу или гиперболе, мы сначала составимъ уравнеше секущей,
а затемъ допустимъ, что крайшя ея точки совпадаютъ.
Уравнете сферической прямой, проходящей черезъ точки .v,, ул и
.v2, v2, согласно п. 2, имеетъ видъ:
х1 х.±
Такъ какъ обе эти точки лежать на кривой ]:, то
д2 Хг>
откуда помощью вычитан1я получаемъ:
Xt :V2 О2 JVi +уг
Въ качествъ уравнен1я хорды, принимая во вниман1е (G4), получаемъ
равенство:
V - V, =—
Для того, чтобы перейти къ касательной, положимъ .iC| =JC21 nPe~
дыдущее равенство принимаетъ видъ:
Пользуясь уравнен1емъ (Z7), мы приходимъ къ следующему урав-
нен1ю касательной къ сферическому эллипсу:
Аналогично этому получается уравнение касательной къ сфери-
сферической гиперболъ:
xxl _ yyt
a* W
Действительно, уравнен1я эти представляютъ сферически прямыя,
1я, соответственно, съ эллипсомъ или гиперболой лишь одну об-

239 § 83
щую точку л,, у,, такъ какъ имъ удовлетворяютъ только координаты
одной этой точки соответственной кривой.
7. При е = 0 точки f и f' совпадаютъ съ точкой О, и изъ ра-
равенства F) вытекаетъ, что о = q', такъ что E = 0. Кривая (Е) перехо-
ДИТЪ ВЪ НЕКОТОРУЮ Кривую (К), ТОЧКИ КОТОРОЙ ИМТзЮТЪ ОТЪ ТОЧКИ О
постоянное сферическое разстояше. Кривая (К), такимъ образомъ, является
окружностью съ сферическимъ центромъ О (§ 39, 12) и съ сферическимъ
рад1усомъ а. Уравнеше ея имеетъ видъ:
X2 V2
Уравнеше (/у), впрочемъ, легко можетъ быть выведено также непо-
непосредственно изъ опредтэлешя окружности, какъ кривой, точки которой отъ
центра О имтзютъ постоянное сферическое разстояше. Мы немедленно
получаемъ:
cosa a = cos2?/ cosa§,
откуда, принимая во внимаше соотношешя A), выводимъ уравнен1е (К).
8. Сопоставляя уравнешя (И) и (К):
мы усматриваемъ, что ордината v точки окружности относится къ орди-
нат-b точки эллипса, лежащей на одномъ съ нею перпендикуляр^ къ оси
абсциссь, какъ а къ /;.
Каждой точктз окружности отвт,чаетъ точка эллипса съ та-
такою же абсциссой и съ ординатой, которая получается, если
укоротить ординату точки окружности въ отношенш b '¦ п.
9. Представимъ себ"Б теперь поверхность шара двойной и обозначимъ
поверхности, въ которыхъ лежатъ эллипсъ и окружность, соответственно,
черезъ о и о. Тогда, обобщая сказанное выше, мы можемъ каждой
точке А поверхности а отнести некоторую точку А поверхности с,
укорачивая ординату точки А указаннымъ образомъ.
Что при этомъ „преобразовали" отвечаетъ на поверхности о не-
некоторой сферической прямой I поверхности гт?
Пусть равенство
VI VI
булетъ уравнен1емъ прямой I.

§ 83 240
Если мы для того, чтобы получить соответствующее изображеше
на поверхности а, положимъ:
Ъ
У = V V = V
.л- j\> j у у j
то придемъ къ уравненш
т а п '
которое также представляетъ сферическую прямую.
Такимъ образомъ, сферическая прямая при указанномъ
преобразовали снова переходитъ въ сферическую прямую. По-
Поэтому, въ соответств1и съ планиметр1ей, мы назовемъ это пре-
образоваюе коллинеашей.
Каждая точка „оси л'-овъ" отвечаетъ самой себе. Отсюда выте-
каетъ теорема:
Каждая сферическая прямая поверхности а пересекаеть
соответствующую ей прямую поверхности а на оси д;-овь.
10. Легко видеть, что „безконечно удаленныя образы" — именно,
окружности, ограничивающая полушар1я а и а, отвечаютъ другъ другу
въ поверхностяхъ о и гг. Въ соответствие съ планиметр1ей, мы можемъ
поэтому сказать:
Разсматриваемая нами коллинеашя характеризуется ближе,
какъ „аффинное" преобразоваме *).
11. Для очень малыхъ значешй ^ и */ можно положить tg?=g: и
tg 1] = i\ и одновременно съ этимъ разсматривать дуги ^, »j, какъ пря-
прямолинейные отрезки, исходящее изъ точки О и лежание въ касательной
плоскости. Если применить сказанное къ уравнешямъ (К) и (//), то
придемъ къ теореме, что сферичесмя коничеаая сечен!я, которыя очень
малы по сравненш съ поверхностью шара, могутъ быть разсматриваемы,
какъ плосюя коничесия сечен1я. Въ частности, этотъ случай осуще-
осуществляется, если шаровая поверхность имеетъ безконечно-большой ра-
дтусъ, т. е. становится плоскостью. Итакъ, имеетъ место теорема:
Плоск1я коническ1я сЬчен1я представляютъ собой предель-
предельный случай сферическихъ коннческихь сечен1й для шара безко-
нечно-большого pafliyca.
') Бол^е обстоятельное изложынс аналитической сферики можно найти у
Гюбнера (Hiibner), „Ebene uncl rauraliche Geometric des Masses u. s. w.", Teubner, 1895

ГЛАВА VIII.
Точки, плоскости и прямыя въ пространств^.
§ 84. Основные образы геометрш пространства.
Въ геометрш пространства мы принимаемъ всЬ аксюмы планиме-
трш, включая и аксюму о параллельныхъ лижяхъ; мы хотим ь показать,
что можно установить поняпе объ изм-Ьренш и теоремы о конгруэнтности
въ пространств-fe безъ введешя новыхъ аксюмъ. Это было указано еще
Гильбертомъ въ его „Основашяхъ геометрш" B-ое изд., стр. 15). Въ
новыхъ учебникахъ (въ томъ числ-fe и у Бальцера) это не достаточно
строго проведено, и заключешя становятся понятными лишь при введенш
еще одной аксюмы, относящейся къ пространству.
Различ!е между правымъ и лтэвымъ, которое въ случай прямой
или плоскости можетъ быть уничтожено перемт1щешемъ наблюдателя,
въ пространств^ уже не можетъ быть сглажено и потому играетъ въ
пространств-b значительно бол-fee важную роль.
1. Основными образами геометрш пространства являются точка,
прямая и плоскость.
a) Кажлыя дв-fe точки опредъ-ляютъ соединяющую ихъ
прямую.
b) Прямая и точка, не лежащая на этой прямой, опред-Ь-
ляютъ плоскость.
c) Три точки, не лежащая на одной прямой, опредъ-ляютъ
плоскость.
d) Дв-fe прямыя, имЪюиия одну общую точку, опред"Ьляютъ
плоскость, въ которой содержатся обЪ прямыя.
e) Дв-fe прямыя, лежания въ одной плоскости, либо имЪютъ
одну общую точку, либо же взаимно параллельны.
Дв-fe прямыя, который не имт.ютъ общей точки и не параллельны,
т. е. не лежатъ въ одной плоскости, называются „скрещивающимися".
Веберъ. Энциклоп. влемонт. геометрш. 16

§ 84 242
f) Две плоскости, имЪюпия общую точку, оцредтзляютъ
прямую -лиьию ихъ пересФ>чен1я.
g) Две плоскости, не имеюшДя пи одной общей точки,
называются параллельными.
h) Плоскость и прямая, не лежащая въ этой плоскости,
им-Ьютъ не более одной общей точки. Если плоскость
и прямая не им^ютъ общихъ точекъ, то оне называются
параллельными.
2. Теоремы:
a) Две параллельныя плоскости о, /? пересекаются третьей
плоскостью у, проходящей черезъ некоторую точку
плоскости а и некоторую точку плоскости /?, по двумъ
параллельнымъ прямымъ а, Ь.
Действительно, если бы прямыя а, Ь, лежащая въ плоскости у, не
были параллельными, то оне должны были бы иметь точку пересЬчешя,
которая лежала бы одновременно и въ плоскоски а и въ плоскости /?.
b) Черезъ точку А, не лежащую въ данной плоскости а,
можно провести не более одной плоскости, параллель-
параллельной плоскости а.
Если бы существовали две таюя плоскости /?, у, то можно было
бы провести черезъ точку А и произвольную точку В плоскости а не-
некоторую плоскость f. Если обозначить черезъ а, Ь, с прямыя пересЬчешя
плоскости ? съ плоскостями а, /? ,у, то прямыя а, Ь были бы параллельны
прямой с- Такимъ образомъ, въ плоскости в были бы проведены черезъ
точку А две прямыя, параллельныя прямой с, что противоречить изве-
известной аксюме плоской геометрш.
Черезъ точку А, не лежащую въ плоскости а, можно провести
сколько угодно прямыхъ, паралаельныхъ этой плоскости. Действительно,
если черезъ точку А и произвольную точку В плоскости а проведемъ
плоскость е, то она пересечетъ плоскость а по некоторой прямой а;
вместе съ темъ прямая, проведенная въ плоскости f черезъ точку А
параллельно линш а, будетъ параллельна и плоскости а.
c) Две прямыя а, Ь, проведенныя черезъ точку Л парал-
параллельно плоскости а, определяютъ плоскость, паралель-
ную плоскости а.
Если бы мы допустили, что плоскость (й, Ь) не паралелльна пло-
плоскости а, то эти плоскости пересекались бы по некоторой прямой с.
Последняя должна была бы пересечься, по крайней мере съ одной изъ
прямыхъ а, Ъ, и та изъ этпхъ прямыхъ, съ которой пересекалась бы пря-
прямая е, не была бы параллельна плоскости а.

243 § 84
ЗамЪтимъ, что всякая другая проходящая черезъ точку А прямая с,
паралелльная плоскости а, должна лежать въ плоскости (д, Ъ), ибо въ
противномъ случай существовало бы более одной плоскости, проходящей
черезъ точку А и параллельной плоскости а
Такимъ образомъ, теорема Ь) можетъ быть пополнена:
d) Черезъ точку А всегда можетъ быть проведена одна
и только одна плоскость /У, параллельная данной пло-
плоскости а, не содержащей точки А. Каждая прямая, прове-
проведенная въ плоскости /9, параллельна плоскости а, и каж-
каждая прямая, проведенная черезъ какую-либо точку пло-
плоскости ft параллельно плоскости а, лежить вся въ пло-
плоскости /?.
e) Если а и b суть дв-fe параллельныя прямыя въ плоскости
а, А есть точка, не лежащая вь плоскости а, то дв-Ь
плоскости Аа, ЛЬ пересекаются по прямой с, которая
параллельна какъ прямой а, такъ и прямой /л
Въ самомъ д'Ьл'Ь, если бы прямая с пересЬчешя плоскостей Аи и ЛЬ
пересъкла бы плоскость а въ некоторой точке, то эта точка должна
была бы лежать какъ на прямой а, такъ и на прямой Ь, между гЬмъ
какъ эти двтэ прямыя вовсе не имЪютъ общей точки.
Въ иныхъ выражешяхь эта теорема можетъ быть формулирована
слътгующимъ образомъ:
f) Если двЬ прямыя параллельны третьей, то оне парал-
параллельны также и между собою.
Дъйствительно, согласно аксюмЪ планиметрш, черезъ точку А
можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой д.
Тогда а II Ь и а II С и, согласно е), b II с
g) Дв-fe плоскости я и 0, параллельныя третьей плоскости у,
параллельны между собою.
Если бы плоскости a, ft пересеклись по некоторой прямой с, то
черезъ какую-нибудь точку этой прямой мы провели бы плоскость ?,
пересекающую плоскость у. Плоскости а, /?, у были бы пересечены по
прямымъ а, Ь, С, которыя, согласно а), должны были бы быть взаимно
параллельными, между тт^мъ какъ прямыя a, b пересекались бы на
прямой е.
Относительно пересечешя трехъ плоскостей мы можемъ, дал-fee, раз-
различать следуlomie случаи:
а) Три плоскости проходятъ черезъ одну прямую; онъ-
имеютъ безконечное множество точекъ пересЬчешя.
16*

§ 84 244
/3) Три плоскости параллельны; оне вовсе не им-бють точекъ
пересЪчетя.
у) Дв-fe изъ нихъ параллельны; оне пересекаются третьей пло-
плоскостью по параллельнымъ прямымъ, три плоскости не им-Ьютъ
точекъ пересЬчешя.
6) Третья плоскость параллельна лин!и пересЬчен1я пер-
выхъ двухъ. Въ этомъ случае все три лиши пересЪчешя трехъ
плоскостей, попарно взятыхъ, взаимно параллельны. Три плоско-
плоскости вовсе не имЪютъ точекь пересЪчешя.
*¦¦) Третья плоскость перес^каетъ прямую пересечешя пер-
выхъ двухъ плоскостей въ некоторой точке. Эта точка
принадлежитъ вст^мъ тремъ плоскостямъ и является точкой ихъ
перестлешя. Три прямыя, по которымъ эти плоскости, попарно пе-
пересекаются, проходятъ черезъ эту точку и не лежать въ одной
плоскости. Три плоскости образуютъ трехгранный уголъ.
3. Если мы разсмотримъ три прямолинейныхъ отрезка, исходящихъ
изъ одной точки, обозначимъ ихъ въ опред+эленномъ порядке цифрами
1, 2, 3 и представимъ себе этотъ „треножникъ" движущимся,- однако, съ
темъ ограничешемъ, что при непрерывномъ перемещеши ни одинъ изъ
отрезковъ не долженъ переходить съ одной стороны плоскости двухъ
другихъ на другую, то мы должны будемъ различать два рода этихъ тре-
ножниковъ (или нумеращй), такъ что каждая изъ этихъ системъ можетъ
быть приведена въ совпадеше съ системой того же рода, но не можетъ
совпасть съ системой другого рода. На этомъ основанш различаютъ
правосторонтя и левостороншя системы, примерами которыхъ
(наилучше выясняющими дело) могутъ служить три свободно выпрямлен-
ныхъ пальца — большой A), указательный B), средшй C) — правой и
левой рукъ.
Четыре грани или четыре вершины правильнаго тетраэдра могутъ быть
обозначены цифрами 1, 2, 3, 4 различными способами, распадающимися на
два типа, при чемъ два обозначешя одного и того же типа могутъ быть
приведены въ совпадеше съ помощью вращешя и перенесешя тетраэдра, два
обозначешя различныхъ родовъ не могутъ быть приведены въ совпадеше.
Можно вершины 1, 2, 3 тетраэдра заставить совпасть съ вершинами
1', 2', 3' конгруэнтнаго съ нимъ тетраэдра, и тогда вершина 4' либо
совпадетъ съ вершиной 4, либо будетъ служить ея отражешемъ.
Хим1я пользуется этими идеями (въ стереохимш) для объяснешн
некоторыхъ явлешй, въ которыхъ проявляется противоположность между
правымъ и левымъ направлешями, какъ, напримеръ, вращешя плоскости
поляризацш света въ томъ или въ другомъ направленш.

245 § 85
Движете тела, слагающееся изъ поступательнаго движешя въ опре-
д"Ьленномъ направлеши и вращешя вокругъ оси, параллельной этому
направлешю, называется винтовымъ движен1емъ.
Путь пройденной какой-нибудь частью движущегося тела (напри-
м-Ьръ, точкой, не лежащей на оси), называется винтомъ (въ геометри-
ческомъ смысла снова). Различаютъ правостороншя и лт^восторонтя
винтовыя движешя. Правостороннимъ винтовымъ движешемъ называется
такое, при которомъ вращеше для наблюдателя, расположеннаго вдоль по
оси, происходитъ передъ его глазами справа налево.
Правостороннимъ винтовымъ движешемъ является каждое непринуж-
непринужденное движеше правой руки, наприм-Ьръ, если я протягиваю пр1ятелю руку;
соответствующее движеше левой руки явится лтзвостороннимь винтовымъ
движешемъ. Въ правую сторону закручивается большинство винтовъ,
встречающихся въ повседневной жизни, пробочники, большинство раковинъ
улитокъ (существують, однако, породы, завиваюшдяся въ левую сторону),
большинство вьющихся растеши.
Линейный электрическШ токъ въ окрестности своего нути обра-
зуетъ магнитное поле, вращеше котораго вместе съ движешемъ тока со-
сгавляетъ правостороннее винтовое движеше (Амперово правило пловца)
(т. III, § 40).
§ 85. Углы.
1. Для того, чтобы дать определеше угла между двумя скрещи-
скрещивающимися прямыми а, Ь, проведемъ черезъ какую-нибудь точку С две
прямыя СА, СВ, соответственно парал-
лельния а, I). Уголъ (въ плоскости) ~с АСВ
называютъ угломъ между прямыми а, Ь.
Следующее простое разсуждеше обнару-
живаетъ, что это определен!е не зависитъ
отъ выбора точки С (фиг. 93):
Возьмемъ вторую точку С и соеди-
нимъ ее прямой съ С Затемъ сделаемъ Фиг. 93.
отрезокъ С А' равнымъ и параллелньшъ отрезку СА,
СВ' . „ СВ
и провелемъ прямыя АА', ВВ'. Эти прямыя параллельны СС' и, следо-
следовательно, (согласно § 84, 2 f) параллельны также одна другой. Такъ какъ,
сверхъ того, оба эти отрезка равны отрезку С С, то они равны между
собой и фигура А А'В'В является парраллелограммомъ. Следовательно,
АВ^А'В' и ABC конгруэнтенъ А'В'С, такъ что и
^ АСВ ^ А'С В'.

§ 85
246
2. Дв* плоскости а, /?, пересЬкаюиЛяся по нЪкоторой прямой с,
д*лятъ пространство на 4 части, называемыя двугранными углами.
Чтобы получить Mtpy двуграннаго угла возставляютъ въ произволь-
произвольной точк* С прямой с пересъчетя плоскостей а и /9 въ этихъ плоскостяхъ
перпендикуляры къ прямой с (С А и СИ на фиг. 94) и принимаютъ за
Mtpy двухграннаго угла плоскШ уголъ АСВ.
Подобно тому, какъ это было сдълано въ пункт* 2, можно убе-
убедиться въ томъ, что эта Mtpa не зависитъ отъ выбора точки С Если уголъ
АСВ прямой, то говорятъ что
плоскости а, /? взаимно пер-
перпендикулярны.
3. Нормали и нор мал ь-
ныя плоскости. Проведемъ въ
плоскости ABC (фиг. 94), ко-
которую мы будемъ обозначать
буквой е, произвольную пря-
прямую CD; она также будетъ
Фиг. 94
перпендикулярна къ линш с.
Для того, чтобы въ этомъ уб^иться, возьмемъ на прямой с flfit точки
Ри Q на равныхъ разстояшяхъ огъ точки С и соединима А съ В. Тогда
АСР - ACQ,
_,BCP^^BCQ,
такъ какъ у этихъ треугольниковъ равны ав-k стороны и содержацп'еся
между ними углы прямые углы при С A-ая теорема о конгруэнт-
конгруэнтности треугольниковъ). ОЬдовательно, AP = AQ, BP = BQ, AB = AB,
BMtCTt СЪ ^МЪ
(Ш-я теорема о конгруэнтности треугольниковъ).
Следовательно,
такъ что
откуда
PD ш QD;
PDC ^ QDC (Н1-я теорема о конгруэнтности треугольниковъ);
сл^овательно,
* DCQ,
такъ что каждый изъ этихь угловъ оказывается прямымъ.

247 § 85
Въ виду этого свойства плоскость е носитъ назваше перпендику-
перпендикулярной или нормальной къ прямой с. Каждая прямая, лежащая въ этой
плоскости, даже если она не проходить черезъ точку С, перпендику-
перпендикулярна къ с.
Такъ какъ въ качеств-fe прямой с можетъ быть взята произвольная
прямая, то изъ сказаннаго вытекаетъ теорема:
a) Черезь каждую точку данной прямой можеть быть про-
проведена одна и только одна нормальная къ ней плоскость.
Прямая с называется нормалью къ плоскости е въ точк-fe С;
относительно нормали имЪетъ мътто теорема:
b) Въ каждой точктэ С данной плоскости е можетъ быть
возставлена одна и только одна нормаль къ плоскости.
Что изъ точки С не могутъ выходить дв-fe нормали е и е', не-
непосредственно очевидно, ибо въ противномъ случай обЪ эти прямыя
должны были бы быть перпендикулярны къ лиши пересвчешя ихъ пло-
плоскости съ плоскостью е.
Таким ь образомъ, для того, чтобы получить нормаль е, достаточно
провести въ плоскости е черезъ точку С дв"Ь произвольныя прямыя а, Ь
и построить (согласно а)) плоскости а, /9, нормальныя къ этимъ прямымъ
въ точкъ- С- Лишя пересЪчешя плоскостей а, /? и будетъ искомой
нормалью е, такъ какъ къ ней перпендикулярны двЪ прямыя а, Ь на
плоскости е. Изъ сказаннаго вытекаетъ дал"Ье:
c) Двугранный уголъ, составленный двумя плоскостями,
численно равенъ также одному изъ угловь, образуемыхъ
нормалями къ плоскостямъ.
d) Изъ точки Р, лежащей вн"Ь плоскости е, можно на нее
опустить одну и только одну нормаль (перпендикуляръ);
къ каждой прямой е черезъ данную точку Р можно
провести одну и только одну нормальную плоскость.
Достаточно лишь провести черезъ точку Р прямую, параллельную
произвольной нормали къ плоскости е, или плоскость, параллельную
произвольной нормальной плоскости къ прямой с.
e) Если прямая а перпендикулярна къ плоскости а, то и
каждая плоскость, проходящая черезъ прямую а, также
перпендикулярна плоскости а. Если же прямая а не
нормальна къ плоскости а, то черезъ а можно про-
провести одну и только одну плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную къ а.

§ 86
248
Для того, чтобы получить эту плоскость, опустимъ нзъ произволь-
произвольной точки прямой а перпендикуляръ d на плоскость а. Плоскость (a, d)
и будетъ искомой нормальной плоскостью.
Это построеше остается въ силъ и въ томъ случа-fe, если прямая а
параллельна плоскости а или лежит ь въ ней.
f) Для изм1фен!я угла между прямой а и плоскостью и,
проведемъ черезъ прямую а плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную къ а которая пересЬчетъ плоскость а по некоторой
прямой с. Плоск1й уголъ между прямыми а и с и прини-
принимается за м-fepy угла между прямой а и плоскостью а.
Уголь между плоскостью и нормалью къ ней есть
прямой.
§ 86. Кратчайшее разстояше двухъ скрещивающихся
прямыхъ.
1. Если a, b суть двъ- прямыя лин1и, не лежачая въ одной
плоскости, то можно найти на прямой а точку А и на прямой Ь
точку В такого свойства, чтобы соедипияющая эти точки прямая
АВ была перпендикулярна какъ къ прямой а, такъ и къ прямой b
(фиг. 95).
Для того, чтобы построить эти точки, проведемъ черезъ произ-
произвольную точку X прямой а нормальныя плоскости къ прямымъ а и Ь-
Эти плоскости пересъкутся по нъ-
которой прямой х, перпендику-
перпендикулярной къ прямымъ а, Ь; прямая
х встр-Ьчаетъ прямую а, но вообще
не встр-Ьчаетъ прямой Ь.
Плоскость ах, однако, не мо-
жетъ быть параллельна прямой Ь,
такъ какъ въ противномъ случай
прямая, проведенная черезъ точку
X параллельно прямой Ь, была бы
перпендикулярна х и, слъдова-
тельно, должна была бы совпасть съ а', такимъ образомъ, вопреки пред-
положешю, прямыя а и b были бы параллельны. Итакъ, плоскость ах
пересЬкаетъ прямую b въ некоторой точк-fe В; если черезъ эту точку
проведемъ прямую J, параллельную .v, то она перес-Ьчетъ прямую а въ
точктэ ^1, при чемъ прямая d перпендикулярна одновременно какъ къ
прямой а, такъ и къ прямой Ь.
2. Существуетъ только одна такая прямая d и разстоян1е
ilB = d является кратчайшимъ изъ разстоян1й между произ-
Фиг. 95.

249 § 87
вольными двумя точками прямыхъ а и Ъ, т. е. кратчайшимъ раз-
стояшемъ этихъ двухъ прямыхъ.
Что не существуетъ двухъ такихъ прямыхъ, проходяшихъ черезъ
одну изъ гёхъ же точекъ А, В, вытекаетъ непосредственно изъ того со-
ображешя, что въ противномъ случай изъ этой точки — скажемъ, изъ
В можно было бы опустить на прямую а два перпендикуляра. Вм-fecTt
съ гЬмъ ясно, что разстояше точки В отъ произвольной точки прямой а,
не совпадающей съ А, больше d.
Разсмотримъ теперь прямую, проходящую черезъ двъ точки С, D,
отличныя отъ А, В- Опустимъ изъ С перпендикуляръ СЕ на плоскость
BAD. Если точка Е не совпадаетъ съ В, то эта прямая перпен-
перпендикулярна къ прямымъ BE и DE, и плоскость ЕВ С нормальна къ
прямой d, такъ какъ последняя перпендикулярна къ двумъ прямымъ b и
BE, лежащимъ въ этой плоскости. Изъ прямоугольнаго треугольника
CED сл-Ьдуетъ, что
CD>ED;
если провести черезъ Е прямую ЕЕ, параллельную АВ, то (такъ какъ
точка F можетъ и совпасть съ D)
ED m ЕЕ = d,
ВМЪСГЬ СЪ ЧТэМЪ
CD > d,
при чемъ неравенство это им-Ьетъ мТэсто (какъ явствуетъ изъ чертежа)
также и въ томъ случай, если точки Е и В совпадаютъ.
Этимъ доказана вторая часть теоремы. Но, если бы прямая CD
была также перпендикулярна къ прямымъ а и /;, то отсюда аналогично
предыдущему вытекало бы, что d > СУ); такимъ образомъ, и это не-
невозможно.
§ 87. Т-Ьлесные углы.
1. Если три плоскости а, Ь, с, проходятъ черезъ одну и ту же
точку Р, но не имъютъ общей прямой, то oH-fe пересекаются попарно по
тремъ прямымъ А = {Ьс), В = (ей), С = (ab). Три плоскости д-Ьлятъ
пространство на восемь частей, которыя называютъ телесными или
трехгранными углами. (На сферу, центръ которой совпадаетъ съ Р,
эти трехгранные углы проектируются въ вид-fe сферическихъ треугольни-
ковъ, какъ мы видЪли въ сферической тригонометрш). Каждые два изъ
этихъ трехгранныхъ угловъ, соприкасавшиеся лишь въ точк"Ь Р, назы-
называются вертикальными углами.
Каждый трехгранный уголъ имЪетъ три „стороны" или „грани",
именно, ограничивающая его части плоскостей а, Ъ, с, и три „ребра",
именно, части прямыхъ А, В, С, ограничиваются эти стороны.

§ 87 250
Телесный уголь им-Ьетъ три двугранных ь угла (между сторонами)
и три плоскихъ угла (между ребрами); первые обозначимъ черехь
а, /3, у, а вторые — черезъ а, Ь, с (п, Ь, с являются сторонами, «, /?, у -
углами соответствующего сферическаго треугольника).
Два трехгранныхъ угла ABC и А'В'С называются конгруэнт-
конгруэнтными, если между ребрами и гранями обоихъ угловъ можно установить
cooTBtiTCTBie такъ, чтобы соотв-Ьтствуюице одипъ другому двугранные и
плосюе углы были равны и чтобы при этомъ системы лучей ABC и А'В'С
являются системами одного рода (либо обе правосторонними, либо обе
левосторонними, § 84).
Если же (при равенстве соотвъ'тствующихъ угловъ) системы ABC
и А'В'С принадлежать различнымъ классамъ, то углы называются отра-
отраженно-равными или симметричными.
Вертикальные трехгранные углы суть симметричные.
Если черезъ произвольную точку Q провести плоскости, параллельныя
нлоскостямъ а, Ъ, с, то вокругъ точки Q получатся углы конгруэнтные,
тьмъ, которые образуютъ плоскости а, Ь, с.
2. Два трехгранныхъ угла конгруэнтны, есчи у нихь при одинаковычь
обозначешяхъ совпадаютъ
I. двТз стороны и заключенный между ними уголъ,
II. сторона и два прплежашихъ къ ней угла,
III. три стороны.
Эти три теоремы о конгруэнтности трехгранныхъ угловъ совершенно
аналогичны тремъ первымъ теоремамъ о конгруэнтности плоскихъ трех-
угольниковъ и одинаково съ ними доказываются. Къ этимъ теоремамъ
должна быть присоединена еще четвертая:
IV. Два трехграниыхъ угла конгруэнтны, если у нихь при
одинаковыхъ обозначетяхъ совпадаютъ соотв-Ьтству-
K>uue двухгранные углы.
Эта теорема можетъ быть ел Кдующимъобразомъ получена изъ третьей:
Если въ трехъ точкахъ А, В, С, взятыхь на ребрахъ трехграннаго
угла Р, провести нормальныя къ этимъ ребрамъ плоскости, то послъ\дшя
пересекутся въ некоторой точке Q, образуя снова трехгранный уголъ,
который мы будемъ называть угломъ, дополнительнымъ къ Р (фиг. 96).
Конгруэнтные углы имъютъ и конгруэнтные дополнитель-
дополнительные углы.
Каждое изъ реберъ дополните аьнаго угла опирается на одну изъ
сторонь даннаго. При соответствующей нумерацш реберъ дяннаго угла
и дополнительнаго, они представляютъ не однородныя системы, т. е.
одна изъ этихъ системъ (реберъ) является правосторонней, а другая -
левосторонней.

'251
§ 87
FLnocKie углы трехграннаго угла Р дополняютъ соотвътствуюиие
двугранные углы Q до двухъ прямыхъ; напримЪръ:
- С В'А + -К СРА = 2 d (фиг. 96),
такъ какъ углы при Л и С въ четырехугольникахъ РА В'С являются
прямыми; равнымъ образомъ, двугранные углы Р дополняютъ плосьие
углы Q до двухъ прямыхъ; напримЪръ:
' = 2d.
Уголъ, дополнительный къ дополнительному углу, конгруэнтенъ съ
первоначальнымъ угломъ.
Такимъ образомъ, если въ разсматриваемыхъ трехгранных ь углахъ
равны всЪ двугранные углы, то въ дополнительныхъ къ нимъ углахъ
равны стороны; если поэтому
эти дополнительные углы одно-
однородны, то они конгруэнтны.
Вслтздств1е этого конгруэнтны
и данные углы.
Въ соотвътствш съ че-
четвертой теоремой о конгруэнт-
конгруэнтности плоскихъ треуголг.ни-
ковъ, возникаютъ еше два даль-
нъйшихъ вопроса; именно: при
какихъ услов1яхъ имъ-етъ мътто
конгруэнтность, когда двТз сто-
стороны и прилежании уголъ од-
одного трехграннаго угла соот-
соответственно равны двумъ сто-
ронамъ и прилежащему углу другого трехграннаго угла, или когда два
угла и прилежащая сторона одного трехграннаго угла соответственно
равны двумъ угламъ и прилежащей сторон-fe другого?
Въ этихь случаяхъ не легко получить наглядный геометрическШ
критерш. Но формулы сферической тригонометрш даютъ еще двъ сл-fc-
дуюьшя теоремы:
V. Если въ двухъ однородиыхъ трехгранных ь углахъ равны
части C, у, Ь, то они конгруэнтны, когда
или когда

§ 87 252
VI. Если въ двухъ трехгранныхъ углахъ равны части Ь, С, /9,
то они конгруэнтны, если
b + С < jt, b > с,
или
Ь + с > п, Ь<с *).
Мы докажсмъ еще слЪдуюии'я относящаяся къ гвлеснымъ угламъ
теоремы:
3. Пусть вь треугольник^ A SB (фиг. 97) углы при А и В будутъ
острые, и пусть л AS'В представляетъ собою проекщю перваго тре-
треугольника на плоскость ABC (такъ что SS' _!_ А ВС). Если проведемъ
плоскость, SS'L перпендикулярную къ А В, то SL>S'L, такъ какъ
треугольникъ LS'S прямоуголенъ при S'. Но
tg (LSB) = LB: LS, tg (LS'B) = LB: LS',
и, следовательно,
LSB < LS'B;
равнымъ образомь,
LSA<LS'A.
*) Если положить въ случай V
а въ случай VI
' = tg — ,
то изъ формулъ сферической тригонометрш (§ 43, B), B')), выразивъ sin а и cosrt,
согласно § 29, A1), черезъ t, получимъ для / квадратныя уравнешя:
У. /2siii(?f+-/) 2/cotgisin/9 sin(t? 7) О,
Эти уравнешя им-Ьютъ только по одному положительному корню лишь въ томъ
случай, если величины
sin (fl у) sin(/> + i)
—— или --
sin(i- с)
им^ютъ положительныя значешя. При этомъ, сл-Ьдовательно, услов1и два гЬлесныхъ
угла, у которыхъ равны части jl, у, b или Ь, с, 0, должны имъть также равныя
части а или а, а потому должны быть конгруэнтны

253
§ 87
При помощи сложешя отсюда выводимъ:
ASB<AS'B.
Изъ аналогичныхъ разсуждешй получается:
tg LBS = LS :LB, ig LBS' = LS': /.fi,
и, следовательно,
LBS> LBS'.
Чисто интуитивно неравенства A), B) можно вывести также при
помощи указаннаго на чертеж-fc наложешя.
4. Пусть намъ данъ телесный уголъ SA ВС съ плоскими углами
а, Ь, С, проведемъ черезъ точку 5 произвольную прямую SS', встре-
встречающую сферическШ треуголь-
никъ ABC; въ такомъ случа-fc,
применяя трижды теорему п. 3-го
(какъ указано на фиг. 97), по-
лучимъ:
О < а + b + с <а'+Ь'+ с' = 2п,
такъ что имЪетъ м-бсто теорема:
Сумма плоскихъ уг-
ловъ трехгранаго угла
всегда меньше четырехъ
прямыхъ.
5. Если а, /?, у суть дву-
двугранные углы нашего трехгран-
наго угла, то я а, тс — ft, it - - у представягъ собою плосюе углы
дополнительнаго къ нему угла; если иримтзнимъ къ этимъ плоскимъ угламъ
теорему пункта 4, то получимъ
0<jt
л
что выражаетъ теорему:
Сумма двугранныхъ у ловъ каждаго трехграннаго угла
(сумма угловь сферическаго треугольника) содержится между
двумя прямыми и шестью прямыми.
6. Если въ трехгранномъ yrat SABC черезъ ребро SС проведемъ
плоскость SCC перпендикулярно къ плоскости SAB (фиг. 98), то,
согласно соотношешю B),

§ 87
254
. Ъ = СА>С'А.
^ а = СВ- СВ.
Если лучъ SC лежитъ между лучами SA и SB, то
и, следовательно,
а + b > с.
C)
Если же точка С падаеп. вн-fe угла ASB, то уже одинъ изъ двухъ
угловъ а, Ь, скажемъ, а, больше С- Такимъ образом ь, мы приходимъ
къ теорем-fe:
Въ трехгранномъ угл-fe
<V/\ сумма двухъ плоских ь угловъ
больше третьяго.
Переходя къ дополнитель-
дополнительному углу, для двугранныхъ угловъ
находимъ:
п + а > /? + у. D)
Фиг. 98.
7. Если въ трехгранномъ
угл-fe два плоскихъ угла равны,
то и противоположные имъ
двугранные углы также равны, и наоборотъ.
Доказательство ведется такъ же, какъ и въ случа-fe равнобедрен-
наго треугольника на плоскости:
Пусть въ трехгранномъ угл-fe SABC (фиг. 98).
а = /;.
РаздЬлимь уголь с пополамъ лучомъ SC и проведемъ плоскость
S(J(!'; мы получимъ два трехгранныхъ угла, имЪющихъ равные плосюе
углы и, въ силу третьей теоремы о
конгруэнтности, симметричные. По-
Поэтому совпадаютъ и соотвтлттвуюиие
двугранные углы, т. е. а = C.
Обращеше доказанной теоремы
достигается переходом ь къ дополни-
дополнительному углу.
8. Въ трехгранномъ угл-fe
противъ большаго двуграннаго
угла расположенъ болышй пло-
уголъ.

•255 § 87
Пусть (фиг. 99)
Р> «•
Проведемъ черезъ прямую SB плоскость SBC подъ угломъ С В А = а.
Тогда лучь С пройдетъ между лучами А и С. Согласно п. 7, НС'= АС,
а согласно п. 6,
-аЛС= ВС' + С'С>ВС;
такимъ образомъ:
Ь>а.
Соответствующая теорема для плоскаго треугольника имеется у
Евклида (книга I, 18), откуда взяго и данное выше доказательство.

ГЛАВА IX.
Измйреше объема и поверхностей.
§ 88. M-fcpa объема.
1. Относительно опредълешя мЪры объема ограниченной части про-
пространства, прежде всего, остаются въ сил-fc rfc же положешя, что и отно-
относительно м-fepbi площади плоской фигуры.
Два ттзла называются равносоставленными, если они могуть быть
разложены на соответственно конгруэнтныя части; они называются рав-
равновеликими, если путемъ нрисоединешя конгруэнтныхъ тЪлъ они могутъ
быть преобразованы въ татя тъла, которыя разлагаются на конгруэнтныя
части.
В ь своей программной ръчи на II Международномъ Математическомъ
Конгресс* въ Парижъ (Gottinger Nachrichten, 1900) Гильбертъ поставилъ
вопросъ, покрывается ли это поня!1е о равновеликости тЪмъ, что обычно
понимали въ стереометрш подъ равновеликими многогранниками. На ана-
аналогичный вопросъ относительно плоскости, какъ мы видътш выше, отвътъ
получается утвердительный ®).
T-feMb удивительн-fee было, что въ пространстве, какъ показалъ
Денъ (Math. Ann., 55), дъло обстоить совершенно иначе: равенство
объемовъ многогранниковъ, вообще говоря, можетъ быть установлено
лишь на основанш равенства чиселъ, измЪряющихъ объемы (кубическое
содержаше) ряда такихъ тЬль, которыя получаются безконечнымъ про-
цессомъ.
Собственно говоря, это задача интегральнаго исчислешя, общими
методами котораго мы здъсь не располагаемъ. Между тЪмъ соображен!я
'") Утвердительный отвЪтъ получается также и для сферическихъ много
угольниковъ, какъ показалъ Денъ (Dehni въ новой работъ (Math. Ann., Bd. 60).
По поводу этой главы см. также Kagan, Liber die Transformation der Polyeder:
Minkowsky, Volumen iind Oberflache; Schatunowsky, Uber dtn Rauminhalt der
Polyeder (всъ статьи въ журнал* Math. Ann., 57)

257 § 88
интегральнаго исчислешя были уже известны въ древности (Архимедъ),
хотя и подъ другимъ назвашемъ; да и вообще элементарная математика
обыкновенно молчаливо ими пользуется.
Здесь мы поставимъ себе задачу развить учете обь объемахъ
сначала для многогранниковъ, а затт^мъ для тЪлъ, ограниченныхъ поверх-
поверхностями простого вида, какъ, напримЪръ, для конуса, цилиндра, шара
въ Евклидовой геометрш.
2. Каждому гёлу, которое ни съ какой стороны не простирается въ
безконечность и, следовательно, содержится цЪликомъ, напримЪръ, внутри
сферы опредтзленнаго рад1уса, мы будемъ относить определенное число,
которое мы будемъ называть мърой объема, или числомъ, измеря-
измеряющим ь объемъ этого тела; при этомъ мы будемъ соблюдать следуюния
1) Если тело В составляетъ часть тела Л, то мера объема
а тела А должна быть больше, нежели мера объема /? тела В-
2) Если тело А разлагается на несколько составляющихъ
телъ Лх, Л2, ¦, то число, измеряющее объемъ всего тела А
должно быть равно сумме чиселъ, нзмеряющихъ всЬ соста-
составляющая тела:
Я) Если мы отъ тела А отнимемъ тело В, то останется
тело С, объемъ котораго
с ~ а -Ь.
4) Конгруэнтныя тела имеютъ одинаковую меру объема,
откуда следуетъ, что равносоставленныя и равновелиюя тела
также имеютъ одинаковую меру объема. Такимь же образомъ
и симметричныя тела (т. е. переходящая одно вь другое путемъ
отражешя отъ шоскости) должны иметь одну и ту же меру
объема.
Въ какой степени мера объема определяется этими услов1ями, мы
увидимъ ниже. ПокамЬстъ мы займемся исключительно такими телами,
которыя ограничены плоскостями.
ЗамЬтимь, что совершенно те же соображешя могутъ быть приме-
применены къ определенно меры площади плоской фигуры, но мы не будемъ
на этомъ останавливаться.
3. Каждому кубу, ребро котораго равно единице длины (напрпмеръ,
кубическому дециметру литру), мы отнесемъ число 1 вь качестве меры
его объема.
Всберь. Эпцнклоп. элемент, геоыотрш. 17

§ 88 258
Если мы раздЪлимъ ребро куба на произвольное число п равныхъ
частей, то мы сможемъ тремя системами параллельныхъ плоскостей разбить
первоначальный кубъ на и3 конгруэнтныхъ кубовъ. Согласно требова-
нш 2), объемъ каждаго изъ этихъ составляющихъ кубовъ долженъ изме-
измеряться числомъ 1,и3.
Возьмемъ, далее, прямоугольный параллелепипедъ, ребра котораго
а, /Э, у соизмеримы съ единицей длины, т. е. измеряются рашональными
числами:
а о Ъ С
а = —, р = —, у = —;
п п п
въ такомъ случай вся призма можетъ быть разрезана на abc конгруэнт-
конгруэнтныхъ кубовъ, у которыхъ каждое ребро равно 1/и; следовательно,
объемъ этого параллелепипеда въ виду требовашя 2) будетъ измеряться
произведешемъ afiy.
Если теперь числа а,/?, у все иррашональны, или если некоторыя изь
нихъ иррашональны, то число, измеряющее объемъ призмы, все-таки
должно быть равно произведена аCу. Действительно, допустимъ, что
объемъ нашей призмы измеряется числомъ /г, 1) и пусть, скажемъ,
а/?? < /л;
въ такомъ случае можно найти рашональныя числа (§ 22 т. I) а/п, b/п, с/п
такого рода, что
< ><? "<
при чемъ
о ^ abc
но такой рашональный параллелепипедъ, съ одной стороны, помещался бы
целикомъ внутри параллелепипеда аCу, а, съ другой стороны, его объемъ
выражался бы ббльшимъ числомъ. Такимъ же образомъ можно обнару-
обнаружить, что и допущеше /л < аCу приводитъ къ противореча.
I. Мы, такимъ образомъ, вынуждены каждому прямоуголь-
прямоугольному параллелепипеду въ качестве меры объема отнести
число, равное произведент его реберъ.
Что определенная такимъ образомъ мера объема действительно
удовлетворяетъ требовашямъ пункта '2-го, вытекаетъ изъ правилъ
надъ иррашональными числами *).
*) Зд^сь допускается, следовательно, что поставлечная задача разрешается,
т. е. что, по крайней Mtpt, каждому многограннику можетъ быть отнесено число
въ согласш съ требовашями 1) — 4).
%) Какимъ образомъ это вытекаетъ изъ правилъ д-ЬйствШ надъ иррашональ-
иррашональными числами, мы решительно не понимаемъ. Напротивъ, доказать, что отнесен-

259 § 89
Прямую призму съ прямоугольнымъ основаш'емъ можно разбить
плоскостью, проходящей черезъ двЪ параллельныя д1агонали ея основанШ,
на двт> конгруэнтныя трехугольныя призмы. Объемъ каждой изъ этихъ
составляющихъ призмъ равняется половин-fc объема всего параллелопипеда,
а потому также выражается произведешемъ основашя на высоту. Такъ
какъ любой многоугольникъ можетъ быть разложенъ на прямоугольные
треугольники, то предыдущее предложеше можно обобщить.
II. Объемъ прямой призмы равняется произведетю осно-
вашя на высоту.
При требовашяхъ 1) - 4) такое опредтзлеше мЬры объема прямой
призмы является необходимымъ, если только кубическая единица уста-
установлена такъ, какъ это сделано выше; вм-fccrfc съ тЪмъ это опредЪлеше
объема и удовлетворяетъ этимъ требовашямъ, коль скоро устано-
установлены правила дтзйств1й надъ иррациональными числами 3).
Съ этого же м-fecTa находитъ себ-fe примкнете новый принципъ,
принадлежащШ интегральному исчислешю.
Мы предположимъ сначала, что для разсматриваемыхъ тЪлъ суще-
ствуютъ числа, измтфяюшдя ихъ объемы, и въ этомъ предположен^
опредЪлимъ эти числа. Къ вопросу о томъ, насколько самое это допу-
щеше правильно, мы еще возвратимся ниже (§ 92).
§ 89. M-fepa объема пирамиды.
1. Мы разсмотримъ пирамиду, основашемъ которой служитъ произ-
произвольный многоугольникъ; при этомъ мы примемъ сначала, что проекщя
вершины (основаше высоты) падаетъ внутрь основашя или на его пери-
фер!ю, а также, что основажемъ служитъ многоугольникъ выпуклый.
Обозначим ь высоту пирамиды черезъ h и на разстоянш х отъ
вершины проведемъ плоскость, параллельную основанш; эта плоскость
дастъ въ стзченш съ пирамидой многоугольникъ, подобный основанш,
при чемъ отношеше соотвтзтствующихъ длинъ есть х '. !)¦ Если поэтому
Лх и Л суть площади этпхъ двухъ многоугольниковъ, то (§ 22, предл. 13),
ЛХ:Л= х2 : Ъ\
Высоту пирамиды мы раздЪлимъ на произвольное число и равныхъ
частей и черезъ точки дЬлешя проведемъ плоскости, параллельныя осно-
ныя такимъ образомъ многогранникамъ числа удовлетворяютъ поставленнымъ
требован1ямъ, составляетъ довольно сложную задачу. Этому и посвящена работа
г. Шатуновскаго, которую авторъ цитируетъ на стр.556. Работа эта была также
помЪшена въ „ВЪстникЪ Опытной Физики и Элементарной Математики", №№ 316—319.
•') См. примЪчаше 2.
17*

§ 89
260
ванш. Эти плоскости дадутъ въ сЪченш съ пирамидой многоугопь-
ники, имЪюцуе площади At, А2, ., А„ = А. ВмъттЪ съ тъмъ
а потому:
На каждомъ изъ многоугольниковъ Д-, какъ на основанш, мы
построимъ призматическое тЪло съ высотою h/n и при томъ одно
вверхъ, выходящее изъ пирамиды,
другое внизъ — входящее. Мы по-
лучаемъ такимъ образомъ два
ступенчатыхъ гкла, изъ которыхъ
одно содержится внутри пирами-
пирамиды, а другое, напротивъ, содер-
житъ пирамиду вь себЪ.
Если мы обозначимъ черезъ
Slt S2 объемы этихъ двухъ тт^лъ,
то число II, измеряющее объемъ
парамиды, если таковое суще-
ствуетъ, должно удовлетворять
услов!ямъ:
Фиг. 99.
S1>II>Si;
(I)
согласно же § 88, 2),
5, = ~ A* + 2» + 3* + • • • + я»),
Ъ = h? (I2 + 2» + 3' + • • • + In 1)»).
Но въ § 57-омъ т. 1-го мы получили для суммы квадратовъ п
первыхъ чиселъ натуральиаго ряда формулу:

261 § 89
сообразно этому,
Оба эти выражешя при достаточно большихъ м сколь угодно мало
отличаются отъ \hA; они доказываютъ, такимь образомъ, следующую
теорему:
III. Объемъ пирамиды, основашемъ которой служить лю-
любой многоугольникъ, равняется одной трети произве-
ден1я площади основан1я на высоту.
Ограничительное ycnoBie, которое мы сдт^лали, что основашемъ
долженъ служить выпуклый многоугольникъ, и что проекщя вершины
должна падать внутрь основашя, ведетъ къ тому, что каждый лучъ, вы-
ходящШ нзъ вершины къ любой точкт, основашя, проектируется цЪликомъ
внутрь этого многоугольника или на его периферш; этимъ обезпечивается
справедливость неравенства A). Это именно мы имЪли въ виду, вводя
ограничеше, оть котораго теперь нетрудно освободиться. Разсмотримъ
сначала треугольную пирамиду, но такую, въ которой вершина располо-
расположена надъ точкой, лежащей внЪ основашя. Тогда мы всегда имЪемъ
возможность присоединешемъ пирамидъ, удовлетворящихъ нашимъ тре-
бовашямъ, составить большую пирамилу, также удовлетворяющую этимъ
требовашямь. Теорема III будетъ тогда справедлива какъ относительно
всей пирамиды, такь и относительно прибавленныхъ пирамидъ: она
справедлива поэтому и для разности, т. е. для данной пирамиды. Такъ
какъ, съ другой стороны, каждый многоугольникъ можетъ быть разд+зленъ
на треугольники, то теорема доказана во всемъ ея объем-fe.
2. Итакъ, объемъ пирамиды зависитъ только отъ плошади основа-
основашя и отъ высоты, но не зависитъ отъ формы основашя.
Благодаря этому можно также легко определить объемъ усеченной
пирамиды. Вь самомъ д^лтз, если мы разсЪчемъ пирамиду плоскостью,
параллельной основашю, то мы получимъ усеченную пирамиду, основа-
шями которой служатъ подобные многоугольники 4,, Аг, а высота
Ь = Ьх - Ь%\ сообразно этому J, : \ = Ъ? : Ъ.?. BMtcrt съ тЪмъ мы
получаемъ:

§ 90 262
а для объема усеченной пирамиды
з
_
~° з
Такимъ образомъ, S равняется объему призмы, имеющей высоту Ь
и основан1е ^(J, + Л.г -\-\/~А1 4J.
Если мы обозначимъ черезъ Ат площадь средняго съчешя, то
4 : Ат : Л, = 1^ ¦ UK + Ь-гУ : 1^ = 4 : \(
а, следовательно,
Лш = 1-
Если теперь изъ соотношен!я B) мы исключимъ 1^44, т0 получимъ:
5 = |D+4 + 44„). С3)
§ 90. Принципъ Кавальери.
1. Строгое обосноваше метода опред"Ьлен1я объема такихъ тЪлъ,
которыя ограничены также кривыми поверхностями, не можетъ быть про-
произведено элементарными средствами; даже въ интегральномъ исчисленш
это обосноваше сопряжено съ затруднешями, которыя коренятся въ пере-
несен1и числового матер!ала на пространственные образы. Но, если мы
ограничимся тЪмъ, что намъ даютъ наивныя пространственныя представлешя,
то мы будемъ им-Ьть богатый матер!алъ задачъ на опредЪлеше объемовъ,
которыя легко поддаются разрътешю.
2. Подъ цилиндрической поверхностью разумъютъ такую поверх-
поверхность, которая составлена изъ совокупности всЬхъ прямыхъ, образу-
ющихъ этой поверхности, проведенныхъ изъ всЬхъ точекъ некоторой
плоской кривой перпендикулярно къ ея плоскости. Если эта плоская
кривая представляетъ собой окружность, то мы получаемъ поверхность,
которую называютъ цилиндрической поверхностью въ бол-fee тъсномъ
значенш этого слова. Если мы разсъчемъ цилиндрическую поверхность
двумя плоскостями, то мы получимъ колонну; подъ это поняпе, въ
качествЪ частнаго случая, подходятъ и призматичетя колонны, которыя
мы разсматривали въ § 88-омъ
Если мы можемъ указать площадь основащя колонны, то относи-
относительно нея также остается справедливой теорема, что объемъ колонны

263 § 90
равенъ произведент площади основан1я на высоту. Въ самомъ
дЪл1;, мы можемъ построить въ плоскости основашя два многоуголь-
многоугольника, изъ которыхъ одинъ им-ветъ большую площадь, нежели площадь
основашя колонны, а другой меньшую; мы можемъ это выполнить такъ,
чтобы площади этихъ многоугольниковъ сколь угодно мало отличались
одна отъ другой. Если мы теперь на этихъ многоугольникахъ, какъ на
основашяхъ, построимъ призматичесюя колонны, имЪюиця такую же высоту,
какъ и данная колонна, то объемъ последней будетъ заключаться между
объемами построенныхъ такимъ образомъ призмъ. ВслЪдств1е этого
объемъ данной колонны не можетъ имъть другого значешя, кром-fe про-
изведешя основашя на высоту.
3. Мы разсмотримъ теперь гбло К, заключенное между двумя
параллельными плоскостями и заканчивающееся на этихъ поверхностяхъ
двумя замкнутыми фигурами, которыя мы будемъ называть основан1ями.
Эти основашя могутъ иногда сводиться также къ точкамъ или лишямъ.
СЪчеше такого тЪла плоскостью, параллельной основашю, мы будемъ
называть поперечнымъ свчен1емъ; изъ двухъосновашй мы будемъ одно
называть нижнимъ, а другое верхнимъ. Перпендикулярное разстояше
между основашями мы будемъ называть высотою тЪла и будемъ ее
обозначать черезъ Ь-
Высоту произвольнаго поперечнаго сЪчешя надъ нижнимъ основашемъ
мы будемъ обозначать черезъ х\ мы примемъ, что площадь Q попереч-
поперечнаго сЬчешя представляетъ собой извъттную намъ непрерывную функщю
Q (х) отъ X. Площади основашй суть: Q @) и Q ф).
Высоту Ь мы разд-влимъ на п равныхъ частей, каждая изъ которыхъ
имЪетъ, такимъ образомъ, длину д = h/n; черезъ точки дъчлешя мы про-
ведемъ поперечныя сЬчен1я Q,, Q.z, . . ., ?)„—i; Qo и Qn обозначаютъ
самыя основан1я.
Поперечныя СБчен1я разлагаютъ гбло А на п пластинокъ 5t>
S%, • ¦ ., Sm'j BMtcTt съ ттзмъ число К, измеряющее объемъ тЪла, равняется
сумм-fe чиселъ 5,, S%, • • ., Sn, измЪряющихъ объемы этихъ пластинокъ:
K = S, + Si+...+SK. A)
Эти пластинки 5 становятся тЪмъ тоньше, тЪмъ больше число п\
вм-fecrfe съ ттзмъ, чтзмъ больше становится п, гЬмъ меньше они будутъ
отличаться отъ призматическихъ пластинокъ, имЪющихъ основан!ями
площади Si (скажемъ, верхнее основание соответствующей пластинки 5).
Но объемъ такой призматической пластинки равенъ Qid, и мы, такимъ
образомъ, получаемъ:
4
для безконечно большого п-

§ 90 264
4. Этотъ выводъ можно было бы обосновать строже, если бы принять
относительно гкпа А", что каждое выше лежащее сЪчеше, будучи спро-
спроектировано на какое-либо сЬчеще, расположенное ниже, падаетъ цъли-
цъликомъ внутрь послЪдняго или цъликомъ охватываетъ последнее.
Въ такомъ случай мы получили бы для Д, какь § 89-омъ для пи-
пирамиды, пределы
ь ь
и и
между которыми содержится его объемъ и которые можно неограниченно
сблизить. Это остается справедливымъ и въ томъ случа-fe, если тЪло А'
разбивается на конечное число частей, удовлетворящихъ этимъ требова-
щямъ. Въ общемъ же случаЪ очень трудно, а, можетъ быть, и вовсе
невозможно точно указать услов1я, при которыхъ имЪетъ мътто фор-
формула B).
5. Въ формулЪ B) заключается такъ называемый принципъ
Кавальери *).
Если два ттзла, расположенныя между однЪми и ткми же
параллельными плоскостями, обладаютъ тЪмъ свойствомъ, что
любыя два поперечныхъ сЬчен1я, расположенныя на одной вы-
сотЪ, имЪютъ одну и ту же площадь, то оба т-Ьла имЪютъ оди-
одинаковый объемъ.
6. Большое чисю примЪнешй соотвтэтствуетъ тому случаю, когда
функщя B(v)i выражающая объемъ понеречнаго сЪчещя въ зависимости
отъ высоты, есть цЪлая функщя. Если это функщя #г-ой степени, то мы
можемъ положить
Q(X) = Со + ClX + СгЛ + • ¦ ¦ + С,„А"", C)
откуда
П = 4- Ь Л- '- 4- -1- Ь'"-
Ul c°+ Cl n + - п% Л h '" if"'
2"'/г
"Т" " " ¦ Т С„, ..,7Г ' 1 A*i
пЬ
QH C0 + Cl + C2 % ++€„
если мы поэтому положимъ для сокращешя
5,.(й) = 1Ч-2*+•¦¦ + «•,
*) Cavalieri, профессоръ въ Болонь-fe, 1591 (или 1598) — 1647.

265^ § 90
т. е. обозначимъ черезъ Sr(ii) сумму г»-тыхъ степеней п первыхъ нату-
натуральныхъ чиселъ, то въ силу равенства B) получимъ:
К = cob + с, ^Sx(ii) + с2 -3 S2(n) + - • ¦ + сш - —, г Sm(n). E)
Но j'-тыя степени посл-Ьдовательныхъ натуральныхъ чиселъ 1, 2,3, ...
образуютъ ариеметическШ рядъ i'-таго порядка. Согласно § 57 т. 1-го, мы
можемъ найти ихъ сумму. Обозначая черезъ В['" биноминальные коэффи-
коэффициенты, мы можемъ положить
гдъ- а0, alt «.г, . . ., a,.^-i можно вычислить, последовательно принимая
Значеше коэффищента а4ц.1 легко определить. Въ самомъ деле:
S,,(n) - S,(n - l) = tr
въ вину же соотношен!я G) § 57-го т. 1-го,
if = а, Во(п ° + о.г Л,'-!' Н h «,+1 Д/"' ¦ G)
Это уравнеше должно удовлетворяться при любомъ и; такъ какъ,
съ другой стороны, урзвпеше f-той степени не можетъ иметь более, нежели
)' корней, то равенство G) должно представлять собой тождество отно-
относительно п. Но бином1альные коэффищенты /?0"~ '', B^l~1} В^'~^ все
нмеютъ относительно п степень ниже v-той, и только
в (я_и = (в П(и - 2) ¦¦¦(и - ")
достигаетъ и-ой степени, при чемъ п" имеетъ коэффищентъ \/v\ Поэтому
изъ равенства G) следуетъ, что
«,+,="! (8)
Согласно соотношешю E), для определешя объема А' намъ нужно
знать только предельное значеше отношешя Sv{n) n'"^1 при безконечно
большомъ к. Но
- -п ) у ~ п) ¦
это выражен{е обращается въ 0, если /t < v-{- 1, и равно l/(v -\- 1)! при
1

§ 90 266
Сообразно этому, въ виду соотношешй F) и (8),
., - и'+1 v + 1
вм-fecrfe съ тЪмъ изъ соотношения E) мы получаемъ для Л':
К = coh + С-?- + С'~ -\ \- ™-— ¦ A0)
Если, наприм-Ьръ, т = 2, такъ что
Q(x) = с -\- с х 4- CoX^ fll)
то мы получаемъ:
г Л'-* г ЛЗ
отсюда можно исключить коэффициенты са, си сг, если намъ известны три
поперечныхъ с-Бчен1я. Если мы за таковыя примемъ основашя и среднее
ct4eHie, которыя мы въ § 89-омъ обозначили черезъ Лх, Alt Д,„, то
А = с0,
Теперь мы можемъ изь равенствъ A2) исключить с0, СХЪ, c^h2, и мы
получаемъ:
К= Ь6(Л1+Л2 + 4Лп1), A3)
какъ вь частномъ случаЪ въ равенств-fe C) § 89-го.
Точно такъже изъ общей формулы A0) можно исключить постоянныя
с0, сх, ¦ ¦ ¦, с'" при помощи выражешй, соотвЪтствующихъ т -\-1 частнымъ,
напримЪръ, равно удаленнымъ поперечным ь сЬчен1ямъ *).
Формула A3) остается въ сил-fe также и въ томъ случай, если Q(x)
есть функц1я третьей степени, какъ въ этомъ легко убедиться изъ соот-
ношенШ A0) и C).
*) См. сообщеше Финстербуша (Finsterbusch) въ „Трудахъ Ш-го Между-
народнаго Математическаго Конгресса" (Verhandlungen des dritten internationalen
Mathematikerkongresses, Leipzig, Teubner, 1905, S. 687).

267
§ 91
§ 91. Примеры.
1. Къ формуламъ A1), а вмътт-fe съ тЪмъ, стало быть, къ форму-
формулам ь A2) и A3; § 90-го сводятся мнопе частные случаи опредълешя
объемовъ, изъ которыхъ мы приведемъ здъть некоторые. Прежде всего
займемся призматоидомъ.
Подъ призматоидомъ мы будемъ разуметь всякое гёло, имеющее
только прямолинейныя ребра, концы которыхъ лежатъ на двухъ парал-
лельныхъ плоскостяхъ t) и >]', и дающее въ сЪченш съ любой плоскостью,
параллельной этимъ
плоскостямъ, пря-
прямолинейный много-
угольникъ;задача за-
заключается въ опре-
д+зленш объема гёла,
содержащагося меж-
между ПЛОСКОСТЯМИ Г) И
tf. Смотря по тому,
ограничивается ли
призматоидъ съ бо-
ковъ только плоско-
плоскостями или нътъ, мы
будемъ называть его
прямымъ или ко-
с ы м ъ.
Косой призмато-
призматоидъ имЪетъ плосмя
основашя, а сбоку
ограничивается какъ
плоскими, такъ и
кривыми поверхно-
поверхностями, на которыхъ
помещается безчи-
сленное множество прямыхъ лин!й; это такъ называемый линейчатый
(и при томъ косыя) поверхности (фиг. 100); сь такого рода поверхно-
поверхностями приходится имтлъ дътю при постройкахъ на верфяхъ и на кры-
крышах ь. Къ числу призматоидовъ, между прочимъ, принадлежать,:
a) призма и пирамида (въ послъ-днемъ случа-fe одна изъ ограничи-
вающихъ т^ло параллельныхъ плоскостей проходитъ черезъ
вершину)
b) тетраэдръ въ томъ особенномъ его положснш, когда двЪ па-
раллельныя плоскости проходятъ черезъ противоположныя ребра.
Фиг. 100.

§ 91
268
с) такъ называемая усеченная пирамида, которая въ сеченш съ
плоскостями )] и у' даетъ действительные (не вырождающдеся)
многоугольники.
Объемы всехъ призматоидовъ вычисляются по формуламъ
A1), A2), A3) § 90-го.
Именно, можно показать, что поперечное сечете Q(x), лежащее
на# высоте х надъ основашемъ г], представляетъ собой функщю 2-ой
степени отъ .v. Съ этою целью
спроектируемъ О(х) ортогонально
на плоскость щ; мы получимъ тогда
многоугольникъ ВХВ., ¦¦¦ Bi,Bi,-\-\ •¦•
(фиг. 101), который получается
изъ многоугольника Q @), или
АХА2 ¦¦ AhA/,-\-i ¦-, лежащаго въ
¦^1\ -<4Д~g~h ~f \j~ \ ^«у^- самой плоскости г\, путемъ при-
соединен1я четырехугольниковъ
Если мы теперь будемъ ме-
менять х, то точки Вх, В-1 -.. бу-
дутъ двигаться по некоторымъ
прямымъ gx, о2, ..., которыя про-
ходятъ черезъ вершины Аи А2 ¦..
Фгг Ш1 и представляютъ собой проекцш
реберъ призматоида.
ОтрЬзки Ах, Вх, А.г, В.,, . . ., Аи, В/, получаются въ форме сх к,
сгх, . . ., ci,x, гае коэффициенты сх, с2, С/, уже не зависятъ отъ х, а
определяются наклонешемъ реберъ къ плоскости щ. Если S/, есть точка
пересечешя прямыхъ gh и gh,x, то площадь
Ah Sh Ah+1 = i (S,, Ah + x ch) (Sh. l/l+1 + x c,,
sin
это есть, такимъ образомъ, квадратная функщя отъ х\ та же функщя
опред-кпяетъ площадь и въ томъ случай, когда дв% изъ сторонъ четырех-
четырехугольника пересекаются. Такъ какъ дал-fee
то Q(x) есть функщя второй степени отъ х, какъ это и требовалось до-
доказать.

269
§ 91
2. Объемы цилиндровъ и коиусовъ можно получить, разсматривая
ихъ, какъ предельные случаи призыъ и пирамидъ. Если г есть рад1усъ
основашя, a h есть высота, то:
объемъ цилиндра =zvr2h,
конуса = 1лг2Ь.
Эти формулы остаются въ силе также для наклонныхъ цилиндровъ
и конусовъ.
3. Шаръ pafliyca г даетъ въ с-Ьчеши съ плоскостью, отстоящей на
разстоинш х отъ его центра, кругъ рад1уса о = /г2 л*. Площадь
этого круга равняется яг(/2 - х2) и, следовательно, также представляетъ
собой фуикщю второй степени отъ х. Въ виду этого и здесь находитъ
себе применеше формула A3) § 90-го. Изъ нея мы получаемъ:
,_ 4л
Объемъ шара = — г,
о
а объемъ сферическаго сегмента съ высотою ^ = г х:
4. Положииъ, что два конгруэнтныхъ круглыхъ цилиндра pafliyca i
проникаютъ одинъ въ другой такимъ образомъ, что ихъ оси пересе-
пересекаются подъ прямымъ угломъ (фиг. 102). Общая часть обоихъ цилин-
цилиндровъ есть подушко- I »
образное тътю, которое
ограничено четырьмя
выр-Ьзанными съ ци-
цилиндрической поверх-
поверхности двуугольниками;
краями этихъ двууголь-
никовъ служатъ эллип-
эллипсы. При пересЬченш
этого тела плоскостью,
параллельной объимъ
осямъ и проходящей
на разстоинш х отъ
последней, получается
въ сеченш квадратъ,
сторона котораго равна
,—_ - Ф::г. 102.
2 У г~ - х'1; площадь
этого квадрата равна 4(г8 — а'2) и, слЬдовательно, выражается функшей
второй степени. Мы и здесь можемъ, поэтому, воспользоваться форму-
формулой A3) § 90-го. Высота этого тела равна 2г, а площадь средняго
сечещя J,,, = 4г'г; основаше же здесь обращается въ 0.

§ 92 270
Сообразно этому объемъ этого гЬла равенъ 16г3/3, т. е. равенъ f
объема описаннаго куба.
Достойно внимашя, что объемъ этого тъчла, которое ограничено
кривыми поверхностями, получающимися при помощи окружностей, не
содержитъ числа яг, а, напротивъ того, находится въ рацюнальномъ отно-
шеши къ обьему куба.
§ 92. Существоваше чиселъ, выражающихъ объемъ т1>ла.
Общее обосноваше существовашя чиселъ, изм-Ьряющихъ объемъ
тела, принадлежитъ къ числу наиболее трудныхъ задачъ интегральнаго
исчислешя и потому падаетъ за пределы настоящаго сочинешя. ТЪмъ не
мен-fee мы должны кое-что ио этому поводу сказать, чтобы осветить хотя
бы до некоторой степени простейиле случаи.
Установивъ единицу длины, выберемъ произвольное целое число п и
представимъ себе кубы съ ребрами, равными \/п, и, следовательно, каждый
съ объемомь 1/иа; эти кубы мы будемъ называть элементарными кубами.
Каждому телу, составленному изь элементарныхъ кубовъ, соотвътствуетъ
тогда рацюнальное число, измеряющее его объемъ; оно выражается
дробью, имеющей знаменателемъ «3, а числителемъ число кубовъ, Бошед-
шихъ въ составъ тела.
Если теперь дано тътю К, то мы можемъ изъ нашихъ элементарныхъ
кубовъ составить два тела А„ и В , изъ которыхъ одно содержится
внутри тъпа К, а другое охваты ваетъ тътю К. B.\ifecT-fe съ тЪмъ А„ < Вп-
Если, увеличивая число п, мы можемъ сделать разницу между
А„ и В„ произвольно малой, то числа, выражаюиии последовательные
объемы
образуютъ Дедекиндово съчен!е, которым ь опредЬляется некоторое (ра-
ц!ональное или ирращональное) число; это число и измЬряегъ объемъ
т"Ьла К. Что устанавливаемый таким ь образомъ числа удовлетворяютъ
требован1ямъ п. 2-го § 88-го, вытекаетъ изъ правилъ действ!й надъ ирра-
цюнальными числами (§ 24 т. 1-го) *).
Все остальное сводится, такимъ образомъ, къ вопросу, можно ли
числа А„ и Вп сделать сколь угодно близкими.
Представимь себе прежде всего гело М, составленное изь элемен-
элементарныхъ кубовъ и содержащее тело К целикомъ; это всегда возможно.
Такое тело М будетъ всегда содержать известное число элементарныхъ
кубовъ, расположенныхъ целикомъ внутри тела /\'; совокупность послЪд-
нихъ, а вместе съ темъ и число, выражающее ихъ объемъ, мы обозначимъ
') См. примечаше 2 на стр. 258.

271 § 93
черезъ А Дал-fee, будетъ нъкоторое число кубовъ тъла М, которые лишь
частью содержать тЪло /\'; совокупность послЪднихъ, а также число,
выражающее ухъ объемъ, мы обозначимъ черезъ д. Остальные кубы, со-
держаицеся въ rknt M, лежатъ цъ'ликомъ вн-fe гЬла К и могутъ быть
вовсе опущены. ВмъстЪ съ гёмъ мы можемъ положить В = А -{- й; гЬло
В охватываетъ гЬло К цЪликомъ.
Если существуетъ число, измеряющее объемъ тЪла А', то
оно должно содержаться между А и В; такое число необходимо
будетъ существовать, если а становится безконечно малымъ,
когда и неограниченно возрастаетъ.
Что это услов1е всегда выполняется, если тътю К ограничено пло-
плоскостями, легко усмотреть. Въ самомъ дътгЬ, если мы представимъ себЪ,
что грани тъла К заменены ст-Ьнками, толщина которыхъ равна д1агонали
элементарнаго куба, то всЪ кубы а уместятся внутри этихъ ст'Ьнокъ;
объемъ а будетъ, такимъ образомъ. меньше, нежели объемъ конечнаго
числа призмъ, имЪющихъ основашями грани этого тът1а, а высотой -flia-
гональ куба.
Отсюда вытекаетъ дал'Ье, что требуемое ycnoBie выполняется также
для вс'Ьхъ гёхъ т^лъ, для которыхъ могутъ быть построены входящ1е и
выходящ!е многогранники, сколь угодно мало отличаюццеся одинъ отъ
другого. Это имъетъ мЪсто дпя цилиндровъ, конусовъ и шаровъ.
Если мы 3aMtHHN^ 1^ла А, К, В и кубъ, принятый за единицу
объема, подобными тЬлами съ линейнымъ отношен1емъ е, то числовыя
отношен!я не изменятся. Но объемъ куба возрастетъ въ отношеши 1 : е3
(§ 88, 3). Отсюда получается теорема.
Числа, измЪрякншя объемы подобныхъ т-Ьлъ, въ которыхъ
соотвътствуюшля длины находятся въ отношеши 1:е, относятся
между собой, какъ 1 : е3.
§ 93. Изм-fepeHie кривыхъ поверхностей.
1. Измъреже кривыхъ поверхностей представляет ь еще гораздо
болышя затруднен!я, ч'Ьмъ измъреше объемовъ; это обусловливается
т'Ьмъ обстоятельством ь, что кривыя поверхности не поддаются непосред-
непосредственному сравненш съ плоскостью. Здъть мы уже по самому существу
дъпа поставлены въ необходимость прибегать къ предельному переходу.
Когда въ низшей геодезш приходится измерить участокъ земли и выразить
его площадь, скажемъ, въ квадратныхъ метрахъ, то поступаютъ такъ,
какъ будто участокъ плоскШ; при незначительной кривизне земной по-
поверхности мы при этомъ не дъпаемъ заметной погрешности. Если мы
распространимъ этотъ пр1емъ на большое число участковъ, покрывающихъ
въ совокупности значительную часть земной поверхности, то мы получимъ

§ 93 272
число квадратныхъ метровъ, которое можетъ быть принято за меру пло-
площади соответственной части земной поверхности сь тЪмъ большим ь
приближешемь, чФ.мъ меньше были измеренные первоначально участки и
чемъ больше было ихъ число. Но дело уже будетъ обстоять иначе, если
среди измеренныхъ участковъ имеются таюе, которые расположены по
крутымъ скатамъ, хотя бы даже высота этихъ скатовъ была ничтожно
мала по сравненш со всей плоскостью; мы получимъ тогда для площади
слишкомъ большое число. Изъ этого примера уже видно, съ какими
обстоятельствами надо считаться при точномъ определенш чиселъ, изме-
ряющихъ- площади, и катя затруднешя отсюда могуть проистекать. Мы
ограничимся въ нижеследующемъ простейшими случаями и будемъ при
этомъ пользоваться наглядными соображешями.
2. Цилиндръ.
Выше мы разсматривали окружность, какь многоугольникъ съ без-
численнымь множествомъ сторонъ; подобно этому мы можемъ теперь
смотреть на цилиндръ, какъ на прямую призму съ безчисленнымъ мно-
множествомъ боковыхъ граней. Мы получаемъ тогда для боковой поверхности
цилиндра (т. е. для поверхности цилиндра безъ основанШ) произведете
изъ высоты на периметр ь осиовашя; есчи поэтому Ь есть высота, а г
pafliycb основашя цилиндра, то
боковая поверхность цилиндра = ЧлгЪ. ¦
3. Точно такъ же поверхность прямого конуса можетъ быть раз-
смагриваема, какъ поверхность пирамиды съ безчисленнымъ множествомъ
треугольныхъ боковых ь граней. Длина основанШ этихъ треугольниковъ
въ совокупности равна въ такомъ случае периметру основашя; высота
боковой грани равна длине s образующей; или, если h есть высота, а
i рад1усъ основашя конуса, то высота боковой грани равна ] r2-\-h2-
Сообразно этому боковая поверхность конуса равна
л is = лг [ h'1 + fl ¦
4. Обратимся теперь къ усеченному конусу; пусть гх и г.г будутъ
рад1усы основанШ, a st и ,«2 образующ1я двухъ конусовъ, разность кото-
рыхъ представляетъ собой заданный усеченный конусъ; въ такомъ случае
боковая поверхность усеченнаго конуса равна л(г1$1 - г2^). Но, сь дру-
другой стороны, i\ : $i = г.г : $.г; мы получаемъ поэтому для боковой поверх-
поверхности выражеше п (;, -|- г.г) (л, .?2). Если мы, наконецъ, обозначимъ
черезъ г рад1усъ средняго сечен1я, т.е. i(r,-f-?'a), а черезъ s образующую
усеченнаго конуса, т. е. .¦;, s2, то мы получимъ окончательно:
боковая поверхность усеченнаго конуса — '2jrrs,
т. е. равна прямоугольнику, одной стороной котораго служитъ образу-
образующая усеченнаго конуса, а другой периметръ средняго сечешя 2лгг.

273
§ 93
5. Эти результаты можно сд-Ьлать еще бол'Ье наглядными, если мы
представимъ себъ1 боковыя поверхности цилиндра, конуса и усЬченнаго
конуса сделанными, напримъръ, изъ бумаги и развернутыми на плоскости.
Боковая поверхность цилиндра обращается тогда въ прямоугольникъ, по-
поверхность конуса въ круговой секторъ, а поверхность усЬченнаго конуса
въ кусокъ кольцеобразной площади, ограниченной двумя рад1усами.
6. Эти поверхности, принадлежаиш къ числу развертывающихся,
именно благодаря этому развертывашю поддаются еще наглядному сравнешю
съ плоскими фигурами. Но иначе обстоитъ д-Ьло со сферою; опредЪле-
Hie поверхности шара принадлежить къ числу наиболее блестящихъ
прювр^Ьтешй древности: Архимедъ съ полнымъ правомъ считалъ его
r-Ьнцомъ своей славы и, какъ сообщаетъ Цицеронъ, завъщалъ, чтобы
фигуры шара и цилиндра были изображены на его гробницъ.
Поверхность шара опредЪляютъ такимъ образомъ, что разсЬкаютъ
ее параллельными кругами на безчисленное множество зонъ и каждую
такую безконечно тонкую зону разсматриваютъ, какъ боковую поверх-
поверхность усЬченнаго конуса.
7. РазсЬчемъ шаръ двумя парг.ллельными плоскостями А(] и Bh
(см. фиг. 103) и проведем ь плоскость PQ, проходящую на равномъ раз-
А
О
нУ
/
с
ФПГ. 10i.
стояши отъ нихъ. Въ точкЪ Р проведемъ касательную А В = .s" къ мери-
дюнальной окружности въ плоскости CAB. Треугольники АВН и CPQ
будутъ въ такомъ случай подобны: если мы обозначимъ черезъ г рад!усъ
сферы, черезъ q рад1усъ параллельнаго круга PQ и черезъ Ъ высоту
зоны, то о : г = h : S, или qs = hr. Вм-Ьст% съ гЬмъ мы получаемъ для
боковой поверхности усъченнаго конуса, описаннаго около шара и содер-
содержащегося между параллельными плоскостями, согласно п. 4-му, выражеше:
2jzqs = 2ягЬ.
Но 'Ijzrh есть боковая поверхность цилиндра, имтзющаго высотой h
и основашемъ большой кругъ шара.
8. Теперь опишемъ около квадранта СВА (фиг. 104) квадратъ
CBDA и многоугольникъ BP1P-iP3 ¦¦¦ А, первая сторона котораго ВРЛ
Веберъ, Энвдклоп. элемент, геометрт. 1в

§ 93 274
параллельна АС Если мы себе представимъ, что эта фигура вращается
вокругъ оси ВС, то дуга АВ опишетъ половину сферы, а отр-Ьзокъ
AD опишетъ боковую поверхность цилиндра, описаннаго около полу-
полусферы; многоугольникъ же Р^Р%РЪА опишетъ поверхность, составленную
изъ боковыхъ поверхностей усЬченныхъ конусовъ, совокупность которых ь,
согласно и. 7, равна боковой поверхности цилиндра AD. Величина этой
поверхности, такимъ образомъ, не зависитъ отъ числа точекъ Р±Р%РЪ
и остается неизменной, когда число этихъ точекъ неограниченно возра-
стаетъ. Но при такомъ неограниченномъ увеличенш числа сторонъ эта
поверхность все больше приближается къ полусфере. Применяя тт> же
самыя соображетя ко второй половине сферы, мы получаемъ следующее
предложете:
Поверхность сферы равна боковой поверхности описаннаго
около нея цилиндра.
Такъ какъ высота описаннаго цилиндра равна 2г,
то поверхность сферы равна 4лггг; мы можемъ, такимъ
образомъ, сказать, что поверхность сферы въ 4 раза
больше площади ея большого круга.
Поверхность шарового пояса равна той части боковой по-
поверхности описаннаго цилиндра, которая вырезывается его
основаюями.
9. Если извъхтенъ объемъ V шара, то поверхность его S можно
определить сггЬдующимъ образомъ: разделимъ поверхность на безчислен-
ное множество малыхъ площадокъ, напримеръ, въ виде сетки, соста-
составленной параллелями и мерид!анами. Затемъ все точки на периферш такого
элемента поверхности соединимъ съ центромъ шара; мы получимъ тогда
пирамиду, основашемъ которой все еще, правда, служитъ кривая поверх-
поверхность, но последнюю мы можемъ считать за плоскую съ темъ болыиимъ
правомъ, чемъ меньше элементы. Высота такой пирамиды равна pafliycy
шара г, а потому весь его объемъ равенъ всей ея поверхности, умно-
умноженной на -\г, т. е.
Но, согласно § 91, 3, /' равно 4лгг3/3, а потому S=4ot*.
10. Если мы представимъ себе на кривой поверхности- напримеръ,
на сфере или на цилиндре сеть точекъ и соединимъ каждыя три точки
плоскимъ треугольником'!,, то мы иолучимъ многогранникъ, вписанный въ
данную поверхность. Казалось бы, что поверхность этого многогранника
имеетъ пределомъ данную кривую поверхность, если мы станемъ безпре-
дельно сгущать сеть точекъ.

275
§ 93
Между тъмъ Г. А. Шварцъ (Н. A. Schwarz) первый замътилъ, что
это не всегда им-Ьетъ мъсто; слъдующШ прим-Ьръ это выясняетъ.
Разсмотримъ цилиндрическую поверхность, имеющую рад!усъ г и
высоту Ь. Мы разд+1лимъ высоту на п частей, каждая изъ которыхъ
имЪетъ, такимъ образомъ, высоту h/n, а затЪмъ периферно каждой окруж-
окружности, производящей дЪлеже, мы раздЪ-
лимъ на т частей; такъ что каждой та-
такой части соотвЪтствуетъ уголъ 2п/т.
Но точки д-Ьлешя на каждой после-
последующей окружности мы сдвинемъ на
sv/m, какь это показано на фиг. 105.
Такимъ образомъ, мы получимъ
треугольники A23), B34), C45) •¦•. Ра-
зыщемъ площадь одного изъ этого ряда
(конгруэнтныхъ) треугольниковъ.
Основаше 13 такого треугольника
равно 2 г • sin л/т, но высота треуголь-
треугольника равна не h/ir а гипотенузъ1 пря-
моугольнаго треугольника 2ЛВ, у ко-
тораго однимъ катетомъ служитъ h/n,
а другимъ „стрелка" ЛВ. Но эта
стрЪлка равна
1 — Г COS =
т
а потому площадь нашего треугольника
равна
Фиг. 105.
/I2 1 —лГТ4
\ + 4 г2 (sin Я ) ¦
1г \ 2т/
Но такъ какъ на цилиндръ расположены 2тп такихъ треугольника,
то вся поверхность многогранника будетъ
. я,/4». ../. яг V
2 raw sin — I/ —- + 4 г21 sin — I ;
замъняя зд-Ьсь для безконечно малыхъ угловъ синусы ихъ углами
(§ 118, т. I), мы получимъ:
2яг
Ф
п1
4ш4
Если m и п неограниченно возрастают ь независимо другь отъ
друга, то это выражеше остается совершенно неопредъленнымъ.

§ 93 276
Правда, оно всегда им-Ьетъ предътюмъ latrh, если отношеше п '¦ т
остается конечнымъ; но оно можетъ также неограниченно возрастать,
если, напримъ'ръ, п = т3. Впрочемъ, боковая поверхность цилиндра 2ягЬ
во всякомъ случай остается нижней границей всЬхъ значен!й, которыя
это выражен!е можетъ принимать.

ГЛАВА X.
Группы вращенш и правилъныя гЬла.
§ 94. Вращешя и составлеше вращенж.
1. Разсмотримъ твердое гёло К произвольной формы, имеющее
неподвижную точку О, вокругъ которой оно можетъ свободно вращаться.
Такое тЬло можетъ принять безчисленное множество положенШ и изъ
любого положешя А въ любое другое возможное для него при этихъ
услов1яхъ положеше В оно можетъ быть приведено безчисленнымъ мно-
жествомъ способовъ.
Изъ различныхъ возможныхъ движенШ тъла особенно замечательны
и понятны врашеюя вокругъ оси. Величина такого рода вращенш
измеряется угломъ, который произвольная плоскость, проходящая черезъ
ось и неизмЬнно связанная съ 1вердымъ тътюмъ, образуетъ съ началь-
начальным ь своимъ положешемъ; по знаку этого угла отличаютъ два противо-
положныхъ вращешя. Въ этом ь смысле уюлъ поворота можетъ быть
сколь угодно великъ, хотя для опредьлешя положешя тъла можно было
бы ограничиться интерваломъ въ 2 гг. Одно нзъ двухъ направлешй оси
мы примем ь за положительное и будем ь самое вращеше считать положи-
положительным ь, если наблюдатель, стояний по положительному направлетю
оси, видить его совершающимся по направлешю, противоположному дви-
жен1Ю часовой стрълки.
2."Теорема. Т-Ьло К всегда можетъ быть изъ любого поло-
жен1я А приведено въ любое другое положете В посредствомъ
вращетя вокругъ некоторой оси а.
¦ Доказательство легко получить, если примемъ во внимаше, что по-
ложеше тела вполне определяется, если дано положеше любыхъ двухъ
прямыхъ, проходящихъ въ немъ черезъ точку О. Если д, и а.2 суть две
таюя прямыя въ положенш ^1, а Ь1 и Ь., те же прямыя въ положенш В,
го углы {ala.i) и ф{Ь.г) равны между собою. Проведемъ теперь пло-
плоскости, перпендикулярныя къ плоскостям!» (tlb1 и а.гЬг и деляцця поп о-

§ 94 278
ламъ углы (rtt^i) и (rt2?>¦>); эти плоскости пересекутся по некотором
прямой п, и трехгранные углы flfljfl2 и а1\Ь.г будутъ конгруэнтны, ибо
они имеют ь конгруэнтные плосме углы. Если мы поэтому повернемь
i-fejio" вокругъ оси а такъ, чтобы прямая д, совпала съ прямой /;,, то
прямая а2 совместится съ прямой Ь.г a вместе съ гёмъ тело будетъ при-
приведено изъ иоложешя А въ положеше В-
3. Если мы исходимъ изъ определенней) начальнаго положешч _ I,
то всякое другое положеше В однозначно определяется, если даны ось а
и соотвътствующШ уголь поворота в. Совокупность этихь двухъ данныхъ
мы будемъ называть вращен1емъ, которое будемъ обозначать греческой
буквой, — скажемъ, буквой а. Если даны положеше А и вращеше а, то
этимъ определяется положеше В-
Если же, обратно, даны положеше Л и В, то ось соответствующего
вращешя определяется этимъ однозначно, но уголъ поворота опреде-
ленъ лишь до числа, кратнаго 2лг. Но въ дальнейшемъ мы будемъ
разсматривать вращешя, отличаюиияся на кратное 2лг, какъ одно и то же
вращеше; при такомъ соглашенш мы можемъ считать, что вращеше вполне
определяется двумя положеш'ями тела А и В и соответственно этому
можемъ его обозначать, скажемъ, черезъ (А, В).
Если мы повернемъ тело вокругъ той же оси а изъ положешя В въ
положеше А, то такое вращеше мы будемъ называть противоположнымъ
вращешю а и будемъ его обозначать черезъ а~~1 или также черезъ {В, А).
Каждому вращенш тела соответствуетъ, такимъ образомъ, противо-
противоположное вращеше; вращеше же, противоположное противоположному,
совпадаетъ съ начальнымъ вращешемъ.
4. Представимъ себе, что ось вращешя неподвижно соединена съ
гвердымъ телом ь (скажемъ, отмечена прутомъ, прочно вд%ланнымъ въ
это тело). Мы можемъ тогда произвести вращеше о при любомъ поло-
женш тела. Вращения, какъ мы ихъ теперь понимаемъ, связаны
такимъ образомъ съ теломъ, а не съ его положешемъ въ про-
пространстве. Если а = {А, В) и мы произведемъ другое вращеше, исходя
изъ положешя В, то мы можемъ последнее представить въ виде
/3 = (В, С), где С есть положеше, въ которое вращеше A приводить
тело изъ положешя В- Но наше тело можеть быть приведено въ поло-
положеше С непосредственно изъ положешя А некоторымъ вращешемъ у:
относительно этого вращешя (А, С) мы будемъ говорить, что оно со-
составлено изъ вращешй а и f?. Мы будемъ эго обозначать символи-
символически, какъ умножеше; именно, мы положимъ:
у = ар, или {А, С) = (А, В) {В, С). (П
При этомъ мы считаемъ нужнымъ напередъ указать, что
вращете а/?, вообще говоря, отлично отъ вращешя /?о.

279 § 94
Такимъ образомъ, при этомъ умноженш не имЪетъ места законъ
переместительный, но зато остается въ силе законъ сочетательный,
который находитъ себе выражеше въ следующей формуле:
(А, В) (В, С) (С, D) = {А, С) (С, D) = (А, В) (В, D) = (A, D).
5. Составлеше вращенШ будетъ только тогда вполне определено,
если мы присоединимъ къ числу вращенШ такъ называемое нулевое вра-
щеше а0, т. е. неизменное положеже {А, А) = (В, В) ¦ • ¦. Въ самомл>
деле, только тогда получаетъ определенный смыслъ составлеше двухъ
взаимнообратныхъ движенШ
aa~l = a~l a = а0. B)
Составлеше нъкотораго вращен!я съ вращен1емъ а0 ничего не из-
меняетъ, и въ этомъ смысле последнее въ нашемъ символическомъ умно-
умноженш играетъ роль единицы.
6. Вращение со = (А, А'), которое ведетъ отъ положешя А къ по-
ложен1ю А', можно выполнить также, исходя отъ положешя В; поло-
жимъ, что оно приводитъ тогда къ положенш В', такъ что
0> = (А, А') = (Д В'),
ы-1 = (А\ А) = (В1, В).
Теперь т^Ьло въ положенш В' расположено относительно
того же тела въ положеши В совершенно такъ же, какъ вь
положеши А' оно расположено относительно положешя А.
Если поэтому мы обозначимъ черезъ \АА'\ неизменяемую си-
систему, составленную изъ тЬла вь положенж А и того же т^ла
въ положенш А', то такая система при помощи вращешя а
переходить изъ начальнаго положешя А вь положеше \ВВ'\ ')•
Если а есть BpameHie {А, В), то
»,г 1аоу = (А1, А)(А, В)(В, В1 = (А1, В'),
и
а' = о)—1 а со D)
есть BpameHie, которое ведетъ отъ положешя . V въ положеше В'- Вращеше
а' называется сопряженнымъ съ а (относительно со); вместе съ
п = (оп'со~1, т. е. а является сопряженнымъ съ а' относительно аг~1.
') Нужно сказать, что эта теорема недостаточно ясна, но въ дальнейшем ь
она никакого значешя не имЪетъ; существенно лишь опред-Ьлеше сопряженныхъ
вращенШ, содержащихся въ равенствахъ D); сущность же этого опредЪлешя заклю-
заключается въ сл'Ьдующемъ: вращеше м приводитъ т'Ьло изъ положешя А въ положеше
А', а изъ положешя В въ некоторое положешс В'. Если ft есть вращеше, приводя-
приводящее т'Ьло изъ положешя А въ положешс В, то BpameHie а', сопряженное съ а
относительно ш, есть то, которое приводитъ гЬло изъ положешя А' въ положеше В'.

§ 94 280
7. Если /?' есть вращеьпе, сопряженное с ь ,?, а у' есть вра-
щеюе, сопряженное съ у, то /?'у' есть Bpauieiiie, сопряженное
сь fly.
Въ самом ь
Р'у' = со lti(Ofo~lyo) = ur~l{tyot (согласно п. 5). E)
8. Повторное производство нЪкотораго вращеши а съ сохрано
и1емь, следовательно, той же оси, мы будемъ обозначать степенями
а2, а3, --, а повторное производство обратнаго вращенш мы будемъ
обозначать черезъ а л, а~'', а~3,
Если Н есть уголь поворота, соогвътствуюиий вращснпо о, то
2Н. 36, суть углы поворота, соотвЪтствуюшле вращешимъ а2, и3,
а Н, 2t», Зв, суть углы поворота, соответствующее враце-
tiiHMь (г1, а*'2, а 3, . Составлен1е эгихъ степеней совершается, какъ
персмпожсн!е обыкповенныхъ числовых ь степеней, сложапемь показателей:
а" а" = «"+". F)
9. Если о' - о>~1ао}, го, согласно п. 7,
а' 1 = fo~la-l(u,
и для любого положительнаго или отрицательнаго показателя v:
a'* = CQ-lav<x>2). G)
10. Если уголъ поворота в находится въ въ рацюнальномъ отно-
шенш къ 2лг, то BpaiueHie называется циклическимъ. Въ этомъ случаЬ
всегда существуютъ показатели Ъ, для которыхъ а'1 = а0, т. е. равно
нулевому вращенш. Если /и есть наименыи!й положительный показатель,
удовлетворяющ!й этому требовашю 3), то вращен!я
а", а», а2, . ., о"-1 (8)
Bet различны между собой. Всякая другая степень вращешя а совпа-
даетъ съ однимъ изъ вращешй (8), и ал+^ = а'1. Вращеше а'1 совпадаетъ
съ а0 въ томъ и только въ томъ случаъ, если h кратно fi. Въ самомъ
а) Чтобы убедиться, что (о 'и 1о есть вращенш а1 1, т. е. обратное вра-
а'' = ы~1 аы, достаточно заметить, что, въ силу закона сочетательнаго (п. 4),
(ы~~1 о" о) (ы~1 а (о) = сз~1 а" о а~1 а и = w"~ а~ аы = т~ о> — 1.
Дал-fee:
{€o~1aio)(<oi~lигл) = о \ш ы^аы = a" 1a*w.
Такимъ же образомъ обнаружимъ справедливость соотношешя G) при любомъ )'.
э) Если в ^- 2я, гд* — есть несократимая дробь, то /»-=;;.

281 § 95
дълъ, посредствомъ дълешя мы можемъ представить число h въ видъ
b — i]/i + /«', гдъ 0 - _ /(' < /f, и а1' = «•"'. Если бы было «'' — а", то /(',
будучи меньше /*, необходимо должно быть равно нулю.
Показатель/( называется порядкомъ циклическаго вращения a, a
рядъ (8) его першдомъ. Въ виду соотношешя G) мы получаемъ теорему:
Сопряженный вращеюя имъютъ одинь и тотъ же поридокъ-
11. Если а не циклическое вращеше, то вь ряду степеней
¦ •¦ а~2, ft, a°; а, а2, «3, ¦••
тоть же элемснтъ не повторяется дважды.
Въ самомъ дълЪ, если а'1 «*, то Ь(~) = кЬ -\- 2лт, а потому
к).
§ 95. Конечныя группы вращенш.
1. Система, состоящая изъ конечнаго числа п вращешй
S = а, р, у, A)
называется группой вращешй, если каждое вращенге, составлен-
составленное изъ двухь вращен1й этой системы, также входитъ въ составь
этой системы.
Число п содержащихся въ системъ S вращен!й называется
порядкомъ группы.
Мы увидимъ ниже, что существуешь только ограниченное число
видовъ такихъ группъ.
2. Согласно опредЬлешю группы, BMtcTt съ каждымъ вращешемъ а
въ составъ ея должны входить всЬ степени а; отсюда непосредственно
вытекаетъ, что а должно быть циклическимъ вращеьиемъ; въ самомъ
дълъ, если бы а не было циклическимъ вращешемъ, то число различных!,
вращешй, согласно § 94, п. 11, не было бы конечнымъ. Если /< есть
порядокъ вращешя «, то вращенгя
ft, и1, «3, ¦••, а"*1 а ', it" = ft"
содержатся въ группъ S-
I. Каждая группа S содержитъ, таким ь образом ь, нулевое
вращегме, а также и вращеьпе, противоположное любому
изъ входящихъ въ ея составъ вращешй.
3. Мы будемъ исходить изъ нъкотораго опред^еннаго начальнаго
положен1я /; и сообразно этому представимъ вращен1я группы 5 въ форм*
и = (И, . I), [1 = (/;', В), у = (/:, О, С2)
Тогда А, В, С суть положежя т1;ла К кь числу которыхъ мы
огнесемъ и положен!е /:; вращен!ями группы S тЬло можетъ быть пере-

§ 95 282
ведено изъ любого изъ этихъ положенШ, — скажемъ, изъ положежя А
въ любое другое положеше В, ибо
а \9 = (А, В).
4. Представимъ ce6t теперь всю эту систему положешй Е, А В, С ¦
соединенными въ одно неизменяемое тЪло М 4). Если тогда мы
выполнимъ надъ тъломъ М вращеше ¦§¦ = (Е, Г), при чемъ А, В и С
будутъ следовать въ этомъ вращенш за Е, то это вращеже переводитъ
положешя А, В, С ••• въ новыя положешя А', В', С ¦•, которыя,
согласно § 94, 6, определяются гЬмъ, что
& = (И, Т) = (А, А') = (В, В') = (С, О)=....
Отсюда слтздуетъ:
аг/ = (Е, А'), ДО = (/:, В1), уд = (Е, С), ¦¦¦, ^0
и вращешя aft, ftij', у г}, въ своей совокупности совпадаютъ съ вра-
щешями группы S (они могутъ оказаться только расположенными въ
другомъ порядке). Въ самомъ д%лтз, ect эти вращен1я содержатся въ
rpynnt S', Bet они различны между собой и число ихъ равно и 5)-
Отсюда слЪдуетъ, что и совокупность положенШ А', И, С совпадаетъ
съ совокупностью А, В, С, ¦¦¦. Итакъ:
Т-Ьло М обладаетъ тт^мъ свойствомъ, что каждое изъ вра-
щен1й S совмт^щаетъ его съ самимъ собой.
5. Каждое вращеше группы S, за исключен1емъ нулевого вращен1я,
имЬетъ опред*ленную ось; но нФ.которыя вращешя могутъ им*ть общую
ось. При каждомъ вращенш группы S система этихъ осей переходить вь
себя самое"). На разсмотртзН1и этихъ осей основано опред.'Ьленге вст^хъ
нозможныхъ конечныхъ группъ вращетя.
Ось а называется осью перваго рода, если въ групп Ь S
имЬетси вращен1е to, которое ее обращаетъ (голоэдрически
") Т. е. гёло К представимъ ce6t, какъ выше въ п. 6. § 94-го, одновременно
во всЬхъ этихъ положен1яхъ; это даетъ рядъ тЪлъ, которая мы мысленно соединя-
емъ въ одну неизм-Ьняемую систему.
') Это видно также и непосредственно изъ сопоставлен1я равенствъ B') съ
равенствами B), ибо V, В' С, ... суть rfe же положешя А, В, С,.. , но только,
быть можетъ, въ иномъ порядкъч
") Пусть а будетъ ось вращешя «, а А некоторое вращеше нашей группы:
черезь а), будемъ обозначать ту прямую Ь, въ которую переходитъ ось « при вра-
щеши к; тогда «« = а, «А = /;. BMtcrt съ гбмъ Ь)~л = а, Ь/. ~1а =яа= а; поэтому
йА"~1аА = а/. = />; т. е. вращеше А совмъчцаетъ ось а вращешя а съ осью Ь вра-
щен1я А—1яА, сопряженнаго съ а относительно вращешя А. Система осей вращенШ
a, ft у ... нашей группы переходитъ вт> систему осей вращешй A «A, ?.~lfl/.,
лГ1-/^., ..., а это тЬ же вращешя, только въ другомъ порядк-fe.

283 § 95
оси) 7). Она называется осью второго рода, если въ групп* 5
и*ть вращенш, которое ее обращаетъ (гем1эдричесюя оси).
Каждой оси присваивается определенная кратность; именно, оси а
присваивается кратность v, если въ групп* S имеется v вращешй, считая
нь томь числ* и нулевое вращеше, которыя оставляютъ эту ось неиз-
неизменной. Эти вращешя
Q = a°, а\ а*. ¦-, а1'1 C)
можно представить въ вид* степеней одного изъ нихъ, именно того,
которому соотв*тствуетъ наименышй положительный уголъ поворота 8).
Если а есть ось перваго рода и со', со суть два вращешя, которыя
обращаютъ ось, то оз'оз~1 и а>~1ы' суть вращешя, которыя оставляютъ
ось а безъ изм*нешя; поэтому со'(о~1 = а", со' = а"со; вм*ст* съ т*мъ
вращеше со~1оУ = п)-1ауоз оставляетъ ось а безъ изм*нешя; отсюда
сл*дуетъ:
II. Совокупность вращешй группы S, обращающихъ ось
перваго рода, всегда содержится въ систем* вида:
Об> = со, «со, а?со, • , ui'-1oj; D)
вм*ст* съ т*мъ система ni~lQw совпадаетъ съ системой Q.
Если два различныхъ вращешя ft и i?, приводятъ ось а въ одно и
то же положеше ах, то врагцеже flfi^ оставляетъ эту ось безъ изм*-
нен!я; поэтому &&х~1 = а* и i) = axi')\. Сообразно этому совокупность
вращешй, преобразокывающихъ ось а въ аи можетъ быть представлена
въ форм*
если при этомь а есть ось перваго рода, то вращеше w#, даетъ оси а
направлете, противоположное оси ах\ посл*дняя также будегь поэтому
осью перваго рода. Вм*ст* съ т*мъ мы получаемъ предложен1е:
III. Число врагцен1й группы .V, преобразовываюгцихъ ось а
въ й, или (если а есть ось перваго рода) вь ось, противо-
противоположную оси л,, равно 29» для осей перваго рода и /•
для осей второго рода.
') Т. е. зам'Ьняетъ той же прямой вь противоположномь направлении.-
8) Ести вращеше о оставляетъ ось а неизменной, т. е. если а а - а, то оно
нм^Ьеть а своею осью; иначе: а есть ось г ой кратности, если въ группъ' есть г
различныхъ пращами, имъющихъ прямую а своею осью. Если Н, уголъ^поворота
вращешя а есть наименышй изъ угловъ поворота этихъ вращешй, то углы поворота
остальныхъ вращешй необходимо должны быть кратны в: если бы, наприм^ръ,
вращешю 0 соответствовал ь уголъ поворота (->' не кратный (-), такъ что (-) содер-
содержится въ Н' т разъ съ остаткомъ О" в, то въ rpynnt было бы Bpameiiie рп~'я съ
угломъ поворота в", меньшимъ (-); это противно условто Изъ сказаннаго сл*дуетъ,
что всб вращен1я, HMtraiuiH прямую а своего осью, будутъ степенями вращешя а.

§ 95 284
Вращеше д1^1 приводитъ ось д, въ положеше а, а" есть врашеше
вокругь оси д, а вратеше д\ приводитъ ось д въ положеше д,; поэтому
j)\~*ay<l)\ есть вращеше вокругъ оси д,, и въ этой формъ содержатся
всъ вращешн вокругъ оси д,; въ самомъ дълъ, если «, есть вращеше
вокругь оси д,, то t/jOjt/, ' есть вращеже вокругь оси д, а потому
можетъ быть выражено черезъ а*; поэтому а, = д\~1а/'дх.
IV. Вь виду этого д, есть ось той же кратности v, что и </,
и число содержащихся въ Л' вращенШ вокругъ оси д,
(не считай нулевого вращенш) есть г» 1.
Положимь теперь, что совокупность вращешй группы S приводить
ось д вь д ралпичныхъ положенШ
а, а,, аг, ¦•-, д^_1. E)
Bet эти оси имъютъ одну н гу же кратность v и представляютъ собой
либо Bet оси перваго порядка, либо всъ оси второго порядка.
Совокупность осей E) мы будемь называть системой сопряжен-
ныхъ осей, а число /л — порядкомъ этой системы.
Такъ какъ каждое враще:пе: группы S преобразуетъ ось д вь одну
изъ осей системы E), а п есть число вращешй группы S, то,
И = 2flV, ИЛИ = fJLV,
смотря по тому, будетъ ли д осью перваго или второго рода; а такъ какъ
v, по меньшей Mtpt, равно двумъ, то:
V. Если система, содержащая ц сопряженных ь осей г-той
кратности, есть система перваго рода, то
.иг — },п, [I „ -] н;
если же эго есть система второго рода, го
/W - и, ft 4н;
Такь какь здЬсь не приходится считать нулевого вращешя, го изь
теоремъ IV и V вытекаетъ следующее.
\'1. Число содержащихся въ rpynnt S вращен!'й вокругъ
одной изъ системы ,« сопряженныхъ осей j'-той крат-
кратности равно ц ()' - 1), т. е.
= )?п ft вь систем^ перваго рода,
-и - ,ч „ „ второго рода.
6. Съ помощью этихъ предложешй теперь не трудно установить
вс1. возможныя группы вращен!й. Число вращешй, содержащихся въ
группъ S, не включая нулевого вращен!я, равно и 1. Если, слъдова-
тельно, имеется одна система сопряженныхъ осей, то, по теоремъ VI,

285_ § 95
н — 1 = \п — fi или п — 1 = п — /<;
но первое допущеше невозможно, такъ какъ оно приводило бы къ отри-
отрицательному или нулевому значешю для /и; второе же допущете даетъ
fi = I, a v остается произвольными Мы получаемъ, такимъ образомъ,
первый случай:
I. Пирамидальное BpameHie.
Здъхь существуегь только одна ось второго рода, вмЬсгЬ съ тЪмь
*' = и, а значеше и ничЪмъ не ограничено.
7. Положимъ теперь, что имеются двъ1 системы сопряженныхъ осей;
это приводить прежде всего къ тремъ возможнымъ комбинашямъ: либо
o6t системы состоятъ изъ осей перваго рода, либо o6t состоятъ изъ
осей второго рода, либо, наконецъ, одна состоитъ изъ осей перваго рода,
другая изъ осей второго рода. Если /' означаетъ кратность осей, a ft
порядокъ соответственной системы, то эти три случая характеризуются
слЪдующимъ образомъ:
1) И 1 = /<i(''\ 1) +/'/(^l' ~ 1) = " i"i /'i'>
2) к 1 =/'а(''г l)-\~lLi'(vi' ' 1) = ^" !l-i fl-i>
„v ._ i\ _i_ ( \\ '
2
Однако, первый случай невозможенъ, ибо тогда было бы /<¦!+,«/= 1;
между ттзмъ какъ каждое изъ чиселъ //, и цл', по меньшей Mtpt, равно 1,
во второмъ случай мы получили бы
/<,+/'¦/ =м+ 1;
но и это невозможно, такь какъ, согласно теорем^ V, ни одно изъ чи-
/i2 и fi2' не превышаетъ н/2. Остается только трелй случай, который
приводитъ къ равенству
вь этомъ случай к2 не превышаетъ 3; въ самомъ д-Ьл'Ь, если бы было
;лг^4, то, согласно теорем* V, было бы //.г = к/4; но тогда мы получили
бы изъ соотношешя 3)
что не можетъ имт^ть мт^ста въ виду теоремы V.
Если р2 = 2, lui=^fi, то должно быть /t, = 1. t>t — 1?г. Этотъ
случай, какъ мы увидимъ, возможенъ -и даетъ группу:
П. Двупирамидальное или д1эдрическое вращен1е (съ нечет-
нымъ основан1емъ).

§ 95 286
Но если кг = 3, такъ что ц^ = и/3, то мы получаемъ:
Такъ какъ (pi l)//ti есть правильная дробь, то i\ должно быть
мепмпе 3, а потому j', должно быть равно 2; следовательно.
/*! = 3, J'j = 2; //* = 4. v2 = 3; и = 12:
III. Тетраэдрическое BpauieHie.
8. Если имеются три системы сопряженныхъ осей, то всЬ on k
должны быть перваго рода; въ самомъ дт.лъ, если бы нзъ пихъ одна,
двЬ или три были второго рода, то мы имъли бы, какъ въ п. 5:
,« + И' + /<" = н + 1 ^ и,
Зп = 5н
" + ' 4" '
что невозможно.
Итакъ, положимъ, что мы имеемъ три системы осей перваго рода.
Тогда
и - 1 = ф - 1) + ц'A/ - 1) + //"(^' - 1),
а, следовательно,
Отсюда слтздуетъ, что изъ трехъ чиселъ v, v', v", по крайней
одно должно быть равно 2; въ самомъ дтлтэ, если бы всЬ эти три числа
были больше 2, то числа ,а, /л', /и" не превышали бы числа и/6, а их'ь
сумма не превышала бы \п\ между гЬмъ, согласно соотношешю E), она
должна быть равна \п -\- 1. Итакъ, пусть v" = 2, //" = »'/4; тогда
/i+//'=-J+l. G)
Сообразно этому v и v', въ свою очередь, должны быть меньше 4,
а /(.' должно быть больше н/8, ибо иначе было бы fj,-\-fi,'^n 4; такимъ
образомъ, мы получаемъ два случая:
Во-первыхъ: г' = 2, /V = м/4, ц' =1, v = ?г/2:
IV. Двупирамидальное или Д1эдрическое вращегпе (съ осно-
вашемъ четнаго порядка)
/,. = 1, v = \n; /t' = in, v = 2; /«," - Jн, v" = 2,
гдъ п есть произвольное число, кратное 4.

287 § 95
Во-вторыхъ: v' = 3, /i' = я/6.
зд-Ьсь, следовательно, v < 6, а такъ какъ случай v = 2 уже исчерпан ь
системой IV, то остаются случаи v = 3, 4, 5.
Однако, случай /' = 3 не можетъ иметь мТ.ста, такъ какъ тогда
было бы:
и = 12, v = 3, v' = 3, v" = '2,
,« = 2, /*' = 2, ,а" = 3.
Если поэтому й и й, суть те две сопряженный оси, которыя соот-
нЬтствуютъ случаю v = 3, //. = 2, то въ систем^ S должно было бы
существовать вращеше #, а при повторен1и этого вращешя ось ал
должна принять противоположное направлеше а. Поэтому Ф должно быть
вращешемъ, по меньшей Mtpt, 4-ой кратности^ Но въ системт> ,S Hpameiiie
4-ой или болЪе высокой кратности не можетъ им+лъ м*ста.
При v = 4 им'Ьемъ:
„ = 24, v = 4, / = 3, /'" = 2,
/t = 3, fi' = 4, /t" = 6:
V. Октаэдрическое или кубическое вращен1е.
Наконецъ, при v = 5:
п = 60, г> = 5, 1/ = 3, )'" = 2,
/t = 6, /*' = 10, ,ы"=15:
VI. Икосаэдрическое или додекаэчрическое вращеше.
9. Болтае трехъ системъ сопряженныхъ осей вообще быть
не можетъ. Въ самомъ
для системъ перваго рода: /(.()' 1)= ц. —; —-,
второго рода: /i(v - 1) = н —//¦ ^ ^ .
елЬдовательно, во всякомъ cflj'4at /i(v - l)^v/4. Если бы поэтому въ
правой части равенства
п 1 = ,*(,. - 1) + fi'(v' - 1) + /<"(,-" - 1) +
было болЪе трехъ слагаемыхъ, то мы пришли бы къ противоречивому
соотношен1ю п — 1 W п ¦
Такимъ образомъ, мы видимъ, что число различныхъ типовъ, кото-
которые могутъ встретиться, необходимо ограничено. Въ томъ же, что Bet
эти случаи действительно могутъ иметь мъхто, мы убеждаемся следующими
геометрическими соображешями.

§ 96 288
Уже названш, которыми мы обозначили различный группы вращешй
показываютъ, какимъ путемъ он-fe могутъ быть осуществлены. Такъ, напри-
мърь, группу пирамидальныхъ вращешй (I) мы получаемъ, если построимъ
правильную прямую пирамиду на правильномъ мг-угольникЪ. Тогда име-
имеется только одна ось, именно, перпендикуляръ, опущенный изъ вершины
на основаше, и щ вращешй, приводятихъ это тътю въ совмъщеше съ
самимъ собой.
Если мы теперь возьмемъ двойную пирамиду, т. е. двЪ пирамиды,
симметрично расположенныя съ двухъ сторонъ общаго основашя, каковымъ
служигъ правильный ш-угольникъ, то къ т вращешямъ вокругъ прямой,
соединяющей вершины, присоединяются еще друпя вращешя. Если т
есть число нечетное, то прямыя, соединяюиця вершины основашя съ
серединами соотвътственныхъ противоположныхъ сторонъ, представляють
собой систему сопряженныхъ двойныхъ осей второго рода, и мы прихо-
лимъ къ случаю (II). Если же т есть четное число, то прямыя, соеди-
соединяющая противоположныя вершины, и прямыя, соединяющая середины
противоположныхъ сторонъ, образуютъ двъ системы сопряженныхъ осей
перваго рода по т осей въ каждой. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ
случаю (IV).
Вмъхто двойной пирамиды можно взять также Д1эдръ, т. е. пра-
правильный многоугольникъ, который мы представляемъ себъ въ видъ тъла,
считая двъ его стороны за различныя поверхности.
§ 96. Эйлерова теорема о многогранникахъ.
1. Подъ многогранникомъ мы будемъ разуметь тътю, которое со
всъхъ сторонъ ограничено плоскими многоугольниками, нигд-fe не пересъ-
кающими другъ друга (Эйлеровы многогранники). Такъ называемые
звъздные многогранники, грани которыхъ другъ друга пересъкаклъ, мы
исключаемъ изъ разсмотръшя. Относительно Эйлеровыхъ многогранниковъ
им'Ьетъ мъсто знаменитая Эйлерова формула, устанавливающая связь
между числомъ граней /•", числомъ реберъ А.' и числомъ веришнъ Н:
1- + F К = 2*). A)
Доказательство мы проведемъ на основанш слъдующихъ соображен1й.
2. Если мы возьмемъ кусокъ поверхности, развернутой на плоскости,
который эту плоскость однократно покрываетъ и ограниченъ замкнутой
непрерывной лишей, то вся id й разр-Ьзъ, проходящ1й отъ одной точки на
периферш къ другой, разд-Ьляетъ его на два отдътшныхъ куска; такой
кусокъ поверхности называется поэтому односвязнымъ. Это свойство
*> Бальцеръ преднолагаегь, что эта формула была уже нзв-Ьства въ древ-
древности и во всякомъ случа-fe устанавливаетъ, что ею влад'БЛ'ь Декартъ. Она была
вновь найдена и опубликована Эйлеромъ въ 1752 году.

289 § 96
сохранится, если мы снимемъ этотъ кусокъ поверхности съ плоскости и
будемъ его безъ разрыва и складокъ сгибать.
Такге куски поверхности, которые такимъ разрЪзомъ не разделя-
разделяются, называются многосвязными. Сюда относятся, напримеръ, кольце-
образныя поверхности (фиг. 106). Это поверхности двусвязныя, ибо можно
сделать одинъ разртззъ, который не раздтэляетъ поверхности.
Положимъ, что такого рода поверхность (односвязная или много-
многосвязная) рядомъ какихъ-либо линШ разрезана на односвязныя части
(полости). Положимъ, что число этихъ полостей равно /; точки, изъ
которыхъ выходятъ три или большее число разръзовъ, называются узло-
узловыми точками. Пусть число ихъ будетъ с, при чемъ мы, однако, сюда не
включаемъ тЪхъ точекъ, которыя лежатъ на самой периферш.
Отрезки, соединяющее таюя две узловыя точки, между которыми нътъ
другихъ узловыхъ точекъ, а также отрезки, соединяюице узловую точку
Фиг. 106.
съ периферической или две периферичесю'я, мы будемъ называть нитями;
пусть число ихъ будетъ к. Если пить соединяетъ две периферичесюя
точки, то она вовсе не содержитъ узловъ. На фигуре 107 (не считая
пунктировъ)у = 8, е = 5, к = 12. Если мы присоединимъ новую нить къ
темъ, которыя уже существують, то число / переходитъ въ/+1 (ибо
поверхности суть односвязныя). Новая нить имеетъ два конца; можетъ
случиться, что каждый изъ этихъ концовъ лежитъ въ имеющемся уже
узле; она тогда не увеличиваетъ числа узловъ и не изменяетъ имеющихся
уже нитей; то же самое имеетъ место и въ томъ случае, когда каждый
изъ концовъ нити лежитъ на периферш. Конечная точка новой нити мо-
можетъ, наконецъ, лежать внутри одной изъ прежнихъ нитей; тогда она
разделяетъ последнюю на две нити, но зато она увеличиваетъ также
число узловъ на 1. Такимъ образомъ, разность е — k при появленш та-
такого рода новой конечной точки остается безъ изменешя. Но въ число к
входитъ еще и вновь присоединенная нить, а потому новый разрезъ
Веберъ, Энцнклоп. элемент. геомехр1и. 19

§ 97 290
оставляетъ безъ измънеюя выражеше e-\-f—k. Разлчные случаи,
которые тутъ могутъ представиться, отмъчены пунктиромъ на фиг. 107.
Если первоначальную поверхность 5 мы будемъ считать односвяз-
ной, то до производства какихъ бы то ни было разрЪзовъ е = 0, f = 1,
k = 0; слъдовательно, вообще
е+/-&=1*), B)
3. Отсюда вытекаетъ Эйлерова теорема о многогранник^ слЪду-
ющимъ образомъ. Изъ многогранной поверхности, содержащей F граней-
Е вершинъ и К сторонъ, вырЪжемъ одну изъ его граней, представля,
ющую собой, скажемъ, ш-угольникъ. Въ такомъ случай остается поверх-
поверхность S, ограниченная перифер1ей да-угольника и разръзаемая остальными
ребрами многогранника на односвязныя части (многоугольники). Въ
этомъ разложенж
е = Е — т, k — K—m, /=F—1,
а потому изъ соотношешя B) вытекаетъ формула A).
§ 97. Правильные многогранники.
1. Съ помощью Эйлеровой формулы мы можемъ, прежде всего, от-
вътить на вопросъ, существуютъ ли многогранники, въ которыхъ всъ
грани имъютъ одинаковое число вершин ь и изъ всъхъ вершинъ выходитъ
одинаковое число реберъ.
Итакъ, положимъ, что Bet грани нт^котораго многогранника пред-
ставляютъ собой ^-угольники, и что въ каждой вершин^ сходится q реберъ.
Такъ какъ на каждомъ ребр-fe находятся двт, грани и каждая грань
содержитъ р реберъ, то
рЕ = 2К, A)
и точно такъ же
qE=2K, B)
а потому, согласно формул^ Эйлера (§ 96, A)),
= 2; C)
отсюда, прежде всего, слъдуетъ, что
а такъ какъ каждое изъ чиселъ р и q должно быть, по меньшей мърЬ,
равно 3, то
*) Вообще Ь -е - /+ 2 выражаетъ порядокъ связности поверхности S.

291
§ 97
и точно такъ же q < 6. Такимъ образомъ, для р и q остаются еще
значешя 3, 4 и 5, и изъ соотношенШ A) - D) мы получаемъ сл^дую-
шде возможные случаи:
р
3
3
3
5
1
3
4
5
3
3
К
6
12
30
12
30
Е
4
6
12
8
20
F
4
8
20
К
12
Тетраэдръ
Октаэдръ
Икосаэдръ
Гексаэдръ
Додекаэдръ
2. Если мы, сверхъ того, примемъ, что грани всЬхъ этихъ многогранни-
ковъ суть правильные конгруэнтные многоугольники, то мы получимъ пять
правильныхъ (такъ называемыхъ Платоновыхъ) тЪлъ. Вершины этихъ
многогранниковъ лежатъ на сфер"Ь; если мы проведемъ плоскости черезъ
центръ сферы и черезъ ребра, то мы получимь такъ называемыя пра-
правильный сферическая сетки, изъ которыхъ можно обратно получить
правильныя тЪла, заменяя правильные сферичесше многоугольники пло-
плоскими многоугольниками съ гбми же вершинами *).
3. Эти тъла даютъ намъ примЪры для остальныхъ трехъ группъ
вращешя и соотв-втствующихъ сопряженныхъ осей, къ которымъ мы
пришли въ § 95-ом ь.
Тетраэдръ даетъ намъ группу III: и = 12; двЪ системы сопря-
сопряженныхъ осей, именно четыре высоты (оси второго рода, fi = 4, v == 3)
и три прямыя, соединяющая середины противолежащихъ реберъ
(оси перваго рода, \i = 3, v = 2).
Кубъ и октаэдръ даютъ группу V (п = 24) съ тремя системами
сопряженныхъ осей перваго рода ц = 3, v = 4 (прямыя, соединяющ!я
центры протнвоположныхъ граней куба), /t = 6, v = 2 (прямыя, соеди-
няющ1я середины противоположныхъ реберъ куба), /t = 4, i> == 3 (fliaro-
нали куба). Октаэдръ даетъ ту же группу вращенШ.
Икосаэдръ и додекаэдръ даютъ группу VI (и 60); системы
сопряженныхъ осей для икосаэдра суть: /t = 15, v 'J (прямыя, соеди-
няющ]"я середины противолежащих ь ребер ь), /<, —- 6, v - - 5 (главныя
*) Богатый матер1алъ по этому вопросу можно найти въ сочинешяхъ: Ed-
Edmund Hess, „Einleitung in die Lehre von der Kugclteilung", Leipzig, Teubner,
1883, и Max Bruckner, „Vielecke und Vielflache", Leipzig, 1900; въ послЪднемъ
comiHeHiH много изящныхъ рисунковъ. Дополнен1е къ последнему сочинен!ю име-
имеется въ трудахъ Гейдельбергскаго конгресса, стр. 707.
Кто недостаточно владъ^етъ пространственными представлешими, тому трудно
будет ь обойтись безь моделей.

§ 97 292
диагонали), /.i = 10, v = 3 (прямыя, соединяюгщя центры противополож-
ныхъ граней); то же имъетъ мътто и въ случай додекаэдра.
Само собой разумеется, что тк же группы можно осуществить
безчисленнымъ множествомъ другихъ способовъ.
Такъ мы получаемъ, напримъръ, ромбоэдрическ!й додекаэдръ
(гранатоэдръ въ минералопи), cpt3biBaH ребра куба или же ребра октаэдра;
это тЪло имЪетъ поэтому ту же группу вращенШ, что и кубъ или окта-
эдръ. Срезывая ребра икосаэдра или пятиугольнаго додекаэдра, мы по-
получаемъ ромбоэдрически тридцатигранникъ, nMtromiH группу
икосаэдра.

ГЛАВА XI.
Аналитическая геометр1я въ пространств^.
§ 98. Координаты.
1. Подобно тому, какъ въ плоскости положеше точки определяется
двумя координатами, такъ въ пространстве для опредЪлешя положешя
точки необходимо произвести три измЪрешя. Чтобы это выяснить, пред-
ставимъ себе, что изъ неподвижной точки, изъ такъ называемой нулевой
точки, или начала О, выходятъ три прямыя, не лежания въ одной пло-
плоскости. Эти прямыя опред'вляютъ попарно три плоскости, образуюгщя
трехгранный уголъ. Если мы представимъ себе эти прямыя продолженными
безпредельно въ обе стороны, то проходяиця черезъ нихъ плоскости
д-блятъ пространство на 8 частей (октантовъ).
Мы обозначимъ наши три прямыя черезъ х, v и ^, а ихъ продолжешя
черезъ х, —у, — ^; три плоскости мы соответственно назовемъ
плоскостями v^-овъ, ^л'-овъ и A'j-овъ.
8 октантовъ могутъ быть тогда отличены знаками сл^дующимъ
образомъ:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
+ А",
X,
+ х,
+ х,
+ х,
— х,
х,
— х,
+у>
+ У>
—у,
+у,
'У'
+У>
-у»
-у,
+ ь
-ь
-*•
+ ь
Въ этомъ именно порядке мы и будемъ называть ихъ 1-ымъ,
2-ымъ, -••, 8-ымъ октантомъ. Первый мы будемъ называть также положи-
тельнымъ октантомъ. Два октанта, которыхъ знаки всЬ противоположны,
соприкасаются только въ одной точк-fe — въ начале; так1е октанты на-

§ 98 294
зываются противоположными (или вертикальными). Каждые два не-
противоположныхъ октанта соприкасаются либо по прямой линш, либо
по плоскости.
Вся система этихъ лиши и плоскостей называется системой коор-
динатъ. Ребра называются осями координатъ, а плоскости — коорди-
координатными плоскостями.
Такъ какъ три элемента допускаютъ 6 перестановокъ, то ребра
положительнаго октанта можно обозначить литерами х, у, % шестью
различными способами. Но эти способы обозначешя распадаются на два
класса, одинъ изъ которыхъ даетъ правыя системы, а другой -лтзвыя
(§ 84, 3). Впредь мы всегда будемъ принимать, что оси х, у, 7 обра-
образу ютъ правую систему; въ такомъ случаъ
х,
у,
i>
У>
Ь
X,
X
V
суть правыя
системы,
X,
.1''
X'
ь
х,
V.
У
X
суть лЬвыя
системы.
Если три оси взаимно перпендикулярны, то система называется
прямоугольной. Прямоугольная система даетъ наиболее простые ре-
результаты, а потому ею и пользуются почти исключительно.
2. Чтобы определить положеше какой-либо точки Р относительно
данной системы координатъ, проведемъ черезъ нее плоскости, параллель-
ныя плоскостямъ координатъ. Эти плоскости образують съ координат-
координатными плоскостями параллелопипедъ, ребра котораго по четыре параллельны
осямъ координатъ. Эти ребра мы будемъ измЬрять какой-нибудь едини-
единицей мъры и соотвътствуюпп'я числа снабдимъ знаками сообразно октанту,
вь которомъ точка лежитъ. Эти числа мы ir будемь называть коорди-
координатами точки Р. Чтобы убъдиться, что любыя три значешя .%, у1, ^
коордннатъ опредЬляють одну и только одну точку, нанесем ь отръзокь v
на оси л-овъ въ направлен1'и, указанномъ знакомь; черезъ конечную
точку полученнаго таким ь образомъ отрЬзка проведемъ отръзокъ v, па-
параллельный оси у-овъ опять-таки въ направленш, указанномь знакомъ.
Накопецъ, черезъ конечную точку этого огръзка, лежащую въ плоскости
.VV-овъ, проведемъ отръзокъ ^, параллельный оси ^-овъ. Конецъ по-
сл-Ьдняго и представляетъ собой точку Р. Если бы мы выполнили то же
построеше въ другом ь порядкЪ коордипагъ, то мы пришли бы къ той же
точкЪ Р. Во всяком ь случаъ, чтобы придти къ точкъ Р, исходя отъ
нулевой точки, нужно пройти ломанную лишю, состоящую изъ трехъ
послъдовательпыхъ реберъ упомянутаго выше параллелепипеда.
Если система координатъ прямоугольная, то на координаты можно
смотр Ьть, какъ на перпендикуляры, опущенные изъ точки Р на плоскости
координатъ.

295 § 98
Такъ какъ всякое измънеше координатъ мъняетъ также точку Р,
то три числовыя данныя, определяются положеше точки, называются не-
независимыми другъ отъ друга.
Такъ какъ необходимы три ташя незавнсимыя данныя, то говорятъ:
совокупность точекь пространства образуетъ трехкратно про-
протяженное многообраз1е; или иначе: пространство содержитъ
&о3 точекъ.
Это есть точное выражеше факта, что пространство имъетъ три
3. Указанный выше способъ опред"Блешя положешя точки въ про-
пространстве называется Декартовымъ. Однако, положеше точки въ про-
пространстве можно определить также безконечнымъ множествомъ другихъ
способов ь, изъ которыхъ, однако, мы здесь остановимся только на по-
лярныхъ координатахъ, въ виду того, что последуя очень часто примЪ-
няются.
Мы выбираемъ прежде всего неподвижную точку, которую мы назо-
вемъ полюсомъ или нулевой точкой системы координатъ. Чтобы
определить положеше точки, мы прежде всего измъряемъ ея разстояше
огъ полюса. Это разсюяше выражается числомъ, которое можетъ иметь
любое положительное значеже; отрицательныя значешя для этого измърешя
никакого смысла не им-вютъ. Значение 0 отвъчаетъ только самому полюсу.
Мы обозначимъ полюсъ черезъ О, переменную точку черезъ Р, а раз-
стояже ОР черезъ j. Это разстоян1е есть первая изъ трехъ полярныхъ
координатъ. Всъ точки, для которыхъ г имъетъ одно и то же значеше,
образуютъ сферическую поверхность pafliyca г, центромъ которой слу-
служить полюсъ.
Чтобы теперь различать точки на одной изъ такихъ сферъ, мы
прежде всего введемъ нъкоторую постоянную прямую, проходящую черезъ
по.посъ, которую мы назовемъ полярной осью; на ней мы выберемъ
онредъленное направлеше за положительное и въ качествъ второй
координаты будемъ измерять уголъ, который лучъ, идуццй къ точке Р,
образуетъ сь полярного осью. Этотъ уголъ, который мы обозначим ь
черезъ #, мы возьмем ь между 0° и 180°. Bet точки, которым ь соотвът-
ствуетъ одно и то же значеше ff; лежать на конической поверхности,
но заполняютъ только одну полу этой поверхности; другой же полъ
соответствуеть значеше, дополняющее д- до 180°. Значешя ч'У — 0° и
# = 180° соответствуютъ положительному и отрицательному направлешямъ
полярной оси. Углу & = 90° отвъчаетъ плоскость, которую мы будемъ
называть экваторгальной плоскостью.
Эти коничеекгя поверхности пересЬкаются съ упомянутыми выше
сферами по окружностямъ, которыя называются параллелями на

§ 98
296
(напримЪръ, на поверхности земли или на сводъ небесномъ).
Полярная ось пересЬкаетъ сферу въ двухъ точкахъ въ сЬверномъ и
южномъ полюсъ. Экватор1альная плоскость пересЪкаетъ сферу по эква-
экватору. Уголъ it называется полярнымъ разстоян1емъ. Дополнитель-
Дополнительный уголъ при измЪрешяхъ на земной поверхности называютъ геогра-
географической широтой.
Чтобы, наконецъ, определить положеже точки Р на ея параллели,
выберемъ произвольно некоторую определенную полуплоскость, прохо-
проходящую черезъ полярную ось, которую мы назовемъ начальнымъ ме-
рид!аномъ или нулевымъ мерид!аномъ. Дал-be, черезъ точку Р и
полярную ось мы также проведемъ полуплоскость и за третью полярную
координату примемъ уголь (р между этими двумя полуплоскостями, от-
отсчитывая его въ опредтэленномъ направленш (напримт^ръ, къ востоку) отъ
0° до 360°. Можно также отсчитывать отъ 0° до 180°, считая уголъ (/
положительнымъ въ одномъ на-
направлении, а въ другомъ отрица-
тельнымъ (восточная и западная
долгота). Bet точки, соотв^бт-
ствуюьщя тому же углу </, ле-
жатъ въ одной меридтналь-
ной плоскости, върнъе, въ
одной полуплоскости, прохо-
проходящей черезъ полярную ось. Эти
плоскости пересЬкаютъ сферу
по окружностямъ большихъ кру-
говъ, проходящимъ черезъ по-
полюсы; въ географш онъ назы-
называются мерид!анами.
4. Чтобы выразить прямо-
угольныя координаты точки Р
черезъ полярныя, выберемъ по-
полярную ось за ось ^-овъ, экваторъ за плоскость А'у-овъ, начальный
мерщцанъ за плоскость а'^-овъ и, наконецъ, положительное направленге
V-овъ возьмемъ къ востоку (фиг. 108). Если мы изъ точки Р опустимъ
перпендикуляръ на экваторгальную плоскость, основашемъ котораго слу-
житъ точка Q, то OQP есть прямоугольный • треугольникъ, гипотенуза
котораго равна г, а катеты ^ и р. Тогда ;> = / cos-^, q - г sin it, a x и у
представляютъ собой въ то же время координаты точки Р въ плоскости
A'jv-овъ. Отсюда сл^дуетъ:
х = г sin г? cost/,
у = г sin & sin (j ,
^ = rcosfl.
Фиг. tO8.

297 § 99
§ 99. Направлешя въ пространств*.
1. Пусть двъ точки Р и Ро заданы прямоугольными координатами
х, V, ^; х0, у0, %о- Разстояше РР„ мы обозначимъ черезъ г и направлете
этого отръзка будемъ считать положительнымъ отъ Ро къ Р.
Если мы черезъ обт> эти точки провелемъ плоскости, параллельныя
плоскостямъ координатъ, то мы получимъ прямоугольный параллелопи-
педъ, ребра котораго представляютъ собой проекщи отръзка r на оси
координатъ. Эти проекцш по величин^ и по знаку выражаются разно-
разностями х х0, у уо> ? - ^о- Применяя тогда дважды теорему Пиеагора,
мы получаемъ:
Г* = (X А0)8 + (у -Л)» + ({ %>)*• A)
Если черезъ а, [1, у обозначимъ углы, которые прямая Р0Р обра-
зуетъ съ положительными направлен1ями осей координатъ, то
-V А"„ = Г COS О,
y—V0 = rcost3, B)
- ^0 = г cosy;
въ виду соотношенШ A) отсюда слъдуетъ, что
cos a* -(- cos/32 + cos/- — 1. C)
Эта формула остается, очевидно, въ силъ, если о, /3, у суть углы,
которые произвольная прямая g обрачуетъ съ осями координатъ.
2. Величины
а = cos а, Ъ = cos/?, с — cosy,
связанныя соотношешемъ
а2 + Ь2 + с2 = 1 D)
называются направляющими косинусами прямой g.
Любыя три величины а, Ь, с, связанныя соотношен1емъ D),
въ качествъ направляющихъ косинусовъ всегда опред'Ьляютъ
одно направлен1е; это направлегпе можно представить прямой,
выходящей изъ начала.
Въ самомъ д%лъ, если примемъ эти величины а, Ъ, с за координаты
точки Р, то послъдняя, согласно соотношен!ю A), имъетъ отъ начала
координатъ разстояше, равное 1, и прямая ОР, въ виду соотношенгй B),
имъетъ направляющ!е косинусы а, Ь, с
3. Положимъ теперь, что намъ даны два направлешя:
^|) '\j ^1) ^2» U'& > ^'-i'

§ 99 298
изъ начала координатъ мы проведемъ два луча /,, /2. Пусть (/,, /г) будетъ
уголъ, который образуютъ эти два направлешя.
Если на лучахъ /,, /2 отъ точки О отложим ь соответственно раз-
стояния гх, г2, то мы получимь двЪ точки 1, 2, координаты которыхъ,
согласно соотношешю B), равны: i\a^ i\bv ricl; )-iu.t, r2b-2, r2r2. Вмъстъ
съ тъмъ, если обозначимъ черезъ A, 2) разстояше нашихъ двухь точекъ,
то по формулъ A)
A,2)» = (г, а, - rt ihf + (r, bt - h b.tf + (rt r, r% ctf
= П* + r22 - 21\ ri(al a.z + /;, b* + с,с,).
Съ другой стороны, согласно теорем* косинусовъ (§ 28, 4),
A, 2)»- »,a + raa -ir^cosiU. /a).
Сравнен1е же обЪихъ формулъ даетъ результатъ:
cos^, /,) = а,а2 + bji., -\-cxc2. E)
Услов1е, чтобы оба направлешя были взаимно перпендикулярнь^
выражается поэтому равенством ь:
а,а.г + Ь,Ь2 + с,с\ 0. (G)
4. Мы разсмотримъ еще площадь Л треугольника @, 1, 2). Если мы
спроектируемъ треугольникъ J на плоскости координатъ, то мы получимъ
три проекцш J,., Av, А3, которыя, согласно п. 6 § 57-го, имъють значен)'я:
'2 Л, 1,1^A)^.2 С,1>.2),
¦2Лу rj.^ca., -й,сг), G)
Каждая изъ этихъ проекщй имъетъ положительное или отрицатель-
отрицательное значеше, смотря по тому, соотвътствуетъ ли въ этой проекцш на-
правлеше @, 1,2) положительному или отрицательному обходу периферш.
Проведем ь нормаль п кь плоскости @, 1, 2) и направим ь ее такимъ
образомъ, чтобы лучи 1, 2, п составляли правую систему, предполагая,
что таковую образуютъ и координатный оси. Вь такомъ случаъ мы
будемъ имъть по величинъ и по знаку:
Д, Jcos(», л),
Jv -icOS(»,J'), (8)
J_. Jcos(h, -).
Чтобы въ этомъ убЬдиться, достаточно привести систему 1, 2, п въ
совпадение съ системой лу^, или съ у%х, или съ ^.vv". отсюда вытекаетъ
cooTiiomeHie
Ja - Л/ + Л/ + А.}, (9)

299 § 99
въ которомъ легко узнать обобщеше теоремы Пиеагора. Зам ъчательно,
что величины, о которыхъ идетъ ръчь, именно квадраты площадей въ
трехмърномъ пространств^, уже не поддаются наглядному истолкованда;
поэтому прямое геометрическое доказательство, по аналопи съ доказа-
тельствомъ теоремы Пиеагора, здъсь невозможно. Но, какъ известно изъ
тригонометрш, (§ 31, F)):
2 Л = r1r2sin(/1. /,);
возводя это въ квадратъ и пользуясь соотношешями G) и (9), по-
лучаемъ:
sin»(/,, /,) = (/;,г: с, b,f + (с,a* ci,c,f + (a,b, М-/>2- (Ю)
Такъ какъ уголъ (/,, /2) содержится между 0 и яг, то sin(/,, /2)
имЪетъ положительное значеще; эту формулу можно получить также
путем ь вычислешя изъ соотношешя E).
5. Теперь мы можемъ также ръшить задачу объ опредъленш напра-
влешя н, перпЕндикудярнаго къ двумъ направлен1ямъ /, и /2. Въ
самомъ д-Ьлтэ, пусть а, /3, у будуть паправляющ1е косинусы прямой п',
въ таком ь случаЬ они, согласно соотношешямь F) и D), удовлетворяют
тремъ условгямъ:
«й, + jrf/;, + ус, 0,
aa,+[ib, + yi\ 0, ПП
Изъ первыхъ двухъ уравненгй мы находимъ отношешя и: /3: у
(г. I, § 41):
{b,i, с,К) : (r,rt.; rt,f.,) : Ul,k, b,a.,Y,
если же мы изъ соотношетя A0) опред-Ьлпмъ коэффищептъ пропорщо-
нальиости, го послЬднее изъ уравненШ (llj, въ виду соотношещя A0),
аасгь:
(isin(/,, I.,) li,c, cjh,
,?siii(/,, /,) с,а.г а,к ,, A2)
2'sit](/,, I.,) - aJiQ b,a.,.
Знакъ въ этихъ формулахъ изменится, если мы замъстимъ другъ
другомъ лучи /, и /3 или замЬиим!. одно изь трех*Ь направлеьпй /,, I.,, n
протнвоположнымъ.
Чтобы определить зпакъ, мы будемъ считать sin (/,, /2) ноложи-
тельпымъ; если мы тогда иропедемъ лучи /,, /2, п вь совпадеи1е съ осями
X, V, ^, то последняя изь формулъ A2) приводить къ тождеству 1 = 1
итакъ:

§ 99 300
Формулы A2) вЬрны, если A1г 12, и) и (х, у, %) суть системы
одного рода, т. е., при нашемъ допущенш относительно 1соорди-
натныхъ осей, если /1? /2, и есть правая система.
6. Формулами, который мы здЪсь вывели, можно, между прочимъ,
воспользоваться, чтобы аналитическимъ путемъ получить основныя по-
ложешя сферической тригонометрш. Мы хотимъ провести это на теоремт,
косинусовъ, изъ которой, какъ было показано выше, можно вывести
остальныя формулы.
Возьмемъ трехгранный уголъ съ двугранными углами а, Ь, с и
плоскими углами а, /3, }'; ьсъ эти углы мы будемъ считать меньше п.
Три ребра мы обозначим ь черезъ /,, /2, /3, и при томъ такъ, чтобы
(Л> ht h) представляло правую систему. Наконецъ, проведемъ перпен-
перпендикуляры щ, щ, п3 къ гранямъ въ такомъ направленш, чтобы (/2, /.,, »t),
(Л> 11' иг)> (h> h> Щ) были правыя системы; тогда и (и,, п.,, щ) есть
правая система.
Мы примемъ, что:
/, имт^етъ направляющге косинусы #,, /;,, с,,
/•< „ я я G.,, /л,, с2,
к » ,. я AЛ, Ьл, С-л,
"l я » «1 . Л . I'l ,
И, „ „ .. «,,Д2,/2,
"я » я „ «3,Л,Уз.
Въ такомъ случай формулы A2) дадутъ:
«3 sin й = b9Ci c3bit «;, sin с = b{ c2 - c,i.,,
/?аsini = c3aj — й3г,, /J3sine = Cido - alci,
y., sinb = ^3/7, — b3alt уя sine = albi — b-^a^.
Перемножая эти формулы попарно и складывая, мы получимъ:
cosa sin b sine = 2{bsct - сйЬ^ф,с2 - с^).
Въ правой части этого равенства знакъ суммы распространяется на три
члена, которые получаются изъ перваго круговой перестановкой буквь
п, Ь, с. Если вычислимъ эту сумму, то получимъ:
I,*! а2 + ^Ьг + Cj с,) («! ая + bt b3 + i\ ся)
(сцая + hji, + с.гся) (a,2 + V + с,2),
а потому, согласно соотношешю D) и E),
cosrt sin/; sine = cosb cose cosa;
это и есть теорема косинусов ь на сферъ (§ 41).

301 § 100
§ 100. Уравнеше плоскости.
1. Плоскость вполнЪ определена, если дана длина д перпендику-
перпендикуляра, опущеннаго на нее изъ начала координатъ, и углы a, /?, у, которые
этотъ перпендикуляръ образуетъ съ осями. Эти углы должны быть свя-
связаны соотношешемъ D) § 99-го.
Положимъ теперь, что, кромъ этой плоскости е, дана точка Р съ
координатами х, у, ^; найдемъ нормальное разстояше d этой точки отъ
плоскости. Отр-Ьзокъ ОР, длину котораго мы обозначимъ черезъ г,
имЪетъ направляющее косинусы х<г, г/г, ~ г (§ 99, B)). ВслЪдствге этою,
согласно § 99, E):
г cosF, г) = х cosa -\-y cos/? -\- ^cosy. A)
Если мы будемъ считать разстояше d положительнымъ въ томъ
случай, когда точка Р расположена относительно плоскости не со сто-
стороны точки О, а съ противоположной, то d -}- д = г cos (д, г); поэтому
d = xcosa -j-^cos/? + %cosy — д. B)
Но если плоскость с проходитъ черезъ самое начало координатъ,
то мы произвольно примемъ одну изъ двухъ сторонъ плоскости е за
положительную и будемъ считать cos о, cos/?, cosy за направляющее
косинусы нормали, направленной въ положительную сторону плоскости.
Въ такомъ случаъ d им'Ьетъ положительное значение, если точка Р ле-
житъ съ положительной стороны плоскости е.
2. Если rf = 0, то точка Р лежитъ на плоскость е; сообразно этому
-\-ycosfi -\- ^cosy - г5 = 0 C)
есть уравнеше плоскости г, и при томъ въ нормальномъ видъ\ ВмъхгЪ
съ тЬмъ, мы получаемъ, какъ для уравнешя прямой въ плоскости,
теорему:
Если мы въ уравнен1е плоскости въ нормальномъ в^ид-Ь
подставимъ координаты точки Р, то мы получимъ разстояше
точки Р отъ плоскости.
3. Умножая уравнеше C) на постояннаго множителя, отличнаго отъ
нуля, мы получимъ уравнеше плоскости въ общемъ вид"Ь
ах + by + CZ + d = 0, D)
и совершенно такъ же, какъ и вь геометрш на плоскости, мы докажемъ,
что каждое уравнеше первой степени относительно х, у, ^ выражаетъ
плоскость. Характерпымъ для нормальной формы является соотношеше

§ 101 302
Дру. ой частный видъ уравнешя плоскости, къ которому оно всегда
можетъ быть приведено, если только плоскость не проходить черезъ
начало координатъ, есгь уравнеше въ отрЪзкахъ:
*+У +1-1=0. E)
Здъсь а, Ь, с суть отръзки, которые плоскость опредъ.
ляетъ на осяхъ координатъ.
§ 101. Объемъ тетраэдра.
Положимъ, что четыре точки въ пространств^ 0, 1, 2, 3 заданы
своими координатами. Требуется вычислить обьемъ тетраэдра, вершинами
котораго служатъ эти четыре точки. Ради простоты мы примем ь точку 0
за начало координатъ и размтугимъ осгальныя точки такъ, чтобы лучи
01, 02, 03 составляли правую систему. Если мы загЪмъ проведемъ нор-
нормаль п къ плоскости @12), какъ мы это дътши въ п. 4 § 99-го, то
точка 3 окажется съ положительной стороны этой плоскости. Если обоз-
начимъ, какъ и тамъ, через ь Л площадь треугольника A, 2, 3), а черезъ
d перпендикуляръ изъ точки 3 на эту плоскость, то по § 100, B):
d = х3 cos(nx) +уя cos (ну) + ^3 cos(h^). A)
Согласно же формуламъ G) и (8) § 99-го,
2 Л cos {п х) — \\ ^ v., ^.
2 Л cos (пу) = ъ х-г Ъ хг > С2)
2 A cos (и ~) = х\у-г х., vt;
съ другой стороны, объемь тетраэдра Т i(l^\ поэтому cooTHOineii
A) и B) даютъ:
6 Т = Хя ( V, Ъ 1'а г1) +У-л (г> х* h xi) "И г:> 0*1 v-i А"-г V, )¦ C)
Согласна § 40 т. 1-го, это выражеше можно написагь въ формт> опре-
дЬлителя:
¦ ¦*¦ i > ''i > w
6T-= Д-а, Г2 1г D)
I V;|, l':t, C
Знакъ въ этомъ выраженш также правиленъ въ предполдженш,
что лучи @1), @2), @3) образуютъ правую систему (какъ и оси коор-
координатъ) ; въ протнвиомъ случаЬ зпакъ долженъ быть противоположный.

303
§ 101
2. Если вместо координатъ мы введемъ направляющее косинусы,
т. е. положимъ
а также
й3, Ь3, с3
то, пользуясь теоремой объ умноженш определителей, въ виду соотно-
шемй D) и E) § 99-го, найдемъ:
1 cosA2), cosA3)
D1 = cos B1), 1 cos B3) E)
cos C1), cos C2), 1
= 1 - cos2B3) - cos^Sl) - cos2A2) + 2cosB3)cosC1)cosA2)
и
Здесь D есть та же самая величина, которую мы въ сферической
тригонометрии назвали синусомъ вершины.
3. Объемъ тетраэдра или, вернее, квадратъ этого объема можно
выразить черезъ 6 реберъ тетраэдра; все относящаяся сюда выражешя
можно получить, основываясь на простыхъ свойствахъ, определителя. Мы
обозначимъ ребра такъ:
г, =@1), г2 = @2), г3 = @3),
О. = (zol, p ^— (ol), Q^t =— AZJ.
Тогда, по теореме косинусовъ плоской геометрии и вследствие соотно-
шетя E) § 99-го, получимъ:
«з2 ^12 + ?'22 -2^7-^05A2),
*,*, +}\У-г + ЪЪ = 1\Г.г cosA2) = ^(г," + г8» - е32);
аналогичныя формулы найдемъ для другихъ выражен!й.
Если мы теперь возведемъ определитель D) въ квадратъ и каждую
горизонталь помножимъ на 2, то мы получимъ: »
I
288 Т2 =
*¦ 'I i
'г2 + »',я t':i8.
,- 2 |_ „ 2 _ п 1
G)
Если мы здесь положимъ Т — 0, то мы получим ь соотношеше
между шестью разстояшями четырехъ точек ь въ плоскости (§ 32, 2).

§ 102 304
Если теперь къ определителю G) присоединимъ четвертую и пятую
вертикали
г,2 0
г.,* О
гяг О
1 О
О 1,
а также четвертую и пятую горизонтали
0 0 0 10
'3
2 П 1,
то определитель не изменить своего значения. Пользуясь же теоремой,
согласно которой можно вычитать одну горизонталь изъ другой, не
меняя значешя определителя, ему можно придать симметричную форму:
0
е,2
г,2
1
С:.9
0
о,2
'"•г2
1
е>2
е,2
0
'"¦|а
1
1'я2
0
1
1
1
1
1
0
288 /2 = р.г2 о,2 0 г32 1 (8)
Въ этой форме ни одна изъ вершинъ не выделяется по сравнежю съ
другими.
§ 102. Поверхности 2-го порядка.
1. Если а, Ь, с суть координаты неподвижной точки Ро, а х, у,
координаты точки Р, если, далее, г есть данная длина, то уравнеше
к = (х - af + (у - bf + (z cf - г2 = 0 A)
выражаетъ услов!е, чтобы точка Р находилась на постоянномъ разстоянш /
отъ точки Р„; это есть, такимъ образомъ, уравнен!е сферы, имеющей
центрь въ точке Ро и рад!усъ г. Въ раскрытомъ виде уравнен!е A)
гласитъ:
я2+/ + г2-2ял;-2/;у - 2с^ + а* + Ь2 + с2 г2 = 0. B)
Относительно а", V, ^ это есть уравнен1е 2-ой степени, а потому
сфера принадлежитъ къ числу поверхностей 2-го порядка.
Обратно, каждое уравнеше 2-ой степени, въ которомъ члены 2-го
порядка фигурируютъ только въ соединенш х1 + v2 + ^2, представляетъ
собой сферу. Эта сфера можетъ быть также мнимой, если въ уравненш A)
гг нмеетъ отрицательное значеше. При г = 0 сфера обращается въ точку.

305 § 102
2. Если мы въ выражеше к подставимъ координаты л", у, ^ неко-
некоторой точки Р, не принадлежащей сферъ и отстоящей огъ центра на
разстоянш q, то мы получимъ
/е = о2 — r2--=(Q-r)(Q + r);
это есть степень точки Р относительно сферы к. Сюда примыкаютъ
соображешя, подобныя тъмъ, камя были изложены относительно окруж-
окружности въ планиметрш; здъсь мы не будемъ въ это входить.
3. Каждое уравнеше 2-ой степени вида
выражаетъ сферу, за исключешемъ того случая, когда А = 0. Въ этомъ
послъднемъ случаъ сфера вырождается въ плоскость. Если k и к' суть
два выражешя вида A), то k — к' = 0 есть уравнеше плоскости, кото-
которая называется радикальной плоскостью обЪихъ сферъ.
4. Если Я есть неопредъленный параметръ, то уравнение
к - кк' = 0 C)
представляетъ пучокъ сферъ. Всъ сферы этого пучка имъютъ ту же
радикальную плоскость и проходятъ, если только онъ вообще пересъ-
каются въ дъйствительныхъ точкахъ, черезъ одну и ту же окружность;
эта окружность можетъ выродиться въ точку; тогда сферы пучка соприка-
соприкасаются въ этой точкЪ. Если мы возьмемъ 3-ье выражеше к", которое не
принадлежитъ пучку C), и обозначимъ черезъ [I второй неопредъленный
параметръ, то
к + Я/г' + liH1 = 0 D)
есть уравнете связки сферь. Три сферы к, к', к" пересъкаются въ двухъ
точкахъ, которыя могутъ быть действительными или мнимыми, а иногда
могутъ также совпадать. Bet сферы пучка проходятъ чрезъ однЪ и тъ же
двъ точки. Точно такъ же
k + ?Ji' +nk" + vk'" = 0 E)
есть уравнение съти сферъ. Въ частномъ случаъ сферы к, к\ к", к'" мо-
могутъ имъть общую точку; въ такомъ случат, черезъ эту точку прохо-
проходятъ всЪ сферы съти. Если, наконецъ, мы возьмемъ пятое выражеше к""
и параметръ р, то мы получимъ уравнеше
k + А/г' + цк" + vk'" + gk"" = 0,
въ которомъ содержится любая сфера.
5. Сфера представляетъ собой частный случай поверхностей 2-го по-
порядка; общее уравнеше 2-ой степени Ь(.\,у, ^) = 0 содержитъ 10 членовъ
х2, v2, ^2, >'? 1%, ху, х, у, 1, 1, F)
Веберъ, Энциклоп. элемент, геометрш. 20

§ 102 306
умноженныхъ каждый на некоторый коэффищентъ. Эти коэффнщенты
можно определить изъ линейныхъ уравнений такимъ образомъ, чтобы
поверхность проходила черезъ 9 данныхъ точекъ. И если только эти
точки не им-бютъ особаго расположешя, то коэффищениты опредътшются
однозначно.
6. Если уравнение F(X, у, ф = 0 содержитъ только члены jc2, у2, %*,
у{, %х, ху, то оно называется однороднымъ. Если это уравнеше
удовлетворяется для какой-нибудь точки х, у, %, то равенство сохра-
сохранится, если мы зам"Ьнимъ д', у, ^ черезъ hx, by, Ь^, каково бы ни было
значеше Ь- Иными словами, оно остается справедливымъ для всъхъ точек ь
прямой, проходящей черезъ начало координатъ и черезъ точку х, у, %;
это значитъ, что прямая на всемъ своемъ протяженш лежитъ на по-
поверхности. Это - коническая поверхность.
7. Зд-Ьсь мы вынуждены ограничиться тЪмъ, что приведемъ только
нормальныя формы остальныхъ уравнетй второй степени, къ которымъ
мы приходимъ, когда даемъ систем^ координатъ особое положен!е.
Эллипсоидъ.
Поверхность разсЬкается координатными плоскостями на 8 конгру-
энтныхь и симметричныхъ частей. Начало есть центръ поверхности,
т. е. каждая, проходящая черезъ него хорда делится въ иемъ
пополамъ.
Координатныя оси называются главными осями, а координатныя
плоскости — главными плоскостями поверхности.
Каждая изъ главных ь плоскостей пересЬкаетъ поверхность по эллипсу;
главныи полуоси этихъ эллипсовъ суть: Ь, .с; с, а; а, Ь.
Отрезки а, Ь, с называются полуосями поверхности Bй, 2b, '2c
осями).
Однополый гиперболоидъ.
Поверхность разсЪкается плоскостями х = 0, у = 0 по гиперболамъ, а
плоскостью ^ = 0 по эллипсу.
6) * а? Ьг + с2
Двуполый гиперболоидъ.
Поверхность разсЬкается плоскостями х = 0, у — О по гиперболамъ,
плоскость же ^ = 0 вовсе ея не пересЪкаетъ. Эти 3 поверхности пред-
ставляютъ собой центральныя поверхности второго порядка.

307 § 102
Какъ на частные случаи, которые особенно пригодны дня того,
чтобы составить себъ наглядное представлеше объ этихъ плоскостяхъ,
мы укажемъ на поверхности вращешя, отвъчаюиця случаю а = Ь;
отличаютъ 2 рода эллипсоидовъ вращешя: одинъ — сжатый эллипсоида
вращения — получается вращетемъ эллипса вокругъ малой оси, другой -
удлиненный получается вращешемъ эллипса вокругъ большой оси.
Два гиперболоида вращения получаются путемъ вращения гиперболы
вокругъ каждой изъ двухъ ея осей. Первый есть односвязная поверхность,
имеющая видъ чаши, а другая состоитъ изъ 2-хъ раздъпьныхъ чаше-
образныхъ частей.
Чтобы составить себъ ясное представлеше объ этихъ поверхностяхъ,
очень полезно посмотреть ихъ модели.
8. Кромъ этихъ центральныхъ поверхностей есть еще два вида
поверхностей, не имЪющихъ центра; уравнешя послъднихъ могутъ быть
приведены къ слъдующимъ двумъ видамъ;
первый или эллиптически параболоидъ;
} с а* Ь*'
второй или косой (гиперболически) параболоидъ.
Первая поверхность переходить въ поверхность вращешя, когда
а = Ъ', она получается вращешемъ параболы вокругъ ея оси и им-Ьетъ
чашеобразную форму.
Среди поверхностей второго рода нЪтъ поверхностей вращешя.
9. Поверхность 5) есть линейчатая поверхность; это значитъ, что
она можетъ быть образована движешемъ прямой линш и при томъ двумя
способами. Въ самомъ дълъ, если мы напишемъ ея уравнете въ видтз
и положимъ:
*. У- = Х, ± = x(*- + Z), (8)
а Ъ с \а Ь)
гд-fe Я есть произвольный параметръ, то уравнение G) удовлетворится
тождественно.
Но каждое изъ уравнешй (8), при постоянномъ Я, представляетъ
плоскость; совмъстно же они выражаютъ прямую пересечения этихъ
плоскостей, при чемъ каждая изъ этихъ прямыхъ лежитъ на всемъ своемъ
протяжен1и на поверхности.
20*

§ юз
808
Вторая система прямыхъ, лежащихъ на поверхности, можетъ быть
выражена уравнешями
х
У
, / X V \
= l\a~'b)'
Точно такь же однополый гиперболоидъ 2) можетъ быть образо-
ванъ прямыми лишями и также двумя способами; въ самомъ дЪлъ, если
мы положимъ:
или
-0--:)-
(Ю-)
<•¦>
то ypaBHeHie гиперболоида удовлетворяется при любомъ значенш пара-
параметра Я.
Если мы въ эгихъ уравнешяхъ замъстимь перемънныя х, у другъ
другомъ, то мы получимъ новое выражеше той же системы прямыхъ,
но не получимъ новыхъ прямыхъ.
§ 103. Площадь эллипса и объемъ эллипсоида.
1. Положимъ, что намъ заданъ эллипсъ своим ь уравнешемъ
Й* Ь* ~
Вокругъ этого эллипса мы опишемъ
окружность pafliyca а, уравнеше кото-
которой имъетъ видъ
5+У = 1' B)
гдъ Y есть ордината окружности. По-
строимъ при абсциссъ х два прямоуголь-
прямоугольника съ общимъ основашемъ Л и съ
высотами у, Y; въ такомъ случат,, пло-
площади этихъ прямоугольниковъ относятся, какъ у : Y.
Но изъ уравнежй A) и B) слъдуетъ:
у : Y = b : a,
и, следовательно, отношеше этихъ прямоугольниковъ не зависитъ отъ л.
Если мы поэтому раздт,лимъ эллипсъ и кругъ на безчисленное мно-
множество такого рода прямоугольниковъ, то окажется, что площадь эллипса
Фиг. 107.

309 § 109
относится къ площади круга, какъ Ь'.а\ но площадь этого круга равна
л а2; следовательно, площадь эллипса равна
siab. C)
2. Теперь уже намъ не трудно при помощи принципа Кавальери
найти объемъ эллипсоида, уравнеше котораго мы возьмемъ въ форм*:
Г2 ,,2 ~2 »
а о с
Если мы разс*чемъ эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости
у^-овъ такь, что А' будетъ им*ть на этой плоскости постоянное значеше,
то c*4eHie представляетъ собой эллипсъ, уравнеше котораго въ плоской
систем* координатъ у, 7 им*етъ видъ
'
,4
Чтобы получить площадь этого эллипса, намъ нужно только въ выра-
женш C) заменить а, Ь черезъ
Л /1 ¦"*
Мы получимъ, сл*довательно, площадь
которая представляетъ собой функщю второй степени отъ х Такъ какъ
высота т-Ьла, между двумя значешями х= 'а, равна '2 а , то, полагая
въ формул* A3) § 90-го
*» _
Ь = '2а, At = J2 = 0, А,„ =
мы получимъ:
й 4лаЬс
объемъ эллипсоида = —-— •
3
При а = b = С это выражеше даетъ объемъ шара.

Алфавитный указатель
къ II тому.
Римсмя цифры обозначаютъ выпускъ, арабсшя - страницу.
Абелева группа II, 106.
Абель I, 307.
Абсолютное время, абсолютное про-
пространство I, 147.
Адр1анъ Мещй 1, 315.
Адр1анъ Романусъ I, 315.
Аксюмы
— Архимеда I, 77, 96
— Евклида I, 6.
— Лейбница I, 266.
— конгруэнтности I, 15 и ел, 263.
параллельности I, 6 и ел, 72 и
ел., 113, 263.
— проективной геометрш I, 176.
— расположешя 1,43,70,173 и ел ,264.
сопряжешя I, 43, 71, 187 и ел.
Алгебраичесшя соотношешя между
тригонометр. функшями II, 13 и ел
Амперово правило пловца II, 245.
Analysis situs I, 37.
Аналитическая геометр1я на плоскости
II, 149.
въ пространств^ II, 293.
Аналитическая сферика II, 232.
Аналитичесюя суждешя I, 157.
Аналопи Неперовы II, 72 и ел., 85, 123.
Ангармоническое отношеше I, 97, 246.
Аполлон;й I, 7, 288; II, 178.
—-, его задача I, 332.
—, его теорема II, 219.
A priori I, 157.
Арабы I, 7.
Ар1абатта (Aryabhatta) I, 314.
Архимедъ I, 7,12, 77, 312,314; II, 257.
Асимптотичесюя параллели въ гипер-
гиперболической геометрш I, 74.
Асимптотическое направлеше II, 178,
181, 192 и ел.
Асимптоты II, 191 и ел.
Аутоликъ I, 308.
Аффинное преобразоваше I, 80, 142;
II, 240.
Безконечно удаленные образы I, 149,
234.
Бельтрами I, 8.
Бернулли 1оаннъ I, 8.
Бессель I, 146.
Библ1я I, 313.
Больэ I, 8, 75, 159.
Braunmuhl v. II, 5,*85, 111.
BpiaHiuoHa предложеше I, 216.
Брокара точки II, 33.
Bruckner II, 291.
Вавилоняне I, 308.
Валлисъ I, 316.
Веберъ II, 109.
Вейерштрассъ I, 9.
Вертикальн ле углы II, 249
Вершина гиперболы II, 179.
— параболы II, 179.
— эллипса II, 177.
Винтовое движете II, 245
BieTa I, 315, 321.
Воззр-feHie въ геометрш I, 291.
Вписанный уголъ I, 275.
— четырехугольникъ II, 30, 32.
Вращеше луча II, 7, 150.
— двупирамидальнйе (д1эдрическое)
II, 285, 286.
— икосаэдрическое (додекаэдриче-
ское) II, 287.

312
Вращеше лЪвостороннее II, 49.
— нулевое II, 279.
— октаэдрическое (кубическ.) II, 287.
— пирамидальное II, 285.
— тетраэдрическое II, 286.
циклическое II, 280.
Вращешя II, 277.
, конечный группы ихъ II, 281.
Время абсолютное I, 147.
Выпрямлеше окружности I, 309, 318
и ел.
Галуа группы I, 137.
Гармоническая пара точекъ I, 191; II,
166.
Гармоническое расположеше I, 191.
Гауссъ I, 8, 146, 307; II, 33, 77, 111.
Гаусса-Стюди треугольники II, 86.
Гексаэдръ II, 291.
Гельмгольцъ I, 8. 259.
Геминусъ I, 7.
Гемиэдричесмя оси II, 283.
Геронова формула I, 324.
Геометр1я аналитическая I, 101 и ел.
(формальная),II, 149исл.,293и ел.
— гиперболическая I, 8, 72 и ел., 75.
— Евклидова-параболическая I, 37,
75.
— натуральная I, 24 и ел. 31 и ел.
— неевклидова I, 75.
— положешя I, 227.
— приближенная I, 35 и ел. 153.
— проективная I, 173.
— пространства, основные образы
II, 241.
- синтетическая II. 149.
— эллиптическая I, 72 и ел., 119.
Г-еронъ I, 7, 314.
Герцъ I, 156.
Гессе II, 149.
Гильбертъ I, 15, 89, 133, 139, 171,
263 и ел.
Гипербола I, 336; II, 178 и ел.
— равносторонняя II, 207.
сферическая II, 234.
—, вершина ея II, 179.
—, центръ ея II, 179.
Гиперболическая геометр1я I, 8, 72 и
ел., 75.
— метрика I, 96 и ел., 252 и ел.
Гиперболоидъ II, 306.
Гипотезы I, 170.
Гипсиклесъ I, 308.
Главное направлеше въ коническомъ
с-Ъченш II, 200.
Главныя оси эллипса II, 177.
— — эллипсоида II, 306.
Голоэдричесмя оси II, 282.
Гонюметричесмя формулы II. 17 и ел
Гонюметр1я II, 6 и ел.
Греки I, 5.
Гроссманъ, М I, 252.
Группа Абеля (перем-Ьстительная) II.
106.
Группы вращенШ II, 281.
Группы Галуа I, 137.
— Ли I, 89, 137.
— подстановокъ II, 104.
Гюбнеръ II, 5, 240
Гюйгенсъ I, 315, 318.
Дависъ I, 161.
Движеше I, 15 и ел., 156, 163.
— винтовое II, 245
Двойственность I, 199.
Двугранный уголъ II, 246.
- трехгранна го угла II, 42.
— — тЬлеснаго угла II, 250.
Двупирамидальное вращеше 11,285, 286.
Дедекиндово сЬчеше I, 196.
Дедекиндъ I, 184, 196, 245.
Дезарга теорема I, 69, 124, 134, 1«4;
II, 161.
Декартовы координаты II, 1Е0, 293.
Декартъ I, 292; II, 149.
Денъ I, 77; II, 256.
Директрисса (направляющая лишя) I,
337.
— параболы П. 183.
Дискриминантъ уравнешя коническихъ
сЪченШ II, 192, 200.
— коническаго сЪчешя II, 203.
Д1аметральная окружность I, 64.
Д1аметръ эллипса II, 178.
Д1эдрическое вращеше II, 285, 286.
Дэдръ II, 288.
Длина отр-Ьзка I, 100, 108.
Добринеръ I, 293.
Додекаэдрическое вращеше II, 287.
Додекаэдръ II, 291.
Дополнеше II, 10.
Дополнительные углы II, 250.

313
ДЬлеше окружности I, 303 и ел.
— - углч II, 20 и ел.
— — на градусы I, 308.
ДЬлитель группы II, 106.
Евклидъ (см. также Геометр(я) I, 6,
273.
—, издашя его I, 7.
—, опред-Ьлешя у него I, 6, 13, 24.
Египтяне I, 5.
Enriques I, 196
Задачи Аполлон1я I, 332.
— о нормали эллипса II, 229 и ел.
Золотое с-Ьчеше I, 306.
Зоммерфельдъ I, 165.
Идеальная точка въ гиперболической
геометрш I, 72.
Идеальный центръ гиперболической
окружности I, 87.
Издашя Евклида I, 7.
Измънеше ангармоническаго отноше-
юя I, 97, 246.
Изм-bpeHie объема 11, 256 и ел.
- — конуса II. 269.
— — пирамиды II, 259 и ел.
— призматоида II, 267 и ел.
— — призмы П, 259.
— тЬла съ поперечиымъ сЬче-
шемъ <2(v) II, 264.
цилиндра II, 269.
шара II, 269.
— — эллипсоида II, 269.
Изм-feptHie окружности II, 309
Изм-bpeHie отрЪзковъ въ ученш о по-
добш I, 276 и ел.
— въ гиперболической геоме-
геометрш I, 96 и ел.
— въ проективной геометрш
I, 229 и ел.
Изм-Ьреше площадей, общая теор1я
I, 292 и ел.
— — кривыхъ поверхностей
II, 271.
— — многоугольниковъ (въ три-
гонометрш) II, 37, 39.
— плоскихъ треугольниковъ
I, 324; II, 25.
— - сферическихъ треугольни-
треугольниковъ II, 139.
— четырехугольниковъ II, 29.
Дополнительный уголъ II, 4.
Изм-bpeHie площади эллипса II, 308.
Изм-bpeHie сторонъ въ сферической
тригонометрш по Эйлеру П, 43,
по Me'6iycy II, 48.
Изм-bpeHie угловъ I, 307.
Икосаэдрическое вращеше II, 287.
Икосаэдръ II, 287.
Инверпя I, 47 и сл„ 67, 78, 326, II, 46.
Инверсоръ I, 82.
Инлексъ сферическаго треугольника
II, 53.
Индусы I, 314.
Интуищ'я I, 148 и ел
Инцидентность I, 138, 144, 176.
Истор1я reoMCTpin I, 5—7.
- числа л II, 313 и ел.
Каганъ В. II, 256.
Кавальери принципъ II, 262.
Канторъ М. I, 298, 308; II, 5
Кантъ I, 133 и ел . 154 и ел., 168, 292.
Кардана формулы I, 23.
KacaHie окружностей 1.330 и ел., II, 170.
— — второго, третьяго порядка
II, 221.
— четырехточечное II, 221.
Касательная и нормаль къ эллипсу, вы-
ходяшдя изъ данной точки II, 227 и ел.
Касательная въ проективной геометрш
I, 213.
въ .-ригонометрш II, 5, 11, 1 .
— къ коническому съчешю II, 190
и ел.
къ сферической кривой II, 238.
- къ эллипсу II, 207 и ел.
Квадранты II, 9.
Кевичъ (Kewitsch) I, 308.
Кели мъроопредълеше I, 89, 173, 249
и ел.
Clebsch A. I, 174.
Клейнъ Ф. I. 35, 37, 165; И, 89.
Клиффордъ I, 138.
Kneser A. I, 291.
Когенъ I, 158, 170.
КбЫег I, 229.
Коллинеашя I. 79, 142; II, 240.
— на шар-Ь II, 240.
Конгруэнтность въ плоскости
— въ аналитической геометр! и
(формальная) I, 113.

314
Конгруэнтность въ пространств* II, 250
и ел.
— дугъ окружности I, 275.
— идеальная I, 16, 45, 145 и ел.
— осуществляемая съ помощью
симметрш I, 80.
— проективная I, 229.
— эмпирическая I, 16 и ел., 145 и ел.
Ьонечныя группы вращешй II, 281.
Коничесия съчешя I, 130.
— — аналитичесшя II, 175 и ел.
— — вдвойнъ касающаяся II, 221.
— — несобственныя II, 193 и ел.
— — проективныя I, 210 и ел.
— — распадающаяся II, 193 и ел-
— — элементарныя I, 334 и ел.
— —, главныя направлешя въ нихъ
II, 200.
— —, дискриминантъ ихъ II 203.
— —, параметръ ихъП, 180,181 и ел.
Конусъ, его объемъ II, 269.
—, его поверхность II, 272.
—, его уравнеше II, 306.
Конфигуращя I, 124.
.Концы" гиперболической прямой
I, 89, 97.
Координаты Декартовы II, 150, 293.
— косоугольныя II, 187.
— полярныя въ плоскости II, 151.
— — въ пространств* II, 295.
— прямоугольныя въ плоскости
II, 140.
— — въ пространств* II, 2^4.
— сферичесмя II, 233.
—, преобразоваше ихъ II, 185 и ел.
Корпусъ числовой I, 245.
Котангенсъ II, 5.
Косекансъ II, 5.
Косинусъ II, 4, 5 (примъчаше).
Косинусы направляющее II, 297.
Кратность оси II, 283.
Кратчайшее разстояше двухъ прямыхъ
II, 248.
Кривая лишя, направлеше ея II, 209.
Кривизна II, 220 и ел.
—, м-Ьра ея I, 165: II, 221.
—, рад1усъ ея II, 221.
—, центръ ея II, 222.
Криволинейные сферичесие много-
многоугольники I, 78; II, 61.
Кривыя второго порядка II, 188.
Лагранжъ I, 171.
Ламбертъ I, 8, 317; II, 111.
Лампе I, 319.
Лейбницъ 1,37, 173,264,275,292,316.
Лежандръ I, 77.
—, его теорема II, 143.
Леонардъ Пизансюй I, 314.
Ли I, 8.
— группы I, 89, 137.
Линдеманъ I, 174, 318.
Линейное уравнеше II, 155.
— численное многообраз1е I, 101
и ел.
Линейность многообраз1я I, 123.
Линейный эксцентриситетъ II, 177,181.
Линейныя подстановки II, 86, 99 и ел.
Линейчатыя поверхности II, 267, 307.
Лиши тригонометричесмя II, 11.
Лишя, замкнутая однократно I, 292.
Лишя, I, 10 и ел.
— центральная двухъ окружностей
II, 170.
Л1увилль I, 318.
Лобачевск!й I, 8, 75.
Лудольфово число I, 313.
Лудольфъ ванъ Цейленъ I, 315.
Лучи, пучокъ ихъ II, 160.
Лучъ, вращеше его II, 7, 150.
Льюи лье формулы II, 125.
Л ьюилье-Серре формулы II, 113 и ел.
Л-Ьвая система II, 56, 244.
Л-Ьвостороннее вращеше II, 49.
Масфеллеръ I, 331.
Математика приближенная I. 35 и ел.,
153 и ел.
Махъ I, 123.
Me6iyca поверхность I, 10.
— сферичесюй треугольникъ II, 47
и ел., 53, 89.
Мёб1усъ II, 47, 63.
Между I, 28, 43, 106.
Менелая теорема I, 108; II, 165.
Меридюнальная плоскость II, 296.
Метагеометр1я I, 8, 31 и ел.
Метрика I, 77, 91.
— гиперболическая I, 96 и ел., 252
и ел.
Метрика параболическая I, 252 и ел.
— проективная I, 229 и ел.

315
Метрика учешя о подобш I, 148 и ел
Механика неевклидова I, 164, 166.
Meyer Fr. II, 31.
Милиновсмй I, 68.
Minkowski II, 256.
Мнимая ось гиперболы II, 179.
Многообраз!е линейное I, 121, 127 и ел-
— численное I, 101.
Многоугольникъ криволинейный 1, 78.
— правильный I, 303 и ел.; II, 37 и ел.
— сферическШ II, 61, 65.
—, основныя формулы II, 34 и ел.
—, ръшеше его II, 34 и ел., 37 и ел.
Моллерупъ I, 266, 291.
Мольвейде уравнеюя II, 28.
Муавра формула II, 23.
Мъра дуги (угла) II, 8.
— кривизны I, 165; II 221.
— объема II, 256.
— площади I, 299.
— угла II, 7.
МъроопредЬлеше Кели I, S9, 173, 249
и ел.
Наименоваше чиселъ I, 308.
Направлеше асимптотическое II, 178,
181, 192 и ел.
— кривой лин1и II, 209.
Направлешя въ пространств* II, 297.
Направляюипе косинусы II, 297.
Наторпъ I, 154, 158, 173.
Натуральная геометр1я 1,24 и ел., 31 и ел.
Недостатокъ сферическШ II, 126.
Неевклидова геометр!я I, 75.
— механика I, 164, 166.
Непера правило II, 76, 111.
Неперовы аналопи II, 72 и ел., 85, 123.
Несобственные сферичесюе треуголь-
треугольники II, 85, 88, 98.
— элементы I, 115, 118.
Несобственныя коничесмя съчешя
II, 193 и ел.
Несоизмеримость I, 279.
Николай Кузанск1й I, 315.
Никомахъ I, 7.
Нормали и нормальныя плоскости въ
пространств^ II, 246.
Нормаль къ эллипсу II, 209, 227 и ел.
Нормальный видъ уравнешя окруж-
окружности II, 166.
— — — плоскости II, 301.
Нормальный видъ уравиешя прямой
II, 154.
Нулевая окружность I, 61; II, 166.
— сфера I, 59; II, 304.
Нулевое вращеше II, 279.
Ньютонъ1, 147, 156, 264.
Объемъ II, 256 и ел.
— конуса II. 269.
— пирамиды II, 259 и ел.
— призматоида II, 267 и ел.
— призмы II, 259. #
— тетраэдра II, 302 и ел.
— тъла съ поперечнымъ съчешемъ
Q(x) II, 264.
— цилиндра II, 269.
— шара II, 269.
— эллипсоида II, 269.
Обыкновенный сферичесий треуголь-
никъ II, 52.
Однократно замкнутая лишя I, 292.
Окружности, ихъ касаше I, 330 и ел.;
II, 170.
— второго, третьяго порядка, ихъ
касаше II, 221.
Окружность д1аметральная I, 64.
— кривизны II, 220.
— неевклидовой геометрш 1,83 и ел.
— нулевая I, 61; II, 166.
— ортогональная I, 63; II, 175.
—, выпрямлеше ея I, 309, 318 и ел.
—, дълеше ея I, 303 и ел.
—, уравнеше ея II, 166.
Октанты II, 293.
Октаэдрическое вращеше II, 287
Октаэдръ II, 291.
Опредълешя у Евклида I, 6, 13, 24.
— у Гильберта I, 139.
Ортогональная окружность I, 63; II, 175.
Ортогональное пересЬчеше окружно-
окружностей I, 51, 57, 61.
Оси вращешя
— подоб1я I, 329; II, 170 и ел.
— эллипса II, 177.
— эллипсоида II, 306.
Осовная теорема проективной геометрж
[, 207, 245 (примъчаше).
Основные образы геометрж простран-
пространства II, 241.
Основныя понят:
i — — критика эмпиризма I, § 2, §3.

316
Основныя понятая:
— — идеализмъ I, § 14.
— — номинализмъ I, 31.
— — возможность логическаго
формализма I, § 13.
Основныя точки эллиптическаго пучка
окружностей I, 60.
— — пучка коническихъ съчешй
II, 220.
Основныя формулы тригонометрш
II, 13 и ел.
Осуществлеше гиперболической и эл-
эллиптической геометрш I, 68 и ел.
— параболич. геометрш I, 87 и ел.
Оси коордпнатъ II, 149.
— эллипса II, 177.
— эллипсоида (I, 306.
Ось гиперболы мнимая II, 179.
— радикальная I, 56, 58. II, 172 и ел.
Отношеше ангармоническое I, 97, 246.
Отображеше, см. инверпя, коллинеащя.
— конформное, или сохраняющее
углы I, 78; II 46.
Отражешя I, 78, 79.
Отр-Ьзки, изм-bpeHie ихъ въ ученш о
подобш I, 276 и ел.
—, система ихъ I, 280 и ел.
Отр-Ьзокъ I, 107, 183.
— , его длина I, 100, 108.
Отсутств1е противоръч1я въ аксюмъ
I, 119.
Паппусъ I, 7.
Пара прямыхъ II, 206.
Пара точекъ гармоническая 1,191: II, 166.
— — связки окружностей I, 63.
— — съти сферъ I, 67.
Парабола I, 335 и ел.; II, 182.
—, вершина ея II, 184.
—, директрисса ея II, 183.
Параболическая метрика I, 252 и ел.
Параболоидъ II, 307.
Параллели, см. параллелизмъ.
— асимптотичесия I, 74.
—, аксюма о параллельности I, 6
и ел., 72 и ел., 114.
—, поняпе о параллельности I, 12,
13, 263 и ел.
Параллелизмъ I, 119, 254, 263.
Параллелограммъ I, 296,
— силъ I, 161.
Параллелограммъ сопряженныхъ а\я-
метровъ эллипса II, 216.
Параметръ коническаго съчешя II, 180,
181 и ел.
— пучка II, 160.
Паскаля предложеше I, 216.
Пашъ I, 27, 71, 133.
Пеано I, 266.
Перемъститсльная группа II, 106.
Пересъчеше окружностей по д1аметру
(ортогональное) I, 51, 57, 61.
Перпметръ правильнаго многоуголь-
многоугольника II, 37 и ел.
— треугольника II, 23 и ел.
Перюдичность тригонометрическихъ
функщ'й II, 9.
Перспективные пучки I, 201.
.т-число I, 313 и ел.
—, трансцендентность его I, 318.
Пирамида, мъра объема II, 259 и ел.
Пирамидальное вращеше II, 285.
Пиеагоръ I, 297.
—, теорема его I, 286, 297.
Планиметр1я: глава IV I, 261 и ел.
Платонъ1,12, 25, 131, 150,170,261,292.
Плоская тригонометр1я II, 3.
Плосюе углы трехграннаго угла II, 42.
— — тълеснаго угла II, 250.
Плоскость мерящрнальная II, 296.
Плоскость радикальная I, 56.
— проективная I, 176.
— экватор!альная II,
эмпирическая I, 13, 25.
въ пространств* II, 241.
— — — уравнеше ея II, 301.
Площадь, см. измъреше поверхностей
и объемовъ.
— рацюнальная II, 140.
— сферическ. треугольника II, 139.
Поверхности линейчатыя II, 267, 307.
Поверхность второго порядка (степени)
I, 129 и ел.; II, 304 и ел.
конуса II, 272.
— Me6iyca I, 10.
— цилиндра II, 262, 272,
— шара II,
— эмпирическая I, 10 и ел.
Подгруппы II, 106.
Подстановки линейныя II, 86, 99 и ел.
—, группы ихъ Н, 104.

317
Подоб1е I, 151, 276 и ел.
— треугольников ь I, 283.
Подоб1е, центръ его I, 277.
Подоб1е при подобномъ расположены
I, 277.
Полигонометр1я II, 34 и ел.
Полуоси эллипса II, 177.
— эллипсоида II, 306.
Полюсъ, поляра при коническихъ съ-
чеюяхъ I, 224 и ел.; II, 227.
— на сферъ II, 56 и ел.
Полярное преобразоваше на сферЪ
II, 62.
— разстояюе II, 296.
Полярный треугольникъ I, 253.
— — сферичесмй II, 62.
Полярныя координаты въ пространств^
II, 295.
— — на плоскости II, 151.
Понятсе о равносоставленныхъ фигу-
рахъ I, 293.
— о числ-Ь I, 264.
Поперечное съчеше I, 37.
Порядокъ оси II, 284.
Порядокъ (степень) тригонометриче-
скихъ формулъ 11, 63, 71 и ел.
— функцш II, 188.
Построеюя съ помощью линейки I, 19
и ел.
Правая (правосторонняя) система II, 56.
— — въ пространств^ II, 244.
Правило Непера II, 76, 111.
— пловца Ампера 11, 245.
Правильные многоугольники I, оОЗ и ел.;
II, 37 и ел.
Правильныя гЪла II, 277 и ел.
Правостороннее вращеше II, 49.
Предложент Бр1аншона 1, 216.
— Паскаля I, 216.
— о хордахъ и сЪкущихъ I, 325.
Предложешя о конгруэнтности I, 265.
— о подобш треугольниковъ I, 283.
Преобразоваше аффинное I, 80, 142;
II, 240.
— координатъ II, 185 и ел.
Приближенная геометр!я I, 35 и ел, 153.
— математика I, 35 и ел., 153 и ел.
Призма (прямая) II, 259.
Призматоидъ II, 267.
Принципъ Кавальери II, 262.
Проективная геометр!я I, 173 и ел.
— —, основная теорема I, 207, 245
(примъчаше).
— метрика I, 229 и ел.
плоскость I, 176.
— скала I, 233 и ел.
— точка зръшя на параллелизмъ
I, 19 и ел., 254, 263.
Проективное cooTBtTCTBie I, 202.
Проекшя на сферъ, теорема II, 65.
— стереографическая II, 43 и ел.
Проклъ I, 7.
Пропоршя трехчленная I, 104.
Пространство абсолютное I, 147.
Противорасположенныя точки I, 178.
Прямая въ пространств^ II, 241.
— эмпирическая I, 12, 25, 28.
—, параметрическое выражеше ея
I, 105.
—, уравнеше ея II, 154 и ел.
Прямоугольный сферичесюй треуголь-
треугольникъ II, 75, 119 и ел.
Психологическая сторона проблемы о
пространствъ I, 172 и ел.
Птоломей I, 314.
—, теорема II, 31.
Пучекъ коническихъ съченШ II, 220.
— лучей II, 160.
— окружностей I, 59.
—, параметръ его II, 160.
— сферъ I, 66; II, 305.
Равенство, см. конгруэнтность.
Равновелиюя плошади I, 293.
— тъла II, 256.
Равносоставленныя тъла" II, 256.
— фигуры I, 293.
Равносторонняя гипербола II, 207.
Радикальная ось I, 56, 58; II, 172 и ел.
— плоскость I, 56.
Радикальный центръ I, 57, 58; II, 174.
Рад!усъ кривизны II, 221.
— круга вписаннаго и внъвписан-
наго I, 324; II, 25.
— — — въ сферичесюй тре-
треугольникъ II, 137.
— — описаннаго I, 325; II, 14.
— сферическШ II, 61.
Развертка эллипса II, 226.
Разстояше полярное II, 296.

318
Райэ I, 68, 130, 216, 229.
Распадаюгщяся коничесмя съчешя
II, 193 и ел.
Расположеше I, 43, 71, 106, 178;
II, 244.
Рацюнальная плошадь II, 140.
— точка I, 235.
Реальность I, 162.
Рети I, 293.
Риманъ I, 8, 37, 75, 76, 136.
Родственные треугольники II, 102.
Родъ оси II, 202.
Rudio I, 316.
P-femeHie треугольниковъ илоскихъ
I, 321 и ел.; II, 23 и ел.
— — сферическихъ II, 119 и ел.,
126 и ел.
— четырехугольниковъ II, 28 и ел.
Саккери I, 8.
Связка окружностей I, 62.
— сферъ 1, 66; II, 305.
Связность I, 35, 292; II, 289.
Секансъ II, 5, 11.
Середина, опред-Ьлеше ея I, 91.
Серре формулы II, 125.
Сильвестръ I, 138.
Символическое умножеше вращешй
II, 278.
— — субстаншй II, 97.
Симметр1я I, 27, 78, 266.
Синтетическая геометр!я II, 149.
Синтетическое суждеше I, 157.
Синусъ II, 4 и ел., 5 (примъчаше).
— въ плоской тригонометрж, тео-
теорема I, 111 II, 13.
— въ сферической тригонометрш,
теорема II, 67 и ел., 122.
— угловой II, 303.
Синусы вершинъ II, 68.
Система отръзковъ I, 280 и ел.
Система л-Ьвая II, 56, 244.
— чиселъ I, 308.
Simon M. I, 172.
Скала проективная I, 233 л ел.
Скрещивающаяся прямыя II, 241.
— —, кратчайшее разстояше ихъ
II, 248.
Сложеше тригонометрическихъ функ-
шй, теорема II, 17.
Снелл1усъ (Snellius) I, 315.
Собственные сферичесюе треугольники
II, 85, 88, 98.
Согруппа II, 109
Соизм-Ъримость I, 279.
Соотв-feTCTBie, сохраняющее расположе-
Hie элементовъ I, 202.
Соотношешя алгебраичесюя между три-
тригонометрическими функщями II, 13и ел.
Соприкосновеше II, 221.
Сопряжете 4 видовъ, теорема I, 236.
Сопряжешя аксюмы I, 42, 71, 173 и ел.
Сопряженные д1аметры эллипса II, 214.
— полуд1аметры II, 219.
тетраэдры II, 56.
Сопряженныя вращетя II, 279.
- направлешя коническаго сЪчешя
II, 200.
точки с-Ьти F2 I, 130.
— хорды II, 215.
Сорасположенныя точки I, 178.
Составлеше вращенШ II, 278.
— субститущй (подстановокъ) II, 98,
106.
Сохранеше угловъ при инвереш I, 51.
Степень инвереж I, 47.
— точки относительно окружности
I, 53; II, 166.
— точки относительно сферы I, 54;
II, 305.
Стереографическая проекщя II, 43 и ел.
Стереометр1я II, 241.
Ступень I, 121.
СткГарта теорема II, 32.
Стюди (Study) I, 138; II, 69, 73.
—, теорема II, 94.
—, треугольникъ II, 102.
Суждешя аналитичесмя I, 157.
¦Сумма угловъ плоскаго треугольника
I, 75 и ел., 112, 268.
— .сферическаго треугольника
II, 140.
Существоваше чиселъ, выражающнхъ
объемъ тъла II, 270.
Сфера нулевая I, 59; II, 304.
—, пучокъ ихъ I, 66; II, 305.
Сферика II, 41.
— аналитическая II, 232.
Сферическая гипербола II, 234.
— тригонометр1я II, 116.
Сферичесме многоугольники II, 61, 65.

319
Сферичесме треугольники несобствен-
несобственные II, 85, 88, 98.
- — обыкновенные II, 52.
— - — собственные II, 85, 88, 98.
— — эквивалентные II, 87.
— —, площадь ихъ II, 139.
— — ръшеше ихъ II, 119 и ел.,
126 и ел.
Сферичесюй недостатокъ II, 126.
— центръ, рад1усь II, 61.
— эллипсъ II, 234.
Сферичесмя координаты II, 233.
Счислеше отр-Ьзковъ I, 229, 276.
Съкуиця и хорды, ироходяцця черезъ
постоянную точку I, 325.
С-Ьть сферъ I, 53 и ел.; II, 305
СЪчсше Дедекиндово I, 196.
— золотое I, 306.
— поперечное I, 37.
Теорема Аполлон1я II, 219.
— Дезарга I, 69, 124, 134, 184
II, 161.
— Лежандра II, 143.
— Менелая I, 108; II, 165.
— Пиеагора I, 286, 297.
— Птоломея I, 314.
— Стюарта II, 32.
— Стюди II, 94.
— Чевы II, 165.
Теорема Эйлера о многогранникахъ
II, 288.
Теорема косинусовъ въ плоскости
I, 111; II, 14.
— — на сфер-Ь II, 65.
— о проекшяхъ (на сферъ| II, 65.
— синусовъ въ плоской тригоно
метрш I, 112; II, 13.
— — въ сферической тригономе-
трш II, 67 и ел., 122.
— сложешя тригонометрическихъ
функцШ II, 17.
— сопряжешя въ 4 дъйств1яхъ 1,236.
— тангенсовъ въ плоскости II, 27.
— — ha сферъ II, 73.
Teopifl группъ въ сферической триго-
нометрш II, 104 и ел.
TeopiH познашя 1, 131 и ел.
Тетраэдрическое вращеше II, 286.
Тетраэдръ сопряженный II, 56.
—, объемъ его 11, 302 и ел.
Типъ сферическаго треугольника
Гаусса-Стюди II, 86.
— - Me6iyca II, 53.
Точка I, 9 и ел., 28
высотъ I, 289; II. 161.
— идеальная въ гиперболической
геометрш I, 72.
— касашя (проективное опредъле-
Hie) I, 212.
— рацюнальная I, 235.
Точки Брокара II, 33.
Точки пересъчешя двухъ окружностей
II, 169.
— — коническихъ сЪчешй II, 196
и ел.
— — прямыхъ II, 157.
— — — съ окружностями II, 167.
Точность тригонометрическихъ вычи-
сленШ II, 116 и ел.
Трансцендентность числа л I, 318.
Треугольники плосме, ръшен1е ихъ I,
321 и ел.; Ii, 23.
родственные II, 102.
— сферичесме, ръшеше ихъ II, 119
и ел., 126 и ел.
— — собственные II 85, 88, 98.
— — эквивалентные II, 87.
Треугольникъ въ аналитической гео-
метрж II, 160 и ел.
Треугольникъ въ сферической геометрж
Гаусса-Стюди II, 85 и ел.
Me6iyca II, 47 и ел., 89.
Стюди II. 102.
Шиллинга II, 103. .
Эйлера II, 42.
— полярный I, 253.
— — сферичесшй II, 62.
Трехточечное касаше II, 221.
Трехчленная пропорщя I, 104.
Тригонометричесия лиши II, 11.
— функцж II, 4.
— — нъкоторыхъ отдъльныхъ уг-
ловъ II, 12.
— —, ихъ перюдичность II, 9.
Тригонометр1я плоская II, 3.
— сферическая II, 116.
Тъла правильныя
— равновелимя II, 256.
— равносоставленныя II, 256.
Тълесные углы II, 249 и ел.

320
Угловой синусъ II, 303.
Углы вертикальные П. 249.
— дополнительные II, 250.
— тълесные II, 249.
Уголъ (формальное опредълете 11, 256;
II, 3 и ел., 7.
— вписанный I, 275.
— въ сферической тригонометрш
II, 42, 48, 53, 88.
— двугранный II, 246.
— дополнительный II, 4.
— между плоскостью и прямой II,
245 и ел.
— пересекающихся окружностей
I, 50.
—, дълете его II. 20 и ел.
—, дълеше его на градусы I, 308.
—, измърет е его I, 307.
—, мъра его II, 7.
Удвоеше угла II, 18.
Умножете угла II, 20 и ел.
Уравнете конуса II, 306.
— линейное II, 155.
— окружности II, 166.
— параболы, отнесенное къ вер-
шин-Ь II, 184.
— плоскости II, 301.
— поверхностей 2-го порядка
II, 304.
— прямой II, 154.
— сферической прямой II, 234.
— эллипса и гиперболы II, 179.
— — — — сферическихъ II, 237.
Уравнетя Мольвейде II, 28.
Учете о подобж, метрика I, 148 и ел.
Ферма II, 149.
Физюлогнческая сторона проблемы о
пространств^ I, 172 и ел.
Фокусъ I, 337; II, 175, 214.
Формализмъ (Номинализмъ) I, 31 и ел.
Формула Гер о на I, 324.
— Кардана II, 23.
— Муавра II, 23.
Формулы Деламбра II, 77 и ел., 124.
— Льюилье II, 125.
— Льюилье Серре II, 133 и ел.
Серре II, 125.
Формулы гонюметричесмя II,* 17 и ел.
— перехода въ сферической триго-
тригонометрш II, 119.
Формулы тригонометричесмя перваго
порядка II, 63 и ел., 85.
Формулы гонюметричесюя второго по-
порядка II, 76 и ел.
Фоссъ I, 156, 171.
Функцш тригонометричесюя II, 4.
— — нъкоторыхъ отдъльныхъ уг-
ловъ II, 12.
Функцюналъ I, 127.
Функщ'я, порядокъ II, 188.
Хорды и съкушдя I, 325.
Христофель I, 137.
Цейтенъ I, 341.
Центральная лишя двухъ окружностей
II, 170.
Центральный поверхности 2-го порядка
II, 306.
Центръ гиперболы II, 179.
— идеальный гиперболической ок-
окружности I, 87.
— кривизны II, 221.
— кривой 2-го порядка II, 202 и ел.
подоб1я I, 277.
— радикальный I, 57, 57; II, 174.
— сферичесшй II, 61.
— — двухъ окружностей I, 326.
— эллипса II, 177.
Циклиды I, 122.
Цикличесмя вращетя II,
Цилиндръ, поверхность его II, 262, 272.
Чевы теорема II, 165.
Четырехточечное касате II, 221.
Четырехугольннкъ, четырехсторонникъ
II, 70, 186 и ел.
— вписанный II, 30, 32.
—, ръшеше его II, 28 и ел.
Числа, измъряюцуя объемы, существо-
вате ихъ II, 256, 270.
—, наименовате ихъ I, 308.
, система ихъ I, 308.
Численное многообраз1е I, 101.
Численный эксцентриситетъ II, 177,181.
Число, понятсе I, 264.
— Лудольфово I, 313.
л I, 313.
— —, трансцендентность его I, 318.
Числовой корпусъ I, 245.
Шаръ, его поверхность II, 274.
—, его уравнеше II, 304.

321
Шатуновск1й I, 256.
Швейкартъ I, 8.
Шёнеманъ (Schonemanni I, 293.
Шестидесятиричная4 система I, 308 и
ел., 314.
Шиллингъ (Schilling) II, 103.
Шопенгауэръ I, 168.
Штейнеръ (Steineri I, 19, 131.
Штекель (Stacke!) I, 8, 159, 166, 171.
319.
Schonflies II, 103.
Schur I, 89, 291.
Эволюта эллипса II, 232.
Эйлерова теорема о многогранникахъ
II, 283.
Эйлеръ I, 316; II, 42.
—, треугольникъ II, 42.
Экватор1альная плоскость II, 295.
Эквивалентные сферичесюе треуголь-
треугольники II, 87.
Эконом1я мышлешя I, 123.
Эксцентриситетъ линейный и "числен-
"численный II, 177, 181.
Элементы несобственные 1, 115, 118.
Эллипсоидъ II, 306, 308.
Эллипсоидъ, главныя оси и полуоси
его II, 306.
Эллипсъ I, 336 и ел.; II, 175 и ел.
— сферичесюй II, 234.
—, вершина его II, 177.
—, главныя оси и полуоси его II, 177.
—, д!аметръ его II, 178.
—, касательная къ нему П, 207 и ел.
—, площадь его II, 308.
—, развертка его II, 226.
—, уравнеше его II, 179.
—, центръ его II, 177.
—, эволюта его II, 232.
Эллиптическая геометр1я I, 72 и ел.,
75, 119.
Эмпиризмъ I, 9 и ел., § 14, 255 и ел.
Эмпирическая плоскость I, 13, 25.
— поверхность I, 10 и ел.
— прямая I, 12. 25, 28.
Эрмитъ I, 318.
Янке I, 131.
валесъ Милет^сюй I, 275.
веонъ I, 7.

Книгоиздательство иэучныхъ и попу
.ярно-научныхъ еочинешй изъ облв«
сти физико-глатематичеекиэсъ наукъ.
Одесса, Новосельская 66.
вышли въ св-Ьтъ слЪдуюиия издания:
АРРЕН1УСЪ, СВ. проф. Физика иеба *). Перев. съ нъ-м. подъ ред. прив.-доц.
А. Р. Орбинскаго. VIII-)-250 стр. 8°. 66 черн. и 2 цвЪтн. рис. въ тек-
ст-fe. Черная и спектральная таблицы. 1905. Ц Р. 2.—
Научность содержашя, ясность и простота изложешя и превосходный пере-
водъ соперничаютъ другъ съ другомъ. Русская Мысль.
АБРАГАМЪ, Г. проф. Сборникъ элемектариыхъ опытовъ по фвзикЬ *)
Перев. съ франц. подъ ред. прив.-доц. Б. П. Вейнберга.
Часть I: XVI+272 Стр. 8". Свыше 300 рис. 2-е изд. 1909. Ц. 1 р. 50 к.
Систематически составленный сводъ наибол-fee удачныхъ, типичныхъ и поучи-
тельныхъ опытовъ. Вмстникъ и Библиотека Самообразовангя.
Часть II: 434 + LXXV стр. 8°. Свыше 400 рис. 1906. Ц. Р. 2. 75 к.
Мы надъ-емся, что разбираемый трудъ станетъ настольной книгой каждой
физической лабораторш въ Россш. Русская Мысль.
УСПФХИ ФИЗИКИ"). Сборникъ статей, подъ ред. „Вгъстн. Опытной Фи-
Физики и Элементарной Математики"'. 2-е издате VI-)-148 стр. 8",
41 рис. и 2 таблицы. 1907. ("Печатается 3-е издате), U- 75 к.
Нужно надеяться, что послъ\днее...послужитъ къ широкому распространетю
этой чрезвычайно интересной книги. Русская Мысль.
АУЭРБАХЪ, Ф. проф. Царица вира и ея т*иь *). Общедоступное изложеше
основан1й учен1я объ энерг1И и энтроп!и. Пер. съ н*м. VIII-I-56
стр. 8°. 4-е издан1е. 1910. Ц. 40 к
Сл'Ьдуетъ признать брошюру Ауэрбаха чрезвычайно интересной.
Журн. М. Н. Пр. Проф. О. Хвольсонъ.
НЬЮКОМЪ, С. проф. AcTpoHOMifl для вс?хъ'). Перев. .съ англ. подъ ред.
прив.-доц. А. Р. Орбинскаго. XX1V-J-286 стр. 8°. Съ портретомъ автора,
64 рис. и 1 табл. 1905. Ц. Р. 1. 50 к.
И вполнЪ научно, и совершенно доступно, и изящно написанная книга... пе-
переведена и издана очень хорошо. Впстникъ Воспитатя.
ПЕБЕРЪ, Г. иВЕЛЬШТЕЙНЪ, I. проф. Энциклопед1я элементарной алгебры*).
** Т. I. Перев. съ нЪм. подъ ред. и съ примъ-ч. прив.-доц. В. Ф. Кагана.
XIV+623 стр. 8°. Съ 38 чертеж. 1907. Ц. Р. 3. 50 к.
Вы все время видите передъ собой мастера своего дъ\па. который съ лю-
любовью показываегь велиюя творешя человеческой мысли, изв^стныл ему до
тончайшихъ подробностей. Педагогическт Сборникъ.
ТГЕДЕКИНДЪ, Р. проф. Непрерывность и ирращоиальныя числа ¦). Перев.
М съ н-Ьм. съ прим-Ьч. прив.-доц. С. О. Шатуновскаго; съ присоедине-
шемъ его статьи: Доказательстко существован1я траисцеидеитныхъ
чиселъ. 2-е изд. 40 стр. 8°. 1909. Ц. 40 к.
Небольшой по объему, но, такъ сказать, законодательный по содержашю
трудъ... Русская Школа.
*) Издангя, отмгьченныя звпздочкой, Учен. Ком. Мин. Нар. Пр.
признаны заслуживающими внимамя при пополнент учен, библютекъ
средн. учебн. заведемй.

КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МДТЕЗИСЪ".
СЛАБИ, А. проф. Безпроволочкый телефонъ. Пер съ н-Ьм. подъ ред. „Впстн.
On. Физ. и Эл. Мат " 28 стр. 8* Съ 23 рис. 1909 Ц. 30 к.
Л ИНДЕМАНЪ, Ф. проф. Спектръ и форма атомовъ. РЬчь ректора Мюн-
хенскаго университета. 25 стр. 16°. Изд. 2-ое. 1909. Ц. 15 к.
КУТЮРА, Л. Алгебра логики. Перев. съ франц. подъ редакшей и съ при-
мЪчашями проф. //. Слеитнскаго. 128 стр 8". 1909. Ц. 90 к.
ВЕБЕРЪ Г. и ВЕЛЬШТЕЙНЪ I., проф. Эициклопел1н элементарной геометрш.
Томъ II, книга I. 0сковаи1я геометра. Пер. съ н-Ьм. подъ ред. и съ
прим-Ьч. прив.-доц. В. Ф. Кагана. ХН+362 стр. 8". Съ 144 черт, и 5
рис. 1909. Ц. Р. 3.
ЛОРЕНЦЪ, Г. проф. Курсъ Физики. Пер съ н-Ьм. подъ ред проф. Н. П Ка-
стергша
Т. I. УШ+348 больш. стр. Съ 236 рис. 1910. Ц. Р. 2. 75 к.
Т. 11. УШ+466 стр. больш. 8°. Съ 256 рис. 1910 Ц. Р. 3. 75 к.
РЕРНЕТЪ В. А. Объ единств* вещества. 46 стр. 16°. Ц. 25 к.
•ЭБЕМАНЪ. П. проф. Происхожден1е цвЪтовъ спектра. Съ притожешемъ
** статьи В. Ритца. „Линейные спектры и строек!е атомовъ". 50 стр. 16"
Ц. 30 к.
ЖТЬЮКОМЪ, С. проф. Teoplfl движен!я Луны- (Истор1я и современное состо-
Д яше этого вопроса"). 26 стр. 16" Ц. 20 к.
1/ЛОССОВСК1Й. А проф Основы метеоролоНи. XVI-j-525 стр. большого 8"
Я- Съ 199 рис., 2 цв-Ьтн. и 3 черн. табл. 1910. Ц Р. 4.-
КЭДШОРИ, Ф проф.Истор1я элемеитариой математики Гсъ н-Ькоторыми ука-
зашями для препод.) Перев. съ англ подъ ред. и съ примт>ч прив-
доц. И Ю. Тимченко. XII+368 стр. 8". Съ рис. 1910. Ц. Р. 2 50 к.
рАМЗАЙ, В. проф. Введете въ из*чен!е физической химш. Перев. съ
* англ. подъ ред. проф. П. Г. Меликова. IV+75 стр. 16". 1910. Ц. 40 к.
РОУ. С. Геометрическ1н упражнек!я съ кускомъ бумаги. Пер. съ англ.
ХУ1-Ц73 стр. 16°. Съ 87 рис. и чертежами. 1910. Ц. 90 к.
фОМСОНЪ. Дж. Дж. проф. Корпускулярная теор1я вещества Переводъ съ
* англШск. /. Левинтова. подъ ред. „Bn>cm. On. Физ. и Эл. Мат."
VHI+162 стр. 8Q. Съ 29 рис. 1910. Ц. Р. 1. 20 к
ГРАФФЪ, К- Комета Галлея. Пер. съ н-Ьм 1У+72 стр. 16°. Съ 15 рис.
Издаше второе исправл. и дополненное 1910 Ц. 30 к.
НИМФЮРЪ Р., Воздухоплаваи1е- Научныя основы и техническое развипе.
Пер, съ н-Ьм. IV+161 стр. 8". Съ 52 рис. 1910. Ц. 90 к.
раллеева Комета въ 1910 году. Общедоступное издаше. Содержан1е:
* О вселенной—О Кометахъ—О комет-fc Галлея. 32 стр. 8°. Съ 12
иллюстращями 1910. Ц. 12 к.

1/АЙЗЕРЪ Г. проф. Развит1е совремеиной спектроскоп^. Пер. съ
**¦ подъ ред „Впстн. On. Физ. и Эл. Мат." 45 стр. 16" 1910. Ц. 25 к.
ГАМПСОНЪ-ШЕФЕРЪ. Парадоксы природы. Книга для юношества, объ-
объясняющая явлешя, которыя находятся въ противор-Ьч!и съ повсе-
дневнымъ опытомъ. Пер, съ нъчц. УШ-f 193 гтр. 8° Съ 67 рис. Ц. Р. 1. 20 к.
ВЕБЕРЪ и ВЕЛЬШТЕЙНЪ, проф. Энциклопед1я элементарной математики.
Т. II, кн. 2 и 3. Тригонометр1'я, аналитическая геометр1я и стереометр!я.
Пер. съ н-Ьм. подъ ред. прив.-доц. В. Кагана. VUI+322 стр. 8".Съ 112 рис.
1910. Ц. Р. 2. 50 к.
1/АГАНЪ В, прив.-доц. Что такое алгебра? 72 стр, 16° Ц. 40 к.

КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МНТЕЗИСЪ".
ЕЕРРИ, ДЖ. проф. Вращанцщися волчокъ *J. Публичная лекщ'я. Пер. съ англ.
VlII-i-95 стр. 8». Съ 63 рис. 2-е изд. 1908. Ц. 60 к.
Книжка, вооч1ю показывающая, какъ люди истиннаго знашя, не цеховой
только науки, умЪютъ распоряжаться научнымъ матер1аломъ при его попу-
ляризащи. Русская Школа. С. Шохоръ-Троцкш.
о, К- Химические опыты для юношества. Перев. съ нЬмецк. подъ
ред. лаборанта Е. С. Ельчанинова. II—(— 192 стран. 8°. Съ 79 рисун-
рисунками. 1907. Ц. Р. 1. 20 к.
Превосходная книга, какой намъ давно не хватало. Всюду въ книгЬ сохра-
сохраняешь благотворное чувство, что находишься въ совершенно надежныхъ
рукахъ... учитъ серьезной наук-fe въ бол-fee легкой форм*.
Zettsc/rri/t Jitr Lehrmiitelweseii und padagogische Literainr.
ВИХЕРТЪ, Э. про,/ Введете въ геодезш j. Перев. съ иЬмсцк. 80 стр. 16 .
Съ 14 рисунк. 1907. Ц. 35 к
Излагаетъ основы низшей геодезш, имея въ виду пользован1'е ею въ школе
въ качестве практическаго пособ1я... Изложеше очень сжато, но полно и
последовательно. Вопросы Физики.
ШМИДЪ, Б. проф. Философская хрестоматия*). Пер. съ нем. Ю- А. Говсчъева
подъ ред. и съ пред. проф. Н. Н Ланге. V1+171 стр. 8°. 1907. Ц. Р. 1. —
... Для человека, занятаго самообразовашемъ и немного знакомаго съ фило-
соф1ей и наукой, она (книга) даетъ разнообразный и интересный матер1алъ.
Вопросы философт и психологш.
ГОМГиДЬТЬ, С. Игры со спичками. Задачи и развлечешя. Пер. съ
146 стр. 16". Свыше 250 рис. и черт. 1907. Ц. 50 к.
ВЕТТЭМЪ, В проф. Современное раэввт1е физики*;. Пер. съ англ. подъ ред.
прив.-доц. Ь. 11. Вейнберга и А. 1'. Орбинскаго. Съ приложетемъ
ръ-чи А. Ба.гъфура: Несколько мыслей о новой теорш вещества.
VlH-p-319 стран. 8 . Съ 5 портрет., 6 таблиц, и 33 рисунк. Ц. Р. 2. —
Старается представить въ стройной и глубокой систем^ всЬ явлешя физи-
ческаго опыта и рисуетъ читателю действительно захватывающую картину
грандюзныхъ завоеван1й челов-Ьческаго reHin. Повременный АИръ.
УШИНСК1Й, Н. проф. Лекщи по бактерЮлог1и. V1I1+135 стр. 8". Съ 34
черными и цветными рисунками. 1908. Ц. Р. 1. 50 к.
рИГИ, А. проф. Современная теорш фнзическихъ явлеиш *) (ioHi.i, элек-
™ троны, радюактивность). Пер. съ 3 итальянск. издашя. VIII-J—146
стр. 8". Съ 21 рис. 1У10. Второе издаме. Ц. У0 к.
Книгу Риги можно смъмю рекомендовать образованному человеку, какъ луч-
лучшее имеющееся у насъ изложеше новЪйшихъ взглядовъ на обширную об-
область физическихъ явлен1й. Педагогическш Сборникъ.
IJ ЛОССОВСШЙ, А. проф. Физическая жизнь нашей планеты на осиова-
*1 И1И современкыхъ воззр-Ьн1й *). 46 стран. 8°. 2-е нздаше, испр. и до-
полн. 1Ы>8. Ц. 40 к.
РЬдко можно встретить изложен1е, въ которомъ въ такой степени соединя-
соединялась бы высокая научная эрудишя съ картинностью и увлекательностью рт>чи.
Педагогическт Сборникъ.
ЛАКУРЪ, П. и АППЕЛЬ, Я. Историчесная физина *). Пер. съ нЬм. подъ ред.
„Впстн. Опытн. Физики и Элементарн. Матем." Въ 2-хъ том.
большого формата, 875 стр. Съ 799 рис. и 6 отдельными табл. 1908.
Ц. Р. 7. 50 к.
„Нельзя не приветствовать этого интереснаго издашя... Книга читается легко;
содержитъ весьма удачно подобранный матер1'алъ и обильно снабжена хорошо
выполненными рисунками. Переводъ никакихъ замъ-чашй не вызываетъ'...
Проф. О. Хвольсонъ. Ж- М. Н. Пр.

КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „МАТЕЗИСЪ".
АРРЕШУСЪ, СВ. проф. Образован1е лпровъ *). Пер. съ нЪм. подъ ред. проф.
К. Д. Покровскаго. 208 стр. 8". Съ 60 рис. 1908. Ц. Р. 1.75 к.
Книга чрезвычайно интересна и богата содержашемъ. Педагог. Сборн.
КАГАНЪ, В. прив.-доц. Задача обосновамя геометрш въ современной
постановив. Речь, произнесенная при защит-fe диссертацш на степень
магистра чистой математики. 35 стр. 8°. Съ И чертеж. 1908. Ц. 35 к.
ЦИММЕРМАНЪ, В. проф. Объемъ шара, шарового сегмента и шарового
слоя. 34 стр. 16°. Съ 6 черт. 1908. Ц. 25 к.
Распространеше подобнаго рода элементарныхъ монографШ среди учащихся
весьма желательно. Русская Школа.
РИГИ, А. проф. Элентричеокая природа матерю*). Вступительная лекшя.
Пер. съ итальянскаго. 28 стр. 8°. 1908. Ц. 30 к.
Эта прекрасная речь обладаетъ всеми преимуществами многочисленныхъ
популярныхъ сочиненш знаменитаго профессора Болоиьскаго университета.
Ж М. Н. Пр. Проф. О. Хвольсоиъ.
ЛЕМАНЪ, 0- проф. Жидме нристаллы н теорш жизни. Пер. съ нъ-мецк.
П. В. Казанецкаго. IV-f-43 стр. 8°. Съ 30 рис. 1908. Ц. 40 к.
?1ЕЙБЕРГЪ,1. проф. Новое сочинеше Архимеда*). Послаше Архимеда къ Эрато-
* сеену о нъ-которыхъ вопросахъ механики. Пер. съ нем. подъ ред. и съ пре-
дисл. прив.-доц. //. Ю. Тимченко. XV-f-27 стр. 8°. Съ 15 рис. 1909. Ц. 40 к.
Математикамъ... будетъ весьма интересно познакомиться съ новой драго-
драгоценной научной находкой... Образоваше.
ВЕЙНБЕРГЪ, Б. Q. прив.-доц. СнЪгъ, иией, градъ, ледъ и ледники *)
1V+127 стр. 8°. Съ 138 рис. и 2 фототип. табл. 1909. Ц. Р. 1
Mathesis можетъ гордиться этимъ издашемъ.
Ж- М.Н. Пр. Проф. О. Хвольсонъ.
1/0ВАЛЕВСК1Й, Г. проф. Введете въ исчислеюе безконечно-малыхъ *).
¦" Перев. съ н^Ьмецкаго подъ редакц. и съ прим. прив.-доц. С. О. Ша-
туновскаго. VIH-f-140 стр. 8°. Съ 18 черт. 1909. Ц. Р. 1.
Книга проф. Ковалевскаго, несомненно, прекрасное введеше въ высцлй
анализъ... Русская Школа.
фОМПСОНЪ, СИЛЬВАНУСЪ, проф. Добыван1е св*та *). Общедоступная лекшя
* для рабочихъ, прочит, на co6paHin Британск. Ассощацш 1906. Перев.
съ англ. V1II-J-88 стр. 16°. Съ 28 рис. 1909. Ц. 50 к.
Въ этой весьма интересно составленной р^чи собранъ богатый матер1алъ
пэ вопросу добывашя света.
Ж.М. Н. Пр. Проф. О. Хвольсонъ
СЛАБИ, А, проф. Резонансъ и затухаи!е электрическихъ колнъ. Пер. съ
нем. подъ ред. „Вгъстн. Опыт. Физ. и Элемент. Матем.". 42 стр.
8°. Съ 36 рис. Ц. 40 к.
рНАЙДЕРЪ, проф. Картина Mipa въ ceirt современнаго естествознак!я.
W Перев. съ нем. подъ ред. проф. В. В. Завьялова. VIII-J—193 стр. 8°. Съ
16 отд. портретами. 1909. Ц. Р. 1. 50 к.
Книга касается интереснЪйшихъ вопросовъ о природе. Педагог. Сборникъ.
ПАИЗАЙ, В. проф. Благородные н рад1оактивные газы. Пер. подъ ред.
* „Впстн. On. Физ. и Эл. Мат." 37 стр. 16". Съ 16 рис. 1909. Ц 25 к.
БРУНИ. К. проф. Твердые растворы- Пер. съ итал. подъ ред. „Вгъсмн. On.
. Физ. и Эл. Мат.' 37 стр. 16". 1909. Ц. 25 к.
БОЛЛЪ Р С. проф. BiKa и приливы. Пер. съ англ. подъ ред. прив.-доц.
А. Р. Орбинскаго. 104 стр. 8°. Съ 4 рис. и 1 табл. 1909. Ц. 75 к.