И. В. САВЕЛЬЕВ
ОСНОВЫ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
В ДВУХ ТОМАХ
Том 1
МЕХАНИКА
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ. ИСПРАВЛЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991

ББК 22.31
С12
УДК 530.1 @75.8)
Рекомендовано Государе? венных: комитетом СССР
по народному образованию
для использования в учебном процессе
студентами физических специальностей
высших учебных
Рецензент:
доктор физкко-натемати'-пехнх наук, профессор С. П. Алли-
луев
САВЕЛЬЕВ И. В. Оснзд.ы теоретической фнзмшг: Учеб. ру-
ководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинами-
ка.—2-е изд., кспр. — М.: На^ка. Гл. ред. физ.-мат. лит., 199!.—
496 с.
ISBN Б-02-0М455-Х (Т. I)
Содержит сжатое и яснее изложение основ механики, тео-
рии относительности и электродинамики. С большой строгостью
и подробностью проводятся все математические выкладки, что
облегчает усвоение материала. Математическое приложение ос-
вобождает читателя от необходимости обращаться к учебникам
по математике.
1-е изд.— 1975 г. Во втором издании внесены исправления
и уточнена терминология.
Для студентов нетеорет ячеи; их специальностей вузов. Мо-
жет быть полезна преподавателям физики втузов.
Табл. 6. Ил. 71.
_ 1604030000—0S9 п. „. л
С .,...¦. -. 91-91 ©«Наука». Фиэиатлит. 1975;
053@2)-91 с изменениями. 1991
ISBN 5-02-014455-Х (Т. 1)
ISBN 5-02-014454-1

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму издгнию . 6
Часть первая. МЕХАНИКА 7
Глава I. Вариационен принцип а механике . ... 7
§ 1. Введение . 7
§ 2. Связи 10
§ 3. Уравнения движения в декартовых координатах . . 13
§ 4. Уравнение Лагранжа в обобщенных координатах . . 17
§ 5. Функция Лагранжа и энергия ... 24
§ 6. Примеры на составление уравнений Лагранжа ... 28
§ 7. Принцип наименьшего дейстг.ип 33
Глава II. Законы сохранения 36
§ 8. Сохранение энергии 36
§ 9. Сохранение импульса 37
§ 10. Сохранение момента импульса 39
Глава III. Некоторые задачи механики 42
§ 11. Движение частицы в центральном поле сил .... 42
§ 12. Задача двух тел . 48
§ 13. Упругие столкновения частиц 52
§ 14. Рассеяние частиц 57
§ 15. Движение в неинерциальних системах отсчета ... 62
Глава IV. Малые колебания 69
16. Свободные колебания системы без трения - . . .'~~—?9
17. Затухающие колебания s. j.<.fcr71
18. Вынужденные колебания /76
19. Колебания системы со многими степенями свободы . . 9
20. Связанные маятники 85
Глава V. Механика твердого тела 91
§ 21. Кинематика твердого тела 91
§ 22. Эйлеровы углы 95
§ 23. Тензор инерции 98
§ 24. Момент импульса твердого тела 106
§ 25. Свободные оси вращения 112
§ 26. Уравнение движения твердого тела . . ..... 114
§ 27. Уравнения Эйлера 118
§ 28. Свободный симметричный волчок 120
§ 29. Симметричный волчок в однородном поле тяжести . . 125
1
*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Канонические уравнения 130
§ 30. Уравнения Гамильтона 130
§ 31. Скобки Пуассона 134
§ 32. Уравнение Гамильтона — Якоби 136
Глава VII. Специальная теория относительности . . . .141
§ 33. Принцип относительности 141
§ 34. Интервал 144
§ 35. Преобразования Лоренца 148
§ 36. Четырехмерные скорость и ускорение 153
§ 37. Релятивистская динамика 155
§ 38. Импульс и энергия частицы 158
§ 39. Действие для релятивистской частицы 161
§ 40. Тензор энергии-импульса . 166
Часть вторая. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА .177
Глава VIII. Электростатика 177
§ 41. Электростатическое поле в пустоте 177
§ 42. Уравнение Пуассона 179
§ 43. Разложение поля по мультиполям 182
§ 44. Поле в диэлектриках 188
§ 45. Описание поля в диэлектриках 192
§ 46. Поле в анизотропных диэлектриках 198
Глава IX. Магнитостатика 200
§ 47. Стационарное магнитное поле в пустоте 200
§ 48. Уравнение Пуассона для векторного потенциала . . 203
§ 49. Поле соленоида 206
§ 50. Закон Био—Савара 210
§ 51. Магнитный момент 212
§ 52. Поле в магнетиках 220
Глава X. Нестационарное электромагнитное поле . . . 226
§ 53. Закон электромагнитной индукции 226
§ 54. Ток смещения .... 227
§ 55. Уравнения Максвелла , 229
§ 56. Потенциалы электромагнитного поля 231
§ 57. Уравнение Даламбера 236
§ 58. Плотность и поток энергии электромагнитного поля . . 237
§ 59. Импульс электромагнитного поля 240
Глава XI. Уравнения электродинамики в четырехмерной
форме . 247
§ 60. Четырехмерный потенциал 247
§ 61. Тензор электромагнитного поля 251
§ 62. Формулы преобразования полей 253
§ 63. Инварианты поля 257
§ 64. Уравнения Максвелла в четырехмерной форме . . .261
§ 65. Уравнение движения частицы в поле 263

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Г л а в а XII. Вариационный принцип в злектродииаг«икб 206
§ 66. Действие для заряженной частицы в электромагнитном
поле ¦.. 267
§ 67. Действие для электромагнитного поля 269
§ 68. Вывод уравнений Максвелла из принципа наименьшего
действия 272
§ 69. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля . . 275
§ 70. Заряженная частица в электромагнитном поле . . - 281
Глава ХШ. Электромагнитные (олкы 285
§ 71. Волновое уравнение 285
§ 72. Плоская электромагнитная волна в однородной и изо-
тропной среде 287
§ 73. Монохроматическая плоская волна 293
§ 74. Плоская монохроматическая полна в проводящей среде 300
§ 75. Немонохроматические волны 306
Глава XIV. Излучение электромагнитных волн 310
§ 76. Запаздывающие потенциалы . 310
§ 77. Поле равномерно движущегося заряда 314
§ 78. Поле заряда, движущегося произвольно 318
§ 79. Поле, создаваемое системой зарядов на больших рас-
стояниях ... 326
§ 80. Дипольное излучение 332
§ 81. Магнитно-дипольное и квадруполыюе излучения . . . 336
Приложения 342
I. Уравнения Лагранжа для голономной системы с идеаль-
ными нестационарными связями 342
И. Теорема Эйлера для однородных функций 345
III. Некоторые сведения из вариационного исчисления . . 345
IV. Конические сеченяя 356
V. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами 361
VI. Векторы 365
VII. Матрицы 382
VIII. Определители , 391
IX. Квадратичные формы . . . . . ....... 402
X. Тензоры . 412
XI. Некоторые сведения из векторного анализа .... 430
XII. Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом
пространстве 458
XIII. Дельта-функция Дирака 481
XIV. Ряд и интеграл Фурье 483
Предметный указатель 490

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый вниманию читателей двухтомный
курс «Основы теоретической физики» является введе-
нием в теоретическую физику.
В соответствии с тем кик пркняю в теоретической
физике, изложение педегея в гауссовой системе еди-
ниц. В механике уравнения Лагранжа выводятся не
из принципа Даламбера (как это обычно делается), а
из уравнений Ньютона. Изложение электродинамики
ограничено средами, в которых отсутствует дисперсия,
а проницаеглости е и ц не зависят от Е и В.
Более сложными являются § 40 и 69, посвященные
рассмотрению тензора энергии-импульса. Они вклю-
чены в книгу, потому что содержат превосходную
иллюстрацию к вопросу о том, каким способом осу-
ществляется обобщение лагранжева формализма на
немеханические системы. Читатель, которому эти па-
раграфы покажутся слишком трудными, может про-
пустить их без ущерба для понимания остальных
параграфов книги.
Большое внимание в книге уделено вариационному
принципу. При этом последовательно использован сле-
дующий прием — сначала требуемый результат полу-
чается с помощью методов, знакомых уже читателю,
а затем тот же результат получается с помощью ва-
риационного принципа. Тем самым преследовалась
цель выработать у читателя отношение к вариацион-
ному принципу как к Бполне надежному и мощному
средству исследования.
Работа над книгой значительно облегчается тем,
что она снабжена обстоятельными математическими
приложениями. Это избавляет читателя от необходи-
мости обращаться к рукозохствам по математике и
разыскивать в них необходимые сведения.
По сравнению с 1-м изданием текст в основном
остался неизменным. Сделана небольшая стилистиче-
ская правка и устранены некоторые неточности и за-
меченные опечатки.
Октябрь 1989 г. И. Савельев

Часть первая
МЕХАНИКА
Глава I
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
§ 1. Введение
В зависимости от характера изучаемых объектов
механику можно подразделить на механику матери-
альной точки, механику твердого тела ') и механику
сплошной среды. Последняя в свою очередь подразде-
ляется на гидродинамику, газовую динамику, теорию
упругости, теорию пластичности и т. д.
В механике самым сложным для изучения объектом
является сплошная (непрерывная) среда, поскольку
она представляет собой систему с бесконечно боль-
шим числом степеней свободы. Кроме того, при реше-
нии ряда задач, рассматриваемых механикой сплош-
ной среды, наряду с методами и уравнениями теоре-
тической механики используются также методы и
уравнения термодинамики, электродинамики и т. д.
Эти обстоятельства и служат причиной того, что ме-
ханика сплошной среды является самым сложным
разделом механики. В данной книге вопросы меха-
ники сплошной среды затрагиваться не будут.
В курсе общей физики задачи механики решаются
с помощью уравнений Ньютона. В этой главе мы по-
знакомимся с другим подходом к описанию и изуче-
нию движения механических систем. Под механиче-
ской системой мы будем понимать совокупность ма-
териальных точек, движение которых может быть
либо свободным, либо ограниченным связями. В част-
ности, совокупность материальных точек, объединен-
ных жесткими связями, образует твердое тело. В даль-
нейшем мы будем материальные точки для краткости
называть частицами.
') Имеется в виду абсолютно твердое тело.

8 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
В соответствии с упомянутым подходом каждой
механической системе сопоставляется некая функция
обобщенных координат и обобщенных скоростей си-
стемы, а также времени:
L — L (координат, скоростей, времени),
называемая функцией Лагранжа. Обобщенными коор-
динатами qk называются любые величины, с помощью
которых может быть задано положение системы в
пространстве. Обобщенными скоростями qk
называются производные обобщенных координат по
времени').
Функция Лагранжа может быть использована для
характеристики не только систем с конечным числом
степеней свободы, но и систем с бесконечным числом
степеней свободы — сплошных сред, электромагнит-
ных и других физических полей. Таким образом, зна-
чение функции Лагранжа выходит за рамки классиче-
ской механики.
Установив для рассматриваемой механической си-
стемы вид функции Лагранхо, можно описать движе-
ние системы с помощью уравнений, связывающих
частные производные функции L по координатам и
скоростям. Эти уравнения, называемые уравнениями
Лагранжа, заменяют уравнения Ньютона.
Использование уравнений Лагранжа вместо урав-
нений Ньютона обладает тем преимуществом, что ко-
личество уравнений Лагранжа равно числу степеней
свободы системы, которое при наличии связей, огра-
ничивающих движение системы, будет меньше чем
утроенное число частиц, входящих в систему. Количе-
ство же уравнений Ньютона, необходимых для описа-
ния системы из N частиц, равно 3N. Кроме того, в
уравнения Лагранжа не входят реакции связей2), ко-
торые заранее неизвестны. Таким образом, при ис-
пользовании уравнений Лагранжа реакции связей ав-
томатически исключаются из рассмотрения, что суще-
ственно упрощает решение соответствующей задачи.
') Напомним, что точки над символом величины означают
dx . d2x
производную по времени:х~ ~7i~' x~~dW"
г) Это справедливо только для идеальных связей, т. е. связей
без трения.

S I. ВВЕДЕНИЕ
О
0
У
\
\
7"
У
<т
X
Правда, решение дает в ;»том случае сведения лишь
о движении системы, значения реакций остаются не-
установленными. Но в большинстве физических задач
значения реакций не представляют интереса, так что
данных, получаемых методом уравнений Лагранжа,
оказывается вполне достаточно.
В качестве примера можно указать
на задачу о колебаниях математи-
ческого маятника (рис. 1.1). Урав-
нение второго закона Ньютона для
частицы т имеет вид
тт = mg + R»
где R — реакция нити. Проектируя
все векторы на оси х, у v z (ось г
направлена за чертеж), мы полу-
чим три скалярных уравнения:
ml = Rx, my = mg + Rg, mz = 0.
Если же характеризовать положе- Рис. l.l
ние системы обобщенной координа-
той ф, то вместо трех уравнений оказывается доста-
точным только одно:
mPqi = — mgl sin ф, A.1)
которое и есть уравнение Лагранжа для данного слу-
чая1). Реакция R в него не входит. Решив уравнение,
мы найдем ф как функцию t. Вида функции L для
рассматриваемой системы мы пока касаться не будем
(см. пример 1 в § 6).
Итак, движение механической системы может быть
описано либо с помощью уравнений Ньютона, либо
с помощью уравнений Лагранжа. Естественно, что
к уравнениям Лагранжа можно прийти, исходя из
уравнений Ньютона (что и будет сделано в § 4 этой
главы). Однако весьма существенным является то об-
стоятельство, что уравнения Лагранжа можно полу-
чить с помощью весьма общего вариационного прин-
ципа— принципа наименьшего действия. Этот прин-
цип может быть положен в основу классической
d
dt
•) Обобщенная скорость ф входит в это уравнение в виде

10 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ Ш'ИНЦИП В МЕХАНИКЕ
механики вместо законов Ньютона. Достоинство прин-
ципа наименьшего действия состоит в том, что его
можно легко распространить на системы, не являю-
щиеся механическими или чисто механическими, на-
пример на упругие среды, электромагнитные поля,
поля элемент5.у]:нх частиц и т. д.
Резюмируя, можно сказать, что излагаемый в дан-
ной главе подход к изучению движения механических
систетг обладает гораздо большей общностью, чем ме-
тод, основанный на законах Ньютона.
§ 2. Связи
Для системы частиц с массами mA), mB), ... урав-
нения второго закона Ньютона можно записать сле-
дующим образом:
mi?l = F, (i= I, 2 я). B.1)
где mi = т.2 = tn^ = m(i) — масса 1-й частицы, гп4 =
= /гсб = т6 = т<2> — масса 2-й частицы, ..., х\ — ко-
ордината х 1-й частицы, хг — координата у 1-й час-
тицы, *3—координата z 1-й частицы, *4, х5, хв — де-
картовы координаты х, у, z 2-й частицы, .... F\—
проекция на ось х результирующей силы FA>, дей-
ствующей на 1-ю частицу, F2 — проекция силы FA> на
ось у, Fa — проекция той же силы на ось z,F4,Fs,F6 —
х-, у-, г-компоненты силы FB), действующей на 2-ю
частицу, и т. д. Число я уравнений, содержащихся
в B.1), равно утроенному числу частиц, входящих в
систему.
На положения и скорости частиц системы могут
быть наложены ограничения геометрического или ки-
нематического характера. Эти ограничения называют-
ся связями.
Примерами систем со связями геометрического ха-
рактера могут служить:
1) частица, которая при своем движении не мо-
жет покинуть заданную поверхность или заданную
кривую. Поверхность или кривая могут быть непо-
движными (стационарная связь) или перемещаться
заданным образом (нестационарная связь);
2) две частицы А и В, связанные жестким невесо-
мым стержнем длины /. В этом случае ограничение,

$ 2. BПЯЗИ И
накладываемое связью, может быть записано в виде
уравнения
(хА - хвJ + (Уа - ИвУ + (*л - *в? - Р; B.2)
3) две частицы, связанные невесомой нитью дли-
ны /. Аналитическое выражение такой связи имеет
вид
(хА - xBf + (уА - уву> + (гА - г 3f < Р, B.3)
4) абсолютно твердое тело, которое можно рас-
сматривать как систему частяц с неизменными вза-
имными расстояниями, т. е. подчиненных связям вида
B.2).
Примером системы со связью как геометрического,
так и кинематического характера может служить шар,
катящийся без скольжении по шероховатой поверхно-
сти. Ограничение кинематического характера заклю-
чается в том, что скорость точки касания должна
быть равна нулю.
В общем случае связь геометрического характера
можно представить уравнением
!(ху,х2 *»,/) = 0 B.4)
(п = 3N, где N— число частиц в системе).
Когда ограничения наложены не только на коор-
динаты частиц, но и на их скорости, уравнение связи
имеет вид
<p(*b x2, ..., хп, х, х2, ...,*„, 0 = 0- B-5)
Если уравнение B.5) может быть проинтегрировано
по времени, око, очевидно, эквивалентно уравнению
вида B.4).
Связи вида B.4) и сводящиеся к ним интегрируе-
мые связи вида B.5) называются голономными (или
интегрируемыми). Голономными называют также си-
стемы с подобными связями. Системы, фигурирующие
в рассмотренных выше примерах 1, 2 и 4, относятся
к числу голономных.
Итак, в случае голономных связей накладываемые
ими ограничения выражаются в виде равенств, связы-
вающих координаты частиц и время (см. уравнение
<24))

12 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
Неинтегрируемые связи вида B.5), а также связи,
выражаемые в виде неравенств (см. пример 3), назы-
ваются неголономными.
Связи, не изменяющиеся со временем, называются
стационарными (или склерономными). Связи, изме-
няющиеся со временем, носят название нестационар-
ных (или реономных).
Уравнение голономной стационарной связи имеет
вид
/(*„ *2, .... *„) = 0. B6)
Оно отличается от уравнения B.4) голономной неста-
ционарной связи тем, что в него не входит явно
время t.
Для задач с неголономными связями общих мето-
дов решения не существует. Требуется индивидуаль-
ный подход к каждой задаче. Неголономных систем
мы рассматривать не будем.
Каждая голономная связь, т. е. связь, выражаемая
уравнением B.4) или B.6), позволяет представить
одну из координат как функцию остальных. Следова-
тельно, каждая такая связь уменьшает число незави-
симых координат на единицу.
Напомним, что число независимых величин, необ-
ходимых для определения положения системы в про-
странстве, называется числом степеней свободы си-
стемы. Поэтому можно сказать, что каждая голоном-
ная связь уменьшает числе степеней свободы системы
на единицу.
Если связи отсутствуют, то система из N частиц
обладает числом степеней свободы, равным п = 3N.
При наличии г связей число степеней свободы будет
равно s = n — г = 3N — г.
Связи действуют на частицы системы с силами R(a),
которые называются реакциями. Связь без трения на-
зывается идеальной. Суммарная работа, совершаемая
реакциями над частицами системы с идеальными ста-
ционарными связями, равна нулю. В качестве примера,
подтверждающего это утверждение, можно привести
систему, изображенную на рис. 1.1. У этой системы
реакция R направлена вдоль нити, а скорость час-
тицы v перпендикулярна к нити; поэтому сила R ра-
боты над частицей не совершает. Если связь (даже

§ 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ДЕКАРТОВОЙ ФОРМЕ 13
идеальная) зависит от времени, совершаемая ее реак-
цией работа, как правило, отлична от нуля.
Выражение для элементарной работы, совершае-
мой над частицами системы реакциями связей, имеет
вид dA= 2 Rt dx{. Для системы с идеальными ста-
ционарными связями эта работа равна нулю. Следо-
вательно, для таких систем
ZRtdxt~=0, B.7)
i
где dxi — проекции на координатные оси перемещений
частиц, совместимых со связями, наложенными на час-
тицы ').
§ 3. Уравнения движения
в декартовых координатах
Рассмотрим систему, состоящую из взаимодей-
ствующих друг с другом частиц. Пусть на частицы
действуют также внешние силы. Воспользуемся для
координат частиц и компонент сил теми же обозначе-
ниями, которые мы применяли в предыдущем пара-
графе (см. первый абзац § 2).
В некоторых случаях силы, действующие на час-
тицы (или хотя бы часть этих сил), могут быть пред-
ставлены в виде
*' —1x7" (зл)
где
x2i ...,xrs,1) C.2)
—функция координат частиц и рремегш, назызаемая
потенциалом системы. Еслл в функцию U не входит
явно время t, она представляет собой потенциальную
энергию системы.
*) Во встречающихся в теоретической физике суммах индекс,
по которому осуществляется суммирование (немой индекс), как
правило, повторяется дважды. В связи с этим принято символ
У\ опускать и подразумевать суммирование по дважды повто-
ряющимся индексам. Например, вместо ^П ajbi пашут просто
щЬп Однако, хотя такой способ записи отличается краткостью,
мы им пользоваться не будем, Суммирование будут подразуме-
ваться только там, где написан символ 2^.

14 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИК
Сила, определяемая формулой C.1), называется
потенциальной. Следует различать стационарные и не-
стационарные потенциальные силы. Стационарными
называют силы, зависящие только от координат час-
тицы и не зависящие явно от времени. Таким силам
отвечает функция И, не содержащая времени явно.
Когда t входит в V явно, сила зависит не только от
координат, но и от времени и, следовательно, будет
нестационарной. Стационарные потенциальные силы
называют консервативными. Системы, в которых дей-
ствуют только консервативные силы, также называют
консервативными.
Отметим, что в соответствии с C.1) силу, дей-
ствующую на частицу с номером а, можно предста-
вить в виде градиента функции C.2):
Fe=-Ve?/(*i, О1)- C.3)
Здесь Va — оператор, компоненты которого равны
частным производным по координатам a-й частицы.
Формулу C.3) можно записать также следующим об-
разом:
Fa=-§?. C.4)
где га — радиус-вектор частицы 2).
Пусть часть сил, действующих на частицы систе-
мы, потенциальна, а часть — непотенциальна. Тогда
уравнению B.1) можно придать вид
-|^- + /?; (' = 1.2 п), C.5)
где F] — компоненты непотенциальных сил, п — утро-
енное число частиц.
Уравнение C.5) можно написать в форме, очень
удобной для обобщений. С этой целью вводится в рас-
смотрение упоминавшаяся в § 1 функция Лагранжа,
которая для рассматриваемой нами системы частиц
') Через Xi в символах функций мы будем обозначать сово-
купность всех координат: xly Xz, ..., хп.
2) Под производной скаляра <р по вектору а понимают век-
тор с компонентами д<р/дах, д(р/дау, дц>/даг. Следовательно, сим-
вол ду/дт означает вектор с компонентами: ду/дх, dtp/ду, dqi/dz
(т.е. grad <р или Уф; см. Приложение XI).

§ 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 8 ДЕКАРТОВОЙ ФОРМЕ 15
определяется следующим сбразом:
L (*,, х-,, /) = ?-^L -U(x,, f). C.6)
i
Продифференцировав по времени частную производ-
ную от L по xi, получим левую часть уравнения C.5):
d dL d . . %
Частная производная от L по jc,- дает i-ю компоненту
потенциальной силы:
BL oU
Следовательно, мы приходим к соотношениям
1гш;-ж;=П <«»i. 2.....!.). (з.7)
которые носят название уравнений Лагранжа.
Для систем, в которых действуют только потен-
циальные силы, уравнения Лагранжа имеют вид
4т?;-Ш-г* С-*.* »)¦ <3-8>
В некоторых случаях уравнения Лагранжа можно
представить в форме C.8) даже тогда, когда силы,
действующие на частицы, зависят от скоростей (при-
мером таких сил служит сила Лоренца). Это удается
сделать при условии, что такие силы можно получить
из некоторой функции U*{xi,xt,t) с помощью соотно-
шения
(прозерку этого утверждения предоставляем чита-
телю).
Функцию U*\Xi, ±i, t) называют обобщенным потен-
циалом. Силы, отвечающие этому потенциалу, мы бу-
дем называть обобщенно-потенциальными. При нали-
чии таких сил функция Лагранжа записывается сле-
дующим образом:
„ilti) = ?-LL-U{xt, t)- W(*„ it, 0-
i

IS ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
К числу сил, зависящих от скоростей частиц, отно-
сятся и так называемые диссипативные силы. Этим
термином обозначают силы, всегда направленные про-
тивоположно скоростям частиц и, следовательно, вы-
зывающие их торможение. К числу диссипэтибных сил
относятся, например, силы трения. При наличии дис-
сипативных сил полная механическая энергия систе-
мы уменьшается (рассеивается1)), переходя в другие
немеханические формы энергии (например, во внут-
реннюю энергию тел).
Во многих случаях диссипативные силы F(d) бы-
вают пропорциональными скоростям частиц, так что
их компоненты по координатным осям определяются
равенством
ff> = -M, (/— I. 2 п). C.11)
В этом случае диссипативные силы могут быть выра-
жены через диссипативщю функцию Рэлея2), равную
>|*?- C-12)
Действительно, сопоставив выражения C.11) и C.12),
легко получить, что
Ff^-Щ.. C.13)
Подставив это выражение в формулу C.7) вместо F]
предполагая, что других чепотенциальных сил нет, по-
лучим уравнение
d dL dL . dD ._ , .
1п-дГ1—дГ1+-аГ1==*- C14)
Функция D имеет простой физический смысл. Ра-
бота, совершаемая диссипативными силами за вре-
мя dt, равна
d А=Z ^dXi=Z Fl'd)*1 dt=~ Е ж*'ш= ~2D dt
(мы воспользовались теоремой Эйлера об однородных
функциях; см. Приложение II). Эта работа совер-
Слово диссипация (лат.) означает рассеяние.
Обычно эту функцию обозначают буквой F или R. Однако
во избежание путаницы мы предпочли обозначение D.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 1?
шается за счет запаса энергии системы. Следователь-
но, величина —dA/dt = 2D дает скорость рассеяния
энергии.
Преимущество уравнений Лагранжа перед уравне-
ниями Ньютона C.5) заключается в том, что они, как
будет показано в следующем параграфе, остаются
теми же по форме при переходе от декартовых к лю-
бым обобщенным координатам. При переходе же к не-
зависимым обобщенным координатам из уравнений
выпадают реакции идеальных голономиых связей, что
сильно облегчает решение задач.
§ 4. Уравнения Лагранжа
в обобщенных координатах
Обобщенными координатами qk называются лю-
бые величины (длины, уг.лы, площади и т. д.), кото-
рые определяют положение механической системы в
пространстве. В качестве примера можно указать на
сферические координаты частицы: г, ¦&, <р. Очевидно,
что декартовы координаты представляют собой част-
ный случай обобщенных координат.
Производные по времени от обобщенных коорди-
нат, т. е. величины 4* называются обобщенными ско-
ростями системы.
Число независимых обобщенных координат, необ-
ходимых для задания положения системы, равно числу
ее степеней рвободы. В дальнейшем мы всегда будем
выбирать обобщенные координаты так, чтобы их число
совпадало с числом степеней свободы системы (т. е.
чтобы все они были независимы друг от друга).
Отметим, что обобщенные координаты часто бы-
вают полезными и в системах без связей (в этом слу-
чае их число совпадает с числом декартовых коорди-
нат). Так, при решении задачи о движении частицы
в центральном поле сил сферические координаты г,
О, ф более удобны, чем декартовы координаты х, у, z.
Весьма полезным оказывается следующее пред-
ставление. Введем в рассмотрение систему координат
в воображаемом s-мерном пространстве (его назы-
вают конфигурационным пространством или <?-про-
странством). По осям этой системы будем отклады-
вать значения координат <7*@- Тогда для каждого
момента времени t положению системы в обычном

13 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
пространстве будет соответствовать точка в конфигу-
рационном пространстве. Движению системы в реаль-
ном трехмерном пространстве будет соответствовать
движение точки в воображаемом s-мерном про-
странстве.
Докажем, что уравнения C.7) остаются справед-
ливыми при переходе от декартовых координат xi
к обобщенным координатам qk, а также что в урав-
нения Лагранжа, написанные в независимых обоб-
щенных координатах, реакции связей не входят.
Рассмотрим голономную систему с идеальными
стационарными связями. Разделим непотенциальные
силы, действующие на частицы системы, на две кате-
гории: реакции связей Ri и прочие непотенциальиые
силы F]. Тогда уравнения C.7) будут выглядеть сле-
дующим образом:
1Й7-Ж7 = ^ + /7; <*=1.2.....п). D.1)
Пусть на систему наложены г связей, выражаемых
условиями
Ы*1, х2 *п)==0 (/==1, 2 г) D.2)
(поскольку связи стационарны, в функции ft время
явно не входит).
Декартовы координаты xL, определяющие положе-
ние частиц системы, могут быть представлены как
функции обобщенных координат qk. Если время t не
входит явно в уравнения связей, всегда можно вы-
брать qk так, чтобы / не вошло и в функции, выра-
жающие Xi через q^ т. е. чтобы эти функции имели
вид
Xi = xt (<7,, q2, ..-, ih) (t = 1, 2, .... я) D.3)
(s — число степеней свободы, равное п — г). В даль-
нейшем для сокращения записей выражения типа
xi{q\,q%, •¦•. <7«) мы будем записывать в виде лс,-(ф*).
В соответствии с D.3) производные функций
по времени имеют вид

5 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 19
Суммирование производите! по всем qk, т. е. индекс k
пробегает нее значения от 1 до s. Выражение D.4)
может быть написано для любого i от i до п. В даль-
нейшем, когда это не сможет привести к недоразуме-
ниям, мы не будем указывать значения, пробегаемые
индексом, по которому производится суммирование.
Этот индекс называется немым. Отметим, что в фор-
мулах суммирования немой индекс может обозна-
чаться любой буквой — замена одного индекса другим
не изменяет суммы. В частности, выражение D.4) мо-
жет быть с таким же успехом записано, например,
в виде
Zi7*'- D5)
Величины dxi/dqk не содержат обобщенных скоро-
стей qk. Поэтому на основании D.4) можно утверж-
дать, что
дх, дх,
-±- = -^-. D.6)
oq. dtj.
Отметим также, что поскольку функции D.3) не со-
держат величин qk, частные производные от х-, по этим
величинам равны нулю:
?-<•• <«>
Наконец, получим еще одно соотношение, которое
нам понадобится в дальнейшем. Величины dxt[dqk
суть функции только координат qk (скоростей qk эти
величины, как уже отмечалось, не содержат). По-
этому
d дх,
Теперь продифференцируем выражение D.5) по qk.
Поскольку производные dt;t/dqk равны нулю, получим
д / дх,

20 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
Сопоставив это выражение с D.8), придем к соотно-
шению
dxt d дх{
Получив все необходимые соотношения, приступим
к доказательству. Умножив обе части каждого из
уравнений D.1) на dxi/dqk и сложив все уравнения
вместе, получим
d dL \ dxt ^ dL_ dxt
Еп дх, г-\ _. дх.
R — + / Р\— - D-Ю)
i * i k
Первая из сумм в правой части этого выражения
равна нулю. Чтобы доказать это, умножим ее на dq^.
Здесь dxi — приращения декартовых координат, воз-
никающие в том случае, когда qk получает прираще-
ние dqk, остальные же обобщенные координаты оста-
ются неизменными. Однако согласно B.7) сумма
Yj Rt dx{ для любых dxi, совместимых со связями,
i
равна нулю (напомним, что мы предполагаем связи
стационарными и идеальными). Таким образом,
и, поскольку dqk^Q, мы приходим к выводу, что
? D
Величину
(см. второе слагаемое в правой части уравнения
D.10)) называют обобщенной силой. Основанием для

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 21
такого названия служит то обстоятельство, что выра-
жение
дает работу, совершаемую силами F* при перемеще-
ниях частиц, обусловленных увеличением обобщенной
координаты qk на dqk-
Таким образом, правая часть уравнения D.10) есть
просто Q'k. Рассмотрим теперь левую часть этого
уравнения. Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому
EdL д.с,
-JT--J—. Тогда слева в D.10)
i ' ' *
будет стоять разность выражений
dt
t
dL дх, r~\ dL дх
Sol oxt гч ol axl
~дх7 ~дч7 ~*~ 2-1 ~дГ. ~dq7 '
Последнее выражение представляет собой производ-
ную функции Лагранжа по обобщенной координа-
те qk: dL/dqk.
Выражение D.13) можно с учетом D.9) записать
в виде
^ ( d dL\ дх( л dL / d dx(\ d ^ dL dxt
2li \ЪТ ~дГ1) ~ЫГк ~*~ la ~ЫГ1 \dt ~dq~k ) ~ ~dt Lu 1Щ Hq^ "
Наконец, произведя замену dxi/dqk в соответствии
с D.6), придем к выражению
d ^ dL. dxt
~dl Li ~di~ ~ддТ '
i ' я
d dL „ „
которое есть не что иное, как -jr-g-r- - Действительно,
по правилам дифференцирования сложной функции
dL _ ТГ*?Ь. ?f L _i_ V -^- d*1
dqk ~ L dxt dqk + L dxijq-k'

22 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
но согласно D.7) все dxi/dqk равны нулю, так что
пергая из сумм дает нуль. Таким образо?4, мы пока-
.. ,-. d dL
гили, что выражение D.13) равно ~тт^р~-
Итак, разность выражений D.13) и D.14) есть
поосто-тг^-г ;—. Подстазнв зто значение в D.10),
dt d4k oqk -
придем к уравнениям
dt
которые отличаются от уравнений D.1) тем, что вме-
сто декартовых координат xi в них входят обобщен-
ные координаты qk, а вместо сил F\ — обобщенные
силы Q\. Реакции связей /?,- в уравнения ;'D.15) не
входят.
Если все силы, действующие на частицы системы
(кроме реакций связей), потенциальны, уравнения
D.15) имеют вид
d dL dL
-dtwk-wk={] (k^1-2 s)- DI6)
Уравнения D.15) и D.16) суть уравнения Лагран-
жа в обобщенных координатах. Фигурирующая в них
функция L= L(qu q2, ¦¦¦, qs, q\, 92 q*) есть функ-
ция, получающаяся из C.6) путем замены величин xt
и xi функциями D.3) и D.4).
Можно показать (см. Приложение I), что уравне-
ния D.15) и D.16) остаются справедливыми и для го-
лономных систем с идеальными нестационарными
связями.
Итак, мы доказали, что уравнения Лаграпжа
имеют одинаковый вид как в декартовых, так и в об-
общенных координатах.
Из выражения C.6) для функции Лаграижа в де-
картовых координатах вытекает, что производная L
по Xi равна pi — проекции импульса соответствующей
частицы на одну из координатных осей:
¦jT- = mixl=pi, D.17)

5 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ 23
а производная L по xi равна Ft — проекции потенци-
альной силы, действующей на частицу:
D18)
По аналогии с D.17) и D.181 величину
Р
называют обобщенным импульсом, а величину
0* = -^ D.20)
— обобщенной силой.
С использованием этих неличин уравнения D.16)
могут быть представлены в пиде
^ = Сь D.21)
аналогичном уравнениям Ньютона
Отметим, что определение D.20) является более
общим, чем определение D.12), введенное нами для
непотенциальных сил. Если бы мы распространили
определение D.12) на потенциальные силы, т. е. силы,
которые могут быть представлены в виде F, —
= —dU/dxt, то пришли бы к выражению
дх, -г-, dU дх, 6U
i
Согласно же определению D.20)
Q4 = __*i^a.e31_*L. D.23)
dgk dgk dgk dgk
Едх, т—, dU дх, dU
'IT1 —Уа-Г"в-я-' D-22)
dg. ?—¦ дх. dqb dg. v '
Выражение D.23) отличается от D.22) слагаемым
dT/dqk, которое, как будет показано в следующем па-
раграфе, вообще говоря, отлично от нуля (см. фор-
мулу E.9)).

24 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
§ 5. Функция Лагранжа и энергия
Функция Лагранжа L(qk,qk,t) есть характеристи-
ческая функция механической системы. Естественно,
что через эту функцию могут быть выражены не
только импульсы и силы (см. формулы D.19) и
D.20)), но также и энергия системы.
Выражение полной энергии системы через функ-
цию Лагранжа имеет вид
Основания для того, чтобы определить Е именно та-
ким образом, выяснятся ниже. Выражение E.1) яв-
ляется более общим, чем известное из курса общей
физики выражение
E=--T + U. E.2)
Определение E.1) остается пригодным и в том слу-
чае, когда полная энергия не может быть представ-
лена в виде суммы кинетической и потенциальной
энергий.
Вычислим полную производную по времени от ве-
личины E.1):
dt — L dq. 4* + L qk~dT ~ЫГ — L Щ71* '
dq.
й к " ft
dL
dqk Qk ~6F ~~ 2-i \df dqk dqk fk dt
В соответствии с уравнением Лагранжа D.15) выра-
жение в скобках равно непотенциальной обобщенной
силе Q*k. Следовательно,
dE v"« „„ . dL TV7» dL ,_ „.
-ж = L Q^k ~ ~ьг z= w ~ ~w • E-3>
к
где W* — мощность всех непотенциальных сил, дей-
ствующих на частицы системы.
В случае, когда функция Лагранжа не содержит
явно времени, dL/dt = Q и формула E.3) переходит
в соо. шение
dt w '
изв, .ое из курса общей физики.

5 5. ФУНКЦИЯ ЛАП'АНЖА И ЭНЕРГИЯ 25
Как следует из E.3), для того, чтобы имело место
сохранение полной энергии системы, недостаточно от-
сутствия непотенциальных сил. Кроме того, нужно
еще, чтобы время не входило явно в функцию Лаг-
ранжа, т. е. чтобы система была консервативной.
Итак, мы выяснили, что д/:я замкнутой системы, в ко-
торой действуют только консервативные силы, вели-
чина, определяемая формулой E.1), остается посто-
янной. Это и послужило основанием для того, чтобы
назвать величину E.1) полной энергией системы.
В механике функции Е;еличин qk и qk, сохраняю-
щие при движении системы постоянное значение, опре-
деляемое начальными условиями, называют интегра-
лами движения. Следовательно, можно сказать, что
энергия консервативной замкнутой системы является
интегралом движения.
Найдем условия, при которых определение E.1)
переходит в E.2). С этой целью исследуем выраже-
ние Т в обобщенных координатах. Связи будем счи-
тать голономиыми. Выразим декартовы координаты х{
частиц системы через обобщенные координаты ць\
Xi = xt (?,, q2, .... qs, t) {i = 1, 2, . . ., n). E.4)
Отметим, что время будет входить явно в эти соотно-
шения только в случае нестационарных связей.
Найдем полные произиодные функций x-L по вре-
мени. Поскольку величины Рь суть функции от t, ис-
комые производные имеют вид
dx, дх, г-ч д.(
Подставим эти выражения в формулу для кинетиче-
ской энергии:
дх. т-1 дх,
к
дх,

26 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКИ
В соответствии с E.4) выражения dxi/dt и dxi/dqk
суть функции от qk и t, величины qa в них не входят.
Следовательно, первая из сумм в формуле E.5) есть
также функция от qk и t. Обозначив эту функцию
буквой а, напишем
Изменив во второй из сумм в формуле E.5) поря-
док суммирования по i и k, приведем ее к виду
где
дх, дх,
ml-J-1?. E.7)
Наконец, представив один из множителей в третьей
Zdx.
-0-*-<7ь а Другой
k k
Zd>'i .
-3—qi, а затем, изменив по-
i l
рядок суммирования по i, k и /, запишем третью сумму
так:
' Z -г- ж -щ: = Z
где
Итак, выражение кинетической энергии можно
представить в виде
T = a(qj, t) + 2-i Pft (<7/> 0 Ч-к ~Ь Zj V*i (<7/. ?)Qk4i- E.9)
В случае стационарных связей f не входит явно
в функции E.4). Поэтому dxt/dt = 0, так что коэффи-

§ 5. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА И ЭНЕРГИЯ 27
циенты а(<7/, t) и р\(<7/, 0 превращаются в нуль. В ко-
эффициенты yki в этом случае время не входит явно.
В итоге
7=Iv«G-)?i?i. E.10)
к, I
Таким образом, для системы со стационарными
связями кинетическая энергия есть однородная квад-
ратичная функция обобщешшх скоростей </*>.
В § 3 мы выяснили, что для системы частиц функ-
ция Лагранжа в декартовых координатах имеет вид
L(xlt *,,/)
При переходе от декартовых к обобщенным коорди-
натам первый член написанного уравнения превратит-
ся, вообще говоря, з выражение E.9). Если же огра-
ничиться рассмотрением стационарных езязей, пер-
вый член нужно заменить выражением E.10). Второй
член примет вид U(qh,t). В случае стационарных свя-
зей время будет входить явно в U при услозии, что
потенциальные силы нестационарны.
Итак, в случае стационарных связей функция Лаг-
ранжа системы частиц, написанная в обобщекных^ко-
ординатах, выглядит так:
L (<7ft, qk, t) ¦= Т (qk, qk) - U {qh, t),
где Т определяется формулой E.10). Подставив это
выражение в формулу E.1), получим
rrUt-П^. 4k) + U{qk, t). E.11)
В соответствии с E.10) Т есть однородная квадратич-
ная функция величин qk. Следовательно, для нее со-
гласно теореме Эйлера (см. Приложение II) справед-
ливо соотношение
Произведя такую замену в E.11), придем к формуле
k, t).

28 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
Эта формула была получена при одном лишь предпо-
ложении, что связи стационарны. Если, кроме того, и
потенциальные силы будут стационарными, потенциал
il(qtt,t) превратится в потенциальную энергию U(qk)
и формула E.1) перейдет в E.2).
Итак, определение E.1) совпадает с E.2) в слу-
чае, когда и связи, и потенциальные силы стацио-
нарны.
§ 6. Примеры на составление
уравнений Лагранжа
Выбрав независимые обобщенные координаты,
удобные для описания рассматриваемой системы,
нужно установить вид функций
Xi = х, (qk, t) и xt = xt (qk, qk, t)
и подставить их вместо величин je, и i, в выражение
для функции Лагранжа
L = T(Xi)-U(xit 0 = ?-^-х?-?/(*,, t).
В результате получится функция Лагранжа в обоб-
щенных координатах:
L = L(qk, qk, t) = T(qk, qk, t) - U(qk, t).
Если в получившемся выражении для L окажутся
слагаемые, не зависящие от qk и qk, эти слагаемые
можно отбросить, так как они не внесут вклада в ве-
личины dL/dqk и dL/dqn и» следовательно, не окажут
влияния на вид уравнений Лагранжа.
Иногда операцию нахождения функции T(qn,qk,t)
удается сильно упростить. Это бывает возможно в тех
случаях, когда легко устанавливается связь между
элементарным перемещением частицы ds и прираще-
ниями обобщенных координат q/,. Так, например, в по-
лярных координатах на плоскости (рис. 6.1) переме-
щение ds является диагональю прямоугольника, по-
строенного на сторонах dr и rdq> (нужно помнить
о малости <tf<p). Следовательно, ds2 = dr2 -\- r2dq>2. Раз-
делив эту величину на dt2, получим квадрат скорости
частицы: v2 = r2 -f- г2ф2. Наконец,
r = lm?;2 = ~m(r2 + rV). F-1)

5 6. ПРИМЕРЫ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 29
В случае цилиндрически к координат к предыдущим
двум (г и ф) добавляется третья координата z. Пере-
мещение ds является диагональю прямоугольного па-
раллелепипеда со сторонами dr, rd<p и dz. Следова-
тельно,
Приращениям полярных координат г, ¦&, <р соответ-
ствуют три взаимно перпендикулярных отрезка
(рис. 6.2) с длинами dr, dri},
(последний отр<;-
rdf
Рис. 6.1
Рис. 6.2
зок направлен за чертеж1)). Перемещение ds со-
впадает с диагональю прямоугольного параллелепи-
педа, построенного на этих отрезках. В итоге
Т = ± m (г2 + гЧ2 f г2 sin2 Оф2).
F.3)
Рассмотрим несколько примеров.
I. Математический маятикк (см. рис. 1.1). Переме-
щение частицы тп равно as = ld<p. Поэтому Т =
= l/2ml2y2. Потенциальная энергия U =—mg/cos<j>.
Следовательно, функция Лагранжа имеет вид
L = 1/2тРф2 + fitgl cos ф.
Предоставляем читатело написать уравнение Лаг-
ранжа и убедиться в том, что оно совпадает с урав-
нением ( 1.1).
') Отрезки, перпендикулярные к плоскости чертежа, мы бу-
дем изображать кружком с то'кой, если отрезок направлен на
нас, и кружком с крестиком, есш отрезок направлен на чертеж.

30 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 3 МЕХАНИКЕ
Найдем обобщенный импульс и обобщенную силу.
Согласно формуле D.19)
dL ,,,.
pml"f
Таким образом, в данном случае обобщенный импульс
совпадает с моментом обычного импульса mv относи-
тельно точки подвеса маятника.
Согласно формуле D.20)
^ mgtsm
что есть момент N силы mg относительно точки под-
веса. Заметим, что элементарная работа равна
dA = Q,p d<p = N dy.
Последнее выражение совпадает с выражением для
работы при вращательном движении, известным из
элементарной механики.
Наконец, найдем энергию маятника по формуле
E.1) (в данном случае это можно сделать, так как
связь стационарна):
Е = -р- ф — L = tnl2q>2 — -:- тРф2 — mgl cos q> =
= Tj- m (/фJ — mgl cos q>.
2. Маятник с равномерно движущейся точкой под-
веса. Пусть точка подвеса математического маятника
движется в горизонтальном направлении с постоянной
скоростью v, лежащей в плоскости качаний маятника
(рис. 6.3). Уравнение связи имеет вид
(связь не стационарна).
Из выражений для декартовых координат
х = / sin ф + vt, y=--l cos ф
следует, что
i = /cos9 • ф -f v, y = — /sin<p-(j).
Отсюда
Т == |/,от (/2ф2 + 2о/ cos ф • ф + v2).
Потенциальная энергия U = —mgy = —mgl cos ф.

S 6. ПРИМЕРЫ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 31
При составлении функции Лагранжа постоянно
слагаемое 1/2т^2 можно отбросить. Следовательно,
L = 7J- (/2ф2 + 2а/ cos. ф - ф) +
Несмотря на нестационарность связи, время не зошло
явно в функцию L.
Нахождение уравнения Лагранжа в этом и сле-
дующих примерах предоставляем читателю.
а:
Рис. 6.3
Рис. 6.4
3. Маятник с точкой подвеса, движущейся с по-
стоянным ускорением. Рассмотрим математический
маятник, точка подвеса которого движется вдоль пря-
мой, наклоненной к горизонту под углом а, с посто-
янным ускорением а (рис. 6.4). Координаты точки
подвеса равны
хп = -?¦ a cos а ¦ i2, уп = -%а sin а ¦ Р,
а координаты точки т:
х = у a cos а • t2 -f- / sin ф, у — -^а sin а • t2 -\-1 cos ф.
Продифференцируем х и у по t:
х = а cos а • t + I cos ф • ф, у — a sin а • i — I sin ф • ф.
Подставив эти значения х и у в выражение для кине-
тической энергии, получим
Т = у ша2Р -4- ma/ (cosacos ip — sin a sin ф) ф? + у т/2ф2.

32
ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКЕ
Потенциальная энергия равна
U = — m,gy — — mg ('/га sin a ¦ /2 -J- Z cos ф).
При написании выражения для функции Лагранжа
можно опустить слагаемые l/2ma2t2 в Т и
—1/2tnea s'n а"^г в ^Л тг|к как эти слагаемые не со-
держат ф и ф, вследствие чего не могут повлиять на
вид уравнений Лагранжа. В результате найдем, что
L = mat (cos a cos ф — sinasinqi) qt + 42ml2q>2 -\- mgtcosq».
Функция Лагранжа зависит явно от t (это обуслов-
лено нестационарностью связи), причем время вошло
в L через кинетическую энер-
гию Т.
4. Частица, перемещающая-
ся по равномерно вращающей-
ся прямой. Пусть на частицу
массы т наложена нестацио-
нарная связь, заключающая-
ся в том, что частица может
двигаться только вдоль пря-
мой, вращающейся с постоян-
ной угловой скоростью (ф =
== <й/) в вертикальной плоско-
сти (рис. 6.5). Кроме реакции связи, на частицу дей-
ствует потенциальная сила mg. Декартовы коорди-
наты частицы равны
* = rcosotf, у = r sin a>t.
Соответственно
х = г cos K>t — гш sin cat, у = г sin tat -\- rco cos cat.
Кинетическая энергия:
Рис. 6.5
Потенциальная энергия:
U == mgy = mgr sin ad
(когда мы перешли от декартовых координат к обоб-
щенной координате г, в выражение для 0 вошло явно
время t).
Наконец, функция Лагранжа:
L = -s- т {г2 + г2©2) — mgr sin mt.

§ 7. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 33
Она оказалась зависящей явно от t, причем на этот
раз время вошло в L через потенциальную энергию U.
Обобщенный импульс:
_ EL — , • —
Иг g/. ¦ >
где v — скорость перемещения частицы по прямой.
Обобщенная сила:
состоит из двух слагаемых, из которых первое тгы2
есть центробежная сила инерции, а второе —
mg sin u)t — проекция силы mg на направление г.
5. Частица, перемещающаяся по прямой, вращаю-
щейся с ускорением. Пусть прямая, обусловливающая
связь (см. рис. 6.5), вращается не равномерно, а с
ускорением (ф = at2). Тогда
х = г cos at2, у = г sin at2,
х — г cos at2 — г2at sin a/2,
у = г sin a/2 -f r2a/ cos a/2,
U = mgy = mgr sin at2.
Соответственно
L = y2m (r2 + гЧаН2) ~ mgr sin at2.
В этом примере время вошло явно в L и через 7",
и через U.
§ 7. Принцип наименьшего действия ')
В основу механики вместо законов Ньютона мо-
жет быть положен принцип нанмеззыыего действия
или принцип Гамильтона2). Действием S за проме-
жуток времени от t\ до 1% называется интеграл
и
G.1)
где L{qk,qk,i) — фу;ш'.мя Лаграижа рассматриваемой
') Прежде чем приступить и изучению этого парагрефа, сле-
дует ознакомиться с Приложенном ill.
2) Этот принцип был установлен ирландским математиком
Гамильтоном в 1834 г.
2 И. В. Савельев, т. 1

34 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В МЕХАНИКИ
системы. Интегрирование производится от момента
времени tu в который положение системы характери-
зуется значениями координат <?*(М> Д° момента t2,
в который положение системы определяется значения-
ми координат qk{h)-
Согласно принципу наименьшего действия система
между положениями qk(ti) и qk(h) движется таким
образом (т. е. функции q,.(t) имеют такой вид), что
действие G.1) имеет наименьшее возможное значе-
ние. Воспользовавшись представлением о конфигура-
ционном нростракстве, можно сказать, что точка, изо-
бражающая положение системы, движется в этом
пространстве по той кривой, для которой действие S
минимально.
Принцип Гамильтона представляет собой наиболее
общую формулировку закона движения механических
систем. Достоинство зтой формулировки состоит в
том, что ее можно легко распространить на системы,
не являющиеся чисто механическими, например на
упругие среды, электромагнитные поля и т. п.
Как следует из G.1), размерность действия равна
размерности произведения энергии на время (или им-
пульса на перемещение). Такой же размерностью об-
ладает постоянная Планка, которую называют также
квантом действия.
Из принципа наименьшего действия легко полу-
чить уравнения Лагранжя. Действие S представляет
собой функционал (см. Приложение III). Согласно по-
ложениям вариационного исчисления функционал до-
стигает экстремального значения при условии, что его
вариация равна нулю. Следовательно, принцип наи-
меньшего действия можно выразить условием
и
6S = Ь J /, fa,,, qk, t) dt = 0. G.2)
По этой причине принциг наименьшего действия на-
зывают вариационным принципом механики.
Из вариационного исчисления известно (см. При-
ложение III), что вариация функционала типа G.1) ')
*) Ср. с (III. 20). В данной случае роль / (х, yk, y'k) играет
L {t, qk, <}fc). Роль независимой переменной х играет t, роль
играет <74(О и роль t/k{x) — функция qk(t).

й 1. при;):.:.},]!. '-л(.:-.'.':•<¦ нъ 'т^го дег^лчи-тя *>5
обращается а ну,-;.ь., er:u;. н к--гс-тэ ц-Ji] у^^-ъ функ-
ции, удоплетзоря?шуж^ Y>;c:i.:i:Hii:nf Зйл&??,2 (Ш. 25).
В данном случае yp"i«HC;;;ni :.й.:-«хя ииедаг кид
1 f " a -si ' ¦ я
'г,'" И" Ю V чг ,' | ч j ч , ) ( "Им i
I ( I л > 1 j г ] '
F (м- > ' 3 i"l С л"
ду-е '» 1 1 );, -\\' но '>¦ t' ri
G 2; к г ' . м ,i ¦ и ' < , к i
по it; л к ', а ' „" ' о1 о . i к г -j. I- .1 ' ро
Met ne i'u i ^ Li' i _ . w,' f <The «ч
np^Uijijj i лч* rcC и i i ipot^L" . a !¦) ".z^-
MCI ii Of hui^'MMI m o^ObU, ifcU <~O > i-
нат и времени (константа пспнесся ".ас.'н.ьг.ч! случаем
такой функцки). Это оСсюк чзлъство нами уже отме-
чалось в § 4 и было ысаоль&слдно в § 6.
2*

Глава II
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 8. Сохранение энергии
В основе законов сохранения, рассматриваемых
в механике, лежат свойства пространства и времени.
Сохранение энергии связано с однородностью време-
ни, сохранение импульса — с однородностью простран-
ства и, наконец, сохранение момента импульса нахо-
дится в связи с изотропией пространства ').
Начнем с закона сохранения энергии. Пусть си-
стема частиц находится в неизменных внешних усло-
виях (это имеет место, если система замкнута либо
подвержена воздействию постоянного внешнего сило-
вого поля); связи (если они есть) идеальны и стацио-
нарны. В этом случае время в силу своей однородно-
сти не может входить явно в функцию Лагранжа. Дей-
ствительно, однородность означает равнозначность
всех моментов времени. Поэтому замена одного мо-
мента времени другим без изменения значений коор-
динат и скоростей частиц не должна изменять меха-
нические свойства системы. Это, конечно, справедливо
лишь в том случае, если замена одного момента вре-
мени другим не изменяет условий, в которых нахо-
дится система, т. е. в случае независимости от времени
*) Однородность означает одничкосость свойств во всех точ-
ках. Изотропия означает одинаковость свойств в каждой точке
по всем направлениям. Однородность и изотропия независимы
друг от друга. Среда может иметь разные свойства в разных
точках, причем в каждой точке свойства будут иными, чем в
других точках, но одинаковым:; по всем направлениям. Такая
среда будет неоднородной, но изотропной Возможна среда, свой-
ства которой одинаковы во веся точках, но различны (одинако-
вым образом во всех точках) по разным направлениям. Такая
среда будет однородной, но анизотропной. Разукоется, возможны
среды однородные и изотропны-, а также неоднородные и ани-
зотропные.

§ 9. СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА 37
внешнего поля (в частности, это поле может отсут-
ствовать).
Итак, для замгснутой системы или системы, нахо-
дящейся в стационарном силовом поле, dL/di = Q.
Следовательно,
dL y* dL ¦ i V aL - (q i\
к а k R
Если система консервативна, движение частиц под-
чиняется уравнениям D.16). Заменим в соответствии
dL d dL „
с этими уравнениями ^— чгрез -jfT^' Тогда выра-
жению (8.1) можно придать вид
dL
dt
Zd / 8L\. .тг< aL d . d тр dL .
dt \ dqk pk+ L d\)'h dtqk^~dt L ~dfl Чк-
Последнее соотношение можно записать следующим
образом:
d у
~dt L
dL . dL d /V dL - i\ n
Согласно формуле E.1) величина, стоящая в скобках,
есть энергия системы Е. Таким образом, мы пришли
к утверждению, что dE/dt ==0, откуда
? = const. (8.2)
Итак из однородности времени вытекает закон:
энергия замкнутой (или находящейся в стационарном
внешнем силовом поле) консервативной системы час-
тиц остается постоянной.
Из определения E.1) следует, что Е есть функция
обобщенных координат qk л обобщенных скоростей </*.
Как мы уже отмечали, функции величин qk и qk, со-
храняющие при движении постоянное значение, опре-
деляемое начальными условиями, называют интегра-
лами движения. Таким образам, энергия замкнутой
системы является интегралсш движения.
§ 9. Сохранение импульса
Рассмотрим замкнутую систему частиц. Замкну-
тость означает, что воздействие внешних тел на час-
тицы системы пренебрежимо мало. В силу однс-родко-

38 ГЛ. II. ЗАКОНЬ" СОХРАНЕНИЯ
сти пространства перемещение всех частиц системы
на одинаковый отрезок бг не должно изменить меха-
нические свойства системы — функция Лагранжа
должна сохранить свое прежнее значение. Для неза-
мкнутой системы такой пезенос вызвал бы изменение
расположении частиц по отношению к взаимодей-
ствующим с ними телам, что отразилось бы на меха-
нических свойствах системы. Таким образом, только
для замкнутой системы частиц можно утверждать,что
параллельный перенос системы как целого не сопро-
вождается изменением функции LEL = 0).
Полагая перемещение os очень малым, можно на-
писать
(а — номер частицы). Ь\и ьоснользовались тем об-
стоятельством, что перемещения частиц бга одинако-
вы и равны бг.
По предположению бг-^-О. Поэтому из (9.1) выте-
кает, что
В соответствии с уравнениями Лагранжа C.8) можно
написать
dL d dL d jdL
дха dt d;ia dt dvax '
dL _ _d_ jiL d_ dL
dya dt dfia dt dvay '
dL d dL d dL
__ J^__
dza dt dia dt dvaz
Умножив первое из этих уравнений на ортсх, второе
на ортву, третье на ортеа*) и сложив их вместе, по-
лучим соотношение
dL d dL ,q o\
f) См. подстрочное примечание на стр. 14. В соответствии
со сказанный в этом примечании
йф . дф , , «Эф , , Зф ,
—X. dx = -^~ dx + -^- dy + —— dz.
dt dx dy dz
a) Вместо символов I, j, k мы будем обозначать орты коор-
динатных осей символом е с соответствующим индексом.

5 Id. СОХРАНЕНИЕ ГиЖЕНТА ИМПУЛЬСА 39
Таким образом, уравнению (9.2) можно придать вид
4-У-^.-=0. (9.4>
U
oL dL
Величина ¦--— есть яеитои с компонентам;! -— =
dva • OVax
= 4L. «L = ^, _^:=-^. Согласно D.17) ЭТН
произведения суть проекции на координатные оси
обычного (не обобщенного) импульса ца частицы с
номером а. Следовательно,
J^ = P, (9.5)
С учетом этого обстоятельства уравнение 9.4) запи-
шется следующим образом:
a
Отсюда вытекает, что
Р = Е Ua == COnsi. (9.6)
где р — суммарный импульс системы.
Итак, исходя из однородности пространства, ми
пришли к закону: суммарный импульс замкнутой си-
стемы частиц остается постоянным. Следовательно,
импульс замкнутой системы есть также интеграл дви-
жения.
§ 10. Сохранение момента импульса
Вследствие изотропии пространства механические
свойства замкнутой системы частиц не должны изме-
няться при произвольном повороте системы как целого
в пространстве. В соответствии с этим не должна из-
меняться и функция Лагранжа FL = 0). Найдем
приращение функции Лагранжа 6L при произвольном
очень малом повороте системы на угол бф. Вместе
с системой повернутся все векторы, характеризующие
систему, вследствие чего зти векторы получат некото-
рые приращения, которые будут того же порядка, что
и бф. Согласно формуле (VI. 46)
vj. (ЮЛ)

40 ГЛ. II. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Ввиду малости величин 6га и Sva
(напомним, что L = L(ra,ra) = L(ra,vo), время /в L
явно не входит). С учетом A0.1)
=Z
Из векторной алгебры известно, что в смешанном
(векторно-скалярном) произведении трех векторов до-
пустима циклическая перестановка сомножителей
(см. формулу (VI. 3)). Произведя такую перестановку
в A0.2), получим
Вынесем 6q> за знак суммы, одновременно заменив
в соответствии с уравнениями Лагранжа (9.3) -^—
d dL
а
По предположению бир =у- 0, поэтому условие 6L=0
эквивалентно условию
d
или
а
Согласно (9.5) ——- есть обычный импульс ра. Ве-
личина Ш. — [гр] есть мог/:ект импульса частицы отно-
сительно начала координат. Следовательно, мы при-
шли к утверждению, что

§ 10. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 41
В этом соотношении Ма — момент импульса частицы
с номером а, М — результирующий момент импульса
системы.
Итак, исходя из изотропии пространства, мы при-
шли к закону: результирующий момент импульса
замкнутой системы частиц остается постоянным. Зна-
чит, момент импульса замкнутой системы, так же как
ее энергия и импульс, является интегралом движения.
Пусть система частиц находится во внешнем цен-
тральном поле сил, т. е. в таком поле, в котором сила,
действующая на любую из частиц, имеет направление,
проходящее через одну и ту же неподвижную точку О
(центр поля), а модуль склы зависит только от рас-
стояния г частицы до этой точки. Потенциальная энер-
гия частицы в таком поле имеет вид
U = U(r). A0.4)
Произвольный поворот системы в пространсгве во-
круг точки О не изменяет механических свойств си-
стемы (расположение частиц по отношению к сило-
вому центру О остается прн таком повороте неизмен-
ным). Следовательно, хотя в данном случае система
частиц и не является замкнутой, ее момент импульса
будет постоянным. Правда, это справедливо лишь для
момента, взятого относительно точки О. В случае же
замкнутой системы сохраняется момент импульса, взя-
тый относительно любой точки.
Если внешнее поле обладает осевой симметрией
(это значит, что потенциальная энергия частицы за-
висит лишь от расстояния частицы до заданной оси),
то механические свойства системы не будут изме-
няться при повороте вокруг оси поля. Следовательно,
будет постоянным момент импульса системы относи-
тельно этой оси (напомним, что моментом относи-
тельно оси называется проекция на эту ось момента,
взятого относительно любой иг точек оси).

Глава III
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
§ 11. Движение частями
о центральном поле сил
Рассмотрим движение частицы в центральном поле
вида
?/@ = 7. A1.1)
где а — константа, которая гложет быть либо положи-
тельной, либо отрицательной. Положительная кон-
станта отвечает случаю отталкивания частицы от си-
лового центра (например, кулоновской силе отталки-
вания), отрицательная константа — случаю притяже-
ния частицы к центру (кулоновской силе притяжения
или силе гравитационного взаимодействия данной час-
тицы с неподвижной частицей, помещающейся в цен-
тре поля).
В § 10 мы установили, что в центральном поле
остается постоянным момент импульса частицы:
М = [гр] = const.
Векторное произведение перпендикулярно к плоско-
сти, в которой лежат перемножаемые векторы. Отсюда
следует, что при неизменном направлении вектора М
вектор г всегда лежит в одной плоскости, перпендику-
лярной к М, и траектория частицы является плоской
кривой. Будем определять положение частицы с по-
мощью полярных координат г и <р, совместив начало
координат с центром поля. В этих координатах функ-
ция Лагранжа имеет вид (км. формулу F.1))
В функцию L не коо'ла явно координата ф. Обоб-
щенные координаты, Hi: входящие явно в функцию

$ П. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ 43
Лагранжа, называются циклическими. В отсутствие
кепотенциальных сил уравнения Ллгранжа, соответ-
ствующие циклическим координатам, выглядят сле-
дующим образом:
dt <?4ft
Отсюда
Pk = -aZ~ == COnst. A1.2)
Таким образом, обобщенные импульсы, соответствую-
щие циклическим координатам, оказываются постоян-
ными, т. е. являются интегралами движения.
В рассматриваемой пгш задаче уравнение A1.2)
имеет вид
, __ тг-%' t'i >лл-' (\ Т Ч\
Нф ^ф '"' Ч '—'" — ' Ui Л - \» 1 "I
Это уравнение можно было ягписать сразу, учтя, что
тг'2ф есть момент импульса частицы относительно на-
чала координат, который дэлжен сохраняться в цен-
тральном поле сил.
Энергия частицы в центральном поле также яв-
ляется интегралом движения. Поэтому, произведя вы-
числения по формуле E.11), можно написать
Е = -5- m (r2 -f- г2ф2} -\— = const. {11.4)
Для нахождения траектории частицы лучше исхо-
дить из уравнений A1.3) и (П.4), чем из уравнений
Лагранжа. Такой путь проще, так как уравнения Лаг-
ранжа содержат вторые производные координат, урав-
нения же A1.3) и A1.4)—первые производные коор-
динат по времени.
Исключив из уравнений A1.3) и A1.4) ф, получим
откуда
dr 1 . /г. г. 2лт Мг
Из уравнения A1.3)
dq> i M

44 ГЛ. 111. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
Исключив dt из последних двух уравнений, най-
дем, что
(M/r2) dr
. „ , / am \2 ( am , M
Введя обозначения
am \2 ,9 am , M
N +
можно написать
где ф0 — постоянная интегрирования.
Возвращаясь к прежним обозначениям, мы полу-
чим уравнение траектории частицы в полярных коор-
динатах
ат/М + М/г
ш — ш0 = arccos . =
= arccos *+jg?")fla. AL5)
VHh2?yM2/a2
Из уравнения A1.5) следует, что при заданной ве-
личине г разность ф — фа может иметь два отличаю-
щихся знаком значения (cos(—ос) = cos а). Отсюда
легко заключить, что кривая, описываемая уравне-
нием A1.5), симметрична относительно прямой, обра-
зующей с осью, от которой отсчитывается ф, угол фо.
Чтобы выяснить характер кривой, описываемой
уравнением A1.5), введем обозначения
с. A1.7)
Тогда уравнение траектоэчи примет вид
1 ± р/г
Ф — Фо — згссоз

§ 11. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ 45
*
или, после несложных преобразований,
Г =
(верхний знак соответствует случаю отталкивания,
нижний — случаю притяжения частицы к центру сил).
Полученное нами уравнение есть уравнение кони-
ческого сечения (см. Приложение IV) с фокальным
параметром р и эксцентриситетом е.
Рассмотрим сначала случай отталкивания (а ~> 0).
В этом случае U > 0, так что полная энергия Е не
может быть отрицательной. Поэтому согласно A1.7)
е>\. Таким образом, в случае отталкивания траек-
торией частицы может быть только гипербола. Взяв
в A1.8) верхний знак (мкнус), получим уравнение
траектории
— р
т ——
1 — е cos (<р — ф0)
Значение фо определяется выбором начала отсчета <р.
Если угол ф отсчитывать от оси симметрии кривой (от
прямой, проходящей через фокусы), то г не должно
изменяться при изменении знака ф. Это имеет место
лишь при фо = 0 или фо = п. Положив фо = 0, получим
уравнение
1 — С СО" ф '
совпадающее с уравнением (IV. 14), которое описы-
вает правую ветвь гиперболы (при условии, что на-
чало координат, т. е. силовой центр, помещено во
внешнем (левом) фокусе гиперболы).
Положив фо = я и учтя, что соз (ф — я) = —cos ф,
получим уравнение
r== JL
1 + <¦ с°? ф *
совпадающее с уравнением (IV. 13), описывающим
левую ветвь гиперболы (пр:* условии, что начало ко-
ординат помещено во внешнем (правом) фокусе ги-
перболы; рис. 11.1).
Теперь обратимся к случаю притяжения (о<0).
Ему соответствует в формуле A1.8) нижний знак

46
ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
(плюс). Следовательно, уравнение траектории имеет
вид
-"— A1.9)
I — е. cos
для фа = 0 и
«• — ——?
1 -J- с COS ф
A1.10)
для <ра = я.
Как показано п Приложении IV, оба уравнения
описывают либо эллипс, либо одку из ветвей гипер-
болы, либо параболу (см. уравнения (IV. И) и
(IV. 12)). С какой из зтих кривых мы имеем дело,
определяется значением <?.
Рис.* 11.1
В случае притяжения U < 0, следовательно полная
энергия Е может быть хлк положительной, так и от-
рицательной, в частности, она может оказаться рав-
ной нулю. Как следует из формулы A1.7), при ? >0
эксцентриситет оказывается больше единицы и траек-
тория будет гиперболой. Уравнение A1.9) дает пра-
вую ветвь гиперболы, уравнение A1.10) — левую. При
этом, в отличие от случая отталкивания, начало ко-

§ II. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛБ СИЛ 47
ординат, т. е. центр сил, помещается во внутреннем
для данной ветви фокусе (ркс. 1S.2) ').
При ? = 0 эксцентриситет оказывается равным
единице, и траектория будет параболой. Этот случай
осуществляется, если частица начинает свое движение
из состояния покоя на бесконечности.
Рис. 11.2
Наконец, при Е < 0 эксцентриситет меньше еди-
ницы, и траектория будет эллипсом. В этом случае
кривые, описываемые уравнениями A1.9) и A1.10),
отличаются положением <силового центра. Кривая
A1.9) получается, если центр сил (начало координат)
помещается в левом фокусе эллипса. Кривая A1.10)
соответствует расположенно центра сил в правом
фокусе.
') Сплошные кривые на рис 11.2 изображены для одного
и того же значения момента импульса М, а следовательно, для
одинакового значения фокального параметра р. Штриховой эл-
липс соответствует меньшему значению Af. Для меньшего значе-
ния М вершина параболы мотет оказаться правее вершины
гиперболы, соответствующей большему Af.

43
ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
Если 1 -!¦¦ BЕМ2/тай) == 0, т. е. Е = —mc2/2Af2, то,
как следует из формулы A1.7), эксцентриситет обра-
щается в нуль — траектория представляет собой
окружность. При заданном М такое значение энергии
в данном силовом поле является минимально возмож-
ным (меньшим Е отвечает мнимое значение е).
Когда ч&стиц.э движется м ограниченной области
пространства (чйстицй е* ухолит в бесконечность),
движение называется финитным. Если частица при
движении уходит п бесконечность, движение назы-
вается инфинитным. Движение по эллипсу является
фипятным (напомним, что в этом случае Е ¦< 0), дви-
жение по гиперболе и параболе — ккфиннтным
т,
§ 12. Задача двух тел
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из
двух взаимодействующих частиц с массами т.\ и т%.
Потенциальная энергия такой системы зависит от рас-
стояния между части-
цами г, которое можно
рассматривать как мо-
дуль вектора г, прове-
денного от одной час-
тицы (скажем, т2) к
дрvгой {mi): U= U(r)
"г (рис. 12.3).
Система имеет
шесть степеней свобо-
ды. В качестве обоб-
Рис. 12.1 щенных координат
возьмем три декартовы
координаты центра инерции С системы (которым эк-
вивалентен радиус-вектор R точки С) и три проекции
вектора г на координатные оси. Вектор г можно пред-
ставить в виде
г = г,-г2, A2.1)
где Г] и г2 — радусы-векторы частиц относительно цен-
тра инерции. В соответствен с определением центра
инерции
1В,г, + ШаГа = 0. A2.2)

$ 12. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 49
Решая совместно уравнения A2.1) и A2.2), можно
найти, что
Г1 = __^__Г) Г2 = 2LL_r. A2.3)
Положение частиц относительно начала координат
определяется векторами R -fri и R + г2.
Напишем функцию Ла:"ранжа системы:
L = -?- (R + г,J + ~*~ (R + г2J - U (г).
Осуществив возведение в квадрат и приняв во внима-
ние, что согласно A2.2) /iiii"i-f-/П2Г2 = 9, получим
Наконец, заменив ri и г2 через г в соответствии с
A2.3), придем к выражению для L в принятых нами
«координатах» R и г '):
L = ^L+ЛЯ it2 _|_ JL Г2 _ rj (г)> A2.4)
где
ц__^^_ A2.5)
— величина, называемая приведенной массой системы.
Функция A2.4) распадается на дза независимых
слагаемых:
L = Z.(R) + L(r, г).
Первог из них описывает поведение ;^гнтра инерции
системы, второе — движение частиц относительно цен-
тра инерции.
Как вытекает из A2.4), координата R оказывается
циклической (она не входит явно з L; см. предыдущий
параграф). Следовательнэ,
рй ~ (щ -|- m2) R = conot
(импульс системы сохраняется; это можно было пред-
видеть заранее, ибо система замкнута). Центр инер-
') Координатами без кавычек являются не сами векторы R
и г, а нх проекции на координатные оси.

50 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
ции системы движется прямолинейно и равномерно
(либо покоится).
Движение частиц относительно центра инерции
описывается функцией
L = ^?-U{r). A2.6)
Ее можно рассматривать как функцию Лагракжа час-
тицы массы |л, движущейся в центральном поле с не-
подвижным центром. Положение частицы относитель-
но силового центра определяется радиусом-вектором г.
Таким образом, задача о движении системы из двух
взаимодействующих частиц (задача двух тел) оказа-
лась сведенной к задаче о движении одной частицы
в центральном поле сил. Эту задачу ми рассмотрели
в предыдущем параграфе. Мы выяснили, что в случае,
когда U — а/г, траекторией частицы будет коническое
сечение. Следовательно, конец радиуса-вектора г =
= Г|—г2 скользит при движении частиц по кривой,
представляющей собой коническое сечение. Согласно
A2.3) радиусы-векторы п м г2 пропорциональны ра-
диусу-вектору г1). Таким образом, каждый из этих
векторов также описывает коническое сечение. В за-
висимости от характера взаимодействия (притяжения
либо отталкивания) и величины полной энергии си-
стемы траекторией каждой из частиц будет либо эл-
липс, либо парабола, либо гипербола.
Допустим, что вспомогательная воображаемая час-
тица fi движется по эллипсу, описываемому уравне-
нием
г р
1 — <• COS ф
Согласно A2.3) вектор п в любой момент времени
имеет такое же направление, что и г (<pi=q>), а мо-
дуль его в m2/(mi -f- m2) раз больше. Следовательно,
частица mi движется по эллипсу:
A2.7)
1 1 — Я СОЗ ф|
где pi = pm%l{mx + m2).
!) По этой причине воображаемый силовой центр, под дей-
ствием которого движется частица р., нужно предполагать поме-
щающимся в той точке, от которой откладываются векторы rt
и г2, т.е. в центре инерции системы С.

5 12. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
51
Вектор г2 в каждый момент времени направлен
противоположно вектору г (см. A2.3)). Поэтому, ко-
гда вектор г ориентирован под углом <р, вектор г2
ориентирован под углом фг = я + <р. Модуль вектора г2
в ш\/ (т\ -\- т2) раз больше. Следовательно, учтя, что
Ркс. 12.3
cos(q>2 — n) = —cosq>2> уравнение эллипса, по кото-
рому движется частица т2, нужно записать в виде
e cos ф2' '
A2.8)
где р2 = рт\/(ту + т2).
В случае, соответств]'ющем уравнению A2.7), на-
чало координат (т. е. центр инерции С) помещается
в левом фокусе эллипса (см. формулу (IV. 11)). В слу-
чае, отвечающем уравЕ1ению A2.8), качало коорди-
нат (точка С) помещается в правом фокусе эллипса

52 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
(см. формулу (IV. 12)). Следовательно, траектории
частиц выглядят так, как показано на рис. 12.2').
Предоставляем читателю самому убедиться в том,
что в случае движения по гиперболам траектории час-
тиц будут выглядеть так, как показано на рис. 12.3, а
(в случае взаимного притяжения частиц), и на
рис. 12.3,6 (в случае отталкивания).
§ 13. Упругие столкновения частиц
Столкновением называется процесс, заключаю-
щийся в том, что взаимодействующие друг с другом
частицы, придя из бесконечности (т. е. с такого рас-
стояния, при котором их взаимодействием можно пре-
небречь), сближаются, а затем либо расходятся снова
на бесконечность, либо остаются на конечном рас-
стоянии друг от друга. В первом случае столкновение
называется рассеянием частиц, а во втором — захва-
том частиц. Очевидно, что захват может наблюдаться
только в том случае, если взаимодействие частиц
имеет характер притяжения.
Когда говорят о столкновениях частиц, отнюдь не
предполагают, что частицы приходят в соприкоснове-
ние, как это бывает, например, при столкновении двух
шаров. Имеется в виду лишь то, что вследствие взаи-
модействия частицы изменяют направление или харак-
тер своего движения.
Рассмотрим упругое столкновение двух отталки-
вающихся частиц. Столкновение называется упругим,
если оно не сопровождается изменением внутренней
энергии частиц. Следовательно, при упругих столкно-
вениях механическая энергия системы сталкивающих-
ся частиц остается постоянной.
Проще всего процесс столкновения рассматривать
в системе отсчета, связанной с центром инерции час-
тиц (ее называют ц-системой). Однако на практике
наблюдения за столкновениями производятся в систе-
ме отсчета, относительно которой центр инерции час-
тиц движется со скоростью Vc- Эту систему отсчета
называют лабораторной системой или, короче, л-систе-
мой. Обычно в лабораторной системе одна из частиц
до столкновения покоится.
') Рис. 12.2 и 12.3 выполнены для mj/m2 = 2/3; с — 0,8
(рис. 12.2) и е— 1,5 (рис. 12.3).

§ 13. УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 53
Между скоростью i-Pi частицы в л-системе (мы бу-
дем обозначать ее символом v,) и скоростью той же
частицы в ((-системе (эту скорость обозначим v1/^)
имеется очевидное соотношение
v, = v3 + v«c>. A3.1)
Из определения центра инерции следует, что
/niVi -}-
т-2
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением слу-
чая, когда в л-системе вторая частица до столкнове-
ния покоится. Тогда, обозначив скорость первой час-
тицы до столкновения символом vio. получим, что
Подставив это значение v<: в формулу A3.1), получим
следующие выражения для скоростей частиц в ц-си-
стеме до столкновения:
i
10
Умножив первую из этих скоростей на т\, а вторую —
на т2, найдем импульсы частиц до столкновения
в w-системе:
Здесь i.i=mifn.2/(mi-\-m2)— приведенная масса частиц.
Как это и должно быть, суммарный импульс час-
тиц в ^-системе до столкновения равен нулю. Из за-
кона сохранения импульса следует, что и после столк-
новения импульсы частиц б /{-системе могут отличать-
ся лишь знаком: р(,С) = — piC).
Суммарная кинетическая энергия частиц в резуль-
тате упругого столкновения не может измениться (мы
считаем, что до и после столкновения частицы нахо-
дятся друг от друга настолько далеко, что их взаим-
ная потенциальная энергия пренебрежимо мала).

54 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
Поэтому можно написать соотношение
2 2 2 2
Рю , Рао J>j_ , Pi
O.W. '
2т, ^ 2т2 2т, ' 2т2
(мы опустили верхний индекс «(С)г при символах им-
пульсов). В сочетании с условием, что {р'о'| = I Рм'|
и I р<(с* j == | р^С) j, написанное нами соотношение указы-
вает на то, что импульсы (а следовательно, и скоро-
сти) частиц в результате столкновения лишь повора-
чиваются в ц-системе на некоторый угол %, оставаясь
неизменными по величине. Обозначим символом в) еди-
ничный вектор скорости первой частицы в /{-системе
после столкновения. Тогда в соответствии с форму-
лами A3.3) можно написать для скоростей частиц
после столкновения следующие выражения:
v<c) ™i f, е
vi tn, +m2 io i\
v(c> = 111 у e
V2 ra, + m, иЮс1-
Чтобы получить скорости частиц после столкнове-
ния в л-системе, воспользуемся формулой A3.1), под-
ставив в нее выражение A3.2) для vc. В результате
получим
Vi = mi + fn2 Vlc + m, + «
mi n%\
Для импульсов частиц в л-системе после столкнове-
ния получаются выражения
A3.4)
m2 '
Pi STTmTPl° «i + m,
Полученные соотношения можно сделать очень на-
глядными с помощью следующего геометрического
построения. Изобразим вектор рю отрезком AD
(рис. 13.1) и отметим на нем точку О, которая делит
длину вектора в отношении т\: т2. Из точки О, как
из центра, проведем окружность, проходящую через

§ !3. УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
55
конец вектора р10. Радиус этой окружности равен
Piom2/(fni -f тг). Если т\ < т^, точка А попадает
внутрь окружности (рис. ЗЗЛ.с); если т\>т2, точ-
ка А оказывается вне
окружности (рис. 13.1,
б); ирн mi = т-2 точка
А лежит на окружно-
сти (рис. 13.1, в). Отло-
жим из точки О под
углом % по отношению
к рю единичный вектор
ei направления, в кото-
ром по предположению
летит относительно
Ч-системы первая час-
тица. Тогда отрезок
ОВ будет изображать
вектор tipiotn^/ (mi -|-
+ т2) и в соответст-
вии с формулами
A3.4) отрезок АВ даст
вектор pi, а отрезок
BD — вектор р2.
Угол 01 между век-
торами pi и рю назы-
вается углом рассеяния.
Он характеризует от-
клонение первой части-
цы, наблюдаемое в
л-системе. Угол 62 меж-
ду векторами р2 и рю
называется углом от-
дачи. Сумма 6i+02 на-
зывается углом раз-
лета частиц после
столкновения. Углы 0i
и 02 можно выразить
через % — угол откло-
нения первой частицы
в ц-системе. Учтя, что
длина отрезка ОВ равна pi^tn^l {Щ\ Л~
писать
[/!ioni!!/(m, + тг)] sin у.
Рис. 13,1
можно на-
g ! ~
m2)\ cos

56 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
ИЛИ
nt\ + т2 cos х
A3.5)
Из равнобедренного треугольника OBD получается
соотношение
62 = -^р-. A3.6)
Из рис. 13.1,а видно, что более легкая частица
может рассеяться на более тяжелой (mi < m2) в лю-
бом направлении (точка В может находиться в любом
месте на окружности). Угол разлета частиц в этом
случае всегда больше л/2.
В случае, когда гп\ > т2 (рис. 13.1,6), угол рас-
сеяния не может превысить некоторое предельное зна-.
чение Gimax (ему соответствует точка В' на рисунке).
Синус этого угла равен отношению отрезков ОВ' и
О А, т. е.
sinelra,t=—.
При т\ > '"«г угол разлета частиц всегда меньше л/2.
Если массы частиц одинаковы {т.\==тч), частицы
разлетаются после столкновения под прямым углом
друг к другу @i -\- В2 = п/'2; рис. 13.1, в).
При лобовом ударе частицы разлетаются под уг-
лом 6[ + 62> равном либо л (при mi ¦< m2; рис. 13.1, а),
либо нулю (при гп\ > то. рис. 13.1,6). Угол % при
лобовом ударе равен л. Когда массы чаетиц одина-
ковы (mi = mo), pi оказывается равным нулю, а
р2 = р10 (си. рис. 33.1, в; в рассматриваемом случае
точка В совпадает с точкой /1). Следовательно, час-
тицы одинаковой массы при лобовом ударе обмени-
ваются импульсгми. Этот результат легко получить
также из формул (!3.4).
Полученные нами результаты являются следствием
законов сохранения энергии и импульса и не зависят
от характера взанмодейстння частиц. Для того чтобы
определить, под каким угюм ¦? рассеивается частица,
нужно знать закон взаимодействия частиц и их вза-
имное расположение при столкновении. Рассмотрению
этого вопроса посвящен следующий параграф.

S 14. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ
57
§ 14. Рассеяние частиц
В § 12 было показано, что задача о движении двух
взаимодействующих частиц сводится к задаче о дви-
жении частицы с массой ц (ц — приведенная масса)
в центральном поле сил, причем расстояние этой час-
тицы от центра сил равно расстоянию между рассмат-
риваемыми частицами. Найдя траекторию воображае-
мой частицы массы ц, легко найти траектории обеих
частиц.
Воспользуемся этим приемом для изучения про-
цесса рассеяния частицы тх частицей /иг, которая
Рис. 14.1
первоначально неподвижна в л-системе. Перейдем
в ^-систему и рассмотрим частицу ц, движущуюся
в силовом поле, центр которого совпадает с центром
инерции системы С. На больших расстояниях от цен-
тра поле будем полагать столь слабым, что движение
частицы вдали от центра можно считать прямоли-
нейным.
Введем в рассмотрение прицельный параметр или
прицельное расстояние Ь, равное тому расстоянию, на
котором пролетела бы частица мимо силового центра,
если бы поле не оказыза/о на нее воздействия
(рис. 14.1). Ясно, что угол отклонения частицы есть
функция прицельного расстояния: х = х(^)> причем
чем меньше Ь, тем, вообще гозоря, должен быть боль-
ше %. Обратив эту функци о, можно написать
Ь = Ь(у). A4.1)

58 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
Предположим, что т\ силовой центр С падает пу-
чок одинаковых частиц, летящмк вдали от центра в
одном и том же направлении и с одинаковой ско-
ростью v0, Этот пучок можно охарактеризовать плот-
ностью потока частиц /, под которой подразумевается
число частиц, пролетающих за секунду через перпен-
дикулярную к пучку единичную площадку. Будем по-
лагать, что пучок частиц однороден, т. е. что вдали от
рассеивающего центра плотность потока одинакова во
всех точках поперечного сечения пучка.
Частицы пучка отклоняются на разные углы %
в зависимости от того, с каким прицельным расстоя-
нием приближается к центру та или иная частица.
Частицы, прицельное расстояние которых окажется
в пределах от Ь до b + db, будут рассеяны в пределах
углов от % до % + d%. Обозначим поток таких частиц
(т. е. число частиц, рассеиваемых под углами от %
до %-f-rf% в единицу времени) через dh\. Отношение
rfo==_JL A4.2)
называют дифференциальным эффективным сечением
(или поперечником) рассеяния. Одним из оснований
для такого названия послужило то обстоятельство, что
da, как следует из A4.2), имеет размерность площади.
Легко видеть, что da определяет относительное коли-
чество (долю) частиц, рассеиваемых в данном интер-
вале углов.
В случае однородного по сечению пучка поток час-
тиц, прицельное расстояние которых попадает в пре-
делы от Ь до b ¦+- db, равен j2nbdb (поток = плотность
потокаX площадь). Этот поток рассеивается под уг-
лами от % до % + d%. Следовательно, dNK = j2nb db.
Подставив это значение в формулу A4.2), получим
. j2nl> db n , .,
da = -—: = 2r.b db
или, перейдя от переменной b к % (см. A4.1)),
x A4.3)
db do , .ч\
мы взяли модуль -J-, поскольку -г-< 0j.

$ 14. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ 69
Величину dNx в формуле A4.2) можно трактовать
как поток частиц, летящих е пределах телесного угла
dQ = 2я sin х ^Х (такую величину имеет телесный
угол, заключенный между конусами с углами раствора
X и х + ^х)- Заменив в A4.3) 2nd% через dQ/s\n%,
можно привести формулу для дифференциального эф-
фективного сечения рассеяна я к виду
dQ. A4.4)
Формула A4.3), равно как и A4.4), является са-
мой общей — она определяет дифференциальное эф-
фективное сечение рассеяния в случае любого цен-
трального рассеивающего поля. Величины Ь(х) и
db/d% определяются характером силового поля, т. е.
характером взаимодействия частиц. Следовательно, da
определяется видом рассеивающего поля и является
важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Ис-
следовав экспериментально dc, можно получить све-
дения о характере силового поля.
До сих пор шла речь о рассеянии пучка частиц
на одном рассеивающем центре. Практически же на-
блюдают рассеяние на совокупности одинаковых рас-
сеивающих центров. В связи с этим отметим следую-
щее обстоятельство. На заметные углы х отклоняются
только те частицы, которые, летят достаточно близко
от рассеивающего центра (для которых прицельное
расстояние мало). Поэтому если на пути частиц ока-
жется п одинаковых не перекрывающих друг друга
и достаточно разреженных рассеивающих центров, то
эти центры будут осуществлять рассеяние независимо
друг от друга и поток частиц, рассеиваемых в преде-
лах углов от х До х + d%, будет в п раз больше, чем
при наличии только одного центра. Таким образом,
в случае п центров
dNx = njdo. A4.5)
Перейдем от частицы с массой \i, рассеиваемой не-
подвижным силовым центром, помещающимся в точ-
ке С, к реальным частицам mi и т%- Траектории этих
частиц геометрически подоЗны траектории частицы ц.
Действительно, согласно (:2.3) радиус-вектор первой
частицы, проведенный из точки С, в т%1(гп\ -+¦ тг) раз
длиннее радиуса-вектора частицы д, проведенного из

60 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
той же точки. Аналогичное соотношение справедливо
и для второй частицы. Значит, в ц-системе частица т.\
отклоняется на тот же угол %, что и частица р,. В ка-
честве прицельного расстояния нужно брать расстоя-
ние, на котором пролетела бы первая частица мимо
второй, если бы частицы не взаимодействовали (ра-
диус-вектор г частицы (х, проведенный из силового
центра С, совпадает с п —г2).
Таким образом, формула A4.3) оказывается спра-
ведливой (а ц-системе) и для пучка частиц ти рас-
сеиваемых частицей т2. Для того чтобы перейти от
Ч-системы к лабораторной системе, в которой наблю-
дается рассеяние, необходимо в формуле (!4.3) пе-
рейти от переменной % к переменной 0i. Этот переход
осуществляется по формуле A3.5). Формула, которая
при этом получается, в общем случае оказывается
очень громоздкой.
В частном случае, кстда т\ <С т2 (рассеиваемые
частицы много легче рассеивающих), 0i яз % (см. фор-
мулу A3.5)), так что формулы A4.3) и A4.4) можно
записать в л-сиетеме:
-Ц-
sin 6,
Отметим, что в этом случае \i я» Ш\ и г « Х\ (траекто-
рия частицы ni\ практически совпадает с траекторией
частицы ц).
Рассмотрим случай кулоновского рассеивающего
поля, т. е. поля вида U = а/г, полагая т\ -С т2. Энер-
гию рассеиваемой частицы можно представить выра-
жением ?= 1/2пг^1, где v0—начальная (и конечная)
скорость частицы т.\. Момент импульса частицы т\
относительно центра рассеяния (совпадающего с час-
тицей тг) равен M-—m\VOb (см. рис. 14.1). Подставив
эти значения Е и М в формулу A1.5), придем к со-
отношению:
- Фо = а rccos —¦?====LJ—- . A4. /)
1 + /y
Из рис. 14.1 видно, что при г = оо имеются два
значения <р — нуль и 2q>0- Б первом случае левая часть

8 14. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ 61
формулы A4.7) обращается в —фо, во втором в +фо-
Поэтому, положив в A4.7) i= oo, можно написать
1
Фо:
arccos —-j=z
откуда
1 +
Далее из рис. 14.1 следует, что % = л — 2ф0, т. е. фо =
= я/2 — х/2 = я/2 — ei/2 (мы воспользовались тем,
что в рассматриваемом случае можно положить
6i =%). Подставив это значение ф0 в формулу A4.8),
получим
i
sirr—- =
2 1 + (m.^ft/aJ '
Разрешив это соотношение относительно Ь, придем
после несложных преобразований к выражению
>. A4.9)
Дифференцирование по Oi дает
db a 1
« -• A4.10)
Наконец, подставив выражения A4.9) и A4.10) в
A4.6), получим формулы для дифференциального эф-
фективного сечения рассеяния частиц массы т\
в кулоновском поле, создаваемом частицей массы
{ пг\):
(^X™№-dK (i4.li)
V 04.12)
Мы получили известную из общего курса физики
формулу Резерфорда для эассеяния a-частиц на тя-
желых ядрах. В этом можно убедиться, заменив а че-
рез 2Ze2 и умножив формулы A4.11) и A4.12) на
плотность потока a-частиц / и число атомов рассеи-
вающего вещества п, приходящееся на единицу

62
ГЛ. И!. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧ!!
площади поперечного сечения пучка a- i.?.ci i.ii. Тогда п
левой части формулы пел учится чыргжелие ;./^<7, когс-
рое дает dNe,— поток «частиц, рассеиваемый в ин-
тервале углов от Gi до l]i + rf?<i, либо dNo. ¦— мптох
а-частиц, рассеиваемых в телесный угол а'О {<:и. фор-
мулу A4.5)).
Заметим, что найденные нами выражения для da
не зависят от знака а, так что полученный результат
справедлив не только для случая кулоновского от-
талкивания частиц т.\ и IP.2, но в для случал их куло-
носского притяжения.
§ 15. Движение в кеккерцналъЕШх системах
отсчета
Функция Лагранжа одной частицы имеет вид
L = Чх'пч* - U (г) (i5.i)
только в инерциальных системах отс
L
Найдем
р
вид L з произвольной неинерциалькой системе отсче-
та. На рис. 15.1 изобра-
жена инерциальиая си-
стема отсчета К и систе-
ма К', начало которой
(точка О') движется вси-
_j стеме К со скоростью
х' vo(t), а сама система К',
кроме того, вращается от-
носительно системы К с
угловой скоростью ©(/).
Выразим фуЕчкцию A5.1)
через радиус-в?тор г',
определяющий положение частицы в системе К', и
через скорость v' частицы, наблюдаемую в той же
системе.
Предположим сначала, что vo(t)^O и начала
обеих систем отсчета совпадают. Тогда между скоро-
стями частицы в обеих системах имелось бы соот-
ношение
у = у' + [«аг'] A5.2)
г
Рис. 15.1
(частица, неподвижная в системе К', имела бы в си-

5 !6. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫН СИ..Г2МЫ ОТСЧЕТА 63
ever«;e А" cv.opc.cri,, рьанущ [ег] '')}. Если же vo(») от-
лична от нуля, соотношение A5.2) примет вид
Подставим полученное нами выражение для v
в формулу A5.1). В результате получим
+ mv0 (t) v' + mvQ («') [or'] + niv' [юг']. A5.4)
Первое слагаемое в этой формуле есть заданная функ-
ция времени, которая можег быть представлена как
полная производная по t от некоторой другой функ-
ции. В § 7 мы установили, что функцию Лагранжа
следует определять с точностью до аддитивных сла-
гаемых, представляющих собой полную производную
по времени от произвольной функции обобщенных ко-
ординат и времени. Поэтому слагаемое (m/2)[vo(f)]2
следует опустить.
Рассмотрим четвертое и пятое слагаемые в фор-
муле A5.4). Вынеся за скобки общий множитель, эти
слагаемые можно представить в виде
mv0 @ (v' + [«г']} - mv0 (О \-Ц- + [-% г']} =
Здесь d'r' — приращение г', наблюдаемое за время dt
в системе К' (напомним, что v' — скорость частицы,
наблюдаемая в системе К'), dy — угол, на который
поворачивается система К' аа время dt.
Если одна из систем отсчета вращается относи-
тельно другой, то приращение некоторого вектора а,
наблюдаемое в обеих системах, будет неодинаковым.
Это легко понять, предположив, что по отношению
к вращающейся системе вектор не изменяется, т. е.
приращение вектора в этой системе (обозначим ее
К') равно нулю: d'a = O. Тогда приращение вектора
') Это выражение получается из формулы (VI. 46), если
положить в ней а = г' и разделить получившееся соотношение
на dt.

64 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
в неподвижной системе (системе К) можно записать
в виде
da == [dq>, a]
(см. формулу (VI. 46)). Нсли же наблюдаемое во вра-
щающейся системе приращение вектора d'a отлично
от нуля, то приращение, наблюдаемое в неподвижной
системе, будет равно
a] A5.6)
(положив а = г' и поделив на dt, мы придем к фор-
муле A5.2)).
Сопоставив A5.6) с выражением, стоящим в фи-
гурных скобках в правой части формулы A5.5), при-
ходим к выводу, что это выражение представляет со-
бой приращение вектора г', наблюдаемое в системе К,
т. е. dt'. Таким образом, сумме четвертого и пятого
слагаемых формулы A5.4) можно придать вид
@
Преобразуем это выражение следующим образом:
^ 4 vo (t) r'} - /иг' ^.
Первое слагаемое как полную производную по t от
функции координат и времени можно отбросить. Во
втором слагаемом dvo/dt есть wo(t) — ускорение на-
чала координат системы К', наблюдаемое в си-
стеме К.
Таким образом, мы приходим к следующему вы-
ражению для функции Лагранжа в переменных г' и v':
V = mv'2/2 + m [иг']2/2 - mr'w0 @ + mv' [аг'] -¦ U (г')-
A5.7)
Мы получили общий вид функций Лагранжа час-
тицы в произвольной неинерциальной системе отсчета.
Функцию U теперь нужно считать заданной в пере-
менных г' (в формуле A5.1) она была задана в пере-
менных г). Переход от одних переменных к другим
осуществляется по формуле
r-ro(/) + r'f A5.8)
где Го@ — радиус-вектор начала координат системы К'
(см. рис. 15.1).

§ If.. НЕКНЕРЦИАЛЬКЫ:; СИСТЕМ,-* ОТСЧЕТА 65
Отметим, что даже если в функцию A5.1) время
не входило язао (оно могло входить в силовую функ-
цию U), то в функцию A5.7) время будет входить,
так как wo и а суть, вообще гозоря, функции /: кроме
того, время войдет явно б слагаемое U{r') в резуль-
тате перехода от г к г', осуществляемого по фор-
муле A5.8).
Прежде чем приступить к составлению уравнения
Лагранжа, заменим Еторое слагаемое выражения
A5.7) а соответствии с формулой (VI. 6). В резуль-
тате получим
U = ту'г/2 + trmh'2l2 - in < ш'?/2 —
- mr'wa (/) + ту' [<йг7] - U (г1). A5.9)
Воспользовавшись циклической перестановкой со-
множителей (см. формулу (VI. 3)), предпоследнее
слагаемое, равное /nv'[©r'], можно было бы записать
в виде
m[v'<a]r'. A5.10)
Уравнение Лагранжа в системе К' выглядит сле-
дующим образом:
4--?v=-^ A5.11)
(см. формулу (9.3) и подстрочное примечание на
стр. 14). Из выражения A&.9) следует, что
откуда
4" |? = гпу,' + т [«г'] + т [«г'].
Напомним, что с тех пор, как мы выразили L в пере-
менных г' и v', мы «живгм* в системе отсчета К'.
Следовательно, под v' нужно понимать ускорение
частицы w', наблюдаемое ь системе К', а под г'— ско-
рость частицы v' в той же системе. Таким образом,
-^-^ = ^w'-fm[«r'] + m[«>v']. A5.12)
Что касается <а, то это есть производная по времени
функции &(t), которая задана нам в системе К.
3 И. В. Савельев, т. 1

66 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
При вычислении dL'/cV будем предполагать, что
предпоследнее слагаемое в формуле A5.9) представ-
лено в виде A5.10). Тогда получим
~r = nmh' — т (or') to — mv.'o {t) + m [v'a] — ~.
r = nmh т (or) to mv.o {t) + m [va]
A5.13)
Первые два слагаемые в этом выражении представ-
ляют собой написанное по формуле «бац минус
цаб» (см. (VI.5)) двойное векторное произведение
т[<а, [r'oj]]. Следовательно, выражение A5.13) можно
записать в виде
-|?- = т [©, [г'«э]] - mwu (/) + т [v'H - |?-. A5.14)
Подставив выражения A5.12) и A5.14) в фор-
мулу A5.11) и произведя преобразования, придем
к уравнению движения частицы в системе /С':
mw' = —dUjdr' — rnw0 (f) -j- m [г'к] + m [& [г'ю1] -f
+ 2/n[v'e»]. A5.15)
Мы видим, что ускорение частицы в системе К'
определяется, кроме обусловленной силовым полем
силы — dU/дг', рядом дополнительных сил, называе-
мых, как известно, силами инерции. Слагаемое
т{ш [г'<й]] дает центробежную силу инерции, а сла-
гаемое 2m[v'<a]—кориолисову силу. Сила «["'©]
связана с неравномерностью вращения; она специаль-
ного названия не имеет.
Если система К' движется относительно системы К
поступательно (в этом случае о = 0, а значит, и
са = С), в уравнение движения еходит только одна
сила инерции, равная
A5.16)
Замечательно то, что эта сила, как и сила тяжести
twg, пропорциональна массе частицы. Это обстоятель-
ство лежит в основе общей теории относительности.
В случае равномерно вращающейся системы коор-
динат, не имеющей поступательного ускорения
(Wo(/) — (), ts-—0), функции Лагранжа имеет вид (см.
„A5.7))
L' = mv'2/2 + m [аг'|2/2 -f ты' [ш'] — V. A5.17)

S 15. НЕИНЕРЦИЛЛЬНКа СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 67
Найдем импульс, момент импульса и энергию частицы
для этого случая. В соответствии с формулой (9.5)
Взяв произЕОДную ст функщг! A5.17), получки
р' = ту' + щ far'j = «{v' + [©г']}. A5.18)
Если система К' не имеет не только поступательного
ускорения, ко и поступательной скорости (vo==0), то,
как видно из A5.3), выражение, стоящее в A5.33)
в фигурных скобках, есть скорость частицы v относи-
тельно инерциальной системы К. Таким образом, р'
оказывается равным ту, т. е. совпадает с импульсом р
частицы в кнерциальной системе:
р'-р. A5.19)
Далее, если начала систем К и К' совпадают (см.
рис. 15.1), то совпадают л радиусы-векторы г и г'.
Отсюда с учетом A5.19) вытекает, что момент им-
пульса М' = [г'р'3 в системе К' совпадает с моментом
импульса М = [гр] в системе К:
М'==М. A5.20)
В соответствии с формулой E.1) энергия частицы
в системе К' определяется ныражением
Е' — У —-- х - U
и х •
где х\ — координаты (дексртозы) частицы в системе
К'. Согласно D.17) dL'/c'x't есть p't — проекция им-
пульса частицы р' на i-ю координатную ссь; %'t —
проекция па ту же ось скорости частицы v'. Следова-
тельно, выражение для энергии можно записать в виде
Подставив сюда значение A5.18) для р' и ьыраже-
ние A5.17) для L', получим очедующую формулу:
Е' = -"-— + U - -~ [mJf. A5.22)
Вращение системы отсчета проявилось в появлении
в выражении для энергии догсолЕштельного, не зави-
3*

68 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЙ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
сящего от скорости частицы v\ слагаемого
A5.23)
Эту дополнительную «потенциальную» энергию назы-
вают центробежной.
Заменим в формуле A5.22) v' через v — [cer'] (см.
A5.3); полагаем vo(t) = ()). В результате получим
?' «= mv2/2 -;- U — ту [сог']. A5.24)
Первые два слагаемые дают энергию частицы Е в си-
стеме К. Если начала систем К и К' совпадают, г'
можно заменить через г. Тогда последний член в
A5.24) с помощью циклической перестановки можно
привести к виду
mv [юг] = e> [r,
Таким образом, между энергиями частицы Е (в си-
стеме К) и Е' (в системе К') имеется соотношение
?' = ? —«М. A5.25)
Напомним, что эта формула получена в предположе-
нии, что начала обеих систем отсчета совпадают. Сле-
довательно, вместо М в формуле A5.25) можно пи-
сать Л/Г (см. A5.20)).
Итак, если система отсчета К' равномерно вра-
щается относительно инерциальной системы К и на-
чала обеих систем совмещены, то импульс и момент
импульса частицы в обеих системах совпадают, а
энергия частицы в системе К' меньше энергии в си-
стеме К на величину скалярного произведения векто-
ров ш и М.

Г лава IV
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 16. Свободные колебания системы без треиня
Рассмотрим систему с одной степенью свободы,
в которой отсутствуют силы трения. Потенциальная
энергия такой системы имеет вид U~U(q), где q —
обобщенная координата. Известно, что в положении
устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет
минимум. Будем отсчитыиать q от этого положения.
Разложим функцию U(q) в ряд по степеням q в ма-
лой окрестности точки #==0. Ввиду малости q огра-
ничимся первыми членами разложения:
U (q) = U @) + V @) q + W @) q9:
Из условия равновесия 1/'@) = 0. Условимся от-
считывать потенциальную энергию от положения рав-
новесия, т. е. положим ?/@) = 0. Наконец, введем
обозначение: ?/"@) = х (напомним, что в точке мини-
мума вторая производная положительна; следователь-
но, и > 0). В итоге придем к выражению
U(q) = ^-. A6.1)
Будем считать связи стационарными. Тогда со-
гласно E.7)
При прохождении через положение равновесия Т не
обращается в нуль. Следовательно, у@) отлична от
нуля. Разложив y{q) в ряд и сохранив ввиду мало-
сти q только нулевой член разложения, можно на-
писать
T=**f, A6.2)
где }i = 2y@) (не путать с приведенной массой!).

70 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Составим функцию Лагранжа:
L = j^._jal. Aб.з)
Уравнение Лагранжа:
щ + Щ = 0 или </ -+- шо? = 0 A6.4)
(ьJ = (x/\l) > 0) представляет собой линейное одно-
родное дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами (см. Приложение V).
Применив подстановку <7== ехр (>,<), придем к харак-
теристическому уравнению')
X2 _|- оо = 0.
Корни этого уравнения равны \\ = -f-icoo, fa = —«bq.
Следовательно, общее решение имеет вид
^ = Ciexp(i(o00 + С2ехр(—/(о00, A6.5)
где С] и Ci — комплексные постоянные величины.
Значения ц должны быть вещественными; это зна-
чит, что должно выполняться условие ц* = q {q* —
величина, комплексно-сопряженная с q). Подставив
в это условие выражение (J6.5) для q, получим
С] ехр (—й>оО -Н С'2 exp (ia
¦—- Cs охр (/coq/) + С2 ехр (—iaj).
Полученное соотношение выполняется, если С1 = С2
(соответственно Cl=C2Y Учтя это, представим коэф-
фициснты С. и С2 в виде
р(«о), C2--=(a/2)exp(-w) A6.6)
(й и а — произвольные вещественные постоянные).
Подстановка этих значений в формулу A6.5) дает
q — -f- {exp (t (aj + a)} + ехр (~i (щ1 + a))} =
= a cos (coo* + a). A6.7)
Итак, свободное движение системы вблизи поло-
жения устойччвого равновесия носит характер гармо-
нического колебания (разумеется, при условии, что
в процессе движения q остается малой).
*} См. формулы (V.7) в (V.9).

§ 17. ЗАТУХАЮШИЕ КОЛЕБАНИЯ 71
Из общего курса физики известно, что а назы-
вается амплитудой, а — начальной фазой колебания;
(оо — собственная частота системы1).
Преобразуем выражение (!8.7) по формуле для
косинуса суммы:
q = a (cos a cos св^ — sin а «in т^)
и введем обозначения
сх = a cos а, с2==— а sin а.
Тогда решение уравнения A6.4) можно представить
в виде
q — c{ cos «>ct -\~ c2sin<ao/. A6.8)
где С\ и с2 — вещественные постоянные, значения ко-
торых определяются из начальных условий (из qa
и (q)о).
Наконец, приведем еще одну форму записи гармо-
нического колебания2):
q = Re {g} = Пе {Л exp (iW)}. A6.9)
где
Л-=аехр(ш) A6.10)
— так называемая комплексная амплитуда; ее модуль
равен обычной амплитуде, а аргумент — начальной
фазе колебания. Подставив в A6.9) значение A6.10)
и взяв вещественную часть получившегося выражения,
придем к формуле A6.7).
Итак, гармоническое колебание может быть пред-
ставлено в виде любой нз трех формул: A6.7), A6.8),
A6.9).
§ 17. Затухающие холсбання
Во всякой реальной колебательной системе дей-
ствуют силы, тормозящие движение системы и приво-
дящие к постепенному уменьшению размахов (затуха-
нию) колебаний. Механическая энергия системы при
*) Как правило, мы не будем приводить тех сведений по
рассматриваемому вопросу, которые могут быть найдены в учеб-
никах общей физики.
2) Крышечкой над буквой мы будем обозначать комплекс-
ные величины.

72 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
этом переходит во внутреннюю энергию системы и
окружающей среды (обычно кратко, но не вполне
строго говорят, что энергия переходит в тепло). Та-
кой процесс называют диссипацией энергии.
Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда
тормозящая движение системы обобщенная сила тре-
ния пропорциональна обобщенной скорости системы:
Эта сила непотенциальна, поэтому уравнение Лагран-
жа будет иметь вид D.15), причем в качестве L нужно
взять функцию A6.3). Итак, затухающие колебания
описываются уравнением
liq + xq=— rq
(смысл величин р. и х тот же, что и в предыдущем
параграфе). Представим это уравнение в виде
?+ 2^ + ^ = 0, A7.1)
где
Подстановка q = exp(?J) приводит к характеристи-
ческому уравнению
A2 + 2j3A-f и= = 0. A7.2)
При условии, что р2 < о)|;г корни характеристического
уравнения оказываются комплексными:
Общее решение уравнения A7.1) имеет вид
q = С, exp (kit) + С2ехр (Я,^) =
= ехр (—РО {Cj exp (iat) + С2 exp (-Ш)),
где со = /^©j; — р2. Найденное нами решение отли-
чается от функции A6.5) множителем ехр(—fit) и за-
меной ©о на ю. Требование вещественности q приводит
к условию С1 — С?- Введя обозначения A6.6) и про-
изведя элементарные преобразования, придем к из-
вестному из общего кур:а физики выражению для

§ 17. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
затухающих колебаний:
q = а ехр (—§i) соз {(at -f- а).
73
A7.3)
В случае, когда (I2 > ю2,, корни характеристического
уравнения A7.2) оказываются вещественными:
К = -Р - Vi^-^=- ~°2
(поскольку /\/р2 — to2 < р, величина ai положительна;
величина а2 также положительна, причем a2>cti)-
Рис. 17.1
Решение в этом случае имеет вид
q = С1ехр(—a{t) -f C2exp(—щ1). A7.4)
где Ci и С2 — вещественные постоянные.
Итак, при сильном трении (при р2 > ш^) колеба-
ния не возникают — выведенная из положения равно-
весия система возвращается в это положение асимп-
тотически. Оказывается, что движение системы может
иметь характер, описываемый либо кривой /, либо
кривой 2 (рис. 17.1). В последнем случае система вна
чале проходит через положение равновесия, откло-
няется в другую сторону и только лотом прибли-
жается асимптотически к положению равновесия.

74 ГЛ. IV. МАЛоГЕ ШЛЕПАНЬЯ
Такое движение систем и называется апериодиче-
ским') затуханием (ил к апериодическим процессом).
Как будет происходите возвращение системы в по-
ложение равновесия (з соответствии с кривей 1 или
с кривой 2), зависит от соотношения коэффициентов
Ci и С2, которое в свою очередь определяется началь-
ными условиями (т. е. значениями обобщенной коор-
динаты qQ и обобщенной скорости vo==(q)o в началь-
ный момент времени).
Выясним условия, щтл которых апериодическое
движение имеет тот лн(ю иной характер. Выразим
коэффициенты С\ и С2 чеэез q0 и а0. Положив в A7.4)
/ = 0, получим
?о=С, + С2. A7.5)
Продифференцировав A7.4) по времени и положив
в получившемся выражении t — О, найдем, что
оо = D)о = -я.С, - а2С2. A7.6)
Из уравнений A7.5) и A7.6) следует, что
1 = , L. о = . 11/./}
1 а2 — Cj - а2 — а< '
Приравняем выражен;ie (S7.4) нулю:
С, ехр (—a,xt) -I- C2 exp (—aj) = 0. A7.8)
3 -..„'j
в coo
f _ _ ¦ ,,., ( Q:_ ь ___ _' . mj_elo_~V."i<L.
a2 — a. L"" \ C- ) "" ijl2 — щ " <i2'-i -r i-,j
(мы подстазили значен.и.я A7.7) для <CS ;г L%). Раз-
ность с?-ь—щ Гюльпк; куля (с;-;. Buiut^. Поэтому f
будет полоГ'Кительиык:, когда выражение., стоящее под
знаком логарифма, больше -j-l. Последнее условие
соблюдается, если выражения (а^о-И'о) и (az^o+i'o)
имеют одинаковые знак*: и, кроме того, модуль пер-
вого выражения больше чем модуль второго2)
sign (a.q3 + v0) ¦¦=-- sign (a^0 + vaf),
') To есть непериодическим.
*) Символ sign означает <зкзк*.

§ 17. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
75
%--»а/*г
Коэффициенты <х\ и а» положительны, причем
а2 > <х(. Поэтому для выполнения второго из условий
A7.9) необходимо, чтобы дс и v0 имели разные знаки.
Это имеет место, если начальная скорость направлена
к положению равновесия (когда система отклонена
вправо (<?о>О), скорость направлена влево (vq < 0)
и наоборот). На рис. 17.2 показаны графики функций
+ п0. Графики построены
для до > 0, поэтому v0 <C
< 0. Значения, пробегае-
мые д0, подразделены на
три области. Легко ви-
деть, что оба условия
A7.9) выполняются лишь °
в области /, т. е. при д0,
не превышакждех —Уо/аа-
В области // не соблю-
дается первое из условий,
в области /// не соблю- °
дается второе условие.
Таким образом, апе-
риодическое затухание
происходит в соответствии с кривой 2 (рис. 17.1) в
тех случаях, когда vo и до имеют разные знаки и,
кроме того,
Область! Область В ¦ Область В
Рис. 17.2
или \щ\>а.2\ди\
A7.10)
— <•>;))-
(напомним, что а2==Э ^ )
Следует особо рассмотреть случай, когда характе-
ристическое уравнение A7.2) имеет кратные корни.
Это происходит при условии, что р2 = &>•*. Тогда Х\ =
= Л,2 ——р. Согласно формуле (V. И) общее решение
уравнения A7.1) имеет в этой, случае вид
q = С, ехр (-ЭД Ч- &/ехр (--ДО = (С, + CJ)exp (-jtt).
Проделав соответствующие выкладки, найдем, что
Q = Яо. С<2 == Р-<7о + у0.
Из условия G = 0 получается (кроме ^ = оо) значение

76 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Это значение будет положительным, если
< 0 или -отЦ2—- < О
?о + «о * "" Р?о + «о
(умножение на {? не изменяет знака величины, так
как р>0). Последнее условие выполняется, когда
знак Vq противоположен знаку qa и, кроме того,
Таким образом, и в случае кратных корней апе-
риодическое затухание может происходить как моно-
тонно (кривая 1 на рис. 17.1), так и с прохождением
через положение равновесия (кривая 2 на рис. 17.1).
Последний случай имеет место, если выведенная из
положения равновесия на да система получает толчок
к положению равновесия, сообщающий ей достаточно
большую начальную скорость (скорость, удовлетво-
ряющую условию A7.11)')).
§ 18. Вынужденные колебания
Пусть на систему, рассмотренную в предыдущем
параграфе, действует периодически изменяющаяся
внешняя обобщенная сила
Q' = Q0cos((o/ + a), A8.1)
которую мы будем для краткости называть вынуж-
дающей силой. Тогда уравнение Лагранжа D.15) вы-
глядит следующим образом:
Hq + Щ = —rq + Qo cos (со/ + a).
Преобразуем его к виду
q + 2Ц + ag? = f0 cos ((о/ + о), A8.2)
где Д) = Qo/щ смысл остальных величин известен из
предыдущих параграфов.
Мы пришли к линейному неоднородному диффе-
ренциальному уравнению с постоянными коэффициен-
тами. Согласно теореме (V. 6) его общее решение
можно получить, прибавив к общему решению соот-
ветствующего однородного уравнения, т. е. к функции
') В случае разных корней скорость должна удовлетворять
условию A7.10).

§ 18. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 77
A7.3), какое-либо частное решение уравнения A8.2).
Для нахождения частного решения поступим в соот-
ветствии со сказанным в конце Приложения V, а
именно: прибавим к празой части A8.2) мнимую
функцию ifosin((D^4-а) и будем искать комплексное
решение 4 получившегося уравнения; найдя Q, возь-
мем от него вещественную часть; она и будет пред-
ставлять собой решение уравнения A8.2). Итак, бу-
дем решать уравнение
q + 2$q + <i$q _ fQ [cos |C0/ _|_ aj _±_ i sm (&f _|_ a)]
Его правую часть можно представить в виде
/оехр {i (at + а)} = /0 ехр (Ш),
где
f A8.3)
— комплексная амплитуда ') вынуждающей силы (точ-
нее, силы, деленной на ц, но мы для краткости будем
называть Q*/^ просто силой). Напишем дифференци-
альное уравнение в новых обозначениях:
q + 2р<7 + тЯ = /о ехр (Ш) A8.4)
• (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили кры-
шечку над q).
Будем искать решение уравнения A8.4) в виде
A8.5)
где й — комплексная амплитуда колебания. Диффе-
ренцируй по t, найдем
9 *= fad ехр (tot),
<7 = (№Jdexp(/ffii)=-©2dexp(/(u0. "
Мы видим, что при комплексной записи гармонически
изменяющихся величин дифференцирование по вре-
мени сводится к умножению величины на ш> (при ин-
тегрировании — к делению на fa).
Подставив в уравнение A8.4) выражения A8.5)
и A8.6) и сократив на общий множитель exp(faf)a
придем к уравнению
—ad + 2(p*<od Н- <оо<2 = fa,
») Ср. с A6.10).

78 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
из которого находим
(со2, — со2) +
Представим комплексное число, стоящее в знаме-
нателе, в виде
(ш2 - со2) + Щ® == р ехр (/Ф), A8.7)
где р — модуль, a q> — аргумент этого числа. Тогда
Из соотношения A8.7) вытекает1), что
"> tgq>
— (О
Подставив в A8.8) значения р и/о (см. A8.3)),
получим для комплексной амплитуды колебания сле-
дующее выражение:
У(|2J р22
Наконец, подставив значение а в формулу A8.5), най-
дем комплексное выражение для ц:
4 = а ехр {i iW -\- а — ф)}.
Его вещественная часть совпадает с известным из об-
щего курса физики выражением установившихся вы-
нужденных колебаний:
U = cos (mt + a - ф) A8.10)
- ® ) + 4[^ш2
(в учебниках общей физики обычно полагают а = 0).
Общее решение уравнения A8.2) получим, сложив
функции A7.3) и A8.10). Анализом этого решения и
'¦) Напомним, что комплексное число может быть изображе-
но точкой Р на плоскости; абсцисса этой точки х равна веще-
ственной части числа, ордината (/ — мнимой части. Модуль ком-
плексного числа равен модулю р радиуса-вектора точки Р, а
аргумент ф есть угол, образуемый раднуеом-вектором с осью
бсцисс- Отсюда следует, что р '- v zl -j- у2, tg q> =« yjx'.

S 19. СЛУЧАИ МНОГИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 79
рассмотрением явления резонанса мы заниматься не
станем, поскольку это делается достаточно подробно
в курсах общей физики.
§ 19. Колебания системы
со многими степенями спободы ')
Рассмотрим консервативную систему с s степенями
свободы, обладающую положением устойчивого рав-
новесия. В этом положении потенциальная энергия
системы U = U(q\,q2, ¦¦¦, qs) имеет минимум. Обоб-
щенные координаты </, будем отсчитывать от положе-
ния равновесия. Имея в виду, что мы ограничимся
рассмотрением малых колебаний, разложим потенци-
альную энергию в ряд по степеням qit причем прене-
брежем членами более высоких порядков малости:
^0
i i.k
В положении равновесия все обобщенные силы
Q* = — (-Z—) равны нулю. Энергию (Уо также поло-
жим равной нулю. С учетом сказанного выражение
для потенциальной энергии можно представить в виде
и = т?х<**'*ь A9Л)
где
суть положительные величины (в минимуме вторые
производные больше нуля). Поскольку U отсчиты-
вается от минимального значения, принятого за нуль,
квадратичная форма A9.1) положительно опреде-
ленная.
В случае стационарны?, связей ккяетичоская энер-
гия определяется положительно определенной квадра-
тичной формой переменных ф (см. E.10)):
Г = 4-?^*<7«?ь A9.2)
1Л
') Прежде чем приступить к vtchski этого параграфа, сле-
дует ознакомиться с Приложениями VII, VIII и IX.

80 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
где
I'-ik =¦- \'tk @)
суть нулевые члены разлонешгя коэффм. ие'этсв •?,-«(«).
Согласно формуле E.8) yik --= уы, следовательно,
Hilt — Рй(-
Вычтя из A9.2) выражение A3.1), получим функ-
цию Лагранжа:
Чтобы найти производные L no qi и qit напишем вы-
ражение полного дифференциала функции A9.3):
i.
2
i, и
1
I, й i.k
Индексы ( и k являются немыми, поэтому каждый из
них можно обозначить любой буквой. Воспользовав-
шись этим, поменяем местами индексы i и k в первой
и третьей суммах:
i. t
f, ft i. ? (.ft
(напомним, что \iki = \iin, >с*1=к<*)- Полученное нами
выражение можно представить в виде
( Е к«^)- A9.4)
В выражении полного дифференциала функции не-
скольких переменных множитель при дифференциале
какой-либо переменной равен частной производной
функции по этой переменной. Следовательно, из A9.4)
вытекает, что
V

S !Э. СЛУЧАЙ МНОГИХ СТЕПЕНИ™ СЗОБОДЫ g(
Поскольку величины \>.ц- суть константы, производ-
ная ~т-~^-—У УчьДк- Поэтому уравнения Лаг^знжа
ft
выглядят так:
? V-ikQk + ? KtkQk == » (« = 1, 2, . . ., s) A9.5)
й ft
(ср. с уравнением A6.4) для одной переменной).
Мы пришли к системе линейных однородных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффици-
ентами. Попробуем искать неизвестные функции qk(t)
в виде (ср. с C6.5))
(Ш), A9.6)
где Ск — комплексные постоянные, которые требуется
определить. Функции A9.6) комплексные, обобщен-
ные же координаты являются вещественными. Поэто-
му, завершив вычисления, нужно будет взять веще-
ственные части функций A9.6) (см. Приложение V).
Подстановка выражений A9.6) в уравнения A9.5)
дает
? V4k (—<о2) Ck ехр (Ы) + У щкСк ехр {Ш) = О
ft в
(i=l, 2, ...,s).
Сократив все уравнения на exp(iW), получим
Z 0. A9.7)
Мы пришли к системе s линейных однородных ал-
гебраических уравнений с неизвестными С\, С2, ..., Cs.
Для того чтобы эта система имела ненулевое реше-
ние, необходимо и достаточно равенство нулю ее опре-
делителя:
— @2Ц21 Х22 — @Ц25 • • • X2s — <BH2S _q / 1 Q g\
Xs2 —
(см. Приложение VIII, тзкет, следующий за форму-
лой (VIII. 26)).
Уравнение A9.8) называется характеристическим.
Оно представляет собой уравнение s-й степени отно-

82 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
сительно <а2. В общем случае это уравнение имеет
s различных1) вещественных положительных корней:
coj, <s>\, ..., <u2s. Найденные таким способом величины
соа (а = 1, 2, ..., s) называются собственными час-
тотами системы.
Докажем вещественность и положительность кор-
ней уравнения A9.8). С этой целью умножим каждое
из уравнений A9.7) на С* (т. е. на величину, комп-
лексно-сопряженную коэффициенту С;), а затем сло-
жим вместе все уравнения. В результате получим, что
2
или
откуда
,2 = ^
0,2 = -^ __ . A9.9)
В числителе и знаменателе найденного нами выраже-
ния стоят квадратичные формы вида (IX. 21). Как
показано в Приложении IX, такая форма равна сумме
квадратичных форм У\ щм^ь -\- ? щф^ъ соответ-
i.k i.k
ствекно 2 l>4kaiak + Л wifeft.&ft ,(a< — вещественная
i.k i.k
часть С,, hi — мнимая часть С). Последние же фор-
мы, во-первых, очевидно, вещественны и, во-вторых,
положительно определенные (см. A9.1) и (!9.2)). Та-
ким образом, мы доказали, что числитель и знамена-
тель выражения A9.9), л следовательно, и и2 веще-
ственны и положительны.
Итак, решив характеристическое уравнение A9.8),
мы найдем s собственных частот системы: o>i, сJ, ...
..., (os. Подставляя поочередно значения со^ в систему
уравнений A9.7) и решая эту систему, найдем С*,
отвечающие различным ш~ Если (занг матрицы систе-
мы A9.7) будет равен s—1 (что обычно имеет ме-
') В частных случаях могп получиться кратные корни.

§ 19. СЛУЧАЙ МНОГИХ СТ2ПЕНЕП СВОБОДЫ 83
сто), то согласно (VIII. 28) решения системы имеют
вид
где са—произвольная комплексная постоянная, А^\—
алгебраическое дополнение элемента ктк — ®\ить в
определителе системы (т гыбирается произвольно, но
так, чтобы хотя бы одно /<Д было отлично от нуля).
Поскольку все элементы этого определителя веществен-
ны, величины А<?1 также будут вещественными.
Таким образом, для кгждой обобщенной коорди-
наты qk получается s различных решений вида
qk = CaAml exp (i<aat) (a = 1, 2, . .., s), A9.10)
где A{?>k — вещественные постоянные, определяемые
значениями коэффициентов х;* и \цк, а также час-
тот ша.
Общее решение получыч, сложив все выражения
A9.10):
Як = Z Ca^mftexp {iaj).
а
Перейдя к вещественной части этого выражения, по-
лучим
Ян = Re \ Y. caAmi exp (mjA = Е tinl Re {caexp (ietj)}.
(a j a
Наконец, представив са в виде aaexp(i6a) (aa — мо-
дуль ca, т. е. вещественна* положительная величина),
придем к выражению
= Е АтьЪ cos (©u< + °a)- 09.11)
l
Як
a=l
Следовательно, изменение каждой обобщенной ко-
ординаты дк со временем представляет собой наложе-
ние s гармонических колебаний, частоты которых рав-
ны собственным частотам системы. Величины аа и ба
определяются из начальных условий.
При специальном выборе обобщенных координат
выражения A9.11) могут быть сильно упрощены.
В Приложении IX показано, что в случае, когда име-
ются две квадратичные формы — одна от перемен-
ных 4*. а вторая от переменных qk, причем первая из

84 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
них положительно определенная, то существует такое
линейное преобразование переменных qk, которое при-
водит обе формы к диагональному виду (см. схему
(IX. 37)). Перейдем с помощью такого преобразова-
ния от переменных qk к переменным ?й. Тогда квад-
ратичные формы A9.1) и A9.2) станут диагональ-
ными:
к k
В новых переменных функция Лагранжа имеет вид
а уравнения Лагранжа запишутся следующим об-
разом:
L + Kh = o (fe=i. a s). A9.13)
Таким образом, в координатах \k уравнения дви-
жения распадаются на s независимых друг от друга
уравнений, каждое из которых тождественно уравне-
нию A6.4). Отметим, что в силу положительной опре-
деленности квадратичной формы, ныражающей потен-
циальную энергию U, всо коэффициенты Kk положи-
тельны. Поэтому их можно представить в виде
К^ Ц.
где cot — вещественные величины.
Напишем решения уравнений A9.13):
a*) (k=l, 2 s) A9.14)
(см. формулу A6.7)).
Мы нашли, что обобщенные координаты |ft совер-
шают независимо друг от друга простое гармониче-
ское колебание, каждая со своей частотой и*. Опре-
деленные так обобщенные координаты называются
нормальными (или главными), а совершаемые ими
простые гармонические колебания — нормальными ко-
лебаниями системы.
Отметим, что нормальные координаты |й связаны
с произвольными обобщенными координатами qk с по-

§ 20. СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ
85
мощью линейных преобразований, т. е. преобразова-
ний вида
Z A9.15)
Следовательно, ?* можно получить как линейную ком-
бинацию координат qi.
§ 20. Связанные маятники
Рассмотрим малые колебания системы из двух оди-
наковых математических маятников, связанных неве-
сомой пружиной (рис. 20.:). Предположим, что маят-
ники могут совершать колебания только в плоскости
чертежа, так что система имеет две степени свободы.
В качестве обобщенных
координат выберем ф[ и
ф2 — углы отклонения ма-
ятников от вертикального
направления. Длина каж-
дого из маятников равна
/, масса т. Концы пружи-
ны закреплены на стерж-
нях маятников на рассто-
янии b от точки подвеса.
Пружина подобрана так,
что при ф1 = ф2 ее натя- Рис 201
жение равно нулю.
Напишем выражение для потенциальной энергии
системы U, полагая U в положении равновесия рав-
ной нулю:
U = mgl A — cos Ф1) -\- mgl A — cos Ф2) +
+ V2* (b sin Ф2 — b sin ф^2.
При малых колебаниях можно положить
cos ф = V1 ~ si ф = V^ — ф2 = 1 — '/гф2-
выражение для U примет вид
sin ф = ф,
Поэтому
U = «W/ф? + 'W/q>| + '/я**2(Ф2 - Ф,J =
= '/г [(mgl -f kb2) ф';1 — kb\q>2 — А62ф2Ф, +
B0.1)

86 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Кинетическая энергия в том же приближении
равна
Т = 1/я [mt'tf + тЩ\. B0.2)
Сравнение выражений B0.1) и B0.2) с выраже-
ниями A9.1) и A9.2) дает для коэффициентов х/*
и циг следующие значения:
хп = щ, = mgl -f- kb1, "л,2 = х2) = —kb2,
_ _ ft — _n ^20-3^
Подстановка этих значений коэффициентов в уравне-
ния A9.5) приводит к дифференциальным уравнениям
ш/2ф! -f (mgl + kb2) ф, — ?Ь2ф2 = 0,
Будем искать решения этих уравнений в виде
ф! = С{ exp (i<?>t), ц>2 = С2 ехр (г'оа?). B0.5)
Подставим эти выражение в уравнения B0.4). После
сокращения на е'ш' и приведения подобных членов,
получим систему уравнений для определения постоян-
ных С[ и С2:
(mgl + kb2 — ml V) С, — /гЬ2С2 = 0,
-kb2Q + («^ + ^*2 - m/V) C2 = 0.
Для того чтобы эта система имела ненулевое решение,
необходимо равенство ну/.ю ее определителя:
g/ + kb1 - ппЧ? -kb2
—kb1 npj -|- lib* —
т. о. долзкко выполняться условие
(mgl + kb2 - mfto'f — (--klyf ¦= 0.
Последнее уравнение посля несложных преобразова-
ний можно привести к виду
Мы пришли к квадратному уравнению относи-
тельно и2. Корни этого уравнения равны
©? = «//. «% = gll +2 (kjm) (&/!*!.

5 ю. связлннн:* маятники 87
Следовательно, собственным и частотами системы
. B0.7)
Подставим в уравнение B0.6) вместо ю2 квадрат
первой собственной частоты, т. е. со]. После упроще-
ний система B0.6) принимает вид
kb'lCx - ktfCU -=¦- О,
Решения этой системы очевидны:
B0.8)
где с\ — произвольная комплексная постоянная, а.\ —
ее модуль, 6i — аргумент.
Подстановка значения B0.8) в B0.5) дает комп-
лексные решения дифференциальных уравнений
B0.4), соответствующие частоте ®г,
Ф<» = ci exp (to,/) =-- а, ехр {I (©,/ + 6,)},
<р>/> == с, ехр (Ш) = а, exp {i («в,/ + б,)}.
Взяв вещественную часть от найденных нами функ-
ций, получим
<pj» = a, cos («>,* + б,), 4F^° = «1 cos (а>,^ + й,). B0.9)
Теперь подставим в уравнение B0.6) вместо со2
квадрат второй собственной частоты, т. е. со^. В ре-
зультате нолучям
— kb"Ci — кЬ2С2 = 0,
— kb2Ci — ktfCz = G.
Система удовлетворяется ^на^екиями
С, = — С2 = с., ==¦ а2ехр (гб2).
Соответственно функции B0.5) будут равны
<pf = с2ехр (Ш) == а2 ехр {/ (ioJ + *2)},
<р<2> = — с2 ехр (/o2if) = — а2 ехр {i (©2if + 62)},
а их вещественные части
qf> = а2 соз (б^ -1- 62), ер® = — Оз cos (©,/ -f б2). B0.10)

88 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Общее решение системы B0.4) получим, сложив
решения B0.9) и B0.10). Следовательно,
Ф, = Ф(,° + <Р(,2> = «, cos (ш/-Ь б,) + а2соз(ш2Н-б,,),
Ф2 = ф<"-f ф22) = ах cos (<о,/ + о,) —fl^ cos (<o2f + 6Я).
Перейдем от обобщенных координат ф, и ф2 к но-
вым переменным ^ и |2, которые определим так:
Si = У2 (ф1 + ф2). h = Ч-i tei — фа)-
С учетом B0.11) получаем
= Щ, COS (Ш/ + 6)
Таким образом, переменные \\ и |2 суть нормальные
координаты системы связанных маятников. Обобщен-
ные координаты ф1 и ф2 выражаются через gi и |2
с помощью линейных соогношений
Предположим, что в системе совершается только
первое нормальное колебание. Это значит, что |2 ^ 0-
Из B0.13) вытекает, что в этом случае
Ф1 = ф2 = ll == O.I COS {biyt + б[),
т. е. оба маятника колеблются как одно целое с час-
тотой (oi, будучи в каждый момент времени отклонены
в одну и ту же сторо-
ну на одинаковый угол
(рис. 20.2, а). Пружина при
этом не деформирована, так
что каждый маятник колеб-
лется так, как если бы вто-
рого маятника не было
( У)
( УйА)
Рис. 20.2 Теперь предположим, что
в системе совершается толь-
ко второе нормальное колебание. Как следует из
B0.13), в этом случае
Ф, = — ф2 = |2 = а2 cos (ш2* + б2).
В каждый момент времени маятники отклонены на
одинаковый по величине угол, но в противоположные
стороны (рис. 20.2,6).

§ 20. СВЯЗАННЫЙ МАЯТНИКИ 89
Связь между маятниками можно охарактеризовать
с помощью коэффициента жесткости пружины к. На-
зовем его коэффициентом связи. Рассмотрим случай
слабой связи, т. е. малого k. Если k/m <C g/l, раз-
ность собственных частот будет много меньше самих
частот
<а2 — Mi < о»;. B0.14)
Отведем первый маятник ни угол фю = а, второй ма-
ятник при этом удержим в нулевом положении. Затем
предоставим системе совершать колебания. Очевидно,
что начальные условия в этэм случае имеют вид
Фю = а, Фго = О, (<j>iH = 0, (ф2H = 0.
Найдем значения постоянных а.\, а2, 6i и бг- Для
этого положим в B0.11) t=—0; в результате получим
ф10 = а = a, cos 6> -}• а, cos 62,
о х * B0-15)
Ф20 = 0 = а! cos Oj — а2 cos б2.
Теперь продифференцируем выражения B0.11) повре-
мени и положим в получившихся формулах / = 0. Это
приводит к соотношениям
(ф,)а = 0 = — aid), sin fi, — ajaz sin б2,
(ф2H = о = — ахщ sin fij -f- a-csj sin 62.
Решив совместно уравнения B0.15) и B0.16), найдем,
что
й! = а2 = а/2, 6. = б2 = 0.
Таким образом, в рассматриваемом случае коле-
бания имеют вид
<р, = i (cos щ1 + cos nj) = о, cos т2~Ю| t • cos Щ^ t,
ф2 =-f (cos Ш1/ - cos co20 = g sin ^4p / • sin ^±^ /.
В случае слабой связи (со2 — ©i)<S(©2 + ©i) (см.
B0.14)). Следовательно, мэжно считать, что каждый
из маятников совершает гармоническое колебание час-

90 ГЛ. IV. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
тот a (a>2-J-eoi)/2 ** «i с медленно меняющейся ампли-
тудой. Значит, движение каждого из маятников но-
сит характер биений. Амллктуды изменяются со сдви-
гом по фазе на я/2. Когда амплитуда одного из маят-
ников достигает наибольшей величины, амплитуда
второго обращается в нуль и наоборот. В процессе
колебаний происходит как бы перекачка энергии от
одного маятника к другому.
В тех случаях, когда возбуждено только одно нор-
мальное колебание li или |2, перехода энергии от од-
ного маятника к другому не происходит.

Глава V
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 21. Кинематика твердого тела
Разбив сплошное твердое тело на элементарные
объемы массы pdV (p — плотность тела), его можно
представить как систему частиц с жесткими связями.
Твердое тело, как известно, обладает шестью сте-
пенями свободы — тремя поступательными и тремя
вращательными. Для описания движения твердого
тела выберем инерциальную систему отсчета К (с ося-
ми X], Х2, Х3), которую будем считать неподвижной.
С телом свяжем жестко другую систему К' (с осями
Х\, *2, *з), поместив ее начало в точку А тела. В ка-
честве обобщенных координат, определяющих поло-
жение тела, удобно взять три координаты начала си-
стемы К' (им отвечает радкус вектор Пл) н три угла,
характеризующих ориентацию осей х\, ;:2, л'з по отно-
шению к осям Х\, Х2, Х$. Названные оси образуют
друг с другом девять углоз, однако независимыми
оказываются только три из них, остальные шесть мо-
гут быть выражены через значения первых трех1).
Обычно в качестве трех углов, определяющих взаим-
ную ориентацию осей систгм К и К', используются
так называемые эйлеровы углы <р, §, ф (см. следую-
щий параграф).
Любое элементарное перемещение твердого тела
можно представить как сумму поступательного пере-
мещения, при котором все точки тела смещаются на
одинаковый отрезок сШа, у поворот на угол а'Ф во-
круг оси, проходящей через точку А.
') Между косинусами этях углем ctik имеются шесть соотно-
шений (см. формулу (VI. 39)):
Е ®кт = &ik ¦¦'¦ * ¦
т
{am — cos(jtr/,

92 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Поскольку скорости точек тела v в системе К'
равны нулю, формула A5.3) для скорости точки, по-
ложение которой в системе К' определяется радиусом-
вектором г^I), принимает вид
V = V.i-f \Ща)Т{аI B1.1)
где Уд — поступательная скорость тела (скорость точ-
ки А, наблюдаемая в системе К), щл) = d&/dt— уг-
ловая скорость вращения тела вокруг оси, проходя-
щей через точку А. Первое слагаемое в этой формуле
одинаково для всех точек тела, второе есть функция
точки.
Если бы мы поместили начало системы К' в дру-
гую точку тела, скажем, в точку В, формула B1.1)
выглядела бы следующим образом:
\ = \а + [Щв)Тт], B1.2)
где VB — скорость точки В, наблюдаемая в системе К,
щВ) — угловая скорость вращения тела вокруг оси,
проходящей через точку В.
') Условимся об обозначениях. В этой главе мы будем
пользоваться индексами двух видов: I) индексами без скобок и
2) индексами, взятыми в скобки. Индексы без скобок будут слу-
жить для указания частицы или точки, к которой относится дан-
ная величина. Например, m,j — масса частицы с номером а,
га — радиус-вектор той же частицы, Ял — радиус-вектор точ-
ки А.
Индексы в скобках будут указывать точку, из которой про-
веден радиус-вектор, либо точку, относительно которой берется
момент, и т. п. В зависимости от обстоятельств эти индексы мы
будем располагать то внизу, то вверху соответствующего сим-
вола. Так, например, г(Л) или т{Л) будет обозначать радиус-век-
тор, проведенный из точки А; Ш(Л) или М(Л) — момент импульса
относительно точки А. Отсутствие при символе г или М индекса
в скобках будет означать, что соответствующая величина берется
относительно центра инерции тела С. Таким образом, радиус-
вектор, проведенный из точки С, мы будем обозначать либо
символом Г(о, либо просто г, момент относительно точки С —
символами М(с) и М и т. д.
Символом R мы будем пользоваться только в одном вполне
определенном случае — для обозначения радиуса-вектора, прове-
денного из начала неподвижной системы координат К (с осями
X, У, 2). Поэтому в данном случае нет надобности в индексе
в скобках и мы его писать не будем.
Малыми буквами (г, х, у, г и т. д.) мы будем обозначать
радиусы-векторы, проведенные из начала системы координат К',
жестко связанной с телом, координаты в системе К' и т. д.

§ 21. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 93
Положение произвольной точки тела в системе К
определяется в обоих случаях одним и тем же радиу-
сом-вектором:
R = ЧЛ + Г(Д) := Rfl + Г(В).
Отсюда следует, что радиужектор г(В) можно пред-
ставить в виде
г(а) = а-Ь г(Л)> B1.3)
где а = Ял — Rs есть радиус-вектор, проведенный из
точки В в точку А, т. е. величина, не зависящая от
того, для какой из точек гела мы пишем формулу
B1.3).
Подставив значение B1 3) в формулу B1.2), по-
лучим
B1.4)
В этом выражении первые два слагаемые одинаковы
для всех точек тела, третье есть функция точки.
Формулы B1.1) и B1.4) определяют одну и ту же
величину — скорость рассматриваемой точки тела в
системе К. Следовательно, три любом riA) правые ча-
сти этих формул должны совпадать. Это возможно
при условии, что
B1.5)
B1.6)
(знак тождества подчеркивает, что равенство должно
иметь место при любых Г(д>).
Из тождества B1.6) вытекает, что
т. е. что угловая скорость вращения вокруг любой оси
одна и та же и можно говорить просто об угловой
скорости тела <о, безотносительно к выбору системы
отсчета К'. Поступательная же скорость, как видно из
соотношения B1.5), не имеет абсолютного характе-
ра— она зависит от положения начала системы
К'(Мл ФУГ в).
Опустив ненужный индекс при to, запишем соотно-
шение B1.5) следующим образом:
Уа = У„-[<ва1. B1-7)

94 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Возможны два случая: ;} векторы V^ и о взаимно
перпендикулярны, 2) векгоры Ул и е» образуют угол,
отличный от л/2. Легко заметить, что в первом слу-
чае векторы \'а и [сэа] компланарны. Следовательно,
будут компланарными также векторы VB и \'а- Зна-
чит, вектор Vfl, как и вектор Уд, перпендикулярен
к вектору ш. Отсюда можно заключить следующее:
если векторы Y/j и <а взаимно перпендикулярны при
каком-то выборе начала системы К', то эти векторы
будут взаимно перпендикулярными и при любом дру-
гом выборе начала системы К' (при любом другом
выборе точки А).
Теперь обратимся к формуле B1.1), записав ее
в виде
Y = V.i+ [юг(>!,]. B1.8)
Из нее следует, что при взаимной перпендикулярно-
сти векторов У а и «а (которая, если имеет место, то
наблюдается при любом выборе точки А) векторы V
и Уд будут компланарными, причем скорости V всех
точек тела лежат в плоскостях, перпендикулярных
к вектору (а. Варьируя выбор точки А, можно добиться
того, чтобы
B1.9)
стала равной нулю1) (при этом точка А может ока-
заться вне тела). В итоге движение твердого тела
окажется представленным как одно лишь вращение
вокруг оси, которую называют мгновенной осью вра-
щения тела (см. B!.8)).
Когда векторы Ул и ы не перпендикулярны друг
к другу, точку А можно выбрать так, чтобы эти век-
торы были коллинеарнымн. В итоге движение тела
в каждый момент времени будет наложением двух
движении: вращения вокруг некоторой оси с угловой
скоростью <а и поступательного движения со ско-
ростью Ма вдоль той же оси. На доказательстве этого
утверждения мы останавливаться не будем.
Отметим, что формулы динамики твердого тела
принимают особенно простой вид, если начало сксте-
') Оба члена в правой части выражения B1.9) являются
функциями точки тела (V—скорость точки тела в системе К.
Т(Л) — радиус-вектор этой точки в системе Л"). Разность же этг.к
членов для всех точек тела одна н та же и равна Хл.

5 22. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ
95
мы 1С' совместить с центром инерции тела С. В даль-
нейшем мы обычно будем поступать именно так. По-
этому формулу B1.8) будем писать в виде
= Vc-H«>r].
B1.10)
§ 22. Эйлеровы углы
Эйлеровы углы определяются следующим образом.
Пусть первоначально оси связанной с телом систе-
мы К' совпадали с осями системы К. Затем тело со-
вершило некоторый поворот, в результате чего ориен-
тация осей К' в пространстве изменилась. Любой
такой поворот можно осуществить с помощью трех
поворотов, показанных на рис. 22.1.
Рис. 22.1
1. Поворота вокруг оси Z к а угол qp (рис. 22.1, а).
Направление п, которое примет при этом ось х, назы-
вается линией узлов.
2. Поворота вокруг лгнни узлов на угол О
(рис. 22.1,6).
3. Поворотл вокруг оси г vi угол ¦?>. (рис. 2'2.!,в).
Направление каждого и:: паворогез связано с на-
правлением оси, вокруг которой он осуществляется,
правилом правого винта.
Из рис. 22.2 видно, что ягния узлов есть ке что
иное, как линия, пересечения координатных плоско-
стей XY и ху. Угол ф обгуазовян осью X и линией уз-
лов, угол i|) — линией узлов i? осью х и, наконец,
угол h есть угол между осяии 7. и г. Углы •& и ср суть
полярные координаты точки пересечения оси z со сфе-
рой единичного радиуса. Эту точку называют апексом.

96 гл. v. механика гзердого телл
Для того ти:5ы набор углов ф, •&, \р, определяю-
щий каждый рэальпый поворот, был однозначным,
принимают, что углы ф и ty могут иметь значения от
нуля до 2,тг, значения же
угла # ограничивают ин-
тервалом от нуля до я.
Если бы углу & также
было разрешено иметь
значения от 0 до 2я, то,
например, изображенный
? на рис. 22.3 поворот мож-
но было бы охарактери-
зовать либо набором уг-
лов: ф = я/2, ¦& = я/2,
t|) = 0 (верхняя последо-
вательность поворотов;
оси X, Y, Z на рисунке не
даны, их ориентация сов-
падает с исходной ориен-
тацией осей х, у, г), либо
набором: q> = Зя/2, -& = Зя/2, if = я (нижняя после-
довательность поворотов).
Рис. 22.2
Рис. 22.3
Допустим, что ось Z направлена по вертикали, а
система К' связана жестко с волчком (гироскопом),
причем ось 2 совпадает с осью собственного вращения
волчка. Тогда легко видеть, что изменение угла \|) со-
ответствует собственному вращению волчка, измене-

5 22. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 97
ние угла <р—-повороту вертикальной плоскости, в ко-
торой лежит ось z, т. е. прецессии волчка и, наконец,
изменение угла ft— движению оси волчка, называе-
мому нутацией1). В соответствии с этим угол ф на-
зывают углом прецессии, угол ft— углом нутации,
а угол if— углом собственного вращения (или углом
чистого вращения) 2).
Скорость изменения угла q> можно охарактеризо-
вать вектором угловой скорости Юф, направленным по
оси Z (см. рис. 22.2); модуль этого вектора есть ф.
Разложим вектор о>Ф на две составляющие, одна из
которых направлена но оси г (ее модуль равен
ф cos ft), а вторая перпендикулярна к оси z, т. е. ле-
жит в плоскости ху (ее модуль равен ф sin ft). Оче-
видно, что эта вторая составляющая перпендикуляр-
на к линии узлов п и, следовательно, образует с ося-
ми х и у углы я/2 — rf и if. Из сказанного можно за-
ключить, что проекции вектора <оф на оси системы К'
равны
(mqi)i = Ф s'n ^ cos (л/2 — Ф) = Ф s'n * s'n Ф»
Юг = Ф sin ft cos if, B2.1)
(%)з = Ф cos ft.
Скорость изменения угла ft характеризуется век-
тором <в<>, направленным по линии узлов; его модуль
есть ft. Линия узлов перпендикулярна к оси z, а с
осями х и у образует углы if и if 4-я/2. Следовательно,
проекции вектора <л» на оси системы К' имеют зна-
чения
(<od)i = ft cos ф,
(<odJ = ft cos (ф + л/2) = — ft sin ф, B2.2)
Наконец, скорость изменения угла ф харак-
теризуется вектором <9ф, направленным по оси г
') В курсах общей физики обычно рассматривается только
так называемая регулярная прецессия, для которой характерно,
что угол между осью волчка и вертикалью остается неизменным.
В действительности ось волчки, как правило, совершает коле-
бание в плоскости Zz около некоторого среднего положения.
Это колебание и есть нутация.
2) Иногда буквой if обозначают угол прецессии, а буквой
<р — угол собственного вращения.
4 И. В. Савельев, т. I

§ 22. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ 97
ние угла <р — повороту вертикальной плоскости, в ко-
торой лежит ось г, т. е. прецессии волчка и, наконец,
изменение угла ¦& — движению оси волчка, называе-
мому нутацией1). В соответствии с этим угол ф на-
зывают углом прецессии, угол ©¦ — углом нутации,
а угол -ф — углом собственного вращения (или углом
чистого вращенияJ).
Скорость изменения угла <р можно охарактеризо-
вать вектором угловой скорости юф, направленным по
оси Z (см. рис. 22.2); модуль этого вектора есть ф.
Разложим вектор <аф на две составляющие, одна из
которых направлена но оси г (ее модуль равен
q>cosd), а вторая перпендикулярна к оси г, т. е. ле-
жит в плоскости ху (ее модуль равен q>sinO). Оче-
видно, что эта вторая составляющая перпендикуляр-
на к линии узлов п и, следовательно, образует с ося-
ми х и у углы я/2 — ф и ip. Из сказанного можно за-
ключить, что проекции вектора <оФ на оси системы /С'
равны
(тф)| = Ф s'n * cos (я/2 — Ф) = Ф sin О sin ф,
(«вфЬ = Ф sin О cos i|>, B2.1)
(«<р)з = Ф cos О.
Скорость изменения угла f) характеризуется век-
тором «о, направленным по линии узлов; его модуль
есть О. Линия узлов перпендикулярна к оси 2, а с
осями х и у образует углы ч|> и тр+я/2. Следовательно,
проекции вектора ш» на оси системы К' имеют зна-
чения
(а>о), = ¦& cos i|>,
(солJ = # cos (ф 4 я/2) = — ft sin i|>, B2.2)
= 0.
Наконец, скорость изменения угла ф харак-
теризуется вектором <йф, направленным по оси г
') В курсах общей физики обычно рассматривается только
так называемая регулярная прецессия, для которой характерно,
что угол между осью волчка и вертикалью остается неизменным.
В действительности ось волчка, как правило, совершает коле-
бание в плоскости 1г около некоторого среднего положения.
Это колебание и есть нутация.
2) Иногда буквой 1|> обозначают угол прецессии, а буквой
<р — угол собственного вращения.
4 И. В. Савельев, т. I

§ 23. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 99
В первом слагаемом можно вынести за знак суммы
множитель V2C. В итоге :>то слагаемое примет вид
Ч^тУс, где т— ? та— масса тела. Во втором сла-
гаемом произведем циклическую перестановку сомно-
жителей (см. (VI. 3)), после чего вынесем постоян-
ный множитель за знак суммы. В результате получим
выражение [Vc, «а] ? mara~ [Vc, м] ттс, где гс — ра-
диус-вектор центра инерции С. Если поместить, как
мы условились, начало системы К' в точку С, то вто-
рое слагаемое обращается з нуль.
Таким образом, кинетическая энергия твердого
тела распадается на два слагаемых. Первое слагаемое
% B3.2)
представляет собой кинетическую энергию поступа-
тельного движения. Второе слагаемое
'Л E^aW B3.3)
есть кинетическая энергия вращательного движения.
Подчеркнем, что обе эти энергии совершенно не-
зависимы— одна зависит только от Vc, вторая —
только от ©. Благодаря совмещению начала систе-
мы К' с точкой С слагаемое, в которое входили и Vc,
и и, обратилось в нуль.
Преобразуем выражение B3.3) к другому виду.
Прежде всего заменим квадрат векторного произведе-
ния в соответствии с (VI. 6):
Гвращ = '/2Ь, {*>Ч - W} - B3-4)
Теперь запишем это выражение, используя проекции
векторов и> и га на оси системы К'. Проекции га на
оси системы К' равны просто координатам частицы:
*ia, *2а, *за. Обозначим проекции вектора *> на оси
системы К' символами <oi, ft>2, <*>з- Тогда выражение
B3.4) в компонентах вгктороз примет вид
Т =

100 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
(напомним, что немой индекс можно обозначать лю-
бой буквой).
В полученном нами выражении величины со, и со*
не зависят от индекса а и их можно было бы вынести
за знак суммы по а. Однако этому препятствует то
обстоятельство, что в первый член выражения входит
сумма квадратов (а\, а во второй член — сумма про-
изведений oj,o)ft. Это препятствие можно устранить, за-
менив сумму величин са? выражением Е^^А*» ко-
торое, очевидно, эквивалентно Е <°?- Тогда формула
для вращательной энергии примет вид
Гвр,щ= Vj Е та{( Л «?0Afe) ( Е */а) ~ Е «»<«>ft*lo*ftiij
B3.5)
(заметим, что Е *;аесть просто некоторый скаляр 'V
зависящий от индекса а; каждое из слагаемых ш.юаб,*
умножается на этот скаляр ).
В выражении B3.5) сначала производится сумми-
рование по индексам i и к, а затем уже по индексу а.
Изменим порядок суммирования так, чтобы суммиро-
вание по индексам ink осуществлялось в последнюю
очередь, т. е. перепишем B3.5) следующим образом:
= V2 Е «^ft E "га |6Jft (Е *?а) —
Е
Если ввести обозначение г)
hk = Е та jdJft ( Е ^/а) - xiaxka} . B3.6)
выражение для кинетической энергии вращательного
движения можно записать в виде
Увращ=1/гЕ/^(ол. B3.8)
i, к
') Е
/
2)
сто
Тогда
/
2) При вычислении величин /,* для сплошного тела нужно
вместо та взять pdV и суммирование заменить интегрированием.
Т
5 U
p dV- B37)

5 23. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 101
Величина, определяемая формулой B3.6), есть не-
которое число (но не инвариант!), зависящее от ин-
дексов i и k. Всего имеется девять таких чисел. Вид-
но, что совокупность величин /(* образует тензор вто-
рого ранга1). Действительно, произведение скаляра
2 х21а на единичный тенэор б,* будет тензором (см.
формулы (X. 17) и (X. 19)), произведения Xiaxka суть
произведения компонент вектора га, т. е. тоже тензор
(см. (X. 16)). Наконец, разность соответствующих
компонент двух тензоров также дает компоненты не-
которого тензора (см. X. 18)).
Итак, величины B3.6) суть компоненты тензора.
Этот тензор называют тензором инерции. При пере-
становке индексов i и k величины B3.6) не изме-
няются. Следовательно, тензор инерции является сим-
метричным (//* = /*«).
Напишем компоненты тензора инерции, применив
обычные обозначения декартовых координат:
? m (у2 + z2) — ^ тхУ ~ J] тхг
- 2 mzx - Y.тгу E m (*2 +
B3.9)
(чтобы не усложнять формул, мы опустили индекс а
при m и координатах х, у, z\ все суммы берутся по
этому индексу).
Диагональные компоненты тензора называют осе-
выми моментами инерции. Они совпадают с извест-
ными из курса общей физики моментами инерции тела
относительно соответствующих координатных осей.
') К этому выводу можно также прийти путем следующих
рассуждений. Представим выражение B3.8) в виде
Написанное нами выражение может быть инвариантом лишь в
том случае, если величины ?, чкшк будут {-ми компонентами
k
некоторого вектора (см. Приложение VI, текст, следующий за
формулой (VI. 28)). Последнее, в свою очередь, возможно толь-
ко в том случае, когда величины 11к будут компонентами тензора
(см. Приложение X, текст, расположенный между формулами
(Х.22) и (Х.23)).

•о;
102 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Недиагональные компоненты называют центробеж-
ными моментами инерции.
Геометрическим образом симметричного тензора
является эллипсоид. В рассматриваемом нами случае
это есть эллипсоид инерции. Направления в теле, со-
впадающие с полуосями эллипсоида инерции, назы-
ваются главными осями инерции тела. Эти
оси пересекаются в центре инерции тела. Если напра-
вить оси системы К' (т. е. оси х, у, z; напомним, что
эти оси жестко связаны с телом) по главным осям
инерции тела, то тензор инерции окажется приведен-
ным к диагональному виду
/,00ч
2 0 1. B3.10)
,0 0 h/
Значения I\, h, h диагональных компонент тен-
зора (в том случае, когда он приведен к диагональ-
ному виду) называют главными моментами инерции
тела (их можно было бы обозначить символами 1Х,
Если в качестве связанных с телом осей х, у, z
выбраны главные оси инерции, выражение B3.8) для
кинетической энергии вращательного движения упро-
щается следующим образом:
Гвра1Ц = >/2 (/,<о? + 12<4 + /3«з) B3.11)
либо
^вращ — '/г (/*»>; + 1у<й2и + 12®1) B3.12)
(напомним, что оц, taj, (из суть проекции на оси х, у, z
вектора ю — угловой скорости вращения тела, наблю-
даемого в системе с осями X, Y, Z).
В случае, когда вектор в» совпадает с одной из
главных осей инерции, вдоль которой мы направим,
скажем, ось z, выражение для энергии становится еше
проще:
2/гш2. B3.13)
Выражение, аналогичное B3.13),получается также
в том случае, когда тело вращается вокруг проходя-
щей через центр инерции фиксированной относительно
тела оси1). Направив вдоль этой оси, скажем, ось г,
1) Если эта ось не совпадает ни с одной из главных осей
инерции, то ее нужно удерживать с помощью подшипников.

§ 23. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ЮЗ
мы получим, что слх =<% = 0, a (ог = <о. Тогда из де-
вяти слагаемых формулы B3.8) отличным от нуля
будет только одно, в котором i = k = z, так что
^-V./>'. B3.14)
где 1гг, вообще говоря, не шляется одним из главных
моментов инерции.
Отметим, что, например, у такого тела, как одно-
родный шар, эллипсоид инерции вырождается в сфе-
ру. Следовательно, главные оси инерции оказываются
не фиксированными относительно тела. Это значит,
что в качестве главных осей могут быть взяты любые
три взаимно перпендикулярные оси, проходящие че-
рез центр шара. В этом случае все главные моменты
инерции оказываются одинаковыми: /1 = /2 = /з = /
и тензор инерции можно записать так:
(/«) = ' ¦(*«). B3.15)
где Fi*)—единичный тензор (см. X. 17)), а /—¦
скаляр.
Все то, что мы сказали в отношении шара, оказы-
вается справедливым и применительно к однородному
кубу. Действительно, для него, очевидно, справедливо
соотношение B3.15). Следовательно, эллипсоид инер-
ции у куба вырождается в сферу. Поэтому любая ось
(а не только ось симметрии), проходящая через центр
куба, может рассматриваться как главная ось инер-
ции. По этой причине куб наряду с шаром и другими
телами, у которых /i = /2 == /з, называют шаровым
волчком ').
Тело, у которого равны друг другу два главных
момента инерции (например, 1\=1гФ1г), называют
симметричным волчком. Наконец, тело, у которого все
три главные моменты инерции различны, называют
асимметричным волчком.
До сих пор, рассматривая тензор инерции, мы
предполагали, что начало связанной с телом си-
стемы К' помещается в центре инерции тела С. Од-
нако тензор инерции можно определить по формуле
B3.6) также и по отношению к связанной с телом
') Для шарового волчка энергия всегда выражается форму-
лой B3.13), причем под /2 следует понимать скалярный множи-
тель /, входящий в выражена тензора инерции (S3.15).

104
ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
системе К'(А) с началом, помещающимся в произволь-
ной точке А. Компоненты тензора в этом случае будут
равны
w=z «.{Ц? (Щ-х<*хЩ- B3-
Значения $
отношениями
определяемых
оказываются связанными простыми со-
с значениями /,-* компонент тензора,
по отношению к системе К[С) с нача-
лом в точке С и осями,
параллельными осям си-
стемы К[А) (рис. 23.1).
Для того чтобы найти эти
соотношения, обозначим
символом а радиус-век-
тор точки А в системе
К\С). Тогда для любой
точки тела Г(Л) = г — а и,
следовательно,
x^^xt-alt B3.17)
Рис. 23.1
где а, есть /-я координата
точки А в системе К',,
(С)"
Подставим значения B3.17) в формулу B3.16):
E a?)
Z "»(Л<А ¦
a
Первая из пяти сумм есть Iik. Во второй сумме ни
одна из величин в фигурных скобках не содержит ин-
декса а. Кроме того, ]>_, с$ есть квадрат вектора а,
т. е. а2. Поэтому вторую сумму можно представить
в виде m(a2bnt — aiak). Третью сумму можно напи-
сать в виде Z 26/fta/ Z mtlxl(i. Но Z maXia = mxlc=0,
la a
так что третья сумма равна нулю. Аналогично, вы-
неся в четвертой и пяток суммах не зависящий от a

S 23. ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ
множитель за скобки и приняв во внимание, что
xic = Xkc = 0, установим, что обе эти суммы также
равны нулю. Итак, мы приходим к соотношению
B3-18)
которое представляет собой тензорную запись тео-
ремы Штейнера. Чтобы убедиться в этом, найдем ком-
поненту 1{? = 1{?. Согласно B3.18)
B3.19)
где aj.— расстояние между осями г и г<Л).
Вычислим кинетическую энергию тела, вращающе-
гося с угловой скоростью <¦> вокруг неподвижной (в
системе К) фиксированной относительно тела оси, не
проходящей через его центр инерции. Если центр
инерции находится от оси вращения на расстоянии aL,
его скорость Vc = «aj.. Следовательно,
где т — масса тела. Вращательную энергию найдем
по формуле B3.14), направив ось z параллельно не-
подвижной оси вращения. Сложив обе энергии, по-
лучим
Т = 1 пшЧ\ + ± /„«.2 = -L. (mal + 1гг) tf=L цл)(Л2
B3.20)
(см. формулу B3.19)). Мы пришли опять к фор-
муле B3.14).
Таким образом, формула B3.14) для кинетической
энергии вращающегося тела справедлива не всегда,
а только в двух случаях: 1) когда тело вращается
вокруг одной из своих главных осей инерции (см.
формулу B3.13)); 2) когда тело вращается вокруг
неподвижной, фиксированной в нем оси (см. формулы
B3.14) и B3.20)).
В заключение найдем вид тензора инерции в слу-
чае, когда только одна из координатных осей, скажем,
ось 2 совпадает с одной из главных осей инерции
тела. Переход от системы, все оси которой совпадают
с главными осями, к интересующей нас системе осу-

106 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ществляется поворотом вокруг оси z на угол ф. Легко
убедиться в том, что таблица коэффициентов преоб-
разования выглядит в этом случае следующим об-
разом:
Iott i аи 01 | совф sin ф 0 Я
dji O22 0 U := N — Siil ф COS ф 0 |.
0 0 1 | й 0 0 10
Компоненты тензора инерции в интересующей нас
системе координат получим из компонент тензора,
приведенного к главным осям, по формуле преобразо-
вания (X. 10). Представим компоненты тензора B3.10)
в виде fim = bimlm- Тогда, обозначив компоненты тен-
зора в новой «штрихованной» системе просто /,-* (без
штриха), можно написать
hk = X <*uakmdim!m = 2j VimO-kmlm-
l,m m
Согласно этой формуле
/„ = ? *iJm = a?.7l + а?Л = COSV, + SinV2-
/71
Аналогичные выкладки дают, что /22 = sin2(p/i +
+ COS29/2, /зз = /з, /l2=/21=Sin(pCOS(p(/2— /i), /i3==
==/31=0, /2з = /з2 = 0. Таким образом, тензор инер-
ции в новой системе имеет вид
//„ /1S 0 ч
: /„ /И 0 .
V о с h)
B3.21)
Отметим, что в случае, когда /, = У2 = /, из полу-
ченных нами формул вытекает, что /и = /22 = Л Ла=
= /21 = 0, т. е. что новый тензор не отличается от
исходного. Так и должно быть, поскольку при равен-
стве моментов 1\ и /2 главные оси х и у оказываются
не фиксированными.
§ 24. Момент импульса твердого тела
Как и в предыдущих гараграфах, будем рассмат-
ривать движение твердого тела в системе координат К
с осями Х\, Х2, Хз. С телом свяжем жестко систему К',
начало которой сначала поместим в произвольную
точку А. Оси этой системы обозначим х\, х%, Хз (или
x,y,z). Тело разобьем мысленно на частицы массы та-

5 2*. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА 107
Согласно формуле B1.8) скорость частицы с но-
мером а в системе К равна
B4.1)
где Va—скорость начала системы К', «а— угловая
скорость вращения тела в системе К, г<^> — радиус-
вектор частицы, проведенный из точки А.
Найдем момент импульса тела М(д) относительно
начала системы К' (относительно точки А). Радиус-
вектор, проведенный из точки А к частице с номе-
ром а, есть г^'. Следовательно,
Подстановка в это выражение значения B4.1) для
Va дает
М(Д) - ? [г<* таУА] + ? [fW ma [<<>] ]. B4.2)
Второе слагаемое в B4.2) представляет собой значе-
ние М('Л), которое имел бы момент при условии, что
точка А была бы неподвижна. Следовательно, М('Л)
есть момент, обусловленный только вращением тела.
Преобразуем первое слагаемое в B4.2), восполь-
зовавшись дистрибутивностью векторного произве-
дения:
Здесь m — масса тела, г<^ — радиус-вектор центра
инерции в системе К' (радиус-вектор, проведенный
из Л в С).
Таким образом, выражению B4.2) можно придать
вид
. B4.3)
Слагаемое М^, как мы уже отмечали, обусловлено
вращением тела. Его можчо назвать собственным мо-
ментом тела. Второе слагаемое обусловлено поступа-
тельным движением тела.

108 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если начало системы К' (т. е. точку А) поместить
в центр инерции тела, г^ будет равен нулю, вслед-
ствие чего из B4.3) получается М(С) = М[С). Отсюда
следует, что наблюдаемый в неподвижной системе К
момент импульса тела относительно его центра инер-
ции совпадает с собственным моментом, т. е. опреде-
ляется только вращением и не зависит от того, дви-
жется центр инерции тела или покоится.
Найдем выражение для момента импульса1) тела
относительно центра инерции. Если точка А совпадает
с С, первое слагаемое в B4.2) обращается в нуль.
Следовательно,
M(C> = ?ma[ra[<flra]] B4.4)
a
(напомним, что ra — радиус-вектор частицы, проведен-
ный из точки С). Преобразуем это выражение по фор-
муле «бац минус цаб» (см. (VI. 5)):
(мы выразили скалярные произведения через проек-
ции соответствующих векторов на оси связанной с те-
лом системы К').
Вычислим компоненты вектора М(С) по осям си-
стемы К' (в дальнейших формулах индекс «С в скоб-
ках» мы опустим). Для компоненты по j-й оси по-
лучаем
Представим ш,- в виде
ю« = Z
k
Тогда
М = ? Ша |? bikiuk ( X) х\а\ — Xia Y,
') Наблюдаемого в системе К- В системе К' тело покоится,
так что момент импульса в этой системе всегда равен нулю.

§ 24. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА 109
Наконец, изменим порядок суммирования по индек-
сам а и k:
= Z «ft { Z «a F<fc ( Z*V) —
Выражение в квадратных скобках есть компонента
тензора инерции llk (см. формулу B3.6)). Таким об-
разом, для проекции вектора М на /-ю ось связанной
с телом координатной системы получается следующее
выражение:
Z (/=1,2,3) B4.5)
(напомним, что а>к — проекция вектора <» на k-ю ось
системы К').
Из формулы B4.5) вытекает, что векторы М и <в,
вообще говоря, не коллинеарны друг другу. Если оси
системы К' (т. е. оси х, у, z) направить по главным
осям инерции тела, формула B4.5) упрощается сле-
дующим образом:
ML = /?©г (/ == х, у, z). B4.6)
Здесь /,- — /-й главный момент инерции.
Пусть тело вращается вокруг, например, третьей
главной оси инерции. Тогда <Dx = cdj, = Q, <аг = е>, так
что
М = Мг —¦ 1г<о2 = /г(о.
Последнее соотношение можно записать в векторной
форме:
М == /гш. B4.7)
Из формулы B4.6) видно, что в случае шарового
волчка (т. е. тела, для которого 1\ = /2 = h = I) век-
торы М и «а также будут коллинеариыми, причем
М = /ш-
Если тело вращается вокруг фиксированной в нем
оси 2, не совпадающей ни с одной из главных осей
инерции, то а>х = <ау = 0, шг = <а. Тогда формула
B4.5) дает
Подчеркнем, что сам вектор М в этом случае не кол-
линеарен с вектором & и поворачивается вокруг на-
правления © вместе с осями х и у.

по
ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Проекция вектора М ;яа ось, проходящую через
точку, относительно которой определен М, называется
моментом импульса относительно этой оси. Следова-
тельно, момент импульса относительно, например,
оси г равен
B4.8)
В заключение рассмотрим случай, когда тело вра-
щается вокруг неподвижной (в системе К), фиксиро-
ванной в нем оси, не проходящей через его центр
инерции С (рис. 24.1). Возь-
мем на оси вращения про-
извольную точку А. Прове-
дем из этой точки в точку
С вектор, который обозна-
чим символом а. Тогда для
каждой из частиц тела
a + re, B4.9)
где г(аЛ) — радиус-вектор час-
тицы с номером а, прове-
денный из точки А, та — ра-
диус-вектор той же час-
Рис. 24.1 тицы, проведенный из точ-
ки С.
По предположению ось вращения неподвижна. По-
этому скорость \А равна нулю. Найдем момент им-
пульса тела относительно точки Л, т. е. М<д>. В соот-
ветствии с формулой B4.2)
Подставим сюда значение B4.9) для г^:
>=S[a + r,,/n.[e, a + rj]. B4.10)
Воспользовавшись дистрибутивностью векторного
произведения, можно после несложных преобразова-
ний привести выражение B4.10) к виду
= [а [<аа] ] (S mo) + [а [«*. Е maraj J +
+ [S «аг», [©а]] + Е [гв, ша [<ога] ]. B4.11)

§ 24. МОМЕНТ ИМПУ/'ЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА Ш
Поскольку XI ">аго = тгс ¦— 0, второе и третье сла-
гаемые в полученном нами выражении равны нулю.
Применение формулы «бац минус цаб» и замена
Y, гпа массой тела т превращает первое слагаемое в
т [<ла2 — а (<аа)] — т [(ajj -f а\) «* — а,®а],
где ац — составляющая вектора а, параллельная <а,
aj.—составляющая а, перпендикулярная к о> (а± есть
расстояние между осью вращения и параллельной ей
осью z, проведенной через точку С).
Наконец, сравнение с формулой B4.4) показы-
вает, что последнее слагаемое в B4.11) есть М(с> —
момент импульса тела относительно точки С. Таким
образом, в изображенном на рис. 24.1 случае
M(i4) = т{а\ + а\) «л — тар>& + Af(C). B4.12)
Найдем момент импульса тела относительно оси
вращения (которую мы будем обозначать буквой ш).
Для этого нужно спроектировать вектор B4.12)
на ось о. Проекция первого слагаемого равна
т (а\ -\- G\)w- Проекция иторого слагаемого равна
— /пйцшац = — та\т. Сомасно формуле B4.8) проек-
ция третьего слагаемого есть /(гС)<в, где /(,С) — момент
инерции тела относительно оси z, проходящей через
точку С. Следовательно,
Ма = т {а\ + а\) ш —
= (/<гс > + та\) w = 7^>со. B4.13)
Здесь /<^> — определенный по теореме Штейнера мо-
мент инерции тела относительно оси а, проходящей
через точку А.
Таким образом как би ни была выбрана непо-
движная ось вращения, жестко связанная с телом,
момент импульса тела относительно выбранной оси
равен произведению момента инерции тела относи-
тельно этой оси на модуль угловой скорости (см. фор-
мулы B4.8) и B4.13)). Отметим, что, если ось, на
которую проектируется момент, и вектор <л направ-
лены в противоположные стороны, то в формуле
B4.13) появится знак минус.

112
ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 25. Свободные оси вращения
Свободными осями вращения тела называются, как
известно, оси, которые сохраняют свое положение
в пространстве без воздействия на них внешних сил.
В этом параграфе мы докажем, что свободными осями
вращения могут быть только глав-
ные оси инерции тела.
Допустим, что тело вращается
с угловой скоростью <й вокруг неко-
торой связанной с ним неподвиж-
ной оси (рис. 25.1). При этом каж-
дой частице тела должно быть со-
общено ускорение
Wa = — Ш2ра,
где ра — перпендикулярная к оси
вращения составляющая радиуса-
вектора Га данной частицы (га про-
веден из точки О, лежащей на оси
вращения 1)).
Для того чтобы сообщить частице такое ускорение,
необходимо приложить к ней силу
Рис. 25.1
Fo =
— mQ(o2pa,
B5.1)
момент которой относительно точкя 0 равен
К — [ra, Fa] == — таю2 [ra, paj.
B5.2)
Сложив все силы B5.1), получим результирующую
внешнюю силу, которая должна быть приложена
к телу, чтобы обеспечить вращение его вокруг рас-
сматриваемой оси2):
2 у
B5.3)
') В соответствии с принятыми нами обозначениями этот
вектор следовало бы обозначить символом г^'. Однако, по-
скольху в этом параграфе нам не встретятся радиусы-векторы,
проведенные из точки С, мы, чтобы не усложнять обозначений,
опустим индекс «О в скобках» при символах векторов и коор-
динат.
2) Силы F,, включают в себя как внешние, так и внутренние
силы, но результирующая внутренних сил, как известно, равна
нулю.

5 25. СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ЦЗ
Результирующий момент внешних сил должен быть
равен сумме моментов B5.12):
N = Z Na = - <о2 ? та [г., р.]. B5.4)
a a
Свяжем с телом систему координат, поместив ее
начало в точку 0, а ось z направив вдоль вектора <о.
Компоненты вектора ра по осям такой системы равны
ха, Уа, 0. Следовательно,
чх ^у е2
[fa, Pal = с» Va «a
«а Уа 0
так что компоненты вектора [ra, paj равны:
I1 a> ralnp. х Уа lJ ^-ai/a i/a'oi
[Га, Palnp. у = Z*X* — Xa ' ° = X*Z*> B55)
[Га. Palnp. г = хаУа ~ Уаха = 0.
Теперь напишем компоненты результирующей
силы F и результирующего момента N. Согласно фор-
муле B5.3)
Fх = — и»2 ? r,iaxa = — iu2mxc.
а
Fy = — <а2 Z 1ПаУа. = —
а
где хс и ус — координаты центра инерции тела. Если
ось вращения проходит через центр инерции, эти ко-
ординаты будут нулями, t?ik что все компоненты силы,
а значит и сама F будут равны нулю.
Согласно формулам B5.4) и B5.5)
Мх = —и2 X та (— уага) = — (О21у2,
а
Ny = -о2 S ma (xaza) = @2/х2,
a
Nz = -ю2 Е та ¦ 0 = 0,
a
где Iyz и /хг — центробежные моменты инерции тела
(см. формулу B3.9)). Если ось 2, вокруг которой про-
исходит вращение, является одной из главных осей
инерции, центробежные моменты 1хг и 1уг равны нулю

П4 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
(см. B3.21)), так что все компоненты результирую-
щего момента сил, а значит, и сам момент N будут
равными нулю.
Итак, мы доказали, что в случае, когда тело вра-
щается вокруг одной из своих главных осей инерции,
результирующая внешних сил и результирующий мо-
мент этих сил равны нулю. Значит, для того чтобы
такая ось вращения сохраняла свое положение в про-
странстве, необходимости во внешних силах нет.
§ 26. Уравнение движения твердого тела
Возьмем в качестве обобщенных координат, опре-
деляющих положение тела в неподвижной системе К,
декартовы координаты центра инерции Х\С, Xic, Хзс
(им соответствует радиус-вектор Rc) и эйлеровы углы
Ф, б1, if, причем оси связанной с телом системы К'
направим по главным осям инерции тела.
В § 23 мы установили, что кинетическая энергия
твердого тела слагается из энергии поступательного
движения B3.2) и энергии вращательного движения,
которая при сделанном нами выборе осей К' опреде-
ляется формулой B3.11). Таким образом, для функ-
ции Лагранжа твердого тела можно написать сле-
дующее выражение:
L = Ч*т\1 + V. (/l(o'f + /2Ц + /3<*>) - U. B6.1)
Чтобы получить выражение L в принятых нами
обобщенных координатах, заменим Vc через Rc, a
проекции вектора <а на оси системы К' выразим через
эйлеровы углы (см. B2.4)). В результате получим
L = y2mRc + Va {Л (Ф sin fl sin i|) + Ь cos i|>J -f
+ /2 (ф sin ft cos -ф - Ь sin off + At (Ф cos # -f 4>J} —
p, в, Ч>) B6.2)
(напомним, что I\, h, /3 — главные моменты инерции
тела).
Зная вид функции (У(Кс, Ф, О, if), можно составить
уравнения Лагранжа и решить соответствующую за-
дачу о движении твердого тела. Уравнение Лагранжа,

§ 26. УРАВНЕНИЕ ДВИЖаНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Ц5
соответствующее координатам центра инерции, имеет
вид
откуда получается уравнение движения центра инер-
ции тела:
mRc == F, B6.3)
где F — результирующая внешних сил, действующих
на тело.
Чтобы получить уравнение, определяющее поведе-
ние со временем момента импульса тела М, вспомним,
что для отдельной частицы
т. е. производная по времени от момента импульса
равна моменту силы, действующей на частицу. Про-
суммировав по всем частицам тела, получим
где N — сумма моментов нсех действующих на тело
внешних сил относительно точки С (моменты внут-
ренних сил в сумме дают нуль).
Запишем уравнение B6.4) в проекциях на оси си-
стемы К' (на главные оси инерции тела):
-jFMl = Nl (/=1,2,3). B6.5)
Проекцию Ni можно представить в виде
где 6Ф,- — угол поворота тела вокруг /-и главной оси
((ui = d<bi/dt). Действительно, при повороте тела на
угол 6Ф,- силы, приложенные к телу, совершают ра-
боту
E l|, г].
Здесь суммирование производится не по индексу /, а
по всем внешним силам, действующим на тело, 6R —
перемещение точки приложения соответствующей

Цб ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
силы, е, — орт i-й главной оси, г — радиус-вектор
точки приложения силы, проведенный из точки С (R
проводится из начала системы К). Осуществив цикли-
ческую перестановку сомножителей и вынеся общий
множитель бФ,ег за знак суммы, придем к выражению
6А = бФ,е, ? [rF] = бФ,е^ = Nt 6Ф,,
где Nt — проекция результирующего момента сил на
ось, вокруг которой произведен поворот на угол 6Ф,.
Вычисленная нами работа НА совершается за счет
убыли потенциальной энергии U, т. е.
6А = Nt 6Ф< = - bU,
откуда и следует формула B6.6).
Мы получили формулу B6.6), рассматривая пово-
рот вокруг одной из главных осей инерции тела. Од-
нако эта формула справедлива в самом общем слу-
чае— для поворота вокруг произвольной оси (конеч-
но, при условии, что сила, момент которой рассмат-
ривается, является потенциальной).
Из формулы B6.6) следует, что величины Nt суть
обобщенные силы, отвечающие обобщенной коорди-
нате Ф, (см. D.20)).
Теперь продифференцируем функцию B6.1) по со,.
В результате получим
-т— = Лю, = Mi
(см. формулу B4.6)). Проекцию угловой скорости ац
можно представить как Ф; (см. текст, следующий за
формулой B6.6)). Следовательно, можно написать,
что
Mi = ^ = ^~ B6.7)
(ср. с формулой A1.3)). Из формулы B6.7) вытекает,
что величины М, суть обобщенные импульсы, отве-
чающие обобщенным координатам Ф, (см. D.19)).
Воспользовавшись соотношениями B6.6) и B6.7),
формулу B6.5) можно представить в виде
*.*±- = lL-y B6.8)
di дФ{ dd>!

§ 26. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА П7
т. е. как уравнение Лагранжа, отвечающее обобщен-
ной координате Ф,.
Следует иметь в виду, что при сделанном нами вы-
боре осей системы К' только эйлеров угол if соответ-
ствует повороту вокруг главной оси. Остальные же
углы соответствуют поворотам вокруг неподвижной
оси Х3 и вокруг линии узлов.
Продифференцировав функцию B6.2) по t|>, най-
дем выражение для проекции момента импульса на
ось xz (на ось z) через эйлеровы углы
Aft = Af3 = /3(<pcose + ii>). B6.9)
Допустим, что эйлеров угол д равен нулю. Это
означает, что оси Z и z все время совпадают — тело
вращается вокруг связанной с телом оси, которая не-
подвижна в системе К. В этом случае сумма углов
Ф -J- -ф определяет полный угол поворота тела вокруг
оси 2. Положение линии узлов з этом случае оказы-
вается неопределенным — эта линия может быть распо-
ложена в любом месте между осями X и х. В частно-
сти, можно совместить линию узлов с осью X, тогда
Ф = 0 и поворот тела вокруг оси z будет характе-
ризоваться углом собственного вращения ф. Если со-
вместить линию узлов с осью х, будет равен нулю
угол ф и поворот вокруг оси z будет описываться уг-
лом прецессии <р.
При Ф = 0 формула B6.9) принимает вид
где (Оз — угловая скорость пращения тела вокруг оси г.
При # = я/2 формула B6.9) упрощается следую-
щим образом:
где @^ — угловая скорость собственного вращения
тела.
В заключение составим уравнение Лагранжа для
тела, вращающегося вокруг жестко связанной с ним
оси, неподвижной в системе К. Для большей общно-
сти будем считать, что ось вращения не проходит че-
рез центр инерции тела С и не параллельна ни одной
из главных осей инерции тела.
Направим оси Z и z по оси вращения тела. Тогда
эйлеров угол ¦& будет равен нулю. Поскольку линия

118 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
узлов в этом случае не фиксирована, совместим ее
с осью х. тогда угол г|) также обращается в нуль. При
сделанном нами выборе оси z (по направлению век-
тора О)) (Их = <Яу = 0, @2 = <1) = ф.
Кинетическую энергию для подобного случая мы
вычислили раньше. Она оказалась равной значению
B3.20). Следовательно, функция Лагранжа имеет вид
L = '/2/B>2 - U (.р) = 72/ЙУ - U (ф) B6.10)
(А — не совпадающая с С точка, в которой находится
начало системы К').
Составим уравнение Лагранжа:
dt (Эф (Эф
Из B6.10) следует, что левая часть равна /^'(Ь. Со-
гласно B6.6) правая часть, равная — dU/ду, есть
проекция результирующего момента сил на ось вра-
щения, т. е. Nz. Таким обрагом, мы приходим к урав-
нению
§ 27. Уравнения Эйлера
Уравнения Лагранжа, соответствующие эйлеровым
углам (т. е. описывающие вращение тела), оказы-
ваются, как легко заключить из вида функции B6.2),
весьма сложными. Иногда бывает удобнее пользо-
ваться другими уравнениями, полученными Эйлером
и носящими его имя. Чтобы прийти к этим уравне-
ниям, будем исходить из соотношения B6.4):
~ = N. B7.1)
Уравнение B7.1) справедливо в инерциальной системе
отсчета (т. е. в неподвижной системе К). Мы попы-
таемся найти уравнение, справедливое во вращающей-
ся вместе с телом системе К', оси которой совпадают
с главными осями инерции тела.
В уравнении B7.1) dfh есть приращение вектора М
за время dt, наблюдаемое в системе К. Согласно
A5.6) это приращение можно представить в виде
= rf'M + [dp, M],

i 27. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА Ц9
где d'M — приращение вектора М за время dt, наблю-
даемое в системе К', dq> — угол, на который поворачи-
вается система К' за время dt. Разделив последнее
уравнение на dt, получим
^- = 4г + ИМ]. B7.2)
где dM/dt— скорость изменения вектора М, наблю-
даемая в системе К, d'tA/dt — скорость изменения
того же вектора, наблюдаемая в системе К', (л —
= dqi/dt — угловая скорость вращения системы К'
(т. е. угловая скорость вращения тела).
Формула B7.2) справедлива для любого вектора,
в частности она справедлива и для вектора <». В по-
следнем случае имеем
dm d'ei . . .
_____ +1^,.
Поскольку [caw] = 0, мы приходим к соотношению
dt'~ dt • {г/ d)
из которого следует, что скорости изменения век-
тора to, наблюдаемые в системах К и /С', одинаковы.
Заменим левую часть формулы B7.1) выраже-
нием B7.2). В результате получим уравнение
?
Спроектируем все векторы на i-ю ось системы К',
учтя, что проекция вектора М на эту ось Af, = /<©/
(см. B4.6)):
Приняв во внимание, что U = const, a d'a/dt — dat/dt
(см. B7.3)), можно записать полученное нами уравне-
ние следующим образом:
d(a
l'-lt+ ИМ]пр Х( - ,V, (/ = 1, 2, 3). B7.4)
Представим проекцию векторного произведения на
ось Xi по формуле (VI. 33):
2 i4,: ?

120 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
и подставим это выражение в B7.4). В итоге придем
к уравнениям
'i^T + ?Wi«>*«>« = JVi (« = 1.2,3), B7.5)
А. I
которые и представляют собой уравнения Эйлера. По-
ложив последовательно i -= I, i = 2, i = 3 и произведя
суммирование по k и I, получим три уравнения:
Л -jf- + Aз — h) ЩЩ = Ni,
h ^r + (Л - /з) ЩЩ = N2, B7.6)
/3 -?f- + (I2 — /i) ЩЩ — Л^з-
Отметим, что каждое следующее уравнение получает-
ся из предыдущего с пo^4oщью циклической переста-
новки индексов 1, 2, 3.
Легко видеть, что в случае шарового волчка урав-
нения B7.6) превращаются в уравнение /« = N.
§ 28. Свободный симметричный волчок
Применим уравнения Эйлера для исследования
движения симметричного волчка (т. е. тела, у кото-
рого 1\ — 12Ф /з), ие подверженного действию внеш-
них сил. В этом случае центр инерции тела движется
с постоянной скоростью или покоится (см. формулу
B6.3)). Поэтому можно из всех инерциальных систем
выбрать ту систему К, начало которой совмещено
с центром инерции тела С В этой системе поступа-
тельное движение тела отсутствует и остается выяс-
нить только характер вращательного движения.
В отсутствие внешних сил момент импульса тела М
остается по отношению к неподвижной системе К не-
изменным по величине и направлению. Выберем на-
правление вектора М в качестве оси Z. Относительно
связанной с телом системы К' вектор М, как мы уви-
дим, вообще говоря, все время изменяет свое направ-
ление.
Поскольку 1\ = /2 и момент внешних сил равен
нулю, уравнения B7.6) выглядят следующим об-

i 28. СВОБОДНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 121
разом'):
, = 0, B8.1)
dm,
"It U-
Из третьего уравнения сразу получается, что аз =
= сан = const. Это означает, что проекция вектора уг-
ловой скорости на связанную с телом ось г остается
постоянной.
Введя обозначение
Й- ^3 — ^' ,, /ой о\
—7 Щ< B8.2)
запишем первые два уравнения B8.1) в виде
Легко убедиться в том, что полученная нами система
удовлетворяется функциями
©, = ш^ cos (й/ + а), co2 = o)i sin (Qt + а), B8.3)
где а>х и а — константы, причем со L = ^lia\ -\-a>\ есть
величина проекции вектора со на плоскость ху, пер-
пендикулярную к оси собственного вращения тела г.
Из B8.3) следует, что перпендикулярная к оси z со-
ставляющая ejj_, оставаясь постоянной по величине,
вращается равномерно в плоскости ху с угловой ско-
ростью Q, определяемой формулой B8.2). Параллель-
ная оси г составляющая щ\ тоже остается, как мы ви-
дели, постоянной по величкне. Отсюда заключаем, что
вектор «о вращается относительно тела с угловой ско-
ростью Q, описывая конус вокруг оси г, причем мо-
дуль вектора © не изменяется (рис. 28.1 2)).
') Напомним, что уравнении Эйлера пишутся в системе ко-
ординат, оси которой совпадают с главными осями инерции тела.
2) Практически в качестве симметричного волчка берут тело
вращения. Однако мы изобразили на рисунке тело неправильной
формы с целью подчеркнуть, что единственным условием того,
чтобы тело было симметричным волчком, является равенство
двух его главных моментов инерции.

122
ГЛ. V. МЕХАНИКА ТЗЕРДОГО ТЕЛА
Согласно B4.6) проекции вектора М на оси х, у, z
равны
Следовательно,
где ех, гу, ег — орты соответствующих осей (эти осп
вращаются вместе с телом). Сумма (Oie* + сэгву дает
перпендикулярную к оси z составляющую (я±; <аз&г
есть параллельная оси z составляющая <йц. Таким об-
разом,
М = /1«х + /з®|[. B8.4)
Направления векторов Миш проходят через об-
щее для систем К и К' начало — точку С. Значит, эти
векторы определяют не-
которую плоскость (пло-
Рис. 28.1
Рис. 28.2
скость Zz). Для того чтобы могло выполняться ра-
венство B8.4), вектор <о± должен лежать в этой же
плоскости. Следовательно, и вектор а — <о± + <оц ле-
жит в плоскости Zz. Отсюда заключаем, что век-
торы М, ft) и ось собственного вращения тела z в каж-
дый момент времени лежат в одной плоскости (на
рис. 28.1 эта плоскость заштрихована). Эта плоскость
вращается вокруг направления М. Вместе с ней пово-
рачивается ось z, описывая вокруг оси Z круговой
конус. Такое вращение оси тела z называется регу-
лярной прецессией. Для регулярной прецессии харак-
терно постоянство угла нугации <}.
Вектор (о, как мы установили, ярящается относи-
тельно тела вокруг оси z с углоной скоростью Q. Вме-

4 28. СВОБОДНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 123
сте с тем этот вектор остается в плоскости Zz. Отсюда
следует, что относительно плоскости Zz тело вра-
щается вокруг оси z в протииоположиую сторону с той
же скоростью ?2.
На рис. 28.2 изображены составляющие 1]<ау и
ц, которые в сумме дают момент импульса М (см.
B8.4)). Из рисунка видно,-что
'е«в-$Г- <28-5)
Ранее мы установили, что ь)Х и щ — константы. Сле-
довательно, tgu, а значит, и сам угол нутации О оста-
ется неизменным. Угол между вектором ю и осью z
также постоянен (его тангенс равен <лх/щ).
Величины ах. и <оц определяются энергией тела Т
и моментом импульса М. Действительно,
т=4 (/,«? + /,«1 + ЭД -= т С,"! + 'з*1). B8 б)
2 « W
Решив эту систему уравнений относительно toL и сои,
найдем выражения этих величин через Т и М
VAf* —277,
V , /М2 —
V
Допустим, что тело сплюснуто вдоль оси z, тогда
/з > /i и знаменатель под корнем в соц будет положи-
тельным, а в Юх—отрицательным. Значит, для того
чтобы сои и (Oj были вещественными, необходимо вы-
полнение условий М2 — 277,55 0, М2 — 2773 г=? 0, ко-
торые можно объединить в одну формулу
<т<ж- B8-8)
Значений, выходящих за указанные пределы, энергия
свободного симметричного волчка иметь не может
(при данном М). Если энергия имеет наименьшее воз-
можное значение, т. е. при Af2 —27V3, ou обращается
в нуль (см. B8.7)). Из формулы B8.5) следует, что
в этом случае 0 = 0 — оси Z и г совпадают, направ-
ления векторов М и и также совпадают, вектор о не
перемещается ни относительно тела, ни относительно

124 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
системы К- Отметим, что в этом случае имеет место
соотношение
Т --=¦ —. B8.9)
Теперь допустим, что энергия имеет наибольшее
возможное значение, т. е. М2 = 2Т1\. Тогда обращается
в нуль ми (см. B8.7)). Согласно формуле B8.5) в
этом случае Ь = я/2 — оси Z и г взаимно перпендику-
лярны, вращения вокруг оси z нет, вектор й) = ©х
совпадает по направлению с вектором М, энергия свя-
зана с моментом соотношением
T==-jf-- B8.10)
Полученным нами соотношениям можно дать кра-
сивую геометрическую интерпретацию. Перепишем
формулы B8.6) следующим образом:
<l)f On G>q
1 _| ? 1 ?_ 1 /00 1 1 \
277/, 277/, ^ 2Т/13 ~~~ '* l^o.nj
mf 4i\". (ot
V—~T=\. B8.12)
Каждое из этих уравнений есть уравнение эллипсои-
да вращения. Если, как мы предположили, /3 > Л,
оба эллипсоида сплющены вдоль оси <о3, которая со-
впадает с осью г (эллипсоид инерции в этом случае,
наоборот, вытянут вдоль оси г). Легко сообразить1),
что первый эллипсоид (назовем его эллипсоидом энер-
гии) сплющен меньше чем второй (который мы назо-
вем эллипсоидом момента). На рис. 28.3 изображены
оба эллипсоида. Значения <о\, саг, а>3, удовлетворяю-
щие уравнениям B8.11) и B8.12), определяются ли-
ниями пересечения обоих эллипсоидов. Отсюда выте-
кает, что конец вектора w должен скользить по этой
линии пересечения. Следовательно, вектор %а враща-
ется относительно осей сщ, сог, <Дз. описывая конус во-
круг оси <д3. Напомним, что со, есть проекция <о на
i-ю главную ось инерции тела. Значит, оси со* совпа-
дают с осями х, у, z. Таким образом, вращение отно-
сительно осей at означает вращение относительно
самого тела.
') Для этого нужно принять во внимание, что

§ 29. СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 125
Увеличивая М при неизменном Т, можно добиться
того, чтобы эллипсоиды энергии и момента имели
только две общие точки. Это осуществляется при усло-
вии, что -yj2T/I3 = M/I3 (ср. с B8.9)). В этом случае
вектор ы совпадает по направлению с осью г. Если
еще увеличить М, т. е. положить М2/213 > Т, эллип-
соиды перестанут соприкасаться и система уравнений
Зллипсоив
энергии
Рис. 283
B8.11) и B8.12) не будет иметь общих решений. Та-
кой случай не может реализоваться. Следовательно,
мы получили нижнюю границу для Т (см. B8.8)).
Уменьшая М при неизменном Т, придем к такому
положению, когда обе линии пересечения эллипсоидов
сольются в одну линию касания, лежащую в эквато-
риальной плоскости. Это осуществляется при условии,
что л/277/, = м/1х (ср. с B8.10)). В этом случае век-
тор ю вращается вокруг оси z, оставаясь все время
к ней перпендикулярным. Если еще уменьшить М, т. е.
положить Т > М2/21\, эллипсоиды перестанут сопри-
касаться и система уравнений B8.11) и B8.12) не бу-
дет иметь общих решений. Таким образом, мы прихо-
дим к верхней границе для 7 (см. B8.8)).
§ 29. Симметричный волчок
в однородном поле тяжести
Рассмотрим поведение симметричного волчка с од-
ной неподвижной точкой, находящегося в однородном
поле тяжести. Отметим, что общее решение1) задачи
') То есть решение, получаемое с помощью квадратур при
произвольных начальных условиях.

126 ГЛ. V. МЕХАНИК ТВЕРДОГО ТЕЛА
о движении тела с одной неподвижной точкой в одно-
родном поле тяжести может быть получено только
в трех случаях:
1) для асимметричного уравновешенного волчка
(волчок называется уравновешенным, если неподвиж-
ная точка совпадает с центром инерции тела). Этот
случай называется задачей Эйлера;
2) для симметричного неуравновешенного волчка
(неподвижная точка не совпадает с центром инерции),
у которого центр инерции лежит на оси г — задача
Лагранжа;
3) для симметричного неуравновешенного волчка,
у которого 1\ = /2 = 2/3, а центр инерции лежит в пло-
скости ху — задача С. В. Ковалевской.
Мы рассмотрим задачу Лагранжа. Уравнения дви-
жения в этом случае интегрируются очень сложно.
Поэтому мы ограничимся написанием исходных урав-
нений и обсуждением их решений.
Начала обеих координатных систем К и К' помес-
тим в неподвижную точку А волчка (в точку опоры).
Ось Z неподвижной системы К направим по вертикали,
ось г связанной с волчком системы К' направим вдоль
третьей главной оси инерции тела A\ = /2 -ф /з). При
таком выборе координатных осей потенциальная энер-
гия волчка имеет вид V — mgl cos ¦&, где / — расстоя-
ние от точки опоры до центра инерции С (предпола-
гаем, что координата z центра инерции, т. е. Zc
больше нуля).
Найдем выражение кинетической энергии для дан-
ного случая. Учтя, что точка А неподвижна, напишем
и проделаем те же преобразования, какие мы выпол-
нили для выражения B3 3). В итоге мы придем к фор-
муле, которая будет отличаться от B3.5) лишь тем,
что вместо координат хщ, хка и т. д. в ней будут
стоять координаты х<*>, х{?> и т. д. Следовательно,
для кинетической энергии получится выражение, ана-
логичное B3.8):

S 29. СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 127
где /</?> — компоненты тензора, определяемые по фор-
муле B3.16). Согласно B3.18) эти компоненты равны
'и» «'» + «№*-* А).
В нашем случае п\ = а2 == 0, а3 = —а =—/ (а,—
есть i-я координата точки А в системе К[С); см.
B3.17)). Кроме того, поскольку ось z совпадает
с третьей главной осью инерции, а оси х и у парал-
лельны двум другим главным осям1), /,-* = /,б,-А. От-
сюда можно заключить, что тензор /^ будет диаго-
нальным, причем отличные от нуля компоненты его
равны
1\л) = /, + ml2, /<,д> == /2 + т/2, /№ = /3.
Таким образом, учтя, что /| = /2, получим для ки-
нетической энергии следующее выражение:
Подставив в это выражение значения B2.4) для ком-
понент с», получим
Т = '/2 {(/, + ml2) (ф2 sin2 О -+- О2) 4- 'з (Ф cos О 4 'ФJ}.
Напишем функцию Лагранжа2):
L = '/2 (/i 4- ml2) (ф2 sin2 «¦ 4- <>2) +
+ V2/3(?cos^4iJ — mg/cos#. B9.1)
Координаты ф и -ф являются циклическими (см. § 11,
текст, связанный с формулой A1.2)). Поэтому обоб-
щенные импульсы рф и p^ оказываются интегралами
движения. Третьим интегралом движения является
энергия Е. Итак, мы имеем три уравнения:
рф = dL/дф = [(/, 4- ml2) sin2 i> + h cos2 Щ ф 4- /а cos Щ=
— Mz = const,
р$ = dL/dty = 13 (ф cos Ф 4- ¦Ф) = Mz = const 3),
E = T 4-1/ = const.
') У симметричного волчка любые две взаимно перпендику-
лярные оси, перпендикулярные к оси симметрии, могут служить
главными осями инерции.
2) Сила, приложенная к волчку в точке опоры, есть реакция
связи, которая, как нам известно, в ураинения Лагранжа не
входит.
3) Ср. с B6.9).

128 ГЛ. V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Анализ решений этих уравнений приводит к сле-
дующим результатам. Угол ¦& изменяется периодиче-
ски в пределах от #i до i>2, определяемых начальными
условиями (в частности, соотношением между энер-
гией и моментом импульса волчка). Колебания оси
волчка, отвечающие изменениям угла ft. называются
нутацией. Одновременно ось волчка прецессирует, т.е.
поворачивается вокруг оси Z. В итоге апекс, т. е. точка
пересечения оси г (оси волчка) со сферой единичного
радиуса, вычерчивает одну из кривых, изображенных
на рис. 29.1. Знак произзодной ф либо остается неиз-
менным (рис. 29.1,а и б), либо меняется (рис. 29.1, в).
Случай 6) имеет место, когда фи9 одновременно об-
ращаются в нуль.
Характер поведения ф, как и значения f>i и {>2,
зависит от начальных условий. Такое движение оси
волчка, как в случае б), соответствует естественным
начальным условиям, при которых волчок сначала
приводится во вращение вокруг своей оси, после чего
ось освобождается и начинает свое движение. В мо-
мент освобождения оси и ср, и ¦& равны нулю. При
этих начальных условиях волчок сначала наклоняется,
а по достижении граничного угла Ф2 начинает подни-
маться (см. рис. 29.1,6).
При совершенно специфических начальных усло-
иях оба граничные значения Oi и 02 совпадают, так
что ось волчка прецессирует без нутации. Такая пре-
цессия называется, как мы уже отмечали, регулярной.
Чтобы получить регулярную прецессию, нужно сооб-
щить волчку начальный толчок вполне определенной
величины и направления.

5 29. СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 129
В случае «быстрого» волчка (т. е. в случае, когда
кинетическая энергия собственного вращения волчка
велика по сравнению с его энергией в поле тяжести)
действием сил тяжести можно в первом приближении
пренебречь. Следовательно, движение волчка можно
представить как рассмотренную в предыдущем пара-
графе свободную прецессию оси волчка вокруг на-
правления момента М (эта прецессия соответствует
нутации тяжелого волчка), на которую наклады-
ваются малые возмущения, обусловленные действием
силы тяжести. Эти возмущения вызывают медленную
прецессию момента М вокруг вертикали.
Расчет показывает, что чем быстрее вращается
волчок, тем меньше амплитуда нутации. Кроме того,
у реального быстрого волчка нутация погашается тре-
нием в опоре. Поэтому практически нутация доста-
точно быстрого волчка бывает незаметной и волчок
представляется равномерно прецессирующим вокруг
вертикальной оси. Так как подобная прецессия яв-
ляется регулярной только приближенно, то она полу-
чила название псевдорегулярной прецессии.
5 И. В. Савельев, т. I

Глава VI
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 30. Уравнения Гамильтона
При решении задач о движении системы с s сте-
пенями свободы с помощью уравнений Лагранжа при-
ходится решать систему s дифференциальных уравне-
ний второго порядка. Независимыми переменными
в этих уравнениях являются обобщенные коорди-
наты qk и обобщенные скорости qk.
Гамильтон получил уравнения движения, в кото-
рых независимыми переменными являются обобщен-
ные координаты qk и обобщенные импульсы рк. Урав-
нения Гамильтона или, как их еще называют, кано-
нические1) уравнения (соответственно qk и р* назы-
ваются каноническими переменными), в отличие от
уравнений Лагранжа, являются дифференциальными
уравнениями первого порядка. Но зато число их, не-
обходимое для описания системы с s степенями сво-
боды, оказывается равным 2s.
Уравнения Гамильтона можно вывести либо из
уравнений Лагранжа, либо непосредственно из прин-
ципа наименьшего действия (ниже мы приведем оба
вывода). Естественно, что они не дают ничего нового
по существу. Однако канонические уравнения симмет-
ричнее уравнений Лагранжа и, кроме того, будучи
инвариантными по отношению к каноническим преоб-
разованиям, они открывают большие возможности
') Уравнения Гамильтона называются каноническими в связи
с тем, что она остаются инвариантными при весьма общих пре-
образованиях переменных. С помощью таких мно!Щ"еских пре-
образование можно пкрейти ит переметы;; qk и рк к другим
каноническим переменным Qi((U, pk, t) v Pi(gk, p*, i) При этом
уравнения Гамильтона сохраняют саою форму, правда, с неко-
торой новой функцией Гам;мьто(м Н'{Qi.Pt.i), которая заме-
няет функцию H(qk, pt, t). Пс-рсмепньч; Qi и Р, могут иметь
другой физический смысл, чем не)«менн1№ qt и р*.

5 30. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 131
для обобщений, играющих важную роль в электроди-
намике, статистической физике и квантовой механике.
В качестве функции, характеризующей механиче-
скую систему, Гамильтон взял энергию E.1), выра-
женную через переменные qk и рк- Учтя, что
Pk=4r <301)
(см. D.19)), запишем эту функцию следующим об-
разом:
Н (<7ь рк, t) = ? pkqk - L (qk, qk, t) C0.2)
(qk предполагаются выраженными через qk и рь). Ха-
рактеристическую функцию Н называют функцией
Гамильтона или гамильтонианом.
В качестве примера приведем гамильтониан час-
тицы, движущейся в потенциальном поле ?/ =
= U(x,y,z,t):
H==4;(Pl + Pl + Pl) + U<*• У' г' &
Для частицы, движущейся в стационарном поле, И
имеет тот же вид, но U не зависит явно от t.
Выведем уравнения Гамильтона, исходя из урав-
нений Лагранжа. С этой целью найдем полные диффе-
ренциалы левой и правой частей формулы C0.2) и
приравняем эти дифференциалы друг другу. Полный
дифференциал левой части равен
-in-dt- C0-4)
Дифференциал же правой части имеет вид
В силу соотношения C0.1) первая и четвертая суммы
взаимно уничтожаются. Из уравнения Лагранжа

132 ГЛ. VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
D.16) ') следует, что
dL d_ dL_ .
dqk — di"dq~k~Ph'
C0.6)
Заменим в третьей сумме формулы C0.5) dL/dqk че-
рез pk- В итоге выражение C0.5) примет вид
^*-4rd/- <30-7>
Для того чтобы выражения C0.4) и C0.7) были
равны при произвольных dqk, dpk и dt, необходимо
выполнение условий:
<7*=-§^. рк = ~-^ D=1,2 s), C0.8)
-? —4г« C0.9)
Уравнения C0.8) суть искомые уравнения Гамиль-
тона или канонические уравнения. Они, как уже отме-
чалось, являются дифференциальными уравнениями
первого порядка. Общее число их равно 2s.
Для частицы, описываемой гамильтонианом C0.3),
уравнения Гамильтона имеют вид
dU . рх
р*=-тг- x=?t и т-д-
Теперь получим уравнения Гамильтона из прин-
ципа наименьшего действия. Напомним, что согласно
зтому принципу система движется так, что действие S
(см. G.1)) имеет наименьшее возможное значение.
Это утверждение записывается в виде
и
6S = a$ L(qk, qk
Подставим сюда значение L, получающееся из соот-
ношения C0.2):
>
B>)«0. C0.10)
') Мы предполагаем, что все силы, действующие в системе,
потенциальны, поэтому используем уравнение D.16), а не D.15).

5 30. УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА 133
Вариацию, стоящую в леиой части C0.10), можно
представить в виде
и
Проинтегрируем по частям первое слагаемое:
pk 6qk dt = pk bqk - J pk bqk dt
t, t,
Гмы воспользовались тем, что б^ == -тг {bqk); см. фор-
мулу (III. 4)У Вариации bqk при подстановке преде-
лов интегрирования обращаются в нуль1). Поэтому
первый член полученного выражения нужно отбро-
сить. Следовательно, условие C0.10) запишется так:
В силу произвольности вариаций 8^* и bpte это усло-
вие может выполняться только в случае, если выра-
жения в круглых скобках будут нулями. Отсюда сразу
получаются уравнения C0.8).
Исследуем функцию Гамильтона Н. Найдем пол-
ную производную от этой функции по времени
dH дН
Приняв во внимание значения C0.8) для qk и pk, по-
лучим, что
Таким образом, если функция Н не зависит явно от
времени, она сохраняет свое значение. Этого следо-
вало ожидать, поскольку И есть полная энергия си-
стемы, которая сохраняется при условии, что
dL/dt = O (см. C0.9)).
') Напомним, что при варьировании траекторий в конфигу-
рационном пространстве (см. § 4) начальная и конечная точки
этих траекторий предполагаются закрепленными.

134 ГЛ. VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Заменим во втором из уравнений C0.8) /j* в соот-
ветствии с C0.6). В результате найдем, что
2L=-.-4±-. C0.12)
dq dq
Отсюда следует, что те обобщенные координаты, ко-
торые являются циклическими, т. е. не входят явно
в функцию /_,, не войдут явно и в функцию Н. Выше
(см. A1.2)) мы установили, что обобщенные импуль-
сы, соответствующие циклическим координатам, яв-
ляются интегралами движения. Из сказанного можно
заключить, что обобщенные импульсы, соответствую-
щие координатам qk, не входящим явно в гамильто-
ниан (т. е. циклическим относительно функции И),
остаются постоянными
pfe = const при условии, что dH/dqk = 0. C0.13)
§ 31. Скобки Пуассон*
Возьмем некоторую функцию канонических пере-
менных Цк и рь, а также времени /, т. е. f(Qk,pk,t) и
выясним, при каких условиях эта функция будет ин-
тегралом движения1). Для этого вычислим полную
производную от этой функции по времени:
dt — at + L \ aqk Чь л дРк
Заменим производные qt и pk их значениями C0.8):
i УС
dt dt TL,\dqk dpk dpk dk
Если есть две функции q>(qk, /?*, 0 и ^{qk, pk,t), то
выражение
4'p РР Р
дрк дрк
-2)
называют скобками Пуассона для функций <р и if2).
В случае необходимости при символе скобок Пуассона
') Напомним, что интегралами движения называются такие
функции динамических переменных (q* и qk либо Цм и рц), ко-
торые остаются постоянными при движении системы.
-} Для обозначения скобок Пуассона используются иногда
имеете фигурных квадратные и даже круглые скобки.

§ 31. СКОБКИ ПУАССОНА 135
указывают в виде индексов независимые переменные,
по которым берутся частные производные, т. е. запи-
сывают, например, скобки C1.2) так: {ф, ф}?,/.. Легко
видеть, что
(ф. ¦),, р = - (Ф, 4>}л <, == {Ф, Ф)р,,. C1.3)
Применив скобки Пуассона, выражение C1.1)
можно представить в виде
-g—5T + tf. Д),,э C1-4)
или в виде
¦ТГ'-ЪГ + И'.Пр.,. C1-5)
Из C1.4) следует, что условие, при котором функ-
ция / будет интегралом движения, выглядит так:
W + {f. #} = 0. C1.6)
Отсюда заключаем, что в случае, когда интеграл дви-
жения f не зависит от времени явно, его скобки Пуас-
сона с функцией Гамильтона равны нулю.
Приведем некоторые очевидные свойства скобок
Пуассона:
{ф, ¦} = -{*. ФЬ C1.7)
{Ф, Ф} = 0, C1.8)
{(Ф1 + Ф2>, ¦) = {Фь 1'} + {Ф2. ¦}, C1-9)
{(ф1 ф2). *} = Ф1 (ф2. t} "I" Ф2 {ф1. Ф}, C1.10)
В частности, в качестве ф или ф, либо их обеих можно
взять канонические переминные. Тогда получаются
следующие соотношения:
. *>}
ill.
(л.
Як)
Pk}
Pk)
др( '
**, '
= 0,
= 0,
C1.13)
C1.14)
C1.15)
C1.16)

136 ГЛ. VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Рекомендуем получить формулы C1.12) — C1.16) в по-
рядке упражнения. При кх выводе следует учесть, что
dpjdqk = 0; dqt/dpk = 0 (так как qk и рк — независи-
мые переменные).
Очень важным свойством скобок Пуассона явля-
ется их инвариантность относительно канонических
преобразований. Это означает, что
{ф. ¦*}<,, 𠦦= {ф. -4>Ь, р. C1.17)
где Q, Р — переменные, полученные из q, p с помощью
канонических преобразований.
В квантовой механике мы познакомимся с кванто-
выми скобками Пуассона, которые являются кванто-
вомеханическим аналогом рассмотренных в этом па-
раграфе классических скобок Пуассона.
§ 32. Уравнение Гамильтона — Якобн
Варьирование действкя
S=-- ^ Ldt C2.1)
при нахождении истинной траектории движения си-
стемы (имеется в виду траектория в конфигурацион-
ном пространстве, т. е. в пространстве s измерений;
s — число степеней свободы системы) заключается в
сравнении значений 5 для близких траекторий с за-
крепленными концами, т. е. с одинаковыми значения-
ми <7Й (*,) = «Уй" и qk (t2) ~ q(l'. Наглядно это можно
представить с помощью рис. 32.1. Лишь та траекто-
рия, для которой 5 минимально, отвечает действи-
тельному движению (на рисунке она изображена
сплошной линией).
В этом параграфе мы будем рассматривать дей-
ствие S как величину, характеризующую движение по
истинным траекториям, и исследуем, как эта вели-
чина ведет себя при изменениях точки q<2) (при t2 =
= const), а также при изменениях /г (символ qB)
означает совокупность всех q^]). Таким образом, мы
будеи обращаться с действием как с функцией:
S=--S(qk,t), C2.2)

5 32. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 137
где qk— координаты конечного положения системы,
a t—момент времени, когда это положение дости-
гается.
Возьмем вблизи точки <7<2) точку с координатой
<7B) + б<7, в которую система попадает в тот же мо-
мент времени /2, в который ояа приходит в точку ^B)
(рис. 32.2). Действие для траектории, приводящей си-
стему в точку <?B) + 8q, отличается от действия для
Рис. 32.1 Рис. 32.2
траектории, по которой система приходит в точку <7<2),
на величину
t,
МЦ^И C2-3)
Здесь ЬЦк ест:, ^изность значений qk, взятыл для обеих
траекторий в один и тот же момент времени /; анало-
гично dqk — разность <?* в момент /.
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в
C2.3):
C24)
Для истинной траектории dL/dqk представляет собой
обобщенный импульс рц. Начала обеих траекторий
совпадают, поэтому 6<7*(/i) = 0. Величину в^(^)
можно обозначить просто 6qn. Следовательно, первый
член в правой части C2.4) можно представить в виде
6

138 ГЛ. VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Подставим C2.4) в выражение C2.3):
5
Истинные траектории удовлетворяют уравиениям Лаг-
ранжа. Поэтому подынтегральная функция, а значит,
и сам интеграл будет нулем. Таким образом, мы по-
лучаем для приращения действия S, обусловленного
изменением координат конечного положения системы
на 6<?а (при неизменном времени движения), значение
bS=ZPk6qk. C2.5)
Здесь рк — величина импульса в момент f2.
Из выражения C2.5) вытекает, что
~=Р,- C2.6)
Следовательно, частные производные от действия по
обобщенным координатам равны соответствующим об-
общенным импульсам.
Теперь допустим, что верхний предел интегрирова-
ния в C2.1) не фиксирован. Чтобы подчеркнуть это,
запишем действие в виде
S= ^Ldt. C2.7)
Представленное так действие является функцией верх-
него предела интегрирования, т. е. S = S(t). Из C2.7)
следует, что
~=L. C2.8)
Вместе с тем, в соответствии с C2.2) можно напи-
сать, что
dS dS . v-* dS . dS . чту . ,__ ..
(мы учли соотношение C2.6)). Приравняв правые ча-
сти выражений C2.8) и C2.9), получим для частной

5 32. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 139
производной от 5 по / значение
dS
Выражение в скобках есть гамильтониан И. Следова-
тельно,
~^-H{qk,Pk,t). C2.10)
В соответствии с формулами C2.6) и C2.10) диф-
ференциал функции C2.2) можно представить в виде
d$=Y,Pkdqk-Hdt. C2.11)
Заменим в уравнении C2.10) рк их значениями из
C2.6) и запишем это уравнение следующим образом:
dS i и ( dS dS dS
C2.12)
Мы получили дифференциальное уравнение, которому
должна удовлетворять функция S(quq2, ..., <?«; 0-
Его называют уравнением Гамильтона — Якоби. Оно
является уравнением в частных производных первого
порядка.
Уравнение C2.12) лежит в основе некоторого об-
щего метода интегрирования уравнений движения. Од-
нако рассмотрение этого метода выходит за рамки
нашего курса.
В случае консервативной .системы со стационар-
ными связями время не еходит явно в функцию Н
и // = ? = const (см. C0.9)). Поэтому согласно
C2.10) зависимость S от t выражается слагаемым
—Et. Следовательно, действие распадается на два
члена, один из которых злвиснт только от обобщен-
ных координат, а другой — только от времени
?*- C2.13)
Функцию So(qk) называют укороченным действием.
Подставив S в виде C2.13) в уравнение C2.12), при-
дем к уравнению Гамильтона — Якоби для укорочен-
ного действия
H \qu fc, .... *.; ж. Ж.-... -Щ:) ^t. C2.14)

140 ГЛ. VI. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение Гамильтона — Якоби играет важную
роль в оптике и квантовой механике. Оно лежит в ос-
нове оптико-механической аналогии, которая привела
Шредингера к формулированию волновой механики.
Напишем уравнение Гамильтона — Якоби для час-
тицы, движущейся в нестационарном потенциальном
поле. Приняв во внимание формулы C0.3) и C2.12),
получим
-ft/(с, у, z, /)=--g-. C2.15)
Если поле, в котором движется частица, стацио-
нарно, вместо C2.15) рассматривается уравнение для
укороченного действия So
C2.16)

Глава VII
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 33. Принцип относительности
Основу специальной теории относительности обра-
зуют два постулата, сформулированные Эйнштейном:
1. Все законы природы одинаковы во всех инерци-
альных системах отсчета. Иначе можно сказать, что
уравнения, выражающие законы природы, инвариант-
ны ') по отношению к преобразованиям координат и
времени от одной инерциальной системы отсчета
к другой.
2. Свет в пустоте всегда распространяется с опре-
деленной постоянной скоростью с, не зависящей от
состояния движения излучающего тела.
Первый постулат носит название принципа отно-
сительности Эйнштейна, нторой постулат называют
принципом постоянства скорости света.
Ньютоновская механика исходит из предположе-
ния о мгновенной передаче взаимодействий от одних
тел к другим. Это, в частности, проявляется в том, что
взаимодействие частиц описывается с помощью потен-
циальной энергии ?/(ri,г2, ...). которая зависит
только от координат частиц. Тем самым предпола-
гается, что изменение положения одной из частиц от-
ражается на остальных частицах в тот же момент.
В действительности, как показывает опыт, мгно-
венных взаимодействий в природе не существует. Если
изменяется положение одной из частиц, то на другой
взаимодействующей с ней частице это изменение нач-
нет сказываться спустя конечный промежуток вре-
мени, необходимый для того, чтобы распространяю-
щееся с конечной скоростью взаимодействие прошло
¦) Инвариантность уравнения означает неизменность вида
уравнения при замене в ней координат и времени одной системы
отсчета координатами и временем другой системы.

142 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
путь, равный расстоянию между частицами. Таким об-
разом нужно признать существование предельной ско-
рости распространения взаимодействий. Из опыта сле-
дует, что эта скорость равна с — скорости света
в пустоте.
Из второго постулата вытекает также, что ско-
рость распространения взаимодействий одинакова во
всех инерциальных системах отсчета, т. е. является
универсальной постоянной.
Согласно механическому принципу относительно-
сти Галилея законы механики инвариантны по отно-
шению к преобразованиям Галилея:
(«о — скорость движения системы К' по отношению
к системе К). Из этих преобразований вытекает клас-
сический закон сложения скоростей:
v = -/ + v0. C3.2)
Последнее соотношение, а следовательно, и урав-
нения C3.1), из которых оно вытекает, не согласуется
со вторым постулатом Эйнштейна, согласно которому
для светового сигнала с == с'.
у' к'
0_3i о' Ч
Рис 33.1
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К
и К'. Координатные оси этих систем выберем так,
чтобы оси х и jc' были направлены вдоль скорости vo
системы К', а оси у я г были параллельны осям t/
и г' (рис. 33.1). Отсчет времени в обеих системах нач-
нем с того момента, когда начала систем совпадали.
Пусть в момент t = ? = 0 из совпадающих начал ко-
ординат был послан световой сигнал, распространяю-
щийся по всем направлениям. К моменту времени L

5 33. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 143
сигнал в системе К достигнет точек, отстоящих от О
на расстояние I = ct. Координаты этих точек удовлет-
воряют уравнению
сН2 -х2- у2 — 22 = 0. C3.3)
Аналогично, к моменту времени V сигнал в системе К'
достигнет точек сферы радиуса ct'. Координаты этих
точек удовлетворяют уравнению
«A'2_je'2-i.'2-.2'2 = 0. C3.4)
Уравнения C3.3) и C3.4) имеют одинаковый вид,
что является проявлением инвариантности закона
распространения света по отношению к преобразова-
нию координат и времени ст одной системы к другой.
Если подставить в C3.3) значения нештрихованных
координат и времени, определяемые формулами C3.1),
получается соотношение
с*/'* _ Х'2 _ у* _ z-2 _ 2vax'f - vU'2 = 0,
не совпадающее с C3.4). Следовательно, мы снова
пришли к выводу, что преобразования Галилея не со-
вместимы с принципом постоянства скорости света.
Согласно принципу отиоентелыюоти Эйнштейна
все законы природы, в том чп^ле законы механики и
электродинамики, должны быть инвариантными по от-
ношению к одним и тем же преобразованиям коор-
динат и времени, осуществляемым при переходе от
одной системы отсчета к другой. Однако уравнения
Ньютона и уравнения Максвелла этому требованию
не удовлетворяют. В то время как уравнения Ньютона
инвариантны по отношению к преобразованиям Гали*
лея, уравнения Максвелла, как легко убедиться непо-
средственной проверкой, по отношению к этим преоб-
разованиям оказываются не инвариантными. Это об-
стоятельство привело Эйнштейна к выводу о том, что
уравнения Ньютона нуждаются в уточнении, в ре-
зультате которого законы механики и электродина-
мики оказались бы инвариантными но отношению
к одним и тем же преобразованиям. Необходимое ви-
доизменение законов механики было осуществлено
Эйнштейном. В результате возникла механика, согла-
сующаяся с принципом относительности Эйнштейна,

144 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
которая получила название релятивистской механики.
Изложению основ этой механики и посвящена эта
глава.
§ 34. Интервал
Событие, происходящее с некоторой частицей, ха-
рактеризуется местом, где оно произошло (т. е. сово-
купностью значений х, у, г), и временем t, когда оно
произошло. Если ввести воображаемое четырехмерное
пространство D-пространство), по осям которого от-
кладываются пространственные координаты х, у, z и
время t (или пропорциональная t величина), то собы
тие изобразится в этом пространстве точкой. Точка,
изображающая событие и 4-пространстве, называется
мировой точкой, С течением времени мировая точка,
соответствующая данной частице, перемещается в
4-пространстве, описывая некоторую линию, которую
называют мировой линией.
Рассмотрим два события, первое из которых за-
ключается в испускании светового сигнала из точки
с координатами х\, у\, z\ в момент времени i\, а вто-
рое— в приходе этого сигнала в точку с координа-
тами х2, у2, Z2 в момент времени /2. Между координа-
тами и временем этих двух событий имеется следую-
щее соотношение:
С2(t2 - U? - (Х2 - *,J - 0/2 - У.J - B2 - 2,J=0. C4.1)
Величина
представляет собой квадрат расстояния (интервала)
между двумя точками в обычном пространстве. Ана-
логично можно говорить о расстоянии (интервале)
между двумя точками в 4-пространстве. Интервалом
между двумя событиями называют величину siit квад-
рат которой определяется формулой
^С*-',J-^ C4.3)
Для двух бесконечно близких событий квадрат ин-
тервала имеет вид
dP. C4,4)

§ 34. ИНТЕРВАЛ 145
Для двух событий, заключающихся в испускании
светового сигнала в одной точке и приходе его в дру-
гую точку, интервал равен нулю:
As2 = с2А/2-А/2 = О C4.5)
(см. формулу C4.1)). Вследствие постоянства скоро-
сти света равенство C4.1) должно быть справедливо
в любой инерциальной системе отсчета. Следователь-
но, если интервал равен нулю в системе К, то он бу
дет равен нулю и в любой другой системе К'.
Итак, интервал должен обращаться в нуль одно-
временно во всех системах отсчета. Отсюда вытекает,
что интервал As между некоторыми событиями, вы-
раженный в системе К, должен быть связан с интер-
валом As' между теми же событиями, выраженным
в системе К', соотношением
C4.6)
Но в силу полной равноправности систем К и К'
можно с тем же основанием написать, что
As'==aAs, C4.7)
где а имеет то же значение, что и в формуле C4.6).
Перемножив соотношения C4.6) и C4.7), найдем,
что
а2=1,
откуда а = ±1. Естественно предположить, что знак
интервала во всех системах отсчета должен быть оди-
наков. Поэтому значение а, равное —1, нужно отбро-
сить. Таким образом, мы приходим к выводу, что ин-
тервал между двумя событиями есть инвариант:
As = As'. C4.8)
Полученный нами результат свидетельствует о це-
лесообразности принятого нами определения интер-
вала между двумя точками 4-пространства. Интервал,
определяемый формулой C4.3), оказывается инва-
риантным по отношению к преобразованиям коорди-
нат и времени от одной системы отсчета к другой, т. е.
ведет себя подобно расстоянию C4.2) между двумя
точками в обычном пространстве.
Подчеркнем, что вывод об инвариантности вели-
чины C4.3) является логическим следствием из по-
стулатов Эйнштейна.

146 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Основываясь на инвариантности интервала, можно
написать
As2 = c2At2-Al' = c2At'2-Al'2. C4.9)
Допустим, что As2 > 0, т. е. интервал вещественный.
Тогда можно найти такую систему отсчета К', в ко-
торой AV будет равен нулю. В этой системе события,
разделенные интервалом As, произойдут в одной точке.
Промежуток времени между событиями в системе К!
равен
Af=-~. C4.10)
Вещественные интервалы называются времениподоб-
ными.
Теперь допустим, что As2 •< 0, т. е. интервал мни-
мый. Тогда можно найти такую систему отсчета К',
в которой At' = 0, т. е. события происходят одновре-
менно. Расстояние между точками, в которых произо-
шли события в системе К', равно
Al'=--LAi;. C4.11)
Мнимые интервалы называются пространственнопо-
добными.
События, происходящие с одной и той же части-
цей, могут быть разделены лишь времениподобным
интервалом. Действительно, поскольку частица не мо-
жет двигаться со скоростью, большей с, пройденное
ею за время А* расстояние At не может превзойти
cAt, т. е. Al ^ cAt. Отсюда As2 ^ 0.
Пространственноподобиым интервалом могут быть
разделены лишь причинно не связанные события. Дей-
ствительно, если As2 < 0, то А/ > cAt. Следовательно,
никакое воздействие, вышедшее из одной точки про-
странства, не может достигнуть за время А* другой
точки и оказать влияние на событие, происходящее
в этой точке.
Рассмотрим некоторую частицу, движущуюся рав-
номерно со скоростью v относительно системы К (ла-
бораторной системы). Пусть с этой частицей проис-
ходят два события, разделенные промежутком
времени, который в системе К равен dt. Введем си-
стему К', относительно которой частица покоится.
В этой системе промежуток ьремени между рассмат-

§ 34. ИНТЕРВАЛ 147
риваемыми событиями будет равен
(см. C4.10)).
Легко видеть, что промежуток времени dt' изме-
рен часами, движущимися относительно К вместе с
частицей. Время, отсчитываемое по часам, движущим-
ся вместе с телом, называется собственным временем
этого тела. Обозначив собственное время буквой т,
можно написать
dx=--~. C4.12)
Поскольку ds есть инвариант, а с — константа, соб-
ственное время dx оказывается инвариантом.
Найдем связь между собственным временем dx и
временем dt, измеренным по часам системы К, отно-
сительно которой частица и связанные с ней (соб-
ственные) часы движутся со скоростью v. Для этого
подставим в C4.12) выражение ds через координаты
и время системы К:
. ds *J!?Tt2 - dl2
dx = — = •—
с с
(см. формулу C4.4)). Преобразуем полученное выра-
жение следующим образом:
Но dl/dt есть скорость частицы о. Таким образом,
dt = d/Vl -v2jc2. C4.13)
Из C4.13) заключаем, что собственное время частицы
всегда меньше соответствующего промежутка времени
в неподвижной (лабораторной) системе.
Формула C4.13) получена нами для случая равно-
мерного движения частицы. Однако она оказывается
справедливой и в случае неравномерного движения.
Следовательно, для конечных промежутков времени
Дт = J Vl -v2/c2dt, C4.14)
<¦
где v = v(t) — скорость тела, для которого нычисля-
ется собственное время.

148 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 35. Преобразования Лоренца
В предыдущем параграфе мы установили, что ин-
тервал As между двумя точками в 4-пространстве яв-
ляется инвариантом, т. е.' зедет себя подобно модулю
вектора в евклидовом пространстве. Это дает основа-
ние рассматривать As как модуль («длину») 4-век-
тора, проведенного из одной мировой точки в другую.
Если ввести обозначения
x° = ct, xl = x, х2 = у, x3 = z, C5.1)
то квадрат интервала примет вид
As2 = (Ах0J - {Ах1J - (А*2J - (Ах3J.
Для расстояния А/ между двумя точками в евкли-
довом пространстве имеет место соотношение
АР = | г2 - г, |2 == Ах] + Ajc2 + А*2,
т. е. А/ равно модулю разности радиусов-векторов то-
чек. Аналогично интервал As можно представить как
модуль разности 4-радиусов-векторов соответствую-
щих мировых точек. Следовательно, координаты х°,
х1, х2, х3 суть компоненты 4-радиуса-вектора мировой
точки. Квадрат модуля этого радиуса-вектора равен
(х0J - (x[f - (х2J — (х3J.
Сравнение последнего выражения с формулой (XII. 5)
показывает, что пространство, в котором событие изо-
бражается мировой точкой с координатами C5.1), об-
ладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тен-
зором (XII. 4).
Следовательно, квадрат 4-радиуса-вектора может
быть представлен в виде
3
x°xQ + jc'x, -f х2х2 + х*х3 = ? х*х» C5.2)
0
(см. формулу (XII. 31)).
Преобразование компонент 4-радиуса-вектора осу-
ществляется по формуле
? C5.3)

$ 35. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
149
Возьмем в качестве координатных систем К к К'
в псевдоевклидовом пространстве две инерциальные
системы отсчета. Оси этих систем направим в соответ-
ствии с рис. 33.1. Тогда, как показано в Приложе-
нии XII, матрица коэффициентов преобразования вы-
глядит следующим образом (см. (XII.21)):
C5.4)
причем
сц
0
0
—
a.
a0
0
0
a? =
0
0
1
0
1
0
0
0
1
C5.5)
(см. формулу (XII.22)).
Коэффициенты а0 и а\ могут зависеть только от
относительной скорости систем v0. Чтобы найти вид
этой зависимости, напишем формулу C5.3) для х'К
Приняв во внимание C5.4), получим
Заменим ж" через х', х°— через ct и хх— через х
(см. C5.1)):
х' = a,.:f + aojc. C5.6)
Напишем полученное ныражение для точки О'—¦
начала координат системы К' (см. рис. 33.1). Для
этой точки Xе = 0, а х = vot. Подстановка в C5.6)
дает
0 = а{а + ОоУс/,
откуда
a, = -ao^. C5.7)
Подставив это значение ел в соотношение C5.5),
найдем, что
или
"V' ~ ''o/'2
C5.8)

1-50 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Из C5.7) получим, что
а, = —~
C5.9)
Таким образом, матрица C5.4) в интересующем
нас случае будет иметь вид
1 -р
К]
--0 0
о о
О
О
10
0 1
C5.10)
Мы ввели обозначение
с
C5.11)
Таблица обратного преобразования faij] отличает-
ся от C5.10) лишь тем, что перед р в числителе стоит
знак плюс (см. матрицу (XII. 23)).
Подстановка найденных нами значений а^ в {35.3)
приводит к формулам преобразования компонент 4-ра-
диуса-вектора:
C5.12)
Формулы обратного преобразования имеют вид
^ = J^±gfll_t ^=i^^flLf Х2 = х'2, х3 = х'3.
C5.13)
Перейдя в формулах C5.12) и C5.13) к обычным
обозначениям t, x, у, г, получим
, __ t — (o0/cg) x , _ *j:^Vat__ , __ i _
C5.14)
, i' + (Oo/C*) *'
Vi -
v_.fl±S«L „_
x — ttp1—«г ¦ у —
C5.15)
Формулы C5.14) и C5.15) называются преобразо-
ваниями Лоренца. Предоставляем читателю убедиться

§ 35. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 151
в том, что эти преобразования оставляют инвариант-
ным интервал sJ2 между двумя событиями.
Формулы обратного преобразования C5.15) отли-
чаются от формул прямого преобразования C5.14)
только знаком при v0. Этого следовало ожидать, при-
няв во внимание полную эавнопргвноеть обеих си-
стем отсчета, а также то обстоятельство, что для дан-
ных К и К' проекции скорости относительного движе-
ния на оси х и х' отличаются знаком. Действительно,
если скорость системы К' относительно системы К на-
правлена вправо (и ее проекция на ось х положитель-
на), то скорость системы К относительно К' направ-
лена влево (и ее проекция на ось х' отрицательна).
При скоростях vo настолько малых, что отноше-
нием vq/c можно пренебречь по сравнению с едини-
цей, преобразования Лоренца переходят в преобразо-
вания Галилея.
Из преобразований Лоренца можно получить фор-
мулы преобразования длин и промежутков времени
при переходе от одной инер циальной системы отсчета
к другой (это делается в любом курсе общей физики).
Мы ограничимся тем, что напомним формулу для
лоренцева сокращения длины тела (в направлении
его движения):
/ = /0Vr-y2/c2. C5.16)
Здесь la — собственная длина тела, например стерж-
ня (т. е. длина тела в той системе отсчета, в которой
оно покоится), I — длина тела в системе отсчета, отно-
сительно которой оно движется со скоростью и.
Поскольку поперечные размеры тела при его дви-
жении не изменяются, объем тела уменьшается в со-
ответствии с формулой
V = Vo V1 - и7с2, C5.17)
где Vo — собственный объем тела, V — объем тела
в системе, относительно которой оно движется со ско-
ростью V.
Найдем формулы преобразования компонент ско-
рости частицы. Из формул C5.14) получаем
., _ dt - (о0/с2) dx d , _ dx - о0 dt
dy'^dy, dz' = dz.

152 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Следовательно,
/ dx' dx — tH dt dx/dt — o0 vx — va
V
~~ dt' ~~ dt — (tH/c2) dx ~ 1 — (uo/ca) (dx/dt) ~ 1 —
Таким образом,
Аналогичные выкладки приводят к формулам преоб-
разования для двух других компонент скорости:
ciuVi — Р2 , o-Vi — Р2
" г >. C5.19)
Формулы обратного преобразования имеют вид
_
Vy ~ "i
C5.20)
Пусть скорость частицы v образует с осью х угол 9,
а с осью х' — угол 9' (оси х и У всегда можно путем
параллельного переноса привести в такое положение,
чтобы они оказались лежащими в одной плоскости
с v). Найдем связь между углами 9 и 9'. Расположим
оси у и у' в плоскости, определяемой осью х и направ-
лением вектора v. Тогда вектор v будет лежать в пло-
скости ху и можно написать
v'x = v' cos f/, v'u = »' sin в',
где v — модуль скорости в системе К, v' — модуль
скорости в системе К'.
С помощью формул C5.18), C5.19) получаем, что
°Х ~ °0 «7 COS в — V
C5.21)
o
Эта формула позволяет по известным v н 9 найти
угол в', который образует вектор v7 с осью xf. Анало-
гично можно найти формулу, позволяющую по из-
вестным о' и 9' найти угол б между вектором v я

8 36. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ 153
осью х. Воспользовавшись формулами C5.20), по-
лучим
C5 22^
vx vx + r0 v cos в + v0
§ 36. Четырехмерные скорость и ускорение
В Приложении XII мы определили 4-вектор как
совокупность величин а0, а1, а2, а3, которые при пере-
ходе от одной системы координат к другой преобра-
зуются по тем же правилам, что и компоненты 4-ра-
диуса-вектор а. Следовательно, формулы преобразова-
ния величин а* аналогичны формулам C5.12):
C6.1)
Формулы обратного преобразования отличаются от
C6.1) знаком при р":
C6.2)
Рассмотрим четырехмерные векторы скорости и
ускорения. В нерелятивистской механике предпола-
гаются инвариантными как пространственные интер-
валы dl, так и промежутки времени dt. Поэтому сово-
купность величин, получающихся после деления
компонент трехмерного вектора dt на инвариант dt,
образует трехмерный вектор v — вектор скорости час-
тицы. Аналогично совокупность величин, получающих-
ся после деления компонент вектора dv на инвари-
ант dt, представляет собой вектор ускорения w.
В действительности как мы видели, ни dl, ни dt
не являются инвариантными. Инвариантом оказыва-
ется интервал ds, связанный с dt к dt соотношением
ds* = c*dr — dP. Инвариантность интервала дала воз-
можность ввести в рассмотрение 4-радиус-вектор с
компонентами х°, х\ х2, х3, который является анало-
гом трехмерного радиуса-вектора с компонентами Х\,
Xi, xs. Попытаемся найти четырехмерные аналоги
3-векторов v и w.

154 гл. vii. специальная тюри я относительности
Очевидно, что совокупность четырех величин dx^/dt
не будет обладать свойстнами 4-вэктора, так как dt
не является инвариантом и ? (dx^/dt){dxjdt) не бу-
дет сохранять свое значение при преобразованиях Ло-
ренца. Однако нам известен «родственный» dt инва-
риант. Им является собственное время dx = ds/c (см.
C4.12)). Поскольку dx— инвариант (т. е. скаляр),
величины
Л?1? (зб.з)
?=С?
dx ds
обладают свойствами компонент 4-вектора. Его назы-
вают четырехмерной скоростью частицы ').
Аналогично 4-вектор с компонентами
dx2 dx ds ч '
называют четырехмерным ускорением частицы.
Приняв во внимание значения dx^, а также то об-
стоятельство, что
dx = dt Vl - v2/c2 C6.5)
(см. C4.13)), легко получить для компонент 4-скоро-
сти следующие значения:
°~-^ (k=\, 2,3), C6.6)
что можно записать в виде
C6.7)
(см. формулы (XII. 34) и (XII. 35)). Здесь v —обыч-
ная трехмерная скорость частицы, vk — ее проекции
на оси х, у, г. Существенным для дальнейшего изло-
жения является тот факт, что при у -С с простран-
ственная часть 4-скорости переходит в обычную ско-
рость V.
Из формул C6.6) легко получить, что
з
? ы^ = с2 C6.8)
и-о
') Эйнштейн определил 4-<-.корость как вектор с компонен-
тами и1* = dx^/ds. Очевидно, что определенная так скорость
есть безразмерная величина, аналогичная v]c.

$ 37. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 155
(если определить и* так, как это сделал Эйнштейн,
Z «%=!)¦
Продифференцировав формулу C6.8) по т, придем
к выражению
Zdu^ т-л rfu г-, ^-,
-*г и» + L "* ~dT - L w*u» + L ""«v = °-
V- V- Ц. ;i
Согласно (XII.33) обе суммы эквивалентны, так что
? = 0. C6.9)
Из последнего соотношения следует, что векторы
4-скорости и 4-ускорения взаимно перпендикулярны.
§ 37. Релятивистская динамика
Уравнения Ньютона инвариантны по отношению
к преобразованиям Галилея, но не инвариантны по
отношению к преобразованиям Лоренца. Поэтому для
того чтобы удовлетворить принципу относительности
Эйнштейна, второй закон Ньютона нужно заменить
более общим законом. Приняв во внимание, что при
р-»-0 (т. е. при vq/c—^0) преобразования Лоренца
переходят в преобразования Галилея, нужно потребо-
вать, чтобы релятивистски-инвариантные уравнения
движения при v <tC с переходили в ньютоновские урав-
нения:
~(mvt) = Ft (/ = 1,2,3). C7.1)
Естественным четырехмерным обобщением этих
уравнений являются соотношения
. -— {пи?) = К* (ц = 0, 1, 2, 3}, C7.2)
где т — собственное время, т — инвариантная величи-
на, характеризующая инертные свойства частицы
(масса частицы), и.*1— компонента 4-скоростн части-
цы и, наконец, К& — некоторый 4-пектар, называемый
силой Минковского. Величины К* должны быть опре-
делены таким образом, чтобы при v < с простран-
ственные компоненты урапнений C7.2) переходили в
уравнения C7.1), подобно тому как в этом случае

156 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
пространственные компоненты 4-скорости переходят
в обычную скорость v.
Приняв во внимание выражения C6.5) и C6.6)
для т и и*, представим уравнения C7.2) в виде
- о2/с2 dt
' - (-=?*=¦) = К, (/=1,2, 3).
Умножив эти уравнения на л/l —v2/c2, получим
= К0 У Г^Т2/?, C7.3)
vW2 A=1. 2. 3). C7.4)
Если определить пространственные компоненты
силы Минковского Ki так, чтобы они были связаны
с компонентами обычной трехмерной силы Ft соотно-
шениями
Fi=Ki^V^vsJ? (t = 1,2,3), C7.5)
то уравнения C7.4) примут вид
--= F, (« = 1, 2, 3). C7.6)
Видно, что при v < с уравнения C7.6), как и тре-
буется, переходят в уравнения Ньютона C7.1).
Чтобы определить временную компоненту силы
Минковского К0, умножим уравнение C7.2) на 4-ско-
рость и*1. В результате получим, что
„и. dip
К и» = т -j— ы14 = ^
(мы учли, что т — инвариант и, следовательно, ее
можно вынести за знак производной). Просуммиро-
вав полученные уравнения по |л, придем к формуле
3 3
U=0 |i=0
(см. C6.9)). Подстановка значений C6.6) для ы" и
получающихся из C7.5) значений для Ki приводит

5 37. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА 157
к соотношению
к° с
Vl - v2lc2
откуда
к0- '
с V ~
3
Ух
¦ v2/c2
Vi
3
i-\
Fi vt
— tia/c2 Vl — o2lc2
Fv
' ' с Vl - «2/c2
C7.7)
Теперь мы можем написать все компоненты силы
Минковского. Приняв во внимание формулы C7.5) и
C7.7), получим
Fv ^ {i==l> 2>3)- C7-8)
Таким образом,
V C7.9)
J
с VI - /с2
Скалярное произведение трехмерных векторов F
и v дает работу силы F, совершаемую над частицей
в единицу времени. Эта работа равна скорости изме-
нения энергии частицы, т. е. dE/dt. Следовательно,
выражению C7.7) для К° можно придать вид
К° 1C7.10)
К = —.=1
с V — у2
где Е — энергия частицы.
Итак, мы установили, что релятивистски-инвари-
антное1) уравнение динамики частицы имеет вид
C7.2), где и^ — 4-скоростI с компонентами C6.6),
К* — 4-сила (сила Минковского) с компонентами
C7.8). Пространственные компоненты уравнения
C7.2) можно представить в виде C7.4) либо C7.6).
В пределе при Кс эти уравнения переходят в урав-
нения Ньютона (см. C7.1)).
Временная компонента уравнения C7.2) (см.
C7.3)) после подстановки значения C7.10) для /С0
') Поскольку и11 и К* — 4-векторы, вид уравнения C7.2)
при преобразованиях Лоренца остается неизменным (т — инва-
риант по определению).

158 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
приобретает вид
А.(... тс ) = 1 i?-. C7.11)
dt \л/\ - v2fc- ) с dt
Отсюда заключаем, что релятивистское выражение
для энергии частицы выглядит следующим образом:
Е = -^1=^ + const. C7.12)
VI — v2/c2
§ 38. Импульс и энергия частицы
В ньютоновской механике импульсом частицы на-
зывается трехмерный вектор с компонентами
Pi = mvt (г:-1,2, 3). C8.1)
Четырехмерным аналогом этого импульса является
4-вектор с компонентами
р* = ти^ (A = 0,1,2,3). C8.2)
где и** — компоненты 4-скорости'). Подставив значе-
ния C6.6) для ы»», получим
тс , mv,
р° = , р1 = -7==Ц=; (/ = 1, 2, 3), C8.3)
что можно представить в Биде
^) C8.4)
При у <С с формула для пространственных компо-
нент релятивистского импульса переходит в ньютонов-
скую формулу C8.1). Это дает основание принять
в качестве релятивистского выражения для обычного
трехмерного импульса формулу
C8.5)
Теперь обратимся к временной компоненте 4-им-
пульса. В конце предыдущего параграфа мы получили
формулу C7.12) для энергии частицы Е, причем оста-
') Если 4-скорость была определена как iP = dx^/ds (см.
сноску на стр. 154) 4-имиульс определяют как р1* = тси*.

5 38. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ ЧАСТИЦЫ 159
вили открытым вопрос о значении постоянной инте-
грирования. Сравнив выражение C8.3) для р° с фор-
мулой C7.12), легко обнаружить, что, положив const
равной нулю, можно получить соотношение
р° = ~- C8.6)
В этом случае выражение 4-нмпульса приобретает вид
где р — величина, определяемая формулой C8.5).
Таким образом, энергия и импульс (обычный) ока-
зываются компонентами одного 4-нектора1)—4-им-
пульса частицы. Это обстоятельство дает возможность
применить формулы C6.1) для нахождения правил
преобразования Е и р при переходе от одной инерци-
альной системы отсчета к другой. Подставив соответ-
ствующие значения р* в C(>.1), легко получить
Е =
y\ — 6*
Обратные преобразования отличаются знаком при
Найдем квадрат 4-импульса. Из C8.7) получим
з
» =¦¦ f" - Р2
(см. формулу (XII.38)). Вместе с тем
зз з
? Р^Ра = ? (пи») (muj == m~ ? u^ = тЧ2 C8.9)
(cm. C6.8)). Таким образом, мы приходим к соотно-
шению
-§- - р2 := т2с2. C8.10)
Отметим, что квадрат 4-кмпульса, как и квадрат лю-
бого 4-вектора, представляет собой инвариант.
') Этот 4-вектор называют инсгда вектором энергии-им-
пульса.

160 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Положив в формуле C7.12) const = 0, получим
для энергии частицы выражение
? C8.11)
? = ?.
VI — vrjc
Величину ?, определяемую выражением C8.11), на-
зывают полной энергией частицы. Следует иметь в
виду, что Е не включает в себя потенциальную энер-
гию частицы во внешнем поле сил ').
Для покоящейся частицы (т. е. при и = 0) выра-
жение C8.11) переходит в
EQ = mc2, C8.12)
где через Ео мы обозначили значение Е при v = 0.
Это значение называют энергией покоя частицы. На-
помним, что частицей для краткости мы назвали ма-
териальную точку, т. е. тело, размерами которого
можно пренебречь. Энергия покоя такого тела сла-
гается из энергий покоя входящих в состав тела час-
тиц2), из кинетических энергий этих частиц и энергии
их взаимодействия друг с другом. Отсюда следует, что
где т — масса тела, та — массы покоя образующих
тело частиц. Таким образом, масса тела не равна
сумме масс его частей.
В свое время Эйнштейн затратил много усилий для
того, чтобы обосновать правомерность предположения
о равенстве нулю const в C7.12) или, другими сло-
вами, чтобы обосновать утверждение, что в массе т
запасена энергия тс2 (см. C8.12)). С этой целью он
рассмотрел несколько конкретных явлений и показал,
что в каждом из них изменение энергии тела на Д?
приводит к изменению его массы на Am = АЕ/с2.
В наше время дело обстоит гораздо проще. Чтобы
обосновать соотношение АЕ = с2Ат, достаточно, на-
пример, рассмотреть процесс превращения покоя-
') Напомним, что согласно C7.7) и C7.10) dE/dt = Fv.
В ньютоновской же механике работа результирующей всех сил,
действующих на частицу, равна приращению ее кинетической
энергии Т, а не суммарной энергии Т + U.
а) В термин <частица» мы вкладываем теперь иной смысл,
чем вкладывали до сих пор.

§ яз. действие для релятивистской частицы let
щихся электрона и позитрона в два у-кваг,та. Соот-
ветствующие измерения показывают, что суммарная
энергия этих -у-кпантов в точности равна сумме энер-
гий покоя электрона и позитрона.
Разность между полной зй\гргисЛ (ЛИ) и энер-
гией покоя C8.12) дает 1'лшетич«с'й.'/гд ъч1Г}гию час-
тицы
Т -= -^===г — тс2. C8.! 3)
При малых v эта фсрмула переходит в ньютоновское
выражение для кинетической энергии
Т « /пс2 A + 1 oa/f*) - «с2 -= ~ mwa. C8.14)
В заключение отметим, что из формулы C8.10)
вытекает соотношение
Е2 = р2с2 -f- т?с\ C8.15)
Энергия, выраженная через импульс, называется
функцией Гамильтона (см. § 30). Следовательно, ре-
лятивистское выражение функции Гамильтона час-
тицы имеет вид
# = с *J])~friF<F, C8Л 6)
если частица свободна, и
Н = с VjF+'mV + U, C8.17)
если частица находится во внешнем силовом поле
(U — потенциальная энергия частицы в этом поле; см.
абзац, следующий за формулой C8.11)).
§ 33. Действие для релятивистской частицы
Найдем выражение действия для свободной (т. е.
не подверженной воздейс^зию каких-либо сил) час-
тицы. Интеграл, выражающий действие, должен быть
инвариантным относительна преобразований Лоренца.
Следовательно, его нужно брагь от скаляра, причем
скаляр должен иметь вид дифференциала в первой
степени. Единственный скаляр такого вида, который
можно сопоставить свободней частице, есть величина,
пропорциональная интерзалу ds. Обозначив коэффи-
6 И. В. Савельев, т. I

162 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
циент пропорциональности через а, получим для дей-
ствия следующее выражение:
2 1]
S=\ ads = [ ac^JT-^^J?dt C9.1)
l t
(мы воспользовались формулой C4.4) для ds" и учли,
что dl/dt равно скорости частицы v).
Сопоставив C9.1) с выражением G.1), приходим
к выводу, что функция Лагранжа для свободной ре-
лятивистской частицы должна иметь вид
L = ас -у'Т — v2/c2. C9.2)
В пределе при и<с эта функция должна переходить
в ньютоновское выражение
C9.3)
Разложим функцию C912) в ряд по степеням v/c.
Пренебрегал членами высш ;х порядков, получим
L = ас л/l — г>2/с2 *а ас — av2j2c.
Постоянное слагаемое ас можно отбросить (см. §7).
Следовательно, в ньютоновском приближении L =
= —av2/2c. Сравнение с C9.3) показывает, что а
нужно положить равной — тс. Таким образом, мы
установили вид функции Лагранжа для свободной
частицы !):
L = - те? ^/Т^2]?. C9.4)
Зная вид функции Лагргнжа, легко найти импульс
и энергию частицы. Воспользовавшись формулами
(9.5) и E.1), получим
J!L C9.5)
dv VI — v /с
о /т ' "¦> i ч trie*
тс V1 - v с --=' ,-. JJ-, ¦ C9.6)
') Для частицы, каходй10.,:й::я во внешнем потенциальном
поле сил,
L == — тс3 лЛГ-^"»5/?' — U,
где U — потенциальная энергг.я частицы. Откатим, чю в реляти-
бистской механике L не равна Г — U.

§ 39. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ 163
Итак, мы пришли к тем же формулам для им-
пульса и энергии частицы, котомке были получены
в предыдущем параграф*. Однако слезет иметь
в виду, что формулы C9.5) я (ЗЭ.6) мы получили для
свободной частицы, в то время как в § 38 аналогич-
ные формулы были получены в предположении, что
на частицу действуют силы.
Обратимся снова к вь?гг:кению C9.1). Учтя най-
денное нами значение а, напишем действие з виде
2
S = -- пс \ ds. C9.7)
i
Истинная траектория частииы определяется условием
fiS==0. C9.8)
Для вариации действия имеем выражение.
1 2
&$ = — mob { ds =---- - me I Л(-х?).
Интервал равен
Согласно (XII. 40) вариация подшренного выраже-
ния может быть представлена ь виде
б X dx» dx^ — 2 J] dx^b (dx»)
Следовательно,
2
тс
i
2 E^5(^) l^d-
fl
Производная dx^/ds есть и^/с (см. (Зб.З)). Кроме
того, 6(dJCJ)==rfF^1) (см. (III. 4)). Поэтому мы при-
ходим к выражению

164 ГЛ. VI!. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Проинтегрируем это выражение по частям:
2
(мы представили du^ в виде (duv/dx)dx, где т —соб-
ственное время частицы). На концах траектории
= 0. Поэтому условие C9.8) принимает вид
6S = т \ ? ил» -J- dx = 0. C9.11)
1 V-
Для того чтобы это услопие выполнялось при про-
извольных бж**, необходимо равенство нулю величин
du^/dx, т. е. постоянство 4-скорости частииы, что, оче-
видно, справедливо для свободной частицы.
Найдем действие как функцию координат частицы
(т. е. как функцию верхнего предела интегрирования;
см. § 32). Для реального движения du^/dx — О, следо-
вательно, второй член в C9.10) обращается в нуль.
Нижний предел интегрирования мы считаем фиксиро-
ванным, поэтому (блс**) 1 = 0. Таким образом, действие
как функция координат частицы удовлетворяет соот-
ношению
з
И-О
(мы опустили индекс «2» при Ьх»). Величины ти^.
дают ковариантные компоненты 4-импульса частицы
(см. C8.2)), так что приращение действия можно
представить в виде
з
6S=- S Р»№- C9.12)
В § 32 мы получили для приращения действия, обус-
ловленного изменением конечного положения частицы
в обычном (трехмерном) пространстве, выражение
з
65—?р.6.^ C9.13)
» = 1
(см. формулу C2.5)). Легко заметить, что слагаемые
формулы C9.12), соответствующие пространственным

§ 39. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ 165
координатам, после опускания индекса у бж1* дают
сумму C9.13).
Из C9.12) вытекает, что ковариантные компонен-
ты 4-импульса можно определить следующим образом:
(ср. с C2.6)).
В предыдущем параграфе было установлено, что
X Р'1Рц = m2cs. Опустив индекс у первого сомножи-
теля, т. е. заменив контразарианткые сомножители со-
ответствующими коварнаитЕыми, найдем, что
Ро —Р?-fa" - Pi------«2йг-
Подставив сюда вместо /),., ях значения C9.14), при-
дем к релятивистскому уравнению Гамильтона —
Якоби:
± (¦?)'-(#)'- (?У- (?)'-»*¦ <»¦«)
(мы заманили ^° через с?, х1 через хит. д.).
Фигурирующее в C9.15) действие S отличается от
нерелятивистского действия 5'. Это легко понять, если
учесть, что действие связано с энергией выражением
Е — —(dS/dt) (см. формулу '{32.10)). Нерелэтивист-
ская же энергия Е' отличается от релятивистской энер-
гии Е членом тс2(с = ?' -{- тс2). Отсюда
или
S = S' — tnc*t.
Подставив это соотношение в C9.15), получим урав-
нение для S':
2/ис2 \~~di ) ' dt
dS'
которое в пределе при с-> аз переходит в нереляти-
вистское уравнение Гамипьтона — Якоби для свобод-
ной частицы (см. формулу C2.15), з которой нужно
положить U — Q).

166 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 40. Тензор энергии-импульса
В этом параграфе мы осуществим очень важное
обобщение выражения для действия. В таком обоб-
щенном виде выражение для действия оказывается
применимым не только к чисто механическим систе-
мам, но также к электромагнитному полю и другим
физическим системам.
До сих пор мы писали выражение для действия
в виде
2
L(qk, qk,t)dt, D0.1)
где L — функция Лагранж.а, qk = qu{t)— обобщенные
координаты, определяющие положение частиц, входя-
щих в систему, фг — обобщенные скорости, равные
dqk/dt. Величины qk и цк предполагались зависящими
только от времени.
Когда мы записываем уравнения в четырехмерной
форме, мы имеем дело с четырьмя формально равно-
правными переменными х°, х\ х2, х3, которые должны
входить в уравнения сходным образом. Чтобы отра-
зить это обстоятельство, представим выражение для
действия в виде
qav, х°, x\ x\ ^йхЧхЧхЧх*, D0.2)
где под qa подразумевается совокупность величин
q\,q2, ¦¦-, определяющих состояние системы (пара-
метров системы). Число этих параметров может быть
любым, в частности бесконечно большим. Под qav под-
разумевается совокупность частных производных па-
раметров qa по координатам jcv:
Множитель 1/с введен для удобства.
Величины qa и qm ра:<:мьтриваются как фуккции
координат х°, х'л, х2, jt3. В частности, может оказаться,
что параметры qa зависят только от у?. Тогда мы при-
дем к уже известному нгм случаю, когда qc = qa{t))

§ 40. ТЕНЗОР ЭННРГИИ ИМПУЛЬСА 167
Отметим, что поскольку d3qa/dxvdxSi = d2qa/dx^dxy,
имеет место соотношение
-т?- D0'4)
Чтобы установить соответствие между выражения-
ми D0.2) и D0.1), примем во внимание, что элемент
4-объема dV* связан с элементом объема в обычном
пространстве dV и интервалом времени dt следующим
соотношением:
dV = dxodxxd.t2dxi = с dt dV. D0.5)
Подставив это значение dV* в D0.2), получим выра-
жение
2
5 = J L'dt dV = 5 dt J L'dV. D0.6)
Интегрирование по dt ведется в заданном промежутке
времени, по dV—по всему трехмерному объему.
Сопоставление выражений D0.1) и D0.6) дает, что
L=\l"dV. D0.?)
Таким образом, функция L* есть «плотность» функции
Лагранжа рассматриваемой системы.
Для замкнутой механической системы функция
Лагранжа не зависит явно от t (см. § 8). Аналогично
математическим выражением замкнутости системы
должно быть отсутствие язной зависимости L* от ко-
ординат х°, хх, х2, х3. Таким образом, для замкнутой
системы действие имеет вид
D0.8)
Найдем уравнения движения замкнутой системы.
Для этого вычислим вариацию действия D0.8) и при-
равняем ее нулю.
Вариация выражения D0.8) равна

168 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
По аналогии с соотношением оу' = (бу)'
. . » дос д
oqa4 = о —-- = —~ с^7а.
дх дх
Осуществиз такую замену, получим
-^- ~~ f>qa\ dV\ D0.9)
a'" a, v J
По правилам дифференцирования произведения
д / dL' «_ Л v* dL* _д_ . _. V с д dL'
дх* '"
Первая сумма в правой части тождественна со вторым
членом подынтегрального выражения в формуле
D0.9). Поэтому можно написать
! qa ^ 9flv ^
Вторая из сумм:
^:б(?а)
есть 4-дивергенция векто])а, v-я компонента которого
равна
-— bqa.
d4av
Поэтому, воспользовавшись четырехмерным аналогом
теоремы Остроградского — Гаусса (см. (XII. 72)), вто-
рой из трех интегралов в формуле D0.10) можно за-
менить интегралом по замкнутой гиперповерхности,
ограничивающей 4-объем, по которому осуществляется
интегрирование в D0.10):
D0.11)
Однако на границе рассматриваемого 4-объема ва-
риации bqa = 0. (Подобно зтсазу в механике вариа-

§ 40. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА 169
ции б<7* в граничных точках равны нулю). Поэтому
интеграл D0.11) равен нулю, так что в формуле
D0.10) остаются только первая и третья суммы. Мы
объединим их, вынеся за скобки общий гдножи-
тсль 6qa:
ase 1
В силу произвольности вариаций 8qa полученное
нами выражение может равняться нулю только з том
случае, если равны нулю все выражения в квадрзт-
ных скобках. Таким образом, мы приходим к сгедую-
щим уравнениям движения:
Эти уравнения являются обобщением уравнений Лаг-
ранжг:
_°L.= *AL- D0.13)
(см. формулу G.3)). В правой части D0.12) стоит
сумма четырех производных в соответствии с тем, что
роль, которую исполняла одна переменная /, теперь
играют четыре переменные хУ. Легко убедиться в том,
что при условии, что qa зависят только от х°, т. е. от t,
уравнение D0.12) переходит в уравнение D0.13).
Умножим уравнение D0.12) на qav. и произведем
суммирование по а:
V dL' • _
a a, v "-'
Правую часть можно преобразовать по формуле
до д (uv) ди
В результате получим
д
к
L' \ _
D0.14)

170 ГЛ. VM. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Осуществим замену qan-=dqa/dx^ в сумме слева и
dqcm/дхУ — dqav/dx^ (см. D0.4)) во второй сумме
справа, а также сгруппируем иначе члены выражения
D0.14). В итоге придем к соотношению
dL' ()isy — х% _?_ (• dL'
i!av ~дх»~ "" L дх* {q
баа дх» L di!av дх»
Леоая часть получекшто выражения есть dL*/dx^.
Следовательно, мы пришли к формуле
dxv-
Левую часть этой формулы можно записать в виде1)
а*-' _ у av dL' _ у _iL (tfi -)
в результате чего получим соотношение
Это соотнои«екие ыох:но преобргзовать следующим
образом:
Уравнение D0.15) представляет собой совокуп-
ность четырех уравнений, отвечающих разным значе-
ниям индекса ц (A = 0.1.2,3). Выражения в квад-
ратных скобках обладают свойствами смешанных
компонент 4-тензора второго ранга. Обозначив этот
тензор символом 7VV, получим
^-^Г. D0.16)
Использовав это обозначение, можно записать урав-
нение D0.15) в виде
0 <И = 0, I, 2. 3). D0.17)
дх"
V
') Напомним, что dqjdx4 есть ковариантна:.' компонента
4-вектора.

§ 40. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА 171
Напомним, что уравнение D0.15) мы получили, при-
равняв нулю вариацию действия D0.8).
Тензор Т%ч, удовлетворяющий уравнению D0.17),
определяется не однозначно. Всякий тензор вида
D0-18>
где QuP — тензор, антисимметричный по индексам v
и р (Q(IP= — Q|D, также удовлетворяет уравнению
D0.17). Действительно, в силу антисимметрии тен-
зора Qlp
дкчдх^ дх^дх4
и, следовательно,
V ) 7Г == / ~ V4" = °-
dxv ?-' дх" t-1 дхчдхр
V р V, р
Поэтому из D0.17) будет вытекать условие
^=0. D0.19)
Надлежащим выбором тензора Q^1 всегда можно
добиться того, чтобы тензор D0.18) оказался симмет-
ричным. В дальнейшем мы будем предполагать, что
это условие выполнено и
7*' = Г*. D0.20)
Отметим, что поскольку QjiV:=O,
Т/ = Т/, D0.21)
т. е. Т^ определяется по формуле D0.16).
Перемещение в D0.19) i ндекса |а вверх либо оста-
вит все 7'u,v без изменений (если ц —0), либо изменит
у всех ТрУ знак на обратный (если ц= 1,2,3). Сле-
довательно, из D0.10) вытекает, что
(а =«0, 1, 2, 3). D0.22)

172 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Тензор Т^4 называется тензором энергии-импульса
системы. Основания для этого выяснятся няже.
В Приложении XII показано, что в случае, когда
гензор Т*4 удовлетворяет условию D0.22) и все T^v
обращаются на бесконечности л нуль, остается посто-
янным во времени (сохраняется) вектор с компонен-
тами:
$][V\f/v D0.23)
(см. формулу (XII. 86)), где а — произвольная кон-
станта, dfv — компонента 4-вектора элемента гиперпо-
верхности. Интеграл D0.23) берется по произвольной
гиперповерхности, включающей в себя все трех-
мерное пространство. Если в качестве гиперповерхно-
сти, по которой осуществляется интегрирование, взять
гиперплоскость х° = const, то все dfv, кроме dfQ = dV,
будут равны нулю и выражение D0.23) упростится
следующим образом:
f = « J T[lOd[G = а J T^dV. D0.24)
Мы знаем, что для замкнутой системы сохраняется
полная (т. е. взятая по всему объему) энергия и пол-
ный (т. е. взятый по всему объему) импульс. Энергия
и импульс представляют собой компоненты 4-импуль-
са. Следовательно, 4-импульс замкнутой системы так-
же должен сохраняться. Это обстоятельство дает нам
основание отождествить вектор, определяемый форму-
лами D0.23) и D0.24), с 4-импульсом системы. Кон-
станту а нужно выбрать так, чтобы формулы D0.23)
и D0.24) согласовывались с прежним определением
4-импульса (см. C8.7)), в соответствии с которым,
например, р° = Е/с. Положив в формуле D0.24)
|i = 0, получим
ро = а ^ TiadV ^ щс D0.25)
Воспользовавшись формулами D0.21) и D0.16),
можно написать
~оо ™ о у о
о,

? 40. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА 173
где qa = dqa/dt (мы учли, что qaa = дда/длР =
= dqa/d(ct) = (l/cj(dga/dt) = (I/с) qa) -
Интеграл \ VdV дает функцию Лагранжа L. По-
этому мы приходим к соотношению
Согласно формуле E.1) выражение, стоящее в пра-
вой части, определяет энергию системы Е. Следова-
тельно,
J T*dV = Е, D0.26)
а Г00 есть плотность энергии ад:
T°°=--w. D0.27)
Подстановка значения D0.26) в формулу D0.25)
приводит к заключению, что а=-1/с. Итак,
'1^. D0.28)
если интегрирование производить по произвольной ги-
перповерхности, включающей в себя все трехмерное
пространство, и
1 J rt/ 1 J T^dK D0.29)
если интегрирование производить по гиперплоскости
х? = const.
Чтобы выяснить смысл компонент Т04, напишем
соотношение D0.22) для jx == 0:
Т™ Т°° Y дТ°к
дТ°° Y дТ
V-0
или
с а/
Умножение яолучеккого соотношения на с и инте-
грирование по некоторому объему V дает
_ _?_ V j&dV = \ V с -^-j- dl/. D0.30)

174 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Интеграл в левой части равен энергии, заключенной
в объеме V. Справа под знаком интеграла стоит обыч-
ная (трехмерная) дивергенцчя некоторого вектора S
с компонентами
Sx = cT°\ Sy=^cT\ S2 = cTc3. D0.31)
Таким образом, формулу D0.30) можно предста-
вить в виде
Применив к правой части теорему Остроградского —
Гаусса, получим
где интеграл берется по замкнутой поверхности, огра-
ничивающей объем V.
Убыль энергии в объеме V за единшгу времени
должна быть равна потоку энергии через поверхность.
Следовательно, S есть вектор плотности потека энер-
гии. Согласно D0.31)
T0l = \sx, 7чв==^-5„, re = -jSa. D0.32)
В силу симметрии тензора T*v выполняется соот-
ношение Г*° = Г0*, так что
Tla=^Sx, T* = ±-Se, T30 = jS2. D0.33)
Таким образом, компоненты Гс* и Тк0 с точностью
до множителя \/с равны соответствующим компонен-
там вектора плотности потока энергии.
Пространственные компоненты вектора D0.28)
равны
р" = 1
Отсюда заключаем, что вектор g с компонентами
Тк0/с определяет плотность импульса системы:
8* = ТГ°> ёу-\Т™> ёг = ~Т30. D0.34)

§ 40. ТЕНЗОР ЭННРГИИ-ИМПУЛЬСА 176
Сопоставление D0.34) с D0.33) дает, что
Sk = jrSk D0.35)
или, в векторном виде,
g = ^=4rS. D0.36)
Итак, мы пришли к выводу, что между потоком
энергии и импульсом имеется связь — плотность им-
пульса равна плотности потока энергии, деленной
на с2.
Чтобы установить смысл компонент Т'к, напишем
соотношение D0.22) для у, = i:
3 3
Zi дТ14 дТ10 , ^Г» дТ1к _
' дхч ~~ дх° ^ ~д? "
Отсюда, приняв во внимание, что x° = ct, Tl0 = cgi,
находим, что
Проинтегрируем полученное выражение по некото-
рому объему V. Приняв во внимание, что \gdV-p
(р —импульс части системы, заключенной в объ-
еме К), получим
V fc=!
Преобразуем правую часть по теореме Остроград-
ского— Гаусса:
з
§ Y,§- Dоз7)
f й-1 f
где at — вектор с компонентами
а1к =-- Т'\ D0.38)
В левой части формулы D0.37) стоит скорость
убывания i-й компоненты импульса системы, заклю-

17Г» ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ченного в объеме У. Следовательно, правая часть
1шеет смысл потока компоненты pt через ограничи-
вающую V поверхность f, a ai — плотности потока р,-.
Величина D0.38) есть /г-я компонента вектора плот-
ности потока компоненты р,-. Таким образом, трехмер-
ный тензор D0.38) определяет плотность потока им-
пульса. Отметим, что плотность потока скалярной ве-
личины (например, энерлпк>) есгъ вектлгу плотность
же потока векторной пелччигы (н.ялрчыер , импульса)
является тензором.
Импульс, переносимый через единичную площадку
в единицу времени, равен силе, действующей на эту
площадку, т. е. напряжению в том месте, где распо-
ложена площадка. По этой причине тензор я;к назы-
вается тензором напряжений.
Итак, мы установили смысл всех компонент тен-
зора Тт. Объединив D0.JJ7), D0.32), D0.33) и D0.38),
получим
/ w SJc Sy[c
а \ D0.39)
Компоненты тензора Л1* характеризуют плотность
энергии и импульса, а также плотности потоков этих
величин, чем и обусловлено название Tw — тензор
энергии-импульса.

Часть вторая
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава VIII
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 41. Электростатическое поле в пустоте
Вообще говоря, электрическое и магнитное поля
тесно связаны друг с другом, образуя единое электро-
магнитное поле. Однако в случае стационарных (т. е.
не изменяющихся со временем) полей электрическое
поле и магнитное поле можно рассматривать раз-
дельно. Мы начнем с рассмотрения электростатичг-
ского поля в пустоте.
Основной (силовой) характеристикой электриче-
ского поля является напряженность поля Е, связан-
ная с силой, действующей на точечный заряд е в дан-
ной точке поля, соотношением
F==eE. D1.1)
Это соотношение можно рассматривать как определе-
ние величины Е.
Из курса общей физики известно, что электроста-
тическое поле потенциально. Это означает, что работа,
совершаемая силами этого поля над зарядом на лю-
бом замкнутом пути, равяа кулю:
F а! = <:¦ § Е d! = 0. D1.2)
Из формулы D1.2) следует, что циркуляция век-
тора напряженности электростатического поля по лю-
бому контуру Г равна нулю. Воспользовавшись тео-
ремой Стокса (см. (XI. 23)), можно написать
jf = O, D1.3)
f
где f — произвольная повгрхиость, ограниченная кон-
туром Г, d\ — вектор элементарной площадки, взятый
на этой поверхности.

178 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Условие D1.3) должно выполняться для любой
произвольно выбранной поверхности /. Это возможно
лишь в том случае, если подынтегральная функция
в каждой точке равна нулю. Таким образом, мы при-
ходим к выводу, что ротор вектора напряженности
электростатического поля равен нулю в каждой точке
поля:
=0. D1.4)
Равенство нулю ротора напряженности является
отличительной особенностью электростатического поля,
выражающей его потенциальность.
Из векторного анализа известно, что ротор гра-
диента скалярной функции всегда равен нулю (см.
(XI. 43)). Поэтому напряженность электростатиче-
ского поля можно представить как градиент некото-
рой скалярной функции q>:
E==-Vq> D1.5)
.(знак «—» не меняет дела, он взят из физических со-
ображений). Функцию ф называют потенциалом элек-
тростатического поля. Очевидно, что ф определен с
точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Следовательно, потенциал может отсчитываться от
любой точки поля, для которой его значение прини-
мают равным нулю. В электродинамике обычно пола-
гают потенциал равным нулю на бесконечности.
Потенциал поля точечного заряда е равен, как из-
вестно,
т-. D1.6)
где г — радиус-вектор, проведенный из точки, в кото-
рой помещается е, в точку, для которой опреде-
ляется ф.
Взяв градиент от выражения D1.6) и изменив
у него знак на обратный, найдем напряженность поля
точечного заряда:
()?f.= ?e,. D1.7)
где ег — орт радиуса-вектора г (см. (XI. 51)).
Пусть поле создается системой точечных заря-
дов еа, помещающихся в точках, определяемых радиу-
сами-векторами г', (рис. 41.1). Тогда согласно прин-

§ 42. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
179
ципу суперпозиции потенциал поля, создаваемый этой
системой, в точке, определяемой радиусом-вектором г,
раЕен
" -i2-rr. D1.8)
а напряженность поля
*Л'-'а)
г' I3
D1.9)
Если создающий поле заряд распределен в про-
странстве с плотностью р==р(г'), вычисление потен-
циала и напряженности поля можно осуществить по
формулам, аналогичным D1.8)
и D1.9):
р (г7) (г - у') dV
\ - т' \'t '
с * i
D1.1!)
где dV" = dx'dy'dz' есть эле-
мент объема в точке г'{х', у',
г' — компоненты переменного Рис. 41.1
вектора г').
Переход от системы точечных зарядов еа к за-
ряду, распределенному в пространстве с плотностью
р(г), осуществляется с помощью б-функции Дирака
(см. Приложение XIII). Эта функция позволяет пред-
ставить систему точечных нарядов еа, помещающихся
в точках с радиусами-векторами г^, с помощью плот-
ности заряда: _
~~ D1.12)
P(r)=2e,6(r-ri).
а
Очевидно, что, подставив функцию D1.12) в выра-
жения D1.10) и D1.11) и произведя интегрирование,
мы придем к формулам D1.8) и D1.9).
§ 42. Уравнение Пуассона
Из курса общей физики известна теорема Гаусса,
которая в случае поля в п\'стоте может быть сформу-
лирована следующим образом: поток вектора Е через

180 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
замкнутую поверхность пропорционален алгебраиче-
ской сумме зарядов, заключенных внутри поверхно-
сти. Коэффициент пропорциональности зависит от вы-
бора системы единиц. В гауссовой системе, исполь-
зуемой обычно в теоретической физике, он равен 4л.
Следовательно,
§Y- D2.1)
Если распределение зарядов внутри поверхности f
охарактеризовать с помощью плотности заряда
р = р(г), теореме Гаусса можно придать вид
D2.2)
где V — объем, ограниченный поверхностью /.
Применив к левой части формулы D2.2) теорему
Остроградского — Гаусса (см. (XI. 13)), придем к со-
отношению
Последнее соотношение должно выполняться для лю-
бого произвольно выбранного объема V. Это возмож-
но только в том случае, если в каждой точке поля
VE == 4яр. D2.3)
Выразив в формуле D2.3) напряженность поля через
потенциал согласно D1.5), получим
V (Уф) — —4яр.
В Приложении XI показано (см. (XI. 38)), что
V(Vqp) = A(p, где Д—оператор Лапласа. Таким обра-
зом, мы приходим к соотношению
Дф=— 4яр, D2.4)
которое называют уравнением Пуассона. В разверну-
том виде это уравнение выглядит следующим образом:
Уравнение Пуассона позволяет по заданному рас-
пределению зарядов в пространстве (по заданной

§ 42. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 181
функции р) найти потен аиал в каждой точке поля.
Зная ф, можно по формуле D1.5) определить Е.
Для точек поля, в которых р = 0, уравнение D2.4)
имеет вид
Aqi == 0- D2.6)
Соотношение D2.6) называется уравнением Лапласа.
В соответствии с формулой D1.10) решение урав-
нения D2.4) имеет вид
где интегрирование распространяется на всю область,
в которой распределены наряды, создающие поле. Это
утверждение может быть доказано строго математи-
чески путем применения оператора Лапласа к инте-
гралу D2.7).
Заметим, что выражение D2.7) будет удовлетво-
рять уравнению Пуассонг и в том случае, если к нему
добавить произвольную постоянную (A const = 0).
Так что, вообще говоря, для того чтобы решение урав-
нения Пуассона было вполне определенным, необ-
ходимо задать граничные условия. Решение D2.7)
(с const = 0) получается в том случае, если принять
потенциал на бесконечности равным нулю.
Можно показать, что решение уравнения Пуассона
при заданных граничных условиях является един-
ственным. Однако это доказательство выкодит за
рамки данной книги.
Покажем, что функция ср(г)—1/г удовлетворяет
уравнению Лапласа (уравнению D2.6)) во псех точ-
ках, кроме г — 0. Согласно (XI.51) V —= г~ —
= -. Применим к этому выражению еще раз
оператор V:
Согласно (XI. 49) Vr = 3. Следовательно.
* > _ 3 т( 31Л 3>3
h Т - * 77 ~ г 1~ Т'
что и требовалось доказать.

л- ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Можно найти значения ДA/г) во всех точках,
включая и г = 0. Для этого воспользуемся тем об-
стоятельством, что в случае точечного заряда е, поме-
щающегося в начале координат, р = е6(г), а потен-
циал ф = е/r. Подставив эти значения в уравнение
D2.4) и сократив на е, придем к следующему матема-
тическому соотношению:
А— = —4лб (г). D2.8)
§ 43. Разложение поля по мультиполям
Рассмотрим систему зарядов, размещенную в огра-
ниченном объеме, и исследуем поле, создаваемое та-
кой системой на расстояниях, больших по сравнению
с размерами системы. Поместив начало координат
внутри объема, занимаемого системой, получим для
потенциала выражение
~ -г'Ь-Т. D3-0
где по предположению г >¦ га (см. D1.8); мы опустили
ШТрИХ ПрИ Гя).
Разложим выражение D3.1) в ряд по степеням
величин Га/r. Для этого выразим ф(г) через компо-
ненты векторов г и га:
Ф(*„ х2, *з) = У т=еа D3.2)
(индекс i пробегает значения 1, 2, 3, индекс а — зна-
чения 1,2, .... п, где п—число зарядов в системе).
Рассматривая величины (—xai) как малые прираще-
ния координат хс, можно представить функцию D3.2)
в виде
ф(*1, Х2, ЯзЬ-
+тI Z

§ 43. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 183
(раскладывается в ряд каждое из слагаемых суммы
D3.2)).
Выражение D3.3) называется разложением потен-
циала по мультиполям. Первый член разложения
Фо = -^ D3.4)
(мы заменили V2 х* через г) имеет вид потенциала
точечного заряда. Суммарный заряд ? еа представ-
ляет собой мультиполь нулевого порядка (его назы-
вают также монополем). 3 случае, когда этот муль-
типоль отличен от нуля, член ф0 вносит основной
вклад в потенциал D3.2).
Чтобы выяснить вид мультиполя первого порядка,
преобразуем второй член разложения D3.3) следую-
щим образом:
a k k a
Сумма X eaxak представляет собой проекцию на k-ю
а
координатную ось вектора
Р == }2 еата. D3.5)
Этот вектор есть не что иное как дипольный момент
системы зарядов1). Он и является мультиполем пер-
вого порядка.
Выражение
—
dxk
') Если заряд распределен по объему системы с плотностью
р, то дипольный момент определяется интегралом:
р = ^ р (г) г dV. D3.6)
Напомним, что для системы, суммарный заряд которой 2_j e"
равен нулю, дипольный момент не зависит от выбора начала
координат. Действительно, перенеся начало координат в точку
с г = Ь, мы получим для радиусов-векторов отложенных из
нового начала координат, значения га = rfl — b. Дипольный мо-
мент в новой системе равен р' == ^ ear'o = J] еата — ^ еаЪ =
= р — Ь ^ еа. Так как ^ еа — 0, получаем, что р' = р.

184 ГЛ. Vin. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
дает k-ю компоненту градиента \fr. Таким образом,
ф« = - Е (v -г) • Pfe == ~pv т • <43-7>
* "р'х*
Формулу для ф1 можно получить сразу б вектор-
ной форме, воспользовавшись тем обстоятельством,
что согласно (XI.5) с точностью до членов первого
порядка
Применим ату формулу к каждому слагаемому в
D3.1), рассматривая —г„ как 6г. В результате по-
лучим
ф(г)=Ет-~Ев-г^т- <43-8)
а а
Первое слагаемое совпадает с D3.4), второе —
с D3.7).
Отметим, что V(l/r) пропорционален 1/г2. Следо-
вательно, слагаемые второй суммы в D3.8) будут по
сравнению со слагаемыми первой суммы величинами
порядка та/г.
Вычислив V(l/r) и подставив его в D3.7), придем
к выражению для потенциала поля диполя:
р()? D3-9)
Теперь найдем напряженность поля диполя:
Е = -уф, = -V (-?-) = -- (рг) V ^ - -рг V (рг)
(см. (XI. 25)). Воспользовавшись формулами (XI. 51)
и (XI. 37), получим
Е = -^- f - ^ «Р [Vr] | + [г [Vp]] + (rV) P + (PV) г}.
Рассмотрим выражение в фигурных скобках:
[уг] =0 (см. (XI. 50)), |Vp] =0, так как р не зави-
сит от г; (rV)p = 0 по той же причине. Таким обра-
зом, из четырех слагаемых отлично от нуля только
последнее, которое согласно (XI. 34) равно р. Итак,
_3{рг) г р _ Зег (рег) - р ,л ,т
где ег — орт радиуса-век^эра г.

§ 43. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 185
Отметим, что поле диполя обладает осевой сим-
метрией относительно направления р.
Может случиться, что не только суммарный заряд
2 еа, но и дипольный момент р = ? еата будет равен
нулю. Это имеет место, например, для изображенной
на рис. 43.1 системы зарядов, называемой квадрупо-
лем. В этом случае поле определяется следующим
членом разложения функции D3.1), квадратичным от-
носительно величин Га/г.
Запишем ф2 следующим образом (см. D3.3)):
= —У* У
\. D3.11)
k. m
Величина, стоящая в фигурных скобках, есть k, m-я
компонента симметричного тензора второго ранга
(см. Приложение X). Этот тензор +g a -е
можно было бы принять в качестве 9 f
соответствующего мультнполя. Од- '
нако, как мы покажем ниже, из де-
вяти компонент этого тензора неза-
висимыми являются не шесть ком-
понент (как это бывает у симмет- _4 i
ричного тензора), а только пять. ~е +е
Чтобы подчеркнуть это обстоятель- Рис- 431
ство, тензор, характеризующий свой-
ство системы, определяющее ф2, записывают в ином
виде. В предыдущем параграфе мы видели, что функ-
ция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. что
|2 1
!(по предположению г ^> га, так что г=0 исключается
из рассмотрения). Легко убедиться в том, что эту
формулу можно написать в виде
km dxkdxm r
k, in
Умножим полученное нами соотношение на ejyQ
просуммируем затем но а. В результате

186 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
получим
6
а к. т
что можно записать следующим образом:
k.m
Вычтя полученное выражение из D3.11), прида-
дим формуле для ф2 вид
ъ~4-Е дх*вхт тfZg°(*«**"" - тг'а*"))•
A. m (. й J
D3.12)
Совокупность величия
Qkr, = S fi« CjCa**em - Г«б*т) D3.! 3)
a
называется тензором квадрупольного момента систе-
мы. Вычислим след этого тензора, т. е. сумму его диа-
гональных компонент:
SP (Qhm) = E Qkk = I S ^ C4, - r|) =
= I«. ^ C4* - i) =
{?4*-34} = 0. D3.14)
ft J
Равенство нулю Sp(Q*m) означает, что из трех
диагональных компонент тензора Qftm независимыми
являются только две, а следовательно, всего незави-
симых компонент — пять.
Если привести тензор Qftm к главным осям, то
в силу условия D3.14) независимыми будут только
два из трех главных значений. Если система зарядов
обладает осью симметрии порядка выше второго, то
эта ось (обозначим ее буквой г) будет одной из глав-
ных осей тензора Qkm, положение двух других глав-
ных осей будет произвольным. В этом случае, оче-
видно Qxx = Qyy и в силу D3.14)
Q*, = Qty = - \ 0гг- D3.15)

S 43. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ 187
Главное значение Qzz называют в этом случае просто
квадрупольным моментом системы. Можно показать,
что, когда суммарный заряд и дипольный момент си-
стемы равны нулю, квадрупольный момент не зави-
сит от выбора начала координат.
Применив обозначение D3.13), потенциал поля,
обусловленного квадруполем, можно записать сле-
дующим образом:
k.m
Вычислим вторые производные, входящие в это
выражение:
д2 J_ _ д / д 1_\ __ _д_ ( J дт \ _
dxk dxm г dxk \ дхт г ) ~~ дхк \ г2 дхт )
__ д I _ Xjn\ _ bkm _j_ JXmXtt
~~ dxk V r3 ) '"" r3 "^ r5
(/ = bkm)- Подставим эти значения производ-
ных в D3.16):
= -g" 2_а 5— { — 6femj- D3.1/)
k
Ф2 g 2_а
k, m
Из D3.17) следует, что потенциал квадруполк убы-
вает с расстоянием как 1/г3. Напомним, что потен-
циал монополя убывает по закону 1/г (см. D3.4)),
а потенциал диполя — по закону 1/л2 (см. D3.9)).
Вообще потенциал мультиполя n-го порядка убывает
с расстоянием по закону 1/г"+1.
Итак, поле системы зарядов можно представить
как наложение полей, созданаемых мультиполями раз-
ных порядков:
Ф (Г) = Фо + Ф1 + Ф2 + • ¦ ¦ =
'г PV 7 + б Z Qk™ дхк дхт Т + ¦••
Мультиполи более высоких порядков мы кг будем
рассматривать. Отметим лишь, что мультиполь треть-
его порядка называется октуполем. В качестве при-
мера октуполя можно укгзать систему из восьми
одинаковых по величине разкоккеиных зарядов, раз-
мещенных в вершинах куба t.ikhm образом, что ближай-
шими соседями оказываются заряды разного знака.

188 гл. viii. электростатика
§ 44. Поле в диэлектриках
До сих пор мы рассматривали электростатическое
поле, создаваемое заданном системой зарядов в пус-
тоте. При этом предполагалось, что заряды, создаю-
щие поле, могут перемещаться на макроскопические
расстояния (например, в пределах ссего проводящего
тела). Такие заряды мы будем называть свободными.
В случае поля, возбуждаемого под воздействием
свободных зарядов в диэлектриках, положение сильно
усложняется, так как на поле свободных зи^ядоя на-
кладывается поле, создаваемое зарядами, входящими
в состав атомов и молекул диэлектрика. Поскольку
эти заряды нг могут покидать пределы атомов и мо-
лекул, в состав которых они входят, их называют
связанными.
Если обозначить псле свободных зарядов симво-
лом ЕСаоб, а поле связанных зарядов — символом Есв<ч,
то напряженность резулыкрукмцего поля Ерез можно
представить в виде
Ерез-Ес,о<5 + Есвяя. D4.1)
Даже если свободные заряды неподвижны, поле
D4.1) не будет стационарным (т. е. не зависящим
от времени), так как связанные заряды совершают
движение внутри молекул и, кроме того, участвуют
вместе с молекулами в тепловом движении. Таким об-
разом, очевидно, что поле ЕСВяз есть быстроперемен-
ная функция времени. Кроме того, ЕСЕЯЗ сильно ме-
няется в пространстве между двумя соседними моле-
кулами. Оба вида зависимости (от временя и от точки
в промежутке между молекулами) исчезают, если рас-
сматривать значение F.iEa3, усредненное, во-первых, по
промежутку времени, много большему, чем период
внутримолекулярного движения и тепловых колеба-
ний, и, во-вторых, по объему, значительно превосхо-
дящему объем одной молекулы. Следовательно, поле
<ЕСВяз> будет стационарны л. Кроме того, оно плаглю
меняется в пределах объема, включающего много мо-
лекул. Поле <ЕСВяз> называют макроскопическим, а
отличие от микроскопического поля Ес»я-.-,
Мы будем называть напряженностью поля в ди-
электрике макроскопическую величину
Е = Еевов + <Есма>. D4.2)

§ 44. ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 189
В отсутствие внешнего поля (т. е. поля свободных
зарядов) поле <ЕСВЯз> обычно равно нулю. Под воз-
действием внешнего поля средние положения связан-
ных зарядов смещаются тем сильнее, чем больше
действующее на них поле. В результате поле <ЕСВЯЗ>
становится отличным от нуля. При вычислении поля
D4.2) положение усложняется тем, что среднее сме-
щение связанных зарядов определяется не полем
Есвоб, а результирующим полем Е, которое включает
в себя <ЕСВЯз>.
Электрическое состояние диэлектрика принято ха-
рактеризовать дипольным моментом единицы объема
диэлектрика, который называют поляризованностью
и обозначают символом Р. Очевидно, что Р можно
определить как
Р = —^- <44-3)
где АУ — физически бесконечно малый объем1), р,—
дипольный момент отдельной молекулы, суммирова-
ние осуществляется по всем молекулам, заключенным
в объеме AV.
Определив Р таким образом, мы по существу про-
извели то усреднение, о котором шла речь выше в
связи с обсуждением Есвяз (Р — макроскопическая ве-
личина, р,- — микроскопическая).
При воздействии на диэлектрик электрического
поля связанные заряды смещаются (оставаясь каж-
дый в пределах «своей» молекулы)—положительные
по полю, отрицательные в противоположную сторону.
В результате на поверхности диэлектрика образуются
связанные заряды. Кроме того, могут возникать также
и объемные связанные заряды.
Найдем выражение для рСВяз — объемной плотно-
сти связанных зарядов. Выделим мысленно в диэлек-
трике физически бесконечно малый объем AV. Пусть
в отсутствие поля связанные заряды еа (а = 1, 2, ...),
заключенные в этом объеме, помещаются в точках,
') Физически бесконечно ма/ым называют объем AV, заклю-
чающий в себе достаточно большое число молекул для того,
чтобы можно было пренебречь дискретностью вгщества, и вме-
сте с тем достаточно малый для того, чтобы макроскопические
величины, например Е или Р, можно было считать в пределах
AV постоянными.

190 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
определяемых радиусами-векторами гао- Поскольку в
отсутствие поля диэлектрик не поляризован, выраже-
ние 2 еага0 равно нулю (сумма бсоется по AV). Дей-
ствительно, с точностью до 1/ДУ эта сумма совпадает
с поляризованностью Р, которая у неполяризованного
диэлектрика равна нулю.
Предположим, что при включении поля связанные
заряды смещаются на отрезки Ага (отметим, что эти
отрезки много меньше линейных размеров объема
AV). В результате возникнет поляризаций, характери-
зуемая вектором
р=-ж ? е« ^+Дг»>=т\г Ев° Аг«- D4•4)
Связанные заряды, входящие в состав диэлектри-
ка, можно разбить на несколько групп, а каждой из
которых величина заряда еа и смещение Дга одина-
ковы. Пронумеруем такие группы индексом р. Коли-
чество зарядов группы 3, приходящееся на единицу
объема диэлектрика, обозначим «р. Тогда гюляризо-
ванкосгъ можно написать сле-
дующим образом:
(rifiAV — число зарядов группы
Р, заключенных в объеме AV).
" Е>ычислим алгебраическую
сумму связанных зарядов, пере-
секающих при включении поля границу объема AV.
На рис. 44.1 показан элемент df поверхности, огра-
ничивающей AV. Элемент df пересекут (и выйдут
наружу или войдут внутрь) те заряды группы с но-
мером р, которые заключены в элементарном объеме
величины Ar$di. Они унесут с собой заряд
/ipffjArprff. D4.6)
Это выражение является алгебраическим. Его знак
зависит от знака е$ и от знака скалярного произведе-
ния Argdf, т. е. от направления Атр по отношению

§ 44. ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
191
к внешней нормали к df (на рис. 44.1 она обозначена
буквой п).
Просуммировав выражение D4.6) по р\ получим
полный заряд, пересекающий df:
? «рер Дгр if = P d\ D4.7)
(см. D4.5)).
Проинтегрировав выражение D4.7) по поверхно-
сти /, найдем суммарный связанный заряд, выходящий
из объема Д1/ при включении поля. Таким образом,
при включении поля объем AV, который был прежде
нейтральным, приобретает связанный заряд
(приобретаемый заряд раЕен взятому с обратным зна-
ком вышедшему наружу заряду). Применив теорему
Остроградского — Гаусса, получим
А<7евяз = - \ VP dV - -V
AV
P &V.
Отсюда для плотности связанных
зарядов получается выражение
Pc,= -VP. D4.8)
С помощью формулы D4.8)
можно найти и поверхностную
плотность связанных зарядов аСВяз.
Для этого рассмотрим цилиндриче- рИс. 44.2
ский объем, заключенный между
двумя бесконечно близкими поверхностями веди-
чины Д/, расположенными по разные стороны
от поверхности диэлектрика (рис. 44.2). Связанный
заряд ^связ, заключенный в этом объеме, можно пред-
ставить либо в виде \pCBB2.dV, либо в виде 0СВязА[-
Использовав формулу D4 8) и теорему Остроград-
ского— Гаусса, можно написать
<7связ = <*еЗДзА/ = - J VP dV = - J Pardf,
где п' — внешняя нормаль к поверхности цилиндра.
Интеграл по поверхности можно разбить на три

192 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
части: интеграл по внешнему основанию цилиндра, ко-
торый равен нулю, поскольку вне диэлектрика Р = 0;
интеграл по боковой поверхности цилиндра, которым
можно пренебречь в силу бесконечной малости этой
поверхности; и, наконец, интеграл по внутреннему
основанию цилиндра. Последний равен — Р„'Д/, где
п' — нормаль к поверхности, направленная внутрь ди-
электрика. Если вместо п' взять внешнюю нормаль п,
то —Р„- нужно замен- ть на -\-Рп. Таким образом,
мы приходим к соотношению сСаязА/ = Pn&f, откуда
о-С!;яз = Р„. D4.9)
Здесь Рп — проекция поляризовзнности Р на внеги-
нюю нормаль к поверхности диэлектрика.
Заметим, что заряды плотности, определяемой
формулами D4.8) и D4.9), являются не воображае-
мыми, а вполне реальными зарядами.
Итак, при наличии диэлектриков на поле, созда-
ваемое свободными зарядами (их плотность мы обо-
значим р), накладывается иоле связанных поверхност-
ных (см. D4.9)) и объемных (см. D4.8)) зарядов.
Следовательно, потенциэл в точке, определяемой ра-
диусом-вектором г, будет равен
р (г) d\" Г Рп (г') d'r [ V'P У) dV
+) "У
D4.10)
где для краткости применено обозначение R=\t—г'|;
dV — элементарный объем, взятый в окрестности точ-
ки г', df — элемент поверхности диэлектрика, взятый
в окрестности точки г'; дивергенция от Р(г') берется
по штрихованным координатам, поэтому оператор V
снабжен штрихом (см. (XI. 52)). Первый интеграл
берется по всему объему, где р отлична от нуля, вто-
рой интеграл берется по всем поверхностя-?, ограни-
чивающим диэлектрик, и, наконец, третий интеграл
берегся по всему объему диэлектрика.
§ 45. Описание поля ш диэлектриках
Если VP отлична от нуля, каждый элементарный
объем диэлектрика эквивалентен точечному заряду
величины —VPdV и вносит соответствующий вклад

§ 45. ОПИСАНИЕ ПОЛ? В ДИЭЛЕКТРИКАХ !93
в макроскопическое поле Е. Поэтому при наличии ди-
электриков уравнение D2.3) нужно писать в виде
VE = 4я (Рсво<5 -f рС1шз) = 4я (р - VP) D5.1)
(под р подразумевается плотность свободных заря-
дов). В таком виде уравнение малопригодно для на-
хождения Е, так как определяет Е не только через
плотность свободных зарядов, но и через характер
поляризации диэлектрика. Поляризация же есть в
свою очередь функция Е.
Легко заметить, что если ввести вспомогательную
величину
D = Е -!- 4яР, D5.2)
тс' для нее будет справедливо уравнение
VD = 4яр, D5.3)
т. с. VD определяется только 'лдог7лсгмо свободных
зарядоа.
Величину D называют з/и'кгрической индукцией.
Сопоставление уравнений D5.1) и D5.3) показы-
вает, что операция нахождения О гораздо проще, чем
операций нахождения Е. Однако от величины R было
бы мало проку, если бы н« чо обстоятельств/», что
в большинстве практически важных случаев D сказы-
вается пропорциональной Е. Поэтому удается осуще-
ствить «обходный маневр»: вместо основной характе-
ристики поля Е вычисляют сначала вспомогательную
величину D, а затем совершают переход от D к Е.
Введение величины D целесообразно также по той
причине, что многие формулы, написанные с исполь-
зованием D, оказываются много проще, чем они вы-
глядели бы, будучи выраженными через Е и Р.
Опыт дает, что во многих имеющих практический
интерес случаях поляризовашюсть пропорциональна
напряженности поля
Р = хЕ D5.4)
(мы пока ограничимся рассмотрением изотропных ди-
электриков). Величина v. называется диэлектрической
восприимчивостью вещества Она всегда положительна.
7 И. В. Савельев, т. I

[34 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Подставив D5.4) в D5.?.). Kaf'i?ei*.,VTa
О = Е ¦ Ь 4я-сЕ =- еЕ, D5.5)
где
есть диэлектуикеска^ трчи
Таким образом, 3) и V, чл \>жьсгу,а.у;<;шх rnv^iop-
циональны дууг Д:1у.у .ГЬ-ь-ы н об^дго^':е.п? .г'г.иы-л'гб-
разность введения D.
Осковыралсь на уг^.ч^ллчи 1Л&.& ;/ М'>;хно , кача-
лось бы, заключить, что О оп';^/г'.?й5:;'.'3''^ только гпот-
костыо свободных за)?адг;. Ол.^'жо это к.'..так .Од-
ного vtjaLcicvAV^. ^45 ?i\/R.;.. r'iip"-/-'-vi.';riH4., D i-^дйста-
'iCvio., L-ixoii'-i..'rc-4u.TriK.Ee;'.j-)"'.o шм;-^'»,. ^•¦""'Л'Уилм. как
осущ«;ст^лйе"гсл на?о;кдекио К в отсутствие диэлектп^-_
ков. Кроме, уравнения V?!_.;= 4лг>..-. мы , вспользовав-
шись те-;., что [\7Щ_==0 .геложили F-^—Уф .Подста-
вив это Bh'p-.-j.L-Hiie, а уравнение для диа^фтенеди ,мы
пришли к уравнению Пуассона-. V2q> = —4яр .Решение
этого ураикегшн позволяет чзйти со, а затем и Е .
Если идтз тем же путем пои захождении 15, нужно
в дополнение к D5.3) рассмотреть уравнение
[VD] = [V, еЕ] = [7е, Е] + e|VE] = [Ve , E]
(мы применили формулу (XI. 27) и приняли во вни-
мание, что [VE] = 0). Это уравнение переходит в
[VB] = 0 только в том случаэ, когда Vs = 0, т. е. ди-
электг'И.к однороден. В o.cl^qm случае '^D? лзависит
от Е, т. е. в конечном счет*1,^1 гнязанчьи: за^д.с«...
Однако, хотя D, вообще говоря, зависит от связан-
ных зарядов, совокупность урпвиепкй
[УЕ] = О, yD-4ra, D = dL
позволяет по известному распределению в простран-
стве свободных зарядов еычислить Е и D.
Воспользовавшись соотношением D5.4), можно
выяснить, при каких условиях рГВяэ отлична от нуля.
Подставим, значение D?>.4) в фо^глуяу D-18) •.
Ре»» ^ —VP — — V \vJE;-=—xVE — EV'v, (/»5 7)
(см. (XI. 26)). Согласно D5.1) VE = 4n(qCBo6 +Рсаяз).
Заменив этим значением VE в формуле D5.7), по-
лучим
РсЕЯз = —»«4я (Расе + Реви) — Е V%.

S 45. ОПИСАНИЕ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 19S
Теперь разрешим, получившаяся уравнение относи-
тельно рсвяа:
Рсвм = — ~- I4.".«Pc-.=i.t» "f EV3t].
Из найденного нами соотношения следует, что рСвя3
отлична от нуля, во-первых, з тех точках, где отлична
от нуля рсвоб, и, во-вторых, в тех точках, где Vx ф О,
т. е. в местах неоднородности диэлектрика. Отметим,
что в однородно-поляризованном диэлектрике (Р =
= const) объемные связанные заряды не возникают.
Рассмотрим поле в одно|зодном диэлектрике. До-
пустим, что в отсутствие диэлектрика при данном рас-
пределении свободных зарядов возникает поле, харак-
теризуемое напряженностью Ео и потенциалом <р0. Мы
знаем, что Ео к ср0 являются решениями уравнений
= 4*p, D5.8)
= —4яр D5.9)
(см. D2.3) и D2.4)).
Теперь, не изменяя расположения свободных заря-
дов (т. е. р), заполним все пространство, в котором
поле отлично от нуля, однородным (е = const) изо-
тропным диэлектриком. Тогда напряженность поля
станет равной Е, а потенциал примет значение <р. На-
пишем уравнения для Е и <р. Согласно D5.3)
VD = V (е?) =--= 4 яр. D5.10)
Заменив в этом уравнении Е через —Vq> и приняв во
внимание, что е = const, можно написать
—V (eV?) = —V2 (е<р) = 4кр,
или
Д(еф) = —1яр. D5.11)
Сравнение D5.10) с D5.8) и D5.11) с D5.9) по-
казывает, что уравнение для еЕ совпадает с уравне-
нием для Ео, а уравнение для ачр — с уравнением дли
Фо- Отсюда следует, что заполнение пространства, в
котором имеется поле, однородным изотропным ди-
электриком приводит к уменьшению как напряженно-
сти поля, так и потекднал;) е е раз. Б частности, для
поля точечного заряда, помещающегося в однородном

196 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
диэлектрике,
Отметим, что согласно D5.11) уравнение Пуассо-
на D2.4) для поля в однородном изотропном диэлек-
трике выглядит следующим образом:
дф==_±!-р. D5.13)
Приведем без вывода ') условия, которым должны
удовлетворять Е и D на границе двух диэлектриков:
(индекс т применен для обозначения тангенциальной
составляющей вектора, индекс п — для обозначения
нормальной составляющей).
Нахождение поля путем решения уравнений D2.4),
D5.3) и т. п. в общем случае представляет очень
трудную задачу. В случаях, обладающих симметрией,
удается установить вид поля, не решая уравнений.
Покажем это на следующем примере. Пусть имеется
плоская граница двух полубесконечных однородных и
изотропных диэлектриков с проницаемостями ei и е2.
В первом диэлектрике на расстоянии а от границы
имеется точечный заряд q. Требуется найти поле в
обоих диэлектриках.
Поле в первом диэлектрике составим из полей то-
чечного заряда q и его зеркального изображения —
воображаемого заряда q'. Это допущение удовлетво-
ряет основному условию, что в первом диэлектрике
имеется только один источник D — заряд q (q' лежит
вне первого диэлектрика). Итак, будем искать потен-
циал в первом диэлектрике в виде
ф =_?_ + _il_ D5.15)
^' е,,г ' г,г v '
(значения гиг7 ясны из рис. 45.1).
Поле во втором диэлектрике представим как поле
воображаемого заряда q", помещенного там же,
') Вывод можно найти во многих учебниках общей физики.

§ 45. ОПИСАНИЕ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 197
Это допущение согласуется с тем фактом, что во вто-
ром диэлектрике нет источников D (<?" лежит вне вто-
рого диэлектрика). Таким образом, будем искать по-
тенциал во втором диэлектрике в виде
о"
<р2~='~;—• D5.16)
Попробуем подобрать значения ц' и q" так, чтобы
удовлетворялись граничные условия D5.14) для D.
По сделанным нами предположениям Ю имеет в пер-
вом и втором диэлектри-
ках значения:
2 _______ DO.1/J
Ка границе диэлектриков !'7
(г| = jr'J. Следователь-
но,
n — S'JjClL
П., =&-. D5.18)
--ас. -la.l
Найдем нормальные составляющее векторов в
D5.18). Вектор п напраскм от первого днэлептрила
ко второму. Приняв во внимание, что проекция г на п
равна а, а проекция г' ранка —а, получим
С учетом того, что тангенциальные составляющие
векторов гиг' одинаковы: rx = r'%t можно написать
Аг^-^Т^-'т. D2x^frx. D5.19)
Из равенства D\n = Djn вытекает, что
q — tf=* if. D5.20)
Из соотношения D\x/&\ =-- D2X/&2 (см. D5.14)) после
подстановки в него значений D5.19) получается, что
=^q". D5.21)

193 ГЛ. VIII. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Решив совместно уравнения D5.20) и D5.21), най-
дем значения q' и q", удовлетворяющие граничным
условиям:
' ^Й ^ <4522>
Нам удалось «сконструировать» функции Di и D2
(см. D5.17)), каждая из которых в своей области
удовлетворяет уравнению VO = 4я;р. Кроме того, эти
функции удовлетворяют граничным условиям. Значит
функции D5.17) и соответственно D5.15) и D5.16)
будут (после подстановки в них значений D5.22) для
q' и q") решениями задачи. В силу теоремы о един-
ственности (см. § 42) никаких других решений не су-
ществует.
§ 46. Поле в анизотропных диэлектриках
В анизотропных диэлектриках направления векто-
ров Р и Е, вообще говоря, не совпадают (см. Прило-
жение X). Связь между компонентами этих векторов
дается соотношениями
(/=1, 2, 3), D6.1)
где хц. — симметричный тензор второго ранга, назы-
ваемый тензором диэлектрической воспришлчивости.
Согласно D5.2) D = ? + 4nP или, в компонентах,
Подставив Pi из D6.1), пэлучим
D, = Е, Ч- 4я Е *1ьЕк.
к
Если представить ?,¦ в виде X &ikEk> можно написать
к
D, = X ЪьЕъ + 4я ? у.1кЕк = Z (hik + 4яил) Еь.
Ь к к
Величины
е«==б«ц-г4яиш D6.2)
очевидно, суть компоненты симметричного тензора
второго ранга. Ею нйзыей1уг тензором диэлектриче-

§ 45. ПОЛЕ В АНИЗОТРОПНЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ 139
ской проницаемости (или, кратко, диэлектрическим
тензором). С его номощ.,к> связь межлу вектсраыи
D п ? может быть написана в еиде
a=EeiftEfe (f==l, 2, 3). D6.3)
Симметричный тензор имеет шесть независимых
компонент. Если его привести к главным осям, он
выглядит следующим образом;
(г,*)
/ е, 0 0\
= } 0 в2 0 1.
\0 0 е3/
Отметим, что поскольку главные значения тензора ytik
положительны, главные значения тензора eik всегда
больше единицы.
В кристаллах триклинной, моноклинной и ромби-
ческой систем все три главные значения тензора &ik,
а следовательно, и полуоси тензорного эллипсоида
различны. Такие кристаллы называются двухосными.
В кристаллах тетрагональной, ромбоэдрической и
гексагональной систем два главных значения совпа-
дают: 8i = е2 ф- ?а- Тензорный эллипсоид в этом слу-
чае является эллипсоидом вращения. Такие кристал-
лы называются одноосными.
В кристаллах кубической системы все три главные
значения тензора е,* одинаковы, так что тензор имеет
вид е6;?. Тензорный эллипсоид в этом случае вырож-
дается в сферу. По своим диэлектрическим (и опти-
ческим) свойствам такие кристаллы не отличаются от
изотропных тел.

Глава IX
МАГНИТОСТАТИКА
§ 47. Стационарное магнитное поле в пустоте
На точечный заряд е, движущийся со скоростью v,
действует в магнитном поле сила ')
F==-^-[vB] D7.1)
(с — скорость света в вакууме). Векторная величи-
на В, называемая магнитной индукцией, является
основной (силовой) характеристикой магнитного поля.
Соотношение D7.1) можно рассматривать как опре-
деление величины В.
Вследствие отсутствия в природе магнитных заря-
дов, аналогичных электрическим зарядам е2), линии
вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому
поток вектора В через любую замкнутую поверхность
всегда равен нулю:
§Bndf = O. D7.2)
f
Формула D7.2) является аналитическим выраже-
нием теоремы Гаусса для вектора магнитной ин-
дукции.
Воспользовавшись теоремой Остроградского — Га-
усса, выражению D7.2) можно придать вид
O. D7.3)
Сумму сил D1.1) н D7.1) называют силой Лоренца.
Исходя из того, что уравнения природы вообще и уравне-
ния электродинамики в частности должны быть симметричными,
Дирак высказал предположение, что в природе должны суще-
ствовать магнитные заряды (монополи Дирака). Поиски этих
зарядов пока не дали никаких результатов, так что вопрос
о существовании монополей Дирака остается открытым.

5 47. СТАЦИОНАРНОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПУСТОТЕ 201
Условие D7.3) должно выполняться для любого про-
извольно выбранного объема V. Это возможно лишь
в том случае, если подынтегральная функция в каж-
дой точке равна нулю. Таким образом, мы приходим
к выводу, что дивергенция вектора магнитной индук-
ции равна кулю в каждой топке поля:
VB = 0. D7.4)
В векторном анализе доказывается (см. (XI. 44)),
что дивергенция ротора векторной функции всегда
равна нулю. Поэтому магнитную индукцию можно
представить как ротор некоторой векторной функ-
ции А:
В = [VA]. D7.5)
Функцию А называют векторным потенциалом маг-
нитного поля.
Векторный потенциал, так же как и скалярный
потенциал <р, определяется неоднозначно. Действи-
тельно, поскольку ротор градиента любой функции
есть нуль (см. (XI. 43)), добавление к векторному по-
тенциалу величины Уф (ty — произвольная функция)
не изменяет значения [VA], т. е. В. Таким образом,
если А есть векторный потенциал, отвечающий дан-
ному магнитному полю, то и функция
А' = А + V* D7.6)
также будет векторным потенциалом данного поля.
Свойство D7.6) позволяет выбирать потенциал
наиболее удобным образом, например, накладывать
определенные условия на дивергенцию А. Действи-
тельно, из D7.6) следует, что
VA' = VA + V (V*) = VA + At,
так что подбором tp можно придать VA' любое напе-
ред заданное значение. В рамках магнитостатики мы
будем выбирать ф так, чтобы
VA = 0. D7.7)
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим
векторный потенциал однородного магнитного поля:
В = const = Во. Направим ось г вдоль Во. Тогда
Вх — Ву = 0, Вг = Ва и уравнение D7.5), написанное

202
ГЛ. IX. МАП-КГ .^ГТА'ПЖЛ
в
КОМПОНСЕТ
бАг
, будет
' "' /
dz "Л
вг
ймет->
л р
J, Су
дАу
дх
вид
1 dz
дЛх
ду
дАг
дх
Во.
= 0,
D7.8)
Видно, что этим уравнениям удовлетворяет, ска-
жем, такое значение потенциала:
Ах = -Воу, Ау==0, Лг = 0. D7.9)
На рис. 47.1, а изображены линии вектора А, имею-
щего компоненты D7.9).
f
-
. I
X
Рис. 47.1
Решение D7.9) не является единственным. Урав-
нениям D7.8) удовлетворяет также следующий по-
тенциал:
Ах = 0, Аи==Вох, Аг = 0. D7.10)
Линии А в этом случае показаны на рис. 47.1,6. Оче-
видно, что решением будет также
Ак == —аВоу, Ау = A — a) BQx, Аг — 0,
где а — любое число. В частности, уравнениям D7.8)
удовлетворяют
Последнее решение можно «р^дстгьить в виде

§ 48. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 203
(напомним, что Вх = Ви — 0), откуда
A--l[Bor3-ylBoRJ, D7.12)
где R — составляющая ралгуса-вектопа г, перпенди-
кулярная к еси z. Линии ьектора А, отвечающие
D7.12), да ял на гше. 471, а .
Все приведенные нами значения потенциала удов-
летворяют условию D7.7). Отсюда заключаем, что
уравнения D7.5) к D7.7) не полностью определяют А.
Для того чтобы определение векторного потенциала
было однозначным, необходимо задать граничные
условия для А.
§ 43. Уравнение Пуассона
для векторного потенциала
Из курса общей физики известно, что циркз'ляция
вектора В по любому замкнутому контуру Г, взятому
в стационарном магнитном поле (в поле постоянных
токов), пропорциональна алгебраической сумме токов,
охватываемых контуром:
45> <481>
Формулу D8.!) мы будем рассматривать как соотно-
шение, установленное опытным путем.
Введя плотность тока j, суу.му то коз можно пред-
ставить как потох вектора | через поверхность, огра-
ниченную контуром Г. Тсгдз формула D8.1) примет
вид
§=lj-^l dt.
Преобразуем /eEviry ч^гть пог/чечиого нами соотио-
шени5? по теореме Сток.са. В результате получим
^Jj^i. D8 2)
f f
Предположим, что ин-легрнпрванче c^esa и справа
ведется по одной и той же поьерхности (хотя равен-
ство DS.2) выполняется и дл« различных поверхно-
стей, лишь бы они опирались на один и тот ;>-.е кон-

204 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
тур Г). Соотношение D3.2) должно выполняться для
любой произвольно взятой поверхности f. Это воз-
можно только в том случае, если в каждой точке поля
[VB]-^-j D8.3)
(напомним, что рассматривается лоле постоянных
токов).
Уравнение D8.3) играет в магнитостатике такую
же основополагающую роль, как уравнение D2.3)
в электростатике. Совместно с уравнением D7.4) оно
позволяет вычислить голе заданных стационарных
токов.
Подставим в формулу D8.3) вместо В ротоо А
(см. D7.5)):
[V[VA]1 = -?-].
Согласно (XI.45) [V[VA]] = V(VA) —ДА. Положив,
как было условлено (см. D7.7)), VA = 0, получим
для А дифференциальное уравнение
АА==~-^-|. D3.4)
Это векторное уравиентг эквивалентно трем скаляр-
ным уравнениям:
ДЛ» = --т»Л (й-*, #, г), D8.5)
каждое из которых аналогична уравнению Пуассона
для ф (см. D2.4)). С математической точки зрения
уравнения D2.4) и D8.5) тождественны. Следова-
тельно, заменив в решении уравнения D2.4) ф на Ак,
а р на jk/c, мы получим решение уравнения D8.5).
Приняв во внимание формулу D2.7), получим
где интегрирование распространяется на всю область
в которой текут токи, создающие поле.
Три выражения D8.6) можно объединить в од
векторное:

§ 48. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 205
Формула D8.7) позволяет по известному распре-
делению токов в пространстве вычислить векторный
потенциал поля, создаваемого этими токами. В каче-
стве примера рассмотрим поле прямого тока. Извест-
но, что потенциал электрического поля, создаваемого
тонкой бесконечно длинной равномерно заряженной
нитью, имеет вид') (рассматривается поле вне нити)
Ф (Я) = -2Д, In (RjR0) --= -2ра In (RJR0), D8.8)
где R— расстояние от нити, Ro— расстояние до то-
чек, потенциал которых принят за нуль Цв данном
случае нельзя положить qp = 0 на бесконечности, так
как при такой нормировке потенциал при конечных R
получается бесконечно большим), к — линейная плот-
кость заряда, которую, предположив, что заряд рас-
пределен равномерно по всему поперечному сечению
нити, можно представить в виде ра {а — площадь по-
перечного сечения нити).
Теперь допустим, что имеется тонкий бесконечно
длинный прямой провод, по которому течет равно-
мерно распределенный по сечению а ток плотности /.
Направив ось z вдоль провода, будем иметь \х =»
= jy = 0, \г = /• Основываясь на идентичности урав-
нений D2.4) и D8.5), можно получить выражение для
Аг, заменив в D8.8) р через jz/c = j/c:
Аг (R) = -^- In да0) = - -f- In (/?//?„). D8.9)
где i — ja — сила тока, текущего по проводу. Подста-
новка в D8.8) \х = 0 и /,, = 0 вместо р дает для ком-
понент Ах и Ау нулевые значения. Следовательно,
вектор А можно записать в виде
где ez — орт оси г.
Взяв ротор от выражения D8.10), найдем В:
D8.10)
48.10), найдем
¦ = [VA] = -f [V. In-?¦€.]-
-~?[vu.
(мы воспользовались формулой (XI. 27)). Поскольку
•) С помощью теоремы Гаусса легко найти, что E(R) =
= 2X/R. Следовательно, dyfdR = - 2%IR. Интегрирование при-
водит к формуле D8.8).

206
ГЛ. !Х. МАГНИТОСТАТИКА
ez = const, второй член равен кулю. Так как
V In (/?//?o) =R/#2.
[ ]-йИе" R]- D8Л1)
В соответствии с полученным нами результатом
вектор В в каждой точке лежит в плоскости, перпен-
дикулярной к проводу, и направлен по касательной
к окружности, охватывающей провод. Модуль В равен
§ 49. Поле соленоида
Вычислим поле бесконечного соленоида, предста-
вив этот соленоид как бесконечный цилиндр радиу-
са а, в поверхностном слое которого толщины Ь
F <С а) течет ток плотности j ,(bj эквивалентно ni,
где i — сила тока в соле-
ноиде, п — число витков на
единицу длины).
Выберем прямоугольные
координатные оси, совмес-
тив ось 2 с геометрической
осью соленоида (рис. 49.1).
Проекции вектора j на ко-
ординатные оси равны
к = — J sin a = — / —,
Рис. 49.1
jB = 7cosa=./—, /г = 0.
D9.1)
Из /г = 0 сразу следует, что Аг = 0. В соответ-
ствии со сказанным в предыдущем параграфе состав-
ляющая Ах совпадает с потенциалом <р, создаваемым
зарядом, который распределен в поверхностном слое
цилиндра с. плотностью р* = /*Д =— (//с) (у/а) =
— —Ро(у/о). Мы ввели обозначение
р0 == i-=-'Н.. ag.'/Л
1 |J e be ^
Аналогично, составляющая А.4 совпадает с потенциа-
лом заряда, распределенного в поверхностном слое
с плотностью ру = /у/г — рп(х/а).

9 49. ПОЛЕ СОЛЕНОИДА
207
Плотность, изменяющуюся по закону —у/а, можно
получить следующим образом. Вставим один в другой
два цилиндра, один из которых заряжен равномерно
с объемной плотностью +р0, а другой — с плотностью
—ро. В целом система двух цилиндров будет в каж-
дой точке нейтральной. Теперь сместим отрицательно
заряженный цилиндр на отрезок Ь/2 в направлении
Рис 49.2
оси у, а положительно заряженный цилиндр на та-
кое же расстояние в противоположную сторону
(рис. 49.2, а). Поскольку Ь *С а (а радиус цилиндров),
образовавшуюся систему можно рассматривать как
цилиндр, в поверхностном слое которого толщины Ь
распределен заряд с переменной плотностью рх- В дей-
ствительности плотность заряда в поверхностном слое
постоянна и равна ро (или —ро), изменяется же тол-
щина некомпенсированного слоя. Кзк видио из
рис. 49.2, а, эта толщина меняется .ао закону b sin a,
так что заряд, приходящийся на едмни.цу поз«р№оети
цилиндра, равен —ро6 sin «¦=--—ройу/а. Однако гн ие
сделаем заметней сишСжи, еелн будем егмтзть

208 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
толщину заряженного слоя всюду одинаковой и раз-
ной Ь, а плотность заряда е этом слое изменяющей-
ся по закону
Р*=-Ро?/А». D9.3)
Чтобы получить плотность, изменяющуюся по за-
кону х/а, сдвинем цилиндры, как показано на
рис. 49.2, б. В этом случае плотность заряда в вооб-
ражаемом поверхностном слое толщины b изменяется
по закону
Pi, = РоФ- D9.4)
С рассматриваемых случаях поля представляют
собой суперпозицию двух одинаковых по величине, по
противоположных по знаку полей -j-q>o и —Фс сдви-
нутых друг отрссттс^чо "pvra "С ечсчь va"wr ™
за % {ч i \ '-J рг Ъ\-\с ,) U iaipauno's up ¦-
ЛС •.'"'• , J' '(jfl Г^ !"' -Ii v, Гч 1
!' ' ЧГ> .С I i "i " JO <и, olj ;д,, ,_ j,r
С . С ~" с- Ч ) 1 г i^ i I и ГиЧ , ( т"^'1 i I
'<;. м ь к" 1-м -, бм ;,. ч>ч ^ ', • • х и(.
'<¦ 'W1 » \ • Ь ' ТИ/.'». ПЭ ' '> ' с ч/
„ „ i'T j.1 ii ¦ L Г X '\ JfI -1 *
"', ' - ' '_"! J j < 1-1. it1
Г » , V "< .CliUi i . r j
. ' 1 J1 /, . I
Ввиду мкластй Ь оба q,Tt-f.'.a полуденного iismh вы-
ражения МОЖНО Я.р<ЖбраЮВЙ.ТЪ 1Щ rfj.OpM.Vji?: (XI. Б),
т. е. написать
(
9 (г) = (Фо W ~ Vcpo • Ь/2) - (ср., (г) + Wj - Ь/2) =
Ь = - {-д— bx + ~-bll + ~w bz) .
В случае рх вектор b имеет компоненты: Ьх=
= Ьг = 0, й<, = —6, так что
Ф(г) = ^гс-6 для Ах, D9.5)
в случае ру: Ьу = Ьг = О, ЬХ = 6, так что
Ч>(г) = -^Ь для ^. D9.6)

§ 49. ПОЛЕ СОЛЕНОИДА. 209
Теперь осталось найтк <р0 и подставить в D9.5)
и D9.6) его производные. Напомним, что ср0 — это по-
тенциал поля, создаваемого цилиндром радиуса а, за-
ряженным с постоянной объемной плотностью +ро.
Потенциал внутри и вне такого цилиндра опреде-
ляется разными формулами.
Поле внутри соленоида. С помощью теоремы Гаус-
са легко найти, что поле внутри заряженного ци-
линдра равно ? = 2яро#, где R— расстояние от оси
цилиндра (R<Ca). Этому полю отвечает потенциал
Фо =-— —aipoR2 + const = —:ipa{x2 + у2)+ const. Его про-
изводные:
Подставим найденные значения производных в
D9.5) и D9.6):
ф(г) = — 2щфц для Ах,
Ф (г) == 2лр0Ьх для А,г
Заменив в этих выраже.ыьях ро через ni/bc (см.
D9.2)), получим выражения для Лх и Лу (выше было
установлено, что Л*—-0):
2
L) x
)
В § 47 было показано (см. D7.1!)), что потенциал
D9.7) определяет однородное магнитное поле с маг-
нитной индукцией
В = (-1я/с)ш, D9.8)
параллельной оси z, т. е. оси соленоида.
Поле вне соленоида- Потенциал вне цилиндра, за-
ряженного с плотностью ро, равен
<р0 = —2рола2 In (R/Ro),
где R — расстояние от оси цилиндра (/?>а). Ro —
константа (ср. с D8.8)). Производные <р0 имеют вид

210 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
Подстановка этих значений в D9.5) к D9.6) дает
ср (г) = — 2pundb -р- для Ах,
Ф (г) = 2р0яа2й ~ для Ау.
Заменив р0 через ni/bc, получим Ах и Ау. Напишем
значения всех трех компонент:
л _ Innia' у _ „ у
Лх — — R2 — -A R2 ,
Д — 2Knia" JL — К — D9-9)
Величина #2 = х2 + у'-'- не содержит z. Следова-
тельно, дАх/дг = дАу/dz == 0. Из Аг = 0 вытекает, что
дЛг/дх ==¦ дАг/ду = 0. Таким образом, Вх и Вя равны
нулю. Найдем Bz:
дАу дАц.
В
R2 Л» Н) I /?2 + R3
2
/г- /г2
Итак, мы получили, что поле вне бесконечно длин-
ного соленоида равно нулю. Векторный же потенциал
вне соленонда отличен от нуля. Совокупность формул
D9.9) может быть представлена в виде одной вектор-
ной форк^льг.
A = -^^-[ezR]. D9.10)
Сравнение с формулой D8.11) показывает, что поле
вектора А вне соленоида имеет такой же характер,
как поле вектора В вокруг прямого длинного провода
с током.
§ 50. Закон Бис—Саваяа
Выражений
позволяет, зная распредели!итогов в трегрзнстве ,
определять векторный готадшал глалгнахюго поля

§ 50. ЗАКОН BliO-CABAPA 211
(см. D8.7)). Попытаемся нгйти формулу, которая по-
зволяла бы по заданным токам найти сразу П. Для
этого вычислим ротор функции E0.1). Необходимо
иметь з виду, что интегрирование в E0.1) осуществ-
ляется по штрихованным координатам х', у', г', диф-
ференцирование же при взятии ротора производится
по нештрихованным координатам х, у, г. Поэтому
операции интегрирования и взятия ротора можно ме-
нять местами. Приняв это по внимание, получим
B(r) = [v, A(r)] =
Рассматривая j(r')/|r — г'| как произведение век-
торной функции j(r') и скалярной функции 1/|г—г'|,
воспользуемся формулой (XI. 27):
Второе слагаемое равно ну/:ю, так как j(r') не содер-
жит нештрихованных координат. Градиент, фигури-
рующий в первом слагаемом, равен
V-;- гтт — V"
Таким образом, мы приходим к формуле
__!_( ||<n,r-r']dr* E02)
с j I г — r'|
(мы вынесли скалярный множитель за знак вектор-
ного произведения и, кроме того, поменяли местами
сомножители, вследствие чего исчез знак минус).
Полученная формула решает поставленную нами
задачу — позволяет по заданным токам вычислить В.
Формула E0.2) упрощайтсл, если токи текут только
по тонким проводам. На рис. 30.1 изображен участок
такого провода. Из рисунка видно, что выражение
\dV можно представить в виде
E0.3)
где а — поперечное сечение провода, / — сила тока,
d\ — вектор, совпадающий с. элементом провода dl и

212
ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
направленный в ту сторону, куда течет ток. Заменив
в E0.2) \dV через id\, получим
_1_ f i_[d\, т - r']
с
E0.4)
(интегрирование производится по длине всех про-
водов).
У'-Лй
Рис. 50.1
Формула E0.4) является аналитическим выраже-
нием закона Био — Савара. Рис. 50.2 поясняет, что
г — г' представляет собой вектор, проведенный из
точки, в которой расположен элемент тока d\, в точку,
для которой вычисляется В.
§ 51. Магнитный момент
Прежде чем обратиться к теме данного параграфа,
получим так называемое уравнение непрерывности, ко-
торое является следствием закона сохранения заряда.
Пусть в некоторой области текут токи, характери-
зуемые плотностью j = j(r). Выделим в этой области
воображаемый объем V, ограниченный поверхностью/.
Заряд, вытекающий через эту поверхность наружу
в единицу времени, можно представить в виде
f
Написанное выражение равно скорости убывания за-
ряда, заключенного в объеме V, которая определяется
выражением
¦dV

§ 5!. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 213
(мы капксали частную производную по t, поскольку р
есть функция не только нремени, но и координат).
Приравняв оба выражения, получим
Написанное нами соотношение должно выполняться
для любого произвольно выбранного объгма. Это воз-
можно лишь при равенстве подынтегральных выраже-
ний в каждой точке пространства. Таким образом,
мы приходим к соотношению
VJ — 4*.. E1Л)
которое называется уравнением непрерывности в диф-
ференциальной форме. В интегральной форме уравне-
ние непрерывности имеет вг>г.
\dV- E1-2)
Теперь рассмотрим систему стационарных токов,
циркулирующих в пределах ограниченного объема V,
и вычислим магнитное голо, создаваемое этой систе-
мой на расстояниях, больших по сравнению с разме-
рами системы. Эта задача аналогична задаче, рас-
смотренной в § 43.
Прежде всего отметим, что в силу стационарности
токов ни в одной из точек системы не может происхо-
дить накапливания или рассасывания зарядов, т. е.
должно быть всюду dp/dt = 0. Отсюда согласно
E1.1) вытекает, что в пределах системы
VJ = 0. E1.3)
Далее, за пределами системы токов нет. Отсюда
следует, что всюду на поверхности, ограничивающей
систему,
/„ = 0 E1.4)
(токи не пересекают поверхность).
Наконец, докажем, что
= 0, E1.5)

214 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
где интеграл берется по всему объему системы. В силу
стационарности и ограниченности системы все трубки
токов1), которые можно выделить внутри системы,
будут замкнутыми. Значит, весь объем системы можно
разбить на замкнутые трубки токов. Для каждой из
трубок интеграл по ее объему можно прообразовать
следующим образом:
j dV = ^ ]a dl == ф idl = i§dl = O E1.6)
no трубке
(<т — поперечное сечение трубки., i — сила тока, dl —
элемент длины трубки; см. фопмулу E0.3)). Просум-
мировав выражение E1.6) я с всем трубкам тока, по-
лучим формулу E1.5).
Выберем начало коордшат внутри системы и на-
пишем выражение для векторного потенциала:
А (г) = — \ ^—~. E1.7)
с ,) |г — г | ч '
Здесь г — радиус-вектор точки, для которой вычис-
ляется А, г' — радиус-вектор точки, в окрестности ко-
торой расположен элементарный объем dV; интегри-
рование производится по птриховакным координатам
в пределах объема системы.
Воспользовавшись тем, что по предположению
г1 <g; r, разложим выражение E1.7) в ряд по степеням
отношения г'/г2). С точностью до членов первого по-
рядка
А (г) _ 1. С iill^l L_ С j (t>i U (±) A dV . E1 Я)
v
Первый член зтого выражения в силу E1.6) равен
нулю. Следовательно, лодг.та.;,.:_ зьа^гн'ие V(l/r), по-
лу ЧЕ!М
ам-±С \JDJnDdYL
V
1) Под трубкой электричес»:сго тока понимается то же, что
и под трубкой тока в жидкости, т.е. объем, ограниченный ли-
ниям», касательные к которым в каждой точке совладают с на-
правлением вектора j.
е) Рассматривая —г' как 1-;алое приращение радиуса-век-
тора г, мы представляем фуякцш ?{г) == 1/г для значения аргу-
мента г — г' в виде

§ 51. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 215
Напишем /г-ю компоненту потенциала:
\ h (г') ( ? *1<) ^' = 1?" Е *< J /*< dV'
E1.9)
(мы выразили скалярное произведение rr' через ком-
поненты радиусов-векторов). Произведения j^ суть
компоненты тензора второго ранга '). Представим этот
тензор в виде суммы симметричного и антисимметрич-
ного тензоров:
(см. (Х.27)).
Докажем, что интеграл от симметричной состав-
ляющей тензора E1.10) ргвен нулю. Для этого вос-
пользуемся тождеством
V (-«J) = JV'(«) + xyyi E1.11)
(см. (XI. 26)). В силу E1.3) второй член правой ча-
сти есть нуль. Запишем выражение V' {х'^\), исполь-
зуя формулу для градиента произведения скалярных
функций (см. (XI. 25)):
^ - 2
(мы учли, что dx'kJdxrm = ЬЛт). Выражение в скобках
есть т-я компонента градиента функции x'tx'k.
Теперь вычислим второй член выражения E1.11):
r . t ,. ^-ч . е i t i t \\ V1 / /л f ч \
* * \ i k) ^-* Iт\^ К i kjiri ^-л 'т \ i km "~ k im)
т ' т
St» \^ • /
' in' i km * ^-* * тп k im*
m m
') Иктгграл /A( = \ jkxi dV также представляет собой ком-
поненту текзора. СлелсБат^шио, зсхтор А с точностью до мно-
жителя 1/о3 является произвеленигм тензора 1ы на цектор zi
(см. (Х..22)).

216 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
В первой сумме отлично от нуля лишь слагаемое
с ш = А, а во второй — слагаемое с т — i. Следова-
тельно,
Итак, согласно E1.11)
"fci — 2 — 2 v \ l
Возьмем интеграл от этого выражения
(.xixki) ~2
f
(мы применили теорему Остроградского — Гаусса).
В силу E1.4) последний интеграл равен нулю. Таким
образом, мы доказали, что интеграл от симметричной
составляющей подынтегральной функции в E1.9) есть
нуль. С учетом этого обстоятельства выражение E1.9)
можно записать так:
Покажем, что подынтегральная функция равна
k-vi компоненте двойного векторного произведения
[r[jr']]. Введя вспомогательное обозначение b=[jr']
и использовав формулу (VI. 33), можно написать
[]йЕ
= L, bkilXi ?-• v'lmJmXn = . ,2-i &hlfimnlXiitnXn
I, I m,n t, I, m, n
(напомним, что при циклической перестановке индек-
сов значение &imn не изменяется). Произведем сумми-
рование по индексу /, причем воспользуемся соотно-
шением (VI. 16)
fc= ? <WW,X- S *ftAm^/m<-
i, m, n I, m, n
Теперь произведем суммирование по индексам т
и п. В первой сумме отличными от нуля будут ела-

S 61. МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ 217
гаемые с т = k и п = i, вс второй сумме — слагаемые
cn = hm = i. Следовательно,
Сравнение с E1.12) позволяет написать
Z *, (/**; - />i).
V
или, в векторной форме,
A = 1M[[r'j]r]dK' = -rr^Wr'j]dV/, rl E1.13)
(мы поменяли местами сомножители в обоих вектор-
ных произведениях).
Величину
™ = -t)m]dV E1.14)
v
называют магнитным моментом системы1).
Для системы дискретных зарядов выражение маг-
нитного момента имеет вид
Это выражение получается из E1.14), если положить
j (г') = Р (г') v (г') == ? еау (г') Ь (г' - т'а)
а
(см. D1.12)) и учесть, чтоД eav(r'N(r' — r'a)dV', взя-
тый в малой окрестности точки т'а, превращается
в еама.
Магнитный момент зависит только от свойств си-
стемы и, как легко убедиться, не зависит от выбора
системы координат. Действительно, сместим начало
') Мы опустили штрих при dV, так как подынтегральное вы-
ражение не содержит нештрихованных координат. В выраже-
ниях, содержавших и г', и г, штрих при dV указывал на то,
что интегрирование осуществляется по штрихованным координа-
там. В дальнейшем в этом выражении мы будем опускать штрих
и при г.

258 гл. ix. магнитостатика
системы координат на отрезок Ь. Тогда радиусы-век-
торы в новой системе будут равны г" = г' — Ь. Маг-
нитный момент в новой сястеме имеет вид
m =
Первый член равен т, второй член можно предста-
вить в виде
Но согласно E1.5) \ j dV равен нулю. Следователь-
но, мы пришли к равенству моментов т' и т, что и
требовалось доказать.
С учетом E1.14) выражение E1.13) можно запи-
сать следующим образом:
A(r) = -^==-[m, V-1-] E1.16)
(ср. с формулой D3.7)).
Чтобы найти В, нужно вычислить ротор выраже-
ния E1.16). Положив в формуле (IX.29) а = m, a
b = г/г3, получим
= (?¦ v) m - (rav) т^ + т (v тг) - тт (Vm).
Вектор m не зависит от г. поэтому первый и послед-
ний члены равны нулю. Согласно (XI. 26)
Поэтому и третий член рззек нулю. Таким образом,
В = —(fnv}-^-. E1.17)

§ 61. магнитный момент
В соответствии с формулой (XI. 33)
219
(mv) -pr =
V ~) + — (т\) г
— _г
— г
3 г
«л - Зсг (тег)
-
(см. (XI. 31), ef — орт вектора г). Следовательно,
е-^^~~. E1.18)
Сравнение с формулой D3.10) доказывает, что
магнитное поле выражается через магнитный момент
такой же формулой, какой электрическое поле выра-
жается через электрический ди-
польный момент.
В заключение вычислим маг-
нитный момент тока, текущего по
тонкому проводу, образующему
плоскую петлю. Начало коорди-
нат выберем в плоскости петли
(рис. 51.1). Согласно определе-
нию E1.14)
В рассматриваемом случае мсх;но т-роиавести 1амену:
'idV—Ш (см. формулы E0.3) и E1.6)). Следова-
Ttvib'so, Быражеиига пля пг можно трил^ть вид.
Обозначив орт нормали к плоскости пэт.ч-н буквой п
(ка рис. 51.1 этот орт напразлен за чертеж), подынте-
гральное выражение можно записать как nrsinadl,
так что
in_ ?. г s»r- a dl
Из pt:c. 51.1 е'йдпо, что подынтегр:.;;;^1^;4-. :;,'..^.ау.'.е-
равно площади заштрихованного треугс-.•••¦. .;ика.
Поэтому интеграл разен площади петли /. Таким

220 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
образом, мы пришли к выражению для магнитного
момента:
§ 52. Поле в магнетиках
При наличии магнетиков на поле токои проводи-
мости В, накладывается поле, создаваемое молеку-
лами, Вкол, так что результирующее микроскопическое
поле можно представить з ;:зде
BIWi==B, + BiltuI. E2.1)
Поле Врез, подобно определяемому формулой D4.1)
полю Ерез, является бштропеременной функцией вре-
мени. Кроме того, оно сильно меняется в простран-
стве между двумя соседними молекулами. Поэтому
в качестве характеристики магнитного поля в магне-
тиках берут макроскопическую есличи ну
В = В,-ИВ.™), E2.2)
которую называют магнитной индукцией в магнетике.
Усреднение микроскопического поля ЕМо« произво-
дится таким же способом, хак и усреднение поля Есзпз
(см. §44).
Состояние магнетика принято характеризовать
магниткьш моментом едчш-.н,ы объема магнетика,, ко-
торый называют намагниченностью. Мы будем обо-
значать ее символом М. Очевидно, что М молено опре-
делить как
J*~i^. C2.3)
где dV — физически бесконечно малый объем, т» —
магнитный момент отдельной молекулы; суммирова-
ние осуществляется по всем молекулам, заключенным
в объеме dV.
Вклад, вносимый магнетиком в макроскопическое
магнитное поле, можно вычислить по формуле E1.16).
Согласно E2.3) элемент объема магнетика dV обла-
дает магнитным моментом dm — tAdV. Следователь-
но, в точке, определяемой радиусом-вектором г, этот
элемент объема создает магнитный потенциал
= ]М|Г-гТГ1 dV' E2l4)

§ 52. ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ 221
(г'—радиус-вектор точки, в которой расположен эле-
мент объема dV, M (г') — намагниченность в этой
точке).
Интеграл от выражения E2.4), взятый по всему
объему магнетика, даст вклад, вносимый магнетиком
в макроскопический магнитный потенциал. Его нужно
прибавить к магнитному потенциалу, обусловленному
токами проводимости (см. формулу D8.7)). Следова-
тельно, поле при наличии магнетика, будет характери-
зоваться потенциалом
E2.5)
Второй интеграл в этом выражении можно преоб-
разовать следующим образом:
(штрих при V означает, что при взятии градиента диф-
ференцирование осуществляется по штрихованным
координатам).
Положив в формуле (Х1.27)<р = 1/|г — г'| и а =
= М(г'), получим, что
откуда
. -л' ' 1 [У7, м <г'I IV м<г'> 1
Следовательно, второе слагаемое в формуле E2.5)
можно представить в виде
|гг'| V
> |r-r'|
Преобразуем интеграл 1 по формуле (XI. 60):
Если магнетик занимает конечный объем или М(г')
достаточно быстро убывает при удалении о? начала

222 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
координат, последний интеграл равэн нулю (в случай
локализации магнетика и конечном объеме поверх-
ность интегрирования можно выбрать uy.i мзгаетика
и тогда всюду на гюаерхногти М(г') = 0).
Таким образом, при нглиши магнетиков иектор-
ный потенциал определяется выражением
А М - I Л- !' — * { j (f/) dV' i [ [V'- M (r')] dV' -
A- ' — 'i-T^ — — J>~ r' •¦ ) | г — г' |
Полученный нами результат можно истолковать
так, что намагниченность вносит в векторный потен-
циал такой же вклад, как и тек плотности
JA, = ?lVM] E2.7)
(мы опустили штрих при V, соответственно М рассмат-
ривается как функция не г', а г). Отсюда вытекает,
что при наличии магнетикоо уравнение D8.3) нужно
писать в виде
E2.8)
Объединив члены, содержащие ротор, получим
Величина
Н = В — 4яМ E2.9)
называется напряженностью магнитного поля. Она
представляет собой вспомогательную макроскопиче-
скую характеристику магнитного ноля, аналогичную
электрической индукции D (см. D5.2)). Для Н имеет
место уравнение
E2Л0)
Опыт др.ет, что для та;- казынаемых диа- и пара-
магнетиков .намагниченность пропорциональна напря-
женности поля:
М==хН. E2.11)
(Предполагается, что мап;е."нк изотропный. Кроме
того, имеются в виду поля, при которых намагничение
далеко от насыщения.)

§ 52. ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ 223
Величина % называется магнитной восприимчи-
востью вещества. Для парамагнетиков % положитель-
на, для диамагнетиков — отрицательна. Подстановка
выражения E2.11) в формулу E2.9) дает, что
Е = Н + Аи-.яН --= \iI!, E2.12)
где
|1=1+4ях E2.13)
есть магнитная проницаемость вещества.
Соотношения E2.11) — E2 13) распространяют и
на ферромагнетики, рассматривая % и ц как функции
напряженности поля Н.
Целесообразность введения Н обусловлена теми же
соображениями, какие были изложены в § 45 для
обоснования целесообразности введения D.
Рассмотрим поле в однородном изотропном магне-
тике. Предположим, что в отсутствие магнетика дан-
нне токи проводимости возбуждают поле, характери-
зуемо? индукцией Вс и потенциалом Ао- Известно, что
L;.; к А.э являются решениями уравнений
[VB]i E2.14)
? E2.15)
(си. D?Я) ¦МЛВАП.
Теперь, не из^лнну s \ • ( " > >м
рге пространство, в kui t( ^ л.. ыч,
ОДНОРОДНЫМ ((А = COn= , i' 1 1ь-
гда индукция полк ст; v i pt >c < i , ^ . j. рч-
ме-т значение А. Напи-п i т i / ^ i Л ^о-
rj;?Cr;o равенству E2. Ь,;
Замеш.з в зточ уравлепик К :щ^- [ЧЛ] ^'м. D7 5))
и npiiUi-c бо Е1шманне, что ;л~-const, tiiJKHa написать
по
4b)

224 ГЛ. IX. МАГНИТОСТАТИКА
Однако мы условились зыбирать А так, чтобы VA
равнялась нулю (см. D7.7)). Следовательно, первый
член в фигурных скобках равен нулю и мы приходим
к уравнению
А-?-~—T-J. E2-17)
Сравнение E2.16) с E2.14) и E2.17) с E2.S5) по-
казывает, что уравнение для В/ц совпадает с уравне-
нием для Во, а уравнение для АД; — с уравнением для
Ас. Отсюда следует, что заполнение пространства, в
котором имеется поле, однородным магнетиком при-
водит к увеличению как магнитной индукции, так и
магнитного потенциала в ц раз.
Согласно равенству г52.17) уравнение Пуассона'
D8.4) для поля в однородном изотропном магнетике
будет иметь следующий вид:
г ,
] С
Г 1
И
ДА — -
е г
1 1 (
"с j •
„, ,
д V
E2.
/ 1 г г A 1
., 1 |<_. Ill
H=--[?Al-=l7A/i, E2.19)
где А' -- A/j.1.
Подчеркнем, что напряженность поля li-2 можно
представить в виде ротора функции А/ц только в том
случае, когда магнетик однороден и ц —const. Маг-
нитную же индукцию В можно представить в виде
В = [VAj всегда, поскольку при любых условиях
VB=0.
Напомним, что на границе двух магнетиков век-
торы В и Н должны удовлетворять следующим усло-
виям:
Вп1 = Впь Bjiii — BJn2,
Tf fr rr rr \uZ.2j)
Вывод этих граничных условий можно найти в учеб-
никах общей физики.

§ 52. ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ 225
В анизотропных магнетиках связь между М и Н
дается соотношениями
3
A*i=Exifttf* (/==1,2,3), E2.21)
k «i
где %ik — симметричный тензор второго ранга, назы-
ваемый тензором магнитной восприимчивости.
Соответственно уравнения, связывающие векторы
В и Н, выглядят следующим образом:
Я, = Е |»,*Я* ('=1, 2, 3), E2.22)
где величины
Ihk = б„ + 4ях« E2.23)
суть компоненты тензора магнитной проницаемости
(ср. с формулами § 46).
8 И. В. Савельев, т.

Глава X
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 53. Закон электромагнитной индукции
При изменении потока магнитной индукции через
замкнутый контур Г в этом контуре возникает ЭДС
индукции, равная
Si = -у— = -г- \ «3 ал
1 с А1 с it )
f
(Ф — магнитный поток, пронизывающий контур).
Если поверхность, по которой берется интеграл, не из-
меняется со временем, операция дифференцирования
по / и интегрирования по координатам можно попе-
нять местами. Поэтому вьражению дли $*, мокко при-
дать вид
(мы написали частную прокэводную по t, пегому что
В, вообще говоря, есть (функция и времени, и коор-
динат).
ЭДС по определению есть циркуляция по данному
контуру вектора напряженности ноля сторонних сил
Ест- В данном случае напряженностью Ест является
напряженность Е вихревого электрического ноля, воз-
буждаемого изменяющимся магнитным полем В. Сле-
довательно,
gt = (|) Е, dl = jj [VE] d\ E3.-2)
г f
(мы применили теорему Огокса).
Приравняв правые части выражений E3.1) и
E3.2), придем к соотношению

§ 54. ТОК СМЕШЕНИЯ 227
Допустим, что оба интеграла берутся по одной
и той же поверхности (раиокство E3.3) выполняется
и для разных поверхностей, лишь Си эти поверхности
опирались на один и тот же нонтуэ Г). Соотношение
E3.3) должно выполняться для любой поверхности f.
Это возможно лишь в том случае, если подынтеграль-
ные функции имеют одинаковое значение в каждой
точке пространства: Таким образом, мы приходим
к уравнению
~4-S-. E3.4)
В полученное нами уравнение lie входят пара-
метры контура, с рассмотрения которого мы начали
этот параграф. Естественно предположить, что это
уравнение должно выполняться для любой точка поля,
независимо от присутствия в :г--ч>м поле физически вы-
деленного (в частности, проводящего) контура. Как
известно, это предположение оправдывается ка. опыте.
Из уравнения E3.4) след,*/~г, что нзг»йняюпл;.ггя бо.
временя магнитное поле Ъ должно порождать элек-
трическое поле Е. Действительно, для того чтобы [VE]
был отличен от нуля, необходимо наличие неоднород-
ного (т. е. меняющегося от точки к точке) поля Е.
§ 54. Ток смещения
Анализируя уравнения, описывающие электромаг-
нитные явления, Максвелл обратил внимание на то,
что в нестационарном случне уравнение
[yH]==f~i E4.1)
(см. E2.10)) несовместимо при др/дгфЪ с зфавне-
нием непрерывности
Vj = ---fr E4-2)
(см. E1.1)). Чтобы убедиться в этом, возьмем дивер-
генцию от обеих частей уравнения E4.1). Поскольку
дивергенция ротора всегда ргзна нулю (см. (XI.44)),
мы придем к выводу, что дивергенция J, а следова-
тельно, и dp/dt не могут быть отличники от н>-ли. Од-
нако заключение о тол, что dq/dt г.сегда равно- нулю,

228 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
не согласуется с опытом: при нестационарных процес-
сах плотность зарядов сплошь и рядом изменяется
с течением времени.
Уравнения E4.1) и E4.2) можно согласовать, до-
бавив в E4.1) к j некоторую величину (обозначим ее
1смещ), имеющую размерность плотности тока. Эту ве-
личину нужно определить так, чтобы всегда соблюда-
лось условие
V(J + Je.ee) = 0.
Из него с учетом E4.2) следует, что слагаемое jCMem
должно удовлетворять соотношению
Продифференцировав по времени уравнение D5.3),
получим уравнение
¦ж <*» = **%-
или, переставив порядок дифференцирования D по
времени и координатам,
Подставив получающееся из этого соотношения выра-
жение для dp/dt в формулу E4.3), придем к равен-
ству
Из этого равенства следует, что в качестве jCMem долж-
но быть взято выражение
(в общем случае нужно добавить к правой части про-
извольную функцию времени f(t), но мы положим ее
равной нулю).
Таким образом, Максвелл пришел к выводу, что
в случае нестационарного поля уравнение E4.1) сле-
дует писать в виде

§ 55. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 229
ИЛИ
[VH] = i=-j+I-«J.. (S4.5)
Величину |Смещ Максвелл назвал током смешения,
а Сумму j -j- ]смещ — ПОЛНЫМ ГОКОМ.
Из уравнения E4.5) следует, что магнитное поле
может порождаться не только тока аи проводимости,
но также и меняющимся ее временем электрическим
полем. Таким образом, введение тока смещения сде-
лало поля Е и В равноправными в отношении способ-
ности порождать друг друга
§ 55. Уравнения Максвелла
Совокупность уравнений D5.3), D7.4), E3.4) и
E4.5) образует систему уравнений Максвелла, Эти
уравнения принято группировать попарно, причем
уравнения
и
VB == 0 E5.2)
называют первой парой уравнений Максвелла, а урав-
нения
[VHl-^-j + l-f- E5.3)
и
VD = 4яр E5.4)
носят название второй пары уравнений. Заметим, что
в первую пару уравнений входят только основные ха-
рактеристики поля: Е и В. Во второй же паре фигу-
рируют вспомогательные величины D и Н.
Уравнения Максвелла составляют основу всей
электродинамики. Они играют в классической элек-
тродинамике такую же роль, какую в классической
механике играют законы Ньютона.
Система уравнений Максвелла включает в себя
8 скалярных уравнений (каждое из векторных уравне-
ний E5.1) и E5.3) эквивалентно 3 скалярным), в ко-
торых содержится 12 неизвестных скалярных функций
(компонент векторов Е, В, I) и Н). Поэтому сами по
себе уравнения E5.1) — E5.4) недостаточны для

230 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
определения электромагнитных полей в веществе.
В этом смысле система уравнений Максвелла являет-
ся неполной. Для того чтобы можно было произвести
вычисление полей, уравнения Максвелла нужно до-
полнить уравнениями, связывающими друг с другом
величины D, j и Е, а также Н и В. Эти уравнения');
имеют вид (см. D5.5) и E2.12))
D == еЕ. E5.5)
В==цН, E5.6)
j == aE E5.7)
(а — электропроводность среды). Для решения задачи
должны быть известны характеристики среды: е, ц и а,
которые в простейшем случае являются константами.
Отметим, что уравнения Максвелла можно напи-
сать так, чтобы в них не входили вспомогательные
величины D и Н. Для '»того нужно во второй паре
уравнений заменить эти неличнны их значениями
D5.2) и E2.9). Предоставляем читателю убедиться
в том, что после такой замены уравнения Максвелла
приобретают вид
-~4r. VS = 0; ES8)
VE = 4я (р - VP). E5.9)
Для того чтобы решить систему уравнений E5.8),
E5.9), нужно знать вид функций Р = Р(Е), М =
= М(В) и j = j(E).
В дальнейшем нам придется рассматривать элек-
тромагнитные поля в однородных и изотропных сре-
дах, проницаемости которых е и р. постоянны. В этом
случае проницаемости можно выносить из-под знаков
производных либо, наоборот, вносить их под знак про-
изводных. Поэтому уравнениям E5.1) — E5.4) можно
придать вид
^Г- VB = 0; E5.10)
+ ^-f. VE = ifp. E5.11)
f) Их называют иногда уравнениями состояния.

5 56. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23[
В отсутствие поляризующихся и намагничиваю-
щихся сред е и fi равны единице, так что уравнения
Максвелла для поля в вакууме выглядят следующим
образом:
[4 173 = 0; E5.12)
^ ^ VE = 4яР. E5.13)
Поскольку в гауссовой системе для поля в вакууме Н
совпадает с В, в уравнениях E5.12) и E5.13) можно
в этом случае писать Н вместо В.
§ 56. Потенциалы электромагнитного поля
В § 47, воспользовавшись тем, что VB =¦- 0, мы
представили магнитную индукцию в виде
E6.1)
где А — вспомогательная функция, называемая век-
торным потенциалом. Выражение E6.1) остается в
силе и для нестационарного поля. Однако з этом слу-
чае А следует считать функцией не только координат,
но и времени: А = А (г, t).
Подставим E6.1) в уравнение E5.1). В результате
получим
Это соотношение можно записать так:
Поскольку ротор вектора E-\-(l/c)dk/dt оказы-
вается равным нулю, этот иектор можно представить
в виде градиента некоторой функции ф:
Е + 7Ж = -**- E62)
Функция <р называется скалярным потенциалом элек-
тромагнитного поля. В нестационарном случае она
зависит от г и от t. Из EG.2) следует, что потенциалы
Ф и А имеют одинаковую размерность.

232 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Согласно E6.2)
Таким образом, напряженность электрического поля
в общем случае определяется не только скалярным
потенциалом <р, но и векторным потенциалом А. Вто-
рое слагаемое в E6.3), очевидно, обусловлено явле-
нием электромагнитнойсв+шдукции. В случае стацио-
нарного поля dA/dt = 0 и формула E6.3) переходит
в D1.5).
Соотношения E6.1) и E6 3) выражают магнитное
и электрическое поля через векторный и скалярный
потенциалы.
Найдем уравнения, с помощью которых можно вы-
числить потенциалы А и <р для поля в однородной и
изотропной среде с постоянными е и ц. С этой целью
заменим в уравнениях (Й5.11) Е выражением E6.3),
а В ротором А:
Приняв во внимание, что [V[VA]] = V(VA)— ДА
(см. (XI. 45)), a V(Vq>) = Aq>, запишем полученные
нами уравнения в следующем виде:
-^|f). E6.4)
E6.5)
(в некоторых членах уравнений мы поменяли поря-
док дифференцирования по координатам и времени).
Уравнения E6.4) и E6.5) и суть искомые уравне-
ния для нахождения А и <р. Эти уравнения довольно
сложны. Особенно неприятно то, что они взаимосвя-
заны— в каждое из них входит к А, и <р. Однако, как
мы увидим ниже, потенциалы можно выбрать так,
чтобы эти уравнения сильно упростились.
Потенциалы А и <р определяются неоднозначно.
Поэтому имеется некоторая свобода в их выборе.
В частности, например, к А можно прибавить произ-
вольный постоянный вектер, а к ср — произвольную

§ 56. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 233
постоянную без того, чтобы изменились значения
В и Е. Разумеется, выбор потенциалов следует осу-
ществлять наиболее удобным для данного случая об-
разом. Такой наиболее целесообразный подбор потен-
циалов называется их калибровкой. Заметим, что мы
уже пользовались возможностью калибровки потен-
циалов в магнитостатике: з § 47 мы выбирали А так,
чтобы его дивергенция была равна нулю (см. фор-
мулу D7.7)).
Определим самый общ'лй вид калибровочных пре-
образований, т. е. таких преобразований потенциалов
А и ф, при которых поля Е и В остаются неизмен-
ными. Поле B=[VA| не изменится, если к А доба-
вить градиент произвольной скалярией функции /
(ротор градиента равен нулю), т. е перейти от А к А',
равному А + V/:
А-> А'== А -Ь yf E6.6)
Для того чтобы при этом не изменилось электрическое
поле Е = —Уф — (\/c)dA/dt, одновременно с перехо-
дом E6.6) нужно совершить переход
<Р-ф' = <Р-т!г. E6.7)
где f — та же функция, что и в E6.6). Действительно,
поле Е', определяемое потенциалами А' и ф', будет
в этом случае равно
(напомним, что V(df/dt)-=d(SIf)/dt)). Таким обра-
зом, преобразование потенциалов по формулам E6.6)
и E6.7) не изменяет значений В и Е.
Преобразования E6.6) и E6.7) представляют со-
бой калибровочные преобразования наиболее общего
вида. Поскольку при осуществлении этих преобразо-
ваний поля В и Е остаются неизменными, все уравне-
ния, описывающие эти поля, должны быть инвариант-
ными по отношению к калибровочным преобразова-
ниям. Эта инвариантность называется калибровочной
(или градиентной) инвариантностью.

234 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
На практике, как уже отмечалось, применяется ка-
либровка, наиболее целесообразная в каждом кон-
кретном случае. В частности, можно выбрать потен-
циалы так, чтобы выполнялось условие
VA + -^-4f- = O, E6.8)
называемое условием Лорекцт..
Для поля в вакууме услоние Лоренца игсет вид
VA + 44r = °- E6.9)
Покажем, что условие E6Л) может быть удовлет-
ворено надлежащим выбором функции f а формулах
E6.G) и E6.7). Для зтог7 подставим в уравнение
E6.8) значения Л' и <р', оределя<;мые этими форму-
лами:
' ' ' с tit с2 di2
''(¦V(V/) = Af). Отсюда получается урапненне для на-
хождения функции /:
Af--?--f;?--¦/=¦(»•, о, E6.Ю)
где F(r, <) = —VA — (щ/с)д<$/д1 есть заданная функ-
ция ги/. Подставив функцию f, получающуюся из ре-
шения этого уравнения, п формулы E6.6) и E6.7),
мы найдем значения потенциалов А' н <р', удовлетво-
ряющие условию E6.8).
Калибровка потенциалов, удовлетворяющая усло-
вию E6.8), называется лоренцевой калибровкой.
Этот вид калибровки является наиболее употреби-
тельным.
Условие Лоренца сильно ограничивает набор зна-
чений потенциалов, пригодных для описания данного
поля, но Есе же не делает выбор потенциалов вполне
однозначным. Действительно, не нарушая условия
E6.8), можно осуществлять преобразования
1 (Зф E6.11)
___

5 Вв. ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 235
(оба набора потенциалов — А, <р и А', ф'—предпола-
гаются удовлетворяющими условию Лоренца), где
функция if является решением уравнения
Действительно, подставив в левую часть E6.8) вме-
сто А и ф штрихованные потенциалы из E6.11), по-
лучим выражение
+ Дф + — -gj- - -г -^г =
которое в силу E6.8) и E6.12) равно нулю. Таким
образом, если потенциалы А и ф принадлежат к ло-
ренцевой калибровке, то и определяемые преобразо-
ваниями E6.11) (с ф, подчиняющейся E6.12)) потен-
циалы А' и ф' принадлежат к той же калибровке. Это
обстоятельство позволяет наложить на потенциалы,
кроме условия EG.8), ещ< одно дополнительное усло-
вие. Например, можно потребовать, чтобы потен-
циал ф был равен нулю. Для этого согласно второму
из уравнений E6.11) достаточно выбрать функцию -ф
так, чтобы ее производная по времени была равна сф.
В качестве дополнительного условия может быть
также принято требование
VA = 0. E6.13)
Из E6.11) следует, что VA' = VA + Дф- Поэтому для
того чтобы выполнялось требование VA' = 0, необхо-
димо соблюдение равенства
Дф =: — уА.
Вместе с тем из E6.12)
Поэтому, если взять в качестве ф решение уравнения
и подставить это решение в E6.11), мы получим зна-
чения А' и ф', удовлетворяющие и условию Лоренца,
и требованию E6.13).

236 Гл- х- НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЛЛЕДТРОМЛГНИТНОЕ ПОЛЕ
Лоренцева калибровка, удовлетворяющая дополни-
тельному условию E6.13), называется кулоновской
(или поперечной) калибровкой. В гл. IX мы пользо-
вались именно этой калибровкой (см. D7.7)). Из
E6.5) следует, что при кулоновской калибровке ска-
лярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуас-
сона
Аф = - -—
(см. уравнение D5.13)), г. е. является кулоновским
потенциалом. Отсюда и происходит название «куло-
новская калибровках».
§ 57. Уравнение Даламбера
При соблюдении условия E6.8) последний член
в уравнении E6.4) обращается в нуль. Кроме того,
производная по времени от VA имеет значение
— {е1ь/с)дР<р/дР. Следовательно, уравнения E6.4) и
E6.5) приобретают вид
?^ <57Л>
E7.2)
Таким образом, вместо двух взаимосвязанных
уравнений мы получили два раздельных уравнения,
причем уравнения для А и <р приобрели сходную
форму.
Дифференциальное уравнение вида
Af--3f-5^ = ^(r,O E7.3)
называется уравнением Даламбера (ср. с E6.10)).
Его можно записать в очень компактной форме, если
ввести так называемый оператор Даламбера:
Тогда уравнение E7.3) выглядит следующим образом:
t). E7.5)
В стационарном случае производные по времени
обращаются в нуль и уравнение Даламбера перехо-

t 58. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 237
дит в уравнение Пуассона (см. уравнения D5.13) и
E2.18)).
С использованием символа E7.4) уравнения E7.1)
и E7.2) приобретают вид
?а=—
С математической точки зрения уравнения E7.6)
и E7.7) проще, чем уравнения Максвелла. Поэтому
легче бывает вычислить потенциалы А и <р, чем непо-
средственно поля В и Е. Если же потенциалы извест-
ны, нахождение полей по формулам E6.1) и E6.3)
не составляет большого труда. Это обстоятельство
служит оправданием введения вспомогательных вели-
чин А и ф. Кроме того, как мы увидим в следующей
главе, введение потенциалов позволяет придать урав-
нениям электродинамики очень компактную и изящ-
ную форму.
§ 58. Плотность и поток энергии
электромагнитного поля
Из опыта следует, что электромагнитное поле об-
ладает энергией, которая распределяется в простран-
стве с некоторой плотностью w и может перетекать
из одного места в другое. Кроме того, эта энергия мо-
жет превращаться в другие виды энергии, например,
затрачиваться на совершение работы над частицами
вещества.
Выделим в веществе, в котором имеется макроско-
пическое электромагнитное поле, объем V, ограничен-
ный поверхностью /. В этом объеме сосредоточена
энергия поля, равная
W=\wdV. E8.1)
i)
Энергия может вытекать наружу из объема V че-
рез ограничивающую его поверхность /. Если ввести
вектор плотности потока энергии 5, то ноток энергии,
вытекающий наружу через /, можно представить

238 ГЛ. X НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
следующим образом:
Ф = jj Sn of == ^ vS dV E8.2)
f v
(мы воспользовались тесовой Остроградского — Га-
усса).
Найдем работу, совершаемую в единицу времени
силами поля над частицами вещества. Над частицей,
имеющей заряд еа и движущейся со скоростью va,
сила поля совершают в единицу нремени работу:
Na — еа | Е 4- 4 К
(смешанное произведение vc|vaB] равно нулю). Про-
суммировав это выражений по всем частицам, заклю-
ченным в единице объема, получим плотности мощно-
сти, развиваемой силами электромагнитного поля при
совершении работы над частицами вещества. Обозна-
чив плотность мощности буквой N, можно написать
N = X #., =- Е Е eava.
Взятая по единице объема сумма X ^а есть
плотность электрического тока j (если все частицы
одинаковы, движутся с одинаковой скоростью и число
их в единице объема рашго п, то J! еа^а превраща-
ется в известное выражение. \ = env). Таким образом,
N = EJ. E8.3)
Заключенная в объема V энергия W может умень-
шаться за счет вытекания энергии наружу через по-
верхность / и за счет совершения работы над части-
цами вещества. Следовательно, должно выполняться
соотношение
(напомним, что N есть плотность мощности, т. е. мощ-
ность, развиваемая в единице объема). Подставив вы-
ражения E8.1) — E8.3) для W, <в и А/, получим
-~ [ w dV = - \ yS dV - { Щ dV.
V V V

S S8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 239
Поменяем местами в первом интеграле дифферен-
цирование по времени и интегрирование по координа-
там, а также объединим псе три интеграла в один.
В результате получим
OK==0 E84)
(мы применили символ частной производной, потому
что w в общем случае является функцией не только
времени, но и координат).
Условие E8.4) должно выполняться для любого
произвольно выбранного объема V. Отсюда заклю-
чаем, что подынтегральная функция должна быть
равна нулю в каждой точке. Следовательно, мы при-
ходим к дифференциальному уравнению, которое
можно написать в виде
EJ = _ Щ_ _. vs. E8.5)
Плотность энергии w и плстность потока энергии S
являются функциями величин, характеризующих поле.
Чтобы найти вид этих функций, попытаемся преобра-
зовать выражение Ej так, чтобы оно стало суммой
двух слагаемых, одно из которых было бы производ-
ной по времени от некоторой скалярной величины, ко-
торую мы сможем отождествить с до, а второе — ди-
вергенцией от некоторой зекторной величины, кото-
рую мы отождествим с S.
Воспользовавшись ураЕнением Максвелла E5.3),
выразим j через характеристики поля Н и D:
Теперь умножим скалярно это выражение на Е:
^1LEf-. E8.6)
Согласно формуле (XI. 28) V[EH] = H[VE] —
— E[VH], откуда E[VH] ==H [VE] —V[EH]. Подста-
вив это значение в E8.6), получим
^E-f-}. E8.6')
Воспользовавшись уравнением Максвелла E5.1), за-
меним [VE] на—A /с) дЪ/dt. В результате выражение

240 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
в фигурных скобках приадет вид
. х 1 (,. дй р дъ \
*¦••> = - Т[\п11Г + ь~т-]-
Наконец, используем ;;оо тяошения E5.5) и E5.6):
8я
(мы предположили, что е и ц не зависят от времени).
Итак, формулу E8.7) можно записать следующим
образом:
ч—!,-(-
Сопоставление полученного соотношения с формулой
E8.5) дает для w и S выражения
ee. E8.8)
S^-j^-lEHl. E8.9)
Определяемый формулой E8.9) вектор S назы-
вается вектором Пойнтинга.
Отметим,, что выражение E8.8) включает в себя
как собственно энергию лоля, равную
так и энергию, затраченную на поляризацию и на-
магничивание среды.
§ 59. Импульс электромагнитного поля
Из существования давления света вытекает, что
электромагнитное поле обладает не только энергией,
но и импульсом. Импульс, как и энергия, может «пе-
ретекать» из одного места в другое. Этот процесс
можно охарактеризовать, введя понятия потока и
плотности потока импульса.
Поток импульса, в отличие от потока энергии, яв-
ляется не скаляром, а вектором. Следовательно, плот-
ность потока импульса должна быть величиной та-
кой природы, чтобы при умножении на вектор d\

§ 59. ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 241
(df — элемент поверхности) давать вектор. В прило-
жении X показано, что скалярное произведение тен-
зора второго ранга на иектор представляет собой
вектор. Отсюда заключаем, что плотность потока им-
пульса есть тензор. Обозначим компоненты этого тен-
зора символом a,-ft. Тогда поток 1-й компоненты импуль-
са через площадку di будет определяться выражением
Z otkdfk,
к
а поток вектора импульса — формулой
i к
В системе, состоящей из свободных заряженных
частиц и электромагнитного поля, должен сохраняться
суммарный импульс, слагающийся из импульса час-
тиц и импульса поля. Следовательно, обозначив сум-
марный импульс частиц символом Р, а плотность им-
пульса (т. е. импульс единицы объема) электромаг-
нитного поля символом g, можно написать
i f к
Левая часть дает скорость возрастания суммарного
импульса, содержащегося в объеме V, правая часть —
поток импульса поля, втекающий в объем V через
ограничивающую его поверхность /. Предполагаем, что
частицы не пересекают эту поверхность, так что пере-
носа через нее импульса частицами не происходит.
Представим написанное нами соотношение в сле-
дующем виде:
Е^^- <591>
f k
Скорость изменения импульса частицы определя-
ется силой, действующей на частицу:
Просуммировав это выражение по частицам, заклю-
ченным в единице объема, получим, что

242 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
где ро — плотность импульса частиц. Наконец, проин-
тегрировав это соотношение по всему объему системы,
найдем скорость изменения суммарного импульса
частиц:
-±P = \pEdV + ±[wdV. E9.2)
v v
Исключим из этого выражения р и j с помощью
уравнений Максвелла. Среду, в которой находятся
частицы и поле, будем предполагать однородной и изо-
тропной с постоянными е и р.. Из уравнений E5.11)
следует, что
Подстановка этих значений в E9.2) дает
Преобразуем полученную формулу, воспользовав-
шись соотношением
откуда
Заменим здесь dB/dt через — с[VE] согласно первому
из уравнений E5.10). В итоге получим
Подставив полученное значение в E9.3), придем
к соотношению
Произведем во втором и третьем интегралах замену:
В = цН, кроме того, во птором интеграле поменяем

5 59. ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 243
местами сомножители (при этом знак изменится иа
обратный):
Чтобы сделать это выражение симметричным по
Е и Н, добавим к его правой части слагаемое
\ НуН (IV. От этогс выражение не изменится,
так как это слагаемое равно нулю )
= VB всюду есть нуль). Наконец, сгруппировав над-
лежащим образом члены, получим
dt 4я
+ ~ \ {eEVE + |iH?H - e [E [VEj] - fi [H [VH]]} dV.
E9.4)
Второй интеграл, как мы убедимся ниже, можно
преобразовать в интеграл по поверхности /, ограничи-
вающей объем V. Таким образом,
v
+ интегра.1 по поверхности /. E9.5)
Из сравнения найденного соотношения с E9.1)
следует вывод, что плотность импульса электромаг-
нитного поля определяется выражением
^ E9.6)
Приняв во внимание E8.9), можно написать, что
g = -^-S, E9.7)
где S — вектор Пойнтингп. В вакууме это соотноше-
ние имеет вид
g==4rS. E9.8)

244 ГЛ. X. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Отметим, что выражение E9.7) кроме собственно
импульса поля включает в себя импульс связанных
зарядов, входящих в состав среды, в которой создано
поле. Чтобы получить импульс одного только поля,
следует в формуле E9.1) под Р подразумевать меха-
нический импульс не только свободных, но также и
связанных зарядов. Тогдл в качестве Е и В нужно
было бы взять не усредненное макроскопическое поле,
а микроскопическое поле и соответственно пользо-
ваться при преобразованиях уравнениями Максвелла
для поля в вакууме1). Это равнозначно тому, чтобы
положить во всех формулах данного параграфа е =
= fi=l. В результате мы пришли бы к формуле
E9.8). Таким образом, плотность импульса одного
только поля во всех случаях (и в вакууме, и в веще-
стве) определяется формулой E9.8). Сопоставление
этой формулы с формулой D0.36) показывает, что
между плотностями потоков энергии и импульса элек-
тромагнитного поля существует точно такая же связь,
какая была получена в § 40 для произвольной си-
стемы.
Теперь рассмотрим второй интеграл в формуле
E9.4), т. е. интеграл
J {eEVE + цНуН - e[E[VE]] - ji[H[VH]]}dV. E9.9)
Попытаемся преобразовать его в поверхностный ин-
теграл.
Подынтегральная функция содержит два анало-
гичных выражения вида
ava — [a [va]].
В одном из них вместо а стоит Е, в другом — Н.
Положив в формуле
V (ab) = [a [Vb]] + [Ь [va]] + (aV) Ь + (by) a
(см. (XI. 37)) b = а, получим
. E9.10)
Найдем значение выражения (Va)b, в котором
предполагается, что V действует на оба стоящие после
') Мы не сделали этого с самого начала, чтобы получить
более общее выражение для мгксвелловского тензора натяжений
(см. ниже), пригодное также и для поля в среде.

§ 59. ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 245
него сомножителя. По общему правилу вычисления
таких выражений имеем
(уа) Ь = (vfla) b + (v4ii) Ь = bva + (aV) Ь
или, положив b = a,
(Va) а — aVa + (aV) a.
Выразив из последнего соотношения (aV)a, подста-
вим его в формулу E9.10):
Va2 = 2 [а [Va]] + 2 (va) a — 2aVa.
Отсюда
aVa - [a [Va]] = {Va) a - у Va2.
Применив такое преобразование к интегралу
E9.9), приведем его к виду
-^ \ { е (VE) Е + vl (VH) Н + у V (е?2 + цЯ2) } dV.
В написанном нами интеграле оператор V действует
на все стоящие за ним функции. Поэтому мы можем
с помощью преобразования
dV ¦ V -* d\
(см. (XI.65)) превратить этот интеграл в поверх-
ностный
E9.11)
(поскольку d\ не обладает свойствами дифференци-
ального оператора, сомножители в выражениях вида
(d\а)а можно менять местами).
Раскроем выражение E9.11) через компоненты
входящих в него векторов. В результате получим
-Ь Z
к
Представим в последнем члене dfi как X btkdfk и вы"
несем dfk за скобки. Кроме того, заменим выражения

24в гл. х. нестационарное: электромагнитное поле
вида tEi через D,, а вида ц/Л через Bt. В итоге придем
к выражению
- у (ED + HB) &ik
которое совпадет с последним членом формулы E9.1),
если положить
± }. E9.12)
Как было выяснено в начале этого параграфа, тен-
зор aik характеризует плотность потока импульса (см.
также § 40). Тензор (г,*, компоненты которого опреде-
ляются формулой E9.12), называют максвелловским
тензором натяжений (или напряжений).
Чтобы подчеркнуть симметричность тензора о,*,
его компоненты пишут иьогда в ваде
aik = ~ {EtD, + ?,?>, + HtBh + HkBt -(ED-|- HB)d,ft}.
Для поля в вакууме формула E9.12) упрощается
следующим образом:
ст<* = 17Г { }
Тензор aik позволяет свести задачу о нахождении
силы, действующей в электромагнитном поле на неко-
торый объем вещества, к: вычислению поверхностного
интеграла
i к

Глава XI
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОР.ИЕ
§ 60. Четырехмерный потенциал')
Согласно принципу относительности уравнения
электродинамики, равно как к все другие уравнения,
выражающие законы природы, должны быть реляти-
вистски-инвариантными, т. е. с:охранять свою форму
при преобразованиях Лоречвд (при переходе от од-
ной инерциальной системы отсчета к другой}. Путем
непосредственной провефки можно убедиться в том,
что уравнения Максвелла удовлетворяют этому требо-
ванию. Однако мы выберем другой путь — покажем,
что уравнения электродинамики могут быть написаны
в четырехмерной форме, в виде соотношений между
4-векторами и 4-тензорами, откуда и будет следовать
их релятивистская инвариантность.
Отправным пунктом для нас послужит принимае-
мое в электродинамике (в соответствии с опытом) по-
ложение о том, что электрический заряд представляет
собой инвариант, т. е. что величина заряда частицы
одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Отсюда следует, что величша pdV также будет инва-
риантом:
р dV = p dxl с'х2 dx3 = inv. F0.1)
Трехмерный объем dV к.е является, как мы знаем,
инвариантом (см. формулу C5.17)). Следовательно,
из F0.1) заключаем, что ллстность заряда р также
не является инвариантной, а преобразуется при пере-
ходе от одной системы отс1ета к другой по какому-то
') В этой главе рассматриваются поля в вакууме, т. е. пред-
полагается, что е = 1, |1 = 1.
Советуем леред тем, как приступить к чтению этой главы,
просмотреть Приложение XII и гл. VII.

248 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
закону. Чтобы установить этот закон, примем во вни-
мание, что четырехмерный объем есть инвариант
dV = dx° dxx dx2 dx3 = cdtdV = inv. F0.2)
Действительно, при переходе к Другой системе от-
счета dt и dV преобразуются по формулам
dt' = ._J!l=r-, dV = dV V1 — v2jc2,
VI — v2/c2
так что dt'dV = dtdV.
Из сопоставления F0.1) с F0.2) следует, что р
преобразуется по такому же закону, что и dx°, т. е.
как временная компонента некоторого 4-вектора.
В Приложении XII показано, что контравариант-
ные компоненты 4-оператора Гамильтона равны
(см. формулу (XII. 45)).
Согласно (XII. 38) символический квадрат век-
тора V* равен
_.2 1 д2 ., 1 д2 . /с_ ov
V =?^r-V 2 = -^w-\, F0.3)
где А — трехмерный оператор Лапласа.
Сравнение F0.3) с E7.4) показывает, что опера-
тор Даламбера для поля в вакууме (е = 1, \i=\)
отличается от V*2 только знаком:
V*2==-D. F0.4)
Из всего сказанного вытекает, что уравнение
E7.7) можно записать в виде
V*2<p =¦ 4яр. F0.5)
Выше мы выяснили, что р обладает свойствами вре-
менной компоненты 4-всзктора, V*2, как и квадрат
любого 4-вектора, ведет себя при преобразованиях
Лоренца как инвариант. С учетом этого на основании
F0.5) заключаем, что потенциал ф должен преобра-
зовываться по такому же закону, как р, т. е. как вре-
менная компонента 4-векгора.

§ 60. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 240
Рассмотрим вектор плотности тока j = pv. Его
компоненты равны:
ik = 9Vk = p~ (k= 1,2,3). F0.6)
При преобразованиях р ведет себя подобно ct либо
с dt. Следовательно, jk будут вести себя подобно dxk
(А = 1,2,3), т. е. как пространственные компоненты
4-вектора.
Итак, при преобразованиях координат р ведет себя
как временная компонента 4-вектора, а величины
jk — как пространственные компоненты 4-вектора. По-
этому, умножив р на скаляр с (чтобы получить вели-
чину такой же размерности, какую имеют jk), можно
объединить р и j в один 4 вектор, называемый 4-век-
тором заряда — тока или просто 4-вектором тока. Его
компоненты имеют значения:
что можно записать кратко следующим образом:
Р = (ср, j). F0.7)
Заметим, что компоненту /° = ср можно предста-
вить подобно компонентам F0.6) как
(jc° = c<). Поэтому компоненты 4-вектора тока можно
определить следующим образом:
/" = Pljr № = 0,1,2,3). F0.8)
Вытекающее из сохранения заряда ураьнение не-
прерывности имеет вид (см. E1.1))
VJ+-IH0.
С учетом F0.7) это уравнение можно записать в че-
тырехмерной форме:
|? = 0. F0.9)
ц-0
Левая часть последнего соотношения представляет
собой четырехмерную дивергенцию 4-вектора тока.

250 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
Действительно, по аналогии с трехмерной диверген-
цией 4-дивергенцию вектора «м- hv>khq определить как
'у* и а**, т. е. как
(см. выражение (XII. 42) для ковариантных компо-
нент вектора V*).
Равенство нулю 4-дивергекции вектора /•* является
аналитическим выражением закона сохранения заря-
да. То обстоятельство, что введенный нами вектор
F0.7) удовлетворяет столь простому условию, яв-
ляется еще одним доводом в пользу объединения р
и j в один 4-вектор.
Учтя, что ? = — V, лгпишем уравнения E7.6)
и E7.7) следующим образом
V'2A=-.-^-J, F0.10)
У'2ф =: •-- (СР). F0.11)
Из уравнения (GO. 10) вытекает, чго величины Ак ве-
дут себя так же, как величины jk. т. е. подобно про-
странственным компонентам 4-вектора. Это обстоя-
тельство дает возможность объединить ф и А в один
4-вектор:
А* = (<р, А), F0.12)
называемый 4-потенциалсм электромагнитного поля.
Тогда уравнения F0.10) и F0.11) можно представить
в виде одного уравнения
V'V :== ±L /" F0.13)
либо
' = —?-/* 0* = 0, 1, 2,3). F0.14)
Ковариантные компоненты 4-потенциала выглядят
следующим образом:
4i = (<P. -A). F0.15)
Напомним, что 4-потегциал определяется неодно-
значно. Согласно D7.6) значения пространственных

§ 61. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 261
компонент Ак могут быть заменены величинами
й-Л + ^Г^. F0.16)
а значение компоненты Ао — величиной
А\=Ао + С F0.17)
(С — константа; см. текст, следующий за формулой
D1.5)) без того, чтобы изменились характеристики
поля В и Е.
Лоренцево условие калибровки (см. E6.8)) в че-
тырехмерной форме имеет вид
3
У~ = 0. F0.18)
11-0
Это означает, что 4-потенциал выбирается так, чтобы
его 4-дивергенция равнялась нулю (ср. с D7.7)).
§ 61. Тензор электромагнитного поля
Перейдем от потенциалов к силовым характери-
стикам поля Е и В. Этот переход осуществляется по
формулам E6.1) и E6.31. Для удобства выпишем
эти формулы еще раз:
B = [VA], F1.1)
E = -Vq.-44?. <61-2>
Напишем выражения для компонент вектора Е:
Р __д<р _ l_ дАх
с*~ дх с dt •
~u dt; с dt '
P <Jqi 1 dAz
В четырехмерных обозначениях эти формулы можно
представить в виде
*Л* дЛь_г+А _у.л FL3)

252 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
(см. формулы (XII. 42) для коаариаитных компонент
4-оператора градиента и формулы F0.15) для кова-
риантных компонент 4-погенциала. Согласно послед-
ним формулам, например, Ах = —А\ и т. д.).
Теперь напишем выражения для компонент век-
тора В. Согласно F1.1)
дАя дАу дл2 дл3
дАу дАх дА\
у
Из тензорной алгебры известно, что выражения
вида aabv — av&n суть конариантные компоненты ан-
тисимметричного тензора второго ранга (йи и bv —
ковариантные компоненты произвольных векторов).
Из формул F1.3), F1.4) следует, что компоненты
векторов Е и В можно трактовать как ковариантные
компоненты антисимметричного 4-тензора
Этот тензор называется тензором электромагнитного
поля.
Переместив в обеих частях равенства индексы ц
и v, получим выражение для контравариантных ком-
понент тензора электромагнитного поля
Сопоставление формул F1.3) и F1.4) с выраже-
нием F1.5) дает, что
Ех = ^oi = — ^ю. Еу = Fm — — Fzo, Ег = /-"оз == — Fш
Вх = F32= — F23, fi^ = /='i3 = — F3i, Вг = F2\ = — Fl2.
F1.7)
Таким образом, тензор F^ выглядит следующим об-
разом:

§ 62. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ 263
Приняв во внимание формулы (XII.58), напишем
значения контравариантных компонент тензора элек-
тромагнитного поля
»•¦•»
Итак, в четырехмерном пространстве электромаг-
нитное поле описывается не посредством двух векто-
ров (Е и В), а с помощью одного антисимметричного
тензора второго ранга.
Отметим, что в то время, как 4-потенциал А*1 опре-
деляется неоднозначно, компоненты тензора F^v ока-
зываются однозначными. Действительно, произведем
в F1.5) замену компонент А^ величинами А^ согласно
формулам F0.16) и F0.17). Если ц и v равны 1, 2, 3,
получим
х\ д2, х3) dA
v
дх
Если один из индексов (например, ц) равен нулю,
получим соотношение
- _ alv дА0 _ дАч д dty (ж1, х2, х3)
ov = 17 ~ ~^ = +
ov = 17 ~ ~дх^ = ~д7 + "д7
д7
дА0 дС дАч дА0
dxv ' дх" дх° дх" <*'
Таким образом, мы доказали, что величины F^y
определяются однозначно.
§ 62. Формулы преобразования полей
Формулы преобразования компонент антисиммет-
ричного 4-тензора выведены в Приложении XII (см.
формулы (XII.62)). Подстановка значений C5.8) и

254 гл- XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
C5.9) для а0 и <xi приводит эти формулы к виду
«/01 .01 ,02 _ /«И - РЛ1" 03_Л>3-$
12_Л12-М02 ,,1з__ Аа-ЪАт ,ю_Аи F2.1)
Vi-P2 vi-P2
О = vjc).
Написав формулы F2.1) для тензора F1.9), по-
лучим
Г02 = ^1^! г - ^ -
Vip2 ' ¦ '*
и т. д. Выписав соотношения F2.1) для вегх компо-
нент тензора F^v и заменив F^4 соответст;:!уюш.ими
значениями Ек и В*, придем к формулам преобразо-
вания компонент векторе!'. ? и В при переходе от од-
ной инерциальной систем:! -ггс-чета к другой:
F' -F F' - Ь^±В* F' - Е*_± ^
F? 2)
Формулы обратного преобразования отличаются от
этих формул лишь знаком при членах, содержащих
множитель р (т. е. знаком при v0)-
Разложив векторы Е и В на составляющие парал-
лельные оси х (а значит, и вектору v0) и перпендику-
лярные к этой оси (т. е. представив, например, Е
в виде Ец + Е±), можно записать формулы F2.2)
в векторном виде')
') Заметим, что поскольку В,, и v0 коллинеаркы, [v0B] =
= Ev0B||] + [voBi] = [voB±]. fi «алогично [v0Ej = [v0E , ]. Поэтому
в векторных произведениях фор-.^'л FЙ.З) можно опустить ин-
декс «_L» при В L и Ej_.

§ 62. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ 256
(напомним, что vx = щ, vy =- vz = 0). Из этих формул
видно, что продольные1) составляющие полей при пе-
реходе от одной системы отсчета к другой не изме-
няются, а преобразуются только поперечные состав-
ляющие.
Если р <§; 1 (т. е. vo<.c), выражение l/Vl — Р2
приближенно равно 1 +A/2)р2. Следовательно, с точ-
ностью до членов порядка р = vo/c формулы F2.2)
выглядят следующим образом:
Ц = ЕЖ, E'y = Ey-(volc)Bz, К = ?. + №)*ш> F24)
к=к *;-*.+к/о*.» к=вг~@о/с)Еу.
Легко убедиться в том, что эти формулы могут быть
записаны в векторном виде
E' = E + 4[v0B], B'=B--}[v0E] F2.5)
(ср. с формулами F2.3)).
Если в системе К имеется только электрическое
поле (т. е. Е ф 0, В = 0), то в системе К' будут суще-
ствовать оба поля. Согласно формулам F2.Г>) эти
поля равны
Е' = Е, В'==-1[у0Е].
Учтя, что Е = Е', можно написать, что
| F2.6)
Последнее соотношение 2) указывает на то, что поля
В' и Е' взаимно перпендикулярны. Из этого соотноше-
ния вытекает также, что поле В' перпендикулярно
к вектору Vo, т. е. к оси х.
Аналогичным способом ложно показать, что в слу-
чае, когда в системе К имеется только магнитное
поле, векторы В' и Е' связаны соотношением
1В'1 F27)
') Так мы будем называть для простоты составляющие, па-
раллельные вектору относительной скорости систем К и К' (век-
тору vo). Перпендикулярные составляющие мы будем называть
поперечными.
2) Рекомендуем убедиться в том, что такое же соотношение
между векторами В' и Е' получается в рассматриваемом случае
и из точных формул F2.2).

256 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
Следовательно, и в этом случае поля В' и Е' взаимно
перпендикулярны. Кром?. того, Е'' перпендикулярно
к Vo, т. е. к оси х.
Таким образом, если з системе К существует лишь
одно из полей (Е или В), то в любой другой системе К'
поля В' и Е' взаимно перпендикулярны. Справедливо
и обратное заключение: если в некоторой системе от-
счета К поля В и Е взаимно перпендикулярны (и ве-
личины полей удовлетворяют условиям, указанным
ниже), то существуют такие системы /{', в которых
поле будет чисто электрическим, а также такие си-
стемы, в которых поле будет чисто магнитным. Най-
дем скорости соответствующих систем, начав с рас-
смотрения случая, когда Vo -С с.
Пусть векторы В и Е взаимно перпендикулярны.
Из формул F2.5) следует, что для того, чтобы в си-
стеме К' поле было чисто электрическим (т. е. В'
было равно нулю), вектор Vo должен удовлетворять
условию
B==4-[v0E].
с
Это условие будет соблюдено, если вектор v0 перпен-
дикулярен к В (Е перпендикулярно к В по предполо-
жению) и, кроме того, v0E sin a = сВ, где а — угол
между векторами vo и Е. Таким образом, поле будет
чисто электрическим во всех системах, движущихся
в направлениях, перпендикулярных к В, при условии,
что скорость vo данной системы равна сВ/Е sin а. По-
скольку скорость системы у0 не может превзойти с,
рассматриваемые системы отсчета существуют лишь
при условии, что сВ <l E sin а. Если Е^.сВ, указан-
ное условие не выполняется ни при каком угле а.
Следовательно, в этом случае, несмотря на взаимную
перпендикулярность В и Е, систем, в которых поле
является чисто электрическим, не существует.
Легло убедиться в том, что полученный нами ре-
зультат справедлив без оговорки, что vQ <C с. Для
этого обратимся к формулам F2.3). Пусть В и Е
взаимно перпендикулярны. Возьмем систему К', ско-
рость vo которой перпендикулярна к В и равна по ве-
личине сВ/Е sin а (а — угол между векторами Vo и Е).
Вследствие взаимной перпендикулярности векторов Vo
и В составляющая Bj равна нулю. Согласно формулам

5 63. ИН5АРИЛ1-П j ПОЛЯ 257
FЭ.З) By также, будет гул ем. Рассмотрим числитель
фо^улы. F?А) Ц.ДУ,. Ц' ,. Н.ол. выбранном нами на-
правх^гши v,i: №-';т<ч\, й.( __рач.еу. .В .Векторное лро
денле вектсуя \"о и Е моиию пп.етхдазй'г.ь а вич
(ne .*4:.i ¦r\:i?j v.iuc ?>,?йрг> . ц''?га. ,'га.г'..как рег
vn к Г,, койл^'.с^у.и) .таку.?:;.. <¦/>.»}г?ш_, фоо,м.у,^у ^
В', - A_-J-i^?il . E2 8)
По усло^аго вектор 3 ч-г^.г-а^кулярен кэи. к Е,
та« и к Vo- Поэтому вектср [г'оЕ] коллинеарен век-
тору В. Выбрав надлежащим образом напрааление
вектора Vo (вправо или BJieso), можно сделать так,
чтобы векторы [voEj и В имели одинаковое направ-
ление Тогда в числителе формулы F2.8) будет стоять
разность двух одинаково направленных векторов, мо-
дули которых равны В и (l/c)v0Esina. Если оо =
= сВ/Е sin а, модули этих векторов окажутся одина-
ковыми и числитель в формуле для В' обратится
в нуль. Таким образом, и В' и В'х в этом случае бу-
дут отсутствовать. Аналогично можно показать, что
в случае взаимной перпендикулярности полей В и Е
в системах К', движущихся в направлениях, перпенди-
кулярных к вектору Е, со скоростью v0, равной
сЕ/В sin а (а — угол между векторами vo и В), поле
будет чисто магнитным. Это утверждение справедливо
при условии, что сЕ < В sin а. Если В^.сЕ, систем,
в которых поле является чисто магнитным, не суще-
ствует.
§ 63. Инварианты поля
Образуем выражение
в'2 - е'2 = ? в;2 - Е е'I = I (в;2 - E'k").
Заменим в нем величины В'к и Е'к их выражениями
9 И. В. Савельев, т. 1

258 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕ ГЫРЕХМЕРНОП ФОРМЕ
через нештриховакные компоненты (см. F2.2)):
-г
Легко убедиться в том, что правая часть приводится
к виду
(В2х _ ?2) + П32 ._ «Ч + (Д2 _ ?2).
Таким образом, мы приходим к заключению, что
разность квадратов векторов В и Е имеет одинаковое
значение во всех ннерциалышх системах отсчета, т. е.
является инвариантом
B2-I?=inv. F3.1)
Теперь образуем скалярное произведение векторов
Е' и В', т. е. сумму ? ^'кВ'ь. Подставим в эту сумму
вместо !:'k и B'k их значения F2.2). В результате по-
лучим соотношение
1 -
Следовательно, скалярное произведение векторов Е
и В также является инвариантом
ЕЕ. = inv. F3.2)
Из F3.2) следует, что в случае, когда в какой-
либо системе отсчета поля В и Е взаимно перпендику-
лярны (т. е. ЕВ = 0), то они будут взаимно перпен-
дикулярными и во всякой другой инерциальнон си-
стеме отсчета.
Из F3.1) вытекает, что в случае, когда в какой-
либо системе отсчета модуля векторов В и Е одина-
ковы (т. е. В2 — Е2 = 0), то они будут одинаковыми
в любой другой системе отсчета.
Кроме того, из инвариантности выражений F3.1)
и F3.2) можно сделать следующие выводы. Если в

5 63. ИНВАРШ HTU ПОЛЛ 259
какой-либо системе отсчета пекторы В и Е образуют
острый (или тупой) угол (ЕВ больше либо меньше
нуля), то они будут образовыьать острый (или тупой)
угол во всякой другой системе. Если в какой-либо си-
стеме В > Е (или В < Е) (т. е. В2— Е2 больше либо
меньше нуля), то и в любой другой системе будет
сохраняться такое же соотношение между модулями
векторов В и Е.
В случае, когда оба инварианта равны нулю, век-
торы В и Е во всех инерцяальных системах отсчета
взаимно перпендикулярны и равны по величине.
Если равен нулю только инвариант F3.2), т. е.
ЕВ =0, то можно найти такую систему отсчета, в ко-
торой равно нулю одно и.! полей, В или Е, какое
именно, определяется знаком выражения В2 — Е2.
Справедливо и обратное соотношение: если в какой-
либо системе равно нулю одно из полей, В или Е, то
во всякой другой системе поля будут взаимно перпен-
дикулярными (к этому заключению мы уже пришли
ранее, анализируя формулы преобразования полей).
Надо иметь в виду, что геля В и Е, вообще говоря,
меняются от точки к точке. Поэтому инйсрнанты
F3.1) и F3.2) могут иметь в разных точках поля раз-
ные значения. Высказанные еише утверждения о свой-
ствах полей относятся к тем точкам поля, для кото-
рых выполняются принимаемые предположен'1 л (на-
пример, равенство нулю дач него инварианта и т. д.).
Если эти предположения выполняются во всех точках
поля, то, разумеется, и утверждения о свойств эх по-
лей также будут относиться -ее всем точкам.
Приняв во внимание сделанные замечания, попус-
тим, что в системе К в некоторой точке поля ггроиз-
ведение ЕВ отлично от нуля, г. е. 1;то гол я в г.ашкй
точке не перпендикулярны друг другу. Тогда можно
найти такую систему отсчет л К/, в которой поля в дан-
ной точке параллельны друг другу. В этой системе
Е'В'==?'В', так что получается два уравнения:
В'2 — Е'2 = В2 — Е1, Е'В' = ЕВ.
Решив совместно эти уравнения, найдем значения ве-
личин Е' и В' в той системе отсчета, в которой поля
Е' и В' параллельны (векторы Е и В заданы).
Инварианты поля можно найти, исходя из общих
свойств тензоров. В Приложении X показано, что при

260 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
перемножении тензоров я:-го и л-го рангов получается
тензор (m-f-n)-ro ранга, а также что свертывание
тензора по любой паре индексов понижает ранг тен-
зора на две единицы. В частности, свертка тензора
второго ранга, равная сумме его диагональных компо-
нент, называется следом (шпуром) тензора и пред-
ставляет собой инвариант (см. формулы (X. 21) и
(XII. 63)).
Б случае антисимметричного тензора, каковы!»! яв-
ляется тензор электромагнитного поля, след равен
нулю, так что этот инвариант интереса не пред-
ставляет.
Образуем произведение тензоров F1.8) н @1.9),
т. е. тензор с компонентами FwJifO. Он представляет
собой тензор четвертого ранга. Произведем двойную
свертку этого тензора, положив равными индексы у.
и р, а также v и а и произведя суммирование по этим
индексам. В результате ранг тензора понизится на
четыре единицы (каждая из двух сверток понижает
ранг на два) и мы получим тензор нулевого ранга,
т. е. инвариант:
Подстановка сюда значений F^v и Fuv из F1.8)
и F1.9) приводит к соотношению
? VV = -2E
2 У B2fc = 2(B2-E2) = inv,
^' F3.3)
что согласуется с формулой F3.1).
Теперь образуем 4-тензор восьмого ранга
F3.4)
где г»чра — абсолютно антисимметричный единичный
4-псевдотензор четвертого ранга (см. Приложение XII,
текст, следующий за формулой (XII. 68)). Отличные
от нуля компоненты этого тензора равны +1 или—1
в зависимости от того, каким числом перестановок —
четным или нечетным — может быть получена данная
последовательность индексов ц, v, p, о, из последова-
тельности 0, 1, 2, 3. В табл. 63.1 приведены все пере-
становки индексов с указанием знака при единице,
который им соответствует.

§ 64. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Т а б л и ц а 83.1
261
ioc.it
до.чате..'
0
(i
0
0
0
0
ность
1 2
i 3
2 3
2 1
3 !
3 2
ь-
J;
2
i
3
2
Знак
—
Л-
—
j
1
i
i
i
i
i
i
По
?ватель-
мость
3
a
g
0
0
'?
0
3
2
л
о
/.
о
1 -
ЗНИ< ] lilt,
Si "•
4-. % '¦ 0
..... | 'j (;
I - 5 I
+ 23
" 1 ^ ;5
¦ 3
-i *
Ci ,3
м. 1
\ 0
Ij
j. л<?
ЗН?1С|| ДОПЗ
ii ко
ij
V ll 3 2
;; н ?.
-r j ;¦) !
¦Jr 3 0
— в з о
те
s
0
0
2
0
\
\
ill-- ЗВ 2.t
ь
i
)
С
<-.
I !
—
Четырехкратная
ляет собой иннар:''ан'.
FЯ.'^ п[н:лст?л-
==inv.
V. j>. !Г
Написав 24 отличных от нуля слагаемых суммы
F3.5) (знак слагае;лых нуя;но взять из табл. B3.1),
легко убедиться в том, что на можно подразделить на
шесть групп, Еключающих п себя по четыре совпа-
дающих выражения:
X = 4^01F23 — 4F01F32 + 4Fo2^ 3i —
- 4Fm':ii3 И- 4/raaf ,2 - 4/'csF21. E3.6)
Вследствие антисимметричности тензора F^v произве-
дения FoiF32 = —F01F23 и т. д. Поэтому выражение
F3.6) упрощается следующим образом:
? = 8 (F0lF23 + F02F3] + FC3Fl2) = inv.
Инвариантным будет, очевидно, и выражение в скоб-
ках. Подстановка значений F1.8) для F^v дает
Ех(- В,) + Е„{- В„) -Н Ег{~ Вг) = inv,
что совпадает с F3.2).
§ 64. Уравнения Максвелла
в четырехмерном форме
Первая пара уравнений Максвелла (т. е. уравне-
ния E5.12)) может быть записана в виде одного урав-
нения для компонент тензора F1.8)
дх»
дх"
F4.1)

262 гл. xi. уравнения и четырехмерной форме
Заметим, что индексы ь каждом из слагаемых обра-
зуют циклическую перестановку последовательности:
И. -v, р.
Выражение F4.1) представляет собой совокуп-
ность четырех уравнений, первое из которых полу-
чается пря \i, v, р, равных соответственно С, 1, 2, вто-
рое— при д, v, р, равных 1, 2, 3, третье — при ц, v, p,
равных -2, 3, 0, и, наконец, четвертое —при ji, v, p,
равных 3, 0, 1. В сил;.' антисимметрии тензора F^v
уравнение, получающееся при любой другой комбина-
ции трех несовпадающие индексов, сводится к одному
из указанных четырех.
Напишем уравнение F4.1), положив ц = 0, v=l,
9 = 2.
Подставив значения Fp, и координат х», получим
ду с dt dx
откуда
дЕи дЕх 1 дВ,
дх ду с dt
Найденное соотношение представляет собой г-ю
компоненту векторного уравнения E5.12). Аналогич-
но, уравнения для jj, = 2, v = 3 р — 0 и (i = 3, v = 0,
р = 1 дают х-ю и у-ю компоненты того же уравнения.
(Получается уравнение: для той компоненты, индекс
которой отсутствует в наборе значений ц, v, p.)
Положив р. = 1, v = 2, р = 3, придем к формуле
дх3 "*" дк1"^ дх2 ~U'
которая после подстановки значений Fp,v и х* перехо-
дит в соотношение
дг дх ду ~и'
эквивалентное второму из уравнений E5.10).
Таким образом, мы убедились в том, что уравне-
ние F4.1) эквивалентно первой паре уравнений Макс-
велла.

§ 65. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ 263
Вторая пара уравнений Л'акозелла, т. е. уравнения
E5.13), может быть записана в виде
l?=s- — r A^ = 0. 1.2,3). F4.2)
v=o x с
Действительно, положим, например, р,= 1. Тогда
уравнение. F4.2) запишется следующим образом:
I ЯГ2 Т .1,3 „ J
дх° ' дх2 ' дх3
с
(fu=Q). Подставив значения F^v и х^, а также
сгруппировав надлежащим образом члены, получим
уравнение
дВг дВу __ 4т, _ 1 (Jff,
-1, + -
ду дг " с '' ' с dt '
представляющее собой х-ю компоненту векторного
уравнения E5.13). Аналогично., уравнения для |i==2
и ц. = 3 дают у-ю и г-ю компоненты того же урав-
нения.
При (л = 0 уравнение F4.2) имеет вид
dFei | dFui <>FC3
Подстанонка значений Т7^ и х» дает
~ дх Ту <Ш ~
что совпадает со вторым из уравнений E5.13).
Таким образом, мы показали, что ураЕиенке F4.2)
эквивалентно второй паре уравнений Максвелла.
§ 65. Уравнение движении частицы в поле
Согласно C8.16) уравнение движения заряженной
частицы в электромагнитном поле имеет вид
F5.1)
Разделив обе части равенства на л/\ —о2/с2 и приняв
во внимание, что dt^\ — о2/^ есть dx (см. формулу

264 ГЛ. XI. УРАВНЕНИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ФОРМЕ
C4. S3)), получим
d / mv \ е_ <:? -j- [vB]
rfi \ V — с*/7- ) ~~ с j"\~HiTci
или, и компонентах,
_±
dx /
<i / то,,
то,, ^ ^ сСу Ь агйТ ori3 ..
\, _
Но vJ-jT-^/c1 =--- м';. d'-jT^v^? = н.° (см. C6.6)).
Далее, Bx--=Fl\ E.y=-F'a, EZ^F*°, fix=/**=*—F23,
Btf = fl3== —Я1, Ь'2 =/:'й'------/м2. Поэтому уравне-
ния F5.2) можно написач-ь следующим образом:
m ^ = Т
Справа мы использовали ковариантные компоненты
4-скорости для того, чтобы все слагаемые были со
знаком «+»•
Теперь воспользуемся тем, что быстрота изменения
энергии частицы равна работе, совершаемой в еди-
ницу времени силами, действующими на частицу,
-?¦ ( ,-r^s-,) == (еЕ + i[vBf)v = eEv. F5.4)
Разделив обе части этого уравнения на с V1 — v^/c2,
получим
(р01" + /*« + Я»«) F5.5)
Совокупность уравнений F5.3) и F5.5) можно за-
писать в виде одного уравнения
^ (й-0. 1.2,3). F5.6)
V-0

§ 65. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ 265
Это и есть уравнение движения частицы в поле, запи-
санное в четырехмерной форме. Его пространственные
компоненты эквивалентны уравнению F5.1), а вре-
менная компонента эквивалентна уравнению F5.4).
Уравнению F5.6) можно придать несколько иной
вид. Опустим в обеих частя;, формулы F5.6) свобод-
ный индекс |х вниз. Кроме того, переместим одновре-
менно немой индекс v при F'lv вниз, а при uv вверх.
В результате получим
Последнее уравнение можно получить гопосред-
ственно из уравнений F?. 1) и F5.4), если заменить
в них левую часть ковариантными компонентами
4-скорости, а величины ?,. и Bfi представить как ком-
поненты тензора F1.8).

Глава XII
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
§ 66. Действие для заряженной частицы
в электромагнитном поле
Согласие с опытом получается в том случае, если
в качестве действия для частицы б поле принять вы-
ражение
тс ds ¦- ¦} Y Ау
i ' ; j ц"( * t- _. 'i j t ч j a r
Ил. ( d r 11 > И Д > i О Iblf , UBf
f '' 1 t j)" x ч Ч (» f» ' J П( [ 'l В t < Л
С I ^'jjh'-i'f'i''4^ ^ ')
t i О Ч HrtO i I i '1 I
it j i "> i i ,
Vy I fj ' It ' I ,, hi-' i
При интегрирования угиу. c.isaraeibuiv. лол^'ча^.тс-я по-
стоянная величина
которая при варьировании действия дает нуль.

$ 66. ДЕЙСТВИЕ ДЛ!1 ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ 267
Выражение F6.1) состоит из двух членов. Первый
зависит только от свойсгв частицы (от т). Второй
описывает взаимодействие частицы с полем, в соот-
ветствии с чем содержит как величину, характеризую-
щую частицу (заряд е), так и величину, характери-
зующую поле (потенциал Л[л.}. Вообще говоря, нужно
было бы включить еще член, описывающий само поле.
Но, рассматривай движение частицы в заданном поле,
этот член можно не принимать во внимание, так как
он в силу определенности поля не должен варьиро-
ваться. Правда, это утверждение оказывается спра-
ведливым лишь при условии, что заряд частицы
настолько мал, что его влиянием на поле можно пре-
небречь. При рассмотрен-си движения частицы в за-
данном поле мы будем предполагать, что это условие
выполнено.
Получим уравнения движения частицы, исходя из
принципа наименьшего действия. Согласно этому
принципу для истинной траектории частицы выпол-
няется условие
2
6S --= 6 $ (- тс д/? dxllL d.e - у ? Лд dxlL) = О
(мы произвели замену: dr-= ? dx^dx*). Осуществив
варьирование, получим
- ~ JJ б Д„ dx») = 0 F6.2)
(см, формулу C9.9); напомним, что 6(^1^)= dFx»)).
Проинтегрируем первые два члена в подынтеграль-
ном выражении по частям. В результате первый члеы
примет вид
где х — собственное вреь'я частицы, % — 4-скорость
частицы (см. формулу C9,11)). Интегрирование по

268 ГЛ. XII. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
частям второго члена дает
Первое выражение справа f-.cn- куль, так как 1-;з кон-
цах траектории бх'-' — О. Слеазвят^льно, после инте-
грирования по частям первых двух членов
F6,2) привадится к в заду
2
65 =¦¦¦• 4 i те у о?;:'1- -—- ti'sr -\ ,- i 6;o- а/Ц —
(как сейчас выяснится, в третьем члене целесообразно
обозначить немой индекс буквой v).
Теперь произведем замены:
ЕдА х~* д^х
—?¦ с1хУ ~~ V —- fcv dt — во втором члене,
дх *—> dxv
V V
6ЛУ --=¦ У* —~ бх11 и Atv == mv dt — в третьем члене,
и
В итоге получим
V |i
что можно записать следующим образом:
2
=\ У (m—1 + - У -f hv
с Lj, QXV-
v
Для того чтобы написанное условие выполнялось при
произвольных 6jc»*, необходимо равенство нулю всех

§ 67. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 269
выражений, стоящих в круглых скобках. Отсюда вы-
текают соотношения
duu i
т —- — -
dT с *-~i
ИЛИ
«%=4У!р^1 (й == о. I-2-3) F6-3)
(см. формулу F1.5)), что совпадает с F5.7).
Таким образом, мы получили уравнение движения
частицы в поле, исходя из принципа наименьшего
действия.
§ 67. Действие для эле зтрсмагкитмого поля
Е предыдущем параграфе мы считали поле, в ко-
тором движется частица, заданным, в связи с чем сла-
гаемое в действии, описывающее свойства самого
поля, мы не учитывали. Теперь рассмотрим систему,
состоящую из частиц, находящихся в электромагнит-
ном поле, и попытаемся, исходя из принципа наимень-
шего действия, найти уравнения, определяющие поле.
При этом мы можем отказаться от предположения
о малости зарядов частиц и получить уравнения для
истинного поля, т. е. поля, получающегося при сложе-
нии внешнего поля с полем, созданным самими заря-
дами. Следовательно, величины А^ должны будут за-
висеть от положений и скоростей частиц.
Действие для системы поле + частицы должно со-
стоять из трех частей:
S = 5f-b5m + Smf. F7.1)
Здесь Sf есть та часть действия, которая зависит
только от свойств самого поля, т. е. действие для поля
в отсутствие зарядов; Sm — та часть действия, которая
зависит только от свойств частиц, т. е. действие для
свободных зарядов. И, наконец, Sm/ есть та часть
действия, которая обусловлена взаимодействием
между частицами и полем.
Что касается последних двух членов, то их значе-
ния можно получить, сложив выражения F6.1) для

270 ГЛ. XII. ВАРИАЦИОННЫЙ Ш-.sil ЩП 3 ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
всех частиц. Следовательно,
N
m*C\dsa. F7.2)
Здесь а — номер частицы, N — число рассматривае-
мых частиц, Лрл — потенциал поля в той точке 4-про-
странства, где находится частица с номером а. Ин-
декс а следует отличать от применяемых для обозна-
чения компонент 4-векторов и 4-тензоров индексов \i,
v, р, ... Для последних индексов нужно различать
верхнее и нижнее положение. Для индекса а такое
различие не имеет смысла.
Выражению F7.3) можно придать другой вид.
С этой целью заменим в нем dxl? через {dx»aj'dfj dt>
т. е. напишем
?-4 С j Zj"»O dt
а р
Далее представим совокупность точечных зарядов
еа как заряд, распредели! ньй в пространстве с плот-
ностью
{см. D1.12)). Тогда заргд, заключенный в элементе
объема й'/. можно заамг.тъ как de ~ pdV н сумму
вида '?, ejixe, ya, га) .заьл;«агь шгтсгрйлом
\ ?{х, у, z:f(jc, у, ::)dV.
В результате получим
Теперь учтем, что p(dxv/dt) = р, где />* — компо-
нента 4-тока (см. формулу F0.8)). Значит, можно

S 67. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 271
написать
где dV* = dx°dx[dx2dx3 = cdVdt.
Чтобы получить выражение для слагаемого Sf,
примем во внимание, что, как показывает опыт, элек-
тромагнитное поле подчиняется принципу суперпози-
ции. Поэтому уравнения для поля должны быть ли-
нейными дифференциальными уравнениями. Уравне-
ния поля получаются варьированием действия, при
варьировании же степень подынтегрального выраже-
ния понижается на единицу. Следовательно, уравне-
ния окажутся линейными в том случае, если в дей-
ствии под знаком интеграла будет стоять выражение,
квадратичное по полю. Кроме того, это выражение
должно быть инвариантным Простейшими квадратич-
ными инвариантами, которые можно образовать из
характеристик поля, являются два: }? А^А* и
ЩрцчР^- Первый инвариант для нашей цели непри-
годен, так как 4-потенциал определен неоднозначно.
Таким образом, мы приходим к выводу, что под зна-
ком интеграла в действии должен стоять инвариант
Л Рцч?7^- Чтобы получить действие для всего поля,
нужно произвести интегрирование по всему 4-про-
странству, где поле отлично от нуля. Итак, мы при-
ходим к выражению
где a — некоторая констанга, dV* =- с dV dt Интегри-
рование по координатам осуществляется по всему
трехмерному пространству, а но времени между
двумя заданными моментами t{ и ?2-
Из найденного нами выражения получаются пра-
вильные уравнения поля, если положить (в гауссовой
системе) а — —1/16пс. Тогда

272 ГЛ. XII. ВАРИАЦИОННЫЕ П'М'ЦИП Г. ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Слолсив выражения ((¦Т.) , (?',' А) и (f'J Ь',, полу-
чим действие, д.ля системы пг>ле-^- чаоищг.
Подставив это гначение в F7,5), а такие заме-
нив rfV* чер«з «:dViii, кожяо прачеа;"!'. чь-^.а-к.!^!.'-;?1-
для S| к. -аигу/
л»
551--{E*~Ka-i'iV. F7.7)
Из этой формулы пытска«т, что фукл<1?~,?. -С-згран>га
для поля определяется выражением
?.,=-—-J (?2-В2) dV. F7-3)
Итак, мы установили вид действия для электро-
магнитного поля. Как найти уравнения поля, исходя
из принципа наименьшего действия, будет объяснено
в следующем параграфе.
§ 68. Вывод уравнении Максвелла
из принципа наименьшего действия
Найдем уравнения поля, считая движение зарядов
заданным. В этом случае член S,n в действии можно
не принимать во внимание, поскольку он в силу опре-
деленности движения зарядов не должен варьиро-
ваться. Итак, будем исходить из выражения
h\T.^dV' F8Л)
и
(см. F7.5) и F7.4)).

§ ?8. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ МАГССВЕЛЛА 273
Вычислим вариацию внрамекин (G3.1) и прирав-
няем «г нулю. При зтом учтек, что в связи с опреде-
ленностью движения зарядов ток /*-¦ не должен варьи-
роваться. Следовательно,
F8Л;)
йсго интеграла,
jF;a5 P3
сумм и одпоарешенко опустим их у второго еомвожи-
тел;;. В результате получим
Приняв во внимание формулу F1.5) для i7^, на-
пишем это выражение следующим образом:
й У ^v^v = 2 У Л (-f -
^ 9^ Z ^v
Воспользовавшись антисимметричностью тензора F»v,
заменим в первой сумме F*-v через—Fv^t а затем поме-
няем в этой сумме индексь! ц и v. В итоге первая сум-
ма станет тождественной со второй и мы получим, что
б У V" = - 4 У Л Щ-. F8.3)
Изменив последовательность дифференцирования
и варьирования величин Лр., приведем F8.3) к виду
F F*v — — 4 У F*v —— ЬА
Теперь преобразуем полученное выражение по фор-
муле uv' = (uv)' — u'v:

274 ГЛ. ХП. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП !3 ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Подставив это выражение в F8.2), придем к следую-
щей формуле для вариации действия:
И, V
V-. V
Первый из трех интегралов можно преобразовать
по формуле Остроградского — Гаусса в поверхност-
ный интеграл:
д
И. V Ц, V
На границе рассматриваемого 4-объема бЛ^^О. По-
этому написанный нами интеграл исчезает. Таким об-
разом, в формуле F8.4) нужно сохранить только вто-
рой и третий члены. Объединив их вместе и вынеся
за скобки общий множитель бЛц, получим
В силу произвольности вариаций бЛц, найденное
нами значение 6S может оказаться равным нулю
только в том случае, если есс выражения в круглых
скобках будут кулями. Следовательно, мы приходим
к уравнениям
= - — t (ц = 0,1,2,3), F8.5)
с
V
которые представляют собой вторую пару уравнений
Максвелла (см. уравнение F4.2)).
Отметим, что связь между полями В и Е, с одной
стороны, и зарядами и токами, с другой стороны,
определяется именно второй парой уравнений Макс-
велла (см. уравнения E5.13)). Первая же пара урав-
нений Максвелла выражг.ет свойства полей В и Е и
их связь друг с другом (см. уравнения E5.12)).

§ 69. ТЕНЗОР ЗНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ПОЛЯ 275
§ 69. Тензор энергии-импульса
электромагнитного поля }
В § 67 мы установили, чтс действие для электро-
магнитного поля определяется выражением
<691>
(см. формулу F7.5)).
Сопоставление формул F9.1) и D0.2) показывает,
что в качестве плотности функции Лагранжа для поля
нужно взять выражение
t2>^v. F9.2)
В качестве обобщенны:; координат qa для поля
следует принять компоненты потенциала Л р., а в ка-
честве обобщенных скороет-эй— производные этих
компонент по координатам av. Чтобы упростить за-
пись формул, введем обозначение
^ ==«*¦;. F9.3)
Приравняв вариацию действия нулю и проделав
такие же выкладки, какие в § 40 привели нас к урав-
нениям движения D0.12), тэьдем к соотношениям
- Е Т* Т^" («* = «.». 2, 3). F9.4)
- Е Т
Уравнения F9.4) суть уравнения поля. Чтобы опре-
делить значения входящих в них производных, напи-
шем вариацию функции L". По общим правилам вы-
числения вариации
!? ?1?-*W F9.5)
') Перед тем как приступить к чтению этого параграфа,
следует восстановить в памяти содержание § 40.

276 ГЛ. XII. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
С другой стороны, вариация функции F9.2) равна
16я Z-. ^ 4я
Г = - ' в V /v** == --- У Л
16я Z ^ 4я ^-"
u. v
"~ 4п 2.. ^v
(см. формулу F8.3)).
Сравнение полученного выражения с формулой
F9.5) позволяет заключить, jto
Заменнз во btodom аырзжеяии Я14' чп —Л"' и аг-гчм
поменяв местами индексы (j, к v, иа«де«, '.го
Подстановка значений F9.6) в формулу F9.4)
приводит к следующим «уравнениям движения* для
электромагнитного поля:
= 0 (ц = 0, 1, 2, 3) F9.8)
(мы опустили множитель 1/4л). Полученное уравнение
есть уравнение Максвелла F4.2), написанное для слу-
чая /> = 0. Такого результата и следовало ожидать,
поскольку мы исходили нз действия для одного лишь
поля без зарядов.
Теперь установим вид тензора энергии-импульса
электромагнитного поля. Подставив в формулу D0.16)
вместо qav. величины аРA (см. D0.3) и F9.3)), полу-
чим для компонент этого тензора следующее выра-
жение:
— 2-1 »
Р
Заменим в соответствии с F9.7) dL*/daQ4 через
— (l/4n)Fvp. Кроме того, подставим вместо aPVL ее зна-
чение F9.3), а вместо !•— выражение F9.2). В ре-
зультате получим
Р. V

§ 69. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ПОЛЯ 277
(во второй сумме нельзя обозначить немые индексы
буквами \х, v, как это сделано в формуле F9.2), по-
скольку б формуле F9.9) (I и v были уже выбраны
в качестве свободных индексов/
Тензор F9.9) иеашметгкч.-м. Для ого симметри-
зации прибавим к нему тензор
Gv = —У --?-F4;', F9.10)
Р
который, как мы сейчас покажем, кожно представить
в виде
., г, < ¦¦/. Vii Ч:ц
о;,;'
(см. формулу D0.18)). Действительно, применим к вы-
ражению E9.10) преобразизаиие uv' ~{av)' — u'v:
с, v - — V i^t r-'vp
i L
4 л •4—' ox1 4я
P P
Вторая сумма в силу F9.8) равна нулю (А^ можно
вынести за знак суммы). Следовательно, мы привели
тензор F9.10) к виду
±-(-L.A Рч\
>*р V. 4зх " )
Р
Поскольку выражение в скобках антисимметрично по
индексам -v и р, прибавление к тензору F9.9) выра-
жения F9.10) допустимо (см. формулу D0.18) и свя-
занный с нею текст).
Сложив выражения F9.9) и F9.10), получим
тензор
v_ t у ^pFvp . '
F у
Р. V
4я ?->\дх» дхр J 16я
Р

278 ГЛ. XII. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Выражение в круглых скобках есть F^p (см. F1.5)).
Следовательно, формула Для смешанных компонент
тензора энергии-импульса приобретает вид
V +
р е. v
Чтобы перейти к коитравариантным компонентам,
поднимем во всех членах формулы F9.11) индекс \l
вверх. При этом б^ превратится в g»v (см. (XII. 66)
и (XII. 67)). Таким образом,
Г1" = - 'к Z ^" + -к /Г Е ^- F9-12)
р P. v
Поднятие какого-либо индекса у одного из сомножи-
телей при одновременном опускании этого же индекса
у второго сомножителя не наменяет произведения. По-
этому с равным основанчгм можно написать, что
T^v 1_ У* clip pv , 1^
P P. V
Сопоставление выражений F2.12) и F2.13) позво-
ляет заключить, что тензор Т^ действительно сим-
метричен.
Вычислим след тензора 7>\ Согласно формуле
F9.11)
У ({ б*1 У f
P. 7
V -г - У (
Во втором члене все множители, кроме б?, можно
вынести за знак суммы но ц. Сумма же J] 6[i равна
четырем. Таким образом,
V 7^ -Vf /-"» 4-¦«-J—Y F pPv
Zw "¦ ~ 4;t L ' Wf ^ " !6я Zj P^ ¦
а ц, р р, у
Последнее выражение рззко нулю. Следовательно,мы
установили, что след тензора 7>v равен нулю:
Z'/!I = 0. F9.14)
Найдем выражения компонент тензора T^v через
компоненты векторов Е; и В. Для этого подставим

§ 69. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ПОЛЯ 279
в F9.13) значения компонент />v. Эти значения мы
возьмем из F1.9), причем будем учитывать, что опус-
кание временного индекса не изменяет компоненты
тензора, а опускание пространственного индекса из-
меняет знак компоненты на обратный. Примем также
во внимание, что сумма ? f\ivFilv есть инвариант, ко-
торый мы вычислили в § 63. Он равен
ZF^V = 2(B2~E) 059.15)
(см. формулу F3.3)).
Начнем с вычисления 70. Согласно (G9.13), F1.9)
и F9.15)
{g = ]; сы. (XII. С7)). Мы получили уже известный"
результат: компонента 7"ю pi3F? плотности энергии w
(см. формулу D0.27)).
Теперь найдем компоненту Г01. Поскольку g" =0,
4я Ld
1
{-Fx)¦ 0 + (-E
где 5Х — х-я компонента вжтора Пойнтинга в ва-
кууме II ==8). Аналогичные выкладки дают, что
TM — Sy/c, Tu3 = Sz/c (ср. с формулой D0.32)).
Наконец, вычислим, например, Г12. Согласно
(XII. 67) gI2==0. Поэтому
= - -±- [ЕхЕи + 0 • (- Ва\ + (- В3) ¦ 0 +
где оХ4, — компонента макс!1елловского тензора натя-
жений (см. формулу E9.1!?)). Легко проверить, что

280 гл. хп. вариационный принцип в электродинамике
все остальные компоненты вида Г1'* совпадают с соот-
ветствующими компонентами тензора E9.12):
Tik = atk = ~ { j(?2 + &) bik - Е,Ек - BtBk\ F9.17)
(при проверке надо учесть, что g" = —1 = — б,,-; см.
(XII. 67)).
Рассмотрим вопрос о приведении тензора Tw к
диагональному виду. В овчлидозом просто-истое та-
кое преобразование симметричного тен^ара нозкожно
всегда. В псевдоеаклидоком же ^росгпгчта-'л, как мы
сейчас увидим, дело обооит иначе. Согласно F9.16)
компоненты вида Т°' —• Т'!| будут рапны кулю при
условии, что
[E.bj-=O. F9.18)
Согласно F9.17) компокгггы вида Т'к {1фЩ будут
равны нулю при условии, что
Е,?к = 0 и fijfl* = 0 (?=?«= ft). F9.19)
Таким образом, для того чтобы привести тензор
к диагональному виду, нужно перейти к системе от-
счета, в которой векторы В и Е коллинеарны либо
один из них равен нулю (тогда будет выполнено усло-
вие F9.18)). В § 62 мы выяснили, что такая система
существует всегда, за исключением случая, когда В
и Е взаимно перпендикулярны и одинаковы по мо-
дулю. В указанной системе отсчета одну из коорди-
натных осей нужно направить вдоль поля. Тогда ока-
жется выполненным условие F9.19). В итоге тензор
примет диагональный вид. Найдем компоненты Т",
предположив, что ось х выбрана в направлении полей
и, следовательно,
Тогда согласно F9.17)
Компонента Г00, как мы знаем, тоже равна w. Итак,
будучи приведен к диагональному виду, тензор энер-

w
0
0
0
0
— w
0
0
0
0
w
0
0
0
0
w
§ 70. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ПОЛЕ 281
гии-импульса электромагнитного поля выглядит сле-
дующим образом:
F9.20)
Если векторы В и Е взаимно перпендикулярны и
одинаковы по модулю, тензор ?'•" ие может быть при-
веден к диагональному виду (взаимная перпендику-
лярность не дает возможности преобразовать В и Е
так, чтобы они стали коллинм.рными, а равенство мо-
дулей— так, чтобы одно из полей обратилось и нуль).
Отметим, что в смешанных компонентах тензор
F9.20) имеет вид
w
0
0
0
С
tii
(i
0
0
0
— w
0
0
0
0
— w
Из F9.21) сра'зу следует, что след тензора 7!J равен
нулю. Этот результат мы получили ранее в общем
случае (см. F9.14)).
§ 70. Заряженная частица
в электромагнитном поле
Действие для заряженной частицы в электромаг-
нитном поле определяется, как мы знаем, выражением
^A G0.1)
|1-0 '
(см. формулу F6.1)).
Ковариантные компоненты 4-потенциала можно
представить в виде
А» = (<р, -А)
(см. F0.15)). Компоненты 4-радиуса-вектора равны
x*=(ct, г).
Следовательно,
з
Е
и-о
1 ^ |1-0 '

282 '"л. хп. вариационный принцип в электродинамике
Подставим это значение суммы в формулу G0.1).
Кроме того, заменим as з соответствии с C4,4) через
csj\ —v2jc2dt. В результате получки
2
S = J ( - тс2 У1 - v2/c2 + ~ Av - <?ф)
dt.
Отсюда заключаем, что функция Лагранжа для заря-
женной частицы в поле имеет бид
I = — тс1 УГ^ПР/С5 + 7 Av - «p. G0.2)
Первый член представляет собой функцию Лагран-
жа для свободной частицы (см. C9.4)). Остальные
два члена описывают взаимодействие частицы с полем.
Зная функцию Лаграижа, нежно вычислить энер-
гию и импульс частицы. Согласно формулам D.19)
и E.1) обобщенный импульс определяется
иием
а энергия — зыражеиигм
W = ~ v - L. G0.3)
Следовательно, продифференцировг-.в функцию G0.2)
по v, получим обобщенный им тулье частицы:
Р = -—=—=- - - - f\ =--= р + Д. G0.4)
-V 1 —¦ v /с* с с
Здесь р — ойычный импульс гастицы (см. формулу
C8.5)). Из полученной шп-:и 6,-рмулы следует, что об-
общенный импульс отличаете;"; от обычного слагаемым
(е/с)А. В отсутствие пол? обобщенный импульс со-
впадает с обычным.
Теперь определим энергию частицы. В соответ-
ствии с G0.3)"и G0.2)
W == —v — L — Pv — L = {— т^=г-~ -\— h ) v —
тС2 уTZ~^I? + "-- AV - бф) -= y=^f + «Р -
G0.5)

S 70. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ПОЛЕ 283
Первый член полученного выражения представляет
собой энергию свободней частицы (см. формулу
C8.11)), второй член — дополнительную энергию, ко-
торой обладает частица, находясь в поле.
Заменив в выражении для энергии скорость v че-
рез обобщенный импульс Р, найдем функцию Гамиль-
тона частицы. Чтобы исключить v из формул G0.5)
и G0.4), представим эти уравнения в виде
W — еф _ тс
с V — v~/c2
г» е . mv
с VI - vl/c2
Если возвести эти уравнения в квадрат и вычесть из
верхнего нижнее, то справа получится т2с2. Следова-
тельно, заменив W на Ж, получим
(—~Г^~) — (!>- 7А) Т=т'с2' G0-6>
откуда
2/6 = с y\Jm2c* f (p - ~ А)' + «р. G0.7)
Это и есть функция Гамильтона для частицы в поле.
В § 32 было установлено, что компоненты обоб-
щенного импульса равны производным действия по
соответствующим обобщенным координатам (см. фор-
мулу C2.6)). В нашем случае роль обобщенных коор-
динат играют декартовы координаты *,-. Следова-
тельно,
Р{ =¦ ~ или Р = VS.
' dxt
Далее, согласно C2.10) производная действия по вре-
мени дает функцию Гамильтона, взятую с обратным
знаком:
— — —Ш
dt
Заменив в формуле G0.6) #§ на —dS/dt, a P на
V5, придем к уравнению Гамильтона — Якоби для час-
тицы в электромагнитном поле:
J- (.g. -1- е^у _ (VtS 1 АJ - mV = 0. G0.8)

284 гл. хп. вариационный принцип в электродинамике
В ньютоновском приближении, т. е. при v <C с,
функция G0.2) переходит п
L = ~~- + ¦-.- A v — «р G0.9)
(мы разложили G02) но. степеням г»2/с2 и отбросила.
константу —тс2).
Продиффеуед'л^уззпи (^ ¦"??¦) no v., найдем обоб-
щенный ил'ЛМДЬС.
l> -^.tpV -1, -; ?,.,-.-_ .f,-f- ~, А -, G/Ъ! 04..
где р — обычный ншр^льс.
Для эмергйИ в з'-:огл ао/.Зпак^нии пэлучае:;я зна-
чение
W — Pv - L =
= («v -¦(- ~
G0.11)
Из G0.10)
Подставив это значение v в G0.11), придем к выра-
жению для функции Гамильтона:
2 + e(p- <70-12)
Уравнение Гамильтона — Якоби в ньютоновском
приближении имеет вид
J ^ = 0. G0.13)

Глава ХШ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ В(Ш?Ы
§ 71. Волновое уравнение
В § 57 было показано, что при наложении на по-
тенциалы А и <р условия Лсрепна
(см. формулу E6.8)) они удовлетворяют уравнению
Даламбера '):
DA = --^J, G1.2)
-~?- G1.3)
(см. уравнения E7.6) и E7.7)). Здесь D—оператор
Даламбера, равный
п.д_2?** + * + *.!?* G1.4)
с2 <Э/2 <Jx2 ' .3^- ' дг2 с2 dt2 ч '
(см. E7.4)).
В отсутствие зарядов и токов (т. е. при р = 0 и
j=0) уравнения для потенциалов приобретают вид:
? А = 0, G1.5)
? <р = 0 G1.6)
или, с учетом G1.4),
^ 0, G1.7)
= 0. G1.8)
') Напомним, что уравнения E7.6) и E7.7) были получены
в предположении, что среда, в которой рассматривается поле,
однородна и изотропна и, кроме того, е и ц не зависят от Е и Н.

286 ГЛ. ХШ. ЭЛЕКТРОДА! КИТНЫЕ ВОЛНЫ
Аналогичные уравнения получаются та.-?же для
векторов Е и S:
AE--?i--™=0, G1.9)
АВ~-р---|'|- = 0 G1.10)
(см. §74).
Уравнения G1.7) — G1.10) имеют ненулевые реше-
ния. Следовательно, электромагнитные поля могут су-
ществовать и в отсутствие зарядов. Электромагнит-
ные поля, существующие в отсутствие зарядов, назы-
ваются электромагн'.пныА1.:.', волнами.
Уравнение вида
д/—A-4"ii-==c, G!.u)
где v — константа, называется волновым. Из курса
общей физики известно, <-.ю v представляет собой фа-
зовую скорость волны. С.vij свателько, скорость элек-
тромагниткух вдали озв^а
а~-.—?.=г:=--. G1.12)
УД *;
«==-\'^ G1.13)
есть показатель преломлена:! cpiy^j, в которой рдс-
пространястся волпа.
Волновое ypaciiesiue лсг?с получать б че"ирекмхм>
ном виде. Сделаем это дли полк в вакууме. Согласно
F4.2) уравнения Максзсма в снсутстйие з;-рядов и
токов кмеют вид.
Подстановка вместо Fv л к значений F1.0) .слет
у а (а/У ^"^0
ИЛИ
уЛ^у^.==0> G1Л5)

5 72. ПЛОСКАЯ ВОЛНА II ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 287
Первую сумму можно записать следующим об-
разом:
2Х* д *
Е
Если 4 потенциал удовлетворяет условию Лоренца
F0.18), то ?(дА /dxv)=Q к в уравнении G1.15)
первый член будет отсутствовать. Таким образом, мы
приходим к уравнениям
= 0 (ц=0, 1, 2, 3). G1.16)
>xv дх"
v
Поднятие индекса при дх\ равнозначно умноже-
нию каждого из слагаемых в G1.16) на gvv (см.
(XII. 30)). Поэтому уравнениям G1.16) можно при-
дать вид
Наконец, приняв во вникание, что недиагональные
компоненты тензора gvp — нули, можно написать
vp-^T = 0 (,1 = 0,1,2,3). G1.17)
¦". р
Уравнения G1.16) и G1.17) представляют собой
волновое уравнение в четырехмерной форме. Подста-
новка в них значений §vp и xv приводит, как легко
убедиться, к уравнениям G1.7) и G1.8).
§ 72. Плоская электромагнитная волна
в однородной и изотропной среде
Решение волнового ург;Е!нения значительно облег-
чается, если поле зависит только от одной координа-
ты, скажем, х. Волна в этом случае называется плос-
кой. Вместе с тем, ка примере плоской волны можно
выяснять все характерные оссбеннссти электромагнит-
ных воли. По этим причинам мы ограничимся в этой
главе рассмотрением только плоских волн.
Будем подразумевать лод f любую из компонент
векторного потенциала А либо скалярный потенциал ф

288 ГЛ. ХШ. ЭЛЕКТР:'.-МАГНИТНЫЕ ЕСЛН1Л
(с равным основанием йожно подразумевать под /
любую ?<лмлоч(-'.ч7.у ве.к'гт]'я Е илл аектовд В). В слу-
чае плоской ичглы фуккчг»: / за?-тки:г т'\йьк1.от -.-..й i
и, слесослтейыю, явая-да^ ^.ччя-енлем уцаакя^ня
ОТО Yf^AI-'W.'.fe: «,'№.. Й1.:1"ГЙС1ТЬ.В --IlT-f"
где 2/-— !.'.}'|1фо\Р-р;-.;::ус;л.1ь;1!.1.^..сп?|>Р"ш? г,/ячп?^"^лелян .
Пр&ДСТА&УМ ЭТОТ ОИЩТйТСр i-'PUPt'-
где rt==-Vsit (см. G1.13^)
Введем новые кео^-м^анкс:
| ^ / х .., = ^ .|_ _^L. G2.4)
СI tL СI ft
т. е. заменим ^ и < по формулам
v 'Ч ~ S _^_ / Я + S /79 сч
Л ~ 2 1 ' 2 - "- ' ^
Согласно G2.5)
д д дх д dt с д 1 д
2л" дх
2п \дх с dt ) '
Следовательно, при переходе к переменным | и ц пер-
вый множитель в G2.3) нужно заменить на
~Bп/с)д/д1
Аналогично
д __ _д_ дх_ _д_ _dt_ _ _?_ д 1 д __
йц <Эх йт) "т" а/ dTj 2гГ"дх 'Т?~
2п \дх ^ с dt )'

§ 72- ПЛОСКАЯ ВОЛНА В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЯ 289
так что второй множитель в G2.3) нужно заменить на
Bп/с)д/дц. В итоге получим, что
" с2 0\ "дц
Подставим найденное наму значение D в уравне-
ние G2.2), от устий м?.ож:;пчгь A-i1?-;?, Q. пещ?ътъте
-?±- -.=-. 0. G2.6)
Очевидным решением этого уравнения является
функция, зависящая толькс от одной переменной |
или г;, т. е. функция /,(|) либо f2{"Л)- Сложив функ-
ции /j и f2, получим общее решение уравнения G2,8):
/ft, Л) = Л(Ю + МЛ). G2-7)
Мы не стали умножать f\ нг: С\, а /2 на С2, поскольку
Л и [г суть произвольные оуккции соответствующих
переменных.
Подставив в "G2.7) выражения G2.4) для | и т|,
придем к решению уравнения G2.1):
G2.8)
Первый член в этом выражении представляет собой
волну, бегущую со скоростью с/п в направлении
оси х. Действительно, значения /i одинаковы для всех
значений tux, связанных соотношением
t -.— = const или х— — / const,
с/п п п
откуда и следует, что любое заданное значение функ-
ции fi перемещается вдоль оси х со скоростью с/п.
Аналогично второй член в выражении G2.8) пред-
ставляет собой волну, бегущую со скоростью с/п в
направлении, противоположном оси х.
Форма волны G2.8), т. е. вид функций f\ и f2, яв-
ляется совершенно произвольной.
Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся
в направлении оси х. Выберем потенциалы так, чтобы
<р = 0, VA = 0. G2.9)
10 И. В. Савельев, т. I

Такая излибрсъка no?«u.:v.i (.лгп КДОР-"ЙТГ1°Р'';':'Г YC1O~
шно Ларспца G1.1} v, с; гд>^т^ль;;э, т>й ск;: !ыьлотся
па онзчся^я.ч векторов L» '.; Ь* (г/л; ^ 3;>Ч Пш; пзлоке-
i-iKi; г" пот.:.1гцкал ¦,:;>-уо-тои1,*1." (V.'i)
¦--}
! 1
1 1 , .' . j, " 1 'Л i i ' '" об-
I ¦ G» 4 "I С * ' Я
|{72.1}, капасак'юе для A.:vi дает, :гго
Согласно последнему ур?-з;^::кю
—?-¦¦==.'. const. Г72.12)
Производная dAxfdi оп])еделяет компоненту поля Ех
(см. G2.30)). Поэтому «х.ог".оуи-ки^ G2Л2) означает,
что Ex — const. Таким сСртим, мы пришли к заклю-
чению, что отличная от пуля компонента Ех может
быть обусловлена только постоянным и однородным
электрическим полей. Такое пол? ке имеет отношения
к электрамггш;тсой зол!:;:, Значгт, мозкгю считать, что
Ах, а следовательно, и Ек равно нулю.
Из G2.11) Еытеяает, что
ЗА __ дк_ дА_ _ дк_ 3% __ :i_dk , ^ .^
di "" dl ' ox L'tl dr. z d\, ' ^ "' '

Поскольку А зясиси™ "xij'skd ct олио& коорди-
наты x, в выражен??!.' Б=—-[vAI нужно сохранить
только компоненту у', ;;лзн);> г, (а/дх}. Сп^^оь-з
но, можно иаиксать^ т;о
--> Г 5 а'! Г ЗА 1
или, согласно второй из формул G2.13),
Чаконйц, приняв во ник:,;анне G2.14), получаем
В==«К, Е] = -./^[е„ Е], G2.15)
откуда БЫ7е««ет, что нсктсо It ?Jbr}iieHR?jK'f,a7/P!e4 как
к вектору Е, так и к оси х Fsree мы показали, что
у рассматриваемой нами [^;;лу, ?...—Р. и, следова-
тельно, ВС!::Т'.=р Е pjyjO.GK!:VJ?''li^/ -,:\ОН 1Г С'СЧ ,Х Ww.'-W
C
нитьые волны лвляютс:; по".-'-' ^я*. :..;.:.<.:.
В формулг (/?.15) ¦«-.,-„ \v;,-:!y:.-.'i.r,H:i'ir coco?, г--.<т рл-
которай не зйВйС^1Т .от b'^/jj :¦ .>?';:"аа&;1еьх./ йую/лзи-
натиы.ч осей.
Заменив В чопе? у г?, nGi/'ч:..''-'
V?S — fe V«"e1. G2.17)
Из G2.17) ЬЫ:;С;'.С-Л:''|, ч'':О :'f:./Vf\r,-'a Щ н Г.Г"Л1!МРО И?О;
пенл.икул^нк., причем чх N'?.^yg" с^яй^нч соотноше-
нием
л/^.Н =^-Д Е. G2.18)
Кроме ТОГО, ;;:Л ('i2J7\ ДСГ'С ;;,U':""O'HTf,. ."ТР.^-Ь'ТОДрч
КССТЬ.
10*

292 ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Электромагнитная волна несет с собой энергию,
поток которой определяется вектором Пойнтинга
Выразим Н через Е согласно G2.17) и применим фор-
мулу «бац минус цаб» (см. (VI. 5)). Тогда
Поскольку векторы Е и к0 взаимно перпендикулярны,
Ек0 = 0, так что
S = т-
4
Воспользовавшись соотношением G2.18), можно на-
писать
S = We?2kn = -
4л-
(е?2 + ^,' /. ь
8л
Наконец, приняв во внимание, что (еЕ2 -\- \х,Н2)/8л
есть плотность энергии еолны w, получим
S = —~ wkf, = vwkf,. G2.19)
В вакууме
S == caiko. G2.20)
Таким образом, плотность потока энергии, перено-
симой волной, равна плотности энергии, умноженной
на скорость распространения волны. Направление
вектора плотности потока энергии совпадает с на-
правлением распростракения волны.
Поток импульса определяется максвелловским
тензором натяжений, компоненты которого вычисля-
ются по формуле

§ 73. МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 2S3
(см. E9.12)). Направим ось х вдоль ко, ось у вдоль Е
и ось z вдоль Н (при это)»? векторы Е, 3Л и ко будут
образовывать правовинтсвую последовательность).
Тогда Еу = -i-E, ?, = Е? == 0, Dy == ±В, D, =-- D^ := О,
нг---=±н, я, = //„ = о, в, = ±з, ах == йй = -з. в?д-
но, что при гаком выбора о "аи асе нсли
компокеьты тензора cr,-ft будут кулями.
f^Djc и //«Si 'зааны кулю8 лолуч••;;.?, что
El) -i- ,v/}
Так как ?ffD^ ~-ED, а Яа?9 ~-0, то
(согласно G2.18) ?D -- ИЗ). Aue
= 0.
Таким образом, при сделанном нами выборе коор-
динатных осей отлична от чуля лишь одна компонента
ма:ссвелловского тензора натяжений — компонента
Охх—.причем она равна плотности энергии волны т,
взятой с обратным знаком. Напомиим, что в соответ-
ствии с тем, как это принято в подавляющем боль-
шинстве руководств по электродинамике, мы опреде-
лили тензор (Sik так, чтобы он характеризовал поток
импульса, не вытекающий из данного объема, а вте-
кающий в этот объем (см. § 59). Это равнозначно из-
менению направления нормали к площадке на проти-
воположное. Таким образом, поток импульса, перено-
симого в направлении оси х через перпендикулярную
к этой оси площадку df, определяется положительной
величиной: axx(—df) = wdj.
§ 73. Монохроматическая плоская волна
Волна, у которой поле в каждой точке изменяется
со временем по гармоническому закону (т. е. по за-
кону косинуса), называется монохроматической.
Для монохроматической волны решение уравнения
G1.11) имеет вид
/ = a cos (со/ + ф,), G3.1)

;j.v а- чел r;f-'-o, oc ^I'j't'a <т / ii>j,— функция
от s1 В о1'1-- ••Л)''.;-" i?2r'?/.>'- ;2| )i -¦•гяча-.ка :::)г,го
Ab'--'Y ¦¦'---О.., '71/V
1
I , T J
i
i (
"P bi-
ll
L
, '!'
Л
' 2 rr ' • io-
' U ' r sir 1 Г \ 3
I О ' Г Д ' J"Pb_ Г _>"¦
k'-j^Q.. G3 5)
Решением этого уравнен*г- бмдет функция
f — a cos (± fex -f ф2), G3.6)
где а — величина, не зазясящая от х, 4f>2 — функция
от t
Выражения G3.1) и G3.6) можно согласовать,
положив
/ = a cos M ±- kx -f a), G3.7)
где а и а—величины, н>2 зависящие ни от г, ни от х.
Разные знагл перед кх отвечают разным направле-
ниям распространения полны. Мы будем рассматри-
вать волны, бегушце я напраплении возрастания х,
г. ся'лзи с чем буаем писать перед кх знак минус.
При произвольном вь боре координатных осей фор-
мула G3.7) педагсдгп в
f = й cos {(jf ~ kr -u a). G3.8)
По такому закону кзмеач^игся лтсбч-™ "с^;кчинп, харак-
теризупца;; монохроматическую плоскую волну, в

частности, н вект-хчшй яогп:>;;.^^?л Д. Т,л>ж? о.(:рязок,
им "ем
А --= As еоз (¦,* - - l;r -i -Д., (тг.9)
Здесь А$ — ямуллптудя, о— ч^оотг, ?i— -;х> "лпл/ш 'ьс-.т,-
тор, а — начальная фаза во.чны.
Выражение (со/—kx-j-cs), ,'зторог нагыЕ.,-зк,-.:^-.2зо.й
волны, есть инвариант. Действительна, тог- фй^т, что
поле в данной точке пространства в дашшй мо-
мент времени приняло, например, кулевое значение
(cos(co/ — kr -f- ct) = 0), не может зависеть от выбора
системы отсчета. Отсюда следует, что для двух произ-
вольно выбранных систем отсчета должно выполнять-
ся условие
at — kr -f a = u'tr — kV + а'.
Если положить ^ = 0 и г==0, то, как вытекает из
преобразований Лоренца, будут равны нулю также ?
и г'. Следовательно, должно быть a-— a' —inv, из
чего заключаем, что и величии.;]
Ф~-оя --.kr, G3. iG)
которую тпкже называют фг?ой, является .'т/варн-
антом.
В случае злег.тромаг'ян'скои eqju>m, рясипосг:я-,гг.т;>
щейся я вакууме, фаза GS.ifi) может быть пездетав-
лека в виде
Ф = --- (Ы) — Ъг - = -г хп — kr.
Поскольку Ф есть инвариант, аз G3.11}, слад_'ет, что
<л/с я к образуют четырехмерный волновой вектор
А'1 = (-~ ,
Это обстоятельство поззол^ет нлйтн закон преоб-
разования частоты волны е при переходе, от одноч
инерциальной системы отсчета к другой. Cor;jac.f-:o
первой из формул C6. i)
и
п- —
откуда после подстановки значений k'3 = (а/г, к1 ~-
— fix = (ы/с)cos v (О — угол между направлением

296 ГЛ. ХШ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
распространения волны и осью х), р = v/c (v — ско--
рость системы К' относительно системы К) находим, что
, со[1 — (ч/с) cos О]
Из этой формулы при Ф = 0 получается формула
для продольного эффекта Доплера
, (й A — tl/c) / 1
о =— - = <т> л/ —
л/1 - 02/с2 V 1
— v 1с
¦ о2/с2 v 1 + о/с
При # = я/2 приходим к формуле для поперечного
эффекта Доплера
Отметим, что, поскольку модуль волнового вектора
есть (л/с, квадрат 4-вектора № равен нулю:
и-о.
Обратимся снова к выражению G3.9). Его можно
представить в виде
А = Re {Aoexp [i Ш - кг)]} = Re {A}, G3.13)
где Ао — постоянный комплексный вектор
Ао = Ао ехр (га)> G3.14)
a A — комплексный вектср, стоящий в фигурных скоб-
ках (ср. с A6.9) и A6.10)).
Изменение знака при показателе степени выраже-
ния вида exp(iif) не изменяет вещественной части этого
выражения. Поэтому формулу G3.13) можно напи-
сать следующим образом:
А = Re {Аоехр [i (кг - mt)\} = Re {A}. G3.15)
В этом случае под фазой волны нужно понимать вы-
ражение, отличающееся от G3.10) знаком. Кроме
того, следовало бы изменить знач в аргументе экспо-
ненты G3.14). Однако ввиду произвольности а этого
можно не делать.
Выражение G3.15) оказывается в некоторых отно-
шениях удобнее выражения G3.13) и, кроме того,

§ 73. МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА 297
имеет больше сходства с волновой функцией, описы-
вающей движение свободной частицы в квантовой Ме-
ханике.
Легко убедиться в том, что производя над опреде-
ляемой формулой G3.15) величиной А линейные опе-
рации, например дифференцирование, можно осуще-
ствлять эти операции над комплексным вектором А
и затем брать вещественную часть получившейся ве-
личины. Так, например,
} Re^-'fflA}. G3.16)
Вычислим ротор вектора А. Взятие ротора есть ли-
нейная операция. Поэтому
[VA] == Re {[VA]} = Re {[V. Аа exp (i (kr - erf))]} =
= Re{V;xp(*(kr-<a/)), Ao}. G3.17)
Поскольку kr = 2w kjXh
-r— exp (i (kr — «0) = iki exp (i (kr — <o/)).
Следовательно,
V exp (/ (kr — orf)) = i exp (i (kr — arf)) 1^4,=
== ik exp (/ (kr — <o/)).
Подставив это значение градиента в G3.17), получим
[VA] = Re {[ik exp (i (kr - at}), Ao]} =
= Re{[ik, Aflexp(«(kr-fflO)]} = Re{i[kA]}. G3.18)
Теперь мы можем написать выражения для полей
Ч} <73Л9>
G3.20)
(если бы мы исходили из выражения G3.13), в по-
следних двух формулах появился бы знак минус). Из
сравнения этих двух выражений заключаем, что век-
торы В и Е колеблются в одинаковой фазе.

238 гл. xw, электрод' tfwvm'.-. иолн.ы
у.гулу G3.20) mok^i П9е;^л1«.чть tj зндц:
В = Re {/ \л/щ~ %, Щ\ ™.»Ц^Цк,,
Второй множитель в векторном произведении есть Е
(см. G3.19)). Таким обрг;зом, для вектора В, веще-
ствеклая чгсть которого лает В, получается соотно-
шение
V^M G3.21)
Введя обозначение f (сс/с) Ло =-- Ео, выражение
G3.59) можно представить в виде
E = Re{Eoe^^(kr —*о/))\. G3.22)
Если ось х направить кдолъ вектора к, то вектор Е,
а значит, и Ео будут лс>::?.ть в плоскости tjz. Поэтому
Ео Mci-KHO rq4\b~'?:i3vr>^ ci^>'. я"дчерг':-;ЕО чомбпн?цию od-
тс-з ei; и сг;
ГД. j " ^ н Л Ч
]) 1 1 I l 1 -, 1
Е Ч > пС г 9 .^
14 << 'О I' " _Л J/ ,_ I1 1 ' ' ' . 'rii i '
(IVI ' I' ' li «,••*. " , ]1 . И
! )М > и 1 н р i •¦> — IJ i ч I (. |«
Г" . ' 11 " 1 ' L ' Ь '
(а -f. ;VJ = i2 -I- "I«,,4; H? ¦--¦¦, Л! -':; 'V -=-
¦ ¦•¦¦¦ i.-.4i:ei;T:j^;.4(!; числа.

§ 73. 2iiOHOXPOMAVK4K,i'.Af[ ПЛС-'Ж.Ч<5 ЗОЛИЛ 299
7;:xv.и оо^ззок, мы пол¦/v--'?:¦::¦'¦ зъ'рг.женке
i *" i ' " --• '-¦ -- ВД:- !'•'¦¦¦¦ век-
' Э , rj - ' t 4..'/'! '"
П * * ^ , ' °" < иу.;.5у«л 'УКГ'2);.
г E>^{ l-^ ,j? 1, - >x -fa));
• " -' !)-¦,: ' c-;.^ ..V." ~~.kx).
G3.24)
I/!l S'i'KX фор^УЛ С.';-'?,XV'."!.;. i.i.O
-J--J---—--1- G3.25)
Все рассуждения и формулы, начиная с G3.22),
справедливы и для вектора В
Полученный нами результат означает, что вектор Е
вращается в плоскости, перпендикулярной к направ-
лению распространения вол вы, описывая своим кон-
цом эллипс (аналогично еедет себя и вектор В). На-
правление вращения зависит от того, какие (одинако-
вые или разные) знаки имеют Еуо и Ег0 в формулах
G8.24). Такая волна называется эллиптически-поля-
ригованной. При Еуй == ±. Е,м эллине G3.25) превра-
щается в окружность. В этом случае волна поляризо-
вана по кругу. Наконец, может случиться, что одна
из величия ЁуЭ и ?г0 рачиа нулю. Тогда вектор Е
(а также и В) направлен ссе время вдоль одной н
той же прямой. Волна в этом случае называется ли-
нейно-поляризованной илк плоско-поляризованной.
Итак, монохроматическая волна обязательно поля-
ризована (эллиптически, по кругу или линейно). Это
означает, что колебания в волне упорядочены тем или
иным способом.

300 ГЛ. XII!. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 74. Плеская монохроматическая волна
в проводящей среде
Уравнения G1.7) и G1.8) были получены в пред-
положении, что в среде отсутствуют избыточные сво-
бодные заряды (р~0) и токи проводимости (j~0).
В предыдущем параграфе мы установили, что в слу-
чае плоской монохроматической волны решением
уравнения GJ.7) является функция G3.9) с постоян-
ной амплитудой. Независимость амплитуды от коор-
динат означает, что распространение плоской волны
в диэлектрике не сопровождается изменением ее ин-
тенсивности.
Теперь допустим, что среда обладает электропро-
водностью а, так что в ней могут возникать токи про-
водимости j, равные аЕ. Избыточные свободные за-
ряды будем по-прежнему считать отсутствующими
(р = 0). При сделанных нами предположениях урав-
нения Максвелла E5.10) и E5.11) запишутся следую-
щим образом:
lf-. VB==0; G4.1)
E + -^-f.. VE = 0 G4.2)
(мы заменили j через оЕ).
Возьмем ротор от первого из уравнений G4.1):
[V[VE]]==-^[VB]. G4.3)
Согласно (XI.45) [V[VE]] = V(VE) —ДЕ. Но VE = 0,
так что остается только второй член, равный —АЕ.
Заменим им левую часть уравнения G4.3). Кроме
того, подставим в правую часть этого уравнения зна-
чение [VB] из G4.2). В результате получим
._, 4яц<т дЕ , ец д2Е
лс> ~ с2 Ж '+" ~^~ ~W ¦
Напишем это уравнение следующим образом:
ар щ а'Е 4я>ш дЕ -^0 G44)
ЙС С2 дЙ С2 dt U- {/ '
Уравнение G4.4) называется обобщенным волно-
вым уравнением. Оно отличается от уравнения G1.9)
дополнительным слагаемым, содержащим первую

5 74. МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА В ПРОВОДНИКЕ 301
производную искомой функции по времени. При о=0
это слагаемое исчезает и уравнение G4.4) переходит
в G1.9).
Считая волну монохроматической, будем искать
решение уравнения в виде
Е = Re {Е (г) ехр (- Ш)} = Re {Ё}, G4.5)
где Е(г)—комплексная векторная функция от г, Ё —
функция, стоящая в фигурных скобках. Дифференци-
рование функции G4.5) по t дает
J?- = Re {- ш? (г) ехр (- Ш)} = Re {— шЕ},
деР G4.6)
-^ = Re {- ш2Е(г)ехр<- Ш)} = Re {- <»2Е}.
Подстановка в уравнение G4.4) значений G4.5J
и G4.6) приводит после сокращения на общий мно-
житель ехр(—i<at) к следующему дифференциальному
уравнению для Ё(г):
АЁ (г) + *?- Ё (г) + Р
Умножим числитель и знаменатель в третьем слагае-
мом на ею и заменим cjioJ/c2 через А2 (см. G3.3)).
В результате, объединив второе и третье слагаемые,
получим уравнение
(^) 0. G4.8)
При а = 0 это уравнение переходит в уравнение вида
G3.5).
Представим коэффициент при Ё (г) в уравнении
G4.8) в виде квадрата комплексного волнового числа
? = fn + ik2:
Приравняв вещественные и мнимые части, придем
к системе двух уравнений для k\ и k2:
\ — k% = k2, 2k.k2 = 4я<т&2/еш. G4.9)

202 ?.•: .-л-.. .•.>.-¦:;•„
V
( G4.10)
й2 ~ Л Д/ —¦ т;; •
Е случае, если Dпа/ет)й С ! (т. е. при малой а и
большой ю), формулы G4.10) сильно упрощаются:
величину k\ можно принять равной &, а в выражении
для k2 положить -\l\ -\- (Anajzutf ^ 1 4-A/2)Dтот/еоJ,
в результате чего для к2 получится значение 9.лак/г&.
Таким образом, при малой проводимости и большой
частоте
к = k -}- ,:2язА/еи. G4.11)
Итак, ураянение G4.7) можно представить в виде
ДЁ(г)Ч-?гЁ«г) = О, G4.12)
ГДЛ - k\ if \ )i ' • 11 tic, Lt ! "Я
нгт мни <. '-( j ч - '
Л3\' ' "
следующим
Решением этого уравнения Щ^х фунгдия
Е (г) = %e:vy,±.ih\, G4 .13)
где Ео — постоянный ?йк^дрк(,;;нй. ьектср . Знакч. плюс
и минус соответствуют разным направлениям распоо-
стракеикя водны. Наг 'ivj.cr ичге^гсор.-ать р.оелщ., бе-
гущне в паправятш оси у. Поэтому иы socijfj'ai (^
экспоненте знак «-J-» (зависяjui5 от / лвножитоль мм
написали в виде ехр{—киО)-
Подставив найденное нами решение G4.13) в
G4.5), полечим следу'йтр.г 1и-г|;ажсууе. ;yni Е-
Ё = Re (Ёо

h ?¦;. K'swo'r.tov-.rM-: л;-»." '. <-;\fv-\i.. p.. ^..-¦:-=г>г^",-,'•:,¦:.-... -ox
'-¦ •'-- <: :.--"V V ;"'
которой yft'rr.'.vvj <¦¦",.. ?.г\г;о.'.г.-'. ^я/---".¦:•;^л С-'зжмгх ско-
рость этой wv:K'-La^-a.
«¦"-^. G4.16)
Таким ой разом, веществен гая ч'лсть комплекекого ео
копого числа й определяет фазовую скорость волны,
а мнимая часть — затухание е^олны.
Согласно G4.10) при малом затухании k{ =«
sa к — (со/с) V?'il. a коэффициент затухания
G4.17)
еш
Получим решение уравнения G4.7) еще одним
способом. Представим это уравнение в виде
д Е (г) + ii±J^^i)J^ е (г) = 0.
Если взестк комплексную дьл«лектрическую проницае-
мость
*=e-W^. G4.18)
можно написать
Умножим это уравнение на ехр (—i<nt) и примем
во внимание, что со2Ё(г)ехр (— Ш) = — (PE/dt2, где

?04 ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Е--Е(г) ехр(—iW) (см. G4.6)). В итоге придем
к уравнению
АЁ — -^- 7.-;|- = 0, G4.19)
отличающемуся от уравнений G1.9) лишь тел, что
напряженность эл'жтрпческог-.. поля и диэлектриче-
ская проницаемость кяляклгл: не вещественными, а
комплексными, ПодеЕ предстой! гет. сжй:г'".?Ц'^лтл? ск -
кую ча'сть 9№1^дй«„у-ь;11вн<а_нi-i /У4..Ш) .
Решение уравнения {71 ,9) мы iчйшл.и в предыду-
щем параграфе, око имеет1 вил
Е = Re {Еоехр (— / (ш/ - кх + с))} = Re (?}.,
где к = V?fi «о/с (волна предполагается бегущей в на-
правлении оси х). Следовательно, при вещественной е
решением уравнения G4.19) является функция
Е = Еаехр (— / (и/ — kx + а)). G4.20)
Замена вещественной е комплексной не наменяет
вида решения. Однако вещгственное волновое число k
должно быть заменено в ней комплексным числом,
определяемым по формуле
k = &j + ik2 = л/'&\х м/с, G4.21)
где б—величина из G4.18). Подстановка в формулу
,G4.20) вместо k комплексного числа /г = &| -f- iki при-
водит к выражению, совпадающему с G4.15).
С учетом G4.18) квадрат комплексного числа
G4.21) равен
= В}1?О2/С2 = (с + I -—
. 4я0е^ _оJ_ = /г2 / j . 4лд\ ^
Это значение совпадает с ?2, стоящим в формуле
G4.8).
Таким образом, в случае проводящей среды и вол-
новое число, и диэлектрическая проницаемость стано-
ьлтея комплексными. Комплексным будет также по-
казатель преломления А = ^щ. Запишем его в виде
G4.22)

§ 74. МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА В ПРОВОДНИКЕ 305
Возведем это соотношение в квадрат:
(ft -[- ЫJ = п2 — %2 + 2шх = («: + ?4п<т/ш) ц =
¦¦= гц -\- г'4яс?е|л/<де.
Приравняем вещественные и мнимые части:
/г2 — и2 = ец, 2г.х - = 4я(Т!-;ц/ею.
Получившаяся система уравнений тождественна
с системой G4.9). Поэтому ее решения можно найти,
заменив в формулах G4.10) k2 через ер. В результате
получим
Л G4 23)
Сопоставление формул G4.10) и G4,23) дает, что
, k о , k ел ._. ллч
Н «4 ел h <V# V I / Д / Д I
rC{ . ~ ft •— flt r\2 I 'Ь Л ^/T.i^y
-уец с VeM- c
\k мы определили как со уи^/с).
Подставив значение G4.24) для k\ в формулу
G4.16), придем к соотношение
с
v == —,
п
иа которого следует, что вещественная часть комп-
лексного показателя преломления п есть обычный по-
казатель преломления среды п. Вторая из формул
G4.24) показывает, что мнимая часть п пропорцио-
нальна коэффициенту затухания волны (Xе0 й2).
До сих пор мы говорили об электрическом поле
волны. Магнитное поле можно получить из соотноше-
ния G3.21), подставив в него комплексное значение
диэлектрической проницаемости и комплексную функ-
цию Ё. Согласно G4.14)
Е = Еоехр(— k2x)exp(~ l(mt — kxx + а)).
Следовательно,
В = У^Ц [к0> Ео ехр (— k2x) ехр (— / (со/ — к{х + а))].

J.U.I..;. .;.
h:i:';:;r \Ь !Тгг-г,п.д-у
3J:¦:¦?;.Т",:Vi.X:v ¦/. С ;";;;::Н:;;::ГЬ- ;V •: :¦ :i ; J>.i-s; ~:.:ry';'?'!:;.f:!*iVi RW'YA-
которая после: f-o^.craw.i's.x.o ?,1лачг;глк i74.zoj а и я /г 'л v.
Во = ^о Vei- V 1тК1к^^Г2 G4 -26
(ср. с G3.21)).
§ 75. Немокохроматичгскне н««ллы !)
Всякую немонохроматическук' волну мо;кно пред-
ставить как суперпозицию монохроматических волн
различных частот. Эта операция называется спек-
тральным разложением волны.
Если поле волны описывается строго периодиче-
ской функцией, оно может быть разложено в ряд
Фурье. В этом случае спектральное разложение со-
держит частоты, образующие дискретный ряд значе-
ний: Ш1,оJ, шз, ... Частоты а>п (пфО) являются це-
лыми кратными основной частоты о)О, т. е. <й„ = пао.
Основная частота определяется периодом Т функции,
описывающей поле: юо —: 2п/Т.
Рассмотрим плоскую немонохроматическую волну,
распространяющуюся в иакууме в положительном на-
') Прежде чем приступить к чтению этого параграфа, сле-
дует ознакомиться с Приложением XIV.

% 75. НЕГОРХЛРОЛ'АТМЧЕСКИЕ ГОЛИЫ 307
а.:-;енги.сси .v. Любая величина, ха
{L, Ечт. !j,.) ,
f = }tt-xt) G5.1)
(см. G2.8)). Забуксировав ж, мы получим функцию
от /, описывающую колебания поля в данной точке.
По предположению эта функция является строго пе-
риодической. Пусть период ее равен Т:
f(t + T)==f(t).
Согласно (XIV. SI) f(t) можно представить в виде
? G5.2)
где Сп — константа, вычисляемая по формуле
+ Г/2
J / @ (й0 dt
- Г/2
Cc;r,:i,;cv>:> фррмуль (XiV. 15:. эззложглке. фи
р йанос'ль ibo-ны поопорционалг.-,на
среднему З1;ач?>'.«к5- кб^ц^яла. '-"..или В ,т .е . пооцор-
к (. /-л
/ -1-е
Е ч/^pi^o
По.,^.;.-;нтегра;;; гее ъщажгпхе jmeho [/@3"- Один из
MHO;'ivriii5V;;i МЫ D'JHH t'^BH/t. \'75.S) , BTGpOH— 3 В Л11
G5.3), rahi4<ivi во н^юрой сум мл немой кндгче сГсзка
чили 6yiiKiu 'и вчесто /г .

308 ГЛ. XIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Преобразуем выражение G5.4) следующим об-
разом:
+ ОО
+ Т/2
Z. 1 С
СпСт у \ ехр (/ (т — п) со,/) dt =
re, m= -оо -7,
+ оо
= У с с* б =
L-J n m пт
-7/2
+ оо
Iе-!2 <75-5>
п=1
(мы воспользовались ортогональностью системы функ-
ций ехр(шсооО; см. (XIV. 13)).
Полученный нами результат означает, что средняя
интенсивность немонохроматической волны слагается
из интенсивностей монохроматических компонент.
Теперь рассмотрим случай, когда волна, а следо-
вательно, и колебание f{t) существуют в течение огра-
ниченного промежутка времени (а не от t = —оо до
* = -|-оо). в этом случае f(t) не является периодиче-
ской и может быть разложена не в ряд, а в интеграл
Фурье, содержащий непрерывный ряд различных час-
тот. Согласно (XIV. 22)
1 ( ^ _ , . л , (?5 6)
[
— <о
где Сщ — функция частоты со, определяемая выраже-
нием1)
\ M6)exp(tffl|)<fc G5.7)
— со
(см. (XIV. 21)). Очевидно, что
С_ ==С*. G5.8)
') Обычно в формуле G5.7) переменную интегрирования
обозначают буквой t. Мы обозначили ее другой буквой, чтобы
подчернуть, что Сш есть величина, не зависящая от t.

§ 75. ИЕЛЮНОХРОМА7ИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 309
Полная интенсивность волны за время от —оо до
оо определяется выражением
Н- оо -• ¦ "о
\ f(t)f(i)dt.
Зажгла одного из сомножягелгй выражением G5.6)
— оо ^
В полученной нами формуле- предполагается интегри-
рование сначала по ю, затем по t. Изменим порядок
интегрирования, т. е. напишем
5
Сравнение с G5.7) показывает, что интеграл, стоя-
щий внутри фигурных скобок, представляет собой
С_ш, т. е. С'а. Следовательло,
G5.9)
Из полученной нами формулы вытекает, что вели-
чина |СШ|2 характеризует долю полной интенсивно-
сти, приходящуюся на единичный интервал частот.
В качестве примера поля, которое может быть раз-
ложено в интеграл Фурье, можно привести излучение
заряда, испытывающего торможение.

\p
\П
1
В
Hi.
Е чр
Л i
1 it И
1i '
1 Г Р 1
(ОМ
к а ям
-х-
i
n
Л3
' U
(
i
! I
^ I
rf г
% 1
1 •*
' 1 l!
1 " L It
Аф -7Г
ЛД. — ~г
i
j
i
' i
~7ft~
,нл
'Г
i
>
—
"Г, J
" I \i
! ("I i
[
nl A
- —4яр
= _. ±1
г
')
Щ*
1 -
j
1 ЛМ
ПС J П
ч qo
G6.1)
G6.2)
Из теории линейных дифференциальных уравне-
ний известно, что общее решение неоднородного урав-
нения равно сумме общего решения однородного урав-
нения и частного решения неоднородного уравнения.
Общие решения однородных уравнений были исследо-
ваны в предыдущей главе. Поэтому, чтобы получить
общее решение уравнений G1.1) и G1.2), достаточно
найти их частные решения.
Разделим все пространство, в котором имеются
заряды и токи, на элемент иные объемы dV и опре-
делим поле, создаааемос каждым из зарядов de, за-
ключенных в данном dV. Вследствие линейности
уравнений искомое поле будет суперпозицией полей
создаваемых всеми зарядами de.
Заряд de, заключенный в данном элементарном
объеме dV, есть, вообще говоря, функция времени:
de~de{t). Если отвлечься от наличия других заря-
дов de, то плотность заряда, обусловленную рассмат-
риваемым точечным зарядом, можно представить

э-а. зар^здыза;стц;4е потенциалы зн
в виде
р'(г, 0 = Л?A)в(г-г'), G6.3)
где г' — радиус-вектор, определяющий положение за-
ряда de(t). Мы обозначила эту плотность символом
р', чтобы отличить ее от плотности p(r, t), определяю-
щей de(t) no формуле de(t)~p{r,i)dV.
Подстановка выражения G6.3) в уравнение G1.3)
дает
j5 G6.4)
где R = г — г'.
Во всех точках, кроме той, для которой R = О,
плотность р' = 0 и уравнение G6.4) имеет вид
Д<р-^-~!-==О. G6.5)
Очевидно, что в этом случае, и зле обладает централь-
ной симметрией относительно точки R — 0 и, следо-
вательно, является функции: л-рнь R. Поэтому напи-
шем уравнение G6.5) п сфир;;ческам системе коорди-
нат. Воспользовавшись зырз.чс;¦¦лем (XI. 88) для опе-
ратора Лапласа, поручил;
Ф = -Ф(/1, /;•//?. G6.7)
При этом условии
(Эф г;1 | ' di|;

312 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Подстановка этих значений в уравнение G6.6) приво-
дит после сокращения на \/R к уравнению1)
dR2 с2 at2 ~u-
Как было установлено в § 72, общее решение та-
кого уравнения имеет вид
) ( ) <76-8>
(см. формулу G2.8); в рассматриваемом нами сейчас
случае п = 1).
Первое слагаемое в G6.8) описывает расходя-
щуюся сферическую волну, второе слагаемое описы-
вает сферическую волну, сходящуюся к точке R = 0.
Нас интересует частное решение. Возьмем в качестве
такого решения первый член формулы G6.8). Под-
ставив его в G6.7), найдем выражение для <р:
G6.9)
Решение G6.9) удовлетворяет уравнению G6.5)
при произвольном выборе функции f(t — R/c). Попы-
таемся выбрать эту функцию так, чтобы выражение
G6.9) удовлетворяло уравнению G6.4) и в точке
R = 0. Заметим, что upv R—>-0 функция G6.9) стре-
мится к бесконечности. Следовательно, ее производ-
ная по координатам становится для малых R очень
большой, так что членом A/с2) (d2q>/dt2) можно пре-
небречь по сравнению с Д<р и написать уравнение
,G6.4) в виде .
Мы пришли к уравнению Пуассона D2.4) для по-
тенциала точечного заряда. Таким образом, вблизи
точки R = 0 функция G6.9) должна переходить в вы-
ражение вида ф = e/R. Это будет иметь место, если
положить f(t — R/c) = dt'{t — R/c). Итак, искомое ре-
шение имеет вид
'1?*/?1 G6.10)
') Напомним, что точка, для которой R = 0, пока исклю-
чена из рассмотрения.

J 76. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 313
Очевидно, что в непосредственной близости к точке
R = 0 это выражение переходит в
do. (О
Ф«-
Чтобы найти потенциал для произвольного распре-
деления зарядов, описываемого функцией p(r, t), про-
суммируем решение G6.10) по всем de = pdV'. Тогда
получим
с
Ф (г, /) = \
г -
G6.11)
Уравнение G6.2) отличается от G6.1) лишь тем,
что в правой части вместо функции р стоит \/с. По-
этому можно сразу по аналогии с G6.11) написать
выражение для А:
а (г. о=4-5-—гг-гм <76Л2>
Выражения G6.11) и G6.12) называются запаз-
дывающими потенциалами. Название обусловлено
тем, что значения потенциалов в момент времени /
определяются значениями р и j в более ранние мо-
менты времени, опережающие t на время запаздыва-
ния т = ]г — г'[/с, необходимое для того, чтобы элек-
тромагнитное возмущение дошло от точки г' в точку г.
Чтобы получить общее решение уравнений G6.1)
и G6.2), нужно к запаздывающим потенциалам при-
бавить общие решения однородных уравнений, кото-
рые были найдены в предыдущей главе. Эти решения
не связаны с полем, возбуждаемым системой. Они
описывают внешнее поле, действующее на систему и
накладывающееся на поле, создаваемое системой.
В стационарном случае (т. е. в случае, когда р и j
не изменяются со временем) формулы G6.11) и
G6.12) переходят соответсгвенно в выражения D1.10)
и D8.7).
Отметим, что, выбрав в качестве частного решения
функцию $2 (см. G6.8)), мы получили бы вместо за-
паздывающих опережающие потенциалы. Подробнее
на этом мы останавливаться не будем.

314 ГЛ. XIV. НЗЛУЧП'Нй ZJ:EV:.PQMi,5,tv/:;HtV::: V Vi
§ 77. Поле pa: -"*yi , ,i , <~ >
Пусть заряд г т с ч <
относительно сие-'3 il о' . ' ч f r i «i
систему отсчета i » j as,"
жется относителы о . \ г< »tr К с ^ ое -.' v
Относительно системь! А' заряд покоится. Следо-
вательно, потенциалы по.!я в этой системе равны
4>(г', 0 = 7-, А (г', 0 = 0. G7.1)
Самым общим решением было бы А = const, но в
силу калибровочной ннЕ!ариантиости эту константу
можно положить равной нулю.
Чтобы найти потенциал в системе К, осуществим
преобразование 4-вектора
Л^==(», А)
к системе К. Для этого нужно взять формулы обрат-
ного преобразования C6.2), согласно который
,_/т л— <?'''• П 4 ;м* («Л О ._ ф(г'./'.
14 ' Vi -ft' Vi -Г
Подставив в эти фопмупы «..^.чеч-иа G7Л\ дгя ф, го-
лучим
, , G7.2)
Поскольку отлична от i/j« лишь компонента Лж,
а вектор v направлен по ос:-: х, мыражение для век-
торного потенциала можно записать так:
A(f, 0 = ?—-—¦ G7.3)
:г' V 1 - il"
Теперь нужно псрг^гл в.. ^орг-г/ла:;, G7.';') и G«7.3)
от штрихованных као^&днщ ;7'-е

§ 77. ПОЛЕ РАВНОМЕРНО /;.К '5ЖУЩ1ХОСЯ ЗАРЯДА 315
в"*5ным. Согласно ще^лл^юг^пины Лсг.еш'3 '35.14)
а:'---¦—;^¦¦¦¦¦г;, ¦/ :- ;;, г'¦--¦-;^.
А \
.'•¦' i'-. '¦', ~; -•
Г ¦-,'1
.G7.6)
oo г-
А = ^-. G7.7'.
Формулы G7.5) и G7.6)
можно упростить, ЗУ.:: аз.'-:j
их через длину вектора *?.,
проведенного от заряда it
точку наблюдения, и угол (г
между направлением это"ч>
вектора н осью х. Если от-
счет времени начать с ш^.татга., ;щгда з
на ,але координат, то, как. плпно вз рис.
Рис. 77.1
адя
77.
был в
1,
Поэтому согласно G7.4)
-7==-
г> / ,,2 j ^.2
_.. ?L_ . А / 1 _ й2 _^L_J"_?_
-' VT^P v1 р tf2 "

316 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Отношение (у2 + 22)//?2 равно sin3ift (см. рис. 77.1).
Следовательно,
г' = -7JL=- V I — ?2 sin2 ¦».
Подстявив это значение в G7.2» и G7.3), получим:
., - __ й /77 Р\
^ ?JL_.-_ /?7 п)
cR 4 Г~^&1пгё ' <¦-¦-"¦
Зиая потенциалы, мо>;{но по формулам:
Е- V7,-, ._ _ ?™_ /77 1 Л\
B = [VA] G7.11)
(см. E6.3) и E6.1)) вычислить поля Е и В. Записав
G7.10) в компонентах, получим
р _ 3<р 1 dAi
'l dxi с at
Следовательно,
р дф 1 дАх <Эф I д
х дх с dt дх с dt
<3ф V бф ,„_ , оу
~= ~ 17 ~ ~ст ~ЪТ' у"л~>
с ^ф г, (Эф ,~^ , оч
« ду ' г дг ч '
Согласно G7.5) и G7.6) <р и А имеют одинаковый
вид
а
^р2) (у2 + if'
где а—константа (скалярная или векторная). Обо-
значив х — vt = s, можно написать, что
— - "= -щ- - — — ~
откуда заключаем, что

S 77. ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА 317
Заменив в G7.12) dy/dt согласно G7.14), придем
к формуле
г. ___!*Р_ 2_^___^ ¦ О8 Дф _ дф /1 о2\
¦с*~ их с2 dt ~ дк^ с2 в* ~~ дх к * >'
G7.15)
Подстановка производных по координатам от вы-
ражения G7.5) в формулы G7.15) и G7.13) дает
?<J Р^ у2 + 22)]з/2.
G7Л6)
E2 = A — p2) -j =—. ez ,. .
к/ [(*-сО2 + A -P2)(<
Эти формулы можно записать в векторном виде
Е = A - р2)-т- е* - .,.„, G7.17)
v R3{\ — р2 sin2«K/2
где R — радиус-вектор, проведенный из точки, где на-
ходится заряд, в точку наблюдения (см. рис. 77.1).
Для модуля Е имеем
Е = liLli!> G7 18)
Из этой формулы вытекает, что на оси, вдоль которой
движется заряд (т. е. при # = 0 ия),
~
G7.19)
а в направлениях, перпендикулярных к скорости за-
ряда (т. е. при Ф = л/2),
Е = ~= . G7.20)
У?2 Vi - Р2
Поле как бы сплющивается в направлении движения
заряда, причем тем сильнее, чем больше v.
Найдем магнитное поле. Согласно G7.11) и G7.7)
= -J-[Vq>, v] = -4-[v, УФ] G7.21)
(напомним, что v — константа).

318 гл. xiv. тл^чгниг' эяг: j,"a'«r>;:';¦>;,:- 5п;;,
В соотзетс^з/^.-г. ¦'¦$•=¦:?: ..
_*ф = Е + _1 <* ,^,, 1, :>.™ .^j^lcC, П..
(мы приняли во внимакш: соотношение G7.7),, а та;'г
же то обстоятельство, что с-сопость не зависит от /).
Подставим выражение G7.22) для — Уф в G7.21):
Второй член является вентерным произведением кол-
линеарных векторов и, следовательно, равен нулю.
Таким образом,
В - ¦» [vEJ. G7.53)
Мы видим, что веетор В з яяждой точке, перпендику-
лярен как к вектору v, nx и к вектору Е. На оли х
векторы v и Е кая.зинс-а^кч... C4eiO4.aT.4!iM5ij.,Ha «эти
оси В =0.
Если в фс>з?лулу G7.23',. пйу;птят«ь,р'<1рд'ке'--'н,'?,.
G7.17) для 1,,7г,'лу«аетг".
с } j — ';: :¦'¦<. ^ "
При и <С с G7.2<) >?ер^.л;,\--.". ч rV>v-'-¦•::;,>-.
Закети?л, что нгш?.ччея-чя '77 J 7) и »/? ?Л'-. чо>'-м'о.
ПОЛУЧИТЬ С ИОМОоИзЮ fbOfifiV/. ПО$'Обо.;г-??)а?а:;?. .ПО-п'1й,.
F2.2), исходя из того, что л сисете ^7 t;' -"--с?/*¦',* ,
В'=. 0. Реюнелчуен. с¦;.?.; i::'i<. зго в ^оол.'Д? укор/й-..
кеикя.
§ 78. R'i к заряда, д^,к5ч;?°глся. ""¦'•"^1;'»л».:'о
Найдем поле заряда., ц.^:;'^уа^гося с угхооеинеу..
Пусть движение прсч.-лод^.т :ю "-ря^ктоо^н г.,== ri-i'*
(рис. 78.1). Вычистим пс/е. в точке, наблюз.сш'ч. г' ,
определяеуол. r;^i.4Vcov'-,'T'i"-(it)f'Ai г . Всчрдс^вие -л*.
паздывания потенциал^' ь точче Р в момент / 6^jivt
определяться лоложенчог,. ъ CK:S]?ccxJ-y?) запчда .че .в
тот же м бй/

ГA лт ->' и _ г 1 ">' , м ' J ' Г "• 3}<
1 '<•
I
и
(это выражение есть vio cyta; г,r>Y "л-гдр^т интервала
между событиями цогяик:.;О1ч-.ния сигпалл н одной
точке и прихода его в другую теку).
Свяжем с зарядл^ систем/ отсчета К'. 3 этой си-
схама заряд покоится и, олелос^тгльиз, потс:лциалы
где г' и г — кесто и. пуемя я.аблюдсункр... определенные
и ^.нстеме К', R'—-расстокги» между точкой, в кото-
рой находится ззряд, и точкой наблюдения. !гки:л сб-
>1чноы, 4-коте>и1.иал г:оля е. систем*: К'' имеет ьяд
G3.5)
Попытаемся найти такз-г. выражение для 4-потен-
циала, которое при v = 0 обращалось бы в выраже-
ние G8.5). Очевидно, что в произвольно взятой
системе отсчета потенциалы должны зависеть от

320 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
скорости заряда v. Поскольку мы ищем четырехмер-
ное выражение потенциала, скорость нужно ззять в
виде 4-скорости
\ *у 1 — о /с * -у I — v jc j
Если положить 4-погенп.иал пропорциональным
4-скорости, то при v ---= 0 векторный 17отеациал А
тзкже будет равен нулю. Дглее, в знамена'^ле вре-
менксй комксиенты 4-г?отAиц!,яла G3.5) сгон'г времен-
ная компонента 4-вектора G8.2). Следовательно, в
знаменатель искомого выражения для Ам следует вве-
сти 4-вектор R>x, причем для того чтобы получилась
правильная размерность, его нужно умножить на
4-скорость (в числитель мы уже ввели 4-скорость).
Таким образом, 4-погенциал нужно определить
следующим образом:
i4'l==-v?7^7- G8-6)
v
Подстановка значений R'-' v ил. дает, что
{—А .%] \ -_. у/г'1
Следовательно, выражение G8.6) можно записать
в виде
откуда
Нетрудно заметить, что при v = 0 выражение G8.7)
действительно переходит в G3.5).
Приняв во внимание, что сх = R, запишем выра-
жения потенциалов следующим образом:
(мы применили обозначение 0 = v/c).

§ 78. ПОЛЕ ЗАРЯДА. ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОИЗВОЛЬНО 321
Выражения G8.8) и G8.9) называются потенциа-
лами Лиенари — Вихертп. Чтобы получить значения
потенциалов в момент времени t, значения v и R
в правых частях G8.8) и G8.9) нужно брать в мо-
мент (а, определяемый успсинии
/ _/ j #(*о; _ f |г — Г0 (t0)]
«о — i ¦ т — i — i
Запишем это условие в виде
F(x, у, z, t, to) = t-to-
ft 2 ^ +12 -2» Со)]
G8.10)
Правые части выражений G8.8) и G8.9) суть
функции от to, которое в свою очередь есть функция
от х, у, г и t (х, у, г — координаты точки наблю-
дения)
*„ = /(*. U, г, t). G8,11)
Соотношение G8.10) представляет собой неявное вы-
ражение функциональной зависимости G8.11).
При нахождении полей по формулам
Е = _.. Уф _. _L j|*. г з = [vA]
надо вычислять выражения вида д<р/дх{, dh/dt и
dAk/dxi, где я,- — координата точки наблюдения. По-
скольку функции ф и А зависят от х, у, z, t сложным
образом — через *0 = f(x, у, z, t), вычисления придется
производить по следующей схеме:
л». — л* л». » \io.i~}
^.==.^^2., G8.13)
dxi dta dxi
Из соотношения G8.12) вытекает, что
_. дФ г,, /то 1 cv
уф === "я7~ »'о- \io.lo)
Ц И. В. Савельев, т. 1

322 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Таким образом, нам понадобятся значения произ-
водных dto/dxj и dto/dt, которые можно найти с по-
мощью соотношения G8.10). Запишем это соотноше-
ние в виде
Fix х г t П-t t {
с
= ?-*0--Ш^-=,0. G8.16)
По правилам дкффере'щкзэгьния неясной функции
Продифференцировав G8.ЬЗ) по Д.,, получим
Приняв во внимание, %uv i',-..-- ^-i~-~Ri, a дхы/dto есть
i-я компонента скорости ааряда в момент jq.. придем
к выражению
Аналогичные вычисления дао;-
_^_^: ._.?/.. G8.18)
Разделив G8.18) на G8.1?) и изменив знак на об-
ратный, получим
_^
dxt с (R - R?) '
откуда следует, что
*'--M/rhsr- G8Л9)
Теперь найдем dto/dt. По правилу дифференциро-
вания неявной функции
dt ' dFfdt0 *
Производная функции F (см. G8.16)) по t раана еди-
нице: dF/dt=\. Производная dF/dto определяется

§73. лсл?. заряда. даизэтигося произвольно 323
?жен,:гм G8.l??. След^л'^аыю,
§
G850)
Прр& ступим к еычьсл^кйю ы.ачский dip/dto a
Согласно G3-8)
? _? й _ р J_
Из соотношений R = с{/—- :'g), R = r —го{^') выте-
кает, что
^5. _ _- Л - i3fi — _„ '»¦ \
di0 — с' di0 ~~ dia ~~ 7^>-
Кроме того, d$/dto~$ — vfc, где v — ускорение за-
ряда в момент 10. Слеповат~jai№,
дф _ е (-с + # - Rp) _ е* A - (JJ
==
Согласно G8.9)
'ot0
ПодстаноЕка г;и=о?Ж';н.
для -ф дзет
р
I ЗА !? .... s дА д(,
ь« -уф —у -^ --- ^*/ а ~Г1и й
(см. форм-vaLi. Gя.',5) к G*3.1.3)\ . Постановка сюад
выражен^ GS.21), ^-.IS) ,("?.!i.'22) и G8 20) азет
G8.23)
И*

324 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Сгруппировав вместе члены, содержащие ускоре-
ние заряда v (т. е. Р), можно привести выражение
для Е к виду
.
Числитель Бторого слагаемого можно представить
в Е-иде двойного векторного произведения [R[(R —
— /?Р),Р/с]], в этом можно убедиться, раскрыв это
произведение по формуле «бац минус цаб» (см.
(VI. 5)). В результате подучим окончательное ныра-
жение
HEJ!ov.wi;b;, что значелпя В', J (/. a vj и В .:.т. е. v)
в это формуле должны Суть игяты в v-av^v.i- вре-
мс«;^ /о ~- ^ - — '?¦
ПОЛ-:;, GUKefciKi,--.W,G'! &->\,Л\'1-Л-.,ЖЧЬ\ GЧ2&,.. f!.<-T;r,w_
кз дву'; уя.^г<;й. OasiJ^s зйлл'гиз' та?ько от скорости
заряда к к;; больших расстояниях уйш*ао.т: '.¦:ак !/7?2
(т. е. как кх'лоно^гкое п.зле). Втора" часть аар.и.-;ит,
кроме скорости заряда, также и от и'о ускорения и
на больших расстояниях убывает как 1//J (т. е. как
напряженность поля в сферической электромагнитной
волне).
Если заряд движется равномерно, второе слагае-
мое в формуле G8.24) обращается в нуль и поле
определяется следующим выражением:
- е ^TT^pja ¦ G8.25)
Здесь индекс «О» при R подчеркивает то обстоятель-
ство, что значение R берется в момент времени to,
при 0 индекс «О» мы не поставили, поскольку при
равномерном движении 0 не зависит от /.
В § 77 мы получили для поля равномерно движу-
щегося заряда формулу G7.17), которую можно за-
писать в виде
Внешне формулы G8.25) и G8.26) сильно отличаются
друг от друга. Однако легко показать, что на самом

§ 78. ПОЛЕ ЗАРЯДА. ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОИЗВОЛЬНО 325
деле они тождественны. Дело в том, что в формуле
G8.25) поле выражено череп расстояние от заряда до
точки наблюдения, взятое а момент времени t&=t — х.
Б формуле х<е G8.26) поле выражено через расстоя-
ние от заряда до точки наблюдения, взятое в моыент
наблюдения i.
Чтобы доказать тождественность формул G8.25)
и G8.28), обратимся к рис. 78.2. Расстояние ОР есть
/?о, еР равно R, отрезок Ос. хть путь, проходимый за-
рядом за время запаздывания т. Приняв во внимание,
что х = Ro/c, этот путь можно представить в виде /?оР-
Векторы Ro, R и i?oP связаны соотношением R =
— Ro — MoP, из которого следует тожаественкость чис-
лителей формул G8.25) и G8.26).
Длина отрезка OQ ргр.:-;а прсегник неитора /?ор
на направление вектора R()
Следователько,
QP = j?0-Rj
G8.27)
(ср. со знаменателем формулы G8.25)).
Выразим отрезок QP «ге^ез R. Из рис. 78.2 видно,
что
(QPJ = R2- ft2 == ?2 - (ftji wn кJ.
Далее, опять-таки из рисунка следует, что /?3sina =
= /? sin Ф, так что
откуда
QP =
G8.28)

326 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Наконец, приравняв правые части выражений
G8.27) и G8.28), придем к соотношению
#о - К<# = R Vi~^-p2sin2*.
кз которого следует тождественность знаменателей
формул G8.25) и G8.26). Таким образом, мы пока-
зали тождественность выражений G8.25) и G8.26).
Пеоейдем к нахождению ноля В. Согласно фор-
иулс (XI. 56)
1
(А заикейт от координат ч-чг^лз U, подобно тому как
е формула (XI. 56) а заьнс;п от координат через %).
Пэллтахив выражения. GЯ.19) и G822\, получим
Ч-
Добавим в числителе второго сомножителя слагаемое
R(!—S2 + Rfs/c). От этого Быражгние не изменится,
так как !RRJ = O. Однако второй сомножитель при
этом превратится в Е (см. G8.23)). Таким образом,
МЫ ПрИХОДИМ К COOTHOHieHFiO
] G8.29)
Здесь R —R(*o). Из G8.29) вытекает, что вектор В
в каждой точке перпендикулярен к вектору Е и к век-
тору, проведенному из точчи, в которой находился за-
ряд в момент to, в точку нгбли;дек/гя.
§ 79. Поле, создаваемое системой зарядов
на больших расстояния!:
Пусть имеется систем.) движущихся зарядов, не
выходящих при своем движении за пределы некото-
рого объема. Систему будем предполагать в целом
нейтральной. Рассмотрим поле, создаваемое такой си-
стемой на расстояниях, больших по сравнению с ее
размерами. Поместим начало координат внутри си-
стемы. Распределение заряда охарактеризуем с по-

§ 79. ПОЛЕ ЗАРЯДОВ НА ЗОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 327
мощью функции р=-р{г', ;)¦ Тогда заряд, заключен-
ный внутри объеал а?', р.:;:_сложенного в точке с ра-
диусом-вектором г', будет равен de{i) — p(r', t)dV.
Радиус-вектор точки наблюдения /• обозначим через г.
Кроме того, введем обозначение R = r — г'. Очевидно,
что R есть вектор, проведенный из de в точку Р.
Напишем выражения G6.11) и G6.12) для запаз-
дывающих потенциалов поля, создаваемого системой,
G9.2,
По предположению г ^> г . Поэтому величину R —
= Jr — r'| можно рассматривать ;<ак значение функ-
ции /(г) = jг | = г в точке г-{-&-, где бг — —г'. Вос-
пользовавшись формулой f(r -}- бг) = f(r)+ V/(rNr,
можно написать
# = | г — г71 = г -f Vr (-?') -.= г — -?- г' =-- г — а-г', G9.3)
где я" есть орт радиуса-вектора г.
Подстановка значения G9.-3) п формулы для по-
тенциалов дает
Ф (г, 0 = j —'
А (г, /) = ~ J ->- —"гР-1- • G9-5)
Мы видим, что время запаздывания т слагается из
двух частей. Одна из них, равная то = г/с, не зависит
от г' и называется временен запаздывания системы.
Она определяет время, которое требуется для того,
чтобы электромагнитное нозмущение прошло путь от
начала координат до точки наблюдения. Вторая часть,
равная т' = —-пг'/с, называется собственным запаз-
дыванием. Она характеризует время, необходимое для
распространения возмущения в пределах системы.
Разложим подынтегральное выражение в G9.4)
в ряд по степеням отношения г'/г. Рассматривая

328 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
величину —пг' как малое приращение 8г аргумента г,
получим
г - пг'
' J ("ПГ') + • ¦ G9-6)
"тп -ч-я---с"гг г')—>—а о ™с- мсжгс w ограни-
чь ! и 1 < -\ it h H-1JI 'C3iJl »-i 4'f^dHiH, ИуЖНО
i , 4", ( «; о j-sv i гнои Б .и чаекы
^ L т p -.1 n^c ' i irit p i< r J ахко га-
^ j . jC - i ^ ^!'t. ic,' H*rl
откуда
Анао';огичко
Последовательное дифференцирование функции p/r
по л с последующей заменой производных по г произ-
водными по / дает
дт (р_\ ,\( 1 V
дгт \г ) = + Т \~ Т)
i(b последней строке мы выписали только последнее
слагаемое).
При больших г первые члены в написанных нами
производных иного меньше последних. Поэтому наша

§ 79. ПОЛЕ ЗАРЯДОВ НА 15ОЛЫ11ИХ РАССТОЯНИЯХ 329
задача сводится к оценке относительной величины вы-
ражений вида
Т{-Т) -д1*г(-п') =ТКТ) -^
(в разложении G9.6) tn-я производная умножается
на (бг)т).
Допустим, что р изменяется со временем по гармо-
ническому закону р со cos at. Тогда in-я производная р
по i будет порядка атр. Подсганов:са в G9.8) дает
где I — .линейные размеры (;=¦::г^матуйягю;-.;.;^? системы
зйпядоо.
- \ с }
•"• -чу v !>':."' ' . >, '^ . :. > -\\
р'-"П.> <* v • ', " .1 г' , F ™ ' f «¦ : t ,;,-•-.
Зчкенив чгичч.; f; civ- i u ei'c" "; f о . ^', '/'">-
сэ = 2к/Т), получки
iiitjc = 2nl/cT -' Ijcl.
Из сказанного вытекает, что последующими чле-
нами в разложении G9.6) можно пренебречь, если вы-
полняется условие
1/сТ < 1. G9.9)
Отношение 1/с определяет собственное запаздыва-
ние т7. Следовательно, условию G9.9) можно придать
вид
т'<7\ G9.10)
Из G9.10) следует, что ограничиться первыми чле-
нами разложения G9.6) можно в том случае, когда
время, необходимое для распространения электромаг-
нитного-возмущения в лределах системы, много мень-
ше времени, за которое распределение зарядов в си-
стеме меняется заметным образом.
Условие G9.9) можно написать еще двумя спо-
собами. Произведение сТ дает длину волны X

330 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ Е'.ГГ'КТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
излучения, возбуждаемого системой. Поэтому соотно-
шеьаю G9.\:'j иожта щчу^ъ вид
/•С Я G9.11)
(размеры системы должны быть много меньше длины
волны).
Наконец, приняв во внимание, что 1/Т по порядку
величины равно скоростч v движения зарядов в си-
стеме, можно вместо выражения G9.9) написать
v С с. G9.12)
Из последнего соотношения видно, что, оборвав
разложение G9.6) на втором члене, мы ограничи-
ваемся рассмотрением излучения нерелятивистской
системы зарядов.
* Обратимся снопа к вычислению потенциалов, по-
лагая у-л-тезия G9.10) — G9.12) выполненными. Под-
становка G9.S) ц G9.4) дает
ir'rfV'Ij G9 13)
1 По
, л-
ч
I
«¦ r .4 rj~^"h>" *' rp Ч К f n CM M
Интеграл в этом пыражския есть но что иное, как ди-
полькый электрический момент, которым обладала
система в момент / — г/с,
о ('-f И "С: '-'-г) ''"¦"'

S 79. ПОЛЕ; ЗАРЯДОВ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 331
(ср. с D3.6)). Поэтому можно написать
ф(г,0—п^^Ц-а. G9.14)
Наконец, осуществив дифференцирование и приняв во
внимание, что др/дг — — A /с)др/di = —A /с)р (ср.
с G9.7)), получим
Первый член в этой фермуле совпадает с потен-
циалом D3.9) статического диполя (n-~r/r). Отме-
тим, что отвечающее этому члену поло на расстоя-
нии г н момент / онред'.;лиете;:. значением диполыгого
момента в момент t — г/с. П'ераый член убывает с рас-
стоянием г гораздо быстрее, чем второй член. По-
этому, рассматривая поле иг больлшх расстояниях,
можно положить
(,, ft^wJLlLLiFl. G9.15)
Перейдем к определению векторного потенциала.
Формула G9.2) отличается от G9.2) лишь тем, что
вместо р(г', / — R/c) под лъгкоы интеграла стоит
j(r, t — R/c). Поэтому, рг^яо.-'Кив подынтегральную
функцию в ряд, получим выраж'ские, аналогичное
G9.13),
Если бы токи были стационарными, т. е. не зави-
сели от /, то первый интеграл был бы равен нулю
(см. E1.5)). Однако для нестационарных токов этот
интеграл отличен от нуля. Поэтому в разложении
G9.16) можно сохранить л-iUi) первый член1). Такии
образом, можно положить
') В формуле G9.13) мы не могли пренебречь вторым чле-
ном, поскольку первый был равен ну^ю.

332 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛРЖТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Докажем, что \ j (г', / — rjc)dV' равен производ-
ной по времени от дипольного момента системы, взя-
той в момент t — г/с. Доказательство проще всего
осуществить, перейдя от непрерывного распределения
зарядов к прерывному. Произведем замену
(скорости зарядов, как и функцию pv, нужно взять
в момент / — г/с). Однако
2 eaVa = 2 еаК == 4f S «Х = Р С ~ Ф)-
Таким образом,
А(г,/) = -^^-. G9.17)
Сравнение с G9.15) позволяет написать
ср = Ап. G9.18)
Потенциалы G9.15) и G9.17) определяются зна-
чением производной по времени от дипольного момен-
та системы. Поэтому они называются потенциалами,
вычисленными в диполыюм приближении. Дипольное
приближение допустимо при соблюдении условий
G9.10) —G9.12).
§ 80. Дшюлыеое. излучн:ие
Область поля, отстоящая от излучающей системы
на расстояние г, много большее не только размеров
системы /, но и длины волны излучения ('»Х>/)>
называется волновой зоной.
В волновой зоне выполняются условия, при кото-
рых справедливо дипольное приближение, рассмот-
ренное в предыдущем параграфе. В этом прибли-
жении
А (8 }
^ ст сг х '
(см. G9.15) и G9.17)).
Чтобы вычислить Е, нужно найти Vq> и dA/dt. При-
менив формулу (XI.51), получим

§ 80. ДИПОЛЬНОЕ: ИЗЛУЧЕНИЕ 333
(напомним, что n — e, ==r/r). Следовательно,
м-4я-#п (80.2)
(мы воспользовались т«;м обстоятельством, что
/p/)
Первый член в полученном нами выражении убы-
вает с расстоянием гораздо быстрее, чем второй. По-
этому на больших расстояниях им можно пренебречь
и считать, что
1 <?',*¦ in;:} i
с oi с i'
::&Ki<ipEoe крошу,?.-;;;;: r.ivU; uo :-<.rnv:.v
скос:, ноле сги.едр/И'етея фсп.'-fis i-яй.
Перейдем к вычисленш'З магнитного поля. Вектор-
ный потенциал является функцией от г. Поэтому со-
гласно (XI. 56)
Щ- (80.3)
Дифференцирование выражения (80.1) для А дает
дА d^ (bit- г/с) \ р р_
дг дг \ сг ) сг* сЧ
(ср. с (80.2)). Отбросив член, пропорциональный
получим, что дХ/дг = —р/с2л Таким образом,
Напишем окончательные выражения для Е и В.
^|, В = -^[рп] (80.4)

334 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
(напомним, что значения р должны быть бзяты в мо-
мент t — т/с). Сопоставление этих выражений приво-
дит к заключению, что
Е == [Вп], (80.5)
откуда вытекает, что вектор Е перпендикулярен к век-
тору В. Из выражений (80.4) следует, что векторы Е
и В перпендикулярны к вектору п (перпендикуляр-
ность Е к п следует также и из (80.5)). Таким обра-
зом, как и в плоской волне, лекторы В, Е и п взаимно
перпендикулярны (см. формулу G2.16) ')). Кроме
того, векторы В и Е, как и в плоской волне, одина-
ковы по величине, причем
? = B==i?i^L», (80.6)
где О — угол между направлениями векторов р и п.
В том, что для изучаемого наги поля оказались
справедливыми соотеои1гишя , нэоЗи'Лпаемъ'е 7-йч пло-
ской волны, нет ничего удя-;п"'лы!ого . На оэсстоя-
ниях, больших по сразкеаию с размерами излучаю-
щей системы, вслрл iuwmia б уть сфео^есАюЗ .Вме-
сте с тен нри услозий, чю г ">? ?,, небольшие участки
сферической волны пс&кя^д^сли •-¦*>?& аллтя с 'тле-ск'^й.
войной.
Как следует- чл. фй4}, .¦•;>«-i f.« Б опред^лшотга.
второй производной от д{;шд5„иога momc-f па системы.
Поэтому рас?маг^*кля*:;я>.;''';;у})ещ'е н^зыеясгся. ди-
пэлъкы,?...
ct . ^.d'ir^^vz.r^№.,vv~2u?T '"— Lj ^v -Отсюда
вытекаег, что зарядк иглучают электромагнитные
волны только и то у.. гн\чл,:*., когда ofik ;/додатря
с ускорением.
Чтобы уяснить себе ка'.Ш'иу поля на болынях рас-
стояниях, введем сферическую систему координат,
причем полярный угол *Э буцем отсчитывать от ка-
правлени» ректора pit— r/'Д (рис. 80.1). Согласно
') Ушгажви сооткошенче C0.5) слева i ;a n и используем
формулу «баи минус цаб*:
= [n [Bni ! =-- Ь (лп) ~ и (пВ) = В.
Мы пришли к форму1"- ;';f> f * i'стотй л/с\\-= 1, Н -- В).

S 80. ДИПОЛЬНО); ИЗЛУЧЕНИЕ
335
(80.4) вектор В перпендикулярен к плоскости, опре-
деляемой векторами р и п. Следовательно, В направ-
лен по касательной к «параллели», причем векторы р,
п и В образуют правовинтоьую систему.
Из (80.5) следует, что векторы В, п и Е образуют
правовкктовую систему. Отвода вытекает, что Е на-
правлен по касатель-
ной к «меридиану»,
причем на «экваторе»
направления р и Е про-
тивоположны. Еще раз
подчеркнем, что изо-
браженные на рис.
80.1 векторы относятся
к разным моментам
времени: р к моменту
/—г/с, а В и Е — к мо-
менту t. Модуль век-
тороз В и Е пропор-
Рис. S0.1
ционален sin ¦& (см.
(80.4)). Следователь-
но, поля имеют наи-
большую величину на «экзагсре* и обращаются в
нуль на «полюсах*.
Чтобы определить иктек:.чг кость излучения в раз-
ных направлениях и общую мощность излучения, вы-
числим вектор Пойктингг. Приняв зо внимание
(80.6), получим
р2 sin2 Ф
П.
(80.7)
Таким образом, интенсивность излучения диполя про-
порциональна sin2О. Соответствующая диаграмма на-
правленности излучения имеет вид лепестка.
Для определения мощности излучения I найдем
поток энергии через всю сферическую поверхность.
Площадь сферического пояска угловой ширины dd
равна 2nr* smfta'ft. Следовательно,
-4тг- (8Q.a)

336 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Пусть из всех зарядоз скстеыы ускорение?? обла-
дает только один. Тогда р — X Va —: е^ и ь'эщяость
излучения равна
Эта формула справедлива и в том случае, когда име-
ется только один заряд, движущийся с ускорением v.
§ 81. Магнитно-дипол ьлое и квадрупольнсе
излучения
Если свойства системы зарядов таковы, что р = О,
дипольное излучение не возникает. Однако это не
означает, что излучения нет вообще. В этом случае
нужно учесть те члены разложения потенциалов, ко-
торыми мы пренебрегли з днпольном приближении.
В предыдущем параграфе было выяснено, что
в волновой зоне волна в небольших областях близка
к плоской волне, для которой справедливо соотноше-
ние (80.5). С помощью ;iToro соотношения зная В,
легко найти Е. Для нахождения же 8 достаточно
знать только А. Поэтому мы ограничимся нахожде-
нием векторного потенциал?.
Рассмотрим второй ч/;ен форъ^уяы G9.V3), кото-
рым мы пренебрегла в днпопьком пгд-'.бл;ж?лши. По-
скольку в интересующем нас случае первь:;з член в
G9.16) равен нулю, векторный чот^шуал наеат вид
А (г, /) = - 4- \— \l (г', t -- --) (пг') f,V') •
4 ' ' аг I с.т J * \ ' с J к ' )
Осуществив дифференцирование яо г, мы получим два
слагаемых. Одно из них будет пропорционально 1/г2,
второе пропорционально 1/г. Первое слагаемое убы-
вает с расстоянием гораздо быстрее, чем второе. По-
этому мы пренебрежем им, как это делали уже неод-
нократно. Кроме того, мы учтем, что д\/дг =
= — (\/c)d\/dt. В результате получим
А (г, 0 = 1ST ж S *{Г/' l ~ ф) (ПГ'
Чтобы упростить дальнейшие выкладки, перейдем
от непрерывного распределения зарядов к дискрет-

§ 81. МАГИИТНО-ДИПОЛЬНЫ!'. И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ПОЛЯ 337
кому. Тогда выражение для А примет вид
Значения va и г^ берутся в момент / — г/с.
Выражение, стоящее в (81.1) под знаком суммы,
можно предстазить следующим образом:
v.K)-^(r'eK))-r'e(nye). (81.2)
Разобьем va(nr^)Ha две равные части и заменим одну
из них половиной выражения (81.2):
Va «) = 4 V* (О + ТЖ К «)} -ТГ'° (»*-)•
Первый и третий члены можно представить в виде
двойного векторного произведения: 7г[" [va, г^]] (в
этом можно убедиться с помощью формулы «бац
минус цаб»). Таким образом,
Подстановка этого выражения в сюр мулу (81.1)
дает
Смысл индексов m и Q вниснится в дальнейшем.
Вынесем в персом члени л за знак суммы и поме-
няем местами уо и ra'. В результате этот член при-
мет вид
Первый множитель есть магнитный момент m системы
(см. формулу E1.15)). Поэтому можно написать, что
Ат^~г[тп], (81.4)

338 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
где m = dtn/dt берется в момент времени t — г/с. Та-
ким образом, потенциал Ат определяется изменениями
магнитного дипольного момента. Поэтому соответ-
ствующее излучение называется магнитно-дипольным.
В случае магнитно-дипольного излучения магнит-
ное поле равно
(ср. с (80.3)). Если пренебречь в дАт/дг членом, про-
порциональным 1/г2, и заменить д/дг на (—1/с)д/д}{),
получим
В I" [mn!]НП1 1
Воспользовавшись эквивалентным (80.5) соотно-
шением G2.16), получим, что
Ет = — -^г [ir.n] == ~^r [nmj.
Итак, поля при магнитио-дипольком излучении
равны
(81-5)
Сравнение полученных результатов с формулами
(80.4) для дипольного излучения показывает, что Вт
выражается через m точно такой формулой, какой Е
выражается через р. Формулы для Еот и В отличаются,
кроме замены р на т, еще и знаком. Отсюда сле-
дует, что картину поля при магнитно-дипольном излу-
чении в волновой зоне можно получить, заменив на
рис. 80.1 р на m, E на Вт и В на — Ет.
Обратимся ко второму члену формулы (81.3), т. е.
к выражению
iiZ'.riK). (81.6)
') Напоминаем, что т ™ ш (/ — г/с).

§ 81. МАГНИТНО-ДИПОЛЬНЫЕ И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ПОЛЯ 339
Добавление к AQ выражения /(/')п (f(r) — любая
функция от г) не изменит ВС1, так как {V,f(r)n] = Q
(см. (XI. 54)). Возьмем в качестве /(г) функцию
_.-__
(га есть функция аргумента (г! — г/с), которая при
воздействии на нее оператора V ведет себя как функ-
ция от г). Умножив эту функцию на п и прибавив ее
к (81.5), получим
Напишем выражение цлн i-й компоненты век-
тора Ас:
А =
Qi Ьс2г д?
\ к
Последний член в фигурнь.,\. счойк-лх можно предста-
BF^Tb в виде Y,r'a^iknk- '^oril! AQ' будет выглядеть
следующим образом:
~ Ich dt* I.. .Л* L в
Но сукма по а есть Qit— ¦.¦хлшоис.нта тензоре', квад-
рулслького момента систеьгы (см. формулу D3.13)).
Следовательно,
где Qi — компонента вектора, получающегося при ум-
ножении вектора п иа тензор Qik. Обозначив этот век-
тор символом Q, можно написать
Потенциал Aq определнется изменениями квадру-
польного момента системы Поэтому соответствующее
излучение называется квадрупольным.

340 ГЛ. XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Магнитное поле квадвупольного излучения равно
При вычислении дКо/дг пренебрежем членом пропор-
циональным i/r2, и заменим производную по г произ-
водной по t. В результате получим
Вз = ~-[Оп] FL8)
(мы переставили сомножители, чтобы не питать ми-
нус, вносимый множителей -~]/s).
Воспользовавшись ;х)олч;г,:ичи\:ш. ('<Л:ъ), r'.^}s:u,
что
| Г' • I , pi ^ч i vj t L \ ( ! Г ,
li ч , l< ' • 4' ' I ¦ i
 ' ' M " .i -1< I Г ' i • Г
I >
МОЩНОСТЬ BCCX 'i(J*i;i E.it ДОЗ НЗЛуЧСКИЯ ^В';'.Л1€ГЧ?Я ДИ-
польное) определяется варанением
Произведем оценку относительной интенсивности
излучения различных видов. Для простоты предполо-
жим, что заряды системы движутся по гармониче-
скому закону. Тогда
г' = 1 cos cat, v = 1(й sin <at,
где /—величина порядка размеров системы. Средние
значения модулей cosatt и sin a>t — величины порядка
единицы. Поэтому в окончательных выражениях, ха-
рактеризующих порядок величины рассматриваемых
выражений, множители cosW и sinoif мы будем от-
брасывать. Например, если не иметь в виду необходи-
мость дифференцирования по t, можно написать, что
г'~/, 1/~/<в. (81.11)

§ 81. МАГНИТНО-ДИПОЛЬНЫЕ И КВАДРУПОЛЬНЫЕ ПОЛЯ 341
Из определения D3.5) следует, что р есть величина
порядка ег', т. е.
р ¦-¦ el cos <at, p ~ ela sin &t, p ~ ela1 cos e>/.
Отсюда получаем, что по порядку величины мощность
дипольного излучения определяется выражением
(81.12)
(см. (81.11)).
Из определения E1.15) следует, что магнитный
момент имеет величину порядка er'v/c, т. е.
т '—— еРа cos at sin car ~ — era sin 2cof,
с с
— ePa2 cos 2at, m ~ — ePa>z sin 2m/.
с с
Отсюда
/n2 e^a6 eVu> . ...
ъi,(81.13)
Сопоставление выражений (81.12) и (81.13) дает,
что
Напомним, что вычисления полей излучаемых волн
мы осуществили для нерелятивистского случая (т. е.
для у-С с). Следовательно, в исследованном нами
случае интенсивность магнитно-дипольного излучения
мього меньше интенсивности электрического диполь-
ного излучения.
Согласно определении) D3.13) квадрупольный мо-
мент (а значит, и вектор Q) есть величина порядка
ег'\ т. е.
Q ~ eP cos2 at, Q ~- ePm cos at sin at ~ e/2co sin 2at,
Q — ePa2 cos 2<at, О ~ еЧ2аъ sin 2at.
Следовательно,
/q ^s ^5 ^5—• (81.14)
Таким образом, квадруполыюе излучение обладает
интенсивностью того же лорядка величины, что и маг-
нитно-дипольное излучение.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Уравнения Лагранжа для голономной системы
с идеальными нестационарными связями
В случае нестационарных сзязей условия D.2)
имеют вид
ft(xlt хъ ..., хп, /)= ") (/-=!, 2, .... п. (I. 1)
В соответствии с этим времл "лод.ят и в функции D.3):
х, =,, х, (ди q2, . .., q%. {) (i == i, 2, .. ., п.). (I. 2)
В формулах D.4) н D.5) появляется еще одно сла-
гаемое
дх, ^-i, tJjc?
Из A.3) следует соотношение
совпадающее с D.G). Формулы D.7) также остаются
без изменений:
дх
— ==0. A.5)
ИХ
Поскольку величины -^-— Оудут содержать не
только qk, но и /, вырая:ение D 8) немного услож-
нится:
dt dqk dt \ dqk ) Zj oi/j \ dqk )
d*x. v-^ ^2л;, .
dtdqk ' 2L. <?^а^

I. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖ/ ГСЛОНОМНОЯ СИСТЕМЫ 343
Продифференцировав выражение A.3) по qk, получим
dqk\dt )^ L
Сопоставив это выражение с A.6), приходим к соот-
ношению
дх, й дх.
dqk dt dqk s '
совпадающему с D.9).
Умножим уравнения
dt дх, dxi "¦•- ' t I ' > • • • > /
дх
(см. D.1)) ка -^-— и просуммируем их по /:
'. дх,
JL*i \dt дх{ I dg, /Li дх, 3/.
дх.
V
Поскольку использованные, a >j 4 г;ри среобрйаовании
.'ieFifi(;. :i,accvi утого ^размен4.я соотношения ^4.0), D?)
и D_?j астг.;:"лсь б^?, кзг.м1Ч*.;^й:й Гсм. A.7), A.4) и
A.5)), не изменится и результат. Следовательно, ле-
вая часть A.8) может бы г.? представлена з пэде
Ё1 _ .
(см. абзац, предшествуюш.кй формуле D.15)).
Прежде чем перейти к рассмотрению правой части
формулы A.8), обсудим следующий вопрос. В случае
стационарных связей Xi~Zi(qk) и приращение коор-
динаты :и за время dt будет равно
<L9>

344 ПРИЛОЖЕНИЯ
где dqk — приращения обобщенных координат за вре-
мя dt. В случае нестационарных связей *; = je, (<7*, /)
и приращение xt за время dt равно
где опять-таки dqk— приращения координат д^ за
время dt.
Если бы связи вдруг п.еогсталн изменяться .. —тт-
с'[(Эт^.чйСо бы з луль и q r j iv.a (г 5Q) о > : ' оы
с (I 9) Ое/ч)? ечь {*> •, ij^j.' c.iarj.uO' ! л J)
rfv 7CT"-| 01 «Oj , ¦>i</f < , "Ce In |» '< -li th-
. ' ' ', L 'f U j', ¦< i С P Jl 3C . », ' . ;J>
i Ai ''' r Z ^ ¦'Z • ! i-;.l (i<iH L t ^ i J i)
,|,м^г'| < ч .' •! "'jTi ' ' ri '": s" "~ ',<-
}i -'I ; С CyV'.IJ НИ;ту?-" ' I1"" I,'\"CL ''- ' N I! '.i"l-
dx,
гаймого, рзшого ~-~ dt,
йл:4 = Ддс;-}-'-^-Л. (I. 11)
При стационарных связях виртуальное перемещение
совпадает с истинным.
Теперь рассмотрим первое: слагаемое в правой ча-
сти формулы A.8). Умножив его на dqk, получим
) <z« Ok ^0 - z ^ *"• <!-
где 6ж; — виртуальное приращение координаты xi,
возникающее в том случае, когда изменяется только
одна обобщенная координата <7*.
Работа реакций Rt при фиксированных нестацио-
нарных связях (так же как и при стационарных свя-
зях) равна нулю. Поэтому 2) R{ bxt = 0 и так .как
, то из A.12) вытекает, что
?*{?-«. а.

III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 345
Заметим, что истинная работа реакций нестацио-
нарных связей согласно (I. 11) и (I. 13) равна
и, вообще говоря, отлична or куля.
Итак, согласно (I. 13) парное слагаемое в правой
чйстй формулы (I. S) равнэ нулю— реакции связей
опять выпали из уравнений. Что же касается второго
слагаемого., то оно по определению представляет со-
бой обобщенную силур* (ел.. о?орь;улу A12)). Таким
образом, и ;.{л?. нестационарных ел язей мы пришли
к урзгч'е"г-лм Лагр^жа
¦-¦ 2 - - ... л*
при умножении ысск njetjetie^ jujl ча п^иач'К'К
личину a (pyiiKLV'i? уыксокзетсй н«з аэт» т. е.
/(ах,, а;:2, . .., a.vn)s=c;"V(*i, x2, .... г„
Продифференцируем это то.*:дестао по а:
п
df x=ma.m-''i{:ci, x2, ..... хп).
д (ах)
Положив а = 1, получим
-§jrxl = mf(xu x2, .... хп).
Мы доказали теорему Эйлера, которая гласит:
сумма произведений частных производных однородной
функции на соответствующие переменные равна про-
изведению самой функции на степень ее однородности.
III. Некоторые сведения
из вариационного исчисления
1. Функционал. Если каждому числу х из чисел
некоторого класса сопоставлено другое число у, то,
как известно, мы имеем дело с функцией у = у(х).

345 ПРИЛОЖЕНИЯ
Если каждой функции у(х) из некоторого класса
функций сопоставлено некоторое число Ф, то говорят,
что задан функционал Ф[у{х)].
Для наглядности мы будем иногда говорить вместо
функции о кривой.
Итак, функция устанавливает соответствие:
число —> число,
функционал же устанавливает соответствие:
функция (или кривая)—>число.
Таким образом, в случае функционала роль аргумента
играет функция (или кривая).
Поясним сказанное следующим примером. Пусть
даны на плоскости х, у две фиксированные точки /
v 2 (рис. III.1). Расстояние А2
v ежду точками, отсчитанное
вдоль соединяющей их кри-
вой, есть функционал. Чтобы
найтк аналитическое выраже-
ние, связывающее величину Л2
с функцией у = у(х), описы-
вающей кривую, учтем, что
_i— __—щ. элемент кривой dl связан cdx
v dij соотношением dl2 =
Рис. ill. I z=- {¦;)? 4- dy2. Представив dy
v. влде y'(x}dx, получим, что
dl = V^f ~+WTxWdF'- =•¦¦ - /' Г+WUW dx. H а ко ней.,
проинтегрировав и обо-пга-.пв in через Ф\у(х)], при-
дем к выражению
Ф[у(х)\-= \ \/'l~fWJx?dx. (HI. 1)
Беря разные кривые, т. е. разные функции у(х), мы
будем получать разные числа Ф.
Подобно тому как быаают функции не одной, а не-
скольких переменных, существуют функционалы, за-
висящие от нескольких функций: \}\(х),у2(х), ...
.... </*(*)')¦
•) Существуют также функционалы, зависящие от функций
нескольких переменных xt, хг хп. Однако такие функцио-
налы нам не понадобятся, н мы их рассматривать не будем.

III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 347
Если функционал удовлетворяет условиям
Ф [су (х)\ ~ сФ [у (х)] (с — константа),
Ф [yi (х) + у2 (х)\ = Ф [у, {х)\ + Ф [у2 (х)], (IIL 2)
он называется линейным. Линейные функционалы мы
будем обозначать символом Фт,„ или Рдан и т. п
Функционалы, зависящие от нескольких функций,
могут оказаться линейными гю отношению к одним
функциям и нелинейными гю стношскиго к другим.
В этом случае, например, симнол
будет означать функ^онал, лилейный относительно
функция уг(х).
Задачей пар:-ац1!икного шч¦¦лоленнк является раз-
работка методов нахождения экстремальных (т. е.
максима/SariiJx, минимальные п.'.л стаи.иснарных) зна-
чений функционалов. Эта зацачя во многом сходна с
задачек нахождении экстремуыев обычных функций.
2. Зараацкя фуцк^гшиал!;. Е>ыбер:зы нз рассматри-
ваемого клаесэ функций произгольную функцию у(х)
(чтобы отличить выбранную функцию от остальных
функций данного класса, мы Еоополыювелнсь значком
тильда). Затем выберем из того >:;-,; класса другую
функцию у(х). Разность этих двух функций назы-
вается вариацией функции у(х). Вариацию обозна-
чают символом бу(х) или, короче, 8у. Таким образом,
вариация функции определяется следующим выраже-
нием
6у ~ у (х) — у(х). (Ш.З)
Вариация функции аналогична приращению Ад:
(или dx) аргумента обычной функции: Ах = х—х.
Вариация 8у функции у {ж) есть, очевидно, функ-
ция от х. Продифференцировав эту функцию по х,
найдем согласно (Ш.З), что
(йуУ = tf (х) - у'(х).
Правая часть этого выражения представляет собой
вариацию функции у'(х). Следовательно, мы прихо-
дим к соотношению
= 6у' (Ш. 4)
(производная вариации равна вариации производной).

348 ПРИЛОЖЕНИИ
Выясним, какая величина в вариационном исчис-
лении соответствует дифференциалу обачяой функ-
ции. Напомним, что если функция непрерывна1), то
се приращение Аг/, pasной у(х) — у(х), можно пред-
ставить в виде суммы линейного относительно Ах сла-
гаемого и бесконечно малой величины порядка выше
первого по отношению к Ах:
Ду =.-= у' (?) ,\х + S Д.Х,
где е — величина, обращающаяся в нуль вместе с А*
(иначе можно сказать, что lim е = 0). Первое сла-
Ах-*й
гаемое в этом выражении называется дифференциа-
лом функции. Таким образом, дифференциалом функ-
ции называется та часть приращения функции, кото-
рая линейна относительно Ах.
Для функции у —- х дифференциал совпадает
с приращением. СледоЕ)ательно, Ах = dx, так что вы-
ражение для дифференциала функции можно напи-
сать в виде
dy = y'(x)Ax либо dy = y'(x)dx. (III. 5)
Если малому изменению функции (малой &у) со-
ответствует малое изменение функционала, то функ-
ционал называется непрерывным. Для непрерывных
функционалов можно ввести величину, аналогичную
дифференциалу обычной функции.
Приращение функционала АФ — Ф [у (х) -f- 8у] —
— Ф [#(*)] есть величина, зависящая от двух функ-
ций: у(х) и by. Следовательно, АФ — также функцио-
нал. Этот функционал, вообще говоря, будет нелиней-
ным. Если АФ[у(х)] уожно представить в виде
суммы линейного относительно 8у функционала
Fj!hh. пойу [у(х),&у] и бесконечно малой величины по-
рядка выше первого по отношению к \8у\тзх (макси-
мальному значению модуля функции 8у), то главную,
линейную относительно &у, часть приращения функ-
ционала называют вариацией функционала. Таким
') Более строго, нужно 6smo бы потребовать, чтобы функ-
ция была не только непрерывной, но также и дифференцируемой.
Однако функции, рассматриваемые в физике, как правило, если
непрерывны, то и дифференцируемы. Хотя, вообще говоря, в
математике известны непрерывные функции, которые недиффе-
ренцируемы.

III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 349
образом,
АФ[у(х)] = 6Ф[у(х)] + г\6у U, (III. 6)
где
6Ф [у (*)] = Fmn. „о в„ [у (х), бу] A11. 7)
есть вариация функционала, а е — величина, обра-
щающаяся Б НуЛЬ ВМеСТе С \Ьу \max-
Вариация функционала является аналогом диф-
ференциала функции, определяемого выражением
(III. 5).
Определение (Ш.7) легкс cfciftuiKV:-. пъ о.
6Ф [,-¦,_ (л:), г,'ч(л;}, .... /у,:{^Г] -;
;^;wl-\u-':"a- an. 9)
<j
a
Это приращение р^лно
= J [2y (x) by + FуУ) dx == \ 2y (x) by dx + J (бг/J Л.
a a a
Интеграл \Fyfdx не превосходит величину
{I б? |max -
максимальное значение модуля функции Ьу в интер-
вале а sg; х Ki ft. Выражение в фигурных скобках об-
ращается в нуль вместе с |бу|т«х. Следовательно,
ъ
\{byfdx можно представить в виде е|б(/|тах> где

350 ПРИЛОЖЕНИЯ
B-s-0 при !St/!,„ах —>¦ 0. Тогда
ь
М> = | 2у (х) Ц- dx + е i Ьу |т„
(ср. с (III.6)). Первое слагаемое в этом выражении
представляет собой функционал, зависящий от функ-
ций у{х) и бг/,
ь
Fmu. по ну \у (х), Лу] = J 2у (х) by dx. (IIS. 10)
Легко проверить, что этот функционал линеен ') по
отношению к 6у (см. условия (III. 2)). Таким обра-
зом, выражение (III. id) д:.ет вариацию функционала
(III. 9}.
3. Необходимое усномигг зксшемума функционала.
Начнем опять с аналогичных понятий из анализа.
О функции f(x,,xs , г .Л говорят, что сна имеет
в точке jei, х-2, ..., хп s>:<.<"':¦¦!№мум, с.сп'А п'2Ира1;!.ение этой'
функции
Л/ = /(»:„ къ к,.)-f Ни, ль ..., У
имеет o;)jm н тот л-.с гл:як для всех точек
(x;,x2, ..., л'„), принадлежащих окрестности точки
(y-i, х2, ..., Хп). При Д/г?! О в данной точке -;име?.т v.e-
сто максимум, при А/^ 0 — минимум.
В анализе доказывается, что необходимым усло-
вием для сущестБОванип экстремума в некоторой'
точке является равенство нулю дифференциала функ-
ции в этой точке:
Аналогично говорят, что функционал Ф [#(*)] до-
стигает экстремума при у~у(х), если приращение
функционала
') Данный функционал лпнееи также и по отношению к
у(х), но это не существенно — важна линейность лишь по отно-
шению к fit/.

111. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 351
имеет един и тот же знак для всех кривых у(х), до-
статочно близких к кривой у(х). При АФ ^ 0 наблю-
дается максимум функционала, при ДФ ^ О— ми-
нимум.
Найдем условие, необходимое для достижения
фупкглкомглогл *2>[</(Js)j экстремума пои у = у(х).
Рассмотрим для определенности случай максимума.
Есл;: ®[у(х)\ достигает максимума гри у~у{х), это
значит, что
для сеех бу "=бг/(х)', аля чатсф^х \6y\rw..x достаточно
мал. Ox<rv:4>! Oil Д) ¦-¦, (Hi Л)
ДФ -- О [и (:<) + Ы - Ф{g \Щ ---
== /•'.-.:.,. «, 6-/ 1.У (X), Э?] -f 6j by \^х (Ш. 13)
Выделим iij всех вс:;ыо.кны!с вариаций &у те, ко-
торые могут быть яредетапнель! в зчде. 6t(— orosj;,., где
6j/o—HewKH^i ¦фк^с.ироваш.г.я достгто">'а м-гтая ва-
p;:ai!.nw, « С4--^'-^ыенная а;'."ч'браичоская величина.
Подстйсшз .зту зацкадню з (:.П. 13) и vmt^, что б силу
ликейнс^см /''^{х\,абнс] =~ сл'^С!,(к),,буо1,, можно на-
писать
Ш---¦=¦ (if l?ii/\,,йцг}^ .*,!?,!t6>^\m a,.
В последнем выражении г [g(x) ,5i/ol есть просто
какое-то число. Если это число отлично от нуля, то
при достаточно малых а зна;>: АФ будет определяться
знаком выражения aF [у (х), 1>уо) (слагаемое еа|6#0|max
убывает гораздо быстрее, чем первое слагаемое1)),
а это выражение будет изменять знак вместе с а (ко-
торая может быть и положит ильной, и отрицатель-
ной). Таким образом, для выполнения условия (III. 12)
необходимо равенство нули» ьеличкны F[y(x), 61/0] -
Условие (III. 12) должно вытслняться для всех без
исключения достаточно мал^х вариаций бу. Мы же
обнаружили, что при 6Ф ф Ъ уотя бы для части ва-
риаций, имеющих вид a6t/o, указанное условие не со-
блюдается. Поэтому можно высказать следующее ут-
верждение: для достижения функционалом Ф[у{%)\
максимума при у~у{х) необходимо, чтобы его
') Условие е->0 при |6у [ям ¦¦¦'--0 з данном случае приобре-
тает вид lim е = 0.
о->0

352 ПРИЛОЖЕНИЯ
вариация (если она существует) обращалась в ну\яь
при у — у{х):
6Ф = f л„н. по Л„ [ij (*), Лу\ S3 0 '). (III. 14)
Видно, что, повторив рассуждения для случая ми-
нимума функционала, мы придем к тому же заключе-
нию. Следовательно, формула (III. 14) выражает усло-
вие не только максимум», но и минимума, т. е. экстре-
мума вообще. Эта 4орлУла является аналогом
формулы (III. 11).
4. Простейшая задача вариационного исчисления.
Найдем экстремум функционала вида
*>
Ф Ых)] =\f[x,y (x), у' (х)] dx. (III. 15)
х,
Граничные точки допустимых кривых предполагаются
закрепленными — для всех допустимых кривых
У(х\) = Ух, У(х2) = у2. (III. 16)
Приращение функционала равно
АФ = \ f [х, у + Ьу, у f tit/] dx~^f [х, у, t/] dx.
Разложим подынтегральную функцию в первом инте-
грале по степеням :лаль> величин ёу и &у'. В резуль-
у
тате получим
. У, У'1+
-\f[x, У, y']dx,
X,
где гFу,бу') объединяет члены порядка выше пер-
вого относительно величин St/ и Ьу'. Это выражение
упрощается следующим образом:
') Знак тождества подчеркивает то обстоятельство, что ус-
ловие (III. 14) должно выполняться для всех Ьу.

III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 353
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в пер-
вом интеграле. Для этого представим его в вида
X, ;,
(напомним, что 8у' —-- (8у)'; см формулу (III. 4)). Обо-
значив -Д- через и, a (ey)'dx через dv и воспользо-
и dxi == ш) — \ v du, получим
X,
d
Вследствие того, что граничные точки допустимых
кривых закреплены, вариация 8у в этих точках долж-
на обращаться в нуль: 6^(ai) = 0, 8y(x2) = 0. Поэтому
первый член правой части равен нулю. Следовательно,
Подставим найденное значшшг / в формулу (III. 17),
вынеся 8у за скобки,
X,
Главную часть ДФ образует первый интеграл, ко-
торый представляет собой функционал, линейный от-
носительно ду. По определению этот интеграл есть
вариация функционала Ф. Итак, вариация функцио-
нала (III. 15) имеет вид
х,
а условие экстремума (III. 14) запишется следующим
образом:
)y dx д/ j
Xi
12 И. В. Савельев, т. I

354 прилсжекия
Полученное тождество до.чж..чо екпслняться для лю-
бых достаточно малых функций 6tj = 6y(x). Это воз-
можно только при условий, что фуккция, стоящая под
знаком интеграла в фигу эних скобках, будет равна
нулю:
Это уравнение называете я правнгнием Эйлера. Оно
представляет собой уелегие экстремума функциона-
лов вчда (Ш. 15). Кривые ц — у(хг С\, С2), являю-
щиеся решениями этого уравнения, называются экс-
тремалями (С\ и С2 — постоянные интегрирования).
Заметим, что прибавление в (III. 15) к подынте-
гральной функции полной производной по х от любой
функции ty{y,x) не изменит условий экстремума
(III. 19). Действительно, это слагаемое после интегри-
рования дает величину
варавдек vsmpoFi рстаа гучю (го. условию (Ш. 15)
кривые на %анц'\х не в-ц 1изуются) . Таким обрати,
добавление mp/dx изменяет j нш.ь значение экстремума
функционала, но не влияеп т*а вид функции а(х\, пои
которой этот экстремум достигается.
Воспользуемся форму;!С1Й (III. 19) для нахождения
экстремума функционал;! (III. 1). В этом случае
f(x, У' */) — VI + W (*)Р - Следовательно,
ду ' di/ ' Vi + [if'(*)ls
и уравнение (III. 19) принт; вид
d у'
Решением этого дифф?:р5 нциального уравнения бу-
дет функция, для которой г." = 0, а у'— а. Следова-
тельно, сама функция ег;ь линеннг-я функция: v =
= ax~f-bt казффип.кенть; i-отооой нужно подобрать
так, чтобы выполнялись условия (Ш, 16). Значит,
функционал (III. 1) достйгге-т экстремума (м данном

III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
случае, очевидно, иикижума), еслм в качестве #()
взять пряную линию, соединт.сшу'О точки / и 3 (см.
рис. III. I).
5. Экстремум функадж^ал-зв, зависящих от не-
скольких функций. Рассмотрим функционал вида
Ф[#>, «2 У3] =
= \ f [х, */,, у2 у,, у[, ?4 y's\ dx> (*"• 20)
где ук = уь(х) (Лг=1,2, .. , •?)—кривые, закреплен-
ные в граничных точках, т. е. удовлстворяюоще гра-
ничным условиям
ffii. ^(«а) = Й2 (*=1, 2, .... s). {III. 21)
В соответствии со сказанным в п. 4 вариация
функционала (III. 20) определяется выражением
- {UL22)
где Ьук — достаточно малые функции от х, обращаю-
щиеся в нуль в граничных точках
= 0, oi/1:(*2) = 0. (III. 23)
Требуется найти такую совокупность функций
Ук(х), удовлетворяющих условиям (III. 21), при кото-
рых функционал (III.20) достигает экстремума. Не-
обходимым условием экстремума является равенство
нулю вариации функционала (III. 22).
Интегрируя по частям каждое из s слагаевлых вида
входящих в формулу (II". 21), можно привести его
к виду
f d / df 4
~\~Г\'ГТ \
Произведя такую ззмелу в (III.22) к ориравнгй пул'П
получивузееся выражепче цля 6Ф, ирадем к необхо-
12*

356
ПРИЛОЖЕНИЯ
диыому условию экстремума:
(Ш-24)
Это тождество должно выполняться для любых
выбранных иезавксимо друг от друга достаточно ма-
лых функций 8ук~&Ук(х), 5*то возможно лишь при
условии, что все s выразкгшй, стоящих под знаком
суммы в круглых скобка?:, будут равны нулю. Таким
образом, мы пришли к системе уравнений Эйлера:
d d
dyk dx dyk
. 25)
Совокупность функций у и = ~у~ь (х), удовлетворяющих
этим уравнениям и граничным условиям (III. 21), при
подстановке в функционал (III. 20) даст его экс-
тремум.
IV. Конические сечения
Коническими сечениями называются линии пере-
сечения кругового конуса с плоскостью. В зависимо-
сти от ориентации плоскости по отношению к оси ко-
нуса эти линии представ-
ляют собой эллипс (круг),
гиперболу или параболу.
Эллипсом (рис. IV. 1) на-
зывается геометрическое
место точек, сумма расстоя-
ний которых до двух фик-
сированных точек F, и F»
называемых фокусами, есть
величина постоянная:
е*Т !
Рас. IV.
(IV.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где а и Ь — большая и малая полуоси эллипса. Ве-
личина
е = -?. (IV. 3)

IV. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
357
где с — половина расстояния между фокусами, назы-
вается эксцентриситетом эллипса. При =-0 эллипс
вырождается в окружность. Величины a, b а с сзя-
заны соотношением
Ь2 = аг — с2. (IV. 4)
Гиперболой (рис. IV. 2) называется геометрическое
место точек, модуль разности расстояний которых до
Рис. IV/ 2
двух фиксированных точек rt и F2, называемых фоку-
сами, есть величина постоянная:
! г, — г2! == 2а.
(IV. 5)
Гипербола имеет две симметричные ветви. Канониче-
ское уравнение гиперболы выглядит следующим об-
разом:
где а и b — действительная v мнимая полуоси гипер-
болы. Величины а и b связаны с с (половиной рас-
стояния между фокусами) соотношением
& = сг — &. (IV. 7)
Эксцентриситет гиперболы определяется той же
формулой (IV. 3), что и эксцентриситет эллипса. Вид-
но, что для эллипса е < I, а для гиперболы е > !.
Параболой (рис. IV.3) называется геометрическое
место точек, расстояние которых г до фиксированной
точки F (фокуса) равно ргсстояни» d до фиксирован-
ной прямой D, называемой директрисой параболы:

333
ПРИЛОЖЕНИЯ
d. Каноническое уравнение параболы и! :;еет вид
(IV. 8)
у2 == 2;)лг,
где р — параметр параболы, равный расстоянию от
фокуса до директрисы (ось л направлена по оси сим-
метрии параболы, а начало координат совпадает
с вершиной параболы). Эксцентриситет параболы сле-
дует, как мы увидим ниже, принять равным 1.
r/d~e-i
Рис. IV. 3
Рис. IV. 4
Любое коническое ceve-клг можно определить как
геометрическое место точек, для которых отношение
расстояния г (рис. IV. 4) до точки F (называемой фо-
кусом) к расстоянию d дэ прямой D (называемой ди-
Таблнца IV.1 ректрисой) есть постоян-
ная величина г (назы-
ваемая эксцентриситетом
кривой):
Значение е
1
Вял кривой
эллипс
парабола
гипербола
4- = в. (IV. 9)
либо
В зависимости от зна-
чения эксцентриситета е
иное коническое сечение
получается то
(табл. IV. 1).
У эллипса и гиперболы имеются по два фокуса и
по две директрисы. Условие (IV. 9) выполняется для
каждого из фокусов и соответствующей ему дирек-
трисы. На рис. IV. 5 показаны фокусы и директрисы
эллипса а) и гкперболы 6} (ср с 'о;;с. IV. 3 для па-
раболы).

rv. ксимческак с;ечения
35')
Расстояние р' от фокуса дэ директрисы называет-
ся параметром кривой. Величина
р = р'е (IV. 10)
называется фокальным параметром. Легка сообра-
зить, что он равен половик г хорды, проходящей через
фокус и параллельной директрисе (рис. IV. 4). Для
параболы р — р'.
Расстояние между директрисами эллипса (гипер-
болы) равно 2(а/е), где а— большая (действитель-
ная) полуось кривой.
Рис. IV. 5
Напишем уравнение конического сечения в поляр-
ных координатах, поместив начало координат в од-
ном из фокусов кривой (рис IV. 4). В соответствии
с (IV. 9)
г
откуда
р' + / < os <р
1 -¦ A COS ф
(IV. 11)
(р-^р'е; см. (IV. 10)).
Уравнение (IV.11) описывает зллипс (с началом
координат в точке F<; рис. IV. 5, я), правую ветвь ги-
перболы (с началом координат в точке Г2;
рис. IV. 5, б) и параболу. Отметим, что фокус F2 яв-
ляется для правой ветви г]1Лк.[>&ояы внутреннем.

360
ПРИЛОЖЕНИЯ
Если поместить начало координат в правом фо-
кусе эллипса (точка F% us рис. IV. 5, а), то, как сле-
дует из рис. IV. 6, уравнение эллипса имеет вид
р — г ccs <р
¦¦е,
или
I f е cos
(IV. !2)
(р = р'е). Это же уравнгнке описывает левую ветвь
гиперболы (см. рис. IV. 5, б) при условии, что качало
координат помещено в
точку F, (во внутрен- \
ний по отношению к \
этой ветви фокус), а
также параболу, яв-
ляющуюся зеркальным
Р'
¦ е
W
Рис. IV. 6
Рис IV. 7
относительно D) отражением параболы, изображен-
ной на рис. IV. 3. Фокус F такой параболы лежит сле-
ва от директрисы D.
Найдем уравнение одной из ветвей гиперболы
(скажем, левой) при условии, что начало координат
помещено во внешний по отношению к этой ветви фо-
кус (в точку F2 для левой ветви; рис. IV. 5,б). В этом
случае (рис. IV. 7)
? = г cos (я — <р) — 2 ¦
р== — г cos ф — 2 р'.
Согласно определению гиперболы (IV. 5) г-~г' =
откуда
г' == г - 2а.

V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3fil
Подставив найденные нами значения д! и г' в соот-
ношение (IV. 9), придем к сэормуле
т^_ г — 1а
— f cos (j) -- 2 — — р'
После несложных преобразований получим искомое
уравнение
г = -г----— (IV. 13)
1 -- е cos ф
(p=zpre). Следует иметь в виду, что для левой ветви
Ф >-jj- (см. рис. IV. 7), т. е. со8ф<0. Кроме того,
для всех точек |ecos<p|;> 1, так что значения г, по-
лучаемые по формуле (IV. i3), будут положительными.
Предоставляем читателю убедиться в том, что ана-
логичное уравнение для правой ветви (начало коор-
динат в точке Fi) имеет вид
г = -=—=-? . (IV. 14)
I — е cos ф
В этом случае <р <-тг. так что соэф > 0; кроме того,
?совф> 1, так что значения г положительны.
V. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением га-го по-
рядка с постоянными коэффициентами называется
уравнение вида
t/n> + an_lyin-»+...+aly' + a(ly = f(x), (V.I)
т. е. уравнение, линейное относительно неизвестной
функции у(х) и ее производных (аг- — постоянные ве-
личины, которые могут быть и нулями).
Если правая часть уравнения тождественно равна
нулю (/(х) = 0), то линейное уравнение называется
однородным, в противном случае — неоднородным.
Однородное уравнение имеет is ид
уМ + а„ _,{,(«- •) + ... + аху' + ад = 0. (V. 2)
Общим решением дифференциального уравнения
называется множество решений, включающее все без

В62 ПРИЛОЖЕНИЯ
исключения частные решения. Общее решекне вся-
кого дифферекцкального уравнения п-то порядка со-
держит п произвольных постоянных (постоянных ин-
тегрирования), т. е. имеет вид
у = у{х, С,. С,, ...Ctl). (V.3)
Придав постоянным С\, С% .... Сп определенные
значения, получим частное решение. Частное решение
не содержит произвольных постоянных величин.
В теории линейных дифференциальных уравнений
доказывается, что если yt, уй, . . . , у„ суть линейно не-
зависимые1) решения однородного уравнения (V. 2),
то общее решение этого уравнения можно предста-
вить в виде
У (х, Си С2 Сп) = t Ctyt (я), (V. 4)
i = \
где Ci, Сг, .., Сп — произвольные постоянные.
. Пусть §{х) есть одно из частных решений неодно-
родного уравнения (V. 1), а у{х)— общее решение
того же уравнения. Если ввести обозначение и{х)~
= у(х) — у(х), то общее решение можно записать сле-
дующим образом:
у (х, Си Съ ..., С„) = v. (х, Си С2, . -., CJ f у {х).
(V.5)
Подставим эту функцию в уравнение (V. 1) и сгруп-
пируем отдельно слагаемые вида ы<*) и слагаемые
вида j/<fe):
и(п) + a»-i«(n" ° + -. - + я «' -+- <ku H-
= / (*)¦
Функция у(х) есть частное решение уравнения.
Следовательно, выражение, заключенное в квадрат-
ные скобки, равно правой части уравнения. Отсюда
вытекает, что функция и(х, СиС2, ..., Сп) удовлет-
воряет условию
и<п) + ал_ ,«<"--i! -f ... + щп' \ аф = 0.
J) Совокупность функи.цй /ь I., ... /„ чагывает я линейно
независимой, если соотношение Bvpa
«i/i -х- <2г!-2 — ¦ ¦ . + «.-г/га =- 0
только пои усл/лши, что вге сг/ равны яулю.

У. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ!' УРЙВНЕМЕЛЯ 363
1&гмт образом, и является ооиям рзшекием однород-
ного уравнения {V.2), соотпегггвующего неоднород-
ному уравнению (V. !), т. «:. имеющего такие не ко-
эффициенты а,4, что и уравнении (V. 1).
Полученный нами результат можно сформулиро-
вать следующим образом: общее решение линейного
неоднородного уравнения равно сумме общего реше-
ния соответствующего однородного уравнения и ка-
кого-либо частного решения неоднородного уравнения:
у (общ., неоднор.) =
= у(общ., однор.) + #(!*сгн., неоднор.)- (V. 6)
Линейные однородные дифференциальные уравне-
ния с постоянными коэффициентами решают с по-
мощью подстановки
у (*) = ехр (;,;;), (V. 7)
где X — постоянная величина. Продифференцировав
эту функцию ш раз (ш — 1,2, ..., п), получим
у(т) ^ХтёЦ ;%Х). (V. 8)
Подставяв значения функции (V. 7) и ее прсиззодных
(V. 8) в уравнение {V. 2) и сскратяв я& отличный от
нуля множитель е.хр(?„*), придам к так называемому
характеристическому уравнению
Г + ап-|й."~' + • • ¦ -1- a-l -f оо = О- (V. 9)
Корни этого уравнения представляют собой те значе-
ния X, при которых функция (V. 7)» удовлетворяет
уравнению (V. 2).
Если все п корней характеристического уравнения
будут различными (будут отсутствовать кратные, т. е.
совпадающие корни), п частных решений вида
exp(XiJt) окажутся линейно независимыми. Следова-
тельно, при отсутствии кратных корней общее реше-
ние уравнения (V. 2) выглядит следующим образом:
(С\, С2, ..., Сп — произвольные постоянные).
Можно показать, что в случае, когда характеристи-
ческое уравнение (V. 9) имеет кратные корни, то рц
линейно независимых частные решений, отвечающих

364 ПРИЛОЖЕНИЯ
корню Хц кратности /?„., должны быть взяты в виде
exp(A,^*), хехр^х), *2 exp (l^x), .. ., хР>1~1 ехр(Лил:),
гак что соответствующий им вклад в общее решение
равен сумме
"и
? C^jk* 1ехр(Я,|1л:).
Следовательно, если корень К\ будет кратности р\,
А.2—КраТНОСТИ /?2> .... А,„— КраТНОСТИ Рт(р|+/?2+ •¦•
.-• +рт = «), то общее решение можно представить
в виде
ЕЕ>р(М' (V-11)
Допустим, что коэффициенты а* в уравнении
(V. 1) действительные, я функция f(x) комплексная.
Представив ее в виде
получим уравнение
У™ + «n-.i/(n-1) + ¦ • • -г- а1У' + aoy^U (х) + if2(x).
(V. 12)
Будем искать решение этого уравнения в виде
У (*) = i'i (*) + it/2 (*)•
Подстановка в (V. 12) дает
= f,W + '72W. (V. 13)
У равных друг другу комплексных чисел равны
порознь действительные и мнимые части. Следова-
тельно, уравнение (V. 13) распадается на два незави-
симых уравнения вида (V. 1). В одном из них справа
стоит функция f\(x), его решением является функция
У\{х). В другом справа стоит функция U{x), его реше-
нием является функция у-г(х). Это свойство уравне-
ния (V. 13) обусловлено его линейностью. Оно позво-
ляет воспользоваться следующим приемом, иногда

VI. ВЕКТОРЫ 365
значительно облегчающим вычисления. Пусть в ре-
шаемом нами уравнении (V. 1) правая часть действи-
тельная. Прибавим к ней произвольную мнимую
функцию. Иайдя затем комплексное решение получив-
шегося уравнения, возьмем его действительную часть.
Она будет представлять собой решение исходного
дифференциального уравнения.
Очевидно следующее утверждение: если линейное
однородное уравнение (V. 2) с действительными коэф-
фициентами имеет комплексное решение у (х)—у\(х) -+-
-г-чМ*Ь то каждая из функций yi{x) и г/3(*) в от-
дельности является решением этого уравнения.
VI. Векторы
1. Основные определении. Векторами называются
величины, которые характеризуются численным зна-
чением (модулем) и направлением и, кроме того, скла-
дываются геометрически (т. е. по правилу параллело-
грамма). Ниже мы дадим более общее определение,
позволяющее распространить ронятие вектора на про-
странство п измерений.
Скалярным произведением двух векторов а и Ь на-
зывается скалярная величина
ab = aftcos(a, b). (VI. 1)
Скалярное произведение коммутативно: ab = ba и ди-
стрибутивно: a (bi -f- Ь2 + ...) = ab| + аЬг + ¦ • . но
не ассоциативно: a(bc)#=(ah)c
Векторным произведением называется вектор ')
[ab] = a&sir (а, Ь)-п, (VI. 2)
где п — орт (единичный вектор) нормали к плоскости,
в которой лежат векторы а и Ь, причем последова-
тельность a, b, n образует правовинтовую систему.
Векторное произведение не коммутативно: [ab] ф
Ф[Ьл], дистрибутивно: [a(bi-j-b2+...)] = [abi] +
-(-[аЬгЦ- ... и не ассоциативно: [[ab]с]ф[a[be]].
Рассмотрим смешанное (векторно-скалярное) про-
изведение трех векторов: ajbej. Применив формулы
') Наряду с записью [ab], кою; ой мы будем пользоваться,
для обозначения векторного произведения применяется также
символ а X Ь-

36S ПРИЛОЖЕНИЯ
(VI. 1) и (VI 2), получим
a [be] = a {be sin (b, с)} cos (a, n).
Из рис. VI. 1 легко ьидегь, что полученное нами
ныражение равно объему параллелепипеда, построен-
ного на перемножаемых векторах1). Действительно,
be sin (b, с) дает площадь основания параллелепипеда,
a a cos (а, п) — его высоту.
В качестве основания параллелепипеда можно
взять также грань, стороны которой образуют век-
торы с и а либо векторы а и Ь. Тогда объем будет
определяться смешанными произведениями Ь[са] и
c[ab]. Поскольку объем во всех трех случаях один
и тот же, можно написать
а[Ьс] = 1>[са] = с[аЪ]. (VI. 3)
Таким образом, смешанное произведение допускает
циклическую перестановку сомножителей, т. е. замену
каждого из сомножителей следующим за ним или
предшествующим ему сомножителем. Следующим за с
следует считать вектор а, а предшествующим а — век-
тор с, что нагляднее всего вытекает из следующей
схемы:
а-*-Ь
\/ (VI. 4)
с
Отметим, что во всех трех выражениях формулы
(VI. 3) векторы идут в той же последовательности,
что и на схеме (VI. 4). Если взять векторы в последо-
вательности, противоположной изображенной на схеме
(VI.4), то смешанное произведение изменит знак.
') Предполагается, что утл (а, г.) острый. Рхла этот угол
тупой, то смешанное произведение рарно объему параллелепи-
педа, взятому со знаком мин\с

VI. ВЕКТОРА 367
Двойным, ввъго лччм поэизъедение/л казыяггт
вектор [a[be]]. ^~"п\' пог.ан.?1-! (мы езелас-з это
ниже), что
(эта формула читается «бац минус оаб»).
В соответствии с опреде/е---гнями (VI. 2) и (VI. 1)
квадрат векторного произведения векторов и к Ъ мо-
жет быть преобразован следующим образом:
= a2fc2 - a!fc2 ,:os2 (a, b) = a2b2 - (abJ.
Мы пришли к формуле
(VI. 6)
2. Формулы векторной г лггбры, выраженные че-
рез проекции кектороз на кзордииагкые оси. Все при-
веденные выше определения и формулы не зависят от
выбора системы координат, i которой ведется рас-
смотрение. Если установить систему координат (мы
будем рассматривать толыо прямоугольные, т. е. де-
картовы системы), то каждой лектор может быть за-
дан тремя числами — его проекциями на координат-
ные оси1). Следовательно, шжтор а эквивалентен
тройке чисел ах, ау, az, вектор Ь —трейке чисел Ьх,.
by, Ьг и т. д.
Зная проекции вектора на координатные оси, можно
найти сам вектор. Обозначнп орты координатных
осей2) символами ех, еу, ez, можно гредставить вектор
в виде
а = ехах + «;tд;7 + еА. (VI. 7)
Чтобы получить возможность записывать формулы
в компактной форме с помощью знака суммы ?, бу-
дем в дальнейшем пользоваться следующими обозна-
чениями. Вместо координаты к будем писать х\, вме-
сто у — х2 и вместо z — Хг- Аналогично для ортов осей
введем обозначения: ei, e<;, v.s. Соответствие между
!) Мы рассматриваем так называемые езободные векторы,
для которых не фиксированы то1 к а прило5!:ения и прямня, вдоль
которой направлен вектор,
2) Эти орты обозначают такие символами i, j, !c. Однако
принятые нами обозначения, icai: будет видно из последующего
изложения, имеют несомненное преимущество.

388 ПРИЛОЖЕНИЯ
Прежними и новыми обозначениями дано на приводи-
мых ниже схемах:
X - > X ,.
У-+х2, (VI. 8)
z -н>- ;3-
] = е;:—?¦ е,,
]=е9-+ей, (VI. 9)
к == е, ~> е3.
В новых обозначениях формула (VI. 7) может
быть записана в виде
a=Zw (VI. 10)
(во всех случаях, когда не будет огозорено противное,
мы будем предполагать, что ин-
декс, по которому производится
суммирование,— немой индекс —
пробегает значения 1, 2, 3).
Тройка векторов е,, е2, е3 об-
у——" * разует базис координатной си-
jt г стеми. Задание этих векторов
/%} полностью определяет систему.
Рис VI. 2 Поскольку еь ея и е3 взаимно
перпеадикул}фны, а модули их
равны единице, из формулы (VI. 1) вытекает, что
е,е,г=Ль (VI. П)
где 8ik — так называемый символ Кронекепа, который
определяется следующим образом:
{1, если (= k,
О, если 1Фк. (VI12)
Отыетим '), что 6;* = &щ.
Из формулы (VI. 2) следует, что (рис. VI. 2)
|е,е2] = е3,
[е2е3]==е„ (VI. 13)
*i В Приложении X будет показано, что совокупность вели-
чин Sit образует симметричны! тензор второго ранга.

VI. ВЕКТОРЫ 369
Отметим, что каждое из соотношений (VI. 13) может
быть получено из предыдущего (или последующего)
с помощью циклической перестановки индексов по
схеме
1—2
X./ (VI. 14)
Введем символ ')
обозначающий набор из '!"/ чисел, которые опреде-
ляются следующими правилами:
1) если значения хотя бы двух индексов совпа-
дают, то еш=0 (например, е,п = 62*2=6,33=6222=0);
2) если все индексы резные и образуют цикличе-
скую перестановку последовательности 12 3, то еш =
= 1 (Pl23 == Е231 = Е312 = 1 ) ;
3) если все индексы рг!зные и образуют цикличе-
скую перестановку последовательности 3 2 1, то еш=
= 1 F321 = 6213 = 6K2 — 1)-
Таким образом, из 27 значений e,*i 21 равно нулю,
3 равны -fl и 3 равны —1.
Заметим, что любая циклическая перестановка чи-
сел 123 может быть получека из 123 посредством
четного числа перестановок (транспозиций) двух ин-
дексов, а любая циклическая перестановка чисел 3 2 1
может быть получена из 12 3 посредством нечетного
числа перестановок двух индексов. Действительно, по-
меняв, например, в последовательности 123 местами
1 и 2 (что даст 2 13, т. е. циклическую перестановку
чисел 3 2 1), а затем поменяв местами 1 и 3, получим
перестановку 2 3 1.
Следовательно, значения символа е(Л/ можно опре-
делить так: 5) они равны нулю при совпадении зна-
чений хотя бы двух индексов, 2) они равны +1 или
— 1 в зависимости от того, каким — четным или не-
четным— числом перестановок может быть получена
последовательность i к I из последовательности 1 2 3.
') Его называют иногда когосимметричным символом Кро-
некера. В Приложении X будет п мазано, что совохумаость ве-
личин г,ц,1 образует абсолютно итк'дшкотричггый тензор третьего
ранга.

37Q ПРИЛОЖЕНИЯ
Для определения знака :;,fc/ можно пользоваться
также следующим правилом. Назовем беспорядком
в перестановке тот факт, что большее число стоит
впереди меньшего. Так, например, н перестановке 2 1 3
содержится один беспорядок 2 стоит впереди I, а в
перестановке 32 1 три беспорядка: 3 стоит перед 1,
3 стоит перед 2 и 2 стоит перед I. Припишем еш зна-
чение + 1. если число беспорядков в перестановке
ikl является четным, и —1, если число беспорядков
нечетное. Легко убедиться в том, что все три рассмот-
ренные нами правила определения знака еш дают
одинаковый результат.
Докажем следующее очень полезное соотношение
между символами е и б:
Е Zlk&mnl — AinAhn. - *(Аг (VI. 16)
Раскроем сумму, стоящую б левой части:
еШетя1 + ъ1к'Лт.й + е«ИегввЗ (VI. 17)
и выясним, при каких знгченмях индексов i, k, tn, n
эта сумма отлична от нуля. Очевидно, что для отли-
чия хотя бы одного слагаемого от нуля долины вы-
полняться одновременно ус.лозия
1фк и пф п. (VI. 18)
Кроме того, должно быть
i = tn, k = n или i = n, k = m. (VI. 19)
Действительно, если при соблюдении условия (VI. 18)
не будет соблюдаться условие (VI. 19), то в каждом
из слагаемых в (VI. 17) в числе значений первых двух
индексов обоих сомножителей будут фигурировать и
1, и 2, и 3. Поэтому немой индекс I в каждом из сла-
гаемых совпадет со значением одного из индексов i,
k, m, n, так что все слагаемые будут нулями.
Объединим условия (VI. 18) и (VI. 19) в одно, вы-
ражаемое формулами
i = m^k-=nt (VI. 20)
1==ПфЬ = т. (VI. 2!)
В случае, соответствующем соотношениям (VI. 20),
сумма (VI. 17) имеет вид

VI. ВЕКТОРЫ 371
Очевидно, что отличным or нуля будет только одно
слагаемое (для которого т, п и / различны), причем
око равно -Н-
В случае, соответствующем соотношениям (VI. 21),
сумма (VI. 17) имеет вид
В этой сумме также отлично от нуля только одно сла-
гаемое, причем оно равно произведению +1 на —1,
т. е. —1 (при перестановке двух индексов еят/ меняет
знак).
Теперь обратимся к правой части формулы (VI. 16),
т. е. к выражению
«I»**--*,..**».- (VI- 22)
Если i = k (или т = п), это выражение принимает
вид bkmbkn — ЪыАкт (либо о\-я6*я — ЬщЬкп). Оба эти
выражения равны нулю. Отсюда следует, что для от-
личия выражения (VI. 22) о- нули должны одновре-
менно выполняться условия
ьфк и тфп (VI. 23)
(ср. с (VI. 18)). Кроме того, должно соблюдаться одно
из двух следующих условий:
i = m, k==n, (VI. 24)
i = n, k==m. (VI. 25)
При соблюдении условия (VI. 24) первый член вы-
ражения (VI. 22) равен +1. Поскольку i = m, а тфп
(см. (VI. 23)), то 1'Ф п и второй член выражения
(VI. 22) равен нулю. Следовательно, при соблюдении
условия (VI. 24) выражение (VI. 22) равно -fl. Сово-
купность условий (VI. 23) и (VI. 24) эквивалентна
условию (VI. 20), при котором, как мы установили,
левая часть формулы (VI. 16) также обращается в
+ !¦
При соблюдении условия (VI. 25), которое в соче-
тании с (VI. 23) эквивалентно условию (VI. 21), вы-
ражение (VI. 22) обращается в —1.
Таким образом, соотношение (VI. 16) нами дока-
38 КО.
С помощью символа i,kt совокупность соотноше-
ний (VI. II) может быть представлена в виде одного

372 ПРИЛОЖЕНИЯ
выражения
= Е е1Ые,. (VI. 26)
Действительно, при •= 1, % —2 отличным от нуля бу-
дет только слагаемое ешСз, разное е3, при i = 2, & = 3
отлично от нуля слагаемое 823iei — ei и, наконец, при
1 = 3, k = 1 отлично от «уля слагаемое esia^a — ея.
Выражение (VI. 26) дает даже больше чпм сово-
купность трех соотношений (VI. 13). Оно содержит
9 соотношений. Из него следует, что векторное про-
изведение любого орта на самого себя равно нулю —
при i = k все слагаемые в правой части формулы
(VI. 26) обращаются в нуль. Кроме того, в (VI. 26)
содержатся выражения, получающиеся из (VI. 13) пе-
рестановкой сомножителей. Так, например, при i = 2,
k =1 справа в (VI.26) отлично от нуля слагаемое
в21звз = —е3 и т. д.
Образуем скалярное произведение векторов а=»
= S е4а, и Ь=Х ekbk:
Воспользовавшись свойством дистрибутивности, мож-
но написать
I, k I. k
(см. формулу (VI. 11)). В соответствии с определе-
нием Ьщ в последней сумме отличны от нуля лишь
слагаемые с одинаковыми значениями индексов i и к.
Следовательно,
аЬ=Еа,6( (VI. 27)
i
или, переходя к обычным обозначениям,
&Ъ = йА + а,Ьу + агЬг. (VI. 28)
Для заданных векторои а и b их проекции на ко-
ординатные оси зависят от выбора системы коорди-
нат, но само произведение аЬ от этого выбора не за-
висит. Отсюда заключаем, что выражение axbx-\-
+ ауЬу -j- агЬг есть инвариант, т. е. величина, одина-
ковая во всех системах координат.

VI. ВЕКТОРЫ 373
Пусть нам дана совокупность трех чисел и, v, w,
о которых известно, что в комбинации с проекциями
некоторого вектора а они дают скаляр, т. е. инва-
риант:
иах + vay -\- wax = inv.
Тогда на основании сказанного выше можно утверж-
дать, что и, v, w суть компоненты ') некоторого век-
тора.
Образуем векторное произведение векторов а =
2 и b=X tkbk:
В силу дистрибутивности можно написать
[ab] = 2
2
Заменим [e,eft] в соответствии с формулой (VI. 26):
[ab] == Y, щЬк Y. e>i*iti ¦-= Е e,klaibket.
i.k 1 i. k. I
Итак, векторное произведение может быть пред-
ставлено в виде
[ab]= I! e^^Mi. (VI. 29)
i, k. I
Из 27 слагаемых этой суммы отличны от нуля только
шесть. Выписав эти слагаемые, получим
[ab] = a{b2e3 + аф^\ + аф^.2 — аф,^{ — афхъъ — афйъ.г.
Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми ор-
тами, придем к выражению
[ab] = е, {а,Ь3 — аф2) + e2('hb, — агЬ3) + е3(аф2 — a2b{),
(VI. 30)
которое может быть записано в виде определителя
(см. Приложение VIII)
[аЬ] =
а%
(VI. 31)
') Так для краткости мы будем называть прожцич выстора
на координатные осн.

374 г
или, в обычных обозначениях,
[аЬ] =--=
i
¦ч
к
(VI. 32)
Отметим, что согласно (VI. 29) /-я компонента зек-
торного произведения опргделяется формулой
Л к I. k
(мы осуществили циклическую перестановку индексов
при е, которая, как известно не изменяет числового
значения этого символа). Чтобы иметь дело с более
привычной последовательностью буквенных индексов,
напишем выражение для i-fi компоненты векторного
произведения
[аЬ], = Е *ikiakt4. (VI. 33)
4 I
Докажем с помощью еоотнои!ения (VI. 16) фор-
мулу (VI. 5) («бац минус ц.збэ). Для этого запишем
векторное произведение i соответствии с формулой
(VI. 29) :
d = [a [be]] = У) сшак [Ьс]пр. ,е,.
ft. I. i
Теперь заменим [be] пр. < его выражением, получаю-
щимся из формулы (VI. 33]:
ft, /, i
Осуществим циклическую перестановку индексов при
символах е, чтобы общий для них индекс / оказался
на последнем месте. Кроме того, сгруппируем сомно-
жители таким образом, чтобы суммирование по /осу-
ществлялось в первую очередь:
I. к. т. п I
— 11 etakbmcn (djm6fen — бг Am)
/, к. т, г.

V!. BEXfOPfa', ?T
(мы применили соотношение (VI. 16)). Дальп?т"и1не
преобразования да гот
d = ? е,а& Е &шЬт Е 6*«с« --
~ Е е(-а* Z б(«сп Z *йт*т =: 1', е&цЬ&к — Z
I. * я m i. 6 ( й
2
Z
= Ь (ас) — с (ab),
что и требовалось доказать.
3. Истинные векторы и гсевдовекторы. Различают
два вида векторов: полярные (или истинные) и акси-
альные (или осевые), иначе называемые псев дивекто-
рами^. При инверсии координатных осей, т. е. при
изменении направлений координатных осей па обрат-
ные (рис. VI. 3) компоненты
полярного вектора меняют
знак. Это означает, что такой
вектор при инверсии остаетсм
без изменений. Компоненты
псевдовектора при инверсии -«-¦
знака не изменяют. Это о:га «^
чает, что псевдовектор при ин-
версии изменяет свое направ-
ление на обратное (т. е. ме-
няет знак).
Из рис. VI. 3 видно, чтг» Рка. VI..1
при инверсии координатные
осей праяэя система координат переходит з левую.
Поэтому различие между полярным вектором и
псевдовектором можно определить следующим об-
разом: полярный вектор не изменяется при переходе
от правой системы координат к левой, псевдовектор
же при таком переходе изменяет направление на об-
ратное. В Приложении X будет показано, что псевдо-
вектор представляет собой антисимметричный тензор
второго ранга.
Если оба вектора а и Ь полярные, компоненты
векторного произведения (VI.30) при инверсии знака
не изменяют (а, и bk в отдельности меняют ~чак, лэ
их произведение остается оез изменений),. Следова-
') «Пс/силй» --- первая сжтг.дчс-! >-псп- сд>лги;; и < vs.
чающая: ложччА, нннмчл. (ссоп'вАТвует русскому «дне»).

376 ПРИЛОЖЕНИЯ
тельно, векторное произведение полярных векторов
является псевдозектором.
Скаляры также нужно делить на два вида: истин-
ные скаляры и псевдоскаляры. Истинные скаляры не
изменяются при переходе от правой системы коорди-
нат к левой (или при инверсии координатных осей).
К их числу относятся, например, масса, электрический
заряд, температура. Псеэдсскаляры при переходе от
правой системы координат к левой меняют знак. К их
числу принадлежат скалярные выражения, получаю-
щиеся в результате математических операций над век-
торами. Так, например, скалярное произведение (см.
(VI.27)) полярного и аксиального векторов при ин-
версии меняет знак и, следовательно, является не ис-
тинным скаляром, а псевдоскаляром.
Если векторы а, Ь, с полярные, то выражение
(VI. 3) будет псевдоскаляром — при инверсии оно ме-
няет знак. Таким образом, смешанное произведение
полярных векторов есть псевдоскаляр.
4. Преобразования компонент векторов. Найдем
формулы преобразование компонент вектора при пе-
реходе от одной системы координат к другой. Возь-
мем две системы прямоугольных координат К и К',
задав их базисами е,, е„ е3 и е,, t'v e^. Произволь-
ный вектор а можно представить в виде а=?ей,
где at — проекции а на оси системы К, либо в виде
a=?efta*. где a'k — проекции а на оси системы К'.
Таким образом,
1?; = Ьа- (vi. 34)
Умножим (VI. 34) на орт е'<:
I «< = S <*А- (VI. 35)
Согласно (VI. 11) e,ej, = c5ift. Следовательно, из трех
слагаемых в левой части будет отлично от нуля только
слагаемое с k = i, которое равно б,,а^ = а'г
Скалярное произведение e'fek равно косинусу угла
между осью х\ системы К' и осью хк системы К. Обо-
значив этот косинус символом а,*, можно написать
. xk) («, *=1,2, 3). (VI.36)

vi. векторы 377
Воспользовавшись этими обозначениями, соотно-
шение (VI. 35) можно представить в виде
< = ZaiA <i:=l,2, 3). (VI. 37)
Формула (VI. 37) позволяет по известным проекциям
вектора а на оси системы К вычислить проекции а
на оси системы К'. Чтобы получить формулы обрат-
ного преобразования (от К' к К), умножим (VI.34)
на орт е,. Повторив рассуждения, приведшие нас
к формуле (VI. 37), получим, что
af=ZaHe; (/=1,2,3). (VI. 38)
k
Формулы (VI. 37) и (VI. 38) различаются лишь
тем, что в одном случае суммирование производится
по второму индексу при а1к, в другом случае — по
первому.
Девять величин a,fc не являются независимыми.
Образуем сумму ]? a,mafcm. Учтя (VI. 36), получим
Величину е,ет можно рассматривать как проекцию
вектора с', на ось хт системы К, аналогично e'feem есть
проекция вектора e'k на ось хт Таким образом, сумму,
стоящую справа, можно представить в виде
(см. формулу (VI. 27)). Отсюда следует, что
Z aimakm =-6tk. (VI. 39)
m
Аналогично можно доказать (рекомендуем это сде-
лать читателю), что
? «Л* =-6„. (VI. 40)
Преобразования (VI. 37) и (VI. 38) могут быть
приняты в качестве определения вектора: вектором
называется совокупность величин а{, а2, а3, которые
при переходе от одной системы координат к другой

378 припок
преобразуются по форм./лсм (VI. 37) и (VI. 38), где
aik — величины, определяемые формулой (VI.36).
Последнее определение вектора легко распростра-
нить на пространство любого числа измерений. Пусть
имеется пространство п измерений. Возьмем в этом
пространстве систему координат, оси которой вза-
имно перпендикулярны. Это означает, что орты осей
ei,e2 ея удовлетворяют условию (VI. 11). Тогда
вектором в и-мерном пространстве (п-вектором) на-
зывается совокупность п величин а\,а2, ..., а„, кото-
рые при переходе от одной системы координат к дру-
гой преобразуются по формулам (VI. 37) и (VI. 38).
Немой индекс пробегает при суммировании в этом
случае не 3, а п значений. Число уравнений в (VI. 37)
и (VI.38) также будет не 3, а п.
Скалярное произведение векторов также легко об-
общается на пространство а измерений. Аналогично
(VI. 27) назовем скалярный произведением двух век-
торов с компонентами а , а-г, ¦ ¦ ¦, а* и Ь\, Ь2, .... Ьп
выражение
аЬ=:?а,й?1 (VI. 41)
которое представляет со!:юк инвариант. Векторы, ска-
лярное произведение кэтсрых равно нулю, назы-
ваются взаимно ортогональными (или взаимно пер-
пендикулярными) .
Понятие векторного произведения на пространства
иного, чем три, числа измерений не распространяется.
Инверсию координатных осей (см. рис. VI. 3)
можно рассматривать как преобразование от систе-
мы К к системе К', коэффициенты которого имеют
значения
— 1 при i = к,
О при i ф k
или
alk--=-~t>lk. (VI. 42)
-{
Согласно формуле (VI. 37) 'омпопеаты вектора
преобразуются при инверсии по ?-;.1.кону
¦А - -1.
¦~= — а ¦,

vs. ;-:::/тлл: 379
т. г. кзкекяют з;?ак на обг-зл-пт*. !«:6 stcjs Ёалз
ргчь выше).
Н аи^-ям сдгсн npcogpsoos^ifim ксмпонеат а.-л'тор-
тга пдоизреяенад при ннвер^нл координатных осей.
Ка пишем выражение (VI. 33) в скетче координат /('
|'г»пуч'г'ол;е'>г.я. в ррзудьта1^.».. чче^р^ии осе5.. систе-
К
Мы воспользовались тем, что величины e,-fti опреде-
ляются одинаково для всех систем координат, вслед-
ствие чего при любых преобразованиях координат
Выразим в формуле {У). S3) а. и //г чер": не-
штрихованные компоненты соответствующих лекто-
ров, ВОСПОЛЬЗОВаВШИСЪ COGTI-'CUfH'/I'lf; (VI. 37» _
J ^lVrr^^mp
ft. / m. p
Произведи суммировагле пс! «лмекам m к р, получим
L
В соответствии с (VI. 33) поспеднег выражение есть
[ah],-. Таким образом, мы устаяовили, что
т. е. что компоненты векторного произведения при
инверсии не изменяются. Отсюда следует, что вектор-
ное произведение истинных векторов является псевдо-
вектором.
Напишем смешанное произведение грех векторов.
Согласно формулам (VI. 27) и (VI. 33)
а[Ьс] = X
i t k, I
S (VI. 45)

380
ПРИЛОЖЕНИЯ
Выясним, как ведет себя эта величина при инверсии.
В системе К' будем иметь
I. к. I
== — ?
= — (a [be]).
t/CDi
в'.
Мы получили уже известный нам результат, смешан-
ное произведение истинных векторов при инверсии ме-
няет знак, т. е. является псев-
доскаляром.
5. Приращение вектора при
повороте. Найдем приращение,
которое получает вектор а
при повороте на бесконечно
ыалый угол d<$. Введем две си-
стемы координат К и К', кото-
рые выберем так, чтобы их
у' оси 2 и г' совпадали с векто-
ром d<$ (рис. VI. 4). Пусть си-
стема К' повернется вместе с
... вектором а на угол d«p относи-
Ч телыю системы К. При этом
относительно системы К' век-
тор а остается неизменным, от-
носительно же системы К век-
тор а получает приращение da.
Будем сначала предполагать, что начало вектора а
помещается на оси z (рис. VI. 4). Если а лежит пер-
воначально в плоскости yz, то приращение da колли-
неарно с осью х. Модуль этого приращения, как видно
из рисунка, равен asinadqp. Из сказанного следует,
что приращение вектора а может быть представлено
в виде
da=-{dq>, а]. (VI. 46)
Докажем, что найденная нами формула остается
справедливой при произвольном расположении век-
тора а относительно систем координат К и К'- Вве-
дем в рассмотрение орты ех, еу, е2 системы К и орты
е'х, ег, с'2 системы Л''. Тогда вектор & можно задать
Рис. VI. 4

VI. ВЕКТОРЫ 381
выражением
а = емх + ек,ау + е2аг (VI. 47)
либо выражением
а = еХ + *'yll'y + еХ- (VI. 48)
где ах, ау, а2 — проекции вектора а на оси системы К,
а'х, а! а'г — проекции вектора а на оси системы К'.
При повороте вектора вместе с системой К' на
угол dtp вектор получает относительно К приращение,
которое можно записать в вице приращения выраже-
ния (VI. 47):
da = tx dax + efi day -f ez daz
либо в виде приращения выражения (VI. 48):
L49)
где de'x, dz'u, de'z — приращения ортов осей системы
К', наблюдаемые в системе К (напомним, что проек-
ции а' а' а' при повороте .,
остаются неизменными). г
При выбранном нами на-
правлении оси г' приращение
орта t'x равно нулю (dz'z~tiy
На рис. VI. 5 показаны при-
ращения de'x и dt'y, которые
получают ортыt'x и t'y при по- IW~~~'~--J-._
вороте системы координат К'
на угол d<p. Из рисунка вид- Рис. VI. 5
но, что направление dz'x
совпадает с направлением орта г'у. Модуль же dt'x
равен d<p [модуль (т. е. длина) любого орта равен
единице]. Следовательно, приращение орта et, на-
блюдаемое в системе К, может быть представлено
в виде
Аналогичные рассуждения приводят к формуле
(зкак «—* вызван тем, что вечтсры dt'u и г'х направ-
лены в противоположные стзрсны).

382 ПРИЛОЖЕНИИ
Подставив найденнье ;лми значения приращений
ортов в формулу (VI. 49), получим, что
Покажем, что найденное нами выражение эквива-
лентно векторному произведению [dy, aj. Для этого
выразим последнее произведение через проекции пе-
ремножаемых векторов на оси системы К', учтя, что
dq> направлен по оси z'. В соответствии с формулой
(VI. 32)
[dtp, &] =
*у *z
Таким образом, мы пришли к формуле (V?.46).
VII. Матрицы
Определение матрицы. В Приложении VI были по-
лучены формулы преобразования компонент вектора
при переходе от системы координат К к системе К':
<=!*,*«* (*"= 1,2,3), (VII. 1)
k
о, = !<*«««; («•=!. 2,3) (VII. 2)
к
(см. формулы (VI. 37) и (VI. 38)).
Коэффициенты переходи можно записать в виде
квадратной таблицы
|ап а,2 а,3 |
а2] «22 а23 , (VII. 3)
аз1 а32 аьз ||
которая называется матрицей преобразования. Вели-
чины aih именуются элементами матрицы. Первый ин-
декс указывает номер строки, в которой стоит дан-
ный элемент, второй индекс. — номер столбца.
Условимся об обозначениях. Элементы матрицы
мы будем обозначать строчными буквами с двумя ин-
дексами, а матрицу — соответствующей прописной
буквой (например, элемент aikl матрица А1)). Компо-
ненты вектора будем обозначать строчными буквами
') Так пашется прописигя i рямая греческая бутсва «альфа».

VII. МАТРЩЫ 383
с одним индексом, а вектор--такой же строчной бук-
вой, ко прямого полужирного Liri-'фта (например, о,—
компонента вектора, а — вектор).
Операцию (VII. 1) преобразования компонент век-
тора можно записать символически а виде умноже-
ния вектора на матрицу:
а' = А;. (VII.4)
Коэффициенты обратного преобразования (VII, 2)
образуют матрицу
А~'= Ии Ог:: Сад! (VII. 5)
II о 2:, с зз II
называемую обратной матрицей. Обозначив элементы
обратной матрицы симеолом с';,, можно написать со-
отношение
<,-с,,. (VII. 6)
Матрица, получаемая из А заменой строя столб-
цам-, казмъагтся. тражлсхиплсикой и обозначается
А. Если обозначить злемпгт у. транспокировсшгай
Шаи;>1'лы символом ащ, можно i йпксгть
5.1!,= Пц. (VII. 7)
Из формул (VII. 6) и (v'IS. 7) следует, что мат-
рица обратного преобразования (VII.5) совпадает
с транспонированной матрицей прямого преобразова-
ния (VII. 3):
А-' = Л. (VII. 8)
Соотношение (VII. 8) спэаьедлисо не для любых
матриц1). Матрицы, удор.лэтворнющие условию
(VII. 8), называются ортогональными.
Обратное преобразование (VII. 2} запишется сим-
волически в виде
a = A~V. (VII. 9)
Не меняя формальной математической стороны
дела, соотношения (VII. 4) v, (VII. 9) (иными слова-
') BooGum гоноря, не всякая матрица имеет обратну;о. Мат-
рица, для которой обратно?! не существует, называется особенной
или вырожденной. Но даже если патрица те вырождена, ее об-
ратная и транспонированная м атрицл «гогуг не совпадать

384 приложения
ми, соотношения (VII. 1) и (VII. 2) можно рассмат-
ривать не как операции перехода от одной системы
координат к другой, а как операции, преобразующие
один вектор в другой, причем оба вектора рассматри-
ваются в одной и той же системе координат. Имея
в виду такую трактовку, запишем формулы преобра-
зования следующим образом:
Ь = Аа, (VII. 10)
а==А"'Ь. (VII. 11)
Таким образом, матрицу А можно рассматривать
как линейный оператор, который, воздействуя на век-
тор а, превращает его в вектор Ь.
Напишем в явном виде преобразования (VII. 10)
и (VII. II), причем для большей общности будем счи-
тать, что векторы а и b определены не в трехмерном
пространстве, а в пространстве п измерений. По ана-
логии с (VII. 1) и (VII. 2) получим
bi = fJaikak (.=1,2 я), (VII. 12)
Ъ = Е <А ('¦ = 1.2,. ., я), (VII. 13)
где a'ik — элементы матрицы обратного преобразова-
ния (матрицы А~'). Для ортогональной матрицы
Матрицы А и А~' теперь будут иметь п строк
и п столбцов, например,
|ап а,., ... а1п I!
j
«21 CS2S • • ¦ а2П | fVII 14)
Матрица (VII. 14) является квадратной — число
строк в ней равно числу столбцов. Кроме квадратных
рассматриваются также прямоугольные матрицы, чи-
сло строк которых т не равно числу столбцов п:
а,л
А — А
(т. п) —
а22
(VII. SS)

VII. МАТРИЦЫ 385
Первый индекс при символе матрицы указывает число
строк, второй — число столбцов. В случаях, когда это
не сможет привести к недоразумениям, мы эти ин-
дексы будем опускать.
Итак, в общем случае иод матрицей понимается
совокупность т-п элементов, расположенных в ви-
де прямоугольной таблицы. Элементами матрицы мо-
гут быть функции, числа либо иные величины, над
которыми можно производить алгебраические опера-
ции. Матрица с т строками и п столбцами называет-
ся (т X п) -матрицей, или матрицей порядка т X п,
или, наконец, матрицей размера ту. п. Матрицу
порядка m X 1, т. е. матрицу с одним столбцом,
иногда называют просто столбцом. Матрицу порядка
1 X л, т. е. матрицу с одной строкой, иногда называют
просто строкой.
Две матрицы А и В называются равными (А=В),
если соответствующие элементы этих матриц равны
друг другу (aifc = p(fc).
Матрицы Аи В считаются отличающимися только
знаком, (А = — В), если соответствующие элементы
этих матриц связаны соотношением а/* = —р\й.
Квадратная матрица (VII. 14) (т. е. матрица по-
рядка пУСп) есть частный случай матрицы (VII. 15).
Матрица, преобразующая вектор в пространстве п из-
мерений в другой вектор в том же пространстве, оче-
видно, будет квадратной.
Если элементы квадратной матрицы удовлетво-
ряют условию
«,ь = а.ы, (VII. 16)
матрица называется симметричной. Симметричная
матрица, очевидно, совпадает со своей транспониро-
ванной
= Асямм. ^Vll. I//
Квадратная матрица, элементы которой удовлет-
воряют условию
<*<* = -<%, (VII. 18)
называется антисимметричной или кососимметричной.
Антисимметричная матрица отличается от своей
транспонированной только знаком:
13 И. В. Савельев, т. 1

88S приложения
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля
лишь элементы а^к с одинаковыми значениями индек-
сов t и к, называется диагональной. Диагональная
матрица имеет вид
Я,, 0 ... О
О Я,» ... О
Л =
(VII. 20)
о о
Элементы этой матрицы можно представить следую-
щим образом:
*и = *А*. (VII. 21)
где bit — символ Кронекера (см. (VI. 12)).
Если изменить систему координат (т. е. базис
Ci.es, •--, е„), то компоненты векторов а и Ь (см.
формулу (VII. 10)) станут другими. Изменятся также
и элементы матрицы-оператора. Оказывается, что в
некоторых случаях (в частности, в том случае, когда
матрица А симметрична) можно так выбрать базис,
что матрица А делается диагональной.
При переходе от одной системы координат к дру-
гой элементы матрицы меняются, однако остается не-
изменной сумма диагональных элементов, называемая
следом матрицы (обозначается SpA; немецкое Spur
означает след). Таким образом, след матрицы одина-
ков во всех системах координат, т. е. является инва-
риантом:
SpA= ?a<i = irw. (VII. 22)
i
i
Остается неизменным также определитель матрицы
(см. (VIII. 3)):
til = inv. (VII. 23)
Назовем единичной матрицей Е такую матрицу1),
которая при умножении на вектор по правилу
(VH. 10) дает тот же вектор
t, = Еа.
Легко сообразить, что элементы единичной матрицы
должны быть равны <>,> (подстановка в (VII. 12)
') Иногда единичную шприцу обозначают символом 1.

vn. матрицы 387
a.ik = 6ik приводит к соотношению 6;==а/). Таким
образом,
I 0 ... О
Е=ЦЙ,*|| =
1 ... О
О О ... I
(VII. 24)
Отметим, что эта матрица является диагональной.
Алгебра матриц. Матрицы суть алгебраические
объекты, над которыми можно совершать операции
сложения, вычитания и умножения (операции деления
матриц не существует).
Суммой двух матриц А и В называется матрица
Г = А + В'), элементы которой определяются фор-
мулой
Yi* = a« + P«. (VII. 25)
Разностью матриц называется матрица Г = А — В
с элементами
Y<fc = a,»-pti. (VII. 26)
Очевидно, что складывать и вычитать можно
только матрицы одинакового порядка, т. е. матрицы
с одинаковым числом строк и одинаковым числом
столбцов.
Произведением матрицы А на скаляр т\ называется
матрица В = г\А с элементами
Pi* = 4»rt. (VII. 27)
Перейдем к рассмотрению перемножения матриц.
Предположим, что действие матрицы А на вектор а
превращает его в вектор Ь, а действие матрицы В на
вектор Ь превращает его в вектор с. Естественно на-
звать произведением матриц А и В такую матрицу Г,
которая, действуя на вектор а, превращает его в век-
тор с. Таким образом,
Ь = Аа, т. е. bm=
с = ВЬ = ВАа, т. е. ct = Г, Ptm6m — ? Pt
m m
= Li ak
m
') Произносится: матрица «гамма» равна матрице «альфа»
плюс матрица «бета» (В — прописное греческое «бета», Г — про-
писное греческое «гамма»).
13»

388
ПРИЛОЖЕНИЯ
С другой стороны,
с = Га,
Т. <!. С, =
Сравнение обеих формул для с и С/ приводит к пра-
вилу умножения матриц:
Г = ВА означает, что Yi*=?p*m«m*- (VII. 28)
т
Согласно этому правилу для получения элемента мат-
рицы Г, стоящего на пересечении i-й строки и /г-го
столбца, нужно умножить каждый элемент j-й строки
матрицы В на соответствующий элемент Jfe-ro столбца
матрицы А и все произведения сложить. Это можно
пояснить следующей схемой:
{-я стрема, к-й с
(VII, 29)
Заметим, что произведение матриц, вообще говоря,
не коммутативно, т. е.
ВА Ф АВ.
Матрицы, для которых выполняется условие
ВА = АВ, (VII. 30)
называются коммутирующими.
Легко показать, что произведение матриц ассоциа-
тивно:
(ГВ) А = Г (ВА). (VII. 31)
Это означает, что умножив сначала В на Г, а затем
А на (ГВ), мы получим тог же результат, какой по-
лучился бы при перемножении сначала матриц А и В
и последующем умножен ля матрицы {ВА} на Г. Дей-
ствительно, по правилу перемножения кг.т>кц
{(ГВ)А}<4 — ? (ГВIтат/к =--

VII. МАТРИЦЫ
389
(в ходе преобразований мы изменили порядок сумми-
рования по индексам т и /). Таким образом, свой-
ство (VII. 31) доказано.
Можно умножать друг на друга и неквадратные
(прямоугольные) матрицы. Как следует из схемы
(VII. 29), перемножение таких матриц возможно
только в том случае, когда число столбцов матрицы В
(второй матрицы1)) совпадает с числом строк мат-
рицы А (первой матрицы). Матрица-произведение бу-
дет иметь столько строк, сколько их имеет вторая
матрица (матрица В) и столько столбцов, сколько их
имеет первая матрица (матрица А). Поясним это сле-
дующим примером:
Pll Pl2 • ¦ ¦ Pin
P21 P22 - • ¦ f>2n
О.22 '123
«П2 «я»
Если вторая матрица квадратная, т. е. имеет по-
рядок п X га, а первая матрица содержит только один
столбец с п элементами, то матрица-произведение
также состоит из одного столбца с п элементами:
Р\\
. (VII. 32)
При умножении матрицы с одним столбцом на
матрицу с одной строкой получается просто число
(или функция, если элементами матрицы являются
функции):
(VI. 33)
') В произведении матриц ВА первым сомножителем нужно
считать матрицу А, стоящую справа. На нее умножается вектор
в первую очередь, а затем уже на результат воздействует вторая
матрица В.

390
ПРИЛОЖЕНИЯ
В частности, если в качестве матрицы HpMI взять транс-
понированную матрицу ||а||, то (VII. 33) переходит в
On
Следовательно, для матрицы А<„, 0, имеющей только
один столбец, справедливо соотношение
(VII. 34)
1
Если в качестве элементов матрицы с одним столб-
цом взять составляющие вектора а, а в качестве квад-
ратной матрицы — матрицу-оператор А, то соотноше-
лие (VII.32) примет вид
ь,
(VII. 35)
где Ь, = У, а1как (ср. с (VII. 12)). Легко заметить,
что соотношение (VII. 35) эквивалентно соотношению
(VII. 10). Следовательно, вектор можно представить
как матрицу с одним столбцом.
Рассмотрим произведение единичной матрицы Е
на произвольную матрицу А. Согласно правилу
(VII. 28)
(АЕ)ц == ? AimflmA
Fm* — элементы матрицы Е). В этой сумме отличным
от нуля будет только одно слагаемое, у которого
m = k. Следовательно, (АЕ)/Л = А/*. Аналогично
(EA),t = ? d,mAm4 = А{к.
m
Из сказанного следует, что умножение на единичную
матрицу (при любом порядке сомножителей) не изме-
няет матрицы А:
ЕА = АЕ = А. (VII. 36)
Последнее соотношение означает, что единичная мат-
рица коммутирует с любой матрицей А.

VIM. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 391
Очевидно, что, применив к какому-либо вектору
сначала преобразование А, а затем обратное ему пре-
образование А-1, мы должны вернуться к исходному
вектору
а = А 'Аа. (VII. 37)
Отсюда вытекает, что произведение прямой и обрат-
ной матриц должно быть равно единичной матрице:
А~1А = Е1). Произведение прямой и обратной мат-
риц, очевидно, коммутативно, следовательно,
А~'А = АА~' = Е. (VII. 38)
Записав элементы произведения матриц А и А-1
по формуле (VII. 28), можно найти соотношение
между элементами прямой и обратной матриц:
?<«««* =I«,X,* = *i»- (VH. 39)
тп тп
Для ортогональной матрицы, т. е. матрицы, удовлет-
воряющей условию (VII.8), u'lk = akl (см. (VII.6)).
Произведя в (VII. 39) такую замену, получим
Hamiamk = 6(k, (VII. 40)
m
/L <llm&km ==Йг4. (VII.41)
m
Таким образом, элементы ортогональной матрицы
удовлетворяют соотношениям (VII. 39) н (VII. 40)
(ср. с формулами (VI. 39) и (VI. 40)).
VIII. Определители
Пусть нам дана квадратная матрица
"И <J|3 • • ¦ О\п
(VIII. 1)
Образуем из элементов этой матрицы выражение
') Из этого соотношения становится понятным обозначение
А \ употребляемое для обратной матрицы (Е — «единица»).

392 ПРИЛОЖЕНИЯ
где i, k, ..., т — перестановка из чисел 1,2, .... п,
а е<*...т— величина, равная +1. если число беспо-
рядков ') в перестановке i, k, ..., т является четным,
и —1, если число беспорядков нечетное (ср. с
(VI. 15)). Число перестановок из л чисел, как извест-
но, равно п\. Следовательно, можно составить п\ раз-
личных выражений вида (VIII. 2).
Сумма всех выражений вида (VIII. 2) обозначается
символами
a2\ 0.22 ¦ ¦ ¦ 0,2n г.
—¦ }_, el*...mfllA* ¦¦¦ unm
Uk...m)
(VIII. 3)
и называется определителем (или детерминантом),
соответствующим матрице (VIII. 1). Сумма (VIII.3)
берется по всем перестановкам чисел i, k, .... га. Сле-
довательно, она содержит п\ слагаемых.
Если дополнить определение е^...т условием,
чтобы этот символ обращался в нуль при совпадении
значений хотя бы двух из п индексов, детерминант
D(A) можно определить как сумму
iktm^ik...maHaik...anm, (V1II. 4)
в которой все индексы i,k, .... m пробегают значе-
ния от 1 до п.
Из (VIII. 3) следует, что определитель можно за-
писать в виде таблицы, аналогичной (VIII. I), с тем
отличием, что по бокам вместо двойных вертикаль-
ных линий ставятся одинарные.
Число строк (или столбцов) определителя назы-
вается его порядком.
Отметим, что определитель диагональной матрицы
(VII. 20) равен произведению ее диагональных эле-
ментов:
detllAjAfcll^M*-.. К, (VIII. 5)
•) Напомним. что беспоря^хоч в перестановке называется
тот факт, что больше л число с го-с: емг^-дн меньшего.

VIII. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
393
а определитель единичной матрицы равен единице:
D(E) = \. (VIII. 6)
Поясним сказанное на примере определителя
третьего порядка:
О|| ?I2 &13
^31 '^32 ^33
Из вторых индексов элементов этого определителя
можно сделать 31=6 перестановок:
123
231
312
321
213
132
0
2
2
3
1
1
беспорядком
безпорядка
беспорядка
беспорядка
беспорядок
беспорядок
Согласно формуле (VIII. 4) определителем третьего
порядка будет выражение
Если в определителе л-го порядка вычеркнуть i-ю
строку и /г-н столбец, получится определитель
(п—1) -го порядка, который называется минором ис-
ходного определителя, соотиетствующим элементу а,>.
Этот минор принято обозначать символом Аи,- Вели-
чину
И,й = (-!)'^Д,* (VIII. 7)
называют алгебраическим дополнение-;.'., ад-уента aik.
Свойства опрев,елителе#. Приведи, ь-п доказа-
тельства основные свойства определлчеленГ
1. При замене строк столбцами величина опреде-
лителя не изменяется:
аи
а,п
ar>.
! 1/11 «И2

394 ПРИЛОЖЕНИЯ
или, в более компактной записи,
det||a«J| = det||aft,||. (VIII. 8)
Замена строк столбцами называется транспониро-
ванием. Определитель, в котором призведена такая
замена, называют транспонированным. Таким обра-
зом, можно сказать, что транспонированный опреде-
литель равен исходному.
Из свойства 1 вытекает, что определитель транс-
понированной матрицы равен определителю исходной
матрицы:
(VIII. 9)
Действительно, эти определители отличаются только
заменой строк на столбцы, что ие изменяет величины
определителя.
2. При перестановке двух строк или двух столбцов
изменяется лишь знак определителя.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками
или столбцами равен нулю (это следует из свой-
ства 2).
4. Определитель является линейной формой')
элементов какой-нибудь строки или какого-либо
столбца:
det||a,fe|| =
п
= ? Aikaib (линейная форма элементов i-й строки)
(VIII. 10)
либо
zL i/t^ik (линейная форма элементов й-го столбца),
(VIII. 11)
причем коэффициентами А1к линейных форм (VIII. 10)
и (VIII. 11) являются алгебраические дополнения
(VIII. 6) соответствующих элементов.
') Линейной формулой переменных x,,xit ..., х» называется
линейная однородная функция этих переменных, т. е. выражение

VIII. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
395
5. Если элементы одной строки (или столбца) ум-
ножить на алгебраические дополнения элементов дру-
гой строки (столбца) и полученные произведения сло-
жить, то сумма будет равна нулю (эта сумма пред-
ставляет собой определитель с двумя одинаковыми
строками или столбцами; см. свойство 3).
Свойства 4 и 5 можно объединить в виде соотно-
шений:
Т. Aikamk = dot || a, k\\ ¦ 6im,
* (VIII. 12)
a
Из свойства 4 непосредственно вытекают еще два
свойства F и 7):
6. Если все элементы некоторой строки (или столб-
ца) содержат общий множитель, то его можно выне-
сти за знак определителя:
*\т
... aa
In
¦•¦ К
*
"In
... a.
(VIII. 13)
7. Если элементы некоторой строки (или столбца)
являются суммой двух (или большего числа) слагае-
мых, то определитель равен сумме определителей, в
которых элементами данной строки (данного столбца)
служат соответствующие слагаемые, например,
au ... alk +alk ... a,..
а21
<hm
an\ ¦¦¦ ank + ank •• вя
au ... alk ... a
\а
е„. ... а„ь ¦¦¦ a
алХ
nk ¦¦¦ "nn
an ... alk ... а,„
а21
... a,
2п
.. а
nft •••
. (VIII. 14)
8. Значение определителя не изменится, если к эле-
ментам некоторой строки (или столбца) прибавить

396 ПРИЛОЖЕНИЯ
соответствующие элементы другой строки (столбца),
предварительно умножив их на один и тот же мно-
житель.
Это свойство вытекает из свойств 7, 6 и 3.
9. Произведением двух определителей одинакового
порядка detllajjtll и det||6<*|| является определитель
того же порядка det||c,-*||, элементы которого выра-
жаются формулами
ctk=Zaimbmk. (VIII. 15)
т
Сравнение этой формулы с формулой (VII. 28) пока-
зывает, что определители перемножаются так же, как
и соответствующие матрицы. Следовательно, опреде-
литель матрицы-произведения совпадает с произведе-
нием определителей матриц-сомножителей.
Из свойства 9 вытекает, что определитель ортого-
нальной матрицы равен ±1- Действительно, для ор-
тогональной матрицы А = А~1 (см. (VII. 8)), вслед-
ствие чего АА = Е. Согласно сказанному выше
(см. (VIII.6)). Но в соответствии с (VIII.9) D(A) —
= D(A), так что можно написать
[D(A)f=l,
откуда
(A) ±l. (VIII. 16)
Системы линейных неоднородных уравнений. Рас-
смотрим систему п линейных алгебраических уравне-
ний с п неизвестными Х\,х2, ..., хп:
Эту систему можно записать в виде одного выра-
жения
JE
= b, (/=1,2 и). (VIII. 17)
Видно, что коэффициенты при неизвестных обра-
зуют квадратную матрицу, аналогичную матрице

VIII. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 397
(VIII. 1). Допустим, что определитель этой матрицы
(мы будем его называть определителем системы) от-
личен от нуля
(viii. 18)
Умножим первое из уравнений (VIII. 17) на А\щ —
алгебраическое дополнение элемента а\т, второе
уравнение — на А2т, .... п-в уравнение — на Апт и
сложим вместе получившиеся выражения. В резуль-
тате получим
i-l
Поменяем порядок суммирования в левой части ра-
венства:
R R П
2^ Atmalk— 2j Almbt.
»!
Согласно второй из формул (VIII. 12) S Aimatk=*
= det||aift||emfe==Dflmt, где D — определитель систе-
мы. Следовательно, полученное соотношение можно
представить в виде
Просуммировав слева но k, получим произведение
хтО. Сравнение суммы, стоящей справа, с формулой
(VIII. 11) позволяет сделать вывод, что эта сумма
представляет собой определитель, который получается
из определители (VUI.ISi г-аменой элемелгов m-ro
столбца свободными членами системы (VIII .17} .Обо-
значив ?,тот определитель (.коболом D<'"\ можно на-
писать, что
,'•".'-'¦ -«(Г,-' 1дл. ' "о irrci:-;-' индекс

398
ПРИЛОЖЕНИЯ
Мы пришли к теореме Крамера, которая гласит:
если определитель системы отличен от нуля, то она
имеет одно определенное решение, причем значение
неизвестного х„ равно дроби, знаменателем которой
является определитель системы D, а числителем —
определитель Dlk), получающийся из D заменой эле-
ментов k-го столбца свободными членами системы:
D
пц Л [;; ... Ъу ...
аг1 a2;i ... bt ...
o-ni o.n2 ... bn ...
-22
ft
"In
В2„
(VIII. 19)
a! ani ••• ank •¦• °«
Решение системы уравнений (VIII. 17) можно сде-
лать очень наглядным, воспользовавшись следующим
представлением. Неизвестные хих2, .... х„ можно
рассматривать как компоненты некоторого вектора х
в пространстве л измерений, а свободные члены
Ь\, b%, ..., bn — как компоненты заданного вектора Ь.
Тогда систему (VIII. 17) можно символически пред-
ставить в виде соотношения
Ах = Ъ, (VIII. 20)
где А — матрица, составленная из коэффициентов
уравнений (VIII. 17):
А =
0*1
ащ ¦¦
Действительно, раскрыв соотношение (VIII. 20) по
формуле (VII. 12), получим п уравнений:
aikxk = bt (х=1, 2 л),
совпадающих с системой (VIII. 17).

VIII. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 399
Следовательно, задачу нахождения неизвестных xi
можно сформулировать следующим образом: даны
матрица А и вектор b в пространстве п измерений;
требуется найти такой вектор х, который, будучи умно-
жен на матрицу Л, преобразуется в заданный вектор Ь.
Умножим уравнение (VIII. 20) на матрицу А-1.
Тогда слева получится искомый вектор х (см. фор-
мулу (VII. 37)) и мы придем к соотношению
х = Л"'Ь. (VIII. 21)
Таким образом, для нахождения решений системы
уравнений (VIII. 17) нужно поступить следующим об-
разом: найти матрицу, обратную матрице системы, и
подставить элементы этой матрицы в формулы
** = ?<А (VIII. 22)
(см. формулы (VII. 11) и (VII. 13)).
Сопоставив формулы (VIII. 19) и (VIII.22), мы
приходим к выводу, что элементы обратной матрицы
определяются выражениями
<«-4г" (VIII. 23)
Укажем еще одну форму записи рассмотренных
нами соотношений. Представив векторы х и b в виде
матриц с п строками и только одним столбцом, си-
стему уравнений (VIII. 17) можно записать в виде
(VIII. 24)
О-П1 ¦ ¦ ¦ О.П.П 11 Лл I Ьа
или, кратко,
- - - (VIII. 25)
(ср. с (VII. 35)).
Системы линейных однородных уравнений. Система
уравнений (VIII. 17), у которой все свободные члены bt
равны нулю, называется однородной. Таким образом,
однородная система имеет вид
021*1+022*2+ ••¦ +О2я*п = 0. (VIII. 26}

400 ПРИЛОЖЕНИЯ
(мы рассматриваем только системы, у которых число
уравнений равно числу неизвестных).
Если определитель этой системы отличен от нуля,
то согласно теореме Крамера система имеет одно
определенное решение, которое в данном случае бу-
дет нулевым:
n)
(см. (VIII. 19)).
Следовательно, для того чтобы однородная си-
стема уравнений имела ненулевое решение, необхо-
димо, чтобы ее определитель был равен нулю. Можно
доказать, что это условие является не только необхо-
димым, но и достаточным.
Чтобы иметь возможность рассказать о характере
решений системы (VIII.26), нужно познакомиться
с понятием ранга матрицы. Если число строк m не
равно числу столбцов п матрицы, для нее нельзя со-
ставить определитель (VIII.4). Однако, вычеркивая
из матрицы некоторые строки и столбцы, можно из
оставшихся строк и столбцов составить определитель.
Полученные таким способом определители называ-
ются входящими в состав матрицы. Наивысший воз-
можный порядок этих определителей равен минималь-
ному из чисел тип, определяющих размер матрицы,
а наименьший порядок этих определителей равен еди-
нице, причем определители первого порядка суть эле-
менты матрицы.
Предположим, что все определители порядка /,
входящие в состав матрицы, равны нулю. Легко сооб-
разить, что тогда и все определители порядка (/ + 1)
также равны нулю (это вытекает из свойства 4 опре-
делителей). Следовательно, если все определители не-
которого порядка /, входящие в состав матрицы, рав-
ны нулю, то и все определители более высокого по-
рядка также равны нулю.
Наивысший порядок отличного от нуля определи-
теля, входящего в состав матрицы, называется ее ран-
гом. Таким образом, тот факт, что ранг матрицы ра-
вен г, означает, что среди определителей порядка г,
входящих в состав матрицы, имеется хотя бы один от-

VIII. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 401
личный от нуля; определители же более высокого по-
рядка все равны нулю.
Понятие ранга применимо, разумеется, и к квад-
ратной матрице. Так, например, при соблюдении усло-
вия (VIII. 18) ранг матрицы, составленной из коэф-
фициентов неоднородной системы уравнений (VIII. 17),
равен п.
Для того чтобы однородная система (VIII. 26)
имела ненулевое решение, требуется равенство нулю
ее определителя. Иными словами, необходимо, чтобы
ранг матрицы, составленной из коэффициентов систе-
мы, был меньше п. Пусть ранг матрицы системы ра-
вен г A sg г < п). В этом случае существует п — г
линейно независимых решений
*<»>, xf\ .... *<« (а=1, 2 л-г).
Наиболее общим решением будут значения неизвест-
ных, определяемые выражениями
I сах\а) (/=1.2,... л), (VIII. 27)
а
где са — произвольные постоянные.
В частном случае, когда ранг матрицы системы
г = п—1, имеется только одно линейно-независимое
решение. Можно доказать, что этим решением будут
значения неизвестных
xl = cAki, x2 = cAki, .... xn = cAkn, (VIII. 28)
где Aki — алгебраическое дополнение элемента аы
в определителе системы D, с — произвольная постоян-
ная; k выбирается так, чтобы хотя бы одно из Aki
(/=1,2, ..., п) было отлично от нуля. Значения Aki,
получающиеся при разном выборе ft, отвечающем ука-
занному условию, отличаются друг от друга на общий
множитель, который может быть включен в постоян-
ную с. Таким образом, от выбора k вид решения
(VIII.28) не зависит.
Пусть некоторая совокупность значений х,- = qi
удовлетворяет системе (VIII.26). Легко заметить, что
значения xi = %qi (% — произвольная постоянная)
также удовлетворяют системе. Этим объясняется на-
личие множителя с в формулах (VIII.28). Из сказан-
ного следует, что системой (VIII. 26) однозначно опре-
деляются только отношения Xi/хц, сами же значе-

402 ПРИЛОЖЕНИЯ
ния xi определяются с точностью до произвольного
множителя.
Задаче о решении системы однородных уравнений
можно дать следующую геометрическую интерпрета-
цию. Совокупность величин (x\,Xi, .... х„) будем
рассматривать как л-вектор х, аналогично совокуп-
ность величин (ал, пи, ..., ain) будем рассматривать
как n-вектор а< (таких векторов будет п). Тогда си-
стему (VIII. 26) можно представить в виде
а,х = 0 (/=1,2 п)
(см. формулу (VI.41)), а саму задачу сформулиро-
вать так: в пространстве п измерений заданы п век-
торов а,. Требуется найти такой вектор х, который
был бы перпендикулярен ко всем векторам аи.
Очевидно, что умножение вектора х на скаляр с
не нарушает его ортогональности к векторам а*. По-
этому неизвестные Х\, х*, .... хп определяются систе-
мой (VIII. 26) с точностью до произвольного множи-
теля с, так что значение одного из неизвестных можно
выбрать произвольно (например, принять х\ = 1); то-
гда значения остальных неизвестных определятся од-
нозначно (они будут выражены через х\).
IX. Квадратичные формы
Квадратичной формой f от переменных х\, Жг, ...
.... х„ называется однородный многочлен второй сте-
пени от этих переменных. Такой многочлен можно за-
писать в виде
/= I aikxtxk, (IX. 1)
i. к-\
где
aik = au (IX. 2)
суть постоянные величины, которые могут быть как
вещественными, так и комплексными. Если все коэф-
фициенты aik вещественны, то квадратичная форма
называется вещественной. Если же хотя бы один из
коэффициентов является комплексным, то квадратич-
ная форма называется комплексной.
Вещественная квадратичная форма называется по-
ложительно определенной (отрицательно определен-
ной), если для любых вещественных значений пере-

IX. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 403
менных xt,х2, .... хп, не равных одновременно нулю,
эта форма имеет положительные (отрицательные)
значения.
В дальнейшем мы будем рассматривать только ве-
щественные квадратичные формы.
Симметричная матрица
|«П «12 ¦•- «1П |
|, (IX. d)
Dm а„2 ... аап |
составленная из коэффициентов многочлена (IX. 1),
называется матрицей квадратичной формы. Очевидно,
что квадратичная форма вполне определяется своей
матрицей.
Определитель
D (Л) = det||a/fc||, (IX. 4)
составленный из коэффициентов квадратичной формы,
называется ее дискриминантом.
Квадратичную форму можно представить в виде
произведения трех матриц:
= 1*1*2
«21
= ХАХ,
(IX. 5)
где X — матрица с одним столбцом, X — транспониро-
ванная с ней матрица. Действительно, произведение
матрицы с одним столбцом на квадратную матрицу
представляет собой матрицу с одним столбцом (см.
(VII. 32)), элементы которой в рассматриваемом нами
случае равны
l^ («== 1, 2, ..., п).
Произведение же матрицы с одним столбцом на мат-
рицу с одной строкой есть просто функция (см.
(VII. 33)). В данном случае это — функция
Видно, что последнее выражение тождественно
с выражением (IX. \).

404 ПРИЛОЖЕНИЯ
Квадратичная форма пида
| . в)
не содержащая членов с произведениями различных
переменных, называется канонической. Такая форма
имеет диагональную матрицу и поэтому называется
также диагональной квадратичной формой. Очевидно,
что если все А,* больше (меньше) нуля, форма (IX. 6)
будет положительно определенной (отрицательно
определенной).
Всякая квадратичная форма при помощи неособен-
ного линейного преобразования') переменных может
быть приведена к диагональному виду. Перейдем от
переменных *,, х2, .... х„ к новым переменным
УиУг, ¦•¦. Уп, связанным с прежними переменными,
с помощью линейных соотношений
V «... /iv т\
Xi = /^ ОцгУъ- \1л.. I)
h
Рассматривая совокупность величин xt и совокупность
величин ук как матрицы с одним столбцом, формулу
(IX. 7) можно записать в виде
X==BY, (IX. 8)
где В— матрица линейного преобразования, элемен-
тами которой являются коэффициенты bik.
Подставив значения %и определяемые соотноше-
ниями (IX. 7), в формулу (IX. 1)., найдем выражение
квадратичной формы в новых переменных:
/ — L aik Z buyi X bkmy,,x === Y, yiym 2 aikbabkm =
i, U t in I, m I, k
- E с1тУ1ут, (IX. 9)
I. m
где
cim=lZaikbubbn. (IX. 10)
I, к
Л«гко убедиться в том, что из условия aih ----- atj вы-
текает <"•},« = Cmi.
¦¦) Htojcci'.iiKv.Hii называете! такое л;ак*щу? п;г;,образовя-
it!fs В (9 патрица). отфеиелк'1:.:; ь кст^зиго отл-'л-;--'. от нуля:

IX. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 405
Запишем выражение ((X. 10) следующим образом:
Clm = Е Ьц Y. ЪФкт = Е Ьц Z а1 Фкт
i к i k
(мы заменили элементы матрицы В соответствующими
элементами транспонированной матрицы В; см. фор-
мулу (VII.7)). Согласно (VII.28) }? alkbkm представ-
ляет собой (AB)im— элемент матрицы, получающейся
в результате перемножения матриц В и А. Анало-
гично Е Ьп (AB)im представляет собой (ВАВIт — эле-
мент матрицы, получающейся в результате перемно-
жения матриц (АВ) и В. Следовательно, матрица С,
элементы которой определяются формулой (IX. 10),
может быть представлена в виде
С=ВАВ. (IX. 11)
В соответствии с (VIII. 15) определитель D(C\
матрицы С равен
D(C) = D(B)D(A)D(B).
Поскольку матрицы В и В отличаются заменой -столб-
цов строками, а определитель при такой замене не
изменяется (см. (VIII. 8)), то D(B) = D(B) и можно
написать
= D(A)[D(B)]2. (IX. 12)
Таким образом, при линейном преобразовании пере-
менных дискриминант квадратичной формы умно-
жается на квадрат определителя преобразования от
новых переменных к первоначальным.
Если преобразование В ортогонально (это озна-
чает, что коэффициенты Ьц, удовлетворяют условиям
(VII.40) и (VII.41)), то транспонированная матрица
совпадает с обратной: Е=В~Х (см. (VII. 8)). Поэтому
в случае ^ортогонального преобразования формула
(IX. 11) выглядит следующим образом:
С = В1АВ. (IX. 13)
Матрица С, определяемая соотношением (IX. 13),
представляет собой матрицу квадратичной формы
в новых переменных у>. Попытаемся найти такое

406
ПРИЛОЖЕНИЯ
ортогональное преобразование В, чтобы матрица С
была диагональной, т. е. имела вид
X, О
о и
0
0
о ... х„
(IX. 14)
Тогда квадратичная форма в новых переменных ук
будет иметь канонический вид (см. формулу (IX.6)).
Умножим обе части формулы (IX. 13) на В. По-
скольку ВВ~1 = Е, а умножение на единичную мат-
рицу не изменяет второго сомножителя (см. (VII. 36)),
мы придем к соотношению
ВС=АВ
или
? blmcmk= ? almbmk (i, k= I, 2 п). (IX. 15)
т т
В соответствии с (IX. 14) элементы сш* могут быть
представлены в виде cmk = A,m6m*. Подставив это зна-
чение стк в формулу (IX. 15), получим
Е blm^m^mk = S а(тЬ,пк (l, k = 1, 2 rt).
m m
В сумме, стоящей слева, будет отлично от нуля лишь
слагаемое с т = k, которое равно bikkk- Таким обра-
зом, мы приходим к уравнению
bikK = S almbmk
[i, k = 1, 2,
п). (IX. 16)
Последнее выражение можно рассматривать как
совокупность п2 уравнений с л2 неизвестными Ьщ. Эти
уравнения можно подразделить на п групп (отличаю-
щихся значениями индекса к). Каждая из этих групп
состоит из п уравнений, отличающихся значениями
индекса i. Перенеся в (IX. 16) все члены в одну сто-
рону, k-ю группу уравнений можно представить в виде
(ап -
\k
+ («22 — h) b.k -f ... +
= 0,
= 0,
an A*
ak = 0.
(IX. 17)

IX. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 407
Для того чтобы система уравнений (IX. 17) имела
отличные от нуля решения, ее определитель должен
быть равен нулю (см. Приложение VIII):
."*'. . ат~к :: . п2п. =о (IX. is)
ап\ ат ¦ ¦ япп — А.
(мы опустили индекс при X, поскольку аналогичные
условия получаются при любом k). Последнее выра-
жение представляет собой алгебраическое уравнение
л-й степени относительно неизвестной %.. Его называют
характеристическим уравнением матрицы А.
Уравнение (IX. 18) имеет л корней: \\, Х2, .... Х„,
которые представляют собой элементы искомой диа-
гональной матрицы (IX. 14). Подставляя поочередно
значения X,* в систему (IX. 17) и решая эту систему
относительно неизвестных &,*, найдем элементы мат
рицы перехода от переменных ук, в которых квадра-
тичная форма имеет диагональный вид, к прежним
переменным xi (см. (IX. 7)). Переход от перемен-
ных xt к переменным у* может быть осуществлен с по-
мощью обратной матрицы В-1. Так как по условию
й(В)Ф0 (преобразование В неособенное), то обрат-
ная матрица существует; ее элементы можно вычис-
лить по формуле (VIII. 23).
Корни уравнения (IX. 18) (т. е. величины Л.*) бу-
дут вещественными. Это сразу следует из соотноше-
ний (IX. 16), если учесть вещественность величин aik
и bik. Таким образом, матрица (IX. 14) будет веще-
ственной.
Рассмотрим диагональную квадратичную форму
вида
:. 19)
Эта форма положительно определенная. Ее матрицей
будет единичная матрица
A = E = \\bik\\. (IX. 20)
Применим к переменным xt произвольное ортого-
нальное преобразование В и посмотрим, какой вид бу-
дет иметь в новых переменных квадратичная форма
(IX. 19). Согласно (IX. 13) матрица С квадратичной

408 ПРИЛОЖЕНИЯ
формы в новых переменных определяется выражением
(см. формулы (VII. 36) и (VII. 38)). Следовательно,
квадратичная форма (IX. 19) в новых переменных
имеет вид
Таким образом, всякое ортогональное преобразование
переменных оставляет без изменений квадратичную
форму вида (IX. 19).
Рассмотрим вещественную квадратичную форму
вида
где zi,zi zn — комплексные величины1). Пред-
ставим zm в виде хт + iym, соответственно z'k — в виде
xk — iyk- Тогда
/ = Е akm(xk — iyk)(xm + iym) = Е akm(xkxm + ykym)+
к, т k. m
+ i S akm (xkym - xmyk) = f, + if2. (IX. 22)
ft, m
Произведем в сумме, определяющей мнимую часть f2
полученного нами выражения, взаимную замену не-
мых индексов k и т:
/2 = Z акт (ХкУт — *тУк) :=: Е «W (*mf ft ~
ft. /n m. ft
Е ftm (^m - vmf/fc) = - /2
ft. m
(мы воспользовались тем, что amk -~- а-ьт; см. (IX. 2)).
Соотношение f2 = —!г во: можно только в том случае,
если f2 — 0. Таким образом,, мы доказали, что квад-
ратичная форма (IX. 21) при любых комплексных г
1) Напомним, что вещественной н.'зывастся квадратичная
форма с вещественными коэффициентами акп. Форма (IX. 21)
является частным случаем так называемой Формы Эрнита, у ко-
тст/ой к.оэффццийкты, вообще гсосря, ус¦¦••плсксн!;.'\ и удовлетво-
ряют услепню а,., == aftj.

IX. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 409
имеет вещественные значения. Согласно (IX. 22) за-
пишем ее в виде
/ = Е akmxkxm + ? akmykyri = f0 (xk) + /0{yk), (IX. 23)
k, m ft, m
где
/о Fft) = Z ^ftmlft^m
ft, м
(напомним, что квадратичная форма полностью опре-
деляется своей матрицей, от обозначения переменных
она не зависит).
Одновременное приведение двух квадратичных
форм к диагональному виду. Пусть имеются две квад-
ратичные формы:
Л = ? cilkxtxk, (IX. 24)
i. ft
fi= I, Ьцх,хк. (IX. 25)
i, k
Покажем, что если одна иа них, скажем, ft положи-
тельно определенная, то можно найти такое линейное
преобразование переменных, которое приводит обе
формы к диагональному виду. Осуществим искомое
преобразование в несколько этапов. Сначала с по-
мощью ортогонального преобразования F перейдем
к переменным vit в которых форма (IX. 24) примет
диагональный вид
и = ? vtf
(такое преобразование подробно рассмотрено выше).
Теперь перейдем от переменных о,- к переменным
Щ = V, л/рч
(легко убедиться в том, что при хотя бы одном уц ф I
это преобразование неортогонально). Поскольку фор-
ма fi положительно определенная, все коэффициенты
\т положительны, так что переменные ы; будут веще-
стпенными. В этих переменных
/, = I и].
значит, матрицей ^ будет Е.
Наконец, перейдем с помощью ортогонального пре-
образования G от переменных щ к таким перемен-

¦ю приложения
ным tfi, чтобы форма U стала диагональной. Форма ft
при этом останется диагональной, ибо, как было
показано выше, квадратичная форма с матрицей Е
(см. (IX. 20)) не изменяется при любом ортогональ-
ном преобразовании. Следовательно, в переменных щ
квадратичные формы (IX. 24) и (IX. 25) будут диаго-
нальными:
Z ? . 26)
Вся последовательность преобразований может
быть представлена схемой:
(преобразование F) (х Vi^T) (преобразование G)
Zwt-Z^ "> Z «?->!»? (IX. 27)
(.ft ( it
Z bik*t*k -* Z b'tkvtvk ¦* Z b"kui4 -* Z м*
(.ft i. к i. k i
Чтобы установить способ нахождения коэффициен-
тов А.,-, образуем вспомогательную квадратичную
форму
Z (lk - hatk) xtxk = Z (h
(IX. 28)
коэффициенты которой содержат параметр А,. Дискри-
минант этой формы в переменных х( имеет вид
det\\bik-Kalk\\, (IX. 29)
а в переменных yi
det || (Хк - к) 61к || = (Л, - л) (Я,2 - Л) ... (*„ - Я.). (IX. 30)
Обозначив преобразование непосредственного пе-
рехода от переменных xt к переменным у{ буквой В
(это преобразование, вообще говоря, не будет ортого-
нальным), напишем для матрицы квадратичной фор-
мы (IX. 28) в переменных yi выражение
С--=ВАВ,
где через А обозначена матрица формы (IX. 28) в пе-
ременных xt (см. формулу (IX. 11)). Согласно (IX. 12)
D(C) = D(A)\DiB)fy

IX. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 411
где D(C) есть определитель (IX.30), D(A)—опреде-
литель (IX.29), D(B) — отличный от нуля определи-
тель матрицы преобразования В, который не содер-
жит параметра X (О(В)Ф0, так как преобразова-
ние В неособенное).
Итак,
(Я, - X) (Х2 - X) ... (К -Х) = det || bik - Xalk || [D (В)]2.
Подстановка вместо X любого из значений Хь обра-
щает в нуль левую часть уравнения, а следовательно,
и множитель det\\bik — Xalf,\\. Таким образом, вели-
чины %k суть корни уравнения
bni — Хап\ Ьпг — ХаП2 ¦.. Ьпп — Ха
Итак, задача приведения квадратичных форм (IX. 24)
и (IX. 25) к диагональному виду сводится к нахожде-
нию корней уравнения (IX. 31).
Рассмотрим наряду с квадратичной формой от пе-
ременных Xi
/=I<WWk, ОХ. 32)
аналогичную квадратичную форму от переменных ij
Г=1<ад*ь (IX. зз)
I. k
где id — производная переменной xi по какому-либо
параметру t. Назовем х, i-й скоростью.
При линейном преобразовании
Xl = 2] с1тУт (IX. 34)
от переменных xt к новым переменным у( скорости
испытывают такое же преобразование
xi = ? cimym. (IX. 35)
Выразим формы (IX. 32) и (IX. 33) в новых пере-
менных. Для этого подстапим в формулы (IX. 32) и

412 ПРИЛОЖЕНИЯ
(IX. 33) выражения (IX 34) и (IX. 35):
/ = Z aikx,xk =
где
Аналогично
с/ V
i. ft
: Z aik L
t. к m
= Ii
m. <
1
= Z <*<* 2
(.ft m
-Is
m. I
z
[. k
L
тУт
l. к
i. к
= ? bm,t/mylt
m. I
(IX. 36)
Z alkClmCkl = Z Ьт1утуи
i, k m. I
где 6mi имеет те же значения (IX. 36), что и в преды-
дущем случае.
Таким образом, при всяком линейном преобразо-
вании от переменных j;, к новым переменным yt ко-
эффициенты квадратичной формы от скоростей xi пре-
образуются точно таким образом, как коэффициенты
аналогичной квадратичной формы от *,. На этом осно-
вании схему (IX. 27) можно видоизменить следующим
образом:
(преобразование F) (X Vp-/ ): (преобразование G)
xi
2-i aikxixk
Z ^/Л-11*
V -2
(
-* Z b'ikvivk -*
Г yf (IX.37)
к -»• Z Mi-
_ __ Z
i. к i, к I, k
Предполагается, что квадратичная форма Z
положительно определенная.
X. Тензоры
1. Определение тензора. Чтобы прийти к понятию
тензора, рассмотрим поляризацию анизотропного ди-
электрика.
В изотропном диэлектрике поляризованиость Р про-
порциональна напряженности электрического поля Е:
Р = хЕ, (X. 1)

X. ТЕНЗОРЫ
413
где я — диэлектрическая восприимчивость. Согласно
(X. 1) векторы Р и Е коллинеарны.
В анизотропном диэлектрике поляризуемость по
разным направлениям различна. Вследствие этого на-
правление вектора Р, вообще говоря, не совпадает
с направлением вектора Е. Как показывает опыт, в
любом анизотропном диэлектрике имеются три вза-
имно перпендикулярных направления таких, что при
совпадении направления Е с одним из них вектор Р
оказывается коллинеарным
с Е. Эти направления на-
зываются главными. На-
правим оси координат
вдоль главных направлении
диэлектрика (рис. X. 1).
Произвольно направленный
вектор Е можно разложить
на составляющие Ех, Ev и
Ег (последняя составляю-
щая перпендикулярна к
плоскости рисунка). Состав-
ляющая Ех создаст коллинеарную с ней поляризован-
ность Р* = кхЕх, где кх — восприимчивость в направ-
лении оси х. Аналогично две другие составляющие со-
здадут Ру = НуЕу и Р2 = хгЕг. Нетрудно заметить, что
при различных по величине х*. v.y и %г результирующий
вектор Р = Р* + Ру + Рг будет неколлинеарен с Е.
Рассмотрим анизотропный диэлектрик, который мы
будем считать однородной неограниченной средой.
Свяжем с ним декартову систему координат, оси кото-
рой ориентированы совершенно произвольно и не со-
впадают ни с одним из глаьиых направлений диэлек-
трика. Тогда при поле Ех, направленном по оси х, от-
личными от нуля будут не только Рх, но также Ри
и Рг, причем
Рх-=*ххЕх, РУ = «1УЬХ, Рг. = нгхЕх, (Х.2)
где %хх, Щх и Игх — коэффициенты ¦пропорциональности
между Ех и соответствующими компонентами Р.
Аналогично поля Еу и Е, вызовут поляризован-
ное™ :
Г) ,
<-;?.)¦'-а •
(Х.З)

414 ПРИЛОЖЕНИЯ
В случае поля Е, не совпадающего ни с одной из
координатных осей, одновременно будут существовать
Ех, Еу и Ег, так что возникнут все Pi, определяемые
формулами (X. 2) и (X. 3). Объединив соответствую-
щие составляющие вектора Р, получим
•X == КХХ^Х "Г ХХуСу "Г Xj;zCz,
Р„ = хухЕх + хууЕ„ + хугЕг, (X. 4)
Перейдя от буквенных индексов к цифровым, за-
пишем уравнения (X. 4) н компактном виде
,*?* (i = l, 2, 3). (Х.5)
Из сказанного выше вытекает, что для характери-
стики анизотропного диэлектрика необходимо задать
девять величин х,* (в случае изотропного диэлектрика
достаточно было одной величины х).
Перейдем от прежней системы координат х\, х%, х3
(системы К) к новой системе х\, х'й, х'ъ (системе К'),
оси которой также не совпадают с главными направ-
лениями диэлектрика. Выясним, как преобразуются
величины щк при таком переходе. В новой системе
координат уравнения, связывающие Р\ и E'k, анало-
гичны уравнениям (X. 5):
Здесь v.'ik — девять величин, характеризующих ди-
электрик в новой системе координат.
Согласно формулам (VI. 37) и (VI. 38) компонен-
ты вектора Р при переходе от системы К к системе К'
преобразуются по формуле
"р" (Х7)
а компоненты вектора Е при переходе от системы К'
к системе К преобразуются по формуле
кА (Х.8)
(Напомним, что eit = eje4 есть /косинус угла между
i-й штрихованной и k-Pi нештркхованной осями коор-
динат.)

х. тензоры 415
Заменим в (X. 7) Pt через Ет согласно соотноше-
нию (X. 5). В результате получим
К = Е <*аР1 = Z"e« Е *1тЕя = Е «„*|„Л,-
/ i m I, m
Теперь подставим сюда Ет из формулы (X. 8):
Я; = Е «„*,„ Е а*т^ = Е Е' Е «„aAmxJm.
(, т я k 1, т
Сопоставив полученное выражение с выражением
(X. 6), получим
*'lk = E «„«ftm^lm- (X- 9)
I. m
Совокупность девяти величин Tik, преобразую-
щихся при переходе от системы координат К к си-
стеме К' по формуле
, ТП
называется тензором второго ранга (или тензором
второго порядка, или, наконец, тензором второй ва-
лентности).
Обратное преобразование (от системы К' к си-
стеме К) осуществляется по формуле
/. m
Тензор записывают одним из следующих трех спо-
собов:
/:Гц г12 г,3\
= G\*)= :г„ Тзг Г23 .
\Г31 Г3! Тзз/
Величины Tik называют компонентами тензора. Ком-
поненты Тц, Tii и 7^3 назынаются диагональными.
Таким образом, свойства анизотропного диэлек-
трика описываются тензором диэлектрической воспри-
имчивости
Я2| X2S X23 I. (X. 13)
Х31 К32 XS3 /
Особый интерес представляет случай, когда оси
координат совпадают с главными направлениями

416 ПРИЛОЖЕНИЯ
диэлектрика. При этом условии составляющая поля
Ei порождает только t-ю составляющую поляризован-
ности, причем
Pl = KliEl (j=l, 2, 3).
Сопоставление с (X. 5) приводит к выводу, что в рас-
сматриваемом случае отличны от нуля только диаго-
нальные компоненты тензора, так что тензор диэлек-
трической восприимчивости имеет вид
0 0
(Х14>
/и. О О \
= 0 и2 О
V 0 0 х3 /
(мы оставили при отличных от нуля компонентах
тензора только один индекс, так как у диагональных
компонент оба индекса одинаковы).
Тензор, у которого отличны от нуля только диаго-
нальные компоненты1), называется приведенным
к главным осям. Значения диагональных компонент,
которые получаются в этом случае, называются глав-
ными значениями тензора.
Отметим, что у изотропного диэлектрика все три
главные значения тензора диэлектрической восприим-
чивости одинаковы: v.\ — v.i = из = х. Это значение
диагональных составляющих тензора и представляет
собой диэлектрическую восприимчивость, рассматри-
ваемую в курсе общей физики. В качестве главных
направлений изотропного диэлектрика могут быть
взяты любые три взаимно перпендикулярные направ-
ления.
Рассматриваются тензоры не только второго, но и
других рангов. Так, например, тензором третьего
ранга называется совокупность 27 величин Tikt, пре-
образующихся при переходе от одной системы коор-
динат к другой по формуле
Аналогично определяются тензоры других рангов. Тен-
зор г-го ранга имеет 3' хомпонент. Легко видеть, что
вектор есть тензор первого ранга (он имеет З'=3ком-
') Заметим, что это возможно лишь при специально выбран-
ных координатных осях.

х. тензоры 417
поненты), а скаляр — тензор нулевого ранга (он имеет
3°= 1 компоненту).
Понятие тензора легко распространить на про-
странство п измерений. Тензором r-го ранга в таком
пространстве (я-тензором г-го ранга) называется со-
вокупность пт величин Tik..fP (всего г индексов), пре-
образующихся по формуле, отличающейся от фор-
мулы (X. 15) лишь тем, что немые индексы пробегают
при суммировании не три, а п значений.
Приведем еще несколько примеров тензоров вто-
рого ранга. Возьмем два вектора а и b и образуем из
их компонент произведения вида
П« = аЛ- (Х-16)
Легко убедиться в том, что эти произведения преоб-
разуются по формуле (X. 10), т. е. обладают свой-
ствами компонент тензора второго ранга.
Тензор
/1 0 04
1 = 1 0 1 0 )
V 0 0 1 /
(*«) = ! ° ' ° I (Х-17)
\ 0 0 1 /
называется единичным тензором. Согласно формуле
преобразования (VI. 39) его составляющие в новой
системе координат равны
(мы воспользовались свойством коэффициентов а,-*,
выражаемым формулой (X. 39)). Таким образом, ком-
поненты единичного тензора одинаковы во всех систе-
мах координат. Тензоры, обладающие таким свой-
ством, называются инвариантными.
2. Тензорная алгебра. Рассмотрим основные опе-
рации с тензорами.
Суммой тензоров Tik я G,ft называется тензор
с компонентами
2ik = Ti* + Gik- (Х-18)
В соответствии с (X. 18) любой тензор можно пред-
ставить в виде суммы двух (или более) тензоров.
Произведением тензора Tik на скаляр а называется
тензор Gtk с компонентами
14 И. В. Савельев, т. 1

418 ПРИЛОЖЕНИЯ
Произведением тензоров Tik и Gtm называется тен-
зор четвертого ранга Пш™ с компонентами
--Т1ЬО1гл. (Х.20)
Аналогично определяется произведение тензоров иных
рангов, в частности, выие (см. (л. 16)) было рассмот-
рено произведение тензороз первого ранга, т. е. век-
торов. Из определения (X. 20) следует, что ранг тен-
зора-произведения равен сумме рангов тензоров-со-
множителей (могут перемножаться и тензоры неоди-
наковых рангов).
Свертыванием тензора называется следующая опе-
рация: два индекса прк компонентах тензора пола-
гаются одинаковыми и по кки осуществляется сумми-
рование. Получившаяся в результате такой операции
величина называется сверткой тензора. Очевидно, что
свертывание понижает ранг тензора на дне единицы.
Операция свертывания может применяться к тензо-
рам ранга не ниже второго1). В случае тензора вто-
рого ранга свертка представляет собой тензор нуле-
вого ранга, т. е. скаляр. Этот скаляр называется сле-
дом (или шпуром) тензора (ср. со следом матрицы;
стр.386). Он равен сумме диагональных компонент:
Скаляр не изменяется при преобразовании координат.
Следовательно, след тензора представляет собой ин-
вариант. Например, след тензора (X. 16) есть не что
иное, как скалярное произведение векторов а и Ь, ко-
торое, как мы знаем, инвариантно относительно пре-
образования координат (см. текст, следующий за
формулой (VI. 28)).
В физических приложениях обычно применяется
умножение тензоров в сочетании с последующим свер-
тыванием получившегося выражения. Результат этих
операций называется скалярным произведением тен-
зоров2). Типичным примером может служить только
') В случае тензора, ранг которого г выше второго, сверты-
вание можно производить несколькими способами (по разным
парам индексов). В результате будут получаться различные тен-
зоры ранга г — 2.
2) Иногда последнее произведение называют внутренним, в
то время как выражение (X. 20) называют внекшак произведе-
нием тензоров.

х. тензоры 419
что упоминавшееся скалярное произведение векторов
(тензоров первого ранга): тензор a,bk свертывается
по паре индексов i и ft, в итоге получается выражение
Е akbk-
В соответствии со сказанным, скалярным произве-
дением тензора 7",s на вектор ак называется вектор bi
с компонентами
bi --= I Tikah. (X. 22)
is
Убедимся в том, что определенная таким способом со-
вокупность величин bi действительно образует вектор.
Для этого найдем закон преобразования Ееличнн hi.
Очевидно, что
к=i *>;.
Подставим в последнее соотношение выражения Т\к
и a'k через кештрихованные компоненты:
Ь\ = Е T'ika'k = Z Z auakmTlm ? aft A =
к k I. m s
= Z atl E TlmQs Z «Атвь-
< т, 5 &
Согласно свойству (VI. 40) J^ o.kmaks = 6ms. Следова-
тельно,
К = Е а„ I r,mas6ms = У «„ Е 7"/mam = E «/2&i-
/ m, s / m /
Полученный нами результат означает, что вели-
чины bi преобразуются но закону преобразования
компонент вектора. Таким образом, определяемые вы-
ражением (X. 22) величины bi действительно образуют
вектор.
Аналогично можно убедиться з справедливости
следующего утверждения: если выражение Е ^'(Ai
к
образованное совокупностью 9-ти величин Хц, и ком-
понентами некоторого вектора ак представляет собой
компоненты другого вектора bt, то величины Хц, суть
компоненты некоторого тензора. С подобной ситуа-
цией мы столкнулись в начале этого Приложения. Со-
вокупность девяти величин ть, взятая с компонентами
14*

420 ПРИЛОЖЕНИЯ
вектора Ek в сочетании (X. 5), дала компоненты
вектора Pi. На этом основании мы показали, что ве-
личины y.tk преобразуются по закону преобразования
компонент тензора, т. е. что диэлектрическая воспри-
имчивость является тензором.
В результате скалярного умножения вектора а на
тензор Т мы получили ноеый лектор Ь:
Ь==Та. (X. 23)
Поэтому тензор Т можно рассматривать как .'.'ииейный
оператор, осуществляющий преобразование одного
вектора в другой.
Найдем произведение едлничного тензора на век-
тор ah. Согласно формуле (X. 22)
Таким образом, при умножении на единичный тензор
вектор не изменяется.
3. Симметричные и антисимметричные тензоры.
Тензор Si*, компоненты которого удовлетворяют
условию
Stk = Sht, (X.24)
называется симметричным. Отметим, что рассмотрен-
ный выше тензор диэлектрической восприимчивости
является симметричным.
Тензор А!к, компоненты которого удовлетворяют
условию
Aik = -Au, (X.25)
называется антисимметричным.
Свойство симметрии или антисимметрии является
свойством самого тензора. Это следует из того факта,
что оно сохраняется при любых преобразованиях ко-
ординат. Для доказательства приведем следующие
выкладки:
S'lk = S auahinStm = ? a,mauSml = У, bkpim$lm = S'u
I, rti m, I /, m
(сначала мы произвели взаимную замену кемых ин-
дексов / и пг, а затем заменили Smi равным ему Sim).
Мы доказали, что тензор, симметричный в некоторой
системе К, будет симметричным з любой другой си-
стеме К'.

х. тензоры 421
Аналогично
in, I
(яосл.-з взаимной перестановки нег,;ых индексов мы за-
менали Аы равным ему —Л;>4- Мы доказали, что тен-
зор, актисиы.кетричянй в Л", 6>rs?T антисимметричным
и в К'.
Любой тензор Tin можно представить в виде суммы
симметричного и антисимматричного тензоров. Дей-
СТЕ'ДТЕйЬКО, ПГгеярТЙВИМ Tib Ъ ЗЬДй
Правомерность такой записи очевидна. Вместе с тем,
первое слагаемое не изменяется при перестановке ин-
дексов i и к, т. е. обладает свойствами компонент
симметричного тензора; второе же слагаемое при пе-
рестановке индексов меняет знак, т. е. обладает свой-
ствами компонент антисимметричного тензора.
Таким образом, всегда можно считать, что
Ttk = Slt + Alk, (X.26)
где
•Jjfe — 2 ' '* — 2 ' ' '
Понятия симметрии и антисимметрии применимы
и к тензорам более высокого ранга. Так, например,
Tiki называется симметричным (антисимметричным)
относительно индексов i и к (или i и /, или к и /),
если при перестановке этих индексов компоненты тен-
зора не изменяются (соответственно изменяют знак
на обратный). Если компоненты тензора не изме-
няются (или изменяют знак на обратный) при пере-
становке любой пары индексов, то тензор называется
абсолютно симметричным (соответственно абсолютно
антисимметричным).
Введенная в Приложении VI совокупность 27 ве-
личин вш образует абсолютно антисимметричный тен-
зор третьего ранга. Напомним, что величины е,а:
1) равны нулю, если любые два индекса имеют оди-
наковые значения; 2) равны +1, если все индексы

422 ПРИЛОЖЕНИЯ
различны и образуют циклическую перестановку по-
следовательности !, 2, 3; 3) равны —1, если все ин-
дексы различны и образуют циклическую переста-
новку последовательности 3, 2, i. Из 27 компонент
этого теазооа 21 равна нулю, три равны -|-1 и три
равны —I. Путем несложных, но громоздких вычис-
лений кожно показать, чго
<k!= ? а11Л/,а/Лн =е (X. 28)
т /) s
т,
т. е, что тензор е;« инвариантен.
4. Истинные тевзэры и псевдотензоры. Выясним,
как преобразуются компоненты тензора при инверсии
координатных осей. Коэффициенты преобразования
имеют в этом случае значения
aik == — &ik
(см. (VI. 42)). Поэтому формула преобразования
компонент тензора r-го ранга Tn,...s (всего г индек-
сов) при инверсии имеет вид
*¦«...«= Z (-*!«)(-**р) ¦¦¦ (-^)^p...s =
т, р, ..., 5
4Ар /smp...,l4...,
т, р s и н
Таким образом, компоненты тензора r-го ранга1) при
инверсии преобразуются по формуле
1 Ik... I — \ l> ' /ft... Г
Согласно (X. 28) величины elft/ при любом преоб-
разовании координат (а следовательно, и при инвер-
сии) остаются инвариантными, т. е. знака не изме-
няют. Компоненты же истинного тензора третьего
ранга должны при инверсии изменить знак на обрат-
ный. Поэтому совокупность величин еш образует не
истинный тензор, а псевдотензор.
Превдотензором r-го ранга называется совокуп-
ность Зг компонент Pik...i, которые при поворотах
системы координат ведут себя как компоненты обыч-
ного тензора, а при иносрсгзи преобразуются по фор-
муле
') Имеются в виду тензоры в пространстве трех измерений.

X. ТЕНЗОРЫ
423
Приведем примеры псевдотензоров разных рангов.
С псевдоскалярами и псевдовекторами мы познакоми-
лись в Приложении VI. Выше был рассмотрен псев-
дотензор третьего ранга еш- Совокупность величин Р,А.
образованных из произведений компонент истинного
вектора щ и псевдовектор г; р&: Р;?. — а.р», представ-
ляет собой пссздотгнзор второго ранга. Действитель-
но, при инверсии величины щ меняют знай, а величи-
ны pk остаются неизменными. Следовательно, Рц, при
инверсии будет менять знак. В то же время, мы знаем,
что компоненты истинного тензора второго ранга при
инверсии знака не изменяют. Знгчкт, Рщ есть псевдо-
тензор.
Легко сообразить, что результатом свертывания
псевдотензора будет также псевдотензор (четность
или нечетность ранга тензора при свертывании пе из-
меняется, а формулы преобразования компонент ис-
ходного тензора и свертки отличаются на множитель
(—IJ). Например, при свертывании псездотензора
Pit, мы получим скалярное произведение истинного
вектора и псевдовектора, т. е. псевдоскаляр.
Произведение псевдотензора любого ранга Pik. л
на истинный тензор любого ранга Tmp...s представ-
ляет собой псевдотензор
^ik ... Imp ... s гIk ... I' tip ... s-
Для проверки этого утверждения составим таблицу:
Pik.A
т
mp...s
П ik...lmp...s
Ранг
четный
четный
нечетный
нечетный
четный
нечетный
четный
нечетный
четный
нечетный
нечетчый
четный
Знак при инверсии
изменяется
изменяется
на изменяется
не изменяется
не изменяется
изменяется
г;е изменяется
изменяется
изменяется
не изменяется
не изменяется
изменяется

424 ПРИЛОЖЕНИЯ
Аналогично можно убедиться в том, что произве-
дение двух псевдотензоров любых рангов представ-
ляет собой истинный тензор.
5. Свойства симметричного тензора второго рамга.
У симметричного тензора второго ранга из девяти
компонент независимым;! явля-
ются только шесть (SB = S21,
S13 — - S31, S23 = 5'зг)-
Симметричный тензор второ-
го ранга допускает важную гео-
метряческую интерпретацию.
Прежде чем пеоейти к ее рас-
смотрению, отметим, что вектор
а можно представить не только
направленным отрезком, но и
плоскостью, уравнение которой
имеет вид
Рис Х.2 аг=1, (Х.29)
где г — радиус-вектор точки плоскости (рис. Х.2).
Поскольку
аг = ага = 1, то та = \/а.
Следовательно, уравнение (X.29) определяет плос-
кость, перпендикулярную к вектору а и отстоящую от
начала координат на расстояние \/а. Выражение
(Х.29) можно также представить в виде атг = 1, от-
куда г = \/аг. Таким образом, на прямой, проходя-
щей через начало координат и имеющей направление п
(см. рис. Х.2), плоскость (Х.29) отсекает отрезок
длины
P==-L- (Х.ЗО)
On
Теперь обратимся к симметричному тензору S. Со-
поставим ему поверхность, определяемую уравнением
r(Sr)--=!. (X.31)
Очевидно, что эта поверхность не зависит от выбора
системы координат, в которой определяются компо-
ненты тензора S и радиуса-вектора г. Характер по-
верхности зависит только от свойств тензора S.
Выберем произвольную систему координат х\, xi, х3
и выразим левую часть уравнения (X. 31) через ком-

X. ТЕНЗОРЫ 425
поненты г и S в этой системе. Согласно (X. 22)
Умножив скалярно г на вектор Sr, получим
?, *< (Sr)i = 2u *i 2-1 Sik*k = 2-, «S.fcX^j..
i i ft i, k
Следовательно, уравнение (Х. 31) имеет вид
Slkx,xk^\. (X.32)
В развернутом виде это уравнение выглядит следую-
щим образом (напомним, что S,-* = 8ш) '¦
(X. 33)
Уравнение (Х.33) есть уравнение поверхности вто-
рого порядка, центр которой помещается в начале ко-
ординат. В приложениях тензорного исчисления к фи-
зическим задачам диагональные компоненты Su бы-
вают больше нуля (это например, имеет место для
Рис. Х.З
величин хц). В этом случае поверхность (X. 33) пред-
ставляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид и является
геометрическим образом симметричного тензора вто-
рого ранга (разумеется в пространстве трех измере-
ний), подобно тому как направленный отрезок или
плоскость (X.29) дают геометрический образ тензора
первого ранга, т. е. вектора.
Найдем расстояние от центра эллипсоида до то-
чек, лежащих на его поверхности. Для этого прове-
дем из центра эллипсоида произвольную прямую
(рис. Х.З), которую примем за ось х\. Тогда расстоя-

426 ПРИЛОЖЕНИЯ
ние р от центра эллипсоида до точки Р будет ряяко
значению jti при х2 = Хз~0. Положив в уравнении
(X. 33) х2 = Хг =¦¦ 0, получим, что 5,,^ = 1, откуда
(ср. с (X. 30)). Таким обраьем, расстояние р есть ве-
личина, обратная корню квадратному из компоненты
тензора S\\, вычисленной яри условии, что направле-
ние, вдоль которого отчитывается р, принято за
ОСЬ Х\.
При преобразованиях координат изменяются коэф-
фициенты Stk в уравнении (X.33), однако сам эллип-
соид от выбора системы координат не зависит. Если
направить оси координат вдоль полуосей эллипсоида,
уравнение эллипсоида, т. е. уравнение (X.33), как
известно, упрощается и принимает вид
Это означает, что при указанном выборе координат-
ных осей недиагональные компоненты тензора обра-
щаются в нуль. Следовательно, главные оси тензора
совпадают с полуосями тензорного эллипсоида.
Если координатные оси направить вдоль главных
осей тензора (т. е. вдоль полуосей тензорного эллип-
соида), тензор принимает диагональный вид
(X, 0 0 \
(S,k) = \ ° ** о ). (Х.34)
4 0 0 Х3/
Мы ввели обозначения: Su = Xiy ?22 = ^,2. 5зз = ^з.
Величины К\, &2, ^з суть главные значения тензора.
В случае, когда ki = к2 = А,з = Я., тензорный эллип-
соид превращается в сферу. В частности, единичному
тензору б^ соответствует сфера единичного радиуса.
Умножим некоторый вектор а на тензор (Х.34).
В результате получится вектор Ь, составляющие кото-
рого определккзтея по формуле (X. 22). Компоненты
тензора (X. 34) можно представить в виде S^ = hbm.
Следовательно,
(X-35)

х тензоры 427
Пусть вектор а направлен вдоль первой главной оси
тензора. Тогда а\ = а, а;> = а3 = 0 (взяв тензор в
виде (X. 34), мЫ предположили, что оси координат
направлены по главным осям тензора). Согласно фор-
муле (X. 35) компоненты вектора b будут равны
&1= Xifih, &2 = Ь3 = 0. Это означает, что направление
вектора b совпадает с направлением вектора а, мо-
дуль же вектора b в А,| раз больше чем модуль век-
тора а. То же справедливо и для двух других главных
осей. Таким образом, если вектор а. направлен по од-
ной из главных осей тензора, то справедливо следую-
щее равенство:
Sa==A,a, (X.36)
где X — соответствующее главное значение тензора.
Мы пришли к следующему результату: при умно-
жении вектора, имеющего направление одной из глав-
ных осей, на тензор направление вектора не изме-
няется, величина же вектора увеличивается в число
раз, равное соответствующему главному значению
тензора.
Равенство (X. 36) справедливо в любой системе
координат, лишь бы вектор а был направлен по одной
из главных осей тензора. Этим обстоятельством можно
воспользоваться для нахождения главных значений и
главных осей тензора. Для этого нужно варьировать
направление вектора а, пока вектор Sa не совпадет
по направлению с а. Соответствующее направление
даст главную ось тензора, я отношение Sa к а — соот-
ветствующее главное значение. Аналитически это вы-
глядит следующим образом. Запишем равенство
(Х.36) з компонентах (мы пока еще не привели тен-
зор к главным осям, так 1;то, вообще говоря, все 5/*
отличны от нуля):
-f- 5Kаз = ^аь
4- S32a2 -r- Sma3 = ka3.
Приведя подобные члены, получим
(S,, —A.)a, + 512a2 + Si3a3 =0,
2+ Sl3a3 =0, (X. 37)
-MS»-*)as = 0.

428 ПРИЛОЖЕНИЯ
Мы пришли к однородной системе трех уравнений
с неизвестными а\, а2, аз — компонентами искомого
вектора а. Для того чтобы эта система имела ненуле-
вое решение, требуется равенство кулю ее определи-
теля (см. Приложение VIII; текст, следующий за фор-
мулой (VIII. 26)). Таким образом, должно выпол-
няться условие
¦Si! — •'- 5:2 Sj3
s3, .s3:
=-0. (X.3S)
Корни этого кубического относительно к уравнения
представляют собой главные значения тензора: к\,
к%, Я,3. Подставив один из этих корней в систему
(Х.37), мы сможем найти отношения a2/ffli и аг/а\,
которые определят направление вектора а, удовлет-
воряющего уравнению (X. 36), т. е. соответствующую
главную ось тензора. Проделав эту операцию для
всех трех ki, найдем направления всех главных осей.
Мы предполагали, что все корни Xi, X2 и кз раз-
ные. В случае, когда уравнение (Х.38) имеет кратные
корни, необходимо некоторое уточнение. При двух
кратных корнях (к2 = кз = к, к\ф к) тензорный эл-
липсоид будет эллипсоидом вращения. Однозначно
будет определена только одна главная ось тензора,
совпадающая с осью симметрии эллипсоида. В каче-
стве двух других главных осей можно взять две лю-
бые взаимно перпендикулярные оси, перпендикуляр-
ные к оси симметрии эллипсоида. Если все три корня
уравнения (X. 38) одинаковы (к\ = к2 — кя — к), тен-
зорный эллипсоид вырождается в сферу и в качестве
главных осей можно взять любые три взаимно пер-
пендикулярные оси.
Рассмотрим свойства симметричного тензора как
оператора. Согласно (X. 36) воздействие S на век-
тор а, направленный вдоль одной из главных осей
тензора, вызывает лишь изменение длины вектора
в к раз. Воздействие S на произвольно ориентирован-
ный вектор вызывает, вообще говоря, изменение как
длины, так и направления этого вектора (см., напри-
мер, рис. X. 1).
6. Свойства антисимметричного тензора второго
ранга. Обратимся теперь к антисимметричному тен-
зору второго ранга. Условие (X. 25) для диагоа«ль-

X. тензоры 429
ных компонент имеет вид Аи = —Ац. Это возможно
лишь при Ац = 0. Следовательно, диагональные ком-
поненты антисимметричного тензора равны нулю. Из
остальных шести компонент независимыми являются
только три. Таким образом, антисимметричный тензор
второго ранга определяется, как и вектор, тремя ве-
личинами:
Л12 = — Л< = Яз.
Л2з--Л3, = а„ (Х.39)
Воспользовавшись этими обозначениями, можно запи-
сать антисимметричный тензор следующим образом:
О из — Oi \
¦а* 0 а, \ (X. 40)
аг — с, 0 /
Компоненты тензора (Х.40) можно представить
в виде
з, (Х.41)
где Eiki — абсолютно антисимметричный псевдотензор
(см. текст, предшествующий формуле (X. 28)). Дей-
ствительно, определяемые этой формулой компоненты
Аи равны нулю, так как ещ при любом I равно нулю.
Далее
Аг = eiaifli + 6122^2 + ^123% = 0 • а, + 0 • а2 + 1 ¦ а3 = а3,
Л13 = e,3iai + е|32й2 + е|33а3 = 0 • а, + (—1) • а2 + 0 • а3 =
и т. д.
Выше было показано, что при перемножении ис-
тинного тензора и псевдотензора получается псевдо-
тензор. Произведение же двух псевдотензоров пред-
ставляет собой истинный тензор. Тот факт, что вели-
чины аи будучи умноженными на псевдотензор еш
(см. формулу (X.41)), дают компоненты истинного
тензора второго ранга, указывает на то, что эти ве-
личины обладают свойствами псевдотензора первого
ранга, т. е. псевдовектора.
Итак, всякому антисимметричному тензору второго
ранга может быть сопоставлен псевдовектор с компо-

430 ПРИЛОЖЕНИЯ
нентами а„ определяемыми формулами (X.39). И на-
оборот, всякому псевдовектору а, может быть постав-
лен в соответствие истинный антисимметричный тен-
зор второго ранга, компоненты которого выражаются
через компоненты псевдовектора по формуле (X. 41).
Применим оператор А (А — антисимметричный
тензор) к некоторому вектору Ь. Согласно (X. 22) и
(X.4i) мы получим вектор с с компонентами:
с, = Z
Т
ft, I
Сопоставив полученное выражение с формулой
(VI. 33), приходим к выводу, что с можно представить
в виде векторного произведения ') векторов b и а:
с= АЬ = [Ьа].
Вектор с перпендикулярен как к исходному век-
тору Ь, так и к псевдовектору а, соответствующему
тензору А. Таким образом, воздействие тензора А вы-
зывает поворот вектора на угол л/2. Кроме того, во-
обще говоря, изменяется длина вектора.
XI. Некоторые сведения из векторного анализа
Градиент. Рассмотрим скалярное поле, т. е. об-
ласть пространства, каждой точке которой соответ-
ствует определенное значение скаляра q>:
Ф = ф(Р) = ф(г) = ф(*,, х2, х3),
где г — радиус-вектор, а хх, х2, х3— декартовы коор-
динаты точки Р.
Всем точкам поверхности, определяемой уравне-
нием
,, х7, х3) = const, (XI. 1)
соответствует одинаковое значение ф. Поверхность
вида (XI. 1) называется поверхностью уровня ска-
ляра ф. Поверхность уровня можно провести через
любую точку поля.
') Напомним, что векторное произведение представляет собой
полярный вектор только в том случае, если один из сомножите-
лей является псевдовектором. Отсюда также можно было заклю-
чить, что а есть не истинный эектор, а псевдовектор.

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 431
При смещении из точки Р на отрезок dt функция <р
получает приращение
Последнее выражение не зависит от выбора коорди-
И2т Xi, т. е. представляет собой инвариант. Совокуп-
ность величин dxt образует вектор dr. Поэтому (см.
текст, следующий за формулой (VI. 28)) можно ут-
верждать, что величины dq>/dxi суть проекции некото-
рого зектора на оси Xi. Этот вектор называют гра-
диентом скаляра ср и обозначают символом gradtp.
Итак,
?g4 (XI. 2)
или, в обычных обозначениях,
дх ' ду 3 ' дг
Определение (XI.2) легко распространить на про-
странство п измерений. В последнем случае число сла-
гаемых в формуле (XI. 2) будет равно не трем, а п.
Докажем, что компоненты градиента преобра-
зуются по формулам (VI. 37). Вз5ш две системы коор-
динат К и К.', можно написать
дх'
(XI. 3)
Выразим dx, через dx'kno формуле (VI.38) и подста-
вим зти выражения в (XI. 3):
Zw f)x. La ki Ь~ 2-i aS '"
dxt ?-, «• •' ?-j dXl
Изменим в левой части порядок суммирования по ин-
дексам i и k:
дх', '
Индексы i и k являются немыми. Как уже отмечалось,
немой индекс можно обозначить любой буквой.

432 ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому сумма слева не изменится, если переставить
индексы i и k. В итоге получим
t k ""¦* I "*l
Из полученного нами соотношения следует
(Эф
дх, v* охи
что совпадает с (VI. 37). Таким образом, мы пока-
зали, что величины dq>/d:ci при преобразованиях коор-
динат ведут себя как компоненты вектора.
Гамильтон ввел векторный дифференциальный опе-
ратор V (оператор наблл) или оператор Гамильтона,
который представляет собой вектор с составляющими
д/дх, д/ду, d/dz:
Сам по себе вектор V смысла не имеет. Он приобре-
тает смысл, будучи применен к скалярной или вектор-
ной функции. Так, при символическом умножении V
на ф получается градиент ф:
Следовательно, ?ф ^= grad ср. Согласно (XI. 3) прира-
щение ф может быть представлено в виде скалярного
произведения векторов grad ф и dr:
dq> = grad <p • dv = (Vq>) dr. (XI. 5)
При перемещении по поверхности уровня ф остается
неизменной (^ф = 0). Отсюда в соответствии с (XI. 5)
вытекает, что вектор Тц> в каждой точке поля направ-
лен по нормали к поверхности уровня. Найдем ско-
рость изменения ф вдоль некоторого направления /,
т. е. dip/dl. Согласно (XI. 5) приращение ф на отрезке
d\ равно {Vy)d\=-(Vq)idl, где (Vq>)i — проекция гра-
d<f (V(f),dl
диента на направление I. Поэтому —?f = —л— =
= (^ф)/. Таким образом, проекция градиента на неко-

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 433
торое направление дает скорость изменения функции
в данном направлении.
Отметим, что вектор Vcp существует в каждой точке
скалярного поля <р. Следовательно, градиент образует
векторное поле, т. е. область пространства, каждой
точке которой соответствует определенное значение
вектора V<p.
Дивергенция. Пусть нам дано поле вектора а. По-
током вектора а через поверхность f называется вы-
ражение
U (a<if, (XI. 6)
i
где а„ — проекция вектора а на положительную нор-
маль к площадке df, di — вектор элементарной пло-
щадки, его модуль равен величине площадки df, а на-
правление совпадает с направлением положительной
нормали к площадке. Направление положительной
нормали определяется в зависимости от обстоятельств.
Так, например, при вычислении потока через замкну-
тую поверхность положительной считается внешняя
нормаль.
Название «поток» обусловлено тем, что в случае
поля вектора скорости жидкости интеграл (XI. 6) дает
поток жидкости через поверхность /, т. е. объем жид-
кости, протекающей через f в единицу времени.
Окружим точку Р поля замкнутой поверхностьюf.
Вычислим поток Фа через эту поверхность. Отноше-
ние Фй к V будет характеризовать свойства поля в
окрестности точки Р, усредненные по объему V, за-
ключенному внутри f. Чем меньше линейные размеры
объема, тем ближе будет средняя характеристика к
истинной характеристике поля в точке Р. Скалярную
величину
div a = lim -^ == lim ~ & ап df (XI. 7)
называют дивергенцией (или расхождением) вектор-
ного поля в точке Р.
Определение (XI. 7) явл яется самым общим, не за-
висящим от выбора координатной системы. Найдем
выражение для дивергенции через проекции а на оси
декартовой системы координат. Возьмем в окрестно-
сти точки Р объем в виде прямоугольного параллеле-
15 И. В. Савельев, т. 1

434
ПРИЛОЖЕНИЯ
Jf,
пипеда с гранями, перпендикулярными к координат-
ным осям (рис. XI. 1). Найдем поток вектора а через
грани 1 и 2, перпендикулярные к оси х. Внешняя нор-
маль к грани ) совпадает по направлению с осью х.
Поэтому для этой гра-
ни а„ = ах1 (индекс 1
указывает, что значе-
ние ах берется в точ-
ке, лежащей на гра-
ни /). Внешняя нор-
маль к грани 2 проти-
воположна по направ-
лению оси х. Поэтому
для нее ап = — ах1
(индекс 2 указывает,
Рис. XI. 1 что значение ах берет-
ся в точке, лежащей на
грани 2). Суммарный поток через грани 1 и 2 равен
J \axidf2=Uaxl-ax2)df, (XI. 8)
(I) B) Г
где df = dfi = df2 (см. ряс. XI. 1), а*\ и ах3 берутся
для точек граней 1 и 2 с одинаковыми у и z. Инте-
грал, стоящий справа, берется по поверхности / любой
из граней 1 и 2.
Разложим ах в ряд в окрестности точки Р:
= ахР
(х - х,)
(у -
<XL9>
Здесь Хр, ур, гР — координаты точки Р, ахР — значе-
ние ах в точке Р, (дах/дх)Р и т. д. — значения произ-
водных в точке Р, ъх — иеличина более высокого по-
рядка малости, чем разности (х — хР), (у — уР),
(г — zP), т. е. величина, убывающая быстрее, чем ли-
нейные размеры параллелепипеда.
Положив в выражении (XI. 9) х — х\, найдем зна-
чения ах в точках грани /, т. е. ах\\ положив х — х%,
получим значения ах2. Вычтя эти значения друг из
друга, получим для противолежащих площадок dfi
и d/2 (значения у и г для них одинаковы)

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 435
где опять-таки е'х— величина, убывающая быстрее,
чем линейные размеры объема.
Подставнз найденное нами значение в формулу
(XI. 8), получим
с*.-*
Из рис. XI. 1 видно, что произведение
объем параллелепипеда V. Поэтому
i—x2)f дает
где е" — величина более высокого порядка малости,
чем V. Аналогичные выражения получаются и для по-
токов через пары граней, перпендикулярных к осям
Сложив вместе Ф*. Ф^ и Фг, получим полный по-
ток вектора а через поверхность параллелепипеда.
Разделив согласно определению (XI.7) этот поток
на У и сделав предельный переход1) V-+-Q, придем
к формуле
да г да,, да*
dlva=— + 1J- + — (XI. 10)
(за ненадобностью мы опустили индекс Р при произ-
водных).
Найденное нами выражение (XI. 10) для диверген-
ции можно записать в виде
div a = ^ |jL • (Х1Л1>
В такой форме понятие дивергенции может быть рас-
пространено на векторные поля в пространстве п из-
мерений. Определение (XI. 7) также можно распро-
') При предельном переходе величины е"/V обращаются
в нуль.
15*

436
ПРИЛОЖЕНИЯ
странить на пространство п измерений. В этом случае
под элементом объема следует понимать dV' =
= dx\dx2dx3 ¦ . ¦ dxn. Интеграл нужно брать по гипер-
поверхности размерности п-—1. Элемент гиперпо-
верхности, перпендикулярный к оси xk, будет равен
df* = dx\dx2 ... dxk-\dXkn ... dxn. В пространстве че-
тырех измерений гиперповерхностью будет обычный
трехмерный объем.
Выражение (XI. 11) можно рассматривать как
сумму произведений величин V, = d/dxi и ait т. е. как
скалярное произведение некторов V и а. Поэтому ди-
вергенцию можно представить в виде
diva^Va. (XI. 12)
Величина Va существует в каждой точке векторного
поля а. Следовательно, дивергенция образует скаляр-
ное поле, определенное в той же
части пространства, что и поле
вектора а.
Возьмем в поле вектора а ко-
нечный объем V, ограниченный
поверхностью f (рис. XI. 2). Ра-
зобьем этот объем на элемен-
тарные объемы AV. Согласно
(XI. 7) для потока ДФЯ через
поверхность такого объема мож-
написать АФа та div a-AV — Va-AV. Сложим эти
всех элементарных объемов. При
Рис. XI. 2
но
выражения
для
р р р
суммировании АФа потоки через грани, разделяющие
два соседних объема, бзмлмно уничтожатся (для
смежных объемов потони отличаются знаками, так
как внешние нормали п к п' имеют противополож-
ные направления). Некомпспскрованвьши останутся
только потоки через участки внешней поверхности /,
так что в сумме получит;.1.! поток вектора а через эту
поверхность. Сумма спраил в пределе (при ДУ->0)
превратится и интеграл по всему обгему. Прибли-
женное равенство в предав: лерейдет у стл.яое рv.m^.-
ство. В итоге получим
f
П
ремы Остроградскогс— Гаусса:
, mwy nc-iS-ASF.v-': тео-
>юго<с ее кто tin через

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 437
замкнутую поверхность равен интегралу от диверген-
ции по объему, ограниченному этой поверхностью.
Ротор. Циркуляцией оектора а по контуру Г на-
зывается выражение
Са = ф a d\ := Ц ai dl. (XL 14)
Например, в поле консервативных сил циркуляция
вектора F равна работе сил на замкнутом пути Г.
Возьмем в окрестности точки Р контур Г, лежащий
в плоскости, проходящей через Р. Найдем циркуля-
цию Са по этому контуру. Отношение Са к поверхно-
сти f, охватываемой контуром, будет характеризовать
свойства поля в окрестности точки Р, усредненные по
поверхности f. Чем меньше линейные размеры поверх-
ности, тем ближе будет средняя характеристика к ис-
тинной характеристике поля в точке Р. В пределе,
при стягивании контура к точке Р, средняя характери-
стика превратится в истинную. Таким образом, свой-
ства векторного поля в некоторой точке Р можно оха-
рактеризовать величиной
j (XI. 15)
Г->0 / Г->0 ' jJ
Величина (XI. 15) зависит не только от свойств
поля в точке Р, но и от ориентации плоскости, в кото-
рой лежит контур. Ориентацию этой
плоскости в пространстве можно за-
дать нормалью к плоскости, связан-
ной с направлением обхода по конту-
ру Г при интегрировании правилом
правого винта (рис. XI.3) Для раз-
ных направлений п величина (XI.15)
будет иметь в одной н той же точке Р
разное значение, причем, как легко рас xi.3
сообразить, противоположным на-
правлениям п соответствуют значения величины
(XI. 15), отличающиеся только знаком. Следователь-
но, величина, определяемая формулой (XI. 15), ведет
себя как проекция некоторого вектора на направле-
ние нормали к контуру Г. Этот вектор называют ро-
тором (или вихрем) оекторного ноля в точке Р и

438
ПРИЛОЖЕНИЯ
обозначают символом rota. Таким образом,
(rot а)„ = lim ~- =-¦ iim -f <f> a, dl.
Г-5.0 I Г-j-O ' J
(XI.
Формула (XL 16) дает самое общее определение
ротора, не зависящее от выбора координатной систе-
мы. Найдем выражение для
ротора через проекции векто-
ра а на оси декартовой систе-
мы координат. Начнем с опре-
деления проекции вектора
rot а иа ось х. Для этого возь-
мем а окрестности точки Р
контур Г, лежащий в плоско-
сти, перпендикулярной к оси
к (ркс. XI. 4). Направление
обхода по контуру выберем
так, чтобы оно образовывало
с направлением оси х пргвовкнтовую систему. Тогда
направления п и оси х совпадут и выражение (XI. 16)
даст (roia)*. Для выбранного нами контура
<? <хг dI =ф a d\ == ф {ау di/ -|- az dz)
V Y V
(для всех элементов контура dA'==0).
Значения ау для точек контура можно представить
в виде ')
/ day
где const включает в себя три слагаемых, не завися-
щих от у и z, ву — величина более высокого порядка
малости, чем линейные размеры контура. Следова-
тельно,
\ ду
= const Ш dy-
') Смысл величин в этом выражении аналогичен смыслу ве-
личин в формуле (XI. 9); слагаемое с (к — хр) отсутствует, так
как для всех точек контура х = .«/•.

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 439
Легко сообразить, что & dy = 0. Точно так же
равен нулю интеграл ф у dy = '/2 ф d (У2)- Из рис. XI. 4
нетрудно заключить, что l^zdy~—f, где f ~ пло-
щадь контура. Таким образом
где е' — величина более высокого порядка малости,
чем площадь контура f.
Проделав аналогичные выкладки для аг, придем
к выражению
ФагЙ2 = const 4) dz -f-
Интегралы &dz и & z dz — '/2 Ф d (z2) равны нулю,
&ydz = f. Поэтому
Выражения (XI. 17) н (XI. 18) в сумме дают
&aidl. Разделив в соответствии с определением
(XI. 16) эту сумму на f и осуществив предельный пе-
реход '), получим
даг да,.
f
dy dz
Рассмотрев циркуляцию для контуров, ориентиро-
ванных нормалью п по осям у и г, можно получить
выражения для проекций ротора на эти оси:
дах даг дад дах
Формулы для проекций ротора на координатные
оси легко запомнить, приняв во внимание, что в
') При предельном перехоле величины е'// обращаются в
нуль.

440
ПРИЛОЖЕНИЯ
каждой из них индекс при rota и буквы, стоящие
справа в знаменателях, образуют циклическую пере-
становку, осуществляемую по схеме: х-*-у
ч г/
Зная проекции, легко найти сам вектор:
rot а = е
х
(
\ ду
dz
да.
да.
да
С учетом того, что, например, даг/ду можно предста-
вить в виде Уиаг и т. д. (V^ = д/ду — проекция век-
тора V на ось у), запишем формулу (XI. 19) следую-
щим образом:
rota =
А
дх~
а*
д
ду
д
dz
(XI. 20)
Наконец, сравнение с формулой (VI. 31) дает нам
право написать, что
rot a == ['7а]. (XI. 21)
Воспользовавшись формулами (VI. 29) и (VI. 33)
для векторного произведения, можно написать для ро-
тора и его k-ш компоненты следую-
щие выражения:
j Vaj = ? вш дъ
« (xi. 22)
дх
мчана [Va] существует в каж-
дсй tovkc векторного поля а. Сле-
1ОБ"те"ьнс, poroD образ - сзкторкое коле, опреде-
i^ri"'<j>; з "ои к час г- it - анства, в которой за-
,.»>о ноле вектора а
I ,Ъ I Cr"?L
с п \ { ь
Г' л.' > |

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 441
мента А/ можно написать выражение АСа як [Va] „А/,
где [Va] п — проекция [ Va] на нормаль к данной А/,
связанную с направлением обхода правилом правого
винта.
Сложим эти выражения для всех А/. При суммиро-
вании ДСа интегралы \a;dl, взятые вдоль границы
раздела соседних площадок, взаимно уничтожатся
(для смежных площадок эти интегралы отличаются
знаком, так как берутся в разных направлениях).
Некомпенсированными останутся только интегралы
\aidl для участков, совпадающих с контуром Г,
ограничивающим /. Эти интегралы дадут в совокуп-
ности циркуляцию а по контуру Г. Сумма справа в
пределе (при Д/-»-0) превратится в интеграл по по-
верхности. Приближенное равенство в пределе перей-
дет в строгое равенство. В итоге получим
ф at dl =¦- J [Va]n df. (XI. 23)
Найденное нами соотношение носит название тео-
ремы Стокса: циркуляция вектора а по замкнутому
контуру Г равна потоку вектора [Va] через поверх-
ность, натянутую на контур Г.
Поверхность, по которой берется интеграл в пра-
вой части формулы (XL 23), может быть любой,
важно лишь, чтобы она опиралась своей границей на
контур Г. Направление нормали п должно быть со-
гласовано с направлением обхода контура Г при
интегрировании.
Применение оператора V к произведению фушщий.
При составлении формул, в которые входит ?., нужно
руководствоваться как правилами векторной алгебры,
так и правилами дифференциального исчисления.
Пусть, например, <р и ф — ссаляряыг функция точки.
(индекс при V указывает, на какую из фуякц*.^ олл
действует). Сомножитель, к.) который в д.<*ч '-"ч ''лг-
анш W ко дейсти^ст, мокго ржасги йз-пот '_'-va V
(оператор '%' действует т:<sjivo ка i\z,wnw
аа ки?й). Т.здк!-f'iA.*}Mrya (XI. 24) грг.лел •

442 приложения
вид: V(<p$) = (pV^ + iJj^,;,^- В написанном нами вы-
ражении, очевидно, нет необходимости в индексах при
V, так что окончательно
V(фт|>) = ф7ф -f 1|з?ф (XI. 25)
(читается: «фи градиент пси плюс пси градиент фи»).
Применим V к произведению <ра. В этом случае
имеется две возможности — векторы V и фа можно
перемножить как скалярно, так и векторно. Соответ-
ственно получим
q>Va (XI. 26)
(«а градиент фи плюс фи дивергенция а»),
[V, (фа)] = [V,, (q>a)] + [Ve. (Фа)] =
. (XI. 27)
Теперь применим V к произведению [ab], перемно-
жив векторы сначала схалярно: V [ab] = Vo [ab] +
+ V&[ab]. Осуществим в каждом из слагаемых цик-
лическую перестановку (VI. 3):
V [ab] = b [Vaa] + a [hV4] = b [Vaa] - a [V6b]
(во втором слагаемом мы поменяли местами b и V»,
чтобы вектор b оказался за оператором V*,, который
на него действует; при этом у векторного произведе-
ния изменился знак). Опустив ненужные уже индек-
сы, придем к формуле
V [ab] = b [Va] - а [Vb] (X1. 28)
(«бэ ротор а минус а ротор бэ»).
Умножим [ab] на V векторно: [V[ab]] =
= [Va [ab] ] + [Vft [ab] ]. Развернем каждое из слагае-
мых по формуле «бац минус цаб» (см. (VI. 5)):
IV [ab]] =a(Vab) —b(Vaa)+a(V6b) —b(V6a). Рас-
ставив множители так, чтобы можно было опустить
индексы при V, получим
[V [ab]] = (bV) а - (aV) Ь + a (Vb) - Ь (Va). (XI. 29)
Выражения (aV) и (bV) суть скалярные диффе-
ренциальные операторы. Например,
(«V) = «,? + «, ? + ^.?.-2;,,-^-. (XI.30)

XI НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 443
Эти операторы могут применяться как к скалярным,
так и к векторным функциям. В применении к ска-
ляру ф оператор (XI. 3G) дает
(XI. 31)
При действии оператора (nV) на вектор Ь получается
выражение
<Х|-32>
Применим оператор (XI.3G) к произведению ска-
лярной функции ф и векторной функции Ь:
(a?) (<pb) = (aVv) (фЬ) + (aVJ (ф) =
= b (а?)ф -f Ф (a?) b = Ь (а ¦ ?Ф) -|- Ф (aV) b. (XI. 33)
Полезно знать значение вмряжения (а^)г, где г —
радиус-вектор, а — некоторый произвольный вектор.
Подставив в (XI. 32) г вместо Ь и прзияв во внима-
ние, что dxk/dxi = ei/г, получим
(aV)г = I е* ? а,*,* = Е еА = а. (XI. 34)
к I k
Формулы (XI. 25) —(XI. 29) мы получили легко.
Сложнее обстоит дело с нахождением градиента ска-
лярного произведения двух векторов: V(ab), так как
неясно, что надо понимать под, например, выраже-
HHeMVa(ab). Его нельзя трактовать как (Voa)b, ибо
операции перемножения а с Ь и применения Va не пе-
реставимы. Это затруднение можно обойти, восполь-
зовавшись вспомогательными соотношениями, выте-
кающими из формулы «бац минус цаб»: [a
= V6 (ab) — b (V6a) = Vb (alt) — (aV) b, откуда
V4(ab) = [a[?bl) + (aV)b. (XI. 35)
Записав таким же способом [b(Va]], придем к соот-
ношению
. (XI. 36)

444 приложения
Подстановка соотношений (XI. 35) и (XI. 36) в фор-
мулу
приводит к следующему выражению для градиента
скалярного произведения векторов а и Ь:
V (ab) = [a [Vb]] + [Ь [Va]l + (aV) b + (bV) a. (XI. 37)
Повторное применение оператора V. В результате
воздействия оператора V на скалярные или векторные
функции получаются новые векторные либо скалярные
функции, к которым в свою очередь может быть при-
менен оператор V.
Градиент функции ф есть вектор. Следовательно,
к нему могут быть применены операции и диверген-
ции, и ротора. Вычислим дивергенцию градиента. Со-
гласно формулам (XI. 2) и (XI. 11)
Zd2q> А
Таким образом,
= A(p, (XI. 38)
где А — оператор Лапласа:
д2 д2 (Э2
A =-jj^2- + -jj?r+ -&?"¦• (XI. 39)
Из проделанных нами выкладок вытекает, что
V2==A. (XI. 40)
Однако нужно иметь в виду, что такое соотношение
между операторами V и Л имеет место только в де-
картовых координатах. В других системах координат,
например в цилиндрической или сферической, соотно-
шение (XI. 40) не выполняется. Самым общим опре-
делением оператора А, справедливым в любой системе
координат, является определение, вытекающее из со-
отношения (XI. 38), которое можно записать в виде
Дф-~ div gradtp. (XI. 41)

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 445
Найдем rotgradqp. Согласно (XI. 22)
[V^]=?e * (-gL)eb (XI. 42)
Поскольку d\/dxidxk = д2^/дхцдхи последнее выра-
жение равно нулю, так что
rotgradcp = 0. (XI. 43)
Этого и следовало ожидать, так как [V, V<p] = [W]<р,
а векторное произведение вектора на самого себя рав-
но нулю.
Вычислим дивергенцию ротора. Согласно форму-
лам (XI. 11) и (XI. 22)
- Z
к, т.п. " '"
Так как д2ап/дхкдхт = 62а„/дхтдхк, последнее выра-
жение равно нулю. Следовательно,
divrota = 0. (XI. 44)
К этому результату можно было прийти сразу, при-
няв во внимание, что смешанное произведение векто-
ров (каковым являетея V[Va]) равно объему парал-
лелепипеда, построенного на перемножаемых векто-
рах. Поэтому при совпадении двух сомножителей из
трех такое произведение равно нулю.
Для вычисления rot rot а будем исходить из фор-
мул (XI. 22):
/. k,
Произведем циклическую пьчестй'ювку индексов лри
е так, чтобы индекс k в обоих е сказался нг послед-
ней месте и восиодыуо-ллл споглсшеьиол! (VI. 15\.
Е итоге получим
(, /. т. я.
У «г —-г--?"—¦ !,tit !rfi ¦¦.,- — о.; -5 ¦,.) =-¦
i r i

446 ПРИЛОЖЕНИЯ
Осуществим суммирование по индексам тип. В ре-
зультате полученное нами Е1ыражение примет вид
что можно представить следующим образом:
Итак, мы пришли к формуле
[V[Va]] = V(Va)-Aa (XI. 45)
или
rot rota = grad diva — Да. (XI. 46)
Легко убедиться в том, что соотношение (XI. 45)
можно получить, если развернуть [V[Va]] по фор-
муле «бац минус цаб», обращаясь при этом с V как
с обычным вектором.
Из (XI. 46) вытекает, что
grad div a == rot rot a + Да. (XI. 47)
Дивергенция является скаляром. Поэтому никакой
операции, кроме операции нахождения градиента,
к ней применить нельзя.
Некоторые формулы векторного анализа. Найдем
дивергенцию и ротор радиуса-вектора г, а также гра-
диент модуля г. Приняв во внимание, что г — (? ?)'/
получим согласно (XI.2)
где ег — орт радиуса-вектора г.
В соответствии с (XI. 11)
(мы использовали тот факт, что /¦, = *,•). В л-про-
стракстве Vr = п.

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 447
Легко убедиться в том, чго ротор радиуса-вектора
равен нулю:
[VrJ^O. (XI. 50)
Для этого можно воспользоваться формулой (XL 22),
заменив в ней а* через Хк. Тогда получим
Е
t.k.i ' i. ft. /
Это выражение равно нулю, так как при одинаковых
значениях индексов i и k обращается в нуль множи-
тель еш, а при различных значениях — обращается
в нуль множитель й«.
Соотношение (XI. 50) вытекает также из того, что
циркуляция вектора г по любому контуру равна кулю.
Действительно, согласно (XI 14)
С, = ® г dl = Ф (х dx + у dy
Под знаком интеграла стоит полный дифференциал,
поэтому интеграл равен нулю.
Теперь найдем градиент функции от г, т. е. V<p(r).
Частная производная от <р(г) по хц имеет вид1),
дц:/дхк = да/дг-дг/dxk = дп/дг-x/Jr. Следовательно,
„ йф хь ду ! v dp г
г) = 2-е* 1Г -'-== ~д7 Т L е*** = -Тг Т ¦
к к
Приняв во внимание формулу (XI. 48), можно напи-
сать
Пусть имеется функция расстояния между двумя
точками:
где
') Мы написали д<р/дг вместо dq>/dr, поскольку может слу.
чкться, что <р, кроме г, зависит еще, скажем, от L

448 ПРИЛОЖЕНИЯ
Операцию нахождения градиента можно применить
к этой функции двумя способами — можно произ-
водить дифференцирование либо по координатам Xi,
либо ао координатам х\. Чтобы различать эти два
градиента, в первом случае мы будем пользоваться
обозначением V, а во втором случае — обозначением
V. Компоненты градиента а обоих случаях имеют вид
(Уф)? = дф/д/? • dR/dxr (V'qi), = dy/dR ¦ dR/dx'r
Очевидно, что производные dR/dxi и dR/dx't отли-
чаются только знаком. Отсюда заключаем, что
Vq>=--vy (XI. 52)
Вычислим ротор орта е, =т/г. Представив г/г как
произведение <р = 1/г на а = г, применим формулу
(XI. 27). В результате получим: |V,r/r] = [V(l/r) ,r] -f-
-f(l/r)[VrJ. Согласно (XL 51) V(l/r) = —A/г2)г/г.
Поэтому первое слагаемое равно нулю. Второе сла-
гаемое равно нулю в соответствии с (XI. 50). Таким
образом,
[V,r/r] = [Ve,] = 0. (XI. 53)
Теперь найдем ротор функции <р(г)е,, где <р(г) —
произвольная функция от г Применим снова формулы
(XI. 27) и (XI. 51):
[V. <p<r)e,]
(см. (XI. 53)). Итак,
[V, ф(г)е,] = 0. (XI. 54)
Пусть нам дана векторная функция а(?) =
Х* скалярной величины |, которая в свою
очередь является функцией координат xi, ? = )
Найдем ротор и дивергенцию этой функции. По пра-
вилам дифференцирования сложной функции
дак i)ak д\
1^; — ~дГ ~дт; ¦ (xi. 55)
Согласно (XI. 22)
дак V дак д%>
i.k.i

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ И'С ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 449
Величина дак/д\ есть k-я компонента вектора <Эа/д|,
a dl/dxi есть i-я компонента градиента функции ?.
Следовательно,
(. *. i
(мы воспользовались формулой (VI. 29)). Итак, если
а = а(|), где I = 1(хи х2, х3), то
Для нахождения дивергенции функции а(|) будем
исходить из формулы (XI. 11). Учтя (XI. 55), получим
ft ft ft
(XI. 57)
Положив в формулах (XI. 56) и (XI. 57) ? = л
(г — модуль радиуса-вектора), получим, что
] = [Vr,^] = [er, f-], (XI. 68)
(XI. 59)
(см. (XI. 48)).
Докажем формулу
[Va] dV = ^ [na] d/ = ф [Л, в], (XI. 60)
где а — некоторая векторная функция, V — произволь-
ный объем, / — ограничивающая его поверхность, п —
внешняя нормаль к элементу поверхности df. Для
этого умножим скалярно вектор [Va] на произволь-
ный постоянный вектор Ь. Из формулы V[ab] =
= b[Va] — a[Vb] (см. (XI. 23)) следует, что b [Va] =
= V[abr+a[Vb] =V[ab] ([Vb]^0, так как b =
=const). Теперь проинтегрируем полученное соотно-
шение по некоторому объему V и применим к правой
части теорему Остроградского— Гаусса:
b [Va] dV = \ V [ab| dV = Ф [afe] n df.
V V f

450 ПРИЛОЖЕНИЯ
Выполнив в последнем интеграле циклическую пе-
рестановку перемножаемых векторов (см. (VI. 3)),
получим \ b [Va] dV = Ь h [па] df. Вынесем постоян-
v )
ный вектор b за знак интеграла:
b
J *
f
Полученное соотношение должно выполняться при
произвольном выборе вектора Ь. Поэтому на b мо^шо
сократить. 8 результате мы придем к формуле
(XI. 60).
Интегральное определение оператора V. Рассмот-
рим интеграл по замкнутой поверхности /:
§Ф^, (XI. 61)
где ф — произвольная скглярная функция, d\ = ndf —
элементарный вектор площадки df. Возьмем в каче-
стве поверхности, по которой вычисляется интеграл,
поверхность бесконечно малого прямоугольного па-
раллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Тогда инте-
грал (XI. 61) можно представить как сумму шести ин-
тегралов, каждый из которых вычисляется по одной
из граней параллелепипеда. Ввиду малости граней
значение ф в пределах каждой грани можно считать
постоянным. Следовательно,
р df = %х [ф (,v -Ь dx, у, а) — ф (х, у, z)] dy d? +
-f ey [ф {х, у + dy, г) — ф (х, у, z)] dx dz -f-
+ ег [ф (х, у, z + dz) — ф (x, y, z)] dx dy =
== Iе* дх "г" e4
Отсюда получаем, что
Jфф (XI. 62)
V->0 v J
В соответствии с формулой (XI. 62) оператор V
можно определить следующим образом:
(XI. 63)

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 451
Возьмем некоторый объем V и разобьем его на
элементарные объемы AV. Ссгласно формуле (XI. 62)
для каждого объема выполняется приближенное ра-
венство ?ф • &V я* <д) ф d\.
Теперь просуммируем это равенство по всем эле-
ментарным объемам. При суммировании правые ча-
сти, соответствующие поверхностям раздела соседних
объемов, взаимно уничтожатся. Останутся некомпен-
сированными только члены, отвечающие внешней по-
верхности. Поэтому, перейдя к пределу, при котором
все AV-fr-O, мы придем к соотношению
Vq, dV = ф Ф d\. (XI. 64)
Согласно (XI.64) интеграл от скалярной функции ф
по замкнутой поверхности / можно преобразовать в
интеграл по заключенному в ней объему, заменив эле-
мент поверхности d\ оператором XdV. При этом ком-
поненты d\ претерпевают преобразование
df,-+dV-?-. (XI. 65)
Разумеется, возможно и обратное преобразование.
Аналогично обстоит дело и с интегралом от век-
торной функции. Действительно, согласно теореме
Остроградского — Гаусса (см. (XI. 13)) \VadV =
v
= ®а di, что также согласуется с (XI. 65).
f
Вообще преобразование (XI. 65) допустимо всегда,
независимо от конкретного вида выражений, стоящих
под знаком интегралов. Примером такого преобразо-
вания может служить соотношение (XI. 60).
Криволинейные координаты. Иногда бывает удобно
определять положение точки не декартовыми коорди-
натами х\, х2, хз, а тремя другими числами q\, q2, <7з.
более соответствующими характеру рассматриваемой
задачи. Эти числа называются криволинейными коор-
динатами точки.

452 ПРИЛОЖЕНИЯ
Наложив (если в том возникает необходимость)
ограничения на область изменения криволинейных ко-
ординат, можно добиться взаимно однозначного соот-
ветствия переменных лс,- и </,-. Тогда </,¦ = gi(xi, x2, х3),
Поверхности, которые описываются уравнением
Qi(xi, х2, х3) — const, называются координатными по-
верхностями. Линии пересечения двух координатных
поверхностей называются координатными линиями.
Вдоль координатной линии изменяется только одна
координата, остальные две остаются неизменными.
Примером криволинейных координат может слу-
жить сферическая система: г, Ф, ф. В этом случае ко-
ординатными поверхностями являются: i) сферы, г =
=¦ const, 2) полуконусы, ¦& = const, 3) полуплоскости,
Ф = const. Координатные линии представляют собой:
1) радиусы — линии г, 2) меридианы — линии ¦&, 3) па-
раллели — линии ф.
Если координатные линии в каждой точке взаимно
перпендикулярны, криволинейные координаты назы-
ваются ортогональными. Мы ограничимся рассмотре-
нием только ортогональных координат. Сферические
и цилиндрические косфдинаты принадлежат к их
числу.
Введем для каждой точки Р орты ej, e", е*, на-
правленные по касательным к координатным линиям
в данной точке в сторону возрастания соответствую-
щих переменных </,-. В силу ортогональности для ор-
тов е* выполняются соотношения
е>;==б,л. (XI. 66)
Определим производную радиуса-вектора г —
= *¦(<?!, <?2, <?з) по координлте gim Остальные две коор-
динаты при дифференцировании не изменяются. Сле-
довательно, при сообщении координате о, прираще-
ния bqi конец вектора г перемещается вдоль коорди-
натной линии qi. Поэтому вектор dr/dqi направлен по
касательной к координатной линии <?,-, т. е. коллнкеа-
рен с е^. Обозначив мо,о}ль йекюра dt/dqi симво-
лом Hi, можно написан-, что
-Й-«//.л! и-1,2, Ь). №¦ 67)

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 453
Представив г в виде ? xkek (е^ — орты декарто-
вых координатных осей), можно написать, что
-^^E-^^^ С» 1.2.3).
Возведя это соотношение в квадрат, получим
У ('=1.2,3). (XI. 68)
Величины Hi называются коэффициентами Ламе.
Их значения можно найти по формуле (XI. 68), если
известен вид функций хь = xk(qi). Например, в слу-
чае сферической системы координат jci = г sin ft cos ф,
x2 = r sin О sin ф, х3 = r cos ¦&. Отсюда
дх, dxt .
так что согласно (XI. 88)
Н\ = (sin О cos фJ + (sin О sin фJ + (cos #J = I.
Проделав аналогичные выкладки для Я2 и Я3, по-
лучим
Я, = 1, Я2 = г, Я3 = г51п#. (XI. 69)
Найдем квадрат расстояния ds между двумя точ-
ками. Согласно (XI. 67)
Е^^Е1е«^|- (Х170)
Следовательно,
rf52 = |drp=:^ Я2^2. (XI. 71)
Для сферической системы координат эта формула
дает
f г2 sin'-'¦& dqJ- (XI. 72)
Проведем чгрез начало и конец вектора dr коор-
динатные поверхности. В результате получится беско-

454
ПРИЛОЖЕНИЯ
кечко малый параллелепипед, ребра которого согласно
(XI. 70) равны
dll = Hldq, A=5,2,3). (XL 73)
Грани этого параллелепипеда будут иметь площадь
dn=-H^H3dq2dqz, df2 = H3H{dq3dqu
At _ ы l, j- .,„ (XI- 74)
Объем же параллелепипеда равен
dV = Н\Hnti3dq\dq2dq3. (XI. 75)
Вместо вычисления по формулам (XI. 68) коэффи-
циенты Ламе можно находить с помощью выражений
(XI. 73). Таг:, например, в случае сферических коор-
динат (рис. XI. 6) элементар-
ный параллелепипед имеет
ребра dl, = dr, dU = rd-д,
di3 == г sin tkftp, откуда для ко-
эдфцциентов Ламг сразу яо-
л;м131отся значения (XI. 69).
Рис. XI. 6
Рис. XI. 7
В случае цилиндрической системы координат
(рис. XI. 7) ребра элементарного параллелепипеда
равны dl\ = dp, dl2 = pdq>, d/з = dz, откуда
= р, Я3=1.
(XI. 76
Найдем выражение градиента в криволинейных ко-
ординатах. Согласно формуле (XI. 5) проекция гра-
диента функции $ на направление орта е' равна
li. Приняв во внимакие (XI. 73), получим, что
31,
1 dip
и, aQi

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 455
Сам же градиент определяется формулой
Следовательно, в сферической системе координат
а в цилиндрической системе
Для определения дивергенции в криволинейных
координатах будем исходить из определения (XI.7),
согласно которому
Va = lim -i- <6 a d\ = lim -?-. (XI. 80)
v-*o v j v-*o v
В качестве V возьмем объем бесконечно малого парал-
лелепипеда, заключающего в себе точку Р, для кото-
рой вычисляется дивергенция. Рассуждая так же, как
при получении формулы (XI. 11), напишем выражение
для потока через грани, перпендикулярные к орту е*:
(см. (XI. 74)). Здесь ах — проекция вектора а на на-
правление е^. Одним штрихом помечены значения ве-
личин, относящиеся к одной из противолежащих друг
другу граней, двумя штрихами — значения, относя-
щиеся к другой грани.
Разложив а.\Н-}Нг в ряд в окрестности точки Р,
получим
ф, в
ь
где V — объем параллелепипеда (см. (XI. 75)), г\ —
величина более высокого торядка малости, чем V.
Аналогично вычисляются потоки через две другие

456 ПРИЛОЖЕНИЯ
пары граней:
Подставив Ф = Oi + Ф2 + Ф3 в (XI. 80) и осуще-
ствив предельный переход, придем к формуле
_ _ 1 Г д(а,Н2Н%) , д(а2НлН,) д (сцНхНг)
Н,Н2Нг \ dq{ ~*~ dq2 "*" dq
(XI. 81)
Приняв во внимание (XI. 69), получим выражение
для дивергенции в сферических координатах:
д(,\)
_ ) _ ??^
а г3 дг "т" г sin© д& "^ rsind дф
(XI. 82)
В цилиндрических координатах
Va = -^H--->-f^. (XI.83)
р др ' р dip дг х '
Согласно (XI.16) проекция ротора на направление
орта е] определяется выражением
[Va], = lim -I- ф a dl = lim ~, (XI. 84)
где fi — площадка, перпендикулярная к e*. Ct — цир-
куляция вектора а по контуру,
ограничивающему эту площадку.
Чтобы вычислить проекцию
[Va.] на орт е*. возьмем f, в ви-
^о t5c:\oife:.Ho малого криволи-
нейно, о гфямсугольни.ча со сто-
рона in &!} = H2Aq2 и Д/э =
:— Ч;ич-. Циркуляция а по кон-
туру -io о прямоугольника мо-
ж«" ''¦ '.ь предстйзлена в У'лде
четырех интегралов в;;с; i &di Дрй ка ни*{ барутся
по ппотнзояс;лож?Ш1.: ¦ г\. jti?v. Л/' к АС два --- по
гфоткссиоложным с.г.р-.ьм i ^^ и А'з" (р 1С XI. 8).

XI. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 457
В итоге, учтя (XI. 73), получим
С, = 4 А1'2 + < А/3' -
(XL 85)
Разложив а3ИА и а2Я2 в ряд в окрестности точки Р,
для которой вычисляется рогор, можно написать, что
Следовательно, выражение (XI. 85) можно предста-
вить в виде
е>
С, = -*<ЙМд,а д?3 -
_ 1 ( а (дая3) а (а2я
- "ад V ^~ й<?з
где /i — площадь прямоугольника (см. (XI. 74)), е —
величина более высокого порядка малости, чем f\.
Подставив найденное нами значение Ct в (XI.84)
и осуществив предельный переход, придем к формуле
Аналогичные формулы получаются для двух других
проекций вектора |Va]. Все три формулы можно объ-
единить в о;.).ну
д(а,Н,\ д(а,НЛЛ
, 2, 3) (XI. 86)
(индексы I, к, I образуют ил>клическую пер&стзковку
последовательности: 1, ?, -ii .-(акорои, 'згмдем выра-
жение для «оператора Лап к > а г. к^иролм^ейных коор-
динат а:-1.. Согласно (XI 4 1) '•" ~- V '7<') — div s;rad ••{).
Восгольдожйгшясь фор'-;п .: (''.-'П и (Х',77),
" ,' •!. .:Xj.87)
s,. j

458 ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставив значения (XI. 69), получим выражение для
оператора Лапласа в сферических координатах
г2 dr V дг ) г2 sin2 d ЙО V db J '
В цилиндрических координатах
1+-^- (XI. 89)
ф2 ' Й22 V '
Ср / р2 Йф2 ' Й
XII. Четырехмерные векторы и тензоры
в псевдоевклидовом пространстве
В Приложениях VI и X рассматривались векторы
и тензоры в евклидовом пространстве, в котором квад-
рат радиуса-вектора определяется выражением
? + !+ +4t?
Если ввести тензор
I 0 ...Оч
!;¦; ° • (хн.2)
\0 0 ... 1/
выражение (XII. 1) можно представить в виде
t gikxtxk. (ХН. 3)
Тензор gi/j называется метрическим тензором.
Уравнения специальной теории относительности и
электродинамики приобретают особенно простой и на-
глядный характер, если их представить в виде соот-
ношений между векторами и тензорами в четырехмер-
ном пространстве, метрика которого определяется тен-
зором
A о о о\
2 ~J -? !]¦ <XIL4>
ооо -\У
По соображениям, которые выяснятся в дальней-
шем, мы будем пользоваться следующими обозначе-

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛ ВДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 459
киями. Индексы при компонентах 4-рг-днуса-вектора
будем писать не внизу, а вверху. Символ Крон:-кера
будем записывать в виде u!J, т. е. одил индекс ставить
вверху, а другой внизу. Индексы при компонентах
метрического тензора писать в зависимости от обстоя-
тельств либо внизу, либо вверху.
При написании формул мы будем руководство-
ваться следующими правилами:
1. В каждой паре немых индексов (т. е. индексов,
по которым осуществляется суммирование) один ин-
декс ставить вверху, а другой нкизу.
2. Свободные индексы (т. е. индексы, по которым
суммирование не производится) располагать так,
чтобы в обеих частях равенства они занимали одина-
ковое положение —вверху лиоо внизу.
У коэффициентов линейного преобразования ком-
поиент векторов и тензоров мы также будем ставить
одни индекс вверху, а другой инизу1). Следовательно,
в отличие от формул преобразования а\ = ^<?.пак
с которыми ми. кглели дело в Приложениях VI и X,
мы будем пие^ь ачллоги«яол Лорш/лы н вице «;'"=--
Напомним, что согласно принятому нами условию
со ьс-эх случаях, когда знак ^ отсутствует, суммиро-
вание даже по парным индексам не производятся.
Пространство, свойства которого определяются
тензором (XII. 4), называется псевдоевклидааым-
Координаты, а также компоненты векторов и тензо-
ров в этом 4-пространстве мы будем различать с по-
мощью греческих индексов j.i v к т. д., которые могут
принимать четыре значения: 0, 1, 2, 3. Латинскими
индексами i, k, ... (пробегающими значения 1, 2, 3)
мы будем снабжать координаты и компоненты векто-
ров в обычном трехмерном пространстве (в простран-
стве с евклидоаой метрикой). Иногда мы будем ис-
пользовать латинские индексы при компокентах 4-век-
торов и 4-тензоров, чтобы подчеркнуть, что имеются
в виду некулевые значения индексов.
!) В дальнейшем мы увидим, что един индекс вверху, я
яругой внизу пишутся при смешанных компонентах тешоров.
Однако следует помнить, что коэффициенты линейного преобра-
зования свойствами компонент тензора не обладают.

460 ПРИЛОЖЕНИЯ
Определив квадрат радиуса-вектора в рассматри-
ваемом 4-пространстве выражением, аналогичным
(XII. 3), и приняв во внимание (XII. 4), получим
з
A, V=0
В качестве координаты х° в теории относительно-
сти принимается произведение времени t на скорость
света в пустоте, а в качестве остальных координат
х1 — координаты в обычном трехмерном пространстве.
Таким образом,
Xй = Ct JC1 = X X2 = Ц X3 — Z (XII 6)
Приняв это во внимание, выражению (XII. 5) можно
придать вид
з з
Еа wij-v — /г0\2 V (Г1\2 ,,2/2 -2 /VII 7\
p. V-0 /-1
Формулы преобразования координат. При переходе
к другой системе координат компоненты 4-радиуса-
вектора преобразуются по линейному закону
х'^Еа^. (XII. 8)
V-0
Обратное преобразование осуществляется по формуле
3
*?=¦¦ Е «^'v. (XII. 9)
v—о
где а? — коэффициенты обратного преобразования.
Ввиду инвариантности квадрата
тора должно выполняться условие
Ввиду инвариантности квадрата 4-радиуса-век-
з
для jc'i1 и x'v:
и. v-o
Подставим сюда значения (XII. 8)

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 461
Поменяем местами справа немые индексы [i и р,
- Э
а также v и ст. В результате получим 2 § x>lxv—
11. v-o '
ЛоЛо
Отсюда вытекают условия, которым должны удов-
летворять коэффициенты линейного преобразования
(XII. 8),
Приняв во внимание, что gP7 отличны от нуля только
при р — а (см. (XII. 4)), это соотношение можно
упростить следующим образом:
Например, для ц = v = 0 по этой формуле получается,
что
а для [л — 1, v —~ 2
а»а» — ajes» - а^.х-; - а^ = 0. (XII. 12)
Отметим, что, взяв в качестве gpa тензор (XII. 2),
мы смогли бы привести фоомулу (XIL 10) к виду
X k<Jc^ =--= ft что совпадает с формулой (VI. 40).
Очевидно, что для коэффициентов, а^. такке имеют
место соогг'лш-гкуя , аналогичаме (XII. 10).
Теперь найдем связь между коэффициентами пря-
мого и сб7а?"!Сг".о '1пеоб»язор.аний. Напомним, что в ев-
клидовом, пространстве эта связь имеет вид ан — аы
(ср. формулы (VI. 37) и (VI. 38)).
Примшгу n/v;.!;pjif)H2Teu^'.о гре of р-^'сх'.алия (XII. 9)
п (XIL 8). В результате гнид/'Ш!
й^, _ ? ,^ ; f
р.. а ' р-ъ ¦¦ -.--о

462 ПРИЛОЖЕНИЯ
Компоненту х^ можно представить как ? &4xv. Ot-
v
сюда следует, что
з
ЕйЦо? = й5 (ц, v = 0, 1,2, 3). (XII. 13)
р=0
Легко убедиться в том, что система уравнений
(XII. 13) будет удовлетворена, если положить
а° = а°, a°=-a<, o.< = - aj, a'=af (XII. 14)
(/, * = 1, 2, 3).
Действительно, пусть |х = v = 0. Тогда уравнение
(XII. 13) выглядит так:
или, с учетом (XII. 14),
3
что согласуется с (XII. 11).
Положим \х.= \, v = 2. Тогда уравнение (XII. 13)
имеет вид
s
или, с учетом (XII. 14),
з
1 2 t~i ' 2
что согласуется с (XII. 12). Аналогично можно убе-
диться в том, что и остальные 14 уравнений, содержа-
щихся в (XII. 13), удовлетворяются решением (XII. 14).
Заметим, что совокупность соотношений (XII. 14)
можно записать в виде одного соотношения
=«;&vv (хн. i5)
Действительно, при n==v = 0 имеем gnn = gw, по-
этому a{J = a{}; при ц = 0, v==t=^=0, равно как и при
\х = i=^=0, v = 0, будет g^^ = —gwi вследствие чего

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 463
а°= — а'о и а'о = — а°; наконец, при \1~1Ф0, v =
= k Ф 0 оба множителя (?й11 и gVv) равны —1, так что
®ь = аг ^ итоге мы пришли к соотношениям (XII. 14).
В теории относительности рассматриваются обычно
такие преобразования, при которых координаты х2—у
и х3 = z остаются неизменными (х/2 = х2 и х'3 =•= х3).
Очевидно, что матрица коэффициентов преобразова-
ния в этом случае выглядит следующим образом:
¦ 0
«A
0
. 0
"?
«!
э
э
0
0
1
0
0"
0
0
1 .
[o!J]= «о «,оо (XII. 16)
Матрица коэффициентов обратного преобразова-
ния имеет аналогичный вид.
Обозначим буквой р параметр, которым можно
охарактеризовать различие между системами К и К'.
Этим параметром может бить, например, угол пово-
рота одной системы относительно другой. В теории
относительности роль параметра р выполняет относи-
тельная скорость систем К и К'. Очевидно, что в ре-
зультате предельного перехода, при котором р стре-
мится к нулю, обе системы совпадут, так что матрица
(XII. 16) примет вид
KUo= о°
Lo
Таким образом,
Iima° = !imaJ = I, lime» = lima' = 0. (XII. 17)
р->о р-*о р-»о р-»о
Четыре отличных от нуля и единицы коэффициен-
та ajj не являются независимыми. Написав соотноше-
ние (XII. 10) для [I = v = 0, получим, что
.18)
Аналогичное соотношение имеет место и для коэф-
фициентов обратного преобразования: («оJ"" (°оJ==
= 1, откуда с учетом (XII. 14) получается уравнение
KJ-C'iJ==1- (хи-19)

464 ПРИЛОЖЕНИЯ
Теперь напишем условие (XII. 10) для (л = 0, v= 1
а°а° — а'а| = 0. (XII. 20)
Из сравнения уравнений (XII. 18) и (XII. 19) сле-
дует, что (<х^J = (а°J, т. е. а'= ± а1-1. Сопоставление
этого условия с уравнением (XII. 20) дает два воз-
можных варианта соотношений между коэффициен-
тами:
1) <х° = а], если ci° == с^, 2) а° = — а', если а° = — а^.
Со свойством коэффициентов, выражаемым форму-
лой (XII. 17), согласуется первый вариант. Следова-
тельно, нужно принять, что а°=а[, a^=<Zg. Введя обо-
значения a°=aj=a0, 0^=0^=0,, матрицу коэф-
фициентов преобразования можно представить в виде
аа а, 0 0 •
[аа а, 0 0 -|
а, а0 0 0 I
0 0 I 0 Г
0 0 0 1 J
К1= о' о,о- (X". 21)
Эта матрица содержит только один независимый ко-
эффициент (значение которого определяется конкрет-
ным видом преобразования), поскольку ao = aj} и
а, = а° связаны соотношением (XII. 19)
ag-a*=l. (XII. 22)
Согласно (XII. 14) a;} = a{}==a0, a° = —a^ = — a,.
— - % = — а1
Следовательно, матрица обратного преобразования
имеет вид
do ~ a, 0 0
d, a0 0 0
0 0 10
0 0 0 1
-[
Контраварнантные и ковариантные векторы. Под-
становка в (XII. 8) значений а^ из (XII. 21) приводит
к формулам преобразования компонент 4-радиуса-
вектора:
a,*1, */l
(XII. 24)
Совокупность четырех величин а0, а', а2, а3, преоб-
разующихся при переходе от одной системы коордн-

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 465
нат к другой по тем же правилам, что и компоненты
4-радиуса-вектора, т. е. по формулам
з
а = ? <а», (XII. 25)
v-0
называется четырехмерным вектором [4-вектором).
Коэффициенты ajj в (XII. 25) имеют те же значения,
что и в (XII. 8).
Компонента а0 соответствует компоненте 4-радиу-
са-вектора х°, которая в теории относительности при-
нимается равной ct (см. (XII. 6)). В связи с этим ком-
понента а0 называется временной. Компоненты а1, а2,
а3 соответствуют компонентам х1 = х, х2 = у, х3 = z,
в связи с чем носят название пространственных.
Подстановка в (XII. 25) значений a>J из (XII. 21)
приводит к следующим формулам:
a'o = aoao-fa1a1, a'x =a,a°+ аф\ а'2 = а2, a'3 = al.
(XII. 26)
Квадрат 4-вектора определяется по аналогии с
квадратом 4-радиуса-вектора (см. (XII. 5)):
? gw&& = (а?? - (««J - (tff - (a3J. (XII. 27)
Отметим, что квадрат 4-вектора может быть как по-
ложительным, так и отрицательным; в частности, он
может равняться нулю.
При написании векторных формул для псевдоев-
клидова пространства мы сталкиваемся с большим не-
удобством, вызванным тем, что квадрат 4-вектора
определяется выражением (XII. 27), которое не может
быть представлено в компактной форме как ? (сРJ.
Чтобы, устранить это неудобство, вводят два вида
4-векторов. Различают их тем, что у векторов одного
вида индекс пишут вверху, а у векторов другого
вида — внизу. Первые векторы называются контрава-
риантными, вторые — ковариантными. Таким образом,
поставив индекс при компонентах 4-радиуса-вектора
вверху, мы отнесли этот вектор к категории контра-
варнантных.
Каждому контравариантному вектору а* сопостав-
ляется ковариантный вектор а^ (и наоборот), причем
16 И. В. Савельев, т. 1

466 ПРИЛОЖЕНИЯ
принимается, что
Яу. = ?д^ (XII. 23)
(см. (XI 1.4)), т. е.
ao = cfi, й, = — а1, съ=-а2, аъ = — а\ (XII. 29)
Легко сообразить, что соотношению (XII. 28)
можно придать вид
(XII. 30)
Таким образом, опускание или поднятие индекса fi
при компоненте 4-вектора сопровождается умноже-
нием компоненты на gai. или gw».
С использованием контравариантных и гсовариант-
нкх компонент квадрат 4-вектора (см. (XII. 27)) мо-
жет быть записан следующим образом:
з
2 а*а„ = cfla,-, + я'а, + а2^ + аЧ- (XII. 31)
}1=0
По аналогии с формулой (XII.31), которая дает
произведение 4-вектора на самого себя, определяется
скалярное произведение, двух 4-векторов:
з
? аУ-Ьц = cfib0 + a'fc, -f a2b2 + a3b3 =
= a°i° — albx — a?b2 — a?b3. (XII. 32)
Очевидно следующее соотношение:
з з
ЕЛ,, = Еа/ (XII. 33)
11=0 [1=0
Вообще во всякой пара немых индексов можно вза-
имно менять местами верхний и нижний индексы.
Отметим, что при чисто пространственных поворо-
тах (т. е. преобразованиях, не затрагивающих компо-
ненту а0) три пространственные компоненты 4-век-
тора С ведут себя как компоненты вектора в трехмер-
ном евклидовом пространстве (компонента а0 ведет
себя при этом как трехмерный скаляр). В связи с этим
компоненты 4-вектора могут быть записаны в виде
с» = (а°,<1,) (/=1,2,3) (XII. 34)
либо, короче,
ам=(а°, а). (XII.35)

XII. ТЕНЗОРЫ Е ПСЕВДОЕВКЛИДОЕОМ ПРОСТРАНСТВЕ 467
Копэриантные ксмпояеить: того же. Еектора бьтля-
дят следующим образом:
Яц = №, - «') (* = 1, 2, 3) (XII. 36)
или
а|1 = (аР,-?). (XII. 37)
Для квадрата 4-вектора инеем выражение
Z ОЫ = {а0}2 - ? «5 - (а'J - a2, (X1L 38)
a дли скалярного лроизгедса^я ^.-е/жтороз
X g^., = аЧ* - ab. (XII. 39)
Легко убедиться в том, что приращение квадрата
4-вектора можно представить двумя способами:
вц ва1». (XII. 40)
'.1 11
ный градагит. IIчеть нам дана екггляр-
ная функция вели-ша х'1:
ф(д;0, л-1, х\ х3).
По правилам дифференциального исчисления прира-
щение этой функции дается выражением
Приращение функции не может зависеть от того,
в какой системе координат оно вычисляется, т. е.
представляет собой инвариант. Отсюда заключаем, что
величины
~дха • дх1 • Их1 ' дх»
ведут себя при преобразованиях координат как кова-
риантные компоненты некоторого вектора. Этот век-
тор называется 4-градиентом функции <р.
Если мы захотим ввести 4-оператор градиента
(оператор V*), то его ковариантные компоненты нуж-
но определить следующим образом:
у о = --- >. = -д--г, ', — ¦¦%?¦. v3 — -^t
%?

468 ПРИЛОЖЕНИЯ
или
<XII-43>
где V — оператор градиента в трехмерном евклидовом
пространстве. Тогда контравариантные компоненты
оператора V* будут иметь вид
У» __ д ^.1 д__ ^.2 __ __ д
дХ" дХ" д*' (XII. 44)
V3 == ^ t
что можно представить следующим образом:
Теперь мы имеем возможность пояснить существо
различия между контравариантными и ковариантны-
ми векторами. В соответствии с (XII. 8) производная
*"* по х* равна а?:
Подставив эти значения а? в (XII.8), приведем фор-
мулу преобразования контравариантных компонент
4 вектора к виду
1^- (XII- 47)
V-0
Рассматривая некоторую скалярную функцию <р
как сложную функцию вида
Ф = Ф[х°(*/0. *". х'\ х'3), x«U'°, *", х'\ *"),...],
можно написать, что
3
dxv дх'»
v-0
Согласно (XII. 41) ду/дх'» есть ц-я ковариантная со-
ставляющая градиента ф, вычисленная в системе К'
(обозначим ее (V»^), а ду/дх? — v-я ковариантная со-
ставляющая V*cp, вычисленная в системе К (обозна-

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 469
чим ее (V*<p)v). Следовательно, можно написать
<r< = E^ir(v»v (XII48>
v-0
Сопоставление преобразований (XII. 47) и (XII. 48)
показывает, что они не тождественны. В одном из них
роль коэффициентов играют величины дх'^/дхУ, в дру-
гом — величины дхУ/дх'*.
Итак, контравариантными называются такие век-
торы, компоненты которых преобразуются по закону
(XII. 47), т. е. как компоненты векторов х* или dx*
(как дифференциалы координат). Ковариантными же
называются векторы, компоненты которых преобра-
зуются по закону (XII.48), т. е. как компоненты гра-
диента (как .частные производные по координатам).
Выше мы видели, что если задан контравариант-
ный вектор а», то всегда можно ввести по правилу
(XII. 29) соответствующий ему ковариантный "вектор
(и наоборот). Поскольку между величинами а* и Яц,
существует тесная связь, мы будем говорить о них не
как о компонентах двух разных векторов, а как о кон-
травариантных и ковариантных компонентах одного
и того же вектора.
В случае евклидовой метрики коэффициенты об-
ратного преобразования а? связаны с коэффициентами
прямого преобразования a(J соотношением а^ — а^.
Следовательно, прямое и обратное преобразования ко-
ординат имеют вид
*"* = ? «!J*V. *v = Z <*'».
V Ц
откуда
дх'» ^ дхч
дхч ду.'* '
Таким образом, в случае, когда пространство обладает
евклидовой метрикой, коэффициенты преобразований
(XII. 47) и (XII. 48) совпадают и различие между
контравариантными и коварнантными векторами (а
также и тензорами) исчезает.
Преобразование ковариантных компонент. При пе-
реходе от системы К к системе К' ковариантные ком-
поненты векторов, очевидно, преобразуются, как и

470 ПРИЛОЖЕНИЯ
контравариантные компоненты, по линейному закону.
Обозначив коэффициенты преобразования ковариант-
ных компонент символом п , можно написать
< = Eo^v. (XII. 49)
Найдем связь между коэффициентами преобразо-
ваний контрааариантных и ковариантных компонент,
т. е. между величинами с^ и а*. Поднятие либо опус-
кание индекса ц (или v) при компоненте вектора со-
провождается умножением этой компоненты на g^
(или gw)- Поэтому выражение (XII. 49) можно пре-
образовать следующим образом:
a/4u==,|Q№w)"v- (XII. 50)
Вместе с тем для контраЕариантных компонент имеет
место соотношение
з
а = 2
Умножив его левую и правую части на g^, получим
Е)а\ (XII. 51)
Сопоставление формул (XII. 50) и (XII. 51) дает
^tf,v=^V (ХН. 52)
Приняв eg внимание (XII.. 4), легко получить
(XII. 53)
Сравнение сооткошсгил (XII. 15) и (XII, 52) позво-
ляет написать
SJ==o», (XII. 54)
где а'^ — коэффициенты обратного преобразования
коктравариантных компонент.
Выше мы видели, чго ^ = дх'у/дх^ (см. (XII. 46)).
Очевидно, что

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 471
Подставив это выражение в (XII. 54), получим коэф-
фициенты прямого преобразования ковариантных ком-
понент
что согласуется с (XII. 48).
Четырехмерные тензоры. 4-гтзором второго ранга
называется совокупность 16 величин Т^, которые при
переходе от одной системы координат к другой преоб-
разуются по формуле
Г^= ? <##*", • (XII. 55)
р, о=0
где а% — коэффициенты из (XII.21) (ср. с (X. 10)).
При обратном преобразовании
7""= ? d^rr (XII.56)
р, ff—О
Частным случаем 4-тензора является тензор с ком-
понентами:
ЕГ = Л.\ (XII. 57)
где а* и bv — компоненты 4-вёкторов.
Компоненты 4-тензора могут быть представлены
в трех видах: как контравариантные Т^1, ковариант-
ные 7"nv и смешанные Тк. По аналогии с (XII. 57)
поднятие или опускание временного индекса не изме-
няет знака компоненты, а поднимание или опускание
пространственного индекса изменяет знак компонен-
ты на обратный (ср. с (XII. 29)). Поднятие или опус-
кание четного числа пространственных индексов, оче-
видно, оставляет компоненту без изменений. Таким
образом,
Гоо = 7'00, Го, Г»'. .... Г,о == — Г"». Г|1 = Г11, ...;
7% = Т00, Tol = 7*01 Г», = — Г01, Г,° = - Г10, ...
.... Т1*=Т\ = -Ти, ... (XII.58)
Формулы преобразования кокариантных компонент
тензора (XII. 57) можно получить, приняв во зннма-

472
ние
(XII. 49):
= Ъ ЙРА,<
р
Аналогично
где
коэффициенты
ПРИЛОЖЕНИЯ
a v p. a ^
р, о •*
а? определяются
Р. <7
(XII. 59)
правилами
(XII. 53).
Таким же способом можно установить формулу
? (XII. 60)
Р. а
Из (XII. 58) видно, что, вообще говоря, нужно раз-
личать смешанные компоненты Т»ч и Тч», т. е. следить
за тем, какой индекс — первый или второй — стоит
вверху, а какой внизу. Действительно, например, в об-
щем случае Т10 = 70 Ф 71 = 7V. В случае симмет-
ричных тензоров Sw (для которых Sw = S"») сме-
шанные компоненты 5^v и Sv1*, очевидно, совпадают,
так что индексы можно располагать один над другим.
В случае антисимметричных тензоров имеет место со-
отношение i4i*v = —Avv.
У антисимметричного 4-тензора независимыми яв-
ляются 6 компонент D диагональных равны нулю,
остальные удовлетворяют условию А*"* = —А4*). Сле-
довательно, таблица компонент антисимметричного
4-тензора выглядит следующим образом:
А02 Л03
@ Aot
_Л -А13
(
_Л -А13 -А13 0
Найдем формулы преобразования компонент тен-
зора (XII. 61). Согласно (XII. 55) для компоненты А01
имеем
Л'01 = ? aSoU"" = t aP t ai Л"" =
р, О — О р=0 О
а-0
+ cfl S
2а=о

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 473
Коэффициенты а§ и а?— нули (см. (XII. 21)), поэто-
му последние две суммы будут нулями. Из четырех
коэффициентов aj отличны от нуля только два: а* и
а}. Следовательно, в первых двух суммах отличны
от нуля только первые два слагаемых. Таким образом,
./01 о/ l.oo , i .oi\ . о/ 1«ю . 1 .п\
A =a(a4 +aA ) + a(cbA \<цА )
Приняв во внимание, что AQ0 = Au=0, А10 =—А01,
и подставив а0 вместо ag и а}, а также а, вместо а,"
и aj, придем к формуле
.,01 /2 2\ .01 .01
А = (од — о.\)А —А
(см. соотношение (XII. 22)). Аналогично могут быть
получены формулы преобразования для остальных
компонент тензора А**.
Формулы преобразования всех шести независимых
компонент выглядят следующим образом:
Л ,01 .01 .,02 Л02 I Л12 Л'03 Л03 I Л13
= А , А =ОоЛ +di/l , А =ОА \uA
.,12 «12 , .02 л,13 .,з , .03 ./23 .23
А =аоА +«iA , А ==ОоА1 +а{А , А =А .
(XII. 62)
Отметим, что формулы обратного преобразования
отличаются от формул (XII. 62) лишь знаком при чле-
нах, содержащих множитель at (см. (XII. 23)).
Формулы (XII. 62) понадобятся нам в электроди-
намике.
Образуем из компонент тензора II*tv = a^b4 выра-
жение
Это выражение представляет собой инвариант, т. е.
скаляр. Аналогично для любого тензора T*v выра-
жение
7 Й = Г o + T i + T 2 + T з (XII. 63)
i*
является скаляром (ср. с (X.21)). Его называют сле-
дом тензора. Из (XIL33) следует, что 2 1^--= Е Пцй-
Аналогично
Z.i*ti— Zj *У • (XII. u4)

474 ПРИЛОЖЕНИЯ
Скалярным произведением 4-вектора av на 4-тен-
зор T»v называется 4-вектор 6*\ компоненты которого
определяются по формуле
Ь»=?Т»У. (XII. 65)
V
Инвариантные 4-тензоры. Тензор, который при ум-
ножении на вектор оставляет этот вектор без измене-
ний, естественно назвать единичным. Очевидно, что
компоненты этого тензора следует принять равными
( I, если ц = v,
если \и Ф v.
1 (XII. 66)
(. О, если \и Ф v
Действительно, подстановка этих значений в формулу
(XII. 65) дает
как и должно быть для единичного тензора.
Из (XII. 66) следует, что бу —б}[, т. е. что тензор
бу симметричный. Поэтому индексы мы расположили
один над другим. След тензора 6v равен
Контравариантные и ковариантиые "компоненты
единичного тензора принято обозначать символами gw
и g)iv. Видно, что
A о 0 0\
! ~1 -1 51- <хп-б7>
О О С — I'
Сравнение с (XII. 4) показывает, что тензор gw
(равно как и g»*) есть метрический тензор.
Образуем выражение
Z SW«V.
V
Приняв во внимание (XII.<>7), найдем, что при ц.™О
это выражение равно а°= ао, а при ц,— i (i= I, 2, 3)

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 475
получается —а1 = ai. Отсюда следует, что
? ?nv3V = «V
v
Аналогично можно убедиться в том, чти
Поэтому скалярное произведение векторов а^ и Ь*
можно записать любым из трех следующих способов:
? d\ = ? gllveV = ? /Vv (XH. 68)
(i v |i v
ц. v
Тензоры 6!J, ^Vv и g** инвариантны — их компо-
ненты одинаковы во всех системах координат. Инва-
риантным является также абсолютно антисимметрич-
ный единичный 4-псевдотензор четвертого ранга ei*vpo.
Компоненты этого тензора определяются аналогично
компонентам псевдотензора еш в евклидовом про-
странстве (см. (VI. 15)). При совпадении хотя бы двух
индексов е^р° равен нулю. Следовательно, из 4* =
=256 компонент отличны от нуля только 4! = 24 ком-
поненты. Полагают
еО123==Ы. (XII. 69)
Остальные 23 компоненты полагают ргвными +1 либо
— 1 в зависимости от того, каким числом перестано-
вок двух индексов — четным или нечетным — последо-
вательность ц, v, р, а может быть получена из после-
довательности 0, 1, 2, 3. Очевидно, что 12 компонент
имеют значение +1, а 12 — значение —1.
По принятому нами выше правилу опускание всех
индексов у г^'ра должно изменить знак компоненты.
Поэтому eoii3 = — 1. Аналогично %,&и = —е^Р" (из
четырех индексов один обязательно имеет значение О,
остальные три — значения !, 2, 3). Отсюда следует,
что
? e^VT;» = ~24. (XII. 70)
ц, v, p.a
Теорема Остроградского — Гаусса. В евклидовом
пространстве теорема Остроградского — Гаусса фор-

476 ПРИЛОЖЕНИЯ
мулируется следующим образом (см. (XI. 13)):
(интеграл по некоторому объему V от дивергенции
вектора а равен потоку этого вектора через ограничи-
вающую V поверхность /). Величины dfi суть компо-
ненты вектора df=ndf. Они имеют значения dfx =
= dy dz, dfu = dz dx, df2 = dx dy.
Обобщением теоремы Остроградского — Гаусса на
псевдоевклидово 4-пространство является соотношение
где С* — 4-вектор, dV* = dx°dxidx2dx3 = cdtdV — эле-
мент объема в 4-пространстве, dfv— компонента 4-век-
тора элемента гиперповерхности, ограничивающей
4-объем, по которому берется интеграл в левой части
формулы. Компоненты df* имеют значения df° =
= dx4x4x? = dV, df} = dxodx4x3 = с dt dy dz и т. д.
Докажем с помощью теоремы Остроградского —
Гаусса соотношение, которое нам понадобится в § 40.
Чтобы сделать доказательство более наглядным, про-
ведем его сначала для евклидова трехмерного про-
странства, а затем выполним аналогичные выкладки
для 4-пространства.
Пусть имеется вектор а(, дивергенция которого
равна нулю,
JLj дх.
Полагаем, что вектор at отличен от нуля в ограничен-
ной области пространства. Согласно (XII. 71)
(XII. 73)
Уравнение (XII. 73) справедливо для произвольно
взятого объема V и ограничивающей его поверхно-
сти f. Выберем в качестве V объем, заключенный
между двумя бесконечными плоскостями х1 = х[1) =

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 477
= const и д;, = х<2) = const (рис. XII. \,а). Интеграл
по боковой поверхности этого объема равен нулю, так
как по условию на бесконечности а,- = 0. Следова-
тельно, правую часть формулы (XII. 73) можно пред-
ставить в виде
A)
B)
(для плоскости Х\ = const компоненты df% и df3 равны
нулю). Отсюда
\ a, dfx = \ о, dfi — const.
A) B)
Полученный нами результат означает, что инте-
грал \ a, rf/t, взятый по любой бесконечной плоско-
сти х\ = const, имеет одинаковое значение. Заметим,
<<>
\,
Рис. XII. 1
что координаты х2 и х3 при интегрировании прини-
мают все значения от —оо до +оо.
Теперь возьмем в качестве V объем, ограниченный
двумя поверхностями произвольной формы, для всех
точек которых коорднната х\ конечна, координаты же
х-2 и х3 принимают значения от —оо до -|-оо. Таким
образом, края поверхностей лежат на бесконечности
(рис. XII. 1,6). В этом случае п^эпая ч&а ъ формулы
(XII. 73) моке.т быть грек-.гааж-'н.я. в виде
г

478 приложения
откуда вытекает, что
щ dU = const, (XII. 74)
т. е. имеет одинаковое знгчеиие для любой поверхно-
сти, .включающей в себя в;е двухмерное пространство
*2*з (пространство yz).
Теперь допустим, что имеется тензор Tik, удовлет-
воряющий условию
^~ = 0 (« = 1,2,3). (XII. 75)
k
Компоненты Tik отличны от нуля в ограниченной об-
ласти пространства.
Образуем вектор а с компонентами
ak=YrTlkbis (XII. 76)
где bi — компоненты произвольного постоянного век-
тора {bt = const). Дивергенция вектора а будет ну-
лем. Действительно,
Следовательно, вектор (XII. 76) удовлетворяет усло-
виям, при которых выполняется соотношение (XII.74).
Подстановка в (XII. 74) значений (XII. 76) дает
=Zbi \ ZTikа*к=const (ХП-77)
I k
(интегрирование производится по поверхности, вклю-
чающей в себя все двухмерное пространство х%х3).
Введя обозначение
\Yjikdtk, (XII. 78)
/5
соотношение (XII. 77) можно записать з виде
V bipt -— const.

XII. ТЕНЗОРЫ В ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 479
В связи с постоянством и произвольностью величин bi
последнее соотношение может выполняться лишь при
условии, что все /j, также постоянны.
Таким образом, мы пришли к следующему утверж-
дению: если тензор Tia удовлетворяет условию
,(XII. 75) и компоненты его отличны от нуля в ограни-
ченной области пространства, то значения компонент
вектора р, не зависят от того, по какой из поверхно-
стей, включающих в себя все двухмерное простран-
ство JC2JC3. осуществляется интегрирование в формуле
1,(ХП.78).
Теперь проведем аналогичные рассуждения для
4-пространства. Пусть имеется вектор а?, 4-диверген-
ция которого равна нулю;
(XII. 79)
v=0
(av отличны от нуля в ограниченной области 4-про-
странства). Согласно (XII 72)
Это уравнение справедливо для любой замкнутой ги-
перповерхности; интегрирование левой части произво-
дится по 4-объему, ограниченному этой гиперповерх-
ностью. Выберем в качестве такого объема часть
4-пространства, заключенную между двумя бесконеч-
ными гиперплоскостями jc" — х'и = const и х? = х°2) =
= const. Координаты х\ xq, x:> для точек таких гипер-
плоскостей изменяются в пределах от —со до +оо.
Следовательно, каждая h;j гиперплоскостей представ-
ляет собой все трехмерное пространство, взятое в мо-
мент tt = x*njc в случае первой плоскости, и в момент
/2 = Jtpj/c в случае второй плоскости.
Для выбранного 4-объома правую часть соотноше-
ния (XII. 80) можно представить в виде
(Ч

480 ПРИЛОЖЕНИЯ
(поскольку dx° = 0, все df = 0). Отсюда
, = const. (XII. 81)
Йто означает, что значение интеграла (XII. 81) не за-
висит от того, по какой из гиперплоскостей х° — const
осуществляется интегрирование.
Теперь возьмем 4-объем, ограниченный двумя ги-
перповерхностями произвольной формы, для всех то-
чек которых координата х° конечна, а координаты jc1,
х2, х3 принимают значения от —оо до +оо. Такие ги-
перповерхности включают в себя все трехмерное про-
странство. Написав для такого объема правую часть
соотношения (XII.80), получим
5 $
A) v B) v
Отсюда следует, что интеграл
avdfv == const, (XII. 82)
т. е. не зависит от того, по какой из гиперповерхно-
стей, охватывающих все трехмерное пространство, он
берется. Иными словами, этот интеграл не изменяется
со временем, его значение сохраняется.
Возьмем в качестве av 4-вектор с компонентами
а*=?2*Х. (XII. 83)
и
где &ц— компоненты произвольного постоянного 4-век-
тора (Ьц = const), а Т^ — 4-тензор, удовлетворяющий
условию
з
?~S^ = ° 0* = °. Ь 2,3). (XII.84)
«;=0
Компоненты этого тензора предполагаются отличными
от нуля в ограниченной области 4-пространства. Легко
убедиться в том, что вектор (XII. 83) удовлетворяет
условию (XII. 79). Следовательно, для него должно
выполняться соотношение (XII. 82). Подстановка в

XIII. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 481
(XII. 82) значений (XII. 83) дает
^SZ1"^^ const
й v
(интегрирование производится по произвольной гипер-
поверхности, включающей н себя все трехмерное про-
странство).
Если ввести обозначение:
(XII-85>
полученное нами соотношение можно представить
в виде
X v- ¦= const.
Вследствие произвольности и постоянства величин Ьц
последнее условие может выполняться только в том
случае, если постоянными (т. е. не зависящими от
времени) будут все р>*. Таким образом, мы приходим
к следующему выводу. Если имеется тензор 7t*v, ком-
поненты которого отличны от нуля только в ограни-
ченной области 4-пространства и удовлетворяют усло-
вию (XII. 84), то компоненты 4-вектора (XII. 85) со-
храняются, т. е. не изменяют своего значения со
временем. Очевидно, что будет сохраняться также
4-вектор с компонентами
J ?Vvd/v, (XII. 86)
где а — произвольная константа.
XIII. Дельта-функция Дирака
Дельта-функцией Дирака F-функцией) называется
функция, определяемая следующим образом: б(дс) = О
при всех х, отличных от нуля; при х = 0 функция 6(х)
обращается в бесконечность, причем так, что
x = l. (XIII. 1)

482 ПРИЛОЖЕНИЯ
Дельта-функция оказывается полезной в силу сле-
дующего свойства:
f(x)iS(x)dx = f(O), (XIII. 2)
где f(x)—произвольная непрерывная функция от х.
Это свойство вытекает из определения б-функции.
Действительно, вследствие того, что б(*) = 0 при всех
jc^O, отличный от нуля вклад в интеграл (XIII.2)
вносит лишь окрестность точки х = 0. В этой окрест-
ности f(x) можно положить равной /@). Вынеся ДО)
за знак интеграла и приняв во внимание(XIII. 1), при
дем к (XIII. 2).
Очевидно, что функция б(х — а) обладает в окрест-
ности точки х = а теми же свойствами, что и функция
6(х) в окрестности точкм х = 0. В частности,
f(xN(r.-a)dx = f(a). (XIII. 3)
Область интегрирования в формулах (XIII.2) и
(XIII. 3) не обязательно должна простираться от —с»
до -f-°°, достаточно, чтобы эта область включала в
себя особую точку, в которой б-функция отлична от
нуля.
Подобно тому как мы ввели 6(х), определяется
трехмерная б-функция, обозначаемая б (г). Она равна
пулю всюду, кроме начала координат. В начале коор-
динат б (г) обращается в бесконечность таким обра-
зом, что
$l. (XIII. 4)
Интегрирование производится по всему трехмерному
пространству.
Трехмерную б-функиию можно представить как
произведение трех одномерных функций:
= 6(xN(yN(z). (XIII.5)
Из определения функции б (г) следует, что
-ro)rfV = /(ro). (XIII. 6)

XIV. РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 483
Область интегрирования в формуле (XIII. 6) не обя-
зательно должна охватывать все трехмерное про-
странство, достаточно, чтобы эта область включала
в себя точку, определяемую пектором г<>.
XIV. Ряд и интеграл Фурье
Функцию, удовлетворяющую условию
f(t + T)==f(t), (XIV. 1)
где Т — константа, называют периодической1). Вели-
чина Г именуется периодом функции. Простейшим
примером периодической функции является гармони-
ческая функция f(t) = a cos (at + а), где w = 2л/Т —
круговая частота функции.
Подавляющее большинство периодических функ-
ций, встречающихся в физических задачах, можно
представить в виде ряда
оо
/ @ = ? (о» cos tmQt -г bn sin mV). (XIV. 2)
Для краткости записи применено обозначение
еаа = 2я/Т [Т — период функции). (XIV. 3)
Ряд (XIV. 2) называется рядом Фурье. Постоян-
ные величины а„ и Ьп называются коэффициентами
Фурье. Условия, которым должна удовлетворять
функция для того, чтобы ее значения совпадали со
значениями ряда (XIV.2), ;«ы обсуждать не станем,
отослав интересующихся этим вопросом к руковод-
ствам по математическому анализу.
Непериодическую функцию также можно предста-
вить в виде ряда Фурье. Однако такое представление
будет пригодно для непериодической функции лишь
на отрезке от —7/2 до +Т/2.
Выражение (XIV. 2) представляет собой разложе-
ние функции f(t) е ряд по функциям
1, cos»^, sm<0(/ cqswoq/, sin iitogt, ... (XIV. 4)
Система функций (XIV. 4) является ортогональной на
отрезке —Т/2, +Г/2. Это означает, что интеграл по
') Имел в виду приложения., ыы обозначили иезаписимую
переменную буквой /, а не х.

484 ПРИЛОЖЕНИЯ
этому отрезку от произведения двух различных функ-
ций системы равен нулю, а аналогичный интеграл от
квадрата любой функции отличен от нуля. Кратко
свойство ортогональности можно записать в виде
+ Г/2
5 4>«4>« dt = bnmqn.
-Г/2
Здесь -ф„ и -фот — любые функции, принадлежащие си-
стеме (XIV. 4). Легко убедиться в том, что qQ = T,
<jn = T/2 (пэ^О). Для этого достаточно учесть, что
средние значения квадрата косинуса и квадрата си-
нуса равны 1/2.
Ортогональность системы функций (XIV. 4) позво-
ляет найти значения коэффициентов Фурье. Умножим
соотношение (XIV. 2) на функцию cos moiot (m ф 0)
и затем проинтегрируем на отрезке [—Т/2.+Т/2].
В силу ортогональности из всех интегралов в правой
части будет отличен от нуля только один, а именно
+ Г/2
[ ат cos2 rm^dt = am- T/2.
-Г/2
Поэтому мы придем к формуле \ f (t) cos тщ( dt =
-Г/2
= ат ¦ Г/2, откуда
+ Г/2
J f(t) cos imu4dt (тФО). (XIV. 5)
-Г/2
Аналогичные выкладки приводят к выражениям для
Ьт и а0.
+ 7'/2
Ьп = -у- J f (t) sin in®ot dl (тфО), (XIV.6)
-m
+ Г/2
ao-^-y \ f(t)dt, fto-0. (XIV. 7)
-272

XIV. РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 485
Ряд Фурье можно записать в комплексной форме.
Для этого заменим косинус и синус через экспоненты:
cos runti = е*Р ('"ГСоО + ехр (—
, exp (inasot) — ехр (—ina>ot)
sin runrf = ——— 2i уу —
Тогда выражение, стоящее под знаком суммы в фор-
муле (XIV. 2), примет вид
ехр (fre<po<) + ехр (—
"л 2
, ехр (twMpf) — etp (— lna>ot)
°" 2Г ~
ехр(- тшоО + а"~'йп
= ехр( тшоО +
= С„ехр (— iiunot) + С_„ ехр (i^). (XIV. 8)
Вместо коэффициентов а0, ап и 6„ мы ввели коэффи-
циенты
C-0 — Ob, W = 2 ' C-n 2" ' ^ '"
(XIV. 9)
Заметим, что
C_n = C'n (XIV. 10)
(звездочка обозначает комплексно сопряженную вели-
чину).
Произведя в (XIV. 2) замену (XIV. 8), получим
/@= Z Сяехр(-//ипоО. (XIV. 11)
Выражение (XIV. 11) представляет собой разложе-
ние функции f(t) в ряд по функциям
1, ехр(± ft^), exp(± i2coo<), ... (XIV. 12)
Система функций (XIV. 12) также является ортого-
нальной на отрезке [—Т/2, 4-^/2]. В случае комп-
+ 772
лексных функций это означает, что \ ^n^"mdt =
-772
= 6nm<7n (дп=з&0). Действительно, легко убедиться

486 ПРИЛОЖЕНИЯ
в том, что
+ Г/2
5 exp(i(n-m)<u0t)dt = 6nmT. (XIV. 13)
-Г/2
Ортогональность системы функций (XIV. 12) по-
зволяет найти значения коэффициентов Сп. Умножим
соотношение (XIV. 11) на exp(imu>ot) и затем проин-
тегрируем на отрезке [—Т/2.+Т/2]. В силу ортого-
нальности из всех интегралов в правой части будет
отличен от нуля только один, а именно
+ Г/2
J Cmexp(-i(m-m)&ct)dt = СтТ.
-Т/2
Поэтому мы придем к формуле \ / {t) exp (/mcoo<) dt =
-Г/2
— CmT, откуда
+ Т/2
Ст — ~тг~ \ f {t) exp {im<i\t) dt. (XIV. 14)
-772
Формула для С-.т получается ил (XIV. 14) заменой т
на —т. Значение коэффициента Со также можно
найти по формуле (XIV. 14), положив в ней т = 0.
Хотя все слагаемые н (XIV. 11) (кроме Со) комп-
лексные, сама сумма и силу свойства (XIV. 10) яв-
ляется вещественной. Чтобы убедиться в этом, напи-
шем (XIV. 11) в виде
/ (г) = Со + Л (С« ехр (-- шй>оО + С_п exp (inaj)) =
Л-I
„ exp (- шеи,,*) + (Cn exp (I
(мы использовали соотношение (XIV. 10)). Но сумма
некоторой величины и ее комплексно сопряженной все-
гда является вещественной величиной. Таким обра-
зом, вещественность суммы (XIV. II) доказана.
Всякая вещественная величина равна своей комп-
лексно сопряженной. Поэтому выражение (XIV. 11)

XIV. РЯД И ИНТЕП'АЛ ФУРЬЕ 487
можно видоизменить следующим образом:
/@ = X C;exp(incD0/)= ? С_пехр(тш0/).
(XIV. 15)
Полученное выражение отличается от (XIV. 11) лишь
тем, что в нем слагаемые поставлены в обратной по-
следовательности. Если в (XIV. 9) поменять местами
обозначения С„ и С_„, то формула (XIV. 11) приняла
бы вид
= ? СяекрAпа^). (XIV. 16)
Одновременно формула (XIV. 14) изменилась бы сле-
дующим образом:
+ Г/2
С„=-}г \ /U)exp(-mcV)*. (XIV. 17)
-Г/2
Очевидно, что формулы (XIV 16) и (XIV. 17) эквива-
лентны формулам (XIV. 11) и (XIV. 14). В курсах ма-
тейатики обычно пишут ряд Фурье в виде (XIV. 16)
и соответственно формулу для коэффициентов в виде
(XIV. 17). В физике предпочтительнее формулы
(XIV. 11) и (XIV. 14).
Ряд (XIV. 11) представляет периодическую функ-
цию на бесконечном интервале (—оо, +°°). либо не-
периодическую функцию на ограниченном промежутке
[—Т/2, +7/2]. Непериодическая функция может быть
представлена на бесконечном интервале с помощью
интеграла Фурье.
Введем обозначения
2я«/Г = пщ = <¦)„, 2л/Т == Шо = Аш. (XIV. 18)
Перепишем выражение (XIV. 14) с учетом этих обо-
значений. Кроме того, обозначим переменную интегри-
рования вместо / буквой %. Тогда
+ Г/2
\
-Г/2
Tilt

4f i ПРИЛОЖЕНИЯ
(в соответствии с (XIV. 18) мы заменили \/Т на
Д<й/2я). Подставим это выражение в (XIV. 11):
J
-Г/2
(XIV. 19)
Теперь устремим Т к бесконечности. Согласно
(XIV. 18) До» будет стремиться к нулю, так что сово-
купность дискретных значений шп превратится в сово-
купность значений непрерывно изменяющейся пере-
менной а. Соответственно сумма по п превратится в
интеграл. В итоге формула (XIV. 19) примет вид
= -^- J cxp(-/arf)rf(D J fF)exp(/«E)dg. (XIV.20)
Полученное нами выражение и есть интеграл Фурье.
Если ввести обозначение
(XIV. 21)
интеграл Фурье запишется следующим образом1):
o. (XIV. 22)
Так же как н в случае ряда Фурье, в курсах мате-
матики формула (XIV. 22) пишется обычно со знаком
плюс в показателе степени. Соответственно в фор-
муле (XIV. 21) в показателе степени пишут знак
минус.
Если две функции <р и f связаны выражением вида
ь
q>(x)=\f(t)K(x,t)dt, (XIV. 23)
') Встречается также несимметричная запись интеграла
Фурье, а именно, формулы (XIV. 21) и (XIV. 22) пишутся в виде
1
Ф(со) = \ } (t) exp (tail) d\, f(t)==-5—¦ \ ф(о>) ехр (— Ш) d® .
— oa

XIV. РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 489
то функция ф(лс) называется интегральным преобра-
зованием функции f(t), а функция К(х, t)—ядром ин-
тегрального преобразования.
Из сравнения формул (XIV. 21) и (XIV. 23) сле-
дует, что определяемая выражением (XIV. 21) функ-
ция ф(сэ) представляет собой интегральное преобра-
зование функции f(l), причем ядро преобразования
имеет вид
Поэтому функцию ф(со) называют преобразованием
Фурье функции /(|). Определяемую выражением
(XIV. 22) функцию f{t) называют обратным преобра-
зованием Фурье. Отметим, что прямое (формула
I(XIV. 21) и обратное (формула (XIV. 22)) преобра-
зования Фурье отличаются только знаком при пока-
зателе экспоненты.
Функцию f(l) в выражении (XIV. 21) называют
также фурье-образом функции ф(со).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическое дополнение эле-
мента определителя 393
Амплитуда комплексная 71
Апекс 128
Апериодический процесс 74
Апериодическое затухание 74
Вариация функционала 348
Вектор в пространстве п изме-
рений 378
— заряда — тока 249
— ковариантный 465, 469
— коитравариантный 465, 469
— Пойнтинга 240, 243. 292
— четырехмерный 465
Виртуальное перемещение 344
Волновая зона 332
Волновое число комплексное
301
Волновой вектор четырехмер-
ный 295
Волчок асимметричный 103
— симметричный 103, 121, 125
свободный 120, 123
— шаровой 103
Восприимчивость диэлектриче-
ская 193
— магнитная 223
Время запаздывания системы
327
собственное 327
Гамильтониан 131, 139
Гипербола 357
Главные оси инерции 102
Градиент 430
— четырехмерный 467
Движение инфиннтное 48
— финитное 48
Действие 33, 136, 138
— для электромагнитного поля
271, 272
— укороченное 139
Дельта-функция Дирака 481
Детерминант 392
Дивергенция 433, 436
—, выражение в сферических
координатах 456
Дкпольный момент системы
электрических зарядов 183
Дискриминант квадратичной
формы 403
Дкссипативная функция Рэлея
16
Диссипация энергии 72
Дифференциальное эффектив-
ное сечение рассеяния 58
Дифференциальный эффектив-
ный поперечник рассеяния 58
Задача Ковалевской 126
— Лагранжа 126
— Эйлера 126
Закон Био — Савара 212
— сохранения импульса 39
— момента импульса 41
— — энергии 37
Заряды свободные 188
— связанные 188
Излучение дипольное 334, 341
— квадрупольиое 339, 341
— магнитно-дипольное 338
Импульс обобщенный 23, 138,
282, 284
— релятивистский 158
— четырехмерный 158, 159
Инвариантность градиентная
233
— калибровочная 233
— уравнений 141
Инварианты поля 258
Индекс немой 13, 19
Индукция магнитная 200, 220
— электрическая 193
Интеграл движения 25, 37, 43
— Фурье 488
Интервал 144

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
491
Интервал временнподобный
146
— пространственноподобный
146
Калибровка кулоновская 236
— лоренцева 234
— поперечная 236
— потенциалов 233
Канонические переменные 130,
135
Квадратичная форма 402
— — каноническая 404
Квадруполь 185
Квадрупольный момент систе-
мы зарядов 587
Квант действия 34
Колебания вынужденные 76
— гармонические 70, 71
— затухающие 71
— малые 69
— нормальные 84
— свободные 69
— системы со многими степе-
нями свободы 79
Компоненты вектора 373
— тензора 415
— четырехмерного тензора ко-
вариантные 471
¦ контраварнантные 471
— — смешанные 471
Конические сечения 45, 356
Коэффициент затухания волны
305
— связи 89
Коэффициенты Л а ме 453
Криволинейные координаты 451
ортогональные 452
Линейное дифференциальное
уравнение 361
.общее решение 361
Линия узлов 95
Л-система отсчета 52
Магнитный момент 217, 220
Масса приведенная 49
Матрица 382
— диагольнальная 386
— единичная 386
— квадратичной формы 403
— кососимнетричная 385
— обратная 383
—, ранг 400
— симметричная 385
Матрица транспонированная
Матрицы коммутирующие 388
Маятник математический 29
Маятники связанные 85
Мгновенная ось вращения 94
Механическая система 7
Мировая линия 144
— точка 144
Моменты инерции главные 102
— — осевые 101
центробежные 102
Монополь 183
Моиополи Дирака 200
Мультиполь нулевого порядка
183
— первого порядка !83
Намагниченность 220
Напряженность магнитного по-
ля 222
— электрического поля 177
Нутация 97, 128
Обобщенная координата 8, 17,
138
— скорость 8, 17
Обобщенные координаты глав-
ные 84
— — нормальные 84
— — циклические 43
Октуполь 187
Оператор Гамильтона 432
четырехмерный 248
-- Даламбера 248, 285
— Лапласа 444
е сферических координа-
тах 458
— набла 432
— —,интегральное определе-
ние 450
Определитель 392
—, входящий в состав матрицы
400
—,порядок 392
— транспонированный 394
Орты координатных осей 38
Парабола 358
Плотность импульса электро-
магнитного поля 243
— потока имульса 240
— связанных зарядов объем-
ная 191
поверхностная 192

492
предметный указатель
Показатель преломления ком-
плексный 305
Поляризованность 189
Постоянная Планка 34
Потенциал векторный магнит-
ного поля 201
— обобщенный 15
— поля диполя 184
— механической системы 13, 28
— четырехмерный 250
— электрического поля 178
Потенциалы запаздывающие
313
— Лиенара — Вихерта 321
Поток импульса 240, 292
Преобразование Фурье 489
Преобразования Галилея 142
— Лоренца 148, 150
Прецессия 97
— псевдорегулярная 129
— регулярная 97, 122, 128
Принцип вариационный 34
— Гамильтона 33, 34
— наименьшего действия 9, 33,
130
— относительности Галилея
142
Эйнштейна 141, 143
— постоянства скорости света
141
Прицельное расстояние 57
Прицельный параметр 57
Произведение лекторов вектор-
ное 365, 373
скалярное 365, 372
смешанное 365
— двойное векторное 367
— тензоров внешнее 418
внутреннее 418
скалярное 418
Проницаемость диэлектриче-
ская 194
комплексная 303
— магнитная 223
Пространство конфигурацион-
ное 17, 34
— псевдоевклидово 459
Псевдовектор 375
Псевдоскаляр 376
Псевдотензор 422
Рассеяние частиц 52, 57
Реакции связей 8, 9, 12, 17
Ротор 437, 440
Ряд Фурье 483
Свободные оси вращения 112
Связи 8, 10
— геометрические 10
— голономные 11
— жесткие 7
— идеальные 8
— кинематические 10
— неголономные 12
— нестационарные 10
— реономные 12
— склерономные 12
— стационарные 10, 12
Сила диссипативная 16
— инерции центробежная 66
— консервативная 14
— кориолисова 66
— Лоренца 15
— Минковского 155—157
— обобщенная 20, 22, 23
—¦ потенциальная 14
Символ Кронекера 368
— — кососимметричный 369
Скаляр 417
Скобки Пуассона 134
Собственная длина 151
Собственное время 147
Соленоид 206—210
Спектральное разложение вол-
ны 306
Столкновение частиц 52
Твердое тело, 7, 11
Тензор 415
— абсолютно антисимметрич-
ный 421
— — симметричный 421
— антисимметричный 420, 429
—.главные значения 416, 426
— диэлектрической восприим-
чивости 198
— — проницаемости 198
— единичный 417
— инвариантный 417
— инерции 98, 101, 106
— магнитной воспримчивости
225
проницаемости 225
— метрический 458, 474
— натяжений максвелловский
246, 279
—, приведенный к главным
осям 416
—, ранг 416
—,свертка 418
— симметричный 420, 424

предметный указатель
493
Тензор след 418, 473
— четырехмерный 471
—, шпур 418
— электромагнитного поля 352
— энергии-импульса 176
электромагнитного по-
ля 276, 281
Теорема Гаусса для электриче-
ского поля 179
— Крамера 398
— Остроградского — Гаусса
436, 476
— Стокса 441
— Штейнера 105
— Эйлера 345
Угол нутации 97
— отдачи 55
— прецессии 97
— разлета 55
— рассеяния 55
— собственного вращения 97
— чистого вращения 97
Уравнение волновое 286, 287
— Гамильтона — Якобн 136,
139, 140, 283
— Даламбера 236, 285
— Лапласа 181, 185
— непрерывности 213
— Пуассона 180. 196, 203, 224,
236, 237
— характеристическое 81, 82
Уравнения Гамильтона 130, 132
— канонические 130, 132
— Лагранжа 8, 9, 15, 17, 22,
34, 130
— Максвелла 237
в четырехмерной форме
262, 263
— Ньютона 8, 9, 17
— Эйлера 118, 120, 121, 354,
356
Условие Лоренца 234
Условия на границе двух ди-
электриков 196
— магнетиков 224
Фаза волны 295
Формула Резерфорда 6
Функционал 345, 346
— линейный 347
Функция Гамильтона 131, 283
— Лагранжа 8, 14, 24, 27, 35
для электромагнитного
поля 272
Фурье-образ функции 489
Циркуляция 437
Ц-система отсчета 52
Частота собственная 71
Частоты собственные системы
82
Четырехмерная скорость 153,
154
Четырехмерное ускорение 153,
154
Число степеней свободы систе-
мы 8, 12, 17
Эйлеровы углы 95
Электромагнитная волна 286
— — немонохроматическая 306
— — плоская 287
— монохроматическая
293
плоско-поляризованная
299
, поляризованная по кру-
гу 299
эллиптически-поляризо-
ванная 299
Эллипс 356
Энергия 24
— кинетическая 26, 27
—- покоя 160
— полная системы 25
частицы 160
— потенциальная 13, 27, 28
— центробежная 68
— электромагнитного поля 240
Эффект Доплера 296

Учебное издание
САВЕЛЬЕВ Игорь Владимирович
ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том 1
Механика. Электродапгшикз
-Заведующий редакцией Я. А. г'окоа
Редактор В. Я. Дубнова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихсмева
Корректор Н. Б. Румянцева
ИБ № 41103
Издательско-производственнос ч книготорговое
объединение <Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, !5
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ор-
дена Трудового Красного Знамени Ленинградского объеди-
нения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Госу-
дарственного комитета СССР по печати. 198052 г. Ленинград.
Л-52. Измайловский проспект, 29.

NAUKA PUBLISHERS
Main Editorial Board for Literature
on Physics and Mathematics
Lcninski prospect, 15, Moscow W-71, 117071, USSR
FUNDAMENTALS OF THEORETICAL PHYSICS
The Textbook for physical faculties of high schools
VOLUMES 1—2
Igor V. SAVELYEV, D. Sc. (Phys. & Math.)
Moskow Institute of Engeneering Physics
Volume 1. MECHANICS AND ELECTRODYNAMICS
Rssdership: Higher school studenvs.
Summary: This book is a guide to theoretical physics. The presen-
tation of calculations is simple and clear. The book is provided
with detailed mathematical appendices.
Contents: Preface. Mechanics. The Variational Principle in Mecha-
nics. Conservation Laws. Selected Problems in Mechanics. Small-
Amplitude Oscillations. Mechanics of a Rigid Body. Canonical
Equations. The Special Theory of Relativity. Electrodynamics.
Electrostatics. Magnetostatics. Time-Varying Electromagnetic
Field. Equations of Electrodynamics in the Four-Dimensional
Form. The Variational Principle in niectrodynamics. Electromag-
netic Waves. Radiation of Electromagnetic Waves. Appendices.
The author: Professor Igor V. Savelyev headed the Department of
General Physics at the Moscow Institute of Engineering Physics
for over 25 years after he had devoted 15 years to experimental
physics. He is the author of the three-volume textbook «Physics,
a General Course» intended for higher schools with an extended
syllabus in physics; the three-volume textbook «Physics» for engi-
neering colleges and the textbook «Questions and Problems in
General Physics». Professor Igor V. Savelyev holds the title of
Honoured Scientist of the Russian Federation and is a USSR
State Prize winner.

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В скором времени выходит в свет второй том этого издания:
САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики. Т. 2. Кван-
товая механика. 2-е изд., испр.
Книга содержит изложение основ квантовой механики. Что-
бы облегчить изучение, промежуточные выкладки приведены
очень подробно, носят простой и наглядный характер. Матема-
тическое приложение обеспечивает читателя необходимыми
формулами. Изучение книги облегчает усвоение более фундамен-
тальных курсов, таких как «Квантовая механика» Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица и др.
1-е издание вышло в 1977 г. и пользуется заслуженной по-
пулярностью среди учащихся нузов.
Для студентов нетеоретических специальностей вузов, может
быть полезна преподавателям нузов.
Предварительные заказы на данную книгу принимаются ма-
газинами книготорга и Академкниги.