Автор: Вайнберг С.  

Теги: физика   квантовая теория поля  

ISBN: 5-9221-0403-9

Год: 2003

Текст
                    УДК 530.1	ft	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.31	"^ 7~г И Российского фонда фундаментальных
~~ •* ~~ исследований по проекту 03-02-30035
Вайнберг С. Квантовая теория поля. Т. 1. Общая теория / Пер.
с англ; Под ред. В.Ч. Жуковского. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 648 с. —
ISBN 5-9221-0403-9.
Книга выдающегося американского ученого лауреата Нобелевской пре-
премии С. Вайнберга «Квантовая теория поля» представляет собой современный
курс квантовой теории поля, охватывающий как основные положения этой
области теоретической физики, так и многочисленные новые идеи и совре-
современные методы, разработанные в последние годы. В первом томе излагаются
основы квантовой теории поля. Сюда входят релятивистская квантовая меха-
механика и теория рассеяния, основы канонического квантования полей и метод
интегрирования по путям, инвариантная теория возмущений (в частности,
ее приложения к квантовой электродинамике) и непертурбативные мето-
методы, а также последовательное изложение теории перенормировок и другие
вопросы.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов, студентов стар-
старших курсов, занимающихся проблемами квантовой теории поля и физики
элементарных частиц.
Научное издание
ВАЙНБЕРГ Стивен
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Том 1
Общая теория
Редактор И.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: А.А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 23.04.03. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 47.
Тираж 300 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист».
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0403-9 (руССК.)	© Cambridge University Press, 2000
ISBN 0-521-55001-7 (англ.)	© физматлит, 2003 (русск.)


Содержание Предисловие к тому I 7 Обозначения 13 Глава 1. Историческое введение 15 §1.1. Релятивистская волновая механика 17 § 1.2. Рождение квантовой теории поля 30 §1.3. Проблема расходимостей 47 Литература 56 Дополнительная литература 64 Глава 2. Релятивистская квантовая механика 66 §2.1. Квантовая механика 66 § 2.2. Симметрии 67 § 2.3. Квантовые преобразования Лоренца 73 § 2.4. Алгебра Пуанкаре 76 § 2.5. Одночастичные состояния 81 § 2.6. Пространственная инверсия и обращение времени ... 93 § 2.7. Проективные представления 101 Приложение А. Теорема о представлении симметрии . 110 Приложение В. Групповые операторы и гомотопиче- гомотопические классы 116 Приложение С. Инверсии и вырождение мультиплетов 120 Задачи 125 Литература 126 Глава 3. Теория рассеяния 128 §3.1. Начальное и конечное состояния 128 § 3.2. ^-матрица 134 § 3.3. Симметрии ^-матрицы 138 § 3.4. Вероятности и сечения рассеяния 156 § 3.5. Теория возмущений 164 § 3.6. Следствия унитарности 170 § 3.7. Разложение по парциальным амплитудам 175 § 3.8. Резонансные состояния 183 Задачи 190 Литература 191
Содержание Глава 4. Принцип кластерной разложимости 194 §4.1. Бозоны и фермионы 195 §4.2. Операторы рождения и уничтожения 198 § 4.3. Кластерная разложимость и связные амплитуды .... 202 § 4.4. Структура взаимодействия 208 Задачи 215 Литература 215 Глава 5. Квантовые поля и античастицы 217 §5.1. Свободные поля 217 § 5.2. Причинные скалярные поля 227 § 5.3. Причинные векторные поля 234 § 5.4. Формализм Дирака 240 § 5.5. Причинные дираковские поля 247 § 5.6. Неприводимые представления однородной группы Ло- Лоренца 256 § 5.7. Причинные поля: общий случай 260 §5.8. СРТ-теорема 273 § 5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 275 Задачи 284 Литература 285 Глава 6. Правила Фейнмана 287 §6.1. Вывод правил Фейнмана 287 § 6.2. Вычисление пропагатора 301 § 6.3. Правила в импульсном пространстве 307 § 6.4. Вычисления вне массовой оболочки 313 Задачи 317 Литература 318 Глава 7. Канонический формализм 319 §7.1. Канонические переменные 320 § 7.2. Лагранжев формализм 325 § 7.3. Глобальные симметрии 334 § 7.4. Лоренц-инвариантность 341 § 7.5. Переход к представлению взаимодействия 345 § 7.6. Связи и скобки Дирака 352 § 7.7. Переопределения полей и свободные параметры .... 358 § 7.7. Приложение: вывод скобок Дирака из канонических коммутаторов 359 Задачи 363 Литература 364 Глава 8. Электродинамика 365 §8.1. Калибровочная инвариантность 365 § 8.2. Связи и выбор калибровки 369 § 8.3. Квантование в кулоновской калибровке 373
Содержание § 8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия . . 376 § 8.5. Пропагатор фотона 379 § 8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики . 381 § 8.7. Комптоновское рассеяние 387 § 8.8. Обобщение калибровочных полей на р-формы 395 § 8.9. Приложение: следы 7-матриц 398 Задачи 400 Литература 401 Глава 9. Методы интегрирования по путям 402 §9.1. Основная формула интегрирования по путям 404 § 9.2. Переход к ^-матрице 412 § 9.3. Лагранжева версия формулы интегрирования по путям 417 § 9.4. Вывод правил Фейнмана с помощью метода интегри- интегрирования по путям 422 § 9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 427 § 9.6. Формулировка квантовой электродинамики в терминах интегрирования по путям 443 § 9.7. Различные статистики 448 Приложение. Кратные гауссовы интегралы 451 Задачи 453 Литература 454 Глава 10. Непертурбативные методы 456 § 10.1. Симметрии 456 § 10.2. Полюсная структура 459 § 10.3. Перенормировка поля и массы 467 § 10.4. Перенормировка заряда и тождества Уорда 473 § 10.5. Калибровочная инвариантность 479 § 10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент 483 § 10.7. Представление Челлена-Лемана 488 § 10.8. Дисперсионные соотношения 494 Задачи 501 Литература 502 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в кван- квантовой электродинамике 504 § 11.1. Контрчлены 504 § 11.2. Поляризация вакуума 505 § 11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда ... 517 § 11.4. Собственная энергия электрона 526 Приложение. Вычисление интегралов 530 Задачи 531 Литература 531 Глава 12. Общая теория перенормировок 533 § 12.1. Степени расходимости 534 § 12.2. Уничтожение расходимостей 540
Содержание § 12.3. Нужна ли перенормируемость? 552 § 12.4. Плавающий порог обрезания 562 § 12.5. Дополнительные симметрии 566 Задачи 569 Литература 569 Глава 13. Инфракрасные расходимости 572 § 13.1. Амплитуды излучения мягких фотонов 572 § 13.2. Виртуальные мягкие фотоны 577 § 13.3. Реальные мягкие фотоны: уничтожение расходимостей 583 § 13.4. Инфракрасные расходимости. Общий случай 587 § 13.5. Рассеяние мягких фотонов 592 § 13.6. Приближение внешнего поля 595 Задачи 601 Литература 602 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях 603 § 14.1. Уравнение Дирака 604 § 14.2. Радиационные поправки во внешних полях 612 § 14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 618 Задачи 634 Литература 635 Предметный указатель 636 Именной указатель 644
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТОМУ I Зачем нужна еще одна книга по квантовой теории поля? В на- наши дни студент, специализирующийся в этой области, может выбрать для ее изучения любую из двух десятков отличных книг, некоторые из которых почти не устарели. Прочтение же еще одной книги будет сто- стоить потраченного времени только в том случае, если в ней содержатся какие-то новые идеи, в смысле содержания или научного кругозора, который она вырабатывает. Если говорить о содержании предлагаемой вниманию читателя книги, то хотя в нее и включено большое количество нового материа- материала, я все же считаю общность изложения ее главной особенностью. Я стремился к такой общности по следующим причинам. Во-первых, в процессе развития квантовой теории поля оказалось, что она имеет важные приложения в областях физики, далеких от квантовой элек- электродинамики (области ее первых успехов). Во-вторых (и это даже бо- более важно), мне кажется, что такая общность поможет нам выделить важные моменты, обычно затемненные в частных теориях большим количеством технических деталей. Тем не менее, для иллюстрации общих утверждений я, конечно же, часто использую конкретные при- примеры из современной физики частиц, ядерной физики, а также кван- квантовой электродинамики. И все же главной причиной, побудившей меня написать эту кни- книгу, стало не ее содержание, а научный кругозор, который она должна сформировать у читателя. Моя задача состояла в следующем. Я хо- хотел объяснить читателю, почему квантовая теория поля такая, какой мы ее знаем, и почему, будучи сформулирована таким образом, она правильно описывает реальный мир. Традиционный подход со времени первых работ Гейзенберга и Па- Паули по общей квантовой теории поля состоял в том, чтобы принять су- существование полей как реальность, данную свыше, ссылаясь для обос- обоснования этого шага на наш опыт работы с электромагнетизмом. Затем необходимо "проквантовать" эти поля, т.е. применить к разным про- простым теориям поля либо правила канонического квантования, либо процедуру интегрирования по путям. Некоторые детали этого тради- традиционного подхода будут изложены в историческом введении, состав- составляющем материал главы 1. Это, несомненно, есть способ быстрого
Предисловие к тому I погружения в предмет, но, как мне кажется, он оставляет слишком многие вопросы без ответа. Почему, собственно, мы должны дове- доверять правилам канонического квантования и методу интегрирования по путям? Почему мы должны принимать как данное встречающиеся в литературе простые уравнения поля и лагранжианы? И вообще, по- почему поля, действительно, существуют? Мне кажется, что ссылаться на эксперимент в данном случае не очень разумно. В конце концов, целью теоретической физики является не простое описание мира та- таким, каким мы видим его, а объяснение — в терминах небольшого числа фундаментальных принципов — почему он такой. Точка зрения, положенная в основу этой книги, состоит в том, что квантовая теория поля действительно дает ответ на все поставлен- поставленные вопросы, поскольку она есть единственный способ согласовать принципы квантовой механики (в том числе и свойство кластерной разложимости) с принципами специальной теории относительности. (Мы не рассматриваем здесь теории струн, которые содержат бес- бесконечное число типов частиц.) Этой точки зрения я придерживал- придерживался долгие годы, и, более того, в последнее время она вновь стала общепринятой. В последние несколько лет было понято, что наши наиболее удачные квантовые теории поля (в том числе и квантовую электродинамику) нужно рассматривать как "эффективные теории поля". Последние слова означают низкоэнергетические приближения более фундаментальной теории, которая, может быть, даже не яв- является теорией поля, а представляет собой что-то вроде теории струн. Следовательно, основной причиной того, что квантовые теории поля хорошо описывают физику при экспериментально достижимых энер- энергиях, является тот факт, что любая релятивистская квантовая тео- теория при достаточно низких энергиях выглядит как квантовая тео- теория поля. По этой причине, важно понимать, как можно обосновать справедливость квантовой теории поля, исходя из принципов специ- специальной теории относительности и квантовой механики. Кроме того, мы теперь по-другому относимся к некоторым недостаткам кванто- квантовых теорий поля, таким как неперенормируемость и "тривиальность". Они надоедали нам, когда мы считали, что все наши теории являются истинно фундаментальными. Обсуждая их здесь, мы остановимся на этом вопросе подробнее. Эту книгу следует рассматривать как кни- книгу по квантовой теории поля, написанной в эру эффективных теорий поля. Наиболее прямым и несомненным следствием специальной теории относительности и квантовой механики являются свойства состояний частиц. Поэтому в этой книге в качестве первого вводимого объек- объекта выступают частицы. Они появляются в главе 2 как представле- представления неоднородной группы Лоренца, действующей в гильбертовом про- пространстве квантовой механики. В главе 3 вводятся основные понятия, необходимые для ответа на фундаментальный динамический вопрос:
Предисловие к тому I 9 какой вид имеет состояние, в далеком прошлом представлявшее собой некоторую совокупность свободных частиц. Зная генератор эволюции во времени, гамильтониан, мы можем ответить на поставленный во- вопрос, находя в рамках теории возмущений множество амплитуд пе- перехода, известных как 5-матрица. В главе 4 вводится принцип кла- кластерной разложимости. Он понадобится нам для того, чтобы показать как генератор эволюции во времени, гамильтониан, может быть по- построен из операторов рождения и уничтожения. Затем в главе 5 мы возвращаемся к понятию лоренц-инвариантности, из которой полу- получаем следующее свойство операторов рождения и уничтожения: они должны группироваться таким образом, чтобы получившиеся кванто- квантовые поля не нарушали принцип причинности. Вводя спин, мы доказы- доказываем СРТ-теорему и находим связь спина со статистикой. Полученный формализм используется в главе б для вывода правил Фейнмана, поз- позволяющих вычислять элементы 5-матрицы. В главе 7 мы вводим понятие лагранжиана и излагаем канони- канонический формализм. Делаем мы это не потому, что они в каких-то областях физики оказались полезными (сомнительный довод). Ско- Скорее к этому нас принуждает тот факт, что канонический форма- формализм облегчает выбор гамильтонианов, для которых соответствующая 5-матрица удовлетворяет различным предполагаемым симметриям. В частности, лоренц-инвариантность плотности лагранжиана приво- приводит к существованию набора из десяти операторов, удовлетворяю- удовлетворяющих соотношениям в алгебре группы Пуанкаре. Кроме того, как мы увидим в главе 3, она является ключевым условием, необходимым для доказательства лоренц-нивариантности 5-матрицы. В главе 8 об- обсуждается квантовая электродинамика, после чего в главе 9 изла- излагается метод интегрирования по путям. Он используется для дока- доказательства некоторых предположений, сделанных в главе 8. Обычно при изложении квантовой теории поля континуальный интеграл вво- вводят несколько раньше, чем это сделано здесь. Однако мне кажется, что хотя интегрирование по путям и является гораздо более быст- быстрым способом получения фейнмановских правил из заданного лагран- лагранжиана, оно довольно сильно затемняет их квантовомеханическую сущность. Завершают том I несколько глав A0-14), вводящие читателя в круг вопросов, касающихся вычисления в произвольных теориях по- поля радиационных поправок, соответствующих диаграммам с петлями. Здесь расположение материала также несколько необычное. Мы на- начинаем с описания непертурбативных методов. Полученные результа- результаты в дальнейшем помогут нам понять необходимость перенормировки полей и масс, не озадачивая при этом вопросом, содержит ли теория расходимости или нет. В главе 11 представлены классические одно- петлевые поправки квантовой электродинамики. Они дают нам воз- возможность изложить полезные вычислительные методы (параметры
10 Предисловие к тому I Фейнмана, поворот Вика, регуляризации размерная и Паули-Вил- ларса). Кроме того, они являют собой конкретные примеры вычис- вычисления перенормировок на практике. Опыт, приобретенный в главе 11, обобщается в главе 12 на все порядки теории возмущений, а также на произвольные теории поля. Здесь описан современный взгляд на неперенормируемость, присущую эффективным теориям поля. В гла- главе 13 мы отклоняемся от основной темы, обсуждая вопрос о безмассо- безмассовых частицах, имеющих низкую энергию или параллельные импуль- импульсы. Уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле, исторически возникшее почти в самом начале развития реля- релятивистской квантовой механики, вводится нами только в главе 14, где изучается задача о связанных состояниях. Это уравнение не сле- следует рассматривать (как это делал Дирак) как релятивистский вари- вариант уравнения Шредингера. Скорее это есть приближение к истинной квантовой теории поля, описывающей фотоны и электроны. Закан- Заканчивается глава 14 рассмотрением лэмбовского сдвига, причем сопо- сопоставляются теоретические результаты и новейшие экспериментальные данные. Читатель может заметить, что некоторые вопросы, рассмотрен- рассмотренные в этой книге, вообще говоря, следовало бы излагать в учебнике по ядерной физике или физике элементарных частиц. Особенно это касается материала главы 3. Может быть, это действительно так, но, как показывает мой опыт, по этим вопросам понимание обычно либо вообще отсутствует, либо оно несколько смутное (основано на частных динамических моделях, а не на общих принципах теории симметрии и квантовой механики). Я встречал физиков, работающих в теории струн, которые никогда не слышали о связи между Т-инвариант- ностью и фазовыми сдвигом конечного состояния, а также специа- специалистов по ядерной физике, которые не понимали, почему резонансы описываются формулой Брейта-Вигнера. По этой причине, в первых главах книги я придерживался такого принципа, что если возника- возникают сомнения, включать или не включать какой-либо материал, то его лучше включить. Том II описывает недавние успехи квантовой теории поля, внес- внесшие в нее свежую струю идей: неабелевы калибровочные теории, ре- нормгрупповой метод, нарушенные симметрии, аномалии, инстанто- ны и т.д. Я пытался ссылаться и на классические работы по квантовой тео- теории поля, и на полезные статьи по темам, упомянутым в книге, но не разобранным подробно в основном тексте. Мне не во всех случаях известен автор представленных результатов. Поэтому не следует ин- интерпретировать простое отсутствие ссылок как заявку на оригиналь- оригинальность, хотя некоторые результаты, действительно, получены впервые. Мне кажется, что по сравнению с оригинальными работами и стан- стандартными учебниками я несколько улучшил изложение отдельных
Предисловие к тому I 11 мест. В качестве примера, можно привести следующие темы: доказа- доказательство того, что операторы симметрии являются либо унитарными, либо антиунитарными; обсуждение правил суперотбора; анализ вы- вырождения частиц, связанного с необычными представлениями группы инверсий; использование принципа кластерной разложимости; вывод редукционной формулы; вывод приближения внешнего поля; вычис- вычисление лэмбовского сдвига. Каждую главу, кроме первой, я снабдил задачами. Целью неко- некоторых из них является простое приобретение навыков использования описанных в главе методов, в других же предполагается обобщить полученные результаты на более широкий класс теорий. Преподавая квантовую теорию поля, я обнаружил, что каждый из двух томов этой книги содержит материал, достаточный для го- годового курса. Я полагаю, что книга доступна студентам, знакомым с нерелятивистской квантовой механикой и классической электроди- электродинамикой. Я также подразумеваю наличие у учащихся знания основ комплексного анализа и линейной алгебры. Вопросы же теории групп и топологии излагаются по мере необходимости. Эта книга не является пособием для студентов, желающих немед- немедленно начать вычисление фейнмановских диаграмм в стандартной модели, объединяющей слабые, электромагнитные и сильные взаи- взаимодействия. Она также не предназначена для тех, кто любит мате- математически строгое изложение. На самом деле, некоторые части этой книги из-за недостатка строгости вызовут слезы на глазах челове- человека, склонного к математике. Поэтому она скорее подойдет физикам- профессионалам и тем студентам, которые хотят понять, почему кван- квантовая теория поля такова, какой мы ее имеем на сегодняшний день. Прочитав книгу, они подготовят себя к любым новым открытиям, ко- которые могут вывести нас за рамки современных физических представ- представлений. Большую часть материала, представленного в этой книге, я изучил за годы моих научных контактов с другими физиками, число которых слишком велико, чтобы их можно было здесь перечислить. Но я, тем не менее, должен все-таки поблагодарить Сиднея Коулмана и моих коллег из Техасского Университета (Арно Боома, Луиса Буаэ, Фила Канделаса, Бриса ДеВита, Сесиль ДеВитт-Моретте, Жака Дистлера, Вилли Фишлера, Джоша Фейнберга, Жака Гомиса, Вадима Каплу- новского, Джо Полчинского и Пауля Шапиро). Я хочу поблагодарить Герри Холтона, Артура Миллера и Сэма Швебера за помощь при написании исторического введения. Также я благодарен Элис Вил- сон, которая готовила иллюстрации и печатала EXI^X файлы, пока я не научился делать этого сам, и Тэри Рилею за подборку бесчет- бесчетного количества книг и статей. За помощь в исправлении различных
12 Предисловие к тому I ошибок в первом издании этого тома я нахожусь в большом долгу пе- перед многочисленными студентами и коллегами, особенно, перед Хиде- аки Аояма, Кевином Кахилли, Амиром Кашани-Пуром, Михио Ма- сужима, Фабио Сиринго и Саном Фу Туан. Я признателен Морин Стоун и Элисону Вулатту из издательства Кембриджского Универ- Университета за помощь в подготовке этой книги к печати. Особую благодар- благодарность я хочу вынести моему издателю, Руфусу Нилу, за его дружеские советы. СТИВЕН ВАЙНБЕРГ Остин, Техас Октябрь, 1994
ОБОЗНАЧЕНИЯ Латинские индексы г, j, к и т.д. в общем случае пробегают три значения (обычно 1, 2, 3), соответствующие трем пространственным координатам. Греческие индексы /i, v и т.д. в общем случае пробегают значе- значения 1, 2, 3, 0, соответствующие четырем пространственновременным координатам, причем символом х° обозначена временная координата. По повторяющимся индексам, если не оговорено обратное, произ- производится суммирование. Пространственновременная метрика г}^и диагональна. Соответ- Соответствующие ненулевые элементы: т]ц = 7722 = ?7зз = 15 ?7оо = — 1- Даламбертиан определяется формулой ? = т\^у д2 /дх^дх" = V2 — — д2 /dt2, где символом V2 обозначен лапласиан д2 /дхгдхг. "Тензор Леви-Чевита" e^vp(T вводится как полностью антисиммет- антисимметричная величина, причем е0123 = +1. Пространственные трехвекторы обозначаются жирным шрифтом. Шляпка над любым вектором обозначает соответствующий еди- единичный вектор: таким образом, v = v/|v|. Точка над любой величиной обозначает ее временную производ- производную. Матрицы Дирака 7д определяются соотношением 7д7^ + 7^7д = = 2r]^v. Кроме того, 75 = «7o7i7273 и Р = ^7о- Ступенчатая функция 6{s) принимает значения +1, если s > 0, и О, если s < 0. Комплексное сопряжение, транспонирование и эрмитово сопряже- сопряжение матрицы или вектора А обозначаются, соответственно, А*, Ат и^= А*т. Эрмитово сопряжение оператора О обозначается О"*", за исключением тех случаев, когда крест используется, чтобы подчерк- подчеркнуть, что вектор или матрица операторов не транспонируется. Симво- Символы +Н.с. или +С.С. в конце формул указывают на то, что вместо них нужно подставить эрмитово или комплексное сопряжение слагаемых,
14 Обозначения стоящих перед ними. Черта над дираковским спинором и обозначает величину п = и^/3. Везде, кроме главы 1, мы используем систему единиц, в которой h и скорость света полагаются равными 1. Символом — е обозначен сво- свободный заряд электрона, так что постоянная тонкой структуры рав- равна а = е2/4тг « 1/137. Числа в скобках после приводимых в тексте числовых данных означают погрешность в определении последних значащих цифр. Если не оговорено обратное, экспериметальные данные берутся из "Review of Particle Properties", Phys. Rev. D50, 1773 A994).
Глава 1 ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ В силу нашего знакомства с современными физическими представ- представлениями нам трудно понять трудности, которые испытывали физики всего несколько лет назад. Нам также трудно извлечь хоть какую-то пользу из опыта, накопленного ими. В то же время, знание истории — благо, поскольку оно помогает нам понять, что последовательность, в которой происходило развитие той или иной физической теории, зачастую довольно сильно противоречит ее внутренней логической структуре. В этой книге я попытался изложить квантовую теорию поля в та- такой логической последовательности, которая выявила бы ее глубокую связь с физическими принципами специальной теории относительно- относительности и квантовой механики. Такой подход волей-неволей заставляет меня отклониться в сторону от пути исторического развития пред- предмета. Рассмотрим один пример. Исторически верно утверждение, что квантовая теория поля возникла как составная часть учения о реля- релятивистских волновых уравнениях, таких, как уравнения Максвелла, Клейна-Гордона и Дирака. По этой причине довольно естественно, что в учебниках по квантовой теории поля эти волновые уравне- уравнения вводятся где-нибудь в начале, а также что им придается боль- большое значение. Тем не менее, мне всегда казалось, что намного лучше начинать изложение предмета с вигнеровского определения частиц как представлений неоднородной группы Лоренца, несмотря на тот факт, что работа Вигнера была опубликована только в 1939 г. и не имела большого влияния на развитие квантовой теории поля в те- течении довольно длительного периода. Эту книгу мы начнем с того, что рассмотрим частицы, и затем получим для них волновые урав- уравнения. Нет необходимости говорить о том, что частицы, конечно же, яв- являются более фундаментальным объектом, чем поля. В течение дол- долгого времени после 1950 г. предполагалось, что, вообще говоря, законы природы описываются некоторой квантовой теорией поля. Эту книгу я начинаю с описания частиц не потому, что они более фундаменталь- фундаментальны, а скорее потому, что информация, которую мы имеем о частицах, более достоверна, ее легче вывести из принципов квантовой механики и специальной теории относительности. Если бы вдруг оказалось, что какая-то физическая система не может быть описана некоторой кван- квантовой теорией поля, то эта новость стала бы сенсацией. Если же вдруг оказалось бы, что рассматриваемая система не удовлетворяет посту-
16 Гл. 1. Историческое введение латам квантовой механики и специальной теории относительности, то это была бы уже катастрофа. На самом деле, недавно возникла идея, что квантовую теорию по- поля нельзя рассматривать как некую фундаментальную теорию, ле- лежащую в основе всех законов природы. В качестве таковой могло бы выступать нечто совсем другое, например, теория струн. С этой точки зрения квантовая электродинамика и другие квантовые теории поля, которыми мы так гордимся, представляют собой просто "эффектив- "эффективные теории поля", т.е. низкоэнергетические приближения более фун- фундаментальной теории. Наши полевые модели работают так хорошо не потому, что они являются отражением истинных законов приро- природы, а потому, что любую релятивистскую квантовую теорию можно рассматривать как теорию поля, если при этом ограничиться рассмот- рассмотрением частиц с достаточно низкой энергией. Поэтому если мы хотим знать, почему квантовые теории поля именно такие, какими мы их представляем, мы должны начать наше изложение с описания частиц. Однако нам не хотелось бы заплатить за все ценой полного забве- забвения прошлого. В настоящей главе описана история развития кванто- квантовой теории поля начиная с момента ее возникновения и до 1949 г., когда она приобрела свой современный вид. В дальнейшем я везде буду стараться излагать историю, не вторгаясь при этом в область физики. Проблема, с которой я столкнулся при написании настоящей гла- главы, состоит в том, что история развития квантовой теории поля с самого момента ее возникновения очень сильно переплетена с исто- историей развития квантовой механики. Поэтому читатель, знакомый с историей последней, возможно, встретит здесь материал, с которым он уже знаком. Особенно это касается самого первого параграфа, где я описываю ранние попытки объединения квантовой механики и спе- специальной теории относительности. В этом случае читателю просто предлагается перейти к следующим параграфам. С другой стороны, читатели, не знакомые с квантовой теорией по- поля, возможно, найдут, что материал этой главы излагается слишком сжато и поэтому понятен им не до конца. Я советую таким читате- читателям не беспокоиться. Эта глава не замышлялась как самодостаточное введение в квантовую теорию поля и не является основой, необходи- необходимой для понимания остальных глав книги. Некоторым читателям я даже советую сразу начать со второй главы, а к истории предмета вернуться чуть позже. Тем не менее во многих случаях история раз- развития квантовой теории поля может оказаться хорошим введением в предмет. Следует добавить, что первая глава не задумывалась как ориги- оригинальная работа по истории квантовой теории поля. Я основывался на выдержках из книг и статей настоящих историков, а также некото- некоторых воспоминаниях и оригинальных физических работах. Читателю,
§1.1. Релятивистская волновая механика 17 который хочет более углубленно изучить историю квантовой теории поля, я советую обратиться к цитируемым работам. Пару слов об обозначениях. Чтобы окунуться в атмосферу про- прошлого, в формулах этой главы я буду явно указывать величины h и с (и даже К). Однако чтобы читателю было легче ориентировать- ориентироваться в физической литературе, я буду использовать современные элек- электростатические единицы для зарядов (так что постоянная тонкой структуры а = е2/Dтг/гс) « 1/137). В последующих главах я буду в основном пользоваться "естественной" системой единиц, полагая h = = с= 1. § 1.1. Релятивистская волновая механика Волновая механика с самого момента своего появления являлась релятивистской теорией. Как мы увидим позже, создатели квантовой механики, Луи де Бройль и Эрвин Шредингер, были проникнуты иде- идеями специальной теории относительности. Только спустя несколько лет стало ясно, что релятивистская волновая механика, рассматри- рассматриваемая как релятивистская квантовая теория фиксированного числа частиц, невозможна. Таким образом, несмотря на множество отдель- отдельных успехов, релятивистская волновая механика в конце концов была заменена квантовой теорией поля. Тем не менее релятивистская вол- волновая механика сохранилась как важный элемент формализма кван- квантовой теории поля. Вывода некоторых ее важнейших результатов в рамках других подходов не существует до сих пор. Возможность описания частиц вещества подобно фотонам в тер- терминах волн, была впервые рассмотрена в 1923 г. Луи де Бройлем. Прямая аналогия с излучением, а также лоренц-инвариантность, сыг- сыграли решающую роль: если частица, положение которой задается про- пространственным вектором х и моментом времени ?, представляет собой волну с фазой 2тг(а? • х — vt) и если эта фаза лоренц-инвариантна, то тогда вектор к и частота v должны преобразовываться как х и t со- соответственно (или, что то же самое, как р и Е). Чтобы это стало возможным, пара {к, г/} должна зависеть от скорости точно так же, как и пара {р,Е}. Следовательно, должно быть к ~ р, v ~ Е, при- причем коэффициент пропорциональности в обоих случаях один и тот же. Для фотонов справедливо соотношение Эйнштейна Е = hi/, и по- поэтому довольно естественно предположить, что для частиц вещества формула аналогична: k = p//i, i/ = E/h. (l.l.l) В результате групповая скорость волны dv jdn оказывается равной скорости частицы. Поэтому мы можем просто отождествить волновые пакеты и соответствующие им частицы. 2 С.Вайнберг. Т. 1
18 Гл. 1. Историческое введение Предположив, что любая замкнутая орбита содержит целое число длин волн Л = 1/|^|, де Бройль сумел вывести старые правила кван- квантования, полученные впервые Нильсом Бором и Арнольдом Зоммер- фельдом. Эти правила, великолепно объяснявшие атомные спектры, представлялись до этого весьма загадочными. Де Бройль и Вальтер Елзасер [2] независимо друг от друга осознали, что волновую теорию де Бройля можно проверить, изучая интерференционные эффекты, возникающие при рассеянии электронов на кристаллах. Наличие та- таких эффектов было открыто спустя несколько лет Клинтоном Джосе- фом Дэвиссоном и Лестером Г. Джермером [3]. Однако оставалось по- прежнему неясным, какой вид имеют соотношения де Бройля A.1.1) в случае взаимодействующих частиц, например в случае электронов в произвольном кулоновском поле. Следующим этапом развития квантовой механики стала матрич- матричная механика [4], разработанная в 1925-1926-х годах в работах Верне- ра Гейзенберга, Макса Борна, Паскаля Йордана и Вольфганга Паули. Волновая механика при этом несколько отошла в тень. Главной идеей, положенной в основу матричной механики, стало следующее требова- требование: теория должна иметь дело только с наблюдаемыми величинами, такими, как уровни энергии или интенсивности излучения и погло- поглощения. Работа Гейзенберга 1925 г. начиналась следующими словами: "В этой статье сделана попытка обосновать теоретическую квантовую механику исходя исключительно из соотношения между наблюдаемы- наблюдаемыми величинами." Позитивизм подобного рода периодически всплывал наружу на разных этапах развития квантовой теории поля. В каче- качества примера можно привести работы Джона Уилера и Гейзенберга, в которых была введена 5-матрица (см. гл. 3), или же статьи 1950-х годов (см. гл. 10), в которых дисперсионная теория получила свою вторую жизнь. Современная квантовая теория поля весьма далека от этого идеала. Мы же обойдем стороной этот интересный вопрос, по- поскольку попытка описать здесь матричную механику более подробно уведет нас слишком далеко в сторону от основной темы. Как широко известно, свежую струю в волновую механику внес Эрвин Шредингер. В серии его работ [5], датируемых 1926 г., было впервые выписано знаменитое нерелятивистское волновое уравнение, которое затем было использовано для вывода результатов, уже по- полученных методами матричной механики. Позже, в шестом парагра- параграфе четвертой работы, появилось и релятивистское обобщение волно- волнового уравнения. Если же верить Дираку [6], цепочка событий была несколько иной. Шредингер сначала вывел релятивистское уравне- уравнение, но затем начал сомневаться в его справедливости, поскольку оно неправильно описывало тонкую структуру атома водорода. Через несколько месяцев он осознал, что нерелятивистское приближение ре- релятивистского уравнения важно само по себе, даже если его исход- исходное уравнение неверно! К тому времени когда Шредингер собрался
§1.1. Релятивистская волновая механика 19 опубликовать свое релятивистское волновое уравнение, оно уже было независимо переоткрыто Оскаром Клейном [7] и Вальтером Гордо- Гордоном [8]. По этой причине релятивистский вариант называется "урав- "уравнением Клейна—Гордона". Шредингер вывел свое релятивистское волновое уравнение, заме- заметив, что гамильтониан Н и импульс р "электрона Лоренца" с массой т и зарядом е, находящегося во внешнем векторном потенциале А и ку- лоновском потенциале ф, связаны следующим соотношением1): О = (Я + ефJ - с2(р + еА/сJ - т2с4. A.1.2) Соотношения де Бройля A.1.1) для свободной частицы, представлен- представленной плоской волной ехр{2тгг(к; • х — ^?)}, можно получить, если про- произвести отождествление р = ftk -> -iW, E = hi/ -П/i —, A.1.3) где h — удобное обозначение (введенное Дираком) для /г/2тг. Исходя из чисто формальной аналогии Шредингер предположил, что элек- электрон во внешних полях А, ф должен описываться волновой функ- функцией ^(х,?), удовлетворяющей уравнению, получаемому при помощи той же самой замены в A.1.2): l\ dt ) \ с J J v ? /• В частности, для стационарных состояний в атоме водорода справед- справедливы равенства А = 0 и ф = е/Dтгг). Кроме того, в этом случае ф зависит от времени t экспоненциально: exp(—iEt/H). Поэтому A.1.4) сводится к уравнению О = [(я + ^J - c2H2V2 - m2c4] V(x). A.1.5) Решения уравнения A.1.5) с наложенными на них разумными гранич- граничными условиями, определяют уровни энергии [9] Е = тс [1-2^-2^{mr2--J + ---h (LL6) где а = е2/Dтг/гс) — "постоянная тонкой структуры", численное зна- значение которой составляет приблизительно 1/137, п — положительное целое число, а I — орбитальный угловой момент в единицах /г, прини- принимающий целочисленные значения в интервале 0 ^ Z ^ n — 1. Наличие *) Это соотношение лоренц-инвариантно, поскольку величины А и ф при преобразованиях Лоренца изменяются точно так же, как ср и Е соот- соответственно. Гамильтониан Н и импульс р Шредингер представлял в виде частных производных действия, однако это неважно для нашего рассмот- рассмотрения.
20 Гл. 1. Историческое введение слагаемоего, содержащего а2, хорошо согласуется с главными особен- особенностями спектра атома водорода (серии Лаймана, Бальмера и т.д.). Дирак писал [6], что именно это обстоятельство привело Шредингера к открытию нерелятивистского волнового уравнения. С другой сто- стороны, член, содержащий а4, дает численное значение расщепления тонкой структуры, противоречащее данным точных экспериментов Фридриха Пашена. Поучительно сравнить результаты, полученные Шредингером и Арнольдом Зоммерфельдом [10а] с помощью старой квантовой теории: Здесь т обозначает массу электрона. Величина к пробегает все це- целые значения от 1 до п. В теории Зоммерфельда она выражается че- через орбитальный угловой момент lh посредством формулы к = I + 1. Такая тонкая структура спектра согласуется с экспериментом: на- например, в случае п = 2 из равенства A.1.7) следует существование двух уровней энергии (с к = 1 и к = 2), разделенных интервалом аАтс2/32 = 4,53 х 10~5 эВ. В противоположность этому, результат Шредингера A.1.6) приводит к расщеплению а4тс2 /12, что значи- значительно больше экспериментального значения. Шредингер осознал, что причиной расхождения является наличие спина у электрона. Расщепление уровней энергии атомов щелочных элементов некулоновскими электрическими полями, а также слабы- слабыми внешними магнитными полями (так называемый аномальный эф- эффект Зеемана), свидетельствует о кратности вырождения, большей, чем предсказывает теория Бора-Зоммерфельда. Это обстоятельство привело в 1925 г. Джоржа Уленбека и Самюэля Гоудсмита [11] к вы- выводу, что электрон обладает внутренним угловым моментом Н/2. Бо- Более того, величина расщепления Зеемана [12] дала им возможность в дальнейшем оценить магнитный момент электрона Ясно, что необходимо учитывать как орбитальный угловой момент электрона, так и его спин. Поэтому вполне естественно, что реляти- релятивистское уравнение Шредингера дает неправильное значение постоян- постоянной тонкой структуры. К 1927 г. в работах нескольких физиков [13] было показано, что спин-орбитальное взаимодействие действительно может объяс- объяснить наблюдаемое расхождение результата Шредингера A.1.6) с экс- экспериментальными данными. В этом случае мы должны учитывать два эффекта: взаимодействие магнитного момента A.1.8) с маг- магнитным полем, действующим на электрон в атоме, а также реля- релятивистскую "прецессию Томаса", приводящую (даже в отсутствие магнитного момента) к вращению электронного спина [14]. Рассмат-
§1.1. Релятивистская волновая механика 21 риваемые в совокупности, эти два эффекта приводят к увеличению энергии уровня с полным угловым моментом j = I + 1/2 до значе- значения A.1.7), соответствующего к = I + 1 =j+ 1/2, в то время как энер- энергия уровня с j = I — 1/2 уменьшается до значения, соответствующего к = I = j -\- 1/2. Таким образом, энергия зависит только от п и j, но не от I: Г ^ 4 / п Теория Зоммерфельда по чистой случайности дала правильную вели- величину расщепления в атоме водорода (j + 1/2, как и к, пробегает все целые значения от 1 до п), хотя при этом значения орбитальных угло- угловых моментов I различных уровней оказались неверными. Кроме того, вырождение уровней тонкой структуры в атоме водорода равно 2 для j = 1/2 и 2Bj + 1) — для j > 1/2 (соответствующие I равны j ± 1/2), что согласуется с экспериментом. Несмотря на все достигнутые успехи, не существовала полная ре- релятивистская теория, с самого начала содержащая спин электрона. Такая теория была создана в 1928 г. Полем Дираком, в намерения которого не входило простое построение теории вращающегося элек- электрона. Он подошел к решению задачи по-другому, сформулировав во- вопрос, который сейчас кажется очень странным. В начале своей ста- статьи, написанной в 1928 г. [15], Дирак спрашивает: "Почему Природа непременно должна предпочесть эту конкретную модель электрона, а не просто удовлетвориться существованием точечного заряда?" С со- современной точки зрения, такой вопрос аналогичен вопросу "Почему бактерия имеет только одну оболочку?" Наличие спина Н/2 — это просто одно из свойств, определяющих электрон, а не какую-то иную частицу из множества частиц с различными спинами, известных на сегодняшний день. Тем не менее в 1928 г. можно было верить, что все вещество состоит из электронов и чего-то похожего, но обладающего положительным зарядом и являющегося составной частью атомных ядер. Таким образом, вопрос Дирака следует понимать следующим образом: "Почему фундаментальные частицы, образующие вещество, обладают спином /г/2?" Дирак нашел ответ на свой вопрос, потребовав, чтобы все вероят- вероятности были положительными. В то время было известно [16], что плот- плотность вероятности для нерелятивистского уравнения Шредингера \ф\2 удовлетворяет уравнению непрерывности ! (Н2) -1^ v • w>*vv - VWO = о. Отсюда следует, что интеграл \ф\2 по трехмерному пространству не зависит от времени. С другой стороны, из решений релятивистско- релятивистского уравнения Шредингера можно единственным образом образовать
22 Гл. 1. Историческое введение плотность вероятности р и ток J, удовлетворяющие закону сохранения g + V-J = 0. A.1.10) Они имеют вид (^^) A.1.11) J = 7Vc2Im^*(v + ^^, A.1.12) где N — произвольная константа. Однако р нельзя отождествлять с плотностью вероятности, поскольку ни при наличии внешнего потен- потенциала ф, ни в его отсутствие р не является знакоопределенной вели- величиной. Вот цитата из воспоминаний самого Дирака: Я помню, как однажды, когда я был в Копенгагене, Бор спросил меня, над чем я работаю. Я ответил ему, что пы- пытаюсь построить удовлетворительную теорию электрона, на что Бор заметил: "Но ведь Клейн и Гордон уже сде- сделали это!" Такой ответ сначала обескуражил меня. Бора, по-видимому, вполне удовлетворяло решение Клейна. Мне же оно не нравилось из-за отрицательных вероятностей, к которым оно приводило. Я продолжил работу, пытаясь построить теорию, в которой все вероятности были бы по- положительными . Если верить Джоржу Гамову [18], Дирак нашел ответ на постав- поставленную задачу, когда однажды вечером в 1928 г. он сидел, уставив- уставившись в камин в здании Колледжа Св. Джона в Кембридже. Дирак понимал, что уравнение Клейна-Гордона (или, что то же самое, ре- релятивистское уравнение Шредингера) приводит к отрицательным ве- вероятностям потому, что р в A.1.10) содержит зависящую от времени волновую функцию. Это, в свою очередь, происходит по той простой причине, что волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка по времени. Задача поэтому сводится к замене этого дифференциального уравнения на некоторое другое уравнение первого порядка по времени, аналогичное уравнению Шре- Шредингера. Предположим, что волновая функция электрона является много- многокомпонентной величиной фп(х), удовлетворяющей волновому уравне- уравнению вида гП^=Жф, A.1.13) где Ж — некоторая матричная функция пространственных производ- производных. Чтобы построение лоренц-инвариантной теории стало возмож- возможным, мы должны предположить следующее: поскольку уравнение ли- линейно по временным производным, оно также должно быть линейным
§1.1. Релятивистская волновая механика 23 по пространственным производным. В результате Ж принимает сле- следующий вид: Ж = -ihccx • V + а4тс2, A.1.14) где «1, «2, «з и «4 — постоянные матрицы. Из A.1.13) мы можем вывести уравнение второго порядка -ft- = ^ = ~ д2ф — ihmc дф т2сАс (Соглашение о суммирование по повторяющимся индексам остается в силе. Индексы г и j принимают все значения 1, 2, 3, или, что то же самое, ж, у, z.) Однако уравнение A.1.14) должно быть согласовано со свободнополевой формой релятивистского уравнения Шрединге- ра A.1.4), которое просто выражает соотношение между импульсом и энергией специальной теории относительности. Поэтому матрицы сх и «4 должны удовлетворять следующим условиям: OliOlj + OL^OLi — 2Sij 1, A.1.15) i Г\ (Л Л Л Г* \ OLiOL^ ~\- QL^Qti = U, ^l.l.lDj а\ = 1, A.1.17) где 1 — единичная матрица, a 5ij обозначает символ Кронекера Eij = 1, если i = j; 5ij = 0, если i ф j). Дирак нашел набор матриц 4x4, удовлетворяющих условиям A.1.15)—A.1.17): а3 = 0 0 0 1" 0 0 10 0 10 0 Д000. 0 0 1 0 0 0 0-1 10 0 0 0-100 а2 = 0 0 0 -г 0 0 г 0 0 -г 0 0 .г 0 0 0. 10 0 (Г 0 10 0 0 0-10 0 0 0-1 A.1.18) Чтобы доказать лоренц-инвариантность изложенного формализ- формализма, Дирак умножил уравнение A.1.13) слева на щ. В результате он получил уравнение A.1.19) где 7° = — 7 = -га4а, 7" = ~Ш4- A.1.20) (Греческие индексы /i, v и т.д. пробегают все значения 1, 2, 3, 0, при- причем х° = ct. Дирак использовал обозначения х4 = ict и 74 = «4-) Мат-
24 Гл. 1. Историческое введение рицы 7м удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {+1, р = у = 1,2,3 -1, » = v = 0 A.1.21) О, рфу. Дирак заметил, что эти коммутационные соотношения лоренц-инва- риантны, т.е. что им также удовлетворяют матрицы Л^^"? гДе Л — любое преобразование Лоренца. Отсюда он заключил, что матри- матрица Л^7^ должна быть связана с 7м преобразованием подобия: Поэтому волновое уравнение является инвариантным, если при пре- преобразовании Лоренца жм —у №vxv волновая функция ф переходит в S(A)ip: ф —У 3(А)ф. (Эти вопросы более подробно рассматриваются, хотя и с другой точки зрения, в гл. 5.) Чтобы понять, как ведут себя электроны в произвольном магнит- магнитном поле, Дирак воспользовался "обычной процедурой", сделав замену ih^- ->ih^- +еф, -ihV->-ihV + - А. A.1.22) ot ot с Волновое уравнение A.1.13) сводится тогда к (г/i— + еф\ф = (-гЙсУ + еА) • схф + тс2а4ф. A.1.23) С его помощью Дирак показал, что в центральном поле закон сохра- сохранения углового момента имеет вид [Ж, -ihr х V + Пег/2} = 0, A.1.24) где Ж — матричный дифференциальный оператор A.1.14), а D х 4)-мат- рицы (г — четырехмерное обобщение матриц Паули [19] а = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 а. A.1.25) Поскольку собственные значения каждой из компонент а равны =Ы, наличие дополнительного члена в A.1.24) показывает, что электрон обладает внутренним угловым моментом Н/ 2. Дирак возвел в квадрат оператор, действующий на волновую функцию ф в левой части A.1.23), получив при этом уравнение второ- второго порядка. Последнее совпало по форме с уравнением Клейна-Гордо- Клейна-Гордона A.1.4): [-ehcer • В - iehccx • Е]ф, A.1.26) за исключением двух дополнительных слагаемых в правой части. В случае медленного электрона первый член намного больше второго
§1.1. Релятивистская волновая механика 25 и соответствует магнитному моменту, равному по величине магнитно- магнитному моменту A.1.8), найденному Гоудсмитом и Уленбеком [11]. Дирак осознал, что наличие магнитного момента и релятивистская природа теории приводят к тому, что последняя объясняет тонкую структуру. Величина расщепления уровней при этом находится в полном согла- согласии (с точностью до а4"тс2) со значением, найденным Гейзенбергом, Йорданом и Чарльзом Г. Дарвином [13]. Немного позднее Дарвин [20] и Гордон [21], используя теорию Дирака, вывели "точную" формулу для уровней энергии в атоме водорода: Е = -,-1/2 Первые три члена разложения по степеням а2 согласуются с прибли- приближенным результатом A.1.9). В итоге Дирак достиг своей первой цели: он построил релятивист- релятивистский формализм с положительными вероятностями. Из A.1.13) сле- следует уравнение непрерывности §^ + V-J = 0, A.1.28) где р=\ф\2, 3 = сф^аф. A.1.29) В результате положительную величину \ф\2 можно интерпретировать как плотность вероятности. При этом полная вероятность f\ip\2d3x должна быть постоянной величиной. Однако существовала еще одна трудность, которую Дирак не смог разрешить сразу. Для заданного импульса р волновое уравнение A.1.13) обладает четырьмя решениями, представляющими собой плоские волны: ф ос ехр [^ (р • х - ??)]. A.1.30) Два решения имеют энергию Е = +ур2с2 + т2с4 и соответствуют двум состояниям электрона со спинами Jz = ±Й/2. Другие два реше- решения обладают энергией Е = -ур2с2 + т2с4 и не имеют какой-либо очевидной физической интерпретации. Как указал сам Дирак, та же проблема возникает и для релятивистского уравнения Шредингера. Для каждого р существуют два решения вида A.1.30), одно с Е > 0 и одно с Е < 0. Конечно, даже в классической физике, релятивистское соотноше- соотношение Е2 = р2с2 + т2с4 имеет два решения Е = ±л/р2с2 + тп2с4. Одна- Однако в классической физике мы можем просто предположить, что фи- физически возможны только решения с положительными Е. Посколь- Поскольку для положительных решений мы имеем Е > тс2, а для отрица- отрицательных — Е < —тс2, между ними имеется конечная щель. Следо- Следовательно, никакой непрерывный процесс не может перевести частицу
26 Гл. 1. Историческое введение из состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией. Проблема отрицательных энергий в релятивистской квантовой ме- механике оказывается намного более трудной. Дирак в своей работе 1928 г. [15] обратил внимание на тот факт, что взаимодействие элек- электронов с излучением может приводить к переходам, при которых элек- электрон с положительной энергией падает на уровень с отрицательной энергией, причем разница уносится двумя или большим числом фо- фотонов. Почему же тогда вещество является стабильным? В 1930 г. Дирак предложил замечательное решение [20]. Его подход основывался на принципе исключения Паули, поэтому стоит сказать несколько слов об истории этого принципа. Периодическая таблица элементов и систематическое изучение спектра Х-лучей к 1924 г. помогли ясно представить, как электроны размещаются на атомных уровнях энергии [23]. Максимальное чис- число Nn электронов на оболочке, характеризующееся главным кван- квантовым числом п, дается удвоенным числом орбитальных состояний с этим п: га—1 Nn = 2^2 B1 + 1) = 2п2 = 2, 8, 18, ... A.1.31) /=о Вольфганг Паули [24] в 1925 г. предположил, что эта картина может быть объяснена, если Nn — это полное число состояний на n-й обо- оболочке, и если, кроме того, в природе действует довольно загадочный "принцип исключения", запрещающий двум и более электронам зани- занимать одно и то же квантовое состояние. Паули объяснял загадочный множитель 2 в A.1.31) наличием "особой, неописываемой классиче- классическим образом двойственности" электронных состояний. Как мы уже видели, эта двойственность возникает из-за наличия спина у элек- электрона [11]. Принцип исключения дал ответ на вопрос, который оста- оставался непонятым в рамках старой теории атома Бора и Зоммерфель- да: почему не все электроны в тяжелых атомах падают на оболочку с наименьшей энергией? Впоследствии принцип исключения Паули был переформулирован несколькими авторами [25] в виде требования, состоящего в том, что волновая функция многоэлектронной системы должна быть антисимметрична по координатам (орбитальным и спи- спиновым) всех электронов. Этот принцип был применен в статистиче- статистической механике Энрико Ферми [26] и Дираком [27]. Поэтому частицы, подчиняющиеся принципу исключения, обычно называются "ферми- онами", в то время как частицы типа фотонов, волновая функция ко- которых симметрична, подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна и на- называются поэтому "бозонами". Принцип Паули играет очень большую роль в теории металлов, теории белых карликов и нейтронных звезд, в химии и атомной физике. Однако обсуждение всех этих вопросов увело бы нас слишком далеко в сторону.
§1.1. Релятивистская волновая механика 27 Идея Дирака состояла в следующем: электроны с положитель- положительной энергией не могут провалиться на уровень с отрицательной энер- энергией, поскольку "все состояния с отрицательной энергией заполнены, кроме, быть может, некоторых, соответствующих малой скорости". Несколько незанятых состояний, или "дырок", будучи окруженными морем электронов с отрицательной энергией, ведут себя как части- частицы с квантовыми числами, противоположными электронным: они об- обладают положительной энергией и положительным зарядом. Един- Единственной частицей с положительным зарядом, известной на тот день, был протон. Как вспоминал впоследствии Дирак [27а], "обществен- "общественное мнение в те годы выступало против введения новых частиц". По этой причине, Дирак отождествил дырки с протонами. Более того, его статья, датируемая 1930 г. [22], называлась "Теория электронов и протонов". Дырочная теория сразу же столкнулась с несколькими трудно- трудностями. Первая трудность возникает очевидным образом из-за того, что море вездесущих электронов с отрицательной энергией имеет бес- бесконечную плотность заряда. Возникает вопрос: где же тогда элек- электрическое поле? Дирак выдвинул предположение, что на самом де- деле плотность электрического заряда, фигурирующая в уравнениях Максвелла, представляет собой "отклонение от обычного состояния электризации материи". Вторая трудность, с которой столкнулась ды- дырочная теория Дирака, — это чудовищная степень несоизмеримости по величине наблюдаемых отношения масс и отношения зарядов элек- электронов и протонов. Дирак надеялся, что кулоновское взаимодействие электронов должно каким-то образом объяснять эту разницу, но Гер- Герман Вейль [28] показал, что дырочная теория полностью симметрич- симметрична относительно положительных и отрицательных зарядов. В конце концов Дирак [22] предсказал существование процесса аннигиляции электрона с протоном, при котором электрон с положительной энер- энергией, двигаясь посреди моря отрицательных электронов, встречает на своем пути дырку и падает на незанятый уровень, испуская пару гамма-квантов. Сам по себе этот процесс не противоречит дырочной теории. Некоторые физики даже предполагали, что найден неизвест- неизвестный в то время источник энергии звезд. Однако вскоре Юлий Роберт Оппенгеймер и Игорь Тамм показали [29], что аннигиляция электро- электронов и протонов в атоме должна происходить со слишком большой скоростью, а это противоречит наблюдаемой стабильности обычной материи. По приведенным причинам Дирак к 1931 г. изменил свое мнение и решил, что дырки должны представлять собой не прото- протоны, а новый сорт положительно заряженных частиц с массой, равной массе электрона [29а]. Вторая и третья трудности исчезли после открытия позитрона Карлом Д. Андерсоном [30], который, по всей видимости, ничего не знал о предсказании Дирака. 2 августа 1932 г. в камере Виль-
28 Гл. 1. Историческое введение сона, помещенной в магнитное поле 15 кГаусс, был зарегестрирован трек необычного космического излучения. Он представлял собой дугу окружности, соответствующей частице, заряженной положительно. Однако радиус трека был, по меньшей мере, на порядок больше того, который можно было бы ожидать, если бы этой положительно заря- заряженной частицей являлся протон! И размер, и странная ионизация трека полностью согласовывались с гипотезой, что он соответству- соответствует новой частице, отличающейся от электрона только знаком заряда. Этими свойствами как раз обладают дырки Дирака. (Незадолго до этого П.М.С. Блакетт уже наблюдал странные треки, но не опубли- опубликовал свое открытие. Андерсон ссылается на опубликованные докла- доклады Блакетта и Джузеппе Очиалини, в которых говорится о легких положительно заряженных частицах, наблюдавшихся в космических лучах.) Таким образом, оказалось, что Дирак был неправ только в самом начале, отождествляя дырки с протонами. Открытие более или менее предсказанного позитрона, наряду с предыдущими успехами уравнения Дирака в объяснении магнитного момента электрона и тонкой структуры атома водорода, придало тео- теории Дирака огромный авторитет, продержавшийся более шестидесяти лет. Однако хотя мало кто сомневается в том, что теория Дирака в той или иной форме будет присутствовать в любой будущей физиче- физической теории, у нас имеются серьезные причины быть недовольными ее предпосылками. (i) Дираковский анализ проблемы отрицательных вероятностей в случае релятивистского волнового уравнения Шредингера, казалось бы, свидетельствует о невозможности существования частиц с нуле- нулевым спином. Однако даже физикам 1920-х годов были известны та- такие частицы — например атом водорода в основном состоянии и ядро гелия. Конечно, можно было бы возразить, что атомы водорода и альфа-частицы не являются элементарными и, следовательно, необя- необязательно описываются релятивистским волновым уравнением. Одна- Однако до сих пор неясно, какое отношение понятие элементарности имеет к формализму релятивистской квантовой механики. На сегодняшний день нам известно большое количество частиц с нулевым спином: тг-мезоны, i^-мезоны и т.д. Все они не менее элементарны, чем про- протон и нейтрон. Нам также известны частицы с единичным спином — W^ и Z° — по-видимому, такие же элементарные, как электрон или любая другая частица. Более того, если отвлечься от эффектов, обу- обусловленных сильными взаимодействиями, мы можем найти тонкую структуру "мезонных атомов", состоящих из безспиновых отрицатель- отрицательных тг- или i^-мезонов, вращающихся вокруг атомного ядра. Причем для этого нам необходимы только стационарные решения релятивист- релятивистского уравнения Гордона-Шредингера! Поэтому трудно согласиться с утверждением, что релятивистское уравнение, описывающее частицу с нулевым спином, неверно на фундаментальном уровне. Просто так
§1.1. Релятивистская волновая механика 29 случилось, что электрон имеет спин К/2, а не нуль, и по этой причине Дираку пришлось вывести свое уравнение. (И) Насколько мы сейчас знаем, любой частице соответствует "ан- "античастица", причем их массы совпадают, а заряды отличаются зна- знаком. (Античастицы некоторых полностью нейтральных частиц типа фотона совпадают с самими частицами.) Возникает вопрос: как мож- можно интерпретировать античастицы заряженных бозонов, таких, как тг^-мезоны или W±? Можно ли их тоже рассматривать как море со- состояний с отрицательной энергией? Для частиц, подчиняющихся ста- статистике Бозе-Эйнштейна, не выполняется принцип Паули. Поэтому ничто не мешает всем частицам с положительной энергией перейти в состояния с отрицательной энергией, независимо от того, заняты они или нет. Если же дырочная теория Дирака несправедлива для бозон- ных античастиц, то почему мы должны верить в ее правильность для фермионов? В 1972 г. я спросил у Дирака, что он думает по этому по- поводу. Он сказал, что не считает бозоны типа пионов и W^ "важными". Через несколько лет в одной из своих лекций [27а] Дирак сослался на то обстоятельство, что "для бозонов наше представление о вакууме как о заполненных состояниях с отрицательной энергией больше не справедливо", и заметил, что в этом случае "вся теория усложняется". В следующем параграфе мы покажем, как развитие квантовой теории поля привело к исчезновению необходимости отождествлять антича- античастицы с дырками. К сожалению, дырочная теория все еще встречается во многих учебниках. Согласно Юлиану Швингеру [30а], "представле- "представление о бесконечном море электронов с отрицательной энергией теперь лучше всего рассматривать как исторический курьез или же забыть о нем совсем." (iii) Одним из крупных достижений теории Дирака было пред- предсказание магнитного момента электрона. Последний, ко всеобщему удивлению, оказался вдвое больше, чем это можно было бы предпо- предположить, если представлять электрон как вращающуюся по орбите за- заряженную точечную частицу с моментом импульса Н/2. Происхожде- Происхождение этой двойки представлялось до создания теории Дирака весьма загадочным. Однако в рассуждении Дирака не содержалось ничего такого, что позволило бы засомневаться в его выводах. В том месте, где мы ввели в волновое уравнение A.1.23) электрическое и магнитное поля, можно было точно так же добавить "член Паули" [31] яа4[7",71']№', A.1.32) где к, — произвольный коэффициент. (Здесь F^v — обычный тензор напряженности электромагнитного поля: F12 = Вз, F01 = Е\ и т.д.) Член Паули можно получить, прибавляя к левой части уравнений свободного поля слагаемое, пропорциональное [у^,^и](д2/дх^дхи)гр (что, на самом деле, равно нулю), и затем делая подстановку A.1.22). Более современный подход просто констатирует, что член A.1.32) удо-
30 Гл. 1. Историческое введение влетворяет всем симметриям, в том числе он является калибровочно- и лоренц-инвариантным. Поэтому нет никаких оснований не включать член Паули в уравнения поля (см. §12.3.). Он приводит к дополни- дополнительному вкладу, пропорциональному ft, в магнитный момент элек- электрона. По этой причине, кроме чисто формальных соображений про- простоты, у нас нет причин ожидать, что магнитный момент электрона принимает в теории Дирака какое-то определенное значение. Как мы увидим в этой книге, все перечисленные проблемы были в конце концов разрешены (или, на худой конец, стали более ясными) по мере развития квантовой теории поля. § 1.2. Рождение квантовой теории поля Фотон является единственной частицей, которая до момента свое- своего обнаружения рассматривалась как поле. Поэтому естественно, что формализм квантовой теории поля развивался как аппарат для опи- описания излучения и только позже был применен к другим частицам и полям. В 1926 г. в одной из важнейших работ по матричной механике Борн, Гейзенберг и Йордан [32] применили разработанные ими новые методы к свободному электромагнитному полю. Для простоты они пренебрегли поляризацией электромагнитных волн и работали в од- одном измерении, причем координата х изменялась от 0 до L. Предпола- Предполагалось, что поле u(x,t) на концах указанного интервала равно нулю и поэтому ведет себя аналогично струне с закрепленными в точках х = 0 и х = L концами О Чтобы свести это выражение к сумме квадратов, поле и необходимо представить в виде ряда Фурье, причем в точках х = 0 и х = L должно выполняться равенство и = 0: > (^), A-2-2) k = l ujk = ктгс/Ь. A.2.3) В результате оо tf=f?{tf*W+"*<?(*)}• A.2.4) к=1 Таким образом, струна (или соответствующее поле) ведет себя как совокупность независимых гармонических осцилляторов с угловыми
§1.2. Рождение квантовой теории поля 31 частотами ojk, как было предсказано за 20 лет до этого Паулем Эрен- фестом [32а]. В частности, "импульс" Pk(t), канонически сопряженный qk(t), определяется следующим условием: если Н является функцией р и д, то тогда Отсюда находим "импульс": Р*(*) = §&(*)• A-2-5) В результате канонические коммутационные соотношения могут быть представлены в виде Mt),Qj(t)] = | Ы*)><&(*)] = ^hj, A-2.6) [Qk(t),qj(t)]=O. A.2.7) Кроме того, зависимость qk(t) от времени можно найти из гамильто- новых уравнений движения (*) (*) ^ 2(*) A28) Вид матриц, определяемых уравнениями A.2.6)—A.2.8) был уже известен Борну, Гейзенбергу и Йордану из предыдущей работы, посвященной гармоническому осциллятору. Матрица, представляю- представляющая q, дается выражением Qk(t) = А/т—Ы exp(-iujkt) + a\ exp(+iujkt)], A.2.9) где аи — независящая от времени матрица, а\ — ее эрмитово сопря- сопряжение. Матрицы ak и а\ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: [ak,a]] = Skj, A.2.10) [ак,а,] = 0. A.2.11) Строки и столбцы ak и ак нумеруются с помощью положительных це- целых чисел ni, П2, ... (по одному числу для каждой нормальной моды). Матричные элементы даются формулами A.2.12) A.2.13)
32 Гл. 1. Историческое введение Если имеется только одна нормальная мода, то соответствующие ей а и а"*" могут быть явно представлены следующим образом: а = О у/1 О О О 0 л/2 О О 0 0 л/3 0 0 0 0 ГО 0 0 0 л/Т 0 0 0 О л/2 О О О 0 л/3 О Нетрудно проверить, что A.2.12) и A.2.13) действительно удовлетво- удовлетворяют коммутационным соотношениям A.2.10) и A.2.11). Физическая интерпретация вектора-столбца, составленного из це- целых чисел ni, П2, • • • такова. Он представляет собой такое состояние, в котором каждой нормальной моде к соответствует п/. квантов. Мат- t рицы ak и ак, действующие на такой вектор, соответственно умень- уменьшают или увеличивают п/. на единицу, не меняя остальные п/, I ф к. Поэтому их можно рассматривать как операторы, уничтожающие или рождающие один квант к-й нормальной моды. В частности, вектор, у которого все п/. = 0, представляет собой вакуум. Подействовав на него любым из операторов а&, мы получим нуль. Еще один довод в пользу такой интерпретации дает исследова- исследование гамильтониана. Используя A.2.9) и A.2.10), можно свести A.2.4) к виду Гамильтониан диагоналей в n-представлении (представлении чисел заполнения): (Я)п1,п-,...,П1I12)... = A.2.15) Мы видим, что энергия состояния в точности равна сумме энергий от- отдельных квантов /kj/., образующих состояние, к которой нужно при- прибавить бесконечную энергию нулевых колебаний Eq = - 2 . После к применения этого формализма к электромагнитному полю становится очевидной справедливость метода Бозе подсчета состояний электро- электромагнитного поля, заключающегося в определении числа квантов п/., соответствующего каждой нормальной моде. Борн, Гейзенберг и Йордан применили описанный формализм, чтобы вывести выражение для флуктуации энергии излучения чер- черного тела. Они использовали только коммутационные соотноше- соотношения A.2.6), A.2.7). Однако вскоре метод был применен к более важной
§1.2. Рождение квантовой теории поля 33 задаче — вычислению вероятности спонтанного излучения электро- электромагнитных волн. Чтобы понять трудности, возникающие в этом случае, необходимо вернуться немного назад. В одной из первых работ по матричной ме- механике Борн и Иордан [33] предположили, что атом, переходя из воз- возбужденного состояния E в некоторое состояние а с меньшей энергией, должен испускать электромагнитное излучение. Это явление анало- аналогично излучению волн классическим осциллятором, координата кото- которого зависит от времени: г(?) = ГCа ехр(-2тггг/?) + г^ ехрBтггг/?), A.2.16) где hu = E^-Ea, A.2.17) а гра — элемент (между состояниями а и /?) матрицы, определяющей положение электрона. Энергия Е такого осциллятора дается форму- формулой 1 Е=± т(г2 + Bтп/Jг2) = 8тг2т1У2\гра\2. A.2.18) Простое классическое вычисление в этом случае дает выражение для излучаемой мощность. Разделив ее на энергию одного фотона /iz/, мы получим количество фотонов, испускаемых в одну секунду: Wf^3 A.2.19) Однако остается неясным, почему формулы для испускания электро- электромагнитных волн классическим диполем должны работать и в случае спонтанного излучения. Несколько позже более убедительный, хотя и менее прямой, вывод был получен Дираком [34]. Рассмотрев поведение квантованных атом- атомных состояний в осциллирующем классическом электромагнитном по- поле со спектральной плотностью энергии и и частотой A.2.17), он су- сумел вывести формулы для интенсивности поглощения иВ(а —> E) и интенсивности индуцированного излучения иВ(/3 —У а): a)^^f\rPa\2. A.2.20) (Отметим, что выражение, стоящее справа, симметрично относитель- относительно состояний а и /?, поскольку гар совпадает с г^а.) В 1917 г. Эйн- Эйнштейн [34а] показал, что атом может находиться в термодинами- термодинамическом равновесии с излучением черного тела, если коэффициент спонтанного излучения А(/3 —У а) связан с коэффициентами индуци- индуцированного излучения и поглощения формулой A(JS -> а) = р5^)в(/3 -> а). A.2.21) Подставляя A.2.20) в последнее соотношение, мы немедленно полу- получаем результат Борна-Йордана A.2.19) для интенсивности спонтан- 3 С.Вайнберг. Т. 1
34 Гл. 1. Историческое введение ного излучения. Тем не менее использование термодинамических ве- величин для описания одноатомных процессов представляется не очень логичным шагом. В конце концов, в 1927 г. Дирак [35] нашел полностью кванто- вомеханическое описание спонтанного излучения. Он записал век- векторный потенциал А(х,?) в виде разложения по нормальным модам (как в A.2.2)). Коэффициенты разложения удовлетворяют коммута- коммутационным соотношениям, аналогичным A.2.6). В результате состояние свободного электромагнитного поля задается набором целых чисел п& (причем каждой моде соответствует одно такое число). Матричные же элементы электромагнитного взаимодействия ег • А сводятся к сум- сумме по нормальным модам, в которой коэффициенты пропорциональ- пропорциональны матрицам а/, и а?, определяемым формулами A.2.10)—A.2.13). Главным результатом здесь является множитель \frik + 1 в A.2.13). Вероятность перехода, при котором число фотонов п& в нормальной моде к возрастает на единицу, пропорционально квадрату указанно- указанного множителя, т.е. п/. + 1. Однако в случае электромагнитного поля с пи фотонами в нормальной моде к спектральная плотность и дается формулой так что интенсивность излучения для нормальной моды к пропорцио- пропорциональна 3 Пк + 1 = о и 3 + 1' Первое слагаемое соответствует индуцированному, а второе — спон- спонтанному излучению. Отсюда Дирак сделал вывод, что отношение ве- вероятности индуцированного излучения иВ и вероятности спонтанного излучения А дается формулой Эйнштейна A.2.21). Воспользовавшись полученным ранее результатом для В A.2.20), Дираку удалось выве- вывести формулу Борна-Йордана [33] A.2.19) для интенсивности спонтан- спонтанного излучения А. Несколько позднее Дирак применил разработан- разработанный им метод для квантовомеханического рассмотрения процессов рассеяния электромагнитных волн, а также для нахождения време- времени жизни возбужденных атомных состояний [36]. Виктор Вайскопф и Евгений Вигнер использовали аналогичный подход для детального изучения формы спектральных линий [Зба]. Дирак в своей работе рас- рассматривал электромагнитный потенциал излучения А и статический кулоновский потенциал А0 отдельно друг от друга. Поэтому калибро- калибровочная инвариантность и лоренц-инвариантность классической элек- электродинамики, хотя и не нарушались, но были все-таки неочевидны. Немного позже эти трудности были устранены Энрико Ферми [36Ь]. Многие физики в 30-е годы изучали квантовую электродинамику по обзору, написанному Ферми в 1932 г.
§1.2. Рождение квантовой теории поля 35 Прежде чем использовать канонические коммутационные соотно- соотношения для q, p или для а, а), мы должны выяснить, является ли кван- квантованная теория лоренц-инвариантной. Иордан и Паули [37] в 1928 г. показали, что коммутаторы полей в разных точках пространства- времени действительно лоренц-инвариантны. (Эти коммутаторы вы- вычисляются в гл. 5.) Немного позднее Бор и Леон Розенфельд [38] использовали несколько остроумных мысленных экспериментов для доказательства того, что рассматриваемые коммутационные соотно- соотношения налагают определенные ограничения на возможность одновре- одновременного измерения полей в точках пространства—времени, разделен- разделенных пространственноподобными интервалами. Только после того как электромагнитное поле было успешно про- квантовано, перечисленные методы были применены к другим полям. Сначала вся процедура рассматривалась как "вторичное квантова- квантование". В качестве квантуемых полей выступали волновые функции, используемые в одночастичной квантовой механике (например, ди- раковская волновая функция электрона). Первый шаг на этом пути был сделан, по-видимому, Иорданом в 1927 г. [39] Спустя год Йор- Йордан и Вигнер продвинулись существенно дальше [40]. Они приняли во внимание, что для любой нормальной моды к принцип исключения Паули запрещает (с учетом спина и местоположения) числам запол- заполнения пк электронов принимать какие-либо значения, отличные от нуля и единицы. В силу этого электронное поле нельзя представить в виде линейной комбинации операторов, удовлетворяющих коммута- коммутационным соотношениям A.2.10), A.2.11), поскольку эти соотношения позволяют числам заполнения пк принимать все целые значения от 0 до оо. Вместо этого Йордан и Вигнер предложили раскладывать элек- электронное поле в линейную комбинацию операторов ак, а?, удовлетво- удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям ака]+а]ак = Sjk, A.2.22) akdj +цак = 0. A.2.23) Два последних равенства справедливы, если элементы матриц ак и а\ маркируются набором целых чисел ni, П2, ... (по одному числу на каждую нормальную моду), принимающих только значения 0 и 1: _ Г1, >к)п'л ,nL,...,ni,П2,... — 1 г\ 15 2 1^0 п'к = 0, пк = 1, n'j = rij при j ф к, иначе, A.2.24) 3 Ф к, A.2.25) з*
36 Гл. 1. Историческое введение Например, если мы рассматриваем только одну нормальную моду, матрицы а, а"*" имеют размерность 2 х 2, в соответствии с возможными значениями п' и п @ и 1): ГО Ol t ГО 1 а = [l oj ' а = [о О Читатель может проверить, что A.2.24) и A.2.25) действительно удо- удовлетворяют антикоммутационным соотношениям A.2.22), A.2.23). Физическая интерпретация вектора-столбца, характеризующегося целыми числами ni, П2, ... такова: как и в случае бозонов, ему со- соответствует состояние, содержащее п/. квантов каждой нормальной моды &, но, в отличие от бозонов, принцип Паули требует, чтобы чис- числа nk принимали только значения 0 и 1. Как и раньше, а/, уничто- уничтожает один квант нормальной моды &, если таковой имеется. В про- противном случае а&, действуя на вектор-состояние, дает нулевой вектор. Оператор а\ рождает один квант нормальной моды &, если вектор- состояние не содержит таких квантов совсем, или дает нулевой век- вектор, если один квант уже имеется. Фирц и Паули [40а] впоследствии показали, что выбор соотношений (коммутационных или антикомму- антикоммутационных) в том или ином случае зависит исключительно от спина частицы: коммутаторы должны использоваться для частиц с целым спином (например, для фотона), а антикоммутаторы — для частиц с полу целым спином (например, для электрона). В гл. 5 мы докажем это утверждение несколько иным способом. Общая теория квантовых полей впервые появилась в 1929 г. в осно- основополагающих работах Гейзенберга и Паули [41]. Отправной точкой этих работ стало применение канонического формализма к самим по- полям, а не к коэффициентам нормальных мод в их разложении. Гей- зенберг и Паули рассматривали лагранжиан L как пространственный интеграл некоторой локальной функции полей и их пространственно- временных производных. Уравнения, которым удовлетворяют поля, в этом случае определяются из принципа наименьшего действия: вариация действия / Ldt при изменении полей равна нулю. Комму- Коммутационные соотношения можно получить, предполагая, что вариаци- вариационная производная лагранжиана относительно временной производ- производной любого поля имеет смысл "импульса", сопряженного этому полю (для фермионных полей мы таким образом можем получить антиком- антикоммутационные соотношения). Гейзенберг и Паули применили свой фор- формализм к электромагнитному и дираковскому полям: они исследовали различные симметрии рассматриваемых систем, их законы сохране- сохранения (в том числе, законы сохранения заряда, импульса и энергии), а также инвариантность обоих полей относительно калибровочных и лоренц-преобразований. Формализм Гейзенберга-Паули, по существу, описан нами в гл. 7. Поэтому сейчас мы можем ограничиться одним примером, который
§1.2. Рождение квантовой теории поля 37 далее в этом параграфе окажется полезным. Лагранжиан свободного комплексного скалярного поля ф{х) имеет вид L= Ы3хШф-с2(\/фу(\/ф) - f^—J ф!ф\. A.2.26) Изменение лагранжиана при варьировании поля ф(х) дается форму- формулой SL = / d3x = [ /тс . . r >,r- I 000' , A.2.27) \ п ) \ п ) J где 6ф(х) — вариация поля 0(ж). При пользовании принципом наи- наименьшего действия надо иметь в виду, что вариации всех полей на границах пространственно-временной области интегрирования долж- должны равняться нулю. Поэтому когда мы вычисляем изменение дей- действия / Ldt, мы имеем право интегрировать по частям: Приравнивая нулю это выражение при любых 8ф и 8ф^ получаем зна- знакомое релятивистское волновое уравнение = 0, A.2.28) а также уравнение, сопряженное ему. "Импульсы", канонически сопря- сопряженные полям ф и ф^, равны вариационным производным лагранжиа- лагранжиана L по временным производным соответствующих полей. Из A.2.27) мы находим ж=5Л = ф\, A.2.29) дф 7Г1" ЕЕ -^ = ф. A.2.30) 6ф* Поля тг и тг^ удовлетворяют обычным каноническим коммутацион- коммутационным соотношениям, в которых символ Кронекера заменен на дельта- функцию: [тг(х,«),0(у,«)] = Их,«),^(у,*)] = -Ш3(х-у), A.2.31) [7r(x,t),0t(y,t)] = [7rt(x,t),0(y,t)] = 0 A.2.32) [7Г(Х,*),7Г(У,«)] = И(Х,*),7Г+(У,«)] = [7Г(Х,*),7Г+(У,«)] = 0 A.2.33) №(x,i),0(y,i)] = [ФЧх,Ъ,ФЧу,*)] = [Ф(*,*),ФЧу,*)] =0- A-2.34) Гамильтониан в этом случае (так же, как и в обычной механике ча- частиц) равен "сумме" всех произведений канонических импульсов на
38 Гл. 1. Историческое введение временные производные соответствующих полей, минус лагранжиан: Н = Г d3x [тгф + тг^фЦ - L A.2.35) или, используя A.2.26), A.2.29) и A.2.30), Н= fd3x [тг+тг + с2(\7ф^ - (Щ) + (^-)Ф^Ф\ • A.2.36) Со времени опубликования работ Гейзенберга и Паули и до нача- начала войны в квантовой теории поля был получен еще один важный результат: решение проблемы состояний с отрицательной энергией. В предыдущем параграфе мы видели, что в 1930 г., т.е. как раз тогда, когда Гейзенберг и Паули опубликовали свои работы, Дирак предпо- предположил, что все такие состояния полностью заполнены (за исключени- исключением небольшого числа дырок, которые только и могут наблюдаться в эксперименте). Открытие позитрона в 1932 г., на первый взгляд, под- подтвердило справедливость гипотезы Дирака. "Дырочная теория" была использована для вычислений в наинизшем порядке теории возмуще- возмущений различных величин в некоторых процессах, в том числе в процес- процессах рождения электрон-позитронных пар и рассеяния. Одновременно с этим была проделана огромная работа по раз- развитию аппарата, лоренц-инвариантность которого была бы очевид- очевидной. Особенно следует выделить "многовременной" формализм Ди- Дирака, Владимира Фока и Бориса Подольского [42], в котором вектор состояния представляется в виде волновой функции, зависящей от пространственно-временных и спиновых координат всех электронов (и с положительной, и с отрицательной энергией). Полное число элек- электронов (сумма тех и других) при этом сохраняется. Например, рожде- рождение электрон-позитронной пары рассматривается как некое возбужде- возбуждение, когда электрон с отрицательной энергией переходит на уровень с положительной энергией. Аннигиляции электрона и позитрона тогда соответствует обратный процесс. Преимуществом многовременного формализма является явная лоренц-инвариантность. Однако наряду с этим он обладает несколькими недостатками. В частности, имеется глубокое различие между описанием фотона, рассматриваемого как квантованное электромагнитное поле, и описанием электрона с пози- позитроном. Не все физики считали это недостатком. Электронное поле, в отличие от электромагнитного поля, не имеет классического преде- предела. В этой связи возникали сомнения в его физической значимости. Дирак [42а] тоже считал, что поля — это просто вспомогательное сред- средство для изучения частиц, и поэтому не стремился к единообразному описанию частиц и полей. Многовременной формализм обладает еще одним недостатком, хотя, возможно, в то время никто об этом осо- особенно не беспокоился. При попытке использовать его для описания процесса бета-распада ядер возникают большие трудности. При бета- распаде ядер рождаются электрон и антинейтрино. При этом пози-
§1.2. Рождение квантовой теории поля 39 трон и нейтрино не возникают. Вычисление Ферми [43] распределения энергий вылетающих при бета-распаде электронов заслуженно счита- считается одним из первых успехов квантовой теории поля. В 1933-1934 гг. Фок [43а] и Вендель Фарри с Оппенгеймером [44] выдвинули важную гипотезу, которая стала краеугольным камнем до- доказательства эквивалентности дырочной теории Дирака и квантовой теории поля электрона. Чтобы оценить всю важность этой гипотезы с современной точки зрения, представьте, что мы пытаемся построить электронное поле исходя из аналогии с электромагнитным полем и по- полем Борна-Гейзенберга-Йордана A.2.2). Поскольку электроны обла- обладают зарядом, операторы рождения и уничтожения не должны пере- переходить друг в друга. Следовательно, можно попытаться представить поле в виде ^) = 5>*(x)e-iw**a*, A-2.37) к где ик(х)е~гШкг — полный набор ортонормированных плоских волн, являющихся решениями уравнения Дирака A.1.13) (к здесь обозна- обозначает трехимпульс, спин и знак энергии), A.2.38) Жик = -гПсос • V + a4mc2, A.2.39) A.2.40) / и ак — соответствующие операторы уничтожения, удовлетворяю- удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям Иордана—Вигнера A.2.22)— A.2.23). Действуя в русле идей метода "вторичного квантования", или процедуры канонического квантования Гейзенберга-Паули [41], мы можем записать гамильтониан как "усредненное" Jff, причем вместо "волновой функции" используется квантованное поле A.2.37): Н= = I?х^Жф = ^Пмка\ак. A.2.41) J к Оператор Н, конечно же, не является положительно определенным — половина иок отрицательны, в то время как операторы а\ак имеют только положительные собственные значения 1 и 0 (см. A.2.24) и A.2.25)). Чтобы избавиться от этого неприятного затруднения, Фар- Фарри и Оппенгеймер воспользовались гипотезой Дирака [42], что пози- позитрон — это отсутствие электрона с отрицательной энергией. Антиком- Антикоммутационные соотношения симметричны относительно операторов рождения и уничтожения. Поэтому Фарри и Оппенгеймер определили операторы рождения и уничтожения позитрона как соответствующие операторы для электронов с отрицательной энергией: b\ = akj Ък = а\ (для ик < 0). A.2.42)
40 Гл. 1. Историческое введение Здесь нижний индекс к у Ъ обозначает позитронную моду с положи- положительной энергией, импульс и спин которой противоположны импульсу и спину электронной моды к. Поле Дирака A.2.37) можно тогда за- записать следующим образом: Е , A.2.43) к к где (+) и (—) обозначают суммы по нормальным модам к с ик > 0 и ujk < 0 соответственно, а г^(ж) = Uk(~x)e~luJkt. Аналогично, исполь- используя антикоммутационные соотношения для операторов Ь, мы можем переписать A.2.41) в виде Н = J](+) Ьыка\ак + ^("} Щик\Ь\Ьк + Яо, A.2.44) к к где .Ео — бесконечное с-число: ?~) A.2.45) Чтобы такое переопределение не было простой формальностью, необ- необходимо также постулировать, что физический вакуум — это состоя- состояние Феи не содержащее электронов и позитронов с положительной энергией: а*Фо = 0 (w*>0), A.2.46) Ь*Фо = 0 (^>0). A.2.47) Следовательно, из формулы A.2.44) следует, что энергия вакуума равна просто Eq . Если мы всегда будем отсчитывать энергию от энер- энергии вакуума Eq, to оператор физической энергии будет иметь вид Н — Eq. Из A.2.44) следует, что он является положительно опреде- определенным. Проблема состояний с отрицательной энергией для заряженной бесспиновой частицы была также разрешена в 1934 г. Паули и Вай- скопфом [45] в работе, полемизирующей с дираковской картиной за- заполненных состояний с отрицательной энергией. В этом случае опе- операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационным, а не антикоммутационным соотношениям. По этой причине их функции нельзя поменять местами, как это было сделано в случае фермионов. Вместо этого мы должны вернуться к каноническому формализму Гейзенберга-Паули [41], чтобы определить, какие из коэффициентов при различных нормальных модах являются операторами рождения и уничтожения. Паули и Вайскопф разложили свободное заряженное скалярное поле по трехмерным плоским волнам в кубе с пространственным объе-
§1.2. Рождение квантовой теории поля 41 мом V = L3: У^(к,гУк'ж. A.2.48) к Волновые числа ограничены следующим условием периодичности: ве- величины kjL/2тг, j = 1, 2, 3, должны представлять собой набор трех положительных или отрицательных целых чисел. Аналогично, кано- канонически сопряженная переменная A.2.29) имеет вид )е~гк'х. A.2.49) v r к В экспоненте стоит знак "—", и поэтому формула A.2.29) приобретает следующий вид: p(k,t) =^f(k,t). A.2.50) Обратное преобразование Фурье дает , *) = ^ / d3x </>(х, t)e-*'x, A.2.51) р(к, *) = ^ / ^* т(х, t)e+fl*x. A-2.52) Поэтому из канонических коммутационных соотношений A.2.31)- A.2.34) следуют соотношения для q и р: [p(k, i), g(l, *)] = ^ / ^ e*-xe-ibx = -гМкь A.2.53) = [9(k, t), <7A, t)] = [?(k, t), ?t(l, *)] = 0. A.2.54) Остальные соотношения могут быть получены из этих путем эрмито- эрмитова сопряжения. Подставляя A.2.48) и A.2.49) в формулу A.2.36) для гамильтониана, мы можем переписать последний через q и р: Н = 5>t(M)p(M) + с^(МММ)], A-2.55) к где 2 2i 2 , (ГПС2\2 ( ч cj? = с^к^ + (^-^-J . A.2.56) Временные производные импульса р даются уравнением Гамильтона ^ ^fk,i) A-2.57) (и сопряж:енным уравнением), что с учетом A.2.50) просто эквива- эквивалентно волновому уравнению Клейна—Гордона—Шредингера A.2.28). Мы видим, что, как и в случае модели Борна-Гейзенберга-Йор- дана [4], построенной в 1926 г., свободное поле ведет себя как бес- бесконечный набор связанных гармонических осцилляторов. Паули и
42 Гл. 1. Историческое введение Вайскопфу удалось построить операторы р и q, удовлетворяющие коммутационным соотношениям A.2.53)-A.2.54), а также "уравне- "уравнениям движения" A.2.50)-A.2.57), вводя операторы рождения и уни- уничтожения а, 6, а^, Ь^ двух различных типов, соответствующих части- частицам и античастицам: >к*)], A.2.58) p(k,t) = ^/^ [6(k)exp(-iwkt) + а*(к)ехр(+м«**)], A.2.59) где [а(к)УA)] = [6(к),6+A)] = би, A.2.60) [о(к),аA)] = [Ь(к),ЬA)]=0, A.2.61) [а(к), 6A)] = Кк), bf(l)] = Ик), ЬA)] = [at(k),bt(l)] = 0. A.2.62) Нетрудно проверить, что эти операторы действительно удовлетво- удовлетворяют соотношениям A.2.53), A.2.54), A.2.50) и A.2.57). Поле A.2.48) может быть представлено в виде , t) = -j= ^2 J — [a(k) exp(ik • x - к - b\-k) exp(-ik • x + iuj^t)}. A.2.63) В результате гамильтониан A.2.55) принимает вид H = Yl\ ^k[^(k)Kk) + Ь(к)Ь+(к) + af(k)a(k) + a(k)af(k)], к или, используя A.2.60)-A.2.62), Н = ^^k[6f(kN(k) +af(k)a(k)] +E0, A.2.64) к где через Eq обозначена бесконечная с-числовая сумма A.2.65) Существование двух различных операторов а и 6, одинаково входя- входящих в гамильтониан, показывает, что рассматриваемая теория содер- содержит два сорта частиц с одинаковой массой. Как было отмечено Па- Паули и Вайскопфом, эти две частицы можно отождествить с парой частица-античастица. Соответственно, если они обладают электриче- электрическими зарядами, последние должны быть равны по величине и про- противоположны по знаку. Поэтому, как мы уже говорили выше, у без- спиновых бозонов, так же, как и у фермионов со спином 1/2, могут
§1.2. Рождение квантовой теории поля 43 существовать несовпадающие с ними античастицы, причем в случае бозонов эти античастицы нельзя рассматривать как дырки в море со- состояний с отрицательной энергией. Теперь мы можем сказать, какая из пар {а, Ь} и {а^Ь^} представ- представляет собой операторы уничтожения. Для этого мы должны вычис- вычислить вакуумные средние коммутационных соотношений. Например, если а\ является оператором уничтожения, то, будучи примененным к вакуумному состоянию, он должен дать нуль. В результате вакуум- вакуумное среднее A.2.60) имеет следующий вид -||а(к)Ф0)||2 = (Фо,[а(к)У(к)]*о) = +1. A.2.66) Налицо противоречие: левая сторона должна быть отрицательной, в то время как справа стоит положительное число. Мы можем поэтому заключить, что операторами уничтожения являются а/, и^. Следо- Следовательно, а(к)Ф0 = Кк)Ф0 = 0- A.2.67) Полученный результат находится в согласии со всеми коммутацион- коммутационными соотношениями. В итоге можно сделать вывод, что в рамках ка- канонического формализма коэффициент при е+гсЛ в формуле A.2.58) является оператором рождения. То же самое справедливо и в случае формализма Фарри-Оппенгеймера [44] для спина 1/2. Из формул A.2.64) и A.2.67) теперь следует, что Eq совпадает с энергией вакуумного состояния. Примем ее за начало отсчета. Тогда оператор физической энергии записывается в виде Н — Eq. Из A.2.64) видно, что все собственные значения Н — Eq положительны. Вспомним теперь о проблеме, побудившей Дирака начать свои ис- исследования, а именно о проблеме отрицательных вероятностей. Как обнаружил Дирак, из решений уравнения Клейна-Гордона-Шредин- гера для свободных скалярных полей A.2.28) плотность вероятно- вероятности р, удовлетворяющую закону сохранения вида A.1.10), можно составить единственным образом. При этом она оказывается пропор- пропорциональной величине [^\ A.2.68) Отсюда следует, что плотность вероятности р не обязательно должна быть больше нуля. Аналогично, во "вторичноквантованной" теории, в которой ф задается выражением A.2.63), плотность вероятности р не является положительно определенной величиной. Поскольку ф^(х) не коммутирует с ф(х), мы можем использовать различные формы запи- записи выражения A.2.68), отличающиеся друг от друга на бесконечные с-числа. Нам, в частности, понадобится такой вариант: >=*[?¦•-?4 <"¦»> Интеграл от этого оператора по трехмерному пространству легко вы-
44 Гл. 1. Историческое введение числяется и равен N = Гpd3x = V(af(k)a(k) - Ь*(к)Ь(к)). A.2.70) J к Как нетрудно видеть, он имеет собственные значения обоих знаков. Однако эта проблема возникает в квантовой теории поля и для спина 1/2, и для нулевого спина. Оператор плотности Дирака ф^ф положительно определен, но чтобы построить физический оператор плотности, мы должны учесть вклад заполненных электронных со- состояний, вычитая его из оператора плотности Дирака. В частности, воспользовавшись разложением по плоским волнам A.2.43), мы мо- можем записать полный оператор числа частиц в виде = [а13х J N= фф J k k Антикоммутационные соотношения для операторов Ъ позволяют нам переписать последнюю формулу в виде N - No = J](+) 4ak - ^("} ftt bk, A.2.71) k k где Nq — бесконечная константа No = ^("} 1. A.2.72) k Из A.2.46) и A.2.47) следует, что Nq — число частиц в вакуумном состоянии. Поэтому Фарри и Оппенгеймер предположили, что физи- физический оператор числа частиц записывается в виде N — Nq и поэтому имеет как положительные, так и отрицательные собственные значе- значения (аналогично тому, что было в случае с нулевым спином). Решение этой проблемы, найденное в рамках квантовой теории поля, сводится к следующему: ни поле ф Фарри—Оппенгеймера, ни поле ф Паули-Вайскопфа не подходят на роль амплитуды вероятно- вероятности с положительно определенной плотностью вероятности. Вместо этого базис в физическом гильбертовом пространстве образуют со- состояния, характеризующиеся определенным числом частиц и/или ан- античастиц для каждой моды. Если обозначить через Фп полный орто- нормированный набор таких состояний, то, измеряя число частиц в произвольном состоянии Ф, мы можем найти, с какой вероятностью система находится в состоянии Фп: Р„ = |(Ф„,Ф)|2, A.2.73) где через (Фп, Ф) обозначено обычное скалярное произведение в гиль- гильбертовом пространстве. Следовательно, отрицательные вероятности, на самом деле, на практике не встречаются. Поля же ф, ф и т.д. яв- являются не амплитудами вероятности, а операторами рождения и у ни-
§1.2. Рождение квантовой теории поля 45 чтожения частиц в различных нормальных модах. Чтобы не сбивать читателя с толку, в дальнейшем мы не будем использовать термин "вторичное квантование". В частности, операторы N и N — Nq, дающиеся формулами A.2.70) и A.2.71), можно рассматривать только как операторы числа частиц (что не совпадает с понятием полных вероятностей): это есть число ча- частиц минус число античастиц. В случае заряженных частиц из закона сохранения заряда следует, что операторы заряда пропорциональны операторам числа частиц. По этой причине знаки "—" в правых ча- частях формул A.2.70) и A.2.71) позволяют нам сразу же сделать вывод, что частицы и античастицы имеют противоположные заряды. В рам- рамках такого теоретико-полевого формализма члены в гамильтониане, описывающие взаимодействия, имеют третий, четвертый и более вы- высокие порядки по полевым переменным. Вероятности же различных процессов вычисляются с помощью этих членов в рамках зависящей от времени теории возмущений. На основе идей, изложенных выше, построена большая часть материала этой книги. Несмотря на все свои очевидные успехи, квантовая теория по- поля не сразу вытеснила дырочную теорию. Скорее обе точки зрения одновременно сосуществовали — для вычисления вероятностей про- протекания физических реакций использовались различные комбинации теоретико-полевых и дырочно-полевых идей. В этот период было вы- выведено несколько формул для сечений разных процессов в низшем порядке по е2. Приведем несколько примеров. В 1929 г. Клейн и Ни- шина [46] вывели формулу для сечения процесса е~ + 7 ~> е~ +7? в 1930 г. Дирак [47] получил ту же величину для реакции е+ + е~ —У 27, МёллерС [48] в 1932 г. — для процесса е~ + е~ —у е~ + е~, Бете и Гайт- лер [49] в 1934 г. — для процессов е~ + Z —У е~ + j + Z и j + Z —у —у е+ + е~ + Z (буквой Z здесь обозначено кулоновское поле тяже- тяжелого атома), Баба [50] в 1936 г. — для процесса е+ + е~ -у е+ + е~. (Правила вычисления сечений таких процессов приведены в гл. 8, при- причем в случае электрон-фотонного рассеяния они выведены подробно.) Расчеты в низшем порядке теории возмущений дают конечные ре- результаты и находятся в разумном согласии с экспериментальными данными. Тем не менее общее ощущение неудовлетворенности квантовой тео- теорией поля (в виде дырочной теории или чего-либо еще) сохранялось на протяжении всех 1930-х годов. Одной из причин этого была яв- явная неспособность квантовой электродинамики объяснить проникаю- проникающую способность заряженных частиц в ливнях космических лучей, отмеченную в 1936 г. Оппенгеймером и Франклином Карлсоном [50а]. Другая причина неудовлетворенности оказалась связанной с первой и заключалась в непрекращающемся потоке открытий новых типов частиц и взаимодействий. Мы уже упоминали электрон, фотон, пози- позитрон, нейтрино и, конечно же, ядро водорода, т.е. протон. На протя-
46 Гл. 1. Историческое введение жении 1920-х годов ученые верили, что более тяжелые ядра состав- составлены из протонов и электронов, однако было совершенно непонятно, каким образом легкая частица типа электрона может быть заперта в ядре. На другую существенную трудность в этой картине мира указа- указали в 1931 г. Эренфест и Оппенгеймер [51]: ядро обычного азота 7V14, имеющее атомный номер 7 и атомный вес 14, должно состоять из 14 протонов и 7 электронов и, следовательно, должно подчиняться статистике Ферми. Это противоречит результатам, полученным с по- помощью молекулярной спектроскопии [52], согласно которым N14 яв- является бозоном. Эта проблема (а также ряд других) была разреше- разрешена в 1932 г. после открытия нейтрона [53] и предложенной за ним гипотезой Гейзенберга [54], что ядра состоят из протонов и нейтро- нейтронов, а не протонов и электронов1). Стало ясным, что для удержа- удержания вместе составных частей ядра между нейтронами и протонами должны действовать сильные неэлектромагнитные короткодействую- короткодействующие силы. После успеха теории бета-распада Ферми некоторые авторы [54а] стали обсуждать возможность того, что ядерные силы обусловлены обменом электронами и нейтрино. Через несколько лет, в 1935 г., Хи- деки Юкава предложил совершенно иную квантовополевую модель ядерных сил [55]. При помощи классического по своей сути вычис- вычисления он нашел, что взаимодействие скалярного поля с нуклонами (протонами и нейтронами) приводит к возникновению сил притяже- притяжения нуклон-нуклон с потенциалом, зависящим от расстояния г между нуклонами согласно закону V(r) ос -ехр(-Аг), A.2.74) а не 1/г, соответствующему кулоновскому электрическому полю. Ве- Величина А введена как параметр уравнения, которому удовлетворяет скалярное поле Юкавы. Проквантовав это уравнение, Юкава обнару- обнаружил, что оно описывает частицы с массой НХ/с. Численную оценку для массы можно получить, зная экспериментальную величину сил, действующих в ядрах. Значение НХ/с, полученное Юкавой, имеет по- порядок 200 масс электрона. В 1937 г. похожие "мезоны" были незави- независимо открыты Сетом Неддермейером и Андерсоном, а также Ябецом Курри Стритом и Эдвардом Карлом Стивенсоном в экспериментах с пузырьковой камерой. Возникло предположение, что это и есть ги- гипотетические частицы Юкавы. Открытие мезонов показало, что заряженные частицы в пучках космических лучей отнюдь не все являются электронами. Это реши- решило проблему, не дававшую покоя Оппенгеймеру и Карлсону. Однако ) Идея о том, что атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, была впервые высказана в печати Д.Д. Иваненко A932) и непосредственно вслед за этим развита В. Гейзенбергом. (Примеч. ред.)
§1.3. Проблема расходимостеп 47 вместе с тем открытие мезонов создало новые трудности. В 1939 г. Л отар Нордхайм [56а] указал на то обстоятельство, что вводимые теорией Юкавы сильные взаимодействия, благодаря которым мезоны в значительном количестве рождаются на большой высоте, должны приводить к их поглощению в атмосфере. Это противоречит наблю- наблюдаемому изобилию мезонов на малом расстоянии от земной поверх- поверхности. В 1947 г. в экспериментах Марцелло Конверси, Этторе Панчи- ни и Оресте Пиччиони [57] было показано, что подавляющая часть мезонов, образующих космические лучи, наблюдаемые на малых вы- высотах, слабо взаимодействуют с нуклонами. Следовательно, их нель- нельзя отождествлять с частицей Юкавы. Решение этой проблемы было найдено сначала теоретически [58], а затем подтверждено экспери- экспериментально (Цезаре Латтес, Очилиани, Сесиль Пауэлл [59]). Суще- Существуют два вида мезонов с немного разными массами. Более тяже- тяжелый (ныне носящий название тг-мезона или пиона) взаимодействует сильным образом и играет роль переносчика ядерных сил, введен- введенного Юкавой. Более легкий (называемый ныне /i-мезоном или мюо- ном) взаимодействует только электромагнитным и слабым образом и является продуктом распада тг-мезона. По этой причине он числен- численно преобладает в космических лучах, наблюдаемых на уровне моря. В том же 1947 г. Джордж Рочестер и Клиффорд Батлер [60] обна- обнаружили в космических лучах совершенно новые частицы (известные теперь как i^-мезоны и гипероны). С 1947 г. было открыто обескура- обескураживающее множество частиц, однако полное их перечисление увело бы нас в сторону от главной цели этого обзора. Такой поток откры- открытий с самого начала показал нам, что любая концептуальная картина мира, содержащая только фотоны, электроны и позитроны, являет- является слишком ограниченной и не может считаться фундаментальной. Но теория преподнесла нам еще одну, более важную загадку — про- проблему расходимостей. § 1.3. Проблема расходимостей Квантовая теория поля имеет дело с полями ф(х), рождающи- рождающими и уничтожающими частицы в пространственно-временной точ- точке х. Опыт работы с классической теорией электрона обращает на- наше внимание на то обстоятельство, что точечный электрон обладает бесконечной собственной электромагнитной массой. Эта масса рав- равна е2/бтгас2, если заряд равномерно распределен на поверхности сфе- сферы радиусом а. Отсюда следует, что она стремится к бесконечности при а —у 0. К сожалению, эта проблема с еще большей остротой встала на ранних этапах развития квантовой теории поля, и хотя вопрос был в значительной степени прояснен в процессе дальнейшего развития теории, он актуален и в наши дни.
48 Гл. 1. Историческое введение Проблема расходимостей в квантовой теории поля впервые возник- возникла в 1929-1930 гг. в работах Гейзенберга и Паули [41]. Вскоре наличие расходимостей было доказано Оппенгеймером [61], который вычис- вычислял собственную электромагнитную энергию связанного электрона, и Иваром Уоллером [62], который вычислял ту же величину для сво- свободного электрона. Они использовали второй порядок обычной тео- теории возмущений, причем промежуточное состояние содержало элек- электрон и фотон. Например, сдвиг энергии Еп электрона на п-м уровне атома водорода дается выражением дР_у Г ,з 1(т;к,А|Я»|2 ^-^ J Еп - Еш - к с га, Л где суммирование и интегрирование ведутся по всем промежуточным электронным состояниям т, поляризациям Л и импульсам к фотона; Н' обозначает член в гамильтониане, описывающий взаимодействие электромагнитного поля с электронами. Формальное вычисление при- приводит к бесконечной собственной энергии. Если же мы пренебрежем всеми промежуточными состояниями, в которых волновые числа фо- фотонов больше чем 1/а, то собственная энергия при а —У 0 будет вести себя как 1/а2. Расходимости такого вида часто называются ультрафи- ультрафиолетовыми, поскольку возникают они из-за наличия промежуточных состояний с очень маленькой длиной волны. При таких вычислениях считается, что электрон удовлетворяет правилам первоначальной теории Дирака, в которой отсутствуют от- отрицательные электроны. Через несколько лет Вайскопф повторил вычисление собственной массы электрона используя новую теорию с дырками. Он считал, что все состояния с отрицательной энергией заполнены. В этом случае во втором порядке теории возмущений воз- возникает еще один член. На языке без дырочной модели он соответству- соответствует процессу, при котором из вакуума на короткое время рождаются фотон и электрон-позитронная пара, после чего происходит анниги- аннигиляция позитрона с исходным электроном. Первоначально Вайскопф нашел что, если порог ультрафиолетового обрезания частот фото- фотонов равен 1/а, то зависимость собственной энергии от него квадра- квадратичная 1/а2. Одновременно с этим точно такое же вычисление было проделано (по совету Бора) Карлсоном и Фарри. Взглянув на резуль- результаты Вайскопфа, Фарри понял, что тот учитывал электростатический член, которым они с Карлсоном пренебрегли. Тем самым Вайскопф, вычисляя магнитную собственную энергию, сделал на одну ошибку больше. Учтя замечание Фарри, Вайскопф пересмотрел свои вычис- вычисления и обнаружил, что члены, пропорциональные 1/а2, в выражении для массы сокращаются! Однако несмотря на это, расходимость все же осталась: если ультрафиолетовое обрезание равно 1/а, то собствен- собственная масса имеет вид [63] A.3.2)
§1.3. Проблема расходимостеп 49 Мы видим, что степень расходимости существенно уменьшилась — в формуле A.3.2) стоит логарифм In a, a не 1/а (как в классиче- классической теории), или 1/а2 (как в первых вычислениях Вайскопфа). Это обстоятельство оказалось чрезвычайно важным в дальнейшем, при создании теории перенормировок. В 1933 г. физики столкнулись еще с одной разновидностью расхо- димостей. По всей видимости, первопроходцем здесь был Дирак [64]. Он изучал влияние внешнего статического почти однородного рас- распределения зарядов е(х) на вакуум, т.е. на заполненные электронами уровни с отрицательной энергией. Кулоновское взаимодействие меж- между зарядами, распределенными в пространстве с плотностью е(х), и электронами с отрицательной энергией приводит к "поляризации ва- вакуума". При этом пространственная плотность индуцированных заря- зарядов определяется формулой Se = As + в(—)\2е + ..., A.3.3) \mcJ где В — конечная константа порядка а, в то время как коэффициент А логарифмически расходится (он ведет себя как a In а, где 1/а — порог ультрафиолетового обрезания). Расходимости также, по всей видимости, возникают еще в одном случае, при рассеянии фотонов на фотонах. Ганс Эйлер, Бернард Ко- кель и Гейзенберг [65] показали в 1935-36-е годы, что от таких рас- ходимостей можно избавиться, если воспользоваться довольно жест- жесткими правилами, предложенными незадолго до этого Дираком [66] и Гейзенбергом [67]. Эйлер, Кокель и Гейзенберг получили плот- плотность эффективного лагранжиана, описывающего нелинейные элек- электродинамические явления, обусловленные рождением виртуальных электрон-позитронных пар: J2? = \ (Е2 - В2) + 360;^|с7 [(Е2 - В2J + 7(Е • ВJ] + ... A.3.4) Эффективная теория работает в области частот v <С mec2/h. Вскоре Николас Кеммер и Вайскопф [68] показали, что в этом случае рас- расходимости оказываются ложными и что A.3.4) можно получить, не используя никаких регуляризационных методик. На фоне огромных усилий, затрачиваемых на борьбу с расходимо- стями, особенно эффектно смотрится успешное решение проблемы ин- инфракрасных расходимостей, соответствующих сингулярностям на дру- другом, низкоэнергетическом, участке области интегирования. В 1937 г. Феликс Блох и Арне Нордзик [68а] показали, что инфракрасные рас- расходимости сокращаются, если принять во внимание процессы, в кото- которых рождается произвольное число низкоэнергичных фотонов. Этот вопрос мы будем рассматривать с современных позиций в гл. 13. Еще одну разновидность расходимостей обнаружил в 1939 г. Сид- Сидней Мишель Данкоф [69] при попытке вычислить радиационные по- 4 С.Вайнберг. Т. 1
50 Гл. 1. Историческое введение правки к сечению рассеяния электронов статическим кулоновским полем атома. В вычислении имелась ошибка (не был учтен один из членов), однако она была найдена гораздо позже [69а]. На протяжении 1930-х годов все перечисленные расходимости рас- рассматривались не просто как неудачные попытки вычисления неко- некоторых физических величин. Скорее они свидетельствовали об опре- определенном пробеле в нашем понимании релятивистской квантовой теории поля. Такая точка зрения подкреплялась наличием упомяну- упомянутых в предыдущем параграфе проблем, связанных с космическими лучами. Одним из проявлений этого пессимизма были непрекращающие- непрекращающиеся на протяжении всех 1930-1940-х годов поиски альтернативно- альтернативного описания квантовой теории поля. Как вспоминал позже Юлиан Швингер [69Ь], "внимание ведущих физиков, работающих в этой об- области, было сосредоточено не на анализе и аккуратном примене- применении известной релятивистской теории электрона, взаимодействую- взаимодействующего с электромагнитными полями, а на попытках изменить ее." По этой причине в 1938 г. Гейзенберг [70] предположил существова- существование фундаментальной длины L, аналогичной фундаментальному дей- действию h и фундаментальной скорости с. Был выдвинут ряд идей [70а], позволяющих придать теории нелокальную структуру. Некоторые теоретики заподозрили, что вместо формализма, работающего с век- векторами состояния и квантовыми полями, нужно использовать фор- формализм, основанный исключительно на наблюдаемых величинах, та- таких, как 5-матрица, введенная Джоном Арчибальдом Уиллером [71] в 1937 г. и независимо от него Гейзенбергом [72] в 1943 г. Элемен- Элементы 5-матрицы представляют собой амплитуды различных процес- процессов рассеяния. Как мы увидим позже, 5-матричное описание стало неотъемлемой частью современной квантовой теории поля. Более то- того, некоторые теоретики считают, что 5-матричный формализм яв- является идеальным средством для решения проблемы сильных взаи- взаимодействий [73]. В 1945 г. Уиллер и Ричард Фейнман [74], пойдя по совсем иному пу- пути, сделали попытку избавиться от электромагнитного поля, перепи- переписав члены, отвечающие электромагнитному взаимодействию, в терми- терминах теории дальнодействия. Уиллеру и Фейнману удалось показать, что, если принять во внимание взаимодействие не только между ис- источником и пробными зарядами, но также между пробными и всеми остальными зарядами во Вселенной, можно получить чисто запазды- запаздывающий (или чисто опережающий) потенциал. Но наиболее радикальной попыткой изменения традиционных основ квантовой механики, появившейся в рассматриваемый период, стала, пожалуй, предложенная Дираком [75] модель состояний с от- отрицательной вероятностью. Эта модель позволила ему избавиться от расходимости в суммах по состояниям. Идея об "индефинитной мет-
§1.3. Проблема расходимостеп 51 рике" в гильбертовом пространстве прижилась в квантовой теории поля, хотя и в виде, отличном от первоначально предложенного. В 1930-х годах в воздухе носилась еще одна, более консервативная мысль. От расходимостей, по всей вероятности, можно избавляться, переопределяя, или "перенормируя", параметры теории. Например, в то время было известно, что в любой лоренц-инвариантной клас- классической теории электромагнитные собственная энергия и собствен- собственный импульс электрона должны иметь вид поправок к его массе. Поэтому сингулярности в выражениях для указанных величин мо- могут сократиться, если учесть бесконечную отрицательную "голую" неэлектромагнитную массу электрона. Полученное выражение для наблюдаемой "перенормируемой" массы может оказаться конечным. Кроме того, из A.3.3) мы видим, что поляризация вакуума приво- приводит к изменению заряда электрона: если голый заряд дается выраже- выражением е = / сРхе, то етотАь = J d3x (s + 5s) = A + А)е. A.3.5) С учетом поляризации вакуума в низшем порядке все результаты по- получаются конечными, если наблюдаемые величины типа сечения рас- рассеяния выражаются через етотАь, а не через е. Возникает вопрос, можно ли таким образом избавиться от всех расходимостей квантовой теории поля. В 1936 г. Вайскопф [76] предположил, что ответ на по- поставленный вопрос утвердительный. Он проверил, что все известные в то время расходимости устраняются перенормировкой физических параметров путем небольшого набора стандартных операций. Однако с помощью вычислительных методов, существовавших тогда, оказа- оказалось невозможным доказать, что метод работает всегда. Более того, Данкоф произвел вычисление [69], которое показало, что это далеко не так. Возникла еще одна тенденция, связанная с расходимостями. Бы- Было высказано предположение, что любая величина, расходящаяся в рамках квантовой теории поля, не имеет физического смысла. В частности, в 1928 г. Дирак предсказал полное вырождение уров- уровней 2s1/2-2j91/2 в атоме водорода во всех порядках по а. Любая по- попытка вычислить с помощью квантовой электродинамики разность энергий этих уровней приводила к проблеме бесконечной собственной энергии связанного электрона. По этой причине существование такого расщепления уровней ставилось под сомнение. Впоследствии Бете [80] вспоминал: "Поправка к энергиям уровней оказывалась бесконечной во всех существоваших теориях и поэтому не воспринималась серьез- серьезно". Такое положение сохранялось даже в конце 1930-х годов, ко- когда спектроскописты [77] засвидетельствовали наличие расщепления уровней 2s1/2-2j91/2. Величина его была порядка 1000 МГц. Правда, одно замечательное наблюдение сделал Эдвин Альбрехт Юлинг [78]. Он заметил, что явление поляризации вакуума, упомянутое нами вы- 4*
52 Гл. 1. Историческое введение ше, может приводить к расщеплению. К несчастью, как мы увидим в гл. 14, его вклад в величину расщепления намного меньше 1000 МГц и, кроме того, имеет противоположный знак. Мрачная атмосфера, окружавшая квантовую теорию поля, нача- начала рассеиваться вскоре после Второй мировой войны. С 1 по 4 июня 1947 г. на острове Шелтер состоялась конференция, посвященная основаниям квантовой механики. На ней были представлены как фи- физики, работающие в области квантовой теории поля еще с 1930-х годов, так и более молодое поколение теоретиков, начавших свою научную работу во время войны. Но что было важнее всего — в этой конференции участвовали несколько экспериментаторов. Председа- Председательствовали на обсуждениях Ганс Крамере, Оппенгеймер и Вай- скопф. Один из экспериментаторов (который был скорее теоретиком, ставшим экспериментатором), Уиллис Лэмб, рассказал об имеющем большое значение измерении частоты линии 2s1//2-2j91//2 в спектре атома водорода. Пучок атомов водорода, вылетающих из специаль- специальной печки, направлялся на детектор, регестрирующий только воз- возбужденные атомы. (При этом значительная часть пучка находилась в состояниях 2s и 2р.) Атомы в возбужденном состоянии 2р очень быстро испускают фотон, переходя на нижний уровень Is (линия Лай- мана а). Состояние же 2s может распасться только путем испуска- испускания двух фотонов и поэтому живет гораздо дольше. В результате детектор, по большому счету, измеряет число атомов в метастабиль- ном состоянии 2s. Пучок пропускался через область магнитного поля, приводившего к дополнительному зеемановскому расщеплению линии 2^1/2~2р1/2- Кроме того, на него действовало микроволновое электро- электромагнитное поле с фиксированной частотой v ~ 10 ГГц. При некото- некоторой напряженности магнитного поля сигнал на детекторе пропадал, показывая тем самым, что микроволновое поле вызывает резонанс- резонансные перескоки с метастабильного уровня 2s на уровень 2р, что очень скоро приводит к излучению фотона (линия Лаймана а) и переходу атома в основное состояние. Полное расщепление (зеемановское плюс исходное, присущее самому атому) уровней 2s-2p при таком значе- значении напряженности магнитного поля должно равняться просто /iz/, откуда можно определить исходное расщепление уровней. Лэмб также объявил предварительные результаты своих измерений. Расщепление уровней оказалось равным 1000 МГц, что согласовывалось с более ранними спектроскопическими измерениями [77]. Воздействие этого открытия можно описать следующими словами, которые я слышал в 1954 г. в Копенгагене: "То, что какая-то величина равна бесконеч- бесконечности, не означает, что она есть нуль!" Открытие лэмбовского сдвига вызвало огромный интерес среди физиков, принимавших участие в конференции на острове Шелтер. Многие из них уже работали над усовершенствованием формализ- формализма, позволяющего проводить вычисления в квантовой электродина-
§1.3. Проблема расходимостеп 53 мике. Крамере сделал доклад о перенормировке массы в классической электродинамике электрона, обладающего геометрическими размера- размерами [79а]. В своей работе он показал, что трудности, связанные с рас- расходимостью собственной энергии в пределе нулевого радиуса, стано- становятся неважными, если переформулировать теорию таким образом, чтобы массовый параметр совпадал с экспериментально наблюдае- наблюдаемой массой электрона. Швингер и Вайскопф (до которых уже дохо- доходили слухи о результатах Лэмба и которые обсуждали их по пути на остров Шелтер) предположили, что учет промежуточных состояний, содержащих позитроны, который, как известно, уменьшает степень расходимости сдвигов уровней энергии с 1/а до In а, может приве- привести к тому, что разности сдвигов этих уровней окажутся конечными. (На самом деле, еще в 1946 г., до того как Вайскопф узнал об экспе- экспериментах Лэмба, он предложил решить эту задачу своему студенту Брюсу Френчу.) Почти сразу после конференции, во время поездки на поезде до Шенектади, Ганс Бете [80] проделал нерелятивистское вычисление. Он, правда, не учитывал промежуточные состояния, со- содержащие позитроны. Однако чтобы избавиться от расходимостей, Бете использовал ультрафиолетовое обрезание, причем верхним пре- пределом для импульсов фотонов служила величина порядка тес2. Бете получил приближенно 1040 МГц. Полное релятивистское вычисление с использованием перенормировок, устраняющих расходимости, так- также было вскоре проделано несколькими авторами [81], причем имело место великолепное согласие с экспериментом. Другой важный экспериментальный результат, представленный на острове Шелтер, был получен Исидором И. Раби и несколькими со- сотрудниками его лаборатории [82]. В эксперименте изучалась сверх- сверхтонкая структура водорода и дейтерия. Результаты свидетельствова- свидетельствовали о том, что магнитный момент электрона больше величины eh/2mc, полученной Дираком, приблизительно в 1,0013 раза. Дополнительные опыты по измерению гиромагнитного отношения атомов натрия и гал- галлия дали точное значение [83] /i=^ [1,00118 ±0,00003]. Пытаясь объяснить эти результаты, Грегори Брейт предполо- предположил [83а], что их можно получить, если учесть радиационную поправ- поправку порядка а к магнитному моменту электрона. На острове Шелтер Брейт и Швингер рассказали о своих попытках вычислить эту поправ- поправку. Вскоре после конференции Швингеру удалось проделать полное вычисление аномального магнитного момента электрона [84]: что великолепно согласовывалось с экспериментом. Этот результат, также как и вычисление Бете лэмбовского сдвига, окончательно убе- убедили физиков в реальности радиационных поправок.
54 Гл. 1. Историческое введение Математические методы того времени представляли собой чудо- чудовищную мешанину различных понятий и формализмов. Один из под- подходов, разработанный Швингером [85], основывался на операторных методах и принципе действия и был представлен им на конференции в Поконо Манор в 1948 г., последовавшей за конференцией на остро- острове Шелтер. Другой, лоренц-инвариантный, операторный формализм был разработан еще раньше в Японии Син-Итиро Томонагой и его сотрудниками. Однако их работа вначале была неизвестна на Западе. В 1930-х годах Томонага боролся с расходимостями в мезонной тео- теории Юкавы. В 1947 г. он и его группа все еще не входили в научное сообщество. Они узнали о лэмбовском сдвиге из статьи в Newsweek. Совершенно другой подход, изобретенный Фейнманом, был крат- кратко описан им на конференции в Поконо. Вместо того чтобы рабо- работать с операторами квантовых полей, Фейнман записал 5-матрицу в виде функционального интеграла, причем в качестве подынте- подынтегрального выражения выступала величина exp(iVF), где буквой W обозначено действие для совокупности дираковских частиц, взаимо- взаимодействующих с классическим электромагнитным полем. Функцио- Функциональное интегрирование ведется по всем траекториям дираковских частиц, удовлетворяющим определенным начальным и конечным условиям при t —у =Ьоо. Одним из важнейших результатов работы Фейнмана, имеющим огромное практическое значение, являлся набор графических правил, позволяющих вычислять матричные элементы 5-матрицы в любом порядке по возмущению. В отличие от старой тео- теории возмущений 1920-1930-х годов, правила Фейнмана объединяют процессы рождения частицы и уничтожения античастицы и поэтому на каждом этапе вычислений дают лоренц-инвариантные результа- результаты. Ранее, говоря о вычислении Вайскопфом [63] собственной энергии электрона, мы видели, что только методы, рассматривающие части- частицы и античастицы на равных основаниях, проясняют происхождение расходимостей. Наконец, в двух работах, датируемых 1949 г., Фриман Дайсон [88] показал, что операторные формализмы Швингера и Томонаги приво- приводят к тем же графическим правилам, которые установил Фейнман. Дайсон также провел анализ расходимостей в случае произвольных фейнмановских диаграмм и в общих чертах доказал, что они всегда могут быть устранены при помощи перенормировок. Одним из важ- важнейших результатов дайсоновского анализа был критерий, позволя- позволяющий определить, является ли та или иная квантовая теория поля "перенормируемой". Последнее слово означает, что все расходимости, возникающие в теории, могут быть устранены путем переопределения конечного числа констант связи и масс. В частности, взаимодействия типа описываемых членом Паули A.1.32), приводящего к изменению магнитного момента электрона, разрушают перенормируемость кван- квантовой электродинамики. С момента опубликования работ Дайсона
§1.3. Проблема расходимостеп 55 физики получили общий и систематический формализм, который лег- легко освоить и который может быть использован для решения многих задач физики. Я не могу закончить рассказ о расходимостях, не затронув зага- загадочные аспекты истории борьбы с ними. Еще в 1930 г. Оппенгей- мер [61] отмечал, что степень ультрафиолетовой расходимости при вычислении собственной энергии связанного электрона существенно уменьшается, если рассматривать сдвиги не самих уровней энергии атома, а разность этих сдвигов. Кроме того, в 1934 г. Вайскофп [63] обнаружил, что степень расходимости собственной энергии свобод- свободного электрона существенно уменьшается, если учитывать промежу- промежуточные состояния, содержащие позитроны. В 1934 г. казалось вполне естественным предположение, что учет позитронных промежуточных состояний вместе с рассмотрением разности сдвигов энергий двух атомных уровней устранит ультрафиолетовые расходимости совсем и мы получим просто относительный сдвиг уровней1). Имелось да- даже экспериментальное свидетельство [77] того, что частота линии, соответствующей переходу 2si/2~2pi/2i составляет величину порядка 1000 МГц. Так почему же до 1947 г. не делалось попыток численно оценить эту разность энергий? Строго говоря, в 1939 г. одна такая попытка [88а] была сдела- сделана. Однако она, по существу, оказалась неверной, поскольку боль- большое значение придавалось радиусу заряда протона, влияние которо- которого на уровни энергии атома водорода ничтожно. Вычисление привело к результату, который приближенно находился в согласии с ранними экспериментами [77]. Как показал в 1939 г. Лэмб [88Ь], была сделана ошибка. Последовательный релятивистский вывод выражения для лэмбов- ского сдвига, учитывающий позитронные промежуточные состояния и использующий аппарат старой нерелятивистской теории возмущений, мог бы быть осуществлен еще в 1930-е годы. Если мы рассматрива- рассматриваем все члены, то с точностью до заданного порядка малости старая нерелятивистская теория возмущений приводит к тем же результа- результатам, что и заведомо релятивистские формализмы Фейнмана, Швин- гера и Томонаги. Фактически, после работы Бете первые точные вы- вычисления [81] лэмбовского сдвига были проведены в США Френчом, Вайскопфом, Норманом Кроллем и Лэмбом с использованием именно нерелятивистской теории возмущений, хотя японская группа, возглав- г) На самом деле, это предположение несправедливо. Как показано в § 14.3, радиационные поправки к массе электрона влияют на энергию атомных уровней не только посредством изменения массы покоя электрона, которая имеет одно и то же значение для всех уровней, но и посредством изменения кинетической энергии электрона, которая варьируется при пе- переходе от одного уровня к другому.
56 Гл. 1. Историческое введение ляемая Томонагой [81], уже использовала ковариантные методы для решения этой и других задач. Единственным недостающим элементом была вера в перенорми- перенормировки как средство, позволяющее бороться с расходимостями. Мы уже видели, что перенормировки широко обсуждались в конце 1930-х годов. Однако было признано, причем Оппенгеймер [89] особенно настаивал на этом, что квантовая электродинамика не работает при энергиях, больших 100 МэВ, и что решение задач, возникающих при столь высоких энергиях, может быть найдено только с помощью но- новых смелых идей. То, что произошло на острове Шелтер, перевернуло эти представ- представления. Первой новостью стал свет в конце туннеля на пути решения проблемы космических лучей, обсуждавшейся нами в предыдущем параграфе. Роберт Маршак выдвинул гипотезу [58], что существует два вида "мезонов" с близкими массами — мюоны, которые наблю- наблюдались на опыте, и пионы, ответственные за ядерные силы. Более важным представляется факт, что стали известны надежные экспе- экспериментальные значения лэмбовского сдвига и аномального магнит- магнитного момента, заставившие физиков внимательнее отнестись к про- проблеме радиационных поправок. По-видимому, не менее важным стал факт, что на конференции встретились теоретики, которые пытались решить проблему расходимостей своими собственными различными методами. Революция, произошедшая в конце 1940-х годов, была со- совершена теми физиками, которые хотя и были представлены в основ- основной своей части молодежью, являлись консерваторами, отказавши- отказавшимися от поисков радикального решения, на котором настаивали их предшественники. Литература 1. de Broglie L. // Comptes Rendus. 177, 507, 548, 630 A923); Nature. 112, 540 A923); These de doctorat. Masson et Cie, Paris, 1924; Annales de Physique. 3, 22 A925) [reprinted in English in Wave Mechanics, ed. by G. Ludwig. Pergamon Press, N.Y., 1968]; Phil. Mag. 47, 446 A924). 2. Elsasser W. // Naturwiss. 13, 711 A925). 3. Davisson C.J., Germer I.E. // Phys. Rev. 30, 705 A927). 4. Heisenberg W. // A. Phys. 33, 879 A925); Born M., Jordan P. // Z. f. Phys. 34, 858 A925); Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A109, 642 A925); Born M., Heisenberg W., Jordan P. // Z. f. Phys. 35, 557 A926); Pauli W. // Z. f. Phys. 36, 336 A926). Эти работы напеча- напечатаны также в Sources of Quantum Mechanics, ed. by B.L. van der Waerden. Dover Publications, Inc., N.Y., 1968.
Литература 57 5. Schroedinger Е. // Ann. Phys. 79, 361, 489; 80, 437; 81, 109 A926). Эти работы напечатаны также в английском переводе (правда, в несколько сокращенной версии) в Wave Mechanics, ссылка 1. Кроме того, см. Collected Papers on Wave Mechanics, trans, by J.F. Schearer, W.M. Deans. Blackie and Son, London, 1928. 6. См., например, Dirac P.A.M. The Development of Quantum Theory Gordon, Breach, N.Y., 1971. Также см. некролог, написанный Ди- Дираком в связи со смертью Шредингера, Nature. 189, 335 A961), и его статью в Scientific American. 208, 45 A963). 7. Klein О. II Z. f. Phys. 37, 895 A926). Также см. Fock V. // Z. f. Phys. 38, 242 A926); там же, 39, 226 A926). 8. Gordon W. II Z. f. Phys. 40, 117 A926). 9. Подробное вычисление приведено, например, в работе Schiff L.I. Quantum Mechanics, 3rd edn. McGraw-Hill, Inc., N.Y., 1968. Sec- Section 51. 10. Paschen F. // Ann. Phys. 50, 901 A916). Эксперименты, на са- самом деле, проводились с ионами Не+, так как расщепление тон- тонкой структуры последних в 16 раз больше, чем у водорода. Тонкая структура спектральных линий была впервые открыта при помощи интероферометра Майкельсоном, см. его работы Michelson A.A. // Phil. Mag. 31, 338 A891); там же, 34, 280 A892). 10а. Sommerfeld A. // Munchner Berichte 1915. P. 425, 429; Ann. Phys. 51, 1, 125 A916). См. также Wilson W. // Phil. Mag. 29, 795 A915). 11. Uhlenbeck G.E., Goudsmith S. // Naturwiss. 13, 953 A925); Nature. 117, 264 A926). Гипотеза о наличии у электрона спина была ра- ранее выдвинута по другим причинам Комптоном, см. его работу Compton АЛ. II J. Frank. Inst. 192, 145 A921). 12. Общая формула для зеемановского расщепления в одноэлек- тронных атомах была выведена эмпирическим путем А. Ланде, см. Lande A. // Z. f. Phys. 5, 231 A921); там же, 15, 189 A923); там же, 15, 189 A923); там же, 19, 112 A923). В то время дополни- дополнительный неорбитальный угловой момент, фигурирующий в этой формуле, рассматривался как угловой момент атомного "ядра", см. Sommerfeld A. // Ann. Phys. 63, 221 A920); там же, 70, 32 A923). Лишь в последствии физики осознали, что этот дополни- дополнительный угловой момент и есть спин электрона (см. ссылку 11). 13. Heisenberg W., Jordan P. // Z. f. Phys. 37, 263 A926); Darwin C.G. I/ Proc. Roy. Soc. A116, 227 A927). Дарвин утверждает, что эта работа была проделана несколькими авторами, однако Дирак при этом ссылается только на Дарвина. 14. Thomas L.H. // Nature. 117, 514 A926). Также см. Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, N.Y., 1972. Section 5.1.
58 Гл. 1. Историческое введение 15. Dime P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A117, 610 A928). Применения этой теории в случае эффектов Зеемана и Пашена-Бака, а также вычисление относительной интенсивности линий мультиплетов тонкой структуры изложены в работе Дирака, см. Dime P.A.M. II Proc. Roy. Soc. A118, 351 A928). 16. Вероятностная интерпретация нерелятивистской квантовой ме- механики излагается в работах Вот М. // Z. f. Phys. 37, 863 A926); там же, 38, 803 A926) (имеется сокращенный английский пере- перевод, см. Wave Mechanics, ссылка 1); Wentzel G. // Z. f. Phys. 40, 590 A926); Heisenberg W. // Z. f. Phys. 43, 172 A927); Bohr N. II Nature. 121, 580 A928); Naturwissenchaften. 17, 483 A929); Electrons et Photons — Rapports et Discussions du Vе Conseil de Physique Solvay. Gauthier-Villars, Paris, 1928. 17. Спор Дирака с Дж. Мехрой, состоявшийся 28 марта 1969 г., приведен в статье Мехры в Aspects of Quantum Theory, ed. by A. Salam and E.P. Wigner. Cambridge University Press, Cambridge, 1972. 18. Gamow G. Thirty Years that Shook Physics. Doubleday and Co., Garden City, N.Y., 1966. P. 125. 19. Pauli W. If Z. f. Phys. 37, 263 A926); 43, 601 A927). 20. Darwin C.G. // Proc. Roy. Soc. A118, 654 A928); там же, А120, 621 A928). 21. Gordon W. II Z. f. Phys. 48, 11 A928). 22. Dime P.A.M. I I Proc. Roy. Soc. A126, 360 A930); см. также ссыл- ссылку 47. 23. Stoner E.G. // Phil. Mag. 48, 719 A924). 24. Pauli W. If Z. f. Phys. 31, 765 A925). 25. Heisenberg W. // Z. f. Phys. 38, 411 A926); там же, 39, 499 A926); Dime P.A.M. I) Proc. Roy. Soc. A112, 661 A926); Pauli W. // Z. f. Phys. 41, 81 A927); Slater J.C. // Phys. Rev. 34, 1293 A929). 26. Fermi E. // Z. f. Phys. 36, 902 A926); Rend. Accad. Lincei. 3, 145 A926). 27. Dime P.A.M., ссылка 25. 27a. Dime P.A.M., First W.R. Crane Lecture at the University of Michi- Michigan, April 17, 1978, неопубликовано. 28. Weyl H. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, transla- translated from the second, 1931. German edition by H.P. Robertson. Dover Publications, Inc., N.Y.. Chapter IV, Section 12. См. также Dime P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A133, 61 A931). 29. Oppenheimer J.R. // Phys. Rev. 35, 562 A930); Tamm I. // Z. f. Phys. 62, 545 A930).
Литература 59 29а. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. 133, 60 A931). 30. Anderson CD. // Science. 76, 238 A932); Phys. Rev. 43, 491 A933). Последняя работа напечатана в Foundations of Nuclear Physics, ed. by R.T. Beyer. Dover Publications, Inc., N.Y., 1949. 30a. Schwinger J. // A report on Quantum Electrodynamics // В The Physicist's Conception of Nature. Reidel, Dordrecht, 1973. P. 415. 31. Pauli W. Handbuch der Physik. Julius Springer, Berlin, 1932-1933; Rev. Mod. Phys. 13, 203 A941). 32. Born, Heisenberg, Jordan, ссылка 4. Section 3. 32a. Ehrenfest P. // Phys. Z. 7, 528 A906). 33. Born, Jordan, ссылка 4. К несчастью, относящиеся к делу ча- части этой работы не включены в сборник Sources of Quantum Mechanics (см. ссылку 4). 34. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A112, 661 A926). Section 5. Вы- Вывод в более доступной форме имеется в Schiff L.I. Quantum Mechanics, 3rd edn. McGraw-Hill Book Company, N.Y., 1968. Section 44. 34a. Einstein A. // Phys. Z. 18, 121 A917); напечатана на английском языке в Sources of Quantum Mechanics, ссылка 4. 35. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A114, 243 A927); напечатана в Quantum Electrodynamics, ed. by J. Schwinger. Dover Publications, Inc., N.Y., 1958. 36. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A114, 710 A927). 36a. Weisskopf V.F., Wigner E. // Z. f. Phys. 63, 54 A930). 36b. Fermi E. // Lincei Rend. 9, 881 A929); 12, 431 A930); Rev. Mod. Phys. 4, 87 A932). 37. Jordan P., Pauli W. // Z. f. Phys. 47, 151 A928). 38. Bohr N., Rosenfeld L. // Kon. dansk. vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. XII, No. 8 A933) (имеется английский перевод, Selected Papers of Leon Rosenfeld, ed. by R.S. Cohen, J. Stachel. Reidel, Dordrecht, 1979); Phys. Rev. 78, 794 A950). 39. Jordan P., Z. f. Phys. 44, 473 A927). См. также Jordan P., Klein O. II Z. f. Phys. 45, 751 A929); Jordan P. I I Phys. Zeit. 30, 700 A929). 40. Jordan P., Wigner E. // Z. f. Phys. 47, 631 A928). Эта работа напечатана в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 40a. Fierz M. // Helv. Phys. Acta. 12, A939); Pauli W. // Phys. Rev. 58, 716 A940); Pauli W., Belinfante F.J. // Physica. 7, 177 A940). 41. Heisenberg W., Pauli W. // Z. f. Phys. 56, 1 A929); там же, 59, 168 A930).
60 Гл. 1. Историческое введение 42. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A136, 453 A932); Dirac P.A.M., Fock V.A., Podolsky B. // Phys. Zeit. der Sowjetunion. 2, 468 A932); Dirac P.A.M. // Phys. Zeit. der Sowjetunion. 3, 64 A933). Послед- Последние две работы напечатаны в Quantum Electrodynamics, ссылка 35, с. 29 и с. 312. Также см. Rosenfeld L. // Z. f. Phys. 76, 729 A932). 42а. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. London. A136, 453 A932). 43. Fermi E. // Z. f. Phys. 88, 161 A934). Ферми сослался на неопубли- неопубликованную работу Паули, чтобы обосновать свое предположение, состоящее в том, что при бета-распаде, кроме электрона, испус- испускается еще одна ненаблюдаемая нейтральная частица. Чтобы от- отличить новую частицу от недавно открытого нейтрона, ей дали название нейтрино. 43а. Fock V. C.R.Leningrad, 1933. P. 267. 44. Furry W.H., Oppenheimer J.R. // Phys. Rev. 45, 245 A934). В этой работе используется формализм матрицы плотности, развитый Дираком, см. Dirac P.A.M. // Proc. Camb. Phil. Soc. 30, 150 A934). Также см. Peierls R.E. // Proc. Roy. Soc. 146, 420 A934); Heisenberg W. // Z. f. Phys. 90, 209 A934); Rosenfeld L. // Z. f. Phys. 76, 729 A932). 45. Pauli W., Weisskopf V. // Helv. Phys. Acta. 7, 709 A934), напе- напечатана на английском языке в книге Miller A.I. Early Quantum Electrodynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. См.также Pauli W. // Ann. Inst. Henri Poincare. 6, 137 A936). 46. Klein O., Nishina Y. // Z. f. Phys. 52, 853 A929); Nishina К, там же, 869 A929); также см. Татт I. // Z. i. Phys. 62, 545 A930). 47. Dirac P.A.M. // Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 361 A930). 48. M0ller C. II Ann. d. Phys. 14, 531, 568 A932). 49. Bethe Я., Heitler W. // Proc. Roy. Soc. A146, 83 A934); см. также Racah G. // Nuovo Cimento. 11, No.7 A934); там же, 13, 69 A936). 50. Bhabha H.J. // Proc. Roy. Soc. A154, 195 A936). 50a. Carlson J.F., Oppenheimer J.R. // Phys. Rev. 51, 220 A937). 51. Ehrenfest P., Oppenheimer J.R. // Phys. Rev. 37, 333 A931). 52. Heitler W., Herzberg G. // Naturwiss. 17, 673 A929); Rasetti F. // Z. f. Phys. 61, 598 A930). 53. Chadwick J. // Proc. Roy. Soc. A136, 692 A932). Эта работа на- напечатана в The Foundations of Nuclear Physics, ссылка 30. 54. Heisenberg W. // Z. f. Phys. 77, 1 A932); см. также Curie-Joliot /., Joliot F. II Compt. Rend. 194, 273 A932). 54a. Список ссылок см., например, в Brown L.M., Rechenberg H. // Hist. Stud, in Phys. and Bio. Science. 25, 1 A994).
Литература 61 55. Yukawa Н. // Proc. Phys.-Math. Soc. (Japan) C). 17, 48 A935). Эта работа напечатана в The Foundations of Nuclear Physics, ссыл- ссылка 30. 56. Neddermeyer S.H., Anderson CD. // Phys. Rev. 51, 884 A937); Street J.C., Stevenson E.G. // Phys. Rev. 52, 1003 A937). 56a. Nordheim L., Webb N. // Phys. Rev. 56, 494 A939). 57. Conversi M., Pancini E., Piccioni 0. // Phys. Rev. 71, 209L A947). 58. Sakata S., Inoue T. // Prog. Theor. Phys. 1, 143 A946); Mar- shak R.E., Bethe HA. // Phys. Rev. 77, 506 A947). 59. Lattes C.M.G., Occhialini G.P.S., Powell C.F. // Nature. 160, 453, 486 A947). 60. Rochester CD., Butler С.С // Nature. 160, 855 A947). 61. Oppenheimer J.R. // Phys. Rev. 35, 461 A930). 62. Waller I. // Z. f. Phys. 59, 168 A930); там же, 61, 721, 837 A930); там же, 62, 673 A930). 63. Weisskopf V.F. // Z. f. Phys. 89, 27 A934) (имеется английский перевод, см. Early Quantum Electrodynamics, ссылка 45), там же, 90, 817 A934). В этих работах собственная электромагнитная энергия вычисляется в низшем порядке по а. Доказательство то- того, что расходимости во всех порядках теории возмущений всего лишь логарифмические, было дано Вайскопфом, см. Weisskopf II Phys. Rev. 56, 72 A939). (Последняя работа напечатана также в Quantum Electrodynamics, ссылка 35). 64. Dirac P.A.M. // XVII Conseil Solvay de Physique. P. 203 A933), напечатана также в Early Quantum Electrodynamics, ссылка 45. Изложение дальнейших вычислений, основанных на менее огра- ограничивающих предположениях, имеется в работах Heisenberg W. II Z. f. Phys. 90, 209 A934); Sachs. Akad. Wiss. 86, 317 A934); Serber R. // Phys. Rev. 43, 49 A935); Uehling E.A. // Phys. Rev. 48, 55 A935); Pauli W., Rose M. // Phys. Rev. 49, 462 A936). Также см. Furry, Oppenheimer (ссылка 64); Peierls (ссылка 44); Weisskopf (ссылка 63). 65. Euler H., Kockel B. // Naturwiss. 23, 246 A935); Heisenberg W., Euler H. I/ Z. f. Phys. 98, 714 A936). 66. Dirac P.A.M. // Proc. Camb. Phil. Soc. 30, 150 A934). 67. Heisenberg W. // Z. f. Phys. 90, 209 A934). 68. Kemmer N, Weisskopf V.F. // Nature. 137, 659 A936). 68a. Bloch F., Nordsieck A. // Phys. Rev. 52, 54 A937). См. также Pauli W., Fierz M. // Nuovo Cimento. 15, 167 A938), имеется ан- английский перевод (см. Early Quantum Electrodynamics, Ref. 45). 69. DancojJ S.M. // Phys. Rev. 55, 959 A939).
62 Гл. 1. Историческое введение 69а. Lewis H.W. // Phys. Rev. 73, 173 A948); Epstein S. // Phys. Rev. 73, 177 A948). См. также Schwinger J., ссылка 84; Koba Z., Tomonaga S. // Prog. Theor. Phys. 3/3, 290 A948). 69b. Schwinger J. В The Birth of Particle Physics, ed. by L. Brown and L. Hoddeson. Cambridge University Press, Cambridge, 1983. P. 336. 70. Heisenberg W. // Ann. d. Phys. 32, 20 A938). В Early Quantum Electrodynamics (ссылка 45) напечатан английский перевод. 70а. Wentzel G. // Z. f. Phys. 86, 479, 635 A933); Z. f. Phys. 87, 726 A934); Born M., Infeld L. // Proc. Roy. Soc. A150, 141 A935); Pauli W. II Ann. Inst. Henri Poincare. 6, 137 A936). 71. Wheeler J.A. // Phys. Rev. 52, 1107 A937). 72. Heisenberg W. // Z. f. Phys. 120, 513, 673 A943); Z. Naturforsch. 1, 608 A946). Также см. M0ller С // Kon. Dansk. Vid. Sels. Mat.-Fys. Medd. 23, No. 1 A945); там же, 23, No. 19, A946). 73. См., напр., Chew G. The S-Matrix Theory of Strong Interactions. W.A. Benjamin, Inc., N.Y., 1961. 74. Wheeler J.A., Feynman R.P. // Rev. Mod. Phys. 17, 157 A945); там же, 21, 425 A949). Расширенный список ссылок, а также об- обсуждение применений теорий дальнодействия в космологии см., например, Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Willey, 1972. Section 16.3. 75. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. A180, 1 A942). Критический раз- разбор этой статьи изложен в работе Pauli W. // Rev. Mod. Phys. 15, 175 A943). Обзором классических теорий этого типа, а так- также других попыток решить проблему расходимостей является статья R.E. Peierls в Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay, 1948. R. Stoops, Brussels, 1950. P. 241. 76. Weisskopf V.F. // Kon. Dan. Vid. Sel., Mat.-fys. Medd. XIV, No. 6 A936), особенно с. 34 и с. 5, 6. Эта работа напечатана также в Quantum Electrodynamics (ссылка 35). Имеется английский пере- перевод, см. Early Quantum Electrodynamics (ссылка 45). Кроме того, см. Pauli W., Fierz М. (ссылка 68а); Kramers H.A. (ссылка 79а). 77. Pasternack S. // Phys. Rev. 54, 1113 A938). Это предположение основывалось на экспериментах Хаустона, см. Houston W. V. // Phys. Rev. 51, 446 A937); Williams R.C. // Phys. Rev. 54, 558 A938). Данные, говорящие об обратном, приведены в работе Drinkwater J.W., Richardson О., Williams W.E. jj Proc. Roy. Soc. 174, 164 A940). 78. Uehling E.A., ссылка 64. 79. Lamb W.E., Retherford Jr and R.C. // Phys. Rev. 72, 241 A947). Эта работа напечатана в Quantum Electrodynamics, ссылка 35.
Литература 63 79a. Kramers H.A. jj Nuovo Cimento. 15, 108 A938). Напечатана в английском переводе в Early Quantum Electrodynamics, ссылка 45; Ned. Т. Natwink. 11, 134 A944); Rapports du 8me Conseil de Physique Solvay, 1948. R. Stoops, Brussels, 1950. 80. Bethe H.A. // Phys. Rev. 72, 339 A947). Эта работа напечатана также в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 81. French J.B., Weisskopf V.F.//Phys. Rev. 75, 1240A949);KrollN.M., Lamb W.E. // Phys. Rev. 75, 388 A949); Schwinger J. // Phys. Rev. 75, 898 A949); Feynman R.P. // Rev. Mod. Phys. 20, 367 A948); Phys. Rev. 74, 939, 1430 A948); 76, 749, 769 A949); 80, 440 A950); Fukuda H., Miyamoto Y., Tomonaga S. // Prog. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys. 4, 47, 121 A948). Работа Кролля и Лэмба напечатана в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 82. Nafe J.E., Nelson E.B., Rabi I.I. // Phys. Rev. 71, 914 A947); Nagel D.E., Julian R.S., Zacharias J.R. // Phys. Rev. 72, 973 A947). 83. Kusch P., Foley H.M. // Phys. Rev. 72, 1256 A947). 83a. Breit G. // Phys. Rev. 71, 984 A947). Швингер в своей работе, указанной здесь под номером 84, приводит исправленный вари- вариант результатов Брейта. 84. Schwinger J. // Phys. Rev. 73, 416 A948). Эта работа также на- напечатана в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 85. Schwinger J. // Phys. Rev. 74, 1439 A948); там же, 75, 651 A949); там же, 76, 790 A949); там же, 82, 664, 914 A951); там же, 91, 713 A953); Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 452 A951). Все эти работы, кроме первых двух, напечатаны в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 86. Tomonaga S. // Prog. Theor. Phys. Rev. Mod. Phys. 1, 27 A946); Koba Z., Tati Т., Tomonaga S., там же., 2, 101 A947); Kanesawa S., Tomonaga S., там же, 3, 1, 101 A948); Tomonaga S. // Phys. Rev. 74, 224 A948); Ito D., Koba Z., Tomonaga S. // Prog. Theor. Phys. 3, 276 A948); Koba Z., Tomonaga S., там же, З, 290 A948). Пер- Первая и четвертая работы напечатаны в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 87. Feynman R.P. // Rev. Mod. Phys. 20, 367 A948); Phys. Rev. 74, 939, 1430 A948); там же, 76, 749, 769 A949); там же, 80, 440 A950). Все работы, кроме второй и третьей, напечатаны в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 88. Dyson F.J. II Phys. Rev. 75, 486, 1736 A949). Эти статьи напеча- напечатаны в Quantum Electrodynamics, ссылка 35. 88а. Frohlich H, Heitler W., Kahn В. // Proc. Roy. Soc. A171, 269 A939); Phys. Rev. 56, 961 A939). . Lamb W.E., Jr // Phys. Rev. 56, 384 A939); Phys. Rev. 57, 458 A940).
64 Гл. 1. Историческое введение 89. Цитата взята из Serber R. // The Birth of Particle Physics, с 270, ссылка 69b. Дополнительная литература 1. Aramaki S. Development of the Renormalization Theory in Quan- Quantum Electrodynamics // Historia Scientiarium. 36, 97 A989); ibid. 37, 91 A989). [Параграф 1.З.] 2. Beyer R. T. Ed. Foundations of Nuclear Physics. Dover Publications, Inc., N.Y., 1949). [Параграф 1.2.] 3. Brown L. Yukawa's Predictions of the Meson // Centauros. 25, 71 A981). [Параграф 1.2.] 4. Brown L.M., Hoddeson L. Eds. The Birth of Particle Physics Camb- Cambridge University Press, Cambridge, 1983. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 5. Cao T.Y., Schweber S.S. The Conceptual Foundations and the Philosophical Aspects of Renormalization Theory // Synthese. 97, 33 A993). [Параграф 1.З.] 6. Dirac P.A.M. The Development of Quantum Theory. Gordon and Breach Science Publishers, N.Y., 1971. [Параграф 1.1.] 7. Fermi E. Quantum Theory of Radiation // Rev. Mod. Phys. 4, 87 A932). [Параграфы 1.2, 1.3] 8. Gamow G. Thirty Years that Shook Physics. Doubleday and Co., Garden City, N.Y., 1966. [Параграф 1.1.] 9. Jammer M. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill Book Co., N.Y., 1966. [Параграф 1.1.] 10. Mehra J. The Golden Age of Theoretical Physics: P.A.M. Dirac's Scientific Work from 1924 to 1933 // В Aspects of Quantum Theory, ed. by A. Salam, E.P. Wigner. Cambridge University Press, Camb- Cambridge, 1972. [Параграф 1.1.] 11. Miller A.I. Early Quantum Electrodynamics — A Source Book. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1994. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 12. Pais A. Inward Bound. Clarendon Press, Oxford, 1986. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 13. Schweber S.S. Feynman and the Visualization of Space-Time Pro- Processes // Rev. Mod. Phys. 58, 449 A986). [Параграф 1.З.] 14. Schweber S.S. Some Chapters for a History of Quantum Field Theory: 1938-1952 // В Relativity, Groups, and Topology II, ed. by B.S. DeWitt and R. Stora. North-Holland, Amsterdam, 1984. [Па- [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.]
Дополнительная литература 65 15. Schweber S.S. A Short History of Shelter Island I // В Shelter Island II, ed. by R. Jackiw, S. Weinberg, and E. Witten. MIT Press, Cambridge, MA, 1985. [Параграф 1.З.] 16. Schweber S.S. QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press, Princeton, 1994. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 17. Schwinger J. Ed., Selected Papers in Qunatum Electrodynamics. Dover Publications Inc., N.Y., 1958. [Параграфы 1.2, 1.З.] 18. Tomonaga S.-I. // В The Physicist's Conception of Nature. Reidel, Dordrecht, 1973. [Параграфы 1.2, 1.З.] 19. Weinberg S. The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory. Daedalus, Fall 1977. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 20. Weisskopf V.F. Growing Up with Field Theory: The Development of Quantum Electrodynamics in Haifa Century, 1979. Bernard Gregory Lecture at CERN, published in L. Brown and L. Hoddeson, op. cit. [Параграфы 1.1, 1.2, 1.З.] 21. Wentzel G. Quantum Theory of Fields (Until 1947) // В Theoretical Physics in the Twentieth Century, ed. by M. Fierz and V.F. Weiss- Weisskopf (Interscience Publishers Inc., N.Y., I960). [Параграфы 1.2, 1.З.] 22. Whittaker E. A History of the Theories of Aether and Electricity. Humanities Press, N.Y., 1973. [Параграф 1.1.] 23*. Многие из перечисленных выше в разделе "Литература" класси- классических статей (например, 85—88) даны в переводе в сборнике: "Но- "Новейшее развитие квантовой электродинамики" (ред. Д.Д. Ива- Иваненко).—М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. Добавлено при переводе. 5 С.Вайнберг. Т. 1
Гл а в а 2 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В этой книге мы придерживаемся той точки зрения, что квантовая теория поля в существующей форме (с определенными оговорками) является единственной возможностью согласовать квантовую механи- механику со специальной теорией относительности. Поэтому первая задача состоит в том, чтобы понять, каким образом в свойствах квантовых систем проявляются такие симметрии, как лоренц-инвариантность. § 2.1. Квантовая механика Сначала хорошая новость: в основе квантовой теории поля лежит та же самая, придуманная 1925-26 гг. Шредингером, Гейзенбергом, Паули, Борном и другими квантовая механика, которая используется в атомной, молекулярной, ядерной физике и в физике конденсирован- конденсированного состояния. Предполагается, что читатель с ней знаком. Данный параграф содержит очень краткое ее изложение, причем мы будем следовать Дираку [1], немного обобщив его подход. (i) Физические состояния представляются лучами в гильберто- гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство является разновидно- разновидностью комплексного векторного пространства: если Ф и Ф — векторы в этом пространстве (их часто называют "векторами состояний"), тогда для любых комплексных чисел ? и г\ вектор ?Ф + 7?Ф также принадле- принадлежит этому пространству. Векторы нормируются1) следующим обра- образом: для любой пары векторов существует комплексное число (Ф, Ф), такое что (Ф,Ф) = (Ф,Ф)*, B.1.1) (Ф, &Ф! + &Ф2) = &(Ф, Фх) + ?2(Ф, Ф2), B.1.2) G71Ф1 + ту2Ф2, Ф) = 77*(ФЬ Ф) + /72*(Ф2, Ф). B.1.3) Норма (Ф, Ф) удовлетворяет условию положительной определенности: (Ф, Ф) ^ 0; она равна нулю тогда и только тогда, когда Ф = 0 (кроме того, необходимо ввести определенный набор технических предполо- предположений, позволяющий выполнять предельные переходы внутри гиль- гильбертова пространства). Луч представляет собой набор нормирован- нормированных векторов (т.е. (Ф,Ф) = 1) такой, что ФиФ' принадлежат одному г) Мы будем часто использовать бра-кет обозначения Дирака, т.е. вме- вместо (Ф1,Ф2) писать A|2).
§2.2. Симметрии 67 и тому же лучу, если Ф' = ?Ф, где ? — произвольное комплексное чис- число, подчиняющееся условию |?| = 1. (И) Наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами. Эти операторы отображают гильбертово пространство в себя Ф —у АФ ли- линейно в том смысле, что А(?Ф + туФ) = ?АФ + г]АФ, B.1.4) и удовлетворяют условию действительности А^ = А, где для любого линейного оператора А сопряженный ему А^ определяется согласно правилу (ф (кроме того, необходимо ввести некоторые технические предположе- предположения о непрерывности АФ как функции Ф). Состоянию, представлен- представленному лучом ^, соответствует определенное значение а наблюдаемой, представленной оператором А, если векторы Ф, принадлежащие это- этому лучу, являются собственными векторами оператора А, которым соответствует собственное значение а: АФ = аФ для Ф G St. B.1.6) Согласно теореме линейной алгебры величина а действительна, если оператор А — эрмитов, причем собственные векторы, которым соот- соответствуют разные а, ортогональны друг другу. (iii) Если система находится в представленном лучом & состоя- состоянии и мы выполняем некоторый эксперимент (например, измерение значения одной или нескольких наблюдаемых) с целью проверить, не находится ли она в каком-нибудь из состояний, представленных вза- взаимно ортогональными лучами S%\, ^2 ? • • • ? вероятность обнаружить ее в состоянии, представленном лучом ^п, равна Р(^^^„) = |(Ф,Ф„)|2, B.1.7) где Ф и Фп — векторы, принадлежащие лучам ?% и ?%п соответственно (два луча называются ортогональными, если скалярное произведение любого вектора, принадлежащего первому лучу, и любого вектора, принадлежащего второму лучу, равно нулю). Согласно еще одной эле- элементарной теореме полная вероятность равна n если векторы состояний Фп образуют полный набор. § 2.2. Симметрии Под преобразованием симметрии будем понимать изменение спосо- способа наблюдения системы, не меняющее однако результатов возможных экспериментов. Если с точки зрения наблюдателя О система находит- находится в состоянии, представленном лучом ^, 8%\ или ^ ..., то с точки
Гл. 2. Релятивистская квантовая механика зрения другого наблюдателя О' она окажется в состоянии, представ- представленном лучом &', &[ или &2 соответственно, причем оба наблюдателя должны регистрировать одинаковые вероятности Р{М -+ Мп) = Р{М' -+ М'п) B.2.1) (это условие преобразования лучей является лишь необходимым, остальные условия мы будем обсуждать в следующей главе). Соглас- Согласно важной теореме, доказанной Вигнером [1] в начале 1930-х годов, для любого такого преобразования лучей М —У Si1 можно определить действующий на гильбертовом пространстве оператор U такой, что если Ф принадлежит ^, то t/Ф принадлежит ?%', причем U является либо унитарным и линейным, (?/Ф,?/Ф) = (Ф,Ф), B.2.2) 17(?Ф + /уФ) = f Е/Ф + туС/Ф, B.2.3) либо антиунитарным и антилинейным = (Ф,Ф)*, B.2.4) ?*иФ + 77*С/Ф. B.2.5) В доказательстве Вигнера отсутствуют некоторые детали. Более пол- полное доказательство этой теоремы представлено в конце этой главы, в приложении А. Как уже упоминалось, оператор, сопряженный линейному опера- оператору L, определяется согласно правилу (Ф,^Ф) = (?Ф,Ф). B.2.6) Оператор L не может быть антилинейным, поскольку в противном случае правая часть B.2.6) линейна по Ф, а левая — антилинейна. Бу- Будем определять оператор, сопряженный антилинейному оператору А, согласно правилу (Ф, А+Ф) = (АФ, Ф)* = (Ф, АФ). B.2.7) Тогда условия унитарности или антиунитарности приобретают сле- следующий вид: U] = U-\ B.2.8) Всегда существует тривиальное преобразование симметрии ?% —>¦ —У ?%, представленное тождественным оператором U = 1, являющим- являющимся, конечно, унитарным и линейным. Тогда из условия непрерывно- непрерывности следует, что любая симметрия (аналогичная повороту, трансляции или преобразованиям Лоренца), которую можно привести к тривиаль- тривиальной непрерывным изменением некоторых параметров (например, уг- углов, расстояний или скорости), должна быть представлена линейным унитарным оператором U (симметрии, представленные антиунитар- антиунитарным и антилинейным оператором, встречаются реже; все они вклю- включают изменение направления времени, см. §2.6).
§2.2. Симметрии 69 В частности, преобразования симметрии, бесконечно близкие к тривиальному, могут быть представлены линейным унитарным опе- оператором, бесконечно близким к тождественному: U = l + iet, B.2.9) где б — вещественная бесконечно малая величина. Для того чтобы U был унитарным и линейным, оператор t должен быть эрмитовым и ли- линейным. Следовательно, оператору t может соответствовать наблюда- наблюдаемая величина. Действительно, большинство наблюдаемых величин в физике (а, быть может, и все), например угловой момент или импульс, возникают как раз таким образом из преобразований симметрии. Набор преобразований симметрии имеет определенные свойства, определяющие его как группу. Если преобразование Т\ переводит луч &п в <%'п, а другое преобразование Г2 — ё%*п в <%'^ то результат по- последовательного применения двух этих преобразований представляет собой третье преобразование симметрии, обозначаемое T2Ti, которое переводит М'п в М'^. Кроме того, для преобразования симметрии, пе- переводящего ?%п в ffl'n, существует обратное, обозначаемое как Т, которое переводит М'п в Мп. Также существует единичное преобразо- преобразование Т = 1, переводящее любой луч в самого себя. Унитарные и антиунитарные операторы С/(Т), соответствующие этим преобразованиям симметрии, обладают свойствами, отражаю- отражающими структуру группы. Однако существует дополнительная слож- сложность, обусловленная тем, что в отличие от самих преобразований симметрии операторы U{T) действуют на векторы в гильбертовом пространстве, а не на лучи. Поэтому, если преобразование Т\ перево- переводит ?%п в ffl'n, то в результате действия оператора U(T\) на вектор Фп, принадлежащий лучу Мп, должен получиться вектор U(TiL?n, при- принадлежащий лучу &'п, и если Т2 переводит этот луч в М1^, то при дей- действии на U{Ti)^n должен получиться вектор U(T2)U(TiL!nj принад- принадлежащий лучу М'^. Но U(T2TiLfn принадлежит тому же лучу, и эти векторы могут отличаться только фазовым множителем фп (Т2, Т\) 1)Фп. B.2.10) Более того, за исключением одного важного случая, линейность (или антилинейность) U(T) гарантирует, что эти фазы не зависят от со- состояния Фп. Чтобы доказать это, рассмотрим два вектора Ф^, Ф#, не являющиеся пропорциональными друг другу. Тогда, применяя урав- уравнение B.2.10) к состоянию Фав = ФА + Фв> получим 9 в) = ' B.2.11) Для любого унитарного или антиунитарного оператора существует
70 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика обратный (сопряженный ему), который также является унитарным или антиунитарным. Умножая B.2.11) на U~1{T2Ti) слева, имеем 5 B.2.12) знак плюс или минус в экспоненте соответствуют унитарному или ан- антиунитарному оператору t/(T2Xi). Поскольку Ф^ и Ф# линейно неза- независимы, это возможно только если егфлв =е*Фл = ^Фв% B.2.13) Таким образом, как уже говорилось, фазовый множитель в уравне- уравнении B.2.10) не зависит от вектора состояния Фп, и поэтому это урав- уравнение можно писать в виде операторного соотношения и{Т2)и{Тх) = e^T2'Tl)f/(r2ri). B.2.14) В случае ф = 0 это означает, что U(T) является представлением груп- группы преобразования симметрии. Если фаза ф{Т2,Т\) произвольна, мы получаем то, что в математике называется проективным представ- представлением или представлением "с точностью до фазы". Для получения ответа на вопрос, является ли пространство физических векторов со- состояний обычным или проективным представлением, информации о структуре алгебры Ли недостаточно. Тем не менее, как мы увидим, она дает возможность определить, имеет ли данная группа какие-либо существенно проективные представления вообще. На самом деле может оказаться невозможным приготовить систе- систему в состоянии, соответствующем Ф^ + Ф#. Например, общеизвестно, что нельзя создать суперпозицию двух состояний с целым и полуце- полуцелым полными угловыми моментами. В таких случаях будем говорить, что существует "правило суперотбора" между различными классами состояний [3] и фазы ф(Т2,Т{) могут зависеть от того, на каком классе состояний действуют операторы U{T2)U{Ti) и t/(T2,Xi). Мы рассмот- рассмотрим более подробно возможность появления таких фаз и проективных представлений в § 2.7. Как будет показано, любую группу симметрии, обладающую проективными представлениями, всегда можно расши- расширить (не меняя, тем не менее, соответствующих физических следствий симметрии) так, что все ее представления окажутся непроективными, с ф = 0. Пока просто будем предполагать, что такое расширение вы- выполнено, и считать, что ф = 0 в уравнении B.2.14). Существует класс групп, получивший название связных групп Ли, который представляет для физики особенный интерес. По определе- определению связной называется группа преобразований Т(в), задающихся конечным набором непрерывных вещественных параметров, напри- например 0а, так, что любой элемент группы можно соединить с единичным элементом путем, целиком лежащим внутри данной группы. Группо- Групповой закон умножения тогда принимает вид Г@)Г@)=Г(/(М)), B.2.15)
§2.2. Симметрии 71 где /а@,0) — функция от 0 и 0. Если принять значение 0а = 0 как координаты единичного элемента группы, то должно быть выполнено условие /а(<9,О) = /а(О,0)=0а. B.2.16) Как уже упоминалось, принадлежащие таким непрерывным груп- группам преобразования должны быть представлены в физическом гиль- гильбертовом пространстве унитарными (а не антиунитарными) опера- операторами и(Т(в)). Для группы Ли эти операторы можно представить (по крайней мере, в некоторой окрестности единичного элемента) в виде следующего ряда: ЩТ(в)) = 1 + i9ata + \ ebectbe + ..., B.2.17) где ta, tbc = tcb и т.д. — операторы, не зависящие от 0S, a ta — эрмито- эрмитовы. Предположим, что U{T@)) образуют обычное (т.е. непроективное) представление такой группы преобразований: U(T@))U(T@)) = U(T(f@,0))). B.2.18) Поймем, как это условие будет выглядеть после разложения по сте- степеням 0а и 0а. Согласно B.2.16), во втором порядке выражение для /а@,0) должно иметь вид /а(#, 0)=6а+6а + ГъсОЬвс + ..., B.2.19) где fabc — действительные коэффициенты (наличие любых слагае- слагаемых, пропорциональных в2 или в2, привело бы к нарушению B.2.16)). В результате уравнение B.2.18) приобретает вид [i + feata + \ ebectbc +...] х [i + ioata + \ ebectbc +. = l + i(oa + ea + fabcoboc +.. .)ta + + \ @b + 0b + .. .)(<9C + 0c + .. .)tbc + • • • B.2.20) Члены порядка 1, в, в, в2 и в2 в правой и левой частях уравнения B.2.20) автоматически совпадают, а благодаря существованию чле- членов, пропорциональных 00, возникает нетривиальное условие tbc = -tbtc-ifabcta. B.2.21) Из этого соотношения следует, что если задана структура группы, т.е. функция /@,0), и тем самым заданы ее квадратичные коэффициен- коэффициенты jabc-> то в С/(Т@)), используя генераторы ?а, присутствующие в слагаемых первого порядка, можно вычислить слагаемые второго по- порядка. Существует однако условие согласования: оператор ttc должен быть симметричен по Ъ и с (поскольку он является второй производ- производной U(T@)) по 0ь и 0е), поэтому для выполнения уравнения B.2.21)
72 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика необходимо, чтобы [tb,tc] =iCabcta, B.2.22) где Саьс — набор действительных констант, получивших название структурных констант Cabc = -fabc + facb- B.2.23) Такой набор коммутационных соотношений называют алгеброй Ли. В § 2.7 будет показано, что коммутационные соотношения B.2.22) яв- являются единственным условием, гарантирующим, что процесс рекур- рекуррентного восстановления следующих членов разложения по преды- предыдущим может быть продолжен: из бесконечной последовательности соотношений типа B.2.21) можно получить весь ряд U(T@)), если из- известны члены первого порядка — генераторы ta. Это не обязательно означает, что операторы U(TF)) однозначно определяются для лю- любых 0а, если известны ta. Однако U(T@)) в самом деле определяются однозначно по крайней мере в малой окрестности единичного элемен- элемента 0а = 0, так что уравнение B.2.15) справедливо, если 0, О и /@,0) принадлежат этой окрестности. В § 2.7 мы выясним, каким обра- образом можно ослабить условие локальности относительно аргумента 0а. Довольно важным является следующий случай, с которым нам не раз придется сталкиваться в дальнейшем: предположим, что функ- функция /(#,#) (возможно, только на некотором подмножестве всех 0а) представляет собой просто сумму fa@,0) =0а +0а. B.2.24) Это имеет место, например, для трансляций в пространстве-времени или поворотов вокруг любой фиксированной оси (но не комбинаций этих двух типов преобразований). В этом случае коэффициенты /аьс и структурные константы B.2.23) обращаются в нуль. Тогда все гене- генераторы коммутируют друг с другом: Мс]=0. B.2.25) Такая группа называется абелевой, и для нее несложно вычислить U(T@)) при произвольных 0а. Из уравнений B.2.18) и B.2.24) для любого целого N имеем Устремляя N —у оо и оставляя в U{T@/N)) члены первого порядка малости, получаем U(T@)) = lim и, следовательно, U(T@)) = exp(ita0a). B.2.26)
§2.3. Квантовые преобразования Лоренца 73 § 2.3. Квантовые преобразования Лоренца Согласно принципу относительности Эйнштейна "инерциальные" системы отсчета физически эквивалентнты друг другу. Эйнштейнов- Эйнштейновский принцип отличается от галилеевского, справедливого в рамках ньютоновской механики, благодаря преобразованиям, связывающим координаты в различных инерциальных системах отсчета. Если жм — координаты в одной инерциальной системе отсчета (ж1, ж2, ж3 — про- пространственные декартовы координаты, а ж0 = t — временная коорди- координата, скорость света будем считать равной единице), тогда в любой другой инерциальной системе отсчета координаты ж/М должны удо- удовлетворять условию п г\т1^ c\tw — п г\т^ c\tv О Ч 1 ^ 'IILV — /Д^ 1 у?.О. л. J или, что эквивалентно, Здесь ц^у — диагональная матрица с элементами г)и = ^22 = тз = +1, 77оо = -1, B.3.3) причем имеет место следующее правило суммирования: будем сум- суммировать по всем индексам (таким, как \± и v в B.3.2)), встре- встречающимся в одном и том же слагаемом дважды — как верхний индекс и как нижний. Эти преобразования обладают особым свой- свойством: для всех инерциальных систем отсчета скорость света одина- одинакова (и равна единице)х). Световая волна, движущаяся с единичной скоростью, удовлетворяет условию |dx/cft| = 1 или, что эквивалентно, ц^у dx^ dxv = <ix2 - dt2, откуда следует, что ц^у dx'^ dxw — 0, и, сле- следовательно, \dx.' /dt'\ = 1. Любое координатное преобразование жм —У ж/М, удовлетворяющее условию B.3.2), является линейным [За] ar'^AV + a", B.3.4) где ам — произвольные константы, а Л% — постоянная матрица, удо- удовлетворяющая условиям r,^A%A\=rip*- B-3.5) ) Существует более широкий класс координатных преобразований, ко- которые называются конформными преобразованиями. Для них квадрат эле- элемента длины r\^v dx'n dxv пропорционален, (хотя, вообще говоря, не равен) 4Jij,u dx^dxv, поэтому они также оставляют скорость света инвариантной. Конформная инвариантность в двух измерениях имеет огромное значение в теории струн и статистической механике, однако физическая уместность таких преобразований в четырех пространственно-временных измерениях не выяснена до сих пор.
74 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Иногда оказывается полезным переписать условия, которым под- подчиняются преобразования Лоренца, в другом виде. Для матрицы rj^ существует обратная матрица, которая обозначается rfv. Она совер- совершенно случайно имеет такие же компоненты, т.е. является диаго- диагональной, причем Т]00 = — 1 , ту11 = г]22 = г]33 = +1. Умножая уравне- уравнение B.3.5) на т]атАкт, получаем После умножения на матрицу, обратную к rj^A^p, имеем АиаАктг)ат = цук. B.3.6) Эти преобразования образуют группу. Если сначала совершить пре- преобразование Лоренца B.3.4), а затем — преобразование х'^ —у ж"м, где г"м _ дм т'р I „м — дм (\р т" I пр\ I лм результат будет таким же, какой дает преобразование Лоренца жм —>¦ ->• х"^, где х"» = (A%Apv)xv + (А%ар + а") B.3.7) (заметим, что если A^v и A^v удовлетворяют соотношению B.3.5), то А^рАр1/ также удовлетворяют этому соотношению и поэтому являют- являются преобразованиями Лоренца; черту мы используем здесь только для того, чтобы отличать одно преобразование Лоренца от другого). Следовательно, действующее на физические состояния преобразова- преобразование Т(А,а) удовлетворяет закону композиции Г(Л, а)Г(Л, а) = Г(ЛЛ, Ла + а). B.3.8) Взяв детерминант от B.3.5), получаем (DetAJ = 1, B.3.9) поэтому для A^v существует обратная матрица (Л)*^, которая, как мы видим из B.3.5), имеет вид ( \-l\p _\ р= per дд B^10^ Обратным к Т(А,а) преобразованием, согласно B.3.8), будет а единичным преобразованием является ТA,0). В соответствии с предыдущим параграфом, преобразование Г(Л,а) индуцирует некоторое унитарное линейное преобразование, действу- действующее на векторы в физическом гильбертовом пространстве Ф^ [7(Л,а)Ф.
§2.3. Квантовые преобразования Лоренца 75 Операторы U удовлетворяют правилу композиции U (A, a)U(A, a) = U(AA, Аа + а). B.3.11) (как уже упоминалось, для того чтобы избежать появления фазового множителя в левой части уравнения B.3.11), необходимо, вообще го- говоря, расширить группу Лоренца; как это сделать, будет обсуждаться в §2.7). Полная группа преобразований Т(А,а) называется неоднородной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Она имеет ряд важных под- подгрупп. Во-первых, это преобразования с ам = 0, образующие, очевид- очевидно, подгруппу с _ _ Г(Л, 0)Г(Л, 0) = Г(ЛЛ, 0), B.3.12) которую называют однородной группой Лоренца. Из B.3.9) следует, что либо DetA = +1, либо DetA = — 1; преобразования с Det A = +1 также, очевидно, образуют подгруппу однородной и неоднородной групп Лоренца. Далее, воспользовавшись 00-компонентами уравне- уравнений B.3.5) и B.3.6), имеем (Л°0J = 1 + Л*оЛ*о = 1 + Л°Д0,. B.3.13) Здесь по г, пробегающему значения 1, 2 и 3, ведется суммирование. Мы видим, что или Л°о ^ +1, или Л°о ^ — 1. Преобразования с Л°о ^ +1 образуют подгруппу. Заметим, что если A^v и A^v — два таких пре- преобразования, то (ЛЛ)°0 = ЛооЛ°о + Л^Л^ + Л°2Л20 + Л°3Л30. Но из B.3.13) следует, что 3-вектор (Л1^ Л2о, Л3о) имеет длину Аналогично, 3-вектор (Л1^ Л2о, Л3о) имеет длину \/(ЛооJ - 1. Поэтому скалярное произведение этих двух векторов ограничено свер- сверху величиной lAV1,, + Л°2Л20 + Л°3Л3о| ^ \/(Л%J - 1 ^/(Л%J - 1 B.3.14) и, следовательно, (ЛЛ)°0 ^ ЛооЛ°о - v/(A°oJ - 1 \/(ЛооJ - 1 ^ 1. Подгруппу группы Лоренца с DetA = +1 и Л°о ^ +1 называют соб- собственной ортохронной группой Лоренца. Поскольку невозможно, непрерывно изменяя параметры, перескочить от элемента с Det Л = +1 к элементу с DetA = — 1 или от элемента с Л°о )+1 к элементу
76 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика с Л°о ^ —1, то любое преобразование Лоренца, которое может быть получено из тождественного непрерывным изменением параметров, должно иметь Det Л и Л°о того же знака, что и тождественное, и, сле- следовательно, должно принадлежать собственной ортохронной группе Лоренца. Любое лоренцево преобразование является либо собственным и ортохронным, либо может быть записано как произведение элемен- элемента собственной ортохронной группы Лоренца на одно из дискретных преобразований ^, S? или ^5^, где ?Р — оператор пространствен- пространственной инверсии, отличные от нуля матричные элементы которого равны ^°0 = 1, ^ = <^22 = ^>3з = -1, B.3.15) a S? — оператор обращения времени, отличные от нуля матричные элементы которого равны ^°0 = -1, ??11 = ?Г22 = ^33 = +1. B.3.16) Таким образом, изучение полной группы Лоренца сводится к изуче- изучению ее собственной ортохронной подгруппы и свойств пространствен- пространственной инверсии и обращения времени. В § 2.6 мы отдельно рассмотрим пространственную инверсию и обращение времени, а до тех пор бу- будем иметь дело только с однородной или неоднородной собственными ортохронными группами Лоренца. § 2.4. Алгебра Пуанкаре Как было показано в § 2.2, большое количество информации о лю- любой группе симметрии Ли содержится в свойствах ее элементов, близ- близких к тождественному. Для неоднородной группы Лоренца тожде- тождественным является преобразование А^и = ?%, ам = 0. Будем поэтому изучать преобразования вида A^ = J^+cj^, a^ = e^, B.4.1) где uo^v и бм — бесконечно малые (инфинитезимальные) параметры. Условие Лоренца B.3.5) для этих преобразований имеет вид Vpa = VnA^p + U"PW* + WVa) = J]aP + Uap + Up* + O(oj2). Здесь мы использовали общее правило, состоящее в том, что индексы можно опускать или поднимать с помощью умножения на г}^ или rfv Оставляя в условии Лоренца B.3.5) слагаемые только первого поряд- порядка по cj, легко видеть, что из этого условия следует антисимметрич- антисимметричность UJ [IV B.4.2)
§2.4- Алгебра Пуанкаре 77 Антисимметричный тензор второго ранга в четырех измерениях имеет D х 3/2) = б независимых компонент, поэтому с учетом четырех компонент бм неоднородные преобразования Лоренца описываются 6 + 4 = 10 параметрами. Поскольку оператор [/A,0) переводит любой луч в себя, он должен быть пропорционален единичному оператору1) и соответствующим выбором фазы может быть к нему приведен. Тогда для инфинитези- мального преобразования Лоренца B.4.1) оператор [/A + ии, б) должен равняться 1 плюс слагаемые, линейные по ии^ и ер. Перепишем это в виде [/A + cj, б) = 1 + \ iujpaJpa ~ герРр + ... B.4.3) Здесь Jpa и Рр — операторы, не зависящие от и и р, а многоточие обозначает слагаемые более высокого порядка по со и/или б. Для то- того чтобы оператор U(l + uj,e) был унитарным, операторы Jpa и Рр обязаны быть эрмитовыми: jpa\ = jpa ^ рр] = рр B.4.4) Поскольку матрица иира антисимметрична, коэффициент Jpa также можно считать антисимметричным jpa = _jap^ BЩ Как мы увидим, Р1, Р2 и Р3 являются компонентами оператора им- TOQ TQ1 T1 О пульса, J , J и J — компонентами вектора углового момента, а Р° — оператором энергии или гамильтонианом2). Исследуем теперь трансформационные свойства Jpcr и Рр по отно- отношению к преобразованиям Лоренца. Рассмотрим произведение где №v и ам — параметры некоторого нового преобразования, не свя- ) В отсутствие правил суперотбора от возможной зависимости коэф- коэффициента пропорциональности от состояния, на которое действует опера- оператор [/A,0), можно избавиться при помощи тех же рассуждений, которыми мы пользовались в § 2.2, чтобы исключить зависимость фаз в проективных представлениях групп симметрии от состояний, на которые эти симметрии действуют. При наличии правил суперотбора может оказаться необходи- необходимым переопределить [/A,0) за счет фазового множителя, зависящего от сектора, на котором [/A,0) действует. 2) Как будет показано, подобное отождествление генераторов с опера- операторами углового момента сделано вследствие коммутационных соотноше- соотношений для J^v. С другой стороны, посредством только коммутационных со- соотношений нельзя отличить Р^ от — Рм, поэтому выбор знака перед ерРр в B.4.3) является вопросом соглашения. В §3.1 будет показано, что выбор знака в B.4.3) совместим с обычным определением гамильтониана Р°.
78 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика занные сшие. Согласно уравнению B.3.11) произведение равно [/A,0), поэтому оператор [/(Л, — А~1а) является обратным к [/(Л, а). Тогда из уравнения B.3.11) следует, что [/(Л, a)U(l + и, б)?/^, а) = [/(ЛA + а^Л, Ае - Аи А'1 а). B.4.6) В первом порядке по uj и е имеем U(A, a) [i ира J»a - epP»] U~x (Л, a) = l)^J^ ~ (Ле - ЛшЛ^а)^. B.4.7) Приравнивая коэффициенты при сора и ер в обеих частях уравнения (и используя B.3.10)), находим, что [/(Л, a)JO'U^iA, a) = A/Aua(J^ - а»Р» + avPv), B.4.8) [/(Л^)?^-1^^) = Л/Р*\ B.4.9) В случае однородных преобразований Лоренца (с ам = 0) из этих со- соотношений просто следует, что J^v является тензором, а Рм — векто- вектором. В случае чистых трансляций (для которых A^v = 8^v) получаем, что Рр является трансляционно-инвариантным, а Jpcr — нет. В част- частности, изменение пространственно-пространственных компонент Jpcr под действием пространственных сдвигов представляет собой обык- обыкновенное изменение углового момента при смещении точки, по отно- отношению к которой он вычисляется. Применим теперь соотношения B.4.8) и B.4.9) к преобразова- преобразованиям, которые сами по себе являются малыми, т.е. A^v = 8^v + uo^v и ам — бм с инфинитезимальными uj^v и б^, не связанными с предыду- предыдущими uj и б. Используя уравнение B.4.3) и удерживая слагаемые толь- только первого порядка по uj^v и бм, приводим уравнения B.4.8) и B.4.9) к виду - ^^ Jpv - epPa + e^P^, B.4.10) ~ ^P^ PP] = u/P». B.4.11) Приравнивая коэффициенты при uj^ и е^ в обеих частях уравнений, получаем следующие коммутационные соотношения i[J^, Jpa] = ту^ J^ - rff>Jva - rf»Jpv + ^ J^, B.4.12) г[Р", Jp<7] = ^pP°" - ^Pp, B.4.13) [P^P^] = 0. B.4.14) Мы построили алгебру Ли группы Пуанкаре.
§2.4- Алгебра Пуанкаре 79 В квантовой механике особую роль играют сохраняющиеся опера- операторы, т.е. операторы, коммутирующие с оператором энергии Н = Р°. Рассматривая уравнения B.4.13) и B.4.14) можно понять, что тако- таковыми являются 3-вектор импульса Р = {Р1,^2,^3}, B.4.15) 3-вектор углового момента J = {J23,J31,J12} B.4.16) и, конечно, энергия Р°. Остальные генераторы образуют так назы- называемый 3-вектор "буста": K = {J01,J02,J03}. B.4.17) Они не соответствуют сохраняющейся величине, поэтому мы не ис- используем собственные значения К для обозначения физических со- состояний. В трехмерных обозначениях коммутационные соотноше- соотношения B.4,12), B.4,13) и B.4,12) могут быть записаны в виде [JuJj]=ieijkJk, B.4.18) [Ji,Kj\=ieijkKk, B.4.19) [KuKj\ = -KijkJk, B.4.20) [Ji,Pj\=ieijkPk, B.4.21) [Ki,Pj] = -iH6ij, B.4.22) [Ji,H] = [Pi,H] = [H,H] = 0, B.4.23) [Ki,H] = -iPi, B.4.24) где г, j и к — индексы, пробегающие значения 1, 2 и 3, а е^ — пол- полностью антисимметричная величина такая, что 6123 = +1. Как легко видеть, коммутационных соотношения B.4.18) абсолютно аналогич- аналогичны коммутационным соотношениям для оператора углового момента. Чистые трансляции ТA,а) образуют подгруппу неоднородной группы Лоренца с груповым умножением, заданным B.3.8): ГA,а)ГA,а) = ТA,а + а). B.4.25) Они обладают свойством аддитивности в смысле B.2.24), поэтому, ис- используя соотношение B.4.3) и повторяя рассуждения, которые приве- привели нас к B.2.26), находим, что конечные трансляции представлены на гильбертовом пространстве операторами С/A, а) = ехр(-гР^аД B.4.26) Точно так же можно показать, что поворот Rq на угол \в\ вокруг направления в представлен на гильбертовом пространстве оператором U(Re,0) =exp(U в). B.4.27)
80 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Интересно сравнить алгебру Пуанкаре с алгеброй Ли группы сим- симметрии ньютоновской механики — группы Галилея. Ее можно выве- вывести, воспользовавшись преобразованиями группы Галилея и следуя затем той же самой процедуре, которая использовалась для получе- получения алгебры Пуанкаре. Однако поскольку у нас уже есть соотноше- соотношения B.4.18)-B.4.24), значительно проще получить галилеевскую ал- алгебру как нерелятивистский предел алгебры Паункаре. Такой способ называется сужением Инену-Вигнера [4, 5]. Для системы частиц с характерной массой т и скоростью v операторы импульса и угло- углового момента оказываются порядка J ~ 1, Р ~ mv. С другой сторо- стороны, оператор энергии равен Н = М + W, где М — полная масса, а энергия W — сумма кинетического и потенциального членов, имею- имеющие порядок М ~ m, W ~ mv2. Внимательное рассмотрение соотно- соотношений B.4.18)-B.4.24) показывает, что в пределе и<1 они приобре- приобретают следующий вид: [Ji, Jj] = ieijkJk, [Ji,Kj] = ieijkKk, [Ji,Pj] = it [Ji, M] = [Ри M] = [Ku M] = [W, M] = 0, где К имеет порядок 1/v. Заметим, что результат произведения опе- операций трансляции х —У х + а и "буста" х —у х + vt должен представ- представлять собой преобразование х —у х + vt + а, что, однако, неверно для действия этих операторов на гильбертовом пространстве: ехр(-гК • v) ехр(-гР • а) = ехр(гМа • v/2) ехр(-г(К • v + Р • а)). Появление фазового множителя ехр(гМа • v/2) показывает, что дан- данное представление является проективным, с правилами суперотбо- суперотбора, запрещающими суперпозицию состояний с различными массами. В этом отношении математика группы Пуанкаре проще математики группы Галилея. Однако, ничто не мешает нам формально расши- расширить группу Галилея, введя в ее алгебру Ли еще один коммутирую- коммутирующий со всеми остальными генератор, собственные значения которого равны массам различных состояний. В этом случае физические со- состояния образуют обычное, а не проективное представление расши- расширенной группы симметрии. Данное различие является не более чем вопросом обозначений, за исключением того факта, что при таком переопределении галилеевской группы нет необходимости в правилах суперотбора для масс.
§2.5. Одночастичные состояния 81 § 2.5. Одночастичные состояния Рассмотрим теперь классификацию одночастичных состояний по отношению к тому, как на них действуют преобразования неоднород- неоднородной группы Лоренца. Все компоненты 4-вектора энергии-импульса коммутируют друг с другом, поэтому естественно выразить физические векторы состояний через собственные векторы 4-импульса. Если обозначить все осталь- остальные степени свободы значком а, векторы состояний Фр,о-, которые мы рассматриваем, удовлетворяют условию Р"Фр,ст=р"Фр,ст. B.5.1) Для основных состояний, состоящих, например, из нескольких сво- свободных частиц, значок а может принимать как непрерывные, так и дискретные значения. Положим в качестве части определения од- почастичного состояния, что значок а может принимать только дис- дискретные значения, и далее будем ограничиваться только этим слу- случаем. (Однако, связанное состояние двух и более частиц, например, нижнее состояние атома водорода, следует рассматривать как одноча- стичное состояние. Такое состояние не является элементарной части- частицей, но в данном случае различия между составной и элементарной частицами к делу не относятся.) Из уравнений B.5.1) и B.4.26) следует, что состояния Фр?о- при трансляциях преобразуются следующим образом: Рассмотрим теперь, как эти состояния преобразуются под действием однородных преобразований Лоренца. Используя B.4.9), можно видеть, что в результате действия кван- квантовым однородным преобразованием Лоренца С/(Л,О) = U(A) на со- состояние Фр?о- получается собственный вектор 4-импульса с собствен- собственным значением Ар: = U(A)(A-lf*Pp)Vp,a = А»рРРЩА)Фр,а. B.5.2) Следовательно, вектор U{A)^p^a должен быть линейной комбинацией векторов состояний Флр,<т/: ст<- B.5.3) а' В общем случае, используя подходящие линейные комбинации Фр,о-, можно, выбрав соответствующим образом значки а, привести мат- матрицу Са,а'(А,р) к блочно-диагональному виду, или, другими слова- словами, сделать так, чтобы Фр,о-, с а в пределах одного блока, являлась 6 С.Вайнберг. Т. 1
82 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика представлением неоднородной группы Лоренца. Естественно отожде- отождествить состояния частиц определенного типа с компонентами пред- представления неоднородной группы Лоренца, которое неприводимо в том смысле, что его нельзя разложить на представления указанным спосо- способом 1). Наша задача теперь состоит в том, чтобы получить структуру коэффициентов Са^ (Л, р) в неприводимом представлении неоднород- неоднородной группы Лоренца. Заметим, что единственными функциями от рм, инвариантными относительно любых собственных ортохронных преобразований Ло- Лоренца Л^, являются инвариантный квадрат и, в случае р2 ^ 0, знак компоненты р°. Следовательно, для каждого значения р2 и (если р2 ^ 0) знака р°, можно выбрать "стандартный" 4-импульс, например /с^, и выразить любой р^ из этого класса в сле- следующем виде: p"=2A,(p)fc", B.5.4) где A^v — некоторое стандартное преобразование Лоренца, зависящее от р^ и от нашего выбора стандартного к^. Затем можно определить состояния Фр?о- с импульсом р, как ^PtG=N(p)U(L(p))<i>k,a, B.5.5) где N(p) — нормировочный множитель, значение которого мы устано- установим позднее. До настоящего момента о том, как связаны значки а для разных импульсов, ничего не было сказано; уравнение B.5.5) устра- устраняет этот пробел. Действуя на него произвольным однородным преобразованием Ло- Лоренца, находим = N(p)U(L(Ap))U(L-1(Ap)AL(p))^k^. B.5.6) Суть последнего шага состоит в том, что преобразование Лоренца L~1(Ap)AL(p) переводит к в Ь(р)к = р, затем в Ар, и, наконец, об- обратно в к, поэтому оно принадлежит подгруппе однородной группы :) Конечно, различные виды частиц могут соответствовать изоморф- изоморфным представлениям, т.е. представлениям, для которых матрицы Ca,ai (Л,р) являются либо идентичными, либо идентичными с точностью до преобразо- преобразования подобия. В некоторых случаях может оказаться удобным определить виды частиц как неприводимые представления большей группы, включаю- включающей неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца в качестве подгруппы. Например, как будет показано, в случае безмассовых частиц, взаимодействие которых симметрично относительно инверсии простран- пространства, все компоненты неприводимого представления неоднородной группы Лоренца, включающей пространственную инверсию, принято трактовать как один вид частиц.
§2.5. Одночастичные состояния 83 Лоренца, состоящей из лоренцевых преобразований W^UJ оставляю- оставляющих инвариантным к^\ W»vkv = W. B.5.7) Эта подгруппа называется малой группой [5]. Для любого W, удовле- удовлетворяющего соотношению B.5.7), имеем *>. B-5.8) а' Коэффициенты D(W) организуют представление малой группы. Это означает, что для любых элементов W, W имеет место соотношение k,a = U(W)U(W)*k,a = и поэтому Da,a(WW) = Y,Da'a"(W)Da//a(W). B.5.9) a" В частности, можно применить уравнение B.5.8) к малой группе пре- преобразований W(\,P) = L-1(AP)AL(p), B.5.10) тогда уравнение B.5.6) примет вид или, согласно определению B.5.5): l. B.5.11) Если оставить в стороне вопрос о нормировке, задача определения коэффициентов Са'а, входящих в закон преобразования B.5.3), сво- сводится к задаче нахождения представлений малой группы. Подоб- Подобный метод получения представлений группы, например неоднородной группы Лоренца, из представлений малой группы называется методом индуцированных представлений [6]. В табл. 2.1 приведен наиболее удобный способ выбора стандарт- стандартного импульса к^ и соответствующей малой группы для различных классов 4-импульса. 6*
84 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Таблица 2.1 Стандартные импульсы и соответствующие малые группы для различных классов 4-импульсов. Здесь и — некоторая произвольная положительная величина с размерностью энергии (что касается ее численного значения, будем считать, что она равна например 1 эВ). Ответ на вопрос, какова малая группа, обычно довольно очевиден: SO{3) — обычная группа враще- вращений в трех измерениях (исключая пространственные инверсии), поскольку поворот является единственным собственным ортохронным преобразова- преобразованием Лоренца, оставляющим инвариантной частицу с нулевым моментом; SO{2,1) и 50C,1) — группы Лоренца в B + 1) и C + 1) измерениях соот- соответственно. Группа ISO{2) является группой евклидовой геометрии и со- состоит из поворотов и трансляций в двух измерениях. Почему она является малой группой для случая р2 = 0, объясняется ниже (а) (b) (с) (d) (е) (f) р2 = -М2 р2 = -М2 V = 0, р° Р2=О, р° р2 = N2 > < 0, р° > < 0, р° < >0 < 0 0 Стандартный feM 0 @,0,0,М) 0 @,0,0,-М) @,0, к, к) @,0, к,-к) @,0,iV,0) @,0,0,0) Малая группа 50C) 50C) /50B) /50B) 50B,1) 50C,1) Из этих шести классов 4-импульса только (а), (с) и (f) можно ин- интерпретировать в терминах физических состояний. Здесь нет необхо- необходимости обсуждать случай (f) — р^ = 0, поскольку он соответству- соответствует вакууму, инвариантному по отношению к действию U(A). Будем рассматривать только случаи (а) и (с), описывающие частицы с мас- массой М > 0 и нулевой массой соответственно. Здесь уместно остановиться и разобраться с вопросом о нормиров- нормировке этих состояний. В соответствии с обычной процедурой ортонорма- лизации квантовой механики можно выбрать состояния с стандарт- стандартным к^ в качестве ортогональных, в том смысле, что (Ук,г<Т,,Ук,а)=ё3(к'-к)ёа,а. B.5.12) (Дельта-функция необходима, поскольку Ф/^ и ^k,'a' являются соб- собственными состояниями эрмитова оператора с собственными значе- значениями кик7 соответственно.) Отсюда следует, что представление ма- малой группы в уравнениях B.5.8) и B.5.11) должно быть унитарным2): D\W) =D~1{W). B.5.13) 2) Малые группы 50B,1) и 50C,1) для р2 > 0 и р^ = 0 не имеют нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Поэтому ес- если бы существовали нетривиально преобразующиеся относительно малой группы состояния с импульсом р^, таким что р2 > 0 или р^ = 0, их число было бы бесконечно.
§2.5. Одночастичные состояния 85 Чему равны скалярные произведения состояний в случае произволь- произвольных импульсов? Используя унитарность оператора С/(Л) в уравне- уравнениях B.5.5) и B.5.11), получаем следующее выражение для скаляр- скалярного произведения: = N(p)N*(p')D(W(L-1(p),p'));al6(k' - к), где к' = L~1{p)p'. Поскольку к = L~1(p)p, дельта-функция ?3(к — к') пропорциональна 53(р — pf). При р = р' малая группа в данном слу- случае оказывается тривиальной, W\L-1 (р), р) = 1, и поэтому скалярное произведение равно (Фр',<г',ФР,<г) = \N(p)\25a,a53(kf -k). B.5.14) Осталось вычислить коэффициент пропорциональности между 53(к-к') и ?3(р-р')- Заметим, что лоренц-инвариантный интеграл от произвольной ска- скалярной функции f(p) по поверхности, на которой лежит 4-импульс, подчиняющийся условиям — р2 = М2 ^0 и р° > 0 (т.е. случаи (а) или (с)) может быть переписан в следующем виде: d4PS(p2 + M2)e(p°)f(p) = = J>рф° 6((р0J -р2 - М2Щр°)/(р,р0) = @(р°) — ступенчатая функция: в(х) = 1 при х ^ 0, в(х) = 0 при х < 0). Как мы видим, при интегрировании по "массовой оболоч- оболочке" р2 + М2 = 0 инвариантным элементом объема является d3p/Vp2 + M2. B.5.15) Дельта-функция определяется выражением F(P)= jF(p')S3(p-p')d3P' = /^Тм^(р - р')] ^0=, поэтому инвариантная дельта-функция имеет вид л/р'2 + М253(р' - р) = р°53(р' - р). B.5.16) Поскольку р и р' связаны с к и к' преобразованием Лоренца, L(p), то
86 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика и, следовательно, (Фр/?О./,ФР?О.) = \N(p)\2Sa>a(^)S3(p'-p). B.5.17) Иногда нормировочный множитель N(p) выбирают просто равным единице. Однако в этом случае пришлось бы следить за появлением в скалярных произведениях множителя р°/к0. Чаще нормировочный множитель выбирают в виде N(p) = л/к°/р°. B.5.18) В этом случае Рассмотрим теперь случаи, представляющие физический интерес: ча- частицы массы М > 0 и частицы с нулевой массой. Положительно определенная масса Малой группой является группа трехмерных вращений. Ее уни- унитарное представление можно разложить в прямую сумму неприводи- неприводимых унитарных представлений [7] D^ aa> (R) размерности 2j + 1, где j = 0, 1/2, 1, ... Эти представления можно строить из обычных мат- матриц бесконечно малых поворотов R^ = Sik + @ik •> где ®ik = — ®ы ~ инфинитезимальные параметры: D(J,l(l + 0) = Sa,a + i SikiJ^a, B.5.20) B.5.21) D$)*'* = DЛ)*'* = <"W, B-5.22) а а пробегает значения j, j — 1, ..., — j. Для частиц с массой М > 0 и спином j уравнение B.5.11) теперь принимает вид B.5.23) где W(A,p) (поворот Вигнера [5]) — элемент малой группы, заданный уравнением B.5.10): W(A,p) = L-1(Ap)AL(p).
§2.5. Одночастичные состояния 87 Чтобы получить его в явном виде, необходимо выбрать "стандартный буст" L(p), переводящий 4-импульс к^ = @,0,0,М) в р^\ L\(p) = Sik + G - B.5.24) где Pi = Pi/\P 7 = Важно то, что когда A^v является произвольным трехмерным поворо- поворотом ^, поворот Вигнера W(A,p) совпадает с S% для любых р. Чтобы показать это, заметим, что буст B.5.24) можно представить в виде L(p) = R(p)B(\p\)R-1(p), где R(p) — поворот (определенный обычным образом, см. ниже, урав- уравнение B.5.47)), совмещающий направления р и оси Oz, a 0 0 0 0 10 0 0 0 т л/т2" _0 0 л/72 - 1 7 Тогда для произвольного поворота « имеем Но поворот R 1(&p)&R(p) переводит ось Oz сначала в направле- направление р, затем — в направление ?%р и, наконец, обратно в ось Oz. Поэто- Поэтому он представляет собой просто поворот на некоторый угол в вокруг оси Oz cos в sin в „/^ч _ — sin# cos# = К(р) = о о 1 о С учетом того, что R(9) коммутирует с ??(|р|), получаем W(&,p) = R(.^p)B-1(\p\)R(e)B(\p\)R-1(p) = и, следовательно, Таким образом, состояния, описывающие движущуюся массивную ча- частицу (и, если обобщить, многочастичные состояния), преобразуются под действием преобразований вращения так же, как в нерелятивист- нерелятивистской квантовой механике. Еще один важный момент состоит в том, что весь аппарат сферических гармоник, коэффициентов Клебша- Гордана и т.д. может быть полностью перенесен из нерелятивистской в релятивистскую квантовую механику.
Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Нулевая масса Во-первых, необходимо изучить структуру малой группы. Рас- Рассмотрим произвольный элемент малой группы W^v с W^vkv = ft*2, где k^ — стандартный 4-импульс, к^ = @,0,1,1). Действуя на време- ниподобный 4-вектор ?м = @,0,0,1) таким преобразованием Лоренца, получим 4-вектор Wt, причем p = Гкц = -1. Любой 4-вектор, удовлетворяющий второму условию, можно записать в виде Тогда первое условие приводит к соотношению С=(а2+/?2)/2. B.5.25) на tv совпадает с действием на tv пре- преТаким образом, действие образования Лоренца 1 0 а а 0 1 Р Р —а ~Р 1-С -с а Р С 1 + с. B.5.26) Из этого не следует, что W равно S(oz,/3), однако, как можно видеть, S~1(a, f3)W является преобразованием Лоренца, которое оставляет инвариантным времениподобный 4-вектор @, 0, 0,1) и, следовательно, представляет собой чистый поворот. Кроме того, 5мv аналогично W^v оставляет инвариантным светоподобный 4-вектор @,0,1,1). Поэтому 1 является поворотом на некоторый угол в вокруг оси Oz S~1(aJf3)W = R@), B.5.27) где COS61 0 0 COS61 0 0 О о 1 о Следовательно, элемент малой группы наиболее общего вида таков: W@, а, /3) = S(a, /3)R@). B.5.28) Что это за группа? Заметим, что преобразования с 0 = 0 или с а = /3 = 0 образуют подгруппы: 5(а, P)S(a, C) = S(a + a, /? + /?), B.5.29) R{0)R{0) =R@ + 0). B.5.30)
§2.5. Одночастичные состояния 89 Эти подгруппы являются абелевыми, т.е. их элементы коммутируют друг с другом. Более того, подгруппа с 0 = 0 является инвариантной в том смысле, что результат действия элемента группы на другой ее элемент тоже принадлежит группе: R@)S(a, /?) Д (в) = S(a cos в + /3 sin 0, -a sin в + /3 cos в). B.5.31) С помощью уравнений B.5.29)-B.5.31) легко вывести произведения любых групповых элементов. Можно заметить, что правила умно- умножения для этой группы совпадают с правилами умножения груп- группы /50B), состоящей из трансляций (на вектор (а,/?)) и поворотов (на угол в) в двух измерениях. Группа, не имеющая инвариантных подгрупп, обладает некоторы- некоторыми простыми свойствами и по этой причине называется полупростой. Как было показано, малая группа /50B), подобно неоднородной группе Лоренца, не является полупростой. Это приводит к инте- интересным усложнениям. Во-первых, рассмотрим алгебру Ли группы /50B). Для инфинитезимальных в, а, /3 произвольный элемент груп- группы имеет вид ГО в -а а -О О -Р C а C О О -а -C О О. Тогда из разложения B.4.3) тогда можно видеть, что соответствую- соответствующим оператором, действующим на гильбертовом пространстве, яв- является U(W@, а, C)) = 1 + гаА + if3B + iOJ3j B.5.32) где А и В — эрмитовы операторы: А = - J13 + J10 = J2 + Къ B.5.33) В = - J23 + J20 = -Л + К2, B.5.34) a J3 = J12. Из уравнений B.4.18)-B.4.20), либо непосредственно из уравнений B.5.29)-B.5.31) можно видеть, что эти генераторы подчи- подчиняются коммутационным соотношениям B.5.35) [J3,B] = -iA, B.5.36) [A,B]=Q. B.5.37) Так как А и В — коммутирующие эрмитовы операторы, их (подобно генератором импульса неоднородной группы Лоренца одновременно можно привести к диагональному виду) диагонализованы состояния-
90 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика ми Проблема состоит в том, что если мы найдем один такой набор нену- ненулевых собственных значений А и В, то получим и весь непрерывный спектр. Из уравнения B.5.31) имеем U[R@)] AU-1 [RF)] = AcosO-B sin 0, ЩЯЩВи-1 [RF)] = A и, следовательно, для произвольного О где У безмассовых частиц не наблюдается никаких непрерывных степеней свободы, подобных 0; для того чтобы исключить возникновение кон- континуума состояний, необходимо потребовать, чтобы физические со- состояния (обозначим их Ф&,сг) являлись собственными векторами опе- операторов АиВса = Ь = 0: А9к,а = В9к,а = 0. B.5.38) Эти состояния отличаются собственными значениями оставшегося ге- генератора Js^k,* =<г9к,а. B.5.39) Так как импульс к направлен вдоль оси Oz, а равна компоненте уг- углового момента вдоль направления движения или спиралъности. Теперь можно определить свойства преобразований Лоренца для произвольных безмассовых одночастичных состояний. Во-первых, воспользовавшись рассуждениями § 2.2, обобщим соотношение B.5.32) на случай конечных а и /3 U(S(a, C)) = exp(iaA + if3B) B.5.40) и конечных О U(RF)) = exp(iJ3<9). B.5.41) Произвольный элемент W малой группы можно переписать в виде B.5.28), поэтому U(W)Vki<r = exp(iaA + if3B) и из уравнения B.5.8) следует где О — угол, который можно определить, представив W в виде
§2.5. Одночастичные состояния 91 B.5.28). Закон преобразования Лоренца для безмассового состояния с произвольной спиральностью имеет вид (см. уравнения B.5.11), B.5.18)) tf (Л)ФР1<7 = &f- exp(i<70(A,p))«AP>ff, B.5.42) где в(А,р) определяется выражением W(A,p) = L-1(Ap)AL(p) = S(a(A,p),p(A,p))R(e(A,p)). B.5.43) Как будет показано в § 5.9, электромагнитная калибровочная ин- инвариантность возникает из части малой группы, параметризованной а и /?. Пока не возникало причин, благодаря которым спиральность а не может принимать любое действительное значение. Как мы уви- увидим в § 2.7, существуют топологические соображения, ограничиваю- ограничивающие допустимые значения а целыми и полу целыми значениями, так же как и в случае массивных частиц. Чтобы вычислить элемент малой группы B.5.43) при задан- заданных Л и р (и, кроме того, получить возможность вычислить в следующем параграфе действие пространственной или временной инверсии на рассматриваемые состояния), необходимо зафиксиро- зафиксировать вид стандартного лоренцевского преобразования, переводящего к^ = @, 0, к, к) врм. Удобно выбирать его в виде = R(p)B(\p\/K), B.5.44) где В (и) — чистый буст вдоль оси Oz: В(и) = 0 0 0 1 0 0 (и2 (и2 0 0 + 1)/B«) - 1)/B«) (и2 (и2 0 0 - 1)/B«) + 1)/Bи) B.5.45) a R(p) — чистые повороты, совмещающие направления оси Oz и еди- единичного вектора р. Возьмем, например, вектор р с полярной и ази- азимутальной компонентами О и ф: р = (sin # cos 0, sin # sin 0, cos О). B.5.46) Тогда R(p) можно рассматривать как поворот на угол О вокруг оси Оу, переводящий вектор @,0,1) в (sin#, 0, cos#), плюс поворот на угол ф вокруг оси Oz: U(R(p)) = exp(-i0J3) exp(-i<9J2), B.5.47) где О^#^тг, 0 ^ ф < 2тг. (Мы используем U(R(p)) вместо Д(Д(р)), дополнительно уточняя область изменения ф и О, поскольку изме- изменение 0 и ф на 2тг соответствует повороту Д(р), но другому знаку U(R(p)) при действии им на состояние с полуцелым спином.) По-
92 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика скольку оператор B.5.47) является поворотом, совмещающим ось Oz с направлением вектора B.5.46), любой другой выбор Д(р) может отличаться от принятого только поворотом вокруг оси Oz, соот- соответствующим простому переопределению фазы одночастичных со- состояний. Заметим, что спиральность является лоренц-инвариантной вели- величиной: безмассовая частица с определенной спиральностью выглядит одинаково (если не брать в расчет ее импульс) во всех инерциальных системах отсчета. Действительно, можно думать, что безмассовые частицы, отличающиеся значением спиральности, являются различ- различными видами частиц. Однако как будет показано в следующем пара- параграфе, частицы с противоположной спиральностью связаны симмет- симметрией пространственной инверсии. Так, поскольку электромагнитные и гравитационные взаимодействия симметричны относительно инвер- инверсии пространства, безмассовые частицы со спиральностью =Ы, отве- отвечающие за электромагнитные взаимодействия, называют фотонами, а безмассовые частицы с спиральностью =Ь2, которые, как считается, отвечают за гравитационное взаимодействие, называют гравитонами. С другой стороны (предположительно), безмассовые частицы со спи- спиральностью ±1/2, излучающиеся при ядерном бета-распаде, не участ- участвуют ни в каких взаимодействиях (кроме гравитационного), сохраня- сохраняющих пространственную инверсию. Поэтому этим частицы называют по-разному: нейтрино в случае спиральности —1/2 и антинейтрино в случае спиральности +1/2. Хотя спиральность безмассовой частицы лоренц-инвариантна, са- само состояние, описывающее частицу лоренц-инвариантным не являет- является. В частности, из-за наличия в уравнении B.5.42) зависящего от спиральности фазового множителя ехр(гсг#), состояние, являющееся линейной суперпозицией одночастичных состояний с противополож- противоположными спиральностями, под действием преобразования Лоренца пре- превращается в другую суперпозицию. Например, произвольное однофо- тонное состояние с 4-импульсом р можно представить в виде где Общим является случай эллиптической поляризации, когда коэффи- коэффициенты \а±\ не равны нулю и не совпадают друг с другом. Круговая поляризация представляет собой предельный случай, когда а+ или а- обращаются в нуль. Линейной поляризации соответствует слу- случай, когда |а+| = |а_|. Общая фаза а+ и а- не имеет физического смысла, в случае линейной поляризации ее можно подобрать таким образом, чтобы а- = а+*, однако относительная фаза важна. Дей- Действительно, в случае линейных поляризаций с а- = а+*, фазу а+ можно определить как угол между плоскостью поляризации и неко-
§2.6. Пространственная инверсия и обращение времени 93 торым фиксированным направлением, перпендикулярным к направ- направлению импульса р. Из уравнения B.5.42) следует, что при преоб- преобразованиях Лоренца A^v этот угол изменяется на величину в(А,р). Плоскость поляризации гравитонов можно определить аналогичным образом. В этом случае, вследствие уравнения B.5.42) преобразова- преобразование Лоренца Л поворачивает плоскость поляризации на угол 2в(А,р). § 2.6. Пространственная инверсия и обращение времени Как мы видели в § 2.3, любое однородное преобразование Ло- ренца является либо собственным и ортохронным (т.е. DetA = +1 и Л°о ^ +1), либо собственным ортохронным преобразованием, помно- помноженным на ?Р или 5^, или ^5^, где ^и J- преобразования про- пространственной инверсии и обращения времени -1 0 0 0" 0-100 0 0-10 0 0 0 1 10 0 0 " 0 10 0 0 0 10 0 0 0-1 Обычно считается очевидным, что фундаментальный закон умноже- умножения группы Пуанкаре, U (А, а)[/(Л, а) = [7(ЛЛ, Аа + а), справедлив, даже если Л и/или Л включают множители, зависящие от ?? и/или ??. В частности, полагают, что существуют операторы, соответствующие ^и^: такие что B.6.1) B.6.2) для любого собственного ортохронного преобразования Лоренца Л% и трансляции а^. Эти законы преобразования объясняют смысл утвер- утверждения о том, что Р или Т "сохраняются". В 1956-1957 гг. стало ясно [8], что сохранение Р имеет место, только если не учитываются эффекты слабых взаимодействий, подобные тем, которые приводят к ядерному бета-распаду. Вера в справедливость утверждения относительно свойств обращения времени существовала еще некоторое время, но в 1964 г. появились косвенные доказатель- доказательства [9] того, что сохранение Т также носит только приближенный
94 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика характер (см. §3.3). Ниже мы убедимся, что операторы Р и Т, удовле- удовлетворяющие уравнениям B.6.1) и B.6.2), действительно существуют, однако следует помнить, что это утверждение не является точным. Применим уравнения B.6.1) и B.6.2) к инфинитезимальным пре- преобразованиям, т.е. где uj/jjy = —ооуц, и бм — бесконечно малые параметры. Используя B.4.3) и приравнивая коэффициенты при оира и ер в уравнениях B.6.1) и B.6.2), мы найдем трансформационые свойства генераторов Пуан- Пуанкаре относительно преобразований Р и Т: J»", B.6.3) B.6.4) , B.6.5) B.6.6) Они очень напоминают соотношения B.4.8) и B.4.9), за исключением того, в обеих частях этих уравнений мы несократили множители г. Для того чтобы от них избавиться, необходимо понять, являются ли операторы Р и Т линейными и унитарными или антилинейными и антиунитарными. Для этого, подставив р = 0в уравнение B.6.4), получаем РгЯР-1 = гЯ, где Н = Р° — оператор энергии. Если оператор Р является антиуни- антиунитарным и антилинейным, он антикоммутирует с г, поэтому 1 = -я. Тогда для любого состояния Ф с энергией Е > 0 должно существовать другое состояние Р-1Ф с энергией — Е < 0. Состояний с отрицатель- отрицательной энергией (энергией, меньшей энергии вакуума) не существует, по- поэтому мы вынуждены выбрать другой вариант: Р является линейным и унитарным и коммутирует с Я. С другой стороны, подставляя р = 0в уравнение B.6.6), имеем ЛИТ'1 = -Ш. Если предположить, что оператор Т является линейным и унитарным, можно просто отбросить i и получить JHJ-1 = -Я, что опять приводит к неприятному заключению: для любого состоя- состояния Ф с энергией Е существует другое состояние Т-1Ф с энергией — Е. Чтобы избежать этого, необходимо считать, что оператор Т является антилинейным и антиунитарным.
§2.6. Пространственная инверсия и обращение времени 95 Теперь, когда известно, что оператор Р — линеен, а Т — анти- линеен, уравнения B.6.3)-B.6.6) можно переписать в более удобной форме через генераторы B.4.15)-B.4.17). В трехмерных обозначениях они имеют вид PJP = +J, B.6.7) РКР-1 = -К, B.6.8) РРР-1 = -Р, B.6.9) TJT-1 = -J, B.6.10) ' = +К, B.6.11) - = -Р B.6.12) и, как показано выше, РЯР-1 = JHJ-1 = Я. B.6.13) Физически существенным является тот факт, что оператор Р обязан сохранять знак J, поскольку орбитальная часть является векторным произведением г х р двух векторов, каждый из которых меняет знак при пространственной инверсии системы координат. С другой сторо- стороны, оператор Т должен менять знак J, так как после обращения вре- времени наблюдатель будет видеть, что все тела вращаются в противопо- противоположном направлении. Заметим, что уравнение B.6.10) согласуется с коммутационными соотношениями для углового момента J x J = iJ, поскольку Т меняет знак не только J, но и г. Можно легко проверить, что уравнения B.6.7)-B.6.13) согласуются со всеми коммутационны- коммутационными соотношениями B.4.18)-B.4.24). Рассмотрим теперь, как операторы Р и Т действуют на одноча- стичные состояния. Р:М>0. Одночастичные состояния Ф&5СГ определены как собственные век- векторы операторов Р, Я и J3, которым соответствуют собственные зна- значения 0, М и а. Из уравнений B.6.7), B.6.9) и B.6.13) легко видеть, что то же самое должно иметь место и для состояния РФ/,^, следова- следовательно (за исключением случаев вырождения), эти состояния могут отличаться только фазой: с фазовым множителем (\rj\ = 1), зависящим или не зависящим от спи- спина а. Покажем, что rja не зависит от а. Из уравнений B.5.8), B.5.20) и B.5.21) легко видеть, что (Jl ± U2)^k,a = V0"T<7)(j±<7+l)«M±i, B.6.14) где j — спин частицы. Действуя оператором Р на обе части этого
96 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика уравнения, получим, что поэтому rja действительно не зависит от а. Таким образом, справед- справедливо соотношение РФ*,<г=*7фМ> B-6-15) где фаза ?7, которую называют внутренней четностью, зависит толь- только от типа частиц, на которые действует оператор Р. Чтобы получить состояния с конечным импульсом, нужно приме- применить унитарный оператор U(L(p)), соответствующий "бусту" B.5.24): Заметим, что поэтому, используя уравнения B.6.1) и B.6.15), имеем или, другими словами, Р^р,а =Г]Ъ&Р,*' B.6.16) Т:М>0. Из уравнений B.6.10), B.6.12) и B.6.13) можно видеть, что дей- действуя оператором Т на одночастичное состояние с нулевым импуль- импульсом Ф/^о-, мы получим состояние с Р(ТФ*1<7)=0, •7з(ТФ*1<7) = -«т и поэтому где (о- — фазовый множ:итель. Применяя оператор Т к уравнению B.6.14) и учитывая, что Т антикоммутирует с J и г, найдем, что (-Jl ±iJ2)Ca^k,-a ,^ Снова применяя соотношение B.6.14) к левой части этого уравнения, мы видим, что квадратные корни сокращаются, и поэтому "Со- = Ст±1- Запишем решение как с. = а-у-* с другой фазой ?, зависящей только от вида частиц: ТФ*>(Т = а-У'^К-а. B.6.17)
§2.6. Пространственная инверсия и обращение времени 97 Однако в отличие от "внутренней четности" г\ фаза обращения вре- времени ? не имеет физического смысла. Это связано с тем, что одно- частичное состояние можно переопределить посредством изменения фазы вида так, чтобы фаза ( исчезла из закона преобразования: Поэтому в дальнейшем в уравнении B.6.17) мы будем сохранять про- произвольную фазу ?, чтобы иметь возможность произвольного выбора фазы одночастичного состояния. Необходимо однако иметь в виду, что эта фаза фактически неважна. Чтобы получить состояния с конечным импульсом, снова приме- применим "буст" B.5.24). Заметим, что • = (-Р, л/р2 + М2 ) (т.е. изменение знака каждого элемента L^v с нечетным числом вре- временных индексов совпадает с изменением знаков элементов с не- нечетным числом пространственных индексов). Используя уравнения B.6.2) и B.5.5), тогда получаем -<г. B.6.18) Действуя на состояние Ф/^, являющееся собственным вектором оператора Рм с собственным значением к^ = @,0, к, к) и собствен- собственным вектором J% с собственным значением о¦, оператором четности Р, мы получим состояние с 4-импульсом (&к)^ = @, 0, —к, к) и J3, рав- равным а. Таким образом, оператор Р переводит состояние со спираль- ностью (компонентой спина в направлении движения) а в состояние со спиральностью —а. Как упоминалось ранее, из симметрии отно- относительно пространственной инверсии следует, что если существуют частицы с ненулевой спиральностью, то существуют и частицы с про- противоположной спиральностью. Так как оператор Р не оставляет инва- инвариантным обычный импульс, удобно рассматривать вместо него опе- оператор t/(i?^)P, где Й2 — поворот, переводящий к в &к. Его удобно выбрать, как поворот на 180° вокруг оси О у: U(R2) =exp(i7rJ2). B.6.19) Поскольку оператор ^/(it^1) меняет знак J3, имеем 1=7?^fe,_,, B.6.20) где г]а — фазовый множитель. Теперь оператор R^1 коммутирует с лоренцевским "бустом" B.5.45), а ?Р коммутирует с поворотом 7 С.Вайнберг. Т. 1
Гл. 2. Релятивистская квантовая механика R(p), совмещающим направления оси Oz и р. Поэтому действуя опе- оператором Р на уравнение B.5.5), для произвольного 4-импульса р^ находим Заметим, что R(p) — поворот, совмещающий направления оси Oz и -р, но оператор ?/(i?(p)R2) не вполне совпадает с U(R(-p)). Со- Согласно уравнению B.5.47) U(R(-p)) = ехр(-г@ ± тг) J3) ехр(-г(тг - 0)J2), где азимутальный угол выбирается в виде ф + тг или ф — тг в зависи- зависимости от того, выполнено 0 ^ ф < тг или тг ^ ^ < 2тг, и поэтому всегда лежит в интервале от 0 до 2тг. Тогда U-1(R(-p))U(R(p)R2) = ехр(г(тг - 0)J2) x х ехр(г@ ± тг) J3) ехр(—1фЗ%) exp(—i0J2) exp(iTrJ2) = = ехр(г(тг - 0)J2) exp(±iTrJ3) ехр(г(тг - #) J2). Но поворот на =Ы80° вокруг оси Oz меняет знак J2j поэтому U(R(p)R2) = U(R(-p)) = ехр(±гтг J3). B.6.21) Кроме того, R(—pM(|p|/k) является стандартным "бустом" в направлении ^р = (—р,р°). Окончательно имеем _^ B.6.22) с фазой —тгсг или +тгсг в зависимости от того является ли вторая ком- компонента р положительной или отрицательной. Изменение знака под действием оператора четности в случае безмассовых частиц с полу- полуцелым спином обусловлено принятым в уравнении B.5.47) соглаше- соглашением относительно вида оператора поворота, определяющего состоя- состояние безмассовой частицы с произвольным импульсом. Так как группа вращений является неодносвязной, разрывность подобного рода неиз- неизбежна. Т:М = 0. Действуя на состояние Ф/^о- с собственными значениями Рм и J3, равными к^ = @, 0, к, к) и а, оператором обращения времени Т, мы получим состояние с собственными значениями операторов Р^ и J3, равными (&ку = @,0, —к, к) и -а. Таким образом, оператор Т не меняет спиральности J • к, и сам по себе не несет информации о том, существуют ли для любых безмассовых частиц со спиральностью а частицы со спиральностью —а. Так как оператор Т, аналогично Р, не
§2.6. Пространственная инверсия и обращение времени 99 оставляет стандартный 4-импульс к инвариантным, удобно рассмат- рассматривать генератор t/(i?^)T, где R^ — поворот B.6.19), совмещающий направления к и &к. Этот оператор коммутирует с J3, поэтому Е/(Д^)ТФМ = С** к,* B.6.23) с другой фазой (а. Поскольку Щ1 ^ коммутирует с бустом B.5.45), а ?Г коммутирует с поворотом Д(р), действуя оператором Т на состоя- состояние B.5.5), находим ^k,a. B.6.24) Используя соотношение B.6.21), окончательно получаем ТФр,^ = (а ехр(±гтго-)Ф^р><7. B.6.25) В зависимости от того, является ли вторая компонента р положитель- положительной или отрицательной, реализуется верхний или нижний знак. Интересно отметить, что действие квадрата оператора обращения времени Т на массивные и безмассовые одночастичные состояния устроено очень просто. Используя соотношение B.6.18) и учитывая, что оператор Т является антиунитарным, получаем, что для массив- массивных одночастичных состояний или, другими словами, Т2Фр,ст = (-Ji*p,,. B.6.26) Рассмотрим случай безмассовых частиц. Если вторая компонента р положительна, то вторая компонента ^р отрицательна, и наоборот. Поэтому из уравнения B.6.25) следует, что Т2Фр>0- = ТСтехр(±гтг<7)Ф<з*р>0. = ? exp(=R7rcr)Cx ехр(тгтго-)Фр>о. = Если а является целым или полуцелым, это выражение можно пере- переписать в виде Под "спином" безмассовой частицы мы обычно понимаем абсолютное значение спиральности, поэтому уравнение B.6.27) совпадает с урав- уравнением B.6.26). 7*
100 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Этот результат имеет одно интересное следствие. Когда опера- оператор Т2 действует на некоторое состояние Ф системы невзаимодей- невзаимодействующих частиц, безмассовых либо массивных, для каждой частицы возникает множитель (—J:/ или (—J'crL Следовательно, если состоя- состояние содержит нечетное количество частиц с полуцелым спином или спиральностью (плюс любое количество частиц с целым спином или спиральностью), меняется знак перед полной волновой функцией: Т2Ф = -Ф. B.6.28) Если теперь "включить" различные взаимодействия, этот эффект со- сохранится при условии, что взаимодействия инвариантны относитель- относительно обращения времени, вращательная инвариантность не играет ни- никакой роли. (Например, это справедливо, если на систему действуют произвольные статические гравитационные и электрические поля.) Теперь, предположим, что Ф является собственным состоянием га- гамильтониана Н. Так как оператор Т коммутирует с гамильтониа- гамильтонианом, ТФ также будет собственным состоянием гамильтониана. Воз- Возникает вопрос: соответствуют ли эти состояния одной и той же физической ситуации? Если это так, то ТФ отличается от Ф только фазой: тф = сф, но тогда т2ф = т(сф) = С*тф = |С12ф = ф, что противоречит уравнению B.6.28). Как можно видеть, любое собственное состояние Ф гамильтониана, удовлетворяющее уравне- уравнению B.6.28), должно быть вырождено. Этот эффект получил на- название "вырождения Крамерса" [10]. Конечно, если имеется инвари- инвариантность относительно вращений, этот эффект тривиален, поскольку полный угловой момент j любого состояния системы должен быть полу целым, и поэтому имеется 2j + 2 = 2, 4, ... вырожденных состоя- состояний. Неожиданность состоит в том, что (по меньшей мере) двукратное вырождение сохраняется, даже если вращательная инвариантность возмущена внешними полями (например, электростатическим полем), если они инвариантны по отношению к действию Т. В частности, если частица имеет электрический или гравитационный дипольный момент, вырождение 2j + 1 состояний этой частицы, отличающихся значением проекции момента на ось Oz полностью снимается в стати- статическом электрическом или гравитационном поле. Поэтому существо- существование у частицы дипольного момента запрещено инвариантностью от- относительно обращения времени. Для полноты следует упомянуть, что операторы Р и Т могут ока- оказывать более сложное действие на мультиплеты частиц с одинаковы- одинаковыми массами. Эта ситуация будет рассмотрена в приложении А. В дей- действительности же она скорее всего не реализуется.
§2.7. Проективные представления 101 §2.7. Проективные представления1) Как указывалось в § 2.2, группа симметрии может быть представ- представлена на_физических состояниях проективно. Это означает, что элемен- элементы Т, Т, и т.д. группы симметрии могут быть представлены на фи- физическом гильбертовом пространстве унитарными операторами U(T), U{T) и т.д., удовлетворяющими правилу композиции U(T)U(T) = ехр(#(Г, T))U(TT) B.7.1) с действительной фазой ф (здесь черта означает только то, что один оператор симметрии отличается от другого). Основным требованием, которому должна удовлетворять фаза ф в уравнении B.7.1), является условие ассоциативности означающее, что ф(Т2,Т!) + ф{Т^Т2Тг) = ф(Т3,Т2) + ф{Т3Т2,Т{). B.7.2) Хотя любая фаза вида ф(Т, Т) = а(ТТ) - а(Т) - а(Т) B.7.3) автоматически удовлетворяет уравнению B.7.2), проективное пред- представление с такой фазой эквивалентно обычному представлению, что легко видеть, совершив замену U(T) на = U(T)exp(ia(T)), для которого U(T)U(T) = U(TT). Любой набор функций ф(Т,Т), удовлетворяющих уравнению B.7.2) и отличающихся друг от друга на произвольную функцию Аф(Т, Т) ви- вида B.7.3), называется "два-коциклом". Коцикл, содержащий функцию 0 = 0, является тривиальным. Как легко видеть, он состоит из функ- функций вида B.7.3), которые можно устранить переопределением U(T). Нас интересует, допускает ли группа симметрии какие-либо нетри- нетривиальные два-коциклы, т.е. может ли она иметь на физическом гильбертовом пространстве представление, являющееся существенно проективным в том смысле, что фазу ф(Т, Т) нельзя устранить переопределением U(T). Для ответа на этот вопрос полезно понять, как нетривиальная фа- фаза ф из уравнения B.7.1) изменяет коммутационные соотношения для :) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
102 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика генераторов инфинитезимальных преобразований. Если Т или Т — тождественные преобразования, фаза ф должна равняться нулю ф(Т,1) = ФA,Т)=0. B.7.4) Если и Т, и Т близки к тождественному преобразованию, фаза долж- должна быть мала. Параметризуем групповые элементы координатами 6а (см. §2.2) и воспользуемся соотношением Т@) = 1. Тогда из урав- уравнения B.7.4) следует, что разложение ф(ТF),ТF)) вблизи 6 = 6 = 0 должно начинаться с членов порядка 66: ф(Т(в),Т(в)) = ивавь + ..., B.7.5) где /аь — некоторые действительные константы. Разложив B.7.1) в ряд и подставив в него B.7.5), после несложных преобразований (см. вывод соотношения B.2.22)) имеем [tb,tc]=iCabcta + iCbcl, B.7.6) где С be — антисимметричный коэффициент: С6с = -/6с + /с6. B.7.7) Возникновение в правой части коммутационного соотношения членов, пропорциональных единичному элементу (так называемых централь- центральных зарядов) отражает тот факт, что фаза в проективном представ- представлении группы для алгебры Ли нетривиальна. Из тождества Якоби следует существование важного соотношения, связывающего константы Саь и Саьс- Вычислим коммутатор B.7.6) с tdj а затем выполним в ответе замену индексов 6, с, d, на с, 6, d и d, 6, с. Сумма трех двойных коммутаторов в левой части тождества Якоби тождественно равна нулю, и поэтому CabcCead + CacdCeab + С°dbCeас = 0 B.7.8) и Са bcCad + Ca cdCab + Сп db^ac = 0- B.7.9) Всегда существует класс ненулевых СаЬч удовлетворяющих уравне- уравнению B.7.9): СаЬ = СеаЬфе- B.7.10) Здесь фе — произвольный набор действительных констант. Для таких решений центральные заряды из уравнения B.7.6) можно устранить, если переопределить генераторы: ta -+ta =га+фа. B.7.11) Тогда новые генераторы будут удовлетворять коммутационным соот- соотношениям без центральных зарядов: [tb,tc} = iCabcta. B.7.12)
§2.7. Проективные представления 103 В рамках некоторой произвольной алгебры Ли решения уравнения B.7.9), отличные от B.7.10), могут и не существовать. Теперь мы можем сформулировать основную теорему, объясняю- объясняющую, когда может возникать существенно проективное представле- представление. Фазу любого представления U(T) данной группы можно выбрать так, чтобы в уравнении B.7.1) ф было равно нулю, если выполнены два условия: а) генераторы группы в этом представлении можно переопреде- переопределить (см. B.7.11)) так, чтобы все центральные заряды алгебры Ли были устранены; б) группа односвязна, т.е. любые два ее элемента можно соеди- соединить непрерывной кривой, лежащей внутри группы, и любые две та- таких кривые могут быть непрерывно трансформированы друг в друга (эквивалентным является утверждение о том, что любая петля, на- начинающаяся и заканчивающаяся одним и тем же элементом, может быть стянута в точку). Эта теорема будет доказана в приложении Б, кроме того, там бу- будет прокомментирован случай неодносвязных групп. Как можно ви- видеть, существуют только два (стандартных) пути возникновения су- существенно проективного представления: алгебраический, поскольку группа представлена проективно даже вблизи единицы, либо тополо- топологический, так как группа неодносвязна, и, следовательно, существует такой путь, идущий из 1 в Т, что путь, идущий из 1 через Т в Т, нельзя непрерывно в него деформировать. В последнем случае фаза ф в уравнении B.7.1) зависит от выбора стандартных путей, ведущих из начала к различным элементам группы, которые используются для определения соответствующих ^/-операторов. Рассмотрим по очереди каждую из этих возможностей в случае неоднородной группы Лоренца. (А) Алгебра При наличии центральных зарядов коммутационные соотноше- соотношения для генераторов неоднородной группы Лоренца вместо B.4.12)— B.4.14) имеют вид i[J^, Jpa] = f]vpJ^ - rfpJV(T - rf»Jpv + ifvjw + Cpa^, B.7.13) i[P», Jpa] = rfpPa - rfaPp + Сраф, B.7.14) i[J»", pp] = rfpp» - ^Pv + Cp*v, B.7.15) i[P^,pp] =CP^. B.7.16) Как мы видим, С также удовлетворяют условиям антисимметрии: Ср<т,цу = _C\lv,p<t^ B.7.17) Cpw = -с™*, B.7.18)
104 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Срф = _с™. B.7.19) Покажем теперь, что существуют дополнительные алгебраические со- соотношения на эти константы, благодаря которым их можно устра- устранить переопределением J^v и Р^ (т.е. переопределением фазы опера- операторов U(А, а)). Воспользуемся тождествами Якоби [J^, [Рр, Ра}} + [Ра, [J^,PP]\ + [Рр, [Р% J^}} = 0, B.7.20) [Jx\ [J^,PP]} + [Рр, [Jx\ J*"]] + [J^, [Pp, JXv}} = 0, B.7.21) [Jx\ [J^, Jpa}} + [Jp\ [Jx\ J^}} + [J^, [Jp\ JXr]}} = 0 B.7.22) (тождество Якоби, включающее три Р, удовлетворяется автоматиче- автоматически и, следовательно, не дает никакой новой информации). Используя уравнения B.7.13)-B.7.16) и B.7.20)-B.7.22), находим, что 0 = rfpCw - f]^pC^a - r)vaC^p + п^С"'", B.7.23) + rj^C9^71 - r]wCp^x + T]PxCr]^iy - ripriCx^v, B.7.24) Q — tf p Q Ц(Т ,\Г1 _ [lpQVCF,\r\ _ CF[lQpV,\r\ _|_ (TV Qp[l,\7] _|_ _ v\Q[ir\,pa _|_ vr\Q[i\,pa _|_ iv _ T]pQ\(T,[iv _|_ t](tQ\p,[iv ?2 7 25) Сворачивая B.7.23) с r]upj получаем C^a = 0. B.7.26) Возможно, что константы С^>Хг] и Cpa^v не равны нулю, тем не менее их алгебраическая структура достаточно проста, и их можно легко устранить переопределением соответственно Рм и J^v. Свертка урав- уравнения B.7.24) с r\vp дает СиМ = ^qX _ ^с*, B.7.27) Сх = \r)pvCp+v. B.7.28) о Кроме того, сворачивая B.7.25) с Т]ир, можно получить, что Си<тМ = vwcXa - ц^С^ + r]aXCm - rf'C**1, B.7.29) СХа = \f]vpCXv^p B.7.30) (эти выражения автоматически удовлетворяют уравнениям B.7.24) и B.7.25), поэтому из тождеств Якоби нельзя получить никакой новой информации). Теперь мы видим, что если С не равны нулю, то их можно устранить, определив новые генераторы рМ =ри + Си^ B.7.31) Сца^ B.7.32)
§2.7. Проективные представления 105 для которых коммутационные соотношения не содержат центральные заряды: i[J^, Jpa] = rfoj»* - if9JVG - rf^Jpv + ifvjw, B.7.33) i[J^, Pp] = r)vpP» - ifpPv, B.7.34) i[P»,pp] =0. B.7.35) Далее мы всегда будем рассматривать только коммутационные соот- соотношения вида B.7.33)-B.7.35), опуская тильду. Равенство нулю центрального заряда в алгебре J^v можно сразу вывести из того, что данная алгебра является "полупростой" (полу- (полупростыми алгебрами Ли являются алгебры Ли, не имеющие "инвари- "инвариантных абелевых" подалгебр и состоящие из коммутирующих между собой генераторов, причем их коммутаторы с любыми другими гене- генераторами также принадлежат подалгебре). Существует общая теоре- теорема [11], согласно которой в полупростых алгебрах Ли любые централь- центральные заряды можно обратить в нуль переопределением генераторов, аналогичным B.7.32). С другой стороны, полная алгебра Пуанкаре, заданная генераторами J^v и Рм, не является полупростой (Рм об- образуют инвариантную абелеву подалгебру). Поэтому для того чтобы показать, что ее центральные заряды также могут быть таким об- образом обращены в нуль, было необходимо привлечение другой идеи. В самом деле, неполу простая алгебра Галилея, которая обсуждалась в § 2.4, действительно допускает центральный заряд — массу М. Как можно видеть, неоднородная группа Лоренца удовлетворяет первому из двух условий, необходимых для исключения существенно проективного представления. Удовлетворяет ли она второму? (Б) Топология Для того чтобы исследовать топологию неоднородной группы Ло- Лоренца, очень удобно представить неоднородное преобразование Ло- Лоренца комплексными матрицами 2x2. Для конструирования эрми- эрмитовой матрицы 2x2 можно использовать любой действительный 4-вектор Vм: ? V) B-7.36) где а^ — обычные матрицы Паули с сто = 1. Обратно, всякую эрми- эрмитову матрицу 2x2 можно представить в таком виде, поэтому она определяет действительный 4-вектор Vм. Свойство эрмитовости сохраняется при преобразованиях B.7.37)
106 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика где Л — произвольная комплексная 2x2 матрица. Более того, кова- риантный квадрат 4-вектора равен V^V* = (У1J + (У2J + (У3J - (У0J = -Betv. B.7.38) Этот детерминант также сохраняется при преобразованиях B.7.37), если |DetA| = 1. B.7.39) Таким образом, любая комплексная 2x2 матрица Л, удовлетворяю- удовлетворяющая уравнению B.7.39), определяет действительное линейное пре- преобразование Ум, оставляющее инвариантным уравнение B.7.38), т.е. неоднородное преобразование Лоренца Л (А): >М. B.7.40) Для двух таких матриц А и А имеем и поэтому Л(АА) = Л(А)Л(А). B.7.41) Однако, две матрицы А, отличающиеся только полной фазой, одина- одинаково действуют на г> в уравнении B.7.37), и, таким образом, соответ- соответствуют одному и тому же преобразованию Лоренца. Поэтому удобно подобрать фазу матриц А так, чтобы DetA = l, B.7.42) что согласуется с уравнением B.7.41). Комплексные матрицы 2x2 с равным единице детерминантом образуют группу SXB, С) (SL озна- означает "специальные линейные", т.е. равенство единице детерминанта матриц, входящих в группу, а С обозначает "комплексные"). Элементы этой группы зависят от 4 — 1 = 3 комплексных или б действительных параметров, от такого же количества параметров зависят элементы группы Лоренца. Тем не менее SXB, С) отличается от группы Ло- Лоренца: если А — матрица в SXB,C), тогда —А — тоже принадлежит этой группе, причем обе матрицы совершают одно и тоже преобра- преобразование Лоренца в уравнении B.7.37). Действительно, легко видеть, что матрица совершает преобразование Лоренца Л(А(#)), представляющее собой просто вращение на угол в вокруг оси Oz, и, следовательно, А = -1
§2.7. Проективные представления 107 производит вращение на угол 2тг. Группа Лоренца отличается от SXB,C) и напоминает скорее2) SLB,C)/Z2 — группу комплексных матриц 2 х 2 с единичным детерминантом и отождествленными эле- элементами Л и —Л. Какова топология группы Лоренца? Согласно теореме о полярном разложении [12] любую комплексную несингулярную матрицу Л мож- можно записать в виде Л = ueh, где и — унитарная, a h — эрмитова матрица: у) и = 1, h) = h. Поскольку Det и равен по модулю единице, a Det exp h = exp Tr h яв- является действительным и положительным, для выполнения B.7.42) необходимо, чтобы Det и = 1, Trh = 0 (множитель и означает существование подгруппы вращений группы Лоренца; если и унитарен, то Тг(шш+) = поэтому является левоинвариантным по отношению к А(и)). Это разложение является единственным, поэтому SXB, С) с топологической точки зрения представляет собой просто прямое произведение (т.е. набор пар точек) пространства всех и на пространство всех h. Любая эрми- эрмитова бесследовая матрица h размера 2x2 может быть представлена как и — ( с а — гЬ ~ ya + ib —с с произвольными действительными числами а, Ь, с. Поэтому про- пространство всех h с топологической точки зрения совпадает с обычным трехмерным плоским пространством R%. С другой стороны, любую унитарную матрицу 2 х 2 с единичным детерминантом можно пред- представить в виде d + ie 1 —/ + ig d — ie 2) Группа Z2 состоит из элементов +1 и — 1. Вообще, когда мы пишем G/H, где Н — инвариантная подгруппа группы G, то имеем в виду группу G с отождествленными элементами g и gh, если geG и heH. Подгруппа Z2 тривиально инвариантна, потому что ее элементы коммутируют со всеми элементами SXB, С).
108 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика где на d, е, /, д накладывается условие d2+e2 + f+g2 = l. Поэтому пространство SUB) всех и топологически эквивалентно 5з, трехмерной поверхности шара в плоском четырехмерном простран- пространстве. Таким образом, SXB, С) имеет такую же топологию, как прямое произведение R% x S3- Это произведение односвязно: любая кривая, соединяющая две точки из R% или 5з, может быть деформирова- деформирована в любую другую. То же самое верно и для прямого произведе- произведения (сферы 5П, за исключением круга Si, являются односвязными). Нас, однако, интересует SXB,C)/Z2, а не SXB,C). Отождествление Л с —Л эквивалентно отождествлению унитарных множителей и и —и (поскольку eh всегда положительно определена). Поэтому группа Ло- ренца имеет топологию R% x 53/^2, гДе S3/Z2 — трехмерная сфери- сферическая поверхность с отождествленными противоположными точка- точками сферы. Эта поверхность пеодносвязна. Например, путь на 5з из и в и' нельзя непрерывно деформировать в путь на 5з из и в — и' даже в том случае, когда эти два пути связывают одинаковые точки из S3/Z2. Фактически, S3/Z2 двусвязна; пути между любыми двумя точками распадаются на два класса в зависимости от того, включа- включают они или нет инверсию и —У —и, и любой путь из одного класса может быть деформирован в другой путь из того же класса. Экви- Эквивалентным является утверждение о том, что двойная петля, идущая дважды по одному и тому же пути из любого элемента назад в него же, может быть непрерывно деформирована в точку (как будет об- обсуждаться в приложении В, с точки зрения математика это означает, что фундаментальной или первой гомотопической группой для S3/Z2 является Z2). Аналогично, неоднородная группа Лоренца имеет ту же топологию, что и i?4 х i?3 x S3/Z2, и, следовательно, также является двусвязной. Так как группа Лоренца (однородная и неоднородная) неодносвяз- на, она действительно имеет существенно проективное представление. Однако поскольку дважды проходящая через 1, Л, ЛЛ и обратно в 1 двойная петля действительно может быть деформирована в точку, верно соотношение [U(A)U Щи'1 (АА)}2 = 1 и, следовательно, фаза ф(А, Л) равна тг или —тг: U(A)U (К) = ±U(AA). B.7.43) Аналогично, для неоднородной группы Лоренца имеем С/(Л, a)U(A, а) = ±[/(ЛЛ, Ла + а). B.7.44) Такие "представления с точностью до знака" хорошо известны в фи- физике; они описывают состояния с целым спином, для которых знаки
§2.7. Проективные представления 109 в уравнениях B.7.43) и B.7.44) всегда равны +1, и состояния с полуце- полуцелым спином, для которых эти знаки равны +1 или —1 в зависимости от того, является или не является путь, проходящий через 1, Л, ЛЛ и обратно в 1, непрерывно деформируемым в точку. Разница возни- возникает из-за того, что вращение на угол 2тг вокруг оси Oz, действуя на состояние с третьей компонентой улового момента а, умножает его на фазу е2ша и, поэтому, ничего не меняя в случае целого спи- спина, меняет знак, когда действует на состояние с полуцелым спином (эти два случая соответствуют двум неприводимым представлениям первой гомотопической группы, Z^). Таким образом, из уравнений B.7.43) или B.7.44) следует правило суперотбора: нельзя смешивать состояния с целым и полу целым спином. В случае конечных масс ограничение на возможные значения спи- спина было предварительно получено чисто алгебраическими средства- средствами из хорошо известных представлений генераторов малой группы. В данном случае это просто матрицы углового момента J^> с целым или полуцелым j. С другой стороны, в случае нулевой массы действие преобразований малой группы на физические одночастичные состоя- состояния представляет собой вращение вокруг импульса, поэтому для огра- ограничения на целую и полуцелую спиральность нет алгебраических при- причин. Существует, однако, топологическая причина: вращение вокруг импульса на угол 4тг можно непрерывно деформировать в отсутствие вращения вообще. Поэтому множитель ехрDтггсг) должен быть равен единице, а а должна быть целой или полу целой величиной. Вместо того чтобы работать с проективными представлениями и накладывать правило суперотбора, можно расширить группу Лорен- Лоренца, рассматривая вместо SLB,C)/Z2 группу SXB,C). Инвариант- Инвариантность по отношению к обычным вращениям запрещает переходы меж- между состояниями целого и полуцелого полного спина. Таким образом, единственная разница состоит в том, что теперь группа является од- носвязной и, следовательно, имеет только обычные, непроективные представления, и правило суперотбора вывести нельзя. Из этого не следует, что действительно можно спроектировать физические систе- системы на состояния — линейные суперпозиции состояний с целым и по- полуцелым спином. На самом деле, для того чтобы показать, что та- такие суперпозиции невозможны, нельзя использовать существующую в природе лоренц-инвариантность. Аналогичные замечания справедливы в случае любой другой груп- группы симметрии. Если ее алгебра Ли содержит центральные заряды, то ее всегда можно расширить так, чтобы обратить центральные заряды в нуль. Для этого надо включить в алгебру генераторы, которые ком- коммутируют с любым элементом алгебры и имеют собственные значе- значения, равные центральным зарядам. Мы придерживались этой схемы в конце § 2.4, когда присоединяли к алгебре Ли галилеевой группы оператор массы. В расширенной алгебре Ли нет центральных заря-
110 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика дов, поэтому часть группы вблизи единицы имеет только обычные представления, и правила суперотбора не возникает. Аналогично, да- даже если группа Ли G неодносвязна, всегда можно перейти к С / Н, где С — односвязная "универсальная накрывающая группа" группы G, а Н — ее инвариантная подгруппа3). Вообще говоря, в качестве груп- группы симметрии вместо G можно взять группу С — все физические следствия симметрии будут совпадать, за исключением того, что для группы G возникает правило суперотбора, а для группы С — нет. Говоря кратко, проблема правил суперотбора является довольно ака- академической. Можно или нет спроектировать физические системы на произвольную суперпозицию состояний*? Этот вопрос нельзя ре- решить, основываясь на принципах симметрии, поскольку какую бы мы ни выбрали группу симметрии природы, всегда существует дру- другая группа, имеющая такие же физические следствия, за исключе- исключением отсутствия правила суперотбора. Приложение А. Теорема о представлении симметрии В этом приложении будет дано доказательство фундаментальной теоремы Вигнера [2], согласно которой любое преобразование симмет- симметрии можно представить на гильбертовом пространстве физических состояний операторами, которые являются либо линейными и уни- унитарными, либо антилинейными и антиунитарными. В основном при доказательстве мы будем пользоваться тем, что всякое преобразова- преобразование симметрии представляет собой преобразование луча Т, сохраняю- сохраняющее вероятности переходов в том смысле, что если Ф1 и Ф2 — векторы состояний, принадлежащие лучам 3%i и ?%2-> то любые векторы состоя- состояний Ф^ и Ч?'2, принадлежащие преобразованным лучам ТМ\ и удовлетворяют соотношению Потребуем также, чтобы для любого преобразования симметрии су- существовало обратное преобразование, сохраняющее вероятности пе- переходов в том же самом смысле. Сначала рассмотрим некоторый полный ортонормированный на- набор векторов состояний Ф/,, принадлежащих лучам ^, такой что *) = <*ы. B.А.2) 3) Первой гомотопической группой для С/Н является Н. Как мы видели, накрывающей группой неоднородной группы Лоренца является SLB, С), а накрывающей группой группы трехмерных вращений — SUB). Подобная связь с SL и SU группами имеет место только для 3, 4 или 6 из- измерений. В случае произвольной размерности d накрывающей группе груп- группы SO(d) дают специальное название llSpin(d)".
Приложение А. Теорема о представлении симметрии 111 Пусть Ф'^ — некоторая произвольная выборка векторов состояний, принадлежащих преобразованным лучам TMk- Из уравнения B.А1) имеем Но (Фд., Фд.) — действительная положительная величина по определе- определению, следовательно она равна единице, и {%,%) = 6Ы. B.А.З) Как легко видеть, преобразованные состояния Ф^ также образуют полный набор: если бы имелся какой-нибудь ненулевой вектор состоя- состояния Ф', ортогональный ко всем Ф^, тогда обратное преобразование луча, которому принадлежит Ф', состояло бы из ненулевых векторов состояний Ф", для которых при любых к что невозможно, поскольку по предположению Ф/. образуют полный набор. Зафиксируем теперь свободу в выборе фаз состояний Ф^. Для это- этого выделим одно из состояний Ф&, например Ф]_, и рассмотрим векто- векторы Тк = ±= [*! + Ф2], B.А.4) принадлежащие некоторому лучу ^, где к ф 1. Любой вектор состоя- состояния Т^, принадлежащий преобразованному лучу Т^, можно разло- разложить по векторам состояний Ф{: Из уравнения B.АЛ) имеем Если I ф к и I ф 1, то сы = 0. При любом фиксированном к соответствующим выбором фаз векто- векторов состояний Y'fc и Ф^ мож:но точно зафиксировать фазы двух нену- ненулевых коэффициентов Ckk и Cki так, чтобы они были равны \j\f2. Выбранные таким образом векторы состояний Т'^ и Ф^ будут обозна- обозначаться UTk и С/Ф^. Как было показано, U -L [ф, + ф^ = иТк = ^= [17Ък + U*!]. B.A.5) у/2 у/2 Однако остается найти С/Ф для произвольных векторов состояний Ф.
112 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Рассмотрим произвольный вектор состояния Ф, принадлежащий некоторому лучу ^, и разложим его по Ф^: Ф = Х)С*Ф*. B.А.6) к Аналогично, любое состояние Ф', принадлежащее преобразованному лучу ^, можно разложить по полному ортогональному набору Е/Ф^: Ф' = ^С?Е/ФЛ. B.А.7) к Из равенства |(Ф^, Ф)|2 и |(С/Ф^, Ф')|2 следует, что при любых fc (вклю- (включая fc = 1) \Ск\2 = \С'к\2, B.А.8) а из равенства |(Т&, Ф)|2 и |(E/Yfc, Ф')|2 — что при любых к ф\ |C*+Ci|2 = |C?+C{|2. B.A.9) Разделив B.А.9) на B.А.8), получаем Re(Cfc/d) = Re(C'k/C[), B.A.10) откуда с учетом соотношения B.А.8) находим bn(C*/Ci) = ±lm(C'k/C[), B.A.11) и, следовательно, либо CkIC1=C'kIC1, B.A.12) либо Си/С, = (С'./С1,)*. B.А.13) Более того, можно показать, что для всех к реализуется один и тот же случай (этот шаг в доказательстве был опущен Вигнером). Для этого предположим, что при некотором к справедливо соотно- соотношение Ck/Ci = С'к/С[, а при некотором I ф к вместо этого имеет ме- место Ci/Ci = (СЦС^У. Предположим далее, что оба соотношения ком- комплексны, так что они действительно существенно отличаются друг от друга (для этого необходимо выполнение условий кф1,кф1и1ф1.) Покажем теперь, что это невозможно. Определим вектор состояния Ф = —-= [Ф! + Ф& + Ф/]. Так как лю- л/3 бые отношения коэффициентов в этом случае действительны, нужно получить такие же отношения для любого вектора состояния Ф;, при- принадлежащего преобразованному лучу: л/3
Приложение А. Теорема о представлении симметрии 113 где а — фазовый множитель с \а\ = 1. Тогда из равенства вероятно- вероятностей переходов |(Ф,Ф)| и |(Ф', Фг)| следует, что И 2 Сг Это справедливо лишь в том случае, когда или, другими словами, когда Следовательно, либо отношение Ck/Ci, либо C\jC\ действительно для любой пары к, /, что противоречит исходному предположению. Таким образом, для данного преобразования симметрии Т, примененного к вектору состояния к, ПРИ любом к справедливо либо урав- нение B.А.12), либо уравнение B.А.13). Вторая возможность была Вигнером исключена, поскольку, как он показал, всякое преобразование симметрии, для которого она реали- реализуется, должно включать обращение времени, а в представленном им доказательстве рассматривались только симметрии типа вращений, оставляющие направление времени инвариантным. В нашем подходе симметрии, включающие обращение времени, ничем не выделены, по- поэтому следует учесть, что для каждой симметрии Т и вектора состоя- состояк справедливо либо уравнение B.А.12), либо уравнение к B.А. 13). В зависимости от того какая из возможностей реализуется, будем определять С/Ф как особый вектор из класса векторов состоя- состояний Ф;, принадлежащих лучу Т3$ с фазой, такой что либо С\ — С{, либо С\ = С[* соответственно. В этом случае или или U U к B.A.15) Остается доказать, что для данного преобразования симметрии и любых значений коэффициентов Ск должен реализоваться или слу- случай B.А. 14), или B.А. 15). Предположим, что B.А. 14) справедливо для вектора состояния J^ А^Ф^, а B.А.15) — для вектора состояния С.Вайнберг. Т. 1
114 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика ^Bk^k- Тогда из инвариантности вероятностей переходов следует, к ЧТО к или, что эквивалентно, lAi) Im(B*kBi) = 0. B.А.16) kl Возможность того, что уравнение B.А. 16) справедливо для пары век- векторов состоянии 2_^Ак^к и z^&k^ki принадлежащих различным лу- к к чам, исключить нельзя. Однако, для любой пары таких векторов со- состояний и любых Ак и Вк с различными фазами (чтобы уравнения B.А.14) и B.А.15) не были тождественны) всегда можно найти третий вектор состояния ^G&Ф&, для которого1) к kl ^1т(ОД)Ьп(ВД) ф 0. B.А.18) kl Как было показано, из уравнения B.А. 17) следует, что и для J^ А^Ф/,, к и для ^2 Ск^к справедливо одно из уравнений B.А. 14) и B.А. 15), а из к уравнения B.А.18) следует, что и для ^Д^Ф/,, и для ^Ск^к также к к справедливо одно из этих уравнений. Поэтому то же самое справед- справедливо для пары векторов состояний ^Ак^к и ^Д^Ф/., с которых мы к к начали. Таким образом, было показано, что для данного преобразо- ) Если для некоторой пары к, I я A%Ai, я B^Bi являются комплексны- комплексными, выберем равными нулю все С, за исключением Ск и С\. Эти два коэф- коэффициента подберем так, чтобы они имели разные фазы. Если для некоторой пары к, I A%Ai является комплексным, a B^Bi — действительным числом, то должна существовать другая пара т ,п (возможно, либо т = к или /, либо п = к или /, но они не могут быть равны к или / одновременно), для которой В^Вп является комплексным. Если также А^Ап комплексно, то выберем равными нулю все С, за исключением Ст и Сп. Эти же два ко- коэффициента подберем так, чтобы они имели различные фазы. Если А^Ап действительно, тогда выберем равными нулю все С, за исключением С&, Ci, Cm, и Сп, а эти четыре коэффициента подберем так, чтобы все они име- имели разные фазы. В случае, когда B^Bi комплексно, а А*кА\ действительно, поступаем аналогично.
Приложение А. Теорема о представлении симметрии 115 вания симметрии Т все векторы состояний удовлетворяют либо урав- уравнению B.А.14), либо уравнению B.А.15). Теперь легко видеть, что определенный таким образом квантово- механический оператор U является либо линейным и унитарным, ли- либо антилинейным и антиунитарным. Во-первых, предположим, что уравнение B.А. 14) справедливо для всех векторов состояний к Любые два вектора состояний Фи Ф можно представить в виде к к и поэтому, с учетом уравнения B.А. 14), имеем к к Снова используя уравнение B.А. 14), получаем [/(аФ + /?Ф) = а[/Ф + /?[/Ф, B.А.19) поэтому U является линейным. Аналогично, с учетом B.А.2) и B.А.З), получаем, что скалярное произведение преобразованных состояний равно kl к и, следовательно, (?/Ф,?/Ф) = (Ф,Ф), B.А.20) поэтому U является унитарным. Тот случай, когда все векторы состояний удовлетворяют уравне- уравнению B.А. 15), почти полностью аналогичен рассмотренному. Чита- Читатель, вероятно, может провести все рассуждения самостоятельно, но поскольку антилинейные операторы могут быть ему незнакомы, мы немного обсудим и этот случай. Предположим, что для всех векторов состояний ^2Ск^к справедливо уравнение B.А.15). Любые два век- к тора состояний Ф и Ф можно, как и раньше, разложить по базису, и поэтому к к к Снова воспользовавшись уравнением B.А. 15), получаем /Г ?/Ф, B.А.21)
116 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика поэтому U является антилинейным. Кроме того, с учетом B.А.2) и B.А.З), находим, что скалярное произведение преобразованных со- состояний равно kl k и, следовательно, (?/Ф,?/Ф) = (Ф,Ф)*, B.А.22) поэтому U является антиунитарным. Приложение В. Групповые операторы и гомотопические классы Здесь будет доказана сформулированная в § 2.7 теорема, соглас- согласно которой фазы операторов U(T) дискретных преобразований сим- симметрии Т можно выбрать так, чтобы эти операторы осуществляли представление группы симметрии (а не проективное представление). Для этого необходимо выполнение двух условий: а) генераторы груп- группы можно определить так, чтобы алгебра Ли не имела центральных зарядов, и б) группа симметрии является односвязной. В приложении также будут рассмотрены встречающиеся для неодносвязных групп проективные представления и их связь с гомотопическими классами. Для доказательства теоремы напомним метод, с помощью кото- которого строились операторы, соответствующие преобразованиям сим- симметрии (см. §2.2). Сначала нужно ввести набор действительных переменных #а, параметризующий преобразования так, чтобы они удовлетворяли правилу композиции B.2.15): Нашей целью является построение операторов U(TF)) = U[6], удо- удовлетворяющих соответствующему условию1) Для этого выберем в пространстве параметров группы произволь- произвольные "стандартные" пути 0^(s), идущие из начала отсчета в каждую точку в и подчиняющиеся условиям 0^@) = 0, 0^A) = 0а. Опреде- Определим Ue(s) вдоль каждого такого пути как решение дифференциаль- дифференциального уравнения ± Ue(s) = itaUe{s)hab{<de{s)) Щ^ B.В.2) 1) Чтобы отличать операторы U как функции параметров группы от операторов, являющихся функциями самих групповых преобразований, бу- будем использовать квадратные скобки.
Приложение В. Групповые операторы и гомотопические классы 117 с начальным условием Ue@) = 1, B.В.З) где rTl(9), [<№)]_ B.а4) В конечном счете операторы U[0] и Ue(l) будут отождествлены, но сначала мы должны установить некоторые свойства Ue(s). Чтобы проверить, выполняется ли правило композиции, рассмот- рассмотрим две точки, в\ и в2 ч и определим путь ^, начинающийся в нуле, проходящий через в\ и заканчивающийся в /(#25$i): 0O<1A B.B.5) i).»i), i/2 <»« i. В конце первого сегмента имеем U&>(l/2) = U$1A). Чтобы вычис- вычислить U^>(s) вдоль второго сегмента, необходимо знать производную fa(Qo2Bs — l),#i). Для ее нахождения удобно воспользоваться фун- фундаментальным условием ассоциативности: @3Лв2,вг)). B.B.6) Приравнивая в пределе 6% —> 0 коэффициенты при #сз, получим, что 9Гв1) ^i)) = hcb(e2). B.B.7) Таким образом, дифференциальное уравнение B.В.2) для U&>(s) вдоль второго сегмента совпадает с дифференциальным уравнением для Uq2 Bs — 1). Хотя начальные условия для этих операторов различ- различны, U&>(s)U^(l) удовлетворяет тому же дифференциальному урав- уравнению, что и Uq2Bs — 1), и тому же начальному условию — равенству единице при s = 1/2. Поэтому можно заключить, что для 1/2 ^ s ^ 1 справедливо соотношение и, в частности, и<?A) = иваA)ив1A). B.В.8) Однако, из этого не следует, что Ue(l) удовлетворяет правилу компо- композиции B.В.1), так как, хотя путь @^>(s) и проходит из ва = 0 в ва = = /a(#2,#i), он, вообще говоря, не будет совпадать ни с одним из "стандартных" путей Э/@1502), проходящих непосредственно из ва = О в ва = /a(#2,#i). Чтобы отождествить U[6] с Ue(l), необходимо пока- показать, что Ue(l) не зависит от пути из нуля в в. Для этого рассмотрим вариацию SU оператора Uq(s), возникаю- возникающую из-за бесконечно малого изменения SO(s) на пути из нуля в в.
118 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Варьирование B.В.6) приводит к дифференциальному уравнению ^-SU = itaSUhab(Q) ^ + itaUhab,c(QMQc ^ + itaUhab(Q) as as as где /ia6,c = dhab/d0c. Воспользовавшись коммутационными соотно- соотношениями Ли B.2.22) (без центральных зарядов), после несложных преобразований получаем А (U^SU) = 4- (iU-4aUhabSQb) + Ш~Наибвь ^ х ds ds ds х (hac,b ~ haKc + Caedhebhdc). B.B.9) Однако, переходя в B.В.6) к пределу 6%, 6 ^ 0, можно найти, что для любых О h@)ab,c = -fadeh(O)dbh(O)ec, B.B.10) где /a^e — коэффициенты, определенные согласно B.2.19). Состав- Составляя тензор, антисимметричный по индексам бис, легко видеть, что последний член в уравнении B.В.9) обращается в нуль: hac,b ~ hab,c + Caedhebhdc = 0. B.В.11) Таким образом, из B.В.9) следует, что величина ZJ-^U -iZJ-4aUhab5Qb вдоль пути 6(s) является постоянной. Следовательно, U$(l) не ме- меняется при любых вариациях пути, оставляющих его концы 0@) =0 и 0A) = 0 (и Ue@) = 1) неподвижными. Поскольку в условии (б) тре- требуется, чтобы произвольный путь из 6@) =0 в 6A) =6 можно бы- было непрерывно деформировать в любой другой, Ue(l) можно считать независимой от пути функцией 6: Ue(l) = Щв]. B.В.12) В частности, так как путь & проходит из 0 в /(#1,#г), имеем U&{l) = U[f{92,e1)], B.B.13) и из уравнения B.В.8) следует, что U[6] удовлетворяет групповому закону умножения B.В.1). После того как непроективное представление U[6] построено, оста- осталось доказать, что любое проективное представление U[6] той же группы с теми же генераторами ta может отличаться от U[6] толь- только фазой: U[6] =eiaWU[0], а величину ф, входящую в закон умножения для U[6]
Приложение В. Групповые операторы и гомотопические классы 119 можно удалить переопределением фазы оператора U[6]. Для этого рассмотрим оператор Так как генераторы U[6] и U[6] совпадают, производная по в'а от левой части при в' = 0 обращается в нуль и О = А {Е/р]^]} + 1фь(в)Щв]-1и[в], где Дифференцируя по 6е и выполняя антисимметризацию по индексам Ъ и с, немедленно получаем, что дфьF) дфс(в) двс двъ ' Из этого выражения и известной теоремы [13] следует, что в случае односвязного пространства фь является градиентом некоторой функ- Фь(О) = Таким образом, величина на самом деле не зависит от в. Положив без ограничения общности в = 0, мы видим, что U просто пропорционален U: что и требовалось доказать. Эти рассуждения позволяют получить некоторую информацию о природе фазовых множителей, возникающих в групповом законе умножения, когда алгебра Ли не имеет центральных зарядов, а соот- соответствующая группа неодносвязна. Предположим, что путь ^, име- имеющий начало в точке 0, проходящий через в и заканчивающийся в точке /@,0), нельзя деформировать в стандартный путь, проходящий из 0 в /@,0), или, другими словами, петлю, проходящую через 0, 0 и /@,0), нельзя непрерывно деформировать в точку. В этом случае возможна ситуация, когда является фазовым множителем ехр(г<^@1,02)) ^ 1, но величина ф — одна и та же для любых петель, в которые этот контур может быть
120 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика непрерывно деформирован. Набор, состоящий из всех проходящих че- через точку 0 петель, которые могут быть непрерывно деформирова- деформированы в данную петлю, называют ее гомотопическим классом [14]. Как было показано, ф@\,02) зависит только от гомотопического класса петли, проходящей через точки 0, в и /(#,#). Набор гомотопических классов образует группу. "Произведение" гомотопических классов пе- петель j?fi и ^2 является гомотопическим классом петли, образован- образованной движением сначала вокруг j?f]_, а затем вокруг J^; "обратным" к гомотопическому классу петли ?? является гомотопический класс петли, полученной движением вокруг ?? в противоположном направ- направлении; "единицей" гомотопического класса петель является та петля, которая может быть непрерывно деформирована в точку. Эта группа известна как первая гомотопическая или фундаментальная группа рассматриваемого пространства. Легко видеть, что фазовые множи- множители образуют представление этой группы: если обход вдоль петли ?? дает фазовый множитель ег^, а обход вдоль петли ?? — фазовый мно- множитель ег(^, то обход обеих петель дает фазовый множитель е^е1^. Следовательно, можно перечислить все возможные типы проектив- проективных представлений данной группы 5? (не содержащей центральных зарядов), если известны одномерные представления первой гомото- гомотопической группы пространства ее параметров. Подробнее гомотопи- гомотопические группы будут обсуждаться в т. П. Приложение С. Инверсии и вырождение мультиплетов Обычно предполагалось, что инверсии Т и Р переводят одноча- стичные состояния в другие одночастичные состояния того же типа, возможно, с добавлением фазовых множителей, зависящих от вида частиц. В § 2.6 было отмечено, что на вырожденные мультиплеты одночастичных состояний инверсии могут оказывать более сложное действие, чем на одночастичные состояния. По-видимому, такая воз- возможность впервые была обнаружена Вигнером [15] в 1964 г. В этом приложении мы изучим свойства обобщенных операторов инверсии, для которых роль инверсных фаз играют конечные матрицы. При этом ограничения, введеные Вигнером при обсуждении этих свойств, будут несколько ослаблены. Начнем с обращения времени. Вигнер наложил на оператор инвер- инверсии существенное ограничение, предположив, что его квадрат про- пропорционален единичному оператору. Так как оператор Т является антиунитарным, легко видеть, что соответствующий коэффициент пропорциональности для Т2 должен быть равен ±1. При этом воз- возможно, что знак коэффициента пропорциональности различен для
Приложение С. Инверсии и вырождение мулътиплетов 121 подпространств с разными правилами суперотбора. Если знак Т2 на пространстве состояний с четными или нечетными значениями 2j про- противоположен знаку (—lJj (см. §2.6), физические состояния должны допускать более сложные представления оператора Т, чем это пред- предполагалось до сих пор. Однако, если допустить такую возможность, по-видимому, нет серьезного основания требовать, чтобы оператор Т2 был пропорционален единичному. Апелляция к структуре расширен- расширенной группы Пуанкаре звучит неубедительно: единственным полезным определением любого оператора инверсии является такое, которое де- делает соответствующую четность точно или приближенно сохраняю- сохраняющейся величиной. При этом может оказаться так, что оператор Т2 не будет пропорциональным единичному оператору. Чтобы исследовать более общий случай, предположим, что на мас- массивное одночастичное состояние оператор обращения времени дей- действует следующим образом: где р, j и а — импульс, спин и z-компонента спина частиц, а п и т — индексы, обозначающие состояния внутри расщепленных мультипле- тов частиц (возникновение множителя (—l)J~a и изменение знаков р и а выводится так же, как это было сделано в §2.6). О свойствах матрицы 3Fmn ничего не известно, за исключением того, что, посколь- поскольку оператор Т является антиунитарным, эта матрица также должна быть унитарной. Поймем теперь, как подходящим выбором базиса одночастичных состояний можно упростить данное преобразование. Определяя новые состояния с помощью унитарного преобразования получим преобразование, аналогичное B.С.1). Однако роль матрицы 3?шп теперь играет ЗГ1 = q/-xSrq/\ B.C.2) В общем случае выбором базиса одночастичных состояний сделать матрицу 3?' диагональной нельзя, поскольку оператор Т является антиунитарным. Однако ее можно привести к блочно-диагональному виду, где роль блоков играют либо фазы 1x1, либо матрицы 2x2 вида Л/2 \), B.С.З) где ф — различные действительные фазы. (Докажем это. Сначала заметим, что из уравнения B.С.2) следует, что
122 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Это преобразование является унитарным, поэтому его можно выбрать для диагонализации унитарной матрицы ????*. Тогда, опуская штри- штрихи, имеем 2? = D2?T, B.C.4) где D — унитарная диагональная матрица, имеющая на главной диа- диагонали, например, фазы ег^п. Отсюда непосредственно следует, что диагональная компонента 3?пп не обращается в нуль, если ег(^п = 1. Более того, если ег(^п = 1, но ег^т ф 1, то из B.С.4) можно видеть, что S?nra — 2?тп — 0. Выпишем сначала все столбцы и строки, для ко- которых ег^п = 1. Тогда матрица 8? приобретет вид B-с-5) где матрица &4 является симметричной и унитарной, а все диагональ- диагональные элементы 88 обращаются в нуль. Так как &4 симметрична, ее мож- можно представить в виде экспоненты от симметричной антиэрмитовой матрицы и диагонализовать преобразованием B.С.2), действующим только на <?/, с соответствующей действительной ортогональной под- подматрицей из %. Поэтому нужно рассмотреть только подматрицу 88, содержащую строки и столбцы, для которых ег^п ф 1. При п ф т из уравнения B.С.4) следует 3?пт = ег^п 3?тп и 3?тп = ег^т37пт, поэто- поэтому ^пт = е1^71 е1^™ ^пт и ^тп = ег^пег(^т 3^тп. Следовательно, если егфпегфт ф i^ т0 ??пш = 3?шп = 0. Если сначала выписать все столбцы и строки 88 с данной фазой е1^1 ф 1, затем — столбцы и строки с про- противоположной фазой, затем — столбцы и строки с некоторой другой фазой егф2 ф 1, не равной е±гф1, затем — столбцы и строки с про- противоположной фазой и т.д., матрица 88 будет приведена к блочно- диагональному виду (SSX 0 .. Д 8$ = 0 ^2 • • • , B.С.6) где б%. - ( 0 ег Более того, из унитарности 3? и 88 следует, что ^i&J — ^l^i^ поэтому матрица ^ является квадратной и унитарной. Под действием B.С.2), где матрица % имеет такую же блочно-диагональную структуру, как матрица 5^, а матрица в г-ом блоке имеет вид Vi О О W% причем Vi и Wi унитарны, подматрица ^ преобразуется как
Приложение С. Инверсии и вырождение мулътиплетов 123 Поэтому можно легко выбрать преобразование, приводящее ^ к еди- единичному виду. Таким образом, между парами столбцов и строк в пре- пределах каждого блока с фазами е%<^{ и е~%<^{ устанавливается соответ- соответствие. Теперь, чтобы привести матрицу 8ё к блочно-диагональному виду с блоками 2x2 вида B.С.З), необходимо только переставить столбцы и строки так, чтобы в пределах г-го блока оказались столбцы и строки с фазой ег(^, чередующиеся с соответствующими столбцами и строками с фазой е~г(^1.) Важно отметить, что если ег(^ ф 1, состояния для диагонализации преобразования обращения времени выбрать нельзя. Если имеются пары состояний Фр,<т,±, на которые Т действует матрицей B.С.З), то ТФ . — p±i(f)/2( — A V~a\b (9 С, R) 1 ^р,сг,± — е \ L) ^—р,—ct,=f« ул.ки.о) Тогда на произвольную линейную комбинацию этих состояний обра- обращение времени действует следующим образом: Для того чтобы состояние с+Фр?о-?+ + с_Фр?о-?_ под действием Т при- приобретало фазу Л, необходимо, чтобы е^/2с; = Лс_, е~*ф'2с*_ =Лс+. Но комбинация этих уравнений дает е±г^/2с± = |A|2c5_eT^/2, что воз- возможно, только если либо коэффициенты с+ = с_ =0, либо фазовый множитель е%<^ равен единице. Таким образом, при е%<^ ф 1 из инва- инвариантности по отношению к обращению времени следует двукрат- двукратное вырождение таких состояний (помимо вырождения, связанного со спином). Конечно, если существует оператор "внутренней" симметрии S, под действием которого эти состояния преобразуются согласно тогда можно ввести новый оператор обращения времени как Т; = = S-1T; он не будет смешивать состояния Фр,о-,± ДРУГ с другом. Толь- Только в случае, когда подобная внутренняя симметрия отсутствует, удвое- удвоение состояний можно приписать самому обращению времени. Вернемся теперь к вопросу о квадрате Т. Повторно подействовав преобразованием B.С.8), получим Т2ФР,„,± = (-lJie^*PiGj±. B.C.9) Если принять вслед за Вигнером, что оператор Т2 пропорционален единичному оператору, то ег(^ = е~г(^, и, поскольку в этом случае фаза является действительной, фазовый множитель должен быть равен +1
124 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика или — 1. Выбирая ег(^ = —1, мы все же заработали бы двукратное вы- вырождение одночастичных состояний, (помимо вырождения, связан- связанного со спином), т.е. удвоение существовало бы для любых частиц. Однако нет причин отказаться от свободы в выборе фазы ф в уравне- уравнении B.С.8), она может обращаться в нуль для одних частиц и не обра- обращаться — для других. Таким образом, тот факт, что для наблюдаемых частиц нет дополнительного двукратного вырождения, не исключает возможность существования частицы, для которой такое вырождение имело бы место. Можно рассмотреть такие более сложные представления операто- оператора четности Р, как рш — V^ ^ ш (о с ~\С\) г ^р,а,п — / J ^пт ^ — р,сг,га? y^.\u.±^jj т где ?? — произвольная унитарная матрица. В отличие от случая об- обращения времени, эту матрицу всегда можно диагонализовать соот- соответствующим выбором базиса состояний. Однако этот выбор базиса может не совпадать с тем, в котором структура оператора обращения времени проста. Поэтому, в принципе операторы Р и Т могут сов- совместно приводить к дополнительному вырождению, которое нельзя вывести из свойств Р и Т по отдельности. Как было отмечено в гл. 5, считается, что в рамках любой кван- квантовой теории поля сохраняется СРТ. Этот оператор действует на од- ночастичные состояния согласно правилу где пс обозначает античастицу (или "зарядово-сопряженную" части- частицу), соответствующую частице п. В этом преобразовании мы не вво- вводим никаких фаз или матриц (хотя, конечно, их всегда можно ввести комбинированием СРТ с некоторой внутренней симметрией). Отсюда следует, что (СРТJФР1G>П = (-lJ^^, B.C.12) поэтому указанная Вигнером возможность того, что под действием (СРТJ возникает знак — (—lJj, в квантовой теории поля не реализу- реализуется. Насколько хорошей симметрией является Т, настолько хороша и СР = (СРТ)Т. На состояния, преобразующиеся под действием опе- оператора Т обычным способом, ТФр,^ ос Ф-Р,-^,п B.С.13) оператор СР также оказывает обычное действие: СРФр^пОсФ-р^с. B.С.14) Таким образом, оператор С = СРР просто заменяет все частицы на
Задачи 125 соответствующие античастицы: СФр^пОсФр^с B.С.15) С другой стороны, когда Т имеет необычное представление B.С.8), из уравнения B.С. 11) следует, что СРФР,<г,± = е^/2Ф_р,^Тс. B.С.16) В частности, возможно, что вырождение, обозначенное значком =Ь, аналогично вырождению "частица—античастица", так что античасти- античастицей (определенной по отношению к СРТ) состояния Ф± является Ф^. В этом случае оператор СР обладает необычным свойством — он не меняет местами частицы и античастицы. Пока речь идет о таких частицах, СР и Т играют роль операторов, которые мы обычно на- называем Р и СТ. На остальные частицы СР и Т оказывают обычное действие. В физике неизвестны примеры частиц, задающих необычные пред- представления операторов инверсии, поэтому в дальнейшем мы эту воз- возможность рассматривать не будем. С этого момента будет предпола- предполагаться, что инверсии оказывают на физические состояния действие, обычное в смысле определения из § 2.6. Задачи 1. Предположим, что наблюдатель 6 видит VF-бозон (частица со спином 1 и массой т ф 0) с импульсом р, параллельным оси Оу, и ^-компонентой спина а. Второй наблюдатель б" движется относитель- относительно первого со скоростью v в направлении z. Каким представляется наблюдателю G1 состояние И^-бозона? 2. Предположим, что наблюдатель в видит фотон с импульсом р, направленным вдоль Оу, и вектором поляризации, направленным вдоль Oz. Второй наблюдатель G1 движется относительно первого со скоростью v в направлении Oz. В каком состоянии находится фо- фотон с точки зрения наблюдателя б 3. Постройте коммутационные соотношения для генераторов га- лилеевой группы непосредственно из группового закона умножения (без использования результатов, полученных для группы Лоренца). Включите наиболее общий набор центральных зарядов, которые нель- нельзя исключить переопределением генераторов группы. 4. Покажите, что операторы Р^Р^ и W^W^ коммутируют со все- всеми операторами лоренцевских преобразований С/(Л, а), где 5. Рассмотрим физику в двух пространственных и одном времен- временном измерениях, предполагая инвариантность относительно "группы
126 Гл. 2. Релятивистская квантовая механика Лоренца" 50B,1). Как бы вы описали спиновые состояния одной мас- массивной частицы? Как эти состояния ведут себя при преобразованиях Лоренца? Что можно сказать относительно инверсий Р и Т? 6. То же, что в задаче 5, только теперь будем предполагать инва- инвариантность относительно "группы Лоренца" 0B,1). Как описывают- описываются спиновые состояния одной массивной частицы в этом случае? Как эти состояния ведут себя при преобразованиях Лоренца? Что можно сказать относительно инверсий Р и Т? Литература 1. Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics, 4th edn. Oxford University Press, Oxford, 1958. [Рус. пер.: Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики.—М.: Наука, 1979.] 2. Wigner E.P. Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quan- tenmechanik der Atomspectren. Braunschweig, 1931. PP. 251-253 (English translation, Academic Press, Inc, N.Y., 1959). Случай без- безмассовых частиц рассмотрен также в Wigner E.P. В Theoretical Physics. International Atomic energy Agency, Vienna, 1963. P. 64. 3. Wick G.C., Wightman A.S., and Wigner E.P. // Phys. Rev. 88, 101 A952). За. См., например, Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, N.Y., 1972. Section 2.1. 4. Inonil E. and Wigner E.P. // Nuovo Cimento. IX, 705 A952). 5. Wigner E.P. // Ann. Math. 40, 149 A939). 6. Mackey G.W. // Ann. Math. 55, 101A952); 58, 193 A953); Acta. Math. 99, 265 A958); Induced Reprsentations of Groups and Quan- Quantum Mechanics. Benjamin, N.Y., 1968. 7. См., например, Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Prineston, 1957. Chapter 4; Rose M.E. Elementary Theory of Angilar Momentum. John Wiley & Sons, N.Y., 1957. Глава IV; Landau L.D. and Lifshitz E.M. Quantum Mechanics — Non Relativistic Theory, 3rd edn. Pergamon Press, Oxford, 1977. Section 58 [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.—М.: Наука, 1989.]; Wu-Ki Tung Group Theory in Physics. World Scientific, Singapore, 1958. Section 7.3 и 8.1. 8. Lee T.D. and Yang C.N. // Phys. Rev. 104, 254 A956); Wu C.S., et al. Phys. Rev. 105, 1413 A957); Garwin R., Lederman L., and Weinrich M. // Phys. Rev. 105, 1415 A957); Friedman J.I. and Telegdi V.L. // Phys. Rev. 105, 1681 A957).
Литература 127 9. Christenson J.H., Cronin J.W., Fitch V.L., and Turlay R. jj Phys. Rev. Letters. 13, 138 A964). 10. Kramers H.A. // Proc. Acad. Sci. Amsterdam. 33, 959 A930); см. также Dyson F.J. // J. Math. Phys. 3, 140 A962). 11. Bargmann V. // Ann. Math. 59, 1 A954). Theorem 7.1. 12. См., например, Turnbull H.W. and Aitken A.C. An Introduction to the Theory of Canonical Matrices. Dover Publications, N.Y., 1961. P. 194. 13. См., например, Flander H. Differential Forms. Academic Press, N.Y., 1963. Section 3.6. 14. Введением в гомотопические классы и группы может служить, например, Hocking J.G. and Young G.S. Topology. Adison-Wesley, Reading, MA, 1961. Chapter 4; Nash С and Sen S. Topology and Geometry for Physicist. Academic Press, L., 1983. Chapters 3 and 5. 15. Wigner E.P. В Group Theoretical Concepts and Methods in Elemen- Elementary Particle Physics, ed. by F. Gursey. Gordon and Breach, N.Y., 1964. P. 37. 16. Теория групп и элементарные частицы // Сб. статей.— М.: Мир, 1967. 17. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике.—М.: Наука, 1967. 18. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная геомет- геометрия.— М.: Наука, 1979.
Гл а в а 3 ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ Общие принципы релятивистской квантовой механики, которым была посвящена предыдущая глава, до сих пор применялись нами только к состояниям, описывающим одну стабильную частицу. Та- Такие одночастичные состояния сами по себе не представляют цен- ценности — что-то интересное может произойти лишь в том случае, когда две или более частиц взаимодействуют друг с другом. Од- Однако обычно в экспериментах за поведением частиц во время их взаимодействия не следят. Типичным (по крайней мере, в ядер- ядерной физике и физике элементарных частиц) является эксперимент, в ходе которого некоторые частицы сближаются, изначально нахо- находясь на макроскопическом расстоянии друг от друга, и взаимодейст- взаимодействуют на микроскопически малом расстоянии, после чего продукты этого взаимодействия снова расходятся на расстояние макроскопи- макроскопически большое. Физические состояния до и после взаимодействия состоят из частиц, которые находятся друг от друга настолько да- далеко, что их взаимодействием можно пренебречь, т.е. эти состояния могут быть описаны как прямые произведения одночастичных со- состояний, о которых шла речь в предыдущей главе. Величины, кото- которые измеряются в таком эксперименте — функции распределения вероятности или "сечения рассеяния" для переходов между началь- начальным и конечным состояниями удаленных друг от друга и эффективно невзаимодействующих частиц. Эта глава будет посвящена формализ- формализму [1], используемому для вычисления этих вероятностей и сечений рассеяния. § 3.1. Начальное и конечное состояния Можно считать, что состояние, описывающее несколько невзаи- невзаимодействующих частиц, преобразуется под действием группы Лорен- Лоренца как прямое произведение одночастичных состояний. В качестве индексов, характеризующих одночастичные состояния, мы будем ис- использовать их 4-импульсы рм, проекции спинов на ось Oz (или спи- ральности — в случае безмассовых частиц) и, так как мы теперь, воз- возможно, будем иметь дело с несколькими сортами частиц, дискретные индексы п, включающие в себя массу, заряд и т.д. Общее правило преобразования такого состояния под действием группы Лоренца вы-
§3.1. Начальное и конечное состояния 129 глядит следующим образом: X \l ( Pllv2' > VlVi (W(A4Vi))V"r (И/(Л,о2))... X ага2--- х ^Api,o-i,ni;Ap2,^,n2;...5 C.1.1) где W(A,p) — вигнеровский поворот B.5.10), a D^/a(W) — соответ- соответствующие Bj + 1)-мерные матрицы представления трехмерной груп- группы вращений. (Такая ситуация имеет место для массивных частиц. В том случае, если частицы безмассовые, D^,a(W(A,p)) нужно заме- заменить на 5а>а ехр(гсг#(Л,р)), где в — угол, определяемый уравнением B.5.43).) Состояния нормируются так же, как в B.5.19): =Ь перестановки, C.1.2) где член "=Ь перестановки" включен для учета возможности того, что частицы п[, п'2,... оказываются того же типа, что и частицы п\, П2,... (Как будет более подробно показано в гл. 4, знак "—" возникает, когда перестановка включает нечетную перестановку частиц с полуцелым спином, в противном случае возникнет знак "+". В данной главе это не будет для нас важным.) Мы часто будем использовать какую-нибудь греческую букву, на- например а, для обозначения всего набора индексов pi, cri, n\\ p2, &2, П2\ ... Уравнение C.1.2) в этих обозначениях можно переписать как (Фа.,Фа)=Я(а'-а), C.1.3) где S(af — а) обозначает произведение дельта-функций и символов Кронекера в правой части C.1.2). Кроме того, при суммировании по состояниям мы будем писать J da...= J2 fd3Pid*p2..., C.1.4) П1СГ1П2СГ2 ... В частности, соотношение полноты для состояний, нормированных условием C.1.3), выглядит так: Ф= /"бгаФа(Фа,Ф). C.1.5) Правило преобразования C.1.1) годится лишь для частиц, которые по тем или иным причинам не взаимодействуют друг с другом. 8 самом деле, если положить Лм^ = 5^пи и ам = @, 0, 0, г) так, что U(А, а) = exp(ii^r), то можно увидеть, что Фа должно быть собствен- собственным состоянием гамильтониана Я Фа = Еа^а, C.1.6) 9 С.Вайнберг. Т. 1
130 Гл. 3. Теория рассеяния отвечающим энергии, равной сумме энергий одночастичных состоя- состояний: Еа=р°1+р°2 + ... C.1.7) С другой стороны, правило преобразования C.1.1) на самом деле при- применимо к любым процессам рассеяния при t —> ±оо. Как было от- отмечено в начале этой главы, в любом эксперименте по рассеянию в начальный момент времени t —у — оо мы имеем дело с частицами, находящимися настолько далеко друг от друга, что взаимодействие между ними еще отсутствует, а в конечный момент времени t —> +оо — с настолько удаленными друг от друга частицами, что они уже пере- перестали взаимодействовать. Таким образом, существует не один, а два набора состояний, преобразующихся согласно C.1.1): начальное и ко- конечное состояния1) Ф+ и Ф~ являются прямыми произведениями одночастичных состояний, характеризующихся индексом а, если из- измерения выполняются соответственно при t —> — оо и t —у +оо. Заметим, что это определение зависит от системы отсчета. Что- Чтобы обеспечить явную инвариантность относительно группы Лоренца в используемом нами формализме, не будем позволять векторам со- состояний изменяться со временем — Ф будет содержать полную инфор- информацию об истории жизни системы частиц. (Такая картина известна как гейзенберговская, в отличие от шредингеровской картины, когда постоянными остаются операторы, а векторы состояний меняются со временем.) Таким образом, Ф^ не являются пределами зависящего от времени вектора состояния Ф(?) при t —> ±оо. Однако в определении подразумевается, что выбрана инерциаль- ная система отсчета, в которой наблюдатель следит за системой; различные наблюдатели видят векторы состояния, которые физи- физически эквивалентны, а не одинаковы. Например, предположим, что некий наблюдатель в настраивает свои часы таким образом, что t = 0 соответствует некоторому моменту в процессе рассеяния, а дру- другой наблюдатель б"', покоящийся относительно первого, устанавли- устанавливает свои часы так, что момент t' = 0 соответствует t = т; таким образом, временные координаты обоих наблюдателей связаны посред- посредством t' = t — т. Тогда, если первый наблюдатель 0 видит, что си- система находится в состоянии Ф, второй, б"', видит, что система — в состоянии С/A, — т)Ф = ехр(—iHr)^. Следовательно, вид состояния задолго до или после столкновения частиц (какой бы базис ни выбрал наблюдатель &) может быть найден применением оператора трансля- трансляции во времени, ехр(-Шт), сг-У —оо или т —у +оо соответственно. Конечно, если физическое состояние в самом деле является собствен- собственным состоянием гамильтониана, оно не может быть локализовано во :) Выбор меток "+" и "—" для начального и конечного состояний мо- может показаться противоречивым, но это дань традиции. Их происхождение можно проследить из знаков в C.1.16).
§3.1. Начальное и конечное состояния 131 времени — оператор ехр(—гЯт) обеспечивает появление несуществен- несущественного фазового множителя ехр(—гЕат). Это значит, что мы должны рассматривать волновые пакеты, суперпозиции / dag(aL!a состоя- состояний с амплитудами, гладко меняющимися на интервале энергий АЕ. Начальное и конечное состояния определены так, что ехр(-гЯт) Г dag(aL*± = f dae ~iEaTg(a)^ является суперпозицией состояний свободных частиц соответственно для т < -1/АЕ и т > +1/АЕ. Для большей ясности предположим, что генератор Я трансляций во времени разбит на две части: гамильтониан свободных частиц Hq и отвечающий за взаимодействие член V: ЯТТ | Т/ /О 1 О\ таким образом, что Яд обладает собственными состояниями Фа, ана- аналогичными состояниям Ф^иФ" полного гамильтониана: Япф — тг. ф (Я 1 Q") (Фа,,Фа) = Я(а'-а). C.1.10) Отметим, что согласно нашему предположению у Hq такой же спектр, как и у полного гамильтониана Я. Это имеет место, если массы, вхо- входящие в Hq , являются реально наблюдаемыми и не обязательно совпа- совпадают с "затравочными" массами в Я; разница между этими величина- величинами, если она есть, должна быть включена в У, а не в Hq. Кроме того, любые связанные состояния Я должны быть включены в спектр Яд, как если бы они были элементарными частицами2). Начальное и конечное состояния могут быть теперь определены как собственные векторы Я, а не Яд: ЯФ^ = ЕаЪ±, C.1.11) удовлетворяющие условию [ da e-iEaTg(a)^± -+ Г da е^ЕаТд(а)Фа C.1.12) соответственно для т —> — ооит—>-+оо. Условие C.1.12) равносильно ехр(-гЯт) / dag(aL?± ->• ехр(-гЯот) / 2) С другой стороны, в нерелятивистских задачах энергию связи можно включить в Но. Применяя этот метод к "столкновениям перегруппировки" (rearrangement collisions), когда либо начальное, либо конечное состояния содержат связанные состояния частиц, нужно использовать различные рас- расщепления Н на Но и V для начального и конечного состояний. 9*
132 Гл. 3. Теория рассеяния соответственно для т —У -ооитч +оо. Иногда его удобно переписать в виде формулы для начального и конечного состояний: C.1.13) где п(т) = ехр(+гЯт) ехр(-гЯот). C.1.14) Следует помнить, что осмысленные результаты можно получить, только если действовать оператором П(=роо) на гладкую суперпози- суперпозицию собственных состояний гамильтониана. Одно из следствий определения C.1.12) заключается в том, что на- начальное и конечное состояния нормированы точно так же, как состоя- состояния, отвечающие свободным частицам. В самом деле, заметим, что так как левая часть соотношения C.1.12) получена действием опера- оператора ехр(—гЯт) на не зависящее от времени состояние, его норма так же не зависит от времени и, следовательно, равна норме состояния с т ->• оо, т.е. норме правой части C.1.12): f dad/3 exp(-i(Ea-E0)TMa)g*(l3)(9±,9t) = = I da dp exp(-i(Ea - Так как предполагается, что это утверждение справедливо для любых гладких функций д(а), скалярные произведения состояний должны быть равны ±± а) = <5(/?-а). C.1.15) Для некоторых приложений полезно иметь явное (хотя и формаль- формальное) решение уравнения на собственные значения энергии C.1.11), удовлетворяющее условию C.1.12). Чтобы получить его, перепишем C.1.12) в следующем виде: (Еа - Я0)Ф± = УФ±. Оператор Еа — Hq необратим; он является оператором уничтожения не только для состояния свободных частиц Фа, но и для всего конти- континуума других состояний свободных частиц Ф/з, соответствующих той же энергии. Так как начальное и конечное состояния не отличаются от Фа при V —У 0, формальное решение можно записать как сумму Фа и члена, пропорционального V: y± = $a + (Ea-H0±ie)-1V4>±, C.1.16) или, раскладывая по полному набору собственных состояний гамиль-
§3.1. Начальное и конечное состояния 133 тониана свободных частиц, г Т± Фя C.1.18) где б — некоторая бесконечно малая положительная величина, введен- введенная для того, чтобы придать смысл оператору, обратному к Еа — Hq. Это соотношение известно как уравнение Липпмана-Швингера [1а]. Мы воспользуемся им в конце следующего параграфа, чтобы приве- привести несколько более строгое доказательство того, что начальное и ко- конечное состояния являются ортонормированными. Осталось убедиться в том, что C.1.17) с +б или —ев знаменателе удовлетворяет условию C.1.12) соответственно для начального и ко- конечного состояний. Для этого рассмотрим суперпозиции Ф±(?) = / dae~iEatg(a)^ai C.1.19) 0Ф«. C.1.20) Нужно показать, что Ф^~(?) и Ф^~(?) стремятся к Фд(?) соответственно при t —у —оо и t —У +оо. Пользуясь C.1.19) и C.1.17), имеем Поменяем порядок интегрирования и сначала рассмотрим интегралы ЛЕаЬ„(„\гГ± Ea-EC±ie' При t —У — оо контур интегрирования по Еа можно замкнуть в верхней полуплоскости полуокружностью большого радиуса. Вкладом от нее можно пренебречь, так как множитель ехр(—iEat) экспоненциально мал при t —У — оо и Im Ea > 0. Тогда интеграл определяется суммой по сингулярностям подынтегрального выражения в верхней полуплос- полуплоскости. Вообще говоря, функции g(ct) и Таа могут сами иметь сингу- сингулярности при некоторых Еа с конечными положительными мнимыми частями, но их вклад также экспоненциально подавлен при t —У — оо (строго говоря, —t должно быть много больше обратной ширины вол- волнового пакета д(а) и длительности столкновения, управляющей по- положением сингулярностей g(ct) и Таа в комплексной плоскости Еа). Остается сингулярность (Еа — Ер ± ie)~1, находящаяся в верхней по- полуплоскости для ^"о", но не ^з , и следует заключить, что J^j~ при t —У — оо обращается в нуль. Точно так же, замыкая контур в ниж- нижней полуплоскости при t —У +00, можно показать, что в этом пределе
134 Гл. 3. Теория рассеяния обращается в нуль &^ . Следовательно, Ф^(?) стремится к Фд(?) при t —У +оо в полном соответствии с определением C.1.12). На будущее отметим, что существует удобное представление мно- множителя (Еа — Ер ± ie)~1 в уравнении C.1.17). В общем случае можно написать 1 ^ш6€(Е), C.1.22) где P + e^ б C.1.23) C.1.24) Функция C.1.23) равна 1/Е для \Е\ > е и обращается в нуль при Е —У 0. Таким образом, при е —У 0 она ведет себя точно так же, как "функция главного значения" ??/Е, позволяющая придавать смысл интегралам от 1/Е • f(E), где f(E) — произвольная гладкая функ- функция, посредством исключения бесконечно узкого интервала с центром в точке Е = 0. Функция C.1.24) имеет порядок е при \Е\ ^> е и дает единицу при интегрировании по всем Е, так что в пределе е —> 0 она ведет себя так же, как известная дельта-функция S(E). С учетом этих рассуждений бесконечно малую величину е в C.1.22) можно выбро- выбросить и просто писать (Е ± ie)-1 = ^ Т ш6(Е). C.1.25) hi § 3.2. ^-матрица В типичном эксперименте сначала при t —> — оо готовят состоя- состояние с определенным набором частиц, а затем выполняют некоторые измерения, чтобы понять, на что это состояние становится похожим при t —> +оо. Если приготовленное при t —У — оо состояние содержит частицы, характеризующиеся набором индексов а, оно тождественно состоянию Ф+, и если в результате эксперимента найдено, что при t —У +00 оно содержит частицы, характеризующиеся набором индек- индексов /3, то оно становится тождественным состоянию ФГ. Таким обра- образом, амплитуда вероятности перехода а —У C определяется скалярным произведением 5^а = (Ф^,Ф+). C.2.1) Эта матрица комплексных амплитуд называется S-матрицей [2]. Ес- Если бы частицы не взаимодействовали друг с другом и конечное и начальное состояния совпадали, Spa была бы просто равна 5(а — C).
§3.2. S-матрица 135 Вероятность процесса а —У C, таким образом, равна \Spa — S(a — f3)\2. В § 3.4 мы покажем, какое отношение Spa имеет к наблюдаемым ве- вероятностям и сечениям процессов. Возможно, следует подчеркнуть, что начальное и конечное состоя- состояния не принадлежат различным гильбертовым пространствам. Они отличаются только индексом а, т.е. набором частиц, который они опи- описывают при t —У — оо или t —У +оо. Любое начальное состояние может быть разложено по полному набору конечных состояний с коэффици- коэффициентами разложения, определяемыми C.2.1). Так как Spa является матрицей, связывающей два полных базиса ортонормированных состояний, она должна быть унитарной. Чтобы увидеть это, применим соотношение полноты C.1.5) к конечным со- состояниям: Воспользовавшись C.1.15), получим *01S0a=6(j-a), C.2.2) /¦ или, кратко, S^ S = 1. Точно так же, применяя соотношение полноты для начальных состояний, имеем1) / dp S^S*ap = 6(>у - a) C.2.3) или 55f = 1. Часто вместо того чтобы работать с 5-матрицей, удобно иметь де- дело с оператором 5, матричные элементы которого в базисе собствен- собственных состояний гамильтониана свободных частиц равны соответствую- соответствующим элементам 5-матрицы (Ф^,5Фа) = 5/3а. C.2.4) Явное, хотя и исключительно формальное, выражение C.1.13) позво- позволяет получить следующую формулу для оператора S: S = n(oo)fn(-oo) = ?/(+оо, -оо), C.2.5) где ?/(т,т0) =n(r)fn(r0) = ехр(гЯот)ехр(-гЯ(т-7о))ехр(-гЯО7о). C.2.6) В следующем параграфе это выражение будет использовано для про- проверки лоренц-инвариантности 5-матрицы, а в § 3.5 — чтобы вывести формулу для 5-матрицы в нестационарной теории возмущений. :) Другое доказательство будет дано в конце этого параграфа. Заме- Заметим, что для бесконечных матриц условия унитарности S^ S = 1 л SS^ = 1 не эквивалентны.
136 Гл. 3. Теория рассеяния Методы, развитые в предыдущем параграфе, можно использовать для вывода другого полезного представления 5-матрицы. Вернемся к уравнению C.1.21) для начального состояния Ф+, но на этот раз перейдем к пределу t —У +оо. Теперь нам нужно замкнуть контур ин- интегрирования по Еа в нижней полуплоскости, и хотя сингулярности в Тр~а и д(а), как и раньше, не дают вклада при t —У +оо, вклад от сингулярного множителя (Еа — Ер + ie)~1 будет нетривиальным. Мы проходим вдоль контура от Еа = — оо до Еа = +оо, затем назад до Еа = — оо вдоль большой полуокружности в нижней полуплоскости и таким образом обходим сингулярность по часовой стрелке. Согласно теореме о полюсах интеграл по Еа равен значению подынтегрального выражения при Еа = Ер — ге, умноженному на — 2тгг. Таким образом, в пределе е —у 0+ и t —У +оо интеграл по а в C.1.21) имеет следующее асимптотическое поведение: I da6(Ea - Ep)g(a)T+a, и, следовательно, при t —у +оо jda8{Ea - Раскладывая Ф^" в выражении C.1.19) по полному набору конечных состояний, имеем iE^g(a) J'd/3^S0a. Так как Spa содержит множитель S(Ep — Еа), это выражение может быть переписано следующим образом: Idag(a)S0a. Используя свойство C.1.12) конечных состояний, можно увидеть, что оно имеет при t —У +оо такое асимптотическое поведение: Сравнивая это выражение с предыдущим, получаем, что Jdag(a)Spa = дЦЗ) - 2ш J daS(Ea - Ep)g(a)T+a, или, другими словами, SPa = 6(/3 -а)- 2ш6(Еа - Е0)Т+а. C.2.7) Отсюда легко понять, что для 5-матрицы существует простая аппрок- аппроксимация: если взаимодействие V слабо, в C.1.18) можно пренебречь
§3.2. S-матрица 137 разницей между начальным состоянием и состояниями свободных ча- частиц. В этом случае уравнение C.2.7) сводится к выражению Spa ~ S(f3 -a)- 2т6(Еа - Ер)(Фр,УФа). C.2.8) Такое приближение называется борновским [3]. Поправки высших по- порядков будут рассматриваться в § 3.5. Чтобы дать не использующее переходов к пределам t —> =foo дока- доказательство того, что начальные и конечные состояния ортонормиро- ваны, а 5-матрица и ее представление C.2.7) унитарны, можно вос- воспользоваться уравнением Липпмана—Швингера C.1.16). Во-первых, используя C.1.16) для правой и левой частей матричного элемента (Ф^ , УФ^) и приравнивая результаты, мы найдем, что (Ф±, УФа) + (Ф±, V(Ea - Яо ± iey'V^t) = Суммируя по полному набору Ф7 промежуточных состояний, получим такое уравнение: х ([Еа -Еч± ге]-1 - [Ер - Е1 т ге]'1). C.2.9) Чтобы доказать ортонормированность [4] начальных и конечных со- состояний, разделим C.2.9) на Еа — Ер ± 2ге. В результате имеем ie) , - Еа± 2ie) Еа-Е(з± 2ге - [ J у Ep-E1±ie) Ea-E1±2ie' Слагаемые 2е в знаменателях левой части можно свободно заменить на б — существенно лишь то, что они являются бесконечно малыми и положительными. Мы видим, что матрица яр - ") + F Ti° ,. унитарна. Вместе с C.1.7) это утверждение является доказательством того, что Ф^ образуют два набора ортонормированных состояний. Точно так же доказывается унитарность 5-матрицы: нужно умно- умножить C.2.9) на 5(Ер - Еа) вместо (Еа - Ер ± 2ге)~1.
138 Гл. 3. Теория рассеяния § 3.3. Симметрии ^-матрицы В этом параграфе мы поймем, что подразумевается под инвари- инвариантностью 5-матрицы по отношению к различным преобразованиям симметрии и каковы условия на гамильтониан, позволяющие обеспе- обеспечить эту инвариантность. Инвариантность относительно группы Лоренца Для любого ортохронного преобразования Лоренца х —у Ах + а можно определить унитарный оператор С/(Л, а), действующий на на- начальное или конечное состояния согласно C.1.1). Когда мы говорим, что некоторая теория лоренц-инвариантна, мы имеем в виду, что и на начальное, и на конечное состояния действует один и тот же опера- оператор U(А, а). Так как он унитарен, то S0a = (Ф^,Ф+) = ([/(Л,а)Ф^,[/(Л,а)ф-), и, используя C.1.1), мы получаем условие лоренц-инвариантности (на самом деле — ковариантности) 5-матрицы: для любых преобра- преобразований Лоренца A^v и трансляций ам имеет место соотношение +p'2v + ... -рЧ - pv2 х /(Лр1H(Ар2H...(Ар'1)°(Лр'2H... у . . . X I . . . X (здесь штрихи используются для того, чтобы отличить начальные со- состояния от конечных, а черта над буквой — для обозначения перемен- переменной, по которой производится суммирование). Если левая часть этого выражения не зависит от параметра ам, то от него не зависит и пра- правая часть. Таким образом, если импульс не сохраняется, 5-матрица обращается в нуль. Ее часть, отвечающую за взаимодействия частиц, можно записать в следующей форме: SPa - 5{Р -а) = -2тМ0аё4(р0 - ра) C.3.2) (однако, как будет показано в следующей главе, амплитуда Мра сама содержит члены с дельта-функциями).
§3.3. Симметрии S-матрицы 139 Уравнение C.3.1) следует рассматривать не как теорему, а как определение того, что мы понимаем под лоренц-инвариантностью 5-матрицы, так как унитарный оператор, действующий на векторы начального и конечного состояний согласно уравнению C.1.1), суще- существует только для особого выбора гамильтонианов. Сформулируем накладываемые на гамильтониан условия, при которых 5-матрица бу- будет лоренц-инвариантной. Для этого удобно работать с 5-оператором, матричные элементы которого заданы соотношением C.2.4) Согласно данному в гл. 2 определению собственных состояний Фа гамильтониана свободных частиц, они преобразуются по некоторому представлению неоднородной группы Лоренца. Поэтому всегда можно определить унитарный оператор С/о (Л, а), осуществляющий преобра- преобразование C.1.1) этих состояний: С/о(Л,а)ФР1><71>П1;Р2><72>П2;... =ехр(-шмЛ^(р 1У- ? D^( Уравнение C.1.1) будет справедливым, если этот унитарный оператор коммутирует с 5-оператором: С/0(Л,а)-15С/0(Л,а) = 5. Это условие можно также переписать через бесконечно малые преоб- преобразования Лоренца: как и в ситуации, которая обсуждалась в § 2.4, существует некоторый набор эрмитовых операторов — импульса Ро, углового момента Jo и генератора бустов Ко, которые вместе с Hq яв- являются генераторами бесконечно малых преобразований неоднород- неоднородной группы Лоренца, действующими на состояния гамильтониана сво- свободных частиц. Уравнение C.1.1) эквивалентно тому утверждению, что 5-матрица не подвержена влиянию этих преобразований или, дру- другими словами, они коммутируют с 5-оператором: [Я0,5] = [Р0,5] = [Jo, 5] = [Ко, 5] = 0. C.3.3) Так как операторы Hq, Pq, Jo и Kq генерируют бесконечно малые преобразования неоднородной группы Лоренца, они автоматически удовлетворяют коммутационным соотношениям B.4.18)—B.4.24): [4,4}=itiJkJo, C-3.4) 4{етКй, C.3.5) -ieijkJ*, C.3.6)
140 Гл. 3. Теория рассеяния [4,pi]=ieijkP0k, C.3.7) [КЬ,Р$] = -ШО6Ф C.3.8) [4, Но] = [Р&, Но] = [Р*, Р^ = 0, C.3.9) [Klo,Ho] = -iPi, C.3.10) где г, j, k и т.д. — индексы, пробегающие значения 1, 2, 3, а е^ — совершенно антисимметричный тензор такой, что 6123 = +1. Точно так же можно определить набор "точных генераторов", опе- операторов Р, J, К, вместе с гамильтонианом Н генерирующих преоб- преобразования C.1.1), например начальных состояний (как уже упомина- упоминалось, совсем не очевидно, что те же самые операторы генерируют точно такие же преобразования конечных состояний). Групповая структура указывает на то, что эти точные генераторы удовлетво- удовлетворяют таким же коммутационным соотношениям: [J\Jj]=ieijkJk, C.3.11) \3\Ю\=1щкК\ C.3.12) [K\Ki] = -ieijkj\ C.3.13) [J\Pj]=ieijkPk, C.3.14) [К*,Р>] = -Ш6у, C.3.15) [J\ Я] = [Р\ Н] = [Р\ рз\ = 0, C.3.16) [K\H] = -iP\ C.3.17) Фактически во всех известных теориях поля эффект взаимодействия состоит в добавлении к гамильтониану члена V, без изменения опе- операторов импульса и углового момента: H = H0 + V, Р = Р0, J = Jo- C.3.18) (единственное известное исключение — теории с нетривиальными то- топологическими решениями, такими как магнитные монополи; в этом случае от взаимодействия зависит угловой момент состояния). В C.3.18) подразумевается, что коммутационные соотношения C.3.11), C.3.14) и C.13.16) справедливы при условии, что отвечающая за взаимодей- взаимодействие часть гамильтониана коммутирует с операторами импульса и уг- углового момента системы свободных частиц: [V,Po] = [V,Jo]=0. C.3.19) Из уравнения Липпмана—Швингера C.1.16) или C.1.13) легко видеть, что действующие на начальное (и конечное) состояния генераторы трансляций и поворотов просто совпадают с Ро и Jq. Также можно заметить, что Ро и Jq коммутируют с оператором U(t,to), опреде- определенным согласно C.2.6), и, следовательно, с 5-оператором U(—00, 00).
§3.3. Симметрии S-матрицы 141 Далее, как мы уже знаем, из-за того что в обеих частях C.2.7) имеют- имеются дельта-функции, обеспечивающие сохранение энергии, 5-оператор коммутирует с Hq. Таким образом, осталось показать, что с 5-опера- тором коммутирует генератор бустов Kg. Генератор бустов К не может быть равен Ко, так как в этом слу- случае из C.3.15) и C.3.8) следует, что Я = Яо, что неверно, если есть взаимодействие. Следовательно, когда мы добавляем к Hq некоторое взаимодействие У, нужно добавлять поправку W к генератору бу- бустов: K = K0 + W. C.3.20) Обратим теперь внимание на соотношение C.3.17). В нашем случае оно может быть переписано в виде [K0,V] = -[W,H]. C.3.21) Само по себе оно бессодержательно, поскольку для любого V мож- можно определить W через его матричные элементы между собственны- собственными состояниями гамильтониана Я как — (Ф^,[Ко, У]Фа)/(-Б/з — Еа). Вспомним, что ключевой момент определения лоренцевой инвариан- инвариантности теории состоит не в том, что должен существовать некото- некоторый набор точных генераторов, удовлетворяющих C.3.11)—C.3.17), а в том, что эти операторы должны одинаково действовать на на- начальное и конечное состояния. Поэтому мало просто найти опера- оператор К, удовлетворяющий C.3.21). Это соотношение становится содер- содержательным, если потребовать гладкости матричных элементов W как функций энергии, в частности, отсутствия у них сингулярностей ви- вида (Ер — Еа)~г. Покажем теперь, что из уравнения C.3.21) и условия гладкости W действительно следует, что [Ко, 5] = 0. Для этого рассмотрим коммутатор Ко и оператора U(t,to), опре- определенного согласно уравнению C.2.6), в случае конечных t и to. Ис- Используя C.3.10) и тот факт, что Ро коммутирует с Яо, получим [К0,ехр(гЯ0?)] = ?Роехр(гЯо?) и из уравнения C.3.21) (эквивалентного C.3.17)) [К,ехр(гЯ?)] = ?Р ехр(гЯ?) = ?Роехр(гЯ?). Операторы импульса в коммутаторе Ко и U сократятся, и мы получим следующее выражение: C.3.22) где W(t) = exp(iHot)W ехр(-гЯ0?). C.3.23) Если матричные элементы W, взятые между собственными состоя- состояниями Яо, являются достаточно гладкими функциями энергии, то матричные элементы W(t) между гладкими суперпозициями соб- собственных состояний гамильтониана обращаются при t —> =Ьоо в нуль,
142 Гл. 3. Теория рассеяния и из уравнения C.3.22) можно получить О = [Ко, ?/@0,-00)] = [Ко, 5], C.3.24) что и требовалось. Таким образом, соотношение C.3.21) с учетом усло- условия гладкости матричных элементов W, гарантирующего обращение в нуль W(?), является достаточным условием лоренц-инвариантности 5-матрицы. Предположение о гладкости довольно естественно, по- поскольку оно очень похоже на условие, при котором V(t) при t —у =Ьоо обращается в нуль, что необходимо для осмысленности самой идеи 5-матрицы. Используя C.3.22) с т = 0 и т$ = Т00? можно также показать, что = П(тоо)К0, C.3.25) где n(=Foo) — оператор, который согласно C.1.13) переводит собствен- собственное состояние Фа гамильтониана свободных частиц в соответствующее начальное или конечное состояние Ф^. Кроме того, как тривиально следует из C.3.18) и C.3.19), то же самое верно для операторов им- импульса и углового момента: = П(тоо)Р0, C.3.26) )J0. C.3.27) Наконец, так как все Фа иФ^ являются собственными состояниями Hq и Н, соответствующими одному собственному значению Еа, полу- получаем ЯП(тоо) = П(тоо)Я0. C.3.28) Из C.3.25)-C.3.28) следует, что начальные и конечные состояния в са- самом деле преобразуются под действием неоднородной группы Лорен- Лоренца точно так же, как собственные состояния гамильтониана свободных частиц. Кроме того, поскольку мы имеем дело с преобразованиями по- подобия, то генераторы К, Р, J и Н удовлетворяют, как мы видим, тем же коммутационным соотношениям, что и Ко, Ро, Jo и Hq. Поэто- Поэтому при доказательстве лоренц-инвариантности 5-матрицы нет необ- необходимости использовать остальные включающие К коммутационные соотношения C.3.12), C.3.13) и C.3.15). Внутренние симметрии Существует множество симметрии (таких, как, например, симмет- симметрия по отношению к замене нейтронов протонами в ядерной фи- физике или симметрия "зарядового сопряжения", связывающая части- частицы и античастицы) которые не имеют прямого отношения к лоренц- инвариантности и потому не меняются в любой инерциальной системе отсчета. Подобному преобразованию симметрии Т соответствует неко- некоторый унитарный оператор U(T), действующий в гильбертовом про-
§3.3. Симметрии S-матрицы 143 странстве физических состояний. Он индуцирует линейные преобра- преобразования в пространстве индексов, нумерующих типы частиц: U \J- ) ^pi ,0"! ,Щ ':Р2,&2,П2'т-- — = Y, ^n1n1(T)S>n1n1(T)...^pu(Tun1;P2,a2,n2;... C-3.29) ni,n2... В соответствии с гл. 2 оператор U(T) должен подчиняться правилу группового умножения: U(T)U(T) = ЩТТ), C.3.30) Здесь запись ТТ означает, что на состояние сначала нужно подей- подействовать преобразованием Т, а затем другим преобразованием Т. Дей- Действуя оператором U{T) на уравнение C.3.29), можно видеть, что мат- матрицы 3) удовлетворяют аналогичному соотношению ^(Т)^(Г) = @{ТТ). C.3.31) Кроме того, если взять скалярное произведение состояний, получен- полученных действием U{T) на два различных конечных состояния и вос- воспользоваться условием нормировки C.1.2), то можно обнаружить, что матрица @(Т) унитарна: #(Г) = ^-1(Г). C.3.32) Наконец, вычисляя скалярное произведение состояний, полученных действием U(T) на конечное и начальное состояния, получим, что @ коммутирует с 5-матрицей: f- (Т) 3f- (T\3f- (Т) х [^ N'2n'2 У1 > JNxnx \Х ^N2n2 У1 ) '•• х N1N2...N'1N'2... C.3.33) Это уравнение вновь следует считать определением того, что мы по- понимаем под инвариантностью теории относительно преобразований внутренней симметрии Т, поскольку для того чтобы его вывести, нуж- нужно, помимо всего прочего, потребовать, чтобы один и mom же опе- оператор U(T) индуцировал преобразование C.3.29) и для начального, и для конечного состояний. Это будет справедливым в том случае, когда существует "невозмущенный" оператор Uq (T), действующий по- подобным образом на собственные состояния гамильтониана свободных частиц: Е %'1n'1(r)%ini(T)...*Plffljv1;Pa.ilJva,..- C-3-34)
144 Гл. 3. Теория рассеяния и коммутирующий как со свободной частью гамильтониана, так и с чле- членом, отвечающим за взаимодействие: oiT) = #о, C.3.35) 0(T) = V. C.3.36) Из уравнения Липпмана-Швингера C.1.17) или из C.1.13) следует, что оператор Uo(T) действует согласно C.3.29) как на начальное и ко- конечное состояния, так и на собственные состояния гамильтониана свободных частиц. Поэтому C.3.29) можно выводить, взяв в каче- качестве U(T) просто оператор Uo(T). Особенно важным для физики является случай однопараметриче- ской группы Ли, когда Т является такой функцией одного парамет- параметра 0, что Т(в)Т(в) =Т(в + в). C.3.37) Как было показано в § 2.2, соответствующие операторы, действующие в гильбертовом пространстве состояний, должны иметь вид U{T{6)) = exp(iQ<9), C.3.38) где Q — эрмитов оператор. Аналогично, матрицы @{Т) равны = 8п,п exp(iqne), C.3.39) где qn — некоторый набор действительных чисел, зависящих от типов частиц. Из уравнения C.3.33) следует, что числа q должны сохранять- сохраняться: Spа обращается в нуль, если не выполнено условие qn[ +qn>2 + --- = qn1+qn1+--- C.3.40) Классический пример такого закона сохранения — сохранение элек- электрического заряда. Кроме того, во всех известных процессах сохра- сохраняется барионный заряд (число барионов, таких как протоны, ней- нейтроны и гипероны, минус число антибарионов) и лептонный заряд (число лептонов, таких как электроны, мюоны, т-частицы и нейтри- нейтрино, минус число соответствующих античастиц). Но, как будет отме- отмечено в т. II, сегодня считается, что эти законы сохранения являются лишь приближенными. Существуют и другие приближенные законы сохранения: например сохранение квантового числа "странность", ко- которое было введено в физику для объяснения относительно большого времени жизни некоторых частиц, открытых в 1947 г. в космических лучах Рочестером и Батлером [5]. Так, мезоны, получившие название1) К+- и Х°-частиц имеют странность, равную —1, а такие знакомые неспециалисту частицы, ) Верхний индекс обозначает электрический заряд заряд частицы в единицах заряда электрона. Гипероном называется любая частица, несу- несущая ненулевую странность и единичный барионный заряд.
§3.3. Симметрии S-матрицы 145 как протон, нейтрон и тг-мезоны (или пионы), несут нулевую стран- странность. Сохранение странности в сильных взаимодействиях объяс- объясняет, почему странные частицы почти всегда рождаются парами, как в реакциях типа тг+ + п —у К^~ + Л°. Такие относительно медленные распады странных частиц на частицы с нулевой странностью, как Ло —> Р + тг~ и К+ —У тг+ +7г°, показывают, что взаимодействия, не сохраняющие странность, очень слабы. Одним из примеров "неабелевой" внутренней симметрии, когда ге- генераторы не коммутируют друг с другом, является симметрия по от- отношению к вращению изотопического спина. Она была открыта [6] в 1937 г. благодаря эксперименту [7], в котором было обнаружено, что сильное взаимодействие между двумя протонами почти равно сильно- сильному взаимодействию между протоном и нейтроном. Группа симметрии в этой случае совпадает с SUB), аналогичной накрывающей группы трехмерных вращений; ее генераторы ti удовлетворяют коммутацион- коммутационным соотношениям, аналогичным B.4.18): [U,tj] =ieijktk. Благодаря этой симметрии частицы образуют2) вырожденные BТ + 1)-компонентные мультиплеты (Т — целое или полуцелое чис- число), различаясь внутри мультиплета компонентами ?з аналогично то- тому, как это имеет место для обычного спина и инвариантности по отношению к вращениям в пространстве. Например, в такие муль- мультиплеты собраны нуклоны р и п с Т = 1/2 и ?з = 1/2, —1/2, пионы 7Г+, 7г° и 7г" с Г = 1 и U = +1, 0, -1 и Л°-гиперон с Г = 0 и U = 0. Эти примеры иллюстрируют соотношение между электрическим за- зарядом Q, третьей компонентой изоспина ?з, барионным зарядом В и странностью S: Первоначально оно было выведено как следствие наблюдавшихся в экспериментах правил отбора. В I960 г. Гелл-Манн и Нееман интер- интерпретировали это соотношение как погружение изоспина Т и "гипер- "гиперзаряда" Y = В + S в алгебру Ли группы SU(S), соответствующей большей, чем изоспиновая, неабелевой внутренней симметрии, ко- которая сильно нарушена. Как будет показано в т. II, изоспиновая и 5?7C)-симметрия являются случайными следствиями малости масс трех из шести кварков в современной теории сильных взаимодей- взаимодействий, квантовой хромодинамике. Инвариантность по отношению к вращению в изотопическом про- пространстве с точки зрения ее следствий для процессов с сильным взаи- взаимодействием можно анализировать теми же методами, что и инва- инвариантность по отношению к вращениям в обычном пространстве. 2) Это утверждение носит приближенный характер, как и сохранение изотопического спина. 10 С.Вайнберг. Т. 1
146 Гл. 3. Теория рассеяния Например, как следует из уравнения C.3.33), 5-матрица реакции А + В —У С + D должна иметь вид (если опустить все индексы, кроме изоспиновых) T,t3 где Cj1j2(ja;ai(j2) — коэффициент Клебша-Гордана [9] преобразова- преобразования от состояния со спином j и z-проекцией спина а к состояниям со спинами ji, j2 и соответствующими проекциями спина о\ и сг2, а 5т — "редуцированная" 5-матрица, зависящая от Т и от всех им- импульсных и спиновых переменных, но не от проекций изоспина газ? гвз, ^сз-, tD3- Подобно любым следствиям изоспиновой симметрии, это соотношение носит лишь приближенный характер: изоспин не сохра- сохраняется в электромагнитных (и других) взаимодействиях. Это следует, например, из того, что разные компоненты изоспинового мультиплета (такие, как р и п) имеют различные электрические заряды и немного отличающиеся массы. Четность Поскольку симметрия по отношению к преобразованию х —> —х соблюдается, должен существовать некоторый унитарный оператор Р, под действием которого начальное и конечное состояния преобразуют- преобразуются как прямые произведения одночастичных состояний: ^^Pia1n1;p2O-2n2;... ~ f1n1Vn2 • • • ^^рищц^рг^пг;... (о.О.41) где г)п — внутренняя четность частицы типа n, a SP меняет знак про- пространственных компонент р^. (Такое соотношение имеет место для массивных частиц, а обобщение на безмассовые частицы выполняется тривиально.) Условие сохранения четности для 5-матрицы выглядит следующим образом: с ...... _ иp1a1n1]p2o'2n2i • • • iV\(J\n\ 'iPivirti;... — Как и для внутренних симметрии, удовлетворяющий C.3.41) опе- оператор Р существует, только когда действующий на собственные со- состояния гамильтониана свободных частиц оператор Ро коммутирует с Но и V. Фазы г\п можно найти из динамических моделей или результатов эксперимента. Однако они не могут быть определены однозначно, так как всегда можно переопределить Р, взяв его комбинацию с любым другим оператором внутренней симметрии. Например, если Р сохра-
§3.3. Симметрии S-матрицы 147 няется, то сохраняется и Р' = Р ехр(ш? + i/3L + ijQ), где В, L и Q — соответственно барионный, лептонный и электриче- электрический заряды, а«,^и7 — некоторые действительные числа; и опера- оператор Р, и оператор Р' можно с равным правом называть оператором четности. Нейтрон, протон и электрон обладают различными заря- зарядами В, L и Q. Следовательно, соответствующим выбором «Jh) можно всегда добиться равенства четностей каждой из этих частиц единице. Однако после того как мы таким образом определили четно- четности этих трех частиц, фиксируются четности всех остальных, напри- например пиона (он излучается в процессе п —> р + тг~). Кроме того, все- всегда однозначно определена внутренняя четность любой частицы, не несущей никакого сохраняющегося квантового числа. Пример такой частицы — нейтральный пион тг°. Эти рассуждения позволяют ответить на вопрос, всегда ли внут- внутренняя четность должна принимать значения =Ы. На первый взгляд, это должно следовать из того, что оператор пространственной ин- инверсии Р удовлетворяет соотношению Р2 = 1. Однако оператор сохра- сохраняющейся четности может отличаться от оператора инверсии фазо- фазовым множителем. В любом случае, выполнено условие Р2 = 1 или нет, оператор Р действует точно так же, как оператор внутренней сим- симметрии: р2ф± = „2 2 ф± PlO~ini]P2(T2Tl2]--- 1П\ 1П2 ' ' ' Pi О ^1 ;Р2О^2 5 • • • ' Если эта внутренняя симметрия является частью непрерывной группы фазовых преобразований, такой как группа умножения на exp(iaB + i/3L + ijQ) с произвольными «,^И7, оператор /р, равный квадратному корню из Р, тоже будет принадлежать этой группе и будут выполняться соотношения /рР2 = 1 и [/р, Р] = 0 (например, если Р2 = exp(iaB + ...), то Ip = exp(—iaB/2 + ...)). Таким образом, можно определить новый оператор четности как Р; = Pip с Р/2 = 1. Нет причины, по которой нельзя было бы считать Р; оператором чет- четности, поскольку четность, определенная таким образом, тоже сохра- сохраняется. Кроме того, внутренняя четность любой частицы в этом слу- случае будет равна ±1. Единственным классом теорий, для которых четность не всегда можно определить так, чтобы все внутренние четности были равны =Ы, являются теории с дискретной симметрией, не входящей ни в ка- какую непрерывную группу симметрии, состоящую из фазовых преобра- преобразований [10]. Например, сохранение оператора (—1)F, где F — полное число частиц с полуцелым спином, является следствием сохранения углового момента. Все известные частицы с полуцелым спином устро- устроены так, что сумма барионного и лептонного зарядов В + L является нечетным числом, так что, насколько нам известно, (—1)F = (—1)B+L. Если это верно, оператор (—1)F принадлежит некоторой непрерыв- ю*
148 Гл. 3. Теория рассеяния ной группе, состоящей из операторов exp(ia(B + L)) с произвольны- произвольными действительными а, и обратный квадратный корень из него ра- равен ехр(-гтг(Б + L)/2). В этом случае, если Р2 = (-1)F, оператор Р может быть переопределен так, что все внутренние четности совпа- совпадут с =Ы. Однако если бы была открыта частица с полуцелым спи- спином и четным значением В + L (например, майорановское нейтрино с j = 1/2 и В + L = 0), можно было бы зафиксировать Р2 = (—1)F и в том случае, когда невозможно требовать, чтобы оператор четно- четности имел только собственные значения =Ы. В этом случае Р4 = 1, так что все внутренние четности равны =Ы или =Ьг (для майорановских нейтрино). Как следует из уравнения C.3.42), 5-матрица является четной или нечетной относительно обращения знаков всех 3-импульсов в зави- зависимости от того, равно произведение внутренних четностей частиц конечного состояния произведению внутренних четностей частиц на- начального состояния, взятому со знаком "+" или "—". В 1951 г. [11] было обнаружено, что в реакции тг~ + d ^ п + п дейтрон может поглотить пион из основного состояния тг~б?-атома с I = 0 (как было отмечено в § 3.7, в релятивистской физике с квантовым числом /, соответствую- соответствующим орбитальному угловому моменту, можно работать точно так же, как и в нерелятивистской квантовой механике). В начальном состоя- состоянии полный угловой момент j = 1 (спин пиона равен нулю, а спин дейтрона — единице), следовательно, конечное состояние должно об- обладать орбитальным угловым моментом I = 1 и полным спином s = 1. Другие варианты / = l,«s = 0;/ = 0, s = 1; I = 2, s = 1, не вступающие в противоречие с сохранением углового момента, на самом деле за- запрещены условием антисимметричности конечного состояния по от- отношению к перестановкам нейтронов. Так как в конечном состоянии I = 1, матричный элемент нечетен относительно обращения направ- направлений всех 3-импульсов, и мы можем заключить, что внутренние чет- четности частиц в реакции должны быть связаны соотношением Как известно, дейтрон является связанным состоянием протона и ней- нейтрона с четным орбитальным угловым моментом (обычно I = 0), при- причем у протона и нейтрона должна быть одинаковая внутренняя чет- четность. Поэтому щ = ту2, и rjn- = — 1, т.е. отрицательный пион является псевдоскалярной частицей. Как оказывается, частицы тг+ и тг° тоже несут отрицательную внутреннюю четность, что следует из существо- существования изоспиновой симметрии между этими частицами. Отрицательная четность пиона имеет грандиозные последствия для теории. Любая частица с нулевым спином, распадающаяся на три пиона, должна иметь внутреннюю четность т]^. = —1, так как в си- системе отсчета, где она покоится, матричный элемент может зависеть только от скалярных произведений импульсов пионов. Это следует
§3.3. Симметрии S-матрицы 149 из инвариантности относительно вращений (скалярное произведение вида pi • (р2 х р3) обращается в нуль, так как pi + Р2 + Рз = 0). По той же причине любая частица с нулевым спином, распадающаяся на два пиона, должна иметь внутреннюю четность ту2 = +1. В частности, среди частиц с ненулевой странностью, открытых в конце 40-х годов, были две частицы с нулевым спином (это следовало из формы уг- углового распределения продуктов их распада). Одна, т-частица, была обнаружена по ее распаду на три пиона, и, таким образом, обладала четностью, равной — 1. Другая, ^-частица, распадалась на два пиона и несла четность +1. Чем подробнее изучались процессы с участием т и в, тем больше крепло убеждение в том, что они имеют одина- одинаковые массы и времена жизни. Это вызывало сильное беспокойство. В 1965 г., после того как были предложены многочисленные непра- неправильные объяснения этой загадки, Ли и Янг [12] наконец разрубили гордиев узел и предположили, что ти^на самом деле являются одной и той же частицей (известной сегодня как i^), а четность попросту не сохраняется в слабых взаимодействиях, ответственных за эти рас- распады. Как будет показано в следующем параграфе, вероятность некото- некоторого физического процесса а —> E (где а ф E) пропорциональна |5/за|2, причем коэффициент пропорциональности инвариантен по отноше- отношению к изменению знаков 3-импульсов на противоположные. Если со- состояния аи C содержат определенное число частиц каждого типа, фа- фазовые множители в C.3.42) не влияют на |5/за|2, и из C.3.42) следует, что вероятность процесса а —У C инвариантна относительно преобра- преобразования четности. Как мы видели, для распадов if-мезонов на два или три пиона это утверждение является простым следствием инвариан- инвариантности относительно вращений в пространстве, но в более сложных случаях оно носит нетривиальный характер. Например, следуя теории Ли и Янга, By вместе с группой физиков из Национального бюро стан- стандартов проводила опыты по измерению углового распределения элек- электронов, являющихся продуктами бета-распада поляризованных ядер кобальта Со60 —у Ni60 + е~ + V (в этом эксперименте не измерялись ни импульс антинейтрино, ни импульс ядра никеля). Как оказалось, с наибольшей вероятностью электроны излучались в противополож- противоположном спину распадающегося ядра направлении, что конечно было бы невозможно в случае инвариантности относительно преобразования четности. Похожий эффект наблюдался при распаде положительного мюона (который сам рождался в процессе тг+ —у /i+ + v и потому был поляризован) на позитрон, нейтрино и антинейтрино. Таким образом, стало ясно, что четность не обязательно должна сохраняться в от- ответственных за бета-распад слабых взаимодействиях. Тем не менее она сохраняется в сильных и электромагнитных взаимодействиях по причинам, о которых будет говориться в § 12.5, и потому продолжает играть важную роль в теоретической физике.
150 Гл. 3. Теория рассеяния Обращение времени Как было показано в § 2.6, под действием оператора обращения времени Т одночастичное состояние Фр5СГ,п превращается в умножен- умноженное на (n(—iy~a состояние Ф^»р,-о-,п с перевернутыми спином и им- импульсом. Многочастичное состояние преобразуется как прямое произ- произведение одночастичных состояний с учетом перестановки начального и конечного состояний: = СпЛ-1У1-а1СпЛ-±У2-'Т2---*ЪР1-„1П1^Р2-„2П2,.. C-3.43) (это верно только для массивных частиц, а обобщение на безмассовые частицы выполняется тривиально). Будет более удобным переписать это выражение в сокращенном виде: ТФ± = Ф*а, C.3.44) где 3? обозначает обращение знаков всех импульсов и спинов и вы- выполненное согласно C.3.43) умножение на фазовые множители. Так как оператор Т антиунитарен, то (Ф^,Ф+) = (ТФ+,ТФ^), C.3.45) так что условие инвариантности относительно обращения времени для 5-матрицы имеет вид SCa = S*ra,*rp, C.3.46) или, более подробно, ^р'г а[ п\ ;?>2 а'2 п'2;... ,рг аг щ ;р2 &2 п2;... — = Cn'1(-i)i>-'Tkn'2(-iy'2-a'2 ¦ ¦ ¦C1(-1)il"CT1C2(-1)i2"'72 ¦ • ¦ х Заметим, что, помимо изменения знаков всех импульсов и спинов, меняются местами начальное и конечное состояния, чего и следует ожидать при обращении времени. 5-матрица удовлетворяет этому правилу преобразования, если оператор То, соответствующий обращению времени для собственных состояний гамильтониана свободных частиц: Т0Ф« = Ф^, C.3.48) коммутирует не только с гамильтонианом свободных частиц (что вы- выполняется автоматически), но и с членом, отвечающим за взаимодей- взаимодействие: VtfoTo = Но, C.3.49) Т^УТо = V. C.3.50) В этом случае, если положить Т = То и воспользоваться C.1.13) или
§3.3. Симметрии S-матрицы 151 C.1.16), можно показать, что обращение времени в самом деле дей- действует согласно C.3.44). Например, действуя оператором Т на уравне- уравнение Липпмана-Швингера C.1.16) и используя C.3.48)-C.3.50), можно получить, что ТФ± = Ф^а + [Еа -Нот ге^УТФ* (знак перед слагаемым =Ьге поменялся из-за антиунитарности Т). Так как это выражение совпадает с уравнением Липпмана-Швингера для Ф^а, мы снова убеждаемся в справедливости C.3.44). Аналогично, из-за антиунитарности Т знак перед г в экспоненте от (\{t) изменяется на обратный, и, таким образом, что вновь приводит к C.3.44). Инвариантность по отношению к обращению времени C.3.46) не похожа на сохранение четности в том смысле, что из условия ее выполнения не следует равенство вероятностей процессов а —у C и 27'а —у 2?'р. Однако в том случае, когда 5-матрицу можно предста- представить в виде Sf>a = sfl + S$l C.3.51) некоторый аналог равенства этих вероятностей все же имеет место. Здесь предполагается, что хотя матричный элемент S^ в общем слу- случае мал по сравнению с S^°\ для некоторых процессов S^ может обращаться в нуль. Например, такими процессами являются бета- распады ядер N —> N' + е~ + Р: в 5^°^ дают вклад сильные и элек- электромагнитные взаимодействия, a S^ целиком определяется слабыми взаимодействиями. В § 3.5 будет показано, как с помощью борновско- го приближения 5-матрицу таких процессов можно привести к ви- виду C.3.51). С точностью до членов первого порядка по S^ условие унитарности 5-оператора дает Используя соотношение S^S^ = 1, можно получить условие на 5(D = S^S^S^. C.3.52) Если S^1) и ?(°) обладают симметрией относительно обращения вре- времени C.3.46), то это условие можно переписать в виде C.3.53) Если просуммировать по полным3) относительно 5^°^ наборам J^i ) Под полнотой мы подразумеваем следующее: если матричный эле- элемент Sa,a не равен нулю, и либо а, либо а принадлежат набору J^i, то ему принадлежат оба этих состояния; то же самое верно для J^2-
152 Гл. 3. Теория рассеяния и J^2 начальных и конечных состояний, вероятности процессов а —У C и 3?а —у 3?f3 при условии унитарности S^ будут одинаковыми. В самом простом случае — когда начальное и конечное состояния являются собственными векторами S^, соответствующими собствен- собственным значениям е2гда и е2гE^, — каждый из наборов ^ и ^2 содер- содержит только одно состояние. Величины 5а и Sp называются "фазовыми сдвигами"; они действительны, поскольку S^ унитарна. Тогда урав- уравнение C.3.53) приобретает вид и ясно, что матрицы \S\ процессов а —> C и 3?а —у ЗГ E совпадают. В частности, именно так обстоит дело для бета-распада ядер (если пренебречь относительно слабым кулоновским взаимодействием яд- ядра и электрона в конечном состоянии), поскольку начальное и ко- конечное состояния являются собственными для той части 5-матрицы, которая отвечает за сильные взаимодействия (и 5а = Sp = 0). Таким образом, вероятность бета-распада не изменится, если изменить на- направления импульсов всех частиц и их z-компонент спина на обрат- обратные (и если симметрия по отношению к обращению времени действи- действительно имеет место). Это не противоречит результатам экспериментов 1956 г. [13, 14], в которых было обнаружено нарушение сохранения четности. Например, существование инвариантности по отношению к обращению времени вполне согласуется с тем наблюдением, что в распаде Со60 -> Ш60 + е" + V электроны с наибольшей вероятностью вылетают в противополож- противоположном спину ядра Со направлении. Как будет показано ниже, кос- косвенное доказательство того, что симметрия по отношению к обраще- обращению времени все таки нарушается, было получено в 1964 г., но она по-прежнему остается хорошей приближенной симметрией в слабых, сильных и электромагнитных взаимодействиях. В некоторых случаях можно использовать базис состояний, для которого 3?а = а и 3?f3 = /3. Тогда уравнение C.3.54) приобретает вид S C.3.55) т.е., как мы видим, iS^ а обладает фазой 5а + Sp mod тг. Это утвер- утверждение известно как теорема Уотсона [15]. Фазы в C.3.54) и C.3.55) могут быть измерены в процессах, для которых существует интерфе- интерференция между различными конечными состояниями. Например, в рас- распаде Л-гиперона со спином 1/2 на нуклон и пион конечное состояние может иметь орбитальный угловой момент I = 0 и I = 1. Интерферен- Интерференция между этими двумя состояниями влияет на угловое распределе- распределение импульсов вылетающих пионов относительно спина Л-гиперона,
§3.3. Симметрии S-матрицы 153 которое, согласно теореме Уотсона, зависит от разницы Ss — Sp фазо- фазовых сдвигов этих состояний. РТ -симметрия Хотя из экспериментов 1957 г. по нарушению четности и не сле- следовало, что симметрия по отношению к обращению времени на- нарушается, сразу было показано, что не сохраняется произведение РТ. Если такая симметрия существует, оператор РТ антиунитарен (по тем же причинам, что и Т). Следовательно, в процессах, подоб- подобных бета-распаду ядер, должны существовать соотношения, анало- аналогичные C.3.54): с(!) _ _p2i(Sa+6p) v(l)* здесь оператор ?Р ?Г меняет знаки всех z-компонент спина, не влияя на знаки импульсов. Если пренебречь кулоновским взаимодействием между частицами в конечном состоянии, то, как легко видеть, в про- процессе Со60 -+ Ni60 + е" + Р направление вылета электрона, параллельное или антипараллельное спину ядра Со60, не является предпочтительным, что противоречит эксперименту. С-, СР- и СРТ-симметрии Как мы уже говорили, существует симметрия относительно пре- преобразования зарядового сопряжения, меняющего местами частицы и античастицы. С формальной точки зрения это означает существова- существование некоторого унитарного оператора С, действующего на многоча- многочастичные состояния согласно ^^РКТ1Гы;р2(Т2П2;... = sni?n2 • • • ^ р1а1п^р2(Т2П^...' (о.О.ОО) где пс — античастицы, соответствующие частицам типа п, а ?п — новый фазовый множитель. Если это так для начального и конечного состояний, 5-матрица удовлетворяет условию инвариантности: ^р'г а[ п\ ;р2 а'2 п2;... ,рг аг щ ;р2 &2 п2;... — = Sni^n^ * * * sni4n2 • • • ^р^а'-^п'^ ;р'2а'2п'2с;... ,piainl;p2CF2n^;... • {o.O.Di) Это условие справедливо, если существует оператор Со, действующий на собственные состояния гамильтониана свободных частиц согласно C.3.56) и коммутирующий с Hq и V. В этом случае С = Со- Фазы ?п называют зарядовыми четностями. Подобно обычным четностям ?7П, они не могут быть однозначно определены, поскольку
154 Гл. 3. Теория рассеяния для любого заданного согласно C.3.56) оператора С можно построить оператор с такими же свойствами и другими ?п, умножая С на ехр(ш? + if3B + ijQ), где а, /3 и 7 произвольны. Единственным классом частиц, для ко- которых в определении зарядовых четностей нет произвола, являются истинно нейтральные частицы, подобные фотону или нейтрально- нейтральному пиону — они не несут сохраняющихся квантовых чисел и яв- являются собственными античастицами. Если мы имеем дело с про- процессами, в которых участвуют только такие частицы, из уравнения C.3.57) следует, что произведения зарядовых четностей начального и конечного состояний равны друг другу. Например, как мы уви- увидим далее, зарядовая четность фотона должна быть равна т]7 = — 1. Поэтому из существования распада тг° —у 2^ следует, что т]по = +1, а процесс тг° —у З7 невозможен, что и имеет место на самом деле. Зарядовые четности нейтрального пиона и фотона действительны: + 1 и — 1. Внутренние зарядовые четности любых частиц будут рав- равными единице по модулю, как и в случае обычной четности, ес- если любые внутренние симметрии являются элементами непрерывных групп фазовых преобразований: тогда С можно переопределить, умно- умножив его на обратный квадратный корень оператора симметрии С2 из той же группы, и новый оператор С будет удовлетворять усло- условию С2 = 1. В общем случае из уравнения C.3.57) следует, что вероятность процесса не изменится, если все участвующие в нем частицы заменить на античастицы. Из результатов экспериментов 1957 г. по несохране- несохранению четности не следовало непосредственно, что это неверно (до того момента, как стали изучать бета-распад антикобальта, должно было пройти еще довольно долгое время), однако, как было показано, в теории слабого взаимодействия, модифицированной Ли и Янгом [12] для того, чтобы учесть несохранение четности, С не сохраняется. Се- Сегодня известно, что ни С, ни Р не сохраняются в процессах типа бета- распада или распада мюона и пиона, за которые ответственно слабое взаимодействие. Однако оба квантовых числа сохраняются в сильных и электромагнитных взаимодействиях. Хотя ранние эксперименты по несохранению четности и показа- показали, что С и Р не сохраняются в слабых взаимодействиях, оставалась возможность того, что сохраняется их произведение СР, и довольно долгое время в это верили (хотя и не до конца). Сохранение СР поз- позволяло сделать довольно важные выводы о свойствах нейтральных if-мезонов. В 1954 г. Гелл-Манн и Пайс [16] показали, что так как К°-мезон не совпадает с собственной античастицей (он несет ненуле- ненулевую странность), частицами, вероятности распада которых являют- являются наблюдаемыми, будут не К0 и К0, а их линейные комбинации К0 ± К0. Первоначально это было выведено из условия сохранения
§3.3. Симметрии S-матрицы 155 зарядовой четности С, но на самом деле достаточно потребовать со- сохранения СР. Если определить фазы СР-оператора и if0-, if ^состоя- ^состояний так, что то самосопряженные относительно зарядовой четности одночастич- ные состояния будут выглядеть следующим образом: с собственным значением СР, равным +1, и **§ = -j= №ко - Vjto] с собственным значением СР, равным — 1. Среди всех возможных рас- распадов этих состояний наиболее быстрым является распад на два пи- пиона. Однако из сохранения СР следует, что он возможен только4) для К\. Поэтому следует ожидать, что поскольку К ° распадается по медленным каналам, например на три пиона или пион, электрон (или мюон) и нейтрино, то он имеет большее время жизни. Однако в 1964 г. Фитч и Кронин [17] показали, что все же существует небольшая ве- вероятность распада долгоживущего if-мезона на два пиона. Из этого следует, что в слабых взаимодействиях СР не сохраняется, хотя его закон сохранения и нарушается в меньшей степени, чем закон сохра- сохранения С или Р. Как мы увидим в гл. 5, существуют веские причины считать, что хотя ни С, ни СР строго не сохраняются, произведение СРТ будет сохраняться в любых процессах (по крайней мере, в квантовой тео- теории поля). Именно благодаря СРТ-симметрии существует однознач- однозначное соответствие между частицами и античастицами. В частности, тот факт, что СРТ коммутирует с гамильтонианом, указывает на равен- равенство масс стабильных частиц и их античастиц. Поскольку оператор СРТ является антиунитарным, он устанавливает связь между 5-мат- рицей некоторого процесса и 5-матрицей "обратного" процесса, в ко- котором мы меняем знаки z-компонент спинов на обратные, а частицы заменяются на античастицы. Пусть теперь 5-матрица имеет вид суммы малого слагаемого S^1), отвечающего за взаимодействие, и большого слагаемого S^°\ диа- диагонального в выбранном базисе начальных и конечных состояний. 4) Нейтральные if-мезоны имеют нулевой спин, так что конечное со- состояние, содержащее два пиона, должно иметь / = 0 и, следовательно, Р = +1. Далее, для состояния, содержащего два тг° должно быть С = +1, так как зарядовая четность тг° равна +1. То же самое верно для состояния тг+ — тг~ с / = 0, так как С меняет два пиона местами.
156 Гл. 3. Теория рассеяния Тогда, если просуммировать по полным относительно S^ наборам начальных и конечных состояний, вероятности процессов, отличаю- отличающихся друг от друга заменой частиц античастицами и обращением знаков z-компонент спинов, равны. В самом деле, можно прибегнуть к тем же аргументам, которые использовались в аналогичной ситуа- ситуации при изучении следствий сохранения 0. Например, хотя плотность вероятности распада некоторой части- частицы на пару /3i, $2 с S^^ ф 0 может отличаться от плотности вероят- вероятности распада соответствующей античастицы на *€& S?fii и *€ ?Р ?Г $2, в § 3.5 мы увидим, что полная вероятность распада частицы в точно- точности равна полной вероятности распада античастицы. Теперь можно понять, почему эксперименты 1957 г. по нарушению четности в контексте существующей теории электрослабого взаимо- взаимодействия можно интерпретировать как доказательство того, что со- сохранение С и Р сильно нарушено, а сохранение СР — нет. Поскольку мы имеем дело с квантовой теорией поля, то автоматически выполне- выполнено условие сохранения СРТ. Из экспериментов следует, что для бета- распада сильно нарушена РТ-, но не Т-симметрия. Поэтому в рам- рамках любой совместимой с этими экспериментами теории, для которой сохраняется СРТ, будет так же нарушена С-, но не СР-симметрия. Аналогично, из наблюдений слабого нарушения СР в эксперимен- экспериментах 1964 г. и предполагаемой инвариантности всех взаимодействий по отношению к СРТ незамедлительно следует, что в слабых взаимо- взаимодействиях также не сохраняется Т. Это утверждение пытались прове- проверить путем более детального изучения свойств К0-К0-системы, но до сих пор не удалось получить другое прямое свидетельство нарушения Т-инвариантности. § 3.4. Вероятности и сечения рассеяния 5-матрица Spa имеет смысл амплитуды вероятности перехода а —у /3, но как с помощью этой величины получить вероятности пе- переходов и сечения, измеряемые в эксперименте? В частности, из C.3.2) видно, что Spa содержит множитель ?4(р/з — Ра), обеспечиваю- обеспечивающий сохранение полной энергии и импульса. Как быть с множителем [^4(Р/3 — Ра)]2 в вероятности перехода |5/за|2? Чтобы дать ответ на по- подобного рода вопросы, нужно понять, каким образом выполняются эксперименты. Вообще говоря, нужно использовать волновые пакеты, описывающие частицы, находившиеся до столкновения на большом расстоянии друг от друга, и затем следить за их эволюцией во вре- времени. Вместо этого мы далее представим быстрый, простой, но менее строгий вывод основных результатов. В качестве оправдания можно сказать, что (насколько известно автору) в физике нет интересных за-
§3.4- Вероятности и сечения рассеяния 157 дач, для решения которых было бы необходимо использовать технику волновых пакетов. Представим себе, что система физических частиц, с которой мы имеем дело, помещена в коробку макроскопического объема V. На- Например, можно взять куб и отождествить точки на противополож- противоположных гранях, так что из требования однозначности волновой функции будет следовать условие квантования импульсов: Р = — (п1,П2,Пз), C.4.1) где П{ — целые числа, a L3 = V. В этом случае все трехмерные дельта- функции сводятся к з / 1 v где ?р',р — обычный символ Кронекера, равный единице, если р' = р, и нулю — в противном случае. Из условия нормировки C.1.2) сле- следует, что скалярные произведения таких состояний содержат не только суммы произведений символов Кронекера, но и множитель [У/BтгK]7У, где N — число частиц, содержащихся в данном состоя- состоянии. Для вычисления вероятностей переходов нужно использовать со- состояния с единичной нормой, поэтому рассмотрим состояния, живу- живущие в нашей коробке: фкоробка = [B^K/У]^/2фа, C.4.3) которые нормированы так, что ^коробка^ фкоробка) = ^ C.4.4) где Spa — произведение символов Кронекера для каждой из компонент 3-импульса, спина и индекса, нумерующего типы частиц плюс члены, соответствующие перестановкам частиц. 5-матрица может быть запи- записана в виде №^)/б C.4.5) где 5^°ро ка — матричный элемент между состояниями C.4.3). Конечно, если частицы никогда не покидают коробку, любой воз- возможный переход будет происходить снова и снова. Чтобы вычислить вероятность перехода, имеющую физический смысл, нашу систему необходимо, кроме всего прочего, поместить в "коробку во времени". Будем предполагать, что взаимодействие включено только в течение некоторого времени Т. Отсюда сразу следует, что дельта-функция,
158 Гл. 3. Теория рассеяния отвечающая за сохранение энергии, заменяется на Т/2 I t. C.4.6) -Т/2 Тогда вероятность того, что некоторая многочастичная система, на- находящаяся в состоянии а до того, как взаимодействие включается, перейдет в состояние /3 после того, как взаимодействие выключат, равна Р(а ->/?) = |5™робка|2 = [{2irK/V]^<-+N^\Spa\2. C.4.7) Такова вероятность перехода в определенное состояние /3, локали- локализованное внутри коробки. Число одночастичных состояний в ко- коробке объемом V и элементе импульсного пространства d3p равно Уб?3р/BтгK, поскольку оно совпадает с числом всех возможных троек целочисленных параметров ni, 712, пз, для которых импульс лежит в элементе объема cl3p, окружающем точку р. Будем определять ин- интервал df3, которому принадлежит конечное состояние, как произве- произведение d3p для каждого из возможных конечных состояний, так что полное число состояний в этом интервале равно <Ы? = [V/B7rK]N"df3. C.4.8) Таким образом, полная вероятность того, что система окажется в од- одном из конечных состояний, принадлежащих интервалу d/З, равна dP(a -+ Р)= Р(а -+ C) d^p = [BтгK/V]Na |%*|2 df3. C.4.9) В этом параграфе мы будем рассматривать конечные состояния /?, не только отличающиеся (пусть и незначительно) от начального со- состояния а, но и удовлетворяющие более сильному условию: никакой из поднаборов частиц, содержащийся в состоянии /3 (и отличный от всего состояния) не несет такой же 4-импульс, как соответствующий поднабор частиц в состоянии а (на языке, которым мы будем пользо- пользоваться в следующей главе, это означает, что рассматривается только связная часть 5-матрицы). Для таких состояний можно определить матричный элемент Мра, не содержащий дельта-функций: 5^ = -2г7г<^(Р/3 - раNт(Ер - Еа)МРа. C.4.10) Благодаря тому что мы поместили систему в коробку, квадраты дельта-функций в |5/за|2 для /3 ф а можно понимать как [S3v(PP ~ Ра)? = S3v(PP ~ Р«L@) = S3v(PP - pa)V/BirK, [ST(E0 - Ea)f = 5T{Ep - EaMT@) = 5T{EP - Еа)Т/Bтг),
§3.4- Вероятности и сечения рассеяния 159 так что из уравнения C.4.9) можно получить такое выражение для дифференциальной вероятности перехода: dP(a -+ Р) = Если теперь считать V и Т очень большими величинами, произведе- произведение дельта-функций в этом выражении совпадет с S4(pp — Ра)- В этом пределе вероятность перехода оказывается пропорциональной време- времени Т, в течение которого взаимодействие было включено. Коэффи- Коэффициент пропорциональности можно понимать как вероятность перехо- перехода в единицу времени: dT{a -+Р)= dP(a ->¦ /3)/Т = B7rfN»-2V1- C.4.11) где теперь Spa = -2жг8\Рр - Ра)М0а. C.4.12) Эта формула является основной при использовании 5-матрицы для предсказаний результатов реальных экспериментов. К объяснению смысла множителя S4(pa — pp) мы вернемся чуть позднее в этом па- параграфе. Особенно важными являются два случая. Na = l. Тогда в C.4.11) объем V сокращается, и мы получаем дифферен- дифференциальную вероятность перехода некоторого одночастичного состоя- состояния а в произвольное многочастичное состояние /3: dT(a -+0)= 2ir\M0a\26\Pp -pa)d0. C.4.13) Конечно же, это выражение имеет смысл, только если время вза- взаимодействия Т много меньше среднего времени жизни та части- частицы а, поэтому мы не можем перейти к пределу Т —у оо в определе- определении 5т(Еа — Ер). Эта дельта-функция имеет неустранимую ширину А.Е « 1/Т ^ 1/та, поэтому уравнением C.4.13) можно пользоваться только тогда, когда полная вероятность распада 1/та много меньше любой характерной энергии в процессе. Na = 2. В этом случае вероятность C.4.11) пропорциональна 1/V, или, другими словами, плотности числа частиц первого типа, взятой в точ- точке, где находится частица второго типа. Обычно экспериментаторы представляют свои результаты не в виде вероятности перехода в еди- единице объема, а как вероятность перехода в единице потока, получив- получившую название сечения. Поток частиц произвольного типа определяет- определяется как произведение плотности 1/V на относительную скорость иа: Ф« = ua/V C.4.14)
160 Гл. 3. Теория рассеяния (общее определение для иа будет дано ниже, пока нам достаточно знать, что если одна из частиц находится в покое, то иа совпадает со скоростью другой). Тогда дифференциальное сечение имеет вид -> /3)/Фа = BтгLи-1\МР C.4.15) Хотя случаи Na = 1 и Na = 2 являются наиболее важными, любые вероятности переходов с Na ^ 3 тоже в принципе измеримы, и неко- некоторые из таких процессов играют важную роль в химии, астрофизике и т.д. Например, одна из основных реакций, в которых высвобожда- высвобождается энергия Солнца, — образование дейтрона и нейтрино из двух протонов и электрона. В § 3.6 мы применим основную формулу для вероятности перехода C.4.11) к процессам с произвольным числом частиц Na в начальном состоянии. Теперь перейдем к вопросу о трансформационных свойствах ве- вероятностей переходов и сечений по отношению к преобразованиям Лоренца. Это поможет нам дать более общее определение относитель- относительной скорости иа в уравнении C.4.15). Правило преобразования C.3.1) 5-матрицы усложнено тем, что в нем содержатся зависящие от им- импульса матрицы, связанные со спином каждой частицы. Чтобы из- избежать этого усложнения, возведем модуль C.3.1) в квадрат (после выделения лоренц-инвариантной дельта-функции как в C.4.12)) и про- просуммируем по всем спинам. Из унитарности матриц D^j (W) (или мат- матриц, играющих их роль в случае нулевых масс) следует, что, несмотря на множители в C.3.1), содержащие энергию частиц, полная сумма лоренц-инвариантна. Таким образом, величина Y[ = Rpa C.4.16) по спинам /3 а является скалярной функцией 4-импульсов частиц в состояниях а и /3 (под YI Е и П Е мы понимаем произведения всех энергий р° = /з = у р2 + т2 одночастичных состояний, содержащихся в а и /3). Теперь можно записать просуммированную по спинам одночастич- одночастичных состояний вероятность перехода C.4.13) в виде Y, rfr(« -+Р)= 2жЕ-1Ща64(р0 - ра) dp I Д Е. по спинам /3 Множитель d/З/ П Е является произведением лоренц-инвариантных /з элементов объема импульсного пространства B.5.15), поэтому он сам лоренц-инвариантен, как и множители Rpa и ?4(р/з —ра)- Остается единственный множитель 1/Еа, где Еа — энергия одной частицы в на- начальном состоянии. Мы заключаем, что вероятность распада имеет такие же трансформационные свойства как 1/Еа. Это не что иное,
§3.4- Вероятности и сечения рассеяния 161 как обычное лоренцево сокращение времени — чем быстрее частица, тем медленнее она распадается. Аналогично, выражение C.4.15) для просуммированного по спи- спинам сечения рассеяния может быть переписано в виде Y, da{a ->/?) = BTrLu-1E^1E^1RPa64(P0 - Ра) dp по спинам /3 где Ei и Еъ — энергии двух частиц в начальном состоянии а. Се- Сечение рассеяния (просуммированное по спинам) принято определять как некоторую лоренц-инвариантную функцию 4-импульсов. Множи- Множители Яра, 84(p{3 — ра) и d/З/ П Е, как мы уже выяснили, лоренц- /з инвариантны. Это значит, что относительную скорость иа в произ- произвольной инерциальной системе отсчета необходимо определить так, чтобы произведение иаЕ\Е2 являлось лоренцевым скаляром. Как мы уже заметили раньше, в системе отсчета, где одна из частиц (напри- (например, частица 1) неподвижна, иа совпадает со скоростью другой ча- частицы. Это условие однозначно определяет вид иа в произвольной системе отсчета1): иа = у (Pi ' P2J — тп\т\ /EiE2j C.4.17) где р\, р2 и гп\, 7712 — 4-импульсы и массы частиц в начальном состоя- состоянии а. Как побочный результат получаем, что в системе центра масс, где полный 3-импульс обращается в нуль: из C.4.17) следует, что C.4.18) как и должна вести себя относительная скорость. Однако в этой систе- системе отсчета иа не совпадает ни с какой физической скоростью. В самом деле, как легко видеть из C.4.18), для ультрарелятивистских частиц она достигает значения 2. Поймем теперь, каков смысл множителя ?4(р/з — ра) d/З в общей формуле для вероятности перехода C.4.11) и выражениях C.4.13) и C.4.15) для вероятности распада и сечения процесса. Перейдем в :) Из уравнения C.4.17) с очевидностью следует, что E\E2Ua — скаляр. Когда частица 1 покоится, мы имеем pi = 1, Е\ = тщ, так что р\ • р2 = = —ГП1Е2. Тогда из уравнения C.4.17) находим иа = y/El - ml /E2 = \Р2\/Е2, что совпадает со скоростью частицы 2. 11 С.Вайнберг. Т. 1
162 Гл. 3. Теория рассеяния систему центра масс, для которой полный 3-импульс начального со- состояния равен нулю: Ра = 0 C.4.19) (в случае Na = 1 это означает, что распадающаяся частица покоится). Если конечное состояние содержит частицы с импульсами р^, р2, ..., то ^(РC - Pa) df3 = 53(Pi + р2 + .. -)S(E[ +E'2 + ...- Е) d3p[ d3p2 ..., C.4.20) где Е = Еа — полная энергия начального состояния. Любой из ин- интегралов по р^, например по р[, можно тривиально взять, опуская дельта-функцию по импульсам: ?4(Р/з - Pa)d/3 -> S(E[ + E'2 + ... - E)d3p2 ..., C.4.21) и принимая, что везде, где возникает р^ (например, в Е[), его следует заменить на Pi = P2 ~ Рз ~ • • • {oA.ZZ) Дельта-функцией по энергии можно воспользоваться, чтобы взять один из оставшихся интегралов. В простейшем случае имеются только две частицы в конечном со- состоянии. Тогда из C.4.21) имеем ?4(Р/з - Pa) d/3 -»> 5(Е[ + Е2 - Е) d3p'2, или, подробнее, C.4.23) где Р2 = "Pi и dft = sin 6 d6 d(J) — элемент телесного угла для р^. Это уравнение можно упростить, если воспользоваться обычным выражением S(f(x))=S(x-xo)/\f'(xo)\, где f(x) — произвольная действительная функция, имеющая един- единственный простой нуль в точке х = х$. В нашем случае аргумент Е[ + Е2 — Е дельта-функции в C.4.23) обращается в нуль в точке \р\'± = к', где к' = Е2 — л п[2 -т'22J -4, /L/2 1 jyjf 2 1 т?т? 1 2Е, 777-2 + т1 2Е 2 т' 2 + т' 2 C.4.24) C.4.25) C.4.26)
§3.4- Вероятности и сечения рассеяния 163 и производная l C.4.27) Таким образом, дельта-функцию и дифференциал d|pi| в C.4.23) можно опустить, если поделить это уравнение на C.4.27): S4(pp - Pa)dp -> ^^ dfi, C.4.28) здесь предполагается, что /с7, ??{ и ^ определяются из уравнений C.4.24)-C.4.26). В частности, плотность вероятности C.4.13) распада одночастичного состояния с нулевым импульсом и энергией Е на две частицы равна Мд , 4 2 и дифференциальное сечение C.4.15) рассеяния двух частиц 1,2 —>• 1',2' приводится к виду dff(a -»/3) BпLк'Е[Е'2 = где fc= |pi| = |р2|. Рассмотренный выше случай Np = 2 является особенно простым. Для Na = 3 так же имеется один простой результат, который стоит выписать. В этом случае из уравнения C.4.21) имеем '2+p'3^+m^ + VP22 + m22 + л/Рз2+т'32 - E). Здесь элемент объема в пространстве импульсов представлен в виде d3p'2d3p'3 = \p'2\2d\p'2\\p'3\2d\p'3\du3d<j>23dcose23, где dfLs — элемент телесного угла для pg, a #23 и Ф23 ~ полярный и азимутальный углы между векторами р'2 и р3. Положение плоско- плоскости, проходящей через векторы р'2 и pg, определяется фэз и направле- направлением р3, а оставшийся угол #23 можно найти из условия сохранения энергии: COS023 + \р'3 2 Производная аргумента дельта-функции по cos 623 равна дЕ[ _ IpiHp'al 11*
164 Гл. 3. Теория рассеяния и интеграл по cos#23 берется просто отбрасыванием дельта-функции и делением на эту производную: S4(P0 -Pa) dp ->• \p'2\d\p'2\ \р'3\ d\p'3\E[ Переходя от импульсов к энергиям, окончательно имеем $4(РР ~ Pa) df3 -^ Е[Е'2Е'3 dE'2 dEf3 dft3 #23. C.4.31) Вспомним, что величина C.4.16), полученная суммированием по спинам и умножением на произведение энергий, является скаляр- скалярной функцией 4-импульсов. Если предположить, что этот скаляр — константа, то, как следует из C.4.31), для некоторого фиксированного начального состояния распределение вероятности процесса в плоско- плоскости Е'2, Ef3 будет однородным. Любое отклонение этого распределения от однородности несет информацию о том, какова динамика процес- процесса распада, включая вопрос о существовании центробежных барьеров и промежуточных резонансных состояний. Зависимость вероятности процесса от Е'2 и Е'3 называется графиком Далица [19], поскольку она использовалась Далицем в 1953 г. для анализа свойств распа- распада К+ -)> 7Г+ +7Г+ + 7Г~. § 3.5. Теория возмущений С точки зрения истории наиболее полезной техникой для вычис- вычисления элементов 5-матрицы оказалась теория возмущений, разло- разложение по степеням взаимодействия V в гамильтониане Н = Hq + V. Из C.2.7) и C.1.18) можно получить выражение для 5-матрицы вида Spa = 6(P -a)- 2i7rS(Ep - Ea)T+aJ T+a = (Ф^, УФ+), где Ф+ удовлетворяет уравнению Липпмана-Швингера C.1.17): Т+ Ф + _ ф , [ J TP J_ ^' Подействовав на это уравнение оператором V и взяв скалярное про- произведение результата этой операции с Фр, мы получим следующее ин- интегральное уравнение на Т+: где VPa = (Фр,УФа). C.5.2)
§3.5. Теория возмущений 165 Если решать C.5.1) методом последовательных приближений, полу- получается ряд теории возмущений для Т^а Метод вычисления матричных элементов, основанный на уравне- уравнении C.5.3), доминировал в 30-е годы, теперь его называют старо- старомодной теорией возмущений. Очевидным недостатком такого подхо- подхода является то, что благодаря содержащим энергию знаменателям оказывается скрытой явная лоренц-инвариантность 5-матрицы. Тем не менее его все еще используют, например, чтобы прояснить, ка- каким образом из-за промежуточных состояний в 5-матрице возникают сингулярности. В большей части этой книги мы будем пользоваться модифицированной версией уравнения C.5.3), получившей название инвариантной теории возмущений. Этот метод имеет то достоинство, что в его рамках лоренц-инвариантность 5-матрицы оказывается зна- значительно более прозрачной. Однако менее ясным становится вопрос о вкладе промежуточных состояний. Чтобы простейшим способом вывести инвариантную теорию воз- возмущений, нужно воспользоваться уравнением C.2.5), из которого сле- следует, что 5-оператор равен S = E/(oo,-oo), где ?/(т,т0) = ехр(гЯот)ехр(-гЯ(т - т0)) ехр(-гЯого). Дифференцируя это выражение для С/(т, то) по т, получаем диффе- дифференциальное уравнение г^?/(т,то) = У(т)?/(т,7о), C.5.4) где V(t) = exp(iHot)V exp(-iHot). C.5.5) Говорят, что таким образом зависящие от времени операторы опре- определены в представлении взаимодействия, в отличие от гейзенбергов- гейзенберговского представления квантовой механики, где OH(t) = exp(iHt)OH exp(-iHt). Уравнению C.5.4) и начальному условию С/(то,то) = 1 очевидным об- образом удовлетворяет решение интегрального уравнения г U(t,t0) = 1-г fdtV(t)U(t,r0). C.5.6)
166 Гл. 3. Теория рассеяния Если искать это решение методом последовательных приближений, можно получить разложение U(t,tq) по степеням V: U(t,t0) = 1 - i J dhV(h) + (-if J dh J dt2V(h)V(h) + то то то T t! t2 h [dt2 fdt3V(h)V(t2)V(t3) + ... C.5.7) Полагая теперь т = oo и го = — oo, найдем ряд теории возмущений для 5-оператора: OO t\ 5 = 1-г [ dhV(h) + (-iJ f dh [ dt2 V (h)V (t2) + — oo —oo —oo OO t\ ti + (-if J dh J dh J dt3 V(h)V(h)V(h) + ¦¦¦ C.5.8) — oo —oo —oo Аналогичный результат можно получить непосредственно из разло- разложения C.5.3) старомодной теории возмущений, если воспользоваться фурье-представлением содержащих энергию знаменателей в C.5.3): оо (Еа - E1 + ie)~1 = -г f dr exp(i(Ea - Я7)т). C.5.9) о Здесь мы подразумеваем, что для вычисления интеграла нужно вста- вставить множитель е~6Г, обеспечивающий сходимость, и в ответе перейти к пределу е —> 0+. Существует способ переписать C.5.8) в форме, очень полезной при вычислениях, сохраняющих явную лоренц-инвариантность. Определим хронологически упорядоченное произведение зависящих от времени операторов как произведение, в котором операторы, соответствующие более поздним моментам времени, располагаются левее операторов, соответствующих ранним моментам времени. Например: T{V(t)} = V(t), T{V(h)V(h)} = 9(h - h)V(h)V(h) + 0(h - h)V(h)V(h) и т.д., где в(т) — функция Хевисайда, равная единице при т > 0 и нулю при т < 0. Хронологически упорядоченное произведение п мно- множителей V равно сумме по всем п! перестановкам У, каждой из ко- которых соответствует один и тот же интеграл по h-> t2, • • • ? tn, так что
§3.5. Теория возмущений 167 уравнение C.5.8) приобретает вид S = l + ? ^~ / dtldh • • • dtnT{V(h)... V(tn)}. C.5.10) п=1 Этот ряд иногда называют рядом Дайсона [20]. Его можно просумми- просуммировать, если V(t), взятые в разные моменты времени, коммутируют; сумма ряда имеет вид г Г dtV(t)Y J ) = ехр(-г Конечно, случай коммутативности не является типичным. Вообще го- говоря, C.5.10) даже не сходится и в лучшем случае является асимп- асимптотическим разложением по степеням констант взаимодействия, ко- которые содержит V. Однако иногда уравнение C.5.10) переписывают в виде / 7 5 = Гехр -г / dtV(t) где Т означает хронологическое упорядочение для каждого члена сте- степенного разложения экспоненты. Теперь мы можем указать большой класс теорий поля, для ко- которых 5-матрица явно лоренц-инвариантна. Поскольку ее элемен- элементы — матричные элементы оператора 5, взятые между собственны- собственными состояниями свободного гамильтониана Фа, Фр и т.д., мы хотим потребовать, чтобы 5-оператор коммутировал с оператором ?/о(Л,а), осуществляющим преобразования Лоренца для этих состояний. Экви- Эквивалентное требование состоит в том, чтобы 5-оператор коммутировал с генераторами ?/0(А,а): Яо, Ро, Jo и Ко. Чтобы обеспечить выпол- выполнение этого условия, предположим, что V(t) является некоторым ин- интегралом по пространству: V(t) = [ d3xJf(x,?), C.5.11) где Ж[х) — некоторый скаляр, т.е. Е/о(А, а)Ж{х)Щх (Л, а) = Ж(Кх + а). C.5.12) Сравнивая коэффициенты при а0 в случае бесконечно малых преоб- преобразований, можно проверить, что Jj?(x) зависит от времени совме- совместимым с C.5.5) образом. Тогда S может быть переписана как сумма интегралов по пространству-времени: S = 1 + ]Г ^- f d4Xl ...d4 хпТ{Ж(Х1)... Ж[хп)}. C.5.13) п=1
168 Гл. 3. Теория рассеяния Инвариантность относительно преобразований Лоренца теперь оче- очевидна, если не считать вопроса об инвариантности хронологического упорядочения произведения операторов. Последовательность двух моментов времени, относящихся к точ- точкам х\, Х2 лоренц-инвариантна, если интервал х\ — х<± не является пространственноподобным, т.е. если [х\ — х^J < 0. Поэтому хроноло- хронологическое упорядочение в C.5.13) не выделяет никакой системы отсче- отсчета, если все Ж[х\ отделенные друг от друга пространственноподоб- пространственноподобным или нулевым1) интервалом, коммутируют друг с другом (хотя это условие и не является необходимым): [Ж(х),Ж(х')] = 0 для (х-х'J^0. C.5.14) Чтобы дать формальное, не основывающееся на теории возмущений, доказательство того, что удовлетворяющее C.5.12) и C.5.14) взаимо- взаимодействие вида C.5.11) в самом деле приводит к 5-матрице с правиль- правильными трансформационными свойствами относительно преобразова- преобразований Лоренца, можно воспользоваться результатами параграфа 3.3. Из C.5.12) имеем для бесконечно малого буста г [Ко, ^(х, ?)] = ?VJf (x, t) + х ^ Jf (х, ?). C.5.15) от Интегрируя по х и полагая t = 0, получаем [Ко, У] = [К0,у^3ж^(х,0)] = [tfo,W], C.5.16) где W = - /d3xxJf (х,0). C.5.17) Если (как в типичном случае) матричные элементы J^(x, 0) между собственными состояниями Hq являются гладкими функциями соб- собственных значений энергии, то же самое утверждение относительно гладкости верно и для У, что требуется для справедливости теории рассеяния, и для W, что необходимо для доказательства лоренц- инвариантности. Другое условие, выполнение которого необходимо для лоренц-инвариантности, коммутационное соотношение C.3.21), так же справедливо тогда и только тогда, когда О = [W, V] = [d3x ГA3ух[Ж(х,0), Jf?(y,0)]. C.5.18) Хотя это выражение и следует из условия "причинной связности" C.5.14), оно является более слабым достаточным условием лоренц- инвариантности 5-матрицы. 1) Мы пишем условие на ж и ж7 в виде (х — х'J ^ 0, а не (х — х'J > 0, поскольку, как мы увидим в гл. 6, при х = х лоренц-инвариантность может быть нарушена сингулярностями.
§3.5. Теория возмущений 169 Хотя теории этого класса не являются единственными, для кото- которых имеет место инвариантность относительно преобразований Ло- Лоренца, лоренц-инвариантная теория самого общего вида не слишком сильно от них отличается. В частности, всегда существует подобное C.5.14) коммутационное соотношение, выполнение которого необходи- необходимо. Для нерелятивистких систем аналога этого условия не существует, поскольку в нерелятивистском пределе хронологическое упорядоче- упорядочение всегда инвариантно относительно преобразований Галилея. Имен- Именно из-за этого условия объединение лоренц-инвариантности и кван- квантовой механики так сильно ограничивает свободу выбора теории. * * * Методы, которые мы развивали в этом параграфе, оказываются полезными в том случае, когда оператор взаимодействия V достаточ- достаточно мал. Существует модифицированная версия теории возмущений, известная как борновское приближение искаженной волны, которая полезна, когда V содержит два члена: V = VS + VWJ C.5.19) где взаимодействие Vw — слабое, a Vs — сильное. Определим Ф^а как начальное и конечное состояния в том случае, когда Vw = 0: Ф±а = Фа + (Еа - Но ± «0"ЧФ±а. C.5.20) Тогда C.1.16) можно переписать в виде -Но- йГЧФГг], (Vt + + (Ф^, [Vs - VS{EP -Но+ р р (K(i'V.*a). C.5.21) Если бы во взаимодействии оставалась только сильная часть, первый член справа в этом выражении обратился бы в нуль: Т+0а = (ФР, У.Ф+ ) = (Ф,> У8Фа) C.5.22) (для доказательства достаточно везде в выводе C.5.21) опустить чле- члены, пропорциональные Vw). Выражение C.5.21) оказывается наиболее полезным, когда второй член справа в нем равен нулю, т.е. когда за некоторую реакцию а —> C отвечает именно слабая часть взаимодей- взаимодействия. Например, в ядерном бета-распаде за превращение нейтронов в протоны отвечают слабые ядерные силы, хотя и нельзя пренебречь сильным ядерным взаимодействием, оказывающим воздействие на на- начальные и конечные состояния ядер. Для таких процессов матричный
170 Гл. 3. Теория рассеяния элемент C.5.22) обращается в нуль, и уравнение C.5.21) приобретает вид Г+ = (Ф~ ,К;Ф+). C.5.23) До сих пор все выводы носили точный характер. Однако такой спо- способ переписать Т-матрицу заслуживает внимания, когда Vw настолько слабо, что можно пренебречь его влиянием на состояние Ф+ в C.5.23) и заменить Ф+ на Ф^а, для которого учтен вклад только Vs. В этом приближении C.5.23) приобретает вид Тра ~ (Ф7/3> Vw^ta)- C.5.24) Этот ответ является справедливым в первом порядке по Vw и во всех порядках по Vs. Такое приближение в физике используется повсемест- повсеместно; например, при помощи C.5.24) вычисляются элементы 5-матрицы для бета- или гамма-распада, когда в Vs дает вклад сильное ядерное взаимодействие, в Vw — соответственно слабое или электромагнит- электромагнитное взаимодействие, а Ф~^ и Ф+а - конечное и начальное ядерные состояния. § 3.6. Следствия унитарности Из унитарности 5-матрицы следует интересное и полезное соотно- соотношение, связывающее матричный элемент Маа для некоторого много- многочастичного состояния а и полное сечение рассеяния. Вспомним, что в общем случае, когда состояние /3 может совпадать или не совпадать с а, 5-матрица имеет вид C.3.2) Тогда из условия унитарности следует, что ?G - а) = f dp S;7SPa = EG - а) - 2т6*(рр - ра)М1а + + 2m5\Pl - Ра)М:7 + 4^2 I dp 54(pp - PlM\pp - Взаимно уничтожая члены S(j — а) и сокращая множители получаем для р1 = ра: 0 = -Ш7а + Ш*7 + 2тг J' <Ц35А(рр-ра)М*мМра. C.6.1) Это соотношение особенно полезно, когда а = j. В этом случае оно имеет вид 1тМаа = -irJdl364(Pf3-p*)\M0a\2. C.6.2)
§3.6. Следствия унитарности 171 Если воспользоваться уравнением C.4.11), это выражение можно пе- переписать как формулу для полного сечения рассеяния некоторого на- начального состояния а в объеме V: -Pa\M0a\2) = = -- {2ttKN^-2V1-n- ImMaa. C.6.3) 7Г В частности, когда а — двухчастичное состояние, эта формула при- приобретает вид ^ C.6.4) где иа — относительная скорость C.4.17) в состоянии а, а о~а — полное сечение рассеяния для этого состояния, определяемое C.4.15): аа = Jd/3da(a ->¦ /3)/d/3 = B7тL» jdp \М0а\2б\р0 -ра). C.6.5) Обычно это соотношение переписывают несколько иначе — через ам- амплитуду рассеяния f(a —> E). Из уравнения C.4.30) следует, что диф- дифференциальное сечение рассеяния двух частиц в системе центра масс равно da(a -> /3) BтгLк'Е[Е'2Е1Е2{ Л/Г 2 —Ш— = Ш* 'Ща1 ' C'6-6) где к' и к — абсолютные значения импульсов в конечном и начальных состояниях. Поэтому будем определять амплитуду рассеяния как1) ?/ . о\ — 4тг2 к'Е[Е2EiE2 л, ft> a 7ч f(a -+ Р) = —— у ^ Мра. C.6.7) Тогда дифференциальное сечение рассеяния равно ^^ = |/(а^/3)|2. C.6.8) В частности, для упругого рассеяния двух частиц друг на друге по- получаем f(a^P) = -^f^M^. C.6.9) :) Фаза / носит условный характер, она определяется из квантовомеха- нической интерпретации [21] / как коэффициента перед уходящей волной в решении стационарного уравнения Шредингера. Нормировка /, которую мы здесь используем, является для неупругого рассеяния немного нетради- нетрадиционной. Обычно / определяется так, что в формуле для дифференциаль- дифференциального сечения возникает отношение начальной и конечной скоростей.
172 Гл. 3. Теория рассеяния Используя выражение C.4.18) для относительной скорости иа, на- находим теперь, что являющееся следствием унитарности соотноше- соотношение C.6.3) приобретает вид lm f (а ->а) = ^-сга. C.6.10) Переписанное в таком виде, оно получило название оптической тео- теоремы [22]. Благодаря оптической теореме можно многое узнать о высокоэнер- высокоэнергетических свойствах рассеяния. Можно ожидать, что амплитуда рас- рассеяния / является гладкой функцией угла рассеяния, поэтому должен существовать некоторый телесный угол АП, такой что |/|2 внутри него и |/|2 для рассеяния на нулевой угол равны (скажем, могут от- отличаться не больше чем в два раза). Тогда полное сечение рассеяния ограничено снизу величиной \f\2dU 2 \ \f(a ->• а)\2АП > i |Im/(a ->• a)\2AU. Если теперь воспользоваться C.6.10), можно получить верхнюю гра- границу для Аи: Аи <С 32тг2/к2аа. C.6.11) Как мы увидим в следующем параграфе, обычно при больших энерги- энергиях полное сечение процесса медленно растет или стремится к констан- константе. Поэтому из уравнения C.6.11) следует, что ширина окружающего направление в = 0 телесного угла, внутри которого сечение прибли- приблизительно постоянно, падает при к —> оо как 1/к2. Пик в сечении при в = 0, ширина которого уменьшается с ростом энергии, называют ди- дифракционным пиком. Если вернуться теперь к общему случаю произвольного числа участвующих в реакции частиц, можно, воспользовавшись C.6.2) и условием СРТ-инвариантности, вывести соотношение между полны- полными сечениями процессов, отличающихся заменой всех частиц антича- античастицами. Поскольку оператор СРТ является антиунитарным, из его сохранения вообще говоря нельзя получить никакого простого со- соотношения между процессом а —> C и соответствующим процессом, в котором все частицы заменены на античастицы. Однако сохране- сохранение СРТ обеспечивает связь между некоторым процессом и процес- процессом, обратным, в котором участвуют античастицы. Покажем, что из СРТ-инвариантности следует условие на 5-матрицу: &C,а — ^^ & SToLfE & ?? C - C.6.12) (Здесь ^'& 3? обозначает обращение всех z-компонент спина, заме- замену всех частиц античастицами, умножение матричного элемента на некоторые фазовые множители для частиц в начальном состоянии и на комплексно-сопряженные им фазовые множители для частиц
§3.6. Следствия унитарности 173 в конечном состоянии.) Для этого воспользуемся той же самой ар- аргументацией, которая помогла нам при выводе C.3.46) из условия инвариантности по отношению к обращению времени. Поскольку из СРТ-инвариантности следует равенство масс частиц и античастиц, для коэффициента при 54(ра — рр) в Spa выполняется аналогичное соотношение: М[3,а = M<#&&ai<#&&0. C.6.13) В частности, когда начальное и конечное состояния одинаковы, все фазовые множители сокращаются, и из C.6.13) следует, что ¦Мрга\п\;р2сг2П2;...,piспп\;Р2о^2;• • • = -Мр! —а\п\-фч—о^п^...ф\ —а\п\;р2 — сг2^2;• • • C.6.14) где стоящий над п индекс с обозначает зарядовое спряжение к п. Та- Таким образом, из обобщенной оптической теоремы C.6.2) следует, что полные сечения процесса, для которого начальное состояние описы- описывается некоторым набором частиц, и процесса, в котором мы заме- заменили частицы на античастицы и перевернули все спины, совпадают: *- Р1О-1П11Р2О-2П2',... =*-р1—О-1П1;р2—(Т2П2;---- (o.D.lOj Применяя это соотношение к одночастичным состояниям, можно ви- видеть, что совпадают амплитуды распада некоторой частицы и ее анти- античастицы, спин которой перевернут. Из инвариантности относительно вращений в пространстве следует, что время жизни частицы не может зависеть от ее z-компоненты спина, поэтому нестабильные частицы и их античастицы имеют одинаковые времена жизни. * * * Соображения, аналогичные тем, что позволили нам из условия унитарности 5+5 = 1 получить C.6.2), также дают возможность ис- использовать другое условие унитарности 55+ = 1 для вывода ImMa aa = -тг J'dp5\pp -Ра)\Ма0\2. C.6.16) Комбинируя это выражение с C.6.2), можно получить соотношение взаимности A -Ра)\М0а\2 = Jdl3S4(P0 -Ра)\Ма0\2, C.6.17) или, другими словами, J dF(a -» 13) Г dV{P -» а) = 1 d^ где са = [V/B7rK]Na. Его можно использовать для вывода некоторых важных результатов кинетической теории [23]. Если Pada — вероят- вероятность того, что система находится в элементе объема da пространства
174 Гл. 3. Теория рассеяния многочастичных состояний Фа, то связанное с переходами во все дру- другие состояния уменьшение Ра равно а связанное с переходами из других состояний увеличение Ра равно Г df3PpdT(f3 -+a)/da. Следовательно, скорость изменения Ра равна Отсюда немедленно следует, что / Pada не зависит от времени (что- (чтобы в этом убедиться, достаточно во втором слагаемом под знаком интеграла поменять а и /3 местами). С другой стороны, скорость из- изменения энтропии -JdaPa]n(Pa/ca) равна \n(Pa/ca) = -JdaJdf3 Qn(Pa/ca) + 1) х dT(P -> a) dT(a^P)] da d/3 У Если опять поменять местами во втором члене а и /3, это уравнение можно переписать в виде Функция у\п(у/х) для любых положительных х и у удовлетворяет неравенству 2) Таким образом, скорость изменения энтропии ограничена снизу вели- величиной dT(/3 -> a) С/3 da ' или, если во втором члене справа совершить замену а *-> /3, --j daPaHPa/Ca) > j da j dP ^ [C/3 ^ > ~ Ca ^ ^j. 2) Разница между левой и правой частью при х -Л у стремится к по- положительной величине (ж — уJ/2у. Ее производная по х при х > у и х < у соответственно положительна и отрицательна.
§3.7. Разложение по парциальным амплитудам 175 Из условия унитарности C.6.18) (если вновь поменять местами а и /3) следует, что интеграл по а в правой части этого неравенства обра- обращается в нуль, поэтому можно сделать вывод, что энтропия всегда растет: -ftJdaPa\n(Pa/ca) 2 0. C.6.20) Это утверждение известно как "i^-теорема Больцмана". В учебниках по статистической физике ее часто выводят в борновском приближе- приближении, когда величина |М#а|2 симметрична по индексам аи^,и потому СC dT(f3 -+ a)/da = ca dT(a - или с использованием инвариантности по отношению к обращению времени, из которой следует, что |М#а|2 не изменится, если совершить замену а •<->¦ /3, а также заменить знаки всех импульсов и спинов. Ко- Конечно, ни борновское приближение, ни инвариантность по отношению к обращению времени не являются точными. Поэтому замечательно, что для вывода i^-теоремы нам понадобилось только условие унитар- унитарности C.6.18). Рост энтропии прекращается, когда вероятность Ра приобретает вид произведения са на функцию только сохраняющихся величин, например энергии или заряда. В этом случае из законов сохранения следует, что dT{f3 ->• a)/da обращается в нуль (если Ра/са ф Рр/ср) и в первом справа члене уравнения C.6.19) можно заменить Рр на Раср/са. Воспользовавшись условием унитарности C.6.18), находим, что Ра не зависит от времени. Чтобы получить этот результат, вновь нет необходимости в использовании ни борновского приближения, ни в инвариантности относительно обращения времени. §3.7. Разложение по парциальным амплитудам1) Часто оказывается удобным работать с 5-матрицей в таком бази- базисе, где все переменные, за исключением полного импульса и энергии, дискретны. Его возможно выбрать, поскольку компоненты импульсов Pi,..., рп в n-частичном состоянии с определенными полным импуль- импульсом р и энергией Е образуют (Зп — 4)-мерное компактное простран- пространство. Например, в случае п = 2 частиц это пространство представляет собой двумерную сферическую поверхность в системе центра масс р = 0. Любая определенная на таком компактном пространстве функ- функция может быть разложена в ряд по обобщенным "парциальным вол- волнам", подобным сферическим гармоникам, которые часто используют- используются для разложения функций на двумерной сфере. Таким образом, мы г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
176 Гл. 3. Теория рассеяния можем определить базис n-частичных состояний, в котором все пере- переменные, кроме р и Е, дискретны: собственные состояния гамильто- гамильтониана свободных частиц в этом базисе будем обозначать как Ф#рту, где N — индекс, содержащий все спины, типы частиц и любые дру- другие индексы обобщенных парциальных волн. Удобно выбрать эти со- состояния нормированными так, что их скалярные произведения равны (Фв'р'лг', $epn) = S(E' - E)S3(p' - pNN,,N. C.7.1) Тогда 5-оператор имеет в этом базисе матричные элементы = 6(E'-EN3(p'-p)SN,,N(E,p), C.7.2) где Sn',n — некоторая унитарная матрица. Аналогично, Т-оператор, матричные элементы (Ф/з, ТФа) которого определены так же, как мат- матричные элементы Т^а в C.1.18), в нашем новом базисе имеет вид (в со- согласии с C.4.12)) ' - p)MN,,N(E,p), C.7.3) и соотношение C.2.7) становится обычным матричным уравнением SN.,N(E,p) = 6N,,N - 2mMN,9N(E,p). C.7.4) Общий случай будет рассмотрен в следующем параграфе, а в этом мы сконцентрируем свое внимание на реакциях с двухчастичным на- начальным состоянием. Рассмотрим, например, некоторое состояние, описывающее две не- нетождественные частицы типов ni, п2 с ненулевыми массами Mi, М2 и произвольными спинами si, s2- В этом случае состояния характери- характеризуются полным импульсом р = pi +P2, энергией Е, типами ni, П2, ^-компонентами спинов cri, g^ и парой целых чисел I, m (причем \m\ ^ I), определяющих зависимость состояния от направления, ска- скажем pi. Можно построить другой удобный дискретный базис, если, используя коэффициенты Клебша-Гордана [9], определить по спинам двух частиц полный спин системы s с ^-компонентой /i, а по полному спину и орбитальному угловому моменту I с ^-компонентой m най- найти полный момент j с ^-компонентой а. В результате получим базис состояний ^Epjaisn (где п — "индекс канала", содержащий п\ и пг), заданный их скалярными произведениями с состояниями, несущими определенные импульсы частиц и их z-компоненты спинов: Epjalsn) = (|Pl \E1E2/Е)~1/2S3 (р - Pi - р2) X х б(Е - y/pl + Ml - у/р22 + М*уп,,п х х ^C8u82(s,Ma1,a2)Cl8(j,airn,v)Ylm(p1), C.7.5)
§3.7. Разложение по парциальным амплитудам 177 где Y™ — обычные сферические гармоники [24]. Благодаря множи- множителю (\Р1\Е1Е2/Е)-1/2 эти состояния оказываются нормированными должным образом в си- системе центра масс: ($E'p'j/(T/l/s/n4$E0j(Tlsn) = S3(p')S(E' - EMj>j5a>^8i>,/?s',s?n',n- C.7.6) Для того чтобы избежать повторного учета вклада тождественных частиц, нужно интегрировать только по половине фазового простран- пространства двух частиц. Поэтому в скалярное произведение C.7.6) должен быть добавлен множитель л/2. Матричные элементы произвольного инвариантного относительно вращений и трансляций оператора О в системе центра масс должны иметь вид (Фе'р'ГгЧ'з'пчОФеозы.п) = *3{р')О311.,п1<1т(ЕNц,6аа,. C.7.7) (Диагональность скалярного произведения относительно j и а сле- следует из того, что О коммутирует с J и J3, а независимость коэффи- коэффициента при 6а'а от а — из коммутации О с Ji =L J2. Эти утверждения являются частными случаями общего результата, известного как тео- теорема Вигнера-Эккарта [25].) Применяя это правило к оператору М, матричные элементы которого равны М#а, можно найти, что в систе- системе центра масс амплитуда рассеяния C.6.7) имеет вид /(kcri,-kcT2,n -»> k'cr^-k'cr^n') = Л 2 = --jr ^2 CSuS2(sJjjJ;a1a2)Cis(jJa;mJjjJ) x jal'm' s' 11'lmsii х Cs^s'2(s', \i"; (j[(j'2)Ci>S' (j, cr;m', //) x x Y^\k')Yr%i)Mflalnltlan(E). C.7.8) Дифференциальное сечение рассеяния равно |/|2. Выберем началь- начальный импульс к лежащим вдоль Oz. В этом случае у^р C.7.9) Интегрируя |/|2 по направлениям конечного импульса к;, сумми- суммируя по ^-компонентам спинов конечного состояния и усредняя по ^-компонентам спинов начального состояния, можно получить полное 12 С.Вайнберг. Т. 1
178 Гл. 3. Теория рассеяния 2) сечение2) перехода из канала п в канал п'\ а(п ->• n'; E) = + ) C.7.10) Суммирование по всем каналам задачи двух тел в C.7.10) даст полное сечение всех упругих и неупругих реакций двух частиц: + ) ? jls C.7.11) Для сравнения, из уравнений C.7.8), C.7.9), C.7.4) и правил сумми- суммирования коэффициентов Клебша-Гордана следует такое выражение для усредненной по спинам амплитуды рассеяния на нулевой угол: + ) ? Воспользовавшись оптической теоремой C.6.10), получаем, что пол- полное сечение равно + ) C.7.12) Если при энергии i? из канала п может быть осуществлен переход только в двухчастичные каналы, матрица S^ (E) (или, по меньшей мере, ее часть, включающая канал п) унитарна. Следовательно, [A - S'(?O)t(l - Sj(E))]len,lsn = 2Re[l - Sj(E)]len,lsn, C.7.13) 2) При выводе этого выражения мы используем стандартные правила суммирования [9] коэффициентов Клебша-Гордана: во-первых, и аналогичное соотношение для членов со штрихом, во-вторых, / Cls \ji (У\ ТП^ (JjCls (J', О\ ТП) (Т) = О 'Оста та и, наконец, /_^ s 21 -\-1 и'
§3.7. Разложение по парциальным амплитудам 179 так что C.7.12) и C.7.11) совпадают. С другой стороны, когда от- открываются каналы, соответствующие трем и более частицам, разница между C.7.12) и C.7.11) дает полное сечение рождения дополнитель- дополнительных частиц: ^рождения(^5 &) = Г + 1) ?> + DI1 " SHEWE)],.^, C-7.14) jls поэтому она должна быть положительна. Разложение по парциальным амплитудам оказывается особенно полезным при изучении процессов, для которых релевантная часть 5-матрицы диагональна. Это, например, имеет место, когда началь- начальный канал п содержит только две частицы со спином 0, а энергия такова, что никакие другие каналы открыться не могут (как в рас- рассеянии тг+ — тг+ или тг+ — 7г° при энергиях ниже порога рождения дополнительных пионов, если пренебречь слабым и электромагнит- электромагнитным взаимодействиями). Для пары таких частиц имеем j = I, и из закона сохранения углового момента следует, что 5-матрица диаго- диагональна. Если в процессах участвуют частицы с ненулевым спином, то 5-матрица также может оказаться диагональной. Например, для рассеяния пиона на нуклоне j = I + 1/2 или j = I — 1/2, но при задан- заданном j эти два состояния несут противоположную четность и поэтому не могут быть связаны ненулевыми элементами 5-матрицы. В любом случае, если при некоторых п и Е элементы 5-матрицы SN',jisn(E,0) не равны нулю только когда N' — двухчастичное состояние j, I, s, n, из унитарности следует, что 4е'п',ыЛЕ) = expBiSjlsn(E))SlllSs,sSn,n, C.7.15) где Sjisn(E) — некоторый действительный фазовый множитель, по- получивший название фазового сдвига. Эту формулу часто используют и в том случае, когда двухчастичная часть 5-матрицы диагональна, но каналы с большим числом частиц тоже открыты. В этом случае, поскольку сечение C.7.14) должно оставаться положительным, у фа- фазового сдвига появляется положительная мнимая часть. Когда фазо- фазовые сдвиги действительны, сечение упругих реакций C.7.10) и полное сечение C.7.12) равны , Е) = fe2Bgi + 1Bg2 + 1) Jls C.7.16) В нерелятивистской квантовой механике этот результат часто вы- выводится из свойств волновой функции (в координатном представле- представлении) частицы в некотором потенциале. Наш вывод преследовал цель показать, что разложение по парциальным амплитудам применимо 12*
180 Гл. 3. Теория рассеяния для упругих столкновений даже при релятивистских скоростях и что справедливость этого утверждения не зависит ни от каких дополни- дополнительных предположений кроме унитарности и инвариантности. Часто оказывается полезным использовать технику фазовых сдви- сдвигов в задачах, где открытые каналы образуют неприводимые пред- представления внутренней группы симметрии. Классическим примером такой группы является симметрия по отношению к вращению изо- изотопического спина, когда в индекс канала п входят изоспины двух частиц Ti, T2 и их z-компоненты ti, ?2- Состояния в канале п можно представить в виде линейных комбинаций t компонент неприводимых представлений Т с коэффициентами разложения, равными коэффи- коэффициентам Клебша-Гордана Стгт2 (Т, t; t\, ?2)- Предположим, что для тех каналов и энергий, которые нас интересуют, 5-матрица диагональна по индексам /,s,j, T и t. Из унитарности и инвариантности относи- относительно вращений в изоспиновом пространстве следует, что 5-матрицу можно переписать в виде sL'T't'isTt = eM2iSjisT(E)}5i>i5s, 88Т'т5г'и C.7.17) где Sjist(E) — действительный фазовый сдвиг, не зависящий от t со- согласно теореме Вигнера-Эккарта. Выражение для одноканальных се- сечений рассеяния можно найти из C.7.10), и полное сечение C.7.12) равно ^полное (tl 5^2 5 Е) = + ) jlsTt C.7.18) Например, в случае пион-пионного рассеяния имеются фазовые сдви- сдвиги 6цот(Е) с Т = 0 или Т = 2 для любых четных I и Т = 1 для лю- любых нечетных /, а для пион-нуклонного рассеяния — фазовые сдвиги Sjj±i/2i/2T Для Т = 1/2 или Т = 3/2. Многие свойства амплитуд рассеяния и фазовых сдвигов возле по- порога реакции можно получить из соображений аналитичности, почти не зависящих ни от каких предположений относительно динамики. Если не реализуются особые обстоятельства, приводящие к образо- образованию сингулярностей в импульсном пространстве, можно считать, что матричный элемент М^>^-k'a'2n';ko-i-ko-2n является в окрестно- окрестности к = 0 или к' = 0 (к = к' = 0 в случае упругого рассеяния) ана- аналитической функцией3) 3-импульсов кик7. Возвращаясь к разло- 3) Например, в борновском приближении C.2.8) М пропорциональна фурье-образу матричного элемента взаимодействия в координатном про- пространстве. Поэтому она является аналитической функцией вблизи нулевого импульса, если матричный элемент достаточно быстро падает с ростом рас- расстояний между частицами. Главное исключение из этого правила — даль- нодействующие силы, например, сила Кулона.
§3.7. Разложение по парциальным амплитудам 181 жению М по парциальным амплитудам C.7.8), можно заметить, что fc'yjm(k) — простая полиномиальная функция 3-вектора к. Поэтому, чтобы Mk/o.j_k/o.^n/;i<:o.1_i<:o.2n была при к = 0 или к' = 0 аналитической функцией 3-импульсов кик', коэффициенты Mj,s,n, /sn, или, что рав- равносильно, 5u'8sisSn>n — Sf,s,n, lsn, при к —> 0 и/или к' —> 0 должны ве- вести себя как kl+1/2kfl+1/2 # Следовательно, при малых & и/или &' основ- основной вклад в амплитуду рассеяния вносят низшие парциальные волны начального и/или конечного состояний. Все возможные ситуации де- делятся на три класса. Экзотермические реакции В этом случае к' стремится к конечному значению при к —> 0, и ве- величина 8ц'68>86п>п - S//s/n/ lsn ведет себя как к1+1/2. Сечение C.7.11) в этом пределе спадает как к21~1, где I — низший орбитальный угло- угловой момент, при котором может произойти данная реакция. Наиболее типичным является случай I = 0, когда сечение имеет порядок 1/к. Это имеет место, например, для поглощения медленных нейтронов сложным ядром или для аннигиляции электрон-позитронных пар с образованием фотонов при низких энергиях, когда связанные с силой Кулона эффекты высшего порядка несущественны. Вероятность реак- реакции, равная сечению, умноженному на поток (который падает как к) ведет себя при к —> 0 как константа. Однако когда пучок проходит сквозь мишень с заданной толщиной, именно сечение определяет ве- вероятность поглощения, и для поглощения медленных нейтронов мате- материалом типа бора из-за множителя 1/к эта вероятность очень велика. Эндотермические реакции Реакция невозможна, пока к не достигнет порога, при кото- котором к' = 0. Сразу над порогом 6ц'68'86п'п - SJlls,nl lsn ведет себя как {к'I +1/2, а сечение C.7.11) — как к'21 +1, где V — низший возмож- возможный при пороговой энергии орбитальный угловой момент. Наиболее типичным опять является случай V — 0, когда сечение над порогом ведет себя как к', т.е. как у/Е — Епорог. Это имеет место, например, для ассоциативного рождения странных частиц или для рождения электрон-позитронных пар при рассеянии фотонов. Упругие реакции В этом случае к = к', поэтому к и к' должны вместе обращаться в нуль (это происходит, когда п = п' или когда в п' входят частицы, принадлежащие тем же изотопическим мультиплетам, что и частицы
182 Гл. 3. Теория рассеяния из п). При упругом рассеянии всегда существуют парциальные вол- волны с I = V = 0, так что в пределе к —У 0 амплитуда рассеяния C.7.8) стремится к постоянной величине: /(к, о, —к, сг2,п —у к', а[, — к'сг^п') —>¦ ->> ^CrSl,S2(s,cr;cri,cr2)Crs/i5^(s,cr;cri,cr2)as(n -у п'), C.7.19) SO" где a — некоторая константа, получившая название длины рассеяния. Она может быть найдена, если рассмотреть предел SLn'Osn -> <^'n + 2ikas(n -> ri) C.7.20) при к = &' —>¦ 0. Суммируя 4тг|/|2 по спинам частиц конечного состоя- состояния и усредняя по спинам начального, получим полное сечение пере- перехода п —>¦ п' при fc = к' = 0: ,(« -> «'; * = 0) = Bgi + 1)Bs2 + 1) EBs + 1)«2(« ^ «')• C-7-21) Классическим примером ситуации, в которой работает эта формула, является рассеяние протонов на нейтронах. В этом случае существуют две длины рассеяния — а® для спин-синглетного состояния и а\ для спин-триплетного состояния, причем первая намного больше второй. Разложение по парциальным амплитудам также можно исполь- использовать для грубой оценки поведения сечений при высоких энергиях. Следует ожидать, что с уменьшением длины волны сечение ведет себя согласно законам классической физики: прицельное расстояние для частицы с импульсом к и угловым моментом I равно l/к, поэтому можно считать, что поток частиц с I ^ кR реагирует только с частью мишени в форме диска радиуса R. Эту картину можно интерпрети- интерпретировать как следующее условие на элементы 5-матрицы: О, l«kRn, где Rn — некоторая величина, аналогичная радиусу взаимодействия для канала п. При данном I ^> s имеются 2s + 1 значений j. Они все достаточно близки к I, чтобы можно было приближенно писать 2j + 1 « 21 + 1, поэтому сумма в C.7.12) по j и s просто дает множи- множитель порядка = B/ + 1) ^Bs + 1) = B/ + 1)Bв1 + l)Bs2 + 1). JS S Из C.7.12) тогда получаем следующее выражение для сечения в пре- пределе к > 1/Rn- <тПолное(п; Я) -> |[ ?) B/ + 1) -> 27rRl C-7-23) l<kRn
§3.8. Резонансные состояния 183 Точно так же из C.7.10) находим сечение упругого рассеяния: сг(п -^ га; E) -+ 7rR2n. C.7.24) Разница между C.7.23) и C.7.24) равна сечению неупругого рассея- рассеяния ttR^ . Именно такой ответ следует ожидать в классике для сечения столкновений частиц с абсолютно непрозрачным диском радиуса Rn (немного удивительный ответ тгй^ для сечения упругого рассеяния можно интерпретировать как результат дифракции на диске). Если предположить, что Sj?sn lsn в C.7.22) является комплексной величиной только для прицельных расстояний l/к, лежащих внутри малого ин- интервала ширины An <С Rnj окружающего l/k = Rnj и воспользовать- воспользоваться неравенством |Im(l — Sfsn lsn)\ ^ 2, можно найти верхнюю границу для действительной части амплитуды рассеяния на нулевой угол: |Re/(n;?)| <С 2kRnAn < |Im/(n;?)|. C.7.25) Эксперимент подтверждает, что при высоких энергиях действитель- действительная часть амплитуды рассеяния на нулевой угол мала. До сих пор ничего не было сказано о зависимости от энергии са- самой величины Rn. В качестве очень грубой оценки можно под Rn понимать расстояние, на котором множитель ехр(—fir) в потенциа- потенциале Юкавы A.2.74) становится порядка некоторой степени энергии Е. В этом случае при Е —у оо величина Rn ведет себя как log^E, а сече- сечение — как (\ogEJ. На основе очень общих предположений было стро- строго показано, что полное сечение не может при Е —у оо расти быстрее, чем (log^EJ, и результаты экспериментов показывают, что полное се- сечение протон-протонного рассеяния при высоких энергиях в самом деле ведет себя как (logEJ. Поэтому похоже, что та грубая карти- картина рассеяния при высоких энергиях, которую мы нарисовали, имеет отношение к действительности. §3.8. Резонансные состояния1) Часто случается так, что участвующие в процессе частицы фор- формируют некоторое промежуточное состояние, содержащее единствен- единственную нестабильную частицу R, которая в конце концов распадается, образуя частицы — составляющие конечного состояния. Если вероят- вероятность распада R мала, в сечении при энергии промежуточного состоя- состояния R появляется резонансный пик. Как мы увидим, характер поведения сечений возле резонансного пика можно определить исключительно из условия унитарности. Это х) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
184 Гл. 3. Теория рассеяния очень удобно, поскольку существует целый ряд сильно отличающихся друг от друга механизмов образования резонансного состояния: а) простейшим является случай, когда полный гамильтониан мож- можно разделить на два члена — гамильтониан Hq + Vs с "сильным взаимодействием", для которого R является собственным состоя- состоянием, и слабое возмущение Vw, благодаря которому R распадает- распадается с образованием различных состояний, включая начальное и ко- конечное состояния а и /3 нашего процесса. Например, существует нейтральная частица Zq с j = 1 и массой 91 ГэВ, которая в от- отсутствие слабых взаимодействий была бы стабильной. Благодаря этим взаимодействиям возможен распад Zq на электрон-позитронные пары, мюон-антимюонные пары и т.д., однако скорость распада Zq много меньше, чем ее масса. В 1989 г. Zo-бозон наблюдали как резонансное состояние2) в электрон-позитронных столкновениях е+ + е~ —У Z0 —У е+ + е~, е+ + е~ —У Z0 —У /i+ + /л~ и т.д. на коллай- дерах CERN'a и Стэнфорда. б) в некоторых случаях частицы оказываются долгоживущими потому, что существует потенциальный барьер, препятствующий их распаду на составляющие. Это имеет место, например, для ядерно- ядерного альфа-распада: излучение альфа-частицы (ядра Не4) некоторым ядром разрешено энергетическими соображениями, но сильное куло- новское отталкивание между альфа-частицей и ядром формирует во- вокруг дочернего ядра ограниченную барьером область, проникновение альфа-частицы в которую запрещено в рамках классики. Распад мо- может осуществляться только благодаря квантовомеханическому под- барьерному проникновению, что обеспечивает экспоненциальное по- подавление его вероятности. Такое нестабильное состояние может быть обнаружено как резонанс при рассеянии альфа-частицы на дочернем ядре. Например, основное состояние ядра Be8 нестабильно относи- относительно распада на две альфа-частицы и может быть обнаружено как резонанс в рассеянии Не4 - Не4. Кроме кулоновского барьера суще- существует еще центробежный барьер, благодаря которому возрастает вре- время жизни альфа-, бета- и гамма-нестабильных ядер с высокими спи- спинами. в) сложные системы могут оказаться нестабильными по статисти- статистическим причинам даже в том случае, когда нет ни потенциальных барьеров, ни нарушающих стабильность слабых взаимодействий. На- Например, возбужденное состояние некоторого тяжелого ядра может 2) Как можно видеть на этом примере, достаточно, чтобы резонанс- резонансное состояние распадалось относительно медленно. Время жизни Zq равно 2,6 х 10~ сек, и этого мало даже для того, чтобы двигающаяся с почти световой скоростью частица Zq пересекла атомное ядро. Важно лишь то, что скорость распада Zq в 36 раз меньше характерной скорости h/Mz изме- изменения ее волновой функции в покоящейся относительно Zq системе отсчета.
§3.8. Резонансные состояния 185 распадаться только тогда, когда благодаря статистической флуктуа- флуктуации большая часть его энергии оказывается принадлежащей одному нейтрону. Такое состояние можно наблюдать как резонанс при рас- рассеянии нейтронов на дочерних ядрах. Эти механизмы образования долгоживущих состояний сильно от- отличаются друг от друга. Поэтому является большой удачей, что мно- многие свойства резонансных состояний могут быть выведены только из унитарности, без обращения к деталям механизма, рождающего резо- резонанс. Прежде всего рассмотрим зависимость матричных элементов ре- реакции от энергии в окрестности резонанса. Волновой пакет / начальных состояний зависит от времени согласно C.1.19): 1 f -гЕ t f f J J J Ea-Ef3+ie ' Как упоминалось в §3.1, лежащий в нижней половине комплексной плоскости Еа полюс функции Тр~а будет давать вклад во второй член, который экспоненциально падает при t —У оо. В частности, полюс при Еа = Er — гГ/2 обеспечивает появление в выражении для амплиту- амплитуды члена, который ведет себя как exp(—iEftt — Ft/2). Он соответ- соответствует состоянию, вероятность зарегистрировать которое падает как ехр(—Ft). Можно сделать вывод, что долгоживущее состояние с энер- энергией Er и малой скоростью распада Г обеспечивает появление в ам- амплитуде рассеяния члена ТРа ~ (Е* ~ER + ^Г/2) + константа. C.8.1) Чтобы продвинуться дальше, будет удобно выбрать в качестве ба- базиса обсуждавшиеся в предыдущем параграфе ортонормированные дискретные многочастичные состояния <&pen (здесь р и Е — полный импульс и энергия, а N — некоторый индекс, принимающий дискрет- дискретный, хотя и бесконечный, ряд значений). В таком базисе 5-матрица выглядит следующим образом: SP'E'N',pen = S3(p' - рЩЕ1 - ?)SW(p, E). C.8.2) Вблизи резонанса следует ожидать, что амплитуда S@,E) = в системе центра масс имеет вид .yN,N{E) = SN,N@, E) = yON,N + f"'" /9, C.8.3) Ь — bR + г! /1 где ^о и & приблизительно постоянны по крайней мере на относи- относительно малом интервале энергий \Е — Er\ ^ Г.
186 Гл. 3. Теория рассеяния Соотношение унитарности для 5-матрицы в данном базисе оказы- оказывается обычным матричным уравнением: У(Е)]У(Е) = 1. C.8.4) Применяя его к C.8.3), можно получить, что нерезонансная фоновая 5-матрица унитарна: У^У0 = 1, C.8.5) а оставшаяся матрица ?% удовлетворяет двум условиям: М]У^ = 0, C.8.6) ТУ^ + г- Т^Уъ + М^М = 0. C.8.7) Их можно переписать в более ясном виде, если положить М = -iT^y0. C.8.8) Условия унитарности для матрицы srf тогда выглядят следующим об- образом: ^ = ^, ^/2 = ^. C.8.9) Любая подобная эрмитова идемпотентная матрица называется мат- матрицей проекции. Ее всегда можно представить в виде суммы по диа- диадам ортонормированных векторов и^: >#'u# =<W C.8.10) г N Таким образом, дискретная часть 5-матрицы равна yN,N(E) = ^ SN'N" - г Е_Е +iV/ N" L R ' г -I C.8.11) Можно считать, что каждый член в сумме по г соответствует свое- своему резонансному состоянию, но все эти состояния имеют одинаковые ER и Г. Какое это имеет отношение к вероятностям и сечениям переходов? Будем игнорировать для простоты нерезонансное фоновое рассеяние, полагая y^N'N равной 8n>n', к общему случаю мы вернемся немного позднее. Тогда из уравнения C.8.11) для обсуждавшихся в прошлом параграфе двухчастичных дискретных состояний в системе центра масс следует, что C-8-12) Во всех случаях индекс г включает в себя gr — z-компоненту полного углового момента резонасного состояния; для резонансного состояния
§3.8. Резонансные состояния 187 с моментом Jr она пробегает 2Jr + 1 значений. Если нет дополнитель- дополнительного вырождения, в г содержится только gr, и = &з*Л*,°*ип, C-8.13) где щзп — некоторый набор комплексных амплитуд, не зависящих от а благодаря теореме Вигнера-Эккарта. Теперь из C.8.12) и C.7.7) можно найти выражение для амплитуды 5J: р Sl's'n',lsn(E) = Sl'lSs>sSn'n - iSjjR E_ER Кроме того, уравнение C.8.10) приобретает вид ^2\uisn\2 + ... = 1, C.8.15) Isn где точки обозначают положительные вклады от любых состояний, содержащих три или более частиц. Далее мы увидим, что величи- величины |ix/sn|2 можно интерпретировать как отношения между амплиту- амплитудами каналов распада резонансного состояния на возможные двухча- двухчастичные состояния. Из C.7.12) теперь получаем полное сечение всех реакций в кана- канале п: где ГП = Г^|^П|2. C.8.17) Is Это один из вариантов известной формулы Брейта—Вигнера [27]. Ана- Аналогично можно вычислить сечение перехода через резонансное состоя- состояние из некоторого начального двухчастичного канала п в конечный двухчастичный канал п'. Используя C.8.14) и C.7.10), получаем а(п -+ п']Е) = Из этой формулы следует, что вероятность распада резонансного со- состояния в любой из конечных двухчастичных каналов п' пропорцио- пропорциональна Гп/. Согласно C.8.15) сумма Гп (включающая вклады от ко- конечных состояний, содержащих три и более частиц) равна полной скорости распада Г, поэтому можно заключить, что Гп равна ско- скорости распада резонансного состояния в канал п. Как можно видеть, в C.8.16) и C.8.18) при энергии, равной Ел, имеется резонансный пик с (взятой на половине от максимума) ши- шириной, равной скорости распада Г (величины Гп часто называют пар- парциальными ширинами). Так как Гп ^ Г, полное сечение при резонанс- резонансной энергии ограничено величиной Bтг/&J, равной квадрату длины
188 Гл. 3. Теория рассеяния волны. Это ограничение выполняется даже в классической физике, где роль унитарности играет закон сохранения энергии: например, при взаимодействии звуковых волн с пузырьками в морской воде или при взаимодействии гравитационных волн с регистрирующей антен- антенной (поскольку в этом случае для любой лабораторной массы потеря энергии за счет гравитационного излучения очень мала, соответст- соответствующее сечение значительно меньше квадрата длины волны [28] даже при резонансной энергии). Часто оказывается так, что, хотя резонанс и регистрируется, точ- точности измерений недостаточно, чтобы определить его ширину. В этом случае величиной, которая измеряется в эксперименте, является ин- интеграл от сечения по резонансному пику. Для полного сечения C.8.16) он равен !¦ / .ТТЛ 7ТТ1 2ТГ2 B jR + l)rTC /Q е(п, Е) dE = fc|Bei + 1)Be2 + 1)- C- В таких экспериментах могут быть найдены только парциальные ши- ширины распада резонанса на частицы начального состояния, но не пол- полная ширина или соотношения амплитуд каналов распада. Этот формализм можно также применить к ситуации, когда резо- резонансные состояния с определенной ^-компонентой спина формируют мультиплет, связанный с какой-нибудь группой симметрии. Напри- Например, с той точностью, с которой соблюдается симметрия по отноше- отношению к вращениям в изотопическом пространстве, можно говорить, что для несущего полный изоспин Тд резонанса индекс г, нумерую- нумерующий резонансные состояния, включает в себя, помимо ^-компоненты углового момента gr, третью компоненту изоспина ?#, пробегающую значения — Тд, —Тц + 1, ..., Тц. В этом случае ответы для полного и парциальных сечений не меняются, поскольку каждый двухчастич- двухчастичный канал п несет определенные значения ti, ?2 ^-компонент изо- спинов частиц и, следовательно, имеет ненулевой матричный эле- элемент только с резонансным состоянием, для которого tR = t± -\-12. Парциальные ширины могут зависеть от t\ и t2 только через мно- множители CT1,T2(TR,tR;t1,t2J. Существование резонансного состояния проявляется в характер- характерном поведении фазовых сдвигов. Возвращаясь к общему выражению C.8.11) (и по-прежнему полагая У"о = 1), мы видим, что для каждого резонансного состояния г существует собственный вектор и^ матри- матрицы S^n'n(E), соответствующий собственному значению E-ER + гГ/2' или, другими словами, C.8.20)
§3.8. Резонансные состояния 189 Если рассмотреть окружающую резонанс область энергий с шири- шириной Г, можно видеть, что "собственная фаза" 8<уГ\Е) испытывает при пересечении резонансной энергии скачок от значения г/тг (где v — по- положительное или отрицательное целое число) до {у + 1)тг. Однако что- чтобы получить из этого утверждения какую-нибудь информацию о сече- сечениях реакций, необходимо знать собственные векторы и]^\ которые, вообще говоря, имеют компоненты, соответствующие произвольному числу частиц с различными импульсами, спинами и типами. Эти наблюдения оказываются гораздо более полезными, когда запрещены (обычно благодаря какому-нибудь закону сохранения) переходы из канала N в любой другой канал. В этом случае нетруд- нетрудно учесть вклад в C.8.11) нерезонансной фоновой матрицы рассея- рассеяния Уо. Для того чтобы при некотором N и любом N' ф N матричный элемент S^n'N обращался в нуль, необходимо, чтобы то же самое было справедливо для ^on'N и для щ^, с г, таким что и^ ф 0. Из условия унитарности C.8.5) тогда следует, что для этого N а из уравнения C.8.10) вытекает, что Jr)*J*) - л aN aN — ursi и в C.8.10) имеется единственный член г, для которого щ^ ф 0. В этом случае из C.8.11) следует = 5N.N\l - —— %1 1 expBi(W) = 5N>NexpBi5N(E)), и полный фазовый сдвиг равен 8N{E) = аом ~ arctg(-^|-). C.8.21) Как легко видеть, при пересечении резонансной энергии Ец фазо- фазовый сдвиг Sn(E) испытывает скачок от значения Son ниже резонанса к значению Son + тг выше резонанса. Эти предположения оказывают- оказываются справедливыми для различных процессов с начальным состоянием, содержащим две частицы, таких, как обсуждавшиеся в предыдущем параграфе пион-пионное и пион-нуклонное рассеяния при энергиях ниже порога рождения дополнительных пионов, с индексом N, со- содержащим полный и орбитальный угловой моменты j, l (для пион- пионного рассеяния j = /), z-компоненту полного углового момента а, а также изоспин Т и его z-компоненту t. Из теоремы Вигнера— Эккарта следует, что фазовые сдвиги зависят от j, I и Т, но не от t или а. В этих каналах лежат хорошо известные резонансы: для пион- пионного рассеяния при 770 МэВ существует резонанс, получивший название /я-частицы, с j = I = 1, Т = 1 и Г = 150 МэВ, а для пион-
190 Гл. 3. Теория рассеяния нуклонного рассеяния — резонанс А при энергии 1232 МэВ с j = 3/2, / = 1, Г = 3/2 и Г =110-120 МэВ. Из C.7.12) или C.7.18) следует, что полное сечение достигает пика, когда резонансный фазовый сдвиг проходит через тг/2 (или тгп/2, где п — нечетное целое число). Обычно нерезонансные фазовые сдвиги довольно малы, поэтому, как было показано раньше, (тполпое дости- достигает пика, когда Si проходит через тг/2, при близкой к Ец энергии. Однако иногда случается так, что нерезонансный фоновый фазовый сдвиг Son оказывается приближенно равным тг/2. В этом случае, ко- когда фазовый сдвиг достигает при Ец значения тг, в сечении появляется узкий провал, связанный с деструктивной интерференцией между ре- резонансом и фоновой нерезонансной амплитудой. Такие провалы впер- впервые наблюдались в 1922 г. Размзауэром и Таунсендом [29] в опытах по рассеянию электронов на атомах инертного газа. Задачи 1. Рассмотрим теорию с сепарабельным взаимодействием, имею- ЩИМВИД где д — действительная константа взаимодействия, а иа — набор ком- комплексных величин, подчиняющихся условия ?ki2 = i. а Воспользовавшись уравнением Липпмана-Швингера C.1.16), найди- найдите точные решения для начального и конечного состояний, а также 5-матрицу. 2. Предположим, что в е+ — е~-рассеянии при энергии 150 ГэВ об- обнаружено резонансное состояние, причем сечение (в системе центра масс, усредненное по спинам начального состояния и просуммирован- просуммированное по спинам конечного состояния) в пике резонанса равно 10~34 см2. Чему равно отношение амплитуд каналов распада для R —> е~ + е+? Чему равно полное сечение рассеяния е+ — е~ в пике резонанса? При ответе на любой из этих вопросов можно игнорировать фоновое нере- нерезонансное рассеяние. 3. Выразите через кинематические переменные и матричный эле- элемент Мра дифференциальное сечение рассеяния для задачи двух тел в лабораторной системе отсчета, где одна из частиц исходно покоится. Этот результат нужно вывести точно, без использования полученного в этой главе выражения для дифференциального сечения в системе центра масс. 4. Выведите разложение C.5.8) инвариантной теории возмуще- возмущений непосредственно из разложения старомодной теории возмуще- возмущений C.5.3).
Литература 191 5. Определим состояния "стоячей волны" Ф^ через модифициро- модифицированное уравнение Липпмана-Швингера следующим образом: Ьа — Но Покажите, что матрица эрмитова. Найдите, каким образом можно выразить через нее 5-мат- рицу. 6. Выразите дифференциальные сечения тг+-_р- и тг~-р-рассеяния через фазовые сдвиги для состояний с определенными полным угло- угловым моментом, четностью и изоспином. 7. Покажите, что определенные согласно C.7.5) состояния $Epjasn правильно нормированы и их скалярные произведения заданы соот- соотношением C.7.6). Литература 1. Более детально это описано в Goldberger M.L. and Watson K.W. Collision Theory. John Wiley & Sons, N.Y., 1964; Newton R.G. Scattering Theory of Waves and Particles, 2nd edn. Springer-Verlag, N.Y., 1982. [Рус. пер.: Гольдбергер М. и Ватсон К. Теория столк- столкновений.—М.: Мир, 1967; Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц.—М.: Мир, 1969.] 1а. Ырртапп В. and Schwinger J. // Phys. Rev. 79, 469 A950). 2. Wheeler J.A. // Phys. Rev. 52, 1107 A937); Heisenberg W. // Z. Phys. 120, 513, 673 A943). 3. Born M. II Z. Phys. 37, 863 A926); 38, 803 A926). 4. Мфег С I/ Kgl. Danske Videnskab. Mat. Fys. Medd. 23, No. 1 A945); 22, No. 19 A946). 5. Rochester G.S. and Butler С.С // Nature. 160, 855 A947). В каче- качестве исторического обзора можно рекомендовать Rochester G.D. // В Pions to Quarks — Particle Physics in the 1950s, ed. by L.M. Brown, M. Dresden and L. Hoddeson. Cambridge University Press, Camb- Cambridge, UK, 1989. 6. Breit C, Condon E. U. and Present R.S. // Phys. Rev. 50, 825 A936); Cassen B. and Condon E.U. // Phys. Rev. 50, 846 A936); Breit G. and Feenberg E. // Phys. Rev. 50, 850 A936). 7. Tuve M.A., Heydenberg N. and Hafstad L.R. // Phys. Rev. 50, 806 A936).
192 Гл. 3. Теория рассеяния 8. Gell-Mann М. // Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL-20 A961); Phys. Rev. 125, 1067 A962); Ne'eman Y. // Nucl. Phys. 26, 222 A961). 9. Cm. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1957. Chap. 3 (где Cjtj2(j m; mi m2) обозначается как (ji j2 jm | ji mi .72^2)); Rose M.E. Ele- Elementary Theory of Angular Momentum. John Wiley & Sons, N.Y., 1957. Chap. Ill (где Cj1j2(j m;mi 777,2) обозначается как C(j± J2J; mi m2ra)). 10. Feinberg G. and Weinberg S. // Nuovo Cimento. Serie X, 14, 571 A959). 11. Chinowsky W. and Steinberger J. // Phys. Rev. 95, 1561 A954); см. также Ferretti B. Report of an International Conference on Fundamental Particles and Low Temperatures, Cambridge, 1946. The Physical Society, London, 1947. 12. Lee T.D. and Yang C.N. // Phys. Rev. 104, 254 A956). 13. Wu C.S. et al. // Phys. Rev. 88, 1163 A952). 14. Garwin R., Lederman L. and Weinrich M. // Phys. Rev. 105, 1415 A957); Friedman J.I. and Telegdi V.L. // Phys. Rev. 105, 1681 A957). 15. Watson KM. II Phys. Rev. 88, 1163 A952). 16. Gell-Mann M. and Pais A. // Phys. Rev. 97, 1387 A955); см. также Pais A. and Piccioni 0. // Phys. Rev. 100, 1487 A955). 17. Christenson J.H., Cronin J.W., Fitch V.L. and Turlay R. // Phys. Rev. Letters. 13, 138 A964). 18. Schubert K.R. et al. // Phys. Lett. 31B, 662 A970). В этой ста- статье данные по нейтральным каонам анализируются без предпо- предположения о СРТ-инвариантности. Найдено, что вклад в амплиту- амплитуду, сохраняющий СРТ и нарушающий Т, имеет действительную и мнимую части в пределах пяти стандартных отклонений от ну- нуля, а вклад, сохраняющий Т и нарушающий СРТ, — в пределах одного стандартного отклонения от нуля. 19. Dalitz R.H. // Phil. Mag. 44, 1068 A953); см. также Fabri E. // Nuovo Cimento. 11, 479 A954). 20. Dyson F.J. II Phys. Rev. 75, 486, 1736 A949). 21. Cm. Schiff L.I. Quantum Mechanics, 1st edn. McGraw-Hill, N.Y., 1949. Section 19. [Рус. пер.: Шифф Л. Квантовая механика.—М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. Параграф 19.] 22. Впервые это было доказано в рамках классической электродина- электродинамики. См. Kramers H.A. Atti Congr. Intern. Fisici, Como, 1927;
Литература 193 перепечатано в Kramers Н.А. Collected Scientific Papers. North- Holland, Amsterdam, 1956. Доказательство в квантовой механике см. в Feenberg Е. // Phys. Rev. 40, 40 A932); Bohr N., Peierls R.E. and Placzek G. // Nature. 144, 200 A939). 23. Общая версия этого утверждения была представлена в позд- поздних 1960-х в неопубликованной работе Yang C.N. and Yang СР. См. также Aharony A. // В Modern Developments in Thermodyna- Thermodynamics. Wiley, N.Y., 1973. С. 95-114 и ссылки в этой работе. 24. См. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1957. Chapter 2; Rose M.E. Elementary Theory of Angular Momentum. John Wiley & Sons, N.Y., 1957. Appendix III; Landau L.D. and Lifshitz E.M. Quantum Mechanics — Non Relativistic Theory, 3rd edn. Pergamon Press, Oxford, 1977. Section 28. [Ландау Л., Лифшиц Е. Квантовая ме- механика. Нерелятивистская теория.—М.: Наука, 1974. Параграф 28.] 25. Wigner E.P. Gruppentheorie. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunsch- Braunschweig, 1931; Eckart С // Rev. Mod. Phys. 2, 305 A930). [Рус. пер.: Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров.— М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.] 26. Froissart M. // Phys. Rev. 123, 1053 A961). 27. Breit G. and Wigner E.P. // Phys. Rev. 49, 519 A936). 28. Cm. Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, N.Y., 1972. Section 10.7. [Рус. пер.: Вейпберг С. Гравитация и космология.— М.: Мир, 1975. Параграф 10.7.] 29. Kollath R. // Phys. Zeit. 31, 985 A931). 13 С.Вайнберг. T.I
Гл а в а 4 ПРИНЦИП КЛАСТЕРНОЙ РАЗЛОЖИМОСТИ До сих пор мы почти ничего не могли сказать про структуру га- гамильтониана Н. Этот оператор можно определить, задав все его мат- матричные элементы, соответствующие переходам между состояниями с произвольным числом частиц. Как мы покажем ниже, любой такой оператор можно представить в виде функции некоторых других опе- операторов, рождающих и уничтожающих частицы. Мы видели в гл. 1, что операторы рождения и уничтожения впервые были использованы на ранних этапах развития квантовой механики для канонического квантования электромагнитного и ряда других полей. Они оказались очень естественной частью формализма тех теорий, в рамках кото- которых могут рождаться и уничтожаться как массивные частицы, так и фотоны. Одним из первых примеров использования этих операторов была созданная в начале 30-х годов теория бета-распада Ферми. Тем не менее имеется более веская причина, по которой гамиль- гамильтониан должен строиться из операторов рождения и уничтожения. Она никак не связана с возможностью рождения и уничтожения ча- частиц на практике. Огромное достоинство рассматриваемого форма- формализма заключается в том, что если гамильтониан выражен через сумму произведений операторов рождения и уничтожения с несин- несингулярными коэффициентами, то 5-матрица будет автоматически удо- удовлетворять важному физическому принципу — принципу кластерной разложимости [1]. Этот принцип утверждает, что результаты экспе- экспериментов, разделенных достаточно большим расстоянием, никак не скоррелированы друг с другом. Именно по этой причине формализм операторов рождения и уничтожения широко применяется в нере- нерелятивистской квантовой статистической механике, где число частиц, как правило, фиксировано. Из принципа кластерной разложимости следует, что релятивистская квантовая теория обязательно должна быть теорией поля. Предпринималось множество попыток построения лоренц-инвариантной теории, не являющейся локальной теорией по- поля. В принципе, неполевые теории, приводящие к лоренц-инвариант- лоренц-инвариантной двухчастичной 5-матрице [2], возможны, однако все попытки сталкивались с трудностями при рассмотрении систем, состоящих из трех и более частиц: либо трехчастичная 5-матрица оказывается не лоренц-инвариантной, либо нарушается принцип кластерной разло- разложимости. В этой главе мы сначала изучим базис состояний с произвольным числом бозонов и фермионов, а затем дадим определение операторов
§4-1- Бозоны и фермионы 195 рождения и уничтожения. Кроме того, мы покажем, как, используя введенную технику, можно построить гамильтонианы, приводящие к 5-матрицам, удовлетворяющим условию кластерной разложимости. §4.1. Бозоны и фермионы В гильбертовом пространстве физических состояний можно вы- выбрать базис, состоящий из состояний, содержащих 0, 1, 2, ... свобод- свободных частиц. Это могут быть состояния свободных частиц, "in" или "out" состояния. Для определенности мы далее будем рассматривать состояния свободных частиц общего вида Р1^1И1,Р2<Т2^2г--' причем все результаты одинаково справедливы и для "in", и для "out" состояний. Как обычно, буквой а обозначаются z-компоненты спина (или спиральности — для безмассовых частиц), а индекс п маркирует различные сорта частиц. Теперь мы должны рассмотреть вопрос, опущенный нами в гл. 3, а именно вопрос о свойствах симметрии этих состояний. Насколько мы знаем, все частицы являются либо фермионами, либо бозонами. Разница между ними следующая: состояние не меняется при переста- перестановке двух одинаковых бозонов и меняет знак при перестановке двух одинаковых фермионов, т.е. ^ ...рап...р' а' п... — иЬФ р' д-1 п...pan- \^ •-'-•-'-/ Здесь верхний индекс соответствует бозонам, нижний — фермионам, а точками обозначены остальные частицы, образующие рассматрива- рассматриваемое состояние. (Это свойство можно переформулировать как усло- условие на "волновые функции", которые являются коэффициентами при векторах, принадлежащих многочастичному базису в пространстве физически допустимых векторов состояния.) Об этих двух случаях часто говорят, как о "статистиках" Бозе и Ферми. В следующей гла- главе мы увидим, что для частиц с целым и полуцелым спином Бозе и Ферми статистики соответственно оказываются единственно возмож- возможными, но на данном этапе нам это не понадобится. В этом параграфе мы приведем нестрогое доказательство того, что все частицы долж- должны быть либо бозонами, либо фермионами, а затем получим нормиро- нормировочные условия для состояний, содержащих много бозонов или много фермионов. Сначала заметим, что если две частицы с импульсами и спинами р, а и р', а' принадлежат одному и тому же типу п, тогда векторы состояний Ф...ро-п...р'<7/п/... и Ф...р'о-'ri...pan... обозначают одно и тоже физическое состояние. В противном случае частицы не были бы тож- тождественными и различались бы по положению их значков в записи 13*
196 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости вектора состояния. Поскольку векторы состояний физически неразли- неразличимы, они должны принадлежать одному и тому же лучу, т.е. должно выполняться равенство Ф...ро-n...p'o-'n... = апФ...р'а'п...р*п, D.1.2) где ап — комплексное число, равное по модулю единице. Мы можем рассматривать эту формулу как определение тождественных частиц. Сейчас самое главное — установить, от чего может зависеть фа- фаза ап? Если она зависит только от типа частицы п, то тогда, меняя две частицы в выражении D.1.2) местами еще раз, мы получим ^.. .pan.. .р' а' п... — (%п ...pcm...p/0"/n* Отсюда находим, что о?п = 1. Это приводит нас к единственно воз- возможным законам преобразования D.1.1). От чего еще может зависеть фаза ап? Она могла бы зависеть от числа и типа остальных частиц в рассматриваемом состоянии (обозна- (обозначенных точками в D.1.1) и D.1.2)). Однако это равносильно тому, что симметрия вектора состояний на Земле зависит от частиц, находя- находящихся где-то в другом месте Вселенной. Это та самая ситуация, ко- которая противоречит принципу кластерной разложимости, обсуждае- обсуждаемому нами в этой главе. Кроме того, фаза ап не может нетривиаль- нетривиальным образом зависеть от спинов переставляемых частиц, поскольку в противном случае такие фазы должны принадлежать представле- представлению группы трехмерных вращений, в то время как нетривиальных одномерных представлений (т.е. с помощью фазы) трехмерной груп- группы вращений не существует. Фаза ап, вероятно, могла бы зависеть от импульсов переставляемых частиц, но из лоренц-инвариантности в этом случае следовало бы, что фаза ап зависит только от скаляра Р\Р2цч который, очевидно, симметричен относительно перестановки частиц 1 и 2. Тем самым такая зависимость не повлияла бы на общий ход рассуждений, приводящих к равенству о?п = 1. Логический недостаток приведенных выше аргументов (хотя на- наши обозначения и затушевывают это) состоит в том, что состояния Фр10-1п,р20-2п,... могут содержать фазовый множитель, зависящий от траектории в импульсном пространстве, двигаясь по которой частицы приобретают импульсы pi, P2 и т.д. В этом случае повторная пере- перестановка частиц может так изменить фазу состояния, что квадрат о?п оказывается отличным от единицы. Мы увидим в § 9.7, что это может иметь место в двумерном пространстве, но не в пространстве трех и большего числа измерений. Что же происходит в случае перестановки частиц различного ти- типа? Мы можем избежать необходимости отвечать на этот вопрос, уста- установив следующий порядок импульсов в индексе вектора состояний: сначала указываются импульсы и спиральности фотонов, затем им- импульсы и z-компоненты спинов электронов и т.д., пока мы не перебе- переберем всю таблицу элементарных частиц. Есть другой вариант: мы раз-
§4-1- Бозоны и фермионы 197 решаем произвольный порядок индексов и постулируем, что вектор состояния с произвольным порядком индексов, равен произведению вектора с индексами, упорядоченными некоторым условленным обра- образом, на фазовый множитель. Зависимость последнего от перестановки частиц различных типов может быть какой угодно. Чтобы работать с симметриями, связывающими частицы разных типов (например изоспиновой инвариантностью), удобно принять следующее соглаше- соглашение, обобщающее выражение D.1.1): вектор состояния симметричен относительно перестановок любых двух бозонов, любого бозона с лю- любым фермионом, а также антисимметричен относительно перестано- перестановок любых двух фермионов, независимо от того, являются частицы тождественными или нетг). Нормировка многочастичных состояний должна быть согласова- согласована с условиями симметрии. Для краткости обозначим через q все квантовые числа одной частицы: импульс р, z-проекцию спина а (или спиральность в случае безмассовых частиц) и тип частицы п. TV-частичное состояние в этих обозначениях имеет вид Ф^...^ (N = О для вакуумного состояния Фо). В случаях N = 0 и N = 1 вопроса о симметрии не возникает: (Фо,Фо) = 1 D.1.3) (Ф9',Фв) =%'-«), D.1-4) где S(q' — q) — произведение дельта-функций и символов Кронекера для всех квантовых чисел частицы, 6(q' -q)= 63(p' - p)<W<W D.1.5) С другой стороны, состояния с N = 2, $q'iq'2 и Фд^, физически экви- эквивалентны, т.е. мы должны положить (Ф,1в/, Фвт) = S(q[ - qi)S(q'2 - q2) ± 6(q'2 - q1M{q[ - q2). D.1.6) Знак "—" используется в случае, когда обе частицы — фермионы, а знак "+" — во всех остальных. Эта формула, очевидно, согласуется со свойствами симметрии, упомянутыми выше. В общем случае ($q>iq>2...q>M , $gig2...g J = $NM ^ S& П S^ ~ q'^' D'L7) & г Здесь сумма берется по всем перестановкам ?? целых чисел 1,2,..., iV. 1) На самом деле симметрия и антисимметрия вектора состояния отно- относительно перестановок частиц одного типа, но с разными спиральностями или ^-проекциями спина, есть вопрос соглашения, поскольку мы с самого начала могли бы записать импульсы всех фотонов со спиральностью +1, затем импульсы всех фотонов со спиральностью — 1, затем импульсы всех электронов с проекцией спина +1/2 и т.д. Однако чтобы было проще пользо- пользоваться вращательной симметрией, мы условимся, что вектор состояния сим- симметричен относительно перестановок двух частиц с разной спиральностью или проекцией спина, если эти частицы являются тождественными бозона- бозонами, и антисимметричен — если тождественными фермионами.
198 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости Например, в первом слагаемом в D.1.6) ?? — тождественная пере- перестановка {&1 = 1, &2 = 2), в то время как во втором слагаемом ?? задается формулами ^1 = 2, ^2 = 1. Кроме того, множитель 5^> равен —1, если оператор ?Р содержит нечетное число перестановок фермионов, и +1 — во всех остальных случаях. Легко видеть, что выражение D.1.7) обладает желаемыми симметрийными и антисим- метрийными свойствами при перестановках qi и q'-. § 4.2. Операторы рождения и уничтожения Операторы рождения и уничтожения задаются своим действием на нормированные многочастичные состояния, рассмотренные в преды- предыдущем параграфе. Оператор рождения af(q) (или, расписывая аргу- аргумент в скобках, а"^(р, сг, п)) есть, по определению, оператор, рождаю- рождающий частицу с набором квантовых чисел q, причем соответствующий индекс ставится перед всеми остальными: В частности, TV-частичное состояние можно получить из вакуумного состояния с помощью N операторов рождения: a\qi)a\q2) ... a\qN)$Q = $qi...qN- D.2.2) Оператор рождения принято обозначать символом aJ(q). Оператор же, сопряженный ему (обозначаемый a(q)), можно тогда вычислить, используя соотношение D.1.7). Как мы сейчас покажем, оператор a(q) уничтожает одну частицу, входящую в состояние, на которое он дей- действует. По этой причине a(q) называется оператором уничтожения. В частности, если частицы qq\ ... qn либо все являются бозонами, либо все являются фермионами, справедливо следующее соотношение: N a№qiq2...qN = ^(±Г+1% - qr)*qi...qr.iqr+1...qN, D.2.3) где +1 соответствует бозонам, а —1 — фермионам. (Доказать это мож- можно следующим образом. Мы хотим вычислить скалярное произведение состояния a(q)$qi q2...qN и произвольного вектора Ф^...^м- Исполь- Используя D.2.1), получим Теперь воспользуемся равенством D.1.7). Суммирование по всем пере- перестановкам ?Р чисел 1, 2,..., N можно свести к суммированию по цело- целому числу г, переводимому перестановкой ?? в единицу (т.е. &г = 1), и по отражениям ?? оставшихся чисел l,...,r — l,r + l,...,7VB 1,... ..., N — 1. Справедливо равенство
§4-2- Операторы рождения и уничтожения 199 где верхний знак соответствует бозонам, а нижний — фермионам. Сле- Следовательно, используя D.1.7) дважды, получим ...длг) =6NiM+i х N М х J2 ^(±)'-1%5(g - qr) Д 8{q[ - qm) = r=l 1р г=1 TV r=l Левая и правая части D.2.3) имеют одинаковые матричные элементы со всеми состояниями Ф^...д^ и, следовательно, равны. Наше утвер- утверждение доказано.) Следует отметить, что оператор a(q) уничтожает вакуум (как для бозонов, так и для фермионов): а(д)Ф0 = 0. D.2.4) Определенные выше операторы рождения и уничтожения удовлет- удовлетворяют важным коммутационным и антикоммутационным соотноше- соотношениям. Применяя оператор a(qf) к D.2.1) и используя D.2.3), получим a(q')a)(q)<5>qi...qN = S(q' - q)$qi... qN + TV r=l (Знак (±)г+2 во втором члене связан с тем, что qr находится на (г + 1)-ом месте в индексе $qqi...qN-) С другой стороны, применение оператора a\q) к D.2.3) дает N a\q)a(q')$qi...qN = ^A Вычитая (или прибавляя), находим [a(q')a\q) T (J(q)a(q')]<&qi...qN = 5(q' - Это справедливо для любых состояний $qi...qN (и, как легко показать, верно для состояний, содержащих как бозоны, так и фермионы). По- Поэтому выполняется операторное соотношение a(q')aHq) T a^q)a(q') = S(q' - q). D.2.5) Кроме того, из D.2.2) получаем \q')=O, D.2.6) =0. D.2.7) Как всегда, верхний знак соответствует бозонам, нижний — фермио- фермионам. Как мы условились в предыдущем параграфе, операторы рож- рождения и/или уничтожения частиц двух разных типов коммутируют,
200 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости если одна из частиц является бозоном, и антикоммутируют, если обе частицы — фермионы. Приведенные выше рассуждения могли бы быть проведены в об- обратном порядке (во многих книгах именно так и делается). Это озна- означает, что мы могли бы начать с соотношений коммутации D.2.5)— D.2.7), выведенных с помощью процедуры канонического квантования некоторой заданной теории поля. Многочастичные состояния будут определяться тогда формулой D.2.2), а их скалярные произведе- произведения D.1.7) получаются из коммутационных соотношений. Как мы ви- видели в гл. 1, такая последовательность гораздо больше соответствует путям исторического развития рассматриваемого формализма. Мы не пошли этим путем, поскольку хотим абстрагироваться от всех част- частных особенностей, связанных с существующими теориями поля, и по- понять, почему теории поля таковы, какими мы их знаем. Докажем теперь теорему, сформулированную в начале главы: лю- любой оператор & может быть представлен в виде суммы произведений операторов рождения и уничтожения: оо оо б = ^2 ^2 dq[ ... dq'N dq! ... dQM х 7V=0 M=0 х a\q[) ...a\q'N)a(qM) •••a(q1) x x CNM(q[ • • • q'Nqi • • • Чм)- D.2.8) Таким образом, мы хотим показать, что это выражение может иметь любые наперед заданные матричные элементы при соответствующем выборе коэффициентов Cmn- Мы проведем это доказательство мето- методом математической индукции. Во-первых, выбором Соо мы можем добиться любого желаемого значения произведения (Фо,^Фо), неза- независимо от значений коэффициентов Cnm с N > 0 и/или М > 0. Ис- Используя D.2.4) убеждаемся, что Теперь предположим, что это верно для всех матричных элементов оператора & между N- и М-частичными состояниями, где N < L, М ^ К или N ^ L, М < К. Т.е. матричные элементы будут иметь любые желаемые значения при соответствующем выборе коэффи- коэффициентов Cnm- Чтобы увидеть, что из этого следует такое же утвер- утверждение для L- и i^-частичных состояний, используем D.2.8) для вы- вычисления [ь...дк) = L\K\ CLK(q[ • • • q'Lqi ..-№) + + члены, включающие Cnm с N < L, М ^ К или N ^ L, М < К. Какими бы ни были Cnm с N < L, М ^ К или N ^ L, М < К, оче- очевидно, что существует значение Ськ, такое что этот матричный эле- элемент будет иметь желаемое значение.
§4-2- Операторы рождения и уничтожения 201 Нет необходимости представлять операторы в форме D.2.8), т.е. ставить операторы рождения слева от операторов уничтожения. (Такую запись часто называют "нормальным" порядком операторов.) В случае, если этот порядок не имеет места, мы всегда можем пере- перетащить операторы рождения влево, воспользовавшись коммутацион- коммутационными соотношениями. При этом из-за наличия в выражении D.2.5) дельта-функции возникают новые слагаемые. Рассмотрим, например, произвольный аддитивный оператор F (импульс, заряд и т.п.), для которого справедливо выражение F*qi...qN = (/Ы + • • • + f(QN))Qqi...qN. D.2.9) Такой оператор можно переписать в форме D.2.8) используя только член с N = М = 1: « F = J dqa\q)a(q)f(q). D.2.10) В частности, гамильтониан свободной частицы имеет вид H0 = Jdqai(q)a(q)E(q), D.2.11) где E(q) — энергия частицы: В дальнейшем нам понадобятся законы преобразования операто- операторов рождения и уничтожения при различных операциях симметрии. Рассмотрим сначала неоднородные собственные ортохронные преоб- преобразования Лоренца. Напомним, что TV-частичное состояние преобра- преобразуется следующим образом: _ -i(APl).a-i(AP2).a Здесь рл — пространственная часть 4-вектора Лр, символом Dj/a обо- обозначено спинорное представление трехмерной группы вращений, ис- использованное нами в § 2.5, a W(A,p) — само вращение, W(A,p) = L-1(Ap)AL(p). Здесь L(p) — обычный "буст", сообщающий покоившейся частице 4-им- пульс р^. (Конечно, величины т и j зависят от типа частицы п. Ска- Сказанное справедливо в случае т ф 0. Случай же безмассовых частиц мы рассмотрим в следующей главе.) Теперь эти состояния могут быть записаны в виде, аналогичном D.2.1):
202 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости где Фо — лоренц-инвариантное вакуумное состояние ио(А,а)Фо = Фо- Для того чтобы состояние D.2.2) преобразовывалось нужным обра- образом, необходимо и достаточно, чтобы операторы рождения удовле- удовлетворяли следующему правилу: ). D.2.12) Аналогично, операторы С, Р и Т, осуществляющие зарядовое сопря- сопряжение, пространственную инверсию и инверсию времени для свобод- свободных частиц1), преобразуют оператор рождения следующим образом:  = tn(J(p<mc), D.2.13) Pat (pan)?'1 = 7ynaf(-pcrn), D.2.14) Tat (pan)!-1 = tn(-l)j~a<J(-p - an). D.2.15) Как отмечалось в предыдущем параграфе, хотя мы и работаем с операторами рождения и уничтожения свободных частиц, изложен- изложенный выше формализм может быть применен к "in" и "out" состояниям. В последнем случае мы можем ввести операторы а-ш и aout, определяя их через действие на рассматриваемые состояния. Они удовлетворяют соотношениям D.2.12), однако в этом случае оператор С/о (Л, а), осу- осуществляющий преобразование Лоренца для свободной частицы, заме- заменяется на оператор U(А, а). § 4.3. Кластерная разложимость и связные амплитуды Отсутствие корреляции между результатами двух экспериментов, разнесенных в пространстве на достаточно большое расстояние, яв- является одним из фундаментальных принципов физики, как, впрочем, и любой другой науки. Вероятности столкновений различных частиц, измеренные в "Fermilab", не могут зависеть от того, какие экспери- эксперименты проводятся в то же самое время в ЦЕРН. Если бы этот прин- г) Мы опустили индекс " у этих операторов, поскольку практически во всех случаях, когда сохраняются С, Р и/или Т, операторы, порождающие эти преобразования, для "in" и "out" состояний совпадают с операторами для свободных частиц. Однако в случае непрерывных преобразований Ло- Лоренца это несправедливо, и тогда необходимо различать операторы Uq (Л, а) и [/(Л, а).
§4-3. Кластерная разложимость и связные амплитуды 203 цип нарушался, мы не смогли бы сделать никаких предсказаний о ре- результатах эксперимента, не зная в деталях состояния всей Вселенной. Важным следствием принципа кластерной разложимости являет- является факторизация 5-матриц: если многочастичные процессы а± —У /?i, «2 —> Р2 •> • • • ? olj/ —у f3j/ изучаются в JV очень удаленных друг от друга лабораториях, то 5-матричный элемент всего процесса имеет следующий вид1): S/3i+/32 + ...+/3^,a1+a2 + ...+a^ ~* Зрюц $/32а2 • • • ^/З^а^ • D.3.1) Эта формула справедлива, если для любого г ф j расстояние, разде- разделяющее все частицы в состояниях а^ и ft и все частицы в состояниях olj и /?j, очень велико. Такая факторизация 5-матрицы гарантирует факторизацию вероятностей соответствующих переходов, а это и есть условие независимости процессов, разделенных достаточно большими расстояниями. Существует некий комбинаторный трюк, при помощи которого мы можем переписать D.3.1) в более удобной форме. Дадим следующее определение связной части 5-матрицы, Spa2): SPa= Yl (±)^iai5^2a2... D.3.2) способы разбиения Суммирование здесь ведется по всевозможным способам разбиения совокупности частиц, образующих состояние а, на кластеры ai, ot2, ..., и совокупности частиц, образующих состояние /? на кластеры ft, /?2? ... При этом разбиения, различающиеся перестановкой частиц х) Мы вернулись к обозначениям гл. 3: группа частиц заданного ти- типа с заданными импульсом и спином обозначается греческими буквами а или /3, а чтобы отличить различные состояния друг от друга, используются числовые индексы. Сумма а\ + «2 + • • • + olj/ представляет собой состоя- состояние, составленное из всех частиц в состояниях а.\,а.2, ... ,olj/. Тот же смысл имеет и сумма /3i + /З2 + • • • + /З^у. 2) Это разложение было использовано в классической (Урселл, Майер и др.) и квантовой (Ли, Янг и др. [3]) статистической механике. Голдсто- ун [4] и Хугенхольтц [5] использовали рассматриваемый метод для вычис- вычисления энергий основных состояний различных многочастичных систем. Во всех этих приложениях связные части функций Грина, статсумм, резоль- резольвент и т.д. выделялись для того, чтобы в дальнейшем можно было рабо- работать с объектами, имеющими простую зависимость от объема. Здесь мы преследуем ту же цель. Как мы увидим ниже, связная часть ^-матрицы пропорциональна дельта-функции импульса (которая в ящике переходит в дельта-символ Кронекера), умноженной на объем. Метод, аналогичный разложению на кластеры, используется в теории шума [6]. В последней кор- корреляционная функция нескольких случайных величин раскладывается на "кумулянты" (если случайная величина является функцией большого чис- числа N независимых флуктуации, то каждый кумулянт пропорционален N).
204 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости внутри кластеров или кластеров между собой, входят в сумму один раз. Выбор знака "+" или "—" зависит от четности числа парных пере- перестановок фермионов, сделанных для приведения а, /3 к нужному виду (а —У a\Oi2 ... и /3 —У /?i/?2 .. .)• Термин "связный" используется потому, что в рамках диаграммной техники, рассматриваемой нами в следую- следующем параграфе, матрице S^a соответствуют "связные" диаграммы. Данное определение Spa рекурсивно. Для любого а и C правая часть D.3.2) есть член S^a плюс сумма ?' всевозможных произве- произведений двух и более 5е-матричных элементов, причем полное число частиц в каждом из состояний ctj и /?j должно быть меньше числа частиц в состояниях а и C: способы разбиения Предположим, что элементы матрицы Sc в этой сумме выбираются таким образом, что равенство D.3.2) оказывается справедливым для состояний /3 и а, полное число частиц в которых меньше, чем, ска- скажем, N. В этом случае конкретные значения 5-матричных элементов в сумме ?' не важны, и мы всегда можем подобрать член S^a так, чтобы соотношение D.3.2) выполнялось для всех состояний а, /3, пол- полное число частиц в которых равно N3). Таким образом, равенство D.3.2) само по себе не несет никакой полезной информации, а просто является определением матрицы 5е. Если состояния а и /3 содержат по одной частице с квантовыми числами q и q' соответственно, то правая часть равенства D.3.2) будет содержать только слагаемое Spa. Таким образом, для одночастичных состояний г S^g = Sqlq = S(q'-q). D.3.3) (Если забыть о возможности вырождения, пропорциональность мат- матрицы Sqiq дельта-функции S(qf — q) следует из законов сохранения. Отсутствие коэффициента пропорциональности в формуле D.3.3) связано со специальным выбором относительной фазы "in" и "out" со- состояний.) Здесь мы предполагаем, что одночастичные состояния ста- стабильны, т.е. не имеют места переходы между одночастичными состоя- состояниями и всеми остальными (в том числе и вакуумом). 3) Обсудим техническую сторону вопроса. Приведенные рассуждения справедливы, только если мы пренебрегаем возможностью того, что один или несколько связных матричных элементов в выражении D.3.2) соответ- соответствуют состояниям a.j и /3j, не содержащим частиц вовсе. По этой причине мы должны положить связный вакуумно-вакуумный элемент So,о равным нулю. Вакуумно-вакуумная ^-матрица «So,о в отсутствие изменяющегося во времени внешнего поля есть, по определению, просто единичная матрица go,о = 1. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в т. II, где изучаются вакуумно-вакуумные амплитуды во внешних полях.
§4-3. Кластерная разложимость и связные амплитуды 205 Для переходов между двухчастичными состояниями выражение D.3.2) примет вид - Ы ± %i - ^2)fe D.3.4) (Мы воспользовались формулой D.3.3).) Знак "—" берется, если обе частицы — фермионы, знак "+" — во всех остальных случаях. Оче- Очевидно, что два члена с дельта-функциями совпадают с нормой D.1.6), т.е. Spa = (S — 1)/За- Однако общий случай более сложен. При трех- и четырехчастичных переходах выражение D.3.2) имеет следующий вид: + S(q[ - qi)S^ql3iq2q3 ± все перестановки + ~ ^3) ^ все перестановки D.3.5) все + S(q[ - qi)S(q'2 - q2)S^q^q3qA ± все перестановки + + S(q[ — qi)S(q'2 — ^2)^(^3 "" ^3)^(^4 ~ ^) =Ь все перестановки. D.3.6) (С учетом всех перестановок, выражение D.3.5) содержит 1 + 9 + 6 = = 16 слагаемых, а выражение D.3.6) — 1 + 18 + 16 + 72 + 24 = 131 слагаемых. Слагаемых было бы еще больше, если бы мы не предполо- предположили стабильность одночастичных состояний.) Как уже отмечалось выше, определение матрицы S^a рекурсивно: мы использовали D.3.4) при вычислении Spa для двухчастичных состояний, а затем для полу- получения Spa в случае трехчастичных состояний. Потом мы использова- использовали полученные выражения для вычисления S^a в четырехчастичном случае и т.д. Принцип кластерной разложимости накладывает дополнительное ограничение на связную часть 5-матрицы, а именно матрица S^a должна равняться нулю, если одна или несколько частиц в состоя- состояниях /3 и/или а удалены на очень большое расстояние от остальных частиц4). 4) Понятие "далеко" имеет смысл, только если мы произведем над Sc преобразование Фурье, при котором все 3-импульсы р заменяются на про- пространственные 3-векторы х.
206 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, давайте предположим, что частицы из C и а разбиты на кластеры /?i, fa, и ai, «2, • • •, причем если г ф j, то все частицы из кластера щ + fa расположены далеко от частиц из кластера etj + /3j. Теперь, если мы предположим, что матричный элемент Sp,a, равен нулю, если одна или несколько частиц в /З1 или а' расположены далеко от всех осталь- остальных частиц, то этот матричный элемент равен нулю и в том случае, когда частицы из состояний /?' и/или а' принадлежат разным класте- кластерам. Таким образом, определение D.3.2) приводит к выражению S/За ~> 2^ (±)SPiia11Sp12a12 " ' Х /^ D.3.7) где ^2 есть сумма по всевозможным способам разбиения класте- кластеров /3j и ctj на подкластеры /^д, ^2, ... и <хд, а^2, ... Возвращаясь к равенству D.3.2), мы видим, что это и есть желаемое свойство фак- факторизации D.3.1). Давайте теперь рассмотрим в качестве примера четырехчастич- ную реакцию 1234 ->• 1'2'3'4'. Будем считать, что частицы 1, 2, V, 2' находятся очень далеко от частиц 3, 4, 3;, 4'. Тогда, если матричный элемент S^a равен нулю, когда одна или несколько частиц находятся на большом расстоянии от остальных, то выражение D.3.6) содержит только следующие слагаемые (в более компактных обозначениях): S'l'2/3/4,1234 —> 5'l'2/,12^3/4/,34 + + (<$1'1<$2'2 ± ^1'2^2'1M'з/4'34 + (^3'3^4'4 ± ^3/4^4/з)'5^2/12 + Сравнивая полученное выражение с D.3.4), мы видим, что это и есть требуемое условие факторизации D.3.1) S'l'2/3/4,1234 —У Sfl/2/,12*Sf3/4/,34- Выше мы сформулировали принцип кластерной разложимости в координатном пространстве: матричный элемент S^a стремится к нулю, если какие-либо частицы в состояниях /3 или а удалены от остальных. Однако более удобно переформулировать это утверждение в импульсном представлении. Матричные элементы в координатном представлении определяются через преобразование Фурье: (Мы временно опускаем индексы, обозначающие спин и тип частиц, поскольку они не затрагиваются фурье-преобразованием.) Если бы
§4-3. Кластерная разложимость и связные амплитуды 207 поведение \SC, , | было достаточно хорошим (иными словами, если бы этот матричный элемент был интегрируем по Лебегу), то к интегралу D.3.8) была бы применима теорема Римана-Лебега [7], из которой следовало бы, что интеграл D.3.8) стремится к нулю на бесконечности. Однако в нашем случае это слишком строгое требова- требование. В силу трансляционной инвариантности связная часть 5-мат- рицы (как и сама 5-матрица) может зависеть только от разности координат и поэтому не меняется при одновременном изменении всех Xi и xfp если только их разность остается постоянной. Отсюда следует, что в импульсном представлении элементы матриц 5е и S должны быть пропорциональны трехмерным дельта-функциям, выражающим закон сохранения импульса, а также дельта-функции, соответствую- соответствующей закону сохранения энергии. Это и делает функцию \S^f , pip2 | неинтегрируемой по Лебегу. Таким образом, мы можем написать Sp'lP'2...,PlP2... = S3(P[ + Р2 + • • • - Pi - Р2 - • • О X х S(E[ +E'2 + ...-E1-E2-.. .)Cpipl...,plP2.... D.3.9) Данное выражение ничему не противоречит: принцип кластерной разложимости требует только, чтобы выражение D.3.8) стремилось к нулю, если разности между какими-либо х^ и/или х^ становят- становятся большими. Принцип нарушался бы, если матрица С сама содер- содержала бы дополнительные дельта-функции от линейных комбинаций 3-импульсов. Предположим, например, что в С содержится дельта- функция, требующая обращения в нуль суммы импульсов р[ и — pj для какой-либо подгруппы частиц. Тогда выражение D.3.8) не изме- изменится, если рассматриваемая подгруппа частиц без изменения рас- расстояния между частицами подгруппы будет как целое удалена на бесконечно большое расстояние от всех остальных частиц. А это противоречит принципу кластерной разложимости. Иными словами, принцип кластерной разложимости утверждает, что связная часть S-матрицы, в отличие от самой S-матрицы, содержит только дельта-функцию, выражающую закон сохранения 4-импульса. Чтобы быть более точными, мы можем потребовать, чтобы функ- функция Cp'iP'2_PlP2_ в выражении D.3.9) была гладкой функцией им- импульсов. Но как определить понятие "гладкая функция"? Проще всего было бы постулировать, что функция Cp'iP'2_PlP2_ в точке Pi = Р2 = = Pi = Р2 = = 0 есть аналитическая функция всех импульсов. Действительно, это условие гарантировало бы экспоненциально быстрое убывание мат- матричного элемента 5е, , при удалении какого-либо из х или х' х Х-| Х^ ««.5 Х]^Х2 ••. от всех остальных. Однако экспоненциальное убывание Sc — не са- самая важная часть принципа кластерной разложимости и, фактиче-
208 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости ски, условие аналитичности выполняется не во всех теориях. Наибо- Наиболее важно то, что в теориях, содержащих безмассовые частицы, мат- матрица Sc может иметь полюсы при определенных значениях рир'. Например, как мы увидим в гл. 10, если безмассовая частица может испускаться в процессе 1 —у 3 и поглощаться в процессе 2 —у 4, то мат- матричный элемент S34 12 содержит слагаемое, пропорциональное После фурье-преобразования, эти полюсы приведут к появлению в SC/ / членов, убывающих как отрицательная степень разно- .Л. -I J\.r^ • • • у .Л. ]_ .Л. 2 • • • сти координат [1]. Нет особой необходимости формулировать принцип кластерной разложимости с такой строгостью, чтобы исключить по- подобные случаи. Т.е. условие "гладкости" функции Sc следует пони- понимать следующим образом: возможно появление полюсов и разрезов при некоторых значениях р и р', но таких жестких особенностей, как дельта-функция, быть не должно. § 4.4. Структура взаимодействия Зададимся теперь следующим вопросом: каким гамильтонианам соответствуют 5-матрицы, удовлетворяющие принципу кластерной разложимости? Вот здесь нам и пригодится формализм операторов рождения и уничтожения. Ответом на поставленный вопрос является следующая теорема: 5-матрица удовлетворяет принципу кластерной разложимости тогда (и, насколько мне известно, только тогда), когда гамильтониан может быть представлен в виде D.2.8): dq[... dq'N dqx ... dqM оо оо Н = ^ ^2 7V=0 M=0 x a]{q'1)...o){q'N)a{qM)---a{q1) x x hNM(q[ ...q'N,qi... дм). D.4.1) Функция Iinm содержит только одну дельта-функцию, выражающую закон сохранения трехмерного импульса: = 53(р[ + ... + p^v - pi - ... - рм) х х lriNM(vWin'i • • • Pn^'n^n^ Pi^i^i • • • Рмегмпм), D.4.2) где fiNM не содержит дельта-функций вовсе. Следует отметить, что уравнение D.4.1) само по себе не имеет смысла — как мы видели в §4.2, любой оператор может быть представлен в такой форме. Толь- Только равенство D.4.1) совместно с условием D.4.2), содержащим одну
§4-4- Структура взаимодействия 209 дельта-функцию, гарантируют выполнение принципа кластерной раз- разложимости. Справедливость этой теоремы в случае теории возмущений станет очевидной, когда мы разовьем формализм фейнмановских диаграмм в гл. 6. Доверчивый читатель может пропустить остаток этой главы и перейти к следующей, в которой будут рассмотрены приложения дан- данной теоремы. Тем не менее доказательство содержит ряд поучитель- поучительных моментов и помогает понять, почему формализм теории поля, рассматриваемый в дальнейшем, оказывается незаменимым инстру- инструментом при описании Природы. Для доказательства теоремы мы воспользуемся нестационарной теорией возмущений. (Одно из преимуществ такого подхода состоит в том, что комбинаторика, лежащая в основе принципа кластерной разложимости, становится более прозрачной. Если Е есть сумма энер- энергий отдельных частиц, то тогда временной множитель е~гШ волновой функции всей системы равен произведению временных множителей волновых функций соответствующих частиц, в то время как множи- множитель (Е — Еа + ie)~1 получить таким образом нельзя.) 5-матрица да- дается выражением C.5.10I): ^Г / ... V(*„)}*«), D.4.3) здесь гамильтониан представлен в виде суммы гамильтониана свобод- свободных частиц Hq и члена У, описывающего взаимодействие: V(t) = exp(iHot)V exp(-iHot). D.4.4) Состояния Фа и Ф^ можно представить в виде произведения опера- операторов рождения, действующих на вакуум Фо (см. формулу D.2.2)). Взаимодействие же V(t) само является суммой произведений опера- операторов рождения и уничтожения, так что каждое слагаемое в D.3.3) может быть переписано в виде суммы вакуумных средних произведе- произведений операторов рождения и уничтожения. Используя коммутацион- коммутационные (или антикоммутационные) соотношения D.2.5), мы можем пере- перетащить все операторы уничтожения вправо от операторов рождения. Каждая перестановка операторов рождения и уничтожения приводит к появлению двух членов a(q'W(q)=±a\q)a(q')+6(q'-q). Последовательно переставляя операторы уничтожения, будем полу- получать все новые и новые члены. Но из равенства D.2.4) следует, что ) Мы здесь приняли соглашение о том, что при п = 0 временно- упорядоченное произведение в D.4.3) является единичным оператором. По- Поэтому слагаемое, соответствующее п = 0, приводит к появлению дельта- функции S(/3 — а) в выражении для Spa- 14 С.Вайнберг. Т. 1
210 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости любой оператор уничтожения, перемещенный в крайнее правое поло- положение и действующий на Фо, дает нуль. В конце концов, из всей сово- совокупности слагаемых у нас останутся только дельта-функции. Таким образом, вакуумное среднее от произведения операторов рождения и уничтожения дается суммой, каждый член которой есть произве- произведение дельта-функций со знаком плюс или минус. Отсюда следует, что подынтегральное выражение в D.4.3), независимо от того, какой вид имеет взаимодействие V(t), может быть представлено в виде сум- суммы произведений дельта-функций, проинтегрированной и просумми- просуммированной по импульсам, спинам и сортам частиц в аргументах дельта- функций. Каждому члену, полученному таким образом, может быть по- поставлена в соответствие некоторая диаграмма. (Однако это еще не фейнмановский формализм, потому что пока мы не собираемся уста- устанавливать соответствие между графическими элементами диаграмм и числовыми величинами. Здесь мы используем диаграммы толь- только для того, чтобы проследить за трехмерными дельта-функциями импульсов.) Нарисуем п точек (каждому оператору V(t) соответст- соответствует одна точка), которые будем называть вершинами. Для каждой дельта-функции, возникшей из-за перестановки оператора уничтоже- уничтожения, входившего в V(t), с оператором рождения, входившим в на- начальное состояние Фа, нарисуем линию, идущую снизу и заканчиваю- заканчивающуюся на соответствующей вершине. Для каждой дельта-функции, возникшей из-за перестановки оператора уничтожения, входившего в сопряженное конечное состояние Ф/з, с оператором рождения, вхо- входившим в V(t), нарисуем линию, идущую от соответствующей вер- вершины вверх. Для каждой дельта-функции, возникшей из-за переста- перестановки операторов рождения и уничтожения, входивших в операторы взаимодействия V(t), нарисуем линию между соответствующими вер- вершинами. Окончательно, для каждой дельта-функции, возникшей из- за перестановки операторов рождения и уничтожения, входивших в начальное и конечное состояния, нарисуем линию, идущую снизу вверх через диаграмму. Каждая дельта-функция, соответствующая одной из этих линий, требует равенства импульсов пары операто- операторов рождения и уничтожения, представленных линией на диаграмме. Кроме этого, каждая вершина вносит дополнительно, как минимум, по одной дельта-функции, которая гарантирует сохранение импульса в вершине. Такая диаграмма может быть связной (каждая точка связана с остальными набором линий) или несвязной. В последнем случае она разбивается на несколько связных частей. Операторы V(t), верши- вершины которых принадлежат различным связным кускам, эффективно коммутируют, поскольку отсутствуют члены, соответствующие рож- рождению и уничтожению частицы операторами из разных связных ча- частей диаграммы. Если же операторы V(t) не коммутируют, то обе
§4-4- Структура взаимодействия 211 вершины принадлежат одному и тому же связному куску. Таким обра- образом, матричный элемент D.4.3) может быть представлен в виде суммы произведений вкладов всех связных частей диаграммы: (*fi,T{V(t1)...V(tn)}*aj) = )с. D-4.5) Ц кластеризации J = l Здесь суммирование ведется по всем способам разбиения набора опе- операторов V(t) и совокупности входящих и выходящих частиц на v кластеров (включая сумму по v от 1 до п). При этом rij операторов V(tji).. -V(tjnj), а также наборы частиц etj и /3j принадлежат j-му кластеру. Конечно, отсюда следует, что п = п\ + ... + nv. Символом а обозначим совокупность всех частиц из подмножеств а±, «2, ..., av, и аналогично для конечного состояния. Некоторые из кла- кластеров в выражении D.4.5) могут не содержать вершин, т.е. rij =0. Для таких множителей мы должны положить соответствующий мат- матричный элемент D.4.5) равным нулю, если только /3j и otj не являются оба одночастичными состояниями (в последнем случае он оказывается просто дельта-функцией S(/3j — ctj)), поскольку единственными связ- связными диаграммами, не содержащими вершин, являются линии, иду- идущие через всю диаграмму снизу вверх. Индекс С в формуле D.4.5) означает, что мы должны пренебречь вкладом всех несвязных диа- диаграмм, т.е. таких диаграмм, в которых какой-либо оператор V(t) или какая-либо начальная или конечная частица не связаны со всеми остальными последовательностью рождений и уничтожений. Подставим теперь соотношение D.4.5) в выражение D.4.3). По каждой временной переменной ведется интегрирование от — оо до +оо. Поэтому неважно, каким образом времена ti,...,tn рассортирова- рассортированы по кластерам. В результате сумма по кластерам дает множи- множитель n!/ni!n2!.. .nj, равный числу всевозможных разбиений п вер- вершин на v кластеров, содержащих ni, П2, ... вершин соответственно: dh... dtn (Ф?,T{v(h)... У(гп)}Фа) = -оо у оо У (±) У ——^ г И / dth - - - dtjn3 способы разбиения n\...nv j—\ _ n\-\-...-\-nv=n Здесь первое суммирование ведется по всевозможным способам раз- разбиения частиц в начальных и конечных состояниях на кластеры 14*
212 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости ct\ .. .av и fii ... /Зи (в том числе ведется и суммирование по числу кластеров v). Множитель п! сокращается с 1/п! из D.4.3), а мно- множитель (—г)п в D.4.5) может быть записан в виде произведения (—i)ni ... (—i)nu. В результате вместо суммирования по п и последу- последующего суммирования по ni,.. .nv, ограниченного условием ni + ... ... + nv — п, мы можем независимо просуммировать по каждому ni,...,nv. Это в конечном итоге дает v оо sPa = J2 (±) П Е ^ способы разбиения j = l rij=O Сравнивая это выражение с определением D.3.2), мы видим, что связ- связные матричные элементы Spa даются формулой V{th)...V{tjni)}§ai)c. D.4.6) (Индекс j опущен у всех tun, поскольку они в данном выражении всего лишь переменные, по которым производится суммирование.) Мы видим, что матричный элемент Spa вычисляется по очень про- простому правилу: Spa есть сумма всех связных вкладов в S-матрицу, в том смысле, что мы отбрасываем все члены, в которых содер- содержатся либо операторы V(t), либо начальные или конечные частицы, несвязные со всеми остальными последовательностью рождений и уничтожений. Данная формулировка оправдывает использованный нами термин "связный" для Spa. Как мы уже видели, импульс сохраняется в каждой вершине и вдоль каждой линии, т.е. он сохраняется и в каждой связной части 5-матрицы: Spa содержит множитель ?3(р/з — Ра)- Однако мы хотим доказать, что S^a не содержат других дельта-функций. Давайте предположим, что функция Hnm b гамильтониане D.4.1), записанного через оператор рождения и уничтожения, пропорцио- пропорциональна трехмерной дельта-функции, которая обеспечивает сохране- сохранение импульса. Это предположение автоматически выполняется для гамильтониана свободной частицы Hq и взаимодействия V(t). Возвра- Возвращаясь к графической интерпретации матричных элементов, мы ви- видим, что каждая вершина вносит одну трехмерную дельта-функцию. (Другие дельта-функции в матричном элементе V7s сохраняют им- импульс частиц, которые не создаются и не уничтожаются в этой вер- вершине.) Большинство из этих дельта-функций фиксирует импульсы промежуточных частиц, а импульсы, циркулирующие по петлям внут- внутри диаграммы, — нет. (Любая линия, которая будучи разрезанной де- делает диаграмму несвязной, несет фиксированный импульс, так как он
§4-4- Структура взаимодействия 213 является некой линейной комбинацией импульсов, входящих и выхо- выходящих из диаграммы. Если диаграмма содержит L линий, которые все могут быть одновременно разрезаны и при этом диаграмма оста- останется связной, то мы будем говорить, что она имеет L независимых петель и, соответственно, L импульсов, не зафиксированных законом сохранения.) При V вершинах, / внутренних линиях и L петлях бу- будет V дельта-функций, из которых I — L фиксируют внутренние им- импульсы, а остальные V — I + L связывают импульсы входящих или выходящих частиц. Однако по известному топологическому тожде- тождеству2) для графа, состоящего из С связных частей, число вершин внутренних линий и петель удовлетворяет соотношению V -I + L = C. D.4.7) Соответственно в связном матричном элементе Spa, который происхо- происходит от графа с С = 1, будет только одна трехмерная дельта-функция ^3(Р/3 — Ра), что и требовалось доказать. Для этих рассуждений не важен факт интегрирования по време- времени от —оо до +оо. Т.е. таким же образом может быть показано, что если коэффициенты Hn,m в выражении для гамильтониана содержат по одной дельта-функции, то U(t,to) можно разложить на связные части, каждая из которых содержит единственную дельта-функцию. С другой стороны, связная часть 5-матрицы, Spa, содержит дельта- функцию энергии, 8 (Ер — Еа), более того в гл. 6 при рассмотрении фейнмановских диаграмм мы увидим, что она единственна, в то же время в U(t,to) такая дельта-функция не входит. Требование, чтобы Hnm из D.4.1) содержала только одну трехмер- трехмерную дельта-функцию импульса, очень нетривиально и имеет далеко идущие последствия. Например, предположим, что V имеет ненуле- ненулевой матричный элемент перехода между двухчастичными состояния- состояниями. Тогда выражение D.4.1) должно содержать член с N = М = 2 и коэффициент fit \ т/ (л л ^^ ^22(PiP2PlP2) = Vi D.4.8) (Мы здесь временно опустили индексы спина и типа частиц.) Но тогда матричный элемент трехчастичного взаимодействия будет иметь вид - Рз) ± перестановки. D.4.9) ) Граф, состоящий из единственной вершины, имеет V = 1, L = 0 и G = 1. Если мы добавим V — 1 вершин и наименьшее необходимое для связ- связности графа число внутренних линий, то мы получим I = V — 1, L = 0 и G = 1. Любые дополнительные внутренние линии, добавленные (без добав- добавления новых вершин) к этому связному графу, создадут такое же количе- количество петель, т.е. I = V -\- L — 1 иС = 1. Если несвязный граф состоит из С таких связных частей, тогда, просуммировав /, V и L по связным частям, мы получим соотношение ^ / = ^ У + ^ L — С.
214 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости Как уже было отмечено в начале этой главы, мы могли бы по- попробовать построить релятивистскую квантовую теорию, которая не являлась бы теорией поля. Для этого выбором г>2,2 мы были бы долж- должны гарантировать лоренц-инвариантность двухчастичной 5-матрицы, а оставшуюся часть гамильтониана подобрать таким образом, чтобы не было рассеяния в состояниях, содержащих три и более частиц, т.е. нам надо было бы выбрать v% з •> сокращающим все остальные члены в D.4.9): ^3,3(pip2P3>PiP2P3) = -^2,2(piP2,PiP2)^3(p3 - Рз) Т перестановки. D.4.10) Однако это означало бы, что каждый член содержит две дельта- функции (вспомним, что в ^2,2(PiP2jPiP2) входит множитель 53(р[ + + Р2 ~~ Pi ~~ Р2))? чт0 нарушило бы принцип кластерной разложимо- разложимости. Таким образом, в теории, удовлетворяющей принципу кластер- кластерной разложимости, существование двухчастичных процессов рассея- рассеяния неизбежно влечет за собой наличие рассеяний с участием трех и более частиц. Член г?з,з в формуле D.4.9) не создает особых сложностей при поисках решения трехчастичной задачи в квантовых теориях, удо- удовлетворяющих принципу кластерной разложимости. Однако допол- дополнительные дельта-функции в других членах осложняют процесс ре- решения уравнения Липмана-Швингера. Дело в том, что из-за наличия этих дельта-функций ядро (Еа — Ер + ie)~1Vpa уравнения перестает быть квадратично интегрируемым, даже если мы исключим дельта- функцию, сохраняющую общий импульс, вынеся ее за скобки, как общий множитель. Вследствие этого данное ядро не может быть ап- аппроксимировано конечной матрицей, даже очень большого ранга. Для того чтобы решить задачи с тремя и более частицами, необходимо за- заменить уравнение Липмана-Швингера на уравнение, имеющее связ- связную правую часть. Такие уравнения были разработаны для рассеяния трех и более частиц [8, 9], и могут быть решены в нерелятивистском случае. Однако они оказываются бесполезными в релятивистских тео- теориях и не будут рассматриваться здесь подробно. Однако переписывание уравнения Липмана-Швингера в таком ви- виде все же имеет некий смысл. Все наши рассуждения в этом пара- параграфе основывались на теории возмущений, и я не знаю ни одного непертурбативного доказательства основной теоремы этого парагра- параграфа. Однако можно показать [9], что переписанные непертурбатив- ные динамические уравнения согласуются с тем требованием, что ?/с(?, to) (а поэтому и Sc) должны содержать только дельта-функцию, отвечающую закону сохранения импульса, как того требует принцип кластерной разложимости. Конечно это справедливо, только если га-
Задачи 215 мильтониан удовлетворяет условию, что каждая функция hjy,M со- содержит одну сохраняющую импульс дельта-функцию. Задачи 1. Введем определение производящих функций для 5-матрицы и ее связной части: N=1 M=l х Sq>i...q>Niqi...qM dq[... dq'N dqx ... oo oo E E N=1 M=l ^ v*(q[)...v*(q'N)v(qi)...v(qM)x ... dqM. Выведите формулу, связывающую F[v] и Fc[v] (при этом можете огра- ограничиться чисто бозонным случаем). 2. Рассмотрим взаимодействие V = g J б?3р1 б?3р2 б?3р3 d3p4 S3 (pi + р2 - рз - р4) х х at(pi)at(p2)a(p3)a(p4), где g — вещественная постоянная, а а(р) — оператор уничтожения безспинового бозона с массой М > 0. Используя теорию возмущений, вычислите в первом порядке по g 5-матричный элемент, отвечающий рассеянию этих частиц в системе центра масс. Каково соответствую- соответствующее сечение рассеяния? 3. Когерентным будем называть состояние Фа, являющееся соб- собственным для оператора уничтожения a(q) (с собственным значением, равным X(q)). Представьте Фа в виде суперпозиции многочастичных СОСТОЯНИЙ $qiq2...qN. Литература 1. Принцип кластерной разложимости был впервые четко сформу- сформулирован, по-видимому, в работе Wichmann E.H., Crichton J.H. // Phys. Rev. 132, 2788 A963). 2. См., например, Bakamijian В., Thomas L.H. // Phys. Rev. 92, 1300 A953). 3. Для ссылок см. Lee T.D., Yang C.N. // Phys. Rev. 113, 1165 A959).
216 Гл. 4- Принцип кластерной разложимости 4. Goldstone J. // Proc. Roy. Soc. L. A239, 267 A957). 5. Hugenholtz N.M. // Physica 23,481 A957). 6. См., например, Kubo R. // J. Math. Phys. 4, 174 A963). 7. Titchmarsh E.C. Introduction to the Theory of Fourier Integrals. Oxford University Press, Oxford, 1937. Section 1.8. 8. Faddeev L.D. // Zh. Exper. i Teor. Fiz. 39, 1459 A961) (перевод с русского языка статьи в Soviet Phys. JETP. 12, 1014 A961)); Dokl. Akad. Nauk. SSSR. 138, 565 A961) и 145, 30 A962) (переводы с русского языка в Soviet Physics. Doklady. 6, 384 A961) и 7, 600 A963)). 9. Weinberg S. // Phys. Rev. 133, B232 A964).
Глава 5 КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ И АНТИЧАСТИЦЫ Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы ввести поня- понятие квантового поля [1]. В процессе построения квантовых полей мы встретимся с некоторыми из самых замечательных и универсальных следствий объединения квантовой механики с теорией относительно- относительности — связью между спином и статистикой, существованием антича- античастиц и наличием различных соотношений между характеристиками частиц и античастиц, включая известную СРТ-теорему. §5.1. Свободные поля В гл. 3 мы показали, что 5-матрица будет лоренц-инвариантной, если взаимодействие можно представить в виде V(t) = f d3xJ?(x,t), E.1.1) где Ж является лоренцевым скаляром, Е/0(А, а)Ж(х)и^ (Л, а) = Ж(Ах + а), E.1.2) и, кроме того, удовлетворяет соотношению ), Ж(х')] = 0 при (х - ж'J ^ 0. E.1.3) Далее мы увидим, что возможны и более общие конструкции, но все они не слишком сильно отличаются от приведенной. (Пока что мы оставляем открытым вопрос о том, ограничены ли преобразования Л собственной ортохронной группой Лоренца или допускается также и пространственная инверсия.) Чтобы гарантировать соблюдение прин- принципа кластерной разложимости, мы попытаемся построить Ж[х) из операторов рождения и уничтожения. Но в соответствии с D.2.12) при преобразованиях Лоренца такие операторы умножаются на матрицы, зависящие от приписанного оператору импульса. Сразу же возникает следующая задача: как получить из таких операторов скалярное вы- выражение? Решение состоит в том, чтобы конструировать Jj?(x) из по- полей — уничтожающих полей ф^~{х) и рождающих полей ф^ (х): ^Нх) ^2 d3pui(x; p, сг, п)а(р, сг, га), E.1.4)
218 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы ^Г(ж) ^2 d3pvi(x; р, сг, п)о)(р, сг, га), E.1.5) где коэффициенты1) щ(х;р,а, п) и г;/(ж; р, ст, п) выбираются так, что под действием преобразований Лоренца поля умножаются на незави- независящую от координат матрицу: t/0(A,a)^+(x)t/0-1(A,a) = ^^(A-1)^+(Ax + a), E.1.6) (Л-1)^-(Лх + а), E.1.7) (В принципе, мы могли бы ввести различные матрицы преобразова- преобразований D± для рождающих и уничтожающих полей. Но в дальнейшем мы увидим, что поля всегда можно выбрать так, чтобы эти матри- матрицы были одинаковыми.) Применяя второе преобразование Лоренца, получаем Полагая Ai = (А) и Л2 = (А), видим, что матрицы D дают пред- представление однородной группы Лоренца: D(A1)D(A2) = ?>(AiA2). E.1.8) Существует много таких представлений — например, скалярное D(A) = 1, векторное D(A)% = A^v и семейства тензорных и спинор- ных представлений. Упомянутые представления неприводимы, т.е. не существует способа посредством замены базиса одновременно приве- привести все матрицы представления D(A) к блочно-диагональному ви- виду с числом блоков не меньше двух. Но пока что мы не будем требовать неприводимости рассматриваемого представления: в об- общем случае оно будет даваться блочно-диагональными матрицами с произвольным числом блоков, каждый из которых задает непри- неприводимое представление. Иначе говоря, индекс I будет состоять из ин- индекса, пробегающего типы описываемых частиц и блоки неприводи- неприводимых представлений, и индекса, пробегающего компоненты отдельного неприводимого представления. Впоследствии мы разделим наши поля на неприводимые поля, каждое из которых описывает только части- частицы одного типа (и соответствующие им античастицы) и неприводимо преобразуется под действием группы Лоренца. После того, как мы научимся строить поля, удовлетворяющие пра- правилам преобразования E.1.6) и E.1.7), мы сможем конструировать х) Напоминаем, что индексы суммирования п и а пробегают возмож- возможные типы частиц и значения ^-компонент спина соответственно.
§5.1. Свободные поля 219 плотность гамильтониана взаимодействия вида •W = Е Е Е аг^м-.лм х NMl'1...l'Nh...lM х V;T (x)... ф^ (х)ф+ (х)... ф+м (х). E.1.9) Такая плотность будет скаляром в смысле соотношения E.1.2), если выбрать постоянные коэффициенты gv1...vN,i1...iM лоренц-ковариант- ными, т.е. удовлетворяющими для всех Л соотношению У^ У^ А/Г (Л)...^,, г (Л)^, 7 (Л)... А т (А) х X Oil i/ /, /.. = <77/ 7/ у у . E.1.10) (Отметим, что мы не рассматриваем производные отдельно, посколь- поскольку считаем производные компонент поля просто другими типами компонент поля.) Задача нахождения коэффициентов 5f//1...//JV,/1.../M, удовлетворяющих E.1.10), принципиально не отличается от задачи определения коэффициентов Клебша—Гордана, при помощи которых можно образовывать скалярные относительно вращений комбинации различных представлений трехмерной группы вращений (и на прак- практике не является существенно более трудной). Впоследствии мы нау- научимся объединять рождающие и уничтожающие поля так, чтобы плотности гамильтониана взаимодействия в разделенных простран- ственноподобным интервалом точках коммутировали. Что же следует взять в качестве коэффициентных функций щ(х;р, (т,п) и vi(x; p, а, п)? Из уравнения D.2.12) и сопряженного к нему следуют законы преобразования 2) операторов уничтожения и рожде- рождения Uo(A,b)a(p,a,n)Uo1(A,b) = p^Di^\w-1(A,p))a(pA,a,n), E.1.11) E.1.12) где jn — спин частиц типа п, а рл — 3-векторная часть импульса Ар. (Чтобы привести E.1.11) и E.1.12) к такому виду, мы воспользова- воспользовались унитарностью матриц вращения D^^.) Как мы видели в §2.5, 2) Приведенные ниже формулы справедливы для массивных частиц. Случай частиц нулевой массы будет рассмотрен в § 5.9.
220 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы элемент объема d3p/p° лоренц-инвариантен, так что мы можем заме- заменить cl3p в E.1.4) и E.1.5) на d3(Ар)р°/(АрH. В результате получаем •)'0/+(x)t/o(A,6) = ^ / d3(Ap)ui(x;p,a,n) x х ехр(г(Лр) Т* * ТЛ /Т Т) 1 V Мы видим, что поля будут удовлетворять законам преобразований E.1.6) и E.1.7) если и только если ^2 DfiiA^^-^Ax + Ь] рл, сг, п) = 6; рл, сг, га) = Последние формулы мож:но переписать в несколько более удобном виде как E.1.13) b;pA,a,n)D(-j;}*(W(A,p)) = ^ 6)^(х;р,сг,п). E.1.14) Это фундаментальные соотношения, которые позволят нам выразить коэффициентные функции щ и v\ через конечное число свободных параметров.
§5.1. Свободные поля 221 Мы рассмотрим соотношения E.1.13) и E.1.14) последовательно для трех типов собственных ортохронных преобразований Лоренца — трансляций, бустов и вращений. Трансляции Пусть сначала в уравнениях E.1.13) и E.1.14) Л = 1, а Ъ произ- произвольно. Сразу же получаем, что щ(х;р,а, п) и г;/(ж; р, а, п) должны иметь вид щ(х]р,(т,п) = B7r)~3/2eip^^/(p,cr,n), E.1.15) vi(x;p,a,n) = Bтг)-3/2е-^(р,а,п), E.1.16) так что поля представляют собой фурье-преобразования ф+{х) = ^Bтг)-3/2 fd3pui(p,a,n)eip-xa(p,a,n) E.1.17) 3p^(p,a,n)e-^at(p,a,n). E.1.18) Множители Bтг)~3/2 можно было бы включить в определение щ и vi, но в интегралах Фурье их принято выписывать явно. Из E.1.15) и E.1.16) получаем, что соотношения E.1.13) и E.1.14) выполняются тогда и только тогда, когда для любого однородного преобразования Лоренца Л E.1.20) Бусты Положим теперь в E.1.19) и E.1.20) р = 0. Пусть Л — буст L(q), переводящий частицу массы т из состояния покоя в состояние с 4-им- пульсом qt*'. Тогда L(p) = 1 и W(A,p) = L-1(Ap)AL(p) = L-\q)L{q) = 1. В этом частном случае равенства E.1.19) и E.1.20) сводятся к uj(q,<7,n) = (т/дУ/^О-иШЫО,*,^ E.1.21)
222 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы ,n). E.1.22) i Иначе говоря, если нам известны соответствующие нулевому импуль- импульсу функции щ @, а, п) и г?/@, о, п), то для каждого представления D(A) однородной группы Лоренца мы знаем функции щ(р, а, п) и 17/(р, а, п) при любом р. (Явные выражения для матриц Dji(L(q)) в случае про- произвольного представления группы Лоренца будут приведены в § 5.7.) Вращения Пусть теперь р = 0, а преобразование Лоренца Л таково, что рЛ = 0; иначе говоря, преобразование Л — это вращение R. Очевидно, что в этом случае W(A,p) = R, так что соотношения E.1.19) и E.1.20) принимают вид г,п) E.1.24) или, эквивалентно, ^п) E.1.25) E.1.26) где j(J) и J? — матрицы углового момента в представлениях D и D(R) соответственно. Любое представление D(A) однородной груп- группы Лоренца при ограничении на пространственные вращения R дает представление группы вращений; равенства E.1.25) и E.1.26) озна- означают, что если поле ф^(х) описывает частицу спина j, то полученное таким образом представление D(R) должно содержать в качестве неприводимой компоненты соответствующее спину j представление D^(R) (при этом коэффициенты щ@,а,п) и и/@,сг,п) просто ука- указывают, как это представление D^\R) вложено в D(R)). В §5.6 мы увидим, что любое неприводимое представление однородной груп- группы Лоренца не более чем однократно содержит любое неприводимое представление группы вращений, так что если поля ip~^(x) и ^Г(ж) преобразуются неприводимым образом, то они определены однознач- однозначно с точностью до общего масштабного множителя. Вообще, число свободных параметров для рождающего или уничтожающего поля (включая масштабный множитель) равно числу неприводимых ком- компонент поля.
§5.1. Свободные поля 223 Теперь можно непосредственно показать, что коэффициентные функции щ (р, а, п) и г?/(р, а, п), даваемые формулами E.1.21) и E.1.22), где щ@,(т,п) и г>/(О,сг,п) удовлетворяют соотношениям E.1.23) и E.1.24), автоматически удовлетворяют более общим требованиям E.1.19), E.1.20). Мы оставляем это читателю в качестве упраж- упражнения. Вернемся к принципу кластерной разложимости. После подстанов- подстановки E.1.17) и E.1.19) в формулу E.1.9) для плотности гамильтониана взаимодействия и интегрирования по координате х, запишем гамиль- гамильтониан взаимодействия в виде V = Е / d3Pi • • • d3P'iv d3pi... d3PM x E E E E «t(p'i^n'1)...at(p'iVa^vn'iV)x ), E.1.27) где коэффициентные функции даются выражением pi - .. .)^VM(pi^n/1 ..., pitrim ...) E.1.28) .. .vi>N(p'Na'Nn'N) x ... щм(рмсгмпм)- E.1.29) Такой вид взаимодействия гарантирует выполнение для 5-матри- цы принципа кластерной разложимости: Ynm содержит в качестве множителя единственную дельта-функцию, коэффициент Vnm при которой не имеет более сильных чем точки ветвления сингулярно- стей при нулевом импульсе частиц (по крайней мере, для конечно- конечного числа типов полей). Фактически мы можем обратить это рассуж- рассуждение — любой оператор может быть записан в виде E.1.27), и в соответствии с принципом кластерной разложимости коэффициент Vnm можно представить в виде E.1.28) как произведение един- единственной сохраняющей импульс дельта-функции на гладкую функ- функцию. Любая достаточно гладкая функция (не содержащая дополни- дополнительных дельта-функций) может быть записана в виде, аналогичном
224 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы E.1.29) 3). Таким образом, из принципа кластерной разложимости и лоренц-инвариантности естественным образом следует, что плот- плотность взаимодействия должна быть построена из рождающих и уничтожающих полей. Если бы нашей единственной задачей было построение скалярной плотности взаимодействия, удовлетворяющей принципу кластерной разложимости, то нам подошли бы все многочлены E.1.9) от опера- операторов рождения и уничтожения, ограничения на коэффициенты ко- которых исчерпывались бы условиями инвариантности E.1.10) и подхо- подходящими условиями действительности. Но для лоренц-инвариантности 5-матрицы необходимо, чтобы плотность взаимодействия удовлетво- удовлетворяла коммутационному соотношению E.1.3). Это условие не выполне- выполнено автоматически для любой функции рождающих и уничтожающих полей. Действительно, ip-(x-y) E.1.30) (Выбор знака "=f" указывает на взятие коммутатора или антикомму- антикоммутатора в зависимости от того, являются ли рождаемые и уничтожае- уничтожаемые операторами т/у и т/^~ частицы соответственно бозонами или фер- мионами.) В общем случае эта величина не обращается в нуль даже при пространственноподобном интервале между х и у. Разумется, по- построение плотности взаимодействия только из операторов рождения или только из операторов уничтожения не решает проблемы, посколь- поскольку тогда гамильтониан оказывается неэрмитовым. Единственный вы- выход состоит в том, чтобы объединить рождающие и уничтожающие поля в линейные комбинации т/>/(ж) = ас/т/у (ж) + А/т/^~(ж), E.1.31) и выбрать константы к, и А (и все остальные свободные параметры) так, чтобы при пространственноподобном интервале х — у выполня- выполнялось равенство В последующих параграфах этой главы мы увидим, как сделать это для различных неприводимо преобразующихся полей. (Включение в E.1.31) констант к, и А позволяет нам выбирать нормировку опе- операторов рождения и уничтожения любым удобным способом.) Плот- Плотность гамильтониана взаимодействия Ж[х) будет удовлетворять ком- коммутационному соотношению E.1.3), если она будет построена из полей ) Для произвольных функций индексы / и /', возможно, будут прини- принимать бесконечное число значений. Ограничение областей изменения / и I' конечными интервалами связано с принципом перенормируемости, который будет обсуждаться в гл. 12.
§5.1. Свободные поля 225 E.1.31) и сопряженных к ним, причем число входящих в нее полей, рождающих и уничтожающих фермионы, будет четным. Условие E.1.32) часто называется условием причинности, по- поскольку при пространственноподобном интервале между х и у ника- никакой сигнал не может достичь у из ж, так что измерение ф\ в точке х не должно оказывать влияния на результат измерения фу или фу в точ- точке у. Такой взгляд на причинность уместен в случае электромагнитно- электромагнитного поля, любая из компонент которого может быть измерена в данной точке пространства времени, как было показано в классической ра- работе Бора и Розенфельда [2]. Но мы будем иметь дело и с такими полями, как дираковское поле электрона, которые не представляют- представляются измеримыми в каком-либо смысле. Мы будем придерживаться той точки зрения, что условие E.1.32) необходимо для лоренц-инвариант- ности 5-матрицы, не делая никаких дополнительных предположений о причинности или измеримости. При построении полей E.1.31), удовлетворяющих E.1.32), мы встречаемся еще с одним ограничением. Может оказаться, что ча- частицы, рождаемые и уничтожаемые этими полями, несут ненулевые сохраняющиеся квантовые числа (например, электрический заряд). В частности, если частицы типа п обладают электрическим заря- зарядом q(n) (оператор электрического заряда обозначим через Q), то [Q,a(p,cr,n)] = -q(n)a(p,a,n), [Q,af(p,cr,n)] = +<7(n)af(p,cr,n). Чтобы плотность взаимодействия Jj?(x) коммутировала с оператором заряда Q (или каким-либо другим генератором симметрии), она долж- должна быть построена из полей, коммутаторы которых с Q имеют простой вид [Q^l(x)] = -q^l(x). E.1.33) В этом случае мы можем добиться желаемого обращения коммута- коммутатора в нуль, выбрав плотность взаимодействия Ж[х) равной сумме произведений полей ф^ф^ ... и ф^ф^ ..., где для каждого слагае- слагаемого Qh + Qh + • • • ~ Qrrn ~ Qm2 ~ • • • = 0. Заметим теперь, что соотношение E.1.33) будет выполнено для неко- некоторой компоненты ф^(х) уничтожающего поля тогда и только то- тогда, когда все типы частиц п, уничтожаемых этим полем, обладают одинаковым зарядом q(n) = qi. Аналогично, E.1.33) будет выполнено для компоненты ф^(х) рождающего поля тогда и только тогда, ко- когда все типы частиц п, рождаемых этим полем, несут один и тот же заряд q(n) = —q\. Мы видим, что в теории с сохранением некоторых квантовых чисел (таких, как электрический заряд) должно проис- происходить удвоение числа типов частиц, несущих ненулевые сохраняю- сохраняющиеся квантовые числа: если некоторая компонента уничтожающего 15 С.Вайнберг. Т. 1
226 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы поля уничтожает частицу типа п, то та же компонента рождающего поля должна рождать частицу типа п, известную как античастица для частицы типа п, с противоположными значениями сохраняющих- сохраняющихся квантовых чисел. Такова причина существования античастиц. Если представление D(A) не является неприводимым, то мы мо- можем выбрать базис так, что матрицы из D(A) будут иметь в нем блочно-диагональный вид. Тогда поля, принадлежащие различным блокам, не будут смешиваться при преобразованиях Лоренца. Кроме того, преобразования Лоренца не затрагивают типы частиц. Поэтому вместо того, чтобы работать с одним сложным полем, содержащим много неприводимых компонент и описывающим много типов частиц, мы с этого момента ограничимся рассмотрением полей, неприводимо преобразующихся под действием группы Лоренца (включающей или не включающей пространственную инверсию), уничтожающих части- частицы только одного типа и рождающих только соответствующие анти- античастицы. Индекс п при этом становится излишним и будет опускать- опускаться. При этом, вообще говоря, возникает необходимость рассматривать много полей такого вида, некоторые из которых, возможно, будут по- построены из производных полей других типов. В последующих пара- параграфах мы завершим нахождение коэффициентных функций щ(р, а) и г?/(р,сг), определим отношение параметров киАи выведем различ- различные соотношения между параметрами частиц и античастиц. Сначала мы рассмотрим поля, преобразующиеся по простейшим неприводи- неприводимым представлениям группы Лоренца — скалярному, векторному и дираковскому спинорному. Впоследствии мы повторим рассуждения для случая самого общего неприводимого представления. Скажем несколько слов об уравнениях поля. Из формул E.1.31), E.1.17) и E.1.18) следует, что все компоненты поля массы т удовлет- удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона (В-т2)ф1(х) =0. E.1.34) Некоторые поля удовлетворяют и другим полевым уравнениям — в случае, если число компонент поля превосходит число независимых состояний частиц. Традиционно в квантовой теории поля принято ис- исходить из таких уравнений (или из приводящих к ним лагранжианов) и выводить разложения полей по одночастичным операторам рожде- рождения и уничтожения. Мы будем придерживаться иного подхода: начи- начиная с частиц, мы получим выражения для полей, используя условие лоренц-инвариантности. Полевые уравнения при этом возникают по- почти автоматически как побочные результаты построения полей. * * * Следует отметить одну техническую тонкость. В соответствии с доказанной в § 4.4 теоремой, теория удовлетворяет принципу кла- кластерной разложимости, если взаимодействие можно представить как
§5.2. Причинные скалярные поля 227 сумму составленных из операторов рождения и уничтожения произве- произведений (в каждом из которых все операторы рождения стоят левее всех операторов уничтожения) с коэффициентами, содержащими лишь од- одну сохраняющую импульс дельта функцию. Поэтому мы должны за- записывать взаимодействие в "нормально упорядоченном" виде V= [A3х:^'('ф(х),'ф^(х)):, E.1.35) где двоеточия означают, что заключенное между ними выражение следует переписать (игнорируя не обращающиеся в нуль коммутато- коммутаторы, но сохраняя возникающие из-за перестановок фермионных опе- операторов знаки минус) так, чтобы все операторы рождения стояли ле- левее всех операторов уничтожения. Используя коммутационные или антикоммутационные соотношения для полей, можно переписать лю- любую нормально упорядоченную функцию полей в виде суммы обыч- обычных произведений полей с с-числовыми коэффициентами. Существо- Существование для \&\ такого представления делает очевидным тот факт, что :^(^(x),^(x)): будет коммутировать с :^(ip(y),ip^(y)): при про- странственноподобном интервале между х и у, если поля ф(х) и ip*(x) удовлетворяют E.1.32) и содержат четное число фермионных компо- компонент. § 5.2. Причинные скалярные поля Сначала мы рассмотрим однокомпонентные рождающие и уни- уничтожающие поля ф+(х) и ф+(х), преобразующиеся по простейше- простейшему представлению группы Лоренца — скалярному, где D(A) = 1. При ограничении на пространственные вращения оно дает скалярное представление группы вращений, соответствующее J? — 0. Поэтому уравнения E.1.25) и E.1.26) имеют решение только при J = 0, когда а и а принимают только нулевые значения. Таким образом, скалярное поле может описывать только частицу нулевого спина. Предположим пока, что поле описывает только один тип частиц (без отличных от них античастиц). Опуская индекс типа частиц п, спиновый индекс а и индекс компоненты /, получаем, что величины щ@ап) и vi@an) сво- сводятся к константам и@) и v@). Принято выбирать нормировку полей рождения и уничтожения так, чтобы обе эти константы имели значе- значение Bт)~1//2. Уравнения E.1.21) и E.1.22) дают просто «(р) = Bр°Г1/2 E-2.1) v(p) = BP0)/2. E.2.2) Следовательно, поля E.1.17) и E.1.18) в скалярном случае имеют 15*
228 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы вид ф+(х) = f d3pB7r)-3/2BP°)-1^a(p)eip-x E.2.3) и ф~(х) = Г d3pB7r)-3/2BP°)-1^a\p)e-ip-x = ф+\х). E.2.4) Плотность гамильтониана Ж{х), являющаяся полиномом от ф+(х) и ф~(х), автоматически будет удовлетворять соотношению E.1.9) (иметь трансформационные свойства скаляра). Остается удовлетво- удовлетворить второму условию лоренц-инвариантности 5-матрицы, коммута- коммутативности операторов Jj?(x) и Ji?(y) при пространственноподобном ин- интервале между х и у. Если бы Ж[х) был полиномом только от ф+(х), наша задача была бы тривиальной. Все операторы уничтожения ком- коммутируют или антикоммутируют, так что при любых х ну поле ф+ (ж) коммутирует или антикоммутирует с полем ф+(у) в зависимости от того, является частица бозоном или фермионом: [ф+(х),ф+(у)]Т=0. E.2.5) Поэтому плотность гамильтониана Ж{х), представляющая собой произвольный многочлен от ф+(х) (в случае фермионов — произ- произвольный четный многочлен), заведомо будет коммутировать с Jf?(y) при любых х и у. Но, разумеется, из эрмитовости гамильтониана следует, что вместе с ф+(х) плотность Ж{х) должна содержать и ф^ (х) = ф~(х), а ф^~(х) не обязательно коммутирует или антикомму- антикоммутирует с ф~(у) при любом пространственноподобном интервале х — у. Используя коммутационные (для бозонов) или антикоммутационные (для фермионов) соотношения D.2.5), получаем — Г - J d Р что сводится к единственному интегралу [ф+(х),ф-(у)]Т = А+(х-у), E.2.6) где А+ — стандартное обозначение для Последнее выражение явно лоренц-инвариантно и поэтому для про- странственноподобного х может зависеть только от инвариантного квадрата х > 0. Следовательно, мы можем вычислить Д+(ж) в си- системе отсчета, где х° = 0, |х| =
§5.2. Причинные скалярные поля 229 Согласно E.2.7), имеем Л м - _JL_ Г dSP ,Ф'Х _ Jl_ 7 Р2 dP A+ [X) ~ Bтг)з J 2л/^Т^ " B^K J ' v После замены переменной интегрирования на и = р/т интеграл при- принимает вид оо л / \ т [ udu . , i—z ч /г о ел Д , (х) = == / sm(mvx2u), E.2.8) 4тг2л/ж2 J v^ + 1 о и может быть выражен через стандартную функцию Ганкеля: E.2.9) Эта величина отлична от нуля. Как же нам следует поступить? Заметим, что хотя функция Д+(ж) и не равна нулю тождественно, при пространственноподобном х она четна по жм. Вместо того, чтобы ограничивать себя только полями ^+(ж), попытаемся построить Ж[х) из линейных комбинаций ф(х) = кф+(х) + \ф~(х). Используя обозначения E.2.6), для пространственноподобных интер- интервалов х — у получаем Обе эти величины обращаются в нуль тогда и только тогда, когда частица является бозоном (т.е. выбираются верхние знаки), а к и Л равны по модулю: |к| = |А|. Можно изменить относительную фазу ки А, переопределив фазы со- состояний; при этом а(р) —> егаа(р), а^(р) —> е~гааУ(р) и соответственно к, —у к,ега, Л —у Хе~га. Полагая а = - Arg(A/ft), мы можем сделать фа- фазы Л и ас одинаковыми, что с учетом равенства абсолютных величин означает к, = Л. Переопределив нормировку ф{х) так, чтобы поглотить общий мно- множитель к = Л, имеем 0(я) = ф+(х) + 0+t(x) = 0f(x). E.2.10)
230 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Плотность взаимодействия Ж[х) будет коммутировать с Jf?(y) при пространственноподобном интервале между жиу, если она будет за- задана как нормально упорядоченный полином от самосопряженного скалярного поля ф(х). Хотя выбор относительной фазы двух слагаемых в E.2.10) усло- условен, мы должны использовать одну и ту же фазу для каждого вхожде- вхождения соответствующего данной частице скалярного поля в плотность гамильтониана взаимодействия. Предположим, например, что плот- плотность взаимодействия содержит не только поле E.2.10), но и другое соответствующее той же частице скалярное поле ф(х) = е*аф+(х) + е-*аф+*(х), где а — произвольная фаза. Как и поле ф, такое поле ф будет удовле- удовлетворять условию причинности в том смысле, что ф(х) будет коммути- коммутировать с ф(у) при пространственноподобном интервале между х и у; но при этом ф(х) не будет коммутировать с ф(у) при пространствен- пространственноподобном интервале х — у, так что эти два поля не могут одновре- одновременно содержаться в теории. Если частицы, рождаемые и уничтожаемые полем ф(х), несут некоторое сохраняющееся квантовое число (например, электрический заряд), то взаимодействие Ж[х) будет сохранять это квантовое число в том и только том случае, когда каждое слагаемое в Э^ содержит по- поровну операторов а(р) и а^(р). Но такое невозможно, если Ж[х) есть полином от ф{х) = ф+{х) + ф~{х). Иными словами, для того чтобы плотность взаимодействия Ж[х) коммутировала с оператором заря- заряда Q (или каким-либо другим генератором симметрии), необходимо, чтобы она была построена из полей, имеющих простые коммутацион- коммутационные соотношения с Q. Таковы, например, поля ф^~(х) и сопряженное к нему, но не самосопряженное поле E.2.10). Чтобы преодолеть возникшие трудности, нужно предположить су- существование двух бесспиновых бозонов с одинаковыми массами т и противоположными зарядами -\-q и —q. Пусть ф^~(х) и ф^~с(х) — уни- уничтожающие поля для этих двух частиц, так что1) г) Символ "с" означает "зарядово-сопряженное" (от англ. "charge conjugate"). Следует иметь в виду, что не несущая сохраняющихся кван- квантовых чисел частица может совпадать или не совпадать со своей антича- античастицей; в первом случае ас(р) = а(р).
§5.2. Причинные скалярные поля 231 Определим ф(х) как линейную комбинацию ф(х) =кф+{х)+\ф+с\х). Очевидно, что коммутационное соотношение для ф(х) и Q имеет тот же вид, что и коммутационнное соотношение для ф+(х) и Q: Коммутатор или антикоммутатор ф(х) с сопряженным к нему полем равен следовательно (для пространственноподобного интервала меж- ДУ х и у) а ф(х) и ф(у) заведомо коммутируют или антикомму тиру ют друг с дру- другом при любых х и у, так как ф+ и ф+с^ уничтожают и рождают различные частицы. При выводе последнего результата мы молча- молчаливо предположили равенство масс частицы и античастицы, так что коммутаторы или антикоммутаторы давали одну и ту же функцию А+(ж — у). Случай ферми-статистики опять оказывается запрещен- запрещенным, поскольку ф(х) антикоммутирует с ф^(у) при пространствен- ноподобном интервале между х и у только при к = Л = 0, когда поля тождественно обращаются в нуль. Поэтому бесспиновая частица должна быть бозоном. В случае статистики Бозе комплексное поле ф(х) будет коммути- коммутировать с ф^ (у) при пространственноподобном интервале между х и у тогда и только тогда, когда \к,\2 = |Л|2, а массы частицы и античасти- античастицы равны. Переопределив относительную фазу состояний этих двух частиц, мы снова можем добиться совпадения фаз к и Л, что экви- эквивалентно равенству к = Л. От общего множителя можно избавиться, изменив нормировку поля ф, так что ф(х) =ф+(х)+ф+сЦх) или, подробнее, f1/2 КрКР'Ж + а*(р)е-*"]. E.2.11) Эта формула дает единственно возможный вид причинного скалярно- скалярного поля. Ее можно использовать и для истинно нейтральных частиц, совпадающих со своими античастицами (в этом случае ас(р) = а(р)), и для частиц, не совпадающих со своими античастицами (в этом слу- случае ас(р) ^())
232 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Впоследствии нам потребуется выражение для коммутатора ска- скалярного поля и сопряженного к нему; имеем [Ф(х),ФНу)]=Мх-у), E.2.12) где А(х -у) = А+(х -у)- А+(у -x)=j ^-^ [jp<*-v) - e-ip<*-v)]. E.2.13) Изучим теперь действие различных дискретных симметрии на по- построенное поле. Для начала, из результатов § 4.2 следует, что поведе- поведение операторов рождения и уничтожения при пространственной ин- инверсии описывается формулами2) Ра(р)р-1=т?*а(-р), E.2.14) Pact(p)p-1 = /7cact(-p), E.2.15) где rj и rf — внутренние четности частицы и античастицы соответ- соответственно. Применяя эти формулы к случаям уничтожающего поля E.2.3) и поля, зарядово-сопряженного к рождающему полю E.2.4), после замены переменной интегрирования р на —р получаем Рф+(х)Р~1 = Г1*ф+(&х), E.2.16) , E.2.17) где, как и ранее, &х — (—х,ж°). Мы видим, что в общем случае ре- результатом применения пространственной инверсии к скалярному по- полю ф[х) = ф+(х) + ф+с^{х) будет новое поле фр = г]*ф+ + г]сф+с^. Оба поля по отдельности удовлетворяют условию причинности, но если ф и фР участвуют в одном взаимодействии, то возникает трудность: эти поля не обязательно коммутируют в точках, разделенных простран- ственноподобным интервалом. Единственный способ удовлетворить условиям лоренц-инвариантности, сохранения четности и эрмитово- сти гамильтониана — потребовать, чтобы фр было пропорциональ- пропорционально ф. В этом случае 77е = г;*. E.2.18) т.е. внутренняя четность щс состояния, содержащего бесспиновую частицу и ее античастицу, равна +1 (состояние четно). Теперь можно записать просто Рф(х)Р~1 = >п*ф(&х). E.2.19) ) Мы опускаем индекс 0 у операторов Р, С и Т, поскольку практи- практически всегда, когда эти инверсии являются симметриями, их действие на m-состояния, ог^-состояния и состояния свободных частиц описывается од- одними и теми же операторами.
§5.2. Причинные скалярные поля 233 Эти результаты применимы и к случаю, когда бесспиновая частица является своей античастицей; тогда rf = г\ и мы получаем, что внут- внутренняя четность такой частицы действительна: г) — =Ы. Операцию зарядового сопряжения можно рассмотреть аналогич- аналогично. Согласно формулам §4.2, =еас(р), E.2.20) =fat(p), E.2.21) где ? и ?с — фазы, определяемые действием оператора зарядового сопряжения на одночастичные состояния. Отсюда следует, что Сф+(х)С~1=еФ+с(х), E.2.22) C0+ct(p)C-1 = ?сф+*(х). E.2.23) Для того чтобы поле Сф(х)С~г было пропорционально полю ф^(х), с которым оно коммутирует в разделенных пространственноподобным интервалом точках, необходимо выполнение равенства С = f. E.2.24) Как и для обычной четности, внутренняя четность относительно заря- зарядового сопряжения ??с состояния, содержащего бесспиновую частицу и ее античастицу, равна +1. Имеем Сф(х)С~1 =?*<^(ж). E.2.25) Снова можно применить полученные результаты к случаю, когда ча- частица является своей античастицей и ?с = ?. Получаем, что зарядовая четность частицы, как и ее обычная четность, должна быть действи- действительной, ? = =Ы. Наконец, перейдем к операции обращения времени. Согласно § 4.2, E.2.26) Tact(p)T-1 = Ccacf(-P)- E.2.27) Вспомнив, что оператор Т антиунитарен, после замены переменной интегрирования р на —р получаем Тф+(х)Т-1 = СФ+{-^х), E.2.28) Тф+сЦх)!'1 =СФ+сЧ-0>х). E.2.29) Чтобы поле ш\ф{х)Т~1 выражалось через поле ф, взятое в точке с об- обращенным временем — ?Рх, должно быть С = С* E.2.30) и 1 E.2.31)
234 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы § 5.3. Причинные векторные поля Теперь мы перейдем к следующему по сложности полю, преобразу- преобразующемуся как 4-вектор — по простейшему нетривиальному представ- представлению однородной группы Лоренца. Существуют массивные части- частицы, например W и Z0, которые при малых энергиях описываются такими полями. Эти частицы играют все возрастающую роль в со- современной физике элементарных частиц, так что рассматриваемый пример будет иметь не только методическую ценность. Кроме того, хотя здесь мы будем иметь дело с массивными частицами, один из подходов к квантовой электродинамике состоит в описании фотона при помощи массивного векторного поля в пределе очень малой мас- массы. Сначала мы предположим, что наше поле описывает только один тип частиц (и будем опускать индекс п); впоследствии мы рассмот- рассмотрим возможность того, что поле описывает частицу и отличную от нее античастицу. В 4-векторном представлении группы Лоренца строки и столбцы матриц D(A) нумеруются индексами /i, v и т.д., причем D{kyv = AV E.3.1) Уничтожающая и рождающая части векторного поля записываются в виде ф+»(х) = ^Bтг)-3/2 fd3pul"(p,a)a(p,a)eip-x, E.3.2) а -3/2 fd3pv>M{p,a)a\p,a)e-ip-x. E.3.3) а Коэффициентные функции и^(р, а) и г>м(р, а) для произвольного зна- значения импульса можно выразить через их значения при нулевом им- импульсе при помощи формул E.1.21) и E.1.22), которые в нашем случае сводятся к «"(р, а) = {mlp°)ll2L{pyvuv{D, a), E.3.4) «"(р, а) = (m/p°I/2?(p)/>"@, а). E-3.5) (Мы используем обычное соглашение о суммировании по простран- пространственным индексам /i, v и т.д.) Кроме того, коэффициентные функции для нулевого импульса удовлетворяют условиям E.1.25) и E.1.26), от- откуда 5]@,a)J^ = ^^^@,a) E.3.6) E.3.7;
§5.3. Причинные векторные поля 235 Генераторы вращений J* ^v в 4-векторном представлении даются вы- выражением E.3.1), )°о = Ш\ = (ЛУо = 0, E.3.8) i = -ieijk, E-3.9) где индексы г, j, к принимают значения 1, 2 и 3. Заметим, в частности, 2 что J?2 имеет следующие компоненты: (</2)°о = {/2)\ = (/Уо = 0, E.3.10) (J2)^ = 28* j. E.3.11) Из E.3.6) и E.3.7) следует, что ^2u°@,a)(JU))la = 0, E.3.12) ola Е7/ЧП rfVT^^2 — 9?/ЧП гг) (^ Ч 1 Ч^ ola И ^2vo@,a)(j(j)*)la = 0, E.3.14) о/сг ^>Ч0,а)(^>)|ст = 2«'@,а). E.3.15) о/сг Вспомним также, что (J^)!^ = j(j + l)^o-- Из E.3.12)-E.3.15) вид- видно, что для спина частицы, описываемой векторным полем, имеются ровно две возможности: либо j = 0, и тогда при р = 0 только компо- компоненты и0 и г?0 отличны от нуля, либо j = 1 (так что j(j + 1) = 2) и при р = 0 только пространственные компоненты и1 и vl отличны от нуля. Рассмотрим подробнее каждую из этих возможностей. Спин нуль Пользуясь свободой в выборе нормировки поля, мы можем поло- положить значения единственных ненулевых компонент и^ @) и i?M @) рав- равными v°@) = -г(ш/2I/2. (Индекс а принимает в этой формуле единственное значение нуль и потому опущен.) Тогда из E.3.4) и E.3.5) для произвольного импульса получаем «"(р) = гр"Bр°)~1/2 E.3.16) и"(р) = -гр"Bр°)/2- E.3.17)
236 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Векторные уничтожающие и рождающие поля в этом случае оказы- оказываются не чем иным, как производными скалярных уничтожающих и рождающих полей для бесспиновой частицы ф±, которые мы постро- построили в предыдущем параграфе: i-\- LL ( \ С\11 Х~\~ ( \ А — Д/ \ ?\U> А — f \ /^ О 1 О\ /j\ * I ^y* I ^~^ fi (it I ^Y* I (it I ^Y* I ^~^ См (it I ^Y* I I ^Л ¦ I rS I Очевидно, что причинное векторное поле для бесспиновой частицы также будет производной причинного скалярного поля: = ф+(х) = д^ф(х). E.3.19) Поэтому какой-либо дополнительный анализ этого случая не пред- представляется необходимым. Спин единица Из равенств E.3.6) и E.3.7) непосредственно видно, что при а = О векторы 1^@,0) и г>г@,0) направлены вдоль третьей координатной оси. Выбирая нормировку полей соответствующим образом, мы мо- можем положить эти векторы равными ^@,0)= ^@,0) = Bт)-1/2 E.3.20) где компоненты 4-векторов всегда приводятся в порядке 1, 2, 3, 0. Чтобы получить выражения для компонент с другими значениями о¦, найдем при помощи формул E.3.6), E.3.7) и E.3.9) результат приме- применения к и и v повышающего и понижающего операторов JJ ' ± г J^ . Имеем , +1) = -^@, -1) = -^ Bт -1/2 ^@,-1) = -г 0, +1) = 4= Bт)-1/2 л/2 0 .0 1" —г 0 0 Пользуясь E.3.4) и E.3.5), получаем где E.3.21) E.3.22) E.3.23) E.3.24)
§5.3. Причинные векторные поля 237 л/2 0 1 " 1" —i 0 _0_ Уничтожающие и рождающие поля E.3.2) и E.3.3) в этом случае даются выражениями ,a)a(p,a)eip-* 3.26) Поля ф+^(х) и ф+1/(у) заведомо коммутируют или антикоммутируют при любых х и у, но о полях ф+^(х) и ф~у(у) этого сказать нель- нельзя. Их коммутатор (в случае бозонов) или антикоммутатор (в случае фермионов) равен где E.3.27) E.3.28) Прямое вычисление с использованием E.3.25) показывает, что П^@) является матрицей проектора на подпространство, ортогональное на- направлению орта времени; из E.3.24) тогда получаем, что Пм^(р) — матрица проектора на подпространство, ортогональное 4-импуль- су р^\ П^(р) = rfv +p»p"/m2. E.3.29) Коммутатор или антикоммутатор E.3.27) может, следовательно, быть выражен через функцию А+, определенную в предыдущем пара- параграфе: (^ - У). E.3.30) Для нас важно, что это выражение не обращается в нуль при про- странственноподобном интервале между жир четно по х — у. По- Поэтому мы можем повторить рассуждения из предыдущего параграфа и попытаться построить причинное поле, образовав линейную комби- комбинацию рождающих и уничтожающих полей Для пространственноподобного интервала х — у имеем +(* - У)
238 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы = (\к\2ц:\Х\2)[^-^-\А+(х-у). Для обращения обоих этих выражений в нуль необходимо и достаточ- достаточно, чтобы частица спина единица была бозоном, а для констант ки А выполнялось \к\ = |А|. Подходящим образом определяя фазы одноча- стичных состояний, мы можем сделать равными фазы киА (при этом получим к = А). Переопределив нормировку поля, мы избавимся и от оставшегося общего множителя к. В результате для причинного век- векторного поля, соответствующего массивной частице спина единица, получим v»(x) = ф+»(х) + ф+^(х). E.3.31) Заметим, что это поле действительно: v»(x) = ф^(х). E.3.32) Но если описываемые таким полем частицы обладают ненулевым зна- значением некоторого сохраняющегося квантового числа Q, то мы не сможем построить при помощи этого поля сохраняющее Q взаимо- взаимодействие. Нам следует предположить существование другого бозона, обладающего теми же массой и спином, но несущего противополож- противоположный заряд Q, и построить причинное поле вида v» (х) = ф+» (х) + ф+с^ (х) E.3.33) или, подробнее, = Bтг)-3/2 ? | -7= [е**(Р, *)*(Р, °УР'Х + ^* (Р, °)*С] (Р, °)e~ip-X, E.3.34) Индекс "с" указывает на то, что соответствующий оператор рож- рождает античастицу, зарядово-сопряженную к уничтожаемой операто- оператором ф^~^(х) частице. Мы снова получили причинное поле, но на этот раз оно не является действительным. Написанной формулой можно пользоваться для истинно нейтральной частицы спина единица, яв- являющейся своей собственной античастицей — при этом следует по- положить ас(р) = а(р). В любом случае коммутатор векторного поля с сопряженным к нему равен К(Ж),ИB/)]= \г^"-^.]А(х-у), E.3.35) где А(ж — у) дается формулой E.2.13). Действительное и комплексное поля, которые мы построили для массивной частицы спина единица, удовлетворяют любопытным по- полевым уравнениям. Во-первых, поскольку для р^ из показателя экс-
§5.3. Причинные векторные поля 239 поненты в E.3.26) выполнено соотношение р2 = — т2, поле удовлетво- удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона (?-т2К(ж) =0 E.3.36) (аналогично случаю скалярного поля). Во-вторых, поскольку из ра- равенства E.3.24) следует, что е"(р,а)рд=0, E.3.37) получаем новое уравнение <V = 0. E.3.38) В пределе малой массы уравнения E.3.36) и E.3.38) принимают вид уравнений для векторного потенциала в электродинамике (в калиб- калибровке Лоренца). Однако мы не можем получить электродинамику из какой-либо теории массивных частиц спина единица посредством устремления массы к нулю. Препятствия становятся очевидными при рассмотре- рассмотрении сечения рождения частиц спина единица при плотности взаимо- взаимодействия вида Ж — JM^M, где JM — некоторый 4-вектор тока. По- После возведения матричного элемента в квадрат и суммирования по ^-компонентам спина частицы спина единица получим для сечения выражение, пропорциональное где р — импульс испускаемой частицы спина единица, a (Jmu) — мат- матричный элемент тока (скажем, при х = 0) между начальным и конеч- конечным состоянием всех остальных частиц. Из-за слагаемого p^pv /т2 в Пм^(р) сечение излучения будет, вообще говоря, обращаться в бес- бесконечность при т —> 0. Единственный способ избежать этого состоит в том, чтобы потребовать обращения в нуль величины (Jmu)p^i чт0 в координатном пространстве представляет собой просто условие со- сохранения тока JM, т.е. <9М JM = 0. Действительно, в необходимости со- сохранения тока можно убедиться простым подсчетом числа состояний. Массивная частица спина единица обладает тремя независимыми спи- спиновыми состояниями (в качестве которых можно взять состояния со спиральностями +1,0и1),вто время как любая безмассовая частица спина единица (например, фотон) может обладать лишь спирально- спиральностями + 1 и —1. Условие сохранения тока просто запрещает излучение частиц со спиральностью 0 в пределе нулевой массы. Дискретные симметрии могут быть рассмотрены аналогично разо- разобранному в предыдущем параграфе случаю скалярного поля. Чтобы найти результат применения пространственной инверсии, нам тре- требуется формула для ем(—р,сг). Используя равенство
240 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы и уравнение E.3.24), получаем е"(-р, а) = -^е^р, а). E.3.39) Кроме того, для определения результата действия операции обраще- обращения времени нам нужна формула для (—1I+о"ем*(—р, —сг). Из равен- равенства (—1I+о"ем*@, — а) = —ем@,сг) и приведенного выше выражения для L^v{—p) находим (-1I+сте"*(-р, _ст) = ^„^(р, ст). E.3.40) При помощи этих результатов и полученных в § 4.2 трансформа- трансформационных свойств операторов рождения и уничтожения можно непо- непосредственно получить трансформационные свойства рождающих и уничтожающих полей относительно дискретных симметрии. Снова находим, что из условия коммутативности при пространственнопо- добном интервале между соответствующими точками пространства- времени причинного поля и результата применения к нему операции дискретной симметрии следует, что внутренние фазы частицы спина единица и ее античастицы относительно пространственной инверсии, зарядового сопряжения и обращения времени должны удовлетворять соотношениям 77е = 77*, E.3.41) Г = Г, E.3.42) С = С- E.3.43) В частности, если частица совпадает со своей античастицей, все эти фазы должны быть действительными. Если все эти условия выпол- выполнены, то законы преобразования причинного векторного поля E.3.34) даются формулами Pv^x)?-1 = -if&»vvv{&x\ E.3.44) 1 rt E.3.45) E.3.46) Например, знак минус в E.3.44) означает, что векторное поле, пре- преобразующееся как полярный вектор (без дополнительных фаз или знаков, сопровождающих матрицу &^у\ описывает частицу спина единица с внутренней четностью г\ = — 1. § 5.4. Формализм Дирака Среди сововокупности всех представлений однородной группы Ло- Лоренца, имеется одно представление, которое играет в физике особую роль. Как мы видели в § 1.1, в теории электрона это представление
§5.4- Формализм Дирака 241 впервые использовал Дирак [3] Однако, как это часто случается, ма- математикам [4] оно к тому времени уже было известно, поскольку это представление лежит в основе одного из двух больших классов пред- представлений групп вращений и групп Лоренца (фактически — их накры- накрывающих групп, см. § 2.7) в пространствах любого числа измерений. С той точки зрения, которой мы здесь придерживаемся, структура и свойства любого квантового поля определяются представлением од- однородной группы Лоренца, по которому оно преобразуется. Поэтому естественно будет изложить формализм Дирака в том виде, в кото- котором он изначально появился в математике, а не в форме, введенной Дираком. Под представлением однородной группы Лоренца мы понимаем набор матриц D(A), удовлетворяющих групповому закону умножения D(A)D(A) = D(AA). Как и при изучении свойств унитарных операторов С/(Л), можно рас- рассмотреть инфинитезимальный случай A^ = J^+cj^, E.4.1) <*V = -и»». E.4.2) Тогда l+i-u:llv/^, E.4.3) где J* ^v = — J?"*1 образуют набор матриц, удовлетворяющих комму- коммутационным соотношениям B.4.12): V17* /Р°\ = rfp/^а - rfp JV(T - rfv/pv + rfv/p[l. E.4.4) Для построения такого набора предположим, что нам удалось най- найти матрицы 7^5 удовлетворяющие апттшкоммутационным соотноше- соотношениям {7",7"} = 2»Г. E-4.5) Пусть теперь /^ = -{b^lv]- E-4.6) Пользуясь соотношением E.4.5), легко показать, что {J^, У] = -l^rf? + ii*ifp, E.4.7) откуда сразу следует, что определенные согласно E.4.6) матрицы дей- действительно удовлетворяют желаемому коммутационному соотноше- соотношению E.4.4). Далее мы будем предполагать, что матрицы 7д неприводи- мы, т.е. не существует собственного подпространства, инвариантного относительно всех этих матриц. В противном случае можно выбрать некоторое подмножество компонент поля, преобразующихся согласно E.4.3) и E.4.6), с неприводимым набором матриц 7д- 16 С.Вайнберг. Т. 1
242 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Любое множество матриц, удовлетворяющих соотношениям вида E.4.5) (или их евклидовым аналогам, получаемым при помощи за- замены ц^у на символ Кронекера), называется алгеброй Клиффорда. Важность построенного представления однородной группы Лоренца (точнее, ее накрывающей группы) определяется тем, что самое об- общее неприводимое представление группы Лоренца реализуется либо тензором, либо спинором, преобразующимся согласно E.4.3) и E.4.6), либо прямым произведением таких тензора и спинора. Мы доказали это утверждение в § 5.6. Коммутационное соотношение E.4.7) можно сформулировать ина- иначе, сказав, что г)р — вектор. Последнее следует понимать как выпол- выполнение равенства D(A)jpD-\A) = Aapja E.4.8) с D(A) из E.4.3). В том же смысле единичная матрица является ска- скаляром: D(AID-1(A) = 1, E.4.9) а из E.4.4) следует, что J* ра — антисимметричный тензор: D(A)/paD-1(A) = A/Ava f»v. E.4.10) Из матриц 7м можно построить и другие полностью антисимметрич- антисимметричные тензоры s/Р'т =7[р7<г7т]? E.4.11) ^pcrrin = 7b7^7r7ry]< E.4.12) Скобки здесь представляют собой стандартные обозначения, предпи- предписывающие просуммировать по всем перестановкам, взяв четные пе- перестановки со знаком плюс, а нечетные со заком минус. Например, правая часть E.4.11) служит сокращенной записью для Многократно применяя E.4.5), можно представить любое произведе- произведение 7-матРиЦ в виде линейной комбинации антисимметризованных произведений 7"матРиЦ (с коэффициентами, равными произведени- произведениям компонент метрического тензора). Следовательно полностью ан- антисимметричные тензоры образуют базис алгебры матриц, порожден- порожденной матрицами Дирака. В этом формализме автоматически содержится преобразование четности, обычно записываемое как C = г70. E.4.13) В приложении к матрицам Дирака оно дает /ЗУ/Г1 = -У, /W1 = +7°- E-4.14)
§5.4- Формализм Дирака 243 (Мы используем здесь латинский индекс, так как греческий прини- принимает значения 0, 1, 2, ...) При применении того же самого преобразо- преобразования к любому произведению 7-матриц будет возникать знак плюс или минус в зависимости от того, содержит это произведение чет- четное или нечетное число 7~матРиЦ с пространственными индексами. В частности, "/Г1 = /1\ E.4.15) Г1 = -/^. E.4.16) Все сказанное в этом параграфе было применимо в случае любо- любого числа пространственных измерений и любой "метрики" rj^. В че- четырех пространственно-временных измерениях появляются особенно- особенности, связанные с тем, что полностью антисимметричный тензор может иметь не более четырех индексов, так что последовательность 1, ryp ^ J'гро', з/рат, ... обрывается на тензоре E.4.12). Далее, все эти тензоры различным образом преобразуются под действием группы Лоренца и/или преобразования четности, так что все их компоненты линейно независимы.г) Число линейно независимых компонент тензоров равно едини- единице для 1, четырем для гур, шести для ^гро", четырем для ?^рат и одному для &№ро ^ чт0 в СуМме дает 16 компонент. (Вообще, число линейно независимых компонент полностью антисимметрич- антисимметричного тензора с п индексами в d измерениях равно биномиальному коэффициенту d\/n\ (d — п)\) Существует не более и2 линейно незави- независимых матриц размера v x г/, так что размерность матриц не меньше уТб = 4. Матрицы Дирака минимальной размерности с необходимо- необходимостью неприводимы; в противном случае инвариантное относительно них собственное подпространство давало бы пример представления меньшей размерности. Так что далее мы считаем, что 7"матРиЦЬ1 имеют размер 4x4. (Вообще, в пространстве четного числа d измерений можно постро- построить антисимметричные тензоры с 0, 1, ..., d индексами, суммарное количество независимых компонент которых будет равно n\(d-n)\ так что 7"матРиЦы должны иметь размерность не ниже 2dl2. В про- 1) Линейную независимость рассматриваемых матриц можно показать и другим способом — заметив, что они образуют ортогональное семейство (относительно скалярного произведения, определенного как след произ- произведения матриц). Ни одна из матриц не равна нулю, поскольку каждая компонента каждого тензора пропорциональна произведению различных 7-матриц, а квадрат такого произведения равен взятому со знаком плюс или минус произведению квадратов 7-матриц, т.е. ±1. 16*
244 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы странстве (пространстве-времени) нечетной размерности полностью антисимметричные тензоры рангов п и d — п связаны соотношения- соотношениями2) где г = О, 1, 2, ..., d — 1, через eMlM2"Md обозначен полностью анти- антисимметричный тензор, а при г = 0 левую часть полагаем равной еди- единичной матрице. При этом существуют лишь 2d~x независимых тензо- тензора, так что 7-матрицы должны иметь размерность не ниже 2^~1^2.) Вернемся теперь к четырехмерному пространству-времени и при- приведем явную конструкцию 7-м&тРиЦ размера 4x4. Один из наиболее удобных вариантов: о__.Г0 1] __-[0 <* 7 ~ г [1 0\ ' 7 ~ г [-а- О где 1 — единичная матрица размера 2 х 2, а компоненты сг — обычные матрицы Паули -г О (Матрицы Gi дают конструкцию 2x2 7-матриц в трех измерениях.) Можно показать [5], что любой неприводимый набор 7-матриц полу- получается из E.4.17) посредством перехода к другому базису. При помо- помощи E.4.17) легко найти выражения для генераторов группы Лорен- Лоренца E.4.6): (Здесь Cijk — полностью антисимметричный тензор с 6123 = +1.) За- Заметим, что эти генераторы блочно-диагональны, так что при помощи матриц Дирака мы построили приводимое представление собствен- собственной ортохронной группы Лоренца, являющееся прямой суммой двух неприводимых представлений с ^^ ^° 2) Это соотношение не разрушается и при включении пространствен- пространственной инверсии в представление Дирака группы Лоренца в пространстве- времени нечетного числа измерений, поскольку в этом случае тензор 6/MM2---Md четен относительно инверсии пространственных координат. Если пространственная инверсия нас не интересует, можно построить неприводи- неприводимое 2(^~1)/2-мерное представление собственной ортохронной группы Лорен- Лоренца в пространстве—времени четного числа измерений, наложив приведенное выше условие на антисимметризованные произведения г и d — г матриц Дирака. Пример такой конструкции дают подматрицы в E.4.19) и E.4.20) ниже.
§5.4- Формализм Дирака 245 Удобно переписать выражения для антисимметричных тензоров E.4.11) и E.4.12) в более простом виде. Тензор E.4.12) полностью антисимметричен и потому пропорционален псевдотензору ерсгт^, за- данному условием полной антисимметрии и значением е = +1. Полагая p,a,r,/i равными 0, 1, 2, 3 соответственно, получаем г>'у6, E.4.21) где 75 = -i7V7273. E.4.22) Матрица 75 является псевдоскаляром в том смысле, что [^р',7б] = 0, E.4.23) МьР'1 = -75- E.4.24) Аналогично, тензор s^paT должен быть пропорционален свертке ерсгт^ с некоторой матрицей «g^; полагая (р,а,т) равным последовательно @,1,2), @,1,3), @,2,3) и A,2,3), находим s/^r =ЗНератг]ъъ^ E.4.25) Таким образом, в качестве 16 линейно независимых матриц 4x4 мож- можно выбрать компоненты скаляра 1, вектора 7Р> антисимметричного тензора ^гро', "аксиального вектора" 7б7гу и псевдоскаляра 75- Легко видеть, что матрица 75 имеет единичный квадрат 75 = 1 E-4-26) и антикоммутирует со всеми матрицами 7д {75,7д} = 0. E.4.27) Обозначение 75 довольно удачно, поскольку из антикоммутационных соотношений E.4.26), E.4.27) и E.4.5) следует, что матрицы 70, 71? I2•> 73, 75 образуют алгебру Клиффорда в пяти измерениях. В четырех- четырехмерном представлении, где 7"матрицы определены согласно E.4.17), матрица 75 имеет вид 75 = (J Д) ¦ E.4.28) Удобство этого представления во многом определяется тем, что матрицы J*'р(Т и 75 имеют в нем блочно-диагональный вид. Как мы увидим, это значительно упрощает рассмотрение частиц в ультраре- ультрарелятивистском пределе v —> с. (Однако это не упомянутое в § 1.1 пред- представление, которое исходно ввел Дирак. Дирака в основном интересо- интересовали атомные электроны, для которых и<с-в этом случае удобнее работать в представлении, где диагональна матрица 7о5 а не 75-)
246 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Построенное нами представление однородной группы Лоренца не унитарно, поскольку генераторы J*р(Т не все являются эрмитовы- эрмитовыми матрицами. В частности, в представлении E.4.17) генераторы ^^ эрмитовы, а генераторы ^г0 антиэрмитовы. Для формулировки свойств эрмитовости в явно лоренц-инвариантном виде удобно ввести матрицу /? = г7° (см. E.4.13)), которая в представлении E.4.17) имеет вид [ J] • E.4.29) Из E.4.17) следует, что /37^/3 = -7", E.4.30) откуда P/P'ip = /р<т. E.4.31) Поэтому (неунитарные) матрицы D(A) удовлетворяют условию псев- псевдоунитарности /3D(A^p = D(A)-1. E.4.32) Далее, матрица 75 эрмитова и антикомму тирует с /3, так что PltP = -75 E.4.33) E-4-34) Матрицы Дирака и связанные с ними матрицы имеют важные свойства симметрии относительно операции транспонирования. Из E.4.17) и E.4.18) следует, что матрицы 7д симметричны при \i — 0, 2 и антисимметричны при \i — 1, 3, так что il = -'#1ltf-\ E.4.35) где Т обозначает транспонирование, а <€ = 72/3 = -i [aQ2 Д]. E.4.36) Отсюда сразу же получаем, что -\ E.4.37) , E.4.38) - E-4.39) Возникающие знаки будут играть большую роль при изучении нами в следующем параграфе свойств различных токов относительно опе- операции зарядового сопряжения. Чтобы получить аналогичные форму- формулы для операции комплексного сопряжения, можно воспользоваться
§5.5. Причинные дираковские поля 247 уже имеющимися результатами для операций транспонирования и эр- митового сопряжения: V, E.4.40) l ^-1^ E.4.41) 75* = -PV-y&^P, E.4.42) G57м)* = -Р^ЪЪ^Р. E.4.43) § 5.5. Причинные дираковские поля Перейдем теперь к построению операторов рождения и уничто- уничтожения частиц, преобразующихся по представлению Дирака группы Лоренца, которое мы обсудили в предыдущем параграфе. В соответ- соответствии с E.1.17) и E.1.18) они должны иметь вид /,+ — ^ J'd3pUl(p,a)eip-xa(p,a) E.5.1) ¦?/• E.5.2) где опущен индекс, указывающий тип частицы. Для того чтобы вы- вычислить фигурирующие в этих формулах коэффициентные функции щ(р, а) и г?/(р, а), мы должны сначала найти щ и v\ для нулевого им- импульса при помощи E.1.25) и E.1.26), а затем применить уравнения E.1.21) и E.1.22) для определения этих функций в случае произволь- произвольного импульса (при этом в качестве Djt(A) везде следует брать 4x4 матрицу дираковского представления однородной группы Лоренца). Пользуясь E.4.19), условия E.1.25) и E.1.26) можно записать как1) ^га± (U, Gj J-^ — у ~ ^"mm^m^z y^i ®) ~ 2_^ Vrn± @, Сг) J/o-* = /] о Другими словами, если рассматривать ит±@,а) и vm±(O,a) как :) Мы опустили здесь индекс п, обозначающий типы частиц, и заме- заменили четырехкомпонентный индекс / двумя — двухкомпонентным индек- индексом т, который нумерует столбцы и строки подматриц в E.4.19) и E.4.20), и принимающим значения ± индексом, который нумерует столбцы и строки "суперматрицы" в E.4.19) и E.4.20).
248 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы (т, а)-е элементы матриц U± и V± соответственно, = i<TU± E.5.3) 2-.=п. E-5.4) Как Bj + 1)-мерные матрицы j(J) и —J^ , так и 2 х 2 матрицы - сг образуют неприводимые представления алгебры Ли группы вра- вращений. В соответствии с теоремой Шура [6], матрицы U± и V± (называемые сплетающими операторами) должны быть либо нуле- нулевыми (этот случай не представляет интереса), либо квадратными и невырожденными. Таким образом, дираковское поле может опи- описывать только частицы спина j = - (так что 2j + 1 = 2), причем т(Л /9} тС1/2)* 1 матрицы Лк i } и — Jv ' ' должны совпадать с - а с точностью до преобразования эквивалентности. В действительности для стандарт- стандартного представления B.5.21), B.5.22) генераторов вращений имеем j(V2) — G и — тируют с сг и пропорциональны единичной матрице: 2)* — -02E02' Следовательно, U± и V±&2 комму- комму= С±5та, = -id±(a2)ma E.5.5) Другими словами, "@, 1/2) = 1/2) = 0 с_ " 0 J-. "@,-1/2) = .-1/2) = "+ 0 d- 0 а спиноры при ненулевом импульсе выглядят как и(р,а) = y/m/iPD(L(p))u@,<T), v(p,a) = E.5.6) E.5.7) Рассмотрим теперь постоянные с± и d±. Вообще говоря, в их вы- выборе есть произвол, и мы могли бы даже положить с_ и d- (или с+ и d+) равными нулю; тогда дираковское поле имело бы только две ненулевых компоненты. Единственный физический принцип, из кото- которого следует соотношение между этими постоянными — сохранение четности. Вспомним, что при пространственной инверсии оператор
§5.5. Причинные дираковские поля 249 уничтожения частицы и оператор рождения античастицы преобра- преобразуются как Ра(р, а) Pact(p, a) 1 = /7*а(-р, сг), 1 = /7cact(-p, а) и поэтому = rf BтгK/2 Далее, уравнения E.4.16), E.1.21) и E.1.22) дают: Ц-р, a) = y/m/pP PD(A(p))/3u@, a), г;(-р, а) = у/т/р0 /3D(A(p))/3v@, a). E.5.8) E.5.9) a), E.5.10) , a). E.5.11) E.5.12) E.5.13) (Так как /^2 = 1, мы не различаем /3 и Р~г.) Так как действие операто- оператора четности преобразует операторы рождения и уничтожения в точ- точке ж в операторы, пропорциональные им же в точке &х, необходимо, чтобы (Зи@,а) и /?г?(О,ст) были пропорциональны и@,а) и г>(О,ст) со- соответственно: ) = Ь„гг(О,сг), E.5.14) причем Ь^ = Ь^ = 1. Тогда закон преобразования полей при простран- пространственной инверсии имеет простой вид: Р^+фР-1 = 77*MV>+(^0, E.5.15) Р^^ЙР = rjcbvf3il>-c(^x). E.5.16) Изменяя при необходимости нормировку полей, мы можем выбрать коэффициентные функции так, чтобы при нулевом импульсе они име- имели вид «@, v@, 1/2) = 1/2) = 1 7! i 7! l 0 Ьи .0. " 1 0 bv. u@,-l/2) = -±= «@,-1/2) = -= 0 1 0 \bu\ Г1 0 0 E.5.17) E.5.18) Теперь попытаемся построить поле, являющееся линейной комбина- комбинацией операторов рождения и уничтожения, ф(х) = кф+(х) + Хф~с(х), E.5.19)
250 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы которое коммутирует или антикоммутирует само с собой и со сво- своим эрмитово сопряженным в точках, разделенных пространственно- подобным интервалом. Очевидное вычисление дает = Bтг) j>p[|K|27V/r(p)e^-*') т \\\2Мп(р)е-*<х-% E.5.20) где Na(p) = 5>,(p,<7)«?(p,<7), E-5.21) Мп(р) = 5>|(р,<т)т? (р,<т). E.5.22) а Пользуясь условием E.5.14) или явными формулами E.5.17), E.5.18) для и@) и г>@), для нулевого импульса находим: N@) = Х-^-, М@) = ±±hl. E.5.23) Тогда из E.5.6) и E.5.7) следует, что Щр) = ^ D(A(p))[l + bup]D\L{p)), E.5.24) М(р) = ^ 23(Л(р))[1 + bvp\D\L{p)). E.5.25) Условие псевдоунитарности E.4.32) дает D(L(p))pD\L(p)) = р Вспоминая, что /3 = г7°, при помощи закона преобразования E.4.8) получаем m. E.5.26) Далее2), ^ E.5.27) E.5.28) 2) Иногда в определение дираковского спинора добавляют множитель д/р°/?тг, так что вместо р° в знаменателях спиновых сумм E.5.27) и E.5.28) стоит т. Используемая нами нормировка удобна тем, что гладко ведет себя при т = 0.
§5.5. Причинные дираковские поля 251 Наконец, подставляя полученные выражения в E.5.20), приходим к формуле Ъит]/ЗА+(х - у) где Д+ — функция, введенная в параграфе 5.2: - х))а, E.5.29) = f ~ J 2р°Bтг)з Как мы видели в § 5.2, при пространственноподобном интервале х — у функция А+(ж — у) является четной по х — у; следовательно, ее пер- первая производная будет нечетной функцией. Поэтому необходимым и достаточным условием того, чтобы в коммутаторе или антикоммута- антикоммутаторе обращались в нуль как члены с производными, так и без них, являются равенства 2 = = т|А|2 E.5.30) \к\2Ьи = ±\X\2bv. E.5.31) Очевидно, что условие E.5.30) может выполняться только для зна- знака "+"; получаем, что частицы, описываемые дираковским полем, обязательно подчиняются статистике Ферми. Тогда \к\2 = |Л|2 и Ьи = — bv. Точно так же, как и для скалярного поля, мы можем вы- выбрать к, = Л; переопределив при необходимости общий масштаб и фазу поля ф, можно положить /с = Л = 1. E.5.32) Наконец, можно заменить ф на 75^ ~~ тогда знаки у Ъи и bv одновре- одновременно изменятся; выберем Ъи и bv так: Ъи = -bv = +1. E.5.33) Выпишем окончательный результат для дираковского поля: + vl(p,a)e-ip-xac\p,a)}, E.5.34) где коэффициентные функции при нулевом импульсе имеют следую- следующий вид: E.5.35)
252 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы "О" 1 о -1. Суммы по спинам равны -1" О 1 о Щр) = ^о Н E.5.36) E.5.37) E.5.38) поэтому антикоммутатор E.5.20) дается выражением Н {[-7*4 + тЩпА(х - у). E.5.39) Вернемся теперь к тому требованию, что при пространственной инверсии поле ф(х) должно преобразовываться в поле, пропорцио- пропорциональное ф(&х). Для этого необходимо, чтобы фазы в уравнениях E.5.15) и E.5.16) совпадали, поэтому внутренние четности частиц и их античатиц должны быть связаны соотношением 77е = -77*. E.5.40) Т.е. внутренняя четность 7777е связанного состояния частицы спи- спина 1/2 и ее античастицы отрицательна. Именно поэтому такие ме- мезоны как р° и J/ф, обладающие отрицательной четностью, могут быть интерпретированы как связанные сотояния пар кварк-антикварк. Из уравнений E.5.15) и E.5.16) теперь следует закон преобразования причинного дираковского поля при пространственной инверсии: lljjyjbjl — // LJ ШI <_s JL I. yO.O.^A-l Прежде чем двигаться дальше, отметим, что согласно E.5.14), E.5.33) и E.5.26) функции и(р,а) и г?(р,сг) являются собственными вектора- векторами оператора —ip^j^/m с собственными значениями +1 и —1 соответ- соответственно: (гр^Ъ + гп)и(р, а) = 0, (-фм7д + rn)v(p, a) = 0. E.5.42) Из этого следует, что поле E.5.34) удовлетворяет дифференциально- дифференциальному уравнению (^д^+т)<ф(х) =0. E.5.43) Это и есть знаменитое уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2. С нашей точки зрения уравнение Дирака есть просто лоренц-инвариантная запись соглашения, использованного для на- нахождения поля, обладающего простыми трансформационными свой- свойствами относительно преобразования инверсии. Рассматриваемое по- поле построено из двух полей, преобразующихся по неприводимым представлениям собственной ортохронной группы Лоренца.
§5.5. Причинные дираковские поля 253 Рассмотрим поведение дираковского поля при зарядовом сопря- сопряжении и обращении времени. Для этого нам понадобятся выражения для величин, комплексно-сопряженных килу. Эти функции дей- действительны при нулевом импульсе; однако матрица D(L(p)) комплекс- комплексна, т.е. при ненулевом импульсе и и v (вообще говоря) комплексны. Из E.4.41) мы видим, что для произвольного действительного uj^ в частности, D{L{p)Y = Заметим также, что C~1f3u@Ja) = —г?(О,сг) и C~1f3v@, a) = —и@,а), поэтому и*(р,<т) = -/^(р,а), E.5.44) у*(р,<т) = -/^u(p,a). E.5.45) Для того чтобы поле при зарядовом сопряжении преобразовывалось в поле, с которым оно коммутирует при пространственно-подобных интервалах, необходимо, чтобы четности частицы и античастицы при зарядовом сопряжении были связаны соотношением (аналогично про- пространственной четности): Г = Г- E.5.46) Тогда поле преобразуется по следующему закону: Сф(х)С~1 = -?*Р&Ф*(х). E.5.47) (Мы обозначаем эрмитово сопряженное поле в правой части ф*, а не ф^, как обычно, для того чтобы подчеркнуть, что имеется в виду стол- столбец, а не строка.) До сих пор мы считали, что частица и античастица различны и не рассматривали случай, когда они на самом деле идентичны. Такие частицы спина 1/2 называются майорановскими фермионами. Поль- Пользуясь теми же аргументами, что и при выводе E.5.47), легко получить условие действительности поля, описывающего такую частицу: ф(х) = -р&ф*(х). E.5.48) Внутренняя четность майорановских фермионов при пространствен- пространственной инверсии должна быть чисто мнимой, rj = ±г, в то время как чет- четность при зарядовом сопряжении — чисто действительной, ? = =Ы. Внутренняя четность относительно зарядового сопряжения ча- частиц, которые являются связанными состояниями "элементарной" ча- частицы и ее античастицы, может быть различной для случаев фермио- фермионов и бозонов. Такие состояния можно записать в виде Ф = У I d р I d р х(р?о\Р 1® )а (р?СГ)^'С (р -,& )Ф(ь а,а'
254 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы где Фо — вакуум. При зарядовом сопряжении такое состояние преоб- преобразуется в Переобозначая переменные интегрирования и суммирования и поль- пользуясь условием E.5.46), получаем а,а' Таким образом, четность связанного состояния дираковской части- частицы и ее античастицы при зарядовом сопряжении отрицательна, т.е. если волновая функция \ этого состояния является четной или нечетной относительно перестановки импульсов и спинов частицы и античастицы, то применение оператора зарядового сопряжения к та- такому состоянию дает его же с множителем —1 или +1 соответствен- соответственно. Классической иллюстрацией этого утверждения является пози- позитроний — связанное состояние электрона и позитрона. Два низших состояния позитрония с очень близкими энергиями имеют нулевой ор- орбитальный момент, но отличаются полным спином: состояния с s = О и s = 1 известны как пара- и орто-позитроний. Волновая функция каждого из этих состояний является четной относительно переста- перестановки импульсов; для пара-позитрония она четна относительно пе- перестановки z-компонент спинов, а для орто-позитрония — нечетна. Таким образом, четность пара-позитрония равна С = +1, а орто- позитрония — С — — 1. Эти значения замечательно подтверждаются экспериментом: пара-позитроний быстро распадается на два фотона (для каждого из которых С = —1), в то время как орто-позитроний распадается гораздо медленнее на три и более фотонов. Точно так же, мезоны р° и со0 могут быть обнаружены как резонансы при электрон- позитронной аннигиляции через однофотонное промежуточное со- состояние и поэтому должны иметь четность С = — 1, что согласуется с их интерпретацией как связанных состояний пары кварк-антикварк с нулевым орбитальным моментом и полным спином 1. Теперь перейдем к обращению времени. Напомним закон преобра- преобразования операторов рождения античастицы и уничтожения частицы (см. D.2.15)): Tafa*)!-1 =С(-1I/2-аа(-р,-<т), E.5.49) Tact(p, (т)Т-1 = Cc(-lI/2"^act(-p, -a). E.5.50) Тогда при обращении времени поле E.5.34) преобразуется как
§5.5. Причинные дираковские поля 255 Для того чтобы выразить правую часть этого выражения через ф, перейдем к переменной интегрирования — р и индексу суммирова- суммирования —а. Нам потребуются выражения для и\{—р, — о) и v\{—p, — о) через 1А/(р, а) и и/(р, <т) соответственно. Чтобы найти их, воспользуем- воспользуемся тем, что J*° антикоммутирует с /3 и коммутирует с 75? a также недавним результатом для D(L(p))* и запишем: D*(L(-p)) = l5/3D*(L(p))/3l5 = Далее, уравнения E.4.36), E.5.35), E.5.36) дают 75^-^@, -а) = (-l^-'XO, поэтому 1/2 E.5.51) E.5.52) Для того чтобы дираковское поле преобразовывалось в поле, пропор- пропорциональное исходному, взятому в точке с обращенным временем, необ- необходимо выполнение соотношения С = С E-5.53) и тогда Тф(х)Т~1 = -Съ^Ф{-^х). E.5.54) Теперь рассмотрим способы построения плотностей взаимодействий для дираковских полей (эти плотности, конечно, должны быть ска- скалярами). Как мы уже отмечали, представление Дирака неунитарно, поэтому ф^ф не является скаляром. Для того чтобы обойти эту труд- трудность, удобно рассмотреть сопряженное поле, умноженное на /?: ф = ф^C. E.5.55) Из условия псевдоунитарности E.4.32) получаем, что составленные с использованием ф билинейные комбинации преобразуются под дей- действием группы Лоренца следующим образом: ио(А)[ф(х)Мф(х)]ио-1(А) = ^(AxWAjM^-^AMAx). E.5.56) Также, для пространственной инверсии имеем Р[ф(х)Мф(х)]р-1 = ф(&>х)РМРф(&х). E.5.57) Следовательно, выбирая в качестве матрицы М матрицу 1, 7м? J^v •> 757^ или 755 мы получим билинейную комбинацию фМф, которая преобразуется как скаляр, вектор, тензор, аксиальный вектор и псев- псевдоскаляр соответственно. (Приставки "аксиальный" и "псевдо" пока- показывают, что свойства этих объектов при пространственной инверсии отличаются от свойств обычных векторов и скаляров: псевдоскаляр
256 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы обладает отрицательной четностью, а пространственная и временная части аксиального вектора имеют соответственно положительную и отрицательную четности.) Все эти результаты непосредственно при- применимы и к случаю, когда два входящих в билинейную комбинацию фермионных поля соответствуют различным частицам; единственное отличие состоит в том, что при пространственной инверсии появляет- появляется дополнительный множитель, равный отношению внутренних чет- ностей частиц. Например, построенная Ферми теория бета-распада содержит плот- плотность взаимодействия фр'у^'фпФе'У^Фи- Как выяснилось впоследствии, наиболее общий вид сохраняющего четность и не содержащего про- производных лоренц-инвариантного взаимодействия для теории бета- распада дается приведенным выражением, где вместо 7д может стоять любая из матриц 1, 7м •> J^b\ 7б7м или 75- (Мы определили опера- оператор пространственной инверсии таким образом, что протон, нейтрон и электрон имеют четность +1. Если нейтрино — безмассовая ча- частица, то можно считать ее четность также равной +1, так как при необходимости в качестве поля нейтрино можно взять 75 Vv •) Подвергнув сомнению закон сохранения четности, в ^956 г1_Ли и Янг [7] показали, что возможны также взаимодействия фрМфпфеМф» и 'фрМ'фп'феМ'у5'ф1У, где М принимает значения 1, 7м, J^h', 7б7м или 75- Наконец, изучим свойства таких билинейных комбинаций при за- зарядовом сопряжении. Пользуясь E.5.47) и E.4.35)-E.4.39), получим: E.5.58) причем для матриц 1, 75 7д? 75 в последнем выражении надо выби- выбирать знак "+", а для 7д и J^v — знак "—". (Знак минус в первой стро- строке появился из-за ферми-статистики. Мы также опустили с-числовой антикоммутатор.) Поэтому бозонное поле, которое взаимодействует с током фМф, должно обладать зарядовой четностью С = +1 для то- тока, являющегося скаляром, псевдоскаляром или аксиальным векто- вектором, и четностью С = — 1 для тока, являющегося вектором или анти- антисимметричным тензором. Из этого рассуждения понятно, почему тг°, который взаимодействует с псевдоскалярным или аксиальным током нуклонов, имеет С = +1, в то время как для фотона С = — 1. § 5.6. Неприводимые представления однородной группы Лоренца В этом параграфе мы не будем ограничиваться векторным и дира- ковским полями и рассмотрим общий случай поля, которое преобра- преобразуется по произвольному неприводимому представлению однородной
§5.6. Неприводимые представления однородной группы Лоренца 257 группы Лоренца. Любое поле можно построить как прямую сумму таких неприводимых полей. Любое представление однородной ортохронной группы Лоренца (или, точнее, ее алгебры Ли) задается набором матриц произвольного размера J^u, удовлетворяющих тем же коммутационным соотноше- соотношениям E.4.4), что и генераторы группы: (Конечно, J^y — — JVVL, а индексы J^, как всегда, поднимаются и опус- опускаются сверткой с r]^v или Tj^y.) Для начала разделим шесть незави- независимых компонент J^y на два 3-вектора: матрицы поворотов (вектора момента) &^ = ^23 5 ^2 — *0Ъ\-> ^Ъ = ^12 E.6.2) и бустов j^ = ^1Oj Jf2 = ^f2O5 j^ = J^. E.6.3) Тогда E.6.1) можно переписать как [/u/j]=itijk/k, E.6.4) - 7v... jfs (к а к\ - ljizijk'yi/k') yo.Kj.o) -ieijkfk, E.6.6) где г, j, к пробегают значения из множества {1,2,3}, а е^к — полно- полностью антисимметричный тензор с 6123 = +1- Уравнение E.6.4) лишь выражает тот факт, что матрицы J образуют представление подгруп- подгруппы вращений группы Лоренца, а E.6.5) — тот факт, что К являет- является 3-вектором. Знак "—" в правой части E.6.6) обусловлен тем, что ?7оо — — 1; этот минус играет очень важную в этом параграфе! Вместо матриц J и К удобно рассматривать два других 3-вектора: \ E-6.7) \ E.6.8) Как легко видеть, коммутационные соотношения E.6.4)—E.6.6) при- принимают вид: №,*/j]=ieijk*/k, E.6.9) [^h^j]=ieijk^k, E.6.10) [<^] = 0, E.6.11) Иначе говоря, матрицы А и В образуют два представления алгебры SUB), т.е. соответствуют спинам двух невзаимодействующих частиц. (Фактически алгебра Ли группы Лоренца изоморфна прямой сумме двух алгебр SUB).) Занумеруем строки и столбцы этих матриц парой 17 С.Вайнберг. Т. 1
258 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы целых или по л у целых чисел а, 6, пробегающих значения а = -А, -А + 1, ..., +А, E.6.12) Ъ = -В, -В + 1, ..., +Я,. E.6.13) Тогда1): l^ E.6.14) E.6.15) где j(A) и j(B) — стандартные спиновые матрицы для спинов А и В, CCА))а>а=а6а/а, E.6.16) 4А) ^А) a + l), E.6.17) и аналогично для j(B). Таким образом, представление задается парой целых или полуцелых чисел Аи В. Размерность представления (А, В) равна BА + 1)BЯ + 1). Конечномерные представления однородной группы Лоренца неуни- неунитарны. Действительно, матрицы А и В эрмитовы, поэтому J — эрми- эрмитова матрица, аК- антиэрмитова. Это вызвано наличием г в E.6.7) и E.6.8), которое обусловлено знаком "—" в E.6.6). В конечном сче- счете причина в том, что однородная группа Лоренца — это не группа четырехмерных вращений 50D). Она изоморфна некомпактной груп- группе 50C,1), а конечномерные унитарные представления имеет толь- только компактная группа (если не принимать во внимание представле- представлений, в которых некомпактная часть группы действует тривиально). Но в том, что мы имеем дело с неунитарным представлением, нет ни- ничего страшного — нас интересуют поля, а не волновые функции, кото- которые обязательно должны иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму. Напротив, группа вращений имеет унитарные представления, при- причем генераторам соответствуют эрмитовы матрицы: /=$/ + т. E.6.18) Очевидно, что поле, преобразующееся по представлению (А, В) одно- однородной группы Лоренца, имеет компоненты, которые при вращениях г) Можно воспользоваться альтернативным формализмом, который основан на том, что представление группы вращений спина j (или, как го- говорят в математике, старшего веса j) представляет собой симметризованное произведение 2j представлений спина 1/2 — т.е. симетричный SU^2)-тензор с 2j индексами, каждый из которых принимает 2 значения. Таким образом, можно записывать преобразующиеся по представлению (А, В) поля с 2А двузначными индексами, соответствующими представлениям A/2, 0), и 2В индексами (помеченными сверху точками), соответствующими представле- представлениям @,1/2).
§5.6. Неприводимые представления однородной группы Лоренца 259 соответствуют спину j с j = А + В, А + Я-1, ..., \А-В\. Переведем все сказанное выше на более привычный язык тензо- тензоров и спиноров. Например, поле типа @,0), очевидно, есть скаляр с единственной компонентой j = 0. Поле типа A/2,0) или @,1/2) может иметь только j = +1/2; таковы верхняя G5 = +1) и нижняя G5 = —1) компоненты дираковского спинора. Поле типа A/2,1/2) содержит компоненты с j = 1 и j = 0, которые соответствуют про- пространственной v и временной v° компонентам 4-вектора v^. Вооб- Вообще, поле типа (А, А) имеет компоненты только с целыми спинами 2А, 2А — 1,..., 0 и соответствует бесследовому симметричному тензо- тензору ранга 2А. (Отметим, что количество независимых компонент сим- симметричного тензора ранга 2А в четырех измерениях равно 4-5... D +2,4-1) _ C + 2,4)! B,4)! ~ 6B,4)! ' а условие бесследовости уменьшает их число до C + 2,4)! _ A + 2,4)! ( п2 6B,4)! 6B,4-2)! У Ч как и должно быть для поля типа (А, А).) Еще один пример: поле типа A,0) или @,1) может иметь только j = 1; оно отвечает антисим- антисимметричному тензору i7^, который удовлетворяет следующему обес- обеспечивающему неприводимость условию "дуальности": (для типов A,0) и @,1) соответственно). Конечно, лишь в четырех из- измерениях антисимметричный тензор F^v можно разделить на "само- "самодуальную" и "антисамодуальную" части. Общий тензор ранга N преобразуется как прямое произведе- произведение N 4-векторных представлений A/2,1/2). Поэтому его можно разложить (с помощью подходящих процедур симметризации, анти- антисимметризации и вычитания следа) на неприводимые представления (А, В)сА = N/2, N/2 - 1, ... и В = N/2, N/2 - 1, ... Таким образом мы можем получить любое неприводимое представление (А, В), где А 0 В целое. Спиновые представления, для которых А + В — поло- половина нечетного числа, можно построить, раскладывая на неприво- неприводимые представления прямое произведение тензорных представлений и дираковского представления A/2, 0) © @,1/2). Например, прямое произведение векторного A/2,1/2) и дираковского A/2, 0) © @,1/2) представлений дает спинор-вектор ^м, который преобразуется по представлению A/2,1/2) ® [A/2,0) Ш @,1/2)] = A/2,1) 0 A/2,0) ф A,1/2) 0 @,1/2). 17*
260 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Величина 7/i^/j/i преобразуется как обычное A/2, 0) © @,1/2) дираков- ское поле, поэтому мы можем выделить представление2) A/2,1H 0 A,1/2), потребовав выполнения условия 7/i^/j/i = 0- Тогда мы полу- получим поле Рариты-Швингера [9]. До сих пор в этом параграфе мы рассматривали представления собственной ортохронной группы Лоренца. В любом представлении группы Лоренца, содержащей пространственную инверсию, должна быть матрица /3, которая меняет знаки тензоров с нечетным числом пространственных индексов. В частности, = -Ж. E.6.19) В терминах матриц E.6.7) и E.6.8), 1 1 = ^. E.6.20) Поэтому неприводимое представление (А, В) ортохронной груп- группы Лоренца не является представлением группы Лоренца, содержа- содержащим пространственную инверсию, если А ф В. Как мы видели выше, представления (А, А) соответствуют скаляру, вектору и симметрич- симметричным бесследовым тензорам. При А ф В неприводимые представле- представления группы Лоренца, включающей пространственную инверсию, есть прямые суммы (А, В) 0 (В, А) размерности 2BА + 1)BВ + 1). Приме- Примером является дираковское представление A/2,0) 0 @,1/2). Матрица E.4.29) размера 4x4 дает ^-матрицу для этого представления. Дру- Другой знакомый пример — представление A,0) 0 @,1), которое, как мы видели, представляет собой антисимметричный тензор второго ранга, включающий как самодуальную, так и антисамодуальную части. §5.7. Причинные поля: общий случай1) Теперь мы перейдем к построению полей, преобразующихся по описанным в предыдущем параграфе неприводимым представлениям (А, В). Индекс I следует заменить на пару индексов а, 6, возможные значения которых определяются E.6.12) и E.6.13), так что поля при- 2) В соответствии с уравнением E.6.18), такое поле преобразуется при обычных вращениях как прямая сумма двух компонент с j = 1/2 и двух с j = 3/2. Удвоение устраняется уравнением Дирака [judu + т]ф^ = 0; оставшаяся компонента с j = 1/2 устраняется наложением условия дцф^ = = 0. Если все эти условия выполнены, поле описывает одну частицу спи- спина j = 3/2. :) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§5.7. Причинные поля: общий случай 261 нимают вид фаЬ(х) = Bтг)-3/2^ j'd3p[Ka(p,a)eip-xuab(p,a) + а + Аас*(р, a)e-ip-xvab{p, a)], E.7.1) где киА — произвольные постоянные. Мы не исключаем возможность того, что частица является своей собственной античастицей, в этом случае ас(р,сг) = а(р,сг). Нашей первой задачей будет нахождение коэффициентных функ- функций иаъ@,сг) и уаъ(О,(т) для нулевого импульса. Основные соотноше- соотношения E.1.25), E.1.26) для и@, а) и v@,a) имеют вид а,Ь a a,b При помощи E.6.14), E.6.15) получаем ? и-аЬ@, аK(? = J2 4аЧь@, ^) Но уравнение E.7.2) является определяющим соотношением для коэффициентов Клебша-Гордана Cab(Jo", ob)\ Эти коэффициенты за- задаются следующим условием: если состояния Фа^ преобразуются при инфинитезимальном вращении согласно то под действием того же самого вращения состояние Ф^ = У^ CaB(jcf; аЪ)^аъ аЪ преобразуется согласно Из E.7.2) следует, что коэффициенты иаь@,а) удовлетворяют этому условию; следовательно, с точностью до коэффициента пропорцио- пропорциональности иаъ@, а) совпадает с Сав(]&] оЬ). Коэффициент обычно вы- выбирают так, что uab@, a) = Bm)-1/2CAB(ja; ab). E.7.4)
262 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Этот вариант является единственно возможным, поскольку каждое неприводимое представление (А, В) однородной группы Лоренца со- содержит представление данного спина j с кратностью не выше еди- единицы. Далее, из соотношений E.6.16), E.6.17) получаем следующее выражение для матриц, комплексно-сопряженных к матрицам угло- углового момента: -•e* = (-ir-"'j^,_ff,. E.7.5) Отсюда следует, что после подстановки (—iy~avab(p, — сг) в уравне- уравнение E.7.3) последнее приобретает тот же вид, что и E.7.2). При соот- соответствующем выборе коэффициента пропорциональности единствен- единственным решением для v@,a) будет г;а6@, а) = (-1)'+"ио6@, -а). E.7.6) Теперь нам нужно проделать буст для вычисления коэффициентных функций, соответствующих ненулевому импульсу. При фиксирован- фиксированном направлении р = р/|р| параметры буста B.5.24) могут быть вы- выражены через величину 0, определенную согласно ch<9 = vV+mVm, sh<9=|p|/m. E.7.7) Вместо L^jy(p) мы можем писать L^vF), где E.7.8) L°o@) = ch<9. Преимущество такой параметризации в том, что Ь(в)Ь{в) =L@ + 0). E.7.9) Для бесконечно малого в имеем [L(#)]% ->• ^v + оо^„, где оог0 = oo°i = = piO и uj1 j = оо°о = 0. При помощи тех же аргументов, что привели нас от B.2.24) к B.2.26), получаем D(L(p)) = ехр(-г • р • Жв). E.7.10) Это верно для любого представления группы Лоренца. Для неприво- неприводимого представления (А, В) из E.6.7) и E.6.8) следует, что 1Ж = ?$-т E.7.11) и, поскольку ?# и 88 коммутируют, D(L(p)) = ехр(-р • я/в) ехр(+р • Я6). E.7.12) Пользуясь E.6.14) и E.6.15), можно переписать это равенство в более подробном виде D(L(p))a,b-,ab = (ехр(-р • Л<л)^))а,а(ехр(+р • 3{в)в))ь,ь. E.7.13)
§5.7. Причинные поля: общий случай 263 Из E.7.4) и E.7.6) получаем тогда для соответствующих произволь- произвольному импульсу коэффициентных функций выражения , a) = -J== ?)(exp(-p ' j(A)°))aa' (exp(+p xCAB(ja;ab) E.7.14) и Vab(p, <т) = (-l)j+auab(p, -a). E.7.15) Мы представили явные формулы для поля заданного типа (А, В), так что такое поле E.1.31) единственно с точностью до выбора постоян- постоянных множителей киА. В этом формализме очень легко строить лоренц-инвариантные скалярные взаимодействия. Представление (А, В) однородной груп- группы Лоренца является прямым произведением представлений (А, 0) и @, В), так что из общих формул для преобразований Лоренца E.1.6) и E.1.7) получаем DZ'(^1)D°bBb'(A-1)^a'b'(Ax). E.7.16) a'b' Далее, из E.6.14) и E.6.15) следует, что матричные генераторы для представлений (А, 0) и @, В) есть просто спиновые матрицы для спи- спинов А и В соответственно. Поэтому мы можем строить скаляры вида Y1 {'Ф{ 9а1а2...ап]Ь1Ь2...Ьп'ф{агЬ1'Ф{а2Ь2 " '^Ъп^ E.7.17) полагая gaia2...an;b1b2...bn равным произведению коэффициента, задаю- задающего скалярное спаривание спинов А\, А2,..., Ап, и коэффициента, задающего скалярное спаривание спинов Bi, В2,..., Д/у. (Хотя мы в явном виде и не рассматриваем взаимодействия, включающие про- производные полей, мы все же получим в результате самое общее взаимо- взаимодействие п полей, так как для производной поля типа (А, В) можно привести не содержащее производных выражение через поля других типов.) Например, самый общий лоренцов скаляр, построенный из произведений трех полей типов (Ai,Bi), (^2,^2) и (Аз,Вз), равен v~^ v~^ (А\ А2 А<$\ (В\ В2 2-^ 2-^ \а\ а2 а%J \bi Ъ2 а\а2аз 616263 и содержит единственный свободный параметр д. Это самый об- общий вид взаимодействия трех полей. (Скобки в E.7.18) обозначают З^'-символы Вигнера [10] h h J mi m2 n m3 при помощи которых можно образовать скаляр из трех спинов.)
264 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Для того чтобы 5-матрица была лоренц-инвариантной, недоста- недостаточно потребовать, чтобы плотность гамильтониана взамодействия Ж{х) была скаляром, как в E.7.18). Необходимо еще, чтобы Ж{х) коммутировала с Jf?(y) при х и у, разделенных пространственнопо- добным интервалом. Чтобы понять, как можно удовлетворить этому условию, рассмотрим коммутатор или антикоммутатор двух полей, соответствующих частицам одинакового типа — поля ф типа (А, В) и поля ф^ сопряженного к полю ф типа (А, В). Имеем = Bтг)-3 Id3pBp°r1nablfb(p)[KK*ei^-y'> T АА*е-*-(*-»>], E.7.19) где для бозонов выбирается верхний знак, а для фермионов — ниж- нижний. Спиновая сумма тг(р) равна E7.20) (Мы допускаем отличные от к и Л значения коэффициентов И и Л для поля ф.) Подробнее, а'Ь' а'Ь' " х (ехр(-р- Л(А)в))„„.(ехр(+р- 3(в)в))ьь' х х (ехр(-р ¦ 3{А)в))ъъ, (ехр(+р ¦ 3(в)в))Гь,. E.7.21) Функция тг(р) была найдена в явном виде [11]. Для нас важно, что она равна значению некоторой полиномиальной функции Р от р и р° на массовой оболочке: , , +^), E.7.22) и что четность функции Р определяется четностью 2А + 2В: Р(-Р, -Р°) = (-1JА+2ёР(р,Р°). E.7.23) Мы проверим это для одного фиксированного направления р. Счи- Считая р направленным вдоль третьей координатной оси, из E.7.21) по- получаем ^^(р) = ^2 cab(Jv, ab)CIe(ja,ab) exp([-a + b-a + b]O). а Коэффициенты Клебша-Гордана обращаются в нуль, если только не выполнены одновременно условия о~ = а + Ьио~ = а + Ь, так что мож-
§5.7. Причинные поля: общий случай 265 но сделать замену -a+b-a+Z= -2а + а + 2Ь - а = 2Ь - 2а. Так как ехр(=Ь#) = (р° ±р3)/т, имеем = ? CABii*, аЪ)СЯЁЬ«, аЬ) где р° = л/р2 + т2. Видно, что тг(р) в самом деле равно значению по- полиномиальной функции Р(р,р°), взятому в лежащей на массовой обо- оболочке точке. Кроме того, 2Ъ — 2а равно 2В + 2А минус четное целое, так что полиномиальная функция удовлетворяет условию E.7.23). Любой многочлен от р и л/р2 + т2 можно записать в виде вы- выражения, линейного по л/р2 + т2, выразив через р четные степени л/р2 + т2. Следовательно, тг(р) можно представить в виде где Р и Q — многочлены только от р, причем Р(-р) = (-1JЛ+2ёР(р), E.7.25) Q(-P) = -(-lJA+2eQ(p). E.7.26) Для пространственноподобного интервала х — у можно выбрать ло- ренцеву систему отсчета, в которой х° = у0. Коммутатор E.7.19) то- тогда примет вид = [кк* =f (-lJA+25AA*]Pa6^(-iV)A+(x - у,0) + + [««* ± (-lfA+™\\*]Qab ~~b(-iV)e3(x - у). Для обращения этой величины в нуль при х/у нужно, чтобы вы- выполнялось соотношение кк* = ±(-1JА+2ё\\*. E.7.27) Рассмотрим теперь частный случай тождественных ф и т/>, ко- когда А — А и В — В. (Подобные коммутаторы неизбежно входят в [Jf?(x),Jf?(y)], так как содержащий ф эрмитов гамильтониан должен содержать и ф^.) В этом случае из E.7.27) следует, что Н2 = ±(-1JЛ+21|А|2. Такое возможно тогда и только тогда, когда ±(-1JЛ+21 = +1 E.7.28)
266 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы и И2 = |Л|2. E.7.29) Так как 2А + 2В отличается от 2j на четное целое число, равенство E.7.28) означает, что наша частица является бозоном при четном 2j и фермионом при нечетном 2j. Это общая связь между спином и ста- статистикой [12], частные случаи которой встречались нам при рассмот- рассмотрении скалярного, векторного и дираковского полей. Вернемся теперь к общему случаю, когда поля ф и ф могут быть различными. Из E.7.27) после деления обеих частей на \к,\2 = |Л|2 по- получаем Из этого следует, что для любого поля \=(-1JВск, E.7.30) где постоянная с одинакова для всех полей, соответствующих данной частице. Далее, из E.7.29) следует, что с есть лишь фазовый множи- множитель, \с\ = 1. Поэтому можно полностью исключить все постоянные с, переопределив относительные фазы операторов а(р, а) и ас^(р, а) всех полей так, чтобы было с = 1 (при этом Л = (—JВк.) От множителя к, также можно избавиться, соответствующим образом изменив масштаб поля. С учетом всего сказанного получаем единственное с точностью до общего множителя выражение для поля типа (А, В), соответствую- соответствующего заданной частице: фаЬ{х) = Bтг)' J а + (-lJBvab(p, a)ac\p, a)e~ip-x]. E.7.31) Различные поля, соответствующие одной и той же частице, на са- самом деле не представляют физически различные возможности. На- Например, для j = 0 допустимы поля типа (А, А) (поскольку из нера- неравенства треугольника \А — В\ ^ j ^ A + В следует А = В.) Начав со скалярного поля ф типа @,0), можно построить поля типа (А, А) из производных порядка 2А {д^ ...д^2А}ф, E.7.32) где { } обозначает взятие бесследовой части — например, (Напомним, что бесследовый симметричный тензор ранга N преоб- преобразуется по представлению (JV/2,iV/2).) Но E.7.31) — единственное причинное поле типа (А, В) для заданной частицы спина j, так что все поля типа (А, А) в E.7.31) для j = 0 с необходимостью являются
§5.7. Причинные поля: общий случай 267 линейными комбинациями производных порядка 2А E.7.32) скаляр- скалярного поля ф. Вообще, любое поле типа (А,В), соответствующее некоторой ча- частице спина j, может быть представлено в виде дифференциального оператора ранга 25, действующего на поле фа{х) типа (j, 0) (или в ви- виде дифференциального оператора ранга 2А, действующего на поле типа @, j)) [13]. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим поле {дЙ1...д^2В}^. E.7.33) Оно преобразуется по прямому произведению представлений (В, В) и (j, 0), и согласно правилу векторного сложения может быть разложено по полям, преобразующимся по неприводимым представлениям (А, В) с \j - В\ ^ А ^ \j + В\ (или, эквивалентно, \А - В\ ^ j ^ \А + В\). Но поскольку формула E.7.31) дает единственное поле типа (А, В) для заданной частицы спина j, оно с необходимостью совпадает с по- полем типа (А, В), полученным в E.7.33) при помощи дифференциро- дифференцирования2). Изучим теперь поведение построенных полей относительно раз- различных дискретных преобразований, начиная с пространственной ин- инверсии. Согласно результатам §4.2, операторы рождения частиц и уничтожения античастиц обладают следующими трансформационны- трансформационными свойствами относительно пространственной инверсии: Ра(р, а)?'1 = ту*а(-р, сг), E.7.34) Pact(p,a)p-1 =7?cact(-p,a), E.7.35) 2) Это рассуждение теряет силу в единственном случае — когда какое- либо полученное таким способом поле типа (А, В) на самом деле оказы- оказывается нулевым. Но тогда поле фа типа (j, 0) удовлетворяет уравнению и, следовательно, при любом а имеем J2Ma(ip)U(T(p,a) = 0. Для представления (j,cr) коэффициент Клебша-Гордана Cjo(ja,aO) есть просто символ Кронекера S^a, так что что возможно только при обращении всех Ma(ip) в нуль, поскольку матри- матрица D(A) имеет обратную ^(Л). Поэтому поле фа(х) типа (j, 0) не удовле- удовлетворяет никакому полевому уравнению, кроме уравнения Клейна-Гордона —т фа(х) = 0, а возникающие в E.7.33) поля типов (А, В) все ненулевые.
268 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы где г\ и rf — внутренние четности частицы и античастицы соответ- соответственно. Поэтому оператор четности Р переводит общее причинное поле типа (А, В) в поле Мы намерены перейти от переменной интегрирования р к — р, для че- чего нам нужны выражения для иаъ{—р,сг) и ^а&(—р). Чтобы получить их, вспомним формулы E.7.14), E.7.15) и воспользуемся свойством симметрии коэффициентов Клебша-Гордана [14] CAB(ja;ab) = (-l)A+B-jCAB(ja;ba). E.7.37) Имеем и?в(-р,а) = (-l)A+B-iuBA(p,a), E.7.38) vAB(-p,a) = (-l)A+B-ivBA(p,a), E.7.39) так что E.7.40) где, как и ранее, ^ж = (—х,ж°). Мы получили аналогичное E.7.31) выражение для значения причинного поля ф^аЛ в точке &х, за ис- исключением того, что коэффициенты при операторах рождения и уни- уничтожения могут отличаться от коэффициентов в E.7.31). Но эти коэф- коэффициенты должны совпадать с точностью до постоянного общего множителя, поскольку с точностью до изменения масштаба E.7.31) представляет собой единственное причинное поле заданного типа. По- Поэтому отношение коэффициентов при двух слагаемых в E.7.40) долж- должно совпадать с соответствующим отношением в E.7.31) — с заменой В на А, так как мы должны получить поле типа (В, А): rf (-1JВА?* = (-1JА. E.7.41) Но А — В отличается от спина j на целое число, так что т,с=т1*{-1J*. E.7.42) Частные случаи этого результата встречались нам в §§5.2, 5.3 и 5.5 (для j = 0, j = 1 и j = 1/2 соответственно.) Теперь мы видим, что и в общем случае внутренняя четность rjcrj пары частица-антича- частица-античастица равна +1 для бозонов и —1 для фермионов. Из E.7.42) и E.7.40)
§5.7. Причинные поля: общий случай 269 получаем окончательный ответ для пространственной инверсии: Рассмотрим приложения этих результатов к полю Дирака. Для верхней A/2,0) и нижней @,1/2) компонент дираковского поля знак (—\)А+В~э равен +1, так что оператор четности просто переводит х в —х, переставляет верхнюю и нижнюю компоненты и умножает все поле на ту*. Перестановка верхней и нижней компонент осуществляет- осуществляется при помощи матрицы /3 из E.5.41). Перейдем теперь к зарядовому сопряжению. Его действие на опе- операторы уничтожения частиц и рождения античастиц задается фор- формулами )С~1=Сас(р,а), E.7.44) г)*! =^caf(p,cr), E.7.45) где ? и ?с — четности соответственно частицы и античастицы относи- относительно зарядового сопряжения. Применяя это преобразование к по- полю E.7.31), находим а х [Cac(p,a)eip-x+f]c(-lJBa^(p,-a)(-iy-ae-ip-x}. E.7.46) Полезно сравнить результат зарядового сопряжения поля типа (А, В) с результатом эрмитового сопряжения поля типа (??, А) для частицы того же вида х [(-1JЛ(-1>'-'7ас(р, -a)eip-x + аЦр, a)e-ip-x]. E.7.47) Для нахождения и* воспользуемся полученным ранее соотношением Коэффициент Клебша-Гордана в E.7.14) действителен, так что ufaA(p,a)* = -^==^(exp(-p-J^0))_a,_a-(exp(p-j(BH))_;,,_6, х x(-l)a'-a(-l)b'-bCBA(ja;b'a'). Используя свойство симметрии коэффициентов Клебша-Гордана [14] CbaU, -<г, -Ь', -а') = CAB{jo; а'Ь') E.7.48) и обращение их в нуль при а' + Ь' ф а, запишем и*?_а(р, -а)* = {-1Т+ь-"иАъв{р, а). E.7.49)
270 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Для эрмитово-сопряженного поля E.7.47) получим тогда (после заме- замены а —У —а, Ъ —У —6, а —У —а) х [(-lJA(-iy+°ac(p,a)eip-x С учетом равенства ( — )~2А~з = ( — JB+i имеем \v,-a)e-ilp-x]. E.7.50) Для того чтобы коммутатор или антикоммутатор поля Сгф^{х)С~1 с обычными полями обращался в нуль при пространственноподобном интервале между соответствующими точками пространства—времени, необходимо, чтобы это поле было пропорционально ф_^ _а(х) (так как последнее является сопряженным к единственному с точностью до множителя причинному полю типа (В, А)). Из сравнения E.7.50) с E.7.46) находим, что это возможно лишь если четности относитель- относительно зарядового сопряжения связаны посредством Г = Г- E.7-51) В этом случае СфЛьв(х)С-1 =е(-1)-2А-а-ЬЧФ-?1а(х)- E-7.52) Мы уже встречались с соотношением E.7.51) при рассмотрении ча- частиц со спинами 0, 1 и 1/2 соответственно в §§ 5.2, 5.3 и 5.5 и отметили некоторые его следствия для состояний электрон-позитрон и кварк— антикварк в § 5.5. В частности, для частицы, являющейся своей собственной анти- античастицей, равенство E.7.52) выполняется и в отсутствие оператора зарядового сопряжения в левой части и фазы ?* в правой: Ф^(Х) = (-i)-2A-a-b-4B_tUx)- E-7-53) Примеры подобных условий действительности уже встречались нам при рассмотрении майорановских частиц спина 1/2 в § 5.5. Наконец, перейдем к операции обращения времени. На операторы уничтожения частиц и рождения античастиц она действует следую- следующим образом: Та(р,а)Т = C(-l)J~aa(-p, -a), E.7.54) Tact(p, a)!"-1 = Cc(-iy-CTact(-p, -a). E.7.55)
§5.7. Причинные поля: общий случай 271 Неприводимое поле E.7.31) имеет поэтому следующие трансформа- трансформационные свойства: Тф^ьв(х)Т-1 = Bтг)-3/2^ f' а х [С*а(-Р, -v)e-ip-x + Cc(-lJjBact(-p, -a)eip-x]. E.7.56) Чтобы найти комплексно-сопряженную коэффициентную функцию, воспользуемся выражением E.7.14) и стандартной формулой [14] САв{з,о;а,Ъ) = (-l)A+B^CAB(j,-<T;-a,-b). E.7.57) Получаем иАВ*(-р,-а) = (-ir+b+°+A+B-iu*B_b(p,a). E.7.58) Заменяя в E.7.56) переменную интегрирования р на —р и индекс сум- суммирования а на —а, находим, что из условия пропорциональности результата применения оператора обращения времени к полю типа (А, В) выражению E.7.31) для общего поля типа (А, В) следует ра- равенство С = С- E-7.59) В этом случае ^C^l-b{^ ~А E-7.60) * * * Стоит отметить, что в полевых теориях с частицами спина j ^ 3/2 время от времени обнаруживались различные трудности [15]. Обыч- Обычно они возникали при изучении движения частицы высшего спина в с-числовом внешнем поле. В зависимости от конкретной теории, эти трудности включали нарушения причинности, внутреннюю противо- противоречивость, появление состояний с нефизической массой и нарушения унитарности. Я не буду здесь подробно обсуждать эти проблемы — на мой взгляд, они не имеют отношения к изложенной в этой главе схеме вычислений по следующим причинам. 1) Поля граь(х) строились непосредственно из операторов рожде- рождения и уничтожения физических частиц, так что вопросы о внутрен- внутренней противоречивости или состояниях с нефизической массой воз- возникнуть не могут. Мы построили свободные поля, но после введения в гамильтониан слагаемых, отвечающих за взаимодействие частиц, можно будет применить теорию возмущений в представлении вза- взаимодействия и вычислить элементы 5-матрицы, которые автомати- автоматически будут удовлетворять условию кластерной декомпозиции. Для эрмитовых гамильтонианов не возникает проблем с унитарностью.
272 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Лоренц-инвариантность гарантируется теорией возмущений при усло- условии, что мы добавим в плотность гамильтониана соответствующие локальные, но не ковариантные слагаемые; хотя строгое доказатель- доказательство этого факта отсутствует, нет причин сомневаться, что такое из- изменение плотности гамильтониана всегда возможно. Таким образом, проблемы с частицами высших спинов могут возникнуть только вне рамок теории возмущений. 2) Как будет обсуждаться в § 13.6, решение уравнений поля в при- присутствии с-числового внешнего поля (а именно в этом контексте встре- встретились все проблемы с частицами высших спинов) выходит за рам- рамки теории возмущений в том смысле, что результаты соответствуют суммированию совокупности бесконечного числа членов ряда теории возмущений. Такое частичное суммирование корректно даже для сла- слабых внешних полей, если они достаточно медленно меняются — ма- малость энергетических знаменателей компенсирует слабость поля. Но получаемые таким образом результаты зависят от всех деталей вза- взаимодействия частицы высшего спина с внешним полем: важны не только мультипольные моменты частицы, но и возможные нелиней- нелинейные по внешнему полю слагаемые в гамильтониане взаимодействия. Сообщалось [15] лишь о трудностях с частицами высших спинов, вза- взаимодействие которых с внешним полем произвольным образом при- принималось имеющим очень простой вид. Никто не доказал, что слож- сложности остаются и в случае произвольных взаимодействий; в гл. 12 мы увидим, что следует ожидать участия частиц высших спинов во всех взаимодействиях, не запрещенных из соображений симметрии. 3) Фактически имеются серьезные причины считать, что проблемы с частицами высших спинов исчезают в случае достаточно сложных взаимодействий с внешними полями. По крайней мере, нет сомнений в существовании частиц высшего спина — таковыми являются, напри- например, различные стабильные ядра и адронные резонансы. Если какие- либо сложности с высшими спинами и имеются, они должны возни- возникать только в случае "точечных" частиц, т.е. частиц, взаимодействия которых с полями имеют особенно простой вид. Следует помнить, что критерий "простоты" зависит от типа поля, при помощи которого мы представляем частицу высшего спина. Свободное поле произвольного типа для данной частицы может быть представлено в виде диффе- дифференциального оператора, действующего на поле любого другого типа, так что любое взаимодействие можно переписать в терминах полей произвольно выбранных типов; но взаимодействия, имеющие простой вид при записи через поля одного типа, могут сложным образом вы- выражаться через поля других типов. Так что требование простоты, по- видимому, не имеет объективного содержания. 4) Кроме того, теории типа Калуцы-Клейна в высоких размерно- размерностях и струнные теории дают примеры непротиворечивых теорий, в которых заряженная массивная частица спина два взаимодействует
§5.8. СРТ-теорема 273 с фоновым электромагнитным полем [16]. (Оказалось, что непротиво- непротиворечивость теории зависит от предположения о том, что внешнее поле удовлетворяет полевым уравнениям. В ранних работах этим обычно пренебрегали.) В нашей картине взаимодействий частица спина два представляется полем типа A,1); но, как мы отмечали выше, можно выразить взаимодействие в терминах любого поля типа (А, В), содер- содержащего представление группы вращений с j = 2. § 5.8. СРТ-теорема Как мы видели, релятивистская инвариантность совместно с кван- квантовой механикой требует существования античастиц. Это означает не только то, что каждой частице соответствует своя античастица (в случае истинной нейтральности совпадающая с ней самой). Имеет- Имеется точное соотношение между свойствами частиц и античастиц, ко- которое можно сформулировать в следующем виде: после того, как мы определенным образом выбрали инверсные фазы, произведение СРТ со- сохраняется при любых инверсиях. Это утверждение — ни что иное, как хорошо известная СРТ-теорема1). В качестве первого шага доказательства этого утверждения выяс- выясним, как произведение СРТ действует на свободные поля различных типов. Для скалярного, векторного и дираковского полей из §§5.2, 5.3 и 5.5 следует, что 1 = ССг1*фЧ-х), E.8.1) СРТ ^ (ж) [СРТ]-1 = -СЧ*Л*Ф1(-х), E.8.2) 4-x) E.8.3) (конечно, фазы ?, ? и г\ зависят от сортов частиц, описываемых каж- каждым из полей). Выберем фазы так, что для любых частиц (?г] = 1. E.8.4) Тогда произвольный тензор ф[1х[1^...[1п, являющийся прямым произве- произведением некоторого набора скалярных и векторных полей и их произ- х) Первоначальное ее доказательство было дано Паули и Людер- сом [17]. В рамках аксиоматической теории поля эта теорема была строго доказана [18]. В ходе доказательства сначала с целью расширить лоренц- инвариантность теории до комплексной группы Лоренца использовались предположения относительно комутативности, затем с помощью комплекс- комплексных лоренцевых преобразований доказывались свойства вакуумных сред- средних от произведений полей относительно преобразования отражения и, на- наконец, с помощью этих свойств было доказано существование антиунитар- антиунитарного оператора, индуцирующего СРТ-преобразование полей. 18 С.Вайнберг. Т. 1
274 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы водных преобразуется согласно 1 = (-1)»^ дге(_ж) E.8.5) (любой фигурирующий в структуре тензора комплексный численный коэффициент преобразуется в комплексно сопряженный, поскольку оператор СРТ антиунитарен). Легко видеть, что тензоры, составлен- составленные из билинейных форм дираковских полей, преобразуются согласно тому же правилу. Применяя соотношение E.8.3) к такой билинейной форме, получим х)У E-8.6) (знак минус из-за антикоммутации /3 и 75 уничтожается знаком минус, возникающим благодаря антикоммутации фермионных операторов). Если билинейная форма является тензором ранга п, то М — произ- произведение nmod2 матриц Дирака, и 75^75 — (—1)ПМ. Следовательно, она удовлетворяет уравнению E.8.5). Эрмитова скалярная плотность энергии взаимодействия Ж[х) должна содержать только тензоры с четным числом пространствен- пространственно-временных индексов, и поэтому СРТ Jf (^[СРТ]-1 = Ж(-х). E.8.7) Более общим (и несколько более простым) образом можно показать, что это справедливо для эрмитовых скаляров, составленных из по- полей ф^{х), которые принадлежат одному или нескольким неприво- неприводимым представлениям однородной группы Лоренца. С учетом полу- полученных в предыдущем параграфе результатов, касающихся действия преобразования инверсии на такие поля, находим = (-1JВ^ьвН-х). E.8.8) (в случае дираковского поля возникновение множителя (—1JВ обес- обеспечивается матрицей 75 B уравнении E.8.3)). Для того чтобы в произ- произведении ф'д^1(х)фа^2 (х)... можно было устроить спаривание, при- пригодное для построения скаляра Ж[х\ необходимо, чтобы и А\ + + А<± + ..., и В\ + ??2 + • • • являлись целыми числами. В этом случае (—1JБ1+2Б2+... — 1? и эрмитов скаляр Ж[х) автоматически удовле- удовлетворяет уравнению E.8.7). Из уравнения E.8.7) немедленно следует, что СРТ коммутирует с оператором взаимодействия V = f d3xJf?(x, 0): CPTVfCPT]-1 =V. E.8.9) Кроме того, в любой теории СРТ коммутирует с гамильтонианом сво- свободных частиц Hq. Таким образом, оператор СРТ, определенный здесь
§5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 275 согласно его действию на операторы, соответствующие свободным ча- частицам, действует на начальное и конечное состояния так, как опи- описано в § 3.3. Физические следствия соответствующей этому оператору симметрии обсуждались в §3.3 и §3.6. § 5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам До сих пор мы имели дело только с полями массивных частиц. Для некоторых из них (например, для скалярного и дираковского по- полей, обсуждавшихся в §5.2 и §5.5) переход к пределу нулевой массы не является особенной проблемой. С другой стороны, в § 5.3 мы ви- видели, что при переходе к безмассовому пределу для векторного поля частицы со спином 1 действительно возникает трудность: по меньшей мере одна из поляризаций в этом пределе стремится к бесконечно- бесконечности. Как мы увидим в этом параграфе, фактически для построения всех неприводимых (А, В) полей, соответствующих случаю конечной массы, нельзя использовать операторы рождения и уничтожения фи- физических состояний, соответствующих безмассовым частицам со спи- спином j ^ 1. Такое ограничение на типы полей естественным образом приведет нас к понятию калибровочной инвариантности. Как и в случае массивных частиц попробуем построить соответ- свующее безмассовой частице свободное поле как линейную комби- комбинацию операторов уничтожения а(р, а) частиц с импульсом р и спи- ральностью а и соответствующих операторов рождения античастиц1) ;/ d3p ^ + \ac\p,a)vi(p,a)e-ip-% E.9.1) где р° = |р|. Операторы рождения преобразуются точно так же, как одночастичные состояния в уравнении B.5.42) E.9.2) и(А)асЦр,а)и~1(А) = A/^-exp(iai9(p,A))act(pA,o-) E.9.3) ) Здесь мы имеем дело только с одним типом частиц и поэтому опус- опускаем индекс п. Кроме того, к, и Л — коэффициенты, которые должны быть найдены из условия причинности при некотором удобном выборе норми- нормировки функций щ и vi. 18*
276 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы и, следовательно, справедливо ф(—гсг0(р, Л))а(рл, сг), E.9.4) где р\ = Ар и в — угол, определяемый из уравнения B.5.43). Таким образом, если мы хотим, чтобы поле преобразовывалось по некоторо- некоторому представлению D(A) однородной группы Лоренца dA~1№i№)> E-9-5) функции и и v вместо E.1.19) и E.1.20) должны удовлетворять соот- соотношениям щ(рА,а) exp(iaO(p, A)) = J-^-- ^ D-u(A)ui(p, а), E.9.6) DliWviip,*) E.9.7) (снова предполагается, что р\ = Ар). Как и в случае массивных ча- частиц им можно удовлетворить, полагая (вместо E.1.21) и E.1.22)) ), E.9.8) ), E.9.9) где к — некоторый импульс, например, @, 0, к), а ??(р) — какое-нибудь преобразование Лоренца, переводящее состояние, описывающее без- безмассовую частицу с импульсом к в состояние с импульсом р. Кроме того, вместо уравнений E.1.23) и E.1.24) функции и и v должны удо- удовлетворять uj(k,a)exp(iaO(k,W)) = ^ D-u(W)ui(k, a), E.9.10) ^(k, a) exp(-iaO(k, W)) = ^ D-u(W)vi(k, a), E.9.11) где Wjf — произвольный элемент "малой группы" при к = (к, |к|), т.е. произвольное лоренцево преобразование, оставляющее 4-импульс инвариантным. Физическое содержание уравнений E.9.10) и E.9.11) можно выделить, если рассмотреть отдельно два вида элементов ма- малой группы в B.5.28). Для матрицы поворота RF) на угол в вокруг
§5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 277 cos в sin в О О" -sin в cos в О О оси Oz, согласно B.5.27) имеющей вид It у = из E.9.10) и E.9.11) получаем О 0 0 10 0 0 1 E.9.12) E.9.13) а для комбинированных бустов и поворотов S(a,/3) в плоскости XY, определяемых согласно B.5.26) 7_ 7 =  0 а _а = (а 0 1 Р Р 2 + —а -а 1-7 -7 /32)/2 а Р 7 1 + находим, что щ(к,<7) = у Djj(S(a, /3))ui(k,a), E.9.14) E.9.15) Уравнения E.9.12)-E.9.15) — условия, посредством которых можно получить значения функций и и v при некотором фиксированном им- импульсе к; затем с помощью E.9.8) и E.9.9) они определяются для про- произвольного значения импульса. Уравнения на функцию v получают- получаются из уравнений на функцию и комплексным сопряжением, поэтому соответствующим выбором констант киА всегда можно нормировать функции и и v так, что vt(k,a) =щ(к,<т)*. E.9.16) Проблема состоит в том, что для представления общего вида одно- однородной группы Лоренца невозможно найти удовлетворяющую E.9.14) функцию щ — это так даже в случае тех представлений, для которых можно построить поля частиц с заданной спиральностью при m ф 0. Чтобы понять, что происходит, попробуем построить 4-векторное [A/2,1/2)]-поле безмассовой частицы со спиральностью =Ы. Для 4-векторного представления имеем
278 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Функцию и^ удобно выразить через "вектор поляризации" ем и^к, а) = Bр°)-1/2ем(к, а). E.9.17) Тогда из уравнения E.9.8) получаем ем(к,<т) = ^(р)%е^(к,а). E.9.18) Теперь уравнения E.9.12) и E.9.14) можно переписать в виде е"(к, <т)е"* = Я(<9)^(к, а), E.9.19) е"(к, а) = 5(а, /3)^е»(к, а). E.9.20) Из E.9.19) находим (с точностью до постоянного множителя, который можно исключить, переопределив коэффициенты киА), что е^(к, ±1) = A, ±г, 0,0)/л/2. E.9.21) Но из уравнения E.9.20) помимо всего прочего следует, что а ± г/3 = 0, что несправедливо при произвольных действительных а и C. Таким образом, мы видим, что условиям E.9.14) и E.9.10) удовлетворить нельзя, а вместо этого имеется соотношение = exp(=bi6>){e^(k, ±1) + ^^ *"}. E.9.22) и мы приходим к заключению, что никакое 4-векторное поле нельзя построить из операторов рождения и уничтожения частицы с нулевой массой и спиральностью =Ы. Закроем временно глаза на эту трудность и попытаемся продви- продвинуться дальше, воспользовавшись уравнениями E.9.18) и E.9.21), чтобы определить вектор поляризации как функцию импульса, и рас- рассматривая поле вида х J2 [ем(р,^)е^жа(р,а)+ем(р,а)*е-^жа^(р,а)]. E.9.23) <7 = ±1 Позднее мы вернемся к вопросу о том, как это поле может быть ис- использовано в качестве составной части физической теории. Поле E.9.23) является решением уравнения Ва^(х) =0. E.9.24) Остальные условия, которым оно удовлетворяет, вытекают из свойств вектора поляризации (они понадобятся нам позднее, когда мы пе- перейдем к рассмотрению квантовой электродинамики). Заметим, что лоренцево преобразование J^f (р), которое переводит соответствующее
§5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 279 безмассовой частице состояние с импульсом к в состояние с импуль- импульсом р, может быть представлено в виде произведения "буста" ^(|р|) вдоль оси Oz, переводящего частицу с энергией |к| в частицу с энер- энергией |р|, на обычный поворот Д(р), совмещающий направления оси Oz и импульса р. Поскольку е"(к, =Ы) — чисто пространственный вектор, у которого только х- и ^-компоненты отличны от нуля, буст вдоль Oz на него не действует, и е"(р, ±1) = Я(р)^(к, ±1). E.9.25) В частности, е°(к, ±1) = 0 и к • е(к, ±1) = 0, так что е°(р,±1) = 0 E.9.26) и р-е(р,±1)=0. E.9.27) Следовательно, а°(ж)=0 E.9.28) и V • ф) = 0. E.9.29) Как мы увидим в гл. 9, этим условиям удовлетворяет вакуумный век- векторный потенциал электродинамики в так называемой кулоновской или радиационной калибровке. Тот факт, что в любой лоренцевой системе отсчета а0 обращается в нуль, ясно указывает на то, что ам не может быть 4-вектором. Из уравнения E.9.22) для произвольного импульса р и лоренцева преоб- преобразования Л следует, что вместо E.9.6) имеется соотношение e"(pA)±l)exp(±i0(p,A)) = D'tv(\)el/(p,±l)+p^U(p,A), E.9.30) и, таким образом, для произвольного преобразования Лоренца U(\)afl(x)U-l(A) = Л"„а„(Аа;) + д^(х,\), E.9.31) где П(ж,Л) — некоторая линейная комбинация операторов рождения и уничтожения, точную форму которой мы здесь не рассматриваем. Как будет показано в гл. 8, полем а^(х) можно пользоваться в каче- качестве составной части лоренц-инвариантной физической теории, если взаимодействие ам с другими полями инвариантно не только относи- относительно преобразований Лоренца, но и относительно "калибровочных" преобразований ам —у ам + <ЭДП. Это означает, что взаимодействия по- поля ад с другими полями должны иметь вид aMjM, где jM — 4-вектор некоторого тока, удовлетворяющий соотношению <9MjM = 0. Хотя и невозможно ввести 4-векторное поле, описывающее безмас- безмассовые частицы со спиральностью =Ы, проблемы с построением анти- антисимметричного тензорного поля для таких частиц не возникает. Из уравнения E.9.22) и условия инвариантности к^ относительно малой
280 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы группы незамедлительно можно получить, что D%(W@, a, f3))D\(W@, a, /?))(fc'e"(k, ±1) - fc'e"(k, ±1)) = = e±ie{k»ev{\<L, ±1) - Ге^(к, =Ы)). E.9.32) Следовательно, коэффициентная функция, удовлетворяющая уравне- уравнению E.9.6) для антисимметричного тензорного представления одно- однородной группы Лоренца, равна (если соответствующим образом вы- выбрать нормировку) «""(р, ±1) = гBтг)-3/2Bр0)-3/Ve"(p, ±1) -Р"е"(р, ±1)], E.9.33) где е^(р,=Ы) можно найти из уравнения E.9.25). Используя это вы- выражение совместно с E.9.23), получаем, что антисимметричное тен- тензорное поле безмассовых частиц со спиральностью ±1 имеет вид Siiv = дрп,, - dva^. E.9.34) Заметим, что эта величина является тензором, даже если ам — не 4-вектор, поскольку дополнительный член в E.9.31) из уравнения E.9.34) выпадает. Заметим также, что из уравнений E.9.34), E.9.24), E.9.28) и E.9.29) следует, что f^v удовлетворяет уравнениям Макс- Максвелла в вакууме: V = 0, E.9.35) eWdaf^ = 0. E.9.36) Чтобы вычислить коммутационные соотношения для таких тензор- тензорных полей, необходимо уметь вычислять суммы по спиральностям для билинейных форм еме^*. С учетом E.9.21) имеем а=± ' ' и, воспользовавшись E.9.25), / ?г{Р-> &)€?(р? &)* zz $ij ~ ~\—гт- E.9.37) а=± 'Р' Прямое вычисление дает следующий ответ: = Bn)~3[-r]lipdvda + Цирдцда + щадидр - ^„„д^др] х х f d3pBp°)-1[\K\2eip<x-^ -\\\2e-ip<x-ri]. E.9.38) Эта величина обращается в нуль при х° = у0 тогда и только тогда, когда имеет место соотношение \к\2 = |А|2. E.9.39)
§5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 281 В этом случае коммутатор полей, взятых в различных простран- ственноподобных точках, равен нулю, поскольку f^u — тензор. Из уравнения E.9.39) также следует, что обращается в нуль коммута- коммутатор полей а^, взятых в совпадающие моменты времени. Как мы уви- увидим в гл. 8, этого достаточно для построения лоренц-инвариантной 5-матрицы. Относительную фазу операторов рождения и уничтоже- уничтожения можно подобрать так, чтобы к = Л. В этом случае поля оказы- оказываются эрмитовыми, если частицы, которым они соответствуют, яв- являются зарядово самосопряженными. Именно такая ситуация имеет место для фотона. Почему при построении теорий безмассовых частиц со спином 1 нужно рассматривать поля вида ам, не ограничиваясь полями f^v(x) с простыми трансформационными свойствами относительно группы Лоренца? Наличие в уравнении E.9.34) производных означает, что матричные элементы плотности взаимодействия, построенной исклю- исключительно из тензора f^ и его производных, спадают при малой энер- энергии безмассовой частицы быстрее, чем матричные эленты взаимо- взаимодействия, сконструированного из ам. Соответственно, взаимодействия в такой теории будут ослабевать с расстоянием быстрее, чем по обыч- обычному закону обратных квадратов. Конечно, такая теория тоже имеет право на жизнь, но калибровочно-инвариантные теории векторных полей, описывающих безмассовые частицы со спином 1, принадлежат более широкому классу, в который входят и теории, реализующиеся в природе. Соответствующие замечания применимы к гравитонам, безмассо- безмассовым частицам со спиральностью ±2. Из операторов рождения и уни- уничтожения таких частиц мы должны сконструировать тензор R^pa, обладающий алгебраическими свойствами тензора кривизны Рима- на—Кристоффеля, т.е. антисимметричный относительно перестановки индексов в парах /i, v и р, а и симметричный относительно переста- перестановки пар между собой. Однако чтобы обеспечить закон обратных квадратов для гравитационного взаимодействия, мы должны ввести поле h^v, которое под действием лоренцевых преобразований ведет себя как симметричный тензор. Это поле определено с точностью до калибровочных преобразований, связанных с возможностью вы- выполнять в рамках общей теории относительности произвольные пре- преобразования координат. Следовательно, для того, чтобы построить теорию безмассовых частиц со спиральностью ±2, описывающую дальнодействующие силы, необходимо иметь симметрию, аналогич- аналогичную общей ковариантности. Как и в случае электромагнитной калиб- калибровочной инвариантности, она обеспечивается взаимодействием поля с сохраняющимся "током" 6^v, имеющим теперь два пространственно- временных индекса и удовлетворяющим д^в^ = 0. Тензор энергии- импульса является единственным таким сохраняющимся тензором, если не рассматривать различные являющиеся полными производ-
282 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы ными члены, не влияющие на дальнодействующий характер генери- генерируемых сил2). Поля безмассовых частиц со спином j ^ 3 должны взаимодействовать с сохраняющимися тензорами, имеющими 3 или больше пространственно-временных индексов, но поскольку таковых, за исключением полных производных, не существует, то безмассовые частицы с высшим спином не могут служить переносчиками даль- нодействующих сил. Проблемы, с которыми мы столкнулись при построении теории 4-векторных полей со спиральностями =Ы и симметричных тензорных полей со спиральностями =Ь2, являются проявлением некоторого огра- ограничения более общего характера. Чтобы увидеть это, посмотрим, как можно строить поля безмассовых частиц, принадлежащие произволь- произвольному представлению однородной группы Лоренца. Как было показано в § 5.6, любое представление D(A) однородной группы Лоренца можно разложить на BА + 1)BВ + 1)-размерные представления (А, В), для которых генераторы однородной группы Лоренца имеют вид ij)a>b>,ab = iA) ^ где jd) — матрицы углового момента для спина j. Если О — беско- бесконечно-малый параметр, D(RF)) = 1 + г^12#, поэтому из уравнений E.9.12) и E.9.13) следует, что аиаЬ(к, а) = (а + Ь)иаЬ(к, а), -avab(k,a) = (a + b)vab(k,a), и иаь(к, а) и vat(k, а) обращаются в нуль при а ф а + Ъ и а ф —а — Ъ соответственно. Кроме того, если считать а и /3 в уравнении E.9.14) бесконечно-малыми, то О = (^31 + </oi)ab,a>b>Ua>b> (К °) = = DA) + i4A))aa/Ua О = (^32 + ^02)ab,a>b>Ua>b> (К а) = 2) Если Q^1---^N — некоторый тензорный ток, удовлетворяющий усло- условию d/j,19^1"'^'n = 0, то величина f dsx 9°^2'"^N, которая преобразуется как тензор ранга N — 1, сохраняется. К классу таких тензоров относятся ска- скалярные "заряды", соответствующие различным непрерывным симметриям, и 4-вектор энергии-импульса. На этом весь класс исчерпывается, поскольку сохранение любого другого 4-вектора или тензора высшего ранга приводит к запрету любого процесса рассеяния кроме рассеяния на нулевой угол.
§5.9. Поля, соответствующие безмассовым частицам 283 или, в упрощенном виде, {j[A) -i4A))aa,ua,b(k,a)=0, Отсюда следует, что гла&(к, а) обращается в нуль, если не выполняются условия а = -А, Ь = +В E.9.40) и, как очевидно, то же самое справедливо для г>аг,(к, ст). Поэтому мы видим, что поле типа (А, В) может быть построено только из опера- операторов уничтожения безмассовых частиц со спиральностью а и опера- операторов рождения их античастиц со спиральностью —а, где а = В-А. E.9.41) Например, части A/2,0) и @,1/2) дираковского поля безмассовой частицы уничтожают соответственно частицы со спиральностью —1/2 и +1/2 и рождают античастицы соответственно со спиральностя- ми +1/2 и —1/2. В "двухкомпонентной" теории нейтрино существует только поле A/2,0) и сопряженное ему поле, поэтому в рамках этой теории нейтрино несут спиральность —1/2, а антинейрино — спираль- ность +1/2. Следуя методу, развитому в § 5.7, можно показать что взятые в разных точках пространства поля (j, 0) и @,j) безмассовых частиц со спином j (т.е. со спиральностью +j) коммутируют друг с другом и с сопряженными полями, если коэффициенты в E.9.1) перед членами, отвечающими за рождение и уничтожение, удовлетворяют уравнению E.9.39). Относительную фазу операторов рождения и уничтожения можно выбрать так, чтобы сделать эти коэффициенты действитель- действительными. Как легко видеть, поля (А, А + j) или (В + j, В) безмассовых частиц со спином j являются производными порядка 2А или 2В полей @, j) или (j, 0) соответственно, поэтому нам не нужно рассматривать поля более общего вида. Теперь легко видеть, почему невозможно построить векторное по- поле безмассовой частицы со спиральностью ±1. Векторное поле преоб- преобразуется по представлению A/2,1/2) и поэтому, согласно уравнению E.9.41), может описывать только частицу с нулевой спиральностью (безусловно, возможно построить векторное поле с нулевой спираль- спиральностью — достаточно взять производную д^ф безмассового скаляр- скалярного поля ф). Простейшее ковариантное безмассовое поле со спи- спиральностью ±1 преобразуется по представлению A,0) ©@,1), т.е. является антисимметричным тензором f^. Аналогично, простейшее ковариантное безмассовое поле со спиральностью ±2 преобразуется по представлению B, 0) © @, 2); это тензор четвертого ранга, подобно тензору кривизны Римана-Кристоффеля антисимметричный по каж- каждой паре индексов и симметричный относительно перестановки пар.
284 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы Обсуждение инверсий Р, С, Т, проведенное в предыдущем пара- параграфе, может быть обобщено на случай безмассовых полей с точно- точностью до тривиальных изменений. Задачи 1. Покажите, что если коэффициентные функции для нулевого импульса удовлетворяют условиям E.1.23) и E.1.24), то коэффи- коэффициентные функции для произвольного импульса E.1.21) и E.1.22) удовлетворяют определяющим соотношениям E.1.19) и E.1.20). 2. Рассмотрим свободное поле гр^(х), которое рождает или уни- уничтожает частицу спина 3/2 и массы т ф 0, совпадающую со своей зарядово-сопряженной частицей. Покажите, как нужно задать для него функцию г^(р,сг) (коэффициент при операторе уничтожения а(р,сг)), чтобы под действием группы Лоренца поле преобразовыва- преобразовывалось как дираковское поле ф\ с лишним 4-векторным индексом \±. Каким полевым уравнениям, алгебраическим соотношениям и усло- условиям действительности удовлетворяет такое поле? Найдите матри- матрицу Р^(р), определенную (при р2 = —т2) равенством Какой вид имеют коммутационные соотношения для этого поля? Как оно преобразуется под действием дискретных симметрии Р, С, Т? 3. Рассмотрим свободное поле №у{х), для которого h^(x) = ht/fA(x) и h^^(x) = 0, рождающее или уничтожающее частицу спина два и массы т ф 0. Покажите, как нужно задать для него функцию и^ (р, о) (коэффициент при операторе уничтожения а(р,сг)), чтобы под дей- действием группы Лоренца поле преобразовывалось как тензор. Каким уравнениям удовлетворяет такое поле? Найдите функцию Р^>кХ(р), заданную равенством Каковы коммутационные соотношения для этого поля? Каковы его трансформационные свойства относительно отражений Р, С, Т? 4. Покажите, описывающие безмассовую частицу спина j поля ти- типов (А, А + j) и (В + j, В) являются производными порядков 2А и 2В полей типов @, j) и (j, 0) соответственно. 5. Найдите трансформационные свойства относительно инверсий Р, С и Т поля типа (j, 0) + @, j), описывающего безмассовую частицу спиральности =bj.
Литература 285 6. Рассмотрим обобщенное дираковское поле ф, преобразующееся по представлению (j, 0) + @, j) однородной группы Лоренца. Перечис- Перечислите тензоры, которые можно получить из произведений компонент ф и ф^. Проверьте свои результаты, сравнив их с полученными в тексте для случая j = 1/2. 7. Рассмотрим поле фаъ-> описывающее частицы спина j и массы т ф 0, преобразующееся по представлению (А, В) однородной группы Лоренца. Предположим, что гамильтониан взаимодействия имеет вид V = j<?х[фаЬ(х).Гь(х) + ГьНх)ф\ь{х)}, где Jab — внешний с-числовой ток. Каково асимптотическое поведе- поведение матричного элемента для излучения таких частиц энергии Е ^> т и заданной спиральности? (Предположите, что коэффициенты Фурье тока Ja&, соответствующие различным парам а, 6, имеют один поря- порядок величины и не сильно зависят от Е.) Литература 1. Точка зрения, которой мы придерживались в этой главе, пред- представлена в работах: Weinberg S. // Phys. Rev. 133, В1318 A964); 134, В882 A964); 138, В988 A965); 181, 1893 A969). Аналогичный подход использовал в своих неопубликованых лекциях Е. Вихман (Е. Wichmann). 2. Bohr N. and Rosenfeld L. jj Kgl. Danske Vidensk. Selskab Mat.-Fys. Medd. No. 12 A933) (имеется перевод на англ. в сборнике Selected Papers of Leon Rosenfeld, ed. by R.S. Cohen and J. Stachel. Reidel, Dordrecht, 1979); Phys. Rev. 78, 794 A950). 3. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. (London). A117, 610 A928). 4. Cartan E. // Bull. Soc. Math. (France). 41, 53 A913). 5. См., например, Jauch J.M. and Rohrlich F. The Theory of Photons and Electrons. Addison-Wesley, Cambridge, MA, 1955. Приложе- Приложение A2; Georgi H. Lie Algebras in Particle Physics. Benjamin- Cummings, Reading, MA, 1982. C. 15, 198. Оригинальная ссылка — Schur I. Л Sitz. Preuss. Akad., с 406 A905). 6. См., например, Georgi H. Lie Algebras in Particle Physics. Benja- min/Cummings, Reading, MA, 1982. С 15, 198. Оригинальная ссылка - Schur I. // Sitz. Preuss. Akad., с 406 A905). 7. Lee T.D. and Yang C.N. // Phys. Rev. 104, 254 A956). 8. См. например, van der Waerden B.L. Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Springer Verlag, Berlin, 1932 [Рус.
286 Гл. 5. Квантовые поля и античастицы пер/. Ван дер Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой меха- механике.—Харьков, 1938.]; Lyubarski G.Ya. The Applications of Group Theory in Physics, translated by S. Dedijer. Pergamon Press, N.Y., I960. [Любарский Г.Я. Теория групп и ее применения в физике.— М.: Гостехиздат, 1957.] 9. Rarita W. and Schwinger J. // Phys. Rev. 60, 61 A941). 10. См., например, Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1957. Глава 3. 11. Weinberg S. // Phys. Rev. 181, 1893 A969). Section V. 12. Fierz M. // Helv. Phys. Acta. 12, 3 A939); Pauli W. // Phys. Rev. 58, 716 A940). Непертурбативное доказательство в аксиоматической теории поля дали Luders G. и Zumino В. // Phys. Rev. 110, 1450 A958) и Burgoyne N. // Nuovo Cimento. 8, 807 A958). См. также Streater R.F. and Wightman A.S. PC T, Spin & Statistics, and All That. Benjamin, N.Y., 1968. 13. Поля в представлении (j, 0) + @, j) ввел Joos H. // Fortschr. Phys. 10, 65 A962); Weinberg S. // Phys. Rev. 133, B1318 A964). 14. Cm. Edmonds A.R., ссылка 10, или Rose M.E. Elementary Theory of Angular Momentum. John Wiley & Sons, N.Y., 1957. Глава III. 15. Velo G. and Zwanziger D. // Phys. Rev. 186, 1337 A969); 188, 2218 A969); Wightman A.S. // В Proceedings of the Fifth Coral Gables Conference on Symmetry Principles at High Energy, ed. by T. Gudehus, G. Kaiser, and A. Perlmutter. Gordon and Breach, N.Y., 1969; Schroer В., Seiler R. and Swieca J.A. // Phys. Rev. D2, 2927 A970); см. также приведенные там ссылки. 16. Nappi CR. and Witten L. // Phys. Rev. D40, 1095 A989); Argy- res P.С and Nappi CR. // Phys. Lett. B224, 89 A989). Вывод непротиворечивой теории частиц спина j = 3/2 во внешнем поле из теории Калуцы—Клейна см. в Rindani S.D. and Sivakumar M. II J. Phys. G: Nucl. Phys. 12, 1335 A986); J. Phys. C: Particles & Fields. 49, 601 A991). 17. Luders G. // Kong. Dansk. Vid. Selskab, Mat.-Fys. Medd. 28, 5 A954); Ann. Phys. 2, 1 A957); Pauli W. // Nuovo Cimento. 6, 204 A957). Когда Людерс впервые рассмотрел связь между инверсия- инверсиями, сохранение Р не подвергалось сомнению, так что его теоре- теорема утверждала, что инвариантность относительно С эквивалентна инвариантности относительно Т. 18. Jost R. II Helv. Phys. Acta. 30, 409 A957); Dyson F.J. // Phys. Rev. 110, 579 A958). См. также Streater and Wightman, ссылка 12.
Глава 6 ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА В предыдущих главах использование ковариантных свободных полей при отыскании плотности функции Гамильтона мотивирова- мотивировалось требованиями лоренц-инвариантности 5-матрицы и кластерной разложимости. Если гамильтониан построен в соответствии с этими требованиями, становится безразлично, какую разновидность теории возмущений мы применяем для вычисления 5-матрицы; результаты будут автоматически удовлетворять требованиям инвариантности и кластерной разложимости в каждом порядке по плотности взаимо- взаимодействия. Тем не менее имеются явные преимущества использования такой версии теории возмущений, в которой лоренц-инвариантность и кластерная разложимость 5-матрицы очевидны на каждом этапе вычислений. Это неверно для теории возмущений, применявшейся в 1930-х годах, ныне известной как "старая теория возмущений", кото- которая описана в начале § 3.5. Фейнман, Швингер и Томонага достиг- достигли большого успеха в конце 1940-х годов, разработав методы тео- теории возмущений для вычисления 5-матрицы, в которых везде явным образом видны лоренц-инвариантность и кластерная разложимость. В этой главе будут изложены основные принципы диаграммной техни- техники вычислений, впервые предложенной Фейнманом на конференции Поконос в 1948 г. Сам Фейнман пришел к этим диаграммным пра- правилам через свой подход континуального интегрирования, который будет описан в гл. 9. В данной главе мы будем использовать подход, описанный Дайсоном [1] в 1949 г., который вплоть до 1970-х годов яв- являлся основой практически всех пертурбативных вычислений в кван- квантовой теории поля и до сих пор представляет собой понятное введение в правила Фейнмана. §6.1. Вывод правил Фейнмана Мы начнем с формулы для 5-матрицы, полученной из разложения Дайсона C.5.10) и выражения D.2.2) для свободных полей: *bpi а[ п'г ;рзсг'2п'2;... ,р[ аг пг ;р2сг2 п2;... = — / d4xi ... d4xN (Фо,... a 7V=0 х Т{Ж(х1)... Jr(x7v)}at(picrini)at(p2cr2n2)... Фо). F.1.1)
288 Гл. 6. Правила Фепнмана Напомним, что р, а и п обозначают импульс, спин и сорт частиц; штрихи обозначают конечные состояния частиц; Фо — вакуум сво- свободных частиц; а, а) — операторы уничтожения, рождения; Т — знак хронологического упорядочивания, который располагает множители J4?(x) в таком порядке, что аргументы х° уменьшаются слева напра- направо; наконец, Ж[х) — гамильтониан (плотность функции Гамильтона) взаимодействия, который считается полиномом от полей и сопряжен- сопряженных полей , F.1.2) а каждое слагаемое J^l является произведением определенного числа полей и сопряженных им величин каждого типа. Поле каждой части- частицы сорта п, преобразуещееся по определенному представлению одно- однородной группы Лоренца (с пространственными инверсиями или без них), дается формулой d3p[Ul(p,a,n)a(p,a,n)eip-x + + г;/(р, а, п)о)(р, а, пс)е~^ж]. F.1.3) Здесь пс обозначает античастицу сорта п, а в экспоненте е±гр'х энер- энергия р° равна л/р2 + тп\. Функции-коэффициенты щ, v\ зависят от лоренц-трансформационных свойств поля и спина частицы, которую это поле описывает; они были вычислены в гл. 5. (Например, в случае скалярного поля для частицы с энергией Е функция щ есть просто множитель B.Е)/2, а для дираковского поля щ, v\ являются норми- нормированными дираковскими спинорами, введенными в §5.5). Индекс I у полей означает не только сорт частицы, но и представление груп- группы Лоренца, по которому преобразуется поле, а также обозначает все "бегущие" индексы многокомпонентного поля в этом представлении. Нет необходимости отдельно рассматривать взаимодействия с про- производными от полей, поскольку в нашей записи производная от по- поля F.1.3) снова является полем того же вида, но с другими щ, г?/. Мы будем отличать некие произвольные частицы, например элек- электроны, протоны и т.п., от их античастиц, таких, как позитроны и антипротоны. Операторы поля, которые уничтожают частицы и со- создают античастицы, у нас называются просто "поля"; сопряженные им операторы, уничтожающие античастицы и создающие частицы, называются "сопряженные поля". Разумеется, некоторые частицы мо- могут совпадать с их античастицами, например фотон 7 и нейтральный пи-мезон 7г°; для таких полей сопряженные поля пропорциональны самим полям. Теперь переставим в формуле F.1.1) все операторы уничтожения направо, применяя нужное число раз (анти)коммутационные соотно-
§6.1. Вывод правил Фепнмана 289 шения: a(pcm)at(p/cr/n/) = ±af(р'а'п')а(рап) +53(р' - рMа>а5п>п, F.1.4) а(рап)а(р' а' п') = ±а(р' а' п')а(рап), F.1.5) а)(рап)а)(р'а'п') = ±а) (р'a'n')a) (pan) F.1.6) и аналогично для античастиц, причем знак "±" равен " —", если обе частицы п, п' — фермионы, и равен "+", если одна или обе части- частицы — бозоны. Как только оператор уничтожения оказывается край- крайним справа (или оператор рождения крайним слева), соответствую- соответствующий вклад в F.1.1) пропадает, поскольку эти операторы аннулируют вакуумное состояние: а(рсгп)Ф0 = 0, F.1.7) Ф1а\рап) =0. F.1.8) В уравнении F.1.1) остается только вклад от й-функционных слагае- слагаемых F.1.4), остающихся при каждой перестановке оператора уничто- уничтожения с оператором рождения из начального или конечного состояния или гамильтониана взаимодействия, которые, таким образом, должны присутствовать парами. Итак, вклад заданного порядка в F.1.1) в каждое из слагаемых Ж{ полинома J4?(ip(x),ip^(x)) дается суммой (по всем способам спарива- спаривания операторов рождения и уничтожения [2]) интегралов от произве- произведений множителей, согласно следующим правилам: а) Спаривание частицы в конечном состоянии с квантовыми чис- числами р', а', п' с сопряженным полем щ(х) в Ж\{х) дает множитель [a(p'a'n'),iPJ(x)]T = B7г)-3/2е-^'-жи;(р'а'п'). F.1.9) б) Спаривание античастицы в конечном состоянии с квантовыми числами р', а'', п'с с полем i/ji(x) в <Щ(х) дает множитель KpVn'c),</>/(a0]T = B7г)-3/2е-*'-*«,(р'<т'п'). F.1.10) в) Спаривание частицы в начальном состоянии с квантовыми чис- числами р, сг, п с полем i/ji(x) в <Щ(х) дает множитель [b{x),a\Van)]T = Bтг)-3/2е^Х(Р<™)- F-1.11) г) Спаривание античастицы в начальном состоянии с квантовыми числами р, а, пс с сопряженным полем щ(х) в Ж\{х) дает множитель [ф\(х),о)(рапс)]т = B7r)-3/2eip-xvt(pan). F.1.12) д) Спаривание (анти)частицы в конечном состоянии с квантовы- квантовыми числами р;, а'', п' с полем (анти)частицы в начальном состоянии с квантовыми числами р, сг, п дает множитель [a(pVn'), a(pan)]T = <53(р' - p)<W<W F.1.13) 19 С. Вайнберг. Т. 1
290 Гл. 6. Правила Фепнмана е) Спаривание поля фг(х) в Ж\{х) с сопряженным полем в <Щ(у) дает множитель1) в(х - у)[ф+(х), [Ф+Чу)]т ± % - х)[ф~\у), [ФГ(х)]т = = -iAlm(x,y), F.1.14) где ф+ и ф~ — слагаемые в ф, которые соответственно уничтожают частицы и создают античастицы: ф+(х) = Bтг)-3/2 Id3pY,ui(P<™)eip-xa(pan), F.1.15) а ф~(х) = Bтг)-3/2 [dzp^vi(pan)e-ip-xa\panc). F.1.16) а Напомним, что 6(х — у) — функция Хевисайда ("ступенька"), рав- равная + 1 при х° > у0 и нулю при х° < у0. Эти функции возникают в F.1.14) из-за хронологизации в F.1.1); спаривание оператора уни- уничтожения "ф+{х) из Ж[х) с оператором рождения ф+ (у) из Jf?(y) мож:ет произойти, только если множитель Jj?(x) изначально распола- располагался слева от Ж\у) в уравнении F.1.1), т.е., если х° > у0; аналогич- аналогично, спаривание оператора уничтожения ф (у) из Jf?(y) с оператором рождения ф~{х) из Ж[х) может произойти, только если из Jf?(y) из- изначально располагался слева от Ж{х) в уравнении F.1.1), т.е., если у0 > х°. Знак ± во втором слагаемом в F.1.14) будет объяснен чуть позже. Величина F.1.14) известна под названием пропагатор. Она будет вычислена в следующем параграфе. 5-матрица получается в результате перемножения всех этих мно- множителей, наряду с дополнительными числовыми множителями, ко- которые мы обсудим далее, интегрирования по xi,... ,ждг, суммирова- суммирования по всем спариваниям, а затем по всем видам взаимодействий. Прежде чем мы уточним все детали, полезно описать диаграммный формализм, который позволяет отслеживать все возможные спари- спаривания. Правила вычисления 5-матрицы удобно сформулировать в тер- терминах фейнмановских диаграмм (см. рис. 6.1). Диаграммы состоят из точек, называемых вершинами, каждая из которых представляет один их членов J^(x), и линий, которые соответствуют спариванию операторов уничтожения и рождения. Более точно, а) Спаривание частицы в конечном состоянии с сопряженным полем из некоторого Jj?(x) представляется линией, идущей из вер- ) Если взаимодействие записано в нормально упорядоченной форме, как в E.1.33), то в одном и том же взаимодействии нет спаривания полей и сопряженных полей. В противном случае потребуется некоторая регуля- регуляризация, чтобы придать смысл величине А;т@).
§6.1. Вывод правил Фепнмана 291 pan' р'а'п1 BтгK/2 А 1,х А 1,х BтгK/2 егр'хщ(рап) BтгK/2 pan BтгK/2 pan p'a'n1 p'a'nlc р'а'п'с рапс т,у Рис. 6.1. Графическое представление спариваний операторов при вычис- вычислении ^-матрицы в координатном представлении. Выражения справа от каждой линии — множители, которые должны войти в подынтегральное выражение ^-матрицы для каждой диаграммы Фейнмана шины, отвечающей этому Ж{х), вверх из диаграммы, со стрелкой вверх. б) Спаривание античастицы в конечном состоянии с полем из некоторого Ж{х) также представляется линией, идущей из верши- вершины, отвечающей этому Jif(x), вверх из диаграммы, но со стрелкой вниз. Для истинно нейтральных (самосопряженных) полей, например фотонов, стрелки опускаются. в) Спаривание частицы в начальном состоянии с полем из некото- некоторого Ж[х) представляется линией, идущей в вершину, отвечающую этому Jif(x), внутрь диаграммы, со стрелкой вверх. 19*
292 Гл. 6. Правила Фепнмана г) Спаривание античастицы в начальном состоянии с полем из некоторого Ж[х) представляется линией, идущей в вершину, отвеча- отвечающую этому jif(x), внутрь диаграммы, со стрелкой вниз. д) Спаривание конечной (анти)частицы с начальной (анти)части- (анти)частицей представляется линией, идущей через диаграмму снизу вверх, не входящую ни в какие вершины, со стрелкой вверх или вниз для ча- частицы и античастицы соответственно. е) Спаривание поля в Ж[х) с сопряженным полем из Jf?(y) пред- представляется линией, соединяющей вершины, отвечающие этим Ж{х) и Ж (у), со стрелкой, направленной от у к х. Заметим, что стрелка направлена в сторону движения частицы и против движения античастицы (как уже было сказано, стрелки для истинно нейтральных частиц следует опускать). Направление стрелки по правилу е) согласуется с этой условностью, потому что сопряжен- сопряженное поле из Ji?j(y) может или создать частицу, уничтоженную полем из J^(x), или уничтожить античастицу, созданную полем из Jtfl(x). Отметим также, что, поскольку каждое (сопряженное) поле должно спариваться с другим полем, полное число линий в вершине типа г, отвечающей члену <Щ(х) в F.1.2), равно полному числу множите- множителей (полей и сопряженных полей) в <Щ(х). Число линий со стрелкой внутрь вершины или наружу равно соответственно числу полей или сопряженных полей в соответствующем члене взаимодействия. Чтобы вычислить вклад данного процесса в 5-матрицу для дан- данного порядка Ni по каждому из взаимодействий Ж\{х) в уравне- уравнении F.1.2), нужно проделать следующие шаги: (i) Нарисовать все диаграммы Фейнмана, которые содержат Ni вершин каждого типа г, входящие снизу линии (анти)частиц в на- начальном состоянии, выходящие сверху линии (анти)частиц в конеч- конечном состоянии, а также любое число внутренних линий, соединяю- соединяющих вершины, так, чтобы в каждую вершину входило нужное число линий. На линиях указываются стрелки вверх или вниз по вышеопи- вышеописанным правилам. Каждая вершина помечается типом взаимодей- взаимодействия и 4-координатой жм. Каждая внутренняя или внешняя линия помечается индексом поля I на том конце, где она входит в вершину (что отвечает полю ^i(x) или ф}(х), которое создает или уничтожает (анти)частицу в этой вершине). Каждая внешняя линия помечается квантовыми числами р, сг, п или р', а', п' начального или конечного состояния (анти)частицы. (ii) Для каждой вершины типа i нужно добавить множитель —г, который происходит от множителя (—i)N в формуле F.1.1), а также множитель gi — константу связи для данного взаимодействия Ж\{х). Для каждой выходящей вверх линии дополнительно вводится множи- множитель F.1.9) или F.1.10), в зависимости от направления стрелки (вверх или вниз). Для каждой входящей снизу линии добавляется множи-
§6.1. Вывод правил Фепнмана 293 тель F.1.11), если стрелка указывает вверх, или F.1.12) — в про- противном случае. Для каждой линии, проходящей насквозь диаграм- диаграммы, добавляется множитель F.1.13). Для каждой внутренней линии, соединяющей вершины, вводится множитель F.1.14). (iii) Проинтегрировать полученное произведение по всем коорди- координатам xi,Ж2,... каждой вершины. (iv) Сложить результаты для всех диаграмм Фейнмана. Полный ряд теории возмущений для 5-матрицы получается сложением вкла- вкладов каждого порядка по каждому взаимодействию. Обратим внимание, что в перечисленных правилах не учитывается множитель 1/NI из формулы F.1.1), поскольку хронологически упо- упорядоченное произведение есть сумма по N1 перестановкам координат xi,... ,ждг, а каждая перестановка дает одинаковый вклад в оконча- окончательный результат. Другими словами, каждая диаграмма Фейнмана с N вершинами — это одна из N1 идентичных диаграмм, отличаю- отличающихся лишь перестановками обозначений вершин, что дает множи- множитель JV!, сокращающий 1/JV! в формуле F.1.1). (Из этого правила есть исключения, о которых см. ниже.) По этой причине мы не учи- учитываем диаграммы Фейнмана, отличающиеся лишь переобозначением вершин. В некоторых случаях возникают дополнительные комбинаторные множители или знаки, которые необходимо включить во вклад от- отдельных диаграмм: (v) Предположим, что взаимодействие Ж{{х) содержит М мно- множителей одного и того же поля. Допустим, каждое из них спарено с сопряженным полем из другого взаимодействия или из начально- начального (конечного) состояния. Первое из этих сопряженных полей может быть спарено с любым из М идентичных полей в ,Щ(х), второе — только с любым из оставшегося М — 1 поля, и т.д., что дает допол- дополнительный множитель М!. Для его компенсации константы связи gi обычно определяют так, чтобы множитель 1/М! явным образом по- появился в гамильтониане Ж\{х), который содержит М идентичных по- полей (или сопряженных полей). Например, самодействие скалярного поля М-го порядка следует представлять в виде дфм/М\. Вообще, множитель 1/М! часто выделяют в случаях, когда взаимодействие содержит сумму М произведений из одного мультиплета группы сим- симметрии или когда по этой или иной причине набор констант взаимо- взаимодействия полностью симметричен или антисимметричен при переста- перестановках М бозонных или фермионных полей. Однако сокращение множителей М! может быть неполным. На- Например, рассмотрим фейнмановскую диаграмму, в которой М иден- идентичных полей в одном взаимодействии Ж{{х) спариваются с М со- соответствующими сопряженными полями в другом взаимодействии <Щ(у) (см. рис. 6.2). Рассуждая аналогично, находим М! различных спариваний, так что сокращается лишь один из множителей 1/М!
294 Гл. 6. Правила Фепнмана Рис. 6.2. Пример графа, для которого надо добавить дополнительные ком- комбинаторные множители при вычислении ^-матрицы. Для взаимодействия, содержащего, скажем, три сомножителя одного поля (наряду с другими полями) обычно в гамильтониан вводят множитель 1/3!, чтобы сократить множитель 3!, возникающий при суммировании по перестановкам одина- одинаковых полей. В данной же диаграмме возникают два множителя 1/3!, но перестановок всего 3!, так что получается дополнительный множитель 1/3! двух различных взаимодействий. Следовательно, нужно добавить множитель 1/М! для этой диаграммы Фейнмана. Другие комбинаторные множители возникают, когда некоторые перестановки вершин не меняют диаграмму Фейнмана. Мы уже об- обсудили сокращение множителя 1/JV! в разложении F.1.1) за счет суммы по идентичным диаграммам, отличающимся лишь переобо- переобозначением N вершин. Однако это сокращение будет неполным, если перестановка вершин не меняет диаграмму. Обычно это наблюдается при вычислении вакуум-вакуумных матричных элементов 5-матрицы Рис. 6.3. Диаграмма восьмого порядка для перехода вакуум-вакуум с ча- частицами, взаимодействующими только с внешним полем. Внешнее поле здесь изображено волнистыми линиями. Имеется 7! таких диаграмм, от- отличающихся переобозначением вершин, при условии, что считаются оди- одинаковыми диаграммы, переходящие друг в друга при повороте кольца. Множитель 1/8!, таким образом, сокращается не полностью, что дает до- дополнительный коэффициент 1/8 в теории с квадратичным взаимодействием Ж — щМи'фу, где М мо- может зависеть от внешних полей. (Физический смысл таких вакуум- вакуумных флуктуации подробно обсуждается в т. П.) Диаграмма Фейнма- Фейнмана TV-го порядка по Ж представляет собой кольцо с N вершинами (см. рис. 6.3). Имеется лишь (JV — 1)! различных диаграмм этого ви- вида, поскольку перестановка значков со сдвигом в соседние вершины
§6.1. Вывод правил Фепнмана 295 по кругу дает ту же диаграмму. Значит, этой диаграмме отвечает до- дополнительный множитель (vi) В теориях с фермионными полями применение формул F.1.4)- F.1.6) для перемещения операторов уничтожения и рождения вправо или влево дает дополнительные знаки минус в различных спарива- спариваниях. Более точно, знак минус получается, когда для того, чтобы по- поставить спаренные операторы друг рядом с другом (так, чтобы слева в паре стоял оператор уничтожения), в формуле F.1.1) нужно сде- сделать нечетное число перестановок местами фермионных операторов. Это можно объяснить так: для вычисления вклада от данного спа- спаривания нужно расположить все операторы уничтожения в формуле F.1.1) слева от спаренных с каждым из них оператором рождения, игнорируя все (анти)коммутаторы неспаренных операторов, а затем заменить каждую пару спаренных полей на их (анти)коммутатор. От- Отсюда немедленно следует, что относительный знак двух слагаемых в F.1.14) для фермионных полей является минусом. Какая бы пе- перестановка ни помещала уничтожающую часть ф+(х) поля в Ж[х) слева от рождающей части ф+ (у) сопряженного поля в Ж (у), при перестановке уничтожающей части ф (у) сопряженного поля нале- налево от рождающей части ф~(х) поля происходит одна дополнительная замена местами фермионных операторов, что дает знак "—" для фер- мионов во втором слагаемом левой части уравнения F.1.14). Помимо этого, диаграмма Фейнмана может приобрести дополни- дополнительный знак "—". В качестве примера рассмотрим теорию с един- единственным взаимодействием фермионов вида F.1.18) Irak где gimk — константы общего вида, ф\ (х) — набор комплексных ферми- фермионных полей, а фт(х) — набор вещественных бозонных (необязатель- (необязательно скалярных) полей. Заметим, что не только электродинамика, но и вся стандартная модель слабых, электромагнитных и сильных вза- взаимодействий соответствует взаимодействиям такого вида. Для нача- начала рассмотрим процесс рассеяния фермиона на фермионе, 12 —у V21', с точностью до второго порядка по Ж. Фермионные операторы во вкладе второго порядка в формуле F.1.1) оказываются расположен- расположенными в порядке (с очевидными сокращениями обозначений) а{2')а{1')ф\х)ф{х)ф\у)ф{у)о) {1)о) {2). F.1.19) Имеются две связные диаграммы этого порядка, отвечающие спари- спариваниям [а{21)^{х)}[а{1')фЦу)}[ф{у)аЦ1)}[ф{х)аЦ2)} F.1.20)
296 Гл. 6. Правила Фепнмана а\2^ F.1.21) (см. рис. 6.4). Переход от F.1.19) к F.1.20) требует четной переста- перестановки фермионных операторов. Например, можно переместить ф(х) 2' 2' 1' 1 2 1 2 Рис. 6.4. Связные диаграммы второго порядка для фермион-фермионного рассеяния со взаимодействием F.1.18). Прямые линии здесь представляют фермионы, пунктир — нейтральные бозоны. Вклад этих двух диаграмм имеет относительный знак минус, который возникает от дополнительной пе- перестановки фермионных операторов при спаривании, представленном вто- второй диаграммой через три оператора направо, а затем переместить a(V) через один оператор направо. Поэтому дополнительного минуса не возникает во вкладе от спаривания F.1.20). Само по себе это было бы неважно, поскольку общий знак матричного элемента не влияет на скорость реакции, и в любом случае зависит от соглашений о знаке начально- начального и конечного состояний. Но вклады спариваний F.1.20) и F.1.21) имеют разный знак, что легко заметить, поскольку разница между этими спариваниями компенсируется одной перестановкой местами фермионных операторов: a(V) «->¦ а{2'). На самом деле, относитель- относительный знак минус требуется правилами статистики Ферми: амплитуда рассеяния должна быть антисимметрична относительно перестановки одинаковых фермионов A',2' или 1,2). Однако не всегда знаковые факторы можно обосновать таким про- простым образом, даже в наинизшем порядке теории возмущений. Что- Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние фермиона на антифер- мионе, 12е —У 1'2/с, во втором порядке по тому же взаимодействию F.1.18). Фермионные операторы во вкладе второго порядка оказыва- оказываются в следующем порядке: аB'с)аA')фНх)ф(х)фНуШу)аН1)о){2с). F.1.22) Здесь снова возникают две диаграммы Фейнмана, отвечающие спари- спариваниям а\2с)} F-1.23) Ч2С)} F-1.24)
§6.1. Вывод правил Фепнмана 297 (см. рис. 6.5). Переход от F.1.22) к F.1.23) требует четной перестанов- перестановки фермионных операторов (например, можно переместить ф(х) через 1 2е 1 2е Рис. 6.5. Связные диаграммы второго порядка для фермион-антифермион- ного рассеяния со взаимодействием F.1.18). Сплошные линии здесь пред- представляют (анти)фермионы, пунктир — нейтральные бозоны. Вклад этих двух диаграмм отличается знаком минус два оператора налево, а затем переместить ф\у) через два оператора направо), поэтому дополнительного минуса не возникает во вкладе от спаривания F.1.23). С другой стороны, для перехода от F.1.22) к F.1.24) требуется нечетная перестановка фермионных операторов (то же, что для F.1.23), плюс одна перестановка ф^(х) <-> ф^(у)), по- поэтому вклад этого спаривания получает дополнительный минус2). Дополнительные знаки могут появиться во вкладах высших по- порядков. В теориях, подобных рассмотренным здесь, со взаимодействием фермионов вида F.1.18), фермионные линии в диаграммах общего вида образуют либо цепочки, проходящие через диаграмму с произ- произвольным числом взаимодействий с бозонами, как на рис. 6.6, либо фермионные петли, как на рис. 6.7. Рассмотрим вклад фермионной 2) На самом деле, этот знак можно объяснить требованиями ферми- статистики. Одно и тоже поле может рождать и уничтожать частицу, по- поэтому имеется связь, известная под названием "перекрестная симметрия", между процессами, отличающимися заменой частицы (античастицы) в на- начальном состоянии на античастицу (частицу) в конечном состоянии. В част- частности, амплитуды процесса 12е —»¦ 1'2/с связаны с амплитудами для "пере- "перекрестного" процесса 12' —»¦ 1'2; два спаривания F.1.23) и F.1.24) отвечают двум диаграммам для этого процесса, который отличается заменой 1 •<-»¦ 2' или 1' •<->- 2, так что для антисимметричности амплитуды при перестанов- перестановке начальных (или конечных) фермионов требуется, чтобы относительный знак двух слагаемых был отрицателен. Однако перекрестная симметрия не является обычной симметрией, поскольку требует аналитического продол- продолжения по кинематическим переменным, и ее сложно применять для про- процессов общего вида с произвольной точностью.
298 Гл. 6. Правила Фепнмана 1' 2' 2' Рис. 6.6. Связные диаграммы второго порядка для бозон-фермионного рас- рассеяния со взаимодействием F.1.18). Сплошные линии — фермионы, пунк- пунктир — нейтральные бозоны Рис. 6.7. Связная диаграмма наинизшего порядка для бозон-бозоннго рас- рассеяния в теории со взаимодействием F.1.18). Такая фермионная петля вно- вносит дополнительный знак минус, который происходит от перестановки спа- спаренных фермионных полей петли с М вершинами в любой процесс. Она отвечает спариванию операторов Щх1Шх2)}[Ф(х2Жх3)}... ЩхмЖхх)}. F.1.25) С другой стороны, эти операторы входят в F.1.1) в следующем по- порядке: _ _ _ ф(х1)'ф(х1)'ф(х2)'ф(х2) • • • ^(xm№(xm). F.1.26) Для перехода от F.1.26) к F.1.25) требуется нечетная перестановка фермионных операторов (перемещение ф(х\) направо через 2М — 1 оператор), так что вклад каждой такой петли сопровождается знаком минус. Эти правила позволяют вычислить полную 5-матрицу, включая вклады от процессов, в которых различные группы частиц взаимо- взаимодействуют в удаленных по времени и пространству областях. В гл. 4 уже говорилось, что следует брать лишь связные диаграммы Фейн- мана, чтобы исключить вклады от таких групповых взаимодействий.
§6.1. Вывод правил Фепнмана 299 В частности, это исключает диаграммы с линиями, идущими напря- напрямую без взаимодействия, которые дали бы множители F.1.13). Чтобы прояснить правила Фейнмана, вычислим вклад низшего по- порядка в 5-матрицу для рассеяния частиц в двух различных теориях. Теория I Рассмотрим теорию с фермионами и зарядово-самосопряженными (нейтральными) бозонами, со взаимодействием F.1.18). Связные диа- диаграммы наинизшего порядка фермион-бозонного рассеяния изобра- изображены на рис. 6.6. Согласно правилам, приведенным на рис. 6.1, соот- соответствующий матричный элемент равен = Bтг)~6 k'l'm'klm J d4x J d4y(-iAm,m(y ~ х) х x [l(p222)k(p222) + e-ip'^ui(pl2a2nl2)eip^uk,(p2a2n2)}. F.1.27) Индексы 1 и 2 обозначают здесь соответственно фермионы и бозоны. Для фермион-фермионного рассеяния имеются две диаграммы вто- второго порядка, представленные на рис. 6.4. Они дают 5-матричный элемент / j V V 9m'mk'9l'lk к' V m' klm x f d4x f d4y e-ipi-xe-ip'i-yeip2-xeipi-y(-i)Ak/k(x - y) - _[l/-2/], F.1.28) где последнее слагаемое сокращенно обозначает предыдущее слагае- слагаемое, в котором переставлены частицы V, 2' (или, что то же самое, частицы 1, 2). Во втором порядке нет диаграмм бозон-бозонного рас- рассеяния; наинизший порядок, в котором они появляются, равен 4 (см. рис. 6.7). Более конкретные примеры формул типа F.1.27), F.1.28) будут приведены в § 6.3, после попытки вычисления пропагатора и пе- перехода в импульсное пространство. Во взаимодействии F.1.18) все три сомножителя — различные по- поля. Было бы поучительно рассмотреть трилинейное взаимодействие, в котором все три поля одинаковы или входят во взаимодействие сим- симметрично.
300 Гл. 6. Правила Фепнмана Теория II Теперь рассмотрим в качестве плотности гамильтониана трили- трилинейную форму F.1.29) Imn где фг(х) — вещественные бозонные поля, а д\шп — полностью сим- симметричный набор констант связи. Допустим, мы хотим рассмотреть процесс рассеяния 12 —у V2' с точностью до второго порядка по этим константам связи. В каждую из двух вершин должны входить две из четырех внешних линий. (Единственная альтернатива — когда одна из внешних линий входит в одну вершину, а три других — в дру- другую, но тогда получается несвязная диаграмма, поскольку у второй вершины не останется места для внутренней, соединяющей линии.) 1' 2' 1' 2' 2' 1' 1 2 Рис. 6.8. Связные диаграммы второго порядка для бозон-бозонного рассея- рассеяния в теории со взаимодействием F.1.29) Остающаяся у каждой вершины линия должна соединять их между собой. Возможны три рисунка такого вида, отличающиеся лишь тем, какие пары внешних линий входят в вершины (см. рис. 6.8). По пра- правилам Фейнмана, приведенным выше, получаем вклад в 5-матрицу от этих трех диаграмм: gwi" т'т" I d^X I d4y (-гД///т// (х, у)) x [uf(pX"i)e-<Pl'itu?'(pXn2)e-<lva! V II I /\ LLrn \
§6.2. Вычисление пропагатора 301 eip^}. F.1.30) В еще более частном случае, когда бозоны являются бесспиновыми частицами одного сорта, взаимодействие F.1.29) принимает простой вид Ж = дф3/3\, F.1.31) а матричный элемент для скаляр-скалярного рассеяния равен = / d4x / d4y AF(x - у) х [Е'2Е1Е2 J J x [exp(-i(pi + p2) • x) exp(z(pi + p2) • y) + + exp(i(pi - pi) • ж) ехр(г(р2 - Рг) ' 2/) + + exp(i(pi -p'2)'x)exp(i(p2 - р[) • у)], F.1.32) где Ар(х — у) — пропагатор скалярного поля, который мы вычислим в следующем параграфе. В этой теории отсутствуют диаграммы тре- третьего, и вообще нечетного, порядка. § 6.2. Вычисление пропагатора Теперь мы перейдем к вычислению пропагатора F.1.14), важного компонента правил Фейнмана, который возникает от спаривания по- поля ^i(x) с сопряженным полем ф^у). Подставляя формулы F.1.15) и F.1.16) в уравнение F.1.14) и применяя (анти)коммутационные со- соотношения для операторов рождения—уничтожения, немедленно по- получаем: р-{х~У) ± ±в(у-х)Bтг)-3 Гd3p^2v*m(pan)vf(pan)eip<y-x\ F.2.1) а При вычислении (анти)коммутаторов в гл. 5 было показано, что щ(рап)и*т(рап) = B^ + т^1 Р1т(Р, л/р2+™1), F.2.2) ^vi(pan)v^(pan) = =ЬBЛ/р2 + ml) 1P/m(-p, -л/р2 + шп)> F.2.3)
302 Гл. 6. Правила Фепнмана где Pim(p,uj) — полином по р и си. Здесь, как и в формуле F.2.1), верхний и нижний знаки отвечают соответственно бозонным и фер- мионным полям. Например, если фг(х) и фт(у) суть скалярные поля (частицы со спином 0) ф(х), ф(у), то получается просто Р(р) = 1. F.2.4) Если фг(х) и фт(у) — дираковские поля (частицы спина 1/2), то Pimip) = [(-Н^ + m)P]lm, F.2.5) где /, т обозначают индексы дираковских 4-компонентных спиноров. (Матрица /3 здесь появилась, поскольку мы рассматриваем спарива- спаривание фг(х) с Ф1п(у).) Ее не будет в спаривании фг(х) и фт(у) = Ф$ Если фг{х) и фт(у) — векторные поля (частицы спина 1), то F.2.6) В общем случае, если фг(х) и фт(у) — компоненты полей фаъ(х) и ф~ъ(у) частицы со спином j в неприводимых представлениях (А, В) и (А, В) однородной группы Лоренца, то а'Ь' a'b' a х [ехр(-0р- х [ехр(-вр- 31Л))]аа'[ехр(+вр- JE))]66', F.2.7) где sh^ = |p|/m, а индексы а, 6, а, Ь пробегают с шагом 1 значения от —А до А, от —5 до 5, от —А до А, от —В до 5 соответственно, и аналогично для индексов со штрихами. Подстановка F.2.2) и F.2.3) в уравнение F.2.1) дает -iAlm(x,y) =6(х - y)Pim^-i—)A+(x - у) + + %-ж)Р/го(-г^)д+B/-гг), F.2.8) где Д+(ж) — функция, введенная в гл. 5: Д+(х) = Bтг)-3 fd3pBp0)-1eip-x, F.2.9) где р° = +^Р2 + m2- Перед тем как продолжить вычисления, следует пояснить, как можно обобщить определение полинома Р{р). Уравнения F.2.2) и F.2.3) определяют его только на так называемой массовой оболочке, т.е. при р° = ±v^P2 + ш2< Любой многочлен от 4-импульса на массо-
§6.2. Вычисление пропагатора 303 вой оболочке можно считать линейным по р°, поскольку любая сте- степень (р°Jи или (р°JгУ+1 может быть записана в виде (р2 + m2Jv или р°(р2 + m2Jv соответственно. Поэтому мы зададим полином ^\ следующими условиями: P(L) (Р) = Р(Р) (где р° = Vp2+™2), (O.Z.1U) = P@)(q) + q°PA)(q) (для произвольного <f), где pt0'1) — полиномы, зависящие только от q. Используем теперь соотношения ^в(х° - у°) = -J^%° - х°) = ё(х° - у0) F.2.11) (вспомнив, что функция в(х) имеет скачок на единицу в ж0 и посто- постоянна в других местах), чтобы переместить операторы дифференциро- дифференцирования налево от ^-функций в формуле F.2.8): А1т(х,у) = Р + 6(х° - y°)P^(-iV)[A+(x -y)-A+(y- х)], F.2.12) где Ар — "фейнмановский пропагатор" -iAF(x) = в(х)А+(х) + в(-х)А+(-х). F.2.13) Однако при х° = 0 функция Д+(ж) четна по х, поскольку замену х —у —х в F.2.9) можно компенсировать заменой р —у —р переменной интегрирования. По этой причине можно опустить второе слагаемое в F.2.12) и получить простое выражение А1т(х,у) =р?>(-^)АР{х-у). F.2.14) Для дальнейших вычислений нам понадобится фурье-представле- ние фейнмановского пропагатора. Функции-ступеньки в F.2.13) запи- записываются в виде интеграла Фурье1) + ОО 4 ' 2тгг J s + г х) Для доказательства этой формулы заметим, что при t > 0 мож- можно замкнуть контур интегрирования большой полуокружностью в ниж- нижней полуплоскости, ориентированной по часовой стрелке, так что интеграл дает — 2тгг за счет вычета в полюсе при s = —ге. Если же t < 0, то кон- контур можно замкнуть полуокружностью, ориентированной против часовой стрелки и лежащей в верхней полуплоскости, в которой подынтегральное выражение не имеет полюсов, т.е. интеграл равен нулю.
304 Гл. 6. Правила Фепнмана Это можно объединить с интегралом Фурье F.2.9) для функции Д_1_(ж). Введем новые переменные интегрирования, q = р, q° = р° = s в первом слагаемом уравнения F.2.13), что дает о ехр(гд • х - iq°x°) А. х [(gf° - л/q2 + rn2 + ге)-1 + (-q° - л/q2 + т2 + гб)]. Приводя подынтегральное выражение к общему знаменателю и ис- используя 4-мерные обозначения, элементарно получаем где q2 = q2 — (q0J. В знаменателе мы заменили 2ey/q2 + т2 на б, по- поскольку важ:но лишь то, что это положительная бесконечно малая ве- величина. Отсюда видно, что Д^ — функция Грина оператора Клейна- Гордона, в том смысле, что (? - m2)AF(x) = -?4(ж), F.2.17) а граничные условия определяются добавкой — ге в знаменателе: как видно из формулы F.2.13), при х° —У оо или х° —У —оо функция Ар(х) содержит только положительные или отрицательные частоты, соот- соответственно ехр(—ix°y/p2 + m2 ) или ехр(—ix°y/p2 + m2 ). В результате подстановки F.2.16) в F.1.14) получаем пропагатор в виде /p(L)(n\piq-(x-y) а;;;-й • (б-2л8) Здесь возникает следующая проблема. Многочлен Р(р) лоренц-кова- риантен, если р лежит на массовой оболочке, т.е. р2 = — т2, но в урав- уравнении F.2.18) производится интегрирование по всем д^, а не только по массовой оболочке. Для произвольных q^ многочлен p(L\q) по определению линеен по д°, что явно нарушает лоренц-ковариантность, если многочлен не является линейным по каждой пространственной компоненте q1. Вместо такого обобщения многочлена Р(р) можно вве- ввести его лоренц-ковариантное обобщение на произвольные q^ (которое мы обозначим просто P(q)), в том смысле, что Pim(Aq) = Dw{A)D*mmf{A)PVml{q), где А^и — преобразование Лоренца общего вида, a D(A) — некото- некоторое представление группы Лоренца. К примеру, в случае скалярных, дираковских и векторных полей такое ковариантное обобщение по- получается простой заменой импульса р^ на импульс общего вида q^ в формулах F.2.4), F.2.5) и F.2.6). В случае скалярных и дираковских
§6.2. Вычисление пропагатора 305 полей пропагатор и так линеен по q°, а потому нет разницы меж- ду P(L\q) и P(q): ^/m w) — Pimio) (скалярное поле, дираковское поле). F.2.19) С другой стороны, в случае векторного (спин-1) поля 00-компонента ковариантного полинома P^iq) = г\^у + m~2qllqv квадратична по д°, так что здесь есть разница между P^L\q) и P(q): $ ^ + m-2[qilqv - SpHql - q - m2)] = = P^(q) + m-2(q2 + m2)%$. F.2.20) Дополнительное слагаемое здесь фиксировано двумя условиями — оно должно сокращать слагаемое (q0J в Pqo(^M и должно зануляться на массовой оболочке. Подстановка этого выражения в формулу F.2.18) дает пропагатор векторного поля F.2.21) Первое слагаемое, очевидно, ковариантно, а второе — не ковариант- но, но является локальным, так что его можно сократить путем до- добавления локального нековариантного члена в гамильтониан. Кон- Конкретно, если У^(х) взаимодействует с другими полями посредством члена VIJL{x)J^{x) в гамильтониане, то вклад добавочного слагаемого в F.2.21) равносилен добавлению взаимодействия (Множители —г — это обычные множители, сопровождающие верши- вершины и пропагаторы. Множитель 1/2 компенсирует симметрию — есть два спаривания других полей с гамильтонианом Jf?eff(x), отличаю- отличающихся только заменой JM на Jv.) Таким образом, эффект некова- нековариантного слагаемого в F.2.21) можно сократить, добавив в гамиль- гамильтониан Jj?(x) нековариантное взаимодействие = -Же„(х) = ^г [J°(x)]2. F.2.22) Именно сингулярность (при нулевом расстоянии) одновременных коммутаторов векторных полей вынуждает нас использовать более широкий класс взаимодействий, чем просто скалярную плотность гамильтониана. Подробное непертурбативное доказательство лоренц- инвариантности 5-матрицы в этой теории будет представлено в сле- следующей главе. Не стоит думать, что это явление специфично для полей спи- спина j ^ 1. Например, рассмотрим векторное поле, построенное из ска- скалярного поля, равное (см. гл. 5) его производной д\ф(х). В случае 20 С.Вайнберг. Т. 1
306 Гл. 6. Правила Фепнмана спаривания этого поля со скалярным полем, ф^(у), полином Р(р) на массовой оболочке равен iPx, F.2.23) а спаривание того же поля с dv<jJ(y) дает многочлен P\,v=P)J>v (б-2-24) Ковариантные многочлены для импульса q^ вне массовой оболочки опять получаются заменой q^ на р^ в формулах F.2.13) и F.2.24). Из формулы F.2.23) мы видим, что P\(q) линеен по go, значит, полино- полиномы P\(q) и Р^ '(q) совпадают. Но в случае формулы F.2.24) разница между ними есть: = Px^iq) + (q2 + ™2)(^E°, F.2.25) так что пропагатор равен Дл,„(ж,?/) = B7г)-4 Так же как и в предыдущем примере, нековариантный вклад вто- второго слагаемого можно убрать, добавив в гамильтониан нековариант- ное взаимодействие Жмс{х) = \[^\х))\ F.2.27) где J^(x) — это ток, на который умножается градиент d^(x) в кова- риантной части Ж{х). Теперь должно стать понятно, что, по крайней мере для массивных частиц, вклады от нековариантных слагаемых в пропагаторе всегда можно уничтожить путем добавления в гамильтониан нековариант- нековариантных локальных членов. Это объясняется тем, что числитель Р\ш\q) в пропагаторе должен быть равен ковариантному полиному Pim(q), когда q^ лежит на массовой оболочке, так что разность между ними должна содержать множитель q2 + т2. Этот множитель сокращает- сокращается со знаменателем (q2 + т2 — ге) во вкладе этой разности в форму- формулу F.2.18), следовательно, уравнение F.2.18) всегда состоит из ко- вариантного члена и слагаемого, пропорционального дельта-функции 54(х — у) или ее производным. Вклад последнего слагаемого можно убрать, добавив в гамильтониан взаимодействия член, квадратичный по току, с которым взаимодействуют спаренные поля, или по произ- производным этих полей. В дальнейшем мы будем неявно предполагать, что такое слагаемое уже введено в гамильтониан, а потому будем исполь- использовать ковариантный полином Pim(q) в пропагаторе F.2.18), и будем опускать индекс L.
§6.3. Правила в импульсном пространстве 307 Может показаться, что такая процедура несколько искусственна. К счастью, в каноническом формализме, который мы рассмотрим в следующей главе, нековариантное слагаемое, нужное для сокраще- сокращения нековариантных членов в пропагаторе, появляется автоматиче- автоматически. Это, в частности, может служить мотивацией для развития ка- канонического формализма. * * * Прежде чем закончить этот параграф, следует упомянуть некото- некоторые другие часто встречающиеся в литературе определения пропага- тора, эквивалентные уравнению F.2.1). Во-первых, взятие вакуумно- вакуумного среднего от обеих частей уравнения F.1.14) дает - А1т(х,у) = 0(х - у)([Ф?(х),<ф+?(у)]Т)о ± ±е(у-х)(№-*(у),<фГ(х)]т)о. F.2.28) Здесь (АВ .. .)о обозначает вакуумное среднее (Фо, АВ ... Фо). Оба оператора ф~^(х) и ф^ (у) уничтожают вакуум, значит, остается толь- только одно слагаемое в каждом (анти)коммутаторе в уравнении F.2.28), дающее вклад в пропагатор: -iAlm(x,y) = 0{х - у)(Ф?ШтЧу))о ± 0(у - х)(ф^(у)ф-(х))о. F.2.29) Кроме того, ф и ф+ уничтожают вакуумное состояние справа, а ф~ и ф~^~ — слева, поэтому ф~^~ и ф~ повсюду в уравнении F.2.29) можно заменить на полное поле ф = ф+ + ф~: -iAim(x,y) = 0(х - у)(ф1(х)ф1(у))о ± 0(у - х){ф1п{у)ф1{х))(). F.2.30) Последнюю формулу можно переписать в виде -iAlm(x,y) = <Т{<Ма#Ш})о, F.2.31) где Т — хронологическое упорядочение (или символ хронологизации), обобщенное теперь2) для любых полей, со знаком минус для любой нечетной перестановки фермионных операторов. § 6.3. Правила в импульсном пространстве Правила Фейнмана, сформулированные в §6.1, позволяют вычис- вычислить вклад в 5-матрицу от заданной диаграммы TV-го порядка, пу- путем взятия интеграла по N 4-координатам от произведения функций 2) Это не противоречит нашему предыдущему определению хроноло- хронологического произведения в плотности гамильтониана в гл. 3, поскольку она может содержать лишь четное число фермионных сомножителей. 20*
308 Гл. 6. Правила Фепнмана этих 4-координат. Для (анти)частицы конечного состояния с импуль- импульсом p'v , выходящей из вершины с координатой жм, в подынтегральное выражение войдет множитель ехр(—ip' • ж), а для частицы начального состояния с импульсом р^, входящей в вершину с координатой х^, вой- войдет множитель ехр(+гр • х). Из §6.2 мы узнали, что множитель, свя- связанный с внутренней линией, соединяющей точки у, ж, можно предста- представить в виде интеграла Фурье по импульсу (вне массовой оболочки) q^ от функции, пропорциональной exp(iq(x — у)). Этот 4-импульс можно приписать виртуальной частице, изображаемой внутренней линией, идущей из точки у в точку х. Значит, интеграл по пространственно- временной координате просто дает множитель ) F.3.1) где ^2pf и ^2р обозначают полный 4-импульс частиц в конечном и начальном состояниях, которые покидают вершину или входят в нее, а Е ?' и Е ^ ~ полный 4-импульс выходящих и входящих в верши- вершину внутренних линий. Разумеется, вместо интегрирования по коорди- координатам теперь нужно будет вычислять фурье-интегралы по импуль- импульсам дм, по одному для каждой внутренней линии. Эти соображения можно сформулировать в виде новых правил Фейнмана (рис. 6.9) — правил вычисления вкладов в 5-матрицу в виде интегралов по 4-импульсам: (i) Нарисовать все диаграммы интересующего порядка, как опи- описано в §6.1, но вместо того чтобы помечать вершины координатами, нужно теперь пометить 4-импульсом (общего вида) каждую внут- внутреннюю линию, в соответствии с направлением стрелки на линии (для нейтральных частиц направление не играет роли). (ii) Для каждой вершины типа г ввести множитель (б-3-2) где суммы 4-импульсов имеют тот же смысл, что и в F.3.1). Эти E-функции гарантируют сохранение 4-импульса в каждой вершине. Для каждой внешней линии, уходящей вверх наружу, включить мно- множители Bтг)~3/2г^(р'сг'п') или Bтг)~3//2г'/(р/сг/п/) соответственно для стрелки вверх или вниз. Для каждой внутренней линии, с индексами т и I в начале и в конце (направление определяется стрелкой), пе- переносящей импульс q^, включить в подынтегральное выражение по q коэффициент перед ещ'х в интеграле для — гД/ш(ж): -iB7r)-4Plm(q)/(q2 + m2 - ге). F.3.3) Напомним, что для скалярной (анти)частицы с импульсом q функ- функции u,v равны просто Bд°)~1//2, а полином P(q) — единице. Для ча- частицы со спином 1/2 с импульсом р и массой М функции и, v суть
§6.3. Правила в импульсном пространстве 309 р'а'п' р'а'п'с к Bтг)-3/2^*(р/сг/п/) Ж м/ pan рапс pan pan pan" pan —i Plm(q) BттL q2+m2l-ie Рис. 6.9. Графическое представление спариваний операторов, возникающее при вычислении ^-матрицы в импульсном представлении. Справа от каж- каждого графического элемента подписан соответствующий ему множитель в выражении, которое интегрируется по импульсам нормированные дираковские спиноры, описанные в § 5.5, а поли- полином Р(р) есть матрица (—ij^P^ + M)f5. (iii) Проинтегрировать произведение всех этих множителей по 4-импульсам внутренних линий и просуммировать по индексам /, т, ... (iv) Сложить результаты для всех возможных фейнмановских диаграмм. Возможно, понадобится включить добавочные комбинаторные мно- множители, как было разъяснено в пунктах (v), (vi) §6.1. В конце этого параграфа будут даны некоторые примеры.
310 Гл. 6. Правила Фепнмана Многие из 4-импульсов интегрирования можно устранить с помо- помощью й-функций от вершин. Поскольку энергия и импульс независи- независимо сохраняются для каждой связной части диаграммы, мы имеем С ^-функций в диаграмме с С связными кусками. Значит, в диаграм- диаграмме с / внутренними линиями и V вершинами число независимых 4-импульсов, не фиксированных ^-функциями, равно I — (V — С). Очевидно, это выражение равно числу L независимых петель: L = I-V + C, F.3.4) которое определяется как наибольшее число внутренних линий, ко- которые можно разрезать, сохранив связность диаграммы, потому что такие и только такие внутренние линии могут обладать независимыми 4-импульсами. Можно считать, что эти импульсы циркулируют в пет- петлях. В частности, древесная диаграмма — это граф без петель; после учета всех ^-функций импульсов интегрирования в них не остается. Например, в теории со взаимодействием F.1.18) элемент 5-матри- цы F.1.27) для фермион-бозонного рассеяния записывается по прави- правилам Фейнмана в импульсном пространстве следующим образом: с ...... _ kJp'1a'1n'1p'2a'2n'2,piainip2O-2ri2 ~ k'l'm'klm x fd4q( гBт))-4 /m>m}q) x + ul(p2a2n2)uk' (р2СГ2П2M4:(р2 —pv ~q)S4:(pi - P2' — o)], где индексы 1, 2 означают соответственно фермионы и бозоны. Инте- Интеграл по импульсам здесь тривиален и дает q ./q \ — 2г4/ _|_ / /\ др'1сг'1п'1р'2сг'2п'2,р1сг1п1р2СГ2П2 ~ Ч^71/ О {Р\ ~Г Р2 — Р\ — Р2) Х k'l'm'klm I X Г Pm'mVPl +P2) * / I l\ t 7 1 \9~, 9 " ик' \Р2О'2п2)ик ( L(pi+p2J +m2m-ie к V^ 2 2У \ F.3.5) Точно так же для матричного элемента фермион-фермионного рассе- рассеяния в той же теории получаем Ьр'1(т'1п'1р'2а'2п'2,р1а1п1р2(Т2П2 = ^\^) 0 [Pi + Р2 ~ Р\ ~ $2) Х V^ Pk'k(Pl' ~Pl) v X /^ Qm'mk'Ql'lk 7 7J— 2 ~ X 7/7/^7 \Pv -PiJ +m2k -ie k'l'm'klm
§6.3. Правила в импульсном пространстве 311 - [l' — 2']. F.3.6) Из этих результатов очевидна потребность в более компактных обо- обозначениях. Мы можем ввести матрицу констант связи фермион- бозонного взаимодействия: [Tk]lm = 9lmk- F.3.7) В матричных обозначениях формулы F.3.5) и F.3.6) можно записать в виде Sp'1a'1n'1p'2a'2n'2,p1a1n1p2a2n2 = г^Тг)'2S4 (Pl + р2 - Р[ - р'2) X X к'к F.3.S (Pi +P2-Pi~: "Pi) „ (Pi' -PiJ +ml -it - [1' — 2'], F.3.9) где М2, тп2 — диагональные массовые матрицы фермионов и бозонов. Общее правило состоит в том, что в матричных обозначениях нужно перемножить коэффициенты, матрицы взаимодействия и пропагато- ры в порядке назад, против стрелок на диаграмме. В тех же обозна- обозначениях матричный элемент для бозон-бозонного рассеяния в той же теории записывается в виде суммы по однопетлевым диаграммам на рис. 6.7: X ^ ^^Pi^bni)^(P25cr2^2)^i(Pbcrbnl)^2(P2,Cr2,n2) X kl (9 +Pi -PiJ +M2- ге l fc (9 +Pi -PiJ +M2- ге l fc2 (g -p'2J + M2 - ге
312 Гл. 6. Правила Фепнмана где многоточие в последней строке обозначает слагаемые, получаемые перестановкой бозонов 1', 2' и 2. Знак "—" в первой части происхо- происходит от фермионной петли. Обратим внимание, что после устранения ^-функций здесь остается лишь один интеграл по 4-импульсам, как и должно быть для однопетлевой диаграммы. Мы научимся считать подобные интегралы в гл. 11. Проиллюстрируем наши рассуждения конкретным примером. Рас- Рассмотрим теорию, содержащую дираковское поле ф{х) с массой М и псевдоскалярное поле ф(х) массы т, которые взаимодействуют с га- гамильтонианом —ъдфф^^ф (множитель —г необходим, чтобы гамильто- гамильтониан был эрмитов при вещественной константе д). Вспоминаем, что для скалярного поля многочлен P(q) = 1, а для спинорного поля — P(q) = (—ij • q + М)/3. Кроме того, для скаляра с энергией Е множи- множитель и = BЕ)~1/2, а для спинорного поля нужно брать нормирован- нормированный дираковский спинор (§5.5). Формулы F.3.8)-F.3.10) дают вклад наинизшего порядка (с учетом только связных диаграмм) для всех трех типов рассеяния частицы на частице: Pi +P2 -р[ -р'2) х (pi — р2) + М2 — ге = -iB7r)~2g254(p1 + р2 -р[ -р2) х X (f2(p^CT2O5^(p2Cr2))(^(picriO5^(PlCri)) X 1 PiJ - [1' ^ 2'1 '2 -Р[ -Р2) X ^ q2+M2_ ie 75 {q+Pi -piJ + M2-ze75 (q-p'2J+M2 -', а многоточие в последней формуле означает сумму по перестановкам частиц 2, 1;, 2'. Множители /3 в числителях пропагаторов были ис- использованы для замены w на w. Существует полезный топологический результат, выражающий за- закон сохранения линий. Мы можем считать, что все внешние и внут- внутренние линии создаются в вершинах и уничтожаются парами в сере- серединах внутренних линий, или уходят из диаграммы в виде внешних
§6.4- Вычисления вне массовой оболочки 313 линий (это не имеет отношения к направлениям стрелок). Приравни- Приравнивая число создаваемых и уничтожаемых линий, получаем Vu F.3.11) где / и Е — количества внутренних и внешних линий, V\ — число вершин типа г, П{ — количество линий, выходящих из вершины типа г. Эта формула также верна и для каждого типа полей по отдельности. В частности, если все взаимодействия характеризуются одним и тем же числом rii = n, получается 2I + E = nV, F.3.12) где V — полное число вершин. В таком случае можно исключить чис- число / из уравнений F.3.4) и F.3.11), и для связной (С = 1) диаграммы получаем число вершин V = 2L + E~2. F.3.13) Например, в случае трилинейного взаимодействия диаграмма для рассеяния (Е = 4) с L = 0, 1, 2, ... петель имеет V = 2, 4, 6, ... вер- вершин. Вообще, разложение по степеням константы связи сопровож- сопровождается ростом числа петель в диаграммах. § 6.4. Вычисления вне массовой оболочки В диаграммах Фейнмана для любого 5-матричного элемента все внешние линии лежат на массовой оболочке (on-shell), т.е. для ча- частицы массой т ее 4-импульс ограничен соотношением р^р^ = — т2. Однако зачастую бывает нужно рассматривать также диаграммы с произвольными 4-импульсами внешних частиц вне массовой обо- оболочки (off-shell). Например, такую диаграмму можно рассматривать как часть большей диаграммы. В частности, петля на внутренней ли- линии в диаграмме Фейнмана может рассматриваться как диаграмма с двумя внешними линиями, обе из которых не лежат на массовой оболочке. Естественно, что если мы имеем результат для произвольных им- импульсов, несложно "посадить" частицы на массовую оболочку, поло- положив нулевую компоненту входящего 4-импульса р^ равной для частицы в начальном состоянии или для частицы в конечном состоянии и добавив правильные мно- множители внешних линий — Bтг)~3^2щ и Bтг)~3//2г'/* для начальных
314 Гл. 6. Правила Фепнмана (анти)частиц, Bтг)~3/2и^ и Bтг)~3//217 для конечных (анти)частиц. В действительности, в формулировке квантовой теории поля через континуальный интеграл (гл. 9) оказывается проще вывести правила Фейнмана для произвольных внешних импульсов, а затем получить 5-матричные элементы, посадив внешние 4-импульсы на массовые оболочки частиц. Диаграммы Фейнмана с произвольным импульсом являются част- частным случаем более широкого обобщения — правил Фейнмана с уче- учетом различных внешних полей. Допустим, мы добавили в гамильто- гамильтониан сумму слагаемых с разными внешними полями ба(ж), так что взаимодействие V(t), входящее в разложение Дайсона C.5.10) для 5-матрицы, заменяется на V€(t) = V(t) + Y1 j(Pzea(x,t)oa(x,t). F.4.1) Токи оа (t) зависят от времени обычным образом в представлении вза- взаимодействия: oa(t) = ехр(гЯо?К@)/ ехр(-гЯо?), F.4.2) но в остальном это произвольные операторы. Для любого заданно- заданного перехода а —У C 5-матрица становится функционалом 5а/з[б] от с-числовых функций ea(t). Правила Фейнмана для вычисления этого функционала даются очевидным обобщением обычных правил. Кроме обычных вершин, соответствующих взаимодействию V(i), появляют- появляются дополнительные вершины: если оа(х) есть произведение па полей, то в вершину, соответствующую оа, должно входить па линий соот- соответствующего сорта, а вклад этой вершины в координатном представ- представлении равен произведению — iea(x) со всеми числовыми множителями в оа (х). Отсюда следует, что r-я вариационная производная функцио- функционала 5а/з[е] по полям ба(ж), €ъ(у), • • • ПРИ е — 0 дается диаграммами в координатном представлении с г дополнительными вершинами, к ко- которым приставлены па, щ, ... внутренних линий в отсутствие внеш- внешних линий. Эти вершины отмечены координатами ж, у, ..., по кото- которым не производится интегрирование; каждая из этих вершин дает вклад, равный произведению —г со всеми числовыми множителями из соответствующего тока оа. В частности, если все эти токи линейны по полям, т.е. ve(t) = v(t) то r-я вариационная производная функционала Sap [e] по полям б/ (ж), ет(у), ... при 6 = 0 дается диаграммами в координатном представле- представлении с г дополнительными вершинами, которые отмечены координа- координатами ж, у, ...; в каждую из них входит одна внутренняя линия типа /, т, ... Эти линии можно считать внешними линиями, не лежащими
§6.4- Вычисления вне массовой оболочки 315 на массовой оболочке, с той лишь разницей, что их вклад в матричный элемент равен не коэффициентной функции (как Bтг)~ъ12щ (р, а)егрх или Bтг)~3/2г^(р, а)е~грх), а пропагатору, со множителем —г, который происходит от вершины в конце линии. Диаграмму Фейнмана в им- импульсном пространстве с частицами в состояниях а, C на массовой оболочке и г дополнительными внешними линиями типов /, т, ..., несущими импульсы р, //, ..., мы получим из вариационной произ- производной [Sei(x)Sern(y)...le=oJ удалив пропагаторы от каждой внешней линии вне массовой обо- оболочки, выполнив необходимые преобразования Фурье и добавив все коэффициентные функции щ, и^ и т.п. и множитель (—i)r. В ряде случаев может пригодиться простое соотношение между суммой вкладов от всех диаграмм теории возмущений для произ- произвольной амплитуды вне массовой оболочки и матричным элементом, взятым между собственными состояниями полного гамильтониана, от хронологического произведения соответствующих операторов в пред- представлении Гейзенберга. Это соотношение дается теоремой [3], которая утверждает, что с учетом всех порядков теории возмущений1) F.4.3) где Оа(х) — гейзенберговские операторы для оа(х) Оа(х,?) = ехр(гЯ?)оа(ж,0)ехр(-гЯ?) = u(t)aa(xJt)u~1(t)J F.4.4) u(t) = eiHte-iHot, F.4.5) а Ф^ и Ф^ — начальное ("in") и конечное ("out") состояния полного гамильтониана Н. Покажем это. Из уравнения C.5.10) легко видеть, что левая часть уравнения F.4.3) равна SrS\e] °° (-i)N+r 7 , T{V(n) ... V(rN)oai (m) ... oar (хг)}Фа). F.4.6) Для определенности положим хJ ^ х\ ^ ... ^ х®г. Теперь можно обо- обозначить через Toi,..., tojVo все переменные интегрирования г, боль- больр o,, oo р р шие ж?, через Гц,... ,riiVi — все т между х\ и х®, и т.д., наконец, 1) Для единственного оператора О это есть вариант принципа действия Швингера [4].
316 Гл. 6. Правила Фепнмана через rri,... ,тг]уг — все т, меньшие х®. Уравнение F.4.6) принимает вид Г SrS[e] 1 _ A (-i)N+r v- N\6N,No+Ml+...+Nr v )\е=о l5eai(x1)...5ear(xr)\e=o ^ N\ N^ N No\ N^ ... Nr\ x / drOi ... drONo / drn ... dr1Nl ... j drrl ... drrNr x r^)... V(r1Nl)}oa2(x2)... x x ... oar (xr)}T{V(rrl)... У(тг Множитель N\/Nq\ Nil... Nr\ — это число разбиений N переменных т на г + 1 группу, каждая из которых содержит Nq, JVi ,..., Nr из этих г. Вместо того чтобы суммировать по No, JVi,..., 7Vr, связанным усло- условием TVq + Ni + ... + Nr = TV, а затем суммировать по TV, мы можем просто независимо суммировать по Nq , JVi,..., TVr, заменяя TV во мно- множителе (—i)N на сумму TVq + -^1 + ... + TVr. Это дает ,-сх))Фа), F.4.7) где F-4< Оператор U(tf,t) удовлетворяет дифференциальному уравнению -^U(t',t) = -iV(t')U(t't) F.4.9) с очевидными начальными условиями U(t,t) = l. F.4.10) Оно имеет решение U(t',t) =exp(iHot')exp(-iH(tf - t)) exp(-iHot) = (Г1^') F.4.11) где П дается формулой F.4.5). Подставляя F.4.11) в F.4.7) и исполь- используя F.4.4), получаем Г SS[e] \.Seai(xi).. .8tar{xr)\e=o = (-гУ•(П(оо)Ф/з,О„1(ж1).. .Оаг(хгЩ-оо)Фа). F.4.12)
Задачи 317 При выводе этого результата мы предполагали, что х\ ^ х\ ^ ... ^ х^, а потому могли заменить произведение операторов в правой части на хронологическое произведение Г SS[e] lSeai(xi).. .Sear(x = (-1У(п(оо)Ф13,Т{Оа1(х1)---ОаЛхг)Щ-ж)Фа). F.4.13) Но теперь обе части уравнения полностью симметричны (или анти- антисимметричны для фермионов) по а и по ж, а значит соотношение вы- выполняется при любом порядке времен х\ ... х®. Кроме того, в § 3.1 мы показали, что (в смысле уравнения C.1.12)) Ф± = П(тоо)Ф/3. F.4.14) Следовательно, формула F.4.13) представляет собой желаемый ре- результат F.4.3). Задачи 1. Рассмотрите теорию вещественного скалярного поля ф со взаи- взаимодействием (в представлении взаимодействия) V = g f сРх ф(хK/3!. Вычислите связные матричные элементы для скаляр-скалярного рас- рассеяния с точностью до второго порядка по д, вычислив все интегралы. Вычислите затем дифференциальное сечение скаляр-скалярного рас- рассеяния в системе центра масс. 2. Рассмотрите теорию с нейтральным скалярным полем ф(х) бо- бозона В и комплексным дираковским полем ф(х) фермиона F, со вза- взаимодействием (в представлении взаимодействия) V = ig с13х'ф(х)'у5'ф(х)ф(х). Нарисуйте все связные диаграммы порядка g и вычислите все соот- соответствующие матричные элементы для процессов Fc + В —» Fc + В, F + Fc -+ F + Fc, Fc + F -+ В + В. Здесь Fc — античастица для F. Вычислите все интегралы. 3. Рассмотрите теорию вещественного скалярного поля ф(х), со взаимодействием V = g J d3x ф(хL/4!. Вычислите матричный элемент для скаляр-скалярного рассеяния в первом порядке по д, а затем получите дифференциальное сечение скаляр-скалярного рассеяния в системе центра масс. Найдите поправки второго порядка, запи- записав результат в виде одного интеграла по 4-импульсу, вычислив все интегралы по координатам. 4. Каков вклад в диаграммы Фейнмана от свертки производной d^iix) дираковского поля с сопряженным полем ^^B/)?
318 Гл. 6. Правила Фепнмана 5. С помощью теоремы §6.4 напишите выражения для вакуум- вакуумных средних операторов в представлении Гейзенберга (Фо5Ф(^)Фо) и ), ФB/)}Фо) Для теории из задачи 1, с точностью до поряд- порядков д и д2 соответственно. Литература 1. Dyson F.J. I/ Phys. Rev. 75, 486, 1736 A949). 2. Формальное утверждение этого результата известно под названием теоремы Вика, см. Wick G.C. // Phys. Rev. 80, 268 A950). 3. Мне неизвестно, кто впервые доказал эту теорему. Она была из- известна в начале 1950-х годов нескольким теоретикам, включая М. Гелл-Манна и Ф.Э. Лоу. 4. Schwinger J. // Phys. Rev. 82, 914 A951).
Глава 7 КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ С тех пор как в конце 1920-х годов в работах Борна, Дирака, Фер- Ферми, Гейзенберга, Йордана и Паули родилась квантовая теория поля, ее развитие исторически связано с каноническим формализмом, причем настолько сильно, что сейчас принято начинать рассмотрение любой задачи с постулирования лагранжиана и применения к нему правил канонического квантования. Именно этот подход применяется в боль- большинстве книг по квантовой теории поля. Однако сам по себе истори- исторический прецедент не может быть убедительной причиной для исполь- использования этого формализма. Если мы бы построили квантовую теорию поля, приводящую к физически удовлетворительной 5-матрице, раз- разве волновало бы нас, можно ли вывести ее посредством канонического квантования некоторого лагранжиана? Этот вопрос довольно спорный, поскольку, как мы увидим в § 7.1, все самые известные квантовые теории поля описывают канонические системы, и их легко записать в лагранжевой формулировке. Однако не существует доказательства того, что любая "разумная" квантовая теория поля может быть сформулирована в такой форме. И даже если может, это не объясняет само по себе, почему мы должны предпочесть лагранжев формализм для построения различных квантовых теорий поля. Преимущество лагранжева формализма заключается в том, что с его помощью легко построить теорию, обладающую лоренц-инва- риантностью и другими симметриями: классическая лоренц-инва- риантная система после канонического квантования дает квантовую лоренц-инвариантную систему. Скоро мы увидим, что такая теория позволяет построить подходящие квантовомеханические операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры Пуанка- Пуанкаре, и, следовательно, приводит к лоренц-инвариантной 5-матрице. Это не так уж тривиально. В предыдущей главе мы видели, что в теориях с производными во взаимодействии или со спином j ^ 1 недостаточно просто взять гамильтониан взаимодействия как инте- интеграл по пространству от скалярной плотности взаимодействия; необ- необходимо добавить неинвариантные слагаемые в плотность взаимодей- взаимодействия, чтобы компенсировать нековариантные вклады в пропагатор. Канонический формализм со скалярным лагранжианом автоматиче- автоматически приводит к таким дополнительным членам. Позднее, когда мы придем к неабелевым калибровочным теориям в т. II, это станет необ- необходимостью; попытки угадать вид гамильтониана в таких теориях без-
320 Гл. 7. Канонический надежны, если не начинать с лоренц- и калибровочно-инвариантной плотности лагранжевой функции. § 7.1. Канонические переменные В этом параграфе мы покажем, что все построенные нами кванто- квантовые теории поля удовлетворяют правилам коммутации и уравнениям движения гамильтоновой версии канонического формализма. Имен- Именно гамильтонов формализм необходим для вычисления 5-матрицы (операторным методом или через континуальное интегрирование), но не всегда легко выбрать гамильтониан, который приведет к лоренц- инвариантной 5-матрице. В этой главе мы будем исходить из лагран- жевой формулировки канонического формализма и выводить с ее по- помощью физически удовлетворительные гамильтонианы. Цель этого параграфа — определить в различных теориях канонические поля и сопряженные им, понять, как выделять слагаемые, отвечающие сво- свободным полям в лагранжиане, а попутно убедиться в том, что канони- канонический формализм действительно пригоден для описания реалистич- реалистичных теорий. Сначала покажем, что свободные поля, построенные в гл. 5, ав- автоматически образуют систему квантовых операторов gn(x,?) и кано- канонически им сопряженных операторов рп(х,?), которые подчиняются известным (анти)коммутационным соотношениям [<?п(х, ?), qn(y, t)]T = 0, G.1.2) \pn(x,t),Pn(y,t)]T = 0, G.1.3) где индекс =F означает коммутатор, если хотя бы одна из частиц — бозон, и антикоммутатор, если обе частицы — фермионы. К приме- примеру, вещественное скалярное поле ф(х) для нейтральной (зарядово- самосопряженной) бесспиновой частицы, согласно результатам § 5.2, подчиняется коммутационному соотношению [ф(х),ф(у)]-=А(х-у), где А есть функция d к гik-x _ -ik-хл С- С- I , 2/с°BтгK где к0 = л/k2 + т2. Заметим, что А(х,0) =0, А(х,0) = -г?3(х) (точкой обозначается производная по времени ж0). Теперь легко ви- видеть, что поле и его производная по времени, взятые в один момент
§7.1. Канонические переменные 321 времени t, коммутируют по правилам [ф(к, 1),ф(у,«)]_ = г<53(х, у), G.1.4) )]-=О, G.1.5) )]_=O. G.1.6) Следовательно, можно определить канонические переменные gr(x,t) = 0(x,t), р(х,?) = 0(х,?), G.1.7) которые подчиняются каноническим коммутационным соотношениям G.1.1)-G.1.3). Для комплексного скалярного поля бесспиновой частицы (с нетож- нетождественной античастицей) правила коммутации таковы: [ф(х),ф*(у)]-=А(х-у), [ф(х),ф(у)]-=0. Значит, канонические переменные свободных частиц, в данном случае комплексные операторы, можно ввести так: g(x,t)=<0(x,t), G.1.8) p(x,t) = ^(x,t)) G.1.9) Эквивалентно можно написать, что комплексное поле где фк, к = 1, 2, — эрмитовы, и тогда канонические переменные <Z*(x,t)=^(x,t), G.1.10) p*(x,t) = ^(x,t), G.1.11) удовлетворяют коммутационным соотношениям G.1.1)—G.1.3). Для вещественного векторного поля частицы со спином 1 комму- коммутационные соотношения получены в § 5.3 в виде Мы пишем г?*2 вместо Vм, поскольку будем использовать большие бук- буквы для операторов в представлении Гейзенберга. В данном случае ка- канонические переменные можно выбрать так: 9<(x,t)=«i(x,t), G.1.12) pi(x,t)=*<(x,t) + ^^, G.1.13) где г = 1, 2, 3. Читатель может проверить, что G.1.12) и G.1.13) под- подчиняются соотношениям G.1.1)—G.1.3). Уравнения движения E.3.36) и E.3.38) совместно с уравнением G.1.13) позволяют выразить v° в терминах других переменных в виде г;0 = m-2V-p, G.1.14) 21 С.Вайнберг. Т. 1
322 Гл. 7. Канонический так что г?0 не считается одной из канонических координат q. Обоб- Обобщение на случай комплексных векторных полей делается так же, как для скалярных. Для дираковского поля не-майорановской частицы со спином 1/2 в § 5.6 получены антикоммутаторы Здесь было бы неправильно считать независимыми каноническими переменными фп и ф^, поскольку их одновременный антикоммутатор не равен нулю. Вместо этого обычно определяют qn{x) = фп(х), G.1.15) рп(х) = iiPt(x) G.1.16) Эти величины удовлетворяют каноническим соотношениям G.1.1)— G.1.3). Для любой системы операторов, подчиняющихся (анти)коммута- (анти)коммутационным соотношениям вида G.1.1)—G.1.3), можно определить кван- товомеханическую функциональную производную: для произволь- произвольного бозонного функционала F[q(t),p(t)] от полей gn(x,?), pn(x,t) в фиксированный момент ?, определим1) =i\pn(^t),F[q(t),p(t)}], G.1.17) ^,t)]. G.1.18) Это определение мотивировано тем, что если в функционале все g-поля стоят слева от всех р-полей, то формулы G.1.17)—G.1.18) являются соответственно левыми и правыми производными по qn и рп. Это значит, что для произвольной с-числовой2) вариации 5q, 5р :) Здесь мы ввели обозначение, которое будем применять в дальней- дальнейшем: если /(ж, г/) есть функция от двух классов переменных, обозначаемых вкупе х и у, то F[f(y)] означает функционал, зависящий от значений /(ж, у) при всех х при фиксированном у. Под словом бозонный подразумевается, что функционал содержит четное число фермионных полей. 2) В случае бозонов или фермионов величины Sqn и дрп соответственно коммутируют или антикоммутируют со всеми фермионными операторами и коммутируют со всеми бозонными операторами.
§7.1. Канонические переменные 323 имеем SF[q(t),p(t)] = Для функционалов более общего вида нам нужны определения G.1.17) и G.1.18), чтобы учесть различные знаки и одновременные коммутаторы. В частности, Hq есть генератор трансляций по времени для сво- свободных частиц, в том смысле, что <?п(х, t) = exp(iHot)qn(x, 0) ехр(-гЯ0*), G.1.19) pn(x,t) = ехр(гЯофп(х,0)ехр(-гЯог), G.1.20) так что операторы свободных частиц зависят от времени по законам еМ=г[Н0^М] = ^-у G.1.21) pn(x,t) = -i\pn(x,t),H0] = -j^jy G-1.22) В этих формулах мы узнаем динамические уравнения Гамильтона. Гамильтониан свободной частицы, как обычно, равен Y^ [ n,a Но = Y^ [d3k(J(k, a, n)a(k, a, n)y^k2 + m2n. G.1.23) Он может быть переписан в терминах полей д,рв момент t. Например, несложно заметить, что для вещественного скалярного поля формула G.1.13) сводится (с точностью до постоянного слагаемого) к функцио- функционалу Но = JdPx [ip2 + \ (VgJ + \ mV]. G.1.24) Более точно, используя G.1.7) и фурье-представление скалярного по- поля ф, приводим G.1.24) к виду Но = 1 Г d3kk°[a(k),a\k)}+ = Г d3kk° (af(k)a(k) + ^S3(k -k)), G.1.25) что совпадает с формулой G.1.23), за исключением бесконечного по- постоянного слагаемого. Подобные слагаемые лишь влияют на выбор точки отсчета энергии (другие названия: нулевая энергия, энергия вакуума) и не имеют физического смысла в отсутствие гравитации3). ) Однако изменения в таких слагаемых из-за перемены граничных условий для полей, как, например, в случае квантования в пространстве между параллельными пластинами, имеют физический смысл и даже были измерены [1]. 21*
324 Гл. 7. Канонический Явный вид Hq как функционала от q,p для других полей будет при- приведен в § 7.5. В учебниках по квантовой теории поля обычно выводят G.1.25) как следствие формулы G.1.24), которая, в свою очередь, следует из вида лагранжиана. На мой взгляд, следует рассуждать в обратном на- направлении, поскольку уравнение G.1.25) обязано выполняться; если некоторый лагранжиан свободного поля не приводит к G.1.25) с точ- точностью до постоянного члена, его следует считать неправильным. На- Наоборот, нужно задаться вопросом, какой лагранжиан приводит к фор- формуле G.1.25) для бесспиновых частиц, или, в общем случае, приводит к гамильтониану свободных частиц G.1.23). На этот вопрос можно от- ответить с помощью преобразования Лежандра, которое осуществляет переход от гамильтониана к лагранжиану. Лагранжиан свободного поля дается формулой L0[q(t),q(t)] = Y1 / d3xPn(^ *)^n(x, t) - Яо, G.1.26) где подразумевается, что все рп выражены через qn,qn (а также, как мы увидим, через некоторые вспомогательные поля). Например, из га- гамильтониана G.1.24) и G.1.7) получаем лагранжиан свободного ска- скалярного поля: Lo = f dsx [pq - ip2 - \ (VgJ - \ nV] = = j <?х[-\д»фд»ф-\т2ф2]. G.1.27) Каков бы ни был полный лагранжиан скалярного поля, данное слагае- слагаемое в нем всегда присутствует и рассматривается как член нулевого порядка в теории возмущений. Подобное упражнение можно проде- проделать и для других канонических систем, но с этого места мы будем просто угадывать вид свободного лагранжиана и проверять, что он действительно дает правильный гамильтониан свободных частиц. Мы видели, что многочисленные теории свободных полей мож- можно сформулировать канонически. Несложно теперь показать, что это верно и для взаимодействующих полей. Можно ввести канонические переменные в так называемом представлении Гейзенберга, переход к которому дается формулами Qn(x, t) = exp(iHt)qn(x, 0) ехр(-гЯ?), G.1.28) Pn(x, t) = ехр(гЯфп(х, 0) ехр(-гЯ?), G.1.29) где Я есть полный гамильтониан. Поскольку это есть преобразование подобия, коммутирующее с Я, полный гамильтониан в представле- представлении Гейзенберга так же зависит от новых переменных, как старый
§7.2. Лагранэюев формализм 325 гамильтониан — от старых переменных, т.е.: H[Q,P] = eimH[q,p]e-iHt = H[q,p]. Далее, поскольку G.1.28), G.1.29) определяют преобразования подо- подобия, операторы в представлении Гейзенберга удовлетворяют тем же правилам (анти)коммутации: [Qn(x, t), Рн(у, «)]=р = ^3(х - у)^, G.1.30) [Qn(x,t),Qn(y,t)]T=0, G.1.31) [Pn(x,t),PH(y,t)]T = 0. G.1.32) Однако в новом представлении они зависят от времени: Q"(x, t) = i[H, Q"(x, t)] = &pn^ty G-1.33) Pn(x,t) = -i[Pn(x,t),H] = -5Qi^ty G-1.34) Например, можно взять гамильтониан вещественного скалярного по- поля в виде G.1.24) плюс интеграл от скалярной плотности взаимодей- взаимодействия Ж, т.е. в терминах гейзенберговских полей: Я = I d3x g Р2 + \ (VQJ + \ m2Q2 + Jf(Q)]. G.1.35) В данном случае канонически сопряженная с Q переменная дается той же формулой, что и для свободных полей: P = Q. G.1.36) Однако как мы увидим, в общем случае связь между канонически сопряженными переменными Рп{х) и полевыми переменными и их производными по времени не такая, как для свободных полей; эта связь дается формулами G.1.33), G.1.34). § 7.2. Лагранжев формализм После того как мы убедились, что разнообразные реалистичные теории можно описать в рамках канонического формализма, сле- следует рассмотреть вопрос о выборе гамильтониана. Как мы увидим в следующем параграфе, простейший способ гарантировать лоренц- инвариантность и другие симметрии — это выбрать подходящий ла- лагранжиан и вывести из него гамильтониан. При таком подходе почти нет потери общности — при наличии реалистического гамильтониана обычно можно реконструировать лагранжиан, из которого он полу- получается, т.е. обратить процедуру получения гамильтонианов из лагран- лагранжианов, которую мы сейчас опишем (вывод уравнения G.1.26) — один
326 Гл. 7. Канонический из примеров такой реконструкции). И хотя можно переходить от га- гамильтониана к лагранжиану и наоборот, проще изучать физически удовлетворительные теории, перечисляя возможные лагранжианы, а не гамильтонианы. Лагранжиан в общем случае есть функционал1) 1/[Ф(?),Ф(?)] от набора полей общего вида Фг(х,?) и их производных по време- времени Ф'(х, ?). Сопряженные поля П/(х,?) определяются как вариацион- вариационные производные 2) 2): G.2.1) Уравнения движения имеют вид Эти уравнения полезно сформулировать в виде вариационного прин- принципа. Введем функционал от полей Фг(ж) во всем пространстве- времени, известный как действие: = J <Й?[Ф(*),Ф(*)]. G.2.3) — оо При произвольной вариации Ф(ж) изменение /[Ф] равно ОО 61[Щ= f ^ — ОО Предполагая, что ЙФ'(ж) исчезает при t —у =Ьоо, после интегрирования по частям получаем = [d4x \-^- - ± -*LJ\s&(x). G.2.4) J 1дЪ1(х) dt 6Ъ1(х)\ V J V J :) Напомним, что функционал L, в котором в наших обозначениях ука- указывается переменная t, на самом деле зависит от полей Фг(х, t), Фг(х, t), где умалчиваемые переменные /, х пробегают все допустимые значения в ука- указанный момент времени t. Большие буквы для переменных Ф, П указывают на то, что это взаимодействующие, а не свободные поля. ) Поскольку ФиФ необязательно подчиняются простым (анти) комму- коммутационным соотношениям, мы не можем дать здесь простые определения функциональных производных, как мы делали в предыдущем параграфе для производных по Q, Р. Вместо этого мы утверждаем, что вариационные производные определяются так же, как для с-числовых переменных, только со всеми знаками минус и одновременными (анти)коммутаторами, нужны- нужными для правильной квантовой записи этих формул. Насколько я знаю, здесь нет каких-либо важных подробностей.
§7.2. Лагранэюев формализм 327 Мы видим, что действие имеет экстремум (стационарную точку) по отношению к вариациям полей ЙФ'(ж), исчезающим при t —у ±оо, то- тогда и только тогда, когда поля удовлетворяют уравнениям движе- движения G.2.2). Поскольку уравнения поля определяются функционалом /[Ф], ка- кажется естественным, что лоренц-инвариантная теория должна стро- строиться на основе скалярного /[Ф]. В частности, поскольку /[Ф] есть интеграл по времени от Ь[Ф(?), Ф(?)], заключаем, что L должно быть интегралом по пространству от скалярной функции от Ф(ж) и <9Ф(ж)/<9жм, которая называется лагранжевой плотностью ??\ ?[Ф(?),Ф(?)] = /^3ж^(Ф(х,?),УФ(х,?),Ф(х,?)), G.2.5) т.е. действие имеет вид /[Ф] = Га]4х^?(Ч>(х),дЧ>(х)/дх»). G.2.6) Все теории поля в современной физике элементарных частиц обла- обладают лагранжианом такого вида. Варьируя ф'(ж) на величину ЙФ'(ж), находим вариацию L: = Гd3x \(— - V- —^—)?Ф' + ^ так что, опуская очевидные аргументы, G.2.7) G.2.8) Уравнения поля G.2.2) теперь принимают вид д - G 2 9) Эти уравнения известны как уравнения Эйлера-Лагранжа. Как и ожидалось, для скалярной функции ?? эти уравнения лоренц-инва- риантны. Помимо лоренц-инвариантности, действие / должно быть веще- вещественным. Дело в том, что нам нужно ровно столько уравнений, сколько полей. Поскольку можно разделить любое комплексное поле на вещественную и мнимую части, можно рассматривать функцио- функционал / как зависящий от N вещественных полей. Если бы он был ком- комплексным, с независимыми вещественными и мнимыми частями, то условие стационарности этих частей дало бы 2N уравнений Эйлера- Лагранжа для N полей, т.е. (за исключением особых случаев) больше,
328 Гл. 7. Канонический чем может быть одновременно выполнено. В следующем параграфе мы также увидим, что вещественность действия гарантирует эрмито- вость операторов различных симметрии. Хотя в лагранжевом формализме легче конструировать лоренц- инвариантные теории с разными симметриями, для вычисления 5-мат- рицы необходима формула для гамильтониана взаимодействия. В об- общем случае гамильтониан дается преобразованием Лежандра Н = G.2.10) Хотя уравнение G.2.1) не позволяет, вообще говоря, однозначно выра- выразить w через Фг и П/, легко видеть, что вариационная производная от G.2.10) по w равна нулю, если W удовлетворяет уравнению G.2.1), так что в общем случае Н есть функционал только от Ф1 и П|. Его вариационные производные по этим переменным равны SH SL п ЯФ'(М) SH / dry где индекс у вертикальной черты означает переменную, зафикси- зафиксированную при взятии производной. Используя определение G.2.1) для П/, упростим эти выражения до SH SL SH G.2.11) G.2.12) G.2.13) Теперь возникает соблазн отождествить поля Фг и сопряженные П/ с каноническими переменными Qn, Pn из предыдущего параграфа, и потребовать для них те же канонические правила коммутации G.1.30)—G.1.32), после чего уравнения G.2.12) и G.2.13) совпали бы Уравнения движения G.2.2) равносильны уравнениям SH _ _ ( , t) п
§7.2. Лагранэюев формализм 329 с уравнениями Гамильтона G.1.33), G.1.34). Так оно и есть в простом случае вещественного скалярного поля Ф со взаимодействием без про- производных. Рассмотрим плотность лагранжевой функции3) Jgf = -i д^Ф д^Ф - ^- Ф2 - Я?(Ф), G.2.14) которую можно получить, добавив вещественную функцию — к лагранжевой плотности свободного поля, которая была найдена в предыдущем параграфе. Уравнения Эйлера-Лагранжа здесь имеют вид (П-т2)Ф = Jf'(Ф). G.2.15) Канонически сопряженная переменная для Ф равна дФ что совпадает с уравнением G.1.36), если отождествить Ф и П с ка- каноническими переменными Q и Р. Гамильтониан получается с помо- помощью уравнения G.2.10) в виде4) Н= fd3x (ПФ - &) = f d3x [i П2 + 1 (УФJ + \ т2Ф2 + Jf (Ф)], G.2.17) в котором мы узнаем гамильтониан G.1.35). Это простое упражнение следует рассматривать не как еще один вывод этого гамильтониана, а скорее как подтверждение пригодности лагранжиана G.2.14) для описания скалярных полей. Но не всегда все получается так просто. В предыдущем пара- параграфе мы видели, что бывают такие полевые переменные, например 0-компонента векторного поля или эрмитово сопряженное дираков- ское поле, которые не являются каноническими переменными Q и не имеют канонически сопряженных; их присутствие в лагранжиане про- продиктовано лоренц-инвариантностью. 3) Мы не рассматриваем свободный постоянный множитель перед поскольку любую такую постоянную можно поглотить в нормировочный множитель Ф. Как мы увидим, отрицательная постоянная здесь привела бы к гамильтониану с неограниченным снизу спектром. Постоянная т назы- называется голая масса. Гамильтониан наиболее общего вида, удовлетворяющий требованию перенормируемости (гл. 12), имеет именно такой вид, причем Ж(Ф~) должен быть полиномом 4 степени. 4) Чтобы можно было интерпретировать Н как энергию, гамильтониан должен быть ограничен снизу. Положительность первых двух слагаемых говорит о том, что мы правильно угадали знак первого слагаемого в G.2.14). Остается требование ограниченности снизу функции — т2Ф2 +
330 Гл. 7. Канонический С точки зрения лагранжева формализма особые свойства полевых переменных такого рода объясняются тем, что сами они присутствуют в лагранжиане, а их производные по времени — нет. Такие перемен- переменные мы будем обозначать через Сг; остальные полевые переменные можно отождествить с каноническими переменными Qn. Они имеют канонически сопряженные ^ШЯ G.2.18) V J и подчиняются правилам коммутации G.1.30)-G.1.32). Для перемен- переменных Ст нет сопряженных переменных. Поскольку ^ = 0, 6СГ гамильтониан G.2.10) в общем случае Я = Y, jd3xPnQn - L[Q(t),Q(t),C(t)}, G.2.19) П но эта формула бесполезна до тех пор, пока мы не выразили Cr, Q1 через Q, Р. Уравнения движения для Ст содержат только поля и их первые производные по времени: _ SL[Q(t),Q(t),C(t)] G „ 9Пх и" *с*(х,о ¦ G-2-М) В несложных случаях, которые обсуждаются в данной главе, эти уравнения, совместно с G.2.18), можно разрешить относительно Сг, Q\ выразив их через Q, Р. В § 7.6 показывается, как в таких случа- случаях можно избежать фактического решения этих уравнений. В калиб- калибровочных теориях, например в электродинамике, нужно применять другие методы: либо выбор калибровки, как в гл. 8, либо более совре- современные ковариантные методы, обсуждаемые в т. П. После того как мы записали гамильтониан как функционал от гейзенберговых операторов Q, Р, для использования теории возму- возмущений нужно перейти к представлению взаимодействия. Гамильтони- Гамильтониан не зависит от времени, поэтому его можно записать через пере- переменные Pn, Qn при t = 0, которые совпадают с операторами рп, qn в представлении взаимодействия при t = 0. Полученный таким обра- образом гамильтониан можно переписать через операторы в представле- представлении взаимодействия рп, qn и разбить на две части — правильный га- гамильтониан свободных частиц Hq и гамильтониан взаимодействия V. Наконец, с помощью уравнений временной зависимости G.1.21) и G.1.22) и (анти)коммутационных соотношений G.1.1)—G.1.3) пере- переменные q, p выражаются через линейные комбинации операторов рождения-уничтожения.
§7.2. Лагранэюев формализм 331 В § 7.5 будет представлен ряд примеров применения этой процеду- процедуры, а сейчас ограничимся одним простейшим примером — скалярным полем с гамильтонианом G.2.17). Разбиваем Н на гамильтониан сво- свободных частиц и взаимодействие: H = H0 + V, G.2.21) Н0 = I ?х [1 П2 + I (УФJ + \ т2Ф2], G.2.22) V = f A3хЖ(Ф). G.2.23) Здесь Ф и П взяты в одно и то же время ?, гамильтониан Н не зависит от времени, поскольку Hq и V обычно также не зависят от времени. Перейдем к представлению взаимодействия. Записав уравнения G.1.28), G.1.29) при t = 0, можем просто заменить Ф, П на операто- операторы в представлении взаимодействия ф, тг, поскольку, согласно G.1.28) и G.1.29), они совпадают в этот момент времени. Для вычисления вза- взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия применяем уни- унитарное преобразование C.5.5): V(t) = exp(iHot)V exp(-iHot) = [ ?хЖ(ф(^ ?)). G.2.24) To же преобразование оставляет Hq без изменений: Но = ехр(гЯ0?)Я0 ехр(-гЯ0(?)) = d3x [I ^(x t) + \ (V0(x t)J + \ = I d3x [I ^(x, t) + \ (V0(x, t)J + \ mV]. G.2.25) Связь между тг и ф берется из уравнения G.1.21): <P(x,t) = J^r)=TT(x,t). G.2.26) (в данном случае это совпадает с G.2.16), но, как мы увидим, в общем случае это не так). Уравнения движения для ф следуют из G.1.22): *(х, t) = ~щ^ = +V2<Kx, *) - m2</>(x, t), G.2.27) что совместно с G.2.26) дает уравнения поля (П-т2)ф(х) =0. G.2.28) Общее вещественное решение можно записать в виде ф{х) = Bтг)-3/2 fd3pBp°)-1^[eip-xa(p) + e~ip-xa!(p)], G.2.29) где подразумевается, что
332 Гл. 7. Канонический а а(р) — некий пока неизвестный оператор, зависящий от р. Уравне- Уравнение G.2.26) дает канонически сопряженную переменную в виде тг(ж) = -ВД-3/2 fd3p(p0/2I/2[eip-xa(p) - e~ip-xa!(p)]. G.2.30) Для того чтобы получить желаемые коммутационные соотношения [0(х, t), тг(у,*)]_ = г<53(х - у), G.2.31) №(х,*),0(у,*)]_=О, G.2.32) [тг(х,«),7г(у,*)]_ =0, G.2.33) необходимо потребовать, чтобы операторы а удовлетворяли извест- известным коммутационным соотношениям [а(р),а\р')] = 63(р-р'), G.2.34) [а(р),а(р')] = 0. G.2.35) В предыдущем параграфе было показано, что использование этих фурье-разложений приводит к обычной формуле D.2.11) для свобод- свободного гамильтониана с точностью до несущественной аддитивной по- постоянной. Как отмечалось выше, эти результаты следует считать не альтернативным выводом формул G.2.29), G.2.34), G.2.35) (которые были выведены в гл. 5 на совсем других основаниях), а скорее про- проверкой первых двух слагаемых уравнения G.2.14). Теперь можно при- применять теорию возмущений для вычисления 5-матрицы, приняв за взаимодействие V(t) формулу G.2.24), где поле ф(х) дается форму- формулой G.2.29). Мы применим описанные алгоритмы к более сложным и интерес- интересным теориям в § 7.5. При рассмотрении различных лагранжианов физических теорий обычно используют интегрирование по частям, отождествляя плотно- плотности лагранжиана, отличающиеся на полную производную <9MJ^M. Оче- Очевидно, что полная производная не дает вклада в действие и потому не влияет на уравнения движения. Не менее очевидно, что простран- пространственный градиент V • & в лагранжевой плотности не дает вклада в лагранжиан и тем самым не влияет на квантовую теорию, постро- построенную на этом лагранжиане5). Менее очевидно, что производная по времени до^° тоже не влияет на квантовую теорию. Чтобы увидеть это, рассмотрим сначала результат прибавления к лагранжиану сла- 5) При обычном условии исчезновения полей на бесконечности. Эти ре- результаты могут быть неверны в более сложных топологиях, как мы увидим в т. П.
§7.2. Лагранэюев формализм 333 гаемого более общего вида: AL(t) = I dzx Dn,x[Q(i)]Qn(x, t), G.2.36) где D есть произвольный функционал (зависящий от п, х) от значе- значений Q в данный момент времени. Формула для сопряженных пере- переменных P(t) как функционалов от Q(t),Q(t) получает добавку ДР„(х, t) = |^| = Dn,x[Q(t)}. G.2.37) Получается, что гамильтониан, записанный через Q(t),Q(t), не изме- изменяется: " d3x APn(x, t)Qn(x, t) - AL(t) = 0. G.2.38) /¦ Следовательно, он не изменяется и в старых канонических перемен- переменных Qn, Pn. Однако гамильтониан не является тем же функционалом от новых канонических переменных Qn, Pn + АРП, и в теории с ла- лагранжианом ?? + A^f новыми канонически сопряженными (удовле- (удовлетворяющими каноническим правилам коммутации) являются именно Qn и Рп + АРП. Коммутаторы Qn между собой исРп остаются теми же, но коммутаторы операторов Рп теперь имеют вид: (x,t),Pm(y,t) + APm(y,t)] - ,t) + APn(x,t), APm(y,t)] + [APn(x,?),APm(y,?)] = В общем случае это выражение не обращается в нуль, но если при- прибавленное к лагранжиану слагаемое представляет собой полную про- производную по времени SG[Q(t)] ?П( , ( , _ dG _ Г ~ dt ~ J то величина D в G.2.36) будет иметь специальный вид В этом случае коммутатор G.2.39) равен нулю, так что Qn, Pn подчи- подчиняются обычным правилам коммутации. Мы видели, что изменение лагранжиана вида G.2.36) не меняет функциональную зависимость гамильтониана от Q, Р, и, следовательно, как мы теперь доказали, не изменяются и коммутационные соотношения этих переменных, а по- потому добавка вида G.2.36) не влияет на квантовую теорию. Различные
334 Гл. 7. Канонический плотности лагранжианов, полученные интегрированием по частям, теперь можно считать эквивалентными в квантовой, как и в клас- классической, теории поля. § 7.3. Глобальные симметрии Теперь мы приступаем к рассмотрению главного преимущества ла- гранжева формализма, а именно, удобства формулировки квантовых теорий с различными симметриями. Это объясняется тем, что дина- динамические уравнения в лагранжевом описании имеют вид вариацион- вариационного принципа — принципа экстремальности действия. Рассмотрим некоторое инфинитезимальное преобразование полей G.3.1) которое не изменяет действие: f*^Ll. G.3.2) Если б постоянно, то симметрия называется глобальной. В общем случае J^1 зависит от полей и их производных в точке х. Разумеет- Разумеется, уравнение G.3.2) автоматически выполняется для любых беско- бесконечно малых вариаций полей, если поля удовлетворяют уравнениям движения; под преобразованием симметрии мы понимаем такое пре- преобразование, которое не меняет действия, даже если динамические уравнения не выполнены. Если теперь считать, что е есть произволь- произвольная функция координат, ?(х) -+ ?(х) + ie(x)&l(x), G.3.3) то в общем случае вариация действия не равна нулю и может быть записана в виде J4^, G.3.4) поскольку для постоянного е{х) она должна быть равна нулю. Пусть теперь поля в /[Ф] удовлетворяют уравнениям движения, т.е. дей- действие стационарно по отношению к произвольным вариациям полей, исчезающим на бесконечности, в том числе и для вариаций вида G.3.3), т.е. G.3.4) должно равняться нулю. Интегрируя по частям, получаем закон сохранения О =*??>. G.3.5) Отсюда немедленно следует, что 0 = ?, G.3.6)
§7.3. Глобальные симметрии 335 где F = = f d3xJ°. G.3.7) Для каждой симметрии имеется один сохраняющийся ток JM и один интеграл движения (сохраняющаяся величина) F. Это и есть фунда- фундаментальное свойство канонического формализма, известное под на- названием теоремы Нетер: симметрия означает закон сохранения. Многие преобразования симметрии оставляют инвариантным не только действие, но и лагранжиан. Это верно, например, для прост- пространственно-временных переносов, вращений в пространстве, изоспи- новых вращений и других внутренних преобразований симметрии, но не для лоренц-преобразований общего вида. Если лагранжиан инва- инвариантен, мы можем написать явную формулу для сохраняющихся ве- величин F. Рассмотрим вариацию поля G.3.3), в которой е(х) зависит от t, но не от х. В таком случае изменение действия равно Требование неизменности лагранжиана при таком преобразовании с постоянным б дает так что для полей общего вида (не подчиняющихся уравнениям дви- движения) вариация действия равна SI = ifdt f^^M^(Xi(). G.3.i0) U U О л. I -X» • L ) О л. I -X» • L ) Сравнивая это с G.3.4), находим \x9t). G.3.11) Используя условие симметрии G.3.9), читатель легко может про- проверить, что величина F действительно не зависит от времени, для любых полей, подчиняющихся уравнениям движения G.2.2). Существуют также симметрии, например изоспиновые вращения, которые оставляют неизменным не только лагранжиан, но и плот- плотность лагранжиана. В таких случаях можно продвинуться еще даль- дальше и получить явный вид сохраняющихся токов J^{x). Записав действие, как в формуле G.2.6), в виде интеграла от лагранжевой
336 Гл. 7. Канонический плотности, находим его вариацию при преобразовании G.3.3) с беско- бесконечно малой функцией б (ж): Инвариантность плотности лагранжиана при постоянном е озна- означает, что 0 - д?Щ ( ' а^Ф'Сж)) d" { h G-3 3) так что для произвольных полей вариация действия равна ^^(x)a^). G-3.14) Сравнение с G.3.4) дает С помощью условия симметрии G.3.13) легко непосредственно убе- убедиться в том, что d^J^ = 0, когда поля удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа G.2.9). Отметим также, что интеграл от времен- временной компоненты тока G.3.15) совпадает с ранее полученной величи- величиной G.3.11). До сих пор все, что было сказано, относилось как к классической, так и к квантовой теории поля. Квантовые свойства сохраняющихся величин F проще всего понять для симметрии лагранжиана (необяза- (необязательно плотности лагранжиана), которые преобразуют канонические поля Qn(x,t) (т.е. те из Фг, чьи производные по времени входят в ла- лагранжиан) в зависящие от х функционалы от них самих в тот же момент времени. Для таких преобразований ^n(x,t)=^n[Q(t);x]. G.3.16) Как мы увидим, бесконечно малые переносы и вращения, рав- равно как и внутренние симметрии, имеют вид G.3.1), G.3.16), где 3?п есть линейный функционал от Qm, но здесь нам не нужно предпо- предполагать, что симметрия линейна. Для всех таких симметрии опера- оператор F не просто сохраняется, — он также является генератором этой симметрии. Чтобы увидеть это, заметим сперва, что если Фг есть каноническая переменная Qn, то функциональная производная 8L/8W равна кано- канонически сопряженной переменной Рп, а если Фг есть вспомогательное
§7.3. Глобальные симметрии 337 поле Сг, то эта производная равна нулю. Следовательно, можно пе- переписать G.3.11) в виде F = -г J>жРп(х,?)^п(х,?) = -г J>xPn(x,?)^n[ G.3.17) Чтобы вычислить коммутатор (не антикоммутатор) величины F с каноническим полем Qm(x,?) в произвольный момент ?, используем формулу G.3.6), с помощью которой выражаем F как функционал от Q, Р в момент ?, а затем применим канонические одновременные коммутаторы G.1.30)-G.1.32)*): [F,Q^(x,t)]_ = -^(x,t). G.3.18) Именно в таком смысле F генерирует преобразования вида G.3.16). Формула G.3.17) и канонические коммутаторы также дают [F,Pn(x,t)]- = Jd3yPm(y,t) ^д1^:}У)- G-3.19) Если Fm линейно, то формула G.3.19) указывает, что Рп преобра- преобразуется контрагредиентно к Qn. В качестве первого примера рассмотрим симметрию относительно пространственно-временных переносов (трансляций): Ф* -+ ?(х + б) = ?(х) + е»д^1{х). G.3.20) Она имеет вид G.3.1) с четырьмя независимыми параметрами ё1 и четырьмя соответствующими функциями преобразования J^ = -гд^1. G.3.21) Как следствие, мы получаем четыре независимых сохраняющихся то- тока, которые обычно объединяют в тензор энергии-импульса T^v д^у = 0, G.3.22) из которого можно получить сохраняющиеся величины как простран- пространственные интегралы от временных компонент токов (не путать с ка- канонически сопряженными переменными Рп(х,?)): Pv = f d3xT°Uj G.3.23) ?Р„=О. G.3.24) :) Здесь предполагается, что для бозонных или фермионных Qn ва- вариация ^п также является бозонной или фермионной, т.е. F — бозонный оператор. Единственным исключением являются так называемые суперсим- суперсимметрии, для которых F — фермионный оператор, а в G.3.18) стоит анти- антикоммутатор, если Qn — тоже фермионный оператор. 22 С.Вайнберг. Т. 1
338 Гл. 7. Канонический Лагранжиан инвариантен относительно пространственных перено- переносов, так что, в согласии с полученными выше общими результатами, заключаем, что пространственные компоненты 4-вектора Pv имеют вид Р = - /^3xPn(x,t)VQn(x,t). G.3.25) С помощью одновременных коммутаторов G.1.30)-G.1.32) находим коммутаторы этого оператора с каноническими полями и им сопря- сопряженными: [P,Qn(x,t)]_=iVQn(x,t), G.3.26) [Р, Р„(х, *)]_ = iVPn(x, t). G.3.27) Для любой функции <$ от Q, Р, не зависящей от х явно, имеем [Р,^(ж)] = iV&(x). G.3.28) Эти результаты показывают, что оператор Р действительно является генератором пространственных трансляций. Напротив, трансляции по времени не оставляют лагранжиан L(t) инвариантным. Впрочем, мы уже знаем генератор этого преобразова- преобразования: это гамильтониан Р° = Н, который, как известно, коммутирует по правилу [Я, ^(х, ?)] = -г^(х, t) G.3.29) с любой функцией У от гейзенберговских операторов. Далее, если лагранжиан является интегралом от лагранжевой плотности, можно получить явную формулу для тензора энергии- импульса Т^у. Однако плотность лагранжиана J^f (ж) не инвариантна при пространственно-временных трансляциях, так что нельзя приме- применить формулу G.3.15). Поэтому заметим, что изменение действия при трансляции, зависящей от 4-координат, Ф* -+ ?(х + е(х)) = Фг(ж) + е^{х)д^\х) G.3.30) равно f* (|f ? ^?) G.3.31) Уравнения Эйлера—Лагранжа G.2.9) показывают, что слагаемые, про- пропорциональные б, объединяются в e^d^J^, так что G.3.32) Интегрируя по частям, обнаруживаем, что это выражение принимает вид формулы G.3.4) =- f dAxT\dve» G.3.33)
§7.3. Глобальные симметрии 339 с "токами" TV* = №-w&)8it*- G-3-34) В качестве проверки можно заметить, что пространственные компо- компоненты формулы G.3.23) совпадают с формулой G.3.25) для Р, а для 1л = 0 уравнение G.3.23) дает обычную формулу для гамильтониана: G.3.35) Н = -Ро = Jd3x \ Y, PnQn ~ (Замечание: тензор TMZ/, полученный подниманием второго индек- индекса в G.3.34), не обязан быть симметричным, и потому непригоден в качестве правой части уравнений общей теории относительности. Правильный тензор энергии—импульса, который берется в качестве источника гравитационного поля, — это симметричный тензор 0^, который вводится в следующем параграфе.) Во многих теориях также имеются один или несколько принци- принципов симметрии, которые утверждают, что действие инвариантно под действием линейных, не зависящих от координат преобразований ка- канонических полей Qn(x) ->¦ Qn(x) + iea(ta)nmQm(x) G.3.36) совместно с набором преобразований вспомогательных полей СТ: Cr(x) -> Cr(x) + iea(ra)rsCs(x). G.3.37) Здесь ta и та — наборы эрмитовых матриц, осуществляющих неко- некоторое представление алгебры Ли группы симметрии, а по повторяю- повторяющимся индексам а, 6, ... подразумевается суммирование. (Например, в электродинамике есть подобная симметрия, для которой одна мат- матрица tnm диагональна, а на диагонали стоят заряды полей.) Из суще- существования любой такой симметрии можно получить еще один набор сохраняющихся токов J?: dpJ* = 0 G.3.38) временные компоненты которых есть плотности не зависящих от вре- времени операторов Та = Jd3xJ°a. G.3.39) Если лагранжиан вместе с действием инвариантен относитель- относительно преобразования G.3.36), уравнение G.3.11) дает явную формулу для Та: Та = -г Jd3xPn(^t)(ta)nmQm(^t). G.3.40) Одновременные коммутаторы дают нам [Та, Qn(x)} = -(ta)nmQm(x), G.3.41) [Та, РП(Х)} = +(ta)mnPm(x). G.3.42) 22*
340 Гл. 7. Канонический (Когда матрица ta диагональна, эти формулы показывают, что опера- операторы Qn и Рп соответственно понижают и повышают Та на величину, равную n-у диагональному элементу ta.) С помощью этих результатов можно вычислить коммутатор Та с другим генератором Т^: G.3.43) Таким образом, если матрицы ta образуют алгебру Ли со структур- структурными ПОСТОЯННЫМИ /а6С, [ta,tb]-= ifab%, G.3.44) то такую же алгебру образуют квантовые операторы Та: [Ta,Tb]_=ifabcTc. G.3.45) Это подтверждает, что величины G.3.40) — правильно нормирован- нормированные генераторы группы симметрии. Если лагранжиан является интегралом от лагранжевой плотности, которая инвариантна относительно G.3.36) и G.3.37), можно продви- продвинуться дальше, и с помощью G.3.15) найти явную формулу для токов, связанных с этими глобальными симметриями: В качестве иллюстрации рассмотрим теорию с двумя вещественными скалярными полями одинаковой массы, с плотностью лагранжиана & = -\ дцФгд»*! - \ тЧ\ - \ амФ2^Ф2 - \ тЧ1 - Ж(Ъ\ + Ф^). G.3.47) Эта плотность инвариантна относительно линейного преобразования вида G.3.36): $Фг = —бФ2, ?Ф2 = +еФь поэтому имеется сохраняющийся ток G.3.46): Явная формула G.3.46) для тока дает новые полезные коммута- коммутационные соотношения. В частности, поскольку в лагранжеву плот- плотность не входят производные по времени от вспомогательных полей, мы имеем J°a = -iPn(ta)nmQm. G.3.48) Теперь можно найти одновременные коммутаторы полей общего вида не только с генераторами симметрии Га, но и с плотностями J^: [Ja°(x, t), Qn(y, t)] = -<53(x - y)(*a)"mQm(x, *), G-3.49) №(x,t),Pm(y,t)] =53(X-y)(ta)nmPn(X,t). G.3.50)
§7.4- Лоренц-инвариантность 341 Если вспомогательные поля построены как локальные функции от Q, Р, таким образом, что они преобразуются по представлению алгебры симметрии с генераторами та, то точно так же имеем [J°a(K,t),Cr(y,t)} = -S3(x-y)(TaysCs(x,t). G.3.51) Обычно уравнения G.3.49) и G.3.51) объединяются в одно коммута- коммутационное соотношение [J2(x,t),*'(y,t)] = -53(х-у)(га)',,ФГ(х,г). G.3.52) Соотношения вида G.3.49)-G.3.51) будут применяться в гл. 10 для вывода тождеств Уорда для матричных элементов, в которые входит ток JM. § 7.4. Лоренц-инвариантность В этом параграфе мы покажем, что лоренц-инвариантность ла- лагранжиана означает лоренц-инвариантность 5-матрицы. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца: А^^+аД,, G.4.1) ^V = -Uv». G.4.2) Согласно результатам предыдущего параграфа, из инвариантности действия при таких преобразованиях следует существование сохра- сохраняющихся "токов" ЖР[1Ь': dpJKp*v = 0, G.4.3) J(p^ = -^^, G.4.4) по одному току для каждой независимой компоненты ио^. Интегралы от временных компонент этих токов дают набор постоянных тензоров: = ГсРхЛГ0*", G.4.5) jt J*" = 0. G.4.6) Величины J^v оказываются генераторами однородной группы Ло- ренца. Нам хотелось бы получить явную формулу для тензора ЖР[1Ь', но преобразования Лоренца действуют на координаты и потому не могут сохранять плотность лагранжиана, т.е. нельзя использовать готовые формулы предыдущего параграфа. Однако трансляционная инвари- инвариантность позволяет сформулировать лоренц-инвариантность как сим- симметрию лагранжевой плотности относительно набора преобразований полей и их производных. Поля испытывают матричное преобразо- преобразование Я\1г1 — -u)Vv( $ V \ifm G 4 7"!
342 Гл. 7. Канонический где J*^у — набор матриц, подчиняющийся соотношениям алгебры од- однородной группы Лоренца \J? liv> с/ р(т\ = г с/pv^fia — l^avVnp ~ г or /icrVvp + г orVpVvcr • G.4.8) Например, для скалярного поля ф имеем 8ф = 0, так что J*^у = О, а для неприводимого поля типа (А, В) имеем где srf и 88 — спиновые матрицы для спинов А и В соответственно. Заметим особо, что для ковариантного векторного поля SVK = ooKxV\, так что ( <$ \ Х — -jfl Я Х _L jn ХХ KjPpcrJK — И1ркисг \ il\(T^(Jp • Производная поля, преобразующегося как G.4.7), преобразуется как поле с дополнительным векторным индексом ги(/^IдкЯт + а;кс>лФ;. G.4.9) Плотность лагранжиана инвариантна при одновременном примене- применении преобразований G.4.7) и G.4.9), т.е. Если приравнять коэффициент перед lj^v нулю, то получается 2 д^1 ^^^v) m 2 () 1 В 9^ + г д(дк&) ^^ ~ г>^д^1- С помощью уравнений Эйлера—Лагранжа G.2.9) и нашей формулы G.3.34) для тензора энергии-импульса Т^, перепишем это в виде 0 = дк Й ЩЖ) (A.)'™*™] " \ (V - Tvv). G.4.10) В виду этой формулы напрашивается определение нового тензора энергии-импульса, известного как тензор Белинфанте [2]: Q»v = Т^ _ i_ q Г д^ 2 к1д(дкЪ1 ')' ,Фт . G.4.1 Величина в квадратных скобках, очевидно, антисимметрична по /i, ft, поэтому для Q^v выполняется тот же закон сохранения, что для T^v: d^v = 0. G.4.12)
§7.4- Лоренц-инвариантность 343 По той же самой причине, если положить /1 = 0в уравнении G.4.11), индекс к пробегает только пространственные компоненты, так что слагаемое с производной выпадает после интегрирования по всему пространству = [тОи^х = Ри, G.4.13) где Р° = Н. Таким образом, Q»v можно считать тензором энергии- импульса, так же как и T»v'. Однако из уравнения G.4.10) ясно, что тензор Белинфанте Q»v не только сохраняется, но и симметричен: QH* = Qi/^ G.4.14) Именно Q»v играет роль источника гравитационного поля в ОТО [3]. Вследствие симметрии Q»v можно построить еще одну сохраняющую- сохраняющуюся тензорную плотность: Л^у = x»q\» _ ^0A^ G.4.15) Она сохраняется в том смысле, что dxJKXliV = ©^ - ©^ = 0. G.4.16) Таким образом, лоренц-инвариантность позволяет построить еще один постоянный тензор J^= f^°^d3x= fd3x(x»Q0u -xu®0»). G.4.17) Генератор вращений J/, = е^ Ju/2 не только постоянен, но и не имеет явной зависимости от времени, т.е. коммутирует с гамильтонианом [#,J] = 0. G.4.18) Кроме того, применяя формулу G.3.28) к функции 0Oz/, находим \р. 7.1 _ l,jp. jlk] _ 1 [ j3 (l _^_0Ofe _ k JL(? = -ieijkJd3xQ0k и, следовательно, [P,-,Ji] = -ieijfciV G.4.19) С другой стороны, генератор "бустов" Kk = Jk0, хотя и постоянен, явно содержит временную координату Kk= fd3x(xkQ00-x0e0k), или, более подробно, К = -iP + I d3x x000 (x, t). G.4.20)
344 Гл. 7. Канонический Поскольку это выражение не зависит от времени, имеем 0 = К = -Р + г[Я,К], стало быть, [Я, К] = -гР. G.4.21) С помощью формулы G.3.28) также получаем [Ъ,Кк}=г[с13ххк?-в00 = -iSjkJd3xQ00, т.е. [Pj,Kk] = -iSjkH. G.4.22) Для любой разумной лагранжевой плотности оператор G.4.20) бу- будет "гладким" в смысле § 3.3, т.е. члены взаимодействия в eiHot |d3xx0oo(x,O)e -iHot стремятся к нулю1) при t —> ±оо. (Заметим, что члены взаимодей- взаимодействия в elHot fd3x 0oo(x, 0)е~гЯ°^ должны стремиться к нулю при t —у =Ьоо, чтобы можно было ввести понятия входящих и выходящих состояний в 5-матрице.) Учитывая это предположение гладкости и коммутационные соотношения G.4.21), можно повторить доводы § 3.3 и заключить, что 5-матрица лоренц-инвариантна. Аналогичные аргументы были использованы в § 3.3 для проверки того, что остальные коммутационные соотношения группы Лоренца, а именно коммутаторы J^v между собой, принимают надлежащий вид. Это может быть также показано непосредственно в случае ком- коммутаторов генераторов вращений, которые имеют в нашем случае вид Jtf = fd3x^ (-х%91 + xjdi? - i(fij)lm^m). G.4.23) Поскольку плотность лагранжиана не зависит от производных по вре- времени от вспомогательных полей, а генераторы вращений не смеши- смешивают канонические и вспомогательные поля, это выражение можно переписать в виде суммы только по каноническим полям: Л = Jд?хРп{-хгд^п + xjdiQn -i(fij)nn>Qn'). G.4.24) :) Когда мы говорим, что некоторый оператор в представлении взаимо- взаимодействия стремится к нулю при t —у d=oo, мы имеем в виду, что в этом пре- пределе равны нулю матричные элементы для перехода между состояниями, являющимися гладкими суперпозициями состояний с определенной энер- энергией.
§7.5. Переход к представлению взаимодействия 345 Отсюда с помощью канонических коммутационных соотношений по- получаем = -{(-хф+х&)<Эп(х) - (Jij)nn,Qn'(x), G.4.25) [Г>,Рп(х)\- = i(-Xidj + Xjdi)Pn{X) + (^ij)n'nPn,(x). G.4.26) С помощью этих соотношений можно получить известные коммута- коммутаторы генераторов Ju между собой и с другими генераторами2). Если вспомогательные поля отсутствуют, то таким же образом можно най- найти коммутаторы для генераторов бустов и завершить доказательство того, что Р^ и J^v соответствуют генераторам неоднородной группы Лоренца. Однако матрицы бустов ^г0 в общем случае смешивают ка- канонические и вспомогательные поля (как, например, компоненты V1 и V0 векторного поля), так что прямой вывод коммутационных соот- соотношений для Jt0 должен проводиться в каждом конкретном случае. К счастью, это не требуется для доказательства лоренц-инвариантно- сти 5-матрицы, приведенного в § 3.3. § 7.5. Переход к представлению взаимодействия В конце § 7.2 было показано, как с помощью лагранжиана полу- получить вид взаимодействия и свободных полей в представлении взаимо- взаимодействия для простейшей теории скалярного поля. Теперь мы перей- перейдем к более сложным и показательным примерам. Скалярное поле, взаимодействие с производными Рассмотрим сначала нейтральное скалярное поле, обладающее вза- взаимодействием, содержащим производные. Возьмем лагранжиан вида & = -\ 0мФ0"Ф - \ тЧ2 - ^дцФ - Я?(Ф), G.5.1) где JM — либо с-числовой внешний ток (не имеющий отношения к то- токам JM, которые вводились выше), либо функционал от других полей (не Ф). Во втором случае в лагранжиан G.5.1) нужно добавить слага- слагаемые (по крайней мере, кинетические) для этих полей. Канонически сопряженная с Ф переменная равна П = дЛ = Ф - J0, G.5.2) 9Ф 2) Кроме того, поскольку Ju' коммутируют с Н и PnQn, они коммути- коммутируют с L. Коммутатор этих величин со вспомогательными полями должен отвечать вращательной инвариантности лагранжиана.
346 Гл. 7. Канонический а гамильтониан Н= [d3x = I (fix [П(П + J°) + \ (УФJ - \ (П + J0J + + i т2Ф2 + J•УФ + J°(n + J°) + Jf (Ф)]. Группируя члены, перепишем его в виде Н = Но + У, G.5.3) Я0 = | Л [1 П2 + I (УФJ + I ш2Ф2], G.5.4) V = f d3x [пJ° + J • УФ + i (J0J + Jf (Ф)]. G.5.5) Как было указано в § 7.2, для перехода к представлению взаимодей- взаимодействия можно просто заменить П, Ф на тг, ф (и аналогично для других полей, входящих в ток JM, но мы не будем загромождать запись но- новыми обозначениями): Но = Jd3x [^тг2(х,г) + \ 0W>(x,t)J + \т2ф2{^1)], G.5.6) V(t) = I d3x [тг(х, t)J°(x, t) + J(x, t) ¦ V^(x, t) + + i[J°(x,i)]2+^(</»(x,i))]- G-5.7) Гамильтониан свободных частиц — точно такой же, как в G.2.25), и мы приходим, как и в §7.2, к соотношениям G.2.26)—G.2.35). В са- самом деле, каков бы ни был полный гамильтониан, мы должны при- принять G.5.6) за часть гамильтониана и назвать это гамильтонианом свободных частиц, а все остальное считать взаимодействием, потому что только такой свободный гамильтониан приводит к правильному разложению G.2.29) скалярного поля в терминах операторов рожде- рождения— уничтожения, удовлетворяющих правилам коммутации G.2.34), G.2.35). Последний шаг — замена тг в гамильтониане взаимодействия на ф в представлении взаимодействия (а не на ф — J0, как в представ- представлении Гейзенберга): V(t) = I d3x [j"(x, tH^(x, t) + \ [J°(x, t)f + Ж(ф(х, t))]. G.5.8) Дополнительный неинвариантный член в G.5.8) — это уже знакомый нам из § 6.2 контрчлен для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе для дф.
§7.5. Переход к представлению взаимодействия 347 Векторное поле, спин 1 Аналогичные результаты можно получить при каноническом кван- квантовании векторного поля V^, которое описывает частицу со спином 1. Для дальнейших применений мы запишем плотность лагранжиана в более общем виде jgf = ~ад^УУд^Уу - \ pd^dvV» - \ m2V^V» + JMV\ G.5.9) где а, /3 и т2 — пока произвольные константы, a JM — либо с-числовой внешний ток, либо оператор, зависящий от других полей (в этом слу- случае в лагранжиан следует добавить свободные лагранжианы этих по- полей) . Уравнения Эйлера-Лагранжа для V^: -aUVv - pdv(d^V^) + m2Vv = -Jv. Возьмем дивергенцию от этого уравнения: -{а + f3)\3dxVx + m2dxVx = -dxJx. G.5.10) Это выражение совпадает с уравнением для обычного скалярного по- поля с массой т2/(а + /3) и источником d\Jx/(a + /3). Поскольку мы хо- хотим получить теорию, содержащую только частицу спина 1, следует избавиться от скалярного поля д\Vх, которое может распространять- распространяться независимо. Поэтому мы полагаем а = — /3, и тогда д\ Jx выражает- выражается через внешний ток или другие поля в виде d\Jx/m2. Постоянную а можно поглотить в нормировку Уд, т.е. можно положить а = — /3 = 1, и плотность лагранжиана принимает вид jz? = -If^F^ - \ m^V» + JMV, G.5.11) где F»v = d»Vv - dvV». G.5.12) Производная от лагранжиана по V^ равна ^ = -F0". G.5.13) dV У ' Она не равна нулю для пространственных компонент \± = г, следова- следовательно, V1 — канонические поля, а сопряженные им величины IT = Fi0 = V1 + diV°. G.5.14) С другой стороны, F00 = 0, т.е. V0 не входит в лагранжиан, значит V0 — вспомогательное поле. Это не является серьезной проблемой: тот факт, что dJ*?/dV° равно нулю, означает, что уравнение движения для V0 не содержит вторых производных по времени, а потому его можно использовать как связь, благодаря которой исключается одна полевая
348 Гл. 7. Канонический переменная. Более подробно, уравнение Эйлера-Лагранжа при v = О есть diFi0 =m2V° - J°, G.5.15) или, с помощью G.5.14), V0 = -L(V-n + J°). G.5.16) ?77/ Теперь вычислим гамильтониан Н = / сРх (П • V — J?f) нашей тео- теории. С помощью G.5.14) перепишем V через П и J0: V = -W0 + П = П - Дг V(V • П + J0), следовательно, Н = f d3x [n - \ m(V • П + J0J - J V + m~2 J°(V • П + J0)]. Как обычно, разделяем Н на свободный гамильтониан Hq и взаи- взаимодействие V: H = H0 + V, G.5.17) и переходим к представлению взаимодействия, заменяя гейзенбергов- гейзенберговские операторы V и П на их аналоги в представлении взаимодействия v и тг (а также, что неявно подразумевается, заменяем поля, входящие в J^): tfo = /d^Iff' + ^(V.ff)' + l(Vxv)» + lf4 G.5.18) V = j . у + ш jy . ^ + _1_ ( Связь между v и тг такова: 07Г а уравнения движения имеют вид я- = - *До^' ^} = +V2v - V(V - v) - m2v. G.5.21) Поскольку V° не является независимой полевой переменной, она не связана преобразованием подобия ни с каким объектом v° в представ- представлении взаимодействия. Вместо этого мы можем ввести величину г;0 = ш-2У-тг. G.5.22)
§7.5. Переход к представлению взаимодействия 349 С помощью G.5.20) теперь можно записать тг в виде tt = v + Vi;0. G.5.23) Подставляя это выражение в формулы G.5.22) и G.5.21), получаем уравнения движения в виде V V + V • v - m V = 0, V2v - V(V • v) - v - Vv° - m2v = 0. Их можно объединить в одно ковариантное уравнение Uv* - d»dvvv - m V = 0. G.5.24) Дивергенция от него дает <V = 0 G.5.25) и, следовательно, (?-т2К =0- G.5.26) Вещественное векторное поле, удовлетворяющее уравнениям G.5.25) и G.5.26), можно представить в виде фурье-разложения ^ж}, G.5.27) гдер0 = л/р2 + т2; три независимых 4-вектора ем(р, сг), а — +1,0,-1, удовлетворяют условию р^(р,а)=0 G.5.28) и нормированы так, что m2- G.5.29) наконец, величины а(р, а) — операторные коэффициенты. Непосред- Непосредственно с помощью уравнений G.5.23), G.5.27) и G.5.29) проверяется, что v, тг удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям при условии, что а(р,сг), а"^(р,сг) подчиняются правилам коммутации [а(р, а), а^р', а')] = 63(р' - рN<Т,а, G.5.31) [а(р,а),а(р',а')} = 0. G.5.32) Мы уже знаем, что векторное поле частицы спина 1 должно пред- представляться в виде G.5.27), так что данный вывод служит проверкой
350 Гл. 7. Канонический того, что из формулы G.5.18) получается правильный свободный га- гамильтониан массивных частиц спина 1. Несложно убедиться также, что формулу G.5.18) можно записать (с точностью до постоянной) в стандартном виде энергии свободных частиц, Т [d3pp°a\p,a)a(p,a). Наконец, подставляя G.5.22) в G.5.19), получаем взаимодействие в представлении взаимодействия: (t) = J d3x [- JX + -L (j°J]. G.5.33) Дополнительный неинвариантный член в G.5.33) — известный из гл. 6 контрчлен, из-за которого сокращается неинвариантное слага- слагаемое в пропагаторе векторного поля. Дираковское поле, спин 1/2 Для дираковского поля частицы со спином 1/2 лагранжиан, как известно, должен иметь вид М + т)Ф - Ж(Ф, Ф). G.5.34) где Ж — вещественная функция от Ф, Ф. Этот лагранжиан не веще- веществен, однако действие вещественно, так как Следовательно, уравнения, получаемые из требования экстремально- экстремальности действия по Ф, суть сопряженные уравнения, найденные путем варьирования по Ф, как и должно быть для соблюдения числа неза- независимых уравнений. Канонически сопряженная с Ф переменная есть П = Ц = -Ф7°, G-5.35) поэтому нужно считать Ф не полем того же типа, что Ф, а полем, про- пропорциональным канонически сопряженному к Ф. Гамильтониан равен Н= [^3ж[ПФ -JSf] = /^3ж[П7°[7- У + т]Ф +Jf]. Запишем его в виде Н = Но + V, G.5.36) где #о= /^3жП70[7.у + т]Ф, G.5.37) V = /^3ж^(Ф,Ф). G.5.38)
§7.5. Переход к представлению взаимодействия 351 Переходим теперь к представлению взаимодействия. Поскольку в фор- формулу G.5.35) не входит время, унитарное преобразование G.1.28), G.1.29) дает тг = -ф7°. G.5.39) Аналогично, Hq и V(t) вычисляются заменой ФиПна^итгв G.5.37) и G.5.38). Это дает уравнение движения ф = *^° = 7°G • V + т)ф G.5.40) или, более компактно, Gмам + т)ф = 0. G.5.41) (Другое уравнение движения, тг = —5Но/5ф, является уравнением, сопряженным данному.) Любое поле, удовлетворяющее уравнению G.5.41), можно представить в виде разложения Фурье ф{х) = B7T)-3/2|^3p^{^(p,a)e^a(p,a)+i;(p,a)e-^^t(p,a)}, G.5.42) где р° = л/р2 + т2; а(р,сг) и 6^(р,сг) — операторные коэффициенты; ( /) наконец, и(р, ±1/2) — два независимых решения уравнения (i-y^Pn + т)и(р, а) = 0 G.5.43) и, аналогично, (-i^Pn + m)v(p, a) = 0, G.5.44) нормированные1) таким образом, что (^+т) G-5-45) Чтобы получить желаемые антикоммутаторы У), G.5.47) G.5.48) :) Матрица ij^P/j, имеет собственные значения ±т, так что ^ии и ^ г>г> должны быть пропорциональны проекционным матрицам, соответ- соответственно (—ijtJ>prnu + m)/2m и (ij^pmU + m)/2m. Коэффициент пропорци- пропорциональности можно изменить (не меняя знака) путем изменения норми- нормировки и, v. Общий знак определяется из требования положительности: Тг ^2 ипР = 2 г^гг и Тг ^ vv/3 = ^ v^v должны быть положительны.
352 Гл. 7. Канонический нужно принять правила антикоммутации [a(p,<7),at(PV)]+ = [b(p,<7),bt(p>')]+ = S3(p' -p)<W, G.5.49) = [о(р, а), Ъ(р', <т')]+ = [о(р, a), &t(p', ст')]+ = о, G.5.50) и сопряженные с ними. Это согласуется с результатами гл. 5, т.е. мы проверили, что G.5.37) — правильный свободный гамильтониан для спина 1/2. В терминах операторов а, Ъ гамильтониан запишется в виде )). G.5.51) Его можно привести к виду более знакомого гамильтониана свобод- свободных частиц с точностью до бесконечной с-числовой константы2) G.5.52) В формуле G.5.52) с-числовой член играет роль лишь при рас- рассмотрении задач с гравитационными полями; в остальных случаях его можно просто отбросить, поскольку он влияет лишь на выбор нулево- нулевого уровня энергии. С учетом этого, Hq есть положительный оператор, как и для бозонов. § 7.6. Связи и скобки Дирака Главное препятствие на пути построения гамильтониана из ла- лагранжиана — появление связей. Стандартный подход к этой проблеме был предложен Дираком [5], терминологии которого мы будем при- придерживаться. Для простых теорий, которые обсуждались в этой гла- главе, анализ Дирака в действительности не нужен, поскольку там легко определить независимые канонические переменные. Для иллюстра- иллюстрации мы рассмотрим здесь теорию массивного вещественного вектор- векторного поля и вернемся к методу Дирака в следующей главе, где он будет действительно полезен. Первичные связи — это связи, налагаемые на систему (как в сле- следующей главе, где мы выберем калибровку электромагнитного поля) или возникающие в силу специфики лагранжиана. В качестве приме- примера последней ситуации рассмотрим лагранжиан G.5.11) массивного ) Обратим внимание на отрицательный знак с-числового слагаемого. Гипотетическая симметрия, известная как суперсимметрия [4], связывает числа бозонных и фермионных полей, причем оказывается, что с-числовые константы в Но сокращаются.
§ 7.6. Связи и скобки Дирака 353 векторного поля Vм, взаимодействующего с током JM: jgf = -I F^F^ - i m2!^17 + JMV", G.6.1) где F^ = d^Vv - dvV». G.6.2) Допустим, мы считаем все компоненты Vм равноправными. Тогда мы должны ввести сопряженные им переменные: Немедленно обнаруживаем первичную связь: По = 0. G.6.4) В более общей формулировке: первичная связь обнаруживается, когда уравнение П/ = SL/Sdo^1 нельзя разрешить (по крайней мере локаль- локально) относительно всех до^1. Это имеет место тогда и только тогда, когда матрица вторых производных 82L/8(д^1)8(д^т) вырождена (имеет нулевой детерминант). Такие лагранжианы называют вырож- вырожденными. Далее, имеются вторичные связи, возникающие из требования сов- совместности первичных связей и уравнений движения. Для массивно- массивного векторного поля это уравнение Эйлера-Лагранжа G.5.16) для V0: diUi=m2V°- J°. G.6.5) На этом рассмотрение связей мы заканчиваем, но в других теориях могут встретиться дальнейшие ограничения, возникающие как тре- требование совместности вторичных связей с уравнениями поля, и т.д. Различие между первичными, вторичными и т.д. связями не так важ- важно; мы будем рассматривать их вместе. Имеется другое, более важное различие между типами связей. Найденные нами связи для случая массивного векторного поля от- относят ко второму роду, для которого имеется универсальное пред- предписание для правил коммутации. Чтобы разъяснить различие меж- между связями первого и второго рода, а также рецепт для работы со связями второго рода, полезно сперва вспомнить определение скобок Пуассона в классической механике. Рассмотрим произвольный лагранжиан 1/(Ф, Ф), зависящий от на- набора переменных Фа(?) и их производных по времени Фа(?) (лагран- (лагранжианы теории поля представляют частный случай — индекс а обо- обозначает там индекс компонент поля и координаты х). Определим ка- канонически сопряженные переменные для всех Фа по формуле п«=Ш- G-6-6) Величины П и Ф в общем случае не независимы, а связаны различ- различными соотношениями — первичными и вторичными связями. Скобки 23 С.Вайнберг. Т. 1
354 Гл. 7. Канонический Пуассона определяются так: [Л , _ ЗА дВ ЭВ ЭА G-6J) где при вычислении частных производных связи не учитываются. В частности, всегда имеем [Фа,Щ]р = 8% (здесь и далее все поля бе- берутся в фиксированный момент времени и временные аргументы всю- всюду опускаются). Эти скобки обладают теми же алгебраическими свой- свойствами, что коммутаторы: [А,В]р = -[В,А]р, G.6.8) [А, ВС]Р = [А, В]рС + В[А, С]р, G.6.9) включая тождество Якоби [А, [В, С}р]р + [В, [С, А}р]р + [С, [А, В]р]р = 0. G.6.10) Если бы можно было принять обычные правила коммутации: [Ф°, Щ] = i5l [Фа, Ф6] = [Па, Щ] = 0, то тогда коммутатор любых двух функций от Ф, П был бы про- просто [-4,5] = i[A,B]p. Но из-за связей коммутатор и скобки Пуассона усложняются. Связи всегда можно записать в виде xn = 0, где xn — набор функ- функций от Ф, П. Поскольку мы объединяем вторичные и первичные связи, набор всех связей должен быть совместен с уравнениями движения А = [А,Н]р, т.е. должны выполняться условия \xn,H]p = 0, G.6.11) когда выполнены условия xn — 0. Мы будем говорить, что связь относится к первому роду, если ее скобка Пуассона со всеми другими связями равна нулю, когда в ре- результат вычисления (после вычисления) подставлены все связи, т.е. [XNjXn']p = 0 V7V, Nf при условии, что хм = 0 ММ. Мы обнаружим простой пример такого рода связи при квантовании электромагнит- электромагнитного поля в следующей главе, где связи первого рода возникнут из-за симметрии действия — калибровочной инвариантности. В действи- действительности, связи первого рода xn = 0 всегда связаны с некоторой группой симметрии, под действием инфинитезимального преобразо- преобразования которой произвольная величина А получает добавку 6nA = J2^n[xn,A]p. G.6.12) TV (В теории поля это локальные преобразования, поскольку индекс N содержит 4-координаты). Из формулы G.6.11) видно, что это преоб- преобразование не изменяет гамильтониан, и для связей первого рода оно также учитывает все остальные связи. Такие связи можно исключить
§7.6. Связи и скобки Дирака 355 подходящим выбором калибровки или же рассматривать калибровоч- но инвариантными методами, что будет сделано в т. П. После устранения всех связей первого рода путем выбора калиб- калибровки остаются такие условия xn = 0, что набор попарных скобок Пуассона [xtv5Xm]p является линейно независимым (никакая линей- линейная комбинация этих скобок не равна нулю). Следовательно, матрица, составленная из скобок, невырождена: O, G.6.13) где CNM = [xn,Xm]p- G.6.14) Связи такого типа называют связями второго рода. Отметим, что чис- число таких связей всегда четно, поскольку антисимметричная матрица нечетной размерности непременно вырождена. Как мы видели, в случае массивного векторного поля связи имеют вид Xix = Х2х = 0, G.6.15) где Xix = П0(х), Х2х = №(х) - ш2У°(х) - J°(x). G.6.16) Скобка Пуассона от этих связей равна Cix,2y = -C2y,ix = [Xix,X2y]p = ш2й3(х - у) G.6.17) и, разумеется, Clx,ly = C2x,2y = 0. G.6.18) Эта матрица, очевидно, невырождена, следовательно, связи G.6.15) — второго рода. Дирак предположил, что если все связи — второго рода, то ком- коммутационные соотношения можно представить в виде: [А, В] =i[A,B]D, G.6.19) где [А,??]?> — обобщение скобки Пуассона, известное под названием скобки Дирака: [A,B]D = [А,В]р - [A,Xn]p(C-1)nm[xm,B}p G.6.20) (здесь N и М — составные индексы, включающие координаты, прини- принимающие значения 1,х и 2,х в случае векторного поля). Он заметил, что скобка Дирака обладает теми же алгебраическими свойствами, что и коммутатор [A,B]D = -[B,A]D, G.6.21) [A, BC]D = [A, B]DC + B[A, C]D, G.6.22) [А, [В, C]D]D + [В, [С, A]D]D + [С, [A, B]D]D = 0, G.6.23) 23*
356 Гл. 7. Канонический а также свойством \Xn,B]d = 0, G.6.24) которое делает коммутационные соотношения G.6.19) совместными со связями xn = 0. Кроме того, скобка Дирака не изменяется, если заменить набор функций xn на любой другой набор Хдм задающий то же подмногообразие в фазовом пространстве. Впрочем, все эти замечательные свойства не доказывают формулу G.6.19). Свет на эту проблему проливает (если не разрешает ее) мощная теорема Маскавы и Накаджимы [6]. Они показали, что для любо- любого набора канонических переменных Фа, Па со связями второго рода всегда найдется такое каноническое преобразование1) в набор пере- переменных двух типов — Qn, J2r и им сопряженных Рп, ^г, что связи примут вид J2r = ?fir — 0. Вычисляя скобки Пуассона в этих коорди- координатах, переобозначив функции связи xir = &г•> Xir = &n находим: Clr,ls = [&, ?s\p = 0, C2r,2s = \&>r, &s]p = 0, и для любых двух функций А, В г л 1 дА г. , ЗА ^} [А,Х2г]Р = д?г' Эта С-матрица имеет обратную, С = — G, так что скобки Дирака G.6.20) принимают вид: [A,B]D = [А,В]Р + [A,xir]p[X2r,B]P - [A,X2r]p[xir,B]P = г , „п дА дВ , дВ дА dQn дРп dQn дРп' ^•D-zo>1 Другими словами, скобки Дирака равны скобкам Пуассона, вычислен- вычисленным через независимые канонические переменные Qn, Pn. Если пред- пол ожить, что эти переменные удовлетворяют каноническим комму- коммутационным соотношениям, то коммутатор операторов общего вида А, В дается формулой G.6.19) в терминах скобок Дирака2). ) Напомним, что под каноническим преобразованием подразумевает- подразумевается такой переход от одного набора координат Фа, Па в фазовом простран- пространстве к другому набору координат Фа,Па, что [Фа,Пь]р = 5% и [Фа,Ф&]р = = [Па, Т\-ъ]р = 0 (скобки Пуассона вычисляются в терминах старых перемен- переменных) . Отсюда следует, что скобки Пуассона любых двух функций не зависят от того, в каких канонических переменных они вычислены (Ф, П или Ф, П). Если канонические переменные удовлетворяют уравнениям Гамильтона, то новые канонические переменные удовлетворяют уравнениям с тем же га- гамильтонианом. Лагранжиан изменяется при каноническом преобразовании, но лишь на полную производную по времени, т.е. действие не изменяется.
§7.6. Связи и скобки Дирака 357 Вернемся теперь к массивным векторным полям, чтобы прокван- товать их с помощью скобки Дирака. В этом случае несложно выра- выразить связанные переменные У0, По через независимые3) V^, П^: имеем По = 0, а V0 дается формулой G.6.5). Из G.6.17) и G.6.18) замечаем, что С мм имеет обратную матрицу (C-l)lx,2y = _(C-lJy,lx = _m-2j3^x _ у^ G.6.26) (C-ljlx,ly = (C-lj2x,2y = q G.6.27) Таким образом, предписание Дирака G.6.19), G.6.20) дает одновре- одновременные коммутаторы [A,B]=i[A,B]P + + гт~2 Г d3z ([А, П0(г)]Р[<9;П;(г) - m2V°(z) - J°(z),B]P -А++В). G.6.28) По определению имеем Следовательно, =<5(ху)^, = [Пд(х),П„(у)]р = 0. 1 • • ' G.6.30) [Л"(х),П"(у)]=0. На самом деле мы бы получили те же коммутационные соотно- соотношения, если бы предположили, что независимые переменные отве- отвечают обычным правилам коммутации [Уг(х), П^(у)] = iSjS3(x. — у), ) Все еще непонятно, почему мы должны принимать канонические коммутационные соотношения для независимых переменных Qn, Pn, по- построенных по теореме Маскавы-Накаджимы. В конечном счете, подтвер- подтверждением этих коммутационных соотношений является их согласованность с коммутационными правилами для свободных полей, выведенными в гл. 5, но чтобы применить этот тест, нужно знать, чему равны Qn, Pn. В прило- приложении к этой главе мы приведем два больших класса теорий, в которых можно определить набор независимых Q, Р таким образом, что дираков- ские коммутационные соотношения G.6.19) следуют из обычных канониче- канонических правил для Q, Р. Мы также покажем, что этих случаях гамильтониан, записанный через независимые Ф, П, можно выразить и через зависимые переменные. 3) Это частный случай теорий, обсуждаемых в пункте А приложения к данной главе.
358 Гл. 7. Канонический [Уг(х), VJ(y)] = [Ilf(x), Ilj(y)] = 0 и использовали связи для вычисле- вычисления коммутаторов, содержащих По, V0. § 7.7. Переопределения полей и свободные параметры г) Наблюдаемые величины, такие, как массы и 5-матричные эле- элементы, не зависят от некоторых параметров в действии, известных под названием свободных параметров. Это связано с тем, что измене- изменение этих параметров можно компенсировать переопределением полей. Непрерывное переопределение полей, например инфинитезимальное локальное преобразование Ф'(ж) —> Ч?1х) + eFlDf(x), <9дФ(ж),...), оче- очевидно, не влияет на наблюдаемые величины2), хотя, конечно, изме- изменяет матричные элементы самих полей. Как можно выяснить, можно ли компенсировать изменение па- параметров теории некоторым переопределением полей? Непрерывное локальное преобразование полей изменяет действие на величину /^^ G.7.1) Следовательно, любое изменение 8gi констант связи д^ которое изме- изменяет действие на величину ? Е/Ж) G-7-2) г Ъ I можно компенсировать переопределением полей и, следовательно, оно не влияет на наблюдаемые величины. Други- Другими словами, константа связи является свободной, если изменение действия при варьировании этого параметра равно нулю при под- подстановке уравнений поля SI/S4?1 = 0. К примеру, возьмем лагранжиан скалярного поля в виде I + тЧ2) - ± gZ44. :) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении. 2) Например, теорема из § 10.2 показывает, что, после умножения полей на правильные константы перенормировки, ^-матричные элементы можно получить из вакуумного среднего хронологического произведения любых операторов, обладающих ненулевым матричным элементом перехода из ва- вакуума в одночастичные состояния для частиц, участвующих в реакции.
7.7. Приложение: вывод скобок Дирака 359 Константа Z является свободной, поскольку а это выражение равно нулю на траекториях уравнений движения ПФ-т2Ф = ^3 С другой стороны, ни голая масса т, ни константа самодействия д не являются свободными, и никакая функция от т и д не свободна. В данном примере для компенсации изменения Z достаточно умно- умножить поле на константу, т.е. функция F пропорциональна полю Ф (поэтому Z называют константой перенормировки). Это преобразо- преобразование — наиболее общее преобразование, не изменяющее данное дей- действие. Но для действий более общего вида, рассмотренных в § 12.3, § 12.4, с произвольным числом полей и производных, пришлось бы рассмотреть как линейные, так и нелинейные преобразования полей; свободные параметры образуют там бесконечное подмножество пара- параметров теории. § 7.7. Приложение: вывод скобок Дирака из канонических коммутаторов В данном приложении мы покажем на примере теории двух ти- типов, что формула, выражающая коммутаторы через скобки Дирака, следует из обычных канонических коммутационных соотношений для редуцированного набора переменных. А. Предположим, что (как в случае массивного векторного по- поля Vм) квантовые переменные Фа, Па в лагранжиане L можно раз- разбить на два класса1): набор независимых канонических переменных Qn (как Уг(х)) с независимыми сопряженными переменными Рп = = dL/dQn, и второй набор J2r(x) (как У0), производные по времени от которых не входят в лагранжиан. Первичные связи — это условия Xir = 0, где Xir = &r G.А.1) суть сопряженные с J2r переменные. Вторичные связи происходят из уравнений движения 0 = dL/d?lr для J2r. Мы предполагаем, что эти связи можно "разрешить", т.е. записать в виде Х2г = О, где Х2г :) Мы снова используем сокращенные обозначения, в которых индексы вида а, п, г включают все дискретные и координатные (х) переменные. По повторяющимся индексам производится суммирование и интегрирование. Все квантовые переменные берутся в один момент времени, а общий вре- временной аргумент всюду опускается. Величины ?}г соответствуют Сг из § 7.2.
360 Гл. 7. Канонический имеет вид X2r = ?r-fr(Q,P) G.A.2) (пример такого рода — формула G.6.5), которая выражает V0 через независимые Р, Q). Мы считаем, что независимые Q, Р удовлетво- удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям [Qn, Рт] = »С, [Qn, Qm] = [Рп, Рт] = 0. G.А.З) Связь Х2г = 0 дает коммутаторы для ?}: [?T,Qn] = -%%?-, [^,Pn] = igl, G.A.4) [?r,?s}=iTrs, G.A.5) где Frs есть скобка Пуассона Г" = [Г,Г]Р, G.А.6) и, разумеется, все коммутаторы с ?РГ равны нулю: \ф ПЩ — \ф р 1 — \ф О)8Л — \ф ф I _ п G Л 7"! [^п Ч \ — Y^r-, ±п\ — у^г-, *>? \ — Y^r-, ^s\ — и- {( .А. I) Теперь сравним эти коммутаторы и скобки Дирака. Скобки Пуас- Пуассона от связей равны Cir.i. = [xir,Xu]p = 0, G.A.8) Cir,2s = -C2s,ir = [xir,X2s]p = Ssr, G.A.9) C2,,2S = br, X2s]p = [fr(Q, P), f'(Q, P)]p = Trs- G.A.10) В нашем примере массивного векторного поля величины Trs равны нулю, но рассуждение остается в силе и для общего случая ненуле- ненулевых Trs. Легко видеть, что С-матрица имеет обратную матрицу с ком- компонентами /s~i — l\lr,ls j^rs (s~i — l\2r,2s п ( ' ~ ' ( > ~ ' Г7АШ {C-l}lr,2s = _{c-l}2s,lr=Sr_ ^- • ) Скобки Пуассона любой функции А с функциями связей равны [А,Х1г]р = §§,, [А,Х2г]р = -^ - [A,r(Q,P)]P. Здесь скобка Дирака есть Г4 R1 Г4 R1 дА дВ л. дВ дА л. [A,B]D = [А,В]р- — — + — — + + йГГ8Ш~й ^ Пр + [Л, Пр Щ,- G-А.12) Теперь, если А, В — функции независимых канонических перемен- переменных Qn, Рп, то дА/д?1г = дВ/д?1г = 0, так что скобка Дирака равна скобке Пуассона. В частности, [Qn, Рт]п = SI, [Qn, Qm]D = [Р„, Pm]D = 0. G.А.13)
7.7. Приложение: вывод скобок Дирака 361 Если А = J3r, а В — функция от Q, Р, в правой части G.А. 12) остается только пятое слагаемое. В частности, Если обе функции А, В суть просто координаты ?}, остается только четвертое слагаемое ^ ^ = г„ (? ^ Наконец, если А = ^r, a 5 — произвольное, остаются первое и третье слагаемые, и они сокращаются: [&>г, B]D = [&>г, В]р + ^ = О- G-А-16) Сравнение уравнений G.А.13)-G.А.16) с уравнениями G.А.З)-G.А.7) показывает, что во всех случаях коммутаторы равны скобке Дирака, умноженной на г. Этого и следовало ожидать, поскольку, как отме- отмечалось в § 7.6, все скобки Дирака с функциями связей равны нулю, так что скобки Дирака с J2r и (или) ?fis можно получить, выражая с помощью связей величины J2r и (или) ?PS через независимые Q, Р. В. Теперь рассмотрим случай, когда связи имеют вид уравнений Xir(^) = О ДЛЯ Фа? которые можно разрешить относительно меньше- меньшего набора независимых переменных Qn и такого же числа условий Х2г(П) =0 на Па, из которых можно выразить Па через меньшее число независимых Рп. В следующей главе будет приведен пример ситуации, когда связи на Фа являются условиями, фиксирующими калибровку, вводимыми, чтобы избавиться от связей первого рода, а ограничения на Па — вторичные связи, происходящие из требования совместности связей первого рода с уравнениями движения. Считаем, что независимые переменные удовлетворяют каноническим соотноше- соотношениям [Qn,Pm] = iS?^, [Qn,Qm] = [PnjPm] = 0- Зависимые и независи- независимые импульсы связаны соотношениями р _dQ__ dQ_ &&__&& , , Отсюда следует, что ша Пл1 ^— - [Фа Р 1 - i —— [ >iibidQn ~[ ' nJ~ dQn или, что то же самое, {[Фо,Щ]-г^}|^=0. G.A.18) Теперь связь Х1Г(Ф) = 0 выполнена для всех Q , если Фа = Фа((Э), стало быть, я ЯхЪъ °Xlr ?^ - о G А 19) Далее, векторы (Vr)b = dxir/d^b образуют ортогональное дополнение к набору векторов (Un)b = <9Ф6/dQn, поскольку, если бы существовал
362 Гл. 7. Канонический некоторый другой вектор V& такой, что Vb(Un)b = 0 Vn, то имелись бы дополнительные ограничения на Фа. Поэтому уравнение G.А. 18) означает, что q [°]^<^ G.А.20) с некоторыми неизвестными коэффициентами с". Чтобы определить их, используем другие связи — ^2г(П) = 0. Получаем С помощью G.А.20) находим теперь Легко заметить, что сомножитель коэффициентов с" есть скобка Пуассона QXlsW QX2r{u) _ _ \XlX2\P Ci2 d?bЩ ~ \Xl8,X2r\P = Cie,2r. Кроме того, поскольку xis зависят только от Ф, а \2г зависят только от П, это единственная ненулевая скобка Пуассона от связей, т.е. Clr,ls = C2r,2s = 0. Стало быть, формула G.А.21) переписывается в виде dXiV an (*7 А OO^ -^ = -csCis,tv, G.A.22) где N пробегает по всему набору функций связей. Для связей второго рода это уравнение имеет единственное решение -l\N,ls _ ЭХ2г (n-±\2r,ls } ~ж{С } /7 A OQA Подстановка его в G.А.20) дает [Ф ,Пь] = г\дь - -д^- (С ) ^j-j. G.A.24) Скобки Пуассона Ф°, П;, со связями равны [Фа,Х1,]р = 0, [ф«,Х2г]Р = ^, aiU G.A.25) Ь ^ т.е. величина в скобках в правой части G.А.24) есть скобка Дирака [Фа,Щ]=г[Фа,Щ]в, G.А.26) что и требовалось доказать. Кроме того, легко заметить, что, поскольку компоненты 11, 22 матрицы С~х нулевые, остальные скобки Дирака [Фа,Ф6Ь = [Па,П6Ь=0, G.A.27)
Задачи 363 так что тривиально получаем [Ф°, Ф6] = г[Ф<\ Ф V [Па, Щ] = г[Па, nb]D. G.A.28) Кроме правил коммутации, нам необходима явная формула для гамильтониана. В обычном каноническом формализме утверждается, что Н = PnQn - L, G.A.29) где сумма берется по всем независимым каноническим переменным. В теориях обоих типов, рассмотренных в этом приложении, гамиль- гамильтониан можно записать через зависимые переменные как Н = ПаФа - L. G.A.30) Для теорий типа А это утверждение тривиально — сумма берется по таким индексам а = п, что Фп = Qn и Пп = Рп суть независимые канонические переменные, а также по индексам а = г, для которых Пг = ?РГ — 0. Для теорий типа В из формулы G.А. 17) получаем т.е. снова приходим к формуле G.А.30). Задачи 1. Рассмотрите теорию с набором вещественных скалярных полей Ф" с лагранжианом jg? = -\ ? 5дФ"^Фга/пто(Ф), где /ига(Ф) - про- извольная вещественная несингулярная матричная функция от по- полей (так называемая нелинейная а-модель). Произведите канониче- каноническое квантование этой теории. Получите взаимодействие V[(f)(t),<j)(t)] в представлении взаимодействия. 2. Рассмотрите теорию вещественных скалярных полей Фп и дира- ковских полей Фг с лагранжианом ?? — J?$ + j?f]_, где j?fo — стандарт- стандартный лагранжиан свободных полей, а ??\ — взаимодействие между Ф и Ф, не содержащее производных от полей. Получите явное выраже- выражение для симметричного тензора энергии-импульса Q^v. 3. В теории, сформулированной в задаче 2, предположите, что ла- лагранжиан инвариантен относительно глобального инфинитезималь- ного преобразования 5Фп = гб^?^Фт, 5Фг = ге^г^Ф-7. Получите т j явное выражение для сохраняющегося тока, связанного с этой сим- симметрией.
364 Гл. 7. Канонический 4. Рассмотрите теорию комплексного скалярного поля Ф и веще- вещественного векторного поля Vм, с лагранжианом jgf = -(D^D^ - i F^F»" - i т2У„У - ^(Ф+Ф), где DM = <9М — igV^, i7^ = d^V» — d^V^, a J^ — произвольная функ- функция. Проведите каноническое квантование теории. Запишите взаимо- взаимодействие в представлении взаимодействия. 5. В теории из задачи 4 получите выражения для симметрическо- симметрического тензора энергии-импульса Q^v и сохраняющегося тока, связанного с симметрией относительно преобразований 5Ф = геФ, SV^ = 0. 6. Докажите, что скобки Дирака удовлетворяют тождеству Якоби G.6.23). 7. Покажите, что скобки Дирака не зависят от выбора функций связей XNi описывающих одно и то же многообразие в фазовом про- пространстве. Литература 1. Casimir H.B.G. // Proc. К. Ned. Akad. Wet. 51, 653 A948); Spaar- nay M.J. II Nature. 180, 334 A957). 2. Belifante F. // Physica. 6, 887 A939); см. также Rosenfeld L. // Memoires de l'Academie Roy. Belgique. 6, 30 A930). 3. См., например, Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, N.Y., 1972. Гл. 12. [Рус. пер.: Вайнберг С. Гравитация и космология.— М.: Мир, 1975.] 4. См., например, Wess J., Bagger J. Supersymmetry and Supergravity. Princeton Univ. Press, Princeton, 1983, а также цитируемую там ли- литературу. 5. Dirac P.A.M. Lectures on Quantum Mechanics. Yeshiva Univ., N.Y., 1964. [Рус. пер.: Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике.— М.: Мир, 1968 (см. также книгу: Дирак П.A.M. Принципы кван- квантовой механики.— М.: Наука, 1979, где воспроизводится указан- указанный перевод лекций Дирака).] См. также Dirac P.A.M. // Can. J. Math. 2, 129 A950); Proc. Roy. Soc. London, ser. A. 256, 326 A958); Bergmann P.G. // Helv. Phys. Acta Suppl. IV, 79 A956). 6. Maskawa Г., Nakajima H. // Prog. Theor. Phys. 56, 1295 A976). Я благодарен Дж. Фейнбергу за то, что он указал мне эту работу.
Глава 8 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Первоначальный подход к квантовой электродинамике сводился к постулированию и последующему квантованию классических урав- уравнений Максвелла. Читатель, вероятно, не будет удивлен тем, что в этой книге мы пойдем по совершенно иному пути. Мы сначала покажем необходимость калибровочной инвариантности, рассмотрев необычные сложности, возникающие при квантовании безмассовых частиц со спином, а затем из принципа калибровочной инвариантно- инвариантности выведем основные свойства электродинамики. После этого будет продемонстрирован стандартный современный подход, в котором, ис- исходя из калибровочной инвариантности, показывают необходимость существования векторного потенциала, описывающего безмассовую частицу со спином 1. Пока рано судить, какая из двух возможностей соответствует при- природе вещей. Большинство теоретиков исходят из калибровочной ин- инвариантности; впрочем, в современных теориях струн [1] возникает иная аргументация: сначала в струнном спектре обнаруживается без- безмассовая частица со спином 1, а затем показывается калибровочная инвариантность эффективной теории поля, которая описывает эти ча- частицы. В любом случае, как мы убедимся, каждый из подходов при- приводит к квантованным уравнениям Максвелла, которые по-прежнему дают нам классический пример успешной квантовой теории. §8.1. Калибровочная инвариантность Мы начнем с того, что напомним проблемы, вставшие перед нами при попытке построения ковариантных полей для безмассовой части- частицы со спиральностью =Ы. В § 5.9 мы убедились, что для таких частиц легко построить антисимметричное тензорное свободное поле f^v{x). Это поле можно выразить через 4-потенциал а^(х) (см. уравнение E.9.23)) в известном виде 1иЛх) = ^^(х) - диа1_1(х). (8.1.1) Однако уравнение E.9.31) показывает, что а/1(х) преобразуется как 4-вектор только с точностью до калибровочного преобразования l(x)Uo1W = Av^av(Ax)+dllu(x,A). (8.1.2)
366 Гл. 8. Электродинамика В действительности невозможно построить истинный 4-вектор в ви- виде линейных комбинаций операторов рождения-уничтожения части- частицы со спиральностью =Ы. Это связано с сингулярностью при т = О в пропагаторе массивного векторного поля А (х у) ~ BтгГ4 Г d4aeiq<x-y) /\^{х,у)-{2тг) J d qe которая не позволяет рассматривать безмассовые частицы со спи- спиральностью ±1 как предел при m —У 0 теории массивных частиц спи- спина 1. Можно избежать этих проблем, потребовав, чтобы во все взаимо- взаимодействия входил только1) тензор F^(x) = dflAv{x) - dvA^x) и его производные, но это существенно ограничивает общность, и главное, не соответствует реальности. Вместо того чтобы запретить А/1(х) в действии, потребуем, чтобы действие для материи 1м и ее взаимодействие с полем были инвариантны при общем калибровоч- калибровочном преобразовании А„(х)-> А„(х) + д„е(х) (8.1.3) (по крайней мере на траекториях уравнений движения материи); в этом случае добавочный член в (8.1.2) не играет роли. Измене- Изменение действия материи при преобразовании (8.1.3) можно записать в виде !*д>€Ы- (8Л-4) Значит, лоренц-инвариантность действия 1м приводит к требованию д>бш = о- (8Л-5) Это условие выполняется тождественно, если в действие входят толь- только тензор F^vix) и его производные (помимо полей вещества). В этом случае SIm 2V 5A^(x) v 5F^u(x)' Но если в действие входит сам потенциал А^(х), уравнение (8.1.5) дает нетривиальное ограничение. Далее нас интересует, в какой теории возникают сохраняющиеся токи, с которыми может взаимодействовать наше поле А^(х). Из § 7.3 мы знаем, что внутренние симметрии относительно инфинитезималь- ных преобразований означают наличие сохраняющихся токов. Точнее 1) Теперь мы используем обозначения А^ и F^v для электромагнитного потенциала и тензора напряженности, поскольку это взаимодействующие поля.
§8.1. Калибровочная инвариантность 367 говоря, если преобразование2) 8?(х) =ie(x)qtVl(x) (8.1.6) не изменяет действие при постоянном б, то изменение действия мате- материи при переменном б (ж) общего вида должно иметь вид 51М = - Jd4xJ»(x)d^e(x). (8.1.7) Если поля материи удовлетворяют уравнениям движения, действие имеет экстремум по отношению к произвольной вариации полей Ф/, т.е. (8.1.7) должно быть равно нулю, а значит, д^ = 0. (8.1.8) В частности, согласно результатам § 7.3, если 1м — интеграл от функ- функции ^м(Фг, дцФ1), то сохраняющийся ток имеет вид3) и он генерирует преобразования (8.1.6) в том смысле, что [Q,*'(a:)] = -«*'(*), (8.1.9) где Q — не зависящий от времени оператор заряда: Q = Jd3xJ°. (8.1.10) Теперь мы можем построить лоренц-инвариантную теорию, в кото- которой векторное поле А^ взаимодействует с сохраняющимся током JM, в том смысле, что производная 61м/^А^(х) пропорциональна J^(x). Константа пропорциональности может быть помещена в определение общего масштаба зарядов qi, т.е. коэффициент можно сделать равным единице: Закон сохранения электрического заряда позволяет нам фиксировать лишь величины зарядов по отношению к некоторому избранному за- заряду, за который обычно принимают заряд электрона и обозначают 2) Поскольку матрица преобразования теперь диагональна, мы отка- отказываемся от правила суммирования по повторяющимся индексам полей — в формуле (8.1.6) нет суммирования по /. 3) Здесь под Фг подразумеваются все поля, кроме А^. Мы использу- используем заглавные буквы, чтобы выделить гейзенберговы операторы, у которых зависимость от времени включает эффекты взаимодействий. Разумеется, нельзя путать Фг с вектором состояния или волновой функцией.
368 Гл. 8. Электродинамика его —е. Именно уравнение (8.1.11) придает конкретный смысл4) ве- величине е. Требование (8.1.11) можно переформулировать как принцип инва- инвариантности [1а]: действие материи инвариантно при одновременном действии преобразований SAtA(x)=StAe(x), (8.1.12) ёЩх) =ie{x)qi^i{x). (8.1.13) Симметрия такого типа с произвольной функцией е(х) называется ло- локальной симметрией или калибровочной инвариантностью второго рода. Симметрия с постоянным е в преобразованиях (8.1.12)—(8.1.13) называется глобальной симметрией или калибровочной инвариантно- инвариантностью первого рода. Известно несколько точных локальных симметрии, но все известные глобальные симметрии оказываются следствиями других принципов (см. § 12.5). Мы пока не сказали ни слова о действии для фотонов. В качестве догадки примем действие для массивного векторного поля при т = 0: F^. (8.1.14) Выражение (8.1.14) совпадает с действием в классической электроди- электродинамике, и его обоснование заключается в том, что /7 — единственное калибровочно-инвариантное действие, квадратичное по F^u и не со- содержащее высших производных. Более того, оно приводит к согласо- согласованной квантовой теории, в чем мы убедимся в следующем параграфе. Если в действии есть члены с высшими производными или более высо- высокими степенями по F^, их можно поместить в действие для материи. Из уравнений (8.1.11) и (8.1.14) получаем уравнения электромагнит- электромагнитного поля: 0 = ?? [/7 + 1м] = d^v + Г. (8.1.15) В этой формуле мы сразу же узнаем уравнения Максвелла с источни- источником Jv. Кроме них, имеются уравнения Максвелла (соответствующие первой паре в классической записи) 0 = d^Fve + deF^ + dvFe[ll (8.1.16) которые являются прямым следствием определения тензора F^ = В вышеизложенном рассуждении мы исходили из существования безмассовых частиц спина 1 и пришли к выводу об инвариантности действия для материи при локальных калибровочных преобразова- 4) Разумеется, формула (8.1.11) фиксирует определение е только после фиксации нормировки Ац(х). Вопрос нормировки электромагнитного поля поднимается в § 10.4.
§8.2. Связи и выбор калибровки 369 ниях (8.1.12), (8.1.13). Обычно рассуждают в обратном порядке — ис- исходят из глобальной внутренней симметрии 5?(х) =ieql?(x) (8.1.17) и задаются вопросом, как можно сделать эту симметрию локальной: 8?{х) =ie(x)qi^\x). (8.1.18) Если лагранжева плотность не содержит производных от полей, то из глобальной симметрии немедленно следует и локальная; однако все реалистичные лагранжианы содержат производные полей, которые преобразуются не так, как сами поля: 6дц91(х) = ie(x)qid^l(x) + iqi?(x)d^(x). (8.1.19) Чтобы сократить второй член, мы вводим векторное поле А^{х) с за- законом преобразования SA^(x) =<V0) (8.1.20) и требуем, чтобы плотность лагранжиана зависела от д^1 и А/1(х) только в комбинации ?>ДФ' = д^1 - iqiA^1, (8.1.21) которая преобразуется так же, как и Фг: l ^\x). (8.1.22) Лагранжиан материи ??м{^-> D1^), построенный только из Фг и D^1, будет инвариантен относительно преобразований (8.1.18), (8.1.20) при произвольной функции б(ж), если он инвариантен при постоянном е. Для лагранжиана такого вида получаем 51м что совпадает с формулой (8.1.11). (В ??м мож:но такж:е включить F^ и его производные.) С этой точки зрения отсутствие массы у фотона, описываемого полем Ац, есть следствие калибровочной инвариантно- инвариантности, а не исходное предположение — в самом деле, член —-т2А^А^ в лагранжиане нарушает эту инвариантность. § 8.2. Связи и выбор калибровки Некоторые аспекты электродинамики не позволяют прокванто- вать ее так же просто, как мы делали в теориях массивных частиц в предыдущей главе. Как обычно, определяем канонически сопряжен- сопряженные переменные для электромагнитного потенциала согласно я о? ПМ (821) 24 С.Вайнберг. Т. 1
370 Гл. 8. Электродинамика Квантование по обычным правилам дало бы Но это невозможно, поскольку для А^ и П" есть несколько связей. Первая связь возникает из того факта, что лагранжиан не зави- зависит1) от производной величины Aq по времени, и потому П°О)=0. (8.2.2) Это ограничение называется первичной связью, поскольку оно сле- следует непосредственно из структуры лагранжиана. Здесь также при- присутствует и вторичная связь, которая берется из уравнения движения для величины, фиксированной первичной связью2): где слагаемое с производной по времени отсутствует, так как Fqq = 0. Хотя лагранжиан материи в общем случае может зависеть от А0, плотность заряда зависит только от канонических полей материи3) Qn и им сопряженных Рп: J° = ~{Е ЩШ «ф/ = ~i Е РпЯпЯп- (8-2.4) / П Следовательно, формула (8.2.3) является функциональной связью ка- канонических переменных. Оба уравнения (8.2.2) и (8.2.3) не согласуют- согласуются с обычными коммутационными соотношениями [<ЛМ),1Г(у,*)] = [Рп(х,*),П"(у,«)] =0. Мы сталкивались с подобной сложностью в теории массивного век- векторного поля. Тогда мы открыли два эквивалентных подхода к этой Для что равно нулю при // = 0 из-за антисимметричности тензора F^u. Для лагранжианов материи ??м, содержащих только Фг и D^\ предписание (8.1.21) говорит, что JzfM не содержит производных от Av. Даже если ла- лагранжиан материи зависит от F^u, д^м/д(диА1_1,) будет тоже антисиммет- антисимметрично по //, v, и, следовательно, зануляется при \i = v = 0. ) Как обычно, латинские индексы г, j, ... пробегают значения 1, 2, 3. 3) По причине исчерпания букв алфавита я вынужден ввести здесь обо- обозначение, отличное от предыдущей главы. Символы Qn и Рп теперь озна- означают канонические поля материи и им сопряженные, в то время как для электромагнитного поля канонические поля и им сопряженные обозначают- обозначаются Ai nUi.
§8.2. Связи и выбор калибровки 371 проблеме: скобки Дирака и более прямой подход, в котором кано- каноническими переменными считаются только Ai, IP, а затем решает- решается аналог уравнения (8.2.3), из которого выражается А0 через эти независимые переменные. Ясно, что в данном случае нам не помо- помогут скобки Дирака: функции связей % здесь равны П° и ^П^ Ч- Jo (вместо diUi — т2А° + Jo), и они имеют нулевую скобку Дирака. По терминологии Дирака связи (8.2.2) и (8.2.3) — это связи первого рода. Не получится и выразить А0 как динамическую переменную через другие переменные. Уравнение (8.2.3) не дает значения А0 для всех моментов времени, а служит начальным условием. Если оно выпол- выполнено в некоторый момент, то оно выполняется в любой момент, по- поскольку (с учетом уравнений движения для А1) Лдл И dJO+д^ Л dJt Л=~дл И -doJO= 3 dF3l и сохранение тока дает Не следует удивляться тому, что для четырех компонент А^ у нас есть лишь три уравнения движения, поскольку в этой теории имеется локальная калибровочная симметрия, которая делает принципиально невозможным определение значений полей по их значениям (вместе с первыми производными) в некоторый момент времени. Для любого решения Ад(х,?) можно написать другое решение с теми же значениями и производными в момент t = 0 (выбрав е(х) так, чтобы его первая и вторая производная по времени были рав- равны нулю при t = 0), которое отличается от первого решения А^(х,?) при t > 0. Из-за этой частичной неопределенности в потенциале А^(х,?) невозможно применять каноническое квантование непосредственно к A/j (или, в случае ненулевой массы, к А). Из разнообразных подхо- подходов к этой проблеме особенно полезны два следующих метода. Один их них — современный лоренц-инвариантный метод БРСТ-квантова- ния, который будет обсуждаться в т. П. Второй, которым мы сейчас и воспользуемся, заключается в том, что, пользуясь калибровочной свободой, мы "выбираем калибровку". А именно, проведем конечное калибровочное преобразование чтобы А/1(х) стал подчиняться некоторому условию, которое позволит применить методы канонического квантования. В различных прило- приложениях бывают полезны разные калибровки; приведем здесь самые 24*
372 Гл. 8. Электродинамика известные4): калибровка Лоренца (или Ландау) д^А^ = 0; кулоновская калибровка V • А = 0; временная калибровка А0 = 0; аксиальная калибровка А3 = 0; унитарная калибровка Im Ф = 0. Каноническое квантование проще всего производить в аксиальной или кулоновской калибровке, но, разумеется, последняя сохраняет враща- вращательную инвариатность, в отличие от аксиальной калибровки, поэто- поэтому мы выберем здесь кулоновскую калибровку [2]. Чтобы убедиться, что такой выбор возможен, заметим, что если А^ не удовлетворяет условию кулоновской калибровки, то "калиброван- "калиброванное" поле А^ + д^Х будет ему удовлетворять, если выбрать функцию Л такой, что V2A = -V-A. С этого момента будем считать, что такое преобразование произведе- произведено, так что V-A = 0. (8.2.6) Впредь мы будем рассматривать только лагранжианы материи ??м, не зависящие от производных от А^. Такими лагранжианами обла- обладают, например, стандартные теории скалярного и дираковского по- поля. Тогда единственным слагаемым, содержащим i7^, будет кинети- кинетический член — — F^yF^', и условие связи (8.2.3) принимает вид -diFi0 = J°. (8.2.7) Совместно с кулоновским калибровочным условием (8.2.6) это дает уравнение V2 лО тО /Q О QA Л — J , yo.Z.o) решение которого можно записать в виде 8-2-9» Остающиеся степени свободы — это Аг, г = 1, 2, 3, которые связаны условием калибровки V • А = 0. Как уже было замечено, плотность заряда зависит только от кано- канонических полей материи Qn и сопряженных переменных Рп, поэтому формула (8.2.9) дает явное решение для вспомогательного поля А0. 4) Здесь Ф — любое комплексное скалярное поле с q ф 0; эта калиб- калибровка используется, когда калибровочная симметрия спонтанно нарушена ненулевым вакуумным средним поля Ф.
§8.3. Квантование в кулоновскоп калибровке 373 § 8.3. Квантование в кулоновской калибровке При каноническом квантовании в кулоновской калибровке обнару- обнаруживается еще одно препятствие. Даже после того как мы исключили с помощью (8.2.9) поля А0 (и По) из числа канонических переменных, проделать каноническое квантование полей А1, П^ все еще невозмож- невозможно, поскольку остаются еще два ограничения для этих переменных1). Одно из них — условие кулоновской калибровки Xix = 5iA<(x)=0. (8.3.1) Второе условие — вторичная связь (8.2.3), которая требует, чтобы X2x = ftir(x) + J°(x)=0. (8.3.2) Оба условия несовместны с обычными коммутационными соотноше- соотношениями [Af(x), П^-(у)] = iSijS3(~x — у), поскольку действие оператором д/дхг или d/dyi на их правую часть не дает нуль. Связи такого типа называются связями второго рода, и для них известно универсальное предписание для коммутационных соотноше- соотношений (см. §7.6). Заметим, что функции связей обладают следующими скобками Пуассона: Clx,2y = -С2у,1х = [Xlx,X2y]p = -V2E3(X - у), Cix>iy = [xix,Xiy]p = °> (8.3.3) С2х,2у = [Х2х,Х2у]р = О, где скобка обозначает (для любых двух функционалов U, V) Г/Т 1/1 = f Н3 \ 6U 6V 6V 6U 1 [и, v\P - j а х [SAi^ ш.(х) ^г(х) Шг(х)]' Матрица С мм невырождена, что и говорит о том, что связи отно- относятся ко второму роду. Далее, переменные Аг можно выразить через независимые канонические переменные, в качестве которых, напри- например, можно взять Qix = A:(x), Q2x = ^42(хM а ^.3 дается решением уравнения (8.3.1): х = - J С помощью формулы (8.3.2) канонически сопряженные перемен- переменные П^ можно аналогичным образом выразить через канонические Ах, Ах- В этом случае (см. приложение В к предыдущей главе), х) В этом параграфе индексы г, j, ... пробегают значения 1, 2, 3. Мы продолжаем рассматривать все операторы в один момент времени, опуская временной аргумент.
374 Гл. 8. Электродинамика если независимые канонические переменные Qix, Q2x, Ax, ^2х удов- удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям, то коммутато- коммутаторы зависимых переменных и им сопряженных даются (с точностью до множителя г) соответствующими скобками Дирака G.6.20). Этот ре- рецепт весьма удобен тем, что избавляет от необходимости выписывать явные выражения зависимых переменных через независимые. Для вычисления скобок Дирака сперва заметим, что матрица С имеет обратную матрицу с компонентами С dsk (С- Iх,2у = -(С- JуДх = - / (^ ~ )ll = (С~ ) ( ),y ( Jх,2у = 0. Далее, ненулевые скобки Пуассона Аг, П^ с функциями связей равны Следовательно, согласно формулам G.6.19)-G.6.20), одновременные коммутаторы равны ЩР{* - У) + г^ Обратим внимание, что они совместны с условиями кулоновской ка- калибровки (8.3.1)-(8.3.2), что и гарантируют общие свойства скобок Дирака. Теперь стоит выяснить смысл вектора П в электродинамике. В теориях, рассмотренных в предыдущем параграфе, где А входит в лагранжиан только в кинетическом члене — - / cl3x F^F^, варьи- варьирование лагранжиана по А без учета связи V • А = 0 дает ^ + ?-A^). (8.3.6) Но если компоненты А связаны условием V • А = 0, вариационная производная по А плохо определена. Если вариация L при измене- изменении А на SА равна SL = f cl3x & • SA, то, поскольку V • SA = 0, мож- можно также написать, что SL = / сРх [& + VJ^] • SA с любой скалярной функцией J^(x). Значит, мы можем лишь утверждать, что П равно А(х) + VA°(x) плюс градиент некоторого скаляра. Эта неопределен- неопределенность устраняется условием (8.3.2), которое требует, чтобы V • П = = —/° = V2A°. Поскольку V • А = 0, то формула (8.3.6) в действи- действительности дает правильное выражение для П\
§8.3. Квантование в кулоновскоп калибровке 375 Хотя коммутационные соотношения (8.3.5) довольно просты, нуж- нужно учитывать, что П не коммутирует с полями материи и канонически сопряженными им. Если F — произвольный функционал от полей ма- материи, то его скобка Дирака с А равна нулю, но скобка Дирака с П равна [F, U(z)]D = -fd3x d3y [F, X2x]p 47r|xX_ y| [Xiy, n(z)]P = = -Jd3y[F,A°(y)]PV53(y-z) = Чтобы облегчить переход к представлению взаимодействия, мы запи- запишем гамильтониан не через А, П, а через А и соленоидальную часть ГЦ сопряженного поля П: ГЦ = П - \7А° = А, (8.3.7) которая обладает тем свойством, что [F, ГЦ(г)] = 0. Учитывая, что ГЦ(х) коммутирует с П(у) — ГЦ (у) = VA°(y) и что <9iA°(x) комму- коммутирует с <9jA°(y), легко показать, что ГЦ(х) отвечает тем же комму- коммутационным соотношениям (8.3.5), что и П(х), а также подчиняется простой связи V • Щ = 0. (8.3.8) Теперь построим гамильтониан. В соответствии с общими резуль- результатами приложения к гл. 7, мы можем применить обычные формулы связи лагранжиана и гамильтониана, пользуясь при этом зависимыми переменными А и ГЦ, вместо того чтобы сперва выразить гамильто- гамильтониан через независимые канонические переменные. В случае электро- электродинамики эта процедура дает Н = Jd3x [U±iA' + PnQn - jgf], (8.3.9) где, как уже упоминалось, под Qn и Рп следует понимать канониче- канонические поля материи и им сопряженные. В формуле (8.3.9) вместо П можно подставить ГЦ, поскольку V • А = 0. В качестве конкретного примера рассмотрим теорию с лагранжиа- лагранжианом вида & = -\ F^F*" + JMA" + ^матер„я, (8.3.10) где J/j — некоторый ток, не зависящий от А^, а ^материя — лагран- лагранжиан, соответствующий остальным полям, входящим в JM. При этом электромагнитное взаимодействие в формуле (8.3.10) выделено в ви- виде члена J^A^. Лагранжианом такого вида обладает электродинамика
376 Гл. 8. Электродинамика спинорных полей (спин 1/2), однако в случае скалярных полей элек- электромагнитное взаимодействие содержит один дополнительный член. Заменяя всюду А на ГЦ, переписываем гамильтониан (8.3.9) в виде Н = = Jd3x [ni + \ (V х АJ - \ (П± + VA0J - J А + J°A°] + Ям, где Им — гамильтониан полей материи, за вычетом их электромаг- электромагнитных взаимодействий Нм = I dPx (PnQn - ^матер„я). Подставив сюда решение (8.2.9) для А0, имеем Я = j d3x [| П1 + i (V х АJ - J ¦ А + i J°A0] + HM. (8.3.11) Член - J°A° может показаться странным, но это есть ничто иное как известная кулоновская энергия /^/^J°gJ°C;) (8-ЗЛ2) С помощью коммутаторов (8.3.5) читатель может убедиться, что ско- скорость изменения произвольного оператора F, зависящего от А, П, дается формулой IF = [F, Н], как и должно быть. § 8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия Теперь мы разделим гамильтониан (8.3.11) на свободный член Hq и взаимодействие V: H = H0 + V, (8.4.1) Но = j d3x [i ni + i (V x AJ] + Яматерия,0, (8.4.2) V = - J (fix J • A + Укул + ^материя, (8.4.3) где Яматерия,о и Уматерия — член свободных частиц и член взаимодей- взаимодействия в Яматерия, а Укул — кулоновское взаимодействие (8.3.12). Пол- Полный гамильтониан (8.4.1) не зависит от времени, поэтому формулы (8.4.2) и (8.4.3) можно вычислять в любой удобный момент време- времени (лишь бы при этом в обеих формулах момент времени был выбран
§8.4- Электродинамика в представлении взаимодействия 377 одним и тем же), в частности, при t = 0. Как и в гл. 7, переход в пред- представление взаимодействия производится унитарным преобразованием V(t) = exp(iHot)V[A,n±,Q,P]t=oexp(-iHot) = = V[a(t),7r(t),4(t),p(t)], (8.4.4) где Р означает канонически сопряженные переменные к полям ма- материи Q, а любой оператор о(х,?) в представлении взаимодействия связан с его значением О(х, 0) в представлении Гейзенберга при t = 0 по формуле о(х, t) = ехр(гЯ0?)О(х, 0) ехр(-гЯ0?), (8.4.5) и, следовательно, ш(х,?) = [о(х,?),Я0]. (8.4.6) (Мы опустили индекс _L у тг(ж).) Поскольку преобразование (8.4.5) унитарно, одновременные коммутаторы имеют тот же вид, что и в представлении Гейзенберга: ^ ^] (8-4.7) Их,«),а''(у,«)]=0, (8.4.8) [7r<(x,t),7r'(y,t)]=0, (8.4.9) и аналогично для полей материи и им сопряженных. По той же при- причине не изменяются и связи (8.2.6) и (8.3.8): V-a = 0, (8.4.10) V-tt = 0. (8.4.11) Чтобы найти связь между тг и а, вычислим сперва а с помощью (8.4.6): Заменяем во втором слагаемом д/дх^ на —d/dyi, интегрируем по ча- частям и с помощью формулы (8.4.11) находим а = тг, (8.4.12) так же как и в представлении Гейзенберга. Уравнения движения поля аналогично определяются из формулы i7Ti(x,t) = [ТГ;(Х,?),ЯО] = = -iffy [M3(x-y) + ^7 i^[] х (v х v х "(**»" из которой с помощью (8.4.10) и (8.4.12) можно получить обычное волновое уравнение ?а = 0. (8.4.13)
378 Гл. 8. Электродинамика Поскольку А0 в представлении Гейзенберга не является независимой полевой переменной, а представляет собой функционал (8.2.9) от по- полей материи и им сопряженных, который исчезает в пределе нулевых зарядов, мы не будем вводить соответствующий оператор а0 в пред- представлении взаимодействия, а положим а0 = 0. (8.4.14) Общее решение уравнений (8.4.10), (8.4.13) и (8.4.14) можно пред- представить в виде (8.4.15) где р° = |р|; ем(р, а) — два произвольных независимых вектора поля- поляризации, удовлетворяющие условиям р-е(р,а) = 0, (8.4.16) е°(р,а)=0, (8.4.17) а а(р, а) — пара операторных коэффициентов (индекс а принимает два значения). Выбирая нормировку а(р,сг), можно придать условию полноты следующий вид: =Sij -PiPj/\p\2 3.4.18) Например, в качестве е(р,сг) можно взять те же векторы поляриза- поляризации, что и в § 5.9: е"(р,±1)=Д(р) ±г/л/2 0 0 3.4.19) где R(p) — стандартная матрица поворота, в результате которо- которого ось z оказывается направленной вдоль р. С помощью формул (8.4.18) и (8.4.12) легко убедиться, что правила коммутации (8.4.7)— (8.4.9) выполняются, если (и только если) операторные коэффициен- коэффициенты в (8.4.15) удовлетворяют условиям [а(р,<т),а (р',сг')] = S (р — p')Saa', (8.4.20) Г / \ / / /NT Г\ ( Q А Г\ -I \ [сь\Р, CF)i d\P j & )\ zz U. (^o.4.zlj Как уже отмечалось в случае массивных частиц, этот результат сле- следует считать не альтернативным выводом уравнений (8.4.20) и (8.4.21),
8.5. Пропагатор фотона 379 а скорее проверкой того, что формула (8.4.2) дает правильный свобод- свободный гамильтониан безмассовых частиц со спиральностью =Ы. В том же духе можно вывести из уравнения (8.4.2) с помощью (8.4.12) и (8.4.15) гамильтониан свободных фотонов: Но = Jd3pJ2l Р° [а(Р, а), at (р, а)]+ = а P° («f (Р, *)а(р, <т) + \8Z (p - р)), (8.4.22) который (не считая несущественного бесконечного с-числового члена) имеет как раз тот вид, который мы ожидали. Наконец, запишем взаимодействие (8.4.4) в представлении взаимо- взаимодействия: V(t) = - Jd3XJ^t)a»(*,t) +УКул(*) + ^Материя(*), (8.4.23) где ток 2\i выражается через ток J в гейзенберговском представлении как jM(x,t) = exp(iffot)JM(x,0)exp(-iffot), (8.4.24) а Укул(^) — кулоновская энергия (8.4.25) Слагаемое Материя (^) есть неэлектромагнитная часть взаимодействий материи в представлении взаимодействия: ^материя(t) = ехр(гЯ0?)УматерИя exp(-iHot). (8.4.26) Вместо j • а в (8.4.23) мы написали jMaM, поскольку а0 = 0. § 8.5. Пропагатор фотона Согласно общим правилам Фейнмана, изложенным в гл. 6, внут- внутренняя фотонная линия на диаграмме Фейнмана дает множитель в со- соответствующем слагаемом в 5-матрице, равный пропагатору фотона: -iAllu(x-y) = (ФвАк,Т{а11(х),аи(у)}ФВАк), (8.5.1) где Т, как обычно, означает хронологическое произведение. Подста- Подставив сюда нашу формулу (8.4.15) для электромагнитного потенциала, получаем - iA^x - у) = ii) ^^ - *)], (8.5.2)
380 Гл. 8. Электродинамика где /V(P)= Y. ем(Р>*ЫР,*Г, (8.5.3) a=±l а/в экспонентах берется при р° = |р|. Из формул (8.4.18) и (8.4.17) мы знаем, что ij4Pj"^ |p|2' (8.5.4) Д)г(р)=До(р)=Д)о(р) = 0. Как мы видели в гл. 6, ^-функции в (8.5.2) можно выразить в виде интегралов по независимой временной компоненте q° 4-импульса q^1 вне массовой оболочки, так что уравнение (8.5.2) переписывается в виде Jd4q ^f^ eiq<x-y\ (8.5.5) J Итак, при использовании правил Фейнмана в импульсном простран- пространстве вклад внутренней фотонной линии с 4-импульсом д, которая идет между вершинами, где фотон рождается и уничтожается полями а^ и а", равен Нам будет удобно переписать (8.5.4) в несколько неестественном виде N2 ' V ' где nM = @,0,0,1) — фиксированный времениподобный вектор, q2 = = q2 — (q0J, но q° совершенно произвольно. Мы будем выбирать q° в уравнении (8.5.7) согласно закону сохранения 4-импульса: эта вели- величина равна изменению р° частицы материи, проходящей через вер- вершину, в которой рождается фотон. В этом случае слагаемые, про- пропорциональные q^ и (или) qv не дают вклада в амплитуду процесса, поскольку эти множители действуют как производные <9М, dv, а фотон- фотонные поля a^^dy сворачиваются с токами jM, jv•> которые подчиняются закону сохранения <9MjM = О1). Член, пропорциональный п^Пу, содер- содержит множитель q2, который сокращается eg2 в знаменателе пропага- тора, давая член, который можно получить из члена в действии вида _Я_ eiq-(x-y) ) Этот аргумент недостаточно убедителен; настоящее обоснование сле- следует из тщательного анализа фейнмановских диаграмм [3], но самый про- простой способ решить эту проблему основан на методах континуального ин- интегрирования, см. § 9.6.
§8.6. Правила Фепнмана для спинорноп электродинамики 381 Интеграл по q° здесь дает ^-функцию по времени, так что это экви- эквивалентно поправке в гамильтониане взаимодействия V(t) вида 4тг|х-у| Это в точности сокращает кулоновскую энергию (8.4.25). Наш резуль- результат сводится к тому, что эффективный пропагатор фотона можно за- записать в ковариантном виде Ад*Ф0-2/) = Bтг) f d4q^^-eiq<x-y\ (8.5.8) J q — ге причем кулоновское взаимодействие выпадает. Итак, мы увидели, что явное нарушение лоренц-инвариантности в мгновенном кулоновском взаимодействии сокращается другим нарушением лоренц-инвариант- лоренц-инвариантности, связанным с тем, что (см. §5.9) поля а^(х) не являются ис- истинными 4-векторами, а потому обладают нековариантным пропага- тором. С практической точки зрения важно то, что в импульсном представлении правил Фейнмана пропагатор фотона равен (8.5.9) BтгL q2 - ie без кулоновской энергии. § 8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики Теперь мы можем сформулировать правила Фейнмана для вычис- вычисления 5-матрицы в квантовой электродинамике. Для определенности мы возьмем электродинамику одного сорта частиц со спином 1/2, за- зарядом q = —е и массой т. Эти частицы мы будем называть электро- электронами, но все результаты относятся также к мюонам и другим подоб- подобным частицам. Простейший калибровочно- и лоренц-инвариантный лагранжиан такой теории равен1) jgf = -I F^F»" - ФGМ[<ЭМ + ieA^] + т)Ф. (8.6.1) Тогда 4-вектор электрического тока равен ф< (8<б<2) Взаимодействие (8.4.23) в представлении взаимодействия в данном :) В гл. 12 мы обсудим причины, по которым из плотности лагранжиа- лагранжиана исключаются более сложные члены.
382 Гл. 8. Электродинамика случае равно V(t) = +ге Jd3x (^(х, г)-у»"ф(х, ?)К(х, t) + VKyjI(t) (8.6.3) (слагаемое К^атерия здесь отсутствует). Как мы видели, кулоновский член VKyjI(t) служит для сокращения нековариантного локального по времени члена в пропагаторе фотона. В соответствии с общими результатами § 6.3, правила Фейнмана в импульсном представлении для связной части 5-матрицы данной теории выглядят следующим образом. i) Нарисовать все диаграммы Фейнмана, содержащие не более чем заданное число вершин. Диаграммы состоят из электронных линий со стрелкой и фотонных линий без стрелки; линии соединяются в вершинах, причем в каждую из них входит одна электронная и од- одна фотонная линия и выходит одна электронная линия. В диаграм- диаграмму входит снизу или выходит наверх по одной линии для каждой частицы в начальном и конечном состоянии соответственно. Электро- Электроны представляются внешними линиями со стрелкой вверх, позитро- позитроны — со стрелкой вниз. Число внутренних линий определяется чис- числом внешних линий и числом вершин. Внутренние линии помечаются 4-импульсом вне массовой поверхности, который распространяется в определенном направлении вдоль линии (за которое принимается на- направление стрелки электронной линии). Каждая внешняя линия по- помечается импульсом и спиновой переменной (т.е. z-проекцией спина электрона или спиральностью фотона) частицы в начальном или ко- конечном состоянии. И) Приписать каждой компоненте диаграммы следующие множи- множители: Вершины Поставить в соответствие каждой вершине индекс а 4-компонент- ного дираковского спинора, соответствующий линии входящего элек- электрона, индекс /?, соответствующий линии выходящего электрона, и 4-индекс /i, соответствующий линии фотона. Вершине соответствует множитель BпLе(Г)Ра64(к - к1 + q), (8.6.4) где к и к' — 4-импульсы электрона, входящие в вершину и покидаю- покидающие ее, a q — 4-импульс фотона, входящий в вершину (или минус импульс, выходящий из нее). Внешние линии Пометить каждую внешнюю линию 3-импульсом р и спиновой пе- переменной (z-проекцией спина электрона или спиральностью а фо- фотона) частицы в начальном или конечном состоянии. Для электрона
§8.6. Правила Фепнмана для спинорноп электродинамики 383 в конечном состоянии, выходящего из вершины и помеченного индек- индексом /?, включить множитель2) Для позитрона в конечном состоянии, входящего в вершину и поме- помеченного индексом а, включить множитель Для электрона в начальном состоянии, входящего в вершину и поме- помеченного индексом а, включить множитель u-0fi- (8-6-7) Для позитрона в начальном состоянии, выходящего из вершины и помеченного индексом /3, включить множитель (8.6.8) Здесь спиноры и и v — это дираковские 4-компонентные спиноры, рассмотренные в § 5.5. Для фотона в конечном состоянии, связанного с вершиной линией с 4-индексом /i, включить множитель ^^'^i-n- (8-6"9) Для фотона в начальном состоянии, связанного с вершиной линией с 4-индексом /i, включить множитель 3.6.10) Здесь ем — 4-вектор поляризации фотона, описанный в предыдущем параграфе. Внутренние линии Для каждой внутренней электронной линии с 4-импульсом к, ко- которая идет из вершины с дираковским индексом /3 в вершину с ин- индексом а, включить множитель г [ik + mU (8<б<11) BтгL к2 +т2 -ie' Матрица /3 была выделена из взаимодействия в (8.6.4), и потому вместо и* и v^ здесь стоят п и v.
384 Гл. 8. Электродинамика (Здесь мы использовали удобные обозначения для свертки 4-вектора с 7-матрицами: v = j^v^.) Для каждой внутренней фотонной линии с 4-импульсом д, которая соединяет вершины с 4-индексами \± и г/, включить множитель jSy -ф^Те- (8-6Л2) iii) Проинтегрировать произведение всех вышеназванных множи- множителей по всем 4-импульсам внутренних линий и просуммировать по дираковским и 4-индексам. iv) Сложить результаты для всех диаграмм. Как известно из § 6.1 (пункты (v), (vi)), возможны дополнительные комбинаторные множители и фермионные минусы. Сложность вычисления диаграмм Фейнмана быстро нарастает с увеличением числа внутренних линий и вершин, поэтому важно за- заранее понять, какие числовые множители могут подавить вклад более сложных диаграмм. Мы оценим эти множители, включая не только заряд электрона е, связанный с вершинами, но и множители 2 и тг от вершин, пропагаторов и интегралов по импульсам. Рассмотрим связную диаграмму с V вершинами, / внутренними линиями, Е внешними линиями и L петлями. Эти величины не неза- независимы: в § 6.3 мы получили для них две связи От каждой вершины происходит множитель еBтгL, от каждой внут- внутренней линии — множитель Bтг)~4, а от каждой петли — 4-кратный интеграл по импульсам. Сферический элемент объема в 4-мерном евклидовом пространстве есть к2к2Aк2, так что петля дает множи- множитель тг2. Итак, диаграмма содержит множитель Число Е внешних линий для данного процесса предопределено, сле- следовательно, параметром, который подавляет вклад дополнительных петель, является комбинация ^ = f- = 5.81 х 10. 4 К счастью, эта величина достаточно мала, и потому обычно бывает достаточно точности, полученной с учетом диаграмм с наименьшим числом петель. В реальных экспериментах не каждая частица в начальном или конечном состоянии обладает определенной проекцией спина или спи- ральностью, поэтому необходимо сделать пояснения про спиновые со- состояния фотонов и электронов. Это особенно важно для фотонов,
8.6. Правила Фепнмана для спинорноп электродинамики 385 которые на практике обычно характеризуются поперечной или эл- эллиптической поляризацией, а не спиральностью. Как мы знаем из предыдущего параграфа, векторы поляризации для фотонов со спи- спиральностью =Ы равны е(р,±1) = ±г/л/2 О О где R(p) — стандартная матрица поворота оси z, в результате ко- которого она принимает направление р. Возможны и другие спино- спиновые состояния фотонов; произвольное состояние можно представить в виде линейной суперпозиции состояний с определенной спираль- спиральностью ФР,±: а+Фр,+1+а_Фр,_1, (8.6.13) которое нормировано так же, как и Фр,±, если |а+|2 + |а_|2 = 1. (8.6.14) При вычислении матричного элемента процесса, в котором рождает- рождается или поглощается фотон в таком состоянии, нужно просто заме- заменить ем(р, =Ы) в правилах Фейнмана на сумму ем(р) = а+е„(р, +1) + а_ем(р, -1). (8.6.15) Векторы поляризации для состояний с определенной спиральностью подчиняются условию ортонормальности е*(р,А;)е"(Р,А)=<*А<А, поэтому для поляризации общего вида <(р)ем(р) = 1. .6Л6) .6.17) Два предельных случая — круговая (циркулярная) поляризация, для которой а- = 0 или а+ = 0, и линейная поляризация, для которой |а+| = |а_| = 1/л/2- В случае линейной поляризации выбором общей фазы состояния (8.6.13) можно сделать а+ и а- комплексно-сопря- комплексно-сопряженными, т.е. записать их в виде (8.6.18) .6.19) а± = Тогда в правилах Фейнмана поляризационный вектор равен COS( shk; О О 25 С.Вайнберг. Т. 1
386 Гл. 8. Электродинамика Отсюда видно, что ф — азимутальный угол поляризации фотона в плоскости, перпендикулярной вектору р. Отметим, что вектор поля- поляризации в этом случае веществен, что возможно только для линейной поляризации. Промежуточные случаи между линейной и круговой по- поляризацией называются эллиптической поляризацией, при которой |а+| и |а_| не равны нулю и различны. В более общем случае фотон может быть представлен в виде ста- статистической смеси спиновых состояний. В самом общем случае на- начальный фотон может с разными вероятностями Рг обладать любым вектором поляризации е^ (р) из некоторого произвольного набора. Скорость реакции поглощения такого фотона имеет вид Г = J2pr\elr)(p)M»\2 = M^MvpV[l, (8.6.20) г где р — спиновая матрица плотности: pvlt = ?pPeW(p)eW*(p). (8.6.21) Г Очевидно, что это эрмитова положительно определенная матрица со следом 1 (поскольку ^Рг = 1), причем р„0 = р^ = 0, pV[lpv — г = pUjJjp^ = 0. Поэтому ее можно представить в виде Yl se,(p;s)e;;(p;s), (8.6.22) s=l,2 где eM(p;s) — два ортонормальных собственных вектора матрицы р, причем eo(p;s)=eM(p;s)p^=0, (8.6.23) a Xs — соответствующие им собственные числа, причем Xs > 0, s=l,2 Теперь можно записать скорость поглощения фотона в виде Г= Y, КЫР^)М^\2. (8.6.24) 5=1,2 Таким образом, смешанное состояние фотона равносильно смеси всего двух ортонормальных поляризаций е^(р; s) с вероятностями Xs. В частности, если поляризация начального фотона неизвестна, его следует считать неполяризованным, т.е. Ai = Л2 = 1/2. Матрица плотности в этом случае дает усреднение по начальным поляриза- поляризациям eu(p;s): pii = 2 E e*(p;s)e*(P;s) = 2 (sij -PiPj/p2)- (8.6.25) s=l,2
§ 8.7. Комптоновское рассеяние 387 К счастью, результат усреднения не зависит от выбора ортонормиро- ванного базиса е^(р; s). Аналогично, если не измеряется поляризация исходящих фотонов, то нужно суммировать по двум (произвольным) ортонормированным поляризациям. Эти замечания относятся и к фермионам; если, как обычно и бы- бывает, мы не пытаемся создать электроны в состоянии, в котором неко- некоторая проекция спина более вероятна, чем другие, скорость процесса вычисляется усреднением по двум ортонормальным спиновым состоя- состояниям, например состояниям с определенной проекцией спина на ось z (которые мы обозначаем а = ±1/2). Аналогично, если не измеряется поляризация конечных фермионов, нужно суммировать по двум ор- ортонормальным состояниям. Подобные суммы удобно вычислять с по- помощью формул E.5.37) и E.5.38): (*?+!!" (8.6.26) где р° = л/р2 + т2. К примеру, если в начальном состоянии имеется электрон с импульсом р и проекцией спина а, позитрон с импульсом р' и проекцией спина а', то матричный элемент процесса будет иметь вид (va(p', a')j?apup(p, а)). Следовательно, если спины электрона и позитрона не наблюдаются, скорость реакции пропорциональна величине Методы вычисления таких следов описаны в приложении к этой главе. §8.7. Комптоновское рассеяние В качестве иллюстрации вышеописанных методов мы рассмот- рассмотрим рассеяние фотона на электроне (или другой частице с заря- зарядом —е и спином 1/2) в наинизшем порядке по е. Обозначим им- импульсы и векторы поляризации входящего и выходящего фотонов через &м,ем и ^,е/д, причем k° = |k| и к'° = |к'|. Аналогично, им- импульсы и проекции спина входящего и выходящего электронов обозна- обозначим р^^а и Рд, сг', причем р° = л/р2 + т2 и pf0 = ур'2 + т2, где т — масса электрона. Диаграммы наинизшего порядка для этого процесса 25*
388 Гл. 8. Электродинамика к',е' к,е Рис. 8.1. Две диаграммы наинизшего порядка для комптоновского рассея- рассеяния. Сплошные прямые линии — электроны, волнистые — фотоны приведены на рис. 8.1. С помощью правил, сформулированных в преды- предыдущем параграфе, выписываем матричный элемент 5-матрицы: и(р , a )pi ev и(р,сг)а BтгK/2 BтгK/2л/2^ BтгK/2 х J d Q [-Щ1\ [q2 + Ш2 _ 2?г) Т^'а'^ (Q ~ Р' ~ ^')][е(<^7Г) ^ 2тгL7^/ /^4(t7 + ^ — р/I[еBтгL71 к1 - р)]}. (8.7.1) Выполняя тривиальное интегрирование по q, собирая множители г и 2тг и записывая результат в матричных обозначениях, получаем S = —ie2S4(p' BтгJл/2А;0/ • 2А;0 8-7-2) (Здесь ё* означает е^7м? а не (®) *• Мы не пишем в знаменателях —ге, поскольку они не обращаются в нуль.) Поскольку р2 = —т2 и к2 = = &/2 = 0, знаменатели можно упростить: О + кJ +т2 = 2р-к, (8.7.3) (р - к'J +т2 = -2р - к. (8.7.4)
§ 8.7. Комптоновское рассеяние 389 Далее, фейнмановская амплитуда М в общем случае определена урав- уравнением C.3.2), которое (поскольку предполагается, что рассеяние про- происходит) в данном случае имеет вид S = -2т64(р' + k' -р- k)M, (8.7.5) так что М = 6 . й(р', а') х 4BтгKл/^о7 х {e*'[-i(p + %) + т]е/р • к - e[-i(p- %') + т]е*'/р • к'}и(р, а). (8.7.6) Дифференциальное сечение записывается через М по формуле C.4.15), т.е. в нашем случае da = BтгLи-1\М\264(рг + к' -р-к) d3pf d3kf. (8.7.7) Поскольку одна из частиц безмассова, уравнение C.4.17) для началь- начальной скорости дает и= \р-к\/р°к°. (8.7.8) Для дальнейших вычислений нужно выбрать систему отсчета. По- Поскольку электроны в атомах движутся с нерелятивистскими скоро- скоростями, в качестве лабораторной системы для рассеяния 7-лучей (или рентгена) на электронах обычно (но не всегда) можно взять систему покоя начального электрона. Мы проведем вычисления в этой систе- системе, в которой р = 0, р° = тп. (8.7.9) Скорость (8.7.8) равна и = 1. (8.7.10) Для экономии записи обозначим энергии фотонов ш = к0 = |к| = -р • к/т, (8.7.11) J = к0> = |к;| = -р - к'/т. (8.7.12) Дельта-функция от 3-импульса в (8.7.7) позволяет избавиться от диф- дифференциала d3p', подставив р; = к — к7. Остается ^-функция от энер- энергии: 5(р'° + к'0 - р° - к0) = 5(л/(к-к'J +т2 + a/ -m-uj). (8.7.13) Она фиксирует сУ как корень уравнения \/uj2 - 2ojoj' cos в + uj'2 + m2 = uj + m - 00', где в — угол между кик'. После возведения в квадрат обеих частей
390 Гл. 8. Электродинамика равенства и сокращения со'2 получаем1) = оос(в). (8.7.14) -cos#) Дельта-функция от энергии (8.7.13) переписывается в виде р° 8(ш' - шс@)) cos в + и'2 + m2 \(ии'-иcos6)/р/0+ 1\ тии v Напишем также дифференциал б?3 /^ в виде d3k' = со'2 duo' du, (8.7.16) где dft — телесный угол, в который рассеивается исходящий фотон. Последняя ^-функция в (8.7.15) позволяет исключить дифференциал duo' в (8.7.16), и дифференциальное сечение записывается в виде da = BтгL|М|2 ^^- du, (8.7.17) где р'° = т + cj — сУ, аш' дается уравнением (8.7.14). Как правило, проекция спина падающего и вылетающего электро- электрона не измеряется. Поэтому нужно просуммировать по а' и усреднить по а, т.е. просуммировать по а, а' и умножить на 1/2: О"' ,0" (8.7.18) Эта сумма вычисляется с помощью стандартной формулы - (8.7.19) и аналогично для суммы по а'. Можно показать, что для произволь- х) Другими словами, длина волны света увеличивается по формуле 1 1 1 - cos в Проверка этой формулы для рассеяния рентгеновских лучей на электро- электронах, произведенная Комптоном в 1922—1923 гг., сыграла ключевую роль в подтверждении гипотезы Эйнштейна A905 г.) о корпускулярной природе света, квант которого вскоре после эксперимента Комптона стал известен как фотон.
§8.7. Комптоновское рассеяние 391 ной 4x4 матрицы А а,а' а,а' ( + m (-i 2р'° Вспоминая, что fij^fi = —7д> приводим (8.7.6) к виду E 64Btt)cjcjpV р-А; р • k' J (8.7.21) (Напомним еще раз, что ё* означает е*^^, а не (ё)*, и аналогично для е' .) Мы работаем в "калибровке", в которой е • р = е* • р = е' • р = е'* • р = 0, (8.7.22) что похоже на кулоновскую калибровку в лабораточной системе, в ко- которой е° = е/0 = 0, р = 0. Это означает, что [—ip + га]е[—ip + га] = e[ip + m][—ip + га] = и аналогично для е; ,е'иё*. Тем самым формула (8.7.21) существен- существенно упрощается: (8.7.23) След произведения нечетного числа 7"матРиЦ равен нулю, поэтому
392 Гл. 8. Электродинамика этот след а,а' (р-к') где распадается на слагаемые нулевого i ( Tl i 64BttNcjcj/pV0 \(p-kJ ' (р 2 2 т ti m t2 i2 (р-А;J (р-к)(р-к') (р Тг =Тт{ё'*кере* Т2 = Тг{е'*кере' Т3 = Тт{ек'е'* ре Г4 = Тт{ек'е'*ре' ti = Trj?7* /c??: t2 = Тт{е'*кее' t3 = Тт{ек'е'*е т2 •к)(р- m ts • к)(р • "ке'р к'е*р *ке' р k'e*i не ). к'е*} *ке'} а второго порядка по га: 1 Гз Ю (р-Щр- m2ti \ к1) (р-к'J) '}, :'}, '}> 1 к>) + (8.7.25) (8.7.26) (8.7.27) (8.7.28) (8.7.29) (8.7.30) (8.7.31) t4 =Tr{e?/e/*e/?/e*}. (8.7.32) В приложении к этой главе показано, как сводить следы вида Tr{abcd ...} к сумме скалярных произведений 4-векторов а, Ь, с, б?, ... В самом общем случае след произведения б или 8 7"матРицо такой как tk или Т/,, состоит соответственно из 15 или 105 слагаемых, но, к счастью, большинство скалярных произведений равно нулю; кроме формулы (8.7.22), зануляются еще к • к = к' • к' = 0. Кроме то- того, е • е* = е' • е'* = 1. Чтобы еще упростить вычисления, ограничимся случаем линейной поляризации, когда векторы ем и е/д вещественны. Опуская знаки комплексного сопряжения в (8.7.25)-(8.7.32), получаем Тх =Тт{е'кереке'р'}. Поскольку е^рц = 0 и е2 = 1, имеем ере = —рее = —р, следовательно, Ti = -Тт{е'крГке'р'}. Далее, к2 = 0, так что крк = —ккр-\- 2кр • к = 2/ф • &, и потому Ti = -2р-кТт{е'ке'р'}. С помощью формулы (8.А.6) находим теперь
§ 8.7. Комптоновское рассеяние 393 Удобно сделать замены е' • р' = е' - [р + к - к'] = е' • к, 7 1 / / 7\9 1 9 1 / 7/\9 1 9 7/ fc"P= -- (р' -кI - 2Ш = ~2 (Р~кУ - 2т -Р'к ' так что Ti = -1бр • ^(e; • А:J +8р-кр- к'. (8.7.33) Аналогичное, но более длинное вычисление дает Г2 = Г3 = -8(е • к'J{р • к) + 1б(е • е;Jр -к'р-к + 8(е • е7J^ • ^ш2 - - 8(е • е')т2(к • е'){к' • е) + 8(е; • кJр • к1 - - 4(fe • pf + 4(fe • fe')(p • p') - 4(fe • p')(P ' *0> (8.7.34) T4 = 16p • fe'(e • ^J + 8(p • fc)(p • fc'), (8.7.35) t1=u = 0, (8.7.36) t2=t3 = -8e • e'fe • eT • e + 8(fe • k')(e • e;J - 4(fe • fe')- (8.7.37) Складывая все члены в (8.7.24), получаем ? Iм!2 = а,а' Все эти формулы верны в любой системе отсчета. В лабораторной системе имеем дополнительно к • к' = с^сУ (cos в — 1) = mujuj' ( ), \uj uj'J р-к — -moo, р-к1 — -moo'. Объединяя формулы (8.7.38) и (8.7.17), получаем сечение в лабора- лабораторной системе: eV2 dQ x 4(е-е'J1. (8.7.39) J Эта знаменитая формула была впервые получена Клейном и Ниши- ной [4] в 1929 г. Как мы знаем из § 8.6, если падающий фотон (как обычно и бы- бывает) не находится в состоянии с определенной поляризацией, нужно усреднить результат по двум ортонормальным векторам е. Усредне- Усреднение дает J2 № ^%/k2)
394 Гл. 8. Электродинамика а дифференциальное сечение оказывается равным ^2 dcr (р, сг + k, e ->- p', а' + к', е') = ^ + ^ - 2 *^!l (8 7 40) " 64тг2т2о;2 Мы видим, что рассеянный фотон преимущественно поляризован пер- перпендикулярно плоскости, проходящей через падающий и рассеянный фотон. Этот результат широко известен и отвечает, помимо всего про- прочего, за поляризацию света от затменно-двойных звезд2). Теперь вычислим сечение для эксперимента, в котором не измеря- измеряется поляризация рассеянного фотона; для этого, как обычно, сумми- суммируем по его поляризациям е', применяя формулу Это дает - 2_^ do (р,сг + к,е ->• р ,о +к,е) = 4 /2 7/"v i- / -i , (8.7.41) где в — угол между кик'. В нерелятивистском пределе, со <$С ш, фор- формула (8.7.41) дает i E е,е' ,<т,сг/ Интеграл по углам равен 2тг /"[1 + cos2 0]du= Г d</> [[1 + cos2 0] sin в d0 = ^, о о что дает полное сечение рассеяния при со ^ т: -7-43) Это часто записывают в виде ат = 8тгго/3, где радиус г0 = е2/4тгш = 2,818 • 1(П13 см 2) Свет от одной из звезд поляризуется при рассеянии на свободных электронах во внешней атмосфере другой, относительно холодной звезды, когда обе лежат на луче зрения. Этот эффект обычно не заметен, поскольку при измерениях складываются лучи, исходящие со всех частей диска звез- звезды. Поляризация становится заметна, когда холодная звезда загораживает часть горячей звезды.
§ 8.8. Обобщение калибровочных полей на р-формы 395 известен под названием классического радиуса электрона. Выражение (8.7.43) называется томсоновским сечением, в честь Дж.Дж. Том- сона, первооткрывателя электрона. Формулы (8.7.42) и (8.7.43) из- изначально были получены в рамках классической механики и элек- электродинамики, путем вычисления интенсивности света, излучаемого нерелятивистским точечным зарядом, колеблющимся в падающей плоской электромагнитной волне. §8.8. Обобщение калибровочных полей на р-формы1) Антисимметричный тензор напряженности поля F^ в электро- электродинамике является частным случаем некоторого важного для фи- физики и математики класса тензоров. Как известно, р-формой назы- называется антисимметричный ковариантный тензор ранга р. Из р-формы ?д1,д2,.-.,Мр можно построить (р + 1)-форму dt (которая называется внешней производной2)) путем взятия производной и антисимметри- антисимметризации по всем индексам: lM2---Mp •> (О.O.I) квадратные скобки здесь означают антисимметризацию по индексам, в них заключенным. Поскольку операторы дифференцирования ком- коммутируют, повторное взятие внешней производной дает нуль: d(dt) = 0. (8.8.2) Форма, внешняя производная которой равна нулю, называется за- замкнутой; форма, которая является внешней производной, называ- называется точной. Формула (8.8.2) утверждает, что всякая точная р-форма замкнута; знаменитая теорема Пуанкаре [6] утверждает, что в одно- связной области любая замкнутая форма точна3). Например, одно- г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении. 2) Внешние производные и дифференциальные формы играют важную роль в общей теории относительности, отчасти потому, что внешняя про- производная тензора является тензором, несмотря на то что вычисляется с по- помощью обычных, а не ковариантных производных [5]. 3) В многосвязных областях или пространствах замкнутая форма мо- может быть неточна; локально ее всегда можно представить в виде внешней производной, но эти производные не всегда можно гладко сшить во всей об- области. Множество замкнутых р-форм по модулю точных р-форм составляет так называемую р-ю группу когомологий де Рама для данного простран- пространства. Между группой когомологий пространства и его топологией имеется глубокая связь [6], которая будет обсуждаться в т. П.
396 Гл. 8. Электродинамика родные уравнения Максвелла (8.1.16) говорят, что 2-форма F^y тен- тензора напряженности электромагнитного поля является замкнутой; по теореме Пуанкаре заключаем, что она также точна, т.е. записывается в виде внешней производной: F^y = д^Ау — дуА^. С помощью той же формулы (8.8.2) легко видеть, что F не меняется при изменении А^ на внешнюю производную SA^ = <9ДП, т.е. при калибровочном преоб- преобразовании. Формализм р-форм и внешних производных наводит на мысль о возможности существования безмассовых частиц, описываемых ка- калибровочными полями4) в виде р-формы -Адь...,др; такая теория об- обладает калибровочной инвариантностью при преобразованиях 8 А = du, (8.8.3) или, более подробно, где Пдь...5др_1 — произвольная (р — 1)-форма. Из такого калибровоч- калибровочного поля напряженность строится как (р + 1)-форма F = dA, (8.8.4) или, более подробно, ^Mi-.-Mp+i = 0[mui^2...^P+i]- (8.8.5) (Можно было бы начать с (р + 1)-формы F, обладающей свойством dF = 0, и из этого уравнения заключить, что существует р-форма А такая, что F = dA.) По аналогии с электродинамикой можно взять лагранжиан в виде 2(« +1) /il"-/ip+1 ^/ii.-./ip? {o.o.vj где J — антисимметричный тензор тока (либо с-число, либо функ- функция от полей, отличных от А), который должен удовлетворять закону сохранения d^J»1-»* =0, (8.8.7) чтобы действие было калибровочно-инвариантно. Уравнения Эйлера— Лагранжа теперь имеют вид ^ = -j^i-^p. (8.8.8) 4) Мы допускаем вольность, называя АМ1;...;Мр р-формой, поскольку для того чтобы F = dА было тензором, достаточно, чтобы А было тен- тензором с точностью до калибровочных преобразований. В действительности мы уже видели, что в четырехмерии невозможно построить 4-векторное по- поле из операторов рождения—уничтожения физических безмассовых частиц со спиральностью ±1, и потому приходится иметь дело с вектором Ам(ж), который, согласно (8.1.2), преобразуется как 4-вектор лишь с точностью до калибровочных преобразований.
§ 8.8. Обобщение калибровочных полей на р-формы 397 Такие калибровочные поля играют важную роль в теориях с до- дополнительными размерностями пространства-времени. К примеру, в минимальной 26-мерной теории струн имеется нормальная мода ко- колебаний струны, которая на низких энергиях выглядит как калиб- калибровочное поле 2-формы А^у. Но в четырех измерениях формализм р-форм не добавляет новых возможностей. Чтобы убедиться в этом, заметим сперва, что в D-мерном про- пространстве не существует антисимметричных тензоров с более чем D индексов, так что в общем случае нужно потребовать р + 1 ^ D. Как и всякую (р + 1)-форму с р-\- 1 ^ D, напряженность поля F можно выразить через дуальную (D - р - 1)-форму &\ Аналогично, р-форму тока J можно выразить через дуальную (D -р)-форму /\ Уравнения поля (8.8.8) и закон сохранения (8.8.7) теперь можно пе- переписать в виде d3? = jf, dJ?=O. (8.8.11) Поскольку дуальный ток J? замкнут, его можно представить в виде внешней производной от (D — р — 1)-формы J?: J = <№. (8.8.12) Согласно формулам (8.8.11) и (8.8.12) разность между ^ и/ замкну- замкнута, а потому, с помощью теоремы Пуанкаре, можно написать J^ = ^ + #, (8.8.13) где ф — некоторая (D — р — 2)-форма. Впрочем, это не имеет смыс- смысла для крайнего случая р = D — 1, когда формы & и J> являются 0-формами, и условие d^ — dJ* просто утверждает, что эти формы отличаются на константу. В этом случае калибровочное поле вооб- вообще не имеет степеней свободы, так что нам следует ограничиться р ^ D - 2. При р ^ D — 2 однородные "уравнения Максвелла" dF = 0 дают Q^m...nn-г-! =0^ (8.8.14) что совместно с (8.8.13) дает уравнение для ф: д^йфУ1"»1*-*-1 = -д^1"»1*-*-1. (8.8.15) Оно инвариантно при новых калибровочных преобразованиях ф —> —>¦ ф + doo, за исключением случая D — р — 2 = 0, в котором F инва- инвариантно относительно замены ф —>¦ ф + const. Мы видим, что в D-мер- D-мерном пространстве-времени теория калибровочного р-поля А эквива- эквивалентна теории с (D — р — 2)-полем ф.
398 Гл. 8. Электродинамика Теперь становится ясно, почему в четырехмерии формализм р-форм не дает ничего нового. Нам нужно рассмотреть случаи р ^ ^ D — 2, т.е. р = О, 1, 2. Калибровочное поле 0-формы является ска- скалярным полем 5, для которого (8.8.5) дает Рд = <9М5, а уравнения поля (8.8.8) имеют простой вид: US = - J. Калибровочными преобразованиями здесь является замена S —> S + + const. Это есть теория безмассового скалярного поля, взаимо- взаимодействующего только со своей производной. Калибровочное поле 1-формы — это векторное поле А^(ж), которое взаимодействует с со- сохраняющимся 4-вектором тока, как в электродинамике. Наконец, в соответствии с общим результатом, полученным выше, поле 2-фор- мы в 4-мерном пространстве эквивалентно полю 0-формы, т.е. сводит- сводится к вышеназванной теории скалярного поля. § 8.9. Приложение: следы 7~матРиЦ При вычислении элементов 5-матрицы и скоростей реакций с ча- частицами спина 1/2 часто возникают следы от произведений дираков- ских 7-матриц. Полезно привести формулы для вычисления подобных следов. След произведения четного числа 7-матриц равен 7M2 • • -7m27v} = 4 ^^ $Р Ц Испаренные индексы д- (8.А.1) спаривания пары Сумма здесь берется по всевозможным спариваниям (разбиениям на пары) индексов /ii,... ,/i27V- Спаривание можно представить как пе- перестановку целых чисел 1, 2, ..., 2N в некотором порядке Pi, P2,... ..., P27V, где считаются спаренными /ipx с fip2, fip3 с fip4 и т.д. Переста- Перестановка пар или перестановка внутри пары дает то же самое спаривание, значит, число различных спариваний равно BN)\/N\ 2N = B7V - 1)BN - 3) • ... • 1 = B7V - 1)!!. (8.A.2) Можно избежать суммирования по одинаковым спариваниям, потре- потребовав, чтобы Р1< Р2, РЗ < Р4, ..., Р • BN - 1) < Р • BN) (8.А.З) и Р1< РЗ < РЪ < ... (8.А.4) При этом условии множитель 8р равен +1 или —1 в соответствии с четностью перестановки индексов. Произведение в (8.А.1) берется
§8.9. Приложение: следы j-матриц 399 по всем N парам, причем n-я пара дает множитель к}^^ 1цР2п • На- Например, для N = 1, 2, 3 получаем1) (мы пишем различные греческие буквы без индексов вместо /^): = 4^, (8.А.5) uVpa- ~ VjJLpVva + VnaVvp], (8.A.6) Vn/i ~ Ц^уЦркЦаг) + Ц^уЦрцЦак ~ 'Цсгк H~ 'Цуьа'Цур'Цкц ~ "Ц[муЦукЦрг\ Н~ - Ц^цЦмЦрк + Ц^цЦукЦрЛ- (8-А.7) Для нечетного числа матриц результат гораздо проще: Тг{7д17д2...7^+1} = 0. (8.А.8) Доказательство формулы (8.А.1) проводится по индукции. Снача- Сначала замечаем, что и поэтому Тг{7д7^} = 4%^, в согласии с (8.А.1). Теперь предположим, что формула верна для N ^ М — 1. Тогда имеем "I" |7м2 7мз7м17м4 7д2м} 2 7д4 • • -7д2м} "I" s ~ • • • Все коммутаторы имеют нулевой след, так что последний вычитаемый член равен левой части равенства, и, следовательно, 7м4 • • • 7д2м I "I" Vill/14 ^Г17м2 7мз7м5 • • • 7д2м s ~ • • • • • • + Vmn2M Тг{7д2 • • • 7д2м-1 }• (8.А.9) Итак, из предположения о правильности формулы (8.А.1) для 2N — 2 7~матриц следует ее правильность для 2N дираковских матриц. Простейший способ убедиться в том, что след нечетного произ- произведения матриц Дирака равен нулю — заметить, что 7д и —7Д свя- связаны преобразованием подобия: —7Д = 757дG5)~1- След не меняется :) Сейчас существуют компьютерные программы [7], вычисляющие следы от произведений большого числа 7-матриц.
400 Гл. 8. Электродинамика при таком преобразовании, значит, след произведения нечетного чис- числа 7-матриц равен ему же со знаком "—", т.е. равен нулю. При вычислениях также часто встречаются следы вида При нечетном п они тоже равны нулю, по той же причине, что и след без 75- Кроме того, такой след равен нулю при п = 0 и п = 2: Тг{75} = 0, (8.А.10) Тг{757д7Л = 0. (8.А.11) Чтобы увидеть это, вспомним, что 75 = 2707172 7з> и заметим, что невозможно спарить индексы в Тг{7о71727з} или в Тг{7о71727з7д7^} так, чтобы индексы в каждой паре были равны. При п = 4, т.е. в Тг{7о71727з7м7^7/о7о-}5 эт0 возможно, лишь если /i, г/, р, а являются некоторой перестановкой 0, 1, 2, 3. Кроме того, этот след антисиммет- антисимметричен относительно перестановки любых индексов /i, z/, р, а, посколь- поскольку разные 7"матрицы антикоммутируют. Следовательно, такой след пропорционален тензору Леви-Чевита е^ра. Коэффициент пропор- пропорциональности можно выяснить, положив индексы равными 0, 1, 2, 3, и учитывая, что 60123 = — 1. В результате находим Тг{757д7^7лЛ = 4гбМ1/р<7. (8. А. 12) След от произведения 75 с шестью, восемью и более 7"матРиЦами можно вычислить такими же методами, что и при проверке форму- формулы (8.А.1). Задачи 1. Вычислите дифференциальное и полное сечение процесса в наинизшем порядке по е. Считайте, что поляризация электронов и мюонов не наблюдается. Используйте простейший лагранжиан элек- электродинамики с электронами и мюонами. 2. Проведите каноническое квантование теории с заряженным скалярным полем Ф, взаимодействующим с электромагнитным полем, взяв в качестве плотности лагранжиана - А(Ф1'ФJ - i где Используйте кулоновскую калибровку. Выразите гамильтониан через поля А, Ф,ф1" и канонически сопряженные им. Выразите взаимодей-
Литература 401 ствие V(t) в представлении взаимодействия через поля в этом пред- представлении и их производные. 3. С помощью результатов задачи 2 вычислите в наинизшем по- порядке дифференциальное и полное сечение рассеяния фотона на мас- массивной заряженной скалярной частице. 4. Напишите калибровочно-инвариантный лагранжиан заряжен- заряженного массивного векторного поля, взаимодействующего с электромаг- электромагнитным полем. 5. В наинизшем порядке по е вычислите дифференциальное сече- сечение электрон-электронного рассеяния. Начальная и конечная поляри- поляризация электронов не измеряется. Литература 1. См., например, Green M.B., Schwarz J.H., Witten E. Superstring Theory. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987. § 2.2. la. Fock V. II Zeitschrift fur Physik. 39, 226 A927); Weyl H. // Zeitschrift fur Physik. 56, 330 A929). Термин "калибровочная инвариант- инвариантность" происходит от аналогии с масштабной инвариантностью, о которой Вейль писал в своей книге Raum, Zeit, Materie, 3-е изд. Springer-Verlag, Berlin, 1920. Также см. London F. // Zeitschrift fur Physik. 42, 375 A927). Эта история была также рассказана Янгом (C.N. Yang) на конференции в City College (неопубликовано). 2. Швингер обосновывал использование кулоновской калибровки в электродинамике примерно так же, как и мы, — тем, что достаточ- достаточно вводить только фотоны со спиральностью ±1. См. Schwinger J. II Phys. Rev. 78, 1439 A948); 127, 324 A962); Nuovo Cimento. 30, 278 A963). 3. Feynman R.P. // Phys. Rev. 101, 769 A949). § 8. 4. Klein O., Nishina Y. // Z. f. Phys. 52, 853 A929); Nishina Y., там же, 869 A929); см. также Татт I. // Z. f. Phys. 62, 545 A930). 5. См., например, Weinberg S. Gravitation and Cosmology. Wiley, N.Y., 1972. § 4.11. 6. В качестве хорошего введения в геометрию и топологию р-форм рекомендуем Flanders H. Differential Forms. Academic Press, N.Y., 1963. 7. West Т. II Comput. Phys. Commun. 77, 286 A993). 26 С.Вайнберг. T.I
Гл а в а 9 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ПУТЯМ В главах 7 и 8 мы применили формализм канонического оператор- операторного квантования при выводе правил Фейнмана для целого ряда тео- теорий. Во многих случаях, таких как, например, скалярное поле с источ- источником как в § 7.5 или векторное поле с нулевой или ненулевой массой, каноническая процедура, являясь последовательной, выглядит тем не менее неестественно. Оказалось, что гамильтониан взаимодействия содержит ковариантное слагаемое, равное слагаемому в лагранжи- лагранжиане, соответствующему взаимодействию, взятому с противоположным знаком, плюс нековариантное слагаемое, которое позволяло сократить нековариантные слагаемые в пропагаторе. В случае электродинамики это нековариантное слагаемое (кулоновская энергия) оказывается не только локальным в пространстве, но и локальным во времени. И все же окончательные результаты довольно просты: правила Фейнмана те же, что мы получили бы с ковариантными пропагаторами, исполь- используя для вычисления вершинных вкладов слагаемое лагранжиана, со- соответствующее взаимодействию, взятое с противоположным знаком. Трудности при получении этих простых результатов, бывшие уже до- достаточно заметными в теориях, рассмотренных в гл. 7 и 8, становятся слишком значительными в более сложных теориях, как, например, неабелевы калибровочные теории, которые будут рассмотрены в т. II, а также общая теория относительности. Гораздо более предпочтитель- предпочтительным являлся бы метод вычислений, который приводил бы напрямую от лагранжиана к правилам Фейнмана в их окончательной, лоренц- инвариантной (ковариантной) форме. К счастью, такой метод существует. Он предлагается в рамках под- подхода к квантовой механике с точки зрения функционального инте- интегрирования (или интегрирования по путям). Этот подход был впер- впервые представлен в контексте нерелятивистской квантовой механики в докторской диссертации Фейнмана в Принстоне [1] как способ на- напрямую работать с лагранжианом, а не с гамильтонианом. В этом аспекте работа Фейнмана была развитием идеи, высказанной в более ранней работе Дирака [2]. Подход с использованием интегрирования по путям стал частью (наряду с возникшей догадкой) будущего вы- вывода Фейнманом правил диаграммной техники [3]. Однако несмотря на то что диаграммы Фейнмана стали широко используемым инстру- инструментом в 1950-х годах, многие физики (включая меня) стремились вывести их, используя операторные методы Швингера и Томонаги, которые, как показал Дайсон в 1949 г., должны приводить к диа-
Гл. 9. Методы интегрирования по путям 403 граммным правилам, аналогичным полученным Фейнманом своими собственными методами. Подход с помощью функционального интеграла привлек к себе внимание с новой силой в конце 1960-х годов, когда Фаддеев и По- Попов [4], а также де Витт [5] показали как его применить к неабеле- вым калибровочным теориям и к общей теории относительности. Для большинства теоретиков переломный момент наступил в 1971 г., когда 'т Хофт [6] применил методы функционального интегрирования при выводе правил Фейнмана для спонтанно нарушенных калибровочных теорий (обсуждающихся в т. II), включая, в частности, теорию сла- слабых и электромагнитных взаимодействий, в калибровке, в которой поведение этих теорий в пределе высоких энергий становится про- прозрачным. Вскоре после этого было открыто, что метод функциональ- функционального интегрирования позволяет нам принимать во внимание вклады в 5-матрицу, которые имеют существенную сингулярность при нуле- нулевой константе связи и, таким образом, не могут быть получены ни в каком конечном порядке теории возмущений (что также обсуждается в т. II). Благодаря этому методы функционального интегрирования, описанные здесь, стали незаменимой частью инструментария каждого физика, использующего квантовую теорию поля. В этом месте читатель может задаться вопросом, почему, если ме- метод функционального интегрирования так удобен, мы потратили вре- время в гл. 7 на введение канонического формализма. Действительно, Фейнман ведь, поначалу казалось, считал свой подход с использова- использованием интегралов по путям альтернативой обычной канонической фор- формулировке квантовой механики. И все-таки есть две причины, чтобы начинать с канонического формализма. Первая — это вопрос прин- принципа: несмотря на то что формализм функционального интегриро- интегрирования обеспечивает нас явно лоренц-инвариантными диаграммными правилами, он не проясняет, почему 5-матрица, вычисленная таким способом, унитарна. Насколько я знаю, единственный способ пока- показать, что формализм функционального интегрирования дает унитар- унитарную 5-матрицу, это использовать его для реконструкции каноническо- канонического формализма, в котором унитарность 5-матрицы очевидна. Здесь присутствует некоторый закон сохранения неприятностей; мы можем использовать канонический подход, в котором унитарность очевид- очевидна, а лоренц-инвариантность неясна, или подход с использованием интегралов по путям, который явно лоренц-инвариантен, но далек от явной унитарности. Так как подход с использованием континуального интегрирования выводится здесь из канонического формализма, мы знаем, что оба подхода дают одну и ту же 5-матрицу, таким образом 5-матрица должна быть и лоренц-инвариантной и унитарной. Вторая причина того, что сначала вводится канонический фор- формализм, более близка к практике: существуют важные теории, в ко- которых простейший вариант метода функционального интегрирова- 26*
404 Гл. 9. Методы интегрирования по путям ния Фейнмана, в котором пропагаторы и вершины взаимодействия берутся прямо из лагранжиана, приводит к неправильным резуль- результатам. Одним из примеров является нелинейная сг-модель с лагран- жевой плотностью ?? = —&к1(Ф)д[лфкд^ф1. В таких теориях, напря- напрямую используя правила Фейнмана, выведенные прямо из лагранжевой плотности, мы получили бы 5-матрицу, которая оказалась бы не толь- только неправильной, но даже не унитарной, причем ответ зависит от того, как мы определяем скалярное поле [7] В этой главе мы выве- выведем формализм функционального интегрирования из канонического формализма, и попутно мы увидим, что простейший вариант метода интегрирования по путям Фейнмана необходимо расширить, включая в него дополнительный класс вершин. § 9.1. Основная формула интегрирования по путям Мы начинаем с общей квантово-механической системы с эрмито- эрмитовыми операторами "координаты" J2a и сопряженного ему "импуль- "импульса" Pfr, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотноше- соотношениям 1): [?a,Pb}=i6ab, (9.1.1) [?а,?ь] = [Ра,Ръ} = 0. (9.1.2) (В этом и в следующих трех параграфах мы ограничимся бозонными операторами, которые удовлетворяют коммутационным, а не анти- антикоммутационным соотношениям. Наши результаты будут обобщены на включение в рассмотрение фермионных операторов в § 9.5.) В тео- теории поля индекс а включает вектор положения в пространстве х и дискретный лоренцевский и групповой индекс т. Таким образом, мы можем условно записать ~^х,га = ~Лтг(х,Ь (9.1.о) Рх,т = Рт(х). (9.1.4) Символ Кронекера "дельта" в формуле (9.1.1) интерпретируется в тео- теории поля как ?x,m;y,n = ?3(x-y)(W (9.1.5) Однако пока будет удобнее использовать более компактные обозна- обозначения из выражений (9.1.1) и (9.1.2). Это операторы в "представле- г) Мы подразумеваем здесь, что все связи первого рода уничтожаются при выборе калибровки, а все оставшиеся связи второго рода "разрешаются" при написании связных степеней свободы в терминах несвязных ?}а и Ръ, как в § 7.6. Прямое применение методов функционального интегрирования к системам со связями описывается Фаддеевым [8].
§9.1. Основная формула интегрирования по путям 405 нии Шредингера", взятые при фиксированном времени (скажем, при t = 0). Зависящие от времени операторы в представлении Гейзенберга будут рассмотрены ниже. Так как все =2а коммутируют, мы можем найти единовременное собственное состояние \q) с собственными значениями qa: ?a\q) = qa\q)- (9.1.6) (Здесь мы используем маленькие q и р для обозначения собственных значений, а не операторов в представлении взаимодействия, как в гл. 7, но, поскольку мы не будем использовать представление взаимо- взаимодействия в этой главе, никакой путаницы не возникнет.) Собственные векторы могут быть выбраны ортонормированными, (q'a-qa)=5tf-q), (9.1.7) так что соотношение полноты запишется в виде 1 = Аналогичным образом мы можем найти полный ортонормированный набор собственных состояний Ра: Ра\р)=Ра\р), (9.1.9) а 1 = jY[dpa\p){p\. (9.1.11) а Как обычно, из соотношения (9.1.1) следует, что для этих двух полных наборов собственных состояний можно определить скалярное произ- произведение2) — ТТ pxn(V*7 r> ) (Q 1 12) В представлении Гейзенберга операторам ^иР соответствуют опе- операторы, зависящие от времени: ДД?) = ехр(гЯ?) Д, ехр(-гЯ?), (9.1.13) Pa(t) = exp(iHt)Pa ехр(-гЯ?), (9.1.14) 2) Доказательство следует той же схеме, что и в квантовой механи- механике точечных частиц. Из соотношения (9.1.1) мы видим, что Ръ действует как —id/dqb на волновые функции в g-базисе. Тогда правая часть выраже- выражения (9.1.12) рассматривается как волновая функция собственного состоя- состояния Р в этом базисе. Множитель J\ 1/л/2тг фиксируется в результате тре- требования выполнения нормировочного условия (9.1.10).
406 Гл. 9. Методы интегрирования по путям где Н — полный гамильтониан. Операторы в представлении Гейзен- берга имеют собственные состояния \q;t) и |р;?), ?a(t)\q]t)=qa\q;t), (9.1.15) Pa(t)\p;t)=pa\p;t), (9.1.16) определяемые следующими выражениями \q;t)=exp(iHt)\q), (9.1.17) \p;t) =exp(iHt)\p). (9.1.18) (Заметим, что \q;t) есть собственное состояние =2а(?) с собственным значением qa, а не результат того, что состояние \q) меняется во вре- времени. Именно поэтому его зависимость от времени задается множи- множителем exp(ii^t), а не exp(-iHt).) Эти состояния очевидным образом удовлетворяют условиям полноты и ортонормированности: {q';t\q;t) = S(q'-q), (9.1.19) (p';t\p;t) = 6(p'-p), (9.1.20) fY[dQa\q;t){q;t\ = l, (9.1.21) /П dPa\p;t){p;t\ = l, (9.1.22) а также ~ 1 О- (9.1.23) Если в результате измерений в момент времени t мы обнаружим, что наша система находится в определенном состоянии \q;t), тогда ампли- амплитуда вероятности получения состояния \q'\ t') при измерении в момент времени t' равна скалярному произведению (qf; tf\q; t). Наша основная динамическая задача — вычислить это скалярное произведение. Это просто, если моменты времени t' и t бесконечно близки, tl — т + dr и t = т. Используя равенство (9.1.17), имеем (g'jT + drlgrjr) = (qf;r\exp(-iHdr)\q;r). (9.1.24) Гамильтониан Н задается как функция i?(«=S, P), но поскольку (9.1.13) и (9.1.14) являются преобразованиями подобия, а Н коммутирует сам с собой, он может быть с таким же успехом записан как та же функция от B(i) и P(t): Н = Н(?, Р) = eiHtH{?, P)e~iHt = H(?(t),P(t)). (9.1.25) Эта функция может быть переписана в различных формах, с различ- различными коэффициентами, с использованием коммутационных соотно- соотношений (9.1.1) и (9.1.2) для переноса J2 и Р друг через друга. Будет
§9.1. Основная формула интегрирования по путям 407 удобно придерживаться стандартной формы, в которой все ?} оказы- оказываются слева от всех Р. Например, если задано слагаемое гамильто- гамильтониана вида Ра^ьРс-> мы перепишем его как При такой договоренности Qa(t) в гамильтониане в (9.1.24) могут быть заменены3) своими собственными значениями q'a. Для того что- чтобы работать с P(t), мы используем выражение (9.1.23) для разложе- разложения |#;т) по собственным состояниям Р |р; т) и находим (qf;r-\-dr\q;r) = a (q(; т\ ехр(-г# (ЗД, Р(т)) dr)\p; т) (р; r\q; т) = = /П trехр \-ш^>р^dT a L где интегрирование ведется по каждому ра от — оо до оо. Обратимся теперь к более общему случаю, когда интервал време- времени конечен. Для того чтобы вычислить {q']t'\q]t), где t < t'', мы раз- разбиваем интервал времени от t до t' на маленькие интервалы между моментами времени ?, ti, Т2,..., гдг, ?;, где rfc+1 - rft = dr = (f - t)/(N + 1), (9.1.27) и суммируем по полному набору состояний \q]Tk) в каждый момент времени т\~\ = / dqi .. .dqN (q']t'\qN]TN) (<Ziv;TAH<ZiV-i;TN-i) • • • (qi]T~i\q]t). (9.1.28) С учетом равенства (9.1.26), эта формула записывается следующим образом: N -л г N f k=l a J lk=0 a х ехр г ^2 < ^2(qk,a - qk-i,a)Pk-i,a ~ H{qk,pk-1) dr И , (9.1.29) I- jfe=l ^ a ^ -I где qo = q, qN+1=q'. (9.1.30) 3) Это возможно только потому, что, поскольку dr бесконечно мало, ехр(—гН dr)линейно по Н.
408 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Наш результат, формула (9.1.29), может быть записана в гораз- гораздо более элегантной форме. Определим гладкие интерполяционные функции q(r) и р(т) такие, что qa(rk) = qk,aj pa(rk) = pkiu. (9.1.31) В пределе dr —> 0 (т.е. N —У оо) выражение в показателе экспоненты в формуле (9.1.29) становится интегралом по т: 7V+1 7V+1 . . Е \ Е^ ~ Як-1,а)Рк-1,а ~ H{qk,pk_i) dT \ к=1 ^ а * 7V+lr . k=l ^ a > O(dr2) ) Г 1 dr. (9.1.32) I'—' J t Далее, мы можем определить интегралы от функций д(т), р(т) по- посредством т, Ъ к,а к,Ь Выражение в правой части формулы (9.1.29) становится интегралом с фиксированным началом и концом пути: :>х (9.1.34) Это выражение называется интегралом по путям, поскольку мы про- проинтегрировали по всем путям, которые приводят q(r) из положения q при г = t в положение q' при т = t', так же как и по всем р(т). Огромное преимущество такого способа записи матричных элемен- элементов заключается в том, что, как показано в § 9.3, интегралы по путям можно легко вычислить, раскладывая их по степеням константы свя- связи в Н. Формализм интегрирования по путям позволяет нам вычислить не только амплитуды вероятности перехода, такие как (q';t'\q;t), но и матричные элементы между состояниями (q';t'\ и \q;t) для произ- произведений произвольных операторов 6{P(t\ =2(?)), упорядоченных по времени. Будет удобно определить эти операторы (в противополож-
§9.1. Основная формула интегрирования по путям 409 ность тому, как было определено #)так, чтобы все Р стояли слева, а все ?И — справа. Далее вставляя любой такой оператор б\Р(г\ в выражение (9.1.26), имеем a <</;т\ ехр(-Ш(Щт),Р(т)) dr)\p; т) х х(р;тЩР(т),Щт))\д;т) = = / П ^Г Для того чтобы вычислить матричный элемент произведения операторов, где га > ^в > • • • •> мы можем вставлять {&)-операторы между соответствующими состояниями в формуле (9.1.28), исполь- используя при этом выражение (9.1.35). Например, если момент време- времени га попадает между т/. и r^+i, то вставим 6)а{Р{га)^{^а)) меж- между (#fc_|_i; Tfc+i | и \qk\Tk). Заметим, что в выражении (9.1.28) каждая последующая сумма по состояниям соответствует более позднему моменту времени, таким образом, это возможно лишь благодаря нашему предположению о том, что га > гв > • • • Следуя тем же ша- шагам, что и выше, находим теперь общую формулу интегрирования по путям: qa(t)=qa T'a Т>Ь Qa(t')=q'a dri.J2Qa(r)Pa(r) - Н(д(т),р(т))\]. (9.1.36) Этот результат верен лишь в том случае, когда моменты времени упо- упорядочены: г' >Та>гв> ...>?. (9.1.37) Однако ничто в правой части формулы (9.1.36) не указывает на по- порядок временных аргументов. Интеграл по путям, представленный в правой части формулы (9.1.36) с моментами времени га, гв, ... в про- произвольном порядке, будет равняться матричному элементу в левой части формулы (9.1.36), но только с операторами, упорядоченными (слева направо) по убывающему времени. Таким образом, для момен-
410 Гл. 9. Методы интегрирования по путям тов времени га, ?#, ... в произвольном порядке, мы имеем (q1, t'\T{ffA{P{tA), g(tA)), ffB{P{tB),mB)),.. .}\q; t) = qa(t)=qa Qa(t')=q'a (9.1.38) где Т обозначает обычное упорядоченное по времени произведение. Следует, наверное, подчеркнуть, что с-числовые (т.е. классиче- классические) функции да(т), ра(т) в формуле (9.1.38) — простые переменные интегрирования и, в частности, не обязательно должны удовлетво- удовлетворять уравнениям движения классической гамильтоновой динамики: Ш + = 0 (9Л40) Oqa (т) (По этой причине гамильтониан H(q(r),p(r)) в формуле (9.1.38) не является постоянным по г.) Тем не менее в некотором ограниченном смысле интегралы по путям удовлетворяют этим уравнениям движе- движения. Предположим, что одна из функций в формуле (9.1.38), ска- скажем @а(рA а) 1 q(tа)) оказывается левой частью одного из уравнений (9.1.39) или (9.1.40). Отмечаем, что (для t <tA< t') Ua (pa{tA) ~ где il — показатель экспоненты из формулы (9.1.38): I[q,p] = / drl 22(qa(r)pa(r) - H(q(r),p(r)) >. J V J t a До тех пор пока га достаточно далеко от t и t', интегрирования по qa(r) и ра(т) не ограничены, и, таким образом, поскольку исходные предположения о сходимости этих интегралов достаточно обоснован- обоснованны, интеграл от таких вариационных производных должен обращать- обращаться в нуль. Следовательно, интеграл по путям (9.1.38) обращается в нуль, если &A(p,q) берется в качестве левой части одного из урав- уравнений движения: (9.1.39) или (9.1.40). Это простое правило применимо лишь в том случае, если пере- переменные интегрирования qa(tA)i Ра{^А) не зависят от других перемен-
§9.1. Основная формула интегрирования по путям 411 ных qa(tB), Ра{^в) и т.д., появляющихся в любых других функциях бв-, б с и т.д. в формуле (9.1.38), и, следовательно, если мы запрещаем га приближаться к ?#, tc и т.д., также как и к t или t'. Когда га при- приближается, скажем, к ?#, интеграл по путям дает отличный от нуля член, пропорциональный 8{га — гв) или ее производным. Эти дельта- функции те же самые, что мы нашли бы в операторном формализме из производных по времени от ступенчатых функций, подразумевае- подразумеваемых в определении упорядоченного по времени произведения. При вычислении интегралов по путям (9.1.34) и (9.1.38) нам необ- необходимо знать лишь классический гамильтониан, с-числовую функ- функцию H(q,p). Если мы определяем теорию посредством интегралов по путям, естественным образом возникает вопрос, какой из многих воз- возможных квантово-механических гамильтонианов i?(«=S, Р) (различаю- (различающихся порядком =2иР) определяет квантовую теорию, соответствую- соответствующую этим интегралам по путям. Наш вывод дает ответ на этот вопрос: в квантовом гамильтониане все J2 должны быть слева, а Р — справа. Но было бы ошибкой придавать этому предписанию слишком большое значение. Существует огромное множество способов интерпретации меры входящей в интегралы по путям (9.1.34) и (9.1.38). Наше предписание ставить все J2 слева, а Р — справа имеет место лишь в том случае, если мера интерпретируется согласно выражениям (9.1.31)-(9.1.33). Другие меры привели бы к иным предписаниям для упорядочивания операторов. Этот вопрос не является существенным на данном этапе, поскольку различные прескрипции для упорядочивания операторов в гамильтониане соответствуют различным выборам констант, игра- играющих роль коэффициентов перед различными членами в гамильтони- гамильтониане, а мы формулируем теории в общем виде, оставляя эти константы произвольными параметрами. Достаточно сложно использовать общий интеграл по путям в фор- формуле (9.1.38) для численных расчетов или как источник строгих тео- теорем. Для этих целей удобнее использовать метод интегрирования по путям для вычисления амплитуд в евклидовом пространстве, где t заменяется мнимой величиной —гж4, а значение аргумента экспонен- экспоненты в формуле (9.1.38) отрицательно и действительно. Таким образом, "скачущие" пути, дающие быстрые осцилляции подынтегрального вы- выражения от одного пути к другому, будут экспоненциально подавлять- подавляться. Хотя мы не будем вдаваться в это рассмотрение здесь, кванто- квантовая теория поля может быть изначально сформулирована в терминах фейнмановских амплитуд в евклидовом пространстве—времени [8а]. При определенных правдоподобных предположениях возможно ре- реконструировать фейнмановские амплитуды в пространстве-времени Минковского по соответствующим им в евклидовом пространстве- времени [8Ь]. Но мы также можем придерживаться формулировки
412 Гл. 9. Методы интегрирования по путям интеграла по путям в пространстве Минковского, если мы собираем- собираемся использовать его лишь для вычисления фейнмановских амплитуд в теории возмущений. § 9.2. Переход к 5-матрице Как уже упоминалось, мы легко можем преобразовать общие кван- тово-механические результаты §9.1 так, чтобы они соответствовали квантовой теории поля, позволяя индексу а пробегать значения, от- отвечающие точкам х пространства и спин-групповому индексу т, и заменяя ДД?) и Pa(t) на =2т(х,?) и Рт(х,?) соответственно. Формула (9.1.38) записывается тогда следующим образом1): , t'\T{0A(P(tA), Щга)), 0B(P{tB),J2{tB)),.. .}\q; t) = . / \ TT dpm(x,r) dqm(x,r) [[ ^ t' ... exp [г j dAj Sx J2 «m(x,r)pm(x,r)-#[g(r),p(r)] |1. (9.2.1) L ^ k m ) J Однако формула (9.2.1) не совсем то, что мы хотим иметь в качестве инструмента теории поля. Экспериментаторы измеряют не амплиту- амплитуды вероятностей переходов между собственными состояниями (q',t'\ и \q,t) для квантового поля J2, а скорее, элементы 5-матрицы, ам- амплитуды вероятностей переходов между состояниями, которые при t —у — оо или t —> +оо содержат определенное число частиц различ- различных типов. Эти состояния называются "in" и "out" состояниями, |а, in) и |/3,in), где а и /3 обозначают наборы частиц, обладающих различ- различными импульсами, ^-компонентой спина (или спиральностью) и цве- цветовым индексом. Для того чтобы вычислить матричный элемент упо- упорядоченного по времени произведения (возможно, пустого) между такими состояниями, нам необходимо умножить формулу (9.2.1) на "волновые функции" (f3,out\q',t') и (q,t\a,in) в некоторые фиксиро- фиксированные моменты времени t и t', в качестве которых здесь для удоб- удобства выбирается — оо и +оо соответственно. Далее необходимо проин- проинтегрировать по "аргументам" #ш(х) и Qm(x) этих волновых функций. Но вместо того чтобы ограничивать интеграл по путям по #ш(х, т) 1) Мы будем теперь писать Н и б с квадратными скобками, чтобы под- подчеркнуть тот факт, что H[q(t),p(t)] и &[q(t),p(t)] являются функционалами от gm(x,t) и рт(х, ?) при фиксированном времени t.
§9.2. Переход к S'-матрице 413 условиями gm(x, +00) = <4(х), <?т(х, -00) = gm(x), (9.2.2) а затем интегрировать по q'm (x) и qm (x), мы можем проинтегрировать без этого ограничения по дт(х,т) (и по рт(х,т)), а затем поставить в качестве аргументов волновых функций их значения, определяе- определяемые (9.2.2): (P(tJ(t)) 0(P(t)?(t)), • • -}|а; in) = dqm(K,r) Д ...ехр г / <Ы / d3x^<7m(x, L v оо m х (/?, out|^(+oo); +00) (^(-00); -оо|а, in). (9.2.3) В данном случае этот результат сразу2) приводит к выражению F.4.3), теореме, которую мы неоднократно использовали при установ- установлении соответствия между суммами диаграмм Фейнмана вне массо- массовой поверхности и матричными элементами операторов в представ- представлении Гейзенберга между точными энергетическими состояниями. Теперь необходимо рассмотреть процедуру вычисления волновых функций, представленных в качестве последней пары множителей в правой части выражения (9.2.3). Давайте сначала рассмотрим про- простейший и самый важный случай, а именно вакуум. (Мы убедились 2 ) Необходимо лишь отметить, что для гамильтониана ^2 f d3x ел(х, t)^A(x, t) A J ^-матрица дается выражением (9.2.3) в виде т,х,т Г 7 (г ехр г / dr< / Лдт(х,фто(х,г) - Я[д(г),р(г)] - х р \_ — 00 х (/3, out|g(+oo); +00) (g(—00); — oo|a, in). Левая часть выражения F.4.3) является производной от этого выражения по ба, бь и т.д. при 6 = 0, что дает правую часть выражения (9.2.3), и, учи- учитывая (9.2.3), получаем уже правую часть выражения F.4.3).
414 Гл. 9. Методы интегрирования по путям в § 6.4 в том, что элементы 5-матрицы могут быть легко получены из вакуумных средних от упорядоченных по времени произведений.) Как обычно, предполагаем, что для моментов времени t —у =Ьоо взаи- взаимодействие отсутствует, т.е. матричные элементы в эти моменты вре- времени могут быть вычислены без учета взаимодействия. "In" и "out" вакуумные состояния могут, таким образом, быть определены усло- условиями ain(p,a,n)|VAC,in) = O, aout(p,a,n)|VAC,out) = 0, l ' ' ] где а-ш и aout — операторы, появляющиеся в коэффициентах перед ехр(гр • х) в разложении по плоским волнам оператора J2m(x,?) при t —> оо at —>- +оо соответственно. Например, для действительного ска- скалярного поля нейтральных бесспиновых частиц мы в результате по- получаем , t) *^o° Bтг)-3/2 / d3p BE)-1/2[a in (p)e*-* + Н.с], (9.2.5) J out -гBтг)-3/2 х / in (p)eip-x - Н.с], (9.2.6) /¦ где р° = Е = л/р2 + т2. Здесь мы используем общепринятые для ска- скалярного поля обозначения Ф и П вместо JhP соответственно, а так- также мы опускаем ненужные здесь индексы ттг, сг, п. Производя обратное фурье-преобразование и взяв линейную комбинацию получающихся выражений, имеем a in (p) = out Как упоминалось в §9.1, "импульс" П(х,?) действует на волновые функции в ^-базисе как вариационная производная —iS/Scfrfat). Та- Таким образом, в этом базисе условия (9.2.4) выглядят следующим об- образом: 0 = I Ае"^[^ + Я(р№(х)]@(х);тоо|УАС,ой)- (9.2.8) Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет хо- хорошо известное гауссово решение. Таким образом, попробуем здесь гауссов анзац: (i|) (9.2.9) с ядром $ и константой JV, которые надо определить. Подставляя (9.2.9) в выражение (9.2.8), видим, что функциональное дифферен-
§9.2. Переход к S'-матрице 415 циальное уравнение для вакуумного волнового функционала удовле- удовлетворяется, если для всех ф О = I?xe~ipx[Id3y S(х,у)ф{у) - Е(р)ф(х)], (9.2.10) или, другими словами, если d3x e-ip-x«^(x, у) = E(p)e~ip-y. (9.2.11) Решение легко находится обращением преобразования Фурье: <?(х,у) = Bтг) fd3pe-ip-{x-^E(p). (9.2.12) (Напомним, что Е(р) = л/р2 + т2.) Это наиболее удобное для исполь- использования представление для ядра <?, но, можно отметить, что при х ^ У <# может быть также записано в терминах функции Ганкеля отрица- отрицательного порядка: ?Л) (9-2ЛЗ) где г = |х — у|. Константа JV из (9.2.9) может быть формально полу- получена из условия нормировки вакуумного состояния, но этот результат нам не потребуется. Согласно анзацу (9.2.9) при вычислении вакуумных средних в тео- теории скалярного поля произведение двух последних множителей в вы- выражении (9.2.3) равно (VAC, out|0(oo); +oo) @(-oo); -oo|VAC, in) = , +оо) + ф(к, -оо)ф(у, -оо)]) = (-±ej exp(-±ejd3xd3y I dr?{-к, — ОО (9.2.14) где б — положительная инфинитезимальная величина. Для получения окончательного выражения мы использовали тот факт, что для любой разумной гладкой функции /(г) оо /(+оо) +/(-оо) = lime [ dr /(т)е-б1т1 (9.2.15)
416 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Подстановка (9.2.14) в (9.2.3) теперь дает (\AC,out\T{0A[Il(tA),>f>(tA)},0B[n(tB),$(tB)},.. .}\VAC,in) = т,х т,х оо [оо i Г drU d3x 0(х, т)тг(х, г) - Н[ф(т),тг(т)] + . (9.2.16) Мы увидим в § 9.4, что за счет последнего члена в аргументе экспонен- экспоненты в выражении (9.2.16) в знаменатель пропагатора скалярного поля в импульсном пространстве добавляется —ге, [р2 + тп2 — ге]. Мы не будем вдаваться в детали того, что будет в соответствующем случае для полей со спином. Просто сформулируем результат для общего случая: <VAC,out|T{<?,i[n(«,i), Ф((л)], <?в[П((в), Ф((в)],. ¦ .}|VAC,in) = X 0A\p(tA),q(tA)]0B\p(tB),q(tB)} .. . [ОО i drl d3x ^^m(x,r)pm(x,r) — оо m - H[q(r),p(r)} + ге-членыИ , (9.2.17) где ге-члены как раз обеспечивают добавление правильного слагаемо- слагаемого —ie в знаменатели всех пропагаторов. Самое время отметить, что не зависящие от поля множители в (9.2.17), такие как константа \<Ж\ , несущественны вследствие то- того, что эти множители дают вклад также и в матричный элемент (VAC,out|VAC,in). При вычислении связной части вакуумных сред- средних упорядоченных по времени произведений (или 5-матрицы), мы избавляемся от вклада несвязных поддиаграмм, соответствующих вакуумным флуктуациям, путем деления на (VAC,out|VAC,in), и любые постоянные множители в вакуумных средних сокращаются. Мы могли бы продолжить и рассчитать матричные элементы меж- между многочастичными состояниями, вставляя соответствующие "вол- "волновые функционалы" в выражение (9.2.3). Эти функционалы могут быть получены в результате применения операторов, сопряженных операторам уничтожения, таким как (9.2.7), к вакуумному состоянию;
§9.3. Лагранэюева версия формулы интегрирования по путям 417 так же как и для гармонического осциллятора эти волновые функци- функционалы оказываются произведениями полиномов Эрмита по полю и вакуумного гауссиана. Нам не приходится проводить подробного рас- рассмотрения всего этого здесь, поскольку в § 6.4 было показано, что все, что нам нужно, чтобы вычислить 5-матрицу, — это вакуумные сред- средние (9.2.17). § 9.3. Лагранжева версия формулы интегрирования по путям Интеграл в экспоненте из выражения (9.1.38) или (9.2.17) выгля- выглядит как лагранжиан L, соответствующий гамильтониану Н. Это ка- кажущееся сходство, поскольку здесь "импульсы" pa(t) или pn(x,t) — независимые переменные, пока еще не связанные с qa(t) или с gn(x, t), или с их производными. Однако существует большой и важный класс теорий, в которых интеграл по "импульсам" может быть вычислен при замене их значениями, диктуемыми каноническим формализмом. В этих теориях интеграл в экспоненте из интеграла по путям действи- действительно является лагранжианом. Такими теориями являются теории с гамильтонианом, квадратич- квадратичным по "импульсам" — на языке теории поля: (9.3.1) где А — действительная, симметричная, положительная и несингуляр- несингулярная матрица. Аргумент экспоненты в формуле (9.2.17) тогда квадра- квадратичен по р: пт -Y, f d3x JdT^Txn[g]pn(x,T) -Щд], (9.3.2) П где ^rxn,r'ymM = 4n,ym[?W]i(T - r'), (9.3.3) ^rxnM = Bxn[gf(r)] - qn{^r), (9.3.4) nq}=JdrC[q(r)}. (9.3.5) 27 С.Вайнберг. T.I
418 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Теперь в общем случае интеграл от экспоненты от квадратичного вы- выражения, такого как (9.3.2), будет пропорционален экспоненте, вы- вычисленной в стационарной точке ее аргумента. Для конечного числа действительных переменных ^s эта формула записывается так: ехр|-г ± sr s (9.3.6) где ? — стационарная точка, Y~1)sr@r- (9.3.7) (Вывод этой формулы представлен в приложении к этой главе.) Сле- Следовательно, для 6а-, ^в и т.д. из формулы (9.2.17), не зависящих от р, для таких гамильтонианов мы можем вычислить интеграл по путям по р в формуле (9.2.17), заменяя эти переменные их значениями в ста- стационарной точке квадратичного выражения в показателе экспоненты. Но вариационная производная этого квадратичного выражения есть (X) -—j—у / driy I d3x<?n(x,r)pn(x,r) -H[q(r),p(r)] + ге-членыj = (Здесь ге-члены зависят только от q.) Таким образом, стационарным значением j)n(x, t), при котором это выражение обращается в нуль, яв- является именно то значение, которое определяется канонической фор- формулой При pn(x,t), равном этому значению, аргумент экспоненты в форму- формуле (9.2.17) превращается в обычный лагранжиан: L[q(r),q(T)] = J d3x (?„(х,г)р„(х,г) - H[q(T),р(т)}) (9.3.9) и мы можем переписать формулу (9.2.17) следующим образом: [оо г I [ с 1 г I dr {L[q(r),q(r)] + ге-члены} . (9.3.10)
§9.3. Лагранэюева версия формулы интегрирования по путям 419 (Мы включили множители 1/Bтг) в интегралах по рп в детерминант из выражения (9.3.6).) Это и есть желаемая лагранжева формула ин- интегрирования по путям. При выводе формулы (9.3.10) мы требовали независимости опера- операторов &А-, @в и т.д. от канонических "импульсов". Это требование не такое строгое, как это может казаться. Например, в скалярной теории поля, в которой каноническим сопряженным Ф является П = Ф, мож- можно вычислить матричный элемент упорядоченного по времени произ- произведения операторов, одним из которых является Ф(?). Для этого мож- можно взять разность матричных элементов, в которых этот оператор заменяется на Ф(? + dr) и Ф(?), а затем разделить на dr и перейти к пределу dr —у 0. Точно также, если t не равен ни одному из других временных аргументов оператора в выражении (9.3.10), мы можем просто дифференцировать выражение (9.3.10) по t. Единственная остающаяся сложность в формуле (9.3.10) — это де- детерминант ?/[q]. Если ?/[q] не зависит от поля, тогда проблемы нет: мы уже упоминали, что общие постоянные множители не дают вкла- вклада в связные части вакуумных средних, в которых мы всегда делим на амплитуду взаимодействия вакуум-вакуум, пропорциональную то- тому же постоянному фактору. Именно такая ситуация имеет место в теории с набором скалярных полей Фп, взаимодействующих между собой и с внешними токами Jn. Лагранжева плотность в этом случае равна = ~ 12 [I Очевидное обобщение результатов § 7.5 от случая одного скалярного поля на случай нескольких взаимодействующих через производные скаляров показывает, что такой лагранжиан приводит к следующему гамильтониану: Зп ¦ УФ„ + Jn°Un + \ (Jn0J] + I d3x У (Фп считаются действительными скалярами, но случай комплексных скаляров может быть рассмотрен посредством разделения на действи- действительную и мнимую части скаляра.) В общем случае имеется нетриви- нетривиальный член, линейный по Пп, но коэффициент перед квадратичным членом постоянный, это просто единичная "матрица": &*хп,х'п' — О \Х — X Hnni . Множитель (Det[4i7r^[^]])~1//2 в формуле (9.3.10), теперь не завися- зависящая от поля постоянная, и поэтому не вносит никаких эффектов. 27*
420 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Однако не всегда все так просто. В качестве второго примера рас- рассмотрим так называемую нелинейную сг-модель с лагранжевой плот- плотностью хФпдхФт[5тп + итп(Ф)] - У( Прямым вычислением для гамильтониана получаем Я = Jd3x [i П„A \ УФ„ ¦ УФгаA + и(Ф))пт Здесь я/ — зависящая от поля величина В случаях такого типа детерминант может быть представлен как вклад в эффективный лагранжиан с использованием соотношения Det^ = expTrln^. Заменяя континуум положений в пространстве дискретной решеткой точек, окруженных разделенными областями очень маленького объема П, мы можем интерпретировать дельта- функцию в выражении для ?^пх,ту как 54(х — у) = Q~1SXiy. Таким образом, (ЬейОпя.тз/ = ^,з/[1пA + и(Ф(х))) - 1 где логарифм от матрицы определяется через его разложение в сте- степенной ряд: 2 3 Для вычисления следа заметим, что ^... = П~1/б?4ж... Детерми- X нантный множитель таким образом есть Det^/ ос exp^-ft-1 f d4x trln[l + ?7(Ф(ж))]], где "tr" должно пониматься как след в обычном матричном смыс- смысле. Коэффициент пропорциональности (который возникает из члена с — 1пП) не зависит от полей и, таким образом, выходит за пределы обсуждаемых вопросов. Мы можем рассматривать этот детерминант как поправку к эффективной лагранжевой плотности AJ^ = —гп'1 tr 1п[1 + и(Ф(х))]. Множитель П может быть выражен через интеграл с ультрафиоле- ультрафиолетовой расходимостью: -1 =5\x-x) = Bn)-4 fd4p-l.
§9.3. Лагранэюева версия формулы интегрирования по путям 421 Мы не будем демонстрировать здесь тот факт, что дополнительные члены в фейнмановских диаграммах для данной теории, получаемые из AJ^f, могли бы быть также выведены в каноническом формализ- формализме, если принять во внимание одновременные коммутаторные члены в пропагаторе производных по времени скалярного поля [7]. Без учета этой поправки мы получим, что 5-матрица зависит от того, как опре- определено скалярное поле, и не согласуется с симметриями лагранжиана относительно преобразований скалярных полей. Даже там, где множитель (Det&/)~1/2 в формуле для интеграла по путям (9.3.10) не зависит от полей, лагранжиан в этой формуле не всегда такой же, как тот, с которого мы начали. В качестве приме- примера рассмотрим теорию нескольких действительных векторных полей с лагранжевой плотностью \ (д,АпХ - дхАп,)(д»Апх - дхАп») + + 1 т2п АпХАпх + JnxAnX\, где JnM — либо внешние с-числовые (т.е. классические) величины, ли- либо величины, зависящие от других полей (в этом случае в лагранжиан надо добавить члены, описывающие эти поля). В результате неслож- несложного обобщения результатов § 7.5, мы видим, что гамильтониан равен снова с поправкой на то, что необходимо добавить члены с поля- полями, входящими в J/. Здесь коэффициент при квадратичном члене несколько более сложный, чем в нашем первом примере: 5*(x ~ у) ~ но он не зависит от полей и, таким образом, никак не влияет на от- ответ. С другой стороны, лагранжиан (9.3.9) не совпадает здесь с тем, с которого мы начали; он полностью выражается через поле А и его пространственно-временные производные, а зависимость от времен- временной компоненты А0 отсутствует. Поэтому лоренц-инвариантность вы- выражения (9.3.10) далека от того, чтобы быть очевидной. Для исправления этого недостатка, мы можем заново ввести вспо- вспомогательное поле. Предположим, мы добавили к гамильтониану сла- слагаемое
422 Гл. 9. Методы интегрирования по путям и интегрируем по А^, а также по Ап и Пп. Это может привести лишь к дополнительному общему множителю, поскольку АН квадра- квадратичен по А0 (с коэффициентом, не зависящим от полей, перед слагае- слагаемым второго порядка по А0) и его стационарное значение обращается в нуль. Однако, предположим, что теперь мы интегрируем по Пп до того, как мы проинтегрируем по Ап. Гамильтониан в интеграле по путям (9.2.17) здесь заменяется на Я + АН = I d3x ? [I К + \ (V х АиJ + I m\K\ - П - \ т2п(А°пJ + Jn ¦ А„ - J°nA°n + A°nV ¦ П„]. Он по-прежнему квадратичен по Пп с не зависящим от полей коэф- коэффициентом перед квадратичным слагаемым. Поэтому интеграл по Пп может быть вычислен путем замены Пп его значением в стационарной точке функционала ^2 f сРхИ • Ап — Н — АН: При таком уничтожении Пп получаем, что ^2 f сРхИ- Ап — Н — АН — п лоренц-инвариантный лагранжиан, с которого мы начинали. Для того чтобы учитывать возможную необходимость включения вспомогательных полей, таких как А^, с этого момента после исклю- исключения канонически сопряженных величин мы будем записывать фор- формулу для интеграла по путям в терминах полей ф\, которые включают и канонические поля gn, и вспомогательные поля сг: (VAC,out\T{0A[9(tA)], 0в[Щв)], • • -}IVAC>in> « [оо г • 1 i / dr {Ь[ф(т), ф(т)] +ге-члены} , (9.3.11) J J — оо где подразумевается, что L включает все члены, возникающие из воз- возможно зависящего от полей множителя (Det^)~1//2. § 9.4. Вывод правил Фейнмана с помощью метода интегрирования по путям Теперь мы знаем все необходимое для вывода правил Фейнмана для широкого класса теорий. Мы сконцентрируем наше внимание на вакуумных средних упорядоченных по времени произведений поле-
9.4- Вывод правил Фепнмана с помощью метода интегрирования 423 вых операторов (и им сопряженных): м {ХАХВ ч _ (VAC,out|T№A(^)^(^)...}|VAC,in) miAiB..\xAxB...)- (VAC,out|VAC,in> ' ^ } Отсюда могут быть получены элементы 5-матрицы (как показано в §6.4) посредством замены конечных пропагаторов, соответствую- соответствующих каждому полю, функциями, которые являются коэффициентами при операторах рождения—уничтожения в соответствующих свобод- свободных полях, и путем суммирования по индексам этих функций. Для простых теорий, гамильтонианы которых квадратичны по П, выражение (9.3.11) дает X I Miaib..\XaXb • • •) = ~ где 1[ф] — действие ОО 1[ф] = Г dr {Ь[ф(т),ф(т)] + ге-члены}, (9.4.3) — оо где L включает теперь всевозможные слагаемые, возникающие из за- зависящего от полей детерминанта в формуле (9.3.10). Допустим теперь, что лагранжианом является интеграл от лагран- жевой плотности, содержащей квадратичное слагаемое J^o, которое имелось бы при отсутствии взаимодействия, плюс лагранжева плот- плотность, соответствующая взаимодействию ??\\ Ь[ф(т),ф(т)} = J (9.4.4) Таким образом, действие (9.4.3) есть 1[ф]=10[ф]+11[ф], (9.4.5) 10[ф]= I d4x^0D>(x),d^(x)) +гб-члены, (9.4.6) (9.4.7) Поскольку «5fo и "ге-члены" квадратичны по полям, мы можем всегда записать /q в обобщенной квадратичной форме: Ш = -\ f dixd*x'Yl®ix,Vx>Mx)tl>v(x'). (9.4.8) Например, для действительного скалярного поля массы m невозму-
424 Гл. 9. Методы интегрирования по путям щенный лагранжиан равен jjf0 = __ д^фд^ф ш2ф2, (9.4.9) а члены в /о, содержащие ге, задаются выражением (9.2.16) -ге Гdt I d3xd3x' ^(х.х')ф(хЛ)ф(х'Л). (9.4.10) Итак, здесь (9.4.11) (Мы опускаем множитель е~61г1 в "ге-членах", поскольку он опреде- определяет поправку высшего порядка по б.) Для того чтобы работать со взаимодействием, мы разложим экспоненту по степеням Д, оо ,N ехр(ЭД) = ехр(г а затем разложим 1\ по степеням полей. Общие интегралы, которые мы встретим в числителе и знаменателе выражения (9.4.2) имеют вид х1ЖЫ • • •, (9.4.13) где полевые множители гр1г (xi), гр12 (х2) и т.д. возникают из 1\ [ф] и/или из полевых множителей ф1А(хл) и т.д., изначально представленных в числителе выражения (9.4.2). При 1о[ф] в форме (9.4.8) интеграл (9.4.13) имеет ту же форму, что и интеграл, вычисленный в приложе- приложении к этой главе, причем дискретный индекс s заменяется парой знач- значков /, х. Таким образом, мы можем использовать формулы (9.А. 12) и (9.А. 15), что дает в данном случае П Нашпаренные поля- (9.4.14) всевозможные пары спаривания полей Это как раз равносильно правилам Фейнмана для вычисления чис- числителя выражения (9.4.2) в координатном представлении в их кова- риантной форме: мы разлагаем в ряд по взаимодействию Д, а по- потом суммируем по всевозможным способам спаривания полей в 1\ друг с другом и с полями Ф1а(ха) и т.д., где вклад каждого спари- спаривания задается пространственно-временным интегралом от произве- произведения коэффициентов, стоящих перед полями в 1\[ф] и произведения "пропагаторов" —гА, где Ahh(Xl,x2) = {@-l)hxl,hX2. (9.4.15)
9.4- Вывод правил Фепнмана с помощью метода интегрирования 425 (Множитель [Det(i^/B7r))]~1//2 в выражении (9.4.14) представляет со- собой вклад графов с неограниченным числом однопетлевых диаграмм, не прикрепленных к другим линиям. Но в любом случае этот множи- множитель сокращается в отношении (9.4.2).) Остается вычислить пропагаторы (9.4.15). Представим равенство (9.4.15) как интегральное уравнение -x3)Shh. (9.4.16) / h В отсутствие внешних полей, трансляционная инвариантность при- приведет к требованию того, чтобы @ было функцией только от разно- разности х\ — Х2- При этом эту функцию можно представить в виде инте- интеграла Фурье: ^-^^hh(P). (9.4.17) Тогда решение уравнения (9.4.16) есть Ahh(Xl,x2) = Bтг)-4 Jd4Peip<Xl-^3>-j2(p), (9.4.18) где Q)~x — обычная обратная матрица к Q). Как мы увидим в дальней- дальнейшем, "ге-члены" обеспечивают наличие хорошо определенной обрат- обратной матрицы для всех действительных значений р. Таким образом, мы свели задачу о вычислении пропагатора к задаче о нахождении обратной матрицы к некоторой конечной матрице. Сперва рассмотрим массивное скалярное поле, для которого яд- ядро 3) принимает вид (9.4.11). Можно переписать это выражение в виде интеграла Фурье: f +m2 - таким образом, пропагатор имеет вид А(х,у) = Bтг)~4 / d4pew'(x~y\p2 + т2 - геЕ(р))~1. Мы узнаем в этой записи выражение для скалярного пропагатора, по- полученного ранее операторными методами. (Разница между е и еЕ(р) несущественна, поскольку и б, и еЕ(р) являются положительными ин- финитезимальными величинами.) В качестве второго примера рассмотрим действительное массивное векторное поле. Не возмущенный лагранжиан есть
426 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Снова можем записать 1о[ф] в виде (9.4.8), с ядром = Bтг)~4 / <ft m2rjpa. + ге-члены. Мы не будем демонстрировать этого здесь, но "ге-члены" принимают простую форму -ieE(p)f]pa. Пропагатор векторного поля тогда определяется обращением матри- матрицы 4 х 4 в подынтегральном выражении, что дает (Слагаемые в числителе, пропорциональные б, опущены. Они важ:ны в знаменателе, для определения того, как обращаться с интегралом вблизи массовой оболочке р2 = —т2.) Это тот же пропагатор, кото- который получается при использовании операторных методов, с одним исключением. Нековариантные члены, пропорциональные S(x° — у0), теперь отсутствуют. Эти нековариантные члены раньше были нужны для того, чтобы сократить нековариантные члены в гамильтониане взаимодействия, но вершинные вклады в правила Фейнмана теперь выводятся напрямую из ковариантного лагранжиана, и никаких со- сокращений производить не нужно. Теории с взаимодействием производных так же просто рассмат- рассматриваются. Множитель, возникающий из спаривания производных по- поля d^i(x) с любым другим полем фт(у) (может быть, являющимся в свою очередь производной от поля), есть / [ П х'1 (9-4.19) Такие пропагаторы не содержат нековариантных частей. Например, для действительного скалярного поля спаривание д^ф с диф дает про- пропагатор в импульсном представлении к2 + т2 — ie ' Также, как мы убедились в предыдущем параграфе, вершины в тео- теории скалярного поля со взаимодействием производных с другими по- полями могут быть взяты прямо из лагранжиана и являются ковари- антными (каждая в отдельности).
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 427 § 9.5. Интегралы по путям в случае фермионов Перейдем теперь к обобщению формализма интегрирования по пу- путям на теории, содержащие фермионы наряду с бозонами. Мы могли бы просто продолжать наше рассмотрение в рамках чисто формаль- формального подхода по аналогии с бозонным случаем, проверяя, что он дает "правильные" правила Фейнмана. Вместо этого мы выведем форма- формализм интегрирования по путям для фермионов напрямую из прин- принципов квантовой механики, как это было проделано для бозонов [9]. Как и прежде, мы начинаем с общей квантово-механической систе- системы с "координатами" J2a и каноническими сопряженными "импульса- "импульсами" Ра. Только теперь они удовлетворяют антикоммутационным, а не коммутационным соотношениям: SQ рЛ -,А, (q к -\) {=Sa, ??ь} = {Pat Рь} — 0- (9.5.2) (Это операторы в представлении Шредингера или, другими слова- словами, операторы в представлении Гейзенберга в момент времени t = 0.) Позднее мы заменим дискретный индекс а положением в простран- пространстве х и полевым индексом т. Для начала мы хотим построить полный базис состояний, на ко- которые действуют JhP. Заметим, что для любого заданного а имеем ?\ = Р2а = 0. (9.5.3) Из этого следует, что всегда найдется "кет" состояние |0), которое аннигилируется всеми J2a: Д,|0)=0, (9.5.4) и "бра" состояние @|, которое аннигилируется (справа) всеми Ра: {0\Ра = 0. (9.5.5) Например, мы можем взять где |/) и (д\ — любые кет- и бра- векторы, для которых эти выраже- выражения не обращаются в нуль. (Они не могут обращаться в нуль для всех |/) и (д\, если сами операторы Yl^a и YI Ра обращаются в нуль, что а а мы предполагаем.) Эти равенства удовлетворяют равенствам C.5.4) и C.5.5) в силу C.5.3). Они не являются достаточно общими, посколь- поскольку могут существовать другие бозонные степени свободы, которые различали бы неодинаковые |0) и @|, но для простоты мы здесь огра- ограничимся лишь случаем, где все степени свободы описываются фер- мионными операторами J2a и Ра. Кроме того, мы предполагаем, что
428 Гл. 9. Методы интегрирования по путям состояния, удовлетворяющие равенствам (9.5.4) и (9.5.5), единствен- единственны с точностью до постоянных множителей, которые мы выбираем так, что @|0) = 1. (9.5.6) (Заметим, что это условие нормировки не могло бы быть наложено, если бы мы определили @| как "левое" собственное состояние J2a с соб- собственным значением нуль, поскольку в этом случае @|{i2a, A}|0) об- обращалось бы в нуль, что вместе с равенствами (9.5.1) привело бы к тому, что @|0) = 0.) Как мы видели в § 7.5, в теории Дирака оператор J2a неэрмитов. Вместо этого у него есть сопряженный оператор —гРа- В этом слу- случае @| может рассматриваться как сопряженный к |0). Однако су- существуют фермионные операторы (такие, как поля "духов", которые будут введены в рассмотрение в т. II), для которых оператор Ра ни- никак не связан с сопряженным к J2a. В последующем изложении нам не потребуется делать никаких предположений касательно сопряженных операторов к операторам J2a или Ра, или о какой-либо связи между состояниями |0) и @|. Полный базис состояний этой системы состоит из вектора |0) и состояний (антисимметричных по индексам а, Ь, ...) |аД...)=РаА...|0) (9.5.7) с любым числом различных операторов Р, действующих на |0). Та- Таким образом, результат действия на эти состояния любой функцией от операторов Р и J2 может быть записан в виде линейной комбина- комбинации одного и того же набора состояний. В частности, в случае, когда индекс а не равен ни одному из индексов, встречающихся в \Ь, с,...), имеем ?а\Ъ,с,...) = 0, (9.5.8) Ра|6,с,...) = |аДс,...). (9.5.9) С другой стороны, если индекс а равен одному из индексов в последо- последовательности 6, с,..., мы всегда можем переписать состояние (возмож- (возможно изменяя его знак) так, что а будет первым из этих индексов. В этом случае имеем ,...) = г|Ь,с,...), (9.5.10) Дс,...) = 0. (9.5.11) Похожим образом мы можем определить полный дуальный базис, включающий состояния @| и состояния (так же антисимметричные по индексам) (аД ... | = @|... (-i?b)(-i?a). (9.5.12) Используя равенства (9.5.4)-(9.5.б) и антикоммутационное соотноше- соотношение (9.5.1), мы убеждаемся в том, что скалярные произведения этих
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 429 состояний принимают значения (с, d,... \а, Ъ,...) = @|... (-i?d)(-i?c)PaPb... |0> = fO, если {c,d,...} ф {а, 6,...}, ^ 1, если с = а, d = b и т.д., где {...} обозначает неупорядоченный набор индексов в скобках. При выводе правил Фейнмана мы бы хотели иметь возможность переписать суммы по промежуточным состояниям, таким как (9.5.7), в виде интегралов по собственным состояниям J2a или Ра. Однако эти операторы не могут иметь собственные значения (отличные от нуля) в обычном смысле. Допустим, что мы хотим найти состояние \q), которое удовлетворяет (для всех а) следующему равенству: Q \П\ — п \п\ f о 5 141 ^*^а\Ч./ — Ч.а\Ч./' yt/.«j.j-T:y Из равенства (9.5.2) видим, что qaqb + qbqa = О, (9.5.15) что невозможно для обычных чисел. Однако ничто не мешает нам ввести алгебру "переменных" (известных как грассмановы перемен- переменные) qaj которые действуют как с-числа на физическом гильберто- гильбертовом пространстве и удовлетворяют, кроме того, антикоммутационным соотношениям (9.5.15). Мы потребуем далее Ua, q'b} = Ua, ?ъ) = tia, Щ = 0, (9.5.16) где q и q' обозначают любые два "значения" этих переменных. Теперь мы можем построить собственные состояния |д), удовлетворяющие ра- равенству (9.5.14): (]), (9.5.17) где экспонента от оператора определяется как обычно через разло- разложение в ряд. (Для того чтобы проверить равенство (9.5.14), восполь- воспользуемся тем фактом, что все Paqa коммутируют друг с другом и их квадрат равен нулю. Так что Ьфа Ьфа , Pa}qa - qa] exp(-г ^Pbqb) |0> = 0,
430 Гл. 9. Методы интегрирования по путям что и требуется равенством (9.5.14).) Мы можем также определить левые собственные состояния (q\ (не сопряженные к \q)) как (q\ = <0| (j[дЛ exp f-i Y,РаЯа) = <0| (jjД.) exp f+i ?РадЛ , (9.5.18) где f| — произведение в том же порядке, который мы принимаем а за стандартный. Используя тот же аргумент, что и при обосновании равенства (9.5.14), видим, что (q\?a = (q\qa. (9.5.19) Для этих собственных состояний определено скалярное произведение W\Q) = <0| (П^«) ехр(г^Р6(^ - qb)) ) (Д + iPb(i'b ~ 9ь)) Сдвигая все =Sa вправо (начиная с самого правого), получаем множи- множители i2(q'a — qa), которые мы выносим вправо за скалярное произве- произведение. Итак, Мы увидим, что равенство (9.5.20) играет роль дельта-функции в ин- интегралах по q. Таким же образом мы можем построить правые и левые собствен- собственные состояния для Ра: Ра\р)=Ра\р), (9.5.21) (р\Ра = (Фа, (9.5.22) где ра, так же как и qa раньше, — антикомму тирующие с-числа (для удобства они выбираются антикоммутирующими с qa и с другими фермионными операторами, кроме того, они антикоммутируют друг с другом), и () ()), (9.5.23) (9.5.24) со скалярным произведением (теперь мы переносим все Р налево) {р'\р) = ~[[(ра-р'а). (9.5.25)
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 431 Скалярные произведения собственных состояний этих двух типов друг с другом имеют вид Ш = Ы ехр (-г 5] ?аРа) (П Ра) |0) = = (Т[ exp(-iqaPa)) (q\ (j[ Ра и, таким образом, (п\р) = XNexp(-i^2qapa) =XNexp(i^2paqaY (9.5.26) где xn — фаза, зависящая только от количества N операторов J2a: XN = ( Несколько проще мы находим = l[exp(-ipaqa). (9.5.27) Легко видеть, что состояния \q) являются в некотором смысле полным набором (то же самое можно сказать о \р}.) Из определения (9.5.17) мы видим, что состояние |а, Ь,...) в общем базисе является (с точно- точностью до фазы) просто коэффициентом перед произведением qaqb • • • в разложении состояния \q) на сумму произведений q. Таким обра- образом, мы можем записать любое состояние |/) в виде I/) = fo\q)o Y1 а афЬ где / — численные коэффициенты, а индексы а, 6,... у \q) нумеруют коэффициенты перед qaQb • • • в \у}- При суммировании по состояниям удобно ввести специальное ин- интегрирование по фермионным переменным, известное как интегриро- интегрирование Березина [10], которое позволяет получать коэффициенты та- таких произведений антикомму тирующих с-чисел. Для любого набора таких переменных ?п (будь то р или q, или и те и другие) наиболее об- общая функция /(?) (с-числовая или векторная функция состояний \q})
432 Гл. 9. Методы интегрирования по путям может быть представлена в виде /(?)=( JJ_?n )с + слагаемые с меньшим число произведений ?, (9.5.28) а интеграл по ? определяется так \ = с, (9.5.29) где тильда в равенстве (9.5.29) указывает на то, что мы используем для удобства соглашение, при котором дифференциалы записывают- записываются в порядке, обратном тому, в котором записывалось произведение переменных интегрирования в равенстве (9.5.28). Поскольку это про- произведение антисимметрично относительно перестановки любых двух переменных ?, интеграл также антисимметричен относительно пере- перестановок любых двух дифференциалов d?. Таким образом, эти диф- дифференциалы в результате антикомму тиру ют: (%п(%т + (%т(%п = 0. (9.5.30) Коэффициент с может также зависеть от других непроинтегриро- ванных с-числовых переменных, которые антикоммутируют с пере- переменными ?, по которым мы интегрируем. В этом случае необходимо стандартизировать определение коэффициента с, сдвинув все пере- переменные ? влево от с, прежде чем интегрировать по ним, как мы сде- сделали в формуле (9.5.28). Например, наиболее общий вид функции пары антикоммутирую- щих с-чисел ?i и ?2 такой: поскольку квадраты и более высокие степени от ?i и & обращаются в нуль. Интегралы от этой функции имеют следующий вид: Заметим, что многократный интеграл равен повторному интегралу: 1 /(?1,6)] ¦ Этот результат можно легко обобщить на случай любого числа фер- мионных переменных. (Именно для того чтобы получить этот резуль- результат без дополнительных знаковых множителей, мы брали произве- произведение дифференциалов в равенстве (9.5.29) в порядке, обратном по отношению к произведению переменных в (9.5.28).) Действительно,
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 433 мы могли бы сначала определить интеграл по одной антикоммутирую- щей с-числовой переменной ?i, а затем определили бы многократные интегралы обычным итерационным способом. Наиболее общая функ- функция антикоммутирующих с-числовых переменных линейна по каждой из них: (поскольку ^ = 0), а интеграл от нее по ?i определяется как /¦ Повторение этой процедуры приводит к тому же многократному инте- интегралу, что и тот, который определяется формулами (9.5.28) и (9.5.29). Это определение обладает и некоторыми другими свойствами мно- многократных интегралов (в пределах от — оо до +оо) по обычным дей- действительным переменным. Однако имеются значительные отличия. Очевидно, что интегрирование Березина линейно в следующем смысле: (9.5.31) а также ~ ~ (?'), (9.5.32) где а(?') любая функция (включая константу) любых антикоммути- антикоммутирующих с-числовых переменных ?'т, по которым мы не интегрируем. Однако линейность по отношению к умножению слева не очевидна. Если мы интегрируем по v переменным, то, поскольку мы предпола- предполагаем, что ^ш антикоммутируют со всеми ?п, мы имеем и, таким образом, [ (Д ^«) /@- (9-5-33) Поэтому удобно (но не строго необходимо) выбрать дифференциалы d^n антикоммутирующими со всеми антикоммутирующими перемен- переменными (включая ?п): №п)С + С№п) = 0. (9.5.34) 28 С.Вайнберг. Т. 1
434 Гл. 9. Методы интегрирования по путям В этом случае выражение (9.5.33) принимает более простую форму п #») /(о = «(*') / (п #») /@- (9-5-35) Другой общий с обычным интегрированием факт состоит в том, что для произвольной антикоммутирующей с-числовой переменной ?', не зависящей от ?, / (П <&*) №+?') = / (П ^») ш (9-5-36) поскольку сдвиг ? на константу влияет лишь на члены в / с меньшим числом переменных ?, чем полное. С другой стороны, рассмотрим следующую замену переменных: га где ^ — произвольная несингулярная числовая матрица. Произведе- Произведение новых переменных есть П?' = У" Sn ^, n mirri2--- Но П ^Шп здесь - это то же самое, что и произведение (в исходном п порядке) П ?n c точностью до знака е[т]. Значение е[т] мож:ет быть п равно +1 или —1 и определяется тем, четная или нечетная переста- перестановка п —у тп: П? = \ V Sn /_^ п Lmim2. Это верно для любого порядка для ?п, если мы берем ?'п в том же по- порядке. Отсюда следует, что коэффициент перед П 4^n B любой функции п /(?) есть просто обратный детерминант (Det^), умноженный на коэффициент перед П?п- Это утверждение можно записать следую- щим образом: / (П <) / = (Det Л'1 f (п <%п) /• (9-5-38) Это обычное правило замены переменных интегрирования с поправ- поправкой на то, что (Det ^) входит в это выражение в степени —1 вместо + 1. Далее мы будем использовать выражение (9.5.38) и свойства ли- линейности (9.5.31), (9.5.32) и (9.5.35) для вычисления интегралов, ко-
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 435 торые встречаются при выводе правил Фейнмана для теорий с фер- мионами. Теперь мы можем использовать это определение интегрирования для того, чтобы записать условие полноты в виде некоторой формулы для интеграла по собственным значениям. Как уже упоминалось, лю- любое состояние |/) может быть разложено в ряд по состояниям |0), |а), \а,Ь) и т.д. Причем эти состояния являются (с точностью до фазы) коэффициентами произведений 1, qa, qaqt и т.д. в ^-собственном со- состоянии \q). Согласно принятому здесь определению интегрирования, мы можем получить коэффициент, стоящий при любом из произведе- произведений qbqcQd • • • в состоянии \q), интегрируя произведение \q) со всеми qa, где а не равно 6, с, б?, ... Таким образом, выбирая функцию f(q) в виде подходящей суммы таких произведений д, мы можем записать любое состояние |/) в виде интеграла: 1^ = / Пdqa i?>/(?) = /1?> (П dq< J V a J J V a (Мы можем сдвинуть \q) влево относительно дифференциалов, не из- изменяя знак, поскольку экспонента в выражении (9.5.17), определяю- определяющем |g;), может включать только четное число фермионных величин.) Для того чтобы найти функцию f(q) для заданного вектора состоя- состояния |/), возьмем скалярное произведение выражения (9.5.39) с неко- некоторым бра-вектором (qf\ (где q' — любое фиксированное собственное значение J2). Согласно равенствам (9.5.35) и (9.5.20) это скалярное произведение равно Перенося каждый множитель (qa — q'a) направо через все дифферен- дифференциалы dqb, получаем знаковый множитель (—1)^ =(—1)^, где N — полное число переменных qa. Итак, W\f) = (- Мы можем переписать f(q) как f(q' + (q — q')) и разложить по сте- степеням q — q1'. Все старшие члены разложения (кроме самого низкого) обращаются в нуль при умножении на произведение Yl(qa — q'a), так что а что частично подтверждает сделанное нами ранее замечание о том, что выражение (9.5.20) играет роль дельта-функции для интегралов 28*
436 Гл. 9. Методы интегрирования по путям по q. Используя равенство (9.5.32), имеем теперь Слагаемое в подынтегральном выражении, пропорциональное имеет коэффициент /(#'), таким образом, согласно нашему определе- определению интегрирования, (q'\f) = (—l)Nf(qf). Подставляя это равенство обратно в выражение (9.5.39), получаем наше соотношение полноты: или, как операторное равенство, 1 = = J\q)(j[-dq)j(qV (9.5.41) Точно таким же способом мы можем показать, что Теперь мы подошли к вычислению элементов матрицы перехода. Как и раньше, мы определяем операторы, зависящие от времени: ?!a(t) = exp(iHt)??a ехр(-Ж), (9.5.43) Pa(t) = exp(iHt)Pa exp(-iHt), (9.5.44) и их правые и левые собственные состояния \q;t) = exp(iHt)\q), \p;t) = exp(-itf?)|p), (9.5.45) (q; t\ = (q\ exp(-iHt), (p; t\ = (p\ exp(-iHt). (9.5.46) Скалярное произведение g-состояний, определенных в бесконечно близкие моменты времени, есть в таком случае (q';T + dr\q;T} = (q';exp(-iH dr)\q). Теперь вставим выражение (9.5.42) слева от оператора exp(-iHdr). Здесь удобно определить оператор Гамильтона H(P,J3) таким обра- образом, чтобы все Р в нем стояли слева от всех J2. Так что (для инфи- нитезимального dr) (p\exp(-iH(P,?)dr)\q) = (p\q)exp(-iH(p,q)dr). (Мы могли бы перенести с-числовое Н(р, q) в любую сторону матрич- матричного элемента без изменения знака, поскольку каждое слагаемое в га- гамильтониане предполагается содержащим четное число фермионных
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 437 операторов.) Это дает ]T)= J\q'\p)(j[dp)j(p\eM-iHdT)\q) = П ехр(-гЯ(р, q) dr). Используя выражения (9.5.26) и (9.5.27) и замечая, что произведения paQa и РаЧ'а коммутируют со всеми антикоммутирующими комплекс- ными числами, находим idpa ) exp \i^Pa{q'a ~ Qa) -iH(p,q)dr\. (9.5.47) Окончание вывода в точности аналогично изложенному в §9.1. Для вычисления матричного элемента <g'; t\0A(P(tA), ?(tA)HB(P(tB), ?(tB)) ...\q; t) произведения операторов (где t' > га > ts > ... > t) разделим вре- временной интервал от t до t' на большое число очень близких времен- временных шагов; на каждом временном шаге вставим соотношение пол- полноты (9.5.41); используем выражение (9.5.47) для окончательного определения матричных элементов (со вставленными там, где необ- необходимо, операторами &а->@в)\ сдвинем все дифференциалы влево (это не приводит к изменению знака, поскольку на каждом шаге мы имеем равное число dp и dq); и затем вводим функции qa(t) и pa(t), которые интерполируют значения qa и ра на каждом шаге. Таким об- образом, находим ), 0B(P(tB), ?(tB)),.. .}\q; t) = (-i)NXN j (j[dqa(T)dpa(T) 9«(*)=9a, Qa(t')=q'a aT X 0A(p(tA),q(tA)HB(p(tB),q(tB)) .. . . (9.5.48) Символ Т означает здесь обычное произведение, если моменты вре- времени находятся в условленном порядке, Та > tu > • • • Однако пра- правая часть этого выражения полностью симметрична по отношению к &А-, @в-> ••• (не считая знака минус там, где антикоммутирующие комплексные переменные меняются местами). Таким образом, эта
438 Гл. 9. Методы интегрирования по путям формула остается верна и в случае неупорядоченных моментов вре- времени (между t и ?'). Тогда Т интерпретируется как упорядоченное по времени произведение с общим знаком минус в том случае, если упорядочение моментов времени приводит к нечетному числу пере- перестановок фермионных операторов. Вплоть до настоящего момента мы сохраняли общий фазовый мно- множитель (—i)NXN- Но в действительности эти фазы дают вклады толь- только в амплитуду перехода вакуум-вакуум и, следовательно, не важны для нас. Переход к квантовой теории поля производится аналогично тому, что было сделано в § 9.2 для бозонных полей. Вакуумное среднее упо- упорядоченного по времени произведения операторов дается формулой, аналогичной формуле (9.2.17): фт(,) X - г,х,?тг ^ х 0A\p(tA),q(tA)]0B\p(tB), х ехр г - H(q(r),p(r)) + ге-члены } , (9.5.49) ехр г / drl / где коэффициент пропорциональности одинаков для всех операторов &А-, @в и т.д., а "ге-члены", как и раньше, возникают из волновой функции вакуума. Как и прежде, мы заменили каждый дискретный индекс а положением в пространстве х и полевым индексом т. Мы также опускаем тильду над произведением дифференциалов, посколь- поскольку она влияет только лишь на постоянную фазу в интеграле по путям. Основным отличием фермионного случая от бозонного является то, что здесь мы не хотим проинтегрировать по р раньше, чем по q. Действительно, в стандартной модели электрослабых взаимодействий (и в других теориях, таких как, например, старая фермиевская тео- теория бета-распада) канонически сопряженные переменные рт являют- являются вспомогательными полями, не связанными с qm, и лагранжиан ли- линеен по qm. Таким образом, величина / pmqm - Н в формуле (9.5.49) является лагранжианом L этой теории в том виде, в котором она написана. Каждое слагаемое гамильтониана, соответ- соответствующее фермионному полю, обладающему ненулевым квантовым числом (как электронное поле в квантовой электродинамике), в общем
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 439 случае содержит равное число р (пропорциональных q^) и q. В част- частности, слагаемое гамильтониана Hq, соответствующее движению сво- свободных частиц, билинейно по р и q. Так что / drl / d3x^pm(x,r)<7m(x,r) - H0(q(r),p(r)) + ге-члены |> = -оо ^ ш * = -^ j dAxdAy@mx,nypm(x)qn(y), (9.5.50) ran где @ - некоторая числовая "матрица". Гамильтониан взаимодействия V = Н - Но представляет собой сумму произведений равного числа фермионных переменных q и р (с коэффициентами, которые могут зависеть от бо- зонных полей). Таким образом, при разложении выражения (9.5.49) по степеням V мы получаем сумму фермионных интегралов вида = J П ^m(x,r) Д фт(х,г) X (9.5.51) каж:дый из которых соответствует определенному набору вершин в диаграмме Фейнмана с коэффициентами, в которые каждая задан- заданная вершина дает вклад г умножить на коэффициент, стоящий пе- перед произведением полей в соответствующем слагаемом во взаимо- взаимодействии. Для того чтобы вычислить такой тип интегралов, рассмотрим про- производящую функцию всех таких интегралов: Д dgrro(x,T)dpro(x,r) х expf -г тп n{y)qn(y)\, (9.5.52) где fm(x) и gn{y) — произвольные антикоммутирующие комплексно- значные функции. Мы переходим к новым переменным интегрирова-
440 Гл. 9. Методы интегрирования по путям ния: Рт(х) =Рт(х)- Используя условие трансляционной инвариантности (9.5.36), находим т,х,га х ехр(-{^2/A4хA4у$>тх,пур'т{х)д'п(уУ\. (9.5.53) ^ тп ' Интеграл является постоянной (т.е. не зависит от функций / и g). Можно показать, используя равенство (9.5.38), что он пропорциона- пропорционален Det &. Большую важность для нас представляет первый множи- множитель. Разлагая его по степеням g/ и сравнивая с прямым разложением выражения (9.5.52), мы видим, что СХ- / J ^спаривание II \ ^-/) ^парные mx,ny ^y.0.04J спаривания пары с коэффициентом пропорциональности, который не зависит от ж, у, m или п, а также не зависит от количества этих переменных. Суммиро- Суммирование производится по всевозможным спариваниям р и q. Спаривания, отличающиеся только порядком в паре, считаются тождественными. Другими словами, мы суммируем по N1 перестановкам либо р, либо q. Знаковый множитель ^спаривание равен +1, если перестановка четная; — 1 — если нечетная. Этот знаковый множитель и суммирование по спариваниям — точ- точно такие же, как и те, что мы встречали при выводе правил Фейнмана. Причем суммирование по всевозможным спариваниям соответствует суммированию по способам связи линий, ассоциированных с верши- вершинами в диаграммах Фейнмана, а множители (@~1)т,х,пу играют роль пропагатора для спаривания qm(x) с рп(у). В формализме Дирака для спина 1/2 действие для свободной частицы есть = - f d4xi>(x)[^d^ +т\ф{х), (9.5.55)
§9.5. Интегралы по путям в случае фермионов 441 где использованы стандартные обозначения для канонических пере- переменных: Qm(x) = ^m(s), Pm(x) = -[^m(x)j°]m = #ш(ж)? (9.5.56) где т — дираковский индекс, принимающий 4 значения. Сравнивая это с выражением (9.5.50), находим \ (9.5.57) (Мы не будем рассматривать этого в деталях, но ге-член возникает здесь таким же образом, как и в случае скалярного поля в § 9.2.) Тогда пропагатор будет равен {®-X)mx,nv = J щ; ([»7"*д +т- й]-^-!0])™»^*-^-»), (9.5.58) т.е. он будет такой же, как тот, который мы получили в рамках операторного формализма. Дополнительный множитель —7° возни- возникает, потому что этот пропагатор является вакуумным средним от Т{фш(х), -Й2/O°]п}, а не от Т{фт{х), фп{у)}. В качестве примера проблемы, которую проще исследовать при помощи интегрирования по путям, чем операторными методами, рас- рассмотрим задачу о вычислении полевой зависимости амплитуды пере- перехода вакуум-вакуум для поля Дирака, взаимодействующего только с внешним полем. В качестве лагранжиана возьмем выражение Jgf = -ф[^д^ + т + Г>, (9.5.59) где Г (ж) — зависящая от х матрица, представляющая взаимодействие фермиона с внешним полем. Согласно формуле (9.5.49) амплитуда перехода вакуум-вакуум при наличии внешнего поля есть <VAC,out|VAC,m)rocyf Д ^т(х,гI [ Д фт(х,гI х х ехр|-г Id4xpTj°[^d^ + т + Г - ie]q} (9.5.60) с коэффициентом пропорциональности, не зависящим от Г(ж). Запи- Запишем это выражение в виде <VAC,out|VAC,m)rocyf Д ^т(х,гI f Д фт(х,гI х х ехр|-г / d4xd4ypm(x)qn(y)Jf[r]mx,ny j, (9.5.61)
442 Гл. 9. Методы интегрирования по путям где ^[Г]тХ,Пу = (т° [тм ^г + т + Т(х) - ^])ш/(х ~ У)- (9.5.62) Для вычисления этого выражения, сделаем замену переменных инте- интегрирования qn(x): q'n{x) = J2fd4y^[r]mx,nyqn(y). (9.5.63) П Остающийся интеграл не зависит от Г. Таким образом, вся зависи- зависимость амплитуды перехода вакуум—вакуум содержится в детерминан- детерминанте, возникающем, согласно равенству (9.5.38), в результате замены переменных: (VAC,out|VAC,in)r ос Det Ж [Г]. (9.5.64) Для восстановления результатов теории возмущений, запишем (9.5.65) тХ,пУ = Ь°Т(х))тпб\х - у) (9.5.66) и разложим по степеням ^[Г]. Формула (9.5.64) дает тогда (VAC,out|VAC,in)r ос Det@[l + ^"^[Г]]) = = [Det Щ ехр I ^ ^^ Тг(^-^[Г])П ). (9.5.67) Это именно то, что мы ожидали бы из правил Фейнмана: вклады от внутренних линий и вершин в этой теории равны — iQ)~1 и —г след произведения п множителей таким образом, соответствует петле с п вершинами, соединенными п внутренними линиями; 1/п — обычный комбинаторный множитель, связанный с такими петлями (см. §6.1); знаковый множитель имеет вид (—l)n+1, а не (—1)п, поскольку дополнительный знак минус все- всегда связан с фермионными петлями; и сумма по п входит в аргумент экспоненты, поскольку амплитуда перехода вакуум-вакуум получает вклады от диаграмм с любым числом несвязанных петель. Независя- Независящий от Г множитель Det S1 не так просто вывести из правил Фейн- Фейнмана; он представляет собой вклад любого числа фермионных петель без вершин. Более того, формула (9.5.64) позволяет нам вывести непертурба- тивные результаты посредством использования топологических тео- теорем для получения информации о собственных значениях ядер, таких как J(f\T]. Рассмотрение этого будет продолжено далее в т. П.
9.6. Формулировка квантовой электродинамики 443 § 9.6. Формулировка квантовой электродинамики в терминах интегрирования по путям Подход к квантовой теории поля с использованием интегралов по путям проявляет себя в полной мере при применении его к калибро- калибровочным теориям безмассовых частиц со спином единица, таким как, например, квантовая электродинамика. Вывод правил Фейнмана для квантовой электродинамики в предыдущей главе включал в себя зна- значительные неопределенности при обосновании того, что слагаемые в фотонном пропагаторе Д^(д), пропорциональные q^ или qv, могут быть опущены и что времениподобные слагаемые как раз сократят кулоновское слагаемое в гамильтониане так, что эффективный фо- фотонный пропагатор может быть выбран в виде г\^у /q2. Попытка дать строгое обоснование этого результата, используя методы гл. 8, вклю- включила бы сложный анализ диаграмм Фейнмана. Но, как мы сейчас увидим, подход с использованием интегралов по путям дает желае- желаемую форму фотонного пропагатора даже без подробного рассмотре- рассмотрения деталей диаграмм Фейнмана. В гл. 8 мы нашли, что в кулоновской калибровке гамильтониан взаимодействия фотонов с заряженными частицами принимает вид Я[А,П±,...] = Нм + Jdzx [1 П1 + \ (V х АJ - А • j] + VKyjl. (9.6.1) Здесь А — векторный потенциал, удовлетворяющий условию кулонов- кулоновской калибровки: V-A = 0, (9.6.2) в то время как П^ — соленоидальная часть канонически сопряжен- сопряженной к векторному потенциалу величины, удовлетворяющая тому же условию V • Щ = 0, (9.6.3) м — гамильтониан материи, а VKyjI — кулоновская энергия, xd3y J0(x,*)J0(y,*)/D7r|x-y|). (9.6.4) Как и для любой другой гамильтоновой системы, мы можем вы- вычислить вакуумные средние упорядоченных по времени произведений как интегралы по путям 1): =/ [ пda^ ndwi^ п :) Заметим, что тг(ж) — интерполяционное с-числовое поле для кванто- квантового оператора П^, коммутационные соотношения которого друг с другом и с А такие же, как и для П, но которые, в отличие от П, коммутируют со всеми каноническими переменными материи.
444 Гл. 9. Методы интегрирования по путям ... expji / d4x [тг • а - - тг2 - - (V х аJ + а • J + j?fMl x х -i f dtVKyA х ГГE(У-а(ж)) ТТй(У • тг(ж)) , (9.6.5) где т/>/(ж) — общие поля материи. При написании выражения (9.6.5) в терминах лагранжевой плотности для материи мы предполагаем, что Нм локален и либо линеен по полям материи тг (как в спинор- ной электродинамике), либо квадратичен с не зависящими от полей коэффициентами (как в скалярной электродинамике). Мы вставили дельта-функции2) в выражение (9.6.5) для обеспечения выполнения условий (9.6.2) и (9.6.3). Очевидно, что аргумент экспоненты в формуле (9.6.5) квадратичен по независимым компонентам тг (скажем, тгх и тгг), причем коэффи- коэффициенты в слагаемом второго порядка по тг не зависят от поля. Таким образом, согласно выражению (9.А.9), интеграл по тг может быть вы- вычислен (с точностью до постоянного множителя), посредством при- приравнивания тг стационарной точке аргумента экспоненты, тг = а: ев • • .})vac = ... expji I d4x [i (aJ - \ (V x aJ + a • j + JgfM] - -i f dt Укул + ге-члены| Д S(V • а(ж)) . (9.6.6) '-ж ^ Для того чтобы выявить необходимую ковариантность полученно- полученного результата, мы используем некоторый прием. Введем новую пе- переменную интегрирования а°(х) и заменим кулоновское слагаемое — J dtVKyjI в действии следующим выражением: I d4x [-a°(x)j°(x) + \ (Vao(a;)J]. (9.6.7) Поскольку (9.6.7) квадратично по а0, интеграл по а0 может быть вы- 2) Это не совсем строго. Если мы выбираем в качестве канонических переменных, скажем, ai,a2 и 7Г1,тг2, а аз и тгз рассматриваем как функ- функционалы этих переменных, заданные условиями (9.6.2) и (9.6.3), тогда мы должны вставить дельта-функции Y{ 6(а3(х) + d^idia^x) + д2а2(х))NGг3(х) + дз^дщ^х) + &тг2(ж))). х Однако это отличается от произведения дельта-функций в формуле (9.6.5) лишь множителем Det<9|, который, хотя и бесконечен, но не зависит от полей и, следовательно, сокращается в отношениях вида (9.4.1).
9.6. Формулировка квантовой электродинамики 445 числен (с точностью до постоянного множителя) посредством замены а°(х) на стационарную точку выражения (9.6.7), т.е. на решение сле- следующего уравнения: -j°{x) - V2a°(x) = 0, или, другими словами, на I3^Vy (9-6"8) Подставляя это в выражение (9.6.7), получим как раз кулоновское действие — J dtVKyjI. Следовательно, мы можем переписать аргумент экспоненты в формуле (9.6.6) как \ (аJ - \ (V х аJ + а ¦ j + J?M - a°f + \ (Va0J = — ~~ т fiivf^v + a/ij^ + -&м + полные производные, где f^y = d^dy — диа^, и интегрировать по а0, как и по а, и полям материи. Таким образом, интеграл по путям (9.6.6) теперь выглядит так • • .})vac ( [п [п ...ехр(И[а^]I[б(\7.ф)), (9.6.9) х где / — исходное действие: ] гб-члены. (9.6.10) Теперь все явно лоренц- и калибровочно инвариантно, кроме по- последнего произведения дельта-функций, которые обеспечивают вы- выполнение условия кулоновской калибровки. 3) Для того чтобы продви- продвинуться дальше, мы используем простой вариант приема [4, 5], который будет использован в т. II для исследования более сложного случая неабелевых калибровочных теорий. Для простоты здесь мы рассмот- рассмотрим случай, когда операторы &а[А, Ф], &в[А, Ф], ... так же, как дей- действие 1[а,ф] и мера [[\ da] [[\ dij)\, калибровочно инвариантны. ) Заметим, что теперь а не равно значению (9.6.8), а является неза- независимой переменной интегрирования. Мы не будем сперва интегрировать по а0(ж), что привело бы опять к формуле (9.6.6). Вместо этого мы будем рассматривать а°(х) вместе с а(ж).
446 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Во-первых, заменим полевые переменные интегрирования ам(ж) и ф(х) везде в формуле (9.6.9) новыми переменными амл0) = ам(ж) + <9мЛ(ж), (9.6.11) i/>lA(x) = exp(iqiA(x))M^) (9.6.12) с произвольным конечным Л (ж). Этот шаг представляет собой матема- ОО тическую тривиальность такую, как замена интеграла / f(x)dx на — оо оо / f(y)dy,n не требует использования постулированной калибровоч- — оо ной инвариантности теории. Далее используем калибровочную инва- инвариантность для замены п^а(х) и iJ>ia(x) в действии, мере и в ^-функ- ^-функциях исходными полями а^(х) и фг{х) соответственно. Формула (9.6.9) преобразуется тогда к виду ] [ X ,/i X,/ ... х ехр(г/[а, ф}) Д S(V • а(ж) + У2Л(ж)). (9.6.13) Теперь, поскольку функция Л (ж) была выбрана произвольным обра- образом, правая часть отношения (9.6.13) не может зависеть от этой функ- функции, несмотря на внешний его вид. Мы используем этот факт для того, чтобы записать интеграл по путям в более удобной форме. Домножим выражение (9.6.13) на функционал В[А,а] =ехр(~га f d4x (доа° - V2AJ) (9.6.14) (где а — произвольная постоянная) и проинтегрируем по Л (ж). Сдви- Сдвигая переменную интегрирования Л (ж) и обращая внимание на явную зависимость выражения (9.6.13) от Л, видим, что весь эффект сво- сводится к умножению выражения (9.6.13) на независящую от поля по- постоянную /[1 (^ /^) (9.6.15) Этот множитель сокращает связную часть вакуумного среднего и, таким образом, не имеет физического смысла. Но (9.6.13) не зависит от Л только после того, как мы проинтегрировали по ам(ж) и ф(х). Мы с таким же успехом можем проинтегрировать по Л (ж), до то- того как интегрировать по ам(ж) и ф(х). В этом случае множитель
9.6. Формулировка квантовой электродинамики 447 • а(ж) + V2A) в формуле (9.6.13) заменяется на -iia f d4x(doa° -V2A -|ш /Va; (<9Ma"J), (9.6.16) X x I I d(V -а(ж) + \ГЛ(ж)) ос где "ос" снова означает пропорциональность с независящим от поля коэффициентом. После опускания постоянных множителей форму- формула (9.6.9) преобразуется к виду ос /I Ыод(х) I бШж) ^^...exp(i/eff[a,^]), (9.6.17) ^ L^ J Lt,T J где /eff[a, ^] = /[a, ^] - ^ a /\d^f d4x. (9.6.18) Мы получили явно лоренц-инвариантное выражение. Мы рассматриваем новое слагаемое в (9.6.18) как вклад в невозму- невозмущенную часть действия, фотонная часть которого теперь имеет вид a] = Jd4x [-i {d»av - dva»){d»av - c>V) - ге-члены] = -\ Jd4xd4ya^{x)a1/(y)%x^y, (9.6.19) \ a{d^f + ге где ге-члены = f . (9.6.20) Откуда обращением матрицы 4 x 4 в подынтегральном выражении из (9.6.20) сразу находится фотонный пропагатор Р^\«<'-* (9-6.21) Мы мож:ем свободно выбирать а так, как нам удобно. Два общеприня- общепринятых выбора — это а = 1, что дает пропагатор в калибровке Фейнмана: *<х~У\ (9.6.22) или a = сю, в этом случае множитель (9.6.14) действует как дельта- функция и мы получаем пропагатор в калибровке Ландау (также ча-
448 Гл. 9. Методы интегрирования по путям сто называемой калибровкой Лоренца): дLandau _ @^-4 [ j4 Г У^ <f <? ] iq-(x-y) /q fi no\ ^Wl, ~ W J й Q [q2 _ ie (g2 _ ieJ \ C ' ф-Ъ-Щ Практические вычисления делаются гораздо более удобными при ра- работе с такими явно лоренц-инвариантными взаимодействиями и про- пагаторами. §9.7. Различные статистики1) Мы можем вернуться теперь к вопросу, поставленому в гл. 4: какие возможны изменения в векторах состояния при перестановке идентич- идентичных частиц? Для этой цели мы рассмотрим начальные и конечные состояния в процессе рассеяния. Предположим, что набор тождественных ча- частиц в одном из таких состояний приводится к некоторой конфи- конфигурации с импульсами pi, р2 и т.д. из стандартной конфигурации с импульсами ki, к 2 и т.д. под воздействием медленно меняющихся внешних полей, при этом частицы, участвующие в процессе, остают- остаются достаточно далеко друг от друга, что обеспечивает правомерность использования нерелятивистской квантовой механики. (Спиновые ин- индексы мы здесь не записываем явно; следует помнить, что они должны сопровождать значки импульсов.) Для того чтобы вычислить ампли- амплитуду этого процесса, мы можем использовать метод интегрирования по путям2), считая q и р координатами и импульсами частиц как в § 9.1, а не полями и их канонически сопряженными. Они всегда удо- удовлетворяют каноническим коммутационным (а не антикоммутацион- антикоммутационным) соотношениям, независимо от того, являются ли частицы бозо- бозонами или фермионами, или чем бы то ни было еще. Таким образом, на данном этапе мы не ограничиваем себя выбором какой-либо кон- конкретной статистики. Формула для интеграла по путям (9.1.34) дает выражение для амплитуды (pi,P2,... |ki,k2,.. .)d b виде интеграла по путям, на которых частица переводится непрерывным образом от г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении. 2) Здесь я следую рассуждениям Ледло (Laidlaw) и К. де Витта [11], с той лишь разницей, что они применяют метод интегрирования по путям ко всему процессу рассеяния, а не только для выделения начальных и конеч- конечных состояний. В релятивистской теории возможность рождения и уничто- уничтожения частиц приводит к тому, что метод интегрирования по путям необ- необходимо применять к полям, а не к орбитам частиц. Для нас этой проблемы не существует, поскольку мы ограничиваем наши вычисления достаточно ранними или поздними моментами времени, когда частицы, участвующие в рассеянии, находятся достаточно далеко друг от друга.
§9.7. Различные статистики 449 импульса ki к импульсу pi, другая идентичная первой частица пере- переводится от импульса к2 к импульсу р2 и т.д. Значок D указывает на то, что это амплитуда, вычисленная для различимых частиц. В част- частности, эта амплитуда симметрична относительно перестановок р и одновременных перестановок к, но не обладает никакой симметрией относительно несогласованных перестановок р и к. Но если частицы действительно тождественны, то существуют другие топологически различные пути, которые тем не менее приводят к той же конечной конфигурации. Для пространства размерности d ^ 3 единственные та- такие пути3) — это те, которые переводят ki,k2,... в некоторую нетри- нетривиальную перестановку ?Р pi,p2,... Следовательно, настоящая ам- амплитуда должна быть записана как (pi,р2, |kbk2,...) = ^2 С^(р^г,р^2,... |kbk2,.. .>?>, (9.7.1) где сумма проводится по всем N1 перестановкам N тождественных частиц в данном состоянии, а С^> — набор комплексных констант. Эти амплитуды должны удовлетворять правилу композиции, имеющему место в случае тождественных частиц: / II 1 ч 1 /¦ ,3 i3 / \ \РьР2,. • • |kbk2,. ..) = j^l a qid q2... (РъР2, • • qi,q2, • •) х х (qi,q2,...|ki,k2,...>. (9.7.2) С использованием равенства (9.7.1) это правило превращается в тре- требование У (и ор (р^! 1 Р^2 1 ' ' ' 11 2 ч - - -/ D ~- 77 / (и gpi (и о?" I d q\ d q2 - - - ... (p^,p^2,... |qi, q2,.. -^(q^', q^2', • • • |ki,k2,.. .)d- Применяя перестановку &" к начальному и конечному состояниям в первой амплитуде справа имеем kbk2,.. .)d = дру 5Z С&'Ся"' / ^3(?i ^3^2 • ... (р?»//?»/ ,р^"^>2,... |q^;',q^2',.. ^(q^, q^2', • • • |ki,k2,.. .) 3) Формально это выражается в том, что первая группа гомотопий кон- конфигурационного пространства в d ^ 3 — это группа перестановок [12]. Под "конфигурационным пространством" для N различных частиц подразуме- подразумевается пространство N d-векторов, исключая d-векторы, совпадающие друг с другом (или находящиеся на произвольно малом расстоянии). При этом конфигурации, отличающиеся только перестановкой векторов, отождеств- отождествляются. 29 С.Вайнберг. Т. 1
450 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Но амплитуды (pi,P2,... |ki,кг,.. .)d удовлетворяют правилу компо- композиции для различных частиц: (р1,Р2,...|кьк2,...)л = / (i3^i(i3^2...(pi,P2,...|qi,q2,...)D х х (qi,q2,...|ki,k2,...>i>. (9.7.3) Таким образом, правило композиции для физических амплитуд мо- может быть записано как • • • |ki, k2,.. .)d = дру Op что выполняется в том и только в том случае, если {j opi ори = Су^'Су^". [\J. I .4J Таким образом, коэффициенты С@> являются одномерным представ- представлением группы перестановок. Но у группы перестановок только два таких представления: одно — тождественное, где С@> = +1 для всех перестановок, а другое — переменное представление, где С др = +1 или С др = — 1 согласно тому, четная перестановка ?? или нечетная. Эти две возможности соответствуют статистикам Бозе и Ферми соответ- соответственно4). Красота этой аргументации в том, что она ясно показывает, в чем заключается выделенность случая двух пространственных измерений. В этом случае гораздо больше разнообразие топологически различ- различных путей. 5) Например, путь, в котором одна частица обходит вокруг другой частицы определенное число раз не может быть деформирован в путь, в котором она этого не делает. Вследствие этого в простран- пространстве двух измерений могут существовать анионы [15], частицы с более общими перестановочными свойствами, чем просто Ферми или Бозе статистики [8а]. 4) В литературе было много дискуссий на тему возможности существо- существования других статистик, кроме статистик Бозе и Ферми, часто их называ- называли парастатистиками. Было показано [13], что теории с парастатистикой в пространстве размерности d ^ 3 эквивалентны теориям, в которых ча- частицы являются обычными бозонами или фермионами, но несущими до- дополнительное квантовое число, в результате чего волновые функции могут обладать нетривиальными свойствами относительно перестановок импуль- импульсов и спинов. ) Объяснение этого факта заключается в том утверждении, что пер- первая гомотопическая группа конфигурационного пространства в двух изме- измерениях не является группой перестановок, а есть более широкая группа, известная как группа кос [14].
Приложение. Кратные гауссовы интегралы 451 Приложение. Кратные гауссовы интегралы Мы хотим вычислить кратный интеграл по конечному числу действительных переменных ?г от экспоненты общей квадратичной функции, зависящей от ?: где Krs, Lr и М — произвольные постоянные, кроме того, матрица К должна быть симметричной и несингулярной. Для начала рассмотрим случай, когда Krs, Lr и М действительны, a Krsj кроме того, еще и положительно. Результат для общего случая может быть получен аналитическим продолжением. Любая действительная симметричная матрица может быть диа- гонализована ортогональной матрицей. Таким образом, существует матрица ^, транспонированная которой есть матрица J>T = J*~x¦, такая что „ {JTKJ)rs = SrsKr. (9.A.3) Поскольку К предполагается положительной и несингулярной, ее соб- собственные значения к,г — положительны. Мы можем использовать мат- матрицу J? для замены переменных: ?г = Х)Л»?- (9.А.4) 8 Якобиан \Det^\ этого преобразования равен единице, так что крат- кратный интеграл (9.А.1) представляется теперь в виде произведения од- однократных интегралов: !^,/^,;}. (..АЛ) Но детерминант и обратная матрица для матрицы (9.А.З) равны г I Таким образом, равенство (9.А.5) может быть записано в виде - м\. (9.А.6) 29*
452 Гл. 9. Методы интегрирования по путям Равенство (9.А.1) определяет функцию KrsjLr и М, аналитическую по Krs в конечной области вокруг поверхности, на которой Krs дей- действительно и положительно, и где сходится интеграл. Кроме того, для таких Krs эта функция является аналитической по всем Lr и М. По- Поскольку (9.А.6) равно (9.А.1) для действительных Krs, Lr и М и поло- положительного Krs, равенство (9.А.6) определяет аналитическое продол- продолжение выражения (9.А.1) на всю комплексную плоскость с разрезом, который необходим из-за квадратного корня. Знак этого квадратного корня фиксируется аналитическим продолжением. В теории поля Krs как раз мнимое, есть лишь небольшая действительная часть, возни- возникающая благодаря "ге-членам". Удобно выразить равенство (9.А.6) через стационарную точку функции (9.А.2) l YrsLs, (9.A.7) = О при ? = |, (9.А.8) следующим образом: ((?))/2{©} (9.A.9) Этот результат нужно запомнить: гауссовы интегралы могут быть вычислены с точностью до детерминантного множителя посред- посредством замены переменной интегрирования ее значением в точке, в которой аргумент экспоненты имеет свое стационарное значение. Далее мы хотим использовать этот результат для вычисления ин- интегралов /ri...r2JV = ДП^)^?га...?г™ехр{-± ?#„&.&}. (9.А.10) (Интегралы такого типа с нечетным числом ^-множителей в подынте- подынтегральном выражении очевидным образом обращаются в нуль.) Из раз- разложения в ряд по степеням для expf — ^Lr?r J в формуле (9.A.I) мы имеем следующее правило суммирования: V V B7V)! П < - \ E — 1/2
Задачи 453 Сравнивая коэффициенты при LriLr2 ... Lr2N с обеих сторон, видим, что /Г1Г2...Г2ЛГ должно быть пропорционально сумме произведений эле- элементов К~х, симметрия которых приводит к следующей форме: v Испаренные индексы- (У.А.12) / J спаривания пары Г1...Г2М Здесь суммирование проводится по всевозможным спариваниям ин- индексов т\ ... V2N- Причем два спаривания считаются одинаковыми, ес- если они отличаются только порядком пар или порядком следования ин- индексов в паре. Для того чтобы вычислить постоянный множитель сдг, заметим, что число z//v слагаемых в сумме по спариваниям в форму- формуле (9.А. 12) равно числу B7V)! перестановок индексов, деленному на число N1 всевозможных перестановок пар индексов и на число 2^ перестановок внутри пар индексов: № (9.А.13) vn = Таким образом, равенство (9.А. 12) переписывается в виде: N . (9.A.14) Сравнение этого выражения с равенством (9.А. 11) показывает, что множители B7V)! и N\2N сокращаются числом г/дг. Тем самым оста- остается / CN= [Det(?)]/- (9.A.15) Например, 1Г1Г2 = ЫК-1)^, (9.А.16) + (tf-1)™^-1)™ + (К'ЧпгЛК-1)™], (9-А.17) и т.д. Здесь /о — интеграл без индексов: г. / V г а J /о = /(]1<цЛ ехр{-1)Г^ Л = [Det(^)]/. (9.A.18) Задачи 1. Рассмотрим нерелятивистскую частицу массы т, движ:ущуюся вдоль оси х в потенциале V(x) = muj2x2 /2. Используя методы инте- интегрирования по путям, найдите вероятность того, что частица, кото- которая в момент времени t\ находилась в точке х\, окажется в интервале между х и х + dx в момент времени t.
454 Гл. 9. Методы интегрирования по путям 2. Найдите волновую функцию в полевом пространстве для со- состояния, включающего единственную бесспиновую частицу с массой т ф 0. Используйте полученный результат для вывода правил Фейн- мана для испускания или поглощения такой частицы. 3. Найдите волновую функцию в полевом пространстве для ва- вакуума в теории нейтрального векторного поля массы т ф 0. Исполь- Используйте полученный результат для вывода вида ге-членов в пропагаторе этого поля. 4. Лагранжева плотность свободного поля Рариты-Швингера ф^ со спином 3/2 есть Используя метод интегрирования по путям, вычислите пропагатор для этого поля. Литература 1. Feynman R.P. The Principle of Least Action in Quantum Mecha- Mechanics. Princeton University, 1942; University Microfilms Publications No. 2948, Ann Arbor. См. также. Фейнман Р., Хиве А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.—М.: Мир, 1968. Общее изложение см. в книге ГлиммДж., Дэюаффе А. Математические методы квантовой физики — подход с использованием функци- функциональных интегралов.—М.: Мир, 1984. 2. Dime P.A.M. // Phys. Zeits. Sowjetunion. 3, 62 A933). [Рус. пер.: Дирак П.A.M. К созданию квантовой теории поля: Основные статьи 1925-1958 гг.—М.: Наука, 1990.] 3. Feynman R.P. // Rev. Mod. Phys. 20, 367 A948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 A948); 76, 749, 769 A949); 80, 440 A950). 4. Faddeev L.D. and Popov V.N. // Phys. Lett. B25, 29 A967). См. также Feynman R.P. // Acta Phys. Pol. 24, 697 A963); Mandelstam S. // Phys. Rev. 175, 1580, 1604 A968). 5. DeWitt B. II Phys. Rev. Lett. 12, 742 A964). 6. 4 Hooft G. II Nucl. Phys. B35, 167 A971). 7. Gerstein I.S., Jackiw R., Lee B.W., and Weinberg S. // Phys. Rev. D3, 2486 A971). 8. Фаддеев Л.Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжиа- лагранжианов // Теор. матем. физика. 1969. Т. 1. С. 3. 8а. Schwinger J. // Proc. Nat. Acad. Sci. 44, 956 A958).
Литература 455 8b. Osterwalder К. and Schrader R. // Phys. Rev. Lett. 29, 1423 A972); Commun. Math. Phys. 31, 83 A973); Commun. Math. Phys. 42, 281 A975). Аксиомы Остервальдера-Шрадера требуют наличия гладкости, евклидовой ковариантности, "положительности" при отражениях, перестановочной симметрии и кластерной разложи- разложимости. 9. Эта часть изложения возникла в основном благодаря обсужде- обсуждениям с Ж. Польчинским. 10. Березип Ф.А. Метод вторичного квантования.—М.: Наука, 1986. 11. Laidlaw M.G.G. and De Witt СМ. // Phys. Rev. D. 3, 1375 A970). 12. Leinaas J.M. and Myrheim J. // Nuovo Cimento. 37 B, 1 A977). 13. Ohnuki Y. and Kamefuchi S. // Phys. Rev. 170, 1279 A968); Ann. Phys. 51, 337 A969); Druhl K., Haag R., and Roberts J.E. // Commun. Math. Phys. 18, 204 A970). 14. Понятие группы кос ввел Э. Артин (Е. Artin). См. The Collected Papers of E. Artin, ed. by S. Lang and J.E. Tate. Addison-Wesley, Reading, MA, 1965. 15. Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 49, 957 A982); Fredenhagen K., Gaberdiel M.R., and Riiger S.M. jj Cambridge preprint DAMTP- 94-90 A994). См. также Leinaas J.M. and Myrheim J. Ref. 12. 16*. Славное А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию ка- калибровочных полей.—М.: Наука, 1988. Добавлено при переводе.
Гл а в а 10 НЕПЕРТУРБАТИВНЫЕ МЕТОДЫ В этой главе мы начнем изучение высших вкладов в физические процессы, которые на языке теории возмущений соответствуют много- многопетлевым диаграммам. Пользуясь коммутационными соотношениями полей и результатами § 6.4, мы получим соотношения, справедливые в любом порядке теории возмущений, а иногда и выходящие за ее пределы. Напомним основную теорему § 6.4 : матричный элемент равен сумме всех диаграмм с входящими линиями, соответствующими состоянию а, выходящими — состоянию /?, и дополнительными верши- вершинами, отвечающими операторам Оа(х), Оь(х) и т.д. В частности, если Оа(х), Оъ{х) и т.д. — элементарные поля, то фурье-образ рассматри- рассматриваемого матричного элемента равен сумме диаграмм с входящими и выходящими линиями на массовой оболочке и дополнительными ли- линиями вне массовой оболочки (включая пропагаторы), отвечающими операторам Оа (х), Оъ (х) и т.д. Исследовав некоторые непертурбатив- ные эффекты, мы перейдем к вычислению радиационных поправок по теории возмущений. § 10.1. Симметрии Принципы симметрии являются очень полезным инструментом при изучении как 5-матрицы, где все внешние импульсы лежат на массовой оболочке, так и частей диаграмм Фейнмана, с некоторыми или всеми внешними линиями вне массовой оболочки. Например, рассмотрим пространственно-временную трансляцион- трансляционную инвариантность. Следствием этой симметрии является существо- существование эрмитова оператора Рд, обладающего тем свойством, что для любой локальной функции О(х) полевых операторов и их сопряжен- сопряженных справедливы коммутационные соотношения [P^O(x)}=i^O(x) A0.1.1) (см. уравнения G.3.28) и G.3.29)). Состояния а и /3 обычно выбирают так, чтобы они были собственными для оператора 4-импульса: Р^-0=р^-0. A0.1.2)
§10.1. Симметрии 457 Отсюда следует, что для любого множества локальных функций Оа(х), Оъ{х) и т.д. полевых операторов и/или производных полевых операторов xi), 0&(х2),.. .}Ф+). A0.1.3) Следовательно, рассматриваемый матричный элемент можно запи- записать в виде (Ф~Г, {Оа(х1),Оь(х2),.. .}Ф+) = exp(i(pa - рр) • x)Fab... (х1-х2,...), A0.1.4) где х - произвольно выбранная средняя пространственно-временная координата с2 + ... = 1, A0.1.5) a F зависит только от разностей между различными х. (В частности, вакуумное среднее значение может зависеть только от разностей ко- координат.) Рассмотрим преобразование Фурье уравнения A0.1.4). Про- Проинтегрировав отдельно по жм и разностям координат, найдем 4x2 ... (Ф^Г, {Оа(х1),Оь(х2),.. . х ехр(—zfci • х\ — ik2 • х2 - ...) ос S4(pa - рр - к\ — к2 - ...). A0.1.6) Как мы видели в § 6.4, матричный элемент хронологически упоря- упорядоченного произведения соответствует сумме всех диаграмм со вхо- входящими линиями, отвечающими частицам в состоянии а, выходящи- выходящими—в состоянии /?, и внешними линиями, которые заканчиваются в вершинах xi, x2 и т.д. Аналогично, фурье-преобразование A0.1.6) получается применением правил Фейнмана в импульсном простран- пространстве к тем же диаграммам, с внешними линиями вне массовой обо- оболочки, несущими 4-импульсы fci, k2 и т.д. Таким образом, уравнение A0.1.6) означает лишь, что 4-импульс сохраняется. Этот результат очевиден, если исходить из теории возмущений, так как 4-импульс сохраняется в каждой вершине. Немного сложнее показывается, что сумма всех диаграмм с дан- данным набором входящих и внешних линий преобразуется под дейст- действием группы Лоренца так же, как и ее члены самого низкого порядка. Для этого надо лишь воспользоваться лоренцевскими законами преоб- преобразования "in" и "out" состояний и полей в представлении Гейзенберга. Похожие рассуждения можно применить к любой симметрии, следствием которой является сохранение внутреннего квантового чис- числа, например, электрического заряда. Как было показано в § 7.3, one-
458 Гл. 10. Непертурбативные методы ратор 0а(х), уничтожающий заряд qa (или рождающий —qa), должен удовлетворять коммутационному соотношению как в гейзенберговском представлении, так и в представлении взаи- взаимодействия. Обозначим заряды свободно-частичных состояний а и /3 через qa и qp соответственно; такими же зарядами будут обладать соответствующие "in" и "out" состояния. Тогда = (*pT,[Q,{Oa(x),Ob(y),...}]V+) = = -(qa + qb + -. .)Dp,T[Q, {Oa(x), Ob(y), ¦ . .}]Ф+). Таким образом, необходимым условием того, что амплитуда отлична от нуля, является сохранение заряда: Qp = Qa ~ Qa ~ Qb ~ • • • A0.1.7) Менее тривиальный пример — симметрия относительно зарядово- зарядового сопряжения. Как мы видели в гл. 5, существует оператор С, кото- который меняет местами электронные и позитронные операторы: Са(р,сг,е~)С~1 = ?*а(р,сг,е+), Са(р,сг,е+)С~1 = ?* а(р,сг,е~), где ? — фазовый множитель. Тогда свободное электронное поле при зарядовом сопряжении преобразуется следующим образом здесь /^С-матрица 4x4, которая в принятом нами представлении мат- матриц Дирака имеет вид 0 0 0 1" 0 0-10 0-100 10 0 0. Применение этого оператора к электрическому току в спинорной элек- электродинамике дает Следовательно, для того чтобы С был оператором симметрии в спи- спинорной электродинамике, он должен антикомму тировать со свобод- свободным фотонным полем: С(а^)С~1 = -а» = -а»
§10.2. Полюсная структура 459 В таких теориях, как электродинамика, в которых С коммутирует как с оператором взаимодействия, так и с Яо, он также коммутирует с преобразованием Q(t) перехода от гейзенберговского представления к представлению взаимодействия и, таким образом, антикомму тирует со взаимодействующими полями: = -Ф7М*, A0.1.8) и электромагнитным полем в представлении Гейзенберга: 1 = -АГ A0.1.9) Отсюда следует, что вакуумное среднее хронологически упорядочен- упорядоченного произведения любого нечетного числа электромагнитных то- токов и/или полей равно 0. Поэтому сумма всех диаграмм Фейнмана с нечетным числом внешних фотонных линий (вне зависимости от того, находятся ли они на или вне массовой оболочки) зануляется. Этот результат известен как теорема Фарри [1]. Его можно дока- доказать пертурбативно, заметив, что числа / и Е внутренних и внешних фотонных линий диаграммы, имеющей I электронных петель, к каж- каждой из которых прикреплены щ фотонных линий, связаны между со- собой уравнением, аналогичным F.3.11): То есть, если Е является нечетным, то по крайней мере к одной из петель должно крепиться нечетное число фотонных линий. Тогда две диаграммы, в которых электронные стрелки в этой петле противо- противоположно направлены, взаимно уничтожатся. Таким образом, теорема Фарри представляет собой более содержательное следствие принци- принципа симметрии, чем трансляционная инвариантность или симметрия относительно лоренцевских преобразований; она справедлива не для отдельно взятых диаграмм, а лишь для сумм определенных диаграмм. Отметим важное следствие теоремы Фарри: вклад любого нечетного порядка в рассеяние фотона внешним электромагнитным полем равен нулю. Рис. 10.1 иллюстрирует этот факт. § 10.2. Полюсная структура В данном параграфе мы изучим полюсную структуру фейнманов- ских амплитуд как функций импульса, который несут внешние линии. Результаты, которые мы получим, имеют ряд важных приложений. Например, часто 5-матрицу физического процесса можно хорошо ап- аппроксимировать, рассмотрев вклад лишь одного полюса. Понимание полюсной структуры также поможет нам при вычислении радиаци- радиационных поправок к пропагаторам частиц.
460 Гл. 10. Непертурбативные методы Рис. 10.1. Диаграммы самого низкого порядка для рассеяния фотона внеш- внешним электромагнитным полем. Здесь прямые линии обозначают виртуаль- виртуальные электроны; волнистые — виртуальные и реальные фотоны; двойная линия обозначает тяжелую частицу (например, атомное ядро), которая слу- служит источником внешнего поля. Вклады этих двух диаграмм взаимно уни- уничтожаются, в соответствии с симметрией относительно зарядового сопря- сопряжения Рассмотрим следующую амплитуду в импульсном представлении: X! ... d4xn е~^-х- (T{Ai(m)... Ап(хп)}H = G(qi ... qn). A0.2.1) Здесь А — гейзенберговские операторы, произвольным образом пре- преобразующиеся при лоренцевских бустах (спиноры, векторы и т.д.), а через (.. .)о обозначено усреднение по истинному вакууму: Ф+ = = Фо. Как следует из § 6.4, если Ai,..., Ап — поля, фигурирующие в лан- гранжиане, то амплитуда A0.2.1) равна сумме вкладов всех фейн-
§10.2. Полюсная структура 461 мановских диаграмм с внешними линиями, которые соответствуют полям Ai,..., Ап и несут 4-импульсы ^, лежащие вне массовой обо- оболочки. Однако мы не будем ограничиваться этим случаем; в нашем рассмотрении А{ могут быть любыми локальными функциями полей и их производных. Нас интересуют полюсы G при определенных зна- значениях инвариантного квадрата суммарного 4-импульса, который пе- переносят несколько различных комбинаций внешних линий. Для опре- определенности рассмотрим G как функцию q2, где q = q! + ... + qr = -qr+i - • • • - qn A0.2.2) с l^r^n — 1. Покажем, что G имеет полюс при q2 = —m2, где т - масса любого одночастичного состояния, которое имеет ненулевой матричный элемент между состояниями А\ А\ ... -А^Фо и АГ+\АГ ... - Вычет в этом полюсе равен ¦ ¦ ¦ 1r)M4^{qr+2 ... qn), A0.2.3) a где М определены следующим образом х): l ... d4xr е~^ ... е-**"*" (Фо, ПА^хг)... Аг(хг)}*р,а) = = BтгLб\д1 + ... + qr - p)M0\Pia(q2 ... qr), A0.2.4) r+1 ... d4xn e~iqr+1 'Xr+1 ... e~iqn 'Xn x qn +p)MPia\0(qr+2 ...qn) A0.2.5) Отметим, что ро = л/р2 + m2; суммирование ведется по всем спино- спиновым (и другим внутренним) степеням свободы частицы массой т. Прежде чем переходить к формальному доказательству, обсудим, что означает выражение A0.2.3) на языке фейнмановских диаграмм. Для этого полезно переписать его в более сложной на первый взгляд форме: G(qi ...qn)- — j a -т2I/2М0\К(Т(п2 ---qr)] x х) Вспомним, что при отсутствии зависящих от времени внешних по- полей входящие и выходящие одночастичные состояния эквивалентны, т.е. \Пг+ — ф- —
462 Гл. 10. Непертурбативные методы +ш2I/2Мк^|0(^+2 ... grn)]. A0.2.6) Это выражение в точности отвечает фейнмановской диаграмме с од- одной внутренней линией, соответствующей частице с массой т и соеди- соединяющей первые г и последние п — г внешних линий2). г-1 Рис. 10.2. Фейнмановская диаграмма с полюсной структурой A0.2.6). Здесь внутренняя линия с импульсом к соответствует элементарной частице, поле которой присутствует в лагранжиане Однако совсем необязательно, чтобы частица массы т соответ- соответствовала полю, которое содержится в лагранжиане теории. Уравнения A0.2.3) и A0.2.6) применимы и в том случае, когда рассматриваемая частица представляет собой связанное состояние так называемых эле- элементарных частиц, поля которых фигурируют в лагранжиане. Тогда полюс возникает не от одной диаграммы, изображенной на рис. 10.2, а от суммы бесконечного числа диаграмм, пример одной из которых показан на рис. 10.3. Заметим, что это первый результат данной гла- главы, который невозможно получить порядок за порядком в теории воз- возмущений. Перейдем к доказательству. Рассмотрим амплитуду A0.2.1). Су- Существует —;—:—гт способов упорядочения времен ж?,...,ж^ таких, г. (п — г). что любое из первых г х® больше, чем любое из оставшихся п — г 2) См. рис. 10.2. Множители сокращаются с кинематическими факторами внешних линий, которые соот- соответствуют частице массой т в М0|к,сг и -Л^к,<т|о- Сумма по всем а произве- произведений коэффициентных функций этих двух матричных элементов равна числителю пропагатора, отвечающего внутренней линии на рис. 10.2. На- Например, для случая, когда промежуточная частица — электрон, это следует из известных соотношений полноты для дираковских спиноров.
§10.2. Полюсная структура 463 г-1 \ \ XV г + 2 Рис. 10.3. Сумма диаграмм, подобных изображенной на рисунке, задает полюсную структуру A0.2.6). Здесь полюс появляется из-за существования композитной частицы — связанного состояния двух элементарных частиц. Элементарные частицы представлены прямыми линиями и взаимодейст- взаимодействуют, обмениваясь частицами, которые обозначены волнистыми линиями времен. Выделив вклад, соответствующий интегрированию по такой области, запишем выражение A0.2.1) в виде G(q1...qn)= [ d4Xl ...d4xn e~iqi 'Ж1 ... e~iQn 'Xn x x 6>(гшп[ж° ... x°r] - max[x°+1 ... x°n]) x x (Фо, T{Ai(m)... Ar(xr)}T{Ar+1(xr+1)... Ап(хп)}Ъ0) + ОТ, A0.2.7) где ОТ обозначает другие члены, возникающие при хронологиче- хронологическом упорядочении. Запишем матричный элемент A0.2.7), вставив полный набор промежуточных состояний между двумя хронологи- хронологически упорядоченными произведениями. Среди промежуточных со- состояний содержатся и одночастичные состояния Фр,сг частицы мас- массой т. Далее, отделяя вклад одночастичных состояний, получим G(q1...qn)= [ d4Xl ...d4xn e~iqi 'Ж1 ... e~iQn 'Xn x x 6>(гшп[ж° ... x°r] - max[x°+1 ... x°n]) x ОТ, A0.2.8) где теперь ОТ обозначает остальные члены, появляющиеся как от других хронологических упорядочений, так и от многочастичных про- промежуточных состояний. Сделаем замену переменных интегрирования
464 Гл. 10. Непертурбативные методы следующим образом Xi = X! +Vi, i = 2, 3, ..., Г, Xi = xr+1 +yi, i = r + 2, ..., n. Воспользовавшись результатом предыдущего параграфа, запишем Тогда аргумент ^-функции примет вид >ст), (Ю-2.9) )... А,Ы}Ф0). (Ю.2.10) y° ...y°r] - max[0y°+1... y°n]. Далее, подставим в выражение A0.2.8) фурье-представление F.2.15) ступенчатой функции. Напомним его вид (X) — оо Интегрирования по х\ и хг+\ дадут дельта-функции: G(qi ...qn)= / dAy2 ... dAyr dAyr+2 • • • dAyn x X оо x (Фр,<г,Г{Аг+1@)...АпB/п)}Фо) x x BтгLE3(р - qi - ... - чгM(л/р2+гп2 + w - gf? - ... - rf) x X B^L?3(qr+1 + ... + qn + p) J(^+1 + ... + <# + л/р2 + m2 + cj) + + OT. A0.2.11) Нас интересует лишь полюс, возникающий при обнулении знаме- знаменателя и + ге, т.е. можно с чистой совестью положить множитель ехр(—icjfmin — max]) равным единице. Тогда, выполняя тривиальные
§10.2. Полюсная структура 465 интегрирования по р и w, получим полюс: ... qn) -> iB7rO5\qi + ... + qn)[q° - л/q2 + m2 + ie}'1 X M0\4ia(q2 ... ^n)Mq><7|0(^r+2 • • • qn) + • • •, A0.2.12) где ), (Ю.2.13) У- x x (Фч><г, T{Ar+i@)Ar+2B/r+2)... АПB/П)}ФО), (Ю.2.14) а последнее троеточие в A0.2.12) обозначает члены, не имеющие по- полюса в точке q2 = —m2. (Обсудим кратко их влияние на аналитиче- аналитическую структуру амплитуды A0.2.12). Члены, соответствующие одно- частичным состояниям с массой, отличной от т, имеют полюсы по q2 в точках, не совпадающих с — т2; соответствующие многочастичным состояниям дают точки ветвления рассматриваемой амплитуды как функции q2; и наконец, члены, происходящие от остальных хроноло- хронологических упорядочений, будут давать полюсы и разрезы в других пе- переменных.) Используя уравнения A0.2.9) и A0.2.10), легко показать, что М, определенные выражениями A0.2.13) и A0.2.14), совпадают с матричными элементами, введенными ранее по формулам A0.2.4) и A0.2.5). При q° -+ д/q2 + т2 7° - л/а2 +m2 +?> -(V^2 4- Г л/а2 4- m2 - ?>J а2 + т2 - ie (Мы вновь заменили е на 2ел/(\2 + т2; это законно, так как е — про- произвольная бесконечно малая положительная величина.) Таким обра- образом, уравнение A0.2.12) в точности совпадает с желаемым результа- результатом A0.2.3). Доказательство завершено. Этот результат имеет классическое приложение в теории ядер- ядерных сил. Пусть Фа(ж) — какая-то действительная комбинация полей (например, билинейная форма кварк-антикварк qj^Taq), матричный элемент которой между вакуумом и однопионным состоянием с изо- спином а отличен от нуля. Выберем нормировку так, чтобы <УАС|Фа@)Кр> = B7r)-3/2Bp°r1/2<W A0.2.15) Тогда матричный элемент Фа между однонуклонными состояния- состояниями с 4-импульсами р, р' имеет полюс при (р — р') —у — т2. Его вид 30 С.Вайнберг. Т. 1
466 Гл. 10. Непертурбативные методы однозначно определяется изоспиновой и лоренцевской инвариантно- инвариантностью3): (N',a',p'\$a@)\N,a,p) -> гBтг)-3С7Г х ^'^f^, A0.2.16) где и и и' — спинорные функции, соответствующие начальному и ко- конечному нуклонам и включающие также изоспиновые индексы, а та, а = 1, 2, 3, — матрицы Паули в изоспиновом пространстве. Постоян- Постоянную Gn называют константой пион-нуклонного взаимодействия. По- Полюс A0.2.16) на самом деле нефизический (поскольку в физической области (р — р'J ^ 0), но он может быть получен аналитическим про- продолжением этого матричного элемента из физической области в нефи- нефизическую. Для этого нужно рассмотреть матричный элемент с им- импульсами вне массовой оболочки: f >(T{<$>a@)N(x)N'(x')})vAC, где N и N' — подходящие компоненты операторов поля или про- произведений операторов, обладающие отличным от нуля матричным элементом между однонуклонными состояниями и вакуумом. Рас- Рассмотрим рассеяние двух нуклонов. Обозначим их начальные им- импульсы через р\ и р2, а конечные через р[ и р'2. Из доказанной теоремы следует, что 5-матрица такого процесса имеет полюс при (Pi -PiJ = (Р2 -Р'2J ~> -ml- G2 Sn[n>,Nin2 -> -гBтгLй4(р/1 + р'2 -Pl -р2) ^ ,^2+Ш2 х х B7r)-3(f2/l75T-a^i) х Bтг)-3(п2Ътаи2). A0.2.17) (Все численные коэффициенты в этой формуле могут быть легко по- получены на языке фейнмановских диаграмм; а теорема A0.2.3) гаран- гарантирует нам, что все будет так же, как если бы лагранжиан включал элементарное пионное поле.) Пионный полюс вновь лежит в нефи- нефизической области, так как при рассеянии нуклонов с импульсами на массовой оболочке (р\ —piJ ^ 0; но его можно получить аналитиче- 3) Как следует из лоренцевской и изоспиновой инвариантности, рас- рассматриваемый матричный элемент должен быть пропорционален (иГтаи), где Г — матрица 4x4, такая что (ф Tip) представляет собой псевдоска- псевдоскаляр. Как и любая матрица 4 х 4, Г может быть разложена по базису 1, 7м? [7m>7^L 757м и 75- Коэффициенты должны быть соответственно псевдо- псевдоскаляром, псевдовектором, псевдотензором, вектором и скаляром. Из двух импульсов р ир' можно составить лишь один псевдотензор, пропорциональ- пропорциональный е^ирстРрРсп и скаляр (р — р1J. Используя уравнение Дирака в импульс- импульсном пространстве для или , легко видеть, что тензорная и псевдовекторная матрицы в разложении Г дают вклад, пропорциональный 75-
§10.3. Перенормировка поля и массы 467 ским продолжением элемента 5-матрицы, например, рассмотрев мат- матричный элемент с импульсами вне массовой оболочки: d4Xl d4X2 d4x[ d4x'2 e-iPi-*ie-H*-*2e+ip'i<e+iP2-*2 x x(T{N1(x1),N2(x2),N[(xl1),N^x2)})VAC. Несмотря на то что полюс нефизический, масса пиона достаточно мала и, следовательно, полюс находится очень близко к физической области. При определенных условиях его вклад в 5-матрицу домини- доминирует. Это, например, имеет место при резонансном рассеянии в кван- квантовой механике. Существование полюса при (р\ — р[J = (р2 — р'2J ~^ ~т\ озна" чает, что мы имеем дело с силами, радиус действия которых по- порядка 1/штг. Например, в первоначальной теории ядерных сил, раз- разработанной Юкавой [2], обмен мезонами создает потенциал вида ехр(—77г7Гг)/4тгг. Тогда при нерелятивистском рассеянии 5-матрица в первом борновском приближении пропорциональна выражению exP(-m7r|xi-x2|) 3( , 4tt|xi -x2| Множитель p-r представляет собой нерелятивистский (Pi -PiJ+m2 предел пропагатора ^- в выражении A0.2.17). (В самом [Pi ~ Pi) + ^-тг деле, при нерелятивистском рассеянии, в силу того что |pi| ^C niN и г 2 / 2т \р[\ ^С гтгдг, передача энергии р\ — р[° равна ^- —, что пренебре- ZTTljSf жимо мало по сравнению с |pi — pi |.) После появления теории Юкавы было высказано предположение, состоящее в том, что такой тип зави- зависимости от импульса обусловлен появлением мезонного поля в теории. Лишь в 1950-е годы окончательно стало понятно, что наличие полюса при (pi — р[J —У —т^ вытекает из существования пиона как частицы; элементарная это частица или нет, не имеет никакого значения. § 10.3. Перенормировка поля и массы Теперь мы применим специальный случай результата предыдуще- предыдущего параграфа к изучению радиационных поправок к внешним и внут- внутренним линиям произвольного процесса. 30*
468 Гл. 10. Непертурбативные методы Нас будет интересовать специальный случай, когда 4-импульс какой-то из внешних линий приближается к массовой оболочке. (В обозначениях предыдущего параграфа это соответствует г = 1). Рассмотрим корреляционную функцию A0.3.1) где &i(x) — оператор в представлении Гейзенберга, обладающий та- такими же трансформационными свойствами при преобразованиях Ло- Лоренца, как и некоторое свободное поле т/>/, преобразующееся по непри- неприводимому представлению однородной группы Лоренца (или, в случае теорий с сохранением четности, группы Лоренца, включающей про- пространственную инверсию), a А2, А% и т.д. — произвольные операторы в представлении Гейзенберга. Предположим, что одночастичное со- состояние ФЧ1,<т имеет ненулевой матричный элемент между состояния- состояниями 0\; Фо и А2А% ... Фо. Тогда, в соответствии с результатами преды- предыдущего параграфа, G\ имеет полюс при q\ = -m2, причем х Jd4x2 ... е-*9*'**... (ЪЧиаТ{А2(х2).. .}Ф0). A0.3.2) В силу лоренц-инвариантности имеем ^2Dl,a), A0.3.3) где u/(q, а) — нормировочный коэффициент Ч при свободном поле т/>/, обладающем теми ж:е свойствами при лоренцевских преобразованиях, что и ^/, и N постоянная. (Мы сделали предположение о том, что &\ преобразуется по неприводимому представлению именно для того, чтобы в уравнении A0.3.3) появлялась лишь одна неизвестная кон- константа N). Определим "усеченный" матричный элемент М/ следую- следующим образом -*2... (ФЧ1>(ТТ{А2Ы .. .}Ф0) = -)- (Ю-3.4) :) Например, для стандартным образом нормированного скалярного поля ui(q,a) = [2д/я12 +ш2]~1/2.
§10.3. Перенормировка поля и массы 469 Тогда при q2 —У —т2 уравнение A0.3.2) примет вид A0.3.5) В соответствии с уравнениями F.2.2) и F.2.18), величина, на которую умножается Му в A0.3.5), представляет собой пропагатор — iAu>(qi) свободного поля г/ji, которое преобразуется по тому же представлению группы Лоренца, что и б\ (по крайней мере это утверждение верно в пределе q2 —у —т2). Поэтому можно заключить, что М/ — это сумма всех диаграмм с внешними линиями, соответствующими операторам б\, А<±,... и несущими импульсы q\, q^ ..., с выкинутым пропагатором линии, отвечающей в\. Следовательно, уравнение A0.3.4) почти сов- совпадает со сформулированным ранее способом вычисления матричного элемента при излучении частицы: надо выкинуть пропагатор частицы и оставшуюся часть диаграммы свернуть с множителем Bтг)~3^2и^. Единственным отличием является множитель N. Мы доказали это утверждение, полученное Леманном, Симан- чиком и Циммерманом [3] и известное как редукционная формула, несколько необычным способом, применимым для полей с произволь- произвольным спином. Очень важно также, что данное утверждение справед- справедливо для любого оператора; &\ не обязан входить в лагранжиан в качестве элементарного поля, и частицы, которые он создает, могут быть связанными состояниями элементарных. Однако доказанный ре- результат глубоко нетривиален и в случае, когда в\ — элементарное по- поле: если мы хотим пользоваться привычными правилами Фейнмана для вычисления 5-матричного элемента, надо сперва переопределить поле, нормировав его таким образом, чтобы (не запутайтесь в бук- !): (Фо, Ф/@)Фч,ст) = Bтг)-3/Ч(Ч, о). A0.3.6) Нормированное таким образом поле называют перенормированным полем. Константа перенормировки N естественным образом появляет- появляется также в другой важной ситуации. Предположим, что в уравнении A0.3.1) присутствует лишь один оператор А; выберем в качестве этого оператора сопряженный к какому-либо оператору из мультиплета &\. Тогда уравнение A0.3.2) примет вид d4Xl Id4x2 е-^-^е-^'-"(Фо,ТЩ(Х1L (ж2)Фо) ^^^ / q2 + т2 — ie . A0.3.6)
470 Гл. 10. Непертурбативные методы Это обычное поведение пропагатора (суммы всех диаграмм с дву- двумя внешними линиями) вблизи полюса, за исключением множите- множителя |^V|2. В соответствии с уравнением A0.3.6), этого множителя нет в пропагаторе перенормированного поля Ф/. Таким образом, поведе- поведение пропагатора перенормированного поля вблизи полюса такое же, как и у пропагатора свободного поля; перенормированная масса опре- определяется из положения полюса этого пропагатора. Для того чтобы увидеть, как это работает на практике, рас- рассмотрим теорию скалярного поля Ф# со взаимодействием; индекс В поставлен, чтобы мы не забывали, что имеем дело с "затравоч- "затравочным" (т.е. неперенормированным) полем. Плотность лагранжиана, как обычно, возьмем в виде \ ЗФ^Ф \ |Ф| \ ЗдФв^Фв - \ т|Ф| - Ув(Фв)- (Ю.3.7) Выполнение условия A0.3.6) для поля Фв или совпадение физиче- физической массы с затравочной тв возможно только при наличии каких- то особых симметрии. Лагранжиан A0.3.7) такими симметриями не обладает, поэтому поле и масса перенормируются: ф = ^-1/2фВ5 A0.3.8) т2 = m| + ?т2, A0.3.9) где Z выбрано таким образом, чтобы Ф удовлетворяло уравнению A0.3.6), а 5т2 — так, чтобы у пропагатора был полюс в точке q2 = — т2. (Использование символа Z общепринято для этого случая; для каждого члена в лагранжиане вводится свое Z). Можно перепи- переписать плотность лагранжиана A0.3.7) как с (г/ -| \ Г О 2 ^ф^Ф + ш2Ф2] ¦^1, >-^ш2Ф2, - ш - A0.3.10) A0.3.11) (Ф), A0.3.12) где При вычислении поправок к пропагатору перенормированного ска- скалярного поля, обычно обозначаемому через A'(q), удобно рассматри- рассматривать отдельно так называемые одночастично неприводимые диаграм- диаграммы: связная диаграмма называется одночастично неприводимой, если она не может быть разделена на две части путем удаления одной внутренней линии. Пример одночастично неприводимой диаграммы приведен на рис. 10.4. Обозначим сумму таких диаграмм, опуская внешние пропагаторы -гBтг)~4(д2 + т2 - ie)~1, через гBтгLП*(д2).
§10.3. Перенормировка поля и массы 471 Рис. 10.4. Диаграмма на рис. а является одночастично-неприводимой, на рис. б — не является. Такие диаграммы появляются в теории с четверной вершиной, например, в теории скалярного поля ф со взаимодействием, про- пропорциональным ф4 Полный пропагатор дается суммой диаграмм-"цепочек" из одной, двух, трех и т.д. таких одночастично-неприводимых поддиаграмм, соединенных друг с другом посредством затравочных пропагаторов: А ^ + m 2 - или A'(q) = [q2 + m2 - ie}'1 + [q2 + т2 - ie]'1^{q2)[q2 + m2 - ie}'1 + + [q2 +m2- i^nVJb2 + m2 - ie]-1^^2)^2 + m2 - ie}'1 + ... A0.3.14) Суммируя геометрическую прогрессию, получим A'(q) = [q2 + m2 - П*(^2) - ie]'1. A0.3.15) П* складывается из двух частей: древесные диаграммы с одной единственной вершиной, соответствующей членам 9ДФ9МФ, Ф2 в вы- выражении A0.3.12), а также петлевые диаграммы аналогичные пока- показанной на рис. 10.4, а: П*(92) = -(Z - l)[q2 + т2] + ZSm2 + П^ООР(^2). A0.3.16) Точный пропагатор имеет полюс при q2 = —т2, где т — физическая масса частицы, поэтому П*(-ш2) = 0. A0.3.17) Вычет пропагатора в полюсе q2 = — т2 должен быть равен единице, как это имеет место для затравочного пропагатора, т.е.
472 Гл. 10. Непертурбативные методы Из уравнений A0.3.17) и A0.3.18) можно вычислить Z и 8т2'. ZSm2 = -П?ООР(-т2), A0.3.19) 2=0. (Ю.3.20) 2 Легко видеть, что как Z5m2, так и Z — 1 пропорциональны константе связи, поэтому трактовка первых двух членов в A0.3.12) в качестве возмущения законна. В конкретных вычислениях проще всего вычитать из петлевого члена П?оор линейный по q2 полином, выбранный так, чтобы полу- полученная разность удовлетворяла уравнениям A0.3.17) и A0.3.18). Как мы увидим, такая процедура вычитания мгновенно устраняет все рас- расходимости, возникающие из интегралов по импульсному пространству в П?оор- Однако отметим, что перенормировка масс и полей не имеет прямого отношения к наличию расходимостей в теории и она была бы необходима даже для теории, в которой все интегралы по им- импульсному пространству сходятся. Важным следствием условий A0.3.17), A0.3.18) является то, что теперь нет необходимости учитывать радиационные поправки к внеш- внешним линиям, которые находятся на массовой оболочке, т.е. [n*(q2)[q2+m2-ie\-1 + A0.3.21) Сходные рассуждения можно применить к полям с произвольным спином. Например, для "затравочного" дираковского поля лагран- лагранжиан равен Jgf = -Фв[9 + тв]Фв - ЫФвФв). A0.3.22) Введем перенормированные массу и поле следующим образом Ф = ^~1/2Фв, A0.3.23) т = тв + Sm. A0.3.24) (В литературе константу перенормировки фермионного поля принято обозначать именно через Z2.) Тогда плотность лагранжиана может быть переписана в виде J^ = J%+^l, A0.3.25) jSf0 = _ф[<9 + т]Ф, A0.3.26) Обозначим через гBтгLЕ*(&) сумму всех связных диаграмм с одной входящей фермионной линией, несущей импульс к и одной выходя-
§10.4- Перенормировка заряда и тождества Уорда 473 щей, которые нельзя разрезать ни по какой внутренней фермион- ной линии; будем также опускать множители —гBтг)~4 и [ik + т — ie], соответствующие пропагаторам внешних линий. (Здесь мы также ис- использовали лоренц-инвариантность, из которой следует, что Е* зави- зависит лишь от скалярной матрицы k = k^j^). Тогда полный фермион- ный пропагатор равен S'(k) = [ik + m- ie}-1 + \ik + m- ie]-1^* (k)[ik + m - ie]~x + + [ik + m - ie}-1^*^)^ + m - ie]'1^*(k)[ik + m - ie}'1 + ... = = [ik + m-Z*(k) -ie]-1. A0.3.28) При вычислении Е*(/с) мы должны учитывать как древесные диа- диаграммы, происходящие из членов 1?\ (см. A0.3.27)), пропорциональ- пропорциональных Ф<9Ф, ФФ, так и петлевые поправки: т] + Z25m + 5^*(ib). A0.3.29) LOOP Тогда условие того, что полный пропагатор имеет полюс при к2 = — т2 с тем же вычетом, что и пропагатор до учета поправок, имеет вид ?*(шг) =0, A0.3.30) =0, A0.3.31) дк k=im поэтому Z2Sm = ~2_^ (im), A0.3.32) LOOP /}V* (h\ ^2 = 1-* —-*— ~ . • A0.3.33) (jfc k=im Точно так же, как и для скалярного поля, из обнуления [ik + т]-1^* (к) в пределе к —У im следует, что не надо учитывать радиационные поправки к внешним фермионным линиям. Выводу аналогичных свойств фотонного пропагатора мы посвятим § 10.5. § 10.4. Перенормировка заряда и тождества Уорда В этом параграфе мы обсудим, как физические электрические за- заряды связаны с формальными параметрами, которые фигурируют в лагранжиане. Напомним, что из инвариантности лагранжиана по отношению к глобальным калибровочным преобразованиям Ф/ —>¦ —У ехр(г^/а)Ф/ (здесь а — произвольная постоянная) следует суще-
474 Гл. 10. Непертурбативные методы ствование нетеровского тока удовлетворяющего условию сохранения д^ = 0. A0.4.2) Отсюда следует, что интеграл по трехмерному пространству от вре- временной компоненты JM не зависит от времени: iftQ = [Q,H] = 0. A0.4.3) Здесь Q=fd3xJ°. A0.4.4) (Заметим, что существуют теории, в которых интеграл A0.4.4) мо- может расходиться. Например, такая ситуация имеет место при наличии дальнодействующих сил, обусловленных безмассовыми скалярами. Мы вернемся к этому вопросу во втором томе при рассмотрении нару- нарушения симметрии.) Очевидно, что Q — трансляционно-инвариантная величина: [P,Q] = 0, A0.4.5) а из того, что JM — 4-вектор, следует инвариантность Q относительно однородных преобразований Лоренца: [J^,Q]=0. A0.4.6) Поэтому, действуя оператором Q на истинный вакуум Фд? мы получим другое лоренц-инвариантное состояние, обладающее нулевой энерги- энергией и импульсом, и (в силу невырожденности вакуума) это состояние должно быть пропорционально Фо- Константа пропорциональности равна 0, так как из лоренц-инвариантности можно заключить, что (Фо,«/^Фо) = 0. Значит, <2Ф0 = 0. A0.4.7) Аналогично, действие Q на любое одночастичное состояние ФР,о-,п должно давать другое одночастичное состояние с теми же энергией, импульсом и свойствами при преобразованиях Лоренца. При пред- предположении о невырожденности одночастичных состояний это новое состояние пропорционально исходному: <9Фр,<г,п = д(п)Фр,<г,п. A0.4.8) Лоренц-инвариантность Q гарантирует, что собственное значение q^ не зависит от р и сг, а определяется лишь типом частицы. Это соб- собственное значение называется электрическим зарядом одночастичного
§10.4- Перенормировка заряда и тождества Уорда 475 состояния. Установим связь этой величины с параметром qi, фигури- фигурирующим в лагранжиане. Для этого вспомним канонические коммута- коммутационные соотношения [J°(x, t), Ф,(у,«)] = -«Ф«(У, *)<*3(х - у). (Ю.4.9) Проинтегрировав это тождество по всему трехмерному пространству, получим [Q,*j(l/)] = -«**(!/)• A0.4.10) Для любой локальной функции F(y) полей, производных полей и их сопряженных имеет место аналогичное равенство: [Q,F(y)] = -qFF(y), A0.4.11) где qp — сумма зарядов всех полей и производных полей, которые входят в F(y), минус сумма зарядов сопряженных полей и их произ- производных. Взяв матричный элемент уравнения A0.4.11) между одноча- стичным состоянием и вакуумом, получим (Фо, F(y)*p^n)(qF - q(n)) = 0. A0.4.12) Тогда ?(») = QF A0.4.13) при условии ^o,F(j^p>ff,n)#0. A0.4.14) Напомним, что выполнение условия A0.4.14) эквивалентно наличию у функции Грина оператора F полюса, соответствующего одночастич- ному состоянию Фр,о-,п- Для одночастичного состояния, отвечающего одному из полей, фигурирующих в лагранжиане, можно взять F = Ф/, и тогда qp — q\; однако наши результаты справедливы также для про- произвольных "неэлементарных" одночастичных состояний. Отсюда почти что следует (однако это не совсем верно!), что, несмотря на диаграммы высших порядков, физический электриче- электрический заряд равен в точности параметру д/, который фигурирует в лагранжиане (или сумме таких параметров, как это имеет место для qp). Здесь надо сделать одно существенное замечание: требова- требование инвариантности лагранжиана при калибровочных преобразова- преобразованиях Ф/ —у ехр(г^/а)Ф/ не фиксирует общий масштаб зарядов системы, а задает лишь отношение между ними. Физические электрические за- заряды должны определять отклик полей материи на физическое, и зна- значит, перенормированное электрическое поле А^. То есть, масштаб q\ фиксируется, если потребовать, чтобы перенормированное электро- электромагнитное поле присутствовало в лагранжиане материи Ьм в линей- линейных комбинациях [д^ — iqiA^^i. Тогда ток равен J" = 5-^-. A0.4.15) Заметим, что А^ и q\ в формуле A0.4.15) отличаются от электромаг- электромагнитного поля Ag и зарядов двь которые присутствуют в исходном,
476 Гл. 10. Непертурбативные методы затравочном лагранжиане Bl№i). (Ю.4.16) Перенормированное электромагнитное поле (определяемое так, что- чтобы вычет в полюсе р2 = 0 полного пропагатора был равен единице) принято записывать в виде A» = Z-1/2A?, A0.4.17) поэтому, для того чтобы заряд q\ характеризовал отклик заряженной частицы на перенормированное электромагнитное поле, мы должны определить перенормированный заряд следующим образом: qi = л/^№/. A0.4.18) Таким образом, физический электрический заряд q любой частицы пропорционален параметру дв, фигурирующему в лагранжиане, при- причем константа пропорциональности \J~Zz одинакова для всех заряжен- заряженных частиц. Это утверждение объясняет, почему протон, окруженный облаком виртуальных мезонов и других сильно взаимодействующих частиц, которые, казалось бы, должны экранировать его электриче- электрическое поле, может иметь такой же заряд, как и позитрон, взаимодей- взаимодействия которого с другими частицами гораздо слабее. Для этого доста- достаточно лишь предположить, что по каким-то причинам затравочный заряд электрона и сумма затравочных зарядов частиц, из которых состоит протон (напомним, что кварковая структура протона — uud) равны по модулю и противоположны по знаку; все эффекты высших порядков полностью содержатся в общем для всех заряженных ча- частиц множителе л/^з- Для того чтобы перенормировка заряда возникала лишь из радиа- радиационных поправок к фотонному пропагатору, должно происходить сокращение всевозможных поправок к пропагаторам и электромаг- электромагнитным вершинам заряженных частиц. На первый взгляд совершен- совершенно непонятно, почему такие сокращения имеют место. Мы сможем немного лучше понять их природу, обсудив соотношения между про- пагаторами заряженных частиц и вершинами, известные под назва- названием тождеств Уорда. Рассмотрим корреляционную функцию электрического тока JM, дираковского поля ФпB/) с зарядом q и ковариантно сопряженного ему поля Фш(^). Определим электромагнитную вершину Г^ заряжен- заряженной частицы следующим образом d4x d4y d4z e-ip-*e-ik-ye-ip-ze+il-z(Vo,T{J»(x)Vn(y)Vm(z)}Vo) = 44 к-1), A0.4.19)
§10.4- Перенормировка заряда и тождества Уорда 477 где -iBir)*S'nm(kN\k-l) = е-^е+^. A0.4.20) В соответствии с теоремой § 6.4, выражение A0.4.20) равно сумме всех фейнмановских диаграмм с одной входящей и одной выходя- выходящей фермионными линиями, то есть полному дираковскому пропа- гатору. Аналогично, выражение A0.4.19) представляет собой сумму всех диаграмм с тремя внешними линиями: одной фотонной и дву- двумя фермионными. Поэтому Гм соответствует "вершинным" диаграм- диаграммам с одной входящей и одной выходящей фермионными линиями и с одной фотонной линией, из которых выкинуты полные дираковские пропагаторы, отвечающие внешним линиям, а также затравочный фо- фотонный пропагатор внешней линии. Чтобы избежать недоразумений с нормировкой S' и Г'2, заметим, что при отсутствии взаимодействия эти функции равны соответственно S'(k) -+ [ijxkx + m - ie]-1, Т»(к,1) ^ 7м- Однопетлевые поправки к этим выражениям можно получить из диа- диаграмм, изображенных на рис. 10.5. Рис. 10.5. Диаграммы, соответствующие первым поправкам к электронно- электронному пропагатору и вершинной функции в КЭД. Здесь прямые линии обозна- обозначают электроны, а волнистые — фотоны Соотношение между Гм и S' можно получить, воспользовавшись тождеством ¦^ Т{ J»(x 6(х° - + ё(х° - z°)T{*n(y)[J°(x), ФгоB)]}, A0.4.21) где дельта-функции возникают при дифференцировании ступенчатых функций времени. Из закона сохранения A0.4.2) следует, что первый
478 Гл. 10. Непертурбативные методы член равен нулю, а второй и третий могут быть вычислены с помо- помощью коммутационных соотношений A0.4.9), которые в данном случае имеют вид [Лх,*),Ф„(у,*)] = -q^n(y,t)S3(x-y), A0.4.22) [Лх,*),Ф„(у,*)] = -<?Ф„(у,^3(х-у). A0.4.23) Подставив коммутаторы A0.4.22) и A0.4.23) в тождество A0.4.21), получим ^ Т{ J»{x)*n{y)*m{z)} = -qS4(x - y)T{*n(y)*m(z)} + + qS\x - z)T{4!n{y)ym{z)}. A0.4.24) Отсюда и из определения вершинной функции A0.4.19) следует ра- Т\ (-* ТТ С* Т1 Т\ О (I - k)^S'(k)r»(k, l)S'(l) = iS'(l) - iS'(k), или, другими словами, (/ - АОМГ"(М) = г^'-1^) - iS'-^l). A0.4.25) Это соотношение называется обобщенным тождеством Уорда. Впер- Впервые оно было получено в работе Такахаши [4]. В оригинальной работе Уорда [5] было доказано более слабое утверждение, которое следует из равенства A0.4.25) в пределе I —У к: Г»(к, к) = -{-?- S'-^k). A0.4.26) UK/j, Фермионный пропагатор, как следует из уравнения A0.3.28), связан с собственно-энергетической частью Е*(/с) следующим образом поэтому уравнение A0.4.26) может быть переписано в виде Г"(*, к) = 7м + г Jr- E*(fc). A0.4.27) Для перенормированного дираковского поля уравнения A0.3.31) и A0.4.27) показывают, что на массовой оболочке п'кГ»(к, к)ик = п'к^ик, A0.4.28) где спиноры и и и' удовлетворяют уравнению Дирака: [ij^ + т]ик = [ij^ + т]и'к = 0. Таким образом, при взаимодействии фермиона, находящегося на мас- массовой оболочке, с электромагнитным полем без передачи импульса (а именно такая ситуация имеет место, когда мы измеряем электри- электрический заряд) перенормировка фермионного поля компенсирует ра- радиационные поправки к вершинной функции Гд.
§10.5. Калибровочная инвариантность 479 § 10.5. Калибровочная инвариантность В этом параграфе мы докажем полезное тождество для амплитуд излучения фотонов, а затем воспользуемся им для вывода свойств пе- перенормированного фотонного пропагатора. Как и в предыдущем па- параграфе, нам понадобятся лишь коммутационные соотношения токов. Рассмотрим величину X X A0.5.1) В спинорной электродинамике, где электромагнитное взаимодействие линейно по Ад, амплитуда A0.5.1) представляет собой матричный эле- элемент излучения (и/или поглощения) фотонов с импульсами q, q' и т.д. (и/или —q, —q' и т.д.) при произвольном процессе а —> E. Мы не требуем, чтобы импульсы фотонов лежали на массовой оболочке; отметим также, что в A0.5.1) опущены коэффициенты, соответству- соответствующие внешним фотонным линиям. Докажем, что свертка выражения A0.5.1) с 4-импульсом любого из внешних фотонов равна нулю: ?дМ^'-(д, <?',..•) =q'lt,M%'"(q, <?',...) = ... = 0. A0.5.2) Так как М симметрично по отношению к фотонным линиям, доста- достаточно показать справедливость первого из равенств A0.5.2). Для это- этого заметим, что q^M^'-(q,q',.. .) = -i j' d4x j' d4x' X X ') A0.5.3) Электрический ток J^ сохраняется, но из этого пока не следует, что выражение A0.5.3) отлично от нуля, так как надо учитывать тэта- функции от времени, возникающие при хронологическом упорядоче- упорядочении. Например, для двух токов: = в(х° - у°)^(х)Г(у) + в(у° - х°) поэтому, учитывая сохранение JM(x), получим ^ T{J»(x)r(y)} = S(x° - yo)J°(x)r(y) - S(y° - x°)r(y)J°(x) = = S(x°-yo)[J°(x),r(y)}. A0.5.4) Если токов больше чем два, то хронологически упорядоченное произ- произведение содержит одновременные коммутаторы J0 (ж) со всеми други- другими токами. Чтобы найти такой коммутатор, вспомним, что для лю- любого произведения F полевых операторов, производных полей и их
480 Гл. 10. Непертурбативные методы сопряженных справедливо соотношение [J°(x,t),F(y,t)} = -qFF{x,tM\x-y), где qp — сумма зарядов всех полей и производных полей, входящих в F, минус сумма зарядов всех сопряженных полей и их производных. Для электрического тока qj = 0, т.е. сам по себе Ju(y) представляет собой электрически нейтральный оператор. Следовательно, [J°(x,t),r(y,t)}=0. A0.5.5) Поэтому уравнение A0.5.3) принимает вид q^M^-(q,q',...)=0, A0.5.6) что и требовалось доказать. Здесь, однако, мы должны сделать существенное замечание. В ток Jv'(у) входит произведение полей в одной и той же пространственно- временной точке. Поэтому для того чтобы корректно его определить, необходимо воспользоваться процедурой регуляризации. Регуляриза- Регуляризацию можно производить по-разному, и при некоторых способах ока- оказывается, что коммутатор регуляризованных токов A0.5.5) отличен от нуля. Отметим, что если теория содержит комплексное скаляр- скалярное поле Ф, то выражение A0.5.5) также не равно нулю и содержит слагаемые, пропорциональные Ф^Ф и возникающие при любой про- процедуре регуляризации. Все вклады в рассматриваемый коммутатор называются швингервескими членами. Однако можно показать, что во всех случаях швингеровские члены не влияют на амплитуды фи- физических процессов. На этом мы завершим обсуждение швингеровских членов, так как далее мы будем пользоваться так называемой размерной регуляриза- регуляризацией, при которой они отсутствуют. В рамках такой процедуры "наив- "наивные" коммутационные соотношения A0.5.5) остаются верными. Результат A0.5.2) легко обобщить на случай, когда помимо фото- фотонов имеются другие незаряженные частицы, лежащие вне массовой оболочки, а все заряженные частицы находятся на массовой оболоч- оболочке, т.е. содержатся в состояниях Ф^ и Ф+. Последнее требование необ- необходимо, так как в противном случае в левой части A0.5.2) появились бы дополнительные вклады от одновременных коммутаторов, как это имело место при выводе тождеств Уорда. Одним из следствий равенства A0.5.2) является инвариантность 5-матричных элементов при замене фотонного пропагатора A/liy(q) на A^(q) -+ A^(q) + a^qv + q^Vl A0.5.7) равно как и при замене поляризации фотона на еДк, Л) -^ еДк, Л) + скр, A0.5.8)
§10.5. Калибровочная инвариантность 481 где к0 = |к|, а ам, /Зи и с — произвольны, они могут зависеть от q и быть различными для различных пропагаторов или поляризаций). Эту симметрию называют иногда калибровочной инвариантностью 5-матрицы. Сформулированный результат непосредственно следует из уравне- уравнения A0.5.2) и вида зависимости 5-матричного элемента от поляриза- поляризаций и пропагаторов фотонов: ос / d4 х .. .е^, А'^е^Ц, Af>)... ...,-&;,-*?,... ,&ь&2...) (Ю.5.9) где Мра--- — матричный элемент A0.5.1), вычисленный при отсут- отсутствии электромагнитного взаимодействия1). (Напомним, что в §9.6 мы доказали специальный вариант этой теоремы, а именно, тот факт, что вакуумные средние хронологически упорядоченных произведений калибровочно-инвариантных операторов не зависят от постоянной а в пропагаторе (9.6.21); для этого был использован формализм конти- континуального интеграла). Этот результат не столь очевиден, как может показаться на первый взгляд, так как он верен не для отдельных диа- диаграмм, а лишь для суммы диаграмм с вставленными во всех возмож- возможных местах токовыми вершинами. Перейдем к обсуждению вычисления фотонного пропагатора. Пол- Полный фотонный пропагатор, обозначаемый обычно Д^(д), имеет вид ^ q), A0.5.10) где Мра представляет собой вакуумное среднее двух токов, а А^и — затравочный фотонный пропагатор. В общем случае А^и равен AОЛШ) q 26 Из A0.5.2) следует, что q^M^v{q) = 0, поэтому q A0.5.12) С другой стороны, мы можем выразить полный фотонный пропагатор через сумму П*(д) всех однофотоннонеприводимых диаграмм с дву- двумя внешними фотонными линиями (заметим, что М не обязательно :) Состояния а и Ъ — это состояния а и /3 соответственно, но с вы- выкинутыми фотонами. Отметим, что в качестве аргументов М мы взяли входящие 4-импульсы, поэтому их знаки различны. 31 С.Вайнберг. Т. 1
482 Гл. 10. Непертурбативные методы однофотонно-неприводимо): А'(д) = А(д) + Д(?)П*(9)Д(д) + Д(9)П*(?)Д(д)П*(д)Д(?) + • • • = = [A(q)-1-U*(q)}-1 A0.5.13) или, другими словами, Д^„(?) = А„„(?) + Дд,(9)П*"ст(д)Д;Л9)- (Ю-5.14) Легко видеть, что из A0.5.12) следует соотношение qpU*^(q)=0. A0.5.15) Воспользовавшись лоренц-инвариантностью и равенством A0.5.15), получим, что Upcr*(q) имеет вид IL*pa(q) = (q2f]pa - qpqaOr(q2). A0.5.16) Следовательно, полный пропагатор A0.5.13) равен где ^2)=^2)[1-^2)]+^2). (Ю.5.18) Далее, так как П*^сг(д') представляет собой сумму лишь однофотононе- приводимых диаграмм, мы ожидаем, что эта величина не имеет полю- полюса при q2 = 0. Отсюда, как легко видеть, вытекает отсутствие полюса при q2 = 0 у функции тг(д2) (см. A0.5.16)), и, таким образом, пол- полный пропагатор A0.5.17) по-прежнему имеет полюс при q2 = 0. Это означает, что после учета радиационных поправок фотон остается безмассовым. Для перенормированного электромагнитного поля радиационные поправки также не должны менять калибровочно-инвариантную часть вычета в фотонном полюсе, поэтому тг(О) = 0. A0.5.19) Условие A0.5.19) можно использовать для определения константы пе- перенормировки электромагнитного поля Z%. Напомним, что выражен- выраженный через перенормированное электромагнитное поле A0.4.17) ла- лагранжиан имеет вид Тогда функция тг(д2) в однофотонно-неприводимой амплитуде равна тг(д2) = 1 - Z3 + 7гШОр(д2), A0.5.20) где ttloop есть вклад однопетлевых диаграмм. Следовательно, A0.5.21)
§10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент 483 На практике просто вычисляют петлевой вклад и затем вычитают константу, компенсирующую тг(О). Отметим, что для q2 ф 0 радиационные поправки изменяют за- зависящую от калибровки часть фотонного пропагатора. Единствен- Единственным исключением является калибровка Ландау, в которой ? = 1 для всех q2. § 10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент Предположим, что мы хотим вычислить амплитуду рассеяния за- заряженной частицы внешним электромагнитным полем (или электро- электромагнитным полем другой частицы) в ведущем порядке по этому полю. Для этого мы должны вычислить сумму вкладов всех фейнмановских диаграмм с одной входящей и одной выходящей линией, каждая из которых находится на массовой оболочке, и одной фотонной лини- линией; при этом фотонная линия может находиться как на, так и вне массовой оболочки. В соответствии с теоремой § 6.4, эта сумма равна матричному элементу электромагнитного тока J^{x) между одноча- стичными состояниями. В данном параграфе мы определим общий вид такого матричного элемента для частиц различных спинов, не обращаясь непосредственно к теории возмущений. Затем будут при- приведены некоторые полезные следствия этого результата. В силу трансляционной инвариантности матричный элемент элек- электромагнитного тока между одночастичными состояниями имеет вид (Фр>,, J"Or)*PiCT) = exp(i(p-p;) -aO^p'WtO^p,,). (Ю.6.1) Тогда закон сохранения <9М JM =0 записывается следующим образом: (Р'-р)^р>,а>,^@)УР,а) =0. A0.6.2) В A0.6.1) положим \i = 0 и проинтегрируем по трехмерному простран- пространству: Воспользовавшись A0.4.8), получим (Фр>,, J°@)*PiCT) = B7r)-3g(W, (Ю.6.3) где q — заряд частицы. Лоренцевская инвариантность также накладывает сильные огра- ограничения на рассматриваемый матричный элемент, причем эти ограни- ограничения зависят от спина поля Ф. Мы ограничимся здесь двумя важней- важнейшими случаями: спин 0 и спин 1/2. Заметим, что техника, развиваемая ниже, оказывается полезной также при изучения других токов, напри- например в теории электрослабых взаимодействий. 31*
484 Гл. 10. Непертурбативные методы Спин О В случае, когда спин поля Ф равен нулю, матричный элемент A0.6.2) имеет вид -1/2J?»(pl,p), A0.6.4) где р° и р'° — энергии частиц (р° = л/р2 + т2), а ^^(р',р) — век- векторная функция двух 4-векторов р/М и р^ (обратите внимание, что в выражении A0.6.4) мы выделили множитель q из ^). Очевидно, что наиболее общим видом функции J? является линейная комбинация векторов р'^ и рм, или, что то же самое, линейная комбинация р'^ + р^ и р'^ — р^ со скалярными коэффициентами. Из р'^ и/, очевидно, можно составить лишь один скаляр р • р', так как оба эти 4-вектора лежат на массовой оболочке и р2 = р' = —ттг2. Таким образом, любая скалярная функция импульсов ри р' зависит только от р • р', или, что то же самое, от величины к2 = (р-р'J = -2т2-2р-р'. A0.6.5) Следовательно, функция ^д(р',р) имеет вид + i{p' -рУН{к2). A0.6.6) Ток J^ эрмитов, т.е. /^{р',р)* = f^{p,p'), поэтому F(k2) и Н(к2) действительны. Пользуясь очевидным равенством (р — р')(р' + р) = 0 и законом со- сохранения A0.6.2), получим: Н(к2) = 0. A0.6.7) Также, полагая в выражении A0.6.4) р = р; и/i = 0, и сравнивая с ра- равенством A0.6.3), находим следующее условие для F(k2) F@) = 1. A0.6.8) В литературе функцию F(k2) называют электромагнитным форм- фактором частицы. Спин 1/2 Пусть теперь спин поля Ф равен 1/2. Тогда из лоренц-инвариант- ности следует, что матричный элемент тока между одночастичными состояниями имеет общий вид (Фр.1<7/, J"@)*P)<r) = iqBTr)-4(pl,al)r^pl,p)u(p,a), A0.6.9) где Гм — 4-векторная матричная функция размера 4x4, зависящая от р", p'v и 7^5 а и — спиноры. Мы также выделили множитель iq для того, чтобы нормировка Гм совпадала с принятой в предыдущем параграфе.
§10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент 485 Как и любая матрица 4x4, Гм может быть разложена по ба- базису, состоящему из матриц 1, jpj [jpjja], 1ь1р, 75- Следовательно, 4-векторную функцию Гм можно записать как линейную комбинацию следующих матриц: 1 : /Л р'» 1р : 7м 757.]: 75 : нет, причем коэффициенты этой линейной комбинации зависят только от скалярной переменной A0.6.5). Далее, спиноры и и п удовлетворяют уравнению Дирака: п(р', (т')(гр' + т) = 0, (гр + т)и(р, а) = 0, что позволяет оставить в разложении Гм лишь три слагаемых, соот- соответствующих рм, р/М и 7м 1)- Таким образом, при рир', лежащих на массовой оболочке, Гм может быть записана как линейная комбина- комбинация матриц 7м, Р^ ир//х: = О(р', а') [7^(*2) - з^ (Р + рО^С*2) + ^f^ H{k2)] u(p, a). A0.6.10) :) Действительно, очевидно, что члены р^р, pfflp, p^p', р'^р' можно заменить соответственно на imp^, imp'^, imp^, imp'11. Пользуясь коммута- коммутационными соотношениями матриц Дирака, запишем [7^, р] в следующем виде [7",р] = 27"р - {7м,Р} = 27"Р - 2р". Следовательно, матрица [7м, р] может быть заменена на 2im^^ — 2pM. Такое же самое рассуждение годится и для [7м,р]. Далее, а это выражение эквивалентно, так как мы рассматриваем Г^ в спинор- ных обкладках, величине 2т2 + 2рр = —к2. Таким образом, члены \p,pf]p^ и \р,р']р'^ также не дают ничего нового. Наконец, для последнего члена воспользуемся соотношением 757р«""" = \ гGст + 7CT7V + l"l°^ ~ 11*1° ~ J^°Y ~ YYY)- Легко видеть, что свертка этого выражения с ри и р'а с последующим пе- переносом всех р направо и всех р' налево вновь дает линейную комбинацию р", р'" и 7".
Гл. 10. Непертурбативные методы Из эрмитовости JM@) следует соотношение рТ^(р',р)р = -Г"(р,р'), A0.6.11) поэтому F(k2), G{k2) и Н(к2) — действительные функции перемен- переменной к2. Первые два члена в разложении A0.6.10) автоматически удовлет- удовлетворяют закону сохранения A0.6.2), так как (У - Р)д7м = -i[(ip' + m) - (гр + га)] Ы -р)-Ы +р)=р'2 -р2' С другой стороны, [р' — рJ ф 0, поэтому из закона сохранения A0.6.2) следует равенство Н(к2) = 0. A0.6.12) В пределе р; —> р выражения A0.6.9) и A0.6.10) принимают вид 777/ Пользуясь тождеством {7д?Ф + га} = 2m7M + 2грм, получим: Вспомним также, что справедливо соотношение поэтому (ФР>а', J"@)«Pl<7) = дBтг)-3(р^/Р0)^'[^@) + G@)]. A0.6.13) Сравнив равенства A0.6.13) и A0.6.3), получим условие нормировки: F@) + G@) = 1. A0.6.14) Заметим, что вершинную функцию Гм обычно записывают как ли- линейную комбинацию матриц 7м и [7м, 7^] О9' ~ Р)и- п(р',а')Г»(р',р)и(р,а) = \2]{V,a). A0.6.15) Выразим функции F n G, определенные в A0.6.10), через Fi и F2: 5*{7".Р'} -г7дР+ ^{7д,р'}]м(р, и(р,а). A0.6.16)
§10.6. Электромагнитные формфакторы и магнитный момент 487 Сравнив A0.6.15) с A0.6.16), получим F(k2) = Fi(/c2) + 2mF2(/c2), A0.6.17) G(k2) = -2mF2(k2). A0.6.18) Условие нормировки A0.6.14) теперь имеет вид Fi@) = l. Перейдем теперь к важному приложению доказанного результа- результата. А именно, получим соотношение между магнитным моментом частицы и формфакторами. Для этого рассмотрим пространствен- пространственную часть вершинной функции при малых импульсах |р|, |р'| <С т. Удобно переписать разложение A0.6.10), воспользовавшись тожде- тождеством A0.6.16): п(р', <7')Г"(р',р)и(р, а) = g п(р', а') [(р + PT{F(k2) + G(k2)} - - \ [7Д,71(Р' -P),F(k2)]u(p,a). A0.6.19) Из выражений E.4.9) и E.4.20) следует, что матричный элемент ком- коммутатора двух гамма-матриц между состояниями с нулевыми импуль- импульсами равен п@,<т')|У,УМ0,<7) = 4%ефD1/2))а,,а, п@,<7')[У,7>@,<т) = 0, где J^1/2^ — -<у — матрицы спинового момента 1/2. Поэтому в первом порядке по малым импульсам имеем п(р', а')Т(р',р)и(р, а) -> g (р + р')^',ст + + 1 [(р - р') х jW%l<aF@). A0.6.20) Следовательно 2), матричный элемент гамильтониана взаимодействия Н' = — fd3x J(x)A(x) (напомним, что мы предполагаем, что поле А(х) слабое и не зависит от времени) имеет вид (*„/,„/,Я;ФР,<7) = ^ • В(х), A0.6.21) 2) Первый член в уравнении A0.6.20) соответствует кинетической энер- энергии частицы в электромагнитном поле и не влияет на магнитный момент, поэтому мы его не учитываем.
Гл. 10. Непертурбативные методы где В = V х А — магнитное поле. Поэтому в пределе постоянного маг- магнитного поля матричный элемент гамильтониана взаимодействия ра- равен „Т?((\\ (ФР>,,Я'ФР>4Г) = -ЯШ (JA/2) W • В?3(р - р'). (Ю.6.22) Как известно, магнитный момент \± произвольной частицы спина j удовлетворяет соотношению (Фр-^'.Я'Фр,,) = -? (J>V>ff • ВбЦр - р'). A0.6.23) Сравнив A0.6.23) с выражением A0.6.22), найдем магнитный момент частицы, имеющей спин 1/2, заряд q и массу гп: Эта формула содержит в качестве специального случая знаменитый результат Дирака [7]: магнитный момент частицы, обладающей спи- спином 1/2, без учета радиационных поправок равен \± — q/2m. В заключение приведем без доказательства формулу Розенблю- та для дифференциального сечения электрон-протонного рассеяния, позволяющую находить протонные формфакторы F(k2) и G(k2) при к2 > 0 из экспериментальных данных: х {(F(k2) + G(k2)J + ^ BF2(k2)tg2(9/2) + G2(k2))}, где Eq — энергия налетающего электрона (предполагается, что Eq ^> ^> тпе), 0 — угол рассеяния и 2 _ g2 ~ l §10.7. Представление Челлена—Лемана Ч Как мы видели в § 10.2, фурье-образ матричного элемента хро- хронологически упорядоченного произведения операторов имеет полю- полюсы, обусловленные одночастичными промежуточными состояниями. Из-за многочастичных промежуточных состояний возникают более сложные сингулярности, описание которых для матричного элемен- элемента общего вида является чрезвычайно трудным. Однако в некото- некоторых специальных случаях все-таки удается полностью установить аналитическую структуру амплитуды. В частности, для вакуумно- вакуумного среднего двух операторов существует интегральное представле- представление Челлена—Лемана, из которого легко следует вид сингулярностей. :) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§10.7. Представление Челлена-Лемана 489 Это представление особенно полезно при изучении вакуумного сред- среднего произведения двух элементарных полей, т.е. пропагатора. Напри- Например, оно позволяет получить интересные ограничения на асимптоти- асимптотическое поведение пропагатора и величины констант перенормировки. Рассмотрим комплексное скалярное поле Ф(х) в представлении Гейзенберга; частица, соответствующая этому полю, может быть как элементарной, так и составной. Вакуумное среднее произведения Ф(х)Ф^(у) может быть записано в виде где суммирование производится по полному набору состояний. Выбе- Выберем состояния п так, чтобы они были собственными векторами опе- оператора 4-импульса Рм. Тогда из трансляционной инвариантности сле- следуют соотношения @|Ф(ж)|п> = ехр(гр„ ¦ ж)@|Ф@)|п>, <п|Ф+A/)|0>=ехр(-гр„-!,)(п|Ф+@)|0>, поэтому Н ?|2. (Ю.7.3) Удобно переписать выражение A0.7.3) в терминах так называемой спектральной функции. Заметим, что сумма — скалярная функция 4-вектора р^ и поэтому может зависеть лишь от р2 и от ступенчатой функции в(р°). На самом деле для любого промежуточного состояния в A0.7.3) р2 ^ 0 и р° > 0, следовательно, эта сумма имеет вид J2s4(p-Pn)\№@)\n)\2 = Bn)-3 в(р°)р(-р2), A0.7.4) П где р{—р2) = 0 для р2 > 0 (отметим, что мы выделили множитель Bтг)~3 из р ). Очевидно, что спектральная функция р(—р2) действи- действительна и положительна. Пользуясь определением A0.7.4), перепишем выражение A0.7.3) в виде )о = Bтг)-3 Jd4peMiP ¦ {х - у)Щр°)р(-р2) = оо = Bтг) Jd4pJ dfi2 exp(ip ¦ (х - у))в{ро)рA12Щр2 + /х2). A0.7.5)
490 Гл. 10. Непертурбативные методы Сменим порядок интегрирования по р^ и /i2: (Ф{х)ФЦу)H = ]<1ц2р{}12)Ь+{х-у;ц2), A0.7.6) О где А+ — уже знакомая нам функция А+(х - у-р2) = Bтг) Jd*pexp(ip ¦ (х - у))в(Р°N(р2 + р2). A0.7.7) Аналогично можно доказать формулу x;fjL2), A0.7.8) о где вторая спектральная функция p(fi2) определяется следующим об- образом 2 = Bп)-39(р°)р(-р2). A0.7.9) Теперь воспользуемся требованием причинности, которое состоит в том, что что при пространственно-подобных интервалах х — у комму- коммутатор [Ф(ж), Ф+(з/)] равен нулю. Вакуумное среднее этого коммутатора имеет вид A0.7.10) Как было показано в § 5.2, для пространственно-подобных разностей х — у функция А+(ж — у) является четной. Следовательно, для того чтобы выражение A0.7.10) обращалось в нуль при (х — уJ ^ 0, необ- необходимо выполнение соотношения рAг2)=рAг2). A0.7.11) Равенство A0.7.11) замечательно тем, что оно представляет собой частный случай СРТ-теоремы, доказанный без обращения к теории возмущений. Фактически, мы показали, что для каждого одночастич- ного состояния, имеющего квантовые числа оператора Ф, существует состояние той же массы с квантовыми числами Ф"!". Используя A0.7.11), получим, что вакуумное среднее хронологи- хронологически упорядоченного произведения двух операторов Ф(ж) и Ф^ (у) равно (X) (Т{Ф(х)фЦу)}H = -iJd^p^Apix-y,^), A0.7.12)
§10.7. Представление Челлена-Лемана 491 где Ар(х — у; jj?) — фейнмановский пропагатор бесспиновой частицы массы fi: -iAF(x - у; fi2) = в(х° - у°)А+(х - у; fi2) - в (у0 - х°)А+(у - х; /i2). A0.7.13) Пользуясь обозначениями § 10.3 для полного пропагатора, введем функцию -гД'(р) = Jd4xexp(-ip • (х - у))(Т{Ф(х)Ф\у)}H. A0.7.14) Напомним, что фейнмановский пропагатор свободной частицы в им- импульсном представлении имеет вид ( 2) \ f J , \ _ . ¦ ~Г fJj 16 A0.7.15) Из уравнений A0.7.12), A0.7.14) и A0.7.15) легко получить спектраль- спектральное представление [9] для полного пропагатора Немедленным следствием результата A0.7.16) и положительности спектральной плотности p(fi2) является тот факт, что А'(р) не мо- может убывать при \р2\ —у оо быстрее2), чем затравочный пропага- пропагатор 1/(р2 + m2 —ie). Именно по этой причине невозможно введение в невозмущенный лагранжиан членов с высшими производными, из- за которых пропагатор убывал бы быстрее, чем 1/р2 при р2 —у оо: допустив наличие таких членов, мы бы немедленно получили про- противоречие с постулатами положительности нормы гильбертова про- пространства квантовой механики. С помощью представления Челлена-Лемана и канонических ком- коммутационных соотношений можно вывести полезное неравенство для 2) В действительности, заранее нельзя сказать, убывает ли А'(р) при р2 —у оо, хотя может показаться, что этот факт следует из спектрального представления. Проблема возникает при смене порядка интегрирования по р^ и /и,2. Методами следующего параграфа можно показать, что А' (р) — аналитическая функция — р2 с разрезом вдоль полуоси — р2 = [х2 и скачком на этом разрезе, равным тгp(fi2). Отсюда следует, что где п — положительное целое, /Iq — произвольная положительная константа и Р(р2) — зависящий от /j,q полином (п — 1)-го порядка по р2 (для п = 0 он отсутствует).
492 Гл. 10. Непертурбативные методы константы перенормировки поля. Для стандартным образом норми- нормированного полевого оператора Ф(ж) справедливо равенство [^*i, #t(у, *)] = -iS3(x - у). A0.7.17) Заметим, что Тогда из спектрального представления A0.7.10) и коммутационных соотношений A0.7.17) следует соотношение ОО [ !)ф2 = 1. A0.7.18) Это означает, что пропагатор неперенормированного поля в импульс- импульсном пространстве A0.7.16) имеет при р2 —у оо такое же асимптотиче- асимптотическое поведение, как и в случае свободного поля: Отметим, что этот результат имеет смысл только при использовании какой-либо регуляризационной схемы, которая позволяет обращаться с ультрафиолетовыми расходимостями, возникающими при примене- применении теории возмущений. Предположим, что одночастичное состояние |к) массы т имеет ненулевое перекрытие с состоянием @|Ф@). Вид матричного элемента @|Ф@)|к) определяется лоренц-инвариантностью: @|Ф@)|к) = B7r)-3/2Bv/k2+m2)-1/27V, A0.7.19) где N — постоянная. В соответствии с общими результатами § 10.3 пропагатор А'(р) неперенормированного поля имеет полюс при р2 —>¦ -У -т2 с вычетом Z = \N\2 > 0, т.е. 2 - т2) + a(/i2), A0.7.20) где <j(/jJ ^ 0 представляет собой вклад многочастичных состояний. Отсюда, воспользовавшись также A0.7.18), получим (X) 1 = Z+ I a(ii2)dii2, A0.7.21) о поэтому Z <: 1, A0.7.22) причем равенство имеет место только для свободной частицы, так как в этом случае все матричные элементы @|Ф@) с многочастичными состояниями равны нулю.
§10.7. Представление Челлена-Лемана 493 Так как постоянная перенормировки Z положительна, то равен- равенство A0.7.21) можно трактовать также как ограничение на константу связи поля Ф с многочастичными состояниями: A0.7.23) Равенство в A0.7.23) достигается при Z = 0. При выполнении условия Z = 0 частицу надо интерпретировать как составную, а не элементар- элементарную [10]. В данном контексте составной частицей мы называем части- частицу, поле которой не присутствует в лагранжиане. Рассмотрим такую частицу, причем для определенности пусть она нейтральна и имеет спин нуль. Предположим, что оператор ^(Ф), сконструированный из других полей, является оператором уничтожения этой композитной частицы. В лагранжиан можно легко ввести поле Ф для рассматри- рассматриваемой частицы, добавив член3) В самом деле, из-за квадратичного функционального интегрирования по Ф производящий функционал лишь умножится на несущественную бесконечную постоянную. Но давайте вместо тривиального интегри- интегрирования по Ф представим AJ^f в виде A^fo + AJ^i, где 1 п л-пил- 1 2a2 e — дпФд^Ф m Ф 2 /z 2 — обычный лагранжиан свободного поля. Часть лагранжиана рассмотрим в качестве возмущения. Член -<9ДФ<9МФ во взаимодей- взаимодействии не есть что-то новое: аналогичный член, умноженный на 1 — Z, присутствовал в A0.3.12); единственная особенность в данном слу- случае заключается в том, что Z = 0. Но физический смысл меняется кардинально: теперь условие перенормировки П*'@) = 0 фиксирует константу связи композитной частицы, а не постоянную Z. К со- сожалению, описанную выше процедуру нельзя применить в кванто- квантовой теории поля, так как мы видели, что равенство Z = 0 означает, что частица взаимодействует со своими составляющими максимально сильно, а значит, теория возмущений неприменима. Однако условие Z = 0 оказывается очень полезным в нерелятивистской квантовой ме- механике; например, оно позволяет получить константы взаимодействия дейтрона с протоном и нейтроном [12]. Спектральное представление A0.7.16) легко можно обобщить на случай полей произвольного спина. Действительно, в следующей гла- ) В физике конденсированного состояния такая операция известна под названием преобразования Хаббарда-Стратоновича. Мы воспользуем- воспользуемся этим приемом во втором томе для того, чтобы корректно определить волновую функцию пары сверхпроводящих электронов.
494 Гл. 10. Непертурбативные методы ве мы покажем, что в первом порядке по е2 Z-фактор электромаг- электромагнитного поля (обычно обозначаемый Zs) равен (где Л ^> те — параметр ультрафиолетового обрезания), что находит- находится в соответствии с ограничением A0.7.22) §10.8. Дисперсионные соотношения1) Ранние попытки применить пертурбативную квантовую теорию поля к слабым и сильным ядерным взаимодействиям не увенчались успехом, поэтому теоретики начали разрабатывать методы, которые позволяли бы выйти за пределы теории возмущений. В частности, в конце 50-х годов для получения непертурбативных результатов, справедливых в любой теории, было предложено использовать свой- свойства аналитичности и унитарности амплитуд рассеяния. С помощью этих свойств удалось доказать так называемые дисперсионные соот- соотношения. Простейшее дисперсионное соотношение [13], известное с на- начала века, представляет собой формулу, выражающую действитель- действительную часть показателя преломления через интеграл от его мнимой части. Оно было выведено из свойства аналитичности показателя пре- преломления как функции частоты, которое следует из того, что электро- электромагнитный сигнал в среде не может двигаться быстрее света. Выразив показатель преломления через амплитуду рассеяния фотона вперед, дисперсионное соотношение можно переписать как формулу, связы- связывающую действительную часть амплитуды рассеяния фотона вперед с интегралом от ее мнимой части, а значит (по оптической теореме), и с полным сечением рассеяния. Это соотношение особенно интерес- интересно тем, что оно в каком-то смысле представляет собой альтернативу обычной теории возмущений: зная амплитуду рассеяния до поряд- порядка е2, можно вычислить сечение и мнимую часть амплитуды до по- порядка е4, а затем воспользоваться дисперсионным соотношением и получить действительную часть амплитуды рассеяния вперед с той же точностью; при этом не придется вычислять ни одной петлевой диаграммы! Основы современного подхода к дисперсионным соотношениям бы- были заложены в 1954 г. Гелл-Маном, Голдбергером и Тиррингом [14]. Вместо того чтобы рассматривать распространение света в среде, они вывели аналитичность амплитуды рассеяния непосредственно из условия микроскопической причинности, состоящего в том, что ком- г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§10.8. Дисперсионные соотношения 495 мутаторы полей равны нулю, если точки, в которых берутся полевые операторы, разделены пространственно-подобным интервалом. С по- помощью этого метода Голдбергер [15] вскоре получил весьма полезное уравнение для пион-нуклонной амплитуды рассеяния вперед. Для того чтобы понять, как может быть использован принцип микроскопической причинности, рассмотрим рассеяние вперед без- безмассового бозона произвольного спина на мишени а с массой та > О и импульсом ра = О2). 5-матричный элемент такого процесса можно получить, воспользовавшись теоремой Лемана-Симанчика-Циммер- мана A0.3.4): xlim lim ГсРх [d^ye-ik'-yeik-x{iUy){iUx){a\T{A\y),A{x)}\a). A0.8.1) Здесь кик' — начальный и конечный импульсы бозона, а со = к0, со1 — к1 ; А(х) — произвольный оператор в гейзенберговском представ- представлении, удовлетворяющий условию (УАС\А(х)\к) = B7r)-3/2Bco)-1/2Neikx ф 0. Здесь \к) — однобозонное состояние. Для фотонного рассеяния в ка- качестве А(х) следует взять одну из поперечных компонент электромаг- электромагнитного поля, в то время как для пионного рассеяния — псевдоска- псевдоскалярную функцию адронных полей. Заметим, что дифференциальные операторы —гПж и — i\Jy в выражении A0.8.1) требуются для сокра- сокращения пропагаторов внешних бозонных линий. Действуя операторами —i\Jx и — i\Jy на А(х) и А^(у) соответственно, получим 5 = х lim lim f dAx f d4ye-ik'-veik-x(a\T{j\y),J{x)}\a)+ETC, k2^0 k'2^0 J J A0.8.2) где J{x) = ПхА(х), а слагаемое ETC обозначает фурье-образ членов с одновременными коммутаторами, которые возникают при диффе- дифференцировании ступенчатых функций в хронологически упорядочен- упорядоченном произведении. Одновременные коммутаторы таких операторов, как А^(у) и А(х) (или их производных) отличны от нуля лишь при х = у, поэтому член ETC в формуле A0.8.2) представляет собой 2) Отметим, что рассуждения, приводимые ниже, применимы не только к фотонам, но и к пионам в пределе больших энергий.
496 Гл. 10. Непертурбативные методы фурье-образ функции S4(x — у), на которую подействовали некото- некоторым дифференциальным оператором; следовательно, ETC есть поли- полином от 4-импульса бозона. Нас, однако, интересуют лишь аналитиче- аналитические свойства 5-матричного элемента, а добавление полинома их не меняет, поэтому далее вклад ETC можно не учитывать. Воспользовавшись трансляционной инвариантностью, 5-матрич- ный элемент можно записать в виде S = —2ттг8 (к' — k)M(cj), где F(cj) = Г d4xeiijl-x(a\T{j\O), J(x)}\a) + ETC, A0.8.4) здесь мы ввели обозначение /с^ = ojI^, где / — фиксированный 4-век- тор, такой, что 1^1ц = 0 и /° = 1. Хронологически упорядоченное произведение может быть выра- выражено через коммутаторы двумя способами: ), J(x)} = 0(-x°)[J\Q), J(x)] + J(x) jt(O) = = -0(ж°)[«7*(О), J(x)] + Jf@) J(x). A0.8.5) Поэтому амплитуда F имеет вид F{uj) = Fa{uj) + F+H = Fr{uj) + F_H, A0.8.6) где Fa(lj) = f d4x0(-x°)(a\[j\0), J{x)]\a)eitul-X +ЕТС, A0.8.7) FR(u>) = - f d4x0(x°)(a\[j\0), J(x)]\a)eiujl-x +ETC, A0.8.8) F+(u>) = Г d4x(a\J(x)J^@)\a)eiujl-x, A0.8.9) F_(cj) = fd4x(a\j\0)J(x)\a)eiul-x. A0.8.10) Из принципа микроскопической причинности следует, что подынте- подынтегральные выражения в A0.8.7) и A0.8.8) отличны от нуля, только если жм лежит внутри светового конуса, причем ступенчатые функ- функции налагают еще одно ограничение: в A0.8.7) жм лежит в световом конусе прошлого, т.е. (х • I) > 0, а в A0.8.8) — в конусе будущего, т.е. (х • I) < 0. Отсюда заключаем, что Fa(cj) — аналитическая функция частоты при Imoo > 0, a Fr(uj) — аналитическая при Imoo < 0, так как экспоненциальные множители делают интегралы равномерно сходя- сходящимся. (Напомним, что ETC — полином, т.е. функция, аналитическая во всех точках, кроме бесконечности). Тогда мы можем определить
функцию §10.8. Дисперсионные соотношения 497 О, аналитическую на всей комплексной плоскости, кроме разреза вдоль действительной оси. Приступим к выводу дисперсионных соотношений. В соответствии с A0.8.6) скачок &(d) при любом действительном Е равен &{Е + ie) - &{Е - ie) = FA(E) - FR(E) = F_(E) - F+(E). A0.8.12) Если <&(uS)/ujn стремится к нулю при \uj\ —У оо то, поделив ее на любой полином Р(ои) порядка п, получим функцию, которая стремится к ну- нулю при \и)\ —У оо и является аналитической всюду, кроме разреза на действительной оси и полюсов в нулях uv полинома Р{и). Заметим, что в случае, когда &(d) —у 0 при \ои\ —у оо, мы можем взять Р(ьо) = 1. Воспользовавшись теоремой о вычетах, запишем р(ш) 2^, (Ши- ш)Р'(ши) 2тгг J (z- uj)P(z) ' ^u.o.io; v С где и — произвольная точка, не лежащая на действительной оси, а С — контур, состоящий из двух замкнутых кривых: 1) прямая (—оо + ie; +оо + ie), лежащая чуть выше действительной оси и полу- полуокружность в верхней полуплоскости 2) прямая (—оо — ie; +oo — ie), лежащая чуть ниже действительной оси и полуокружность в ниж- нижней полуплоскости. Вкладом от интегрирования по большим по- полуокружностям в уравнении A0.8.13) можно пренебречь, так как ^(z)/P(z) -У 0 при \z\ -У оо. Используя A0.8.12), перепишем A0.8.13) в виде оо ^/^™^, A0*14, где Q(oo) — следующий полином (п — 1)-го порядка: V Дисперсионное соотношение A0.8.14), в котором полиномы P{d) и Q(co) имеют порядки п и п — 1 соответственно, называется соотноше- соотношением с п вычитаниями. Если можно выбрать Р = 1, то говорят, что мы имеем дисперсионное соотношение без вычитаний. Если uj приближается к действительной оси сверху, то из A0.8.14) имеем 32 С.Вайнберг. Т. 1
498 Гл. 10. Непертурбативные методы С помощью выражений A0.8.6) и C.1.25) получим A0.8.16) где 1/(Е — uS) надо трактовать в смысле главного значения. Этот ре- результат замечателен тем, что позволяет связать F±(E) с измеряемыми сечениями рассеяния. В самом деле, вставим между операторами J в определениях A0.8.9) и A0.8.10) полный набор многочастичных промежуточных состояний. Пользуясь трансляционной инвариант- инвариантностью, получим F+(E) = B^L J2 Ш J40)\a)\2S\-Pa + El+pp), A0.8.17) /з F-(E) = B^L Y, Ш J@)\a)\254(Pa + El - pp). A0.8.18) /з Теперь можно выразить величины F± (E) непосредственно через мат- матричные элементы физических процессов поглощения бозона В + а —> —У C и антибозона Вс + а —У C, определяемые следующим образом A0.8.19) V\J@)\a). (Ю.8.20) Сравнив с уравнением C.4.15), получим3): F+(E) = в(-Е) в аа+вс(\Е\), A0.8.21) F-(E) = в{Е) Щ^- аа+в(Е). A0.8.22) Тогда амплитуда рассеяния при действительном со > 0 равна J l(E- 3) В некоторых случаях правила отбора не запрещают процессы а ^ а + В и а ^ а + Вс и функции F+(E), F-(E) содержат также чле- члены, соответствующие вкладу одночастичного промежуточного состояния а. Отметим, что при рассеянии поперечно-поляризованных фотонов и псевдо- псевдоскалярных пионов в пределе тп —»¦ 0 процессы а —»¦ а + В и а—>-а + 1?с невозможны.
§10.8. Дисперсионные соотношения 499 Дисперсионные соотношения принято записывать для амплитуды f(co) рассеяния вперед в лабораторной СО. Амплитуда f(co) определе- определена таким образом, что дифференциальное сечение рассеяния вперед есть |/(cj)| . С помощью соотношения f(co) = -4тг2соМ(со) = 27r2iF(u)/\N\2 величина f(co) может быть выражена через M(cj), поэтому уравнение A0.8.23) принимает вид 4тг2 J [(Е-и)Р(Е)^ (Е + и>)Р(-Е)\ ' о где R(oo) = 2i7T2Q(co)/\N\2. Из оптической теоремы C.6.4) следует, что второй член в левой части этого выражения равен ilm/(cj), поэтому Ref(co) =R(u) + ОО Р(ш) /•[• аа+в(Е) аа+Вс(Е) (() с) О Из уравнения A0.8.24), в частности, видно, что если полином P(uS) выбран действительным, то R(uS) также будет чисто действительным. Амплитуда рассеяния вперед обладает важной симметрией. Заме- Заменив в A0.8.7) и A0.8.8) переменную интегрирования х на —х и поль- пользуясь трансляционной инвариантностью (a\[jH0),J(-x)]\a) = (a\[ji(x),J@)]\a), получим, что при Imoo ^ 0 функция Fa(-uj) совпадает с Fr(uj) с точ- точностью до замены J на J^. To есть, FA(-u) = F^(oj) при где индекс с показывает, что амплитуда относится к процессу рассея- рассеяния античастицы Вс на мишени а. (Мы оставляем читателю провер- проверку того, что члены, возникающие из одновременных коммутаторов в A0.8.7) и A0.8.8), не влияют на это соотношение). Аналогично на- находим Fr(-lj) = F%{u) при Imuj ^ 0, а для действительных со имеем: F±(-u;) = FT(u). Подставив эти соотношения в A0.8.6), получим уравнение, выражаю- выражающее свойство кроссинг-симметрии: f(-u) = /», A0.8.25) справедливое для действительных со. 32*
500 Гл. 10. Непертурбативные методы Мы можем выбрать в качестве Р(со) любой полином достаточно высокого порядка; тогда R{co) зависит от самого Р(со) и от значений JP(co) в нулях Р(со). В случае, когда Р(со) является действительным полиномом n-го порядка, уравнение A0.8.16) содержит в качестве сво- свободных параметров лишь п коэффициентов полинома R(co) (который, очевидно, тоже действителен). Таким образом, для данного Р(со) чис- число независимых действительных параметров в A0.8.16) равно п. По- Поэтому удобнее всего выбрать п наименьшим из возможных. Нельзя взять п = 0, так как Р(со) должен удовлетворять условию f(co)/P(co) —у 0 при со —У оо. Как мы видели в §3.7, амплитуда рас- рассеяния вперед растет при со —у оо не быстрее, чем со\п со, поэтому в качестве Р(Е) надо выбрать полином второго порядка. Возьмем Р(Е) = Е2. Тогда дисперсионное соотношение A0.8.24) примет вид о где а и Ъ — неизвестные действительные константы. Из кроссинг- симметрии A0.8.25) следует, что аналогичные константы в диспер- дисперсионном соотношении для амплитуды рассеяния античастицы равны ас = а, Ъс = -Ъ. A0.8.27) Если бы сечения аа+в{Е) и аа+вс{Е) вели себя при Е —У оо как две различные константы, умноженные на Aп.Е)г, то из A0.8.26) мы бы получили Re/(cj) - [сга+в(оо) - (Та+в-(оо)]со\псо - cj(lncj)r+1, A0.8.28) т.е. действительная часть амплитуды рассеяния росла бы при со —У оо быстрее, чем ее мнимая часть. Но это невозможно: как показано в § 3.7, действительная часть амплитуды рассеяния должна быть гораздо меньше ее мнимой части при со —У оо; это подтверждается всеми экспериментами. Отсюда мы заключаем, что если аа+в(Е) и <уа+вс (Е) действительно ведут себя при Е —У оо как две постоян- постоянные, умноженные на (lni?)r, то эти постоянные одинаковы. Так как нас интересует предел больших энергий, то этот результат применим не только к рассеянию безмассовых частиц, и можно утверждать, что отношение сечений рассеяния любой частицы и ее античастицы на од- одной и той же мишени равно единице в пределе больших энергий. Этот результат представляет собой обобщение теоремы Померанчука [16]. Померанчук рассмотрел лишь случай г = 0. Как анализ, проведен- проведенный нами в § 3.7, так и экспериментальные данные показывают, что на самом деле г = 2. Померанчук получил оценки на асимптотическое поведение ам- амплитуд рассеяния исходя из аргументов, аналогичных приведенным в § 3.7. В настоящее время для получения таких результатов обыч- обычно применяют более мощную методику, называемую теорией полюсов
Задачи 501 Редже [17] или реджистикой. Эта теория очень обширна, и мы не будем вдаваться в детали; скажем лишь, что для адронных процес- процессов асимптотическое поведение f(uu) при со —у оо определяется суммой членов, пропорциональных ииап(°\ где ctn(i) — множество "траекторий Редже", каждая из которых соответствует обмену бесконечным чис- числом адронов в процессе рассеяния. Для главной траектории4) в ад- рон-адронном рассеянии, а@) близко к единице. Такая траектория называется помероном. Из существования померона следует, что сече- сечение рассеяния примерно постоянно при больших энергиях. В соответ- соответствии с теоремой Померанчука померон одинаково взаимодействует с любым адроном и его античастицей. Показатель ап@) для низших траекторий Редже можно оце- оценить исходя из спектра адронных состояний. Необходимое, хотя и недостаточное [18] условие возникновения мезонного резонанса мас- массы т и спина j заключается в том, что для одной из траекторий Редже а(т2) = j. Следующая за помероном траектория для пион- нуклонного рассеяния соответствует мезонным резонансам с j = 1 при т = 770 МэВ, с j = 2 при т = 1690 МэВ и с j = 5 при т = 2350 МэВ. Экстраполируя значения a(t) в точку t = 0, получим, что для этой траектории а@) ~ 0.5. Такая траектория взаимодействует с тг+ и тг~ по-разному, поэтому мы ожидаем, что для пион-нуклонного рассеяния f(uu) - fc(oo) ведет себя как у/п. В случае фотонного рассеяния частицы В и Вс тождественны, поэтому из выражения A0.8.27) следует, что Ъ = 0. Тогда уравнение A0.8.26) примет вид ^ ^f^^dE. A0.8.29) О Это, по существу, известное соотношение Крамерса—Кронига. Как мы увидим в § 13.5, для мишени с зарядом е и массой т постоянная а равна Re/@) = — е2/т. Задачи 1. Рассмотрим нейтральное векторное поле гуДж). Какие условия нужно наложить на сумму одночастично-неприводимых диаграмм П* (к) с двумя внешними линиями для того, чтобы перенормирован- перенормированному полю соответствовала частица с перенормированной массой т? Каким образом следует разделить лагранжиан на свободную и взаи- взаимодействующую части? 2. Получите обобщенное тождество Уорда, которому удовлетво- удовлетворяет вершинная функция взаимодействия заряженного скалярного и электромагнитного полей. 4) На самом деле, комплекса многих траекторий.
502 Гл. 10. Непертурбативные методы 3. Какова наиболее общая форма матричного элемента электромагнитного тока JM (х) между двумя одночастичными состоя- состояниями, обладающими различными массами mi и Ш2, одинаковыми спинами 1/2 и одинаковой четностью? Как изменится ответ, если чет- четности различны? Предполагайте, что четность сохраняется. 4. Получите спектральное представление Челлена—Лемана для вакуумного среднего (T{J^(x)J"(y)y)o, где J^(x) — сохраняющий- сохраняющийся комплексный ток. 5. Выведите спектральное представление Челлена-Лемана для вакуумного среднего (T{ipn(x)ipm(y)}), где ф(х) — дираковское поле. 6. Покажите, что амплитуда рассеяния фотона вперед не может удовлетворять дисперсионным соотношениям без вычитаний, не ис- используя предположения об асимптотическом поведении сечений при больших энергиях. 7. Получите спектральное представление для комплексного ска- скалярного поля, пользуясь методами теории рассеяния. 8. С помощью результатов § 8.7 и дисперсионной теории найдите амплитуду фотон-электронного рассеяния вперед в системе отсчета, в которой электрон покоится, с точностью е4. Литература 1. Furry W.H. II Phys. Rev. 51, 125 A937). 2. Yukawa H // Proc. Phys.-Math. Soc. Japan. 17, 48 A935). 3. Lehmann H., Symanzik K., and Zimmerman W. // Nuovo Cimento. 1, 205 A955). 4. Takahashi Y. // Nuovo Cimento, Ser. 10. 6, 370, A957). 5. Ward J.C I/ Phys. Rev. 78,182 A950). 6. Schwinger J. // Phys. Rev. Lett. 3, 296 A959). 7. Dirac P.A.M. // Proc. Roy. Soc. (London). A117, 610 A928). 8. Rosenbluth M.N. // Phys. Rev. 79, 615 A950). 9. Kallen G. // Helv. Phys. Acta. 25, 417 A952); Quantum Electro- Electrodynamics. Springer-Verlag, Berlin, 1972; Lehmann H. // Nuovo Cimento. 11, 342 A954). 10. Howard J.C, Jouvet B. // Nuovo Cimento. 18, 466 A960); Vau- ghan M.J., Aaron Д., Amado R.D. // Phys. Rev. 1254, 1258 A961); Weinberg S. // В Proceedings of the 1962 High-Energy Conference at CERN. CERN, Geneva, 1962. P. 683.
Литература 503 11. Stratonovich R.L. // Sov. Phys. Dokl. 2, 416 A957); Hubbard J. // Phys. Rev. Lett. 3, 77 A959). 12. Weinberg S. // Phys. Rev. 137, B672 A965). 13. Kramers H.A. // Atti Congr. Intern. Fisici, Como. Nikolo Zanichelli, Bologna, 1927; перепечатано в Kramers H.A. Collected Scientific Papers. North-Holland, Amsterdam, 1956; de Kronig R. // Ned. Tyd. Nat. Kunde. 9, 402 A942); Physica. 12, 543 A946); Toll J.S. The Dispersion Relation for Light and its Application to Problems Involving Electron Pairs. Princeton University Ph. D. Thesis 1952. Исторический обзор можно найти в Jackson J.D. в сборнике Dispersion Relations, ed. by G.R. Screaton. Oliver and Boyd, Edin- Edinburgh, 1961; Goldberger M.L. в сборнике Dispersion Relations and Elementary Particles, ed. by C. De Witt and R. Omnes. Hermann, Paris, 1960. 14. Gell-Mann M., Goldberger M.L., Thirring W. // Phys. Rev. 95, 1612 A954). To, что этот результат имеет непертурбативную природу, было показано в Goldberger M.L. // Phys. Rev. 97, 508 A955). 15. Goldberger M.L. // Phys. Rev. 99, 979 A955). 16. Pomeranchuk I.la. // ЖЭТФ. 34, 725 A958). Обобщение дано в Weinberg S. // Phys. Rev. 124, 2049 A961). 17. См., например, Collins P.D.B. An Introduction to Regge Theory and High Energy Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1977. Оригинальная работа по этому вопросу Regge Т. // Nuovo Cimento. 14, 951 A959); 18, 947 A960). 18. Зависимость спина от квадрата массы известна как график Чью— Фраучи; см. Chew G.F., Frautschi S.C // Phys. Rev. Lett. 8, 41 A962). Аналитические свойства квантовых амплитуд изложены, напри- например, в следующих книгах на русском языке. {Примеч. ред.) 19*. де Альфаро В., Редсисе Т. Потенциальное рассеяние.—М.: Мир, 1966. 20*. Чью Дэю. Аналитическая теория 5-матрицы.—М.: Мир, 1968. 21*. Боголюбов Н.Н., Медведев Б.В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений.—М.: ГИФМЛ, 1958. Добавлено при переводе.
Гл а в а 11 ОДНОПЕТЛЕВЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ В этой главе мы вычислим некоторые классические однопетлевые поправки в теории заряженных лептонов (массивных частиц со спи- спином 1/2, взаимодействующих с электромагнитным полем). Известны три вида, или "аромата", лептонов: электрон, мюон и более тяжелый, недавно открытый таон. Для определенности мы будем проводить все вычисления для случая электрона, но большая их часть применима также и к мюону с таоном. Сделав некоторые обобщения в § 11.1, мы вычислим амплитуду поляризации вакуума в § 11.2, аномальный маг- магнитный момент электрона в § 11.3 и собственную энергию электрона в § 11.4. По ходу дела мы будем использовать некоторые математи- математические методы, которые окажутся полезными в таких вычислениях. Например, метод параметров Фейнмана, поворот Вика, размерную регуляризацию т' Хофта и Вельтмана, а также другой более старый метод регуляризации, принадлежащий Паули и Вилларсу. Хотя нам будут встречаться расходимости, мы увидим, что искомые результаты конечны, если их выразить через перенормированные заряд и массу. В гл. 12 мы обобщим результаты, полученные здесь, на случай общих моделей и произвольный порядок теории возмущений. 11.1. Контрчлены Плотность лагранжиана, описывающего электроны и фотоны, имеет вид1) 1) где = ~\FB - ФвЬЛЯ" + ™вАв] + тв]фв, A1.1.1) А^в и фв — затравочные (т.е. неперенормированные) фотонное и элек- электронное поля, -е^ и тв обозначают затравочные ("голые") заряд и массу электрона. Как мы делали в предыдущей главе, мы введем пе- ) В этой главе мы не будем отличать друг от друга представление Гейзенберга и представление взаимодействия. Поэтому можно вернуться к удобным обозначениям, при которых заглавная буква А обозначает по- поле, соответствующее фотону, а строчная буква ф — поле, соответствующее заряженной частице.
§11.2. Поляризация вакуума 505 ренормированные поля, заряд и массу: ф = г~1/2фв, (П.1.2) A" = Z3"/2A?, A1.1.3) e = Z3+1/2es, A1.1.4) т = тв + Sm, A1.1.5) причем константы Z2, ^з и ?т подберем таким образом, чтобы про- пагаторы перенормированных полей имели полюсы в тех же точках и те же вычеты, что и пропагаторы свободных полей в отсутствие взаимодействий. Лагранжиан может тогда быть переписан через пе- перенормированные величины: ^ = ^0+^1+^2, A1.1.6) где + т]ф, A1.1.7) , A1.1.8) а ^2 равен сумме "контрчленов" - ie(Z2 - 1)А^ф^ф. A1.1.9) В дальнейшем мы покажем, что все слагаемые в J^ представляют собой величины второго и более высоких порядков по е. Кроме того, этих слагаемых оказывается достаточно, чтобы уничтожить ультра- ультрафиолетовые расходимости, возникающие в диаграммах с петлями. § 11.2. Поляризация вакуума Приступим теперь к нахождению петлевых радиационных попра- поправок. В качестве первого примера мы вычислим так называемую ам- амплитуду поляризации вакуума. Диаграмма, соответствующая ей, со- содержит поправки к пропагатору, т.е. к внутренней линии фотона. Поляризация вакуума приводит к сдвигу уровней энергии атома водо- водорода (величину которого можно измерить на эксперименте), а также к важному сдвигу энергии мюона, обращающегося вокруг тяжелого ядра. Кроме того, как мы увидим в т. II, вычисление амплитуды по- поляризации вакуума является ключевым элементом для нахождения того, как ведут себя электродинамика и другие калибровочные тео- теории при высоких энергиях. Как и в §10.5, через гBтгLП*м^(^) обозначим сумму всех связ- связных диаграмм с двумя внешними фотонными линиями, при этом
506 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки сами внешние фотонные линии, соответствующие фотонным про- пагаторам, исключаются. При этом поляризационные индексы мы обозначаем греческими буквами /i, z/, а переносимый четырехим- пульс — буквой q. Звездочка показывает, что мы исключаем из рас- рассмотрения диаграммы, которые можно разбить на два несвязанных между собой графа, разрезав какую-нибудь внутреннюю фотонную линию. Полный фотонный пропагатор А'^ дается формулой A0.5.13) Д' = Д[1-П*Д]-\ A1.2.1) где Дм^ — фотонный пропагатор без учета радиационных поправок. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить в ведущем порядке вклад в П*^). p-q Рис. 11.1. Однопетлевая диаграмма, описывающая амплитуду поляризации вакуума в квантовой электродинамике. Волнистые линии соответствуют фотонам, сплошные линии со стрелками соответствуют электронам Поправку наименьшего порядка можно изобразить однопетлевой диаграммой (см. рис. 11.1): Первый минус здесь возник из-за наличия фермионной петли. Упро- Упрощая полученное выражение, приходим к формуле П1 loop W - B7гL J а (р2 + Ш2 _ й 2 _ ie Первым шагом на пути взятия этого интеграла является трюк, придуманный Фейнманом. Воспользуемся элементарной формулой: 1 ~АВ= J [A-х)А + хВ]^ (П.2.4) о чтобы переписать произведение скалярных пропагаторов в A1.2.3)
§11.2. Поляризация вакуума 507 следующим образом: 1 (р2 + т2 — ie)((p — qJ + m2 — it) l = / [(р2 + т2 — ге)A — х) + ((р — qJ + га2 — ie)x] 2 dx — 0 i = [р2 + т2 — ie — 2р • qx + q2x]~2 dx = о = / [(p — джJ + ттг2 — ie + ^2жA — ж)] -2 о (В приложении к этой главе показано, как работать с такими интегра- интегралами.) Произведем теперь сдвиг переменной интегрирования в про- пространстве импульсов1) р -> р + qx, A1.2.3) сводится к 4р [р2 + т2 - ie + ^2жA - х)] j о -2х х Tr{[-i(p + qx) + m]Y[-i(p - q(l - x)) + m]<ya}. A1.2.5) Используя результаты приложения к гл. 8, след можно легко вычис- вычислить: Tr{[-i(p + qx) + m]Y[-i(p - q(l - x)) + m]-fa} = = 4[-(p + qxY(p - q(l - x)Y + (p + grc) • (p - gf(l - x))ripa - - (p + ^x)^(p - gr(l - rr))p + m2j]pa]. A1.2.6) Следующий шаг называется поворотом Вика [2]. Заметьте, что ес- если —q2< 4m2, то величина т2 + д2жA — х) положительна для всех 0 < х < 1. Полюсы подынтегрального выражения в A1.2.5) располо- расположены в точках р° = ±v^P2 + 777/2 + ^2жA — х) — ie, т.е. один полюс рас- расположен чуть выше отрицательной вещественной полуоси, а второй — чуть ниже положительной вещественной полуоси (см. рис. 11.2). Кон- Контур интегрирования по р° можно повернуть против часовой стрелки, не пересекая при этом полюсов. В результате вместо интегрирования :) Строго говоря, этот шаг справедлив только для сходящихся инте- интегралов. В принципе, для обоснования возможности замены переменных, мы должны использовать несколько специальных приемов, делающих все интегралы сходящимися. К числу таких приемов относится размерная ре- регуляризация, описанная ниже.
508 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Рис. 11.2. Поворот Вика контура интегрирования по р°. Крестиками отме- отмечены полюсы в комплексной плоскости р°. Стрелка показывает направление вращения контура интегрирования (от вещественной оси к мнимой) по вещественной оси от — оо до +оо, мы интегрируем по мнимой оси от —гоо до +гоо. Вводя обозначениер° = гр4, мы находим, что интегриро- интегрирование можно производить по р4, —оо < р4 < +оо. (Если в знаменателе пропагатора вместо ie стояло бы —ге, то тогда нам следовало бы по- положить р° = — гр4, где опять область интегрирования по р4 совпадает бы с вещественной осью. Результатом являлось бы изменение знака П*р^ (#).) Выражение A1.2.5) сводится тогда к X [-(р + qxY(p - q(l - x)Y + (р + qx) • (р - q(l - х))^ - - (р + qx)a(p - q(l - х))р + m2ripa], A1.2.7) где (d4p)E = dp1 dp2 dp3 dp4. Все скалярные произведения вычисляются с использованием евкли- евклидовой метрики Здесь q4 = -iq°, a T]pa совпадает либо с символом Кронекера (индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4), либо с обычным тензором Минковского (индексы пробегают значения 1, 2, 3, 0). Интеграл A1.2.7) сильно расходится. В конечном счете, все бес- бесконечности взаимно уничтожаются, но чтобы увидеть это, необходи- необходимо воспользоваться некой регуляризационной процедурой, делающей интегралы конечными. Нельзя просто обрезать интегралы, выбирая
§11.2. Поляризация вакуума 509 в качестве верхнего предела интегрирования по р^ некоторый макси- максимальный импульс Л [р2 < Л2), поскольку такое обрезание равносиль- равносильно умножению электронного пропагатора на ступенчатую функцию в(А2 — р2). Из тождества Уорда A0.4.25) следует, что калибровочную инвариантность теории можно сохранить только, если одновременно изменить и электронный пропагатор, и электрон-фотонную вершину. Фактически, для учета радиационных поправок необходимо ввести не только ультрафиолетовое обрезание Л, но и отличную от нуля массу фотона. Последняя величина полностью разрушает калибровочную инвариантность. Опыт показывает, что самый удобный способ регуляризовать рас- расходящийся интеграл, не нарушая при этом калибровочную инва- инвариантность — это метод размерной регуляризации, разработанный 'т Хофтом и Вельтманом [3] в 1972 г. Он основан на представлении ин- интеграла в виде функции от размерности пространственно-временной области интегрирования d (d при этом, вообще говоря, может быть комплексным). Чтобы вычислить интеграл типа A1.2.7), первым де- делом нужно проинтегрировать по угловым переменным, что сводится к вычеркиванию всех слагаемых, нечетных по р, и следующей подста- подстановке в слагаемых, четных по р2): p^pv -^p2r]^/d, A1.2.8) Теперь, когда интеграл зависит только от р2, следует заменить эле- элемент объема области интегрирования d4pE на Vtdkd~1 dk, где к = д/р? a ftd — площадь поверхности d-меряой единичной сферы: Па = 27rd/2/T(d/2). A1.2.10) Интеграл A1.2.7) сходится, если d принимает комплексные значе- значения. Мы можем аналитически продолжить интеграл из области ком- комплексных d в точку d = 4. Расходимость в этом случае имеет вид по- полюса (d — 4). В случае интеграла A1.2.7) размерная регуляризация дает: *ра , v _ 4:e2ud Г [ d-l j \ 2 , 2,2/-, 4-1-2 lloopV^ B7ГL J J L 4 V Л 0 ¦ 2qpqax(l -x) + (k2 - q2x{l - x))f]pa + m2f]p(T]. х [^- r) О О ) Эти выражения легче всего вывести, замечая, что их вид следует из лоренц-инвариантности и симметрии относительно перестановок индексов //, v, p и т.д. Множители перед метрическими тензорами можно найти, если потребовать равенство обеих частей после свертки по индексам г].
510 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Интегралы по к можно вычислить для любого комплексного d (за ис- исключением четных целых чисел). Воспользуемся хорошо известными формулами (приведенными в приложении к этой главе): оо [ к,*-1^2 + г/2] dK = \ (jy2)d/2-2T(d/2)TB - d/2), A1.2.11) d/2)r(l - d/2), A1.2.12) о оо о Получаем выражение x I dx [A - 2/d)f]pa(m2 + ^2жA - x))d/2~1r(l + d/2)r(l - d/2) + о + Bqpqax(l -x)- q2r]p(Tx(l - x) + m2r]p(T)(m2 + ^2x(l - x))d/2~2 x xT(d/2)rB-d/2)]. Два члена в подынтегральном выражении можно свести к одному, воспользовавшись формулой A - 2/d)r(l + d/2)r(l - d/2) = -r(d/2)rB - d/2). В результате r(d/2)rB - . l f dxx(l - x)(m2 + q2x(l - x))d/2~2. A1.2.13) l x 0 Отметим очень важное свойство полученного выражения: величи- величина A1.2.13), дающая вклад в И*ра, удовлетворяет соотношению ЯрК%ор(я) = 0, (И-2.14) выведенному в § 10.5, исходя из закона сохранения электрического то- тока и его нейтральности. Мы, в общем-то, и применили метод размер- размерной регуляризации для того, чтобы получить этот результат. Именно из того факта, что закон сохранения тока не зависит от размерности пространства-времени, вытекает A1.2.14). Гамма-функция ГB — d/2) в A1.2.13) сингулярна при d —> 4. К сча- счастью, как мы видели в § 11.1, есть еще один член, который нужно при- прибавить к U*pcr(q). Он возникает из-за наличия в лагранжиане слагае-
§11.2. Поляризация вакуума 511 мого —- (Z3 - 1)F^VF^V. Этот член имеет вид, похожий на A1.2.13): V Г -qpqa), A1.2.15) Поэтому, с точностью до членов порядка е2, полное выражение для П* имеет следующий вид: H*pa(q) = (q rjpcr — qpqa)Tr(q ), A1.2.16) где ^2) = "S^r(d/2)rB-d/2)x x / с\т т(Л — т\(т2 4- п2т(Л — т\\^12~2 — (Zo — ~]) A19 17^ J О Как мы видели в § 10.5, для перенормированного электромагнитного поля должно выполняться равенство тг(О) = 0 (вычет полюса полно- полного фотонного пропагатора при q2 = 0 должен совпадать с вычетом затравочного пропагатора в той же самой точке, если при этом не учитывать члены, зависящие от калибровки). Поэтому, с точностью до слагаемых порядка е2, 1 Z3 = l- |^r(d/2)rB - d/2)(m2)d/2-2 f x(l-x)dx, A1.2.18) о так что, в этом порядке, - d/2)jdxx(l -х) х [(т2 + q2x{l - x))d'2-2 - {т2L'2-2}. A1.2.19) Теперь мы можем убрать регуляризацию, устремив d к его физи- физическому значению d = 4. Как уже говорилось выше, в этом пределе гамма-функция сингулярна: где 7 — 0,5772157 — постоянная Эйлера. Сингулярную часть Z% — 1 можно получить, заменяя ГB — d/2) на 1/B — d/2), a d везде, где она не входит в аргумент гамма-функции, на 4: <*» - v- = - w ^W = w? dh- AL2-2°) В т. II мы увидим, что этот результат можно использовать для выво- вывода в ведущем порядке уравнения ренормгруппы для электрического заряда.
512 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Полюсы при d = 4 в тг(д2) взаимно уничтожаются очевидным об- образом, поскольку для d = 4 оба выражения (т2 + q2x(l — x))d/2~2 и (m2)d'2~2 стремятся к единице. По той же причине, член —7 в асимп- асимптотике ГB — d/2) уничтожается, хотя его вклад в Z% — 1 является конечным. Есть еще дополнительные конечные вклады в ГB — d/2), возникающие после умножения полюса ГB — d/2) на сумму линей- линейных членов разложения П^Г(б?/2) в окрестности точки б? = 4, однако в полном выражении для тг(д2) они также взаимно уничтожаются. На самом деле, делая размерную регуляризацию, мы могли бы вместо Bтг)~4 поставить Bтг)~^, а вместо множителя Тг 1 = 4 — размерность 2dl2 гамма-матриц в пространстве-времени с произвольной четной размерностью d. Отсюда также мог бы возникнуть конечный вклад в Z% — 1. Тем не менее, полное выражение для тг(д2) по-прежнему не изменится. Более того, величину е2 нельзя считать независящим от d, поскольку, как видно из A1.2.13), ее размерность [mass]4:~d от d за- зависит. Если же мы положим е2 ос /x4"d, где \i — некоторая величина с размерностью массы, то в выражении для Z% — 1 появятся дополнительные слагаемые, отвечающие произ- произведению полюса ГB — d/2) на член D — d) In \i в разложении /i4:~d no степеням 4 — d. Однако как и раньше, эти члены уничтожаются при учете однопетлевых поправок. Единственные слагаемые, дающие вклад в тг(д2) в пределе d —У 4, возникают после умножения полюса ГB — d/2) на линейные члены в разложениях выражений (т2 + д2жA - x))d/2~2 и {m2)dl2~2 по степе- степеням d — 4: (m2 + q2x{1 _ x))d/2-2 _ (m2)(l/2-2 ^ (rf/2 _ 2) Ы Л + gMl~ \ T77> A1.2.21) В результате мы получаем: A1.2.22) Физическую важность явления поляризации вакуума можно уви- увидеть, если рассмотреть влияние ее на сечение рассеяния двух заряжен- заряженных частиц со спином 1/2. На рис. 11.3 представлены фейнмановские диаграммы, суммарный вклад которых в 5-матричный элемент имеет вид 5аA,2 -> 1;,2;) = B^)-12/25\ру +р2, -Р1
§11.2. Поляризация вакуума 513 2' 1' Рис. 11.3. Две диаграммы, описывающие рассеяние заряженных частиц. Здесь сплошные линии со стрелками соответствуют заряженным части- частицам. Волнистые линии соответствуют фотонам. Диаграмма б представляет собой поляризационную поправку наинизшего порядка к древесной диаг- диаграмме а Sfr(l, 2 —у 1 , 2 ) = Bтг) ' S yp\i + p2i — р\ — P2)[eiBтг) иу^и\\ x L q J где е\ и е2 — заряды двух рассеивающихся частиц. тг(д2) можно вычис- вычислить, если подставить в A1.2.22) вместо е величину заряда частицы, образующей петлю на рис. 11.3. Через q^ мы обозначим передаваемый импульс, q = р\ — ру = р2> — р2. Используя свойство вычисляем сумму двух диаграмм. Зная ее, находим 5-матричный эле- элемент: /Ьа+5A5 z —>- 1 , z J = [1 + 7r{bq )\д (ру + р2> — р\ — р2) х Г— U "IГ— 1 (л л о о о ч\ х [Uy'y^Ui\iu2''yijju2\. A1.2.26) В нерелятивистском пределе мы имеем приближенные равенства uyj°ui « —iSa'ai, в то время как uyjzui « 0. Аналогичные равенства справедливы и для частицы 2. В этом пределе q° пренебрежимо мало по сравнению с |q|. A1.2.23) сводится к —zeie2 м , _/„2мг4/„ , „ _ _ A1.2.24) Это выражение следует сравнить с вычисленной в борновском при- приближении 5-матрицей рассеяния на локальном, не зависящем от спи- спина центральном потенциале V(r): 5Born(l, 2 -> 1;, 2') = -2tt«(Ei/ + Е2, - Е1 - Е2)ТВогпA, 2 -+ 1', 2;), A1.2.25) 33 С.Вайнберг. Т. 1
x 514 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки ГВогпA,2-> 1',2') = Sa[aiSa'2a2 J d3Xl J d3x2V(\*1 -x2|) х B7r)-12/2e-iPl/-Xle-ip2/-X2eipi'Xleip2-X2. A1.2.26) Положив xi = Х2 + г, получим x f d3rV(r)e~ici'r. A1.2.27) Сравнивая последнее выражение с A1.2.23), получим, что в нере- нерелятивистском пределе 5-матричный элемент, соответствующий диа- диаграммам на рис. 11.3, и 5-матричный элемент рассеяния на потен- потенциале V(r) совпадают. Последний при этом должен удовлетворять условию /¦ Делая обратное преобразование Фурье, \41\ AL2-28) В первом порядке по радиационным поправкам A1.2.28) совпадает с потенциалом электростатического взаимодействия двух протяжен- протяженных распределений зарядов ei?y(x) и е2Г}(у), разделенных расстоя- расстоянием г: V(|r|) = eie2 I <?X I d*y 47rff;y+r|, (И.2.29) где 77(г) = S3(r) + * Г d3q7r(q2)eicLr. A1.2.30) Заметьте, что A1.2.31) /¦ Это означает, что полные заряды частиц 1 и 2, определяемые мед- медленно убывающей частью кулоновского потенциала, совпадают с кон- константами е\ и в2, определяющими величину взаимодействия с пере- перенормированным электромагнитным полем. В случае |г| ф 0 интеграл A1.2.30) можно легко вычислить кон- контурным интегрированием: 1 ^(г) = -g^J x(l~x)dx [1+ /Ж^\ ехр( /хТГ^)' о v v Правая часть последнего равенства отрицательна повсюду. Однако мы видели, что интеграл от 77(г) по всем г равен +1. Поэтому выра-
§11.2. Поляризация вакуума 515 жение для 77 (г) должно содержать слагаемое A + L)E3(r), сингуляр- сингулярное при г = 0. L выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение A1.2.31): 1 г е2 [ dsr [ , 1 \ j Г-1 . mr I L = -—г ^г х(х -l)dx\l-\ , ехр A1.2.32) Тогда полное выражение для функции распределения заряда имеет вид: 2 \ ф) = A + L)S3(r) - ^ J x(x -l)dxx X[1+ y/xll-X^Ky/xli-x))- AL2-33) Физическая интерпретация этого результата состоит в том, что го- голый точечный заряд притягивает частицы с зарядом противополож- противоположного знака, образующие вакуум, и отталкивает соответствующие ан- античастицы. В результате голый заряд оказывается частично экра- экранированным, делая эффективный (перенормированный) заряд мень- меньше в 1/A + L) раз. Чтобы проверить это утверждение, заметим следующее. Если мы обрежем расходящийся интеграл A1.2.32), огра- ограничив область интегрирования условием г ^ а, то обнаружим, что при а —> 0 интеграл ведет себя как A1.2.34) Следовательно, если в качестве ультрафиолетового порога обреза- обрезания Л в пространстве импульсов мы выберем а, то расходящаяся часть L будет связана с расходящейся частью Z% — 1 формулой (Z3 - 1)оо = -2Loo. A1.2.35) Это верно постольку, поскольку с точностью до членов порядка е2, перенормированный заряд A0.4.18) дается выражением 1 /9 ( 1 \ 1 е/ = Zo ев/ ^ ( 1 + — (^з ~ 1) )еВ1 ^ A + Ь) ев/. (ll.z.oo) Уравнение A1.2.35) доказывается ниже. Влияние поляризации вакуума на уровни энергии мюонного ато- атома можно измерить. Как мы увидим в гл. 14, учет фейнмановской диаграммы (Ь) на рис. 11.3 приводит к сдвигу энергии атомного со- состояния с волновой функцией ф(т) на величину АЕ= Г d3rAV(r)\il>(r)\2, A1.2.37) зз*
516 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки где ДУ(г) — возмущение потенциала A1.2.28): ] A1-2.38) Величина A1.2.38) убывает экспоненциально при г ^> т~1. С другой стороны, характерный размер волновой функции электронов в обыч- обычных атомах намного больше (а ^> т~1). Например, для водородопо- добных орбит электронов, вращающихся вокруг ядра с зарядом Ze, а = 137/Zm (где т = те). Сдвиг энергии зависит только от поведе- поведения волновой функции при г ^ а. Если орбитальный угловой момент равен /, то волновая функция при г ^ а ведет себя как г1. Из A1.2.37) следует, что АЕ пропорционально (та)~B1+1\ Поэтому влияние по- поляризации вакуума намного больше для I = 0, чем для более высоких значений орбитального углового момента. Для I = 0 волновая функ- функция приблизительно равна постоянной ф@) для г, меньших или по порядку величины равных т~1. В результате A1.2.37) сводится к АЕ = |^@)|2 fd3r АУ(г). A1.2.39) Используя A1.2.38) и A1.2.22), находим интеграл от возмущения (для eie2 = -Ze2): d3rAV(r) = -ZeV(O) = -^|4- (П.2.40) 15777 Кроме того, значение в начале координат волновой функции атома водорода, соответствующей состоянию с! = 0и главным квантовым числом п, дается формулой * (^K/2. (П.2.41) ( Поэтому сдвиг энергии A1.2.39) равен Например, для состояния 2s атома водорода сдвиг энергии равен — 1,122 х 10~7 эВ, что соответствует сдвигу частоты АЕ/2тгН, рав- равному —27,13 МГц. Это явление называется эффектом Юлинга [4]. Как мы видели в части 1, даже такое небольшое изменение энер- энергии измеримо на эксперименте, поскольку в отсутствие различных радиационных поправок теория Дирака предсказывает вырождение 2s- и 2р-состояний атома водорода. Мы увидим в гл. 14, что большая часть "лэмбовского сдвига" между уровнями 2s и 2р (+1058 МГц) набирается из-за прочих радиационных поправок. Однако согласие теории с экспериментом достаточно четко доказывает наличие сдвига —37,13 МГц, обусловленного поляризацией вакуума.
§11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда 517 Хотя поляризация вакуума для обычного атома обуславливает лишь незначительную часть радиационных поправок, ее роль в случае мюонного атома становится главной. (В мюонных атомах мюон обра- обращается вокруг тяжелого ядра.) Это происходит потому, что вклад большинства радиационных поправок, в силу соображений размерно- размерности, пропорционален тм, в то время как интеграл энергии поляриза- поляризации вакуума / d3rAV, ведущий свое происхождение от электронной петли, по-прежнему пропорционален т~2 (как в A1.2.40)). В ре- результате сдвиг энергии пропорционален ттг^ттг = B10Jтд. Правда, в этом случае радиус мюонного атома ненамного больше комптонов- ской длины волны электрона. По этой причине, приближенный ре- результат A1.2.39) дает только порядок величины сдвига уровней, обу- обусловленного поляризацией вакуума. * * * В целях дальнейшего изложения, заметим, что если бы мы обреза- обрезали интеграл A1.2.7) при к = Л, то вместо A1.2.20) возник бы интеграл вида л d-ъ е2 fid-4-Ad-4 где \i — эффективный порог инфракрасного обрезания, по порядку величины равный массе заряженной частицы, образующей петлю на рис. 11.1. (Самый простой способ найти постоянный множитель — потребовать, чтобы предел этого выражения для d < 3 и Л —у оо сов- совпадал с A1.2.20).) Обрезав интеграл сверху, мы можем перейти к пре- пределу d —У 4 и получить (Z3 - 1)оо = -;^о 1п(Л//х). A1.2.43) § 11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда В качестве следующего примера, мы вычислим в первом неисчеза- ющем порядке поправки к магнитным моментам и радиусам зарядов электрона и мюона. На рис. 11.4 приведены однопетлевые диаграммы, а также ренормализационные поправки для фотон-лептонной верши- вершины. Диаграммы, содержащие вставки во внешние входящие или вы- выходящие лептонные линии, равны нулю, поскольку в этом случае мас- масса лептона удовлетворяет условию на массовой оболочке (см. § 10.3). Третья диаграмма на рис. 11.4 описывает эффекты, связанные с по- поляризацией вакуума. Их мы обсуждали в предыдущем параграфе.
518 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Рис. 11.4. Однопетлевые диаграммы, отвечающие фотон-лептонной вер- вершине Гм. Волновые линии соответствуют фотонам, остальные линии — электронам и мюонам. Диаграммы а л б уничтожаются членами, перенор- перенормирующими лептонное поле. Диаграмма в отвечает поляризации вакуума, подробно рассмотренной нами в § 11.2. Диаграмма г вычисляется в § 11.3 В результате остается единственная однопетлевая диаграмма (край- (крайняя правая на рис. 11.4). Ее нам и нужно вычислить: —i(pf — k) + т -kJ 2 - —I :тгL (р — кJ + m2 — Здесь p' и p — четырехимпульсы конечного и начального лептонов, соответственно. (Вклад вершины, связывающей внешнюю фотонную линию и внутреннюю лептонную линию, равен 7м, поскольку множи- множитель еBтгL рассматривается как общий для всех диаграмм, образую- образующих Гм.) Интеграл, как нетрудно заметить, расходится в ультрафиолето- ультрафиолетовой области и ведет себя как / d4k/(k2J. Поскольку фотон является нейтральной частицей, то в отличие от разобранной в предыдущем параграфе поляризации вакуума, здесь нет необходимости использо- использовать причудливые процедуры регуляризации (типа размерной), да- дабы не разрушить калибровочную инвариантность теории. По этой причине, интеграл можно сделать конечным, подходящим образом модифицируя пропагатор фотона (например, используя множитель М2/(к2 + М2), где М имеет размерность массы, М достаточно вели- велико) . Калибровочная инвариантность при этом нарушиться не должна. В любом случае, как мы увидим в дальнейшем, аномальный магнит- магнитный момент и радиус заряда можно найти, не имея дело с ультра- ультрафиолетовыми расходимостями вовсе. Далее мы будем работать с ин-
§11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда 519 тегралами для вершинной функции, которые расходятся. Нетрудно заметить, что в случае необходимости любые расходящиеся интегра- интегралы можно выразить через величину М. Чтобы преобразовать интеграл A1.3.2), воспользуемся трюком Фейнмана, описанным в приложении к этой главе: B{x -у) + СA - х)]-3. A1.3.2) о о Непосредственно применяя эту формулу к A1.3.2), получим: 1 1 1 _ (pf — кJ + т2 — ie (р — кJ + т2 — ie к2 — ie 1 X = 2 I dx I dy [((p' - кJ + m2 - ie)y + ((p - kJ + m2 - ie)(x - y) + о о + (k2 -ie)(l-x)}-3 = 1 X = 2 dx dy[(k- p'y - p(x - y)J + m2x2 + q2y(x - y) - ie]~3, о о A1.3.3) где q = p — p' — импульс, передаваемый фотону. Делая сдвиг перемен- переменной интегрирования к —>¦ к + р'у + р(х — у) приведем интеграл A1.3.1) к виду м / / ч 2ге2 f * ^looplP'W" B7ГL [ {)] о о х 7р[-^(рЧ1 ~ У) — к - р(х - у)) + ?тг]7м х х [-i(p(l -х + у)-к-р'у) + ш]7р. (П.3.4) Следующим нашим шагом будет поворот Вика. Как мы видели в предыдущем параграфе, бесконечно малая величина — ie в знаме- знаменателе приводит к тому, что при вращении контура интегрирования по к0 в направлении мнимой оси мы должны двигаться против ча- часовой стрелки. В итоге интеграл по к0 от — оо до +оо заменится на интеграл по мнимым значениям переменной интегрирования в пре- пределах от —гоо до +гоо или, что то же самое, на интеграл по веще- вещественным значениям к4 = —ik° в пределах от — оо до +оо. Далее, мы воспользуемся вращательной симметрией знаменателя в A1.3.4) и опустим члены в числителе, имеющие нечетный порядок по /с, в то
520 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки время как kxka заменим на r]Xak2/4. Элемент объема интегрирования d4k = г dk1 dk2 dk3 dk4 сводится к 2шк3 d& (к — евклидова длина че- тырехвектора к). В результате A1.3.4) приобретает следующий вид: + 7РН(р'A - У) ~ Р(х ~ У)) + тЪ^ х х [-i(p(l -х + у)-р'у) + m]jp} х х [к2 + т2х2 + ^22/(х - у)}'3. A1.3.5) Интерес для нас представляет только матричный элемент вершин- вершинной функции п'Г^и, где и, и' — дираковские спиноры, удовлетворяю- удовлетворяющие соотношениям п'[гр' + т] = 0, [гр + m]ix = 0. Мы можем упростить A1.3.5), воспользовавшись антикоммутацион- антикоммутационными соотношениями для матриц Дирака, чтобы избавиться от мно- множителей р' в левой скобке и множителей р в правой скобке. Соотно- Соотношения для спиноров позволяют заменить везде р и р' на im. После простых, но довольно скучных вычислений, приводим A1.3.5) к сле- следующему виду: 0 0 0 х п'{^[-к2 + 2ш2(х2 - 4х + 2) + 292Q/(x -у) + 1-х)] + + 4imp'^(y — х + од) + 4:imp^(x2 — ху — у)}и х х [к;2 + mV + <?22/(ж - г/)]. A1.3.6) Воспользуемся теперь симметрией последнего множителя относи- относительно отражений у —>¦ ж — у. Функции у — х + ху и ж2 — ху — у, кото- которые являются коэффициентами при р/М и рм, переходят друг в друга. Поэтому и ту, и другую можно заменить их полусуммой: - (у - х + ху) + - (ж2 - ху - у) = - - жA - ж). В результате получим: f f JdxJl 0 0 0 [-к2 + 2m2(ж2 - 4ж + 2) + 2q2(y(x - у) + 1 - ж)] - х [к2 + ш2ж2 + q2y(x - у)}'3. A1.3.7)
§11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда 521 Заметьте, что р^ и р/М входят в A1.3.7) только в виде комбинации р^ + р/М, как это и должно быть в силу сохранения тока. Существуют другие диаграммы, которые нужно принять во вни- внимание. Конечно же, в Г^ есть слагаемое нулевого порядка 7^- Кроме того, член, пропорциональный Z^ — 1, также дает вклад в Г^: Т%2 = (Z2 - 1O". A1.3.8) Нужно вспомнить и про член, описывающий поправки к внешнему фотонному пропагатору: Вид всех перечисленных членов находится в согласии с общим резуль- результатом A0.6.10) (где H(q2) = 0): (p + prG(q)]u. A1.3.10) С точностью до членов, квадратичных по е, формфакторы даются формулами л 2 2 /» /» /» ^4 J ^ J ^ J K 0 0 0 [к2 - 2ш2(ж2 - 4ж + 2) - 2д2(|/(ж - у) + 1 - ж)] [к,2 + m2x2 + q2y(x — y)]s 1 X OO -4тг2е2 f , f, f 4ш2жA -x)n2>dn /iioio\ = /o 44 dx dy r^ ^ J— ^-, A1.3.12) BтгL У У УУ [к2 + ш2ж2 + д2|/(ж - 2/)]3 v } 0 0 0 где тг(^2) — функция поляризации вакуума A1.2.22). Интеграл для формфактора G{q2) конечен: G(q ) = . 9 I dx I dy v 9 / г. A1.3.13) 4 у 4тг2 J J т2х2 -\-q2y(x -у) у J о о Отсюда нетрудно вычислить аномальный магнитный момент. Как бы- было отмечено в § 10.6, единственным членом, дающим вклад в магнит- магнитный момент, является член с 7м- Поэтому учет радиационных попра- поправок состоит в операции умножения дираковского значения магнитного момента е/2т на F@). Но в силу определения е как реального значе- значения лептонного заряда, F@) + G@) = l, A1.3.14) так что магнитный момент можно представить в виде ^ A1.3.15)
522 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Из A1.3.13) следует, что -G@) = ^ = 0,001161. A1.3.16) Это и есть известная поправка к значению а/2тг, впервые найденная Швингером [5]. Конечно, она является всего лишь первым членом в радиацион- радиационных поправках к магнитному моменту. Уже в следующем порядке, четвертом по е, имеется так много слагаемых, что вычисления стано- становятся довольно сложными. Однако в силу большой величины отноше- отношения масс мюона и электрона, в выражении для магнитного момента мюона есть один член четвертого порядка, который несколько боль- больше остальных. Он возникает из-за электронной петли на диаграмме Рис. 11.5. Двухпетлевая диаграмма, дающая вклад в магнитный момент мюона. ^Жирная сплошная линия соответствует мюону, тонкие волни- волнистые линии — фотонам, остальные линии — электронам. В четвертом по- порядке диаграмма дает относительно большой вклад (пропорциональный In(mM/me)) в гиромагнитное отношение мюона второго порядка, дающей поправку к пропагатору виртуального фо- фотона 1/к2 (см. рис. 11.5). Из-за наличия электронной петли последний заменяется в A1.3.1) на где тге(к2) дается формулой A1.2.22). При этом вместо т в A1.2.22) нужно подставить массу электрона: 1 . к2хA — х) е2 f = ^ J J о dx. Из A1.3.12) видно, что при вычислении магнитного момента мюо- мюона эффективный порог, на котором происходит обрезание импуль- импульсов к виртуальных фотонов, нужно положить равным тд. Отношение столь велико, что для к2 порядка тп2^ мы можем приближенно
§11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда 523 написать A1.3.17) Коэффициенты при опущенных членах суть величины порядка еди- единицы (а не ln(m^/mg)). Поскольку они являются константами, изме- изменение —б?@) из-за поправок к пропагатору фотона, обусловленных наличием электронной петли, находится простым умножением наше- нашего предыдущего результата A1.3.16) на A1.3.17): (Как мы увидим в т. II, приведенное доказательство есть упрощенный вариант метода ренормгруппы.) Результат A1.3.18) можно сравнить с полным выражением, полученным в четвертом порядке:6 е (л i _e!_ 2шм V + 8тг2 96тг4 ] т1 Оказывается, что если члены, обозначенные нами как A)", умно- умножить на е4/9бтг4 и сложить, то сумма окажется равной —6,137, что, на самом деле, ненамного меньше, чем \п(т^/т1) = 10,663. Мы видим, что приближение A1.3.18) дает члены четвертого порядка всего лишь с точностью до двойки. Правильное выражение четвертого порядка A1.3.19) приводит к ответу /хд = l,00116546e/2mM (сравните с резуль- результатом, полученном во втором порядке, /iM = 1,001161е/2тм, и совре- современными экспериментальными данными [7], /iM = 1,001165923(8)е/2тм). Рассмотрим теперь другой формфактор. Интеграл A1.3.11) для F(q2) содержит ультрафиолетовую расходимость. Однако для выпол- выполнения условия A1.3.14), необходимо, чтобы Z<± принимало значение хк2~ 2fjX^~JX3 + 2) ¦ (П.3.20) (Напомним, что тг(О) =0.) Это выражение содержит ультрафиолето- ультрафиолетовую расходимость, причем сингулярная часть дается формулой
524 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Подставляя A1.3.20) в A1.3.11), получим: 0 0 0 „2/ 2 л , о\ о~2/ • [А;2 - 2ш2(ж2 - 4ж + 2) - 2д2(у(х - у) + 1 - х)] Х [F + т2х2 + д2|/(ж - у)]3 Интеграл по fc теперь сходится: ± ж ?I dxJdy О О Г -т2[ж2 - 4ж + 2] - д2[?/(ж - у) + 1 - х] х2 - 4х + 2 I гп2х2 -\- q2y(x — у) х2 _lnrmV+g2y(x-y)il AL3<23) L т2ж2 J J Однако мы видим, что интеграл по х и i/ расходится логарифми- логарифмически при ж = 0 и ^/ = 0, поскольку знаменатели квадратичны по х и/или ^/, а числитель содержит произведение двух дифференциалов dxdy. Такая расходимость обусловлена равенством нулю знаменате- знаменателя в A1.3.11), [к2 + тп2х2 + q2y(x - уK], при х = 0, у = 0, к = 0. По- Поскольку источником этой сингулярности является область малых, а не больших к, она называется инфракрасной расходимостью (в отличие от ультрафиолетовых расходимостей). Мы будем подробно рассматривать инфракрасные расходимости в гл. 13. Там будет показано, что от сингулярности поперечного се- сечения процессов типа рассеяния электрона на электроне (источником которой является инфракрасная расходимость электронного форм- фактора F(q2)) можно избавиться, если наряду с упругим рассеянием принять во внимание излучение низкоэнергетических фотонов. Кроме того, как мы увидим в гл. 14, при вычислении радиационных попра- поправок к атомным уровням энергии, инфракрасная расходимость в F(q2), на самом деле, отсутствует, поскольку связанный электрон уже не на- находится строго на массовой оболочке для свободного электрона. Сей- Сейчас же продолжим наше вычисление, просто вводя фиктивную массу фотона /i, чтобы избавиться от инфракрасной расходимости в F(q2). В гл. 14 мы увидим, как можно использовать полученный результат. Если масса фотона равна /i, то знаменатель к2 — ге в A1.3.1) следует заменить на к2 + /J2 — ге. К выражению, стоящему в скоб- скобках в знаменателях уравнений A1.3.3)—A1.3.7), A1.3.11), A1.3.20), A1.3.22), нужно прибавить слагаемое /12A - х). Тогда A1.3.23) при-
§11.3. Аномальный магнитный момент и радиус заряда 525 водится к dx о о f dy Г -т2[х2 - 4х + 2] - q2[y(x - у) + 1 - х] т2[х2 - 4х + 2] I га2ж2 + д2?/(ж — 2/) + /^2A — х) гп2х2 + //2A — х) га2ж2 +//2A — ж) Интеграл теперь сходится. Его можно выразить через функции Спен- са, однако результат будет не очень показательным. Для дальнейшего использования в гл. 14 нам достаточно вычислить поведение F(q ) для малых q2. Мы уже знаем из тождества Уорда, что Поэтому рассмотрим производную F'(q2) в точке q2 = 0. Согласно A1.3.24), О О 2[х2 f 2у(х -у) + 1-х гп2[х2 - 4ж + 2]у(х - у) \ П1оо^ I m2x2+mu2(l-x) [ш2ж2+ш^2A-ж)]2 У ^ii-°-zo>' Вклад от поляризации вакуума дается формулой A1.2.22): -'@) = й^. (П.3.26) Опуская в A1.3.25) все члены, пропорциональные степеням /i/m, на- находим, что1) ( 1) причем член 2/5 обусловлен поляризацией вакуума. С другой сторо- стороны, из A1.3.13) ясно, что G(q2) имеет конечную производную в точ- точке q2 = 0: G"@) = * 2. A1.3.28) Удобнее всего полученные результаты записать через формфактор заряда Fi(g2), определяемый с помощью альтернативного представ- :) Интеграл по у вычисляется тривиально. Интеграл же по х легче всего вычислить в пределе /i ^C га, разбивая область интегрирования на две части: одна часть от 0 до s, где ц/m <С s ^С 1, вторая — от s до 1.
526 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки ления A0.6.15) вершинной функции: = п(р', a') [rF.iq2) + \ i[7", 7"](Р' " p)vF2(q2)] u(p, а). A1.3.29) Согласно A0.6.17) и A0.6.18), F1(q2)=F(q2)+G(q2). A1.3.30) Для |g2| <C m2, этот формфактор приближенно равен Его можно переписать через зарядовый радиус а. Последний опреде- определяет поведение зарядового формфактора при q2 —У 0: Fi(<?2) -^ l-q2a2/6. A1.3.32) (Выбор этого определения мотивируется тем фактом, что среднее от exp(iq • х), взятое по сфере радиуса а, ведет себя как 1 — q2a2/6 при q2a2 <С 1.) Мы видим, что радиус заряда электрона дается выраже- выражением _2 г / #/2 \ 9 41 а = ~1—о—о In ^-7 1 + 7 + 7 • A1.3.33) 4тг2ш2 L \ш2/ 5 4J v y Мы увидим в гл. 14, что в случае электронов в атомах роль массы фо- фотона играет эффективный инфракрасный порог обрезания, который много меньше т. В силу этого, логарифм имеет большое по величине отрицательное значение. В результате а2 оказывается положитель- положительным. § 11.4. Собственная энергия электрона Напоследок вычислим собственную энергию электрона. Сама по себе она не имеет какого-либо экспериментального значения, но неко- некоторые результаты этого параграфа будут использованы нами в гл. 14 и т. П. Как и в § 10.3, введем обозначение гBтгL[Е*(р)]/з,а для суммы диа- диаграмм с двумя внешними электронными линиями (одной входящей и одной выходящей), переносящими импульс р и дираковские индек- индексы а, /3, соответственно. Звездочка указывает на тот факт, что мы не рассматриваем несвязные диаграммы. Несвязными называются такие графы, которые можно разбить на две несоединяющиеся между собой части, разрезав некоторую внутреннюю электронную линию. Пропа- гаторы, соответствующие внешним линиям, опускаются. В итоге пол-
§11.4- Собственная энергия электрона 527 ный электронный пропагатор может быть записан в виде суммы HBtt)-4S'(p)] = НBтг)-45(р)] + + [-гB7г)-45Ы][гBтгL1:*(р)][-гB7г)-45Ы] + ..., A1.4.1) где S(p) ее ~f \m\ . A1.4.2) р2 + mf — ге Сумма вычисляется тривиальным образом и равна S'(p) = [ip + ше - Е*(р) - ге]-1. A1.4.3) Поправка к Е* наинизшего порядка дается однопетлевой диаграммой, изображенной на рисунке 11.6: или, упрощая A1.4.3), Е* 1 (v) - J^L f d*k \—L-\ Г7Р(-ф + ^ + шеOр1 /п 4 4ч Ъ1 Юор W - B?rL J U *{k2_ ie\ [ {p _ kJ +m2_ie \ ' i11'4-4^ (Мы используем калибровку Фейнмана. Амплитуды, соответствую- соответствующие заряженным частицам вне массовой оболочки, не являются ка- либровочно инвариантными.) В целях дальнейшего удобства (при вычислении лэмбовского сдвига) удобно воспользоваться методом регуляризации Паули-Вилларса [8]. Заменим фотонный пропагатор {k2 — ie)~x разностью k2-ie к2 + /i2 - ге' В результате выражение для собственной энергии электрона приоб- приобретает следующий вид: 1 + mehpy m2 - ге J v ' (р-кJ Несколько позже мы избавимся от регуляризующей добавки, поло- положив \i —у оо. В гл. 14 нас также будет интересовать случай \± <С те. Преобразуем произведение знаменателей, снова воспользовавшись трюком Фейнмана. Вспоминая также попутно, что г)р^к^р = —2^к
528 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки Рис. 11.6. Однопетлевая диаграмма, определяющая собственную энергию электрона. Как обычно, сплошная прямая линия соответствует электрону, волнистая линия — фотону и 7р7р — 4, находим 2 ^1оорЫ=(|^/^ВДр- 1 X — рхJ + р2х{1 — х) + т2х — ieJ О 1 ~ ((к - рхJ + р2х(\ - х) + ш2ж + //2A - ж) - геJ J' Сдвигая переменную интегрирования fc —>- fc + рх и осуществляя по- поворот Вика контура интегрирования, получим оо 3 X О х Г 1 1 1 [(к2 + р2хA — х) + гп2хJ (п2 + р2хA — х) + т2ж + fi2(l — х)J J A1.4.7) Интеграл по к вычисляется тривиально: — х) Следует также учесть контрчлен — [Z^ — l)(ip + те) + Z2Sme, даю- дающий вклад в Е*(р), причем Z2 и ?тге здесь задаются условием, чтобы полный пропагатор Sf(p), рассматриваемый как функция гр, имел по- полюс с вычетом, равным единице, в точке ip = —me. (Как мы увидим в следующей главе, в силу этого условия, Е* конечно при \i —у оо во всех порядках по е.) В наинизшем порядке отсюда имеем Sme = — ] iwww 27Г4 /аХ[1-ГХ]ПЦ _2^2 Ъ уИ-^-У)
§11.4- Собственная энергия электрона 529 dp ip= — r, i2(l — х) A1.4.10) (В этом порядке 5те и Z2Sme не различаются.) Опуская члены, стре- стремящиеся к нулю при ц2 —У оо, приведем уравнения A1.4.8)—A1.4.10) к виду A1.4.11) 2тетг2е2 /* , г 1, (fi2(l — х) A1.4.12) 2A-ж2 к>2 7^ О Исследование этих выражений показывает, что члены, содержащие ln/i2 в полном выражении для собственной энергии, взаимно уничто- уничтожаются: = SJ loop(p) - -2тг2е Bтг) о г2е2 vi v^ о П1 / т2A-ж) \ гA - х)р + 2те] In 2 neV ч , 2 ~ v y J \р2х{1-x) + mlxj A1.4.14) Имеется, однако, еще одна расходимость. Ее источником становит- становится последний член, рассматриваемый в окрестности точки х = 0. Эта расходимость соответствует сингулярному поведению интеграла по импульсам в A1.4.5) при к2 = 0, имеющему место, если р2 = —т2е (точка, в которой вычисляется Z^ — 1). Такие инфракрасные сингу- сингулярности будут подробно обсуждаться в гл. 13. Сейчас же отметим, что ультрафиолетовая расходимость исчезла. * * * Результат для 8те A1.4.9) представляет интерес сам по себе. За- Заметьте, что 8те/те > 0, что, в общем-то, и ожидалось для собствен- собственной электромагнитной энергии заряда, взаимодействующего со своим 34 С.Вайнберг. Т. 1
530 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки полем. Однако в отличие от классических оценок электромагнитной собственной энергии, сделанных Пуанкаре, Абрахамом и другими фи- физиками [9], формула A1.4.9) в пределе \± —у оо расходится всего лишь логарифмически: В § 14.3 при вычислении лэмбовского сдвига нас будет интересовать обратный предел, \i <С те. В этом случае из A1.4.9) следует, что Приложение. Вычисление интегралов Чтобы преобразовать произведение знаменателей N пропагаторов к нужному виду, мы представим D^D^1 ... D^1 в виде интеграла. При этом подынтегральная функция будет зависеть не от каждого Di, г = 1,..., N, по отдельности, а от их линейной комбинации. Вос- Воспользуемся формулой dxjy-i x 0 0 0 ?7V-2 - ЖЛГ-l) + . . . + DNA - X1)]~N. (ll.A.l) В этой главе мы применяем (ll.A.l) в двух частных случаях, когда N = 2nN = 3. Преобразовав произведение знаменателей, сделаем сдвиг четырех- компонентной переменной интегрирования. Затем осуществим пово- поворот Вика и воспользуемся четырехмерной вращательной инвариант- инвариантностью. В итоге мы получим сумму интегралов вида где (к2 + и2I71 суть подынтегральное выражение в формуле (ll.A.l), а члены вида (к2)п отвечают числителям пропагаторов и верши- вершинам. Интеграл расходится, если 2п + 4 ^ 2т. Однако рассматривая комплексные значения размерности d пространства интегрирования, можно сделать интеграл конечным. Воспользуемся хорошо известной формулой (X) f J /-2тг(г/2)г(ш-г/2) 2Г(т) '
Задачи 531 где I = d + 2п. В § 11.2 мы использовали A1.А.2) два раза, положив в одном случае п = 0, т = 2, а в другом п = 1, т = 2. Ультрафиолетовые расходимости возникают в A1.А.2) в виде по- полюсов гамма-функции Г(т-//2) = T(m-n-d/2), когда d —У 4 (целое число п считается при этом фиксированным). Ес- Если 2 + п = т, гамма-функция ведет себя следующим образом: где 7 = 0,5772157 ... — постоянная Эйлера. Вид полюса при 2 + п > т можно получить из A1.А.З), используя рекуррентное соотношение для гамма-функций. Задачи 1. Вычислить вклад в функцию поляризации вакуума тг(д2) ив Z% однопетлевых диаграмм, содержащих заряженную безспиновую ча- частицу с массой ms. Какому сдвигу энергии состояния 2s атома водо- водорода он соответствует, если ms ^> Zame7 2. Предположим, что взаимодействию нейтрального скалярного поля ф (масса гпф) с электронным полем в лагранжиане соответствует слагаемое дффф. Как оно влияет на магнитный момент электрона и на Z2? Ограничиться однопетлевыми диаграммами. 3. Рассмотрим нейтральное скалярное поле ф с массой т^, са- самодействие которого описывается членом дф3/6. Вычислить элемент 5-матрицы, описывающей скаляр-скалярное рассеяние. Ограничить- Ограничиться однопетлевыми диаграммами. 4. Вычислить изменение массы электрона Smej к которому при- приводит наличие в системе нейтрального скалярного поля из задачи 2. Ограничиться однопетлевыми диаграммами. Литература 1. Feynman R.P. // Phys. Rev. 76, 769 A949). 2. Wick G.G. I/ Phys. Rev. 96, 1124 A954). 3. 4 Hooft G., Veltman M. // Nucl. Phys. B44, 189 A972). 4. Uehling E.A. // Phys. Rev. 48, 55 A935). Однопетлевая функция тг(д2) для q2 ф 0 впервые была найдена в работе Schwinger J. // Phys. Rev. 75, 651 A949). 5. Schwinger J. // Phys. Rev. 73, 416 A948). 34*
532 Гл. 11. Однопетлевые радиационные поправки 6. Эта формула (в том числе и члены, пренебрежимо малые при те <С тм) была получена в работах Suura Н., Wichmann Е. // Phys. Rev. 105, 1930 A957); Petermann А. // Phys. Rev. 105, 1931A957); Elend ЯЛ. // Phys. Lett. 20, 682 A966); 21, 720 A966); Erickson G.W., Liu H.H.T. // UCD-CNL-81 report A968). 7. Bailey J. и пр. (CERN-Mainz-Daresbury Collaboration) // Nucl. Phys. B150, 1 A979). Эксперименты состояли в наблюдении пре- прецессии спина мюона в накопительном кольце. 8. Pauli W., Villars F. // Rev. Mod. Phys. 21, 434 A949). Также см. Rayski J. II Phys. Rev. 75, 1961 A949). 9. Смотрите, например, Miller A.I. Theory of Relativity — Emergence A905) and Early Interpretation A905-1911). Addison-Wesley, Reading, MA, 1981. Chapter 1.
Глава 12 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОРМИРОВОК В предыдущей главе мы видели, что в квантовой электродинами- электродинамике при вычислении однопетлевых диаграмм возникают расходящиеся интегралы по импульсному пространству. Но все эти расходимости сокращаются, когда мы выражаем параметры теории через "перенор- "перенормированные" величины, такие как измеряемые в экспериментах заря- заряды и массы. В 1949 г. Дайсон [1] предложил набросок доказательства того, что в квантовой электродинамике подобное сокращение имеет место во всех порядках теории возмущений. Сразу же стало ясно, что аргументы Дайсона сохраняют силу для большого числа теорий с ко- конечным набором взаимодействий относительно простого вида — так называемых перенормируемых теорий, а квантовая электродинами- электродинамика является лишь одним из примеров. Мы рассмотрим этот подход в §12.1 и §12.2. Долгое время считалось, что любая осмысленная физическая тео- теория должна быть перенормируемой теорией поля. Условие перенор- перенормируемости сыграло ключевую роль при построении современной "стандартной модели" слабых, электромагнитных и сильных взаимо- взаимодействий. Однако ниже мы увидим, что сокращение ультрафиолето- ультрафиолетовых расходимостей на самом деле не требует перенормируемости — если мы включаем в теорию всю бесконечную серию разрешенных из соображений симметрии взаимодействий, так называемые неперенор- мируемые теории становятся не менее перенормируемыми, чем пере- перенормируемые. Сегодня широко распространено мнение, что реалистичные тео- теории, используемые для описания физических явлений при достижи- достижимых энергиях, представляют собой "эффективные теории поля". Как мы увидим в § 12.3, эти теории представляют собой низкоэнергети- низкоэнергетические приближения более фундаментальных теорий, которые вооб- вообще могут не быть теориями поля. Любая эффективная теория поля с необходимостью содержит бесконечное число неперенормируемых взаимодействий. Тем не менее ожидается, что при достаточно малых энергиях все неперенормируемые взаимодействия в таких теориях сильно подав- подавлены (мы обсудим это в §12.3 и §12.4). Таким образом, перенор- перенормируемые теории типа квантовой электродинамики и стандартной модели сохраняют свой особый статус, хотя причины этого и отли- отличаются от тех, которыми исходно объясняли условие перенормируе- перенормируемости.
534 Гл. 12. Общая теория перенормировок § 12.1. Степени расходимости Рассмотрим теорию очень общего вида, содержащую различные взаимодействия. Будем нумеровать взаимодействия индексом г; каж- каждое из них характеризуется числом п«/ участвующих в нем полей ти- типа/и числом операторов дифференцирования di, действующих на эти поля. Начнем с вычисления в этой теории "условной степени расходи- расходимости" 1) D произвольной связной одночастично неприводимой фейн- мановской диаграммы. Эта величина по определению равна разности между суммарной степенью импульса в числителе и суммарной степе- степенью импульса в знаменателе, сложенной с учетверенным числом неза- независимых 4-импульсов, по которым ведется интегрирование. Условная степень расходимости совпадает с истинной степенью расходимости при интегрировании по области импульсного пространства, где им- импульсы всех внутренних линий одновременно стремятся к бесконеч- бесконечности. А именно, при D > 0 вклад в амплитуду от области, где все внутренние импульсы обращаются в бесконечность пропорционально параметру к, —у оо, расходится как CXJ [к1 A2.1.1) В том же смысле интеграл с условной степенью D = 0 расходится логарифмически, а интеграл с D < 0 сходится (по крайней мере, в указанной области). Позже мы вернемся к вопросу о существовании области интегрирования, где интеграл расходится сильнее, чем в ука- указанной. Чтобы найти D, нам нужно знать о диаграмме следующее: If = число внутренних линий, соответствующих полям типа /, Ef = число внешних линий, соответствующих полям типа /, Nf = число вершин, соответствующих взаимодействиям типа г. Будем считать, что асимптотическое поведение пропагатора A/(fc) по- поля типа / дается выражением A/(]fe) ~k-2+2sf. A2.1.2) Из результатов гл. 6 следует, что для скалярных полей Sf = О, 1 для дираковского поля Sf = -, а для массивного векторного поля Z Sf = 1. Вообще, можно показать, что для массивных полей, лоренц- преобразование которых относится к типу (А, В), имеет место ра- равенство Sf = А + В. Допуская некоторую вольность речи, мы можем :) Соответствующий английский термин: superficial degree of divergence. (Примеч. ред.)
§12.1. Степени расходимости 535 называть Sf "спином". Однако после отбрасывания несущественных вследствие калибровочной инвариантности слагаемых получаем, что эффективный фотонный пропагатор равен ij^/k2, т. е. для фотона Sf = 0. Этот результат справедлив и для массивной векторной части- частицы, взаимодействующей с сохраняющимся током (при условии, что ток не зависит от векторного поля). Можно убедиться, что в анало- аналогичном смысле для пропагатора гравитонного поля д^у также Sf = 0. В соответствии с A2.1.2), суммарный вклад пропагаторов в сте- степень расходимости D равен Далее, входящие в плотность взаимодействия типа г производные уве- увеличивают степень подынтегрального выражения по импульсам на d^ так что полный вклад дифференцирований в D составляет hdi- A2.1.4) Наконец, нам нужно знать число независимых импульсов, по кото- которым ведется интегрирование. Каждой внутренней линии можно со- сопоставить 4-импульс, но не все эти импульсы будут независимыми — каждая связанная с вершиной дельта-функция накладывает на них линейное соотношение. Одно из соотношений сводится к условию со- сохранения полного импульса, наложенному на импульсы внешних ли- линий; следовательно, вклад в D от объема области интегрирования в импульсном пространстве можно представить как (Е)] A2Л-5) что, конечно же, есть просто учетверенное число независимых петель на диаграмме. Складывая A2.1.3), A2.1.4) и A2.1.5), находим D = ^2 IfBsf + 2) + ^ Ni(di ~ 4) + 4- A2.1.6) / i Записанная в таком виде, формула A2.1.6) не очень удобна: по ее структуре можно предположить, что значение D зависит от внутрен- внутренних деталей фейнмановской диаграммы. К счастью, ее можно упро- упростить, используя топологические равенства A2.1.7) (Каждая внутренняя линия соединена с двумя вершинами, а каждая внешняя — с одной.) Исключая If при помощи A2.1.7), приводим
536 Гл. 12. Общая теория перенормировок формулу A2.1.6) к виду D =4 - где Af — параметр, характеризующий взаимодействия типа г: А, = 4-^-^71^ + 1). A2.1.9) Этот результат можно было получить на основе простого размер- размерного анализа, не обращаясь к структуре фейнмановских диаграмм. Пропагатор поля представляет собой четырехмерное фурье-преобра- зование среднего по вакууму от хронологически упорядоченного про- произведения двух свободных полей, так что при обычной нормиров- нормировке поле /, размерность2) которого в степенях импульса равна $)f, будет обладать пропагатором размерности —4 + 2^. Поэтому ес- если при импульсах к, по величине значительно превосходящих мас- массу, пропагатор асимптотически ведет себя как k~2+2sf, то для раз- размерности поля должно выполняться равенство —4 + 2S)f = —2 + 2s f, т.е. @f = 1 + Sf. Взаимодействие типа г, включающее п«/ таких по- полей и di дифференцирований, будет тогда обладать размерностью di + Sni/A + sf)- Но действие безразмерно, так что каждое слага- / емое в плотности лагранжиана должно обладать размерностью +4, чтобы сократить размерность —4 элемента объема d^x. Следова- Следовательно, размерность константы взаимодействия должна быть рав- равна 4 — di — ^2riif(l + Sf), что есть в точности значение параметра / Af. В импульсном представлении связной фейнмановской диаграм- диаграмме с Ef внешними линиями полей типа / соответствует амплитуда, получаемая фурье-преобразованием по 4 J^ Ef координатам среднего / по вакууму от хронологически упорядоченного произведения полей суммарной размерности ^2Ef(l + s/), так что ее размерность равна (—3 + Sf). В этой величине можно выделить (равный —4) вклад / сохраняющей 4-импульс дельта-функции и равный ^Ef{—2 + 2s/) / вклад пропагаторов, соответствующих внешним линиям; получаем, 2) В этой главе слово "размерность" всегда означает размерность, вы- выраженную в степенях массы или импульса (в системе единиц, где h = с = 1). Мы работаем со стандартно нормированными полями, для которых в ла- лагранжиане свободного поля при члене со старшей производной (который определяет асимптотическое поведение пропагатора) стоит безразмерный коэффициент.
§12.1. Степени расходимости 537 что суммарная размерность собственно интеграла по импульсам и всех констант взаимодействия есть f f f После вычитания вклада констант взаимодействия J^ А^А^ находим, i что размерность интеграла по импульсам равна / i Поскольку нас интересует область, где все импульсы одновременно стремятся к бесконечности, степень расходимости интеграла совпада- совпадает с его размерностью — мы еще раз вывели формулу A2.1.8). Таблица 12.1 Слагаемые в плотности лагранжиана квантовой электродинамики. Через di, rii-y и riie обозначены количества входящих в выражение для плот- плотности взаимодействия дифференцирований, фотонных полей и электрон- электронных полей соответственно; Дг- — размерность константы взаимодействия (напомним, что s7 = 0 и se = 1/2) Взаимодействие di riij riie Дг — ieipAip 0 2 1 0 1 2 0 0 2 0 2 2 4 4 4 -1 -2 -1 4- — - — 3 3 = 0 2 = 0 3 = 0 = 1 -(z2- [-(Z2 - l)m Если для всех взаимодействий А^ ^ 0, то из A2.1.8) следует верх- верхняя оценка для D, зависящая только от числа внешних линий каж- каждого типа, т.е. только от физического процесса, амплитуда которого вычисляется: л A2.1.10) Например, в рассмотренном в предыдущей главе простом вариан- варианте квантовой электродинамики лагранжиан содержал члены, приве- приведенные в табл. 12.1. Для всех взаимодействий выполнено неравен- неравенство А^ ^ 0, так что согласно A2.1.10) условная степень расходимости фейнмановской диаграммы с Е1 внешними фотонными линиями и Ее внешними линиями дираковских фермионов ограничена сверху вели- величиной D ^4- |яе -Е1. A2.1.11) Лишь конечное число наборов внешних линий приводит к условно расходящимся интегралам — мы перечислим их в § 12.2. Вскоре мы
538 Гл. 12. Общая теория перенормировок покажем, что в теориях, в которых для всех взаимодействий выпол- выполнено неравенство А^ ^ 0, число возникающих расходимостей ограни- ограничено и все они могут быть устранены посредством переопределения конечного числа физических постоянных и изменения нормировок по- полей. По этой причине такие теории называются перенормируемыми. В § 12.3 мы приведем список всех перенормируемых теорий и обсудим значение перенормируемости как критерия отбора для физических теорий. Понятие перенормируемости используется и в приложении к от- отдельному взаимодействию. Перенормируемым называют взаимодей- взаимодействие, для которого Af ^ 0, т.е. соответствующая константа связи обладает положительной или нулевой размерностью. Иногда делают различия между случаями А^ = 0 (просто перенормируемостью) и Дг > 0 (суперперенормируемостъю). Поскольку включение дополни- дополнительных полей или дифференцирований всегда приводит к умень- уменьшению величины А^, для любого заданного набора типов полей может существовать лишь конечное число перенормируемых взаи- взаимодействий. Выше мы видели, что все взаимодействия в простей- простейшем варианте квантовой электродинамики перенормируемы, а сла- слагаемые фф — даже суперперенормируемы. С другой стороны, если для некоторого взаимодействия имеет ме- место неравенство Д^ < 0, степень расходимости A2.1.8) растет с уве- увеличением числа вершин соответствующего типа. Сколь бы ни были велики значения Ef, при увеличении числа вершин типа г с Д^ < О величина A2.1.8) рано или поздно станет положительной (или ну- нулем), а интеграл — расходящимся. Такие взаимодействия обладают константами связи отрицательной размерности и называются непере- нормируемыми3); для теории, содержащей хотя бы одно такое взаи- взаимодействие, также используется термин "неперенормируемая". Но это не означает, что теория лишена смысла — мы увидим, что и в непе- ренормируемом случае все расходимости могут быть устранены при помощи переопределения параметров, но для этого требуется наличие бесконечного числа взаимодействий. Следует помнить, что выше мы нашли для фейнмановской диа- диаграммы степень расходимости, связанную только с областью в им- импульсном пространстве, где все внутренние 4-импульсы одновременно стремятся к бесконечности. Расходимости могут возникнуть и при ин- интегрировании по области, где обращаются в бесконечность только им- импульсы, сопоставленные линиям некоторой поддиаграммы. Например, в квантовой электродинамике согласно A2.1.1) для комптоновского ) В статистической физике неперенормируемые взаимодействия назы- называются несущественными, так как они становятся менее важными в пре- пределе низких энергий. Перенормируемые и суперперенормируемые взаимо- взаимодействия называются маргинальными и существенными соответственно.
§12.1. Степени расходимости 539 рассеяния имеем D ^ — 1 (поскольку Ее = 2 и Е1 = 2); и действитель- действительно, диаграммам, подобным изображенной на рис. 12.1, соответству- соответствуют сходящиеся интегралы. Но диаграммы, подобные приведенным на рис. 12.1, б и 12.1, в, логарифмически расходятся, так как они Рис. 12.1. Некоторые двухпетлевые диаграммы для комптоновского рассея- рассеяния. Прямые линии соответствуют электронам, волнистые — фотонам. Для диаграммы а интеграл по импульсному пространству сходится, а для диа- диаграмм б и в — расходится ввиду наличия у них расходящихся поддиаграмм (выделенных пунктирными линиями) содержат поддиаграммы (заключенные в пунктирные прямоуголь- прямоугольники) с D ^ 0. Можно сказать, что расходимость этих диаграмм свя- связана с аномально плохим асимптотическим поведением подынтеграль- подынтегрального выражения в области, где восемь компонент двух независимых 4-импульсов стремятся к бесконечности по некоторому четырехмерно- четырехмерному подпространству — а именно, по подпространству, где обращается в бесконечность только импульс, циркулирующий в петле на внутрен- внутренней линии электрона (или только импульс, циркулирующий в содер- содержащей электрон-фотонную вершину петле). Было показано [2], что условие фактической сходимости интегра- интеграла для амплитуды, соответствующего некоторой фейнмановской диа- диаграмме, состоит в отрицательности величины D не только для инте- интегрирования по всем независимым импульсам, но и для всех частичных интегралов, получаемых наложением одного или нескольких линей- линейных условий на импульсы в петлях. (Приведенные на рис. 12.1, б и 12.1, в диаграммы не удовлетворяют этому критерию, так как для них D ^ 0 при интегрировании только по импульсам в выделенных пунктирными линиями петлях.) Мы не будем приводить здесь доволь- довольно длинное доказательство этого утверждения, поскольку оно подроб- подробно изложено в имеющейся литературе [3], а используемые при доказа-
540 Гл. 12. Общая теория перенормировок тельстве методы имеют мало общего с практическими вычислениями. В следующем параграфе мы покажем, как можно удовлетворить при- приведенному выше условию. § 12.2. Уничтожение расходимостей Рассмотрим фейнмановскую диаграмму (или поддиаграмму) с неот- неотрицательной условной степенью расходимости D ^ 0. В области, где все внутренние импульсы одновременно стремятся к бесконечности, ОО интеграл будет расходиться как / kD-1 dk. После (D + 1)-кратного дифференцирования по какому-либо внешнему импульсу полная сте- степень импульса под знаком интеграла уменьшится на D + 1 и инте- интеграл по рассматриваемой области станет сходящимся1). Не исклю- исключено, что еще остались расходимости, связанные с поддиаграммами (аналогично изображенным на рис. 12.1, б и 12.1, в случаям); пока что мы проигнорируем эту возможность, но вернемся к ней позднее в этом параграфе. Поскольку после (D + 1)-кратного дифференциро- дифференцирования интеграл становится сходящимся, вклад диаграммы (или под- поддиаграммы) можно представить в виде суммы полинома степени D по внешним импульсам с расходящимися коэффициентами и конеч- конечной добавки. Чтобы проиллюстрировать описанную операцию на технически несложном примере, рассмотрим логарифмически расходящийся од- одномерный интеграл ^ о с D = 1 — 1 = 0. Однократное дифференцирование дает оо '(а) = _ f dk _ 1 {q)- J {k + qy- q> так что Постоянная с дается расходящимся интегралом; но остальная часть результата не содержит бесконечностей. Совершенно аналогично г) Например, пусть некоторой внутренней линии скалярного поля при- приписан импульс к + р, где р — линейная комбинация внешних 4-импульсов, а /с — 4-импульс, по которому ведется интегрирование. Соответствующий пропагатор [(к + рJ + т2] имеет асимптотику к~2 при к —»¦ оо. Его произ- производная по р^ равна —2(kl_t + Рц)[(к + рJ + т2]~2; при к —»¦ оо это выражение ведет себя уже как к~ .
§12.2. Уничтожение расходимостеп 541 можно вычислить интеграл с D = 1: ОО к d к = a + bq + qlnq, I k + q О где а и Ъ — бесконечные постоянные. Но полиномиальное по внешним импульсам слагаемое можно полу- получить, добавив соответствующий член в лагранжиан: если диаграмма с Ef внешними линиями типа / имеет степень расходимости D ^ О, то связанный с ультрафиолетовыми расходимостями полином будет иметь тот же вид, что и вклад в амплитуду от различных взаимо- взаимодействий, содержащих n«/ = Ef полей типа / и di ^ D дифференци- дифференцирований. Если в лагранжиане уже присутствуют слагаемые такого вида, ультрафиолетовые расходимости просто дают поправки к их константам связи. Следовательно, возникающие бесконечности мож- можно уничтожить, введя подходящие бесконечные добавки к констан- константам взаимодействий в лагранжиане. Фактически мы можем измерить лишь сумму голой константы взаимодействия и соответствующего коэффициента одного из "расходящихся" полиномов; так что если мы потребуем равенства этой суммы полученной при измерении вели- величине (предположительно конечной), то голая константа взаимодей- взаимодействия с необходимостью будет содержать бесконечность, уничтожаю- уничтожающую расходимость в интеграле по внутренним импульсам диаграммы. (Исключение составляет случай, когда мы имеем дело с расходящей- расходящейся диаграммой всего с двумя внешними линиями, т.е. с радиацион- радиационной поправкой к пропагатору частицы. Тогда мы должны требовать не равенства некоторой эффективной константы взаимодействия из- измеряемой величине, а совпадения положения полюса пропагатора и вычета в нем с соответствующими величинами для пропагатора сво- свободной частицы.) Таким образом, все бесконечности уничтожаются за счет переопределения констант взаимодействий, масс и нормиро- нормировок полей. Чтобы такая схема перенормировок могла быть реализована, в лагранжиан должны входить все взаимодействия, соответствую- соответствующие ультрафиолетово расходящимся слагаемым в фейнмановских амплитудах. Разумеется, соображения симметрии (такие как лоренц- инвариантность и калибровочная инвариантность) накладывают огра- ограничения на вид входящих в лагранжиан слагаемых; но при этом воз- возникают аналогичные ограничения и на вид расходимостей. (Требуются некоторые усилия, чтобы показать эквивалентность условий, накла- накладываемых неабелевыми калибровочными симметриями на вид вза- взаимодействий и расходимостей. Мы сделаем это во втором томе.) В общем случае никаких других ограничений на структуру ультрафи- ультрафиолетовых расходимостей нет, так что лагранжиан должен содержать все слагаемые, не запрещенные из соображений симметрии. (В супер- суперсимметричных теориях из этого правила есть исключения [4].)
542 Гл. 12. Общая теория перенормировок Но существует важный класс теорий с конечным числом типов взаимодействий, для которых эта схема перенормировки все же при- применима. Это так называемые перенормируемые теории, содержащие лишь взаимодействия с А^ ^ 0. Из A2.1.8) в этом случае следует В ^4-?)?/(*/+ 1), / так что расходящиеся полиномы возникают лишь при вычислении ограниченного числа фейнмановских диаграмм или поддиаграмм — тех, где число внешних линий достаточно мало, чтобы выполнялось неравенство D ^ 0. Вклад любого из таких полиномов в амплитуду имеет тот же вид, что и вклад вершины, связанной со взаимодейст- взаимодействием, включающим Ef полей типа / и 0,1,..., D дифференцирова- дифференцирований. Но из A2.1.9) следует, что таким способом можно получить в точности взаимодействия, удовлетворяющие условию перенорми- перенормируемости Af ^ 0, т.е. Для уничтожения всех бесконечностей в перенормируемой теории обычно необходимо наличие в лагранжиане всех слагаемых, не за- запрещенных из соображений симметрии2). Например, если скалярное (или псевдоскалярное) поле ф и фермионное поле ф взаимодействуют посредством слагаемого ффф (или ф^фф) в плотности лагранжиана, то мы не можем исключить взаимодействие ф^\ в противном случае у нас не будет контрчлена, сокращающего логарифмическую расхо- расходимость фермионной петли с четырьмя скалярными (или псевдоска- псевдоскалярными) внешними линиями. Рассмотрим подробнее уничтожение расходимостей в простейшем варианте квантовой электродинамики. При помощи A2.1.11) мы мо- можем перечислить все диаграммы или поддиаграммы, способные при- привести к расходящимся интегралам. Ее = 2, Е7 = 1. Эти значения соответствуют электрон-фотонной вершине 1д ' (pf, р). (Индекс I указывает, что подразумевается только вклад от диаграмм ) Кроме того, в лагранжиан могут входить слагаемые и массовые члены, нарушающие глобальные симметрии — при условии, что они су- перперенормируемы, т.е. для них Ai > 0. Это связано с тем, что наличие суперперенормируемого взаимодействия уменьшает степень расходимости, и нарушение симметрии не оказывает влияния на уничтожение расходимо- расходимостей за счет строго перенормируемых членов с Ai = 0. Заметим, что сим- симметрией обладают голые строго перенормируемые взаимодействия; пере- перенормированные взаимодействия, определенные через матричные элементы на массовой оболочке, обычно нарушают симметрию.
§12.2. Уничтожение расходимостеп 543 с петлями.) В этом случае D = О, так что расходящаяся часть не за- зависит от импульса. Из лоренц-инвариантности тогда следует, что бес- бесконечная константа должна быть пропорциональна 7^: ГУ=ЬЪ+Г1?\ A2.2.1) где константа L содержит логарифмическую расходимость, а Гд ко- конечна. Эта формула не определяет L однозначно, поскольку всегда возможно перенести конечную величину SLj^ из Tj в Lj^. Чтобы исключить оставшийся произвол, вспомним, что согласно результа- результатам § 10.4 матричные элементы Гд(р,р) (а потому и Г^ (р,р)) между дираковскими спинорами с лежащими на массовой оболочке импуль- импульсами пропорциональны соответствующим матричным элементам 7м- Поэтому значение L можно однозначно зафиксировать условием п(р,а')Т^(р,р)и(р,а) = 0 A2.2.2) при р2 + т2е = 0. Ее = 2, Е1 = 0. Эти значения отвечают диаграммам для собственной энергии электрона ?*(р). Здесь D = 1, так что расходящаяся часть линей- линейна по импульсу на внешних электронных линиях р^. Из лоренц- инвариантности и сохранения четности следует, что вклад диаграмм с петлями зависит от р: =А- (ip + m)B + ?(/)(Й, A2.2.3) где А и В — бесконечные константы, а Е^) не содержит расходимо- стей. Снова написанная формула не дает однозначного определения констант А и В, поскольку имеется возможность добавить к ?^ ли- линейное по р выражение. Мы зафиксируем значения А и В, наложив условие ?(/) = =р- = 0 при ip= -т. A2.2.4) На самом деле В не является новой бесконечной константой. Если мы используем не нарушающую сохранения тока схему регуляризации, то величины Гд и ? удовлетворяют тождеству Уорда A0.4.27) Г"(р,р)=7"+*7Г-Е(Р), и потому ЬЪ + Т^\р,р)=В^+г^^. A2.2.5) Взяв матричный элемент последнего равенства между спинорами п(р,а') и и(р,а), при помощи A2.2.2) и A2.2.4) находим L = B. A2.2.6)
544 Гл. 12. Общая теория перенормировок Е7 = 2, Ее = 0. Этим значениям соответствуют диаграммы для собственной энер- энергии фотона n*j,(g). Имеем D = 2, так что расходящаяся часть долж- должна быть полиномом второй степени по q. Из лоренц-инвариантности следует, что собственная энергия П*^ должна быть линейной комби- комбинацией ц^у и q^ с коэффициентами, зависящими только от q2; вклад диаграмм с петлями можно поэтому представить в виде Щ + C2rnflvq2 + C^q^qv + конечные члены, где С\, С2 и Сз — бесконечные константы. Если мы используем не на- нарушающую сохранения тока схему перенормировок, должно выпол- выполняться равенство д"П«(д) = 0. Аналогичное соотношение будет иметь место и для расходящихся сла- слагаемых, так что величина C\qv + (С2 + C^)q2qv должна быть конечной при всех q. Отсюда следует, что С\ и С2 + С% — конечные величины, и мы можем включить содержащие их слагаемые в конечную часть ПдДд). Таким образом, # ф2)), A2.2.7) где величина тг(д2) конечна, а единственная оставшаяся расходимость в Hjjlf^q) заключена в постоянной С. Чтобы однозначно зафиксиро- зафиксировать ее значение, мы можем включить в С величину тг(О) и наложить условие тг(О) = 0. A2.2.8) #7 = 4, Ее=0. Этим значениям соответствуют диаграммы для амплитуды Мдг//0О- рассеяния фотона на фотоне. Для них D = 0, и из условий лоренц- инвариантности и бозе-статистики получаем, что амплитуда имеет вид (древесный вклад в этом случае отсутствует) M^vpo- = К(г}^г}р(Т + VupVv* + VnaVvp) + конечные члены, где константа К потенциально бесконечна. Однако из сохранения тока следует, что q^M^pa = 0, так что величина K(quf]pa + qpf]ua + QaVvp) конечна. Чтобы это было справедливо при q ф 0, постоянная К сама должна быть конечной. Это рассуждение иллюстрирует роль симметрии в схемах перенорми- перенормировок. Если бы константа К оказалась бесконечной, мы не смогли бы уничтожить возникшую расходимость за счет перенормировки кон- константы взаимодействия (АрА^J, поскольку такое взаимодействие на- нарушает калибровочную инвариантность; но К конечна из-за условия
§12.2. Уничтожение расходимостеп 545 сохранения тока, следующего из той же калибровочной инвариант- инвариантности. Е7 = 1, Ее = О и Ее = 1, Е7 = О, 1, 2. 5 3 1 Для таких диаграмм имеем соответственно D = 3 и D = -, -, -. Но из лоренц-инвариантности следует обращение всех этих амплитуд в нуль. Е7 = 3, Ее = 0. В этом случае D = 1, но соответствующие амплитуды равны нулю вследствие инвариантности относительно зарядового сопряжения. Возможно, читатель уже заметил, что независимые бесконечные постоянные А, В и С находятся во взаимно-однозначном соответствии с параметрами Z2, Z% и 5т в контрчленной части A1.1.9) лагранжиа- лагранжиана квантовой электродинамики. Вклад контрчленов в величину ?*(р) равен Z2S171 — {Z^ — l)(ip + m). Условие неизменности положения од- ночастичного полюса и вычета в нем по сравнению со случаем про- пагатора свободного поля означает, что постоянные Z^ и ?т должны быть выбраны так, чтобы вычисленная с учетом всех вкладов вели- величина S*(p) удовлетворяла соотношениям A2.2.4), т.е. Z2Sm = -A, A2.2.9) Z2 - 1 = -В. A2.2.10) При этом собственная энергия совпадает с конечной функцией Е(р)=Е<'>(р). A2.2.11) Аналогично, контрчленная часть J^ дает непосредственный вклад (Z2 — 1Oд в вершину Гд. Используя A2.2.6), получаем для вершины выражение Гд = Ъ + (Z2 - 1)Ъ + Г« =Ъ+ Г</). A2.2.12) Оно не только конечно, но и удовлетворяет условию 5(р, <т')Гд(р,р)«(р, а) = п(р, а')Ъи(р, а'), A2.2.13) что можно увидеть также из равенств A0.6.13) и A0.6.14). Нако- Наконец, J*f2 дает вклад -(Z3 - l)(q2r]^ - q^) в величину П*^(^). Чтобы вычет в полюсе пропагатора фотона был таким же, как и у пропа- гатора свободного поля, коэффициент при q2f]^u — Q^Qu в выражении для ПдгДд) должен обращаться в нуль, так что Z3 = l + C A2.2.14) и фотонный пропагатор конечен: IW?) = (V^q2 ~ q^Hq2). A2.2.15) 35 С.Вайнберг. T.I
546 Гл. 12. Общая теория перенормировок На данный момент мы убедились лишь в том, что расходимости, связанные с областью импульсного пространства, где все импульсы велики (а их отношения при этом находятся в общем положении), при- принимают вид полиномов от внешних импульсов и уничтожаются подхо- подходящими контрчленами. Соответствующие этой ситуации диаграммы называются условно сходящимися. Но пока что мы не можем утвер- утверждать, что все расходимости уничтожаются в результате перенорми- перенормировки. Следует еще рассмотреть диаграммы высших порядков, где ультрафиолетовые расходимости возникают при стремлении некото- некоторого меньшего подмножества импульсов интегрирования к бесконеч- бесконечности. Например, в квантовой электродинамике условные расходи- расходимости при интегрировании по поднабору импульсов возникают из-за поддиаграмм, представляющих собой вклады в собственную энер- энергию фотона П*, собственную энергию электрона Е* или электрон- фотонную вершину Гм. Трудности в обращении с такими расходимо- стями связаны с тем, от последних нельзя избавиться посредством дифференцирования по внешним импульсам: в выражениях для ам- амплитуд операторы дифференцирования действуют только на внутрен- внутренние линии диаграмм, не принадлежащие расходящимся поддиаграм- поддиаграммам, и потому не понижают степень расходимости этих поддиаграмм. Как было отмечено в предыдущем параграфе, диаграмма или сум- сумма диаграмм является фактически сходящейся, только если интегра- интегралы по всем импульсам и по любым поднаборам импульсов являются условно сходящимися (в смысле подсчета степеней импульса). Но все- всегда, когда появляется некоторая расходящаяся поддиаграмма, для нее существует подходящий бесконечный контрчлен. В случае электроди- электродинамики это слагаемые из A1.9): контрчлен -(Z3 - для каждой поддиаграммы, соответствующей П*^(д); контрчлен Z2Sm - (Z2 - l)(ip + m) для каждой поддиаграммы, соответствующей Е*(р); контрчлен (Z2 - 1OД для каждой поддиаграммы, соответствующей Г^. Как и ранее (для случая расходящихся диаграмм), эти контрчлены уничтожают свя- связанные с поддиаграммами расходимости [1]. К сожалению, в приведенном простом рассуждении имеется изъян: проигнорирован случай перекрывающихся расходимостей. А именно, две расходящиеся поддиаграммы могут иметь общую внутреннюю ли- линию, так что мы не имеем права рассматривать их как два незави- независимых расходящихся интеграла. В квантовой электродинамике такое происходит только когда две вершины электрон-электрон-фотон пе-
§12.2. Уничтожение расходимостеп 547 рекрываются на диаграмме для собственной энергии фотона или элек- электрона3), как показано на рис. 12.2 и 12.3. \^2> -^перекрыв. Рис. 12.2. Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энер- энергии фотона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающиеся расходимости. Линии со стрелками соответствуют электронам; волнистые линии соответствуют фотонам. Кресты обозначают вклады контрчленов ( Г7 1\ \^3 -L/перекрыв. Рис. 12.3. Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энер- энергии электрона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающие- перекрывающиеся расходимости. Волнистые линии соответствуют фотонам; остальные ли- линии — электронам. Кресты обозначают вклады контрчленов 3) Предположение о наличии общей линии у двух собственно- энергетических диаграмм или у собственно-энергетической диаграммы и вершинной части приводит к тому, что количество внешних линий оказы- оказывается недостаточным для соединения поддиаграммы с оставшейся частью диаграммы. Исторически для решения проблемы перекрывающихся расхо- димостей в собственной энергии электрона использовалось тождество Уор- да A0.4.26) — собственная энергия электрона выражалась через вершинную функцию, для которой перекрывающиеся расходимости не возникают. Мы не будем здесь использовать этот подход, поскольку в нем нет необходимо- необходимости (и в любом случае он не переносится на случай собственной энергии фотона и других нейтральных частиц). 35*
548 Гл. 12. Общая теория перенормировок Полное рассмотрение перенормировок, учитывающее возможность перекрывания расходимостей, должно содержать алгоритм устране- устранения условных ультрафиолетовых расходимостей (включая расходи- расходимости, связанные с различными частями области интегрирования) и доказательство того, что этот алгоритм по крайней мере формально реализуется перенормировкой масс, полей и констант взаимодействий. Согласно теореме, приведенной в ссылке 2, в этом случае все функ- функции Грина перенормированных полей, выраженные через перенорми- перенормированные массы и константы взаимодействий, будут конечными. Пер- Первое доказательство того, что перенормировка масс, полей и констант взаимодействий делает интегрирование по импульсам и все частич- частичные интегрирования условно сходящимися, было дано Саламом [5]. Конкретный алгоритм устранения ультрафиолетовых расходимостей был предложен Боголюбовым и Парасюком [6] и скорректирован Хеп- пом [7]; ими же была показана его эквивалентность перенормировке масс, полей и констант взаимодействий. Наконец, Циммерманн [8] до- доказал, что этот алгоритм действительно устраняет все условные рас- расходимости при полном и частичном интегрированиях и использовал теорему из ссылки 2, чтобы показать сходимость перенормированных фейнмановских интегралов по импульсному пространству. Вкратце, алгоритм "БПХЦ" для устранения условных расходимо- расходимостей предписывает рассмотреть все способы (называемые "лесами") заключения диаграммы и ее поддиаграмм в систему прямоугольни- прямоугольников, среди которых могут быть вложенные, но перекрытий другого типа нет. (Ниже мы приведем пример.) Каждому лесу сопоставим вычитаемое выражение, заменяя интеграл для заключенной в прямо- прямоугольник поддиаграммы условной степени расходимости D (двигаясь от внутренних прямоугольников к внешним) на первые D + 1 члена его тейлоровского разложения по степеням импульсов, входящих в этот прямоугольник или выходящих из него4). "Перенормированная" амплитуда равна исходной за вычетом всех сопоставленных лесам вы- выражений (учитывается также и лес, состоящий из единственного окру- окружающего диаграмму прямоугольника). Достаточно легко видеть, что получаемая таким образом "перенор- "перенормированная" амплитуда совпадает с получаемой при помощи замены всех масс, полей и констант взаимодействий в исходном лагранжи- лагранжиане на их перенормированные значения. Различие между этой схемой перенормировок и использованной нами в гл. 11 состоит в том, что теперь перенормированные массы, поля и константы взаимодействий определяются в терминах амплитуд в нестандартной точке перенор- ) В представленном здесь виде алгоритм применим и к перенормируе- перенормируемым, и к неперенормируемым теориям. В неперенормируемом случае вычи- вычитание производится только когда прямоугольник содержит какую-либо из диаграмм, соответствующих перенормируемым слагаемым в лагранжиане.
§12.2. Уничтожение расходимостеп 549 мировки, где все 4-импульсы обращаются в нуль. (В этом отношении рассмотренные в начале параграфа одномерные расходящиеся инте- интегралы дают элементарный пример метода разделения расходящихся слагаемых в схеме БПХЦ.) Но такая точка перенормировки ничем не выделена: после того, как фейнмановская амплитуда сделана конеч- конечной за счет выражения ее через нестандартные перенормированные параметры теории, ее можно выразить через обычные перенормиро- перенормированные массы, поля и константы взаимодействий без введения каких- либо новых бесконечностей. На практике нет необходимости пользоваться схемой БПХЦ. За- Замена масс, полей и констант взаимодействий на перенормированные (определенные в любой удобной точке перенормировки) автоматиче- автоматически приводит к возникновению контрчленов, уничтожающих все рас- расходимости. Вместо того чтобы доказывать, что алгоритм БПХЦ дей- действительно делает все интегралы сходящимися, мы рассмотрим один пример успешного применения процедуры перенормировок при нали- наличии перекрывающихся расходимостей. Рассмотрим вклад четвертого порядка в собственную энергию электрона П*Дд), соответствующий приведенным на рис. 12.2 диа- диаграммам. (Лесами в этом случае будут весь интеграл по р ир', ин- интеграл только по р и интеграл только по р1.) Учитывая контрчлены для вершин и перенормировку фотонного поля, получаем для иско- искомой величины выражение перекрыв. = " Щ* j ^P j q)YS(p - 2(Z2 - 1J^ Iatp Tr{7, - (Z3 - 1)перекрыв.(<72^ - q^), A2.2.16) где S(p) = [—ip + m]/[p2 +m2 - ie], через {Z>2 — 1J обозначено слагаемое второго порядка по е в ^ - 1, a (Z% — 1)перекрыв. — содержащая логарифмическую расходимость бес- бесконечная константа четвертого порядка по е, уничтожающая члены второго порядка по qx в [n*^(^)]nepeKpbIB.. Множитель 2 во втором сла- слагаемом связан с наличием двух вершин на диаграмме второго поряд- порядка для собственной энергии электрона, каждая из которых дает кон- контрчлен Z2 — 1. Отметим, что первое слагаемое можно рассматривать либо как поправку к вершине (даваемую интегралом по р') в собствен- собственной энергии фотона, содержащей интегрирование по р, либо как по- поправку к вершине (даваемую интегралом по р) в собственной энергии фотона, содержащей интегрирование по р' — но не как две независи-
550 Гл. 12. Общая теория перенормировок мых поправки к вершинам, поскольку имеется лишь один фотонный пропагатор. Чтобы понять, как обращаться с расходимостями в A2.2.16), за- заметим, что [(Z2 - 1J + Дг]7/1 = jj?yf ^z- lpS(p'h,S(p')Y}, A2-2.17) где остаток П^ конечен. (Из условия лоренц-инвариантности сле- следует, что интеграл справа пропорционален 7д • Разность между значе- значением этого интеграла и (Z<± — 1J7д представляет собой вычисленную с точностью до второго порядка по е перенормированную вершину электрон-электрон-фотон при нулевых импульсах электрона и фо- фотона и потому конечна.) С учетом этого можно переписать A2.2.16) в виде [Л*„(д)]„ ерекрыв. p'2 - it - (Z3 - 1)перекрыв.(^2^^ ~ QnQv)- A2.2.18) Рассмотрим сначала только интеграл по р'. Каждое из первых двух слагаемых логарифмически расходится, но их разность конечна. Тре- Третье слагаемое также расходится логарифмически (за счет калибро- вочно-инвариантного регулятора), но в отличие от случая первых двух слагаемых его расходящаяся часть принимает вид полинома вто- второй степени по q (а остаток конечен). Эта остающаяся расходимость устраняется за счет слагаемого — (Zs — l)^2^^ — q^qv), которое уни- уничтожает все члены второго порядка в разложении П* v (q). Таким обра- образом, интегрирование по р' дает конечный результат. Из симметрично- симметричности выражения A2.2.16) следует, что интегрирование по р также дает конечный результат. Частичное интегрирование общего вида (по р и р' при фиксированном значении ар + Ър', где а и Ъ — произвольные ненулевые постоянные) явно будет сходящимся, а полный интеграл по р и р' делает конечным контрчлен — (Zs — 1)overlap(Q2V^ ~ Q^Qu)- Поэтому выражение A2.2.18) (и результат любого частичного инте- интегрирования в нем) удовлетворяют условию сходимости, связанному с подсчетом степеней импульса, так что согласно сформулированной
§12.2. Уничтожение расходимостеп 551 в предыдущем параграфе теореме [2] все выражение является факти- фактически сходящимся. В квантовой электродинамике наряду с перенормированными мас- массами и полями можно естественным образом определить и перенорми- перенормированную константу взаимодействия. Но в общем случае дело обстоит не так. Рассмотрим, например, теорию с одним скалярным полем ф(х) и плотностью лагранжиана ^ = -1-дхфдхф-\т2ф2-±дф\ A2.2.19) В однопетлевом приближении из правил Фейнмана получаем 5-мат- ричный элемент для рассеяния скалярного поля на скалярном поле: 5<™ "> ^ = ''t^E^E^ F^<* - «, A2-2.20) где q[q'2) = -i / d4k • т2 — ie][(q2 — кJ + т2 — ie] A2.2.21) a qi, qi и q[, q'2 — входящие и выходящие 4-импульсы соответственно. Объединяя знаменатели и совершая обычный поворот контура инте- интегрирования по к0, получаем оо 1 F = g- ^_ fk3dkf dx {[к2 + т2 - sx(l - х)]~2 + о о + [к2 +т2 - tx(l - х)]~2 + [к2 +т2 - ихA - ж)]~2}, A2.2.22) где х — фейнмановский параметр, a s, t и и — переменные Мандель- стама s = -(qi+q2)\ t = -(q1-q'1J, и =-(qi - q'2J, A2.2.23) связанные соотношением s + t + и = 4m2. Если произвести ультрафи- ультрафиолетовое обрезание при к = Л, то в случае Л ^> т получим + 1п( 2 wi т) + lnf — ^ т) - 3)- A2.2.24) \ш2 — tx(l — ж)/ \ш2 — их{1 — х) ) ) их{1 — х) Мы можем определить перенормированную константу взаимодейст- взаимодействия дл как значение F в точке с произвольно выбранными значениями s, t и и (при условии, что мы не выходим из области, где F действи-
552 Гл. 12. Общая теория перенормировок тельна). Предположим, например, что с целью сохранить симметрию относительно скаляров мы выбираем не лежащую на массовых обо- оболочках точку перенормировки5) q2 = q% = q'2 = q'? = /i2, s = t = и = = —4/i2/3. Определяя перенормированную константу взаимодействия да как значение амплитуды F в этой точке, получаем и A2.2.25) Зависимость от параметра обрезания в A2.2.24) тогда уничтожает- уничтожается до порядка д2ю и для выраженной через д# амплитуды имеем не содержащую бесконечностей формулу 1 г2 + 4жA — x)fi2 /3 — ж) rp \ \ fry» ? 11 ПГ \ ПГ 1 Здесь /а2 можно положить равным любому действительному числу, большему — Зттг2 (в этом диапазоне дя будет действительной). Явная зависимость от \± в A2.2.26), конечно же, устраняется за счет зависи- зависимости от \i перенормированной константы взаимодействия. Наличие такой свободы в выборе параметров перенормировки (которая, разу- разумеется, имеет место также в квантовой электродинамике и других реалистичных теориях) будет иметь для нас очень большое значение при рассмотрении метода ренормгруппы во втором томе. § 12.3. Нужна ли перенормируемость? В предыдущем параграфе мы указали специальный класс теорий с конечным числом слагаемых в лагранжиане, к которым тем не менее применима обычная процедура перенормировки. Это теории, в кото- которых все взаимодействия удовлетворяют условию перенормируемости ~ -1)^0, / где di и riif — соответственно число дифференцирований и полей ти- типа / во взаимодействии типа г, as/ — спин поля / (с некоторыми оговорками). Для успешной перенормировки в таких теориях обыч- обычно необходимо, чтобы в лагранжиане фактически присутствовали все ) Если вновь проследить за выводом A2.2.25), то можно убедиться, что мы нигде не использовали условия q2 = g| = q2 = q^ = —m2. Таким образом, выражение A2.2.14) справедливо при любых значениях масс ча- частиц на внешних линиях.
§12.3. Нужна ли перенормируемостъ? 553 Таблица 12.2 Допустимые перенормируемые слагаемые в плотности лагранжиана, вклю- включающие скаляры ф, дираковские поля ф и фотонные поля А^. Посредством щ/ и di обозначены соответственно число полей типа / и число дифферен- дифференцирований, входящих во взаимодействие типа г; размерность соответствую- соответствующей константы взаимодействия равна Дг- Скаляры 1 2 2 3 4 2 2 1 0 0 0 0 nif Фотоны 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 0 1 Спин 1/2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2 * 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 Дг 3 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ф ф2 д^фд^ф Ф3 Ф4 фд^фА^ Ф2А^ ффф фф ф'У^'д/и.ф ФГА.ф перенормируемые взаимодействия, не запрещенные из соображений симметрии. Важно, что таких взаимодействий имеется лишь ограниченное число. Величина А^ становится отрицательной, если мы включаем слишком много полей или дифференцирований, а также если мы ис- используем поля слишком высокого спина. Если не принимать во вни- внимание искусственные сокращения, не существует перенормируемых взаимодействий с участием полей спина Sf ^ 1. Действительно, един- единственный возможный член в лагранжиане с А^ ^ О, включающий та- такое поле наряду с двумя или более другими полями, должен содер- содержать поле спина Sf = 1 и два скаляра (без дифференцирований), что несовместимо с условием лоренц-инвариантности. Во втором томе мы увидим, что безмассовые калибровочные поля спина Sf = 1 в подхо- подходящей калибровке обладают эффективным спином Sf = 0, подобно фотонному полю. Также во втором томе мы увидим, что даже для массивных калибровочных полей может (в зависимости от происхо- происхождения массы) эффективно выполняться равенство Sf = 0. За ис- исключением этих специальных случаев, в табл. 12.2 приведены все возможные перенормируемые слагаемые в плотности лагранжиана,
554 Гл. 12. Общая теория перенормировок включающие скалярные частицы (s = 0), фотоны (s = 0) и фермио- ны спина 1/2 (s = 1/2), разрешенные из соображений лоренцевой и ка- калибровочной инвариантностей. Мы видим, что условие перенормируемости накладывает сильные ограничения на вид возможной физической теории. Подобные ограни- ограничения играют важную роль в прояснении структуры теории. Напри- Например, лоренц-инвариантность и калибровочная инвариантность сами по себе не запрещают наличие в лагранжиане квантовой электроди- электродинамики члена Паули, пропорционального ^[у^^^грГ^; в случае его присутствия магнитный момент электрона становится подстраивае- подстраиваемым параметром. Мы исключаем такое слагаемое ввиду его непере- нормируемости. Успешность предсказаний квантовой электродинами- электродинамики (например, вычисление магнитного момента электрона, описанное в § 11.3) может рассматриваться как свидетельство справедливости принципа перенормируемости. Аналогичная ситуация имеет место и для стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных вза- взаимодействий, которая будет обсуждаться во втором томе — в эту теорию можно ввести множество дополнительных взаимодействий (например, четырехфермионное взаимодействие кварков и лептонов), разрушающих предсказания стандартной модели, исключение кото- которых связано только с их неперенормируемостью. Должны ли мы считать, что в лагранжиан могут входить лишь перенормируемые взаимодействия? Как мы видели в предыдущем па- параграфе, если включить в лагранжиан всю бесконечную серию вза- взаимодействий, разрешенных из симметрийных соображений, в нашем распоряжении будет подходящий контрчлен для сокращения любой ультрафиолетовой расходимости. В этом смысле, как отмечалось ра- ранее, неперенормируемые теории являются столь же перенормируемы- перенормируемыми, что и перенормируемые — лишь бы в лагранжиане присутствова- присутствовали все возможные члены. В последнее время становится все более очевидным, что перенор- перенормируемость не является фундаментальным физическим условием и что на самом деле любая реалистичная квантовая теория поля долж- должна содержать и перенормируемые, и неперенормируемые взаимодей- взаимодействия. Эта точка зрения в какой-то мере обусловлена постоянными неудачами в построении перенормируемой теории гравитации. В об- общем классе метрических теорий гравитации, построенных на основе принципа эквивалентности Эйнштейна, вообще нет перенормируемых взаимодействий — как правило, ковариантные взаимодействия стро- строятся из тензора кривизны и его ковариантных производных, и по- потому (даже в "калибровке", где пропагатор гравитона имеет асимп- асимптотику к~2) содержат слишком много дифференцирований метрики, чтобы быть перенормируемыми. В частности, неперенормируемость общей теории относительности можно легко увидеть уже из того, что ее константа взаимодействия SttGn = B,43 х 1018 ГэВ)~2 имеет отри-
§12.3. Нужна ли перенормируемостъ? 555 дательную размерность. Даже в отсутствие каких-либо других при- причин, сокращение связанных с виртуальными гравитонами расходимо- стей потребовало бы наличия в лагранжиане всех взаимодействий, разрешенных из соображений симметрии — не только взаимодей- взаимодействий, включающих гравитоны, но и взаимодействий всех остальных частиц. Но если перенормируемость не представляет собой фундаменталь- фундаментального физического принципа, как можно объяснить успех перенорми- перенормируемых теорий типа квантовой электродинамики и стандартной мо- модели? Ответ нетрудно найти уже при помощи простого размерного анализа. Мы видели, что взаимодействию типа i соответствует кон- константа взаимодействия размерности [0i]~[mass]AS A2.3.1) где величина А^ дается выражением A2.1.9). Неперенормируемые вза- взаимодействия — это в точности те, для которых константа взаимо- взаимодействия имеет отрицательную массовую размерность. Исходя из A2.3.1), разумно предположить, что не только размерность констан- константы взаимодействия определяется величиной А^, но и ее значение по порядку величины есть 9i^MAi, A2.3.2) где М — некоторая универсальная масса. (Оказывается, что именно так обстоит дело в случае эффективных теорий поля, более подроб- подробно обсуждаемых ниже и во втором томе.) При расчете физического процесса с характерным импульсом к ^ М вклад неперенормируемо- го взаимодействия типа г с А^ < 0 содержит множитель gi « MAi, который из соображений размерности должен сопровождаться мно- множителем к~ *; таким образом, соответствующий вклад оказывается подавленным1) при к ^ М множителем (k/M)~Ai <С 1. (Во втором томе это рассуждение будет проведено более аккуратно при помощи г) Здесь существенно предположение о том, что ультрафиолетовые рас- расходимости устранены посредством перенормировки, так что наш размер- размерный анализ не разрушается присутствием параметра ультрафиолетового обрезания Л. С другой стороны, из размерного анализа следует, что при Л —>- оо каждая константа неперенормируемого взаимодействия gi с А{ < О сопровождается растущим множителем Л~ *. Подобные аргументы очень рано привели Гейзенберга [9] к классификации взаимодействий по размер- размерностям соответствующих констант взаимодействия и предположению [10] о том, что на масштабах энергий порядка д/ г (например, при энергиях порядка GF и 300 ГэВ, где Gf — константа четырехфермионного взаи- взаимодействия в теории бета-распада Ферми) следует ожидать новых физиче- физических эффектов. После построения теории перенормировок Саката и др. [11] отметили, что неперенормируемые теории — это теории, константы взаи- взаимодействий в которых имеют отрицательную размерность.
556 Гл. 12. Общая теория перенормировок метода ренормгруппы.) Успех перенормируемых теорий электросла- электрослабых и сильных взаимодействий означает лишь то, что М значительно превосходит энергии, при которых производились проверки предска- предсказаний теории. Например, главные неперенормируемые добавки к лагранжиану обычной электродинамики электронов или мюонов должны быть вза- взаимодействиями размерности 5, подавленными лишь одним множи- множителем 1/М. Условиями калибровочной, лоренцевой и СР-инвариант- ности допускается лишь одно такое взаимодействие — член Паули порядка (ге/2М)ф[^11^у\фЕ^1/. Согласно уравнениям A0.6.24), A0.6.17) и A0.6.19) он даст вклад в магнитный момент электрона или мюона, по порядку величины равный 4е/М. Теоретическое значение магнит- магнитного момента электрона согласуется с экспериментально измеренным с точностью до 10~1Ое/2те, так что масса М должна быть больше, чем 8 х 101Оте = 4 х 107 ГэВ. Последнее неравенство может быть ослаблено, если предположить, что другие симметрии ограничивают вид неперенормируемых взаимо- взаимодействий. Например, обычный лагранжиан квантовой электродина- электродинамики инвариантен относительно кирального преобразования ф —У ^ф с точностью до замены знака при фермионном массовом члене —тфф. Если предположить, что полный лагранжиан инвариантен относи- относительно формального преобразования симметрии ф —у ^ъФ-, гп —У — т, то член Паули в лагранжиане приобретет лишний коэффициент т/М, а его вклад в магнитный момент будет всего лишь порядка 4ет/М . Из-за лишнего множителя т более сильные ограничения на мас- массу М будут следовать из измерений магнитного момента мюона. Теоретическое значение согласуется с экспериментально измеренным с точностью до 10~8е/2тм, так что масса М должна превосходить л/8 х 108тм = 3 х 103 ГэВ. В любом случае, если М имеет порядок 1018 ГэВ, мы заведомо можем не принимать во внимание непере- неперенормируемые взаимодействия в лагранжиане квантовой электроди- электродинамики. Приведенные рассуждения помогают нам дать ответы на некото- некоторые вопросы, связанные со слагаемыми в плотности лагранжиана, содержащими высшие производные. Например, в общей теории дей- действительного скалярного поля ф следует ожидать наличия в плот- плотности лагранжиана слагаемых вида фПпф. Такой член будет давать пропорциональный (q2)n вклад в собственную энергию П*(д2) ска- скалярного поля. Если бы мы учли подобные вклады во всех порядках теории возмущений, но при этом проигнорировали бы все осталь- остальные эффекты от неперенормируемых взаимодействий, то пропагатор A'(q2) = l/(q2 + т2 — П*(д2)) не имел бы простого полюса по q2 при отрицательном значении q2 (чего следовало бы ожидать на основа- основании приведенных в § 10.7 общих соображений), а вместо этого имел бы п полюсов (некоторые из которых могли бы совпадать) при во-
§12.3. Нужна ли перенормируемостъ? 557 обще говоря комплексных значениях q2. Но если перед неперенорми- руемым слагаемым фПпф стоит коэффициент порядка М~2<^п~1\ где М ^> т, то лишние полюсы возникают при значениях q2 порядка М2, а в этом случае мы не имеем права игнорировать вклад бесконечно- бесконечного числа других неперенормируемых взаимодействий, которые также должны входить в лагранжиан. Поэтому наличие членов с высшими производными в общем неперенормируемом лагранжиане не вступает в противоречие с общими принципами квантовой теории поля, кото- которыми мы пользовались в § 10.7. Но то же рассуждение показывает, что мы не можем использовать члены с высшими производными для пол- полного устранения ультрафиолетовых расходимостей, как неоднократ- неоднократно предлагалось. Слагаемое М~2^п~1^фПпф в плотности лагранжиана обеспечивает обрезание при импульсах порядка q2 « М2, но при та- таких значениях импульса мы уже не можем не учитывать вклады всех остальных (обязательно присутствующих) неперенормируемых взаи- взаимодействий. Даже сильно подавленные неперенормируемые взаимодействия могут быть наблюдаемыми, если связанные с ними эффекты ока- оказываются запрещенными в отсутствие таких взаимодействий. Напри- Например, в § 12.5 мы увидим, что в теории электромагнитных взаимодей- взаимодействий, совместимой с требованиями калибровочной инвариантности, лоренц-инвариантности и перенормируемости, автоматически возни- возникают инвариантности относительно зарядового сопряжения и про- пространственной инверсии. Но несложно предложить неперенормируе- неперенормируемые слагаемые, нарушающие эти симметрии — например, связанный с электрическим дипольным моментом электрона член i/jj^j^^j^^F^ или взаимодействие Ферми ф/у^/у1_1фф/у^ф. Сегодня широко распро- распространено мнение, что законы сохранения барионного и лептонного зарядов очень слабо нарушаются сильно подавленными неперенор- мируемыми взаимодействиями. Другой пример наблюдаемого непе- ренормируемого взаимодействия дает гравитация. Как было отме- отмечено выше, гравитоны вообще не участвуют в перенормируемых взаимодействиях. Но, конечно же, мы в состоянии наблюдать эф- эффекты гравитационного взаимодействия (благодаря специфичному свойству когерентного сложения гравитационных полей всех частиц, составляющих макроскопическое тело). Хотя неперенормируемые теории содержат бесконечное число сво- свободных параметров, они все же обладают значительной предсказа- предсказательной силой [12]: они позволяют вычислять неаналитические части фейнмановских амплитуд (такие как содержащие Ing и q\nq слагае- слагаемые в одномерных примерах, приведенных в начале предыдущего па- параграфа). Подобные вычисления воспроизводят результаты, следую- следующие из аксиомы 5-матричной теории, согласно которой 5-матрица обладает лишь сингулярностями, необходимыми из соображений уни- унитарности.
558 Гл. 12. Общая теория перенормировок Как это ни удивительно, неперенормируемые теории поля оказы- оказываются наиболее полезными именно в ситуациях, когда соображения симметрии запрещают существование неперенормируемых взаимо- взаимодействий. В таких случаях можно построить полезную теорию возму- возмущений, в которой разложение ведется по степеням k/М. Такая тео- теория была детально разработана в приложении к низкоэнергетичным пионам [12, 13] (мы обсудим этот вариант во втором томе) и в прило- приложении к низкоэнергетичным гравитонам [14]. В качестве более про- простого примера рассмотрим теорию действительного скалярного поля, удовлетворяющую принципу инвариантности относительно полевой трансляции фф _^ фф + б с произвольной постоянной б. В такой теории запрещены все непере- неперенормируемые взаимодействия и генерация массы скалярного поля, но имеется бесконечная серия допустимых неперенормируемых взаимо- взаимодействий, содержащих производные: jsf = -\д»фд*ф - f {дцфд*фJ -..., где g « M~4, а многоточие соответствует членам, содержащим боль- больше полей или производных. (Для простоты мы также предположили, что теория инвариантна относительно отражения ф —у —ф.) Соглас- Согласно изложенному выше размерному анализу, диаграммная амплитуда процесса, характерные энергии и импульсы в котором имеют поря- порядок к <С М, содержит малый множитель (k/M)v, где v = - Y^ vi^i = Yl vi(di + Щ - 4) г г (через щ и di обозначены число скалярных полей и дифференциро- дифференцирований, содержащихся во взаимодействии типа г, а через Vi — чис- число соответствующих этому взаимодействию вершин на диаграмме). При к ^ М основные вклады даются диаграммами с наименьшим значением v. Выражение для v можно привести к более удобному ви- виду, воспользовавшись известными топологическими соотношениями для связных графов где /, Е и L — количества соответственно внутренних линий, внешних линий и петель в нашем графе. С учетом этих равенств имеем г Из условия "трансляционной симметрии" следует, что каждое вхо- вхождение поля должно сопровождаться хотя бы одним дифференци- дифференцированием, поэтому величина di — rii неотрицательна для всех взаимо- взаимодействий. Поскольку величины L и Vi также неотрицательны, для
§12.3. Нужна ли перенормируемостъ? 559 заданного процесса (т.е. для заданного числа Е внешних линий) глав- главный вклад будут давать древесные (не содержащие петель, L = 0) диаграммы, все вершины которых соответствуют взаимодействиям с минимальным числом di = П{ дифференцирований. Таким образом, в ведущем порядке можно считать, что плотность лагранжиана за- зависит только от первых производных поля. Поправки высших поряд- порядков могут происходить от диаграмм с петлями или диаграмм, вза- взаимодействия на которых содержат лишние дифференцирования. Но при вычислении с точностью до некоторого фиксированного поряд- порядка v по к/М нам нужно рассмотреть лишь конечное число диаграмм (т.е. для которых L ^ D — 2Е + ^)/4) и лишь конечное число взаимо- взаимодействий. Рассмотрим, например, рассеяние скалярного поля на скалярном поле. В ведущем порядке амплитуда дается диаграммой с одной вер- вершиной, отвечающей взаимодействию —д(д11фд^фJ. Согласно нашей формуле для г/, главные поправки к этой амплитуде подавлены при низких энергиях множителем (к/М) и происходят от другой древес- древесной диаграммы с одной вершиной, отвечающей взаимодействию с дву- двумя дополнительными дифференцированиями2) д[1дуфд[1дь'фд\фдхф. Поправки следующего порядка, подавленные при низких энергиях еще двумя множителями к/М, происходят от диаграмм двух ти- типов. Первый из них — диаграммы, получаемые из изображенной Рис. 12.4. Однопетлевая диаграмма для рассеяния скалярного поля на ска- скалярном поле. Вершинам отвечают взаимодействия —дф^фд^ф) на рис. 12.4 однопетлевой диаграммы, все вершины которой отве- отвечают только взаимодействию —д(д11фд^фJ, при помощи перестановки внешних линий. Второй тип — древесные диаграммы, единственные вершины которых отвечают взаимодействиям, включающим четыре поля ф и восемь дифференцирований (константы таких взаимодей- взаимодействий должны содержать бесконечности, уничтожающие расходимо- расходимости3) от петлевых диаграмм). Петлевые диаграммы дают также ко- 2) В соответствии с замечанием, сделанным в §7.7, мы не рассматри- рассматриваем взаимодействия, содержащие П\ф, так как при помощи полевых урав- уравнений для ф подобные взаимодействия можно выразить через другие. 3) Если мы пользуемся размерной регуляризацией, то все возникающие в однопетлевых диаграммах ультрафиолетовые расходимости имеют такой вид. При использовании других способов регуляризации возникают также квадратичные расходимости и расходимости четвертой степени; они уни- уничтожаются контрчленами для взаимодействия четырех скалярных полей, содержащего четыре или шесть диференцирований.
560 Гл. 12. Общая теория перенормировок нечные вклады в амплитуду рассеяния, пропорциональные величинам вида s4 Ins + ?4 1п? + и4 Inu, s2t2 \пи + tV Ins + u2s2 hit и т.д. Можно вычислить и соответствующие коэффициенты; они про- пропорциональны д2. Эти конечные слагаемые дают поправку низшего порядка к амплитуде рассеяния, необходимую для унитарности 5-мат- рицы (но ее вычисление легче всего провести именно при помощи пер- турбативной квантовой теории поля). Хотя в рамках неперенормируемых теорий можно получать по- полезные разложения по степеням энергии, такие теории неизбежно теряют всю свою предсказательную силу на энергетических мас- масштабах порядка упомянутой выше универсальной массы М. Если формально рассматривать построенные разложения в этой области, то при Е ^> М нарушается унитарность 5-матрицы. По-видимому, имеются два возможных варианта поведения неперенормируемой тео- теории при таких энергиях. Один из них состоит в том, что растущая сила неперенормируемого взаимодействия каким-либо образом дости- достигает насыщения, что позволяет избежать конфликтов с условием уни- унитарности [15]. Во втором варианте на масштабах энергий порядка М вступает в игру новая физика. В этом случае неперенормируемые тео- теории, описывающие природу в пределе Е <С M, представляют собой просто эффективные теории поля, не претендующие на фундамен- фундаментальность. Возможно, самый первый пример эффективной теории поля был построен в 1930 г. Эйлером и др. [16] при изучении низкоэнергетич- ных фотон-фотонных взаимодействий. (См. § 1.3.) Фактически авторы Рис. 12.5. Диаграмма для рассеяния фотона на фотоне, поведение которой при низких энергиях может быть получено из эффективного лагранжиана Эйлера и др. [16]. Прямые линии соответствуют электронам, волнистые — фотонам вычислили вклад диаграмм, подобных изображенной на рис. 12.5, в фейнмановскую амплитуду рассеяния фотона на фотоне; они полу- получили, что при энергиях, много меньших те, рассеяние света на свете
§12.3. Нужна ли перенормируемость? 561 может быть описано эффективным лагранжианом [(Е2 - В2J + 7(Е • ВJ] + высшие порядки по ^Ц- и ^Ц-. Эйлер и др. использовали этот лагранжиан только в древесном при- приближении для вычисления ведущих членов матричных элементов для взаимодействия фотонов. Лишь намного позже подобные (неперенор- мируемые) лагранжианы были использованы вне рамок древесного приближения [12, 17]. На современном жаргоне принято говорить, что при выводе этого эффективного лагранжиана электрон был "отынтегрирован", посколь- поскольку в однопетлевом приближении (i JJ?QED(^e,A)d*x). exp Более общая процедура состоит в выписывании самого общего непе- ренормируемого эффективного лагранжиана, использования его для вычисления различных амплитуд в терминах разложений по степеням энергий и импульсов с последующим выбором констант в эффектив- эффективном лагранжиане из условия согласованности результатов для этих амплитуд с полученными в рамках исходной теории. Мы еще встретимся с эффективными теориями поля — в частно- частности, при изучении нарушенных симметрии во втором томе. Мы уви- увидим, что эффективные теории поля оказываются полезными даже в тех случаях, когда они не могут быть выведены из исходной теории (либо потому, что исходная теория неизвестна, либо потому, что взаимодей- взаимодействия слишком сильны и нет возможности применить теорию возму- возмущений). Действительно, даже если бы мы ничего не знали о свойствах заряженных частиц, мы все равно описывали бы рассеяние фотонов при достаточно низких энергиях при помощи эффективного лагран- лагранжиана, содержащего слагаемые (Е2 — В2J и (Е • ВJ — уже потому, что это единственные разрешенные из соображений калибровочной инвариантности и лоренц-инвариантности члены четвертой степени по Е и В, не содержащие действующих на эти поля дифференци- дифференцирований. (Слагаемые с производными были бы подавлены в пределе низких энергий фотонов Е дополнительными множителями Е/М, где М — некоторая типичная масса заряженной частицы, по степеням свободы которой ведется интегрирование.) Можно пойти и дальше: мы увидим, что эффективные теории поля полезны даже тогда, когда описываемые ими легкие частицы вообще не присутствуют в явном виде в исходной теории, а состоят из тяжелых частиц, по которым ве- ведется интегрирование. Исходная теория может даже вообще не быть теорией поля — задача описания гравитации привела многих теорети- теоретиков к убеждению, что фактически исходная теория является теорией струн. Но каким бы ни было происхождение эффективной теории по- поля, она с необходимостью будет неперенормируемой теорией. 36 С.Вайнберг. Т. 1
562 Гл. 12. Общая теория перенормировок §12.4. Плавающий порог обрезания1) Прежде чем закончить эту главу, стоит указать на связь между обычной теорией перенормировок и подходом, предложенным Виль- Вильсоном [18]. В методе Вильсона используется "плавающее" обреза- обрезание по компонентам импульса на масштабе порядка Л (резкое или гладкое). Но вместо перехода к пределу Л —у оо постулируется та- такая зависимость голых (входящих в лагранжиан) констант взаимо- взаимодействия от Л, что все наблюдаемые величины оказываются не зави- зависящими от Л. Удобно работать с безразмерными параметрами. Если голая кон- константа взаимодействия или массовый параметр gi(A) имеет размер- размерность [масса]А*, определим соответствующий безразмерный пара- параметр ^ как % = A-Aigi(A). A2.4.1) Из обычного размерного анализа следует, что величина ^ при некото- некотором значении параметра обрезания Л' может быть представлена как функция величин Щ, взятых при другом значении параметра обреза- обрезания Л, и безразмерного отношения Л'/Л: ^(Л') = Я(#(Л),ЛУЛ). A2.4.2) В F не могут входить никакие размерные параметры, отличные от Л и Л', поскольку здесь не возникает никаких ультрафиолетовых или инфракрасных расходимостей — различие между значениями кон- констант в точках Л и Л' возникает из-за диаграмм, импульсы на внут- внутренних линиях которых лежат между ЛиЛ'. Дифференцируя A2.4.2) по Л' и затем полагая Л' равным Л, получаем дифференциальное уравнение для ^: ^ A2.4.3) где Pi{^) = [d/dzFi(&,z)]z=i. Для малых значений констант взаимо- взаимодействия функции Рг{^) можно вычислить по теории возмущений. Это вильсоновский вариант "уравнения ренормгруппы", которое мы будем обсуждать с несколько иных позиций во втором томе. Для любого конечного значения параметра обрезания лагранжиан задает эффективную теорию поля, в которой вместо (или помимо) интегрирования по степеням свободы "тяжелых" частиц (таких как электрон в работе Эйлера и др.), "отынтегрированы" также все части- частицы с импульсами больше Л. Даже если исходить из теории, где при некотором значении параметра обрезания Ло лишь конечное число констант взаимодействия ^° отличны от нуля, при другом значении г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§12.4- Плавающий порог обрезания 563 параметра обрезания согласно A2.4.3) константы всех разрешенных из соображений симметрии взаимодействий окажутся ненулевыми2). Далее мы будем различать перенормируемые и неперенормируе- мые взаимодействия. Будем обозначать их константы через % и ^п соответственно, где а пробегает конечное число N взаимодействий (в том числе массовых членов), для которых Аа ^ 0, а п пробегает бесконечное число взаимодействий, массовые размерности констант которых отрицательны (Ап < 0). Мы хотим показать, что если кон- константы %(Ло) и ^п(Ло) при некотором начальном значении парамет- параметра обрезания Ло лежат на TV-мерной поверхности ^ общего вида, то (при некоторых предположениях) в точках с Л <С Ло их значения бу- будут приближаться к фиксированной поверхности <У, не зависящей ни от Ло, ни от начальной поверхности 3). Предельная поверхность устой- устойчива в том смысле, что все начинающиеся на ней траектории реше- решений уравнений A2.4.3) в дальнейшем не покидают этой поверхности. Такая устойчивая поверхность задает конечнопараметрическое семей- семейство теорий, физическое содержание которых не зависит от параметра обрезания — что, как отмечалось в предыдущем параграфе, представ- представляет собой основное свойство перенормируемых теорий. Более того, рассматриваемая конструкция показывает, что любая теория, опреде- определенная с параметром обрезания Ло, будет при Л <С Ло выглядеть как перенормируемая4). Перейдем теперь к доказательству сформулиро- сформулированных результатов. Введем малые возмущения &^(Л) величин ^(Л), удовлетворяющих уравнению A2.4.3). Для них можно записать диф- дифференциальные уравнения Л j-K 5ЩА) = ? Мцф(А))б%(А), A2.4.4) 3 где |-А(^). A2.4.5) В этом уравнении перенормируемые и неперенормируемые взаимодей- 2) Все известные исключения из этого правила связаны с суперсиммет- суперсимметрией. 3) Эта теорема принадлежит Полчинскому [19]. Ниже приводится со- сокращенный и менее строгий вариант доказательства. (В доказательстве Полчинского начальная поверхность выбиралась так, чтобы на ней кон- константы всех неперенормируемых взаимодействий обращались в нуль. Как мы увидим ниже, константы взаимодействий стремятся к одной и той же поверхности при произвольном выборе начальной поверхности. 4) Конечно же, существуют теории, в которых набор полей или име- имеющиеся симметрии запрещают все перенормируемые взаимодействия. На- Например, таковы теории, содержащие только фермионные поля или толь- только гравитационное поле. При Л ^С Ло они выглядят как теории свободных полей. 36*
564 Гл. 12. Общая теория перенормировок ствия смешиваются, что не позволяет увидеть различия в их поведе- поведении. Чтобы разделить их, определим линейные комбинации аЬ где &q — значения констант перенормируемых взаимодействий в точ- точке Ло, которые мы будем использовать в качестве координат на на- начальной поверхности, а ^п — значения констант неперенормируе- мых взаимодействий в точке Л, принадлежащие траекториям системы дифференциальных уравнений A2.4.3), которые при значении пара- параметра Ло проходят через точку начальной поверхности с координата- координатами &?. Чтобы вычислить производные величин ?п по Л, заметим, что производные <9^/<9%а удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению A2.4.4), что и 5^. Несложно показать, что где Nnm ^ Mnm - ^ Ц {щоУ^Мъгп. A2.4.8) ab Теперь нам нужно оценить величины Nnm. В свободной теории нет необходимости в обрезании, так что для очень малых значений кон- констант взаимодействий все голые параметры д%{А) становятся незави- независящими от Л. Поэтому для малых значений констант взаимодействий зависимость безразмерных параметров ^ от Л определяется множи- множителем A~Si, и матрица Мц равна Mij « -AiSij. A2.4.9) Отсюда следует, что матричный элемент Nnm примерно равен ZAnOnm. Определяющей характеристикой неперенормируемых взаимодейст- взаимодействий является неравенство Ап < 0, и согласно A2.4.7) величины ?п убывают при Л ^С Ло как положительные степени Л/Ло (по крайней мере, для значений констант взаимодействий, лежащих в некотором конечном интервале, где матрица Nnm положительно определена). В этом пределе для возмущений будут выполняться соотношения аЬ В частности, если мы слабо изменим начальную поверхность ^о5 на- начальную точку на этой поверхности и начальное значение параметра обрезания Ло так, что возникающее изменение констант перенорми- перенормируемых взаимодействий обратится в нуль при некотором значении
§12.4- Плавающий порог обрезания 565 параметра обрезания Л, то при том же значении Л обратятся в нуль и возмущения 8^п всех остальных констант взаимодействия. Поэто- Поэтому значения констант неперенормируемых взаимодействий ^П(Л) при Л <С Ло могут зависеть только от значений констант перенормируе- перенормируемых взаимодействий %(Л), но не по отдельности от начальной по- поверхности, начальной точки на ней и начального значения парамет- параметра обрезания Ло. Следовательно, при Л ^С Ло значения всех констант взаимодействия стремятся к TV-мерной поверхности <У, координатами на которой являются величины %(Л) и которая не зависит ни от на- начальной поверхности, ни от Ло. Отметим, что вообще говоря констан- константы неперенормируемых взаимодействий не малы на поверхности 5?\ важно, что они оказываются функциями констант перенормируемых взаимодействий. Изменение параметра Л в области Л ^С Ло приведет к изменению констант взаимодействий, но при этом мы останемся вбли- вблизи поверхности 5? (по крайней мере, пока константы взаимодействий не станут так велики, что матрица Nnm перестанет быть положитель- положительно определенной). Поэтому поверхность 5? устойчива, как и требо- требовалось. Мы видели, что все физические величины могут быть выражены через Л и ^П(Л) и являются независимыми от параметра обрезания Л. В частности, это справедливо для N обычных перенормированных констант взаимодействия и масс (например, е и те в квантовой элек- электродинамике). Но можно обратить эту зависимость и выразить ^П(Л) через обычные физические параметры и Л. Это подтверждает кор- корректность обычной схемы перенормировки — все физические величи- величины выражаются независящим от обрезания способом через обычные перенормированные константы взаимодействий и массы. Подход Вильсона обладает некоторыми практическими преимуще- преимуществами. Не нужно беспокоиться о частичных интегрированиях и пере- перекрывающихся расходимостях — обрезание по импульсу производится и для внутренних линий. Кроме того, некоторые из теорем о непе- ренормируемости в суперсимметричных теориях, утверждающие, что определенные константы взаимодействия не получают радиационных поправок, справедливы только для не зависящих от обрезания голых констант взаимодействия [20]. С другой стороны, у подхода Вильсона есть и свои недостатки. Приходится расстаться со многими удобными упрощениями, специ- специфичными для перенормируемых теорий типа квантовой электроди- электродинамики: как только мы проводим интегрирование по частицам с им- импульсом выше Л, в получаемой эффективной теории поля появляются все разрешенные из соображений калибровочной инвариантности и лоренц-инвариантности взаимодействия с зависящими от Л кон- константами. (Правда, в физических процессах с характерной энергией Е <С Л все еще будут доминировать перенормируемые взаимодей- взаимодействия.) Кроме того, обрезание по импульсу обычно приводит к на-
566 Гл. 12. Общая теория перенормировок рушению явной калибровочной инвариантности и либо явной лоренц- инвариантности, либо унитарности. Ни одна из этих проблем не пред- представляет опасности в физике конденсированного состояния, исходной области применения вильсоновского подхода. Действительно, никто не ожидает, что реалистичная теория конденсированного состояния будет строго перенормируемой, а при наложении обрезания могут не нарушаться никакие фундаментальные физические принципы. На са- самом деле в кристаллах существует обрезание по импульсу, опреде- определяемое обратной постоянной решетки. Подводя итог, можно сказать, что различие между обычным и вильсоновским подходами лежит скорее в области технического удоб- удобства, а не в вопросе принципиальной физической интерпретации. В са- самом деле, обычная процедура перенормировки уже содержит неко- некоторый переменный параметр обрезания — если мы выражаем ответ через константы взаимодействия, определенные в терминах физи- физических амплитуд для процессов с характерным импульсом \i (как, например, в случае обсуждавшейся в предыдущем параграфе ска- скалярной теории поля), то приводящие к сходимости интегралов взаим- взаимные уничтожения вступают в игру начиная с виртуальных импуль- импульсов порядка \i. Обратно, зависящие от Л константы взаимодействия в вильсоновском подходе должны быть в конце концов выражены через наблюдаемые заряды и массы; результаты, разумеется, совпа- совпадают с получаемыми при помощи обычной процедуры перенорми- перенормировки. §12.5. Дополнительные симметрии1) В § 12.3 мы видели, что существуют серьезные причины считать перенормируемые теории поля адекватными приближенными опи- описаниями реального мира при достаточно низких энергиях. Часто условие перенормируемости оказывается настолько сильным, что эф- эффективный лагранжиан автоматически приобретает одну или несколь- несколько симметрии, отсутствовавших в исходной теории и нарушенных подавленными неперенормируемыми взаимодействиями. Фактически большинство экспериментально обнаруженных симметрии в физике элементарных частиц являются "случайными симметриями" такого вида. Классический пример дают инверсии и сохранение лептонных чи- чисел в электродинамике заряженных лептонов. Самая общая калиб- ровочно и лоренц-инвариантная плотность лагранжиана для теории фотонов и полей ф^ спина 1/2 и заряда — е, содержащая только пере- г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§12.5. Дополнительные симметрии 567 нормируемые взаимодействия, имеет вид Sf = ~Z3Ftl1/F^- ij J2 J2 lfi A2.5.1) ij ij Здесь индексы суммирования г, j обозначают возможные типы лепто- нов (е, /i и т), фгь и фт — соответственно левая и правая компоненты поля фг, определяемые формулами Фы = \A + ъ)Фг, Фт = ^A-ъ)Фг, A2.5.2) a Zl, Zr и М — постоянные матрицы. Мы не делаем никаких пред- предположений о сохранении лептонных чисел, так что матрицы Zlij^ Zrij и Mij не обязаны быть диагональными. Мы также ничего не предполагаем об инвариантности относительно С, Р и Т, так что не подразумевается никакой связи между Zl и Zr (и между М и М^). Единственные ограничения связаны с действительностью плотности лагранжиана (из которой следует эрмитовость Z^ и Zrij) и с нали- наличием канонических антикоммутационных соотношений (из которой следует положительная определенность матриц Zl%j и Zrij). Предположим теперь, что мы заменяем лептонные поля ф^ и фR на новые поля ф'ь и ф'ю определенные согласно фь = SL<P'L, фн = SR<P'R, A2.5.3) где Sl и Sr — произвольно выбранные несингулярные матрицы. Плотность лагранжиана, выраженная через новые поля, имеет тот же вид A2.5.1), но с заменой матриц Zl, Zr и М на Z'L = SlzLSL, Z'R = SRZRSR, M' = S[MSR. A2.5.4) Можно выбрать Sl и Sr так, чтобы было Z'L = Z'R = 1. (Положим Sl,r = Ul,rDl,r, где Ul,r — унитарные матрицы, диагонализующие положительно определенные эрмитовы матрицы Zl,r, a Dl,r — диа- диагональные матрицы, элементы которых обратны к квадратным кор- корням из собственных значений матриц Zl,r-) Проделаем теперь еще одно преобразование к лептонным по- полям ф", определяемым формулами ф'ь = SWI, ф'н = S'R<P'R. A2.5.5) Плотность лагранжиана, выраженная через эти поля, снова имеет ис- исходный вид с заменой матриц на Z'l = S'L^S'L, Z'R = S'^S'R, M" = S'LiM'S'R. A2.5.6)
568 Гл. 12. Общая теория перенормировок На этот раз выберем S'L R унитарными (так что опять Z'[ = ZR = 1) и потребуем действительности и диагональности матрицы М". (Соглас- (Согласно теореме о полярном разложении квадратную матрицу М' можно представить в виде М' = VH, где V — унитарная матрица, а Я - эрмитова. Положим S'L = SRV^ а в качестве SfR возьмем унитарную матрицу, диагонализующую Н.) Опуская штрихи, перепишем плот- плотность лагранжиана в виде ¦ геА]фы -^фш[д + геА\фш - г ^ тпгфыфт - S2 гпгфщфы, A2.5.7) г г где rrii — действительные числа (собственные значения матрицы Н). Последнее выражение можно привести к более привычному виду: \ J2 -^™гФгФг- A2-5-8) г г Из такой записи лагранжиана сразу следует, что любой перенорми- перенормируемый лагранжиан для электродинамики лептонов автоматически приводит к теории с сохранением Р, С, Т и лептонных чисел (разно- (разностей между числом лептонов и числом антилептонов) всех трех ти- типов — электронного, мюонного и таонного2). В частности, несмотря на вид лагранжиана A2.5.1), в такой теории запрещены процессы ви- вида \i —У е + 7- Читатель может задаться вопросом о справедливости отождествления лептонных полей с полями ф^ (изначально обозна- обозначенными как ip") из A2.5.8), для которых очевидным образом сохра- сохраняются лептонные числа, а не с полями ipi из A2.5.1), для которых возможны процессы вида \i —у е + 7- Подобные сомнения могут быть отброшены: как подчеркивалось в § 10.3, никакое поле не может пре- претендовать на роль единственного поля электрона или мюона. Фак- Фактически, хотя из лагранжиана A2.5.1) и следует наличие ненулево- ненулевого матричного элемента для радиационного перехода лептона типа 1 в лептон типа 2 вне лептонной массовой оболочки, в случае лежащих на массовой оболочке импульсов лептонов элемент 5-матрицы для всех таких процессов равен нулю уже при вычислениях с использова- использованием A2.5.1). В приведенном рассуждении существенным образом использова- использовалось равенство входящих в A2.5.1) электрических зарядов левых и правых компонент лептонных полей — иначе говоря, тот факт, что 2) Впервые это было показано Фейнбергом, Кабиром и Вайнбергом [21]. Ранее Фейнберг [22] заметил, что в теории с только одним типом нейтрино слабые взаимодействия должны приводить к наблюдаемому сечению про- процесса /х —>- е + 75 эта проблема была решена только после открытия другого типа нейтрино.
Задачи 569 левая и правая компоненты лептонного поля одинаково преобразуют- преобразуются под действием электромагнитных калибровочных преобразований. Как мы увидим во втором томе, по аналогичным причинам в совре- современной перенормируемой теории сильных взаимодействий, известной как квантовая хромодинамика, автоматически сохраняются С и (если не принимать во внимание некоторые непертурбативные эффекты) Р, Т и разности между числом кварков и антикварков каждого из аро- ароматов. Во втором томе мы также увидим, что в простейшем варианте перенормируемой стандартной модели слабых и электромагнитных взаимодействий автоматически сохраняются лептонные числа (но не С и Р) — по причинам, сходным с приведенными выше для случая электродинамики. Остается открытым вопрос о существовании свя- связанных с большими массовыми масштабами неперенормируемых вза- взаимодействий, нарушающих какие-либо из этих законов сохранения. Задачи 1. Перечислите все возможные перенормируемые (или суперпере- нормируемые) лоренц-инвариантные слагаемые в лагранжиане тео- теории одного скалярного поля для случаев размерности пространства- времени, равной 2, 3 и 6. 2. Покажите, как в квантовой электродинамике уничтожается пе- перекрывающаяся расходимость собственной энергии электрона. 3. Рассмотрим теорию, содержащую скалярное поле ф и спинор- ное поле *ф, взаимодействие которых определяется слагаемым дффф в плотности гамильтониана. Запишите однопетлевой вклад в собствен- собственную энергию скалярного поля П* (q) в виде суммы сходящегося инте- интеграла и полинома от q^ с расходящимися коэффициентами. 4. Предположим, что квантовая электродинамика электронов и фотонов является на самом деле эффективной теорией поля, полу- полученной в результате интегрирования по степеням свободы неизвест- неизвестной частицы с массой М ^> те. Будем предполагать калибровочную и лоренц-инвариантность, но не инвариантность относительно С, Р или Т. Какие имеются в лагранжиане неперенормируемые слагаемые в главном порядке по 1/М? В следующем порядке? Литература Dyson FJ. I/ Phys. Rev. 75, 486, 1736 A949). История вопроса опи- описана в Renormalization, ed. by L.M. Brown. Springer-Verlag, N.Y., 1993. Обстоятельное изложение современной теории перенорми- перенормировок имеется в Collins J. Renormalization. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
570 Гл. 12. Общая теория перенормировок 2. Weinberg S. jj Phys. Rev. 118, 838 A959). Это доказательство опи- опиралось лишь на общие асимптотические свойства сопоставляемых элементам фейнмановских диаграмм подынтегральных в евкли- евклидовом импульсном пространстве, получаемом при помощи викова поворота всех контуров интегрирования. Оно было упрощено за счет использования более тонких свойств подынтегрального выра- выражения [Hahn Y. and Zimmerman W. jj Commun. Math. Phys. 10, 330 A968)) и затем обобщено на случай импульсного простран- пространства, являющегося пространством Минковского (Zimmermann W. II Commun. Math. Phys. 11, 1 A968)). 3. Bjorken J.D., Drell S.D. Relativistic Quantum Fields. McGraw-Hill, N.Y., 1965. [Рус. пер/. Бьёркен Дэю.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория.—М.: Наука, 1978. Т. 2. Разделы 19.10 и 19.11.] 4. См., например, Wess J., Bagger J. Supersymmetry and Supergravity. Princeton University Press, Princeton, 1983, а также ссылки на ори- оригинальные статьи, приведенные там. 5. Salam A. // Phys. Rev. 82, 217 A951); Phys. Rev. 84, 426 A951); Matthews P.Т., Salam A. // Phys. Rev. 94, 185 A954). 6. Bogoliubov N.N., Parasiuk 0. // Acta Math. 97, 227 A957). 7. Hepp К. Л Comm. Math. Phys. 2, 301 A966). Хепп отмечает, что "трудно найти двух теоретиков, одинаково понимающих основные шаги в доказательстве Боголюбова и Парасюка". Но и работа са- самого Хеппа не представляет собой легкого чтения. 8. Zimmermann W. // Comm. Math. Phys. 15, 208 A969). См. также Zimmermann W. jj В сборнике Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics. M.I.T. Press, Cambridge, 1970. 9. Heisenberg W. // Z. Physik. 110, 251 A938). 10. Heisenberg W., ссылка 6, а также Heisenberg W. // Z. Physik. 113, 61 A939). 11. Sakata 5., Umezawa Я., Kamefuchi S. // Prog. Theor. Phys. 7, 327 A952). 12. Weinberg S. // Physica. 96A, 327 A979). 13. Gasser J., Leutwyler H // Ann. Phys. (N.Y.). 158, 142 A984); Nucl. Phys. B250, 465 A985). 14. Donoghue J.F. // Phys. Rev. D 50, 3874 A994). 15. Такой сценарий может реализоваться, например, за счет явле- явления "асимптотической безопасности", см. Weinberg S. // В сбор- сборнике General Relativity — An Einstein Centenary Survey, ed. by S.W. Hawking, W. Israel. Cambridge University Press, Cambridge, 1979. Раздел 16.3.
Литература 571 16. Euler Я., Kockel В. // Naturwiss. 23, 246 A935); Heisenberg W., Euler H. I/ Z. Physik. 98, 714 A936). 17. Эффективный лагранжиан Эйлера и др. был использован для од- нопетлевых вычислений в работе Halter J. // Phys. Lett. В 316, 155 A993). 18. Wilson K.G. II Phys. Rev. B4, 3174, 3184 A971); Rev. Mod. Phys. 47, 773 A975). 19. Polchinski J. // Nucl. Phys. B231, 269 A984); лекция в Recent Directions in Particle Theory — Proceedings of the 1992 ТА SI Conference, ed. by J. Harvey, J. Polchinski. World Scientific, Singa- Singapore, 1993. С 235. 20. Novikov V., Shifman M.A., Vainshtein A.L, Zakharov V.I. // Nucl. Phys. B229, 381 A983); Shifman M.A., Vainshtein V.A. // Nucl. Phys. B277, 456 A986). См. также ссылки, приведенные в этих работах. Кроме того, см. Shifman M.A., Vainshtein A.I. // Nucl. Phys. B359, 571 A991). 21. Feinberg G., Kabir P., Weinberg S. // Phys. Rev. Lett. 3, 527 A959). 22. Feinberg G. // Phys. Rev. 110, 1482 A958).
Гл а в а 13 ИНФРАКРАСНЫЕ РАСХОДИМОСТИ При изучении радиационных поправок особую роль играют по- поправки от "мягких" фотонов — фотонов, энергия и импульс которых много меньше характерных масс и энергий рассматриваемого процес- процесса. Такие поправки часто оказываются настолько большими, что их следует суммировать во всех порядках теории возмущений; но вид их достаточно прост, и суммирование не представляет особых трудно- трудностей. Вклады фотонов с бесконечно большими длинами волн имеют вид расходящихся интегралов, но все такие "инфракрасные расходи- расходимости" уничтожаются [1]. В большей части этой главы мы будем иметь дело с фотонами, взаимодействующими с заряженными частицами произвольного спи- спина (включая такие частицы, как атомные ядра, которые участвуют и в электромагнитных, и в сильных взаимодействиях). Но несложно пе- переформулировать полученные результаты в терминах инфракрасных эффектов с участием других безмассовых частиц, например глюонов в квантовой хромодинамике. В § 13.4 мы будем рассматривать весьма общие теории с безмассовыми частицами и продемонстрируем устра- устранение инфракрасных расходимостей в общем случае. После этих обобщений мы снова вернемся к фотонам и рассмотрим две задачи, имеющие практическое значение — рассеяние мягких фо- фотонов заряженными частицами произвольного спина, участвующими в неэлектромагнитных взаимодействиях, и интерпретацию тяжелых заряженных частиц (например, атомных ядер) как источников внеш- внешнего электромагнитного поля. § 13.1. Амплитуды излучения мягких фотонов В этом параграфе мы выведем общую формулу для амплитуды излучения произвольного числа фотонов очень малой энергии в про- процессе а —У C с участием произвольного числа заряженных частиц вы- высокой энергии любого типа. Начнем с амплитуды излучения одного мягкого фотона. Добавим линию, соответствующую мягкому вылетающему фотону с импуль- импульсом q и индексом поляризации /i, к выходящей внешней линии за- заряженной частицы на некоторой связной фейнмановской диаграмме для процесса а —У C, как показано на рис. 13.1, а. Тогда нам следует добавить в 5-матричный элемент для процесса а —> E новую верши-
§13.1. Амплитуды излучения мягких фотонов 573 Рис. 13.1. Дающие основной вклад диаграммы для излучения мягких фо- фотонов в произвольном процессе а —>¦ /3. Прямые линии соответствуют части- частицам в состояниях а и /3 (включая, возможно, высокоэнергетичные фотоны). Волнистые линии соответствуют мягким фотонам ну взаимодействия заряженной частицы с фотоном и дополнительный пропагатор заряженной частицы с импульсом р + q, который она име- имела до испускания фотона. Для заряженных частиц спина 0, массы т и заряда +е эти множители дают BтгL что в пределе q —> 0 равно Р . . A3.1.1) р • q - ге Здесь мы переопределили бесконечно малую величину б, поскольку важен лишь ее знак. Фактически этот результат верен для заряжен- заряженной частицы любого спина. Например, для частицы спина 1/2 и заря- заряда +е следует заменить спинор п(р,а) вылетающей заряженной ча- частицы на -г -i(p + q) т 1 — ie\ ' LBttJ (p + gJ В пределе q —> 0 числитель пропагатора представляет собой сумму диад —гр + т = 2р° ^ Цр , а'
574 Гл. 13. Инфракрасные расходимости так что мы имеем сумму матричных элементов 7м для спиноров с оди- одинаковым импульсом и эффект снова сводится к умножению матричного элемента для про- процесса а —У C на множитель A3.1.1). Вообще, для любого спина в пре- пределе q —у 0 4-импульс на линии новой внутренней заряженной части- частицы стремится к массовой оболочке. Числитель пропагатора при этом стремится к сумме диад из векторов спиновых коэффициентов, и воз- возникшая при добавлении вершины матрица сводится к множителю р^ и скалярной матрице в пространстве спиральностей, т.е. снова появля- появляется множитель A3.1.1). В гл. 10 мы выяснили, что поправки высших порядков не влияют ни на вычеты пропагаторов в полюсах, лежащих на массовой оболочке, ни на матричные элементы тока между состоя- состояниями одной и той же частицы с одинаковыми импульсами. Следова- Следовательно, выражение A3.1.1) дает правильный во всех порядках теории возмущений множитель, связанный с добавлением мягкого фотона на внешнюю линию вылетающей заряженной частицы. Те же аргументы применимы и к излучению фотона со входящей внешней линии заряженной частицы в процессе а —у C. Но поскольку после излучения фотона с 4-импульсом q частица имеет импульс р — q, вместо A3.1.1) получим ^—, A3.1.2) -p-q-ie Конечно, в процессе а —у C фотон может быть испущен и с неко- некоторой внутренней линии, но при этом мы не получим множите- множителя с асимптотикой (р • q)~x при q —У 0. Амплитуда M^a(q) (элемент 5-матрицы без сохраняющей энергию-импульс дельта-функции) ис- испускания в процесе а —У C одного мягкого фотона с 4-импульсом q и поляризационным индексом \± в пределе q —у 0 может, следователь- следовательно, быть получена посредством умножения матричного элемента Мра для перехода а —у C на сумму членов вида A3.1.1) или A3.1.2) — по одному слагаемому для каждой внешней линии заряженной частицы: а^. A3.1.3) Здесь рп и +еп — 4-импульс и заряд n-й частицы в начальном или конечном состоянии, г\п = +1 для частиц в конечном состоянии /3 и г)п — — 1 для частиц в начальном состоянии а. Прежде чем переходить к рассмотрению процессов с испускани- испусканием более чем одного мягкого фотона, стоит отметить важное свой- свойство [2] формулы A3.1.3). Чтобы вычислить амплитуду излучения фотона с определенной спиральностью, нужно свернуть A3.1.3) с век- вектором поляризации фотона e/i(q, ±). Но, как мы видели в §5.9, e/i(q, ±) не является 4-вектором — под действием преобразования Ло-
§13.1. Амплитуды излучения мягких фотонов 575 ренца А% он переходит в сумму A^e^(q, ±) и слагаемого, пропор- пропорционального q^. Чтобы последнее слагаемое не нарушало лоренц- инвариантность, необходимо, чтобы свертка M^a(q) с q^ обращалась в нуль. Но при q —у 0 из A3.1.3) получаем nen. A3.1.4) Коэффициент при Мра в правой части представляет собой просто разность полных зарядов в конечном и начальном состоянии, так что условие его обращения в нуль есть просто условие сохранения заря- заряда. Поэтому без каких-либо дополнительных предположений о калиб- калибровочной инвариантности получаем, что для частиц нулевой массы и спина единица лоренц-инвариантность требует сохранения кон- константы низкоэнергетических взаимодействий (такой, как электри- электрический заряд) частиц данного вида. Похожим образом амплитуда испускания мягкого гравитона 4-им- пульса q с тензорными индексами /л, и в процессе а —У C дается фор- формулой [3], аналогичной A3.1.3): где /п — константа взаимодействия мягкого гравитона с частицами типа п. Из лоренц-инвариантности следует обращение в нуль свертки этого выражения с q^. Но «„МДО -> МРа J2 VnfnP"n, A3.1.6) п так что сумма ^2 fnPn сохраняется. Единственная линейная комби- комбинация 4-импульсов, которая может сохраняться без запрещения всех нетривиальных процессов рассеяния — полный 4-импульс. Поэтому из обращения A3.1.6) в нуль следует равенство всех fn между со- собой (общее значение fn может быть отождествлено с y/8irGN, где Gn — гравитационная постоянная Ньютона). Таким образом, лоренц- инвариантность требует, чтобы низкоэнергетичные безмассовые ча- частицы спина два одинаковым образом взаимодействовали со всеми видами энергии и импульса. Это существенное продвижение на пути к доказательству того, что принцип относительности Эйнштейна есть следствие условия лоренц-инвариантности, примененного к безмассо- безмассовым частицам спина два. Далее, амплитуда испускания мягкой безмассовой частицы 4-им- пульса q и спина j ^ 3 в процессе а —> E имеет вид Рп • q — гг]пе
576 Гл. 13. Инфракрасные расходимости Из лоренц-инвариантности здесь следует сохранение суммы Но никакая подобная величина не может сохраняться без запреще- запрещения всех нетривиальных процессов рассеяния, так что все дп должны обращаться в нуль. Безмассовые частицы спина j ^ 3 могут существо- существовать, но они не могут участвовать во взаимодействиях, не исчезающих в пределе малых энергий. В частности, они не могут быть переносчи- переносчиками сил, изменяющихся по закону обратных квадратов. Обратимся теперь к излучению двух мягких фотонов. Вклад в матричный элемент от диаграммы, в которой два фотона излучают- излучаются с разных внешних линий в процессе а —> /3, получается умножением матричного элемента для процесса а —> C на произведение величин вида A3.1.1) или A3.1.2). Несколько неожиданно, быть может, что Рис. 13.2. Диаграммы для излучения двух мягких фотонов с одной выхо- выходящей линии заряженной частицы. Прямые линии сответствуют жестким частицам, волнистые — мягким фотонам то же самое верно и в случае, когда оба фотона излучаются с одной и той же внешней линии. Если фотон 1 излучается после фотона 2 с внешней линии частицы заряда +е и 4-импульса р, получаем мно- множитель г rjep^1 1 Г rjep^2 [р • qi — irjel [p • (q2 + qi) — irje Если фотон 2 излучается после фотона 1, множитель имеет вид 1р • #2 — ще\ [р • (qi + q2) — irjel (См. рис. 13.2. Снова г] = +1 для выходящих внешних линий и
§13.2. Виртуальные мягкие фотоны 577 г\ = — 1 — для входящих.) Сумма этих двух множителей равна [р • qi — irjel ip • q2 — irjel' что есть просто произведение множителей, соответствующих излуче- излучению одного фотона. Вообще, для случая излучения произвольного числа фотонов с од- одной внешней линии получаем сумму вида1) [р ' Qi — ^б]-1[р • (qi + q2) — гтуе]^ • (qi + q2 + #з) — i/ye]. A3.1.7) Отсюда следует, что в пределе q —У 0 амплитуда ^ излучения N очень мягких фотонов с поляризационными индексами /ii,..., [In и 4-импульсами q\,..., qjy в процессе а —У C может быть получена умножением матричного элемента Мра для перехода а —> E на произведение множителей вида A3.1.3), по одному множителю на каждый фотон: —(^... qN) - ща п § 13.2. Виртуальные мягкие фотоны Теперь мы используем полученные в предыдущем параграфе результаты для вычисления (во всех порядках теории возмуще- возмущений) радиационных поправок, возникающих в результате обмена виртуальными мягкими фотонами. Рассмотрим процесс а —У C с уча- участием заряженных частиц, способных обмениваться такими фотонами (рис. 13.3). "Мягкими" мы называем фотоны с импульсом меньше Л, :) Это тождество может быть доказано по индукции. Мы уже убеди- убедились, что оно справедливо для двух фотонов. Предположим, что оно спра- справедливо для N — 1 фотонов. Для N фотонов мы можем тогда записать сумму по перестановкам как сумму по вариантам выбора первого фотона и воспользоваться предположением индукции: \p-qi -гт7б]-1[р- (gi +g2) - irje]'1 . .. [р • (gi + q2 + ... + длт) - irje]'1 + + все перестановки в формулах = r = l JV г / N ч -, -1 что и требовалось. 37 С.Вайнберг. Т. 1
578 Гл. 13. Инфракрасные расходимости Рис. 13.3. Типичная диаграмма для вычисления обусловленных обменом виртуальными мягкими фотонами радиационных поправок к 5*-матрично- му элементу для перехода между состояниями а и /3. Прямые линии соот- соответствуют частицам в состояниях а и /3 (включая, возможно, жесткие фо- фотоны), волнистые — мягким фотонам где Л выбрано достаточно малым, чтобы оправдать сделанные в преды- предыдущем параграфе приближения. Мы увидим, что мягкие фотоны порождают инфракрасные расходимости, для обрезания которых нам придется ввести и нижнюю границу Л для импульса фотона. Важно понимать различие между этими двумя границами. Верх- Верхний параметр обрезания Л просто определяет, что мы понимаем под "мягкостью" фотона; зависимость интересующих нас радиационных поправок от Л устраняется зависимостью от Л оставшейся части амплитуды, при вычислении которой учитываются только фотоны с импульсом, большим Л. От параметра Л же придется рано или позд- поздно избавиться посредством перехода к пределу Л —у 0. Как мы уви- увидим, возникающие в этом пределе инфракрасные расходимости вза- взаимно уничтожаются с расходимостями, обусловленными излучением реальных мягких фотонов. Каждому виртуальнму фотону соответствует пропагатор A3.2.1) BтгL q2 -it' Нужно умножить амплитуду A3.1.8) на произведение таких пропага- торов, произвести свертку по индексам поляризации фотонов и про- проинтегрировать по их 4-импульсам. Кроме того, для N виртуальных
§13.2. Виртуальные мягкие фотоны 579 фотонов следует еще разделить результат на 2NN\, поскольку при суммировании по возможным местам вставки фотонных линий мы получили лишний множитель N\ от перестановок линий между со- собой и лишний множитель 2^ от перестановок концов каждой линии. Вклад радиационных поправок с участием N мягких фотонов может быть поэтому получен умножением матричного элемента Мра для процесса а —У C без учета таких поправок на величину Л^[(^Ее«^]" A3-2.2) L nm J где Jnrn = ~i(Pn ' Prn) I П -Г, 1\. : т. A3.2.3) J [q2 - ie\\pn • q - гг]пе\[-рш • q - гг]ше\ Отметим, что мы изменили знак рш • q в знаменателе A3.2.3) — ес- если виртуальный фотон уносит импульс q с линии т, то он уносит импульс — q с линии п. Суммируя по JV, приходим к следующему результату: для любо- любого процесса матричный элемент с учетом радиационных поправок, обусловленных обменом произвольным числом виртуальных фотонов с импульсами |q| ^ Л, дается выражением МCа = Ща ехР Щ^у Yl enernVnVrnJnrn , A3.2.4) где Мра есть амплитуда, учитывающая обмен виртуальными фотона- фотонами только с импульсами, большими Л. Интеграл по q° в A3.2.3) можно вычислить при помощи вычетов. Интегрируемая функция аналитична по q° всюду, за исключеним че- четырех полюсов: 4° = |q|-ie, q° = -\q\+ie, Q° = vn • q - if]ne, q° = vm • q + ir)me, где vn = Pn/Pn (аналогично для vm). Если m — входящая частица, an — выходящая, то г)п — +1 и г)ш — — 1, так что при замыкании контура в верхней полуплоскости q° нам не нужно вычислять вклад полюсов: q° = vn • q - if]ne и q° = vm • q + if]me. Аналогично, если п — входящая частица, a m — выходящая, можно избавиться от необходи- необходимости вычислять вычеты в этих полюсах, замыкая контур в нижней полуплоскости. В этих случаях имеется вклад только от одного из полюсов q° = ±(|q| — ге), так что получаем чисто действительный ин- 37*
580 Гл. 13. Инфракрасные расходимости теграл Jnm — 7t\Pn ' Рт) I (для Т]п = -т]т = ±1). A3.2.5) С другой стороны, если частицы тип обе входящие или обе выходя- выходящие, то полюсы vn • q — if]ne и vm • q + if]me лежат по разные стороны от действительной оси q°, и нет возможности избавиться от них од- одновременно, вне зависимости от способа замыкания контура: j зе _^ d^E — ln(l) (для г)п = -тут = ±1). A3.2.6) Здесь /#пт — относительная скорость частиц шипв системе отсчета, связанной с любой из них: - mnmm _ A3.2.7) Мнимое слагаемое в A3.2.6) приводит к инфракрасно расходящему- расходящемуся фазовому множителю [4] в выражении A3.2.4), который исче- исчезает при взятии модуля матричного элемента для вычисления сече- сечения процесса а —> C. Этот бесконечный фазовый множитель является релятивистским аналогом известного свойства нерелятивистского ку- лоновского рассеяния — зависимости выходящей волны в шредин- геровской волновой функции от радиальной координаты г вида ехр(грг — ivInr)/r вместо ехр(грг)/г (здесь v равно отношению про- произведения зарядов к их относительной скорости [5]). На величину се- сечения реакции влияет действительная часть Jnm, которая при всех г\п и г\ш равна f J A3.2.8) \*(bn — q • рп)(Ьш — q • р После элементарного вычисления получаем Re Jnm = — lnf-—^—jlnl-j. A3.2.9) Рпт \ 1 — Рпт / \ А / Использование этого выражения при вычислении квадрата модуля A3.2.4) позволяет выразить эффект от обмена виртуальными мягки- мягкими фотонами в виде I*, = (j) Г^, A3.2.10)
§13.2. Виртуальные мягкие фотоны 581 где Гра и Г^а равны сечениям процесса а —> C с учетом радиационных поправок, обусловленных виртуальными мягкими фотонами с им- импульсами, большими Л и Л соответственно, а А дается выражением Отметим, что представить зависимость в таком виде удалось толь- только потому, что поправочный множитель (Х/А)А оказался отношением значений одной и той же функции в точках Л и Л, поскольку сечения в A3.2.10) могут зависеть только от Л и Л соответственно. Величина А всегда положительна. Например, при рассеянии одной заряженной частицы на нейтральной частице или на внешнем потен- потенциале в сумме A3.2.11) присутствуют слагаемые, в которых пит со- соответствуют заряженной частице в начальном и конечном состояниях (тогда ЦпЦга = +1 и (Зпт = 0), и слагаемые, в которых п представляет заряженную частицу в начальном или конечном состоянии, а т — другую частицу (тогда г]пг]т = -1 и (Зпт = /?, где 1 > C > 0). Имеем 2 2 . что больше нуля при всех 1 > /3 > 0. Поскольку А положительно, инфракрасные расходимости, обусловленные мягкими виртуальными фотонами, приводят (после суммирования по всем порядкам теории возмущений) к обращению в нуль в пределе Л —у 0 вероятности любого процесса с участием заряженных частиц. Прежде чем перейти к изучению того, как обусловленные из- излучением реальных фотонов эффекты сокращают найденные выше инфракрасные расходимости, отметим одну техническую тонкость в проделанных нами вычислениях (которую, насколько мне извест- известно, неизменно игнорировали в литературе). При вычислении радиа- радиационных поправок мы учитывали диаграммы, в которых виртуаль- виртуальный фотон испускается и поглощается на одной и той же внешней линии заряженной частицы, наравне с диаграммами, в которых фо- фотон испускается и поглощается на разных внешних линиях. Но, как мы выяснили в гл. 10, при вычислении 5-матрицы не следует учи- учитывать радиационные поправки, возникающие в результате вставки собственно-энергетических поддиаграмм во внешние линии. Можно предположить, что следует отбросить в A3.2.11) слагаемые с п = т, но тогда сокращение инфракрасных расходимостей в следующем па- параграфе будет неполным. Для решения возникшей проблемы заметим, что мягкие виртуаль- виртуальные фотоны приводят к возникновению инфракрасных расходимостей не только напрямую, но и посредством влияния на константу перенор-
582 Гл. 13. Инфракрасные расходимости мировки напряженности поля Zn (в теориях типа квантовой электро- электродинамики с единственным заряженным полем спина 1/2 константу Zn обычно обозначают Z^). Радиационные поправки к внешним линиям уничтожаются контрчленами, пропорциональными Zn — 1. Рассмот- Рассмотрим этот вопрос более подробно. Перенормированное поле заряжен- заряженной частицы типа п отличается от неперенормированного на множи- тель Zn ' , так что при вычислении 5-матрицы с использованием перенормированных полей (что соответствует отбрасыванию радиа- радиационных поправок к внешним линиям) мы получаем лишний множи- 1 /9 тель Y\Zn , где произведение берется по всем заряженным части- частите цам в начальном и конечном состояниях. Конечно, есть еще такие же множители для нейтральных частиц, но они не содержат инфракрас- инфракрасных расходимостей. Перепишем полученное выражение в виде п z~f f где Zf есть константа перенормировки напряженности поля для по- полей типа /, Ef равно числу внешних линий типа /, а произведение теперь берется по всем типам заряженных полей. Но константы пере- перенормировки напряженности поля появляются также и во внутренних частях диаграмм — при записи взаимодействия типа г с участием Nif заряженных полей типа / через перенормированные поля возникает инфракрасно расходящийся множитель (Например, контрчлен —ieiZ^ — l)A^j^ в уравнении A1.1.9) вме- вместе с обычным электромагнитным взаимодействием —геА^ф^^ф дает величину —ieZ^A^^^. Именно инфракрасная расходимость множи- множителя Z<z определяла инфракрасную расходимость второго слагаемого в скобках в A1.3.23) и последнего слагаемого в A1.4.14).) Имеется также инфракрасная расходимость в пропагаторе перенормированно- перенормированного поля: при выражении пропагатора перенормированного поля через пропагатор неперенормированного поля возникает множитель ZJ1. Собрав все вклады, получим, что полное число множителей Zf для каждого заряженного поля /, возникших в результате учета контр- контрчленов к взаимодействиям и к радиационным поправкам на внешних и внутренних линиях, есть где If и Ef равны числам внутренних и внешних линий типа /, a V\ равно числу вершин со взаимодействием типа г. В § 6.3 мы отметили,
§13.3. Реальные мягкие фотоны: уничтожение расходимостеп 583 что эта величина равна нулю для всех /. Поэтому контрчлены, уни- уничтожающие радиационные поправки к внешним линиям, сами уни- уничтожаются за счет множителей Zf, даваемых внутренними линиями и вершинами. Поэтому уравнение A3.2.11) справедливо в своем ис- исходном виде, включающем слагаемые с т = п. § 13.3. Реальные мягкие фотоны: уничтожение расходимостей Встретившуюся нам в предыдущем параграфе проблему инфра- инфракрасных расходимостей можно решить, заметив, что невозможно из- измерить в эксперименте сечение Гра процесса а —> C с участием фик- фиксированного числа фотонов и заряженных частиц, поскольку фотоны очень низких энергий всегда смогут избежать детектирования. На практике можно измерить сечение Гра(Е,Ет) процесса, в котором никакой незарегистрированный фотон не обладает энергией больше некоторой малой энергии Е, а все незарегистрированные фотоны уно- уносят суммарную энергию не больше Ет. (Разумеется, Е ^ Ет- Если в эксперименте не предусмотрены детекторы мягких фотонов, можно воспользоваться результатами измерений энергий "жестких" частиц в состояниях а и /3 для определения полной энергии, унесенной мяг- мягкими фотонами, и просто положить Е = Ет-) Перейдем теперь к вы- вычислению этого сечения. Элемент 5-матрицы для излучения N реальных мягких фото- фотонов в процессе а —> C может быть получен свертыванием каждого из N индексов поляризации фотона \i\, \i^,... в формуле для ампли- амплитуды A3.1.8) с соответствующей коэффициентной функцией где q есть импульс фотона, h = ±1 — его спиральность, а ё1 — "вектор" поляризациих). Таким образом, матричный элемент для излучения N фотонов (элемент 5-матрицы без дельта-функции) равен TV X ^ Pn-qr r=l n 1) Мы обозначили вектор поляризации фотона через 6м вместо ем, что- чтобы избежать возможной путаницы с нашим обозначением еп для электри- электрического заряда.
584 Гл. 13. Инфракрасные расходимости Индекс Л напоминает нам, что амплитуды следует вычислять с уче- учетом инфракрасного обрезания Л по импульсу виртуальных фотонов. Впоследствии мы перейдем к пределу Л —у 0. Присутствие мягких вир- виртуальных фотонов не влияет на вид выражения A3.1.1) из-за мульти- мультипликативного характера поправки, отмеченного в § 13.1. Дифферен- Дифференциальное сечение для излучения N мягких фотонов в объем Y[ d3qr импульсного пространства получается посредством возведения этого матричного элемента в квадрат, суммированием по спиральностям и умножением результата на \\d3qr. Согласно (8.5.7) в случае q2 = 0 суммы по спиральностям принимают вид 5M(q, ft)б* (q, ft) = г\^у + q^cv + ^cM, A3.3.2) h=±l где с = -q/2|q|2 и c° = l/2|g|. Условие сохранения заряда V^ ^е^ _ q n позволяет опустить в A3.3.2) слагаемые, содержащие q^ или qv, после чего для дифференциального сечения получаем2) Чтобы вычислить дифференциальное сечение излучения N мяг- мягких фотонов с фиксированными энергиями ujr = |qr|, нуж:но проинте- проинтегрировать A3.3.3) по направлениям импульса фотона qr. Возникаю- Возникающие интегралы совпадают со встретившимися ранее в A3.2.8): _ , ч [ с^д _^Z[li (l + @пт А ЧРп'Рш) J \Ч\3{Еп-Ч.рп)(Ет-Ч.Рт) ~ Рпт \1-Pnm)' A3.3.4) После интегрирования получаем дифференциальное сечение излуче- излучения фотонов с энергиями cji, ..., ojn- ^^ A3.3.5) 2) Результат для |q| dT^a{c\)/Tpa в случае N = 1 совпадает с распре- распределением энергии, излучаемой в классическом случае разрывно меняющим направление током с 4-вектором плотности тока (суммирование ведется только по частицам в начальном состоянии при t < 0 и в конечном состоянии при t > 0).
§13.3. Реальные мягкие фотоны: уничтожение расходимостеп 585 где А(а —У C) — та же константа, что и в предыдущем параграфе, Из формулы A3.3.5) видно, что интеграл по энергиям излучаемых фотонов инфракрасно расходится. Но условие унитарности требует, чтобы при использовании инфракрасного обрезания Л по импульсу виртуальных фотонов (индекс Л) мы использовали то же самое ин- инфракрасное обрезание Л по импульсу реальных фотонов. Вычислим теперь сечение Г^а(Е,Ет) процесса а —У C при условии, что никакой незарегистрированный фотон не уносит энергию больше Е, а суммар- суммарная энергия, приходящаяся на незарегистрированные фотоны, не пре- превосходит Ет [Е и Ет выбираются достаточно малыми для того, что- чтобы оправдать сделанные при выводе A3.3.1) предположения). Нужно проинтегрировать A3.3.5) по энергиям фотонов в области Е ^ ujr ^ Л и ^wr ^ Ет, после чего разделить результат на N1 (поскольку при г интегрировании были учтены конфигурации, различающиеся лишь перестановкой мягких фотонов) и, наконец, просуммировать по N. Получаем Р) / n\J N=0 Е^ш^Х^ш^Ет r=1 Если бы не условие ^2сог ^ Ет, интеграл сводился бы к произведе- г нию N интегралов по различным ujr. Учтем ограничение на сумму энергий фотонов, умножив подынтегральное выражение на ступенча- ступенчатую функцию = \ J du^^exp(iuJ2"r)- A3.3.7) г -оо г Уравнение A3.3.6) тогда принимает вид Е f^y^a. A3.3.8) Л Интеграл в показателе можно вычислить в пределе Л ^С Е, представив его в виде суммы интеграла от (егши — 1)/cj, в котором можно поло- положить Л = 0, и интеграла от 1/cj, который берется непосредственно. Переобозначив переменные интегрирования и и cj, для Л <$С Е полу- получим ) Т*а, A3.3.9)
586 Гл. 13. Инфракрасные расходимости где \ А) = - / du ехр [А / — (ега;гг - 1) = W и V J ш ) о = 1_АЧ{Х-1/2) j^ / а_ч A33Л0) 2 у cj VI— uj J 1-х Если Е и ЕТ одного порядка, a i < 1, то множитель в A3.3.9) слабо отличается от единицы; например, Поскольку А(а -^ ^) > 0, множитель (Е/\)А(а^Я в A3.3.9) стре- стремится к бесконечности при Л —у 0. Однако из формулы A3.2.10) сле- следует, что сечение Т^а обращается в нуль в этом пределе: Подставляя это выражение в A3.3.9), получаем, что параметр инфра- инфракрасного обрезания Л сокращается в пределе X ^ Е: Г*а(Е,Ет) -»¦ ^(Е/Ет; А(а -»• /?)) (|) Т%а. A3.3.11) Напомним, что энергия Л представляет собой просто условную границу, отделяющую "мягкие" фотоны (которые явно учтены в A3.3.1)) от "жестких", эффекты от которых входят в Т^а. Правая часть формулы A3.3.11) не зависит от Л, поскольку Г^а ос АА. Все же в теориях с малой константой взаимодействия (таких, как кван- квантовая электродинамика) разумно выбирать Л достаточно малым по сравнению с характерной энергией процесса W, чтобы все сделанные выше предположения были справедливы для фотонов с энергиями меньше Л, но при этом достаточно большим для того, чтобы выпол- выполнялось соотношение А(а —У C) ln(W/A) ^C 1. Тогда вычисленное в низ- низшем порядке теории возмущений сечение Г^а даст хорошее прибли- приближение; основные радиационные поправки при Е ^С Л будут даваться множителем (Е/К)А в формуле A3.3.11). Аналогичное устранение инфракрасных расходимостей имеет ме- место и для мягких гравитонов [3]. Сечение любого процесса, в котором мягкие гравитоны уносят суммарную энергию не выше Е, оказывает-
§13.4- Инфракрасные расходимости. Общий случай 587 ся пропорцинальным Ев, где ()A3.3.12) § 13.4. Инфракрасные расходимости. Общий случай Связанные с мягкими фотонами инфракрасные расходимости, ко- которые мы рассматривали в этой главе, дают лишь один пример ин- инфракрасных расходимостей, появляющихся в различных физических теориях. Другой пример дает квантовая электродинамика безмассо- безмассовых заряженнных частиц, где даже после устранения расходимостей, обусловленных мягкими фотонами, остается логарифмическая рас- расходимость показателя А в формуле A3.3.11). Для процесса, в кото- котором все заряженные частицы являются электронами, в соответствии с A3.2.11) и A3.2.7) получаем для величины А в пределе те —у 0 сле- следующую асимптотику: л 1 V~^ 2 1 V^ i f2\Pn-Pm\\ inUle n пфтп (На последнем шаге мы воспользовались условием сохранения заря- заряда ^2 епЦп = 0-) Инфракрасные расходимости в этом выражении воз- п никают из-за мягких фотонов, излучаемых в направлении импульса какого-либо из "жестких" электронов в начальном или конечном со- состоянии, но не исчезают и в случае, когда фотон не является мяг- мягким, так как знаменатель пропагатора (рп ± qJ обращается в нуль при р2^ = q2 = 0 и сонаправленных рп и q, а именно при р2^ = q2 = 0 интеграл от даваемого пропагатором множителя1) равен sin OdO - cos в' где через # обозначен угол между импульсами фотона и заряженной частицы. Интеграл логарифмически расходится вблизи 0 = 0. Конечно, в реальном мире не существует безмассовых электри- электрически заряженных частиц, но при рассмотрении реакций, в кото- которых характерное значение Е2 скалярных произведений \рп • рт | много :) Мы не возводим этот множитель в квадрат, так как расходимость возникает только при интерференции рассматриваемого вклада в элемент ^-матрицы с другими вкладами, связанными с излучением фотона с другой линии т ф п заряженной частицы. При т = п интеграл A3.2.8) пропорцио- пропорционален mi.
588 Гл. 13. Инфракрасные расходимости больше т2е, полезно контролировать появление больших логариф- логарифмов ln(me/'Е). Ведущие радиационные поправки в таких случаях ча- часто обусловлены слагаемым Е ) 1^ 2тг2 П в выражении для А. Еще более важен случай квантовой хромодинами- ки, где имеются безмассовые частицы (глюоны), несущие аналогичное электрическому заряду сохраняющееся квантовое число (цвет). Из- Излучение жестких глюонов вдоль импульса жестких цветных частиц в начальном или конечном состоянии приводит к возникновению ин- инфракрасных расходимостей. Вообще говоря, подобные расходимости не исчезают после сум- суммирования по подходящим наборам конечных состояний. Но Ли и Науэнберг [6] показали, что от инфракрасных расходимостей можно избавиться, если не только просуммировать по подходящим конеч- конечным состояниям, но и ввести некоторое распределение вероятностей начальных состояний. Далее можно повторить с небольшими измене- изменениями приведенный выше анализ, после чего сразу же станет ясна причина того, почему в случае электродинамики массивных электро- электронов можно было ограничиться суммированием по конечным состоя- состояниям. Для этих целей удобно вернуться к неинвариантной теории возму- возмущений, в рамках которой из C.2.7) и C.5.3) получаем для 5-матрицы выражение Sba = 5(Ъ -а)- 2т6(Еа - Еъ)ТЪа, A3.4.1) где [a С1 +) (а Си + ) (Каждое из интегрирований по с\,..., cv включает суммирование по спинам и типам частиц в соответствующих состояниях и интегриро- интегрирование по их 3-импульсам.) Инфракрасные расходимости возникают только тогда, когда знаменатель этого выражения обращается в нуль. Но не каждое обращение знаменателя в нуль приводит к расхо- расходимости. Типичное промежуточное состояние с может иметь энергию Ес = Еа, но обычно оно представлено лишь одной внутренней точкой в области интегрирования, и слагаемое ie в знаменателе обеспечива- обеспечивает сходимость. Для того чтобы промежуточное состояние с привело к расходимости, необходимо выполнение равенства Ес = Еа в гранич- граничной точке области интегрирования. Это имеет место, например, ко- когда первое промежуточное состояние с\ в A3.4.2) представляет собой набор частиц в начальном состоянии а, в котором одна из безмассо- безмассовых частиц заменена на джеты (струи), состоящие из произвольно-
§13.4- Инфракрасные расходимости. Общий случай 589 го числа безмассовых частиц с почти параллельными импульсами и суммарным импульсом, равным импульсу замененной частицы. Тогда граничная точка, в которой Е& = Еа, соответствует случаю, когда в каждом из джетов импульсы всех безмассовых частиц сонаправлены. Более общий пример получится, если заменить некоторые частицы в состоянии а на джеты безмассовых частиц с почти параллельными импульсами и добавить произвольное количество мягких безмассо- безмассовых частиц. Множество всех таких состояний обозначим через D(a). (Строго говоря, нам следовало бы ввести малую энергию Л и малый угол 0, чтобы четко определить понятия "мягкости" и "почти парал- параллельности". Но мы не будем останавливаться на зависимости D(a) от Л и 0.) Состояния из D(a) "опасны" в том смысле, что обращение в нуль знаменателя Еа — ЕС1 в граничной точке области интегрирова- интегрирования может привести к инфракрасной расходимости. Граничная точка, в которой ЕС1 = Еа, соответствует случаю, когда в каждом из джетов импульсы всех частиц параллельны, а дополнительные безмассовые частицы имеют нулевую энергию. Далее, если состояния ci,..., сп все принадлежат D(a), то и про- промежуточное состояние cn+i из D(a) будет опасным в указанном выше смысле. С другой стороны, если некоторое промежуточное состояние ст не принадлежит D(a), то более позднее состояние с/, с k > m не бу- будет опасным, даже если оно будет лежать в D(a). Действительно, кон- конфигурация из жестких частиц или джетов, 3-импульсы которых рав- равны 3-импульсам соответствующих частиц в состоянии а, будет тогда лишь обычной точкой, лежащей внутри области интегрирования. Со- Совершенно аналогично можно определить множество состояний D(b), каждое из которых представляет собой результат замены нескольких безмассовых частиц в состоянии Ъ на джеты безмассовых частиц с по- почти параллельными импульсами (полный импульс каждого из джетов совпадает с импульсом замененной частицы) и добавления произволь- произвольного числа мягких безмассовых частиц. Промежуточное состояние сш будет опасным, если и оно, и все состояния Ск с к > т принадлежат множеству D(b). Чтобы выделить вклады опасных состояний, перепишем A3.4.2) в виде о>ьт/ It \ i^a — Ло ~r 16 J / Ьа где ^а, &ъ и ^?а,ь — проекторы соответственно на D(a), на D(fr) и на состояния, не лежащие ни в D(a), ни в D(b). Здесь мы предпо- предполагаем, что ни одна из заряженных частиц в состоянии b не обладает импульсом, близким к ее импульсу в состоянии а, так что множества D(a) и D{b) не пересекаются. При Л —у 0 и 0 —у 0 опасные промежу- промежуточные состояния занимают в фазовом пространстве столь малую об-
590 Гл. 13. Инфракрасные расходимости ласть, что их вкладом можно пренебречь всегда, когда он не приводит к возникновению инфракрасной расходимости. Степенной ряд A3.4.3) принимает вид (X) (X) (X) r=0 s=0 v=0 Г ^ -vY) . A3.4.4) LEa-Ho+ie \ Jba Этот результат будет точным, если заменить все проекторы ?Р^а$ (между крайним слева и крайним справа) на &а + ^ + &?а,ъ-> а все &а и &ъ слева и справа заменить на &а + З^ъ- Но, как было отме- отмечено выше, эффект от такой замены будет пренебрежимо мал при достаточно малых Л и 0. Равенство A3.4.4) можно переписать в более компактном виде Tba = (П~тГ5П+Nа, A3.4.5) где П+ и Q^ для произвольных состояний а и /? определяются как оо (П+)са = ^ (\-—^ -v\Г) , A3.4.6) оо V^^)db — 2_^\\~Б гг , . у ) 5 AO.4.7J &Ts — "безопасный" оператор2): ^J " . A3.4.8) Все инфракрасные расходимости теперь выделены в операторные множители П^~ и П+. Чтобы удалить эти расходимости, достаточно заметить, что с точ- точностью до проекторов на опасные состояния операторы П^ и П+ представляют собой унитарные операторы, переводящие (согласно C.1.16)) состояния свободных частиц в out- и m-состояния соответ- соответственно. Следовательно, унитарны их ограничения на подпростран- подпространства D(j3) и D(a) состояний, опасных в случае конечного состояния /3 2) В выражении для (Qb )аъ мы использовали то, что Тъа вычисляется при Еь = Еа\ в выражении для (Ts)dc — то, что проекционные операто- операторы &а уничтожают (Од )са, если энергия Ес не очень близка к Еа. Кроме того, из-за наличия в A3.4.5) множителей Q^ и ^t имеем ^^c^d = <^ga,b-
§13-4- Инфракрасные расходимости. Общий случай 591 и начального состояния а, а именно для произвольных а и /3: Щ0>рп^ = 0>р, A3.4.9) ft+^ft+t = 9»а. A3.4.10) Сечение процесса, следовательно, свободно от инфракрасных расходи- мостей после суммирования по подпространствам опасных состоя- состояний, соответствующих начальному состоянию а и конечному со- состоянию C: ^ E 2. A3.4.11) aeD(a) beD(C) Чтобы убедиться, что это действительно решает проблему инфра- инфракрасных расходимостей в общем случае, нужно привести доводы в пользу того, что только суммы вида A3.4.11) измеримы в реальных экспериментах. Необходимость суммирования сечений по опасным ко- конечным состояниям представляется естественной, поскольку в экспе- эксперименте невозможно отличить вылетающую заряженную (цветную) безмассовую частицу от несущих тот же заряд (цвет) джета безмас- безмассовых частиц (с почти параллельными импульсами и той же пол- полной энергией, что и у исходной частицы [7]) и произвольного числа очень мягких квантов. Вопрос о суммировании по начальным состоя- состояниям более сложен. Можно исходить из того, что истинно безмассовые частицы всегда рождаются как джеты, сопровождаемые распреде- распределенными однородно в некоторой области импульсного пространства мягкими квантами. Насколько мне известно, никто не дал полного доказательства того, что все экспериментально измеримые сечения свободны от инфракрасных расходимостей. Описанная трудность не возникает в квантовой электродинами- электродинамике (с массивными заряженными частицами), где, как мы видели ранее, для устранения инфракрасных расходимостей достаточно сум- суммирования по конечным состояниям. Объяснением подобного разли- различия может служить то, что в квантовой электродинамике состоя- состояния а, Ъ, с, ... представляют собой прямые произведения состояний с определенным числом заряженных частиц и жестких фотонов и со- состояний, содержащих лишь мягкие фотоны с энергией, меньшей неко- некоторой малой величины Л. Тогда для процесса, в котором при переходе а —у C системы из заряженных частиц и жестких фотонов дополни- дополнительно рождается набор / мягких фотонов, уравнение A3.4.5) упро- упрощается: T0f<a = (n-(^U+(a))fo(TsHa, A3.4.12) Здесь 0 обозначает вакуум мягких фотонов, a Q^ определяются как
592 Гл. 13. Инфракрасные расходимости выше, но в редуцированном гильбертовом пространстве, содержащем только состояния мягких фотонов; взаимодействие между фотонами задается исходным гамильтонианом, в котором все заряженные части- частицы зафиксированы в состояниях а или /3. Как и ранее, эти операторы унитарны в пространстве @ "опасных" состояний мягких фотонов, так что3) = \{J-S)/3a (" \a) " WJOO = UsJ/3a| (lo.4.1JJ без необходимости суммирования по начальным состояниям. §13.5. Рассеяние мягких фотонов1) При изучении эффектов, связанных с излучением или поглоще- поглощением мягких фотонов, мы до сих пор рассматривали только процессы а —> C, которые могли происходить и без участия мягких фотонов. Но можно получить полезные общие результаты и в случае, когда переход а —У C тривиален, а мягкие фотоны играют в реакции суще- существенную роль. Ниже мы рассмотрим простейший и наиболее важный пример подобного процесса, рассеяние мягкого фотона на массивной частице произвольного типа и спина (в этом случае а и /3 — одно- частичные состояния). Некоторые сложности здесь возникают из-за того, что ведущий вклад в амплитуду рассеяния мягкого фотона дают не сингулярные (содержащие полюсы) слагаемые, а регулярные сла- слагаемые, связанные с сингулярными через условие сохранения тока. 5-матрицу для рассеяния фотона можно представить в виде S(q,X;p,a ->• q',X';p',a') = гBтгLсг4(д + р - q' — р') х ^-^, A3.5.1) где q и q' — начальный и конечный 4-импульсы фотона, р и р' — начальный и конечный 4-импульсы мишени, Аи А' - начальная и ко- конечная спиральности фотона, e^(q/,A/) и e/i(q, A) — соответствующие 3) Множитель (Е/А)Л, подобный вошедшему в A3.3.11), теперь не воз- возникает, так как мы отождествляем максимальную энергию Е состояний реальных мягких фотонов, по которым ведется суммирование, с максималь- максимальной энергией Л "опасных" фотонных состояний, по которым мы суммиро- суммировали для нахождения Q^. г) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении.
§13.5. Рассеяние мягких фотонов 593 векторы поляризации фотона, а а и а' — z-компоненты спина мише- мишени в начальном и конечном состояниях. В соответствии с теоремой из § 6.4, амплитуда MV[l может быть записана в виде A3.5.2) где через JM обозначен электромагнитный ток, а многоточие указыва- указывает на возможное наличие дополнительных слагаемых (как, например, в теории заряженного скалярного поля, где два фотона взаимодей- взаимодействуют в вершине, а не через отдельные токи). Теперь можно восполь- воспользоваться стандартными аргументами "теории полюсов", изложенными в гл. 10 и уже задействованными нами в § 13.1. После вставки полного набора промежуточных состояний между операторами тока в A3.5.2), интегрирования по ж и выделения одночастичных промежуточных со- состояний получаем G"(p<,P<-g)G>V-q.p) , N^, i , A35 3) где GM — одночастичный матричный элемент тока, B7r)-3G?v(p',p) = (Фр>',<7"@)Фр,<7) A3.5.4) a Nv^ содержит вклады состояний, отличных от одночастичного, и вклады от взаимодействия двух фотонов. (Произведения в A3.5.3) следует понимать в смысле матричного умножения, хотя мы и не вы- выписали спиновые индексы явно.) О величине Nv^ мы знаем очень мало, за исключением того, что она (в отличие от первых двух сла- слагаемых) не имеет сингулярности при q^ —У 0 и потому может быть разложена по степеням q^. Воспользуемся теперь условием сохранения тока (или калибровоч- калибровочной инвариантностью): ?MM""(g;p',p)=0, A3.5.5) q • G(p + q, p) = [Е(р + q) - E(p)]G°(p + q, p), A3.5.6) q • G(p',p' - q) = №') - E(p' - q)]G°(p',p' - q). A3.5.7) В приложении к A3.5.3) эти равенства дают требуемое условие на N"»: ^(p/-q,p). A3.5.8) 38 С.Вайнберг. T.I
594 Гл. 13. Инфракрасные расходимости Заметим также, что Mv^ удовлетворяет соотношению "кроссинг- симметрии": М""(д;р',р) = М""(р' -p-q;p',p) A3.5.9) Так как для содержащих полюсы слагаемых в A3.5.3) это соотно- соотношение очевидным образом выполнено, оно должно выполняться и для N"»: N^(q; р', р) = A^V -P-q; р', p) A3.5.10) Мы воспользуемся полученными результатами для нахождения пер- первых членов в разложении Nv^ по степеням импульса. Сначала нам нужно выяснить некоторые свойства разложения од- ночастичного матричного элемента GM(p,p') по степеням импульсов р' и р. Из инвариантности относительно пространственного отраже- отражения (при условии, что последняя имеет место) следует, что в разложе- разложение G0 входят только четные степени импульсов, а в разложение G1 (с г = 1, 2, 3) — только нечетные. Согласно A0.6.3) член нулевого по- порядка по импульсу в разложении G°a, a равен eSa^aj где е — заряд частицы. Из условия сохранения тока тогда получаем, что до второго порядка по импульсу Поэтому линейные по импульсу слагаемые в G представляют со- собой сумму е(р' + рMа^а/2т и, возможно, слагаемых, ортогональных р' — р. Из инвариантности относительно вращений следует, что по- последние должны быть пропорциональны (р' — р) х Ja> ,а, где J — зна- знакомая нам спиновая матрица заряженной частицы. Суммируя полу- полученные результаты, записываем G°(p',p) = el + квадратичные члены, A3.5.11) G(p', р) = -— (р' + р) + — J х (р' — р) + кубические члены, 2т j A3.5.12) где через " обозначена единичная спиновая матрица, а "квадратич- "квадратичные" и "кубические" указывают степень отброшенных слагаемых по малым импульсам рир'. Коэффициент fi/j в A3.5.2) действителен, так как ток эрмитов. Если записать его в таком (включающем спин частицы j) виде, то \± будет магнитным моментом частицы. Обратимся теперь к N^v и рассмотрим разложение A3.5.8) по сте- степеням малых импульсов 5д,рир'. Полагая в A3.5.8) v — 0, получаем, что q^N0^ имеет по меньшей мере второй порядок по этим импульсам. Поскольку не существует постоянного вектора, ортогонального дм, величина №^ должна быть по крайней мере первого порядка по малым импульсам. Из условия кроссинг-симметрии A3.5.10) следует тогда, что Nt0 тоже должна быть по крайней мере первого порядка по
§13.6. Приближение внешнего поля 595 импульсам. Полагая v = г в A3.5.8) и используя A3.5.12), получаем 2 г qj,Nlk = Ь квадратичные члены, откуда 2 Nlk = —— &/, + линейные члены. A3.5.13) т Поскольку G1 не ниже первого порядка по малым импульсам, син- сингулярные слагаемые в выражении A3.5.3) для Мгк не дают вклада в нулевой порядок. Последний, следовательно, содержит лишь вклад несингулярного слагаемого Nlk: Mi/e@;0,0) = i\r*@;0,0) = -—5ik A3.5.14) Теперь мы можем вычислить сечение рассеяния мягкого фотона. Но в этом вычислении нет необходимости: если нам известно, что в преде- пределе нулевого импульса амплитуда рассеяния фотона зависит только от массы и заряда частицы-мишени и имеет второй порядок по этому за- заряду, мы можем воспользоваться любым уже имеющимся результатом вычисления до второго порядка сечения рассеяния фотона на частице любого спина. Например, подойдет формула (8.7.42) для дифферен- дифференциального сечения рассеяния фотона в квантовой электродинамике: Теперь мы видим, что это общая формула, справедливая в пределе низких энергий для мишени массы т, заряда е, любого спина и с про- произвольными в остальном характеристиками (в том числе для состав- составной или участвующей в сильных взаимодействиях мишени, например атомного ядра.) Гелл-Манн, Голдбергер и Лоу [8] показали, что эти результаты можно усилить и выразить следующий по порядку вели- величины член в амплитуде рассеяния мягкого фотона через массу, заряд и магнитный момент частицы-мишени. §13.6. Приближение внешнего поля1) Интуитивно ясно, что тяжелую заряженную частицу (такую, как атомное ядро) можно приближенно рассматривать как источник клас- классического внешнего поля. В этом параграфе мы подтвердим это пред- предположение и получим представление о границах применимости такой модели. Рассмотрим фейнмановскую диаграмму или часть фейнмановской диаграммы, в которой тяжелая заряженная частица испускает N вир- 1) Материал этого параграфа выходит за рамки основного содержания книги и может быть опущен при первом чтении. 38*
596 Гл. 13. Инфракрасные расходимости туальных фотонов с 4-импульсами q\, q2, ..., qN и индексами поляри- поляризации /ii, /i2, ..., /in- Сумма всех таких диаграмм (или поддиаграмм) без учета N фотонных пропагаторов дает амплитуду I d4Xl d4X2 . . . d4XN е = ^/ ? \QijQ2j • • • jQn'jPjj A3.6.1) где матричный элемент вычисляется с учетом всех взаимодействий, в которых может участвовать тяжелая частица, включая сильные ядерные взаимодействия. Эта амплитуда имеет кратный полюс при #1, #2? • • • 5 Qn —> 0, возникающий от слагаемых в матричном элементе произведения токов, в которых промежуточные состояния представ- представляют собой ту же тяжелую частицу, что и в начальном или конечном состояниях. Этот кратный полюс дает ведущий вклад в A3.6.1), ко- когда все компоненты q\, q2, ..., qN малы по сравнению с энергиями и импульсами, связанными с динамикой тяжелой частицы (возможно, составной). В этом случае при помощи изложенных в § 10.2 методов получаем2) -> 2p°B7rKV } q2 + ... + qN ~ p) -i,*(p) [2р • q\ — ге][2р • (gi + g2) — ie]... [2р • (#i + ... + (Jn-i) — ie] + все перестановки в формулах, A3.6.2) где ^м (п) г), A3.6.3) а "Н-все перестановки" означает, что нам следует просуммировать по всем перестановкам N фотонов. Для приложений к атомным систе- системам важно, что выражение A3.6.1) справедливо для частиц произ- произвольного спина, участвующих как в электромагнитных, так и в силь- сильных взаимодействиях (например, для атомных ядер). 2) В теории возмущений знаменатели определяются знаменателями пропагаторов: (р + qi + • • • + qrf + m2 - ie -> 2p • (qi + ... + qr) - ie ^ ->• 2p- (qi + ... +qr -ie), в то время как числители пропагаторов дают множители вида ^ ии^, ко- которые вместе с матрицами фотонных вершин образуют матричные элемен- элементы A3.6.3). Матрица ^м отличается от матрицы G^ из предыдущего пара- параграфа на множитель 2р°.
§13.6. Приближение внешнего поля 597 Заметим также, что для частиц заряда Ze и произвольного спи- спина матричные элементы элетромагнитного тока для перехода между состояниями с одинаковыми 4-импульсами равны3) ^^, A3.6.4) откуда , a. A3.6.5) Важно, что все матрицы A3.6.5) коммутируют друг с другом, так что их произведение можно вынести за сумму по перестановкам: B7Г р°BтгK ^<Х ,<Т г • 1 г / . \ • п г/. . \ • п ~Т~ \-\p-qi- ie]\p • (qi + qi) - ie] ... [p • (gi + . .. + + все перестановки в фор В ведущем порядке по q дельта-функцию можно представить в виде + все перестановки в формулах . A3.6.6) = р0ё3(р' + qi + ... + q^v - рN(р • (gfi + ... + qN)). A3.6.7) К счастью, результат суммирования по перестановкам выглядит су- существенно проще, чем отдельные слагаемые. Для р • (qi + ... + = 0 имеем \-\p-qi -ie]\p- (qi + q2) - ie] . .. [p • (qi + ... + qN-i) - ie] и в формулах = qi)S(p -q2)... S(p • ^-i). A3.6. + все перестановки в формулах = Например, при N = 2 l +l ^ + p-qi -ie p- q2 -ie p • q\ - ie -p • q\ - ie Общую формулу A3.6.8) проще всего получить как результат фурье- 3) Проще всего показать это, рассмотрев лоренцеву систему отсчета, в которой частица покоится. Из инвариантности относительно вращений тогда следует, что пространственные компоненты матричного элемента то- тока равны нулю, а временная компонента пропорциональна 8ai a (с коэф- коэффициентом, не зависящим от а и а'). Коэффициент пропорциональности дается выражением A0.6.3); после преобразования Лоренца к исходной си- системе отсчета получаем A3.6.4).
598 Гл. 13. Инфракрасные расходимости преобразования тождества - т2H(т2 - т3)... 6>(гту_1 - rN) + + все перестановки в формулах = 1. После подстановки A3.6.8) в A3.6.6) получаем окончательный резуль- результат для амплитуды A3.6.1): -> {Ze)N{2K)N5al^p^ .. .p^S3(p' + qi + ... + q^ - р) х xS(p.qi)S(p.q2)...S(p.qN). A3.6.9) Это выражение справедливо и для релятивистских, и для медлен- медленно движущихся частиц. С его помощью можно получить приближе- приближение "Вайцзеккера—Вильямса" [9] для рассеяния заряженных частиц. В частном случае нерелятивистской заряженной частицы с |р| <С р° можно упростить A3.6.9) до х S3(p' + qi + ... + 4N - рЖ??Ж?§) ¦ • ¦ S(q°N)Sa,,a, A3.6.10) где п — единичный времениподобный вектор п° = 1, п = 0. Предположим теперь, что некоторая тяжелая нерелятивистская частица заряда Ze с нормированной на единицу волновой функ- функцией Хсг(р) появляется и в начальном, и в конечном состояниях. Пе- Перейдя к фурье-представлению дельта-функции в A3.6.10), получим для матричного элемента У выражение N \[2^Zen^5(q°r)e-i^^, A3.6.11) где /0(x) — волновая функция в координатном представлении, 3pxAp)e~ipX- A3.6.12) Из-за факторизации A3.6.11) учет влияния тяжелой заряженной ча- частицы эквивалентен введению новых вершин в правила Фейнмана в импульсном пространстве. Каждая такая вершина соответствует взаимодействию легкой дираковской частицы заряда — е (например, электрона) с внешним полем и добавляет в выражение для пол- полной амплитуды множитель4) (с учетом фотонного пропагатора и 4) Первый множитель здесь — обычный множитель г, сопровождающий входящие в лагранжиан взаимодействия константы в правилах Фейнмана.
§13.6. Приближение внешнего поля 599 электрон-фотонной вершины) ~п ~ъ ~ [2ttZenn5(qo)e~t4'x][B7rL:e/y^54:(k — к' — q)], тгL qz — ге] A3.6.13) где к и к' — начальный и конечный 4-импульсы электрона. Чтобы получить полную амплитуду рассеяния, нужно произвести усредне- усреднение по координате X тяжелой частицы с весом ^2 \фа(Х.)\2. Такой же а множитель A3.6.13) мы получили бы, добавив в лагранжиан взаимо- взаимодействия новое слагаемое где J^ = —геФ7^^ — электромагнитный ток электронов, а з^^ — век- векторный потенциал внешнего поля: Конечно же, это просто обычный кулоновский потенциал: ^°(х) = 4ff|flx|> *(x) = 0. A3.6.16) При наличии нескольких тяжелых заряженных частиц (например, в случае молекулы) потенциал з/^ будет суммой слагаемых вида A3.6.16) с соответствующими частицам координатами X и заряда- зарядами Ze. Полезно представлять себе, суммированию каких диаграмм эк- эквивалентно использование приближения внешнего поля. Рассмотрим взаимодействие одного электрона (релятивистского или нереляти- нерелятивистского) с одной тяжелой заряженной частицей (такой, как протон или дейтрон). Если пренебречь всеми остальными взаимодействиями, то фейнмановские диаграммы для рассеяния электрона в результате его взаимодействия с внешним полем — это диаграммы, на которых на электронную линию добавлено произвольное количество вершин A3.6.4) типа электрон-(внешнее поле) (см. рис. 13.4). Но из способа суммирования по перестановкам в A3.6.2) следует, что эти диаграммы соответствуют диаграммам исходной теории, на которых концы выхо- выходящих с линии электрона фотонных линий располагаются в различ- различном порядке на линии тяжелой заряженной частицы (см. рис. 13.5). "Лестничные диаграммы" без пересечений (помеченные на рис. 13.5 символом "L") дают доминирующий вклад в сумму, только если и электрон, и тяжелая заряженная частица являются нерелятивист- нерелятивистскими. (В терминах неинвариантной теории возмущений такие диа- диаграммы содержат вклады от промежуточных состояний с теми же частицами, что и в начальном или конечном состоянии — с малы- малыми энергиями в знаменателях в случае нерелятивистских электрона и заряженной частицы; остальные диаграммы на рис. 13.5 соответ- соответствуют промежуточным состояниям либо с лишними фотонами, либо
600 Гл. 13. Инфракрасные расходимости Рис. 13.4. Диаграммы для рассеяния электрона во внешнем электро- электромагнитном поле. Прямая линия соответствует электрону, волнистые ли- линии с крестами на концах представляют его взаимодействие с внешним полем Рис. 13.5. Диаграммы для рассеяния электрона на тяжелой заряженной частице-мишени, в пределе большой массы мишени дающие тот же резуль- результат, что и диаграммы на рис. 13.4. Здесь одинарная прямая линия соот- соответствует электрону, двойная прямая линия — тяжелой заряженной части- частице, волнистые линии — виртуальным фотонам. Помеченные символом "L" диаграммы называются лестничными; их вклад является доминирующим, когда электрон и тяжелая частица нерелятивистские
Задачи 601 с лишними парами электрон-позитрон, либо с лишними парами тя- тяжелая частица-античастица, вклады которых подавлены большими энергиями в знаменателях.) Лестничные диаграммы можно просум- просуммировать, решив интегральное уравнение, известное как уравнение Бете—Солпитера [10]. Нет оснований выделять такое подмножество диаграмм, если только обе частицы не являются нерелятивистскими; но в последнем случае уравнение Бете-Солпитера сводится к обыч- обычному нерелятивистскому уравнению Шредингера с релятивистскими поправками, описывающими спин-орбитальное взаимодействие (кото- (которые можно рассматривать как малые возмущения). Следует отме- отметить, что теория релятивистских эффектов и радиационных попра- поправок в связанных состояниях пока что не вполне удовлетворительна. При выводе выражения A3.6.16) для внешнего поля мы учиты- учитывали взаимодействие тяжелой заряженной частицы с электромагнит- электромагнитным полем только в ведущем порядке по импульсу фотона. Имеются поправки высших порядков по импульсу фотона, связанные с магнит- магнитным дипольным моментом тяжелой частицы, ее электрическим квад- рупольным моментом и т.д. Кроме того, есть радиационные поправ- поправки, связанные с фейнмановскими диаграммами, не изображенными на рис. 13.4 — например, с диаграммами, на которых фотон испускается и поглощается на электронной линии или в фотонные линии вставле- вставлены электронные петли. В следующей главе мы увидим, что при рас- рассмотрении связанных состояний изображенные на рис. 13.4 диаграм- диаграммы должны быть просуммированы во всех порядках, но остальные поправки высших порядков по импульсу фотона или заряду е могут быть учтены как возмущения этих диаграмм. Задачи 1. Рассмотрим процесс е+ + е~ в системе центра масс при энер- энергии 1 ГэВ и угле рассеяния 90°. Пусть при измерении энергий пионов в конечном состоянии мы определили, что на долю мягких фотонов пришлась энергия, не превосходящая Ет <С 1 ГэВ. Как зависит сече- сечение процесса от Ет7. 2. Рассмотрим безмассовую бесспиновую частицу, описываемую скалярным полем ф. Предположим, что плотность лагранжиана взаи- взаимодействия дается для нее выражением (j)(x)J(x), где в J(x) входят только массивные поля. Получите формулу для вероятности излуче- излучения в процессе а —у C произвольного числа мягких скалярных частиц суммарной энергии не выше малой величины Ет. Учитывайте ради- радиационные поправки от мягких скалярных частиц с энергией не выше малой энергии Л. 3. Получите следующий член в выражении A3.5.14) для рассея- рассеяния низкоэнергетичного фотона на произвольной мишени.
602 Гл. 13. Инфракрасные расходимости 4. Предположим, что частица спина 1 с очень малой массой т, описываемая векторным полем Vм(ж), взаимодействует лишь с на- намного более тяжелым фермионом, представленным дираковским по- полем ф(х), причем плотность лагранжиана взаимодействия равна gV^i/jj^i/j. Пусть тяжелый фермион обычно распадается на невзаи- невзаимодействующие с Vм частицы с выделением энергии W ^> т. Рас- Рассмотрим такой процесс распада, где наряду с обычными продуктами дополнительно испускается частица Vм с энергией не выше Е (где W ^> Е ^> т). Как вероятность такого процесса зависит от Е и т? Не учитывайте радиационные поправки. 5. Докажите равенство A3.6.8) при р • (q1 + ... + дту) = 0. Литература 1. Block F., Nordsieck А. // Phys. Rev. 37, 54 A937); Yennie D.R., Frautschi S.C., Suura H. // Ann. Phys. (N.Y.). 13, 379 A961). Также см. Mahantappa K.T. // Ph.D. Thesis at Harvard University A961), unpublished. 2. Weinberg S. // Phys. Lett. 9, 357 A964); Phys. Rev. 135, B1049 A964). 3. Weinberg S. // Phys. Rev. 140, B515 A965). 4. Эта фаза появляется в ряде теории возмущений для нереляти- нерелятивистского кулоновского рассеяния. См. Dalitz R.H. // Proc. Roy. Soc. London. 206, 509 A951). 5. См., например, Schiff L.I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, N.Y., 1949. Section 20. [Рус. пер.: Шифф Л. Квантовая механика.—М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.] 6. Lee T.D., Nauenberg M. // Phys. Rev. 133, В1549 A964). Также см. Kinoshita Т. // J. Math. Phys. 3, 650 A962); Sterman G., Weinberg S. II Phys. Rev. Lett. 39, 1416 A977). 7. Sterman G., Weinberg 5., ссылка 6. 8. Low F.E. If Phys. Rev. 96, 1428 A954); Gell-Mann M., Goldberg M.L. II Phys. Rev. 96, 1433 A954). Также см. Weinberg S. // В Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — 1970 Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, ed. by S. Deser, M. Grisaru, H. Pendleton. MIT Press, Cambridge, MA, 1970. 9. Williams E.J. // Kgl. Dan. Vid. Sel. Mat.-fys. Medd. XIII, No. 4 A935). 10. Bethe H.A., Salpeter E.E. // Phys. Rev. 82, 309 A951); 84, 1232 A951).
Глава 14 СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ Вычисляя радиационные поправки в гл. 11, мы рассматривали только низшие порядки теории возмущений. Однако существует очень важный класс задач, для решения которых приходится с самого на- начала учитывать фейнмановские диаграммы, имеющие произвольный порядок по константе связи. К числу таких задач относится проблема описания связанных состояний. В электродинамике примером связан- связанных состояний являются обычные атомы и молекулы, а также такие экзотические системы, как позитроний и мюоний. Нетрудно понять, что для решения подобного рода задач обычная теория возмущений не годится. Будем, например, рассматривать ам- амплитуду электрон-протонного рассеяния как функцию энергии в си- системе центра масс Е. Как мы видели в § 10.3, возможность образо- образования связанного состояния (основного состояния атома водорода) предполагает наличие у амплитуды рассматриваемого процесса полю- полюса в точке Е = тр + те - 13,6 эВ. Однако ни в одном порядке теории возмущений такой полюс не воз- возникает. Довольно очевидно, что в этом случае он должен возникать в результате суммирования по всем диаграммам. Причину такой расходимости ряда теории возмущений понять нетрудно, если рассмотреть вместо фейнмановских диаграмм времен- ноупорядоченные диаграммы старой теории возмущений. Предполо- Предположим, что в системе центра масс обе частицы, электрон и протон, имеют импульс q <С тпе. Рассмотрим промежуточное состояние, в ко- котором импульсы электрона и протона различны, но по-прежнему яв- являются величинами порядка q. Этому состоянию соответствует до- дополнительный энергетический множитель порядка [^2/?тге]~1. Кроме того, необходимо принять во внимание матричный элемент кулонов- ского взаимодействия. Он представляет собой величину порядка е2/q2 (фурье-преобразование потенциала е /г), а соответствующий инте- интеграл по импульсному пространству — величину порядка q3. В ре- результате находим, что каждое дополнительное кулоновское взаимо- взаимодействие приводит к появлению общего множителя порядка [q2/me}-1[e2/q2}[q3}=e2me/q. Таким образом, теорией возмущений нельзя пользоваться в тех слу- случаях, когда q меньше или порядка е2те, или, что то же самое, когда кинетическая и потенциальная энергии (которые суть величины по-
604 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях рядка q2/те) не превосходят е4те (что по порядку величины равно энергии связи электрона в атоме водорода). Наша задача состоит в том, чтобы понять, как можно использо- использовать теорию возмущений для вычисления радиационных поправок в задаче о связанных состояниях. Мы должны научиться суммиро- суммировать те диаграммы, которые суммировать нужно, и выявлять те диа- диаграммы, для которых такой необходимости нет. § 14.1. Уравнение Дирака В этой главе мы рассмотрим задачи, в которых связанные состоя- состояния возникают из-за кулоновского взаимодействия электронов (или мюонов) с тяжелыми заряженными частицами типа атомных ядер. Как мы видели в § 13.6, такое взаимодействие можно учесть, при- прибавляя к лагранжиану член1), описывающий эффекты, связанные с с-числовым внешним векторным потенциалом ' --(Z3- - ie(Z2 - 1)^Ф7МФ. A4.1.1) Последняя формула получается из A1.1.6) заменой в сумме j?fo + J??i квантового векторного потенциала А^ на А^ + srf^. Например, в слу- случае одной тяжелой частицы с зарядом Ze, находящейся в начале координат, мы получаем я/°(х) = -^—, ?/(х) = 0. A4.1.2) v у 4тг|х| v y v y Именно в случае взаимодействия A1.4.1) приходится учитывать диа- диаграммы всех порядков. В этом параграфе мы изучим теорию на при- примере только этого взаимодействия. Рассмотрение же радиационных поправок мы отложим до следующего параграфа. Один из подходов к решению подобных задач физикам известен почти с детства. Он состоит в нахождении решений волнового урав- уравнения Дирака при наличии внешнего поля. Вывод здесь этого уравне- уравнения может показаться не совсем уместным. Однако как было отмече- отмечено в гл. 1, первоначально Дирак ввел его, поскольку релятивистское уравнение Шредингера не выдерживало критики. Кроме того, в про- процессе вывода мы получим условия нормировки, которым должны удовлетворять решения уравнения Дирака. Эти условия в рамках ) В этой главе мы вернемся к прежним обозначениям, используя за- заглавную букву Ф для электронного поля в представлении Гейзенберга и строчную букву ф для дираковского поля, эволюция которого во времени определяется исключительно с-числовым внешним полем g/^(x).
§14-1- Уравнение Дирака 605 излагаемого подхода кажутся несколько искусственными. Решения уравнения Дирака, найденные здесь, будут использованы нами для изучения радиационных поправок в следующем параграфе. Мы будем работать в представлении взаимодействия, причем в ка- качестве гамильтониана, определяющего зависимость операторов от времени, будет выступать гамильтониан системы, состоящей из элек- электромагнитного и электронного полей, взаимодействие которых описы- описывается выражением A4.1.1). Электронное поле в этом представлении удовлетворяет уравнению - т + iejx?/\(x)] ф(х) = 0. A4.1.3) Это уравнение не является уравнением Дирака в том первоначальном смысле, который ему придавал сам автор [1], поскольку ф(х) здесь яв- является квантовым оператором, а не с-числовой волновой функцией. Обычные же с-числовые волновые функции Дирака определяются формулами ' * " ' ~ * A4.1.4) A4.1.5) где через Фдг обозначен полный ортонормированный набор векторов состояния (Фо соответствует вакууму). Из уравнения A4.1.3) непо- непосредственно следует, что функции A4.1.4) и A4.1.5) удовлетворяют однородному уравнению Дирака г л д . л ^ / ч! / ч 7 тг^г +т + iej ?/\(x)\un(x) = L oxx J у (ж) = 0. A4.1.6) Из равновременных антикоммутационных соотношений, которым удовлетворяют дираковские поля, мы также можем вывести усло- условие нормировки. Эти антикоммутационные соотношения не зависят от взаимодействия A4.1.1) и поэтому имеют тот же вид, что и соот- соотношения для свободных полей: {ф(х, ?), ф(у, х)} = г7°^3(х — у). A4.1.7) Взяв вакуумное среднее и вставляя сумму по состояниям Фдг, мы на- находим t)i;]v(y,t)=E3(x-y). A4.1.8) TV TV Ясно, что сумма по N включает интеграл по непрерывному множе- множеству состояний, а также сумму по всем дискретным связанным состоя- состояниям. Мы главным образом интересуемся внешними полями, не завися- зависящими от времени (примером такого поля является A4.1.2)). Векто- Векторы Фдг оказываются тогда собственными состояниями гамильтониана
606 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях (с учетом взаимодействия A4.1.1)), причем соответствующие соб- собственные значения энергии равны En- В силу инвариантности относи- относительно сдвигов во времени функции un(x) и vn(x) зависят от времени следующим образом: 1/Ar/Y +\ — —iENt„. (v\ vinrf-v +\ — рЛ^.гМ (Л А Л Q\ Однородные уравнения Дирака A4.1.6) в этом случае принимают вид ^7 [7 ' V + т + iej ^/\(x)]un('x) — EnUn(x), A4.1.10) г7°[т * V + т + iejx^\(x)]vN('x) = -^tv^tv(x). A4.1.11) Знак минус в правой части A4.1.11) свидетельствует о том, что функ- функция vn и есть известное решение Дирака с "отрицательной энергией". Как видно из A4.1.8), наличие решений с отрицательной энергией необходимо для существования полного набора волновых функций. Конечно, для достаточно слабых внешних полей теория не содержит состояний с отрицательной энергией. По этой причине все En ока- оказываются положительными. Имеется все же важное отличие между состояниями с un = 0 и состояниями с vn = 0: из определений A4.1.4) и A4.1.5) следует, что для заданной частицы равенства un ф 0 или vn ф 0 могут выполняться только, если она имеет заряд —е или +е соответственно. Именно в этом смысле понимается имеющееся соот- соответствие "отрицательно-частотных" решений уравнений Дирака и ан- античастиц. Это соответствие, однако, никак не связано с внутренней структурой уравнения Дирака. Более того, оно даже никак не связа- связано со спином электрона. Из волновых уравнений Дирака A4.1.10) и A4.1.11) мы можем легко увидеть, что волновые функции с различной энергией ортого- ортогональны друг другу. Это можно записать следующим образом: Поэтому если выражение \x\2(u^ni^^um) ограничено при |х| —у 0 и |х| —у оо, то d3x (м]у(х)им(х)) = 0, если EN ф Ем. A4.1.12) Используя аналогичные граничные условия для vn, мы находим, что d3x (г;^(х)г;м(х)) = 0, если EN ф Е*м, A4.1.13) й3ж(га]у(хI>м(х)) = 0, если En ф ~ЕМ. A4.1.14) Полагая N = М, получаем из A4.1.12) и A4.1.13), что все энергии являются вещественными. Поэтому в A4.1.12)—A4.1.14) мы можем опустить знак комплексного сопряжения у Ем- Находим, что функ- функции и, соответствующие разным энергиям, ортогональны (пока поле
§14-1- Уравнение Дирака 607 достаточно слабое; в противном случае, возникают состояния с от- отрицательной энергией), функции г?, соответствующие разным энер- энергиям, ортогональны. Кроме того, функции и ортогональны всем v. Выбирая надлежащим образом дискретные квантовые числа, харак- характеризующие состояния с фиксированной энергией, мы всегда можем добиться выполнения равенств d3x (uN(x)uM(x)) = 0, если N ф М, A4.1.15) (fix (vN(x)vM(x)) = 0, если N ф М, A4.1.16) d3x (?40Фм(х)) = 0. A4.1.17) Умножая уравнение A4.1.8) справа на им(у) или ^м(у)? получаем, что эти волновые функции удовлетворяют следующим нормировоч- нормировочным соотношениям: d3y (uN(y)uM(y)) = I d3y (vN(y)vM(y)) = 5nm, A4.1.18) где Snm — произведение символа Кронекера на дельта-функцию в пространстве импульсов. Нормировка выбрана таким образом, что- чтобы ^2 $nm = 1 • Такие нормировочные условия не связаны напрямую N с вероятностной интерпретацией волновых функций Дирака, а сле- следуют из антикоммутационных соотношений для полей A4.1.7). Рассмотрим теперь случай чисто электростатического внешнего поля с si = 0. Матрицы Дирака в стандартном представлении имеют следующий вид: _ • @ -<А • о _ о _ @ 1 ' \сг 0 у ' ' г \\ 0 Здесь сг — обычный трехвектор двумерных матриц Паули, " и " — двумерные единичная и нулевая матрицы. Введем двухкомпонентные волновые функции /дг и #дг, положив (/ ). A4.1.19) л/2 \!м-гдм) v J Уравнение на собственные значения энергии A4.1.10) сводится к (сг . V)fN = (EN + e^° + m)gN, A4.1.20) (сг • V)gN = -(EN + е^° - m)fN. A4.1.21) В нерелятивистском случае ез/°г « Za ^C 1, откуда следует, что энер- энергия связи т — En имеет порядок Z2a2m, а оператор градиента — порядок Zam. В результате /дг ~ Zagjy- (Чтобы найти позитронные волновые функции, мы должны везде заменить En на —En- При этом
608 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях оказывается, что gjy ~ Zafjy-) Мы вернемся к нерелятивистскому слу- случаю в конце этого параграфа. Физические состояния можно классифицировать как четные или нечетные относительно пространственной инверсии: РФлг = *7лг*лг, A4.1.22) где j]n принимает значения =Ы. Вспоминая, что внутренняя четность электрона равна +1, находим закон, по которому преобразуется поле Дирака при инверсии пространства: Отсюда и из формул A4.1.4), A4.1.22) следует, что для волновых функций Дирака справедливо следующее условие четности: A4.1.23) или, что то же самое, /tv(x) = 777v/tv(-x), #tv(x) = -t)n9n(-x). A4.1.24) Отметим, что четность состояния определяется четностью /дг(х), а не ^дг(х). Если потенциал з/° вращательно инвариантен, решения волновых уравнений можно классифицировать по их полному угловому момен- моменту j и четности г]. Для заданного j компоненты / и д можно разложить по сферическим гармоникам с орбитальными угловыми моментами I = j + 1/2 и1 = j — 1/2. Однако если четность задана (rj = (—l)jTl//2), то из A4.1.24) видно, что I = j Т 1/2 в /, и I = j ± 1/2 в д. Склады- Складывая угловые моменты обычным образом, находим, что для состояния с полным угловым моментом j, ^-компонентой полного углового мо- момента \i и четностью (—l)jTl/2 "большая" двухкомпонентная волновая функция / имеет вид / С,я/,1/20«,-1/21/2)^(х) \ \CjTi/2,i/2(j /i;/i + l/2 - 1/2) YfTl/2 (x)y где С — обычные коэффициенты Клебша-Гордана, аУ- сфериче- сферические гармоники [2]. Кроме того, если задана произвольная волновая функция с определенными угловым моментом и четностью, то, ис- используя оператор а • х, можно построить другую волновую функцию с теми же самыми j и //, но противоположной четностью. В результате "малые" компоненты могут быть приведены к следующему виду: Ч A4.1.26)
§14-1- Уравнение Дирака 609 Удобно ввести орбитальный угловой момент I состояния как орбиталь- орбитальный угловой момент "больших" компонент /(х), l = JT 1/2, A4.1.27) так что четность всегда оказывается равной (—II. Подставляя выражения A4.1.25) и A4.1.26) в уравнения A4.1.20) и A4.1.21), получаем систему двух дифференциальных уравнений ^ + ^t! G + (я + е^о _ т^р = 0 A4.1.28) dr r ^ - ^^ F - (Я + е^° + m)G = 0, A4.1.29) dr r где A4.1.30) если четность равна rj = (—] Рассмотрим теперь простое кулоновское поле A4.1.2), для которо- которого ез/° = Zol/t. Результаты, получаемые из анализа уравнения Ди- Дирака, в этом случае [3] хорошо известны, поэтому мы просто кратко перечислим их здесь для полноты изложения. Легко видеть, что реше- решения вблизи начала координат ведут себя как rs-1, где s2 — к2 — Z2a2. (Отметим, что к2 ^ 1, так что показатель экспоненты s принимает вещественные значения при Za ^ 1.) Мы должны отбросить реше- решения с s < 0, поскольку они не удовлетворяют нормировочному усло- условию A4.1.18). Принимая теперь во внимание тот факт, что волновые функции не должны расходиться при г —У оо, находим собственные значения энергии: [/ 7 т Ч2!/2 1+( , ^=) , A4.1.31) \п - 7 - 1/2 + л/Г7 + 1/2J - Z2a2 / J ' V J <n-j-1/2 + y/(J + 1/2J - где п — "главное квантовое число", удовлетворяющее условию j + l/2^n. A4.1.32) Отметим, что уровни энергии A4.1.31) зависят только от п и j, но не зависят от четности или от I. Для каждого п и j существуют два решения, соответствующие двум знакам к или двум возможным чет- ностям, за тем исключением, что к > 0 и четность равна (—I)-7/2 при п = j + 1/2 (откуда следует, что I = j — 1/2). С учетом A4.1.32) получаем известное нерелятивистское ограничение I ^ п — 1. Для легких атомов с Za <C 1 из формулы A4.1.31) следует разло- разложение в ряд: Первые два члена, конечно же, совпадают с энергией покоя и энергией связи, выражения для которых нетрудно вывести с помощью обычно- 39 С.Вайнберг. Т. 1
610 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях го нерелятивистского уравнения Шредингера. Третий член, представ- представляющий собой первую релятивистскую поправку, имеет наинизший порядок среди всех членов, зависящих от j и п. Для п = 1 возможно только одно значение полного углового момента, j = 1/2, а поскольку в этом случае n = j + 1/2, то возможно только одно значение четно- четности, (—I)-7/2 = +1, соответствующее I = 0. По этой причине трудно наблюдать, как релятивистские поправки в формуле A4.1.33) влияют на состояния атома водорода с п = 1. Тем не менее, как мы увидим в § 14.3, в последнее время это стало возможно. С другой стороны, при п = 2 существуют два состояния с j = 1/2, отличающиеся друг от друга четностью Bsly/2 и 2р1у/2), и одно состояние с j = 3/2 и отри- отрицательной четностью Bр3/2)« Из A4.1.33) получаем разность энергий двух р-состояний атома водорода: ЕBрз/2) - ЕBр2/1) = ^ = 4,5283 х 10 эВ. A4.1.34) Такое релятивистское расщепление линии носит название тонкой структуры атомного состояния. С самого начала было известно, что теоретическое выражение A4.1.34) находится в хорошем согла- согласии с тонкой структурой, наблюдаемой на эксперименте. С другой стороны, из уравнения Дирака нельзя вывести выражение для разно- разности энергий состояний 2sly/2 и 2р1у/2. Поэтому, как мы увидим в § 14.3, нужно учитывать влияние других поправок. Прежде чем закончить этот параграф, мы рассмотрим в нереля- нерелятивистском пределе приближенный вид волновых функций и матрич- матричных элементов для произвольного электростатического потенциала я/0. (В случае кулоновского потенциала условием нерелятивистского предела является неравенство Za <C 1). Поскольку EN + т « 2т > "малые" компоненты волновой функции электрона приближенно вы- выражаются через большие компоненты с помощью формулы gN*(v V)/iv/2m. A4.1.35) Уравнение A4.1.21) тогда сводится просто к нерелятивистскому урав- уравнению Шредингера "? " е^°]fN ~ ^En ~ m)fN' A4.1.36) Поскольку в уравнении для /дг больше нет никаких членов, описываю- описывающих взаимодействие между спиновыми и орбитальными степенями свободы, мы можем записать полный набор решений этого уравнения в виде In = XniPn(x), где xn — двухкомпонентный постоянный спинор, а ^л^(х) — обычное однокомпонентное решение уравнения Шредингера. Однако мы часто
§14-1- Уравнение Дирака 611 работаем с состояниями, значение полного углового момента j кото- которых фиксировано. Для этих состояний /дг есть сумма таких членов (при ненулевом орбитальном угловом моменте). В нерелятивистском приближении четырехкомпонентная волно- волновая функция Дирака имеет вид 1 ГA + га ¦ V/2m)/j а из равенства A4.1.18) получается нормировочное условие 1 SNM - \ (v2)nm, A4.1.38) где По поводу связи матричных элементов во внешнем поле с матричны- матричными элементами для свободных частиц, полезно заметить, что волновая функция TV-го собственного состояния гамильтониана в импульсном представлении может быть записана следующим образом: A4-1.39) где и(р, а) — дираковский спинор свободной частицы: - р • о-/2т)х<т1 1 ' У v^2 [A + р • <т/2т)х<т\ Х+1/2 = (Jj , Х-1/2 = а /iv(p) ~~ фурье-преобразование двухкомпонентной волновой функ- функции Шредингера: /лг(р) = Bтг)/2 * * * В заключение, чтобы облегчить рассмотрение влияния различных возмущений, заметим, что матричные элементы шестнадцати незави- независимых матриц 4 х 4 в главном порядке даются формулами (UMuN) « UmIn) - 4^(у/м ' ™ ' V/лг), A4.1.40) 1{им1 ujy) « {jmjn) + ~j—зи/лг ' ^^ ' vjN), A4.1.41) (ггмТ^ж) ~ 2^ [(V/j^ ¦<T<T/jv) ~ (/^a<7 ¦ V/w)]' A4-1.42) 39*
612 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях (uMb\l]uN) « - [{Vfl - стаfN) + (fl** • V/tv)], A4.1.43) ТП « 2ieijk(flIakfN), A4.1.44) ) к, -i{fl<rfN), A4.1.45) {пм1Ы°им) « ± [(Vfl ¦ o-M - Ul° ¦ V/n)], A4.1.46) («M%«jv) ~ ^[(V/lf " <т/лг) + (/> ¦ V/jv)]. A4.1.47) § 14.2. Радиационные поправки во внешних полях Рассмотрим теперь радиационные поправки к результатам, по- полученным в предыдущем параграфе. Эти поправки обусловлены взаимодействием электронов с квантовым электромагнитным полем, а также с внешним полем, создаваемым тяжелыми заряженными частицами. Эти радиационные поправки можно вычислить, исполь- используя обычные фейнмановские диаграммы. Влияние внешнего поля сво- сводится к изменению пропагатора электронного поля (и к появлению в A4.1.1) зависящих от внешнего поля перенормировочных контрчле- контрчленов). Выражаясь более точно, возможность подстановки произволь- произвольного количества вершин, соответствующих первому члену взаимодей- взаимодействия A4.1.1), во внешнюю электронную линию любой диаграммы приводит к замене затравочного пропагатора —iS(x — у) на исправ- исправленный пропагатор - iS^(x, у) = -iS(x - у) + S(x — zi)eryfl?/tji(zi)S(zi — у) + + (-гK / dAzi I dAz2 Six - zAe^'srfAzASizx - z2) x x e-fv^v(z2)S(z2 - y) + ..., A4.2.1) где, как обычно, Л Г • Л I S(X ~У^= B^L J d P pi+m2 - ie ^ X У ' (Мы должны рассматривать S^ в виде функции х и у, а не х — у, поскольку внешнее поле нарушает трансляционную инвариантность.) Из теоремы, доказанной нами в §6.4, следует, что A4.2.1) можно за- записать в следующем виде: с, у) = (Фо,Т{ф(х),ф(у)}Фо)^- A4.2.2) Нижний индекс srf в правой части свидетельствует о том, что вакуум- вакуумное состояние Фо и электронное поле ф(х) рассматриваются в пред-
§14-2. Радиационные поправки во внешних полях 613 ставлении Гейзенберга, когда во внимание принимается только взаи- взаимодействие A4.1.1) с внешним полем. Подставляя в A4.2.2) полный набор промежуточных состояний Фдг, выражаем пропагатор через ди- раковские волновые функции ujy и vn, введенные в предыдущем па- параграфе: -iS*,(x, у) = в(х° - у0) ^ uN(x)uN(y) - в(у° - х°) ?) vM(x)vM(y). N М A4.2.3) Кроме того, пропагатор A4.2.2) можно получить как решение неод- неоднородного уравнения Дирака: ],у) =64(х- у), A4.2.4) которое следует из уравнений поля A4.1.3) и антикоммутационных соотношений A4.1.7). Его также формально можно вывести исходя из ряда теории возмущений A4.2.1). Еще одним следствием равен- равенства A4.2.3) является тот факт, что пропагатор удовлетворяет гра- граничным условиям: его фурье-разложение содержит только "члены с положительной частотой" (пропорциональные ехр[—iE(x° — у0)], где Е > 0) при х° — у0 —У оо, и только "члены с отрицательной частотой" (пропорциональные ехр[+г.Е(ж° — у0)], где Е > 0) при х° — у0 —> —оо. Неоднородное уравнение Дирака с такими граничными условиями можно использовать для численного нахождения этого пропагато- ра [4] даже в тех случаях, когда внешнее поле очень сильное и нельзя применять теорию возмущений. Если пропагатор S^(x,y) известен, то амплитуды для рассеяния во внешнем поле можно вычислить, ис- используя обычные фейнмановские диаграммы. Однако при этом вме- вместо S(x — у) нужно везде подставить S^(x,y). Кроме того, там, где это необходимо, нужно вставить зависящие от &4 перенормировочные контрчлены. Рассмотрим теперь вопрос о том, как можно использовать тео- теорию возмущений для вычисления сдвигов энергии связанных состоя- состояний, если в качестве пропагатора выступает S^(x,y), а не S(x — у). Полный электронный пропагатор S'^(x,y), учитывающий взаимодей- взаимодействие электрона как с квантованным электромагнитным полем, так и с внешним полем, определяется формулой -iS^ix, у) = (По, Т{Щх), Щу)}п0)*. A4.2.5) Здесь Ф(ж) — электронное поле в представлении Гейзенберга, учиты- учитывающем все взаимодействия, а По — вакуумное собственное состоя- состояние полного гамильтониана. Если внешний потенциал не зависит от времени, то существует полный ортонормированный набор Пдг соб- собственных состояний полного гамильтониана с соответствующими соб- собственными значениями энергии E'N. Вставляя сумму по состояниям
614 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях из этого -iS'^x где набора в ¦ ,у) =в(х A4.2.5), получаем 0 _ yO)e-iE-N(zO-y°) - 9(у° - x°)e-iE'»> (fio,*(x,i)fijv) = (njv,*(x,i)n0) = J2Un N (v°-x°) e~iE'Nt e+iE'Nt (x)[/ Ev TV UN(y N TV 0 (y)- (x)F лг(у), A4.2 A4.2 A4.2 .6) •7) .8) (Сумма включает интеграл по континуальному множеству состояний и сумму по всем дискретным связанным состояниям. Как и раньше, функции Un и Удг не равны тождественно нулю, только если состоя- состояние Qn обладает зарядом —е или +е соответственно.) Пропагатор можно также представить в виде функции энергии, а не времени: 5^(х,у;Е) = J dx°eiE^°-^S^(x,y). A4.2.9) ОО (Инвариантность относительно временных трансляций приводит к то- тому, что S'^{x,y) является функцией х° — у0, а не отдельно х° и у0.) Из A4.2.6) следует, что В частности, функция 5^(х,у;.Е) имеет полюсы в точках, в кото- которых Е совпадает с энергией любого электронного связанного состоя- состояния или противоположна по знаку энергии любого позитронного свя- связанного состояния. (Конечно же, позитроны не образуют связанных состояний в кулоновском поле обычных положительно заряженных ядер.) Рассмотрим теперь в ведущем порядке радиационные поправки к полному пропагатору. Из правил Феймана следует, что полный про- пропагатор в этом случае дается суммой S'^ = S^ + SS^, где 6S*(x,y) = I d4z I d4w S^(x,z)Z*a(z,w)S^(w,y). A4.2.11) Здесь через гЕ^ обозначена сумма всех однопетлевых диаграмм с од- одной входящей и одной выходящей электронной линией (пропагато- ры конечных электронов не учитываются), при вычислении которой вместо S(x — у) для внутренних электронных линий использовалась функция S?2/(xJy) с прибавленными к ней перенормировочными кон- контрчленами второго порядка. Переходя от интегрирования по времени
§14-2. Радиационные поправки во внешних полях 615 к интегрированию по энергии, получаем 6Sa(x,r,E) = J d3z J d3wSa(x,z;E)^(z,w;E)Se/(w,y;E), A4.2.12) где J°iE^ °^ A4.2.13) Влияние этих радиационных поправок сводится к изменению вол- волновых функций (Un = un + Sun и Vn = vn + Svn) и энергии связан- связанных состояний (E'N = En + 5En). В результате полный пропагатор дается формулой ¦Е TV ^ EN + Е N E uN(x)uN(y)8E N (Мы опускаем слагаемые ie, поскольку Е теперь не относится к континуальному множеству состояний рассеяния.) Мы видим, что сдвиг 5En энергии связанного электрона дается коэффициентом при -^дг(хI2дг(у)/(Едг - ЕJ в выражении для полного пропагатора. Что- Чтобы вычислить этот коэффициент, заметим, что формулу A4.2.3) мож- можно переписать следующим образом: N N \ N N Подставляя полученное выражение в A4.2.12), получаем NMEN-E){EM-E) х / d3z / d3wuN(z)?<*S2/(z,w,E)uM(w) + ..., A4.2.16) где через многоточие обозначены дополнительные члены, обладаю- обладающие хотя бы одним полюсом при отрицательных энергиях. Сравнивая коэффициенты при (En — Е)~2 в A4.2.16) и A4.2.14), находим SEN = - Id3xId3yuN(^)^(^y;EN)uN(y). A4.2.17) Функции un — это решения однородного уравнения Дирака, удовле- удовлетворяющие нормировочному условию A4.1.8). Поэтому все это очень
616 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях похоже на обычную теорию возмущений первого порядка, но с заме- заменой возмущения в гамильтониане на — Е*. Вообще говоря, сдвиг 5En принимает комплексные значения. Этот факт есть простое следствие нестабильности атомных уровней энергии относительно радиационного распада (падения электрона на нижние уровни). Мы видели в гл. 3, что нестабильному состоянию с энергией Е и вероятностью распада Г в различных амплитудах соответствует полюс при комплексном значении энергии Е — гГ/2. Мнимая часть выражения A4.2.17) равна поэтому —Г/2, в то время как его вещественная часть определяет сдвиг энергии. Рис. 14.1. Фейнмановские диаграммы низшего порядка для собственной энергии электрона Е^(ж,?/) при наличии внешнего поля. Здесь двой- двойные прямые линии соответствуют электронным пропагаторам S^, учи- учитывающим эффекты, связанные с внешним полем. Одинарные прямые линии соответствуют входящим и выходящим электронам, волновые ли- линии — виртуальным фотонам. Крестиками обозначены перенормировочные контрчлены Фейнмановские диаграммы для Е* показаны на рис. 14.1. (Заметь- (Заметьте, что возникли новые диаграммы с фотонным отростком. Они воз- возможны, поскольку внешнее поле нарушает лоренц-инвариантность, а также инвариантность относительно зарядового сопряжения. По- Последние две запрещают существование таких диаграмм в случае обыч- обычных правил Фейнмана.) Применение к этим диаграммам фейнма- новских правил в координатном представлении приводит к формуле х - y)]Jd4z [-iD(x - z))T i(Z2 - 1)Gм<9д + т)8\х - у) - у)
§14-2. Радиационные поправки во внешних полях 617 + i(Z3 - 1)[е1ц\8\х - у) Jd4z [-iD(x - z)]dv (dv я/»(z) - d^v(z)), A4.2.18) где перенормировочные константы {Z% — 1), (Z3 — 1) и 5т вычисляют- вычисляются во втором порядке по е. (Знак "—", который мы видим во втором слагаемом, ставится всегда, когда мы имеем дело с замнутыми элек- электронными петлями.) В случае сильных внешних полей, для которых Za ~ 1, электрон- электронный пропагатор S^ в координатном представлении и интегралы в A4.2.17) и A4.2.18) аналитически вычислить нельзя. Можно восполь- воспользоваться численными методами [4]. Однако в случае слабых полей мы можем подставить первые несколько членов разложения A4.2.1) в A4.2.18) и найти эти интегралы в замкнутом виде. С этой целью бо- более удобно работать в импульсном представлении, определив функции S*{x,y) = Bтг)-4 IdAp'd4peip'-xe-ip'-yS^(p',p), A4.2.19) Ъ;*(х,у) = BтгГ4 I d4p'dV^e-^EMP», A4.2.20) uN(x) = BтгГ3/2 Id3peip-xuN(p), A4.2.21) ^"(ж) = fdiqeiq-xsi/ll(q). A4.2.22) (Мы здесь не совсем последовательны, поскольку используем один и тот же символ для обозначения и функции, и ее фурье-преобразова- ния. Однако на то, с каким представлением мы имеем дело в том или ином случае, указывает аргумент в скобках.) Тогда A4.2.1) и A4.2.18) сводятся к -ip + m . -ip+m -Ту , , -ip + m 2 , 2 -ге , -?/(р -р) 2 , 2 2 + т2 ге pl2jrm2le \r ^^p2jrm2l A4.2.23) -(Z2 - 1)(гр + то) + Z25m]54(p' - р) - ге(^2 - \)^\р' - р) - -р'J^(р' -р) - (р-Я(р-р') -^(р; -р)]- A4.2.24)
618 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях Поскольку внешнее поле не зависит от времени, х° и у0 могут вхо- входить в S?2/(xJy) и Е^ только в виде разности х° —у0. Отсюда сле- следует, что SS2/(pf,p), Е^(р',р) и ?^^(р' — р) должны быть пропорцио- пропорциональны S (р' — р°): f -р) = S(p'° -р°)^(р' -р), A4.2.25) ) = <Кр'° -P°)&*(p',p;p°), A4.2.26) EJ,(p',p) = S(p'° -ро)?^(р',р;р0). A4.2.27) Сдвиг энергии тогда определяется из выражений A4.2.17) и A4.2.13): SEN = - J d3p' J d3puN(p',p;EN)uN(p), A4.2.28) где Е^(р/,р;Ету) задается формулами A4.2.23), A4.2.24) и A4.2.27). Полученное выражение A4.2.28) является очень важным. В следую- следующем параграфе мы воспользуемся им для вычисления сдвигов энергии в слабых внешних полях. § 14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах Вычислим теперь радиационные поправки к энергии нереляти- нерелятивистского электрона в произвольном электростатическом поле (напри- (например, электрона в кулоновском поле легкого ядра с Za < 1). В этом пределе довольно ествественно рассматривать кулоновское поле как слабое возмущение. Однако мы увидим, что это приводит к инфра- инфракрасным расходимостям, непосредственно связанным с расходимостя- ми, с которыми мы встречались в § 11.3. Инфракрасные расходимо- расходимости на практике оказываются мнимыми, так как 4-импульсы р, En и р', En не удовлетворяют условию на массовой оболочке для элек- электрона. Тем не менее к ним надо подходить с некоторой осторож- осторожностью. Обычно эта проблема решается путем разбиения области инте- интегрирования по энергиям виртуальных фотонов на две части, низ- низкоэнергетическую и высокоэнергетическую. В первой подобласти мы можем считать электрон нерелятивистским. Правда, при этом необ- необходимо учитывать поправки во всех порядках теории возмущений. Во второй подобласти мы должны принять во внимание релятивист- релятивистские эффекты, но зато только в ведущем порядке по внешнему полю. В этом параграфе мы поступим по-другому, а именно введем фик- фиктивную массу фотона /i, величину которой выберем таким образом, чтобы она была намного больше характерной кинетической энергии электрона, и вместе с тем намного меньше характерного электронно- электронного импульса. В случае кулоновского поля эти ограничения сводятся
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 619 к следующим о (ZaJme < /1 < Zame. A4.3.1) Пропагатор фотона, входящий в первые два слагаемые в формуле A4.2.24), запишется в виде k2 -it = L2+//2 -ie\ + Life2 — ге ~ F+//2-zeJ' A4.3.2) Сдвиг энергии равен сумме двух членов, "высокоэнергетического" и "низкоэнергетического". Высокоэнергетический член вычисляется с помощью подстановки первого члена в выражении для фотонно- фотонного пропагатора A4.3.2) в первые три слагаемые в формуле A4.2.24). Полученный результат нужно сложить с последними двумя слагаемы- слагаемыми (отвечающими поляризации вакуума) в A4.2.24), которые не мо- могут расходиться в инфракрасной области. Низкоэнергетический член вычисляется с помощью подстановки второго члена в выражении A4.3.2) в первые три слагаемые формулы A4.2.24). Одним из досто- достоинств такого метода является возможность использования результа- результатов релятивистских вычислений, проделанных нами в § 11.3 и § 11.4. При этом нет надобности отыскивать довольно сложную связь меж- между массой фотона и инфракрасным порогом обрезания интеграла. В конце мы, конечно, должны проверить, что члены, зависящие от массы фотона /i, при сложении высокоэнергетического и низкоэнер- низкоэнергетического членов сокращаются, т.е. что полный сдвиг энергии от \± не зависит. А. Высокоэнергетический член В силу того что величина \± намного больше энергии связи электро- электрона в атоме, мы можем принимать во внимание только члены, имеющие наинизший порядок по внешнему полю. Однопетлевая радиационная поправка к энергии атома, помещенного в произвольный, независя- независящий от времени внешний векторный потенциал stf^ (х), дается форму- формулами A4.2.24) и A4.2.23). Слагаемые нулевого порядка по внешнему полю сокращаются тривиальным образом: член с 5т взаимно уничто- уничтожается с первым членом (в котором &4 — 0), член с Z% — 1 взаимно уничтожается с третьим членом (в котором srf = 0), а члены с Z^ — 1 зануляются, поскольку и{р) удовлетворяет уравнению Дирака. Сла- Слагаемое в Т,д/(р' ,р), имеющее первый порядок по ^м, можно привести к виду E(') i^(' )ВД,р), A4.3.3) где d4 к с2 + /I2 — i -i(p-k)+me 1 „Г -i(p-k)+me I Г -i(p-k)+me I \ 7 l(p - кJ + m2 - ie\ (p'- кJ + m2 - ie\ 7 l(p - кJ + m2 - ie
620 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях л4/ т ( Г ~^+ ™е 1 д Г -tf - гр' + гр + те 1 „ ] Сравнивая первые два слагаемых с A1.3.1) и A1.3.8), а вторые два слагаемых — с A1.3.9), A1.2.3) и A1.2.15), мы видим, что Т^(р',р) яв- является полной однопетлевой вершинной функцией, т.е. в ней учтены все эффекты поляризации вакуума и все контрчлены. Матричные эле- элементы последних, удовлетворяющие условию на массовой оболочке, мы уже вычислили в §11.3. Используя A4.2.26) и A4.2.25), находим соответствующий сдвиг энергии A4.2.28): [SEN]highenergy = ie Jd3p' Jd3p(uN(p')T^(p',EN,p,EN) x xuN(p))^(p' -p). A4.3.5) (Заметьте, что эту формулу можно получить простой заменой 7м на Г^ в члене, описывающем взаимодействие электрона с внешним по- полем.) Как мы видели в § 14.1, в силу неравенства Za <C 1 в A4.3.5) вместо дираковской волновой функции un можно использовать ее приближенный вид, Здесь /дг — нерелятивистская двухкомпонентная волновая функция электрона во внешнем кулоновском поле, а и(р,а) — четырехком- понентное нормированное решение уравнения Дирака в импульсном представлении, [i7/+me]«(p,<5) = 0. A4.3.7) Через а обозначена z-компонента спина. Поскольку функция ujy(p) приближенно удовлетворяет уравнению Дирака для свободной ча- частицы, общий вид матричных элементов Г^ определяется форму- формулой A0.6.15): \, A4.3.8) где q = p' — р. Волновые функции ujy(p) убывают очень быстро при выполнении условия |р| ^> Zame. Поэтому нам нужно знать выра- выражения для Fi(q2) и F2(q2) только в пределе \q2\ < me. Из A1.3.31),
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 621 A0.6.18) и A1.3.16) следует, что при \q2\ <С те -- A4-31(Ч Рассмотрим сначала член в A4.3.8), содержащий F\. Вклад этого члена в выражение для сдвига энергии, безусловно, самый большой. При вычислении его возникает ряд чрезвычайно интересных про- проблем. В случае электростатического поля с si — 0 из формул A4.3.5), A4.3.8) и A4.3.9) следует, что Hi) + И d3p' p' I d3puw(p')(-ie^°(p' - р))т°(р' - pJuN(p). A4.3.11) Чтобы упростить это выражение, мы можем воспользоваться веду- ведущим членом в нерелятивистском матричном элементе A4.1.41): гг_, е2 Г. (и2 \ 2 31 [SEN]Fl = - 2 2 In -^ +7 + 7 х L J г 24тг2ш| L \ш|/ 5 4J х Jd3p' 1<?р/Ъ(р')е?/0(р' - р)[р' - Р]2Ыр), A4.3.12) или, переписывая эту формулу в координатном представлении, A4.3.13) В частности, для кулоновского потенциала A4.1.2) мы имеем равен- равенство eVV°(x) = -Ze2?3(x). Обозначим буквой 7V совокупность квантовых чисел электрона в ато- атоме (главное квантовое число п, а также квантовые числа углового момента j, m, I). Из A1.2.41) следует, что [fnjmi@)]a = Сдвиг энергии A4.3.11) тогда дается формулой 2Z4a5me Г ///2 \ 2 3 (И) + 5 + i Г ///2 Г (И (Тот факт, что SE не зависит от z-компоненты полного углового момента т, является следствием инвариантности относительно вра- вращений.) Наличие слагаемого 2/5 в квадратных скобках в форму- формулах A4.3.12) и A4.3.13) обусловлено поляризацией вакуума. Это ела-
622 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях гаемое в точности соответствует сдвигу энергии, вычисленному нами довольно эвристическим образом в § 11.2. Прежде чем переходить к вычислению магнитного и низкоэнер- низкоэнергетического вкладов в выражение для сдвига энергии, стоит отме- отметить, что результат, который мы уже получили, дает хорошую оценку величины лэмбовского сдвига. Мы можем ожидать, что низкоэнер- низкоэнергетические члены содержат слагаемое, пропорциональное 1п([х/В). При этом коэффицент пропорциональности должен оказаться таким, чтобы зависимость от \± исчезла (в силу сокращения с таким же членом в A4.3.12)). Постоянная В имеет размерность энергии. Она необходима, так как аргумент логарифма должен быть безразмер- безразмерной величиной. Вспомним, что именно энергия связи электрона в ато- атоме определяет порог инфракрасного обрезания. Исходя из этого мы можем предположить, что В есть просто характерная энергия свя- связи (В « (Za) те). В результате полный сдвиг энергии состояния N с главным квантовым числом п и орбитальным угловым моментом I дается формулой 8EN = ~2Z^Te [HZ4a4)Slfi + 0A)]. A4.3.15) Для состояния 2s атома водорода вклад логарифмического члена ра- равен SE2s « -%^- 1п(а4) = 5,5 х 1(П6 эВ = 1300 Мгц х 2тгЙ. 12тг Как мы увидим позже, слагаемые в A4.3.15), обозначенные нами че- через A)", уменьшают величину полного сдвига энергии приблизи- приблизительно на 25%. Рассмотрим теперь член, содержащий F2. Мы видели в § 10.6, что его вклад в матричный элемент Г^, можно интерпретировать как ра- радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Используя A4.3.10), A4.3.8) и A4.3.6), находим, что рассматриваемый член при- приводит к следующему сдвигу энергии: [6EN]Fa = -3^7 / j хе?/„(р'-р)(р'-р)„, A4.3.16) или, переписывая эту формулу в координатном представлении, [SEN]F2 = ^—Jd3x (г^(х)[7",7>^(х))е^(х). A4.3.17) Здесь .^„(х) = дцЖ(х) - 3„^(х). A4.3.18)
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 623 В случае чисто электростатического поля с si = 0 мы получаем [SEN]F2 = ^—fdzx (п*(х)[7,7°]«*(х)) • V[e^°(x)]. A4.3.19) В нерелятивистском пределе Za <С 1 мы можем использовать прибли- приближенную формулу A4.1.43), которая в нашем случае переписывается следующим образом: crcr . fN)] = <r)f* - ifU* x V/jv)]. A4.3.20) Используя последнюю формулу с целью преобразования A4.3.8) и ин- интегрируя по частям, получаем [SEN]F2 = ^-^ + 2г/^(х)сг • (V(e^/°(x)) х /лг(х))]. A4.3.21) Суммируя A4.3.12) и A4.3.21), находим полный высокоэнергетиче- высокоэнергетический вклад в выражение для сдвига энергии электрона, помещенного в произвольный электростатический потенциал &/°: | high energy — 2 16тГ2ГП2 х V/лКх)). A4.3.22) Низкоэнергетический член Низкоэнергетический вклад в выражение для сдвига энергии опре- определяется тремя первыми слагаемыми из формулы A4.2.24), в кото- которой вместо обычного пропагатора фотона используется разность двух пропагаторов: ТГ— -+ ТГ— ~ пГ^-2 -• A4.3.23) k2 —it к2 — it к2 + fi2 — it Такая замена приводит к инфракрасному обрезанию интеграла по че- тырехимпульсу фотона. Порог обрезания по порядку величины ра- равен fi. Однако этого нельзя увидеть, если не принять во внимание перенормировку массы. По этой причине мы на данный момент воз- воздержимся от каких-либо нерелятивистских приближений (до той по- поры, пока мы не вычислим перенормированную массу). Кроме того, мы сейчас рассматриваем импульсы фотона, по величине меньшие
624 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях или равные характерной энергии связи электрона в атоме. Следова- Следовательно, мы должны принять во внимание электростатические силы во всех порядках теории возмущений. Формула A4.2.24) записана в импульсном представлении. Нам же будет удобно использовать ее координатное представление A4.2.18). Низкоэнергетический вклад в собственную энергию электрона дается выражением [2jд{Х, у)\\ow energy — = ie2YS^{x,y)-fpD{x -у]ц) + 5me(iiM4(x - у) - - (Z2(/i) - 1)Ы<ЭМ + ie^} + те)8\х - у), A4.3.24) где D(x — у; ц) — модифицированный пропагатор фотона: A4.3.25) Контрчлены Z^i^n) — 1 и 5m(fi) вычисляются с использованием имен- именно этого модифицированного пропагатора. Переходя от времени к энергии с помощью фурье-преобразования, находим вклад в функ- функцию A4.2.13), обусловленный фотонами с низкими энергиями: х x,y;E-k0O, х Г_^ 1 1 гк-(х-у) _ Lk2-ie k2+^-ie\ - (Z2(fi) - 1)G • V + h°E + ieY< + me)?3(x - у) + 3x-y). A4.3.26) Низкоэнергетический вклад в выражение для сдвига энергии дается следующей формулой: e mergy = ~ d3X (i32/^7v(x)[E*(x,y;E7v)]iower T jd4k J d3x J d3yuN(x)YSa(x, y; EN - k°)jpuN(y) x v [^ 1 1 гк-(х-у) _ 72 * 72i 2 * L гь /<c ль "T~ LJL /<c J - Sme(/i) / <i3xi27v(x)^7v(x). A4.3.27) Отметим, что члены, пропорциональные ^(/i) — 1, пропали, посколь- поскольку дираковская волновая функция г^дт(х) удовлетворяет уравнению Дирака A4.1.10). Пропагатор электрона в кулоновском поле дается
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 625 выражением A4.2.15): м м Первое суммирование ведется по всем одноэлектронным, а второе — по всем однопозитронным состояниям. Интегралы по к0 легче всего вычислить, замыкая контур интегрирования с помощью полуокруж- полуокружности большого радиуса, расположенной в нижней полуплоскости в случае первого слагаемого и в верхней полуплоскости — в случае второго слагаемого: Ем Т EN ± k° *)• EmTEn Аналогично находится интеграл с \i — 0. Выражение для сдвига энер- энергии A4.3.27) приводится тогда к следующему виду: [SEjy]\ow energy — ~ где ¦ MN\^J — EN + л/к2 + //2 - ie) -5me(fjL) I d3xuN(x.)uN(x.), A4.3.28) A4.3.29) A4.3.30) (Вклад электронных и позитронных состояний в "сумму" по М, входя- входящую в формулу A4.3.28), таков: первое слагаемое определяется толь- только электронными состояниями, второе — только позитронными.) Бо- Более прямой вывод формулы A4.3.28) можно дать в рамках старой теории возмущений. Знаменатели Ем — En + cj и Ем + En + uj по- получаются следующим образом: оба выражения равны разности энер- энергий En начального и промежуточного состояний, причем последнее 40 С.Вайнберг. Т. 1
626 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях состоит из лептона (в первом случае электрона, во втором — позитро- позитрона) с энергией Ем и фотона с энергией ои. В обоих случаях начальной и конечной частицей является электрон. (См. рис. 14.2). Рис. 14.2. Устаревший способ изображения диаграмм теории возмуще- возмущений, описывающих низкоэнергетическую часть сдвига энергии электрона. Сплошные линии соответствуют электронам, волнистые — фотонам. Пунк- Пунктирная линия пересекает линии частиц, соответствующих промежуточным состояниям, описываемым двумя первыми членами в A4.3.28) Прежде чем делать какие-либо приближения к A4.3.28), удобно выразить временные компоненты матричных элементов Г^-^у и TPMN через соответствующие пространственные компоненты. Для этого воспользуемся соотношениями1), получаемыми из закона сохранения электрического тока: W) = (en ~ EM)T°MN(k), A4.3.31) ) = (EN - EM)f°MN(k). A4.3.32) Более того, используя соотношение полноты A4.1.8), нетрудно пока- показать, что |f°MiV(k)|2] = A4.3.33) М Чтобы вывести A4.3.31), заметим, что = (En — ?^м)ГМЛг(к). Формула A4.3.32) выводится аналогичным образом.
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 627 ^ - EN) - \f°MN(k)\2(EM + EN)} = м = ^[-I%v(k)k • TMN(k) - Г^(к)к м = -гк • f d3xuN(x)>yuN(x) = 0. A4.3.34) Последний шаг следует из условия четности A4.1.23). В результате выражение A4.3.28) можно переписать следующим образом: [oE]y\\o = [ ,з, 2BтгK>/ ow energy [ \k\(EM + EN + \k\) M (|fMjv(k)|i8-|k-fMjv(k)|2/(k3+/x3)) м + - аи - Sme (и) d3xuN(x)uN(x). A4.3.35) В предпоследнем слагаемом мы использовали элементарный интеграл Все равенства, с которыми мы имели дело до сих пор, были точны- точными. Теперь мы должны сделать несколько приближений. Во-первых, рассмотрим перенормировку массы. В §11.4 мы вычислили 5me(fi) с точностью до членов первого порядка по а: 22 т2ех2 +//2A - х)\ (л А о о^ч р>) A4.3.36) О Хотя в § 11.4 мы рассматривали \± как массу регулятора (причем счи- считалось, что \i ^> me), мы точно так же можем использовать A4.3.36) в интересном для нас случае \i ^C те. В этом пределе выражение A4.3.36) сводится к 40*
628 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях Вспомним теперь, что г^дг(х) при Za <С 1 определяется формулой A4.1.37): ^p-^V/2 + ^X!l A4.3.38) V J Многоточиями здесь обозначены члены высших порядков по Za, v — нерелятивистский оператор скорости: —iV/me, /лКх) — двухкомпо- нентное спинорное решение нерелятивистского уравнения Шрединге- ра, нормированное условием A4.1.38): --- A4.3.39) Отсюда мы получаем коээфициент при 6те(/л) в A4.3.35): ... A4.3.40) Непосредственно видно, что главный член в —5те(/и) f cPxunUn вза- взаимно уничтожается со слагаемым a\ij2 в A4.3.35). На самом деле, мы могли бы предсказать заранее такое уничтожение, поскольку член afi/2 в A4.3.35) не зануляется в пределе Za —у 0, а из определения пе- перенормированной массы электрона те (/i) следует, что никакого сдви- сдвига энергии в этом пределе быть не может. По той же самой причине, можно предсказать заранее, что член порядка а/а2 /те в выражении для 8те{ц) (этот член больше, чем член порядка a(ZaL:mej и по- поэтому им нельзя просто пренебречь) взаимно уничтожается со вто- вторым и третьим слагаемыми в A4.3.35) (оба слагаемых имеют тот же порядокJ). С другой стороны, если мы перемножим член порядка ац2 /те в разложении для 8те и второе слагаемое в матричном эле- элементе A4.3.40), то произведение будет представлять собой величину ) Уничтожение происходит следующим образом. Мы предполагаем, что второй и третий члены в A4.3.35) достаточно малы, и поэтому при их вычислении можно использовать нерелятивистское приближение /3un (х) = un (x), где функция un (x) удовлетворяет уравнению Дирака. С другой стороны, хотя кулоновским взаимодействием в позитронных вол- волновых функциях г>м(х) можно пренебречь, релятивистские позитроны вно- вносят важный вклад в сумму по М в третьем слагаемом. Поэтому мы вос- воспользуемся следующим приближением: г>р;СГ(х) и Bтг)~3/2г>(р, а)егр'х, где г>(р,сг) — позитронный спинор, введенный в §5.5 и удовлетворяющий нор- нормировочному условию v(p, a')v(p, a) = Sa/ а. В результате суммы по М во втором и третьем членах в A4.3.35) даются приближенными формулами \ W Г^(к)Г^(к) + (г о ,•)] « 5l3 \ * М м В главном порядке по fi/me второй и третий члены в A4.3.35) равны тогда
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 629 порядка (ZaJafi2/me <С a(ZaL:mej и поэтому им можно пренебречь. С точностью до членов порядка a(ZaL:mej все, что остается от пере- перенормировки массы, — это произведение ведущего члена в разложении 8те(ц) и члена порядка (ZaJ в / (P ( (Это и есть то самое влияние перенормировки массы на кинетическую энергию электрона, упомянутое в § 1.3.) Оказывается, что если бы мы пренебрегли разностью уровней энергии, то первый член в фор- формуле A4.3.35) в точности совпал бы с последним выражением, взя- взятым с обратным знаком. Чтобы увидеть это, заметим, что эффектив- эффективный порог обрезания интеграла в этом члене равен |к| ~ \± <С Zame, так что мы можем вычислить матричный элемент TmnO*) в пределе к —У 0. В низшем порядке по Za из формулы A4.1.42) следует равен- равенство MN\y) — \У) MN• ^14.o.41J Воспользовавшись полнотой набора решений /дг нерелятивистского уравнения Шредингера, мы получаем ?Т*„(к)Г*м„ и (t,VW. A4.3.42) м Поэтому, с той же точностью, (|Гмлг(к)|2-|к-ГМ7у(к)|2/к2) (|rMJv(k)|2 - |к • rMJv(k)|2/(k2 + ii2 2BтгK,/ ^L к2 м соответственно l_ Ьз, Г2 C-к2/(к2+/х2)) 4meB wld'k\l- 2BтгKУ VF к2 + //2 У V 2л/к2 + mj ) тгте' (Уравнение A4.3.32) исключает возможность того, что релятивистская поправка к последнему выражению не окажется подавленной множите- множителем k /me, возникающим в этом выражении при к <С тпе-) Эти два члена взаимно уничтожаются со слагаемым +3а//2/4тгте в —6me(/i) x х /с/3жгблг(х)гблг(х). Отметим, наконец, что релятивистские поправки к приведенным выше оценочным выражениям для сумм по позитронным со- состояниям должны содержать дополнительные множители v /с ~ (Za) . В результате вклад этих релятивистских поправок оказывается величиной порядка a(ZaJfi2/гпе ^С a(ZaLme. Отсюда следует, что нерелятивистские приближения, использованные здесь, справедливы.
630 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях ~ е2 / 2ч [dsk Г_2_ _ A~к2/3(к2+//2)) ~ 2BтгK ^V 'NN J |_3к2 к2+//2 о _ е А* / 2\ Таким образом, после перенормировки массы от правой части A4.3.35) у нас остается следующее выражение: 2 р [SEN]\OW energy = 9/9 ч3 / d3k2.(EM — EN) х A^J J M (|ГмАг(к)|2-|к-ГМАг(к)|2/к2) _ (|rMiv(k)|2 - |к • rMiv(k)|2/(k2 + fi2))! 3 (к2 + /12)(ЕМ - EN + Vk + V le) J Вновь используя A4.3.41), получаем ' energy — 9/9 ч3 / i^m -i^/v/|vm/vI X М /Л[; 1-к2/3(к2+//2 —1. A4.3.44) (к2 + //2)(?7М - EN Характерные значения импульса электрона обычно намного больше расстояния между атомными уровнями энергии. Тем не менее это неверно для величины |к| в подынтегральном выражении, поскольку интеграл в противном случае содержал бы инфракрасную расходи- расходимость (так как разностью Ем — En в знаменателях можно было бы тогда пренебречь). Интеграл в A4.3.44) в пределе \i ^> \Ем — Ejy\ ~ ~ (ZaJme вычисляется с помощью разбиения области интегрирова- интегрирования по |к| на две части. Для одной области справедливо неравенство 0 < |к| < Л, для второй — неравенство Л < оо, причем Л выбирается таким образом, чтобы \Ем — Ejy\ <С Л ^С ц. В результате мы получаем (X) Гk2dk [ 3k2(EM-EN+k)-ie) 1 - k2/3(k2 + fi2 Мнимое слагаемое отвечает возможности перехода атома из состоя- состояния N в состояние М с меньшей энергией. Вероятность такого перехо- перехода определяется мнимой частью сдвига энергии. Нас больше интере- интересует вещественная часть, и поэтому в дальнейшем мы будем опускать
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 631 мнимый член. Формула A4.3.44) сводится к е \~^ /т-1 т-!\1 - о Г, / Li \ 51 = ^J2(EM-EN)WMN\2[\n{2lEJ_EN)+-\. A4.3.45) - energy M С. Полное выражение для сдвига энергии Нам нужно связать друг с другом сумму в A4.3.45) и матрич- матричный элемент в высокоэнергетическом члене A4.3.22). Задавшись этой целью, найдем сначала значение, которое принимала бы сумма в A4.3.45) в случае, если бы мы могли пренебречь логарифмом. За- Замечая, что (Ем — En)vnm = [v,i?]jVMj получаем ^_^(Ем - ^tv)|vmtv| = 2 м м Единственным членом в нерелятивистском гамильтониане Н, неком- мутирующим с оператором импульса р, является потенциальная энер- энергия —е^°(х). Следовательно, ?)(ЯМ " ^)|vmtv|2 = -2^2 (W0(x))^. A4.3.46) м Ше Из A4.3.45) и A4.3.22) видно, что слагаемое в высокоэнергетическом члене, пропорциональное ln/i, взаимно уничтожается с таким же сла- слагаемым в низкоэнергетическом члене: 5En = [<5^/v]high energy + [<^7v]low energy = M 2 °- ¦ V(e^(x)) x p)NN. A4.3.47) Все вышесказанное справедливо для произвольного электростатиче- электростатического поля ^°(х). Нас же интересует частный случай чисто кулонов- ского поля, для которого справедливо равенство ^/°(х) = Ze/|x|. A4.3.48) В этом случае формула A4.3.46) приобретает вид Y,(EM ~ EN)\vMN\2 = U (<т3(х)W = U (/Л(О)ЫО)). м е е A4.3.49) Правая часть последней формулы не равна нулю только, когда 1 = 0. Матричный элемент в A4.3.47) принимает следующее значение: (а • V(e^/(x)) х p^tv = ~Ze(^ * ' L) • A4.3.50) На этот раз правая часть не равна нулю только при I ф 0. Поэтому случаи I = 0 и I ф 0 имеет смысл рассматривать отдельно.
632 Гл. Ц. Связанные состояния во внешних полях i. / = 0. Здесь нам будет удобно вычислить среднюю энергию возбужде- возбуждений 2^ \vmn\\Em - EN) In \EN - EM| = In AEN ^ \v\2(EM - EN) = M M A4.3.51) Состояния s атома водорода определяются следующим набором кван- квантовых чисел N: главным квантовым числом п, ^-компонентой спина т. Поскольку [/nm@)]o- = 2(^агпе/nK/2Sa^m/\/~\ъ\ справедлива формула A4.3.52) Подставляя A4.3.51) и A4.3.52) в A4.3.47), находим сдвиг энергии s-состояний: 191 Г ii. / = 0. В этом случае сумма A4.3.49) равна нулю. Поэтому формула A4.3.51) перестает быть справедливой. Вместо нее принято использо- использовать следующее выражение для средней энергии возбуждений v^i 12/77 п u ir, 77i 2(ZaLme ( 2AEN 2^ IvmtvI2(EM - EN) In \EN - EM\ = -^3 [\n ^-^ M A4.3.54) (Так как сумма A4.3.49) зануляется, то безразлично, в каких едини- единицах измеряется разность En — Ем в A4.3.54).) В состоянии с пол- полным угловым моментом j, орбитальным угловым моментом I и главным квантовым числом п, скалярное произведение сг • L рав- равно j(j + 1) — /(/ + 1) — 3/4, а среднее значение оператора 1/г3 дается формулой В результате выражение A4.3.47) сводится к Aa{Za)Ame = —к-^— a{Za)Ame \j{j + 1) - I - 1A + 1) - 3/4 Полученные результаты теперь можно использовать, для вычисле- вычисления сдвига энергии. Средняя энергия возбуждений в этом случае нахо- находится численно. Воспользовавшись выражениями для нерелятивист- нерелятивистских волновых функций атома водорода, получим искомый ответ [5]: AEls = 19,769266917F) Ry, AE2s = 16,63934203A) Ry, AE2p = 0,9704293186C) Ry,
§14-3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах 633 Здесь 1 Ry = теа2/2 = 13,6057 эВ. Из A4.3.53) находим = 2тгН х 8127,4 Мгц, A4.3.57) = 2тгН х 1039,31 Мгц, A4.3.58) в то время как из A4.3.56) следует, что ^-1]=-5,3267 х КГ» ,В = = 2тгП х -12,88 Мгц. A4.3.59) Классический лэмбовский сдвиг определяется как разность энер- энергий состояний 2s и 2pij2 атома водорода. (В отсутствие радиационных поправок эти энергии одинаковы.) Наше вычисление показывает, что [SE]2s - [SE]2pi/2 = 4,35152 х 10~6 эВ = 2тгН х 1052,19 Мгц. Этот ответ находится в согласии со старыми результатами Кролля— Лэмба [6], с одной стороны, и Френча-Вайскопфа [7] — с другой, по- полученными с помощью методов старого варианта теории возмущений. Ранее в этом параграфе мы получили грубую оценку для лэмбовско- го сдвига A300 МГц), приняв во внимание только высокоэнергети- высокоэнергетический вклад в выражение для сдвига энергии уровня 2s. При этом мы предполагали, что инфракрасный порог обрезания в этом слу- случае имеет порядок а2те = 2 Ry. Мы видим теперь, что наша оценка оказалась значительно больше реального значения. Причиной этого является то обстоятельство, что истинная величина инфракрасного обрезания равна AE2s = 16,64 Ry, что значительно больше предпо- предполагаемой ранее. С другой стороны, как мы видели в § 1.3, в 1947 г. Гансу Бете [8] удалось получить довольно хорошую оценку лэмбовско- го сдвига A040 МГц), приняв во внимание только низкоэнергетиче- низкоэнергетический вклад в выражение для сдвига энергии уровня 2s. При этом уль- ультрафиолетовое обрезание производилось на импульсах порядка те. (Первая оценка энергии возбуждения, полученная Бете, была равна AE2s « 17,8 Ry.) Более точное значение лэмбовского сдвига можно найти, учтя радиационные поправки высших порядков, размер ядра, а также явле- явление отдачи. В настоящее время наибольшая неопределенность проис- происходит из-за неточного среднеквадратичного значения зарядового ра- радиуса протона гр. Если гр = 0,862 х 10~13 см, то лэмбовский сдвиг оказывается равным 1057,87 МГц [9]; если же гр = 0,805 х 10~13 см, то лэмбовский сдвиг равен 1057,85 МГц [9]. Некоторые авторы [10] приводят другие значения для лэмбовского сдвига A057,883 МГц или 1057,865 МГц). Если принять во внимание большую погрешность для радиуса протона, согласие с экспериментом отличное (современ- (современное экспериментальное значение [11] — 1057,845(9) МГц). Точность
634 Гл. 14- Связанные состояния во внешних полях эксперимента ограничена главным образом естественной шириной (~ 100 МГц) состояния 2р в атоме водорода. По этой причине суще- существенно улучшить результат будет очень трудно. За последние несколько лет были получены важные результаты, касающиеся измерения сдвига энергии основного состояния Is. Экс- Эксперимент заключался в сравнении частоты резонанса ls-2s с учетве- учетверенными частотами двуфотонных резонансов 2s-4s и 2s-4d. Ширина соответствующих s- и ^-состояний намного меньше ширины состоя- состояния 2р. Поэтому разности частот можно измерить с большей точно- точностью, чем классический лэмбовский сдвиг. В течение некоторого ко- короткого времени казалось, что между теорией и экспериментом имеется расхождение. Однако вычисления [12, 13] показали, что если радиус протона равен гр = 0,862A1) х 10~13 см, то учет конечного размера ядра и другие поправки приводят к увеличению теоретического значе- значения сдвига энергии уровня Is с 8127,4 МГц до 8173,12F) МГц. Если же радиус протона равен гр = 0,805A1) х 10~13 см, то с учетом поправок результат оказывается равным 8172,94(9) МГц. Значение радиуса про- протона гр = 0,862A1) х 10~13 см представляется наиболее надежным. Тем не менее соответствующее ему значение 8173,12F) МГц не сов- совпадает с экспериментальным результатом 8172,86E) МГц [13]. Даль- Дальнейшие вычисления [14] показали, что учет членов порядка a2(ZaM приводит к тому, что сдвиги энергий уровней Is, 2s и 4s согласуются с экспериментом. Таким образом, квантовая электродинамика вновь восторжествовала. Задачи 1. Рассмотрим заряженную скалярную частицу с массой т ф 0, которой соответствует поле ф(х), взаимодействующее только с внеш- внешним, зависящим от времени электромагнитным полем з/^(х). Обозна- Обозначим через Фдг полный набор нормированных одночастичных (один бозон или один антибозон) состояний с энергией En- Кроме того, пусть, по определению, UN{x)e~lENt = (Фо, </>(х, ?)Фдт) и VN(x)elENt = = (Фдт, 0(х, ^)Фо), где Фо — вакуумное состояние. Покажите, что со- совокупность всех иn и vn образует полный набор, и найдите формулы для коэффициентов разложения произвольной функции /(х) по это- этому полному набору. 2. Предположим, что для системы из предыдущей задачи мы учли радиационные поправки. Через Ш*(х,у) обозначим сумму всех диа- диаграмм с одной входящей и одной выходящей заряженной скалярной частицей первого порядка по а. Выведите формулу для сдвига энер- энергии En однобозонных состояний, обусловленного радиационными по- поправками. Ответ выразите через г^дг(х) и П*(х,у). 3. Используя результаты § 14.3, вычислите скорость распада со- состояния 2р атома водорода.
Литература 635 4. Предположим, что взаимодействию электрона с легким_ска- лярным полем ф в лагранжиане соответствует член вида дффефе. Пусть при этом масса скалярного поля тф удовлетворяет неравен- неравенствам (ZaJme <С тф <С Zame. Вычислить изменение энергии состоя- состояния Is атома водорода, обусловленное этим взаимодействием. 5. Решите задачу 4 в случае тф = 0. Литература 1. Dirac P.A.M. II Proc. Roy. Soc. (London). A117, 610 A928). 2. См., например, Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, 1957; Rose M.E. Elementary Theory of Angular Momentum. John Wiley & Sons, N.Y., 1957. 3. См., например, Schiff L.I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, N.Y., 1949. Section 43. [Рус. пер.: Шифф Л. Квантовая механика.—М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.] Оригинальные ссылки: Darwin C.G. // Proc. Roy. Soc. (London). A118, 654 A928); там же, А120, 621 A928); Gordon W. // Zeit. f. Phys. 48, 11 A928). 4. Brown G.E., hanger J.S., Schaefer G. W. // Proc. Roy. Soc. (London). A251, 92 A959); Brown G.E., Mayers D.F. // Proc. Roy. Soc. (London). A251, 105 A959); Desiderio A.M., Johnson W.R. // Phys. Rev. A3, 1267 A971). 5. HuffR.W. II Phys. Rev. 186, 1367 A969). 6. Kroll N.M., Lamb W.E. // Phys. Rev. 75, 388 A949). 7. French J.B., Weisskopf V.F. // Phys. Rev. 75, 1240 A949). 8. Bethe H.A. // Phys. Rev. 72, 339 A947). 9. Sapirstein J.R., Yennie D.R. // В Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita. World Scientific, Singapore, 1990. P. 575. См. также ссылки, приведенные в данном сборнике. 10. Grotch H. II Foundations of Physics. 24, 249 A994). 11. Lundeen S.R., Pipkin F.M. // Phys. Rev. Lett. 46, 232 A981); Lundeen S.R., Pipkin F.M. // Metrologia. 22, 9 A986). Обзо- Обзором по вопросу является работа Pipkin F.M. // В Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita. World Scientific, Singapore, 1990. P. 697. 12. Weitz M., Huber A., Schmidt-Kaler F., Leibfried D., Hansh T.W. // Phys. Rev. Lett. 72, 328 A994). 13. Weitz M., Schmidt-Kaler F., Hdnsch T.W. // Phys. Rev. Lett. 68, 1120 A992). См. также ссылку 12. 14. Pachucki К. // Phys. Rev. Lett. 72, 3154 A994).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелевы группы, определение 72 Аксиальная калибровка 372 Аксиомы Остервальдера-Шрадера 411, 455 Альфа-распад 184 Амплитуда рассеяния (F) 171, 177- 178, 498-499 Анионы 450 Аномальный эффект Зеемана 20 Антиунитарные и антилинейные операторы, определение 69 Античастицы 29, 39-45, 124, 172- 173, 226, 606 Ароматы (лептонов) 566 Баба (электрон-позитронное) рас- рассеяние 45 А-барион 190 Барионное число, определение 147 Белинфанте тензор 342 Березина интегрирование, опреде- определение 431 Бесконечности, см. ультрафиоле- ультрафиолетовые расходимости, инфракрас- инфракрасные расходимости Бета-распад 38, 46, 149, 169, 256, 555 Бете-Солпитера уравнение 601 Бозе-Эйнштейна статистика 26, 195-198, 448-450 Больцмана i^-теорема 175 Борна приближение 137, 180 "БПХЦ" алгоритм 548-549 Брейта-Вигнера формула 187 Буст, определение 79 Вакуумная энергия 40, 42 Вакуумное состояние 40, 43, 202 Вероятности в квантовой механике 21, 43-44, 50, 67 Вершинная часть (Гм) 477, 517, 542-543, 619-620 — волновая функция 413-416 Взаимодействия представление 165, 314 — для векторного поля 347-350 — для дираковского поля 350—352 — для скалярного поля 331-332, 350 — для электродинамики 379 — если вершина взаимодействия со- содержит производные полей 345- 346 Вигнеровский поворот 86-92 Виков поворот 507-508 Вильсоновский подход к перенорми- перенормировкам 562—566 Внешние поля 294, 314-317, 441- 442, 595-601, 612-618 Внешние производные 395 Внутренние симметрии 142-145 Возбужденные состояния, в атоме водорода 632-634 Волновые пакеты 131—132 Временная калибровка 372 Вспомогательные поля 336-337, 341 Вторичные связи, см. условия Второго рода связи, см. связи Вычитания в дисперсионных соот- соотношениях 492, 497 Галилеевская инвариантность 80, 169 Гамильтониан — взаимодействующего векторного поля 348
Предметный указатель 637 Гамильтониан — взаимодействующего дираков- ского поля 350 — взаимодействующих скалярных полей 30-32, 225, 329 — для уравнения Дирака 23 — комплексного скалярного поля 37, 374-375 — одномерного скалярного поля 30-32 — свободных частиц 201 — электродинамики 375-376 Гауссовы интегралы 451-453 Гейзенберга представление 130, 315, 324, 489 Генераторы симметрии 334-341 Гильберта пространство, определе- определение 66 Гиперзаряд 145 Гипероны 47, 144 — открытие 47 Глобальные симметрии, определе- определение 334 Глюоны 588 Гомотопические группы и классы 108-110, 116-120, 450 — определение 120 Гравитон 92-93, 281, 557, 575, 586 Грассмановы переменные, опреде- определение 429 Группа и алгебра Пуанкаре, см. преобразования Лоренца Группа кос 450 Группа SXB, С) 106, 108 Группа Spin(d) 110 Группа SU{2) 108, 145, 258 Группа Z2 107 Группы, определение, см. таксисе абелевы группы, гомотопические группы и классы, Ли группы, ма- малые группы, представления, по- полупростые группы 69 75 245 Дайсона ряд 167, 287 Далица график 164 Два-коциклы, определение 101 Де Рама когомология 395 Действие 326, 334 Джеты (струи) 588, 591 Дирака матрицы 23-24, 241-247 — свертка матриц Дирака с 4-векто- ром, определение 384 — след 387, 398-400 Дирака скобки 355-358, 359-363 — в электродинамике 373-375 Дирака уравнение 15, 21-30, 252, 604-612 Дираковское представление одно- однородной группы Лоренца 240-247 Дисперсионные соотношения 492, 494-501 Дифракционное рассеяние 171, 172, 182 Дифференциальные формы, см. р-формы Длина рассеяния, определение 182 Древесные диаграммы, определение 310 Дуальность 259, 397 Дырок теория 27, 45, 48 Замкнутые р-формы, определение 395 Заряд, см. электрический заряд Зарядовое сопряжение С — для фотонов 458-459 — несохранение 154 — определение 142, 153-154 — преобразование векторных полей 240 — преобразование дираковских по- полей 254 — преобразование неприводимых полей общего вида 269-270 — преобразование операторов рож- рождения 202 — преобразование скалярных полей 233 — преобразование фермионных би- билинейных комбинаций 256 — случайная симметрия 557, 566- 569 — фазы зарядового сопряжения 153 — см. таксисе особые виды частиц Затмения явление в системах двой- двойных звезд 394 Избыточные взаимодействия 358— 359, 558-560
638 Предметный указатель Изоспин (изотопический спин) 145 Импульса оператор 79, 337-339 С Р-инвариантность — вырожденных мультиплетов 125 — несохранение в if °-К °-распаде 154-155 СРТ-инвариантность 124, 155, 273- 275, 490 Инвариантные подгруппы и подал- подалгебры 89, 107 Индуцированное излучение фото- фотонов 33 Индуцированные представления 83 Инёну-Вигнера сужение 80 Интеграл по путям в евклидовом пространстве 411 Интегралы по путям 287, 402-404, 561 — вывод 404-412 — для взаимодействий, содержащих производные скаляров 419 — для квантовой электродинамики 443-448 — для массивных векторных полей 421-422 — для ^-матрицы 412-417 — для нелинейной сигма-модели 420-421 — для фермионов 427-442 — использование для вывода фейн- мановских правил 422—426 — лагранжев вариант 417-422 Инфракрасные расходимости 49- 50, 524, 529, 577-592 Искаженной волны борновское при- приближение 169-170 Исключения принцип 26 Казимира эффект 323 Канонические преобразования 356 Калибровочные преобразования 279-281, 365-369, 371, 396, 479- 483 — см. также аксиальная калиб- калибровка, временная калибровка, ку- лоновская калибровка, лоренцева калибровка, унитарная калибров- калибровка, фейнмановская калибровка Квантовая механика 66-67 Квантовая хромодинамика 145, 569, 588 Квантовая электродинамика 45, 47-56, 365-387, 443-448, 504-530, 538, 542-551, 566-569, 603-634 — см. таксисе квантовые поля, электрон, фотон, калибровочные преобразования, ультрафиолето- ультрафиолетовые расходимости, инфракрас- инфракрасные расходимости Квантовые поля — безмассовые частицы 275-284 — векторные 234-240 — дираковские 38-40, 247-256 — единственность неприводимых полей 266 — квантовые поля общего вида 260-273 — переопределение 358-359 — ранние теории 30-47 — свободные поля 217-227 — скалярные 37-38, 40-44, 227-233 Кварки 245, 569 Кинетическая теория 173—175 Киральное преобразование 556 Кластерной разложимости принцип 194, 202-215, 223, 287 Клебша—Гордана коэффициенты 146, 176, 178, 180, 261, 271, 608 Клейна-Гордона-Шредингера урав- уравнение 15, 28, 36, 226 Клиффорда алгебра 242 Когерентные состояния 215 Коммутации и антикоммутации ка- канонические соотношения 31, 35- 38, 320-325, 567 Компактные и некомпактные груп- группы 258 Комптоновское (электрон-фотон- (электрон-фотонное) рассеяние 45, 387-395 Константа взаимодействия пиона с нуклоном 466 Контрчлены в квантовой электро- электродинамике 504-505 Конференция в Shelter Island A947) 52-56 Космические лучи 45, 144 Крамерса вырождение 100 Крамерса-Кронига соотношение 501 Круговая поляризация 385
Предметный указатель 639 Кулоновская калибровка 279, 373- 376, 391 Кулоновская энергия 376, 379, 382, 599 Кумулянты 203 Лагранжиан 37, 324-334 — взаимодействующего скалярного поля 329 — вырожденный 353 — интегрирование по частям 332- 334 — комплексного скалярного поля 37 Лежандра преобразования 324, 328 Лептонное число 144, 568 Лептоны 504 Леса 548-549 Ли группы 70-72 Ли-Науэнберга теорема 588-592 Линейная поляризация 385 Липпмана-Швингера уравнение 133, 164 Локальные симметрии 368 — для безмассовых частиц 276 — для различных импульсов 83-85 — определение 82, 334 — см. также калибровочные преобразования Лоренца преобразования — в каноническом формализме 341-345 — в теории возмущений 167-169, 287, 304-307 — действие на одночастичные со- состояния 81-92 — действие на операторы рождения 202 — действие на состояния общего ви- вида 74, 218 — для ^-матрицы 138-142 — для матричных элементов со- состояний, лежащих вне массовой оболочки 313-317, 457 Лоренца преобразования — для сечений и вероятностей рас- распада 161-162 — однородная группа Лоренца, определение 75, 256-260 — определение 73-75 Лоренца преобразования — Пуанкаре алгебра 76-77 — Пуанкаре группа, определенние 75 — собственная ортохронная группа Лоренца 75 Лоренцева (или Ландау) калибров- калибровка 239, 372, 448 ЛСЦ теорема, см. редукционная формула Лучи, определение 66-67 Лэмбовский сдвиг 52-53, 516, 618- 634 Магнитные моменты, для частиц со спином 1/2 487-488, 517-526, 556, 594-595 — см. также электрон, мюон Майорановские фермионы 253, 270 Максвелла уравнения 15, 280, 365, 368, 396 Малые группы 83-85 — т ф 0 86-87 — т = 0 88-92 Манде льстамовские переменные 551 Маргинальные взаимодействия 538 Массы перенормировка 470-473, 505, 528-529, 620-630 ^-матрица 18, 50 — С, СР и СРТ 153-156 — РТ 153, 155 — ^-оператор 135 — внутренние симметрии 142—146 — лоренц-инвариантность 138-142 — обращение времени 150-153 — определение 134 — унитарность 135, 170-175 — четность 146-149 — см. также Т-матрица, М-мат- рица Т-матрица 133, 137, 164-165, 176, 588 М-матрица, определение 138 Матрицы вращений (DJalG(R)) 86 Матрицы Паули, определение 244 Матричная механика 18 J/ф-мезоп 252 cj-мезон 254 К-мезоны 144, 154-155 — открытие 46
640 Предметный указатель р-мезоны 189, 252, 254, 501 Мёллера (электрон-электронное) рассеяние 45 Многовременной формализм 38 Множители, связанные с фазовым объемом 161-164 Мюон 56 — магнитный момент 521—523 — открытие 47 Мюонный атом 515-517 Мягкие фотоны 572-587, 592-595 Нарушенная симметрия 474, 482 Начальные и конечные состояния 128-134, 137 Нейтрон 46 — нейтрона на протоне рассеяние 182 Некомпактные группы, см. ком- компактные и некомпактные группы Нелинейная сигма-модель 363, 404, 420 Неприводимые представления, определение 82 Несохранение РТ 153 Несущественные взаимодействия 538 Нормальное упорядочение 201, 227, 290 7V14, молекулярный спектр 46 Обращение времени (Т) — несохранение 156 — определение 97 — преобразование J^v и Р^ 93-95 — преобразование векторных полей 240 — преобразование вырожденных мультиплетов 120—125 — преобразование дираковского по- поля 254-256 — преобразование одночастичных состояний 96-100 — преобразование операторов рож- рождения и уничтожения 202 — преобразование произвольных неприводимых полей 270-271 — преобразование скалярных полей 233 — следствия для ^-матрицы 150- 153 Общая теория относительности 284, 339, 343, 395, 554-555, 557 Односвязные пространства, опреде- определение 103 Одночастичная неприводимость, определение 470 Опасные состояния 589-591 Оптическая теорема 178 Относительности принцип 575 Парастатистика 450 Первичные связи, см. связи Первого рода связи, см. связи Перекрестная (или кроссинг-) сим- симметрия 297, 499, 594 Перекрывающиеся расходимости 546-548 Перенормировка 51-56, 541-552 — см. также электрический заряд, перенормировка поля, перенор- перенормировка массы Перенормировка поля 358-359, 467- 473, 482, 493, 505, 511, 516, 581- 583 Перенормируемость 54, 533, 537- 538, 552-561 Петли 213, 297, 310-311, 384, 442 Пионы 29, 56, 466-467, 558 — внутренняя фаза зарядового со- сопряжения для тг° 153, 256 — внутренняя четность 149 — предсказание и обнаружение 47 — распад тг^ 149 — распад тг° 153 — рассеяние на нуклонах 495, 501 Плавающий порог обрезания 562- 566 Плотности матрица 386 Поглощение фотонов 33 Позитрон 27-28, 606-608, 626 Позитроний 254 Поле Рариты-Швингера 260, 454 Положительность энергии 94-95, 329 Полу простые группы и алгебры Ли, определение 89, 105 Полюса амплитуды рассеяния 459- 467, 593, 603 Поля уравнения, см. также кван- квантовые поля 226, 238-239, 267
Предметный указатель 641 Поля, см. квантовые поля Поляризация — безмассовость 379 — массивная частица спина 1 236- 237, 239 — фотон 92-93 Поляризация вакуума 49, 51, 505— 517, 621 Пороговое поведение 181-189 Правила суперотбора 70, 109-110 Представление Шредингера 130 Представления — групп, определение 71 — однородной группы Лоренца 256-260 Принцип действия Швингера 315 Причинность 168, 225, 495 Проблема т-в 149 Проективные представления 70, 101-110, 116-120 Пропагаторы 290, 301-307, 424-426, 541, 613-618 Пространственная инверсия, см. четность и пространственная ин- инверсия Протон — в ядрах 45 — заряд 476 — интерпретация как дырки 27 — зарядовый радиус 55, 634 — формфакторы 488 Радиационные поправки, см. пе- перенормировка, квантовая элек- электродинамика, ультрафиолетовые расходимости, инфракрасные расходимости, собственно-энер- собственно-энергетические части, вершинные ча- части, поляризация вакуума, мяг- мягкие фотоны Радиус зарядовый, определение 526 Разложение по парциальным вол- волнам 175-183 Разложимые взаимодействия 190 Размерная регуляризация 480, 509- 510, 527, 530-531 Размерность полей и констант связи 536, 555, 562-564 Распад Со60 149, 152-153 Рассеяние нейтронов на составных ядрах 182, 184 Регуляризатор Паули-Вилларса 518, 527 Редукционная формула 467-469 Резонансы 183-190 Релятивистские волновые уравне- уравнения 15-30 Ренормгруппа 523, 552, 562 Ридберг (Ry), определение 633 Рождение пар 47 Рождения и уничтожения операто- операторы 32, 35-36, 39-40, 42-45, 194, 198-202 Рождения операторы, см. рождения и уничтожения операторы Связанные состояния, см. состав- составные частицы Связи 352-358 — в электродинамике 370, 373 Связные амплитуды (то же, что и связные диаграммы) 203-208, 298, 310, 313, 416, 442 Связь спина и статистики 266 Сдвиги уровней энергии состояний атома 48-49, 613-618 — сдвиг уровня Is 634 — см. также лэмбовский сдвиг, Юлинга эффект, мюонный атом Сечение рассеяния — высокоэнергетический предел 182-183 — определение 156-164 — разложение по парциальным вол- волнам 181 Сечения, общая формула 156-159 Сильные взаимодействия 47 З^'-символы Вигнера 265 Симметрии 67-72, 110-116, 334-341, 456 — см. также законы сохранения, группы, лоренц-инвариантность, четность, зарядовое сопряжение, обращение времени, внутренние симметрии, изоспин, SUC) 5[/C)-симметрия 145 Скалярная теория поля, инвариант- инвариантная относительно трансляций по полевой переменной 557-560 Скобки Пуассона, определение 354 41 С.Вайнберг. Т. 1
642 Предметный указатель Скорость распада, общая формула 160 Следы, см. матрицы Дирака Случайные симметрии 566-569 Собственно-энергетические части (IT, ?*) 470, 505-513, 526-529, 543-544, 548-551, 614-619, 624 Составные частицы 132, 493-494 "Состояния" с отрицательной энер- энергией 25-30, 38-44, 606 Состояния типа стоячих волн 191 Сохранения законы — заряда 141, 225, 457 — ограничения 282, 575-576 — тока 239, 335, 510, 626 — углового момента 139 — энергии и импульса 140-141, 456- 458 — см. также специальные симмет- симметрии и сохраняющиеся величины Спектральная функция, см. разло- разложение Челлена-Лемана Спиновые матрицы, определение 258 Спиновые суммы 237, 252, 264-265, 280, 386-387, 390, 584 Спиральность — ограничения для полей безмассо- безмассовых частиц 275-284 — определение 90 — принимающая целые и полуце- полуцелые значения 109 Спонтанное излучение фотонов 33- 35, 631 Старомодная теория возмущений, см. теория возмущений Странность и странные частицы 144 — см. if-мезоны, гипероны Структурные константы, определе- определение 72 Суперперенормируемые взаимодей- взаимодействия 538, 542 Суперсимметрия 352, 541, 563 Существенные взаимодействия 567 Сферические гармоники 177, 608 Теорема Вигнера-Эккарта 177 Теорема Вика 287 Теорема Нетер 335 Теорема о подсчете степеней 540 Теорема о полярном разложении 107, 568 Теорема Польчинского 563-566 Теорема Померанчука 500 Теорема Пуанкаре 119, 395 Теорема Римана-Лебега 207 Теорема Уотсона 153 Теория возмущений — инвариантная 165-169 — старомодная 165, 287, 588, 603, 625-626, 633 — см. также ряд Дайсона, диа- диаграммы Фейнмана, интегралы по путям Теория струн 16, 30, 272, 397, 561 Тождества Уорда и Уорда-Такаха- ши 476-478, 509, 543, 547 Томсоновское рассеяние 395, 595 Тонкая структура 18-21, 610 Тонкой структуры постоянная 17, 19 Топология — группы Лоренца и групп враще- вращений 105-110 — см. таксисе гомотопические груп- группы, односвязные пространства, когомологии де Рама Точные р-формы 395 Траектории Редже 500-501 Ультрафиолетовые расходимости 47-56, 509-510, 515, 518, 523, 529- 530, 534-540 Универсальная накрывающая груп- группа 110 Унитарная калибровка 372 Унитарность ^-матрицы 135—137, 152, 170-175, 179, 186, 557 Условные расходимости 534-537, 546 Фаддеева уравнения 214 Фазовые сдвиги 152-153, 179 Фарри теорема 459-460, 544 Фейнмана диаграммы 54, 287-318 — в электродинамике 381-384 Фейнмановская калибровка 381, 447 Фейнмановские параметры 506, 519, 528
Предметный указатель 643 Ферми-Дирака статистика 27, 295- 298, 448-450, 604-612 Формула Розенблюта 488 Формфакторы 483-488, 517-526, 620-622 р-формы 395-398 Фотон 17 — безмассовость 379, 482, 509 — пропагатор 379-381 — рассеяние фотона на фотоне 49, 544, 560-561 — спиральность и поляризация 92- 93, 278-279, 385-386, 393 — фаза зарядового сопряжения 256 — см. таксисе мягкие фотоны, кван- квантовая электродинамика Фруассара предел 183 Функционалы, система обозначений 326 А+-функция 228 А^-функция 303 Функция в смысле главного значе- значения 134 Хаббарда-Стратоновича преобра- преобразование 493 Хронологически упорядоченные произведения, определение 166, 307 Цвет 588 Центра масс система 162 Центральные заряды 102 Частица Z0 184-185, 234 Частицы W± 234 Челлена-Леманна представление 488-494 Четность и пространственная ин- инверсия (Р) — внутренние четности 147—149 — несохранение в слабых взаимо- взаимодействиях 149 — определение 76 — преобразование J^u и Р^ 93-95 — преобразование векторных полей 240 Четность и пространственная ин- инверсия (Р) — преобразование дираковского по- поля 249, 251-252 — преобразование одночастичных состояний 95-98, 124 — преобразование операторов рож- рождения и уничтожения 202 — преобразование произвольных неприводимых полей 267-269 — преобразование скалярных полей 232-233 — связанных состояний электронов 608-609, 626 — случайные (дополнительные) симметрии 557, 567-569 — см. таксисе особые виды частиц Член Паули 29, 554, 556 Чью-Фраучи график 501, 503 Швингеровские члены 480 Эйлера постоянная 511, 531 Эйлера-Лагранжа уравнения 327 Электрический дипольный момент 100, 557 Электрический заряд 367 — перенормировка 368, 473-478, 505, 512-516 — сохранение 144, 575 Электрон — классическая теория 47, 395, 530 — магнитный момент 20, 25, 29, 53, 488, 501, 556 — зарядовый радиус 526 — спин 20-24 Эллиптическая поляризация 386 Энергии-импульса тензор 337-340 Энтропия 175 Эффект Рамзауэра-Таунсенда 190 Эффект Юлинга 51, 516, 621 Эффективные теории поля 533, 560-561 Ядерные силы 45-47, 465-466 Якоби тождество 102 41*
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Аарон (Aaron R.) 502 Аарони (Aharony A.) 193 Айткен (Aitken А.С.) 127 Амадо (Amado R.D.) 502 Андерсон (Anderson CD.) 27, 46, 59, 61 Арамаки (Aramaki S.) 64 Арджирес (Argyres P.С.) 286 Артин (Artin E.) 455 Баба (Bhabha H.J.) 45, 60 Бакамиджиан (Bakamijian В.) 215 Баргман (Bargmann V.) 127 Барджойн (Burgoyne N.) 286 Батлер (Butler С.С.) 47, 61, 144, 191 Бейли (Bailey J.) 532 Белинфанте (Belinfante F.J.) 59, 342, 364 Бергман (Bergmann P.G.) 364 Березин (Berezin F.A.) 431, 433, 455 Бете (Bethe H.) 45, 51, 53, 60, 61, 63, 601, 602, 634, 636 Блох (Bloch F.) 49, 61, 602 Блэкетт (Blackett P.M.) 28 Боголюбов (Bogoliubov N.N.) 548, 570 Бор (Bohr N.) 18, 26, 35, 48, 58, 59, 193, 225, 285 Борн (Born M.) 18, 30, 31, 32, 33, 34, 39, 41, 56, 58, 59, 62, 137, 191, 319 Браун (Brown G.E.) 635 Браун (Brown L.) 60, 62, 64, 65, 191, 569 Брейт (Breit G.) 53, 63, 187, 191, 193 Бьеркен (Bjorken J.D.) 570 Бэггер (Bagger J.) 364, 570 Бэйер (Beyer R.T.) 59, 64 Вайнберг (Weinberg S.) 57, 62, 65, 126, 192, 193, 216, 285, 286, 364, 401, 454, 503, 570, 571, 602 Вайнрих (Weinrich M.) 126, 192 Вайнштейн (Vainshtein A.I.) 571 Вайскопф (Weisskopf V.F.) 42, 44, 48, 51, 53, 54, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 633, 636 Вайтман (Wightman A.S.) 126, 286 Вайц (Weitz M.) 636 ван дер Варден (van der Waerden B.I.) 56, 285 Вебб (Webb N.) 61 Вейль (Weyl H.) 27, 58, 401 Вело (Velo G.) 286 Вельтман (Veltman M.) 509, 531 Венцель (Wentzel G.) 58, 62, 65 Весе (Wess J.) 364, 570 Вест (West T.) 401 Вигнер (Wigner E.P.) 34, 58, 59, 68, 80, 86, 110, 112, 120, 123, 124, 126, 127, 129, 177, 180, 187, 193, 263 Вик (Wick G.C.) 126, 318, 507, 519, 530, 531 Вилларс (Villars F.) 527, 532 Вильсон (Wilson W.) 57, 562, 565, 571 Вильчек (Wilczek F.) 455 Виттен (Witten E.) 65, 286, 401 Воган (Vaughan M.J.) 502 By (Wu C.S.) 126, 149, 192 Габердил (Gaberdiel R.) 455 Гайтлер (Heitler W.) 45, 60, 63 Гамов (Gamow G.) 22, 58, 64 Гарвин (Garwin R.) 126, 192 Гейзенберг (Heisenberg W.) 18, 25, 30, 31, 32, 36, 39, 40, 41, 46, 48, 49, 50, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 130, 191, 319, 555, 570, 571 Гелл-Манн (Gell-Mann M.) 145, 154, 192, 318, 494, 503, 595, 602 Герштейн (Gerstein I.S.) 454 Глимм (Glimm J.) 454 Голдстоун (Goldstone J.) 203, 216 * Наклонным шрифтом указаны номера страниц ссылок на публикации в разделах "Литература".
Именной указатель 645 Гольдбергер (Goldberger M.L.) 191, Жювье (Jouvet В.) 502 494, 503, 595 Гордон (Gordon W.) 19, 22, 24, 28, 41, 43, 57, 58, 226, 239, 267, 304, 635 Гоудсмит (Goudsmith S.) 20, 25, 57 Грин (Green M.B.) 401 Грисару (Grisaru M.) 602 Гротч (Grotch H.) 636 Гурси (Gtirsey F.) 127 Гьюдехас (Gudehus Т.) 286 Закариас (Zacharias J.R.) 63 Захаров (Zakharov V.I.) 571 Зоммерфельд (Sommerfeld A.) 20, 21, 26, 57 Зумино (Zumino B.) 286 18, Дайсон (Dyson F.J.) 54, 63, 65, 127, 167, 192, 286, 287, 314, 318, 402, 533, 569 Далиц (Dalitz R.H.) 164, 192, 602 Данкоф (Dancoff S.M.) 49, 51, 61 Дарвин (Darwin C.G.) 25, 57, 58, 635 Де Витт (De Witt C.M.) 403, 448, 455, 503 де Бройль (de Broglie L.) 17, 56 де Крониг (de Kronig R.) 501, 503 ДеВитт (DeWitt B.S.) 454 Дедье (Dedijer S.) 286 Дезер (Deser S.) 602 Дезидерио (Desiderio A.M.) 635 Джакив (Jackiw R.) 65, 454 Джаффе (Jaffe A.) 454 Джексон (Jackson J.D.) 503 Джеммер (Jammer M.) 64 Джермер (Germer L.H.) 18, 56 Джессер (Gasser J.) 570 Джонсон (Johnson W.R.) 635 Джорджи (Georgi H.) 285 Джулиан (Julian R.S.) 63 Дине (Deans W.M.) 57 Дирак (Dirac P.A.M.) 18, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 29, 33, 34, 38, 39, 40, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 66, 126, 226, 241, 245, 285, 319, 352, 355, 356, 364, 371, 402, 454, 488, 502, 521, 604, 605, 606, 635 Донохью (Donoghue J.F.) 570 Дрезден (Dresden M.) 191 Дрелл (Drell S.D.) 570 Дринкуотер (Drinkwater J.W.) 62 Дрюл (Drtihl K.) 455 Дэвиссон (Davisson C.J.) 18, 56 Елзасер (Elsasser W.) 18, 56 Енни (Yennie D.R.) 602, 636 Жолио (Joliot F.) 60 Израэль (Israel W.) 570 Инёну (Inonti E.) 80, 126 Ино (Inoue T.) 61 Инфельд (Infeld L.) 62 Иоос (Joos H.) 286 Иост (Jost R.) 286 Ито (Itо D.) 63 Йордан (Jordan P.) 18, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 39, 41, 56, 57, 59, 319 Кабир (Kabir P.) 568, 571 Казимир (Casimir H.B.G.) 364 Кайзер (Kaiser G.) 286 Камефучи (Kamefuchi S.) 455, 570 Кан (Kahn B.) 63 Канесава (Kanesawa S.) 63 Карлсон (Carlson J.F.) 45, 46, 48, 60 Картан (Cartan E.) 285 Кассен (Cassen B.) 191 Кеммер (Kemmer N.) 49, 61 Киношита (Kinoshita T.) 602, 636 Клейн (Klein O.) 19, 22, 28, 41, 43, 45, 57, 59, 60, 226, 239, 267, 304, 393, 401 Коба (Koba Z.) 62, 63 Кокель (Kockel B.) 49, 61, 571 Коллат (Kollath R.) 193 Коллинз (Collins P.D.B.) 503, 569 Комптон (Compton A.H.) 57, 387, 390, 538 Конверси (Conversi M.) 47, 61 Кондон (Condon E.U.) 191 Коухен (Cohen R.S.) 59, 285 Краммерс (Kramers H.A.) 52, 62, 63, 100, 127, 192, 193, 501, 503 Кричтон (Crichton J.H.) 215 Кролл (Kroll N.M.) 55, 63, 633, 636 Кронин (Cronin J.W.) 127, 155, 192 Кубо (Kubo R.) 216 Куш (Kusch P.) 63 Кюри-Жолио (Curie-Joliot I.) 60 Лангер (Langer J.S.) 635 Ландау (Landau L.D.) 126, 193, 447, 483 Ланде (Lande A.) 57
646 Именной указатель Ландин (Lundeen S.R.) 636 Латтес (Lattes С.) 47 Ледерман (Lederman L.) 126, 192 Лейнаас (Leinaas J.M.) 455 Лейтвайлер (Leutwyler H.) 570 Леман (Lehmann H.) 469, 488, 495, 502 Ли (Lee T.D.) 126, 149, 154, 192, 203, 215, 256, 454, 588, 602 Либфрид (Leibfried D.) 636 Липпман (Lippmann В.) 133, 191 Лифшиц (Lifshitz E.M.) 126, 193 Лондон (London F.) 401 Лоу (Low F.E.) 318, 595, 602 Льюис (Lewis H.W.) 62 Лэдло (Laidlaw M.G.G.) 448, 455 Лэмб (Lamb W.E.) 52, 55, 62, 63, 633, 636 Лэнг (Lang S.) 455 Лю (Liu H.H.T.) 532 Любарский (Lyubarski G.Ya.) 286 Людвиг (Ludwig G.) 56 Людерс (Ltiders G.) 273, 286 Майерс (Mayers D.F.) 635 Майкельсон (Michelson A.A.) 57 Мандельстам (Mandelstam S.) 454 Маршак (Marshak R.E.) 56, 61 Маскава (Maskawa T.) 356, 357, 364 Мёллер (M0ller C.) 45, 60, 62, 191 Mexpa (Mehra J.) 64 Миллер (Miller A.I.) 60, 64, 532 Мирхейм (Myrheim J.) 455 Миямото (Miyamoto Y.) 63 Мэки (Mackey G.W.) 126 Мэтьюз (Matthews P.T.) 570 Накаджима (Nakajima H.) 356, 357, 364 Наппи (Nappi C.R.) 286 Науэнберг (Nauenberg M.) 588, 602 Нафе (Nafe J.E.) 63 Неддермейер (Neddermeyer S.H.) 46, 61 Нееман (Ne'eman Y.) 145, 192 Нельсон (Nelson E.B.) 63 Нишина (Nishina Y.) 45, 60, 393, 401 Новиков (Novikov V.) 571 Нордзик (Nordsieck A.) 49, 61, 602 Нордхайм (Nordheim L.) 47, 61 Ньютон (Newton R.G.) 191 Нэйджел (Nagel D.E.) 63 Нэш (Nash C.) 127 Омнес (Omnes R.) 503 Онуки (Ohnuki Y.) 455 Оппенгеймер (Oppenheimer J.R.) 27, 39, 43, 44, 45, 46, 48, 52, 55, 56, 58, 60, 61 Остервальдер (Osterwalder K.) 455 Очиалини (Occhialini G.P.S.) 28, 47, 61 Пайерлс (Peierls R.E.) 60, 61, 62, 193 Пайс (Pais A.) 64, 154, 192 Панчини (Pancini E.) 47, 61 Парасюк (Parasiuk O.) 548, 570 Пастернак (Pasternack S.) 62 Паули (Pauli W.) 18, 26, 29, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 48, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 273, 286, 319, 527, 532, 554 Пауэлл (Powell C.F.) 47, 61 Пачуки (Pachucki K.) 636 Пашен (Paschen F.) 57 Пендлтон (Pendleton H.) 602 Перлмуттер (Perlmutter A.) 286 Петерман (Petermann A.) 532 Пипкин (Pipkin F.M.) 636 Пиччиони (Piccioni O.) 47, 61, 192 Плачек (Placzek G.) 193 Подольский (Podolsky B.) 38, 60 Польчинский (Polchinski J.) 455, 563, 571 Померанчук (Pomeranchuk I.la.) 500, 501, 503 Попов (Popov V.N.) 403, 454 Презент (Present R.S.) 191 Раби (Rabi I.I.) 53, 63 Рака (Racah G.) 60 Рамзауэр (Ramsauer .) 190 Рарита (Rarita W.) 260, 286 Редже (Regge T.) 501, 503 Резерфорд (Retherford R.C.) 62 Решенберг (Rechenberg H.) 60 Риндани (Rindani S.D.) 286 Ричардсон (Richardson O.) 62 Роберте (Roberts J.E.) 455 Робертсон (Robertson H.P.) 58 Розенблют (Rosenbluth M.N.) 488, 502 Розенфельд (Rosenfeld L.) 35, 59, 60, 225, 285, 364 Pop лих (Rohrlich F.) 285 Роуз (Rose M.E.) 61, 126, 192, 193, 286, 635
Именной указатель 647 Рочестер (Rochester G.D.) 47, 61, 144, 191 Рюгер (Rtiger S.M.) 455 Саката (Sakata S.) 61, 570 Салам (Salam A.) 58, 64, 548, 570 Сапирштейн (Sapirstein J.R.) 636 Сен (Sen S.) 127 Сербер (Serber R.) 61, 64 Сивакумар (Sivakumar M.) 286 Силер (Seiler R.) 286 Симанчик (Symanzik К.) 469, 495, 502 Скритон (Screaton R.) 503 Слетер (Slater J.C.) 58 Солпитер (Salpeter E.E.) 601, 602 Спарнай (Spaarnay M.J.) 364 Стераман (Sterman G.) 602 Стечел (Stachel J.) 59, 285 Стивенсон (Stevenson E.C.) 46 Стора (Stora R.) 64 Стоунер (Stoner E.C.) 58 Стратонович (Stratonovich R.L.) 493, 503 Стрит (Street J.C.) 46 Стритер (Streater R.F.) 286 Суура (Suura H.) 532, 602 Такахаши (Takahashi Y.) 478, 502 Тамм (Tamm I.) 27, 58, 60, 401 Тарлей (Turlay R.) 127, 192 Тати (Tati Т.) 63 Таунсенд (Townsend .) 190 Тейт (Tate J.E.) 455 Телегди (Telegdi V.L.) 126, 192 Тернбулл (Turnbull H.W.) 127 Тирринг (Thirring W.) 494, 503 Тичмарш (Titchmarsh E.C.) 216 Толл (Toll J.S.) 503 Томас (Thomas L.H.) 57, 215 Томонага (Tomonaga S.-I.) 54, 55, 62, 63, 65, 287, 402 Томсон (Thomson J.J.) 395 Тув (Tuve M.A.) 191 Тунг (Tung W.-K.) 126 Уоллер (Waller I.) 61 Уиллер (Wheeler J.A.) 18, 50, 62, 191 Уилльямс (Williams E.J.) 602 Уилльямс (Williams R.C.) 62 Уилльямс (Williams W.E.) 62 Уиттакер (Whittaker E.) 65 Уичман (Wichmann E.H.) 215, 285, 532 Уленбек (Uhlenbeck G.E.) 20, 57 Умезава (Umezawa H.) 570 Уорд (Ward J.C.) 478, 502 Уотсон (Watson K.M.) 153, 191, 192 Фабри (Fabri E.) 192 Фаддеев (Faddeev L.D.) 216, 403, 404, 454 Фарри (Furry W.H.) 39, 43, 44, 48, 60, 61, 459, 502 Фейнберг (Feinberg G.) 192, 568, 571 Фейнберг (Feinberg J.) 364 Фейнман (Feynman R.P.) 50, 54, 55, 62, 63, 64, 65, 287, 303, 307, 313, 379, 380, 381, 385, 401, 402, 403, 429, 440, 442, 447, 454, 457, 461, 491, 504, 506, 519, 531, 598, 612 Феретти (Ferretti В.) 192 Ферми (Fermi E.) 26, 34, 39, 58, 59, 60, 64, 319 Финберг (Feenberg E.) 191, 193 Фирц (Fierz M.) 36, 59, 61, 62, 65, 286 Фитч (Fitch V.L.) 127, 155, 192 Фландерс (Flanders H.) 127, 401 Фойли (Foley H.M.) 63 Фок (Fock V.) 38, 39, 57, 60, 401 Фреденхаген (Fredenhagen К.) 455 Френч (French J.B.) 53, 55, 63, 633, 636 Фрёлих (Frohlich H.) 63 Фридман (Friedman J.I.) 126, 192 Фраучи (Frautschi S.C.) 503, 602 Фруассар (Froissart M.) 193 Фукуда (Fukuda H.) 63 Хааг (Haag R.) 455 Хаббард (Hubbard J.) 493, 503 Хабер (Huber A.) 636 Хан (Hahn Y.) 570 Ханч (Hansch T.W.) 636 Харви (Harvey J.) 571 Хафстад (Hafstad L.D.) 191 Хафф (Huff R.W.) 636 Хейденберг (Heydenberg N.) 191 Хепп (Нерр К.) 548, 570 Херцберг (Herzberg G.) 60 Хиббс (Hibbs A.R.) 454 Ховард (Howard J.C.) 502 Ходдесон (Hoddeson L.) 62, 64, 65, 191 Хокинг (Hawking S.W.) 570
648 Именной указатель Хокинг (Hocking J.G.) 127 Холтер (Halter J.) 571 'т Хофт ('t Hooft G.) 403, 454, 509, 531 Христенсон (Christenson J.H.) 127, 192 Хугенхольтц (Hugenholtz N.M.) 203, 216 Цао (Сао T.Y.) 64 Цванцигер (Zwanziger D.) 286 Цвика (Swieca J.A.) 286 Циммерман (Zimmerman W.) 469, 495, 502, 548, 570 Чедвик (Chadwick J.) 60 Челлен (Kallen G.) 488, 502 Чиновски (Chinowsky W.) 192 Чу (Chew G.) 62, 503 Шафер (Schaefer G.W.) 635 Шварц (Schwarz J.H.) 401 Швебер (Schweber S.S.) 64, 65 Швингер (Schwinger J.) 29, 50, 53, 54, 55, 59, 62, 63, 65, 133, 191, 260, 286, 287, 318, 401, 402, 454, 502, 522, 531 IHepep (Schearer J.F.) 57 Шифман (Shifman M.A.) 571 Шифф (Schiff L.I.) 57, 59, 192, 602, 635 Шмидт-Калер (Schmidt-Kaler F.) 636 Шредер (Schrader R.) 455 Шредингер (Schrodinger E.) 17, 18, 20, 28, 43, 57, 130 Шроэр (Schroer B.) 286 Штейнберг (Steinberger J.) 192 Шуберт (Schubert K.R.) 192 Шур (Schur I.) 285 Эдмондс (Edmonds A.R.) 126, 192, 193, 286, 635 Эйлер (Euler H.) 49, 61, 560, 561, 562, 571 Эйнштейн (Einstein A.) 26, 29, 33, 34, 59, 73, 554 Эккарт (Eckart .) 177, 180, 187, 189 Эпштейн (Epstein S.) 62 Эренфест (Ehrenfest P.) 31, 46, 59, 60 Эриксон (Erickson G.W.) 532 Юкава (Yukawa H.) 46, 61, 64, 183, 467, 502 Юлинг (Uehling E.A.) 51, 61, 62, 516, 531 Янг (Yang C.N.) 126, 149, 154, 192, 193, 203, 215, 256, 285, 401 Янг (Yang C.P.) 193 Яух (Jauch J.M.) 285