в.п.сигорски и
элиект*»
I
В. П. СИГОРСКИЙ
МАТРИЦЫ И ГРАФЫ
В ЭЛЕКТРОНИКЕ
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1968
6П2.154
С 34
УДК 621.372.061
Сигорский В. П.
С 34 Матрицы и графы в электронике. М., «Энергия»,
1968.
176. с. с илл.
В книге приводятся сведения по расчету электронных схем с по-
мощью матричной алгебры и теории графов. Дается методика рас-
чета схем.
Для закрепления прочитанного материала весь текст снабжен
упражнениями.
Книга рассчитана на инженеров, желающих ознакомиться с со-
временными методами анализа электронных схем, а также на студен-
тов вузов.
3-3-13
201-68
6П2Л54
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время матричная алгебра и теория гра-
фов становятся языком технической электроники. Без
знания этого языка практически невозможно следить
за литературой по теории электронных цепей и плодо-
творно работать в этой области.
Анализ электронных схем в линейных режимах сво-
дится к решению и исследованию систем линейных
уравнений, описывающих схему. Успех этой работы
в значительной степени определяется удачным выбором
математического аппарата.
Любой из методов линейной теории приводит к цели,
но различной ценой. Пока на практике применялись
только сравнительно простые цепи, достаточно было за-
менить электронные лампы и транзисторы их эквива-
лентными схемами и применить аппарат классической
теории электрических схем.
Естественно, с усложнением электронных схем совер-
шенствовались и методы их анализа. За последние де-
сятилетия предложено много различных методов, кото-
рые можно разделить на две группы — алгебраические и
топологические.
Наиболее удобными и перспективными являются ал-
гебраические методы, основанные на использовании мат-
ричной алгебры. Простота записи матрицы непосредст-
венно на основе рассмотрения электронной схемы без
каких-либо ее промежуточных преобразований и воз-
можность получать результат в нужной форме путем
простых операций над определителями и алгебраически-
ми дополнениями матрицы схемы делают эти методы
сильным средством расчета электронных схем.
Топологические методы основаны на использовании
графов, которые в графической форме отображают урав-
нения схемы или ее структуру. Необходимый результат
3
получается путем различных преобразований и иссле-
дования графа схемы. Эти методы привлекают своей
наглядностью, но зачастую требуют весьма громоздких
и утомительных операций.
Исключительно важное значение для использования
теоретических методов при проектировании электронных
схем имеет применение вычислительной техники. Сами
методы являются достаточно простыми и доступными
любому инженеру, но объем вычислительных операций
даже для схем с несколькими электронными элемента-
ми оказывается не под силу при работе вручную. В то
же время современная вычислительная техника создает
условия для расчета схем, содержащих десятки и даже
сотни различных элементов.
Настоящая книга написана для инженеров, которые
желают ознакомиться с современными методами анали-
за электронных схем с минимальной затратой времени.
Поэтому основное внимание уделено практической сто-
роне дела, без претензии на достаточно полное освеще-
ние проблемы. Около ста упражнений предназначены
для тех, кто пожелает закрепить приобретенные знания
соответствующей тренировкой. В конце книги приведена
литература, в которой можно найти более подробное и
строгое изложение алгебраических и топологических ме-
тодов анализа электронных схем, а также систематиче-
ское изложение теории матриц и графов.
Автор отдает себе отчет в трудности предпринятой
попытки изложить в небольшой по объему книге основ-
ные вопросы,связанные с применением матриц и графов
для анализа электронных схем. Этой книгой преследует-
ся цель ввести возможно более широкий круг в эту увле-
кательную и полезную область. Хотелось бы надеяться,
что у вас хватит терпения прочитать ее до конца.
Автор
Глава первая
МАТРИЦЫ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрица — это прямоугольная таблица, состоящая из
некоторого количества строк и столбцов. Обычно строки
и столбцы матрицы нумеруются порядковыми числами
1, 2, 3 и т. д. На пересечении строк и столбцов распола-
гаются элементы матрицы, которыми могут являться
числа, функции от каких-либо переменных и вообще
любые символы. Если матрица записывается в виде раз-
графленной таблицы, то каждому элементу отводится
отдельная клетка, например:
Здесь элементами матрицы служат целые числа, при-
чем некоторые из них могут быть нулевыми. Использу-
ются и другие формы записи матриц. Часто таблицу не
вычерчивают, а располагают элементы в определенном
порядке, заключая, их в прямые скобки или двойные
вертикальные черточки:
’8
7
О
5 О
6 2
3 4
2'
1
О
или
8
7
О
5 0 2
6 2 1
3 4 0
Матрица может содержать любое количество строк
и столбцов. Если количество строк обозначить через т,
5
а количество столбцов — через п, то такая матрица ха-
рактеризуется размером (тХя). Здесь знак X не озна-
чает умножения, как в арифметике, а выражение (/пХ
Хп) читается «эм на эн». Так, приведенная выше мат-
рица имеет размер (3X4).
Любая матрица, имеющая одинаковое количество
строк и столбцов (m=n), называется квадратной. Квад-
ратную матрицу с п строками и п столбцами называют
матрицей n-го порядка. Так, матрица четвертого поряд-
ка имеет вид:
единственного столбца. В первом случае она называет-
ся матрицей-строкой, а во втором — матрицей-столбцом.
Количество элементов в матрице-строке и в матрице-
столбце может быть любое, например:
1	2	3	4	5
2	5	0	4	0
1
3
О
6
2
3
Часто матрицу-строку и матрицу-столбец называют
многомерными векторами и записывают в виде одно-
строчной таблицы или совокупности элементов, заклю-
ченных в прямые скобки. Так, написанные выше мат-
рицы представляются в виде векторов следующим обра-
зом:
[2, 5, 0, 4, 0]; [3, 0, 6].
Элементы таких матриц называют компонентами мно-
гомерного вектора. Вектор, который содержит п компо-
нент, является n-мерным вектором. Следует помнить,
6
что, как и в матрице, порядок расположения компонент
вектора строго определен и не может изменяться, если
не изменяется сам вектор.
Понятие многомерного вектора появилось как ре-
зультат формального обобщения векторов реального
пространства. Положение точки в пространстве опреде-
ляется трехмерным вектором, компонентами которого
служат его проекции на оси некоторой системы коорди-
нат. Поэтому трехмерный вектор вполне определяется
тремя компонентами (х, у, z). Формально любую упоря-
доченную совокупность п чисел можно рассматривать
как некоторый вектор в n-мерном пространстве. Такое
пространство трудно представить себе физически, но это
и не требуется, так как многомерный вектор вовсе не
связывается с каким-либо физическим пространством.
В конкретных приложениях его компонентами могут яв-
ляться величины любой физической природы (не обяза-
тельно расстояния): скорости, силы, напряжения, токи,
стоимости единицы продукции и т. п.
Элементы матрицы занимают строго фиксированное
положение в таблице. При общих рассуждениях они
обозначаются какой-либо буквой с двумя индексами.
Первый индекс указывает на номер строки, в которой
расположен элемент, а второй — на номер столбца. Если
обозначить элементы прямоугольной матрицы, записан-
ной в начале этого параграфа, например, буквой а, то
ап = 8, 012 = 5, 023 = 2 и т. д., а сама матрица размера
(3X4) может быть записана в общем виде:
0Ц 012 013	014
021 ^22	^23	^24
031 032 033	034_
Компоненты вектора также можно обозначить какой-
либо буквой, но с одним индексом, который указывает
на место, занимаемое данной компонентой. Например,
четырехмерный вектор записывается следующим обра-
зом:
[gi, дъ дз, дД.
Для сокращения выкладок матрицы и векторы обо-
значаются одной буквой, которая каким-либо способом
выделяется от других букв, обозначающих величины, не
являющиеся матрицами и векторами. В отличие от мат-
7
риц и векторов такие величины называют скалярами.
Буквы, обозначающие матрицы и векторы, набирают
в книгах жирным шрифтом, заключают в прямые скоб-
ки или в двойные черточки. Так, матрица размера (тХ
Хп) может быть записана следующим образом:
^11	^12	• * •
^21	^22	• • •	&2П
_	^Ш2	• • • ^тп _
а п-мерный вектор
[Q]=ki, <72, • •<7п].
В дальнейшем будем обозначать матрицы и векторы
буквами, заключенными в прямые скобки, а для записи
самих матриц и векторов в зависимости от удобства
будут использоваться как клеточная форма, так и таб-
лицы в прямых скобках.
Две матрицы равны, если равны между собой все их
соответствующие элементы, т. е. [Л]={В], если aij = bij
для всед значений i и j (индекс i принимает значения от
1 до т, а / — от 1 до п, где т и п — соответственно чис-
ло строк и столбцов матрицы). Ясно, что можно сравни-
вать только матрицы одинаковых размеров.
Если в матрице [Л] размера (тХп) строки заменить
столбцами или, наоборот, столбцы строками, то полу-
чим матрицу размера (nXm), которая называется
транспонированной матрицей,
#11	#21	• • •	#Ш1
Г Д 1 .  #12	#22	• • • #7712
#171	#2П	• • • ^тп
В этой книге мы будем иметь дело с квадратными
матрицами и многомерными векторами. Квадратная
матрица, которая не изменяется при транспонировании,
называется симметричной. Ее элементы, расположенные
симметрично относительно главной диагонали (главную
диагональ матрицы образуют элементы ац с одинако-
выми индексами), равны, т. е. ац = а,ц.
8
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля
только расположенные на главной диагонали элементы,
называется диагональной
	ап	0 ... 0
[£]=	0	а22 . . . 0 0	0 . . . а33
Если все элементы диагональной матрицы равны еди-
нице, то она является единичной матрицей
[1] =	- 1	0	. . .	0	- 0	1	...	0 0	0	...	1	
Матрица, все элементы которой равны нулю, являет-
ся нулевой матрицей
[0] =	-	0	0	. . .	0	- 0	0	...	0 0	0	. . .	0
Упражнения
1. Укажите, какие из приведенных ниже выражений являются
матрицами или векторами, определите их размеры и тип:
ГО 2 I х е*	0,5]	Г4	0 12 6 0 5		1][7i 2 3-	•/5;	4,l;j8];
-74-/5	4-/2	з -		-_|	|-		1
4-/2	84-/3	0	>	+ н		>	2 4
.7-/3	0	10—/ .				h + -		.3 5 6.
2. Установите соответствие (равенство или неравенство) между
матрицами:
3. Транспонируйте матрицы:
-4 2 О SI-
79200
.3 4 5 8 0 ..
3x4-8*/ 10х — 5	0 -
2х 6х + 2у 5х + 8
7х 4- у 3	6*/ — 3
9
4. К какому типу матриц можно отнести: 1) турнирную таблицу
для 10 шахматистов, в клетках которой отмечено количество очков,
полученных каждым шахматистом в каждом туре; 2) таблицу по-
сещаемости занятий 35 учащимися за 24 дня, в которой присутствие
отмечается единицей, а отсутствие — нулем; 3) таблицу расценок
на шесть видов строительных работ?
2. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Простейшая операция — умножение матрицы [Л] на
скаляр X записывается следующим образом:
2d,, 2tZ,g
ЧЛ] =
. ^in
• 2.flgn
т. е. каждый элемент матрицы [Л] умножается на ска-
ляр Л. При этом размер матрицы не меняется. Напри-
мер:
2 = 5; [Л] =
1 4 2‘
2 0 6
> тогда 2 [Л] =
5 20 10‘
10 0 30
Отсюда, в частности, следует, что можно вынести
за знак матрицы общий множитель ее элементов, на-
пример:
12
2
10	4	1 Г4	5	21	Г1,6	2	0,
6	0	=2 6	3	0 =5	2,4	1,2	0
0	10	1	0	5	0,4	0	2
Г1,6 2 0,81
0,4 0 2
Г 8
Г4 5 2
1 0 5
При сложении матриц суммируются соответствующие
элементы, т. е.

^in
Umi
bmi
Ьтп
Umn _
67ц -|- Ьп
• Ь1п
Иначе говоря, если [С] = [Л] -р [5], то =
(для всех значений i= 1, 2, т\ /=1, 2,..., п).
10
Например.
Ясно, что операция сложения может выполняться
только над матрицами одинаковых размеров. Матричная
сумма удовлетворяет ассоциативному и коммутативному
законам, т. е.
[Л]+[В]={В]+[Л];
[Л]+[В]+[С] = ([Л]+[В]) +[С]=[Л]+ ([В] + [С]).
Аналогично определяется и вычитание матриц, которое
сводится к вычитанию соответствующих элементов этих
матриц, например:
2 4 6 О'] Г4 0 1 01 Г—2	4	5 01
4 0 1
2 1 3
4 =	4—5—14
2J L-l 1 —3 4
Несколько сложнее определяется произведение мат-
риц [С]=[Л][В]. Чтобы найти элемент c(J-, находящийся
на пересечении i-й строки и /-го столбца результирую-
щей матрицы, необходимо перемножить элементы i-й
строки матрицы (Л] на соответствующие элементы /-го
столбца матрицы [В] и полученные произведения сло-
жить, т. е.
п
Cij =	4“ #i262j 4“ ••• 4“ ainbni = d'isbsj*
1
Это правило наглядно иллюстрируется следующей схе-
мой:
. • Carrin
11
bn			• • • bin
bii	. . .	bij	• . . bin
Ьт\	. . .		• . . bmn
	. . .	G j	• • • Cin
	. . .	Cij	• . . Cin
_ C mi • . .
Cmn
В общем случае произведение двух прямоугольных
матриц допустимо только тогда, когда количество эле-
ментов в строках первой матрицы равно количеству эле-
ментов в столбцах второй матрицы. Иначе говоря, если
первая матрица имеет размер (тХм), то вторая матри-
ца в произведении должна быть размера (nXq). В ре-
зультате перемножения таких матриц получится матри-
ца с т строками и q столбцами, т. е. ее размер будет
(тХ^), например:
"1-14-2-0 1-2+2-4 1-3+25 1- 7+2-0"
= 3-1+0-0 3-2+0-4 3-3+0-5 3-7+0-0 =
7-1+1-0 7-2+1-4 7-3+1-5 7-7+1-0_
"1 10 13	7
= 3	6	9 21 -
7 18 26 49
Произведение квадратных матриц всегда допустимо,
если перемножаются матрицы одинакового порядка,
12
причем в результате получается квадратная матрица
того же порядка, например:
’4 1 0 1 2 2 .3 0 7.	'7 0 4 0 3 1 .5 3 2	=	’28 3 17' 17 12 10 ,56 21 26.	•
Особый случай представляет произведение матрицы
на многомерный вектор и вектора на матрицу. Если
матрица [Л] размера (mXn) умножается на вектор, то
он играет роль матрицы-столбца и должен содержать п
компонент. Только при этих условиях произведение
определено, и в результате получаем /n-мерный вектор
в виде матрицы-столбца, например;
"4 0 6
0 7 2
4 3 2
1 4‘
1 0
1 О
~4 ~
6
1
0
5
’42’
44
36
При умножении многомерного вектора на матрицу
размера (тХп) вектор играет роль матрицы-строки и
должен содержать т компонент. В результате получим
n-мерный вектор в виде матрицы-строки, например:
Умножение квадратной матрицы на единичную мат-
рицу того же порядка не изменяет ее, а умножение на
нулевую матрицу дает в результате нулевую матрицу,
т. е.
М](1]=[1][Л]=(Л]; И][0]=[0][Л]=[0].
Произведение матриц в общем случае не подчиняет-
ся переместительному закону, т. е. (Л][В]#=[В][Л]. В этом
нетрудно убедиться на конкретном примере
13
Полученный результат отличается от найденного ра-
нее при перемножении матриц в обратном порядке. По-
этому следует различать умножение матрицы [Л] на
матрицу [В] слева [Л] [В] и справа [В][Л]. Сочетательный
и распределительный законы остаются в силе и для про-
изведения матриц:
[Л]([В][С]) = ([Л]1[В])[С]=[Л][В][С];
((Л]+[В])[С]=[Л][С]+[В][С];
[Л]([В]+[С])=[Л]{В]+[Л][С].
Нетрудно также убедиться в справедливости ра-
венства
([Л][В])(=[вмл](,
т. с. транспонирование произведения матриц сводится
к транспонированию каждой из них и перестановке со-
множителей в обратном порядке.
Если нужно перемножить не две, а несколько матриц,
то обычно выполняют операцию умножения последова-
тельно: сначала перемножают две матрицы, затем полу-
ченную матрицу умножают на третью и т. д.
Упражнения
1. Сложить .матрицы [Л] и 1[В] (если эта операция допустима):
1) И] =
[В] = о
Ь+/2
3—/ 8-
4 О
/6 /7.
	" 4х	5х+у-		- 7	ЗУ	7х
3) [Л] =	2х+5	4«/	; [в] =	0	х+у	6
	_ Зх	0 .		_8+2х	0	2*+У
2. Найти произведения [Л][В] и [В][Л] (если они определены):
2 1
3 6
4 8
0 2_
14
1
4 3 2
2) [Л] =
2 3
5 6
8 9.
3) [Л] = [2, 6, 4, 5];
2 7 4
3 2 0
5) [Л] =
1+/6
2+/3
*+У
х
- У
2х+у
х-\-2у
О
3. Проверить справедливость формулы
мере, если
4 6 1-
[Л] = 0 2 4
1 0 3.
51
1] ’
3+/21.
1+/ 1’
-ху -
2х .
-*У -
([Л][8]Ь=1[ЯЬИЬ на при-
[В] = 0 17
.4 2 1
6 4 2
4. Найти произведения трех матриц [Л], ([В] и [С] в том поряд-
ке, в котором допустимо умножение (рассмотреть все возможные
случаи):
			~2 4 О'	
	2 0 4-			
			1 1 2	Г 1 2 0 3
	0 1 3	: [в]!=	0 2 3	; 1С| = [7 0 4 1
	.12 1.			
			0 12	
5. Указать размер (матрицы, равпюй произведению двух матриц,
размеры которых даны в таблице (для 'случаев когда умножение
допустимо):
[Л]	[5]	[Л] [В]	[В] [Л]
(4X2) (3X5) (2X8)	(3X4) (5X6) (8X2)		
3. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
Рассмотрим матричное уравнение первой степени
[Л][Х]=[<2],
где [Л] — квадратная матрица n-го порядка, {Q] и [X] —
«-мерные векторы. В развернутом виде оно запишется
15
следующим образом (здесь векторы представлены в ви-
де столбцевых матриц):
Умножая квадратную матрицу на вектор, получим:
^11^1 “Г ^12^2 1 •• • I <*171% П
^21^1	^22^2 + •••4- @2пХп
4" ®П2^2 4“	+ ^ПП^П
<71
<?2
<7п
Так как равенство двух многомерных векторов воз-
можно только при равенстве их соответствующих ком-
понент, то уравнения записываются так;
Я1Л + Я12*2 + — + а^Хп = <71!
^21^1 |~ <^22*^2	* * * |*	--- <72*
^Ш-^1 4~ <^П2-^2 4" • • • 4“ &ПпХп---------- Яп'
Эта система п скалярных уравнений соответствует
матричному уравнению первой степени. Как видно, сво-
бодные члены 7г, •. 7п являются компонентами век-
тора [Q], переменные Xi, х2, ..., хп — компонентами век-
тора [X], а коэффициенты a(J-, где I, /=1, 2, ..., п — эле-
ментами матрицы [Л]. Всегда можно вместо матричного
уравнения первой степени записать соответствующую
ему систему линейных уравнений и, наоборот, систему
линейных уравнений представить в виде матричного
уравнения первой степени. При этом компоненты векто-
ров [Q] и (X], а также элементы матрицы (Л] должны
записываться с соблюдением определенного порядка. На-
пример, систему уравнений
2Xj-|-x2 = 4;	"I
—3x1-j-7r3 = 2;	I
—5%i-j-4xs — x, = 0 |
16
можно дополнить членами с нулевыми коэффициентами
2xi + 1*2 + 0*з — 4; 1
—Зх1-|-0х24-7*з = 2; >
—5X1 + 4х2 — 1 х3 = 0. J
В матричной форме
зом:
она запишется следующим
обра-
’ 2
—3
—5
0‘
7
—1
Xi
х2
*3
‘4
2
О
1
0
4
или короче
где
[Л] [X]=[Q],
Количество скалярных уравнений, соответствующих
данному матричному уравнению, равно порядку квад-
ратной матрицы. И наоборот, порядок квадратной мат-
рицы в матричном уравнении, соответствующем системе
линейных уравнений, равен количеству уравнений дан-
ной системы.
Элементами квадратной матрицы [Л] являются коэф-
фициенты системы уравнений, расположенные в опреде-
ленном порядке, а именно: строки матрицы соответст-
вуют уравнениям, а столбцы — величинам х2..., хп.
Обычно коэффициенты уравнений и свободные члены
считаются известными, а величины х2, ..., хп подле-
жат определению. При этом матрица [Л] называется
матрицей системы, вектор [Q] — задающим вектором
и вектор [X] — искомым вектором.
В матричной форме можно представить любые ли-
нейные зависимости между некоторой совокупностью
величин Xi, %2, • •., хп и другой совокупностью величин
1,	2» • • п*
= anxt + а12х2 + ... + а1пхп;
X 2 -- ^21^1 “F ^22^2	• • • “ф" О^пХп ,

2-1115
17
В отличие от рассмотренного случая здесь величины
х'ь х'г, • •х'т образуют m-мерный вектор (Л7], величи-
ны Xi, х2, ..хп — n-мерный вектор [X], а матрица [Л],
связывающая эти векторы, является прямоугольной мат-
рицей размера (тХп), т. е.
Матричное уравнение, соответствующее т скалярным
уравнениям, запишется в виде
[Г]=(Д](Х].
Упражнения
1. Записать систему скалярных уравнений, соответствующих
матричному уравнению [Л][Х]=(О], где 2 3 * * *
2. Представить в матричной форме систему уравнений:
3xi 4е 5х2 *4- 8X5 = 0;
—2х2 + 4х3 + 6х4 = 2;
7Xj + 8х3 — 4х4 = 8;
9xt +х2 + 2ха —5хб=12;
х3 — 2х4 4- 7хб = 10.
3. К какому типу относится матрица системы уравнений:
9xt + х2 — 4х3 = 6;
Xj -J- 7х2 == 8j
—4Xj 4- IO** = 0.
18
4. Записать линейные зависимости между компонентами векто-
ров [Xх] и |[Х], если они связаны посредством матрицы
48102-
[Л] = 7 6 3 1 2.
.10006.
5. Представить в матричной форме линейные зависимости:
х\ = aXi + Ьх2\ |
х'2 = cXi — dx3. J
4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Решение системы п уравнений относительно величи-
ны (6=1, 2, ..п) в общем виде представляется сле-
дующим образом:
Х/г = -д- (Д-|- ^2hQ2 4“ • • •
или
п
^sfdjs-
s=l
В этой формуле Д — определитель системы уравнений,
а Д8ь — алгебраическое дополнение. Определитель, как
и матрица, представляется в виде квадратной таблицы,
но в отличие от матрицы эта таблица заключается
в прямые вертикальные линии
	#11	#12	• •	•	#171
д =	#21	#22	• •	•	#271
#П1	#712	• • • ^ПП
Необходимо обратить особое внимание на то, что
матрица—это таблица и только таблица. Она может
равняться такой же таблице, в которой соответствующие
элементы равны между собой, но не может быть сведена
к какому-либо числу. Определитель можно вычислить и
представить некоторым числом или функцией. Наибо-
лее общее правило вычисления определителя n-го по-
рядка заключается в следующем.
Необходимо сначала составить произведения элемен-
тов, расположенных в различных строках и столбцах
определителя. Очевидно, в каждом произведении будет
2*	19
п сомножителей. Составление всех возможных произве-
дений из п элементов можно свести к рассмотрению их
индексов, а именно: первые индексы, указывающие на
номера строк, выбираются в виде последовательности
чисел (1, 2,	п), а вторые индексы, указывающие на
номера столбцов, — в виде перестановок чисел этой по-
следовательности (ai, аг, ...» ап). Тогда произведение п
элементов, расположенных в различных строках и столб-
цах определителя, запишется так:
апапш
Например, перестановками из трех чисел, 1, 2, 3 бу-
дут следующие шесть последовательностей: 123, 132, 213,
231, 312, 321. Количество всех возможных перестановок
из п элементов выражается числом п! = 1-2*3, ..., п
(читается «эн факториал»). Так, при п = 5 число пере-
становок равно 5! = 1 • 2• 3 • 4 • 5= 120.
Каждому произведению из п элементов, полученному
описанным способом, присваивается знак плюс или ми-
нус в зависимости от четности перестановки. Четность
перестановки определяется количеством инверсий (или
беспорядков) числовой последовательности (си,
«2, ..an). Инверсия имеет место, если старшее число
стоит раньше (левее) младшего. Например, в переста-
новке (2, 1, 4, 3) две инверсии (2 стоит левее 1, а 4 —
левее 3). Если количество инверсий четное, то под-
становка является четной и произведение п элементов
записывается со знаком плюс. Если количество инвер-
сий нечетное, то подстановка называется нечетной и
произведение п элементов записывается со знаком ми-
нус. Обозначив количество инверсий в i-й подстановке
через е/, можно учесть знаки f-ro произведения п эле-
ментов множителем (—1)8\
Значение определителя п-го порядка равно алгебраи-
ческой сумме всех возможных произведений по п
элементов, расположенных в различных строках и столб-
цах определителя (с учетом знаков этих произведений
и знаков самих элементов). В общем виде это выра-
жается следующим образом:
Пц tZ12 . . . din
dni &П2	. . • d>nn
20
Например, для определителя второго порядка имеем
две возможные перестановки (1, 2) и (2, 1), первая из
которых четная, а вторая нечетная, следовательно,
#21
#12
#22
---#Ц#22	#12^21’
Для определителя третьего порядка перестановки (1,
2, 3), (2, 3, 1) и (3, 1, 2)—четные, а перестановки
(1, 3, 2), (2, 1, 3) и (3, 2, 1) — нечетные. Следовательно,
#и
#21
#31
#12	^13
#22	#23
#32	^33
---#ц#22^33 "Т" #12^23^31 “Т" ^13^21^32
^11^23^32	#12^21^33	#13^22^31*
Очевидно, в общем случае, когда все элементы опре-
делителя отличны от нуля, слагаемых произведений бу-
дет столько, сколько перестановок из п элементов, т. е.
п\. Это число уменьшается, если имеются нулевые эле-
менты. Так, определитель приведенной в § 3 системы
уравнений третьего порядка равен:
О
7
—1
= 1.7(—5) — 2-7-4 —
-1(_3) (-!) = _ 94.
Величина ASk, входящая в выражения для искомой
величины xky является алгебраическим дополнением эле-
мента ash определителя, расположенного на пересечении
s-й строки и й-го столбца. Чтобы вычислить алгебраиче-
ское дополнение, необходимо сначала образовать соот-
ветствующий ему минор вычеркиванием s-й строки и
&-го столбца определителя. В результате получается оп-
ределитель на порядок ниже исходного определителя
А. Он и является минором Msk. Алгебраическое допол-
нение Ask отличается от минора Msh только знаком, ко-
торый определяется множителем (—l)s+\ где s и k —
номера вычеркиваемых строки и столбца, т. е.

21
Теперь можно воспользоваться общей формулой для
получения значений искомых величин системы линейных
уравнений. Для рассматриваемого примера
*i = -д- (Д и<71 + Д 2i<?2 + Д31<7з);
д (Д12*?!' I Дгг^г I Дз2?з)»
— д (Д1з^1 Н- Дгз^з ~|~ Дзз^з)-
В нашем случае </1 = 4, <72 = 2 и ^3=0, следовательно,
достаточно вычислить шесть алгебраических дополнений
определителя Д:
Д„ —(—1)I+1
да1 = (—1)2+1
Д.2=(- 1)1 +
Д22=(—1)2+
Д1з = (—1),+3
Дг,=(- 1)2.Г
О 7
4 —1
1 О
4 —1
—3	7
—5 —1
2 О
—5 —1
, -3 О
—5 4
з 2 1
—5 4
= — 28;
= — 38;
= —2;
= —12;
= —13.
О
4
Подставив вычисленные значения определителя, со-
ответствующих алгебраических дополнений и свободных
членов уравнения в выражения для хь х2 и Хз, полу-
чаем:
x>=-i-(-28-4+b2)=#;
х2=—i-(-38-4-2-2) = -g-;
х, = -А (-12-4-13.2)=-^.
22
Упражнения
1.	Найти все возможные перестановки чисел 1, 2, 3, 4 и опре-
делить их четность.
2.	Определить четность перестановок из пяти чисел
(4, 1, 2, 5, 3);	(2, 3, 1, 5, 4).
3.	Вычислить определители второго порядка
2+/5 4—/ ' a-{-b а2-[-Ь2
4—/ 10 ’	1 а—Ь
4,	Вычислить определители третьего порядка:
7—1	6
2	4	1
1	2 —5
3+/ 5/	0
0	10 3+/2
1 2-/ —4
5.	Вычислить определитель четвертого 'порядка, использовав ре-
зультат упражнения 1, а также /найти алгебраические дополнения
Д1з и Д24
2 0 15
4 5 0 1
3 0 2 4 *
2 3 5 1
6.	Решить систему уравнений по общей формуле
2х + Зу — 5z = 10;
у 4- 3z 6;
4х — у + 2z = 1.
7.	Определить х3 из системы уравнений:
Xi 2х2	4х3 — 0;
х2 4"	~Ь	= 10;
2Xj + х2 — 5х3 — 8х4 = 0;
— х4 = 6.
5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Прямой способ вычисления определителей по общей
формуле не всегда удобен и применяется сравнительно
редко. Разработано много различных методов вычисле-
ния определителей. Один из них основан на разложении
определителя по элементам строки и столбца. Можно
показать, что определитель равен сумме произведений
23
всех элементов какой-либо строки (или столбца) на
соответствующие им алгебраические дополнения. Таким
образом, определитель можно разложить по элементам
i-й строки
п
& —-	—J— $12^12 “Н • • • “Н ^in^in — Missis
s=l
или по элементам /-го столбца
п
А :j “ I " ^2 j^2 j " | • • • "4“
S— 1
При этом задача сводится к вычислению определите-
лей на порядок ниже. Разумеется, целесообразно рас-
крывать определитель по тем строкам и столбцам, ко-
торые содержат наибольшее число нулевых элементов.
Например, раскрывая определитель третьего порядка
(§ 4) по первой строке, имеем:
+ 1(-1)1+2
—3 7
—5 —1
4-0(—1)1+3
—3 О
—5 4
= 2 (—28) — 1 (3 4- 35) = — 94.
Раскрывая этот определитель, например, по второму столб-
цу, получим:
1 О
О 7
4 —1
Д=
2
—3
—5
= 1(—1)1+2
—3
—5
4-4(-1)2+3
7
— 1

2 О
—3 7
= —1 (3 + 35) — 4-14 = - 94.
Ясно, чем больше нулевых элементов в строке или
столбце, по которым раскрывается определитель, тем
24
меньше нужно вычислять алгебраических дополнений.
Можно предварительно преобразовать определитель так,
чтобы число нулевых элементов в какой-либо строке
(или столбце) было больше, чем в исходном определи-
теле. Это преобразование основано на следующем свой-
стве: значение определителя не изменяется, если к эле-
ментам одного из его столбцов прибавить соответствую-
щие элементы любого другого столбца, умноженные на
любую, но одну и ту же величину. Более того, опреде-
литель не изменится, если к элементам одного из его
столбцов прибавить соответствующие элементы любых
других столбцов или любую линейную комбинацию
других столбцов. Аналогичное свойство справедливо и
для строк. Полезно также знать, что множитель, общий
для всех элементов какого-либо столбца или строки,
можно вынести за знак определителя.
Применяя это свойство, можно так преобразовать
определитель, что в каком-либо столбце или строке
останется единственный элемент, отличный от нуля.
Вычислим, например, определитель пятого порядка
—2	5	0	—1	3
1	0	3	7	—2
3—1	о	5	— 5	.
26—412
0—3—1	2	3
Выбираем строку и столбец, в которых имеется наи-
большее число нулевых элементов. Два нуля имеются
в третьем столбце. Преобразуем определитель так, что-
бы в этом столбце появилось еще два нуля. Для этого
можно прибавить к элементам второй строки утроенные
элементы пятой и вычесть из элементов четвертой стро-
ки учетверенные элементы пятой. Тогда определитель
принимает вид:
—2	5	0	—1	3
1—9	0	13	7
3—1	о	5	—5 .
2	18	0—7	—10
0-3-1	2	3
25
Разлагая этот определитель по третьему столбцу, полу-
чаем:
	—2	5	—1	3		—2	5	—1	3
;-1)(-1)з+*	1	—9	13	7		1	—9	13	7
	3	— 1	5	—5		3	—1	5	—5 ‘
	2	18	—7	— 10		2	18	—7	-10
Теперь постараемся получить три нуля в первом
столбце, для чего прибавим к элементам первой строки
удвоенные элементы второй, а из элементов третьей и
четвертой строк вычтем элементы второй, умноженные
соответственно на 3 и 2:
0	-13	25	17
1	—9	13	1 7
0	26	-34	—26
О	36	—33	—24
Разлагая определитель по элементам первого столбца, по-
лучаем:
_(_1)*+2
-13
26
36
25
-34
-33
17
—26
—24
—13 25	17
26 —34 —26
36 —33 —24
Для дальнейшего упрощения полученного определи-
теля третьего порядка разделим элементы второй строки
на 2 и прибавим их к элементам первой строки, а также
вычтем из элементов третьей строки элементы второй:
0	8	4
26 -34 —26
10	1	2
Чтобы получить еще один нуль в первой строке, выч-
тем из элементов второго столбца удвоенные элементы
третьего:
0	0	4 26	18 —26 10 —3	2	4
26
Вынесем за знак определителя общий множитель 2
второй строки и разложив его по элементам первой
строки, получаем окончательно:
	0	0	4		1 Q	п	
2	13 10	9 —3	-13 2	= 2-4(—1)1+3	1о	У 10 —3	=
= 8-3	13 10	3 —1	= 24(-	-13—30) = — 24-43=-		-1 032.
Аналогичные преобразования целесообразно приме-
нять и при раскрытии определителей с буквенными эле-
ментами, например:
а-\-Ь 0	— (d-\-b)
О	с	— (с -j- е)
—b -c.b-\-c-\-d-[-e^-f
a-\-b 0 — (d-}-b)
О с — (с е)
а 0 f
= (—1)2+2с
~(d + b)
f
= e[(a+b)f + (d + b)a].
Здесь сначала к элементам третьей строки прибавле-
ны элементы первой и второй строк, а затем получен-
ный определитель разложен по элементам второго
столбца.
Для вычисления определителей высоких порядков и
решения систем линейных уравнений используются вы-
числительные машины на основе специально разрабо-
танных программ.
В заключение отметим еще два свойства, которые
могут оказаться полезными при операциях с определи-
телями:
1) при перестановке двух столбцов (строк) опреде-
литель меняет знак;
2) определитель равен нулю, если элементы двух
столбцов (строк) равны или пропорциональны или один
из столбцов (одна из строк) является линейной комби-
нацией любых столбцов (строк),
27
Упражнения
1.	Вычислить определители третьего порядка (см. упражнение 4
к § 4) разложением ло второй строке, а также разложением по
первому столбцу (сравнить полученные результаты).
2.	Вычислить определитель четвертого порядка (см. упражнение
5 к § 4) путем последовательного упрощения (сравнить результат
с полученным в упражнении 5, § 4).
3.	Показать прямым вычислением, что
6 6
4 2
9 5
1	2 6 1
3=02 3
0	8 5 0
4 6 1
4 2 3
1 5 0
1 3 2	7 1 3	3 1 7
7 0 14=0; 242=— 242
64 12	304	403
4.	Раскрыть определитель
2а^Ь —Ь Ь+с
—b а-\~Ь —b
b	—b Ь+с
6. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
В алгебре две величины, произведение которых рав-
но единице, называются взаимно обратными; число,
обратное числу а, обозначается через а-1 и согласно
определению аа~х=\.
В матричной алгебре две квадратные матрицы, про-
изведение которых равно единичной матрице того же
порядка, также называются взаимно обратными, т. е.
[Л][Л]-«={Л]->И]=[Ц.
Если оперировать с числами, то можно представить
произведение а~'Ь как частное от деления Ь на а. Ана-
логия по отношению к матрицам не применима, так как
вообще [Л]-'[В] =И=[В] [Л]-1. Поэтому различают левое
частное [В] на [Л], т. е. [Л]-*[В], и правое частное [В] на
[Л], т. е. [В] [Л]-1.
Сущность обратной матрицы можно выяснить из ре-
шения матричного уравнения
[Л][А]=[<2]-
Умножив обе части этого уравнения слева на обрат-
ную матрицу [Л]-1, получим:
[лнлнхылгта
28
или

т. е. для того, чтобы получить искомый вектор [А"], не-
обходимо матрицу, обратную матрице системы уравне-
ний, умножить на задающий вектор [Q]. В то же время
каждая компонента вектора [Л] выражается следующим
образом (§ 4):
Х1="У (Дц^1 +Д21^2+ ••• 4"
•^2-- Д (^12^1 + ^22^2 4“ • • • + АП2^п),
•^П = “д-	4“ ^271^2 4“	4“
В матричной
форме эти уравнения запишутся так:
Сравнивая с матричным выражением CT==H]-1[Q],
замечаем, что квадратная матрица в правой части урав-
нения и есть обратная матрица, т. е.
Ап
и|"=4
Д12
Д22	• • •	^712
^271	• • •	^ПП	।
_ &1п
Здесь Д — определитель системы уравнений. Будучи
записан в виде квадратной таблицы, он имеет такой же
вид, как и матрица системы [Д], т. е. элементы опреде-
лителя Д равны соответствующим элементам матрицы
[Д] и расположены в таком же порядке. Вообще для
любой квадратной матрицы можно записать ее опреде-
литель, который обозначается через |Д| или с!е1[Д], что
29
читается «детерминант матрицы [Д]», т. е.
	^11	#12	• •	^1П
д = |Л[ = det [Л] ==	#21	#22	
		#гг2	. • &пп
Элементами обратной матрицы [Д]-1 являются алге-
браические дополнения &sk, деленные на определитель
исходной матрицы А. До сих пор алгебраические допол-
нения рассматривались по отношению к определителю.
В равной степени, поскольку соответствующие элементы
матрицы и ее определителя равны и одинаково располо-
жены, можно связать алгебраические дополнения с мат-
рицей. При этом через &sh обозначается алгебраическое
дополнение элемента ash матрицы [Д]. Оно равно опре-
делителю матрицы, получаемой после вычеркивания
в ней s-й строки и Л-го столбца и умножения на
(—
Следует обратить внимание на расположение алге-
браических дополнений \Sh в полученном выше выраже-
нии для обратной матрицы [Д]-1. Как видно, элементы
первой строки обратной матрицы равны алгебраическим
дополнениям элементов первого столбца исходной мат-
рицы, деленным на определитель А; элементы второй
строки обратной матрицы равны алгебраическим допол-
нениям элементов второго столбца исходной матрицы,
деленным на определитель А, и т. д. Таким образом, по-
лучение обратной матрицы сводится к следующим опе-
рациям:
1)	каждый элемент исходной матрицы заменяется его
алгебраическим дополнением;
2)	производится транспозиция (взаимная перестанов-
ка строк и столбцов) матрицы алгебраических допол-
нений;
3)	полученная после транспозиции матрица умно-
жается на величину, обратную определителю исходной
матрицы.
Найдем, например, матрицу, обратную матрице си-
стемы уравнений, рассмотренной в § 3:
[Л]= -3
—5
О'
7
Г 2 1
30
Воспользуемся вычисленными в §4 алгебраически-
ми дополнениями и вычислим еще недостающие алге-
браические дополнения:
д„ = (—1)3+3
Теперь составим матрицу алгебраических дополнений
исходной матрицы
All	А12	Д»з'		'—28	-38	— 12
^21	^22	А 23		1	—2	—13
^31	А .3 2	^33		7	— 14	3
Транспонируя эту матрицу и умножая ее на величину,
обратную определителю Д = — 94, получим:
[Д]-
—1 — V
2	14
13 -3
Произведение обратной и исходной матриц должно
равняться единичной матрице того же порядка. Про-
верка показывает правильность полученного результата
Выражение для вектора [X] через обратную матрицу
представляет собой решение матричного уравнения пер-
вой степени, соответствующего системе линейных уравне-
ний. Это значит, что решение системы п линейных урав-
нений с п неизвестными можно получить путем обраще-
ния матрицы [4] этой системы и умножения обратной
матрицы (4]-* на задающий вектор [Q], Так для рас-
смотренного в § 4 примера имеем:
31
'28.4-1.2 — 7.0 "
38.4 + 2.2+ 14-0
12.4+13.2 — 3.0
Г hoi
’55'
78 .
37
Искомые величины хь х2, х$ равны соответствующим
компонентам полученного вектора (X], т. е.
_55_,	_2L
Х\— 47 > Х2— 47 J Х2 — 47 .
Обратная матрица существует только для квадрат*
ной матрицы, определитель которой не равен нулю. Та-
кая матрица называется неособенной. Матрица, опре-
делитель которой равен нулю, называется особенной.
Определитель произведения матриц равен произве-
дению определителей матриц-сомножителей, т. е.
det(H](B])=det{4]det[B].
Отсюда, в частности, следует, что определители оди-
наковых порядков можно перемножать по тому же пра-
вилу, что и матрицы.
Упражнения
1.	Вычислить матрицы, обратные следующим матрицам (если
это возможно):
- 4 7 1
— 12 0
. 5 4 3-
2+/3 7	/4
/2	/3	0
L 0	3—/2 8 J
-8	4 2-
0—3 7
.8	1 9.
2.	Решить матричным методом систему уравнений
4xt + 5х2 — 2х, = 0;
7Xj + х2 — х2 = 2;
2jc*2 — З-^з == 5.
3.	Найти определитель произведения матриц {4] и [В]: а) вычис-
лив сначала определители каждой из матриц и перемножив полу-
ченные значения; б) перемножив матрицы и вычислив определитель
полученной в результате матрицы.
-0 4 2-
[4] = 13 7
L8 0 6.
32
4.	Показать, что матрица, обратная диагональной, является так-
же диагональной, элементы которой обратны соответствующим эле-
ментам исходной матрицы.
5.	Показать, что матрица, обратная симметричной матрице,
также является симметричной. Какое отсюда следует упрощение
травила вычисления обратной матрицы?
7. ОПЕРАЦИИ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ
При решении практических задач встречается необ-
ходимость складывать и вычитать алгебраические допол-
нения элементов матрицы, расположенных в одном и
том же столбце или строке. Найдем сначала правило
суммирования алгебраических дополнений двух элемен-
тов какого-либо столбца матрицы [Л], например, Аас и
Аьс. Искомую сумму можно представить определителем,
который отличается от определителя А матрицы [Д] тем,
что элементы аас и аЬс его с-го столбца заменены еди-
ницами, а остальные элементы этого столбца — нулями,
т. е.
	^11	• • •	^1,С-1 Q	^l.C-j-l • • •	&1П @а1	• • • ^а,с-1	1	^а,с+1 • • • ^ап
Aflc А ьс		Ящ • • >•	1	^&,с + 1 • • • ^Ьп ani . . .	с-1	0	ап,с+1 • • • &nn
Значение определителя не изменится, если из эле-
ментов b-й строки вычесть элементы а-й строки. При
этом в с-м столбце останется единственный элемент,
равный единице (в а-й строке), а остальные элементы
будут нули. Разлагая определитель по столбцу с, мож-
но заключить, что искомая сумма равна алгебраиче-
скому дополнению А'ас нового определителя Д', полу-
чающемуся после вычитания элементов а-й строки из
элементов b-й строки в определителе А. Это можно
условно записать так:
Аас 4" А&с — Л(а—Ь)с«
Аналогично можно получить также следующие соот-
ношения:
Аас А&с — А(а-f-b) с>
АаЬ "4“ Аас === А а (Ь-с)>
АаЬ Аас = Да (ь+с).
3—1115
33
Формально здесь выполняются преобразования ин-
дексов по правилу; общий индекс двух алгебраических
дополнений можно вынести за скобку, причем знак
в скобках между индексами принимается обратным зна-
ку между алгебраическими дополнениями. По существу
сумма или разность двух алгебраических дополнений
одной и той же матрицы заменяется одним, которое бу-
дем называть суммарным алгебраическим дополнением.
Одиночные индексы суммарного алгебраического допол-
нения указывают на номер вычеркиваемых строк (или
столбцов). Первый индекс в скобках указывает на но-
мер строки (или столбца), элементы которой перено-
сятся со следующим за ним знаком в строку (или стол-
бец), номер которого соответствует второму индексу
в скобках. Знак суммарного алгебраического дополне-
ния определяется множителем (—1) в степени, равной
сумме первого индекса в скобках и одинарного индекса.
Индексы, определяющие знак суммарного алгебраиче-
ского дополнения, будем называть опорными.
Переставив местами слагаемые в левой части полу-
ченных выше равенств, приходим к зависимостям
Д(а-&) с = Д(Ь-а) cJ
^(а + Ь) с—	Д(Ь+а)с>
т. е. при взаимной перестановке индексов в скобках сум-
марное алгебраическое дополнение не изменяется, если
между индексами стоит знак минус, и изменяется по
знаку, если между индексами стоит знак плюс. Следует
иметь в виду, что при такой перестановке изменяются
опорные индексы.
Пусть, например, требуется вычислить выражения
Д12—Д22 и Д34-J-|Д1з1 для матрицы
’2 0 4 1"
0 15 6
1	9 0 0’
4 3 7 2
По формуле разности алгебраических дополнений,
отличающихся одной строкой, имеем:
Д12 --- ^22---- Д(14-2) 2--- ( I)1*2
24-0 44-5 1+6
1 о-о
4	7	2
34
2 9 7
1 О О
4 7 2
9 7
7 2
= — 1 (—1)2+1
— 18—49=—31.
По формуле суммы алгебраических дополнений, отли-
чающихся одним столбцом, имеем:
4* + 41 = 4 (4 -о — ( 1)’+4
0 4
1 5
3 7
2—1
0—6
4—2
1
—6
2
0
1
3
5
7
_4(_1)1+з
= _ (7—15) — 4 (—18 — 2) = 88.
Два суммарных алгебраических дополнения, у кото-
рых суммирующиеся индексы одинаковы, а одинарные
индексы различны, также можно записать в виде сум-
марных алгебраических дополнений, а именно:
\а±Ь) с — ^(а±(>) d \a±b) (c^d)'
(b±c) — &d (b±c) \a=Fd) (b±c)‘
Эти формулы выражают алгебраические суммы че-
тырех алгебраических дополнений элементов матрицы,
расположенных на пересечении каких-либо двух ее строк
и столбцов.
Так, для той же матрицы, что и в предыдущем при-
мере, сумма алгебраических дополнений элементов, рас-
положенных на пересечении второй и третьей строк и
первого и третьего столбцов, выразится следующим об-
разом:
41~I- 4з I 41	4з== 4 (1 -з) -Н 4 (1 -з)== 4а-з> (1 -з) •
Вычитая в определителе матрицы элементы второй
строки из третьей и первого столбца из третьего, имеем:
2 0 4 1 0 15 6 19 0 0 4 3 7 2	•—►	2 0 4	1 18—5—6 4 3	7	2		►	0	2	1 8 —6 —6 3	3	2
з*
35
Полученный определитель третьего порядка, умно-
женный на (—1)2+1, и будет равен Д(2-зх1-з) (знак сум-
марного алгебраического дополнения определяется пер-
выми индексами в скобках):
О 2
Л(2-,)(1-») = (-1)2+1 8 -6
3	3
1
—6
2
= 26.
Важное значение при операциях над алгебраическими
дополнениями имеет соотношение
AaftAcd Aad ЛсЬ — ДДаЬ, cd-
В левой части этого равенства фигурируют алгебраиче-
ские дополнения элементов матрицы, расположенных на
пересечении а-й и с-й строк и 6-го и d-ro столбцов.
В правой части равенства А — определитель матрицы и
&ab,cd — двойное алгебраическое дополнение. Оно равно
определителю исходной матрицы, в котором вычеркнуты
a-я и с-я строки, а также 6-й и d-й столбцы. Знак двой-
ного алгебраического дополнения определяется множи-
телем (—1)а+Е. Величина о равна сумме номеров вычер-
киваемых строк и столбцов, т. е. ia = a + & + c + d. Вели-
чина е определяется из порядка следования индексов
а и с, а также b и d. Если эти индексы возрастают или
убывают, т. е. если а>с и b>d или а<с и \b<d. то 6=0.
Если же индексы строк возрастают (а<с), а индексы
столбцов убывают (b>d) или, наоборот (а>с и b<d),
то -е = 1.
Очевидно, при взаимной перестановке индексов, обо-
значающих номера строк или столбцов, знак двойного
алгебраического дополнения меняется на обратный,
т. е.
A'a&, cd ~ &ad, cb = АсЬ, ad-
При одновременной перестановке индексов строк и
столбцов знак двойного алгебраического дополнения не
изменяется, т. е.
Aa&’ cd==Acd, ab-
Пусть, например, требуется вычислить алгебраиче-
ские дополнения A2i,13 и A*is, 34 матрицы
““1	2	5 0 '
2	4	3 2
—7001*
3—1—8 0
36
В соответствии с изложенным правилом имеем:
В частном случае, когда рассматриваются алгебраи-
ческие дополнения элементов матрицы, расположенных
на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номера-
ми, например, строк и столбцов с номерами а и Ь, при-
веденное выше соотношение имеет вид:
AiaaA&b AafcAfra = AAaaf ЪЪ-
Здесь двойное алгебраическое дополнение совпадает
с определителем А, в котором вычеркнуты строки и
столбцы с номерами а и Ь, так как (—1)а+е= + 1. Дей-
ствительно, а=а+Ь+а-}-Ь=2(а+Ь) всегда четное, а
6=0, так как индексы строк и столбцов двойного алге-
браического дополнения либо одновременно возрастают
(а<6), либо убывают (а>Ь). Для матрицы второго по-
рядка двойное алгебраическое дополнение равно еди-
нице.
Упражнения
1.	Дана матрица
4 —2 4 2 “
—1	5 0 1
0	2 3 4’
8	1 2 3_
Вычислить выражения:
All + ^21’»
^24	^22*»
^12 + ^12 - А 24- А
Д(1 -3) (2 + 1)«
37
2.	Для матрицы (см. упражнение 1) прямым вычислением про-
верить соотношение
^13^24-- ^14^23 = AA1I.24*
3.	Вычислить Даз.и и Д12.21 Для матрицы
4+/5 0	1 Зт-/2
3	1-/ 6 7+/5
О 7/4	0
3+/2 2 2+/	1
Глава вторая
СХЕМЫ
8.	ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Реальные электронные цепи представляются схемами
с идеальными элементами. Для анализа линейных режи-
мов цепей используются линейные схемы, которые опи-
Рис. 1.
сываются линейными алгебраическими или дифферен-
циальными уравнениями. Элементами таких схем служат:
1)	пассивные двухполюсники (сопротивления R, ем-
кости С, индуктивности L — рис. 1,а), представляющие
в схемах резисторы, конденсаторы, катушки индуктив-
ности и другие пассивные элементы цепи;
2)	взаимные индуктивности М (рис. 1,6), представ-
ляющие в схемах трансформаторы и вообще любые ин-
дуктивные связи между пассивными элементами цепи;
3)	идеальные триоды (электровакуумные и полупро-
водниковые— рис. 1,в), представляющие в схемах элек-
тронные лампы и транзисторы, работающие на линей-
ных участках их характеристик (при определенных по-
стоянных смещениях и достаточно малых сигналах на
их электродах);
4)	идеальные источники напряжения e(t) и тока
/(/)—рис. 1,г, представляющие в схемах реальные ис-
точники энергии и сигналов.
39
Как известно, зависимости между токами и напря-
жениями на пассивных двухполюсниках выражаются
уравнениями:
1 Г.	dir
—	uc = ~^-ycdt; ul = L-^~
или
i =Gu ; i — CL = -^-[ucdt.
к a C at L Lie
Эти уравнения приводятся к алгебраической форме,
если функции времени /(/), представляющие токи и на-
а)	6)
пряжения, преобразованы в функции Г(/?) комплексной
переменной р=а+/со с помощью интегрального преоб-
разования Лапласа
F (р) =Ъ (t)e~ptdt.
о
При этом операции дифференцирования соответству-
ет умножение на р, а интегрированию — деление на р
(при нулевых начальных условиях). Таким образом,
любой линейный двухполюсник (рис. 2,а) можно опи-
сать операторным уравнением
U=ZI или I=YU,
где U и / — изображения напряжений и токов, a Z и
Y — соответственно операторные сопротивление и прово-
димость двухполюсника, которые являются взаимно об-
ратными величинами. Операторные сопротивления пас-
сивных двухполюсников
Zr = R; = Z.=pL,
л	С рС L Г ’
а операторные проводимости
r,=G; Yf^pC-,
40
а)	6)
Рис. 3.
При синусоидальных токах и напряжениях р=/со и
сопротивление (проводимость) двухполюсника выра-
жается комплексным числом, а сами токи и напряжения
представляются ком-
плексными амплитудами.
Пассивный двухпо-
люсник может представ-
лять собой некоторое со-
единение простейших
двухполюсников. Харак-
теризующие его опера-
торные сопротивления или
проводимость могут быть найдены по известным прави-
лам расчета последовательного и параллельного соедине-
ний двухполюсников. Например, для двухполюсника,
приведенного на рис. 2,6, операторная проводимость
1	.	\ + pRC + p*LC
* — R + pL	R + pL
Комплексную проводимость (при синусоидальных то-
ках и напряжениях) получаем, положив т. е.
R + jaL “Ь	~~' R2 + ®2L2 +
Л	।	[ гу	\
/?2 + ®2£2 г1 R2 + ®Ч2 )'
Два индуктивно связанных двухполюсника (рис. 3,а)
описываются уравнениями:
____ дд	| г
Ub Маь dt -f~Lb dt
где Маь — коэффициент взаимной индукции.
В операторной форме эти уравнения имеют вид:
Uа — ZcJa-\- ZatJb
Ub — ^ab^a~\~^bh
Здесь Za=pLa и Zb=pLb — операторные сопротивле-
ния двухполюсников, Zab—pMab— сопротивление взаимо-
41
индукции. Операторная схема индуктивной связи при-
ведена на рис. 3,6. Знак перед Za6 в уравнениях индук-
тивной связи положительный, если токи, протекающие
через двухполюсник, направлены одинаково относитель-
но одноименных зажимов (жирные точки на схеме).
Уравнения индуктивной связи можно решить относи-
тельно токов
I •—	IJ
а 7 7 7г Ua
Т  ________Zgb___
ZaZb—Z2ab
- , , UK
LaLb— Lab
{/a+7ZZa^2-
LgLb Laij
или
J a — Y aaU a “f" abUb\
Ib= YabUa"]- YbbUbi
где собственные проводимости Yaa и Уьь индуктивно
связанных двухполюсников и проводимость индуктив-
ной связи Yab выражаются следующими соотношениями:
у ____ Zb . у ___________I Zab t
&&	7 7 __ у2 9	*	7 7 __ 7^	*
ab	**aL>b “““ аЬ
у ____ Za_______
bb~~ ZaZb—Z2ab
Отсюда видно, что при наличии индуктивной связи
между двухполюсниками их проводимости не являются
величинами, обратными сопротивлениям, а зависят и от
значения сопротивления взаимоиндукции Zab. Если ин-
дуктивная связь отсутствует (Za&=0), то, как и следова-
ло ожидать,
V ____	1	__ V . V ___ 1	__ V.
•* aa 2	* a> * bb	1 b*
Электровакуумные и полупроводниковые триоды яв-
ляются трехполюсными элементами (рис. 4), поскольку
они соединяются с другими элементами схемы посред-
ством трех внешних узлов (электродов). Зависимости
между токами и напряжениями триода нелинейные и
могут быть определены в виде функций двух переменных

42
Обычно начальный ре-
жим ламп и транзисторов
задается некоторыми зна-
чениями постоянных на-
пряжений на электродах
«ю и «го. При отклонени-
ях от этого режима на-
пряжения получают неко-
торые приращения A«i и
Д«2, так что Ui = «io+A«i
и «2=«2о+Ам2. Это влечет
за собой соответствующие
изменения токов. Разлагая нелинейную функцию
/1(«ь «г) в ряд Тейлора, имеем:
А —- f J («ю -[- A«1, «20 I A«2)- fl («10» «2o) |
-J- ( A«i+ л '' A«2 *f“
1 du.t 11 диг г J >
 1 / d2lt .210 d2it .	.	। d2ii .	\ ।
4—n- —s- A«i -4- 2 —д—4— AUjAuj 4------------г )-+-...
1 2 I du2	d^dUi 1	2 ' dul }
Аналогичное разложение имеет место и для функции
/г(«1, «г). Если приращения напряжений A«i и А«2 до-
статочно малы, то членами с высшими производными
можно пренебречь и тогда получим:
А = А («к» «го) 4"	А«14- Дм2)
А = h («ю, «20) 4-	Д«1+ А«а )
Первые слагаемые в правых частях этих уравнений
определяют значения постоянных составляющих токов
Ао = /1(«1О, «20); 120 = А(«Ю, «2о) •
Они могут быть найдены, например, графическими пост-
роениями по характеристикам ламп и транзисторов.
Остальные члены выражают переменные составляющие
токов через приращения напряжений на электродах
триодов:
Д|*= ~дщ Л“*+ ~di Ды«;
2 ди^ 11	2
43
Частные производные в этих уравнениях представ-
ляют собой динамические параметры триодов, которые
определяются по их характеристикам в области измене-
ния токов и напряжений. При надлежаще выбранных
режимах триодов они могут считаться величинами, не
зависящими от значений токов и напряжений:
__ dix _	„ 	 dii t ____ <Д2	„ 	 dl2
dut ’	@12_ди2 ’	^21 ди-i	’ ^22_ди2 ‘
Изменения токов и напряжений являются некоторы-
ми функциями времени, которые при анализе схем за-
меняются их изображениями (комплексными или опера-
торными). Тогда уравнения триодов, работающих в ли-
нейных режимах при достаточно слабых сигналах, выра-
жаются линейными зависимостями:
Ц — guUt -|- gnU2'i |
^2--' gilfJ 1 -Н giJJi- J
Идеальные источники напряжения и тока характери-
зуются соответственно напряжением e(t) или током /(/).
Считают, что задающее напряжение идеального источни-
ка не зависит от значения отдаваемого им тока, а задаю-
щий ток идеального источника не зависит от значения
напряжения на его зажимах. Это равносильно тому, что
внутреннее сопротивление источника напряжения равно
нулю, а источника тока — бесконечно большое. Обычно
функции времени, которыми выражаются задающие то-
ки и напряжения, представляют комплексами токов и
напряжений или операторными изображениями Е или J.
Рис. 5.
Работа реальных источников энергии и сигналов со-
провождается внутренними потерями, что учитывается
на схемах введением пассивных двухполюсников, как
показано на рис. 5. Зависимости между токами и на-
44
пряжениями на зажимах источников имеют вид:
E=ZaI+U; J = YWU+I.
Разделив первое уравнение на ZH, а второе — на Уи,
получим:

Сравнивая с предыдущими уравнениями, находим
условия эквивалентности источников напряжения
(рис. 5,а) и источника тока (рис. 5,6):
£ = 4-; ZH=или/=-у—; Ya^-^—.
I И	I И	Z>II	Lt И
Эти зависимости позволяют взаимно преобразовать
источник тока с параллельно включенной проводимостью
и источник напряжения с последовательно включенным
сопротивлением.
Упражнения
1. ’Определить операторные и комплексные сопротивления и про-
водимости двухполюсников, приведенных па рис. 6.
45.
2. Уравнения трех индуктивно связанных Двухполюсников
(рис. 7) имеют вид:
t7x = Zx/x4-212/24-Z13/,;
== Zi2/x + Z2/2 + Z23/a;
= Zi3/i -|“ Z23/2 -|“ Z3/3.
Записать эти уравнения в матричной форме и определить соб-
ственные и взаимные проводимости индуктивно связанных двухпо-
люсников путем обращения матрицы системы уравнений. К какому
типу относятся исходная и обратная матрицы?
3. В схеме, приведенной на рис. 8, преобразовать в“се источни-
ки: а) к источникам напряжения; б) к источникам тока.
9. СХЕМЫ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
При соединении элементов образуются узлы и кон-
туры схемы. Узлы являются точками, в которых объе-
диняются полюсы элементов, а контуры представляют
собой замкнутые пути, которые проходят по элементам
и соединяющим линиям (связям), изображающим про-
вода без сопротивления.
Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к дан-
ному узлу, в любой момент времени равна нулю. Усло-
вимся токи, направленные к данному узлу, считать поло-
жительными, а направленные от узла — отрицательны-
ми. При этом следует учитывать как токи в пассивных
элементах, так и задающие токи источников, присоеди-
ненных к данному узлу, т. е.
2/(/), /(0=0 или 2/, 7=0.
В замкнутом контуре алгебраическая сумма напря-
жений в любой момент времени равна нулю. Напряже-
ния, направления которых совпадают с выбранным на-
правлением контура, будем считать положительными,
а противоположно направленные — отрицательными.
При этом должны учитываться как напряжения на пас-
сивных элементах, так и задающие напряжения источ-
ников, входящих в данный контур, т. е.
Su(0, е(/)=0 или SC7, Е=0.
Эти положения хорошо известны под названием пер-
вого и второго законов Кирхгофа.
При анализе схемы предполагается, что известны ве-
личины, характеризующие все ее элементы и задающие
источники. Определению подлежат токи и напряжения
46
Рис. 9.
на элементах или на участках схемы. Для решения этой
задачи прежде всего необходимо выбрать совокупность
величин, полностью характеризующих состояние схемы.
В простейшем случае такими величинами могут служить
узловые напряжения, т. е. напряжения между одним из
узлов, называемого базисным узлом, и остальными узла-
ми схемы (рис. 9,а). Базисный узел обозначается через
О, а остальные узлы нумеруются порядковыми числами
от 1 до п. Нумерация узловых напряжений £/ь
(/2, ..Un соответствует обозначениям узлов, к кото-
рым они направлены.
Выбранная таким способом система узловых напря-
жений полностью определяет состояние схемы. Действи-
тельно, напряжение между любыми двумя узлами либо
совпадает с узловым напряжением, либо равно разно-
сти двух узловых напряжений. Например, напряжение
между узлами k и s (рис. 9,6) равно Uks=Uh—Us.
Зная узловые напряжения, можно определить напря-
жения между любой парой узлов, а значит и на любом
двухполюсном элементе. В свою очередь, токи, проте-
кающие через двухполюсники, определяются через на-
пряжения и проводимости (или сопротивления) двухпо-
люсников.
Уравнения схемы для узловых напряжений можно
получить на основании первого закона Кирхгофа. При
этом будем считать, что все источники, действующие
в схеме, преобразованы в источники тока. Рассматривая
произвольный узел схемы, например k-й узел на
рис. 9,в, запишем алгебраическую сумму сходящихся
к нему токов. Эти токи можно разбить на три группы:
1)	задающие токи источников, в алгебраическую
сумму которых Js со знаком плюс войдут токи, направ-
ленные к узлу, и со знаком минус — токи, направленные
от узла;
47
2)	токи в пассивных двухполюсниках с проводимо-
стью УЛ0, включенных между данным узлом и базис-
ным; так как узловые напряжения направлены к рас-
сматриваемому узлу, то положительное направление
этих токов — от узла, и, следовательно, в уравнение вой-
дут со знаком минус слагаемые У&о14;
3)	токи в пассивных двухполюсниках, включенных
между данными узлом и другими узлами схемы (кроме
базисного), например, между k-м и 5-м узлами, они
равны соответственно суммарной проводимости Yks этих
двухполюсников, умноженной на напряжение Uhs между
рассматриваемыми узлами, т. е. Yks(Uk—Us), и в урав-
нение для £-го узла такие слагаемые войдут со знаком
минус, причем их будет столько, сколько имеется двух-
полюсников между k-м узлом и остальными узлами (кро-
ме базисного).
Таким образом, алгебраическая сумма токов, стекаю-
щихся к &-му узлу, запишется следующим образом:
Jh —YttoUk — Yks (Utt — Us) —О
S— 1
ИЛИ
(n \	n
У ho + £ Yks Wh -y; YhJJs = h-
s= 1	/	1
J (s^k)
Как видно, коэффициент при Uk равен сумме прово-
димостей двухполюсников, сходящихся к й-му узлу, ко-
торую обозначим через У^. Она называется собственной
проводимостью &-го узла. Коэффициенты Yks при осталь-
ных узловых напряжениях равны взятым со знаком ми-
нус суммам проводимостей двухполюсников, включен-
ных между Л-м узлом и узлом, на напряжение которого
умножается этот коэффициент. Проводимость Yks назы-
вается взаимной проводимостью Л-го в s-ro узлов.
Записав такие уравнения для всех п узлов (кроме
базисного), получим систему узловых,уравнений схемы:
YhUi~]-Y12U2-]- .
Y2if7i + Y22U2 4“ •
YmUi + Уn?U2 4" • • • 4“ YnnUn — Jn* ]
48
Эта система в матричной форме имеет вид:
или, короче,
ил=м.
где
1И =
Элементы квадратной матрицы [У] n-го порядка —
это собственные и взаимные проводимости узлов, поэто-
му она называется матрицей проводимости схемы. Эта
матрица полностью характеризует схему, учитывая как
значения параметров элементов (проводимостей пассив-
ных двухполюсников), так и способ их соединения. Так
как взаимные проводимости Yks и Ysk матрицы схемы
определяются через проводимости двухполюсников,
включенных между k-м и s-м узлами, то Yks=Ysk. Отсю-
да следует важное свойство матрицы проводимости
схемы, составленной из пассивных двухполюсников: она
всегда симметрична относительно главной диагонали.
Матрица-столбец [7] представляет собой n-мерный век-
тор, компонентами которого служат алгебраические
суммы задающих токов источников, связанных с каждым
из п узлов. В связи с этим его можно назвать задающим
вектором. Задающий вектор характеризует воздействие,
оказываемое на схему всеми задающими источниками.
Матрица-столбец [£7] представляет собой n-мерный век-
тор, компонентами которого являются узловые напря-
жения, и называется вектором узловых напряжений. Он
определяет состояние схемы при заданном воздействии
и обычно является искомым вектором.
Вектор узловых наряжений [Л7] можно определить,
решив матричное уравнение схемы, т. е.
М=РТЧ4
4—Ц15
49
Таким образом, при анализе схемы необходимо со-
ставить матрицу [У] и задающий вектор [/], найти обрат-
ную матрицу [К]-1 и умножить ее на задающий вектор
[/]. Запись матрицы [У] и вектора [7] не представляет
трудностей и может быть осуществлена непосредственно
основе изложенного выше
правила. Однако опреде-
ление обратных матриц
требует большого объема
вычислительной работы.
С помощью примитивных
вычислительных средств
можно еще справиться
с матрицами пятого-шес-
того порядка. Даже воз-
можности больших элек-
тронных вычислительных
машин ограничиваются
матрицами порядка в не-
из рассмотрения схемы на
сколько десятков.
Рассмотрим, например, схему рис. 8. После преобра-
зования источников напряжения в источники тока (см.
рис. 10) выбираем базисный узел и нумеруем остальные
три узла схемы. Определяем сначала собственные про-
водимости узлов. К первому узлу подходят проводи-
мости У], У2, У4 и У5, к второму — У4 и Y6 и к третьему—
У2 и Уз; следовательно, матрица схемы с диагональными
элементами имеет вид (для удобства при записи матри-
цы используем табличную форму):
Рассматривая попарно узлы схемы, замечаем, что
между первым и вторым узлом включена проводимость
У4, между первым и третьим — проводимость У2, а меж-
ду вторым и третьим узлами непосредственная связь от-
сутствует. Заполняя таблицу соответствующими прово-
50
димостями со знаком минус, получим:
Так как матрица проводимости схемы, составленной
из двухполюсных элементов, симметрична относительно
главной диагонали, то дополнив соответствующие клет-
ки таблицы элементами, равными расположенным сим-
метрично, получим окончательную матрицу проводимо-
сти рассматриваемой схемы в виде (клетки с пулевыми
элементами оставляем пустыми)
Рассматривая источники тока, замечаем, что к пер-
вому узлу притекают задающие токи Уз, Л и —У5, ко’
второму — токи У2 и —У4 и к третьему — ток —Уь следо-
вательно, задающий вектор имеет вид:
1
И=2
3
Найдем обратную матрицу (У]-1. Определитель^мат-
рицы [У] можно предварительно упростить, прибавив
4*	51
вторую и третью строки к первой, т. е.
Л+у, У. У3
-у4 У4+Ув о
-у2 о у24-у3
Раскрывая определитель, например, по элементам
третьей строки имеем:
Д1= У2Уз(У4+Уб) + (У2+Уз)[(У1 + У5)(У4+Уб)+У4Уб]-
Заменив элементы матрицы [У] соответствующими
им алгебраическими дополнениями и разделив на опре-
делитель Д| (траспонировать матрицу алгебраических
дополнений не нужно, так как для схем с двухполюс-
ными элементами она получается симметричной), нахо-
дим:
(У2 + У3)Х Х(У.+ У8)	У4(У24-Уз)	у2(^4-у.)
У<(У2+Уз)	(У,+у4+у5)Х Х(У2+Уэ)+У2Уз	у2у4
У2 (У4 + Ув)	у2у4	(уН-у24-у2)Х х(У4+Ув)+У4Ув
Умножив эту матрицу на задающий вектор [J], полу-
чаем выражение для вектора узловых напряжений
(^+^)(У4+кв)(Л+4-Л) +
+ у4 (У2 + Уз) (Л - Л) - У2 (У4 + Ув) Л
м=4-
у4 (У2 + Уз) (Л + Л - Л) + [(У1 + У< + У2) X
X (У г + У,) + у 2у 3] (Л -Л) -
у2 (У4+у„) (Л+/4 - Л) + у2у4 (У2 - у4) -
-[(У1+У2 + У6)(У4 + Ув) + УЛ]Л
52
Из рассмотренного примера видно, что получение
выражений для узловых напряжений схемы (в общем
виде или в числовой форме) сводится к записи матрицы
схемы и задающего вектора, нахождению обратной мат-
рицы и умножению ее на задающий вектор. Применение
матричной алгебры устраняет необходимость каждый
раз составлять уравнения схемы и преобразовывать их
к удобному для решения виду. Процесс вычислений ма-
ксимально автоматизируется и удобен для использова-
ния вычислительных машин.
Нетрудно заметить, что проводимости двухполюсни-
ков, включенных между каким-либо узлом схемы и ба-
зисным, входят в матрицу проводимости только 1 раз
и вписываются со знаком плюс в диагональные клетки
таблицы, соответствующие номерам узлов, с которыми
связан данный двухполюсник. Проводимости двухпо-
люсников, включенных между двумя небазисными узла-
ми схемы, ВХОДЯТ В матрицу 4 раза и вписываются
в клетки таблицы на пересечении строк и столбцов с но-
мерами, соответствующими номерам узлов, между кото-
рыми включен данный двухполюсник: в диагональные
со знаком плюс и симметрично относительной главной
диагонали со знаком минус. Таким образом, можно за-
писать матрицу [У], рассматривая поочередно двухпо-
люсные элементы схемы. Так, в схеме рис. 10 проводи-
мости У1 и У5 включены между базисным и первым,
Уб — между базисным и вторым и Уз — между базисным
и третьим узлами. Эти проводимости вписываются в со-
ответствующие диагональные клетки таблицы
Проводимость У2 включена между первым и треть-
им узлами, следовательно, она впишется в клетки таб-
лицы, расположенные на пересечении первой и третьей
строк и первого и третьего столбцов
1	2	3
		-y2
	Yt	
-Ya		y3+y2
Проводимость У4 включена между первым и вторым
узлами, следовательно, она впишется в клетки матрицы,
расположенные на пересечении первой и второй строк и
первого и второго столбцов:
1	2	3
у,+у,+ув+у4	-у.	— у г
-Yt	Ya + Y4	
~Yt		Y,+ Yt
Эта матрица совпадает с полученной ранее путем
поочередного рассмотрения узлов. Второй способ записи
матрицы схемы удобен, когда количество пассивных
двухполюсников сравнительно невелико (например, для
электронных схем).
Рис. 1/1.
Упражнения
1. Для схем рис. Г1,а и б: а) записать матрицу проводимости
двумя способами (поочередным рассмотрением узлов и двухполюс-
ников); б) записать вектор задающих токов; в) выразить обратную
матрицу; г) получить выражение для вектора узловых напряжений
(предварительно преобразовать источники напряжения в источники
тока).
54
2. Вычислить токи и (напряжения на всех элементах схемы
(рис. 11,в) .матричным методом (для пассивных двухполюсников
указаны их сопротивления в омах, для источников — задающие (на-
пряжения в вольтах и токи в амперах).
Рис. 12.
3. Изобразить схему рис. 12,а для операторных проводимостей
и записать ее матрицу и задающий вектор.
4. Записать матрицу и задающий лектор схемы рис. 12,6 ДЛЯ
двух вариантов выбора базисного узла (узлы а и Ь).
10. СХЕМЫ с индуктивными связями
Выясним, как учитываются индуктивные связи при
записи матрицы схемы с двухполюсными элементами.
Пусть индуктивно связанные двухполюсники с собствен-
ными проводимостями Yaa и Yьь и проводимостью ин-
дуктивной связи Уаь оказались включенными соответст-
венно между узлами /, / и k. I схемы (рис. 13). Тогда
напряжения Ua — Ui—Uj и Ub = Uk—Ut и уравнения ин-
дуктивной связи (§ 8) запишутся в виде
(Ui ~	+ Yab - Ui); |
1ь = Уаъ (Ui - <7 j) + Ybb (Uk - Ut). j
Так как ток Ia направлен от узла i к узлу /, то при
составлении узловых уравнений этот ток войдет в левую
часть уравнения для /-го узла со знаком плюс и для /-го
узла со знаком минус. Ток 1Ь направлен от узла \k к уз-
лу /, поэтому этот ток войдет в левую часть уравнения
для &-го узла со знаком плюс и для /-го узла со знаком
минус. Таким образом, наличие двух индуктивно свя-
занных двухполюсников в схеме приводит к появлению
в матрице проводимости слагаемых в клетках на пере-
55
сечении строк и столбцов с номерами Z, /, k и /, распо-
ложенных следующим образом:
i j k I
Y 1 аа		Y 1 аа	У ab	-Yab
-Yaa	Уаа	-Yab	Yab
У ab	-Уаъ	Ybb	-Ybb
-Уab	Уab	-Ybb	Ybb
Нетрудно заметить, что собственная проводимость
Yaa двухполюсника, включенного между узлами i и /,
вписывается в матрицу так же, как и при отсутствии
индуктивной связи, т. е. на пересечении строк и столб-
цов с номерами i и /. Аналогично вписывается в матри-
цу и собственная проводимость Ybb двухполюсника,
включенного между узлами k и I. Проводимость индук-
тивной связи Yab вписывается в матрицу 8 раз на пере-
сечении строк и столбцов с номерами, образованными
попарным сочетанием узлов, к которым присоединен
один двухполюсник, с узлами, к которым присоединен
другой двухполюсник. При этом проводимость взаимной
индукции Yab записывается со знаком плюс, если отно-
сительно рассматриваемых узлов одноименные зажимы
занимают одинаковое положение, и со знаком минус,
если они занимают противоположное положение.
Пусть, например, требуется составить матрицу схе-
мы, приведенной на рис. 14. Выбрав базисный узел (0)
и обозначив остальные узлы схемы (от 1 до 5), запол-
56
ним квадратную таблицу с пятью строками и пятью
столбцами без учета индуктивных связей
1	2	3	4	5
Гз + ys+y9	-Y,		-Ys	
-Y,	Yt + Г, +Г4	-Yt	-Y,	
	-Л	Yt+Yt+Y7		-Yt
~YS	-Y<		Yt + Yi + Y;	-Yt
		~Yt	-Y,	Y,+Y6+Yt
В схеме имеется три индуктивных связи. Рассмотрим
их поочередно. Проводимость У12 связывает двухполюс-
ник У1 между узлами 2 и 3 с двухполюсником У2 между
узлами 4 и 5, причем одноименные зажимы располо-
жены у узлов 2 и 4. Следовательно, в матрицу схемы
необходимо вписать проводимость У12 следующим обра-
зом:
1	2	3	4	5
				
			Ylt	
			-rl2	r12
	y12	-rl2		
	-r12	r12		
Проводимость У67 связывает двухполюсник Ye между
узлами 3 и 5 с двухполюсником У7 между узлом 3 и
базисным. Возможные сочетания узлов первого двухпо-
люсника (3 и 5) и узлом второго двухполюсника 3
(базисный узел не учитывается) указывают, что необ-
ходимо вписать на пересечении третьей и пятой строк
с третьим столбцом, а также третьего и пятого столб-
57
цов с третьей строкой. С учетом положения одноимен-
ных зажимов имеем:
В клетке на пересечении третьей строки и третьего
столбца У67 вписано дважды со знаком минус вследст-
вие того, что узел 3 является общим для индуктивно
связанных двухполюсников, а их одноименные зажимы
расположены различно относительно узла 5.
Проводимость У7з связывает двухполюсник У7 меж-
ду третьим и базисным узлами с двухполюсником Ув
между пятым и базисным узлами. Здесь имеется только
одно попарное сочетание узлов индуктивно связанных
двухполюсников (3 и 5), причем одноименные зажимы
расположены относительно этих узлов различно. Сле-
довательно, проводимость У78 впишется в клетки на пе-
ресечении третьей строки и пятого столбца, а также
пятой строки и третьего столбца со знаком минус, т. е.
Матрица схемы с учетом индуктивных связей полу-
чается как -сумма записанных выше четырех таблиц,
учитывающих проводимости пассивных двухполюсников
и каждую связь отдельно, т. е.
58
1	2	3	4	5
У,4-УН-У,	-Y,		-у«	
-у.	У.+У.+У*	-У,	- У« + У12	-у»
	-Л	Y, + У. + + У,-2У.7	-У.2	-У.+Г.2 + + У.7-У,.
~Yt	-У4 + Л2	-у»	У2+У4+У.	— У»
	-Y„	-У.+У12 + + Ув7-У„	-У2	Y,+Y' + Yt
Как видно, наличие индуктивных связей в схеме, со-
ставленной из двухполюсных элементов, не нарушает
ее симметрии, но при этом взаимные проводимости мо-
гут содержать слагаемые различных знаков.
Рис. 15.
Правило записи матрицы схемы с индуктивными
связями предполагает, что для всех двухполюсников,
в том числе и индуктивно связанных, известны их про-
водимости, а также проводимости индуктивных связей.
Обычно же принято задавать индуктивные связи через
коэффициенты взаимной индукции МаЬ или через сопро-
тивление индуктивной связи Zab=pMab. Переход от со-
противлений к проводимостям для двух индуктивно свя-
занных двухполюсников был рассмотрен в § 8. В об-
щем случае, когда количество индуктивно связанных
двухполюсников больше двух, эта задача решается ана-
логично (см. упражнение 2 к § 8). Например, в схеме
на рис. 15,а имеется три индуктивно связанных двухпо-
люсника. Эта часть схемы приведена на рис. 15,6, где
Zi=pLb Z2=pL2, Zz=pL$, а также Z12—/MI12, Zi3=pAli3
59
и Z23=pM23. Зависимости между токами и напряжения-
ми индуктивно связанных двухполюсников выражаются
уравнениями:
= z1/14-z12/24-Zi,/,; 1
U. = Zdi Za/4 -|- ZisIt; У
и3==z 13Л 4~ zaj/j -|- z33/3, J
или в матричной форме
Pll U.	=	1	1 N Jsj N «	M	to N N N -	£	S l	1	г л 1 i. J3.
Следует иметь в виду, что
здесь Ui, 172 и U3 — это
напряжения на индуктивно связанных двухполюсниках
и они, вообще говоря, не совпадают с узловыми напря-
жениями схемы. Чтобы перейти к проводимостям, необ-
ходимо решать матричное уравнение относительно век-
тора (Ц, /2, /3), т. е. привести его к виду
Г7* 1
л
fZt
zia
_Z13
Z12
z2
Z23
z„--
Z23
Zs_
'U,-
U2
ut.
ГЛ1
r12
_Лз
Y„
Y.t
у» и i
Г2з
Y„.
u.
u3
Учитывая, что матрица сопротивлений индуктивно
связанных двухполюсников симметрична, находим:
У У У
1 11 1 12 ‘13
Y Y Y
1 12 1 22 1 23
Y Y Y
7 13 1 23 2 33
Z2Z3 -^23	^13^23 ZJ2Z3 Z12Z23	Z2Z18
___72
^13
12^*23	^2^13	^12^23	Z2Z,13	^1^2
где определитель матрицы сопротивлений
D = Zj (Z2Z3 —4) + Z12 (Z13Z23 — Z12Z3) +
"F Zi3 (Z12Z23	Z13Z2) — ZjZaZg ZiZ23 Z2Z|3
-Z34 + 2Z12Z13Z23.
60
Подставляя значения операторных сопротивлений,
получим выражения для искомых собственных и взаим-
ных проводимостей индуктивно связанных двухполюс-
ников:
У ____ Z2Zt — Z23 __
г 11—	D —
_____ 1	^1^2 — 4^23
Р	—^1^23 —^2^13 —^з	2Д412-^41
У ____ £13^23 -Z12Z3 __
12 —	Р	—
__ 1	Л413.М23 -А412^3
Р LjZ/2^3 —/^.М^з ——^*зЛ4|2 4“ ^^12^13^23
и т. д. Схема с источниками тока и проводимостями
приведена на рис. 15,в, где У1 = 1/7?ь У2= 1/Т?2 и У=рС,
а также Ji=Ei/Ri и J^EzIRz. Она состоит из двух час-
тей, между которыми имеется только индуктивные свя-
зи, определяемые проводимостями У12 и У\з. Чтобы со-
ставить матрицу проводимостей такой схемы, необходи-
мо выбрать базисные узлы в каждой части схемы. Ос-
тальные узлы, как и ранее, нумеруем порядковыми
числами. Правило записи матрицы схемы остается тем
же. Записываем сначала матрицу без учета индуктив-
ных связей
с изложенным правилом запишутся в матрицу следую-
щим образом:
1	2	3
2Г12	-r12	Лз + ^з
-г12		-Лз
+	-Лз	
61
Рис. 17.
Таким образом, матрица проводимости схемы прини-
мает вид:
	-У1-Уи-Л,	
-Л-Уп-У»	Л + Уи	-у»
у» + у„	-У.з	Y + YS3
Вектор задающих токов записывается по тем же пра-
вилам, что и для схемы без индуктивных связей
Подобным способом можно записать матрицу прово-
димости и задающий вектор для любой схемы, незави-
симо от ее сложности и количества индуктивных связей.
62
Переход от сопротивлений к проводимостям осущест-
вляется отдельно для каждой группы индуктивно свя-
занных двухполюсников.
Упражнения
1.	Записать матрицу проводимости и задающий вектор схем,
изображенных на рис. 16.
2.	Преобразовать источники напряжения в источники тока и
сопротивления в проводимости для схемы рис. 17.
3.	Какое влияние на матрицу схемы рис. 16,в окажет измене-
ние положения одноименных зажимов: а) двухполюсника Уь
б) двухполюсника Уз; в) одновременно двухполюсников У1 и Уз?
11. ПАРАМЕТРЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ
ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП И ТРАНЗИСТОРОВ
Электронные лампы, работающие в линейных режи-
мах без сеточных токов, обычно приводятся к идеаль-
ному триоду (рис. 18,а), уравнения которого
/с = 0;	|
Л —ч5[7с “h Gf[7a, J
где роль динамических параметров играют крутизна S
и внутренняя проводимость Gb Часто в качестве пара-
метра используется также статический коэффициент
усиления триода
И = 5Я,=Л.
Эквивалентная схема идеального триода приведена
на рис. 18,6. Нетрудно убедиться, что она описывается
теми же уравнениями. Таким образом, электронный
трехполюсник можно заменить схемой с пассивным
двухполюсником, проводимость которого равна 6/, и ис-
точником, задающий ток которого равен SUCi т. е. за-
Рис. 18.
63
висит от напряжения 1)с между сеткой и катодом. Ис^
точники, задающий ток или напряжение которых зави-
сит от некоторых других токов или напряжений, дейст-
вующих в схеме, называются зависимыми источниками.
На высоких частотах существенное влияние оказы-
вают емкости между электродами лампы, которые при
к
Рис. 19.
необходимости вносятся в эквивалентные схемы
(рис. 18,в). В диапазоне сверхвысоких частот на пара-
метры ламп, кроме междуэлектродных емкостей, замет-
но влияют индуктивности и взаимоиндуктивности вво-
дов, диэлектрические потери и время пролета электро-
нов. Вследствие этого элементы эквивалентной схемы
сложным образом зависят от частоты и выражаются
операторными проводимостями лампы Уск, Уса И Уак
(рис. 18,г). При этом крутизна S также является ча-
стотнозависимым параметром и в общем случае выра-
жается некоторым операторным соотношением, а внут-
ренняя проводимость Gi объединена с проводимо-
стью Уак.
При рассмотрении характеристик и параметров тран-
зисторов в качестве общего узла для отсчета напряже-
ний может быть выбран любой из его электродов —
эмиттер, коллектор или база (рис. 19). При этом обычно
используют три системы уравнений, в которых токи и
напряжения на электродах связаны посредством g (или
у)-параметров
Л = gllUl Н” £12^2» |
^2 === gzlU 1 “Н gziU2» /
г (или г)-параметров
J71 --11Л “F Г 12^2»
V2 = 21Л “F 22^2
64
или Л-параметров (гибридных)
Ui==г	“Н h12u 2^ 1
Л '- ^21Л “j"“	2* J
Различные системы параметров связаны между со-
бой зависимостями, вытекающими из этих уравнений.
Так, ^-параметры выражаются через другие параметры
следующим образом:
Ь11 ГцГ22 -----Г12Г21	^11 *
& Г12  ^12 .
12	Glf22---^12Г21	9
-	_________Г21_______ ^21 .
21	^11Г22 -Г12Г21 Лц ’
д .___ Г11	___ ^11^22 -^12^21
22	Г11Г22-^12Г21
Если параметры определены при одном способе
включения транзистора, то всегда можно найти соответ-
ствующие параметры при любом другом способе вклю-
чения. Например, чтобы выразить параметры для схемы
с общим эмиттером (рис. 19,а) через параметры для
схемы с общим коллектором (рис. 19,6), можно восполь-
зоваться очевидными соотношениями:
С/1К = |^1Э—^2э‘, ^2к = —
Лк = Лэ‘, Лк = —(Лэ + Лэ)*
Здесь и далее индексы б, э, к указывают на общий
электрод, выбранный в качестве общего узла для от-
счета напряжений U\ и f/2- Подставив эти соотношения
в уравнения для схемы с общим коллектором
Лк = giixU1К ~I- guvUtvi 1
Лк = ^21К^1К“|“ б’ггкЕ/гКэ J
получим:
Лэ = йГик ([71Э — t/аэ) Н“^12К ( С/гэ)>	1
(Лэ “|” Iаэ) =g*21K ((71Э С7гэ) S*22K ( U 2д) » /
5—1115
65
или
Лэ—gnvUid (Siik 4”S12k) САэ>
Лэ = (g UK 4~g 21к) 1713 4" fellK +g 12K +^21k+^ 22k)(/29‘	J
Отсюда получаем искомые соотношения:
gll3~	gl2Q = (g\lK 4“ £12k)>
^>213 =	(S\1K 4" ^?21k) j
g 229 = gllK 4“ gl2K + £21K 4“ g22K-
Аналогично можно найти и другие соотношения меж-
ду различными параметрами транзистора при различных
схемах включения.
Следует иметь в виду, что параметры транзисторов
характеризуются не только абсолютными значениями,
которые имеют размерность проводимости (все ^-пара-
метры и Л12), сопротивления (все r-параметры и /1ц)
или являются безразмерными (h\z и /г21)« Этим величи-
нам присущ также определенный знак (плюс или ми-
нус), который определяется наклоном статических ха-
рактеристик транзистора и выбранными направлениями
токов и напряжений на его электродах. Так, для пло-
скостных транзисторов при условии, что направления
а!э 1э гэ I гк I Ж* >	1 -gfx э. 60	1—	06 6; а) г г Г^-1 э 0~^-CZJ- —г5-’- —0К 60		1	06 в)	5А=Ь-]--С=1--0-« • б) 6(1) rs 8(3)	Г4—*“I	*(г) ^лИ|’ г)
Рис. 20.
66
токов и напряжений выбраны, как указано 'на рис. 19,
в схеме с общим эмиттером отрицательны ^12э и гХ2ъ\
в схеме с общим коллектором — *712к и ^21к и в схеме
с общей базой — gi26, £216 и h2X$. Остальные параметры
положительны.
Нач низких частотах транзистор можно представить
Т-схемой замещения с зависимым источником тока
(рис. 20,а). Четыре параметра эквивалентной схемы
Гб, Лэ, гк и а связаны с г, g и h — параметрами транзи-
стора зависимостями, которые легко найти из сравнения
уравнений транзистора в схеме включения с общей ба-
зой (рис. 19,в) и его эквивалентной схемой. По второму
закону Кирхгофа для эквивалентной схемы с преобразо-
ванным источником (рис. 20,6) имеем:
^1 = (''э+''б)ДН-гбЛ;	|
U2= (Гб 4“ агк) Ц Ч- (Гб “h Гк) If J
Сравнивая эти уравнения с соответствующими урав-
нениями транзистора, имеем:
Гэ + гб = Гцб; Гб = г12б; гб+агк = г21б; гбН-гк = гг2б,
откуда находим:
Гб==Г12б5 Лэ = Гцб G26*, Гн = Г22б Чгб5
г216 Г12б
Г22б -7*126
Аналогично можно выразить параметры эквивалент-
ной низкочастотной схемы и через другие параметры
транзистора, определенные при различных схемах вклю-
чения.
В области высоких частот (для некоторых типов
транзисторов она начинается уже с нескольких десятков
килогерц) заметно сказываются явления, которые учи-
тываются введением в эквивалентные схемы реактивных
элементов. Одна из таких схем приведена на рис. 20,в,
где параллельно сопротивлению гк включена емкость
Ск, а величина а зависит от частоты.
Попытки найти более совершенные схемы привели
к так называемой гибридной эквивалентной схеме
(рис. 20-г), элементы которой не зависят от частоты.
Источник тока в этой схеме управляется напряжением
(/в,э между внутренним узлом в и эмиттером.
5*	67
Упражнения
1.	Вычислить ^-параметры транзистора П103 в схеме с общим
эмиттером по известным Л-пар а метрам: Лцэ=2 000 ом; hi23=
= 1,51 • 10-3; Л21э=31,1; Л22э=32,1 • 10~6 сим.
2.	Показать, что зависимости между Л-параметрами в схемах
с общим эмиттером и обшей базой имеют вид:
«	^110 . .	|/*э |-/*12& . .	^21® 4" I I .
"иб —	, ^12б— др , л21б-----------------
.	__ ^22»
«226   Г) 9
*^10
где |Лэ| =Лиэ/122э—/212э^21э и /)=4—hi2d+h2ia+ |АЭ|. Вычислить /z-па-
раметры и ^-параметры для схемы с общей базой по данным упраж-
нения 1. Показать, что 1 +/i2i9.
3.	Используя зависимости для ^-параметров через г-параметры,
найти обратные зависимости и вычислить значения г-параметров
транзистора П103 по результатам упражнения 2.
4.	Определить параметры эквивалентной низкочастотной Т-схе-
мы транзистора по r-параметрам, полученным в упражнении 3.
12. МАТРИЦА СХЕМЫ С ЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
Заменяя электронные лампы и транзисторы их экви-
валентными схемами, можно представить электронные
схемы в виде схем с двухполюсными элементами. Выяс-
Рис. 21.
ним, как влияют на ма-
трицу проводимости зависи-
мые источники. Пусть зависи-
мый источник тока включен
между узлами, которые обо-
значены через k и I (рис.
21). Если его ток зависит
от некоторого управляющего
напряжения U^ между узлами i и / схемы, то он
выразится величиной SUij=S(Ui—Uj), где S — множи-
тель, имеющий размерность проводимости и называе*
мый управляющим параметром, a Ui и Uj — узловые
напряжения схемы.
Матррцу проводимости схемы без учета зависимых
источников можно записать по правилам, изложенным
в § 9 и 10. Зависимый ток источника войдет в свобод-
ные члены уравнений для А-го и /-го узлов, которые
в связи с этим запишутся в виде
• • • 4* ^finUn — Д (Ui—t/j);
У nt/iH- YfjJi + • • • + У inUn — J i — S (JJi — Ui).
68
На остальные уравнения зависимый источник, дей-
ствующий между узлами k и /, не оказывает никакого
влияния. Знаки, с которыми зависимый ток входит в со-
ответствующие уравнения, определяется его направле-
нием относительно узлов. Перенося зависимые токи
в левую часть уравнений, получим:
... + ^knUn — S[Jj —
Y iJJ	iJJ * • • 4"inUn~\-$Ui — SUj—Ji.
При этом изменяются только коэффициенты при уз-
ловых напряжениях Ui и Uj, через которые выражается
управляющее напряжение Оц. Таким образом, действие
зависимого источника SU^ можно учесть, вписав в мат-
рицу схемы управляющий параметр 5 на пересечении
строк с номерами к и I (они соответствуют узлам, меж-
ду которыми включен зависимый источник) и столбцами
с номерами i и / (они соответствуют узлам, между кото-
рыми действует управляющее напряжение При
этом управляющий параметр S вписывается в матрицу
со знаком плюс, если напряжение (7^ и зависимый ис-
точник направлены различно относительно узлов, опре-
деляющих номера данной строки и столбца, и со знаком
минус, если они направлены одинаково.
Правило записи задающего вектора [/] схемы с за-
висимыми источниками остается таким же, как и для
обычных схем.
Рассмотрим, например, схему с двумя электронными
лампами (рис. 22,а), эквивалентная схема которой при-
ведена на рис. 22,6. Матрица проводимости без учета
зависимых источников имеет вид:
12	3	4
			
		-Gu	
	— Gil		-Go
		-G.	G, + Ga + Gls
69
В схеме действуют два зависимых источника: S\UC\
и S2t/c2, где Uci и ис2 — напряжения между сетками и
катодами ламп, a Si и S2 — значения крутизн ламп,
служащие управляющими параметрами зависимых ис-
точников. Так как первый источник включен между уз-
лами 2 и <?, а управляется напряжением (/сЬ действую-
щим между узлами 1 и 3, то величину Si следует впи-
сать в клетки таблицы на пересечении второй и третьей
строк с первым и третьим столбцами с соответствующи-
ми знаками, т. е.
12	3	4
			
Зх	Ох Ой	Gil $i	
-S,	-Git	Gk Н- Go -|- Gii Si	-Go
		-Go	Oo-|- G2 -f- Gi2
Второй источник включен между четвертым и базис-
ным узлами и управляется напряжением С/с2, действую-
щим между вторым и базисным узлами. Базисные узлы
не имеют соответствующих строк и столбцов в матрице
схемы и не учитываются. Величина S2 поэтому впишется
в таблицу только на пересечении четвертой строки и
второго столбца со знаком плюс, так как управляющее
напряжение направлено к второму узлу, а зависимый
источник направлен от четвертого узла. Таким образом,
70
матрица схемы с учетом зависимых источников прини-
мает вид:
12	3	4
			
St	Gj-f-Gfj	Gii 5X	
-S,	-Ой	Gft$ + Gq + Gii + 5i	-Ge
	s2	-Go	Go G2 -f- Gi2
Аналогично можно составить матрицу проводимости
любой схемы с зависимыми источниками тока, которые
управляются напряжениями. Запишем, например, мат-
рицу проводимости гибридной эквивалентной схемы
транзистора (рис. 20,а), выбрав в качестве базисного
узла эмиттер. Зависимый источник включен между вто-
рым и базисным узлами и управляется напряжением,
действующим между третьим и базисным узлами. Сле-
довательно, управляющий параметр g впишется на пе-
g2(U-u3)
Рис. 23.
71
ресечении второй строки и третьего столбца со знаков
плюс, т. е.
Рис. 24.
72
Если в схеме действует зависимый источник напря-
жения, то его необходимо преобразовать в источник
тока по правилу, изложенному в § 8. Следует обратить
внимание на то, что матрица схемы с зависимыми ис-
точниками несимметрична.
Упражнения
1.	Записать матрицы проводимости эквивалентных схем элек-
тронной лампы, приведенных на рис. 18,6 — г.
2.	Записать матрицы проводимости схем с зависимыми источ-
никами, приведенных на рис. 23.
3.	Представить схемы (рис. 24) эквивалентными схемами с за-
висимыми источниками и записать их матрицы проводимости, ис-
пользовав для электронных ламп эквивалентную схему рис. 18,6
и для транзисторов — гибридную схему рис. 20,г.
13.	ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛАМПЫ И ТРАНЗИСТОРЫ
КАК МНОГОПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Другой подход к записи матрицы электронной схемы
заключается в том, что лампы и транзисторы рассмат-
риваются как многополюсные элементы. Они могут зани-
мать в схеме любое положение, и каждый из их элек-
тродов может оказаться соединенным с любым узлом
схемы.
Для описания трехполюсника, независимо от способа
его включения в схему, необходимы три уравнения, свя-
зывающие токи и напряжения на его полюсах (токи
считаем направленными внутрь трехполюсника, а на-
Рис. 25.
пряжения отсчитываем от дополнительного узла, как
показано на рис. 25,а):
Л—4"f/uC/2H“ f/iat/s? )
^2 У2^1 “Н[^22^2 “Н ydJil ?
h=ySiUi ^yszUz-^-ynUs-!
73
У11 У12 У13
[//]----- У 21 У 22 У 23
У 31 У 32 У 33 _
полностью характеризует трехполюсник, и ее элементы
принимают конкретное содержание в зависимости от
характера трехполюсника (лампа, транзистор) и рас-
сматриваемого диапазона частот. В связи с тем что
внешние токи трехполюсника связаны зависимостью по
первому закону Кирхгофа
Л + ^2 + Л = 0,
имеются соответствующие зависимости и между эле-
ментами матрицы [z/], а именно: сумма элементов в каж-
дой строке (столбце) равна нулю, т. е. уп +f/i2+//i3 = 0,
f/21 + f/22 + f/23 = 0, У 31 + f/32 + f/зз = 0, & ТЗКЖе У11+У21 +
+f/3i = о, у 12 + у22 + У32 = о и Z/13 + у23+Узз = 0. Следователь-
но, из девяти элементов матрицы [у] только четыре яв-
ляются независимыми, а остальные можно найти на
основании приведенных соотношений. Матрица [у] явля-
ется особенной, так как ее определитель равен нулю.
Четыре независимых элемента матрицы [у] можно
получить, рассматривая уравнения трехполюсника, ког-
да один из его полюсов, например полюс 3 выбран в ка-
честве базисного (рис. 25,6). При этом Uz = Ot и уравне-
ния трехполюсника запишутся в виде
А V11U 1 “|~ У12^2 » |
12	У 1 “Ь* У 22U2>/
или в матричной форме
‘С711
.ия I ’
74
Матрица
W = p“
и^21
У12
У22 _
отображает трехполюсник относительно узловых напря-
жений, отсчитываемых от одного из его полюсов. Для то-
го чтобы перейти от матрицы [у0] к матрице [z/], достаточ-
но дополнить ее третьей строкой и третьим столб-
цом, т. е.
Ун	у1г	!	— й/и + «/12)
У 21	У 22	[	~~ (У21 4“ У 22)
Матрицы проводимости конкретных многополюсных
элементов можно записать на основе их уравнений 'или
эквивалентных схем. Так, для идеального триода (см.
рис. 18,а) при обозначении полюсов, указанном на
рис. 26,а (сетка обозначена цифрой /, анод — 2, катод —
3), имеем:
Л = 0;
Ц = SUi + GiU2.
Отсюда записываем матрицу второго порядка (катод
играет роль базисного узла)
Ш =
’О 0 ]
S Gi ]
75
Деполняя эту матрицу третьей строкой и третьим столб-
цом, получаем матрицу идеального триода
с а	к
		
S	Gi	-(S + Gi)
— S	— Gi	S + Gi
Для высокочастотного триода воспользуемся эквива-
лентной схемой (см. рис. 18,г). По правилу, изложенно-
му в предыдущем параграфе, запишем ее матрицу (обо-
значения полюсов те же, что и для идеального триода —
рис. 26,а)
сак
^ск 4“	- ^са	-гса		 ^ск
-rca	+ S	Уак~Ь ^са	- (Гак+S)
-(Гек	+ $)	-Гак	гСк4-гак+$
Низкочастотный транзистор при обозначении полю-
сов, как указано на рис. 26,6 (база — /, коллектор — 2,
эмиттер — 3), характеризуется уравнениями:
Л = ^ИЭ^Л 4“ gl2dUi9 1
^2	^21э£Л ~F ^223^2 • J
Отсюда записываем неособенную матрицу (эмиттер
играет роль базисного узла)
gild gl2d
Дополняя ее до третьего порядка, имеем:
б	к	э

б
э
gild	ЙГ12Э	(^ИЭ-|-£12э)
^21Э	^22Э	(ёг1Э Ч“^22э)
feiia 4“ £Гг1э)	(йГ12Э “Ь йГгвэ)	8113 "f” 8123 4“ -1“ 8213 + 8223
76
Если заданы другие параметры (г или Л), то входя-
щие в эту матрицу элементы можно определить по фор*
мулам пересчета (§ 11).
Матрицу высокочастотного транзистора можно полу:
чить из рассмотрения его эквивалентной схемы (см.
рис. 20,г). Обозначив, как и прежде базу, коллектор,
эмиттер и внутренний узел соответственно через б, к, э
и в, по правилу записи матрицы схемы с зависимыми
источниками имеем:
б к	э	в
go			— gt
	£вк4-£кэ4- PC*#		 g 	 g*3	g 	 gsv 	 pC^.K
		 g*&	g+£®.©+gKa+ 4-		g — gw 	pC<B$
—g6		 g&K 		 рСв.К	— рс&&	g6 +^.»+^B.k+ + р(С#л + C(b.k)
Здесь g-6=l/r6. Матрица высокочастотного транзисто-
ра получилась четвертого порядка, так как гибридная
эквивалентная схема, кроме трех внешних узлов (соот-
ветствующих электродам транзистора), имеет еще чет-
вертый внутренний узел.
Упражнения
1.	Воспользовавшись зависимостями между параметрами тран-
зистора (§ 11), записать матрицу проводимости транзистора через г,
и Л-параметры.
2.	Записать систему уравнений гибридной схемы транзистора,
соответствующую ее матрице проводимости, исключить из этой си-
стемы напряжение внутреннего узла и получить матрицу третьего
порядка высокочастотного транзистора.
3.	Уравнения электровакуумного триода, работающего с сеточ-
ными токами, имеют вид:
/с — GacUc -f- SCUA; )
7 а = 5at7c -f-	J
Записать матрицу проводимости этого триода.
77
14.	МАТРИЦА СХЕМЫ С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Пусть в электронной схеме один из узлов выбран
в качестве базисного и записаны ее узловые уравнения
без учета многополюсных элементов:
Y nUi 4" У12U2 + • • • 4” У inUn = Л 1
21J71 4“ 22^2 4“ • • • 4“ 2nUn — Л |
^41t714” ^712^2 4“ • • • 4" ^nnUn j
Этой системе уравнений соответствует матрица про-
водимости п-го порядка
	1	2	• • •	п
1	Гн	Г»		
[У]= 2	У21	У22		Уг„
				
п		У„2		у 1 пп
Рис. 27.
Выясним теперь, как изменится эта матрица при
включении в схему многополюсных элементов. Пусть,
например, трехполюсник входит в схему так, что его
полюс 1 соединен с узлом р схемы, полюс 2 — с узлом
q и полюс 3— с узлом г (рис. 27). При этом напряже-
ния узлов трехполюсника совпадают с соответствующи-
ми узловыми напряжениями схемы,
т. е. Ui = Up, U2=Uq, U3=Ur. и урав-
нения трехполюсника принимают вид:
1==: у^и р 4- у 12U q 4~ yiJJri
I 2 — У 211/ р | У 22U q 1 ^23^7 г,
Л = y^JJp 4~ //з2^<?4~ Ум№г*
При составлении узловых уравне-
ний для узлов р, q и г схемы, к кото-
рым присоединен трехполюсник, необ-
ходимо учесть токи Л, /2 и /3. Пх можно рассматривать
как задающие токи и, поскольку они направлены от
рассматриваемых узлов, то войдут со знаком минус
в правые части р-го, р-го и r-го уравнений схемы или со
78
знаком плюс в левые части этих уравнении, т. е.
У р 1U1 4”" • • • + Y PnU п + А —• Jp >
YqiUi 4“ • • * 4~ YqnUn~[~ Ц= Jq\
Y riUi 4“ • • • 4“ YrnUn 4“ Л
Таким образом, за счет включения многополюсного
элемента изменяются только те уравнения схемы, кото-
рые соответствуют узлам, связанным с многополюсным
элементом. Остальные уравнения схемы остаются без
изменения. Подставив значения и /3 из уравнений
трехполюсника, замечаем, что в р-м, ^-м и г-м уравне-
ниях изменяются коэффициенты при Vq и Ur. При-
чем к их прежним значениям прибавляются соответст-
вующие коэффициенты уравнений трехполюсника. Это
значит, что в матрицу проводимости схемы на пересече-
нии строк и столбцов с номерами р, q и г необходимо
вписать элементы матрицы проводимости трехполюс-
ника, т. е.
р	7	г
Тр р 4“ у и	Ypq 4“ У12	¥ рт 4“ У13
Yqp 4“ ^21	Yqq 4“ У22	Yqr 4“ У 23
4~ уэх	Уrq 4- Уз2	у гг 4- р33
Для того чтобы установить, в какие клетки матрицы
проводимости схемы вписать соответствующие парамет-
ры трехполюсника, \ достаточно обозначить строки и
столбцы матрицы трехполюсника номерами узлов схе-
мы, с которыми соединены полюсы элемента, т. е. в рас-
сматриваемом случае
р q г
р	У п	У12	У13
[у] = q	У 21	У 22	У 23
Г	У 31	У 32	У 33
Теперь в этой матрице содержатся сведения не
только о параметрах многополюсника, но и о положении,
79
которое он занимает в схеме. Новая нумерация строк
и столбцов указывает на место, которое должен занять
в матрице схемы данный элемент матрицы трехполюс-
ника в соответствии с его включением в схему. Может
оказаться, что один из полюсов трехполюсника соеди-
нен с базисным узлом схемы. Элементы строки и столб-
ца матрицы трехполюсника, которые соответствуют это-
му полюсу, не вписываются в матрицу схемы.
Рассматривая поочередно все многополюсные элемен-
ты и вписывая последовательно в квадратную таблицу
их параметры, приходим в конечном счете к матрице
всей схемы. Изложенный способ пригоден для сколь
угодно сложной схемы и для многополюсных элементов
с любым числом полюсов. Проиллюстрируем его приме-
нение на примере схемы рис. 22,а.
Матрица схемы без учета электронных ламп записы-
вается в виде
12	3	4
			
	Gt		
		GK-\-G0	-Go
		-Go	G24-Go
Если лампы работают без сеточных токов, то их
матрицы с учетом соединения в схеме следующие:
1	2	3
1			
Ы = 2	S.	Git	-(St + GiO
3	-S.	-Git	S. + Gi,
	2	4	0
2			
If/S]=4	Ss	Gia	~ (Sa + Gig)
0	-s2	— Gi2	Sa4"Gia
80
Вписав элементы этих матриц в соответствующие
клетки таблицы, имеем матрицу проводимости всей
схемы
12	3	4
			
	Gi + Ой	-(S, + Gfl)	
-S.	-Ой		-Gp
	ss	-Go	G24-G04-Gi2
Эта матрица совпадает с найденной другим способом
в § 12. Но здесь она получена, более коротким путем
без промежуточного перехода к эквивалентной схеме
с зависимыми источниками.
Рассмотрим в качестве еще одного примера схему
избирательного усилителя на транзисторах (рис. 28).
Выбрав один из узлов в качестве базисного (обычно
базисным узлом удобно выбрать заземленный узел) и
обозначив остальные шесть узлов порядковыми цифра-
ми, записываем сначала матрицу проводимости без уче-
та транзисторов
1	2	3	4	5	6
Gt	-Gt				
-G.	G 2+^4+pC 2			~Gt	—рс^
		Gs			
			^1+^6 ~vpc 1	-Gt	— pCx
	-g2		— G1	Gi+G2 ~\"рСг	
	— pC^		— pCi		Gi+p (Ci+Cs)
6-1115
81
Матрицы низкочастотных транзисторов с обозначе-
нием тех узлов схемы, с которыми соединены соответ-
ствующие полюсы транзисторов, имеют вид (§ 13):
2	0	3
2	ё'и	g'n	— (g'u + g'12)
	g'll	g^ 22	(7Q to at” to «Э
3	—(g'n+g'si)	~(g'12~\~g'22)	
	3	4	0
3	g”ll	g"12	-(2"и + £"п)
[f/2] = 4	g"21	ё 22	-(g'^ + g'^)
0			ё 11А-ё lzA-ё 21~\~ё 22
Вписав элементы матрицы транзисторов в соответ-
ствующие клетки таблицы, получаем искомую матрицу
проводимости схемы
1	2	3	4	5	6
1	G*	-g4				
2	—G*	G2+G4 + -f-pCa+g 'и	— (g'n + g'ia)		— Ga	— рсл
in=3		— (g'll+ + g'ai)	Gg+g'n + gSaH- +£'ai + £'aa+ + g"n	g"ia		
4			g"ai	Gl+Gj+ +Z,Ci+<?/'aa	— Gt	-рСг
5		—-Ga		— Gj	Gt + Ga + + pct	
6		— PCa		-pCi		Ge + +P (Ci+Ca)
Упражнения
1.	Записать матрицы проводимости для схемы с электронными
лампами, приведенной на рис. 29 (лампы рассматривать как идеаль-
ные триоды).
82
2.	Записать матрицы (Проводимости для схем, приведенных на
рис. 24, и сравнить результат с полученным при решении упраж-
нения 3 (§ 12).
Рис. 29.
3.	Как изменится матрица проводимости схемы, если: а) какой-
либо узел закоротить с базисным узлом; б) объединить два узла
схемы в один; в) перенумеровать узлы?
6Ф
Глава третья
ФУНКЦИИ
15. ПАРАМЕТРЫ СХЕМЫ
Матрица проводимости полностью определяет струк-
туру схемы и значения параметров входящих в нее эле-
ментов. Как было показано в предыдущей главе, матри-
ца проводимости может быть записана для электронной
схемы по простым правилам. Чтобы определить токи и
напряжения, действующие в схеме, необходимо перейти
к обратной матрице и умножить ее на вектор задаю-
щих токов. В результате получим вектор, компоненты
которого представляют собой узловые напряжения, от-
считываемые от базисного узла. Зная эти напряжения,
можно определить напряжения и токи на элементах схе-
мы. Таким образом, матрица схемы может рассматри-
ваться как ее первичный параметр. Ее вид зависит от
выбранной системы отсчета величин, характеризующих
состояние схемы (системы координат), например, от то-
го, какой узел выбран в качестве базисного и как про-
нумерованы остальные узлы.
Часто при анализе электронной схемы интересуются
не только токами и напряжениями на ее элементах, но
и соотношениями между токами и напряжениями на
входах и выходах схемы. Эти соотношения характери-
зуют преобразования электрической энергии и сигналов,
действующих на входах схемы, относительно ее вы-
ходов. Каждый вход и выход фиксируется парой внеш-
них узлов, к которым присоединяются соответственно
источники или нагрузки. В соответствии с принципом
суперпозиции в линейных схемах реакция на любом
выходе может рассматриваться как сумма реакций от
каждого входного воздействия отдельно. Поэтому, не-
зависимо от количества входов и выходов, можно свести
84
задачу к рассмотрению четырехполюсника — схемы с од-
ним входом и одним выходом (рис. 30). Источник энер-
гии или сигнала, действующий на входе четырехполюс-
ника, может быть представлен в виде идеального ис-
точника напряжения Е с внутренним сопротивлением
Zu (рис. 30,а) или идеального источника тока / с внут-
ренней проводимостью Уи (рис. 30,6). Нагрузка на вы-
ходе соответственно представляется сопротивлением ZB
или проводимостью Ун.
а)	б)
9)
Рис. 30.
Четырехполюсник как звено преобразования энергии
или сигналов характеризуется отношениями между вход-
ными величинами /Вх и Usx и выходными реличинами
/вых и //вых- Эти отношения зависят только от внутрен-
ней структуры четырехполюсника и называются вторич-
ными параметрами схемы. К ним относятся следующие
величины:
1)	коэффициент передачи напряжения Ки, равный
отношению выходного напряжения к входному, т. е.
д-  £^®ых ,
2)	коэффициент передачи тока Ki, равный отношению
выходного тока к входному, т. е.
у   / вых
*1—	’
3)	сопротивление передачи Znep, равное отношению
выходного напряжения к входному току, т. е.
у    Uвых ,
^пер— “7^-.
85
4)	проводимость передачи УПер, равная отношению
выходного тока к входному напряжению, т. е.
V ____ IВЫХ
Г пер-77^-
Следует обратить внимание на то, что в общем слу-
чае сопротивление и проводимость передачи не явля-
ются взаимно обратными величинами. Так как С7Вых=
= ^н^вх, ТО
у ____ Uвых   ZH/ •вых  	__^1 •
Zner-	М ~	“ Ги ’
у ____ /вых  (ДвыХ у гг
Ко вторичным параметрам можно отнести также
величину ZBx, называемую входным сопротивлением и
равную отношению входного напряжения к входному
току, т. е.
<7	___ ^Лвх
/®х
или обратную ей величину — входную проводимость
v ____ I**
1 вл— 77	•
и вх.
Входные сопротивление и проводимость также мож-
но выразить через другие вторичные параметры. Так как
/|ВХ ^)ВЫХ /вх Лвых
то можно написать:
7 _2„ер	_7
Ки ~Гпер ~YaKv "Ку ;
у __ KU _УПер ___ YaKU _
Znep К, К, ZbKj'
Входное сопротивление (или проводимость) характе-
ризует четырехполюсник как нагрузку на источник си-
гнала или энергии. С этой точки зрения четырехполюс-
ник вместе с нагрузкой на его выходе можно предста-
86
вить эквивалентным пассивным двухполюсником,
сопротивление (проводимость) которого определяется
значениями его входного сопротивления (проводимости).
Непосредственно из рис. 30,в и г имеем:
т =	_ JY^
В51 ZH + Z.BX Ки + ^вх’
~Zu+Zbx = Г,+ Гвх •
Относительно выходных полюсов четырехполюсник
вместе с источником на входе в соответствии с теоремой
об эквивалентном генераторе можно представить экви-
валентным активным двухполюсником (рис. 30,5 и е).
Как известно, £э и эквивалентного генератора опреде-
ляются соответственно как напряжение холостого хода
и ток короткого замыкания на выходе четырехполюсни-
ка. Так как выходное напряжение равно Ku'U^, то
О £Zbx
Еэ = {Kv	=
Н	+ ZBX
__ 7^0 J
Y ’
Г и + вх
где Ку , Z°BX и У°х — соответственно коэффициент передачи
напряжения, входные сопротивление и проводимость при
холостом ходе (ZH = oo). Аналогично выходной ток равен
KJ^ поэтому
Л = (К7 ^bx)zh - 0 ~
п	IYK
__ т^К L _______ т^К J вх
1 Zh + ZgX 1 У и + КвХ
где К* , Z*x и У*х — соответственно коэффициент передачи
тока, входные сопротивление и проводимость при коротком
замыкании на выходе (ZH = 0).
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
(рис. 30,5) представляет собой выходное сопротивле-
ние четырехполюсника. Оно определяется при Е=^0 или
/ = 0 соотношением
7	__ ^,вых
^выЯ—	7	•
7 .вых
37
Напомним, что при Е = 0 полюсы идеального источ-
ника напряжения закорачиваются, а при 7=0 ветвь
с идеальным источником тока разрывается.
Значения вторичных параметров можно найти для
каждой конкретной схемы, определив предварительно
каким-либо образом соответствующие токи и напряже-
ния. Однако такой путь нецелесообразен, так как он свя-
зан с громоздкими расчетами. В то же время имеется
возможность установить связь между вторичными пара-
метрами и матрицей схемы и, таким образом, получить
для них зависимости в общей форме.
16. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК с короткозамкнутой СТОРОНОЙ
Чаще всего электронная схема приводится к четырех-
полюснику с короткозамкнутой стороной, вход и выход
которого имеют общий узел (рис. 31). Выберем этот

'вх иа
Рис. 31.
узел за базисный, а остальные узлы схемы обозначим
порядковыми номерами- от 1 до п. Матрицу проводимо-
сти [У] запишем для схемы без учета внутренней про-
водимости источника Уи и проводимости нагрузки Ун.
Пусть входной узел обозначен номером а, а выход-
ной— номером Ь. Тогда UBT=Ua и Г/Вых=^ь, поэтому
можно написать (§ 4):
t/вд —-д’ (Aia/l“b^аа/гЧ- • • • + ^na/n)l
t/вых —	(Дц»/1Ч" Д«б/а Ч" • • • Ч~Д пь/п),
где Д' — определитель матрицы проводимости [У], Д/j —
алгебраические дополнения и /ь j2, ..., /п — компоненты
задающего вектора, которые равны алгебраической сум-
ме задающих токов, притекающих к соответствующим
узлам.
Будем считать, что внутри четырехполюсника отсут-
ствуют независимые источники. При этом все компонен-
ты задающего вектора, соответствующие внутренним уз-
лам схемы равны нулю. Отличными от нуля будут
только величины ja и /ь, так как узлы а и b связаны
соответственно с источником и нагрузкой, которые не
учитывались при составлении матрицы проводимости.
Токи /вх и /вых можно считать задающими токами четы-
рехполюсника, поэтому ]а=1ви и /&=—/вых- Следова-
тельно, выражения для входного и выходного напряже-
ний четырехполюсника принимают вид:
С/вз| = ~д" (^аа^вх ^Ьа^вых)»
Uвых = “д' (AatJДь&/вых)*
Эти уравнения связывают внешние напряжения и то-
ки четырехполюсника посредством определителя и ал-
гебраических дополнений матрицы схемы. К ним можно
еще присовокупить уравнение нагрузки
'у т __ *7 Т ____ ^/ВЫ X
С/выЧ—^и2вых— ун
Таким образом, для четырех величин 'С7Вх, t/вых, /вх
и /вых имеем три уравнения, совместные решения кото-
рых позволяют выразить все возможные отношения этих
величин через определитель и алгебраические дополне-
ния матрицы схемы и, таким образом, получить общие
выражения для вторичных параметров.
Для определения коэффициента передачи напряже-
ния Ки подставим в уравнения четырехполюсника /ВЫх=
= УдС/вых:
t/rix === “д" ^аа/вх ^н^Ьа^/вых|)>
{/вых = “д“ (^аЬ^в^ Y
Теперь исключим из этих уравнений ток /^ после
чего получим:
Aabl/вх ^ааС/вых === “д' ^нС/вых	^аЬ^Ьа)-
89
Выражение в правой части равенства можно запи-
сать по формуле (§ 7)
i&aa^bb ^ab^ba = ААда, bb*
После сокращения на А и несложных преобразова-
ний имеем:
Aa&f^Bx= (А аа4“ Кн'Ада, Ьб) ^вых.
откуда получаем искомое выражение для коэффициента
передачи напряжения
___ ^вы!_______^аЪ___
~~ Ааа+ ГнДаа^ь’
При холостом ходе на выходе (Ун = 0) имеем:
>/0	A а b
“а а
Подставив значение С/выя — /дыч во второе уравне-
ние четырехполюсника, имеем:
^=2-(даЬ/вд-дьь/выя),
откуда находим выражение для коэффициента передачи
тока
If ___7выХ	УнАаЬ
— /вх “ А + УнАьь •
При коротком замыкании на выходе (Ун = оо) это
выражение принимает вид:
ТУ'К АаЬ
“д^?
Выражения для других вторичных параметров можно
получить на основании выражений для Ки и К.т, а также
зависимостей, приведенных в предыдущем параграфе.
Так, сопротивление передачи
7	___Ki____ ДдЬ
ПвР ун — д + ундьг1 >
проводимость передачи
у V &' _______ ^нДаЬ
Гяер— -ГнАи — Дао + УнДав, ьь ’
90
входная проводимость
у Упер А 4“ УнАьь
Kj Даа + ^нДда.ЬЬ
Из последнего выражения находим входную проводи-
мость при коротком замыкании (Ун = оо)
ук — &ьь
®х ^аа,ЪЪ
и при холостом ходе (Ун = 0)
у о А
Выражение для выходной проводимости получаем не-
посредственно на основании формулы для входной про-
водимости, в которую вместо Ун подставляем Уи, и
производим взаимную замену индексов а и 6, что соот-
ветствует перестановке местами входа и выхода. В ре-
зультате получаем:
У _____ А 4~ УиДдд
ВЫХ Abb+ УиДдд.ЬЬ
Задающий ток /э эквивалентного генератора находим
по формуле, приведенной в предыдущем параграфе
к к	Ад ь А ьъ
л и “Г л
&aatbb
откуда после упрощения имеем:
/ _ т______&аЬ
Э	&bb + УиДд a,bb
Аналогично для задающего напряжения эквивалентного
генератора находим:
л П	^аЪ ^аа
Е^-Е Zb+Z“x -Е Доа_—
Zh+ д
__ р __^ab_____
ZHA + Aga ‘
91
Полученные выражения позволяют определить вто-
ричные параметры схемы по ее матрице проводимости.
Например, матрица проводимости схемы, приведенной
на рис. 32, имеет вид:
Ди + УвАн,„ ’
К	/дД” .
А + УнД„ ’
у ___ Д+УнДзз
Дц + ГнДц,„ ’
__ A ~h УиАц .
Входной узел в схеме обозначен цифрой 1, а выход-
ной— цифрой 3, т. е. а=1 и 6=3. Поэтому выражения
для вторичных параметров схемы имеют вид:
7	__ Дц .
ЛпеР— Д + УнД„ ’
у ____ ____УнДц____Ф
пер Ап + УнДц,„
т _______________.
э	An + YкАц'Н ’
F __ £Alt
9 ZhA 4” Ац
Найдем входящие в эти выражения определитель
Л матрицы проводимости и алгебраические дополне-
ния Дц, Д1з, Дзз и Дц, зз’
92
= Г, (Г,+G„) (Г.+Gfe) + r, (G<. O'.+ед - ЗД:
Дп= Л+с, о =(М_сй)(Г1+011);
*^2	*2 I V 12 I

s, y, + Gfl
-У, Ss
=5Д+у2(^+Сй);

Дц,зз== УзН~^<1-
Подставляя найденные значения в выражения для
вторичных параметров, получаем:
„ _ ЗД + МУ. + Ои)	_
Лу _ (Y, + <?ю) (У. + G«s) + Гн (У, + Gn)
_ W+Mr.+Gn) .
— (Г. + 0!»)(Гз+О,2 + Гв) ’
к__________Ун [S.S, +
Л1 ~ у. (У. + 0*1) (У. + От») —
______________4-У» (У. + G.,)]___________
   - У, [S,s, - GSs (Уз + G(ii)] + Ун (У, + У,) (У, + G,,)
и т. д. Аналогично решается задача и в других конкрет-
ных случаях, когда схема имеет общий узел для входа
и выхода.
Упражнения
1.	Определить коэффициент передачи напряжения схемы, при-
веденной на рис. 22,а.
2.	Определить все вторичные параметры схемы, приведенной на
рис. 24,(9.
3.	Представить в виде эквивалентного генератора с источником
тока и источником напряжения схему, приведенную на рис. 24,6.
17.	ПРОХОДНОЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Если вход и выход схемы не имеют общего узла, то
она приводится к проходному четырехполюснику. Этот
случай встречается при анализе электронных схем не
так часто, как рассмотренный в предыдущем параграфе,
но для него также полезно располагать общими выра-
жениями вторичных параметров.
93
Пусть в качестве базисного узла выбран один из
узлов на входе, а другой входной узел обозначен номе-
ром а\ выходные узлы обозначены номерами b и с
Рис. 33.
(рис. 33). Тогда UBX—Ua, ивых = иь—Uc, поэтому можно
записать равенства:
[7вх=	(Д1а/1 Ч” Даа/г 4” • • • 4" &najn)>
и вых—'"д" (Aibii 4“ ^2biz 4“ • • • 4“ ^nbin) —
д- (^ic/i 4“ ^2с/г 4“ • • • 4" &ncin)-
Считая, как и ранее, что внутри четырехполюсника
отсутствуют независимые источники, приходим к выво-
ду, что /а=/вх; jb = — /вых, /с=/вых, а остальные компо-
ненты задающего вектора равны нулю. Следовательно,
имеем:
t/вл — “д~ (Ааа/^Х	Afca/выЛ 4“ Аса/выл) J
С/вых| — “д“ (Аа&/вх	А&&/б'ыл4“ Ас&/выл) —
“д’ (Аас/в-х АЬс/выл4~ ДсС/выл)
или после группирования членов
Ubx == [Ааа/вл (А&а АСа) /выл]>
t/выл = "д’ [(Aab — Аас) /В5 —
(А&ь Ас5 А&с ’ | Дес) /вьпй]*
94
Выражая коэффициенты при /вх и /вых через суммар-
ные алгебраические дополнения (§ 7) получаем:
t/вх = ~д~ [Доа^вх Д(Ы-с) а^вых]»
t/вых ~ ”д~ [Да (Ь+с) /вх Д(Ь+с) (Ь+с/вых]-
Сравнивая эти уравнения с уравнениями четырехпо-
люсника с короткозамкнутой стороной (§ 16), замечаем,
2 _____________________/ 3
Рис. 34.
О
что вместо индекса Ь в алгебраических дополнениях сто-
ит суммарный индекс (& + с). Следовательно, выражения
для вторичных параметров принимают вид:
______ _______Ад(ь4-с)_______ ,
U Ааа + УнДаа, (Ь + с) (Ь+с) ’
is __ ^нАа(Ь+с)
л/_ Д + УнД(Ь+с) (Ь+с) ’
УнАд (Ь + с)__,
ПеР Ааа + УнДаа,(Ы-с) (Ь+ с)’
•7	___ _____(Ъ+с)_________.
пер Д + УнД(ы-с) (ь+с)
Y	А + УнД(ь+с) (ь+с)
Ада “Ь ^нАаа,(Ь + с)(Ь+с)
А + УиАаа
Y ____________________________________________
Л(Ь4-С) (Ь + с) + ^иДаа, (b+c) (Ь+с) ’
т ___ т________________Ад(Ы-с)______________
А(ь+с) (Ь + с) 4” ^иДаа,(Ь+с) (Ь4-с)
р ___Р ^atb+c)
z*b + baa •
Пусть, например, в ламповой схеме (рис. 34) тре-
буется определить ток, протекающий через сопротивле-
95
ние в зависимости от приложенного напряжения
при условии, что лампы одинаковы. Выбрав один из
входных узлов в качестве базисного и пронумеровав
остальные узлы, замечаем, что выходом служат узлы 2
и 5, а нагрузкой — сопротивление R. Матрица проводи-
мости схемы имеет вид:
1	2	3
		
S	Ga + Gi	
	S	Ga + Gi
Искомая зависимость определяется проводимостью пе-
редачи при а—1, 6 = 3 и с = 2. Следовательно, имеем:
у _____ I ___________Q^i(»+a)______
De^ Увх Ди *ЬбДц, (»+г) (з+г)
Определяем требуемые алгебраические дополнения:
S
о
^1(34-2) —
Ga + Gi
S + Ga + Gi
= S(S + Ga + Gi);
ii
GOH-Gi О
S Ga + Gi
= (Ga + GiY-,
Д
Дц.(з+2)(з + 2) = S	2 (Go 4" Gi).
С учетом полученных значений из формулы для Упер
имеем:
Г „	GS(S+G„+G«)
— UB*\Ga + 6ц)2 + G [S -f- 2 (Ga + GO]*
Аналогично с помощью полученных в этом параграфе
выражений для вторичных параметров можно опреде-
лить токи и напряжения на элементах схемы. Заметим,
что базисный узел не обязательно выбирается на
входе, его можно выбрать и на выходе схемы или во-
обще не связывать со входом и выходом. Но тогда
соотношения для вторичных параметров будут другими.
96
Упражнения
1.	Вывести соотношения для вторичных параметров в случае,
когда в качестве базисного узла выбран один из выходных полюсов
схемы.
2.	Определить вторичные па-
раметры схемы (рис. 35), выбрав
базисный узел на ее входе, а за-
тем повторить расчет, выбрав ба-
зисный узел на выходе.
Рис. 35.
3.	Определить коэффициент передачи напряжения и проводи-
мость передачи схемы, приведенной на рис. 36 (узел, к которому
присоединяется источник анодного напряжения Еа, для перемен-
ных составляющих считать соединенным с землей).
18.	ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СУММЫ ДВУХ МАТРИЦ
Определение вторичных параметров сводится к вы-
числению или записи аналитического выражения опре-
делителей и алгебраических дополнений матрицы схе-
мы. Иногда удобно выполнять эту операцию, представив
предварительно матрицу схемы в виде суммы двух мат-
риц
Тогда каждый элемент определителя А матрицы [У]
в общем случае будет выражаться суммой двух слагае-
мых, т. е.
У'»,+ Y"m Y'nt-\-Y"nt'Х+ Y"nn
7—1115
97
Можно показать, что этот определитель представляется
суммой
Д = Д'+S (-	+ S (- 1)°аЛГ2/И"п_2 +
+... + 2 (- 1)’”-*	+ Д",
где Д' и Д" — определители, образованные соответственно
первыми и вторыми слагаемыми определителя Д, т. е.
Д'=
Д" =
Y'„ Y’21	Y'M ... Г'аа • • •	K'm K'an
Y'ni	Г'па • • •	Y’nn
Y"u	Г"» . •	• Y’\
r"21	Y" 1	22	• •	• Y",
Y”ni	Г"па • •	. Y'
1П
2П
ПП
Каждый член разложения, кроме первого и последнего,
имеет вид:
2(_	=
= S(— 1)’* М' f®*’ • • -
\Р1, • • •> Pi/ \Pi+i>
Здесь M'i — минор i-ro порядка определителя Д',
a M"n-i — взаимно дополнительной ему минор (л—I) -го
порядка определителя Д". Минор i-ro порядка любого
определителя образуется из элементов, расположенных
на пересечении некоторых его i строк с номерами щ,
аг, ..., о/ и i столбцов с номерами pi, Рг.ipz. Взаимно
дополнительный ему минор (п—i)-ro порядка другого
определителя образуется из элементов, расположенных
на пересечении его (п—i) строк и столбцов с номерами
соответственно «ж, «z+2, ...» ап и Pz+i, Pz+2, ..., рп, ко-
торые не использованы при образовании минора M't.
Знак произведения миноров М'{ и	определяется
четностью величины crt-, равной сумме номеров строк и
и столбцов, из которых образован один из миноров, т. е.
°i = (ai + аз	• • • + а<) + (Pi + Ра + • • • + Pi)
98
или
<’i = («i+14-ai+s+ • • • +an) +	+	• •• + ?«)•
Количество всех возможных миноров Z-го порядка
для определителя «-го порядка выражается числом со-
четаний из п строк по i, умноженным на число • сочета-
ний из п столбцов по i, т. е. величиной (С’п)2. Знак сум-
мы в каждом слагаемом разложения определителя А
указывает на то, что суммируются произведения
(—Ip	для всех возможных сочетаний.
Для лучшего уяснения этой теоремы проиллюстри-
руем ее применение на простом числовом примере.
Пусть дан определитель
2 10 4 1
5 2 10
7 5 2 5
0 13 2
Образуем два определителя четвертого порядка так,
чтобы сумма их соответствующих элементов равнялась
соответствующим элементам определителя А. Это можно
сделать бесконечным числом способов, например:
Д' =	0 10 0 0 5 0 10 0 0 2 0 0 0 0 2	, Д" =	2 0 4 1 0 2 0 0 7 5 0 5 0 13 0	•
Вычислив значения этих определителей, получим:
Д'=2 • 2 • (—5 • 10) =—200;
Л"= — 1.3. (—2-7)—5-2- (3-2)= —18.
Миноры первого порядка определителя Д' совпадают
с его элементами, поэтому первая сумма в разложении
определителя запишется как сумма произведений ненуле-
вых элементов определителя Д< на взаимно соответст-
венные миноры третьего порядка определителя А", т. е.
S(— 1)°‘Л1'1Л1"3 = (-1)1+2.10
0 0 0
7 0 5
0 3 0
99
1)2 + 4
2 О 1
7 5 5
О 1 О
1)4 + 42
2 0 4
0 2 0
7 5 0
= (-Ю)0 + (-5)35 + (-1)(-3) +
+ 2-04-2(-56) = —284.
Минор второго порядка образуется из элементов на
пересечении двух строк и столбцов. Учитывая только
ненулевые миноры определителя Д', имеем:
S(— I)13'М'.М'^
0 0
0 0
1+44-2 + 4
10 0 0 0
О 2
(  1)2 + 44-3+4
• 1)3+4 + 3 + 4
20 V
О 2 Л
7 О
5 1
О 2
О
1
5 О
О 2
О
4
1 О
О 2
2
О
2 О
О 2
= (—50)(—15)+10-0 + (—20)-0 +
+ (_ 20). О + (- 10) (- 1) + (- 10) (- 20) +
+ (—2)10 + 4-4 = 750+10 + 200 — 20 + 16 = 956.
Образовав миноры третьего порядка определителя
Д' и умножив их на взаимно соответственные миноры
10.0
первого порядка определителя Д'' с учетом знаков, по-
лучаем:
2(—	=	1)1 + 2 + з + 1 + г + з
О 10 О
5 0 1
0 0 2
О 10 О
10 О О
О 1 О
0 0 2
1+3+4+2+3+4
10 О О
0 2 0
0 0 2
•<+(-1)
2+3+4+1+3+4
5 1 О
0 2 0
0 0 2
= 20-7=140.
Таким образом, определитель имеет следующее значение:
Д = Д' + 2 (—	+ 2 (— 1р/И'2Л4"2 +
+ 2 (— IpAf'jAf"! + Д" = — 200 — 284 +
+ 956+140—18 = 594.
Прямое вычисление определителя Д, как и следует
ожидать, приводит к тому же результату. Докажем те-
перь теорему об определителе суммы двух матриц для
общего случая. В справедливости теоремы для опреде-
лителей второго и третьего порядков легко убедиться
непосредственным разложением определителя Д обыч-
ным способом и группированием соответствующих его
членов. Покажем, что, если теорема справедлива для
определителя (п— 1)-го порядка, то она справедлива и
для. определителя n-го порядка.
Разложим определитель Д n-го порядка но элементам
k-и строки (§ 5)
д=£ (Г'м + У'+)Длг.
1=1
101
Здесь Дл,- — алгебраическое дополнение определителя,
которое с точностью до знака совпадает с минором
(п—1)-го порядка. Его можно представить по теореме
об определителе суммы двух матриц, так как предпола-
гается, что она справедлива для определителя (п—1)-го
порядка, т. е.
Д^ = ДЧ<+2(-	+
1)”(Л4'аЛ4"п_,)м +
+ . . . + S (- 1)’п-2 (М'п . ,М"^г + Д"м= Д'м+
п—2
+£ 2(-1)% (М\М"п_s.Ом + Д"м-
6=1
Индексы ki указывают на то, что в минорах ЛЕ, и
М"п_а, отсутствуют k-я строка и i-й столбец определите-
ля Д. Подставляя это значение в предыдущее вы-
ражение, можно написать:
Д = У(Пг+Г"м) Д'м +
+ £2S (-	+
s'=l
п—2
+ Q"^+ У"ы) p(- l)’W"n-s-!)h +
6 = 1

i=l
Очевидно, первый и последний члены представляют
собой соответственно разложения определителей Д' и Д"
по k-и строке, т. е.
п	п
J Y'k^rki= Д'; £ Р'МД"М = Д".
102
Учитывая, что iA'«= (Af'n_,)w и A//M= (M,/n_i)w, а так-
же, что минор нулевого порядка определителя равен
единице, можно написать:
Y\{&"*( = Y\t(M'l)M''n_Jht.
Следовательно, второй член в разложении определи-
теля запишется в виде:
п Г	«—2
2	+ (У'ЛЛ +	2 2 (-1) ’*	+
1 = 1	5=1

п—2
£(-1)’‘(Л*'.М"п-.-1)м +
5=0
п—1
+ у"^2 S (~М"„_,
5=1
П П— 1

+ F'RrfS (-1) °s (М'.М"п-, - Ju
= £ S(-1)°» ^У'ъ(М',-1)1ел(М''п-.)м +
5=1 _	Z = 1
П
i = \
Можно заметить, что первое слагаемое в прямых
скобках представляет собой сумму произведений все-
возможных миноров s-ro порядка определителя Д' на
взаимно соответственные миноры (п—5)-го порядка
определителя Д", которые не содержат элементов k-й
строки; второе слагаемое включает произведение все-
возможных миноров 5-го порядка определителя Д', кото-
рые не содержат элементов k-й строки на взаимно со-
ответственные миноры (п—$)-го порядка определителя
103
S'. Отсюда заключаем, что выражение в прямых скоб-
ках равно 2(—1,)’* M'sM"n-s, следовательно,
/2—1
Д = Д'-|-£ Е(-1)°‘М'Л1"п_8 + Д",
5=1
т. е. теорема доказана. Эта теорема, сформулированная
автором более десяти лет назад, нашла применение для
решения ряда вопросов теории электрических и радио-
электронных схем. В частности, она может быть исполь-
зована для вычисления определителей с комплексными
элементами, расчета вариации параметров схемы, при
синтезе электронных схем, а также для доказательства
различных теоретических положений. В последующих
параграфах остановимся на применении этой теоремы
для определения коэффициентов полиномов функций
схемы.
Упражнения
1. Вычислить данный определитель: а) с помощью теоремы об
определителе суммы двух матриц; б) разложением по элементам
какой-либо строки или столбца. Сравнить результаты.
х-±2у
Зх
Д == 2х+3у 3x~j~2y
5х+у
4х
2х+у
10х
5У
2. Вычислить с помощью
матриц det ([4]+|[В]), где
теоремы
об
определителе суммы двух
[Д] =
и проверить результат непосредственным вычислением определите-
ля суммы матриц [4] и [В].
3.	Показать, что если одна из двух матриц диагональна, то
определитель их суммы выражается формулой
п
Д = У S (У' У' ... У' )Л''	„„
* OCj 0С<2	••• »	у
5=0
где У' — элемент диагональной матрицы на пересечении строки
и столбца с номером щ и т. д.» а A"aiCen .......МИН0Р, обра*
зованный из определителя А" вычеркиванием строк и столбцов с но-
мерами «1, аг, ...» Вторая сумма указывает, что для каждого
104
s суммируются все сочетания s номеров ai, аг, ...» а8 из номеров
1, 2, ..., п строк и столбцов определителя n-го порядка.
4.	Применить теорему об определителе суммы двух матриц для
случая, когда в первой из двух матриц все элементы, кроме элемен-
тов k-ro столбца, равны нулю.
5.	Показать, что если в первой из двух матриц ненулевые эле-
менты расположены только на пересечении строк и столбцов с но-
мерами k и s, причем = =	=	—У, то определитель
суммы двух матриц выражается следующим образом:
Д=ГД"(Л+,ХЛ+,)Д"
где Д" — определитель второй матрицы, а Д"(ы-в)(к+в) суммарное
алгебраическое дополнение.
6.	Показать справедливость теоремы об определителе суммы
двух матриц второго и третьего порядков прямым разложением опре-
делителей.
19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМОВ
ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ЯС-СХЕМЫ
Вторичные параметры электронных схем выражаются
в общем случае дробно-рациональными функциями ком-
плексного переменного р, т. е.
F (р\ = AisL
W В (р)'
где А (р) и В (р) — полиномы, получающиеся в резуль-
тате раскрытия определителя или соответствующих ал-
гебраических дополнений матрицы [У] схемы. Если
в схему, кроме ламп и транзисторов, входят только
сопротивления и емкости (7?С-схемы), то элементы мат-
рицы [У] имеют вид: Ya=Оц+’рСц, и сама матрица мо-
жет быть представлена суммой
[У]=р[С]+[О].
Каждая из матриц [С] и [G] отображает пассивные
элементы (емкости и сопротивления) и необратимые эле-
менты (лампы и транзисторы), а их вид зависит от спо-
соба соединения этих элементов.
Определитель и алгебраические дополнения матрицы
[У] можно представить в виде полиномов от р в соответ-
ствии с теоремой об определителе суммы двух матриц
п
\ Р1» Рг, • • •» Рз/
з=0
V MG f а5 + 1» а«+2> • • ап\
Х ”-4рз+1, Рз+2,...,Рп/
105
где Mcs—минор s-ro порядка матрицы [С] или ее алгеб-
раического дополнения и M°_s —взаимно дополнительный
минор (п — s)-ro порядка матрицы [(7] или ее алгебраи-
Рис. 37.
ческого дополнения. В результате применения этой теремы
получим полином
Старшая степень т полинома численно равна наи-
высшему порядку отличного от нуля минора матрицы
[С], т. е. рангу этой матрицы. Коэффициент а* полинома
определяется при s=\k, т. е.

° fas+i,a.
•i «пЛ
•> Рп/
Эта формула позволяет определить любой коэффи-
циент полиномов А(р) и В(р) функции /?С-схемы.
Пусть, например, требуется найти выражение для коэф-
фициента передачи напряжения схемы, приведенной на
рис. 37. Ее матрица проводимости
1	2	3	4	5
G.	-Go			
—б0	^о+^з+рСз			рС3
	5		— РС\	
		—	Gi+ptpt+Ct)		рСъ
	““ Р^~* 3		—рс%	Gi+pICt+C,)
106
Коэффициент передачи напряжения вычисляется по
формуле
Образуем две подматрицы, соответствующие алге-
браическому дополнению Д^ матрицы [У]:
Так как высший порядок отличного от нуля миноры
матрицы [C]i4 равен трем, то т=3. По формуле находим
коэффициенты полинома А(р) [выражения для коэффи-
циентов необходимо брать со знаком минус, так как
Ди равно соответствующему минору со знаком (—1)1+4]:
„ сп г /2, 3, 4\ г / 1 \
a3 = -S(-l)0’MgMf = -A4c 3, 4/Л1<?( J )=
О Ct О
О —С, —С2
—С3	0 С2-|-С3
(-G.) = С.С2С3О0;
a2 = -S(-l)’’A42cA4° = -McfJ	М° (J’ *) +
мФ	ll-о. G.+G.
\2, 4/	<1. 3/	| О С2+С3|| О S
+
10	—С2 ll-G0 О _
|-С3 Сг+С, 11 0 GK+Ga
= - С. (С2 + С3) G„S + C2C3Go (Gtf + Ga);
107
в, = — S (-1)’1 м1} м% = — мс
м°
1. 2, 4\
1, 2, V
3
3
—Go Go+G» 0
OSO
О О G2
“ GiG0SG2>
а0 = До =0.
Аналогично находим коэффициенты полинома В(р). Для этого
образуем две подматрицы, соответствующие алгебраическому допол-
нению Дц:
Так как и наивысший порядок отличного от нуля минора
подматрицы [С]ц равен трем, то ти=3 и, следовательно, получаем:

\	„/1.2,34 nf
)+А!	1 2 3F
]	у 1 ) > о у
С.	0
6*1 С14-С*2 —
о
(<?o+G3)-
0	0 . -С3
--С\ C1-J-C*2 ----С*2
0	---С 2 ^*2“1“^*3
4
4
5 +
2
108
с, о -с.
О Ci4-C2 —С2
—С3 —С2 С2+С3
с3 о о
I О -6*1 ^1+^2
(G,i+Ga) +
С3 О
О С,
—С3 о с2+с3
G2 = С£2С3 (Go + G3) + C1C2C3S +
4~ С*1С2Сз (Gi 4“ Ga) + CiC2C3Gi 4" CiC2C3G2 =
= C1C2C3 (Go + G3 + S 4- Gt 4- Ga + Gi 4~ G2);
r /1,
+Л1 (1,
4'
4
MG
2,
2,
3\ r
J+A1
о /
1,
1,
3\
3/
MG
2,
2,
G0+G3 О L
S Gtf+Ga I
4-
C. О
О С24“£*з
C3
I Go+G3
I О
Ga+Ga
О
О
G,
c.+c2
Go+G3 О
О G2
О
Gi
C3 О
О Gj4”G2
Gi+Ga О
О G2
4-
О С. -G
4
4
+
+
+1 C‘ °	° = [(Ct + C2) Ca 4- C,C2] (Go 4- G3) (Ge + Ga) 4-
I О C1	0 (j2
+ c, (C2 4- C3) (G, + G3) Gi + C.c2 (Go + Ga) G2 +
+ C2C3 (Gi + Ga) Gi + (Ci + C2) C, (Gi + Ga) G2 + СгС&Сг-,
109
+ c3
fti+Ga
0
0
+ (Ci + Q
Go+G3 0	0		G,+G3 0 0	
S Ge+Ga 0	+ Ci	0 G, 0	+
0	0 g2		0	0 g2	
0 0
Gj 0
0 G2
= (C2 + Cs) (Go + G3) (Gx + Go) Gi +
+ (Ct + C2) (Go + G,)_ (G« + Ga) G2 +
+ G (Go + G3) G,G2 + C3 (Grf + Go) G,G2;
6. =	= (О. + G3) (G« + Go) GxG2.
Таким образом, коэффициент передачи напряжения
выражается функцией
к (п\ _ Р^зР2 3 + а2р+ а.)
b^ + b^ + bip+b,'
где коэффициенты а2, а3 и Ьо, Ъи Ь2, Ь3 определяются
найденными выше значениями.
Упражнения
1. Найти функции Кц(р) коэффициента передачи напряжения
схем, приведенных на рис. 38.
Рис. 38.
2. Записать в виде полинома от р с помощью тёоремы сумм об
определителе двух матриц следующий определитель:
р+5	0 —р О
10 2р+4 -Зр -1
Д =
—Р —Зр 5р+7 —2
О —1	—2	—4
3. Определить степени полиномов числителя и знаменателя функ-
ции передачи напряжения схемы (см. рис. 24,г) и найти выражения
для коэффициента при р в числителе и при р2 в знаменателе.
ПО
20. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМОВ
ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ С ЕМКОСТЯМИ
И ИНДУКТИВНОСТЯМИ
Если в схему входят не только емкости, но и индук-
тивности, то элементы матрицы [У] имеют вид:
Yij^pCij'YGij -\-р~гГц.
При этом матрица схемы может быть представлена
в виде
а ее определитель является полиномом вида
A = amp'n + am-iPm’1 + - .. + а1р + а(>4-а_1р'1 + ...+
+	+	+ 1 + a-tp-i.
Как и для/?С-схем, высшая положительная степень т
определяется рангом матрицы [С]. Высшая отрицатель-
ная степень /, очевидно, равна рангу матрицы (Г], каж-
дый элемент которой представляет собой величину, об-
ратную соответствующему элементу матрицы [А], т. е.
Гц=\Щ^.
Для записи определителя суммы трех матриц можно
воспользоваться теоремой об определителе суммы двух
матриц. Для этого объединим сначала слагаемые [G] и
р-1(Л в одну матрицу [У'] и найдем определитель мат-
рицы
[У]=р[С]+(У'].
В соответствии с теоремой (§ 18)
6^0
Применяя теперь к минору (л—$i)-ro порядка мат-
рицы |[У'] ту же теорему, имеем:
Ш
n—Si
Xj) p“*s(-i)
S<j=O
51M
/%.+!
V^Si+l
или
ОС	< _
51+<Sj+ 1 *
+<Sj+1 ♦ • • •
an
?n
П П-Si
pSi-s*ZMc

X
X Wr( “Sl+1 ’ ’ “s‘+s‘) MG( %+“+1’	) (-1)'
\	-f-1 ’ *" * P,^ +sa J \ rSi +$a +1 ’ * * * * rn J
Здесь a =	+ a2, т. e. равно сумме номеров и столбцов, обра-
зующих миноры McSi и М$. Так как знак слагаемого определяется
только четностью в (а не его абсолютным значением), то под в можно
понимать также сумму номеров строк и столбцов, образующих минор
’ т- е-
Г4—-6 j—6а
Si+sa	п
° =	(°ч + М = У («и + М-
i~Sx 4~sa 4- 1
Так как нумерация строк и столбцов принимается такой же,
как в исходной матрице, то при вторичном применении теоремы
о сумме двух матриц к минору необходимо учесть еще знак,
возникающий за счет наличия беспорядков в последовательностях
индексов
%,. %1+5а,
Pi, Р2> ••• •	» Р51 + 1 , •••, PS1+Sa.
Считаем, что имеет место беспорядок (инверсия), если при
ai<aj номер а; стоит после aj, и аналогично, если при ₽i<₽j номер
стоит после Pj. Величина 8 равна сумме таких беспорядков в по-
следовательностях строк и столбцов, образующих и
Выражение для коэффициента ал при ph получим, положив
$1—S2-k. Тогда
S1
Значения, которые принимает si в первой сумме, представляют
собой целые положительные числа, которые определяются из про-
112
стых соображений и приведены в 'нижеследующей таблице:
Разность ран- гов матриц [С] и [Г]	Значения, принимаемые s.	
	при k 0	при k 0
т— l^k	0	т	kt ... , т
т— l^k	0	k + l	k, ..., k + l
Проиллюстрируем применение этой формулы на примере усили-
тельной схемы с коррекцией (рис. 39). Ее матрица проводимости
1
2	3
4
5	6
					
S1	+р- ’Л	—р~'1\			
	-р-'Гг	Gj-j- +р-«(Г,+Гг)	-р- 'Гг		
		—р-'Г г	рС2+р-'Г г		
	—рС\				
				*5»	
Рис. 39.
Найдем, например, коэффициент Ь_х при р~х знаменателя коэф-
фициента передачи напряжения при холостом ходе. Так как
Ли’
8—1115
113
то необходимо исходить из матриц:
1
2
Пи = 3
4
5
1
2
[С]и = з
4
5
1	2	3	4	5
Ggt				
	Gt			
				
			Gt	
			s2	
Так как ранги матриц [С]н и [Г]н равны двум, т. е.
т = 1=2, то т—1=0. По условию k=—1, поэтому имеем
случай: т—l>ik и k<0. По таблице находим значения,
принимаемые величиной $i=(0, ..k+l) = (0, 1). При
Si=0, Af^=il, и, следовательно, в формуле для Ь_л будут
только произведения миноров первого порядка матрицы
[Г]ц на взаимно дополнительные миноры четвертого по-
рядка матрицы [О]ц. При этом е=0, так как в этом слу-
чае инверсии не возникают. В матрице [G]ti элементы
114
третьей строки и третьего столбца равны нулю, следо-
вательно, единственный отличный от нуля минор четвер-
того порядка М° образуется строками и столбцами
с номерами 1, 2, 4, 5. Таким образом, при Sj=O имеем:
г* г г п г I \ r /1, 2, 4, 5
Л^1Л4Х(-1)’ = МГ	Л1°(	
\ О J \ 1 ,	, U
о
о
о
= Г
(7Л ООО
О Gi О О
О О G2 О
ООО gv<2
= Г 2GtiGiG2GH2.
При St = 1 необходимо каждый из миноров умно-
жить на сумму произведений всех возможных миноров
(в их образовании не участвуют строки и столбцы
с номерами, которые использованы для образования мино-
ра /И^) на миноры Л/б (эТи миноры образуются из строк
и столбцов, не использованных при образовании миноров
Мс и Мг), т. е.
1	2
ZMC (а* SMr f“2’ а‘ М° (“*’ “5 (— l)’+t,
где <j= (cu+ias) + (fc+Ps) и е — число беспорядков в по-
следовательностях (си, аг, аз) и (Pi, Рг, Рз). Отличные
от нуля миноры совпадают с ненулевыми элемента-
ми матрицы [C]i 1, т. е.
Мс( 1 ^=Л4С/4 ^ = С»; Мс( 1	= — С,;
Мс( 3 ^ = Сг.
I 3 J
Для минора Мс J можно образовать только один от-
личный от нуля минор второго порядка матрицы [Г]п
2, 3
-Л Л
=rj\.
8*
115
При этом для образования минора второго порядка
матрицы [С]п остаются строки и столбцы с номерами 4
и 5, т. е.
М°
G2 О
S2 Gi2
= G2Gi2.
Так как о =(4 + 5) + (4 + 5) = 18 (четное) и в после-
довательностях (1, 2, 3) и (1, 2, 3) инверсии отсутству-
ют (е=0), то первое слагаемое при si = l будет:
Мс( 1 ЛAf7'^2’ 2\м°(4' 5\=CJ\r2G2Gi2.
\ 1 7	\2, 3 ) U, 5 J
С / 1 \
Беря следующий минор 7И =^(	, замечаем, что для
*
него можно образовать следующие миноры 7И1 :
2, 3\ ..г/2, 3\ ллГ/2, 3\
1, 2 /	\1, 3)	<2, ЗУ
мг
Здесь знаки в первом слагаемом определяются на
основании того, что в= (4 + 5) + (3 + 5) = 17, а в после-
довательностях (1, 2, 3) и (4, 1, 2) число инверсий со-
ответственно равно нулю и двум (4<1 и 4<2), следо-
вательно, е = 2, а значит (—1)17+2 =—1. Аналогично
определяются знаки и в остальных слагаемых. Так как
все миноры оказываются равными нулю, то напи-
санное выше выражение равно нулю. Продолжая ана-
логично и отбрасывая слагаемые с нулевыми минорами,
получим при si = l следующее выражение:
116
Г /2>£3\ г /1, 5\ I
+	(9 5 ) М ( ' -	= С.Г.ПбА, + Сг1\1\вА-г +
\£ > о/	07 J
+ С1 (Г ХГ 2Gfi*2 + 7	AAJ =
= 1\Г2 [С1 (G1 + G2 + GK1) + C2G2] G<2.
Суммируя значения, полученные при $1 = 0 и Sj = 1, имеем окон-
чательно:
— ГzGi}G1G2Gii2 4» Г\Г2 [Ci (Gi +	”Ь ^rfa) 4* C2G2] Gi2 =
= {-ц- GifiA +	[C, (G, + G2 + 0i2) 4- C2G,]| G12.
Аналогично можно определить и другие коэффициенты полино-
мов числителя и знаменателя функции схемы.
Рис. 40.
Упражнения
1.	Определить все коэффициенты полиномов числителя и знаме-
нателя функции Ку (р) схемы рис. 39.
2.	Представить в виде полинома от р определитель
Юр 4-6 4-“у,7	+ р 5^	^5р4-2 4--—
“(^ + 2 + Т“5) 8^ + 4 + v12 _(3^+1+^2
/	1 \ /	1 А	1
-|5р + 2 + — -(Зр+1+-2) 9р + 4+—5
к	Г /	\	Г У	Г
3.	Записать функции коэффициента передачи напряжения схем,
приведенных на рис. 40.
21. ВЫРАЖЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМОВ ФУНКЦИЙ
ЧЕРЕЗ СУММАРНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Прямое применение теоремы об определителе сум-
мы двух и трех матриц для получения коэффициентов
полиномов функции схемы требует перебора большого
117
числа комбинаций строк и столбцов матриц [С], [Г] и
[G]. Для сложных случаев он может быть выполнен с по-
мощью вычислительных машин.
Процедуру определения коэффициентов полиномов
можно сильно упростить, если учесть характер располо-
жения реактивных элементов в схеме.
Пронумеруем реактивные элементы — емкости и индук-
тивности (в том числе и реактивные элементы эквивалент-
ных схем электронных ламп и транзисторов) некоторыми
числами vn v2, ..vs. Они соответственно определяются
операторными проводимостями Уъ, У^, ..., Уу , причем
для емкостей У v = pCv и для индуктивностей
л/	1	1
У =—7—=—Г
PLVj Р
Пусть реактивный элемент с номером vti включен между
узлами схемы с номерами сц и bt.
Рассмотрим сначала случай, когда все реактивные
элементы включены между различными узлами и ни
один из них не связан с базисным узлом (рис. 41,а). Ес-
ли в схеме имеется только один такой элемент, то его
проводимость Y входит в матрицу проводимости [У]
vi
схемы 4 раза на пересечении строк и столбцов с номера-
ми и 6Ь т. е.
Представим матрицу проводимости [У] в виде суммы
двух матриц: к первой матрице [У'] отнесем слагаемые
с проводимостью реактивного элемента, а к второй
[УД — слагаемые, не зависящие от комплексной пере-
менной /?, т. е.
тчи+10].
118
Так как миноры второго порядка и все миноры более
высоких порядков матрицы |[УХ] равны нулю, то опреде-
литель этой матрицы можно записать в виде
Д = Д° + 2(— 1)'MY'MG .
I 4	'	1 п -1
Миноры первого порядка MY> матрицы [У'] совпадают
с ее элементами, которые равны —	• Миноры (п — 1)-го
порядка матрицы [G]
отличаются от определите-
ля Д° только отсутствием
строки и столбца, которые
образуют соответствующий
минор Мг'; поэтому
(—1)’ЛГ можно рас-
сматривать как алгебраичес-
кое дополнение матрицы [<?].
Следовательно, имеем:
Д=Д°-|-У Д° — Y Д° ,
~ a‘iai	vi aibi —
=д°+1ч 1ди,+м,-
-A*(,j+6u)] = AG +
+ Уу . Д(а.+/>.)(д .+£.) .
ЗдеСЬ \а(+Ь{)(а{ + Ьч) ~
суммарное алгебраическое
дополнение, получающееся
из определителя Д° сум-
мированием строк и
столбцов с номерами a, nbi. Так как номера суммиру-
ющихся строк такие же, как и суммирующихся столб-
цов, то сокращенно можно записать:
Д°	=Д°
Таким образом, при наличии в схеме только одного
реактивного элемента с проводимостью Y , включен-
119
ного между узлами сц и bit определитель матрицы про-
водимости выражается следующим образом:
Д = Л‘’ + У,?»<+,(|.
Если в схеме имеются два реактивных элемента, то
относя один из них к матрице [И7], другой вместе
с остальными элементами — к матрице [У77], представ-
ляем матрицу [У] суммой
[У]=[У1+[У"].
Обозначив через Дг определитель матрицы [У"] и
применяя дважды теорему об определителе суммы двух
матриц, имеем:
Д = АУ + \ ДГа1+й1] = Д° +	д£,+6а] + YVi [Д° i+6i) +
+ yv3 Д^+й,], [а2+*2] ] = Д° +	Д^. + ь,! +
У Ла Д[а2+&2] У», У»2 Д[а1+*11, [а2+г>21 •
Здесь A(L1+*,| [а2+£а| — двойное суммарное алгебраическое
дополнение, получающееся из определителя Д° суммирова-
нием строк и столбцов с номерами at и bit а также
с номерами аг и Ьг.
При наличии трех реактивных элементов первый из
них относим к матрице [У7], а два другие вместе
с остальными элементами схемы — к матрице [У77]. Тогда
на основе полученных ранее соотношений имеем:
Д = ДУ + ДУа1+М = Д° + Д?а2+М,+ yv3 Д?аз+ад +
+ У*а У*3 Д^а+^а], [аз+*3] + У*1	14А] + УЪ Дк11+М, [аа+*а1 +
4е yv3 Д[а1 + г>1], [а8+&3] *4 У^ У>3 Д(а14-д1], [а2+6а], [а3+&31 1
= Д<? + (yvt Д[а1+М + yva ^а+*а1 + yv8 А£8+М ) +
+ (уVi yva	[аа+6а] *4 У¥1 ^V3	+	[a8+fte]4
“Ь yva1yv8 Д[да+да], [a8+63P 4	Д[а1+д1], [aa+fra], [a3+63b
120
Продолжая аналогично, можно установить следующую закономерность:
3	5
Д = Д<? + Х \ ДкЧ+*,1+ S Y'>iY'>iL°ai+bjY.{aj+bi] +
/=1	1,1=1
i, j, k=\
Y*t \	[«&+*&!
Для /?С-схемы все проводимости Уу* = рС^, следовательно,
коэффициент ап полинома Д (р) при р выразится формулой
fife = S (CV1 »	, ... , CVft)	[а2+ьа].*
Знак суммы указывает на то, что суммируются члены, содержа-
щие все комбинации по k различных емкостей. Если в схеме, кроме
емкостей, имеются индуктивности, коэффициент аъ, образуется из
слагаемых включающих произведения з емкостей и (з—k) обратных
индуктивностей, т. е.
« = Е<С..С.....с..><г..+, .........Г',.-»)х
ХЛ°“.+М 1», ..»+>„-»!
Таким образом, для получения коэффициента ah по-
линома Д(р) необходимо:
1)	образовать все возможные сочетания из s различ-
ных емкостей и (s—k) индуктивностей (значения s опре-
деляются из таблицы в § 20);
2)	произведение каждого такого сочетания емкостей
и индуктивностей умножить на алгебраическое дополне-
ние матрицы [G], образованное попарным суммирова-
нием строк и столбцов определителя Дв этой матрицы
с номерами, равными номерам узлов, между которыми
включены емкости и индуктивности данного сочетания;
3)	просуммировать все результаты, полученные для
каждого сочетания емкостей и индуктивностей.
Полученное правило относится к случаю, когда все
емкости и индуктивности включены между различными
узлами схемы. Нетрудно убедиться в следующих поло-
жениях:
1)	если реактивный элемент, входящий в данное со-
четание, включен между узлом at и базисным узлом, то
121
в соответствующем алгебраическом дополнении индекс
а, не суммируется, что значит вычеркивание строки и
столбца с номером а»;
2)	если два или несколько реактивных элементов,
входящих в данное сочетание, образуют связанную со-
вокупность (рис. 41,6), то в соответствующем алгебраи-
ческом дополнении суммируются строки и столбцы с но-
мерами тех узлов-схемы, между которыми включены эти
элементы;
3)	если два или несколько реактивных элементов,
входящих в данное сочетание, образуют замкнутый кон-
тур (рис. 41,в), то соответствующее алгебраическое до-
полнение равно нулю;
4)	если ищется полином некоторого алгебраического
дополнения 1Л1аь(р) определителя А, то в суммарных ал-
гебраических дополнениях выражения для aft этого по-
линома вычеркиваются все относящиеся к строкам ин-
дексы, равные а, и все относящиеся к столбцам индек-
сы равные b (вычеркиваемые индексы должны стоять
вторыми), а знак определяется с учетом инверсии индек-
сов (§ 7);
5)	если в алгебраическом дополнении индексы вы-
черкиваемых строк или столбцов повторяются дважды,
то оно равно нулю.
Определим по сформулированным в этом параграфе
положениям функцию передачи напряжения схемы, при-
веденной на рис. 37. Ее матрица [G] имеет вид:
Коэффициент передачи напряжения выражается фор-
мулой
iz /п\,_ Ai« _(Р)
В схему входят три емкости: Сг включена между
узлами 3 и 4\ С2 — между узлами 4 и 5; Сз — между
122
узлами 2 и 5. Поэтому для коэффициентов числителя
имеем:
	—Gq Go + G3		0	0	
A (j	0	s	Gi+Ga	0	= 0;
a0 “ Д14	—	0	0	0	0	
	0	0	0	g2	
Qi — С1Д?4> [3+4] + С2Д?4> [4+5] + С,Д?4> [2+5] —
— £1АН, (3+4) 3 + ^2Д?4, (5+4) 5 + £«Д?4, (2+5) (2+5)
= С, (-1)"+*
—Go + Gt
О	S
О	о
о
о
G2
+
-Go
О
о
^о + ^з
S
о
о
о
О
о
о
о
S
о
Go + G3 + G2

а2 — С/ГгДн, [3+4], [4 + 5] + CiCt&G4' [3 + 4], [2+5] +
+ С2С3Д^4> [4+5Ь [24-5] = C’iGAi?4,r(3+4)3, (5 + 4)5 +
+ С1СзД?4 , (3+4) 3, (2 + 5) (2 + 5) + GzGt^H, (54-4) 5, (2+5) 2 “
—G0 Gq +<?3 I .
О S г
= С.С2 (—1)21+1
S
Go + Gt + G2
+
1 0	0
+v.(-1)-i_0i01+0i
= -C1C2G„S — C1C&S + C2C,G0 (Gt 4- Ga);
аг = GCjCjA^. [3+4], [4+5]_ [2+5]=
= С1С2С2Д^4> (3+4) 3> (5+4) 5> (2+5) 2 =
(_l)2«+« C1C2C, (—Go) = GC.C.G..
123
Аналогично находим коэффициенты полинома знаменателя:
	Go + G, 0	0 0	
&0 — А и —	S	Gm+Go 0 0 0	0 Gx 0	= GiG2(G0 +.G3) (Gu + Ga)
	0	0	0 Gs	
— С1Дц, [»+«] + С2Дп, k+s] + С»Дц, [5+2! —
G. + G, О О
= С, S Gii + Ga+G! О +
О	О
О2
	+ G3	0	0		Go + G3 + G2	0	0	
+ c2	s		0	+ c3	S		0	=
	0	0	G1-I-G2		0	0	Gt	
=С. (G, + G.) (Ge 4- Ga + G3) G2 + C2 (G. + G3) (Gtf + Ga) (G, + G2) +
+ C,(G(, + G3 + G2)(Gm+Go)G1;
^2 — GiCjAh, [3+4], (4+ 5] + С1С3ДП> [3+4], [s+2] + С2С8ДП, [4+5], [5+2I —
cc IG. + g, 0
1 8| S Gi + Ga + G, 4-G2
+ CiC3
Go + G3 + G2 О
S G;< + Ga + G,
G„ + G3 + Gt + G2 0
S G,+Go
= С,Сг (Go 4- G3) (Gk + Ga + G, + G2) + C,C3 (G, + G3 + G2)X
X (G. + Ga + Gx) + C2C. (О. + G. + G, + G2) (Gt + Ga);
= CiCjCjAnjs+o], h+s], [5+2]=CxC2C3(Go+G3+S+Gi+Ga+Gx+G2).
Определим этим способом коэффициент b~i знаме-
нателя функции К°и(р) схемы рис. 39, рассмотренной
в предыдущем параграфе. Матрица i[G] для этой схемы
записывается в виде
124
1
2	3	4	5	6
					
Со м	Gi!				
					
					
				ог	
				со	Gi2
Так как для рассматриваемой схемы
то для решения поставленной задачи необходимо найти
коэффициент 6-1 при р-1 полинома Дц(р). Учитывая,
что емкость Ci включена между узлами 2 и 5, С2 — меж-
ду узлами 4 и базисным, индуктивность Ц — между
узлами 2 и 5, а Л2 — между узлами 3 и 4, по формуле
имеем:
^-1 -- Г 1^11, [а4-з] 4" Г2^11, [з + <] 4“	2^1^11, [2 + з1, [з+41, [2 + 51 4"
+ ^*1^2^2^11, [2 + з1, [3 + 4], 44 == 1^11,(24-3) (2 + з) + ^*2^11, (3+4) (3 + 4) +
4“ ^1^2 [С1Д1Ъ (5 + 2) (5 + 2), (2 + з), (24-з), (з4-4) (з4-4) + С2Дц, 22, 33, 44] -------------
Gtil + @1
О
О
О
О
О
О
о
0 0		Chi 0
0 0	, 1	0 Gi
g2 0		0 0
*^2	G,i 2		0 0
о о
о о
б2 о
*$2 6i2
 Ct I G>i! + Gi + G2 0	, C2	G2 0
^1^21 S2	Gi2 ^1^2 S2 G*2
1	c
= 0 +	(®Ti + Ci + C2) 4“
r	( 1	1	)
+	= I £7^i<?iG24- 'цц [Ci (c«i 4- Ci + g2) 4- ca] g»<2,
т. e. приходим к результату, полученному в предыдущем
параграфе.
125
Упражнения
1.	Определить коэффициенты полиномов числителя и знамена-
теля функции Ку (р) схемы рис. 37 и сравнить с результатом, полу-
ченным в § 19.
2.	Записать функции коэффициента передачи напряжения схем,
приведенных на рис. 40, и сравнить с результатом, полученным
в упражнении 3 (§ 20).
3.	Убедиться в справедливости следующих соотношений для сум-
марных алгебраических дополнений:
Д(а + ь) (a + b), (с + b) (с + b) = &(a + b) (a + b), (b+c) (b+c)*,
Д(а + Ь) с, (Ь+с) (Ь+с) = Д(а + Ь) с, (b+c) b\
&ab, (с + а) (с + ь), (d+ с) (d+ а) = ^ab, сс, d (d+a)»
Д(а + Ь) (а + Ь), (Ь+с) (Ь+ с), (с + а) (с+а) = 0.
Указать способ получения этих алгебраических дополнений из опре-
делителя А.
Глава четвертая
ГРАФЫ
22. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Ориентированный граф представляет собой совокуп-
ность направленных ветвей и вершин. Ветви изобража-
ются отрезками линий, а вершины — точками.
Я
Рис. 42.
Ветвь \kij начинается в начальной вершине i и заканчи-
вается в конечной вершине / (рис. 42,а). Направление
ветви указывается стрелкой от начальной вершины
к конечной. Начальная и конечная вершины могут совпа-
дать, тогда ветвь образует петлю (рис. 42,6).
Ветви соединяются между собой в вершинах и обра-
зуют некоторый граф. Всякая совокупность ветвей дан-
ного графа называется подграфом. Если для любых двух
вершин графа существует соединяющий их путь, про-
ходящий по ветвям (независимо от направлений ветвей),
то граф называется связным. В противном случае граф
состоит из отдельных частей.
Каждой вершине графа приводится в соответствие
величина называемая сигналом вершины, а каждой
ветви — величина называемая передачей ветви, при-
чем для одиночной ветви (рис. 42,а)
=
127
или
Xj — kijXi •
Если в одну вершину, обозначенную, например, через
/, сходится несколько направленных к ней ветвей
(рис. 43), то сигнал /-й вершины Xj определяется суммой
Xj = jXi ~|— kzjXfz	• • • “J- knjXn '•—	kijX{.
/=1
При этом ветви, направленные от вершины jf не ока-
влияния на величину сигна-
ла Xj. Иначе говоря,
индекс i соответствует но-
мерам вершин, которые
являются начальными
вершинами ветвей с об-
щим окончанием в /-й вер-
шине. Это равенство ука-
зывает на способ записи
системы уравнений, соот-
ветствующих данному
графу, и, обратно, на спо-
соб построения графа для
данной системы линейных
уравнений. Например, записав выражения для сигналов
всех вершин графа (рис. 44,а), к которым направлены
некоторые из его ветвей, приходим к системе уравнений:
x2 = ax1^bx2^hXf\-cx^ |
х3 = ех2 + Ь;6\	I
= fx> + dx.-	|
Если система уравнений задана, то соответствующий
ей граф можно построить, рассматривая поочередно
каждое уравнение и отображая его графически для соот-
ветствующей вершины. Таким образом, существует вза-
имно однозначное соответствие между системой линей-
ных уравнений и ориентированным графом.
Если к вершине графа направлены одна или несколь-
ко ветвей, то сигнал этой вершины зависит от сигна-
лов других вершин. Вершины, с которыми связаны толь-
128
ко выходящие ветви, являются источниками графа, по-
скольку сигналы таких вершин не зависят от сигналов
других вершин. Любая из других вершин, к.которой на-
правлена хотя бы одна ветвь, может рассматриваться
как сток графа. В целом граф топологически отобра-
жает передачу сигналов от источников к стокам. В свя-
Рис. 44,
зи с этим ориентированные графы, применяемые для
анализа схем, часто называют графами прохождения
сигналов.
Уравнения графов составляются для зависимых вер-
шин так, что каждый зависимый сигнал явно выра-
жается через сигналы других вершин (как зависимых,
так и независимых). При этом наличие в правой части
уравнения для f-й вершины члена ku%i означает, что
с этой вершиной связана петля, передача которой равна
ka.
Граф является не геометрической, а топологической
фигурой. Существенные свойства графа отражают
только направления ветвей и характер связи между
вершинами. Важно лишь то, из какой вершины выходит
данная ветвь и в какую вершину она входит, или, гово-
ря иначе, какие ветви входят в данную вершину и ка-
кие выходят из нее. Сами ветви могут изображаться от-
резками произвольной конфигурации и длины. Если на-
правления ветвей и характер связи вершин в некоторой
совокупности графов одни и те же, то такие графы яв-
ляются тождественными в топологическом смысле. На-
глядно это можно представить, изобразив граф на упру-
гой поверхности, например, на листе резины. Какой бы
деформации без разрушения не подвергалась эта по-
верхность, изображенный на ней граф не претерпит из-
менений, хотя геометрически фигура, изображающая
граф, при этом существенно изменяется.
9—1115	129
При анализе электронных схем методом графов роль
сигналов вершин играют токи и напряжения, причем то-
ки и напряжения на входах схемы являются сигналами
источников графа. Всегда можно выразить в явной фор-
ме некоторую совокупность токов и напряжений схемы
от этих же величин и величин, действующих на входах.
Рис. 45.
Коэффициенты таких
уравнений имеют размер-
ность сопротивления, про-
водимости или являются
безразмерными величина-
ми. Они представляют
собой не что иное, как
передачи ветвей соответ-
ствующего графа.
Так как уравнения схе-
мы можно представить
различными способами»
то и получаемый на их
основе граф может иметь
различные конфигурации. Но, разумеется, все ва-
рианты для одной и той же схемы должны приво-
дить к эквивалентным графам в том смысле, что они
отображают один и тот же закон передачи сигналов от
источников к стокам.
Можно предложить следующий порядок составления
графа, который иллюстрируется на конкретной схеме
(рис. 45).
В качестве сигналов вершин графа выбираем, преж-
де всего, токи и напряжения на выходах схемы и на
полюсах многополюсных элементов. В рассматриваемой
схеме имеются электронные лампы, которые при работе
без сеточных токов описываются уравнениями:
/с = 0;
K = SUc + GiU&.
Поэтому в качестве сигналов вершин необходимо вы-
брать анодные токи /ai и /а2 ламп, напряжения на сет-
ках [7ci и t/C2, анодные напряжения и [7а2, а также
выходное напряжение ивых. Запись уравнений начинаем
с выходной величины, а затем выражаем последователь-
но все величины, которые входят в предыдущие урав-
нения. Выходное напряжение выражается через анодный
130
ток /а2 второй лампы следующим образом:
^вых= а2«
Ток /а2 связан с сеточным и анодным напряжениями
(t/C2 и Uаг) через параметры лампы — крутизну 5 и
внутреннюю проводимость Gi зависимостью
Аг — SjJcz “4“ GiJJw
Выбрав напряжения U и UK в качестве независимых
величин, получаем:
U&2 = t/дЫЯ t/к»
Uc2 = $U — [7ю
В свою очередь, напряжения U и UK определяются,
как это видно из рис. 45, при помощи равенств:
Uк —	(Ai Н- Лг)-
Для анодного тока /ai первой лампы можно написать:
--StUC1 "4“ GiJJat'
Наконец, входящие сюда напряжения выражаются сле-
дующим образом:
ил1 = и — ик;
С7с1==С7вЗ| Uk-
Полученные равенства и представляют собой цепочку
зависимостей между токами и напряжениями, развивае-
мыми на участках схемы, начиная от ее выхода и кон-
чая входом. При этом для каждого из фигурирующих
в этих зависимостях тока или напряжения, кроме вход-
ного напряжения t/BX, имеется определяющее его урав-
нение.
На рис. 46 показаны последовательно девять этапов
построения графа схемы в соответствии с ее уравнения-
ми. Разумеется, не обязательно вводить в систему урав-
нений в качестве независимых переменных сеточные и
анодные напряжения ламп, которые обычно весьма про-
9*	131
Рис. 46.
сто выражаются через другие переменные. Так, для то-
ков /ai и /а2 можно записать уравнения:
=	— (S, + Gi2) [7к + ^£2С7выл;
Iai = $1Uвд (*^1 “Ь G/i) Uк “j“ GiJJ.
Эти равенства с первым, пятым и шестым уравне-
ниями образуют совокупность зависимостей, необходи-
мую и достаточную для построения графа, который при-
веден на рис. 47. Как видно из сопоставления двух
вариантов, уменьшение количества независимых вели-
чин сильно упрощает сам граф и облегчает его пост-
роение.
Обычно обращается внимание на трудности, связан-
ные с рациональным выбором совокупности независи-
мых токов и напряжений. Можно рекомендовать для
электронных схем следующее правило. В качестве неза-
висимых напряжений, кроме входного и выходного, вы-
бираются узловые напряжения таким образом, чтобы
через них наиболее просто выражались напряжения на
электродах электронных ламп, а сами эти напряжения
легко определялись через токи в соответствующих вет-
вях. В качестве независимых токов выбираются анод-
ные токи ламп, а также токи, которые необходимы для
132
выражения независимых напряжений. Аналогичное пра-
вило имеет место и для транзисторных схем.
Часто можно встретить замечание, что исходные
уравнения, необходимые для построения графа, можно
не выписывать, а строить граф непосредственно по схе-
ме. Вряд ли целесообразно в сравнительно сложных
примерах избегать записи уравнений. Положительная
особенность метода ориентированных графов заключает-
ся не в том, что исчезает
необходимость выписывать А Ч и 5г?
уравнения схемы, а в том, д
что эти уравнения оказыва-
ются, как правило, достаточ-
но простыми и получают
удобную интерпретацию на
языке топологии.
Рис. 47.


Следует также заме-
тить, что наличие системы уравнений позво-
ляет проконтролировать правильность составления
графа. Очевидно, количество вершин графа равно
количеству величин (токов и напряжений), а вет-
вей должно быть столько, сколько всего слагаемых
в правых частях равенств. Так, в правых частях урав-
нений схемы (см. рис. 45) имеется всего 16 слагаемых,
поэтому соответствующий этим уравнениям граф со-
держит 10 вершин и 16 ветвей.
Аналогично можно построить граф и для транзистор-
ных схем. При записи уравнений схемы используется
одна из форм уравнений транзистора (§ И):
Л = guUi + gvlh', 1
А 7=2 giJJl 4“ g22L?2il
U1 Z==Z G1A “j“ ^12^2» 1
U2 == ^21A	^22^2> J
Ui = hiJJI
A = ^21A + ^22^/2* /
Следует только помнить, что токи Ц и /2 направлены
внутрь транзистора, а напряжения и U2 отсчитыва-
ются от общего узла, которым может служить любой из
трех электродов транзистора. Параметры транзистора
снабжаются индексами б, э или \k в зависимости от
133
того, какой электрод (база, эмиттер или коллектор) вы-
бран общим при их определении. Нетрудно убедиться
в том, что уравнениям транзистора соответствуют под-
графы, приведенные на рис. 48.
Проиллюстрируем методику построения графов тран-
зисторных схем на примере схемы, приведенной на
рис. 49,а. Так как в этой схеме (в отличие от преды-
Рис. 48.
дущей) /вх не равно нулю, то в качестве сигнала ис-
точника графа может быть принята любая из входных
величин С/вх или /Вх- Пусть сигналом источника служит
t/BX. Кроме того, пусть параметры транзисторов опреде-
лены в схеме с общим эмиттером. Обозначив внешние
токи и напряжения транзисторов и схемы, выражаем их
в явной форме, начиная с выходного напряжения
иът=и\-и"2.
Напряжения U'\ и U"2 выражаются через токи /"i
и 1"2 с’ помощью уравнений для второго транзистора
Ur \	"F ^123^2 5 |
Г/"2 = Г"21э/"1 + ГГ'22э/"2. /
Далее, записываем равенства для токов Г\ и /"2, ко-
торые входят в эти уравнения,
7-=r1+r2_Gt7BbIX;
1'Г2~ GUвьтх /вх«
В свою очередь, токи и 1'2 определяются уравне-
ниями для первого транзистора
/\ =	12эГ/ 2»
/\ g'ilbU'l “J” g 22dU 2*
134
a)
6)
Рис. 49.
В равенство для /"2 входит ток /вх. Поскольку по
условию он не является сигналом источника, его также
необходимо выразить через другие токи и напряжения
Наконец, записываем уравнения для U'i и U'2
U'l = ^вых,
J/'2 = -t7"b
Теперь все токи и напряжения, кроме сигнала источ-
ника UBX выражены в явной форме системой уравнений,
и можно приступать к построению графа. В результате
135
получим граф, приведенный на рис. 49,6 (подграфы
транзисторов показаны пунктиром).
Если бы в качестве сигнала источника был выбран
входной ток /вх или любая другая величина, то систе-
Рис. 50.
ма уравнений, а следовательно, и соответствующий ей
граф имел бы другой вид. Конфигурация графа зависит
также от выбора общего электрода при определении
параметров транзисторов.
Упражнения
1.	Составить граф по следующей системе уравнений:
Xi = ах0 + Ьх2 + сх5;
х2 = dxx + ех2\
= Л*2 + ^4+^5;
х4 = kXi + тх4;
*5 = пх3 + рх4.
2.	Записать системы уравнений, соответствующих графам, изо-
браженным па рис. 50.
3.	Составить ориентированные графы для схем, приведенных на
рис. 24,в и д, 29 и 32.
136
23. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ
В зависимости от постановки задачи в ориентиро-
ванном графе можно выделить некоторую совокупность
вершин, соотношение между сигналами которых пред-
ставляет интерес* К ним относятся источники и стоки
графа, которые будем называть внешними вершинами.
Остальные вершины отражают промежуточные вели-
чины, посредством которых связаны между собой сигна-
лы внешних вершин. Эти величины могут быть исключе-
ны из системы уравнений графа. Исключению каждой
такой величины соответствует устранение соответствую-
щей вершины графа. Разумеется, полученный в резуль-
тате такого преобразования граф будет эквивалентным
исходному относительно внешних вершин.
Преобразование графа удобно осуществлять, поль-
зуясь эквивалентными преобразованиями простейших
подграфов и правилами, которые формулируются ниже.
Последовательное соединение двух одинаково направ-
ленных ветвей (рис. 51,а) может быть заменено одной
137
эквивалентной ветвью, передача которой равна произ-
ведению передачи исходных ветвей. Действительно, так
как x2=axi и х3 = 6х2, то Хз=(аЬ)х\, что и требовалось
доказать. Очевидно, при параллельном соединении двух
одинаково направленных ветвей (рис. 51,6) передача
эквивалентной ветви равна сумме передач исходных вет-
вей. При этом число вершин остается неизменным, но
граф упрощается за счет устранения ветви. Эти пра-
вила могут быть распространены на любое количество
ветвей.
Пусть к некоторой вершине подходит несколько вет-
вей и несколько ветвей выходит из нее (рис. 51,в). Если
в этой вершине отсутствуют петли, то после ее устра-
нения каждая входная вершина (xi, х2, Хз) будет свя-
зана с каждой выходной вершиной (х<, х5) ветвью, пе-
редача которой равна произведению передач ветвей,
расположенных между ними и внутренней вершиной.
Справедливость этого выражения вытекает из уравнений
подграфа
х4 = <Ухв;
Xg — ext,
Хв = ах г 4- Ьхг + сх„.
Исключив из этих уравнений величину Хе, имеем:
х4 = (ad) х4 + (bd) х2 -ф- (cd) х3;
х8 = (ае) х4 4- (be) хг 4- (сё) х„
что соответствует эквивалентному подграфу, приведен-
ному на рис. 51,в.
Рассмотрим случай, когда устраняемая вершина со-
держит петлю (рис. 52,а). При этом
х2 = ах14_М8;
х3 = bxs.
Определив величину х2 из первого уравнения и подставив
ее значение во второе, имеем:
ab
Х3 — ।
Сравнивая этот результат с преобразованием по
рис. 50,а, заключаем, что при наличии в устраняемом
узле петли с передачей f передача эквивалентной -ветви
<38
умножается на -рту* Это правило иллюстрируют так
же рис. 52,6 и в.
Следует обратить внимание на глубокое отличие под-
графов с параллельными ветвями, когда ветви направ-
лены одинаково и различно относительно вершин. В пер-
вом случае имеет место простое суммирование передач
ветвей (см. рис. 51,6). Второй случай более сложный.
Если с одной вершиной такого подграфа связаны только
входящие ветви, а с другой—только выходящие
(рис. 53,а), то, применяя преобразование по рис. 50,в,
устраняем одну из вершин, но при этом образуется пет-
ля (рис. 53,6). В соответствии с правилом устранения
вершины с петлей (рис. 53,с) приходим к эквивалентному
подграфу, приведенному на рис. 53,в.
Если граф представляет собой последовательно-па-
раллельное соединение ветвей, причем параллельные
ветви разнонаправленные (рис. 54,а), то следует начи-
нать упрощение с внешних вершин (рис. 54,6). При этом
получаются петли, которые затем устраняются при по-
139
Рис. 53.
cd
следующих преобразованиях (рис. 54,в). Если бы пре-
образование такого графа начиналось с внутреннего
узла 3 или 4, то в результате получилось бы две петли
г)
Рис. 54.
(рис. 54,г), тогда как устранение крайнего узла приво-
дит к появлению только одной петли.
Устраняя вершину за вершиной (или группы вер-
шин), последовательно упрощаем граф и в конце кон-
цов всегда можно прийти к одной эквивалентной ветви.
140
Передача этой ветви и будет выражать передачу сигна-
ла от ее начальной к конечной вершине. Выбирая в графе
конкретной схемы соответствующие вершины, можно по-
лучить таким путем необходимый вторичный параметр
схемы.
Пусть, например, требуется определить коэффициент
передачи по напряжению схемы рис. 55,а. Если исхо-
дить из уравнения для анодного напряжения лампы
t/a = -^7 4 — -gj- Uc = Rih — Ht7c,
то уравнения рассматриваемой схемы можно записать
в виде
U ДЫЯ == U a 2 U С 2 j
Ua2— Влъ^аъ
Л2 ‘==	Uвы^*
иС2 = — t/ai;
141
142
Uai —	P’it/ci»
2ai— 2a2T ,
Uci — Uhx*
Построенный по этим уравнениям ориентированный
граф показан на рис. 55,6. Приведение этого графа к од-
ной ветви изображено на рис. 56. Передача этой ветви
выражается соотношением, которое и будет представ-
лять искомый коэффициент передачи напряжения
схемы:

и
—(Р>2 + О
U ВЫ X
вх
(н + 1)
! . ^2
R?
— и (р2+ О
t1 + Ri) \Д+ яг;+ (!Х2 + ° r2
Упражнения
1.	Применяя эквивалентные преобразования, привести к одной
ветви ориентированные графы, изображенные на рис. 50 (источник
обозначен цифрой /, а сток последней цифрой).
2.	Составить ориентированный граф схемы, приведенной на
рис. 22,а, и найти коэффициент передачи напряжения последователь-
ным преобразованием графа к одной ветви относительно входа и
выхода.
143
3.	Показать, что граф транзисторной схемы рис. 49Д в резуль-
тате исключения вершин /'2, {/"г, £/'2, /'i, i/'i приводится к виду,
показанному та рис. 57.
24. ПЕРЕДАЧА НАПРАВЛЕННОГО ГРАФА
Хотя передачу сигнала от источника к какой-нибудь
вершине, выбранной в качестве стока, можно получить
путем последовательных упрощений графа до одной вет-
ви, этот путь может оказаться слишком громоздким. Кро-
ме того, он приводит к аналитическим выражениям
в виде многоэтажных дробей, что неудобно для после-
дующего анализа и требует приведения этих выражений
к форме дробно-рациональных функций с числителем
и знаменателем, выраженными некоторыми полиномами.
В то же время имеется возможность записать выра-
жение для передачи сигнала от источника к стоку непо-.
средственно из рассмотрения графа любой сложности.
Введем некоторые определения. Непрерывная после-
довательность ветвей, составленная так, что конечная
вершина предыдущей ветви является начальной верши-
ной последующей, образует путь графа. Если путь про-
ходит от источника к стоку, причем каждая вершина
встречается вдоль пути не более одного раза, то он на-
зывается сквозным путем. Замкнутый путь, вдоль кото-
рого каждая вершина может встречаться только один
раз, образует контур графа. Петля представляет собой
частный случай контура, включающего только одну
вершину. Если два различных пути или контура имеют
хоть одну общую вершину, то они являются соприкасаю-
щимися; пути или контуры, не имеющие ни одной об-
щей вершины, называются несоприкасающимися.
Например, для графа (рис. 58,а) все четыре контура
показаны на рис. 58,6, а два сквозных пути — на
рис. 58,в. Как видно, контуры 1 и 3 несоприкасающиеся.
Сквозной путь 1 не имеет несоприкасающихся контуров,
а сквозной путь 2 не соприкасается с контуром 2 и со-
прикасается с остальными контурами.
Передача пути Р определяется произведением пере-
дач ветвей вдоль этого пути. Передача контура L также
равна произведению передач ветвей, входящих в данный
контур. Так, передачи контуров и сквозных путей графа
(рис. 58,а) выразятся следующим образом:
Т   £ £ . /   А £ . Т   k k * I   k k k k •
---- ^12к21> -^2   ^23^321 ^3   ^34^43 ’	- K'14.K'43n3 2n 21»
P --- k k k k k * P -- k k k
-- КО1К12К23К34К45» Г 2	K01n'14rt'4 5’
144
В дальнейшем для сокращения, говоря о передачах
ветвей, путей и контуров, а также о их произведениях,
термин («передача» можно опускать. Например, вместо
«произведение передач ветвей» будем говорить «произ-
ведение ветвей», вместо «передача пути» — «путь» и т. п.
Нетрудно заметить, что в контуры графа не входят
ветви, начинающиеся в источнике. Напротив, в каждом
сквозном пути обязательно имеется одна -ветвь, исходя-
щая из источника, и одна ветвь, приходящая к стоку,
но не может быть ни одной ветви, выходящей из стока.
Общее выражение передачи графа от некоторого ис-
точника к f-й вершине может быть получено по формуле
^=-^-0
Здесь D — определитель графа, который зависит ис-
ключительно от передач контуров и может быть записан
непосредственно из рассмотрения графа. Он равен еди-
нице минус сумма всех контуров, плюс сумма произве-
дений всех попарных комбинаций несоприкасающихся
контуров, минус сумма произведений всех комбинаций
по три несоприкасающихся контура и т. д. Обозначив
10—1115	145
произведение r-й комбинации из q несоприкасающихся
контуров через 1^\ можно записать:
г	г	г
ИЛИ
Q г
Отсюда, в частности, следует, что определитель гра-
фа, не имеющего ни одного контура, равен единице. Та-
ким образом, для получения определителя графа доста-
точно выделить его контуры и воспользоваться прави-
лом, выраженным приведенной выше зависимостью. На-
пример, для графа по рис. 58, который содержит только
одну пару несоприкасающихся контуров (/ и 3), имеем:
D = 1— (LiH-L2 + Ls-]-L4) + £1£3 =
1	(^12^21 “Н ^23^32	^34^43 “Н ^14^43^32^21) “Н ^12^21^34^43*
Часть графа, которая включает только ветви конту-
ров, называется контурным подграфом. Нетрудно убе-
диться в том, что, если все контуры графа не соприка-
саются, то формула для определителя графа принимает
более удобный вид:
k
D = (1 -Л) (1	. (1 -Lh)= П (1 — Li).
Z=1
Вообще контурный подграф может содержать любое
количество отдельных частей (каждая часть контурного
подграфа состоит только из соприкасающихся контуров).
Если Z>i, D2, ..., Dm — определители частей контурного
подграфа, то можно показать, что определитель графа
равен их произведению, т. е.
D = DxD2 •.. Dm = Dt.
Величина Ps в формуле передачи графа — это пере-
дача 5-го сквозного пути графа. Величина Ds назы-
вается алгебраическим дополнением s-го сквозного пути
и равна определителю той части графа (подграфа), ко-
146
торая не соприкасается (не имеет общих вершин) с этим
сквозным путем.
Для рассматриваемого примера (см. рис. 57) и
Р2 были получены выше. Выражения для алгебраиче-
ских дополнений Ds могут быть найдены из рассмотре-
ния контуров графа, не соприкасающихся с данным
сквозным путем. Так как первый сквозной путь не име-
ет ни одного несоприкасающегося контура, а второй —
не соприкасается только с контуром 2, то
/?2=1—1^2=1—1^23^32*
Подставляя полученные из рассмотрения графа зна-
чения его определителя, сквозных путей и их алгебраи-
ческих дополнений в формулу, получим выражение для
искомой передачи графа. Так, для рассматриваемого
примера имеем:
__ ______^01^12^23^34^45 ~4~ ^01^14^45 G ^23^3г)_
6	1	^12^21	^2 3^'32*т“ ^34^43	^14^43^32^21 “F ^'12^'21^'34^'4 3
Доказательство формулы передачи графа потребова-
ло бы много места и здесь не приводится. В ее спра-
ведливости можно убедиться на конкретных примерах.
Так, рассматривая граф на рис. 56, отмечаем, что он со-
держит четыре контура, передачи которых
т  .. Мм . Т   Rhi . Г   Mil . Т  	М«2
/?2 ’ 2~ Ml ’ 3“” М2 ’	R2 ’
Все они, кроме второго и четвертого, соприкасаются;
поэтому определитель графа запишется в виде
Z? = 1 (Lj + L2 4- L3 4- L4) 4“ ^2^4 = 1 +	I" I"
J.&1 _L_ Mt 2 \ _l_ Mil Mt2 _f 1 I Mil \ Д | Mig \ _1_
v + ’^"A
+ <f»2+о
Граф содержит два сквозных пути, передачи которых
Pi= —Ц1И2; ^2= —Ц1-
Все контуры соприкасаются с каждым из этих сквозных
путей, поэтому алгебраические дополнения сквозных пу-
Ю*	147
тей Di=D2=\. По формуле передачи графа имеем:
Д' __ ^Ь,Х________________Р~1 (р-2 ~Ь О_______
Лу~ ип — /	Як1\/	\	,	R^ ’
V+ Л, Д1+ /?2 J + (H-2 + О R*
что совпадает с результатом, полученным с помощью
эквивалентных преобразований (§ 23).
Итак, формула передачи графа позволяет получить
выражение для требуемой функции схемы непосредст-
венно из рассмотрения графа. Как правило, этот путь
более удобен, чем приведение графа к эквивалентной
ветви рядом последовательных преобразований. Однако
часто бывает полезно прежде, чем применять общую
формулу, несколько упростить исходный граф.
Итак, анализ электронных схем методом ориентиро-
ванных графов сводится к выполнению следующих опе-
раций:
1)	составление ориентированного графа исходной
ФУНКЦИИ С ОДНИМ или несколькими источниками графа,
выбранными в соответствии с условием задачи;
2)	частичное упрощение графа (если это требуется)
путем применения эквивалентных преобразований;
3)	выделение совокупности сквозных путей и конту-
ров упрощенного графа и вычисление их передач;
4)	запись требуемой функции схемы по общей фор-
муле передачи графа.
Упражнения
1.	Записать по общей формуле выражения для передач графов,
изображенных на рис. 50. Сравнить результат с полученным
в упражнении 1 (§ 23).
2.	В графе на рис. 57 выделить контуры и сквозные пути от вер-
шины /вх к вершине ивых (всего имеется восемь контуров и четыре
сквозных пути). Найти выражения для передач контуров и сквоз-
ных путей и записать выражение для передачи графа.
3.	Записать коэффициент передачи напряжения для схемы
рис. 22,а< по ее графу, полученному в упражнении 2 (§ 23).
4.	Доказать, что в случае, когда в графе все контуры
L2, ..., Lk не соприкасаются, его определитель выражается фор-
мулой
k
D = (l-L1)(l-£,)...(1-Lft) = П 0-М-
Z = 1
5.	Доказать, что определитель графа выражается через опреде-
лители Di, D2, ..., Dm частей контурного подграфа формулой
т
D = DiD2 ... Dm = | £ D$.
i=l
148
6.	Проверить справедливость выражения для определителя гра-
фа через определитель частей соответствующего ему контурного под-
графа на примере графа по рис. 50,г.
25. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ВЕРШИНЕ ИЛИ ВЕТВИ И ИНВЕРСИЯ
ПУТИ ИЛИ КОНТУРА ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА
Прямое использование формулы передачи графа тре-
бует выделения контуров и сквозных путей, что для
графов сложной конфигурации может оказаться утоми-
тельной операцией. Поэтому разработан ряд способов,
упрощающих эту процедуру.
Рассмотрим два из них: раз-
ложение определителя графа
по вершине или ветви и инвер-
сию пути или контура графа.
Выделим в графе одну из
его п вершин, которая обозна-
чена через s (рис 59) Если
D'— определитель графа без
вершины s, то для того, чтобы
получить определитель D исходного графа, необходимо
учесть еще контуры, которые исчезают при удалении
вершины $. Пусть Dh — определитель той части графа,
которая не соприкасается с контурами существую-
щими благодаря наличию вершины s. Очевидно, опреде-
литель графа можно представить формулой.
D = D'-%LKDh,
k
где сумма берется по всем контурам Lk. Знак минус по-
является из-за того, что умножение контура Lk на поло-
жительный член Dk будет содержать нечетное число
контуров.
Вместо удаления узла можно расщеплять узел на
два узла так, чтобы разрушались все контуры, прохо-
дящие через этот узел. Для этого достаточно все вхо-
дящие в данный узел ветви отнести к одному «половин-
ному» узлу, а выходящие — к другому.
Найдем, например, определитель графа, изображен-
ного на рис. 60,а. Граф содержат восемь контуров,
передачи которых:
Ц —a; L2 = b\ L3 = c; L± — dg\ L* = fh;
L6 = ei\ L7 = efg; L8 = dih.
149
Пары несоприкасающихся контуров образуют
комбинации:
AiL2, LjLg, AjLgj L2Le; ^3^4*
Единственную комбинацию по три несоприкасаю-
щихся контура образуют контуры L\L2L^ Следователь-
но, определитель графа
£> _ 1 — (Li А2 4“	+ ^5 +	+ ^7 4“ ^в) 4“
= 1 — (а4- Ь-\-с 4- dg4- fh + ei-\-efg-\-dih) 4-
4“ (ab 4“ ас 4- be 4~ afg 4- bei 4“ edg) — abc.
Если расщепить один из узлов, как указано на
рис. 60,6, то контуры Л2, L4, Ъ и Л8 устраняются, и
определитель графа будет:
о'=1-(£14-л34-4)+лЛ=1-(^+^4-^)4-^
Определители Dk частей графа, не соприкасающихся
с устраненными контурами, будут:
Da=1-(L1-]-L3 + Le\+L1L3-, D4=l—£,;
D6=1-Li: D7 = £>8 = 1.
Поэтому по формуле разложения определителя графа
по вершине имеем:
D = D' - (£2D2 +'LA + LSDS + L,D, + L3D3) =
= l-(£1 + £3 + £e) + £1£3-
-£,[!-(£,+ £, + £.) + £>£,]-
-£4(1-£,) + £,(!-£,)-£,-£„
что совпадает с найденным ранее результатом.
С помощью формулы разложения определителя
графа по вершине можно осуществлять и разложение
по любой его ветви или совокупности ветвей. Для этого
вводится дополнительная вершина в одну из ветвей или
каким-либо способом, чтобы граф оставался эквивалент-
но
ным исходному, например, как показано на рис. 60,в.
Расщепляя этот узел, применяем формулу разложения,
как и в предыдущем примере.
Разложение определителя графа по вершине или вет-
ви особенно удобно, когда после расщепления узла
Рис. 60.
в контурном подграфе образуются отдельные части. Так,
в исходном графе (рис. 60,а) контурный подграф пред-
ставлял собой одну часть, а после расщепления вве-
денного узла образовалось две части, определители ко-
торых
р>1=1_(£1+£з+£в) + ^з; п%=1-£2.
Следовательно, определитель графа после расщепления
узла (§24).
D' = D\D'2 = [1 - (£t + L3 + £e) +XA1 (1 - L2).
При восстановлении узла появляются контуры £4,
£5, £7 и £в, причем £4 и £7 содержат ветвь g, а £5 и
£8 — ветвь й. Так как
Z)4=l—£3; 1?5=1—£1; £>7=lD8=1,
то имеем:
D = D' - (ДД + ДД + ДД + ДД) =
= [1-(Д + Д + Д)-НДД](1-Д)-Д(1-Д)-
-Д(1-Д)-Д-Д.
Часто оказывается удобным или даже необходимым
изменить направление (инверсировать) ветви или пути
графа. Очевидно, для того, чтобы при этом не наруша-
лась система уравнений, которой соответствует данный
151
граф, такое изменение повлечет за собой соответствую-
щие изменения структуры графа и значений передач его
ветвей. Пусть, например, в графе (рис. 61,а), соответ-
ствующем системе угравнений
х2 == а*! 4~	|
х3 = 6х2 + </х5, /
необходимо инверсировать путь ab, т. е. сделать узел 3
источником, а узел 1 — стоком. Для этого преобразуем
Рис. 61.
эту систему уравнений таким образом, чтобы хг и х2
стали зависимыми переменными:
xt =— х2----------х-
1 а 2	а
— JL	—
х2 ъ х3	ь %
Сравнивая новый граф (рис. 61,6), соответствующий
этой системе уравнений, с исходным (рис. 61,а), заме-
чаем, что передачи инверсируемых ветвей изменяются
на обратные величины. Начальная вершина инверсируе-
мой ветви становится конечной, и в нее переносятся кон-
цы всех ветвей, которые направлены к конечной верши-
не инверсируемой ветви до инверсии. При этом передачи
переносимых ветвей делятся на передачу инверсируемой
ветви с обратным знаком.
По этому правилу можно инверсировать любой кон-
тур, но оно справедливо для инверсии только тех путей
или ветвей, которые начинаются в источнике графа.
При инверсии может уменьшаться количество конту-
ров, следовательно, упрощается и вычисление передачи
графа. При этом следует иметь в виду, что передача
по инверсированному пути является величиной, обратной
передаче по этому же пути исходного графа. Пусть,
152
например, необходимо определить передачу графа по
рис. 62,а от Xi до х2. По формуле передачи имеем:
х2
К =
abcde
1 — (f -j- i k h -f- bcdg) -f- (fi -j- fk -f- fh -j- ik ~f“ ih -f- kh) —
— (fik + fih + fkh + ikh) + fikh'
Инверсирован путь от Xi к x2, приходим к графу, ко-
торый не содержит ни одного контура (рис. 62,6). Сло-
жив передачи параллельных ветвей (рис. 62,в), имеем
по формуле передачи (Z)=l)
*'=§-=-1 < “ о т	т 4-- й4~
___
а е
Как видно, применение инверсии пути упрощает рас-
чет. Сравнивая полученные результаты, убедимся, что
К=\Ж'. Замечаем, что исходный граф имеет только
один сквозной путь, и, следовательно, основная слож-
ность заключается в вычислении его определителя. Если
применить разложение по ветви g (рис. 62,г), то после
расщепления введенного узла (разрыва ветви g) кон-
турный подграф распадается на четыре части, и следо-
вательно, определитель графа
D'= (1-f) (1-i) (\-k) (1-h).
Так как при объединении узла восстанавливается
контур bcdg, который не имеет ни одного несоприка-
сающегося контура, то по формуле разложения опреде-
лителя графа имеем:
D= (1-f) (1-i) (1-k) (l-h)-bcdg.
Следовательно, передача графа от вершины Xi к вер-
шине х2 будет:
У _ х2	abcde
* — — (1 — f) (1 —/) (1 — £) (1 _ А) _	*
153
Рис. 62.
Приведенные примеры убедительно свидетельствуют
о том, что разложение определителя графа и инверсия
пути или контура могут упростить расчеты и позволяют
получить результат в более компактной форме.
Упражнения
1. Вычислить коэффициент передачи напряжения схемы рис. 55
с помощью: а) разложения определителя по вершине Iaz\ б) инвер-
сирования сквозного пути.
2. Инверсировать пути от источника к стоку графов, приведенных
на рис. 50, и определить передачи относительно этих путей.
26. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗАКОН ПЕРЕДАЧИ
Структура ориентированного графа определяется вы-
бранной совокупностью величин (токов и напряжений),
характеризующих состояние схемы, и соответствует систе-
154
ме уравнений для этих величин. Обычно имеется воз-
можность записать систему уравнений схемы различны-
ми способами. Различными будут и соответствующие им
ориентированные графы. Однако при определении пара-
метров схемы можно исходить непосредственно из ее
структуры, не прибегая к записи уравнений (в матрич-
ной форме или в форме графов потоков сигналов). Этой
цели служат топологические методы анализа схем, неко-
торые положения которых будут приведены без доказа-
тельств.
Вторичные параметры четырехполюсника, к которому
приводится схема, рассматриваются как отношение ве-
личины X тока или напряжения, измеряемых соответст-
вующим прибором, к значению задающего Q тока или
напряжения источника, т. е.
Величины X и Q принимают конкретный смысл в за-
висимости от того, что представляет собой вторичный
параметр Т схемы. Например, если Т — коэффициент
155
передачи напряжения, то X — показание вольтметра на
выходе, a Q — величина задающего напряжения на вхо-
де. Если Т — входное сопротивление, то X — показание
вольтметра на входе, a Q — величина задающего тока
на том же входе, и т. п.
Пассивная схема представляется графом, ветви кото-
рого не имеют направления, причем структура графа
полностью совпадает со структурой схемы. Каждой вет-
ви графа приписывается то значение проводимости,
которое имеет пассивный двухполюсник в соответствую-
щей ветви схемы.
Например, мостовая схема (рис. 63,а) при определе-
нии коэффициента передачи напряжения представляет-
ся в виде, изображенном на рис. 63,6 (ветвь вольтметра
U показана линией со стрелкой). Та же схема для опре-
деления тока в ветви У4 приведена соответственно на
рис. 63,в, а для определения входного сопротивления —
на рис. 63,г.
Топологический закон передачи выражается форму-
лой
гр _
1 "" Д *
Величина Д в знаменателе этого выражения пред-
ставляет собой определитель схемы (без измерительных
приборов), вычисленный после того, как ветвь с источ-
ником напряжения замкнута накоротко, а ветвь с источ-
ником тока исключена из схемы.
Можно показать, что определитель схемы равен сум-
ме величин ее различных деревьев. Дерево — это связан-
ная совокупность ветвей, включающая все узлы схемы
и не содержащая ни одного замкнутого контура. Так, на
рис. 64 приведены все восемь деревьев мостовой схемы.
Величина дерева равна произведению проводимостей
ветвей этого дерева. Следовательно, если, например, тре-
буется найти входное сопротивление мостовой схемы
(рис. 63,г), то ее определитель Д с отключенным источ-
ником тока будет:
Д = УгУ4У5 + УХУ 2У4 + УгУ3У4 + УХУ 2У3 + У2У3У4 +
+ у1у3у6+у2у4у5 + у2у3у6.
Величина Р\ характеризует путь передачи, который
представляет собой непрерывную последовательность
156
ветвей, начинающийся и кончающийся в узлах источни-
ка и обязательно включающий в себя ветвь с измери-
тельным прибором. Произведение проводимостей ветвей
схемы в 1^-м пути передачи и равно величине (про-
водимость измерительного прибора принимается равной
единице и, следовательно, не влияет на значение вели-
чины P'k). Величина k-ro пути передачи Р\ берется
с плюсом, если в замкнутом контуре, включающем этот
путь и источник, задающий ток или напряжение на-
правлен одинаково с определяемым током и противопо-
ложно с определяемым напряжением. В противополож-
ном случае величина пути передачи берется с минусом.
Через обозначено алгебраическое дополнение А-го
пути передачи, равное определителю схемы после замы-
кания накоротко данного пути передачи (включая и
ветвь с измерительным прибором).
Так, при определении входного сопротивления мосто-
вой схемы (рис. 63,г) имеется единственный путь пере-
дачи, содержащий только ветвь измерительного прибора
(рис. 64,6). Граф схемы после замыкания этого пути
показан на рис. 64,в. Его определитель
+у4) г,+(У2+У,) У6 + (У1 + У4) (У 2+У,).
Учитывая, что Р71 = 1 (проводимость ветви прибора
принимается за единицу), имеем выражение для вход-
ного сопротивления схемы
Zim —
+ У4 ((У2 + Кз + к5) + (у2 + У3) г5
~Уз (К1 + У4 + У5) + ЛУ5] + г4 [у2у5 + у, (У2 + у3 + у5)] *
157
При определении коэффициента передачи напряжения
(рис. 63,6) образуются два пути передачи (величина
первого из них отрицательна, так как в контуре, образо-
ванном этим путем с источником напряжения, опреде-
ляемое напряжение U направлено
i	одинаково _с задающим напря-
жением Е):
</ Г \	P'2=Y2Y4.
//5	При закорачивании этих путей
<	передачи граф схемы обращается
3	в узел, так как все узлы схемы
Рис. 65.	входят в эти пути передачи. Опре-
делитель схемы, не содержащей ни
одной ветви, принимается равным единице, поэтому
алгебраические дополнения путей передачи
Определитель А схемы находим в этом случае при
закорачивании источника напряжения Е, после чего
приходим к графу, уже встречавшемуся ранее (рис. 64,в).
Следовательно,
Кз [Г2 (Л + Г4 + ^5) + *V5] + Г4[У2Г8 + Ух (У2 +Гз+У5)Г
Итак, выражения для параметров пассивной схемы,
а также для токов и напряжений на- элементах можно
записать непосредственно из рассмотрения ненаправлен-
ного графа, структура которого полностью совпадает со
структурой схемы. При этом основная трудность заклю-
чается в записи определителя схемы или алгебраиче-
ского дополнения некоторого пути. Выделение и перебор
всех деревьев схемы является утомительной процедурой.
Для решения этой задачи разработаны многочисленные
приемы, простейшие из которых рассмотрены в сле-
дующем параграфе.
Упражнения
1.	Запйсать выражение для тока / в ветви мостовой схемы (см.
рис. 63,в) с помощью топологического закона передачи. Проверить
результат матричным методом.
158
2.	Образовать все деревья схемы (рис. 65) и записать выраже-
ния для ее определителя (проводимости ветвей равны Yit где i —
номер ветви, обозначенный та рисунке).
3.	Доказать правило знаков для путей передачи Р'л, воспользо-
вавшись простейшей схемой, состоящего из источника тока или на-
пряжения и пассивного двухполюсника.
27.	ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СХЕМЫ
Прежде всего выясним, какое число различных де-
ревьев имеет граф схемы. Если определитель схемы
равен сумме величин деревьев, то при К=1 (У/ — про-
водимости ветвей) каждое слагаемое будет равно еди-
нице и, следовательно, он выразится целым числом,
равным количеству различны^ деревьев. В то же время
определитель схемы можно найти как определитель ее
матрицы проводимости. При единичных проводимостях
ветвей эта матрица для схемы с (м+1) узлами (один из
узлов выбирается базисным) имеет вид:
^12 • • •
^12	^22 • • • * 2П
tm	t2n • • •	tnn
где tkh — равно количеству проводимостей, присоединен-
ных к узлу k, a tks — количество проводимостей, вклю-
ченных между узлами k и $. Количество различных де-
ревьев р в схеме с (м+1) узлами выражается опреде-
лителем матрицы [/], т. е.
р = det [/].
Например, для схемы рис. 65 находим (узел 4 выбран
в качестве базисного):
Все различные деревья без их вычерчивания можно
получить по следующему правилу (это правило иллю-
стрируется на примере схемы рис. 65);
1)	записываем совокупности номеров ветвей, присо-
единенных к каждому из узлов схемы (кроме одного из
159
них, выбранного в качестве базисного), в виде струк-
турных векторов [QJ:
I[Q!]= (1, 3, 5); [Й2]=(1, 2, 4); [Q3]= (2, 3, 6).
2)	рассматривая последовательно эти векторы, обра-
зуем таблицы, столбцы которых представляют собой все
возможные комбинации различных компонент различ-
ных структурных векторов:
Qjiri 1 3 3 3 5 5 51
22 J Ь 4 1 2 4 1 2 4J’
-21
-2з
1 1 1 1 13333355555555-
22444112441 1 122444
-3 62362662623636236.
3)	в образованной таким способом таблице вычерки-
ваем все столбцы, которые состоят из одинаковых эле-
ментов, не зависимо от их порядка, в результате чего
получаем так называемое структурное число А; количе-
ство его столбцов равно числу деревьев, каждое из
которых состоит из ветвей с номерами элементов данно-
го столбца:
Г1 1
А =
2 4
6 2
1 1 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5'
44124411122444
3666262363623 6_
Как видно, для рассматриваемого примера получили
16 деревьев (см. упражнение 2, § 26). На основе струк-
турного числа можно записать определитель схемы, если
перемножить проводимости каждого дерева (элементы
столбцов) и полученные произведения сложить. В нашем
примере
Д = Y.Y2Y. + YJ\Y 2 + YJ,Y3 + Y.Y.Y. + YJ\Y% +
+ y3y2ye + у3у4у2 4- y3y4ye + y5y,y2 4- у6у,у3 4-
+ у 6ytye 4- у .у 2y3 4- y.y2ye 4- у .у4у 2 4- у.у4у3 4- у .y.y. .
Хотя структурное число А и записано в виде табли-
цы, но оно по своим свойствам отличается от матрицы,
так как можно изменять порядок элементов в каждом
столбце, а также переставлять столбцы. Это вытекает
160
из того, что элементы каждого столбца определяют со-
вокупность ветвей дерева схемы, и безразлично, в каком
порядке представить эту совокупность. Этим полезно
воспользоваться для того, чтобы придать более удобный
вид выражению для определителя схемы. Введем
в структурное число еще одну строку, которая будет
выражаться числами
Vi = VCi—VLi,
где vci и vLi — соответственно количество емкостей и
индуктивностей. Для того чтобы отличать эту строку от
остальных элементов структурного числа, она отделена
пунктирной линией. Пусть, например, в схеме включены
следующие элементы (индексы совпадают с номерами
ветвей): Сь О2, G3, Ц, С5, L6. Тогда
111	13	3	3	35555555	5
244	41	2	4	41112244	4
л==	6 2 3	66	6	2	62363623	6-
0 0 0 —1 0 —1 —1 —2 2 2 1 1 0 0 0 —1
Так как Yc — pC и Y L= -±-=р~\Г, то, очевидно, эле-
менты последней строки указывают степень k члена cikpk
полинома от р, которым выражается определитель схе-
мы. Расположив столбцы по убывающим значениям
элементов последней строки, имеем:
Л=
5 5'5 5'1 1 13555]1
1 111 21244 1 244’4
23 । 63 । 6236623)6
а2 «1	а0
3 3 513
2 4 41 4
6 2 616
а_1	а_2
Отсюда можно записать выражения для коэффициен-
тов полинома
Д (р) = а#* + ахр + а„ + а _ хр~1 -f- а _ 2р -2
в следующем виде:
= CiG6G2;
--^5 (^1^6 “Ь ^2^з)»
11—1115
161
= Ct [i\ (G2 + G3) + Г. (G2 + G,)] +
+ C6[FeG2 + r4(G2 + G3)] =
= [Ct (Г4 + Г.) + С5Л4] (G2 + G3) + C6FeG2;
a -x = (C. + Q Г4Гв + (Г4 + Fe) G2G3;
а_а = Г4Г,0,.
Применяются также некоторые способы разложения
определителя, позволяющие записать его выражение
в компактной форме. Прежде всего следует иметь в ви-
ду, что определитель схемы, состоящей из двух или
нескольких частей, равен нулю. Определитель схемы,
некоторые части которого соединены только в одной
точке, равен произведению определителей этих частей.
Если в схеме выбрать два произвольных узла (узло-
вую пару) и найти все пути Pk между этими узлами, то
определитель схемы можно выразить в виде:
Д=^^>
k
где — алгебраическое дополнение &-го пути. Этот при-
ем называется разложением на пути или по узловой
паре. Например, выбрав в качестве узловой пары схемы
рис. 65 узлы 2 и 4, замечаем, что между ними имеется
пять путей:
Р1=У4; P=YjY* P3 = Y2Y- P^Y^Y.Y- Р6=У2У3У6.
Алгебраические дополнения, равные определителям
схем после короткого замыкания путей, выражаются
следующим образом:
А» = (Л + Yf) + (Л + Ys) У, + (У2 + YJ У3;
Д2=Г2 + К3 + Ув; Дз^Л+Уз+У,; Д4 = Д6=1.
Здесь алгебраические дополнения четвертого и пятого
путей равны единице, так как эти пути охватывают все
узлы и после их замыкания схема сжимается в единст-
венный узел. Таким образом, имеем:
Д = У41У 2 + У6) (У 2 4- Ув) + Y, (У. + у2 + у5 + у.)] +
+ У,У5 (У 2 + у3+у,)+У2У„ (У3+у3 + у5) 4-
+ УхУзУв+к2УзУ#.
162
Можно также разложить определитель по узлу.
В этом случае определитель записывается по формуле
+ + • •
Здесь под знаки сумм входят всевозможные сочетания
по одной, две, три и т. д. проводимостей У(-, У3-, Уд, ...,
сходящихся к выбранному узлу. Символы вида Д(-3-д обо-
значают определители схем, получающихся после замы-
кания ветвей У,-, У;, Уд и размыкания всех других вет-
вей, сходящихся к данному узлу. Выбирая, например,
в схеме на рис. 65 узел 4, замечаем, что к нему сходят-
ся ветви с проводимостями У4, У5 и Уб. Следовательно,
можно написать:
д = у4д4+У5Д6+УЛ + У4У,Д45 + w4e++
+ W.V
По приведенному выше определению находим:
Д4 = Д5 = Дв = У А + У А + У2У3; Д46 = У2 + У3;
Д4в = Ух-|-У3; Д6в = У1 + У2; Д4И = 1.
Следовательно, определитель схемы запишется в виде
Д = (У4 + У5 + Ув) (У1У2 + УЛ + У2У3) + УЛ Л+У») +
+ у4ув (У,+У3) + ул (У4+у2) + у4у6ув.
Наконец, можно разложить определитель по ветви.
Пусть Yt — проводимость выбранной ветви. Тогда
Д=До+УА,
где До — определитель схемы, из которой исключена
ветвь Yi, а Д', — определитель схемы, когда ветвь У/ ко-
ротко замкнута. Например, разлагая по ветви 4
(рис. 65), имеем:
До = Ух (УЛ + У3У.4-УвУ.) + У2 [У» + У,) У3 +
+ (Ух + У3)Ув + У5Ув];
Д г=(У х + у5) (У 2 + У.) + (Ух + у.) У,+(У 2+у.) У3.
11*
163
Здесь |Д0 вычислено также разложением по ветви 2.
Поставляя значения До и Д(-, после группировки членов
имеем:
д=гх [ Гв [У5+Ув) + УЛ] + У. 1(Л + Г,) (У 6+Ув)+
+ ^в] + У. КЛ + К5) (У2 + у, + Ув) + (Г,+ У.) Г,].
Разработано также много других топологических ме-
тодов получения определителя схемы. В сложных слу-
чаях их реализация практически возможна только с по-
мощью цифровых вычислительных машин или специали-
зированных устройств.
Рис. 66.
Изложенные в этом параграфе методы основаны на
топологических операциях с ненаправленными графами,
совпадающими по своей структуре со структурой схемы.
Такое положение возможно только для схем, состоящих
из двухполюсников. Электронные схемы представляются
графами, которые не совпадают полностью с конфигура-
цией схемы.
Упражнения
1.	Найти определитель схемы рис. 66,а: а) суммированием всех
деревьев; б) разложением по путям; в) разложением по узлу;
г) разложением по ветви; д) с помощью структурного числа. Про-
верить результат матричным методом.
2.	Определить количество деревьев: а) в схеме рис. 66,6;
в) в полном пятиугольнике при я=5 (полный многоугольник содер-
жит ветви, соединяющие каждый узел с каждым); в) показать, что
в полном многоугольнике с п узлами общее количество деревьев
равно пп~2.
3.	Доказать, что структурное число содержит все деревья схе-
мы, а вычеркиваемые столбцы соответствуют контурам схемы.
4.	Доказать справедливость формул разложения по узловой па-
ре, по узлу и по ветви.
164
28. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ С ПОМОЩЬЮ
УНИСТОРОВ
Топологический закон передачи распространяется на
электронные схемы путем введения направленных вет-
вей, отражающих зависимые источники. Один из спосо-
бу
бов представления графа электронной схемы основан на
использовании унисторов.
Унистор характеризуется параметром и изобра-
жается ветвью со стрелкой (рис. 67,а), указывающей
направление тока, который пропорционален напряжению
Un между начальным узлом унистора и некоторым ба-
зисным узлом (этот узел принято условно отмечать как
заземленный), т. е.
I=YksUk.
В то же время обычная ветвь графа (рис. 67,6) ха-
рактеризуется уравнением
I = Y(Uk-Us).
165
На рис. 67,в приведены некоторые пары эквивалент-
ных преобразований схем с унисторами, которые легко
доказываются с помощью написанных выше уравнений.
В частности, унистор, направленный от заземленного
узла, эквивалентен разомкнутой ветви, так как его нача-
ло совпадает с заземленным узлом, и значит Uk=0,
вследствие чего и ток / через
унистор тождественно равен
нулю.
При построении унисторных
схем электронных ламп, тран-
зисторов и вообще любых не-
обратимых многополюсных эле-
ментов можно исходить либо
из матриц проводимости, либо
из их эквивалентных схем с за-
висимыми источниками. Рас-
смотрим эти два способа.
Унистор YkSi включенный
между узлами k и s (рис. 67,а),
представляет по существу за-
висимый источник тока, кото-
рый отличается тем, что управ-
ляющее напряжение Uk не может быть произвольным,
а строго фиксировано относительно базисного узла и на-
чала ветви с унистором. Применяя правило записи мат-
рицы проводимости схемы с зависимыми источниками
(§ 12),- можно установить, что параметр унистора yks
вписывается в матрицу проводимости на пересечении
столбца с номером k и строк с номерами k (со знаком
плюс) и s (со знаком минус). Рассмотрим схему, в кото-
рой между каждой парой узлов включены два противо-
положно направленных унистора (рис. 68). При этом
унисторы, направленные от базисного узла, не показаны,
так как они эквивалентны разомкнутой ветви. Матрица
проводимости унисторной схемы запишется в виде
1	2	3
Ум + Угг + Ун	У 21t	У 31
У12	f/2O”bf/214“f/23	У 32
У13	У 23	Узо	У31 "4“ У 32
166
Отсюда замечаем, что
Узь (k^O, j),
Yk'k = ^ yhitt^k)-
z=o
Обратные зависимости, выражающие проводимости
унисторов через элементы матрицы проводимости схемы,
имеют вид:
У № — Yk(j (k 7^	/)>
Уэо = V1 ¥&j,
k=\
Уээ — О*
Таким образом, зная матрицу проводимости схемы,
можно представить ее унисторной схемой замещения,
определив параметры унисторов по полученным форму-
лам. Если ищется унисторная схема для многополюс-
ного элемента на основе ее матрицы проводимости, то
всегда имеет место равенство z/jo = O, так как сумма эле-
ментов в каждом столбце особенной матрицы проводи-
мости тождественно равна нулю (§ 13). Вследствие это-
го унисторы будут включены только между узлами, не
являющимися базисными.
Так, на основе матрицы проводимости идеального
триода
находим:
i/12 = S; yis^^S} у12 = 0; Угз^^^и
Уз2 = 5 + ^г-
Соответствующая схема приведена на рис. 69,а. Преоб-
разовав две параллельные унисторные ветви, приходим
167
к эквивалентной схеме (рис. 69,6), в которой унисторы
с параметром ±5 образуют треугольник. Для краткости
знак параметра отмечен внутри стрелки, а его обозначе-
ние внутри треугольника относится ко всем унисторам.
Аналогично на основе матрицы проводимости тран-
зистора (§ 12)
1	2	3
ёпэ	5123	(5113 4“ 512э)
§21Э	5223	(521э!4“ 5г 2э)
— (gua 4“ 5г1э)	(5*123 4“ 522э)	g Иэ4"5 12э4“5 213 + 5*223
находим:
У12 =	5213» У13 = Su'd 4" 5г1Э> У21 =	5129’
У23 — 5123 4~ ^*22Э> Уз1 ~ gild 4"512Э» f/32 — “Ь ^22Э«
Рис. 70.
168
Соответствующая унисторная схема приведена на
рис. 70,а и после преобразования ветвей — на рис. 70,6.
Таким же способом можно найти унисторные схемы,
выраженные через другие параметры транзистора.
Рис. 71.
Найдем теперь унисторную схему замещения зависи-
мого источника, характеризуемого управляющим пара-
метром .3 и управляющим напряжением <7у=>С7,-—t/j
(рис. 71,а). Его матрица проводимости
Отсюда находим отличные от нуля параметры уни-
сторной схемы:
yjh=—S; yu-—S-, уц=-$.
Соответствующая унисторная схема показана на
рис. 71,6. С ее помощью можно представить любую схе-
му с зависимыми источниками тока, управляющимися
напряжениями, унисторной схемой замещения. Так, для
схемы идеального триода (рис. 18,6) пассивный двухпо-
люсник замещается ветвью О/, а зависимый источник
SUC — эквивалентной унисторной схемой (рис. 71,6).
Учитывая, что управляющее напряжение Uc и зависи-
1 69
1) при определении путей
мый источник имеют общий узел, в схеме рис. 71,6 узлы
k и / закорачиваем, после чего приходим к уже найден-
ной другим способом унисторной схеме идеального
триода (см. рис. 69,6). Аналогично для гибридной схемы
транзистора (см. рис. 20,г) получаем унисторную схему,
приведенную на рис. 72.
После того как элек-
тронная схема представ-
лена унисторной схемой
замещения, для отыска-
ния ее вторичных пара-
метров можно применить
топологический закон пе-
редачи (§ 26). При этом
следует руководствовать-
ся дополнительными пра-
вилами:
передачи P'h и их алге-
браических дополнений заземленным узлом должен быть
обязательно один из зажимов измерительного прибора;
2) дерево или путь, в которое входит направленный
от земли унистор, не учитываются в топологическом
выражении передачи;
3) определитель схемы А не зависит от выбора за-
земленного узла,, который целесообразно выбирать так,
чтобы от него было направлено возможно большее коли-
чество унисторов.
Найдем, например, коэффициент передачи напряже-
ния ламповой схемы (см. рис. 55,а). Ее унисторная схе-
ма замещения приведена на рис. 73,а. Удалив унисторы,
направленные от заземленного узла, и объединив ветви
с проводимостями Gzi и Gb получаем схему рис. 73,6.
В ней имеется два пути передачи, проходящие через
измерительную ветвь UBblx:
Р'\ = —S1 ; Р'% — —S1G /2.
Алгебраические дополнения этих путей равны еди-
нице; так как оба пути проходят через все узлы схемы,
т. е.
Д1 =Д2== 1.
Определитель схемы найдем, закоротив источник GBX
и удалив ветвь ивых, а также оставив прежний зазем-
ленный узел (рис. 73,в). Унистор—Si оказался направ-
170
ленным от заземленного узла и поэтому не учитывается
при записи определителя схемы. По этой же причине не
учитывается дерево, включающее ветви Sa и + <?>)•
Рис. 73.
Величины остальных деревьев образуют искомый опре-
делитель
Д = (Сй 4- G.) Gi2 + (Gi. + G.) G, 4- (О<2 + S2) G2 =
= (Ga 4- G.) (Gi, 4- G2) 4- (Gi, 4- S2) G,.
Таким образом, для коэффициента передачи напря-
жения в соответствии с топологическим законом пере-
дачи (§ 26) имеем:
ь- __	— 51 (St + Gt,)
(Gn+G.)(G<2 + G2) + (G*, + S.) G,'
Если перейти от проводимостей к сопротивлениям и
заменить крутизну S через ц//?г, получим выражение,
171
Я,
а)
si
5)	в)
Рис. 74.
совпадающее с найденным для этой схемы другим пу-
тем (§ 23 и 24).
Аналогично решаются задачи анализа и транзистор-
ных схем. Пусть, например, требуется найти коэффици-
ент передачи тока схемы рис. 74,а. Ее унисторная схема
приведена на рис. 74,6. Исключив унисторы, направлен-
ные от заземленного узла, и объединив ветви и
—512э, приходим к более простой схеме (рис. 74,<?). Ве-
личины путей передачи этой схемы, проходящие через
ветвь G2, в которой определяется ток, имеют вид:
Р 1	( Ji 512э) G2’, P 2'~~(512Э S\ia) Gg.
Алгебраические дополнения этих путей равны еди-
нице (Д1 = Д2 = 1). Определитель схемы находим, исклю-
чив ветвь с источником тока,
А — (5113 4“ 5*213) < Г1 - 5*12з) 4“ (5*1134-5*213) (5*12э4“522э4“^2)4"
4“ (^1   5*12э) (5*123 4“ 5*223 4“ ^2) 4*
4- (5.23   5*21э) (5*123 4“ 5*223 4“ 2) =
= (511 j 4” 5*213 4~ 51 23 4" ё22э) G1 4-
4“ (511 5223	512э521э) + (5113 4" ^1) ^2*
172
Следовательно, для коэффициента передачи тока имеем:
_ ______________________(^1 -^21э) @2____________________
(glia + &21|Э + ^’12Э.4"^22э)^14-(^’11Э1^22'Э-^12Ь^21») 4"(g 1 Ifc“НЛ)б2
Сравнивая анализ электронных схем различными
методами, можно отметить следующее:
1.	Наиболее удобным и перспективным является мат-
ричный метод, так как он не требует построения графа
схемы и последующего его анализа.
2.	Метод направленных графов в ряде случаев позво-
ляет получить результат достаточно простым путем, но
в целом он не может конкурировать с матричным мето-
дом.
3.	Топологические методы разработаны еще недоста-
точно полно. Они удобны для пассивных схем, но как
правило, приводят к громоздким операциям при анализе
схем с электронными лампами и транзисторами.
4.	Важное значение имеет разработка комбинирован-
ных методов, в которых использовались бы лучшие
стороны как матричного, так и топологического пред-
ставления схем. Подобный подход намечен в § 21 этой
книги.
В какой мере эти выводы справедливы, пусть
судит читатель в процессе практического использования
и сопоставления различных методов анализа электрон-
ных схем.
Упражнения
1. Найти унисторные схемы замещения для схем с зависимыми
источниками, приведенными на рис. 23.
2. Определить коэффициенты передачи тока и напряжения,
входную проводимость, сопротивление и проводимость передачи
схемы, приведенной на рис. 24,д, топологическим методом.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С и горский В. TL, Анализ электронных схем, Гостехиздат,
УССР, 1964.
2.	С и г о р с к и й В. П., П е т р е н к о А. И., Основы теории
электронных схем, изд-во «Техника», 1967.
3.	С и г о р с к и й В. П., Методы анализа электрических схем
с многополюсными элементами, Изд-во АН УССР, 1958.
4.	М э з о н С., Ц и м м е р м а н Г., Электронные цепи, сигналы
и системы, Изд-во иностр-лит., 1963.
5.	Робишо Л., Буавер М., Робер Ж., Направленные
графы, их приложение к электрическим цепям и машинам, изд-во
«Энергия», 1964.
6.	Абрахамс Дж., Каверли Дж., Анализ электрических
цепей методом графов, изд-во «Мир», 1967.
7.	С и г о р с к и й В. П., Содержание и методы теории элект-
ронных цепей, Изв. вузов, «Радиотехника», т. X, № 7, 1967.
8.	Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, изд-во «Наука», 1966.
9.	Б е р ж К., Теория графов и ее применения, Изд-во иностр,
лит., 1962.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................
Глава первая. Матрицы...................................
1.	Основные определения.............................
2.	Действия над матрицами ........
3.	Матричная запись системы линейных уравнений
4.	Определители и алгебраические дополнения
5.	Вычисление определителей ........
6.	Обратная матрица................................
7.	Операции с алгебраическими дополнениями
Глава вторая. Схемы.....................................
8.	Элементы электронных схем.......................
9.	Схемы с двухполюсными элементами................
10.	Схемы с индуктивными связями....................
11.	Параметры и эквивалентные схемы электронных ламп
и транзисторов .....................................
12.	Матрица схемы с зависимыми источниками
13.	Электронные лампы и транзисторы как многополюсные
элементы............................................
14.	Матрица схемы с многополюсными элементами
Глава третья. Функции...................................
15.	Параметры схемы.................................
16.	Четырехполюсник с короткозамкнутой стороной
17.	Проходной четырехполюсник.......................
18.	Определитель суммы двух матриц..................
19.	Определение коэффициентов	полиномов	функций
электронной /?С-схемы............................
20.	Определение	коэффициентов полиномов	функций
электронной схемы с емкостями и индуктивностями
21.	Выражение коэффициентов полиномов функций через
суммарные алгебраические дополнения .	.	.	.
Глава четвертая. Графы..................................
22.	Ориентированные графы электронных схем
23.	Эквивалентные преобразования ориентированных гра-
фов ................................................
24.	Передача направленного графа....................
25.	Разложение по вершине или ветви и инверсия пути
или контура ориентированного графа	...
26.	Топологический закон передачи...................
27.	Определитель схемы......................... .
28.	Представление электронных схем с помощью унисто-
ров ................................................
Литература .............................................
3
5
5
10
15
19
23
28
33
46
55
63
68
73
78
84
84
88
93
97
105
111
127
137
144
149
154
159
165
174
Сигорский Виталий Петрович
Матрицы и графы в электронике
Редактор А. А. Каплер
Обложка художника А. А. Иванова
Технический редактор Г. И» Павлова
Корректор Р. К. Шилова
Сдано в набор 16/11 1968 г. Подписано к печати 7/VIII 1968 г.
Т-09881 Формат 84Х1081/«2 Бумага типографская № 3
Усл. печ. л. 9,24	Уч.-изд. л. 8,4
Тираж 20 000 экз.	Цена 42 коп.	Зак. 1115
Издательство „Энергия*. Москва, Ж-Н4, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб., 10.
Цена 42 коп.