ДЖ’АБРАХАМС • Дж-КАВЕРЛИ
Анализ
электрических
цепей
методом графов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
SIGNAL FLOW ANALYSIS
by
J. R. ABRAHAMS
Senior Lecturer,
College of Technology, Enfield
and
G. P. COVERLY
Membre of Scientific Staff,
Northern Electric Company, Ottawa, Canada
PERGAMON PRESS,
OXFORD, 1965
ДЖ. АБРАХАМС, ДЖ. КАВЕРЛИ
АНАЛИЗ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
МЕТОДОМ
ГРАФОВ
Перевод с английского О. В. ШЕРЕШЕВСКОГО
Под редакцией проф. А. А. СОКОЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1967
УДК 621.3
В последнее время теория графов вызывает боль-
шой интерес у специалистов многих прикладных дис-
циплин. В частности, весьма эффективным является
применение этой теории к анализу электрических цепей.
В книге изложены основы метода графов и рас-
смотрены его применения для анализа пассивных элек-
трических цепей, ламповых и транзисторных схем и
систем с обратной связью. От читателя книги не
требуется специальной математической подготовки,
а примеры и задачи в каждой главе способствуют прак-
тическому овладению методом графов.
Простота изложения делает книгу доступной для
широкого круга инженеров, студентов и аспирантов
электротехнических специальностей.
Редакция литературы
по новой технике
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Известно, что любые явления природы и общества
(атомные, молекулярные, механические, тепловые, опти-
ческие, химические, экономические, психологические и
другие) можно более или менее точно отобразить моделью
в виде электрической схемы замещения, анализ которой
по законам электротехники дает исчерпывающую инфор-
мацию о соответствующем явлении или процессе с точ-
ностью, определяемой исходными ограничениями, которые
налагаются на такую схему. Отсюда следует, что анализ
электрических цепей представляет собой универсальный
метод исследований, приложимый к любой отрасли науки,
в любом виде производства.
Рассматривая перспективы применения метода элек-
трического моделирования, нетрудно усмотреть то, что
электрические эквивалентные схемы многих процессов
окажутся сложными, а их анализ потребует много времени
и труда. Применение вычислительных машин резко сокра-
щает такие затраты на решение подобных задач. Однако
в ряде случаев задачи не настолько сложны, чтобы
надо было прибегать к вычислительным машинам, но
вместе с тем и не столь просты, чтобы решать их с по-
мощью законов Кирхгофа (расчеты практически весьма
громоздки, а вероятность ошибок велика).
Использование матричных уравнений узловых напря-
жений позволяет ввести строгую последовательность в про-
цесс решения и ускорить его. Но матричному методу
присущ тот существенный недостаток, что при вычислении
определителей и алгебраических дополнений появляется
много пар слагаемых, одинаковых по величине и обрат-
ных по знаку, которые сокращаются и в окончательное-
решение не входят. Промежуточные выкладки с этими
членами трудоемки и по существу бесполезны, если ориен-
тироваться на методы решения, при которых промежуточ-
ные расчеты минимальны.
Наука всегда стремилась получать точные решения;
наше время отличается также и тем, что научные результаты
жизненно необходимо получать быстро.
Итак, возникла необходимость в методах расчета,
позволяющих „получать решение без процесса решения",
т. е. с минимальными промежуточными выкладками. Поэтому
при анализе электрических цепей рационально, отказавшись
от классического метода составления уравнений Кирхгофа
контурных токов или узловых напряжений, перейти
к другому методу, при котором непосредственно по
конфигурации заданной цепи сразу определяются такие
основные электрические параметры этой цепи, как коэф-
фициенты передачи тока, напряжения, входное, выходное
и передающее сопротивления и т. п.
Указанным требованиям удовлетворяет топологический
метод анализа электрических цепей, или метод графов.
Он, как правило, сокращает затрачиваемое на расчет время
по крайней мере в 10 раз. Важно отметить, что относи-
тельная экономия расчетного времени резко возрастает
с усложнением анализируемой цепи.
Г На русском языке издано несколько книг, посвящен-
ных топологическому анализу электрических цепей [1—5].
< Настоящая книга Абрахамса и Каверли отличается от
указанных выше книг тем, что в ней теория топологи-
ческих расчетов не рассматривается. Предназначается она
для тех, кто пожелает овладеть с минимальной затратой
времени практическими способами топологических расчетов
электрических цепей и прежде всего транзисторных схем.
В этой весьма небольшой по объему, но удачной книге
материал изложен ясно, логически последовательно. Каждый
шаг при изложении новых понятий, определений и топо-
логических правил иллюстрируется примерами их при-
менения для решения практических задач. Во всех главах
даны хорошо подобранные контрольные задачи с реше-
ниями в конце книги. Это делает книгу пригодной при
самостоятельном изучении предмета. ,
Книга не претендует на полноту изложения темы, ибо
она — не более чем простое, начальное пособие по прак-
тике топологических расчетов линейных электрических
цепей, которое предназначается для студентов и инженеров,
пожелавших резко повысить производительность труда
при электротехнических расчетах. После этой книги чита-
телю легко перейти к изучению работ, ориентированных
на решения принципиально более сложных задач совре-
менной техники электрического моделирования.
А. Соколов

ЛИТЕРАТУРА
1.	М э з о н С., Циммерман Г., Электронные цепи, сигналы
и системы, ИЛ, 1953.
2.	Робишо А., Буавер М., Робер Ж., Направленные
графы и их приложения к электрическим цепям и машинам,
Энергия, 1964.
3.	К е н и г Г., Блекуэлл В., Теория электромеханических
систем, Энергия, 1965.
4.	Траксел Дж., Синтез систем автоматического регулиро-
вания, Машгиз, 1959.
5.	Б е р ж К., Теория и применение графов, ИЛ, 1962.
ПРЕДИСЛОВИЕ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Доказано, что метод графов представляет собой эффек-
тивное средство анализа электрических цепей. Его приме-
нение позволяет в ряде случаев сократить объем работы
примерно на порядок по сравнению с обычными методами
анализа. Граф цепи можно представить себе как карту,
иллюстрирующую процессы, протекающие в электрической
схеме. Как и всякая хорошая карта, граф наглядно демон-
стрирует кратчайший путь между любыми двумя точками.
Большинство опубликованных работ по графам цепей
представляет собой научные монографии, рассчитанные на
читателя с хорошей математической подготовкой. Настоя-
щая книга предназначена для студентов старших курсов
технических институтов, а также для инженеров-практиков,
которым необходим метод, дающий быстрое решение раз-
личных электротехнических задач.
Применение метода графов не ограничивается только
областью электротехники, поскольку любая система урав-
нений может быть представлена графом. Материал этой
книги может послужить основой курса лекций для сту-
дентов всех электротехнических специальностей независимо
от их узкого профиля. Это позволит подчеркнуть общ-
ность некоторых основных принципов (например, принципа
обратной связи). В настоящее время пересматриваются
многие электротехнические курсы; при этом следует
учесть, что студентов целесообразно познакомить с мето-
дом графов в начальной части таких курсов.
В первых двух главах книги даны основы теории
графов и показана их связь с обычными алгебраическими
уравнениями. В гл. 3 рассмотрено применение графов для
анализа широкого круга пассивных электрических цепей.
Гл. 4 и 5 посвящены параметрам и схемным применениям
транзисторов. Полупроводниковые приборы приобретают
все большее значение для всех инженеров-электриков,
и графы облегчают понимание достаточно сложных соот-
ношений напряжений и токов в транзисторных схемах.
В гл. 6 рассмотрены схемы с электронными лампами,
9
а в гл. 7 изучаются некоторые виды систем с обратной
связью. В этой последней главе показано также примене-
ние графов для нахождения уравнения движения рамки
электроизмерительного прибора, в котором действует меха-
ническая обратная связь.
Для помощи как студенту, так и преподавателю в конце
каждой главы помещен ряд задач, ответы на которые
даны в приложении А. В приложении Б приводятся опре-
деления использованных в книге специальных терминов
теории графов. Некоторые оригинальные статьи и лите-
ратура для дальнейшего изучения метода графов указаны
в приложении В.
Мы надеемся, что читатель быстро научится пользо-
ваться графом цепи как картой. Это позволит ему со-
ставлять и использовать подобные карты в своей практи-
ческой деятельности,
Глава i
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
1.1. Введение
При решении задач анализа линейных электрических
цепей обычно составляют (на основе законов Кирхгофа)
систему уравнений для переменных величин в цепи. Полу-
ченная система уравнений затем решается одним из сле-
дующих способов: методом подстановки, методами матрич-
ной алгебры, „топологическим" методом (топология —
раздел математики, где изучаются свойства геометрических
структур), либо методом графов.
Граф представляет собой схему, состоящую из узлов
(точек), соединенных направленными ветвями, и выражаю-
щую систему алгебраических уравнений. Узлы графа соот-
ветствуют переменным (параметрам), а ветви — коэффициен-
там при этих переменных. Существуют простые правила
операций над графами, которые позволяют получить все
возможные решения системы уравнений. С помощью этих
правил можно найти передаточные функции, характери-
стические уравнения или связь между любыми двумя пере-
менными. Для этого нужно либо упростить граф путем
последовательного исключения его лишних частей, либо
(при нахождении передаточной функции) воспользоваться
правилом Мэзона (правилом некасающихся контуров).
Следует отметить, что граф обладает собственными
свойствами и может быть не связан с какой-либо кон-
кретной физической системой. Применение графов полезно
во многих областях, не имеющих отношения к электро-
технике. Любую задачу, связанную с решением системы
алгебраических уравнений, можно упростить с помощью
графов. Граф, составленный для физической системы,
часто с большей наглядностью вскрывает некоторые ее
важные свойства. Графы позволяют иногда избежать соста-
вления алгебраических уравнений; в этом случае они могут
быть построены на основе непосредственного рассмотрения
физической структуры системы. Это значит, что при неко-
тором навыке передаточные функции несложных цепей
могут быть записаны без составления полного графа цепи.
11
В то же время граф может быть составлен правильно
лишь при тщательном анализе задачи в целом.
Прежде чем использовать метод графов для анализа
электрических цепей, изучим некоторые общие свойства
графов; рассмотрим свойства, определяемые геометрией
графов, и связь графов с алгебраическими уравнениями.
1.2. Узлы, ветви и пути
Узел графа — это точка, выражающая некоторую пере-
менную величину. Каждому узлу j соответствует узловой
сигнал Xj. Мы будем обозначать узлы их узловыми сигна-
лами, пользуясь при этом строчными буквами.
Ветвь — это линия, соединяющая два узла. Ветвь jk
начинается в узле j и оканчивается в узле k\ ее напра-
вление указывается стрелкой. Каждая ветвь jk характери-
зуется величиной, называемой передачей ветви Tjk.
Узел называется зависимым, если он имеет одну или
несколько входящих ветвей. Каждый входящий сигнал
определяется произведением передачи ветви и сигнала узла,
из которого выходит ветвь. (Здесь неприменим закон кон-
турных токов Кирхгофа.) Сигнал данного узла xk равен
сумме входящих сигналов, т. е.
2 XjT]к = xk,
где /= 1, 2, 3, ...
Наличие выходящих ветвей не влияет на сигнал узла xk\
эти ветви влияют на сигналы других узлов. Таким обра-
зом, уравнение
Xi = T’oiXq
может быть представлено простым графом (рис. 1.1). В даль-
нейшем мы будем иногда обозначать коэффициенты пе-
редачи ветвей отдельными буквами Л, В, С, а узлы—ци-
фрами от 0 и выше в направлении, определяемом стрел-
ками.
Рассматривая более сложный граф (рис. 1.2), можно заме-
тить, что существует несколько типов ветвей. На рис. 1.2
представлены следующие уравнения:
xi = xoToi 4~ Х1^11*
х2 = XqTо2	-^1^12 *4" Х3Т32»
х3 — Х1Т13 4“ х2^23*
12
Рис. 1.2. Граф системы трех уравнений.
Рис. 1.3. Каскадный граф.

Хо
Рис. 1.4. Приведенный граф, соответствующий графу _
рис. 1.3.
13
Ветвь, у которой индексы коэффициента передачи
расположены в порядке возрастания, называется прямой
(например, Т23), а ветвь, у которой индексы коэффициента
передачи расположены в порядке убывания, называется
обратной (например, Т32). Часть графа, образованная
рядом последовательных ветвей, называется путем. Особое
значение в графах имеют контуры обратной связи, которые
могут быть двух видов. Контур обратной связи — это
замкнутый путь, состоящий либо из ряда ветвей, возвра-
щающихся в исходный узел, либо из одной замкнутой
ветви, образующей петлю (например, Тп).
Существует три типа узлов: источники — узлы, кото-
рые имеют только выходящие ветви; простые каскадные
узлы, имеющие как выходящие, так и входящие ветви,
и стоки — узлы, имеющие только входящие ветви. Источ-
ники соответствуют независимым переменным, а стоки —
зависимым.
Более строгие определения рассмотренных выше эле-
ментов графов приведены в приложении Б.
1.3.	Каскадные графы
Графы, которые состоят только из прямых путей и не
содержат контуров обратной связи, называются каскад-
ными графами. При этом передачи всех ветвей можно
обозначить через Т jk, где J < k. Такой граф приведен
на фиг. 1.3; он выражает следующие уравнения:
xi = Ли хо»
х2 = Tq2X0 “Ь T\zXV
Х3 = ^О3*о+ Лз*1 + ^23Х2-
Если граф содержит п переменных, то последнее урав-
нение будет иметь вид
хп — ^Qnx0 + ^lnxl + •••Tknxk~}r • • ' ?п-1, пхп-1-
Чтобы найти переменную xk в функции от xQ методом
подстановки, нужно воспользоваться только первыми k
уравнениями (остальные уравнения не участвуют в реше-
нии). Так как имеется лишь один источник и один сток,
связанные только прямыми путями, то можно построить
простой граф, дающий переменную xk в функции от х0.
Такой упрощенный граф (рис. 1.4) называют „приведен-
14
ным“ относительно исходного графа рис. 1.3. Для нашего
случая легко определить искомую передачу. Выразив в при-
веденных выше трех уравнениях величины х} и х2 через х0,
получим
*3 = х0 1Л)3 ЛзЛ)1 7*23 (7о2 Н ^12^01)1’
откуда
7оз = Т'оз 4 Т02Т23 4 T'oiT'ia 4 ЛлТ’^Т'гз.
В общем случае каскадный граф может иметь несколько
источников и стоков. Тогда количество ветвей приведен-
ного графа будет равно количеству всех возможных связей
между узлами каждого источника и стока. Например,
приведенный граф с двумя источниками и двумя стоками
будет содержать четыре ветви.
1.4.	Подграфы обратной связи
Если из графа удалить все ветви, образующие каскад-
ный граф, то оставшаяся часть будет состоять из под-
графов обратной связи, содержащих только контуры
обратной связи. В общем случае сложный граф может
содержать несколько подграфов обратной связи. Граф,
изображенный на рис. 1.5, имеет два контура обратной
связи (121 и 131), но образует только один подграф
обратной связи (рис. 1.6).
Индексом графа называется число узлов, которые
нужно расщепить, чтобы разомкнуть все контуры обрат-
ной связи. Если узел j расщеплен, то полученный новый
источник будем обозначать через /, а новый сток —
через /. Расщепление узла в подграфе обратной связи
показано на рис. 1.7. Очевидно, что индекс графа рис. 1.5
равен 1, так как нужно расщепить один узел, чтобы
разомкнуть оба контура обратной связи.
На рис. 1.8 даны три различных графа, указаны их
индексы, а узлы индекса (index nodes) обозначены жир-
ными точками. В графе рис. 1.8, в наряду с отмеченными
узлами в качестве узлов индекса можно выбрать также
узлы (/) и (3) или (2) и (4).
Расщепление узла может быть рассмотрено на примере
графа рис. 1.8, а, который выражает два уравнения:
Х1 = ТПХ1 4- Т21х2»
х2 ==	Т 12*^1 •
15
Рис. 1.5. Граф с двумя контурами обратной связи.
Рис. 1.6. Подграф Рис. 1.7. Расщепление узла (/) графа
обратной связи	рис. 1.5.
графа рис
д
Рис. 1.8. Три подграфа обратной связи:
а —индекс 1; б — индекс 2; в —индекс 3,
16
В результате расщепления узла образуются независи-
мый источник Xj и сток хР Сток находится, в левой части
уравнения, а источник — в правой. Уравнения для графа
рис. 1.8, а можно переписать теперь в следующем виде:
Xi — ТцХ| Т21Х2,
Х2 •	Тj2*^l •
Граф этой системы уравнений показан на рис. 1.9.
Проверить, действительно ли в результате расщепле-
ния первого узла оказались разомкнутыми оба контура,
можно, установив, что хг входит в уравнения обоих
контуров.	~
Расщепляя первый и третий узлы графа рис. 1.8, в,
получим один из трех возможных вариантов размыкания
контуров:
X] = Т 2]Х2,
х2 = 7112Xj -f- 7з2х3,
х3=	Т^х^А-Т^х^
Х4 =	Z34X3.
Как и в предыдущем случае, независимый источник
(Xj или х3) входит в каждый контур обратной связи;
следовательно, расщепление этих двух узлов действи-
тельно привело к размыканию всех трех контуров. Из при-
веденных выше алгебраических уравнений видно, что рас-
щеплением первого и четвертого узлов нельзя разомкнуть
все три контура.
2 Зак. 393
17
1.5. Подграф индекса
Если граф содержит контуры обратной связи, то урав-
нения подграфа обратной связи содержат все переменные,
представленные узлами индекса. Это значит, что узлы
индекса, узлы источников и стоков содержат необходимые
и достаточные данные для решения уравнений, предста-
вляемых графом; граф, содержащий только такие узлы,
называется подграфом индекса (index residue). Очевидно,
что возможность исключения некоторых узлов графа упро-
щает задачу.
В качестве примера рассмотрим граф рис. 1.10, кото-
рый содержит два контура обратной связи (232 и 545);
его индекс равен 2. Очевидно, что узлы (2) и (5), позво-
ляющие разомкнуть оба контура обратной связи, являются
узлами индекса. Поэтому подграф индекса этого графа,
включающий узлы (/), (2), (5) и (6), будет содержать
необходимые и достаточные данные для определения пере-
менной хб через хр На рис. 1.10 эти узлы обозначены
жирными точками.
Для нахождения передач ветвей подграфа индекса сле-
дует тщательно рассмотреть все возможные пути в исход-
ном графе. Один из вариантов подграфа индекса, в кото-
рый входят узлы (2) и (5), приведен на рис. 1.11.
Ветвь 12 этого подграфа соответствует ветви 12 исход-
ного графа. Поэтому эта ветвь с передачей Т12 = А входит
в подграф без изменений. Ветвь 22 подграфа соответ-
ствует контуру обратной связи 232, поэтому ее передача
равна СВ. Аналогично ветвь 55 представляет контур 545.
Передача ветви 25 подграфа должна быть эквивалентна
общей передаче ветви 25 и пути 2345, включенных парал-
лельно, т. е. результирующая передача равна D-\-CEF.
Наконец, ветвь 56 подграфа не отличается от соответ-
ствующей ветви исходного графа.
Интересно сравнить этот вариант подграфа индекса
с другими, где в качестве узлов индекса взяты узлы (3)
и (5). В этом случае получается более сложный подграф
(рис. 1.12); читатель может самостоятельно убедиться
в правильности его построения.
В общем случае путь между двумя узлами индекса
в подграфе должен отражать все пути между этими узлами
в исходном графе, за исключением путей, проходящих
через другие узлы индекса. Таким образом, в подграфе
18
(3) Е М)
Рис. 1.10. Граф с двумя контурами обратной связи.
/J /f ГН D+CEF <51 Н <61
Св	GF
Рис. 1.11. Подграф индекса графа рис. 1.10 с узлами
индекса (2) и (5).
Рис. 1.12. Подграф индекса графа рис. 1.10 с узлами
индекса (5) и (4).
Рис. 1.13. Граф с четырьмя контурами обратной
связи.
2*
19
каждый контур обратной связи, не имеющий узлов индекса,
преобразуется в петлю.
Например, граф рис. 1.13 содержит 9 ветвей, 6 узлов
и 4 контура обратной связи. Выбирая в качестве узлов
индекса узлы (2) и (4) и сохраняя источник и сток, можно
построить подграф, содержащий 6 ветвей, 4 узла и
3 контура обратной связи, два из которых представляют
собой петли (рис. 1.14). Другой пример приведен в задаче 4
в конце главы.
1.6. Простейшие эквивалентные преобразования
Решение задач с помощью графов требует знания их
определенных топологических свойств. Четыре таких свой-
ства с соответствующими алгебраическими уравнениями
показаны на рис. 1.15. Применение этих свойств иллю-
стрируется на рис. 1.16 при преобразовании звезды
в прямоугольник с помощью исключения одного узла.
Эти простые эквивалентные преобразования, позволяю-
щие заменить последовательные и параллельные пути
отдельными ветвями, соответствуют исключению зависимых
переменных из системы уравнений.
L7, Построение графов по заданным линейным
уравнениям
Для пояснения правила построения графов по заданной
системе уравнений рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
хг = Axq -j- Сх3,
х2 = В х19
х4 = Dxx.
Для этой системы уравнений требуется пять узлов, кото-
рые можно расположить по способу, показанному на
рис. 1.17, а. Выбор взаимного расположения узлов может
повлиять на степень сложности дальнейших преобразова-
ний графа. Все уравнения по очереди отображаются на
графе путем соединения соответствующих узлов ветвями,
передачи которых заданы уравнениями. Граф первого урав-
нения построен на рис. 1.17, б, а на рис. 1.17, в к нему
добавлены графы второго и третьего уравнений.
20
Рис. 1.14. Подграф индекса графа рис. 1.13.
/7+2?
о-----— ......о
^0	fn О\
Xj ~(Д*В)х9
в	дв
о—о—•—о = о--------
х0 л х, х2 х0 лп
X; = Дх0, хг = Вх1	х2-нвх0
Рис. 1.15. Простейшие эквивалентные
преобразования.
Рис. 1.16. Преобразование звезды в прямоугольник.
21
С помощью элементарных преобразований можно исклю-
чить узел х^ и получить граф, подобный графу рис. 1.16.
Так как этот граф содержит два источника и два стока,
то в нем не может быть меньше четырех ветвей. Для
графа рис. 1.16 напишем следующие уравнения:
х2 = АВх0 4- СВх3,
х4 = ABxq
Пример 2.
Дана система уравнений:
х\ = ^оЛ + Лй>
х2 — ?\2Х\	?зг-^з»
х3 — Т 23х 2-
Требуется построить ее полный граф и подграф индекса,
где переменная х3 выражена через х0. Для этого сначала
наносим узлы, соединяем их тремя прямыми ветвями,
а затем добавляем две ветви обратной связи (рис. 1.18, а).
Расщепив один из узлов х2 или х3, можно разомкнуть
оба контура обратной связи. Так как узел х3 является
также стоком х), то его выбираем в качестве узла индекса.
Применяя правила преобразования параллельных и после-
довательных ветвей, получим требуемый подграф индекса
(рис. 1.18, б).
Пример 3.
Рассмотрим простую электротехническую задачу. На
рис. 1.19 приводится двухзвенная цепь на сопротивлениях,
напряжения и токи в которой связаны следующими урав-
нениями:
zi =	(®1 — г’г).
= Z2^2-
Z2 = Z1--Z3>
t»3 = Z3/?4,
I —
3~ /?з+/?4 •
При построении графа узлы тока и напряжения распо-
ложим соответственно расположению этих переменных на
9 Это неверно, узел х3 является простым каскадным узлом.—
Прим, перев.
22
о
*о
f	*
Рис. 1.17. Построение графа по уравнениям*
Рис. 1.18. Граф четырех переменных и его подграф
индекса.
Рис. 1.19. Двухзвенная цепь на сопротивлениях.
23
электрической схеме (рис. 1.20). Полученный граф со-
держит два контура обратной связи, а узлами индекса
могут быть узлы v2 или /2. Выбрав узел /2, получим под-
граф индекса, показанный на рис. 1.21. Чтобы выразить
переменную через нужно знать, какое влияние на
прямую передачу оказывают петли. Этому вопросу посвящен
следующий раздел.
1.8.	Влияние петли
В двух предыдущих примерах при построении под-
графа индекса образовывались петли обратной связи. Такие
петли характеризуются передачей вида Ти зависимостью
от собственного узлового сигнала Xj. Чтобы решить ука-
занные примеры, нужно изучить влияние петли на прямую
передачу. На рис. 1.22 приведен граф уравнения х} —
= Ахц-^- Вх}, содержащий петлю с передачей В. Решая
уравнение относительно переменной получим
AxQ
Х1~ 1— В '
Это решение приводит к графу рис. 1.23, который эк-
вивалентен графу с петлей.
В более общем случае влияние петли можно опреде-
лить, рассматривая узел с сигналом х и с петлей, имею-
щей передачу Т (рис. 1.24). Сигнал, возвращающийся
в узел после обхода петли, равен хТ. Поскольку узло-
вой сигнал равен алгебраической сумме сигналов, входя-
щих в узел, то сигнал, приходящий слева, равен х(1—Т);
при этом выходящий из узла сигнал будет равен х.
Если передача петли меньше единицы (| 71] < 1), то
рассматривают бесконечное число • обходов сигнала по
петле (рис. 1.25). В этом случае имеем
^ = 1 + 7' + 7'2^7'з+ ... =Т-Цг.
1 - 1
Если узел с петлей имеет несколько входящих или
выходящих ветвей, то правильная замена петли выпол-
няется с помощью расщепления этого узла и соединения
новых узлов ветвью с передачей (1—71)"*1 (рис. 1.26).
Подобная операция возможна и в случае, когда имеется
несколько петель, соединенных последовательно. Граф
рис. 1.27 содержит три такие петли, и сигнал стока может
24
Рис.
1.20.	Граф цепи, представленной на рис. 1.19.
Рис. 1.21. Подграф индекса графа рис. 1.20.
Рис. 1.22. Граф уравнения хг~ Лх0 + Bxt.
Рис. 1.23. Приведенный граф уравнения х{ =
Axq
1 — В
25
быть выражен через сигнал источника следующим обра-
зом:
х4 _	ABCD
— (1-Г)(1-Г)(1-2) ’
Возвращаясь к примеру 3 в разд. 1.7, из подграфа
индекса на рис. 1.21 можно записать:
V3 ___	1	f	^2^4	1
Vf	+ #4) I 1 + /?2 [1/(^3 + #4) + (1//?1)] J
Это выражение представляет собой прямую передачу на-
пряжения в цепи; после упрощения оно принимает вид
V3 ___
~ /?1(/?2 + ^з + /?4) + № + /?4)^2 ’
Задачи к гл. 1
1.1.	Построить полный граф, выражающий следующую
систему уравнений:
w = Cx + Gz,
х = Ew -j- Ex 4*
у = Aw 4- Dzt
z = Fw -f- Jy.
Записать выражения для контуров обратной связи че-
рез узловые сигналы и указать, какие узлы нужно рас-
щепить, чтобы разомкнуть все эти контуры.
1.2.	Построить граф для данной системы уравнений и
максимально упростить его, сохранив узлы w и z\
z — Ey\ Dx,
у = Bw 4" Сх,
х = Aw 4 Fz.
>) Такая форма записи не следует непосредственно из
рис. 1.21; нагляднее можно записать так:
— = ---------------------------------— Прим, перев.
V‘ I1 + ЧRTF»? +«?)]<"• + *'>
26
Рис. 1.24. Узел графа с петлей.
Рис. 1.26. Исключение петли в узле с несколькими ветвями.
W	У	Z
Рис. 1.27. Подграф обратной связи, содержащий три петли.
Рис. 1.28. Граф к задаче 1.4.
27
1)
2)
Рис. 1.30. Графы к задаче 1.8.
28
1.3.	Решить следующую систему уравнений относи-
тельно переменной п, выразив п через у, а) обычным
алгебраическим методом и б) с помощью графа:
/ = 0,4^4>1,2у,
т = I kt
ti = 1,5/м -|— 0,2/ —|— 0,8k,
Найти nt mt l и k> если у = 2.
1.4.	Построить подграф индекса графа, данного на
рис. 1.28.
1.5.	Даны уравнения:
Aw Вх-^Су = z,
Dw + Ex = 0,
Fx 4~ Оу = z,
Преобразовать уравнения в форму, пригодную для
построения графа. Найти отношение z\w и проверить
результат алгебраическим путем.
1.6.	Построить граф для следующей системы уравне-
ний:
Xj —х<£—- х^	Зх0,
2xj — 3x2	9x3 = 8х0,
7Xj —Зх2 4* ^^'3=== 25xq.
Решить систему относительно переменной х3, если
х0 = 7,5.
1.7.	Написать системы уравнений для трех графов,
приведенных на рис. 1.29. Найти передачу от источника
к стоку непосредственно из графа и проверить результат
алгебраическим путем.
1.8.	Написать алгебраические уравнения для графов
на рис. 1.30. Решить эти уравнения и проверить выра-
жения для прямой передачи, найденные непосредственно
из графов.
1.9.	По приведенным ниже выражениям передачи со-
ставить соответствующие графы. Передача каждой ветви
должна быть выражена отдельной буквой.
29
1)	у/х = ЛСГ + ЛО4-ВЕ,
2)	ylx^ABCD + FAB^J^H
1.10. Проделать то же самое для следующих выра-
жений передачи от источника к стоку:
1— BD — BCF '
9ч	АВС
1 — BCDE ‘
О.	AC(\ — C — D)
О)	1 — BE + BED
ГЛАВА 2
ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ
2.1.	Введение
В этой главе рассмотрены два эффективных метода
упрощения графов. Один из этих методов часто приме-
няют к построенному подграфу индекса.
Инверсия пути или контура позволяет уменьшить
число контуров обратной связи и произвести взаимную
замену зависимых и независимых переменных (что оказы-
вается эффективным при решении многих электротехни-
ческих задач).
Правило „некасающихся контуров* Мэзона пред-
ставляет собой самостоятельный метод решения любого
графа. Однако некоторое предварительное упрощение
графа полезно произвести и при применении этого правила.
2.2.	Инверсия
В качестве примера рассмотрим граф уравнения
Х3= Т'озХо 4“ ^13х1 4“ ?23Х2'
приведенный на рис. 2.1. Преобразовав это уравнение
выразим переменную х0 через остальные переменные:
---- х3_____Т 13-^1   Т23х2
XQ _________ гр_гр	,р	,
7 03	1 03	-<03
Граф последнего уравнения построен на рис. 2.2.
Процесс преобразования графа рис. 2.1 в граф рис. 2.2
называют инверсией ветви. В данном случае была инвер-
тирована ветвь 03. Передача инвертированной ветви равна
обратной величине первоначальной передачи ветви, а пе-
редачи остальных ветвей изменяются таким образом, что
общая передача от источника к стоку остается неизмен-
ной. Например, передача от узла х2 через узел х0 к х3
равна
^ = -(->)(-7’оз) = 7’2з-
Таким образом, чтобы инвертировать ветвь, нужно
измени ib ее направление на обратное и перенести концы
31
Рис. 2.1. Граф со стоком х3.
Рис. 2.4. Инверсия ветви Jk.
{Новый источник)
32
всех ветвей, направленных первоначально к тому же узлу,
что и выбранная ветвь, в узел конца инвертированной ветви.
Чтобы инвертировать путь, нужно инвертировать все вхо- '
дящие в него ветви.
Инвертировать разомкнутый путь можно лишь в том
случае, если он начинается в источнике. На рис. 2.1
узел х0 является источником; после инвертирования
ветви 03 узел х3 становится новым источником (рис. 2.2).
Правильность инверсии проверяется двойным инверти-
рованием, в результате которого должен получиться пер-
воначальный граф. Правила инвертирования ветви иллю-
стрируются рис. 2.3 и 2.4.
Инверсия контура обратной связи осуществляется пу-
тем инвертирования каждой входящей в него ветви. Рас-
смотрим граф рис. 2.5, который представляет два урав-
нения:
х\ — Wo+ Л1*1
Х2 = 7,02Х0	12х !•
Чтобы инвертировать контур 121, нужно инвертиро-
вать обе ветви 12 и 21. Инвертирование проведем в два
этапа: сначала для узла х2, затем для узла хР На рис. 2.6
показан первый этап. На втором этапе инвертированию
подвергаются три ветви (рис. 2.7). Затем, складывая две па-
раллельные ветви, имеющие одинаковое направление между
и х2, получим граф в окончательном виде (рис. 2.8).
Одновременная инверсия разомкнутого пути и контура
обратной связи показана на примере графа рис. 2.9, со-
держащего три контура обратной связи и имеющего ин-
декс 2. Инверсия проводится последовательно для узлов
хр х2 и х3; в результате получается граф, все ветви ко-
торого направлены к расположенному слева узлу х0. Этот
граф (рис. 2.10) не содержит контуров обратной связи
(т. е. его индекс равен нулю), поэтому его можно свести
к одной ветви (рис. 2.11), передача которой от узла х3
к узлу х0 определяется из рассмотрения всех возможных
путей.
2.3.	Инверсия с расщеплением узла
Инверсия, рассмотренная в разд. 2.2, называется ин*
версией, сохраняющей узлы, так как она сохраняет зна-
чения узловых сигналов. Инверсия упрощается, если рас-
щепить все узлы, не являющиеся источниками; в этом
3 Зак. 393
33
Рис. 2.8. Инвертированный граф рис. 2.5.
34
случае она называется инверсией, сохраняющей ветви,
так как положение ветвей остается неизменным. Напра-
вление некоторых ветвей изменяется на обратное, а по-
ловинки расщепленного узла соединяются ветвью с еди-
ничной передачей. Как указывалось в разд. 1.4, расще-
пленный узел содержит источник j и сток J, а ветвь
с единичной передачей направлена от стока к источнику,
отсчитываемыми до инверсии. Первый этап инверсии этого
типа дан на рис. 2.12, где показано расщепление узла хх.
Соответствующее алгебраическое уравнение до инверсии
имеет вид
Ах0 + Вх2 = хг = хг = хР
После расщепления узлов надо изменить направление вет-
вей пути, подлежащего инвертированию, а передачи этих
ветвей заменить на обратные им величины. Кроме того,
надо изменить алгебраические знаки передач всех ветвей,
которые направлены к инвертируемому пути и касаются
его. Этот этап показан на рис. 2.13. Для этого графа
можно написать следующие уравнения:
х°= (зг)
х} = Xj — Вх2.
Видно, что сигнал стока, полученного в результате рас-
щепления узла, изменяется при инверсии; этот новый
сигнал обозначим через х}. (После расщепления (рис. 2.12)
сигналы полученных стока и источника не меняются.)
Сигнал источника расщепленного узла равен первоначаль-
ному значению узлового сигнала хР В примере, приве-
денном на рис. 2.12 и 2.13, равенство х1 — х^ может
иметь место только при B = Q.
Для графа, в котором каждый узел с более чем од-
ной входящей ветвью имеет только одну выходящую
ветвь, удобно применить инверсию, сохраняющую ветви,
без предварительного расщепления узлов инвертируемого
пути. Сравним оба типа инверсии на примере одного
графа (рис. 2.14). Используя методы, рассмотренные в гл. 1,
можно показать, что
х2 _	АВ
~х^~~ 1 — CD— FG — BGEC+CDFG *
3*	35
%
Рис. 2.9. Граф с тремя контурами обратной связи.
Л
А
/
А
7
*2 С
Рис. 2.10. Инвертированный граф без контуров обратной
связи.
т _ L + L
™ АВС М АС АВ ~ АВС
х0°“	"
Рис. 2.11. Приведенная форма графа рис. 2.10
с передачей Г30.
Рис. 2.12. Часть графа с одним расщепленным узлом.
На рис. 2.15 изображено инвертирование пути 012 этого
графа методом, сохраняющим узлы. Учитывая все возмож-
ные пути от х2 к х0, можно найти, что
х0 _ / 1	GF \ / i	DC \	GEC
х2~\В	В )\А	А ) А 1
или
= 4в (1 - OF) (1 - DC) —
Л2 /Ю	Z1
и окончательно
= ЗГв К1 -	- GECB^
л2 S\D
В результате инверсии устраняются контуры обратной
связи, что упрощает задачу. Из полученного решения
видно, что выражение xQ/x2 действительно обратно вели-
чине x2/Xq. Это свидетельствует о том, что инверсия вы-
полнена правильно. На рис. 2.16 показана инверсия того же
графа (рис. 2.14), сохраняющая ветви, с расщеплением
узлов хг и х2. Помня, что сигнал стока расщепленного
узла обозначается через х^, рассмотрим последовательно
ветви на рис. 2.16 и вычислим общую передачу:
х* = х2(1 — OF),
xi = (“д") Х2 — ~в х2 (1 GF),
х\ = хх (1 — DC) — x2GEC =
=	(1 — DC) (1 — OF) — x2GEC9
следовательно,
XO = (4) *1	1(1 - DC){\ - OF) — GEC],
Таким образом, в результате применения обоих типов
инверсии получены одинаковые выражения, хотя второй
метод дает граф, для которого легче найти передачу не-
посредственно из его рассмотрения.
Число возможных инверсий графа равно числу соот-
ветствующих систем алгебраических уравнений. Если фи-
зическая задача может быть отображена в виде графа,
то зависимость между любыми двумя переменными полу-
чается непосредственно путем топологической инверсии.
37
Рис. 2.13. Инверсия, сохраняющая ветви.
Рис. 2.14. Граф, подлежащий инвертированию
двумя методами.
Рис. 2.15. Инверсия пути 012 в графе рис. 2.14
с сохранением узлов.
Рис. 2.16. Инверсия пути 012 с расщеплением двух
узлов.

38
2.4.	Нормирование передач ветвей
Передачи ветвей графа можно нормировать, если со-
хранить неизменной передачу какого-нибудь контура или
пути. Рассмотрим нормирование графа рис. 2.17. На пер-
вом этапе пренебрегаем направлениями ветвей и объеди-
няем источник и сток в один узел (рис. 2.18). Затем
выбираем дерево, образованное какой-нибудь системой
ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни
одного замкнутого контура. На рис. 2.19 и 2.20 пред-
ставлены два возможных дерева графа рис. 2.18.
Передачи ветвей дерева могут быть нормированы
к любой величине (обычно к 1); при этом передачи осталь-
ных ветвей нужно изменить так, чтобы передачи всех
контуров и путей остались неизменными. Такое нормиро-
вание для двух выбранных деревьев показано на рис. 2.21
и 2.22.
Нормирование передач максимального числа ветвей
к величине, равной 1, позволяет свести к минимуму число
независимых переменных без ущерба для общности графа.
Эта операция не принадлежит к числу самых важных,
однако в некоторых случаях она может оказаться полез-
ной.
Рис. 2.17. Граф, подлежащий нормированию.
Рис 2.18. Объединение узлов источника и стока
в графе рис. 2.17.
39
Рис. 2.19 и 2.20. Два возможных дерева графа
рис. 2.18.
Рис. 2.22. Дерево рис. 2.2J, нормированное
к передаче D.
40
2.5.	Правило Мэзона
Правило Мэзона позволяет свести к минимуму число
математических операций при решении графа. Здесь не
приводится формального доказательства правила Мэзона,
поскольку его можно найти в других работах (см. в при-
ложении В работу [4]). Однако большое число примеров,
рассмотренных в данной книге, подтверждает, что пра-
вило Мэзона действительно позволяет быстро получить
правильное решение.
Передача пути от источника к стоку может быть за-
писана следующим образом:
Т = у {сумма прямых передач (N) для всех возмож-
ных путей},
где
N =1 — сумма передач всех контуров, не касающихся
данного прямого пути, 4~ сумма произведений
передач двух любых контуров, не касающихся
данного прямого пути и друг друга, —сумма
произведений передач трех любых контуров,
не касающихся данного прямого пути и друг
друга, 4-и т. д.;
Д = 1—сумма передач всех контуров + сумма произ-
ведений передач двух любых контуров, не
касающихся друг друга,—сумма произведе-
ний передач трех любых контуров, не касаю-
щихся друг друга, и т. д.
Это правило называют правилом некасающихся кон-
туров} в несколько иной форме оно приводится в при-
ложении Б.
Рассмотрим правило Мэзона на двух примерах, где
примем следующие обозначения:
Рп — передача прямого пути п,
Lm — передача контура обратной связи т.
Пример 1.
На рис. 2.23 главный прямой путь от узла х0 до
узла хх касается только первого контура. Следовательно,
можно написать
Р^АВ, L^ — CD и L2 = EF.
41
8
Рис. 2.23. Граф с главным прямым путем 021.
Исключив последовательно узлы х4 и х3 (чтобы получить
петлю сначала в узле х3, а затем в узле х2), найдем пе-
редачу от узла xQ к узлу xf
т _ АВ _ ЛВ(1— EF)
\ — [CD;(\—EF)]~ A-CD — EF ’
В то же время правило Мэзона дает выражение
т _ Р1(1-£2)
°1“ +
Пример 2.
В более сложном графе рис. 2.24 содержатся два па-
раллельных прямых пути и три контура обратной связи.
В этом случае
Р1==Д, Р2 = ВС,
Lx — Dt L2 — EF. L3 — О.
Рис. 2,24. / Граф .с двумя путями и тремя контурами.
Путем последовательного исключения контуров обратной
связи можно показать, что
х2 _ Л(1 — D — EF — G + DG) + ВС (1 — <G)
“	1 — D — EF — G + DG
Правило Мэзона дает следующее значение прямой пере-
дачи:
т ~ Pi [1 - (£1 + А2 + Аз) + 2L1 Дз] + Р2 (1 - А3)
'02-	l^(£1+£2 + £3) + £l£3
Очевидно, оба выражения идентичны.
Применяя правило Мэзона, нужно помнить следующее:
1.	„Не касающиеся" означает „не имеющие общих
узлов".
2.	Коэффициенты в числителе составлены по тому же
правилу, что и в знаменателе, но в них входят только те
контуры, которые не касаются соответствующего пути.
3.	Выражение Д, т. е. знаменатель выражения пере-
дачи, характеризует граф в целом, а не отдельный путь.
Величина Д по существу представляет собой определитель
системы уравнений, выраженной графом.
Правило Мэзона позволяет в более общем виде запи-
сать выражение передачи от источника Xj к стоку xk:
_ (Р1+^2+...+^р) (1-^1) (1-^2) ...(1-А/п) #
7 л—	(1-£,)(1-Д2)
при этом опускаются все члены, содержащие касающиеся
пути или контуры. Практика показывает, что произведе-
ния контуров второго и более высоких порядков мало
влияют на величину передачи и в большинстве случаев
могут не учитываться. При этом правило Мэзона имеет
простую форму и легко применимо для нахождения зави-
симости между двумя любыми переменными в графе.
Задачи к гл. 2
2.1.	Применяя инверсию, сохраняющую узлы, инвер-
тировать путь от узла х до узла у в каждом из графов
рис. 2.25, исключив контуры обратной связи. Проверить
результат с помощью алгебраического решения.
2.2.	Инвертировать путь от узла х0 до узла х4 в
графе рис. 2.26, применяя инверсию, сохраняющую узлы.
43
о-
X
У
Рис. 2.26. Граф к задачам 2.2 и 2.3.
Рис. 2.27. Граф к задаче 2.5.
в
У
Рис. 2.28. Граф к задаче 2.6.
44
Убедиться, что передача инвертированного пути равна об-
ратной величине первоначальной прямой передачи.
2.3.	Решить задачу 2.2, применяя инверсию, сохра-
няющую ветви.
2.4.	Решить задачу 2.1, применяя инверсию, сохра-
няющую ветви.
2.5.	Найти с помощью правила Мэзона передачу 1) от
узла xQ к узлу х5 и 2) от узла х0 к узлу х2 в графе
рис. 2.27.
2.6.	Найти с помощью правила Мэзона передачу Тху
в графе рис. 2.28. Проверить результат, составив и решив
систему алгебраических уравнений.
2.7.	Решить соответствующие алгебраические уравне-
ния и показать, что значение передачи от узла (0)
к узлу (4) в графе рис. 2.29 совпадает с тем значением,
которое дает правило Мэзона.
2.8.	Составить систему алгебраических уравнений для
графа рис. 2.24. Показать алгебраическим путем, что пе-
редача от узла Xq к узлу х2 имеет то же значение, что и
приводимое в тексте (разд. 2.5).
2.9.	Нормировать граф рис. 2.26 таким образом, чтобы
максимальное число ветвей имело единичную передачу.
Убедиться, что передача от узла xQ к узлу х4 не изме-
нилась.
ГЛАВА 3
АНАЛИЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
3.1.	Введение
Метод графов особенно эффективен при анализе цепей
с обратными связями. При этом предполагается, что схема
содержит какой-либо элемент с односторонней проводи-
мостью (например, серводвигатель, электронную лампу или
транзистор). Прежде чем перейти к изучению таких цепей,
рассмотрим несколько примеров пассивных схем, которые
имеют ту или иную форму обратной связи, а также по-
знакомимся с методом узловых проводимостей.
3.2.	Метод узловых проводимостей
На рис. 3.1 показана точка /, которая подключена
к трем источникам напряжения через проводимости и
к одному источнику неизменного тока. Вычислим напря-
жение в точке j относительно „земли". Сумма токов
в точке j должна быть равна нулю, следовательно,
(уг — Vj) Г, + (v2 — Vj) Y2 + (1*3 — vf)	= 0.
Решая это уравнение относительно переменной по-
лучим
*0 + ^1^ 1 + ^2 + ^з^з= vj (П “F ^2+ ^з) =
где Yj назовем узловой проводимостью точки /. Она
представляет собой проводимость между узлом j и „зем-
лей", если все остальные узлы имеют потенциал „земли"
(заметим, что источник неизменного тока обладает беско-
нечно большим сопротивлением). Разделим последнее урав-
нение на Y
I v2y2 1 v3r3 . Zo
i~ Yj ‘ Yj * Yf 'Yj'
В середине пассивной цепи можно допустить любое
направление передачи. Теперь построим граф для Vj
(рис. 3.2). Как и в любой электротехнической задаче,
здесь можно пользоваться понятиями тока и сопротивления
вместо понятий напряжения и проводимости.
46
Рис. 3.1. Цепь из трёх проводимостей с одним
источником неизменного тока.
Рис. 3.2. Граф с узловыми проводимостями Yj.
Рис. 3.3. Многозвенная цепь на проводимостях.
Рис. 3,4. Граф узловых проводимостей.
47
3.3.	Многозвенная цепь на проводимостях
Требуется найти коэффициент передачи напряжения
многозвенной цепи, показанной на рис. 3.3. Используя
результаты, полученные в предыдущем разделе, построим
граф узловых проводимостей (рис. 3.4). Внутреннее со-
противление источника принимается в этом случае равным
нулю, т. е. обратная связь к источнику отсутствует и на-
пряжение -и3 эквивалентно напряжению -ивых. Узловые про-
водимости графа запишутся в следующем виде:
Ynl = Y(1+Y. + Y2,
Гя2=Г2+Уз4- Y4,
Y„3=Y4 + Y5.
Для построения подграфа индекса в качестве узлов
индекса возьмем узлы -ивх, -ивых и v2. Таким образом,
рис. 3.5 представляет собой следующий этап упрощения
графа, иллюстрирующего соотношения напряжений в цепи,
приведенной на рис. 3.3.
Сложим включенные параллельно две петли в узле v2
и получим следующее значение прямой передачи напря-
жения:
г==___________Г0Г2Г4________
Yn,Yn2Y„3-Y2Yn3-Y24Ynl '
На этом этапе вычислений следует выразить узловые
проводимости Кя1, Уп2, Ул3 через действительные про-
водимости цепи. Однако в большинстве случаев проще
о—
Рис. 3.5. Подграф индекса графа рис. 3.4.
	
48
вычислить узловые проводимости сразу после построения
первого графа.
Метод, использованный в приведенном примере, можно
распространить на любой тип цепи (например, фильтр),
где узловые проводимости могут быть определены из за-
данных условий.
3.4.	Мост Уитстона
Мост Уитстона на проводимостях представлен на
рис. 3.6. Требуется определить напряжения v2 и г/3 на
концах внутренней диагонали, в которую включен изме-
рительный прибор. Мост будет сбалансирован, если эти
напряжения равны по величине и по фазе.
Предположим, что питающее напряжение создается
идеальным источником с нулевым внутренним сопротивле-
нием. Тогда узловые проводимости будут соответственно
равны
^,2=^+^+^.
^з=Л-+-г0+г3.
Эти значения используем при построении графа рис. 3.7.
Чтобы выразить напряжение <и2 через возьмем в ка-
честве узла индекса узел v2, имеющий два параллельных
пути к узлу Подграф индекса, иллюстрирующий связь
с v2> показан на рис. 3.8. Из рассмотрения этого под-
графа найдем отношение v^vf.
*	2_(	Л ?О \
*	!	\ г„2 "Т" Гл2Г„з Г\	Yn2Yпз) ’
или
УИЗ+УО
”1 гя2гя3-^ '
Аналогично, если узел v3 выбран, в качестве узла
индекса приведенного графа, найдем отношение
*	3	(Y1 , К0Го\ / Г2О \
vt \Yn3^~ Yn2Yn3) ' V Yn2Yn3)'
или
4 Зак. 393
49
Рис. 3.6. Схема моста Уитстона.
из
Рис. 3.7. Граф узловых проводимостей для моста
Уитстона.
у/
У» . У, Ye
Ym YmYnj
o^
Рис. 3.8. Подграф индекса графа рис. 3.7,
ЭД
Из этих уравнений найдем отношение tf2/v3:
*2 _ У0УПЗ+У1У0
v3 r/n2 + V0’
Если мост сбалансирован и ток не протекает через
внутреннюю диагональ, то проводимостью можно пре-
небречь. При этом уравнение приобретает следующий вид:
Щ _ 1 _ ГОГЛЗ_ Уо^ + Гз)
Щ У1У/22	У1(Уо + У2)’
или
УЛУ0-\-У2) = У0а1-^У3).
т. е. при балансе
3.5. Эквивалентность звезды и треугольника
На любой заданной частоте П-образное звено (тре-
угольник) можно заменить Т-образным звеном (звездой),
если сохранить правильные соотношения соответствующих
сопротивлений.
П- и Т-образные звенья на сопротивлениях предста-
влены на рис. 3.9, а соответствующие им графы — на
рис. 3.10. Форма графов в некоторой степени опреде-
ляется выбранными направлениями напряжения и тока,
причем правильный выбор этих направлений облегчает
решение задачи. В относительно простых случаях приме-
нение графов, возможно, не ускоряет процесса нахожде-
ния решения по сравнению с обычным методом составле-
ния уравнений цепи. Но графы помогают правильно
осмыслить задачу, а приведенный пример служит перехо-
дом к более сложным цепям.
В качестве источников выберем токи и Z2. Прирав-
нивая сопротивления прямой передачи и используя правило
Рис. 3.9. П- и Т-образные звенья на сопротивлениях.
4*
51
Рис. 3.10. Графы П- и Т-образных звеньев.
Мэзона, найдем для Т-образного звена
^2 _ у
77 “z3
и для П-образного звена, которое содержит два контура
обратной связи,
откуда
v2__ Zb(4Za)Zc
‘i 1 + zbIZa + zcIza ’
Затем, приравнивая входные сопротивления Т- и П-об-
разных звеньев, получим
или
-^ = Zi + Z3
' + zbIza + zcIza '
_ zb(za + zc)
za + Zb + zc'

Приравнивая выходные сопротивления, найдем
U2__7 । 7  ZC(1 + ZbIZa)
или
z2H-z3 =
zc(za + zb)
za + zb + zc'
52
Обозначив знаменатель через АП = ZA	»
можно записать, что эквивалентность Т- и П-образных
звеньев обеспечивается при следующих сопротивлениях
Т-образного звена:
Zl= ZAZB (дп)’
Z2 = ZCZA ("ДП”) ’
Z3 = ZBZc(’fin)-
Аналогичным способом можно перейти от Т-образного
к П-образному звену.
3.6. Простые трансформаторы
Идеальный трансформатор без потерь и соответствую-
щий ему граф показаны на рис. 3.11. В качестве при-
мера рассмотрим повышающий трансформатор напряжения
с коэффициентом трансформации ‘0>2/‘а>1 = Af, а напра-
вления токов Zj и Z2 выберем, как указано на схеме.
(В общем случае М может быть больше, меньше или
равно 1.) Учтем ток намагничивания, протекающий в пер-
вичной обмотке при холостом ходе, для чего введем про-
водимость Ym. Кроме того, добавим сопротивление Zp
учитывающее потери в первичной обмотке. Схема транс-
форматора при холостом ходе и ее граф даны на рис. 3.12.
Напишем уравнения для первичной обмотки трансфор-
матора:
и
< = 'Vl — llZV
Затем рассмотрим вторичную цепь с сопротивлением
потерь Z2, сопротивлением нагрузки ZL и током на-
грузки Z2. Напряжение на идеализированной вторичной
обмотке будет равно
v'2 = Nv[t
а для выбранного направления Z2
==	*2^2’
53
Рис. 3.11. Схема идеального трансформатора и ее граф.
Рис. 3.12. Схема трансформатора без нагрузки и ее граф.
-Рис. 3.13. Схема и граф нагруженного трансформатора.
!5£
откуда
Z2~
Напряжение на нагрузке равно
---^2 = ^2^£-
Эти уравнения позволяют построить полную эквива-
лентную схему трансформатора и ее граф (рис. 3.13).
Отметим, что добавление к графу ветвей — 1 /Z2 и
— ZL вызывает появление двух дополнительных контуров
обратной связи. Один из них связывает только узлы Z2
И а другой охватывает весь граф. Учитывая эти кон-
туры, найдем значение первичного тока, потребляемого
от источника с нулевым внутренним сопротивлением:
, _____________________/2 (-^)__________________
+(-rmzl)(-zjz2)
а после упрощения знаменателя
, _________________-^2__________________
1- 1 + rmz1 + z4/z2+^(z1/z2)+ywiz1(z4/z2) ’
или
, „	— Z2Nir
1- Z2^mZ^ + ZL + N2Z^YmZXZL ’
Известно, что для любого графа знаменатель служит
характеристической величиной, общей при нахождении со-
отношения между любыми двумя переменными в графе.
Запишем его отдельно:
ДТ = 1 +	+ ^4 + № (А) + r.z, (^).
При проектировании схем обычно бывают известны
требуемое напряжение на нагрузке и характер импеданса
нагрузки. При этом можно определить входное напряже-
ние и ток следующим образом:
rz2ATl
_ -тг
11 ~ АГ
55
Соотношения между любыми другими токами и напряже-
ниями в схеме можно найти из рассмотрения графа
рис. 3.13.
3.7. Передача сигнала однородной линией
Поскольку теория длинных линий подробно рассмотрена
во многих учебниках, проиллюстрируем здесь эту теорию
с помощью графов, не ставя своей целью сокращение
объема алгебраических действий.
Однородная линия характеризуется следующими пара-
метрами (отнесенными к единице длины): последовательно
включенными сопротивлением R (ом) и индуктивностью L
(гн) и параллельно включенными емкостью С (ф) и про-
водимостью G (мо).
На рис. 3.14 показан отрезок линии длиной dx, для
которого при угловой частоте о) рад/сек можно написать
следующие соотношения:
Z dx — (R 4“ /соА) dx и Y dx = (G + /соС) dx.
Определим характеристическое сопротивление линии Zo
(ом) как сопротивление линии в точке, бесконечно уда-
ленной от приемного конца. Допустим, что элемент линии на
рис. 3.14 бесконечно удален от приемного конца, и найдем
выражение для Zo из графа рис. 3.15. Из графа видно,
что входное сопротивление элемента линии равно
____ 1 + Z dxjZs__7
ix ~ Ydx+1/ZQ ~ вх>
По предположению, это выражение должно быть равно
характеристическому сопротивлению Zo:
Zo (y dx + j = 1 +	» откуда Zo Y dx = Z dx,
или

R + j®L
G + J®C
Из графа рис. 3.15 видно также, что
— v2 = i2Z dx
— i2 = vxY dx.
и
56
Рис. 3.14. Схема отрезка линии передачи.
Рис. 3.15. Граф отрезка линии передачи.
Рис. 3.16. Граф напряжений и токов линии
бесконечной длины.
Рис. 3.17. Граф напряжений и токов линии,
нагруженной на сопротивление Z^, ом.
Ы
Если dv и di — приращения напряжения и тока на участке
линии длиной dx и х возрастает слева направо, то, пре-
небрегая величинами второго порядка, можно написать
dv	3 -7 di
-т— = — LZ и -у—= — VyY.
dx 1 dx 1
Эти уравнения дают общие выражения для напряжения и
тока в линии:
vx = Z0(Z)e_px - Fe₽-r)
И
ix = De~P*-± FeP*t
где P =	+ 7*(o£) (0 + /©C), a D и F — постоянные
интегрирования, определяемые заданными условиями.
Для линии бесконечной длины или нагруженной на
характеристическое сопротивление с током Zo и напряже-
нием v0 в начале линии эти выражения принимают вид
и
где
vx _________________	7	^0	__ 7
—	Z,o	и	i	~	Z0’
1х	г0
если источник согласован с линией.
Введение отрицательного знака связано с тем, что оба
тока Zo и ix считаются направленными в линию (см. граф
рис. 3.16).
Приведенный метод можно распространить на случай,
когда линия длиной Z нагружена на сопротивление ZT,
не равное характеристическому сопротивлению линии.
При этом некоторая часть р тока iT нагрузки отразится.
Граф для этого случая приведен на рис. 3.17; он дает
результирующие значения тока и напряжения в точке,
находящейся на расстоянии х от начала линии.
3.8.	Графы и волновые матрицы
(матрицы рассеяния)
Другое применение графов состоит в определении
амплитуды (напряжения или тока) волн в линии или волно-
воде с помощью построения графа по волновой матрице,
(Понятие волновой матрицы было введено для сверх-
58
высокочастотных волноводных систем, однако его можно
применить и к низкочастотным линиям передачи.)
В волноводной системе точку, в которой производится
определение падающей и отраженной волн, называют двух-
полюсником или парой зажимов. В низкочастотных ли-
ниях этим зажимам соответствует пара концевых зажимов
цепи. С помощью уравнений Максвелла можно показать,
что существует линейная зависимость между амплитудой Лу
волны, падающей на зажим у, и амплитудой bj волны,
рассеиваемой в зажиме у. Для системы с п зажимами
полная падающая и рассеиваемая волны отображаются
векторами а и Ь, представленными волновой матрицей S
порядка n X т- е- Ь = Sa.
Относительно зажима у элемент Sjj представляет собой
коэффициент отражения, а элемент Sjk — коэффициент
передачи от зажима у к зажиму k. Для четырехполюсного
сочленения, подчиняющегося принципу взаимности, волно-
вая матрица симметрична и имеет вид
__ *$11	*$12
*$21	*$22
где S12 = S21. Вносимое сочленением затухание равно
- 20 lg|S12| дб.
Используя два предыдущих уравнения, содержащих
волновую матрицу S, получим уравнения, связывающие
амплитуды падающей и рассеиваемой волн для четырех-
полюсного сочленения:
^1 = *$11а1 + *$12а2
и
^2 — *$21^1	*$22^2*
Эти уравнения представлены графом рис. 3.18.
Рис. 3.18. Граф волновой матрицы для четырехполюсного
сочленения.
59
Рис. 3.19. Граф четырехполюсного сочленения
с несогласованными нагрузкой и источником.
Если линия передачи (или волноводное сочленение),
граф которой представлен на рис. 3.18, включена между
несогласованной нагрузкой с коэффициентом отражения рг
и источником с коэффициентом отражения ps, то соответ-
ствующий ей граф имеет вид, приведенный на рис. 3.19.
Обычно на практике приходится соединять ряд графов
для отображения сложной цепи. Эта задача рассматри-
вается в двух следующих разделах.
3.9.	Графы четырехполюсников
Большинство цепей (как активных, так и пассивных)
можно представить в виде схемы с четырьмя зажимами,
называемой четырехполюсником. Граф электрического
четырехполюсника представляет два уравнения, которые
связывают токи и напряжения на входных и выходных
зажимах. Существует шесть возможных систем уравнений
для электрического четырехполюсника и соответственно
шесть различных графов. Четыре из этих систем записаны
ниже:
G = £*11^1 4~ £*12^2»
^2 ~ ^21^1 4“ ^22^
= Ml 4~ М2»
Z2 = ^21^1 4" ^22^2»
h =У11^1 + У12^2.
h = У21<и1 4“ 3^22^2»
V1 = Ml 4“ ^12^2»
'	^2 == -^21^1 4” ^22^*2*
В дальнейшем узлы тока будем располагать в верхней
части графа, а узлы напряжения — в нижней части.
60
о
о
Рис. 3.20. Графы, выражающие четыре системы уравнений
параметров четырехполюсника.
Четырехполюсник с принимаемыми обычно направлениями
токов и напряжений и четыре графа, соответствующие
приведенным выше матричным соотношениям, представлены
на рис. 3.20. В большинстве случаев для описания четырех-
полюсника достаточно воспользоваться одной из систем
параметров: гибридной системой Л, системой проводимо-
стей у или системой сопротивлений z. Однако, как будет
видно из разд. 3.11, в некоторых случаях удобнее вос-
пользоваться системой ^-параметров. Переход от одной
из трех систем параметров четырехполюсника к другой
с помощью графов рассматривается в гл, 4.
Каждый из четырех графов рис. 3.20 содержит два
источника и два стока. Поскольку сейчас нас интересует
вопрос соединения графов между собой, отметим, что сток
одного графа может быть источником присоединяемого
графа. (При соединении графов можно объединять в общий
узел только сток и источник.)
3.10.	Соединение четырехполюсников
Часто требуется составить граф, представляющий ряд
соединенных между собой четырехполюсников. Существует
два способа соединения отдельных графов.
61
При первом способе наносятся узлы, отражающие один
и тот же тип переменной, и объединяются источник и сток
для образования связи. Этот метод предъявляет определен-
ные требования к форме графа каждого четырехполюс-
ника. Узел стока тока можно объединить с узлом источника
тока, но нельзя объединить непосредственно с узлом дру-
гого стока тока или с узлом источника или стока напря-
жения.
При втором способе для образования связи присоеди-
няют дополнительный промежуточный граф. Это дает
большую свободу в выборе формы графов отдельных
четырехполюсников. Однако этот метод сложнее и им
пользуются лишь при необходимости.
Рассмотрим первый метод на примере двух каскадно
соединенных четырехполюсников (рис. 3.21). Первый
четырехполюсник можно описать любым из шести воз-
можных способов, а затем нужно выбрать подходящую
систему параметров для описания второго четырехполюс-
ника. ‘ Связь осуществляется путем соединения графов в той
же последовательности, в какой соединены четырехполюс-
ники, с учетом того, что узел стока тока объединяется
с узлом источника тока и т. д. При этом зависимые пере-
менные одного графа становятся независимыми перемен-
ными другого. На рис. 3.22 показаны три возможных ва-
рианта соединения графов для двух каскадно соединенных
четырехполюсников рис. 3.21.
Из рис. 3.20 и 3.22 видно, что два графа, построен-
ные для g- или /г-параметров, можно непосредственно
соединить друг с другом. Это одно из ценных свойств
такого способа представления четырехполюсников. (Си-
стемы у- и ^-параметров не обладают этим свойством.)
Чтобы избежать добавления ветвей с единичной передачей,
знаки передач ветвей, связанных с входным током второго
четырехполюсника, изменены по сравнению с приведенными
на рис. 3.20.
Рис. 3.21. Два каскадно соединенных четырехполюсника.
62
Рис. 3.22. Три способа соединения графов двух
четырехполюсников и приближенные эквивалентные
графы для каждого случая.
Упрощение двух каскадно соединенных графов произ-
водится по правилу Мэзона, причем учитывается образую-
щийся обычно в центре контур обратной связи. Для графа
рис. 3.22, а знаменатель будет равен
А = 1 — передача контура = 1 +
Тогда эквивалентные значения g-параметров для упро-
щенного (приведенного) графа определяются следующим
образом;
#п =“д (Уп ^21^11^12)’
#12 = "д’(^12^12)»
#21 — “д““ (^21^21)*
#22 = д’ (^22	^12^22^21)’
63
Аналогично определяются эквивалентные параметры
для остальных упрощенных графов.
В следующем разделе рассматривается второй метод
соединения графов для сложных цепей с помощью про-
межуточного графа с ветвями, имеющими единичную пере-
дачу.
3.11.	Цепь из четырех четырехполюсников
На рис. 3.23 показана цепь, содержащая 4 четырех-
полюсника. Четырехполюсники 1 и 2 можно рассматривать
как входные цепи, а четырехполюсник 3 обеспечивает
обратную связь с выхода четырехполюсника 4 на его вход.
На практике четырехполюсник 4 представлял бы собой
усилитель, но при анализе мы будем считать всю систему
пассивной. Когда два четырехполюсника соединены парал-
лельно, то прямой ток через один четырехполюсник
не всегда равен обратному току. Обратные токи не пока-
заны в этом примере, однако иногда их нужно учитывать.
Если нас интересует передача напряжения с входов
к выходу, то удобнее всего выбрать величины г/ц и т/21
в качестве входных сигналов (узлов источников), a и3—в ка-
честве выходного сигнала (узла стока). Это значит, что
графы входных четырехполюсников 1 и 2 должны быть
Составлены с у-параметрами, а граф четырехполюсника 4 —
с ^-параметрами. При этом четырехполюсник 3 должен быть
представлен в /г-параметрах. Результирующий граф пока-
зан на рис. 3.24.
Задача, представленная на рис. 3.23, позволяет под-
черкнуть тот факт, что форма графа должна быть выбрана
в соответствии с нашими знаниями о цепи. Например, мы
знаем, что
h — *12 + *22 И *31 = *2	*41-
Рис. 3.23. Цепь из четырех четырехполюсников.
64
Рис. 3.24. Граф цепи, состоящей из четырех
четырехполюсников.
Отсюда ясно, что ток 12 должен быть представлен стоком,
а другие входящие токи — узлами источников.
Соотношения между выходным напряжением и каждым
из входных напряжений могут быть найдены из этого графа
по правилу Мэзона. Различные формулировки задачи при-
ведут к составлению различных графов той же цепи.
Они могут быть получены также путем инверсии контуров
обратной связи в графе рис. 3.24. Если нужно пред-
ставить больше чем две входные цепи, этот граф можно
легко расширить. В каждом конкретном случае можно
упростить граф рис. 3.24, делая допустимые приближения
и сохраняя только те узлы, которые необходимы для
вычислений. При этом исключаемые узлы не должны
входить в контуры обратной связи. Пример применения
такого метода дается в задаче 3.9; мы им воспользуемся
также в дальнейшем, в гл. 7.
Задачи к гл. 3
3.1. Построить граф узловых проводимостей для цепи
на сопротивлениях (рис. 3.25), упростить его и найти
коэффициент передачи цепи.
3*2. Вычислить коэффициент передачи тока цепи
рис. 3.26 методом графов.
5 Зак. 393
65
218 ом	1230 ом 218 ом
Рис. 3.25. Цепь на сопротивлениях.
600 ом
о-*—V\?—
600 ом.
О	
33^00 ом
--—VA-------
-ААЛ—I—ЛА/4—-
600 ом > 600 ом
< 6 ом
600 ом
Рис. 3.26. Схема Т-образного моста на сопротивлениях.
Рис. 3.27. Схема моста для измерения индуктивностей.
Я1 = 6ОО олс, /?2=>1000 ом, /?з=400 ом, С=0,5 мкф (при балансе).
Рис. 3.28. Параллельный резонансный контур.
66
Рис. 3.29. Цепь, содержащая реальные катушку
индуктивности и конденсатор.
3.3.	С помощью графа определить напряжение на вну-
тренней диагонали разбалансированного моста (с детекто-
ром), выраженное через питающее напряжение (рис. 3.27).
Найти величины г (рм) и L (гн) для сбалансированного
моста.
3.4.	Построить соответствующие графы для Т- и
П-образных звеньев и найти условия эквивалентного пре-
образования звезды в треугольник.
3.5.	Построить граф цепи рис. 3.28. Записать отно-
шение v/i и найти условия резонанса.
3.6.	Построить два различных графа цепи, содержащей
реальные катушку индуктивности и конденсатор (рис. 3.29).
Используя один из этих графов, найти входное сопроти-
вление цепи на частоте со, рад/сек.
3.7.	Однофазный трансформатор обеспечивает ток
1,4 а и напряжение 6,3 в на нагрузке, имеющей индуктив-
ный характер при cos ф= 0,8. Отношение витков обмоток
равно 35: 1. Параметры первичной обмотки: сопротивле-
ние 250 ом, реактивное сопротивление рассеяния 150 ом;
параметры вторичной обмотки: сопротивление 0,25 ом,
реактивное сопротивление рассеяния 0,15 ом.
Найти напряжение первичной обмотки, пренебрегая
током намагничивания.
3.8.	Полные сопротивления обмоток понижающего
трансформатора (250/110 в) равны соответственно:
первичной обмотки 8,1 exp j 67°', ом;
вторичной обмотки 1,6 ехр/67°, ом;
обмотки намагничивания 1250 ехр — ом;
обмотки нагрузки 24 ехр/34°, ом.
Найти полный ток, потребляемый от источника, и на-
пряжение на нагрузке при входном напряжении 250 в.
5*
67

2
Рис. 3.30. Цепь из трех четырехполюсников.
1
-О
3.9.	Цепь рис. 3.23 представляет собой фазоинверсный
усилитель с большим усилением и обратной связью и
с двумя входными цепями на активных сопротивлениях.
(В этом случае g2i будет большим и отрицательным (— Л),
а £п» £12 и £22 пренебрежимо малы.) Построить при-
ближенный граф, иллюстрирующий соотношения между
входными и выходными напряжениями, опуская все узлы
тока, не входящие в контуры обратной связи. Затем,
применяя правило Мэзона, свести граф к виду, содержа-
щему только три узла напряжения и один узел тока.
3.10.	Построить два различных графа цепи, состоящей
из трех четырехполюсников (рис. 3.30). Один из этих
графов должен содержать ветви с единичной передачей,
включенные между графами отдельных четырехполюсников.
ГЛАВА 4
ПАРАМЕТРЫ ТРАНЗИСТОРОВ
В этой главе рассмотрены различные способы пред-
ставления транзисторов с помощью графов. Основное
внимание уделяется описанию транзистора с помощью
четырех различных систем параметров четырехполюсника.
Переход от одной системы параметров к другой выпол-
няется довольно быстро с помощью графов.
Во многих случаях для анализа цепи достаточно вос-
пользоваться упрощенной эквивалентной схемой транзи-
стора. В частности, при анализе низкочастотных усилите-
лей удобно применять Т-образные приближенные эквива-
лентные схемы, графы которых рассмотрены в этой главе.
4.1. Гибридные Л-параметры
На рис. 4.1 транзистор показан в виде четырех-
полюсника с четырьмя выводами; один вывод может быть
общим для входной и выходной цепей. Здесь же указаны
положительные направления напряжений и токов и, таким
образом, определены соответствующие знаки. Отметим,
что за положительное направление принято направление
токов, текущих в схему как на входе, так и на выходе.
Четырехполюсник может быть охарактеризован уравне-
ниями (4.1) и (4.2) с гибридными параметрами:
^1 = Ml + Мг-	Я О
z2 = h2xlx + h22v2.	(4.2)
Размерности коэффициентов при независимых перемен-
ных и v2 различны, что подчеркивается словом „гибрид-
ные". Эти коэффициенты равны частным производным и
представляют собой соответственно:
hn — входное сопротивление при короткозамкнутом
выходе;
/г12— коэффициент обратной связи по напряжению при
разомкнутом входе;
/г21 — коэффициент усиления тока при короткозамкну-
том выходе;
/г22— выходная проводимость при разомкнутом входе.
69
Рис. 4.2. Граф четырехполюсника в гибридных параметрах.
Рис. 4.3. Транзистор как четырехполюсник.
70
Граф, представляющий систему уравнений (4.1) и (4.2),
изображен на рис. 4.2. Этот граф, отражающий транзи-
стор без каких-либо внешних элементов, представляет
собой каскадный граф, не имеющий контуров обратной
связи и содержащий два источника и v2 и два стока
и Z2. На рис. 4.3 показан транзистор с принятыми
выше положительными направлениями переменных. Заме-
тим, что эти переменные являются сигналами переменного
тока и не могут рассматриваться как смещение или питание.
Понятие четырехполюсника и соответствующий граф
применимы для любой из трех схем включения транзи-
стора (с общей базой, эмиттером или коллектором), а
также для инверсного включения (когда эмиттерный и
коллекторный выводы переставлены местами) по любой
схеме. Уравнения и граф останутся неизменными, если
значения /г-параметров изменять в зависимости от схемы
включения. В табл. 4.1 приводятся общепринятые обозна-
чения для трех типов схем.
Таблица 4.1
Обозначения Zr-параметров
Общая база (ОБ)		Общий эмиттер (ОЭ)		Общий коллектор (OK)	
	hib	h'n	hie	All	hic
	hfb	h\2	hTe		hrc
h21	hfb	h21	hfe	h21	hfc
h22	hob	h-22	hoe	L." h22	hoc
4.2. Переход от Л-параметров
(схема с общей базой)
к Л'-параметрам (схема с общим эмиттером)
Рассмотрим две схемы включения транзистора (рис.
4.4 а и б). Приравнивая (с учетом знаков) соответствую-
щие напряжения и токи, получим следующие уравнения для
тока базы Z' — ~(il + Z2),
тока коллектора Z' = Z2,
71
Рис. 4.4а. Схема включения
транзистора с общей базой.
l2
О
Рис. 4.46. Схема включения
транзистора с общим эмиттером.
Рис. 4.5. Первый этап перехода к А'-параметрам.
А
Рис. 4.6. Граф в А'-параметрах.
Рис. 4.7. Второй этап перехода к А'-параметрам.
-72
- thr Л h
hn
Vi
2
hzz
D
- h 12^
В
»z
Рис. 4.8. Граф, позволяющий выразить Л'-параметры
через Л-параметры.
напряжения база — эмиттер = — vlt
напряжения коллектор — эмиттер v'2 = v2— vv
Добавим к основному графу рис. 4.2 узлы и ветви,
отражающие эти уравнения, и получим граф рис. 4.5. Два
источника первоначального графа и v2) входят в новый
граф; упрощение этого графа должно свести его к ос-
новной форме для схемы с общим эмиттером (рис. 4.6).
Инвертируя ветви и ty?', получим новые источники
t' и vf2 (рис. 4.7). Окончательное упрощение графа вы-
полним с помощью правила Мэзона; при этом в графе
остаются только источники и стоки (рис. 4.8). Из сопо-
ставления этого графа с основной формой графа рис. 4.6
очевидно, что
hfn = hn]Dt
— h\2 "4"
=---------------- И T. Д.,
где
ДЛ = hnh22 ^12^21
и
D = 1 -j— h21 — h12 —J— Д/z.
Таким образом, получены требуемые соотношения между
h- и /г'-параметрами.
4,3. у-Параметры
Это важная система параметров четырехполюсника,
которая особенно удобна для характеристики транзисторов
на высоких частотах. Эти параметры определяются в
73
Рис. 4.9. Граф четырехполюсника в у-параметрах.
режиме короткого замыкания, что значительно облегчает
разработку испытательных приборов. Уравнения с у-пара-
метрами имеют вид:
^ = У11^1+У12®2.	(4-3)
+	(4-4)
Все коэффициенты имеют размерность проводимости и на
высоких частотах содержат как вещественную часть (ак-
тивную проводимость), так и мнимую (реактивную прово-
димость). Коэффициенты имеют следующий смысл:
уп — входная проводимость при короткозамкнутом вы-
ходе;
у12— проводимость обратной передачи при коротко-
замкнутом входе;
у21 — проводимость прямой передачи при короткозам-
кнутом выходе;
у22 — выходная проводимость при короткозамкнутом
входе.
Граф для уравнений (4.3) и (4.4) представлен на
рис. 4.9.
4.4.	Связь между у- и ^-параметрами
Представление параметров у через параметры h
Исходный граф в Л-параметрах показан на рис. 4.10.
Сначала инвертируем ветвь ZfUp так чтобы узел стал
новым источником (рис. 4.11). Затем, устраняя промежу-
точный узел 1Х на путях vxi2 и -u2Z2, получим граф рис. 4.12.
74
Рис. 4.10.Граф четырехполюс- ника в Л-параметрах. 6 f	S hu Vt	Рис. 4.11. Переход к у-пара- метрам; ветвь	инверти- рована. h 21 hn h2i h" 4
Рис. 4.12. Переход к у-параметрам завершен.
''	'» V/	vz Рис. 4.13. Граф четырехпо- люсника в у-парамётрах.	J. > — И	V21S' У11	У 22 (Г ' - "  ш '  —	 V1	У12	^2 Уп Рис. 4.14. Переход к Л-пара- метрам; ветвь	инвертиро- вана.
75
1
Уи
У 21
i-------------
l У74- ^1Z У**
У и
О
-yiz V2
Уи
Рис. 4.15. Переход к Л-параметрам завершен.
Путем непосредственного сравнения его с графом рис. 4.9
получаем требуемые соотношения:
1	^12
У12 = “ лТ и т‘ д-
Представление параметров h через параметры у
Исходный граф в у-параметрах дан на рис. 4.13. Ин-
вертируя ветвь получаем новый источник Zj (рис. 4.14).
Окончательный вид графа в /г-параметрах изображен на
рис. 4.15. Откуда
Лц = -Ь, Л12 = =2^ и т. д.
Уи	Уи
4.5.	г-Параметры
Наименее распространенной системой параметров, ис-
пользуемых при анализе транзисторных цепей, является
система сопротивлений z. Эти параметры определяются
Рис. 4.16. Граф четырехполюсника в ^-параметрах.
76
в режиме холостого хода. Соответствующие уравнения
имеют вид:
г>1 =	4- zl2l2,
— •г21г'1 + z2l4-
Их граф показан на рис. 4.16.
4.6.	Т-образная эквивалентная схема
для включения с общей базой
Простая Т-образная эквивалентная схема1) на низких
частотах, приведенная на рис. 4.17, была разработана на
ранней стадии изучения транзисторов • и транзисторных
схем. В настоящее время эта схема не имеет широкого
применения, за исключением, может быть, использования
ее в упрощенной форме для быстрого расчета низкоча-
стотных схем. Положительными направлениями входных
и выходных токов и напряжений будем считать напра-
вления, указанные стрелками на рис. 4.17. Для построе-
ния графов рис. 4.18 и 4.19 используем уравнения, полу-
ченные из эквивалентной схемы рис. 4.17:
1С = — ale + vc[rc,
lb — le + z'c>
®e = ®2— rblb.
При построении окончательной формы графа (рис. 4.19)
для определения передач ветвей применим правило Мэзона.
При этом узел ib исключается. Полученный граф иден-
тичен по форме графу в /г-параметрах, поэтому сразу
получаем
А]2 =	-- И Т. Д.
12	1 +rblrc
С точки зрения анализа цепей выражения передач ветвей
графа рис. 4.19 (схемы ОБ) часто оказываются слишком
J) Параметрами этой схемы являются сопротивления элек-
тродов транзистора, которые называются „/-параметрами".—
Прим. ред.
77
Рис. 4.17. Т-образная эквивалентная схема включения
транзистора с общей базой.
Рис. 4.18. Граф Т-образной эквивалентной схемы включения
транзистора с общей базой.
Рис. 4.19. Граф схемы включения транзистора с общей
базой в форме графа четырехполюсника в A-параметрах.
78
(У
ге Ч 7 ~<х)гь
Рис. 4.20. Приближенная форма графа схемы включения
транзистора с общей базой при бесконечно большом гс,
сложными. Этот граф можно упростить, если учесть, что
сопротивление коллектора гс обычно очень велико. Если
принять, что сопротивление гс бесконечно велико, то по-
лучим граф рис. 4.20.
4.7.	Т-образная эквивалентная схема включения
транзистора с общим эмиттером
Видоизменив основную схему рис. 4.17 так, чтобы
эмиттерный вывод был общи^м для входной и выходной
цепей, получим Т-образную эквивалентную схему транзи-
стора с общим эмиттером (рис. 4.21). Уравнения для этой
схемы имеют вид (знаки взяты согласно рис. 4.21):
le — h 4~
lc = ^e^ Vclrc.
Vc = — rele
= rblb + rete.
Эти уравнения дают граф рис. 4.22. Применив правило
Мэзона и исключив узел 1е, получим окончательную форму
графа (рис. 4.23), которая совпадает с формой графа
в Л-параметрах; поскольку полученный граф представляет
схему с общим эмиттером, можно написать
79
Рис. 4.21. Т-образная эквивалентная схема включения
транзистора с общим эмиттером.
Рис. 4.22. Граф Т-образной эквивалентной схемы включения
транзистора с общим эмиттером.
Рис. 4.23. Граф схемы включения транзистора с общим
эмиттером в форме графа четырехполюсника в /г-параметрах.
80
Рис. 4.24. Приближенная форма графа схемы включения
транзистора с общим эмиттером при бесконечно боль-
шом гс.
(1- «)ге
А - «)ге
Рис. 4.25. Приближенная форма графа схемы включения -
транзистора с общим эмиттером при ге/гс а и
re/rc < 1 — «•
Рис. 4.26. Т-образная эквивалентная схема включения
транзистора с общим коллектором.
Q Зак. 393
81
Граф рис. 4.23 можно упростить, если принять, что гс
бесконечно велико. Такой приближенный граф показан
на рис. 4.24. Предполагая также, что
relrc <а и relrc < 1 — а»
и пренебрегая ге/гс по сравнению с 1 — а и а, получим
граф рис. 4.25.
4.8.	Т-образная эквивалентная схема включения
транзистора с общим коллектором
На рис. 4.26 представлена видоизмененная основная
эквивалентная схема транзистора, в котором коллекторный
вывод является общим для входной и выходной цепей.
Для нее справедливы следующие уравнения (знаки взяты
согласно рис. 4.26):
4“
Vx = rblb — vci
vc = —v2-\- rele.
По этим уравнениям построим граф рис. 4.27. Применив
правило Мэзона, исключим узел I- и получим окончатель-
ную форму графа (рис. 4.28). Если принять, что гс очень
велико, то можно построить приближенный граф (рис. 4.29).
Из графа рис. 4.28 получим следующие соотношения:
= rh -н -i—ц—т—,
п 1 — а + ге/гс
В этой главе рассматривалось представление с по-
мощью графов транзистора без внешних элементов, для
чего использовались наиболее распространенные формы
эквивалентных схем. Графы транзистора как четырехпо-
люсника применимы для любого способа включения тран-
зистора при условии использования правильных величин
параметров. Приближенные графы Т-образных эквивалент-
ных схем удобны для быстрого анализа низкочастотных
схем.
82
Рис. 4.27. Граф Т-образной эквивалентной схемы
включения транзистора с общим коллектором.
Рис. 4.28. Граф схемы включения транзистора
с общим коллектором в форме графа четырехполюс-
ника в Л-параметрах.
6 ' 7-ос
Рис. 4.29. Приближенная форма графа схемы включе-
ния транзистора с общим коллектором при бесконечно
большом гс.
6*
83
Задачи к гл. 4
4.1.	Транзистор в схеме с общим эмиттером имеет
следующие параметры:
Лп= 1450 ом, — мкмо, h'^ — 7,6 • 10-4, h'21 = 40.
Эти параметры измерены на частоте 1 кгц при темпера-
туре 25° С. Найти а) Л-параметры в схеме с общей базой
и б) у-параметры в схеме с общим эмиттером.
4.2.	Выразить ^-параметры через у-параметры для
транзистора с общей базой. (Указание: инвертировать
пути уп и у22, а затем упростить граф с помощью под-
графа индекса или правила Мэзона.)
4.3.	Показать, что входная проводимость транзистора
с нагрузкой у£ равна
V — V ____ У12У21
У11	У22 + Уд ‘
(Указание: дополнить граф проводимостей транзистора
уравнением v2 — — ^/Уь-)
4.4.	Найти выражение для выходной проводимости
транзистора, если проводимость источника сигнала
равна ys.
4.5.	Найти выражение для усиления мощности нагру-
женного транзистора, определив его как отношение мощ-
ности в нагрузке ко входной мощности. Воспользоваться
системой у-параметров; проводимость нагрузки (у£) счи-
тать комплексной.
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ ТРАНЗИСТОРНЫХ СХЕМ
Основная цель настоящей главы состоит в иллюстрации
применения метода графов для анализа транзисторных
схем. Сравнительная оценка различных типов схем дана
кратко, поскольку этот вопрос в данном случае не является
главным. На конкретных примерах рассмотрены следующие
типы схем: однокаскадные и многокаскадные усилители,
дифференциальные усилители и усилители с обратной
связью. Кроме того, с помощью графов дано определение
коэффициентов температурной стабилизации.
5.1. Усилительный каскад на одном транзисторе
Предыдущая глава была посвящена представлению
с помощью графов различных эквивалентных схем тран-
зистора. Для анализа реальной схемы, содержащей тран-
зистор, необходимо дополнить граф транзистора соответ-
ственно уравнениям внешних цепей схемы. Кроме того,
необходимо проверить, содержит ли окончательный граф
только источники, соответствующие непосредственно вход-
ным сигналам данной схемы. Наличие ложных источников
приведет к неверному решению. Это условие может быть
выполнено при правильной интерпретации уравнений схемы.
Простой усилительный каскад с общим эмиттером
Схема однокаскадного усилителя для малых сигналов
с общим эмиттером показана на рис. 5.1. Из предыдущей
главы известно представление транзистора в виде графа
четырехполюсника. Дополним этот граф, учитывая внеш-
нюю часть схемы (т. е. входную и выходную цепи). Из
схемы для входной цепи следует
(5.1)
Уравнение для выходной цепи будет иметь вид
v2 = — l2RL.	(5.2)
85
z,
о-
Рис. 5.1. Простой усилительный каскад с общим эмиттером.'
У
ос
Vs	Ч 1-* ‘1г
Рис. 5.3. Граф усилительного
каскада с общим эмиттером.
Рис. 5.2. Приближен-
ный граф транзистора в
й'-параметрах
(Л12 = ^22 = °)-
Рис. 5.5. Граф усилительного каскада с общим эмиттером.
86
Рассмотрим граф транзистора, выраженный в Л'-па-
раметрах (рис. 5.2); он содержит источник тогда как
в схеме источником служит генератор Vs, Перепишем
соответствующим образом уравнение (5.1) и представим
его в виде графа рис. 5.3. Аналогично, построив граф
„выходного" уравнения (5.2), получим сток v2, отражаю-
щий выходное напряжение (т. е. величина v2 является
полностью зависимой переменной вследствие того, что
Л'2=0), Любое другое представление уравнений (5.1) и
(5.2) привело бы к появлению узлов ложных источников.
Итак, для получения нужного решения требуется правиль-
ное использование уравнений схемы, определенная пере-
стройка графа (например, с помощью инверсии пути),
а также известная интуиция, которая приходит с опытом.
Обычно наиболее быстро нужный результат дает при-
менение правила Мэзона. Из графа рис. 5.3 получаем
коэффициент усиления напряжения
А —
ys ~
— Z?£g//?^(1 — g)
(5.3)

Полагая
1	g ,
т~ ---= а ,
1 —g 1 —g
имеем
V2
Vs
— а'/?£
(5.4)
Отсюда видно, что схема ведет себя как четырехполюсник
с передающим сопротивлением cl'Rl и входным сопроти-
влением гь~\~а'ге- Очевидно, что максимальное уси-
ление напряжения имеет место при /?5=0:
V2 _ V2	-a'^L
Vs	Vi	^ + afre ’
Предположим, что требуется использовать граф тран-
зистора в у-параметрах. Тогда во избежание появления
ложных источников нужно по-новому записать уравнения
(5.1) и (5.2):
®i = ^ —(5.5)
v2 = — l2RL.	(5.6)
(Второе уравнение осталось без изменений.)
«7
Граф в у-параметрах показан на рис. 5.4, а оконча-
тельный вид графа дан на рис. 5.5. Применение к такому
графу правила Мэзона для получения. общей передачи
требует некоторого навыка, так как он содержит три
контура обратной связи, два из которых не касаются
друг друга. Коэффициент усиления напряжения будет
равен
21 =____________________________________________=
VS Ч" “1“ y%2RL	УцУ22^1^з
____________ ^21^£__________
•	1 “Ь Уц^з y22RL “Ь RLRs&
где
А = У11У22	У12У21*
Определение входного и выходного сопротивлений
транзисторных схем
В предыдущей главе было показано, как можно полу-
чить входное и выходное сопротивления транзистора не-
посредственно из уравнений эквивалентного четырех-
полюсника или из графа. Поскольку четырехполюсником
был представлен только транзистор, то значения этих
сопротивлений относятся к определенным условиям на его
зажимах, а именно к холостому ходу или короткому за-
мыканию на входе или выходе, т. е.
hn = у— представляет собой
входное сопротивление
при короткозамкнутом выходе,
— входное сопротивление при разомкнутом вы-
ходе,
-Д- = z22 — выходное сопротивление при разомкнутом
л22
входе,
—-----выходное сопротивление при короткозамкну-
У22
том входе.
В реальной схеме сопротивления источника и нагрузки
обычно имеют конечные значения; в этом случае входное
и выходное сопротивления транзистора в схеме лучше
определять, применяя аналитические методы и используя
граф схемы.
89
Рассмотрим следующий наиболее удобный метод. Чтобы
найти значение входного сопротивления (проводимости),
надо исключить из графа ветви, связанные с действитель-
ным источником схемы, затем подать на транзистор сигнал
от источника тока (напряжения) и вычислить результирую-
щее входное напряжение (ток). Отношение напряжения
к току даст непосредственно значение входного сопроти-
вления. Таким же образом определяется и выходное со-
противление (проводимость). Из графа удаляются ветви,
соответствующие элементам цепи нагрузки, а на выход-
ные зажимы транзистора подается сигнал от источника тока
(напряжения). Найдя результирующее напряжение (ток) на
выходе транзистора, можно определить значение выходного
сопротивления (проводимости). Этот метод можно осуще-
ствить на любой реальной схеме.
Для иллюстрации описанной методики рассмотрим эмит-
терный повторитель с активной нагрузкой. При этом вос-
пользуемся приближенным графом рис. 4.29. Эмиттерный
повторитель (каскад с общим коллектором) изображен
на рис. 5.6, где приведена только его эквивалентная
схема для малых сигналов. Уравнения для входных и вы-
ходных величин схемы запишутся в виде
^2 — —
Эти уравнения вместе с графом рис. 4.29 дают полный
граф, изображенный на рис. 5.7. Прежде чем найти вход-
ное и выходное сопротивления, запишем непосредственно
из рассмотрения графа с помощью правила Мэзона выра-
жение коэффициента усиления напряжения:
vs ~	(	’
или
V,	R,
~ О ~«)(^+ >;) + < 	(,8)
Для определения входного сопротивления удалим из
графа рис. 5.7 ветви, связанные с источником. Это при-
ведет к тому, что источником в графе станет узел (ба-
зовый ток транзистора), который теперь рассматривается
89
4
Рис. 5.7. Граф эмиттерного повторителя в Л-параметрах.
Рис. 5.8. Граф для определения входного сопротивления
эмиттерного повторителя.
Рис. 5.9. Граф для определения выходного сопротивления
эмиттерного повторителя.
£0
как источник сигнала в схеме. Следовательно, непосред-
ственно из каскадного графа рис. 5.8 можно написать
-г .____1___I Rl
~Ц~	1— а — квх —+-
или
1 —a ~ 1 —a ’
= +	*	(5.9)
Аналогично для определения /?вых удалим ветвь, соот-
ветствующую нагрузке RL; оставшаяся часть графа пока-
зана на рис. 5.9. В этом случае источником сигнала служит
узел v2. Следовательно,
/2 = 1Ж (!-«)] = 1
v2 l + ri/Rs Явых
(5.10)
или
Явых = (1 - a) + ri) = (1 - a) (/?, + r6)-h re. (5.11)
Отметим, что если коэффициент усиления напряже-
ния Av цепи можно записать в форме
л kRL
v R+RL ’
где k — постоянная, а RL— сопротивление нагрузки, то
R = /?вых. Для рассмотренного эмиттерного повторителя
выражение коэффициента усиления напряжения (5.8) за-
писано именно в такой форме.
5.2. Однокаскадные усилители с обратной связью
В этом разделе рассмотрены три основных типа об-
ратной связи в однокаскадном усилителе с общим эмит-
тером и показано влияние обратной связи на коэффи-
циенты усиления напряжения и тока и на входное и
выходное сопротивления. Для простоты принято, что пара-
метр /г'2 равен нулю.
Последовательная обратная связь по току
Назначение сопротивления /?уВ цепи эмиттера (рис. 5.10)
состоит в том, чтобы подать сигнал обратной связи по-
следовательно с входным сигналом. Сигнал обратной связи
пропорционален току коллектора, с чем и связано назва-
ние последовательная обратная связь по току. Этот
91
Рис. 5.10. Каскад с последовательной обратной связью
по току.
тип обратной связи обычно применяется для стабилизации
коэффициента усиления напряжения и увеличения вход-
ного сопротивления.
Внешняя по отношению к транзистору часть схемы
рис. 5.10 описывается следующими уравнениями:
_ Vs — (vi + vf)
1 ~ Rs
-Н2) Rf>
v2 = vL — vft
= —
Полный граф, показанный на рис. 5.11, довольно сло-
жен, несмотря на предположение, что коэффициент обрат-
ной связи транзистора /г'2 равен нулю. Заметим, что вы-
ходная проводимость транзистора Л22 оказывает незначи-
тельное влияние на работу схемы, особенно если эта
92
проводимость мала. Знаменатель выражения передачи (по
правилу Мэзона), представляющий особую форму опреде-
лителя системы уравнений, будет общим для всех путей
графа, начинающихся в источнике. Вычислим сначала
определитель:
hf R
D=i+^-+«7(1+'>a+si («£+«/)+
+^<Я1 + «,)+-^-Я1Я7. (5.12)
Если допустить, что h',n = 0, то
R,
°=1 + ^-+«7(| + 4У-	<513>
Тогда общий коэффициент усиления напряжения имеет вид
Если пренебречь /г'2, то это выражение принимает вид
-Mi
+ hU + Я/ 0 + ^21)
(5.15)
При малых значениях действующего сопротивления источ-
ника (Rs + /Zji) коэффициент усиления становится незави-
симым от параметров транзистора:
— Rr
(5.16)
Интерпретация уравнения (5.15) требует некоторой осто-
рожности, так как входное сопротивление транзистора Ли
имеет сложную природу:
А1'1 = ГЬ +	= ГЬ + Ге(1 +
где
26
Гв — "7--7--Г ом *)•
е 1Е (ма) 7
*) ге —	—г- (ом) при 25° С. Точная цифра зави-
сит от типа транзистора и может достигать 50//^.
93
1
Рис. 5.12. Удаление ветвей, связанных с входным
элементом Rs, из графа рис. 5.11.
При малых токах эмиттера величина сопротивления ге
может оказаться сравнимой с величиной внешнего сопро-
тивления Rj цепи обратной связи, что приведет к умень-
шению усиления напряжения. Этот эффект можно учесть,
видоизменив уравнение (5.16):
А >
v Rf + re
при очень малых токах эмиттера.
Для того чтобы на основе вышеизложенного опреде-
лить входное сопротивление /?вх, из графа рис. 5.11 нужно
удалить ветви, связанные с входным элементом Rs. В ре-
зультате получим граф рис. 5.12, где узел входного тока
транзистора будет служить источником. Найдем выражение
для входного сопротивления /?вх:
__ ^1 + ^/   ^11 (1 + h22^L + h22#/) Н~	Q + ^21)
z*l	1 +	+ h22R f
или при Л'2 = О
^х=^ + ^/(1+А21)-	<5’17)
Для определения выходного сопротивления удалим из пол-
ного графа рис. 5.11 ветвь, соответствующую внешней
нагрузке RL, В полученном графе (рис. 5.13) источником
служит узел vL, и для выходного сопротивления /?вых
можно записать
——==А- =
^ВЫХ Vt	, 7	,	ч
_______________h22 0 + ^11/__________________
1 + Л11/	+ #/ (1 + Л21)/^5 + h22^f + h22^f (Л11/^з)
94
или
Рис. 5.13. Удаление ветвей, соответствующих
нагрузке RL, из графа рис. 5.11.
1	> ^22(^11 ~Н^/)
«вых ^+Л/(1+Л21).
(5.18)
при
Из уравнения (5.17) видно, что полученное входное
сопротивление значительно больше входного сопротивления
усилителя с общим эмиттером без обратной связи. Вы-
ходное же сопротивление, как следует из уравнения 5.18,
при малом значении сопротивления Rs источника прибли-
жается по величине к выходному сопротивлению усили-
теля с общей базой.
Параллельная обратная связь по току
В схеме рис. 5.14 напряжение обратной связи на со-
противлении г пропорционально току нагрузки. Входной
сигнал и сигнал обратной связи подаются на вход усили-
теля параллельно. Сопротивление нагрузки RL не имеет
общей точки с заземленной шиной усилителя, вследствие
чего такая схема не получила большого распространения.
Практическое применение имеет схема с дополнительным
транзистором (рис. 5.15); такой усилитель обладает ста-
бильным коэффициентом усиления тока, но низким вход-
ным и высоким выходным сопротивлениями.
Мы рассмотрим основную схему рис. 5.14, а получен-
ные результаты можно легко распространить и на прак-
тический вариант схемы рис. 5.15. Граф рис. 5.16 отра-
жает однокаскадный усилитель с параллельной обратной
95
4
Рис. 5.14. Однокаскадный усилитель с параллельной обратной
связью по току.
Рис. 5.15. Практический вариант схемы с двумя транзисторами
и с параллельной обратной связью по току.
Рис. 5.16. Граф схемы рис. 5.14.
96
связью по току. Напишем уравнения для внешних (по от-
ношению к транзистору) цепей схемы:
4 = ^+^
s~ Rs ’
_ Vf-Щ
Rf ’
v? = — i2r (если Rf r),
<VL =
V2 = Vf-{-VL.
Полагая, что выходная проводимость транзистора
/г'2—0, запишем значение определителя D:
° = ‘+т5-+^-+тг
И
если значение h'2i очень велико;
— Rr , \
~R^~ h2l)lD
-RLRf
Rsr
при очень большом h'2V
Таким образом, эта схема, подобно операционному
усилителю, имеет коэффициент усиления напряжения, за-
висящий от величины выходного сопротивления Rs источ-
ника сигнала. Однако основной характеристикой такой
схемы является усиление тока. Удалив из графа рис. 5.16
ветви, отражающие сопротивление источника Rs, получим
новый источник is. Тогда общее усиление схемы по току
запишется формулой
д ___ г2 _^21
ИЛИ
если h21 очень велико.
7 Зак 393
97
Входное сопротивление схемы /?вх будет равно
R _ Vl
ВХ	l + h^/Rj + rh^Rf '
или
если hf2X очень велико.
Видно, что входное сопротивление схемы равно вход-
ному сопротивлению h'n транзистора, деленному на коэф-
фициент усиления тока цепи обратной связи.
Для определения выходного сопротивления удалим
ветвь RL и учтем ветвь Л'2. При этом в графе рис. 5.16
появится новый источник vL. Тогда
1	___ ^22 (1 + ^11/^7 ~1~ ^11/
^вых 1 +	+ Л11/+ rh2\l R f
При больших значениях Л21 выходное сопротивление уве-
личивается в rh'zi/Rf раз по сравнению со значением 1/7*22
(без обратной связи).
Параллельная обратная связь по напряжению
В заключение анализа наиболее распространенных схем
однокаскадных усилителей с обратной связью рассмотрим
каскад с параллельной обратной связью по напряжению
(рис. 5.17). Такая обратная связь стабилизирует усиление
Рис. 5.17. Однокаскадный усилитель с параллельной
обратной связью по напряжению.
98
тока в каскаде и вызывает уменьшение входного и выход-
ного сопротивлений. Кроме того, при подаче сигнала от
источника с известным внутренним сопротивлением
легко определить общее усиление напряжения Av. Полный
граф схемы представлен на рис. 5.18.
Полагая /г22 = 0, запишем определитель D:
°=> + ^+>+^(‘+й).
Общее усиление напряжения равно
д _ V2 _( — ^Lh21	1	r\
v~Vs—\ Rs RsRf)IU'
При большом усилении транзистора и соответствую-
щих значениях Rs, Rj и RL
R, ’
Удаляя ветви, отражающие сопротивление Rs источника,
можно найти усиление тока:
1 is ^+hiilRf + (j^Ll^f)()+h21)
При больших значениях Л21
Значение передающего сопротивления RT при соот-
ветствующих условиях стремится к Rf:
rt=^-=airl
ls
7’
99
и при больших значениях Л21
/?Г	/?£ —Rf
Для определения выходного сопротивления нужно учесть
ветвь /*22 и удалить ветвь Яд. Рассматривая теперь узел v2
как источник сигнала для графа рис. 5.18, получим
*  	hn/Rf	h21/Rf
*вых V2 l + hl\lRf+hnlRS
ИЛИ
n
''вых------------------------ ,/ •
h2l
5.3. Многокаскадные усилители низкой частоты
Простейшим способом увеличения усиления тока или
напряжения, даваемого одиночным усилительным каскадом,
служит последовательное соединение нескольких таких
каскадов. Для низкочастотных усилителей характерны
соединения каскадов с общим эмиттером с помощью
цепей RC. Такая схема позволяет получить нужное уси-
ление и достаточную температурную стабильность. На
рис. 5.19 показан типовой трехкаскадный усилитель, а его
эквивалентная схема на средних частотах приводится на
рис. 5.20. К недостаткам такого усилителя относятся
потери, вызванные элементами межкаскадной связи, и
нестабильность коэффициента усиления. Ниже показано,
как с помощью графов можно быстро и просто провести
анализ этой схемы.
На эквивалентной схеме рис. 5.20 проводимости у
отражают параллельные элементы межкаскадной связи,
т. е. коллекторную нагрузку и сопротивления смещения,
например,
_ 1 ,1,1
У1~ 5с,	'
Представим транзистор в виде простого элемента
с крутизной S и входной проводимостью yz. Из графа
крутизны, построенного на рис. 5.21, видно, что
е а' г
100
Рис. 5.19. Трехкаскадный усилитель с реостатно-емкостной
связью.
Рис. 5.20. Эквивалентная схема усилителя рис. 5.19 для малых
сигналов.
Увх=ЯлГ+
у,= лсГ+«аГ+"^Г’
У2=^ + ЯдГ+«вГ ’
у’=^г
Рис. 5.21.
в —каскад с общим эмиттером; б — приближенный граф схемы в Л-параметрах;
в —граф крутизны, полученный из графа б*
101
Полный граф трехкаскадного усилителя показан на
рис. 5.22. Межкаскадные связи можно описать следую-
щими уравнениями:
V1 =----.
1 Увх + У1
Входная проводимость транзистора включена парал-
лельно межкаскадной проводимости и может быть объеди-
нена с ней. Поскольку результирующий граф представляет
собой простой каскадный граф, то можно сразу написать
выражения для
передающего сопротивления
П  	__ а1а2а3 / У11	\ I У12	\ / У13 \
Г~ ha ~ Уз \Увх + У J \ У1 + Ун / \ Уг + У/з / ’
усиления напряжения
^вых	а1а2аз ( J У12 \1 Угз \
vi Уз (Уп) \ У1 + УЫ \У2 + У/з/
и усиления тока
= а'а'а' ( Уп 1	1 (
Ц1а2а3 ^увх + уп Д yi + № Д у2 + у[з )
Практика показывает, что потери, вызванные элементами
связи, могут быть значительными. Пусть
а' = а' = а'=100 (усиление тока транзистора),.
= yi2 = yi3= г----(входная проводимость транзистора),
О КОМ
Rc, = Rc, = Rc,~ 10 ком,
Ra — RB — 40 ком,
— 1 -J- 1 —	2
Увх~~ rb ~ 40 K0M
102
Тогда
1.1,1 1,1.1 6
У1 — Уг — Rc -+- Rb — 10 + 40 г 40 — 40 K0M •
Следовательно, общее усиление тока равно
а - 106 (	1/5	(	1/5)
1	\2/40-h 1/5)7 \ 6/40 4-1/5 /1(6/40 + 1/5/’
А, = 106 • -^. — 250 000.
Таким образом, коэффициент усиления тока равен
не максимально возможной величине 1003, а 250 000, т. е.
потери составляют 75%. Дополнительные потери связаны
также с шунтирующим действием выходной проводимости
транзистора, влияние которой не учитывалось в приведен-
ном анализе.
5.4.	Каскодный усилитель
Усилительный каскад, состоящий из двух соединенных
между собой транзисторов [входной транзистор включен
по схеме с общим эмиттером (ОЭ), а выходной — по схеме
с общей базой (ОБ)] и называемый каскодным усилителем,
может быть использован как усилитель промежуточной
частоты. Такая транзисторная пара обладает характеристи-
ками, подобными характеристикам вакуумного пентода; она
имеет среднее по величине входное и высокое выходное
сопротивления и слабую обратную связь по напряжению. Так,
например, пары дрейфовых транзисторов с fT = SQ Мгц
использовались в пятикаскадном усилителе со средней
частотой 60 Мгц и полосой пропускания 10,7 Мгц и обе-
спечивали максимальное усиление мощности 90 дб. Типо-
вой каскад показан на рис. 5.23.
Приводимый ниже анализ методом графов позволяет
представить такую пару транзисторов в виде простого
четырехполюсника. На рис. 5.24, а показаны основные
связи между транзисторами, а на рис. 5.24, б приведен
граф схемы.
На рис. 5.24, б можно выделить два графа в /г-пара-
метрах, отражающих каждый транзистор; левый граф
соответствует включению ОЭ, правый — включению ОБ.
103
Рис. 5.23. Каскодный усилитель промежуточной частоты
на транзисторах (с общим эмиттером и общей базой).
а
6
Рис. 5.24.
а —основные связи в паре транзисторов, включенных по схеме
общий эмиттер —общая база; б —граф схемы а в Л-параметрах.
104
-hyh21
/ ~hi2h21hH
D
h22-----у
^12^12
D
D^l+hnhft
Рис. 5.25. Граф схемы рис. 5.23 в форме графа
четырехполюсника.
Эти два графа связаны между собой уравнениями, полу-
ченными непосредственно из рассмотрения фиг. 5.24, а:
1*12 —	/21
^21 = ^12-
Применяя правило Мэзона, можно свести полный граф к
графу четырехполюсника в Л-параметрах, показанного на
рис. 5.25. Так как величина D приблизительно равна 1,
то характеристиками такой пары будут служить
усиление тока Л21 (высокое), входное сопротивле-
ние Ли (среднее), выходная проводимость Л22 (низкая)
и коэффициент обратной связи по напряжению Л12Л12
(очень малый).
Следовательно, такая пара сочетает в себе преиму-
щества как схемы ОЭ, так и схемы ОБ и, кроме того,
имеет очень малый коэффициент обратной связи по на-
пряжению.
5.5.	Дифференциальный усилитель
Схема простейшего дифференциального усилителя при-
ведена на рис. 5.26. Выходные напряжения с/01 и -и02
находятся в противофазе и величина каждого напряжения
пропорциональна разности между величинами входных
сигналов vix и vi2, в результате чего такой усилитель
является удобным заграждающим устройством, так как
при подаче одного и того же сигнала одновременно на
оба входа выходные сигналы будут очень малыми.
105
Приводимый ниже анализ позволяет определить выход-
ной сигнал при подаче входного сигнала либо на один
вход, либо по двухтактной схеме (между входными зажи-
мами), либо между замкнутыми входными зажимами и
землей. Транзисторы можно представить как усилители
тока (с усилением а'), обладающие нулевым входным
сопротивлением. Можно записать следующие уравнения
для внешних цепей схемы рис. 5.26:
‘‘'(Л ~
Ф()2 = — ^22^ с •
Ve —	(*’11 4“ *21 + *12 4“ *22)»
Легко заметить, что граф схемы, представленный на
рис. 5.27, имеет симметричную структуру. Определи-
тель D (общий для всех уравнений передачи) имеет вид
с=1+-^г(1+“!) + ^(1 + ^
тогда
Рис. 5.26. Схема дифференциального усилителя.
106
Согласно принципу наложения,
. , ^0+«2)
Это выражение дает величину выходного напряжения
при подаче сигнала на один вход,.по двухтактной схеме
или одновременно на оба входа, если положить соответ-
ственно ^2 = 0» ^/1 = —^/2 ИЛИ Vil~<Ul2-
5.6.	Коэффициенты температурной стабилизации
При разработке усилителей с реостатно-емкостной и
трансформаторной связью обычно требуется обеспечить
определенную стабильность токов и напряжений покоя при
изменениях температуры. Изучение однокаскадного уси-
лителя со смещением указывает на необходимость введе-
ния коэффициентов температурной стабилизации, которые
характеризуют чувствительность параметров схемы (напри-
мер, тока коллектора) к изменениям обратного * тока
коллектора /св0 и напряжения база — эмиттер VВЕ. Обоз-
начив эти коэффициенты через Sj и S2, можно написать
о   д1см
и1съ
е   д1СМ
2—^77
DC.
107
где tCM—измеренный ток коллектора. Так как характер
зависимости величин /со и V ВЕ от температуры известен,
то можно определить соответствующие изменения коллек-
торного тока. Например,
&1см   д1см ^со
дТ	dfCQ дТ ’
Или
д1СМ___ о д/со
дТ ~ 1 дТ '
где Т — температура. Коэффициенты Sj и S2 сильно зависят
от сопротивлений в цепях базы и эмиттера.
Рассмотрим обычно применяемую схему, показанную
на рис. 5.28, а. Перечертим эту схему так, чтобы выделить
сопротивление базы гьь, (рис. 5.28, 0. При определении
коэффициента S транзистор для простоты рассматриваем
как идеальный усилитель тока с постоянным напряжением
база — эмиттер (т. е. с нулевым входным сопротивлением).
Предположим, что генератор обратного тока присоединен
непосредственно к „внутренним" выводам базы и коллек-
тора. На рис. 5.29 приведен граф, построенный на основе
графа транзистора и уравнений схемы:
= G1 + У
^СМ = Z*2 А/со»
7 — Л/	Vl
1~ с0 ^т + гЬЬ' •
Применив правило Мэзона, после несложных преобразо-
ваний получим
о *CAf
~~КГ
СО
а
(1-а)+таг
Максимальное значение S достигается при RT — oot что
соответствует подаче сигнала от идеального источника
тока. При этом
5i(maX)=14 а
1 —а
Практически величина Sj должна находиться в пределах
от 2 до 10.
108
а —типовая цепь смещения; б —эквивалентная схема цепи смещения
,	с генератором Iqq.
109
Рис. 5.30. Эквивалентная схема цепи смещения
с генератором &V ВЕ.
Чтобы найти S2, удалим генератор 7С0, а в эмиттерную
(или базовую) цепь включим генератор &VВЕ. Такая схема
показана на рис. 5.30, а ее граф — на рис. 5.31.
Отсюда находим
о	2	®
2 =	~ (l-a)(/?7+rw.) + ^ *
Большое значение S2 получается при малом сопроти-
влении базовой цепи; следовательно, такая схема не по-
зволяет одновременно обеспечить малые значения Sj и S2.
Для решения этой задачи были разработаны различные
схемы компенсации (цепи смещения с термистерами или
диодами), дающие хорошую температурную стабилизацию.
Рис. 5.31. Граф схемы рис. 5.30.
ПО
Задачи к гл. 5
5.1.	Плоскостной транзистор включен по схеме с общим
эмиттером с сопротивлением нагрузки 25 ком и имеет
следующие параметры:
hrn = 800 ом, = 47;
/222 = 80 мкмо, h\2 = $A- Ю-4.
Найти усиление напряжения и мощности, если источник
сигнала имеет нулевое внутреннее сопротивление.
5.2.	На рис. 5.32 дана эквивалентная схема плоскост-
ного транзистора с общей базой. Найти усиление мощ-
ности каскада, если сопротивление источника 15 ом,
а'Сопротивление нагрузки 8000 ом.
5.3.	Плоскостной транзистор включен по схеме
с общей базой и имеет следующие параметры: ге = 18 ом,
rb — 70Q ом, гс— 1 Мом и а = 0,98. Найти а) входное
сопротивление при коротком замыкании по переменному
току на выходе и б) усиление напряжения, если источник
сигнала имеет нулевое сопротивление, а сопротивление
нагрузки 1000 ом.
5.4.	Используя приближенный граф каскада с общим
коллектором (рис. 4.29), найти общее выражение вход-
ного сопротивления эмиттерного повторителя в зависимости
от нагрузки RL. Затем построить зависимость сопроти-
вления RBX от Rl в диапазоне от 1 до 10 ком при сле-
дующих параметрах транзистора:
а = 0,99,	= 500 ол/, ге = 50 ом.
5.5.	Решить задачу 5.4, используя граф рис. 4.28 и
полагая гс = 500 ком.
Рис. 5.32. Эквивалентная схема плоскостного
транзистора.
г^ = 40олс, гс= 1,4 Мом, rb = l ком, гт = 1,3 Мом.
111
5.6.	Найти выражение петлевого усиления напряжения
цепи внутренней обратной связи транзистора через пара-
метры проводимости. Найти это же выражение, если на
входе и выходе схемы включены соответственно прово-
димости ys и yL.
5.7.	Пусть +	— ^вх +/^вых И (У£“Ь^22) =
= G04~ 7^о- Показать, что выражение усиления мощности
транзисторного усилителя имеет вид
Л =_____________4 I ^21 \2SsSl________
р 1[(Овх + /ВВх)(О0 + /в0)-у12у21] I2 •
ГЛАВА 6
ГРАФЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП
После того как полупроводниковые приборы получили
всеобщее признание, применение электронных ламп резко
сократилось; однако в ряде случаев использование ламп
все же оказывается целесообразным как с экономической,
так и с технической точек зрения. Настоящая глава по-
священа графам электронных ламп и анализу нескольких
характерных ламповых схем.
6.1.	Триод
Основные динамические характеристики триода в диа-
пазоне низких частот (0-г- 100 кгц) можно описать урав-
нением
(6Д)
где ia, va и vg—переменные составляющие соответственно
анодного тока, анодного напряжения и сеточного напря-
жения. Коэффициенты S (крутизна) и 1/га (га — внутрен-
нее сопротивление лампы по переменному току) можно
определить как крутизну и выходную проводимость лампы
в режиме короткого замыкания, т. е.
5=ТГ ПРИ Va = 0
ug
и
1	Z/7	Л
7“=7Г ПРИ ^=0’
ra va	*
ИЛИ
Второе уравнение лампы можно получить из уравне-
ния (6.1), если воспользоваться понятием статического
коэффициента усиления ц
н = —при =
8 Зак. 393
113
Полагая в уравнении (6.1) 1а = 0, можно выразить |Х
через S и га:
Отсюда
Z^.^Sra = n.	(6.2)
vg
Следовательно, уравнение (6.1) принимает вид
Va = ~	(6.3)
На основании уравнений (6.1) и (6.3) можно построить
графы лампы, в которых не будет отражен сеточный ток,
так как предполагается, что он равен нулю. Обозначение
лампы и принятые направления напряжений и токов
показаны на рис. 6.1, а два графа представлены на
рис. 6.2, а и б.
Поскольку в некоторых случаях лампа включается по
схеме с заземленной сеткой (например, в каскодном уси-
лителе), то полезно построить граф для такой схемы.
На рис. 6.3 показано включение триода по схеме с зазем-
ленной сеткой. Уравнения схемы будут иметь следую-
щий вид:
— ^вх*
а уравнение лампы
На рис. 6.4, а показана начальная форма графа этих урав-
нений. Исключая узлы vg и va, отражающие вторичные
величины, получим граф рис. 6.4, б. Первичными величи-
нами являются входное напряжение -ивх и выходное v0.
Иногда бывает полезно перестроить граф так, чтобы
источником был входной ток ia (помня о выбранном положи-
тельном направлении этого тока). Инвертируя ветвь г/вх/й,
получим граф рис. 6.4, в, где источником служит узел
тока. Эта форма будет использована при анализе каскод-
ного усилителя в разд. 6.5.
114
о
Рис. 6.1. Параметры триода и его уравнения:
Рис. 6.2. Графы триода,
а-S-граф; б-ц-граф.
Рис. 6.3. Усилительный каскад с заземленной сеткой.
V
ia=Sv^-\--~—уравнение лампы.
’’вх
г'«-=£'о-£'вх
уравнения цепей схемы, внешних по отношению
к лампе.
8*
115
Рис. 6.4. Построение графов схемы усилителя
с заземленной сеткой.
Рис. 6.5,
а —усилительный каскад с заземленным катодом; б —эквивалентная
схема усилителя для малых сигналов.
116
6.2.	Триодные усилители
Схема с заземленным катодом
На рис. 6.5 показаны полная и эквивалентная схемы
усилителя для малых сигналов с общим катодом. Соот-
ветствующий граф можно сразу построить на основании
графа рис. 6.2, добавив к нему ветви, отражающие урав-
нения схемы:
va — — iaRL (для графа рис. 6 2, а)
или
ia = — (для графа рис. 6.2,6).
KL
На рис. 6.6, а и б представлены два графа, полученные
из соответствующих графов лампы. Усиление напряжения
определяется из рассмотрения графов с помощью пра-
вила Мэзона:
v	SR,
7Г = — Г+Я /г (ДЛЯ риС- 6-6,
g	' LI а
ИЛИ
1Г=- 1+гХ (для рис- 6-6Л)-
Эти результаты, конечно, идентичны, поскольку
Усилитель с катодным сопротивлением
Наличие незашунтированного емкостью катодного
сопротивления в рассмотренной схеме обеспечивает обрат-
ную связь по току. Для эквивалентной схемы рис. 6.7, б
уравнения имеют вид
^вых—
•vg = vs — Vk.
Представив эти уравнения на S-графе лампы, получим
полный граф схемы (рис. 6.8), который содержит касаю-
117
Рис. 6.6. Графы схемы усилителя с заземленным
катодом.
а — 5 граф, б — g-граф.
Рис. 6.7.
а —катодный усилитель; б —эквивалентная схема для малых сигналов.
Рис. 6.8. Граф схемы катодного повторителя,
построенный на основе S-графа.
118
щиеся контуры обратной связи. Найдем коэффициент уси-
ления напряжения
V
Av = _™*
v vs
— SRt
\-\-SRk-\---t_L _*
Га	Г а
(6.4)
Для ламп с большими значениями S и га коэффициент
усиления напряжения стремится к величине —
Катодный повторитель
Воспользуемся общей схемой катодного повторителя
(рис. 6.7, а) с выходным напряжением vk\ для определе-
ния усиления напряжения vk/vs обратимся к графу рис. 6.8:
=_________SRk_________
Rr Кь ’
'а га
(6.5)

В большинстве случаев RL = Q и ra^>Rk, поэтому
vk _ SRk
vs 1 + SRk
(6.6)
Приведенные примеры иллюстрируют применение графов
для анализа простых ламповых усилителей на низких
частотах. Полученные S- и ц-графы для триодов приме-
нимы и к пентодам, если напряжение сигнала на защит-
ной и экранной сетках относительно катода равно нулю.
6.3.	Графы триода для высоких частот
В рассмотренных выше усилителях мы пренебрегали
влиянием межэлектродных емкостей. Если учесть эти
емкости, то принятая линейная модель применима до ча-
стот ~ 10 Мгц. На более высоких частотах начинают
сказываться индуктивность катодного ввода и уменьшение
входного сопротивления, обусловленное временем пролета
электронов; при этом удобнее всего характеризовать лампу
с помощью измеренных параметров четырехполюсника
(обычно параметров проводимости). В этом случае граф
строится в системе у-параметров, значения которых спра-
ведливы лишь для узкого диапазона частот.
119
Упрабляющдя
сетко ^9°
Анод
Рис. 6.9.
а —триод с межэлектродными
емкостями; б —эквивалентная схема триода.
Рис. 6.10. Граф триода, выраженный в у-параметрах
(/ < 10 Мгц).
Рис. 6.11. Усилительный каскад на пентоде.
а —емкостная развязка в цепях экранной сетки и катода; б —применение
кремниевого стабилитрона для стабилизации напряжения экранной сетки.
120
На частотах, меньших 10 Мгц, лампу с достаточной
точностью можно представить схемой рис. 6.9. К меж-
электродным емкостям целесообразно добавить и пара-
зитные емкости схемы. Например, емкость цепи анод —
катод может быть больше емкости Cak собственно лампы.
Для определения у-параметров лампы (параметров корот-
кого замыкания) следует рассмотреть эквивалентную схему
рис. 6.9, б, где
Уп (входная проводимость) — j^(Cga-\-Cgk\
у12 (проводимость обратной передачи) = — j®£ga>
у21 (проводимость прямой передачи) = S — j®£giV
у22 (выходная проводимость) = /со(Cga-\~Cak).
Соответствующий граф построен на рис. 6.10.
6.4.	Пентод
Для анализа пентода на низких частотах можно вос-
пользоваться уравнениями триода для малых сигналов (6.1)
и (6.3), если напряжение сигнала на экранной сетке отно-
сительно катода равно нулю. Это обычно достигается
включением развязывающих конденсаторов большой емкости
в цепи экранной сетки и катода (рис. 6.11, а). На нулевой
частоте постоянство напряжения на экранной сетке можно
обеспечить с помощью газового или кремниевого стаби-
литронов (рис. 6.1 Г, б). Конечно, такая схема служит не
для того, чтобы облегчить анализ цепи; она позволяет
получить от пентода максимальное усиление. При этих
условиях будут справедливы следующие уравнения:
^ = ^ + ^-4	(6.7)
6 Га
ИЛИ
va = — nvgi -\-lara,	(6.8)
где vgX — напряжение сигнала на управляющей сетке.
В большинстве случаев используют уравнение (6.7),
так как ввиду больших значений статического коэффи-
циента усиления р и внутреннего сопротивления га при-
!) Анодный ток 1а пентода практически не зависит от анод-
ного напряжения, поэтому второе слагаемое в равенстве (6.7)
на несколько порядков меньше первого. — Прим. ред.
121
менение уравнения (6.8) не дает хорошей точности. Анализ
упрощается, если сопротивление нагрузки RL много меньше
внутреннего сопротивления га пентода. При этом пентод
можно рассматривать как идеальный генератор тока. Сле-
довательно,
ia = SvgX.	(6.9)
Графы уравнений (6.7) и (6.9) приведены на рис. 6.12.
Пентод можно описать системой уравнений, в которых
используется крутизна анодного и экранного тока отно-
сительно изменения напряжений на управляющей, экран-
ной сетках или аноде.
Обозначим обычную крутизну через
с_______________________ dig
6 — dvg ’
крутизну между экранной и управляющей сетками через
с __________________________ di$
dvg *
крутизну между экранной сеткой и анодом через
с ___ dis
as — dva '
а крутизну между анодом и экранной сеткой через
С   dig
sa	dvs *
где is и vs— ток и напряжение экранной сетки. Тогда
(6.10)
1 а
ls = SgsvgX^Sasva + ^-,	(6.11)
Рис. 6.12, Графы пентода.
а —при постоянном напряжении экранной сетки; б —при беско
нечно большом rQ.
122
Рис. 6.13. Полный граф пентода для низких частот.
Наличие внешних сопротивлений в цепях анода и
экранной сетки (Ra и Rs) вызывает появление ветвей,
изображенных пунктирной линией.
где rs — внутреннее сопротивление пентода переменному
току между экранной сеткой и катодом.
Во всех случаях крутизна положительна, за исключе-
нием отрицательной крутизны Ssa между экранной сеткой
и анодом. Уменьшение анодного напряжения va вызывает
увеличение тока экранной сетки ls. Это явление хорошо
знакомо каждому инженеру, которому приходилось наблю-
дать увеличение мощности рассеяния на экранной сетке
при снятии анодного напряжения. Уравнения (6.10) и (6.11)
удобны при анализе схемы, где экранная сетка шунтиро-
вана емкостью не полностью. Иногда приходится опреде-
лять параметры лампы экспериментально или обращаться
за помощью к заводу-изготовителю, если опубликованные
данные лампы оказываются недостаточными. Граф, пока-
занный на рис. 6.13, построен непосредственно по урав-
нениям (6.10) и (6.11).
6.5. Усилители напряжения постоянного тока
Каскодный усилитель
В каскодном усилителе используются два триода, соеди-
ненные по схеме рис. 6.14, Существенная особенность
этой схемы заключается в том, что усилительная нижняя
123
a
Рис. 6.14. Каскодный усилитель.
а —схема включения; б — эквивалентная схема для малых сигналов.
а
Рис. 6.15. Построение графов каскодного усилителя.
графы схем с заземленным катодом (для лампы Л4) и заземленной сеткой
(для лампы Л2); б —полный граф.
124
лампа работает на низкую динамическую нагрузку, которой
служит сопротивление верхней лампы со стороны катода.
Благодаря малой нагрузке значение крутизны в такой схеме
близко к Выходное напряжение снимается с сопроти-
вления /?£, поэтому коэффициент усиления напряжения
близок к величине, равной	Кроме того, эффект
Миллера]) в лампе мал, поскольку потенциал ее анода
меняется незначительно; таким образом, при каскодном
включении триод ведет себя подобно пентоду. Для ана-
лиза каскодного усилителя удобно воспользоваться гра-
фами схемы с заземленным катодом (для лампы JIj) и
графами схемы с заземленной сеткой (для лампы Л2). Эти
два графа даны на рис. 6.15, а.
Чтобы избежать появления ложных узлов в полном
графе, используем форму графа рис. 6.4, а, где источ-
ником служит узел тока. Графы двух ламп связываются
между собой ветвями, отражающими уравнения
=	^1=^x2 И 'V0=-RLia2.
Полный граф показан на рис. 6.15, б'. Применяя правило
Мэзона, получим усиление напряжения в схеме каскода,
равное
V0 _	________ __________________
Vgl 1 (Vral) (*^2 4* Vra2) О “1“ ^Llra2)
Знаменатель обычно лишь немного больше единицы, по-
этому усиление каскода примерно равно усилению пентода
с крутизной
Усилитель с пбследовательным включением
двух ламп
«
Эта схема нашла применение в выходных каскадах опе-
рационных усилителей и сервоусилителей. Она позволяет
пропускать ток в нагрузке в обоих направлениях и имеет
большую действующую крутизну, чем крутизна нижней
лампы. Недостатком схемы (по крайней мере как усилителя
постоянного тока) является потребность в двух питающих
напряжениях. Кроме того, уровень постоянной составляющей
!) Возрастание входной емкости вследствие отрицательной
обратной связи через емкость между анодом и управляющей
сеткой входной лампы. — Прим, перев.
125
Рис. 6.16. Схема последовательного усилительного каскада.
Слева —практическая схема; справа —эквивалентная схема.
входного сигнала должен иметь большое отрицательное
значение. Для соединения последовательной пары с пред-
шествующим каскадом может потребоваться третий источ-
ник напряжения, для того чтобы избежать уменьшения
коэффициента передачи цепи связи. Эквивалентная схема
для малых сигналов приведена на рис. 6.16, б\ легко пока-
зать, что положительный сигнал v приводит к увеличе-
нию тока 1а1 и уменьшению тока 1а2. Следовательно, изме-
нения тока нагрузки больше, чем изменения одного лишь
тока 1а1. Для построения полного графа нужно восполь-
зоваться S-графами ламп и Л2 и добавить ветви, отра-
жающие уравнения схемы:
== (^2 — ^al)
Чн = ^о + ^2.
Va2 = — *0-
Полный граф изображен на рис. 6.17. Передача напря-
жения определяется по правилу Мэзона; при этом следует
учесть, что граф содержит три контура, два из которых
не касаются друг друга. Таким образом,
~	0 + ^$2)_______________
vgl ~ 1 + Wal + Wa2 + (S2RLR)jral + RRL/(ralra2) •
126
Рис. 6.17. Граф последовательного усилительного
каскада.
Выходной ток определяется путем деления этого вы-
ражения на сопротивление RL. При малых сопротивле-
ниях нагрузки (например, сопротивление обмотки возбуж-
дения или якоря электродвигателя) можно найти величину
тока в нагрузке, положив RL = 0. Тогда
h ==Sl(l + RS2)
vgX 1 + Rlra\
При средних значениях R действующая крутизна больше,
чем крутизна одной лампы ЛР
Задачи к гл. 6
6.1.	Найти выходное сопротивление катодного повто-
рителя, выраженное через га (ом) и 5 (Mafe).
6.2.	Найти входную* емкость катодного повторителя,
если известны следующие параметры лампы: S, Cga и Cgk.
6.3.	Показать, что условие устойчивости усилителя,
представленного в форме четырехполюсника с резонанс-
ными контурами на входе и выходе, имеющими равные
добротности Q (рис. 6.18), выражается неравенством
ад> ^-(i + cos0),
У11 Уп
У21 Угг
Рис. 6.18. Схема к задаче 6.3.
127
1^12^21 I*
0 = exp /у12У2Р
^ВХ == gS + 5*11»
^0 = ^l + ^22-
(Указание: найти усиление напряжения петли обратной
связи и приравнять его к критическому значению 1 -р у’О.)
Пусть
Увх=|УвхкУ(р и у0 = |у0|бЛ
Показать, что на критической частоте <р=~0.
ГЛАВА 7
СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
7.	1. Введение
Многие рассмотренные в предыдущих главах схемы
содержали контуры обратной связи; но обратная связь
в этих случаях была сопутствующим фактором и не имела
прямого отношения к назначению схемы. Настоящая глава
посвящена электрическим системам, в которых обратная
связь играет принципиально важную функциональную роль.
Рассмотрим усилители с отрицательной обратной связью
(в том числе операционные усилители для аналоговой тех-
ники), генераторы (схемы с положительной обратной
связью), замкнутую систему автоматического регулирова-
ния, измерительный прибор с подвижной катушкой (об-
ратная связь имеет механическую природу). Более под-
робные сведения о разработке и свойствах таких систем
можно найти в работах, указанных в конце приложения В.
7.2.	Однокаскадный усилитель с отрицательной
обратной связью по току
В однокаскадном усилителе на лампе или транзисторе
отрицательная обратная связь может быть получена с по-
мощью незашунтированного на частоте сигнала сопротив-
ления в цепи катода или эмиттера. Поскольку напряже-
ние обратной связи пропорционально току усилительного
элемента, то такую связь называют отрицательной обрат-
ной связью по току.
На рис, 7.1 приведена схема однокаскадного транзи-
сторного усилителя, в котором показаны только цепи
прохождения сигнала и не показана цепь смещения. Чтобы
построить граф этой схемы, воспользуемся Т-образной
эквивалентной схемой транзистора. Пренебрегая прово-
димостью коллектора, получим эквивалентную схему
рис. 7.2, из которой видно, что
h — ic + = h 4“ *4?»
т. е.
9 Зак. 393
129
Рис. 7.1. Транзисторный усилительный каскад
с отрицательной обратной связью по току.
Рис. 7.2. Эквивалентная схема каскада рис. 7.1.
Рис. 7.3. Граф усилительного каскада рис. 7.1.
130
Так как
то
Кроме того,
или
Ше — 1с>
Теперь построим граф усилительного каскада (рис. 7.3).
Поскольку этот граф содержит всего один контур об-
ратной связи, легко найти усиление схемы, которое равно
Уг {	+	а)~‘] }[«/(!— «)](—
vt ~ 1 + (1/а)(/?£){ l/[rft + re(l-а)'1]} [а/(1 — а)] '
Умножая числитель и знаменатель этого выражения на
(1—a) [rb + re (1 — а)-1],
получим
v2 _	—
^(1-а) + ге + /?Е *
т. е. усиление напряжения равно
— aRL
re^RE + rb^-a> '
Очевидно, что при данном значении коэффициента
усиления тока а усиление напряжения будет максималь-
ным при минимальных значениях внутреннего и внешнего
сопротивлений эмиттера.
В заключение рассчитаем входное и выходное сопро-
тивления схемы. Так как
у   tb   1
вх	щ ~ Явх ’
ТО
п _	С1-«)
Авх~	1—а
Из рассмотрения схемы усилителя находим, что при
гс = оо выходное сопротивление ^вых^00*
9*
131
7.3.	Усилитель с отрицательной обратной связью
по напряжению
Ламповый усилитель с отрицательной обратной связью
по напряжению изображен на рис. 7.4, а его эквивалент-
ная схема для переменного тока — на рис. 7.5. Предпо-
ложим, что напряжение обратной связи снимается
с высокоомного потенциометра, при этом токи в сопротивле-
ниях 7?! и /?2 относительно малы и ими можно пренеб-
речь. Граф схемы, приведенный на рис. 7.6, содержит
один контур обратной связи. Усиление напряжения в схеме
равно
V2 _________~~~ S [Га/(Га "Ь Zl)] ZL_
1 + 5 Val Va + Zl)1 [ZlW1 + M ’
Упрощая, получим
—_____________-SraZL___________
~	~ {ra + Zd + Sra № + *2» ZL *
Отношение /?2/(^i + #2) называется коэффициентом об-
ратной связи и обозначается через (3. Кроме того, Sra = p
равно статическому коэффициенту усиления лампы. При-
нимая эти обозначения, напишем выражение усиления
схемы в новой форме:
v2 _ г _	~ ^zl
v,-U~ ra + ZL (1+и₽) •
Логарифмируя это выражение, получаем (без учета знака
„минус")
In v2 — In = In iiZL — In (ra + ZL + ppz£).
Если величина входного напряжения остается посто-
янной и меняется только коэффициент усиления лампы р,
то можно написать
^V2 ZL	^ZL
V2 VZL	ra"^ zL~^~ ^ZL
ИЛИ
dv2 ZLdn(ra + ZL + lxpZL)-^ZJ,dii(p.ZL)
v2	>xZ£(re + Zi + f*₽Z£)
откуда
dv2	{ra + Zl)d^
v2 H(re + 2£ + nPZ£) •
132
Рис. 74. Ламповый усилитель с отрицательной обратной
связью по напряжению.
Рис. 7.5. Эквивалентная схема усилителя рис. 7.4.
^2
Рис. 7.6. Граф усилителя рис. 7.4.

133
Из последнего выражения видно, что если изменение
коэффициента усиления лампы равно то изменение
выходного напряжения составит часть от изменения ц,
равную
ra + ZL \
ra + Zi + t*₽zJ-
Если член ppZ£ достаточно велик, то эта величина много
меньше единицы. Таким образом, отрицательная обратная
связь обеспечивает стабилизацию коэффициента усиления
при изменениях параметров лампы.
Входное и выходное сопротивления такого усилителя
могут быть найдены непосредственно из графа. Здесь,
как и в транзисторном усилителе, рассмотренном в разд.
7.2, отрицательная обратная связь вызывает увеличение
входного сопротивления и уменьшение выходного сопро-
тивления.
7.4.	Операционный усилитель
Операционный усилитель, применяемый в аналоговых
вычислительных машинах, представляет собой усилитель
постоянного тока с большим коэффициентом усиления,
выходное напряжение которого находится в противофазе
с входным. „Операционные" свойства такого усилителя
определяются характером цепи обратной связи, включен-
ной между его выходом и входом. Если цепь обратной
связи обусловливает определенную математическую за-
висимость выходного напряжения от входного, то можно
считать, что усилитель выполняет некоторую математи-
ческую операцию. Схема операционного усилителя пока-
зана на рис. 7.7, где Zy—импеданс цепи обратной связи,
Рис. 7.7. Схема операционного усилителя с одним
входом.
134
Рис. 7.8. Граф операционного усилителя.
Zj — импеданс входной цепи, А — коэффициент усиления
напряжения (по предположению, очень большой). Если
усилитель не потребляет сеточный ток от входной цепи,
то его граф имеет вид графа рис. 7.8. При этом ток if
в импедансе цепи обратной связи равен току во вход-
ном импедансе. Из рассмотрения графа находим усиление
напряжения
v2	—А	—Zf
77= 1 + z^ + ^/Zy = z^ZjM + Z/M *
Так как величина 1/Л очень мала, а величины обоих со-
противлений можно выбрать одного порядка, то
V2 ~Zf
*
Если оба импеданса R? и — активные сопротивления,
то усилитель будет производить умножение на вели-
чину—/?^/?!.
Обычно /?у имеет фиксированное значение, например
1 Мом, а /?! выбирается переменным. Если Rf—Rlt то
операционный усилитель становится просто фазовым ин-
вертором. Если обратная связь осуществляется через ем-
кость, то
где
Тогда
d 1 f
T=J dt-
— Vl —If
V2~ sCR, ~"ѫà J Viat-
135
Обычно берут С= 1 мкф и = 1 Мом; тогда схема
производит только интегрирование без умножения.
Практически операционный усилитель может иметь не-
сколько входов; при активном сопротивлении обратной
связи такой усилитель становится сумматором, а при ем-
костной обратной связи и активных входных сопротивле-
ниях он представляет собой суммирующий интегратор.
7.5.	Генератор Хартли
С точки зрения метода графов генератор с положи-
тельной обратной связью представляет собой просто уси-
литель, в котором коэффициент передачи контура обратной
связи больше 1, а напряжение обратной связи находится
в фазе с входным напряжением. В качестве примера рас-
смотрим генератор Хартли (рис. 7.9).
Полная индуктивность катушки резонансного контура,
имеющей отводы, равна L = Lx 4 A2-[-2Af, где М— взаим-
ная индуктивность двух частей катушки. Можно принять,
что при резонансе ток в контуре много больше тока
триода, поэтому ток в части Lx примерно равен току в ча-
сти А2. Тогда
₽~(£2+Л1)/(^ + ^).
Это значение р использовано в графе рис. 7.10.
Из рассмотрения этого графа видно, что схема будет
генерировать, если передача контура от входа (в данном
Рис. 7.9. Генератор Хартли на триоде.
136
случае от управляющей сетки лампы) обратно к входу
больше 1 и сигналы на входе синфазны. При резонансе
сопротивление нагрузки ZL равно
_/М + Л4\2/ L (Ц + МУ
L~\ L }	LCTr ’
где г — активное сопротивление всей катушки (ом).
Следовательно, колебания возникнут при выполнении
условия
Z-2 +	. j
Га
L
или в пределе
_ Sra (L2 + М) (L, + М) _ Sra (£2 + М) (Lx + Л4)
LCr^a + ZL) ~ LCr"a + (Ll + My ’
Последнее выражение можно переписать следующим обра-
зом:
М2 (ц — 1) 4- М (ц£ — 2^) -- LCTrra 4-
Отсюда можно найти соотношение между величинами
Lx и £2 (или величину £2, если известно), при котором
в схеме будут поддерживаться незатухающие колебания.
Другой граф генератора Хартли может быть построен
на основе эквивалентной схемы рис. 7.11. В этой схеме
лампа заменена эквивалентным генератором напряжения и
не учитывается активное сопротивление контура. Кроме
того, можно считать, что ток Z2 в настроенном контуре
много больше тока лампы Zp а влияние взаимной индук-
тивности между двумя частями катущки незначительно.
137
Рис- 7.11. Простая эквивалентная схема генератора Хартли.


4
уд
v9
rf
Г
coLj
с2


Рис. 7.12. Граф схемы рис. 7.11.
Рис. 7.13. Подграф графа рис. 7.12 при /х = 0.
138
Граф рис. 7.12 строится непосредственно по этой экви-
валентной схеме. Этот граф содержит два контура обрат-
ной связи. Однако если током можно пренебречь (кон-
тур обладает достаточно высокой добротностью Q), то
граф упрощается до треугольника (рис. 7.13). Из этого
графа видно, что передача контура равна 1 при
= 1.
J(d£] 47 J
Отсюда получаем, что условие возникновения колебания
имеет вид
Hi*
7.6.	Замкнутая система регулирования
В качестве примера применения метода графов для ана-
лиза замкнутых систем автоматического регулирования рас-
смотрим типичную позиционную следящую систему, пока-
занную на рис. 7.14. Чувствительность системы на входе
равна (в/рад). Сопротивления обоих входов сумми-
рующего усилителя одинаковы и равны /?вх (рм), а коэф-
фициент усиления напряжения равен А ехр /ф, если на-
грузкой служит обмотка возбуждения двигателя с активным
сопротивлением (ом) и индуктивностью L (гн).
Предполагается, что шунтовой двигатель имеет по-
стоянный по величине ток якоря, линейную характеристику
Рис. 7.14. Позиционная следящая система^
139
*	I ньютон • метр нм\
и обладает вращающим моментом л21--------д---- = “л“1 ’
приведенным к входу усилителя.
Тахогенератор, соединенный непосредственно с валом
двигателя, создает обратную связь по скорости отработки,
имеющую коэффициент передачи K^^efpad • сек). Двигатель
и тахогенератор обладают моментом инерции Jx (кг • м2),
а момент трения равен Рх(нм1рад • сек). Угловая скорость
вращения на выходе уменьшается с помощью редуктора
с коэффициентом передачи N: 1, так что (д1=Ыа)2(рад1сек).
Нагрузка обладает моментом инерции J2(kz • м2) и момен-
том трения Р2 (нм/рад • сек), а угол отклонения на выходе
равен 02 (рад).
Цепь позиционной обратной связи обладает чувствитель-
ностью к рассогласованию, равной К4 (в/рад).
При входном угле 0! (рад) напряжение на входе уси-
лителя будет равно

где s представляет собой оператор
а
П/_______________________
К ~ ЯВХ + Я2’
Угловая скорость вращения вала двигателя равна
K2if
01 =-------------р-2----------,
SJl + Pl + ( уу j ($Л + Л0
поскольку редуктор можно рассматривать как механическую
аналогию электрического трансформатора. Знаменатель по-
следнего выражения Р = s/	—|— (1 /TV)2 (sJ2 -|- Р2) имеет
размерность мощности.
На основе этих выражений можно построить полный
граф системы (рис. 7.15), из которого можно найти со-
отношение между двумя любыми параметрами сервосистемы.
140
Рис. 7.15. Граф позиционной следящей системы.
Величина отклонения угла на выходе зависит от отклоне-
ния на входе следующим образом:
Q ____________________ОЛЛгЛ ехр/ф____________________
2 ~ ,П >	РЛ/с Г 1 + K2KasCR'A exp J(f 1 , К2К4А exp УФ ’
(Rl + sL) PNs (z?j s£) (1 + gCR/) j 4- pNs{Ri+$L)
или
0 ____________________QxK\K2A exp /ф_______________
2 п\т m 1	1 iz л •	1 Ns2K2KzCR'A exp /ф
PNs (/?! + sL) + /<2К4Л exp уф -|-
Чтобы практически оценить работу системы, подставим
в ее уравнение следующие числовые значения:
Кх — К4 — 30 в/рад,
/?вх = 1 Мом,
А = 400 ехр /0°,
/?! = 250 ом и L — 2ZH, /С2 = 0,5 нм)А,
Jj = 1 X Ю’3 кг • м2 и Fx = 10 X Ю~3 км)рад • сек,
J2 = 5'X 10“3 кг • м2 и F2 = 8 X Ю”3 км)рад • сек\
/С3=150 мв]рад • сек (т. е. К3 равен примерно 16 в при
1000 об)мин)\
М = 40:1, С=1 мкф, /?2=1 Мом.
Из данных видно, что можно пренебречь членами, со-
держащими (1^)2; следовательно,
Р ~ Fx + sJx = 10-3(10 4- s).
141
Кроме того,
^/<2Л ехр /ф — 30 • 0,5 • 400 = 6000 = К2К4А ехр /ф;
PNs (/?! 4- sL) = 10-3 (10 + s) 40s (250 + 2s) =
= 0,04s(2500 + 270s + 2s2) =
= 100s + 10,8s2 4- 0,08s3;
Ns2K2KzCR'A exp /<p	40s2 0,5 • 0,15 • 10~6 • 0,5 • IO6 • 400
14-sC#'	—	14-S- IO"6- IO6 • 0,5	—
__ 1200s2
“ 24-s *
Отсюда
A _ A ( ___________________6000__________________1
2	1 I 100s 4- 10,8s2 + 0,08s3 4- 6000 + [1200s2/(2 4- s) ] ) *
Так как коэффициенты при s3 и s4 относительно малы,
то в целях упрощения вычислений ими можно пренебречь.
Тогда после несложного преобразования последнего выра-
жения получим
02 (12 000 4- 6200s 4- 1320s2) = 01 (12 000 4- 6000s).
Решая это дифференциальное уравнение второго порядка,
можно по известному входному отклонению 0j найти ве-
личину 02.
7.7. Граф электроизмерительного прибора
Эквивалентная схема механической системы электро-
измерительного прибора дана на рис. 7.16. Вращающий
момент 7\ прямо пропорционален току, протекающему че-
рез прибор. Угловые скорости (Oj и (о2 (рад/сек) равны
между собой, а со3 обычно равна нулю. Механическая си-
стема состоит из массы с моментом инерции J, пружины
с постоянной К и демпфера Z), выполненного в виде
крыльчатки. Чтобы построить полный граф этой системы,
рассмотрим последовательно все ее компоненты. Графы
этих компонентов построим таким образом, чтобы их можно
было легко соединить между собой.
Пусть при воздействии на массу разности двух вра-
щающих моментов Тх и Т2 мгновенная угловая скорость
142
D
Угловая
скорость
Вращающий
момент
Рис. 7.16. Эквивалентная схема механической системы
измерительного прибора.
Угловая
скорость
момент
Рис. 7.17. Вращающий момент Г12 = 7\ — Т2>
Рис. 7.18. Граф вращающего момента и момента инерции.
Рис. 7.19. Крыльчатка (не имеющая массы) как демп-
фирующее устройство.
143
равна (Oj (рис. 7.17). Уравнение движения этой массы
можно найти, зная, что
Вращающий момент=моменту инерцииХугловое ускорение,
или
<о1 = J ^Ti2dt = J j*(Т] — Т2) dt.
Соответствующий граф показан на рис. 7.18, где 1/$—
интеграл по времени, а 7,12=7,1— Т2.
На рис. 7.19 изображено демпфирующее устройство;
предполагается, что оно обладает ничтожным моментом
инерции и коэффициентом затухания D (момент трения
на единицу угловой скорости). Так как оно механически
связано непосредственно с подвижной системой, то (Oj =
= со12 = со2. Противодействующий момент, создаваемый
демпфером, следовательно, равен 7,2=£)со12; эта зависи-
мость представлена графом рис. 7.20.
И наконец, рассмотрим действие спиральной пружины
(рис. 7.21), которая имеет постоянную /С, равную вра-
щающему моменту, создаваемому силами упругости, на
единицу угла поворота. На пружину действуют вращающие
моменты Т3 и Т4. Предположим, что пружина не имеет
массы, а скорость ее закручивания или раскручивания
равна разности угловых скоростей со2 и со3. На графе
рис. 7.22 эта скорость обозначена со23 (рад/сек). Уравне-
ние вращающего момента пружины имеет следующий вид:
T3 = K^^2-^)dt = ^.
Полный граф рис. 7.23 для механической системы из-
мерительного прибора получаем путем непосредственного
соединения трех построенных выше графов. Из полного
графа можно найти зависимость между вращающим мо-
ментом 7\ и результирующей угловой скоростью (Ор
Применив к графу рис. 7.23 правило Мэзона, найдем
(Dj _	1/sJ	1
7? — 1—(— DI$J — Kls2J) ~ sJ + D +/</$ ’
Отсюда
Тj — со* (sJ D -j- К/s).
144
Рис. 7.20. Граф демпфирующего устройства.
Рис. 7.21. Спиральная пружина (®23 =	- о)3).
Рис. 7.22. Граф спиральной пружины.
о-
----1—>_
Т12
1
SJ
-1
6>23 < <%=0
1	1
К
s
I------
Рис. 7.23. Полный граф механической системы измерительного
прибора.
10 Зак 393
145
Задачи к гл. 7
7.1.	Найти выражение выходного импеданса многокас-
кадного усилителя с отрицательной обратной связью по
напряжению. В это выражение должны входить параметры
выходной лампы, коэффициент усиления предыдущих кас-
кадов, коэффициент обратной связи (3 и сопротивление
нагрузки. Шунтирующим влиянием потенциометра обратной
связи можно пренебречь.
Усилитель содержит два каскада с общим усилением,
равным 500. За ними следует выходной каскад на триоде
с крутизной s = \0ма/в и коэффициентом усиления р, = 50.
Вычислить выходной импеданс схемы, если сопротивление
нагрузки равно 7000 ом (ф=30°), а коэффициент отри-
цательной обратной связи по напряжению составляет 2%.
7.2.	Составить схему трехкаскадного лампового усили-
теля с отрицательной обратной связью по напряжению,
охватывающей все три каскада. Показать с помощью графа
преимущества, даваемые отрицательной обратной связью.
Усилитель без обратной связи имеет коэффициент уси-
ления напряжения 200ехр/130°. Отрицательная обратная
связь создается путем подачи 3% выходного напряжения
во входную цепь без изменения его фазы. Найти полное
усиление и фазовый сдвиг усилителя с обратной связью.
7.3.	Генератор Хартли собран на триоде с крутизной
$ = 5 ма/в и внутренним сопротивлением 10 000 ом. Ем-
кость конденсатора настройки равна 200 пф, индуктив-
ность анодной нагрузки Lx = 200 мкгн, действующее со-
противление потерь равно 10 ом на частоте 1 Мгц. Найти
приближенное значение индуктивности обратной связи А2,
необходимое для работы схемы, если взаимной индуктив-
ностью между обеими катушками можно пренебречь.
7.4.	Найти входное сопротивление схемы из двух эмит-
терных повторителей (рис. 7.24), нагруженной на сопро-
тивление 100 ом при частоте 1000 гц. Идентичные тран-
зисторы Qi и Q2 имеют следующие параметры: ге= 18 ом\
rb — 7W ом\ гс=\ Мом и а = 0,98.
7.5.	На рис. 7.25 показана блок-схема системы авто-
матической регулировки частоты (АРЧ), применяемой в ЧМ-
передатчиках и приемниках. Ее можно рассматривать как
систему с отрицательной обратной связью по частоте.
При изменении промежуточной частоты /2 напряжение
на выходе дискриминатора изменяется на 6^2 (в/гц). Любое
146
Рис. 7.24. Схема из двух эмиттерных повторителей.
Рис. 7.25. Система автоматической регулировки частоты.
Рис. 7.26. Генератор на одном транзисторе с фазосдвигающей
цепочкой.
10*
медленное изменение напряжения передается через низко-
частотный фильтр на реактивную лампу, которая вызывает
изменение частоты гетеродина на 6/0 (г^/а).
Найти методом графов выражение для определения ре-
зультирующего ухода частоты (на входе дискриминатора)
при отклонении частоты гетеродина от номинального зна-
чения /0 на F (гц).
Система АРЧ содержит реактивную лампу, обеспечи-
вающую изменение частоты гетеродина 4 кгц1в, а напря-
жение, создаваемое на выходе дискриминатора при изме-
нении промежуточной частоты, равно 2 мв1гц. Чему будет
равен уход частоты гетеродина при замкнутой цепи АРЧ,
если в отсутствие АРЧ уход частоты составлял 3,6 кгц?
7.6.	На рис. 7.26 показана схема низкочастотного ге-
нератора на одном транзисторе с многозвенной схемой
типа RC, При сдвиге фазы тока на 180° и малом входном
сопротивлении транзистора построить граф цепи обратной
связи. Найти выражение для частоты колебаний и мини-
мальное значение коэффициента усиления тока, при кото-
ром в схеме будут поддерживаться колебания.
7.7.	На рис. 7.27 показана в общем виде система
управления двигателем постоянного тока. Генератор ра-
ботает от двигателя A4lt имеющего постоянную скорость,
а двигатель Л42 имеет постоянный ток возбуждения. На-
грузка обладает моментом инерции J и моментом трения F,
Напряжение, создаваемое генератором, равно ^=^4.
Двигатель М2 создает вращающий момент Т = K2i2i а на-
пряжение на нем равно vm = sKfl. Импеданс линии связи
генератора с двигателем равен Z (ом).
148
Скорость
Ч	Ъ
о-'-. м	ппкги-
к
Сила
Рис. 7.28. Линейная механическая система.
Построить граф этой системы и найти соотношение
между входным напряжением и углом 9 поворота вала
нагрузки.
7.8.	Построить граф линейной механической системы,
изображенной на рис. 7.28 (аналогично примеру, рассмот-
ренному в разд. 7.7). Выразить силу Р2, действующую на
связь между массой и пружиной, через силу Р4, прило-
женную к цилиндру.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.1.	См. граф рис. А. 1, который содержит контуры
обратной связи ют, yzy, wyzw, хх, wzw. Последний
контур содержит два пути в обоих направлениях. Все кон-
туры можно разомкнуть, расщепив узлы х и z,
1.2.	Приведенный граф показан на рис. А. 2.
1.3.	а) & = 4, /=4, /п = 8, п=16.
б) Из рассмотрения рис. А. 3 находим
я// = 2(0,4 • 1,5 4- 1,54 0,8 4 0,4.0,2)4
4 1,2 (0,2 f 1,5), или пЦ = 5,96 -4 2,04.
Следовательно, j =2, п=16.
1.4.	Подграф индекса приведен на рис. А. 4.
1.5.	Один из возможных графой для определения пе-
ременной z через w показан на рис. А. 5. Из этого графа
z AG — D(B — FCIG)
w	G — С
1.6.	х3 = 15.
1.7.	Обозначая узловые сигналы через хр х2 и т. д.»
получим следующие системы уравнений:
1)	х0 = Fxp хх = Axq,
х2 = BxQ 4- Схр х3 = Dxx 4 ^2»
следовательно,
т _ ADBEАСЕ
7оз— \ — F (ADВЕ-\-АСЕ) ‘
2)	хх = Axq 4- Cxlt х2 = Вхх 4 &х29
следовательно,
т _ АВ
02	(1 — С)(1 — D) *
3)	Xj = Лх0,	х3 = Exq 4 Схр
х2 = Dxq 4- Вхр х4 = Нх3 4
следовательно,
= ЕН 4- DF 4- A (BF 4- СИ).
156
Рис. АЛ. Граф к ответу 1.1.
иг
Рис. А.2. Упрощенный граф к ответу 1.2.
Рис. А.З. Граф к ответу 1.3.
E+C(F+JHG)
Рис. А.4. Подграф индекса к ответу 1.4.
151
Рис. А.5. Граф к ответу 1.5.
1 о ПТ _________АВС______
Ч 204 — 1 —в —С — BCD ’
q\ т __ АВ-\-СВ
> \-BD-ECB *
1.9. Два возможных графа даны на рис. А. 6.
1.10. См. графы 1, 2 и 3 рис-. А. 7.
2.1.	Два графа с инвертированным путем от узла х
к узлу у приведены на рис. А. 8.
2.2.	Передача инвертированного пути равна
х0 _ 1—BCDE — CE
х4	ABCD
2.3.	См. граф рис. А. 9.
2.4.	После инверсии передачи равны:
» у"/'»'1 ' с>'
2) у = -j^-ABC-ABDE).
ок п х5 _ AGH(\-C-E) + ABDFH
’ х0~ \—(C + E+DFJ) + CE ’
41 — AB(\-E) + AGJ(\-E)
ха ~~ 1-(C + E+DFF) + CE •
2.6.
AC(B-\-EF)
1 xy — i^AED—FCG — ABCDG ’
2.7.
„	ABH (CGFJ)
1 — BFE — DGH — K+BFEK
2.8. Система уравнений
х2 = Лх0 -h-CXp
ху — Вх0 -+- Dxy -j-- Fx3,
х3 = Еху 4- Ох3.
152
153
Рис. А.8. Инвертированные графы к ответу 2.1.
Отсюда
Ех{
^3=^—и хх
BxQ
EF
1 — G
I — D
поэтому
•^2 —
ВС(1— G)x0
(1— £>)(! — G) — EF '
2.9. Если прямой путь хтх2х3х4 выбрать в качестве
дерева с единичным масштабом, то полный нормированный
граф будет иметь вид рис. А. 10.
3.1.	25,2 дб,
3.2.	40 дб,
3.3.	£=120 мгн, г = 240 ом,
3.4.	Из графов в у-параметрах рис. А. 11 находим:
Y	Г1Гг
А Л + Уг + Гз’
V	у'у*
в~ yi+y2 + y3 ’
у	_	Г2Г3
С Г,+У2 + Г3'
, Р ис. А.9. Инвертированный граф к ответу 22.
,154
BCD?
Рис. А.10. Нормированный граф к ответу 2.91
Рис. А.11. Графы в у-параметрах для Т- и П-образных
схем.
Рис А.12. Граф параллельного резонансного контура.
155
3.5.	Граф параллельного резонансного контура показан
на рис. А. 12. Из него находим
/ —___________1______
/ — ^вх— Q + j^C—l/aL)
Резонанс будет иметь место, когда
соЛ= 1/соС;
при этом
Z = —.
вх G
3.6.	Из графа рис. А. 13, а имеем
_ _ #L +
вх — . — !-((?,+ доС)(/?£ + >£) ’
3.7.	Входное напряжение равно 247 в (фазовый сдвиг
практически равен нулю).
3.8.	Z1=l,8exp — /31° a, v2 = 98 exp — j 4° в.
Рис. А. 13. Два графа к ответу 3.6.
156
Рис. А.14. Приближенный и преобразованный графы
усилителя с двумя входами.
Рис. А.15. Граф цепи из трех четырехполюсников,
полученный методом наложения узлов.
157
3.9.	См. графы рис. А. 14, а и б, где
у	^^11
23	1 -р Л11У22 + ЛЛ12
И
^22 = ^22“+ У 22*
3.10.	Два возможных графа цепи, состоящей из трех
четырехполюсников, показаны на рис. А. 15 и А. 16.
4.1.	а) Лп = 35 ом; /г22=1,0 мкмо; Л21 = 0,975;
Л12 = 7 . 10~4-
б)	5^ = 690 мкмо; у'2 —21 мкмо;
у'2 = 0,52 мкмо; у21 = 27,5 мкмо.
до 7   У»	7„— —У\ч.
4.2.	Zn— Ду,	Z12—	.
7 __ У11	7 ___	У21
Z22—д7* Z21 —
где Лу = УпУ22 —У12У2Р
4.5.	Усиление мощности равно
I V2 I2 SL
I I gBX 9
ИЛИ
^21	2 /
У22 + ^ Ubx/
где gBX представляет собой вещественную часть выражения

5.1.	Усиление напряжения равно 665 exp j 180°, уси-
ление мощности составляет 40 дб.
5.2.	17,7 дб.
5.3.	а) 35 ом; б) 0,72 exp J 180°.
158
Рис. А.16. Графы трех четырехполюсников, полученные
соединением ветвей с единичной передачей.
Рис. А. 17. Два графа для многозвенной схемы типа RC.
Рис. А.18. Граф системы управления двигателем
постоянного тока.
159
Рис. А.19. Граф механической системы.
^gk
\ + sRl'
частоты составляет
5.6. Петлевое усиление цепи равно ^12^21/^11^22» а ПРИ
нагрузке оно равно
У12У21/(Л Н~ Ун) (37	^22)-
6.1.
р _____________________ 1
^вых— 1/^4-S •
6.2.
вх — Cga “Н
7.1.	10 ом.
7.2.	ЗОехр /174°.
7.3.	А2 — 4 мкгн.
7.4.	/?вх = 190 000 ом.
7.5.	Результирующий уход
F/l 6v26/o=4OO гц.
7.6.	В графах рис. А. 17, а и б Х = -^-. Частота
колебаний /п =-----—(2^), а — =—
Jo 2лС/б	13	29
7.7.	Граф системы управления двигателем постоянного
тока показан на рис. А. 18. Из этого графа находим
п______________ViKjKz__________
s(R + sL)(sJZ + FZ + K2K3) ’
7.8.	Из графа рис. А. 19 имеем
Р<~~	Ls2M sD 1 ' s \sM D)'
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРАВИЛА
Определения
1.	Узел — точка графа, отражающая зависимую или не
зависимую переменную величину.
2.	Ветвь — линия, связывающая два узла, которая ха-
рактеризуется передачей, обозначенной соответствующим
символом, и направлением, указанным стрелкой.
3.	Путь — часть графа, образованная последователь-
ными ветвями. Прямым называется путь, вдоль которого
номера узлов возрастают, а обратным — путь, вдоль ко-
торого номера узлов убывают. Разомкнутым называется
путь, на котором данный узел встречается только один
раз. Замкнутым называется путь, который возвращается
к своему исходному узлу.
4.	Контур обратной связи составляют ветви, обра-
зующие замкнутый путь.
5.	Каскадный узел — это узел, не входящий в контур
обратной связи. Каскадные узлы могут быть трех типов.
а)	Источник—каскадный узел, отражающий незави-
симую переменную, все ветви которого направлены от него.
б)	Сток—каскадный узел, отражающий зависимую пе-
ременную, все ветви которого направлены к нему.
в)	Простой каскадный узел имеет как входящие, так
и выходящие ветви.
6.	Узел обратной связи — это узел, который входит
в контур обратной связи и не может, следовательно, быть
ни источником, ни стоком.
7.	Индекс графа — минимальное число узлов, которые
нужно расщепить, чтобы разомкнуть все имеющиеся в графе
контуры обратной связи.
Инверсия — операция, эквивалентная взаимной замене
независимых и зависимых переменных в алгебраическом
уравнении.
Инверсия, сохраняющая узлы, выполняется путем
изменения направления ветви на обратное и перенесения
концов всех ветвей, первоначально направленных в тот же
узел, что и инвертируемая ветвь, к узлу конца инверти-
рованной ветви. При этом передача инвертированной ветви
Н Зак. 393
161
равна обратной величине первоначальной передачи этой
ветви, а передачи остальных ветвей, концы которых пе-
реставлены при инверсии, нужно умножить на результи-
рующую передачу инвертированной ветви и взять с обрат-
ным знаком.
' - При инверсии, сохраняющей ветви, изменяются на
обратные величина передачи и направление только инвер-
тируемой ветви, однако предварительно нужно узел, пред-
ставляющий зависимую переменную, расщепить на источник
и простой каскадный узел. Эти два узла соединяются ветвью
с единичной передачей; при этом сигнал нового каскадного
узла будет в общем случае отличаться от первоначального
значения сигнала расщепленного узла. Кроме того, ме-
няется знак каждой ветви, входящей в каскадный узел.
Правило некасающихся контуров {правило Мэзона)
дает следующее выражение для передачи между двумя лю-
быми узлами графа:
7—	0 ~~ S 111 + 2 £i2 ~~ • • •) .
1—2	2 ^2—2 ~i~ •••
. ^2 0 2 ^12 Н” 2 ^22 — • • •)
1—2 ~1“ S ^2—2	.
где Рь Р2> Рп — передачи прямых путей между рас-
сматриваемыми узлами; 2^1 — сумма передач всех кон-
туров; 2^2 — сумма передач всех контуров, не касающихся
друг друга, перемноженных попарно; 2	— сумма передач
всех контуров, не касающихся пути Рх\ 2 ^21 — сумма пе-
редач всех контуров, не касающихся пути Рх и не касаю-
щихся друг друга, перемноженных попарно.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЛИТЕРАТУРА
Рекомендуемые работы сгруппированы по главам, к которым
они имеют наибольшее отношение. Однако это не значит, что
каждая работа относится только к одной главе.
Глава 1
1.	Mason S. J., Feedback theory, some properties of Signal
flow graphs, Proc. IRE, 41, № 9 (1953).
2.	Hoskins R. F., Signal flow-graph analysis and feedback
theory, IЕЕ, 388E (July. 1960).
Глава 2
3.	Mason S. J., Feedback theory, further properties of Signal
flow graphs, Proc. IRE, 44, № 7 (July 1956).
4.	Lorens C. S., A proof of the non-intersecting loop rule for
the solution of linear equations by flow graphs, MIT Quart.
Progr. Rep., (Jan. 1956).
Глава 3
5.	H a p p W. W., Dynamyc characteristics of flow-terminal net-
works, Convention Record IRE, part 2 (1954).
6.	Hunton J. K., Analysis of microwave measurment techni-
ques by means of Signal flow graphs, IRE, MTT8, № 2 (March
1960).
7.	Robichaud L. P. A., A Study of physical Sistems through
Signal flow graphs, part 2, 1959; part 3, 1960.
Глава 4
8.	Hurley R. B., Junction Transistor Electronics, Wiley, N. Y.,
1958.
Глава 5
9.	Staff of Texas Instruments, Transistor Circuit Design, McGraw-
Hill, N. Y., 1963.
11*
163
Глава б
10.	Langford-Smith F., Radio Designer's Handbook, Har-
rison, N. Y., 1953.
Глава 7
11.	Bode H., Network Analysis and Feedback Amplifier Design,
Nostrand, N. Y. 1945. (См. русский перевод: Боде Г., Тео-
рия цепей и проектирование усилителей с обратной связью,
ИЛ, 1948.)
12.	Robichaud L. Р. A., Direct Simulation on Analogue com-
puters through Signal flow graphs, Canadian Convention of
the IRE (Oct. 1956).
13.	Wass C. A. A., Introduction to Electronic Analogue Com-
puters, Pergamon Press, 1955.
14.	L у n c h W. A., T r u x a 1 J. O., Principles of Electronic
Instrumentation, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
15.	Locke W. M., Moore V. W., H a p p W. W., A new
Analysis of the transistor phase-shift oscillator, Radio Electr.
Eng. 25, № 2 (Febf. 1963).
ДОПОЛНЕНИЕ !)
Теорема деления и ее применения
В современной электронике широко применяются Сим-
метричные схемы. Они обладают важными преимуществами
по сравнению с простыми схемами. Например, дрейф в сим-
метричных балансных усилительных каскадах в 300—500 раз
меньше дрейфа в типовом одноламповом каскаде; значи-
тельно слабее влияние помех и паразитная положительная
обратная связь (вносимая сопротивлением источника анод-
ного питания) между усилительными каскадами и много
выше надежность работы [1]. Симметричные схемы исполь-
зуются в усилителях и фильтрах; перекрестные симметрич-
ные схемы обнаружены в нервных сетях.
Симметричные схемы содержат большее число узлов,
и поэтому их расчет требует много больше времени и
труда, чем расчет простых схем. Радикальное сокращение
времени и труда при расчете параметров симметричных
схем достигается при использовании топологического ме-
тода и предложенной здесь теоремы деления, причем от-
носительная экономия времени быстро возрастает с уве-
личением сложности анализируемой схемы.
Теорема деления
Если симметричную относительно направления про-
хождения сигнала пассивную (или активную) электри-
ческую схему разделить по оси симметрии, совпадающей
с направлением прохождения сигнала, затем замкнуть
накоротко ветви, разделенные вдоль осью симметрии,
а средины ветвей, разделенных поперек, заземлить и
подать полное входное напряжение исходной схемы
на вход половины полученной схемы (называемой схе-
мой замещения), то на сопротивлении нагрузки схемы
замещения (равном половине сопротивления нагрузки
исходной схемы) создается полное выходное напряже-
ние исходной схемы', следовательно, схема замещения
будет эквивалентна исходной схеме,
х) Написано редактором русского перевода.
165
Доказательство
При наличии напряжения входного сигнала падения
напряжений на ветвях, разделенных осью симметрии вдоль,
равны нулю; следовательно, эти ветви можно считать за-
короченными. Каждая ветвь, включенная между симметрич-
ными точками обеих половин исходной схемы, разделяется
осью симметрии на две равные части. Напряжение в точке
деления не изменяется относительно оси симметрии как
при отсутствии, так и при наличии входного сигнала; по-
этому эти точки можно считать заземленными. (При этом
ось симметрии удобно представить в виде заземленного
провода, не имеющего электрического сопротивления.)
В исходной схеме напряжение между осью симметрии
и любым входным зажимом равно половине входного на-
пряжения. Поэтому для получения полного выходного на-
пряжения на половине сопротивления нагрузки в схеме
замещения на ее вход необходимо подать полное входное
напряжение исходной схемы.
Примеры расчета
Пассивная симметричная схема. Пассивная симме-
тричная схема, показанная на рис. Д1, а, с помощью тео-
ремы деления преобразуется в эквивалентную схему, при-
веденную на рис. Д1, б. Для расчета коэффициента пере-
дачи напряжения этой схемы воспользуемся формулой и
топологическими правилами Мэзона [2—3]:
^=4—♦
2 pk^k
k
где prk — величина Л-го пути от положительного зажима
источника входного напряжения Щ (через измерительный
прибор t/2) до отрицательного зажима источника (вели-
чина пути равна произведению проводимостей ветвей этого
пути);
Д& — минор схемы, полученной после замыкания на-
коротко Л-го пути. Если путь проходит через все узлы,
то Д^ = 1. Минор вычисляется по тем же правилам, что
и определитель схемы;
1166
2 Pk^k — определитель схемы, вычисленный относи-
k
тельно пары произвольно выбранных узлов после замы-
кания накоротко источника напряжения и амперметра или
после удаления из схемы источника тока и вольтметра
(определитель равен сумме всех деревьев схемы);
р — величина &-го пути между этой парой узлов;
Д$— минор схемы, полученной после замыкания нако-
ротко £-го пути.
Из рис. видно, что между источником напряже-
ния и выходным вольтметром имеется только один путь,
величина которого равна р[ = abed. Поскольку этот путь
проходит через все узлы схемы, то Д*= 1. Для вычисле-
ния знаменателя коэффициента передачи напряжения вы-
берем пару узлов /, 2, замкнем»накоротко источник
и уберем вольтметр U2, Между узлами /, 2 в левой части
схемы имеются два пути р1 = (а-]- е)Ь и p2 — f. Минор
пути рх вычисляется после замыкания накоротко узлов 1
и 2 (пути Pj). Очевидно, что
^ = (c+g)(d + h) + dh.
1Q7
При замыкании пути р2 = f получим
Д2 — (а + b -f- е)
Таким образом,
РЛ1 +	= (Pi -h Рг(а 4~ я) Ai-
IB правой части схемы (относительно узлов 1 и 2) имеются
два пути p3=cg и pA — cdh, При замыкании накоротко
пути /?4 получаем минор
Д 4 = О	•
Для пути Рз минор равен
Л3 = (Й-ЬЛ)Д4.
Таким образом,
Рздз + РД = IеS (d Н- Л) -f- cdh] (а + й 4- *)•
Итак,
и___	abed
{l(a + e)b + f(a + b + e)][(c + g)(d + h) + dh]+ Г*
1	4-[^(d + A)4-c^l(a + 64-^)f
При некотором навыке выражение Н можно записать не-
посредственно из вида анализируемой схемы. Топологи-
ческий расчет схемы рис. Д1, б занимает несколько минут.
Расчет же схемы рис. Д1, а с помощью матриц проводи-
мостей приводит к вычислению определителей матриц 12-го
и 13-го порядков.
Активная симметричная схема. На рис. Д2, а при-
ведена схема балансного лампового каскода. Применяя тео-
рему деления, получим схему замещения (рис. Д2, б). После
замены каждой лампы тремя унисторами (из которых два
имеют положительную проводимость, а один — отрица-
тельную) и анодной проводимостью gt схема замещения
примет вид, изображенный на рис. Д2, в, где S — крутизна
лампы, gt = l[Ri — проводимость анодной цепи, g'k = 1/R'k,
ga=l/Ra, gQ=i/Ro. [Унистор представляет собой эле-
мент с односторонней Проводимостью, имеющий три за-
жима, один из которых заземлен.] Схема с унисторами
рассчитывается тем же методом, что и пассивная схема,
но учитываются только те пути, в которых унисторы на-
правлены к заземленному узлу. Из рис. Д2, в видно, что
168
Рис. Д2.
[Проводимости со знаком штрих относятся к элементам
схемы, содержащей верхнюю лампу.] Путь р' проходит
через все узлы, следовательно, Д^=1. Для расчета зна-
менателя выражения Н замкнем источник Ux и уберем
вольтметр U2. Выберем узлы 1 и 2, между которыми путь
pl — gl-g'k. Замкнув этот путь, находим минор A} =
= gf. -j" ga -f- 2gQ. Путь p2 между узлами 1 и 2 равен
/>2 = (5/ + £Ж+2^о)-
После замыкания пути р2 находим минор A2 = g/4g’'.
Итак, коэффициент передачи напряжения равен
я==______________________________________________
gig'k {ga + g'i + 2^о) + (5' + g'l) (ga + 2^o) (gl + g'k) '
Умножив числитель и знаменатель на RaRiRiR’kRo, получим
н ___________________— + __________________________
169
Обобщение теоремы деления для случая
перекрестных связей
В последние годы значительное улучшение параметров
симметричных электронных усилительных схем достигнуто
благодаря применению перекрестных связей. Так как концы
каждой ветви перекрестной связи присоединены к несим-
метричным узлам симметричной схемы, то очевидно, что
для схем с перекрестными связями приведенная выше фор-
мулировка теоремы деления неверна. Сформулируем для
этого случая теорему деления и дадим последовательность
операций расчета, которые позволят учесть изменения
коэффициентов передачи, а также изменения входного и
выходного сопротивлений схемы, вносимые перекрестными
связями.
Если симметричную относительно направления про-
хождения сигнала пассивную (или активную) электри-
ческую схему разделить по оси симметрии, совпадаю-
щей с направлением прохождения сигнала, затем
замкнуть накоротко ветви, разделенные вдоль осью
симметрии, а средины ветвей, разделенных поперек,
заземлить, и удалить из схемы ветви перекрестных
связей, то половина полученной схемы (называемая
схемой замещения) будет эквивалентна исходной схеме.
Схема замещения рассчитывается по топологическим
правилам Мэзона со следующими добавлениями*.
1)	При нахождении числителя коэффициента пере-
дачи следует вместо проводимостей продольных вет-
вей (к концам которых присоединены ветви 0Z пере-
крестных связей) брать разности щ — 0Z.
2)	При вычислении знаменателя коэффициента
передачи вместо щ нужно брать суммы az-j-0z.
3)	К выражению знаменателя коэффициента пере-
дачи следует добавить слагаемое 4az0zA, где А— опре-
делитель схемы, полученной после замыкания нако-
ротко в схеме замещения пары узлов, которых ка-
саются концы ветвей перекрестных связей и которые
находятся ближе к выходу схемы.
Доказательство
Необходимость применения разности az — 0Z в числи-
теле коэффициента передачи следует из того факта, что
при обходе путей сигнала через измерительный прибор
170
Рис. ДЗ.
направление тока в этом приборе противоположно для пути
по продольным ветвям «/ и пути по перекрестным ветвям (3Z.
Суммы	в знаменателе коэффициента передачи
получаются благодаря тому, что при вычислении соответ-
ствующих миноров ветви и оказываются включенными
параллельно.
Слагаемое вида 4azpzA появляется в знаменателе выра-
жения коэффициента передачи тех схем, у которых ветви
обратных связей не касаются входных узлов. Доказатель-
ство необходимости добавления этого слагаемого сложно.
Отметим только то, что данное слагаемое позволяет пол-
ностью учесть влияние перекрестных связей на свойства
схемы.
Пассивная симметричная схема с перекрестными
связями. На рис. ДЗ, а показана симметричная пассивная
схема с перекрестными связями, а на рис. ДЗ, б — ее схема
замещения, полученная после применения теоремы деления
и исключения ветвей перекрестных связей. Выражение
(a zp Ъ) означает, что ветвь между узлами 2 и 3 имеет
проводимость, равную а — Ь, при расчете числителя и про-
водимость, равную а 4- &, при расчете знаменателя. Числи-
тель выражения передачи записывается следующим образом:
=£(<*—*)/•
171
Знаменатель относительно узлов 1 и 2 равен опреде-
лителю схемы, полученной после замыкания источника
и удаления вольтметра U2, тогда коэффициент передачи
будет равен
U2  	c(a — b)f
U\ ~~ 1{(с + 2б/)(а + ^)(/ + 2^) + [2^(/ + 2^)+	)
I +2/^] (а + 6 + с + 2б/) + 4^(/ + 2^)} [
Активная симметричная схема с перекрестными свя-
зями. В симметричном ламповом усилительном каскаде
практическое улучшение параметров достигается только
тогда, когда перекрестные связи присоединены между
катодной цепью одной лампы и сеткой другой, и на-
оборот.
Приведем операции вычисления параметров такой схемы.
Применяем теорему деления (в первой формулировке) и
находим числитель коэффициента передачи, беря удвоен-
ную крутизну (2S) ламп, охваченных катодно-сеточными
перекрестными связями. При вычислении знаменателя коэф-
фициента передачи добавляем к выражению знаменателя
сумму активных деревьев, взятых по направлению контура
передачи сигнала (начиная с первого узла обратной связи)
к земле. [Дерево, имеющее пути, содержащие хотя бы
один унистор, направленный к заземленному узлу, назы-
вается активным. Узлом обратной связи называется узел,
из которого исходит ветвь перекрестной обратной связи.]
Удвоенная крутизна при расчете числителя получается по-
тому, что на сетку и на катод каждой лампы, охваченной
перекрестными катодно-сеточными связями, напряжение
сигнала поступает в противофазе.
На рис. Д4, а приведена схема с перекрестными свя-
зями между сетками и катодами верхних ламп ЛЗ и Л4.
На рис. Д4, б показана эквивалентная схема после при-
менения теоремы деления, а на рис. Д4, в — эквивалентная
топологическая схема. Параметры верхних ламп обозна-
чены штрихом. Из рис. Д4, в видно, что
P{ = -Sg'k(2S' + g'y Д>1.
Для расчета знаменателя выберем узлы / и 2, замкнем
источник иг и уберем вольтметр U2. Тогда путь
172
rrr*
Рис. Д4.
Р1 =	= 1; путь р2=ga+2g0, д2=(g't -4-
X (gi~{-g'k) -t-gig'k- В схеме рис. Д4, в имеется только
одно активное дерево р3Д3, равное передаче пути от узла
обратной связи 3 до заземленного узла через унистор,
направленный к „земле": Р3\ = g'kS'(ga 4~2goy Коэффи-
циент передачи напряжения схемы рис. Д4, а равен
£2_=_________________-^(g;+2sz)__________________
Ul	[gig'kg'l + (ga + 2£o) [(>/ + S') (gl + g'k) + ^fi)] + 1 ’
(	+£*•$' (^a + 2^o) J
ИЛИ
— I* (1 + HZ)
____________________________________________________________
“ RaR0+(R0+2Ra)[d+н )(R'k+tfz)4-/?;]+|x'(.R0+2Ra) ’
_____________—^^+^'')RaR<>__________
2Ra [(1 + 2ц') /?, + R't + (1 + /) /?;] +
+к+a+/> Ri+k'i+о+/)
173
Заключение
Непрерывное усовершенствование и усложнение сим-
метричных электронных схем затрудняет их расчет обыч-
ными методами. Трудоемкость таких расчетов резко
сокращается (в десятки раз) при применении топологиче-
ского метода и теоремы деления.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Соколов А. А., Электронные вычитатели, Приборы и
средства автоматизации, № 8, стр. 507—516 (1962).
2.	И о н к и н П. А., Соколов А. А., Топологический анализ
электрических цепей, Электричество, Ns 4, стр 59—66 (1964).
3.	И о н к и н П. А.. Соколов А. А., Основы построения и
преобразования графов для расчета электрических цепей,
Электричество, № 5, стр. 67—72 (1964).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию . . • . .	5
Предисловие к английскому изданию ....	9
Глава 1. Основы теории графов........	11
Глава 2. Операции над графами........ 31
Глава 3. Анализ пассивных цепей...... 46
Глава 4. Параметры транзисторов .... 69
Глава 5. Анализ транзисторных схем ... 85
Глава 6. Графы электронных ламп .... 113
Глава 7. Системы с обратной связью. . . 129
Приложение А. Ответы к задачам ... 150
Приложение Б. Определения и правила. 161
Приложение В. Литература...............163
Дополнение.............................165
Дж. Абрахамс, Дж. Каверли
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
МЕТОДОМ ГРАФОВ
Редактор И. Андреева
Художник Ф. Лейн
Художественный редактор Н. Фильчагина
Технический редактор Ю. Экке
Корректор Е. Терентьева
Сдано в производство 21/Х 1966 г.
Подписано к печати 14/1 1967 г.
Бумага 84хЮ8’/з2 = 2,75 бум. л.; 9,24 усл. печ. л.,
Уч.-изд. л. 6,85. Изд. № 20/3937.
Цена 50 коп. Зак. 393.
Темплан изд-ва „Мир“ 1967 г., пор. № 177.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР“
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета но печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.