Автор: Герасимов В.Г. Шнейберг Я.А. Кузнецов Э.В. Николаева О.В. Цепляева М.С.
Теги: электроэнергетика электротехника
ISBN: 5-283-05005-Х
Год: 1996
Текст
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Книга 1
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
И ЭЛЕКТРОНИКА
Книга 1
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
^БКгЗ-1-,2-
Э45^Г
УДЮ-621.3—
Выпуск издания в свет осуществлен при
финансовой поддержке Издательства МЭИ
Рецензенты: Кафедра электротехники и электроники Московской
Государственной Академии тонкой химической технологии (зав. кафед-
рой профессор П. В. Ермуратский); зав. кафедрой электротехники, элек-
троники и электрооборудования МГТУ профессор Ю. Н. Зорин
Авторы: В. Г. Герасимов, Э. В. Кузнецов, О. В. Николаева,
М. С. Цепляева, Я. А. Шнейберг
Э45 Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические
и магнитные цепи: Учеб, для вузов. - В 3-х кн.: кн. 1/
В. Г. Герасимов, Э. В. Кузнецов, О. В. Николаева и др.; Под
ред. В. Г. Герасимова. - М.: Энергоатомиздат, 1996. - 288 с.: ил.
ISBN 5-283-05005-Х
Книга является первой частью трехтомного учебника «Электротехника
и электроника», написанного в соответствии с новой программой. В ней
впервые объединены учебник и задачник: каждый теоретический раздел
сопровождается практическими примерами, типовыми задачами, ком-
плектом многовариантных задач и домашними заданиями для самостоя-
тельной работы. Даны методика применения ПЭВМ и программы рас-
чета и моделирования электрических цепей. Рассмотрены вопросы, свя-
занные с анализом и расчетом электрических и магнитных цепей. В кон-
це каждой главы приведены комментарии к правильным ответам.
Для студентов неэлектротехнических специальностей технических вузов.
По вопросам распространения издания обращаться по адресу:
111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14. Издательство МЭИ
Тел./факс (095) 362-0213
2202010000 - 045
051(01)-96
ББК: 31.2
ISBN 5-283-05005-Х (кн. 1)
ISBN 5-283-05004-1
©Авторы, 1996
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник ’’Электротехника и электроника”, состоящий
из трех книг: ’’Электрические и магнитные цепи”, ’’Электромагнитные
устройства и электрические машины”, ’’Электрические измерения и
основы электроники”, предназначен для студентов вузов, осуществляю-
щих подготовку бакалавров по неэлектротехническим направлениям и
инженеров по неэлектротехническим специальностям. Он полностью
соответствует программе по электротехнике и электронике для не-
электротехнических специальностей вузов и соответствующих направ-
лений подготовки бакалавров. Авторский коллектив учебника — ве-
дущие преподаватели кафедры электротехники и интроскопии Мос-
ковского энергетического института. Кафедра накопила богатый опыт
педагогической и методической работы, связанный с преподаванием
электротехники и электроники студентам неэлектротехнических спе-
циальностей МЭИ. Этот опыт совершенствовался в связи с тем, что на
кафедре более 25 лет осуществляется повышение квалификации пре-
подавателей электротехники и электроники вузов страны.
При подготовке этого учебника авторы стремились использовать
и развить методические основы преподавания электротехники и элект-
роники, которые были разработаны под руководством основателя ка-
федры проф. В. С. Пантюшина (1906-1977) при активном участии
доц. М. Ю. Анвельта (1919-1977).
В то же время в настоящем учебнике реализованы новые методиче-
ские концепции кафедры. В нем впервые объединены учебник и за-
дачник. В каждой книге основы теории соответствующего раздела со-
провождаются практическими примерами, типовыми задачами, комп-
лектом многовариантных задач для самостоятельного решения их
дома и на практических занятиях. Многие параграфы учебника закан-
чиваются вопросами, сопровождаемыми альтернативными ответами,
один или несколько из которых являются правильными. В конце каж-
дой главы приведены комментарии к правильным ответам.
Впервые в учебнике по электротехнике и электронике приведены
программы и методики применения персональных ЭВМ для расчета и
моделирования электрических и магнитных цепей, электромагнитных
3
и Hicicrponiii.ix устройств, применения электроизмерительных прибо-
ров и 1лсктричсских машин.
К иь и piiiihiiK*. ни юры учебника уделяли большое внимание логич-
н<н in и < ।piiihiociи и ।поженил материала, по возможности теснее увя-
ii.iiHHi ио । крик ।ическими приложениями.
II mi I н |цожены основы теории и методы расчета электрических це-
ih'ii нт loHiiiioio пжа, однофазных и трехфазных цепей синусоидально-
ю ioiui при установившихся режимах, а также переходных процессов
и iipoi 1С1ПНИХ электрических цепях. Кроме этого рассмотрены вопросы
niiiiiiiria цепей несинусоидального тока, а также магнитные цепи. Ма-
к*риал раздела электрических цепей, особенно нелинейных, тесно увя-
зан с электроникой.
В кн. 2, посвященной трансформаторам и электрическим машинам,
много внимания уделено эксплуатационным характеристикам и их
определению по паспортным и каталожным данным, а также модели-
рованию на ПЭВМ аварийных режимов электрических машин.
В кн. 3 ’’Электрические измерения и основы электроники” боль-
шое внимание уделено современным цифровым электронным устрой-
ствам, микропроцессорам и электронным измерительным приборам.
Авторы стремились провести и использовать критический анализ
как своих предыдущих учебников и задачников по электротехнике
и электронике, так и соответствующих учебных пособий других ав-
торов.
Глава 1 написана В. Г. Герасимовым и О. В. Николаевой, гл. 2 —
М. С. Цепляевой, гл. 3 — О. В. Николаевой и Я. А. Шнейбергом, гл. 4 —
В. Г. Герасимовым, гл. 5 — О. В. Николаевой, гл. 6, 7 — Э. В. Кузне-
цовым.
Авторский коллектив благодарит преподавателей и сотрудников
кафедры электротехники и интроскопии МЭИ, а также слушателей фа-
культета повышения квалификации — преподавателей электротехниче-
ских кафедр других вузов, за высказанные пожелания, направленные
на улучшение содержания книги.
Авторы с благодарностью примут все критические замечания и
пожелания по этому учебнику, которые просят направлять по адресу:
113114, Москва, Шлюзовая наб., 10, Энергоатомиздат.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Электротехника и электроника — это общеинженер-
ная дисциплина, изучаемая студентами неэлектротехнических специаль-
ностей вузов и соответствующих направлений подготовки бакалавров.
Под электротехникой понимают область науки и техники, исполь-
зующую электрические и магнитные явления для практических целей.
Электроника, выделившаяся в свое время из электротехники как са-
мостоятельная отрасль науки и техники, изучает физические явления
в полупроводниковых и электровакуумных приборах, их характери-
стики и свойства, а также применение этих приборов в различных
устройствах и системах.
Электротехнику и электронику можно подразделить на три основ-
ных направления: энергетическое, технологическое и информационное.
Первое направление связано с получением, передачей, распределением
и преобразованием энергии, поэтому в дисциплине ’’Электротехника
и электроника” изучаются источники электрической энергии, получае-
мой из механической, химической, тепловой, световой и некоторых
других видов энергии, приемники электрической энергии, преобразую-
щие электрическую энергию в перечисленные виды энергии, а также
преобразователи одного вида электрической энергии в другой: транс-
форматоры, выпрямители, инверторы, преобразователи частоты и др.
Второе направление связано с созданием и использованием электро-
технических и электронных установок, в которых электрические и
магнитные явления используются для осуществления разнообразных
технологических процессов. К ним относятся, например, установки
для электролиза, высокочастотной сушки, плавки, закалки материа-
лов, электромагнитной сепарации руд, электронной и ультразвуковой
сварки и т. д.
Третье направление обусловлено тем, что современные энергетиче-
ские и технологические процессы протекают при таких скоростях,
температурах и механических напряжениях, что управление и контроль
за ними может быть осуществлен только посредством быстродействую-
щих электрических и электронных приборов, получающих информацию
о процессах с помощью высокочувствительных преобразователей. В свя-
5
зи с этим необходимо изучение и использование электрических и элект-
ронных измерительных приборов, усилителей, импульсных и цифровых
электронных устройств и микропроцессоров.
Успехи современной электротехники и электроники — результат
огромных творческих усилий ученых и инженеров разных стран в ис-
следовании электрических и магнитных явлений в целях их практиче-
ского применения.
История электротехники определяется почти двумя столетиями
своего развития. После изобретения первого электрохимического ис-
точника электрической энергии (1800 г.) началось изучение свойств
электрического тока, были установлены основные законы электри-
ческих цепей, созданы разнообразные конструкции электрических ма-
шин и приборов, электрические и магнитные явления стали использо-
вать для практических целей. Однако до 70-х годов XIX в. широкое
применение электрической энергии было невозможно из-за отсутствия
надежных и экономичных генераторов.
Развитие промышленного производства, рост городов и развитие
торговли вызвали необходимость создания более совершенных источ-
ников света. Электрическое освещение стало первым массовым энерге-
тическим применением электрической энергии, оно способствовало
интенсификации развития электротехнической промышленности.
В 70—80-х годах XIX в. электротехника превращается в самостоятель-
ную отрасль науки и техники, начинается становление электроэнерге-
тики. Но дальнейшее расширение практических применений электри-
ческой энергии требовало изыскания более экономичных и эффектив-
ных способов ее производства и распределения, а также создания про-
стых и надежных электродвигателей, удовлетворяющих требованиям
промышленного электропривода.
Комплексное решение указанных научно-технических проблем ока-
залось возможным лишь на базе многофазных, в частности трехфаз-
ных, систем, разработанных в самом начале 90-х годов XIX в. и поло-
живших начало становлению электрификации — нового современного
этапа развития электротехники, без которой невозможен дальнейший
научно-технический прогресс.
Одновременно с этим с конца XIX в., начиная с изобретения радио
в 1895 г., возникает и развивается новое направление электротехни-
ки — электроника. Создание разнообразных типов электронных
приборов, вначале электровакуумных, затем полупроводниковых,
а в последние десятилетия интегральных микросхем, обусловило бур-
ное развитие радиосвязи, телевидения, радиолокации и других обла-
стей радиоэлектроники, а также информационно-измерительной и
вычислительной техники.
6
В настоящее время электротехническая и электронная промышлен-
ность выпускает разнообразную продукцию для всех трех направле-
ний электротехники и электроники: энергетического, технологиче-
ского и информационного.
Изготавливаются турбогенераторы мощностью до 1200 МВт, гидро-
генераторы мощностью до 800 МВт, разрабатываются силовые транс-
форматоры 110-500 кВ мощностью до 100 МВ-А в сейсмостой-
ком исполнении, установлены и работают регулируемые электро-
приводы мощностью от 500 до 5000 кВт. Примерно 70% электро-
энергии вырабатывается на тепловых электрических станциях и око-
ло 30% — на гидро- и атомных электростанциях. Для покрытия приро-
ста потребления электроэнергии только в европейской части России
необходимо ввести до 2000 г. около 8 млн. кВт мощностей. Новые
перспективы в развитии электротехнического оборудования намечают-
ся при использовании явления сверхпроводимости в устройствах крио-
генной техники.
Одно из важнейших направлений развития народного хозяйства
страны - обеспечение на основе электрификации комплексной механи-
зации и автоматизации производства, включая использование электри-
ческих машин, электрооборудования и электронных приборов и
устройств с применением микропроцессорных средств и микро-ЭВМ.
Эти проблемы невозможно решать без глубокого знания электро-
техники и электроники. Овладение этими знаниями позволит будущему
инженеру наиболее эффективно применять разнообразные электротех-
нические и электронные устройства в различных отраслях народного
хозяйства.
Глава первая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Первопричиной всех электрических явлений в природе является
электрический заряд. Простейшими электрическими заря-
дами можно считать электроны, которые содержатся в каждом атоме
любого вещества. Электрическим зарядом обладает и протон — ядро
атома. Причем электроны и протоны имеют заряды разного знака:
протоны — положительные, а электроны — отрицательные. В соответ-
ствии с законом Кулона положительные и отрицательные заряды при-
тягиваются друг к другу с определенной силой.
Помимо протонов и электронов, электрическими зарядами могут
обладать ионы, соответственно положительные и отрицательные. Но-
сителями зарядов в полупроводниковых приборах являются элект-
роны и дырки, т. е. вакантные валентные уровни атомов полупровод-
ника.
Носители зарядов т. е. заряженные частицы, расположенные на неко-
тором расстоянии друг от друга, создают электрическое поле. Так,
два заряда разных знаков, размещенные на расстоянии I друг от друга,
создают электрическое поле (рис. 1.1), основной характеристикой каж-
дой точки которого является векторная величина — напряжен-
ность электрического поля Е, равная силе F, действую-
щей на единичный заряд q, расположенный в произвольной точке:
Е = F/q. (1.1)
Рис, 1,1. Электрическое поле двух зарядов
8
Единицей электрического заряда является кулон (К), а напряжен-
ности электрического поля вольт на метр (В/м).
Другой характеристикой электрического поля является скалярная
величина - потенциалу данной точки. Он определяется значением
заряда и расстоянием г до него от рассматриваемой точки поля:
<f = kq/r. (1.2)
Поскольку такие поля однозначно определяются значениями потен-
циала в различных точках, они называются потенциальными. В электро-
технике важное значение имеет разность потенциалов, на-
пример, между двумя точками а и b:
Единицей потенциала и разности потенциалов является вольт (В).
Он численно равен работе в 1 джоуль, произведенной при перемещении
заряда в 1 кулон против сил поля из данной точки, имеющий потенциал
1 вольт, в бесконечность.
Если в электрическое поле поместить образец из проводящего ма-
териала (проводника), например, из металла, то в нем под действием
поля будут перемещаться свободные заряды — электроны. Движение
электрических зарядов создает электрический ток, называе-
мый током проводимости, который равен скорости переноса электри-
ческого заряда через выделенную площадку:
Единицей электрического тока является ампер (А), он соответствует
перемещению заряда в 1 кулон за 1 секунду. Ток проводимости в
каждой точке проводника характеризуется плотностью тока
Т = оеТ (1.4)
где о — удельная электрическая проводимость материала.
Если электрическое поле создается в диэлектрике, то в нем возни-
кают процессы поляризации, вызывающие ток смещения f . Полный
ток при наличии проводника и диэлектрика
*полн ” z + *см* (1.5)
Если электрическое поле не изменяется во времени, то г‘см =0.
Причиной длительного существования тока является электро-
движущая сила (ЭДС), которая возникает в результате пре-
образования в электрическую энергию неэлектрической: химической,
тепловой, световой или механической. В процессе преобразования энер-
9
гии происходит разделение зарядов разных знаков под действием сил
неэлектрического происхождения, которые называются сторонни-
м и. Для количественного описания сторонних сил вводят понятие
напряженности стороннего электрического поля Е , которая численно
равна сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.
В этом случае ЭДС е определяется линейным интегралом от напряжен-
ности стороннего электрического поля:
е= S E^dh (1.6)
ЭДС может возникать и вследствие явления электромагнитной индук-
ции, вызванного изменением магнитного потока Ф через площадку S
контура. При этом безразлично, связано ли это изменение с движением
контура или с изменением магнитной индукции В. Из закона электро-
магнитной индукции следует, что
ЛФ d ->
е =-------=-------J BdS. (1.7)
dt dt s
Напряжение между точками а и b рассматриваемой среды рав-
но линейному интегралу от напряженности электрического поля:
ъ _> —> ь _> _>
“ab = S Edl = f + E Jdl, (1.8)
а а I
где £ - кулоновская (безвихревая, потенциальная) составляющая
напряженности электрического поля, которая, в отличие от £ст, удовле-
творяет условию
('•!»
Электрическое поле, не удовлетворяющее этому условию, называется
вихревым.
В безвихревом (потенциальном) поле работа по переносу заряда из
точки а в точку b не зависит от формы пути и равна разности потен-
циалов:
b -> ->
£К,П<“- (1-10)
а
Таким образом, для поля, характеризуемого напряженностью Е = ^кул,
электрическое напряжение совпадает с разностью потенциалов.
10
Единицей ЭДС и напряжения, так же, как и разности потенциалов,
является вольт.
Вопрос 1.1. Чему равно напряжение на зажимах разомкнутого акку-
мулятора с ЭДС Е = 12 В?
Варианты ответа:
1.1.1. £7=24 В.
1.1.2. £7=0.
1.1.3. U= 12 В.
Во многих практических случаях электрическое поле можно учиты-
вать лишь в отдельных элементах: в генерирующих, приемных и вспо-
могательных устройствах. При этом представляют интерес интеграль-
ные скалярные величины: ЭДС, разность потенциалов, напряжение
и ток. Векторные же величины, характеризующие электрическое поле
в каждой его точке: напряженность электрического поля, электриче-
ское смещение, плотность тока для расчета и анализа электрических
процессов, происходящих в этих элементах, обычно не имеют значения.
1.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Электрической цепью называют совокупность устройств и объек-
тов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные
процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий ЭДС,
тока и напряжения. Понятия об ЭДС, токе и напряжении были даны
в предыдущем параграфе. Перейдем к рассмотрению устройств, обра-
зующих путь для электрического тока.
Ген ерирующие устройства преобразуют химическую,
механическую, тепловую и световую энергии в электрическую. Это
источники электрической энергии. На зажимах источников в
процессе преобразования неэлектрической энергии в электрическую
за счет действия сторонних сил создается ЭДС Е. На рис. 1.2 приве-
дены условные обозначения гальванического элемента (а), генератора
постоянного тока (б), термопары (в) и фотоэлемента (г), преобразую-
щих указанные виды энергии в электрическую.
Не менее разнообразны типы приемников электрической
энергии. В приемниках происходят необратимые преобразования
электрической энергии в другие виды энергии. Например, аккумулятор
становится приемником в процессе его зарядки, когда электрическая
энергия преобразуется в химическую (рис. 1.3, а). В электрической
машине, работающей в режиме двигателя, электрическая энергия пре-
вращается в механическую (см. рис. 1.3, б); в электрической печи
(см. рис. 1.3, в) или резисторе (см. рис. 1.3, г) — в тепловую; в лам-
пе накаливания (см. рис. 1.3, б) — в световую.
в)
Рис< 1,2. Обозначения источников по-
стоянного тока на схемах:
а - гальванический элемент и
аккумулятор; б - генератор посто-
янного тока; в — термопара; г -
фотоэлемент
Рис, 1.3. Обозначения приемников
па схемах:
а - аккумулятор при зарядке;
б - двигатель постоянного тока;
в - электрическая печь; г — рези-
стор; д - лампа накаливания
4
В электрической цепи источники и приемники соединяются про-
водами, которые обеспечивают передачу электрической энергии от
источников к приемникам.
В электрические цепи часто включают вспомогательные и измери-
тельные устройства. Вспомогательные элементы служат для управления
режимом электрической цепи (например, коммутаторы), защиты от
перенапряжений или недопустимого значения тока (реле, предохра-
нители). На рис. 1.4 приведены условные обозначения некоторых вспо-
могательных элементов: выключателя (а), переключателя (б), штеп-
сельного разъема (в),предохранителя (г).
Рассмотрим простейшую электрическую цепь рис. 1.5, а, состоящую
из аккумулятора, лампы накаливания, выключателя, амперметра и
о
--J Рис. 1.4, Обозначения вспомогательных эле-
ментов:
а — выключатель; б - переключатель;
в ~ штепсельный разъем; г - плавкий предо-
< > хранитель
Рис. 1.5. Простейшая электрическая цепь постоянного тока (а) и схема электри-
ческой цепи (6)
12
соединительных проводов. Аккумулятор служит источником электри-
ческой энергии, лампа накаливания — приемником, выключатель пред-
назначен для замыкания и размыкания цепи, а амперметр — для изме-
рения тока.
Изображение реальных цепей сложно, громоздко и трудоемко, и по-
этому его применяют в случае, когда необходима максимальная на-
глядность. Для удобства описания электрической цепи используют ее
графическое изображение, составленное из условных обозначений эле-
ментов цепи и показывающее соединение этих элементов. Такое графи-
ческое изображение называют схемой электрической
цепи. На рис. 1.5, б приведена схема рассматриваемой электрической
цепи.
Вопрос 1.2. В строительных работах для подогрева бетонного раство-
ра иногда применяют электрическую энергию, которая передается с
помощью системы электродов. Можно ли отнести систему, состоящую
из источника электрической энергии, соединительных проводов, элект-
родов и электропроводящей массы бетона, к электрической цепи?
Варианты ответа:
1.2.1. Можно.
1.2.2. Нельзя.
1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ И СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ
И ПРИЕМНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Основными характеристиками элементов электрических цепей явля-
ются зависимости их напряжения от тока. Такие зависимости называют
вольт-амперными характеристиками (ВАХ).
Элементы электрической цепи делятся на активные и пас-
сивные. Все источники электрической энергии являются активными
элементами, они характеризуются определенным значением ЭДС Е.
Приемники электрической энергии могут быть как пассивными, так и
активными.
Пассивными* называются приемники, в которых не возникает ЭДС.
ВАХ пассивных элементов проходят через начало координат — в отсут-
ствие напряжения ток этих элементов равен нулю. Пассивные элементы
характеризуются электрическим сопротивлением R,
которое у одних приемников зависит от приложенного напряжения,
а у других не зависит. В первом случае приемники имеют нелинейные
ВАХ (рис. 1.6, а), поэтому их называют нелинейными элементами (вы-
прямительные диоды, стабилитроны и др.).
Линейные пассивные элементы имеют линейную
ВАХ, показанную на рис. 1.6, б. Сопротивление линейных элементов не
13
Рис. 1.6. Нелинейная (а) и линейная
(б) ВАХ приемников, условные обо-
значения нелинейного (в) и линейно-
го (г) резистивных элементов
зависит от напряжения, при этом тангенс угла наклона прямой к оси
тока определяет электрическое сопротивление элемента:
R = U/I = (w2{//w/)tga = mRtga, (1.11)
где Шу, mj и mR — масштабы напряжения, тока и сопротивления.
Единицей сопротивления является ом (Ом).
Величину, обратную сопротивлению, называют электрической
проводимостью и обозначают буквой G:
G = 1/А. (1.12)
Единицей электрической проводимости является сименс (См).
Зависимость тока от напряжения в линейном элементе определяется
законом Ома:
I = U/R,
(1.13)
Условные графические обозначения нелинейного и линейного рези-
стивных элементов приведены соответственно на рис. 1.6, в, г.
ВАХ источников электрической энергии, которые часто называют
внешними характеристиками, также могут быть нелиней-
ными и линейными (рис. 1.7). У большинства источников электриче-
ской энергии напряжение на их зажимах с ростом тока уменьшается
за счет падения напряжения на внутреннем сопротивлении
*вт’
Если считать постоянными ЭДС Е и внутреннее сопротивление R ,
то внешняя характеристика источника электрической энергии будет ли-
нейной (рис. 1.7, б) и математически может быть описана уравнением
U = E-R^- О-14)
Рис. 1.7. Нелинейная (д) и линейная (б) внеш-
ние характеристики источников электрической
энергии
и
£
а)
Рис. 1.8. ВАХ (л), условное обозна-
чение (б), зажимы (полюса) (в)
идеального источника ЭДС
Рис. 1.9. Схема замещения реально-
го источника (а) и схема замещения
цепи, состоящей из источника и
пассивного приемника (б)
Если внутреннее сопротивление источника много меньше сопротив-
ления приемника (7? < 7?п), т0 ПРИ 0ПРеДеленных изменениях тока
напряжение U практически остается неизменным и равным ЭДС Е.
Такой источник электрической энергии называют идеальным
источником ЭДС. ВАХ идеального источника ЭДС приведена
на рис. 1.8, а, а его условное графическое обозначение — на рис. 1.8, б.
Поскольку напряжение источника в этом случае является неизменным
(U = £), на схемах вместо источника ЭДС часто показывают зажимы,
к которым приложено напряжение U (см. рис. 1.8, в).
Задача 1.1*. Генератор постоянного тока (ГПТ) имеет параметры,
заданные табл. 1.1. Определить недостающий параметр.
Таблица 1.1
Параметр ГПТ Вариант
1 2 3 4
F, В 240 ? 140 240
С/, В 230 230 200 9
Д А 10 1 ? 5
7? Ом ? 10 4 2
Ответы: 1.7? =1 Ом; 2. Е =240 В; 3. I = 10 А; 4. U= 230 В.
Реальному источнику электрической энергии (7?вт #= 0) соответству-
ет схема замещения, состоящая из идеального источника ЭДС
Е и резистивного элемента, сопротивление 7? которого равно внутрен-
нему сопротивлению источника (рис. 1.9, а).
* Для самостоятельной работы студентов во всех главах помещены много-
вариантные задачи (отмечены звездочками).
15
Схема замещения электрической цепи — это математическая модель
реального устройства, учитывающая физические процессы, происходя-
щие в реальном устройстве. Математическая модель строится из идеаль-
ных элементов, соединенных таким образом, что уравнения схемы за-
мещения соответствуют математическому описанию реальных объек-
тов. Схемы замещения отображают свойства электрической цепи при
определенных условиях. Одной и той же электрической цепи для раз-
ных условий могут соответствовать несколько различных схем заме-
щения.
В схемах замещения электрических цепей используют универсаль-
ные обозначения источников и приемников электрической энергии
независимо от вида энергии, преобразуемой в электрическую в источ-
никах электрической энергии, и от вида энергии, в которую преобразу-
ется электрическая энергия в приемниках. Следовательно, вместо много-
численных условных графических обозначений источников и приемни-
ков электрической энергии (см. рис. 1.2 и 1.3) в схемах замещения при-
меняют единые обозначения источников ЭДС и резистивных элементов
(см. рис. 1.9, а и 1.6, в, г). Резистивный элемент в схеме замещения
может быть отнесен к любому элементу электрической цепи, в котором
происходит необратимый процесс преобразования электрической энер-
гии в другой вид энергии.
Если к источнику электрической энергии подключен пассивный при-
емник с сопротивлением /?п, то электрическую цепь можно представить
ее схемой замещения, состоящей из идеального источника ЭДС Е и
двух резистивных элементов с сопротивлениями Я и /?п (см.
рис. 1.9, £).
Для однозначности описания процессов, происходящих в цепи, не-
обходимо знать не только значения токов и напряжений, но также их
направления. Стрелки, поставленные на схемах, указывают направления
ЭДС, напряжений и токов, для которых значения обозначенных величин
положительны. Из физики известно, что за положительное направление
тока принято направление движения положительных зарядов, за положи-
тельное направление ЭДС — направление действия сторонних сил на по-
ложительный заряд, за положительное направление напряжения — на-
правление убывания потенциала. Так как положительные заряды внутри
источника движутся в направлении сторонних сил, то положительные
направления тока и ЭДС совпадают. В приемнике положительные заряды
движутся в направлении убывания потенциала, следовательно, положи-
тельные направления тока и напряжения приемника совпадают.
В схеме замещения неразветвленной электрической цепи (см.
рис. 1.9, б) ЭДС Е, направленная внутри источника от ’’минуса” к
16
’’плюсу” создает ток
по закону Ома
I = E/(R + R).
' 4 ВТ п7
I того же направления, который определяется
для всей цепи:
(1.15)
При этом напряжение
С/ = Лп/ =
Яп
----2---Е, а мощность приемника
и + *вт
£/ \ 2
Р =
п П П \ „
U2
Лп
Рассмотрим теперь неразветвленную цепь, состоящую из генератора
постоянного тока и аккумуляторной батареи, находящейся в режиме
подзарядки. Пользуясь условными обозначениями источников (см.
рис. 1.2), изобразим схему такой простейшей цепи (рис. 1.10, а). Гене-
ратор постоянного тока - это источник электрической энергии, его
схема замещения представлена на рис. 1.9, а. Аккумулятор, находя-
щийся в режиме подзарядки — активный приемник, в котором процесс
преобразования энергии сопровождается возникновением ЭДС, на-
правленной противоположно направлению тока. Приложенное к актив-
ному приемнику напряжение уравновешивает противо-ЭДС и паде-
ние напряжения на внутреннем сопротивлении Я , т. е. всегда больше
электродвижущей силы приемника
U=E + /?вт7. (1.16)
ВАХ приемника, построенная по выражению (1.16), приведена на
рис. 1.10, б. При составлении схемы замещения генератор заменяют
идеальным источником ЭДС Ех и резистивным элементом 7?вт , а
аккумуляторную батарею — идеальным источником ЭДС Е2 и рези-
стивным элементом ЯвТ2 (см. рис. 1.10,в).
Рис. 1.10. Схема цепи, состоящей из генератора и аккумулятора (д), ВАХ актив-
ного приемника (5) и схема замещения цепи (в)
2 Зак,/53/
О БИБЛИОТЕКА j
astytm. м-та
Ток в схеме совпадает по направлению с ЭДС Ех и противоположен
ЭДС Е2. Напряжение, приложенное к зажимам приемника, направлено
от зажима а с высшим потенциалом к зажиму b с низшим потенциалом.
Ток в такой схеме
' = (*.-*»„/ «„,)•
Из выражений (1.14) и (1.16) следует, что ток источника
I - (Е — U)/Rbt9 (1.17а)
а ток активного приемника
I = (U-E)IRBr (1.176)
В общем случае ток в ветви, содержащей ЭДС и резистивный элемент
Это выражение называют обобщенным законом Ома
для активной ветви, согласно которому ток активной ветви равен ал-
гебраической сумме его напряжения и ЭДС, деленной на сопротивление
ветви,
ЭДС и напряжение берут со знаком плюс, если их направления
совпадают с направлением тока, и со знаком минус, когда их направ-
ления противоположны направлению тока.
Схема замещения источника (см. рис. 1.9, а) представляет собой
последовательное соединение идеального источника ЭДС Е и резистив-
ного элемента /?вт. Возможна и другая схема замещения, содержащая
элементы, включенные параллельно. Для получения такой схемы заме-
щения преобразуем выражение (1.14), разделив все его члены на Явт:
U Е
---- =---------I
Я ВТ *вт
или
(1.19а)
I = EG^ - UGnT. (1.196)
Проведем рассуждения аналогичные тем, которые были приведены
при построении последовательной схемы замещения источника. Если
считать постоянными ЭДС Е и внутреннюю проводимость G , то ха-
рактеристика /(£7) источника будет линейной (рис. 1.11, а), с ростом
напряжения U ток I в приемнике уменьшается.
18
Рис. 1.11. ВАХ реального (д) и идеального (б) источника тока, его условное обо
значение (в) и схема замещения цепи (г)
Если внутренняя проводимость источника мала ((?вт < (7П), то при
определенных изменениях напряжения U ток I практически остается
неизменным и равным ^вт- Такой источник электрической энергии
называют идеальным источником тока, на схемах заме-
щения он обозначается символом J. ВАХ идеального источника тока
приведена на рис. 1.11, б, а его условное графическое обозначение —
на рис. 1.11, в. Если к реальному источнику электрической энергии под-
ключен пассивный приемник с проводимостью (7П, то электрическую
цепь можно представить ее схемой замещения, состоящей из идеаль-
ного источника тока J = EGBT и двух резистивных элементов с про-
водимостями (7вт и Gn (см. рис. 1.11, г). Ток приемника I =J - Л =
= EGвт - £Л7ВТ, что совпадает с формулой (1.19, £7).
В заключение отметим, что схемы рис. 1.9, б и 1.11, г являются
взаимозаменяемыми. Переход от одной схемы к другой осуществляет-
ся по формулам
/=F/Kbt, £=//G„. С„ = 1/Лв1. (1.20)
Эквивалентность схем замещения означает только то, что при под-
ключении в каждую из этих схем резистивного приемника с сопротив-
лением /?п (проводимостью Gn) ток I в обеих схемах и напряжения U
на приемнике, будут одинаковыми.
1.4. РЕЖИМЫ РАБОТЫ ИСТОЧНИКОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рассмотрим простейшую цепь, содержащую источник электрической
энергии и пассивный приемник. Схема замещения такой цепи приведена
на рис. 1.9, б.
Работа этой цепи характеризуется режимами холостого хода, корот-
кого замыкания, согласованным и номинальным.
19
Режим холостого хода соответствует отсутствию тока в
приемнике (7 = 0) и осуществляется отключением приемника от источ-
ника. При этом согласно уравнению (1.14) напряжение источника в
режиме холостого хода равно его ЭДС Е (U = Е).
Режим короткого замыкания источника возникает
тогда, когда сопротивление приемника равно нулю. При этом напря-
жение также равно нулю (£7 = 0). Ток в режиме короткого замыкания
достигает максимального значения, он ограничен лишь внутренним
сопротивлением Я источника:
I = (1.21а)
К ' ВТ ВТ v 7
Обычно режим короткого замыкания в цепи является аварийным,
так как возникающие при этом токи во много раз превышают номи-
нальные значения, на которые рассчитаны элементы цепи.
Отметим, что, так же как напряжение в режиме холостого хода
определяет ЭДС Е идеального источника в последовательной схеме
замещения, ток короткого замыкания определяет ток идеального
источника тока в параллельной схеме замещения реального источ-
ника:
7 =/к = FGBT. (1.216)
Согласованный режим работы источника и пассивного
приемника соответствует максимальной активной мощности пассив-
ного приемника.
В электрических цепях постоянного тока согласованный режим ра-
боты возникает в случае, когда внутреннее сопротивление источника
равно сопротивлению приемника, т. е. при условии Z?BT = R^. В этом
можно убедиться, записав выражения для тока и мощности приемника
с сопротивлением Ап:
/ = £7(Я + Я ),
' v ВТ п7 ’
Рп = RI2 = R Е2l(R „ + Лп)2.
В режиме холостого хода эта мощность равна нулю, поскольку I =
= 0; в режиме короткого замыкания мощность Рп также равна нулю,
так как Rn = 0. Таким образом, ясно, что при изменении /?п от 0 до °°
функция Рп (7?п) имеет экстремум (максимум). Для определения
условия, при котором мощность достигает максимального значения,
необходимо взять первую производную функции Рп (7?п) по Rn и при-
20
равнять ее нулю:
dP Е2 (R+Rn)2 - 2E2Rn(R+Rn)
__П = ____v ВТ П7________П v ВТ п7
dR„ (R„T+ Rn)4
П v ВТ п7
(1.22)
Нетрудно видеть, что решением уравнения (1.22) является равенство
/?вт =Лг При этом мощность приемника
рп
= UI = RI2 = R
п п
Е2
(Лп + /?вт)
Е2
равна половине мощности источника:
Р = El = E2KR + /?„) = E2I2R .
И ' 4 ВТ П7 'ВТ
Это означает, что половина энергии источника преобразуется в теплоту
внутри него за счет внутреннего сопротивления Я .
Эффективность передачи энергии, как известно, оценивается коэф-
фициентом полезного действия (КПД). Для схемы замещения, изобра-
женной на рис. 1.9, б, КПД определяется отношением мощностей при-
емника и источника-
Рп = = _Vbt_
Ри (Лвт+ЛХ 1+Лп/Лвт
Из графика П(^п/^вт), приведенного на рис. 1.12, видно, что КПД
возрастает с увеличением сопротивления приемника. В согласованном
режиме (Яп//?вт = 1) КПД достигает только 50%. На рис. 1.12 приве-
дены также графики зависимостей мощностей приемника Рп и источ-
ника Р от отношения R/R.
И П' ВТ
Номинальный режим соответствует режиму работы источ-
ников и приемников электрической энергии при тех значениях токов
Рис. 1.12. Графики зависимостей мощностей
источника Р , приемника Рп и КПД 7? от от-
ношения RJR „
п' вт
21
и напряжений, на которые они рассчитаны заводами-изготовителями.
Номинальные значения токов, напряжений и мощностей указываются
в каталогах и паспортах для всех источников и приемников электриче-
ской энергии. Соблюдение номинальных режимов обеспечивает эффек-
тивное и экономичное производство и потребление электрической
энергии и гарантирует срок службы электротехнических устройств,
указываемый заводом-изготовителем. Чаще всего номинальный ре-
жим работы соответствует случаю, когда сопротивление приемника
много больше внутреннего сопротивления генератора (7?п > 7?вт).
При этом КПД электрической цепи близок к единице, что очень важ-
но для силовых (мощных) электротехнических устройств и устано-
вок. Для некоторых маломощных электротехнических устройств,
используемых в радиотехнике, электронике и автоматике, важным
является достижение максимально возможной мощности приемника.
В этих случаях стремятся обеспечить согласованный режим работы
источников и приемников электрической энергии, который является
для них номинальным режимом. Иногда встречаются случаи, напри-
мер, в контрольно-измерительной технике, когда в приемнике стре-
мятся получить максимально возможный ток, значение которого
практически не зависит от сопротивления приемника. При этом но-
минальный режим близок к режиму короткого замыкания, который
обеспечивается при выполнении условия Я > /?п.
Рассмотренные свойства простейшей электрической цепи для луч-
шего усвоения сведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Режим работы цепи I и р» Рп 7?
Холостой ход 0 Е 0 0 1
Короткое замы- кание E/R ' ВТ 0 E^/R ' ВТ 0 0
Согласованный режим E/2R т ' ВТ Е/2 £2/2Я ' ВТ *2/4Двт 0,5
Задача 1.2. Для определения параметров схем замещения источника
с линейной внешней характеристикой проведены два опыта — холо-
стого хода и нагрузки. При этом приборы, включенные по схеме
рис. 1.13, показали:
в режиме холостого хода V = 110 В, I = 0;
в режиме нагрузки U = 100 В, I = 0,5 А.
Построить внешнюю характеристику источника и рассчитать параметры
его последовательной и параллельной схем замещения.
22
Рис. 1.13. Схема измерительной уста-
новки для снятия внешней характе-
ристики источника
Решение. Параметры последовательной схемы замещения
(рис. 1.9,a) F = t/x = 110B; Явт = (Е - U)/I = (110 - 100)/0,5 =20 Ом.
Параметры параллельной схемы замещения (см. рис. 1.11, г) :
J =IK =E/RBT = 110/20 = 5,5 А;
^вт = ^вт = = °’05 См-
Внешняя характеристика источника приведена на рис. 1.14.
Задача 1.3. К источнику с известной внешней характеристикой
(рис. 1.14) подключен приемник с сопротивлением Яп =200 Ом. Найти
ток в цепи, мощности источника и приемника, а также КПД источника.
Решение. Параметры последовательной схемы замещения источ-
ника (см. задачу 1.2) F = 110 В и /?вт = 20Ом.
Ток в цепи I = E/(Rn + /?вт) = 110/(200 + 20) = 0,5 А.
Мощность источника = EI = НО • 0,5 = 55 Вт.
Мощность приемника Рп = RnI2 = 200 • 0,52 = 50 Вт.
КПД источника 17 = Рп/Ри = 50/55 = 0,909.
Задача 1.4. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения источника по его внешней характеристике (рис. 1.15).
Ответ: F = £/ =40В, J =7 =8 A, R = UH =5 Ом, С=1/Я =
Л К D X A rv. Bl D1
= 0,2 См.
Задача 1.5*. В цепи схемы рис. 1.9, б установлен согласованный ре-
жим. При этом в табл. 1.3 заданы значения двух величин, характери-
зующих эту цепь. Найти значения остальных величин.
Рис. 1.14. Внешняя характери-
стика источника (к задаче 1.2)
Рис. 1.15. Внешняя характери-
стика источника (к задаче 1.4)
23
Таблица 1.3
Вариант £*, В и, В ДА У?, Ом ВТ Лп,Ом Ри.Вт Рп’Вт 7?
1 24 12
2 1 288
3 12 1
4 12 1
Ответы по всем вариантам: Е = 24 В; U = 12 В; I = 12 А; Явт =
= 10м; Яп=10м; ?и=288Вт; Рп=144Вт; п=0,5.
1.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Основными топологическими понятиями теории электрических це-
пей являются ветвь, узел, контур, двухполюсник и четырехполюсник.
Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же
током. Ветвь может состоять из одного пассивного или активного эле-
мента, а также может представлять собой последовательное соединение
нескольких элементов. На рис. 1.16 в качестве примера приведена схе-
ма замещения разветвленной электрической цепи с пятью ветвями.
Узлом называют место соединения трех и более ветвей. Разли-
чают понятия геометрического и потенциального узлов. Так, на схеме
рис. 1.16, имеется четыре геометрических и три потенциальных узла.
Геометрические узлы 3 и 3’, имеющие одинаковые потенциалы, могут
быть объединены в один потенциальный узел.
Контуром называют замкнутый путь, проходящий через не-
сколько ветвей и узлов разветвленной электрической цепи, например,
контур 1 — — 2 — Т?4 - Зг — 3 — Ех — Rx на рис. 1.16.
Двухполюсником называют часть электрической цепи с дву-
мя выделенными зажимами-полюсами. Например, правая часть цепи с
Рис. 1.16. Схема разветвленной
электрической пени
24
Рис. 1.17. Активный (а) и пассивный (б) двухполюсники, активный (в) и пассив-
ный (г) четырех нолю спи к и
зажимами а и b (см. рис. 1.16) может быть представлена двухполюсни-
ком, который изображают в виде прямоугольника с буквой А или с
буквой П. Буква А означает активный двухполюсник, буква77 — пассив-
ный. В активном двухполюснике присутствуют активные элементы
(рис. 1.17,а), в пассивном они отсутствуют (см. рис. 1.17,0).
Четырехполюсником называют часть электрической цепи,
имеющую две пары зажимов, которые называются входными (а и Ъ
на рис. 1.17) и выходными (с pi d на рис. 1.17). Так же, как и двухполю-
сники, четырехполюсники могут быть активными (см. рис. 1.17, в)
и пассивными (см. рис. 1.17, г).
Задача 1.6*. Определить количество узлов и ветвей в схемах рис. 1.18.
Ответ: В схемах рис. 1.18 четыре узла и шесть ветвей. В каждом узле
сходятся три ветви. Схема содержит один источник. Такие схемы носят
название мостовых, они широко применяются в измерительной
технике и устройствах автоматики.
25
1.6. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА ДЛЯ АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Основными законами, используемыми для анализа и расчета электри-
ческих цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа является следствием закона
сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака
не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону
Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле,
равна нулю:
2/=0. (1.24)
При этом токи, направленные от узла, следует записывать со знаком
плюс, а токи, направленные к узлу, — со знаком минус.
Второй закон Кирхгофа является следствием закона
сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом
контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками
участка цепи характеризуется разностью потенциалов или напряжением.
Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма
напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:
St7=O. (1.25а)
Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС, второй
закон Кирхгофа можно формулировать таким образом: алгебраиче-
ская сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура
равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур:
ZRI=ZE. (1.256)
При составлении уравнений (1.25а) и (1.256) слагаемые записывают
со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает
с направлением соответственно напряжения, тока или ЭДС, в противном
случае слагаемые записывают со знаком минус.
Вторым законом Кирхгофа часто пользуются для определения напря-
жения между любой парой узлов электрической цепи. Определим, напри-
мер, напряжение 3 схемы рис. 1.16:
U13 + Я1Л =
или
Ui3 = E1-R1I1.
26
Вопрос 1.3. Чему равно показание вольтметра
в схеме рис. 1.19, если £ = 20 В, £ = 10 Ом?
Варианты ответа:
1.3.1. U = 60 В.
1.3.2. [/=40В.
1.3.3. U = 0.
Рис. 1.19. К вопро-
су 1.3
1.7. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПАССИВНЫХ
УЧАСТКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Последовательное соединение элементов
Последовательным соединением элементов называют соединения,
при котором ток в каждом элементе один и тот же. На рис. 1.20, а по*
казана схема с п последовательно соединенными резистивными элемен-
тами. Заменим эти элементы одним эквивалентным (см. рис. 1.20, б)
и запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для обеих схем:
RJ + R2I + ... + RnI = U, (1.26а)
£эк/= U. (1.266)
Поскольку токи и напряжения источников заданной и эквивалент-
ной схем должны быть одинаковыми, то можно заключить, что мощ-
ность электрической цепи не изменится, если последовательно соеди-
ненные элементы заменить одним элементом с сопротивлением £эк,
равным сумме сопротивлений отдельных элементов:
R3K =Ri + Rz+ ... + Rn = Ri- u-27)
i =1
Рис. 1.20. Схема с последова-
тельным соединением элемен-
тов (а) и ее эквивалентная
схема (б)
27
На основании этих уравнений отметим некоторые свойства последо-
вательного соединения элементов:
1. Ток в цепи и напряжения на ее элементах зависят от сопротивления
любого из элементов цепи. Если, например, сопротивление первого
элемента увеличивается, ток в цепи и напряжения U2 ... U уменьшаются
(/= U/R \ Un =RnI), а напряжение Ux возрастает (СД = U - U2 - ...
... - t/^). В пределе, когда сопротивление Ri стремится к бесконечности
(холостой ход), ток I = 0, a Ux = U.
2. Напряжение на каждом из последовательно соединенных элементах
всегда меньше входного (U. < U) и, следовательно, последовательная
цепь может служить делителем напряжения. Последова-
тельное соединение приемников используют в том случае, когда их но-
минальные напряжения ниже напряжения сети (например, в елочных
гирляндах). При работе двигателей постоянного тока последовательно
с цепью якоря включают реостаты для ограничения пускового тока и
регулирования частоты вращения. Последовательным включением до-
бавочных резисторов к вольтметру расширяют его пределы измерения.
Задача 1.7. Подобрать реостат (рис. 1.21) для регулирования напря-
жения приемника в пределах от 60 до 100 В, если сопротивление прием-
ника /?п = 100 Ом, а напряжение сети U= 110 В.
Решение. На реостатах указывают их сопротивление и допусти-
мый ток. Следовательно, выбор реостата сводится к определению со-
противления реостата R? и тока.
При напряжении на приемнике Un = 60 В ток I = С7П/2^П = 60/100 =
= 0,6 А. Напряжение на реостате U = U - Un =50 В, а его сопротивление
= U^/I = 50/0,6 = 83,3 Ом. Аналогично, при = 100 В ток I = 1 А
и сопротивление R? = 10 Ом.
Следовательно, для регулирования напряжения приемника в ука-
занных пределах, нужно взять реостат, сопротивление которого долж-
но быть не менее 83,3 Ом, а номинальный ток - не менее 1 А.
Задача 1.8. Вольтметр на номинальное напряжение 3 В имеет внутрен-
нее сопротивление 400 Ом (рис. 1.22). Определить сопротивление доба-
вочных резисторов, которые нужно подключить к вольтметру, чтобы
расширить пределы измерения до 15 и 75 В.
и„
Рис. 1.21, К задаче 1.7
о 75В о15В о 38 /о
Рис. 1.22. К задаче 1.8
28
Решение. Максимальный ток в обмотке вольтметра:
1 = Цюм/^вт = (3/4°°) = 0,0075 А = 7,5 мА.
Добавочные резисторы Rx и R2 при включении вольтметра на напря-
жения 15 и 75 В должны быть подобраны так, чтобы ток полного от-
клонения оставался равным 7,5 мА. Тогда (7?! + Я ) = 15/0,0075 =
= 2000 Ом, a Rx = 1600 Ом. Аналогично, (R2 + Ri + /?вт) =75/0,0075 =
= 10000 Ом, откуда R2 =8000 Ом = 8 кОм.
Параллельное соединение элементов
Параллельным называют соединение, при котором все участки цепи
присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под воздействием
одного и того же напряжения. На рис. 1,23, а показана схема с л пассив-
ными ветвями, присоединенными к одним и тем же узлам, разность
потенциалов между которыми равна напряжению U источника. Поэтому
ток в каждой ветви определяется этим напряжением и сопротивле-
нием R либо проводимостью G соответствующей ветви:
Л = U/Rr= GtU, I2= U/R2= G2U, In = U/Rn = Gnu.
(1.28)
Схема замещения с n параллельно включенными резистивными эле-
ментами может быть заменена эквивалентной схемой с одним резистив-
ным элементом (см. рис. 1.23, б). Условия эквивалентности будут со-
блюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен току / в нераз-
ветвленной части цепи, т. е.
/ = Л + 12 + ... + In. (L29)
Подставляя в это уравнение значения токов из (1.28) получим выра-
жение
С7/Лэк = U/Rl + U/R2 + ... + U/Rn, (1.30)
Рис. 1.23. Схема с параллельным
соединением элементов (а) и ее
эквивалентная схема (б)
29
из которого можно получить формулу для эквивалентного сопротив-
ления
1/Лэк = + 1/Л2 + ... + l/Rn = S 1/R. (1.31)
i =1
или для эквивалентной проводимости
п
Сэк = G1 + + ... + = s G.. (1.32)
i = 1
Мощность электрической цепи не изменится, если параллельно соеди-
ненные элементы заменить одним эквивалентным с проводимостью
бэк, равной сумме проводимостей отдельных элементов,
К основным свойствам параллельного соединения следует отнести
следующие:
1. Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных элемен-
тов всегда меньше наименьшего из сопротивлений ветвей. При подклю-
чении нового приемника параллельно другим приемникам общая про-
водимость их увеличивается, а эквивалентное сопротивление уменьша-
ется. Если параллельно соединены п ветвей с одинаковым сопротив-
лением Я, то их эквивалентное сопротивление будет в п раз меньше
сопротивления каждой ветви, т. е. Я = R/n.
При параллельном соединении двух пассивных элементов с сопро-
тивлениями Rr и R2 эквивалентная проводимость
G3K = ^эк = + UR* = + R1)IR1R2> (1-ЗЗа)
а эквивалентное сопротивление
Яэк =R1R2/(R1 + R2), (1.336)
Токи двух ветвей при их параллельном соединении
R2
Ц = U/Rr = (R I)/Ri = ----- - I,
эк + R2
R\
It = U/R2 = (Я kI)/R2 = ----------7. (1.34)
эк Ri + R2
2. Ток в каждой из ветвей всегда меньше тока источника (тока в не-
разветвленной части цепи) и, следовательно, параллельная цепь может
служить делителем тока. Это свойство позволяет расширить
пределы измерения амперметров.
30
Рис. 1.24. К задаче 1.9
4
Задача 1.9. Три резистора с сопротивлениями Rif R2 и R3 (рис. 1.24)
подсоединены к источнику постоянного напряжения U = const. Опреде-
лить как изменятся показания вольтметра при поочередном увеличе-
нии сопротивлений резистора R t, резистора R2, резистора R3.
Ответ. При увеличении сопротивления резистора R х показание вольт-
метра не изменится, резистора R2 — увеличится, резистора R3 — умень-
шится.
Задача 1.10. Сравнить количество теплоты, выделяющейся при на-
гревании двух одинаковых спиралей за одно и то же время, если спирали
соединить сначала последовательно, а затем параллельно.
Решение. При последовательном соединении ^посл = 27?, а при
параллельном Япар - R)2. Отсюда при неизменном напряжении Uколи-
чество теплоты Qi = (U212R) и Q2 = (2t72//?). Их соотношение
С2/Ci = 4. Следовательно, при параллельном соединении спиралей вы-
делится в 4 раза больше теплоты, чем при последовательном.
Задача 1.11. Миллиамперметр на номинальный ток 7Н0М =30 мА
имеет номинальное падение напряжения U=75 мВ. Определить внутрен-
нее сопротивление прибора. Какое сопротивление должен иметь наруж-
ный шунт к этому прибору для расширения предела измерения по току
до I = 3 А?
Решение. Внутреннее сопротивление прибора
Лп = ^ном = <75 • Ю’3)/(ЗО • Ю-3) = 2,5 Ом.
Так как шунт подключается параллельно обмотке миллиамперметра,
то ток шунта = I - 7ном = 3 - 0,03 = 2,97 А. Сопротивление шунта
Аш = и^ш = <75 ' Ю"3)/2,97 = 25,3 • 10“3 Ом.
Смешанное соединение элементов
Смешанным соединением Элементов называют сочетание их последо-
вательных и параллельных соединений. Наиболее простым и распростра-
ненным в практике смешанным соединением является цепь параллель-
ного подключения приемников к источнику питания с помощью прово-
дов, обладающих заметным сопротивлением. Схема замещения такой
цепи представлена на рис. 1.25.
31
Рис» 1.25. Схема цепи с парал-
лельным подключением прием-
ников
Эквивалентное сопротивление схемы запишется в виде
Л = 2R +
эк пр
Л 1^2
R1 +Я2
Рассмотрим еще несколько примеров определения эквивалентных
сопротивлений при смешанном соединении элементов.
Задача 1.12. Определить эквивалентное сопротивление цепи схемы
рис. 1.26, а относительно полюсов а и Ь. Изменится ли эквивалентное
сопротивление при заземлении точки b цепи; при заземлении двух
точек b и с? Сопротивления резисторов Rx - 1 Ом; R2 =Яз =2 Ом;
R4 =6 Ом.
Решение. Эквивалентное сопротивление
*эк =R' +
Я4(*2 +^з) __ 1 + 6*4
R4 + Rz + R3 6+4
= 3,4 Ом.
При заземлении одной точки цепи (например, точки Ь) эквивалент-
ное сопротивление цепи не изменится. При заземлении двух точек обра-
зуются две точки равного (нулевого) потенциала, которые могут быть
объединены в одну (см. рис. 1.26, б). Резистор R3 при этом окажется
закороченным:
Рис. 1.26. К задаче 1.12
32
176 Ом 4 Ом
1—0 о-------
а ь а)
Рис. 1.27. К задаче 1.13
Задача 1.13*. Определить эквивалентные сопротивления для схем
рис. 1.27.
Ответ: 7?эк = 10 Ом для всех схем.
1.8. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
С ОДНИМ ИСТОЧНИКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Метод эквивалентных преобразований
С помощью законов Кирхгофа можно рассчитать любую электриче-
скую цепь, в том числе цепь постоянного тока с одним источником
электрической энергии. Однако в этом случае нет необходимости со-
ставлять систему уравнений по законам Кирхгофа и решать ее. Для
определения токов и напряжений каждого элемента цепи с одним ис-
точником электрической энергии можно использовать метод эквива-
лентных преобразований. Сущность метода эквивалентных преобразова-
ний легко можно понять на примере какой-либо цепи с одним источ-
ником электрической энергии. Пусть / цепи, схема которой приведе-
на на рис. 1.28, а необходимо определить токи во всех пяти ветвях,
если известны сопротивления всех элементов цепи и ЭДС источника
электрической энергии.
Для решения такой задачи отдельные участки электрической цепи
с последовательно или параллельно соединенными элементами заме-
Рис. 1.28. Схема разветвленной цепи с одним источником (д) и упрощенные схе-
мы (б и в)
33
3 Зак. /5-8 Г
няют одним эквивалентным элементом. Постепенным преобразованием
участков схему электрической цепи упрощают и приводят к простей-
шей схеме, состоящей из последовательно соединенных источника
электрической энергии и одного эквивалентного пассивного элемента.
Для схемы рис. 1.28, а вначале находят эквивалентное сопротивление
участка, состоящего из двух параллельно соединенных ветвей с сопро-
тивлениями и Rs
А4 5 ~ А4Л5 / (7^4 + Rs),
и получают схему рис. 1.28, б.
Затем находят эквивалентное сопротивление цепи относительно за-
жимов а и b
R = Ri(R3+R4s)
ab R2 + R3 + Я45
Таким образом, исходная разветвленная цепь рис. 1.28, а сведена к
простейшей цепи рис. 1.28, в, для которой нетрудно определить ток
в ветви источника ЭДС Е с сопротивлением R i:
Л = EKR. + Rab).
Зная ток /15 находят напряжение на зажимах ab двухполюсника
^ab ~ &ab и токи в ветвях h, h •
Uab/Rit /3 = Uab/(R3+ Я45).
Наконец, по известному току 13 определяют токи Ц и /5:
Задача 1.14. Определить токи в схеме рис. 1.29 и показание вольт-
метра, если U = 10 B,/?i =7 Ом, R2 =8 Ом, R3 = RS =2 Ом,Я4 =4 Ом.
Решение. Поскольку сопротивление вольтметра в расчетах прини-
мается стремящимся к бесконечности, то при нахождении токов ветвь
с вольтметром можно отбросить и схема принимает вид рис. 1.29, б.
Покажем условно положительные направления трех токов на схеме
рис. 1.29, б. Эквивалентное сопротивление участка схемы относитель-
но полюсов о и Ь
п (Я2 + Л4)(Яз+ я5) 12 >4
R , =--------------------- = ------- = 3 Ом.
а° Я2 + Я4 + Я3 + Я5 16
34
Рис. 1.29. К задаче 1.14
Эквивалентное сопротивление всей схемы
Я = Ri + R . = 7 + 3 = 10 Ом.
эк Л ао
Ток источника
Л = С//Лэк = Ю/10 = 1 А.
Токи ветвей 12 и /3
R3 + Я5 4
12 = --------?-------------Л = 1-----= 0,25 А,
/?3 + Я5 + R2 + R4 16
/3 = д _ /2 = 1 _ 0,25 = о,75 А.
Показание вольтметра определим по второму закону Кирхгофа, обой-
дя контур adca по часовой стрелке:
Л3/3 - Ucd - R2I2 = 0;
Ucd = Я373 - R2/2 = 2 • 0,75 - 8 • 0,25 = -0,5 В,
Знак минус указывает на то, что Vd > Vc и, следовательно, для пра-
вильного показания вольтметра его плюсовой зажим должен быть при-
соединен к точке d цепи.
Задача 1.15*. Определить показание вольтметра в схемах рис. 1.30.
Ответы приведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Схема а б в г
Показание вольтметра Ц,.в 50 30 105 30
35
Е=дОВ
0^5 Ом
ЯгЮОм
R3=5 Ом
R4-100m
R? 5 Ом
Е=75В
R,= 1 Ом
Rf 3 Ом
R3=30m
Rf 3 Ом
Rs~2. Ом
Е-120В
Rг 15 Ом
Rz-5 Ом
R3 = 10 Ом
R4~ 10 Ом
R5~100m
Е-75В
R^ZOm
R2=3 Dm
R3=3 Ом
R<r 3 Ом
R5- 1Ом
Рис. 1.30. К задаче 1.15
1.9. АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С НЕСКОЛЬКИМИ
ИСТОЧНИКАМИ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
Анализ и расчет любой электрической цепи можно провести на осно-
вании первого и второго законов Кирхгофа. Рассмотрим в качестве
примера, применение законов Кирхгофа для определения токов всех
ветвей схемы рис. 1.31, если сопротивления и ЭДС всех элементов
известны.
Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по зако-
нам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых конту-
ров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону
Кирхгофа, остальные уравнения составляются по второму закону
Кирхгофа.
По первому закону Кирхгофа можно составить у — 1 независимых
уравнений, где у — количество узлов схемы. Использовать все у урав-
нений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.
3 Rj
Рис. 1.31. Схема разветвленной
цепи постоянного тока
36
Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные
для всех у узлов, дважды, причем с разными знаками, поскольку один
и тот же ток направлен от одного узла (<1меет знак плюс в уравнении)
к другому узлу (имеет знак минус). При сложении всех уравнений
левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из
уравнений можно получить суммированием у — 1 уравнений с заменой
знаков всех токов на противоположные. Таким образом, у-е уравнение
всегда будет зависимым и поэтому использовать его для определения
токов нельзя.
Схема электрической цепи рис. 1.31 имеет пять ветвей и три узла,
поэтому по первому закону Кирхгофа для нее можно составить два
независимых уравнения.
Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
должно быть равно количеству независимых контуров. Независимым
называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.
Для схемы цепи рис. 1.31 надо составить три уравнения по второму
закону Кирхгофа для трех независимых контуров. Выбираем произ-
вольно направления токов в ветвях. Примем направление обхода конту-
ра по часовой стрелке. Тогда система уравнений будет иметь вид:
1) для узла 1
— 71 + 12 + Ц=
2) для узла 2
h - Л + Ц = 0;
3) для контура I
7^1/1 + 7?2^2 = Е2 ~ Е2\
4) для контура II
—R2I2 ^4/4 + Л5/5 = Е2 *
5) для контура III
R3I3- Rsh = E3. (1.35)
При составлении уравнений (3) - (5) в (1.35) со знаком плюс запи-
саны те слагаемые, в которых ток и ЭДС имеют направления, совпадаю-
щие с направлением обхода контура.
Решая систему уравнений (1.35), можно определить все пять неиз-
вестных токов. Если в результате решения этих уравнений получаются
отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направле-
37
ния токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для кото-
рых составлялись уравнения.
Правильность расчета токов в ветвях электрической цепи может
быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников
и приемников электрической энергии
2^и = С1-36)
в котором левая часть характеризует мощность источников (произведе-
ние EI для источника напряжения и JU для источника тока), а пра-
вая — мощность активных (произведение EI) и пассивных (произве-
дение RI2) приемников электрической энергии.
Для схемы рис. 1.31 уравнение баланса мощностей запишется в виде
EtIt + Е313 = Е212 + RJ2 + R2I2 + R3I23 + R4I2 + RsI2s.
Задача 1.16. Определить токи всех ветвей в схеме рис. 1.32, если за-
даны ЭДС Ei = Е2 = 30 В и сопротивления J?t = R2 = 1 Ом, R3 =4 Ом,
7^4—2 Ом, R5 = 3 Ом.
Решение. Цепь содержит пять ветвей, следовательно, имеется
пять неизвестных токов. Выбираем произвольно условно-положитель-
ные направления токов (на схеме указаны стрелками), для определе-
ния которых по законам Кирхгофа необходимо составить пять уравне-
ний. Число узлов цепи равно трем, поэтому по первому закону Кирх-
гофа составляем два уравнения:
Л = /з+ /«;
h = Л + /5.
Для составления недостающих трех уравнений выделяем три неза-
висимых контура и составляем для каждого из них уравнение по вто-
рому закону Кирхгофа:
R^Ii + Л3/3 = Ei\
Рис. 1.32. К задаче 1.16
38
R2^2 + ^4-^4 — ^2**
Л3/3 + Я4./4 — Л5/5 — 0.
В результате совместного решения этих уравнении получаем: Ц =
= 14 А, 12 = 16,67 А, /3 = 4 А, /4 = 6,67 А, /5=10А.
Задача 1.17. На автомобиле установлены два источника питания —
генератор и аккумуляторная батарея 6СТ50, содержащая 6 последова-
тельно соединенных аккумуляторов. ЭДС одного аккумулятора EQ =
= 2,1 В, внутреннее сопротивление одного аккумулятора Ro =0,01 Ом.
При работе двигателя внутреннего сгорания генератор подзаряжает
аккумуляторную батарею и питает следующие потребители:
1) двигатель вентилятора (£дв =9,4 В, R =4 Ом);
2) лампы (суммарная мощность ламп г = 144 Вт, номинальное на-
пряжение £7= 12 В).
Сопротивление амперметра в цепи батареи R& = 0,1 Ом, сопротивле-
ние соединительных проводов Лпр = 0,1 Ом, его можно учитывать толь-
ко на участке между узлами 1 и 3.
Какую ЭДС должен создавать генератор с внутренним сопротивлени-
ем Лг =0,5 Ом, если зарядный ток батареи 7ак =5 А?
Решение. Составим схему цепи (рис. 1.33, а) и ее схему замеще-
ния (рис. 1.33, б). Рассчитаем параметры схемы замещения.
Сопротивление ламп накаливания
Rn = и21Р " 144/144 = 1 Ом-
Внутреннее сопротивление и ЭДС аккумуляторной батареи, состоя-
щей из шести аккумулятрров
R* = nR$ = 6 • 0,01 = 0,06 Ом,
аК
Елк = пЕ0 = 6-2,1 = 12,6 В.
Рис. 1.33. К задаче 1.17 (fl, б) и к задаче 1.18 (в)
39
Покажем условно-положительные направления токов в схеме
рис. 1.33, б. Ток генератора /г совпадает по направлению с ЭДС Ег,
ток в аккумуляторной батарее 7 , находящейся в режиме подзарядки,
и ток двигателя I — противоположны соответственно направлениям
ЭДС £ак и £дв.
Составим уравнения по законам Кирхгофа:
Лр “ Лк + Лв’
1 4 = 'пр +
“^npAip + Vn" ^дв ~ ^дв’
5. -(R + R)7 + *ПЛВ = ^ак ~Епъ'
4 d dK dK ДВ ДВ dK дв
Подставим числовые данные в исходные уравнения (14-5):
2- 'г='пр + 'л;
3. 0,5/г + 1./л =Fr;
4. —0,17 + 1 • I - 4 • I „ = 9,4;
’пр л дв * *
5. - (0,1 + 0,06) • 5 + 4 • 7 = 12,6 - 9,4.
Из уравнения (5) находим ток 7ДВ = 1 А. Подставляя это значение
в уравнение (1), определяем 7 = 6 А. Тогда суммарный ток ламп
7 = 9,4 + 4 • 1 + 0,1 • 6 = 14 А, а ток L =1„ + 7=6 + 14=20 А. Нако-
нец ЭДС генератора Е = 24 В.
Напряжение на лампах
£7_ =ЛпЛ = 1 • 14 = 14 В.
л л л
Лампы горят с перенакалом.
1.10. МЕТОД КОНТУРНЫХ токов
В электротехнике и промышленной электронике часто находят при-
менение сложные электрические цепи с несколькими активными и пас-
сивными элементами. Если такая цепь содержит много узлов и конту-
ров, то расчет цепи на основе первого и второго законов Кирхгофа бу-
дет связан с решением большого количества уравнений. Вводя понятие
40
контурных токов, можно свести уравнения, составленные по законам
Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для независимых
контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону
Кирхгофа. Благодаря этому удается снизить порядок системы уравне-
ний. Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи,
замыкающиеся в соответствующих контурах. Рассмотрим схему
рис. 1.31, имеющую три независимых контура I, II, III. Будем считать,
что в каждом контуре имеется свой контурный ток 7р /ц и /щ. Пусть
направление этих токов будет одинаково — по часовой стрелке. Сопо-
ставляя контурные токи с тиками ветвей, можно показать, что значения
контурных токов совпадают со значениями действительных токов
только во внешних ветвях:
• Л = 4, /э = = hi •
Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних
контуров:
1г~ h ~ hi> ls = hi ~ hiv
Таким образом, по известным контурным токам легко можно найти
действительные токи ветвей.
Для определения контурных токов цепи рис. 1.31 необходимо со-
ставить для трех контуров уравнения:
(Ах + A2)/j -А2/п = Ех -Е2;
—Aj/j + (R2 + Л4 + Я5) — = *»
-Я5/п + (Я3+ *5)/П1 = Ез
или в общем случае
1^1 — — ^1 3^111 = Ер
-Яз^-^зз/ц + ^ЗЗ^щ = ^ПР
(1.37а)
(1.376)
где 7?1Ь R22, R33 — контурные сопротивления, а Ер Е^, Ещ — кон-
турные ЭДС.
Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по
ним искомые токи ветвей /ь 12, /3, /4 и /5.
41
Уравнения для контурных токов можно записать в матричной
форме:
Кц —Я12 “^13 'h л'
-Я21 Я22 -Я2з Ai = FII (1.38а)
-Я32 R33 в -Ап. _£ш.
или
[Я] [7] = [£]. (1.386)
Здесь [Я] — квадратная матрица коэффициентов при неизвестных кон-
турных токах; [/] — матрица-столбец неизвестных контурных токов;
[Я] — матрица-столбец известных контурных ЭДС Е^ = Ег - Е2, Е^ =
— Е2 И — Е3.
Диагональные элементы Я! п Я22 и Я33 матрицы [Я], называемые
контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями
контуров, равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в
контур. Остальные элементы матрицы [Я] равны сопротивлениям
общих ветвей смешных контуров и имеют знак минус, если направления
контурных токов имеют одинаковые направления, например, по часо-
вой стрелке. Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то со-
ответствующие элементы матрицы равны нулю. Так, для цепи рис. 1.31
Я11 = Я1 + Я2; R22 = R2 + Я4 + Я 5; Я33 = Я3+Я5*,
Я J 2 ~ Я21 = R2; Я2з = Я32 = Я5‘, Я1_3 = Я31 = 0.
Решением уравнения (1.386) будет
[/] = [Я]“1 [Я], (1.39)
где [Я] “1 — матрица, обратная матрице коэффициентов [Я].
1.11. МЕТОД МЕЖДУУЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
В реальных электрических цепях постоянного тока очень часто не-
сколько источников и приемников электрической энергии включаются
параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пас-
сивные ветви, соединенные параллельно, имеет только два узла, напри-
мер, узлы А и В схемы рис. 1.34. Считая положительными направления
токов 7Ь 12 и /3 от узла А к узлу В, запишем вьщажения для этих
42
Pin*. 1.34. Схема замещения цепи с
ни у ми узлами
юков, используя закон Ома для ак-
। ишюй ветви (1.18) :
Ц = (-Е + Uab)IR^
h = (E2 + Uab)IR2;
h = uab/R3.
Подставляя эти выражения в уравнение, составленное по первому
закону Кирхгофа
“ J + Ji + I2 + 73 = О,
находим напряжение между узлами А и В
U Ei/R^ — E2IR2 + J
АВ 1/R1 + 1/R2 +1/R3
ИЛИ
Е1G1 — E2G2 + J
UAB = ------------------•
АВ Gj + G2 + G3
Если схема содержит к источников тока и т источников ЭДС, то на-
пряжение UAB между узлами равно
т к
S G.E. + Б J.
илв - —---------- J~— п-40)
Произведения G.E. и J* берутся со знаком плюс, когда Е. и
направлены к узлу, потенциал которого условно принят за более по-
ложительный (к узлу с первым индексом).
Рассмотрим в качестве примера цепи с двумя узлами установку по-
стоянного тока на тепловой электростанции (ТЭС). Источником по-
стоянного напряжения на ТЭС является аккумуляторная батарея, пи-
тающая цепи управления, сигнализации, автоматики, релейной защи-
ты, аварийное освещение. ЭДС Eq одного аккумулятора в заряженном
43
состоянии составляет 2,15 В. Аккумуляторы соединяются последова-
тельно, их суммарная ЭДС £ = nEQ, гцр п — число аккумуляторов.
При соединении 117 аккумуляторов напряжение на батарее (7=2,15 х
х 117 = 251,55 В. В эксплуатации происходит саморазряд аккумулято-
ров и напряжение на батарее падает. Поэтому необходимо осуществлять
подзарядку батареи от подзарядного генератора (ГПТ). Схема акку-
муляторной установки с постоянным подзарядом изображена на
рис. 1.35, схема замещения - на рис. 1.36. Напряжение на сборных ши-
нах можно рассчитать по формуле
[J = *rZ*r + ^ак^ак
1/*г+ 1/*ак + 1/*п ’
где 7?г и 7?ак — внутренние сопротивления генератора и аккумуляторной
батареи, а Яп - эквивалентное сопротивление всех приемников. Оно
должно быть приблизительно равно 250 В. Это повышенное по отноше-
нию к номинальному напряжение (VH0M = 220 В) выгодно использовать
для питания приводов выключателей.
Рис. 1.35. Схема аккумуляторной установки с постоянным подзарядом от гене-
ратора постоянного тока (ГПТ)
Рис. 1.36. Схема замещения аккумуля-
торной установки
Задача 1.18. В условиях задачи 1.17 определить, как изменится со-
стояние цепи: а) при отключении двигателя вентилятора; б) при вклю-
чении дополнительно четырех фар каждая мощностью 46 Вт?
Решение, а) При отключении двигателя вентилятора схема
рис. 1.33, б будет содержать только два узла 1 и 2 (см. рис. 1.33, в).
Тогда по формуле 1.40 можно рассчитать напряжение С712 :
1
12,6 • ------ + 24 •
0,26
0,5
1 1
------+ -------- + 1
0.5
Зарядный ток аккумуляторной батареи
/ак = ((/12 -E)/R = (14,09 - 12,6)/0,26 = 5,7 А.
б) При подключении к узлам 1 и 2 четырех фар сопротивлением
Яф = U2/Р = 144/(4 • 46) = 0,78 Ом напряжение между узлами 1 и 2
изменится, так как в знаменателе добавится еще одно слагаемое
(1/Яф) = 1/0,78 = 1,28 Сим.
Напряжение £712 становится меньше ЭДС £ , следовательно ток 7ак,
изменит свое направление и аккумулятор начнет разряжаться, питая
одновременно с генератором лампы и фары.
Задача 1.19. Определить выходное напряжение £7ВЫХ линейного по-
тенциометра (рис. 1.37, а) при трех положениях его движка: а) в край-
нем верхнем; б) в крайнем нижнем и в) в середине переменного ре-
зистора R, если Rq = 1 кОм, 7? =0,5 кОм.
45
Рис. 1.37. К задаче 1.19
Решение. Рассматриваемому потенциометру соответствуют схемы
замещения рис. 1.37, бив. Напряжение определяется по формуле
узлового напряжения:
Следовательно, при положении движка потенциометра
а) в крайнем верхнем положении ^вых ~ ^ав = 6 В;
б) в крайнем нижнем положении ^вых =0;
в) в среднем положении = ^дв/2 = 3 В.
1.12. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО АКТИВНОГО
ДВУХПОЛЮСНИКА
Очень часто при анализе сложных электрических цепей интересуются
электрическим состоянием лишь одной ветви, причем параметры эле-
ментов этой ветви могут изменяться. В этом случае нет необходимости
производить расчет всей цепи каким-либо из рассмотренных методов,
а целесообразнее воспользоваться методом эквивалентного активного
двухполюсника. Этот метод основан на том, что всю остальную часть
цепи, кроме рассматриваемой ветви, независимо от количества актив-
ных и пассивных элементов можно заменить одним эквивалентным ак-
тивным элементом (источником ЭДС или тока) и одним эквивалент-
ным резистивным элементом. Обоснованием данного метода является
теорема об эквивалентном активном двухполюснике, которую можно
сформулировать таким образом: любой многоэлементный активный
двухполюсник может быть заменен эквивалентным двухэлементным
двухполюсником с параметрами Еэк и 7?эк или /эк и (?эк; режим ра-
боты ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.
46
Днкишь эту теорему можно, использовав свойство линейности
•нон гричоской цепи. Пусть сложная линейная электрическая цепь по-
। । пн и но го тока имеет несколько активных и пассивных ветвей
< риг. 1.38, а), в одной из которых, например, в ветви с резистором Л,
пооОходимо определить ток, напряжение и мощность при различных
Н1НЧ0НИЯХ R. Напряжение пассивной ветви любой линейной цепи линей-
но ншисит от тока этой ветви. Как известно, это напряжение всегда
мпнынс напряжения холостого хода на зажимах этой ветви. Поэтому
уриппение для напряжения на резисторе R (см. рис. 1.38, а) может
Пып» записано в виде
v=\ab-kL d-41)
Уравнение для напряжения ветви, присоединенной к эквивалентному
двухэлементному активному двухполюснику (рис. 1.38, б), имеет вид
11 = £эк - *экЛ О-42)
Сравнивая уравнения (1.41) и (1.42), можно сделать вывод о том,
что ЭДС эквивалентного активного двухполюсника £*эк равна напря-
жению холостого хода U ь между зажимами а и б исходного актив-
ного двухполюсника, а коэффициент пропорциональности к в уравне-
нии (1.41) равен эквивалентному сопротивлению Я активного двух-
полюсника.
Таким образом, любой активный двухполюсник (см. рис. 1.38, а)
можно заменить эквивалентным двухэлементным двухполюсником
(см. рис. 1.38, б) (в частном случае эквивалентным генератором) с
источником ЭДС ЕЗК = Ux и резистивным элементом с сопротивле-
нием 7?эк. При этом ток в ветви с сопротивлением R можно опреде-
лить по формуле
к (1-«)
Рис. 1.38. Многоэлементный активный двухполюсник (а} и двухэлементной экви-
валентный активный двухполюсник (б)
47
Нетрудно показать, что активный двухполюсник можно заменить
также источником тока <7эк с внутренней проводимостью G .
В случае, когда к активному двухполюснику подключена не пас-
сивная, а активная ветвь с сопротивлением R и источником ЭДС Е
(рис. 1.39, а и б), ток в этой ветви следует определять по формуле
/-(£„ +«/(«„ + «)
(1.44)
Если в этом случае ЭДС источников ЭДС и токи источников тока
активного двухполюсника приравнять нулю, то активная ветвь с со-
противлением 7? и источником ЭДС Е окажется подключенной к пас-
сивному двухполюснику (см. рис. 1.39, в). При этом 2Гэк = Uxab = О,
а ток в ветви с резистором 7? будет определяться по формуле
/ = £/(Лэк+ Ю-
(1.45)
Из рис. 1.39, виг нетрудно видеть, что сопротивление 7?эк равно
эквивалентному сопротивлению 7?экд^ пассивного двухполюсника,
относительно зажимов а и Ь, образованного из исходного много-
элементного активного двухполюсника.
Алгоритм нахождения тока по методу эквивалентного активного
двухполюсника можно представить следующим образом:
1) определить напряжение U на зажимах разомкнутой ветви;
2) заменить активный двухполюсник пассивным (убрать все ис-
точники, оставив их внутренние сопротивления, при этом необходимо
помнить, что внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС
равно нулю, идеального источника тока — бесконечности) и определить
эквивалентное сопротивление 7?эк пассивного двухполюсника;
3) найти ток в ветви по формуле (1.43) или (1.44).
Рис. 1.39. Активная ветвь с сопротивлением R и источником ЭДС#, подключенная
к многоэлементному активному двухполюснику (я), к эквивалентному активно-
му двухполюснику (б), к пассивному двухполюснику (в) и к резистивному эле-
менту с сопротивлением R (г)
эк
48
Рис. 1.40. К задаче 1.20
Задача 1.20. Определить ток 15 в ветви с резисторомЛ5 (рис. 1.40, а),
воспользовавшись методом эквивалентного активного двухполюсника,
гели Е = 6 В, Rt =R2 = 1 кОм,7?3 =4кОм,7?4 =2кОмиА5 =2,17 кОм.
Решение. В соответствии с теоремой об эквивалентном активном
двухполюснике воздействие всей цепи на рассматриваемую ветвь с ре-
зистором 7? 5 можно заменить воздействием эквивалентного активного
двухполюсника (см. рис. 1.40, б), у которого Еэк =Uxab> 7?эк =
Для определения напряжения Uxab разомкнем ветвь ab с резисто-
ром Rs (см. рис. 1.40, в) :
R3E R^E
Uxab Кз1х3 R3+R4 Rr+ R2
4-6 1-6
=----------------- = 1 B.
4+2 1+1
Сопротивление &экаь определяем по схеме рис. 1.40, г (внутреннее
сопротивление источника ЭДС равно нулю):
*эк ab
R 1R2
Я3Я4
R 3 + R 4
------- = 1,83 кОм.
4 + 2
R1 + 7? 2
1 • 1
= ------------ +
1 + 1
Ток в диагональной ветви находим из схемы рис. 1.40, б:
IS=E3K/(R3K + Т?5) = 1/(1,83 + 2,17) = 0,25 мА.
Задача 1.21*. Определить ток в ветви ab в схемах рис. 1.41. Значения
ЭДС на схемах указаны в вольтах, сопротивлений резисторов — в омах.
Ответы приведены в табл. 1.5.
4 Зак./Л/
49
Рис. 1.41. К задаче 1.21
Таблица 1.5
Схема а б в
ах, в 120 30 25
Ом 8 2 35
эк ’ А 12 3 0,5
г
60
4
3
1.13. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Основные понятия
Выше рассматривались линейные цепи постоянного тока, параметры
элементов которых (сопротивления и проводимости) считались не зави-
сящими от значений тока.
В практике часто встречаются электрические цепи, значения парамет-
ров отдельных элементов которых резко изменяются с изменением
тока. Эти элементы имеют нелинейные характеристики и называются
нелинейными элементами.
Строго говоря, большинство элементов электрических цепей посто-
янного тока являются нелинейными, так как с изменением тока изме-
няется температура элемента, а следовательно, и его сопротивление.
Однако у многих из них ВАХ в рабочем диапазоне изменений токов и
напряжений мало отличаются от прямолинейных, поэтому такие эле-
менты обычно считают линейными, что значительно упрощает расчеты.
Вместе с тем принцип действия многих электротехнических устройств
основывается именно на использовании свойств нелинейных элемен-
тов. Например, резкая зависимость сопротивления полупроводниковых
диодов (рис. 1.42) от полярности приложенного напряжения позволяет
осуществить преобразование переменного напряжения в постоянное.
В стабилизаторах напряжения используют свойства стабилитронов,
50
Рис. 1.43. Вольт-амперная характери-
стика и условное графическое обо-
значение полупроводникового стаби-
литрона
••hi . 1.42, Вольт-амперная характери-
iiiikii и условное графическое обо-
iihi'iciiHC полупроводникового диода
Рис. 1.44. Семейство вольт-ампер-
ных характеристик и условное гра-
фическое обозначение термистора
Рис. 1.45. Семейство вольт-ампер-
ных характеристик и условное гра-
фическое обозначение биполярного тран-
зистора
напряжение на которых в некотором диапазоне изменения тока оста-
ется практически неизменным (на рис. 1.43 приведена ВАХ полупро-
водникового стабилитрона).
Широкое применение в технике получили управляемые нелинейные
элементы, обладающие семейством ВАХ, каждая из которых соответ-
ствует некоторому определенному значению параметра управляющего
сигнала. На рис. 1.44 показано семейство ВАХ термистора. Управляю-
щим параметром для термистора является температура окружающей
среды Г.
На рис. 1.45 представлено семейство ВАХ биполярного транзистора
при различных значениях управляющего тока базы 1$.
51
Статическое и динамическое сопротивления
При анализе и расчете нелинейных цепей пользуются также поня-
тиями статического и динамического сопротивлений. Статическим
сопротивлением нелинейного элемента R^ в заданной точке а его ха-
рактеристики называют отношение напряжения на элементе к тому
в нем. Статическое сопротивление можно определить графически
как тангенс между прямой, проведенной из начала координат через
рассматриваемую точку а ВАХ (рис. 1.46), и осью тока:
я ст = и!1 = О-46)
где Шу и т?— соответственно масштабы напряжения и тока.
Динамическим сопротивлением нелинейного элемента R в задан-
ДИН
ной точке а его характеристики называют отношение бесконечно мало-
го приращения напряжения к соответствующему приращению тока.
Динамическое сопротивление можно определить графически как тан-
генс угла между касательной в рассматриваемой точке а ВАХ (см.
рис. 1.46) и осью тока:
Лдин = dU/dI = О-47)
Очевидно, что статическое и динамическое сопротивления нелинейного
элемента являются функциями тока и напряжения.
Вопрос 1.4. Какие утверждения Вы считаете справедливыми:
Для нелинейных элементов, ВАХ которых приведены на рис. 1.47:
а) статическое сопротивление любого из элементов монотонно убы-
вает с увеличением тока;
Рис. 1.46. Определение статиче-
ского и динамического сопро-
тивлений нелинейного элемента
52
Л) динамическое сопротивление любого
и* элементов монотонно убывает с уве-
личением тока.
//<// нкшты ответа:
I /1.1. и) и б) справедливы,
1/1.2. а) справедливо, б) несправедливо,
I/I.J. а) не справедливо, б) справедливо.
Ъдача 1.22. Определить статические и ди
мимические сопротивления диода в т. АиВ
Рис. 1.48. К задаче 1.22
НЛХ i(U) (рис. 1.48).
Р е ш е н и е. Статическое сопротивление R для любой точки харак-
1сристики определяется как отношение напряжения к току:
UA 0,4
Я . = — = ------------ =0,1 кОм;
стЛ I, 4
А
UR 0,6
R „ „ = —- = --------- = 0,06 кОм.
ст5 1п 10
D
С ростом тока статическое сопротивление диода уменьшается. Динами-
ческое сопротивление определяют по приращениям напряжения и тока
р — р
Лдин4 ЛдинЯ
да
Д/
UB-UA
В А
0,6 - 0,4 0,2
--------- = ---- = 0,033 кОм.
10-4 6
Анализ нелинейной цепи постоянного тока
методом пересечения характеристик
Ток и напряжения на участках цепи с последовательным соединени-
ем линейного и нелинейного элементов могут быть определены методом
пересечения характеристик.
В методе пересечения характеристик реализуется графическое реше-
ние нелинейного уравнения, определяющего электрическое состояние
цепи рис. 1.49, а и записанного на основании второго закбна Кирхгофа:
U2(I) =E-RlI, . (1.48)
53
Рис. 1.49. Схема нелинейной цепи
(а) и графический анализ ее
электрического состояния
Графическое решение уравнения (1.48) показано на рис. 1.49, б.
Прямая NM соответствует линейному уравнению U2 = Е - Ril. Она
построена по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода
и короткого замыкания двухполюсника с параметрами Е и R{ (коор-
динаты точки М: I = О, U = Е, координаты точки N: U2 = 0, 1 = / =
-E/Rx). Нелинейная зависимость £/з(/) является вольт-амперной ха-
рактеристикой нелинейного элемента. Решение уравнения (1.48) будет
определяться точкой пересечения прямой NM с вольт-амперной харак-
теристикой нелинейного элемента, т. е. точкой Л, для которой напря-
жение на нелинейном элементе U2(J) удовлетворяет этому уравнению.
Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения А на оси коорди-
нат, определяют рабочий режим цепи, т. е. значения напряжений Ux и
U2 на резистивных элементах R\ hR2 и тока I.
Убедимся в эффективности применения метода пересечения харак-
теристик для анализа цепей с управляемыми нелинейными элементами
и рассмотрим, например, цепь рис. 1.50, а. На этом рисунке изображена
коллекторная цепь транзисторного усилителя, в которой последователь-
но включены источник Ек (батарея гальванических элементов), линей-
ный резистор 7?к и управляемый нелинейный элемент — биполярный
Рис. 1.50. Коллекторная цепь транзисторного усилителя (а), графический анализ
ее электрического состояния (б) и схема замещения цепи (в)
54
транзистор, семейство характеристик / (С/ ) которого для несколь-
ких значений тока базы /б представлено на рис. 1.50, б. Схема замеще-
ния коллекторной цепи рис. 1.50, а изображена на рис. 1.50, в. На схеме
рис. 1.50, в батарея из гальванических элементов представлена идеаль-
ным источником ЭДС, а транзистор — нелинейным резистивным эле-
ментом. Нетрудно видеть, что схема замещения коллекторной цепи
транзисторного усилителя (см. рис. 1.50,в) аналогична схеме рис. 1.49,а.
следовательно, электрическое состояние такой цепи может быть опре-
делено методом пересечения характеристик. Простым графическим
построением (см. прямую MN на рис. 1.50, б, построенную по точкам
/к =0, J7K3 =Ек и икэ =0, IK =EK/RK) определяют ток I* и напряже-
ние на транзисторе I/ при любом заданном значении тока базы /б
или диапазон изменения напряжения ДС/ = If - U и со-
КЭ КЭмакс кэмин
ответствующее ему приращение тока Д/ при заданном диапазоне из-
tv к
меления тока базы 0<Л< Ц .
о о
Метод пересечения характеристик позволяет, например, получить
ответ на вопрос, как повлияет увеличение сопротивления линейного
резистора Ак (см. пунктирную прямую на рис. 1.50, б) на режим рабо-
ты коллекторной цепи.
Задача 1.23. На рис. 1.51, а представлена схема стабилизатора напря-
жения. Определить напряжение на выходе стабилизатора #вых, если
I/ =50 В, сопротивление балластного резистора =0,25 кОм, а ВАХ
стабилитрона приведена в табл. 1.6. Определить процентное изменение
выходного напряжения, если входное напряжение изменится на ± 20%.
Решение. Зависимость ^вых (/ ) = (/ст) выражается, с одной
стороны, вольт-амперной характеристикой стабилитрона, а с другой —
уравнением ^вых = Ц,х - , составленным по второму закону Кирх-
гофа. Последнее уравнение является уравнением прямой, построенной
по двум точкам с координатами U =0, I = If/R^ = 200 мА и
1 ВЫХ КВ X' о
Рис. 1.51. К задаче 1.23
55
Таблица 1.6
(/, в 0 15 27,5 30 31,25 32,5 35
7, мА ст 0 5 10 20 70 120 140
7=0 Ц>ых = Ц>х = 50 В. Точка пересечения прямой с ВАХ стабилитрона
определяет выходное напряжение ^вых = 32 В (рис. 1.51, б). При из-
менении выходного напряжения на ± 10 В прямая перемещается парал-
лельно самой себе и определяет приращение выходного напряжения
= 4 В* Таким образом, при изменении входного напряжения
на ± 20%, выходное напряжение изменяется на ± 2,2%, т. е. происходит
стабилизация выходного напряжения.
Применение метода эквивалентного активного двухполюсника
Анализ и расчет разветвленной электрической цепи, содержащей один
нелинейный элемент, может быть значительно упрощен при использова-
нии метода эквивалентного активного двухполюсника. Рассмотрим,
например, цепь рис. 1.52, а. Многоэлементный активный линейный двух-
полюсник, к выходным зажимам АВ которого подключен нелинейный
резистор, может быть по известным правилам (см. § 1.12) заменен ли-
нейным двухполюсником рис. 1.52, б. Напряжение UAB и ток 1АВ
в схеме рис. 1.52, б могут быть найдены методом пересечения характе-
ристик. Зная UAB и 1АВ, можно определить токи остальных ветвей
цепи рис. 1.52, а: ток Ц определится из уравнения, составленного со-
гласно второму закону Кирхгофа для внешнего контура: Ех = RXIV +
+ &31АВ + а ток h ~ из УРавнения> записанного в соответствии
с первым законом Кирхгофа: /2 = 1АВ -Ц.
Задача 1.24. В условиях задачи 1.23 определить ток 7Н в нагрузоч-
ном резисторе RH = 1000 Ом, подключенном параллельно стабилитрону
(рис. 1.53, а).
Решение. Определим параметры Еэк и Яэк эквивалентного ак-
тивного двухполюсника, к выходным зажимам которого подключен
стабилитрон (см. рис. 1.53, б).
а) В д
Рис. 1.52. Многоэлементный двух-
полюсник (а) и его эквивалент-
ная схема (б)
56
Рис. 1.53. К задаче 1.24
Разомкнем ветвь стабилитрона и определим ЭДС эквивалентного
активного двухполюсника, равную напряжению холостого хода U^AB
(см. рис. 1.53, в)
Ru 1000
UxAB=Ubx --------У---- =5° ------------ =40В-
ХЛЯ вх + 250 + 1000
Замкнем накоротко зажимы входного источника (7?вТ = 0) и опре-
делим сопротивление по схеме Рис- 1-53, г:
250-1000
Я = ----------S-Ji- = ----------- = 200 Ом.
ЭКЛВ Яб + Rn 250 + 1000
Запишем уравнение для напряжения на стабилитроне по второму
закону Кирхгофа (см. рис. 1.53, б)
U = Е - R 1= 40 - 200Лт.
ст эк ЭК СТ ^VWJCT.
Методом пересечения характеристик получаем U = 32 В. Тогда ток
нагрузки /н = ^СТ/ЯН = 32/103 = 32 мА.
Задача 1.25*. Определить ток /т терморезистора в схемах рис. 1.54.
Значения ЭДС на схемах указаны в вольтах, сопротивлений резисто-
ров в омах. ВАХ терморезистора приведена в табл. 1.7.
Рис. 1.54. К задаче 1.25
57
Таблица 1.7
и, в 0 1 2 5
/, А 0 0,2 0,3 0,35
Ответы по всем вариантам: Е = 5 В; R. = 10 Ом; I =0,3 А.
ЭК эк
1.14. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ НА ВОПРОСЫ ГЛ. 1
1.1.3. В электротехнике напряжение на разомкйутом аккумуляторе
отождествляется с разностью потенциалов между зажимами аккумуля-
тора, которая при подключенном вольтметре с большим внутренним
сопротивлением равна ЭДС, т. е. U=E = 12 В.
1.2,1. Описанную систему можно отнести к электрической цепи, если
рассматривать ее с точки зрения энергетика, которого интересует рабо-
та источника электрической энергии, выбор проводов и электродов для
обеспечения длительной безаварийной работы, а также проблемы элект-
робезопасности. Для него приемник электрической энергии представля-
ется целым устройством, имеющим ряд соединительных клемм на
электродах. В этом случае применимы понятия ”ток” и ’’напряжение”
и имеется четкая структура электрической цепи: источник, соедини-
тельные провода и приемник, поэтому такая система может быть назва-
на электрической цепью. Но для определения, например, температурно-
го поля в массе бетона необходимо знать распределение плотности тока
в нем. При таком подходе рассматриваемую систему нельзя назвать
электрической цепью. Таким образом, не любую систему с электриче-
скими токами и напряжениями можно безусловно отнести к электриче-
ской цепи.
1.3.3. Показание вольтметра будет равно нулю, так как согласно
второму закону Кирхгофа
U = 2Е - 2RI или U = Е - RI,
где I = 3E/3R = E/R.
1.4.2. Статическое сопротивление обоих нелинейных элементов моно-
тонно уменьшается при увеличении тока, так как тангенс угла наклона
прямой, проведенной из начала координат через точки на ВАХ, при росте
тока будет уменьшаться.
Зависимость динамического сопротивления от тока более сложная.
Для элемента А динамическое сопротивление на линейном участке ха-
рактеристики остается постоянным, на участке с постоянным напряже-
нием Адин = AU/ О. Для элемента В динамическое сопротивление
будет уменьшаться до нудя, а затем станет отрицательным.
58
Г л а б а вторая
ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
2.1. ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Современная электроэнергетика базируется в основном на перемен-
ном токе. Внедрение переменного тока в практику относится к 70-м
годам XIX века.
До 70-х годов XIX века энергетическая техника, использовавшая
электромагнитные явления для практических целей, основывалась на
постоянном токе. Это относилось в первую очередь к таким областям,
как электрическое освещение, гальванотехника и др.
Основным недостатком дуговых ламп постоянного тока, являвших-
ся источником света, было неравномерное сгорание угольных электро-
дов — положительный электрод сгорал быстрее. В 1876 г. П. Н. Яблоч-
ков доказал, что устойчивая электрическая дуга возникает и на пере-
менном токе, при этом в ’’свече Яблочкова” обеспечивались условия
равномерного сгорания обоих электродов.
Появление новой и надежной электрической свечи предопределило
разработку и создание экономичных источников переменного тока.
В дальнейшем применение трансформаторов открыло широчайшие воз-
можности для практического использования переменного тока, так как
сделало возможным централизованное производство электрической
энергии и экономичную передачу ее на дальние расстояния.
Электромагнитные процессы в цепях переменного тока оказывают-
ся сложнее, чем в цепях постоянного тока, и убедиться в этом можно
ни простых примерах.
На рис. 2.1 изображены протяженные проводники, подключенные к
источнику электрической энергии, приемник энергии не подключен и
цепь находится в режиме холостого хода.
Два проводника, расположенных на расстоянии друг от друга, обла-
дают некоторой электрической емкостью С. Если к ним подведено на-
пряжение источника и, то оно вызовет появление на проводниках
нк'к грического заряда q\
// О/. (2.1)
I диницсй емкости является фарада (Ф). На рис. 2.1 пунктиром по-
кп iiiiu.i несколько линии напряженности электрического поля Е, создан-
59
Рис. 2.1. Проводники, разде-
ленные диэлектриком, подклю-
ченные к источнику электри-
ческой энергии
Рис. 2.2. Магнитное поле
катушки
ного зарядами q. Знак зарядов и направление вектора Е соответствуют
случаю, когда потенциал проводника А выше, чем проводника В.
Будем считать, что электрическая проводимость воздушной среды,
окружающей проводники, равна нулю, т. е. среда является идеальным
диэлектриком и не содержит свободных носителей заряда, которые
могли бы участвовать в создании тока проводимости. Тогда в случае
источника постоянного напряжения в незамкнутой цепи рис. 2.1 ток
отсутствует. В случае источника переменного напряжения ситуация
становится иной.
Из физики известно, что электрическое поле поляризует диэлект-
рик. При изменении напряжения во времени изменяются заряды на
проводниках, напряженность электрического поля и электрическая
поляризация диэлектрика. При этом в диэлектрике возникает элект-
рический ток смещения
i - Cdu/dt.
(2.2)
в Источнике возникает ток проводимости, равный току смещения
в диэлектрике.
Следовательно, при переменном напряжении источника в цепи
рис. 2.1 появится ток даже в отсутствие приемника электрической
энергии. Значение тока при этом определяется емкостью соединительных
проводов и скоростью изменения напряжения, этот ток смещения назы-
вают Хоком утечки.
Вопрос 2.1. Как зависит ток источника переменного напряжения в
цепи рис. 2.1 от протяженности проводников А и В 1
Варианты ответа:
2.1 Л. Ток не зависит от протяженности проводников.
2.1 м2. Ток возрастает с ростом протяженности проводников.
2.1 .3. Данных для ответа недостаточно.
Перейдем к обсуждении, явлений, происходящих в переменном маг-
нитном поле и рассмотрим, например, катушку с током i (рис. 2.2).
Электрический ток создает в окружающем его пространстве магнитное
60
поле. На рис. 2.2 пунктиром показаны несколько линий магнитной
индукции В.
Если бы ток катушки был постоянным во времени, то магнитное
поле, созданное током, никак не влияло бы на состояние электрической
цепи, содержащей катушку. По другому обстоит дело в цепях перемен-
ного тока. Переменное магнитное поле, создаваемое переменным элект-
рическим током, индуцирует в катушке электродвижущую силу само-
индукции е£, значение которой определяется скоростью изменения
потокосцепления катушки с магнитным полем:
e^d^/dt. (2.3)
Потокосцепление Ф определяется по формуле
w
Ф = S Ф*,
где w - число витков катушки, — магнитный поток, равный потоку
вектора магнитной индукции В через поверхность, ограниченную кон-
туром fc-ro витка. Единицей магнитного потока является вебер (Вб),
а магнитной индукции - тесла (Тл).
При отсутствии в пространстве, окружающем катушку, ферромаг-
нитных материалов между потокосцеплением и током катушки суще-
ствует линейная связь, определяемая индуктивностью катушки
Ф = Li. (2.4)
(’ учетом (2.3) можно записать
e^-Ldi/dt. (2.5)
Г’диницей потокосцепления является вебер (Вб), а индуктивности —
юнри (Гн).
Вопрос 2.2. Как зависит индуктивность катушки от удельной элект-
рической проводимости материала проводника из которого она изго-
।пилена?
Варианты ответа:
Удельная электрическая проводимость материала проводника
не и и и ист на индуктивность катушки.
' Индуктивность катушки прямо пропорциональна удельной
»'|гь । рической проводимости материала проводника.
' .’.3. Индуктивность катушки обратно пропорциональна удельной
Hh’k । рической проводимости материала проводника.
61
В цепях переменного тока необходимо учитывать как токи смеще-
ния, так и ЭДС самоиндукции, что существенно усложняет расчет по
сравнению с цепями постоянного тока.
Все сказанное в § 2.1 справедливо для электрических цепей при
любом произвольном законе изменения электрических величин во вре-
мени. Дальше в этой главе рассматриваются линейные электрические
цепи только при синусоидальной форме изменения во времени электри-
ческих и магнитных величин. Такие цепи находят наибольшее примене-
ние в электротехнической практике.
2.2. ИДЕАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
На любом участке цепи переменного тока одновременно осуществля-
ются необратимые процессы преобразования электрической энергии
в другие виды и проявляется действие переменного электромагнитного
поля, т. е. присутствуют токи смещения и ЭДС самоиндукции.
При решении большинства электротехнических задач вводят допу-
щения, которые позволяют раздельно учитывать каждое из перечис-
ленных явлений, тем самым существенно упрощают задачу и в то же
время получают результаты с точностью, удовлетворяющей практику.
Идеальный резистивный элемент
Рассмотрим, например, процессы, происходящие в обыкновенной
лампе накаливания, включенной в сеть переменного тока. Безуслов-
но, что между отдельными витками нити накаливания существует элект-
рическая емкость, нить обладает также определенной индуктивностью.
Однако на промышленной частоте токи смещения, существующие в
диэлектрике между витками нити, значительно меньше тока проводи-
мости в металлической нити, поэтому ими можно пренебречь, считая
межвитковую емкость нити равной нулю. ЭДС самоиндукции, возни-
кающая в нити накаливания на промышленной частоте, составляет доли
процента от напряжения, приложенного к лампе, поэтому ею можно
также пренебречь, полагая, что индуктивность нити накаливания равна
нулю. При такой идеализации (С = О, L =0) лампа характеризуется
только необратимыми процессами преобразования электрической
энергии в лучистую и тепловую. В этом случае при анализе электриче-
ской цепи лампу называют идеальным резистивным элементом цепи
с сопротивлением R, или сокращенно R-элементом. Параметр рези-
стивного элемента R определяет в соответствии с законом Ома связь
62
мгновенных значений тока и напряжения:
и = Ri. (2.6)
Сопротивление резистивного элемента R в цепи переменного тока
принято называть активным* сопротивлением.
Активное сопротивление измеряется в омах.
В § 2.15 будет показано, что сопротивление резистивного элемента
зависит от частоты тока - активное сопротивление R всегда больше
сопротивления резистивного элемента в цепи постоянного тока и возрас-
тает с ростом частоты.
В этой главе будут рассмотрены только линейные цепи переменного
тока, поэтому будем считать, что активное сопротивление ^-элемента
не зависит от тока и его вольт-амперная характеристика линейна.
К идеальным резистивным элементам могут быть отнесены реостаты,
большинство электронагревательных устройств; в устройствах электро-
ники широко используют резисторы, которые специально конструируют
таким образом, чтобы их емкость и индуктивность были минимально
возможными.
На рис. 2.3 показано устройство проволочного резистора, а на рис. 2.4
приведены условные обозначения резисторов на электрических схемах.
Рис. 2.3. Устройство проволочного
резистора:
1 - выводы; 2 - провод; 3 —
керамическая трубка; 4 - слой
эмали
Рис. 2.4. Условные обозначения ре-
зисторов:
а — резистор сопротивлением
1,5 кОм, ?ном = 1 Вт; б - перемен-
ный резистор сопротивлением
1 МОм; в - проволочный резистор
сопротивлением 100 Ом
12 3 4 7
* Обратите внимание, что резистивный элемент цепи - это пассивный эле-
мент. Следовательно, активное сопротивление является параметром пассивного
элемента цепи.
63
Идеальный емкостной элемент
Примером такого идеального элемента электрической цепи пере-
менного тока может служить конденсатор. Параметром конденсатора
является его электрическая емкость С. Магнитным полем токов сме-
щения конденсатора можно пренебречь вплоть до очень высоких частот.
Электрическая энергия, теряемая в конденсаторе на нагрев совершен-
ного диэлектрика, также пренебрежимо мала, поэтому энергетические
процессы практически определяются только явлениями, происходящи-
ми в электрическом поле. При таких допущениях конденсатор называ-
ют идеальным емкостным элементом цепи переменного тока или С-эле-
ментом. Связь между мгновенными значениями тока и напряжения для
С-элемента определяется соотношением (2.2).
На электрических схемах используют условные графические обозна-
чения конденсаторов, примеры которых приведены на рис. 2.5.
Идеальный индуктивный элемент
Примером идеального индуктивного элемента может служить индук-
тивная катушка.
На промышленной частоте токи смещения между витками катушки
несоизмеримо меньше тока проводимости в ней, т. е. межвитковой
емкостью катушки можно пренебречь, аналогично тому, как это дела-
лось при рассмотрении лампы накаливания. Электрическая энергия,
выделяемая в катушке за счет нагрева провода обмотки, как правило,
невелика и во многих практических случаях ею можно также пренебречь.
При принятых допущениях индуктивную катушку называют идеаль-
ным индуктивным элементом цепи или L-элементом. Параметром
идеального индуктивного элемента является индуктивность L, а энер-
гетические процессы в нем определяются только явлениями, происхо-
дящими в магнитном поле. Связь между мгновенными значениями тока
и ЭДС самоиндукции определяется формулой (2.5).
Вопрос 23. Индуктивная катушка с активным сопротивлением,
равным нулю, включена в цепь постоянного тока. Проанализируйте,
как с ростом тока в катушке будет изменяться напряжение на ее выводах.
Варианты ответа:
2.3.1. Напряжение возрастает с ростом тока.
2.3.2. Напряжение равно нулю при любом значении тока.
2.3.3. Данных для ответа недостаточно.
Рис. 2.5. Условные обозначения конденсаторов:
а - конденсатор емкостью 0,5 мкФ; б - электро-
литический конденсатор емкостью 10 мкФ, Ц1ом
= 30 В; в - переменный конденсатор емкостью
5-30 пФ
64
Схемы замещения
Введенные в рассмотрение идеальные элементы, являющиеся науч-
ными абстракциями, имеют исключительно большое практическое зна-
чение. С помощью этих абстракций создаются схемы замещения — ма-
тематические модели электрических цепей переменного тока, позво-
ляющие решать многие электротехнические инженерные задачи подоб-
но тому, как это делалось в цепях постоянного тока.
Создавая схемы замещения, полагают, что электрическое и магнит-
ное поля сосредоточены только на тех участках цепей, схемы замещения
которых содержат соответственно С- и £-элементы, наличие в схеме за-
мещения Я-элемента свидетельствует о необратимых процессах преоб-
разования электрической энергии в другие виды.
Обозначения R-, С-у 1-элементов в схемах замещения показано на
рис. 2.6.
С учетом сказанного очевидно, например, что схема замещения кон-
денсатора с несовершенным диэлектриком в случае, когда нагревом
диэлектрика пренебречь нельзя, должна содержать, помимо емкостно-
го, резистивный элемент, учитывающий нагрев диэлектрика.
Следует обратить внимание на то, что схема замещения любого кон-
денсатора обязательно содержит емкостный элемент, но неправильно
обратное утверждение, что присутствие емкостного элемента в схеме
замещения цепи непременно свидетельствует о наличии в электрической
цепи конденсатора. Например, схемы замещения электронных устройств
содержат емкостные элементы, учитывающие межэлектродные емкости
транзисторов, а также емкости между монтажными проводами. Иными
словами, С-элемент схемы замещения отражает наличие в рассматри-
ваемой цепи явлений, происходящих в электрическом поле, связанных
с поляризацией диэлектрика и возникновением токов смещения, кото-
рые характерны не только для конденсатора.
Точно так же с помощью резистивного /^-элемента на схемах заме-
щения учитывают не только необратимые преобразования электриче-
ской энергии в тепловую, но и другие виды необратимых преобразова-
ний, т. е. на тех участках электрической цепи, схема замещения кото-
рых содержит ^-элемент, совершается работа. Например, с помощью
А* >лемента в схеме замещения электрического двигателя учитывают
Рис. 2.6. Обозначения на схе-
мах замещения идеальных эле-
ментов:
резистивного (а), емкостно-
го (б), индуктивного (в)
<г)
1
65
необратимые преобразования электрической энергии в механическую.
Наличие в схеме замещения L -элемента свидетельствует о том, что на
рассматриваемом участке электрической цепи необходимо учитывать
энергетические процессы, происходящие в магнитном поле.
Каждый из трех рассмотренных идеальных элементов электрической
цепи является пассивным, так как ток и напряжение этих элементов
отличаются от нуля только в случае, если они подключаются к источни-
кам электрической энергии.
В схемах замещения цепей переменного тока пользуются также, как
и в цепях постоянного тока (см. § 1.3), понятиями идеальных источ-
ников ЭДС и тока. Определения и условные графические обозначе-
ния этих элементов в цепях постоянного и переменного токов оди-
наковые.
Любая схема замещения электрической цепи имеет определенные
пределы применимости. Создание схемы замещения — серьезная инже-
нерная задача, которую всегда решают с учетом конкретных условий.
Вопрос 2.4. На рис. 2.7 приведены три схемы замещения одного и
того же электротехнического устройства, работающего в разных усло-
виях. Поставьте буквы, обозначающие схемы, в следующей последо-
вательности:
схема замещения для цепи постоянного тока;
схема замещения для цепи промышленной частоты;
схема замещения для цепи повышенных частот.
Варианты ответа:
2.4.1. в а б,
2.4.2. б а в.
2.4.3. а в б.
Рис. 2.7. Схемы замещения
электротехнического устрой-
ства на разных частотах
(к вопросу 2.4)
2.3. ПАРАМЕТРЫ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ВЕЛИЧИН
Значения переменных электрических величин в любой момент време-
ни называют мгновенными и обозначают строчными буквами. На рис. 2.8
представлен график мгновенных значений тока /,
который можно рассматривать как функцию времени t или пропорцио-
нальной ему величины фазового угла otf. Синусоидальная величина
является периодической функцией времени - через промежуток време-
ни Т, называемый периодом, цикл колебаний повторяется: i(f) =i(t +
+ Г). Периоду времени Т соответствует фазовый угол, равный 2тг. Дли-
тельность периода принято измерять в секундах. Величину, обратную
периоду, называют частотой и обозначают буквой f. Частота опреде-
ляется числом периодов в секунду (f = 1/Г) и измеряется в герцах
(Гц).
Диапазон частот, используемых в технике, чрезвычайно широк. Про-
изводство и распределение энергии в энергосистемах СНГ и странах
Европы осуществляется на частоте 50 Гц. Частоте 50 Гц, которую назы-
вают промышленной, соответствует период Т = 0,02 с. В США, Канаде
и Японии электроснабжение осуществляется на частоте 60 Гц. Выбор
значений частоты в энергосистемах определен тем, что при более низких
частотах становятся заметными для глаза ’’мигания” ламп накалива-
ния, а на более высоких частотах ухудшаются условия передачи энергии
на дальние расстояния за счет влияния емкостей и индуктивностей ли-
ний электропередачи. С ростом частоты уменьшаются габариты и масса
шсктрооборудования, поэтому в авиации широко используют частоту
400 Гц. Для электрического нагрева применяют высокие частоты и ча-
стоты СВЧ-диапазона. Частоту ниже промышленной используют, напри-
мер, для перемешивания жидкого металла.
Аналитическое выражение мгновенного значения тока
<и!|)сделяется тригонометрической функцией i = /^sin(coZ + ф. ).
Амплитуда тока I равна его максимальному значению. Аргу-
мент синуса (со/ + измеряемый в радианах, определяет фазовый
геол синусоидальной функции в любой момент времени t и называется
факш, а величина равная фазе в момент начала отсчета времени
U 0), называется начальной фазой. Начальная фаза отсчитывается от
начала синусоиды до начала координат и показывается односторонней
• । репкой, направленной к началу координат. Началу синусоиды соот-
нгп iiiycr момент ее перехода через нуль от отрицательного значения
ь положительному. Отсчитывать начальную фазу можно как от начала
» нпугоиды, расположенного слева от начала координат . на рис. 2.8),
он- и справа (,/// на рис. 2.8). В первом случае угол ф. > 0, а во втором
L
Рис. 2.8. График мгновенных
значений тока
1/// < 0. В электротехнике, как правило, выбирают начальную фазу из
условия 11//1 < я. Значение начальной фазы зависит от выбора начала
отсчета времени. Если, например, на графике рис. 2.8 за начало отсчета
принять точку (У , то начальная фаза тока будет равна нулю.
Угловая частота со определяет число радиан, на которое изменяется
фаза колебаний за секунду со = 2тг/ Т = 2тг/. Измеряется угловая частота
в радианах в секунду. Очевидно, что промышленной частоте 50 Гц соот-
ветствует угловая частота со = 314 рад/с.
Все сказанное относительно тока справедливо также для синусоидаль-
но изменяющихся напряжений u(t) и ЭДС e(t). На рис. 2.9 представ-
лены графики мгновенных значений тока, напряжения и ЭДС. Фазы ко-
лебаний у синусоид на рис. 2.9 различны. В момент начала отсчета вре-
мени (t = 0) напряжение проходит нулевую фазу, т. е. начальная фаза
напряжения равна нулю (ф = 0). Начало синусоиды тока сдвинуто
вправо от начала отсчета, нулевая фаза тока наступает спустя некото-
рое время после начала отсчета, т. е. начальная фаза тока отрицательна
(i/л < О)» Начало синусоиды ЭДС на рис. 2.9 сдвинуто влево от начала
отсчета времени, при этом начальная фаза положительна (ф > 0).
При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных электри-
ческих величин одной частоты обычно интересуются фазовыми соот-
ношениями, т. е. разностью фазовых углов, называемой углом сдвига
фаз. Угол сдвига фаз двух синусоидальных функций определяют как
разность их начальных фаз. Синусоиду с большим значением начальной
Рис. 2.9. Графики мгновенных значений
ЭДС, напряжения и тока
фи । !>i принято называть опережающей, ас меньшей — отстаю-
щ е й.
Например, на рис. 2.9 напряжение и опережает ток /, но отстает от
ЭДС. Если синусоидальные величины имеют одинаковые начальные
фин»!, то говорят о совпадении их по фазе; если разность
фаз равна ± я, то говорят, что синусоидальные величины противо-
положны по фазе. Фазовые соотношения имеют очень важное
шачсние при анализе электрических цепей переменного тока. Следует
обратить внимание на то, что выбор начала отсчета времени влияет на
шачения нулевых (начальных) фаз всех синусоид, но не сказывается
на фазовых соотношениях, т. е. на углах сдвига фаз.
В практике применения переменных токов широко пользуются по-
им гием действующего значения электрической величины. Действующим
называют среднеквадратическое значение переменной электрической
величины за период. Действующее значение обозначают той же буквой,
•по и соответствующее амплитудное значение, но без индекса т. Запи-
шем, например, выражение для действующего значения тока:
/ 1 Г
/ = / — J i2dt. (2.7)
V То
Как известно из курса физики, тепловое и электромеханическое
действия тока пропорциональны квадрату его мгновенного значения,
поэтому именно действующее значение тока / может служить количе-
ственной мерой их оценки за период.
Установим связь между амплитудой и действующим значением для
синусоидальных величин. Если i =/^ sin со/, то
Т т Т
f i2dt = 12п / sin2со/dt = I2 J* [(1 - cos 2a>t)l2]dt =
oo о
= TI2.
следовательно, в соответствии с определением (2.7) ,
I=ImU2. (2.8)
Для действующих значений синусоидальных напряжения и ЭДС справед-
ливы аналогичные соотношения:
Если говорят о числовых значениях переменных электрических ве-
личин, то, как правило, подразумевают их действующие значения.
69
Рис. 2.10. Графики мгновенных значе-
ний тока и напряжения (к задаче 2.1)
Электроизмерительные приборы чаще всего градуируются также в дей-
ствующих значениях.
Задача 2.1. Записать в тригонометрической форме выражения для
мгновенных значений тока и напряжения, графики которых приведе-
ны на рис. 2.10 и определить для них угол сдвига фаз. Найти действую-
щие значения тока и напряжения.
Решение. Амплитуда тока 1т =5 А, начальная фаза тока ф. =0.
Амплитуда напряжения Um = 20 В, начальная фаза напряжения =
= -7г/3. Период синусоид Т = 0,01 с, следовательно со=2я/Г = 628 рад/с;
f = 100 Гц. Итак, i = 5sin628f, и = 20sin(628r - я/3); ток опережает
напряжение на угол я/3.
В электротехнике значения начальной фазы и угла сдвига фаз принято
выражать как в радианах, так и в градусах, поэтому ответ можно запи-
сать и в другом виде: и = 20sin(628r - 60°) В, ток опережает напряже-
ние на угол 60°. Действующие значения: U= 14,1 В; I = 3,54 А.
Задача 2.2*. Записать в- тригонометрической форме выражения для
мгновенных значений'электрических величин, графики которых пред-
ставлены на рис. 2.11. Ответы приведены в табл. 2.1.
Рис. 2.11. Графики мгновенных значений ЭДС, напряжения и токов
(к задаче 2.2)
70
Таблица 2.1
Схема а б
Выражения мгновенных пычений е = 200sin(314? - тг/6) В и = 100sin(6280f + тг/2) В
Схема в г
Выражения мгновенных и in чений i = 5sin(62,8i + 2я/3) А i = 0,lsin(157f - 7Г/3) А
2.4. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как
и цепей постоянного тока, описывается уравнениями Кирхгофа, однако
вычисления становятся более громоздкими, так как уравнения содержат
тригонометрические функции. Для упрощения решения уравнений в
электротехнике широко используется математический аппа-
рат комплексных чисел.
Понять принцип расчета цепей синусоидального тока с помощью
комплексных чисел можно на простейшем примере. На рис. 2.12, а по-
казан узел электрической цепи, к которому подсоединены три ветви.
Сформулируем задачу следующим образом: известны токи
z‘i = Zlwsin(cor + V/J и i2 = 72wsin(ojr +
нужно определить ток Задачу решим, используя первый закон
Кирхгофа
/1 + /2 - /о = О
или
*о = Лти8*11^ + + !2т sin(^r + (2.9)
Из (2.9) очевидно, что искомый ток будет также синусоидальной функ-
цией времени с угловой частотой, равной известной частоте а?:
*о = Анк8111^ + ’М-
Решение поставленной задачи требует определения двух величин —
амплитуды I и начальной фазы ф0- Безусловно, что решение может
быть найдено по правилам тригонометрии, однако для произвольных
значений углов i//j и такое решение довольно громоздко. Кроме
того, в общем случае речь идет о решении уравнений, содержащих
71
Рис. 2.12. Узел электриче-
ской цепи
большее число членов, нежели уравнение (2.9). Применение комп-
лексных чисел очень упрощает решение поставленной задачи и, кроме
того, позволяет наглядно иллюстрировать решение задачи графическим
построением на комплексной плоскости.
Вспомним выражение синусоидальной функции через комплексные
показательные
sina = (е/а-е , (2.10)
где а - аргумент синусоидальной функции; / = - мнимая еди-
ница*; е — основание натурального логарифма.
Выразим все слагаемые уравнения (2.9) через комплексные показа-
тельные функции, сократим общий множитель 2j и после перестановки
членов получим
т . 7 e/(Wr+l//2) Т + =
= т + V/i) . т + V/2) г e“7(cor +
7ime y2/ne omc
Полученное уравнение справедливо для любого момента времени, а
показатели степени в его левой и правой частях имеют разные знаки,
что возможно только в случае, если обе части уравнения равны нулю.
Отсюда следует
т + VM + л e/COK + VM-
- Л e'<“( + lh) =0. (2.11)
om v 7
Упростим уравнение (2.11), разделив все его члены на общий множи-
тель е7 w 1, и перепишем в виде
= +12п^ф2- (2.12)
* Буквой / обозначена мнимая единица; отличие от обозначения, принятого
в математике, объясняется тем, что в электротехнике буква i использована для
обозначения мгновенного тока.
72
Проанализируем каждый член выражения (2.12). Первый член в пра-
ной части уравнения - комплексное число, модуль которого I равен
нмплитуде тока ii9 а аргумент — начальной фазе этого тока; анало-
। iptiio второе слагаемое - комплексное число, несущее информацию
и переменном токе i2- Просуммировав два известных комплексных
числа, стоящих в правой части уравнения, мы получили комплексное
число, модуль которого равен амплитуде искомого тока I , а аргу-
мент - начальной фазе ф0 - Введение комплексных чисел позволило гро-
моздкие тригонометрические вычисления заменить суммированием
комплексных чисел.
Комплексные числа в'уравнении (2.12) называют комплексны-
ми амплитудами тока и обозначают той же буквой, что и
амплитуду синусоиды, но над буквой ставят точку
/ = Т I -I е7^1 I =/ е7^2
zom ow ’ мп Jnnc ’ 2tn ]2тс
при этом уравнение (2.12) можно записать в более компактном виде:
^Qm ~~ I\т * ^2т'
Полученное уравнение соответствует первому закону Кирхгофа для
схемы рис. 2.12, а, записанному в комплексной форме.
На схемах замещения можно также использовать комплексные изо-
бражения электрических величин (см. рис. 2.12, б).
Подобным образом вводятся также понятия комплексных амплитуд
для напряжения и ЭДС, тогда
• / xb. . / xb • i ф
1 =1 е * U = U е и, Е =Е е е
т т ’ т т 1 т т
Очевидно, что между комплексными амплитудами и синусоидаль-
ными функциями времени существуют простые взаимно однозначные
соответствия, как между изображением и оригиналом:
/Msin(wr+ = Ат = АтЛ.
Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидальной
величины, а аргумент - ее начальной фазе.
Комплексные действующие значения пропорциональны комплекс-
ным амплитудам и записываются в виде
/ = 'е^' ; V = F. -
' = '„'72; '' = "„'75’: "="„/7^
Комплексному числу принято присваивать размерность той электри-
ческой величины, которую он изображает. Комплексные изображения
73
(2.13а)
(2.136)
несут информацию только о двух параметрах синусоиды - амплитуде
и начальной фазе, не отражая ее третьего параметра - угловой часто-
ты и. Это объясняется тем, что аппарат комплексных изображений
применим для анализа цепи, в которой действуют источники одной
известной угловой частоты со; если значение частоты не указано, то
предполагается, что это промышленная частота, т. е. со = 314 рад/с.
В формулах (2.13) комплексные амплитуды записаны в показа-
тельной форме. Для перехода к алгебраической ф о р-
м е можно воспользоваться формулой Эйлера. е/а = cos а + / sinа,
тогда комплексная амплитуда тока Im = + /sinа).
Задача 2.3*. Записать комплексные амплитуды электрических вели-
чин в соответствии с их тригонометрическими выражениями, приве-
денными в табл. 2.2. Ответы приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.2
Вариант а б
Тригонометриче- ское выражение i = 0,2sin(a>r + тг/6) А и - 20sin(cor + 45°) мВ
Вариант в г
Тригоно метриче- ское выражение е = 220sin(cof + 2Я/3) В i = 10sin(cjf + 7T/2) мА
Таблица 2.3
Вариант а б
Комплексные электри- ческие величины Im = 0,2е,’’г/6 А ит = 20е745° мВ тп
Вариант в г
Комплексные электри- ческие величины Ёт = 220е/27Г/3 В 1 = 10е/7Г/2 мА т
Комплексные сопротивления
При анализе и расчете цепей синусоидального тока особенный интерес
представляет сопоставление по амплитуде и начальной фазе тока и на-
пряжения одного и того же пассивного участка электрической цепи.
В самом удобном и компактном виде это сопоставление осуществляется
с помощью комплексных чисел.
74
Введем понятие комплексного сопротивления, которое определяет-
ся отношением комплексной амплитуды напряжения к комплексной
амплитуде тока:
1 = ЧЛ-
Комплексное число Z дает информацию как о соотношении ампли-
IYH Ujn и , так и о сдвиге фаз между напряжением и током. Действи-
1СЛЫ1О,
• * }ф /Ф- f (Ф - Ф•)
£ = ЧА = Ч." *' = (ЧД)' “ =
= <4»/'„,4'v = z^-
I де Z — модуль, а — аргумент комплексного сопротивления.
Модуль комплексного сопротивления Zf называемый полным сопро-
тивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде чока:
(2.15)
Аргумент комплексного сопротивления <р равен разности начальных
фаз напряжения и тока:
Р = Фи~ (2.16)
Комплексное сопротивление можно выразить также через комплекс-
ные действующие значения напряжения и тока:
Z = U/L (2.17)
Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается
от обозначения комплексных токов и напряжений — вместо точки над
буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это
рпзяичие объясняется тем, что сам комплекс Z не служит изображением
синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью
которого сопоставляются комплексные изображения напряжения и тока.
Соотношения
iJm=zim и и=&, (2.18)
аналогичные по форме записи закону Ома для цепи постоянного тока,
называют законом Ома в комплексной форме соответственно для
амплитудных и действующих значений.
75
0 Рис. 2.13. Комплексные обозначения
J Д|^ на схеме замещения
и
о
Обозначение комплексного сопротивления на схемах замещения при-
ведено на рис. 2.13.
Векторные диаграммы
Комплексные изображения синусоидальных электрических величин
можно представить графически. Пример графического изображения
комплексов тока и напряжения показан на рис. 2.14. На комплексной
плоскости в системе координат с ортами +1 и +/, которыми обозна-
чены положительные действительная и мнимая полуоси, строят комп-
лексные векторы I и Ufn*. Длина вектора пропорциональна в вы-
бранном масштабе модулю комплексной амплитуды. Угловое поло-
жение вектора относительно положительной действительной полуоси
определяется аргументом комплексной амплитуды. При этом от-
счет положительного угла ведут против часовой стрелки, как пока-
зано на рис. 2.14. Такой геометрический образ комплексных ампли-
туд синусоидальных функций называется векторной диаграммой.
Аналогично может быть построена векторная диаграмма комплекс-
ных действующих значений электрических величин. Векторные ди-
аграммы очень широко применяются для анализа электрических цепей.
Убедимся в наглядности векторных диаграмм, рассмотрев рис. 2.15.
На рис. 2.15, а показан узел электрической цепи, а на рис. 2.15, б и
2.15, в приведены векторные диаграммы токов.
Обе векторные диаграммы построены в предположении, что ц и /2
имеют одинаковые амплитуды. Диаграмма на рис. 2.15, б построена для
Рис. 2.14. Пример построения век
торной диаграммы
* Направление положительных полуосей может быть выбрано и иным, напри-
мер, рис. 2.14 можно повернуть па угол тг/2 против часовой стрелки.
76
Рис. 2.15. Узел электрической цепи (а) и векторные диаграммы токов (б и в)
при разных фазовых соотношениях
случая, когда начальные фазы токов и ф2 отличаются незначительно,
диаграмма на рис. 2.15, в для случая, когда начальные фазы токов
и ф2 существенно отличаются.
В обоих случаях в соответствии с первым законом Кирхгофа в
комплексной форме найден суммарный комплексный ток
/о = Л + ^2*
Определение тока /0 но известным токам Л и /2 осуществлено по
известному правилу параллелограмма. Сопоставление диаграмм на-
глядно иллюстрирует важность фазовых соотношений в цепях перемен-
ного тока - при неизменных амплитудах суммируемых токов результи-
рующие токи существенно отличаются но амплитудам за счет различия
и фазовых соотношениях токов 1Х и /2.
Как отмечалось выше, фазовые соотношения (фазовые сдвиги между
синусоидальными электрическими величинами) не зависят от выбора
момента начала отсчета времени, т. е. абсолютных значений начальных
фаз, поэтому при построении векторных диаграмм любой один изобра-
жающий вектор можно совмещать, например, с осью действительных
чисел, а все остальные векторы наносить на диаграмму, строго выдер-
живая углы сдвига фаз между изображаемыми синусоидальными ве-
пичинами. Более того, при построении векторных диаграмм можно даже
не указывать направления осей комплексной плоскости.
Простейшие математические операции с комплексными числами.
Вспомним некоторые математические положения.
Как известно, любое комплексное число А может быть записано в
। рех формах — показательной, алгебраической и тригонометрической.
Показательной формой записи Л/=Ле/а мы уже пользовались. Для
перехода к равнозначной записи А в алгебраической форме А = ах +
♦ /д2, рассмотрим рис. 2.16, из которого очевидно, что комплексное
число А может быть выражено суммой двух комплексных чисел —
77
Рис. 2.16. Иллюстрация к трем формам записи комп-
лексного числа
действительного (проекция вектора Л на ось'действительных чи-
сел) и мнимого ja2 (проекция вектора А на ось мнимых чисел). Из
рис. 2.16 очевидна и равнозначность тригонометрической формы за-
писи А = A (cos а + / sin а).
Выбор той или иной формы в каждом конкретном случае дикту-
ется удобством осуществления нужной математическое операции с
комплексными числами: при суммировании удобна алгебраическая
форма, при умножении и делении — показательная.
Напомним некоторые определения и правила действия с комплек-
сными числами, известные из математики и часто используемые при
анализе цепей синусоидального тока.
Переход от одной формы записи к другой очевиден из рис. 2.16:
А = + а22 ; фа = arctga2/*i \ = A cos фа ; а2 -A sin 0^ . Комп-
лексное число А называют действительным, если а2 = 0, при этом ар-
гумент комплексного числа равен нулю или я, а вектор А располагает-
ся на комплексной плоскости вдоль (аг > 0, фа = 0) или противопо-
ложно (af < 0, фа = я) положительному направлению оси действи-
тельных чисел. Комплексное число называют мнимым, если аг = 0;
аргумент мнимого числа может принимать значения ± я/2. На комп-
лексной плоскости мнимое число изображают вектором, совпадаю-
щим с положительным направлением оси мнимых чисел (фа = я/2)
или противоположно ему (фа = -я/2).
Запишем в трех формах выражения для единичных действитель-
ных и мнимых комплексных чисел (случай А = 1):
е/0 = cos 0 + / sin 0 = 1;
е/7Г = cos я + / sin я = —1;
е/7Г/2 = cos я/2 + / sinir/2 = +/ ;
е-/я/2 = СО8(_я/2) + /sin(—я/2) = -/.
Суммирование комплексных чисел осуществляют суммированием
их действительных и мнимых составляющих, т. е. в алгебраической
78
форме записи. Если Л =ах + ja2\ В = bx + jb2 и С = А + Я,то С=сх +
♦ /с’2, где Ci -ах +Z?j и с2 = а2 + Ь2.
При умножении комплексных чисел их модули перемножают, а ар-
гументы суммируют, следовательно, умножение удобно проводить в
показательной форме записи. Если А = Ае^а, В = Ве^Ь и С = АВ,
• 7 Ф.
ю С= Се с, где С=АВ и фс = фа +
При делении комплексных чисел их модули делят, а аргументы вы-
. . . / ф
читают, т.е., если С =А/В, то С = Се с, где С = А/В и фс = фа — фь
Комплексные числа А и А называют сопряженными, если их модули
/ Ф
равны, а аргументы равны и противоположны по знаку: А = Ае а
Л=АГ^“.
Опираясь на перечисленные правила, нетрудно доказать сираведли-
иость следующих соотношений:
/7 = -1; /(—/)=1; 1/(-/) = +/; W =-i.
Задача 2.4. На рис. 2.17, а представлена осциллограмма тока и на-
пряжения пассивного двухполюсника. Записать выражения для мгно-
венных значений напряжения и тока, приняв за начало отсчета точку 0.
Найти напряжение и ток для момента времени t\ = 7712. Записать
комплексные амплитуды напряжения и тока. Построить векторную
диаграмму па комплексной плоскости.
Решение. Угловая частота со = 2л/ Т = 314 рад/с, f = 50 Гц. В мо-
мент времени t = 0 напряжение проходит нулевую фазу, т. е. начальная
а)
••иг. 2.17. Осциллограмма тока и напряжения пассивного двухполюсника (я) и
их векторная диаграмма (б) (к задаче 2.4)
79
фаза напряжения равна нулю: фц =0. Начало синусоиды тока сдвинуто
вправо от начала отсчета времени, значение начальной фазы тока, от-
считываемое от начала синусоиды до оси, отрицательно: ф. = -я/4.
Мгновенные значения напряжения и тока
u = Um sin(cor + фи) = 200sincor В;
i = I sin(cor + i/л ) = 6sin(<of- я/4) A.
При /i = Г/12 угол a = = я/6. Напряжение и = 200sin(^/6) = 100 В,
ток i =6sin(-fl712) =-1,55 A.
Комплексные амплитуды напряжения и тока в показательной форме
ит = 200е/О = 200 В, 1т = 6е‘/7Г/4 А.
Комплексные амплитуды напряжения и тока в алгебраической форме
+ j sin фи) = 200(cos0 + / sinO) = 200 В;
!т = 1m(cos'l'i + = 6 [cos (-я/4) + /sin(—я/4)] =
= (Зл/Т- /3-/2) А.
Векторная диаграмма представлена на рис. 2.17, б. Длины векторов
пропорциональны в выбранном масштабе модулям комплексных ампли-
туд. Начальная фаза напряжения фи = 0, поэтому вектор напряжения
направлен по оси + 1, начальная фаза тока (ф. = -я/4) отложена от оси
+ 1 по направлению вращения часовой стрелки.
Задача 2.5. Выполнить задания к задаче 2.4, приняв за начало отсчета
времени точки 01 и 02 (рис. 2.17,а).
Ответ: для начала отсчета времени в точке 0j
и = 200sin(314/ + it/?) В; i = 6sin(314r + я/4) А;
ит = 200е/7Г/2 =/200 В; 1т = бе 7 71/4 = (Зх<2 + / 3>/У) А;
для начала отсчета времени в точке 02
и = 200sin(314r + я) В; i = 6sin(314r + Зя/4) А;
ит =200е/я =-200 В; 1т = 6е/зя/4 = (-3</Т+ /3 V2) А.
Векторные диаграммы представлены на рис. 2.18, а, б.
Задача 2.6. Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны
U = (20 + / 40) В, / = (5 + / 3) А. Найти мгновенные значения напряже-
ния и тока.
80
Рис. 2.18. Векторные диаграммы
токов и напряжении (к задаче 2.5)
Решение. Модули комплексных действующих значений напряже-
ния и тока:
и = У202 + 402 = 44,7 В, I = л/52 + З2 = 5,83 А.
Их начальные фазы:
tgipM = 40/20 = 2, =63° 25',
tgtf'f ~ 3/5 = 0,6, = 31°.
Комплексные действующие значения напряжения и тока в показа-
тельной форме:
* тт л л 2s' u
U = Ue и = 44,7е
1 = 1е*1 = 5,83е/31°А.
Комплексные амплитуды напряжения и тока:
Um = yj2U = 63,2е/63°25' В, im = у/21 = 8,25е/31° А.
Мгновенные значения напряжения и тока:
и = <7wsin(cjf + фи) = 63,2sin(cof + 1,11) В,
i = Im sin(cof + i//z ) = 8,25sin(cof + 0,54) А.
Задача 2.7*. Заданы комплексные действующие значения напряжений
и токов цепи:
и= (-20+ /40) В и 7 = (-5 + / 3) А,
U = (-20 - / 40) В и 7= (-5-/3) А,
и = (20 - / 40) В и 7 = (5 - / 3) А,
и = (20 - / 40) В и 7 = (-5-/3) А.
6 Зак./Л/
81
Записать выражения для мгновенных значении напряжений и токов.
Ответ:
а) и = 63,2 sin (оt + 2,03) В и
i = 8,25sin(cDf + 2,6) А;
б) и = 63,2 sin (соГ + 4,25) В
в) и = 63,2sin(cor - 1,11) В
г) и = 63,2sin(cof — 1,11) В
и i = 8,25sin(cjf + 3,68) А
и i = 8,25sin(cor - 0,54) А;
и i = 8,25sin(cor + 3,68) А.
2.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С Я-ЭЛЕМЕНТОМ
Определим ток /^-элемента, схема замещения которого показана на
рис. 2.19, а, если он подключен к источнику синусоидального напряже-
ния и = + i//w).
Для записи уравнения электрического состояния цепи синусоидаль-
ного тока предварительно необходимо, так же как и в цепях постоян-
ного тока, выбрать положительные направления тока и напряжения.
Тот факт, что ток и напряжение в цепях синусоидального тока в тече-
ние периода изменяют свое направление на противоположное, не ли-
шает смысла наличие стрелок положительных направлений: истинное
направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в моменты вре-
мени, когда i > 0 (и > 0), и противоположно стрелке, если i < 0
(и < 0). На участках электрической цепи, содержащих пассивные
элементы, положительные направления тока и напряжения, так же как
и в цепях постоянного тока, выбирают совпадающими.
U=Rl I
----—о
(р = 0
У
Рис. 2.19. Схема (д), графики мгно-
венных значений напряжения, тока и
мощности (б), векторная диаграмма
(в) цепи с Я-элементом
82
Мгновенные значения тока и напряжения Я-элемента, стрелки поло-
жительных направлений которых показаны на рис. 2.19, а, связаны
законом Ома: и = Ri. Следовательно, при заданном синусоидальном
напряжении источника ток в резистивном элементе будет также сину-
соидальным:
i =u/R = (t/M//?)sin(ot + ^„) =
= /msin(wt + ^f). (2.19)
Из (2.19) следует, что ток и напряжение в рассматриваемом случае
имеют одинаковую частоту и совпадают по фазе, а соотношение между
амплитудными значениями определяется законом Ома:
U = RI ; (2.20)
т т ’ v
= Фи и = фи- ф. = 0. (2.21)
Графики мгновенных значений напряжения и тока для случая фи =
- 0 показаны на рис. 2.19, б. Поделив правую и левую части (2.20) на
xfT, можно записать закон Ома для действующих значений напряжения
и тока:
U = RI. (2.22)
Соотношение между напряжением и током R-элемента можно запи-
• / Ф • 1ф-
сать и в комплексной форме. Если Um = Ume и и 1т = 1те 1 , то
комплексное сопротивление Z = Um/1т или Z Ф1) =
ReJ , т.е. Za=Ri следовательно,
Um =RIm и U = RL (2.23)
Комплексное сопротивление резистивного элемента является поло-
жительным действительным числом, равным значению активного сопро-
тивления R. Соотношения (2.23) называют законом Ома соответ-
ственно длякомплексных амплитуд и комплексных
действующих значений напряжения и тока.
На рис. 2.19, в построена векторная диаграмма цепи рис. 2.19, а —
вектор тока в ^-элементе совпадает по фазе с вектором напряжения.
Рассмотрим энергетические процессы в цепи с R-элементом. Работу,
совершаемую в электрической цепи, будем характеризовать скоростью
поступления энергии, т.е. магновенной мощностью р = ui. График изме-
нения мгновенной мощности для цепи с Я-элементом показан на
рис. 2.19, б, пунктирными стрелками показаны истинные направ-
83
ления и и i в течение периода. В любой момент времени истинные
направления тока и напряжения совпадают и, следовательно, мгновен-
ная мощность всегда положительна, т. е. Я-элемент потребляет электри-
ческую энергию от источника и необратимо преобразует ее в другие
виды энергии. Скорость поступления энергии в течение периода не
остается постоянной:
р = ui = Um sin со sin со Г = Um Im sin2 ojt =
= £//(l-cos2o)Z). (2.24)
Мощность колеблется с угловой частотой 2со в пределах от 0 до 2UI,
Энергетический процесс принято характеризовать средним значением
мощности за период, которое называют активной мощностью и обозна-
чают буквой Р:
1 Т i т
Р=— J* pdt =— J 67(1 -cos2cor)dr = UI, (2.25а)
То То
С учетом (2.22) полученное выражение преобразуется к виду
Р = ui = RI2. (2.256)
Активная мощность характеризует работу, совершаемую в электри-
ческой цепи за период, т. е. определяет электрическую энергию IV, не-
обратимо преобразовавшуюся в другие виды энергии:
Т
W = f pdt = PT = RI2T. (2.26)
О
На рис. 2.19, б этой работе соответствует заштрихованная площадь,
ограниченная кривой р(г) и осью абсцисс. Единицей активной мощно-
сти является ватт (Вт).
Из (2.26) видно, что ток с действующим значением I по совершае-
мой им работе эквивалентен постоянному току, имеющему то же зна-
чение I.
Вопрос 2.5. На рис. 2.20 показан график мгновенной мощности для
/?-элемента. Какой знак имеет мгновенное значение тока в момент вре-
мени
84
Рис. 2.20. График мгновенной мощности для
/{-элемента (к вопросу 2.5)
Варианты ответа:
2.5.1. Мгновенное значение тока имеет положительный знак.
2.5.2. Мгновенное значение тока имеет отрицательный знак.
2.5.3. Данных для ответа недостаточно.
2.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С /.-ЭЛЕМЕНТОМ
Рассмотрим соотношения между током и напряжением, справедли-
вые для /.-элемента, схема замещения которого и положительные на-
правления электрических величин представлены на рис. 2.21, а. Пред-
положим, что индуктивный элемент подключен к источнику синусо-
идального тока, т. е. i = Im sin (со/ + ^. ). При изменяющемся токе по-
токосцепление самоиндукции Ф будет также переменным:
Ф = Li = LIm sin (cot + t/r) = ^msin(or +
где Фш ~^m 9 ^Ф = ’ слеД°вательН0» ПРИ синусоидальном измене-
нии тока потокосцепление самоиндукции также изменяется по сину-
соидальному закону, при этом синусоиды тока и потокосцепления
совпадают по фазе. Изменяющееся потокосцепление наводит в катушке
ЭДС самоиндукции
eL =- с1ф/dt =-Ldi/dt L(^Im cos (со/ + ф. )
или
eL =Elmsi^ut + “ я/2)>
*«е ELm =Ьш1т-
При синусоидальном изменении тока ЭДС самоиндукции также сину-
соидальна, причем ЭДС отстает по фазе от тока на четверть периода.
Графики мгновенных значений /, ф и eL для случая ф. = 0 изображе-
ны на рис. 2.21, б, там же пунктирными стрелками показаны истинные
направления тока и ЭДС в течение периода. Следует обратить внимание
на то, что положительные направления i и eL на схеме рис. 2.21, а
выбраны совпадающими, а истинное направление (пунктирные
85
Рис. 2.21. Схема (а), графики мгновенных значений напряжения, тока, ЭДС и
мощности (б), векторная диаграмма (в) цепи с L-элементом
стрелки на рис. 2.21, б) в соответствии с принципом Ленца таково,
что в любой момент времени ЭДС противодействует изменениям тока,
т. е. направлена против тока, когда он нарастает по модулю, и совпадает
с током по направлению, если ток убывает. Учитывая, что и = - в£,
на рис. 2.21, б стрелки в£ изменены на противоположные.
ЭДС самоиндукции определяет разность потенциалов на зажимах
L-элемента (см. рис. 2.21, a) Vi -V2 “ Cj или -vz2="^£-Тогда для
напряжения на индуктивном элементе и, положительное направление
которого совпадает с током, можно записать и =vi -\Х2=“ в£= Ldi/dt.
Следовательно,
и = Ldi/dt = Lu Im sin (co t + + я/2) =
= t/„sin(cor + ^). (2.27)
График u(t) показан на рис. 2.21, б.
Из (2.27) следует, что при синусоидальном токе напряжение на ин-
дуктивном элементе также синусоидально: напряжение и ток изменя-
ются с одинаковой частотой; напряжение опережает ток на четверть
периода = ф. + л/2, угол сдвига фаз = фи - ф. = л/2.
Амплитудные значения тока и напряжения связаны соотношением
Um = Lwlm, Величину Lgj, имеющую размерность Ом, обозначают XL
и называют индуктивным сопротивлением. Тогда
Um = *Lfm- (2-28)
86
Выражение (2.28) называют законом Ома для ампли-
тудных значений тока и напряжения индук-
тивного элемента. Очевидно, закон Ома можно записать и для
действующих значений:
U=XLI. (2.29)
Перейдем к комплексной форме записи закона Ома.
’ 7 Ф 7 (ф,- + Я/2) • / (ф.)
Если Um =Ume “ = XLJme ' М/=/те ' , то Z =
* U // = Х,е77Г^2 =jXj. Следовательно,
ТП 1Т1 Lj L
й - IV
(2.30)
Комплексное сопротивление индуктивного элемента является поло-
жительным мнимым числом, модуль которого равен Х^. Векторная
диаграмма для индуктивного элемента построена на рис. 2.21, в - век-
тор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока на
угол я/2. Векторы напряжения и ЭДС находятся, в противофазе, вектор
потокосцепления совпадает по фазе с током.
Перейдем к анализу энергетических процессов в цепи с L-элементом.
Мгновенная мощность индуктивного элемента
р = ui = UmIm sin со Г sin(coZ + я/2) =
= (//[cos (—я/2) — cos(2cof + я/2)] = (//sin2cor.
График мгновенной мощности показан на рис. 2.21, б, В первую чет-
верть периода направления и и i совпадают и р > 0, т. е. индуктивный
элемент потребляет электрическую энергию от источника. Потребляемая
энергия запасается в магнитном поле, энергия = Li2/2 которого
в рассматриваемом интервале времени увеличивается, так как ток i
нарастает. В момент времени t = Т/4 ток достигает максимального
значения и энергия, запасенная в магнитном поле, также максимальна.
Эта энергия пропорциональна заштрихованной площади, ограниченной
па рис. 2.21, ^.цервой положительной полуволной синусоиды мощности
и осью абсцисс. Во вторую четверть периода направления миг противо-
положны и р < 0, т. е. индуктивный элемент является источником и
высвобождает энергию, запасенную в магнитном поле. Действительно,
в этом промежутке времени ток уменьшается по модулю и, следова-
тельно, энергия, запасенная в магнитном поле, также уменьшается. К мо-
менту времени t = Т/2, когда ток примет нулевое значение, весь запас
энергии будет возвращен источнику и WM =0. Далее процесс повторяет-
ся при отрицательных значениях тока.
87
Активная мощность Р, характеризующая необратимые преобразова-
ния энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности
за период, для индуктивного элемента равна нулю:
1 Т 1 Т
Р =— J pdt =— J UIsin2a}t dt — 0.
Т о То
Таким образом, в цепи с идеальным индуктивным элементом не
совершается работа, а происходит только периодический обмен энер-
гией между источником и магнитным полем. Интенсивность обмена
энергией принято характеризовать наибольшим значением скорости
поступления энергии в магнитном поле, т. е, амплитудным значением
мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью
и обозначают QL:
Ql = UI = XLI2. (2.31)
Очевидно, что реактивная мощность имеет размерность Вт, однако
единице реактивной мощности присвоено название вольт-ампер реак-
тивный, сокращенно вар. Такое наименование позволяет говорить со-
кращенно ’’мощность, равная стольким-то вар”, не добавляя слово
’’реактивная”.
Вопрос 2.6. На рис. 2.22 показан график мгновенной мощности для
L-элемента. Какой знак имеет мгновенное значение тока i в момент
времени
Варианты ответа:
2.6.1. Мгновенное значение тока имеет знак минус.
2.6.2. Мгновенное значение тока имеет знак плюс.
2.6.3. Данных для ответа недостаточно.
Рис. 2.22. График мгновенной мощности
для L-эле мента (к вопросу 2.6)
2.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С С-ЭЛЕМЕНТОМ
Найдем соотношение между током и напряжением С-элемента,
схема замещения которого и положительные направления электриче-
ских величин представлены на рис. 2.23, а. Предположим, что С-эле-
мент подключен к источнику синусоидального напряжения, т. е. и =
= Um sin (со/1 + i/Q. Изменяющаяся разность потенциалов будет вызы-
вать перераспределение заряда q = Си и, следовательно, в цепи возник-
нет ток
i = dq/dt = Cdu/dt = Ссо cos (оЯ +
или
i = Ccof/,sin(cof + i// + л/2) = I msin (co Г + ф. ), (2.32)
и rrt с
где Im =C^Um, ф. = фц + я/2.
Графики мгновенных значений и и i цдя случая ф. = 0 изображены
на рис. 2.23, б; пунктирными стрелками показаны истинные направле-
ния тока и напряжения в течение периода.
Из (2.32) следует, что при синусоидальном напряжении ток емкост-
ного элемента также синусоидален; напряжение и ток изменяются с
одинаковой частотой; ток опережает напряжение на четверть периода,
угол сдвига фаз = \ри — ф. = -тг/2; амплитудные значения тока и на-
пряжения связаны соотношением I = С со Um.
Рис. 2.23. Схема (л), графики мгновенных
значений напряжения, тока и мощности
(б), векторная диаграмма (в) цепи с
С-элс ментом
89
Величину 1/(Ссо), имеющую размерность ом, обозначают Хс и назы-
вают емкостным сопротивлением. Тогда
(2.33)
Выражение (2.33) называют законом Ома для амплитудных значе-
ний тока и напряжения емкостного элемента. Очевидно, закон Ома мож-
но записать и для действующих значений:
и= ХСК
(234)
Перейдем к записи закона Ома в комплексной форме. Если U
}& • /ф. / (Ф + Я/2) . • . т
= ~]ХС. Следовательно,
”т = -^т и " =
(2.35)
Комплексное сопротивление емкостного элемента является отрица-
тельным мнимым числом, модуль которого равен Векторная диаграм-
ма для емкостного элемента построена на рис. 2.23, в - вектор тока в
емкостном элементе опережает вектор напряжения на угол л/2.
Перейдем к анализу энергетических процессов в цепи с С-элементом.
Мгновенная мощность емкостного элемента
р = ui = Umsin (соГ - 7т/2) sin =
= UI [cos (-я/2) - cos(2cjf- л/2) = -L/7sin2coZ.
В первую четверть периода ток и напряжение имеют противополож-
ные знаки и мгновенная мощность р = ui отрицательна, т. е. энергия,
запасенная в электрическом поле, убывает, возвращаясь источнику.
Максимальная энергия электрического поля = Си2/2 соответствует
моменту t = 0, когда напряжение имеет амплитудное значение.
К моменту времени t = Т/4 напряжение становится равным нулю и
вся энергия, запасенная в электрическом поле, возвращена источнику.
Эта энергия пропорциональна заштрихованной площади, ограниченной
на рис. 2.23, б первой отрицательной полуволной мощности и осью
абсцисс.
Во вторую четверть периода ток и напряжение совпадают по знаку,
р > 0, т. е. емкостный элемент запасает энергию в электрическом поле.
Максимум энергии соответствует моменту t = 7/2. Дальше процесс
повторяется.
Активная мощность, характеризующая необратимые процессы пре-
образования энергии и определяемая средним значением мгновенной
90
мощности за период, для емкостного элемента равна нулю:
1 Т i Т
Р =— J pdt =— J UIsin 2cj t dt = 0.
То То
Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом не совер-
шается работа, а происходит только периодический обмен энергией
между источником и электрическим полем. Интенсивность обмена
энергией принято характеризовать наибольшим значением скорости
поступления энергии в электрическом поле, т, е. амплитудным значе-
нием мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью
и обозначают Qc:
QC = UI = XCI2. (2.36)
Реактивная мощность емкостного элемента, так же как и реактив-
ная мощность индуктивного элемента, измеряется в вольт-амперах
реактивных.
Дальнейший анализ цепей синусоидального тока будет базироваться
на рассмотренных свойствах трех идеальных элементов. Эти свойства
элементов схем замещения сведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Свойства элементов Идеальный элемент
резистивный емкостный индуктивный
Обозначения на схемах замещения U R е и * о ь * . и' • и * / у —
Уравнения связи II II и = U = -jXj X - 1 *е Си « = l£ at U=jXj XL = Lu
Векторная диаграмма Л 'Ь Д и / =>i/2 —J 1
91
Вопрос 2.7. Какому элементу схемы замещения соответствуют сину-
соидальные кривые тока и мгновенной мощности на рис. 2.24?
Варианты ответа:
2.7.1. Резистивному.
2.7.2. Индуктивному.
2.7.3. Емкостному.
Задача 2.8. В сеть с напряжением £/=220 В и частотой / = 50 Гц вклю-
чаются поочередно реостат с сопротивлением R = 10 Ом, индуктивная
катушка с индуктивностью L = 32 мГн и конденсатор с емкостью С =
= 318 мкФ. Определить для каждого случая токи в приемниках, постро-
ить векторные диаграммы.
Решение. Схемы замещения цепей представлены на рис. 2.25, а—в.
Комплексные сопротивления:
Za = 10 Ом, Z6 = fLu = 32 . IO"3 • 314 = / 10 Ом,
106
Zc = -fl (Си) = -/ --------- = -/ 10 0м.
317-314
Направление вектора U на комплексной плоскости выбираем по
оси+ 1, тогда U= 220е^° = 220 В.
Рис. 2.25. К задаче 2.8
Комплексные действующие значения токов:
/Л = U/R = 220/10 = 22 А,
= U/jXL = 220/(/10) =-/22 = 22е-/я/2 А,
/с = UK-jXc) = 220/(-/ 10) =/22 = 22е/я/2 А.
Мгновенные значения токов:
iR = 22\Л2§1ПйЯ A, iL = HyJ2sin(cof- я/2) А,
ic = 22x/"Tsin(cjf + я/2) А.
Векторные диаграммы построены на рис. 2.25, г—е.
2.8. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
СОСТОЯНИЯ ЦЕПИ
Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и
цепей постоянного тока, описывается с помощью уравнений, состав-
ленных в соответствии с законами Кирхгофа.
В общем виде тригонометрическое уравнение по первому закону
Кирхгофа для узла цепи синусоидального тока имеет вид
п п
? *к = ? + =0’
к =1 к=\ К
где п - число ветвей, сходящихся в узле.
Как было показано в § 2.4, этому уравнению соответствует уравне-
ние первого закона Кирхгофа в комплексной форме (например, для
действующих значений)
л п J
S 7, = S 7. е к = 0. (2.37)
jt=l Л=Г,
Правила знаков при составлении уравнений (2.37) остаются теми
же, что и в цепях постоянного тока: токи, положительные направления
которых направлены от узла, следует брать со знаком плюс, а токи,
положительные направления которых направлены к узлу, — со знаком
минус.
Для любого контура цепи с синусоидальными напряжениями справед-
ливо тригонометрическое уравнение, составленное по второму закону
Кирхгофа.
93
В идеализированных электрических цепях магнитное поле считается
сосредоточенным только на участках цепи, содержащих индуктивные
элементы. При обходе замкнутого контура цепи всегда можно выбрать
путь, лежащий вне переменного магнитного поля, а участок, содержа-
щий индуктивный элемент, характеризовать разностью потенциалов,
т. е. напряжением на его зажимах; при этом изменение потенциала в
любом замкнутом контуре цепи синусоидального тока равно нулю.
Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма
мгновенных значений напряжений всех участков замкнутого контура
равна нулю:
т т
2 ик = * + W =0’
к “1 к “1
где т — число участков, рассматриваемого контура.
Тригонометрическое уравнение можно заменить соответствующим
ему комплексным уравнением второго закона Кирхгофа (например,
для действующих значений)
т , т /ф ,
S Ц, = S Utе ик = 0. (2.38)
Л=1 К к=\
Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС второй
закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: алгебраиче-
ская сумма комплексных напряжений на пассивных элементах замкну-
того контура равна алгебраической сумме сторонних ЭДС, входящих
в этот контур:
S ZI = ЪЕ. (2.39)
Правила знаков при составлении уравнений (2.38) и (2.39) остаются
теми же, что и в цепях постоянного тока: слагаемые берут со знаком
плюс в случае, когда направление обхода совпадает со стрелкой поло-
жительного направления соответственно напряжения, тока или ЭДС.
Ниже приведены примеры записи комплексных уравнений второго
закона Кирхгофа для схем на рис. 2.26:
С/. + U. - IK + U, = 0 (схема а);
ао ос ас da v 7
£ili - Z2I2 - Ei - Е2 (схема б).
Направления стрелок комплексных напряжений и токов на схемах
замещения имеют в конечном итоге тот же смысл, что и направления
стрелок мгновенных напряжений и токов. Эти условно-положитель-
94
Рис. 2.26. Примеры электрических схем
Рис. 2.27. К вопросу 2.8
ные направления необходимы для правильного учета начальных фаз
токов и напряжений в системе уравнений т. е. для правильной записи
знаков плюс и минус в системе уравнений.
Вопрос 2.8. Для схемы на рис. 2.27 составлены два уравнения по
второму закону Кирхгофа:
a) Uab - (Z2 + Z3)I2 = Е2-
6) ZJ1 + (Z2 + z3)'i2 = e - е2.
Варианты ответа:
2.8.1. Справедливо только уравнение а.
2.8.2. Справедливо только уравнение б.
2.8.3. Справедливы оба уравнения.
2.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Эквивалентное сопротивление. Закон Ома
Рассмотрим в качестве примера день с последовательным включе-
нием резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Такая цепь с
достаточной точностью описывается схемой замещения, представлен-
ной на рис. 2.28. Найдем связь между напряжением на входе цепи и и
током i, используя комплексные числа.
Рис. 2.28. Схема цепи с после-
довательным соединением эле-
ментов
R
-----«с
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной
форме:
U= Up + U, + Ur. (2.40)
К L С
Выразим слагаемые правой части уравнения через комплексное значе-
ние тока /, воспользовавшись записью закона Ома в комплексной фор-
ме для каждого из элементов цепи:
UD = RI, и, = jLw'l = jX.I, Ur = (~ЦСи)1 = -jx’l,
t\ L Z-r U U
и перепишем (2.40) в виде
U = RI + jXLI + (-/*с)7 = (А + jXL - jxc)i
или
^ = Z3KA (2.41)
Соотношение (2.41) является записью закона Ома рассматриваемой
цепи в комплексной форме, а комплекс Z3K - эквивалентным комп-
лексным сопротивлением цепи:
* * /V
Z = U/I = R + fXL -jXc = Z e эк.
Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи
эквивалентное комплексное сопротивление цепи равно сумме комп-
лексных сопротивлений всех последовательно включенных элементов,
т. е. правило определения эквивалентного комплексного сопротивления,
последовательной цепи совпадает с аналогичным правилом для цепи
постоянного тока. Очевидно, полученный результат справедлив для
цепи с последовательным включением любого числа элементов.
По известному комплексному сопротивлению Z легко определя-
ется связь между амплитудами напряжения и тока и сдвиг по фазе меж-
ду ними (см. § 2.4, формулы (2.15) и (2.16)) : модуль эквивалентного
сопротивления, который называют полным сопротивлением, определя-
ет связь между амплитудами напряжения и тока Um = Z^Im и U =
= Z I, а аргумент эквивалентного сопротивления — связь между на-
чальными фазами
. + ф
Алгоритм расчета тока в цепи по заданному напряжению и известным
параметрам ее элементов может иметь следующий вид:
1) по заданному напряжению находят его комплексное изображение;
2) рассчитывают эквивалентное комплексное сопротивление цепи;
96
* 3) по закону Ома определяют комплексный ток;
4) по найденному комплексному току находят выражение для его
мгновенного значения.
Треугольники сопротивлений и напряжений
Перепишем выражение для Z, сгруппировав члены, содержащие / :
Z = R + / (XL -Хс) = R + /X.
Коэффициент X при мнимой части комплексного сопротивления на-
зывают реактивным сопротивлением:
X = XL - Хс. (2.42)
Следует обратить внимание на то, что индуктивное Х{ и емкостное
Хс сопротивления являются арифметическими величинами, зависящи-
ми только от параметров элементов и угловой частоты: Х^ %с =
= 1/(Ссо), реактивное же сопротивление X - величина алгебраическая
и его знак зависит от соотношения между индуктивными и емкостными
со п ротив л ен ия ми.
Рассмотрим соотношение, связывающее полное сопротивление с
активным R и реактивным X сопротивлениями. На рис. 2.29, а сделаны
построения, соответствующие комплексному выражению Z = R + jX.
Заштрихованный прямоугольный треугольник принято называть тре-
угольником сопротивлений. Из треугольника сопротивлений очевидны
соотношения:
Z = + Х2\ (2.43)
tg^ = X/ R\ cos^ = R/Z\ sin^ = Л/Z; (2.44)
R =Zcos^; X = Zsin^. (2.45)
С учетом найденных соотношений комплексное сопротивление можно
записать в виде ,
z = Jr2 + ^2e/arctg(x/K)
Рис. 2.29. Треугольники сопротивле-
ний (д) и напряжений (б)
7 Зак./5^/
97
Построение треугольника напряжений очевидно из рис. 2.29, б. На
векторной диаграмме рис. 2.29, б вектор напряжения спроецирован на
направление вектора тока; полученный при этом треугольник называют
треугольником напряжения. Катеты прямоугольного треугольника на-
пряжения называют активной и реактивной составляющими: активная
составляющая напряжения UQ параллельна току, а реактивная 17 -
ортогональна. Из треугольника напряжений очевидны соотношения:
£/ = U cosip и U = Uslntp (2.46а)
или, с учетом (2.45),
t/ = UR/Z = IR и Up = UX/Z = Ж (2.466)
Фазовые соотношения. Резонанс напряжений
Если параметры цепи рис. 2.28 подобраны таким образом, что спра-
ведливо неравенство Leo > 1/Ссо, то в соответствии с (2.42) реактивное
сопротивление положительно (X > 0), при этом угол ip = arctgA/Я
также больше нуля и напряжение опережает ток. В этом случае принято
говорить, что цепь рис. 2.28 имеет индуктивный характер. На рис. 2.30, а
представлена векторная диаграмма цепи для рассматриваемого случая.
Построение векторной диаграммы для последовательной цепи удобно
начинать с вектора тока 7, который является одним и тем же для всех
элементов цепи, векторы напряжений UR, UL и Uc ориентированы
по отношению к вектору тока в соответствии с фазовыми соотношения-
ми для идеальных элементов; а вектор напряжения U найден в соответ-
ствии с уравнением U = UR + UL + Uc. При построении векторной ди-
аграммы рис. 2.30, а учтено, что неравенству XL > Хс соответствует
условие UL>UC.
Рис. 2.30. Векторные диаграммы цепи с последовательным соедине-
нием элементов
98
Если для цепи рис. 2.28 справедливо неравенство Leo < 14(СЪо),
то реактивное сопротивление отрицательно (X < 0), следовательно,
угол также отрицателен и напряжение отстает от тока. В этом случае
принято говорить, что цепь рис. 2.28 имеет емкостный характер. При
построении векторной диаграммы рис. 2.30, б для цепи рис. 2.28
при условии XL < Хс учтено, что UL < Uc.
И наконец, возможен третий случай, когда индуктивное и емкостное
сопротивления равны, т. е. реактивное сопротивление цепи %=0 и сдвиг
фаз между током и напряжением отсутствует (<р = 0). Режим, при кото-
ром в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкост-
ного элементов напряжение на входе совпадает по фазе с током, назы-
вают резонансом напряжений. Условием резонанса напряжений является
равенство
XL = Хс . (2.47)
В режиме резонанса напряжений реактивное сопротивление цепи рав-
но нулю, т. е. комплексное сопротивление является действительным
числом Z = R.
Векторная диаграмма для резонанса напряжений представлена на
рис. 2.30, в, при построении диаграммы учтено, что условию Х^ = Хс
соответствует равенство UL резонансном режиме UL + ^=0,
а напряжение на резистивном элементе равно напряжению на входе
цепи. Очевидно, что в режиме резонанса реактивная составляющая на-
пряжения [/р равна нулю.
Условием резонанса напряжений является равенство нулю реактив-
ного сопротивления
Х= XL-Xc=0 или Lv = 1/(Ссо).
Следовательно, режим резонанса может быть достигнут при измене-
нии L, С или со.
Резонансная частота
“Р>, = i/Улг.
(2.48)
Анализируя векторные диаграммы и аналитические соотношения для
цепей синусоидального тока, полученные в этом параграфе, нужно обра-
тить особое внимание на большую роль фазовых соотношений. Напри-
мер, именно потому, что напряжение на L- и С-элементах находятся
в противофазе фи
= ф
Ч
С
+ я, в цепи переменного тока с последователь-
ным соединением элементов могут создаваться условия, невозможные
для цепей постоянного тока, когда напряжения на отдельных участках
цепи могут значительно превышать напряжение на входе.
Например, в режиме резонанса при условии XL =ХС > R напряжение
на катушке и конденсаторе могут значительно превышать напряжение
на входе U = U„ > UD = U.
L С К
Вопрос 2.9. Изменяя емкость конденсатора, цепь рис. 2.28 настраива-
ют на режим резонанса. Как определить момент резонанса по показа-
ниям амперметра?
Варианты ответа:
2.9.1. В режиме резонанса показания амперметра минимальны.
2.9.2. В режиме резонанса показания амперметра максимальны.
2.9.3. Режим резонанса нельзя определить по показаниям амперметра.
Задача 2.9. Напряжение на зажимах индуктивной катушки и =
= 60sin(u>f + 30°) В, со = 314 с”1, параметры схемы замещения катушки
R = 4,8 Ом, L = 35 мГн. Найти выражение для мгновенного значения
тока z(r).
Решение. Схема замещения катушки приведена на рис. 2.31.
Определим вначале индуктивное сопротивление катушки XL = Leo =
= 35 • IO”3 • 314 = И Ом. Комплексное сопротивление цепи Z =R +
+ fXr = (4,8 + / 11) Ом или Z = 12е/67° Ом. Комплексная амплитуда
* •Q«О *
напряжения U = 6Ое730 В. Тогда в соответствии с законом Ома Im =
- Um/Z- 5е“737 А, следовательно, амплитуда тока Im = 5 А, а началь-
ная фаза ф. =-37°. Мгновенное значение тока i = 5sin(cof - 37°) А.
Задача 2.10*. Для цепей, схемы замещения которых представлены
на рис. 2.32, найти выражения для комплексных амплитуд и мгновенных
значений тока, если uqc = 100sin(coZ + 10°). Значения сопротивлений
указаны на схемах в омах.
Ответы приведены в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Резу ль- таты расче- тов Схема
, а б в г
Z, Ом 3_/4 = 5е-7'53’ 3 +/4 = 5е/53° 8 - /6 = 10е—' 37° 8+/6= 10е/37°
20е'63° 20е-'43° 10е/47° 10е -/27°
z, А 20sin(atf + 63° ) 20sin(ojr-43° ) 10sin(wr + 47°) 1 Osin (СО/- 27°)
Рис. 2.31. К задаче 2.9
Рис. 2.32. К задаче 2.10
100
Задача 2,11. Найти показания вольтметра в схеме рис. 2.33, а, если
напряжения на резисторе и индуктивной катушке одинаковые:
U» = UT = 20 В.
Решение. Решим задачу, воспользовавшись векторной диаграм-
мой цепи (см. рис. 2.33, б). Построим, направив произвольно, вектор
тока I, вектор UR совпадает по фазе с током /, а вектор UL опережает
ток I на угол я/2. Вектор искомого напряжения является гипотенузой
равнобедренного треугольника, тогда U = у/ UR+ = \ГТ• 20 В. В ус-
ловиях задачи заданы действующие значения напряжений, вольтметр
также градуируется в действующих значениях, следовательно, показа-
ния вольтметра U = >/2”• 20 В. Задачу можно решить аналитически:
(1 = UR + и^. Предположим для простоты, что ток имеет нулевую на-
чальную фазу, тогда комплексы тока I и напряжения UR будут дей-
ствительными числами, а комплекс UL - мнимым положительным
числом U- (20 + / 20) В —урТ- 20е/7Г/4 В. Показание вольтметра рав-
но VT-20B.
Задача 2.12*. Найти напряжение U ь в цепях, схемы замещения ко-
торых представлены на рис. 2.34, если £/^=80 В, Uqc =60 В.
Ответы представлены в табл, 2.6.
Таблица 2.6
Схема а б в г
^в 100 20 20 100
Рис. 2.34. К задаче 2.12
Рис. 2.35. К задаче 2.13
101
Задача 2.13. КаТушка с активным сопротивлением R = 6 Ом и индук-
тивностью L = 2^5 мГн соединена последовательно с конденсатором,
емкость которого С = 1590 мкФ (рис. 2.35). Найти ток и напряжения
на катушке и конденсаторе, если напряжение на входе цепи U = 220 В
и частота / = 50 ГН\
Решение. Сопротивления элементов схемы:
XL = Ьш= 25,3 • 10"3 • 314 = 8 Ом,
Хс = 1/(Сш) * 106/(1590 • 314) =2 Ом.
Комплексные сопротивления:
Z = R + /Хг -]ХС = 6+ /8- /2= 6+ /6= 8,5е'45° Ом,
Z = Я + /X, == 6 + / 8 = 10е'53° Ом.
'“•К Lt
Комплексный №к:
7 = CA/ZBX = 2S,9e_/45° А, 1 = 25,9 А.
Известный ток £ цепи позволяет найти напряжения на отдельных
участках:
Uc = ~ixci = te~i90° 25,9e-f4sa = 51,8е—/13s° В,
Ь = zj = bte/S3° .25,9e“/4s° = 259e'8° A
либо:
Uc = XCI = St.,3 B, UK = ZKI = 259 B.
Задача 2.14. Л|ри замкнутом и разомкнутом выключателе В в цепи
рис. 2.36 ампер1$яр показывает одно и то же значение тока / = 5,55 А.
Определить сопротивления R и XL цепи, если напряжение источника
питания U = 10I1 В, частота / = 50Гц, а емкость конденсатора С =
= 159 мкФ.
Ответ: 7?=15Q1)m, Xl = 10 Ом.
Задача 2.15. 1 ‘сеть с напряжением 220 В включены последовательно
катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 159 мГн,
а также батарея&онденсаторов. Определить емкость батареи, при кото-
102
Рис. 2.36. К задаче 2.14 Рис. 2.37. К задаче 2.15
рой в цепи установится резонанс напряжении. Найти ток в цепи и напря-
жение на конденсаторе.
Решение. Схема замещения цепи представлена на рис. 2.37. Со-
противления ее реактивных элементов при резонансе равны Leo =
= 1/(С’рез^)• Отсюда Срез = 1/(2, со2) = 63,7 мкФ и XL =ХС =50 Ом.
Комплексное входное сопротивление схемы при резонансе будет чис-
то активным:
ZBX = R + L ~>ХС = R = 10 Ом-
Ток
'рез =U/R =22А-
Напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между со-
бой и значительно превышают входное напряжение:
UL = Uc = XLI = 50 • 22 = 1100 В.
Поэтому внезапное установление резонанса напряжений в цепях
может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции и т. д.
Задача 2.16. Схема рис. 2.37 настроена на режим резонанса. Опреде-
лить параметры катушки К и L, если напряжение на входных зажимах
U = 20 В, частота / = 50 Гц, емкость конденсатора С= 127 мкФ, напря-
жение на конденсаторе Uc = 125 В.
Ответ: R = 4 Ом, L = 80 мГн.
2.10. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Эквивалентные проводимость и сопротивление.
Закон Ома
Электрическая цепь с параллельным соединением элементов в общем
случае состоит из ряда ветвей, включенных между двумя узлами. Рас-
смотрим, например, электрическую цепь, состоящую из двух ветвей,
103
Рис. 2.38. Схема замещения
электрической цепи с парал-
лельным соединением двух вет-
вей
схема замещения которой изображена на рис. 2.38. Пусть напряжение
на входных зажимах А и В цепи равно U. Тогда каждая из ветвей пред-
ставляет собой последовательное соединение элементов с заданным
напряжением и сопротивлениями. Токи в ветвях, согласно закону
Ома, равны:
A-C'/Z,.,. 4 = <//Z„2, (2.49)
где и эквивалентные комплексные сопротивления ветвей:
ЭК I ЭК Z 1
£эк1 + -^ЭК2 7^2*
Уравнения (2.49) можно записать иначе, если ввести эквивалентные
комплексные проводимости ветвей:
Y =l/Z Y = l/Z (2.50)
— эк 1 '-экГ — эк2 эк2 v 7
Общий ток цепи, согласно первому закону Кирхгофа, в комплексной
форме равен сумме токов ветвей:
7 = 7 + /=(у + у \(j ~ y U, (2.51)
1 2 * ч *-эк1 -эк27 —эк 9 v 7
где У = Y , + Y о.
м —эк — эк 1 — эк2 ф
Таким образом, ток I и напряжение U цепи с параллельным соедине-
нием ветвей можно связать через эквивалентную комплексную прово-
димость цепи Уэк, которая равна сумме комплексных проводимостей
ветвей. Этот вывод можно распространить на цепь с любым количе-
ством параллельно соединенных ветвей.
Соотношение между комплексным током и напряжением можно
представить, как и для цепи с последовательным соединением элемен-
тов по закону Ома
I = U/Z ,
'—эк 9
где 7эк — эквивалентное комплексное сопротивление цепи:
Z = 1/Y или Z =(Z -Z J/(Z , +Z о). (2.52)
— эк '-эк —эк эк1 —эк27/у—эк1 —эк27 v 7
104
Формула (2.52) для комплексного эквивалентного сопротивления
двух параллельных ветвей аналогична по форме соответствующей фор-
муле для цепей постоянного тока.
Соотношения, полученные в этом параграфе, позволяют рассчитать
цепь рис. 2.38 при заданном напряжении.
Треугольники проводимостей и токов
Представим комплексную проводимость в алгебраической форме
Y = 1/Z = G + /В. (2.53)
Действительную часть комплексной проводимости G называют ак-
тивной проводимостью, а мнимую В — реактивной. На рис. 2.39, а сде-
ланы построения, соответствующие комплексному выражению (2.53).
Заштрихованный прямоугольный треугольник называют треугольни-
ком проводимостей. Из треугольника очевидны соотношения:
Y = Jg2 + В2; G = Kcostp; В = rsin<p;
tg<p=B/G; costp=G/Y; siny=B/Y. (2.54)
Выразим активную и реактивную составляющие проводимости ветви
через ее активное и реактивное сопротивления.
Рассмотрим, например, проводимость ветви с элементами Ri и /Х* *
у = 1___ = R*~fXL = , XL =
Rt + jXL Я2+ X2 R\ + X2l R2+X2
= Gl~jBL. (2.55)
Следует обратить внимание на то, что мнимая часть комплексной
проводимости ветви с индуктивным элементом отрицательная. Если бы
Рис. 2.39. Треугольники проводимо-
стей и токов
* При получении соотношения (2.55) числитель и знаменатель домножены на
* •
сопряженный комплекс Z— R-jX^.
105
Рис. 2.38. Схема замещения
электрической цепи с парал-
лельным соединением двух вет-
вей
схема замещения которой изображена на рис. 2.38. Пусть напряжение
на входных зажимах А и В цепи равно U. Тогда каждая из ветвей пред-
ставляет собой последовательное соединение элементов с заданным
напряжением и сопротивлениями. Токи в ветвях, согласно закону
Ома, равны:
А=^эк1. 4=<>/?эк2, (2-49)
где Z и/ — эквивалентные комплексные сопротивления ветвей:
♦ Э К 1 Э К 2
^эк1=Л1 + ^1. Z =R2-jX2.
Уравнения (2.49) можно записать иначе, если ввести эквивалентные
комплексные проводимости ветвей:
У . = 1/Z t, У 0 = 1/Z . (2.50)
— эк 1 эк1’ — эк2 эк2 v 7
Общий ток цепи, согласно первому закону Кирхгофа, в комплексной
форме равен сумме токов ветвей:
/ = Л+/2=(У +У (2.51)
1 z эк 1 — эк27 —эк v 7
где У = У + У .
— эк — эк 1 — эк2 ♦
Таким образом, ток 1 и напряжение U цепи с параллельным соедине-
нием ветвей можно связать через эквивалентную комплексную прово-
димость цепи Уэк, которая равна сумме комплексных проводимостей
ветвей. Этот вывод можно распространить на цепь с любым количе-
ством параллельно соединенных ветвей.
Соотношение между комплексным током и напряжением можно
представить, как и для цепи с последовательным соединением элемен-
тов по закону Ома
где Z3k — эквивалентное комплексное сопротивление цепи:
Z = MY или Z — (Z -Z ,)/(Z +Z ,). (2.52)
— эк '—эк —эк v — эк1 —эк27' эк1 —эк27 v 7
104
Формула (2.52) для комплексного эквивалентного сопротивления
двух параллельных ветвей аналогична по форме соответствующей фор-
муле для цепей постоянного тока.
Соотношения, полученные в этом параграфе, позволяют рассчитать
цепь рис. 2.38 при заданном напряжении.
Треугольники проводимостей и токов
Представим комплексную проводимость в алгебраической форме
Y = \(Z = G + jB. (2.53)
Действительную часть комплексной проводимости G называют ак-
тивной проводимостью, а мнимую В - реактивной. На рис. 2.39, а сде-
ланы построения, соответствующие комплексному выражению (2.53).
Заштрихованный прямоугольный треугольник называют треугольни-
ком проводимостей. Из треугольника очевидны соотношения:
Y = \/ G2 + В2; G = Kcoscp; В = Ksin<p;
tg<p=B/G-, cosy =G/Y-, sirup = В/Y. (2.54)
Выразим активную и реактивную составляющие проводимости ветви
через ее активное и реактивное сопротивления.
Рассмотрим, например, проводимость ветви с элементами и /X*
у = 1 = R1~/XL = . xl =
-* iXL R2+ X? R2 + X2l ’ R}+ X2l
= G,-jBL. (2.55)
Следует обратить внимание на то, что мнимая часть комплексной
проводимости ветви с индуктивным элементом отрицательная. Если бы
Рис. 2.39. Треугольники проводимо-
стей и токов
числитель и знаменатель домножены на
* При получении соотношения (2.55)
сопряженный комплекс Z= R-jX^.
105
Рис. 2.41, К вопросу 2.10 и
задачам 2.17 и 2.18
Вопрос 2.10. Изменяя емкость конденсатора, цепь рис. 2.41 настраи-
вают на режим резонанса. Как определить момент резонанса по пока-
заниям амперметра?
Варианты ответа;
2.10.1. В режиме резонанса показания амперметра минимальны.
2.10.2. В режиме резонанса показания амперметра максимальны.
2.10.3. Режим резонанса нельзя определить по показаниям ампер-
метра.
Задача 2.17. Определить значение емкости С конденсатора, nprf
котором в цепи рис. 2.41 установится резонанс токов. Найти входное
сопротивление цепи при резонансе, а также токи ветвей. Напряжение
сети £/=120 В, параметры цепи: R = 3 Ом, А^=4 0м.
Решение. Условием резонанса токов является равенство моду-
лей реактивных проводимостей ветвей: BL =ВДля рассматриваемой
схемы
BL = XlI(R2 + X2) = 4/25 = 0,16 См, вс = wC.
1 ’ Отсюда
0,16
С = ------ • 106 = 509,5 мкФ, Хг = 6,25 Ом,
314 е
Входное сопротивление цепи можно найти иначе. Так как реактив-
ные проводимости ветвей равны, а активная проводимость второй
ветви G2a =0, то Z*x = 1/Gla = (R2 + X2)/R « 8,33 Ом.
Ток в неразветвленной части цепи:
/= £//Zbx = 120/8,33 « 14,4 А.
Токи ветвей:
А = <71/^1 = 120/(3+/4) = 120/5е'53° = 24е-'53°
= (14,4- / 19,2) А,
108
i2 = U/Z2 = ЮО/б^е--/’0’ = 19,2e'90° = / 19,2 A.
Проверка: I = Д + /2; 14,4 A = 14,4 A.
Задача 2.18. Определить ток i неразветвленного участка цепи, схема
замещения которой дана на рис. 2.41, если u = 22x/"2sin(942f + 30°) В,
Я = 11 Ом, L = 11,7 мГн, С = 96,6 мкФ.
Решение. Подсчитаем эквивалентное комплексное сопротивление
цепи ( XL = Leo = 11 Ом, Хс = 1/Ссо = 11 Ом):
Z = Z1-Z2/(Z1+Z2) = (И + / И) (-/ 11)/(11 + /11-/11) =
= 11-/11 = 11ч/Те“М5° Ом.
Комплексное напряжение U = 22 V^e730, по закону Ома р комплекс-
ной форме ток im = = 2е775 А.
Ответ: i = 2sin(942r + 75°) А.
Задача 2.19*. Найти ток Ц в цепях, схемы которых изображены на
рис. 2.42, если /2 = 6 А, 13 = 8 А.
Ответы приведены в табл. 2.7.
Таблица 2.7
Схема а б в г
7, А 2 10 2 10
Рис. 2.42. К задаче 2.19
Вопрос 2.11. На рис. 2.43, а приведена схема включения статорной
обмотки однофазного асинхронного двигателя. Последовательно с
одной из катушек статорной обмотки включен фазосдвигающий эле-
мент (ФЭ), обеспечивающий заданный угол сдвига фаз между токами
Ц и /2. Векторная диаграмма приведена на рис. 2.43, б. Что использу-
ется в качестве ФЭ?
109
Рис. 2.43. К вопросу 2.11
а)
Рис. 2.44. Эквивалентная схема пас-
сивного двухполюсника на постоян-
ном токе
Варианты ответа:
2.11.1. Конденсатор.
2.11.2. Резистор.
2.11.3. Индуктивная катушка.
Отметим одну особенность цепей синусоидального тока — пассив-
ный двухполюсник в общем случае может быть представлен двумя
эквивалентными схемами замещения.
Пассивный двухполюсник (рис. 2.44, а} на постоянном токе, не-
зависимо от количества и схемы соединений резистивных элементов,
которые он содержит, может быть замещен единственной эквивалент-
ной схемой (см. рис. 2.44, б). Величина 7?эк находится по известным
правилам эквивалентных преобразований. По тем же правилам экви-
валентных преобразований находится эквивалентное комплексное
сопротивление ^эк и для пассивного двухполюсника (рис. 2.45, а)
на переменном токе. Допустим, что^эк =^эк + /Хэк; в этом случае
двухполюснику соответствуют последовательная схема замещения и
векторная диаграмма, представленные на рис. 2.45, б и в. Но та же
векторная диаграмма может быть представлена в другом виде (см.
рис. 2.45, г) и ей соответствует параллельная схема замещения двух-
полюсника (см. рис. 2.45, б), параметрами которой являются актив-
ная и реактивная проводимости (7ЭК и 2?эк.
Обе схемы замещения эквивалентны, и выбор одной из них опре-
деляется удобством анализа состояния электрической цепи, в кото-
рую включен двухполюсник. Количественные соотношения между
параметрами последовательной и параллельной эквивалентных схем
определяются формулами (2.56).
Задача 2.20. Определить параметры последовательной и параллельной
схем замещения приемника по осциллограммам напряжения и тока
110
/
Рис. 2.45. Эквивалентные схемы и векторные диаграммы пассивного двухполюсника
Рис. 2.46. К задаче 2.20
(рис. 2.46, а), если амплитудные значения напряжения и тока Um =
= 100 В, I =10 А.
Решение. Принимаем за начало отсчета времени момент прохож-
дения напряжения через нуль (точка 0 на рис. 2.46, а), тогда начальные
фазы напряжения и тока равны ^=0, = я/3.
Фазовый сдвиг между током и напряжением р = фи - = “тг/3,
что соответствует схемам замещения с элементами Яэк и — fX9K (см.
рис. 2.46, б) или Сэк и /Вэк (см. рис. 2.46, в). Полное сопротивле-
ние Z3K = U/I = 10 Ом.
Активное сопротивление Я = Z3Kcos^ = 5 Ом.
111
Реактивное сопротивление %эк = Z3K sin^ = 8,66 Ом.
Полная проводимость Узк = 1/Z3R = 0,1 См.
Активная проводимость G3K = K3Kcos^ = 0,05 См.
Реактивная проводимость 2?эк = (?эк sin<p = 0,0866 См.
Задача 2.21. По векторной диаграмме, приведенной на рис. 2.47, а,
определить параметры последовательной и параллельной схем заме-
щения потребителя электроэнергии, если U = 90 В, I = 5 А, ^ = 60°.
Решение. Разлагаем вектор напряжения U на активную U и ре-
активную U составляющие (см. рис. 2.47, б): = t/cos^ = 90 • 0,5 =
= 45 В, U = C/sintp = 90 • 0,866 =78 В. Составляющие IJ и U можно
Р а Р
рассматривать как напряжения на активном и реактивном элементах
последовательной схемы замещения (см. рис. 2.47, в). Тогда
Аэк = Ч//=90м’ ^эк =t/p//= 15,6 0м.
Разлагаем вектор тока I на активную /а и реактивную / состав-
ляющие (см. рис. 2.47, г) ; /а =/cos</> = 5-0,5 =2,5 А, / =7sin<p = 5 х
х 0,866 = 4,3 А.
Составляющие /а и 7 можно рассматривать как токи в активном
и реактивном элементах параллельной схемы замещения рис. 2.47, д,
следовательно,
G = I / U = 0,028 См, В ' = // U = 0,048 См.
эк а' ’ эк р'
Рис. 2.47. К задаче 2.21
112
2.11. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Все методы расчета разветвленных цепей постоянного тока, рас-
смотренные в гл. 1, справедливы для цепей синусоидального тока.
Отличие только одно - уравнения должны быть записаны в комплекс-
ной форме. Например, токи для схемы рис. 2.48 могут быть определе-
ны при решении системы уравнений, составленных по законам Кирх-
гофа:
/1 + /2 + /3 - J = 0;
- (/?i + /Xl)/i-(-/Xc)72 = £1-E2;
Токи в цепи рис. 2.48, имеющей два узла, можно определить и не
решая системы уравнений, а используя формулу междуузлового на-
пряжения:
йАВ = (-^У! - E2Y2 + У )/(К1 + У2 + Y3),
где
Г, = !/(/?! + jXL)- Y2 = 1/(-/Хс); Y3 = l/R3.
Тогда
А = (^ + ^1)/(Л1 + /Л);
^ = (йАВ + Е^ц-jx^-
^=uab/r3.
Рис. 2.48. Схема разветвленной
цени
8 Зак. 1581
Задача 2.22. Сопротивления элементов схемы замещения электри-
ческой цепи рис. 2.49, а при заданной частоте источника питания рав-
ны R = 5 Ом, Хс = 5 Ом, XL = 2,5 Ом. Определить токи при напряже-
нии U = 25 В. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение. Воспользуемся методом эквивалентных преобразо-
ваний (свертывания). Заменяем параллельные ветви одной эквивалент-
ной ветвью с сопротивлением ZQb, при этом
R (-}ХС) _ 5 (~/5) = -/5(1 + /)
~ab~ R-/Xc 5-/5 2
= (2,5 - / 2,5) Ом.
Участки са и ab соединены последовательно, поэтому комплексное
сопротивление цепи
Z = Z + Z , = / 2,5 + 2,5 - / 2,5 = 2,5 Ом.
— — са — ab ' 1
Отметим, что поскольку входное сопротивление имеет только дей-
ствительную часть, в цепи установился режим резонанса.
Переходим к определению токов:
/3 = U/Z = 25/2,5 = 10 А;
UQb = U-ZcaI3 = 25 - /2,5 • 10 = (25 - / 25) В;
А = ^ab/R = (5 “ ' 5) А’ h = ^аЬ^-’ХсУ = (5 + / 5) А-
Проверка: 13 = Ц + 72> 10 = 5 - / 5 + 5 + / 5; 10 А = 10 А.
Векторная диаграмма токов и напряжений приведена на рис. 2.49, б.
f^/Uab=RfrjXcL
/l,
Рис. 2.49. К задаче 2.22
114
Рис. 2.50. К задаче 2.23
Задача 2.23*. Найти входные сопротивления цепей рис. 2.50, если
R = XL = Хс = 10 Ом.
Ответы даны в табл. 2.8.
Таблица 2.8
Схема а б в г
~вх’ Ом 10- /10 15 + / 5 5 + / 5 10
Задача 2.24*. Найти комплексные значения токов в схемах рис. 2.51,
если параметры элементов R ~Х^ =ХС~2 Ом, а входное напряжение
{/=10 В.
Ответы даны в табл. 2.9.
115
Таблица 2.9
Схема а б в г
/, А + 5/ 2,5 + 2,5/ 5 + 5/ 0
/1, А 0 2,5 - 2,5/ 5 + 5/
/2, А + 5/ + 5/ 5/ -5/
Рис. 2.52. К задаче 2.25
Рис. 2.53. К задаче 2.26
Задача 2.25. Определить токи цепи рис. 2.52, если напряжение
U = 120 В. Значения сопротивлений участков цепи Rs = Х3 = Xt = 1 Ом;
Х4=Я2 = 2 0м.
Ответы: I. = 126 А, /, = 43,6 А, I, = 87,8 А, I. = 39,1 А, I. = 78,2 А.
Задача 2.26. На рис. 2.53 приведена схема электрической цепи с двумя
источниками синусоидально изменяющихся ЭДС = е2 = 141sincoZ В.
Определить токи ветвей методом междуузлового напряжения, если
Xi =5 Ом, JV2 =20 0m, /?=3 0м.
Решение. Находим узловое напряжение цепи при Е\ =Е2 = 100 В:
Uab = (YiEi + Y2E2)l(Yi + Y2 + У3) =
= (100//5 + 100//20)/(1//5 + 1//20+ 1/3) =
= 25е~У9°о/0,417е_'37° = 60е-/53° = (36-/48) В.
Применяя закон Ома для ветвей цепи, получаем комплексные зна-
чения токов:
Z = Uab/R = 60е~7 53°/3 = 20е—7 53° А;
А = (А " иаЬ)ЦХг = (100- 36+ /48)//5 =
= 80е7 37°/5е7 90° = 16е~7'53° А;
А = (Е2 - иаЬ)ЦХ2 = (100 - 36 + / 48)// 20 =
116
ba) b g)
Рис. 2.54. К задаче 2.27
= 80e/37°/20e/90° = 4e^'S3°A.
Задача 2.27. Найти ток /2 в цепи рис. 2.54, а, если параметры цепи
равны /?! = 1 Ом, Xt = 1 Ом, R3 = 4 Ом, R2 = 3 Ом, Х2 =4 Ом, а Ё =
= 220е/12о° В.
Решение. Цо теореме об активном двухполюснике
/2 = U . /(Z + Z2).
2 ab 1 v-bx t — 27
х ab
Из схемы рис. 2.54, б следует, что
^abK = = R^KRi + Яз + /*1) = 4 • 220е7 120°/(5 + / ) «
« 4 • 220е7 120°/5,1е/1 *° = Г73е'1О9°.
Входное сопротивление относительно зажимов а и б
^ВХаЬ = + /^1) Лэ/СЛх + ]Х3 + Лз) =
= (4+ /4)/(5 + /) = (0,92 + /0,61) Ом.
Ток
/2 = 173е'1О9°/(0,92 + /0,61 + 3+ /4) =
= 173е7 109°/(3,92+ /4,61) = 173е'1О9°/6,05е'50° =
= 28,6е/59° А.
2.12. МОЩНОСТЬ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Исследование энергетических процессов в цепях синусоидального
тока начнем с рассмотрения мощности реальной индуктивной катуш-
ки, в которой процесс создания магнитного поля сопровождается на-
гревом обмотки. Последовательная схёма замещения и векторная
117
диаграмма катушки, подключенной к сети, изображены на рис. 2.55.
Предположим, что начальная фаза тока равна нулю, т. е. i =/ sin со/,
тогда начальная фаза напряжения сети фи = ф. + = <р, следовательно,
и = Umsin(Gjt + <р).
Мгновенное значение мощности
р = ui = + <p)sin<p =
= UmIm [coSsp - cos(2a>r + <p) ] /2, (2.60)
или
p = UI [cos — cos(2a?r + </>)]•
Прокомментируем энергетические процессы, происходящие в ин-
дуктивной катушке, с помощью графиков рис. 2.56.
В интервале времени 0 < t < G, когда мгновенные значения на-
пряжения и тока имеют одинаковые знаки, мощность положительна и
катушка потребляет энергию от источника. При этом часть энергии,
потребляемой от источника, запасается в магнитном поле катушки,
энергия которого = Li2/2 возрастает, так как в рассматриваемом
интервале времени возрастает ток i. Кроме того, энергия, потребляе-
мая от источника, затрачивается на нагрев проводов, т. е. преобразу-
ется в теплоту W?. Направление потоков энергии для рассматриваемого
интервала времени показано на рис. 2.57, а.
Рис. 2.55. Схема замещения (а) и
векторная диаграмма (б) индуктив-
ной катушки
Рис. 2.57. Направление потоков энер-
гии в различные интервалы времени
118
Рис. 2.56. Графики мгновенных зна-
чений напряжения, тока и мощности
индуктивной катушки
В интервале времени G < t < t2 мощность остается положительной,
т. е. энергия от источника по-прежнему поступает в катушку. Однако
энергия, запасенная в магнитном поле в рассматриваемом интервале
времени, уменьшается, поскольку ток убывает. При этом энергия,
высвобождаемая из магнитного поля, и энергия сети расходуются на
нагрев катушки (см. рис. 2.57, б).
В интервале времени t2 < t < Т/2 ток и напряжение имеют разные
знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия поступает
от катушки в сеть. Действительно, в этом интервале ток продолжает
убывать с возрастающей производной, т. е. осуществляется интенсивное
высвобождение энергии, запасенной в магнитном поле, эта энергия
частично возвращается к источнику, а частично затрачивается на нагрев
обмотки (см. рис. 2.57, в).
Были рассмотрены энергетические процессы в интервале времени,
соответствующем половине периода тока (0 < t < Т/2), при этом за-
кончился полный цикл колебаний энергии, так как мгновенная мощ-
ность изменяется с частотой 2со (2.60) и, следовательно, ее период в
два раза меньше периода тока. При t > Т/2 ток в катушке начнет опять
увеличиваться по модулю, т. е. начнется накопление энергии в магнит-
ном поле, и процесс повторится при обратном направлении тока.
Кривая р(г) несимметрична относительно оси времени, катушка
потребляет от сети энергии больше, чем возвращает (ср. заштрихован-
ную площадь сверху и снизу от оси t на рис. 2.56), т. е. в цепи соверша-
ется работа и среднее значение мгновенной мощности за период отлично
от нуля:
1 т UI т r z
Р =— J pdt =— J [cos<p — cos(2cor + (2.61)
T о То
Определенный интервал от второго слагаемого в подынтегральном
выражении (2.61) равен нулю, поэтому для активной мощности Р
можно записать
Р = t//cos<p. (2.62)
Работа, совершаемая в цепи рис. 2.55, а, т. е. энергия, необратимо
потребляемая от источника, расходуется на нагрев обмотки и опреде-
ляется Я-элементом, поэтому соотношение (2.62) можно получить и
не прибегая к интегрированию выражения для мгновенной мощности.
Как известно, Р -RI7, в то же время RI = Ur= U&, т. е.
Р = UI, (2.63)
о.
119
в свою очередь U& 3 Ucostp (2.46), поэтому выражение (2.63) преоб-
разуется к виду (2.62).
Реактивная мощность катушки, которая по определению равна мак-
симальной скорости поступления энергии в магнитное поле (2.31),
может быть также выражена через напряжение на входе цепи, ток и угол
сдвига фаз:
Ql = XLI2 = UpI = t//sinsp. (2.64)
Активную и реактивную мощности можно выразить также через
активную и реактивную составляющие тока соответственно. Как извест-
но, I = /a/cos<p и / = /p/sin<p (2.57), следовательно, выражения (2.62)
и (2.64) можно переписать в виде
Р = UI cos (р = UI^ (2.65)
Q = Wsin^ = Wp. (2.66)
Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехни-
ке широко используют понятие полной мощности, которую обозначают
буквой S и определяют произведением действующих значений тока и
напряжения
S = UI. (2.67)
Единице полной мощности присвоено название вольт-ампер, со-
кращенно ВА.
Из сравнения выражений (2.62) и (2.67) следует, что полная мощ-
ность определяет наибольшее значение активной мощности, которое
может быть получено при заданных значениях напряжения и тока.
Действительно, если сдвиг по фазе между напряжением и током отсут-
ствует, то cos <р=1 иР =Pmax~ UI = £
Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом
мощности и обозначают X. Очевидно, коэффициент мощности числен-
но равен косинусу угла сдвига фаз между током и напряжением:
X = Р/S = cos <р. (2.68)
Покажем, что активную, реактивную и полную мощности можно
определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и
тока. Рассмотрим комплексное соотношение^ = UI, где U — комплекс
напряжения, а I - сопряженный комплекс тока. Так как U =
т т
а 1= /е , имеем
S = UI = UII(^U~ = Se1'*.
120
Мы получили, что модуль комплексного числа 5 равен полной мощ-
ности. Запишем выражение для комплекса полной мощности^ в три-
гонометрической форме: 5 = UIcos + jUIsimp, следовательно, действи-
тельная часть комплекса^ равна активной мощности, а коэффициент
при мнимой части равен реактивной мощности, т. е.
5 = UI = Р + jQ. (2.69)
Следует обратить внимание на то, что над символом комплексной
мощности не ставят точку. Символ комплексной мощности, так же
как символ комплексного сопротивления, подчеркивают. На рис. 2.58
сделаны построения, соответствующие комплексному выражению
(2.69). Заштрихованный прямоугольный треугольник принято назы-
вать треугольником мощностей. Из него очевидны соотношения между
Р, Q и S :
S = \/?2 + Q2, Р = Scosip, Q = Ssinip. (2.70)
Задача 2.28. Определить активное R и реактивное X сопротивления
индуктивной катушки по показаниям амперметра, вольтметра и ватт-
метра (рис. 2.59): I =4 А, £7=48 В, Р = 32 Вт.
Решение. Активное сопротивление катушки определим по извест-
ным значениям активной мощности и тока R = P/I2 = 32/16 = 2 Ом;
полное сопротивление катушки Z = Ujl - 12 Ом, а ее индуктивное со-
противление X = >/z2 — R2 = 11,8 Ом.
Задачу можно решить иным путем:
Р = UIcosip ; cos<p = 0,167, Z = U/I = 12 Ом;
R = Z cos = 2 Ом; X = Z simp - 11,8 Ом.
Задача 2.29*. Определить активное R и реактивное XL сопротивления
индуктивной катушки по данным табл. 2.10.
Ответы приведены в табл. 2.11.
Рис. 2.58. Треугольник
мощностей
Рис. 2.59. К задаче 2.28
121
Таблица 2,10
Вариант Р, Вт COS(£ (7, В 7, А
1 50 0,1 100 —
2 16 0,08 — 2
3 — 0,06 220 2
4 64 - 96 4
Таблица 2.11
Вариант 1 2 3 4
R, Ом 2 4 6,6 4
Х£,Ом 19,9 49,8 109,8 23,7
Перейдем к исследованию энергетических процессов в случае, когда
энергия может запасаться в электрическом поле, и рассмотрим схему
рис. 2.60, а с параллельным включением резистивного и емкостного
элементов. Будем считать, что начальная фаза напряжения равна нулю:
и = C/^sinco^, ток в данной цепи опережает напряжение на угол <р, т. е.
i = I sin(ojf + <р) (векторная диаграмма рис. 2.60, б); при этом выра-
жение мгновенной мощности будет иметь вид, аналогичный (2.60):
р = ui = Um Im sin gj Г sin (co t + p) =
= £/Z[cos<p — cos(2gj7 + <p)].
Графики u(r), i (f) и p(r) приведены на рис. 2.61. При анализе этих
графиков нужно помнить, что энергия электрического поля определя-
Рис. 2.60. Схема (а) и
векторная диаграмма
(б) цепи с параллельным
соединением R- и С-эло-
ме нтов
Рис. 2.61. Графики мгновенных значений напря-
жения, тока и мощности цепи, содержащей Я-
и С-эле менты
122
Рис. 2.62. Направление
потоков энергии в цепи,
содержащей Л- и С-элс-
менты, в различные ин-
тервалы времени
ется значением напряжения = С и2/2, т.е. энергия запасается в элект-
рическом поле, если напряжение увеличивается по модулю, и высвобож-
дается, если напряжение уменьшается. Энергетические преобразования
в ЯС-цепи характеризуются обменом энергией между источником и
электрическим полем, который сопровождается выделением энергии
в резистивном элементе. Распределение потоков энергии иллюстрирует-
ся схемами рис. 2.62. Нетрудно видеть, что энергетические процессы
в RL- и /?С-цепях аналогичны и, следовательно, выражения для актив-
ной, реактивной, полной и комплексной мощностей совпадают. Нужно
только иметь в виду то, что активная и полная мощности являются
арифметическими величинами, в то время как реактивная мощность -
величина алгебраическая. При наличии в цепи индуктивных элементов
реактивная мощность положительна, так как > 0 и QL = C/Zsimp > 0;
при наличии емкостных элементов реактивная мощность отрицательна,
поскольку <р<0 и Qc~ t//sin<p < 0.
Вопрос 2.12. Проанализируйте зависимость показаний амперметра
и ваттметра в схеме рис. 2.63 от емкости конденсатора С. Как изме-
нятся показания приборов при уменьшении емкости конденсатора?
Варианты ответа:
2.12.1. Показания амперметра уменьшаются.
2.12.2. Показания ваттметра остаются неизменными.
2.12.3. Справедливы оба предыдущих утверждения.
Задача 2.30*. Рассчитать комплексную мощность S для цепей, схемы
замещения которых приведены на рис. 2.64, если напряжение сети U =
= 100 В. Значения сопротивлений указаны на схемах в омах.
Ответы приведены в табл. 2.12.
Рис. 2.63. К вопросу 2.12
Рис. 2.64. К задаче 2.30
123
Таблица 2.12
Схема а б в г
S, кВ-А 2e-,S3’ =1,2- - /1,6 2е+/ 53° = 1,2 + + /1,6 1е-/37° =0,8 - - /0,6 1е’ 37° = 0,8 + + /0,6
В электрических цепях, содержащих индуктивные и емкостные
элементы, может происходить обмен энергией между магнитным и
электрическим полями. Например, только анализ этих обменных про-
цессов помогает понять, почему в схеме цепи рис. 2.65, а, векторная
диаграмма которой представлена на рис. 2.65, б, при условии =
= 1/Ссо ток в неразветвленной части отсутствует, а токи ветвей отлич-
ны от нуля. Графики мгновенных значений w(f), ic(t) и пред-
ставленные на рис. 2.65, в, показывают, что запасание энергии в маг-
нитном поле сопровождается высвобождением энергии из электриче-
ского поля и наоборот. При условии Ьы = 1 /Сео интенсивность этих
процессов одинакова. Цепь, схема замещения которой приведена на
рис. 2.65, а, не содержит элементов, обладающих активным сопро-
тивлением, поэтому обменные процессы не сопровождаются потерями
энергии, т. е. в установившемся режиме энергия от источника не по-
требляется и его ток равен нулю.
Для цепи синусоидального тока, так же как и для цепи постоян-
ного тока, можно составить баланс мощностей. Из закона сохранения
энергии очевидно, что для любого момента времени сумма мгновенных
мощностей всех приемников энергии равна мгновенной мощности
источника. Из этого непосредственно следует, что арифметическая сум-
ма средних (активных) мощностей приемников равна средней
(активной) мощности источника
(2.71)
Можно доказать, что существует и баланс реактивных мощностей
Рис. 2.65. Схема (я), векторная диаграмма (5) и графики мгновенных значений
напряжения и токов (в) идеального параллельного £С-коптура
124
(вывод не приводится из-за громоздкости) :
еи=хеп, <2-72)
где - реактивная мощность источника; SQn — алгебраическая
сумма реактивных мощностей всех приемников.
В выражении (2.72) реактивную мощность берут со знаком плюс
в случае, если ток отстает по фазе от напряжения, и со знаком минус
при опережающем токе.
Из (2.71), (2.72) следует, что баланс мощностей можно записать
и в комплексной форме
5И = SSn (2.73)
или
Vh =2Wn, (2.74)
- * . *
где^и = - комплексная мощность источника; ”
сумма комплексных мощностей всех приемников.
Обратим внимание на то, что нельзя записать выражение баланса
для модулей комплексных мощностей, т. е. для полных мощно-
стей S.
2.13. ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОВЫШЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ
Знакомство с проблемой начнем со схемы цепи рис. 2.66, где изобра-
жен генератор электрической энергии Г, к которому подключен один
из самых распространенных приемников электрической энергии -
асинхронный двигатель М (буква М принята для обозначения на схе-
мах любого мотора).
Обсудим вначале некоторые характеристики генератора. При изго-
товлении предусматривается, что ток генератора по условиям на-
грева его обмотки не должен превышать некоторого номинального
значения /ном, которое указывается в паспорте. Там же указано и
номинальное напряжение ^ном» превышение которого недопустимо
Рис. 2.66. Схема подключения
асинхронного двигателя к гене-
ратору электрической энергии
L
125
по условиям целостности изоляции. Номинальные значения тока и
напряжения однозначно определяют предельно допустимую полную
мощность генератора, которую называют номинальной мощностью
*^ном Цюманом*
Очевидно, что генератор энергетически выгодно эксплуатировать
так, чтобы совершаемая им работа, т. е. вырабатываемая электро-
энергия, была максимальной. В свою очередь, работа, совершаемая в
электрической цепи, определяется активной мощностью Р, следова-
тельно, нужно стремиться обеспечивать такой режим, работы генера-
тора, при котором активная мощность максимальна. Как известно
[см. (2.68)], отношение активной мощности к полной определяется
коэффициентом мощности, который численно равен косинусу угла
сдвига фаз между током и напряжением: Л = cos <p = P/S.
При заданном значении полной мощности генератора S активная
мощность генератора была бы максимальна в случае, если бы коэф-
фициент мощности приемника был равен единице: Р = Ртах =
= 5homcos* =5ном- В режиме максимальной активной мощности ток
и напряжение генератора совпадают по фазе, при этом реактивная
мощность равна нулю (Q = C/Zsimp = 0) и, следовательно, генератор
осуществляет только необратимые преобразования энергии и не участ-
вует в колебательных процессах обмена энергией с электромагнит-
ным полем приемников.
Анализ цепи рис. 2.66 будем проводить в предположении, что внут-
реннее сопротивление генератора пренебрежимо мало; будем считать
также пренебрежимо малым сопротивление проводов, соединяющих
двигатель и генератор. При принятых допущениях схема замещения
рассматриваемой цепи имеет вид, представленный на рис. 2.67, а, где
и “ параметры простейшей схемы замещения двигателя.
Принцип действия асинхронного двигателя основан на силовом взаимо-
действии магнитного поля и проводника с током, т. е. преобразование
электрической энергии в механическую осуществляется посредством
магнитного поля, поэтому в схеме замещения двигателя обязательно
присутствие индуктивного элемента £м. Присутствие в схеме заме-
щения Я-элемента указывает на то, что в двигателе происходят необра-
тимые процессы преобразования электрической энергии в механиче-
скую, т. е. совершается работа.
Из схемы замещения рис. 2.67, а следует, что угол сдвига фаз
между током i и напряжением и генератора, а следовательно, коэф-
фициент мощности определяются соотношением параметров двигателя:
cos I + Векторная диаграмма цепи дана на рис. 2.67, б.
В схеме рис. 2.66 должен обязательно происходить обмен энергией
126
Рис. 2.67. Схема замещения (л) и
векторная диаграмма (б) цепи
рис. 2.66
между генератором и магнитным полем двигателя, так как реактивная
мощность двигателя принципиально не может быть равна нулю, поэто-
му генератор в цепи рис. 2.66 всегда работает в условиях, когда Р <
< ^ном. Как же в таких условиях решается проблема повышения ко-
эффициента мощности?
Рассмотрим схему, показанную на рис. 2.68, а сплошными линиями,
на которой параллельно двигателю включен емкостный элемент, на-
пример конденсатор. Подключение С-элемента никак не сказывается
на работе двигателя: напряжение на зажимах двигателя не изменилось
и, следовательно, остались неизменными его ток, активная и реактив-
ная мощности. Однако условия работы генератора в схемах рис. 2.67, а
и 2.68, а существенно отличаются, так как в схеме рис. 2.68, а ток гене-
ратора /г уже не равен току двигателя /м, а определяется из соотноше-
ния z‘r = z’M + ic , где ic — ток емкостного элемента. Векторная ди-
аграмма цепи рис. 2.68, а показана на рис. 2.68, б. При соответствующем
подборе емкости конденсатора в схеме рис. 2.68, а можно добиться
резонансного режима, т. е. обеспечить работу генератора при макси-
мальном значении коэффициента мощности; при этом двигатель будет
обмениваться энергией, запасаемой в его магнитном поле, не с генера-
тором, а с емкостным элементом.
Какие же энергетические преимущества имеет схема рис. 2.68, а
перед схемой рис. 2.67, а?
Во-первых, при неизменной работе, совершаемой двигателем, умень-
шается ток генератора. Это означает, что в схеме рис. 2.68,а может быть
установлен генератор меньшей номинальной мощности, или, если уста-
новленные мощности генераторов в обеих схемах одинаковые, то в
схеме рис. 2.68, а генератор будет работать при токе, меньшем номи-
нального, и, следовательно, к нему можно подключить дополнительно
Рис. 2.68. Схема цепи с повышенным
коэффициентом мощности (а) и
векторная диаграмма (б)
127
другие потребители электрической энергии (см. пунктирные линии на
рис. 2.68,а).
Во-вторых, подключение емкостного элемента снижает ток также
в линии электропередачи, соединяющей электрический двигатель с
генератором, что позволяет уменьшать сечение соединительных прово-
дов, т. е. экономить электропроводящие материалы. Очевидно, рас-
смотренный способ повышения коэффициента мощности требует до-
полнительных затрат на установку конденсатора. Технико-экономиче-
ские расчеты показывают, что в энергетических системах наиболее
целесообразно осуществлять установку конденсаторов, емкость кото-
рых рассчитывают из условия, чтобы коэффициент мощности повы-
шался до значений, несколько меньших единицы.
В энергетических системах для повышения коэффициента мощности
используют также синхронные двигатели, схемы замещения которых
при определенных условиях содержат емкостные элементы. Нужно
иметь в виду, что значение коэффициента мощности в энергосистемах
зависит еще и от того, насколько грамотно эксплуатируются электро-
технические установки. Например, коэффициент мощности асинхрон-
ного двигателя резко снижается, если двигатель работает в режиме хо-
лостого хода или недогружен до номинальной мощности, и т. д.
При финансовых расчетах потребителей электроэнергии с энергоси-
стемой оплата производится с учетом не только количества потреб-
ленной электроэнергии, но и того, при каком значении коэффициента
мощности работает потребитель. С уменьшением коэффициента мощ-
ности (ростом реактивной составляющей мощности) стоимость потреб-
ляемой электроэнергии возрастает.
Вопрос 2.13. Что произойдет при замыкании ключа в схеме рис. 2.69?
Варианты ответа:
2.13.1. Коэффициент мощности приемника энергии возрастет.
2.13.2. Коэффициент мощности приемника энергии уменьшится.
2.13.3. Коэффициент мощности приемника может как уменьшаться,
так и увеличиваться; данных для однозначного ответа недостаточно.
Задача 2.31. Определить ток и коэффициент мощности приемника
электрической энергии, подключенного к сети напряжением 220 В и
Рис. 2.69. К вопросу 2.13
128
Рис. 2.70. К задаче 2.31
частотой 50 Гц, если параметры схемы замещения приемника R =12 Ом
и XL = 20,8 Ом. Как изменяется ток и коэффициент мощности цепи,
если параллельно потребителю подключить конденсатор емкостью
79,5 мкФ?
Решение. Определяем ток и коэффициент мощности приемника
электрической энергии (схема рис. 2.70,а). Ток
/п = U/Zn = 220/(12+ /20,8) = 220/24е'6О° « 9,17е-/бО°.
Активная мощность Р = RI2 ъ 1000 Вт.
Полная мощность S = UI ъ 2020 ВА.
Коэффициент мощности \=P/S « 0,5.
Для схемы рис. 2.70, б Хг = l/(Cw) = 40 Ом.
Ток
7 = 4 + 1С = 9,15е'60° + 220/(-/40) =
= 4,58 - /7,94+ /5,5 = 4,58- /2,44 = 5,24е-/28° А.
Активная мощность осталась неизменной, полная мощности умень-
шилась до значения S -UI =220 • 5,24 = 1150 В • А. Коэффициент мощ-
ности возрос до значения Х= P/S =0,87.
Векторная диаграмма изображена на рис. 2.70, в. Из диаграммы вид-
но, что при подключении конденсатора ток I линии передачи уменьша-
ется^ Л = cos<p возрастает (<р < <рп» cos > cos<pn).
Задача 2.32. Приемник электрической энергии имеет следующие пас-
портные данные: номинальное напряжение С/ =220 В, номинальная
мощность Рном =1,2 кВт, номинальный cos<pHOM =0,455.
Определить емкость и мощность батареи конденсаторов, которую
нужно включить параллельно приемнику, чтобы повысить коэффициент
мощности установки до 0,91.
Р
Решение. Ток приемника /ном = -----------------= 12 А.
^ном cos ^ном
Активная составляющая этого тока I coscr = 5,45А.
а.НОМ НОМ НОМ
9 Зак./58/ 129
Реактивная составляющая тока / w = 10,73 А.
в р,ном ном ном
Комплексный ток приемника /ном = (5,45 -/10,73) А.
После подключения конденсатора активная составляющая общего
тока остается без изменений, а реактивная составляющая уменьшается
(рис. 2,71):
'р = /а,ном^=2’48А>
где tp = arc cos 0,91 = 24е 30 .
Комплексный ток линии
7 = (5,45-/2,48) А.
Ток конденсатора
4 -'-'ком =5,45-72,48-5,
Рис. 2.71. К задаче 2.32
+/10,73 =/8,25 А.
Мощность батареи конденсаторов
Qc = UIC = 220 • 8,25 = 1800 вар = 1,8 квар.
Емкость батареи конденсаторов
с = Qcl(cjU2) = 1800 • 10б/(314 • 2202) = 118 мкФ.
Задача 2.33. Два индуктивных потребителя электроэнергии с пара-
метрами Pi = 5,5 кВт, =220 В, Д =38,8 А, Р2 =2,92 кВт, U2 =220 В,
12 = 22 А соединены параллельно и включены в сеть напряжением 220 В.
Определить их общий коэффициент мощности, ток, полную и реактив-
ную мощности потребления энергии из сети до и после улучшения коэф-
фициента мощности до значения равного 0,9.
Ответ: до улучшения коэффициента мощности cos ip =0,63,1= 60,8 А,
5 = 13,4 кВ-A, Q = 10,4 квар; после улучшения коэффициента мощ-
ности costp=0,9, I = 42,4 A, S = 9,3 кВ-A, Q = 4,07 квар.
2.14. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Топографической называется векторная диаграмма напряжений,
построенная по определенным правилам.
При построении топографической диаграммы определяют комплекс-
ные значения потенциалов всех точек цепи относительно одной точки,
130
Рис. 2.72. Схема замещения цепи (а) и топографическая диаграмма (б)
потенциал которой условно принимают равным нулю, и осуществляют
перенос найденных значений потенциалов на комплексную плоскость.
При этом каждой точке цепи будет определенным образом соответство-
вать своя точка на комплексной плоскости, а точке нулевого потенциа-
ла - начало координат. Построим топографическую диаграмму для
цепи рис. 2.72, а, принимая XL = 2ХС = 4R. Пусть потенциал точки D
VD =0. Тогда потенциалы других точек можно вычислить так:
У С • Уса - iXj-’ ''в = UВС + У С " ~1Хс‘ + ^С’
Ул = йлв + Ув = Ri * Ув = «
В таком же порядке (начиная с V& по контуру в направлении, проти-
воположном направлению тока) построим на комплексной плоскости
(см. рис. 2.72, б) диаграмму напряжений на элементах. Комплексный
потенциал точки D равен нулю, поэтому в начале координат комплек-
сной плоскости поставим точку D. Построим вектор тока /, затем из
точки D — вектор напряжения UCD, который должен опережать век-
тор тока I на 90°, так как UCD — напряжение на индуктивном эле-
менте.
Конец вектора UCD определяет потенциал Й^,, эту точку обозна-
чим С. Далее из точки С построим вектор напряжения UBC на емкост-
ном элементе и получим точку В. Вектор, соединяющий начало коор-
динат с точкой В, дает комплексный потенциал Й^. Наконец, из точ-
ки В построим вектор UAB = RI, который коллинеарен вектору /.
Вектор входного напряжения U = поэтому его можно полу-
чить, соединяя точку А с точкой D. На диаграмме длины векторов
напряжений пропорциональны сопротивлениям элементов.
Заметим, что стрелки напряжений на топографической диаграмме
направлены противоположно стрелкам на схеме — в сторону первого
индекса. С помощью топографической диаграммы можно определить
131
напряжение между любыми двумя точками цепи. Для этого достаточно
построить вектор между этими точками на диаграмме.
Задача 2.34. Построить топографическую диаграмму для схемы
рис. 2.73, а и с ее помощью найти напряжение ивк, если/?1 =Я2 =Lcd =
= 1/Ссо = 10 Ом, напряжение на входе uAD = 141sincof В.
Решение. Определим вначале комплексные напряжения и токи:
UADm = 141 В’ Z, = R, + jLu = (10+ /10) =
= 14,1е/45° Ом;
Z2 = R2 - j/Сы = 10 - j 10 = 14,le-/ 45° Ом;
7 = U.n!Zi = 10e-/45° A;
7,M = = 10e+/45° A;
UR = 100e~'45° B;
Rlm
U.=jL<J= 100e+'45’ B;
Lm 1 m
= iooe~/45° B.
При лостроении диаграммы предположим, что V& =0, тогда для
левой ветви можно записать
VRm = UR = 100е-'45° В,
Вт к\т
V.= VRm + й. = 100е-/45° + 100е+'45°
Ат от Lm
или
UAm = 100[cos(-45°) + /sin(-45°)] +
+ 100 [cos (45°) + /sin(45°)] = 141 В.
Полученный результат может служить подтверждением правильности
расчетов, так как потенциал точки А получился равным входному
напряжению, что и следовало ожидать.
Для правой ветви имеем
= 100е'45°В,
Кт R2m ’
V,m = + иГт = 100(e'45° + е-'45°) = 141В.
Am Кт Cm v 7
Топографическая диаграмма построена на рис. 2.73, б. Комплексное
изображение искомого напряжения ^^Кт является диагональю
132
Рис, 2.73. Схема замещения (я), топографическая диаграмма {б) и упрощенное
изображение (в) фазосдвигающей цени
квадрата ABDK, второй диагональю которого служит комплексное
входное напряжение следовательно, ~ 141е—/7Г/2 В и
иВК = 141 sin (со t it/2) В. Электрическую цепь, схема замещения
которой представлена на рис. 2.73, а называют фазосдвигающей цепью,
при этом ее рассматривают как четырехполюсник (см. рис. 2.73, в),
выходное напряжение ^ВЬ1Х которого равно по амплитуде входному
напряжению , но сдвинуто по фазе на угол тг/2.
Задача 2.35. Сравнить по амплитуде и фазе входное UAS и выходное
UCD напряжения в схеме рис. 2.74, если Rx = XL' = R2 =%с* Решите
задачу с помощью топографической диаграммы.
Ответ: UcDm ~ №двт’ схема Рис- 2.74 является фазосдвигающей:
амплитуды напряжений равны, а фазы отличаются на угол я/2.
Задача 2.36. В схеме рис. 2.74 поменяли местами элементы и
Определить с помощью топографической диаграммы выходное напря-
жение UCD при неизменном входном напряжении UAB.
Ответ: UCD = 0.
Рис. 2.74. К задаче 2.35
133
Рис. 2.75. К задаче 2.37
Задача 2.37*. Найти выходные напряжения для схем‘рис. 2.75, если
С/вх = 10 В, Ri =R2 =Xl =Хс» Решите задачу с помощью топографиче-
ской диаграммы.
Ответ: во всех схемах выходное напряжение С^ых ~
2.15. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Изучение частотных свойств цепей начнем с рассмотрения цепи
рис. 2.76, а, подключенной к источнику синусоидального напряжения
и = t/^sincoZ, амплитуда U которого неизменна, а угловая частота со
может плавно изменяться от нуля до бесконечности. С ростом частоты
сопротивление £-элемента XL = Lgj будет возрастать, а сопротивление
С-элемента Х^ = 1/соС — уменьшаться. Зависимости Х^ (со) и Хс (со)
показаны на рис. 2.77, а. Здесь же приведена зависимость от частоты
реактивного сопротивления цепи X = XL - Хс- На частоте сорез выпол-
няется условие £сорез = 1/Ссорез, при этом реактивное сопротивле-
ние X равно нулю, и в цепи устанавливается режим резонанса напря-
жений. На резонансной частоте полное сопротивление цепи равно ак-
тивному сопротивлению (схема рис. 2.76, б):
гр„ = « + / (iope3 - 1/сШр„) - «.
В диапазоне частот 0 < со < соре3 существует неравенство Х^ < Хс,
реактивное сопротивление отрицательно, цепь рис. 2.76, а имеет ем-
костный характер и ее схема замещения соответствует рис. 2.76, в.
И наконец, при частотах, больших резонансной, XL > , рассматри-
Рис. 2.76. Схема замещения элект-
рической цепи (а) и ее эквива-
лентные схемы для различных ча-
стот (б, в, г)
134
Рис. 2.77. Зависимости индуктивного, емкостного и реактивного сопротивлений
от частоты (а) и частотные характеристики цепи (б)
ваемая цепь имеет индуктивный характер, ее схема замещения приве-
дена на рис. 2.76, г. Изменение реактивного сопротивления приводит
к тому, что с изменением частоты изменяются полное сопротивление
цепи Z, действующее значение тока / и угол сдвига фаз — ф..
На рис. 2.77, б показан примерный вид кривых Z(со), /(со) и <р(со),
которые называют частотными характеристиками.
Частотные характеристики на рис. 2.77, б свидетельствуют о том,
что последовательный Я-Ь-С-контур обладает определенными изби-
рательными свойствами по частоте: при частоте, стремящейся к нулю,
сопротивление контура стремится к бесконечности, т. е. если к зажи-
мам рассматриваемой цепи будет подведено постоянное напряжение,
то постоянного тока в цепи не будет. В то же время на частотах, близ-
ких к резонансной, сопротивление контура минимально, а в случае
R = 0 контур имеет нулевое сопротивление на резонансной частоте,
при этом принято говорить, что контур закорочен на резонансной
частоте.
Частотные избирательные свойства электрических цепей широко
используют в электротехнике и электронике, в гл. 5 будут рассмот-
рены примеры электрических фильтров, принцип действия которых
основан на их частотных характеристиках.
Вопрос 2.14. Можно ли индуктивную катушку, предназначенную для
работы в цепи переменного тока, включить в цепь постоянного тока,
сохранив при этом значение подведенного к ней напряжения равным
номинальному?
Варианты ответа:
2.14.1. Можно.
2.14.2. Нельзя.
2.14.3. Данных для ответа недостаточно.
135
Рис. 2.78. К задаче 2.38
Задача 2.38. Индуктивная катушка (рис. 2.78) включается сначала
в сеть постоянного тока (положение 1 переключателя П), а затем в сеть
переменного тока с частотой / = 50 Гц (положение 2). Приборы пока-
зали: на постоянном токе U_ = 12 В, /_ = 2 А, на переменном токе
С7~=12ОВ, = 12 А. Определить индуктивность катушки.
Указание и ответ: активное сопротивление катушки определяется
по показаниям приборов в цепи постоянного тока, R = 6 Ом; при из-
вестном значении R, индуктивность определяется по показаниям при-
боров на переменном токе L =25,5 мГн.
Задача 2.39. При какой частоте наступит резонанс в цепи с последо-
вательным соединением конденсатора емкостью 290 мкФ и индуктив-
ной катушки с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью
L = 0,1 Гн? Определить ток, напряжения на катушке и конденсаторе,
реактивные мощности катушки и конденсатора, а также активную и
реактивную мощности цепи в резонансном режиме, если U = 220 В.
Ответ: /рез = 29,6 Гц, I = 22 A, UK = 464 В, Uc = 408 В, QL =
= 8976 ВАр, Qc = -8976 ВАр, Р =4840 Вт, 2=0.
Задача 2.40. Определите резонансную частоту для схемы рис. 2.79, а
и ток цепи / в этом режиме, если L% = 20 мГн, С = 2 мкФ, а активным
сопротивлением катушки R% можно пренебречь.
Решение. Из равенства В L =В с следует, что если/^ =0, то 1/£к(0рез =
= С%ез’ откУДа
Из векторной диаграммы идеального параллельного контура, пред-
ставленной на рис. 2,79,6, следует, что ток в неразветвленной части цепи
L
о-
LU
Ij Рис. 2.79. К задаче 2.40
136
I = /j + I2 = 0, т. e. входное сопротивление контура при резонансе
Zрез -> «>. Это свойство идеального контура позволяет использовать
его в качестве элемента электрических фильтров. Задача решена.
И наконец, отметим, что частота влияет не только на реактивное,
но и на активное сопротивление цепи. Активное сопротивление любого
устройства увеличивается с ростом частоты за счет явления поверхност-
ного эффекта, проявляющегося в том, что плотность тока у поверхно-
сти проводника всегда больше, чем во внутренних участках его сечения.
Неравномерность распределения плотности тока по сечению проводни-
ка объясняется явлением электромагнитной индукции.
Рассмотрим проводник с током (рис. 2.80), возбуждающий магнит-
—>
ное поле, линии магнитной индукции В которого показаны внутри
проводника пунктирными, а вне проводника - сплошными линиями.
Представим, что проводник - это совокупность проводящих нитей,
параллельных его оси, и выделим две нити, одна из которых расположе-
на вблизи поверхности проводника (точка flj), а другая — его централь-
ной части (точка а2). Вокруг нити, расположенной в центре проводника,
замыкаются все силовые линии магнитного поля, в то время как нить,
расположенная у поверхности, охвачена лишь магнитными линиями,
проходящими вне проводника. Очевидно, чем ближе к поверхности
расположена нить, тем меньше число магнитных линий с ней сцеплено.
При изменяющемся токе магнитный поток будет также переменным,
поэтому в нитях индуцируются ЭДС и можно говорить об индуктивном
сопротивлении каждой нити. Значение ЭДС, индуцированной в нити,
а следовательно, и ее индуктивное сопротивление пропорциональны
количеству магнитных линий, сцепленных с нитью, поэтому нить, рас-
положенная в центре, будет иметь максимальное сопротивление, а
нить у поверхности - минимальное. В соответствии с этим плотность
тока в центре проводника будет минимальной, а у поверхности мак-
симальной, ток вытесняется на поверхность проводника.
На постоянном токе магнитное поле неизменно во времени, явле-
ние электромагнитной индукции отсутствует и плотность тока по сече-
нию проводника одинакова.
Рис. 2.80. Магнитное по-
ле проводника с током
137
Вытеснение тока на поверхность проводника равнозначно уменьше-
нию его полезного сечения, т. е. увеличению активного сопротивления.
Поэтому активное сопротивление проводника всегда больше его сопро-
тивления на постоянном токе, эта разница зависит от частоты тока,
формы и материала проводника. Так, в алюминиевых и медных про-
водах диаметром до 1 см на частоте 50 Гц разница между активным
сопротивлением и сопротивлением постоянному току составляет не-
сколько процентов, т. е. в этом случае с явлением поверхностного
эффекта можно не считаться. В то же время в асинхронных машинах
выполняется специальная обмотка, активное сопротивление которой
на частоте 50 Гц в несколько раз превышает ее сопротивление по-
стоянному току.
На высоких частотах поверхностный эффект проявляет себя на-
столько значительно, что ток во внутренних участках сечения провод-
ника практически отсутствует, поэтому в технике высоких частот ис-
пользуют полые провода.
Явление поверхностного эффекта широко используется в технике;
именно это явление позволяет, например, осуществлять высокочастот-
ную поверхностную закалку изделий и др.
2.16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ.
ВОЗДУШНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
На рис. 2.81 изображены две индуктивные катушки, расположен-
ные достаточно близко друг от друга; поэтому если одна из них, напри-
мер катушка Z, подключена к источнику электрической энергии и ее
ток отличен от нуля, то силовые линии магнитного поля, созданного
этим током (пунктирные линии на рис. 2.81), будут сцеплены с обе-
ими катушками. При этом говорят, что катушки имеют магнитную
связь, которую характеризуют взаимной индуктивностью М Взаим-
ная индуктивность М имеет размерность генри (Гн) и определяет зна-
Катушка 1 Катушка Z
Рис. 2.81. Индуктивные катушки
с магнитной связью
138
чение потокосцепления второй катушки с магнитным полем, созданным
током первой катушки ф2М = Mi 19 аналогично тому, как индуктив-
ность Lx определяет значение потокосцепления самоиндукции Ф^ х =
= Lxiv.
Если ток i изменяется во времени, то потокосцепления катушек
будут также переменными, при этом в первой катушке индуцируется
ЭДС самоиндукции е1£ =-dT 1L/dt =-L 1di1/dti а во второй - ЭДС взаим-
ной индукции е2М =-dW2M/dt =-MdiJdt. Если = llmsin(G)r+i|)fl),
тое2М =- ^w/lwcos(wr + или е2М =£2MmSin(wf + где
= ^пл» = , т.е. при синусоидальном токе ЭДС
взаимной индукции — также синусоидальная функция. ЭДС взаимной
индукции отстает от тока по фазе на угол тг/2, действующие значения
ЭДС и тока связаны соотношением
f2M =м^ц.
Величину ЛГсо, имеющую размерность Ом, называют сопротивлением
взаимной индукции и обозначают Хм:
ум = Мы. (2.78)
Соотношение между ЭДС взаимной индукции е2М и током можно
записать и в комплексной форме
£,м =-7Х,Л. (2.79)
2М 1 М v z
Если к источнику электрической энергии подключена не первая, а
вторая катушка, то потокосцепление обеих катушек будет опреде-
ляться магнитным полем, созданным током /2, при этом Ф2^ = L2i2,
^iM=^J2’ae2 =~^2di2/dt, eiM ^-Mdijdt или
В общем случае отличными от нуля могут быть токи обеих катушек,
а результирующее потокосцепление каждой из катушек % и Ф2 опре-
деляется как потокосцеплением самоиндукции, так и потокосцепле-
нием взаимной индукции. При этом возможны два случая.
Если потокосцепление взаимной индукции суммируется с потоко-
сцеплением самоиндукции, т. е. 4ч = Фх£ + ФхМ, Фа = ^2L + ^2М
и соответственно результирующая ЭДС каждой из катушек определя-
ется выражением ех = elL + е1М, е2 = e2L + е2М, то такое включение
катушек называют согласным.
Если для потокосцепления и ЭДС справедливы соотношения Фх =
- Ф1£ - Ф1М, Фг - Ф2£ - Ф2М и ег -e1L - ехм, е2 = e2L - е2М,
то включение катушек называют встречным.
139
Рис. 2.82. Магнитно-связанные
соосные катушки при согла-
сном (а) и встречном (б)
включении
Рассмотрим согласное и встречное включения на примере двух соос-
ных катушек (рис. 2.82). Намотка катушек на рис. 2.82, а проведена
одинаково (если проследить за намоткой катушек сверху вниз, то мож-
но увидеть, что для обеих катушек она осуществлена против часовой
стрелки), а намотка катушек на рис. 2.82, б - по-разному. Будем
считать, что катушки рис. 2.82 соединены последовательно и под-
ключены к внешнему источнику ЭДС; положительные направления
токов показаны на рисунке стрелками. Ориентируясь на положительные
направления токов и направления намотки катушек и воспользовав-
шись правилом буравчика, можно определить направления магнитных
потоков Ф1 и Ф2, создаваемых каждой из катушек. Нетрудно видеть,
что катушки рис. 2.82, а включены согласно, а катушки рис. 2.82, б —
встречно.
Выводы магнитно-связанных элементов принято маркировать, при
этом вводят понятие одноименных выводов (зажимов), которые поме-
чают точками. Одноименные зажимы определяют таким образом.
При согласном включении токи в катушках должны быть одинаково
ориентированы относительно одноименных зажимов. Например, в ка-
тушках, показанных на рис. 2.82, а, одноименными можно считать
верхние выводы и пометить их точками. Действительно, токи в первой
и второй катушках рис. 2.82, а, включенных согласно, направлены от
зажимов, помеченных точками, т. е. одинаково ориентированы относи-
тельно одноименных зажимов*; При встречном включении токи кату-
шек ориентированы по-разному относительно одноименных зажимов
(см. рис. 2.82, б).
Вопрос 2.15. С каким из утверждений о маркировке одноименных
выводов катушек на рис. 2.83 Вы согласны?
* Нетрудно убедиться в том, что у катушек, представленных на рис. 2.82, а мож-
но было бы пометить точками не два верхних, а два нижних зажима, которые также
являются одноименными.
140
Варианты ответа:
2.16.1. Маркировка проведена правильно только на схеме 2.83, а.
2.16.2. Маркировка проведена правильно только на схеме 2.83, б,
2.16.3. Маркировка верна на обеих схемах.
Схемы замещения для электрических цепей рис. 2.82 приведены на
рис. 2.84. Наличие магнитной связи между индуктивными элементами
Lx vl Lг показано дугой с двумя стрелками, около которой поставлена
буква М. Активные сопротивления катушек учтены с помощью эле-
ментов Ri hR2.
Ток i на схеме рис. 2.84, а одинаково ориентирован относительно
одноименных зажимов элементов, т. е. схема рис. 2.84, а — это схема
замещения для цепи с согласным включением, показанной на рис. 2.82, а.
Нетрудно убедиться, что на рис. 2.84, б изображена схема замещения
для встречного включения, т. е. для цепи рис. 2.82, б.
Рассмотрим на примере схем рис. 2.84, как при расчете цепей учиты-
вается наличие магнитной связи. Вначале обсудим выбор положительных
направлений стрелок индуцируемых ЭДС. Стрелка положительного на-
правления ЭДС самоиндукции еL любого индуктивного элемента проти-
воположна по направлению стрелке тока этого элемента (см. § 2.6).
Стрелки положительного направления ЭДС взаимной индукции ем
на схемах рис. 2.84 проставлены с учетом того, что они должны совпа-
дать по направлению со стрелками ЭДС самоиндукции при согласном
Рис. 2.84. Схемы замещения цепей при согласном (а) и встречном (б) включении
элементов с магнитной связью
И
141
включении элементов (Ф = Ф£ + Фм, е =eL + ем) и быть противопо-
ложны им при встречном включении (Ф = Ф£ — Фм, е = еL - <?м).
Запишем уравнение электрического состояния цепи с согласным
включением катушек (см. рис. 2.84, а):
и = Rxi + jLiwi + jMbji + R2i + jL2^i + jMwi =
= (Rx + R2)I + + L2 + (2.80)
Для встречного включения (см. рис. 2.84, б) уравнение имеет вид
U= (/?! + R2)I + jco(L1 + L2 (2.81)
Уравнения (2.80) и (2.81) позволяют рассчитать токи в цепи с после-
довательным соединением магнито связанных элементов. Из (2.80)
и (2.81) следует, что при переходе от согласного включения к встречно-
му эквивалентная индуктивность цепи изменяется на 47И.
Воздушный трансформатор. Бели к зажимам одной из двух катушек
с магнитной связью подключить источник электрической энергии, а к
другой — приемник с сопротивлением Zn, то полученная цепь, схема
замещения которой показана на рис. 2.85, образует воздушный транс-
форматор. В воздушном трансформаторе энергия из первичной цепи,
подключенной к внешнему источнику энергии, передается во вторич-
ную цепь посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под
действием напряжения источника возникнет ток z, то во вторичной
цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, которую
можно назвать генераторной, так как именно под ее воздействием
возникают напряжение и2 и ток i2 нагрузки.
Уравнения электрического состояния трансформатора имеют вид
= R1I1 “ А ;
/ (2-82)
„ Е2 = R2I2 U2.
Схема рис. 2.85 соответствует согласному включению катушек,
поэтому =E1L +Eu=-jX{Lii - и Е2 = E2L + Е^ =
= -jX2LI2 — кроме того, U2 =J[n/2, следовательно, систему
Рис. 2.85. Схема замещения цепи
с воздушным трансформатором
142
Рис. 2.86. К задаче 2.41
U,
(2.82) можно переписать в виде
Г (283)
I -iXai,-IX 1,-к/г +zn7,.
U
Полученная система уравнений позволяет определить токи первичной
и вторичной обмоток трансформатора при заданных параметрах обмоток
трансформатора, приемника энергии и напряжения источника.
Воздушные трансформаторы применяют в устройствах электроники
для электрической изоляции одной цепи от другой (первичной от вто-
ричной) или для согласования по мощности. Для усиления магнитной
связи между обмотками катушки воздушного трансформатора распо-
лагают одну внутри другой. В большинстве трансформаторов для уси-
ления магнитной связи первичную и вторичную обмотки располагают
на общем магнитопроводе, выполненном из ферромагнитного мате-
риала.
Задача 2.41. Для определения взаимной индуктивности двух кату-
шек собрана цепь по схеме рис. 2.86. В первичную ветвь этой цепи вклю-
чен амперметр. К зажимам второй катушки подключен вольтметр, из-
меряющий напряжение холостого хода вторичной цепи U2х. Найти
значение М, если ток I =0,15 А, напряжение t/2x = 1 В, а частота источ-
ника питания / = 100 Гц.
Ответ: М = 10,6 мГн.
2.17. ПОНЯТИЯ О ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАХ
Определение четырехполюсника дано в гл. 1, условное графическое
изображение приведено на рис. 2.87. В виде четырехполюсников удобно
рассматривать линии передачи электрической энергии, электрические
фильтры, трансформаторы, транзисторы, электронные усилители и др.
Рассмотрим основные свойства пассивных линейных четырехполюс-
ников.
Одну пару зажимов четырехполюсника, к которой подключают источ-
ник энергии, называют входной, а другую, к которой подключают при-
143
Рис. 2.87. Условное графическое изо-
бражение четырехполюсника
емник, - выходной. Отношение напряжения на выходе четырехполюс-
ника к напряжению на его входе U2IUi называют‘коэффициентом
передачи напряжения и обозначают _Кц, отношение тока на выходе к
току на входе /2 /Л — коэффициентом передачи тока Kj .
Основная задача анализа четырехполюсника заключается в том, чтобы
аналитически связать между собой напряжения и токи на его входе
Ulf Ii и выходе U2i 1г. Для линейных четырехполюсников эти величины
связаны между собой системой, состоящей из двух линейных уравне-
ний.
В зависимости от постановки задачи в уравнениях четырехполюсника
в качестве независимых переменных могут быть выбраны различные
сочетания двух величин. Например, при анализе электронных схем
наибольшее применение нашла система линейных уравнений четырехполюс-
ника, в которой в качестве независимых переменных выбраны ток Ц
и напряжение U2, при этом система уравнений имеет вид
Ц 1Л + JI12 U2 \
< < . (2.84)
/2 ”^2 1/1 + _^2 2^2»
В соответствии с принятым обозначением постоянных коэффици-
ентов уравнения (2.84) называют уравнениями четырехполюсника
в й-параметрах. При записи уравнений в й-параметрах положительное
направление тока /2 принято выбирать противоположным направле-
нию, указанному на рис. 2.87.
Комплексные коэффициенты hi ь й12, h21 и h22 могут быть опре-
делены расчетным или экспериментальным путем по двум любым режи-
мам четырехполюсника. Для простоты в качестве этих режимов исполь-
зуют режим короткого замыкания на выходе (U2 =0) и режим холо-
стого хода на входе четырехполюсника (Ц = 0) :
_й i1 = (^i/Л) =о - входное сопротивление при закороченных
выходных зажимах;
Л12 = (^1/U2) j =0 - коэффициент обратной связи по напряже-
нию при разомкнутых входных зажимах;
й21 = (/2//j _ Q - коэффициент передачи тока при закорочен-
ных выходных зажимах;
144
h22 = (I2/U2)} =0 _ выходная проводимость при разомкнутых
1 входных зажимах.
На рис. 2.88 представлена схема замещения четырехполюсника, со-
ставленная на основе уравнений, записанных в Л-параметрах. В схеме
замещения со стороны входных зажимов последовательно включены
комплексное сопротивление, равное _йц, и зависимый источник на-
пряжения _^126г2, управляемый напряжением U2. Со стороны выход-
ных зажимов параллельно включены комплексное сопротивление,
равное \)h22, и зависимый источник тока xZi» управляемый то-
ком Ц. Схема замещения в й-параметрах используется при рассмот-
рении транзисторного усилителя напряжения.
Помимо уравнений в й-параметрах для четырехполюсника можно
составить еще пять других систем, выбирая пять иных сочетаний двух
независимых величин. Рассмотрим в качестве второго примера систе-
му уравнений, в которой в качестве независимых переменных выбраны
токи Л и 12 \
^1=_?иЛ + ZizA; /о
(2.оэ)
у2 — z2 iii + z22i2.
Уравнения (2.85) называют системой уравнений четырехполюсника
в Z-параметрах.
Комплексные коэффициент Zlb Z12, Z2V и Z22 определяют
расчетным или экспериментальным путем по режимам холостого хода
на первичных и вторичных зажимах четырехполюсника:
_Zi 1 = (UilIi)f _ 0 — входное сопротивление при разомкнутых
выходных зажимах;
Z12 = (Ui 112 )} _ 0 - передаточное сопротивление при разомкну-
1 тых входных зажимах;
Z21 = (iA/A)j2 = о “ передаточное сопротивление при разомкну-
тых выходных зажимах;
Z22 - {U2lh)jx =0 — выходное сопротивление при разомкнутых
входных зажимах.
ЮЗак.до/
Рис. 2.88. Схема замещения четырех-
полюсника в й-пара метрах
145
Рис. 2.89. Т-образная схема за-
мещения четырехполюсника
В случае обратимых четырехполюсников передаточные сопротивления
Z12 и Z21 равны между собой: _Z12 =Z2i = _Z, система уравнений
(2.85) характеризуется только тремя независимыми коэффициентами
Zu,_Z22 и Z. При этом обратимый четырехполюсник может быть пред-
ставлен простейшей схемой замещения, содержащей три комплексных
сопротивления. На рис. 2.89 приведена одна из возможных трехэлемент-
ных схем замещения обратимого четырехполюсника, называемая
Г-образной.
Задача 2.43. Выразить сопротивления Т-образной схемы замещения
рис. 2.89, а через Z-параметры четырехполюсника.
Решение. В режиме холостого хода на вторичных зажимах (12 =
= 0) для схемы рис. 2.89 можно записать
= (Zj + Z3)/\ и tf2 = Z3/i;
при этом из уравнения 2.85 имеем
£/l=.Zu/i И ^2=^21Л,
поэтому
Z 3 ~ 2 1 и Z. = Z11 — Z2 1 .
При разомкнутых первичных зажимах (Ц = 0) для схемы 2.89 можно
записать U2 = (Z2 + Z3) /2, а из уравнений (2.85) U2 =Z22I2t следова-
тельно , Z2 = Z2 2 Z3 или Z2 = Z2 2 — Z2 д.
Ответ: Z 3 = Z21 Z1 —Z ii“"Z2j* Z 2 — Z 2 2 ~ Z2 j.
Выбор независимых переменных, а следовательно, той или иной си-
стемы уравнений четырехполюсника и вида эквивалентной схемы за-
мещения определяются условиями решаемой задачи и способа ш
соединения четырехполюсников в электрических цепях.
2.18. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ ГЛ. 2
2.1.2. Электрическая емкость пропорциональна длине проводников
и, следовательно, ток возрастает с ростом протяженности проводников.
146
2.2.1. На индуктивность катушки влияют только число витков, их
геометрия и взаимное расположение.
2.3.2. Потокосцепление индуктивного элемента в цепи постоянного
тока неизменно во времени, поэтому ЭДС самоиндукции равна нулю;
так как речь идет об идеальном элементе, то отсутствуют активное
сопротивление и электрическая емкость.
2.4.1. В цепи постоянного тока магнитное и электрическое поля
себя не проявляют, поэтому в схеме замещения присутствует только
Л-элемент. На промышленной частоте, как правило, токами смещения
еще допустимо пренебрегать, но явление самоиндукции учитывается.
На повышенных частотах схема замещения учитывает как необратимые
преобразования энергии, так и наличие ЭДС самоиндукции и токов
смещения.
2.5.3. Очевидно, что при Г = G ток и напряжение уменьшаются по
модулю, так как уменьшается мгновенная мощность, а это возможно,
как при i < 0, так и при i > 0.
2.6.3. При отрицательном значении р уменьшается энергия, запасен-
ная в магнитном поле; это соответствует уменьшению тока по модулю
и возможно как при положительном, так и при отрицательном значении
тока. Однозначного ответа быть не может.
2.7.2. Мгновенная мощность р(7) на рис. 2.24 положительна при на-
растании модуля тока и отрицательна при его уменьшении, что соответ-
ствует случаю индуктивного элемента.
2.8.3. Знаки в уравнении ”5” проставлены при обходе контура по
часовой стрелке, а в уравнении - против. В уравнении ”а” записано
напряжение t которое в уравнении ”5” выражено через его состав-
ляющие ZiA и Е.
2.9.2. В режиме резонанса напряжения^ =А, т. е. сопротивление цепи
минимально и в соответствии с законом Ома ток будет максимален.
2.10.1. Векторная диаграмма для схемы рис. 2.41 приведена на
рис. 2.90. Ток /1 не зависит от значения емкости конденсатора, а ток
12 увеличивается с ростом емкости (с уменьшением сопротивления
конденсатора Хс = 1 /Сео), фаза этого тока остается неизменной и рав-
ной 7t/2. Ток I = А + 12, он будет минимален в режиме резонанса и
равен при этом активной составляющей тока первой ветви.
2.11.1. Ток 12 в ветви, содержащей одну из катушек статорной об-
мотки, обладающей индуктивностью, опережает по фазе напряжение,
что возможно только в случае, если ФЭ — конденсатор, причем емкост-
ное сопротивление конденсатора должно быть больше индуктивного
сопротивления обмотки.
147
Рис. 2.90. К ответу на вопрос 2.10
Рис. 2.91. К ответу на вопрос 2.13
2.12.3. Ток резистора не зависит от емкости конденсатора, ток кон-
денсатора прямо пропорционален ей (/^ = UjXc = UCgj), поэтому с
уменьшением емкости будут уменьшаться и показания амперметра.
Ваттметр показывает значение активной мощности, которая опреде-
ляется только резистивным элементом Р = RI2, поэтому показания
ваттметра остаются неизменными.
2.13.3. На рис. 2.91 приведены векторные диаграммы для схемы
рис. 2.69. Диаграмма 2.91, а соответствует случаю, когда емкость под-
ключенного конденсатора имеет меньшее значение, чем в случае ди-
аграммы рис. 2.91, б, поэтому Л (а) <Л(б)- Из диаграмм следует,
что подключение конденсатора может увеличить коэффициент мощ-
ности приемника (случай ”а”), но может его и уменьшить (случай
"б"), поэтому для повышения коэффициента мощности потребителя
нужен предварительный расчет емкости подключаемого конденсатора.
2.14.2. Сопротивление катушки на постоянном токе значительно
меньше, чем на переменном. Если при включении катушки в цепь по-
стоянного тока не снизить напряжение до значений, существенно
меньших номинального, то возможно возникновение аварийной си-
туации, так как ток может существенно превысить номинальное зна-
чение.
2.153. Маркировки проведены верно для обеих схем.
Глава третья
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
3.1. ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ К РАЗРАБОТКЕ
ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ И ИХ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОЙ
ЭНЕРГЕТИКЕ
Трехфазная цепь представляет собой совокупность трех электриче-
ских цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой
частоты, различающиеся по фазе и создаваемые общим источником
энергии. Каждую из частей трехфазной системы, характеризующуюся
одинаковым током, принято называть фазой*.
Трехфазные цепи — наиболее распространенные в современной элект-
роэнергетике. Это объясняется рядом их преимуществ по сравнению
с однофазными цепями: экономичностью передачи энергии, возмож-
ностью получения кругового вращающегося магнитного поля, а также
двух различных эксплуатационных напряжений в одной установке —
фазного и линейного.
Разработка трехфазных цепей была исторически обусловлена и вы-
зывалась требованиями развивающегося промышленного производст-
ва, а возможность решения этой проблемы была обусловлена успеха-
ми в области изучения электрических и магнитных явлений и опытом
практического использования разнообразных электротехнических
устройств.
В 80-х годах XIX в. проблема централизованного производства и
распределения электроэнергии переросла в комплексную; необходимо
было одновременно разрешить две сложнейшие научно-технические
задачи: обеспечить экономичную передачу энергии на дальние рас-
стояния и создать надежный электродвигатель, удовлетворяющий тре-
бованиям промышленного электропривода. Это решение было найдено
на основе трехфазных систем.
Важнейшей предпосылкой создания трехфазных систем явилось
открытие явления вращающегося магнитного поля (Г. Феррарис и
Н. Тесла, 1888 г.). Первые электрические двигатели были двухфазными,
но они имели плохие рабочие характеристики.
Наиболее рациональной оказалась трехфазная система. В разработку
трехфазных систем большой вклад внесли ученые и инженеры разных
* Понятие ’’фаза” в электротехнике имеет два значения; первое - аргумент
синусоидально изменяющейся величины, второе - часть многофазной цепи.
149
стран: серб Н. Тесла, русский М. О. Доливо-Добровольский, немец Ф. Ха-
зельвандер, француз М. Депре, американец Ч. Бредли.
Наибольшая заслуга среди них принадлежит выдающемуся русскому
электротехнику М. О. Доливо-Добровольскому, сумевшему придать
своим работам практический характер, создавшему трехфазные асин-
хронные двигатели, трансформаторы, разработавшему четырех- и трех-
проводную цепи. Его по праву считают основоположником трехфазных
систем.
3.2. ТРЕХФАЗНЫЙ ГЕНЕРАТОР. СПОСОБЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ
СИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ ЭДС
Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: трехфазного
генератора, линии передачи и приемников.
На электрических станциях трехфазная система ЭДС образуется на
зажимах трехфазного синхронного генератора,
принцип действия которого и конструкция подробно рассмотрены в
гл. 5 кн. II.
Поперечный разрез трехфазного генератора схематически изображен
на рис. 3.1, а. Синхронный генератор состоит из двух основных частей:
неподвижной - статора и вращающейся — ротора. На статоре располо-
жена обмотка, состоящая из трех катушек или фаз, каждая из которых
условно изображена одним витком. Оси катушек сдвинуты относи-
тельно друг друга на один и тот же угол 2я/3, т. е. на 120°. Начала фаз
обозначены прописными буквами Л, В и С, а концы — буквами X, У, Z.
Ротор представляет собой электромагнит, возбуждаемый посто-
янным током. При вращении ротора турбиной (см. рис. 3.1, б) созда-
Рис. 3.1. Эскиз поперечного разреза трехфазного генератора (а) и схема турбогенератор-
ной установки (б)
150
ваемое им магнитное поле возбуждает в неподвижных обмотках стато-
ра синусоидальные ЭДС, имеющие одинаковые амплитуды и частоту,
но сдвинутые по фазе относительно друг друга на угол 2я/3. Такая
система ЭДС называется симметричной.
На практике, как правило, приемники подключаются не непосред-
ственно к генератору, а ко вторичным обмоткам трехфазных транс-
форматоров, в которых также действует симметричная система ЭДС.
Поэтому условимся анализировать процессы в трехфазных цепях не-
зависимо от того, чем создается система ЭДС - генератором или транс-
форматором.
Способы изображения симметричной системы ЭДС
На схемах замещения фазы трехфазного генератора (или вторичной
обмотки трехфазного трансформатора) изображают двумя способами
(рис. 3.2). Если ЭДС одной фазы (например, фазы А) принять за исход-
ную и считать ее начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных
значений ЭДС можно записать в виде
еА
ев = Emsin(a>t - 2тг/3);
ес = sin (со/ - 4тг/3) = Emsin(Cot + 2тг/3). (3.1)
Графики мгновенных значений
ЭДС показаны на рис. 3.3.
трехфазной симметричной системы
Рис. 3.3. Графики мгновенных значе-
ний трехфазной симметричной системы
ЭДС
Рис. 3.2. Условные обозначения обмо-
ток статора трехфазных генераторов
151
0-)
Рис. 3.4. Векторные диаграммы
трехфазной симметричной систе-
мы ЭДС прямой (а) и обратной
(б) последовательности фаз
Комплексные действующие ЭДС будут определяться соответственно
выражениями:
ЁА =Е;
Ёв =Ее~121Г13. (3.2)
Ёс = ЕеГ/41Т13 = Ее'™'3.
Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС пока-
зана на рис. 3.4, а. Из диаграммы следует, что в любой момент времени
+ h + А? = °-
Из графика мгновенных значений также очевидно, что
еА + еВ + еС = °* <3‘3)
Систему ЭДС, изображенную на рис. 3.4, а, называют системой пря-
мой последовательности фаз; в этом случае ЭДС фазы В отстает от
ЭДС фазы А на угол 2я/3, а ЭДС фазы С - на тот же угол от ЭДС фа-
зы В. Если изменить направление вращения ротора, то последователь-
ность фаз изменится на обратную (см. рис. 3.4, б). Заметим, что от по-
следовательности (порядка чередования) фаз зависит направление
вращения трехфазных асинхронных двигателей.
Последовательность фаз может быть определена специальным при-
бором — фазоуказателем, а на распределительных устройствах шины,
относящиеся к разным фазам, имеют различную окраску. В нашей
стране приняты цвета: желтый — для фазы Л, зеленый — для фазы В,
красный - для фазы С.
Вопрос 3.1. Как направление вращения ротора влияет на трехфаз-
ную систему ЭДС?
Варианты ответа:
3.1.1. Влияет на амплитуду ЭДС.
3.1.2. Влияет На частоту ЭДС.
3.1.3. Влияет На фазовый сдвиг.
152
3.3. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ ФАЗ ТРЕХФАЗНОГО
ИСТОЧНИКА ПИТАНИЯ. ФАЗНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В период зарождения трехфазных систем были попытки использовать
несвязанную систему, в которой фазы обмотки генератора не были
электрически соединены между собой и каждая фаза соединялась со
своим приемником двумя проводами. Такие системы не получили при-
менения вследствие их неэкономичности: для соединения генератора
с приемником требовалось шесть проводов (рис. 3.5). Поэтому вполне
естественными были стремления ученых и инженеров сократить число
проводов трехфазной установки. Логическим путем было объединение
трех обратных проводов в один — так возникла связанная система,
соединенная звездой (рис. 3.6, а), в которой концы фаз X, У, Z соеди-
няются в один общий узел N, называемый нейтральной точ-
кой генератора (либо трансформатора). Провода, соединяющие на-
чала фаз обмоток генератора (трансформатора) и приемника, называют
линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора
и приемника, — нейтральными.
При соединении фаз обмотки треугольником объединяются в одну
точку начала и концы соответствующих фаз: Хи В, У и С, Z и А (см.
рис. 3.6, б).
Рис. 3.5. Схема несвязанной шести-
проводной трехфазной цепи
Рис. 3.6. Схема соединения фаз источника звездой (а) и тре-
угольником (б)
153
Как отмечалось, важной особенностью трехфазных цепей является
наличие двух напряжений — фазного и линейного. Фазным (t/0)
называют напряжение между началом и концом каждой фазы (UAN,
UBN> Ucn> либ°> опуская второй индекс, просто UA, UB, а ли-
нейным (t/n) - между началами двух фаз (UAB, UBC, UCA) (см.
рис. 3.6, а). За положительное направление фазных напряжений при-
нимают направления от начала к концу фаз обмотки (например,
от А к X), за положительное направление линейных напряжений -
направление от Л кВ, от В к Си от С к А. Соотношения между ли-
нейными и фазными напряжениями трехфазного источника электриче-
ской энергии определяют из уравнений, составленных для схемы
рис. 3.6, а по второму закону Кирхгофа, связывающих эти напряже-
ния:
ЬАВ+ ив-йА =°; ьвс+ vc-uB = Q-,
йСА + ЬА - »С = 0 <3-4)
ИЛИ
"лв = С'л - йв-. VBC‘U,-UC.
6са’Ьс- Ьл- <’-5>
Из топографической диаграммы напряжений, построенной в соответ-
ствии с этими уравнениями (рис. 3.7), можно определить как количе-
ственные, так и фазовые соотношения между фазными и линейными
напряжениями симметричной системы. Векторы линейных напряжений
UAв, UBC и U*A сдвинуты относительно друг друга на угол 2я/3 и
+ 7
А
Рис. 3.7. Векторная диаграмма
напряжений трехфазного источ-
ника при соединении его фаз
звездой
* Следует различать направление стрелок на схеме, указывающих условно
положительные направления линейных напряжений, и направление векторов
на векторной диаграмме. Так, очевидно, вектор ~ Уд ~ ^в должен быть
направлен к точке Л.
154
опережают соответственно векторы фазных напряжений UA, йв и Uc
на угол 7г/6. Из заштрихованного треугольника следует:
т. е.
ип=^1иФ- <3-6>
Значение каждого из линейных напряжений в у/ 3 раз больше фазного.
Предусмотренные ГОСТом линейные и фазные напряжения для це-
пей низкого напряжения связаны между собой соотношением (3.6):
ил = 660 В, иф = 660/х/3 = 380 В;
= 380 В, иф = 380/х/3' = 220 В;
ил = 220 В, иф = 220/ у/3 = 127 В.
Очевидно, что при соединении фаз треугольником (см. рис. 3.6, б)
линейные напряжения равны фазным, т. е.
ил = иф. (3.7)
Отметим, что обмотки фаз генератора предпочитают соединять звез-
дой, так как в случае нарушения симметрии ЭДС в обмотке, соединен-
ной треугольником, уже при холостом ходе возникнут токи, которые
вызовут нагревание обмоток и соответствующее увеличение потерь
энергии.
Задача 3.1. Фазные напряжения генератора 11ф =220 В. Записать вы-
ражения для комплексных действующих значений фазных и линейных
напряжений, если начальная фаза напряжения UA равна нулю.
Ответ: UA = 220 В, UB = 220е-' 120° В, йс = 220е' 120° В, йдв =
= 380е7 30° В, ^sc = 380e-y 90° В, UCA =380е' 150° В.
Векторная диаграмма напряжений приведена на рис. 3.7.
3.4. КЛАССИФИКАЦИЯ И СПОСОБЫ ВКЛЮЧЕНИЯ
ПРИЕМНИКОВ В ТРЕХФАЗНУЮ ЦЕПЬ
Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть либо одно-
фазными, либо трехфазными. К однофазным приемникам относятся
лампы накаливания и другие осветительные приборы, различные бы-
товые приборы, однофазные двигатели и т. д. К трехфазным приемни-
155
Рис. 3.8. Схема включения (а) и схема замещения (б) однофазных и трехфазных
приемников
кам относятся трехфазные асинхронные двигатели и индукционные
печи. Комплексные сопротивления фаз трехфазных приемников равны
между собой: Za ~—с* ^акие приемники называют симмет-
ричными. Три однофазных приемника, включенные в трехфазную
цепь, в зависимости от соотношения их сопротивлений, могут быть
эквивалентны как симметричным, так и несимметричным трехфазным
приемникам. Начала и концы фаз приемников обозначают строчными
буквами: а - х, b - у, с - г.
Подобно фазам генераторов и трансформаторов фазы трехфазных
приемников, а также однофазные приемники могут соединяться звез-
дой либо треугольником. Способ соединения фаз источника электри-
ческой энергии не предопределяет способа включения приемников.
На рис. 3.8 показаны схема включения однофазных и трехфазных
приемников (а) и схема замещения (б) этой цепи. Как правило,
электрические осветительные приборы, являясь в трехфазных цепях ти-
пичными несимметричными приемниками, включаются либо звездой
в четырехпроводную цепь (см. рис. 3.8), либо треугольником в трех-
проводную цепь. В качестве примера симметричных приемников на
рис. 3.8 изображены трехфазный асинхронный двигатель (ТАД), об-
мотки которого соединены звездой (на схеме замещения он пред-
156
Рис, 3.9. К вопросу 3.2
АО-
Во-
Со-
ставлен резистивными и индуктивными элементами), и батарея конден-
саторов, соединенная треугольником.
Вопрос 3.2. На рис. 3.9 представлена схема замещения четырехпро-
водной сети с линейным напряжением U = 380 В. На какие напряжения
рассчитаны приемники?
Варианты ответа:
3.2.1. Приемники Zx -Z3 — 220 В, Z4 -Z6 - 380 В,
3.2.2. Приемники Zx - Z3 — 380 В, Z4 - Z6 — 220 В.
3.2.3. Все приемники рассчитаны на 380 В.
3.5. АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СОЕДИНЕНИИ
ПРИЕМНИКОВ ЗВЕЗДОЙ
Четырехпроводная цепь
Рассмотрим схему замещения четырехпроводной цепи, в которой
фазы генератора и приемника соединены звездой (рис. 3.10). Обычно
сопротивления проводов значительно меньше сопротивлений прием-
ников, поэтому при расчете таких цепей (если не требуется большая
точность) сопротивления проводов можно не учитывать. Тогда фазные
напряжения приемника. (UQf. Ub, Uc) будут равны фазным напряже-
ние. 3.10. Схема замещения четырехпроводной
трехфазной цепи
157
ниям источника (UA, Us, Uc), т. e.
Ч,=4. VC^UC. (3.8)
Если комплексные сопротивления фаз приемника равны соответственно
Za, и то токи в каждой фазе можно определить по формулам
I = U /Z . L = UjZh, Ic = UJZ. (3.9)
a a'—a b b'-b’ c c'—c v 7
Условно положительные направления токов в линейных проводах
принимаются от источника к приемникам, в нейтральном проводе -
от нейтральной точки приемника к нейтральной точке источника (см.
рис. 3.10).
При соединении звездой фазные токи равны соответствующим ли-
нейным токам, например, IQ = 1д.
В соответствии с первым законом Кирхгофа ток в нейтральном про-
воде
4 = 4+ 4+ 4 -'а + 4+ ‘с-
Если приемники симметричные, то токи в фазах будут равны между
собой и сдвинуты по фазе по отношению к соответствующим фазным
напряжениям на один и тот же угол (tg^? = X/R). Построив векторную
диаграмму токов для симметричного активно-ипдуктивного приемни-
ка (рис. 3.11), легко установить, что геометрическая сумма трех век-
торов тока равна нулю: + 1С =0. Следовательно, в случае сим-
метричного приемника ток в нейтральном проводе - 0, поэтому не-
обходимость в нейтральном проводе отпадает.
В четырехпроводные трехфазные цепи обычно включают однофаз-
ные несимметричные приемники, например, лампы или бытовые прибо-
ры, причем каждый из них включают между зажимами одной из фаз
и нейтральным проводом (см. рис. 3.8). Благодаря нейтральному про-
воду напряжения на каждой фазе приемника будут равны соответ-
ствующим напряжениям генератора (или трансформатора). Следова-
тельно, нейтральный провод обеспечивает сохранение симметрии фазных
Рис. 3.11. Векторная диаг-
рамма симметричного при-
емника, соединенного звез-
дой
158
напряжений несимметричного приемника. Но, очевидно, что токи в фа-
зах будут разными, поскольку комплексные сопротивления фаз не
равны между собой. Для несимметричного приемника векторы токов
уже не представляют собой симметричной системы, и поэтому ток в
нейтральном проводе не будет равен нулю.
Важным преимуществом четырехпроводной цепи является то, что
при изменении режима работы одной из фаз режимы других фаз не
изменяются, так как нейтральный провод обеспечивает постоянство
фазных напряжений.
Задача 3.2. На рис. 3.12, а изображена схема четырехпроводной осве-
тительной сети жилого дома с линейным напряжением U =220 В. В фа-
зы Л и В включено по 25 ламп, а фазу С - 15 ламп. Номинальная мощ-
ность каждой лампы Рном = 60 Вт, номинальное напряжение Ц|ом =
= 127 В. Определить токи в линейных и нейтральном проводах, постро-
ить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение. Изобразим схему замещения цепи (см. рис. 3.12, б).
Мощность каждой фазы = Рв = 60 • 25 = 1500 Вт, Рс = 60 • 15 =
= 900 Вт.
Линейные токи
'а =1В =Рл!иФ = >500/127 = 11,8 А;
/с = Рс/иф = 900/127 = 7,1 А.
159
Так как токи в резистивных элементах совпадают по фазе с напря-
жениями, то комплексные значения токов можно записать в виде
Л =11,8 А; /' = 11,8е-'120° A; L = 7,1е' 120° А.
Ad С
Ток в нейтральном проводе может быть рассчитан по первому закону
Кирхгофа (/^ = /^ + 1В + , либо найден из векторной диаграммы
(см. рис. 3.12, в): IN = 4,7е-у 60 А.
Задача 3.3. Как изменятся токи в фазах А и В и в нейтральном прово-
де (см. условие предыдущей задачи), если перегорит предохранитель
в фазе С 1
Решение. Токи в фазах А и В останутся без изменения, ток в нейт-
ральном проводе /уу = 1д + IB = 11,8е-/ 60 А.
Задача 3.4. В четырехпроводную сеть с линейным напряже-
нием 220 В подключен несимметричный приемник (рис. 3.13, а), со-
противления фаз приемника Ra = Хь = Хс =25,4 Ом. Определить токи
в фазах приемника и ток в нейтральном проводе. Построить вектор-
ную диаграмму.
Решение. Токи приемников
I = Л. = Л = = 127/25,4 = 5 А.
а о с Ф' Ф 1 7
Ток в нейтральном проводе легко может быть найден из векторной
диаграммы рис. 3.13, б. При ее построении учтено, что ток I совпадает
с напряжением UA, ток I опережает напряжение Uc на угол я/2, а ток
1Ь отстает от напряжения UB на угол я/2. Ток в нейтральном проводе
Л/ = t + А, + Л = 3,65е/7ГА.
in а и с
Задача 3.5. Как изменится ток в нейтральном проводе и векторная
диаграмма, если в схеме предыдущей задачи поменять местами Хь
и Хс (рис. 3.14,а).
Ответ: Ток в нейтральном проводе возрастает до 13,65 А и изменит
фазу на 180°. Векторная диаграмма приведена на рис. 3.14, б.
Рис. 3.14. К задаче 3.5
Рис. 3.13. К задаче 3.4
Рис. 3.15. К задаче 3.6
Задача 3.6*. Определить ток в нейтральном проводе для схем
рис. 3.15 при замкнутом и разомкнутом положении ключа, если линей-
ное напряжение U = 380 В. Значения сопротивлений в омах указаны
на схемах.
Ответы приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Схема а б в г
Ключ замкнут 22 А 16 А 22 А 16 А
Ключ разомкнут 0 38 А 0 38 А
Трехпроводная цепь
Трехфазные цепи при соединении фаз приемника звездой без нейт-
рального провода называют трехпроводными (рис. 3.16).
В такую трехпроводную цепь можно включать только симметричные
приемники, например, трехфазные электродвигатели, электрические
печи.
Рис. 3.16 представляет собой схему с двумя узлами п и 7V, поэтому
для определения напряжения Un^ можно воспользоваться известной
Рис. 3.16. Схема трехпроводной цепи при соеди-
нении приемников звездой
11 Зак. 15М
161
формулой междуузлового напряжения
ХдЁд + W В +
Ха + Xh + Хе
(3.11)
где Уа, Yb и Yc — комплексные проводимости фаз приемника. Если
приемник симметричный (Ya = Yb = YC)9 то UnN =0, напряжения на
фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора, а токи в
фазах равны и определяются по тем же формулам, что и для четырех-
проводной цепи (3.9). В случае симметричного приемника иногда до-
статочно определить ток в одной из его фаз.
В инженерной практике симметричные трехфазные цепи часто изобра-
жают однолинейными (рис. 3.17), так как каждая фаза в них состоит
из одинаковых элементов.
Если по каким-либо причинам несимметричные приемники, соеди-
ненные звездой, окажутся включенными в трехпроводную сеть (см.
рис. 3.16), то между нейтральными точками приемника и источника
возникнет напряжение UnN> называемое напряжением между
нейтралями.
Очевидно, что теперь напряжения на фазах приемника (U 9 Ub, U )
будут отличаться от напряжений генератора UB, Из второго
закона Кирхгофа следует, что
Va = UA-vnN’ ub=uB-unN, йс=йс-йп„. (3.12)
Следовательно, зная и фазные напряжения генератора, можно
определить фазные напряжения приемника, а по ним — и фазные токи:
Uh/Zh> tr = VrlZr- (3.13)
a a'—a b o'—b c c'—c v 7
Линия передачи
Подстан-
/МВтГ
I Приемник
Электрическая cos <р « 0,92
станция (<р>0)
Рис. 3.17. Схема однолинейной трехфазной
симметричной цени
162
Задача 3.7. Для определения последовательности фаз симметричной
трехфазной системы с линейным напряжением 220 В использован фазо-
указатель (рис. 3.18, а), состоящий из двух одинаковых ламп и кон-
денсатора. Сопротивления ламп и конденсатора подобраны равными.
Определить напряжение на лампах. Построить топографическую ди-
аграмму напряжений.
Решение. Фазоуказатель представляет собой несимметричный
трехфазный приемник, соединенный звездой. Смещение нейтрали фазо-
указателя определяют по формуле (3.11).
Фазное напряжение системы 11ф =220/ V 3 = 127 В.
Примем UA = UA = 127 В, тогда напряжения других фаз системы бу-
дут равны:
UB = 127е~' ,20° = 127 (—0,5 —/0,865) В;
Uc = 127е' 120° = 127 (-0,5 + /0,865) В.
Комплексные проводимости фаз:
Ха = Yh= Хс =
Напряжение между нейтралями
= 127 (-0,2+ /0,6) =80,Зе/Ю8’ в
Фазные напряжения приемника:
иа = йА - UnN = 127(1,2- /0,6) = 170,4е—7 27° В;
Ub = - UnN = 127(-°’3 - / 1.465) = 190е-/ ’02° В;
Uc = Uc~UnN = 127(-0,3 + /0,265) = 50,8е7138° В.
Рис. 3.18. К задаче 3.7
163
Напряжение Ub > Uc, следовательно, лампа в фазе b будет гореть ярче
лампы фазы с.
На рис. 3.18, б приведена топографическая диаграмма напряжений
фазоуказателя.
Задача 3.8. Трехфазный симметричный активно-индуктивный прием-
ник подключен к сети с линейным напряжением £/=380 В (рис. 3.19,а).
Сопротивления фаз приемника ZQ = Zb =Zc =R + jXL = (3 + /4) Ом.
Определить фазные напряжения и токи в нормальном режиме, а также
при обрыве и коротком замыкании фазы А.
Решение. В нормальном режиме UQ =Ub=Uc = UI 3 =220 В;
in
I = L = 1 = — , = 220/5 = 44 А.
° b с V*2 + xl
При обрыве фазы А (см. рис. 3.19, б) фазы В и С окажутся соединен-
ными последовательно и будут подключены к линейному напряже-
нию UBC. Очевидно, что при этом фазные напряжения уменьшатся
и станут равными Ub = Uc = £7л/2 =380/2 = 190 В.
Ло
0о
Со
Рис. 3.19. К задаче 3.8
164
На векторной диаграмме рис. 3.19, в точка п окажется посередине
вектора UBC- Напряжения на фазах приемника UQ, Ub и U можно
построить, если соединить точки А, В и С с точкой п. Из построения сле-
дует, что напряжение U станет равным
Ua = 1,5 иф = 330 В.
Токи в фазах:
1 = О, L = I = 190/5 = 38 А.
а Ос
На векторной диаграмме токи и 1с отстают соответственно от
напряжений Ub и С7 на угол = arctg(A/7?) =53° 10'.
При коротком замыкании фазы А потенциал точки п <рп = и,
следовательно, точка п на векторной диаграмме рис. 3.19, г сместится
в точку Л, напряжения фаз Ъ и с станут равными линейным напряже-
ниям генератора:
Uh„ = URA,
bn BA9 СП СА
Напряжение U =0.
Модули токов: Ib = Ic = U^/z^ =380/5 = 76 А.
Ток Ia = - (Jb + / ) может быть найден из векторной диаграммы.
Модуль этого тока I « 131 А.
Заметим, что в трехпроводной цепи сумма комплексных значений
линейных токов равна нулю:
Г + Л + Л = 0- (3-14)
а о с v 7
Вопрос 3.3. В трехпроводную и четырехпроводную сети включены ре-
зистивные приемники, соединенные звездой. Какие токи и напряжения
будут изменяться при изменении сопротивления фазы А 1
Варианты ответа:
3.3.1. В обоих случаях все токи и напряжения.
3.3.2. В трехпроводной сети — все токи и напряжения, в четырех-
проводной — только 1д и /у.
3.3.3. В обоих случаях только ток и напряжение в фазе А.
3.6. АНАЛИЗ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СОЕДИНЕНИИ
ПРИЕМНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИКОМ
Фазы трехфазных приемников могут соединяться треугольником.
Такое соединение получится, если фазы приемника с сопротивлениями
ZQb, —Ьс9 — са включить соответственно между линейными проводами
165
(рис. 3.20). При этом фазные напряжения приемника равны соответ-
ствующим линейным напряжениям источника питания:
«ьсАс- vc.-uCA. (3.15)
Токи в фазах приемника определяются по формулам
‘.В = ‘всААс- ‘сс^сА.- <3.16>
В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фаз-
ные гоки не равны линейным. Линейные токи можно определить по
фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов
а, Ъ и с (см. рис. 3.20, а):
‘л 4’4,-'.в- 'сАА- (3.17)
Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником
является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим ра-
боты других фаз останется неизменным, так как линейные напряжения
генератора остаются постоянными (будет изменяться только ток данной
фазы и линейные токи в проводах, соединенных с этой фазой). Поэтому
схема соединения треугольником широко используется для включения
несимметричной нагрузки.
Задача 3.9. В трехфазную сеть с линейным напряжением U = 220 В
включены три однофазных приемника. Параметры первого приемника:
Р\ = 1100 Вт, U = 220 В, cos = 1, второго: Q2 = 1100 ВАр, U = 220 В,
cos = О,* третьего: Р3 = 660 Вт, U = 220 В, cos =0,5. Второй и третий
Рис. 3.20. Схема замещения (а) и векторная диаграмма (б) трехфазной цепи при
соединении фаз приемника треугольником
166
приемники носят индуктивный характер. Определить токи в линей-
ных проводах.
Решение. Поскольку фазные напряжения приемников равны ли-
нейным напряжениям сети, то приемники должны быть соединены тре-
угольником. Схема замещения цепи с учетом характера приемников
приведена на рис. 3.20, а.
Фазные токи приемников:
Iab = PJCt/cos^) = 1100/(220- 1) = 5 Л, =0;
Jbc = 22/(№п^) = 1100/(220- 1) = 5 А, <р2 = 90°;
Ica = P3/(t/cos^3) = 660/(220 • 0,5) = 6 А, ^3 = 60°.
Комплексные значения фазных напряжений:
и. = 220с'30° В; и, = 220е-'90° В; С/ = 220е' ,50° В.
Комплексные значения фазных токов:
'1. = 5е'30° А; /. = 5е~7180° А; I = 6е790° А.
ab Ьс 9 са
Комплексные значения линейных токов:
'[А =46-4а = 5е/30°-6е/90О = 5 Y- "/6 =
= (4,3 - / 3,5) А;
= L-1 . = 5е—' 180° - 5е' 30° = -5 - 4,3 -/ 2,5 =
В ос ab ч j ч
= (-9,3 — / 2,5) А;
/г = 4„ - L = 6е' 90° - 5e~z 180° = (6/ + 5) а.
С са Ьс \ j /
Проверка:
4 + 4 + 4 = 4’3 “ 7 3’5 ~ 9’3 “ / 2,5 + 5 + / 6 = 0.
Векторная диаграмма приведена на рис. 3.20, б.
Если приемник симметричный (ZQb =%Ьс =%са)ч то векторы фазных
токов образуют симметричную систему: значения фазных токов и сдвиги
фаз между токами и соответствующими фазными напряжениями будут
одинаковы. Легко показать, построив, например, векторную диаграмму
для активно-индуктивного приемника (рис. 3.21, а, б), что в случае
167
Рис. 3.21. Схема замещения (а) и векторная диаграмма (6) активно-индуктивного
приемника, соединенного треугольником
симметричного приемника
7Л = ^3/ф. (3.18)
Задача 3.10. В трехфазную сеть с линейным напряжением U = 380 В
включен симметричный приемник, соединенный треугольником, каж-
дая фаза которого имеет активное сопротивление А =8 Ом и индуктив-
ное = 6 Ом (см. рис. 3.21, а). Определить линейные и фазные токи,
построить векторную диаграмму.
Решение. Приемник симметричный, поэтому расчет можно прово-
дить для одной фазы.
Фазные токи приемника
7Ф
и
Хф
и
х/ я2 + xf
380
V82 + 62
= 38 А.
Векторы фазных токов отстают от соответствующих векторов линей-
ных напряжений на угол
R
COSip = -----
2ф
8
х/в2 + 62
= 0,8;
у = 37°.
Линейные токи
/л = \<3/ф = х<3 • 38 = 66 А.
Векторная диаграмма изображена на рис. 3.21, б. При ее построении
начальная фаза линейного напряжения UAB принята равной 0.
168
3.7. МОЩНОСТЬ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
Мгновенная мощность трехфазного источника электрической энергии
равна сумме мгновенных мощностей каждой из фаз:
р = Ра + Рв + Рс= иА1А + ив*в + ис‘с • <3-19)
Среднее за период значение мощности, т. е. активная мощность гене-
ратора, равна сумме активных мощностей отдельных фаз:
1 Т
Р = — / Р dt = РА + Р + Рс =
То
= ^A^AC0S^A + ^B^BC0S^B + ^c^CCOS^C '
Активную мощность трехпроводной цепи можно выразить также
через линейные напряжения и токи, если определить из уравнения iA +
+ + ic =0 один из линейных токов, например, iB = - iA - ic.
Подставляя это равенство в выражение для мгновенной мощности
(3.19), получим
Р = иАВ*А + иСВ^С' (3.20)
Тогда
1 Т ] Т
р=~ I pdt =~ / {t*ABiA + =
= C/^/^cosa + (/C5*/Ccosj3, (3.21)
где аир- углы сдвига фаз векторов линейных токов 1д и 1С относи-
тельно соответствующих линейных напряжений UAB и UCB. На этом
основан метод двух ваттметров для измерения активной мощности
в трехпроводной цепи.
Как известно, активная мощность любой из фаз (например, фазы а )
определяется из соотношения Ра = UQIQcosipa. Активная мощность
трехфазного приемника равна арифметической сумме активных мощ-
ностей отдельных фаз:
Р=Ра + Рь+ Рс. (3.22а)
Реактивная мощность соответственно равна алгебраической сумме
реактивных мощностей отдельных фаз:
Q = Qa + Qb + Qc- (3.226)
169
Полная мощность
5 = У/>2 + 22. (3.22в)
*
Активная мощность симметричного трехфазного приемника
? “ ЗРф = ЗС/ф/ ф cos <рф>.
Аналогично выражается и реактивная мощность:
Q = 32ф = 31/ф/ф81п<рф.
Так как за номинальные величины обычно принимают линейные на-
пряжения и токи, то мощности удобней выражать через линейные ве-
личины t/д И /д.
При соединении фаз приемника звездой С/ф = /ф =/д, при
соединении треугольником 1/ф = /ф =/д/\/3. Поэтому независимо
от схемы соединения фаз симметричного приемника его активная мощ-
ность Р = \/Тt/д /дcos , где t/д и /д — линейные напряжение и ток;
cos — фазный. Обычно индекс ”Л” не указывают и формула принимает
вид
Р = y/~3U/cos<p- (3.23а)
Соответственно реактивная мощность
О = у/з UI sin(3.236)
и полная мощность
S = у/~3 и/. (3.23в)
Вопрос 3.4. Как изменится активная мощность, если трехфазный
симметричный резистивный приемник, соединенный треугольником,
будет переключен в звезду (при неизменном напряжении генератора)?
Варцанты ответов:
3.4.1. Уменьшится в у/~3 раз.
3.4.2. Не изменится.
3.4.3. Уменьшится в 3 раза.
3.8. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ СИММЕТРИЧНЫХ ТРЕХФАЗНЫХ
ПРИЕМНИКОВ И СПОСОБЫ ЕГО ПОВЫШЕНИЯ
В гл. 2 было дано определение коэффициента мощности и показана
возможность его повышения.
Как указывалось, значительную часть приемников электрической
энергии составляют трехфазные асинхронные двигатели, обслуживаю-
щие силовые промышленные установки (компрессоры, насосы, венти-
ляторы) и производственные механизмы (в основном станки), уста-
новки электрического освещения, электрические печи, а также преобра-
зовательные агрегаты, служащие для питания приемников постоянного
тока. Все эти приемники, кроме установок электрического освещения,
как правило, являются симметричными.
Большая часть промышленных приемников потребляет из сети, по-
мимо активной, и реактивную энергию. Основными потребителями
реактивной энергии являются асинхронные двигатели и трансформа-
торы, потребляющие соответственно 60—65 и 20—25% общего количе-
ства реактивной энергии.
При загрузке линий передач и трансформаторов значительными по-
токами реактивной энергии возникают дополнительные потери на на-
грев, потери напряжения (особенно в сетях районного значения),
уменьшается пропускная способность линий электропередачи и транс-
форматоров, возникает необходимость увеличения площадей сечений
проводов воздушных и кабельных линий, а также мощности или коли-
чества трансформаторов. Поэтому в современных системах электро-
снабжения стремятся частично разгружать линии электропередачи и
трансформаторы от реактивной энергии, приближая в соответствии
с технико-экономическими возможностями источники реактивной
энергии к местам ее потребления. Это приводит к увеличению коэф-
фициента мощности установок.
Повышение коэффициента мощности имеет огромное технико-
экономическое значение: так, его повышение на 0,01 только в одной
крупной энергосистеме дает ежегодно экономию нескольких миллио-
нов киловатт-часов.
Повышение коэффициента мощности промышленных предприятий
должно осуществляться прежде всего за счет упорядочения энергетиче-
ского режима оборудования, рационального использования установ-
ленных мощностей асинхронных двигателей и трансформаторов, замены
мало загруженных двигателей двигателями меньших мощностей, огра-
ничения режимов холостого хода трансформаторов и двигателей и др.
В случае необходимости прибегают к искусственным мерам повышения
коэффициента мощности с помощью компенсирующих устройств
171
(источников реактивной энергии) — синхронных компенсаторов —
(мощных синхронных двигателей) и статических конденсаторов.
Коэффициент мощности трехфазных приемникбв
Р Р
COS = ---- = —7 -^-,-__-7 - —... --- ,
5 у/р2 + (Ql-Qc)2
где Qc — реактивная мощность компенсирующих устройств.
Чем больше реактивная энергия, вырабатываемая компенсирующи-
ми устройствами, установленными вблизи приемников, тем выше ко-
эффициент мощности.
Выбор компенсирующих устройств осуществляют на основе технико-
экономических расчетов. Применение синхронных компенсаторов в
маломощных установках нецелесообразно, поэтому на промышленных
предприятиях при мощности компенсирующего устройства меньше
5 МВАр (Z7= 6 кВ) и 10 МВАр (U= 10 кВ) экономически целесообраз-
на установка конденсаторных батарей.
Реактивная мощность конденсаторов в одном элементе составляет
4—10 к В Ар: из двух элементов собирают батареи требуемой мощности,
соединяют их треугольником* и включают в трехфазную сеть. Установ-
ки конденсаторов делятся на три вида: индивидуальные, групповые
и централизованные (в последних мощность конденсаторов использу-
ется более эффективно).
В соответствии с указаниями по компенсации реактивной мощности
в распределительных сетях каждому предприятию нормируется не
коэффициент мощности, а непосредственное экономически обоснован-
ное значение реактивной энергии, которую ему разрешается потреблять
из сети. В соответствии со специальными договорами предприятиям
устанавливается оптимальный tg<p, определяемый по показаниям счет-
чиков реактивной и активной энергии (tg</> = Qcp/Pcp). Если пред-
приятие работает с tg <р» близким к оптимальному, то оно получает скид-
ку на оплату за электроэнергию (что дает общую экономию средств),
если tg<p отличается от оптимального, то устанавливается надбавка к
тарифу (до 30%).
* В этом случае при заданном напряжении требуются конденсаторы меньшей
емкости.
172
3.9. ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ
ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
При эксплуатации трехфазных цепей должны быть обеспечены соот-
ветствующие меры безопасности, исключающие возможность пораже-
ния человека электрическим током. Для этого токоведущие части
электротехнических установок должны быть надежно изолированы и
снабжены специальными защитными устройствами, а персонал, обслу-
живающий такие установки, должен бьггь обучен безопасным методам
работы и хорошо знать правила техники безопасности.
В России в соответствии с ПУЭ (правила устройств электроустано-
вок) в установках с напряжением до 1000 В наибольшее распростране-
ние для питания силовых и осветительных приемников (с напряжением
до 380 В) получили трехфазные четырехпроводные сети с
глухозаземленной нейтралью (нейтральная точка гене-
ратора или трансформатора присоединена к заземляющему устройству).
Кроме того, при повышении требований к электробезопасности уста-
новок применяются тре хп роводные сети с изолирован-
ной нейтралью, у которых нейтральная точка генератора или
трансформатора не присоединена к заземляющему устройству (или
соединена с ним через аппараты, имеющие большое сопротивление).
Выбор режима работы нейтрали определяется комплексом требований
экономичности, надежности электроснабжения и электробезопасности.
Защитные устройства предотвращают опасность поражения током
при повреждении изоляции или прикосновении к металлическим час-
тям электрических машин и аппаратов, которые в нормальных усло-
виях нс находятся под напряжением.
Как показывает статистика, подавляющее большинство электротравм
происходит в случае прикосновения к токоведущим частям, находя-
щимся под напряжением. В трехфазных сетях низкого напряжения
(до 1000 В) значение тока, поражающего человека, зависит от того,
заземлена или изолирована нейтральная точка источника электрической
энергии, а также от активной и реактивной (емкостной) проводимо-
стей, существующих между проводами и землей.
Опасность поражения током зависит от его значения, продолжитель-
ности действия и ряда других факторов. Токи промышленной частоты
порядка 0,01-0,015 А опасны для жизни, а токи, превышающие 0,08 А,
с мер । ел ы i ы.
Человек может оказаться под напряжением при одновременном при-
косновении к двум фазам |рехфазной цени, прикосновении к одной
фазе । рехфазпон цени пип к запомненным юковсдущим чаоим, ока
завшимся под напряжением. Кроме того, в случае нахождения человека
вблизи опор высоковольтных ЛЭП или трансформаторных подстанций,
а также различных электроустановок при неисправности средств защи-
ты между ногами человека может возникнуть разность потенциалов на
поверхности с разными потенциалами (шаговое напряжение). Можно
доказать, например, что если человек прикасается к одному из проводов
трехпроводной цепи с изолированной нейтралью, то чем хуже качество
изоляции и больше емкость между проводами и землей, тем больше
ток, поражающий человека. В аварийной ситуации (например, при ко-
ротком замыкании на землю одной из фаз) человек, прикоснувшийся
к неисправной фазе, попадает под линейное напряжение, что опасно для
жизни. На рис. 3.22 в качестве примера показана схема замещения трех-
ироводной сети с изолированной нейтралью, к одному из проводов ко-
торой прикасается человек. Здесь Ra, Rb, Rc — сопротивления изоля-
ции; С , Cb, Сс — емкости относительно земли; R4 — сопротивление
тела человека.
Для снижения напряжения прикосновения к металлическим частям
электрооборудования, оказавшимся под напряжением (например, при
пробое изоляции на корпус электродвигателя), применяют защитное
заземление корпусов электроустановок. Человек, соприкасающийся
с металлической частью установки, оказывается подключенным к
электрической цепи параллельно заземлению, что приводит к значитель-
ному снижению тока в теле человека (так как сопротивление его тела
во много раз больше сопротивления заземлителя).
В четырехпроводных сетях с заземленной нейтралью напряжением
до 1000 В используют защитное зануление, в результате чего металли-
ческие части электроустановок всегда соединены с заземленным
нейтральным проводом. При повреждении изоляции обмоток электро-
двигателей или аппаратов фазный и нейтральный провода оказываются
замкнутыми накоротко, что вызывает срабатывание защитного реле
и отключение поврежденного электротехнического устройства.
В сетях напряжением 380/220 В рекомендуется использовать защит-
ное отключение, обеспечивающее с помощью универсальной системы
защиты быстрое автоматическое отключение электроустановки.
А
Рис. 3.22. Схема трехпроводяой сети
с изолированной нейтралью
174
3.10. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ ГЛ. 3
3.1.3. Направление вращения ротора не влияет на амплитуду ЭДС,
наводимой в катушке статора, так как действующее значение ЭДС
A —
При двухполюсном роторе (см. рис. 3.1) частота ЭДС и угловая ско>-
рость ротора равны со = По .
Направление вращения ротора влияет только на фазовый сдвиг, и
если ротор будет вращаться против часовой стрелки, то выражения для
мгновенных значений ЭДС запишутся в виде
еА = Emsin^^
ес = £wsin(ccr - 120°) ;
еВ = + 120°).
3.2.1. При соединении звездой £/ф = Uji/y/з = 220 В, следовательно,
приемники - Z3 рассчитаны на напряжение U = 220 В, а приемники
Z4 - Z6 - на 380 В.
3.3.2. Если резистивные приемники соединены звездой с нейтраль-
ным проводом и включены в четырехпроводную сеть, то при измене-
нии сопротивления в фазе А будут изменяться ток в этой фазе и ток
в нейтральном проводе. Все фазные напряжения останутся постоянны-
ми. Если нейтральный провод отсутствует, то при изменении сопро-
тивления в одной из фаз будут изменяться все фазные токи и напря-
жения.
3.4.3. При соединении приемника треугольником
__ V 3 ип
IX
и2 и2
иФ = лл
R R
При соединении приемника звездой
Ап 7<и
х/зя ’
р = Ф = Л
Ф Я ЗЯ
Следовательно, при переключении приемника, соединенного тре-
угольником, в звезду линейный ток и мощность уменьшатся в 3 раза.
175
Глава четвертая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
4.1. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В предыдущих главах рассматривались стационарные (установив-
шиеся) режимы работы электрических цепей, при которых в результате
относительно длительного действия источников электрической энергии
устанавливаются постоянные или синусоидальные токи. Однако в ряде
случаев необходимо исследовать неустановившиеся процессы, возни-
кающие в электрических цепях вследствие коммутации, т. е. включе-
ния или выключения источника энергии либо элементов цепи, а также
в результате скачкообразного изменения параметров R, L и С элемен-
тов цепи.
Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи
при переходе от одного установившегося режима к другому, называ-
ются переходными. Переходные процессы могут происходить во мно-
гих электротехнических устройствах не только в начале или в конце их ра-
боты, когда включается или выключается источник питания, но и при
возникновении аварийных ситуаций, когда происходит обрыв или
короткое замыкание части электрической цепи.
Иногда значения токов или напряжений некоторых элементов цепи
в переходном процессе могут во много раз превышать номинальные
значения, на которые рассчитаны эти элементы. Для предотвращения
выхода из строя этих элементов используют аппаратуру, автоматиче-
ски защищающую электрическую цепь от перенапряжений и чрезмер-
ного увеличения токов. При эксплуатации электротехнических устройств
и выборе аппаратуры защиты необходимо знание максимальных значе-
ний токов и напряжений, возникающих в переходном режиме, и время,
за которое они достигаются.
В ряде электротехнических устройств, особенно часто в устройствах
промышленной электроники, переходные процессы являются основ-
ными условиями их работы, а не свидетельством аварийного режима.
Так, переходные процессы, связанные с зарядкой и разрядкой конден-
саторов, лежат в основе работы некоторых типов электронных генера-
торов.
Переходные процессы возникают в цепях, содержащих индуктивные
катушки и конденсаторы, так как эти элементы обладают способностью
накапливать и отдавать энергию соответственно магнитного и электри-
176
ческого полей. Возникновение переходных процессов объясняется
тем, что индуктивные катушки и конденсаторы являются инерцион-
ными элементами, так как изменение энергии электрического или
магнитного поля не может происходить мгновенно. Накопление энергии
за счет источника или отдача ее в электрическую цепь происходят хотя
и в очень малые, но конечные промежутки времени.
Расчет напряжений и токов на участках исследуемой электрической
цепи во время переходного процесса проводят, пользуясь уравнения-
ми, составленными в соответствии с законами Кирхгофа для мгновен-
ных значений токов и напряжений. Они характеризуют электрическое
состояние цепи в любом режиме, в том числе и в переходном. Для
электрических цепей с линейными элементами, имеющими постоянные
параметры R, L и С, эти уравнения представляют собой линейные диф-
ференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение
дифференциальных уравнений, как известно, может осуществляться
различными методами.
При непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений
общий интеграл линейных дифференциальных уравнений со свободным
членом (правой частью) получается в результате суммирования част-
ного решения данного неоднородного уравнения и его общего решения
при равенстве нулю правой части, т. е. однородного уравнения.
Частное решение дифференциального уравнения находят
для установившегося режима, когда переходный процесс закончен.
При этом токи и напряжения на участках цепи определяются параметра-
ми источника энергии и элементов электрической цепи. Определение
токов и напряжений осуществляется одним из рассмотренных ранее
методов расчета цепей постоянного или переменного тока. Токи и напря-
жения, которые получаются в результате частного решения для устано-
вившегося режима, называют п ринужд енными или устано-
вившимися (Z , Uy).
Общее решение дифференциального уравнения без правой
части соответствует режиму цепи в отсутствие внешнего источника
энергии, т. е. свободному режиму. Токи и напряжения, которые полу-
чаются в результате общего решения однородного дифференциального
уравнения, определяются лишь параметрами элементов цепи и называ-
ются свободными GCB.«CB).
Алгебраические суммы установившихся и свободных токов и напря-
жений равны переходному току и напряжению, т. е. их значениям во
время переходного процесса:
гнер = /у + 'св- “пер=Му+исв-
(4.1)
12 3ак.<Л<
177
При интегрировании дифференциальных уравнений, как известно,
появляются постоянные, которые определяют на основе начальных
условий, вытекающих из двух законов коммутации.
Первый закон коммутации говорит о том, что ток в ветви с индук-
тивной катушкой не может изменяться скачком. В первый момент пе-
реходный ток сохраняет значение, которое он имел в момент, предшест-
вовавший коммутации.
Второй закон коммутации свидетельствует о том, что напряжение
на конденсаторе не может изменяться скачком. Значение этого напря-
жения в момент, предшествовавший коммутации, сохраняется и в пер-
вый момент после коммутации. При этом предполагается, что комму-
тация осуществляется мгновенно.
Допущение скачка тока в ветви с индуктивным элементом или на-
пряжения на емкостном элементе привело бы к заключению о неизбеж-
ности скачкообразного изменения энергий магнитного и электрическо-
го полей:
Но скачкообразное изменение этих энергий возможно лишь при бес-
dW di dW
конечно больших мощностях, так как рлл =----- = Li —, р = —- =
. м dt dt э dt
du
= Си —.
dt
Поскольку электрических цепей бесконечно большой мощности нет,
скачкообразное изменение энергий магнитного и электрического полей
невозможно. Это говорит о том, что первый и второй законы комму-
тации соблюдаются во всех электрических цепях.
Вопрос 4.1. а) В каких элементах цепи (рис. 4.1) возникает ток в
первый момент после коммутации? б) На каких элементах этой цепи
будет возникать напряжение в первый момент после коммутации?
Рис. 4.1. К вопросу 4.1
178
Варианты ответа:
4.1.1. а) на элементах 1,4, 5, 6; б) на элементах 3, 5, 6.
4.1.2. а) на элементах 1, 4, 5, 6; б) на элементах 5, 6.
4.1.3. а) ток отсутствует во всех элементах; б) на элементах 1, 4.
4.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ КОНДЕНСАТОРА И РЕЗИСТОРА
Рассмотрим электрическую цепь, в которой к источнику постоян-
ной ЭДС Е подключается конденсатор емкостью С, последовательно
соединенный с резистором, сопротивление которого равно R (рис. 4.2).
Будем считать, что до включения источника ЭДС напряжение на кон-
денсаторе было равно нулю, следовательно, энергия его электрического
поля также равнялась нулю. После замыкания выключателя В в цепи
возникает ток и конденсатор заряжается до тех пор, пока напряжение
на нем не достигнет значения ЭДС источника Е.
Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение электрического со-
стояния этой цепи в переходном режиме имеет вид
Я'п.р + “спор - К- <4-3)
Используя известное соотношение, связывающее ток и напряжение
du г
на конденсаторе i =С—уравнение (4.3) можно записать иначе:
dt
RC + "сп.р= f:- (4-за)
Как было указано, выражение для установившегося напряжения
следует найти при t -> °°. Тогда напряжение на конденсаторе перестает
—- =0 ив соответствии с уравнением (4.3а)
dt I
иСу =
Выражение для свободного напряжения определяется решени-
Рис. 4.2. Схема цепи зарядки
конденсатора
179
ем однородного дифференциального уравнения:
RC + “Ссв = 0 ' (4-4)
или
^“Ссв 1
—Г25- + ----- «Сев = °- (4.4а)
dt RC Ссв
Решение этого уравнения, как известно из математики, имеет вид
«Ссв=ЛеР/- <4-5)
Подставляя его в уравнение (4.4а), получим
Apept + ----- ept = Aept[ р + ---- | = 0. (4.6)
RC \ RC I
Значение р находят из решения уравнения
Р + —— = 0, (4.7)
RC
которое называется характеристическим уравнением.
1
Корнем этого уравнения является значение р =-.
RC
Таким образом, выражение для иСсв можно записать в виде
иг =Ае~^кс =Ае~^т. (4.5а)
С СВ
Величину т =RC называют постоянной времени, так как
она имеет размерность времени и характеризует скорость протекания
переходного процесса. Она определяет время, в течение которого на-
пряжение М£св, затухая, уменьшается в е раз по сравнению со своим
начальным значением ^Ссв(0) = А. Чем больше т, тем дольше продол-
жается переходный процесс. Таким образом, постоянная времени яв-
ляется мерой инерции электрической цепи при протекании переход-
ных процессов.
Переходный процесс можно считать практически завершенным че-
рез t = Зт, так как к этому времени напряжение wCcB снижается до 5%
своего первоначального значения и напряжение на конденсаторе стано-
вится практически равным иСу.
180
С учетом найденных выражений для и и^св переходное напряже-
ние на конденсаторе
“Спер = “Су + “Сев = Е + 1Т (4.8)
Для определения коэффициента А воспользуемся вторым законом
коммутации. В момент, предшествовавший коммутации, конденсатор
не был заряжен и напряжение на нем было равно нулю. Следовательно,
в первый момент после замыкания выключателя при t =0 напряжение
1/^(0+), сохраняясь неизменным, будет также равно нулю. Подставляя
это начальное условие в уравнение (4.8), получим Е + А = 0, т. е. Л =
=-£. Следовательно,
“Спер =£’-£’е-'/Т =£(1-е-'/т). (4.9)
Переходный ток в цепи
гпер = С = СЕ~ S~t/T =— (4.Ю)
пер dt Т R
Графики изменения переходного тока и напряжения на конденсато-
ре при его зарядке показаны на рис. 4.3. Переходный ток конденсатора
зависит от сопротивления резистора R. В первый момент после комму-
тации (t =0+) ток ограничивается только сопротивлением, т. е.
i (0+) = E/R. (4.11)
а напряжение на резисторе равно ЭДС источника Е.
На рис. 4.3 пунктиром показаны кривые напряжений ис? и мСсв, а
тонкой линией касательная к кривой тока /(f), которая дает возмож-
ность графически определить значение постоянной времени т, численно
равной подкасательной.
По мере увеличения напряжения на конденсаторе ток в цепи умень-
шается. Ток в рассматриваемой цепи может изменяться скачком, по-
скольку она не содержит элемента, обладающего индуктивностью. Это
Рис, 4.3. Графики зависимостей пере-
ходных напряжения и тока от вре-
мени при зарядке конденсатора
181
необходимо учитывать в случаях, когда к источнику напряжения под-
ключается цепь, содержащая конденсатор. Если активное сопротивле-
ние цепи невелико, то ток в момент включения источника напряжения
может быть очень большим, значительно превышающим номинальное
значение.
При подключении к источнику напряжения нагрузочного устройства
с помощью кабеля следует иметь в виду, что его распределенная ем-
кость может быть значительной, а сопротивление проводов кабеля не-
большим, поэтому в момент включения ток в цепи источника напряже-
ния может достигать очень большого значения.
При разрядке конденсатора емкостью С, заряженного до напряже-
ния ис = Uo, на резистор сопротивлением R (рис. 4.4) установившееся
напряжение на конденсаторе иСу = 0 и переходное напряжение иСпер
равно свободному напряжению ^св. Ток при разрядке конденсатора
(см. рис. 4.4) не совпадает по направлению с напряжением ис, поэтому
du^
i =-С-----(4.12)
dt
Уравнение электрического состояния цепи рис. 4.4 в этом случае
с учетом выражения (4.12), а также выбранных направлений тока i и
напряжения ис , имеет вид
Лс + "С"Т ° °' (4ЛЗ)
Решение этого уравнения аналогично выражению (4.5а) для w^CB:
мСпер = иС св =Ae~t/RC. (4.14)
Поскольку uc(0+) = UQi постоянная интегрирования А = UQ и пере-
ходное напряжение на конденсаторе при его разрядке
“Спер = иС св = Uoe-*/RC, (4.15)
i
R —
Рис. 4.4. Схема цепи разрядки
конденсатора
182
а переходный ток
^=~С^7Г^ =-^*~t/RC-
При разрядке конденсатора запасенная в нем энергия электрическо-
го поля преобразуется в теплоту, выделяющуюся в резисторе сопротив-
лением R. Длительность переходного процесса при разрядке конден-
сатора, так же как и при его зарядке, зависит от постоянной времени
r=RC.
Задача 4.1. Найти зависимость тока i и напряжения ис от времени
в схеме рис. 4.2 после замыкания выключателя, если Е = 220 В, С =
= 100 мкФ, R = 100 Ом.
Решение. Согласно второму закону Кирхгофа уравнение электриче-
ского состояния цепи в переходном режиме имеет вид (4.3).
(dur \
—— = 01;
су f
Свободное напряжение определяется из решения однородного
дифференциального уравнения (4.4).
Постоянная времени т = RC = 0,01 с. Постоянную интегрирования А
определяем из начальных условий с помощью второго закона комму-
тации. До коммутации конденсатор не был заряжен и напряжение на
нем было равно нулю. Следовательно, в первый момент после замыка-
ния выключателя напряжение ^(0+) также будет равно нулю. Под-
ставив это начальное условие в уравнение (4.8), получим, что Е + А =
= 0, т. е. А =- Е. Окончательно
«Спер = £’<1 - е-'/Т) = 22°О - е-Г/°’01) В.
Переходный ток в цепи
i = с ^пер = — е-,/т = 2,2е-'/°>01 А.
пеР dt R
Временные зависимости переходного тока и напряжения на конден-
саторе при его зарядке показаны на рис. 4.5.
Задача 4.2* Определить начальные и установившиеся значения токов
4 Л и /2, а также ЭДС самоиндукции еL после замыкания выключателя
в цепях рис. 4.6, если U= 100 В, R = 10 Ом, £=10 мГн, С = 2мкФ.
Ответы даны в табл. 4.1.
183
Рис. 4.5. Временные зависимости
переходного тока и напряжения
на конденсаторе при его зарядке
Рис. 4.6. К задаче 4.2
Таблица 4.1
Электриче- Начальные значения Установившиеся значения
ская вели- чина Схема
а б в а б в
i > А 10 20 5 20 10 5
/ь А 0 0 0 10 10 5
1*2* А 10 20 5 10 0 0
е I , В 100 100 50 0 0 0
Задача 4.3. Конденсатор емкостью С = 1500 мкФ, заряженный до на-
пряжения U — 100 В, разряжается на резистор сопротивлением/? =20 Ом
(см. рис. 4.4). Определить время разрядки конденсатора до напряже-
ния, равного 5 В.
Решение. Уравнение электрического состояния цепи рис. 4.4 имеет
ви« «спер - Чер = °-
Поскольку ^£,(0+) = 100 В, постоянная интегрирования А = £/=100 В
и переходное напряжение на конденсаторе при его разрядке
«гп.п = Ue~tlT = 100е-,/ЛС = 1ООе-//0’03 В.
С пер
184
Рис. 4.7. К задаче 4.3
Согласно экспоненциальной кривой на рис. 4.7 напряжение на кон-
денсаторе достигает 5 В, т. е. 5% своего первоначального значения за
время t =3т= 3 • 0,03 с = 0,09 с.
Задача 4.4. Определить длительность переходного процесса при замы-
кании выключателя в цепи рис. 4.2, если считать, что он практически
завершается через время t = Зт. Параметры цепи: R =6 кОм, С = 6 мкФ.
Ответ: t =0,108 с.
Задача 4.5. Значения параметров цепи рис. 4.8, a: R± = 20 Ом,
Ri = 30 Ом, С= 100 мкФ. Найти начальные и установившиеся значения
токов ilt i3 напряжений ис, uRi, а также привести примерный вид
зависимостей z’i(r), 12(f), 6(0, UR1 (г), uc(t), если цепь включается
на постоянное напряжение £/=220 В.
Ответ: 6(0+) = 6(0 + ) = ^/*1 = 11 А, 6(0+) =0, ис(0+) = 0,
^;(0+) =220 В, zly = i2y=UI(Rx + Я2) =4,4А, z3y =0, иСу = 132 В,
ur iy “ 88 В.
Примерный вид зависимостей приведен на рис. 4.8, б, в.
Задача 4.6. До какого напряжения надо предварительно зарядить
конденсатор (см. задачу 4.5), чтобы в цепи сразу после замыкания вы-
ключателя наступил установившийся режим?
Ответ: до напряжения Uc = 132В.
Рис. 4.8. К задаче 4.5
185
4.3. ПОДКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
К ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОЙ ЭДС
В электротехнической практике часто приходится иметь дело с пере-
ходными процессами в цепях, состоящих из элементов, обладающих
параметрами R и L. Эти процессы происходят, например, при подклю-
чении к источнику постоянной ЭДС обмоток электромагнитов, реле,
электрических машин постоянного тока и других электромагнитных
устройств.
Рассмотрим переходный процесс в индуктивной катушке, имеющей
индуктивность L и сопротивление R, после подключения ее к источ-
нику постоянной ЭДС Е (рис. 4.9). После коммутации ток в цепи бу-
дет увеличиваться от нуля до предельного значения, равного установив-
шемуся току i = Е/R. Энергия магнитного поля катушки И^м при этом
также возрастает и переходный процесс в рассматриваемой цепи связан
Li2
с накоплением энергии .
Уравнение электрического состояния цепи рис. 4.9 после замыкания
выключателя имеет вид
di
L + = Е- (4Л7)
Для свободного тока справедливо уравнение
di t R
— + — 'св = 0 (4.18)
dt L св
с общим решением
___R t
i’CB =Ае L =Ae~t/T, (4.19)
где т = L/R — постоянная времени.
Рис. 4.9. Схема подключе-
ния индуктивной катушки
к источнику ЭДС
186
Переходный ток в цепи определяется суммой установившегося и
свободного токов:
Е --S-t
'нер = 'у + 'св =— + Ае • <4-20>
Для определения коэффициента А воспользуемся первым законом
коммутации. До замыкания выключателя ток в индуктивной катушке
был равен нулю, следовательно, в первый момент после замыкания вы-
ключателя ток будет также равен нулю:
i (0+) = — + А =0. (4.21)
R
Отсюда А = ~E/Ry поэтому выражение (4.20) можно представить
в виде
т. е. ток в цепи нарастает до установившегося значения Е/ R по экспо-
ненциальному закону с постоянной времени т = L/R. Чем меньше со-
противление R, тем больше предельное значение тока в цепи и тем боль-
ше энергия, которая должна быть накоплена в магнитном поле катушки.
Увеличению индуктивности соответствует также возрастание энер-
Li2
гии магнитного поля катушки И^м = — . При уменьшении R и увели-
чении L возрастает время накопления энергии в этом поле, т. е. посто-
янная времени r=L/R,
На рис. 4.10 изображены кривые изменения переходного тока в рас-
сматриваемой цепи при различных значениях R и L.
При подключении к источнику постоянной ЭДС Е индуктивной ка-
тушки, схема замещения которой состоит из последовательно соеди-
ненных резистивного и индуктивного элементов (см. рис. 4.9), напря-
жения на этих элементах изменяются следующим образом. Напряжение
на резистивном элементе сопротивлением R пропорционально току:
uR = Ri = Е - е L ). (4.23)
Напряжение на индуктивном элементе индуктивностью L
и. = =L — ~ е-‘/т = Fe-f/т. (4.24)
L dt R Т
187
Рис. 4.10. Временные зависи-
мости переходного тока при
различных значениях R и L
Рис. 4.11. Временные зависи-
мости напряжений на резистив-
ном и индуктивном элементах
Графики изменений во времени напряжений на резистивном и ин-
дуктивном элементах приведены на рис. 4.11.
Задача 4.7. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Оми индук-
тивностью L = 100 мГн подключается к источнику постоянной ЭДС
Е = 110 В (см. рис. 4.9). Построить зависимость тока в катушке от
времени.
Решение. Переходный ток в цепи определяется суммой установивше-
Е -t/r
гося и свободного токов: /ПОТЛ = L. + / =— + А е г/ . Для опреде-
пер у СВ
ления постоянной интегрирования воспользуемся первым законом ком-
мутации. До замыкания выключателя ток в индуктивной катушке был
равен нулю; следовательно, в первый момент после замыкания выклю-
Е
чателя ток будет также равен нулю, т. е. i(0+) =-+ А =0. Отсюда
ЕЕ/ К
А=------, а г =—(1 — е~г'т) = 11 (1 - е -г/0»0 х). Ток в цепи
R ,1ер R
нарастает до установившегося значения в соответствии с экспоненци-
альной зависимостью (рис. 4.12).
Задача 4.8*. Как изменятся установившийся ток и длительность пере-
ходного процесса в условиях задачи 4.7 для случаев: a) R =10 Ом,
188
Ответы: а) I = 11 А, т = 0,02 с; б) /у = 5,5 А, т = 0,01 с; в) 7у =
= 5,5 А, т = 0,02 с.
Задача 4.9. Катушка, сопротивление которой R = 2,75 Ом и индук-
тивность L =0,55 Гн, подключается к источнику постоянной ЭДС Е =
= 110 В. Записать выражение для переходного тока в цепи. Через какое
время ток в катушке достигнет 50% своего установившегося значения?
Ответ: f =40(1 — e-f/0,2) A, t = 138 мс.
Задача 4.10. Катушка, активное сопротивление которой R = 4 Ом,
включается в сеть постоянного тока с напряжением U= 24 В. Найти за-
висимость тока в катушке от времени при переходном процессе. Чему
равна индуктивность катушки, если ток в ней через 0,45 с после вклю-
чения равен 95% от своего установившегося значения?
Ответ: i = 6(1 - е“*/0>15) A, L = 0,6 Гн.
4.4. ОТКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ ОТ ИСТОЧНИКА
ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ И ЗАМЫКАНИЕ ЕЕ НА РЕЗИСТОР
Рассмотрим электрическую цепь, приведенную на рис. 4.13. До пере-
ключения переключателя П ток в индуктивной катушке с индуктив-
ностью L и сопротивлением R определяется напряжением на зажимах
цепи и сопротивлением индуктивной катушки. В случае источника по-
стоянного напряжения U этот ток равен
/о = U/RK. (4.25)
После мгновенного переключения переключателя П ток в индуктив-
ной катушке в первый момент времени остается неизменным. Он за-
мыкается через резистор R j, поэтому ток в нем в момент коммутации
изменяется скачком и становится равным /0.
После коммутации электрическое состояние цепи, состоящей из ин-
дуктивной катушки и резистора Rx, описывается уравнением
<й’_
L-^T + ^к^О/пер=о.
(4.26)
Рис. 4.13. Схема отключения
индуктивной катушки от ис-
точника постоянного напря-
жения и замыкания ее ла ре-
зистор
189
Отсутствие правой части в этом уравнении означает, что переходный
ток равен свободному, а установившийся - нулю. Решением уравнения
(4.26) является выражение
ineD =i св =Ае~'/Т =Ае L «27)
Поскольку до коммутации f(0 -1) то А =/0 и выражение для
переходного тока имеет вид
R к + R 1 ♦
'пер = 1 <4-28)
Если резистор имеет большее сопротивление, чем индуктивная катуш-
ка, то напряжение на нем в начальный момент после коммутации будет
больше приложенного напряжения. Так, если Ri = «7?к, то напряжение
на резисторе
^2(0+) =RilQ=nU0. (4.29)
Это обстоятельство следует иметь в виду при размыкании цепей,
содержащих элементы, обладающие индуктивностью, так как при этом
могут возникнуть перенапряжения, которые могут вывести из строя
аппаратуру, не рассчитанную на такие напряжения.
При отсутствии в цепи резистора R i, включенного параллельно ин-
дуктивной катушке, отключение ее от источника напряжения может
сопровождаться возникновением дуги между контактами, разрываю-
щими цепь. Появление дуги в этом случае объясняется следующим об-
разом. После образования изоляционного промежутка между контак-
тами ток в катушке не может скачком снизиться до нуля в соответ-
ствии с первым законом коммутации. Однако уменьшение тока в катуш-
ке вызывает наведение ЭДС самоиндукции и повышение напряжения
в ее витках. При этом энергия магнитного поля преобразуется в энер-
гию электрического поля. Быстрый рост напряжения на катушке со-
провождается соответствующим повышением напряжения на контак-
тах, пока не произойдет электрический пробой изоляционного проме-
жутка и не возникнет дуга, замыкающая катушку на источник напря-
жения. Если не принять специальных мер, то наличие дуги может приве-
сти к расплавлению контактов. Для устранения дуги контакты комму-
тирующего аппарата дополняют дугогасящим устройством, которое
обеспечивает повышение давления в дуге и усиление ее охлаждения.
При росте давления ухудшаются условия ионизации изоляционного
промежутка из-за уменьшения скорости образования ионов, а при
охлаждении дуги увеличивается скорость рекомбинации ионов. Обыч-
но дуга гасится за десятые доли секунды.
190
Задача 4.11. Катушка, активное сопротивление которой /?к»4 Ом
и индуктивность L = 5 Гн, отключается от источника постоянного на-
пряжения U = 110 В и замыкается на разрядный резистор сопротив-
лением Ri =6 Ом (см. рис. 4.13). Найти значение тока для момента
времени t = 1 с после отключения катушки. Определить напряжение на
резисторе R t в начальный момент после коммутации.
Решение. Когда переключатель П находится в положении I, ток в цепи
/0 = U/R* = 110/4 = 27,5 А.
После коммутации, т. е. после перевода переключателя в положе-
ние II, электрическое состояние цепи описывается уравнением
5151L + ЛЛЛ11 = о
dt L пеР
Решением этого уравнения является выражение
'пер =1’св =/ое-//т,
где т= ^К/(ЯК + Л,) = 0,5 с.
Следовательно, выражение для переходного тока имеет вид z’nep =
27,5e-2f А. При f =1 с ток i = 27,5 • 0,135 = 3,71 А.
Напряжение на резисторе R\ в начальный момент после коммута-
ции ^7(0+) = /?ii(0+) =6 • 27,5 =. 165 В, т.е. оно оказалось выше
напряжения источника питания, так как R i >/?к.
Задача 4.12*. В условиях задачи 4.11 определить напряжение UR]
па резисторе /?t в начальный момент после коммутации для вариантов:
a) L =1 Гн, /?к =10 Ом,/?! =100 Ом, £7= 100 В; б) £ =1 Гн,/?к =10 Ом,
A’l - 50 Ом, £/=50 В; в) L =0,5 Гн,/?к =5 Om,/?i =50 Ом, £/=50 В.
Ответы даны в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Вариант а б в
t7„T, В 1000 250 500
К л
Задача 4.13. Определить ЭДС самоиндукции катушки в начальный
момент после коммутации (рис. 4.13), если £/= 100 В, L = 1 Гн,/? =
10 Ом, /?! = 10 Ом.
(>твет: 200 В.
Задача 4.14. Для определения активного сопротивления /?к индук-
। ипной катушки собрана цепь постоянного тока, схема которой при-
недсна на рис. 4.14. Вольтметр имеет внутреннее сопротивление /? =
191
в
Рис. 4.14. К задаче 4.13
= 10 кОм. При подключении цепи к источнику постоянного напряжения
приборы показали: амперметр — 1 А, вольтметр — 100 В. Определить
напряжение на зажимах вольтметра в момент отключения цепи от ис-
точника.
Ответ: напряжение на зажимах вольтметра (0+) = /2^/(0+) =
= 10 кВ.
Примечание. Большое напряжение, возникающее на зажимах вольт-
метра, может вызвать пробой изоляции, поэтому перед отключением
катушки следует разомкнуть цепь вольтметра и предусмотреть в цепи
разрядный резистор.
4.5. ПОДКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Пусть индуктивная катушка с индуктивностью L и сопротивлением R
(рис. 4.15) подключается к источнику синусоидального напряжения
и = + фы). (4.30)
Дифференциальное уравнение для рассматриваемой цепи имеет вид
di’ ~
£ —— + Ri = и. dt пер Установившийся ток 'у = ImSin^t + К ~ где / = —. w , m R2 + (Leo)2 в^ и jf Пя о,.,., 1 (4.31) (4.32) L со = arctg —— . Рис. 4.15. Схема подключения индуктивной катушки к ис- точнику синусоидального на- пряжения
192
Уравнение для свободного тока
Л*
L ~ + Л'Св = 0 (4.31а)
и его общее решение
___R_ t
'св =Ле L (4.32а)
сохраняют тот же вид, что и для цепи с источником постоянного напря-
жения (4.18 и 4.19).
Переходный ток в цепи
'пер = 'у + 'св = + ¥>„- <р) + Ле L . (4.33)
Постоянную интегрирования определяют из условия
'пер(°+) ='у(.о+)+ 'св(0+) = 0,
г. е.
Ansin(^u- «р) + Л = 0.
Отсюда
Л = -/wsin(V/u- <р),
___R_ t
{ев = L (4-34)
It
А.ер = '’у + '’св = Vin(wr + К~ -
—т '
Ansin(^u “ ^)е • (4-35)
На рис. 4.16 приведены графики зависимости от времени напряжения
источника и, установившегося /у, свободного z’cB и переходного i
токов, построение согласно выражениям (4.30), (4.32), (4.34) и (4.35).
Из анализа этих зависимостей видно, что начальное значение свободно-
го тока зависит от момента включения, т. е. от начальной фазы напря-
жения источника Если = 0, то согласно (4.34) zcB = 0, следо-
вательно, коммутация не повлечет за собой переходного процесса.
13 Зак./53/ 193
Рис. 4,16. Временные зависимости
напряжения и тока в цепи при под-
ключении индуктивной катушки к
источнику синусоидального напря-
жения
Сразу же после включения переходный ток будет равен установивше-
муся току:
'пер ='у =
При Фи — У 0 возникает переходный режим, при котором в опре-
деленную часть периода установившийся и свободный токи имеют оди-
наковые знаки (см. рис. 4.16). В результате этого переходный ток в
эту часть периода оказывается больше установившегося. Нетрудно ви-
деть, что разница между / и zy зависит от начального значения и
скорости затухания тока / Начальное значение свободного тока
будет максимально и равно при условии ф. = Фи~ = 90°. Если
постоянная времени т = L/R значительно больше периода напряжения
источника, то свободный ток за половину периода установившегося
тока не успеет существенно уменьшиться. Поэтому при неблагопри-
ятных условиях коммутации (ф. = 90°) и большой постоянной
времени максимальное значение переходного тока может почти в два
раза превысить амплитуду установившегося тока I.
Задача 4.15. Определить наибольшее мгновенное значение тока в ка-
тушке, сопротивление которой R = 1 Ом и индуктивность L =31,4 мГн,
при включении ее в сеть синусоидального напряжения U = 127 В (см.
рис. 4.15). Включение происходит в момент, когда мгновенное значе-
ние напряжения равно половине его положительного амплитудного
значения. Частота сети / = 50 Гц.
Решение. Определяем начальную фазу синусоидального напряжения:
U = Umsin^t +
При t = 0
«(0) = C^sin^, sin^ = u(0)/t/„ = 0,5, = 30°.
Для определения тока в катушке в установившемся режиме находим
XL = Zw = 31,4- 10'3 -314=9,9Ом,Z =Я+Л¥£ =1+/9,9 = 10е'84° Ом.
194
Тогда ток в катушке в установившемся режиме
fy = 18sin(coZ -0,94) А.
Свободная составляющая тока катушки Z =Ле“^т, где т-L/R-
= 0,0314 с.
Переходный ток i ~ zy + ZCB ~ ISsin(соГ — 0,94) + Ае~^т. При
r=Of(O+)=O, -18sin(-0,94) =Л, откуда А = 14,6 А.
Окончательное выражение для тока имеет вид
fnep = 18sin(coZ-0,94) + 14,6e“f/°’0314.
По этому уравнению построены графики зависимости токов Z ,
г и /св от времени (рис. 4.17). Из графика видно, что наибольшее мгно-
венное значение тока цепи равно 26 А.
4.6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТОРА, ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
И КОНДЕНСАТОРА
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из трех последовательно
соединенных элементов с параметрами L, R и С при подключении источ-
ника постоянной ЭДС Е (рис. 4.18). Электрическое состояние этой цепи
в переходный режим описывается уравнением
<4'36)
Для удобства анализа преобразуем полученное уравнение для тока
в дифференциальное уравнение второго порядка для напряжения кон-
195
Рис. 4.18. Схема подключения це-
пи с последовательным соедине-
нием элементов к источнику по-
стоянной ЭДС
dun
денсатора иг , используя выражение i = С —~ :
с dt
d UCwv + RC duCnep + = R
dt2 dt СпеР
(4.36а)
Переходное напряжение ыСпер может быть получено как сумма ус-
тановившегося напряжения , являющегося частным решением урав-
нения (4.36а) при Z -> °°, и свободного напряжения м^св, являющегося
общим решением однородного уравнения
,2
а du„
LC -----Сев + RC —Сев + = 0
dt2 dt Ссв
(4.37)
Частное решение уравнения (4.36а) при
dur
—— = 0 (теоретически при
dt
t -> °°) равно ЭДС Е, поэтому установившееся напряжение иСу = Е,
а установившийся ток / =0.
Для нахождения свободного напряжения на конденсаторе мСсв одно-
родное уравнение (4.37) перепишем таким образом:
rf2“CcB + R duCcB
dt2 L dt
1
+ — и,- = 0.
LC Ссв
(4.38)
(4.39)
Решение этого уравнения имеет вид
мСсв = ^1еР1' + A^P2t,
где Ах и Л2 — постоянные коэффициенты; и р2 — корни характери-
стического уравнения, соответствующие уравнению (4.38):
, R 1
р2 + —— р + --- = 0.
L LC
(4.40)
Однородные уравнения (4.37) и (4.38) описывают электрическое
состояние цепи разрядки конденсатора, заряженного предварительно
196
Рис. 4.19. Схема цепи разряд-
ки конденсатора на индуктив-
ную катушку
до напряжения UQ на индуктивную катушку (рис. 4.19), так как в
этом случае установившееся напряжение на конденсаторе wCy = 0, а
переходное напряжение равному свободному напряжению: мСпер =
= wccb* Рассмотрим переходный процесс разрядки конденсатора (см.
рис. 4.19) и найдем для него переходные Лк и напряжение. Постоян-
ные коэффициенты А у и Л2 в уравнении (4.39) определяют, исходя
из значений напряжений ис и тока i в момент коммутации (t = 0).
Поскольку в соответствии со вторым законом коммутации напря-
жение на конденсаторе не может измениться скачком, для цепи
рис. 4.19 в первый момент после коммутации (t = 0+)
uc(0+) = А. + Л 2 = UQ. (4.41)
Переходный ток при разрядке конденсатора на индуктивную катуш-
ку получим из уравнения (4.39), так как / = 0:
гпеп = 'св = С = C^iP^Pit + А2р2^‘). (4.42)
нср
В соответствии с первым законом коммутации
i (0+) = С(Л1Р1 + А2р2) = 0.
(4.43)
Решая. совместно уравнения (4.41) и (4.43), находим постоянные
интегрирования:
Ai = ~---------, Аг = -----------
Pl Р2 Р\ Р2
(4.44)
Корни характеристического уравнения определяются выражениями
(4.45)
В зависимости от соотношения параметров R, L и С возможны три
типа переходных процессов.
197
1
л
1. Если < ^===г, т- е- сопротивление Я в цепи относительно
мало, то корни характеристического уравнения рг и р2 являются со-
пряженно-комплексными:
Pif2 = - J (4.46)
R Г' о
где а = ----- и /3 = /------а .
2L V L С
Подставляя в (4.39) значения рх и р2 и проводя преобразования, свя-
занные с заменой полусумм и полуразностей экспонент от мнимого
аргумента / (3 тригонометрическими функциями, получим
"Спер = "Сев = + д ' cos<0' - ^~at-
Здесь y = arctg-^- , a Ai + А2 =UQ как следует из (4.41).
Выражение (4.47) описывает затухающие колебания с угловой ча-
стотой (3 и коэффициентом затухания а. Выражение для переходного
тока может быть получено из (4.47) на основании соотношения i =
_ спер
dt
/ = —~ sin/ЗГе at
nep
(4.48)
На рис. 4.20, а приведен график изменения во времени напряжения
и тока при колебательном переходном процессе. Пунктиром показаны
экспоненты, характеризующие убывание амплитуд напряжения ис,пер
и тока / при разрядке конденсатора на индуктивную катушку.
Рис. 4.20. Графики i(f) и при колебательном (а) и апериодическом (б)
процессах
198
2. Если t— > — —, т. е. сопротивление R в цепи относительно ве-
2L \/LC
лико, то корни характеристического уравнения Р\ и Pi являются веще-
ственными, но разными по значению. Графики изменения uClIC и
/ ПРИ РазРяДе конденсатора на индуктивную катушку в этом случае
(рис. 4.20, б) соответствуют экспоненциальному закону, т. е. переход-
ный процесс имеет апериодический характер.
Л 1
3. Если — = — -г, то корни характеристического уравнения (4.40)
2L V LC
одинаковы и вещественны (рг 2 = ~а). Это соответствует предельному
случаю апериодического переходного процесса в рассматриваемой
электрической цепи. Малейшее уменьшение значения R/L приводит
к колебательному характеру переходного процесса.
Вопрос 4.2. Какой характер переходного процесса (колебательный
или апериодический) возникает в цепи разрядки конденсатора С =
= 100 мкФ, индуктивность катушки L = 100 мГн, а сопротивление R =
= 20 Ом?
Варианты ответа:
4.2.1. Колебательный переходной процесс.
4.2.2. Апериодический переходной процесс.
4.7. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ ГЛ. 4
4.1.1. В соответствии с первым законом коммутации ток в ветви с
элементом, обладающим индуктивностью, в первый момент после ком-
мутации должен быть равен нулю, поэтому тока в элементах 2 и 3 не
будет. Напряжение на конденсаторе согласно второму закону коммута-
ции не может изменяться скачком, поэтому в первый момент после
коммутации напряжение на элементах 1 и 4 возникать не будет. Его не
будет и на элементе 2, так как ток через него в этот момент равен нулю.
4.2.1. Для того чтобы определить характер переходного процесса в
цепи разрядки конденсатора на индуктивную катушку, необходимо
R 1
сопоставить числовые значения величин — и —=. Для заданных
2L V L С
R 20 11
условий — = --------= 100 с-1 и —•—= ——. —=316 с"1. Таким
2L 2-0,1 \/ LC V0,l’10~4
R 1
образом, поскольку —< —— , переходный процесс будет иметь ко-
2L \ LC
лебательный характер.
199
Глава пятая
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
5.1. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ
В предыдущих главах рассматривались электрические цепи, в кото-
рых токи возникали под действием источников синусоидальных ЭДС.
На практике зависимости ЭДС и токов от времени всегда в большей или
меньшей степени отличны от синусоидальных. Например, в генераторах
переменного тока (синхронных генераторах) из-за того, что кривая рас-
пределения магнитной индукции вдоль зазора между статором и ро-
тором отличается от синусоиды, наводимые в обмотках ЭДС, хотя и
незначительно, но отличаются от синусоидальных. Кроме того, в цепях,
содержащих нелинейные элементы, даже при синусоидальных ЭДС
источников возникают несинусоидальные токи и напряжения. К таким
цепям можно отнести выпрямители. Графики мгновенных значений
напряжений в схемах одно- и двухполупериодного выпрямителей
изображены на рис. 5.1.
В электронных цепях широкое распространение нашли специальные
генераторы несинусоидальных напряжений. Самыми распространенными
генераторами такого типа являются генератор линейно изменяющегося
напряжения (ГЛИН) и мультивибратор. Благодаря повторяющимся
процессам зарядки и разрядки конденсатора, на выходе генератора
возникает соответственно напряжение пилообразной (рис. 5.2, а) или
прямоугольной (см. рис. 5.2, б) форм.
Рис. 5.1. Графики напряжений в одно-
полу периодном (д) и двухполупериод-
ном (б) выпрямителях
200
Рис. 5.2. Графики напряжений пило-
образной (а) и прямоугольной (б) форм
В настоящей главе будут обсуждаться свойства линейных электри-
ческих цепей, на входе которых действуют периодические несинусои-
дальные ЭДС.
Вопрос 5.1. Известно, что ЭДС аккумуляторной батареи уменьшает-
ся с течением времени. Можно ли зависимость е (г) считать периодиче-
ской несинусоидальной величиной?
Варианты ответа:
5.1.1. Можно.
5.1.2. Нельзя.
5.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Периодическая несинусоидальная функция времени f(t) при любых
значениях t удовлетворяет соотношению f(t + Т) , где Т — период
колебания — наименьшее время, по истечению которого колебания пол-
ностью повторяются.
Наиболее наглядным способом представления несинусоидальных
величин являются кривые их мгновенных значений (см. рис. 5.1 и 5.2),
которые можно наблюдать на экране осциллографа. Вторым способом
представления периодических несинусоидальных величин является ана-
литическое разложение функции времени в тригонометрический ряд
Фурье. Например, периодическая несинусоидальная ЭДС в общем случае
может быть представлена следующим рядом:
е(0 - Е(0) + е(1) + е(2) + — + е (к) + - ~
= £’(0) + £(l),»Sin(W' + *(1))+ £’(2)mSin(2^+ ^(2)> +
+ ... + + ....
где — постоянная составляющая; — первая (основная) гар-
моническая составляющая, имеющая частоту со = 2тг/Г; е ,..., е > —
высшие гармонические составляющие (гармоники); к — номер гармо-
ники.
Тригонометрический ряд Фурье, как правило, быстро сходится, поэто-
му для инженерных расчетов количество гармоник ограничивают и учи-
тывают только первые 3—5 гармоник ряда.
Приведем разложения в ряд Фурье некоторых несинусоидальных
напряжений.
201
Напряжение на нагрузочном резисторе однополупериодного выпря-
мителя (см. рис. 5.1,а)
и = --------- I 1 + — cos cot + — cos 2coZ — ...).
я \ 2 3
(5.2)
Напряжение на нагрузочном резисторе двухполупериодного выпря-
мителя (см. рис. 5.1,6)
2Umax (2 2 ‘ \
и = -------- I 1+ —cos 2а? /-------cos4a?r + ... . (5.3)
я \ 3 15 /
Напряжение пилообразной формы (см. рис. 5.2,а)
1 1 / 1
« = UmaX _ 2 Я sin со Г + —sin2a?r + ...). \ 2 (5.4)
Напряжение прямоугольной формы (см. рис. 5.2,6)
4Umax / 1 1
и = -------- I sinatf + — sin3a?J + — sin5a?r + ...
Я \ 3 5
(5.5)
По известным разложениям несинусоидальных функций в ряд Фурье
нетрудно построить диаграммы амплитудно-частотного и фазо-частот-
ного спектров. На диаграмме амплитудно-частотного спектра по оси
ординат откладывают значения постоянной составляющей, амплитуд
основной и высших гармоник, по оси абсцисс — значения частот
(рис. 5.3). На диаграмме фазо-частотного спектра (рис. 5.4) ординаты —
значения начальных фаз гармоник, абсциссы — значения частот.
Рис. 5.3. Диаграмма амплитуд-
но-частотного спектра
и) 2о) За) Цц) Sa) к(и>)
Рис. 5.4. Диаграмма фазочас-
тотного спектоа
202
5.3. ДЕЙСТВУЮЩЕЕ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Периодическую несинусоидальную величину (например, ток) обычно
характеризуют следующими значениями: максимальным дей-
ствующим (7), средним по модулю (7ср мод) и постоянной составляю-
щей (7^). Действующее значение несинусоидального тока определя-
ется его среднеквадратическим значением за период:
/ 1 т
' = / — J (5.6)
V Го
Если ряд Фурье для тока ограничить конечным числом членов i =
= /(0) +/U)raSin<W' + *(!)> + /(2)mSin(2wf + ^(2)) +-+/(ft)m Х
х то выражение (5.6) после интегрирования прини-
мает вид
/ 7г 71
I = / 7* + _CLL21 + (П™ + ... + Wm (5.7а)
V (°) 2 2 2
Так как действующее значение гармонической составляющей 7 =
то
1 - -J’m * '(» 4 ‘т + - + zw- <5-76’
где — постоянная составляющая, а Л1Ч, 7,ол,..., 7,. ч — действую-
щие значения гармоник тока.
Аналогичное выражение имеет действующее значение напряжения:
V - А»> + «<’,) * ... * . (5.8)
Таким образом, действующее значение несинусоидальной электри-
ческой величины равно корню квадратному из суммы квадратов по-
стоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Оно
не зависит от начальных фаз гармоник.
Наряду с действующим значением в электротехнике используют по-
нятие среднего по модулю значения функции. Оно, например для тока,
выражается интегралом вида
Wr/1 * * * V* (S5)
203
Постоянная составляющая представляет собой среднее значение
функции за период:
'<»>= 4 <1 wt-
(5.Ю)
Она равна нулю, когда площади положительных и отрицательных зна-
чений функции одинаковы (см. рис. 5.2, б).
Задача 5.1. Определить действующее значение напряжения U, если
и = (8,1 sinая - 0,9sin3a?r + 0,32sin5a?r) В.
Решение. Действующее значение напряжения
и = х/(8,1/V2)2 + (0,9/\42)2 + (0,32/\Л2)2 = 5,77 В.
5.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ФОРМУ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Существует несколько коэффициентов, по значениям которых мож-
но судить о форме несинусоидальных кривых. Важнейшими из них яв-
ляются коэффициенты амплитуды, формы, несинусоидальности и пуль-
саций.
Коэффициент амплитуды К.Л равен отношению максимального зна-
чения электрической величины (например, напряжения) к ее действую-
щему значению:
(5.11)
Для синусоидальных величин = V 2. Заметим, что чем острее кри-
вая, тем больше значения
Коэффициент формы К. равен отношению действующего значения
электрической величины (например, напряжения) к ее среднему по
модулю значению:
г = и/и . (5.12)
Ф ' ср.мод
Для синусоидальных величин = я/(2л/2) =1,11.
Коэффициент несинусоидальности К выражается в процентах и
равен отношению среднеквадратического значения всех гармоник,
кроме основной, к квадрату действующего значения основной гармо-
ники напряжения:
к"с ° (Л2
Для синусоидальных величин Кяс =0.
204
(5.13)
По ГОСТу 1309—67, нормирующему качество электроэнергии, пре-
дельно допустимое значение коэффициента несинусоидальности для
напряжения сети не должно превышать + 5%.
Коэффициент пульсаций р определяется отношением амплитуды
первой (основной) гармоники к постоянной составляющей:
,5|4>
Этим коэффициентом пользуются для оценки содержания переменной
составляющей в кривых напряжений и токов выпрямителей.
Задача 5.2. Для кривых, приведенных на рис. 5.2, определить сред-
ние по модулю и действующие значения напряжений, а также коэффи-
циент амплитуды. Амплитудное значение напряжений Umax = Ю В.
Ответы приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Форма напря- жения Пилообразная Прямоугольная
и ср. мод и =£^=5В ср. мод 2 %.мод = ^«х = 10В
и ^={/™х = 10В
УЗ 1
Задача 5.3. Три вольтметра различных систем подключены к источ-
нику несинусоидального периодического напряжения. Вольтметр элект-
ромагнитной системы показал 4,2 В, выпрямительный вольтметр —
4 В, а электронный вольтметр максимальных значений — 6,1 В. Опре-
делить коэффициенты амплитуды и формы несинусоидального напря-
жения.
Решение. Показание вольтметров электромагнитной системы неза-
висимо от формы кривой равно действующему измеряемому напря-
жению U\ следовательно, U = 4,2 В. Отклонение подвижной части вы-
прямительного прибора пропорционально среднему по модулю значе-
нию измеряемого напряжения U мод. Градуировка шкалы выпря-
мительного прибора производится для действующего синусоидального
напряжения. Поэтому для определения среднего по модулю значения
измеряемого напряжения необходимо разделить показание выпрями-
тельного прибора на коэффициент формы синусоиды = и/исрллод,
равный 1,11. Следовательно, для измеряемого напряжения мод =
= 4,0/1,1 = 3,6 В. Показания электронного прибора с амплитудным
205
детектором пропорциональны максимальным значениям измеряе-
мого напряжения. Шкала прибора градуируется для действующего зна-
чения синусоидального напряжения. Поэтому для определения ампли-
тудного значения измеряемого напряжения показание электронного
прибора необходимо умножить на коэффициент амплитуды синусоиды
А' = UmaxlU* PaBHbIB V 2. Следовательно, для измеряемого напряже-
ния Umax = 2 • 6,1 = 8,6 В. Коэффициент формы для исследуемого
несинусоидального напряжения источника питания Аф = U/U мод =
= 1,17, а коэффициент амплитуды Кй = Umax /У = 2,05.
5.5. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Возможность разложения периодических несинусоидальных величин
в ряд Фурье позволяет свести расчет электрических цепей с линейными
элементами при воздействии несинусоидальных ЭДС к расчету цепей
с постоянными и синусоидальными ЭДС. По принципу суперпозиции
мгновенные значения искомых токов и напряжений будут равны сум-
ме мгновенных значений токов и напряжений, которые установились
бы в этой цепи, если бы в ней действовали независимо друг от друга
постоянная и гармонические составляющие ЭДС.
Пусть на вход цепи рис. 5.5 включен источник несинусоидальной
ЭДС
=Е<0) + F(l)msinof + F(2)mSin2w'- (5-15)
Требуется найти ток и напряжение на конденсаторе.
Заменим источник е (t) тремя источниками ЭДС, соединенными по-
следовательно: источником постоянной ЭДС и источниками сину-
соидальных ЭДС и в(2) (рис. 5.6). Основываясь на принципе су-
Рис. 5.5. Схема замещения це-
пи с источником не синусои-
дальной ЭДС
Рис. 5.6. Схема замещения це-
пи рис. 5.5 с эквивалентной
группой источников
206
Рис. 5.7. Частичные схемы замещения цепи рис. 5.5 для постоянной (д),
первой (б) и второй (в) гармоник ЭДС
перпозиции, расчет цепи с несинусоидальной ЭДС можно свести к расче-
ту частичных схем с постоянной и синусоидальными ЭДС (рис. 5.7).
В схеме рис. 5.7, а напряжение и ток от постоянной составляющей
ЭДС определяют так же, как и при расчете цепей постоянного
тока. Токи и напряжения в схемах рис. 5.7, б, в от действия каждой
гармоники ЭДС определяют как при расчете цепей синусоидального
тока.
Постоянная составляющая тока 1 =0 из-за наличия в цепи кон-
денсатора, постоянная составляющая напряжения на конденсаторе
=£(о)’
Расчет гармонических составляющих токов и напряжении можно
производить с помощью комплексных чисел. При этом следует иметь
в виду, что сопротивления индуктивных и емкостных элементов зави-
сят от порядкового номера гармоники:
Хцк) ~ Ькы, ^С(к) = M(Cfcw).
Комплексные сопротивления рассматриваемой схемы запишутся
в виде
для первой гармоники
Z(1) =/? +/£со-/1/(Ссо) =Z(1)e^(O,
для второй гармоники
z(2) =R + j2Lu>-jll(2Cu>) = Z
Комплексные амплитуды первой и второй гармоник тока опреде-
ляются выражениями
1 = Е IZ = / •
(1)м (1) 2(1),ие
I = Е /Z = I е
(2)т с (2)щ/^(2) (2)лге
207
Тогда искомый ток
»(0 = /(!)msin<wr- Y’(i)) + /(2)msin(2uf-<₽(2))- (5.16)
Комплексные амплитуды первой и второй гармоник напряжения
на конденсаторе
й = [ -i —- 17 = Г(1)т
<1)т \ CG} / (,)w Cw
е 7 *
= и е-У("С) + ^)
a(D"«e
и = (- j —__________ । j = /(2_)т
(2)т \ 2С<с / 2Сш
е-^(2)е-4
= и е 7 ^(2) + 2 )
и(2)те
Искомое напряжение на конденсаторе
/ Я \
“(О = и(0) + ^(1)тйп(^- Ло " т) +
/ я
+ ^(2)msin( 2cot ~ ^(2) ~
(5.17)
Из выражения (5.16) следует, что форма кривой тока отличается от
формы кривой ЭДС (5.15), так как в нем соотношение между ампли-
тудами не такое как для ЭДС. Кроме того, начальные фазы гармоник
тока отличаются от начальных фаз гармоник ЭДС. Напряжение на ре-
зистивном элементе пропорционально току (uR = Ri), поэтому форма
кривой напряжения uR аналогична форме кривой тока на этом эле-
менте. Напряжения на индуктивном и емкостном элементах отличают-
ся по форме от несинусоидального тока этих элементов. Подробнее
это утверждение будет проанализировано в § 5.6.
Задача 5.4. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и ин-
дуктивностью L = 33 мГн подключена к источнику питания, ЭДС ко-
торого изменяется в соответствии с выражением е = (10 + 20sina?r +
+ 12 sin3a?^) В. Записать выражение для мгновенного тока, если частота
основной гармоники f = 50 Гц.
Решение. На рис. 5.8, а изображена схема замещения рассматри-
ваемой цепи, в которой осуществлена эквивалентная замена источника
208
e^ZOsinutfi)
e^sin3a)t\A)
Рис. 5.8. К задаче 5.4
^(3)m jjALa)
несинусоидальной ЭДС тремя источниками ЭДС, соединенными после-
довательно. Расчет схемы рис. 5.8, а по принципу суперпозиции сво-
дится к определению токов трех частичных схем, представленных на
рис. 5.8, б-г. В частичной схеме рис. 5.8,5, являющейся схемой замеще-
ния по постоянной составляющей (о? = 0), сопротивление определяется
только резистивным элементом R, сопротивление индуктивного элемен-
та Лсо = 0.
Комплексные сопротивления в частичных схемах рис. 5.8, виг
- (О = R + iL<J> = 10+ /33 • 10“3 -314 = 10+ /10,36 =
= 14,4е/46° Ом,
Z. . =R + j3Lu = 10+ /31,1 = 32,67е/72-*° Ом.
Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник тока
в частичных схемах
/(0) =EW/R = Ю/10 = 1,0 А,
'(1)И = = 20/(14,4е'46°) = 1,39е~'46’ А,
;(3)m =^(3)m/^(3) = 12/(32,67е7 72,1°) = 0,37е_/72,1° А.
Мгновенное значение тока
i (г) = [1 + 1,39 sin (со Г-46°) + 0,37 sin (ЗсоГ - 72,1°) ] А.
Задача 5.5. Напряжение на входе схемы, содержащей последовательно
включенные резистивный и емкостный элементы, задано выражением
и = [218 + 141 sin(cor-0,75)+31 sin(3cor +0,21)] В.
Записать выражение для мгновенного тока. Определить действующие
значения напряжения и тока, если сопротивление резистивного элемен-
та R = 10 Ом, емкость С - 96,5 мкФ, а частота основной гармоники
/ = 50Гц.
14 Зак. ГЛ Г 209
Указание. При расчете частичной схемы замещения цепи по посто-
янной составляющей необходимо учесть, что сопротивление емкост-
ного элемента при со = 0 стремится к бесконечности, и поэтому в токе
отсутствует постоянная составляющая.
Ответ: i = [4,08 sin (соГ + 0,53) + 2,08sin(3cof + 1,04)] А,
U = 240,8 В, I = 3,25 А.
Задача 5.6*. Определить показания приборов:
а) магнитоэлектрической системы;
б) электромагнитной системы.
В схемах рис. 5.9 R = 3 Ом, а реактивные сопротивления по
первой гармонике XL1 = 3 Ом, XL2 = 5 Ом, Ха = 9 Ом, Хсг = 45 Ом, а
напряжение источника и = (9 +12sin3(ot)B.
Ответы приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Наименование прибора v Схема
а б в г
Магнитоэлектрический 0 3 А 3 А 1,5 А
амперметр Магнитоэлектрический 9 В 9 В 0 0
вольтметр Электромагнитный 0,4 А 3,3 А 4,12 А 1,5 А
амперметр Электромагнитный вольтметр 10,8 В 9 В 60\Л в 12/\/2В
210
5.6. СРАВНЕНИЕ ФОРМЫ КРИВЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
ДЛЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Формы кривых токов в цепях, содержащих индуктивные катушки
и конденсаторы, отличаются от формы кривой ЭДС. Проанализируем
подробнее это утверждение.
Пусть ток при последовательном соединении резистивного, индук- *)
тивного и емкостного элементов (рис. 5.10) имеет, кроме основной,
высщие гармонические составляющие. Сопротивление индуктивного
элемента для к-й гармоники XL = Lkco. Поэтому отношение ампли-
туд высших гармоник напряжения на индуктивном элементе к амплиту-
де основной гармоники этого напряжения больше отношения соответ-
ствующих амплитуд гармоник тока к амплитуде его основной гармо-
ники. Это различие тем больше, чем выше номер гармоники:
UL (к)т _ XL (к)1 (к)т _ kLG}I(k) т _ 1 (к)т
UL(l)m XL(i)\l)m (l)w ^(i)m
Из (5.18) следует, что кривая напряжения на индуктивном элемен-
те больше отличается от синусоиды, чем кривая тока, т. е. "удельный
вес" высших гармоник в ней больше.
Сопротивление емкостного элемента для fc-й гармоники
УС(Л) = 1/(«W).
Поэтому отношение амплитуды k-й гармоники напряжения на ем-
костном элементе к амплитуде основной гармоники этого напряжения
в к раз меньше отношения амплитуд соответствующих гармоник тока:
UC(k)m = ХС(к)1 (к)тп = [
= -у 7^ • (5.19)
К 7(1)ю
Рис. 5.10. Схема замещения
цепи с последовательно соеди-
ненными резистивным, индук-
тивным и емкостным элемен-
тами
R L i
о-
211
^кт
fyni
40
0,8
0,6
0Л
0,2
0
UkLm
OfLm
40 -
0,8-
0,6-
I I ®*“
I I O,z\-
a) 2a) 3ti) коз 0 a)
a)
Ok Cm
OfCm
1,0-
0,8-
0,6-
Oft ~
______|_ 0,z\_
2d) Jo) ha) 0 a)
S)
J_L_
2a) За) ka)
8)
Рис. 5.11. Диаграммы амплитудно-частотного спектра тока (а), напряжений на
индуктивном (б) и емкостном (в) элементах
Следовательно, кривая напряжения на емкостном элементе меньше
искажена, чем кривая тока.
Приведенные соотношения можно наглядно проиллюстрировать с
помощью диаграмм амплитудно-частотного спектра. Пусть амплитуд-
но-частотный спектр тока цепи рис. 5.10 характеризуется диаграммой,
приведенной на рис. 5.11, а, т. е. ток содержит, кроме основной, вторую
и третью гармоники.
Напряжение на индуктивном элементе имеет амплитудно-частотный
спектр (см. рис. 5.11, б), характеризующийся тем, что относительные
значения амплитуд второй и третьей гармоник этого напряжения соот-
ветственно в 2 и 3 раза больше относительных значений амплитуд второй
и третьей гармоник тока.
Диаграмма амплитудно-частотного спектра напряжения на емкостном
элементе (см. рис. 5.11, в) показывает, что ’’удельный вес” высших гар-
моник в напряжении и^ значительно меньше, чем в токе.
Задача 5.7. Напряжение на входе схемы рис. 5.12 задано рядом Фурье
и = (105 sin — 4,2sin3cof + 2,14sin7cjf) В. Определить процентное
содержание высших гармоник относительно основной для напряжения
и токов ветвей, если R = 8 Ом, L = 25,5 мГн, С = 398 мкФ, со = 314 1/с.
Ответы приведены в табл, 5,3.
Процентное содержание высших гармоник относительно основной
в кривых тока iR и напряжения и одинаково, следовательно, кривая
тока в резистивном элементе совпадает по форме с кривой напряжения.
Процентное содержание высших гармоник тока индуктивного элемента
С
Рис. 5.12. К задаче 5.7
212
Таблица 5.3
Электрическая иеличина Абсолютные значения величин Процентное содержание гармоник относительно основной
1-я гармо- ника 3-я гармо- ника 7-я гармо- ника 3-я гармо- ника 7-я гармо- ника
"(Л)т* В 105 4,2 2,14 4 2,04
Х1.{ку Ом 8 24 56 - -
*С(к)' Ом 8 2,66 1,14 - -
,R{k)m' А 13,12 0,525 0,267 4 2,04
11, (к)т' А 13,11 0,175 0,038 1,33 0,29
А 13,12 1,58 1,88 12,04 14,27
ниже, чем напряжения, следовательно, кривая тока ’’сглажена” по срав-
нению с кривой напряжения. Кривая тока в емкостном элементе более
'’искажена”, чем кривая напряжения.
5.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
В предыдущих параграфах было показано, что периодические несину-
соидальные колебания представляют собой совокупность гармоник и
могут иметь широкий диапазон частот. На практике в ряде случаев не-
обходимо выделить гармонические составляющие в ограниченной обла-
сти частот. Например, выделяя из напряжения прямоугольной формы
какую-либо гармоническую составляющую, можно получить синусои-
дальные колебания требуемой частоты. Эту и подобные задачи выпол-
няют устройства, называемые фильтрами.
Электрические фильтры — это четырехполюсники, содержащие индук-
тивные катушки, конденсаторы и резисторы и предназначенные для вы-
деления или подавления на нагрузочном устройстве напряжения задан-
ного диапазона частот.
Комплексным коэффициентом передачи на-
пряжения Ку по k-й гармонике называют отношение комплексных
амплитуд напряжений на выходе и входе фильтра (рис. 5.13):
ивых(к)т _ i^k
1±U ~ KU (к) е (5-20)
ивх (Л) т
Рис. 5.13. Структурная схема
фильтра
Фильтр
213
Поскольку сопротивления индуктивных катушек и конденсаторов
зависят от частоты, комплексный коэффициент передачи также зависит
от частоты.
Зависимость модуля коэффициента передачи Ку от частоты назы-
вают амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость
аргумента (фазы) от частоты - фазо-частотной характеристикой
(ФЧХ) фильтра. Эти характеристики имеют важное значение для рабо-
ты устройств электроники, автоматики и радиотехники.
Электрические фильтры пропускают электрические сигналы одних
частот и задерживают сигналы других частот.
Область частот, пропускаемых фильтром, называется полосой пропус-
кания.
В зависимости от полосы пропускания различают:
фильтры низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от 0 до coi;
фильтры высоких частот (ФВЧ) с полосой пропускания от ы1 до °°;
избирательные (полосовые) фильтры с полосой пропускания от
6J1 ДО С02 j
заграждающие фильтры с полосой пропускания от 0 до и от со2
до <» (не пропускают сигналы с частотами от cjj до са2) •
На рис. 5.14 представлены схемы простейших фильтров низких (а)
и высоких (б) частот.
Рассмотрим принцип действия фильтра низких частот. На низких
частотах индуктивное сопротивление фильтра мало, а емкостное вели-
ко, поэтому выходное напряжение практически равно входному и ко-
эффициент передачи фильтра Ку ~ 1. На высоких частотах выходные
зажимы шунтируются конденсатором и Ку 0. Аналогичные рассуж-
дения применимы и к высокочастотному фильтру. На низких частотах
выходное напряжение фильтра стремится к нулю из-за наличия конден-
сатора, сопротивление которого на низких частотах велико. На высо-
ких частотах емкостное сопротивление мало, и выходное напряжение
практически равно входному.
Рис. 5.14. Схемы фильтров низких
(д) и высоких (б) частот
Вопрос 5.2. Какие из приведенных на рис. 5.15 фильтров являются
низкочастотными, а какие высокочастотными?
Варианты ответа:
5.2.1. Все фильтры низкочастотные.
214
Рис. 5.15. К вопросу 5.2
5.2.2. а) и б) - низкочастотные, в) и г) —высокочастотные.
5.2.3. а) и б) - высокочастотные, в) и г) — низкочастотные.
Избирательные фильтры
Назначение избирательных (полосовых) фильтров - выделить из
несинусоидального напряжения гармоники, частоты которых лежат
в узкой полосе от аь до со2, и максимально ослабить все остальные.
Избирательные фильры делятся на LC-фильтры или резонансные и
ЯС-фильтры.
Принцип действия резонансных фильтров основан на возможности
настройки цепи несинусоидального тока на режим резонанса напряже-
ний для некоторой k-й гармоники при последовательном соединении
индуктивной катушки и конденсатора или на режим резонанса токов
при параллельном соединении этих элементов.
Рассмотрим, например, работу фильтра, схема которого изображена
на рис. 5.16, а. Если параметры фильтра подобраны таким образом,
что на заданной резонансной частоте сорез выполняется условие резо-
нанса напряжений Lcape3 = 1/(Ссорез), то сопротивление фильтра Zpe3 =
= 7’Lcope3 - /7(CWpe3) теоретически будет равно нулю, а коэффициент
передачи Ку = ^ВЬ1Х/^ВХ = 1- При со =0, Хс = Ку =0, а при со °°,
XL -> °° и Ку -> 0. Для всех остальных частот, гармонические составляю-
щие которых присутствуют во входном напряжении, последовательный
контур будет обладать некоторым сопротивлением, отличным от нуля,
Рис. 5.16. Схема (д) и примерный
ниц амплитудно-частотной характери-
стики (б) избирательного резонан-
сного фильтра
215
Рис. 5.17. Схема (а) и амплитудно-
частотная характеристика (б) моста
Вина
т. е. коэффициент передачи напряжения будет меньше единицы. Вид
АЧХ для схемы рис. 5.16, а показан на рис. 5.16s б. Следует иметь в
виду, что избирательные свойства реального резонансного фильтра за-
висят от добротности индуктивной катушки на резонансной частоте
(Q = Zcope3//?, где R — активное сопротивление катушки); в частно-
сти, из-за конечного значения добротности катушки коэффициент пере-
дачи на резонансной частоте всегда несколько меньше единицы.
Четырехполюсники с АЧХ, подобными характеристикам резонан-
сных фильтров, могут быть созданы также на основе резисторов и
конденсаторов.
Примером полосового ЯС-фильтра может служить четырехполю-
сник, схема которого приведена на рис. 5.17, а. АЧХ этого фильтра,
называемого мостом Вина, приведена на рис. 5.17, б. На низких часто-
тах выходное напряжение фильтра стремится к нулю из-за наличия кон-
денсатора Ci, на высоких частотах выходные зажимы шунтируются
конденсатором С2. Ввиду громоздкости здесь не приводятся выраже-
ния, анализ которых показывает, что при Ri - Rz -R и = С2 =С
коэффициент передачи напряжения моста Вина достигает максималь-
ного значения, равного 1/3 на частоте со0 = 1/(ЯС), называемой квази-
резонансной.
Задача 5.8. Определить емкость С конденсатора, обеспечивающую
максимальный коэффициент передачи полосового фильтра (см.
рис. 5.16, а) на частоте 20 кГц, если индуктивность фильтра L =
= 63,4 мГн.
Решение. Максимальное значение Ку, равное единице, соответ-
ствует резонансной частоте. Если /рез=20кГц, то сорез = 125,6 х
х 103 рад/с. Из условия резонанса следует, что
1 1
С = -----z-- =-----------;---------- = 0,001 МКФ.
£с0ре3 63,4 • IO'3 • 15 775 • 106
Задача 5.9. Для выделения на нагрузочном резисторе RH второй гар-
моники напряжения применен фильтр, собранный по схеме рис. 5.16, а.
Определить отношение действующего значения напряжения второй
гармоники к действующему значению напряжения источника и нагру-
216
зочного резистора, если L - 63,4 мГн, С = 0,001 мкФ, /?н = 500 Ом,
f = 10 кГц, а входное напряжение задано уравнением
и = (10,5sincor + 4,7sin2cor + l,lsin3w0 В.
Решение. Действующее значение напряжения источника
и - Ао + ит ♦ ит ~ 8'2 в-
Искомое отношение напряжений источника
и (2)1 и = 4,7/(л/2-8,2) = 0,407.
Первая гармоника напряжения на нагрузочном резисторе
Ч,(1> =Лк('<.>М<.>.
где Z{1) = + ^Л(1) _
В свою очередь,
1
Хг = 3980 0м, ХГ(^ =---------= 15 920 0м.
£ (1) Ф С (1) ?7Г/С
Ф
Окончательно имеем Z =11,94 кОм, U , =0,318 В. Вторая гармо-
НIL)
ника напряжения на нагрузочном резисторе
Ч.(г> =Л«И<2,/г<2>.
X ,,, = 2Х. = 7960 0м,
ХС(2) = ХС(1)/2 = 7960 0м.
В схеме рис. 5.16, а на частоте 20 кГц наступает резонанс напряже-
ний:
Z<2>=««. 4.(2, = "<2> = 4,7/72 =3,33 В.
Третья гармоника напряжения на нагрузочном резисторе
^«(3) = RHU(3)/Z(3)’
XL(3) =3^(i) =П940 Ом,
xr<^ = XrnJ3 = 5307 0м,
Z<3) =^(^<Э>-^<3>’2+ Rh = 6650 °",
217
и = 0,0587 В.
Действующее напряжение на нагрузочном резисторе
". - ’ и:т * ь»(1) - З.ив-
Искомое отношение напряжений на резисторе
U „J U = 3,33/3,34 = 0,997.
Следовательно, рассматриваемый фильтр имеет избирательные
свойства: на нагрузочном резисторе практически выделилась только
вторая гармоника приложенного напряжения.
Заграждающие фильтры
Назначение этих фильтров - исключить или существенно ослабить
гармоники, частоты которых лежат в узкой полосе от coi до со2 •
Рассмотрим принцип действия резонансного заграждающего фильт-
ра (рис. 5.18, а). На постоянном токе (со =0) емкостное сопротивле-
ние фильтра стремится к бесконечности, ^/вых ~ ^вх (^ф *< R) и ко-
эффициент передачи Ку » 1. На высоких частотах сопротивление ин-
дуктивного элемента стремится к бесконечности и Ку ~ 1. На резо-
нансной частоте теоретически сопротивление фильтра Zрез = /£сорез -
- //(Ссорез) = 0, следовательно, выходное напряжение и коэффициент
передачи К у приблизительно равны нулю. Примерный вид АЧХ фильтра
приведен на рис. 5.18, б. Следует помнить, что, так же как и для поло-
сового фильтра, свойства заграждающего фильтра зависят от его ак-
тивного сопротивления. Для реального фильтра на резонансной частоте
коэффициент передачи всегда отличен от нуля.
Примером заграждающего /?С-фильтра является двойной Т-образный
мост, широко применяемый в электронных устройствах. Схема и АЧХ
моста приведены на рис. 5.19. Если выполнены соотношения = R2 =
= R, R3 = R/2 и = C2 = Cf C3 = 2C, то на квазирезонансной частоте
ca0 = 1/(RC) выходное напряжение двойного Т-образного моста равно
нулю.
Рис. 5.18, Схема (я) и амплитудно-
частотная характеристика (б) заграж-
дающего резонансного фильтра
218
Рис. 5.19, Схема (а) и амплитудно-
частотная характеристика (б) двой-
ного Т-образного моста
Задача 5.10. Определить частоту, для которой коэффициент передачи
фильтра рис. 5.18, а имеет минимальное значение, если L = 100 мГн,
а С = 0,007 мкФ.
Решение. Резонансная частота, соответствующая Ку =0, опреде-
ляется по формуле
рез 2тг>//.С 2тг\/100 • 10-3 • 0,007 • 10-6
Задача 5.11. В цепь с источником несинусоидального напряжения
включен комбинированный фильтр, состоящий из трех элементов
(рис. 5.20), не.пропускающий в приемник Zn вторую гармонику тока
и не оказывающий сопротивления первой гармонике. Определить пара-
метры фильтра, если С-10 мкФ, са =500 рад/с.
Решение. Сопротивления емкостного элемента:
по первой гармонике
106
Хг,^ = 1/(Ссо,1Ч) = ------------ = 200 Ом;
10 • 5,00
по втррой гармонике
%r,9J = XrflJ2 = 200/2 = 100 Ом.
Параллельный контур будет иметь бесконечно большое сопротивление
по второй гармонике, когда
(2) ^С(2) ЮО Ом.
Индуктивное сопротивление фильтра по первой гармонике
Хг = Хт „J2 = 100/2 = 50 0м.
L к 1 ) L» X1)
Рис. 5.20. К задаче 5.11
219
Комплексное сопротивление параллельного контура по первой гар-
монике
/ 50 (-/ 200)
Z , к = -------------- =
/ 50 - / 200
Сопротивление фильтра по
нулю, следовательно
Х3 = -j 66,7 Ом.
10 000
------- / 66,7 Ом.
-/ 150
первой гармонике должно быть равно
Третьим элементом фильтра должен быть конденсатор емкостью
С2 = 15 мкФ.
5.8. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ ГЛ. 5
5.1.2. ЭДС аккумуляторной батареи уменьшается с течением време-
ни, но эта зависимость не является периодической (см. рис. 5.21).
Рис. 5.21, К ответу на
вопрос 5.1
5.2.3. Схемы рис. 5.15, в и г являются схемами низкочастотных
фильтров, а схемы 5.15,а и 5.15, б — высокочастотных. На низких ча-
стотах индуктивное сопротивление мало, а емкостное велико и поэто-
му в схемах рис. 5.15, виг Ц,ых ^вх, а в схемах рис. 5.15, а иб
^вых 0* На высоких частотах индуктивное сопротивление велико,
а емкостное мало, тогда в схемах рис. 5.15, а и d ^rniTv ~ ,ав схе-
В Ы X В X
мах рис. 5.15, в и г 0.
Глава шестая
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
6.1. ТИПОВЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА
Электромагнитными (ЭУ) называют устройства, в кото-
рых создаются и используются магнитные поля. Они применяются во
многих электрических и в некоторых электронных цепях.
Известно, что магнитное поле способно проявлять два различных
действия: индукционное и электродинамическое.
Первое действие связано с явлением электромагнитной индукции -
наведением ЭДС в проводнике переменным магнитным полем или в
движущемся проводнике. Второе действие связано с силовым воз-
действием поля на заряд, провод или намагниченное тело. В конкрет-
ном ЭУ одно из этих действий является основным, однако может при-
сутствовать и другое.
Индукционное действие поля проявляется в устройствах, включае-
мых в цепь переменного тока (дросселях, трансформаторах, электро-
машинных генераторах, электроизмерительных приборах и преобразо-
вателях и т. д.), или в устройствах постоянного тока с подвижными
частями (электрических машинах). Большинство таких ЭУ являются
устройствами с переменными магнитными потоками. Токи этих ЭУ
•ависят от напряжений и ЭДС, которые наводятся в их катушках.
Поэтому можно сказать, что одно из назначений таких ЭУ — получение
ЭДС. Это обстоятельство определяет особые требования к конструкции
ЭУ, которая должна обеспечить усиление магнитных потоков с помощью
ферромагнетиков, а так же рационально использовать магнитное поле.
Между концами провода длиной I, движущегося в постоянном маг-
нитном поле, наводится ЭДС е
е = J (Г х (6.1)
I
|де /Г — вектор магнитной индукции (Тл), dl — вектор вдоль оси про-
вода, у' — вектор скорости; интегрирование ведется по всей длине про-
вода, находящегося в магнитном поле. Если е положительная, то ЭДС
<читают направленной как dl. Для определения направления ЭДС
удобно также использовать правило правой руки. Направление ЭДС
указывают четыре пальца правой руки, когда силовые линии входят в
надонь и отведенный большой палец указывает направление движения
провода.
221
ЭДС, наводимая в катушке, равна
е -------,
dt
(6.2)
где Ф — потокосцепление катушки с магнитным полем (Вб).
Изменение потокосцепления может происходить в результате изме-
нения поля и (или) движения катушки. ЭДС направлена таким образом,
что вызванный ею ток создает магнитное поле, уменьшающее изменение
потокосцепления. Заметим, что в ряде учебников формулу (6.2) за-
писывают со знаком плюс в правой части. Выбор вида формулы зави-
сит от условно-положительного направления ЭДС. В нашем случае
ЭДС самоиндукции направлена по току в катушке.
Рассмотрим некоторые примеры ЭУ с индукционным действием.
Дроссель — ЭУ, которое используется в цепи как индуктивная
катушка для регулирования тока или в электрическом фильтре. Поэто-
му главная забота при конструировании дросселя — достижение боль-
ших индуктивностей и малых потерь энергии при малых затратах мате-
риалов. Так как индуктивность равна отношению потокосцепления
катушки к току, эти требования удается выполнить при использовании
катушки с большим количеством витков и с ферромагнитным сердеч-
ником. Устройство дросселя схематически представлено на рис. 6.1.
Витки катушки 1 охватывают левый стержень ферромагнитного сер-
дечника 2. Сечения провода одного витка условно показаны двумя
кружками со знаками направлений тока (’’точка” — к наблюдателю,
’’крестик” - от наблюдателя). При таком направлении тока в витках
катушки векторы магнитной индукции в левом стержне сердечника на-
правлены, согласно правилу ’’буравчика”, вверх. Напомним, что направ-
ление тока задает направление вращения винта, а его поступательное
движение соответствует направлению векторов магнитной индукции.
Топографию векторного поля магнитной индукции принято описывать
картиной силовых магнитных линий. Векторы магнитной индукции,
Рис. 6.1. Устройство дросселя
222
Рис. 6.2. Схематическое устройство
трансформатора
как касательные, задают направление силовых магнитных линий в каж-
дой точке пространства. Густота силовых линий пропорциональна зна-
чению магнитной индукции. Относительная магнитная проницаемость
ферромагнитного сердечника jir > 1. Поэтому практически все силовые
линии большей частью располагаются в сердечнике. Ферромагнитный
сердечник усиливает магнитное поле, возбуждаемое обмоткой, и увели-
чивает ЭДС самоиндукции. Однако из-за нелинейности свойств ферро-
магнетиков приходится идти на некоторое снижение эффективности
конструкции, вводя немагнитный зазор 3 в сердечник. Зазор линеари-
зует свойства дросселя. Кроме того, переменный зазор позволяет регу-
лировать значение индуктивности. Подробнее дроссели рассматриваются
в § 6.5.
Трансформатор — устройство, которое содержит две или
больше неподвижных обмоток, связанных магнитным полем и пре-
образует параметры электрической энергии (напряжение, ток). Пер-
вичную обмотку 1 включают к источнику электрической энергии, а
к вторичной обмотке 2 включают приемник электрической энергий
(рис. 6.2). Передача электрической энергии между обмотками осуще-
ствляется с помощью переменного магнитного поля, которое создает
ЭДС в цепи вторичной обмотки. Для удешевления трансформатора и
уменьшения потерь энергии желательно увеличение магнитного потока
каждого витка вторичной обмотки. Это достигается с помощью замкну-
того ферромагнитного сердечника 5. При этом магнитное поле усили-
вается и концентрируется в области сердечника. Конфигурация сердеч-
ника выбирается таким образом, чтобы получить наибольшую магнит-
ную связь обмоток (взаимную индуктивность), наилучшим образом
использовать свойства ферромагнитного материала, уменьшить магнит-
ное поле вне сердечника (поле рассеивания). На рис. 6.2 пунктиром
изображены две характерные магнитные силовые линии. Трансформа-
горы рассматриваются в гл. 2 кн. 2.
Измерительный индукционный датчик пере-
мещений -ЭУ (рис. 6.3), в котором перемещение катушки 1
223
с кольцевым постоянным магнитом 2 вызывает ЭДС индукции в
катушке. Мгновенное значение ЭДС пропорционально скорости из-
менения потокосцепления катушки. Поэтому в преобразователе имеет-
ся магнитопровод такой формы, чтобы потокосцепление было большим
и линейно зависело от осевого положения катушки. Магнитные силовые
линии в области витков катушки имеют радиальные направления (см.
две пунктирные линии). Они выходят из внутренней поверхности по-
люсного наконечника 3 магнитопровода, который имеет форму коль-
ца, и, пройдя небольшой воздушный зазор, входят в цилиндричес-
кий сердечник 4 магнитопровода.
Электромашинкий генератор — ЭУ, используемое для
преобразования механической энергии рабочей машины в электрическую
энергию (рис. 6.4). Генератор постоянного тока имеет цилиндрический
ротор 1 с многосекционной обмоткой, которая подключается с по-
мощью коллектора и контактных щеток 2 к приемнику энергии. На
цилиндрическом статоре 3 имеются катушки возбуждения 4 с посто-
янными токами (или постоянные магниты), которые создают посто-
янное магнитное поле. Силовые линии магнитного поля изображены на
Рис. 6.4. Схематическое устройство
генератора постоянного тока
224
рисунке пунктиром. Они рисуются следующим образом. Направле-
ния токов в катушках возбуждения чередуются так (см. ’’крестик”
и ’’точку” в сечениях проводов катушек возбуждения), чтобы направ-
ления силоёых линий в катушках чередовались. Эти направления опре-
деляются правилом буравчика. Так, катушка, помеченная цифрой 4,
создает поле, силовые линии которого направлены в статор. Поэтому
здесь образуется S (южный) полюс статора. Соседние полюсы — N,
т. е. противоположные. Силовая линия магнитного поля проходит через
соседние полюса, замыкаясь через статор и ротор. При вращении рото-
ра, укрепленного на валу в подшипниковых опорах, в проводах его
обмотки наводится ЭДС и между щетками образуется постоянное
напряжение. Эффективная конструкция генератора должна содержать
ферромагнитный магнитопровод — статор и ротор с минимальным воз-
душным зазором. Генераторы различных типов рассматриваются под-
робнее в гл. 3, 4, 5 кн. 2.
Электродинамическое действие проявляется в устройствах, в кото-
рых, как правило, имеются подвижные элементы (например, в элект-
ромагнитных реле, электрических двигателях, электроизмерительных
приборах). Основное назначение таких ЭУ — создание механических
сил, моментов. Поэтому в устройствах такого типа, как правило, име-
ются ферромагнитные части с воздушными зазорами. В этих ЭУ в той
или иной мере присутствует и индукционное действие. Заметим, что
в любом ЭУ в должной мере проявляется электродинамическое дей-
ствие.
Сила, действующая на провод с током равна
F = J Idl\ В, (6.3)
I
где интегрирование ведется по всей длине провода, находящегося в
магнитном поле. Направление силы можно определить также по прави-
лу левой руки. Направление силы указывает отведенный большой палец
левой руки, когда магнитные силовые линии входят в ладонь и осталь-
ные пальцы направлены вдоль провода в направлении тока.
Для ЭУ с ферромагнитными частями не всегда удается использовать
выражения для силы в явной форме. Тогда расчеты выполняют через
энергию. Задают малое перемещение dx подвижной части ЭУ и опреде-
ляют изменение энергии магнитного поля dW. Составляющая силы в
направлении, обратном перемещению, равна
Fx = -dW/dx. (6.4)
Рассмотрим некоторые примеры ЭУ с электродинамическим дейст-
вием.
15 3ак./У£/ 225
1
2
Рис. 6.5. Схематическое устройст-
во электромагнитного реле
Электромагнитное реле - устройство, в котором силы
используются для переключения электрических контактов. Реле позво-
ляют осуществить дистанционное управление, управление в электриче-
ски несвязанных цепях, управление в высоковольтных или сильноточ-
ных цепях слаботочными сигналами. Реле (рис. 6.5) содержит обмотку 1
с управляющим током, магнитопровод 2 для усиления и концентрации
поля, подвижный якорь 3, возвратную пружину контакты управляе-
мой цепи 5. При увеличении тока обмотки до определенного значения
(до тока срабатывания) сила F, созданная магнитным полем, преобла-
дает над силой возвратной пружины и якорь притягивается к полюсу
на сердечнике катушки. Одновременно рычаг, скрепленный с якорем,
перемещается и размыкает контакты управляемой цепи. При уменьше-
нии тока (ток размыкания) возвратная пружина вернет якорь и кон-
такты замкнутся. Реле рассматриваются подробнее в гл. 1 кн. 2.
Электрический двигатель — ЭУ, преобразующее элект-
рическую энергию в механическую. Двигатель постоянного тока имеет
в принципе такую же конструкцию, как и генератор постоянного тока
(см. рис. 6.4). Обмотка ротора подключается с помощью коллектора и
контактных щеток к источнику электрической энергии. В обмотке
возбуждения так же задается постоянный ток, который создает по-
стоянное магнитное поле. Это поле воздействует на обмотку ротора и
на намагниченный ферромагнитный ротор и создает вращающий мо-
мент. Если вращающий момент будет больше противодействующего,
то ротор начнет вращаться.
Заметим, что одновременно при вращении ротора в проводах его
обмотки наводится ЭДС, которая практически равна приложенному
напряжению. Аналогично в электрическом генераторе ток в обмотке
ротора, который появляется при подключении приемника, вызывает
силы и момент, тормозящий ротор. Необходимость одновременного
существования электромагнитной индукции и электродинамического
действия лучше всего объясняется законом сохранения энергии.
226
Для изучения принципа действия и основных свойств электромаг-
нитных устройств важными являются соотношения, связывающие
электрические напряжения, токи, мощности и механические силы, мо-
менты, скорости движения. Как правило, в конкретных случаях точ-
ные уравнения записать не удается ввиду их сложности. Поэтому широко
используются инженерные приближения, в которых пренебрегают дета-
лями ради выявления основных связей.
Электромагнитные величины связаны следующими основными урав-
нениями, которые изучались в курсе физики.
Закон Фарадея — напряжение на катушке и равно сумме падения
напряжения на сопротивлении провода Ri (закон Ома) и ЭДС е само-
индукции
и = Ri - е. (6.5)
)ДС самоиндукции е равна скорости изменения потокосцепления ка-
1УП1КИ
dB ч
<?=-П —ds. (6.6)
j dt
Здесь интегрирование ведется по поверхности s, ограниченной конту-
ром провода катушки.
Закон полного тока - циркуляция вектора напряженности магнит-
ного поля Н вдоль любого замкнутого контура равна сумме электри-
ческих токов проводов, которые пересекают поверхность, ограничен-
ную этим контуром
f ~Hdl = J J "ids, (6.7)
•4
me J — вектор плотности электрического тока. Если контур выбрать
и доль силовой линии магнитного поля, которая охватывает w витков ка-
1У1ПКИ с током г, то
j Hdl = wi. (6.8)
i
Уравнение для источников магнитной индукции (замкнутость си-
новых линий)
И В ds = 0, (6.9)
s
।. с. магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю.
Рис. 6.6. К задаче 6.1. Источники магнитного поля стоком i:
1 - прямой провод; 2 - виток; 3 - соленоид с ферромагнитным сердечником;
4 - тороидальная катушка с ферромагнитным сердечником; 5 - соленоид
Из этих уравнений следует, что для установления связи между током
и напряжением необходимо знать соотношения между магнитной ин-
дукцией и напряженностью магнитного поля. В свободном пространстве
В - pQH. Для ферромагнитных материалов эта связь рассмотрена в
§ 6,2.
Для упражнений предлагаем решить следующие задачи.
Задача 6.1. На рис. 6.6 изображены источники (1-5) магнитного поля
и пять картинок (А-Д) магнитных силовых линий. Записать строку,
устанавливающую соответствие номеров рисунков (для каждого из
источников какая картина поля).
Ответ: 1 -Б, 2-А, З-Д, 4-В, 5-Г.
Задача 6.2. Определить правильную полярность включения вольт-
метра и значение ЭДС, возникающей в прямоугольном контуре на
рис. 6.7, а, при перемещении его подвижной части ab в однородном маг-
нитном поле Земли, если В = 10“4 Тл, г = 10 м/с, I = 1 м.
Ответ: + внизу, 1 мВ.
Задача 6.3. Определить правильную полярность включения вольт-
метра и значение ЭДС в контуре на рис. 6.7, б при увеличении магнит
ной индукции по линейному закону В = at, где а = 1 Тл/с. Площадь
контура s = 10“2m2.
Ответ: + вверху, 10 мВ.
228
Задача 6.4. Определить направление поступательного движения без
трения в однородном магнитном поле подвижной части ab прямоуголь-
ного контура с источником тока J = 1 А на рис. 6.8. Определить значе-
ние силы. В = 1 Тл, Iab = 1 м.
Ответ: вправо, 1 Н.
6.2. ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Экспериментально получено, что в однородном магнитном поле свой-
ства ферромагнитного материала описываются гистерезисной зависи-
мостью, зависящей от предыстории намагничивания.
Если материал предварительно размагничен, то при первом намагни-
чивании (увеличение Я от 0 до Н ) зависимости В (Н) соответствует
кривая первоначального намагничивания
(рис. 6.9, пунктирная линия). Уменьшение Н приведет к уменьшению В,
по по другому закону.
Рис. 6.9. Петля гистерезиса при
циклическом перемагничивании
229
Рис, 6.10. Семейство петель при раз-
ных амплитудах Н
При последующих циклических изменениях напряженности магнит-
ного поля по синусоидальному закону магнитная индукция изменяется
по гистерезисной зависимости, которая на рис. 6.9 представлена пет-
лей гистерезиса со стрелками, указывающими направления из-
менения. Если увеличивать амплитуду Н , то размеры петли увели-
чатся вплоть до предельной петли гистерезиса. При
этом вершины семейства петель при разных амплитудах (рис. 6.10)
располагаются на пунктирной основной кривой намаг-
ничивания, которая практически совпадает с кривой первоначаль-
ного намагничивания.
Форма петли гистерезиса зависит от скорости изменения величин и
вида зависимостей от времени. Если изменения очень медленные, то
петля гистерезиса называется статической. Характерными параметрами
симметричной петли являются (см. рис. 6.10) значения В -Вг (при
Н =0) — остаточная магнитная индукция мН-Нс
Рис. 6.11, а. Кривые намагничивания
ферромагнитных материалов:
1 - литая сталь 10895; 2 - 1512
(листовая горячекатаная); 3 — 3411
(листовая холоднокатаная); 4- 1212
(листовая); 5 - 1410 (листовая);
6 - пермаллой
10 20 30 W 50 60 70 80 90 (Ь)
Рис. 6.11, б. Кривые намагничивания
ферромагнитных материалов в силь-
ных полях:
1 - литая сталь 10895; 2 - 1512
(листовая горячекатаная); 3 - 3411
(листовая холоднокатаная) •
230
(при В =0) — коэрцитивная сила. Качество ферромагнитного
материала зависит от крутизны основной кривой намагничивания на
участке от нуля до индукции насыщения (Bs на рис. 6.9). Для описа-
ния крутизны характеристики используют понятие статической
магнитной проницаемости д = В/Н. Эти параметры
используют в качестве характеристик материала и для их классифи-
кации.
Наиболее крупное подразделение ферромагнитных материалов при
классификации проводится по значениям Нс. Если Нс < 4 кЛ/м, то
материал называют магнитно-мягким, в противном случае -
магнитно-твердым.
Магнитно-мягкие материалы перемагничиваются при малых значе-
ниях напряженности магнитного поля. Как правило, они имеют неболь-
шие значения Вг , т. е. незначительную остаточную намагниченность,
небольшую площадь петли гистерезиса. Поэтому такие материалы ис-
пользуются для магнитопроводов. Магнитно-твердые материалы, на-
против, имеют значительную остаточную намагниченность и применяют-
ся для изготовления постоянных магнитов.
Для магнитно-мягких материалов форма петли не имеет существен-
ного значения, так как петля очень узкая. Поэтому они характеризуют-
ся основной кривой намагничивания, и зависимостью удельных потерь
энергии (площадь петли гистерезиса) от магнитной индукции.
К магнитно-мягким материалам относятся электротехнические стали,
пермаллои и ферриты.
В устройствах, работающих на низкой частоте или на постоянном
гоке, используются детали из сортовой нелегированной (низкоуглеро-
дистой) электротехнической стали. В обозначении марки этой стали
первая цифра — класс по виду обработки давлением (1 — горячека-
1аная и кованая, 2 — калиброваная), вторая цифра — тип по содержа-
нию кремния (0 — сталь нелегированная и т. д.), третья цифра — груп-
па по основному нормируемому параметру (8 — коэрцитивная сила),
последние две цифры — значение основного нормируемого параметра.
Па рис. 6.11* кривая I представляет кривую намагничивания ста-
ли 10895.
В большинстве ЭУ с переменными магнитными полями для умень-
шения потерь энергии используются листовые электротехнические ста-
ли. Числовое обозначение марки стали содержит четыре символа. Пер-
вая цифра — классы структурного состояния и вида прокатки (1 — го-
рячекатаная изотропная, 2 — холоднокатаная изотропная, 3 — холодно-
катаная анизотропная), вторая цифра — виды по содержанию крем-
ния (0 — до 0,4%, 1 - от 0,4% до 0,8%, ..., 5 — от 3,8% до 4,8%), третья
231
цифра - группа по основной нормируемой характеристике (0 —
Pi 7/50 - удельные потери при магнитной индукции 1,7 Тл и частоте
50 Гц в Вт/кг, 1 - Pj 5/5О> 2 -Р1 0/400,6-В0,4 “ магнитная индукция
в магнитных полях при напряженности поля 0,4 А/м, 7 — Bi0). Четвер-
тая цифра — порядковый номер типа стали.
На рис. 6.11 представлены кривые намагничивания для горячекатаной
стали 1512 (2) и для холоднокатаной стали 3411 (5). Из графиков вид-
но, что сталь 3411 имеет большие значения магнитной проницаемости
и магнитной индукции насыщения.
На рис. 6.12 изображены зависимости удельных магнитных потерь
от амплитуды магнитной индукции для сталей 1511, 3412
и 3413. Видно, что холоднокатаная сталь имеет меньшие магнитные
потери.
Магнитные потери состоят из потерь па гистерезис (характеризуются
статической петлей гистерезиса) и потерь, связанных с вихревыми то-
ками. Последние зависят от частоты перемагничивания. Они могут быть
снижены путем уменьшения удельной проводимости материала (леги-
рование кремнием), уменьшением толщины листового материала, если
плоскость контура вихревых токов располагается поперек листа.
В трансформаторостроении часто используют другой способ описа-
ния кривых намагничивания — с помощью зависимостей удельной намаг-
ничивающей мощности от магнитной индукции На рис. 6.13
приведены зависимости для сталей 1511 и 3412 при толщине листа
0,35 мм.
Особую группу ферромагнитных материалов составляют прецизион-
ные магнитно-мягкие сплавы. В зависимости от уровня магнитных
Рис. 6.12. Характеристики магнит-
ных потерь:
1 - электротехническая сталь
1511; 2 - стань 3413; 3 - сталь
3412
Рис. 6.13. Характеристики удельной
реактивной мощности намагничива-
ния на частоте 50 Гц:
1 - сталь 1511 (0,35 мм); 2 -
сталь 3412 (0,35 мм)
232
свойств изготавливают материалы трех классов — с нормальными, по-
вышенными и высокими магнитными свойствами. Условное обозначе-
ние марки этой группы содержит букву — сокращенное наименование
компонентов К — кобальт, М — марганец, Н — никель, С — кремний,
X — хром.
Сплавы железа с никелем, железа с никелем и марганцем, легиро-
ванные молибденом, хромом называют пермаллоями. Основное их
достоинство — высокая магнитная проницаемость при малых значениях
напряженности магнитного поля (кривая 6 на рис. 6.11, а). Однако они
имеют небольшое значение индукции насыщения. Кроме того, они до-
рогие.
Прецизионные сплавы обладают специфическими магнитными свой-
ствами и поэтому применяются в измерительных устройствах и устрой-
ствах автоматики.
Свойства магнитно-твердых материалов существенно зависят от фор-
мы петли гистерезиса. Обычно постоянные магниты в устройствах нахо-
дятся в таких условиях, что магнитное состояние материала прибли-
женно может быть описано участком, лежащим на кривой размагничи-
вания петли гистерезиса или на прямой возврата, которая
начинается на этой кривой. Поэтому основной для магнитно-твердых
материалов является характеристика размагничивания — участок петли
во втором квадранте между точками Н =0, В = Вг и Н -Нс, В =0.
Наиболее распространенными являются магниты из сплавов желе-
за с алюминием, никелем и кобальтом (альнико, марки ЮНД и ЮНДК).
В последние годы внедряются сплавы с использованием редкоземельных
элементов в соединении с кобальтом.
В измерительных устройствах и устройствах автоматики применяют-
ся также металлокерамические сплавы и ферриты, изготавливаемые
методом порошковой металлургии.
Примеры кривых размагничивания для разных магнитно-твердых
материалов приведены на рис. 6.14 (/ — сплав ЮН13ДК25А, 2 — сплав
ЮН14ДК24, 3 - редкоземельный сплав КСП37А, 4 — бариевый феррит
63И20). ,
Рис. 6.14. Характеристики маг-
нитно-твердых материалов:
1 - сплав 1ОН13ДК25А;
2 - сплав ЮН1414ДК24; 3 -
редкоземельный сплав
КСП37А; 4 - бариевый фер-
рит 63И20
233
Задача 6.5. По кривой намагничивания на рис. 6.11, а определить
значение статической относительной магнитной проницаемости (цг =
= Мст/Мо) пермаллоя на линейном участке до значения Bs. Составить
список всех материалов в порядке убывания значения магнитной
проницаемости.
Ответ: 22300; пермаллой, 3411,1410,1512, 1212, 10895.
6.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТНЫМИ ПОТОКАМИ
В ЭУ постоянные магнитные поля создаются катушками с постоян-
ными токами или (и) постоянными магнитами.
Если магнитное поле постоянное, то в намагничивающей катушке от-
сутствует ЭДС индукции. Поэтому согласно уравнению (6.5) напряже-
ние и ток катушки в этом случае связаны законом Ома U=RI, где/? —
сопротивление провода катушки. Если катушка соединена с источником,
обладающим постоянной ЭДС Е и внутренним сопротивлением Авт,
то в катушке установится постоянный ток / = El(RBT + R). Таким
образом, ток и напряжение намагничивающей катушки можно считать
известными, если заданы параметры источника.
Непосредственную связь между током и напряженностью магнитного
поля устанавливает закон полного тока — уравнение (6.8).
Например, для тороидального электромагнита с катушкой из w вит-
ков на рис. 6.15, а, выбрав контур интегрирования совпадающим со
средней силовой магнитной линией (на рисунке они изображены пунк-
тирными линиями), можно записать
+ нл =w1' (6.10)
где индексы ф - ферромагнитный, в — воздушный. Эта формула по-
лучена следующим образом. При малой длине воздушного зазора /
силовые линии магнитного поля имеют форму концентрических окруж-
Рис. 6.15. Тороидальный электромагнит с воздушным зазором (а) и схема заме-
щения его магнитной цепи (б)
234
иостей, которые располагаются в основном в ферромагнитном сердеч-
нике. Они выходят из него только на участке воздушного зазора. Здесь
(как на рис. 6.1) силовые линии ’’выпучиваются” в окружающее про-
странство. Однако при небольшой длине зазора этим явлением можно
пренебречь. Магнитная индукция у боковой поверхности сердечника
пренебрежимо мала. Поэтому магнитные потоки в любом сечении сер-
дечника и в воздушном зазоре одинаковые. Если площадь сечения
сердечника $ постоянная по всей длине, то магнитная индукция в
сердечнике также постоянная, так как В = Ф/$ф- Напряженность
магнитного поля Н и магнитная индукция в сердечнике связаны маг-
нитными характеристиками материала сердечника В^Н), поэтому на-
пряженность магнитного поля в сердечнике вдоль силовой линии также
постоянная. Отсюда следует, что приближение Н = const имеет неболь-
шую погрешность, если площадь поперечного сечения магнитопровода
вдоль силовой линии постоянная и материал магнитопровода однород-
ный. Погрешность приближения Н = const может быть заметной и
уменьшается с уменьшением длины немагнитного зазора.
Уравнение (6.10) по форме аналогично второму закону Кирхгофа.
(Заметим, что строгое обоснование этой и последующих аналогий мож-
но сделать на уровне дифференциальных уравнений электромагнитного
поля.) Поэтому слева составляющие Н1§ и Яв/ц называют магнит-
ным напряжением U соответственно на участках магнито-
провода и воздушного зазора. Правая часть уравнения w/ по аналогии
с термином ’’электродвижущая сила” получила название магнито-
движущая сила (МДС) F.
В уравнении (6.10) напряженность магнитного поля можно выра-
зить через магнитную индукцию и далее — через магнитный поток:
Н(В.)1. + Я / = F,
v qr ф в в ’
,де вф = ф/*ф-
Для немагнитной среды
Нъ = Вв^0 = ф/ОвМо)>
(6.11)
(6.12)
где д0 = 4тг 10” 7 Гн/м — магнитная постоянная.
Аналогичную приближенную формулу можно записать для участка
сердечника, если линеаризовать кривую намагничивания В(Н) = цН
(здесь д — абсолютная магнитная проницаемость):
Н(В) = В/ц =ф/(5фд). (6.13)
235
С учетом уравнений (6.12) и (6.13) уравнение (6.11) можно пред-
ставить в виде
/ Z. \ / i \
-5- Ф + —) Ф = F, (6.14)
МфМ/ VBMo/
Уравнение (6.14) позволяет продолжить аналогию с электрической
цепью. Здесь магнитный поток Ф подобен электрическому току, а ко-
эффициенты в скобках - электрическому сопротивлению (сравните
эти выражения с формулой для электрического сопротивления прямого
провода с постоянным сечением R=l/(so). Поэтому эти коэффициенты
называют магнитным сопротивлением. Магнитное сопротивление обозна-
чается символом RM и имеет размерность 1/Гн. Из уравнения (6.14)
следует заключительная формула — закон Ома для одноконтурной маг-
нитной цепи, отображающей свойства электромагнитного устройства
на рис. 6.15,а:
R нЛ + я Ф = F. (6.15)
Мф мВ х
С помощью приведенных формул можно приближенно рассчитать
магнитную индукцию в зазоре электромагнита для заданного тока
или требуемый ток для заданного значения магнитной индукции.
Линеаризация свойств ферромагнитного материала не является обя-
зательной при описании магнитной цепи. Аналогичным образом мож-
но описать свойства и более сложных электромагнитных устройств,
содержащих разветвленный магнитопровод или постоянные магниты.
В этом случае, возможно, сформируется магнитная цепь, состояние
которой описывается уже системой нелинейных алгебраических урав-
нений, аналогичной системе уравнений для электрической цепи. При
этом используются узловые уравнения для магнитных потоков Ф*.
участков магнитопровода (аналогично узловым уравнениям для токов
ветвей электрической цепи, составленным по первому закону Кирхгофа)
2Ф£=0, (6.16а)
к
контурные уравнения для магнитных напряжений (аналогично
уравнениям, составленным по второму закону Кирхгофа для кон-
тура электрической цепи)
St/M, (6.166)
к п
и уравнения связи магнитного напряжения и потока на к-м отдельном
236
участке магнитной цепи
Ча = <6Л7»
В уравнении (6.166) Fn — МДС, создаваемые обмотками, витки
которых охвачены контуром.
Последнюю зависимость (6.17) часто представляют в обратной фор-
ме— вебер- амперной характеристикой участка магнитопро-
вода:
Ф»=ФНЧР- <6Л8>
Уравнение (6.18) получают из зависимости Вк(Нк) следующим об-
разом:
Ча-'W <6л8а>
Если Вк =pikHki то уравнение (6.17) удобно записать в форме, ана-
логичной закону Ома для электрической цепи:
Ча = ~Т~ ф» = '-Л> ,6-|9>
Wk
где RMk — магнитное сопротивление fc-го участка магнитопровода.
Иногда такая запись используется и при нелинейных магнитных свой-
ствах, тогда Вк = цк(Нк)Нк и Кмк(Нк) - нелинейное магнитное со-
противление.
Подобно тому, как для описания свойств электрической цепи исполь-
зуется ее схема замещения, для магнитной цепи также можно составить
се схему замещения. На рис. 6.15, б приведена схема замещения для
тороидального электромагнита. В этой схеме используются активный
элемент — источник МДС F (F = w/) и пассивные элементы Лмф
(/?мф =/ф/(хфМ)) и «мв (Лмв =/B/(sBMo))-Магнитные схемы замеще-
ния удобны тем, что они позволяют производить анализ ЭУ, используя
все методы, разработанные для электрических цепей постоянного тока.
На основе опыта, приобретенного при изучении электрических цепей
можно, анализируя качественно схему замещения, выявить главные
свойства электромагнитного устройства. Например, из схемы замещения
на рис. 6.15, б следует, что с уменьшением магнитного сопротивления
магнитопровода увеличивается магнитное напряжение, напряженность
магнитного поля и магнитная индукция в воздушном зазоре. Если маг-
нитное сопротивление воздушного зазора много больше сопротивления
магнитопровода, то можно считать, что магнитное напряжение на зазоре
равно МДС, и пользоваться упрощенными соотношениями.
237
Так как понятие магнитной цепи связано с определенными допуще-
ниями о характере распределения магнитного поля электромагнитного
устройства, то точность результатов таких расчетов должна быть оценена
одним из способов (расчеты другими методами или экспериментальные
исследования). Для ряда устройств, имеющих большой магнитный за-
зор, использование понятия о магнитной цепи приводит к большим по-
грешностям. В этом случае необходимо рассчитывать параметры поля
более сложными методами на основе решения систем нелинейных
дифференциальных или интегральных уравнений. Такие расчеты возмож-
ны только с применением ЭВМ.
При расчете устройств с постоянными магнитами (магнитных си-
стем) возникают большие трудности в описании свойств материала по-
стоянных магнитов, так как характеристики размагничивания получают
в однородных магнитных полях, где векторы В, Н и М (намагничен-
ность) коллинеарны, а в постоянном магните поле неоднородное и
векторы имеют различное направление. Кроме того, в зависимости от
качества ферромагнитного материала характеристики постоянных маг-
нитов имеют разброс, заметно изменяются со временем (старение) и
подвержены влиянию внешних факторов (температуры, вибрации).
По этой причине магнитные системы рассчитываются приближенно и
с запасом свойств, проектируются с элементами, позволяющими при
необходимости провести подстройку параметров.
В электротехнической литературе описывается много частных мето-
дик, позволяющих провести расчеты практически любого электромаг-
нитного устройства с приемлемой точностью.
Задача 6.6. Определить магнитные сопротивления участка ферромаг-
нитного сердечника длиной 10 см и воздушного зазора длиной 1 мм,
если площадь поперечного сечения сердечника составляет 5 см2, а от-
носительная статическая магнитная проницаемость равна 500. Магнитное
поле в сердечнике и в зазоре можно принять однородным.
Ответ: Я . = 0,32 • 106 1/Гн, Я =1,59 • 106 1/Гн.
Мф МВ
6.4. РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ УСТРОЙСТВ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТНЫМИ ПОТОКАМИ
Рассмотрим способы формирования магнитной цепи и алгоритмы
расчетов ЭУ с помощью соответствующих схем замещения.
Схему замещения магнитной цепи для конкретного ЭУ получают
таким образом. Сначала изображают (или воображают) приближенную
картину силовых линий магнитного поля. Затем выделяют участки с
практически одинаковыми значениями магнитного потока - ветви
?38
магнитной цепи и места соединения ветвей — узлы. С учетом выявлен-
ных топологических свойств цепи составляют схему замещения, вклю-
чая в ветви пассивные и активные элементы (источники МДС). Ак-
тивные элементы включают только в ветви, соответствующие участкам
с обмотками или с постоянными магнитами.
Сердечники большинства ЭУ имеют симметрию, позволяющую со-
ставить расчетную схему, как для наиболее простой одноконтурной
магнитной цепи. Поэтому сначала рассмотрим алгоритмы расчета ЭУ
с неразветвленным сердечником.
Расчеты ЭУ с неразветвленным сердечником
Пусть электромагнит постоянного тока имеет кольцевой сердеч-
ник прямоугольного сечения s = 0,0012 м2 с воздушным зазором
/н = 0,5 мм, небольшим но сравнению с длиной средней линии =
0,408 м (рис. 6.16). Сердечник изготовлен из литой стали. Харак-
теристика намагничивания В (Я) ферромагнитного материала сер-
дечника приведена на рис. 6.11 ив двух верхних строках табл. 6.1.
Магнитная схема замещения для рассматриваемого электромагни-
та уже обсуждалась в § 6.3 и приведена на рис. 6.15, б. Однако полез-
но повторить рассуждения с общих позиций.
Благодаря большой магнитной проницаемости магнитопровода
практически все силовые линии имеют форму концентрических ок-
ружностей и располагаются в сердечнике. Значения магнитного потока
в любом сечении сердечника и в воздушном зазоре одинаковые. По-
лому соответствующая магнитная цепь имеет один контур, т. е. одну
ымкнутую ветвь. Вдоль средней силовой линии есть два однородных
участка: магнитный сердечник и воздушный зазор. Поэтому в схему
замещения следует включить два пассивных элемента. На первом
участке этот элемент должен быть нелинейным, так как свойства
ферромагнитного материала нелинейные. На этом же участке распола-
Рис. 6.16. Тороидальный элект-
ромагнит
239
Рис. 6.17. Схема замещения
магнитной цени для ЭУ на
рис. 6.16
гается обмотка, поэтому в схему замещения следует включить ис-
точник МДС. Таким образом, получаем схему замещения на рис. 6.17.
Состояние этой схемы замещения описывается уравнением
им™+*маф=р- (6-20)
Здесь £/м(Ф) — нелинейная зависимость, которая находится сле-
дующим образом. Для каждого значения магнитной индукции в
табл. 6.1 магнитный поток Ф = Bs$ и падение магнитного напряжения
на ферромагнитном участке магнитопровода UM = Рассчитанные
таким образом значения UM и Ф приведены в нижних строках табл. 6.1.
Магнитное сопротивление воздушного зазора равно Яв = ^в/(-УвМо) =
= 3,316- 105 Гн’1.
Таблица 6.1
В, Тл 0 0,3 0,5 0,7 0,9
Я, кА/м 0 0,125 0,225 0,350 0,575
Ф, мВб 0 0,36 0,6 0,84 1,08
С/ ,кА м 0 0,051 0,0918 0,1428 0,2346
В, Тл 1,0 1,1 1,3 1,4 1,6 1,7
Я, кА/м 0,725 0,95 1,8 2,5 4,7 7,5
Ф, мВб 1,2 1,32 1,56 1,65 1,92 2,04
’ ,<А м 0,2958 0,3876 0,7344 1,02 1,918 3.06
Описанные свойства электромагнита позволяют решить, в частности,
две задачи:
1) определить МДС, необходимую для создания заданной индукции
в воздушном зазоре (В = 1,4 Тл) ;
2) определить индукцию в воздушном зазоре при заданной МДС.
Схема решения первой задачи достаточно простая:
В => 1Ф => 2UM => 3F. (6.21)
240
Рис. 6.18. К графическому реше-
нию нелинейного уравнения
(6.22)
Первый и второй шаги расчетов проводятся по формулам, использован-
ным для расчетов Ф(В) и £/м(Я) в табл. 6.1. Третий шаг — с помощью
уравнения (6.20). Так, для В = 1,4 Тл, получаем Ф = 1,65 мВб, U ~
- 1,02 кА и F = 1,5kA.
Во второй задаче необходимо решить нелинейное уравнение (6.20)
относительно магнитного потока Ф. Для этого можно использовать
ЭВМ.
Приближенное решение можно получить графическим способом
(аналогично расчету одноконтурной нелинейной электрической цепи
в §1.13). Для этого перепишем уравнение (6.20) в виде
Ум(ф) = F- /?мвФ (6.22)
и построим графики функций его левой и правой части. Для F = 1,5 кА
графики приведены на рис. 6.18. Решению уравнения (6.22) соответ-
ствует абсцисса точки- пересечения Ф = 1,65 мВб. Индукция в воздуш-
ном зазоре равна В = Ф/s ~ 1,4 Тл.
Другой приближенный способ решения этой задачи заключается в
том, что путем многократного решения более простой первой задачи
получают зависимость F(B) и затем используют эту зависимость для
поиска искомого значения В по заданной магнитодвижущей силе.
Задача 6.7. Определить магнитную индукцию в зазоре электромаг-
нита на рис. 6.16 при токе катушки I = 2 A (w= 500 витков) путем
расчета и использования зависимости 1(B).
Ответ: 1,2 Тл.
Расчеты ЭУ с разветвленным сердечником
Пример конструкции электромагнитного устройства с разветвлен-
п ым магнитопроводом изображен на рис. 6.19. Магнитопровод, изго-
ювленный из листовой электротехнической стали 1212, симметричен
(иносителыю плоскостей XX и YY и имеет размеры: общая ширина
\ | - 30 см, ширина среднего стержня х2 = 8 см, ширина окна х3 = 7 см,
длина воздушного зазора yt = 1 мм, общая высота у? = 30 см, высота
16 Зак./5X7 241
Рис. 6.19. Электромагнит с развет-
вленным магнитопроводом
окна у3 = 22 см. Толщина сердечника z = 5 см. Коэффициент заполне-
ния стали кс, который определяется отношением площади, занятой
стальными листами, к площади поперечного (в плоскости XX) сече-
ния сердечника, равен 0,9. На крайних стержнях находятся две оди-
наковые обмотки (w = 500 витков), соединенные последовательно.
Направления намоток и их токов такие, что вызванные ими состав-
ляющие магнитного потока в среднем стержне складываются.
Рассмотрим решение трех задач:
а) определить ток обмоток при их последовательном соединении,
создающий в воздушном зазоре заданный магнитный поток;
б) определить магнитную индукцию в воздушном зазоре при за-
данном токе обмоток;
в) определить силу, действующую на полюсный наконечник сер-
дечника в воздушном зазоре при заданном токе обмоток.
Для решения этих задач составим магнитную схему замещения ЭУ.
Силовые линии магнитного поля (пунктирные линии на рис. 6.19)
охватывают окна сердечника и составляют симметричную картину
относительно плоскостей XX и YY. Между точками а и b на рис. 6.19
есть три участка сердечника вдоль силовых линий, каждый из которых
может характеризоваться одним значением магнитного потока. По-
этому в магнитной цепи можно выделить три ветви, которые изобра-
жены на схеме замещения рис. 6.20. В крайние ветви включены не-
линейные пассивные элементы, отображающие участки сердечника
с крайними стержнями, и активные элементы — источники МДС
F = wZ. Длины этих участков равны lt = 13 = 0,48 м, площади сечения
сердечника с учетом кс равны =s3 =0,0018 м2. В средней ветви вклю-
чены два пассивных элемента: нелинейный элемент (средний стержень
сердечника) и линейный элемент с магнитным сопротивлением воз-
душного зазора Л . Длина среднего участка сердечника с учетом
зазора /2 = 0,259 м, площадь сечения с учетом кс равна s2 =0,0036 м2.
242
Рис. 6.20. Магнитная схема замеще-
ния электромагнита с разветвленным
магнитопроводом
Так как ЭУ имеет симметрию относительно плоскости УК, схема за-
мещения также симметрична относительно средней ветви.
В первой задаче задан магнитный поток средней ветви (Ф2 =
= 3,24 мВб). Из симметрии следует, что <$4 = Ф3 = Ф2/2 = 1,62 мВб.
Для контура, содержащего Fif Л р ^м2 и ^Мв» можно записать
уравнение
^М1 + UM2 +Лмв^ = ^. (6-23)
где I/ г С/ 2 — соответственно падения магнитных напряжений на
элементах R х и ^м2- Эти напряжения вычислим по схеме
Ф => В => Н => UM. (6.24)
Магнитная индукция в левом стержне сердечника равна Bi =
- Ф1/($1\Э = 1,62 • 10“3/0,0018 = 0,9 Тл. Напряженность магнитного
поля Нх = 400 А, она определяется по кривой 4 на рис. 6.11, а. Маг-
нитное напряжение Um х = Hxl i - 192 А.
Аналогично определяется магнитное напряжение t/M2 = 103,6 А.
Магнитное сопротивление воздушного зазора 7?мв = xtk /(stPo') =
1,99 • 105 Гн’1.
В итоге из уравнения (6.23) получаем Fj =940,2 А и ток катушек
/ = Fjw = 1,88 А.
Во второй задаче заданы токи обмоток и требуется определить ин-
дукцию в воздушном зазоре. По схеме замещения на рис. 6.20 можно
пшисать систему уравнений магнитного состояния электромагнита от-
носительно искомых магнитных потоков
Ф| - Ф2 + Ф3 = 0;
«м1(ф,)+ ♦ »„,(*,) =f,; (6.25)
«МЗ(Ф,)* ф.я„, ♦
При произвольных параметрах сердечника электромагнита для ре-
шения этой нелинейной системы уравнений придется использовать
243
ЭВМ. Пример решения такой задачи на ПЭВМ с помощью программы
Mathcad приведен в § 7.8. В нашем случае из-за симметрии электро-
магнита возможны существенные упрощения одним из трех способов.
По первому способу можно непосредственно использовать симмет-
рию картины магнитных силовых линий (см. рис. 6.19). Плоскость
симметрии YY не пересекает ни одна силовая линия. Поэтому можно
мысленно разделить электромагнит на две части по этой плоскости, не
искажая поля. Получатся два одинаковых электромагнита с нераз-
ветвленным магнитопроводом. Для левого электромагнита справедли-
ва схема замещения на рис. 6.21, а, В этой схеме магнитные сопротив-
ления среднего стержня и воздушного зазора увеличены вдвое, так как
здесь площадь сечения сердечника уменьшилась в два раза.
По второму способу можно преобразовать схему замещения на
рис. 6.20. Две крайние ветви схемы замещения можно заменить од-
ной с помощью эквивалентного преобразования по методу эквивалент-
ного источника, который использовался для преобразований электри-
ческих цепей. Таким образом, будет получена схема замещения на
рис. 6.21, б.
По третьему способу преобразуем систему уравнений (6.25), исполь-
зуя равенства Fj = F3, Ф! =Фз , ^М1 = £/м3. Из узлового уравнения
получаем 2Ф! = Ф2, два контурных уравнения превращаются в одно.
Путем исключения одного из двух переменных Ф1 или Ф2 в итоге мож-
но получить одно из двух уравнений:
U 1 (Ф1) + 2Ф^ + 0 (2Ф0 = Fi (6.26)
мР 17 1 мв м2 4 17 1 47
или
<Ф^2) + ^мв + ^2^) = <6-27)
Заметим, что уравнения (6.26) и (6.27) справедливы соответствен-
но для упрощенных схем замещения на рис. 6.21, а и б.
Далее задача решается графическим методом, как при расчетах
электромагнита (см. рис. 6.16).
Рис. 6.21. Упрощенные магнитные
схемы замещения электромагнита с
симметричным разветвленным маг-
нитопроводом
244
В третьей задаче необходимо определить iи\«ину в
направлении магнитной силовой линии, которая премии и • (»ии шн.
участки сердечника, ограничивающие воздушный за юр ' >iи «iiiiu леи
ствует между противоположными магнитными полки ими V и Л, ко
торые образуются на границах воздушного зазора при нгречидах
магнитных силовых линий из воздуха в феррома!neiin* и h»i«ic>«ip<»i.
Для решения используем уравнение (6.4). Энергии мшншimiо ноли
катушки
И/ = Li2/2 = Ф//2 = и4>//2. (о ?К)
Отсюда искомая сила
dW wl d$
F =---------=-------------. (G ,’<))
dlB 2 dlB
Для поиска производной следует найти функции» •!•(/) ллн за-
данного тока. Ее можно найти путем многократно! о реи «л i и и шорой
задачи при разной длине воздушного зазора. Поиск пшчи iriii.no упро-
щается, если можно принять, что Я. < Я . и Н , « Л* _ (или
U U и U э < U ).В этом случае
м1 мв м2 mb7 J
Ф = = W/goVZB- U))
Совместно уравнения (6.29) и (6.30) дают
(w7) 2
I"’1»
Заметим, что при / => 0 эта формула несправедлива, nth как нару-
шаются исходные допущения о большом магнтном ronpoiпилении
воздушного зазора.
Задача 6.8. Определить магнитную индукцию в зазоре шек i ромлгни-
ia на рис. 6.19 при токе обмоток I =5 A (w = 250 ншкои) путм гра-
фического решения уравнения состояния эквивалентов мт нт пой
схемы замещения на рис. 6.21,а.
Ответ: 1,05 Тл.
Задача 6.9. Определить эквивалентную силу нритжеиии, hchciпуш-
ту ю на участки магнитопровода у воздушного зазора икни ромлгнита
в задаче 6.8.
Ответ: 3,93 кН.
Задача 6.10*. Определить ток катушки, который необходим для
получения заданного значения магнитной индукции // в воздушном
245
Таблица 6.2
Вари- ант Рис. 6.22 Материал 'ф’ см S, см2 'в’ мм W В, Тл
1 а Элс ктротс хн иче ская сталь 1512 100 4 0,2 500 1
2 а Электротехническая сталь 1212 70 3,5 0,5 400 1
3 б Электротехническая сталь 3411 80 25 1 400 0,8
4 б Пермаллой 50 НП 80 25 1 400 0,8
зазоре, если длина средней силовой магнитной линии в сердечни-
ке /ф, площадь поперечного сечения сердечника s, длина воздуш-
ного зазора / и число витков w имеют значения, приведенные в
табл. 6.2. Конструкция катушки приведена на рис. 6.22. Кривые на-
магничивания изображены на рис. 6.11. При расчете пренебречь по-
лем рассеяния, магнитное поле в зазоре считать однородным..
Ответы: 1 - 0,935 А, 2 - 1,83 А; 3 - 0,92 А; 4-1,15 А.
Задача 6.11*. Определить магнитную индукцию в воздушном зазоре
катушки, которая создается током /, если длина средней силовой маг-
нитной линии в сердечнике 7ф, площадь поперечного сечения сердеч-
ника 5ф, длина воздушного зазора 7в и число витков w имеют зна-
чения, приведенные в табл. 6.3. Конструкция катушки приведена на
рис. 6.22. Кривые намагничивания изображены на рис. 6.11. При расче-
те пренебречь полем рассеивания, магнитное поле в зазоре считать одно-
родным.
Ответы: 1 - 1,18 Тл, 2 - 0,72 Тл, 3 - 0,52 Тл, 4-1,52 Тл.
Рис. 6.22. К задачам 6.10 и 6.11
246
Таблица 6.3
Вари- ант Рис. 6.22 Материал 'ф' см 5ф, СМ 'в- мм W I, А
1 а Электротехническая сталь 1512 100 5 2,5 500 2
2 а Электротехническая сталь 1212 50 4 1,5 500 2
3 в Пермаллой 50 НП 20 1 1,25 54 1
4 в Электротехническая сталь 3411 100 2 1,5 500 2
6.5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСТРОЙСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ
МАГНИТНЫМИ ПОТОКАМИ
В ряде ЭУ магнитные поля возбуждаются катушками с переменным
током или движущимся электромагнитом постоянного тока. Перемен-
ные магнитные поля создают переменные потокосцепления катушек,
что приводит к наведению ЭДС в этих катушках. Вихревые токи в про-
водящих конструктивных элементах вызывают перемагничивание фер-
ромагнитных элементов ЭУ, нагревают их, что вызывает необратимые
потери энергии. Перемагничивание ферромагнетиков также вызывает
их нагревание, т. е. потери энергии. Этот неполный перечень физических
явлений в ЭУ с переменными потоками показывает, что процессы в та-
ких ЭУ значительно сложнее, чем в ЭУ с постоянными потоками.
Обратимся вновь к примеру с тороидальным электромагнитом на
рис. 6.15, а. Установим для него основные соотношения для электри-
ческих и магнитных величин с помощью уравнений (6.5) —(6.9). Обсуж-
дение проведем в несколько этапов.
Приближение первое — идеальная индуктивная катушка. Сначала при-
мем следующие упрощающие допущения. Катушка из w витков соеди-
нена с источником синусоидального напряжения и = U sinfat). Частота
напряжения небольшая и можно пренебречь распределенной емкостью
(юками смещения) между витками катушки. Сердечник катушки из-
киовлен из ферромагнитного материала с высокой магнитной прони-
цаемостью. Сердечник имеет настолько короткий немагнитный зазор,
•но можно пренебречь ’’выпучиванием” магнитных силовых линий и
неоднородностью поля в зазоре. Магнитный поток Ф одинаковый в
пюбом поперечном сечении сердечника и в воздушном зазоре, т. е. маг-
нитными полями рассеяния можно пренебречь.
Для вывода первого уравнения состояния обратимся к уравнениям
(<• S) и (6.6). Если пренебречь потокосцеплением проводов, соединяю-
247
щих катушку с источником напряжения м, и учесть равенство магнит-
ного потока всех витков, то можно записать
dB
и = Ri + ws. — .
ф dt
(6.32)
Здесь R — сопротивление провода катушки; i — ток катушки; Хф —
площадь поперечного сечения ферромагнитного сердечника; В — сред-
нее значение магнитной индукции в сердечнике. Обычно ЭУ более эф-
фективно, если падение напряжения на сопротивлении катушки зна-
чительно меньше, чем наводимая в ней ЭДС. В этом случае можно
упростить выражение (6.32);
dB
dt
и =
Ф
(6.33)
Из этого уравнения следует, что магнитная индукция изменяется во
времени по синусоидальному закону с начальной фазой, меньшей на-
чальной фазы напряжения на 90°:
С/ / я
В = ------— sin (соГ---------
cos.w \ 2
ф '
Амплитуда магнитной индукции равна
U
В = —*—
т GJS . W
Ф
(6.34)
(6.34а)
В коротком воздушном зазоре значение индукции В& = В, так как
можно принять = $ф.
Второе уравнение состояния получим из уравнений (6.8) и (6.9).
Выберем контур интегрирования по средней магнитной силовой ли-
нии и учтем, что на участках ферромагнетика и зазора магнитное
поле принято однородным:
«ф + = И (6.35)
где Нв — напряженность магнитного поля в зазоре.
Полученные два уравнения (6.34) и (6.35) следует дополнить урав-
нениями связи В(Н) и ^в(Яв), чтобы они составили разрешимую си-
стему уравнений. Если использовать приближенное соотношение для
248
ферромагнитного материала В = то вместо (6.35) можно записать
В
—
Д ф
В
+ — I = м.
I. В
До
(6.36)
Подставляя сюда значение индукции В из формулы (6.34) и учиты-
вая выражения для магнитных сопротивлений из уравнения (6.14) —
RM =l/(sno), получаем выражение для мгновенного тока
тг Мф + ^мв)
'= —
. / я
sin f cor-------
(6.37)
Для краткости записей представим ток катушки в комплексной
форме:
; .тт (*мф + Лмв)
/ = ~]U --------2---
cow
(6.38)
Из этого уравнения следует, что комплексный действующий ток
катушки можно представить в виде суммы двух составляющих:
(6.39)
Полученная формула удобна для расчетов режима электрической
цепи с индуктивной катушкой, если магнитный поток сердечника
изменяется по синусоидальному закону и справедливы другие допу-
щения, которые описаны выше.
Каждая из составляющих тока определяется независимо от другой
индуктивным сопротивлением, зависящим от частоты, числа витков и
магнитного сопротивления соответствующего участка магнитопровода.
По уравнению (6.39) можно составить эквивалентную схему замеще-
ния катушки, которая изображена на рис. 6.23.
Свойства катушки можно характеризовать также понятием эквива-
лентной индуктивности L эк:
U cow2
Х = — = ----------------
1 (Лмф + Лмв)
249
/ф
Рис. 6.23. Схема замещения
идеальной индуктивной ка-
тушки
МА'8
Индуктивное сопротивление катушки X зависит от числа витков
по квадратичному закону. Поэтому при необходимости его увеличить
проще всего увеличить количество витков. С увеличением магнитных
сопротивлений сердечника и зазора эквивалентная индуктивность ка-
тушки уменьшается.
Обычно уже при небольшой длине воздушного зазора справедливо
неравенство Ямв >7?мф и выражение (6.40) можно упростить:
Это уравнение позволяет выявить зависимости индуктивного со-
противления катушки с ферромагнитным сердечником от параметров
сердечника и зазора. Зависимость Лэк от длины воздушного зазора
/ используется для регулирования индуктивности ЭУ, называемого
дросселем.
Если воздушный зазор в сердечнике отсутствует, то формально из
уравнения (6.40) справедливо
(6-42)
однако при отсутствии зазора допущение о линейных свойствах ферро-
магнетика уже дает большую погрешность.
Задача 6,12. Определить ток тороидального электромагнита с сер-
дечником из листовой электротехнической стали 3411, имеющим круг-
лое сечение площадью s =4,95 см2 и средний диаметр d = 10 см; а) при
отсутствии воздушного зазора; б) при длине воздушного зазора / =
= 0,5 мм. Действующее напряжение на катушке 220 В (/ = 50 Гц). Ка-
тушка имеет w= 2500 витков. При расчетах пренебречь сопротивлением
провода и магнитными полями рассеяния, принять линейной кривую
намагничивания ферромагнитного материала (см. рис. 6.11, а), пре-
небречь гистерезисом.
Ответ: а — 4 мА, б — 90 мА.
250
Приближение второе — идеализированная индуктивная катушка.
Для анализа свойств электромагнита с учетом нелинейности кривой
намагничивания и гистерезиса магнитных свойств ферромагнитного
материала, из которого изготовлен сердечник, вернемся к уравнению
(6.36) и перепишем его в форме
Н(В) + — А = i.
VV До W
(6.43)
Здесь функция Н(В) — обратная функция относительно В(Н), рас-
смотренной ранее в § 6.2, а значение В определяется выражением
(6.34). Представим согласно этому уравнению электрический ток ка-
тушки в виде суммы двух составляющих i = + i’B и найдем эти со-
ставляющие.
В общем случае характеристика В(Н) ферромагнитного материала
представляется петлей гистерезиса, для которой неудобно аналитиче-
ское описание. Поэтому используем графический способ вычислений,
представленный схематически на рис. 6.24. Построение начинают с
исходной зависимости В (г). Для моментов времени t 1—5 определяют
значения магнитной индукции и через петлю гистерезиса В (Н) находят
соответствующие значения напряженности магнитного поля. Функцию
//(г) строят (в нижней части рис. 6.24) по найденным значениям для
гсх же моментов времени.
Найденная зависимость Я (г) существенно несинусоидальная из-за
нелинейности кривой В (Н). Кроме того, она имеет опережающую В (t)
начальную фазу (определяется как для гармонической величины в до-
лях периода). Разность начальных фаз функций H(t) nB(t) зависит
от площади петли гистерезиса, т. е. потерь энергии на перемагничивание
ферромагнитного материала (магнитных потерь). С увеличением маг-
нитных потерь этот сдвиг фаз воз-
растает. При этом разность началь-
ных фаз напряженности магнито-
го поля и напряжения уменьшается.
Рис. 6.24. Графический расчет функ-
ции Н (Г)
251
Составляющая тока катушки равна
»ф=Я(О/ф/^. (6.44)
Она также несинусоидальная и отстает по фазе от напряжения и на ка-
тушке. На рис. 6.25 помещены графики функций мгновенного напряже-
ния на катушке, магнитной индукции, составляющей тока i$. Для
дальнейших обсуждений свойств катушки удобно заменить этот неси-
нусоидальный ток эквивалентным синусоидальным током
'фэк = /фтЙп<шГ + ’М- <6-45)
Амплитуда определяется действующим значением несинусоидаль-
ного тока
i * dt.
Ф
(6.46)
Начальная фаза определяется выражением
^•ф = ^ф = агссО8(рф/5ф)> <6-47)
где Рф — мощность магнитных потерь в ферромагнитном сердечнике
Р. =— J ui.dt (6.48)
Ф т т Ф v '
и 5ф - полная мощность (обозначается прописной буквой в отличие
от площади сечения ферромагнитного сердечника)
5. = U1. . (6.49)
ф ф 4
Разность начальных фаз напряжения и тока /. _ положительная
о Фэк
и не превышает 90 . Соответствующее комплексное сопротивление
= «ф + 'V <6-5О>
Рис. 6.25. Кривые мгновенного на-
пряжения и (----), магнитной ин-
дукции В (------), мгновенного то-
ка /ф (- • -) и эквивалентного
синусоидального тока /фэк (- )
252
Сопротивление Яф зависит от мощности магнитных потерь. Как уже
отмечалось в § 6.2, для уменьшения магнитных потерь на вихревые
токи сердечник изготавливают из листового материала. Так, сердеч-
ник рассматриваемого тороидального электромагнита (см. рис. 6.15)
набирают в виде пакета плоских тонких дисков или навивают из длин-
ной тонкой ленты. В обоих случаях сердечник в поперечном сечении
оказывается пакетом тонких листов. Такое исполнение сердечника уве-
личивает сопротивление сердечника вихревым токам, контуры которых
параллельны контурам витков катушки, возбуждающих вихревые токи.
Для практических целей значение сопротивлений и Лф можно
определить с помощью справочных характеристик магнитных материа-
лов — зависимостей удельных магнитных потерь рм и удельной намаг-
ничивающей мощности qM от амплитуды магнитной индукции. При
этом можно воспользоваться последовательно следующими форму-
лами:
Р. = р v'y, Q. = а Vy;
ф ‘м ° 4м ' ’
+ Ql- = SJU^
ф ф ф ф ф' ф
2, = и/I., R.
ф ' ф ф ф' ф
X. = QJ1^ = Xjb). (6.51)
ф ф' ф ф ф 4 7
Здесь Рф — мощность магнитных потерь в ферромагнитном сердеч-
нике; (?ф — реактивная мощность, характеризующая обратимое пре-
образование энергии в магнитном поле сердечника; 5ф — соответ-
ствующая полная мощность; у — плотность материала сердечника;
г — объем сердечника.
Составляющие тока катушки / в выражениях (6.36) и (6.43) оди-
наковые, поэтому по-прежнему для определения / можно использо-
вать соотношение, следующее из уравнения (6.39)
4 =-/ -^4- 0 = (6-52)
Отсюда справедливо равенство
r W^S U.Q
Ч= —f—- <6-53)
в
Другой способ определения этой составляющей тока катушки — че-
253
I
Рис. 6.26. Схема замещения
идеализированной индуктив-
ной катушки
Рис. 6.27. Векторная диаграмма
для схемы замещения на
рис. 6.26
рез реактивную мощность магнитного поля в воздушном зазоре Q •
соВ2
= и1° = (б-54)
Здесь Ввт — амплитуда магнитной индукции в воздушном зазоре;
1/ — объем воздушного зазора.
Полученные соотношения позволяют уточнить электрическую схему
замещения тороидального электромагнита с ферромагнитным сердеч-
ником (рис. 6.26). В этой схеме элементы и имеют параметры,
зависящие от амплитуды напряжения (и действующего значения), т. е.
они являются нелинейными. Однако при этом, благодаря введению
эквивалентного синусоидального тока, они не зависят от мгновенных
напряжения и тока.
Состояние электрической схемы замещения характеризуется век-
торной диаграммой, представленной на рис. 6.27. Построение диаграммы
удобно начинать с вектора напряжения на катушке U. Затем строят
комплексные векторы токов /ф,/, и 6^^.
Задача 6.13. Определить число витков и действующий ток в обмотке
катушки рис. 6.28, включенной в сеть с напряжением U = 220 В часто-
той f = 50 Гц. Магнитная индукция в магнитопроводе из стали 3412
В = 1,4 Тл, плотность материала сердечника у = 7,8 г/см3. Сопротивле-
нием провода и потоками рассеяния обмотки пренебречь. Размеры
сердечника указаны на рисунке в миллиметрах.
Ответ: w =1180, 1 = 128 мА.
Задача 6.14. Определить ток в обмотке катушки с ферромагнитным
сердечником (рис. 6.29), подключенной к источнику синусоидального
напряжения U = 127 В, частотой f = 50 Гц. Число витков обмотки w =
= 114, площадь сечения магнитопровода 5ф = 35 см2, средняя длина
магнитной силовой линии в сердечнике 1$ = 100 см, материал магни-
254 /
Рис. 6.28. К задаче 6.13
Рис. 6.29. К задаче 6.14
топровода — сталь 3412 (коэффициент заполнения стали к^ = 0,9,
плотность 7 = 7,8 г/см3). Длина воздушного зазора I = 0,1 мм.
Ответ: I = 4,2 А.
Приближение третье — реальная индуктивная катушка. Следующее
уточнение описания свойств тороидального электромагнита состоит
в учете сопротивления провода катушки и магнитных полей рассея-
ния.
Из уравнения (6.32) следует, что сопротивление провода R необ-
ходимо включить последовательно с полученной ранее схемой заме-
щения электромагнита.
Магнитные поля рассеяния характеризуются силовыми линиями,
которые частично располагаются вне ферромагнитного сердечника.
Согласно уравнению (6.6) эта неучтенная часть магнитного поля созда-
ет дополнительное потокосцепление и ЭДС самоиндукции. Поэтому по-
следовательно с прежней схемой замещения необходимо включить ин-
дуктивный элемент £рас-
Таким образом, получаем полную схему замещения тороидального
электромагнита, представленную на рис. 6.30.
Задача 6.15*. Рассчитать напряжения UR, ^£рас’ на эле"
ментах схемы замещения рис. 6.30 для катушки с ферромагнитным
сердечником без зазора. Исходные данные для разных вариантов при-
ведены в табл. 6.4. Напряжение на катушке синусоидальное U, ток
катушки /, активная мощность Р, число витков w, сопротивление
Рис. 6.30. Схема замещения
реальной индуктивной ка-
тушки
Таблица 6.4
Вариант и, В 7, А Р, Вт W R, Ом Ф , % рас ’ '
1 220 2,5 2,5 500 4 5
2 127 0,5 1,5 200 30 1
3 36 2 0,35 120 2,5 7
Таблица 6.5
Вариант £/я,В WB Ur , в L рас * ^Ф-в
1 10 9 11 209
2 15 12 1,27 127
3 5 4,825 2,52 33,5
провода постоянному току R, потокосцепление рассеяния Фрас в %
потокосцепления катушки.
Ответы приведены в табл. 6.5.
Многие электромагнитные устройства в ряде случаев могут рас-
сматриваться как индуктивные катушки с ферромагнитным сердеч-
ником. Например, трансформатор в режиме холостого хода (см. гл. 2
кн. 2). При этом удобно использовать схему замещения, приведенную
на рис. 6.31. Эта схема замещения получена из схемы на рис. 6.30 пу-
тем эквивалентного преобразования участка цепи с параллельным
соединением ветвей и £в- ® преобразованной схеме замещения
элемент £0 отображает процессы обратимого преобразования электри-
ческой энергии магнитным полем в ферромагнитных пластинах сердеч-
ника трансформатора и в его воздушных зазорах. Элемент схемы за-
мещения Rq отображает магнитные потери в сердечнике.
В электрической цепи любая индуктивная катушка с ферромагнит-
ным сердечником может быть описана с помощью эквивалентной схемы
замещения, содержащей два элемента — индуктивный и резистивный.
Эта возможность следует из полной схемы замещения катушки на
рис. 6.30, так как ее входное сопротивление активно-индуктивное.
Разумеется, этот вывод можно сделать и непосредственно из уравне-
ния 6.32. Проведенное выше рассмотрение позволяет уяснить физиче-
скую сущность явлений, происходящих в индуктивной катушке, и свя-
зать конструктивные параметры с электрическими и магнитными свой-
ствами.
В ряде случаев конструктивные параметры неизвестны или подлежат
контролю. Тогда параметры £эк и Я индуктивной катушки опреде-
256
Рис. 6.31. Эквивалентная схе-
ма замещения реальной индук-
тивной катушки
и
Рис. 6.32. Семейство вольт-амперных
характеристик индуктивной катушки
при разных длинах воздушного за-
зора (/3 = 0,/х >12 >13)
ляются экспериментально. Для этого измеряют действующий ток /,
активную мощность катушки Р, действующее напряжение U. Далее
искомые параметры £эк и 7?эк рассчитывают по формулам (6.51).
Заметим, что, как отмечалось выше, индуктивная катушка обладает
нелинейными свойствами. Поэтому измерения проводятся при рабочем
значении (или в диапазоне рабочих значений) напряжения U. Зависи-
мость свойств катушки от действующего напряжения выражается,
в частности, ее вольт-амперной характеристикой (ВАХ), примерный
вид которой представлен на рис. 6.32. Увеличение амплитуды напряже-
ния приводит к уменьшению эквивалентного сопротивления индуктив-
ной катушки из-за превышения магнитной индукции насыщения и до-
стижения предельной петли перемагничивания материала сердечника.
Поэтому производная dl/dU возрастает с увеличением напряжения U.
Введение воздушного зазора позволяет линеаризовать (т. е. сделать
более линейной) ВАХ благодаря появлению составляющей тока /
в ветви схемы замещения, отображающей воздушный зазор (см.
рис. 6.30). Увеличение длины воздушного зазора приводит к росту
доли тока / , значение которого линейно зависит от действующего
напряжения, и к большей линеаризации ВАХ катушки. С помощью
описанного семейства ВАХ можно получить зависимость действующего
тока катушки от длины воздушного зазора при заданном действующем
напряжении U* (см. пунктирную линию на рис. 6.32).
Задача 6.16*. Определить параметры двухэлементной последователь-
ной схемы замещения для катушки, включенной в сеть с синусоидаль-
ным напряжением, и сопротивление Ro магнитных потерь. Значения дей-
ствующего напряжения U на катушке, активной мощности Р, действую-
щего тока I и сопротивления провода катушки R приведены для раз-
ных вариантов задания в табл. 6.6.
Ответы приведены в табл. 6.7.
17 Зак. (58f 257
Таблица 6.6
Вариант U, В Л А Р, Вт R, Ом
1 220 0,5 10 30
2 127 0,05 2 530
3 36 2 45 2,5
Таблица 6.7
Вариант *эк> Ом Яо, Ом
1 438 40 10
2 2411 800 270
3 14 11,25 8,75
Расчеты дросселя на ПЭВМ с помощью программы Mathcad рас-
смотрены в гл. 7 кн. 2 этого учебного пособия.
В заключение дайте ответы на следующие вопросы.
Вопрос 6.1. Какие из кривых на рис. 6.33 соответствуют зависимости
действующего тока дросселя от длины воздушного зазора в сердечнике?
Варианты ответа:
6.1.1. Кривая/.
6.1.2. Кривые 1 и 5.
6.13. Кривые 4 и 5.
Вопрос 6.2. Какая последовательность номеров точек, отмеченных
на рис. 6.34, соответствует возрастанию эквивалентной индуктивности
катушки? Нагреванием катушки пренебречь.
Варианты ответа:
6.2.1. 132.
6.22. 231.
Вопрос 6.3. Оцените правильность утверждений: сердечник дросселя
изготавливается из листовой стали, так как это:
А — упрощает изготовление сердечника,
Б — увеличивает эквивалентную индуктивность,
258
В — уменьшает нагрев сердечника,
Г — ослабляет вихревые токи.
Варианты ответа:
6.3.1. Правильными являются все утверждения.
6.3.2. Правильными являются утверждения Ли Б.
6.3.3. Правильными являются утверждения В и Г.
6.6. КОММЕНТАРИИ К ПРАВИЛЬНЫМ ОТВЕТАМ
НА ВОПРОСЫ ГЛ. 6
6.1.1. При увеличении длины воздушного зазора его магнитное со-
противление и ток катушки (уравнение (6.38)) возрастают. Из кри-
вых 1 и 3 следует выбрать кривую 7, так как индуктивность катушки
при устранении сердечника (наибольшая длина зазора) не уменьшается
до нуля и ток не увеличивается до бесконечности.
62.2. Индуктивность катушки £эк = следовательно, экви-
валентная индуктивность возрастает с уменьшением тока.
6.3.3. По сравнению с литым сердечник из листового материала более
трудоемкий и сложнее в изготовлении. При одном объеме и одинаковых
магнитных свойствах сердечник из листового материала имеет большее
магнитное сопротивление и меньшую индуктивность. Нагрев дросселя
связан с потерями энергии в проводе катушки и в сердечнике. Потери
в сердечнике, вызванные вихревыми токами, существенно меньше при
использовании листового материала.
Глава седьмая
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
7.1. РАСЧЕТЫ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ MATHCAD
Многие расчеты для электрических цепей требуют громоздких вычле-
нений — вычисление выражений с комплексными числами, решение
плгебраических уравнений. Некоторые вычисления приходится заме-
нить приближенными графическими построениями, например, решение
нелинейных уравнений. От ряда других вычислений приходится отказы-
ваться из-за непреодолимых трудностей.
Большую помощь в расчетах может оказать ПЭВМ со специальными
математическими программами. В настоящее время известно много
1нких программ: Eureka, Mathlab, Derive, Maple V, Mathematica, Mathcad.
259
Особое место среди этих программ занимает программа Mathcad
благодаря хорошему сочетанию богатых возможностей с удобными
правилами использования и сравнительно скромными требованиями
к аппаратным ресурсам ПЭВМ. Важно также, что эта программа разви-
вается с сохранением основных правил использования. Поэтому она
выбрана нами для решения задач этой книги.
Программа Mathcad позволяет проводить следующие действия:
1) вычисления: расчеты по сложным формулам, расчеты зависимо-
стей, решение нелинейных алгебраических уравнений, решение систем
линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вычисления выра-
жений с комплексными числами, расчеты со стандартными тригономет-
рическими и алгебраическими функциями, расчеты с именованными
величинами;
2) составление таблиц;
3) изображение графиков зависимостей;
4) распечатку таблиц и графиков;
5) сохранение текста программы вычислений и результатов вычис-
лений в файлах;
6) загрузку (чтение, редакцию, вычисление) готовых текстов про-
грамм и массивов данных.
Подробную информацию о возможностях программы Mathcad1
можно узнать из описания главного меню, которое приведено в прило-
жении П7.1.
Заметим, что в более поздних версиях программы Mathcad (начиная
с Mathcad 4.0 для Windows) можно проводить символьные вычисления
выражений (компьютерная алгебра).
Программа Mathcad используется следующим образом. После запус-
ка программы на персональном компьютере соответствующей конфигу-
рации пользователь получает чистую страницу, на которой он может
записать математические выражения (правила записи выражений при-
ведены в приложении П7.1.2) в привычной символической форме и
некоторые условные выражения. Если установлен режим автоматиче-
ских выражений, то программа производит вычисления сразу после
набора выражения. В ручном режиме вычисления производятся только
после дополнительной команды. Если записано множество выражений,
то вычисления проводятся в порядке их расположения на экране —
слева направо и сверху вниз.
1 Описывается программа Mathcad 2.01, разработанная фирмой MathSoft Inc.
260
При записи выражений следует учесть, что программа оперирует с
величинами, числовые значения которых ей уже известны. Поэтому
должна быть обеспечена определенность числовых значений для всех
величин, входящих в выражения.
Эти значения задаются в явной форме путем записи выражений,
присваивающих значения. Например, выражение (здесь и дальше в
рамке помещается распечатка изображения на экране дисплея ПЭВМ)
А ‘ = 10.5 103
задает постоянное сопротивление 10,5 кОм. Заметим, что вместо запятой
используется точка.
Выражение
i
R 1: = 10,30.. 100 I
задает ряд дискретных значений сопротивления от 10 Ом до 100 Ом
с интервалом 20 Ом. Если значение какой-либо величины не будет оп-
ределено, то программа остановит вычисления, укажет место ошибки
и выведет на экран соответствующий комментарий.
Область экрана, занятая одним математическим выражением или
фрагментом текста, называется регионом. В регионе курсор имеет
специфическую форму знака в виде хоккейной клюшки, повернутой
влево или вправо (в зависимости от нажатия клавиши [Ins]). При
смещении курсора за пределы региона курсор преобразуется в корот-
кий отрезок горизонтальной прямой линии. По этому признаку легко
записать без перекрытия отдельные выражения. Впрочем, если регионы
перекрылись, то их можно разделить специальной командой. Заметим,
что между выражениями не записываются синтаксические разделитель-
ные знаки.
Для индикации значений искомых величин необходимо записать вы-
ражения со знаком равенства. Например
1 =
После вычислений программа напечатает справа от знака равенства чис-
ловое значение или таблицу искомых значений, если величина пере-
менная.
261
Переменную величину можно записывать также в виде вектора-
таблицы значений.
Рассмотрим в качестве примера программу анализа цепи с последо-
вательным соединением источника с ЭДС £, внутренним сопротивле-
нием Rj и переменного резистора Rk. Распечатка экрана приводится
ниже:
"Расчет зависимости тока источника от сопротивления приемника." Е := 10 "В, ЭДС источника" Ri := 100 "Ом, внутреннее сопротивление источника" к := 1 ..5 "порядковый номер значения R -= к 10 Ом, значения сопротивления приемника" к Е R I I := к к к
к Ri * R к 1 10 0.090909
2 20 0.083333
3 30 0.076923
4 40 0.071429
5 50 0.066667
Здесь в первой строке помещен заголовок. Двойные кавычки, вы-
деляющие регион, придают ему статус комментария. Это неисполняе-
мый фрагмент программ. Для его записи на экране достаточно ввести
открывающие кавычки. Аналогичные фрагменты записаны в других
строках. Заметим, что кавычки обычно видны только при установке
курсора в регионе. В приведенных распечатках они размещены для
наглядности путем повторного ввода.
Во второй и третьей строках величинам Е и Ri присваиваются
соответственно значения 10 В и 100 Ом. Индекс i в программе следу-
ет записывать строчной буквой в одной строке с основной величиной.
В четвертой строке переменной к присваивается интервал изменения
1—5 с шагом 1. Эта переменная определяет номер строки в столбце зна-
чений переменного сопротивления которые присваиваются фор-
мулой в пятой строке. В шестой строке записано выражение для зна-
чений тока. Результаты вычислений выведены в трех таблицах. Для
получения таблиц для kt R и I(R) на экране записывают соответствен-
но к =, Rk =, =. Знаки равенства вводятся, но на экране не печа-
таются.
Возможна запись переменных величин и в виде функций. Ниже при-
водится распечатка примера:
262
"Расчет зависимости тока источника от сопротивления приемника.11
Е := 10 "В, ЭДС источника11
Hi := 100 "Ом, внутреннее сопротивление источника11
к := 1 ..5 "порядковый номер значения
R := 10j20 ..5 "Ом, значения сопротивления приемника11
Е
КВ) := Ri * В к 1 в 10 HR) 0.090909
2 20 0.083333
3 30 0.076923
4 40 0.071429
5 50 0.066667
Здесь, в отличие от предыдущего примера, сопротивление приемника
задается непосредственно в виде переменной величины, а искомый
ток — в виде функции.
В программе Mathcad можно использовать комплексные числа.
Комплексную величину можно задать в алгебраической или экспонен-
циальной форме. В одной строке можно записать несколько регионов
с формулами или текстом. Регионы разделяются пустыми промежут-
ками. Например:
Z : = 100 + 100/ El : = 100.exp(L47/) Е2 : = 127.е<~1?47/'>
Мнимая часть комплексного числа должна завершаться символом i
или / (символ / можно использовать после соответствующей уста-
новки общего формата числа). В экспоненциальной форме после моду-
ля числа вводится знак умножения, который на экране изображается
точкой. Экспонента может быть записана любым из двух использован-
ных выше способов. Аргумент комплексной величины записывают в
радианах.
В программе Matchad не предусмотрены специальные символы для
записи комплексных величин, как это принято в электротехнике (под-
черкивание комплексных сопротивлений, точки над комплексными
токами, напряжениями и ЭДС, звездочки над сопряженными комплек-
сными величинами). Комплексный характер величины декларируется
в программе Mathcad в выражениях, присваивающих комплексные
значения, или следует автоматически из вычислительного процесса.
Для обозначения модуля комплексной величины следует использовать
какое-либо новое обозначение. Например, модуль комплексного на-
пряжения можно обозначить символами ModUx Строка програм-
263
мы, в которой этой величине присваивается соответствующее значе-
ние, выглядит на экране так:
ModUl := |U1|
Для вычислений с вещественной и мнимой частями, аргументом
комплексной величины можно сделать присвоения
ReUl := Re(Ul) ImUl : = Im(Ul) PsiUl • = arg(Ul)
Для решения однородного уравнения с помощью программы
Mathcad следует записать выражение
root(y (х),х) =
Здесь х - искомая величина для уравнения у (х) =0.
Для решения системы уравнений следует записать:
задание исходных данных,
выражения, присваивающие искомым переменным значения началь-
ного приближения (см. комментарий ниже),
слово Given (давать),
уравнения,
выражение, определяющее перечень искомых величин,
выражения для вывода искомых значений.
Например, токи в цепи со смешанным соединением элементов мож-
но найти путем решения системы линейных уравнений третьего порядка,
составленной по уравнениям Кирхгофа для схемы замещения рис. 7.1:
Рис. 7.1. Схема замещения цепи
со смешанным соединением эле-
ментов
264
'’Расчет токов в цепи со смешанным соединением элементов методом уравнений Кирхгофа." "1. Исходные данные:” Е1 := 100 "В, ЭДС источника" R1 := 10 " Ом, сопротивление источника" R2 : = 20 " Ом> сопротивление второй ветви" R3 := 30 " Ом, сопротивление третьей ветви" "2. Задание начальных приближений:" El И И := — 12 := — 13 := 12 R1 2 "3. Система уравнений:" Given -И + 12 + 13 » 0 R1 И + R2 12 » Е1 -R2 12 +R3 13 * 0 Г11! 12 := Find( И, 12,13) из] Il = 4.545455 12 = 2.727273 13 = 1.818182
Важно учесть, что в записи системы уравнений используются сим-
волы приближенного знака равенства. Для записи столбца искомых
* значений решения II, 12, 13 используется команда для формирования
вектора или матрица, которая реализуется одновременным нажатием
клавиш [Alt} и [7И].
Время вычислений зависит от выбора начального приближения, так
как в программе Mathcad используется метод последовательных при-
ближений. При расчете электрических цепей для выбора начального
приближения удобно использовать приближенные значения токов и на-
пряжений, полученных при округленных значениях сопротивлений,
пренебрежении малыми сопротивлениями резисторов при их последо-
вательном соединении и большими при параллельном соединении.
В рассмотренном примере начальные значения вычисляются при гру-
бых упрощениях цепи: ток источника определяется при коротком
замыкании параллельного участка цепи, токи ветвей приняты равными.
265
Чем меньше отличие начальных значений от искомых, тем меньше
время вычислений. В некоторых случаях неудачный выбор начальных
значений может привести к расходимости процесса решений и останов-
ке вычислений. При таком результате необходимо повторить попытку
вычисления с другим начальным приближением.
Другой фактор, влияющий на время вычисления — значение ’’до-
пуска нуля”, которое устанавливается с помощью опции zt команды
меню SET GLOBAL FORMAT. Так, при задании zt = 15 решение си-
стемы уравнений заканчивается, если абсолютное значение разности
левой части уравнения при текущих значениях решений и заданной
правой части меньше, чем 10”15.
Достоинства программы Mathcad не проявляются в полной
мере в выбранном примере, так как цепь постоянного тока со смешан-
ным соединением элементов может быть рассчитана достаточно просто
методом эквивалентных преобразований. Однако уже в случае сину-
соидальных токов и реактивных элементов при той же схеме замещения
достоинства программы Mathcad проявляются в полной мере. Например
для анализа цепи со смешанным соединением элементов (см. рис. 7.1)
можно использовать программу:
’’Расчет токов в цепи со смешанным соединением элементов
методом уравнений Кирхгофа.11
”1. Исходные данные!”
Е1 := 10 "Вj ЭДС источника”
Z1 := 100 + 100j ” Ом, сопротивление источника”
Z2 := 100 - 100j ” Ом, сопротивление второй ветви”
Z3 := 30 + 40j ” Ом, сопротивление третьей ветви'
”2. Задание начальных приближений
Е1 И
И := — 12 := — 13 := 12
Z1 2
”3. Система уравнений
Given
-И + 12 + 13 * 0
Zl И + Z2 12 ~ Е1
- Z2 12 + Z3 13 ~0
266
’ll
12
13
:= Find(H,I2,I3)
Il = 0.039189 - 0.0351351
12 = 0.014865 * 0.010811i
13 = 0.024324 - 0.0459461
Словом ’’Given’4 начинается фрагмент программы с системой урав-
нений. В предыдущей строке программы записаны приближенные вы-
ражения, по которым рассчитываются начальные значения искомых
величин, используемые в итерационном процессе решения системы
уравнений.
Решение системы линейных уравнений можно получить в программе
Mathcad и более простым способом — с помощью операций с матрицами.
Ниже приведена распечатка программы для цепи синусоидального тока
со смешанным соединением приемников:
"Расчет токов в цепи со смешанным соединением элементов
методом уравнений Кирхгофа."
"1. Исходные данные!"
Е1 ! = 10 "В, ЭДС источника"
Z1 : = 100 + 100j " Ом, сопротивление источника"
Z2 : = 100 - 100j " Ом, сопротивление второй ветви"
Z3 : = 30 + 40j " Ом, сопротивление третьей ветви"
"2. Матрица коэффициентов и столбец правой части!"
"3. Столбец решений-искомых токов (Л)!"
-1
I != Z Е
0.039189 - 0.035135i
I = 0.014865 * 0.0108Ш
0.024324 - 0.045946i
В заключение приведем еще один пример распечатки текста програм-
мы для расчета токов в мостовой линейной цепи постоянного тока
(рис. 7.2).
267
Рис. 7.2. Линейная мостовая цепь
постоянного тока
''Расчет токов в мостовой линейной цепи методом уравнений Кирхгофа.
”1. Исходные данные:"
El := 1Z "В, ЭДС источника"
R1 : = 1G ’ Ом, внутреннее сопротивление источника'
RZ : = 1GGG 1 ’ Ом, сопротивления плеч"
R3 : = ZGGG
R5 : = 1GGG
R6 : = Z3GG
R4 : = 1GGGG " Ом, сопротивление диагональной ветви"
"2. Матрица
коэффициентов и столбец правой части:*'
-1 1 G G 0 1 ’ 0
О -1 1 1 0 0 G
О G 0 -1 1 -1 0
R : = R1 RZ R3 G G G Е : = Е1
G RZ G R4 G -R6 G
G G R3 -R4 -R5 G 0
"3. Столбец решений-искомых токов:"
-1
I := R Е Г G.GG77Z6
0.GG4ZZ9
G.GG3847
I = -4
3.815Z77 1G
0.003879
0.GG3497
Аналогично проводится расчет цепи при использовании методов уз-
ловых потенциалов или контурных токов. При этом оказывается, что
объем программы мало зависит от используемого метода анализа.
268
Так, в последнем примере при использовании метода узловых потен-
циалов (контурных токов) система уравнений сокращается до трех
уравнений, однако потребуется записать дополнительно шесть выра-
жений для расчета токов ветвей через потенциалы узлов (три выраже-
ния для токов ветвей через контурные токи). Время вычислений во
всех случаях незначительное, поэтому различие при разных методах
несущественное. По этой причине практически удобнее для анализа
состояния цепей использовать уравнения Кирхгофа.
7.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ МОСТОВОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Расчеты с помощью программы Matchad благодаря автоматизации
вычислений, удобству ввода и изменения параметров элементов, пол-
ноте получаемой информации могут быть названы математическим
моделированием. Модели программы позволяют легко получить ответ
на вопрос: как изменится состояние объекта, если параметры или внеш-
нее воздействие изменено определенным образом.
Исследуем зависимость тока в измерительной диагонали моста от
температуры терморезистора, включенного в плечо моста (рис. 7.3).
Ниже приводится распечатка текста программы.
Рис. 7.3. Мостовая цепь с термо-
резистором
" Моделирование мостовой нелинейной цепи постоянного тока"
1. Исходные данные
Мост четырехплечий-одинарный.
Е 5 В-э.д.с. источника
Be != 208 Ом-внутреннее сопротивление источника
В1 := 380 Ом-сопротивление плеча
В2 ! = 500 Ом-сопротивление плеча
ВЗ ’ = 500 Ом-сопротивление плеча
269
Вольтамперная характеристика термо резистора •' U( 11t )=exp(2It)
Ra := 1000 Ом-сопротивление измерительного прибора
k := 0 ..10 -номер точки по температуре
tCk) := 50 ♦ 10 к °C -температура терморезистора
lat := 0 -массив значений тока измерительного прибора
к
2. Начальные приближения (в предположении равновесия моста)
Токи плечевых ветвей:
E E
Il : = 12 := 13 := 12 I := Il -ток терморезистора
2 RI R2 + R3
le : = 11 + 12 -ток источника
la : = В -ток диагональной ветви
Il = 8.00833 A 12 = 0.005 A I - 0.00833
le = 0.01333 A la = 0 Л 13 - 0.005
3. Система уравнений
к! := 10 -задание номера точки по температуре
(задают последовательно значения к1:=0...10
и рассчитывают искомый ток Кнах раз)
Given
- le + И * 12 - 0
- И + I + 1а » 0
- 1а - 12 * 13 * 0
Re le * R2 12 * R3 13 = Е
RI И * Ra la - R2 12 « 0
Ra la * R3 13 - exp(2 1 t(kl)) ~ 0
if
12
13
le
la
I
4. Решение системы уравнений
Find(U,I2,I3,Ie,Ia,I)
5. Значение искомого тока
-4
la = 5.68701 10 A
6. Чтение массива значений искомого тока в предыдущих точках
из файла L.DAT (перед моделированием мостовой цепи необходимо
создать файл L.DAT, содержащий Кпах строк из нулевых значений)
i := 0 ..kl lat
i
READ Ft
DAT
270
7. Запись в массив значения искомого тока в текущей точке
lat := la
kl
8. Запись массива в файл L.DAT (возвращаются в файл значения
в точках 0...kl-1 и вносится значение для текущей точки kl)
il := 0 ..kl
URITElL
DAT
:= lat
il
9. Таблица зависимости Ia(t*) (в завершенном виде должна
содержать Кпах значений тока измерительного прибора)
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(k)
50
60
70
80
90
100
118
120
130
140
150
lat 1000 мЛ 10. График искомой зависимости la(Г)
к
8.84045
0.11647
0.18647
0.2586
8.30919
8.36266
8.41147
8.45687
8.49689
8.53431
0.5687
В этой программе для получения функциональном нннонм»» «и при
шлось применить искусственный прием — хранение приме*» io'hu.k
результатов во внешнем файле и ручное задание номеро м>»он*-р*«е«|>к« >н
точки. Дело в том, что блок решения системы vpiiniti huh u |ммн.
Mathcad не допускает использования переменно) <> парам* 1ра
Перед расчетами с помощью программы Mull..............I , *ua*-i.**
L. DAT следующим образом (пример для 10 ti'Mii* pat» рш к i*»i>i )
i—О...ТО 1*: = 0 WRITE(L. DAT): l(
’/I
Затем набирают на свободной странице приведенный выше текст
программы, записывая необходимые значения параметров элементов
мостовой цепи и необходимый температурный диапазон. Напомним, что
все необязательные фрагменты текста (номера пунктов, заголовки,
размерности величин и сопровождающие комментарии) набираются
в кавычках. Задается режим ручного запуска вычислений. Задается па-
раметр к1 = 0, дается команда на вычисления (F9), затем kl = 1 и т. д.
до к1 =10. Полезно после каждого задания значения параметра опус-
кать курсор к графику и наблюдать появление очередных строк в таб-
лице и отрезка графика.
После завершения вычислений можно записать файл с набранным
текстом программы. Заметим, что при повторном моделировании мож-
но использовать старый файл L. DAT.
7.3. РАСЧЕТ КОМПЛЕКСНОГО ТОКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
Для вычислений используем программу Mathcad. Рассчитаем зави-
симость комплексного тока от емкости колебательного контура. По-
строим графики зависимостей модуля и аргумента комплексного тока
от значения емкости.
Ниже приводится распечатка текста программы:
Расчет комплексного тока последовательного колебательного контура
1. Задание исходных данных
U *.= 10 В- входное напряжение
R := 10 Ом-сопротивление потерь
L := 0.001 Гн-индуктивность
-9
С := 1000 10 •- емкость
f := 1000 Гц-частота тока
Pi := 3.141592
Переменный параметр!
i ’.= 1 ..300 -количество точек
С := С i
i
2. Расчеты эквивалентного сопротивления и тока
w *.= 2 Pi f -круговая частота
1
Хс := ----- -емкостное сопротивление
i и С
i
272
Для получения графиков зависимости от другого параметра цепи в
программе необходимо изменить строки, в которых задаются перемен-
ный параметр и сопротивление, связанное с ним.
18 Зак. 15&1
7.4. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ТОКАМИ
С помощью программы Mathcad рассчитаем процентное содержание
высших гармоник относительно основной для напряжения и для токов
в ветвях цепи, содержащей три параллельных ветви при входном на-
пряжении:
u(t) = (105sincor — 4,2sin3cor + 3,5sin5a>r + 2,14sin7a>r), В.
Построим диаграммы зависимостей нормированных значений ампли-
туд от номера гармоники.
Ниже приводится распечатка текста программы.
Диализ цепи с периодическими несинусоидальными токами
1. Исходные данные:
R := 8 Ом -сопротивление первой ветви
-3
L := 25.5 10 -6 С := 398 10 к := 1,3 ..? Un := 105 Un 1 3 u := 314 n := 1 ..3 Гн-индуктивность второй ветви Ф-емкость третьей ветви -номера гармоник := 4.2 Un := 3.5 Un := 2.14 -амплитуды g ? гармоник 1/с-угловая частота первой гармоники -номера ветвей
2. Сопротивления ветвей (Ом) на частоте k-той гармоники:
1
Z := R Z : = L w k Z := ---------------------------
1,к 2,к 3,к С w к
3. Дмплитуды гармоник токов (4):
Un
к
In :=--------
n,k Z
п,к
274
4. Нормированные значения (7.) амплитуд гармоник входного напряжения Ku и
токов ветвей Ki k к
njk
Um Im
к njk
Ku := —100 Ki :=-------100
к Un njk Im
1 n,l
5. Таблица результатов вычислений:
Z Z In Im In Ki Ki Ki Ku
к 2,k 3>k l,k 2,k 3,k l,k 2,k 3>k к
1 8.007 8.002 13.125 13.114 13.122 100 100 100 100
3 24.021 2.66? 0,525 0.175 1.575 4 1.333 12 4
5 40.035 1.6 0.438 0.087 2.187 3.333 0.667 16.667 3.333
171 156.0491 11.1431 10.268 0.038 1.872 2.038 |0.291| 14.267 2.038|
Результаты расчетов позволяют легко заметить существенное разли-
чие относительных значений высших гармонических составляющих то-
ков в различных ветвях. В первой (резистивной) ветви эти значения
аналогичны значениям для входного напряжения. Во второй (индук-
тивной) ветви они заметно ниже, а в третьей (емкостной) — выше,
чем в первой.
Для получения столбиковой диаграммы в разделе ’’Format Plot” сле-
дует установить type = b (введите курсор в область графика, нажмите
< F > и запишите значение опции). Там же установите число клеточек
на графике: subdivs = 10,8.
275
7.5. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА
Рассчитаем с помошью программы Mathcad коэффициент передачи
фильтра — моста Вина, схема которого приведена на рис. 7.4. К вход-
ным полюсам включается источник, который создает напряжение их.
Приемник подключается к выходным полюсам с напряжением Со-
противление источника примем бесконечно малым, а приемника -
бесконечно большим. Построим зависимости модуля и аргумента ко
эффициента передачи от частоты.
Ниже приводится распечатка текста программы.
Частотная характеристика фильтра
1. Исходное данные!
R1 := 18800 Ом
R2 := 10808 Ом
-9
Cl := 1 10 Ф
-9
С2 := 1 10 Ф
UI := 1 В -входное напряжение
к := 1 ..200 -номера точек а.ч.х. Pi : = 3.141592
DeltaU := 5000 1/с-интервал частот между двумя точками а.ч.х.
U := DeltaU к 1/с-частота для к-той точки а.ч.х.
к
2. Комплексные сопротивления участков цепи!
j
Zl := R1 ---------
k U С1
к
к 1
Zux := Z1 ♦ Z2
к к к
- + j С2 U
В2 к
3. Коэффициент передачи!
к
Ku := U1-------
к Zux
180
HodKu := Ku
к 1
FiKu := arg Ku
к 1
к Pi
276
90
Рис. 7.4. Схема электрического
фильтра ”мост Вина”
На левом графике изображена зависимость модуля коэффициента
передачи, а на правом — зависимость аргумента коэффициента передачи
от частоты (масштаб логарифмический). Из графиков следует, что име-
ется максимум значения на частоте, на которой отсутствует сдвиг фаз
выходного и входного напряжений. Это значение частоты называют
частотой квазирезонанса.
7.6. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассчитаем с помощью программы Mathcad зависимости напряжения
на конденсаторе и тока цепи, содержащей последовательно соединенные
резистор и конденсатор, при включении ее к источнику постоянной
ЭДС. Возможны разные способы решения такой задачи. Самый прос-
той — воспользоваться готовыми формулами для искомых зависимо-
стей (см. § 4.2). Однако такой способ наименее универсальный. Рас-
смотрим способ численного расчета, который в принципе применим для
цепей, содержащих множество индуктивных катушек и конденсаторов.
Этот способ описан в математической литературе как метод Эйлера
второго порядка для решения системы дифференциальных уравнений
в форме Коши. По результатам вычислений построим графики искомых
зависимостей.
Ниже приводится распечатка текста программы.
277
’’Расчет переходных процессов в цепи первого порядка”
1. Исходные данные
Включенные источника постоянной э.д.с. к КС-цепи.
E := 1 В- постоянная э.д.с. источника
R : = 1000 -6 Ом- сопротивление резистора
C := 1 10 Ф- емкость конденсатора -6
h : = 100 10 с- шаг дискретизации по времени
im := 50 - количество расчетных точек
tl := 0 - момент коммутации
c := 5 - начальное напряжение на конденсаторе
1
2. Расчеты напряжения на конденсаторе
Таи := R С - постоянная времени цепи
i != 1 ..in - номер расчетной точки
t : = tl + h i - время в i-той точке
i
Решение дифференциального уравнения в форме Коши
dy/dt=f(t;У) производится методом трапеции
у = у +h/2*[f(t ,у )+f(t Яьу +f(t ,y )*h)J
i+1 i i i i i i i
В задаче у = Uc j в функции f(t,y) переменная t
i i
в явной форме отсутствует, Из уравнения состояния
цепи следует:
Е - Uc Е - Uc - Г (i) h
i i
f(i) :=-------- fl(i) :=---------------------------
Tau Tau
f(i) ♦ fl(i)
Uc := Uc + h------------------- В- напряжение на конденсаторе
i+1 i 2
E - Uc
i 3
I :=-----------10 м4- ток цепи
i R
278
3. Результата расчетов
7. 7. РАСЧЕТ СОСТОЯНИЯ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
С ПОСТОЯННЫМИ ПОТОКАМИ
Рассчитаем с помощью программы Mathcad сначала магнитные по-
токи, а за тем — магнитную индукцию.
Ниже приводится распечатка текста программы с пояснительными
текстами — комментариями.
Расчет потоков разветвленной магнитной цепи на рис.6.19
путем решения системш уравнений (6.25)
1. Исходные данные для магнитной цепи.
Геометрические данные сердечника:
М) длина п«М| площа*
Левая ветвь И := 0X8 S1 := 0.0018
Средняя ветвь 12 := 0.259 S2 := 0.0836 (Кс=0.9 ?)
Воздушный зазор: 1и := 0.001 Su := 0.884
Правая ветвь 13 := 0.48 S3 := 0.8818
Характеристика намагничивания электротехнической стали 1212:
Таблица для кривой В(Н)
г 0 ' 0 ‘
100 0.32
150 0.45
208 0.55
300 0.75
Н := 400 (Л/м) В := 0.9 (Тл)
500 1.02
600 1.09
700 1.15
850 1.2
1000 1.25
279
Кусочно-линейная функция На(Ва)> аппроксимирующая В(Н):
Номера точек-узлов аппроксимации : i := В ..9
-9
Вспомогательная малая постоянная : d := 10
На(Ва) :
Число витков одной обмотки:
Ток обмоток (Л):
Магнитная постоянная:
и := 250
I := 5
-7
МиВ := 4 3.141592 10
2. Расчеты параметров элементов схемы замещения.
ИДС (Л): F1 := и I F3 := w I
Магнитное сопротивление
воздушного зазора (1/Гн):
1и
Ви :=--------
Mu0 Sw
5
Bu = 1.989437 10
3. Начальные приближения искомых потоков (Вб):
FF1 := 1 SI FF2 : = 1 S2 FF3 := 1 S3
4. Система уравнений состояния цепи
Given
FF1 - FF2 + FF3 ~ 0
И На
FF1'
S1
+ FF2 Ви + 12 На
= F1
13 На
FF3
S3
FFF2
♦ FF2 Ви + 12 На — » F3
S2
280
FF1
FF2 := Find(FFlJF2,FF3)
FF3
5. Результата вичислений:
Искомые магнитные потоки стержней сердечника (Вб):
FF1 = 8.801986 FF2 = 0.003972 FF3 = 0.001986
Магнитная индукция в воздушном зазоре!
FF2
Ви':= — Ви = 0.992988
8и
ПРИЛОЖЕНИЕ П7.1
КРАТКАЯ СПРАВКА1 ПО КОМАНДАМ
ПРОГРАММЫ MATHCAD 2.01
П7.1.1. КОМАНДЫ, НАХОДЯЩИЕСЯ В МЕНЮ
Вызов оглавления меню производят клавишей F10. Затем клавишей
Enter открывают окно выбранного раздела. Далее клавишами управле-
ния курсора выбирают раздел меню и нужную строку и нажимают на
клавишу Enter. Многие команды меню удобно вызывать нажатием
определенных клавиш, которые записаны рядом с командой. Для
краткости записи далее имя клавиши помещается в скобки, например
[F10]. Ряд команд вызывается одновременным нажатием двух клавиш
(нажимают и удерживают первую, а затем нажимают вторую). Для
краткости [Ctrl] обозначается символом л , термином ’’документ”
обозначается программа для вычислений, составленная или загружен-
ная пользователем.
Для отказа от команды нажимайте [Esc].
Раздел System (Система)
Quit [ a Q ] _ завершить работу программы Mathcad
и выйти в DOS.
Dos — прервать работу Mathcad и ввести ко-
манду DOS.
1 Справка подготовлена в основном из фрагментов текста ’’Help” программы
Mathcad.
281
Memory — дать справку по занятой и свободной памяти для Mathcad.
Redraw [ Л R] Print [л О] — перерисовать страницу экрана. — печатать весь текущий документ или его часть.
Select printer Config save Execute — выбрать принтер. — записать текущую конфигурацию в файл — извлечь командный файл.
Раздел File (Файл) Load [F5] — загрузить файл с документом в Math- cad.
Save [F6] Append Filename Clear — записать документ. — добавить файл к текущему документу. — связать переменную с файлом на диске. — очистить текущий документ и перегру- зить конфигурацию.
Reset — очистить текущий документ и переуста. новить конфигурацию.
Раздел Compute (Вычисления)
Calculate Process Automatic — вычислить и решить уравнение на экране — вычислить и решить все уравнения. — установить режим автоматических вы- числений.
Manual — установить режим ручного пуска вычис лений.
Format — установить общий формат для чисел в ре зультатах.
Randomize Dimension Equation (on/off) Generate matrix [ЛМ] — установить генератор случайных чисел. — изменить размерности имен. — выключить или включить уравнения. - генерация или изменение размеров мат- рицы.
Раздел Edit/move (Редакция/перемещения)
Copy [F2] X(cut) [F3] — копировать регион с курсором в буфер — удалить регион с курсором с записью и буфер.
Paste [F4] — вставить около курсора регион из бу- фера.
282
Separate Insertline [AF9] Deleteline [Л F10] Goto — разделить перекрывающиеся регионы. — вставить пустую строку под курсором. — удалить пустую строку. — перейти к указанной строке или колон- ке.
Move — переместить курсор на указанное число строк и колонок.
Find [aF5] Replace [л F6] — искать вперед или назад заданный текст. — заменить указанный текст новым текс- том.
Раздел In-Region (В регионе)
Сору [Л F2] X(Cut) [л F3] Paste [л F4] — копировать маркированный текст. — удалить маркированный текст. - вставить.
Раздел Text (Текст)
Width — установить длину для текстового регио- на.
Mark [ЛХ] — установить начало или конец маркиров- ки текста.
Textband [ЛТ] Center — создать текстовую пустую строку. — центрировать текст в регионе или в
Backward [ЛВ] строке. — толковать команды сдвига текста как назад.
Forward [л F] — толковать команды сдвига текста как вперед.
Justify [л N] — развернуть текст и выровнять регионы строк с текстом.
Раздел Window/page (Окно/страница)
Split [F7] . — разбить экран на два окна, увеличить окно.
Unsplit [AF7] lump [F8] I'.ige length — удалить нижнее окно на экране. — перевести курсор в другое окно. - установить длину страницы (0 - не уда- ляет страницу).
hue length llieak pages Margin - установить длину текстовой строки. — останов в конце страницы. — сдвиг выражения и графика при окон- чании страницы.
hiwrt pagebreak — вставка прерывания по концу страницы.
П7.1.2. ВВОД МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Ниже в математических формулах обозначены: ехрг - выражение,
var — переменная, func — функция. Символы отношений в формулах:
вывод числового значения выражения: ехрг =
присвоение значения (:= вводится [: ]) : var : = ехрг
задание диапазона числовой переменной: var := nl, п2 ... пЗ (здесь
nl - первое число, п2 — второе число, пЗ — последнее число, многото-
чие вводится клавишей [; ])
задание функции: func( x, у):=ехрг.
Для набора математических выражении используются различные
символы, которые набираются определенными клавишами. Ниже при-
водится таблица П7.1, содержащая в каждой строке оператор (столбец
’’Оператор”), его изображение на экране (’’Вид”) и список клавиш,
которые необходимо нажать (’’Клавиши”). Заметим, что программа
Mathcad различает в формулах прописные и строчные буквы. Можно
использовать латинские и греческие (если не загружен драйвер кирили-
цы) буквы.
Таблица П7.1
Оператор
Скобки
Факториал
Комплексное сопряженное число
Возведение в степень
Корень квадратный
Модуль числа, вектора, детерминант
Деление
Умножение
Интеграл
Производная
Перенос выражения на другую
строку
Уравнение
Индексованная величина в столбце
Индсксованная величина в векторе
Сумма
Произведение
Клавиши
•X или (X)
X!
х...
+ У
X « у
aL
Г х
i
П х
i
хл у
\ х
: х
х/у
X *у
х & f (х) потом задать
пределы
х ?f (х)
х[Л Enter] у
x[Alt = ] у
A[i
А[ (i, j)
i $ х
I # x
284
Для записи матрицы необходимо нажать [Alt М] и ввести числа —
количество столбцов и строк. Затем следует ввести ”по месту” (то есть
в специально выделенных местах) значения элементов матрицы. Для
задания начала нумерации элементов матрицы, начиная с единицы, за-
пишите ORIGIN :=1.
Для рисования графика необходимо нажать [@], затем ”по месту”
ввести имена аргумента и функции, числовые значения интервалов их
изменения. Для изменения размеров графика, способов изображения
зависимостей и нанесения координатной сетки нажмите [F].
Программа Mathcad имеет много стандартных функций. Для эле-
ментарных электротехнических расчетов можно использовать: sin(x),
cos (х), tan (х), asin (у), acos (у), *atan (у), exp (х), In (х), log (х), Re (z),
Im(z), j z I, arg(z). Угловые переменные задаются в радианной мере.
Другие сведения по программе Mathcad можно найти с помощью
команды [F1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Электротехника/ Нод ред. В. Г. Герасимова. М.: Высшая школа, 1985.
2. Борисов Ю. М., Липатов Д. Н., Зорин Ю. Н. Электротехника. М.: Энергоатом-
издат, 1985.
3. Волынский Б. А., Зейн Е. Шатерников В. Е« Электротехника. М.: Энерго-
атомиздат, 1987.
4. Электротехника и основы электроники/ Под ред. О. П. Глудкина, Б. П. Со-
колова. М.: Высшая школа, 1993.
5. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника. М.: Энергоатомиздат, 1983.
6. Электротехника: Программир. учебное пособие/ Под ред. В. Г. Герасимова.
М.: Высшая школа, 1983.
7. Справочное пособие по основам электротехники и электроники/ Под ред.
А. В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1986.
8. Сборник задач по электротехнике и основам электроники/ Под ред. В.Г. Ге-
расимова. М.: Высшая школа, 1987.
9. ГОСТ 19880-74. Электротехника. Основные понятия. Термины и опреде-
ления. М.: Изд-во стандартов, 1974.
10. ГОСТ 1494—77. Электротехника. Буквенные обозначения основных величин.
М.: Изд-во стандартов, 1978.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........................................................3
Введение ............................................................. 5
Глава первая. Электрические цепи постоянного тока.....................8
1.1. Электрическое поле и электрический ток.......................8
1.2. Электрическая цепь и ее элементы.............................11
1.3. Характеристики и схемы замещения источников и приемников
электрической энергии.............................................13
1.4. Режимы работы источников постоянного тока....................19
1.5. Топологические понятия теории электрических цепей............24
1.6. Применение законов Кирхгофа для анализа электрических цепей
постоянного тока..................................................26
1.7. Эквивалентные преобразования пассивных участков электрической
цепи..............................................................27
1.8. Анализ электрических цепей постоянного тока с одним источником
электрической энергии.............................................33
1.9. Анализ разветвленной цепи с несколькими источниками с помощью
законов Кирхгофа..................................................36
1.10. Метод контурных токов .......................................40
1.11. Метод междуузлового напряжения...............................42
1.12. Метод эквивалентного активного двухполюсника ................46
1.13. Нелинейные цепи постоянного тока ............................50
1.14. Комментарии к правильным ответам на вопросы гл. 1............58
Глава вторая. Однофазные электрические цепи синусоидального тока. . 59
2.1. Особенности электромагнитных процессов в цепях переменного тока 59
2,2. Идеальные элементы цепи переменного тока. Схемы замещения .... 62
2.3. Параметры синусоидальных электрических величин...............67
2.4. Применение комплексных чисел для расчета электрических цепей. . . 71
2.5. Электрическая цепь с Я-элементом.............................82
2.6. Электрическая цепь с L-элементом ............................85
2.7. Электрическая цепь с С-элементом ............................89
2.8. Комплексные уравнения электрического состояния цепи..........93
2.9. Последовательное соединение элементов в цепи синусоидального
тока..............................................................95
2.10. Параллельное соединение элементов в цепи синусоидального тока. . . ЮЗ
2.11. Разветвленные цепи синусоидального тока.................... 113
2.12. Мощность цепи синусоидального тока..........................117
2.13. Технико-экономическое значение повышения коэффициента мощ-
ности ............................................................125
2.14. Графический анализ электрических цепей......................130
286
2.15. 4iirhniii.il» inn nniirll сипупжднлыюготока.................134
2.16. Элек 1|ш»й»1 кио iu'Iih го пишмпой индуктивностью. Воздушный
Т|ы1И<ч|>«*|»мй гор..............................................138
2.17. Похитил о »1ггыр<’мнолюсниках ..............................143
2.18. KoMMoiiiiipiiii к и|м|циiii.iii.im ответам на вопросы гл. 2.146
Глава третьи. Трохфазные цепи.....................................149
3.1. Исторические предпосылки к разработке трехфазных цепей и их
роль в современной энергетике.....................................149
3.2. Трсхфашый генератор. Способы изображения симметричной систе-
мы ЭДС............................................................150
3.3. Способы соединения фаз трехфазного источника питания. Фазные
и линейные напряжения.............................................153
3.4. Классификация и способы включения приемников в трехфазную
цепь..............................................................155
3.5. Анализ трехфазных цепей при соединении приемников звездой .... 157
3.6. Анализ трехфазных цепей при соединении приемников треуголь-
ником ........................................................... 165
3.7. Мощность трехфазных цепей . . ...............................169
3.8. Коэффициент мощности симметричных трехфазных приемников
и способы его повышения ......................................... 171
3.9. Техника безопасности при эксплуатации трехфазных цепей.......173
3.10. Комментарии к правильным ответам на вопросы гл. 3............175
Глава четвертая. Переходные процессы в линейных электрических
цепях.............................................................176
4.1. Причины возникновения и основные принципы анализа переходных
процессов ....................................................176
4.2. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением кон-
денсатора и резистора.............................................179
4.3. Подключение индуктивной катушки к источнику постоянной ЭДС 186
4.4. Отключение индуктивной катушки от источника постоянного напря-
жения и замыкание ее на резистор..............................189
4.5. Подключение индуктивной катушки к источнику синусоидального
напряжения........................................................192
4.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением ре-
зистора, индуктивной катушки и конденсатора.......................195
4.7. Комментарии к правильным ответам на вопросы гл. 4............199
Глава пятая. Периодические несинусоидальные токи в электрических
цепях.......................................................?.....200
5.1. Причины возникновения несинусоидальных токов.................200
5.2. Способы представления периодических несинусоидальных величин 201
5.3. Действующие и средние значения несинусоидальных величин .....203
5.4. Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых 204
5.5. Анализ линейных электрических цепей несинусоидального тока . . . 206
5.6. Сравнение формы кривых токов и напряжений для идеализирован-
ных элементов схем замещения.....................................211
5.7. Электрические фильтры .......................................213
5.8. Комментарии к правильным ответам на вопросы гл. 5............220
287
Глава шестая. Электромагнитные устройства и магнитные цепи..........221
6.1. Типовые электромагнитные устройства........................221
6.2. Технические характеристики ферромагнитных материалов.......229
6.3. Электромагнитные устройства и магнитные цепи с постоянными
магнитными потоками ............................................234
6.4. Расчеты электромагнитных устройств с постоянными магнитными
потоками........................................................238
6.5. Электромагнитные устройства с переменными магнитными пото-
ками ...........................................................247
6.6. Комментарии к правильным ответам на вопросы гл. 6..........259
Глава седьмая. Моделирование электротехнических устройств........259
7.1. Расчеты сложных цепей с помощью математической программы
Mathcad..................; . .'.................................259
7.2. Моделирование мостовой нелинейной цепи постоянного тока....269
7.3. Расчет комплексного тока последовательного колебательного кон-
тура ...........................................................272
7.4. Расчет линейной цепи с периодическими несинусоидальными токами 274
7.5. Расчет частотных характеристик электрического фильтра......276
7.6. Расчет переходных процессов в цепи первого порядка.........277
7.7. Расчет состояния магнитной цепи с постоянными потоками ....279
Приложение П7.1, Краткая справка по командам программы Mathcad 2.01. . . 281
П7.1.1. Команды, находящиеся в меню.............................281
П7.1.2. Ввод математических выражений...........................284
Список литературы...................................................285
Учебное издание
Герасимов Виктор Григорьевич, Кузнецов Эдуард Васильевич,
Николаева Ольга Владимировна, Цепляева Марианна Самуиловна,
Шнейберг Ян Абрамович
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА.
Кн. 1. Электрические и магнитные цепи
Редактор Т. М. Дубович
Художественный редактор Б. Н. Тумин
Технический редактор Г. Г. Самсонова
Корректоры Кудряшова Е.В., Торокина С.Ю.
ИБ № 4033
ПР №010256 от 07.07.92.
Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинал-макета 13.11.96.
Формат 60 х 881/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,64. Усл. кр.-отт.
17,88. Уч.-изд. л. 18,82. Тираж 3500 экэ. Заказ 4581
Энергоатомиздат. 113114. Москва М-114, Шлюзовая наб., 10.
Типография № 9 Комитета РФ по печати
Москва, 109033, Волочаевская ул., 40
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Страница, строка Напечатано Следует читать
8, 10-я снизу дырки.т.е. дырки, т.е.
8, 8-я снизу зарядов т.е. зарядов, т.е.
27,10-я сверху соединения соединение
42,16-я снизу смешных смежных
52,7-я сверху тангенс между тангенс угла между
52,3 -я и 4-я снизу справедливыми: Для справедливыми для
141, 4-я снизу противоположна по направлению согласна по направлению
285, 7-я снизу Высшая школа, 1986 Энергоатомиздат, 1995