Ю.В. Садовничий, В.В. Федорчук
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ЭКЗАМЕН
Ю.В. Садовничий, В.В. Федорчук
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
КУРС ЛЕКЦИЙ С ЗАДАЧАМИ
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА
2009
УДК 514(075.8)
ББК 22.151.5я73
С14
Садовничий, Ю.В.
С14 Аналитическая геометрия. Курс лекций с задачами /
Ю.В. Садовничий, В.В. Федорчук. — М.: Издательство «Экза-
мен», 2009. — 350 [2] с. (Серия «Учебник для вузов»)
' ISBN 978-5-377-01617-5.	:	Д ..-../Ч
В основе данного учебного пособия лежит йурс лекций; читае-
мый авторами на механико-математическом факультете МГУ
им. М.В.Лоьгоносова. Книга, сбдержитматериал по программе
курса «Аналитическая геометрия» $ современном изложении.
Специально подобранные задачи снабжены подробными реше-
ниями.
Для студентов вузов по специальностям «математика», «меха-
ника».
УДК 514(075.8)
ББК 22.151.5я73
Формат 60x90/16. Гарнитура «Школьная». Бумага офсетная.
Уч.-изд. л. 10,93. Усл. печ. л. 22. Тираж 3 000 экз. Заказ № 8327.
ISBN 978-5-377-01617-5
© Садовничий Ю.В., Федорчук В.В., 2009
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2009
Оглавление
Введение......................................................  7
ч
Глава 1. Векторы..............................................  8
-^ § 1. Определение вектора.......................................8
4- § 2. Сложение векторов, умножение вектора на число.............9
-V § 3. Векторы на прямрй.................................      13
4~§ 4. Линейная зависимость векторов .........................  14
Цг§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости...............  18
V § 6. Базисы и координаты ..,...........................        21
4~§ 7. Определение скалярного произведения векторов	и его свойства 24
f § 8. Скалярное произведение в координатах.................    27
§ 9. Системы координат.......................................  29
9.1. Аффинные координаты....................... ..........29
4-9.2. Деление отрезка в данном отношении....................30
4* 9.3. Прямоугольные координаты...........................  31
-4- 9.4. Полярные координаты на плоскости............................ 32
^9.5. Полярные координаты в пространстве ...................33
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация.
Векторное и смешанное произведения...........................36
4- § 1. Матрицы и операции над ними............................36
§ 2. Переход от одного базиса к другому.....................89
4 § 3. Переход от одной аффинной системы координат
к другой..................................................43
-Ь § 4. Преобразование прямоугольных координат.....,...........45
+* 4.1. Определение ортогональной,матрицы....................45
4г 4.2. Ортогональные матрицы второго порядка.............. 46
*Т4.3. Преобразование прямоугольных координат...............47
**4.4. Преобразований прямоугольных координат	,
на плоскости......................................... 49^
"4 § 5. Ориентация прямой, плоскости, пространства.............50
— § 6. Углы Эйлера...............о.............................56
§ ТГОриентированный объем параллелепипеда...................60
'	7.1. Определение и свойства ориентированного объема......61
7.2. Угол от вектора до вектора..........................62
§ 8. Векторное и смешанное произведение векторов ...........63
+8.1. Определение и свойства векторного	<
и смешанного произведений,,.,.......................63
+ 8.2. Векторное произведение в прямоугольных
координатах.................................................65
4- § 9. Приложение векторного и смешанного произведений
+ к прямым и плоскостям в пространстве................    66
+ 9.1. Векторные уравнения прямой и плоскости.............66
9.2. Взаимное расположение двух прямых
. в пространстве.........................................67
\ 9.3. Вычисление расстояний.............................68
3
Оглавление
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости.......................71
* § 1. Уравнение прямой линии на плоскости..........................71
•	-f— 1.1. Уравнение прямой........................................71
•	1.2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
।	Полуплоскости.........................................   73
I 4	1.3. Прямая линия на плоскости с прямоугольной	v
системой координат.....................................  80
§ 2.	Уравнение плоскости..................................        83
§ 3.	Взаимное расположение плоскостей. Полупространства...........85
>	3.1. Взаимное расположение двук^плоскостей./...........	85
w .— 3.2. Полупространства .....................................  88
' • -—3.3. Взаимное расположение трех плоскостей/...............  88
4" § 4. Прямая в пространстве.................л......................	90
§ 5. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной
системой координат..........................       /.......   91
Глава 4. Линии второго порядка..................................  94
•f- § 1, Алгебраические линии на плоскости.
Квадратичные функции и их матрицы.................................94
— § 2. Ортогональные инварианты квадратичных функций л.............. 98
9 § 3. Преобразование уравнения линии второго порядка
при повороте осей* координат ............................        100
§ 4. Приведение уравнения линии второго порядка
к каноническому виду..............  ......................103
Э § 5. Определение канонического уравнения линии второго
порядка по ортогональным Инвариантам.............................107
§ 6. Директориальное свойство эллипса, гиперболы
и параболы.............................. ;./.4..........1.110
•I— § 7. Фокальное свойство эллипса и гиперболы...?/..................... 116
-f- § 8. Кривые второго поряДка в полярных координатах...........119
у 8.1. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы ’
I г в полярных координатах ........................  .....i.....119
1j_	.2 Фокальный параметр....................................121
-у . § 9. Пересечение линии второго Порядка с прямой.............122
§	10. Теоремы единственности для линии второго	порядка.....JL2i
§11	. Центры линий второго' порядка............'..........  130
у § 12. Асимптоты и сопряженные диаметры Линий
- второго порядка................................................. 135
V* 12.1. Асимптоты. Уравнение гиперболы в асимптотах........135
12.2. Сопряженные диаметры и сопряженные " :	f
направления».....................................   137
§ 13. Касательные к линиям второго порядка.................  143
§ 14. Уравнение линии второго порядка, отнесенной к двум
’ ее сопряженным диаметрам; уравнение линии второго порядка,
отнесенной к касательной и сопряженному
к ней диаметру...................................     149
§15. Главные направления и главные диаметры линий
второго порядка............•......*.....................  153
15.L Главные направления............................  153
4
Оглавление
J 15.2. Главные диаметры и оси симметрии ................  155
15.3. Ось параболы.................................     157
Глава 5. Аффинные преобразования.................:........f.... 16.0
— § 1 .Определение и свойства аффинных преобразований ...... ..<.......161
** §2. Аналитическая запись аффинных преобразований............г 165
*• § 3. Аффинная классификация линий второго йорядка..........168
§ 4. Определение и свойства изометрических
преобразований ..............................	.............,171
Ц* § 5. Классификация движений плоскости ...г.....,,.,....г...... 174
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка.........’...178
4^ § 1. Поверхности второго порядка и матрицы ‘	\
квадратичных функций....................        ?........X 17*8
4—§ 2. Основная теорема о поверхностях второго порядка .........Л.....; 181
"§ 3-Эллипсоиды.................................... «V.	••••• О, • * 182
§ 4.	Гиперболоиды,..........................................187
4.1.	Двуполостный гиперболоид.........................187
4.2.	Однополостный гиперболоид........................189
§ 5.	Конические сечения.....................................193
§ 6.	Параболоиды............................................199
6.1.	Эллиптический параболоид.........................199
6.2.	Гиперболический параболоид.......................202
§ 7.	Цилиндры...............................................205
§ 8.	Аффинная классификация поверхностей
. второго порядка........................................... 208
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка.......212
§ 1.	Пересечение поверхности второго порядка с прямой.
Касательная плоскость....................................212
§ 2.	Асимптотические направления и прямолинейные
образующие поверхностей второго порядка................  217
§ 3.	Центр поверхности второго порядка...................225
§ 4.	Диаметральные плоскости. Особые направления..........230	*
§ 5.	Диаметральные плоскости различных	видов.............240
§ 6.	Сопряженные направления.............................243
§ 7.	Главные направления ..............................  243
§ 8.	Приведение к каноническому виду уравнения
поверхности второго порядка .............................254
Глава 8. Элементы проективной геометрии..................265
§ 1.	Проективная плоскость...............................265
1.1.	Пополненная плоскость...........................265
1.2.	Связка..........................................266
§ 2.	Однородные координаты на проективной плоскости.
Теорема Дезарга..........................................268
2.1.	Однородные	координаты	в связке..................268
2.2.	Однородные	координаты	на плоскости..............269
2.3.	Связь однородных координат в связке
с однородными координатами на плоскости..........270
5
Оглавление
2.4.	Арифметическая модель проективной плоскости......272
2.5.	Принцип двойственности...........................273
2.6.	Теорема Дезарга..................................274
§ 3.	Проективные системы координат........................276
3.1.	Проективная система координат в связке...........276
3.2.	Однородные координаты как проективные............277
3.3.	Переход от одной проективной системы
координат к другой.................................  278
§ 4.	Проективные преобразования...........................281
4.1.	Проективные преобразования.......................281
4.2.	Проективно-аффинные преобразования...............283
§ 5.	Линии второго порядка в однородных координатах.....  285
§ 6.	Проективная и проективно-аффинная классификация
линий второго порядка.....................................287
Глава 9. Решение задач..................................  292
Введение
Книга представляет собой учебное пособиепо курсу, анали-
тической геометрии. В ее основе лежит курс лекций» неодно-
кратно прочитанный авторами на механико-математическом
факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Книга состоит из девяти
глав, разбитых на параграфы.
Пособие содержит в основном Традиционный’Сведения, соот-
ветствующие программе курса «Аналитическая геометрия»,
изложенные на современном уровне. Оно включает в себя ровно
столько материала, сколько его можно с разумной скоростью
прочитать на лекциях (две в неделю) за один учебный семестр.
Одной из отличительных особенностей книги является то,
что в ней, кроме задач теоретического характера, разбросанных
по вёему тексту; имеется глава, содержащая только задачи
практического характера. При Ьтом специально подобранные
задачи снабжены подробным решением.
Нумерация утверждений — сквозная в пределах каждой
главы. Если имеется ссылка на утверждения другой главы,
пишем, например: «Смотрйпредложение 3 главы d». Ссылки в
пределах одной главы ограничиваются номером утверждения
или номером параграфа.
Для хорошего усвоения курса необходимо восстановить все
недостающие доказательства (их немного), разобрать теоретиче-
ские задачи и примеры и, наконец^ решить практические задачи,
стараясь обращаться к разделу «решение» только в случае серь-
езных затруднений.	.	'
Авторы надеются,, что данная книга будет полезна студентам
для подготовки к зачетам и экзаменам, преподавателям для
чтения лекций и проведения Семинаров, а также всем желаю-
щим самостоятельно ознакомиться с курсом «Аналитическая
геометрия».
Желаем успехов!
9
Глава 1
ВЕКТОРЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Вектором MN с началом в точке М и концом в точке N на-
зывается направленный отрезок MN, в котором точка М объ-
явлена началом, а точка N — концом. Длина отрезка MN на-
зывается также длиной вектора MN и обозначается | MN |.
Векторы нулевой длины называются нулевыми. Ненулевые
векторы MyNy и M2N2 называются одинаково направленны-
ми, если лучи MXNX и M2N2 одинаково направлены, что в
свою очередь означает, что либо
1) отрезки MXNX и M2N2 лежат на одной прямой и лучи MXNX
и M2N2 пересекаются по лучу (рис. I), либо
Мх Nx М2 N2
Рис. 1
2) Отрезки MxNr и M2N2 лежат на параллельных прямых и
Z2 и лучи MxNr и M2N2 лежат по одну сторону от прямой
МХМ2 в плоскости, проходящей через прямые 4 и (рис. 2).
Рис. 2
Векторы и M2N2 называются равными > если выпол-
нены два условия:
1) Длины векторов MrNx и M2N2 равны;
8
§ 2. Сложение векторов, умножение вектора на число
2) Векторы MiNi и M2N2 одинаково направлены (в случае
|ад|*о).
Предложения 1 и 2 принимаем без доказательств.
Предложение 1
любого вектора MN и любой точки Мх существует
единственная такая точка N19 что
Предложение 2
Ог^ош^иерав^нства является отношением эквивалент-
ности на множестве всех векторов, то есть удовлетворяет
трем следующим свойствам:
1)	MN = MN (рефлексивность);
2)	Если MN = MXNV, то M1N1 = MN (симметричность);
3)	Если MN — M.N., a M.Ny=M9N9, то MN = M9N9 (тран-
зитивность).
Класс равных векторов называется свободным вектором,
или просто вектором. В дальнейшем слово «свободный», как
правило, опускаем и понимаем под вектором MN как направ-
ленный отрезок MN, так и свободный вектор а, определен-
ный вектором MN, т.е. класс эквивалентности, состоящий из
всех векторов, равных MN. Векторы нулевой длины образуют
класс эквивалентности, назывемый нулевом вектором и обо-
значаемый б, т.е. ММ = б для любой точки М.
§ 2.	СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ,
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Сумму двух векторов а и Ь определяем следующим образом.
Приложим вектор а к какой-нибудь точке М. Пусть N — ко-
нец этого вектора, т.е. а = MN. Затем приложим вектор b к
точке N. Пусть b = NP . Теперь положим а + Ь равным свободно-
9
Глава 1. Векторы
му вектору, содержащему МР в качестве своего представителя
(рис. 3),
М	a	N
Рис. Зх
---  —►   	\	g
+	Проверим корректность этого определения,
т.ег^тейВЖИЯ№Й1 результата от выбора точки М. Цусть
MXNX = а и NJ\ = Ъ. Покажем, чтоМР = МхРх (рис. 4). ,
Рис. 4
Так как четырехугольники	и" NPP^ являютс’й
параллелограммами, то и Четырехугольник МРР1М1 — также
параллелограмм, откуда следует параллельность прямых OtP
и МгРг и равенство длин отрезков МР и МХРХ. Кроме того, из
рисунка видно, что векторы МР vi М^Рг одинаково направле-
ны, поскольку точки Р и Рх лежат по одну сторону от прямой
ММХ в плоскости МРР1М1.
Произведение вектора а на вещественное число X определя-
ем так. Берем вектор MN = а и полагаем Ха равным свободно-
му вектору, содержащему такой вектор МР , что:
1) МР лежит на прямой MN;
10
§ 2. Сложение векторов, умножение вектора на число
егко в
2) МР направлен также, как и вектор MN, если Х>0, и в
противоположную сторону, если Х<0.
3)
ЙРё^что этими условиями вектор МР определен
однозначно. Корректность определения операции умножения
вектора на число проверяется также, как и для операции сло-
жения векторов.
Теорема 1
Операции сложения лекторов и умножения вектора на чис-
ло обладают следующими свойствами:
1)	a+b=b+a (коммутй1Я81!8!Яъ?мжения);
2)	(а + Ь)+с = а+(&+с) (ассоциативность сложения);
3)	существует такой вектор б (называемый нулевым векто-
ром), что а+6 = а для любого вектора а;
4)	для каждого вектора а существует такой вектор -а (на-
зываемый вектором, противоположным вектору а), что
а+(-а) = б;
5)	(Х+ц)а = Ха+|ла для любых чисел X и ц и любого вектора а;
6)	Х(ца) = (Хц)а для любых чисел Х,ц и любого вектора а;
7)	Х(а+Ь) = Ха + 'кЬ.для любого числа X и любых векторов а и Ь;
8)	1а = а для любого вектора а.
Доказательство. Свойства 1 и 2 проиллюстрированы на ри-
сунках 5 и 6.
Свойства 3 и 8 очевидны. Если a=MN , то в качестве векто-
ра -а можно взять вектор NM. Тогда, по определению сложе-
11
Глава 1.Векторы «
ния a+(-d) = MN + NM. Свойства 5 и 6 проверяются пере-
бором различных вариантов знаков и абсолютных значений чи-
сел X и ц. Наибольший интерес представляет свойсФёо 7.
_ ____ _ ______ _ _ _____________
Пусть а - MN , b = NP . Тогда а+b = МР. Отложим на прямой
MN вектор MNr -ка и проведем через Точку Nr прямую, па-
раллельную прямой NP, до пересечения ее с прямой МР в
точке Рх (рис. 7).	*
Треугольники MNP и MNJ^ подобны, следовательно
« MN. МР. N.P.
, А —	* —	* —	*
МN МР NP ’
Отсюда получаем, что NrPi = Х& и вектор МРг ='к(а+Ь).
Следовательно,
Ца+Ь) = МРГ = МЛГХ +ОД = Ха+М>.
Определение 1
Пусть V — некоторое множество, элементы которого назы-
ваем векторами, и пусть К — некоторое поле. Предположим,
что для любых двух векторов a,beV определен третий вектор,
обозначаемый символом а+ 5 и называемый суммой векторов
а и Ъ. Кроме того, предположим, что для любого числа Хе2С
и любого вектора, a g V определен вектор, обозначаемый симво-
лом Ха и называемый произведением вектора а на число X.
Если при этом выполнены свойства 1-8 из теоремы 1, то мно-
жество V нaзывaeт(^^gg|Щ||j^ш^	пространст-
вом. Свойства 1-8 называется аксиомами векторного (линей-
ного) пространства.
12
§ 3. Векторы на прямой
Множества свободных векторов на прямой, на плоскости, в_
пространстве с операциями сложения векторов и умножения
вектора на число образуют векторные пространства над полем
действительных чисел, которые обозначаются через Vect(l),
Vect(2) и Vect(3) соответственно. Другим примером векторного
пространстве ЛвЛйётся координатное пространство Vect(n) раз-
мернос^ ^д^т^уами в котором являются упорядоченные на*- (
боры чисел а = {а1,...,ап}, а операции сложения векторов и ум-
ножения вектора на число осуществляются покоординатно.
§ 3. ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ
На прямой имеется лишь два направления векторов, поэто-
му все ненулевые векторы разбиваются на два класса экв^Ева-
лёнтности, состоящие из одинаково направленных векторов.
Объявив векторы из одного класса
телъно направленными), задаем положительное направление
на прямой (направление движения от точки М к точке N по-
ложительно, если вектор. MN положительно направлен). Пря-
мую I с выбранным на ней ненулевым вектором, е назовем
осью (Це). На оси положительное направление определяется
вектором е-	'	.
На оси (Це) каждый вектор а может быть одндзначно запи-
сан в	В самом деле, отложим вектор е от какой-
нибудь точки 0^1. Пусть e = OOY. От той же точки О отложим
и вектор а, пусть а-ОМ. Бели М = О, то а = Ое. Если же
вектор а ненулевой, то либо он направлен также, как и вектор
е, либо в противоположную сторону. Тогда, согласно определе-
ние произведения лектора на число, в первом случае
I О2И=Ш^1.д^ ^)
№	13
Глава 1. Векторы
а во втором случае —
ОМ =
-М.бц.
|оо,|	‘
Число X, для которого а = Хе, назовем алг
чением _ вектора а на векторе е, пишем X =Таз al.
ле зна-
так,
а = (аза)е.
Предложение 3
Алгебраическое значение обладает следующими свойствами:
1) (азеХа) = Х(азеа);
2) (азе(а + &)) = (азеа)+(азеЬ).
Доказательство. Имеем	(<аз€(Ха))е, = Ха = Х((азеа)е) =
= (Х(азва))е откуда получаем равенство 1. Аналогично,
(азе(а + &))е = а + & = (аз<га)е + (азвЬ)е = ((азеа) + (азв&))е, откуда по-
лучаем равенство 2. При этом были использованы аксиомы 6 и
7 векторного пространства.
Вторая часть предложения 3 может быть сформулирована
следующим образом.
При любом расположении точек M,N и Р на прямой име-
ет место равенство
(азе MN)+(азе NP) = (аз е МР).
§ 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
Ассоциативность сложения векторов позволяет говорить о
сумме трех векторов a + fe + c = (a + b) + c = a+(6 + c).
По индукции может быть определена сумма любого числа
векторов. При этом в силу коммутативности можно произволь-
но менять порядок слагаемых. Отметим еще несколько следст-
вий из акоцом векторного пространства:
14
§ 4. Линейная зависимость векторов
1)	О-а = б для любого вектора а;
2)	1-0 = 0 для любого числа X;
3)	-а = (-1)а для любого вектора а. Итак, с векторными ра-
венствами можно поступать также, как и с числовыми: произ-
вольно расставлять скобки, переставлять слагаемые, прибав-
лять к обеим частям равенства одинаковые векторы,
переносить слагаемое, меняя его знак, из одной части равенст-
ва в другую и т.д. Выражение
1^ал
называется линейной комбинацией векторов а19...,ап с коэффи-
циентами Xp...,Xn. Л идейная комбинация называется триви-
если все ее коэффициенты равны нулю. В противном
случае" линейная комбинация называется	Если
вектор а равен линейной комбинации векторов ар...,ап, то го-
ворят, что вектор а лш^^н^^вы^^аетс^ через векторы
Определение 2
Система векторов аЛ9...9ая называется л иней W зависимой,
если существует, нетривиальная линейная комбинация этих
векторов, равная нулевому вектору. В противном случае векто-
ры а19...,ап называются линеюю^
Предложение 4
Система векторов, состоящая из одного элемента а, ли-
нейно зависима тогда и только тогда, когда а = 0.
Доказательство. Из равенства 1 6 = 6 вытекает линейная
зависимость системы, состоящей из одного нулевого вектора.
Предположим теперь, что Х-а = 6. Если 1^0, то
а = 1.а=(1/.Х) а=- (Ха)=^ б = б.
/л X X
15
Глава 1. Векторы
Предложение 5
Всякая подсистема линейно независимой системы векторов
линейно независима.
Доказательство. Предположим, что подсистема а19...,а^ ли-
нейно независимой системы векторов ах,...,ап линейно зависи-
ма. Возьмем нетривиальную линейную комбинацию
XiOi +--- + ХЛаА =0.
Прибавим к обеим частям этого равенства нулевой вектор
v*-.-. е <, *	—-
0а*+1+-+0ап=0.
Получим нетривиальную линейную комбинацию векторов
—	-Ж.
равную нулевому вектору. Значит, система вектор?6
аг,...,ап линейнснвдвисима, что противоречит условию.
Из предложений 4 и 5 вытекает
Предложение в ‘	’	/- 9
Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, ли-
нейно.зависима.
Предложение 7
Система, содержащая не менее двух векторов, линейно за-
висима тогда и только тогда, когда какой-нибудь вектор этой
системы линейно выражается через остальные.
Доказательство. Предположим, что вектор ап линейно вы-
ражается через векторыа^...,ап_г :
ап =^iai +
Тогда
X.a. +--- + V .ап . -ап =0,
или, что тоже самое
X! ^ + • • •+V10^7+(-1) • а> б.
16
§ 4. Линейная зависимость векторов
gjKXKCSB^BBMKKSEaSCSS^SXSanaMtHHSBSSSSXSanBBESSSSSSSSSEBnSanSSSSBS
Таким образом, нетривиальная линейная комбинация векто-
ров а19...9ап равна нулевому вектору, т.е. эти векторы линейно
зависимы.
Наоборот, пусть
X. а. + • • • + X 1 а _ 1 + Хи а = О,
1 1	Л—1 п—1 Л Л ’
где, например Тогда
- f xJ-	(	—
1 №	I
Предложение 8
Если вектор а линейно выражается через линейно незави-
симые векторы ах,...,ап, то такое выражение единственно.
Доказательство. Возьмем^два таких выражения
а=^+-+1Х
/ I Г ) '
Тогда, вычитая из одного равенства другое и приводя подоб-
ные члены, получаем	'
O = (X1-pi) a1+ - +(\,-pn) an-'
Но из линейной независимости векторов а19...9ап следует,
что
Х1-р1=О,...Лп-ц„=О, т.е. Х1=ц1,.<, Хп=ц„.
Предложение 9
Если при добавлении вектора а к линейно независимой
системе а19...9ап получаем линейно зависимую систему, то
вектор а линёй^Ь выражается через векторы* а{9.^9ап. ‘	♦
Доказательство. Существуют такие числа	не
все равные нулю, что
Глава 1. Векторы
Тогда обязательно kh+1*0. В самом деле, если ХлИ=0, то
равенство будет иметь вид
Х1^ + - + 1Х=б.
Согласно предположению, среди чисел имеется отличное от
нуля. Следовательно, система а19\..,ап линейно зависима. Это
противоречие показывает, что ХЛ+1 *0. Поэтому,
- (	-	( X J -
а=-----— а. + ••• + :—— -а,.
1 1 1 *
к лп+1 /	к Лп+1 J
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛИНЕЙНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ
Векторы а и Ъ называются коллим^апными. если они па-
раллельны одной прямой. Из определения"операции умноже-
ния вектора на число следует
Предложение 10 XiTL VkdLx-=?О \ ai *
Два вектора к^/^инш^нь^ тогда и только тогда, когда они
линейно зависимы.
Предложение 11
На плоскости существуют два линейно независимых век-
тора.
В самом деле, возьмем в плоскости три точки O,M,N, не
лежащие на одной прямой. Тогда векторы ОМ и ON некол-
линеарны, и, следовательно, линейно независимы.
Предложение 12
Доказательство. Пусть векторы а, b и с лежат в одной
плоскости. Если среди них имеется коллинеарная пара, то они
линейно зависимы. Предположим, что векторы а, b и с по-
парно неколлинеарны. Тогда, отложив их от одной точки О:
' < \
§ 5. Геометрический смысл линейной зависимости
а = ОМ, b-ON, с = ОР, получим три различные прямые
OAf, ON и OP. Проведем через точку Р прямую парал-
лельную прямой ОМ. Прямая ON, пересекая прямую ОМ,
будет пересекать и параллельную ей прямую Пусть —
точка пересечения прямых ON и Аналогично прямая.
проведенная через точку Р параллельно прямой ON, будет пе-
ресекать прямую ОМ в некоторой точке Мг (рис. 8).
' '1 ЛГ
Рис. 8
Четырехугольник OM1PN1 — параллелограмм. Следова-
тельно, ONi-M1P. Поэтому,
ОР = ОМ[ + М^Р = ОМ. +	.
Поскольку векторы ОМ п ON ~т ненулевые, существуют
такие числа X и ’р, что ОМ1=ХОМ и ON^p-ON. Зна-
чит, ОР = Х-ОМ + p-ON, или с = Ха + р&.
Итак, векторы а, & и с линейно зависимы.
Ясно, что любая система векторов в плоскости, состоящая
более чем из трех векторов, также линейно зависима.
Векторы а, b и с называются	если они
параллельны одной плоскости.
Предложение 13
>гда и только тогда, когда они
Доказательство. Необходимость вытекает из предложения
12. Докажем достаточность. Пусть векторы а, & и с\линейно
зависимы» Тогда один из них, ндпример с, линейно выражает-
Глава !. Векторы
ся через остальные: с = Ха + ц&. Отложив векторы а, b и с от
одной точки О: а = ОМ, Ь-ON, с = ОР^ видим, что вектор ОР
является суммой векторов, лежащих на прямых ОМ и ON.
Значит, вектор ОР лежит в плоскости,проходящей через эти
прямые..
Предложение 14
В пространстве существуют три линейно независимых
вектора.
В качестве таких векторов можно взять любую тройку век-
торов OM,ON,OP, где точки O^M^N^P не лежат в одной плос-
кости.
Предложение 15
Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Проходит по схеме доказательства пред-
ложения 12. Поэтому даем лишь его набросок. Отложим векто-
ры а2, а3, а4 от одной точки: at = OMt. Достаточно рас-
смотреть случай, когда никакие три из четырех прямых
OMlf ОМ2, ОМ3, ОМ4 да лежат в одной плоскости. Существует
параллелепипед такой, что
1) точка О является одной из его вершин;
2) его ребра4| ONl9 ON2, ON3 лежат на прямых ОМ19
ОМ2, ОМ3 соответственно;
3) отрезок ОМ4 является его диагональю {Рис. 9).
.20^
$ 6. Базйеы ri коорДйнаты
Тогда
О^ = блГ + оЖ+^Ж = 11 -ЙЖ + Х. ОМ1+ Х, ОМ.,
Я	1	$	01	10,40	О9
т.е. вектор а4 линейно выражается через*вектор*! airJ a^, a3.
Ясно, что любая система векторов в пространстве, состоящая
более чем из четырех векторов, также линейно зависима.
Результаты этого параграфа можно суммировать следующим
образом:
Теорема 2
Для и = 1, 2, 3 в векторном пространстве Veci(n) сущест-
вует система из п линейно независимых векторов, в то вре-
мя как любая система; содержащая более п векторов, линейно
зависима.
§ 6. БАЗИСЫ ИКООРДИНАТЫ
Определение 3
Пусть V — векторное пространство и е1,...,еЛ — некоторая
система его векторов. Эта система называется^полно^, если
всякий вектор пространства V линейно выражается через^век-
’торы
Определение 4
Система векторов е1,...,еЛ
Из результатов предыдущего параграфа вытекает
Предложение 16
Любой базис пространства Vect(ri), п = 1, 2, 3, состоит из
п векторов.
Пусть е19...9еп — базис пространства V и a eV. Тогда в силу
полноты базиса .а^\е1 +--- + 'кпеп'
21
Глава 1. Векторы
С другой стороны, числа Х1,...,ХЛ определяются однозначно.
Эти числа называются коо^дшштами^ вектора а в базисе
е1,...,еЛ. Предыдущее равенство назовем^разло^кением^ектора
a	е,,...,е„. Если в векторном пространстве
зафиксирован базис е1,...,ел, то наряду с записью
а~Ххех + -*- + Л,лел пишем а = {11,...,Хл}. Из аксиом векторного
пространства вытекает
Предложение 17
Координаты суммы векторов равны сумме координат, а
координаты произведения вектора на число равны произведе-
нию координат на это число, т.е.
+ {|АХ.»цл} = {Х1 + ц1,...,Хл +цп}> t‘{Xj,...,ХЛ} = {tXj,...,tXn}.
Теперь от алгебраического определения координат векторов
перейдем к их геометрическому описанию. Если на прямой за-
дан базис е и выбран произвольный вектор а, то координатой
вектора а в этом базисе будет уже определенное нами число
Х-(азеа) такое, что а-Хе. Пусть теперь на плоскости задан
базис вр . Возьмем на этой же плоскости произвольный век-
тор Ъ. Если вектор а коллинеарен, например, вектору е19 т(?
координатами вектора а в этом базисе будут {Хх,0}, где
Х1=(азе1а). Если же вектор а неколлинеарен ни одному из
векторов е19 е2, то отложим эти три вектора от произвольной
точки О в данной плоскости: ег=ОМ, e2=ON, а = ОР. Прове-
дем через точку Р прямую параллельную прямой ОМ.
Прямая ON, пересекая прямую ОМ, будет пересекать и па-
раллельную ей прямую ij. Пусть Nx — точка пересечения пря-
мых ON и 11. Аналогично, прямая Z2, проведенная через точ-
ку Р параллельно прямой ON, будет пересекать прямую ОМ
в некоторой точке Мг (см. рис. 8). Вектор ОМг назовем проек-
22	А
§ 6. Базисы и координаты
цией вектора а на вектор Wf паралленьно вектору е2 и дбозна-
чим пр** а. Аналогично, ON, =пр^а; Ймеём
op=om,+on,9
где	'
ОМ,=\,ОМ и ON,=\2ON.
Значит,
ОР-\, ОМ + Х2-ON или а = Х1е.+Х2е2.
1	4	1	1	b jb
Здесь \ =(азе пр*4±1а) — координаты вектора а в базисе
Пусть теперь в пространстве задан фазис е1? е2, е8 и выбран
произвольный вектор а. Если вектор а параллелен, например,
плоскости векторов е19 е2 у то его координатами в атом базисе бу-
дут {XpXg,©}, где'{^pXg} — координаты вектора 2 в базисе е,9е2.
Если же никакие три данных вектора некомпланарны, отложим
векторы ё,9 ё29е3, а от одной точки: е^ОМ/, i = 1,2,3, a = OAfv
Существует параллелепипед такой, что:
1)	точка*О является Одной из его вершин;
2)	его ребра ON,9CW2,CW3лежат:?начпрямы* ОМ,9ОМ2,ОМ3 со-
ответственно;:	'	„	• й
3)	отрезок ОМ4 является его диагональю (см. рис.9)<
Вектор 'ON, назовем	вектора а на вектор ё, па-
ралленьно плоскости векторов е29 ё3 и обозначим пр^А)а.
Аналогично определяем проекции вектора а на другие коор-
динатные оси. Тогда
ОР = ON, + ON2 +ON3 = X. ОМ, + Х2 ОМ2 + Х3 ОМ29
1	Z	о 1	Lb	ь о	о9
т.е.
а = Xj + Х2^2 + Х3 е3.
Числа Х19 Х2> Х3 и являются координатами вектора а в ба-
зисе е19 е29 е3. Здесь, например. = (аз пр^^’а).
23
Глава 1. Векторы
§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
Сформулируем лемму, которая понадобится нам в дальней-
шем.
Лемма 2
Для любых векторов а и Ь и любого числа X имеем
1) (аз пр(а + &)) = (аз пр а)+(аз пр &).
2) (азпр(Ха)) = Х(азпра).
Здесь речь идет о проекциях типа пр^ в плоскрсти и пр* в
пространстве. Утверждение леммы вытекает из того, что алгеб-
раические значения проекций — это координаты, и из соответ-
ствующих равенств для координат суммы векторов и произве-
дения вектора на число. Перейдем теперь к определению
скалярного произведения. Пусть в пространстве (или на плос-
кости) даны два ненулевых вектора а и Ь. Отложим их от од-
ной точки О: а = ОМ, Ь = ON. В плоскости, проходящей через
точки OMN, определены два угла между лучами ОМ и ON.
Эти углы принимают неотрицательные значения <р и 2п -<р,
косинусы которых одинаковы. Наименьший из этих углов на-
зовем углом между векторами ОМ и ON к обозначим через
<p = Z(OM,ON). Найдем его косинус. Спроектируем точку N
ортогонально на прямую ОМ, получим точку Nt (рис. 10).
Обозначим через еа вектор единичной длины, имеющий то
же направление, что и вектор а. Пусть ОД\=Хеа. Тогда
24
§ 7. Скалярное произведение векторов и его свойства
ONi = |Х|, а знак X совпадает со знаком косинуса ф. С другой
стороны, из прямоугольного треугольника ONN. имеем
= (Жсозф. Следовательно,
Х = (Жсозф.
Для произвольного вектора с обозначим через пРеас орто-
гональную проекцию вектора с на вектор ев. Тогда
ONX =првв&
и равенство ON\ = Хев означает, что
Х=(азпре<&).
Имеем
(азпре &)= |&|созф,
откуда
(аз пр Ь)
СОЗф =-----=7-2-,
' 1Ы ,
Последнее равенство можно принять за определение косину-
са угла между ненулевыми векторами а и а предыдущие
рассуждения показывают, что это определение совпадает с на-
глядно геометрическим. Поскольку под углом между вектора-
ми понимается угол, принимающий значения от 0 до к, не
имеет значения, в каком порядке рассматривать эти векторы.
Поэтому
cos Z(a,&) = cos Z(d,a)
и	'и г.**'** ‘.rv , ♦ ,	v.,
(азпр. а)
cosZ(a,b) ------=г—.
|а|
25
Глава 1. Векторы, .
Определение 5
векторов а и Ь называется
число 7^, равное произведению длин этих векторов на ко-
синус угла между ними:
(a,d)=|a||&|cosZ(a,d).
Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор
полагается равным нулю.
Имеем__________________________________
1	(а,&)=|д|<азпреа&)=|^|<азпр^а). |
Отметим следующие свойства скалярного произведения.
Теорема 3
Для любых векторов а, b и с и Любого числа X имеем
1)	(а, а) > 0, причем (а,а) = О тогда и только тогда, когда
а = б;
2)	(a,b) = (b,a);
3)	(а+&,с)=(а,с)+(Ь,с);__
4)	0м,Ь) = Ца,Ь).	\
Доказательство, Свойства 1 и 2 очевидны. Проверим свой-
ство 3. Имеем
(а+Ь, с) =| с | (азпр е (о+&»=
=. | с | (аз пр, а)+1 с | (аз пр^ Ь) = (а,с) +(Ь,с). .
Аналогично проверяется свойство 4.
Из определения скалярного произведения и двойств косину-
са угла непосредственно вытекает
Теорема 4 (Нлцэавешггш
Для любых векторов а и Ъ верны неравенства
-|а|-|&|£(а,6)^й|-|Ь|.
26
§ 8. Скалярное произведение в координатах
При этом, если а*0, то (а,Ь)=|а|«|&| тогда и только то-
гда, когда b = \a, где Х>0.
§ 8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
В КООРДИНАТАХ |
£
Из свойств скалярного црризведения вытекает, что линей-
ные комбинации векторов дожно перемножать, как многочле-
ны:
(Х1П1 +Х2П2	+ М>2 ^2 ) =	^"^*2^2 +^3a3’Hi^l) +
4<Х1а1+Х2^+Х3^,р2^) = Х1р1(а^^) + Х2ц1(а^,&1) +
+^зН1(аз,&1)+^1Н2(^>М+М2(а2А) + ХзЦ2(а3,&2).
4	___
Возьмем в пространстве Vect(£) базис е,,^. Тогда для век-
торов <UQ ЧАОООСЖ»А)
а = а1ё1+агё^,Ь = Ь1ё'1+Ь9ё'г
имеем
(а,6) = а1&1(^,^)+а1&2(^,^)+а2^(^,^)+а2д2(^,^).
Положим (e(,ej) = ^ и назовем числа gtj метрическими ко-
эффициентами базиса. Тогда, учитывая, что gtl =gJit имеем
(а,Ь)=a&git +(ахЬ2 + a2bx )gl2 + a2b2g22.	р s'
Аналогично, в пространстве Vect(3) взяв базис еие2,е3, для
векторов
а = а1с'1 +а2е2 +а3ё^, b = b^+Ь2ё'2 +Ь2е3
получаем
(а,&) =	+ a-fogn + вз^з^зз +	)gl2 +
+a3&1)g13 +(a2b3 +0363)^23,
27
Глява Д* Векторы
Или, в более компактной форме 
Ч
i=l /=1
Равенства
|a|=4(a,a), I cosZ(a,b) = I
V |a|-|b| I
позволяют по координатам векторов и метрическим коэффици-
ентам базиса находить длины векторов и углы между нимиГ.
Так, для векторов на плоскости имеем
I а |=	+ Яа&ёп + а2^22.’
COSZ(a Ь) =	=	)^12 ^2^2^22________
4<$ви +2OiO2^i2 + afg22	+ 2bJ>2gj2+blg22
Аналогичные формулы имеют место и для векторов в про-
странстве. Дадим их в компактном виде

aiaj8ti> cos Z(a,&) =

Базис€1,.?,еп (на прямой, на плоскости и в пространстве)
называется артонормированным, если £^^=1^ при i = j и gy = О
при i ф j.	векторов ортонормированного базиса равны
единице:
I et l= =
а равенство gv=0 при i*j означает, что cosZ(eifej) = 0, т.е.
ректоры ортонормированного базиса попарно перпендикуляр-
ны. Все приведенные выше формулы имеют в ортонормирован-
28
§ 9. Сисгом^йъордагйгат *
А*
ном базисе значительно более простую запись. Так, для векто-
ров в пространстве
(а,&) = а1д1+а2Ь2+а3&3,
+ af + af,
аД + а2&2 + а3&3
^af + а22 + а32 • Jbf + d2 + &32
Отбрасывая. по, третьему слагаемому, получим соответст-
вующие . формулы для докторов плоскости. Отметим еще одно
утверждение, вытекающее из этих формул
Координатами произвольного вектора а в уртонормиро-
ванном базисе e19e2,e3 являются скалярные произведения
§ 9.	СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
9.1	/Аффинные кцордцнаты
Пусть напрймой, на плоскости или в пространстве заданы
точка О °й1базйс е19...,еп.Тогда говорим, что £адан репер
Oq,...,en. Для любой тонкиМ вектор ОМ называется радиу-
сом-вектором точки М (относительно точки О) и обозначается
через гм
Пусть
р l	ОМ = х1е1+--- + хпел.
х1,...,хп называются (аффинными) координатами
в репере Oelf...ren. Иногда будем говорить и о коорди-
..,еп, подразумевая под этим его ко-
.,ел. Таким образом, координаты точки
— это координаты ее радиус вектора в
/Числа
точки М
йатах вектора в репере Ое}
ординаты в базисе ех
в репере Oe19...,et
этойгпепере. * ш
29
1
Глава 1. Векторы	V Mb) - GK) хч
Г \j
Предложение 19	® /——'я?
В данном репере для точек М(хг...хп) и N(yt,...,yn) имеем
MN = {yi~Xi,...,yK-xn}.
Утверждение вытекает из очевидного . равенства
Прямая с заданным на ней репером Ое называется осью
координат Ох с началом в точке О. Задание системы коор-
динат на плоскости эквивалентно заданию двух осей коорди-
нат Ох и Оу с общим началом. Эти оси называются соответ-
ственно ось абсцисс и ось ординат. Задание системы
координат в пространстве эквивалентно заданию трех осей ко-
ординат Ох,Оу и Oz с общим началом. Эти оси называются
соответственно ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Сис-
тему координат, определяемую репером Ое1,.г.,еп, обозначают
обычно символом Oxx,...,xn. Систему координат на плоскости
обозначают символом Оху, а в пространстве Oxyz.
Возьмем в пространстве произвольную точку М. Спроекти-
руем эту точку на координатные оси Ох,Оу и Oz параллельно
координатным плоскостям Oyz, Oxz, Оху соответственно. По-
лученные проекции обозначим через М19М2,М2. Пусть х —
координата точки Мх на оси Ох, у — координата точки М2
на оси Оу hl z — координата точки М2 на оси Oz. Тогда чис-
ла x,y,z являются координатами точки М в системе коорди-
нат Oxyz. Таким образом, координаты точки в, пространстве —
это координаты ее проекций на координатные оси параллельно
коо^дниетшм нлиикиичлм. -....—.......................г
9.2.	Деление отрезка в данном отношении ’\
Говорят, что точка M*MY делит невырожденный отрезок
в отношении X, если
ЛО? = Х-ЛГМ1. _	>.	7
30	£ < Л Z
О	и,
9
$ 9. Системы координат
Пусть г0»г1 и г — радиусы векторы точек MD,Mr и М со-
ответственно. Имеем
г--и« г. _	_ _
или
Это уравнение при всяком Х^-1
точки М на. прямой. При Х = -1 получаем бесконечно удаден-
ную точку этой прямой. Расписывая данное равенство по коор^
динатам, получаем
„ х0+1х, Уо +ХУ! Zp+XZt
1 + 1 ’ У 1+1 ’ 1+1 ‘
При 1 = 1 точка М является серединой отрезка MQMY и
формулы имеют вид
x-*o+*i u_Vo+Vi ~-г°+2'
2*2	2
9.3.	Прямоугольные координаты
Система, координат Ох19...9хп называется прямоугольной, если
она определяется ортонормированным репером Ое1,...,ел, т.е.
репером, в котором базис е19...,еп ортоиормирован. Пусть в про-
странстве дана прямоугольная система координат Oxyz. Возь-
мем две точки М^х^у^г^) и М2(х2,у2,г2). Тогда расстояние
р(М1,М2) между ними равно длине соединяющего их вектора
^1^2 =	~ ’ Уъ “ У1» ^2 ^1
Поэтому,
р(М1 ,М2) -л/(хг - Xi )2 + (у2 - Ух )2 + (z2 - zt )а.
В частности, уравнение
(x-xft)2 +(у-у0)2 +(z-z0)2 = Я2,
где R > 0, описывает геометрическое место всех точек , нахо-
дящихся на расстоянии Я от данной точки Af0(x0,y0,z0), т.е.
сферу радикса R с центром в точке Мо.
31
Глава 1. Векторы
На плоскости с прямоугольной системой координат Оху
расстояние между точками M^x^yJ и М2(х2,у2) определяется
равенством	v s
р(М1,М2) = ^(х2-х1)2 +(у2-у1)2.
Уравнение	*•
(х-х0)2 +(у-у0)2 =Я-
описывает окружность радиуса R с центром в точке Af0(x0,i/0).
9.4.	Полярные координаты на плоскости
Зафиксируем на плоскости точку О и назовем ее началом 9
или полюсом. Пусть I — проходящая через точку О прямая.
Зададим на прямой I ориентацию выбором какого-нибудь нену-
левого вектора е, параллельного этой прямой и имеющего еди-
ничную длину. Луч с началом в точке О9 имеющий направле-
ние вектора е9 назовем полярной осью. Выберем также
положительное направление вращения в плоскости. Как прави-
ло, положительное направление вращения задается против ча-
совой стрелки. Теперь для каждой точки МеО плоскости
можно определить ее полярные координаты, а именно:
1) расстояние г от точки М до начала О;
2)	угол наклона <р радиуса-вектора ОМ точки М к полярной
оси, (ре[0,2л)Г
Если на плоскости дана полярная система координат Огер,
то по ней естественно определяется и прямоугольная система
координат (рис. 11).
Начало этой системы* координат совпадает с началом полярной
системы координат, положительная полуось абсцисс совпадает с
полярной осью, а направление вращения от положитетельной по-
луоси абсцисс к положительной полуоси ординат является поло-
жительным. Полученную таким образом прямоугольную систему
координат Оху назовем системой, определенной полярной сис-
темой координат Orq. Наоборот, если дана прямоугольная сис-
32
§ 9. Системы координат
тема координат Оху, то однозначно определяем полярную систе-
му координат Огф, сохраняя начало данной прямоугольной сис-
темы координат и требуя, чтобы полярная ось совпадала с поло-
жительной полуосью абсцисс, а направление вращения от
положитетельной полуоси абсцисс к положительной полуоси ор-
динат было положительным. Имеют место очевидные формулы,
связывающие прямоугольные координаты (х,у) произвольной
точки М с ее полярными координатами (г,ф):
х = гсозф,	г/ = гзшф;
г = ^х1 2 + у2, СОЗф =
, sinq> =
9.5.	Полярные координаты в пространстве
Для определения полярной системы координат в простран-
стве необходимы следующие ее элементы (рис. 12).

Рис. 12
1) Плоскость (называемая далее основной) с выбранной в ней
полярной системой координат: начало О, полярная ось Ое19
положительное направление вращения.
2-8327	33
Глава 1. Векторы	CVtOyvtJ)
2) Выбор на прямой, проходящей через точку О и перпенди-
кулярной к основной плоскости, одного из двух направле-
ний путем задания вектора е3 единичной длины, т.е. выбор
оси Ое3.
Основная плоскость разбивает пространство на два полупро-
странства; то из них, которое содержит вектор е3, считаем по-
ложительным. Теперь для каждой точки М пространства (не
лежащей на прямой Ое3) определяются ее координаты в дан-
ной системе полярных координат, а именно:
а)	полярный радиус р точки М, т.е. расстояние от точки О до
точки М;
б)	долгота <р точки М — это полярный угол ортогональной
проекции Af0 точки М на основную плоскость относитель-
но данной в этой плоскости полярной системы координат,
фе[0,2л);
в)	широта ф точки М — это угол между вектором ОМ и его
проекцией OAf0 на основную плоскость, считаемый положи-
тельным Ц/е[О,|) для точек М положительного полупро-
странства и отрицательным фе(—1,0] для точек отрицатель-
ного полупространства.
Та же полярная система координат в пространстве позволяет
для каждой точки М определить ее цилиндрические коорди-
наты, а именно: полярные координаты ф,г в основной плоско-
сти точки Af0 (проекции точки М на основную плоскость) и
аппликату или высоту точки М над основной плоскостью,
т.е координату точки (ортогональной проекции точки М
на ось Ое3) относительно системы координат, заданной на этой
прямой.
Полярная система координат в пространстве определяет
прямоугольную систему, состоящую из прямоугольной системы
Оху, порожденной в основной плоскости заданной в ней по-
лярной системой, и оси Ог, порожденной осью Ое3. Очевидны
34
§ 9. Системы координат
следующие соотношения, связывающие полярные координаты
р,<р,Ф и прямоугольные координаты x,y,z в пространстве:
х ± pcosycosq),
< у=pcos\|/sin(p,
[z = psiny. .
Что касается соотношений между цилиндрическими и пря-
моугольными координатами точки М, то аппликата z в обеих
этих системах одна и та же, а связь между ф и г цилиндриче-
ской системы и х и у прямоугольной задается уже известны-
ми нам формулами х = гсовф, # = гзтф.
Глава 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ.
ОРИЕНТАЦИЯ. ВЕКТОРНОЕ
И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 1. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Прямоугольная таблица
ап	а12	. . а1л
а21	О22	• • а2п
чисел, состоящая из т строк и п столбцов, называется мат-
рицей размером mxn. Матрицами размером 1хп являются
строки
(«1.	•	•	»«п)-
Матрицами размером nxl являются столбцы
При т = п матрица называется квадратной. Квадратные
матрицы размером пхп называются матрицами порядка п.
Суммой двух матриц
36
- < в Г. Мцтрицвги «иержцнц Ьйгад ними'
....... * ' ............. .........
«11	0^2	.	.	Ojn
«21	«22	•	•	«2п
а, , а п .. а,
\ml	m2	•	•	mn	/
Ьп Ь12
&21	^22
<&ml ^т2
• м
•	&2п
• fynn)
размером т х п называется матрица
Ч1+йГ1	«12+*12	•	•	«1п+*1нУ
«21 + &21	«22 + ^22	*	*	«2п + ^2й
•	•	• •	Ч , 1 ♦
<«ml ^ml	«m2 + ^m2	*	•	«mn ^mn у
Произведением матрицы А на число t
называется матрица
'«а,!	Ча	•	•	Ч/
ta^i	ta22	•	•	ta2n
k^«ml	^«m2	•	•	^«mny
Матрицы размером тхп, можно умножать на матрицы раз-
мером пхр. Произведением строки А = (а19...9ад) на столбец
является матрица размером 1x1, т.е. число AB = aJ\ +• - + а,пЬь.
В общем случае произведением матрицы
«21	«22	• • «2п
<«ml	«m2 * ’ «mn у
37
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
на матрицу
называется матрица АВ = С размером тпхр, у которой стоящий
на пересечении i-й строки и у-го столбца элемент су равен про-
изведению i-й строки матрицы А на у-й столбец матрицы В,
t.V	I
\	*=1____J
Умножение матриц ассоциативно, т.е. если А,В,С — мат-
рицы, имеющие соответственно размеры mxn, пхр, pxq, то
(АВ)С = А(ВС).
Операция умножения дистрибутивна по отношению к сло-
жению, т.е.
А(В + С) = АВ+АС,
(А + В)С = АС + ВС,
где А, В,С — любые матрицы, для которых левые и правые
части этих равенств имеют смысл.
Квадратная матрица
'1 0 . . (Г
0 1 . . 0
10 о . . 1J
называется единичной матрицей. Она обладает тем свойством,
что для любой квадратной матрицы А того же порядка верны
равенства АЕ = ЕА = А.
38
§2. Цереход от одного базиса к другому
Для матрицы А размером тихп определена матрица А*
размером пхтп, называемая матрицей, транспонированной к
матрице А. Она определяется равенством
аи ~ ajC
Операции транспонирования и умножения матриц связаны
следующим образом:
(АВ)* = В*А*.
Каждой квадратной матрице А сопоставляется число, назы-
ваемое ее определителем (или детерминантом) и обозначаемое
4epe^J| А | или det Известно, что
det(Д&) det А - det B.^j
Квадратная матрица, определитель которой отличен от ну-
ля, называется невырожденной. Известно, что матрица невы-
рождена тогда и только тогда, когда ее строки (или, что то же
самое, столбцы) линейно независимы. Для каждой Невырож-
денной матрицы существует единственная матрица^ нязываё-
мая обратной матрицей и обозначаемая символом А"1, что
АА'1=А’1А = Е.
Ясно, что
det(A1) =
1
det А
Операция перехода к обратной матрице связана с операция-
ми умножения матриц и транспонирования формулами
(АВ)1 = В1 А1, (А*Г1 = (Аг1)*.
§2. ПЕРЕХОД ОТ ОДНОГО БАЗИСА
К ДРУГОМУ
В этом параграфе исследуем зависимость между различными
базисами векторного пространства V и между координатами
39
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
векторов в различных базисах. Под векторным пространством
мы понимаем здесь пространство Vect(n), л=1, 2, 3, хотя при-
веденные рассуждения остаютя справедливыми и в общем слу-
чае. Для этого требуется только
Теорема 1
Любые два базиса векторного пространства V имеют оди-
наковое количество векторов.
В интересующем нас случае V = Vect(n) эта теорема доказана
в § 6 главы 1 (предложение 16).
Итак, пусть в векторном пространстве V дано два базиса
и
Представив каждый вектор второго базиса в виде линейной
комбинации векторов первого базиса, получим
е1 = СЦе1 + С21?2 Ск\еп >
« е2 = С12е1 + С22е2 + • • • + Сп2еп >
X=Clnel+C2n«2+- + ^n-
Определение произведения матриц можно распространить и
на случай, когда элементы одной из матриц являются вектора-
ми. Произведение таких матриц является матрицей с вектор-
ными элементами. При этом считаем, что аа = аа для любого
z вектора а и для любого числа а. Из ассоциативности умноже-
, н#я вектора на число вытекает, что для . и<»бых трех матриц
(ъ&9В,С, среди которых одна является векторной, закон ассо-
циативности умножения является верным. При перемножении
таких матриц, очевидно, остается в силе закон транспонирова-
ния произведения. Поэтому формулы
40
§ 2. Переход от одного базиса к другому
ei “ cnei + c2ie2 + • • • + сл1ел,
« €2 = ^12^1 + С22е2 + ’ ” + Сп2еп 9
Х=С1пе1+С2п«2+- + ^п
можно переписать в виде матричного равенства
<еп J 1С1п
С21
С22
С2п
называется матрицей перехода от базиса е1>...,ед к базису
еп...,ел. Столбцами этой матриц^ являются координаты векто-
ров нового базиса еи...,еп в старом базисе. Из единственности
разложения вектора по векторам базиса (предложение 8 главы
1) вытекает единственность матрицы С перехода от одного ба-
зиса к другому.
Введем более короткие обозначения базисов: (е) = е1,...,еп и
(41)
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
Предложение 1
Если С — матрица перехода от базиса (е) к базису (е')> а
D — матрица перехода от базиса (е') к базису (еп), то матри-
ца CD является матрицей перехода от базиса (е) к базису (е”).
В самом деле, из ассоциативности умножения матриц имеем
(e3 = (e')P = ((e)C)D = (e)CD.
Из предложения 1 вытекает
Предложение 2
Если С — матрица перехода от базиса (е) к базису (е')>
то матрицей перехода от базиса (е') к базису (е) является
обратная матрица С~*.
Предложение 3
Невырожденные матрицы и только они являются матри-
цами перехода от одного базиса к другому.
Доказательство. Невырожденность матрицы перехода от
одного базиса it другому вытекает и^ предложения 2. Пусть те-
перь е19...?ёп — базис и
сп	с12	.	.	с1л
= С21	^22	’	’	С2п
kCnl	Сп2	*	’	Спп>
f |	—7	—т*
— невырожденная матрица. Тогда векторы ех,...,ел, получае-
мые из векторов е19...,ел по формулам
lCln
С21
С22
С2п
•	* Сп2 ^2
•	• Cnn)\^nj
42
§ 3. Переход от одагой аффинной системы координат к другой
линейно независимы^ так как в противном-случае были бы ли- \
нейно зависимы столбцы невырожденной матрицы С. Но если I
в пространстве есть базис, состоящий из п векторов, то всякие /
п линейно независимых векторов образуют его базис.
Найдем теперь зависимость между координатами векторов в
двух базисах (е) и (е')« Пусть вектор х в базисе е1,...,еЛ имеет
координаты x19...,xnf а в базисе	координаты	В
матричной форме это означает, что
Пусть С
Тогда
— матрица перехода от базиса (е) к базису (е')«
Х1
= (®i
(в1,...,ея)

х
Переходя
получаем
от равенства векторов к
равенству их координат,
§ 3.	ПЕРЕХОД ОТ ОДНОЙ АФФИННОЙ СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ К ДРУГОЙ
Пусть в пространстве даны две аффинные системы координат
Охуг и O'x'y'z', определяемые реперами Ое1е2е3 и О'е{е£еа соот-
ветственно. Пусть С — матрица перехода от базиса (е) к базису
43
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
(е')> и пусть (x0,i/0>20) — координаты нового начала О9 в старом
рейере. Предположим, что точка М имеет ‘в этих реперах Коор-
динаты (x,y,z) и (x'9y\zf) соответственно. Тогда векторное ра-
венство
ОМ=ОО'+(УМ
по определению координат точки можно переписать в виде
или, что то же самое
Переходя от равенства векторов к равенству их координат»
получаем
Матрица
41	С12	С13	V
С21	С22	С23	Уо
<С31	С32	С33	2о >
называется лсатхтииейПерехо^а от старой системы координат
Oxyz к новой системе координат O'x'i/^^Нусть также
dp dn d13
^21 ^22	^23 У1
^32	*^33
44
S 4? Дрдобрдаднваиме прямоугольны^ координат
— матрицу перехода рт системы координат O'x'y'z' к системе
координат O”x”y”z\ Тогда формулы перехода от системы коор-
динат Oxyz к системе координат O'x'y'z” будут выглядеть
следующим образом:
У =С у‘
<г) , lz”
§ 4.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
4.1.	Определение ортогональной матрицы
Определение 1
Квадратная матрица
С =
Сп2
называется ортогональной, если верно равенство СС*=Е, или,
что то же самое, С* ==С~Ч
Определение ортогональной матрицы означает, что формаль-
ные скалярные произведения различных строк равны нулю, а
формальные скалярные квадраты строк равны единице, т.е.
45
Глава 2. Преобразование координат. 0риента1<ия
Из равенства С* = С 1 вытекает, что- С*С = Е, что также яв-
ляется определением ортогональной матрицы. Оно выражает
ортогональность матрицы С по столбцам: скалярные произве-
дения различных столбцов равны нулю, а скалярные квадра-
ты столбцов — единице.
Предложение 4
Произведение ортогональных матриц есть ортогон^МНЬя
матрица, обратная к ортогональной матрице также ортого-
нальна.
Доказательство, Пусть матрицы А и В ортогональны.
Имеем
(АВ)( АВ)* = ABB* А* = АЕА* = АА* = Е.
Аналогично, для С = Л~1 имеем
(А"1 ХА"1)* = А^А*)1 =(А‘А)1 = Е~' =Е.
4.2.	Ортогональные матрицы второго
порядка
Поскольку при транспонировании определитель матрицы не
меняется, из определения ортогональной матрицы вытекает,
что ее определитель равен ±1.
Предложение 5
В зависимости от знака определителя ортогональные
матрицы второго порядка имеют вид
(соаф -sinqA	(созф зшф
или I
^з^Пф созф)	\зтф -со&ф7
Доказательство. Пусть ортогональна матрица
с=(С11
см)
46
$ 4. Преобразование прямоугольных координат
Из условия с^ + с21 = 1 вытекает существование такого угла
ф, что
сп = созф, ашф.
Из условия сис12 +с21с22 =0 следует, что
С12 = £ 8Шф, с22 = -t СО8ф.
И, наконец, из условия cf2+cf2=l получаем, что t = ±l. При
этом, если |С|=1, то £ = -1, а если |С|=-1, то t = l.
4.3.	Преобразование прямоугольных
координат
Теорема 2
Матрица С ортогональна тогда и только тогда, когда она
является матрицей перехода от одного ортонормированного
базиса к другому.
Доказательство. Пусть С — матрица перехода от ортонор-
мированного базиса е1,...,еЛ к ортонормированному базису
Тогда
IX если i = y, . .
1	[0, если
Поскольку
(е;,е;,.,<) = (е1,е2.е„)
имеем

47
Глава 2. Преобразование координат; Ориентация
Но в ортонормированием базисе еп...,ед скалярное произве-
дение (е[,е,) равно сумме произведений соответствующих коор-
динат этих векторов. Поэтому
Л fl, если i = j,
£iCk'Cki [0, если i*j;
i,j = l,...,n.
Но это и есть условие ортогональности матрицы С по
столбцам.
Наоборот, если С — ортогональная матрица и е19...,еп —
ортонормированный базис, то для базиса е[,...,е', полученного
по формуле
С11 С12 • • С1п
<Сп1 Сп2 • • Спп/
условие ортогональности матрицы С превращается в условие
его ортонормированности.
Следствие 1
Если равенство
задает переход от прямоугольной системы координат
Ох19...9хп к прямоугольной системе координат О'х[,...,х^, то
матрица С ортогональна. Наоборот, если система координат
Ох19...9хп прямоугольна и матрица С ортогональна, то сис-
тема координат О'х[9...9х’п также прямоугольна.
48
§ 4. Преобразование прямоугольных координат
4.4.	Преобразование прямоугольных
координат на плоскости
Посмотрим теперь, как преобразуются прямоугольные коор-
динаты плоскости. Пусть Оеге2 и Ое^е2 — два ортонормирован-
ных репера. Тогда переход от базиса ег,е2 к базису е[9е2 осу-
ществляется с помощью одной из матриц вида
СОЗф -ЗШфА	(СОЗф 8Шф
I или
8Шф СОЗф J	^ЗШф -СОЗф
В первом случае
е[ = {созф,зшф}, е2 = {-зтф,созф}.
Легко видеть, что репер Ое[е2 получается из репера Оеге2
поворотом на угол ф (рис. 13).
Во втором случае
= {созф,зшф}, е2 = {зшф,--созф}.
Репер Ое{е2 получается из репера Оехе2 поворотом на угол ф
с последующим отражением второго базисного вектора относи-
тельно первого (рис. 14).
Таким образом, на плоскости две прямоугольные системы
координат Оху и Ох'у' с общим началом связаны между собой
либо формулами
49
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
x = x'cos<p-y'sin(p,
i/ = x'sin(p + y'cos<p
поворота осей координат на угол <р, либо формулами
х = x'coscp + y'sintp,
i/ = x'sin<p-y'cos(p
поворота осей координат на угол <р с последующим отражением
второй оси координат относительно первой. При этом положи-
§ 5.	ОРИЕНТАЦИЯ ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ,
ПРОСТРАНСТВА
Мы уже определили ориентацию прямой, выбрав один из
двух классов одинаково направленных ненулевых векторов и
объявив их направление положительным. Каждый ненулевой
вектор на прямой образует базис, и переход от одного базисного
вектора к другому осуществляется путем умножения вектора
на отличное от нуля число. При этом одинаково направленные
векторы связаны положительным множителем. Это определе-
ние ориентации распространяется на векторные пространства
большего числа измерений.
50
§ 5. Ориентация прямой, плоскости, пространства
Определение 2
Два базиса векторного пространства е19...9еп и	назы-
ваются одноименными 9 если матрица С перехода от одного ба-
зиса к другому имеет положительный определитель.
Предложение 6
Отношение одноименности является отношением эквива-
лентности на множестве всех базцсов пространства V.
В самом деле, рефлексивность отношения одноименности
вытекает из того, что переход от базиса к самому себе осущест-
вляется посрёдством единичной? матрицы, симметричность —
из соотношения
транзитивность — из формулы
|CD|=|C|-|D|.
Поскольку определитель матрицы перехода от одного базиса
к другому либо положителен, либо отрицателен, в пространстве
V существуют ровно два класса бдноименных базисов. Каж-
дый из этих классов называется ориентацией пространства 1Л
Интуитивно задание ориентации означает задание направления
движения на прямой, направления вращения на плоскости и
винта в пространстве. Так, правая ориентация пространства} >
определяется таким базисом е19е29е39, что вектор ег кратчай-<
шим способом совмещается с вектором е2 при вращении про- <
тив часовой стрелки, если смотреть на плоскость векторов е19е2 <
с конца вектора е3.	С ।
Предложение 7
Пусть в пространсве даны два базиса е19е29е3 и е19е29е39
различающиеся третьим вектором. Тогда они одноименны в
том и только в том случае, когда (азпр<*1,<я)€д)>0.
91
Глава 2. Преобразование координат..ОриентацИя
Доказательство. Пусть вектор
координаты {а,р,у}. Тогда матрица
€3 имеет в базисе е19е2,е3
1 0 о?
С= 0 1
<° 0
Р
Ъ
является матрицей перехода от базиса епе2,е3 к базису е19е2,е3
и |С|=у. С другой стороны, у = (азпр^1Л)вз). Поэтому [С|>0 то-
гда и только тогда, когда (азпр^1,е2>ез)>0.
Из того, что при перестановке пары строк или умножения
строки на (-1) определитель матрицы меняет знак, вытекает
Предложение 8
Базисы, получающиеся друг из друга перестановкой пары
векторов, а также изменением одного из векторов на проти-
воположный, разноименны.
Определение 3
Скажем, что базис е1,...,еп переходит в базис	по-
средством непрерывной деформации, если для каждого числа t,
принадлежащего некоторому отрезку . [а,&], задан базис
а именно
= Сие1 С21^2	* Сп1еп>
€2 = С12^1 + С22е2 + * ’ ‘ + Сп2^п ’
.еп = С1пе1 + С2пе2 + ' " + Спяеп
так, что все координаты с*п,с21, и т.д. являются непрерывными
функциями от t на Отрезке [а,Ь], причем при t = a мы получа-
ем исходный базис е1)...,еЛ, т.е.	г:
Си =1, с21=0,	,^п1=0,
с“2=0, с22=1, ••• ,с®2=0,
=0, С=о, •
1л ' zn '	7 пп ‘
52
§ 5. Ориентация прямой, плоскости, пространства
а При t = b базис
ei = cnei + ?2ie2	*" Сп1еп ’
< е2 =	+ с22е2 + • • • + сп2еЛ,
.... .............•
.<=сь1яе1+сь2яег+- + сьяяея.
Имеет место следующее очевидное предложение
Предложение 9
Если базис е1,...,еЛ переходит в базис е{,...,е'п посредством
непрерывной деформации, которая длится, положим, отрезок
времени a<t<b9, а базис ,е'п переходит в базис
посредством непрерывной деформации, которая длится в те-
чение отрезка времени b£t<>с, то базис е1,...,еЛ переходит в
базис e{9...9e\ посредством непрерывной деформации, которая
длится в(течение отрезка времени a<t<c.
Далее, если базис е19...,еп переходит в базис бр...,е' посред-
ством непрерывной деформации	то и базис
переходит в базис е19.у9еп посредством непрерывной деформа-
ции, достаточно положить t' = + и е**' = е*, i = l,...,n.
Теорема 3
Базис е1,...,еЛ переходит в базис вр...,е' посредством не-
прерывной деформации тогда и только тогда, когда оба базиса
одноименны.
Доказательство. 1) Необходимость. Положим
Сц(О	С12<0	•	•
С21(0	С22^	•	*	С2п(^)
C„,(t)	•	•	«.»(*)
П1х ' ПЛ ' '	пп ' '
a<t<b. Надо доказать, что числа D(a) и D(ty — одного зна-
ка. Но детерминант D(t), будучи многочленом от своих эле-
53
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
ментов c11(t),c12(^),..., являющихся непрерывными функциями
от t, есть непрерывная функция от t на всем отрезке a<t<b.
Если бы ее значения в концах этого отрезка имели разные зна-
ки, то существовало бы промежуточное значение t0, a<t0<b,
для которого Z)(to) = O. Но этого не может быть, так как D(t0),
как детерминант матрицы перехода от базиса е19...,еп к базису
всегда отличён от нуля.
2) Достаточность. Сначала докажем, что всякий базис может
быть непрерывной деформацией переведен в ортонормирован-
ный. После этого доказываем, что всякие два одноименныхор-
тонормированных базиса, отложенных от одной и той же точки
О, могут быть переведены друг в друга движением в простран-
стве, т.е. специальным видом непрерывной деформации. Дока-
жем первое утверждение для плоскости. Отложим от одной и
той же точки* О векторы исходного базиса ОЕХ =еп ОЕ2 =е2. От-
ложим от этой же точки векторы дртонормйрованного базиса
е',е2 таким образом, чтобы вектор ОЕ[ -е[ лежал на прямой I,
содержащей вектор ОЁГ и был сопаправлен с вектором ОЕ19 а
вектор ОЕ2=е2 лежал в той же полуплоскости относительно
прямой I, что и вектор ОЕ2 (pud. 15).
Для каждого t,O<t<l, обозначим через Е[ (соответственно
через Е2) точку отрезка ЕгЕ[ (соответственно Е2Е2), делящую
этот отрезок в отношении	Векторы ОЕ[ til ОЕ2 при
любом t неколлинеарны, т.е* образуют базис е{,е2, непрерывно
54
§ 5. Ориентация прямой, плоскости, пространств
меняющийся при изменении t от 0 до 1 и осуществляющий
непрерывную деформацию от базиса епе2 к базису е[,е2.
Переходим к случаю пространства. В плоскости Оехе2 прове-
дем те же построения» как и выше. Обозначим через ОЕ3-е3
вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости Оехе2
и направленный в ту же сторону от этой плоскости, что и век-
тор е3 (рис. 16).
Рис. 16
Обозначим через Ед,О<#<1, точку отрезка Е3Е3, которая
делит этот отрезок в отношении t:(1 — t) при любом 0<t<l.
Определен, таким образом, вектор е3=ОЕ*3 и базис ех,е2,е3, не-
прерывно зависящий от t и осуществляющий при изменении t
от 0 до 1 непрерывную деформацию от базиса ере2,е8 к базису
е1>е2’ез*
Переходим к доказательству второго утверждения. Отложим
оба ортонормированных базиса ех,е2,е3 и ех,е2,е3 от одной и той
же точки О. Начнем с того, что совмещаем векторы е3=ОЕ3 и
е3 =ОЕ3. Для этого проведем плоскость ОЕ3Е3 и восстановим к
этой плоскости в точке О перпендикуляр d (рис. 17).
Рис. 17
55
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
Совершим поворот вокруг прямой d на угол 0, О^0<л,
между векторами е3 и е3 в таком направлении, чтобы вектор
е3=ОЕ3 совместился о вектором е3=ОЕ3. Этот поворот переве-
дет векторы ег и е2 в какие-то взаимно перпендикулярные
единичные векторы е* =ОЕг и е2=ОЕ29 лежащие в плоскости,
перпендикулярной вектору е3 и проходящей через точку О,
т.е. в плоскости ОЕ^. Векторы е[=ОЕ[ и е2=ОЕ2 также бу-
дут лежать в этой плоскости (рис. 18).
Теперь осуществим поворот вокруг оси Ог9 содержащей век-
тор е3=е3, на некоторый угол таким образом, чтобы вектор
.	—- ----»
-ОЕХ совместился бы с вектором е[ =ОЕ[. Этот поворот, ос-
тавляя пару векторов е2 и е2 в их плоскости (которая есть
плоскость ОЕ1Е2), переведет вектор е2 в вектор, перпендику-
лярный вектору е[9 т.е. либо в вектор е2, либо в вектор -е2.
Но вторая возможность исключена, так как базисы	и
е{9-е29ё3 разноимённы, и поэтому не могут быть совмещены
движением в пространстве.
§ 6. УГЛЫ ЭЙЛЕРА
Исследуем подробнее утверждение теоремы 3 о том, что
всякие два одноименных прямоугольных репера Ое1е2е3 и
Ое{е2е3, имеющих общее начало О, могут быть переведены
56
$ 6. Углы Эйлера
друг в друга движением в пространстве. Будем считать, что
оба репера положительно ориентированы, т.е. если смотреть с
конца вектора е3 (е3) на плоскость векторов elfe2 (е[,е2), то
направление вращения от вектора ег (е') до вектора е2 (е2)
будет положительным (против часовой стрелки). Установим те
параметры, которые определяют положение второго репера
относительно первого. Из доказательства теоремы вытекает,
что положение репера Ое[е2е3 однозначно определено, если из-
вестны прямая d (перпендикуляр, восстановленный в точке
О к плоскости Ое3е3) и два угла: угол 0, на который надо по-
вернуть репер Ое1е2е3 вокруг прямой d, чтобы совместить век-
тор е3 с вектором е3, и угол того поворота, который после
этого надо сделать, чтобы совместить вектор (в который
перешел вектор после первого поворота) с вектором е{.
Прямая d, проведенная через точку О перпендикулярно к
плоскости Ое3е3 есть, очевидно, прямая пересечения плоско-,
стей Ое{е2 и Ое'е2. За направляющий вектор прямой d при-
мем такой ее единичный вектор ef, чтобы репер* Ое3е'3е” был
положительно ориентирован. Угол от вектора до вектора
е[ в ориентированной плоскости Оехе2 мы обозначим через
к|/, 0<<|/<2л (рис. 19).
Тогда поворотом репера Ое^ вокруг оси, несущей вектор
е3, на угол у в положительном направлении мы совместим
57
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
вектор с вектором ех. При этом повороте вектор е2 перей-
дет в какой-то вектор е2, а вектор е3 останется н& месте. Те-
перь совмещаем вектор е3 с вектором е3 посредством крат-
чайшего поворота на некоторый угол 0, О<0<л, вокруг
прямой d, несущей вектор е*. Так как репер Ое3е3е[ положи-
тельно ориентирован, то этот поворот происходит против ча-
совой стрелки. Он переводит репер Ое”е2е3 в репер Ое*е2е3,
причем плоскость Ое^ совмещается с плоскостью Ое{е2
(рис. 20).
Нам остается только сделать поворот репера Ое[е2е3 вокруг
оси, несущей вектор е3, на угол <р от вектора е[ rq вектора
в ориентированной плоскости Ое[,е2, и тогда вектор е2 совмес-
тится с вектором е2. Три угла
\|/, 0 < \|/ < 2л, от	до	в плоскости Оехе2;
0, 0 < 0 < л, от е3 до е3 в плоскости Ое3е3;
Ф, 0<ф<2л, от	до	в плоскости Ое[е29
называются углами Эйлера репера Ое^е2е3 относительно репера
Оехе2е3. Зная прямоугольный репер Оехе2е3 и эти углы ф,0,ф,
мы можем определить единственный прямоугольный репер
Ое^е2е3, имеющий эти углы своими углами Эйлера й одноимен-
ный с репером Оехе2е3. В самом деле, мы сначала совершаем
58
§ в. Углы Эйлера
поворот репера Ое1е2е3 вокруг оси,'Несущей вектор е3. на угол
Ф в положительном направлении. Этот поворот переводит век-
тор ег в вектор е*, определяющий ось d, а весь репер
— в репер Ое*е2е3. После этого совершаем поворот ре-
пера Ое[е2е3 вокруг оси d на угол 0 в положительном направ-
лении. При этом вектор е3 перейдет в некоторый вектор е3,
вектор е” останется на месте, а вектор е2 перейдет в новый
вектор е2, репер Ое^е2е3 перейдет в репер (9e[e"e3. Наконец, де-
лаем поворот на угол ф в положительном направлении вокруг
оси, содержащей вектор е3. Этот поворот, оставляя вектор е3
на месте, переводит векторы и е2 в некоторые векторы е[ и
е'2, а весь репер Ое[е2е3 — в искомый репер Ое[е2е3.
Предположим теперь, что дано произвольное твердое тело
с закрепленной точкой О в нем. Предположим, что в это те-
ло ввинчен твердо связанный с ним прямоугольный рецер
Ое[е2е3. Тогда различные возможные положения тела взаим-
но однозначно соответствуют различным положениям нераз-
рывно связанного с этим телом репера Ое{е2е3 и, следова-
тельно, вполне определяются углами Эйлера этого репера
относительно исходного данного в пространстве неподвижно-
го репера Ое1е2е3. Таким образом, всевозможные положения
* ' ’
твердого тела с одной закрепленной точкой вполне опреде-
ляются тремя независимыми параметрами. В этом случае го-
ворят, что тело с одной закрепленной точкой имеет три
степени свободы. Если отказаться от неподвижности точки
О, т.е. допустить свободное перемещение тела в пространст-
ве, то к трем рассмотренным параметрам присоединятся еще
три координаты произвольной точки О', в которую можно
перенести точку О, — твердое тейо, способное свободно пе-
ремещаться в пространстве, имеет шесть степеней, свободы,
т.е. его положение определяется шестью независимыми па-
раметрами.
59
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
§ 7.	ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ОБЪЕМ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
7.1.	Определение и свойства
ориентированного объема
Пусть в* пространстве выбрана ориентация. Базисы^ задаю-
щие эту ориентацию, назовем положительными. Для упорядо-
ченной тройки векторов "a19a2>d3 определим число <а1,а2,а3>,
называемое ориентированным объемом параллелепипеда, по-
строенного на векторах а19а2,а3. Это число равно нулю тогда и
только тогда, когда векторы а19а2,а3 компланарны. Если же
векторы а19а2,а3 линейно независимы, то отложив их от одной
точки О, получим параллелепипед, тремя рёбрами которого
являются векторы а1,а2,а3. Число <а19а2,а3 > равно общему
этого параллелепипеда, взятому со знаком «плюс», если тройка
векторов а19а2,а3 положительна, и со знаком «минус» — в про-
тивном случае.
Обозначим через } плоп^адь параллелограмма, сторона-
ми которого являются векторы а1 и а2. Тогда
1<^4,л2,а3 >1 = ^(<4,в2)
где h — высота параллелепипеда. Проведем через точку О
прямую I, перпендикулярную плоскости векторов аг и а2 и
обозначим через п тот из двух единичных векторов этой пря-
мой, для которого тройка а19а2,п положительна, (рис. 21).
Рис. 21
60
§ 7. Ориентированный объем параллелепипеда
Ясно, что
Л=Цазпрпа3)|,
где через рга обозначается ортогональная проекция на вектор
п. В то же время, из предложения 25 вытекает, что знак трой-
ки а19а29а3 совпадает Сб~знаком (азпрла3). Поэтому имеет ме-
сто формула _________ —
|<01,02,03 >|=8(О1>вг) (азпрпа3).
Из данной формулы, а также из линейности алгебраического
значения проекций и предложения 8 вытекает
Теорема 4	.
Ориентированный объем .параллелепипеда обладает сле-
дующими свойствами:
< а19а2 ,а3 >=<	9~а2 >=<	>= - < ~а2 ,а^ >=
-~<а29а29ах >=-<а1,а3,а2 >;
2) <а1,а^Да3 >=1<а1,а2,Оз >;
3) < ара^а'ъ	>=<(р1 ,а2 ,а3 > + < ах ,а2 ,а3 >.
Пусть теперь в пространстве зафиксирован (>азис е19е2,С39 а
векторы а19а29а3 даны своими координатами в этом базисе:
at = {xi9yi9zt}9i = 1,2,3. Имеем
<а1,а2,а3 >=<ххех + уге2 +^1е3,х2е1 +
+i/2e2 + z2e39x3ex + %,е2 + z3e3 >
Раскрывая скобки в правой части, и, учитывая, что для
компланарных векторов ориентированный объем равен нулюг
получим
61
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
<О1,а2,а3 >=х1у2г3 <е1ге2,е3 >+^^2 <ех,е3,е2 > +
'	" +хзУ1гз <	> +
+*2%*! <ё'з>^2>+хМ <ё’2,ё’3,ё^>+х3у221<ё'3,ё'2^ё1 >=
= ЖХУ2^	>~х1Узг2<е?А>^ >-*2У12з	+
+x2y3Zi <> +*3^2 <ё’1,ё'2,ё'3>~х3Уз^ <£,<£,£>,
следовательно,
<а1,а2,а3>=
xi
хз
У1 г!__________
Уз г2<е1,е2,е3>.
хз
Уз *з
Если бази^е^вув^^^тоно^ирова^^^олождтелещ то фор-
мула принимает вид
<®1’^»®3
У1 Ъ
Уз «2-
Хз Уз 2з
На ориентированной плоскости аналогичным образом опре-
деляется Ьриентированная площадь <а1,а2> параллелограмма,
построенного на векторах Oj и а2. Если в полоя^тел^ном^ор-
тонорм!фоод1щом^азисе векторы а, и а2 имеют координаты
<h={:Wi}» а2={х2,у2},
то имеет место формула
<0^,02 >=
«г
хг
У1
Уз
7Л. Угол от вектора до вектора
Пусть на плоскости выбран положительный ортонормиро-
ванный базис е,,ег и задана упорядоченная пара неколлинеар-
ных векторов а1={х1,у1},а2={х2,у2}. Углом от вектора аг до
62
§ 8. Векторное и смешанное произведение векторов
вектора а2 назовем угол между векторами a1?a2, взятый со
знаком «плюс», если пара векторов а19а2 положительна, и со
знаком «минус» — в противном случае. Определенный таким
образом угол будем обозначать Z(ax н>а2). Имеем
tgZCoj н>а2) =
sinZCOj н>а2) _ sinZ(a1 н»а2)
cosZCOj ь*а2) cosZ(c^,a2)
в силу четности функции .COS. Далее,
sinZfOj н>а2) =
;osZ(a1,a2)=-4^iy=Z-,
поэтому
xi У1
*2 Уг
Х1У2 ~ Х2У1
хг+У,У,
2 Л =
>	(Л1»<*г) х1х2+У1.Уг
§ 8.	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1.	Определение и свойства векторного
и смешанного произведений
Как и в предыдущем параграфе, считаем, что в пространстве
задана ориентация.
Определение 4
Векторным произведением векторов а и Ь называется та-
кой вектор с = [а,6], что	| - 'IбсЦ
1)	его длина равна произведению длин векторов а и Ъ на си-
нус угла между ними;
2)	он перпендикулярен каждомуиз векторов а и Ъ.
3)	он направлен так, что упорядоченная тройка а,6,с положи-
тельна.
63
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
Определение 5
Смешанным произведением трех векторов а,Ь и с называ-
ется число ([а,6],с), равное скалярному произведению вектор-
ного произведения векторов а и Ъ на вектор с.
Предложение 10
Смешанное произведение трех векторов а,Ь и с совпадает
с ориентированным объемом ([а,д],с)=<а,д,с>.
»
Доказательство. Из результатов предыдущего параграфа
вытекает, что <a,b,c >= S(ab) *(азпрпс),
где п — такой единичный ректор, перпендикулярный*плоско-
сти векторов а и &, что тройка а,&,и положительна. С другой
стороны, из результатов § 7 главы 1 > следует,
что ([a,&],cj =1 [а,Ь] | (азйр^ с).
Поэтому, для завершения доказательства осталось заметить,
что
|[a,b]|=S(e;d) и п = е1аЬ}.
Из предложения 10 непосредственно вытекает формула
([аЛ],с)=(а,[Ь,с]).
Действительно,
([а,&],с) =< а,Ь,с >=< Ь,с,а >= ([Ь,с],а) = (а,[Ь,с]).
Теорема 5
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1)
2)	[a,U] = X[a,b];
3)	[а,& + с] = [а,&]+[а,с].	СЯЬ
Доказательство. Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из
определения. Проверим свойство 3. Равенство 3 эквивалентно то-
64
§ 8. Векторное и смешанное произведение векторов
му, что вектор d = [a,ft + c]-[a,ft]-[a,c] нулевой. Для этого доста-
точно показать, что (d,d)=O. Имеем
(d,d) = ([5,6 + с] - [a,ft] - [5,с],5)=([5,6 + с],5) - ([5,ft],d) -
-([a,cW) =< а,6 + c,d > - < a,ft,5 > - < a,c,d > =
=< a,6,5 > + < a,c,5 > - < a,6,5 > - < a,£,5 >= 0.
8.2.	Векторное произведение
в прямоугольных координатах
Найдем координаты векторного произведения [a,b], если
векторы а и Ь заданы своими координатами в положительном
ортонормированном базисе ex»e2 ,е3:
•	a = {xl,yx,zl}, b = {x2,y2,z2}.
Пусть
c = [a,b] = {X,Y,Z}.
Тогда, согласно предложению 18 главы 1, имеем
X=([a,6],eJ, У=([а,&],£), Я = ([а,Ьй).
Поэтому,
xi
У1
X=([a.&J.e,) =< a,b,ex >= x2 y2
%
Z2
0
= У1 Ъ
Уг г2
1
0
Аналогично,
*1
Z2
X,
X,
У1
Z =
Итак
Vi zi г1 xi.xi
У2 *2 ’ *2	’ "
х2
или, в условной записи определителя
1X1 У1 «1
[a,b]=x2 у2 z2
%
X2
У1
idr

3-8327
65
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
§ 9.	ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО
И СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЙ
К ПРЯМЫМ И ПЛОСКОСТЯМ
В ПРОСТРАНСТВЕ
9.1.	Векторные уравнения прямой
И плоскости
Возьмем прямую 19 лежащую в плоскости или в пространст-
ве и точку О. Всякий ненулевой вектор а9 параллельный пря-
мой 19 называется направляющим вектором этой прямой.
Пусть точка MY с радиусом-вектором лежит на прямой I.
Тогда для любой точки М с радиусом-вектором г на этой
прямой векторы MtM и а коллинеарны (рис. 22).
Значит, существует такое число t9 что
Мх М = ta.
Наоборот, всякая точка М,*для которой выполнено это ус-
ловие, лежит на прямой / согласно определению произведшая
вектора на число. Тогда	|
Г -г. -ta или г -г. +ta<
Последнее равенство и называется	прямой в
векторной форме^ *
Пусть теперь дана плоскость л в пространстве и точка О,
пусть в плоскости л д^на точка М19 с радиусом-вектором гх и
66
§ 9. Приложение<екторвогои смешавиого произведений7
два неколлинеарных .вектора а и Ь. Тогда точка М, с радиу-
сом-вектором г принадлежит плоскости л в том и только в
том случае, когда существуют такие числа \и и v, что
МгМ = ua + vb.
S ,	-	J
Действительно, точка М лежит в плоскости л тогда и толь-
ко тогда, когда вектор, МгМ параллелен плоскости (рис. 23).
Рис. 23
Это по определению означает компланарность векторов
а, &, МГМ. А последнее, в силу неколлинеарности векторов а
и Ъ эквивалентно тому, что вектор линейно выражается
через векторы а и Ь. Значит,
+	илидг=?^+иа + и&.
Это и есть векторное уравнение плоскостиtА
9.2.	Взаимное расположение двух прямых
в пространстве
Пусть прямее й 4 заданьГвекторными уравнениями
r = r1+ta^ и г + г2+*1а2.<
Условием их параллельности является коллинеарность век-
торон и а2, а условием их совпадения — коллинеарность
тройки векторов alf а2; г2-Гх. Для того, чтобы прямые 4 и 4
лежали в одной плоскости, т.е. пересекались или были парал-
3*	67
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
дельны, необходимо и достаточно, чтобы три вектора
64, а2, г^-гх были компланарны, т.е.
I <^-r1,a^,a^>=0 I
* —----------------)
по определению ориентированного объема. Отсюда вытекает,
что условие
r2 - q ,д1 ,а2 >* О
эквивалентно тому, что прямые 4 и 4 скрещиваются.
- (\Лл>
9.3. Вычисление расстояний V
Предложение 11	х-Чл-ьЬ*-
Расстояние от точки MQ с радиусом-вектором г0 до пямой
I, заданной уравнением г = + ta, определяется по формуле
|а|
СI	* . k ' и
В самом деле, это расстояние равно высоте h параллелограм-
ма, построенного на векторах -г0 и а (рис. 24).
А формула и дает нам эту высоту по правилу «площадь па-
раллелограмма» деленная на длину основания». Пусть теперь в
прямоугольных координатах Oxyz r0 ={xe,y0,^}, rt ={x1,y1,zl},
а = {а,Р,Т}.	,
- 68
§ 9. Приложение$екторншю и. смешанногоирдизвёдеиий
Тогда равенство примет следующий вид
P(MO,Z) =
Предложение 12
Расстояние между скрещивающимися прямыми и за-
данными уравнениями г ^r^ + ta^ и r = r2 + ta2, определяется по
формуле
|[Oi»a2]l
В самом деле, это расстояние равно расстоянию между па-
раллельными плоскостями, в которых лежат прямые и А
это расстояние в свою очередь равно высоте h параллелепипе-
да, построенного на векторах а2, г2 -гг (рис. 25).
Но формула и дает нам эту высоту — объем параллелепипе-
да, деленный на площадь основания. Если в прямоугольных
координатах
" ^ = {жРу(,г(}, а^ = {а(,р(,у,}, » = 1,2,
69
Глава 2. Преобразование координат. Ориентация
то равенство примет следующий вид
pGi^)-
У2-У1
Pi
Р2
Yi ai
It «2
*2-*i
Yi
Y2
ai Pi
а2 Рг
Аналогично предложению 12 доказывается
Предложение 13
Расстояние от точки Мо с радиусом-вектором г0 до плос-
кости п, заданной уравнением r = rl +ua+vb, определяется по
формуле
|[а>Ь]|
Глава 3
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
И ПЛОСКОСТИ
§ 1. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
НА ПЛОСКОСТИ
1.1. Уравнение прямой 1
Фиксируем на плоскости аффинную систему координат Оху.
Возьмем прямую I с точкой M0(x0,z/0), лежащей на этрй пря-
мой, направляющим вектором а = {а,Р}, и запишем ее уравне-
ние в векторном виде:'
r = r0+ta.
Здесь г— радиус-вектор произвольной точки, М(х,г/), лежа-
щей на прямой I, г0 — радиус-вектор точки Мо;£ — действи-
тельное число. Переходя в этом уравнении от равенства векторов
к равенству их координат, получим
Гх = х0+/а,у
Это параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку (х0,!/0) с направляющим вектором {а,0}. Исключая из
системы параметр ^ получаем каноническое уравнение прямой
*-*о _ УуУо
а р
Здесь, например, если а = 0, то уравнение превращается в
равенство х = х0. Приведем теперь каноническое уравнение
71
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
прямой к общему знаменателю. Получим эквивалентное ему
уравнение
Рх-ау-Рхо+ау0=О,
которое, полагая А = р, В = -а, С = -Рх0 +ш/0 запишем в виде
Ах+Ву+С = О.
Это общее уравнение прямой линии на плоскости.
Поскольку вектор а = {а,р} — ненулевой, по крайней мере
один из коэффициентов А и В отличен от нуля. Поэтому об-
щее уравнение прямой — уравнение первой степени, т.е. вся-/
кая прямая на плоскости есть линия первого порядка. Верно и
обратное: всякая линия первого порядка на плоскости является
прямой, т.е. уравнение Ах'+~Ву±У*=О, где"хСТя бы одно из чи-
сел А и В * отлично от нуля, в аффинной системе координат
Оху на плоскости описывает прямую. В самом деле, возьмем
какое-нибудь решение (x0,z/0) этого уравнении. Такое решение
всегда существует: если, например, А^О, то можно положить
Уо=О и х^=~С/А. Рассмотрим прямую Z, проходящую через
точку M0(x0,i/0), с направляющим вектором а = {В,-А}. Возь-
мем теперь произвольную точку М(х,у) на прямой I и пока-
жем, что ' ее координаты удовлетворяют уравнению
Ax + Bi/+C = O.
Так как точка М лежит на прямой /, то существует такое
число t, что M0Af = ta, т.е.
{x-x0,y-y0} = t{-B,A}.
Отсюда получаем
А(х - х0) + В(у - у0) = A(-Bt) + BAt = О,
или
Ax + By-AxQ-ByQ =0,
а так как С = -Ах0 -Ву0, то
Ax + Bi/+C = 0.
72
§ 1. Уравнение прямой на плоекости
Пусть теперь точка М(х,у) удовлетворяет уравнению
Ax+Bi/+C = O.
Тогда, из того, что точка Af0(x0,y0)также удовлетворяет
этому условию, получаем
А(х-хо)+В(у-уо) = О,
ИЛИ
х-х0^ В
У-Уо
Значит, векторы MQM = {х-х0,у-у0} и а = {В,-А) коллине-
арны. Следовательно, точка М лежит на прямой I. Таким об-
разом нами доказана
Теорема 1
Прямые на плоскости — это в точности линии первого по-
рядка.		>
Из доказательства этой теоремы следует, что а = {В,-А} —
направляющий вектор прямой, заданной уравнением
Ах + Ву+С = О.
1.2. Взаимное расположение прямых
на плоскости. Полуплоскости
Пусть на плоскости зафиксирована аффинная система коор-
динат Оху.
Предложение 1
Для того, чтобы прямые и 1*9 заданные соответственно
уравнениями
A^x + Bjj+C^b и	+ В2у + С2 = О
совпадали, необходимо и достаточно выполнения следующих
условий
А А сг
73
Глава» 3. Уравнения прямой линии « плоскости
Доказательство. Необходимость. Векторы {-BpAj и
{-В^А^} являются направляющими для прямых и следова-
тельно, они коллинеарны. Значит, существует такое число X, что
{-в1,л1}=М-в2.А}.
Возьмем точку (x0,y0)ell=l2. Тогда
AjXo+^+Cj =0 и А2хо+В2уо+С2=О.
Умножая второе из этих уравнений на X и вычитая его из
первого, получим
(\ =W2.
А это и значит, что
Л» — —— —• ——	•
А в2 с2
Достаточность. Из пропорциональности коэффициентов
вытекает, что
А1х^В1у+С1 =Х(А2Х + В2у+С2)
для некоторого X, т.е. уравнения, задающие прямые и
эквивалентны.	г е
Предложение 2
Для того, чтобы прямые и заданные соответственно
уравнениями	,
AiX + B^y+C^ =0 и А^х+ВгУ + Съ^Ъ,
были параллельны и не совпадали, необходимо и достаточно
выполнения следующих условий
'	А . Ра
Доказательство. Необходимость вытекает из пропорцио-
нальности направляющих векторов {-В1,А1} и {-В2,А,} пря-
мых и и предложения 1. Достаточность. Пропорциональ-
74
§ 1. с Уравнение прямей линвдва плоскости
ность коэффициентов при х и у дает нам параллельность на-
правляющих векторов прямых и а непропорциональность
их свободным членам вместе с предложением 1 — несовпадение
прямых и
Из предложений 1 и 2 вытекает, что условие
А А
эквивалентно тому, что прямые и 1*9 задаваемые соответст-
венно уравнениями
^х + В^+С^О и АгХ + ВгУ + Сг^О,
пересекаются в одной точке.
Предложение 3
Пусть прямые и I*, задаваемые уравнениями
. ДхЛДм+Сх = О и А^х+В2у +
пересекаются в одной тачке JVf0(x0,z/0). Тогда прямая.Ц про-
ходит через точку MQ- в том и только в том случае, когда
она задается уравнением
ЦА^х+Вгу+Cj) +	+Вгу.+С2)=О.
1
Доказательство. Дбг.тятлчность * очевидна. Проверим необ-
ходимость. Пусть прямая Zg, задаваемая уравнением !
Л8х+В81/ + С8=0,
проходит через точку Мо. Возьмем на прямой 1^ какую-нибудь
точку М19 отличную от тЬчкй Мо. Положим
-^A^+B^+CJ, ц1=Л1х1+В11/1+С1. .
Поскольку точка Мх не может одновременно принадлежать
прямым \ и Zg, no крайней мере одно из чисел Х1 и ц1 отлич-
но от нуля. Тогда уравнение
X1(A1x+B^y^C1)-Fp1(A2x+Bay+Ca) = 0
75
Глава 3. Уравнения нрямой линии и Плоскости
является уравнением первой степени относительно этих пере-
менных и определяет некоторую прямую I: Действительно,
иначе было бы верным равенство
_ А _ Hi
Аз В2
и прямые и /g не могли бы пересекаться в одной точке.
Прямая I очевидно проходит через точку MQ. Подставляя ко-
ординаты точки MY в уравнение прямой Z, получаем
+<71)+#1 (Ах1 +ВгУ1 +С2) = ^1Н1 +Н1(А) = °>
т.е. точка Мг также принадлежит прямой I. Значит, прямые I
и совпадают.
Уравнение
+В2у+С2) = Ъ
называется уравнением {собсщвенного} пучка прямых, прохо-
дяших через точку пересечения прямых	*
^x + B^+Q =0 и АгХ+В^у+Сг =0.j
Для того, чтобы задать пучок прямых4, достаточно задать его
центр, а для этого в своЬ очередь достаточно задать какие-
нибудь две прямые» входящие в этот цучок. Доказанное пред*
ложение можно переформулировать следующим образом: все,
прямые пучка и только они являются линейными комбина-
циями люБых Двух ил них. ПазивёМ теперь несобственным
пучком совокупность всех прямых плоскости, параллельны^ (в
широком смысле слова, т.е. параллельны и не пересекаются,
либо совпадают) какой-нибудь одной прямой. Нетрудно дока-
зать, что всякая прямая, являющаяся линейной комбинацией
двух каких-нибудь прямых данного несобственного пучка при-
надлежит тому же несобственному пучку, и обратно, всякая
прямая несобственного пучка является Линейной комбинацией
двух прямых и ^2’ произвольно ^выбранных в этом пучке.
76
§ 1. Уравнение прямой линнн на Плоекостй
Действительно, в силу пропорциональности коэффициентов при
х и у у. параллельных прямых, .уравнения трех данных пря-
мых можно записать в виде
l1:Ax+By+C1=Q, l2'.Ax+By+Ci=0, l3:Ax+By+C3=O.
Подберем теперь коэффициенты X и ц таким дбразом, что
. Х( Ах+By+Cj)if ц( Ах+By+Сг) = Ах+By+С3.
Приравнивая коэффициенты при х, у и свободные члены,
получаем	' "	’	'
ГХ+р=1,
<	,.ГЛ$ +НС2 =С3.
Так кай Cj *С2, дайная система имеет единственное (нену-
левое) решение.	'	'	1 ’
Ставя в соответствие каждому собственному пучку его центр,
мы Получаем взаимно однозначное соответствие между всеми
точками плоскб&и и всемй’собственными пучками. Можно те-
перь произвести пополнение плоскости несобственными или
бесконечно удаленными точками, поставив в соответствие каж-
дому несобственному пучку несобственную точку и объявив ее
единственной несобственной точкой каждой из прямых, обра-
зуклЦйк - Дайный''ЙесобстЬённыЙ йуч^к. Каждый неСббСгвейнЫй
цучок получает, таким “образом, свой «центр» — несобственнУю
(или бесконечно удаленную) точку пересечения япях ттпстмкгу
образующих этот пучок. Эта несобственная точка (точка пересе-
чения всех параллельные* прямых дайнотчгйапрайления) называ-
ется также несобственной точкой плоскости, удаленной в беско-
нечность в данном направление, При,этом необходимо иметь в
виду, что мы объединяем два взаимно противоположных на-
правления на прямой в одно направление. Таким образом, две
различные прямые имеют одну и ту же бесконечно удаленную
точку тогда и только тогда, когда они параллельны между со-
бой. Наконец, совокупность всех несобственных точек плоскости
объявляется прямой линией — несобственной, или бесконечно
77
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
удаленной прямой плоскости. Плоскость, множество точек кото-
рой пополнено указанным образом всеми несобственными точ-
ками, а множество прямых — одной (составленной из всех не-
собственных точек) несобственной прямой, ( называется
проективной плоскостью. На проективной плоскости всякие две
различные прямые	пересекаются в одной точке; собст-
венной, если прямые и на обычной плоскости не парал-
лельны, и несобственной, если параллельны. Если одна из двух
прямых несобственная, .то она пересекается со второй прямой в
единственной несобственной точке последней. Легко видеть, что
на проективной плоскости (также как и на обыкновенной) через
всякие две различные точки М и N проходит ровно одна пря-
мая. Это очевидно, если обе точки собственные. Если М — соб-
ственная, a N — несобственная, то прямая MN проходит через
точку М и принадлежит несобственному пучку (направлению),
соответствующему точке 2V. Наконец, есд^ обе точки несобст-
венные, то прямая MN — несобственная прямая проективной
плоскости. Более , подробно о проективной плоскости будет рас-
сказано в главе 8.
Теорема 2
Пусть прямая I задана уравнением +	Тогда
множества Х~ ц Х+ всех; точек ,М(х9у) пло^дррги, для ко-
торых соответственно ! ( А	г ’
. ~	и Ах^Ву+С>09
являются полуплоскостями, ограниченными прямой I.
Доказательство. Пусть ^очки ^М9(х^у0Кnt	лежат
в множестве Х~. Возьмем произвольную внутреннюю точку М
отрезка MQMr. Эта точка делит отрезок в некотором по-
ложительном отношении X.
Тогда
х0+Хх, Ур + Aj/,
1+Х ’ У
78
§ 1. Уравнение прямой линии на плоскости
Учитывая очевидное тождество
с=—!—с+—с,
1+Х	1+Х
имеем
1	X
Ах + Ву + С = —-(Ах0 + Ву0 + С) + ——(Ах1+Ву1 + С)<0,
1 + К	1 + Л
так как обе точки ЛГ0 и принадлежат X". Следовательно,
М еХ’. Но если точ^'’Пи" "лежат в разных полуплоско-
стях, в качестве точки можно выбрать точку пересечения
отрезка MQMY с прямой Z, которая не принадлежит мнржеству
Х~. Значит, точки Мо и Мх лежат в одной полуплоскости,
следовательно, и все множество Х~ лежит в одной из полу-
плоскостей, ограниченных прямой I. То же самое можно ска-
зать и про множество Х+. Но плоскость исчерпывается множе-
ствами Х",/,Х+. Значит, множества X" и Х+ лежат в разных
полуплоскостях и исчерпывают их.
Множество X* называется отрицательной полуплоскостью
по отношению к уравнению Ах+Ву+С=О прямой Z, а множе-
ство Х+ — положительной полуплоскостью.
Предложение 4
Пусть дан вектор с координатами {А,В}, началом которо-
го является любая точка прямой I, заданной уравнением
Ах + Ву+С = Ъ. Тогда конец этого вектора всегда лежит в по-
ложительной полуплоскости по отношению к этому уровне?
нию прямой I.
Доказательство. ПусТь M^xQ,yQ)el,MQM = {А,В}. ТсиГда ко-
нец этого вектора точка М имеет координаты
Af = (x0 + A,yQ + В). Подставив координаты точки М в уравне-
ние прямой I, получим
A(x0+A) + B(i/0+B) + C =
= (Ахо+Вуо+С) + А2+В2=А2+В2>О,
так как MQ el, и по крайней мере одно из чисел А и В от-
лично от нуля.
79
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
1.3. Прямая линия на плоскости
с прямоугольной системой координат
1.3.1. Угол между прямыми, угол от одной
прямой до другой
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат
Оху, определяемая ортонормированным репером Ое^. Мы
знаем, что вектор а = {-В,А} является направляющим вектором
прямой I, заданной уравнением Ах + Ву+С = О. Угол ф между
прямыми и заданными уравнениями Л1х + В11/ + С = 0 и
AgX+ B2z/ + C = 0, равен углу между их направляющими векто-
рами а1={-В1,А1} и а2={-А,А}’ если (ах,а2)>0, и дополняет
этот угол до л, если	Следовательно,
гпчт- l(ai’a2)l _	IА А + А I
I I ’ I а21 7А	’ 7а?
Из этой формулы, в частности следует, что прямые и Z2
перпендикулярны тогда и только тогда, когда А А +	= 0.
Углом от прямой \ до прямой Z2 (обозначается
назовем угол от .направляющего вектора ах прямой 4 до на-
правляющего вектора а2 прямой Определенный таким об-
разом угол, вообще говоря, зависит от выбора направляющих
векторов прямых и 12, но имеет в качестве инварианта
функцйю tg. Действительно, если направляющие векторы, вы-
брать так, как это показано на рис. 26 (направление вращения
против часовой стрелки считаем положительным), то
tgZ.(ax н>а2) = ^Ф,
а если так, как показано на рис. 27, то
tgZ.{ax н> а2) = tg(-(n - <р)) = tgq.
80
§ 1. Уравнение прямой линии на плоскости
Рис. 26
Здесь ф — угол между векторами а1 и
на рис. 26. В координатах формула будет
щим образом
-А А
Л~ф
'О	Тх
Рис. 27
а2, обозначенными
выглядеть следую-
zz_ _ч	-В2 А^ АД^-А^В
tgZ(lli^l2) = tg(al^a2)=—r—-—=^-^-.
'АА "* ^1A AAi "* АА
1.3.2. Расстояние от точки до прямой
Расстоянием от точки MQ до прямой I называется длина
перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Предложение 5
Расстояние от точки MQ с координатами (х0,&0) до пря-
мой I, заданной уравнением Ах + Ву+С = О, выражается фор-
мулой
р(меи)=|Аж;+Ву°+с|.
у/А2+В2
Доказательство. Мы знаем, что вектор а = {-В,А} является
направляющим вектором прямой I. Рассмотрим вектор
и = {А,В}. Имеем
(а,п) = -ВА + АВ =0.
Следовательно, вектор п перпендикулярен вектору а.
Проведем через точку Af0 прямую перпендикулярно пря-
мой I. Точка Мх пересечения этих прямых и будет основани-
81
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
ем перпендикуляра, опущенного из MQ на I. Параметриче-
ские уравнения прямой имеют вид
(х = х0 + tA,
Найдем параметр , соответствующий точке пересечения
прямых I и для чего подставим правые части параметриче-
ских уравнений прямой \ в общее уравнение прямой I. Получим
А(х0 + t'A) + B(i/0 + txB) + С = О,
откуда
Ах0+Ву0+С
1	А2+В2	*
Вектор MQM19 соединяющий точку MQ(xQ1yQ) с точкой
имеет координаты {t^A^B). Так как расстояние от точки MQ
до прямой I рано длине вектора MQMr, получаем
(ХМ.,0 =| ад Н <, IVJTF=ё^^с|.
у!А2+В2
Скажем, что уравнение Ах + Ву + С = О нормировано, если
выполнено равенство А2 + В2 =1. От общего уравнения всегда
можно перейти к эквивалентному нормированному
А	В	С
 —   • X Ч  ----• и Ч ====== = о.
ЛчТ? VF7F
Таким образом, предложение 5 можно переформулировать
следующим образом:
Предложение 6
Расстояние от точки до прямой равно (по абсолютной ве-
личине) результату подстановки координат этой точки в
левую часть нормированного уравнения этой прямой.
82
. g £« Уравнение плоскости
§ 2.	УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Фиксируем в пространстве аффинную систему координат
Охуz. Возьмем плоскость п с точкой M0(x0,i/0,z0), лежащей в
этой плоскости и векторами a = {a^a29(iz} и, b = {bl9b29b3}9 обра-
зующими базис плоскости. Возьмем также в пространстве про-
извольную точку О. Запишем уравнение плоскости п в век-
торном виде
r = r0+ua + i?&.
Здесь г — радиус-вектор произвольной точки M(x9y9z)9 ле-
жащей в плоскости л, г0 — радиус-вектор точки MQ; u9v —
действительные числа. Переходя в этом уравнении от равенства
векторов к равенству их координат, получим
x = xQ+ual+vbl9
: */ = Уо+ыа2+и&2
j?.= z0+ua3+v&3.	,
Это параметрические уравнения
система
Х~Х0-Uax +vb19
, < y-y* = ua2+vb29
* [z-z0=ua3+u&3
выражает линейную зависимость столбцов матрицы
гх-хй
У-Уо а2 Ь2 ,
<z~zo °з &з?
что в свою очередь эквивалентно равенству
х-х0 у-у0 z-z0
а2	аз
^2	Ьз
= 0,
83
Глава 3. Уравнения Прямой линии и плоскости
или, после раскрытия по первой строке, уравнению
A(x-xo) + B(y-%) + C(z-zo) = O,
где
. а2
« аз
В = 3
&з
Oj	а2
&i Ъ2
Последнее равенство и является уравнением плоскости, про-
ходящей через точку M0(x0,i/0,20) и пару неколлинеарйых век-
торов а = {а19а29а3} и b = {br,b29b3}. Полагая,
D = -Ax0-ByQ-CzQ9
Получим
Ах + Ву + Сг + 1)=0.
Это и есть общее уравнение плоскости. Из непропорцио-
нальности координат векторов а и Ъ вытекает, что по крайней
мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Значит, уравнение
плоскости есть уравнение первой степени, а плоскость, таким
образом, является поверхностью первого цорядкд.
Верно и обратное: всякое уравнение Ах + Ву + Сз + В = О пер-
вой степени является уравнением плоскости. В самом деле,
предположим, что А^О, возымеем точку Afo(-P/A,O,O), вектор
а = {-В/А,1,0} и вектор Ь = {-С/А,0,1} и покажем, что плос-
кость л, проходящая через точку Мо и векторы а и &, совпа-
дает с множеством решения этого уравнения/ В записи опреде-
лителя уравнение плоскости л, имеет вид
Х+Ъ у
-В/А 1
-С/А 0
0=0,
или
х +—+—2+—y = Q <=> Ax + By+Cz + D = 0.
А А А
Итак, нами доказана
84
§ 3. Взаимное расположение плоскостей. Полупространства
Теорема 3
Плоскости в пространсве — это в точности поверхности
первого порядка.
§ 3.	ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ.
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
3.1.	Взаимное расположение двух
плоскостей
Предложение 7
Вектор а = {а,р,у} параллелен плоскости л, задаваемой
уравнением Ах + Ву + Cz+2) = 0, тогда и только тогда, когда
Аа + Вр + Су = 0.
Доказательство. Вектор параллелен плоскости тогда и
только тогда, когда вместе с его началом плоскости принадле-
жит и его конец. Отложим вектор а = {а,р,у} от точки
Af0(x0,y0,z0) плоскости л. Тогда его конец имеет координаты
М^х^ + а,у0 +0,zo +у). Таким* образом, параллельность вектора
плоскости эквивалентна равенству
А(х0 + а)+Д(у0 + ₽) + C(zQ + у)+D = О,
которое, с учетом условия Ах0 +ByQ+ Cz0 + Z> = 0 принадлежно-
сти точки MQ плоскости л, эквивалентно равенству
Ац + Вр+Су=пО.
Предложение 8
Плоскости 7^ и л2, соответственно заданные своими
уравнениями
A^ + B^y + C^z + D^Q и А«,х + В2у + C2z + D2 = О,
параллельны в широком смысле слова (не пересекаются или
совпадают) тогда и только тогда, когда
A A А-
85
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
Доказательство. Достаточность вытекает нз предложения
7. Проверим необходимость. Предположим, что	Тогда
векторы
а = {-В1/А1,1,0} и Ь = {-С1/^41>0,1}
параллельны плоскдсти Значит, они параллельны и плос-
кости л2. Согласно условию параллельности вектора плоскости,
имеем
или
Предложение 9
Плоскости Tij и л2, соответственно заданные своими
уравнениями
«4^,+ Bly + Clz + Di =0 и A2x^B2y + C2z + D2=0,
совпадают тогда и только тогда, когда
A_A.jA = A
А а с2 d2'
Доказательство. В проверке нуждается только необходи-
мость. Согласно предложению 8 существует такое число X, что
{А1,В1,С1} = Х{Л2,В2,С2}.
Возьмем точку (x0,y0,z0)e = л2. Тогда
Ажо + Ау0 + cizo + А=°>
+ В2Уо + С2г0 + А = °-
Умножая второе из этих уравнений на X и вычитая первое,
получим D^XDg, что и требовалось доказать.
86
§ 3. Взаимное расположение плоскостей. Полупространства
Из предложений 8 и 9 вытекает
Следствие 1
Плоскости 7^! и п2, соответственно заданные своими
уравнениями
A^x + B^y + C^z + D^-Q и A2x + B2y^C2z + D2=09
параллельны в узком смысле слова (не пересекаются) тогда и
только тогда, когда
^2	^2 Q
Предложение 10
Плоскости и л2, соответственно заданные своими
уравнениями
A1x^Bly^Clz + D1=Q и A2x + B2y + C2z + D2 =0,
пересекаются по прямой тогда и только тогда, когда векторы
U ^2 = {^2’^2’^2}
неколлинеарны.
Предложение 11
Пусть плоскости лх и л2, соответственно заданные свои-
ми уравнениями
Alx + Bly^C1z + D1 =0 и A2x-^B2y+C2z + D2-09
пересекаются по прямой I. Тогда плоскость л3 проходит через
прямую I в том и только в том случае, когда она задается
уравнением
X(A1x + Bli/ + C12 + D1) + p(A2x + B2i/ + C22 + D2) = 0.
Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей,
проходящих через линию пересечения плоскостей и к2. До-
87
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
казательство предложения 11 аналогично доказательству соот-
ветствующего предложения 3 для прямых на плоскости.
3.2.	Полупространства
Теорема 4
Пусть плоскость л задана уравнением Ах + Ву+ Cz + D = 0.
Тогда множества Х~ и Х+ всех точек M(x9y,z) пространст-
ва, для которых соответственно
Ах + Ву + Cz + D <0 и Ах + Ву+ Cz + D>0,
являются полупространствами, ограниченными плоскостью л.
Множество Х~ называется отрицательным полупростран-
ством по отношению к уравнению Ах + Ву+ Cz + D = Q плоско-
сти л, а множество Х+ — положительным полупространст-
вом. Если дан вектор с координатами {А,В,С}, началом
которого являемся любая точка плоскости д, то ^сонец этого
вектора всегда лежит в положительном полупространстве по
отношению к уравнению Ах + Ву+ Cz+D = Q плоскости л. До-
казательство теоремы 4 аналогично доказательству соответст-
вующих утверждений (теоремы 2 и предложения 4) для прямой
на плоскости.
3.3.	Взаимное расположение
трех плоскостей
Пусть относительно аффинной системы координат Охуг три
плоскости заданы общими уравнениями
А,х + Ду + C,z + Д = 0,
A2x + B2y + C2z + D2=0,
A3x + B2y+Caz + D3=,0.
88
§ 3. Взаимное расположение плоскостей» Полупространства
Введем следующие обозначения:
A A G
6 — В2 С2

А А ^3
Пусть также
= {АЛ>сх)>	= {А’^г’^Ь /13 = {АЛА}-
Так как задача о взаимном расположении трех плоскостей
сводится к задаче исследования решений системы трех линей-
ных уравнений, возможны следующие случаи:
1)	Если §7*0, то три данные плоскости имеют и при том только
одну общую точку, так как в этом случае система имеет
единственное решение.
2)	Если Rgm = 2,RgM = 3 и среди векторов п19п29п3 нет колли-
неарных, то система несовместна, плоскости попарно пере-
секаются, причем прямые пересечения попарно различны
(плоскости образуют призму).
3)	Если Rg иг = 2, RgM±=3, но среди векторов	есть два
коллинеарных, то система несовместна, две плоскости па-
раллельны, а третья их пересекает.
4)	Если Rgm = 2, RgM = 2, и среди векторов	нет кол-
линеарных, то система имеет бесконечное множество реше-
ний, плоскости попарно различны и проходят через одну
прямую.	< t	г»
5)	Если Rgm = 2,RgM = 2, и среди векторов п19п29п3 есть два
коллинеарных, то две плоскости совпадают, а третья их пе-
ресекает.
6)	Если, Rgtn=l, но коэффициенты любой'пары уравнений не-
пропорциональны, то плоскости попарно параллельны.
7)	Если Rgm-1, но среди уравнений есть, только два, коэффи-
циенты которых пропорциональны, то две плоскости совпа-
дают» а третья им параллельна.,
8)	Если RgM = 1, то три плоскости совпадают.
89
Глава 3. Уравнения прямой линии и плоскости
§ 4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Зафиксируем в пространстве аффинную систему координат
Охуг. Возьмем прямую I с точкой М^х^у^г^), лежащей на
этой прямой и направляющим вектором {аДу}. Векторные
уравнения прямой на плоскости и в пространстве совпадают
г = r0 + ta.
Здесь г — радиус-вектор произвольной точки М(х9у9г)9 ле-
жащей на прямой Z, г0 — радиус-вектор точки Af0; t — дейст-
вительное число. Перехрдя в этом уравнении от равенства век-
торов к равенству их координат, получим	е
x = x0+ta,
У = Уо+$>	’
z = z0+<y.
Это параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку (x0,y0,z0) с направляющим вектором {аДу}. Исключая из
системы параметр t9 получаем канонические уравнения прямой
x-xQ y-yQ z-z0
а 0 У
Здесь надо сделать те же оговорки, что были сделаны отно-
сительно канонического уравнения прямой на плоскости. Если,
например, а = 0, то х-хо=О. Это означает, что прямая, лежит
в плоскости х = х0 и имеет там каноническое уравнение
₽ У
Если же, например, а = (3~0, то прямая лежит в плоскостях
х-хо=О и у-уо=О, т.е. является линией их пересечения.
Каждая прямая может быть представлена как линия пересече-
ния двух плоскостей. Очевидно, что канонические уравнения
прямой эквивалентны системе из двух уравнений первой степе-
ни, каждое из которых является уравнением плоскости.
90
§ 5. Прямая НплоскФСтъ > пространстве
Предложение 12
Пусть плоскости и л2, соответственно заданные свои-
ми уравнениями
+	=0 и A^x+I^y+C2z + D2=fy
пересекаются по прямой I. Тогда вектор
а =
В2
С, (\
с2’ с2
является направляющим вектором этой прямой.
Доказательство. Отметим, прежде всего, непропорциональ-
ность векторов {Д,^,^} и {Л2,В2,С2}. Поэтому, по крайней
мере одна из координат вектора а < отлична от нуля. Рассмот-
рим определитель
Он равен нулю, так Как Имеет одинаковые строки. Раскры-
вая его по первой строке, получаем
Но это равенство является условием параллельности вектора
а плоскости лр1 = 1,2« Итак, ненулевой вектор а параллелен
каждой из плоскостей л1 и л2, следовательно, он является на-
правляющим вектором линии их пересечения.
§ 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
В ПРОСТРАНСТВЕ С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ КООРДИНАТ
Пусть в пространстве дана прямоугольная система коорди-
нат Oxyz; Условие параллельности вектора плоскости показы-
91
Глава 3. Урдонеддея прямой двддеи плоскости
вает, что вектор п с координатами п = {А,В,С} перпендикуля-
рен плоскости л, заданной уравнением Ax + By + Cz + D^O, Его
называют нормальным вектором этой плоскости, а за угол ср
между плоскостями принимают угол между их нормальными
векторами, если этот угол не превосходит л/2, и дополнитель-
ный до я к этому углу в противном случае. Поэтому для угла
ср между плоскостями лх и л2, соответственно заданными
своими уравнениями
Дх + В^у+С^+Д =0 и Л2х + В2у + С22 + Р4=0,
имеем
COS(D _ lAA+Affz+CAl
Д2+в?+с® .Va2+^+c22
Условием перпендикулярности плоскостей лх и л2 является
равенство
-^1-^2 +	+ ^1^2 = 0*
Угол между прямой I и плоскостью п есть по определению
угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Угол
этот заключен в пределах от 0 до л/2. Пусть а = {а,Р,у} — на-
правляющий вектор прямой I, а п = {А,В,С} — нормальный
вектор плоскости л. Имеем
ainZ(Z,л) =|cos Z(a, л) |= *	! —* +	—г.	>
7а2+В2+С2 /а2+р2+у2
Расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости к, заданной
уравнением Ax + By+Cz+D = 0, определяется по формуле
Р(МО,Я).=
\Ах0+вд0+с%+Р]
у1а2+В2+С2
Вывод этой формулы, использующий перпендикулярность
вектора {А, В,С} плоскости л> аналогичен выводу формулы для
расстояния от точки до прямой на плоскости (предложение б).
92
§ б. Прямая и плоскость в пространстве
Приведем здесь другое доказательство этого утверждения. Мы
знаем, что расстояние от точки Мо с радиусом-вектором. г0 до
плоскости я, заданной векторным уравнением r = rr^ud + v&,
определяется по формуле
р(М0,л) =
|<г0-г1,а,Ь>|
Здесь r0 ={*o,J/o’I 2obri	причем точка М^(х1гух,гх)
лежит в плоскости л, а векторы а и Ь параллельны этой
плоскости. Пусть, например, А^О, тогда положим
а = {В,-А,О}, & = {С,0,-А}^ Имеем
^-*1 Уо~У1 «о-А
В -А О
|<г0-г1>а)&>|_
|[а.Ь]|
I А2(х0 - xjJ-f АВ(у0 - У1)+AC(zq — > |
4л^+^А2В^ + А2Сг
_ | Ах0 + Врр+ С^о ’+ D-(Axr + By! + bzi + D) | _
—	4а2 + в2 + с2
|Ах0+Ву0+Сг0+.Р|
. 4А2 + В2 +С2
поскольку Ахг +Вух 4- С^ +Z) = 0 в силу принадлежности точки
Мг плоскости л.
Глава 4
ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ МАТРИЦЫ
Определение 1
Множество Г точек плоскости называется алгебраической
линией 9 если в некоторой аффинной системе координат это мно-
жество может быть описано как множество решений уравнения
F(x,i/) = 0,
где F — многочлен. Наименьшая степень такого многочлена
называется порядком линии Г.
Определение порядка алгебраической линии не зависит от
аффинной системы координат, в которой рассматривается ее
уравнение. Действительно, пусть
Г± = сихЧсирЧх0,
[!/ = c21x4c22i/4z/0
— формулы перехода от. аффинной системы координат Оху к
аффинной системе координат OWy'. Тогда степень любого мно-
гочлена F(x,y) от переменных х и у совпадает со степенью
многочлена
G(x\ у') = F(cnx'+с12у' + х0, е21х' + с22у' +i/0)
от переменных х' и 'у'. Достаточно показать, что степень G не
больше степени F. А это вытекает из того, что для любого од-
ночлена axpyq, входящего в F, многочлен
а(спх'+с12у' + х0)р(с21х' + сг2у'+1/0)’
имеет степень <,p+q.
94
§ 1. Алгебраические линии на плоскости
Определение 2
Отображение	плоскости л в множества всех дейст-
вительных чисел называется квадратичной функцией, если для
любой аффинной системы координат s = Oxy на плоскости л
существует такой многочлен Ft второй степени, что для любой
точки М(х,у)ел имеет место равенство f(M) = F^x,u).
Ясно, что в данной системе координат только один много-
член F = Fe мойсет удовлетворять этому условию. Скажем, что
многочлен F представляет функцию f в системе координат
Оху. Пусть
F(x,y) = aii*2 + 2а12Х1/ + аггУ2 + %а1х + %а2У + ао*
Тогда матрицу
ч ttll Л12
А = 0^2	#22	^2
V а2 а0;
называем матрицей квадратичной функции f в системе коор-
динат Оху. Матрицу
Оц а12 j
О22/
называем матрицей квадратичной части функции f. По
крайней мере один из элементов матрицы должен быть от-
личен от нуля. Квадратичная часть
Fi(x,y) = ОцХ2 + 2а12ху+а22у2
многочлена F(x,y) может быть записана в матричной форме
следующим образом:
а сам многочлен f(x,y) в матричной форме можно записать так
' х
f(x,y) = (x,y,l)A у .
95
Глава 4. Линии второго порядка
Пусть теперь О'х'у' — другая аффинная система координат,
и переход от системы Оху к системе O'x'i/' осуществляется по
формулам
fx = c11x, + c12i/r + x0,
U = C2X + C22/ + !/o-
В силу единственности многочлена, представляющего квад-
ратичную функцию в данной системе координат, многочлен
G(x',i/'), определяемый равенством
G(x',y') = F(cux' + с12у' + х0, с21х' + с22у' +1/0),
будет представлять функцию f в системе координат О'х'у'.
Найдем матрицу А' функции f в системе координат О'х'у'.
Для этого дополним формулы перехода равенством
l = 0x'+0i/'+ll.
Получим
х = спх' + с12у' + х0,
< y = c21x'+c22y' + yQ,
1 = 0х'+0у' + 11,
или в матричной форме
где
( с
41
D = с21
1°
4г хо
С22 Уо •
О 1J
Транспонируя последнее равенство, получаем
(х,у,1) = (х',у',1)В*.
96
§ 1. Алгебраические ляраш на плоскости
Пусть точка М имеет координаты (х,у) я в системах
Оху и О'х'у'. Имеем
(х\у\1)А' у' -G(x\y')-f(M) = F(x^y) =
Таким образом, равенство
Д' = Д*АЕ>
выражает матрицу А' квадратичной функции / в новой систе-
ме координат О'х'у9 через ее матрицу А в старой системе ко-
ординат Оху.
Наряду с реперами Оехе2 и О'е'е2, определяющими системы
'координат Оху и О'х'у', рассмотрим репер Ое'е2. Пуст* он оп-
ределяет систему координат Ох”у”. Тогда формулы перехода от
системы Оху к системе Ох*у” принимают следующий вид
СНЙ
где
с=(Си М.
kC21 С22 J
Обозначим через А? матрицу квадратичной части функции
f в системе координат Ох*у*. Имеем
|=(*,у)А | ।=дс|хJ,
11/ )	\.у)	\.У J
т.е. А^' = С*А1С.
Поскольку реперы О'е[е2 и Ое{е2 отличаются только нача-
лом, соответствующие системы координат получаются одна из
другой параллельным сдвигом, т.е.
97
4-8327
Глава 4. Линии второго порядка
х'г = х' + х0,
Но легко заметить, что при параллельном переносе системы
координат квадратичная часть квадратичной функции не меня-
ется. Поэтому, если мы обозначим через А[ матрицу квадра-
тичной части функции f в системе координат О'х'у\ то
А[=С*А1С.
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть квадратичная функция f в системе координат Оху
представлена многочленом
Г(х,у) = ОцХ2 +2aiixy+anyi + 2а1х+2аеу+а0.
Наряду с матрицами А и Д поставим в соответствие функ-
ции f их определители;
аи
Л12
О1
А =
а12 Д
^22	&2
а2
ап а12
а12	а22
8 =
Предложение 1
Если переход от системы координат Оху к системе коор-
динат О'х'у' происходит с помощью формул
х = спх' + с12у' + х0,
У^С^х' + СпУ' + у^
причем матрица
с=Г11 С12
\С21	С22
— ортогональна, то Д' = Д и 8'= 8.
98
§ 2. Ортогональные инварианты юадратичных> функций
Доказательство. Имеем
Д'=|Л'Н2>‘Л1>НО'|-|Л|-|1>|=|ЛЫ1>|МЛ|-1С|!-|Л|=Л-
Аналогично проверяется равенство 8' = 8.
Переформулировать предложение 1 можно следующим обра-
зом: для данной квадратичной функции числа Л и 8. являются
ортогональными инвариантами, т.е. они не Меняются при пе-
реходе от одной прямоугольной системы координат к другой.
Предложение 2
Для данной квадратичной функции ортогональным инвари-
антом является след S = an+a22 матрицы ее квадратичной
части.
Доказательство. Из формулы
Гап	C21Yan ai2.YCll C12^
\а12 a2zJ kC12 P22 Jlai2 a22A^21 ?22/
непосредственно вытекает, Что
а11 =С11(С11а11 +С21а12) + С21(С11а12 +с21о22)»
Л22	С12 (<12<*11 + С22^12 ) + С22 (C12fl12 “ИС22Л22 )•
Поэтому,	v F
S = Лп + Ц2>?= М<11 + С12 ) + ^22 (С21 + С22 ) +
+2П12 (CnC2i + ^12^22 ) = ^11 + &22 =
Определение 3
Характеристическим многочленом квадратичной функции
f^называется многочлен
|Д-ХЕ|=
ап X
Л12
а12
а22
= X2-SX + 8.
Здесь имеется в виду, что
Д11 а12
fil2 а22
99
4
Глава 4. Линии ввдрмя пододоа
есть матрица квадратичной части функции f в некоторой пря-
моугольной системе координат Оху.
Из инвариантности S и 8 вытекает, что характеристике-
ский многочлен функции / не меняется при переходе К другой
прямоугольной системе координат, т.е. он является ортого-
нальным инвариантом. Ортогональными инвариантами явля-
ются и корни 1/ и Х2 характеристического многочлена квадра-
тичной функции. Кроме того, эти корни всегда вещественны.
Действительно, дискриминант квадратного уравнения
D=S2 -46 = (ап +аа2)2-а?2) =
= (#и ~ #22 ) *** ^®12 О
следовательно, это уравнение имеет вещественные корни.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Пусть линия второго порядка Г в прямоугольной системе
координат Оху задана своим общим уравнением
F(x,y) = anx2 +2Oi2xy+a22y2 +2а1х+2а2у+а0.
Перейдем к новой прямоугольной системе координат Ох'у',
поворачивая оси исходной системы координат на угол ф.
Тогда
где
С-^СОЗф -ЗШфА
^ЗШф СОЗф )
Многочлен F представляет в системе координат Оху квад-
ратичную функцию /. Для матрицы А[ квадратичной части
этой функции в системе координат Ох'у' имеем
100
$ 3. Преобразование уравнения .линии.црц иодордое осей
А,_( созф 8ШфУап a12Ycos<p -81пф^
^-эшф совфДа12 а22Дзшф созф)
Непосредственный подсчет показывает, что
Oi'i = ап cos2 ф + 2а12 созфвшф+а22 sin2 ф,
а2Я = ац sin2 ф - 2а12 созфвшф+а22 cos2 ф,
а'2 = (~аи + ада)созф8Шф+a12(cos2 ф - ?in2 ф).
Итак, если а12*0 то, Поворачивая сйстему координат на
угол ф такой, что 0<ф<л/2 и
ctg24> = ^t.
2012
получаем систему координат; в которой матрица А[ квадратич-
ной части функции f имеет диагональный вид
°1
А I о a'J’
Уравнение линии Г в этой системе координат Ох'у' прини-
мает вид
а^х'2 +а22У'2 +2а{х'+2а2у'+а0 =0.
Найдем этот угол ф пр другому. Считая а{2 =0, имеем
а'и созф = а'х созф - зшф = (au cos2 ф ч- 2а12 со8ф&Ь1фН-
+a22 sin2 ф)созф-((-ап +а2^)со8ф8Шф +
+a12(cos2 ф -sin2 ф))зшф =	созф+а12 зшф.
Отсюда
tg<p = ^-^L.
а12
Но в системе координат Ох'у' матрица квадратичной
части функции f имеет диагональный вид
А 10 a^ J'
101
Глава 4. Линии второго порядка
Поэтому числа а[х и а22 являются корнями характеристиче-
ского многочлена функции f в силу его ортогональной инва-
риантности. Следовательно,
#12	#12
в силу равенства tkl+'k2=ali+a22. Здесь в качестве берется
тот из корней характеристического многочлена, для которого
tg<p>0. Покажем существование такого корня. Пусть
tg<?i =	И fg<p2
а12	«12
Тогда
#12
_ #П#22 ~#12 “~#11(#11+#22)*#11 _ -I
#f2
т.е. один из этих тангенсов положителен.
Определим еще одно число, связанное с матрицей
а11	#12
А= #12	#22
< #1	#2
#i
#2
#о>
квадратичной функции /. Положим ♦
#22
#2
#i
#0
Предложение 3
При повороте осей прямоугольной системы координат чис-
ло К не меняется.
Доказательство. Подставляя в многочлен F(x,y) вместо пе-
ременных х и у их выражения через х9 й у9 по формулам
(х = х'созф - yf sin ф,
[у = х'зшф + 1/'С08ф,
102
§ 4. Канонический вид уравнения линии втерого порядка
получаем, что
а[ = ах cos ср + а2 sinq>, а2 =	sin ср+а2 cos ср, a'Q = а0.
Тогда
К1 = (а22 +	)а0 - -af = SaQ -(аг coscp+а2 sintp)2 3 -
-(-ajSnKp+ajjeosep)2 = а0(ац +а22)-а12 -а22 = К.
Легко видеть,.что число К не меняется и при отражении
одной оси координат относительно другой. Поэтому для данной
квадратичной функции онр является одинаковым во всех, пря-
моугольных системах координат с общим началом. Число К
называется ортогональным семиинвариантом.
§ 4. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Теорема 1
Для любой линии второго порядка существует прямоуголь-
ная система координат, в которой уравнение этой линии
имеет один из следующих вцдбв:
2	2
X U
2>-т-+^т- = 1, эллипс;
z л2 1.2	’	'	, „	,
а и	э ’
2	2
_ . X у .
2) —+ -2—= -1, мнимыи эллипс;
а2 Ь2
х2 и2
3) —+^2“ = 0, пара мнимых пересекающихся прямых;
а Ь	и 4
4)
а2 Ь2
= 1, гипербола;
2	2
а Ь
пара пересекающихся прямых;
6)	у2 = 2 рх, парабола;
7)	у2-а2 =0, пара параллельных прямых;
103
Глава 4. Липи второго порядка
8)	у2 +а2 =0, пара мнимых параллельных прямых;
9)	у2 =0, пара совпадающих прямых.
Доказательство. Пусть в некоторой прямоугольной системе
координат линия второго порядка задана общим уравнением
F(x,y) = вц*2 + 2а12ху +	+ %aix + ^а2^+ ао =
В предыдущем параграфе было показано, что, поворачивая
оси системы координат, можно добиться того, чтобы коэффи-
циент а12 в этом уравнении стал равным нулю. Теперь парал-
лельным переносом полученной системы будем добиваться то-
го, чтобы в уравнении
апх2 + а22у2 + 2axx + 2a2y + aQ =0
исчезли члены первой степени. Рассмотрим сначала случай
^0, а22
Выделяя полные квадраты, перепишем уравнение в сле-
дующем виде
z	\2 z	\2	л 2
।	а. ।	Г j	а.	вл	_
Л11	+а22 !/ + — +а0 1----~ = 0-
к	^41/	к	а22 )	^11	Л22
Это уравнение после замены переменных
г	f	^2
х' = Х + -±~, у' = у + -3-
^11	а22
и введения новых обозначений можно переписать в виде
а^х’2 +а22у'2 +a'Q=0t
что пропорционально уравнениям 1-5.
Предположим теперь, что а11=0. Тогда после замены пере-
менных
I	г	^2
х =х, у =у+-^-
в22
104
§ 4. Канонический вид у^авн^ния линии второго порядка
if t «О
X =х + —
2а,
уравнение
а11х2 + 2а12ху+а22у2 + 2а,х + 2агу+а0 = О
принимает вид
а22у'г + 2а1х> + а'о=О.
Если аг * 0, то после параллельного переноса вдоль оси Ох
. у'=у'
получим
а22у'2 + 2а1х‘' = 0,
что пропорционально уравнению 6. Если же <^=0, то уравне-
ние а22у'2 +2а1х'+а'о =0 будет иметь вид
а22У'2+ао=о
что пропорционально уравнениям 7-9.
Переименовывая в случае необходимости названия осей коор-
динат или меняя их направления, можно считать, что
1)	а2 >Ь2 в уравнениях 1-3;
2)	р>0 в уравнении 6;
3)	а2 *0 в уравнениях 7 и 8.
С этими оговорками уравнения 1-9 называются канониче-
скими уравнениями линий второго порядка.
В теореме 1 мы говорим о мнимых точках* мнимых прямых,
мнимом эллипсе, подразумевая под ними подмножества ком-
плексной плоскости. Комплексной же плоскостью называем
арифметическое двумерное комплексное пространство С2, где
С — множество комплексных чисел. Таким образом, точками
комплексной "плоскости являются упорядоченные пары (z19z2)
комплексных Писел. Выбрав на обычной плоскости л аффин-
ную систему координат Оху и отождествив точки М g л с упо-
рядоченными парами (х,у) их координат, можем рассматри-
105
Глава 4, Линки второго породив
вать вещественную плоскость как подмножество R* 2 комплекс-
ной плоскости С2. Точка (ZpZ2) комплексной плоскости назы-
вается вещественной, если обе ее координаты и г2 — веще-
ственные числа; в противном случае точка (грз2) называется
мнимой.
Но аналогии с вещественным случаем прямую на комплекс-
ной плоскости естественно определить как йинию первого по-
рядка, т.е. как множество решений уравнения первой степецц
Ах + Ву + С = Ъ. Если среди всех пропорциональных уравнений
fc(Ax + By + C)==O, задающих прямую Z, имеется уравнение, ко-
эффициенты kA,kB9kC которого вещественны, то прямую I на*
зываем вещественной. Например, прямая ix + iy = O является
вещественной, так как она может быть задана уравнением
х + у = О. Прямая x+iy=O является мйимой.
Алгебраическая линия, заданная уравнением F(x,y) = O, назь1-
вается вещественной, еслйМОЖНО найти такое комплексное число
Х^О, что все коэффициенты многочлена XF(x,y) вещественны.
Вещественная линия может не содержать ни одной вещественной
точки. В качестве примера можно взять мнимый эллипс
2	2
^+1=*
а2 Ь2
Вещественная линия
2	2
а2 Ь2
имеет единственную вещественную точку (0,0). Эта линия рас-
падается на пару мнимых прямых
£+<К-о, Л-^=о
а b а Ь
и называется парой мнимых пересекающихся прямых. Точно
талоне вещественная линия у2+а2^0 при а>0 распадается на
пару мнимых прямых y+ia-О и y-ia = 0 и называется парой
мнимых параллельных прямых.
106
§ 5. Каноническое уравнение лииик жгврого порядка
§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТАМ
Мы показали, что переходя от одной системы координат к
другой, можно от общего уравнения
F(x,y) = апх2 + Za^xy+а22у2 + 2atx + 2агу+а0 = О
линии второй порядка перейти к одному из трех видов:
1)	а11«2+а22У2+ао=<)>
2)	a22y2 +2alx = 0;
3)	a22t/2+ao=O.
Соответственно на три группы разбиваются квадратичные
функции, представленные общим многочленом F(x,i/) в исход-
ной прямоугольной системе координат. Теперь мы хотим найти
каноническое представление этих квадратичных функций по
их ортогональным инвариантам. Матрица А этих функций в
канонической системе координат имеет соответственно вид
1)
Оц 0 О
О а22 ®
О а0>
,2)
3)
О а22 О
О 0 а0>
* 0 1 #22
<#i	0	0 ?
Рассмотрим первый случай. Он характеризуется тем, что
8#0. При этом в канонической для квадратичной функции
системе координат
5 — #ц#22 , А =' #ц#22#0 > ^1	#11 > ^2 — #22 •
Поэтому уравнение 1 можно переписать следующим обра-
зом:	- '
\х2 +X2i/2 +у = 0.
Легко видеть, что следующая таблица характеризует линии
второго порядка группы 1 в зависимости от знаков чисел
Xj, Х2, д/8.
107
Глава 4. Лишки второго порядка
Эллипс	sgii Xj» sgn	4 fegn Д/8
Мнимый ЭЛЛИПС '	sgif X] =s sgn	sgn Д/8
Мнимые пересекающиеся прямые	^gnX1=sgni2, A = 0
Гипербола	sgn Xj * sgn X2, Д * 0
Пересекающиеся прямые	sgnXj 7tsgnXz, Д = 0
Ясно, что условие sgnХх = sgnХ2 эквивалентно^условию
8>0, а условие sgnXj =#sgnX2 — условию 8<0.
” Случай 2 характеризуется тем, что 8 = 0, а Д ^0 и описыва-
ет параболу. В канонической для квадратичной функции сис-
теме координат
А “ ^22^1 > ® ~~ ®22 *
> А	• ‘	•	>
Поэтому ах = ±л/~Д/5 и уравнение 2 принимает вид
При этом знак перед корнем должен быть противоположен
знаку S. Тогда получим для параболы каноническое уравнение
Осталось рассмотреть случай 3, когда 8 = Д = 0.
Предложение 4
Пусть линия второго порядка в некоторой прямоугольной
системе координат задана своим общим уравнением
F(x,i/) = a11x2 + 2щ2ху+а22у2 +2a1x + 2a2i/+a0 =0.
Тогда, если 8 = Д = 0, то
К =
а22
«2
а2 + Яц а1
ао	ао
является ортогональным инвариантом.
108
§ 5. Каноническое уравнение линпи второго Порядка
Доказательство. Надо показать, что К не меняется при
замене переменных, связывающих прямоугольные системы ко-
ординат Оху и О'х'у'. Для этого введем две вспомогательные
системы координат Ох"у"ъ О'х^у1". Система Ох"у" получается
поворотом системы Оху на некоторый угол, а система OWy”
получается параллельным переносом системы Ох”у”. Из пред-
ложения 3 вытекает, что при переходах Оху -> Ох"у" и
О'хтут -> О'х'у' число К не меняется. Поэтому достаточно по-
казать, что К не меняется при параллельном переносе
Ох"у" ->О'хшуш. Мы принтом вольны в ^выборе системы коор-
динат Ох" у". Мы ее получим из Оху поворотом на такой угол,
когда коэффициент а^2 в общем уравнении линии второго по-
рядка^ обращается в нуль. В этой системе координат матрица
Д квадратичной части диагональна
О '
а22у
Значит, Ь-а^га22. Поэтому одно из чисел ап и а22 равно
нулкь Считаем, что ап=0. Тогда в системе Ох"у"
матрица А
имеет вид
/О О
А = 0 а22
а2 .
\fh а2 ао>
Но из условия Д = 0 вытекает, что а± =0. Итак, в Системе
координат Ох"у" наша квадратичная функция представляется
многочленом
£(*'>/) = W'2 +2агу"+а0.
При параллельном переносе
х* = х"+Ь,
у" = у"+с
получаем
G(x", у")=а^у”2 + 2(а22с+а2)у”+а^с2 + 2а2с+а0.
109
Глава 4. Лишки второго порядка
Поэтому в системе О'х”'у”' число К имеет вид
&22	^2 + ^22^
#2 + ^22^ «0 + 2Л2С 4-
Следовательно,
К = ^22^0 ^"2^22^2^ + #22^ ~ ^2 *" ^^22^2^ ~~ ®22^ = ^22^0 ~ ®2 ~
Уравнение 3 можно переписать в виде
Sy2+— = 0
S
Каноническое уравнение линии второго порядка группы 3
имеет вид

Поэтому получаем при
К < 0 — параллельные прямые;
К >0 — мнимые параллельные прямые;
К = 0 —совпадающие прямые.
§ 6. ДИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА,
ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
Пусть на плоскости даны прямая I и не принадлежащая ей
точка F. Решим следующую задачу: найти на плоскости гео-
метрическое место Г точек М таких, что
£<^U>0.
pfM,/)
Рассмотрим отдельно три случая: е = 1,е<1,е>1.
1)	е = 1. Обозначим расстояние между точкой F и прямой I
через р. Введем такую прямоугольную систему координат
Оху на плоскости, что ось Ох перпендикулярна прямой I и
проходит через точку F, а ось Оу делит пополам перпенди-
куляр, опущенный из точки F на прямую I (рис, 28),
ПО
§ 6. Директориальное свойство эллииса, гиперболы, параболы
В этой системе координат точка F имеет координаты
(р/2,0), а прямая I описывается уравнением х = ~р/2. Обозна-
чим через (х,у) координаты произвольной точки М нашего
множества Г. Тогда
1P(M,F) 7(x-f)2+y2
p(M,l) |x+f|
Поскольку F el, ни числитель, ни знаменатель в нуль не об-
ращаются. Поэтому данное уравнение эквивалентно уравнению
/	/	\2
I	Р\ I	Р\	2
+У ’
V	2) V	2J
которое после приведения подобных членов превращается в ка-
ноническое уравнение параболы
/=2рх.
Итак, парабола у2 =2рх является геометрическим местом
точек М, равноудаленных от точки F с координатами (р/2,0)
и прямой Z, описываемой уравнением х~-р/2. Точка F назы-
вается фокусом параболы, а прямая I ее директрисой. Рас-
стояние р между фокусом и директрисой параболы называется
фокальным параметром, или просто параметром параболы.
111
Глава 4. Линии второго порядка
2)	е<1. Обозначим расстояние между точкой F и прямой I
через d. Существует такое число а > 0, что
, л
d = — ае.
е
Поэтому можно ввести прямоугольную систему координат
Оху9 в которой точка F имеет координаты (ае,0), а прямая I
задается уравнением х-а/е (рис. 29).
Обозначая через (х9у) координаты произвольной точки М
множества Г, имеем
_ p(M,F) _ yj(x-ae)2 +у2
е~ "	|x-f|
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения
получаем
(х-ае)2 +у2 = (ех-а)2,
или, что то же самое
(1-е2)х2 + у2 = а2(1-е2).
Разделив последнее равенство на а2(1-е2) = &2, получаем ка-
ноническое уравнение эллипса
112
$ 6. Директориальное свойства эллипса, гиперболы, параболы
Итак, нашим геометрическим местом точек является эллипс
2	2
а2 Ь2 ’
где
а =	, b = aVl-e2, Ь2<а2.
1-е2
Точка F(ae,0) называется фокусом эллипса, прямая х = а/е
— его директрисой, число е — эксцентриситетом.
Если эллипс
задан своим каноническим уравнением и не является окружно-
стью (т.е. а > b ), то, полагая
е =------,
а
получаем, что этот эллипс является геометрическим местом то-
чек, удовлетворяющих условию
c=p(M,F)
P(M,Z) ’
где точка F имеет координаты (ае,О), а прямая I задана урав-
нением х = а/е.
Окружность х2> + у2=а2 получается из эллипса предельным
переходом при & -» а. При этом е -» О, фокус переходит в центр
окружности, а директриса уходит в бесконечность.
3)	е>1. Как и в предыдущем случае, вводим такую прямо-
угольную систему координат Оху, в которой фокус F имеет
координаты (ае,О), а директриса I задается уравнением
х-а/е (рис. 30).
Повторяя выкладки предыдущего случая для нашего гео-
метрического места точек Г, получаем то же уравнение
(1-е2)х2 +у2 = а2(1-е2).
113
Глава 4. Линии второго порядка
Но теперь 1-е2 <0. Положив Ь2 = (е2 -1)а2 и разделив по-
следнее равенство на правую часть, получаем каноническое
уравнение гиперболы
2	2
а о
Итак, нашим геометрическим местом точек является гипер-
бола
а2 Ъ2 ’
где
de , Гг—7
a = -r—, 6 = aVe2-l.
е2-1
Точка F(ae,0) называется фокусом гиперболы, прямая
х = а/е — ее директрисой, число е — эксцентриситетом.
Если гипербола задана своим каноническим уравнением
2 ~ 2 •	~
X__у_ ,
а2 Ь2
то, полагая
Va2 +Ь2
е=-------,	*
а
получаем, что эта гипербола является геометрическим местом
точек, удовлетворяющих условию
.р(М,л
P(M,Z) ’
114
§ в. Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы
где точка F имеет координаты (ае,О), а прямая I задана урав-
нением х = а/е.
Вернемся теперь к каноническому уравнению эллипса
а2 Ьг
1.
Поскольку вместе с точкой (х,у) эллипсу принадлежат и
точки	и (~x,i/), он является фигурой, симметричной от^
носительно осей координат. Поэтому, отражая точку F и пря-
мую I относительно оси Оу, получаем точку F'(-ae,O) и пря-
мую V (х-~а/е), которые также являются фокусом и
директрисой эллипса, т.е. точкой й прямой, относительно ко-
торых эллипс обладает директориальным свойством
p(M,F)
Р(М,О
= е>0.
Таким образом, у эллипса
2	2
X ,у
~л+~&
а о
(а>Ь) есть два фокуса: левый Fx и правый F2. Они расположены
на оси Ох (рис. 31), которая называется фокальной осью эллипса.
Поскольку эксцентриситет эллипса е<1, его директрисы —
левая и правая 1^ — расположены от начала координат
111
Глава 4. Лилии втсрогвиорядка
дальше, чем вершины эллипса (-а,0) и (а,0), расположенные
на его фокальной оси. Поэтому директрисы лежат вне основно-
го прямоугольника
-а<х<а,
в котором лежит эллипс.
Гипербола
2	2
*___
2 l2 Х
а о
также симметрична относительно осей канонической системы ко-
ординат. Таким образом, у гиперболы также два фокуса Fx и F2
и две директрисы. Для гиперболы эксцентриситет е>1, поэтому
ее директрисы и Z2 удалены от начала координат на расстоя-
ние, меньшее а, они пересекают основной прямоугольник
-а<х<а, -р<х<Ь
и проходят между центром и соответствующей вершиной ги-
перболы (-а,О) или (а,0) (рис. 32).
§ 7. ФОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА
И ГИПЕРБОЛЫ
Теорема 2
Эллипс
2	2
Х_ ,У_
_г г к2
U и
116
§ 7. Фокальное свойство эллипсам гиперболы
есть геометрическое место точек М плоскости, для которых
p(M,F1)+p(M,F2) = 2a.
Здесь точки F1 и F2 имеют координаты (~ае,О) и (ае,О),
где
и, соответственно 6 = aVl-e2.
Доказательство. Из уравнения }
(1-е2)х2 + у2 = а2(1-е2),
полученного в § 6, находим, что у2 = (1-е2 Х^2-х2). J Поэтому
для произвольной точки М(х,у) эллипса имеем
p(M,Fx) = ^/(x + ae)2 + у2 ^Jx2 +2аех+а2е2 +(l-e2)(a2 -х2) =
= >/х2 +2aex + a2e2 + a2 -х2 - e?a2 +е2х2 == Ja2 + 2aex + e2x2 =
=^ar^ex|=a + ex,
поскольку a>|x|, а е<1.
Таким образом,
p(M,F1)j=a + ex.
Аналогично получаем
p(Af,2^) = a-ex.
Итак, всякая точка эллипса удовлетворяет условию
р(М,У1) + р(М,2?2) = 2а.
Иарборот, если точкд М(х9у) удовлетворяет уравнению
j(x + ae)2 +у2 + J(x-ae)2 -ну2 = 2a,
то после переноса одного слагаемого в правую часть и возведе-
ния в квадрат получаем
(х + ae)2 +у2 =4а2 -^4ay](x^aef +у2 +(х-ае)2+у2,
117
Глава 4. Ливии второго дорядка
или после очевидных преобразований
у/(х-ае)2 + у2 = а-ех.
Еще раз возводя в квадрат, имеем
х2 - 2аех + а2е2 + у2 = а2 - 2аех + е2х2,
или
(1-е2)х2+у2 = а2(1-е2).
Но как известно, из последнего уравнения получается кано-
ническое уравнение эллипса.
Теорема 3
Гипербола
2	2
х___= .
„2 А2 Х
а о
есть геометрическое место точек М плоскости, для которых
|p(M,F1)-p(M,Fs)|«2a.
Здесь точки Fx и F2 имеют координаты (-ае,О) и (ае,0),
где
и, соответственно b = aje2 -1.
Доказательство. Так же как и в случае эллипса, получаем,
что если точка М(х,у) принадлежит гиперболе, то
p(M,F1) =| а+ех |, p(M,F2)'=*|a-ex|.
Но теперь, в отличие от эллипса, а <| jc| и е>1. Поэтому
... f-a-ex, если х£-а, ... fa-ex, если х^а,
p(Af,F.) = <	p(M,F2) = ^
[а+ех, если х>-а;	[-а+ех, если х£а;
откуда и вытекает равенство
 -	IpCM^bpCM^I-aa.
ill

$ 8. Кривые второго порядка в полярных координатах
Обратное утверждение доказывается аналогично соответст-
вующему утверждению теоремы 2.
§ 8. КРИВЫЕ BTOPOTQ ПОРЯДКА ,
В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ v и
8.1. Уравнение эллипса, гиперболы
и параболы в полярных координатах
' А
1) Парабола. Поместим полюс полярной системы координат в
фокус параболы, заданной в прямоугольной системе коорди-
нат Оху каноническим уравнением у2 = 2рх, а полярную
ось направим в положительную сторону оси Ох (рис. 33).
г = FM = MN = N'F + FMt = р + г coscp.
Следовательно, в выбранной нами полярной системе коорди-
нат парабола описывается^равнением
2) Эллипс. Поместим полюс полярной системы координат в ле-
вый фбкус эллипса, заданного каноническим уравнением
119
Глава 4. Линии второго порядка
&. полярную ось направим в положительную сторону оси Ох
(рис. 34).
- 4
В этой системе координат имеем x+ea = rcos<p, или
x = rcos<p-ea. Но при доказательстве теоремы 2 было показано,
что г = а + ех. Поэтому
г = а + e(r coscp-ед) = а(1 е2er coscp,
. Г /X
откуда
3) Гипербола. Поместим поЛйзб.полярной системы координат в
'правый фокус гиперболы, заданной каноническим уравнением
'•*••• ( 7 I ,	2	2
,	£__JL=i
а полярную ось направим в положительную
(рис. 35).
сторону оси Ох
Рис. 36
120
§ 8. Кривые второго порядка в полярных координатах
В этой системе координат имеем х-еа = гсо8ф, или
х = гсовф + еа. Но при доказательстве теоремы 3 было показано,
что для правой ветви гиперболы г = -а + ех. Поэтому
г = -а + е(г созф + еа) = а(е2 -1) + ег созф,
Пусть Г — эллипс, гипербола или парабола, В канониче-
ской системе координат фокусы этих кривых второго порядка
лежат на оси Ох, которая называется фокальной осью соответ-
ствующей кривой. Проведем через какой-нибудь фокус F кри-
вой Г прямую, перпендикулярную к ее фокальной оси. Эта
прямая пересечет кривую Г в двух точках, расстояние между
которыми обозначим через 2 р. Тогда число р называется фо-
кальным параметром кривой Г.
Для параболы фокальный параметр совпадает р .ее, парамет-
ром. В самом деле, обозначив через I директрису параболы,
имеем (см. рис. 33)
p = p(F4)=FN' = KN1=FN1
согласно директориальйому свойству параболы.
Теперь найдем фокальный параметр эллипса и гиперболы.
Он равен ординате у точки N (см. рис. 34 и 35). Из уравнения
(1-е2)х2+у2 = а2 (1-е2),
полученного в § 6, имеем
у2 =(1-е2Ха2-х2).
Подставив в это уравнение х = ±еа и р = р, находим
р2=(1-е2)2а2,
или	________
р-|1-е2 la-
121
Глава 4. Лиши второго порядка
Учитывая, что для эллипса и гиперболы выполнено соотно-
шение
получаем
я
р=—.
а
Таким образом, учитывая, что для параболы е-1, уравнение
эллипса, гиперболы (ее правой ветви)* и параболы в соответст-
вующим образом выбранной полярной системе координат мож-
но записать следующим образом:
Р
l-ecos<p
Левую ветвь гиперболы также можно описать этим уравнени-
ем, поместив полюс в левый фокус гиперболы и направив по-
лярную ось в отрицательную сторону оси Ох.
§ 9. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПРЯМОЙ
Рассмотрим линию второго порядка Г, заданную в некото-
рой аффинной системе координат Оху общим уравнением
+ 2а12ху+а22у2 +2а1х+2а2у + а0 =0,
и прямую I, заданную параметрическими уравнениями
{х = х0 + а#,
y=yQ+$t.
Найдем точки пересечения прямой / с линией Г. Для этого
надо подставить координаты точек прямой / в уравнение ли-
нии Г. Сделав это, получаем относительно параметра t урав-
нение не более чем второй степени
F2t2 +2Flt + F(i=fO,
I
122
§ 9. Пересечение линии второго порядка с прямой
где
=22(а’₽) = в11а2 +2О12а₽ + а22₽2 >
Л =Г1(а,р,х0,1/0) = а11ах0 +а12(ау0 + Px0) + a22Py0
— F (х0,у0)-^цХ0 +2a12x0i/0 +o22j/g +2ejX0 + 2o2i/0 +а0.
Скажем, что направляющий вектор]^ = {а,р} прямой I имеет)
асимшпотическое направление^о отношению к линии Г Лесли]
Лц“1+	+ <122&2tOJ
Отметим, что это определение не зависит от аффинной сис-
темы координат, в которой задано уравнение линии Г. В самом
деле,
I ОС 1
Г2(а,Р) = (а,Р)Д| L
где — матрица квадратичной части квадратичной функции
/, представленной в системе координат Оху многочленом
F(x,y). Пусть теперь О’х’у* — другая аффинная система коор-
динат, и переход от системы Оху к системе О’х'у’ осуществля-
ется по формулам
(х = спх’+с12у’ + с19
[у = с21х’ + с22у’ + с2.
Пусть
с= с"
\С21
С12^
С22 J
— матрица перехода от системы Оху к системе О’х’у’; G(x’,y’)
— многочлен, представляющий квадратичную функцию f в
системе О’х’у’. Тогда
а] Га'] *	%	'*
р1 = СЫ’ (а,₽) = (а,₽')С‘ и Д'=С‘ДСв
123
Глава 4. Линии второго порядка
где А[ — матрица квадратичной части функции f в системе
координат О'х'у'у а {а',Р'} — координаты вектора а в этой сис-
теме координат. Поэтому
(ОС ।	(01 I
<?2(а',Р') = (а'.р')А' 1,1=(а',Р')С*р, I =
= (а»Р)Д^ = .Р2(а,Р).
Из исследования уравнения F2t2 + 2Fxt + F0 =0 для параметра
t точек пересечения прямой I и линии Г вытекает
Теорема 4
Если прямая I имеет неасимптотическое напыление
отношению клиниивторого порядка Г,^то I пересекаетли^
н$ю Г вдвух вещественных точках (различных или совпа в
или в двухгмнимых точках. Если-ж&прямсмТ^
ЬримптощАческое на$ШэШ!№, ^
ся а лиыш^Х^либр
Если прямая I имеет асимптотическое направление относи-
тельно линии второго порядка Г, то всякий ее направляющий
вектор является вектором асимптотического направления.
Асимптотическим направлением линии второго порядка^
назовем класс {ос: Р} всех „ненулевых векторов, пропорционал^-
Й£1х какому-нибудь вектору а = {а,р} асимптотического направо
шения. |Такой класс однозначно определяется отношением ко-
ординат а/Р или P/а входящих в него векторов.
Из условия
апа2 +2а12ар + а22р2 =0,
определяющего асимптотические направления, вытекает, что
всякая^иния^торого порядк^имее’Ддаа асимпт^
Правлен и некоторые могут быт!» вещественными и различным^,
^вещественными и совпадающими или мнимыми^ В самом деле,
124
§ 9. Пересечение линии второго, породна с прямой
по крайней мере один из трех коэффициентов ап,а12>а22 отли-
чен от нуля. Если *0, то разделив данное уравнение на р2,
для определения асимптотических направлений {а,р} получим
квадратное уравнение
2
+ 2«!2
а	Л
— +^22=0,
Р J 22
откуда
а _ fl12±Vg12 gnfl22
₽~ «11
Если а22 0, то для определения отношения а/Р имеется
уравнение
+ 2a12f£-j + a11 =0,
откуда
Р _ ~g12 — >/gl 2 ~~gUg22
a
g22
Наконец, если an =a22 =0, то равенство примет вид
2d12aP = 0,
откуда {а:р} = {0:1} и {а: р} = {1:0}.
г Линию второго попятткя ттяяктвяем линией эллиптического,
гиперболического или параболического типа, если соответст-
венно 8>0,8<9 или 8 = 0. Число 8=)<Aj, являясь ортогональ-
ным инвариантом квадратичной функции f, может изменяться
при переходе от одной аффинной системы координат к другой.
Но из формулы A[-C*Afi вытекает, что лтри, таких переходах
не меняется знак этого числа. Более того, при умножении
квадра’Гйчной функции 7 на инвариант 8 умножается на
_fe2. Таким образом, для данной линии второго порядка Г4 знак
числа 8 не зависит ни от аффинной системы координат, ни от
125
Глава 4. Линии второго порядка
уравнения второй степени, с помощью которого она записыва-
ется, т.е. sgn8 является инвариантом линии Г.
Теорема 5
Линии второго порядка характеризуютсячисломивидо^
1 асимптотических направлений
1)	линии эллиптического типа имеют мнимые асимптотиче-
ские направления;
2)	линии гиперболического типа имеют различные вещест-
венные асимптотические направления;
3)	линии параболического типа имеют совпадающие вещест-
венные асимптотические направления.
Эта теорема фактически была доказана при исследовании
общего уравнения линии второго порядка, поскольку дискри-
минант квадратного уравнения
Z \2	Z X	z \2	Z X
(а ] о [ а ) о	( В ) л ( В)
а11 hr +2а12 -г +а22=° или а22 - +2а12 — +ап=0
КРУ kP7	\&J	J
есть af2 -апа22 = -8, а в случае ап =а22 =0 имеем два различных
асимптотических направления и 8 = -af2 <0.
Предложение 5
Прямая Ах+Ву+С=0 содержится в линии второго поряд-
ка F(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда многочлен F(^,y)
делится на многочлен Ах + Ву + С без остатка.
Доказательство. Достаточность очевидна. Проверим необ-
ходимость. Предположим, что В^О, и рассмотрим многочлен
F(x,y) как многочлен от у. Тогда
F(x,y) = a22y2 + c1(x)i/ + c2(x),
где
с1(х) = 2а12х + 2а2, а с2(х) = аих2+2^X4-^.
Положим
В(х, у) = Ах + Ву + С
126
§ 9. Пересечение линии второго порядка с прямой
и поделим F(x,y) на D(x,y) как многочлены от у. Тогда
F(x,y) = G(x, y)D(x, у) + R(x).
Степень многочлена R(x) как многочлена от у меньше сте-
пени D(x,y), поэтому R(x) не зависит от у. Нам надо пока-
зать, что В(х) = О. Предположим, что В(хо)^О для некоторого
xQ. Поскольку В9*0, существует такое у0, что P(xo,i/o) = O. То-
гда точка (x0,z/0), будучи на прямой D(x,y) = 0, принадлежит
линии F(x,i/) = 0. Следовательно,
о = F(x0, у0) = G(x0 ,у0 )D(x0, у0)+Я(х0) * 0.
Противоречие. Аналогично разбирается случай А*0.
Предложение в
Никакие три точки эллипса, гиперболы или параболы не
лежат на одной прямой.	i
Доказательство. Если три точки линии второго порядка
лежат на одной прямой Z, то согласно теореме 4 прямая I имеет
асимптотическое направление и целиком содержится в Г. По-
этому эллипс отпадает, поскольку у него вообще нет асимптоти-
ческих направлений. Асимптотические направления параболы
у2 =2рх определяются из уравнения р2=0 и имеют вид {1:0}.
Прямая такого направления параллельна оси Ох, имеет урав-
нение у = с и пересекается с параболой в единственной точке
(с2/2р,с). Асимптотические направления гиперболы
*
2	2
х__!/_ = 1
Л2 А2 1
а о
определяются из уравнения
^_£=о
2 t2 w
а Ь
и имеют вид {а:0} = {а:±&}. Прямая асимптотического направ-
ления записывается параметрическими уравнениями
x-t, y = y0+—t.
127
Глава 4. Линии второго порядка
Для параметра t точки пересечения прямой и гиперболы
получаем уравнение
t2 (y0±|t)2
а2 Ь2
а после приведения подобных членов
Т2-^ = 1+4-
ab Ь2
Но это уравнение относительно t имеет не более одного ре-
шения, поскольку правая часть отлична от нуля.
§ 10. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
ДЛЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теорема 6
Всли_ на плоскости даны пятъ^различных точек
= из которых никакие четыре не лежат на одноипр^-
Яой, то-~ существует единственная линия второго порядка^
' проходяшаяяерезэти точкиА
Доказательство. Покажем, что для данной аффинной сис-
темы координат Оху существует единственный с точностью до
пропорциональности такой многочлен F(x,y) второй степени,
что координаты точек М., г = 1,...,5, удовлетворяют уравнению
F(x,y) = 0. Обозначим неизвестные коэффициенты многочлена
f следующим образом:
Лц=21, 2a12=z2, #22 =£3, 2ах =£4, 2a2=z5, #0=^6*
Пусть точки М. имеют координаты (х19у.). Тогда для нахо-
ждения коэффициентов многочлена F получаем систему из пя-
ти однородных уравнений с шестью неизвестными z1,...,z6:
Zjxf + z2x.yi + z3y2 + z4x. +z5y. +z6 =0, i = 1,...,5.
Такая система имеет ненулевое решение. Более того, реше-
ние такой системы единственно с точностью до пропорциональ-
128
§ 10. Теоремы единственности для линии второго порядка
ности, если уравнения линейно независимы. Итак, надо пока-
зать, что в нашем случае система линейно независима.
Предположим, что это не так. Тогда одно из уравнений
системы, например пятое, линейно выражается через осталь-
ные. Это означает, что всякая линия второго порядка, прохо-
дящая через точки М1,...,М4, проходит и через точку М5.
Здесь логически возможны два случая:
1)	Некоторые три точки из М1У..,,М4 лежат на одной прямой;
2)	Никакие три точки из М1,...,М4 не лежат на одной прямой.
Рассмотрим первый случай. Пусть точки М^М2,М3 лежат
на одной прямой I, По условию теоремы точки М4 и М5 не
лежат на этой прямой. Через точку М4 можно провести пря-
мую т, пересекающую прямую Z и не проходящую через точ-
ку М5. Тогда линия второго порядка, состоящая из двух пря-
мых I и т, проходит через точки Мр...,М4 и не проходит
через точ$су М5.
Рассмотрим второй случай. Обозначим через lif прямые,
проходящие через точки и Му . Тогда пара прямых и ^4
образуют линию второго порядка Г\, а пара прямых ^4 и 123
образуют линию второго порядка Г2. Из того, что никакие три
точки среди точек М1,...,М4 не лежат на одной прямой, легко
извлекается, что Гх пГ2 = {М1,М2,М3,М4}. Но по предположе-
нию кривая Г., содержа точки М1,...,М4, должна содержать и
точку М5. Значит, и пересечение кривых Г\пГ2 должно со-
держать точку М5, что не имеет место.
Теорема 7
- Пусть в некоторой ~	Системе коордйШтП
Уравнения^второй степени F(x,y) = 0 м G(xry)=Q определяют ♦
^дцулипши дорогопорядка Г, содержащую болееодноивеще^
^твенноитоякъиТогдам	. F.. u_G_ т^опорциональны^
Доказательство, Легко видеть, что на эллипсе, гиперболе,
параболе, паре пересекающихся и паре параллельных прямых
5-8327	129
Глава 4. Линии второго порядка
существуют пять различных точек, никакие четыре из которых
не лежат на одной прямой. Поэтому для этих линий второго
порядка наша теорема единственности вытекает из теоремы 6.
Остается рассмотреть случай, когда Г является парой сов-
падающих прямых, поскольку остальные линии второго поряд-
ка содержат не более одной вещественной точки. Пусть прямая
I, из точек которой состоит линия Г, задается уравнением
Ax + Bi/ + C = O.
Тогда согласно предложению 5 имеем
G(x,y) = (Ах + Ву + С)(А2х + В2у + С2).
Но поскрльку линия Г > является парой совпадающих пря-
мых, уравнения Atx + Biy±Ci =0, i = 1,2, описывают одну и ту
же прямую I. Следовательно, многочлены Aix-^-Biy + Cl пропорг
циональны многочлену Ax + By + C = Q, что следует из соответ-
ствующего результата для линий первого порядка. ?
*
§11. ЦЕНТРЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теорема 8
Если точка MQ(xQ,yQ) является центром симметрии линии
второго порядка Г, содержащей по крайней мере одну точку и
определяемой в некоторой аффинной системе координат своим
общим уравнением
Е(х9у) = апх2 + 2al2xy + a22y2 +2a1x + 2a2i/ + a0 =0,
mo
fOnXo+^o+^l =°>
[^Хо+а^о+а^^ О.
Доказательство. Перенесем начало координат в точку
O' = Af0(x0,r/0), т.е перейдем к новым координатам х',у' по фор-
мулам
х = х' + х0, у = у' + у0.
130
§11. Центры линий второго порядка
Тогда в новой системе координат О'х'у9 имеем
14' =auxo+Wo+ai’
|^а2 = а12х0 + ^22% + ^2 •
Таким образом, исходная задача свелась к следующей: если
0(0,0) — центр симметрии непустой линии второго порядка,
то ах =а2 =0.
Возьмем произвольную точку М^х^у^еГ. Тогда
М2 (-х1, -ух) е Г. Следовательно,
О = F(xt, yj -F(-Xj ,-yt) = 40^ + 4a2yt.
Значит, если а^О или а2*0, то вся линия Г лежит на
прямой, заданной уравнением а1х+а2р = 0. Тогда G — либо па-
ра совпадающих прямых, либо пара мнимых пересекающихся
прямых. В первом случае согласно теореме 7 имеем
F(x,y) = k(aix+a2y)2.
Но это противоречит тому, что линейная часть многочлена
F отлична от нуля.
Во втором случае точка 0(0,0) также принадлежит линии
Г, откуда получаем, что ао=О. Пересечение оси Ох с линией
Г оцисывается уравнением F(x,0) = 0, т.е.
апх2 + 2atx = 0.
Из условия ОхпГ = {0(0,0)} вытекает, что это уравнение
имеет единственное решение х = 0. Но пара мнимых пересе-
кающихся прямых является линией эллиптического типа. Зна-
чит, в нашем случае 8>0, в частности, ап^0. Следовательно,
из единственности решения уравнения апх2 +2а1х = 0 вытекает,
что аг =0. Аналогично показывается, что а2 =0.
Определение 4
Если координаты точки MQ(xQ,yQ) удовлетворяют системе
1X1*0 + “12%+Д1 =0>
1«12*О+а22Уо+а2=О>
131
5
Глава 4. Линии второго перядка
то точка MQ называется центром линии второго порядка
апх2 + 2а12ху + а22у2 + 2ахх + 2а2у + а0 = 0.
Покажем, что это определение не зависит от аффинной сис-
темы координат, в которой рассматривается уравнение линии
второго порядка. То, что точка Af0(x0,y0) удовлетворяет данной
системе уравнений, в матричной форме можно переписать сле-
дующим образом:
ГОЛ
(41	«12	«1"!
A yQ = 0 , где
А — #12 #22 #2 ’ б/— (IjXq +	+ #0*
< #1 а2 #0)
Пусть теперь О'х'у' — другая аффинная система координат
и переход от системы Оху к системе О'х'у' осуществляется по
формулам
Х = С11Х, + С12у' + С1,
у = с21х'+с22у' + с2.
Тогда, обозначив через D матрицу
D =
получаем
С2
С12 С1
#22 С2
0 1
0
d
132
§11. Центры линии второго порядка
Таким образом, если координаты (х0,у0) точки MQ в систе-
ме Оху удовлетворяют системе уравнений для определения
центра, то координаты (Xq,^) этой же точки в системе О'х'у'
удовлетворяют аналогичной системе уравнений
(а^+а^+а^О,
®22^0 ®2 = О’
Отметим также, что попутно доказано равенство
+ а'2У'о + «о =	+ а2Уо + ао •
Предложение 7
Всякий центр линии второго порядка является центром ее
симметрии.
Доказательство. Пусть М0(х0,г/0) — центр линии второго
порядка Г, описываемой в аффинной системе координат Оху
своти общим уравнением
i
anx2 + 2а12ху + а22у2 + 2агх + 2а2у + а0 = 0.
Тогда осуществим параллельный перенос начала координат
в точку M0(x0,z/0).
В силу равенств
fa11xo+a12i/o+a1=O,
1^12^0 + ^22% + #2 = 0
И
Г = ^11^0 + ^12^0 +	’
\а!2^а12х^л-а22у^^а2
получим, что
а[=а'2=Ъ.
Это означает, что для многочлена G(x',y')> соответствующего
многочлену F(x,y) в системе О'х'у', имеем G(x',y') = G(-x',y'),
т.е. новое начало координат является центром симметрии на-
шей линии Г.
133
Глава 4. Линии второго порядка
Теорема 9
Количество центров линии второго порядка характеризу-
ется следующим образом
1) 5 * 0 — один центр;
2) 8 = Д = 0 — прямая линия центров;
3) 8 = 0, Д* О — центров нет.
Доказательство. 1) Прямые
ацХ + а^у + а! = 0 и а12х + а22у + а2 =0
пересекаются по одной точке тогда и только тогда, когда
°п °12
а12	а22
а это эквивалентно тому, что 8^0.
2) Если уравнения системы
an^o+ai2%+ai=0’
012^0 + ^22^0 + ^2 = О*
для определения центров пропорциональны, то пропорцио-
нальны первые две строки матрицы
А -
ап
®12
а22
«1'
а2
а2
и, следовательно, 8 = 0 = Д. Пусть теперь 8 = 0 = Д. Из условия
8 = 0 вытекает, что по крайней мере один из коэффициентов
ап и а22 отличен от нуля. Предположим, что ап^0. Тогда в
силу пропорциональности строк матрицы
А1=(а11 012
\ а12	а22 >
существует такое число fe, что
а^2 = kan, а22 = ka12.
134
§12. Асимптоты и сопряженные диаметры
Раскроем определитель А
по третьей строке:
а11
Л12
а12
а22
ai
а2
= ai
°12	<*1
&22	#2
а2
Оц Oj
Д12 а2
+a08 = (*a1-a2)
Лц
а12
«1
<*2
Тогда, если каг - а2 = О,
то уравнения системы пропорцио-
нальны. Если же
ап
#12
^=0,
«2
0 = Д =
то с учетом неравенства ап 0 вторая строчка этого определи-
теля получается из первой умножением на некоторое число,
которое равно k. Следовательно, снова ka^ = а2.
Утверждение 3 является следствием двух рассмотренных
случаев.
§ 12.	АСИМПТОТЫ И СОПРЯЖЕННЫЕ
ДИАМЕТРЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
12.1.	Асимптоты. Уравнение гиперболы
в асимптотах
Определение 5
Асимптотой линии второго порядка Г называется всякая
прямая асимптотического направления, проходящая через
центр линии Г.
Предложение 8
Линии второго порядка характеризуются числом своих
асимптот следующим образом:
1)	Гипербола и пара пересекающихся прямых имеет две асим-
птоты.
135
Глава 4. Линии второго порядка
2)	Параллельные прямые (различные, совпадающие или мни-
мые ) имеют одну асимптоту.
3)	Остальные линии второго порядка асимптот не имеют.
Утверждения 1) и 3) вытекают из классификации линий
второго порядка по числу асимптотических направлений и цен-
тров. Утверждение 2) вытекает из того, что линия центров па-
раллельных прямых имеет асимптотическое направление.
Рассмотрим гиперболу Г, заданную каноническим уравне-
нием
2	2
J/_ = 1
л2 Ъ2 Х
а о
в некоторой аффинной системе координат Оху. Асимптотиче-
ские направления {а: Р} этой гиперболы находятся из уравнения
^_₽1=о,
z.2	1»2	’
а о
откуда получаем два решения
{а:р} = {а:Ь}, {а:₽} = {«:-*>}•
Центр гиперболы находится в начале координат. Следова-
тельно, асимптоты гиперболы имеют уравнения
*-£=0, ^=Q.
a b а b
Перейдем к новой системе координат О'х'у', полагая
Тогда уравнение гиперболы
£_^Y-+-1=i
а Ьда b)
в новых координатах записывается следующим образом:
х'у' = 1.
136
§ 12. Асимптоты и сопряженные диаметрй
Оси новой системы координат являются асимптотами гипер-
болы, а полученное уравнение называется уравнением гипербо-
лы в асимптотах.
Асимптоты гиперболы на самом деле являются ее асимптота-
ми в том смысле, что точка М гиперболы, перемещаясь по од-
ной из ее ветвей в бесконечность, становится сколь угодно близ-
кой к одной из ее асимптот. В самом деле, покажем, что когда
точка M(xQ,yQ) перемещается по верхней части правой ветви
гиперболы в бесконечность, ее расстояние до асимптоты I
*-у=о
а b
стремится к нулю. Согласно формуле расстояния от точки до
прямой на плоскости имеем
yja +Ь
Но в то же время, из равенства
Va ЬДа Ь)
вытекает, что
,	а о
Ьх0 -ау0 = -----.
Ьх0 +ау0
Поэтому, поскольку х>0,1/>0, расстояние
р(ЛГ ,0 = , Ь----------
yla2+b2 (bx0+ay0)
от точки M(x0,y0) до прямой I стремится к нулю при
х0,У0~>+°о-
12.2.	Сопряженные диаметры
и сопряженные направления
Согласно результатам § 9 прямая I неасимптотического на-
правления пересекает линию второго порядка Г в двух точках
137
Глава 4. Линии второго порядка
Мг и. М2 (различных, совпадающих или комплексно сопря-
женных). Пусть MQ — середина отрезка (хорды) AfxAf2. Ре-
шим задачу отыскания всех середин хорд, параллельных дан-
ному неасимптотическому направлению.
Пусть линия Г задана общим уравнением
F(x,y) =	+ Za^xy + а22у2 + 2atx+?а2у + aQ = О
в аффинной системе координат Оху, а прямая I неасимптоти-
ческого направления задана параметрическими уравнениями
х = х0+а#, !/ = !/о+Р*-
Предположим, что точка M0(xQ,yQ) является серединой хор-
ды МХМ2, высекаемой линией Г на прямой I. Пусть коорди-
наты точек Мг и М2 получаются из уравнений прямой I при
значениях параметра и t2 соответственно. Поскольку точка
Мо является серединой хорды МЛМ2Г^ ее координаты (xQ,yQ)
соответствуют значению параметра t = 0, имеем £х+£2=0. По-
этому, по теореме Виета
Fx = апах0 + а12(ау0 + 0хо)+а22ру0 +	+ а2р = 0.
Перегруппировывая члены этого уравнения, получаем, что
всякая середина М(х,у) хорды неасимптотического направле-
ния {а: р} удовлетворяет уравнению
«(ОцХ+а12у + ) + Р(а12х + аггу + аг) = 0.
Это есть уравнение первой степени. В самом деле, если
aau+(Ja12=0 и aa12+Pa22=0,
то направление {а: Р) асимптотическое, поскольку эти равенст-
ва эквивалентны матричному равенству
(<х,р) Г11
\Л12
а12
а22/
= (0,0).
138
§ 12. Асимптоты и сопряженныеда^аметры
Таким образом, нами доказано.
Предложение 9
Все середины М(х,у) хорд данного неасимптотического на-
правления {а: Р} линии второго порядка Г, заданной своим
общим уравнением
F(x,y) = апх2 + Яа^ху + а22у2 + 2а^х + 2а2у + а0 = О
в аффинной системе координат Оху лежат на прямой, за-
данной в этой же системе координат уравнением
а(апх + а12у + аг) + $(а12х + а22у+а2) = 0.
Таким образом определенная прямая называется диаметром
линии второго порядка Г, сопряженным данному неасимпто-
тическому направлению {а:|3}, И нрихидит черёё все центры
линии Г. На рисунках 36,37 и 38 изображены диаметры эл-
липса, параболы и пары параллельных прямых.
Рис. 37
139
Глава 4. Ливии второго порядка
Рис. 38
Покажем, что это определение не зависит от аффинной сис-
темы, в которой мы рассматриваем уравнение данной линии. В
системе координат Оху уравнение сопряженного диаметра
можно записать в виде
(а,Р,О)А у =0,
1
где
	41	Л12	«1"
А =	Л12	а22	а2
	< а1	а2	ао>
Пусть теперь О'х'у' — другая аффинная система координат
и переход от системы Оху к системе О'х'у' осуществляется по
формулам
х = спХ'-^с12у'^с19
у = с21х' + с22у' + с2.
Тогда, обозначив через D матрицу
	41	^12	4		(с с 0^ 41	41 u
£> =	41	С22 С2	, D* =	С12	С22	0
	—X О Ф 	У		<4 С2 1 j
получаем
(a,P,0) = (a',P',0)D*.
140
$ 12. Асимптоты и сопряженные диаметры
Имеем далее
( х1
X'
1
1
X
(а',р',О)А' у' = (а', р',О)П*AD у' =(а,р,О)А у .
1J
’ Таким образом, *в системе координат (Ух'у'- мы получаем
аналогичное уравнение.	ш
Определеннее
Направления	и a2={a2’P2} называются сопря-
женными относительно линии второго порядка Г, заданной"в
аффинной системе координат Оху общим уравнением
F(x,y) = anx2 +2a12xy+a2Zy2 +2a1x+2a2y+aQ =0,
если
W2 +<*12(a1P2 +a2p1)+a22p1P2 =0.
Это равенство в матричной форме можно записать следую-
щим образом:
Мы знаем, что при переходе к новой системе коррдцнат
О'х'у' координаты векторов и матрица квадратичной части из-
меняются по правилу
(a,P) = (a',P')C*, (“WH, А'=С*АС, C = fC11 °12\
\Р/ \Р J	\С21 C22j
Поэтому
\ Рг )	\ Рг )	\ Рг )
Таким образом, определение сопряженности направлений
и а2 не зависит от аффинной системы координат, в которой
мы рассматриваем уравнение линии Г.
Асимптотические направления — это направления, которые
сопряжены самим себе, т.е. самосопряженные направления.
141 -
Глава 4. Линии второго порядка
Направление, сопряженное любому направлению, называется
особым направлением данной линии второго порядка.
Предложение 10
Особые направления — это асимптотические направления
А^аболиче^^	Даа пггпалънЫХ ЛиШ~Ш00МГИи-
правлению сопряжено равно одно направление.
Доказательство. Возьмем произвольное направление
{a^PJ и найдем все сопряженные ему направления {а2 :02}
относительно данной линии второго порядка Г из уравнения
ОцОС^ +a12(a1P2 +a2₽1)+a22₽1P2 =0.
Оно является однородным уравнением первой степени отно-
сительно неизвестных а2 и 02. Поэтому это уравнение имеет
единственное решение, если
(арРЗД *(0,0),
а в противном случае всякое направление является его решени-
ем. Но если 8 =1^ |^0, то выполняется условие (04,03^ *(0,0),
поскольку в противном случае строки матрицы линейно за-
висимы с коэффициентами ах и 0Р Это нам доказывает вторую
часть предложения.
Что касается первой части предложения, то в силу самосо-
пряженности особого направления достаточно проверить, что
асимптотическое направление {а1:01} параболической линии
является особым. Поскольку условие сопряженности направле-
ний не зависит от выбора системы координат, достаточно рас-
смотреть уравнение параболической линии у2=Н(х) в канони-
ческой системе координат, где Н(х) — многочлен степени <1.
Тогда
A=(]J Ji {а1:Р1} = {1:0} и (ахД)А =(0,0).
Предложение 11
Направление диаметра, сопряженного направлению {а: 0},
сопряжено этому направлению.
ТО
§ 13. Касательные к лцниям второго порядка
=='	---II	.	asMgsgsaagssggs
Доказательство. В качестве направляющего вектора прямой
а(апх+а12у+а1)+Р(а12х+а22у+а2) = О
можно взять вектор
е = {аа12 + ра,.,,-аац -|3а12}.
В то же время
(а.₽)А =(аоц ч-Ра^аа^ +Ра22),
поэтому согласно определению сопряженных направлений век*
тор е сопряжен вектору {а,Р}.
Предложение 12
центральной линии Г любая прямая неасимптотиче-
ского напрд.плрщ1а	церез центр, является диа-
метром, сопряженным некоторому направлению.
Доказательство. Пусть а — направляющий вектор данной
прямой I неасимптотического направления. Согласно предло-
жению 10 существует единственный с точностью до пропор-
циональности вектор Ъ, сопряженный вектору а, Вектор Ъ не
может быть асимптотического направления, поскольку в про-
тивном случае ему были бы сопряжены по крайней мере два
различных направления: а и Ь. Рассмотрим диаметр т, со-
пряженный направлению Ь. Тогда в силу предложения 11 век-
тор а является направляющим вектором для прямой т. Кро-
ме того, диаметр т проходит через центр линии Г и,
следовательно, совпадает с прямой I.
§ 13. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИЯМ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Берем снова линию второго порядка, заданную в произволь-
ной аффинной системе координат уравнением
F(x,y) = aux2 +2a12xy + a22i/2 +2a1x+2a2i/ + a0 =0.
143
Глава 4. Линии второго порядка
Будем называть точку Af0(x0,y0), лежащую на этой линии,
неособой, если среди чисел
«11^0 Я12У0 +	’ ^12^0 + ^22^0 + &2
есть хотя бы одно, не равное нулю. Ясно, что точка Мо, лежа-
щая на линии второго порядка, является особой, тогда и только
тогда, когда она является центром этой линии. Таким образом,
среди линий эллиптического типа только линия, распадающая-
ся на две мнимые пересекающиеся прямые, имеет особую точку
(это точка их пересечения); среди линий гиперболического типа
особую точку имеет пара пересекающихся прямых (это также
точка их пересечения) и, наконец, среди линий параболическо-
го типа особые точки имеет пара совпадающих прямых (особы-
ми точками являются все точки пря&бй, с которой совпадают
рассматриваемые прямые).
Рассмотрим уравнения прямой
fx = x0 +at,
' \у = У0
проходящей через данную неособую точку M0(x0,z/0) линии Г,
заданной в некоторой аффинной системе координат уравне-
нием
F(x,y) = anx2 +2а12ху + а22уа/+2а1х+2а2у+а0 =0.
Подставляя в уравнение линии Г вместо переменных х,у
их выражения из параметрических уравнений прямой I, полу-
чим относительно t уравнение не более чем второй степени
F2t2 +2F^+F0 =0,
где
F2 = F2(a,p) = a11a2 +2a12ap+a22p2,
Fx = F1(a,p,x0,i/0) = anax0 +a12(ay0 +Px0)+a22pi/0 +ala + a2^,
^0 =P(x0,y0) = allx^ +2a12x^y0 +a22y2 +2arx0 +2a2y0 +a0.
144
§ 13. Касательные к линиям второго порядка
Но по предположению точка M0(x0,z/0) лежит на данной ли-
нии, поэтому FQ=F(xQ9yQ) = 0 и последнее уравнение принимает
вид
F2f2+22^ = 0.
Одним из корней этого уравнения является t = 0, при этом
значению параметра t = 0 соответствует точка Af0(x0,y0). Рас-
смотрим случай, когда и второй корень уравнения F2t2 +2FJ = 0
также равен нулю, т.е. прямая I пересекает линию Г в дву-
кратной точке или сливается с прямой, входящей в состав дан-
ной линии. Для этого необходимо и достаточно выполнение ус-
ловия Fx =0, т.е.
ОцОСХо + «12(аУо + ₽*о)+"ггРУо + «ia + a2₽ = °>
ИЛИ
«(«11^0	+^1) + PC#12#o +^22^0	=
Таким образом, координаты направляющего вектора прямой
I равны
(X = ~(Л12Я() + ^22^0 #2 )> Р = ®11^о + ^12% ^1 *
Этот вектор ненулевой, так как по предположению точка
М0(х0,г/0) неособая. Если вектор {а,£}, координаты которого
определяются полученными соотношениями, неасимптотиче-
ского направления, т.е.
F2 = ana2 +2a12aP+a22P2 *0,
то прямая I пересекает линию Г в двукратной точке, а если
вектор {а,0} имеет асимптотическое направление, т.е.
F2 =апаг + 2a12ap+a22p2 =0,
то прямая I входит в состав этой линии.
Итак, уравнение прямой I имеет вид
(х = xQ — (#12х0 + a22z/0 + Я2 )£,
[у = Уо + (апхо + Mo + <h
145
Глава 4. Линии второго порядка
или
(^11^0 + ®12^0 + X* ~ *о ) + (^12^0 ^22^0 ^2 Xj/ ~ Уо ) = ®»
ИЛИ
+ ^12^0 +	)^ + (^12^0 + ^22^0	^2	°” ^11^0 ~
-2а12х0у0 -а22у20 -а^ -а2у0 =0,
а так как
Fo = ®iixo +2®12хоУо + Wo + 2«ixo +2ад> +°0 =0»
то окончательно
(апХ0 +<Wo +а1)х+(а12хо +аггУо +а2)У + а1хо +агУо +ао =°-
Определение 7
Пусть линия Г в некоторой аффинной системе координат
задана своим общим уравнением
F(x9yj=anx2 + 2а12ху+а22у2 +2а1х+2а2у+а0 =0
и точка M0(x0,z/0) — неособая точка этой линии. Прямую I,
заданную в этой же системе координат уравнением
(ОцХо +W0 + ®1 )х+(а12хо +а22Уо +а2)у+
+а1хо+а2уо+ао=О
будем называть касательной к линии Г в точке MQ.
Покажем, что это определение не зависит от выбора аффин-
ной системы координат, в которой мы рассматриваем уравне-
ние данной линии. В системе координат Оху уравнение каса-
тельной можно записать в виде
х
(х0,У0Л)А у =0,
1
где
«и
А= 012
Л«1
012	«1^
а22 а2 ’
а2 а0;
146
§ 13. Касательные к линиям второго порядка
Пусть теперь О'х'у' — другая аффинная система координат
и переход от системы Оху к системе О'х'у' осуществляется по
формулам
х = с11хЧс121/Чс1,
у==с21х'+с22у'+с2.
Тогда, обозначив через D матрицу
D =
сп
С21
О
С12
С22
О
С21 О
С22 О
С2
получаем
(xQ9yQ9l) = (x'Q9y'Q9l)D\
Имеем далее
х
х
1
(x'Q9y'Q9l)A' у' = (х'О9у'О91)р* AD у' =(xQ9yQ9l)A у .
1.
Таким образом, в системе координат О'х'у' мы получаем
аналогичное уравнение.
Согласно проведенным выше рассуждениям, в случае эл-
липса, гиперболы и параболы касательная существует в любой
точке, лежащей на линии, и пересекает линию в двух совпа-
дающих точках. В случае пересекающихся прямых касатель-
ная существует в любой точке, лежащей на линии, кроме точ-
ки пересечения этих прямых, и совпадает с одной из этих
прямых. В случае параллельных прямых касательная сущест-
вует в любой точке, лежащей на линии, и совпадает с одной
из этих прямых. И, наконец, в случае совпадающих прямых
касательная не существует ни в одной точке, лежащей на ли-
нии.
147
Глава 4. Линии второго порядка
Предложение 13
Пусть в некоторой аффинной системе координат линия
второго порядка Г задана своим общим уравнением
F(x9y) = anx2 +2a12xi/ + a22i/2 + 2a1x+2a2y+aQ =0.
Пусть диаметр
a(a„x+а12у+а,)+Р(а12х+а22у + а2) = 0
этой линии, сопряженный хордам, имеющим неасимптотиче-
ское направление {а,р}, пересекает рассматриваемую линию в
неособой точке M0(xQ9yQ). Тогда касательная к этой линии в
точке MQ имеет направляющий вектор {«,,₽}.
Доказательство. Так как диаметр проходит через точку
M0(x0,z/0), то верно равенство	5
a(anx0 4- п12yQ + аг) +	+ ^22^0 + я2) = 0,
а так как MQ(xQ9y0) — неособая точка рассматриваемой линии,
то можно считать, что
a = -(a12x0 + a22у0 + a2), Р = anx0 + ai2y0 + аг,
а это — координаты направляющего вектора касательной к дан-
ной линии второго порядка в ее неособой точке.
Данное в этом параграфе определение касательной к линии
второго порядка в ее неосдбой точке MQ(xQ9yQ) совпадает с оп-
ределением касательной к линии, которое дается в курсах ма-
тематического анализа. Здесь линия задана уравнением
F(x,i/) = 0. Функция F(x9y) при х = х0, y = yQ обращается в
нуль, а частные производные от нее по х и у9 т.е.
2(anx0 +a12yQ -baj и 2(а12х0+а22у0+а2) одновременно в нуль не
обращаются. Значит, уравнение касательной к линии можно
записать в виде
^'(х0, Уо )(Х - Хо)+F/(x0, yQ Ху - Уо) = 0,
ИЛИ
(aux0 +a12y0 +ajx+(ai2*o + «22^0 +а2)у+а1х0 +а2у0 +а0 =0,
что совпадает с полученным геометрически уравнением.
148
§ 14. Уравнение линии второго порядка
§ 14. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ОТНЕСЕННОЙ К ДВУМ
ЕЕ СОПРЯЖЕННЫМ ДИАМЕТРАМ;
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ОТНЕСЕННОЙ К КАСАТЕЛЬНОЙ
И СОПРЯЖЕННОМУ К НЕЙ ДИАМЕТРУ
Предложение 14
Пусть в некоторой аффинной системе координат линия
второго порядка Г задана своим общим уравнением
F(x,i/) = a11x2 +2а12ху + а22у2 +2ахх+2а2у+а0 = 0.
Для того, чтобы одна из осей имела направление диаметра,
сопряженного хордам, параллельным другой оси, необходимо и
достаточно, чтобы а12 = 0, т.е. чтобы уравнение имело вид
F(x,y) = anx2 +а22у2 +2а1х+2а2у+а0 =0.
Доказательство. Пусть, например, ось Ох не имеет асим-
птотического направления. Тогда координаты вектора, парал-
лельного диаметру, сопряженному хордам, параллельным оси
Ох, будут a' = -a12, P' = an. Но вейтор {а',£'} параллелен оси
Оу тогда и только тогда, когда a' = -a12.
Предложение 15
Пусть в некоторой аффинной системе координат линия
второго порядка Г задана своим общим уравнением
F(x,y)-arlx2 +2а12ху+а22у2 +2a1x+2a2j/+a0 =0
и пусть она имеет единственный центр. Тогда, если оси коор-
динат являются сопряженными диаметрами этой линии, а на-
чало координат — ее центром, то уравнение линии имеет вид
аихг +а22уг +ао=О,
где
«11 * 0, а22 0.
149
Глава 4. Линии второго порядка
Обратно, если уравнение линии в некоторой аффинной сис-
теме координат имеет вид
ОцХ2 +а22у2 +а0 =°>
где ап 0, а22 0, то начало координат является центром
линии, а оси координат — ее сопряженными диаметрами.
Доказательство. Если оси координат являются сопряжен-
ными диаметрами линии второго порядка, заданной своим об-
щим уравнением, то согласно предложению 14 получаем, что
а12=0; так как начало координат является центром линии, то
^=02=0. Обратно, если уравнение линии второго порядка в
некоторой аффинной системе координат имеет вид
апх2 +а22у2 +а0 =0, то начало координат является центром ли-
*
нии, а оси координат — ее сопряженными диаметрами.
Предложение 16
Если аффинная система координат по отношению к эл-
липсу расположена так, что:
1)	оси координат являются сопряженными диаметрами эл-
липса;
2)	единичной точкой оси Ох является любая точка пересече-
ния одного из диаметров с эллипсом;
3)	единичной точкой оси Оу является любая точка пересече-
ния другого диаметра с эллипсом, то уравнение эллипса в
этой системе координат имеет вид
х2+у2=1.
Обратно, если относительно некоторой аффинной системы
координат дано уравнение х2+у2=1, то это — уравнение эл-
липса, а система координат по отношению к нему обладает
свойствами 1 )-3).
Доказательство. Так как оси координат являются сопря-
женными диаметрами эллипса, то согласно предложению 15
его уравнение имеет вид
апх2+а22у2+ао=О.
130
§ 14. Уравнение линии второго порядка
Так как , точки (1,0) и (0,1) принадлежат эллипсу, то
ап+ао=О и а22+ао=О и последнее уравнение принимает вид
-аох2-aoi/2+а0 =0, или х2 + у2 =1. Обратное утверждение дока-
зывается путем непосредственной проверки.
Предложение 17
Если аффинная система координат по отношению к гипер-
боле расположена так, что:
1) оси координат являются сопряженными диаметрами ги-
перболы;
2) единичной точкой Е системы координат является точка
пересечения любой из йсимптот гиперболы с касательной в
любой из точек пересечения одного из этих дйамётров с ги-
перболой, то уравнение гиперболы в этой системе коорди-
нат имеет вид
2	2 t
X -у =1.
Обратно, если относительно некоторой аффинной системы
координат дано уравнение х2-у2=1, то это — уравнение ги-
перболы, а система координат по отношению к ней обладает
свойствами 1 )-2).
Доказательство. Так как оси координат являются сопря-
женными диаметрами гиперболы, то согласно предложению 15
ее уравнение имеет вид
вих2+а22/+ао=О.
Точка (1,0) должна лежать на этой гиперболе, а точка (1,1)
на одной из ее асимптот апХ2 +а22у2 =0. Значит, ап+ао=О,
ап+а22=0 и уравнёнйе гиперболы принимает вид
-aQx2 +aQy2 +а0 =0 или х2-у2=1. Обратное утверждение дока-
зывается путем непосредственной проверки.
Предложение 18
Если аффинная система координат по отношению к пара-
боле расположена так, что:
1)	осью Оу является касательная к параболе в любой точке
О, лежащей на этой параболе;
151
Глава 4. Линии второго порядка
2)	осью Ох является диаметр параболы, проходящий через
точку О;
3)	единичная точка Е системы координат лежит на парабо-
ле, то уравнение параболы имеет вид
У2=х.
Обратно, если относительно некоторой аффинной системы
координат дано уравнение у2 = х, то это — уравнение парабо-
лы, а система координат по отношению к ней обладает свой-
ствами 1 )-3 ).
Доказательство. Так как диаметр параболы имеет направ-
ление, сопряженное по отношению касательной к параболе в
той точке, в которой он пересекает эту параболу, то согласно
предложению 15 имеем а12=0. Так как, кроме того, начало
координат О лежит на параболе, то ао=О. Следовательно,
уравнение параболы имеет вид
апх2 + а22у2 + 2^x4- 2а2у = 0.
Уравнение касательной к этой параболе в начале координат
имеет вид а1х+а2у = 0, а так как касательной в начале коорди-
нат является ось Оу, то это уравнение эквивалентно уравнению
х = 0, значит а^О, а2=0. Уравнение параболы принимает вид
апх2 + а22 у2 + г^х = 0,
где а^О. Здесь а22 ^0, так как в противном случае уравнение
определяло бы две прямые. Кроме того, ап =0, так как в пара-
болическом случае 8 = 0. Значит, уравнение параболы прини-
мает вид а22у2 +2ахх = 0, а поскольку единичная точка лежит
на этой параболе, то a22 4-Oi=0 и, окончательно, а22у2 -а22х = 0,
или у2 = х. Обратное утверждение доказывается путем непо-
средственной проверки.
Предложение 19
Если неособую точку линии второго порядка принять за
начало координат, за ось Ох — диаметр, проходящей через
152
§ 15. Главные направления и главные диаметры
эту точку, а за ось Оу — касательную к линии второго по-
рядка в этой тоуке, то уравнение линии примет вид
апх2 + а22у2 -F 2ахх = О,
где ах *0, а22 *0.
Обратно, всякое такое уравнение в случае ах * 0, а22 * 0 яв-
ляется уравнением линии второго порядка, по отношению к
которой система координат обладает сформулированными
выше свойствами.
Доказательство. Так как диаметр линии второго порядка
имеет направление, сопряженное по отношению касательной к
линии в той точке, в которой он пересекает эту линию, то со-
гласно предложению 15 имеем а12=0. Так как, кроме того,
линия проходит через начало координат, то ао=О. Следова-
тельно, уравнение линии имеет вид
апх2 +а22у2 +2a1x+2a2i/ = 0.
Уравнение касательной к этой линии в начале координат име-
ет вид a1x+a2j/ = 0, а так как касательной в начале координат яв-
ляется ось Оу, то это уравнение эквивалентно уравнению х = 0,
значит ах *0, а2 =0. Уравнение линии тогда принимает вид
aux2 +а22у2 +2atx = 0,
где ах * 0.
Обратное утверждение доказывается путем непосредственной
проверки.
§ 15.	ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
И ГЛАВНЫЕ ДИАМЕТРЫ ЛИНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
15.1.	Главные направления
Определение 8
Направление {а,р} называется главным направлением линии
второго порядка Г, если оно перпендикулярно некоторому со-
пряженному ему направлению.
153
Глава 4. Ливии второго порядка
Примером главного направления является особое направле-
ние, поскольку оно сопряжено любому, в частности, перпенди-
кулярному, направлению.
Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему коорди-
нат и найдем все главные направления {а,₽} линии Г, задан-
ной общим уравнением
F(x,y) = anx2 +2al2xy + a22y2 +2alx + 2a2y^aQ =0.
Если вектор {а,р} имеет главное направление, то он сопря-
жен с перпендикулярным вектором {-£,а}. Тогда условие со-
пряженности направлений выглядит следующим образом:
^12^ +(^22 ““^11	^12Р =0.
Назовем обобщенной окружностью линию, которая имеет ка-
ноническое уравнение х2+у2-с. В другой прямоугольной систе-
ме координат уравнение обобщенной окружности может отли-
чаться от уравнения х2 + у2 = с только членами первой и нулевой
степени. В самом деле, мы знаем, что матрица квадратичной час-
ти при переходе к новой системе координат изменяется по прави-
лу А[ = С*^ С, но в нашем случае \ = Е, а С — ортогональная
матрица, следовательно, А[ = Е. Таким образом, в прямоугольной
системе координат общее уравнение линии второго порядка явля-
ется уравнением обобщенной окружности тогда и только тогда,
когда а,. = а99 и а19 =0. Из сказанного выше вытекает
Предложение 20
Для обобщенной окружности любое направления является
главным.
Предложение 21
Если линия второго порядку Г не является обобщенной ок-
ружностью, то у нее существует ровно два взаимно перпен-
дикулярных главных направления.
Доказательство. Если а12=0, то уравнение
а12а2 +(а22 -ап)ар~а12р2 =0
154
§ 15. Главные направления и главные диаметры
имеет с точностью до пропорциональности два решения
{а:Р} = {1:0} и {а:Р} = {0:1}. Если же а12^0, то разделив это
уравнение на р2, получим
z \2	Z	\
I а]	/	Ла	л
012 I "В I +^22	в <*12
\ р у	\	р у
откуда
а _ «п -«22 ± У<«и -Д22)2 + 4«12
Р	2^2
Непосредственная проверка показывает, что скалярное про-
изведение векторов
{С4 Д } = {«П - «22 + V(°ll “ «22 )2 + 4<Х122 » 2«12 } '
И
{а2,Р2} = {вц -Огг “«гг)2 +4«i22> 2«i2}
равно нулю, т.е. полученные главные направления перпенди-
кулярны.
Из доказательства предложения 21 вытекает, что для линий,
заданных каноническими уравнениями (а^ = 0), главные на-
правления — это направления осей координат.
15.2.	Главные диаметры и оси симметрии
Определение 9
Диаметр линии второго порядка называется главным, если
он сопряжен с перпендикулярным ему направлением.
Направление главного диаметра, очевидно, является глав-
ным. Обратное неверно: направление, перпендикулярное особо-
му, является главным, но не есть направление главного диа-
метра. В то же время имеет место
Предложение 22
Для центральной линии Г всякое главное направление яв-
ляется направлением главного диаметра.
155
Глава 4. Линии второго порядка
Доказательство. Согласно предложению 12 достаточно убе-
диться в том, что главное направление не является асимптоти-
ческим. Но главному направлению сопряжено перпендикуляр-
ное направление, в то время как в силу предложения 10
асимптотическому направлению центральной линии сопряжено
оно само.
На главном диаметре лежат все середины хорд перпендику-
лярного направления. Поэтому главный диаметр является осью
симметрии линии второго порядка. Решим теперь обратную за-
дачу: найдем все оси симметрии линии второго порядка Г, со-
держащей более одной вещественной точки. Итак, пусть пря-
мая I является осью симметрии такой линии Г. Предположим
сначала, что перпендикулярное прямой I направление {а,р} не
является асимптотическим. По условию все середины хорд на-
правления {а,р} лежат на прямой I. С другой стороны, они
лежат на диаметре т, сопряженном направлению {<х,р}. По-
скольку линия Г содержит более одной точки, прямые I и т
совпадают.
Пусть теперь перпендикулярное прямой I направление яв-
ляется асимптотическим. Линия Г не может целиком распола-
гаться на прямой Z, поскольку в этом случае линия Г была бы
парой совпадающих прямых, а ее асимптотическое направле-
ние было бы параллельно прямой I. Возьмем точку М на ли-
нии Г, не лежащую на прямой I. Тогда симметричная ей отно-
сительно прямой I точка М' также принадлежит Г. Прямая
тп, проходящая через точки М и М', целиком лежит в ли-
нии Г, поскольку она имеет асимптотическое направление и
пересекается с Г по крайней мере в двух точках. Следователь-
но, линия Г распадается на две прямые тит' — пересе-
кающиеся, параллельные или совпадающие. При этом прямая
т' либо перпендикулярна прямой Z, либо с ней совпадает. В
первом случае, линия Г состоит из двух параллельных (может
быть совпадающих) прямых, а во втором — из двух перпенди-
кулярных прямых. Итак, нами доказана
156
§ 15. Главные направления и главные диаметры
Теорема 10
Пусть линия второго порядка Г содержит более одной ве-
щественной точки. Тогда
1)	если линия Г представляет собой пару параллельных или
совпадающих прямых, то она имеет бесконечно много осей
симметрии, из которых одна является главным диамет-
ром;
2)	если линия Г представляет собой пару перпендикулярных
прямых, то она имеет четыре оси симметрии, из которых
две являются главными диаметрами;
3)	во всех остальных случаях главные диаметры и только они
являются осями симметрии.
15.3.	Ось параболы
Из теоремы 10 вытекает, что осью симметрии парабол л яв-
ляется ее главный диаметр. В канонической системе коорди-
нат (а12 = 0) главными направлениями являются направления
осей координат, одно из них для параболы является асимпто-
тическим, следовательно, ось Ох является единственным
главным диаметром. И единственной осью симметрии пара-
болы.
Пусть парабола в некоторой прямоугольной системе коорди-
нат задана своим общим уравнением
F(x,t/) = a11x2 + Za^xy + а22у2 +2a}x + 2a2y + aQ =0.
При этом мы считаем, что а12 0. Тогда условие сопряжен^
ности взаимно перпендикулярных направлений {а,р} и {~Р,а}
выглядит следующим образом:
О12а2 +(а22-OiJap-OuP2 =0.
Поскольку для параболы 8 = 0, имеем «па22=а12‘ Следова-
тельно,
(^11 “*^22) "*"^12 =(а11 ^22 ) ^^11^22 = (^11 “*"^22) *
157
Глава 4. Линии второго порядка
Значит, уравнение имеет корни
а _ 0Ц ~^22 -^(^11 +**22)
-	Р 2а12
Поэтому главными направлениями параболы являются
{04,Р1) = {<Хц >^12 } ’ {а2 ’Рг } = {^22’“^12}*
Второе из этих направлений — асимптотическое. В самом
деле,
^11^22 + 2Л12(""<Х22^12 ) + ^22^12 = ®22 (^11^22 ~ ^12 ) =
Итак, остается найти диаметр, сопряженный направлению
{ап,а12}. Уравнение этого диаметра записывается так:
а11 (а11Х + W + а1) + а12 (а12* + а22У + а2 ) = О,
или
(®п + af2)x + al2(all +а22)у+а11а1 + ахгаг =0.
Заменяя af2 на получаем
an(an + о22)х + о12(а11 + а22)У + апа1 +ai2a2 =°-
В параболическом случае an+a22=S*0. Таким образом,
уравнение оси параболы можно записать в виде
а х + сь и I giifli+gi2g2 - И
ап + Д22
Что касается параллельных прямых, то для них главным
диаметром является линия центров. Поэтому уравнение в этом
случае имеет более простой вид
а11Х + а12У + а1=0-
Вершиной параболы является точка пересечения оси с парабо-
лой. Теперь остается указать направление оси внутрь параболы.
Перейдем к новой прямоугольной системе координат Ох'у', пово-
рачивая оси исходной системы координат на угол <р такой, что
tgcp = -—.
°12
158
§ 15. Главные направления и главные диаметры
Тогда
где
С fcos<p — sincpA
^sintp coscp)
Уравнение параболы в этой системе координат принимает
вид
а22У 2 + %aiX' + ^гУ' + а0 ~ О*
Непосредственный подсчет показывает, что
а[ = ах coscp+а2 sin ср.
Для того, чтобы параллельным переносом системы коорди-
нат Ох'у' получить систему координат, в которой парабола
имела бы каноническое уравнение у2-2рх\ р>0, необходимо
выполнение условия а22-а[<Ъ. Так как, кроме того, a22=S,
окончательно получаем
S • (Oj coscp+а2 sincp) < 0.
Найденный таким образом угол ср и даст нам положитель-
ное направление оси параболы.
Глава 5
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА
АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Определение 1
Отображение f\X->Y называется инъективным, если для
любых различных элементов xvx2eX их образы /(xj, /(х2)
также различны. Отображение f: X -> У называется сюръек-
тивным, если для каждого элемента уеУ, существует такой
элемент хеХ, что y = f(x).
Если выполнены оба эти условия, то отображение f называ-
ется биективным.
Определение 2
Пусть даны два векторных пространства V и W над полем
К. Отображение f: V -> W называется ^инейным^ если оно
удовлетворяет следующим двум свойствам:
1) f(a + b) = f(a) + f(b) для любых a,beV.
2) f(ha) = Xf(a) для любого X е К.
Линейное отображение f: V -> W между векторными про-
странствами называется изоморфизмом этих пространств, если
оно биективно.
Определение 3
Преобразованием множества X в себя называется произ-
вольная биекция /:Х->Х, т.е. взаимно однозначное отобра-
жение множества X на себя.
Если f и g — преобразования множества X, то их компо-
зиция gof также является преобразованием. Преобразованием
также будет и отображение f~r, обратное к преобразованию f.
160
§ 1. Определение и свойства аффинных преобразований
В геометрии рассматриваются различные группы преобразо-
ваний. Так, изучаемая в школе эвклидова геометрия исследует
те свойства фигур, которые не меняются при движениях (изо-
метрических преобразованиях); равными называются фигуры,
которые можно перевести одну в другую движением. В анали-
тической геометрии наряду с изометрическими преобразова-
ниями рассматриваются также аффинные и проективные пре-
образования.
Определение 4
Преобразование] f*.En ->Еп9п = 1,2,3, прямой, плоскости или
пространства называется аффиидь^, если существуют две аф-
финные системы координат Ох1...хп и О'х[...х'п такие, что ко-
ординаты любой точки МеЕп в первой системе координат
совпадают с координатами ее образа f(M) во второй системе
координат. В этом случае говорим, что аффинное преобразова-
ние f ассоциировано с двумя системами координат Ох19...9хп и
О'х{,...,х' или с двумя реперами Ое1,...,ел и
Рассмотрим вектор MN. Поскольку координаты вектора
получаются вычитанием координат его начальной точки из ко-
ординат конечной точки, координаты вектора	отно-
сительно нового репера те же, что и координаты вектора MN
относительно старого репера. Таким образом, получаем отобра-
жение
f: Vect(n) -> Vect(n)9
определяемое равенством
Отображение f определяется также равенством координат
вектора а и его образа f(a) в разных реперах. Поэтому опре-
деление отображения f не зависит от точки приложения век-
тора a-MN. Поскольку отображение f определяется равенст-
Глава 5. Аффинные преобразования
вом координат вектора и его образа, оно является изоморфиз-
мом векторного пространства Vect(n) на себя. Более точно, ото-
бражение f является композицией двух изоморфизмов
g: Vect(n) -+Rn и h: Rn	Vect(n).
Первый изоморфизм g ставит в соответствие вектору a eV
набор его координат в старом репере, а второй изоморфизм h
переводит набор чисел (х19...9хп) в вектор с координатами
{х19...9хп} в новом репере. Изоморфизм f называется линейным
отображением, порожденным аффинным отображением f.
Предложение 1
fzEn ->Еп — аффинное преобразование и
—? произвольный репер в Еп.Тогда
^^инственныйрепер mg/cofo что пРео^РазоРание f, й^оцииро^
'вано среп^ами-Оехг..^еп иДОК
Доказательство. Докажем сначала, что линейное отображе-
ние f переводит линейно независимую систему векторов в ли-
нейно независимую. Пусть a19...,ak — линейно независиая сис-
тема векторов, а векторы f(ax),...,f(ak) линейно зависимы. Это
значит, что существует нетривиальная линейная комбинация
?(М+ - +Ч А^)-=6.
В силу линейности отображения f имеем
О = Xi f(ax ) + ••• + X* f(ak) = /(Хх а^ 4	ь ak)
С другой стороны, Да) = б тогда и только тогда, когда а=б.
Получаем противоречие с линейной независимостью системы
а19...9ак. Следовательно, f(O)9f(e1)9...9f(en) — репер.
162
§ 1. Определение и свойства аффинных преобразований
Пусть М —произвольная точка с координатами (хг,...9хп) в
репере Ое1,...,еп. Это означает, что
___. _ _ *
ОМ = х1е1 +•• - + хпе.
1 1	Л Л
В силу линейности отображения f имеем	*
$
/(О)/(М) = f(OM) = х. Ке.) + • • • + хп f(en).	<
Но это равенство эквивалентно тому, что точка f(M) имеет
координаты (х19...,хп) в репере7(0)7^),...7(ел).
Осталось проверить единственность репера О'е{,...,е' такого,
что преобразование f ассоциировано с реперами Ое19...,еп и
O'ex',...,e'. Для точки М с координатами (х1,...9хп) в репере
Оеи...9еп единственной точкой с теми же координатами в репе-
ре О'е',...,е' является точка f(M). Поэтому точка /(О), имея
нулевые координаты, совпадает с О'. Далее, пусть е.=ОМг
Тогда
?(^)=/(О)/(мз=о7(1йз.
Но Mt — единственная точка, все координаты которой в но-
вом репере равны нулю, кроме i-й, которая равна единице.
Следовательно, f(M.) — это конец вектора е', отложенного от
точки О', т.е. /(^) = е-.
Тождественное преобразование ассоциировано с любой парой
совпадающих реперов. Если преобразование / ассоциировано с
реперами Ое1,...,ед и О'е{,...,е' , то обратное преобразование ас-
социировано с реперами O'eJ,...,e„ и Ое1,...,ел. Если fug —
аффинные преобразования, первое из которых ассоциировано с
реперами Ое19...,еп и О'е^,...,ел, то из предложения 1 легко вы-
текает, что композиция gof ассоциирована с парой Ое19...,еп и
^(O')^),...,g(<).
163
6
Глава 5. Аффинные преобразования
Предложение 2
к{1ри аффинном преобразований^
плоскость переходит в плоскость;
сохраняется параллельность плоскостей;
^3^ прямая переходит в прямую;
^^сохраняется параллельность прямых;
>5 J сохраняется деление отрезка в данном отношении.
Доказательство. 1) Плоскость л есть множество всех точек
пространства, задаваемых уравнением
Ах + By + Cz + D = O
в некоторой аффинной системе координат Oxyz. Пусть аффин-
ное преобразование f ассоциировано с парой систем координат
Oxyz и O'x'y'z'. Тогда образ плоскости /(л) описывается тем
же уравнением в системе координат O'x'y'z') т.е. является
плоскостью.
2)	Параллельность плоскостей лил' равносильна тому, что
они не пересекаются. Из биективности преобразования f выте-
кает, что плоскости /(л) и /(л') также не пересекаются.
3)	В случае аффинного преобразования плоскости рассужде-
ния такое же, как и в пункте 1. В пространстве прямая I яв-
ляется линией пересечения двух различных плоскостей лх и
л2. Тогда	/(лх) п/(л2). Переход к обратному преобразова-
нию с учетом пункта 1 показывает, что
4)	Для прямых на плоскости рассуждение такое же, как и в
пункте 2. Прямые в пространстве параллельны, если они лежат
в одной плоскости и не пересекаются. Поэтому утверждение
вытекает из пунктов 1 и 3 и биективности преобразования /.
5)	Точка Р делит отрезок MN в отношении X, если
МР = X • PN. В силу линейности отображения f имеем
f(MP) = Xf(PN),
а это эквивалентно тому, что
f(M)f(P) = Xf(P)f(N).
164
§ 2. Аналитическая запись аффинных преобразований
Условие 5 является характеристическим для аффинных
преобразований, т.е. преобразование f является аффинным
тогда и только тогда, когда оно сохраняет деление отрезка в
данном отношении. Доказательство этого факта будет приве-
дено в § 4.
Теорема 1
Существует единственное аффинное преобразование плос->
кости, переводящее данную тройку не лежащих на одной пря-
мой точек О, М, N в другую тройку не лежащих на одной
прямой точек О', М', N' той же плоскости. Аналогичное ут-
верждение верно для пространства и четверки точек, не ле-
жащих в одной плоскости.
Доказательство. Для проверки существования достаточно
взять аффинное преобразование f, ассоциированное с реперами
Оеге2 и О'е[е2, где
ег = ОМ, е2 = ON, е[ = О'М', е2 = O'N'.
Для доказательства единственности достаточно проверить, что
аффинное преобразование f, переводящее точки O,M,N в точки
O',M',N' ассоциировано с описанными выше реперами Оеге2 и
О'е[е2. Это непосредственно вытекает из предложения 1.
§ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ
АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Пусть аффинное преобразование f плоскости ассоциировано
с реперами Оеге2 и О'е[е2. Пусть
с=[Сп С121
lC21 С22 J
— матрица перехода от базиса ег,е2 к базису е[,е2. Пусть, кро-
ме того, известны координаты (xQ,yQ) нового начала О' в ис-
ходной системе координат Оху. Тогда координаты (х,у) произ-
165
Глава 5. Аффинные преобразования
вольной точки М и координаты (х',у') ее образа = в
исходном репере связаны соотношениями
(x' = cnx + cl2y + xQ,
\y' = c21x + c22y + yQ.
В самом деле, имеем
О'М' = «, е* )| х | = (ех ,е2 )С| Х
<У) \У
Поэтому
ОМ' = ОО' + О'М' = (е.,е2) Х° +(е1,е2)с| Х
\Уо) \.У
Итак,
(еРег)| , | = ОМ?=(е1,е2) С| Х |+| Х° I
Аналогичные формулы
х' = спх + с121/ + с13г+х0,
< y' = c21x + c22y + c23z + yQ,
/ = С31Х + С321/ + С332 + 20
справедливы для аффинного преобразования пространства.
Наоборот, пусть на плоскости фиксирована система коорди-
нат Оху, поржденная репером Оехе2. Пусть отображение f пе-
реводит точку М(х,у) в точку f(M)-M\x',y'), где х',у' опре-
деляются равенствами
Гх' = спх + с12у + х0,
}/ = c21x + c22z/ + z/0,
причем
|С|=
С11
С21
С22
Тогда отображение f является аффинным преобразованием,
ассоциированным с реперами Ое^ и О'е[е2, где точка О' име-
ет координаты (x0,z/0) и
, е2) —	, е2 )С.
166
§ 2. Аналитическая запись аффинных преобразовании
В самом деле, пусть произвольная точка N плоскости имеет
координаты (g,r|) и (<5',л') в реперах Ое^ и О'е[е2 соответст-
венно. Мы знаем, что согласно формулам перехода от одной
системы координат к другой верны равенства
д=спд'+с12т1'+х0,
Л = С21< + С22П' + г/о-
В качестве точки N возьмем точку f(M), которая в репере
Оеге2 имеет координаты (х',у')> определяемые соотношениями
х' = спх+с12у + х0,
y' = c21x + c22i/ + i/0.
Ее координаты	в репере О'е[е2 удовлетворяют соот-
ношениям
x' = cflg4c12Tf + x6,
y' = c21< + c22T]' + i/0.
Сравнивая эти равенства, получаем, что д' = х, ц' = у» Итак,
точка М с координатами (х,у) в репере Oete2 отображением f
переводится в точку	с координатами (х,у) в репере
О'е[е2, т.е. отображение f является аффинным преобразовани-
ем, ассоциированным с реперами Оехе2 и О'е[е2.
Так как координаты вектора есть разность координат конца
и начала этого вектора, то формулы
х' = спх + с12у,
у' = с21х + с22у
представляют собой аналитическую запись (в базисе е19е2) по-
рожденного аффинным преобразованием f линейного отобра-
жения Л т.е. вектор а с координатами {х,у} переходит в век-
тор f(a) с координатами {х',у'}.
167
Глава 5. Аффинные преобразования
§ 3. АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Из определения аффинного преобразования и Предложения 1
вытекает
Предложение 3
При аффинном преобразовании f плоскости линия второго
порядка Г переходит в линию второго порядка. Более того,
для любой аффинной системы координат Оху существует
аффинная система координат О'х’у') в которой уравнение ли-
нии /(Г) совпадает с уравнением линии Г в системе Оху.
Предложение 4
^^нваршнтами^ аффинных преобразований являются^цен}
тры, асимшп.атическиенаправления и асимптоты~ линий
второго порядка.] Это означает, что если f :Е2 ->Е2 — аф-
финное преобразование, Г — линия второго порядка, точка Р,
вектор а, прямая I являются соответственно центром,
асимптотическим направлением, асимптотой линии Г, то
f(a), f(l) будут соответственно центром, асимптоти-
ческим направлением, асимптотой линии /(Г).
Это предложение непосредственно вытекает из предложения
3, поскольку упомянутые элементы выражаются уравнениями,
однозначно задаваемыми уравнением данной линии второго по-
рядка.
Теорема 2
Произвольная линия второго порядка посредством аффин-
ного преобразования переводится в одну из следующих линий,
заданных в некоторой прямоугольной системе координат
уравнениями
1) х2+у2=1*)
2) х2+у2=-1\
168
§ 3. Аффинная классификация линий второго порядка
3)	х2 + у2 =0;
х2-/=1;
х2 - у2 = 0;
у2 = х;
у2=1;
у2=-1;
у2 =0.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Доказательство. Выписанные здесь уравнения представля-
ют собой в простейшем виде канонические уравнения линий
второго порядка:
2	2
X U
1) —+ -^- = 1, эллипс;
а2 Ь2
2	2
х у Л
2) —= мнимыи эллипс;
а2 Ъ2
х2 и2
31
а о
2	2
4) --^- = 1,
а2 Ь2
2	2
5) ^4=0.
а Ь
у2 =2рх, парабола;
7)	I/2 - а2 =0, пара параллельных прямых;
у2 + а2 =0, пара мнимых параллельных прямых;
пара мнимых пересекающихся прямых;
гипербола;
пара пересекающихся прямых;
6)
8)
9)	у2 =0, пара совпадающих прямых.
Доказательство. Проведем для эллипса (случай 1). Итак,
пусть эллипс Г задан в некоторой прямоугольной системе ко-
ординат О'х'у' уравнением
а2 Ь2
Нам надо перевести его в окружность S, заданную в другой
прямоугольной системе координат Оху уравнением x2 + i/2=l.
169
Глава 5. Аффинные преобразования
Искомое аффинное преобразование f мы построим как компо-
зицию аффинных преобразований £ и f2. Первое из них в сис-
теме координат О'х'у' имеет следующую аналитическую запись:
- х' „у'
а b
При этом эллипс Г перейдет в окружность в0=4(Г), зада-
ваемую в системе координат О'х'у' уравнением х'2 +у'2 =1.
Второе аффинное преобразование f2 будет ассоциировано с па-
рой систем координат О'х'у' и Оху. Поскольку окружности So
и S имеют в этих системах одинаковые уравнения, одна из
них перейдет в другую.
Теорема 3
Линии второго порядка, имеющие различные названия, аф-
финно неэквивалентны.
Доказательство. Сначала различим между собой линии
второго порядка, имеющие более одной вещественной точки.
Линии, содержащие прямую, неэквивалентны эллипсу, гипер-
боле и параболе, поскольку никакие три точки любой из этих
кривых не лежат на одной прямой. Предложение 4 позволяет
различить между собой эллипс, гиперболу и параболу: парабо-
ла не имеет центра, эллипс не имеет асимптотических направ-
лений. Линии, распадающиеся на прямые, можно различить по
центрам симметрии. Пересекающиеся прямые имеют единст-
венный центр симметрии, а параллельные и совпадающие пря-
мые — линию центров. Любой центр симметрии совпадающих
прямых лежит на них, а для параллельных прямых это не так.
Единственная линия, содержащая только одну вещественную
точку (пара мнимых пересекающихся прямых) очевидно не
может быть аффинным преобразованием переведена нц в какую
другую линию. То же самое верно и относительно линий, не
имеющих ни одной вещественной точки (мнимый эллипс и па-
ра мнимых параллельных прямых). Остается различить их ме-
жду собой, что можно сделать только на комплексной плоско-
170
§ 4. Определение и свойства изометрических преобразований
сти. В этом случае любая вещественная прямая пересекает
мнимый эллипс либо по одной, либо по двум комплексным
точкам, в то время как прямая асимптотического направления
у = 0 совсем не пересекает пару мнимых параллельных прямых
у2 +1 = 0.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА
ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Определение 5
Аффинное преобразование f: Еп -> Еп; п = 1,2,3, называется
изометрическим, если оно ассоциировано с двумя прямоуголь-
ными системами координат.
Изометрические преобразования называются также Движе-
ниями.	с которыми ассоциировано движение, од-
ноименны, то оно называется собственным, в противном слу-
чае — несобственным. Обоснованием определения изометри-
ческого преобразования служит
Теорема 4
Преобразование f*.En -^En*, п = 1,2,3, является изометриче-
ским тогда и только тогда, когда оно сохраняет расстояние
между точками, т.е. когда
р(М1,М2) = р(/(М1),/(М2))
для любых точек МГ,М2 еЕп.
Доказательство. Пусть f — изометрическое преобразова-
ние, ассоциированное с прямоугольными системами координат
Оху и О'х'у'. Пусть точки Мг и М2 имеют в исходной систе-
ме координат Оху координаты (х1,у1) и (х2,у2). Тогда, в силу
прямоугольности этой системы координат расстояние между
ними вычисляется по формуле
р(Мх,М2) = ^(х{-х2)2 +(ух-у2)2.
171
Глава 5. Аффинные преобразования
Точки /(AfJ и f(M2) имеют те же координаты (х1,у1) и
(x2,i/2), но Уже в новой системе координат О'х'у', которая так-
же прямоугольна. Поэтому
),f(M2)) = J^-xJ +(ух-у2)2.
Пусть теперь преобразование f сохраняет расстояние между
точками. Докажем сначала, что оно является аффинным. Для
этого заметим, что отображение f переводит равные векторы в
равные. В самом деле, равенство векторов и M2N2 экви-
валентно тому, что четырехугольник MlNlN2M2 является па-
раллелограммом. Но тогда параллелограммом будет и четырех-
угольник /?(М1)/(^)/?(^)/?(М2). Итак, преобразование f
порождает отображение f: Vect(2)-> Vect(2). Отображение это
линейно опять Таки в силу сохранения преобразованием f па-
раллелограммов и деления отрезка в данном отношении. Отме-
тим, кроме того, что отображение f является изоморфизмом в
силу биективности преобразования Л
Пусть Оеге2 — какой-нибудь репер на плоскости. Тогда
/?(О),/?(е1),/(е2) — тоже репер. Пусть произвольная точка М
имеет в репере Оехе2 координаты (x,i/). Это означает, что
ОМ = хег +уе2.
Тогда из линейности отображения f получаем
= f(OM) -x-fa+yf^).
Но это равенство означает, что точка f(M) имеет в репере
/(О)/(е1)/(е2) координаты (х,у). Таким образом, преобразова-
ние f ассоциировано с парой реперов, и, следовательно, аф-
финно.
Осталось доказать изометричность аффинного преобразова-
ния Л Возьмем в плоскости какой-нибудь ортонормированный
репер Оехе2. В силу предложения 1 необходимо показать, что
172
§ 4. Определение и свойства изометрических преобразований
репер /(О)/?(е1)/(е2) также ортонормирован. Пусть концы век-
торов и е2, отложенных от точки О, находятся в точках
Мх и М2. Тогда ортонормированность репера Ое1е2 эквива-
лентна тому, что треугольник МгОМ2 имеет стороны 1, 1,>/2.
Но такие же стороны будут и у треугольника
так как отображение f сохраняет расстояние между точками.
Следовательно, репер /(О)/(е1)/(е2) также ортонормирован.
Легко видеть, что рассуждения, приведенные в доказатель-
стве теоремы 4, практически доказывают тот факт, что преоб-
разование / является аффинным, если оно сохраняет деление
отрезка в данном отношении^ Надо проверить только, что в
этом случае преобразование f параллелограмм переводит в па-
раллелограмм. Для этогд заметим, что f переводит прямую в
прямую, а параллельные прямые в параллельные. Последнее
утверждение в случае плоскости вытекает из того, что парал-
лельные прямые — это те, которые не пересекаются. В случае
пространства надо предварительно показать, что преобразова-
ние f плоскость переводит в плоскость.
Предложение 5.
Аффинное преобразование f9 записанное в прямоугольной
системе координат формулами
х' = СцХ+с12!/ + х0,
i/' = c21x+c22j/ + i/0,
является изометрическим тогда и только тогда, когда его
матрица
С11	С12
С21	С22
ортогональна.
Доказательство. Пусть система координат Оху задается
ортонормированным репером Ое^. Тогда матрица С является
матрицей перехода от базиса е19е2 к базису /(ех),/(е2). Поэтому
173
С =
Глава 5. Аффинные преобразования
ортогональность матрицы С равносильна ортонормированности
базиса f(ex)9f(e2). Но мы показали, что изометрическое преоб-
разование переводит ортонормированный репер в ортонормиро-
ванный. С другой стороны, из определения следует, что преоб-
разование, ассоциированное с парой ортонормированных
реперов, является изометрическим.
§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
Теорема 5
Всякое собственное движение плоскости представляет собой
либо параллельный перенос, либо поворот вокруг некоторой
точки на определенный угол ф. Всякое несобственное движение
плоскости является отражением относительно некоторой
прямой вместе с возможным сдвигом вдоль этой прямой.
При надлежащем выборе прямоугольной системы координат
эти преобразования имеют следующую аналитическую запись:
fx' = x+xQ, juLp>п гренке
ly = !/ + %’	W
[x' = xcos(p-ysin<p,
|у = xsin<p + i/cos<p,	И-d-	(2)
|x' = X + Xj,	в rwpd-VbCVMXt-
\y'=-y.	(3)
Доказательство. Зафиксируем на плоскости положительное
направление вращения, например против часовой стрелки. Это
дает нам ориентацию плоскости. Все реперы при этом разбива-
ются на положительные и отрицательные. Возьмем прямо-
угольную систему координат Оху, связанную с каким-нибудь
ортонормированием положительным репером OeYe2. В этой сис-
теме координат наше движение записывается формулами
x’ = cnx + c12y + xQ,
у' = с21х + с22у 4- у0,
(4)
174
§ 5. Классификация движений плоскости
где матрица
С =
С11	С12
<С21	С22
— ортогональна. Если С — единичная матрица, то формулы
(4) превращаются в формулы (1). Если С*Е, но f — собст-
венное движение, то С как матрица перехода между одно-
именными реперами Оехе2 и f(O)f(e1)f(e2) имеет положитель-
ный определитель. Мы знаем, что в этом случае
fcoscp -sinq/j
l^sinq) cos(p J
Покажем, что существует точка Ор которую преобразование
оставляет на месте. Для этого надо показать совместность сис-
темы уравнений
x = cnx+e12i/ + x0,
y = c21x + c22i/ + j/0,
или, с учетом конкретного вида матрицы С, системы
(1 - совф)х + (Зшф)1/ = х0,
(-ЗШф)Х + (1 - СО8ф)1/ = у0.
Определитель этой системы равен (1-совф)2+(зшф)2. Он от-
личен от нуля, так как совф^1.
Итак, движение f имеет неподвижную точку Ок Тогда в
репере О1е1е2 оно записывается формулами (2). В самом деле, в
реперах Оехе2 и аналитические записи преобразования f
имеют одну и ту же матрицу С, поскольку посредством этой
матрицы в базисе епе2 записывается линейное отображение f.
С другой стороны, свободные члены х0 и у0 в записи (4) дви-
жения f в репере равны нулю, поскольку (x0,i/0) — это
координаты точки f(O1) = O1 в репере О1е1е2. Для Завершения
исследования собственных движений остается отметить, что
175
Глава 5. Аффинные преобразования
формулы (2) и являются формулами поворота плоскости на
угол ф относительно начала координат. Это следует из того,
что векторы е19е2 при этом движении переходят в векторы
е1созф + е2зшф, -е1зтф + е2созф соответственно, т.е. поворачи-
ваются на угол ф.
Пусть f — несобственное движение. Тогда определитель
матрицы С в записи (4) отрицателен. В этом случае
С Гсозф 8Шф А
^ЗШф -СОЗф)
Покажем, что найдется ненулевой вектор е, который ото-
бражение f оставляет на месте. Аналитическая запись отобра-
жения f имеет вид
(х' = ХСОЗф + 1/8Шф,
[у1 = ХЗШф - у СО8ф.
Нам надо найти ненулевое решение системы
{Х = ХСОЗф+1/8Шф,
1/ = ХЗШф-1/СОЗф,
или
Г(1 — созф)х - (зтф)у = О,
[(-ЗШф)Х + (1 + СО8ф)1/ = 0.
Определитель	этой	системы	равен
(1-со8ф)(1 + созф)-зт2ф = 0. Следовательно, ненулевое решение
существует. Но если Де) = е, то для любого пропорционального
вектора е'=	имеем
/(?) = ДХе) = X Де) = Хе = е'.
Следовательно, существует такой единичный вектор е', что
Де1,) = е1/. Дополним его до ортонормированного базиса е',е2.
176
§ 5. Классификация движений плоскости
Поскольку f — несобственное движение, ортонормированные
базисы е',е' и f(c[)9f{e2) разноименны. Но f(e[) = e[, значит
л —»	——* -7
/(е2) = “е2* Таким образом, матрица перехода от базиса к
базису f(e[),f(e2) имеет вид
с=Р °1.
1° -1)
Поэтому из предложения 1 вытекает, что в репере Ое[е2
движение f записывается формулами
х' = х + х19
y' = -y+Vi>
(5)
где числа х19у1 вообще говоря отличны от чисел х0,у0 в записи
(4). Возьмем теперь точку О' с координатами (Xj/2,^/2) в ре-
пере Ое[е2. Движение f переводит точку О' в точку f(Q') с
координатами (3^/2,14/2), т.е. сдвигает ее на вектор
O'f(O') = {х1,О} = х1е1'. Поэтому в репере О'е[е2 точка f(O') имеет
координаты (хп0), а аналитическая запись преобразования f в
этом репере имеет вид (3).
Глава 6
ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
♦
Определение 1
Поверхностью второго порядка называется всякое множест-
во Ф точек пространства, которое в некоторой аффинной сис-
теме координат Охуг может быть задано уравнением второй
степени
F(x, у,z) = апх2 + а22у2 + a33z2 + 2a12xz/ + 2a13rz +
+2a23z/2 + 2a1x+2a2z/+2a33 + a0 =0.
Как и в случае линий второго порядка, это определение ну-
ждается в некоторых пояснениях:
1)	Если в какой-нибудь аффинной системе координат Охуг
множество Ф описывается уравнением второй степени, то в
любой другой аффинной системе координат О'х'у'г' его так-
же можно задать уравнением второй степени. Для этого дос-
таточно вместо переменных x,i/,z подставить их выражения
через х\у\г'.
2)	Всякая плоскость в пространстве может быть описана как
уравнением первой степени
Ах + By + Cz + D = Q,
так и уравнением второй степени
(Ах + Ву+ Cz + D)2 =0.
178
§ 1. Поверхности второго порядка и матрицы
Конечно же плоскость является поверхностью первого по-
рядка, но мы считаем, что последнее уравнение описывает по-
верхность второго порядка, которая называется парой совпа-
дающих плоскостей.
3)	Различные уравнения могут описывать одно и то же множе-
ство. Например, каждое из уравнений х2+1 = 0 и
х2 + у2 +1 = 0 описывает пустое множество в (вещественном)
пространстве. Но если мы перейдем от вещественного к
комплексному пространству по аналогии с тем, как мы пе-
решли от вещественной к комплексной плоскости, то упо-
мянутые выше уравнения будут иметь различные множества
решений. Поэтому считается, что эти уравнения описывают
различные поверхности второго порядка.
Многочлен F(x,i/,z) будем называть квадратичной функци-
ей данной поверхности, а многочлен
F2(x, y,z) = апх2 + а22у2 + a^z2 + 2аХ2ху + 2а13хз + 2а23уг
— квадратичной частью квадратичной функции F(x,y,z). Вве-
дем следующие обозначения:
	Лц а12 а13 ах		( „ Л \
			#и а12 а13
А =	#12	#22	#23	#2	’	А1 -	#12	#22	#23 ’
	#13	#23	#33	#3		
			<#13	#23	#33 у
	<#1	#2	#3	а0;		
Матрицу А будем называть матрицей квадратичной функ-
ции F(x,y,z), а матрицу Ai — матрицей квадратичной части
F2(x,y,z). Определители матриц А и Аг будем обозначать че-
рез А и 5 соответственно. Квадратичная часть
F2(x,j/,z) = anX2 + а22у2 + a33z2 + 2al2xy + 2al3xz + 2a23yz
может быть записана в матричной форме следующим образом:
'х5
F2(x,j/)z) = (x,f/,z)A1 у ,
179
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
а квадратичную функцию F(x,y,z) в матричной форме можно
записать так
'х'
F(x,y,z,l) = (x,y,z,l)A У .
г
Пусть теперь О'х'у'г' — другая аффинная система коорди-
нат, и переход от системы Охуг к системе O'x'y'z' осуществля-
ется по формулам
x = c11x' + c12y' + cl3z' + x0,
 y = c2lx' + c22y'+c23z' + y0,
z = c3lx' + c32y' + c33z' + z0.
Дополним формулы перехода равенством
l = O-x' + O-y'+O-z'+l-l.
Получим
х = с11х' + с12у' + с13г' + х0,
y = c21x' + c22y'+c23z' + y0,
Z = C3iX' + C32l/' + C33Z' + Z0,
l = 0-x'+0-y' + 0-z' + l,
или в матричной форме				гх'у	
		У	= D	у'	
		Z		г'	
					
где	(с С11		С12	С13	х хо
Z> =	С21		С22	С23	!/о
	С31		С32	С33	20
		0	0	0	1J
Аналогично, как и в случае линий второго порядка на плос-
кости, равенство
A’ = D*AD
180
§ 2. Основная теорема о поверхностях второго порядка
выражает матрицу А1 квадратичной функции F в новой сис-
теме координат O'x'y'z' через ее матрицу А в старой системе
координат Оху г. Матрица же квадратичной части F2(x,i/,z)
при переходе к новой системе координат изменяется по форму-
ле А[ = С*А1С9 где
С11	С12	С13
С = С21	С22	С23	*
<С31	С32	С33	у
Отсюда следует, что при переходе к новой аффинной системе
координат O'x'y'z' ранги матриц А и А^ не меняются, а опре-
делители А и 6 умножаются на квадрат определителя матри-
цы С, т.е. не меняют свой знак. Кроме того, при умножении
всех коэффициентов многочлена F(x,y,z) на (-1) знак 8 меня-
ется на противоположный, а знак А остается неизменным.
Ранги Я и г матриц А и А1 будем называть соответственно
большим и малым рангом поверхности Ф, определяемой урав-
нением второго порядка F(x,y,z) = O.
§ 2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВЕРХНОСТЯХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Теорема 1
Для любой поверхности второго порядка существует пря-
моугольная система координат Oxyz, в которой уравнение
этой поверхности имеет один из следующих 17 видов:
2	2	2
1 \	Л	Х У 2 3 4	1
1) эллипсоид —+~-+-г = 1;
а2 Ь2 с2
2	2
У 2
77 7г
и с
2) мнимый эллипсоид -у+
а
1;
3) однополостный гиперболоид —+^---г =
4) двуполостным гиперболоид
х2 у2 z2 _
181
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
х2	и2	z2
5)	конус -т+тт—г = 0;
а2	Ь2	с2
2	2	2
Z? I	-	х	У	2	П
6)	мнимыи конус —+— + —= 0;
а2 Ъ2 с2
х2 у2
7)	эллиптический параболоид —+— = 2z (р,д>0);
Р Q
2	2
X И
8)	гиперболический параболоид--— = 2z (p,g>0);
Р Q
х2 и2
9) эллиптический цилиндр —+z7 = l;
а Ь
2	2
у л 1	~	Л Х У Л
10) мнимыи эллиптический цилиндр —- + -£- = -1;
а Ь
2	2
х и
11) гиперболический цилиндр —^-•2т-=1;
а Ъ
12) параболический цилиндр у2 =2рх\
2	2
х и
13) пара пересекающихся плоскостей —
а Ь
2	2
X V
14) пара мнимых пересекающихся плоскостей =
а b
15)	пара параллельных плоскостей у2-а2 (а^О);
16)	пара мнимых параллельных плоскостей 1/2+а2=0 (а^О);
17)	пара совпадающих плоскостей у2 =0.
Уравнения 1-17 называются каноническими уравнениями
поверхностей второго порядка. Доказательство теоремы 1 будет
изложено в главе 7.
§ 3. эллипсоиды
Каноническое уравнение вещественного эллипсоида имеет вид
х2 у2 z2
а о с
Положительные числа а,Ь9с называются полуосями эллип-
соида. Меняя, если нужно, оси координат можно считать, что в
182
§ 3. Эллипсоиды
каноническом уравнении а > Ъ > с. Эллипсоид, изображенный на
рис. 39, лежит в прямоугольном параллелепипеде -а£х<а,
-b<y<b, -с<у<с.
Рис. 39
Если а = &, то сечения эллипсоида есть окружности
х2 у2 - Л2	,
—+2Т=1—Г> 2 = Л;
а а с
радиусом rh = ^л/с2 - Л2, вырождающиеся в точки при Л = ±с.
Поэтому такой эллипсоид называется эллипсоидом вращения.
Его можно получить вращением эллипса
2	2
=	у = 0
вокруг оси Oz. Наконец, при а = Ъ = с эллипсоид является сфе-
рой радиуса а. Произвольный эллипсоид
2 А2 л2
а и с
получается из сферы
х2 + у2 + z2 -а2
посредством аффинного преобразования, являющегося компози-
цией двух сжатий вдоль осей Оу и Oz. Это аффинное преобразо-
вание записывается следующим образом;
Ъ	7* с
х' = х, у =—у, z'=—z.
а а
Прежде чем исследовать произвольные плоские сечения эл-
липсоида, выскажем одно общее утверждение.
183
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Предложение 1
Пересечением поверхности второго порядка плоскостью яв-
ляется лежащая в этой плоскости линия не более чем второго
порядка.
Доказательство. Возьмем такую систему координат Охуг, в
которой данная плоскость имеет уравнение z = 0. Получим
уравнение линии пересечения в коордийатах х и у на этой
плоскости
аих2 + 2а12ху + а22у2 + 2ахх+2а2у + а0 = 0.
Это общее уравнение линии второго порядка. Но в нашей
ситуации возможен случай ап =а12 =а22 =0. Тогда в пересече-
нии получается либо прямая, либо пустое множество, либо вся
плоскость.
Предложение 2
Любое плоское сечение эллипсоида есть либо эллипс, либо
мнимый эллипс, либо пара мнимых пересекающихся прямых.
Доказательство. Пусть эллипсоид задан каноническим
уравнением
а плоскость л — параметрическими уравнениями
х = х0 + а^и + Р^,
 y = y0+a2u + P2v,
z = zo+a3u + p3u
так, что векторы ml ={a1,a2,a3} и w3.= {P1,P2,P3} образуют орто-
нормированный базис в пространстве всех векторов, лежащих в
этой плоскости. Тогда параметры и и и будут прямоугольны-
ми координатами переменной точки этой плоскости. При под-
становке в уравнение эллипсоида вместо переменных х,у,г их
выражения через параметры и и и получим уравнение плоско-
184
§ Зъ Эллипсоиды
го сечения в координатах и, и. Квадратичная часть этого урав-
нения будет иметь вид
^а2 Ь2 с2 ,
а2^2
ь2
I а
Рассмотрим вспомогательные векторы
«1 а2 аз
а ’ b ’ с
~ Pi Рг Рз
^~\а'ь’ с
С их помощью полученное выражение принимает более про-
стой вид
1^ |2 и2 + 2(тг1,п2)ми+|п212 v2.
Подсчитаем инвариант S уравнения нашего плоского сече-
ния. Имеем
5 =
InJ2 (и!,га2)
|Й^|2
=1 К |2| лг12 (1 - СОЗ2 ф) =1 «112| «2 Г sin2 <Р
=|П1Г|Л2Г-(«1>Л2)4 =
где ф — угол между векторами щ и п2. Но векторы т\ и п2
линейно независимы, поскольку их пропорциональность влекла
бы пропорциональность перпендикулярных векторов и т2.
Поэтому зшф^О, и, следовательно, 8>0. Последнее же усло-
вие и характеризует нам лйнии эллиптического типа. Таким
образом, никаких других линий в плоском сечении эллипсоида
быть не может. В то же время сечение плоскостями z = h эл-
липсоида
а2 Ь2 с2
показывает, что все три возможности реализуются.
Если эллипсоид является эллипсоидом вращения, то в его
сечении есть окружности. Оказывается, этот факт верен для
любого эллипсоида.
185
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Предложение 3
Для любого эллипсоида
2	2	2
£_ + JL + £_ = 1
а2 Ь2 с2
где а>6>с>0, существует плоскость, пересекающая этот
эллипсоид по окружности.
Доказательство. Согласно доказательству предложения 2
необходимо найти такие векторы
-ria, а2 а3
МаЧ’с
«2 =
Pi Рг Рз 1
а ’ Ь ’ с j9
что | пх |=| n21 и (74,74) = 0. При этом векторы	и
т2 ={Pi,P2>P3} должны быть перпендикулярны и равны по дли-
не единице. В качестве вектора тх возьмем вектор ={0,1,0},
тогда пх = {0,1/&,0}. В качестве вектора т2 возьмем любой еди-
ничный вектор, перпендикулярный вектору 774, т.е
т2={а,0,Р}, где а2+р2=1, тогда 74 ={а/а,0,Р/с}. Проверим ус-
ловие 174 |=| п21. Это условие порождает систему уравнений
а2+₽2=1,
.а2 с2 Ъ2'
Выразив из первого уравнения р2 и подставив во второе, по-
лучим
а2 1-а2 _ 1
а2 + с2 ~Ь2’
ИЛИ
Y 1	1
I ” 2	L2 •
jcb
Так как а>Ь>с>0, это уравнение имеет решение. Анало-
гично, выразив из первого уравнения а2, убеждаемся в том,
что уравнение относительно р также имеет решение.
186
§ 4. Гиперболоиды
§ 4. ГИПЕРБОЛОИДЫ
4.1. Двуполостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид имеет Каноническое уравнение
где а>Ь. Изображен двуполостный гиперболоид на рисунке 40.
Если а = Ь, то сечения двуполостного гиперболоида плоско-
стями ? = й, | Л|>с, есть окружности. Поэтому такой гипербо-
лоид является гиперболоидом вращения. Его можно получить
вращением гиперболы
вокруг оси Oz. Произвольный двуполостный гиперболоид
получается из гиперболоида вращения
посредством аффинного преобразования, представляющего со-
бой сжатие оси Оу с коэффициентом Ъ/а.
В пдоских сечениях двуполостного гиперболоида кроме эл-
липсов и гипербол имеются и параболы. В самом деле, возьмем
плоскость cx-az + ac = 0.
Эта плоскость проходит через точку Мо(О,О,с) и параллель-
на векторам
^={0,1,0}, т2 =
“ п _
Ja2 +с2	\1а2 +с2
187
Глава в. Геометрия поверхностей второго порядка
Рис. 40
Параметрически эту плоскость можно задать следующим об-
разом:
[ а
x = —F==v,
л/а2+с2
у = и,
Параметры й и V являются прямоугольными координатами
на плоскости, так как векторы тх и т2 имеют единичную
длину и перпендикулярны между собой. При подстановке в
уравнение
—= -1
2	>2	2 Х
а Ь с
двуполостного гиперболоида вместо переменных х,г/,з их вы-
ражения через и и v получим уравнение плоского сечения в
координатах и,и:
188
§ 4. Гиперболоиды
и2 2v
ь2
ИЛИ
Это и есть каноническое уравнение параболы с параметром
ь2
Определение 2
Прямая I называется прямолинейной образующей какой-
нибудь поверхности Ф, если I с Ф.
Предложение 4
Двуполостный гиперболоид не имеет прямолинейных обра-
зующих.
Доказательство. Все прямые можно разделить на прямые,
пересекающие плоскость з = 0, и прямые, параллельные этой
плоскости. Прямые, пересекающие плоскость 2 = 0, не могут
быть прямолинейными образующими, поскольку эта плоскость
не пересекается с гиперболоидом
2	2	2
—	= -1
„2 ъ2 „2
а о с
Остальные прямые лежат в плоскостях 2 = й, пересечение
которых с гиперболоидом либо пусто (|й|<с), либо состоит из
одной точки (|й|=с), либо является эллипсом (|й|>с).
4.2. Однополостный гиперболоид
Однополостный гиперболоид имеет каноническое уравнение
а2 Ъ2 с2 ’
где а>Ь. Изображен однополостный гиперболоид на рисунке 41.
189
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Если а = &, то однополостный гиперболоид является гипер-
болоидом вращения, как и двуполостный. Произвольный одно-
полостный гиперболоид, как и двуполостный, получается из
гиперболоида вращения посредством сжатия вдоль оси Оу. Се-
чения однополостного гиперболоида плоскостями z-h являют-
ся эллипсами. Эллипс
являющийся пересечением однополостного гиперболоида
2	2	2
Х_ . У__£__i
2	>2	2	1
а Ъ с
с плоскостью 2 = 0, называется горловым эллипсом, или эллип-
сом горлового сечения данного гиперболоида. Сечения гипербо-
лоида плоскостями x = h и y = h являются гиперболами, кроме
случаев х = ±а, у = +Ь, когда эти гиперболы превращаются в
пересекающиеся прямые.
Предложение 5
Плоскость
cx~az + ac = 0
пересекает гиперболоид
2	2	2
2 "Г l2 л2 “ Х
а и с
по параболе, а после параллельного переноса этой плоскости в
начало координат — по паре параллельных прямых.
Доказательство аналогично доказательству соответствующе-
го утверждения для двуполостного гиперболоида.
Теорема 2
Через каждую точку однополостного гиперболоида
2	2	2
£-4-^--—= 1
2 ь2 л2 Х
а о с
проходят ровно две прямолинейные образующие.
190
§ 4. Гиперболоиды
Рис. 41
Доказательство. Сначала решим эту задачу для простейше-
го однополостного гиперболоида
х2 +у2-г2 =1
и, более того, для конкретной точки MQ(1,0,0) на окружности
горлового сечения. Пусть т = {а,р,у} — направляющий вектор
прямой I, проходящей через точку MQ. Переменная точка Mt
этой прямой имеет координаты (l + a£,pt,yO, гДе параметр t
принимает произвольные вещественные значения. Точка Mt
принадлежит гиперболоиду в том и только в том случае, когда
(l+at)2 +Р2*2 -у2*2 =1
ИЛИ
(a2 +Р2 -y2)f2 +2at = 0.
191
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Поэтому прямая I содержится в гиперболоиде х2 + у2 - z2 = 1
тогда и только тогда, когда
а2+р2-у2=О, а = 0.
Отсюда получаем с точностью до пропорциональности
только два направляющих вектора прямолинейных образую-
щих
{0,1,1}, тй£ = {0,1,-1}.
Теперь покажем, что точку MQ можно переместить в любую
другую точку М гиперболоида
х2 +у2-г2 =1
посредством аффинного преобразования, которое этот гипербо-
лоид отображает на себя. Поскольку при аффинном преобразо-
вании прямая переходит в прямую, отсюда будет вытекать, что
через точку М проходит столько же прямолинейных обра-
зующих, сколько их проходит через точку Мо. Данный гипер-
болоид является гиперболоидом вращения. Следовательно, лю-
бая его точка может быть получена посредством вращения
вокруг оси Oz точки, лежащей на гиперболе
х2-з2=1, у = 0.
Поэтому достаточно точку MQ перевести в произвольную
точку M(xq,0,Zq) на этой гиперболе. Определим аффинное пре-
образование f формулами
x' = XqX + ZqZ,
< У-У>
z' = zox + xoz.
Поскольку Xq~Zq = 1, определитель матрицы этого преобра-
зования равен единице. Значит, матрицей обратного преобразо-
вания будет матрица
192
§ 5. Конические сечения
•^о 0 2о
0 10.
0 Х0 >
Непосредственная подстановка показывает, что f(M0) = M.
Покажем теперь, что отображение f переводит гиперболоид
х2 + у2 -г2 =1 в себя. Имеем
х,г + у,г - z'2 = (хох+zoz)2 + / - (zox+х0г)2 =
= (х02 -z02)x2 +у2 -(х2 -z2)z2 =х2 +у2 -z2.
Аналогично (с применением матрицы преобразования Г1)
показывается, что и отображение f~l переводит гиперболоид в
себя. Таким образом, преобразование f отображает гиперболо-
ид на себя.
Для завершения доказательства теоремы осталось заметить,
что аффинное преобразование, задаваемое формулами
» х	, у	,2
*=-, S' =7? *
а Ь с
отображает гиперболоид
2	2	2
X У 2	„
	к-----= 1
2---------12	2
аг Ь с
на гиперболоид
х'2 +У2 -z'2 =1.
§ 5. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Произвольный конус
7-8327
193
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
где а > Ь, получается из конуса вращения или кругового конуса
а = Ь сжатием вдоль оси Оу. Конус вращения удобнее записы-
вать в виде
х2 + у2-R2z2 =0.
Плоскость 2 = 1 пересекает этот конус по окружности радиу-
са R. Рассмотрим плоскости, параллельные оси Оу. Произ-
вольная такая плоскость получается из горизонтальной плоско-
сти z = h поворотом ее вокруг оси Оу на некоторый угол ф.
Такой поворот записывается следующим образом:
х' = х cos ф - z sin ф,
Z* = Х8Шф + 2СО8ф.
Плоскость 2 = Л проходит через точку Мо(О,О,Л) и парал-
лельна векторам ег= {1,0,0} и е2 ={0,1,0}. После поворота этой
плоскости вокруг оси Оу на угол ф получаем плоскость ттф,
проходящую через точку Мо(-Лзшф,0,Лсо8ф) и параллельную
векторам е[ ={созф,0,8Шф} и е'2=е2. Запишем параметрические
уравнения плоскости лф:
х = -Лзшф+исовф,
< У = »,
2 = ЛсО8ф + и8Шф.
Параметры и и v будут прямоугольными координатами на
этой плоскости, определяемые ортонормированным репером
М^е[е2. При подстановке в уравнение
конуса вместо переменных x,y,z их выражения через и и v
получим уравнение плоского сечения в координатах и,и:
и2 (cos2 ф - R2 sin2 ф) + v2 - 2иЛсо8фзшф(1+R2) +
+A2(sin2 ф - R2 cos2 ф) = 0.
194
§5. Конические сечения
1) Если cos2<p--R2sin2(p = 0, имеем R = ctg(? и, следовательно,
cos<psin<p(l+Я2) = coscpsincp—= ctgq = R.
sin ф
Поэтому уравнение принимает следующий вид
v2 = 2hRu + Л2 (Я2 cos2 ф - sin2 ф),
или после переноса начала системы координат u, v
v'2=2hRu'.
При Л>0 это есть каноническое уравнение параболы с па-
раметром p-hRy который при изменении h может принимать
все положительные значения. При Л = 0 получаем пару совпа-
дающих прямых (рис. 42).
Таким образом мы доказали
Предложение 6
Плоским сечением конуса
х2 +у2 -R2z2 =0
может быть парабола любого параметра.
Рис. 42
195
7
Глава в. Геометрия поверхностей второго порядка
2) Пусть теперь cos2(p-7?2sin2<p^O. Преобразуем уравнение
u2 (cos2 <р - R2 sin2 ф)+v2 - 2иЛсозфвтф(1+R2) +
+Л2 (sin2 ф - R2 cos2 ф) = О
выделив полный квадрат с переменной и. Получаем
(cos2 ф-Я2 sin2 ф)
„2 п..ь(1 + Д2)СО8фЗШф	2 (1 + В2)2СО82ф8Ш2ф~| , _
СО32ф-Я 81П ф	(cos ф-Я 31П ф)
,2(1 + Я2)2СО32ф8Ш2ф ,2, . 2	п2 2 ч
= h •	'	, " 2—- - Л (sin ф - Я2 cos2 ф).
COS ф-Я Sin ф
Правая часть этого уравнения после преобразований прини-
мает вид
Л2Я2
COS ф — Я Sin ф
После параллельного переноса системы координат и, и
,	, (1 + Я2)С08ф8Шф
и—u—h -	2 ' 2 ,
«	008 ф-Я 8Ш ф
у' = V
имеем
/	2 п2 • 2 \ /2	/2	h R
(cos2 Ф - R2 sin2 ф)и + V = —--а— —,
cos ф-Л sin ф
или, при h*0
_________и'2 _____ ________у'2_______
( h2R2 Уг h2R2 V
(cos2 ф - R2 sin2 ф)2 J cos2 ф - R2 sin2 ф J
а)	Если cos2 ф - R2 sin2 ф > 0, то полученное уравнение есть ка-
ноническое уравнение эллипса, малая ось которого парал-
лельна оси Оу (см. рис. 43).
196
§ 5. Конические сечения
При изменении угла ф от 0 до arctg-£ отношение полуосей
£________1______
& 7соз2ф-Я2 sin2 ф
изменяется от 1 до +оо. Кроме того, при изменении h большая
полуось
|Л|В
2 —о • 2
COS ф-Л Sin ф
принимает все допустимые значения. Таким образом, нами до-
казано
Предложение 7
Плоским сечением конуса
х2 +у2-R2z2 =0
может быть эллипс любого размера.
В случае Л = 0 мы получаем пару мнимых пересекающихся
прямых.
197
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
б)	При cos2(p~U2sin2q)<0 уравнение
h2R2 "I+ Г h2R2
(cos2 ф - R2 sin2 ф)2 J cos2 ф - R2 sin2 ф
является каноническим уравнением гиперболы. Эта гипербола
изображена на рисунке 44.
Как и в случае эллипса, фокальная полуось а принимает
все положительные значения, но для отношения полуосей име-
ется ограничение
а _	1	1
& у/r2 sin2 ф-cos2 ф ~ R
Следовательно, не всякая гипербола является плоским сече-
нием данного кругового конуса. Но изменяя R мы можем по-
лучить сколь угодно малые отношения полуосей. Таким обра-
зом, мы доказали
Предложение 8
Плоским сечением конуса
х2 +у2-R2z2 =0
198
§6. Параболоиды
может быть любая гипербола с отношением полуосей
a/b>\lR. Гипербола любого размера может быть плоским се-
чением какого-нибудь кругового конуса.
В случае h = 0 мы получаем пару пересекающихся прямых.
Итак, коническими сечениями являются: эллипсы, гиперболы»
параболы, пересекающиеся прямые, мнимые пересекающиеся
прямые, совпадающие прямые.
§ 6. ПАРАБОЛОИДЫ
6.1. Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение
2	2
X У г*
—+£- = 2z,
Р я
где p>q>0. Плоскость i/ = 0 пересекает этот параболоид по
параболе х2 = 2pz, y-Q параметра р. Плоскости х = Л пересе-
кают его по параболам у2 = 2qz^qh2/р, x = h параметра q. По-
этому эллиптический параболоид может быть получен парал-
лельным перемещением одной подвижной параболы, когда ее
вершина скользит по другой неподвижной параболе. При этом
параболы находятся в перпендикулярных плоскостях, а их оси
параллельны и направлены в одну сторону (рис. 45).
Рис. 45
199
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Если p = q, то сечения параболоида
2	2
^+^=2г
Р я
плоскостями з = Л>0 являются окружностями. Такой парабо-
лоид есть параболоид вращения. Он может быть получен вра-
щением параболы х2 =2pz, у = 0 вокруг оси Oz. Произвольный
же эллиптический параболоид получается из параболоида вра-
щения сжатием вдоль какого-нибудь направления, перпенди-
кулярного оси вращения. Прямолинейных образующих эллип-
тический параболоид не имеет. Доказательство такое же, как и
для двуполостного гиперболоида.
Предложение 9
Любое вертикальное плоское сечение параболоида
2	2
—+—=2г
Р Я
является параболой параметра р', изменяющегося в пределах
от q до р.
Доказательство. Произвольную вертикальную плоскость п
можно записать в виде
Ax + Bi/ + C = O,
где можно предполагать, что А2 + В2 =1. Эта плоскость прохо-
дит через точку O'(x0,i/0,0) и параллельна векторам ^'={0,0,1}
и е'2 = {-В,А,0}. Из параметрических уравнений плоскости
х = х0-Ви, z/ = z/0+Av, z = u
мы получаем уравнение плоского сечения параболоида в пря-
моугольных координатах и,и:
(x0-Bv)2 (y0+Av)2
1 " т —————— —
Р я
200
$ 6. Параболоиды
Полученное уравнение является уравнением параболы, ось
которой, совпадая с осью и, параллельна оси Oz и направлена
вверх. Параметр этой параболы равен
n' = pq = pq = pq
pA2+qB2 pA2 +q(l-A2) (p-g)A2+g
и изменяется в пределах от р' = q при А = 1 до р' = р при
А = 0.
Предложение 10
Любое невертикальное сечение параболоида
х* У2 о
—+—=2г
Р Q
является эллипсом, мнимым эллипсом или парой мнимых пе-
ресекающихся прямых.
Доказательство. Произвольную невертикальную плоскость
л можно записать в виде
Ax + By + z+C = 0.
Эта плоскость проходит через точку О'(0,0,-С) и параллель-
на векторам е[ ={1,0,-А} и е'={0,1,-В}. Параметрические
уравнения этой плоскости
x = u, y = v, z=-C-Au-Bv
позволяют записать уравнение плоского сечения гиперболоида
в аффинных координатах u,v на плоскости л:
—+—+ 2(С+Аи + Ви) = 0.
Р Q
При фиксированных А и В и при изменении С (т.е. при
параллельном перемещении плоскости л) полученное уравне-
ние представляет собой либо уравнение эллипса, либо уравне-
ние пары мнимых пересекающихся прямых, либо уравнение
мнимого эллипса.
201
Глава в. Геометрия поверхностей второго порядка
6.2. Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение
2	2
*—*-~2z,
Р 9
где р,д>0. Плоскость у = 0 пересекает этот параболоид по па-
раболе x2=2pz, у = 0 параметра р. Плоскости х = Л пересекают
его по параболам у2 =-2gz + gA2/p, х = Л параметра q. Но оси
этих парабол, в отличие от параболы, лежащей в плоскости
у = 0, направлены в отрицательную сторону оси Oz. Гипербо-
лический параболоид, как и эллиптический, может быть полу-
чен параллельным перемещением одной подвижной параболы,
когда ее вершина скользит по другой неподвижной параболе.
При этом параболы находятся в перпендикулярных плоско-
стях, их оси параллельны, но направлены в разные стороны
(рис. 46).
Предложение 11
Любое невертикальное плоское сечение параболоида
2	2
X У о
----*— = 2z
Р Ч
является гиперболой или парой пересекающихся прямых.
Доказательство. Произвольную невертикальную плоскость
п можно записать в виде
Ax + By + z + C = 0,
202
§ 6. Параболоиды
Эта плоскость проходит через точку О'(0,0,-С) и параллель-
на векторам ^'={1,0,-А} и е'2 ={0,1,-В}. Параметрические
уравнения этой плоскости
x = u, y = v, z = -C-Au-Bv
позволяют записать уравнение плоского сечения гиперболоида
в аффинных координатах и,и на плоскости тс:
u2 v2
-——+2(С +Аи + Ви) = 0.
Р Q
При фиксированных А и В и при изменении С (т.е. при
параллельном перемещении плоскости тс) полученное уравнение
представляет собой уравнение гиперболы, которая при одном
значении С превращается в пару пересекающихся прямых.
Предложение 12
Любое вертикальное сечение параболоида
2	2
X У п
---— = 22
Р Q
является параболой или прямой.
Доказательство. Произвольную вертикальную плоскость л
можно записать в виде
Ax + Bi/ + C = 0,
где можно предполагать, что А2+В2=1 и В^О (сечения плос-
костями х = Л мы уже исследовали). Эта плоскость проходит
через точку О'(0,-С/В,0) и параллельна векторам ^={0,0,1} и
е2 = {-В,А,0}. Из параметрических уравнений плоскости
Q
х = -Ви, у —— + Аи, 2 = и
В
мы получаем уравнение плоского сечения параболоида
2	2
^-^ = 22
р q
203
Глава в. Геометрия поверхностей второго порядка
в прямоугольных координатах и,и:
BV (-f+Au)2
——— —	— £iU>.
Р Q
Если qB2 - рА2 * 0, то полученное уравнение является урав-
нением параболы, ось которой, совпадая с осью и, параллельна
оси Oz и направлена вверх или вниз в зависимости от знака
числа дВ2-рА2. Если же дВ2-рА2=0, т.е.
В
то такая плоскость пересекает гиперболоид по прямой.
Теорема 3
Через любую точку гиперболического параболоида проходит
ровно две прямолинейные образующие.
Доказательство. Возьмем произвольную точку M0(x0,i/0,20)
на параболоиде
х2 У2 о
--—=2z.
Р Q
Через эту точку проходят ровно две вертикальные плоскости
и л2, пересекающие параболоид по прямым и 12. Обе эти
прямые проходят через точку Af0, поскольку вертикальная
прямая x = x0,i/ = i/0 пересекает параболоид в единственной
точке

2Р9
Других прямолинейных образующих, проходящих через
точку MQ нет, так как любая прямая лежит в вертикальной
плоскости, а если вертикальная плоскость пересекает парабо-
лоид по прямой, то это и есть уже одна из двух рассмотренных
нами плоскостей.
204
§7. Цилиндры
§ 7. ЦИЛИНДРЫ
Определение 3
Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется
поверхность, получающаяся в результате движения прямой
(которая называется образующей этого цилиндра), перемещаю-
щейся параллельно себе и пересекающей данную линию (кото-
рая называется направляющей этого цилиндра).
Теорема 4
Непустая поверхность Ф, заданная общим уравнением
второй степени
ОцХ2 + а22у2 +a33z2 + 2в12ху+2а13х? +
+2a23yz + 2щх + 2а2у+2a3z + а0 = О,
является цилиндром, образующие которого параллельны оси
Oz тогда и только тогда, когда уравнение этой поверхности
имеет вид '	'	
F(x,y) = Q,
т.е. когда а33 -щ3 = а23 = а3 =0.
Доказательство. Достаточность очевидна. Для проверки не-
обходимости возьмем какую-нибудь точку M0(x0,z/0,20) на по-
верхности Ф. Тогда прямая
* =	У = !/(р 2 = з0 + *
целиком содержится в поверхности. Подставляя координаты ее
точек в уравнение поверхности и учитывая, что MQ е Ф, полу-
чаем
+ 2( ^0^13 + !/оагз + ^о^зз + #з К = 0.
Это равенство должно выполняться при всяком t. Следова-
тельно, а33 =0. Тогда уравнение поверхности можно переписать
в виде
F(x,y) + 2z(al3x+а23 у + а3) = 0.
205
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
Если условие а13 = а23 = а3 = 0 не выполняется, то можно найти
такую пару чисел (jq,^), что а13хг + а23ух + а3*0. Тогда, положив
2
1 2(ai3xi+а2зУ1+аз)’
получим точку	принадлежащую поверхности Ф, в
то время как никакая другая точка прямой
х = хп у = ух, z = z^t
поверхности Ф не принадлежит. Противоречие.
Итак, цилиндрическая поверхность второго порядка задает-
ся в некоторой канонической системе координат уравнением
F(x,i/) = 0,
где F(x,y) — многочлен второй степени от переменных х,у.
Линия второго порядка, определенная уравнением F(x,y) = O в
плоскости и = 0, является направляющей линией данной ци-
линдрической поверхности. Если эта линия является эллипсом,
действительным или мнимым, гиперболой или параболой, то
цилиндр над ней называется соответственно эллиптическим
цилиндром (рис. 47), мнимым эллиптическим цилиндром, ги-
перболическим цилиндром (рис. 48) или параболическим цилин-
дром (рис. 49).
Рис. 47»
206
§ 7. Цилиндры
Если направляющая линия есть пара прямых, то цилиндри-
ческая поверхность распадается на пару плоскостей (совпа-
дающих, параллельных или пересекающихся, действительных
или мнимых).
Предложение 13
Всякое невертикальное плоское сечение цилиндра
F(x,y)-0
207
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
является линией второго порядка, имеющей то же название,
что и его направляющая.
Доказательство. Мы знаем, что всякая невертикальная
плоскость может быть задана параметрическими уравнениями
х = й9 y = v9 z = -C-Au-Bv.
Подставляя эти выражения в уравнение F(x,y) = O цилинд-
ра, получаем уравнение
F(u,u) = 0,
выражающее плоское сечение в аффинных координатах u9v.
Предложение 14
Произвольная вертикальная плоскость либо не пересекает
цилиндр
F(x,y) = O
(не имеет даже общих мнимых точек), либо целиком в нем
содержится, либо пересекает его по паре параллельных пря-
мых (действительных, мнимых или совпадающих).
Это утверждение вытекает из результатов о пересечении
прямой с линией второго порядка и из следующего наблюде-
ния. Обозначим цилиндр F(x,i/) = O через Ф, вертикальную
плоскость — через л, плоскость Оху — через л12, прямую
лпл12 — через 19 линию Фля12 — через Г. Тогда плоское се-
чение л пФ является (вертикальным) цилиндром над /пГ.
§ 8.	АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Предложение 15
Пусть аффинное преобразование f:E3-+E3 переводит по-
верхность второго порядка Ф в поверхность второго порядка
20S
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка
Ф', плоскость п — в плоскость п'. Тогда линии лпФ и
л'пФ' имеют одинаковые названия.
Доказательство. Возьмем в пространстве аффинную сис-
тему координат Oxyz, для которой плоскость п является ко-
ординатной плоскостью Оху. Существует единственная аф-
финная система координат O'x'y'z' такая, что преобразование
f ассоциировано с системами координат Oxyz и O'x'y'z'. По-
скольку /(л) = л', плоскость л' будет координатной плоскостью
О'х'у'. Пусть поверхность Ф в системе координат Oxyz зада-
ется уравнением второго порядка F(x,y,z) = Q. Тогда поверх-
ность Ф' в системе координат O'x'y'z' будет задана тем же
уравнением F(x',y',z') = 0. Поэтому плоские сечения л пФ и
л'пФ' имеют одинаковые уравнения
F(x,y,Q) = Q и F(x',y',O) = O
в системах координат Оху и О'х'у' соответственно. Но мы
знаем, что линии второго порядка, задаваемые одинаковыми
уравнениями (в разных аффинных системах координат) аф-
финно эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые на-
звания.
Теорема 5
Произвольная поверхность второго порядка посредством
аффинного преобразования может быть переведена в одну из
следующих 17 поверхностей, заданных в некоторой прямо-
угольной системе координат уравнениями
1)
2)
3)
4)
5)
х2 +у2 +z2 =1;
х2 + у2 + z2 = -1;
х2 +у2—z2 =1;
х2 +у2-г2 = -1;
х2 +у2-г2 =0;
209
Глава 6. Геометрия поверхностей второго порядка
6)	х2+у2+г2=О;
7)	х2+у2=г;
8)	х2 - у2 = г;
9)	х2+уг=1;
10)	х2 + у2 = -1;
11)	х2-у2=1;
12)	у2=х;
13)	х2-у2=0;
14)	х2 + у2 = 0;
15)	у2 =1;
16)	у2+1 = 0;
17)	у2=0.
При этом поверхности, имеющие одинаковые названия,
аффинно эквивалентны, а поверхности разных названий аф-
финно неэквивалентны.
Доказательство. Первая часть этого утверждения доказы-
вается так же, как и соответствующая теорема для линий вто-
рого порядка. Что касается второй части, то поверхности раз-
ных названий мы различим их плоскими сечениями. При
этом мы будем опираться на предложение 15. Поверхности, не
имеющие вещественных точек, можно различить только в
комплексном пространстве. Остальные поверхности различи-
мы в вещественном пространстве. Мнимый конус — это един-
ственная поверхность, имеющая одну вещественную точку.
Пара мнимых пересекающихся плоскостей — это единствен-
ная поверхность, вещественные точки которой образуют пря-
мую. Цилиндры различаются между собой своими направ-
ляющими. Шесть основных поверхностей (эллипсоид, ги-
перболоиды, конус, параболоиды) делятся на две равные
группы отсутствием или наличием прямолинейных образую-
210
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка
!................. -1 ......... 1 .............. .........
щих. Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный
гиперболоид различаются тем, что двуполостный гиперболоид
имеет в плоском сечении гиперболу, а эллиптический парабо-
лоид — параболу. Во второй группе только гиперболический
параболоид не имеет в плоском сечении эллипса, у однополо-
стного гиперболоида есть параллельные прямолинейные обра-
зующие, а у конуса нет. Отличить цилиндры от основных по-
верхностей можно как по наличию прямолинейных обра-
зующих, так и по возможным плоским сечениям.
Глава 7
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С ПРЯМОЙ. КАСАТЕЛЬНАЯ
ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим теперь общее уравнение поверхности второго по-
рядка Ф в произвольной аффинной системе координат Oxyz:
F(x,i/,z) = апх2 +а22у2 + а33з2 + 2аХ2ху + 2a13xz +
+2a23yz + 2агх + 2а2у + 2a3z + aQ = 0.
Полагаем снова
F2(x,y,z) = anx2 +а22у2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,
Л11	Л12	^13
а12	а22	а23	*
. Лч п	Лпп	CLnn
а также
an Л12 ai3 ai
д = а12	а22	а23	а2
®13	^23	^33	«3
кЛ1 а2 а3 а0;
Введем также следующие обозначения:
Ф1 (х,y,z) = anx + а^у + a13z + ах, <р2(х,y,z) = с^2х + а22у + a23z + а2,
Фз(х>!/>2) = а1зх + а2зУ + азз2 + аз •
Пусть прямая I задана своими параметрическими уравне-
ниями
x = xQ +a^,
 У = У0+^>
z — z0+yt.
212
§ 1. Пересечение с прямой. Касательная плоскость
Для нахождения точек пересечения поверхности и прямой
подставим правые части параметрических уравнений прямой
в уравнение поверхности. После преобразований получим
уравнение не более чем второй степени относительно t, а
именно
F2t2 +2F^ + F0 =0,
где
F2 = F2(a,p, у) = aua2 + a22P2 + a33y2 + 2a12aP + 2a13ay + 2a23Py;
Fi = Fi (*o >Уо »2o »a Д Y) = a(Pi (xo >Уо >2o) +
+₽Фг(хо’Уо>2о)+ГФз(хо>Уо>2о);
Fo =Fo(x0,y0fz0) = F(x0,y0,z0).
Определение 1
Направляющий вектор a = {a,p,y} прямой l называется век-
тором асимптотического направления поверхности второго по-
рядка Ф, если
F2 (a,p,y) = Оца2 + а2202 + а33у2 + 2а12ар + 2а13ау+2а23Ру = 0.
При этом прямая I называется прямой асимптотического
направления для данной поверхности.
Повторяя рассуждения для асимптотических направлений
линий второго порядка на плоскости, можно показать, что
асимптотическое направление не зависит от выбранной систе-
мы координат, а зависит только от самой поверхности и данно-
го направления.
Как и для линий второго порядка имеет место следующее
утверждение
Теорема 1
Если прямая I имеет неасимптотическое направление, то
она пересекает поверхность Ф в двух точках — различных
(действительных или мнимых сопряженных) или действи-
тельных совпадающих.
213
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Если при этом обе точки пересечения сливаются в одну, т.е.
уравнение имеет совпадающие корни, то прямая I называется
касательной к поверхности Ф. В этом случае за точку
M0(x0,i/0,z0) прямой I возьмем точку, лежащую на поверхно-
сти (эта точка и будет точкой прикосновения прямой к поверх-
ности). Тогда Fo =F(xo,i/o,zo) = O и уравнение
F2t2 +22^ + 1? =0
принимает вид
F2t2 +2^2 = 0, или t(F2t + 2fJ) = 0.
Один из корней этого уравнения равен нулю, для того, что-
бы и второй его корень также был равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие Fr =0, т.е.
аф1(^о^о’2о) + ₽Ф2(хо>!/о>2о) + ГФз(хо’!/о>2о) = 0-
Имеется бесконечное множество прямых, проходящих через
точку Мо, направляющие векторы которых удовлетворяют
этому условию, т.е. бесконечное множество касательных к по-
верхности в данной ее точке MQ. Пусть M(x,y,z) — произ-
вольная точка любой из этих прямых. Тогда {х-х0,1/--1/0,г-г0}
есть направляющий вектор этой прямой и он удовлетворяет
уравнению
(x-x0)<p1(x0,y0,z0)+(y-j/0)<p2(x0,y0,z0) +
+(Z-Zo)<p3(Xo,yo.2o) = °.
Это уравнение некоторой плоскости, проходящей через точ-
ку MQ, которая называется касательной плоскостью к по-
верхности Ф в точке MQ. В развернутом виде это уравнение
записывается так:
(апх0 + а12у0 + a13z0 + )х+(а12х0 + а22у0 + a23z0 + а2 )у +
+(ai3x0 + a23j/0 + a33z0 + а3 )z+(OjX0 + а2у0 + a3z0 + а0) = 0.
214
§ 1. Пересечениес прямой. Касательная плоскость
В самом деле, уравнение касательной плоскости может быть
записано в виде
(ацХ0 + а12у0 + a13z0 + )х+(а^2х0 + а22у0 + а23г0 + а2 )у +
+(«13^-0 + «23^0 + «33^0 *'Яз)£ —(вцХ0 + «22% + «33% + 2«12%% +
+2«13Х020 + 2«2з%% + «Л + ОзУо + «з% ) = 0.
Но в силу равенства F(xo,i/o,zo) = O, имеем
“(ЯцД'о +Л2гУо	+%а12хйУо +2л13х0и0 +2a23jf0z0 +
+OiX0 + a2yQ + a3zQ) =	+ a3zQ + aQ.
Уравнение касательной плоскости может быть переписано в
виде
^'(^o>%>zoXx-x0)+F;(x0,i/0,z0X</-z0)+F;(x0>i/0>z0Xz-z0)=0,
где через FX',FJ,F/ обозначаются частные производные функ-
ции F(x,y,z); в этом виде в курсе анализа записывается урав-
нение касательной плоскости к поверхностям, значительно бо-
лее общим, чем поверхности второго порядка. Повторяя
рассуждения для касательных к линиям второго порядка на
плоскости, можно показать, что уравнение касательной не за-
висит от выбранной аффинной системы координат.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение касательной
плоскости к поверхности , второго порядка становится неопреде-
ленным. Это происходит тогда и только тогда, когда одновре-
менно выполнены условия
«1Л +«12% +«13% +«1=0,
• Oi2x0 +о22у0 m-OjjZq +о2 =0,
OjjXq +а23у0 +п33^3 +OJ =0,
причем в то же время
F(.x0,y0,z0)=Q.
215
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Но
=	+ ^12% +а1320 + Л1)*0 "**
+(#12#o ^"^22^0 “^^23^0 + аг)!/о +
+(<h3X0 "^^23^0 "^^33^0 +аз)20 +а1Х0 +Я21/0 +^3^0 + ао*
Если выполнены все равенства из последней системы урав-
нений, то в этом случае
Л^о^о) = aixo +ЗД) + Vo + ао>
а так как F(xo,i/o,zo) = O, окончательно получаем, что
+л2!/о +азго +ао
Это равенство вместе с равенствами системы показывает, что
четверка чисел (x0,i/0,z0,l) образует ненулевое решение сле-
дующей системы уравнений:
<*11*0 +а1г!/о +а1320 +Oi* = 0,
^12^0	^22%	^23^0	+	=
<*13*0 +Ыо +азз*о +М =°,
<hxo +а2у0 +а320 +aQt = 0.
Значит,
Д =
Оц
Л12
«13
«1
°12
а22
а23
а2
О1з °1
®23	&2
Язз °3
«3	<*0
= 0.
Поверхности, удовлетворяющие условию Д = 0, будем назы-
вать вырожденными^ а точки Af(x0,i/0,20), координаты которых
удовлетворяют условиям
<Pi(«o>yo>zo) = ФгК’Уо»^) = <Рз(*о’Уо’го) = ^(х0,у0,20) = 0,
особыми точками этой поверхности. Итак, только в случае вы-
рожденной поверхности второго порядка и только в ее особой
aw
§ 2. Асимптотические направления и прямолинейные образующие
точке касательная плоскость к поверхности становится неопре-
деленной.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
И ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть вектор {а,р,у} есть вектор асимптотического направ-
ления для поверхности второго порядка Ф, заданной уравне-
нием
F(x,y,z) = O,
т.е. F2(a,P,y) = O. Прямая Z, заданная своими параметрически-
ми уравнениями
х = х0 +at,
’ У = Уо+№,
z = z0+yt
имеет вектор {a,p,y} своим направляющим вектором, т.е. пря-
мая / есть прямая асимптотического направления. Тогда урав-
нение
F2t2 +2Р^+Г0 =0,
полученное в предыдущем параграфе, приобретает вид
22^+ F0 =0.
Поэтому прямая I либо имеет с поверхностью единственную
(действительную) точку, либо не имеет с ней ни одной общей
точки (является асмптотой поверхности), либо является прямо-
линейной образующей этой поверхности. В случае эллипсоида,
заданного своим каноническим уравнением
217
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
асимптотические направления {а,р,у} определяются из уравне-
ния
^+^+11 = 0;
а2 Ь2 с2
все эти направления являются мнимыми. Асимптотические на-
правления однополостного и двуполостного гиперболоидов, за-
данных их каноническими уравнениями
х2 у2 z2
----------= ±1.
а2 Ь2 с2
есть направления образующих их общего действительного
асимптотического конуса
2 о2 2
^L+P__I_=0.
а2 Ь2 с2
Эллиптический параболоид
—+—= 2z, р>0,д>0,
Р Я
имеет асимптотические направления {а,р,у}, удовлетворяющие
уравнению
а2 р2
—+—
Р Я
0;
все эти направления мнимые, за исключением направления
{О,О,у},у#=О оси z канонической для данного параболоида сис-
темы координат. Асимптотические направления гиперболиче-
ского параболоида
2	2
———=2z, р>0,д>0,
Р Я
определяются условием
«1-£=0;
Р Я
218
§ 2. Асимптотические направления и прямолинейные образующие
это всевозможные направления, коллинеарные какой-либо од-
ной (или обеим) из плоскостей
Все эти направления действительны.
Все прямые, являющиеся образующими асимптотического
конуса обоих гиперболоидов есть асимптоты каждого из этих
гиперболоидов; любая другая прямая асимптотического на-
правления пересекает двуполостный гиперболоид в единст-
венной точке; в случае однополостного гиперболоида имеют-
ся, кроме того, и прямолинейные образующие. Все дей-
ствительные прямые асимптотического направления по от-
ношению к эллиптическому параболоиду параллельны между
собой и пересекают параболоид в единственной точке. У эл-
липтического параболоида нет ни действительных асимптот,
ни прямолинейных образующих. Прямая, имеющая асимпто-
тическое направление по отношению к гиперболическому па-
раболоиду, параллельна одной из двух плоскостей; она или
является прямолинейной образующей, или пересекает пара-
болоид в одной точке, или является его асимптотой. Асим-
птотические направления конуса есть направления его обра-
зующих. Асимптот конус не имеет. Всякая прямая, имеющая
по отношению к конусу асимптотическое направление и не
являющаяся его образующей, пересекает конус в одной
точке.
Асимптотические направления эллиптического цилиндра
есть направления {а,р,у}, удовлетворяющие условию
219
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
среди них действительным является лишь направление
{О,О,у},у#О оси г канонической системы координат. Асимпто-
тические направления гиперболического цилиндра
а2 Ь2
есть все направления, параллельные одной (или обеим) из двух
плоскостей
£+£=о, 1^=0.
a b а b
Асимптотические направления параболического цилиндра
у2 =2рх
есть все направления, параллельные плоскости у = 0. Прямая,
имеющая асимптотическое направление по отношению к дан-
ным цилиндрам, может находиться в любом из трех положе-
ний, предусмотренных для этой прямой. Асимптотические на-
правления поверхности, распавшейся на пару плоскостей, есть
направления, параллельные одной из этих плоскостей (или им
обеим).
Если все векторы, имеющие относительно данной поверхно-
сти асимптотическое направление, прилагать к какой-нибудь
точке Af0, за которую удобнее всего брать начало данной сис-
темы координат, то эти векторы (и их концы) заполнят кони-
ческую поверхности с вершиной MQ, если ЛГ0 =(0,0,0), то
уравнение этой поверхности будет иметь вид F2(x,z/,z) = 0. Эта
коническая поверхность называется конусом асимптотических
направлений данной поверхности. Если поверхность централь-
ная, то конус асимптотических направлений с вершиной в цен-
тре данной поверхности называется асимптотическим конусом
поверхности. Асимптотическим конусом гиперболоидов
220
§ 2. Асимптотические направления и прямолинейный образующие
является конус
2	2
Х_ ,У_
„2	12
а о
Z2
С2
= 0;
асимптотическим конусом эллипсоида
2	2	2
^.+JL+£_=i
а2 Ъ2 с2
является мнимый конус
а2 Ь2
г2
с2
= 0.
Конус асимптотических направлений параболоида
2	2
^±*- = 22
Р Я
У
распадается в пару пересекающихся плоскостей, мнимых и со-
пряженных
х2 t?
—+£- = 0
Р 9
для эллиптического параболоида, и действительных
2	2
*.-Х=о
р 9
для гиперболического параболоида. Асимптотический конус
конической поверхности совпадает с самой этой поверхностью.
Наконец, конус асимптотических направлений цилиндрической
поверхности есть пара плоскостей — мнимых и сопряженных
(пересекающихся по действительной прямой), если цилиндр
эллиптический; пересекающихся действительных, если ци-
линдр гиперболический; совпадающих (и действительных), ес-
ли цилиндр параболический.
Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отноше-
нию к данной поверхности асимптотическое направление, яв-
221
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
ляются прямолинейные образующие этой поверхности. Прямая
Z, заданная своими параметрическими уравнениями
х = х0+а£,
 У = У0 + Р*>
2 = 20+Yt,
является образующей поверхности второго порядка F(x,y,z) = O9
если для нее выполнены условия F2 = 0 и Fx = 0 (условие FQ = О
выполнено автоматически: оно означает, что точка MQ лежит
на поверхности). Первое из этих условий
1?2(<х,р,у)=О
означает, что прямая I имеет асимтотическое направление,
второе
аф1(«о>Уо’2о) + ₽Ф2(хо’%>2:о) + ГФз(хо’Уо>;го) = 0
— что эта прямая лежит в касательной плоскости к поверхно-
сти в ее точке Мо.
Так как мы рассматриваем прямолинейные образующие,
проходящие через данную точку MQ поверхности, то для их
нахождения нам надо только определить их направляющие
векторы. Но эти векторы должны удовлетворять условиям
F2=0 и F1=0. Из уравнения Fx=0 можно, вообще говоря, од-
ну какую-нибудь координату, например у, выразить через две
другие, после чего квадратное уравнение F2(a,P) = O даст нам
два значения (действительных или мнимых) для отношения
a: р; этим и дан способ фактического нахождения прямоли-
нейных образующих. Так как они лежат в касательной плоско-
сти, то они и составляют ту (распадающуюся) кривую второго
порядка, по которой касательная плоскость в точке Мо пере-
секается с поверхностью Ф.
Рассуждение это делается несостоятельным, если одно из
двух уравнений является следствием другого, в частности, если
222
§ 2. Асимптотические направления и прямолинейные образующие
поверхность Ф есть конус, а точка M0(r0,r/0,z0) — его верши-
на, то
^(Х0,У0,20) = Ц>2(Х0,У0,20) = ^(Х0,У0,20) = 0.
Если же поверхность распадается на пару пересекающихся
плоскостей, то уравнение F2(a,P,y) = 0 эквивалентно двум ли-
нейным однородным уравнениям, определяющим двумерные
векторные пространства, соответствующие тем плоскостям, на
которые распадается поверхность Ф. Если вектор {а,р,у} при-
надлежит векторному пространству, соответствующему той
плоскости, в которой лежит точка (x0,i/0,20), то уравнение
Fx=0 есть следствие уравнения F2=0, в противном случае эти
уравнения несовместны.
Теорема 2
Касательная плоскость к невырожденной поверхности
второго порядка в данной ее точке MQ пересекается с этой
поверхностью по паре различных прямых (действительных
или мнимых). Эти прямые и являются двумя образующими
поверхности, проходящими через точку MQ.
Доказательство. Возьмем систему координат, началом ко-
торой является данная точка Мо, а плоскостью Оху — каса-
тельная плоскость к нашей поверхности в точке MQ. Так как
начало координат лежит на поверхности, то ао=О. Уравнение
касательной плоскости в точке Мо(О,О,О) имеет вид
(0,0,0) + i/(p2(0,0,0)+2ф3(0,0,0) = 0.
Но эта плоскость есть плоскость 2 = 0. Значит,
Ф1(0,0,0) = 0,ф2(0,0,0) = 0, откуда вытекает, что a^a^O. Урав-
нение поверхности при этом имеет вид
F(x,y,2) = a11x2 +а22у2 ч-а^з2 +20^ +
+20^x2+2a^y2+2ogZ = 0.
223
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Решая это уравнение совместно с уравнением 2 = 0, получа-
ем для кривой пересечения нашей поверхности с касательной
плоскостью уравнение
апх2 +а22у2 +2а12ху = 0.
Это уравнение распадающейся кривой второго порядка. Если
бы эта кривая была парой совпадающих прямых, то
_ q
^12	а22
Но тогда
а11	а12	Л13	0				
а12	а22	а23	0	= -Оз2	а11	^12	= 0
О13	а23	О33	Оз		°12	а22	
0	0	аз	0				
и поверхность Ф, вопреки предположению, была бы вырож-
денной.
Теорема 3
Пусть F(x,y,z) = O — поверхность второго порядка, не все
точки которой лежат в одной плоскости. Если {а,Р,у} — на-
правление, неасимптотическое для данной поверхности, то
существует прямая этого направления, содержащая ровно две
различные точки поверхности Ф заданной уравнением
F(x,y,z) = Q.
Доказательство. Через каждую точку (x0,z/0,20) поверхно-
сти Ф проводим прямую направления {а,р,у}. Требуется дока-
зать, что не все эти прямые являются касательными к поверх-
ности. Предположим противное: пусть каждая такая прямая
касается поверхности Ф в соответствующей точке (х0,у0,20).
Тогда имеет место равенство
224
$ З. Центр поверхности второго порявдка
Fj =а<р1(х0,у0,^) + |}ф2(х0,у0,2!0) + уфз(х(р1/0,20) =
= (ОцСс+«ujp+а!зУ)х0 + (а,2а+а22Р+а23у)у0 +
+(О1за+«гзР+«ззУ)2о +<°1а+аз₽+азГ) = °- .
Среди коэффициентов при xQiyQ,zQ по крайней мере один от-
личен от нуля, в противном случае имели бы место равенства
а11а+а12р+а1зУ = О,
• л12а+Лз2Р+а2зТ=О>
а13а+°2зР+аззГ=О.
Умножая эти равенства соответственно на а,Р,у и склады-
вая, мы бы получили
Оца2 +Oj2p2 +аззУ2 +2а12аР+2а1зау+2а23Ру = О,
т.е. напрвление {а,р,у} было бы асимптотическим. Следова-
тельно, равенство ^=0 представляет собой уравнение первой
степени относительно переменных x0,i/0,20, которому удовле-
творяют все точки, лежащие на поверхности.
§ 3. ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть снова даны произвольная аффинная система коорди-
нат Oxyz, поверхность Ф второго порядка, заданная в этой
системе координат уравнением
F(x,y,z) = 0
и прямая I неасимптотического направления, заданная своими
параметрическими уравнениями
х = х0 +at,
•1/ = Уо+₽*>
z = z0+yt.
8-8327
225
Глава 7- Общая теория поверхностей второго порядка
Точки пересечения прямой I с поверхностью Ф есть точки
М^х^у^) и М2(х2,уг,г2), где
x^Xo+atp У1=|/о+₽*1’ 2i=Zo+Y*i>
x2=x04-at>, y2=y0+&t2, z2=z0+yt2,
a tx и t2 — корни квадратного уравнения
F2t2+2F^ + F0 =0,
где
F2 = F2(a,P,y) = a11a2 ч-а^р2 ч-а^у2 +2a12aP+2a13ay+2а23Ру;
Fi = Fi («о	’2о	= аФ1(хо >го ) +
+₽Ф2(«о>Уо>го)+ГФз(хо>Уо>го);
Fo — F0(x0,yQ,zQ) = F(x0,y0,z0),
и, как всегда,
Ф1(х, j/,z)=anx+а^у+al22+ai>
(?2(x,y,z) = a12x+a22y+a2az + a2,
<?3(x,y>z) = Ou*+агзУ+азз2+«з •
При этом, если и t2 — комплексные числа, то Мх и
М2 — мнимые точки. Точка M0(x0,i/0,z0) является серединой
отрезка МХМ2 тъгца. и только тогда, когда tx + t2 =0, т.е. когда
Л = atp^Xo.^.Zo)+рф2(х0, у^20) ч- у<р3 (х0, у0,20) = 0.
Теперь возникает вопрос: нет ли такой точки M0(x0,i/0,20),
которая являлась бы серединой всякой хорды, через нее прохо-
дящей? Заметим, что такой точкой MQ является всякий центр
центр симметрии нашей поверхности (если он существует). До-
226
§ 3. Центр поверхности второго порядка
кажем, что для искомых точек M0(x0,z/0,z0) должны одновре-
менно выполняться равенства
<PiCWo’2o) = °> Ф2(жо’Уо’2о) = 0’ Фз(хо»Уо’2о) = 0-
Предложение 1
Для всякой поверхности второго порядка F(x,y,z) = O мож-
но найти три неасимптотических направления, не компла-
нарных между собой.
Доказательство. Рассмотрим множество всех точек
F(x,i/,z), удовлетворяющих уравнению
а^х2 + а22 у2 + a33z2 + Яа^ху+2al3xz + 2a23yz = 0.
Точки M(x,i/,2), удовлетворяющие этому уравнению, и
только они обладают тем свойством, что вектор ОМ = {x,y,z}
имеет асимптотическое направление. В плоскости z = l это
уравнение определяет кривую второго порядка
anx2+a22y2 +2at2xy+2al3x+2a23y.+ a33 =0
(быть может, если ап = а12 = а22 =0, вырождающуюся в прямую).
Возьмем на плоскости z = l три неколлинеарные точки
Л^1(а1,Р1,У1)^2(а2>Р2>У2)>мз(аз>Рз>Уз)> не лежащие на этой кри^
вой. Тогда OMY = {а1,Р1,у1},ОМ2 = {а2,Р2,у2},ОЛГ3 ={а3,Р3,у3} —
три некомпланарных вектора неасимптотического направления.
Пусть {a1,pi,y1},{a2,P2,Y2},{a3,₽3,Ys} — три некомпланарных
вектора, неасимптотических по отношению к поверхности Ф.
Для каждого из них должно выполняться равенство Fx =0, т.е.
должно быть одновременно
а1Ф1(хо’Уо’2о) + ₽1<Р2(хо’%’2р)+Г1(Рз(жо’Уо>2о) = 0>
• а2Ф1 (*о >Уо»2о ) + Р2Ф2 (хо > Уо > 2о )+УгФз (*о > Уо >2о ) = °>
а3Ф1 <хо >Уо > 2о ) + Р3Ф2 («о > Уо >2о )+ГзФз (хо ♦ Уо » 2о ) = 0 •
227
8
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Но векторы {a^PpYi}, {a2>₽2>Y2}>(аз»Ра»Уз} некомпланарны,
т.е. определитель матрицы этой системы не равен нулю, и,
значит, система имеет только нулевое решение. Итак, доказано
Предложение 2
Всякий центр симметрии M0(xQ,yQ,zQ) поверхности Ф
удовлетворяет равенствам
^11^0 "^^12% "^^13^0	=0>
^12^0 "^22 % + fl2320 + ^2 =0>
^"^23% +азз2о +аз =0«
Докажем обратное утверждение: всякая точка, координаты
которой удовлетворяют последней системе уравнений, есть
центр симметрии поверхности Ф. При замене переменных
х = х' + х0, у = !/' + 1/0, Z = Z' + ZQ,
соответствующей перенесению начала координат в точку
M0(x0,z/0,z0), многочлен F(x,y,z) преобразуется в многочлен
F\x\y'9z')9 квадратичная часть которого совпадает с квадра-
тичной частью многочлена F(x,y,z), а коэффициенты а[,а'2,а^
линейной части и свободный член а^ вычисляются по фор-
мулам
= а11х0 4-а^	ч-^,
^2 = ^12^0 + ^22^0	^23^0	^2 >
«3 = ^13*^0 Л23^0 + ЗД <*3 ’
.< = -F(*o>J/o>2o)-
Таким образом, уравнение поверхности в новой системе ко-
ординат будет иметь вид
аХ1х2 +а22у2 + a33z2 + 2al2xy+2a13xz + 2a23yz+aQ =0.
Из этого уравнения ясно, что начало координат есть центр
симметрии этой поверхности. Повторяя рассуждения для цен-
228
§ 3. Центр поверхности второго порядка
тров линий второго порядка на плоскости, можно показать, что
система для определения центра поверхности не зависит от вы-
бранной системы координат, а зависит только от самой поверх-
ности.
Заметим, что система уравнений для определения центра
поверхности имеет единственное решение тогда и только тогда,
когда
8 =
0ц аХ2
012 а22
013 а23
013
а23
0зз
*0.
Поверхности, удовлетворяющие этому условию, принято на-
зывать центральными: это те поверхности второго порядка, ко-
торые имеют центр симметрии и притом только один. Ясно
также, что после переноса начала координат в центр симмет-
рии поверхности Ф, в случае выполнения условия
д=
ап
012
013
01
012
а22
023
02
013
О23
033
0з
01
02
03
0Q
*0,
что эквивалентно тому, что свободный член а0 отличен от ну-
ля, уравнение поверхности можно записать в виде
^х2 +а2гу2 +а33з2 +2a12xt/+2a13xz+2a23i/z+a0 =0,
а в случае А = 0 в виде
ОцХ2 +a22i/2 +a33z2 +2a12xy +2^3X2+2a23yz = 0.
В нецентральном случае, т.е. когда 8 = 0, уравнения системы
либо несовместны, и тогда поверхность не имеет ни одного цен-
тра, либо система этих уравнений совместна, и тогда точки,
являющиеся решениями заполняют целую прямую (при г = 2)
или целую плоскость (при г = 1).
229
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Выясним, наконец, когда центр (или один из центров)
M0(x0,i/0,z0) поверхности Ф лежит на самой этой поверхности.
Для этого нужно выполнение четырех равенств
+ «12% + О13*0 +«1=0,
< ^12^0 + ^22% +^23^0	=0’
<*13*0 +а2з!/о +Vo +а3 =0,
Л*о ’ Уо ’ )= 0 •
Но равенство 4 при выполнении равенств 1-3 эквивалентно
равенству
<hxo+a2yo+a3zQ+ao=().
Так как четверка чисел (x0,i/0,20,l) образует ненулевое ре-
шение системы
^1*0+<Wo+а1320 +°1* = °>
®12Ж0 + ^22% + ®2320 ^"®2^ =
®13Ж0 "*"а2зУо "*"®3320 "*"®3^ = 0’
Аж0 + агУо + аз2о + ао* = °’
то Д = 0, т.е. поверхность является вырожденной, а точка
M0(x0,z/0,20) есть особая точка этой поверхности. Особые точки
имеются лишь у следующих поверхностей второго порядка:
1)	Конус: единственная особая точка, являющаяся вместе с тем
единственным центром конуса, есть его вершина.
2)	Пара пересекающихся плоскостей: прямая пересечения этих
плоскостей есть вместе с тем прямая центров этой поверхно-
сти, совпадающая с множеством ее особых точек.
3)	Пара совпадающих плоскостей: вся поверхность состоит из
особых точек, каждая из них есть центр поверхности.
§ 4. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ.
ОСОБЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть в какой-нибудь аффинной системе координат Охуг
дана поверхность второго порядка Ф, заданная в этой системе
230
§ 4- Диаметральные плоскости. Особые направления
координат уравнением F(x,i/,z) = O. Рассмотрим совокупность
всех прямых Z, имеющих одно и то же неасимптотическое для
данной поверхности направление {аДу}. К^к мы знаем из § 1,
каждая такая прямая пересекает поверхность в двух точках:
вещественных, может быть совпадающих, или мнимых сопря-
женных; отрезок, соединяющий эти точки, называется хордой,
высекаемой из прямой I поверхностью Ф. Уравнение прямой I
записывается в виде
х = х0 +а£,
У = Уо+№>
2 = Z0+yt,
где M0(x0,i/0,20) — какая-нибудь произвольно зафиксированная
точка этой прямой. Точка MQ прямой I тогда и только тогда
является серединой хорды, высекаемой из этой прямой поверх-
ностью Ф, когда выполнено условие
К = а<р1(х0,у0,г0)+₽ф2(х0,у0,гв)+r<p3(x0,y0,z0) = 0,
где
Ф1(х>у,г) = а11х+а12у+а13г+а1,
Ф2 (х, у, г) = а12х+a2iy+a2iz+аг,
Фз (х,у,2) = 013* + а23У++°з ♦
Таким образом, всевозможные середины таких хорд удовле-
творяют уравнению
(aux+a12y+a132+a1)a+(a12x+a22y+a23z+a2)p+
+(о13х+ЛгзУ++«з )Y = °’
или
(а11а + а12Р+а13у)х+(а12а+а22Р+а23у)г/ +
+(«1за+а23Р+а^г+(^а+а2Р+а3у) = 0.
231
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Это есть уравнение плоскости, которая называется плоско-
стью, сопряженной направлению {а,р,у} относительно поверх-
ности Ф. Повторяя рассуждения для линий второго порядка на
плоскости, можно показать, что уравнение плоскости, сопря^
женной направлению {а,Р,у}, не зависит от выбранной аффин-
ной системы координат, а зависит только от самой поверхности
и данного направления.
Полученное уравнение может иметь смысл и для асимптоти-
ческого направления; определенную этим уравнением плос-
кость мы будем и в случае асимптотического направления
{а,р,у} называть плоскостью, сопряженной направлению
{а,р,у}. Наконец, назовем какую-нибудь плоскость диамет-
ральной плоскостью поверхности Ф, если существует (хотя бы
одно) направление, неасимптотическре или асимптотическое,
для которого эта плоскость является сопряженной относитель-
но поверхности Ф. Уравнение диаметральной плоскости, со-
пряженной направлению {а,р,у}, будем писать в виде
Lx + My + Nz+P = 0,
где
1, = а11а+а12р+а13у,
М = a12a + a22P+a23y,
N = a13a+a23p+a33y,
P = a1a+a2P+a3y.
Всякая диаметральная плоскость содержит все центры дан-
ной поверхности. Имеет место и обратное предложение: Вся-
кая плоскость, содержащая все центры поверхности, является
ее диаметральной плоскостью. Точка Мо, принадлежащая
всем диаметральным плоскостям (или хотя бы всем тем из
них, которые сопряжены иеасимптотическим направлениям),
является центром поверхности. В самом деле, точка
M0(x0,i/0,z0) есть середина проходящей через нее хорды любо-
го неасимптотического направления, а это означает, что ее ко-
232
§ 4. Диаметральные плоскости. Особые направления
ординаты удовлетворяют системе для определения центра. Ес-
ли для данного асимптотического направления {а,Р,у} сущест-
вует сопряженная ему плоскость, то она параллельна этому
направлению. Обратно, если направление {а,р,у} параллельно
сопряженной ему плоскости, то это направление является
асимптотическим. В самом деле, непосредственным подсчетом
проверяется, что
La + М р+Ny = F2 (а, р, у).
Условием параллельности вектора {а,р,у} и диаметральной
плоскости
Lx+My+Nz+P = O
является равенство
La + Mp+Ny = O,
т.е.
1?2(а,Р,у)=О,
а это и означает, что вектор {а,Р»у} имеет асимптотическое на-
правление.
Пусть вектор a = {a,P,y} есть линейная комбинация векторов
<4 ={а1,Р1,У1} и а2 = {а2,Р2,у2}, т‘е* л = ^а1+ца2. Если векторам
и а2 сопряжены диаметральные плоскости и л2, то
плоскость Хл1+цл2 является диаметральной плоскостью, со-
пряженной вектору а. Возьмем уравнения плоскостей, сопря-
женных соответственно направлениям {a: Р: у}, {а х: Рх: ух},
{а2 :Р2: у2}. Коэффициенты этих уравнений обозначим через
L, М, N. Р,
4, Mv Nlt Plt
L*, м2, n2, Р2,
233
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
причем из самого определения этих коэффициентов следует;
что
L — ч~ ,
# = ^+^2,
Р = ХР1+рР2.
Геометрическое содержание полученного результата таково:
пусть векторам аг и а2 сопряжены соответственно плоскости
и л2. Тогда всякому вектору а, компланарному обоим век-
торам Oj и а2, сопряжена плоскость л, принадлежащая пучку
плоскостей, определенному плоскостями лх и л2. Если плоско-
сти лх и п2 пересекаются, то плоскость л проходит через пря-
мую их пересечения, а если они параллельны, то и плоскость
л им параллельна.
Посмотрим, может ли так случиться, что для данного на-
правления не существует сопряженной ему плоскости. Это про-
изойдет тогда и только тогда, когда в уравнении
Lx+My+Nz+P=Q
все три коэффициента при переменных x9y,z будут равны ну-
лю. Тогда система однородных уравнений
Ь = а11а+а12Р+а13г = О,
• Af=a12a+a22₽+a23Y=0,
^ = a13a+a23P+a33Y = O
определяет направление {<х,р,у}, которое в этом случае называ-
ется особым направлением. Определение особого направления
не зависит от выбора аффинной системы координат, а зависит
только от самой поверхности. Поверхность малого ранга г
234
§ 4. Диаметральные плоскости. Особые направления
имеет 3-г и не более линейно независимых особых направле-
ний. В частности, центральные поверхности (для них 8# О, и,
значит, г = 3) вовсе не имеют особых направлений. Умножая
первое из уравнений системы на а, второе на р, третье на у и
складывая, получаем
La + Мр+Ny = F2 (а,Р, у) = О,
т.е. всякое особое направление является асимптотическим.
Итак, только в нецентральном случае и только асимптотиче-
ское направление может оказаться особым; для всех неособых
направлений сопряженная плоскость существует и определена
однозначно.
Посмотрим, какие имеются особые направления поверхно-
стей различных типов. Параболоиды и центральные цилиндры
(включая поверхности, распадающиеся на пару пересекающих-
ся плоскостей) есть поверхности, для которых г = 2; у них име-
ется единственное особое направление. Если эти поверхности
даны своими каноническими уравнениями
^-2з;
Q
£=±1;
— ±*- = 2з;
Р
х2
а2
2	2
£-±У_=0>
а2 Ь2
то их единственным особым направлением является направле-
ние {0:0:1}, т.е. направление оси Oz. В случае центральных
цилиндров и пары пересекающихся плоскостей полученное на-
правление есть направление прямой центров рассматриваемой
поверхности. Для эллиптического параболоида особое направ-
ление является и единственным асимптотическим направлени-
ем; то же справедливо и для эллиптического цилиндра. Но во
всех четырех случаях (эллиптических и гиперболических пара-
235
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
болоидов и цилиндров) единственное особое направление есть
направление (вещественной) прямой пересечения тех двух
плоскостей (вещественных или мнимых), на которые распался
конус асимптотических направлений поверхности, а именно
плоскостей
для гиперболического параболоида;
для эллиптического параболоида;
а b а Ь
для гиперболического цилиндра;
£+И=о, 1-^=о
а Ь а Ь
для эллиптического цилиндра, вещественного или мнимого.
Для поверхностей, у которых г = 1, имеются два независи-
мых особых направления; значит, особыми являются все на-
правления, параллельные некоторой плоскости. Так обстоит
дело у параболического цилиндра
у2 =2рх
и у пары параллельных плоскостей
У2=с-
И в том, и в другом случае особое направление имеют все
векторы, параллельные плоскости у = 0. Все асимптотические
направления параболического цилиндра являются особыми.
236
§ 4. Диаметральные плоскости. Особые направления
Предложение 3
Для того, чтобы направление {1: ц: v} было особым, необхо-
димо и достаточно, чтобы оно было параллельно всякой диа-
метральной плоскости.
Доказательство. Пусть дана диаметральная плоскость
Lx+My+Nz+P=O,
сопряженная направлению {а:р:у} так, что
L = а11а+а12Р+а13у,
М = a12a+a22p+a23r,
N = a13a+a23P+a33Y,
P = a1a+a2P+a8Y.
Условие параллельности направления {Х:ц: v} этой плоско-
сти есть
Lk+Mp + Nv = G.
Из этого следует, что выполнено следующее равенство
(a11X+a12n+a13v)a+(a12A.+a22p+a23v)P-i-
+(a13X+a23p+a33v)y = O.
Если направление {X: ц: v} особое, то выражения в скобках,
являющиеся коэффициентами при а,р,у, равны нулю, и усло-
вие параллельности направления {Л : Д : у} плоскости, сопря-
женной любому направлению {<х:Р:у} выполнено.
Пусть теперь для данного направления {X:p:v} и любого
неособого направления {a: Р: у} выполнено условие
(ОцХ+v)a +(а!2Х+а22ц+a^vjp+
+(Oi8l+а23ц+Оз3у)у=0;
237
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
требуется доказать, что направление {X:p:v} особое. Берем
три некомпланарных неасимптотических направления
{“1: ₽!: Yi)> {а2: Р2: у2}, {а3:рз: у3} — такие существуют для вся-
кой поверхности второго порядка. Выполнены следующие ра-
венства:
(апк+а12ц+a13v)a1 + (al2k+а22ц + a23v)P, +
44ai3X+a23M + a33v)Yi=0,
(auA.+a12p+a18vXx2 +(a12l+a22p + a23v)P2 +
+a23p+a33v)y2 = 0;
(ОцХ+^ц+Oi3v)a3 +(a12X+a22n + a23v)P3 +
+(О1з^+а2зН+«ззу)Уз =0.
Так как векторы {a1>P1,y1},{a2,P2,y2},{a3,p3,y3} не компла-
нарны, то эта система имеет единственное нулевое решение
а^Х +	+ a13 v = 0,
 О12А. + a22p + a23v = 0,
a13X+a23p+a33v=0,
т.е. направление {X: р,: v} особое.
Предложение 4
Плоскости л1 и л2, сопряженные относительно данной по-
верхности Ф двум различным направлениям {а1:Р1:у1} и
{а2:р2:у2}, тогда и только тогда параллельны между собою,
когда плоскость л, несущая оба направления {a^p^yj и
{а2:Р2:у2}, параллельна некоторому особому направлению по-
верхности Ф.
238
§ 4. Диаметральные плоскости. Особые направления
Доказательство. Обозначим коэффициенты при x,y9z в
уравнении плоскостей, сопряженных. направлениям (a^.p^yj
и {а2:Р2:у2}, соответственно через Ll9M19N1 и I*,M2,N2. За-
пишем условия параллельности этих плоскостей в виде
A=^l=^l=_H
l, мг n2 X
или
+jjlZL^ = О,
< ХМГ + цМ2 =0,
Подставляя сюда значения
< Mi =0^2^ +022?/ +а2зУр
Nt = a13ai +а23Р/ +Оз3Ур
i = l,2, получаем после раскрытия скобок и перегруппировки
членов равенства’
+ца2)+О12(1Р1 +нР2)+а13(Ху1 +цу2) = 0,
а12(Ха1 +ца2)+а22(ХР1 +цР2)+а23(Ху1 + цу2) = О,
а1з(1а1 +ца2)+а23(1р1 + цР2)+a»(tyi +MY2)=0’
по-прежнему выражающие необходимое и достаточное условие
параллельности (в широком смысле слова) плоскостей лх и л2.
Но эти же равенства выражают условие, необходимое и доста-
точное для того, чтобы направление
{(Хоц +ца2):(ХР1 +hP2):(XYi + МТ2)},
очевидно лежащее в плоскости л, было особым, т.е. чтобы плос-
кость тс была параллельна некоторому особому направлению.
239
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
§ 5. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ
Предложение 5
Всякая плоскость, проходящая через (единственный)
центр поверхности второго порядка Ф, заданной в некоторой
аффинной системе координат уравнением F(x,y,z) = O, явля-
ется диаметральной плоскостью, сопряженной некоторому
однозначно определенному направлению {а,р,у}.
Доказательство. Предположим, что начало координат на-
ходится в центре поверхности. Тогда уравнение поверхности
записывается в виде
В2(х,у,г) + ао=О,
а уравнение данной плоскости, проходящей через центр, — в
виде
Ax + By + Cz-Q.
Для определения направления {а,р,у}, для которого эта
плоскость является сопряженной, надо решить систему уравне-
ний
а11а + а12Р+а13у = А,
 а12а+а22₽+а23г = В,
О1за+а2зР+аззГ = с>
что и делается однозначно ввиду того, что 8^0.
Поверхности с прямой центров есть центральные цилиндры,
т.е. цилиндры над некоторой центральной (быть может распа-
дающейся) кривой второго порядка. В надлежаще выбранной
аффинной системе координат уравнение такой поверхности
имеет вид
х2±уг+а0 =0.
Единственным особым направлением этой поверхности яв-
ляется направление вектора {0,0,1}, т.е. направление оси Oz
340
§ 5. Диаметральные плоскости различных видов
выбранной координатной системы. В этой же координатной
системе уравнение диаметральной плоскости, сопряженной на-
правлению {а,0,у}, есть
ах±Ру = О.
Итак, всякая плоскость, проходящая через прямую цен-
тров, и только такая плоскость является диаметральной плос-
костью нашей поверхности, а направление прямой центров
есть (единственное) особое направление. Мы знаем, что вся-
ким двум направлениям, лежащим в некоторой плоскости,
параллельной особому направлению, сопряжены диаметраль-
ные плоскости, параллельные между собой. В данном случае
эти плоскости совпадают: два направления, не коллинеарные
(единственному) особому направлению, т.е. направлению оси
Oz, лежащие в плоскости, параллельной оси Oz, задаются
векторами вида
{a.P.Yi}. {а.₽»Г2}>
где по крайней мере одно из чисел а,Р отлично от нуля. Обоим
этим направлениям сопряжена диаметральная плоскость
ах±Р</ = 0 (знаки при Ру соответствуют знакам при у2 в урав-
нении поверхности). Конус асимптотических направлений по-
верхности х2 - у2 + а0 = 0 распадается на пару действительных
плоскостей
х + у = О и х-у = О.
Каждому направлению, лежащему в одной из этих плоско-
стей и коллинеарному оси Оз, например направлению {1:1: у},
лежащему в плоскости х - у = 0, сопряжена сама эта плоскость.
Если поверхность F(x,i/,z) = O имеет плоскость центров, то
эта плоскость и является единственной диаметральной плоско-
стью этой поверхности, так как всякая диаметральная плос-
кость должна содержать все центры поверхности. Все направ-
ления, параллельные плоскости центров, являются особыми.
Поверхность, имеющая плоскость центров, распадается на пару
241
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
параллельных плоскостей; сама плоскость центров есть средняя
плоскость между двумя плоскостями, составляющими данную
поверхность; все направления, параллельные этим плоскостям
есть асимптотические для этой поверхности, все они особые.
Остается рассмотреть случай двух совпадающих плоскостей л.
Здесь каждая точка плоскости п есть центр поверхности, зна-
чит имеется единственная диаметральная плоскость — сама
плоскость л. Все направления, параллельные плоскости л, яв-
ляются особыми. Малый ранг поверхности без центров равен
или двум (параболоиды), или единице (параболический ци-
линдр). Единственным особым направлением параболоида (ги-
перболического или эллиптического) является направление
прямой I пересечения тех двух плоскостей л} и л2, на которые
распадается конус асимптотических направлений параболоид^.
Всякая диаметральная плоскость параболоида параллельна
этой прямой I. Докажем, что и обратно, всякая плоскость, па-
раллельная единственному особому направлению параболоида,
является его диаметральной плоскостью. Для этого воспользу-
емся уравнениями
X2+у2-2z
и
х2-у2-2z
соответственно эллиптического и гиперболического параболои-
дов в надлежаще выбранной аффинной системе координат.
Диаметральная плоскость, сопряженная направлению {а,р,у},
будет в этой системе координат иметь уравнение
ах+Ру-у = О,
соответственно
ах-Ру-у = О.
Очевидно, что всякая плоскость, параллельная оси Oz, мо-
жет быть при надлежаще подобранных а,р,у задана каждым из
242
§ 6. Сопряженные направления
этих уравнений, причем различным направлениям сопряжены
различные диаметральные плоскости. Итак, диаметральными
плоскостями параболоида являются все плоскости, параллель-
ные (единственному) особому направлению параболоида, и толь-
ко они. Конус асимптотических направлений параболического
цилиндра
’	у2 =2рх
вырождается в пару совпадающих плоскостей
у2=0.
1 Все асимптотические направления параболического цилинд-
ра являются особыми. Докажем, что диаметральными плоско-
стями параболического цилиндра являются все плоскости, па-
раллельные плоскости у = 0, и только они. Это непосредственно
следует из того, что плоскость, сопряженная направлению
{а,р,у} относительно данной поверхности, имеет уравнение
рг/-ра = О.
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть дана поверхность второго порядка Ф, определенная в
некоторой аффинной системе координат уравнением
F(x,y,z) = ОцХ2 + а22у2 + a33z2 + 2а12ху + 2a13xz+
+2а23уг + 2агх +2а2у+2a3z+а0 = О,
где, как обычно,
F2(x,jZ,z) = OnX2 + а22у2 +а33г2 +2at2xy + 2a13xz + 2a23yz
— квадратичная часть многочлена F(x,y,z).
Пусть также
Оц а12 а13
= ^12	^22	^23
<Л13	а23	Л33>
— матрица квадратичной части F2(x,y,z).
243
Глава li Общая теория поверхностей второго порядка
Два ненулевых вектора аг = {а,,р,,у,} и а2 ={а2,Р2,у2} назы-
ваются сопряженными относительно поверхности Ф, если
выполнено следующее условие:
a„a,a2 + ^2гРхРг "*”^ззУхУз *^®х2(ахРг "^^гРх)"*”
+а1з(«1Т2 + «2Г1) + а2з(Р1У2 +Р2Г1) = °>
ИЛИ
(ЯцСЦ + #,2Р, "*"^ХзУх)а2 “*"(^Х2^Х “^^ггРх +^2зУх)Р2 +
+(Яхзах +а23Р, +а3з7,)72 =0,
или
(апа2 + а,2Р2 + а,3у2 )а, +(а12а2 +а22₽2 +0^)^ +
+(а,3(Х2 +о23Р2 +о3372)7х ==0*
В матричном виде условие сопряженности записывается
следующим образом:
Повторяя рассуждения для сопряженных направлений ли-
ний второго порядка на плоскости, можно показать, что усло-
вие сопряженности двух направлений не зависит от выбранной
системы координат, а зависит только от самой поверхности и
данных направлений. Очевидно также, что вектор Ь, сопря-
женный векторам а, и а2, сопряжен и любой их линейной
комбинации Ха, +ца2. Отсюда в частности вытекает, что вектор
&, сопряженный вектору а, сопряжен также любому вектору
вида Ха, т.е мы можем говорить о сопряженности направлений
{а, :Р, :у,} и {а2 ;02 :у2}. Из определения сопряженности оче-
видно следует, что особое направление {а, :0, :у,} сопряжено
всякому направлению {а:Р:у}. Верно и обратное: если направ-
ление {а, :р, :у,} сопряжено всякому направлению {а:р:у}, то
244
§ 6. Сопряженные направления
оно является особым. Это вытекает из следующего предложе-
ния.
Предложение 6
Если {04 : : ух} — не особое направление, то сопряженными
ему являются те и только те направления {а: р :у}, которые
лежат в плоскости, сопряженной направлению {ах :yj.
Доказательство. Уравнение плоскости, сопряженной на-
правлению {ах :рх :ух}, есть
Lx + Mi/+Nz + P = 0,
где
'1> = апа1+а12р1+а13у1,
= 012*^! + ^2гР1 ®2зУ1 ’
’	N = «1за1 +а2зР1 +аззТ1 >
Р = а1а1+а2р1+а3у1.
Всякий вектор {а,р,у},‘ лежащий в этой плоскости, и только
такой вектор удовлетворяет условию
La + Afp + Ny = 0,
которое как раз и есть условие сопряженности вектора
{«1>Р1»Г1} вектору {а,р,у}.
Из доказанного следует, что свойство направления {а: р: у}
быть или не быть особым относительно данной поверхности не
зависит от выбора той или иной системы координат. Возьмем
теперь прямую I, направление которой не является асимптоти-
ческим относительно данной поверхности. Если поверхность
центральная, то предполагаем, кроме того, что прямая I прохо-
дит через центр поверхности. Плоскость л, сопряженная на-
правлению прямой I, не может быть параллельна этой прямой,
т.е. пересекает прямую I в некоторой точке О, которую мы
объявим началом новой координатной системы. При этом, если
поверхность центральная, то О — ее центр. В качастве оси Oz
245
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
выберем прямую Z, а остальные оси возьмем в плоскости п. То-
гда плоскость л, будучи плоскостью Оху нашей координатной
системы, имеет уравнение 2 = 0. Пусть в выбранной нами систе-
ме координат уравнение данной поверхности имеет вид
F(x,y,z) = allx2 +а22у2 + a22f +2а^/су+
+20^X2 + 2a23i/z +	+ 2а2у + 2а3г + aQ = 0.
Так как плоскость 2 = 0 сопряжена вектору {0,0,1}, то ее
уравнение в нашей системе координат должно быть	>
(Оц 0 + а12 0+0,3 •1)х + (а12 0 + а22 0+а23 1)у +
+(«1з 0 + а23 0 + а33 1)2 + ^ 0 + а2 0 + а3 1 = 0,
т.е.
в13* + «2зУ + «ЗЗг + аЗ=0-
Отсюда следует, что а13=0, а23=0, а3=0, а33*0. Таким
образом, уравнение нашей поверхности принимает вид
аих2 + а22у2 + а3322 + 2а12ху + 2а^х + 2а2у + а0 = 0,
где а33*0. Если поверхность центральная, то aj=a2=O. Потре-
буем, кроме того, чтобы ось Ох имела неасимптотическое на-
правление. Сопряженную ей плоскость (которая проходит через
ось 02, так как направления осей Ох и 02 сопряжены) объявим
плоскостью Оуг, так что ось Оу, как пересечение плоскостей
Оху и Оуг, будет сопряжена и оси Ог, и оси Ох; итак теперь
все три оси координат имеют попарно сопряженные направления.
Плоскость у = 0, будучи сопряжена вектору {0,1,0}, имеет урав-
нение
а12х + а22у+а23г + а2=0,
так что а12 =0,а23 =0,а2 =0. Таким образом, уравнение цен-
тральной поверхности в системе координат, направления осей
которой попарно сопряжены между собою, имеет вид
апх2 +а22у2 + Оз3г2 +а0 =0.
246
« §7. Главные направления
§ 7. ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть поверхность второго порядка Ф относительно некото-
рой прямоугольной системы координат Oxyz задана своим
уравнением
F(x,y,z) = апх2 + а22у2 + a33z2 + 2al2xy + 2a13xz +
+2a23yz + 2агх + 2а2у + 2a3z + а0 = О,
где, как обычно,
F2(x,y,z) = a11x2 +а22у2 +аязг2 +2a12xy+2a18xz+2a23yz
— квадратичная часть многочлена F(x,y,z). Квадратичную
часть F2(x,y,z) будем называть также квадратичной формой
поверхности Ф. Направление {а: р: у} называется главным, ес-
ли оно перпендикулярно ко всем сопряженным ему направле-
ниям. В частности, всякое особое направление является глав-
ным, так как оно сопряжено любому направлению, в том числе
и ему перпендикулярному. Так как понятие сопряженности
двух направлений относительно данной поверхности не зависит
от выбора той или иной системы координат, то не зависит от
этого выбора и понятие главного направления. Если {a: Р: у} —
неособое направление, пёрпендикулярное к каким-нибудь двум
сопряженным ему направлениям, то направление {a: Р: у} пер-
пендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости,
т.е. является главным. Пусть направление {a: Р: у} главное.
Если оно особое, то
L = a11a + a12P + a13y=O,
• М = a12a + a22p + a23y =Ю,
^ = a13a + a23P + aa|3y = 0. t
Если {a:p.*y} — главное, но не особое направление, то оно
перпендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости
Lx + Му + Nz + Р = 0,
247
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
и тогда вектор {а,£,у} коллинеарен нормальному вектору
{L,M,N} плоскости, т.е.
L = а1га + а12Р + а13 у = Ха,
М = а12а + а22р + а23у = хр,
# = а13а + а23р+а33у = 1у
при некотором Х^О.
Итак, какова бы ни была прямоугольная система координат,
относительно которой поверхность задана своим уравнением
F(x,j/,z) = 0, всякое главное направление удовлетворяет полу-
ченной системе уравнений, причем для особых направлений
имеем Х = 0, а для неособых Х*0. Обратно, всякое направле-
ние {<х:Р:у}» удовлетворяющее последней системе, есть главное
направление, особое, если Х = 0 и только в этом случае. Пере-
писываем систему уравнений в виде
(Oil - № + «12₽+013? = °>
' ai2a+(a22-\)P+a23Y = °>
а13а+а23Р+(а33-Х)у = 0.
Она тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда
^11	а12 а1з
D(X) - ai2
^22	^23 ” О*
а13	a23	а33
Полученное уравнение называется характеристическим
уравнением поверхности Ф, многочлен В(Х) — характеристи-
ческим многочленом, корни этого многочлена — собственными
значениями. Этот многочлен является ортогональным инвариан-
том. Действительно, пусть O'x'y'z' — другая прямоугольная
система координат и переход от системы Oxyz к системе
O'x'y'z' осуществляется по формулам
248
§ 7. Главные направления
x = c11xr+c12yr + c13/+c1,
< !/ = с21хЧс22!/, + С2з<гЧс2,
2 = С31Х +С321/ +C33Z + С3>
где
С12	С13
С22	С23
С32	С33)
— ортогональная матрица. Матрица
	Ч1	^12	013
	а12	а22	Л23
	<а1з	а23	азз>
квадратичной части поверхности Ф при переходе к новой сис-
теме координат меняется по формуле
А'=С*АС.
Имеем
D'(X) =1 А - ХЕ |=| с* АС “ ХЕ 1=1 С* АС - С*ХЕС |=
^C^A-^CHCM’lA-XEl-IChDCX).
Так как характеристический многочлен Е(Х) не зависит от
выбора той или иной системы координат, то это же справедли-
во для его корней, собственных значений Xj,X2, Х3.
Предложение 7
Для каждой поверхности второго порядка Ф, заданной в
некоторой прямоугольной системе координат Охуг уравнени-
ем F(x,i/,z) = O, существует прямоугольная система коорди-
нат Ох'у'г\ в которой квадратичная форма данной поверхно-
сти имеет вид
Ах12 +Ву'2 +Сг'2.
249
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Доказательство. Многочлен Z>(X) — многочлен третьей
степени, поэтому по крайней мере один из его корней является
вещественным; пусть это будет, например, Х3. Этому корню со-
ответствует вещественное главное направление, и мы можем с
самого начала предположить, что ось Oz исходной координат-
ной системы Oxyz имеет именно это направление, тогда вектор
{0,0,1} будет вектором главного направления по отношению к
повенрхности Ф. Имеем
(#и -Х3)-0+а12 О + ^з 1 = 0,
* #12 *0 4-(#22 ~ Х,3) *0+ #23 *1 = 0,
#13-0 + #2з-0+(#з3 — Х3)-1 = 0,
т.е. #13 =0,а23 =0,а33 =Х3 — в избранной системе координат
квадратичная форма поверхности имеет вид
S <
F2(x,y,z) = allx2 +2а12ху+а22уг + A.3z2.
Как известно из § 3 главы 4, можно поворотом координатной
системы Оху в ее плоскости (вокруг точки О) на некоторый
угол ф перевести ее в такую систему Ох'у', в которой квадра-
тичная форма апх2+2а12ху + а22у2 примет канонический вид
а^х'2 +а22у'2. Этот поворот можно рассматривать как поворот
всего пространства вокруг оси Oz на тот же угол ф. В резуль-
тате получаем прямоугольную систему координат Ox'y'z', в ко-
торой квадратичная форма F2*(x',i/',z') записывается в виде
F2'(x',j/',z') = а'пх'г +а'22у'2 + A.3z'2.
Заметим, что если бы не только ось Oz, но и оси Ох и Оу
имели главные направления, то выполнялось бы также условие
а12=0. Итак, если оси прямоугольной системы координат
Ox'y'z' имеют главные направления, то квадратичная форма
поверхности имеет вид
Ах'2 +Ву'2 +Cz'2.
250
§ 7. Главные направления
При этом, если в какой-нибудь прямоугольной системе ко-
ординат Ox'y'z' квадратичная форма поверхности Ф имеет
вид
Ах'2 +Ву'2 +Cz'2,
то коэффициенты А, В и С в этом представлении очевидно
равны собственным значениям характеристического многочле-
на D(X). Из этого факта, а также из предложения 7 следует,
что собственные значения характеристического многочлена лю-
бой поверхности второго порядка действительны. Кроме того,
если в данной прямоугольной системе координат Ox'y'z1 квад-
ратичная форма поверхности Ф имеет вид
Г2'(х', у',г') = \х'2 + Х2у'г + X3z'2,
то направления осей этой координатной системы непременно
являются главными направлениями относительно поверхности
Ф. Из сказанного следует, что для всякой поверхности второго
порядка Ф существует по крайней мере одна тройка взаимно
перпендикулярных главных направлений. Сейчас мы ответим
на вопрос о числе таких троек. Ответ на этот вопрос зависит от
кратности корней характеристического уравнения.
Теорема 4
1)	Простому корню характеристического уравнения соответ-
ствует единственное главное направление.
2)	Главные направления, соответствующие двум различным
корням характеристического уравнения, взаимно перпенди-
кулярны.
3)	Если все три корня характеристического уравнения раз-
личны между собой, то имеются три и только три глав-
ных направления, и они попарно перпендикулярны.
4)	Если из трех корней Х^Х^Хд два равны между собою и от-
личны от третьего, например Х^Х^Хд, то все направле-
ния, перпендикулярные к единственному направлению, соот-
251
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
ветствующему корню Х3, являются главными направ-
лениями, соответствующими корню Xj=X2. Таким образом,
имеется бесконечно много троек взаимно перпендикулярных
главных направлений; каждая из этих троек содержит един-
ственное главное направление е3, соответствующие просто-
му корню Х3, тогда как два других направления есть произ-
вольные направления ех,е2, перпендикулярные между собою и
перпендикулярные к направлению е3.	}
5)	Если все три корня характеристического уравнения равны
между собою, то каждое направление является главным.
Доказательство. 1) Возьмем прямоугольную систему коор-
динат Oxyz, относительно которой квадратичная форма
F2(x,i/,z) имеет канонический вид. Относительно этой системы
координат уравнения для определения главных направлений
имеют вид
(Хх - Х)а = О,
(Х2-Х)Р = 0,
(Х3-Х)у = 0.
Пусть Х3 — простой корень, Х3 ^ХрХд ;*Х2. Тогда система
уравнений при X = Х3 превращатся в систему
(Хх -Х3)а = О,
(Х2-Х3)Р = О,
Оу = 0.
Единственное ненулевое направление, определенное такой
системой, есть {0:0:1}.
2) Пусть Х2*Х3. Так как Xi не может одновременно совпадать
и с Х2 и с Х3, можно считать, что Х^Хд (но может быть
Хх=Х2). Тогда Х3 оказывается простым корнем, и ему соот-
ветствует единственное главное направление, записываю-
щееся в нашей системе координат в виде {0:0:1}. Посмот-
252
9 7. Главные направления
рим какие направления соответствуют корню Х2. При Х = Х2
система для определения главных направлений имеет вид
(11-12)а=0,
ор=о,
(^з ~	= О*
При Х2 получаем единственное главное направление
{0:1:0}, и оно перпендикулярно направлению {0:0:1}, соответ-
ствующему корню Х3. При Х^Л.2 система принимат вид
0а = 0,
ор=о,
(А,3 ~ Х2)у = Oj
ей удовлетворяют все векторы типа {а,р,О}, т.е. все векторы,
перпендикулярные вектору е3 ={0,0,1}, и только они. Этим до-
казано утверждение 2, утверждение 3, являющееся следстви-
ем утверждений 1 и 2, и утверждение 4.
5) Наконец, при \ = Х2 = Х3 система уравнений для определе-
ния главных направлений имеет вид
0а = 0,
1	]ор=о,
0у = 0;
этой системе удовлетворяет любое направление {а,р,у}.
Рассмотрим случай, когда имеется равный нулю корень ха-
рактеристического уравнения, например Х3 = 0; как мы знаем,
соответствующее этому корню главное направление является
особым. .Направим по этому направлению ось Oz, так что вектор
{0,0,1} является особым; подставив а = 0,Р = 0,у = 1 в уравнения
Ь = апа+а12р+а13у = 0,
 М = a12a+a22P+a23y = 0,
N = al3a + a23P+a33y = 0,
которые характеризуют особые направления, получим
253
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
<*1з — 0, Л23 ~ Лзз ” О*
Итак, в прямоугольной системе координат, в которой ось
Oz имеет особое направление, квадратичная форма Г2(х,у,з)
имеет вид
F^y^a^x2 +2а12ху + а22у2,
а после поворота на надлежащий угол имеет вид \х'2 + ’к2у'2.
Если при этом имеется лишь одно особое направление, то г =2,
и, значит, Xj ^0,Х2 #0.	*
Если же имеются два различных особых направления, то все
направления, параллельные плоскости, определяемой этими
двумя направлениями, будут особыми; так что можно, напри-
мер, осям Оу и Oz придать взаимно перпендикулярные осо-
бые направления. Подставляя в уравнения а = 0, Р = 1, у = 0, по-
лучим еще и
(1^2 ~ 0, п22 = 0, л23 = 0.
В такой системе координат квадратичная форма F2(x9y,z)
будет иметь вид
F2(x,y,z) = a11x2,
где Оц = Хх — единственный не равный нулю корень характери-
стического уравнения. Все дальнейшие упрощения в уравнении
F(x,y,z) = F2(x,y,z)+2aix + 2a2y+2a3z+aQ =0
достигаются надлежащим переносом начала координат (и в од-
ном случае еще дополнительным поворотом осей координат).
§ 8. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Пусть поверхность второго порядка Ф относительно некото-
рой прямоугольной системы координат Охуг задана своим
уравнением
254
§ 8. Канонический вид уравнения поверхности
F(x,y,z) = aux2 +a22y2 +a33z2 +2at2xy+2alsxz +
+2a33yz+2а,х+20^+2а3г+а0 = О,
где, как обычно,
F2(x,y,z) = anx2 +a22i/2 +033^ +2a12xi/+2aI3xz+2a23j/z
— квадратичная часть многочлена F(x,i/,z), которую мы также
называем квадратичной формой поверхности Ф. Как следует
из предыдущего параграфа, существует по крайней мере одна
прямоугольная система координат Ox'y'z', оси которой имеют
гдавные направления. В этой системе координат уравнение по-
верхности имеет вид
F\x\y\z') = \x'2 + ‘к2у'2 +k3z'2 +2а[х' + 2а2у' + 2a3z'+aQ =0.
Начнем с центрального случая: 8#0,г = 3. В этом случае
^0, Х2 *0,Х3 ^0. Если перенести начало координат О систе-
мы Ox'y'z' в единственный центр поверхности Ф, то уравнение
примет вид
F(x,y,z) = F\x\y\z”) = \x”2 + к2у”2 +^з**2 +ао =0-
Так как при переходе к новой прямоугольной системе коор-
динат определители А и 5 умножаются на квадрат определи-
теля матрицы перехода» т.е. ортогональной матрицы, то А и 8
есть ортогональные инварианты. Поэтому для их вычисления
можно пользоваться левой частью последнего уравнения, что
дает 8 = 11Х2Х3, A = X1X2X3aQ, откуда а'=А/8. Итак, окончатель-
ный вид уравнения в выбранной нами прямоугольной системе
координат есть
\х2 + Х2у2 + Х32г +^- = 0.
О
Теперь имеются две возможности: А = 0 и А^О. Начнем с
первой. Получаем конус второго порядка, вещественный, если
среди собственных значений ХРХ2Д8 имеются числа разных
знаков. Умножая, если понадобится, обе части уравнения на
255
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
-1, можем предположить, что среди коэффициентов
имеются два положительных и один отрицательный. Изменив,
если потребуется, наименования осей координат и обозначая
положительные коэффициенты через 1/а2 и 1/Ь2, а отрица-
тельный — через -1/с2, мы можем представить уравнение
нашей поверхности в виде
(причем здесь и всюду дальше берем а,Ь и с положительны-
ми). Это каноническое уравнение вещественного конуса. Бели
все собственные значения одного знака, аналогично получаем
каноническое уравнение мнимого конуса
2	2	2
^+iL+£_=0.
а2 Ь2 с2
Пусть теперь Д^О; это значит, что мы имеем невырожден-
ную центральную поверхность. Переписываем тогда уравнение
\х2 + Х2у2 + Х3£2 + — = О
8
в виде
х у 2
——+	 +——=1.
ЛАД
8Хх 8Х2	8Х3
Возможны четыре случая:
а)	Все собственные значения имеют один и тот же знак (тогда
тот же знак имеет и 8) и Д > 0, тогда можем положить
—=а\ Л_=ь2, —=с2,
8Хх 8Х2	8Х3
причем а,8 и с всегда считаем положительными. Тогда урав-
нение примет вид
2	2	2
2 ъ2	2 -1
а о с
— получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.
256
§ 8. Канонически^вид уравнения поверхности
б)	Все собственные значения имеют один и тот же знак и А < О,
тогда полагаем
= а2,	= Ьг, ~— = сг,
8Х1	6Х2	8Х3
— получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида
в)	Собственные значения имеют разные знаки и Д<0. Предпо-
ложим, что числа и Х2 имеют одинаковые знаки, а Х3
имеет знак, им противоположный (знак 5 совпадает со зна-
ком Х«). Полагаем
О z
& _ „2	& _к2 А _ „2
~- — а ,    — и ,	— с .
8Хх 6Х2	8Х3
Получаем уравнение
-—-^-+ — = 1
2 l2 + _2 Х
а о с
— каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
г) Собственные значения имеют разные знаки и Д>0. Предпо-
ложим снова, что числа и Х2 имеют одинаковые знаки, а
Х3 — знак, им противоположный. Тогда, полагая
А	2 А ,2 А	2
----= д 9	— ft 9 	= с ,
8Хх 5Х2--------------8Х3
придаем уравнению вид
2	2	2
Л2 + к2 >»2
а о с
Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
Итак, каждая центральная поверхность второго порядка
есть либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид
(действительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполост-
ный или однополостный).
9-8327	257
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Переходим к случаю поверхности ранга г = 2. Тогда среди соб-
ственных значений характеристического многочлена поверхности
Ф два, положим и Х2 отличны от нуля и Х3 =0. В некоторой
прямоугольной системе координат Ox'y'z' (с тем же началом, что
и исходная система Oxyz) уравнение поверхности принимает вид
F'^x^y^z^-^x'2 + 'к2у'2 + 2а[х' + 2а2у' + 2a'3z' + а0 =0.
Имеем
0	0	а[
0 Х2 0 а2 2
Д =	Л	J2	Л	2t =-ai2XA2,
0	0	0	а;	312,
а2	а3	а0
откуда заключаем, что Д^0 тогда и только тогда, когда а3 *0.
Рассмотрим сначала случай, когда Д^0 и, следовательно,
а3*0. Перенос начала координат О в произвольную точку
ОХ^о’Уо’^о), т,е’ преобразование
x' = x” + x'Q, у' = у” + у'о, z'^z'+z'b
переводит многочлен F\x\y\z'} в многочлен
= \х'2 + К2уи2 +2(ХхХо +а[)х’+2(к2у’о +а2)у' +
+2a^z“+к1х3 +к2у3 +2а[х'о +2а2у'о +2a3z'o +а0 =0.
Определяя x'0,y'0,z'0 из уравнений
Мо+а1=°» Мо+а2=0’
%Х2 + Х2у'о2 + 2ajx' + 2а’2у'о + 2а% + а0 = 0,
получаем
F\x’,y’,z") = \х’2 + К2у"г + 2a'3z’ = 0.
Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе коор-
динат уравнение всякой поверхности ранга г = 2, В = 4 прини-
мает вид
^х”2 + Х2у*2 + 2a3z” = 0.
258
§ 8. Канонический вид уравнения поверхности
Из равенства А = -аз2Х1Х2 получаем, что
°з = ±J—— •
3 V
Так как а3 — действительное число, то А имеет всегда
знак, противоположный знаку ХхХ2. Другими словами, А по-
ложителен, если числа Хх и Х2 разных знаков (гиперболиче-
ский случай), и отрицателен, если Хх и Х2 одного знака (эл-
липтический случай). Изменив, если нужно, положительное
направление оси Oz на противоположное, всегда можем пред-
положить, что знак а'3 противоположен знаку Хр так что
уравнение поверхности можно переписать в виде
fl3 аз
Xi Х2
где -а'з/^ есть положительное число, которое мы обозначаем
через р:
I__А
р~ \ N kiV
Число -Лз/Х2 положительно» если знак Х2 совпадает со зна-
ком Xj (т.е. в эллиптическом случае, А<0), и отрицательно,
если Xj и Х2 разных знаков (т.е. в гиперболическом Случае,
А > 0). Полагаем в обоих случаях
Г А
9 =
^2
при этом модуль раскрывается , со зцаком минус в. эллиптиче-
ском случае, и со знаком плюс в гиперболическом случае. Соот-
ветственно получаем каноническое уравнение
2	2
2*=^+*-
Р 9
эллиптического параболоида и каноническое уравнение
9*
259
Глава 7. Общая теормя поверхностей второго порядка
гиперболического параболоида.
Пусть теперь Л=0, значит, и а£=0. Тогда большой ранг
Л<3 и уравнение поверхности в этом случае приобретает вид
F'(x',y',z') = Х,х'2 + Хгу'2 + 2а[х'+2а'гу'+а0 = 0.
Рассмотрим параллельный перенос
х' = х'+х', у^у'+у'о, z' = z".
Получим
F'(x*, y*,z") = A,tx*2 + Х2у'2 + 2(А.1х' + а[ )х' +
+2(Х.2у'+а')у' + а'=0,
где
ао = Мо* + кгУо + 2а^х' + 2а'2у'а + а0.
Определяя х'^у'^ из уравнений
Мо+а2=0’
приводим уравнение поверхности к виду
АцХ*2 + Х2у*2 +Uq =0,
причем Я = 3, если а^О, и R = 2, если а'о=О. Это уравнение
задает (в системе координат O'x'y'z”) цилиндр над лежащей в
плоскости 2* = 0 центральной кривой второго порядка Г,
имеющей в системе координат О'х'у” то же уравнение. При
Я = 3 эта кривая нераспадающаяся, при R = 2 она распадается
на пару прямых, а цилиндр вырождается в пару пересекаю-
щихся плоскостей. Для определения числа a'Q надо найти ка-
кую-нибудь точку прямой центров (из системы определяющих
ее уравнений в исходной системе координат) и подставить ко-
ординаты этой точки в левую часть первоначального уравнения
поверхности. Полученный результат не зависит от выбора точ-
260
§ 8. Канонический вид уравнения поверхности
ки на прямой центров. Переписывая уравнение кривой Г в ка-
ноническом виде, мы получаем каноническое уравнение
эллиптического, соответственно гиперболического цилиндра, а
также, если кривая Г есть мнимый эллипс
2	2
а2 Ъ2 ’
уравнение мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной
системе координат
Пусть теперь Я = г = 2^ тогда a'Q =0 и уравнение поверхности
Ф превращается в уравнение
Х1х*2 + ^2/2=0,
задающее (в прямоугольной системе координат О'х'у”г”) пару
пересекающихся плоскостей (вещественных, если и Х2 раз-
ных знаков; и мнимых, если и Х2 одного знака). При этом
отношение Хх/Х2, характеризующее двугранный угол между
плоскостями, полностью определяется этой парой плоскостей и
в свою очередь полностью ее определяет.
Переходим к поверхностям ранга г = 1. Для этих поверхно-
стей лишь одно собственное значение, пусть Х2, отлично от ну-
ля и Х1=Х3=О. Если ось Оу' прямоугольной системы коорди-
нат направить по единственному главному направлению,
соответствующему отличному от нуля корню характеристиче-
ского уравнения, а оси Ох' и Oz' взять под прямым углом в
плоскости, перпендикулярной к уже выбрайной оси Оу\ то во
всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности
будет иметь вид
F\x',y',z') = к2у'2 + 2а[х'+2а'2у' + 2а'3г' + а0 = 0.
Для поверхности ранга г = 1 всегда Я<3. Пусть В = 3, тогда
по крайней мере один из коэффициентов а[,а'3 отличен от нуля.
261
Глам 7. Общая теория поверхностей второго порядка
Пусть, например, а* * 0. Произведем поворот координатной
системы Ох'у'г9 вокруг оси Оу' на некоторый угол ф, т.е. сде-
лаем ортогональное преобразование координат
х'= х * cos ф - z* sin ф,
у'=у'>
z' = Х*8Шф + 2*СО8ф,
что тождественно преобразует левую часть уравнения следую-
щим образом:
F'(x'9y'9z”) = Х2р*2 + 2aJ(x* созф - з'зшф)+2а'2у” +
+2а'(х"8тф+<г*со8ф) + а0 =
= Х2у*2 + 2а2р* + 2(а' созф + а[ 8Шф)х* +
+2(аз созф — а[ зтф)/ + а0 = 0.
Приравнивая коэффициент при z” к нулю, получаем
с1«ф = ^.
«з
В полученной прямоугольной системе координат уравнение
поверхности приобретает вид
Х2 у”2 + 2а2р* + 2Ьх” + а0 = 0,
где
Ь = а{ созф+а2 зшф.
При этом Ь*0, иначе приходим к противоречию с условием
Я = 3. Полученное уравнение есть уравнение цилиндра над па-
раболой, лежащей в плоскости Z = 0 и имеющей (в системе ко-
ординат Ох'у”) то же уравнение, которое после соответствую-
щего параллельного переноса приобретает канонический вид
у2 = 2рх.
Пусть теперь R <2. Тогда поверхность является парой па-
раллельных (в широком смысле слова) плоскостей и л2; ка-
262
§ 8. Канонический вид уравнения поверхности
ионической системой координат будет произвольная прямо-
угольная система координат, одна из осей которой (положим
ось Оу) перпендикулярна к плоскостям кх и я2, а две другие
оси расположены в средней плоскости между этими плоскостя-
ми. Тогда уравнение пары плоскостей будет
У2-Ь2=О.
К этому результату можно прийти и из рассмотрения урав-
нения поверхности Ф, в котором непременно ах=а3=О, т.е.
уравнения
М'2+2а2У' + а0=0-
Это уравнение посредством параллельного переноса и преоб-
разуется к каноническому уравнению пары плоскостей.
Итак, для любой поверхности второго порядка существует
прямоугольная система координат Oxyz, в которой уравнение
этой поверхности имеет один из следующих 17 видов:
2	2	2
X у Z
1) ЭЛЛИПСОИД —2” + Zr + —= 1;
а	Ь	с
2) мнимый эллипсоид
2	2	2
X У 2 _
т + тт + т-
а2 Ь2 с2
1;
3)	однополостный гиперболоид
2	2 2
л2 + ь2 л2
а о с
х2 у2 z2
4)	двуполостный гиперболоид —т + ----г = “1;
а2 Ь2 с2
х2 и2 z2
5)	конус ^-^-0;
х2 у2 z2
6)	мнимый конус т + 2т + ~г = 0;
а2 Ъ2 с2
х2 у2
7)	эллиптический параболоид —+— = 2z (p,q>®)',
Р Q
2	2
X У
8)	гиперболический параболоид----—=2z (p,q>0);
Р Q
263
Глава 7. Общая теория поверхностей второго порядка
2	2
X у
9) эллиптический цилиндр —+~- = 1;
а Ь
у2
мнимый эллиптический цилиндр —+-^- = -1;
а2 Ь2
х2 у2
гиперболический цилиндр —-	= 1;
а b
параболический цилиндр у2 =2рх\
х2 у2
пара пересекающихся плоскостей — -~- = 0;
а Ъ
2	2
X У
пара мнимых пересекающихся плоскостей —- + ^- = 0;
а2 Ъ2
пара параллельных плоскостей у2 =а2 (а*0);
пара мнимых параллельных плоскостей у2 +а2 =0 (а*0);
пара совпадающих плоскостей у2 =0.
10)
И)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Доказательство основной теоремы о поверхностях второго
порядка завершено.
Глава 8
ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1.	ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1.1.	Пополненная плоскость
Для данной прямой I плоскости л обозначим через [I] не-
собственный пучок прямых, параллельных прямой I. Этот пу-
чок Р] назовем несобственной точкой плоскости л. Остальные
ее точки будем называть собственными. Добавим к плоскости
л все ее несобственные точки и обозначим это новое множество
через л. Прямые I плоскости л, к каждой из которых добав-
лена несобственная точка [/], называются собственными пря-
мыми в множестве л. Эти прямые обозначаются теми же сим-
волами I. Несобственная точка [I] называется несобственной
точкой прямой t Множество л\л всех несобственных точек
называется несобственной прямой новой (расширенной) плос-
кости л. Множество л с выделенными в нем собственными и
несобственными прямыми и называется пополненной плоско-
стью. Несобственные точки пополненной плоскости называют-
ся также бесконечно удаленными, несобственная прямая —
бесконечно удаленной прямой.
Пополненная плоскость удовлетворяет следующим четырем
аксиомам:
Ш. Любые две различные точки плоскости инцидентны од-
ной и только одной прямой;
265
Глава 8. Элементы проективной геометрии
П2. Любые две прямые плоскости инцидентны одной и
только одной точке;
ПЗ. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой;
П4. Каждая прямая инцидентна по меньшей мере трем точ-
кам.
При этом выражения «точка инцидентна прямой» и «пря-
мая инцидентна точке» означают, что данная точка принадле-
жит данной прямой. Проективной плоскостью S называется
произвольное множество, элементы которого именуются точ-
ками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при
этом выполняются аксиомы П1-П4. Две проективные плоско-
сти Sx и S2 называются изоморфными, если существует биек-
ция f:S1->S2, которая переводит точки в точки, прямые в
прямые и сохраняет отношение инцидентности. Вещественной
проективной плоскостью называется проективная плоскость,
изоморфная пополненной плоскости. В дальнейшем веществен-
ную проективную плоскость иногда называем просто проек-
тивной плоскостью.
1.2.	Связка
Множество всех прямых и плоскостей трехмерного простран-
ства, проходящих через данную точку О, называется связкой с
центром О или связкой О. Прямые связки называются лучами.
Назовем луч и плоскость связки О инцидентными между со-
бой, если данный луч лежит в данной плоскости. Если назвать
теперь лучи связки «точками*, а ее плоскости — ^прямыми*,
то легко видеть, что связка удовлетворяет аксиомам П1-П4, т.е.
является проективной плоскостью.
Возьмем какую-нибудь плоскость п, не проходящую через
точку О. Тогда через каждую точку М плоскости п проходит
единственная прямая (луч) т=ОМ связки О. Таким образом,
установлено соответствие, называемое перспективным соот-
ветствием, между всеми точками плоскости л и лучами связ-
ки О. При этом соответствии каждой прямой I, лежащей в
266
§ 1. Проективная плоскость
плоскости л, сопоставляется принадлежащая связке О плос-
кость X = 01, проходящая через точку О и прямую I (рис. 50).
Очевидно, что при перспекитивном соответствии между плос-
костью л и связкой О сохраняется отношение инцидентности:
если на плоскости л точка М инцидентна прямой 7, то соответ-
ствующие луч ОМ и плоскость О1 связки также будут инци-
дентны, и наоборот. Но перспективное соответствие между плос-
костью л и связкой О не является взаимно однозначным: лучи
связки, параллельные плоскости л, не соответствуют никакой
точке плоскости л, а плоскость связки, параллельная плоскости
л, не соответсвует никакой прямой плоскости л. Назовем осо-
бым лучом связки всякий луч, параллельный плоскости л, а
особой плоскостью связки — ее плоскость, параллельную плос-
кости л.
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый
луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспектив-
ном соответствии переходят в несобственный пучок параллель-
ных прямых на плоскости л, который задает (несобственную)
точку пополненной плоскости л. Поставив в соответствие вся-
кому несобственному пучку параллельных хфямых, лежащих в
плоскости л, параллельный этим прямым особый луч связки
О, а несобственной прямой плоскости л — особую плоскость
связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции
между всеми точками и прямыми пополненной плоскости л и
всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также на-
зывается перспективным соответствием. Очевидно, что пер-
267
Главав. Элементы проективной геометрии
спективное соответствие также сохраняет отношение инци-
дентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проек-
тивных плоскостей.
§ 2.	ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ.
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
2.1.	Однородные координаты в связке
Пусть дана связка О. Возьмем в пространстве какой-
нибудь репер Ое1е2е3 с началом в точке О. Для произвольного
луча т связки тройку координат хх,х2,х3 любого направляю-
щего вектора этого луча назовем тройкой однородных коорди-
нат луча т в данном репере Ое1е2е3. Обозначим класс всех
пропорциональных данной тройке ненулевых троек через
(xv'.x2tx3). Каждая тройка из класса (хх:х2:х3) также будет
тройкой однородных координат Луча т. Весь же класс троек
назовем однородными координатами луча т (в репере
Оехе2е3).
Пусть теперь дана принадлежащая связке плоскость X. В ре-
пере Оеге2е3 она может быть записана уравнением
а1х1+а2х2 + а3х3=О.
Тройку ana2>a3 назовем тройкой однородных координат
плоскости X. Тройки однородных координат также определены
с точностью до пропорциональности. Класс всех пропорцио-
нальных данной тройке ненулевых троек обозначим через
{&! :a2 :а3} и назовем однородными координатами плоскости X
в репере Ое1е2е3.
Любую ненулевую тройку хх,х2,х3, удовлетворяющую дан-
ному уравнению, можно рассматривать и как тройку координат
принадлежащей плоскости X точки М, и как тройку однород-
268
§ 2. Однородные координаты. Теорема Дезарга
ных координат инцидентного плоскости X луча т = ОМ. Та-
ким образом, уравнение
Ot*!+а2*2+а3*3 =°
представляет собой условие инцидентности луча с однородными
координатами (xt:x2:x3) и плоскости с однородными коорди-
натами {Oj:a2:a3}.
2.2.	Однородные координата! на плоскости
Предположим, что на обычной плоскости л выбран репер
Ое^. Пусть М — произвольная точка плоскости, х,у — ее
координаты в этом репере. Тогда всякая ненулевая тройка чи-
сел х^Хз.Хд, пропорциональная тройке х,у,1 называется трой-
кой однородных координат точки М в репере Оехе2. Ясно, что
переход от тройки однородных координат хпх2,х3 к ее аффин-
ным координатам х,у осуществляется по формулам
Х^ Х2
х=—, у-—.
Такой переход возможен, поскольку для ненулевой тройки
х1,х2,х3, пропорциональной тройке x,z/,l, всегда х3*0. Сово-
купность всех троек однородных координат хг,х2,х3 точки М
обозначается через (х^:х2: х3) и называется однородными коор-
динатами точки М (в репере Oete2).
Возьмём теперь на плоскости л некоторую прямую I, за-
данную в репере Oete2 общим уравнением
Ах + Ву + С=О.
Мы знаем, что коэффициенты уравнения данной прямой оп-
ределены с точностью до пропорциональности, т.е. для любой
ненулевой тройки ax,a2,a3, пропорциональной тройке А?В,С,
уравнение
OjX+agy + Og =0
269
Глава 8. Элементы проективной геометрии
описывает ту же прямую I. Совокупность всех ненулевых троек
а19а2,а3, пропорциональных тройке А,В,С, обозначается через
:а2 :<z3} и называется однородными координатами прямой I
(в репере Оехе2).
Найдём теперь, как прямая I описывается в однородных ко-
ординатах своих точек. Если аффинные координаты х,у точки
М удовлетворяют уравнению
axx+a2i/ + a3 =0,
то ее однородные координаты х^х^х3 удовлетворяют уравне-
нию
ах — + а2| — I+&3 =0,
\хз/ 1хз/
или
^1^1 "^^2^2 "^^3^3
При этом ясно, что если х3^0, то тройка х1,х2,х3, удовле-
творяющая полученному уравнению, является тройкой одно-
родных координат точки Af, принадлежащей прямой I. Но
важно отметить, что этому уравнению удовлетворяют не только
ненулевые тройки х1,х2,х3, являющиеся однородными коорди-
натами точек прямой I. При х3=0 уравнению удовлетворяют
тройки, пропорциональные тройке а^-ОрО. Естественно пред-
положить, что совокупность (а2: -ах: 0) представляет собой од-
нородные координаты бесконечно удалённой точки [Z] прямой
I. Сейчас мы убедимся, что это и в самом деле так.
2.3.	Связь однородных координат в связке
с однородными координатами на плоскости
Возьмем в пространстве какой-нибудь репер Ое1е2е3. Конец
вектора е3, отложенного от точки О, обозначим Ок Проведем
через точку Ог плоскость п параллельно векторам е19е2
(рис» 51)»
270
§ 2. Однороднее координаты. Теорема Дезарга
В репере Ое1е2е3 плоскость п имеет уравнение х3=1. По-
этому всякая точка М плоскости л, имеющая в репере Оеге2
координаты х,у, в репере Ое1е2е3 имеет координаты x,z/,l и
наоборот. Следовательно, всякий собственный (по отношению к
плоскости л) луч связки О, проходящий через точку М(х,у),
имеет в связке однородные координаты (x:z/:l). При перспек-
тивном соответствии всякой несобственной точке пополненной
плоскости п (классу [/] параллельных прямых на плрскости
л) ставится в соответствие луч связки, параллельный этим
прямым [I]. Такой луч является несобственным и лежит в
плоскости х3=0. Следовательно, несобственные точки попол-
ненной плоскости соответствуют лучам связки с однородными
координатами вида (хх: х2:0).
Пусть теперь прямая I в плоскости л имеет уравнение
агх^а2у + а3 =0.
Один из направляющих векторов этой прямой в базисе е19е2
на плоскости имеет координаты {а2,-ах}. Тогда в пространстве в
базисе ере2,е8 этот вектор имеет координаты {а^-ДрО}. Но это и
есть направляющий вектор луча связки, соответствующего не-
собственной точке [Z] прямой I. Таким образом, при перспек-
тивном соответствии несобственная точка [Z] прямой Z, задан-
ной уравнением
а1х + а2у+а3 =0,
271
Глава 8. Элементы проективной геометрии
ниЛииитвжтвввяи8=ввияяавеяв5=ив=и===в==я=в===^:
переходит в луч связки с однородными координатами
(а2: -ах :0). Это позволяет распространить определение одно-
родных координат на несобственные точки: совокупность нену-
левых троек (а2: -ах :0) является однородными координатами
несобственной точки данной прямой (в репере Оехе2) на попол-
ненной плоскости л.
При таком определении любое уравнение
alxl+a2x2 + a3xz=Q
первой степени относительно переменных хх,х2,х3 можно рас-
сматривать как уравнение прямой (на пополненной плоскости
л) с однородными Координатами {ах:а2:а3}. Собственные пря-
мые характеризуются условием ах + af > О, несобственная пря-
мая имеет уравнение х3=0, т.е. ее однородные координаты
равны {0:0:1}. Итак, мы определили однородные координаты
точек и прямых на пополненной плоскости л. При этом пер-
спективное соответствие определяется равенством однородных
координат соответствующих друг другу точки и луча, прямой и
плоскости. Уравнение
а1х1 + а2х2 +а3х3 =0
представляет собой условие инцидентности точки (х1:х2:х3) и
прямой {а^а^вз}.
2.4.	Арифметическая модель
проективной плоскости
Арифметической проективной плоскостью называется
множество Р элементов двух родов, называемых соответствен-
но «арифметическими точками* и «арифметическими пря-
мыми*, И те и другие есть классы пропорциональных между
собой ненулевых троек вещественных чисел. Точки обознача-
ются, например, через (хх:х2:х3), а прямые — через
{ах'.а2Л.а2}. При этом между точками и прямыми установлено
272
§ 2. Однородные координаты. Теорема Дезарга
Г	 —«чт, -—гиг 	........... ...............УТТГГ"..
отношение инцидентности: точка (хх:х2:х3) и прямая
{(\\а2\аг} называются инцидентными между собой, если
а1х1+а2х2+а3х3=О.
Такое симметричное определение, в котором точки и пря-
мые полностью равноправны, не совсем согласуется с опреде-
лением проективной плоскости, в котором прямыми называ-
лись множества точек. Но это рассогласование легко
ликвидировать, если арифметическую прямую	ото-
ждествить с множеством всех арифметических точек
(Xj: х2: х3), удовлетворяющих условию а1х1 + а2х2 + а3х8 = 0.
Ставя теперь в соответствие точкам (х1:х2:х3) и прямым
{аг:а2:а3} арифметической проективной плоскости прямые и
плоскости связки О (или точки и прямые пополненной плос-
кости л), имеющие в некотором фиксированном репере одно-
родные координаты (х1:х2:х3) и {ах\а2\а3} соответственно,
получаем изоморфизм арифметической проективной плоскости
предыдущим моделям проективной плоскости.
2.5.	Принцип двойственности
Пусть верно какое-нибудь утверждение, касающееся точек
и прямых на проективной плоскости и отношения инцидент-
ности между ними. Тогда будет верно и двойственное утвер-
ждение, получаемое из данного утверждения заменой слов
«прямая» на «точка» и наоборот. В самом деле, числовое ра-
венство, выражающее условие инцидентности точки
(Xj :х2 :х3) и прямой {ах :а2 :а3}, не зависит от того, какую из
двух троек (x^XgrXg) и {a^a^Og} мы заключаем в круглые,
а какую — в фигурные скобки, т.е. не зависит от того, счита-
ем ли мы тройки (х1:х2:х3) и {at:a2:a3} тройками однород-
ных координат точки и прямой или, наоборот, прямой и точ-
ки. Принцип двойственности иллюстрирует равноправие точек
и прямых на проективной плоскости. С таким же правом, как
мы раньше считали первоначальным понятие точки, а прямую
273
Глава 8. Элементы проективной геометрии
' —........-................... "	.— 1 1	- J
определяли как множество точек, удовлетворяющих урав-
нению
а1х1+а2х2+а3х3 = О,
мы можем считать первоначальным понятие прямой и опреде-
лять точку как множество инцидентных ей прямых (пучок
прямых), удовлетворяющих тому же уравнению, в котором пе-
ременными уже являются а^а^а^.
2.6.	Теорема Дезарга
Временно прямую, инцидентную точкам А и В, обознача-
ем через АВ, точку, инцидентную прямым а и Ь, — через
(а-6). Треугольником называем совокупность трех точек, не
инцидентных одной прямой. Сторонами треугольника называ-
ем прямые, инцидентные парам его вершин.
Теорема 1 (теорема Дезарга)
Пусть на проективной плоскости даны два треугольника
LMN и L'M'N' так, что не совпадают соответственные вер-
шины и стороны этих треугольников. Тогда три прямые
LL',MM',NN' инцидентны одной и той же точке в том и
только в том случае, когда три точки (MN -M'N'),
(NL N^'),(LM L'M') инцидентны одной и той же прямой
(рис. 52).
Рис. 52
274
$ 2. Однородные координаты. Теорема Дезарга
Доказательство. Введем обозначения" для прямых
MN = Z, NL = m, LM = n, M'N' = 1'9 N'L' = т', L'M' = п'. Так как пря-
мое и обратное утверждение теоремы двойственны друг другу,
то в силу принципа двойственности достаточно проверить не-
обходимость условий этой теоремы. Предположим, что на
проективной плоскости введены однородные координаты. Обо-
значим какую-нибудь тройку однородных координат точек
L9M9N9L\M'9N' соответственно через 1,т,п,1’т’п’. По усло-
вию, три прямые LL'9MM\NN' инцидентны одной точке W.
Пусть w —какая-нибудь тройка однородных координат этой
точки. Поскольку три точки L,L',W коллинеарны, три трой-
ки l,l’>w линейно зависимы. Это легко полуйить, например,
если в качестве модели проективной плоскости взять связку.
Но тройки I и Г, будучи тройками координат различных точек
L и L', не пропорциональны. Поэтому тройка w есть линей-
ная комбинация троек I и Г. По тем же соображениям тройка
w является линейной комбинацией троек т и т’, а также п и
п\ Следовательно, существуют такие ненулевые пары чисел
(Х,Х'),	(v,v'),4to
w = Xl+V Г—цт + |i'm’=vn4-v'n’,
откуда получаем
ц т -v п = v' п’ -ц' т\
v n-Xl = X' Г -v' п’,
X, Z-ц тп = ц'т*-V V.
Эти равенства являются равенствами ненулевых троек, кото-
рые обозначим через p,q,r соотвественно. Обозначим через
P,Q,R точки, тройками однородных координат которых служат
тройки p,q>r. Первое равенство означает, что P = (MN-M*N').
Аналогично, Q = (NL-N'L'), R-(LML'M'). С другой стороны,
складывая эти три равенства, получаем
p + q+ г=(0,0,0).
Следовательно, точки P,Q>R инцидентны одной прямой.
275
Глава 8. Элементы проективной геометрии
§ 3.	ПРОЕКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
3.1.	Проективная система координат в связке
Определение 1
Два репера Ое1е2е3 и Ое^е2е3 с общим началом О называют-
ся эквивалентными, если существует такое число Л, что
e' = Xep i = 1,2,3.
Предложение 1
Реперы и Ое^е2е3 эквивалентны тогда и только то-
гда, когда каждый луч связки О имеет одни и те же однород-
ные координаты в этих реперах.
Доказательство. Необходимость очевидна. Предположим
теперь, что однородные координаты каждого из лучей в этих
реперах одинаковы. Тогда луч, несущий, вектор имеет в
обоих реперах координаты (Х:0:0), откуда	для неко-
торого Х^О. Аналогично, ^2=Х2е2, €з=^зез* Осталось пока-
зать, что Х1=Х2=Х3. Луч с направляющим вектором
е' = е[ + е2+е3 имеет по предположению в обоих реперах одно-
родные координаты (1:1:1), откуда е' = Х(ех +е2 + е3) при неко-
тором 1^0. Но с другой стороны, ef = k1e1+k2e2+k3e3. Следова-
тельно, X = = Х2 = Х3.
Определение 2
Проективной системой координат в связке О называется
класс эквивалентных между собой аффинных реперов (или, что
то же самое, аффинных систем координат) с началом О.
Из доказательства предложения 1 вытекает, что проектив-
ная система координат в связке О однозначно определяется
упорядоченной четверкой некомпланарных (никакие три не
лежат в одной плоскости) лучей Хг,Х2,Х3,Е этой связки. Лучи
276
§ 3. Проективные системы координат
ХПХ2>Х3 называются координатными, а луч Е — единичным.
Координатные лучи являются осями координат эквивалентных
аффинных систем координат, а любая точка Е на единичном
луче Е является концом диагонали ОЕ параллелепипеда, по-
строенного на единичных векторах е1-ОЕ19 е2=ОЕ2, е3=ОЕ3
аффинной системы координат, принадлежащей данной проек-
тивной системе координат (рис. 53).
Поэтому четверку XvrX29X3,E также можно назвать проек-
тивной системой координат, или, более точно, проективным
репером, определяющим данную проективную систему коор-
динат.
Определение 3
Тройки координат произвольного луча связки О в аффин-
ном репере О^е^, или, что то же самое, в любом аффинном
репере, эквивалентном реперу O^e2e3, называются тройками
проективных координат этого луча в проективной системе
ХхХ2Х3Е.
3.2.	Однородные координаты как проективные
Таким образом, тройки однородных координат произвольно-
го луча связки О в аффинном репере Оехе2е3 — это тройки
проективных координат этого луча в проективной системе ко-
277
Глава 8. Элемещгы проективной геометрии
ординат ,X1X2X3JS, определяемой репером Ое1е2е3. В частности,
лучи Х19Х29Х39Е имеют в этой системе координат следующие
координаты
Х;=(1:0:0),	=(0:1:0), Хз=(0:0:1), £ = (1:1:1).
При описанных выше изоморфизмах проективных плоско-
стей проективные координаты в связке переносятся и на по-
полненную плоскость, и на арифметическую проективную
плоскость. Но в отличие от связки, где все проективные систе-
мы координат равноправны, на арифметической проективной
плоскости имеется исходная привилегированная система коор-
динат. Что касается пополненной плоскости, то там имеется
целое семейство привилегированных проективных систем коор-
динат. Каждая из них определяется аффинной системой коор-
динат, задающей однородные координаты. Всякий аффинный
репер О1е1е2 на плоскости л, расположенной в пространстве,
при фиксированной точке Оеп, однозначно задает такой аф-
финный репер Oe^eg, е3=ОО1 в пространстве, что проектив-
ные координаты лучей связки О, определенные репером
Ое1е2ез’ совпадают с однородными координатами соответст-
вующих им точек пополненной плоскости л, определенными
репером О1е1е2.
3.3.	Переход от одной проективной системы
координат к другой
Теперь основной моделью проективной плоскости считаем
связку, называя ее лучи точками, а плоскости — прямыми. В
соответствие с этим лучи Х19Х29Х39Е9 определяющие проек-
тивную систему координат, обозначаем Хх9Х29Х39Е. Точки
Х1,Х2,Х3,£, задающие проективную систему координат
ХГХ2Х3Е9 называем ее фундаментальными точками. Пусть на
проективной плоскости Р заданы две проективные системы
278
§ 3. Проективные системы координат
координат — исходная ХхХ2Х3Е и «новая* система Х[Х'2Х3Е'.
Новая система задана какими-то тройками проективных коор-
динат ее фундаментальных точек относительно исходной сис-
темы:
•^1 =(с11 • С21 • с31)’
< ^2 = (^12 * ^22 • ^32 )’
*3 = (с13 • ^23 • С3з)>
Надо найти формулы преобразования координат, выражаю-
щие координаты XpXgjXg любой точки М относительно исход-
ной системы координат через координаты х[9х29х3 той же точ-
ки в новой системе координат. Предположим сначала, что
тройки координат точек Х[9Х'29Х'39Е' выбраны согласованны-
ми, т.е. подчинены условию
(^11 • С21 • С31) + (с12 • С22 * С32 ) + (с13 • С23 * С33 ) = (S1 * S2 * S3 )•
Тогда, возвращаясь к связке О и предполагая, что исходная
проективная система XtX2X3E порождается аффинным репе-
ром Ое^е,, видим, что векторы
е1 = {С11>С21»С31)> е2 = {С12’С22’СЗгЬ е3 = {С13»С23>СЗзЬ
заданные координатами в базисе	линейно независи-
мы, поскольку лучи Х19Х29Х3 не лежат в одной плоскости.
Более того, из предполагаемого равенства и доказательства
предложенйя 1 следует, что репер Ое{е2е3 порождает проек-
тивную систему координат Х'Х2Х3Е'.
Далее, каждая тройка х19х29х3 проективных координат в сис-
теме ХхХ2Х3Е произвольного луча т есть тройка координат в
репере Оехе2е3 некоторого направляющего вектора а этого луча.
Аналогичным образом тройка координат х[9х'29х3 луча т в сис-
теме Х[Х2Х3Е' есть тройка координат в репере Ое[е2е3 какого-то
279
Глава 8. Элементы проективной геометрии
направляющего вектора а' = ка того же луча т. Поэтому из
формул преобразования аффинных координат получаем
<X3j \С31
С12
С22
С32
Это и есть формула перехода от проективной системы
ХхХ2Х3Е к проективной системе Х[Х2Х3Е'. Здесь X — веще-
ственный множитель, принимающий все отличные от нуля
значения. Данная формула получена в предположении согласо-
ванности координат точек Х[,Х2,Х3,Е'. Но выполнения этого
условия всегда можно добиться, заменив векторы е^9е29е3 на
пропорциональные векторы \е[9,к2е29,к3е3. Для этого числа X,
надо найти из системы уравнений
i = l>2,3.
/=1
Матрица С этой системы невырождена, поскольку столбцы
ее состоят из координат векторов е[9^29е39 не лежащих в одной
плоскости. Поэтому система имеет единственное решение
XpXgAg. Ни одно из этих чисел не равно нулю. В самом деле,
если бы, например, Xi =0, то лучи Х29Х39Е' лежали бы в одной
плоскости. Итак, переходя от векторов е[ к векторам \е[9 мож-
но добиться условия согласованности и после этого пользоваться
формулой перехода, в которой, разумеется, матрица С уже от-
лична от исходной. Для данной проективной системы координат
XiX2X3E и невырожденной матрицы С существует единствен-
ная проективная система координат Х[Х2Х'3Е'9 переход к кото-
рой от исходной системы осуществляется по формулам
*1
X х2
<хз
280
§ 4. Проективные преобразования
Это вытекает из того, что матрица С с точностью до про-
порциональности является матрицей перехода от репера
задающего систему координат Х1Х2Х3Е, к реперу
Ое[е2е3, задающему систему координат Х{Х2Х3Е'.
§ 4. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
4.1. Проективные преобразования
Определение 4
Отображение f :Р->Р проективной плоскости называется ее
проективным преобразованием, если существуют две такие
проективные системы координат ХхХ2Х3Е и Х{Х2Х3Е', что
произвольная точка МеР имеет те же проективные координа-
ты в системе Х1Х2Х3£, что и точка = в системе
х:х'х'Е'.
1 Z о
Предположим, что проективное преобразование f задано
двумя системами координат	и Х[Х'2Х'3Е', связанными
между собой формулами перехода
X х2
Л у
( с
41
С21
<С31
С12
С22
С32
С23 Х2
сзз7\хз>
с Vx'A
Чз *4
Мы хотим найти, как связаны между собой координаты
х1,х2,х3 произвольной точки М в системе Х1Х2Х3Е и коорди-
наты х{,х2,х3 ее образа = в той же системе. Для этого
обозначим координаты точки М' в системах ХхХ2Х3Е и
Х[Х2Х3Е' через у^у2*Уъ и у^у^у^ соответственно. Имеем
з
>=i
281
Глава 8. Элементы проективной геометрии
Но по определению проективного преобразования = хг
Кроме того, в наших исходных обозначениях yt = х'. Следова-
тельно, данные формулы принимают вид
кх[ -^cifXp / = 1,2,3.
/=1
Это и есть аналитическая запись проективного преобразова-
ния в проективных координатах. Наоборот, для невырожден-
ной матрицы С и проективной системы координат ХгХ2Х3Е
существует и единственно проективное преобразование, запи-
сываемое полученными формулами.
Если в системе координат ХГХ2Х3Е проективное преобразо-
вание f задается матрицей С, а проективное преобразование
g — матрицей JD, то их композиция g°f задается матрицей
DC и, следовательно, также является проективным преобразо-
ванием. Аналогично, матрица С"1 задает преобразование f1,
т.е. преобразование, обратное к проективному также будет про-
ективным.
Предложение 2
При проективном преобразовании f с матрицей С прямая
с координатами {а^а^Яз} переходит в прямую с координа-
тами {ах: а2: а3}С~х.
Доказательство. Итак, пусть проективное преобразование
f ассоциировано с системами координат XxX2X3E и Х[Х2Х3Е'
и прямая I задана в первой системе уравнением
а1х1+а2х2+а3х3=О.
Тогда ее образ f(l) в новой системе координат задается та-
ким же уравнением или (с учетом нового обозначения коорди-
нат точек)
(я19я2,я3) х2 — 0.
282
§ 4. Проективные преобразования
Из равенства
'хЛ <<
х9 = С х9
вытекает, что в исходной системе координат прямая /(0 зада-
ется уравнением
х2 =0.
4.2. Проективно-аффинные преобразования
Проективная плоскость с выделенной на ней несобственной
прямой называется проективно-аффинной плоскостью. Точки
несобственной прямой называются несобственными^ осталь-
ные точки — собственными. Проективное преобразование
проективно-аффинной плоскости называется проективно-
аффинным, если оно отображает несобственную прямую на се-
бя. В качестве проективно-аффинной плоскости . возьмем
арифметическую проективную плоскость с несобственной
прямой =0, или, что то же самое, пополненную плоскость с
однородными координатами х19х2,х3, порожденными аффин-
ными координатами х,у.
Теорема 2
Для того, чтобы проективное преобразование, заданное
формулами
\х{ = i = 1,2,3,
/=1
было проективно-аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
с31=с32=0, а с33*0. Всякое проективно-аффинное преобразо-
283
Глава 8. Элементы проективной геометрии
вание, рассматриваемое на множестве собственных точек
плоскости, является аффинным преобразованием, имеющим
аналитическую запись
х' = апх+а12у+а13,
/ = а21х + а22г/+а23,
где Ьц^Сц/съ. Всякое аффинное преобразование продолжается
до проективно-аффинного преобразования, имеющего аналити-
ческую запись
Хх2 = Л2| хх + о22х2 + а23х3,
Хх3 = х3.
Доказательство. 1) Необходимость. Точка (1:0:0) данным
проективным преобразованием переводится в точку
(ХСц :Хс21 :Хс31), которая является несобственной, если с31=0.
Аналогично с32=0. Из невырожденности матрицы С получа-
ем, что с33
Достаточность очевидна.
2) Если первое и второе из равенств
z —1,2,3; с31 — с32 — 0 с33
м
разделить на третье,
требуемые равенства,
зование, поскольку
то с учетом х = х1/х3,у = х2/х3
которые
определяют аффинное
получим
преобра-
си
Оц
a2i
а12
Л22
21 J
С33
С12
С22 _ | 0 |
= L^0.
С33
3) Данное преобразование проективно-аффинно и является
продолжением аффинного преобразования, рассмотренного в
284
§ 5. Линии второго порядка в однородных координатах
пункте 2, поскольку равенства пункта 2 получаются из пер-
вого и второго равенств пункта 3 делением их на третье ра-
венство этого пункта.
Предложение 3
Любая пара пересекающихся прямых может быть по-
средством проективного преобразования переведена в любую
другую пару пересекающихся прямых 1[9%.
Доказательство. Пусть Х3 — точка пересечения прямых
и а Х19Х2 — точки на прямых не совпадающие с точ-
кой Х39 и пусть точка Е не принадлежит ни одной из прямых
i1,/2,X1X2. Аналогично, отправляясь от прямых построим
точки Х[9Х'29Х39Е'. Тогда проективное преобразование, ассо-
циированное с проективными реперами	и Х[Х'2Х3Е'9
очевидно, и будет искомым.
§ 5. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТАХ
Если на плоскости с аффинными координатами х9у задана
линия второго порядка Г общим уравнением
ОцХ2 + 2а^ху + а22у2 + 2oj3x+2a2iy+а„ = О,
то с переходом х = х1/х3,у = х2/х3 от аффинных координат к
однородным, данное уравнение примет вид
^11^1 +	+ ^22^2 +	+ 2Л23Х2Х3 + ^зз^з = О.
Это уравнение на множестве всех собственных точек плос-
кости (х3^0), очевидно, эквивалентно исходному. Если же
рассматривать последнее уравнение на пополненной плоскости
л, то ему, кроме всех «собственных точек, принадлежащих
285
Глава 8. Элементы проективной геометрии
данной линии второго порядка на обычной плоскости, т.е. то-
чек линии Г, удовлетворяют несобственные точки, подчинен-
ные условию
Оц*? +2а12х1х2 +a22xf =0,
т.е. асимптотические направления линии Г. Таким образом,
линия Г, заданная уравнением
+ 2л12х1х2 + ^22*^2 + 2^13^1 + 2п23х2х3 + а33х3 = 0,
получается из линии Г добавлением к ней ее асимптотических
направлений (если таковые имеются).
Определение 5
Линией второго порядки на проективной плоскости назы-
вается множество Г точек, проективные координаты которых
(в некоторой проективной системе координат) удовлетворяют
однородному уравнению второй степени
auxf +2a12x1x2 +a22x22 + 2а13х1ха + 2а23х2х3 + а33х23 =0.
При этом уже не предполагается выполнения условия
ai2l+fltl22+af2*°-
Предположим, что ап =а12 =а22 =0. Тогда линия второго по-
рядка на проективной плоскости задается уравнением
х3 (2a13Xi + 2а23х2 + #33х3 ) = 0.
Это есть уравнение двух прямых
х3=0 и 2а13х1+2а23х2+а33х3=О.
Первая из этих двух прямых несобственная, а вторая может
быть как собственной, так и несобственной. Таким образом,
286
§ 6. Классификация линий второго порядка
всякая линия второго порядка на проективно-аффинной плос-
кости есть
1)	либо обычная линия второго порядка, пополненная асимпто-
тическими направлениями;
2)	либо пара пересекающихся прямых, одна из которых не-
собственная;
3)	либо пара совпадающих несобственных прямых.
§ 6.	ПРОЕКТИВНАЯ И ПРОЕКТИВНО-АФФИННАЯ
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Предложение 4
Эллипс, гипербола и парабола проективно эквивалентны,
т.е. переводятся друг в друга посредством проективного пре-
образования.
Доказательство. Отметим, прежде всего, что эллипсом, ги-
перболой и параболой мы называем здесь обычные эллипс, ги-
перболу и параболу, пополненные своими асимптотическими
направлениями, т.е. к гиперболе добавляется пара точек, а к
параболе — одна. Покажем, что эти три линии проективно эк-
вивалентны действительному овалу, т.е. линии, имеющей в не-
которой проективной системе координат уравнение
xf+xf-xf =0.
В самом деле, эллипс в некоторой аффинной системе коор-
динат имеет уравнение
х2 + у2 = 1,
которое, будучи записано в однородных координатах, совпадает
с уравнением действительного овала. Гипербола может быть
записана уравнением
х2 —у2 -1 = 0,
287
Глава 8, Элементы проективной геометрии
или в однородных координатах
xf -xf -xf =0.
Последнее уравнение эквивалентно уравнению
xf +xf-xl=O.
Очевидно, что проективное преобразование
XXj = х2,
Хх2 = х3,
Хх3 = хх
певодит эту линию в дествительный овал
xf+xf-x^O.
Наконец, парабола может быть записана уравнением
х2-у = о,
или в однородных координатах
Xi — х2х3 =0.
Проективное преобразование, обратное к которому записы-
вается формулами
'кх1 = х[,
* Хх2 — “Х2 4- Х3,
^х3 = х2 + х3
переводит эту линию в тот же действительный овал.
Теорема 3
Существует ровно 5 классов проективной эквивалентно-
сти линий второго порядка, а именно
1) xf +xf -х3 =0 — дествительный овал;
2)	xf + xf + xf = 0 — мнимый овал;
288
§ 6. Классификация линии второго порядка
3)	xf-xf=O — пересекающиеся прямые;
4)	xf + х2 = 0 — мнимые пересекающиеся прямые;
5)	х2 = О — совпадающие прямые.
Доказательство. Будем рассматривать проективную плос-
кость как проективно-аффинную с несобственной прямой
х3 =0. Тогда любая линия второго порядка есть либо одна из
девяти обычных линий второго порядка, пополненных асим-
птотическими направлениями; либо пара пересекающихся
прямых, одна из которых несобственная; либо пара совпа-
дающих несобственных прямых. Последние две линии соглас-
но предложению 3 проективно эквивалентны соответствую-
щим линиям, состоящим из собственных, прямых. Таким
образом, надо доказать, что каждая из девяти обычных по-
полненных линий второго порядка проективно эквивалентна
одной из пяти перечисленных в формулировке теоремы
линий.
Мы уже доказали, что эллипс, гипербола л парабола экви-
валентны действительному овалу. Ясно также, что мнимый эл-
липс (х2 + у2 +1 = 0) эквивалентен мнимому овалу; пересекаю-
щиеся прямые (х2 -у2 =0), мнимые пересекающиеся прямые
(х2 +у2 =0) и совпадающие прямые (х2 =0) соответственно про-
ективно эквивалентны линиям 3), 4) и 5). Параллельные пря-
мые (х2-1 = 0) пересекаются в несобственной точке (0:1:0) и в
однородных координатах записываются уравнением xf-xf =0,
проективно не отличающимся от уравнения 3). Наконец, мни-
мые параллельные прямые (х2 +1 = 0) пересекаются в той же
вещественной несобственной точке (0:1:0), а их уравнение в
однородных координатах xf+xf=O проективно эквивалентно
уравнению 4).
Остается показать, что линии 1)-5) попарно неэквивалент-
ны. Мнимый овал — это единственная из.пяти линий, не
имеющая вещественных точек. Мнимые пересекающиеся пря-
мые — это единственная линия, имеющая одну вещественную
10-8327	289
Глава 8. Элементы проективной геометрии
точку. Действительный овал проективно эквивалентен эллип-
су, следовательно, никакие три его точки не лежат на одной
прямой. Это отличает его от линий 3) и 5). Наконец, любые
три точки линии 5) лежат на одной прямой, а для линии 3)
это неверно.
Определение 6
Две линии второго порядка на проективно-аффинной плос-
кости называются проективно-аффинно эквивалентными, если
одну можно перевести в другую посредством проективно-
аффинного преобразования.
Теорема 4
Существуют ровно 11 классов проективно-аффинной экви-
валентности линий второго порядка, а именно:
1)	девять обычных пополненных линий второго порядка;
2)	пара пересекающихся прямых, одна из котороых несобст-
венная;
3)	пара совпадающих несобственных прямых.
Доказательство. Из теоремы 2 вытекает, что аффинно эк-
вивалентные линии будут проективно-аффинно эквивалентны.
Далее, любые линии типа 2) согласно предложению 3 проек-
тивным преобразованием Переводятся одна в другую так, что
несобственная прямая переходит в несобственную прямую, т.е.
это проективное преобразование проективно-аффинно. Таким
образом, существует не более годиннадцати перечисленных вы-
ше классов проективно-аффинной эквивалентности.
Остается показать, что линии из разных классов не эквива-
лентны. В силу теоремы 3 надо различать только линии, по-
павшие в один из пяти классов проективной эквивалентности.
Мнимым овалом является эллипс, гипербола и парабола. Они
проективно-аффинно не эквивалентны между собой, поскольку
пересекаются с несобственной прямой по разному количеству
точек: 0, 2, 1. Мнимому овалу Принадлежит только мнимый
эллипс. В пересекающиеся прямые попали три линии: собст-
венные пересекающиеся прямые, параллельные прямые и пере-
290
§ 6. Классификация линий второго порядка
секающиеся прямые, одна из которых несобственная. чЭти ли-
нии также пересекаются с несобственной прямой по разному
количеству точек: 2, 1, оо. Мнимые прямые могут пересекаться
в собственной точке (мнимые пересекающиеся прямые) и в не-
собственной точке (мнимые параллельные прямые). Этим они и
отличаются друг от друга. Наконец, совпадающие прямые мо-
гут быть собственные и несобственные. Ясно, что они про-
ективно-аффинно различны.
10*
Глава 9
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 1
Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА,ОВ,ОС
вектор EF с началом в середине Е ребра ОА и концом в точ-
ке F пересечения медиан треугольника АВС.
Решение. Пусть D — середина ребра ВС (рис. 54).
Тогда
OD=-(OB+OC), AD=OD-OA=-(OB+OC-2ОА)
2	2
а
________________ о______	1 __ _.	__
AF = - AD = -(ОВ+ОС - 2ОА).
3_________________________________3
Далее,
EF = AF-AE = -(j5B+OC-20A)+-0A = -(20B+20C-^}.
3	2	6
Ответ.'. EF = —(2ОВ+2ОС~ОА).
6
292
Глава 9* Решение задач 
Задача 2	,
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за ба-
зисные векторы АВ и АС, найти в этом базисе .координаты
векторов АВ, ВС, CD, DE, EF, FA (рис. 55).
Решение. Очевидно, что координаты в данном базисе вектора
АВ есть {1,0}, а координаты вектора DE — {-1,0}. Так как
ВС = АС-АВ, то ВС = {-1,1} и ЁВ = {1,-1}. Далее,
АО = 2ВС = 2(АС-АВ) и CD = AD- АС АС-2 АВ. Поэтому,
CD = {-2,1}, a FA = {2,-1}.
Ответ: АВ = {1,0}, ВС = pl,l},	CD = {-2,1}, DE = {-1,0},
ЁВ = {1,-1}, FA = {2,-1}.
Задача 3
Даны четыре вектора а = {1,2,3}, & = {2,-2,1}, с = {4,0,3} и
5 = {16,10,18}. Найти вектор, являющийся проекцией вектора d
на плоскость, определяемую векторами а и Ъ, при направлении
проектирования, параллельном вектору с.
Решение. Разложим вектор d по базису а,&,с, т.е. найдем
такие числа а,р,у, что d = aa + p& + yc. Запишем последнее ра-
венство покоординатно:
16 = a + 2р + 4у,	lot = 2,
10 = 2a-2P,	<=> Р = -3,
18 = 3a + P + 3y	у = 5.
293
Глава 9. Решение задач
Таким образом, вектор d имеет в базисе а,&,с координаты
{2,-3,5}, а искомый вектор d' — координаты {2,-3,0}. Поэто-
му, d' = 2а -ЗЬ = {-4,10,3}. Последние координаты получены уже
в исходном базисе.
Ответ: {-4,10,3}.
Задача 4
Пусть на плоскости или в пространстве даны отрезок АВ и
точка О. Пусть на прямой АВ дана такая точка С, отличная
от точки В, что
АС = ХСВ, ХеЯ, Х*-1.
Пусть также ОА = а,ОВ = Ь,ОС = с (рис. 56).
Выразить вектор с через векторы а и Ь и число X.	г
Решение: Имеем
с = ОС = ОА+^С = ОА+-^—^В-а+—^—(р-а,) = ^^-.
1 + А.	1 + Х	1 + Х
~	- а + Х&
Ответ: с =-----.
1 + Х
Задача 5
Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правиль-
ного многоугольника к его вершинам, равна 0.
294
Глава 9. Решейие задач
Решение. Пусть а — сумма векторов, идущих из центра
правильного n-угольника к его вершинам. При повороте данно-
го многоугольника вокруг его центра на угол 2л/п вектор а, с
одной стороны, должен повернуться на этот же угол. С другой
стороны, при этом повороте многоугольник переходит в себя,
поэтому вектор а должен остаться неизменном. Следователь-
но, а = 0, что и требовалось доказать.
Задача 6
Пусть на плоскости или в пространстве дан набор точек
М19...9Мп и точка О. Пусть в точки М19...9Мп помещены мас-
сы т19...9тп9 причем	Скажем, что точка М является
i=i
центром масс системы точек М19...9Мп9 если
--- Y\”hOMi
Доказать, что положение центра масс не зависит от выбора
точки О,	• ч
Рёшение. Возьмем произвольную точку О', отличную от
точки О. Пусть М' —' центр масс системы точек М19...9Мп9
соответствующий точкё О'. Докажем, что ЛГ = М. Имеем:
Ем»"»
= 0'0 +	= о'О + ОМ = О’М,
следовательно, М' = М, что и требовалось доказать.
295
Глава 9. Решение задач
Задача 7
Доказать, что при любом расположении точек А,В,С,Р на
плоскости или в пространстве имеет место равенство
(ВС, AD) + (CA,BD)¥(AB,CD) = 0.
Решение. Пусть DA = a,DB = b,DC = с (рис. 57).
Имеем
(ВС, AD)+(CA,BD) + (АВ,CD) = (с - Ь,-а) + (а - с,-Ь) +
+(6 - а,-с) = (а,Ь) - (а,с) - (а,Ь)+(&,с) - (Ъ,с)+(а,с) = 0,
что и требовалось доказать.
Задача 8
Доказать, что если A,B,C,D — четыре произвольные точки
(на плоскости или в пространстве), а Р и Q — середины от-
резков АС и BD, то
АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2>4PQ2.
Решение. Пусть DA = a,DB = b, DC = c (рис. 58).
Рис. 58
296
Ряава 9. Решение задач
Тогда
PQ = PA + AD+DQ=-(a-c)-a+-6=i(&-a-c).
2	2	2
Имеем далее
АС2 + BD2 + 4PQ2 = (с - а, с - а)+(Ь, &)+(Ь-а - с,Ъ - а - с) =
= (с, с) - 2(а,с) + (а,а)+(Ь,Ь)+(&,&)+(а,а)+(с, с) - 2(а,Ь) -
-2(Ь,с)+2(а,с) = 2(а,а) + 2(Ь,6) + 2(с,с) - 2(а,6) - 2(Ь,с).
С другой стороны,
АВ2 + ВС2 + CD2 4 DA2 = (6- a,b - а)+(с - Ь,с - Ь)+(с,с)+(а,а) =
= (&,&)+(а,а) - 2(а,Ь)+(с, с)+(&,Ь) - 2(Ь,с)+(с, с)+(а, а) =
= 2(а,а)+2(Ь,6)+2(с,с) - 2(а,&) - 2(5, с),
a
Следовательно,
АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4PQ2,
что и требовалось доказать.
Задача 9
Вычислить длину d	OD параллелепипеда, зная
длины ОА = а, ОВ = &, ОС = с трех его ребер, выходящих из од-
ной точки О, и углы ZBOC = а, Z.COA = р, ZAOB = у между
ними. Найти также косинусы углов, образуемых диагональю
OD с ребрами ОА,ОВ,ОС.
Решение. Пусть OA = a,OB = b9OC = c9OD = d (рис. 59).
Рис. 59
297
Глада 9. Решение задач
Имеем
d = OD = y](d,d) = 7(я + Ь + с,а + Ь+с) —
= yl(a,a)+(&,6)+(с,с)+2(а,Ь)+2(а,с)+2(&,с) =
= ^а2 +Ь2 + с2 + 2abcosy+2accosp+2&ccosa.
Далее
cos Z.DOA =	= (w+Ь+с) = (a>a)+(a>b)+(a,c) =
| а |-|d| ad	ad
a2 +аЬсозу +accosfi а+&созу+ссоз|3
ad	d
Аналогично получаем, что
✓ n/ч тэ a cos у + b + с cos a
cos ZDOB =---i-------
d
и
у acosp + bcosa + c
cos ZDOC =---------------
d
Ответ:
d = ^a2 +ft2 + c2 + 2adcosy + 2accosP+2dccosa,
а + Ьсову + ссъвй	acosy + d + ccosa,
cosZZ>QA = ——•—JcosZDOB----------------,
d	d
у	acosp + dcosa + c
cosZDOC =----------.
d
Задача 10
Пусть г — радиус окружности, описанной около правиль-
ного n-угольника. Найти
1) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого
многоугольника, выходящих из одной вершины;
2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого
многоугольника.
298
Глава Решение задач
Решение. 1) Пусть А1А2...Ап — данный правильный п-
угольник, О — центр описанной около него окружности,
OAt-ap f = l,...,n. Имеем
£ ДД2 = £(at - а[,~at - aj) = 2г2п - 2^(а^) =
i=l	i=l	i=l
= 2r2n-2|	| = 2r2n-(a1>6) = 2r2n.
\ i=l /
Предпоследнее равенство верно, так как согласно задаче 5
сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольни-
ка к его вершинам, равна 0.
2) Сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей данно-
го многоугольника можно найти, если умножить сумму
квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого много-
угольника, выходящих из одной вершины, на количество
вершин, и разделить на 2, так как каждая сторона или. диа-
гональ многоугольника соответствует ровно двум его верши-
нам. Таким образом, искомая сумма равна г2п2.
Ответ: 1) 2г2п; 2) г2п2.
Задача 11
В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Известно,
что АВ = с, АС = &, /ВАС = а. Найти длину биссектрисы AD.
Решение. Пусть АВ = с, АС -Ъ(рис. 60).
aw
Глава 9. Решение задач
* Так как, согласно теореме о биссектрисе внутреннего угла
треугольника
BD с
DC b'
имеем:
аЬ=^А.
Ь+с
Тогда длина этого вектора равна
AD = J(AD,AD) = If &	= jMM =
Ш Ь + с Ь+с )	Ь+с
_ л/2&2с2 +2Ь2с2 сова _ Ьсу]2 + 2cosa _ 2bccosf
Ь + с	Ь + с	Ь+с
Л	2&ссоз*
Ответ: AD=-----—.
Ь+с
Задача 12
В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Известно,
что АВ = с, АС = Ь, CD = х, BD = у. Найти длину биссектрисы AD.
%
Решение: Пусть АВ=с, АС=Ь, AD = d, CD = x, BD-y,
ABAC = а (рис. 60). Имеем:
xy=-(x, у) = -(5 - &,d - c) = -d2 + (&,2 j+(c,d) - (&, c) =
-d2 +d(b+c)cosj-be сова =-d2 +2bc cos2	be cosa = -d2 +bc.
Здесь в предпоследнем равенстве мы воспользовались форму-
лой для вычисления длины биссектрисы, полученной в преды-
А	_ 2dccosf
дущей задаче: а=----—Следовательно,
Ь + с
d2=bc-xy	d = y]bc~xy.
Ответ: AD^y/bc-xy.
300
, Глава .ft. Решециезддач
Задача 13	<
Пусть на плоскостц или в пространстве дан набор точек
M1,...,Afn и точка О. Пусть в точки М19...,МЛ помещены массы
т19...9тп9 причем ^0, а точка М — центр масс системы то-
4=1
чек М1,...,Мл. Назовем моментом инерции относительно точки О
системы точек >М^...;Мп величину	Доказать,
' -- 1=1	• гл	;
что Момент инерции относительно точки О системы точек
Af1,...,Afn равен сумме момента инерции относительно центра
масс М и момента инёрций относительно точки М системы то-
чек МР...,МЛ, то есть * к
При этом центр масс мы принимаем за систему, состоящую
из одной точки, в которую помещена масса
4=1
Решение. Имеем:
J" + J{“‘} = OM2^jmt+'^miMM2 = OM2^imi +
.4=1	4=1	4=1
+^ml(Md+OMt,Md+PMt) = 2OM2^mt +£mtOM2 +
4=1	4=1	4=1
+2| МО,	=2ОМ2 £пц + ^т^М2 +
\	4=1 ч J	4=1	4=1
z	п \	•* п	п
+2| мд, OM^jnt I = 2ОМг	+ ^mfiMf -
k	4=1	)	4=ГЛ ’ ’ 4=1
-2ОМ2 ^mi =^miOMf = J^‘},
4=1	4=1
< • !
что и требовалось доказать.
301
Глава 9. Решение задач
Задача 14
Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням
тетраэдра, равных по абсолютной величине площадям этих
граней и направленных в сторону вершин, противолежащих
граням, равна нулю.
Решение. Обозначим данный тетраэдр через ОАВС и поло-
жим ОА = а,ОВ = Ь,ОС = с. Кроме того, выберем в пространстве
ориентацию таким образом, что векторы [а,&],[&,с],[с,а], пер-
пендикулярные к граням тетраэдра и равные, по абсолютной
величине площадям этих граней, будут направлены в сторону
вершин, противолежащих граням (рис. 61).
Тогда вектор [АС, АВ] также будет направлен в сторону
вершины, противолежащей грани АВС. Имеем
[ОА,ОВ]+[бВ,ОС] + [ОС,ОА] + [АС, АВ] =
= [а,&] + [Ь,с] + [с, а]+[с - а, Ь - а] =
= [а,&] + [Ь,с] + [с,а] + [с,&] - [а,Ь] - [с,а] - [а, а] = б,
что и требовалось доказать.
ЗОЯ
Гдааа9. Ращение задач
Задача 15
Доказать тождества:
1) [[а,Ь],с] = -а(&,с) + д(а,с);
2)	[а,[&,с]] = 6(а,с)~с(а,6);
3)	([a,ft],[c,d]) = _ _
(b,c) (b,d)
4)	[[а, &],[с,5]] = с < a,d,d > -d < а,Ь,с >= Ь < a,c,d > -а < д,с,5 >;
(х,а)
(z,a)
(х,Ь)
(z,&)
(а,Ъ) (а,с)
(b,b) (Ь,с)
(с,Ь) (с,с)
Решение. 1) Выберем
прямоугольную систему координат та-
кую, что направление вектора а совпадает с направлением оси
Ох, а вектор Ь лежит в плоскости Оху. Тогда в этой системе
координат векторы а,Ь,с будут иметь координаты а=?{а,О,О},
& = {&,с,0}, с = {</,£,/}, где a;b,c9d,e,f — какие-то действитель-
ные числа. Имеем
тогда
[[а,&],3] =
0
е
О ас
t f
ас
f
0 .0
d’d
 = {-ace,acd,0}.
С другой стороны,
-а(6,с) = -a(bd + се) = {-abd - асе,0,0},
b(a,c) = bad = {bad, cad, 0}.
303
Глава 9. Решение задач
следовательно,
-a(b,c)+b(a,c) = {-ace,acd,O}.
Значит, равенство пункта 1) доказано.
2)	Имеем
[а,[Ь,с]] = -[[Ь,с],а] = (согласно п .1) =
= Ъ(с,а) - с(Ь,а) = Ь(а,с) - с(а,Ь).
Равенство пункта 2) доказано.
3)	Имеем
([a,b],[c,d]) =< a,b,[c,d] >=< [c,d],a,b >= ([[c,d],a],&) =
= (-c(d,a),b)+(d(c,a),b) =
= -(b.c) • (a,d)+(a,c) • (&,d) =
(a,c) (a,d)
(b,c) (b,d)'
Здесь первое и третье равенство выполнены в силу опреде-
ления смешанного произведения векторов, а четвертое — со-
гласно пункту 1. Равенство пункта 3 доказано.
4)	Имеем
[[а,&],[с,5]] = (согласно n.2) = c([a,&],d)-d([a,&],c) =
= с < a9b9d >-d< a9b9c >.
Вторая часть равенства доказывается аналогично с примене-
нием равенства пункта 1. Равенство пункта 4 доказано.
5)	Пусть в некоторой прямоугольной системе координат векторы
a9b9c9x9y9z имеют соответственно координаты: а = {а19а29а3}9
& =	с = {с1,с2,с3},	х = {х1,х2,х3},	У = {У!,У2,У3},
z = {z19z29z3}. Так как определитель транспонированной мат-
рицы равен определителю исходной и определитель произ-
304
Глава 9. Решение задач
ведения матриц равен произведению их определителей, по-
лучаем:
<a,d,c><x,i/,z>=
Ох
«к
Л2
^2
Х3
Уз
*3
С1 С2

О1
ei
Л2
^2
С2
аз
^3
С3
Хх
Х2
Х3
У1
Уз
Уз
Z2
*3
+а2х2+а3х3
ЬЛ+Мг+Мз
^1Х1 + С2Х2 + С^Х3
«1</1+а2!/2+аз!/з
Mi + М2 + ЬзУз
С1У1^С2У2+СзУз
а^+а^+а^
Mi+Мг+Мз
Ci^i + c2z2 + c3z3
(х,а) (у, а) (г,а)
(х9Ь) (у9Ь) &Ь)
(х9с) (у9с) (г,с)
(х,а) (х,Ь) (х,с)
(у,а) (у,Ъ) (у9с)
(z,a) (z,b) (z,c)
Равенство пункта 5 доказано.
6)	Равенство пункта 6 является следствием равенства пунк-
та 5.
Задача 1в
Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на век-
торах а,&,с, равен
(а,а) (а,Ь) (а,с)
(Ь,а) (Ь,&) (Ь,с)
(с,а) (с,Ь) (с,с)
Решение. Данное равенство является следствием равенства
пункта 6 задачи 15.
305
Глава 9,. Решение задач
Задача 17
Вычислить объем параллелепипеда, зная длины ОА = а,
ОВ = Ь, ОС = с трех его ребер, выходящих из одной точки О, и
углы Z.BOC = а, ZCOA = р, ZAOB = у между ними.
Решение. Согласно равенству задачи 16 имеем:
= abc
a2 abcosy accosp
I a&cosy b2 bccosa
у accosp ftccosa c2
1 cosy cosp
cosy 1 cosa
cosp cosa 1
= abc^Jl + 2cosacospcosy - cos2 a - cos2 p - cos2 у.
Ответ: V = abc^Jl + 2cosacospcosy - cos2 a - cos2 P - cos2 у.
Задача 18
Даны плоские углы ZBOC = a, ZCOA = P, ZAOB=y трех-
гранного угла ОАВС. .
1)	Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов
А,В,С, противолежащих граням ВОС,С О А, АО В.
2)	Даны внутренние двугранные углы А,В,С трехгранного угла
ОАВС, противолежащие граням ВОС, СОА, АОВ. Вычислить
косинусы его плоских углов а,р,у.
3)	Доказать, что
sina _ sinp _ siny
sin A sin В sin С
Решение. 1) Пусть е1,е2,е3 — единичные векторы лучей
ОА,ОВ,ОС (рис. 62),
306
Глава 9. Решение задач
Рис. 62
тогда
cos А= (согласно п.Ззадачи 15) =
|[«x>«2]|-|[ei»e3]|
_ (et ,«1 )(е2 >ез) ~ (ei »ез X^i »е2) _ cosa-cosPcosY
sinpsiny	sinpsiny
аналогично
cos В - cosP~cosacosY cosC ~ cosY~~cosacosP
sinasiny ’	sin a sin p
2) Рассмотрим трехгранный угол, ребра которого имеют на-
правления [е19е2]9 [е2,е3], [e8,ej (рис. 63),
Рис. 63
307
Глава 9> Решение задач
его плоские углы будут л-А,л-В,л-С, а двугранные —
л-а,л-р,л-у. Применив к этому углу результат пункта 1 дан-
ной задачи, получим:
cos(k - а) - СО8(Я ~	~ СО8(к ~ В)соа(л - С) _
sin(n - B)sin(n - С)
-cos А - cosBcosC
sin В sin С
откуда
cosA + cosBcosC
cos а --------------
sinBsinC
Аналогично
o cosB + cosAcosC	cosC + cosAcosB
cosp ---------------, cosy ------------—
sin A sin C	sinAsinB
3) Введем обозн1аченйя: [e1,e2] = n3,[e2,e3] = n1,[e3,e1] = n2. Имеем:
r,	?	 /
sina |[e2,e3]| In, l-ln» Mn, I ,	.	’ .
------=	= L3 LL ?Д.-.Д- (согласно п .4 задачи 15) =
|Яа1'|Пз1
|”1 Н«2 |-|"з I l”l|-|"2|-|n3l
|q <e3,elte2 >-ег <>|	|<е1,е2,е3 >|
Аналогично
sinp |п,Н^Н^| и sin у Intljn^Hn^l.
sin В |<е1>в2,е3>| sinC
Равенство пункта 3 доказано.
308
Глава 9. Решение задач
~	л cosa-cosPcosy
Ответ: 1) cosA =--------------L,
sin р sin у
cos В - cosP~~cosacosY cosC “ cosY~~cosacosP
sinasiny ’	sinasinp
cos/A + cosBcosC n cosB + cosAcosC
2) cosa ----------------, cosp --:,
sinBsinC	sinAsinC
cos C + cos A cos В
cosy --------------.
sinAsinB
Задача 19
В тетраэдре OABC известны длины 04 = a, ОВ = Ь, ОС-с
ребер, выходящих из вершины О, и углы ZBOC = a, ZCOA = $,
ZAOB-y между ними. Найти расстояние между скрещиваю-
щимися прямыми ОА и ВС.
Решение. Пусть ОА = а,ОВ = Ь,ОС = с (рис. 64).
Имеем
/гчл |<ОА,ОВ,ОС>| z
р(ОА,ВС) =Ji i = (согласно задаче 17) =
|[ОА,ВС]|
_ abcyjl + 2 cosa cosрcosy - cos2 a - cos2 p - cos2 у _
__	I [5,3-b] I	=
309
Глава 9. Решение задач
abcy/1 + 2cosacosPcosy - cos2 a - cos2 p - cos2 у
|[a,c]-[a,&]|	=
_ abc^jl + 2cosa cospcosy - cos2 a - cos2 P - cos2 у _
\l([a>c]-[a>b], [a, c] - [a, &])
_ аЬсф. + 2cosacosPcosy - cos2 a - cos2 P - cos2 у _
J\[a~c]\2 -2([a,b],[a,c])+| [a,b]|2
= (согласно п.З задачи 15) =
_ abcy/1 + 2cosa cosPcosy - cos2 a - cos2 P - cos2 у _
^a2c2 sin2 P - 2((a,a)(&,c) - (a,d)(a,c)) + a2b2 sin2 у
abcjl + 2cosa cospcosy - cos2 a - cos2 P - cos2 у
y]a2c2 sin2 p~2(a2dccosa -a2bccospcosy) + a2d2 sin2 у
_ &c^/l + 2cosacospcosy - cos2 a - cos2 p - cos2 у
Jc2 sin2 p - 2&c(cosa - cospcosy) 4- b2 sin2 у
Ответ ,p(OA,BCY-*2oosao<>3|3co3T -cos’a - 003= g cos’ T
5/c2 sin2 p - 2&c(cosa - cospcosy)+b2 sin2 у
Задача 20
Дано уравнение x-2z/ + 7 = 0 стороны треугольника и урав-
нения x + i/-5 = 0 и 2х + 1/-11 = 0 медиан, выходящих из вер-
шин треугольника, лежащих на данной прямой. Составить
уравнение двух других сторон треугольника. Система коорди-
нат аффинная.
Решение. Обозначим данную сторону треугольника через
АВ, вершину треугольника, противолежащую стороне АВ —
через С, медиану x + j/-5 = 0	— через AM, медиану
310
Глава 9. Решет^задач
"I 1  ""II м
2х + у-11=0 — через BL. Пусть О — точка пересечения ме-
диан AM и BL (рис. 65).
Найдем координаты, точек А,В,О:
х-2у+7 = 0, jx = l, fx-2y+7=O;	jx=3,
х+у-5=0	° [у = 4; ' (2х + у-11=0 ° [у=5;
_	(х+у-5=0	(х=6,
О: (	о {
{2х + у-11 = 0	[у = —1.
Итак, А=(1,4), О =(6,-1), тогда АО = {5,-5}. Так как
АМ=—АО, то AM = {7.5,-7.5} и М = {8.5,-3.5}.
2
Аналогично,
В=(3,5), О=(6,-1) => ВО = {3,-6} =>
=>BL = {4.5,-9} => L = (7.5,-4).
Значит, уравнение прямой AL будет иметь вид
2L1L=_Ll1.	16х+13у-68=0,
7.5-1 -4-4
а уравнение прямой ВМ будет иметь вид
х-З = у-5	17х+11у-106=0.
311
Глава 9. Решение задач
При этом ясно, что прямая AL совпадает с прямой АС, а
прямая ВМ — с прямой ВС,
Ответ: 16х +1 Зу - 68 = 0, 17х +11у -106 = 0.
Задача 21
Вершина треугольника находится в точке (-2,9), а биссек-
трисами двух его углов служат прямые 2x-3i/ + 18 = 0 и
z/ + 2 = 0. Написать уравнение стороны треугольника, противо-
лежащей данной вершине. Система координат прямоугольная.
Решение. Обозначим данную вершину' треугольника через
А, биссектрису 2x-3i/ + 18 = 0 — через BL, биссектрису
у 4-2 = 0 — через СМ (В и С — вершины треугольника). Най-
дем координаты точки D, симметричной точке А относитель-
но прямой BL (рис. 66).
Для этого напишем в параметрическом виде уравнение пря-
мой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой
BL:
(x = -2 + 2t,
|i/ = 9-3t
Найдем значение параметра t, соответствующее точке пере-
сечения этой прямой с прямой BL, для чего подставим в урав-
нение прямой BL правые части данных параметрических
уравнений:
2(-2 + 20-3(9-304-18 = 0 <=> t = l.
312
Глава 9.Решение задач
Значит, значение параметра t, соответствующее симметрич-
ной точке D это t = 2, а координаты точки D есть В = (2,3).
Аналогично, координаты точки Е, симметричной точке А от-
носительно прямой СМ, есть Е = (-2,-13). Значит, уравнение
прямой DE будет иметь вид
х-2_ у-3
-2-2 -13-3
о 4x-i/-5 = 0.
Ясно также, что точки D и Е лежат на прямой ВС, поэто-
му прямые DE и ВС совпадают.
Ответ: 4x-z/-5 = 0.
Задача 22
Стороны треугольника ВС,СА и АВ треугольника АВС
Qp	QQ
разделены точками P,Q,R в отношениях =	-= = ц,
PC	QA
AR
•= = v.
RB
Пусть А\В',С — точки пересечения пар прямых BQ и СВ,
СВ и АР, АР и BQ. Найти отношение площади ориентиро-
ванного треугольника А'В'С' к площади ориентированного тре-
угольника АВС.
Решение. Введем систему координат с началом в точке А и
базисными векторами АВ = ех и АС = е% (рис. 67).
Рис. 67
313
Глава 9i Решение задач
Найдем координаты точек P,Q,R в этой системе координат:
R = —,0 , Q= 0,—— , Р = —.
U+v ) V 1+jiJ Ц+Х 1 + Xj
Составим теперь уравнения прямых АР, BQ,CR в этой сис-
теме координат:
АР: Хх-у=О;
BQ: £zl=(1 + H)y	х+(1+р)у-1 = 0;
CR: +	=1С-1 <=> (l + v)x+vp-v = 0.
v -1
Найдем теперь координаты точек А',В',С:
[х+(1 + р)у-1=0,
[(l + v)x+vy-v = 0
Хх-у=0,
(l+v)x+vy-v=0
|Хх-у = 0,
[х+(1+ц)р-1 = 0
l+p+pv’
1
l + p+pv’
V
1+v + vX’
Xv
1 + v+vX’
1
1+X+Хц
X
1 + X + Хц
Координаты векторов А'В' и А'С тогда равны
А'В' = {Х1>У1} =
у(1-Хцу)_______(1+уХХцу-1)
(1+ц+цуХ1+у+уХ)’ (l + p+pvXl+v+vX)]’
AV' = (Х Y У = [	(1 + PXl-X.pv)_________Хцу-1
г’ 2	[(1+р + pvXl + Х+Хц)’ (1 + ц + pvXl + X + Хц)
314
Глава 9. Решение задан
Имеем далее:
<А'В',А'С' > _<Xlel +Yle2,X2el + Y2e2> _
<АВ,АС>	<el,e2>
= X,Y2 -Х2Хг =-------.
12	21 (l + n + nvXl + v + vXXl + X + Хц)
_ <ATB',AiC'>	(I-A41V)2
Ответ: —=—==— =------------------------------.
< AB,AC>	(l + p + pv)(l + v + vl)(l + X + Xp)
Задача 23
Найти внутренние углы треугольника, стороны которого за-
даны уравнениями Зх-у + 6 = 0, х-у + 4 = 0, x + 2y = Q. Система
координат прямоугольная.
Решение. Обозначим сторону Зх-у+6 = 0 через АВ, сторону
x-z/ + 4 = 0 — через ВС, сторону х + 2у = 0 — через СА. Вы-
числим тангенсы трех углов: угла от прямой АВ до прямой
ВС, угла от прямой ВС до прямой СА и угла от прямой СА
до прямой АВ (рис. 68).
При этом, если два или три из этих тангенсов будут иметь
знак «плюс», то треугольник АВС. положительно ориентиро-
ван, в противном случае — отрицательно ориентирован. В пер-
315
Глава 9. Решение задач
вом случае все вычисленные углы треугольника будут его
внутренними углами, во втором — внешними. Имеем:
3 -1
tgZLAB >-► ВС)=----------= —;
3 1+(-1)(-1)	2
1 -1
1 2
tgZ(BCt-+CA) =
11+(-1)-2
3;
1 2
3 -1
tgZ(CA^>AB) =
13 + 2(-1)
7.
Значит, внутренние углы треугольника равны ZB = arctg|,
ZC = arctg3, ZA = arctg7.
Ответ: arctg|,arctg3,arctg7.
^Задача 24^
Найти косинус того угла между прямыми х + 5у = 0 и
10х + 2у + 1 = 0, в котором лежит точка (1,1). Система координат
прямоугольная.
Решение. Обозначим прямую x + 5i/ = 0 через а прямую
10x+2i/ + l = 0 — через 12. Через /^={1,5} обозначим вектор
нормали к прямой а через п2={10,2} — вектор нормали к
прямой Z2. Пусть точка А имеет координаты А = (1,1). Так как
1^(А) = 1-1 + 5-1 = 6>0 и 2^(А) = 101 + 21 + 1>0, то векторы и
п2, будучи отложенными от точки пересечения прямых и Z2,
своими концами будут указывать в ту полуплоскость по отноше-
нию к каждой из этих прямых, в которой лежит точка А
(рис. 69).
316
Глава 9. Решений задач
Рис. 69
Значит, Z(n1,n2) = л-ф, где ф —искомый угол. Имеем:
СО8ф =
(УЦЛг) = 5
|П1Н^|	13'
Ответ: соз<р = -—.
Задача 25
Найти центр О и радиус г круга, вписанного в треугольник
со сторонами х+у + 12 = 0, 7х + у = 0, 7х-у+28 = 0. Система ко-
ординат прямоугольная.
Решение. Обозначим сторону х + у + 12 = 0 через АВ , сторону
7х + у = 0 — через ВС, сторону 7х-у+28 = 0 — через АС.
Найдем координаты вершин А,В,С треугольника АВС:
х + у + 12=0,	(х = -5, в, (х+У + 12 = 0,	[х = 2,
7х-у+28 = 0	(у = -7; ' (7х + у = 0	[у = -14;
|7х-у + 28 = 0,	Гх = -2
[7х + у = 0	[у = 14.
Так как	*
Fab(C) = -2+14+12>0,
Гвс(А) = 7(-5)-7<0,
317
Глава 9. Решение задач
то центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежит
по отношению к прямым АВ и АС в положительной полуплос-
кости, а по отношению к прямой ВС — в отрицательной полу-
плоскости (рис. 70).
Рис. 70
Кроме того, точка O(x0,j/0) одинаково удалена от прямых
АВ, АС, ВС, при этом модули в формуле для вычисления рас-
стояния от точки до прямой раскрываются в соответствие со
знаком для данной полуплоскости. Имеем:
р(О,АВ) = р(О,АС) = р(О,ВС) <=>	1 =
V2
_.|7х0-Уо+28| |7х0+у0|
5л/2	5л/2
х0 + у0+12 7х0-у0+28
.....yg...= '	1	....	..-й...-,. ~
V2	5V2
_-7хо-!/о _ r _ 9 „ _ fi
Таким образом, координаты центра вписанной в треуголь-
ник АВС окружности есть О(-2,-6), а радиус этой окружности
равен любому из вычисленных расстояний и равен г = 2>/2.
Ответ: О(-2,-6), г = 2>/2.
Задача 26
Даны четыре вершины тетраэдра А(3,5,-1), В(7,5,3),
С(9,-1,5), 0(5,3,-3). Написать уравнения плоскостей, равно-
удаленных от всех вершин тетраэдра. Система координат аф-
финная.
318
Глава 9. Решение задач
Решение. Существуют плоскости двух типов (7 плоскостей),
равноудаленные от всех вершин тетраэдра. Плоскости первого
типа (4 плоскости) параллельны граням тетраэдра и проходят
через середины ребер, выходящих из вершины, противолежа-
щей данной грани. Плоскости второго типа (3 плоскости) па-
раллельны паре скрещивающихся ребер тетраэдра и проходят
через середины остальных его ребер. Выберем по одной плоско-
сти каждого типа и напишем их уравнения. Рассмотрим плос-
кость лп проходящую через середины K,L,M ребер
DA,DB,DC соответственно (рис. 71).
Рис. 71
Имеем: К = (4,4,- 2), L = (6,4,0), М = (7,1,1), KL = {2,0,2},
КМ = {3,-3,3}. Значит, уравнение плоскости будет иметь вид
х-4 z/ —4
2	0
3	-3
<г + 2
2 =0 <=> х —2—6 = 0.
Аналогично находим
уравнения остальных плоскостей
л2,л3,л4 первого типа:
л2: х + у-10 = 0,
л3: x + 2i/-z-8 = 0,
л4: 2х +1/-2-14 = 0.
3
319
Глава 9. Решение задач
Перейдем к плоскостям второго типа. Рассмотрим плоскость
л5, проходящую через середины K,L,N ребер DA,DB,AC соот-
ветственно (рис. 72).
Рис. 72
Имеем: К = (4,4,-2), £ = (6,4,0), ^ = (6,2,2), KL = {2,0,2},
KN = {2,-2,4}. Значит, уравнение плоскости л5 будет иметь вид
х-4 у-4
2	0
2	-2
г + 2
2 =0 <=> x-y-z-2 = 0.
4
Аналогично находим уравнения остальных плоскостей лв,л7
второго типа:
лв : 2х + у + г-16 = 0,
л7: 5х + </-2г-28 = 0.
Ответ:	х-г-6 = 0,	х + </-10 = 0,	х + 2у-г-8 = 0,
2х + </—2—14 = 0,	х-</-г-2=0,	2х +</ + 2-16 = 0,
5х + у-2г-28 = 0.
320
Глава 9. Решение задач
Задача 27
Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2,3)
и пересекающей прямые
х у+1 2-2 х _У + 2 г
2~'^2’~‘Т" И 4	0~“з’
Система координат аффинная.
Решение. Обозначим данную точку через А, а прямые через
I и т соответственно. Уравнение искомой прямой будем ис-
кать в общем виде, т.е. в виде системы двух линейных уравне-
ний, определяющих плоскости и л2, пересечение которых
есть эта прямая. Плоскость 7^ при этом будет проходить через
точку А и прямую Z, а плоскость л2 — через точку А и пря-
мую т (рис. 73).
Рассмотрим плоскость В качестве направляющих векто-
ров этой плоскости можно взять направляющий вектор прямой
Z, т.е. вектор {2,-2,1}, и вектор, соединяющий точку А с точ-
кой (0,-1,2), лежащей на прямой Z, т.е. вектор {-1,-3,-1}. То-
гда уравнение плоскости тц будет иметь вид
Рис. 73
11-8327
321
Глава 9. Решение задач
Аналогично находим уравнение плоскости п2:
п2: 12х + 9у-162 + 18 = 0.
Значит, уравнение искомой прямой можно записать в виде
5x + y-8z + 17 = 0,
12х + 9у - I62 +18 = 0.
5х + г/-8з + 17 = 0,
12х + 9j/-16z+18 = 0.
ft
^Задача 28
Написать уравнение общего перпендикуляра к двум пря-
мым:
х-1у-2 2-3	х-1_ у 2+1
“V” 4 И 2 ”^2” 1
и найти расстояние между этими прямыми. Найти также точки
пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими
прямыми. Система координат прямоугольная.
Решение. Обозначим данные прямые через I и т соответст-
венно. Уравнение искомой прямой будем искать в общем виде,
т.е. в виде системы двух линейных уравнений, определяющих
плоскости и л2, пересечение которых есть искомый общий
перпендикуляр. Плоскость TCj при этом будет проходить через
прямую I перпендикулярно плоскости л, которая параллельна
направляющим векторам а = {8,4,1} и Б = {2,—2,1} прямых I и
т соответственно, а плоскость л2 — через прямую т перпен-
дикулярно плоскости л (рис. 74).
а	I
Рис. 74
322
Гдява 9, Ррщенне задач .
Рассмотрим плоскость лг В качестве направляющих векто-
ров этой плоскости можно взять направляющий вектор прямой
I, т.е вектор а = {8,4,1}, и вектор, перпендикулярный прямым
I и т, т.е. вектор [а,&] = {6,-6,-24}. Тогда уравнение плоскости
itj будет иметь вид
х-1 у-2
8	4
6	-6
2 — 3
1 =0 «> 5х-11у+4г + 5 = 0.
-24
Аналогично находим уравнение плоскости п2:
я2: х + у-1 = 0.
Значит, уравнение искомой прямой можно записать в виде
Г5х-11у+4з + 5=0,
[х + у-1 = 0.
Расстояние между скрещивающимися прямыми I и т най-
дем по известной формуле
8 4 Is*
p(Z,m) =
= mod
2 -2 1
0-2-4
V62 + 62 + 242
= 3>/2.
|<а,&,АВ>|
|[®#Ч|
Здесь В = (1,0,-1) — точка, лежащая на прямой т.
Обозначим через L и М точки пересечения общего перпен-
дикуляра к прямым I и т соответственно с этими прямыми.
Координаты точки L будем искать как координаты точки пе-
ресечения прямой I с плоскостью л2, для этого запишем урав-
нение прямой I в параметрическом виде
х = 1 + St,
y = 2 + 4t,
z = 3 + t
323
Глава 9. Решение задач
и подставим правые части этих параметрических уравнений в
уравнение плоскости п2:
l + 8t+2+4t-l = 0 » t=-i.
6
„	_ ( 1 4 17) д	„
Значит,	. Аналогично, координаты точки М
\ 3 3 6 )
находим как координаты точки пересечения прямой m с плос-
<2 1 7^
костью 7Г, : М = —.
1 1з 3 в)
_	(5x-llu+4z+5 = 0,	„ nr m f 1 4 17^
Ответ’. 1)	;	2) 3V2; 3)	—— ,
|х+у-1 = 0;	1-8 3 6/
<2 1 _7)
1з’з’ 6/
Задача 29
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(-3,1,0) и через прямую x+2y-z + 4=0, 3x-y+2z-l = 0. Сис-
тема координат аффинная.
Решение. Мы знаем, что любая плоскость, проходящая через
линию пересечения двух данных плоскостей, имеет уравнение
X(x+2y-z+4) + p(3x-y + 2z-l) = 0.
Так как эта плоскость проходит через точку (-3,1,0), то
Х(-3+2+4) + ц(-9-1-1)=0	ЗХ-11ц = 0.
Поэтому можно положить Х = 11 и ц = 3. Окончательно,
уравнение искомой плоскости принимает вид
ll(x+2y-z+4) + 3(3x-y + 2z-l) = 0 <=>
<=> 20x+19y-5z+41 = 0.
Ответ: 20x+19y-5z+41 = 0.
324
Гйава 9. Решение задач
С Задача 30 ) * * ф
Написать уравнение биссекторной плоскости' острого дву-
гранного угла, образованного плоскостью 2x-3j/+6z-6 = 0 с
плоскостью Oyz. Система координат прямоугольная.
Решение. Обозначим данные плоскости через и л2 и рас-
смотрим векторы нормали п^- {2, -3,6} и п2 ={1,0,0} к данным
плоскостям. Скалярное произведение векторов пх и п2 поло-
жительно, следовательно эти векторы образуют острый угол.
Но каждый из этих векторов, будучи отложенным от любой
точки пересечения двух данных плоскостей, своим концом бу-
дет указывать в положительное полупространство относительно
той плоскости, которой он перпендикулярен (рис. 75).
Рис. 75
Следовательно, острый угол между плоскостями есть пересе-
чение двух полупространств, имеющих по отношению к соот-
ветствующим плоскостям разные знаки. Так как биссекторная
плоскость двугранного угла между плоскостями есть геометри-
ческое место точек, равноудаленных от этих плоскостей, то в
соответствие с вышесказанным модули в формуле для вычис-
ления расстояния должны быть раскрыты с разными знаками.
Имеем:
|2x-3y + 6z-6| _ |х|	2x-3y + 6z-6 _ -х
V22+32+62 "Т ~i "Т
<=> Зх-у+2г-2 = 0.
Ответ’. 3x-j/ + 2z-2 = 0.
325
Глава 9. Решение задач
Задача 31	.«•
дН(> вершины треугольника закреплены в точках А и В, а
третья вершина С перемещается так, что угол при вершине А
остается все время вдвое больше угла при вершине В. Найти
линию, описываемую вершиной С.
Решение. Введем на плоскости, в которой лежит треуголь-
ник АВС, полярную систему координат следующим образом.
Положим точку А началом полярной системы координат, луч,
противоположный лучу АВ, положим полярной осью, а на-
правление вращения положим против часовой стрелки
(рис. 76).
Рис. 76
Пусть ZBAC = n-<p, тогда ZABC=^-^, a ZACB=^-^.
Пусть также АВ = р, АС = г. Применим к треугольнику АВС
теорему синусов:
АВ АС	р	г
sinZC sin ZB	Ч;ПГ3Ф
I 2 2)	\2 2)
р _ г г _ pcos| _ р _ р
’^'cos’ ° 3cos£-4cos’£ 3-4cos2£ 1-2совф’
2	2	2	2	2
Таким образом, мы получили уравнение ветви гиперболы с
параметром р = АВ и эксцентриситетом е = 2, фокальной осью
которой является прямая АВ, а фокусом, лежащим внутри
этой ветви, — точка А.
326
Глава 9. Решение задач
I
Ответ9. Ветвь гиперболы с параметром р = АВ и эксцентри-
ситетом е = 2, фокальной осью которой является прямая АВ, а
фокусом, лежащим внутри этой ветви, — точка А.
Задача 32
Определить тип линии
5х2 + 4ху + 8у2 - 32х - 56у + 80 = 0;
написать ее каноническое уравнение и найти каноническую
систему координат.
Решение. Вычислим ортогональные инварианты данной ли-
нии:
5 = 5 + 8 = 13,
= 36, Д =
5
2
-16
2
8
-28
-16
-28
80
= -1296.
8 =
5
2
2
8
Так как 8>0, a SA<0 то эта линия есть действительный
эллипс, найдем корни ее характеристического уравнения:
X2-51 + 8 = 0 <=> X2-131 + 36 = 0 ^=4,1, =9.
Значит, в некоторой прямоугольной системе координат
уравнение этого эллипса запишется в виде
д	~'2 7/2
11х'2+12у'2+- = 0 о 4х'2 +9р'2-36 = 0 <=> —+£- = 1.
8	9	4
Система для определения центра данного эллипса будет вы-
глядеть следующим образом:
|5х0+2i/0-16 = 0,	|х0=2,
[2х0+8i/0-28 = 0 ° [!/о=3-
Следовательно, центр эллипса находится в точке О'= (2,3).
Тангенс угла наклона положительного направления оси О'х' к
положительному направлению оси Ох находим по формуле
х ^-an 1	2	.	1
tgcp-—----= => cos<p = -7=?,sm(p = 
n12	2	V5
327
Глава 9. Решение задач
Таким образом, базисные векторы новой (канонической)
системы координат О'х'у' в системе координат Оху есть
-7(2	11-7(121
gj	—= к е2 = •!	к а начало этой системы координат
(уб уб J (уб "уб J
есть точка О'= (2,3) (рис. 77).
Ответ: Эллипс
О'=(2,3),
9	4
Задача 33
Определить тип линии
х2-4ху + 4у2 +4х-Зу-7 = 0;
написать ее каноническое уравнение и найти каноническую
систему координат.
Решение. Вычислим
ортогональные инварианты данной ли-
нии:
S = l + 4 = 5,
1
-2
-2
4
= 0, Д =
1
-2
2
-2	2
4	-3/2
-3/2 -7/2
25
4 ’
5 =
328
Глава 9. Решение задач

Так как 8 = 0, а А 0 то эта линия есть парабола. Канониче-
ское уравнение этой параболы находим следующим образом:
Л	,2	1	,
•х = 0 <=> у2=-,=х.
Для определения канонической системы координат для дан-
ной параболы найдем сначала ее асимптотическое направление
{а,Р}:
а2-4ар + 4р2=0 <=> (а-2₽)2=0,
следовательно, векторах = {2,1} есть вектор асимптотического
направления. Тогда вектор Ь = {1,~2} имеет направление, пер-
пендикулярное асимптотическому. Напишем уравнение диа-
метра,- сопряженного относительно данной параболы направ-
лению {!:—2} вектора &, этот диаметр является осью пара-
болы:
(x-2i/ + 2)-2(-2x + 4z/-3/2) = 0 <=> x-2i/ + l = 0.
Найдем теперь вершину параболы как точку пересечения
оси параболы с самой параболой, для чего решим систему
уравнений
x-2i/-Pl = 0,	(х = 3,
х2 -4xi/ + 4i/2 + 4x-3i/-7 = 0	ll/ = 2-
Таким образом, начало новой (канонической) системы коор-
динат О'х'у1 в системе координат Оху будет иметь координаты
О'(3,2). Базисный вектор системы координат О'х’у1 имеет по
отношению к данной параболе асимптотическое направление,
,-7(211	. т ( 2	11
поэтому либо =^-=>“7=гГ> либо ^-5	Условию
S-(a1cos<p+a2sinq>)<0, характеризующему направление внутрь
329
Глава 9. Решение задач
л	"7 f 2	1 |	- л
параболы, удовлетворяет вектор е{=<—^=г,—«к Вектор е2 бу-
I V5 \5I
(рис. 78).
Ответ\ Парабола z/'2=-^x',
л/б
— Г 2	1
О'= (3,2),	<=^—т=,—7=
— I 1	2
е2 ~ ] /Т ’	/Z
Задача 34
Даны две линяя второго порядка:
Зх2 + 6xi/-у2 -18х-10г/ = 0,
9х2 +6ху + у2 -18x-10i/ = 0.
Найти общий диаметр этих двух линий и направления тех
хорд каждой из данных линий, которым сопряжен этот диа-
метр.
Решение. По ортогональным инвариантам легко убеждаемся,
что первая линия второго порядка есть гипербола, а вторая —
парабола. Любой диаметр гиперболы проходит через ее центр, а
любой диаметр параболы имеет относительно этой кривой асим-
330
Глава 9. Решение зйдач
птотическое направление. Следовательно, искомый общий диа-
метр этих двух линий проходит через центр гиперболы и имеет
по отношению к параболе асимптотическое направление. Центр
гиперболы O(x0,z/0) находим из системы уравнений
|Зх0+3уо-9 = 0,	Гх0=2,
[Зхо-уо-5 = О	U/0=l-
Значит, О = (2,1). Асимптотическое направление параболы
{а: (3} находим из уравнения
9а2+6ар + р2=0 о (За + р)2=0,
т.е. можно положить а = 1,р = -3. Уравнение прямой, проходя-
щей через точку О и имеющей направление {а,р} есть
х-2у-1
1	-3
Зх+у-7 = 0.
Это и есть искомый общий диаметр двух линий. Направ-
ляющий вектор этого диаметра есть а = {1,-3}, поэтому в случае
гиперболы мы можем говорить о паре взаимно сопряженных
направлений: направление {а: р} сопряжено направлению
{1: -3} тогда и только тогда, когда
(а’₽)[з
-6а + вр = 0 <=> а = р.

Следовательно, направление {1:1} есть направление той
хорды гиперболы, которой сопряжен диаметр Зх + у - 7 = 0.
Пусть теперь {а:р} — направление той хорды параболы, ко-
торой сопряжен этот диаметр. Запишем уравнение этого диа-
метра в виде
а(9х + Зу - 9) + Р(3х + у - 5) = 0 <=>
о (9а + ЗР)х+(3а + Р)у -9а -5р = 0.
331
Глдва 9. Решение, зддач
Но два уравнения определяют одну и ту же прямую, когда
их коэффициенты пропорциональны. Имеем:
9а + 3р За + В 9а+5р о о л
3	17	н
Можно положить а = 1,р = -6, это и есть направление той
хорды параболы, которой сопряжен общий диаметр двух дан-
ных в условии задачи кривых второго порядка.
Ответ: 3x + i/-7 = 0, {1:1}, {1:-6}.
Задача 35
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
прямая Ах+Вр+С=О касалась:
2	2
X У
1)	эллипса —+ -—- = 1;
а2 Ь2
х2 у2
2)	гиперболы —т = 1;
а2 Ь2
3)	параболы у2 =2рх;
4)	гиперболы xy-k.
Решение. 1) Пусть M(x0,z/0) — некоторая точка, лежащая
2	2
X у
на эллипсе —+ ~- = 1.
а2 Ь2
Напишем уравнение касательной к данному эллипсу, прове-
денной в точке М:
х0(х-х0) . Уо(У-Уо)	р	ХХ0 , УУо _Хр _ Уо
_2	+ A2	U	z.2 + A2 Z.2 + К2
а	о	а и а и
так как точка М принадлежит эллипсу. Итак, два уравнения
-^•+•^--1 = 0 и Ах + Ву + С = 0
а2 Ъ2
332
Глава. 9. Решение задач
определяют одну и ту же прямую, следовательно, соответст-
вующие коэффициенты должны быть пропорциональны:
«О Уо 1	Ь2В
JaWc ~ Хо=~— у'=-—'
Так как выполняется условие
2	2
+Т2
Л Q.
= 1, ТО
а2 А2 &2В2
С2 + С2
= 1 « а2А2+&2В2 =С2.
2)	Решение пункта 2 аналогично решению пункта 1.
3)	Пусть Af(x0,i/0) — некоторая точка, лежащая на параболе
I/2 = 2рх. Напишем уравнение касательной к данной парабо-
ле, проведенной в точке М:
Х«-хо)-Уо(У-Уо) = °	РХ-у0У = рх0-у%=-рх0,
так как точка М принадлежит параболе. Итак, два уравнения
Рх~УУо + Рхо =0 и Ах+Ву+С=0
определяют одну и ту же прямую, следовательно, соответст-
вующие коэффициенты должны быть пропорциональны:
Р^ Уо_Рхо
А В 5 Сг
Так как выполняется условие у2 =2рх0, то

4)	Пусть М(х0,у0) — некоторая точка, лежащая на гиперболе
xy = k. Напишем уравнение касательной к данной гипербо-
ле, проведенной в точке М:
Уо(х-х0)+х0(у-у0) = 0 <=> yox + xoy = 2xoyo=2k,
333
Глава 9. Решение задач
так как точка М принадлежит гиперболе. Итак, два уравне-
ния
t/ox + xoj/-2ft = O и Ах+Ву+С=О
определяют од ну и ту же прямую, следовательно, соответст-
вующие коэффициенты должны быть пропорциональны:
yQ xQ 2k	2kB 2kA
ABC ° C ° C
Так как выполняется условие xQy0 = fe, то
Ответ: 1) а2А2 + Ь2В2 = С2; 2) а2А2~Ь2В2=С2-, 3) рВ2 =2АС;
4) 4kAB = C2.
Задача 36
Три вершины параллелограмма находятся в точках
О = (0,0), А = (4,0), В = (2,2); А и В — противоположные
вершины. Написать уравнение эллипса, вписанного в этот па-
раллелограмм и касающегося стороны ОА в ее середине.
Решение. Рассмотрим аффинное преобразование, переводя-
щее данный эллипс в окружность. Описанный параллелограмм
при этом преобразовании перейдет в параллелограмм, описан-
ный около окружности, т.е. в ромб. А так как окружность ка-
сается одной из сторон этого ромба в ее середине, то этот ромб
есть квадрат, и данная окружность будет касаться и остальных
сторон этого квадрата в их серединах. Следовательно, эллипс
также будет касаться всех сторон параллелограмма в их сере-
динах. Введем новую систему координат следующим образом:
начало системы координат положим в точке О'(3,1), являю-
щейся центром параллелограмма (а также центром эллипса,
что следует из рассмотренного выше аффинного преобразова-
ния); в качестве векторов е{ и е'2 положим векторы О'М и
334
Глава 9. Решение задач
O'N, где точки М и N — соответственно середины сторон
АС и ВС параллелограмма, а точка С — его четвертая вер-
шина (рис. 79).
Рис. 79
Рассмотрим уравнение эллипса в новой системе координат.
Так как начало системы координат совпадает с центром эллип-
са, то коэффициенты at и а2 в общем уравнении этого эллипса
равны нулю. Будет равен нулю также коэффициент а12, так
как оси координат имеют по отношению к данному эллипсу
взаимно сопряженные направления, поскольку направление
диаметра, проведенного в точку касания, сопряжено направле-
нию касательной. Итак, уравнение эллипса в новой системе ко-
ординат имеет вид
апх'2 +а2гу'г +а0 =0.
Точки М и N имеют в новой системе координат координа-
ты М = (1,0), .У = (0,1) и принадлежат данному эллипсу, откуда
следует, что о11+а0=0 и а22+ао=О. Поэтому можно положить
ан =а22 и ао после чего уравнение принимает вид
х'2+г/2-4 = 0.
Формулы перехода от исходной системы координат к новой
имеют вид
х = 2х' + у' + 3,
y = y' + l
[ , 1 1 ,
х = — х—у-1,
2	2
У = у-1,
335
Глава 9. Решение задач
следовательно, уравнение эллипса в исходной системе коорди-
нат есть
(lx-fy-l)2+(jz-l)2-l = O о
<=>х2 -2xt/ + 5i/2 - 4x-4i/ + 4 = 0.
Ответ: х2 -2ху + 5у2 -4x-4i/ + 4 = 0.
Задача 37
Доказать, что плоскость 2x + 2i/ + z-3 = 0 пересекает эллип-
соид
ч	22
х2+у2+—=1
4
по действительному эллипсу, и найти центр этого эллийса.
Решение. Первый способ. Рассмотрим систему уравнений
2x + 2i/ + z-3 = 0,
<	22
х2+у2+^- = 1.
4
Выразим из первого уравнения переменную z и подставим
во второе уравнение:
г=3-2х-2у,
х2 + уз + (3-2х-2у/=1
4
z = 3-2x~2y,
5
2х2 + 2ху+2у2 -Зх-Зу+— = 0.
4
Последнее уравнение определяет цилиндр, проектирую-
щий искомую линию пересечения на плоскость г = 0. Так
как при аффинном преобразовании действительный эллипс
переходит в действительный эллипс, можно считать, что
уравнение
5
2х2 +2ху + 2у2 -3x-3i/ + —= 0.
4
336
Глава 9. Решение задач
нам дано в некоторой прямоугольной системе координат. Най-
дем ортогональные инварианты:
Так как 8 > 0, a SA < О, то данное уравнение и в самом деле
определяет действительный эллипс. Центр этого эллипса нахо-
дим из системы уравнений
3	11
2хо+Уо-о=0>	*0 = 9»
п з п	1	1
хо+2уо-~ = О	^0=-.
Координату
z = 3-2x-2y = l.
z получаем
из уравнения плоскости
Итак, точка О =
есть искомый центр
линии пересечения плоскости и эллипсоида.
Второй способ. Введем на плоскости аффинную систему ко-
ординат 0(0,0,3), ех ={1,-т1,0}, е2={1,0,-2} и напишем парамет-
рические уравнения этой плоскости:
X = U + V,
« У = ~и,
z = 3-2v.
Подставив полученные выражения для переменных x,y,z в
уравнение эллипсоида, получим уравнение линии пересечения
этого эллипсоида с плоскостью в координатах (и,и):
(и + и)2 + и2 + (3	= 1 <=> 2и2 +2uv + 2v2 -3v+—= 0.
4	4
Найдем ортогональные инварианты:
337
Глава 9. Решение задач
Так как 8>0, а 8Д<0, то данное уравнение и в самом деле
определяет действительный эллипс. Центр этого эллипса нахо-
дим из системы уравнений
2и + v = О,
о
и + 2и— = 0
2
и = —
2
и = 1.
Подставив найденные значения u,v в параметрические
уравнения плоскости, найдем координаты х,у,2 центра эллип-
1 1
са: х = -,у = -,г = 1.
2	2
Ответ:
Задача 38
Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
х-2 у-3 z-2
~2	=1	0~
и касающейся эллипсоида
2	2	2
,16 12 4
Решение. Пусть M(xQ,yQizQ) — точка касания искомой плос-
кости с эллипсоидом. Уравнение касательной плоскости, про-
веденной к данному эллипсоиду в точке М, имеет вид
^(Х-Х0) + ^(у-у0) + ^-(2-20) = 0 О
10	14	4
_ ХХ0 УУо 220 _Х* у* £
16	12	4	16 12 4
так как точка М принадлежит эллипсоиду. Кроме того, эта
плоскость проходит через прямую
х-2 _ у-3 _ z-2
(Р
338
Глава 9. Решение задач
что означаем, что точка (2,3,2) принадлежит плоскости, а век-
тор {2,-1,0} параллелен плоскости. Имеем систему уравнений
’2*о Зу0 2г0		
16 12	4 . 2*о._И1=о,	 16 12	*о=О, уо=О, или <	счГ со 1 Il II о о н
2	,.2 м2	г0=2	|z0=u.
Х0 ! Ур 1 г0 -1 Д6 12 4		
В первом случае получаем плоскость г-2 = 0, во втором —
плоскость х + 2у-8 = 0.
Ответ: 2-2 = 0, x + 2i/-8 = 0.
Задача 39
Дан гиперболический параболоид
х2 3 у2 о
-------------------------—=2z
2------------------------8
и плоскость
2x + 3y-z = 0.
Написать уравнение плоскости, параллельной данной и пе-
ресекающей параболоид по паре прямых; найти эти прямые.
Решение. Первый способ. Запишем уравнение искомой плос-
кости в виде 2х+ 3z/-z +Z) = 0. Рассмотрим следующую систему
уравнений
Г 2	2
2	8
2x + 3i/-z + jD = 0.
Эта система определяет множество точек пересечения пара-
болоида и плоскости. Выразив из второго уравнения перемен-
ную z и подставив в первое уравнение, получим
3 = 2x + 3y + Z>,
‘ х2 I/2
i-^- = 2(2x+3y+P).
339
Глава 9. Решение задач
Согласно условию задачи последнее уравнение должно опре-
делять на плоскости z-О пару прямых, преобразуем это урав-
нение:
4х2-у2-32x-48y-16D = 0 «>
<=>4(х-4)2-(у+24)2 =16.0-512.
Ясно, что выражение, стоящее в правой части должно быть
равно нулю, т.е. D = 32. Уравнение искомой плоскости при
этом будет иметь вид 2x + 3y-z + 32 = 0.
Найдем прямые пересечения параболоида и плоскости:
2x + 3y-z + 32 = 0,
4(х-4)2-(у+24)2 =0
(2x + 3y-z + 32 = 0<
[(2х - у - 32)(2х + у +16) = О
2х + 3у ~z + 32 = 0,	\2x + 3y-z + 32 = 0,
2x-i/-32 = 0	И [2х + г/ + 16 = 0.
Второй способ. Плоскость, пересекающая параболоид по па-
ре прямых, является касательной плоскостью к параболоиду.
Пусть M(x09yQ,zQ) — точка касания искомой плоскости с пара-
болоидом. Уравнение карательной плоскости, проведенной к
данному параболоиду в точке М, имеет вид
^(x-xQ)-^-(y-yo)-(z-zo)=O
Z	о
2	2
так как точка М принадлежит параболоиду. Так как эта плос-
кость параллельна плоскости 2х + 3^-з = 0, получаем систему
уравнений
of II	*0=4,
xL = -3	<=> < я	Уо=-24,
о 2	2 —= 2z0 12 8	0	z0 =-32.
340
Главa ^9+Решение задач
Уравнение касательной плоскости при этом будет иметь вид
2x + 3y-z + 32 = 0.
_ о	a [2x + 3z/-z + 32 = 0,
Ответ: 2x+3y-z + 32 = 0, 4 у Л
у	[2х-у-32 = 0
f2x + 3u-z + 32 = 0,
И 5
[2х + у + 16 = 0.
Задача 40
Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффин-
ного преобразования
{х' = 7х-у + 1,
у1 = 4x + 2i/+4.
Система координат аффинная.
Решение. Инвариантные точки находим из системы уравне-
ний
х = 7х-у + 1,
t/ = 4x + 2y + 4
х- —
2
У = -2.
Для нахождения инвариантных прямых найдем собственные
значения и собственные векторы преобразования. Собственные
значения находятся из уравнения
7-1
4
-1
2-1
= 0 <=> I2-91+18 = 0 <=> 11=3,12=6.
Координаты {а,р} собственного вектора, соответствующего
значению 1} = 3, находим из уравнения
4
4
о {а,р} = {1,4}.
Инвариантная прямая будет проходить через неподвижную
точку в направлении собственного вектора, т.е. ее уравнение
будет иметь вид
341
Глава 9. Решение задач
х+| у+2	. п
-------- <=> 4х-и = 0.
14	*
Координаты собственного вектора, соответствующего значе-
нию Xj =6, находим из уравнения
1 -lYaW(T|
4 -4j[pHoJ
о {а,₽} = {1,1}.
Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь вид
iil.nl „ 2l_2s,-3-o.
1 1
Ответ: Инвариантная точка (-{,-2), инвариантные прямые
4х-у = 0 и 2х-2у-3 = 0.
Задача 41
Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффин-
ного преобразования
,13	4	8
X =—х +—и-—,
5	5^ 5
,474
У 5	5	5
Система координат прямоугольная.
Решение. Инвариантные точки находим из системы уравне-
ний
13	4	8
Х'5Х+5У 5’	f2x+j/-2=0,
4	7	4	|2x+u-2 = 0,
у=—х+—у—
15	5	5
т.е. инвариантными являются все точки прямой 2x + j/-2 = O.
Собственные значения находятся из уравнения
13/5-X 4/5
4/5	7/5-X
=0 О Х2-4Х + 3 = 0 <» Xj=l, Х2=3.
342
Глава 9. Решение задач
Координаты собственного вектора, соответствующего значе-
нию	= 1, находим из уравнения
8/5 4/5VaW0>|
4/5 2/5ДРJ~W
{а,р} = {1,-2}.
Мы получили направляющий вектор прямой 2х + у-2 = 0,
состоящей из инвариантных точек. Ясно, что эта прямая явля-
ется инвариантной по отношению к данному аффинному преоб-
разованию. Координаты собственного вектора, соответствующе-
го значению X, = 3, находим из уравнения
-2/5
4/5
4/5 YalfO'j
-8/5Др]-|я1
{а,р} = {2,1}.
Это вектор нормали к уже полученной нами прямой. Таким
образом, все прямые, перпендикулярные прямой 2х + у-2 = 0,
также являются инвариантными по отношению к данному аф-
финному преобразованию.
Ответ: Инвариантными точками являются все точки пря-
мой 2x + i/-2 = 0 и только эти точки. Инвариантные прямые:
прямая 2x + i/-2 = 0 и все прямые, перпендикулярные к ней.
Задача 42
Найти инвариантные точки, прямые и плоскости аффинного
преобразования
х' = 2х + у + 1 = 0,
* y' = 2i/ + z + 2 = 0,
z' = 2z + 3.
Система координат аффинная.
Решение. Инвариантные точки находим из системы уравне-
ний
343
Глава 9. Решение задач
х = 2х + у + 1 = 0,	Гх = -2,
 р = 2у+ 2 + 2=0, С5>	у = 1,
z = 2z+3	2 = —3.
Собственные значения находим из уравнения
о
2-Х
0
О
1
2-Х
О
1 =0 <=> (2-Х)3=0 о Х = 2.
2-Х
Собственный вектор, соответствующий полученному собст-
венному значению, находим из уравнения
'0 1
о о
<° 0
О'
1
0,
'а'
₽
л,
'О'
о
.0,
о {а,р,у} = {1,0,0}.
Значит, уравнение инвариантной прямой будет иметь вид
х + 2 у-1 2 + 3
0	6“'
Пусть теперь Ax+By + Cz + D — инвариантная плоскость
данного аффинного преобразования. Прообраз этой плоскости
будет иметь вид
A(2x + y+l) + B(2y + z+2) + C(2z+3) + D = 0 <=>
<=> 2Ax+(A + 2B)y+(B + 2C)z+A + 2B + 3C + D
и должен совпадать с самой плоскостью. Следовательно, долж-
ны выполняться следующие равенства:
А + 2В = 2В,
В + 2С = 2С,
А + 2В+ЗС + В = 2D
А = 0,
 В = 0,
ЗС = П.
Можно положить, например, С = 1, Р = 3, и уравнение иско-
мой инвариантной плоскости будет иметь вид 2 + 3 = 0.
344
Глава 9. Решение задач
Ответ: Инвариантная точка (-2,1,-3), инвариантная пря-
мая
х+2 у-1 2+3
~1	О о-’
инвариантная плоскость
2 + 3 = 0.
Задача 43
Найти инвариантные точки, инвариантные прямые и инва-
риантные плоскости аффинного преобразования
х'=6х-2у-Зг+1,
• у' = -2х+Зу-6г+4,
г'= —Зх—бу—2г + 5.
Решение. Инвариантные точки находим из системы уравне-
ний
х=6х-2у-Зг+1,
 у = -2х + Зу-6г+4, о
2 = -Зх-6у-2г + 5
1
х = —,
3
1
у=з'
2
2 = —.
3
Собственные значения находим из уравнения
6-Х -2	-3
-2
-3
-6 =0
-2-Х
<=> (Х+7)(Х-7)2 =0
V-»* Xj — —7, Х2 — 7.
Собственный вектор, соответствующий значению Xj = -7,
находим из уравнения
'13 -2 -3"
-2 10 -6
к-3 -6 5,
'o'1
о
1я
<=> {а,р,у} = {1,2,3}.
0
345
Глава 9. Решение задач
Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь вид
112
X-у-z-
3__3
12	3
Собственный вектор, соответствующий значению ^=7, на-
ходим из уравнения
'-1 -2
-2 -4
к-3 -6
•» а+2р+Зу=0.
т.е. все прямые, проходящие через точку
Таким образом, собственными векторами являются все век-
торы, параллельные плоскости x+2y + 3z = 0, а инвариантными
прямыми — все прямые, проходящие через единственную ин-
fl 1 2А
вариантную точку —, и параллельные этой плоскости,
\3 3 3/
112^
—, и лежащие
3 3 3/	.
в плоскости x+2p+3z-3 = 0. Пусть теперь Ax + By + Cz + D —
инвариантная плоскость данного аффинного преобразования.
Прообраз этой плоскости будет иметь вид
А(6х - 2у - 3z +1) + В(-2х + Зу - 6z+4) +
- —+C(-3x-6j/-2z+5) + P = 0 <=>
(6А - 2В - ЗС)х+(-2А + ЗВ - 6С)у+(-ЗА - 6В - 2C)z +
+А + 4В+5С + В = О
и должен совпадать с самой плоскостью. Следовательно, долж-
ны выполняться следующие равенства:
6А-2В-ЗС = ХА,
-2А + ЗВ-6С = ZB,
-ЗА-6В-2С = ХС,
А+4В + 5С+В = ХВ.
346
Глава 9. Решение задач
Первые три строки полученной системы представляют собой
систему трех однородных уравнений с тремя неизвестными, ко-
торая имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда оп-
ределитель этой системы равен нулю. Имеем:
6-Х -2
-2 3-1
-3	-6
-3
—6
-2-Х
= 0 <=>
<=> (Х + 7)(Х~7)2 =0 о Х, = -7Д = 7.
В случае X = -7 имеем А = 1, В = 2, С = 3, В = -3 и уравнение
плоскости имеет вид х + 2у + Зг-3 = 0. В случае X = 7 имеем:
А + 2В+ЗС = 0,
A + 4B + 5C-6D = 0.
Из первого уравнения полученной системы следует, что все
такие плоскости параллельны вектору {1,2,3}. Выразив теперь
из второго уравнения системы переменную D и подставив в
уравнение плоскости, получим:
А _	„ А+4В + 5С Л
Ax + By + Cz +---= 0
Г	1 ।	Г	2 ।	г	5 1
<=>А х+— +В Z/+— +С z+— =0,
I	6J	I	3J	I	6J
т.е. все инвариантные плоскости, соответствующие собственно-
му значению X = 7, проходят через точку	Таким об-
разом, инвариантными являются все плоскости, проходящие
через прямую
1	2	5
ж+ё y+i_*+6
1	2	3
347
Глава 9. Решение задач
„ гг	(112)
Ответ: Инвариантная точка I g»^»g I» инвариантные прямые:
прямая
112
X-у-2-
3	3 з
12	3
fl 1 2)
и все прямые, проходящие через точку —и лежащие в
плоскости х+2у + 32-3 = 0; инвариантные плоскости: плоскость
х + 2у + 32-3 = 0 и все плоскости, проходящие через прямую
12	5
Х + - У+~ г+~
6	3 6
12	3
Задача 44
Дано изометрическое преобразование
Г , 4	3	_
X =— X — п + 6,
5	5*
' '	3	4 ю
О о
Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симмет-
рии. Найти канонический вид данного преобразования.
Решение. Данное преобразование является изометрическим
преобразованием с определителем
4/5 -3/5
-3/5 -4/5
т.е. несобственным преобразованием. Любое несобственное
изометрическое преобразование плоскости есть скользящая
симметрия, т.е. композиция симметрии относительно оси и
параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси.
Направляющий вектор оси симметрии будем искать как соб-
348
Глава 9. Решение задач
ственный вектор, соответствующий собственному значению
Х = 1:
<4/5-1	-3/5 Y<^ Г0"| on Л < ni
л/* i L=n	а + ЗР = 0 о {а,р} = {3,-1}.
^-3/5, -4/5-1ДР; VOJ
Вектор сдвига вдоль оси симметрии будем искать следую-
щим образом. Возьмем произвольную точку, например точку О
с координатами О = (0,0). Образ О' точки О при данном пре-
образований будет иметь координаты О'= (6,-12). Ортогональ-
ная проекция Ь вектора ОО' = {6,-12} на ось с направляющим
вектором а = {3,-1} и будет искомым вектором сдвига. Н&йдем
эту проекцию:
Ь = (Оу»о).ё = {9-3} (рис. 80).
jal2
Найдем какую-либо точку на оси симметрии. Пусть
M0(x0,i/0) — эта точка. Образ точки MQ будет иметь коор-
динаты
, 4	3	Л
х0 =7хо -тУо +6>
о о
-	3	4	ю
Уо=-7хо-тУо-12.
о	5
С другой, стороны, М0М^=Ь, следовательно,
Мц =(х0 +9,</0 -3). Ймеем
349
Глава 9. Решение задач
4	3
х0+9=-х0--у0+6,
3	4	~ Хо+Зуо+15 = О.
Уо-3 = --хо--уо-12
О о
Значит, любая точка, лежащая на прямой x + 3z/ + 15 = O, ле-
жит на оси симметрии, и уравнение оси симметрии есть
х+Зу + 15 = О. Выбрав прямоугольную систему координат таким
образом, что начало этой системы координат лежит на оси
симметрии, первый базисный вектор параллелен этой оси, а
второй ей перпендикулярен, получим канонический вид данно-
го преобразования:
х'* = х* +Зл/1О,
[У = ~У •
Здесь число Зл/10 есть длина вектора Ъ.
Ответ: Вектор переноса вдоль оси симметрии {9,-3}. Урав-
нение оси симметрии x+3i/ + 15 = 0. Каноническая запись пре-
образования
|х'* =х*+Зл/10,
if*	*
(у =-у •
Учебное издание для вузов
Садовничий Юрий Викторович
Федорчук Виталий Витальевич
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
КУРС ЛЕКЦИЙ С ЗАДАЧАМИ
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ 77.99.60.953.Д.013269.11.07 от 13.11.2007 г.
Научный редактор И.М. Бокова
Дизайн обложки М.Н. Дурнецова
Компьютерная верстка Д.А. Ярош
105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1.
www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz;
по вопросам реализации: sale@examen.biz
телефакс 641 -00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 9530Q5 — книги, брошюры, литература учебная
Текст отпечатан с диапозитивов
в ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
Качество печати соответствует
качеству предоставленных диапозитивов
Издание осуществлено при техническом содействии
ООО «Издательство АСТ»
ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует качеству
предоставленных диапозитивов
По вопросам реализации обращаться по тел.:
641-00-30 (многоканальный).
УВАЖАЕМЫЕ ПОКУПАТЕЛИ!
Книги издательства «ЭКЗАМЕН» можно приобрести
оптом и в розницу в следующих книготорговых организациях:
Москва
ТД «Библио-глобус» — Тел. (495) 928-43-51
Детский мир центр — Тел. (495) 781-09-75
ДК Медведково — Тел. (495) 476-16-90
ООО «Библиосфера»—Тел. (495) 670-52-17
«Молодая гвардия» — Тел. (495) 780-33-70
«Шаг к пятерке» — Тел. (495) 411-08-29
Сеть магазинов «Мир школьника»
Архангельск
АВФ-книга — Тел. (8182) 65-41-34
Благовещенск
ЧП Калугин — Тел. (4162) 35-25-43
Волгоград
Предприниматель Гражданкин Н.Н. —
Тел. (8442) 95-54-11
ООО «Кассандра» — Тел. (8442) 97-55-55
Владивосток
ОАО «Приморский торговый дом книги» —
Тел.(4232)63-73-18
Воронеж
ООО «Амиталь» — Тел. (4732) 23-00-02
ООО «Риокса» — Тел. (4732) 21-08-66
Книжный мир семьи — Тел. (4732) 51-28-90
Екатеринбург
ООО «Валео Книга» - Тел. (343) 374-54-59
ПО «Кримп» — Тел. (343) 369-29-25, 369-22-22
ООО «Фолиант» — Тел. (3432) 74-45-33
ООО «Алис» — Тел. (3432) 55-10-06
Ессентуки
ЧП Зинченко — Тел. (87961) 5-11-28
Иваново
«Мысль» — Тел. (4932) 30-00-65
ООО «УМК» — Тел. (3412) 78-35-04
Иркутск
«ПродалитЪ» — Тел. (3952) 24-17-77
«Антей книга» — Тел. (3952) 24-20-95
ООО «Аист-пресс»—Тел. (8432) 43-12-20
ООО «Таис» — Тел. (8432) 72-34-55
Киров
«Книги детям» — Тел. (8332) 51-30-90
Краснодар
ООО «БукПресс» — Тел. (8612) 62-55-48
ООО «Когорта» — Тел. (8612) 62-54-97
Перспективы образования—Тел. (8612) 54-25-67
Красноярск
ООО «Градъ» — Тел. (3912) 59-11-52
Ленинск-Кузнецкий
Магазин № 85 — Тел. (38456) 7-30-07
Мурманск
ООО «Тезей» — Тел. (8152) 43-63-75
Новосибирск
ООО «Топ-книга» — Тел. (3832) 36-10-28
ООО «Модус-2» — Тел. (3832) 44-34-44
Нижний Новгород
«Учебная книга» — Тел. (8312) 46-38-66
Дом книги — Тел. (8312) 77-52-07
«Омсккнига» — Тел. (3812) 23-52-08
Оренбург
«Фолиант» — Тел. (3532) 77-46-92
Пермь
ЧП Нежданов — Тел. (3422) 45-24-37
«Лира-2» — Тел. (3422) 26-66-91
Петропавловск-Камчатский
ЧП Кожан — Тел. (4152) 11-12-60
Прокопьевск
Книжный дом — Тел. (38466) 3-25-30
Псков
ООО «Гелиос» — Тел. (8112) 44-09^89
Пятигорск
ПБОЮЛ Бердникова — Тел. (87933) 3-05-86
Ростов-на-Дону
«Фаэтон-пресс» — Тел. (8632) 65-61-64
«Магистр» — Тел. (8632) 99-98-96
Рязань
ТД «Просвещение» — Тел. (4912) 44-67-75
ООО «Барс» — Тел. (4912) 93-29-54
Самара
«Реал +» — Тел. (8462) 41-87-30
«Чакона» — Тел. (8462) 42-96-30
Санкт-Петербург
«Санкт-Петербургский дом книги» —
Тел. (812)318-64-38
ООО «Буквоед» — Тел. (812) 346-33-27
Саратов
Читающий Саратов — Тел. (8452) 51-87-62
Полиграфист .— Тел. (8452) 29-43-96
ООО «Стрелец и К0» — Тел. (8452) 52-25-24
«Гемера» — Тел. (8452) 64-37-37
Смоленск
ООО «Кругозор» — Тел. (4812) 65-86-65
ООО «Родник» — Тел. (4812) 55-71-05
ООО «Книжный мир» — Тел. (4812) 29-16-02
«Эрудит» — Тел. (4812) 65-62-94
Тверь
«Книжная лавка» — Тел. (4822) 33-93-03
Тула
«Галатея» — Тел. (4872) 35-60-87
«Система +» — Тел. (4872) 31-29-23
Т юмень
ООО «Друг» — Тел. (3452) 21-34-39
ООО «Знание» — Тел. (3452) 25-23-72
ЗАО «Фолиант» — Тел. (3452) 27-36-06
Уфа
ООО «Эдвис» — Тел. (3472) 25-83-92
Хабаровск
ООО «Мирс» — Тел. (4212) 29-25-65
Челябинск
Интерсервис ЛТД — Тел. (3512) 21-34-53
Чита
«Экслибрис» — Тел. (3022) 32-59-64
Якутск
ЧП Аксенчук — Тел. (4112) 42-89-60
«Якутский книжный дом» —
Тел. (4112) 34-10-12
Ярославль
Академия — Тел. (4852) 31-43-26
По вопросам прямых оптовых закупок обращайтесь
по тел. (495) 641-00-30 (многоканальный), sale@examen.biz
www.examen.biz
курс ЛЕКЦИЙ
Ю.В. Садовничий
В.В. Федорчук
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
В основе данного учебного пособия
лежит курс лекций, читаемый
авторами на механико-математическом
факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
Книга содержит материал
по программе курса «Аналитическая
геометрия» в современном изложении.
Специально подобранные задачи
снабжены подробными решениями.
Для студентов вузов по специальностям
«математика», «механика».
ЭКЗАМЕН
9 785377 016175