Б. 3. ВУЛИХ
КРАТКИЙ КУРС
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНТЕГРАЛА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов учиверс итгтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 19 73

617.2
В 88
УДК 517.11
Краткий курс теории функций вещественной
переменной (введение в теорию интеграла), Вулих Б 3.,
Главная редакция физико-математической литературы
изд-ва «Наука», 1973v
Книга содержит изложение основ теории меры и
интеграла (преимущественно — интеграла Лебега)
Второе издание отличается от первого прежде всего
развернутым изложением неопределенного интеграла
Лебега и теоремы Радона — Никодима а также
схемой построения меры. Кроме того введено понятие
равностепенной абсолютной непрерывности семейства
интегралов, более подробно изучены пространство
измеримых функций и интеграл Радона
Книга может быть использована как. при изучении
теории функций вещественной переменной в виде
отдельной дисциплины, так. » при прохождении теории
меры и интеграла Лебега внутри общего
университетского курса математического анализа
© Издательство «Наука», 1973.
0223-1812 ^
В 042@2)-73 53

ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 8
Глава I. Общие сведения о множествах .......... 9
§ I. Основные операции над множествами 9
§ 2. Некоторые вспомогательные соотношения 15
§ 3. Мощность множества ; . . . . 17
§ 4. Счетные множества 20
§ 5. Множества мощности континуума 25
§ 6. Сравнение мощностей 32
§ 7. Кольца, полукольца и алгебры множеств ..... 33
Глава II. Точечные множества в евклидовом пространстве . . 39
§ I. я-мерное евклидово пространство 39
§ 2. Предельные точки 42
§ 3. Замкнутые и открытые множества 46
§ 4. Структура линейного открытого множества .... 49
§ 5. Структура открытого множества в n-мерном
пространстве . .... 52
§ 6. Теорема о покрытиях замкнутого множества .... 54
§ 7. Непрерывные функции 56
§ 8. Борелевы множества 58
Глава ИГ. Метрические пространства 60
§ 1. Определение метрического пространства 60
§ 2.. Сходимость .в метрическом пространстве 64
§ 3. Замкнутые и открытые множества 67
§ 4. Полные метрические пространства ........ 69
§ 5. Сепарабельные пространства . . . .- 72
§6. Нормированные" функциональные пространства . . . 74*
§ 7. Линейные функционалы в нормированных
пространствах 78
Глава IV. Мера в абстрактных множествах 85
§ 1. -Аддитивные функции множества • . . . . 85
§ 2. Мера и ее свойства 88
§ 3. Внешняя мера 90
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Стандартное распространение меры с полукольца на
о-алгебру 95
§ 5. Единственность распространения меры 99
Глава V. Мера Лебега в евклидовом пространстве 103
§ 1. л-мерные параллелепипеды 103
§ 2. Объем параллелепипеда 106
§ 3. Полукольцо ячеек 111
§ 4. Представление открытого множества с помощью ячеек 114
§ 5. Измеримые множества 116
Глава VI. Измеримые функции 123
§ 1. Определение измеримых функций 123
§ 2. Арифметические действия над измеримыми функциями 128
§ 3. Предельный переход в классе измеримых функций . .130
§ 4. Эквивалентные функции. Сходимость почти всюду . 133
§ 5. Сходимость по мере 136
§ 6. Регулятор сходимости. Теоремы Д. Ф. Егорова,
Н. Н. Лузина и М. Фреше 142
Глава VII. Интеграл Лебега от ограниченной функции . . .151
§ 1. Определение интеграла Лебега 151
§ 2. Простейшие свойства интеграла 157
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла . . . .166
§ 4. Пространство S измеримых функций 168
Глава VIII. Суммируемые функции 179
§ 1. Расширение понятия интеграла Лебега и определение
суммируемой функции ..... 179
§ 2. Леммы об интегралах от неотрицательных функций . 182
§ 3. Распространение простейших свойств интеграла ... 191
§ 4. Предельный переход под знаком интеграла .... 199
§ 5. Пространство L суммируемых функций 209
§ 6. Геометрический смысл интеграла Лебега в евклидовом
пространстве 216
§ 7. Повторные интегралы 221
§ 8. Произведение мер 230
Глава IX. Функции, суммируемые с квадратом 233
§ 1. Пространство L2 233
§ 2. Скалярное произведение 237
§ 3. Ортогональные ряды 242
§ 4. Линейные функционалы в L2 249
Глава X. Пространства Lp . 254
§ 1. Определение пространств Lp. Основные неравенства 254
§ 2. Интегральные средние . 259
§ 3. Одно неравенство для повторных интегралов ... 262
§ 4. Линейные функционалы ъ LP 264

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава XI. Интеграл Радона 267
§ 1. Вариации аддитивных функций множества .... 267
§ 2. Интеграл Радона 2*7
§ 3. Интегрирование по конечно-аддитивной функции
множества 283
§ 4. Линейные функционалы в пространстве ограниченных
функций 285
§ 5. Интеграл Стилтьеса на отрезке 290
§ 6. Функции распределения на прямой . 295
Глава XII. Абсолютно непрерывные функции множества . ; .302
§ 1. Определение абсолютно непрерывных функций . . . 302
§ 2. Теорема Радона — Никодима 304
§ 3. Разложение счетно-аддитивной функции по Гану . . 310
Глава XIII. Неопределенный интеграл Лебега 312
§ 1. Абсолютно непрерывные функции точки 312
§ 2. Характеристика функций, представимых в виде
интеграла 316
§ 3. Дифференцирование непрерывных монотонных функций 318
§ 4. Дифференцирование разрывных монотонных функций 328
§ 5. Производная от интеграла 333
§ 6. Критерий Ф. Рисса 338
§ 7. Точки плотности линейного множества ..*,,. 342
Литература 346
Указатель 348

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
При написании этой книги автор ставил своей целью
дать краткое изложение тех вопросов теории функций
вещественной переменной, которые наиболее широко
используются - в- других математических дисциплинах, в
первую очередь — в теории дифференциальных
уравнений с частными производными и теории интегральных
уравнений. Этим определилось основное содержание
книги —теория меры и интеграла Лебега. Сведения из
общей теории множеств даются здесь лишь в том
небольшом объеме, в котором они необходимы для
понимания основных вопросов, излагаемых в книге.
В настоящее время теория функций вещественной
переменной все теснее переплетается с другой
математической дисциплиной — функциональным анализом. С
одной стороны, теория функций вещественной переменной
.дает аппарат, необходимый для изучения многих
конкретных функциональных пространств. С другой
стороны, функциональный анализ позволяет более глубоко, с
современной точки зрения, разобрать некоторые вопросы
теории функций, вещественной переменной. Учитывая
такое взаимопроникновение теории функций вещественной
переменной и функционального анализа в современной
математике, автор ввел в эту книгу некоторые элементы
функционального анализа. Именно, в книге излагаются
основные понятия теории общих метрических
пространств, а также теории нормированных пространств,
которые затем прилагаются к изучению с позиций
функционального анализа различных классов
вещественных функций.
Ряд вопросов теории функций вещественной
переменной, например, вся так называемая дескриптивная
теория функций, совершенно не затронуты в настоящей

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 7
книге. Читатель может познакомиться с этими
вопросами по другим пособиям. Список основных учебных
руководств и некоторых научных монографий, посвященных
полностью или частично теории функций вещественной
переменной, помещен в конце этой книги. Обращаем
особое внимание читателя на очень интересную книгу
И. П. Натансона «Теория функций вещественной
переменной», где можно найти не только много материала,
не'включенного автором в настоящий курс, но и
большое количество задач, приведенных в виде упражнений
для читателя.
От изучающего этот курс требуется знание
университетского курса математического анализа. Впрочем,
книга может быть использована и лицами, освоившими
курс математического анализа в педагогических
институтах.
Для удобства ссылок теоремы и леммы имеют
нумерацию внутри каждого параграфа в отдельности.
Например, теорема VIII. 3.4 означает — четвертая теорема
§ 3 главы VIII. При этом теоремы и леммы нумеруются
независимо друг от друга. Нумерация формул —
сквозная в пределах каждой главы; при ссылках на
формулу из этой же главы указывается только ее номер.
При ссылках на параграф указывается двойной номер,
первая часть которого означает номер главы, а
вторая — номер параграфа.
В конце книги помещен алфавитный указатель всех
терминов, определение которых дается в тексте.
Автор приносит глубокую благодарность Г. И.
Натансону, внимательно прочитавшему всю рукопись и
давшему ряд ценных советов.
Сентябрь 1964 г.
Б. В у лих

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании внесены следующие изменения и
дополнения. Заново написана глава IV; теория меры
излагается по схеме Каратеодори. Дополнена глава VI
а свойствах измеримых функций. Теория интеграла
Лебега (главы VII и VIII) строится в произвольном
абстрактном пространстве с мерой, и лишь некоторые
вопросы рассматриваются специально для интеграла
Лебега в евклидовом пространстве. Добавлен параграф
о произведении мер. Заново написана глава XI об
интеграле Радона. В частности, в нее включены
некоторые приложения к теории вероятностей. Вместо
краткой главы о неопределенном интеграле Лебега,
написанной в первом издании в обзорном порядке, даны две
новые главы XII и XIII, содержащие развернутое
изложение теории абсолютно непрерывных функций с
доказательством теоремы Радона — Никодима, а также ряда
вопросов, связанных с интегралом Лебега на прямой.
Небольшие изменения коснулись глав I и V. Сокращена
глава III о метрических пространствах; в ней оставлены
только те сведения, которые непосредственно
используются в этой книге.
Мои товарищи по кафедре математического
анализа Ленинградского университета Д. А. Владимиров,
Б. М. Макаров и Г. И. Натансон прочитали в рукописи
все измененные по сравнению с первым изданием главы
и сделали ряд ценных замечаний, за что я приношу им
мою благодарность. Также благодарю Д. А.
Владимирова за предварительное обсуждение плана второго
издания этой книги.
Декабрь 1970 г.
Б. Вулих

ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
§ 1. Основные операции над множествами
В этой главе мы познакомимся с некоторыми
начальными сведениями из общей теории множеств,
необходимыми для дальнейшего*). Само понятие множества
является настолько общим, что было бы затруднительно
дать для него формальное определение. Но в таком
определении нет необходимости. Мы и так совершенно
свободно оперируем понятием множества и в
повседневных житейских разговорах, и в научной литературе.
Так, каждому ясно, что понимать под множеством
всех книг, стоящих в его книжном шкафу, или под
множеством всех людей, живущих на такой-то улице или в
таком-то городе. В курсе математического анализа
нашему читателю постоянно приходилось иметь дело с
множеством всех вещественных чисел или с различными
его частями. Очень часто вместо термина множество
употребляется равносильный термин совокупность.
Говоря о некотором множестве, мы называем его
элементами те предметы или математические объекты,
из которых оно составлено. Если множество обозначено
буквой А, а общее обозначение произвольного его
элемента — х, то пишут
Далее, если нужно указать, что какой-нибудь объект а
есть один из элементов множества А, то употребляют
*) Основы общей теории множеств были заложены немецким
математиком Г. Кантором A845—1918) во второй половине
XIX столетия.

10
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
так называемый знак включения е и пишут
ае/1
(читается: а принадлежит А или: а включается
(содержится) в А). Если же объект а не встречается среди
элементов множества А, то пишут аША (читается:
а не принадлежит А или: а не включается (не
содержится) в А).
Например, пусть А — множество всех четных
(положительных) чисел. Так как общий вид любого четного
числа 2/г (п — натуральное), то можно записать
А = {2п}. Далее можно, например, записать, что 24 е А,
а 25 Ш А.
. Пусть рассматриваются два множества А и В. Если
каждый элемент множества В входит также и в
множество А, то говорят, что В есть часть или подмножество
множества А. Это обстоятельство записывается с
помощью несколько иного знака включения:
BczA
(читается: В включается или содержится в А).
Например, множество N всех натуральных чисел
есть подмножество множества R всех рациональных
чисел:
Nc-R.
Заметим, что соотношение В сг А не исключает и
совпадения В с А, т. е. само множество А включается в число
его подмножеств.
Иногда знаки включения записывают и так:
А э а вместо а е Л,
А гэ В вместо Bcz А.
Равными (пишут А = В) называют одинаковые
множества, т. е. множества, состоящие из одних и тех же
элементов.
Ясно, что если относительно двух множеств А а В
установлено, что одновременно В сг А и А с В, то это и
означает, что А = В.
Если х и у — элементы каких-нибудь множеств, то
знак равенства между ними, х = у, также
используется для обозначения их совпадения.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Ц
Обычно множества определяются указанием какого-
нибудь признака, по которому относительно
произвольного объекта можно судить, входит он в данное
множество или нет. Конечное множество, т. е.
множество, состоящее из конечного числа элементов, может,
быть задано также перечислением всех его элементов.
Однако иногда, определяя какое-нибудь множество, мы
можем еще не знать, содержит ли это множество по
крайней мере один элемент. Например, нас может
интересовать множество вещественных корней того или иного
алгебраического уравнения, но дальнейшее
исследование может показать, что данное уравнение совсем не
имеет вещественных корней. В связи с этим вводится
понятие пустого множества. Так называется множество,
не содержащее ни одного элемента. Пустое множество
обозначается 0 и, следовательно, запись
А = 0
будет означать, что Л— пустое множество. Пустое
множество считается подмножеством любого множества,
т. е. включение 0 сг Л справедливо, каково бы ни было
множество А.
Определим некоторые операции, которые часто
приходится производить над множествами. Точнее, мы
дадим определения не самих операций, а тех множеств, к
которым эти операции приводят.
Объединением двух множеств А а В называется
множество, обозначаемое
лив,
которое состоит из всех элементов, входящих по
крайней мере в одно из множеств А или В.
Аналогично определяется объединение любого
количества множеств. При этом, если заданные множества
обозначены Аа (значок а может при этом сам пробегать
какое угодно множество, это не обязательно
порядковый номер), то их объединение обозначается
а
и, по определению, это объединение состоит из всех
элементов, входящих по крайней мере в одно из Аа. При

12
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
этом мы будем считать, что если под знаком
объединения не указана область изменения значка а, то
объединение распространяется на все значения, которые а
может принимать в рассматриваемой задаче. То же'
относится и к вводимому ниже знаку пересечения.
Приведем два примера.
1. Пусть множество А состоит из всех четных чисел,
множество В состоит из всех натуральных чисел,
делящихся на 3, и множество С состоит из всех нечетных
чисел, не делящихся на 3:
А = {2, 4, 6, 8,...}, Б = {3, 6, 9, 12,...},
С = {1,5, 7, 11, ...}.
Тогда их объединение A U В U С совпадает с
множеством всех натуральных чисел.
2. Пусть для каждого вещественного числа х
множество Ах состоит из всех точек плоскости XOY,
имеющих заданную абсциссу х*). Тогда объединение [J Ах
X
есть совокупность всех точек плоскости.
Пересечением двух множеств А и В называется
множество, обозначаемое
АПВ,
состоящее из всех элементов, которые входят и в Л, и
в В.
Аналогично определяется пересечение
а
любого количества множеств Аа: это есть множество
всех элементов, входящих в каждое Аа.
Для множеств Л и В из приведенного выше
примера 1 их пересечение состоит из всех чисел, кратных 6.
Если В с: А, то
AUB — A, А[\В — В.
Разностью
А\В
*) Таким образом, каждое Ах заполняет прямую,
параллельную оси OY.

§ 1J ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 18
называется подмножество множества А, состоящее из
всех элементов А, не входящих в В. При этом в
определении разности А\В не требуется, чтобы В czA.
Легко проверить, что
А\В = А\(АГ\В).
Если В с А (и только в этом случае), то
(A\B)\jB = A.
Все три понятия проиллюстрированы на рис. 1, еде
под А а В понимаются множества всех точек
соответствующих промежутков.
Докажем так
называемый дистрибутивный закон:
для любой совокупности
множеств справедливо
равенство /
lK)fl?=lMnB).
а / а
A)
А
. л\я,
лив
В
АПВ
В\А
Рис. 1.
Иными словами, операция
пересечения обладает
распределительным свойством по отношению к
объединению множеств.
Требуемое равенство мы установим с помощью двух
противоположных включений. Пусть х^ ({J Аа\(]В.
Это значит, что х е (J Аа и х ое В. Отсюда по опреде-
а
лению объединения следует, что леД, при некотором а,
а тогда х е Аа Л В и, следовательно, х е [J (Аа Л В).
а
Таким образом,
(ул»)ПЯ<=у(Л,ЛВ).
Обратно, пусть х е \J (Aa Л В). Это значит, что *е Аа Л В
а
при некотором а. А тогда х& Аа и, следовательно,
х е U 4»"> кРоме того> * е Я- Тем самым х е /(J ДЛ Л В •
а \ а /

14
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛг I
Таким образом,
\J(Aa{]B)czl\jAa)f\B.
а \ а 1
Из двух доказанных включений вытекает равенство A).
Предлагаем читателю доказать аналогичными
рассуждениями дистрибутивный закон в другой форме:
lf]Aa)[)B=f](\\jB). A0
\ а / а
Верна также формула
(А\В)Г\С = (АПС)\(В()С).
Отметим_еще, что если A = {jAa, а В — произволь-
а
ное множество, то
A\B = \J(Aa\B).
. а '
Проверка и этой и предыдущей формулы совершенно
элементарна.
Введем еще некоторые понятия. Пусть А —
некоторое множество, а ВсД. Тогда множество А\В
называется дополнением к множеству В (относительно
множества А). Ясно, что дополнение к А\В есть само
множество В. Например, дополнением к множеству всех
рациональных чисел относительно совокупности всех
вещественных чисел будет множество всех
иррациональных чисел.
Отметим одно важное свойство дополнений: если
Ва — произвольные подмножества множества А, а Са —<
их дополнения, т. е. Са = А \ Ва, то
а а а а
(дополнение к объединению подмножеств равно
пересечению их дополнений, а дополнение к пересечению
подмножеств равно объединению их дополнений).
Докажем первую формулу; вторая доказывается
аналогично. Пусть х е А \ \J Ba. Это значит, что хеА,

§ 2) НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 15
но х Ш U Ва. Тогда, по определению объединения,
а
хШ Ва ни при одном а, следовательно, хе Са при
всех а и x^f\Ca. Таким образом,
а
(A\\jBa)cz[)Ca.
\ а / а
Обратно, пусть *ef*)Ca. Это значит, что -х^Са
a
при всех а. Следовательно, иёД но xsBa ни при
одном а. Тогда х Ш (J Ва и потому х е Л \(jBa. Таким
a a
образом,
fK<=M\U*a).
a \ a /
Из двух доказанных включений следует, что
^\UBa = f|Ca.
а а
Два множества А и В называются' дизъюнктными,
если их пересечение пусто: А (] В = 0 *). Иными
словами, это значит, что у множеств Л и В нет ни одного
общего элемента. Например, множества рациональных
и иррациональных чисел дизъюнктны. Если задана
некоторая совокупность множеств Аа и любые два
множества из этой совокупности с различными индексами
дизъюнктны (Ащ f]Aa,= 0 при <xj ф а2), то говорят, что
множества Аа попарно дизъюнктны или, короче, просто
дизъюнктны. Так, множества Ах из рассмотренного выше
примера 2 дизъюнктны.
§ 2. Некоторые вспомогательные соотношения
В этом параграфе мы выведем ряд соотношений,
часто используемых в последующем. Сами выводы
можно рассматривать как хорошие упражнения на
основные операция над множествами.
*) Часто в этом случае говорят, что А а В не пересекаются.

16 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. t
1°. Если множества Лг- (i =*= 1, 2, ...) образуют
убывающую последовательность, т. е.
Ах zd Л2 => ... =э А{ id ...,
00
Л, = (Л, \ Л2) U (Л2 \ Л3) U ... -= U (Л, \ Аш). C)
(•=•1 •
При этом очевидно, что множества Ai\Ai+i
дизъюнктны.
Доказательство. Ясно, что правая часть
включается в А\. Обратно,-если х^Аи то находим
наибольший номер i, пусть это будет i = га, при котором х е Л,.
Тогда х е Л„\Лп+1 и тем самым доказано обратное
включение.
со
2°. Если множества Л; дизъюнктны, а Вп= (J Л*,
i'=n+i
00
го р| Вп = 0. При этом очевидно, что множества Вп
образуют убывающую последовательность.
Доказательство. Если х^В„ при некотором
га, то хеЛ(, при некотором t0 > га. Но тогда лгё=Лг
при всяком i > io и потому х ш Вп, если га ^ i0. Таким
образом, не существует элемента, принадлежащего
всем Вп.
со
3°. Если А = U Ль го
л = л1и[л2\л11и[л3\(л1ил2)]и ...
и
л, \ и л/! и... -=UU\LM,
/—1 J <=i L /3i
»). D)
1-х
*) Если « = 1, то символ \J означает объединение пустой
/=1
совокупности множеств и потому при i = 1 естественно считать,
i—1
что (J А, = 0.
/-1

§3]
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
17
1-Х
При этом очевидно, что множества Л,- \ (J At
/=i
дизъюнктны.
Доказательство. Проверки требует только
включение левой части в правую, так как обратное
включение очевидно. Пусть xel Тогда существует
наименьший номер i, пусть это будет to, при котором лгеЛ;.
Если /о = 1, то * е Ль если t0 > 1, то х & Л*, \ (J Л/.
/=i
В обоих случаях х включается в правую часть
формулы D).
Формула D) заметно упрощается, если множества
Л{ образуют возрастающую последовательность, т. е.
Л, cz Л2<= ... с: А{ cz ...
1-Х
Тогда [J Aj = At-i и D) принимает следующий вид:
Л = Л,и(Л2\ Л,)и ... и(Лг\Л/_,I! ... E)
§ 3. Мощность множества
Конечные множества можно легко сравнивать между
собой в количественном отношении, т. е. по числу
содержащихся в них элементов. При этом осуществить такое
сравнение можно как с помощью непосредственного
подсчета элементов, так и без него. Пусть, например,
нужно сравнить число студентов, пришедших в
аудиторию, с числом имеющиеся там стульев. Достаточно
предложить студентам рассесться так, чтобы каждый
студент сидел на отдельном стуле. Если всем студентам
удастся сесть и свободных стульев не останется, го это
и будет означать, что число студентов совпадает с
числом стульев. В противном случае мы легко обнаружим,
чего в аудитории больше — студентов или стульев.
Непосредственный подсчет числа элементов, очевидно,
теряет смысл при переходе к бесконечным множествам.
Однако второму способу сравнения можно придать
такую общую математическую форму, которая позволит
производить сравнение «в количественном отношении»
и бесконечных множеств. Тем самым окажется, что и

18 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. I,
бесконечные множества' могут быть по-разному
насыщены элементами.
Переходим к точным формулировкам. Пусть даны
два множества А а В. Говорят, что между их
элементами установлено взаимно однозначное соответствие, если
указано правило, по которому каждому элементу а из
А сопоставлен один элемент b из В, называемый
образом элемента а, причем выполнены следующие два
условия:
а-) любые Два различных элемента из А имеют
различные образы;
б) каждый элемент из В является образом
некоторого элемента из А *).
Определение. Два множества А и В называются
эквивалентными или имеющими одинаковую мощность
(обозначается А ~ В), если между их элементами
может быть установлено взаимно однозначное
соответствие.
Заметим, что мы не вводим определения самого
термина «мощность». Мы определяем лишь, что значит,
что два множества имеют одинаковую* мощность. Ниже
мы определим также, что значит, что одно множество
имеет большую мощность, чем другое **).
Ясно, что два конечных множества эквивалентны
тогда и только тогда, когда они состоят из одного и
того же числа элементов. Приведем примеры
эквивалентных ме'жду собой бесконечных множеств.
1. Множество N всех натуральных чисел и
множество Nt всех целых отрицательных чисел. Взаимно
однозначное соответствие между их элементами получится,
например, если каждому натуральному числу п
сопоставить число —п.
*) Понятие взаимно однозначного соответствия играет
существенную роль при построении обратной функции. Именно, если
y = f(x)—некоторая однозначная функция, то для того, чтобы ее
обратная функция тоже была однозначной (точнее, в рамках
обычного курса математического анализа, следовало бы сказать—чтобы
обратная функция имела смысл), необходимо и достаточно, чтобы
соответствие между значениями х и у, устанавливаемое «прямой»
функцией у = f(x), было взаимно однозначным.
**) То определение термина «мощность», которое может быть
сформулировано, выглядит настолько отвлеченно, что мы его не
приводим.

§3)
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
19
2. Множество N натуральных чисел и множество Р
всех четных положительных чисел. Если каждому ne.V
сопоставить число In e P, то получается взаимно
однозначное соответствие между элементами множествен Р.
Таким образом, N~P и при этом PczN, но РфЫ. Этот
пример показывает, что бесконечное множество может
быть эквивалентно своей части в собственном смысле
(т. е. части, отличной от всего множества). Такое
положение не может встретиться среди конечных множеств.
3. Множество Е всех вещественных чисел и
множество / всех вещественных чисел из интервала ( — |р, -|-1.
Эквивалентность Е ~ / проверяется, например, с
помощью соответствия
у= tgx (*<=/, у&Е).
4. Пусть &K.LM —
треугольник произвольной формы, А и
В — множества всех точек на
сторонах KL и КМ
(соответственно) . Беря произвольную
точку яеЛ, проведем через Рис. 2.
нее прямую, параллельную
стороне LM (рис.2). Точку Ь, получаемую в пересечении
этой прямой с КМ, принимаем за образ точки а. Это
соответствие между точками сторон KL и КМ, очевидно,
взаимно однозначно, следовательно, А ~ В.
Заметим, что в качестве KL и КМ могли быть взяты
отрезки любой длины. Таким образом, любые два
отрезка эквивалентны (как множества точек) независимо
от соотношения между их длинами.
Приведем два предложения, часто используемые в
дальнейшем.
1°. Если- А ~ В, а В ~ С, то А ~ С {два множества,
порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между
собой).
2°. Если множество А = (J Аа, причем множества Аа
а
дизъюнктны, а множество В = (J Ва (область изменения
а
значка а в обоих случаях одна и та же!) и Ва также
дизъюнктны, и если Аа ~ Ва при каждом а, то А ~ В.
Х\

20
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
Предложение 1° почти очевидно. Действительно,
пусть взаимно однозначные соответствия между
элементами множеств А и В, с одной стороны, иВиС — с
другой, уже установлены. Пусть йб^, b — его образ в
множестве В, а с — образ этого элемента b в
множестве С. Легко проверить, что если каждому а еА
сопоставить полученный указанным способом элемент
с е С, то установится взаимно однозначное соответствие"
между элементами
множеств А и С.
Чтобы доказать 2°,
достаточно заметить, что
взаимно однозначные со-
' ответствия, которые
существуют между
элементами каждой пары Аа и Ва,
в совокупности
составляют взаимно однозначное соответствие между
элементами А и Б (см. рис. 3, где а принимает значения 1,
2, 3). Предложение 2° в дальнейшем будем называть
принципом «склеивания».
§ 4. Счетные множества
В этом параграфе мы рассмотрим бесконечные
множества, которые в некоторых отношениях оказываются
наиболее простыми по сравнению с другими
бесконечными множествами.
Определение. Множество называется счетным,
если оно эквивалентно множеству всех натуральных
чисел.
Если N — множество всех натуральных чисел, а
множество А ~ N, то существует взаимно однозначное
соответствие между элементами а е А и числами п <= N.
Тем самым можно считать, что каждому а е А
сопоставлен номер п, и сами элементы множества А записывать
в виде а\, а2, ..., ап, ... Здесь через ап обозначен тот
элемент, которому соответствует число п. Таким
образом, элементы множества А могут быть расположены в
виде бесконечной последовательности. Обратно, если
множество А таково, что его элементы образуют
бесконечную последовательность: аи а% а„, ..., го са-
шта

§41
СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
21
мой нумерацией элементов уже установлено взаимно
однозначное соответствие между элементами множеств
А и N, т. е. А ~ N. Итак, счетные множества могут быть
охарактеризованы как такие бесконечные множества,
элементы которых могут быть перенумерованы с
помощью всех натуральных чисел.
Заметим, что элементы любого конечного множества
тоже могут быть перенумерованы, но при этом будут
использованы не все натуральные числа.
Приведем некоторые примеры счетных множеств.
1. Множество всех четных чисел. Четные числа
можно перенумеровать, например, в порядке возрастания:
ах = 2, а2 = 4 ап = 2п, ...
2. Множество всех целых чисел. Эти числа уже не
удается перенумеровать ни в порядке возрастания, ни
в порядке убывания, но можно сделать это, например,
так:
«1 = 0, а2=\, а3=— 1, а4 = 2, а5= —2, ....
а2п = п> а2п+\ — ~ п>
Установим некоторые свойства счетных множеств.
Теорема I. 4.1. Из всякого бесконечного множества
можно выделить счетное подмножество.
Доказательство. Пусть А — бесконечное
множество. Возьмем любой его элемент и назовем его а^.
Кроме а\, в А имеется еще бесконечное множество
элементов. Выделим любой из них и назовем его а2. Затем
возьмем какой-нибудь элемент из А, отличный от а4 и
а2, и назовем его а3. Продолжая этот процесс до
бесконечности, мы выделим из А счетное подмножество
элементов аи а2, ..., ап, ...
Теорема 1.4.2. Всякое бесконечное подмножество
счетного множества тоже счетно.
Доказательство. Пусть дано счетное
множество А = {аи аг, ..., ап, ...}, В — его бесконечное
подмножество. Располагая в порядке возрастания номеров
все элементы подмножества В,
аП{, а„2, ..., ank, ... (я, < п2 < ... < nk < ...),
мы сможем перенумеровать их заново всеми
натуральными числами, взятыми по порядку (в роли нового

22
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
номера будет выступать индекс k). Следовательно, В
счетно.
Теорема I. 4.3. Объединение конечного числа
счетных множеств — тоже счетное множество.
р
Доказательство. Пусть А = (J Alt где множества
At счетны. Выпишем элементы множеств Л,- в виде
следующей таблицы *):
(А\) Оц. «is, •••> а,„, ...
(Л2) а2\, а22, ..., Й2л> ••• /о\
\™-р) «pl> «р2> • • • > &рп> • • •
Теперь перенумеруем заново все элементы таблицы F),
располагая их, например, в таком порядке:
Оц> а21> •••» арЬ а12> а22> •••> ар2> •••'
..., а.\п, а2п, ..., арп, ... G)
Иными словами, мы сначала занумеруем все элементы
первого столбца, за ними — все элементы второго
столбца, и т. д. Если множества Ai содержат некоторые
общие элементы, то один и тот же элемент может
повториться в последовательности G) несколько раз. Однако
мы нумеруем его, естественно, только один раз,
например, тогда, когда этот элемент впервые встретится в
последовательности G); при последующих встречах с этим
элементом мы просто пропускаем его. Таким образом,
все элементы множества Л могут быть перенумерованы,
т. е. А счетно.
Теорема 1.4.4. Объединение счетного множества
счетных множеств — тоже счетное множество.
оо
Доказательство. Пусть теперь A—\jA{, где
(=i
все множества Л,- счетны. Выпишем элементы множеств
At в виде таблицы, аналогичной таблице F), но
содержащей бесконечное множество, строк. Элементы такой
*.) В обозначении а<„ элементов таблицы первый индекс —
номер множества Ai, из которого взят этот элемент, а второй —
номер этого элемента внутри множества At,

§4]
СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
23
таблицы можно перенумеровать, но не по столбцам, а,
например, по диагоналям, т. е. в таком порядке:
а.ц, а:2, а2\, а13, а22, ази ...
При этом повторяющиеся элементы так же, как и в
доказательстве предыдущей теоремы, нумеруем по одному
разу. Таким образом, все элементы множества А могут
быть перенумерованы, т. е. множество А счетно.
Замечание. Ясно, что если некоторые из
объединяемых множеств Аг конечны, т. е. в соответствующих
строках таблицы элементов агп заполнено лишь
конечное число мест, то это не помешает перенумеровать
элементы таблицы в том же порядке, как это сделано выше.
Поэтому теоремы I. 4.3 и 1.4.4 остаются верными и в
том случае, когда некоторые из объединяемых множегтп
(но не все) конечны. Если же они все конечны, то
объединение может быть или конечным, или счетным. Про
множество, относительно которого известно, что оно
конечно или счетно, говорят иногда, что оно не более чем
счетно. Объединение конечного или счетного множества
множеств будем для краткости называть конечным или,
соответственно, счетным. Соединяя все сказанное с
теоремами I. 4.3 и I. 4.4, мы получаем следующий общий
результат:
Теорема I. 4.5. Конечное или счетное объединение
множеств, каждое из которых не более чем счетно, —
тоже множество не более чем счетное.
Теорема 1.4.6. Множество D всех рациональных
чисел счетно.
Доказательство. Каждое рациональное'число,
отличное от нуля, можно представить в виде нес о к р а-
т и м о й дроби т/п, где и — натуральное, am — целое,
положительное или отрицательное*). При заданном п
множество всех дробей т/п (т — целое) счетно (см.
пример 2). Тогда счетно и множество Ап всех
несократимых дробей вида т/п (см. теорему 1.4.2)**).
Множество D — объединение всех А„ («=1,2,...) и еще
множества, состоящего из одного числа 0. Так как D —
бесконечное множество, то по теореме 1.4.5 D счетно.
*) Целые числа m Ф 0 представляются в виде дробей т/1.
**) Несократимых дробей с заданным знаменателем, очевидно,
бесконечное множество.

24 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. I
Следствие. Множество всех рациональных чисел,
содержащихся в любом заданном интервале на числовой
оси, счетно.
Заметим, что рациональные числа, находящиеся в
каком-нибудь промежутке, конечно, нельзя
перенумеровать в порядке возрастания. Это следует хотя бы из
того, что за любым рациональным числом нет ближай-
шеп\, большего. Способ нумерации может быть найден
из доказательств самой теоремы I. 4.6 и предыдущих, на
которые опирается эта теорема.
Теорема 1.4.7. Если А = В U С, где В — любое
бесконечное множество, а С не более чем счетно, то
А "-' В (объединение произвольного бесконечного
множества с конечным или счетным множеством есть
множество, эквивалентное исходному).
Доказательство. Не уменьшая общности,
можно считать, что В и С дизъюнктны. Выделим из В
какое-нибудь счетное подмножество D; тогда множества
В и А можно представить в виде
B = (B\D)[)D, A = (B\D)U(D[)C).
Тем самым, А н В представлены каждое в виде
объединения двух множеств, из которых первые совпадают, а
вторые эквивалентны, так как и D и D (J С счетны. По
принципу склеивания (см. I. 3) А ~ В.
Теорема I. 4.8. Если А — несчетное бесконечное
множество*), а В — его конечное или счетное
подмножество, то А\В ~ А.
Доказательство. Имеем А = (А\В) U В. Ясно,
что А\В бесконечно**), а тогда соотношение
А ~ (А\В) вытекает из предыдущей теоремы.
Теорема 1.4.9. Пусть элементы множества А
характеризуются конечным числом параметров, каждый
из которых независимо от остальных может принимать
любое значение из некоторой счетной совокупности.
Тогда множество А счетно.
Доказательство. Запишем элементы множества
А в виде aPv ?2 Pfe, где ри р2, ..., рц — параметры. Не
*) Существование таких множеств будет установлено в
следующем параграфе.
**) В противном случае множество А оказалось бы не более
чем счетным, что противоречит условию.

§ 5] МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 25
уменьшая общности, можно считать, что значения
параметров— натуральные числа. Для каждого аРу р р е
еА положим п(а) = pi + р2 + ... + Ра. Ясно,
что п(а) может быть любым натуральным числом, не
меньшим k. Для каждого п ^ k обозначим через Ап
множество всех элементов из А, у которых п(а) имеет
заданное значение п. Ясно, что каждое Ап конечно, а
оо
Л = (J Ап, и потому А счетно.
Следствие. Множество 3> всех алгебраических
полиномов с рациональными коэффициентами счетно.
Доказательство. Счетность множества &*п всех
полиномов фиксированной степени п с рациональными
коэффициентами
P(x) = Wl + clX«-i + ... +сп (с0фО)
вытекает сразу из предыдущей теоремы (роль парамет-
оо
ров играют коэффициенты). Но ^«=(J ^п и потому
л=>=0
0> тоже счетно.
Замечание. Совершенно так же доказывается
счетность множества всех алгебраических полиномов с
рациональными коэффициентами, зависящих от любого
числа переменных.
Вещественное число называется алгебраическим,
если оно является корнем некоторого алгебраического
полинома с целыми коэффициентами. Например, число
V% — алгебраическое, так как оно — корень полинома
х2 — 2. Поскольку каждый алгебраический полином
может иметь только конечное число различных
вещественных корней, то из счетности множества 5s легко следует,
что множество всех алгебраических чисел счетно.
§ 5. Множества мощности континуума
Сейчас мы не только докажем, что бесконечные
несчетные множества существуют, но и укажем простой
пример такого множества. В дальнейшем термин
«несчетное» будет применяться только к бесконечным
несчетным множествам (конечные множества мы не будем

26
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
называть несчетными). Поэтому можно сказать, что в
этом параграфе будет идти речь о. существовании
несчетных множеств.
Теорема 1.5.1. Множество всех вещественных
чисел, содержащихся в отрезке [О, 1], несчетно.
Доказательство. Рассуждая по способу от
противного, допустим, что все числа из отрезка [0, 1] могут
быть как-то перенумерованы: xlt лг2 хп, ...
Разделим отрезок [0, 1] на три равные части и из трех
полученных отрезков выберем тот (обозначим его [а{, Ы\),
который не содержит Xi*). Отрезок [аи bi] снова делим
на три равные части и выбираем из них такой отрезок
[аг, bz]; который не содержит Хг. Продолжая этот
процесс до бесконечности, мы получим последовательность
отрезков [ап, Ьп], каждый из которых (начиная со
второго) составляет треть предыдущего, причем
хп Ш [ап, Ьп] ни при одном п. По известной теореме о
вложенных отрезках существует число с, общее для всех
отрезков [а„, Ьп]. Так как 0 ^ с <; I, а мы
предположили, что все числа из отрезка [0, 1] перенумерованы,
то с = хп при некотором п. Но тогда, по построению,
сШ [ап, Ьп] при этом п, и мы приходим к противоречию.
Теорема доказана.
Определение. Говорят, что множество А имеет
мощность континуума (сокращенно — мощность с), если
оно эквивалентно множеству всех вещественных чисел
из отрезка [0, 1].
Отметим, что любой отрезок [а, Ь], а также и любой
промежуток с концами а и b (при аф Ь) имеют
мощность с. Действительно, эквивалентность отрезков [0, 1]
и [а, Ь] (как совокупностей точек) фактически уже
доказана в примере 4 из I. 3. Иначе, взаимно однозначное
соответствие между точками этих отрезков может быть
установлено по формуле
у = а + (Ь — а) х.
Таким образом, отрезок [а, Ь] имеет мощность с. Если
же из этого отрезка' удалить одну или обе конечные
точки (а и Ь), то по теореме 1.4.8 получится опять мно-
*) Если отрезков, не содержащих Х\, два, то берем любой
из них.

5 5] МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 27
жество мощности с. В частности, интервал (—л/2, я/2)
имеет мощность с. Множество всех вещественных
чисел эквивалентно этому интервалу (см. пример 3 из
I. 3). Отсюда следует, что множество всех вещественных
чисел тоже имеет мощность с. Аналогично доказывается,
что всякий промежуток, бесконечный лишь в одном
направлении, имеет мощность с.
Из теорем I. 4.6 и I. 4.8 сразу вытекает, что
множество всех иррациональных чисел имеет мощность с. По
аналогичным соображениям множество всех
неалгебраических вещественных чисел (такие числа называются
трансцендентными) тоже имеет мощность с. Тем самым
весьма просто доказано существование трансцендентных
чисел. Однако такое рассуждение не дает возможности
указать ни одного конкретного трансцендентного числа.
Некоторые такие числа все же известны, например, я, е\
но доказать их трансцендентность удается лишь
весьма сложными методами.
Аналогом теорем 1.4.3 и 1.4.4 является следующая
Теорема I. 5.2. Конечное или счетное объединение
множеств мощности с также имеет мощность с.
Доказательство. Пусть
A=\jAn, (8)
л
где совокупность множеств Ап конечна или счетна, а
каждое из множеств А„ имеет мощность с (индекс п
принимает натуральные значения). Мы ограничимся
рассмотрением случая, когда множества Ап
дизъюнктны. Несколько слов об общем случае будет сказано в
следующем параграфе.
Для каждого п рассмотрим промежуток [л—1, п).
Так как промежутки имеют мощность с, то
Ап ~ [п— 1, п). Тогда, по принципу склеивания,
Л ~(J[n — 1, п),
п
где объединение распространяется на те же значения п,
что и в формуле (8). Если множеств Ап в формуле
р
(8) — конечное число р, А = (J Д„, то А ~ @, р); если
п=1

28
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
же их — бесконечное множество, А = \J А„, то
А ~ [0, с»). В обоих случаях А оказывается
эквивалентным некоторому промежутку и, следовательно, А
имеет мощность с.
Для дальнейшего нам будет полезен аппарат
бесконечных двоичных дробей. Ограничимся
рассмотрением чисел х из промежутка 0 ^ х < I. Всякое такое
число можно представить в виде
оо
* = ?|г. (9)
где каждое из ап может быть равно только 0 или 1. При
этом мы будем требовать, чтобы среди ап содержалось
бесконечное множество нулей; тогда представление по
формуле (9) единственно.
Укажем способ, которым по заданному х находятся
соответствующие ап. Делим промежуток [0, 1) пополам.
'Если 0 ^ х <; '/г, то полагаем а.\ = 0; если '/г =?=! х < 1,
то полагаем а\ = 1. Тот из двух указанных
промежутков, куда попал х, делим по такому же принципу
пополам; если х попадет в левую из двух половин, то
полагаем а2 = 0, если —в правую, то полагаем az=l.
Аналогично определяются и все последующие цифры ап.
Например, для х *= 5/16 мы легко найдем
а! = 0, а2— 1, а3 — 0, «4—1. ап = 0 при п^5*).
Единственность представления числа х по формуле
(9) вытекает, например, из таких сображений. Если
некоторое ап = 0, то
оо
^_?i_ д. I a«-i i Y1 _!_ Л±.л_ | ап-\ i 1_
^ 2 *'" "^ 2"-1 ^ & 2' ~~ 2 "*" '" +2"-1_Г 2е*
*) То же число 5/16 может быть записано и так: -гё- =
00
= — + V -^-, но это представление мы не рассматриваем, по-
п=5
скольку в нем имеется лишь конечное число цифр ап, равных 0.

*и
МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА
29
Знак строгого неравенства гарантирован, так как среди
цифр ап+и ап+2, ... обязательно встречаются равные 0.
Если же ап = 1 (при том же п), а предыдущие цифры
ui, fl2, ¦ •., й„_1 имеют прежние значения, то
х>^- + ... +^Ff + -T-
2 2ra_1 2"
Следовательно, число х не может быть в этих двух
случаях одним и тем же.
Формулу (9) и называют представлением числа х в
виде бесконечной двоичной дроби. Однако обычно
вместо записи по формуле (9) пользуются условной
записью двоичной дроби:
х = 0, аха2 ... ап ... A0)
При этом мы исключили из рассмотрения дроби вида
A0) «с единицей в периоде»*). Обратно, всякая
бесконечная двоичная дробь (без единицы в периоде),
0, а\ a-i ... ап ... служит представлением некоторого
числа хе[0,1), а именно того, которое определяется по
формуле (9). Тем самым между числами х е [0, 1) и
бесконечными двоичными дробями (без единицы в
периоде) установлено взаимно однозначное соответствие.
Следовательно, множество всех таких дробей имеет
мощность с.
С другой стороны, каждая бесконечная двоичная
дробь A0) характеризуется тем, на каких местах после
запятой стоят нули. Выписывая номера этих мест в
виде возрастающей последовательности п.\ < п2 < ...
• • • < tih <. .. ¦, мы установим взаимно однозначное
соответствие между двоичными дробями A0) без
единицы в периоде и всевозможными возрастающими
бесконечными последовательностями натуральных* чисел.
Следовательно, множество Н всех таких
последовательностей имеет мощность с.
*) На примере числа 5/16 легко понять, что всякое число,
записанное двоичной дробью с единицей в периоде, может быть
представлено другой двоичной дробью, уже без единицы в периоде.

30 - ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. Щ
"i
Лемма 1.5.1. Множество Е всевозможных беско~1
печных последовательностей натуральных чисел
т„ т2, .... tnk, ... *)
имеет мощность с.
Доказательство. Пусть {tnk}^E. Положим ¦
щ = ть п2 = т1 + т2, .... nk = /и, + т2 + • • • + mk, ... 1
Тогда последовательность {пк} efl (H — множество ;
всех возрастающих последовательностей
натуральных чисел). При этом любая последовательность
{ял} е Я будет образом некоторой Wef, а именно;
той, для которой
m1=rtI) ntk = nk — nk-i при k~^2.
Следовательно, между последовательностями из Е и из'
Я установлено взаимно однозначное соответствие, и Е
и Н имеют одинаковую мощность.
Теорема I. 5.3. Пусть элементы множества А
характеризуются конечным числом параметров, каждый
из которых независимо от остальных может принимать
любое значение из некоторой совокупности мощности с.
Тогда множество А имеет мощность с.
Доказательство. Запишем элементы множества
А в виде flp,.p2 рг. где ри р2, ..., рг — параметры.
Для каждого из параметров установим взаимно
однозначное соответствие между всевозможными его
значениями и последовательностями из множества Е (см.
предыдущую лемму). Пусть теперь
ару р2 рге ¦">
причем значению параметра рг- (i = 1, 2, ..., г)
соответствует последовательность {т{?*) е Е. Тогда элементу
ар , р р можно сопоставить таблицу
mi1», m<», ..;, m»>,
mf\ mf, .... m<2>,
4>, <> ши
A1)
*) He только возрастающих!

§ SJ МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 31
I
Соответствие между элементами множества А и
всевозможными таблицами вида A1), составленными из
натуральных чисел, взаимно однозначно. Располагая числа,
входящие в эту таблицу, в виде одной
последовательности (например, беря их «по столбцам»), мы установим
взаимно однозначное соответствие между элементами
множества А и последовательностями из Е.
Следовательно, А ~ Е и потому имеет мощность с.
Замечание. Доказанная теорема остается верной
и в том случае, если вместо конечного числа параметров
их будет счетное множество. В этом случае для
доказательства придется построить таблицу, аналогичную A1),
но с бесконечным множеством строк, и воспользоваться
способом, примененным при доказательстве
теоремы I. 4.4.
Следствие. Совокупность всех точек М(х, у) из
квадрата 0 ^ х, у ^ 1, а также совокупность всех
точек плоскости XOY имеют мощность с. Аналогичное
заключение имеет место в трехмерном пространстве.
Действительно, координаты х и у и выступают здесь
в роли параметров, о которых шла речь в теореме I. 5.3.
Полученное следствие означает, что принципиально
можно установить взаимно однозначное соответствие
между точками единичного квадрата на плоскости и
вещественными числами из отрезка O^f ^ 1. Это
соответствие можно представить с помощью формул
* = ф@» # = ¦*(*).
напоминающих по виду уравнения кривой. Однако
можно доказать, что при условии взаимной однозначности
отображения отрезка [0, 1] на единичный квадрат
функции ф и г|) не могут быть одновременно непрерывными,
т. е. не могут определять непрерывную кривую.
Теорема 1.5.2 может -быть существенно дополнена следующей
теоремой.
Теорема 1.5.4. Если A =\JAX, где х пробегает совокупность
х
мощности с, а каждое Ах тоже имеет мощность с, то и
множество А имеет мощность с (краткая формулировка; объединение с
множеств мощности с тоже имеет мощность с).
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать,
что х принимает всевозможные вещественные значения.
Ограничимся случаем, когда множества Ах дизъюнктны. Каждое Ах эквн-

32 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ* О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. I
валентно совокупности всех точек плоскости XOY, имеющих данную
абсциссу х. По принципу склеивания А эквивалентно объединению
«всех этих прямых», т. е. совокупности всех точек плоскости.
Следовательно, А имеет мощность с.
§ 6. Сравнение мощностей
В предыдущих параграфах, доказывая
эквивалентность тех или иных множеств, мы стремились
установить взаимно однозначное соответствие между их
элементами. Однако часто эквивалентность двух множеств
проще установить не непосредственно, а с помощью
следующего признака, который мы сформулируем без
доказательства: если множество А эквивалентно
некоторому подмножеству В{а В, а множество В эквивалентно
некоторому подмножеству Л4 с= А, то А ~ В. Из этого
признака сразу вытекает, что всякое подмножество
мощности с, содержащее в себе более узкое подмножество
мощности с, само имеет мощность с*).
Используя это замечание, легко распространить
доказательства теорем 1.5.2 и 1.5.4 на случай, когда
данные множества могут пересекаться.
Итак, если даны два множества Л и В и если
Л ~ Bi cz В, то не исключена возможность, что А ~ В.
Однако, если Л ~ Bi cz В, но Л не эквивалентно В,
то говорят, что мощность множества А меньше, чем
мощность множества В (или что вторая из них больше
первой).
Согласно этому определению мощность счетного
множества меньше мощности любого несчетного множества,
в частности, меньше мощности с. С другой стороны,
можно доказать, что мощности любых двух множеств
сравнимы между собой в „том смысле, что либо они равны,
либо одна из них меньше другой. Таким образом, по
отношению к любому множеству можно утверждать, что
его мощность или равна с, или больше с, или меньше с.
Естественно, что уже давно был поставлен вопрос,
существуют ли несчетные множества, мощность которых
меньше с. При этом Г. Кантором было высказано
предположение, что таких множеств нет, т. е. что с — наи-
*) Например, всякое множество точек плоскости, содержащее
в себе целиком некоторую прямую, имеет мощность с.

§ 7] КОЛЬЦА. ПОЛУКОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 33
меньшая из мощностей несчетных множеств. Это
предположение получило название гипотезы континуума.
Однако более поздние исследования показали, что сама
формулировка гипотезы континуума требует уточнения и
что эта гипотеза тесно связана с аксиоматикой теории
множеств. В рамках настоящей книги мы не можем
входить в какие-нибудь подробности по этому вопросу*).
Легко построить пример множества, мощность
которого больше с. Пусть Ф — множество всех
вещественных функций /, заданных на отрезке [0, 1]. Множество
Ф содержит, в частности, все функции, равные
постоянной, которые образуют подмножество d>i мощности с.
Если мы установим, что мощность самого Ф отлична от
с, то это и будет означать, что она больше с.
Рассуждая от противного, допустим, что Ф ~ [0, 1].
Тогда существует взаимно однозначное соответствие
между функциями / из Ф и числами / е [0,1]. Будем
приписывать каждой функции f соответствующее ей число
t в виде индекса: /(. Теперь построим функцию g(x) =
= fx(x) + 1 (здесь индекс изменяется вместе с
аргументом). Эта функция входит в Ф, следовательно, она
должна совпадать с одной из ft. Однако при любом /,
беря х = /.имеем g(t) = ft(t) + 1 ф ft(t), и мы
приходим к противоречию. Этим доказано, что Фо^[0, 1];
следовательно, мощность множества Ф больше с.
Оказывается, что для любого множества А можно
построить множество большей мощности. Именно,
совокупность 51 всех подмножеств множества А имеет
мощность большую, чем мощность самого А. В частности,
можно доказать, что если А счетно, то 91 имеет
мощность с, а если А имеет мощность с, то 91 ~ Ф.
§ 7. Кольца, полукольца и алгебры множеств
В этом параграфе мы введем некоторые понятия, не
связанные со сравнением множеств по мощности.
Определение. ПустьМ—произвольное множество.
Непустая совокупность 91 некоторых его подмножеств
*) Современное состояние вопроса о гипотезе континуума
изложено в книге: П. Дж. Коэн, Теория множеств и
континуум-гипотеза, «Мир», 1969,
2 Б, з, Вулих

34 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. I
называется кольцом, если для любых А, В е 51
1) ДийеЯ;
2) А\В<~%.
Ясно, что условие 1) по индукции распространяется
на любое конечное число множеств из St, т. е. если
п
А = (J At и все Ai e 51, то и Л е St. Таким образом,
кольцо может быть охарактеризовано как непустая
совокупность подмножеств некоторого множества,
замкнутая относительно операций объединения конечного
числа множеств и вычитания.
Тривиальными примерами кольца могут служить
совокупность всех подмножеств множества М и
совокупность, состоящая из одного пустого подмножества*).
Совокупность всех конечных подмножеств множества М
(в число конечных включается и пустое) также
представляет кольцо. В дальнейшем мы встретим более
интересные примеры колец.
Всякое кольцо St содержит пустое множество.
Действительно, пусть А е St (такое А существует,
поскольку 21 не пусто). Тогда 0 = А\А и потому 0 е St.
Всякое кольцо 91 замкнуто относительно образования
пересечения конечного числа множеств. Достаточно
проверить это для пересечения двух множеств. Пусть
А, В е St. Тогда из формулы
Af\B = A\(A\B)
и определения кольца сразу следует, что А (] В е ST.
Определение. Непустая совокупность SI
подмножеств множества М называется алгеброй, если она
удовлетворяет следующим двум условиям:
1) если A, BeSt, то и Ли Be 91,
2) если Л е 91, то и его дополнение С — М \ А е 91.
Теорема 1.7.1. Для того чтобы совокупность SI
подмножеств множества М была алгеброй, необходимо
и достаточно, чтобы она была кольцом и чтобы М е St.
*) Последняя совокупность сама не пустая! Она содержит
элемент 0,

§ 7] КОЛЬЦА, ПОЛУКОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 35
Доказательство. Пусть 21 — алгебра. Беря
любое А е 21, имеем
М = A U (М \ А) •
и потому М е 21. Остается проверить, что 21 замкнуто
относительно вычитания. Пусть А, В е 21. Но
А \ В = А П (Af \ В) = М \ [(М \ A) U 5] *)
и так как Af \ Л, Be 21, то и Л\Ве21.
Обратно, если 21 — кольцо и М е 21, то для любого
А е 21 его дополнение М\А е 21 и потому 21 — алгебра.
Замечание. В определении алгебры в условии 1)
объединение можно заменить пересечением **).
Действительно, если А П В е 21 для любых А, В е 21, то и
A U В = М \ [(М \ А) Л (М \ В)] s 31.
Определение. Непустая совокупность 21
подмножеств множества М называется а-кольцом, если она —
кольцо, замкнутое по отношению к объединению не
только конечного, но и счетного множества множеств,
т. е. если:
1) из At e 21 (/=1, 2, ...) следует, что
00
А=[) Лг<=21***);
г=1
2) из A, Be 21 следует, что А \ В е 21.
(т-кольцо замкнуто и относительно образования
счетного пересечения множеств. Действительно, если Л,е21
оо
(/=1, 2, ...)> а A = f] At, то из равенства
«•=¦1 г=1
следует, что А е 21.
*) Последнее равенство получается с помощью любой из
формул B).
**) В определении кольца этого сделать нельзя.
***) Требование, чтобы объединение конечного числа множеств
из St входило в Щ, здесь уже содержится, так как в условии I),
в частности, можно взять все At, начиная с некоторого, равными
между собой.
2*

36
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
[ГЛ. I
Аналогично вводится понятие о-алгебры. Непустая
совокупность 91 подмножеств множества М называется
о-алгеброй, если она удовлетворяет условию 1) из
определения а-кольца и условию 2) из определения алгебры.
Дословно повторяя доказательство теоремы 1.7.1, мы
можем установить, что для того, чтобы совокупность 91
была о-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она
была а-кольцом и чтобы М е 91.
Совокупность всех подмножеств множества М —
тривиальный пример ст-алгебры. Совокупность всех счетных
подмножеств множества М, а также совокупность,
состоящая из одного 0, — примеры ст-кольца.
Если дано некоторое множество колец
(соответственно алгебр) 91а, состоящих из подмножеств множества М,
то их пересечение 91 — f*| 9ta — тоже кольцо*) (соответ-
a
ственно алгебра). Действительно, проверим,
например, замкнутость % относительно объединения. Пусть
Л, В е %. Тогда Л, В е Яа при любом а, следовательно,
A (JBsIa при любом а, а потому A U В е Я.
' Аналогично, если 9la— ст-кольца (соответственно
о-алгебры), то их пересечение—тоже о-кольцо
(соответственно сг-алгебра).
Если S3 — произвольная непустая совокупность
подмножеств множества М, то всегда существует
наименьшее кольцо (соответственно алгебра, cr-кольцо или
ст-алгебра) 91, содержащее 53 (©с=91). Действительно,
таким 91 будет пересечение всех колец 91'
(соответственно алгебр, ст-колец или ст-алгебр), состоящих из
подмножеств множества М и содержащих 33**). Эта
совокупность 91 называется кольцом (соответственно алгеброй,
а-кольцом, а-алгеброй), порожденным совокупностью 53.
Введем еще одно понятие, более общее, чем понятие
кольца.
Определение. Совокупность Ш подмножеств
множества М называется полукольцом, если она
удовлетворяет следующим трем условиям:
1) 0€=SR;
*) Это пересечение не пусто, так как 0ей.
**) Такие %' существуют; например, совокупность всех
подмножеств множества М,

§ 7] КОЛЬЦА, ПОЛУКОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ 37
2) если Л, ?«№, то А[\ВтШ;
3) если А, В s SR и ? cr Л, то существует конечная
или счетная совокупность таких дизъюнктных множеств
Cns9t, что А\В = [)Сп.
п
Тривиальным примером полукольца может служить
совокупность всех промежутков на прямой (включая и
«вырожденные» — состоящие из одной точки и пустое
множество). При этом разность двух промежутков пред-
ставима или в виде промежутка или в виде объединения
двух дизъюнктных промежутков. Более интересный
пример полукольца мы встретим в гл. V.
Отметим некоторые свойства полукольца.
а) Если A, Ai, ..., Ар е 9i (Jft — полукольцо), то
существует не более чем счетная совокупность таких
дизъюнктных множеств Сп е Ш, что
A\(jA{ = \JCn.
fe=l re
Это утверждение очевидно представляет усиление
условия 3 из определения полукольца.
Доказательство будем вести по индукции. Имеем
А\А1~А\(АПА1),
и, так как А Л А, е= % то А \ А, = (J Dk, где Dk <= Ш и
к
дизъюнктны, а совокупность значений k не более чем
счетна. Далее
л\(л,ил2)«(л\л1)\л2=и(?)*\ А2)-
k
По уже доказанному каждое из множеств Dk \ А2 пред-
ставимо в виде конечного или счетного объединения
дизъюнктных множеств ЕмеШ,
Dk\A2 = \jEkl.
i
а тогда, благодаря дизъюнктности Dh, все
множества Eki дизъюнктны и притом
A\{Ai\]A2) = \jEkt.
М

38 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. I
Теперь уже ясно, что это рассуждение может быть
продолжено и дальше.
б) Если некоторое множество С есть не более чем
счетное объединение множеств Ап е SR, С = (J Ап, то
п
С представимо также в виде не более чем счетного
объединения дизъюнктных множеств Вией, С — (J Bm,
т
причем каждое Вт содержится по крайней мере в
одном из Ап-
Для доказательства используем 3° из 1.2 *) и
представим С в виде объединения дизъюнктных множеств:
c^uUauUV
п-1
Затем каждое из множеств Ап \ (J А/ заменим,
согласуй
но предложению а), объединением дизъюнктных
множеств D„h s 91. Совокупность всех Dnh не более чем
счетна. Нумеруя их заново, мы и получим требуемые Вт.
*) Ясно, что предложение 3° из 1.2 справедливо не только для
счетного, но и для конечного объединения.

ГЛАВА II
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. n-мерное евклидово пространство
Как известно, метод координат позволяет
отождествлять точки плоскости с парами вещественных чисел,
точки трехмерного пространства — с тройками
вещественных чисел. Само трехмерное пространство можно
рассматривать как множество всех троек вещественных
чисел (х, у, z). Обобщая такой подход к понятию
двумерного и трехмерного пространства, мы введем понятие
точечного пространства любого конечного числа
измерений, которое оказывается весьма полезным при
изучении функций нескольких переменных. Исследованию
такого пространства и будет посвящена эта глава.
Определение. Пусть я — любое натуральное
число. Точкой n-мерного пространства (в дальнейшем
говорим просто — точка) называется совокупность п
вещественных чисел gi, |г, • •., In, расположенных в
определенном порядке. Будем обозначать точку одной буквой
и записывать, например, так:
Х ==(ll> l2i • • •» In)-
Числа gi, g2,, ..., In называются координатами точки
х. Множество всех точек х = (gi, g2, .... gn) (при
заданном значении п) называется n-мерным точечным
пространством.
При п = 1 каждая точка определяется всего одной
координатой. Поэтому одномерное пространство можно
отождествить с совокупностью вещественных чисел (или
точек на прямой).

40 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. 1Г
Из теоремы I. 5.3 следует, что множество всех точек
n-мерного пространства (при любом п) имеет мощность
с. С другой стороны, назовем рациональными такие
точки, все координаты которых рациональны. Тогда по
теореме 1.4.9 множество всех рациональных точек
п-мерного пространства счетно.
В n-мерном точечном пространстве естественным
образом вводятся понятия начала координат (это — та
точка, у которой |i = |2 = • • • = In = 0),
координатных осей. Так, например, первой координатной осью
следует назвать совокупность всех точек, у которых gi'
может иметь любое значение, а ?г = ... = In = 0. Кроме
того, для потребностей математического анализа и
теории функций существенное значение имеет понятие
расстояния между точками n-мерного пространства, которое
мы сейчас введем. Именно, обобщая известную формулу
из аналитической геометрии, назовем расстоянием
между точками х = (li, lz, ..., In) и у — (тц, тJ, ..., цп)
неотрицательное число, обозначаемое р(х, у) и
определяемое по формуле
р(х,У)=\/ tib-DiJ- A)
У i=i
Употребляются и другие способы введения
расстояния в п-м»ерном пространстве. Однако при определении
расстояния по формуле A) n-мерное пространство
является прямым обобщением трехмерного пространства,
изучаемого в евклидовой геометрии.
Определение, n-мерное точечное пространство,
в котором расстояние между точками определено по
формуле A), называется n-мерным евклидовым
пространством и обозначается /?„.
Ясно, что р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда
х = у, т. е. когда |,- = r)i при всех i= 1, 2, ..,, п.
Также ясно, что р(у,х) = р(х,у). Докажем, что для
любых трех точек х, у, z e /?„
Р(х, у)<Р(х, z) + p (z, у). B)
Это неравенство в двумерном или трехмерном
пространстве выражает тот элементарный геометрический факт,
что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей

§ 1] «МЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 41
стороны*), и потому называется неравенством
треугольника.
Предварительно установим важное неравенство
Коши
(!,«а)ЧУ(Н <з>
справедливое для любых вещественных чисел а* и bi **).
Простое доказательство этого неравенства основывается
на следующем замечании: если квадратный трехчлен
Ах2 -\- 2Вх -+- С с вещественными коэффициентами
неотрицателен при всех вещественных х, то его
дискриминант В2 — АС ^ 0***). Составим вспомогательную
функцию ф от вещественной переменной х, сводящуюся к
квадратному трехчлену:
п
Ф (*) = 2 {atx + hf = Ax2 + 2Вх + С,
где
А=^а2, B=^iaibv C=^b2.
i=i t=i (=i
Из определения <р видно, что ф(х)^0 при всех X.
Тогда, на основании предыдущего замечания,
(|«aJ-(|«!)B4)<o!
это и есть иначе записанное неравенство Коши.
Далее из неравенства C) выведем еще одно
неравенство
]/| К + Ь<? < |/| а) + j/| Ь2 D)
*) Знак равенства возможен для «вырождающегося»
треугольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой.
**) О. Л. Коши A789—1857)—знаменитый французский
математик, хорошо известный читателю своими результатами в
области математического анализа.
***) Если А =#= 0 и трехчлен Ах? + 2Вх + С ^ О при всех х, то
этот трехчлен не может иметь двух различных вещественных
корней и потому В2 — АС ^ 0. Если же А = 0, то трехчлен
превращается в линейную функцию 2Вх + С, и если эта функция не
меняет знака, то и В = 0, а тогда В1 —АС = 0,

42 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
(щ и bi — любые вещественные числа), котброе тоже
называют неравенством Коши.
Для доказательства неравенства D) извлечем
квадратные корни из обеих частей неравенства C) *), затем
удвоим обе части полученного нового неравенства и при-
п п
бавим к ним выражение 2 а2 + 2 Ь2.. В результате
получим
г-=1 г (=i r ,-=1 г=1 '.
Это неравенство можно Переписать и так:
±(at + blf^(yr±a2 + /b]J.
Извлекая квадратные корни из обеих частей последнего
неравенства, получим D).
Теперь уже легко доказать неравенство треугольника
B). Пусть
*=(li. h In), */ = (%, ть .... к\п), г = (?„ &>> •••. In)-
Полагая в неравенстве D)
at = h — ti, bi = li — r\i (i—\, 2, .... n),
мы и получим неравенство B).
§ 2. Предельные точки
Обобщая понятие предела числовой
последовательности, дадим следующее
Определение.^ Точка х ^ Rn называется
пределом последовательности точек хт е Rn (пишем, как
обычно, хт-ух или х = Мтхт), если р{хт, х) -+0.
*) При этом в левой части мы берем то значение корня, ко-
п
торое равно 2 afii @H0 может не совпадать с арифметическим
(=1
значением корня).

§2]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
43
Пусть хт = (gj«>, |f), ..., gw), дс = (g,t |2, .... y.
Тогда из формулы
ясно, что соотношение хт-+х равносильно одовремен-
ному выполнению соотношений
^/"'->l, при всех /=1, 2, ..., п.
Таким образом, сходимость последовательности точек из
Rn означает сходимость по координатам.
Определение. Открытым шаром S(х0, е) с
центром Хо е /?„ и радиусом е > 0 называется совокупность
всех точек x e Rn, для которых р(х, *о) < е. Всякий
открытый шар с центром х0 называется окрестностью
точки jc0. Окрестность радиуса е называют также е-окрест-
ностью.
Заметим, что в Ri открытый шар S(x0, е)
превращается в интервал (х0 — е, х0 + е); в R% — это круг.
Легко видеть, что для того чтобы хт^+Хо,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
такое М, что xffleS(лг0, е) при m ^ М.
Пусть теперь А — произвольное множество точек из
R„. Точка x^Rn называется предельной точкой (или
точкой сгущения) множества А, если существует такая
последовательность точек xm e А, отличных от х
(хтФх), что хт—*-х. Ясно, что такая
последовательность должна содержать бесконечное множество
различных точек*).
Если, например, А — множество всех рациональных
точек из Rn, то любая точка из Кп будет предельной
точкой множества А. Иными словами, любая точка из Кп
может быть представлена как предел
последовательности некоторых рациональных точек.
*) В противном случае какая-нибудь точка должна была бы
повторяться среди хт бесконечное множество раз: хт = хт = ...
• • ¦ = х = ... при т1<т2< ¦. ¦ <mk< ... Но поскольку хм-> х,
то и частичная последовательность хт -*¦ х, откуда следует, что
хт. —хт = ¦•• ==хти=" ••• = х> вопреки определению
предельной точки.

44 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
Для непустого конечного интервала (a, b) cz R\
предельными будут все точки этого интервала, а также его
концы х = а и х = Ь.
Заметим еще, что если точка х принадлежит
множеству А (А — снова произвольное множество из
Rn), но не является его предельной точкой, то х
называется изолированной точкой множества А.
Предельные точки можно охарактеризовать иначе с
помощью следующего критерия.
Теорема II. 2.1. Для того чтобы х е Rn была
предельной точкой множества А, необходимо и достаточно,
чтобы любая окрестность точки х содержала по
крайней мере одну точку у еЛ, отличную от х. .
Попутно мы докажем, что если х — предельная точка
множества А, то любая ее окрестность содержит
бесконечное множество точек из Л.
Доказательство. а) Необходимость.
Пусть х — предельная точка множества A, a S — ее
произвольная окрестность. По определению предельной
точки, существует последовательность хт-*х, где все
хт Ф х и все хт е А. Но тогда все хт, начиная с
некоторого, содержатся в S и среди них имеется
бесконечное множество различных.
б) Достаточность. Пусть выполнено условие
теоремы. Для любого натурального т из окрестности
S(x, l/m) выберем точку утеЛ, отличную от х.
Тогда р(ут,х) ¦< 1//и и потому ут-*х. Следовательно,
х — предельная точка множества А.
Определение. Множество A cr Rn называется
ограниченным, если координаты всех xei ограничены
в совокупности. Это равносильно требованию, чтобы А
содержалось в некотором шаре достаточно большого
радиуса*).
Из математического анализа читателю известна
следующая теорема Больцано — Вейерштрасса: из всякой
*) Если |1<1<К(< = 1, 2 п), то х е= S (О, К fn ), где
О— начало координат. Обратно, если *eS (х0, г), то | %t — %\ | <г
при всех I, т. е.
i<0)-r<^<i<0> + r (г=1, 2 «)
(здесь * = (|„ 12 у, х0 = (|A0), |f !«»)).

§2]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
45
ограниченной числовой последовательности можно
выделить частичную, имеющую конечный предел*).
Эта теорема распространяется и на
последовательность точек из Rn: из всякой ограниченной
последовательности точек xm es Rn можно выделить частичную
последовательность, сходящуюся к некоторому
пределу**).
Дадим доказательство последней теоремы ***). Пусть
точки xm = (l[m\ S?m), ••., I^1') образуют ограниченную
последовательность. Применяя теорему Больцано —
Вейерштрасса, которую мы считаем уже доказанной для
числовой последовательности, к последовательности
первых координат {|Aт)}, мы сможем выделить частичную
последовательность индексов гпи, для которой {||т*'}
имеет конечный предел,- l\m^->lv Теперь из данной
последовательности точек хт сохраняем только точки
хт с выделенными выше номерами т*. Эта частичная
последовательность точек обладает тем свойством, что
последовательность их первых координат сходится.
Рассматривая последовательность вторых координат {^mft^}
точек хт , мы можем выделить из последовательности
{xmk} новую частичную, еще более «редкую», для которой
будет сходиться к конечному пределу
последовательность вторых координат. При этом свойство сходимости
последовательности первых координат не нарушается.
Повторяя такое постепенное «просеивание» заданной
последовательности {хт} п раз, мы получим частичную
последовательность точек, для которых
последовательности всех координат сходятся к конечным пределам.
А так как сходимость в Rn есть сходимость по
координатам, то выделенная частичная последовательность точек
имеет предел в Rn.
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Основы
математического анализа, том I, п°51 (по любому изданию).
**) Здесь не подчеркивается, что предел конечный, поскольку
других пределов («бесконечных») мы в R„ не рассматривали.
***) Впрочем, его можно найти в той же книге Г. М. Ф и х т е н-
гольца, п°135.

46 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
Теперь установим теорему, которая по существу
является другой формой только что доказанного
предложения и которую тоже называют теоремой Боль-
цано — Вейерштрасса.
Теорема II. 2.2. Всякое бесконечное ограниченное
множество A cz Rn имеет по крайней мере одну
предельную точку. (Эта точка может и не принадлежать
самому А).
Доказательство. Выделим из А какое-нибудь
счетное подмножество точек хт (отличных друг от
друга). Эти точки образуют ограниченную
последовательность, поскольку все А ограничено. Используя
предыдущую форму теоремы Больцаыо — Вейерштрасса,
выделим из \хт) частичную последовательность, имеющую
предел: хт ->х. Поскольку все хт отличны друг от
друга, то среди них — бесконечное множество отличных
и от х, а потому х — предельная точка множества А.
§ 3. Замкнутые и открытые множества
Определение. Множество F cz Rn называется
замкнутым, если, какова бы ни была сходящаяся к
пределу последовательность точек xm e F, ее предел тоже
входит в F.
Из определения следует, что все пространство Rn
замкнуто; пустое множество тоже считается замкнутым,
так как из него вообще нельзя выделить никакой
последовательности точек. Всякое конечное множество F =
— {уи Уг, • • ¦, Ук} *) замкнуто, так как если
последовательность {хт} состоит из точек этого множества, то'по
крайней мере одна из точек, пусть это будет г/,,
повторяется среди хт бесконечное множество раз, а тогда
и предел (если он существует) должен совпадать
С Уг**).
Примерами замкнутого множества в /?i могут
служить любой отрезок fa, b], множество всех чисел х ^ а
или множество всех чисел х ^ Ь.
*) Эта запись означает, что F состоит из k точек: уи у% у к.
**) Легко понять, что в этом случае все хт, начиная с
некоторого, должны совпадать с yt.

§3]
ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА
47
В R2 замкнутым множеством будут, например,
всякий прямоугольник, определяемый неравенствами
я =S Ь ^ Ь, с sg: |2 г?С й\ совокупность всех точек кривой
li = (f(t), 1г — Ф@ («<*<Р), где функции ф и t|)
непрерывны.
С другой стороны, множество всех рациональных
точек в любом R п не замкнуто, поскольку пределом
последовательности рациональных точек может быть любая
точка из Rn-
Ясно, что замкнутое множество содержит все свои
предельные точки. Однако в определении замкнутого
множества мы говорили о любых сходящихся
последовательностях, в которых, в частности, члены
последовательности могут совпадать со своим пределом. Легко
видеть, что определение получится равносильным, если
замкнутым назвать множество, содержащее все свои
предельные точки.
Установим основные свойства замкнутых множеств.
При этом рассматриваются множества, содержащиеся в
одном и том же пространстве Rn-
Теорема II.3.1. Объединение конечного числа
замкнутых множеств — также замкнутое множество.
Доказательство. Пусть F{ (i = 1, 2, ..., р) —
р
замкнутые множества, F = (J.F(-, xm^ F (m = 1, 2, ...)
i=*
и xm -^ x. В последовательности {xm} существует
бесконечная частичная последовательность \xmk}, состоящая
целиком из точек одного из данных множеств, например,
xmk^ Fj. Но xmk~>x и так как F, замкнуто, то xeFj,
а потому JteF.
Теорема II. 3.2. Пересечение любого множества
замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство. Пусть F = f)Fa и все Fa
а
замкнуты. Если хт—*х и xm^F (m=l, 2, ...),
то все хт^ Fa при любом а, а потому и «EFa при
любом а. Следовательно, x^F и F замкнуто.
' Заметим, что теорема П. 3.1. (в отличие от теоремы
II. 3.2) не может быть распространена на произвольное
множество замкнутых множеств. Так, например,
полуинтервал @, 1] в Ri представим в виде счетного

48 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. И
объединения замкнутых множеств,
оо
(о, i] = Un/". П.
однако полуинтервал @, 1] не замкнут.
Определение. Пусть А— произвольное
множество точек из Rn- Точка х е А называется внутренней
точкой множества А, если при некотором е > 0
окрестность S{x, е)сгЛ. Множество G с: Rn называется
открытым, если все его точки — внутренние.
Все пространство Rn — открытое множество; пустое
множество также причисляется к открытым. В Ri
примерами открытых множеств могут служить любой
интервал (а, Ь), множества, определяемые неравенствами
х > а или х < Ь. Примером открытого множества в Rn
является прямоугольник «без контура», т. е.
прямоугольник, определяемый неравенствами
а < li < Ъ, с < |2 < d.
Покажем, что в любом R п всякий открытый шар
S(x, г)—открытое множество. Пусть у е 5 (х, г). Это
значит, что р(у, х) < г. Положим е = г — р(у, х). Если
2eS(y,e), то
р(г, *)<p(z, y)-\-p(y, х)<г + р(у, х) = г,
откуда zeS(x,r). Таким образом, весь шар S(y,e) с:
cz:S(x, r), следовательно, у — внутренняя точка шара
S(x,r).
Связь между открытыми и замкнутыми множествами
устанавливается следующей важной теоремой.
Теорема II. 3.3. Для того чтобы множество Ос/?„
было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его
дополнение F = Rn\G было замкнутым.
Доказательство. а) Необходимость.
Пусть G открыто, a xm^.F (m — 1, 2, ...) и xm—* х.
Если бы x^G, то и некоторая окрестность S(x, e)
входила бы в G и не содержала точек из F, что
невозможно, поскольку х — предел последовательности точек
xm e F. Следовательно, х е F и F замкнуто.
б) Д ос та точ ноеть. Пусть F замкнуто, a .reG.
Если бы х не была внутренней точкой множества G, то

§ 4] СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА 49
любая ее окрестность содержала бы точку у ё= G, т. е.
точку г/е/\ и притом отличную от х (так как xs=F).
Следовательно, по теореме II. 2.1 х была бы предельной
точкой множества F и, поскольку F замкнуто, должно
было бы иметь место включение х е F. Полученное
противоречие доказывает, что х — внутренняя точка
множества G, и тем самым G открыто.
Теорема II. 3.4. Объединение любого множества
открытых множеств — также открытое множество.
Доказ ательство. Пусть G = (JGa и все Ga
а
открыты. Тогда Fa = Rn\Ga замкнуты, а по свойству
дополнений (см. 1.1) Rn\G = f|^a- Следовательно, по
а
теореме II.3.2 Rn\G замкнуто, а по теореме II.3.3
G открыто.
Совершенно аналогично с использованием теоремы
II. 3.1 доказывается.
Теорема П. 3.5. Пересечение конечного числа
открытых множеств — также открытое множество.
§ 4. Структура линейного открытого множества
Будем рассматривать множества точек на прямой,
т. е. в Ri. Такие множества, в отличие от множеств в
пространстве нескольких измерений, иногда называют
линейными*). Из теоремы II. 3.4 следует, что
объединение любого множества интервалов из Ri будет
открытым множеством. В этом параграфе мы установим
обратный результат и притом в несколько усиленной
форме.
Лемма II. 4.1. Если непустое множество F
замкнуто и ограничено справа (это означает, что множество
чисел, соответствующих точкам из F, ограничено сверху),
то среди его точек есть крайняя с правой стороны.
' Аналогичное утверждение справедливо для
множества, ограниченного слева.
Доказательство. Интерпретируя точки из F
как числа, положим Хо = sup F. Так как F ограничено
*) В дальнейшем термин «линейное» будет чаще использоваться
в другом смысле, применительно к множеству функций (см.
определение в III. 6.).

50 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
сверху, то Хо конечно. Из определения верхней грани
сразу следует, что для любого натурального т найдется
такое хт е F, что х0 — \/т < хт ^ х0. Тогда хт —*¦ х0,
следовательно, благодаря замкнутости F, xj е F. Точка
Хо и будет в F крайней справа.
В частности, если непустое множество F замкнуто и
ограничено, то оно содержит крайние точки с обеих
сторон. Иными словами, существует такой отрезок [а, Ь],
что F с [а, Ь], а его концы a, b e F. Этот отрезок [а,Ь],
очевидно, — наименьший отрезок, содержащий в
себе F.
Определение. Пусть G с: /?4 — открытое
множество. Интервал (а, В) (здесь а < В) называется его
составляющим интервалом, если (а, Р) cr G, но концы
а, 6 Ш G.
В этом определении можно допускать, что а — —<х>
или В = +оо и, таким образом, считать, например,
интервал (а, +оо) составляющим, если он целиком
входит в G, но а Ш G.
Лемма П. 4.2. Любые два различных
составляющих интервала множества G не могут иметь ни одной
общей точки.
Доказательство. Пусть (а, В) и (у,
б)—составляющие интервалы и пусть, например, а < у.
Покажем, что тогда В ^ y и> таким образом, данные два
интервала не пересекаются. Действительно, если
допустить, что В > у. то получится, что а < у < В.
Отсюда будет вытекать, что, с одной стороны, у е (а, 8)сг
с G, a с другой стороны, уШ G, как конец
составляющего интервала (у,б), и мы приходим к противоречию.
Лемма П. 4.3. Каждая точка непустого открытого
множества G входит в некоторый составляющий
интервал.
Доказательство. Пусть цеб. Допустим
сначала, что и правее и левее точки Хо на прямой имеются
точки, не входящие в G и, следовательно,
принадлежащие его дополнению F = Ri\G. Положим
Fi^fnlxo, + оо).
Множество /ч замкнуто, как пересечение двух
замкнутых множеств, и ограничено слева точкой х0.
Следовательно, по лемме II. 4.1 в Ft имеется крайняя слева точ-

§4] СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА 51
ка Р; при этом р > х0 (так как ^ёЛ). Таким
образом, весь промежуток [хо, р) cr G. Аналогично, слева от
Хо найдется такая точка а, что a j= G, но промежуток
(а, Хо] cz G. Объединяя эти два промежутка, получим
интервал (а, Р), который и будет составляющим и в
который входит точка х0.
Если с одной стороны от хо точек, не принадлежащих
G, нет, а с другой — есть, то аналогично мы убедимся,
что х0 входит в составляющий интервал вида (а, +оо),
или (—оо, р).
Если же G = (—оо, -f оо), т. е. на прямой нет точек,
не принадлежащих G, то вся ось и будет составляющим
интервалом множества G.
Теорема II. 4.1. Всякое непустое открытое
множество G с Pi представимо как объединение всех своих
составляющих интервалов: множество этих интервалов не
более чем счетно.
Доказательство. Пусть А—объединение всех
составляющих интервалов множества G. Из
леммы II. 4.3 следует, что G с А. С другой стороны, каждый
составляющий интервал есть часть G и потому ЛсС.
Следовательно, G == А.
В каждом составляющем интервале выделим
некоторую рациональную точку. Тем самым мы
устанавливаем соответствие между составляющими интервалами
и выбранными нами рациональными числами. На
основании леммы II. 4.2 можно заключить, что это
соответствие взаимно однозначно. А так как всякое множество
рациональных чисел не более чем счетно, то и
множество составляющих интервалов не более чем счетно.
Замечание. Если G ограничено, то все его
составляющие интервалы — конечной длины. В противном
случае среди его составляющих интервалов могут быть
(но не обязательно!) один или два бесконечных.
Из теорем II. 3.3 и II. 4.1 следует, что всякое
замкнутое множество F cz Ri получится из /?i в результате
удаления из него конечного или счетного множества
(может быть, пустого, если F = Ri) дизъюнктных
интервалов. Эти интервалы называются дополнительными к
множеству F.
В случае, если F ограничено, а [а, Ь]—наименьший
отрезок, содержащий F, то дополнительное множество

52 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
G = Ri\F состоит из некоторого множества интервалов,
содержащихся в (а, Ь), и двух бесконечных интерзалов
(—оо, а) и (Ь, +оо). Отсюда ясно, что в этом случае
F можно получить и из [а, Ь] удалением не более чем
счетного множества дизъюнктных интервалов*). Таким
образом, дополнение непустого ограниченного
замкнутого множества до наименьшего содержащего его отрезка
открыто.
§ 5. Структура открытого множества в п-мерном
пространстве
Для открытых множеств в евклидовом пространстве
нескольких измерений нельзя получить полный аналог
теоремы о структуре линейного открытого множества.
Мы установим лишь, что, подобно тому, как каждое
линейное открытое множество складывается из интервалов,
всякое непустое открытое множество в Rn может быть
представимо в виде не более чем счетного объединения
открытых шаров, допуская, однако, что эти шары могут
пересекаться друг с другом.
Лемма II. 5.1. Пусть G cz Rn — непустое открытое
множество, отличное от всего Rn, а точка х е G. Тогда
среди всех открытых шаров с центром х, содержащихся
в G, существует шар наибольшего радиуса.
Доказательство. Пусть Е — множество всех
таких чисел г > 0, что открытый шар S(x, r) cr G. Так как
х—внутренняя точка множества G, то такие шары
существуют, следовательно, Е Ф 0. С другой стороны,
поскольку G ф Rn, эти шары не могут быть сколь угодно
большого радиуса. Поэтому множество Е
ограничено сверху. Положим г о = sup E и покажем, что
S(x,r0)cz G. Это и будет шар, существование которого
требуется доказать.
Действительно, пусть у &S(x,r0), т. е. р(у, х) < г0.
Тогда найдется такое ге?, что р (у,х) <; г. Так как
г&Е, то S(x, r) cr G. Но y^S(x,r) и потому i/eG.
Таким образом, весь шар S(x,r0)cz G.
Теорема II. 5.1. Всякое непустое открытое
множество G czRn представимо как объединение конечного
или счетного множества открытых шаров.
•) Множество этих интервалов может быть и пустым,

§ 5] СТРУКТУРА ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА В Rn 53
Доказательство. Если G = Rn, то G = (J 5@, tn),
где О — начало координат *). Будем далее
предполагать, что G Ф Rn.
Пусть А — множество всех рациональных точек,
содержащихся в G. Из последующего будет видно, что А
не пусто, а тогда ясно, что оно счетно, следовательно, все
точки, входящие в А, можно перенумеровать: xi, Хг,
..., хт, ... Для каждой хт^А по лемме существует
открытый шар (обозначим его Sm) наибольшего радиуса
с центром х, содержащийся в G. Докажем, что
О = (J Sm (отсюда, в
частности
ти, и будет следовать
непустота А).
Проверки требует только
ею
включение G с: (J Sm. Пусть
т=!
t/eG. Тогда S(y, е) с G при
некотором е>0. Подберем ра- ^ис. 4.
циональную точку х е Rn так,
что p(*, у) <,е/2. Тем более x&S(y, e) с: G,
следовательно, х — одна из точек множества А. Пусть х = Хъ,-
Далее, S(x, е/2) cz G. Действительно, если z&S(x, е/2),
то р(г,г/)< p(z,x) + p(x,y)< е/2 + е/2 = е, т. е. ге
GS(i/,e)cG (рис. 4).
Из включения S(Xh, е/2) с: G следует, что шар Sh
должен иметь радиус не меньший, чем е/2, и потому
у е Sh- Таким образом, вследствие произвольности точ-
оо
ки у из G, включение Gcr(JSm доказано**).
m=l
Другое представление открытого множества в
/г-мерном пространстве будет получено в гл. V.
*) Если считать, что само пространство Rn — шар
бесконечного радиуса (с любым центром), то случай, когда G = Rn,
исчерпывался бы тривиальным образом (само G — шар!). Однако мы,
говоря о шарах, всегда имеем в виду шары конечного радиуса.
**) По ходу доказательства мы установили, что G представимо
в виде счетного объединения открытых шаров. Однако ясно, что не
исключен случай, когда G может быть объединением всего лишь
конечного числа открытых шаров.

54 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
§ 6. Теорема о покрытиях замкнутого множества
Доказываемая в этом параграфе теорема играет
существенную роль во многих построениях в теории
функций.
Определение. Пусть A cz /?„. Совокупность ©
множеств GaczRn называется покрытием множества А,
если.любая точка хеЛ входит по крайней мере в одно
из Ga е @. Если, кроме того, все множества Ga открыты,
то и покрытие © называется открытым.
Теорема II.6.1. (Э. Борель — А. Лебег)*). Из
всякого открытого покрытия © ограниченного замкнутого
множества F c= Rn можно выделить конечное покрытие,
т. е. конечное число множеств Ga e ®, также
образующих покрытие множества F.
Доказательство. С целью упрощения записи
будем вести рассуждение для случая, когда п = 2.
Допустим, что из © нельзя выделить конечного покрытия
множества F. Поскольку F ограничено, оно содержится в
некотором замкнутом прямоугольнике А = [a, b\ c,d] **).
Делим этот прямоугольник на четыре равные части
прямыми, параллельными координатным осям***). Тогда
по крайней мере один из полученных замкнутых
прямоугольников (обозначим его А4) содержит такую часть
множества F, для которой из © нельзя выделить
конечного покрытия ****). Пусть этот прямоугольник Д] =
= [ai, bu Си di]. Тогда
, b — а , d — с
Ь] — «! == —g— • «1 — с1 = —2— *
*) Э. Борель A871—1956) и А. Лебег A875—1941) —
французские математики, сыгравшие основную роль в развитии
теории функций вещественной переменной.
**) Так обозначается прямоугольник, определяемый
неравенствами a^li^O. с^|г^с(
***) В трехмерном пространстве Д — параллелепипед и его
нужно делить плоскостями на 8 равных частей. В общем случае
в R„ деление будет происходить на 2" частей.
****) Если прямоугольников, обладающих этим свойством,
несколько, то в качестве А\ берем любой из них. Заметим, что если
бы для каждой из четырех частей множества F можно было
выделить из ® конечное покрытие, то в © существовало бы конечное
покрытие и для всего множества F,

§ 6] ТЕОРЕМА О ПОКРЫТИЯХ ЗАМКНУТОГО МНОЖЕСТВА 55
Прямоугольник Д) снова делим на четыре равных
прямоугольника и из них выбираем такой (обозначим его
Аг), который содержит часть множества F, не
допускающую конечного покрытия из совокупности ©. Этог
процесс продолжается до бесконечности. В результате
получим последовательность
прямоугольников Ат=[ат, dm],
где
b — а
d — с
Ьт—ат--
"т Сп.
причем Am+i cz Ат при всех т
и каждый Am содержит такую-
часть множества F, для
которой из © нельзя выделить
конечного покрытия. Отсюда, в
частности, следует, что каждый
Am содержит бесконечное множество
•и
Lm
/
ат
X
/
~~
ь'
Рис. 5.
точек из F.
По известной теореме о вложенных отрезках,
последовательность отрезков {[ат, ftm]} стягивается к общей
точке lf\ a {[cm, dm}} — к общей точке |<,°>. Тогда точка
х0 = (?,\0), ^0)) из /?2 входит в Ат при всех т.
Докажем, что Хо — предельная точка множества F.
Пусть S — е-окрестность точки х0, где е > 0 задано
произвольно. Найдем такое т, что
Ът — О-т <
у-j и dm cm< у-
Тогда диагональ прямоугольника Ат будет меньше е и
потому AmCzS*). Следовательно, окрестность 5 вместе
с Am содержит бесконечное множество точек из F,
откуда благодаря произвольности б и вытекает, что Ха —
предельная точка множества F.
Поскольку F замкнуто, х0 е F. Следовательно,
iieGj при некотором a (Gae©). Но тогда
существует такое е > 0, что 5 {х0, е) с Ga. Если теперь
*) Здесь важно, что расстояние от х0 до любой точки хеД™
будет меньше е (рис. 5). При произвольном п мы рассуждаем
аналогично, заменяя e/V^2 на е/^п.

56 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
подобрать т так, что Ат a S (хо, е), то получится, что
весь прямоугольник Am, а вместе с ним и та часть
множества F, которая содержится в Дт, покрывается
одним из Ga. Получено противоречие с тем, что
положено в основу построения прямоугольников Ат. Это
противоречие и доказывает теорему.
§ 7. Непрерывные функции
Всякая функция f от я вещественных переменных
li. I2. • • •. In может быть интерпретирована как
функция f(x) точки х— (|i, I2, •••, in) из пространства Rn-
Будем рассматривать вещественную функцию f,
заданную на произвольном множ-естве А сг /?„. Пусть х0 е А.
Как обычно, будем называть функцию f непрерывной в
точке Хо, если f (xm) —*f(xo) для любой
последовательности точек xm e А, сходящейся к х0.
В этом определении х0 может быть и изолированной
точкой множества А. Однако, если х0 — изолированная
точка множества А и хт—* х0 (хт^А), то ясно, что
хт = Хо, начиная с некоторого т, а тогда соотношение
f(xm) -*7(*о) выполняется тривиальным образом.
Поэтому всякая функция непрерывна в любой
изолированной точке множества, на котором она задана.
Функция / называется непрерывной на множестве А,
если она непрерывна в каждой его точке. Иными
словами, непрерывность / на множестве А означает, что
если Хщ^А (т=\, 2, ...), х0^А и хт-*х0, то
f(xm)-+f(x0).
Особый интерес представляет изучение непрерывных
функций на замкнутых множествах. В частности, для
непрерывных функций, заданных на ограниченном
замкнутом множестве, остаются справедливыми теоремы
Вейерштрасса об ограниченности функции и
существовании наибольшего и наименьшего значений и теорема
Кантора о равномерной непрерывности*).
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Основы математического
анализа, т. I, п° 136 и 137. Там эти теоремы доказаны для функции,
заданной в ограниченной замкнутой области, но указано, что
аналогичным образом теоремы могут быть получены и в случае, если
область задания — произвольное ограниченное замкнутое множество.

§7]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
57
Введем обозначение, многократно используемое в
дальнейшем. Если А — некоторое множество точек, то
запись — буква А, после которой в скобках указано
некоторое условие, — означает совокупность всех тех
точек из А, где выполнено указанное условие. Например,
если функция f определена на множестве Ana —
некоторое вещественное число, то A\f(x) ^ а] означает
совокупность всех тех х е А, где f(x) ^ а.
Теорема II. 7.1. Для того чтобы функция f,
заданная на замкнутом множестве F, была непрерывна на
этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы при
любом вещественном а множества F[f(x) ^ а] и
F\J(X) =?= °] были замкнутыми.
Доказательство, а) Необходимость. Пусть
а задано и Е = F\f (x) ^ а]. Возьмем любую
последовательность точек Хщ е Е, имеющую предел:
Хщ —> Хй. Так как F замкнуто, то Xosf, а в силу
непрерывности f{xm) -*f(xo). Но f(xm)^ а при всех пг,
следовательно, и f(x0)^a, т. е. Хо^Е. Таким образом,
Е замкнуто.
Аналогично доказывается замкнутость множества
F[f(x) <a].
б) Достаточность. Пусть xmef (пг = 1, 2,...)
и хт-+х0 (тогда и Xo&F). Зададим произвольное
е > 0 и положим
Ei = F[f (х) > /(х0) + е], E2 = F[f (х) < f (хй) - в].
По условию оба эти множества замкнуты, а тогда и их
объединение Е — ?4 U Е2 замкнуто. С другой стороны,
х0 ё= Е и потому хй не может быть и предельной точкой
множества Е. По теореме II. 2.1 это значит, что
существует некоторая окрестность S(x0, б), не содержащая ни
одной точки множества Е. Но хт е S(xo, б) при т ^ М,
следовательно, хтШ Е при 'пг ^ М и потому
f (х0) - с < f (хт)< f (*о) + 6-
Отсюда благодаря произвольности е и вытекает, что
f{xm) -*/Ч*о). Непрерывность функции / доказана.
Следствие. Если множества F, (i = 1, 2, ..., А)
замкнуты и дизъюнктны, a F=^\jFi и функция f задана
» — 1

§8 МНОЖЕСТВА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. II
на F так, что она постоянна на каждом из Fi то f не~
прерывна на F.
Действительно, по теореме II. 3.1 множество F
замкнуто. Поскольку / постоянна на всех Fu каждое из
множеств F[f(x) ^ а] и F[f(x) ssjl а] при любом а или
представляет объединение некоторых из F» или пусто, а
потому замкнуто.
Замечание. Если функция / определена на всем
Rn, то критерий непрерывности можно сформулировать
и в таком виде: для того чтобы f была непрерывна на
всем Rn, необходимо и достаточно, чтобы при любом
вещественном а множества Rn[f{x) < а] и Rn[f(x) > a\
были открытыми. Действительно, эти множества
дополняют (соответственно) множества Rn[f(x)^a] и
Rn[f(x) ^ а] до всего Rn, а потому условия, что первые
множества открыты, а вторые замкнуты, равносильны.
Однако для функции, заданной на произвольном
замкнутом множестве F, справедлива лишь основная
формулировка теоремы II. 7.1.
§ 8. Борелевы множества
Будем рассматривать подмножества пространства
Rn. Используя понятия, введенные в I. 7, сформулируем
следующее
Определение. Множество A czRn называется бо-
релевым, если оно принадлежит а-алгебре, порожденной
совокупностью всех замкнутых множеств из Rn*)-
Совокупность всех борелевых множеств из Rn
обозначим через 23. Тогда каждое замкнутое множество
F s 33 по определению; каждое открытое множество
G е 23, поскольку открытые множества суть дополнения
к замкнутым. Однако среди борелевых множеств
встречается много множеств значительно более сложной
структуры, не принадлежащих ни к числу замкнутых, ни
к числу открытых. Например, всякое множество, пред-
ставимое в виде счетного объединения замкнутых
множеств (про такое множество говорят, что оно
принадлежит типу Fa), будет борелевым. В частности, любое счет -
*) Поскольку все Rn замкнуто, совокупность борелевых
множеств можно определять и как с-кольцо, порожденное
совокупностью всех замкнутых множеств.

§ 8]
БОРЕЛЕВЫ МНОЖЕСТВА
5)
ное множество представимо как объединение счетного
множества замкнутых — одноточечных — множеств, и
потому будет борелевым. Аналогично всякое множество,
представимое в виде пересечения счетного множества
открытых множеств (про такое множество говорят, что оно
принадлежит типу G6), тоже будет борелевым. Но и
множествами типа F0 и G6 совокупность 53 далеко не
исчерпывается.
Ясно, что а-алгебра, порождаемая совокупностью
всех открытых множеств из Rn, совпадает с 53. Однако
мы докажем несколько более сильное утверждение.
Теорема II. 8.1. а-алгебра, порожденная
совокупностью всех открытых шаров S с: Rn, совпадает с 53.
Дока_зательство. Обозначим временно а-алгеб-
ру, порожденную совокупностью всех открытых шаров,
через 53i. Из теоремы II. 5.1 следует, что всякое открытое
множество из #„ входит в 53i, а тогда и всякое
замкнутое множество из Rn входит в 334. Но 53—наименьшая
а-алгебра, содержащая все замкнутые множества;
следовательно, 53 с= 53!. С другой стороны, все открытые
шары 5 е 53 и потому 33i cz 53. Таким образом, 53i = 53.

ГЛАВА III
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение метрического пространства
В предыдущей главе мы уже познакомились с
простейшим обобщением понятия трехмерного пространства,
изучавшегося еще в школьном курсе евклидовой
геометрии: «-мерным евклидовым пространством. Однако в
современной математике понятие пространства имеет
гораздо более широкий смысл. Коротко говоря, под
пространством в современной математике понимается
совокупность любых объектов (ими могут быть наборы
чисел, функции, наборы функций, геометрические
объекты), между которыми устанавливаются соотношения,
аналогичные тем или иным пространственным
отношениям, изученным в элементарном трехмерном
пространстве. В частности, если мы рассмотрим произвольное
множество, состоящее из элементов какой угодно
природы, на которое накладывается только одно требование —
между его элементами должно быть определено
расстояние, подчиненное некоторым условиям, то мы придем к
понятию метрического пространства*). Дадим точное
определение.
Определение. Метрическим пространством
называется всякое множество Е, в котором для любых двух
его элементов х и у определено вещественное
неотрицательное число р(х,у), называемое расстоянием
между х и у, причем должны выполняться следующие
требования:
*) В пределах настоящей книги это будет наиболее общим
понятием пространства. Однако в математике изучаются и еще более
общие виды пространств, например, топологические пространства.

§ 1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 61
1) р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) р(л:, у) = р(у, х) (аксиома симметрии);
3) для любых трех элементов х, у и г
р (х, у) ^ р (х, г) + р (г, у) (а к с и о м а т р е у г о л ь н и к а),
Элементы метрического пространства чаще
называются его точками.
В II. 1 мы видели, что расстояние в n-мерном
евклидовом пространстве Rn обладает всеми этими
свойствами. Таким образом, Rn — частный случай метрического
пространства. Однако при определении общего понятия
метрического пространства все перечисленные
требования не выводятся из каких-то других известных фактов,
а формулируются в виде аксиом.
Приведем еще некоторые примеры метрических
пространств.
1. Пусть множество I состоит из всех бесконечных
числовых последовательностей х= (§ь ?2. •••> h •••)»
удовлетворяющих условию
оо
21 IE* К+ оо.
(=1
Числа |j считаем вещественными*). Положим для
любых двух элементов х = {?*} и у = {ti,J из V.
00
Р (х, у) = 2 I h — % I •
Выполнение первых двух аксиом метрического
пространства очевидно. Аксиома треугольника тоже почти
очевидна: действительно, для х = {?,}, У = {цд и
г = {?,;} имеем
оо оо оо
Р (*, у) = 2 I Ь - % | < S \h - ?, | + 2 I It - % I =
(=1 t=-i «=1
= р(аг, г) + р (г, г/).
Таким образом, /— метрическое пространство.
*) И в этом и в следующих примерах можно не ограничиваться
последовательностями, состоящими только из вещественных чисел,
а рассматривать аналогичные комплексные пространства
последовательностей, состоящих из комплексных чисел,

62 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
2. Обозначим через I2 множество всех таких
последовательностей х = {§,-} вещественных чисел, для которых
оо
2 I? < + °°» и положим
(=1
Р(*> У)=У Ъ{Ъ-ЩJ.
~ <=i
Прежде всего нужно проверить, что р(х, у) конечно
(т. е. что ряд в правой части сходится) для любых х и
у из Р. А для этого сначала покажем, что неравенство
Коши D) из гл. II справедливо и для бесконечных
последовательностей чисел di и bi (t = 1, 2, ...).
Действительно, беря произвольное натуральное п, запишем
неравенство D) из гл. II, а затем перейдем в нем к пределу
при п—> оо. Получим неравенство
/со / °° / °°
2(в, + ^<]/ Saj + J/ 2«, О)
1=1 » 1=1 ' (=1
которое мы будем называть неравенством Коши для
бесконечных последовательностей. Аналогичным образом
из неравенства C) гл. II выводится и другое
неравенство Коши для бесконечных последовательностей:
(!л»И!Ж!,4 B>
Из неравенства A), в частности, следует, что если
х = {?,} е I2 и у== {т]г} е I2, то и последовательность
{|г — r|,} 6E I2, т. е. р(х, г/) < + сю.
Теперь проверка выполнения в 1% аксиом
метрического пространства может быть произведена совершенно
так же, как это сделано в II. I для Rn.
Пространство I2 иногда называют бесконечномерным
евклидовым пространством.
3. Пусть m — метрическое пространство, состоящее,
из всех ограниченных бесконечных числовых
последовательностей с расстоянием, определяемым для х = {?,} и
У = {Ц{) по формуле
р(х, y) = suv\li — i)i\.
i

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 63
Предоставляем читателю проверить, что m —
действительно метрическое пространство.
В пространствах, точками которых служат числовые
последовательности, мы будем, как и в /?п, называть
члены последовательности х={?г} координатами точки х.
4. Пусть С — множество всех вещественных
непрерывных функций x(t), заданных на отрезке a^t^.b,
причем для любых двух элементов х, г/еС расстояние
определено по формуле
р (х, у) = max \x{t) — y (t) |.
Таким образом, расстояние в С есть максимальное
отклонение одной функции от другой.
Ясно, что р(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда
x(t) = y(t); аксиома симметрии очевидна. Аксиома
треугольника для любых трех функций х, у и г из С
проверяется так:
\x(t)-y(t)\^\x(t)-z(t)\ + \z(t)-y(t)\^
< max| x(t) — z(t) | + max| z(t) — y(t)\ = p(x, z) + p(z, y).
Так как это верно при любом t^[a,b], то, в частности,
то же неравенство получается и для р(х, у) =
= max \x(t) — y{t) |.
Таким образом, С — метрическое пространство.
Аналогичным образом можно превратить в
метрическое пространство множество всех непрерывных
функций, заданных на ограниченном замкнутом множестве
в пространстве /?„.
5. Рассмотрим то же множество функций, что и в
предыдущем примере, но расстояние определим иначе:
ь
р(х, y) = \\x{t)-y{t)\dt.
а
Легко проверить, что все аксиомы метрического
пространства выполнены. Таким образом, мы имеем
метрическое пространство, составленное из тех же элементов,
что и С, но с другим определением расстояния.
Поскольку понятие метрического пространства содержит
в себе определение расстояния, метрические
пространства, хотя и составленные из одних и тех же элементов,

64
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ. III
но с различными определениями расстояния, следует
считать различными. Пространство, определенное в
настоящем примере, обозначим CL.
Если дано какое-нибудь множество, то сама
операция определения в этом множестве расстояния между
элементами, удовлетворяющего всем аксиомам
метрического пространства, называется введением метрики в
данном множестве (или его метризацией) *). Можно
сказать, что в примерах 4 и 5 мы в одном и том же
множестве непрерывных функций ввели метрику двумя
различными способами.
Заметим, что любое множество может быть метри-
зовано весьма тривиальным способом. Именно, можно
положить
\ 1, если хфу,
^v а> [О, если х = у.
При этом все аксиомы метрического пространства
будут, очевидно, выполнены. Однако такая метрика мало
интересна для приложений.
Понятие метрического пространства введено в науку
в начале XX столетия современным французским
математиком М. Фреше.
§ 2. Сходимость в метрическом пространстве
Наличие расстояния позволяет в произвольном
метрическом пространстве Е ввести понятие предела так
же, как это было сделано в предыдущей главе для
пространства /?„. Таким образом, мы будем писать хп-*х,
если р(хп, х)—*0. Определенную так сходимость
последовательности точек будем иногда называть
сходимостью по расЬтоянию (или по метрике пространства ?¦).
Докажем, что у данной последовательности точек
может существовать только один предел. Пусть хп -*¦ х
и хп—>у. По аксиоме треугольника р{х, у) ^ р(х, #„)+!
-т-р(хп,у)- Но правая часть стремится к нулю при
м-+оо;а левая неотрицательна, следовательно, р(х,у) =
= 0, т. е. х = у.
*) Сама функция р часто называется метрикой.

§ 2] СХОДИМОСТЬ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ 65
Установим еще одно неравенство, верное для любых
четырех точек х, у, г, и из Е:
I Р(х, У) — р (г, и) |<р (х, z) + p(у, и). C)
Действительно, из аксиомы треугольника следует, что
Р(*> У)<?{х, z) + pB, г/)<р(х, г) + р(г, ы) + р(и, у),
откуда
Р (х, У)~р (z, и) < р (х, г) + р (г/, «). D)
Но в этом неравенстве х и у можно поменять местами
с z и и (соответственно), и потому
. р (z, и) — р (*, г/Х р (дс, z) + р (г/, ы); E)
а из неравенств D) и E) и вытекает C).
В качестве следствия из неравенства C) можно
получить, что расстояние р{х,у)— непрерывная' функция
уот х и у в том смысле, что если хп-*х и уп—>у, то
р(Хп,Уп)-+р(х,у).
Действительно, с помощью C) имеем
I Р (хп, Уп) — Р(х, у) К р (хп, х) + р (уп, у) -> 0.
Заметим также, что если хп-*-х, то и любая
частичная последовательность точек хп {пх < ... < nk<_...),
выделенная из {*„}, тоже сходится к х. Если хп = х
при всех п, начиная с некоторого, то и \\тхп = х.
Выясним конкретный смысл сходимости в тех
метрических пространствах, которые приведены в качестве
примеров в предыдущем параграфе.
Из определения расстояния в I и в I2 сразу следует,
что сходимость по расстоянию влечет сходимость по
координатам: если xn = {l,{l)}->x = {li}, то 1\п)-^1{ при
каждом /=1, 2, ... Однако обратное заключение
неверно, т. е. сходимость по расстоянию в I и в I2 (в
отличие от Rn) содержит в себе более сильное
требование, чем просто сходимость по координатам.
Действительно, пусть хп — точка, у которой п-я координата
равна 1, а все прочие равны 0, х — «нулевая» точка, все
координаты которой равны 0. Тогда последовательность
3 Б. 3, Вулих

66
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. III
ХпШ
{хп}, очевидно, сходится по координатам к х, но
р(х„, х) = 1 при всех п.
В пространстве т сходимость хп-*х означает
равномерную сходимость по координатам, т. е. что Ъ\п)-*-%{
равномерно относительно L В пространстве С
сходимость по расстоянию
равносильна равномерной
сходимости функций, т. е. хп~>х в
С означает, что
max) *„(/) — х (О I —*• О-
Сходимость в CL
накладывает значительно менее
тяжелые требования на
последовательность функций: эта
последовательность может даже не
сходиться ни в одной точке.
Мы ограничимся более
простым примером, именно,
построим последовательность непрерывных функций на
отрезке [0, 1], сходящуюся по расстоянию в CL к *(/)== 1,
но не стремящуюся к единице при t = 0. Именно,
положим (рис. 6)
Рис. 6.
xn{t) =
nt при 0=0^ —,
1 при
•<*<!.
Тогда легко подсчитать, что в метрике пространства CL,
при x{t) == 1,
Если на отрезке [а, Ь] заданы две функции fag,
то число
±zj\f(t)-g(t)\dt.
называется в приближенных вычислениях средним
отклонением 1-го порядка одной из этих функций от
другой. Ясно, что сходимость по расстоянию в CL равно-

§ 3] ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА 67
сильна стремлению к нулю последовательности
соответствующих средних отклонений.
Легко видеть, что если последовательность
непрерывных функций сходится к пределу по расстоянию в С,
то она сходится к тому же пределу и в CL. Обратное
неверно, как показано выше.
§ 3. Замкнутые и открытые множества
Целый ряд понятий, введенных в II. 2 для
пространства /?„, без всякого изменения переносится и в
произвольное метрическое пространство Е: понятие открытого
шара S(xq, e), е-окрестно-
сти точки, предельной
точки. Остается в силе
(с прежним
доказательством) теорема II. 2.1.
Помимо открытых шаров
иногда бывают полезны
замкнутые шары S* (xq, е).
Шар такого вида
определяется как множество
всех точек х е Е, для
которых р(х, Хо) <[ е.
В Ri замкнутый шар
S* (х0, е) — не что иное,
как отрезок [х0 — е, х0+е].
В С шар S*(x0, е) состоит из всех функций х,
удовлетворяющих условию \x(t)—Xo(t) j ^ е на всем отрезке
[а, Ь], т. е. таких, чьи графики умещаются в полоске,
показанной на рис. 7.
В произвольном метрическом пространстве Е точно
так же, как в /?„, вводится определение замкнутого
множества. Всё Е, пустое множество и любое конечное
множество замкнуты.
Покажем, что всякий замкнутый шар S*(xo, r)
представляет замкнутое множество.
Действительно, пусть xn^S*(x0, г); тогда р(хп, х0)^
^ г. Если при этом х„-*х, то по непрерывности
расстояния
р(лг, х0) = limp(хп, лг0)<г,
следовательно, ихе S*(xo, г).
*
0
1
1
1 ^ - -
1
1
1
1
а
V.
_•
1
1
~\x/tl
<\ xjtl
b T
Рис. 7.
3*

68
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. III
Основные свойства замкнутых множеств,
установленные в теоремах II. 3.1—2, справедливы в любом
метрическом пространстве.
С понятием замкнутого множества тесно связана
операция замыкания произвольного множества /1с?,
заключающаяся в присоединении к множеству А пределов
всех сходящихся последовательностей его точек._Полу-
чаемое таким способом множество обозначается А и
называется замыканием множества А.
Таким образом, всегда AczA. Множество А замкнуто
тогда и только тогда, когда А = А.
Докажем, что в /?„ для любого открытого шара
имеет место равенство
ЩГО = 5*(*о>>-)- F)
Из непрерывности расстояния сразу следует, что пи
одна точка, лежащая вне S*(x0, г), не может быть
предельной для шара S(x0, r). С другой стороны, пусть
точка х = A\, |2, • ••> In) такова, что р(х, х0) — г.
Положим
*» = (№ +'«(Б.-БГ)' -> е + 'Л--6-т)) (* = ».2, •••).
где ?<0) — координаты точки х , tm=\ . Тогда
xmeS(x0, г) и хт-*х, следовательно, хе5(% г).
Из всего сказанного непосредственно вытекает
равенство F) *).
Пусть АаЕ, где Е — снова произвольное
метрическое пространство. Если xel, то, каково бы ни было
е > О, существует точка /е/1, для которой р(х', х) <.
<е. Действительно, если Jte-4, то можно положить
х' — х. Если же х ё= А, то включение xej означает,
что x = l\mxn, где x„el- В этом случае за х' можно
принять хп с достаточно большим номером.
Теорема III. 3.1. Замыкание А есть наименьшее
замкнутое множество, содержащее А.
Доказательств. Сначала покажем, что А
замкнуто. Пусть х„еЛ и хп—*х. Согласно предыдущему
*) Однако в произвольном метрическом пространстве имеет
место лишь включение S(*3, r) cr S*(x0, r), а равенство не
обязательно.

§ 4] ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 69
замечанию для каждого натурального п можно
подобрать Уп^-А так, что р(уп, хп) < 1/га. Тогда
Р(Уп> *)<Р(!/Л1 хп)-{-р(хп, х)->0,
следовательно, уп-*х. Таким образом, яел и Я
замкнуто.
Теперь заметим, что всякое замкнутое множество F,
содержащее А, должно содержать и пределы всех
сходящихся последовательностей точек из А.
Следовательно, AczF. Но так как само А замкнуто, то оно и есть
наименьшее из всех замкнутых множеств F zd А.
Без всякого изменения переносятся из Rn в
произвольное метрическое пространство Е понятие
внутренней точки и понятие открытого множества. Всякий
открытый шар будет открытым множеством. Остаются
в силе теоремы II. 3.3—5, устанавливающие связь
открытых множеств с замкнутыми и основные свойства
открытых множеств.
§ 4. Полные метрические пространства
В математическом анализе весьма важную роль
играет то, что в совокупности вещественных чисел
признак сходимости Больцано — Коши является не только
необходимым, но и достаточным. Этот признак в
полном объеме переносится и в евклидово пространство/?„;
для того чтобы последовательность точек хт из Rn
сходилась к некоторому пределу, необходимо и
достаточно, чтобы p(xm,xp)-*0 при т, р-*оо.
Действительно, пусть хт = (|(,'n), ^m), ..., Цт)) и пусть
Р{*т> хр)-+0 при т, р->оо. Отсюда следует, что
- |<т) — |<р> -> 0 при каждом I,
и потому, на основании признака Больцано — Коши для
числовой последовательности, существует конечный
limgj¦¦> = ?,. Тогда хт->х = Aг |2, ..., ?„).
Доказательство необходимости условия Больцано —
Коши в пространстве Rn предоставляем читателю. Ниже
эта часть признака будет доказана в произвольном
метрическом пространстве.

70
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. III
Однако в произвольном метрическом пространстве
признак Больцано — Коши в части достаточности
может оказаться неприменимым. Например, если в
множестве всех рациональных чисел определить расстояние
по той же формуле, что и в /?ь т. е. положить р(х, г/) =
= \х— у\, то получится метрическое пространство. Но
последовательность, составленная из рациональных
чисел, может не иметь в этом пространстве предела и
в то же время удовлетворять условию Больцано — Коши:
так будет, если пределом этой последовательности в Ri
является иррациональное число. В настоящем
параграфе мы выделим класс пространств, в которых
признак Больцано — Коши остается, в силе.
Определение. Последовательность точек хп
метрического пространства Е называется
фундаментальной (или сходящейся в себе), если р(хп,xm)—>0 при
п, т-+ оо.
Следующая теорема означает, что в части
необходимости признак Больцано — Коши действует в любом
метрическом пространстве.
Теорема III. 4.1. Если последовательность {хп}
сходится к пределу, то она фундаментальна.
Доказательство. Пусть хп —*¦ х. Тогда
Р \хп> хш
) <р (хп, х) + р (х, хт) п,т+х*0.
Определение. Множество точек метрического
пространства называется ограниченным, если оно
содержится в каком-нибудь шаре. Для пространства Rn
в II. 2 было дано другое определение ограниченности
множества, равносильное приведенному сейчас.
Теорема III.4.2. Всякая фундаментальная
последовательность {хп} ограничена.
Доказательство. Зададим е >0 и подберем N
так, что р(хп, xN) < e при п^ N. Положим
г = max [г, р (*,, %), р (х2, xN) p (%_,, xN)].
Тогда р(х„, xN) ^ г уже при всех и=1, 2, ..., т. е.
все хп е S* {xN, r) *).
Дадим основное в теории метрических пространств
определение.
*) Заменяя г на г'>г, можно все хц заключить и в открытый
map S(xn, r')t

§4]
ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
71
Определение. Метрическое пространство
называется полным, если в нем всякая фундаментальная
последовательность имеет предел.
Мы уже проверили полноту Rn. Большинство
пространств, приведенных в качестве примеров в III. 1,
также полны. Докажем, например, полноту /.
Пусть точки хп = {!<">} gJh образуют
фундаментальную последовательность. Так как при каждом i
165? - 61"° |<Р (***«).
то и |<.п) — |И п.^-юо-» 0. Отсюда следует, что при
каждом I существует конечное g, = lim ?<.">. Докажем,
что последовательность * = {|,}eJ и что х = \\тхп.
Согласно данному условию, для любого е > 0
существует такое N, что при п, tn^-N
(=1
Оставляя в сумме лишь конечное число слагаемых, имеем
тем более при любом натуральном р и при п, m~^zN
. i|i!rt)-iim)|<|.
1=1
Фиксируя п и переходя к пределу при т->оо, получим
р
U'/0- М^Т* ^ак КЗК ЭТ° неРавенстВ0 веРН0 при
1=1
оо оо
любом р, то ряд 211 If — I, | сходится и 21 | ?<">—lt | <
^-p-<e. Тем самым доказано, что последовательность
[If — %i} e I; но тогда и * = {|,.}е/, а неравенство
оо
2 11[п) — 11\ < 8 означает, что р(хп, х)<е при n^N.
Аналогично доказывается полнота пространства /2.
Проверим полноту С. Пусть х„ — функции из С и
р{Хп, хт)-*0. Тогда ясно, что при каждом /
последовательность значений {xn(t}} — фундаментальная.
Следовательно, существует x(t)= limxn(t).
2

72
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. Ш
Теперь по заданному е > 0 находим N так, что
р(хп,хтХ& при п, m^zN, т. е. \xn(t) — xm(t) | < s
при всех t и"при п, m^N. Переходя здесь к пределу
при т-*оо, получим \xn(t)— дс(^)|^е при всех t и
n^N, т. е. сходимость {хп} к х — равномерная. А тогда
х принадлежит С и р(хп, х) -*~0.
По аналогичной схеме доказывается полнота т.
CL не полно. Это будет подтверждено в VIII.5.
Всякое подмножество Ех метрического пространства
Е может рассматриваться и как самостоятельное
метрическое пространство, если для любых двух точек из Е\
сохранить то определение расстояния, которое было
введено в Е. В связи с этим приведем одну полезную для
дальнейшего теорему.
Теорема III.4.3. Всякое замкнутое подмножество
F полного метрического пространства Е само является
полным метрическим пространством.
Доказательство. Пусть хп е F и образуют
фундаментальную последовательность. Так как Е полно, то
в Е существует х= limxn. Но, вследствие замкнутости/7,
xeF. Следовательно, всякая фундаментальная
последовательность точек из F имеет в F предел, что и
означает полноту F.
Установим еще одну лемму, -неоднократно
используемую в последующем.
Лемма III.4.1. Если из фундаментальной
последовательности {хп} можно выделить такую частичную
последовательность, которая сходится к некоторому
пределу, хП1-^х, то и вся последовательность сходится
к тому же пределу: хп —* х. '
Доказательство. Для любого п, беря лг- ^ п,
имеем по неравенству треугольника
Р{хп, *)<Р(хп, хп) + р(*„., х).
Если п—»¦ оо, то и nj-*oo, а тогда правая часть
стремится к 0. Следовательно, и р(хп,х)—*0, т. е. хп-*х.
§ 5. Сепарабельные пространства
В множестве всех вещественных чисел R\
подмножество D всех рациональных чисел обладает следующим
важным свойством: каждое вещественное число пред-
ставимо как предел последовательности рациональных

§5]
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
73
чисел. Таким образом, замыкание D = R\. Это
свойство называют плотностью множества рациональных
чисел в. /?;. Перенесем понятие плотности в
произвольные метрические пространства.
Определение. Множество А точек метрического
пространства Е называется всюду плотным (в Е), если
А=Е.
Как следует .из III. 3, равенство А = Е означает, что
для любого ле? и любого е > 0 существует такой
х'^А, что р (л/, х) <. е. Это в свою очередь равносильно
тому, что каждый хе? представим в виде я = Птх,ь
где хп <= А.
Определение. Метрическое пространство
называется сепарабельным, если в нем существует счетное
или конечное всюду плотное подмножество*).
Большинство пространств, рассмотренных выще в
качестве примеров, сепарабельны.
В Rn каждая точка представима в виде предела
последовательности точек с рациональными
координатами. А точки с рациональными координатами образуют
счетное множество по теореме 1.4.9 (см. II. 1).
Следовательно, Rn сепарабельно.
Сепарабельность пространства I устанавливается
так. Пусть х = {g,} ен /. Положим
Xn = {h,h, -¦¦> In, 0, 0,...}.
Тогда х„-+х по- определению сходимости в I. Но при
каждом п можно найти точку х'п = (г,, г2, ...,гл,0, 0, ...)
с рациональными координатами, сколь угодно близкую
к х„, например так, что р(х'п, хп) < \/п. А тогда кх'п->х.
При каждом фиксированном п множество Dn всех
точек вида (гь г2 г„, 0, 0, ...) с рациональными
координатами счетно по теореме 1.4.9. Объединение
со
[jDn тоже счетно по теореме 1.4.4 и, как мы уже по-
казали, всюду плотно в /. Следовательно, /
сепарабельно.
*) Легко видеть, что если пространство содержит
бесконечное множество точек, то никакое его всюду плотное подмножество
не может быть конечным.

74
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. III
Тем же рассуждением проверяется сепарабельность
пространства I2. Относительно пространства т можно
доказать, что оно не сепарабельно.
Пространство С сепарабельно. В нем счетным всюду
плотным множеством является, например, множество
5s всех алгебраических полиномов с рациональными
коэффициентами.
Действительно, по доказываемой в математическом
анализе теореме Вейерштрасса каждая непрерывная на
отрезке функция х представима как предел равномерно
сходящейся последовательности полиномов Qn*)-
Разномерная сходимость и есть сходимость в метрике
пространства С, т. е. Qn-*x. Заменяя все коэффициенты
каждого из полиномов Qn достаточно близкими
рациональными, мы найдем полиномы Рп из множества ЯР
(см. 1.4) так, что
\Pn(t)-Qn(t)\<^
на всем отрезке a^t^.b. Тогда р(Рп, Qn) < l/«,
откуда следует, что Р„ —*х по расстоянию в С. Тем самым
доказано, что множество 5я всюду плотно в С.
Так как сходимость в С влечет сходимость в CL
(см. Ш. 2), то множество 5s всюду плотно и в CL, а
потому пространство CL тоже сепарабельно.
§ 6. Нормированные функциональные пространства
Понятие нормированного пространства — одно из
самых основных понятий функционального анализа.
Теория нормированных пространств была построена,
главным образом, С. Банахом**) в 20-х годах
нашего столетия. Имея в виду применение в этой книге
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Основы
математического анализа, т. II, п° 278. Обобщение теоремы Вейерштрасса
на случай функций нескольких переменных можно найти в книгах:
Ш. Ж- Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ,
1933, т. II, п° 108, или А. Ф. Тим а и, Теория приближения
функций действительного переменного, Физматгиз, 1960, стр. 13. См.
также У. Рудин, Основы математического анализа, «Мир», 1966,
стр. 178.
**) С. Банах A892—1945)—выдающийся польский
математик один из основателей функционального анализа.

§ 6] НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 76
понятия нормированного пространства при изучении
некоторых классов функций, мы ограничимся здесь лишь
рассмотрением функциональных нормированных
пространств, т. е. пространств, элементами которых служат
функции.
Пусть Т — произвольное множество, а X— непустая
совокупность некоторых вещественных функций x{t)
с конечными значениями, заданных на Т. Множество X
называется линейным, если оно замкнуто относительно
операций сложения функций и умножения фунйцйи На
число, т. е. если оно удовлетворяет следующему
условию: для любых двух функций х и у из множества X
и любого вещественного числа К функции х-\-у и %х
тоже принадлежат X.
Заметим, что если в качестве Т взять множество
всех натуральных чисел п, то функции x(t)
превращаются в бесконечные числовые последовательности
х — х(п); если за Т принять множество из первых п
натуральных чисел, то функции на Т превращаются в
точки n-мерного пространства. Таким образом, все
сказанное ниже применимо и к множествам
последовательностей и к множествам точек л-мерного пространства.
Из определения сразу получается, что если
множество X — линейное, то дтя любого конечного числа
функций хи Хг, . ¦., Xh из X и любых вещественных чисел
k
h, fa, ..., fa функция *@ =2 M*@ (коротко пи-
1=1
k
шем: х = 2 Mi) тоже входит в X. В частности, раз-
ность любых двух функций из X входит в X. Функция,
тождественно равная на Т нулю, представима как
произведение любой функции из X на число 0 и потому
входит в X. Эту функцию назовем нулевым элементом
совокупности X. Нулевой элемент будем обозначать
буквой 0 *).
Во многих линейных функциональных множествах
удается ввести метрику специальным образом так, что
*) В функциональном анализе рассматривается гораздо более
общее понятие линейного множества (или линейной системы),
составленного из любых элементов, арифметические действия над
которыми определяются аксиоматически. См., например, Б. 3. Вулих,
Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967, § 5.1.

76 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. III
за основное принимается не понятие расстояния, а
некоторое другое — норма элемента.
Определение. Линейное множество X функций
называется нормированным пространством, если для
каждого элемента х ge X определено вещественное
число, называемое его нормой и обозначаемое ||*||, причем
выполнены следующие условия:
I. ||*|| ^ О для любого х^Х; \\х\\ = 0 только для
* = 0;
II. ||Lc|| = |Я| ||*|| для любого хеХ и любого
числа Я;
III. ||* + г/|| ^ ||*|| + \\у\\ для любых *, г/<=Х
(неравенство треугольника).
Определим теперь расстояние в нормированном
пространстве X, полагая для любых *, j/eA
Р(х,у) = \\х-у\\. G)
Из этого определения следует, поскольку * — 0 = *, что
||*|| = ||*- вЦ = р
т. е. норма любого элемента равна его расстоянию от 0.
Проверим, что в X выполнены все аксиомы
метрического пространства.
Если * Ф у, то * — у ф 0, а тогда, по формуле G) и
по условию. I из настоящего параграфа, р(*, г/)>0;
если же * = у, то * — у = 0, следовательно, р(*, у) = 0.
Далее, * — у = (—1) (у—¦ х), а потому, на основании
аксиомы II, \\х — у\\ = \\у — х\\, т. e.v p(*, у) = р(у, *).
Наконец, неравенство треугольника для расстояния
вытекает из неравенства треугольника для нормы:
Р (*, У) = 11 х - у || = || (* - г) + (z - у) IK
^\\x-z\\ + \\z-y\\ = p(x,z) + p(z,y).
Таким образом, нормированное пространство —
частный случай метрического пространства.
Примером нормированного пространства может
служить евклидово пространство Rn, если в нем для
каждого * = (|i, Ь, .... In) положить || * || = 1/ 2 1\ •
Выполнение первых двух аксиом нормы здесь
очевидно (нулевым элементом в /?„ будет точка 0, все ко-

§ 6] НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
ординаты которой равны 0), а неравенство
треугольника для нормы превращается в неравенство Коши,
доказанное в II. 1 (неравенство D)). Если, исходя из
нормы, ввести в Rn расстояние с помощью формулы
G), то оно совпадет с тем расстоянием, которое было
непосредственно определено в /?„ в II. 1.
Другим примером нормированного пространства
может служить пространство С непрерывных функций на
отрезке [а,Ь], если положить ||х|| = max \x(t) |.
И здесь выполнение первых двух аксиом нормы
очевидно, а неравенство треугольника для нормы
проверяется так же, как это сделано в III. 1 для расстояния
в пространстве С. Формула G) приводит в С к тому
же расстоянию, которое было введено в С в III. 1.
В дальнейшем мы встретимся еще с рядом
функциональных нормированных пространств.
Если применить общее определение сходимости,
данное в • метрических пространствах, к нормированному
пространству, то получаем:
хт-*х означает, что ||хт — х||->0.
Эту сходимость мы будем иногда называть сходимостью
по норме. По общим свойствам расстояния' в
метрических пространствах ||*—-«/||— непрерывная функция
своих аргументов, т. е. если хт-*х, ут-*у, то
\\хт~Ут\\-*\\х — у\\ (см. III. 2). В частности, полагая
все ym = Q, получим, что \\хт\\ —* \\х\\ при хт-*х
(непрерывность нормы).
Следующие предложения выражают свойство
непрерывности основных арифметических операций в
нормированном пространстве.
а) Если хт-*х, ут -> у, то хт + ут-*х + у.
Действительно,
II (Хт + Ут) — (* + У) II = II (Хт — х) + (ут — У) ||<
<\\хт-х\\ + \\ут-у\\->0.
б) Если хт->х, Хт-+К, то Хтхт-+%х,
Действительно,
I! 1тхт - U || = || Кт {х,п— х) + (Я,т - к) х || <
<|Ят|||*,„~л:|ЖАт-А|||*11-»0..

78 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. III
Для ограниченности множества в нормированном
пространстве X можно дать более простое определение,
равносильное тому общему определению, которое было
введено в произвольных метрических пространствах
(см. III. 4): множество ЛсХ ограничено, если Нормы
всех его элементов в совокупности ограничены.
Действительно, если А ограничено по общему определению,
то оно содержится в некотором шаре: A cS'(^, г).
Следовательно, \\х~х0|| ^ r для всех хеД, а тогда
II х || = || (х - х0) + х01| < || дс - х01| + Ц jc0 II <г + 11*о II-
Обратно, если ||*|| ^ R для всех х^А, то A crS*@, R)
и тем самым А ограничено по общему определению.
Фундаментальная последовательность {хт} в
нормированном пространстве, в соответствии с определением
расстояния, характеризуется условием
II *т — *рЦ->0 ПРИ ttl,p-*оо.
Из теоремы III. 4.2 следует, что нормы элементов
всякой фундаментальной последовательности в
совокупности ограничены.
Полное нормированное пространство, т. е. такое, в
.котором всякая фундаментальная последовательность
имеет предел, называется банаховым. Введение этого
термина объясняется тем, что С. Банах при построении
теории нормированных пространств уделял главное
внимание полным пространствам.
В нормированном пространстве можно
рассматривать ряды, составленные из элементов этого простран-
00
ства: 2 хт. Сумма ряда определяется обычным способом,
m=I
как предел последовательности частичных сумм; если
этот 'предел существует, ряд называется сходящимся.
§ 7. Линейные функционалы в нормированных
пространствах
Обобщая понятие функции от одной переменной,
дадим следующее определение: отображение метрического
пространства (или какого-нибудь его подмножества) в
множество вещественных или комплексных чисел назы-

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 79
вается функционалом*). В этой книге мы
рассматриваем только функционалы с вещественными
значениями и в дальнейшем не будем оговаривать это
каждый раз.
Примером функционала в пространстве С может слу-
ъ
жить интеграл Г x{t)dt. Значение функции x(t0) в фик-
а
сированной точке t0— также функционал.
Иногда приходится иметь дело с функционалами с
несколькими аргументами. Так, например, расстояние
р(х, х') в метрическом пространстве X можно
рассматривать как функционал с двумя аргументами х и х',
определенный для любой пары точек из пространства X.
Определение непрерывности, сформулированное в
II. 7 для функций в евклидовом пространстве, может
быть перенесено и на функционалы в любых
метрических пространствах.
Определение. Функционал f, заданный на
множестве D сХ, называется непрерывным в точке Хо е D,
если для любой последовательности точек xmGD, такой,
что хт—*Хо, имеет место соотношение /(хт) —*¦ /(хо).
Функционал называется просто непрерывным, если он
непрерывен в каждой точке того множества, на котором
он задан.
Мы дали определение непрерывности функционала
на языке последовательностей. Можно сформулировать
его и в других терминах. Именно, функционал /
непрерывен в точке х0 е D, если для любого е > 0 существует
такое б > 0, что при всех лгеД удовлетворяющих
условию р(х, хо) < б, имеет место неравенство
\}(x) — f(x0)\<. г. Равносильность этого определения
с первым, данным на языке последовательностей,
устанавливается так же, как для обычных функций в
математическом анализе.
Норма элемента в нормированном пространстве
представляет непрерывный функционал. Это и было
фактически доказано в III. 6.
В нормированных пространствах особо важную роль
играют так называемые линейные функционалы. Будем
*) Впрочем, такое отображение называют и просто функцией.

80
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 111
считать, что нормированное пространство X содержит
элементы, отличные от нулевого*).
Определение. Функционал /, заданный в
нормированном пространстве X, называется линейным, если он:
а) дистрибутивен, т. е. для любых Х\, х%, ..., ^еХ
и любых чисел Х\, Я2, ..., %ъ.
V;=i / i=t
б) непрерывен.
Можно доказать, что если функционал / аддитивен,
т. е.
f(xl-r-x2) = f(x1)-\-f(x2) для любых хи х2^Х,
и непрерывен, то он однороден, т. е.
/ (Кх) = Я/ (л;) для любого х е X и любого числа Я,
и тем самым функционал / дистрибутивен. Однако мы
не используем в последующем это замечание, поскольку
в тех случаях, которые встречаются ниже,
дистрибутивность функционала проверяется очень легко.
Заметим, что для всякого дистрибутивного и даже
-всякого аддитивного функционала /@) = 0.
Действительно, беря любой хеХ, имеем
f(x) = f(x + Q) = f(x) + fF),
откуда и видно, что /(б) = 0.
Теорема III. 7.1. Если дистрибутивный
функционал f непрерывен в какой-нибудь точке х0 е X, то он
непрерывен и в любой точке х^Х, т. е. он линеен**).
Доказательство. Пусть хт^Х и хт-*х. Тогда,
по непрерывности арифметических операций в X,
*) Множество X, состоящее из одной функции 0@ s= 0, для
которой положено [|8[| =-0, очевидно, будет нормированным
пространством. Этот случай исключается из рассмотрения в
настоящем параграфе.
**) Нетрудно показать, что в этой теореме вместо
дистрибутивности функционала / можно ограничиться требованием, чтобы он
был аддитивным.

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 81
хт — х~-\-Хо-*х0, а вследствие непрерывности
функционала в точке х0
! (хт) — ! (*) + / (х0) -» f (*о),
откуда f(xm)-*f(x).
Благодаря этой теореме при доказательстве
линейности какого-нибудь дистрибутивного функционала
достаточно проверить его непрерывность, например, в
точке 0. А непрерывность в точке 0 означает, что если
||jU|-*0,To/(Jtra)-0.
Докажем, что в евклидовом пространстве Rn всякий
дистрибутивный функционал линеен. Сложение двух
элементов из Rn производится «покоординатно», т. е.
если x = (h, |2, .... in), У = (Чи т]2 т]„), то
x + y = (li + r\i, i2 + ib. • ••> Sn + ibi).
Аналогично
Ях = (Л|„ Я|2, ..., %%п).
Если ввести в рассмотрение координатные орты ег
в Rn (/= 1, 2, ..., п), т. е. элементы, у которых г'-я
координата равна 1, а все остальные равны 0, то
всякий х = Aи ?2, ..., ln)^Rn можно представить в виде
п
x='Ehei.
Пусть / — произвольный дистрибутивный функционал
в Rn. Положим f(ei) = a,i (i= 1, 2 п). Тогда для
любого х е Rn
п п
i=i j=i
Пусть A:m = (^m), ^m) ^m))^-9. Это означает, что
?('«) >о при каждом /. Но тогда и
' т->°=
т
»=1
т. е. функционал / непрерывен в нулевой точке и, по
предыдущей теореме, он линеен.

82
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. III
Ясно, что при любых аь аг, ..., ап формула
п
f(x)= Sa/1/
1=1
определяет дистрибутивный функционал в Rn- Таким
образом, эта формула дает общий вид линейных
функционалов в Rn.
Для дистрибутивных функционалов в нормированном
пространстве свойство непрерывности оказывается
равносильным другому4 свойству — ограниченности,
которое определяется следующим образом.
Определение. Функционал /, заданный в
нормированном пространстве X, называется ограниченным,
если существует такая неотрицательная постоянная С,
что
I/WKCIUH (8)
для всех xg!
Теорема III. 7.2. Для того чтобы дистрибутивный
функционал f был линейным, необходимо и достаточно,
чтобы он был ограниченным*).
Доказательство, а) Необходимость. Пусть
функционал f линеен, но предположим, что он не
ограничен. Следовательно, для любого натурального m
существует xm <= X, для которого
f{xm)> т\\хт\\.
Из этого неравенства следует, что f(xm)=?0, а значит,
хтФ%. Положим х'т = т *™ ц . Тогда ||Xmll = —->0,
т. е. х'т-*в; но
f{X'm)= т\\хтт\\ >1'
что противоречит непрерывности функционала /. Таким
образом, функционал f ограничен.
б) Достаточность. Пусть дистрибутивный
функционал / ограничен, т. е. выполнено условие (8). Если
хт—>б, т. е. ||хт||-+0, то из (8) сразу следует, что и
*) Эта теорема тоже верна для любого аддитивного
функционала.

§ 7] ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 83
f(xm)-*0, т. е. функционал / непрерывен в точке 8 и по
теореме III. 7.1 он линеен.
Определение. Для линейного функционала /
наименьшая постоянная С, при которой условие (8)
выполнено при всех х е X, называется нормой
функционала / и обозначается ||/||.
Докажем, что такая наименьшая постоянная
существует и равна
sup | / (х) |,
X €=S*
где S* — единичный шар в пространстве X, т. е.
совокупность всех х^Х с ||дг||^1. Иными словами, ||/||
равна точной верхней границе множества значений
\f{x)\ на шаре S*.
Действительно, если С— какая-то постоянная из
условия (8), то для любого xeS*
|/(*)|<С||*||<С,
а потому
'C,= sup|/0c)|<C.
XGS*
Для любого х ф 9 положим x'==-~j. Тогда /eS*,
следовательно, |/(*') l^^i. a
l/WIH/(ll*ll*OIHI*lll/(*OKCill*ll-
Таким образом, для всех х ф 9 условие (8) выполнено
и с постоянной С\. Для х = 9 оно тривиально.
Следовательно, С\ и есть наименьшая постоянная в этом
условии, т. е. С, = Ц/11.
Из определения нормы, в частности, следует, что для
любого хеХ
I/WKIIЛ11И1.
Примером линейного функционала в пространстве С
может служить f(x) = x(t0), где t0 — фиксированная
точка из области определения функций х. Для этого
функционала ]|/1|= 1. Если С состоит из непрерывных
ъ
функций на отрезке [a, b]czRu a f{x)—)xdt, то
а
/ — линейный функционал и \\f\\ = b — a.

84 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ill
Если ряд 2 хт элементов нормированного npOCT-
n^l
оо
ранства Х^ сходится, а х — его сумма, х=^хт,
и / — линейный функционал в X, то
оо
fto = 2f(*m). (9)
т
Действительно, л: = Пташ, где ат=2*ь a потому
/ (х) = lim / (от) = lim S / (*<) = 2 / (**)•
i=i i=i
¦х

ГЛАВА IV
МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
§ 1. Аддитивные функции множества
Понятие меры в евклидовом пространстве
представляет собой естественное обобщение таких элементарных
понятий, как длина промежутка, площадь
прямоугольника, объем параллелепипеда. Это понятие необходимо
для построения интеграла более общего, чем тот,
который изучался в курсе математического анализа
(интеграл Римана). Однако в этой главе мы рассмотрим
понятие меры в весьма общем виде, на произвольных
множествах. Частным случаем общего процесса построения
меры в абстрактных множествах явится построение
меры Лебега в евклидовом пространстве, осуществляемое
в следующей главе.
Функция, областью задания которой является
некоторая совокупность множеств, называется функцией
множества. Пусть вещественная функция / задана для всех
А из совокупности St некоторых множеств. Не исключено,
что f(A) может принимать значения +°° и —°°, однако
для упрощения последующих определений мы
предполагаем, что если / и допускает бесконечные значения, то
только одного определенного знака, например, только
+ оо. Функция / называется счетно-аддитивной, если для
любой конечной или счетной совокупности
дизъюнктных множеств Л;еЯ, объединение которых A = [jAi
i
тоже принадлежит 9т, имеет место равенство
/04)= 2 f(At)*). A)
i
*) При сложении +°о с любой конечной величиной или тоже
с -|-оо сумма естественно считается равной +°°.

86 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
Если же равенство A) обеспечено лишь в случае,
когда А — объединение конечного числа дизъюнктных
множеств А{ (А и все А{ из 3?), то функция / называется
конечно-аддитивной или просто аддитивной.
Пусть теперь область задания 9? функции / — кольцо
множеств. Тогда объединение любого конечного числа
множеств Ai e 9J тоже принадлежит D?. Поэтому, если
известно, что для любых двух дизъюнктных множеств
Ai и А2 из S?
i{Al\}A2) = t{A{) + l{A2),
то отсюда по индукции сразу получится равенство A) и
для любого конечного числа дизъюнктных множеств
Ai e 9?. Таким образом, функция / будет
конечно-аддитивной.
Аддитивные функции на кольце обладают
следующим свойством: если А, В е St, В с: А и значение f(A)
конечно, то и f(B) конечно.
Действительно, из аддитивности функции f следует,
что
f(A) = f(B) + f(A\B)
(множество А\В^Ш, так как 9? — кольцо). Если
допустить, что f{B) = -f-oo, то из предыдущего равенства
будет следовать, что и f(A) = +°°> вопреки условию.
Пусть А, В<=Я1, В с. А и предположим, что f (В)
конечно. Тогда из предыдущей формулы сразу следует, что
f(A\B) = f(A)-f(B)*). B)
Полагая в формуле B) В = А, находим
f@) = f(A)-f(A) = O.
Таким образом, .равенство f@) = 0 > непременно
имеет место, если существует хоть одно множество
ЛбЯ, для которого f(A) конечно.
Счетно-аддитивные функции с конечными
значениями могут быть охарактеризованы с помощью
следующей теоремы.
Теорема IV. 1.1. Для того чтобы аддитивная
функция f с конечными значениями, заданная на коль-
*) Если бы f(A) = f(B) = +оо, то формула B) не имела бы
смысла.

§ 1]
АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА
87
це ift, была счетно-аддитивной, необходимо и
достаточно, чтобы для любой убывающей последовательности
множеств Л» е 9? (г = 1, 2, ...) с пустым пересечением
(длН
Н^)->о.
Доказательство. Если / счетно-аддитивна, то
для убывающей последовательности множеств Л?е9?
с пустым пересечением из формулы C) гл. I, а также
из только что установленной формулы B) следует, что
f(Al) = iiU(Ai)-f(Ai+i)]=\imn^[f(Ai)~f(Ai+1)] =
i=l /г->°° г'=1
= f{Ax)-\\mf{An).
Следовательно, f(An)-+0.
Обратно, пусть выполнено условие теоремы и пусть
00
Лей, A = \jA{, где множества Л,-е 9? и дизъюнктны.
оо оо
Положим Вп = [J At. Тогда f\Bn—0,
Б„ = Л\(Л,иЛ2и ... иЛ„)ей,
а из конечной аддитивности функции / следует, что
f(A)=tf(At) + f(Bn).
Но по условию /(??„)-> О (см. предложение 2° из 1.2),
оо
и потому f(A)= 2 /(Л,). Таким образом, функция /
;=i
счетно-аддитивна.
Теорема IV. 1.2. Яг/сгь / — счетно-аддитивная
функция, заданная на кольце Si. Если А е 9? и
ОО
Л = [J Л(, где At е 9? ы образуют возрастающую после-
довательность, то
/(Л) = Ит/(Л(). C)

88 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
То же равенство справедливо, если А — [] At{A, At е9?),
i=i
Ai образуют убывающую последовательность и f(Af)
конечно, начиная с некоторого L
Доказательство.' Рассмотрим случай
возрастающей последовательности и допустим сначала, что
все f(Ai) конечны. Тогда из формулы E) гл. I следует
f(A) = f(Al)+yEt[f(Ai)-f(Ai.l)],
г=2
что равносильно C). Если же f(At) = ^f-'oo, начиная
с некоторого t, то и f(A)= + оо и равенство C)
выполняется тривиальным образом.
В случае убывающей последовательности можно, не
уменьшая общности, считать, что уже f(A\) конечно.
Тогда при исследовании функции / на той части
кольца Ш, которая состоит из подмножеств, содержащихся
в А и можно применять теорему IV. 1.1. А так как оче-
оо
видно, что f](A{\ А) = 0, то по этой теореме
1(АС\А) -> О, что опять равносильно C).
§ 2. Мера и ее свойства
Следующее определение играет основную роль во
всем дальнейшем.
Определение. Пусть X—произвольное
множество. Мерой в X называется вещественная,
неотрицательная, счетно-аддитивная функция пг, заданная на
некотором полукольце 9? подмножеств множества X, причем
ш0 = 0.
Мера m называется конечной, если niA < ~-$<х>
для любого А е 92. Мера m называется а-кбнечной,
если для любого Лей существуют такие Д„еЯ
(п = 1, 2, ...), что Acz\jAn и m/4n<-f-oo для
п
каждого п.
Заметим, что для сг-конечной меры условие т0 = 0
может быть выведено из прочих свойств меры. Однако в
общем случае это не так: неотрицательная
счетно-аддитивная функция может быть тождественно равна +°°.

§2]
МЕРА И ЕЕ СВОЙСТВА
89
Отметим некоторые свойства меры, легко
вытекающие из ее определения.
а) Если задано не более чем счетное множество
дизъюнктных множеств Л„еЭТ (п = 1, 2, ...)*)>
причем А п а А е 3t при любом п, то^тАп^ тА.
п
Действительно, если множеств Ап всего
конечное число (пусть их будет р), то, согласно предложе-
р
нию а) из I. 7, разность А \ (J Ап можно представить
n=i
в виде
А\{] Аа=[]Ск,
n=l k
где Ck e 9t и дизъюнктны. Отсюда
р
тЛ = 2 tnAn -j- 2 wiCft,
и=1 к
следовательно,
р
2 тЛ„^/лЛ.
Если же множеств Лп — счетная совокупность, то
предыдущее неравенство справедливо при любом р и,
переходя в нем к пределу при р-*оо, получим
ею
2 тАп^.тА,
п=1
Частным случаем свойства а) является так
называемая монотонность меры: если А, В е SH и В а А, то
m5 ^ тА.
б) ?сл« Л, Л„е9! (и = 1, 2, ...), Л с:(J An и сово-
п
купность множеств Ап конечна или счетна, то
mA ^ 2 tnAn.
п
*) Поскольку речь идет о не более чем счетной
совокупности множеств А„, то запись п = 1, 2, ... мы будем понимать как
указание лишь на то, что я принимает натуральные значения,
начиная с единицы. Однако при этом не исключено, что различных
значений п всего конечное число, например, п = 1, 2 р.

90
МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ (ГЛ. IV
Для доказательства положим Вп = Ап[\А. Тогда
Б„е5й и A = [jBn. Далее, введем множества
п
Dl = Bu D2 = B2\BU D3 = B3\(Bl\JB2), ... .
Согласно предложению 3° из 1.2 A =\JDn и при этом
п
Dn дизъюнктны. Далее, каждое Dn можно представить
в виде Dn = {JCnk, где Cak e= SR (k = 1, 2, ...) и дизъ-
к
юнктны, и тогда A = [JCnk, причем и в этом объеди-
п, k
нении все множества Спь дизъюнктны. Кроме того,
D„ cz В„, а потому по предыдущему предложению а)
2 tnCnk < mBn
к
при любом п. Отсюда
тА = 22 mCnk ^ 2 тВп ^ 2 /яЛ„.
л ft га га
Доказанное в п. б) свойство меры называется ее
счетной полуаддитивностью. Из этого свойства сразу
вытекает, что если конечное или счетное объединение
множеств меры, равной 0, входит в St, то его мера тоже
равна 0,
§ 3. Внешняя мера
В этом параграфе мы изучим функцию, играющую
очень важную роль в теории меры.
Определение. Пусть X — произвольное
множество. Внешней мерой в X называется вещественная
неотрицательная функция [х*, заданная на совокупности
всех подмножеств множества X и удовлетворяющая
следующим условиям:
1) 11*0 = 0;
2) если Е cz\J En, где совокупность множеств
п
ЕпаХ не более чем счетна, то ц*?'^2(А*^'п (счетная
га
полуаддитивность внешней меры).
Из счетной полуаддитивности вытекает, в частности,
монотонность внешней меры: если Е cz Eu то
ц*Е ^ ц*?ь

§3]
ВНЕШНЯЯ МЕРА
flf
Обращаем внимание читателя на то, что от внешней
меры не требуется свойства аддитивности, даже и
конечной*).
Рассмотрим теперь две конструкции, одна из
которых дает способ построения внешней меры по заданной
мере, а другая — меры по заданной внешней мере.
Теорема IV. 3.1. Пусть m — мера в X, заданная
на полукольце 9?, и пусть \i* — функция, определенная
для любого ? <=.Х по следующему правилу:
1) если для Е существует не более чем счетное
покрытие из полукольца 9т, г. е. Е с: (J Ап, где Ап е 91
п
(п = 1, 2, ...), то
ц'Е = inf 12 >пАп }.
где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям
указанного типа;
' 2) в противном случае \i*E = -f-oo.
Тогда ц* — внешняя мера в X, причем ц*Л = тА
для любого А е 9т.
Доказательство. Выполнение для (.i* условия 1)
из определения внешней меры очевидно. Условие 2)
нуждается в проверке только в случае, если S^'-^n < + °°.
п
В этом, случае зададим е > О и для каждого Еп
подберем покрытие, состоящее из множеств /4nfte9l
(k — 1, 2, ...), так, что
^]тЛ„А<ц*?„ + -|г.
к
Множества Anh в совокупности (п, k — 1, 2,' ...)
образуют не более чем счетное покрытие множества Е
(напоминаем, что в условии 2) Ecz{jEn\, причем
п I
ц*Е < 2 mAnk < S О4*?» + IF) < Е «**?» + 8'
л, k п п
Вследствие произвольности е отсюда и получается
требуемое неравенство. Таким образом, ^" — внешняя мера.
*) Мера в X будет внешней мерой в том случае, если она
задана на совокупности всех подмножеств из X.

S2 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
Равенство цМ = тА для Дей вытекает из
следующих соображений. С одной стороны, по
доказанному в п. б) из IV. 2,
тА^.^тАп
п
для любого покрытия множества А, а потому
тА =?С ц*А. С другой стороны, совокупность, состоящая
из одного множества А, представляет его собственное
_,_ покрытие и потому \i*A ^ тА.
Чччч /^""\ Тем самым ц*А = тА. Теорема до-
у/^х \ казана.
/ N*» ? 1 Будем далее говорить, что внеш-
/ 4N J няя мера ц,*, построенная в теоре-
\ УС. А' и^. IV. 3.1, порождена мерой т.
\. ^^л Ч Прежде чем переходить ко вто-
"*¦**[. ^ рой конструкции, введем обозначе-
Рис. 8. ние, которым мы будем
пользоваться в пределах всей этой главы:
если Е — произвольное множество из X, то Е' = Х\Е,
т. е. Е' — дополнение к ? относительно X.
Пусть теперь |д* — произвольная внешняя мера в X.
Возьмем два множества А, Е сг X. Условимся говорить,
что множество А «хорошо разбивает» множество Е,
если
ц*Е = ц*(ЕПА) + ]1*(ЕПА') D)
(рис. 8). Заметим, что по свойству счетной
полуаддитивности внешней меры в формуле D) всегда имеет место
знак ^. Поэтому, чтобы сказать, что А хорошо
разбивает Е, достаточно установить неравенство
lx*E>li*(E(]A) + \i*(E[)A% E)
а последнее нуждается в проверке только в случае
ц*Е < -f-oo.
Так как А и А' входят в формулу D) симметрично,
то если А хорошо разбивает Е, то А' тоже хорошо
разбивает Е.
А теперь назовем множество А сг X \f-измеримым,
если оно хорошо разбивает всякое множество EczX,

§3]
ВНЕШНЯЯ МЕРА
93
Сужение*) внешней меры \i* на совокупность всех
[1*-измеримых множеств обозначим через ц.
Теорема IV. 3.2. Совокупность <5 всех
[^-измеримых множеств в X — а-алгебра, а функция \х — мера в X:
Доказательство, а) Сначала докажем, что ©—¦
алгебра, а функция ц конечно-аддитивна.
Ясно, что само X и пустое множество входят в ©, а
потому совокупность © не пуста. Кроме того, из
сделанного выше замечания сразу следует, что если Л е б, то
и А' е= 6.
Пусть теперь Аи А2 е ©, а 5 = Л4 П А2; покажем,
что В хорошо разбивает любое EczX. Используя то, что
А[ и Л2 хорошо разбивают любое множество, имеем
,i*?=H*(ErMi) + Ii*(ErMi) =
= (i* (Я П Л, Л А2) + ц* (? П Л. П Аг) + И* (Е Р Л[).
С другой стороны,
A*(?Л?() + Ц*(?ЛВ0 =
= ц*(ЕПВ) + ц*(?ПЯ'ПЛ,) + A*(?ПВ'ЛЛ0.
Но В':эЛь а Б' р ^i == Л1 П А'г, и потому правые части
в обоих равенствах совпадают; следовательно,
li*E=n*(Ef}B) + li*(E()B').
Таким образом, Веб и © — алгебра (см. замечание
после теоремы 1.7.1).
Пусть, наконец, Л,, Л2е©, Л, р Л2 = 0 и Л= Л, U Л2.
Тогда, поскольку Л! неизмеримо, имеем для любого
EczX
(х*(?рЛ) = 1х*(?рЛрЛ1) + ц*(?рЛрЛ[).
Но ЛрЛ1 = Ль ЛРЛ[ = Л2, следовательно,
^*(?РЛ) = Ц*(?РЛ,) + ^(?РЛ2). F)
*) Если F—произвольное отображение, заданное на каком-то
множестве Ш = {с}, a S)l с Щ, то сужением отображения F на
множество Ш называется отображение Ф, задаваемое только на
sJf по формуле Ф(?) = F(E) (значения Ф(?) те же, что и F{E)
но область задания у Ф уже, чем у /¦'),

94 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
В частности, полагая Е — Л, находим
цА == ц* А = ц*Л] + \i*A2 = цЛ, + Ц^г-
Тем самым конечная аддитивность функции \i доказана.
б) Теперь покажем, что © — or-алгебра, а функция ц
счетно-аддитивна.
Пусть сначала Лйе© F=1, 2, ...) и дизъюнктны,
оо
а Л = \J Ak. Для любого натурального р положим
р
BP = \J Ak. Так как © — алгебра, то Вр е ©. А тогда для
произвольного ЕсХ
,х*? = ц*(?ЛЯр) + И*(?ЛВР).
Применяя к первому слагаемому в правой части
формулу F), которая по индукции распространяется на
любое конечное число дизъюнктных |д*-измеримых
множеств, и учитывая монотонность [г*, получим
\?Е =%'}>* i.E[\Ak) + \i*(E[\B'P)>
>?и*(?ГШ + ц*(?ПЛ').
Далее, переходя к пределу при р —» оо и используя
счетную полу аддитивность внешней меры, находим, что
»*E>JL\i*(E(\Ak) + ii*(E(\A')>n*(Ef)A) + ii*(EnA').
Тем самым мы пришли к неравенству E), откуда, как
мы знаем, следует, что А хорошо разбивает Е, т. е.
А е 6. Кроме того, полагая Е = Л, получаем
оо
цЛ ^ 2цЛй, а так как обратное неравенство справед-
ливо по определению внешней меры, то
00
цА= Sn4
Остается проверить, что © — (Т-алгебра. Пусть,
Л = (J Ak, где ЛА — произвольные множества из ©, '<

§ 41 СТАНДАРТНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕРЫ 95
Но тогда А представимо в виде объединения
дизъюнктных множеств по формуле D) из главы I, причем эти
множества входят в <5. Следовательно, по уже
доказанному, А е ©.
Теорема полностью доказана.
Будем далее говорить, что мера ц, построенная в
теореме IV. 3.2, порождена внешней мерой ц*.
Отметим некоторые свойства ^-измеримых множеств.
Г. Если ii*А = О, то А е= @.
Очевидно, поскольку в этом случае, благодаря
монотонности (л*, неравенство E) выполняется для любого
Е с X.
2°. Если А<=<& и цЛ = О, a EczA, то ? <= <5.
Действительно, из монотонности ц* следует, что
ц*? = 0, и остается применить предложение 1°.
3°. Если Ai с: Л cz A2, причем Аи Л2е<3 и цА1 =»
= цЛ2<-г-°0, то и Ле© (при этом по монотонности
меры \xA — \iAl = ]iA2).
Действительно, Л\Л1с:Л2\Л1. Но ДгХЛ^© и
|я(Л2\Л1) = 0, а тогда по п. 2°, Л\Л]е© и потому
i4=i4IU(/4\i4,)e©.
4°. Критерий ц*-измеримости. Пусть EczX.
Если для любого е > О существуют такие А, Be©,
что AcEcz В и ц(В \ А) < г, то Ее S.
Доказательство. Для любого натурального /г
подберем Л„, B„gS так, что
Л„с?сВп и .ц(Яя\А,)<7.
ОО ОО
Положим A = \jAn, B = f\Bn. Тогда Л, BeS,
Лс?сВ и 5\ЛсВ„\Л„ при любом п.
Следовательно, ц E \ Л) = 0. Согласно 2° отсюда вытекает, что
?\Ле2, а тогда и ?eS.
§ 4. Стандартное распространение меры с полукольца
на о-алгебру
Объединяя обе конструкции, разобранные в
предыдущем параграфе, мы осуществим теперь такое
распространение меры т, заданной в множестве X на
полукольце Я, которое приведет нас тоже к лмере, но

96 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
заданной на более обширной совокупности множеств из
X. Описываемый ниже процесс распространения меры
был предложен немецким математиком К. Каратео-
дори A873—1950).
Теорема IV. 4.1. Пусть m — мера в X, заданная на
полукольце Ш, ц* — внешняя мера, порожденная мерой
ш, ц— мера, порожденная внешней мерой ц*. Тогда
ц — распространение меры m на а-алгебру 6
^-измеримых множеств, т. е. 91 с: Ъ и tnA = \х.А для /leift.
В дальнейшем получаемую таким образом меру ц
будем называть стандартным распространением меры m
(или распространением по Каратеодори). цЛизмеримые
множества будем называть также т-измеримыми.
Доказательство. В проверке нуждается только
включение 9? сг <5, так как равенство тА = цА (для
А е Щ будет тогда вытекать из теоремы IV. 3.1.
Пусть А е Ш, а Е— произвольное подмножество из
X. Проверим неравенство E), причем, как отмечено в
предыдущем параграфе, достаточно считать, что
Jl*?<+00.
Опираясь на определение внешней меры ц*,
порожденной мерой т, мы можем по произвольному е > 0
подобрать Л„еЯ (п = 1, 2, ...) так, что
Еа[)Ая, 2 тЛ„ < ц*? + е.
п п
Далее имеем очевидные включения:
Е{]Ас[)(Ап(\А), E[\A'^\J{An[\A').
п п
Множества Ап(]А е Ш и образуют покрытие множества
Е[\А; следовательно,
ц*(?ГМ)<2т(Д,ПЛ). G)
п
Множества А„ Л А' представимы в виде разностей
Ап[\А'=Ап\{АпГ\А),~
а потому при каждом п существуют такие дизъюнктные
С„4е91 F = 1,2,...), что Ап[\А'= \JCnk. ПРИ этом
k
2 mCnk = тАп — т {Ап f] A).
ft

§ 4] СТАНДАРТНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕРЫ 97
Совокупность {С„й}„, ft образует покрытие множества
?Т1Л', следовательно,
ц*.(? П А') < 2 mCnk = 2тЛ„-2тDП А). (8)
п, k п п
Складывая G) и (8), получаем
ц* (Е П А) + ц* (? П Л') < 2 тЛ„ < jx*? + е.
п
Вследствие произвольности е отсюда вытекает
неравенство E), и теорема доказана.
оо
Замечание. Если X = \jAn, где Лве9? и
тАп < +°° при любом п, то не только сама мера т
а-конечна, но тем же свойством обладает и ее
стандартное распространение \i. Очевидно, верно и обратное:
если fi сг-конечна, то и т а-конечна, а X допускает
указанное выше представление.
Простейшие свойства m-измеримых множеств уже
были отмечены в конце предыдущего параграфа. В
частности, всякое подмножество Е m-измеримого
множества Л с цЛ = 0 тоже m-измеримо (и [iE = 0). В связи
с этим введем одно общее понятие.
Определение. Пусть т — произвольная мера в
X, заданная на каком-то полукольце St. Она называется
полной, если из того, что Лей, тА = 0 и ЕаА,
вытекает, что ?еЖ.
Теперь мы можем сказать, что стандартное
распространение любой меры m всегда оказывается полной
мерой. ,
Отметим одно общее свойство полной меры.
Теорема IV. 4.2. Пусть область задания 0?
полной меры m в X — а-алгебра. Если Е czX и для любого
е > 0 существует такое А е St, что Е с А и тА < е,
то Е е= Ш и тЕ = 0.
Доказательство. Для каждого натурального п
подберем множество An&ffi так, что ЕаАп и
1 °°
пгАп<^. Положим Л = Р)Л„. Тогда Л е 9? (так как
п «=1
3$ — а-алгебра) и тА = 0 по монотонности меры. Но
?с/1, и остается сослаться на полноту меры т.
4 Б. 3, Вулих

98 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ [ГЛ. IV
Вернемся к стандартному распространению
произвольной меры т (с полукольца 9?). Заметим, что
стандартное распространение может не быть минимальным
в том смысле, что сг-алгебра E m-измеримых множеств
может быть шире, чем а-алгебра, порожденная
полукольцом St. Мы проиллюстрируем это замечание в
следующей главе. Далее покажем, что повторное
применение процесса Каратеодори не дает ничего нового.
Именно, имеет место следующая теорема.
Теорема IV. 4.3. Пусть пг-мера в X, заданная на
полукольце St, ц — ее стандартное распоостранениг,
ц*у и v* — внешние меры, порожденные мерами m
и (д, (соответственно). Тогда v*E = ц*Е для любого
Ес=Х.
Отсюда уже непосредственно следует, что
совокупность ji-измеримых множеств совпадает с совокупностью
m-измеримых множеств, а тогда стандартное
распространение меры ц совпадает с самой ц.
Доказательство. Поскольку ц — распространение m (и,
в частности, 91 с©), то ясно, что v*E ^ \i*E для любого ЕаХ.
Следовательно, если \*Е = оо+, то и ц*Е = +оо и v*? = ц*?.
Пусть теперь v*E < +оо. Зададим е > 0. Так как внешняя
мера v* порождена мерой \л, то существует такая не более чем
счетная система множеств А„ е © (п = 1, 2, ...), что ?с[|4и
п
2Jn4<v'? + «.
Но цЛп = Ц*Л„ и потому при каждом п существует не более чем
счетная система таких множеств Впь е SR, что Ana:l\Bnk и
k
mBnk < ]iAn + -gi;
k
Отсюда
n, ft
В то же время Bell B„k и потому
п, k
H*E<'2lmBnk<v*E + 2e.
п, к
Вследствие произвольности е, ц*Е ^ v*E, и теорема доказана.
Е

§ 5] ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МЕРЫ
§ 5. Единственность распространения меры
Если в множестве X задана некоторая мера т (на
полукольце Щ, то возможно, что помимо ее
стандартного распространения ц на сг-алгебру © m-измеримых
множеств существуют и другие распространения на какие-то
другие о-алгебры. Однако в пределах (Т-алгебры ©
распространение, при некоторых ограничениях, оказывается
единственным. Точная формулировка этого результата
будет дана ниже, а сначала установим лемму,
представляющую и самостоятельный интерес. -
Лемма IV. 5.1. Пусть Е <= X и ц*Е <+°° (и* — внешняя
мера в X, порожденная мерой т). Тогда существует убывающая
последовательность множеств Н„ е @ (п = 1, 2, ...),
удовлетворяющая следующим условиям:
1) Е а Н„ и ц#„ < +оо при любом п;
2) каждое Н„ представимо в виде объединения йе более чем
счетной совокупности дизъюнктных множеств Тпн из полукольца й
k °о
3) Если Я = Г\ Нп, то \iH = ц*Е (ц — стандартное распро-
«=1
странение меры т).
Из условия 2) сразу следует, что множества Нп, а вместе с
ними и Я, входят в ст-алгебоу, порожденную полукольцом St.
Доказательство. Из определения \i* следует, что при
каждом п существует такая не более чем счетная совокупность
множеств /4п»еЭ1, покрывающая Е, что
k
Положим Dn—\\Ank- По свойствам полукольца (см. предложение
k
б) из I. 7) Dn можно представить и в виде объединения
дизъюнктных множеств Cnk sSR: Dn = [ J Cnk При этом Dn s @ и
k k
(среднее неравенство получается на основании счетной
полуаддитивности меры ц).
Теперь покажем, что все Dn можно заменить новыми
множествами Н„, образующими убывающую последовательность и
обладающими теми же прочими свойствами, что и Dn. Положим
4*

100 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ (ГЛ. IV
H\ = Db Далее имеем ?i = MCik, ?>2 = ЫС2;, где оба объ-
к l
единения состоят из дизъюнктных множеств (входящих в 9J).
Введем множества Bkt = С{к A C2i. Тогда Вы s Sft, дизъюнктны и
образуют покрытие множества Е *). Положим Я2 = I I Bui- Легко
k.l
видеть, что Я2=Я1П02 и, таким образом, Е сг Я2 с: Я].
Аналогично можно построить Я3 = Я2ЛА! и т. д.
¦ °°
Поскольку все Я„е=@, то и Я = Г"|Япе@, а по теореме IV. 1.2
цЯ = Игл цЯ„. Но
ц'Е < цЯ„ < ц?>„ < ц*? +1,
и потому цЯ = р,*?.
Теорема IV. 5.1. Пусть ц, — стандартное
распространение меры m с полукольца Ш на а-алгебру <&,
причем мера (х а-конечна, a v — мера, представляющая
распространение меры m на некоторую о-алгебру ЗГ г=э JR.
Тогда цА = vA для всех Л е 6 A 2. Если же,
дополнительно ко всем предыдущим условиям, мера v — полная,
то <5 с± St.
Доказательство, а) Пусть сначала Л s @ Л ? и цА <
< +оо. Построим множества Яп и Я, удовлетворяющие условиям
предыдущей леммы (при Е = Л),.тогда Яп, Я s S fl 2 и
ЦЯ„ = 2 H^ft = 2 m7"ft = 2 vf,tfe = v//">
гЯ = lim vffn = lim цЯп = цЯ = цЛ-
Положим JV = Я \ Л. Тогда W е @ Л ^ и ц/V == 0. Для любого
е>0 существуют такие Dp е ffi (p — 1, 2,...), чтоМсгМйрИ
р
2 mD0<e. Отсюда следует, что и
р
\N <2 vZ)p = 2 mDp<*
р р
и, тем самым, vW = 0. А тогда
vA = гЯ — vW = vЯ = цЛ.
*) Если х s ?, то х е Gu и «sCa при некоторых А и /, а
потому х е Вы.

§ 5] ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МЕРЫ ЦI
Пусть теперь Ле@A2, но цЛ =+оо. Так как мера р.
оо
сг-конечна, то X = liXn, где Х„ е© и \иХп < +оо для каждого п.
№=1
Далее, у каждого Хп существует не более чем счетное покрытие
с помощью множеств из Sft с конечными значениями меры т. Тем
самым и все X обладает покрытием такого -же типа. А тогда,
благодаря предложению б) из 1.7, X допускает покрытие дизъюнктными
множествами из 3? с конечными значениями меры т:
оо
X = (J/Cn, tfneift, m/C«< +оо («==1,2,...).
Положим
An = A()Kn (я-I, 2, ...).
/
оо
Тогда Л„ s © П ?, Ля дизъюнктны, Л = М Ап и цЛ„ < + оо. По
доказанному выше \А<, = цАп при всех га, следовательно, и
00 00
\А = 2 "Ап •= 2 Мя = М-
Отметим, что если SB — ст-алгебра, порожденная полукольцом
Sff, то Sc@f|2, а потому (хЛ = \А для всех Л е SB.
б) Предположим теперь, что мера v — полная, и пусть Л е ©,
причем |иЛ < +оо. По лемме существует такое множество Я е S3,
что Л с: Я и цЯ = цЛ. Как и выше, полагаем N = Я \ Л; при
этом (xiV = 0. Снова применяя лемму, найдем множество MeiB
так,'что Л'сМ и цМ == 0. Тогда М s SE и по замечанию,
сделанному в конце п. a), vM = 0. Вследствие полноты меры v, ЛГеЖ,
а тогда иЛ=Я\Л^е$Е. "^
оо
Если же |хЛ = -(-оо, то представляя Л в виде Л = 1 1ЛЯ, где
Лпе@ и цЛ„ < +оо для каждого п, мы также убедимся, что
Л <= 5?.
Условие а-конечности меры ц в доказанной теореме
существенно. Поясним это на элементарном примере. Путь X состоит
из двух точек, a, b, a $R — кольцо из двух подмножеств (а)
и 0, причем m(a)=l, m = 0. Стандартным распространением
меры m будет мера ц, заданная на всех подмножествах из X,
причем
ц(а)=1, цF) = +оо, ц0 = О, р.ЛГ = +оо.
Эта мера не ст-конечна.. С другой стороны, мера v, заданная,

102 МЕРА В АБСТРАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ 1ГЛ. IV
например, так:
v(a)=l, vF)=l, V0 = O, \X = 2,
тоже представляет распространение меры т на ту же алгебру всех
подмножеств из X, однако она не совпадает с ц.
В заключение дадим еще одну характеристику
стандартного распространения ц меры т с полукольца Ш,
которая годится только в случае, если X покрывается
счетной совокупностью множеств Л„ е D? с тАп < +оо.
В этом Случае, как показывает теорема IV. 5.1, ц — та
полная мера в X, заданная на некоторой а-алгебре
? :э 3? и представляющая распространение меры пг, для
которой область . задания ? — наименьшая возможная
(как мы знаем, в этом случае Z = ©),

ГЛАВА V
МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. n-мерные параллелепипеды
В этой главе мы покажем, как общий метод,
разобранный в гл. IV, применяется для построения меры в
евклидовом пространстве Rn- Предварительно выделим
в R„ некоторые простейшие множества, представляющие
обобщение понятия промежутка на прямой.
Пусть заданы п пар вещественных чисел щ и 6*
(i=l, 2, ..., п) так, что а* < 6* при каждом i. При
этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут
быть несобственными, т. е. возможно, что а,- = —оо или
bi = +оо при некоторых L Совокупность А0 всех точек
х = (|ь |г, • • •, in) e Rn, координаты которых
удовлетворяют неравенствам
ai<li<b{ (t= 1,2, ...,«),
называется открытым (n-мерным) параллелепипедом.
Совокупность А* всех точек х е Rn, координаты которых
удовлетворяют неравенствам
flj<6t<6i (t=l, 2, ...,«),
называется замкнутым (и-мерным) параллелепипедом.
Из самого способа введения метрики в пространстве
Rn сразу следует, что замкнутый (соответственно,
открытый) параллелепипед — замкнутое (соответственно,
открытое) множество. Ясно, что До — совокупность всех
внутренних точек из Д*, а А* = До, т. е. А* — замыкание
открытого параллелепипеда До. Если под граничными
точками открытого множества понимать все его
предельные точки, не входящие в него, то можно сказать,

104 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
что А* получается из До присоединением к нему всех
его граничных точек.
Всякое множество А, получающееся из До
присоединением к нему некоторой части множества его
граничных точек, тоже называется n-мерным
параллелепипедом. Таким образом, параллелепипед Д — это
любое множество, удовлетворяющее условию Д0с:ДсгД*.
Ясно, что совокупность всех внутренних точек
параллелепипеда Д тоже совпадает с До *).
Если —сю < at < bi < + °° при всех i, то будем
говорить, что Д — параллелепипед с конечными ребрами.
Если же хоть одна из величин а,- или 6,- равна оо, то
будем говорить, что параллелепипед Д имеет
бесконечное ребро.
Для произвольного параллелепипеда Д введем
обозначение
Д = <а,, Ьх\ а2, Ъ2\ ...; ап, Ьп)
(или, коротко, А={а,Ь)). Если параллелепипед А —
открытый, то будем также писать
А = (а1, Ь{\ а2, Ь2\ •••; ап, Ьп)
(или, коротко, А = (а, Ь)). Если параллелепипед А —
замкнутый, то пишем
A = [ab ft,; а2, Ь2; ...; ап, Ьп]
(или, коротко, Д — [а, Ь]) **).
В одномерном случае параллелепипед А
произвольного вида превращается в промежуток {а, Ь), который
может быть как открытым, так и замкнутым и
полузамкнутым. Это обозначение промежутка {а, Ь)
сохраняется в дальнейшем всюду, где тип промежутка не
уточняется.
Будем, как обычно, говорить, что два
параллелепипеда дизъюнктны или не пересекаются, если у них нет
*) Заметим, что определение n-мерного параллелепипеда
приводит в случае, когда я = 2 (соответственно, л = 3), к
прямоугольнику (соответственно, параллелепипеду) со сторонами
(соответственно, ребрами), параллельными координатным осям.
**) В отличие от обозначений, принятых в математическом
анализе, мы допускаем запись Д = [а, Ь] и в том случае, когда
некоторые из величин ai или bi обращаются в оо.

§1]
n-МЕРНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ
105
ни одной общей точки, и что они не налегают друг на
друга, если у них нет общих внутренних точек. Так,
например, на прямой отрезки [1, 2] и [2, 3] не налегают
друг на друга, но
пересекаются.
Легко видеть, что
если два параллелепипеда
налегают друг на друга,
то их пересечение также
будет параллелепипедом.
Ясно также, что если
открытый параллелепипед
пересекается с каким-то
другим параллелепипедом, то эти два параллелепипеда
обязательно налегают друг на друга (см. рис. 9, где
изображен двумерный случай) *).
Введем понятие сетчатого разбиения
параллелепипеда А = {а, Ь). Пусть каждый из промежутков (a», bi)
и
1
-_-,
1 1
Рис. 9.
пЧ'-Ь
и г и2
а?
«34
(У
а
i
1
/ а
i
i
i
а
f I
i
,10)
да
Рис. 10.
разбит на конечное число не налегающих друг на друга
промежутков с помощью точек деления
at = af<af< ... <a^ = bi. . A)
Образуем параллелепипеды
\U
2 "
¦/«
:<а(Чв|/»+,>;...;4Ча('»+,)>.
B)
*) Если общая точка нашлась внутри одного параллелепипеда,
то в любой ее окрестности найдутся внутренние точки другого
параллелепипеда,

106 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1ГЛ, V
где каждый из индексов ji может принимать любое
значение от 0 до ki — 1 (тип каждого из этих
параллелепипедов безразличен). Всего таких параллелепипедов
за счет изменения индексов получится kfa ... kn
(рис. 10).
Будем говорить, что параллелепипеды B) в
совокупности образуют сетчатое разбиение параллелепипеда Д.
Ясно, что параллелепипеды B) друг на друга не
налегают, но могут иметь общие граничные точки.
§ 2. Объем параллелепипеда
Обобщая формулу для объема параллелепипеда в
трехмерном пространстве, введем следующее
Определение. Объемом параллелепипеда
A = (ab bi, a2, b2; ...; ап, bn) C)
называется произведение
п
VA = Ц (b{ — at).
Это произведение считается равным +"оо, если у
параллелепипеда есть бесконечное ребро.
В одномерном пространстве параллелепипед — это
промежуток, а его объем превращается в длину. В
двумерном пространстве объем превращается в площадь.
Из формулы для объема сразу следует, что если
параллелепипеды B) образуют сетчатое разбиение
параллелепипеда C), то
kx-\ k2-i kn-i
t>A = 2 S ... 2 ©A,, ..., *)• D)
/l=° /2=° V=° ' 2 "
Установим ряд лемм.
Лемма V. 2.1. Если параллелепипед Д представлен
в виде объединения конечного числа попарно ненале-
р
гающих параллелепипедов Afe, Д = (J Дй, то
р
аД= 2 оД*.
*) Если уД = +оо, то по крайней мере один из
параллелепипедов B) тоже имеет объемг равный -J-oo,

§2]
ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
107
Доказательство*). Пусть А имеет вид C), а
дА = <с{*>, rf|*>; cf\ 4ft); • • •; ^> rfw> (* =-1. 2 p).
Построим такое сетчатое разбиение параллелепипеда Д
на параллелепипеды B), чтобы эти параллелепипеды в
совокупности образовали также и сетчатое разбиение
всех Ak (рис. 11). Для этого достаточно при каждом i
расположить все числа c\k) и d<*> (& = 1, 2, ..,, р) в
виде одной возрастающей
последовательности. Получатся
последовательности вида A),
разбивающие промежутки
(a,-, bi) на конечное число
частей. Ясно, что
параллелепипеды B), построенные с
помощью этих разбиений, и
будут обладать требуемым
свойством.
Обозначим через Тк
совокупность всех тех из
параллелепипедов B), которые образуют сетчатое разбиение
параллелепипеда Ah '(k=l, 2, ..., р). Каждый из па-
реллелепипедов B) входит в одну и только одну из
совокупностей Th. Тогда из формулы D) сразу следует,
что
р р
i
i
i
Рис. 11.
*=1 д/ / ... / srfe
'1'2 'П Я
fc=l
(внутренняя сумма в средней части равенства
распространяется на все параллелепипеды, входящие в Тк).
Лемма V.2.2. Если параллелепипеды Дй (k =
= 1, 2, ..., р) не налегают друг на друга и содер-
р
жатся в параллелепипеде Д, {jAkcz Д, то
2 иА& <j оД.
4=1
E)
*) При п = 1 или я = 2 как эта лемма, так и следующие две
совершенно элементарны,

108 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Доказательство аналогично предыдущему: строим
сетчатое разбиение параллелепипеда А на
параллелепипеды B) так, чтобы одновременно получить сетчатые
разбиения всех Aft. Поскольку сейчас ни одно из
с<ь) и ^(*) может не равняться щ или Ьи при построении
последовательности точек,
разбивающей промежуток
\аиЬг), к-совокупности всех
cf и df (k=l, 2, ..., р)
нужно добавить щ и bt.
Пусть Ти имеет тот же
смысл, что и в предыдущем
доказательстве. Тогда
каждый из параллелепипедов
B) может входить только
в одну из совокупностей Г*,
но среди B) могут быть и
такие, которые не входят ни в одну из Th (рис. 12).
Поэтому
Рис. 12.
'1'2 •*• 'П
vA
/,/,
Лемма V.2.3. Если параллелепипеды А и Д* (k¦¦
р
1,2, ...,р) таковы, что Ac:(jAft, то
v A ^ 2 v А/,
F)
(на этот раз параллелепипеды Ah могут налегать друг
на друга).
Доказательство. Поскольку, не нарушая
условия леммы, от параллелепипеда А можно перейти к
параллелепипеду, состоящему из одних его внутренних
точек, можно, не уменьшая общности, считать
параллелепипед А открытым. Кроме того, можно считать, что
каждый из Да пересекается с А (а, следовательно, и
налегает на А), так как добавление лишних слагаемых в
правую часть неравенства F) только усилит последнее,

§ 2] ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 109
Введем параллелепипеды А'к = Ak f] A (k — 1» 2 р).
р
Тогда А= (J А^. Теперь, как и в двух предыдущих до-
казательствах, строим сетчатое разбиение
параллелепипеда А на параллелепипеды B) так, чтобы
одновременно получить сетчатые разбиения всех Д?. Если Тк—
совокупность всех тех из параллелепипедов B),
которые образуют сетчатое разбиение параллелепипеда А'к,
то каждый из параллелепипедов B) входит по крайней
мере в одну из Th, но тиожет принадлежать и нескольким
Ти- Поэтому из формулы D) следует, что
ид<? 2 од//2.../#1=2 од;<2од*.
'V2 'П к
Замечание. Остановимся на параллелепипедах с
конечными ребрами. Из формулы для объема
следует, что vA — непрерывная функция от аргументов й\ и
bi. Если задать числа а\, а'(, Ь'и Ъ'{ так, что
^ < а{ < а'[ < b'[ < bt < ft, G)
и ввести параллелепипеды: открытый А' = (а\ Ь') и
замкнутый А" = [а", Ь"\, то будет иметь место
включение
Д"сДс Д'. (8)
Пусть задано некоторое е > 0. Тогда благодаря
непрерывности объема числа а\ и а'[ можно подобрать
настолько близкими к ah a b\ и Ь'[ — к bi (сохраняя
неравенства G)), что
v А' < v A + e, v A" > v А — е. (9)
Таким образом, для любого параллелепипеда А с
конечными ребрами и любого е > 0 можно подобрать
открытый параллелепипед А' —> А и замкнутый
параллелепипед А" с: А, удовлетворяющие условиям (8) и (9).
Лемма V. 2.4. Если параллелепипед Д представлен
в виде счетного объединения попарно неналегающих па-
оо
оаллелепипедов ДА, А = \J Ak> то
fc=i -
оо
vA = 2 vAk. ¦ A0)

ПО МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Доказательство. Из леммы V. 2.2 следует, что
при любом конечном р имеет место неравенство E).
Отсюда при р —* оо получаем, что
2»Д*<»А. (И)
Обратное неравенство достаточно установить в
случае, когда все vAh < + °°, поскольку если хоть одно
uAft = +оо, то неравенство A1) сразу вереходит в
равенство A0).
Предположим сначала, что vA < +оо. Зададим
е>0 и подберем замкнутый параллелепипед А" с Д и
открытые параллелепипеды Д^ zd Aft (& = 1,2, ...) так,
что
vA">vA-e, vA'k<vAk + ~. A2)
Параллелепипеды Д? образуют покрытие
параллелепипеда А". По теореме Бореля — Лебега (II. 6.1) из этого
локрытия можно выделить конечное:
Д"сгД^и ... UAy
Тогда по лемме V. 2.3
оо
vA" < vA'b + ... + vAi < S »Д*.
1 p .. fc-i
С помощью A2) отсюда следует, что
оо
vA < vA" + e < S оА* + 2е,
а тогда благодаря произвольности е
оо
уд<2уда. A3)
Неравенства A1) и A3) вместе и дают равенство A0).
Пусть теперь vA = +оо. По произвольному е > 0
подбираем открытые параллелепипеды A'k,
удовлетворяющим тем же условиям, что и выше. Далее, задаем
произвольное натуральное число N. Заменяя
«бесконечные ребра» параллелепипеда А достаточно большими
«конечными» и уменьшая достаточно мало «прочие реб-

§ 3] ПОЛУКОЛЬЦО ЯЧЕЕК Ц1
ра», можно построить такой замкнутый параллелепипед
А" сг Д, что vA" > N. Как и выше, с помощью теоремы
сю
Бореля — Лебега, мы получим, что t>A" < 2 ^As. откуда
fc=i
00
N < 2 v&k + е. Тогда вследствие произвольности е и
то
N ясно, что 2 у Да = + °°, т. е. мы опять приходим
к равенству A0).
Из лемм V. 2.1 и V. 2.4 следует, что v —
счетно-аддитивная функция от А. Однако она — не мера, поскольку
параллелепипеды не образуют полукольца.
§ 3. Полукольцо ячеек
Для построения меры в евклидовом пространстве
наиболее удобными оказываются параллелепипеды
специального вида. Дадим их определение.
Определение. Параллелепипед А = {а, Ь)
называется (n-мерной) ячейкой, если он состоит из всех
точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам
«г<1г <bi (г'=1, 2 п).
Для ячейки вводим и такое обозначение:
А = [а,, Ь{; а2, Ь2] ...; ап, Ьп)
(или, коротко, А = [а, Ь)).
Можно сказать, что ячейка — это параллелепипед,
«замкнутый слева» и «открытый справа». В
одномерном пространстве ячейка превращается в полуинтервал,
замкнутый слева и открытый справа.
Включим в число ячеек также и пустое множество.
Объем пустой ячейки будем считать равным 0.
Установим некоторые свойства ячеек.
а) Пересечение любых двух ячеек также будет
ячейкой.
Доказательство. Действительно, если Ai =
= [a,b), а Дг = [с,d)*), то пересечение Aif|A2 или пусто,
*) В соответствии с принятым выше соглашением [с, d) —
краткое обозначение ячейки
[си di, c2, dt; .,.; сп, dn).

112 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
или имеет вид А1ПА2 = [а, Р), где аг- — max (аг-, с,),
Pi = minFi, di) (t'=l, 2, ...,п) (рис. 13, а).
б) Разность двух ячеек Ai\A2 представила в виде
объединения конечного числа дизъюнктных ячеек
(рис. 13,6).
Доказательство. Поскольку Ai\A2 =
== Ai\(Ai П Дг), то можно, не уменьшая общности,
сразу считать, что А2 cz'Ai. Кроме того, можно считать,
что Д2 ф 0.
1
а)
б)
Рис. 13.
Если п = 1, то наше утверждение очевидно:
разность двух полуинтервалов, замкнутых слева,
представляет собой или один полуинтервал такого же типа, или
объединение двух полуинтервалов того же типа, или,
наконец, пустое множество. Допустим, что наше
утверждение справедливо для (п—1)-мерных ячеек, и будем
доказывать, что оно справедливо и для n-мерных ячеек.
Введем следующее обозначение: если А' —
(п—1)-мерная ячейка, а ап<.Ьп, то через А'\[ап,Ьп)
обозначим «-мерную ячейку, состоящую из всех точек
х — (ii,..., lri-u In) e Rn, для которых
(li, I2 g„_i)eA' и a„<g„<6„.
Пусть даны tt-мерные ячейки А! = [а, Ь), А2 — [с, d).
Если ап = сп, a bn = dn, то вводя (п — 1)-мерные ячейки
Ai = [ab &,; а2, Ь2\ ...; a„_i, bn-{),
A2 = [ci, dx\ cp d2; ...; cn-u dn-\),

§3]
ПОЛУКОЛЬЦО ЯЧЕЕК
113
мы можем представить А] и А2 в виде
А, = А{ X [а* Ьп), А2 = А? X [ап, Ьп).
Отсюда ясно, что
А,\А2 = (А{\А0Х[а„, Ьп).
р
По индуктивному предположению Aj \ Аг = (J А?, где
As — дизъюнктные (п— 1)-мерные ячейки. А тогда
A,\A2=U{A*X[a„, Ьп)}.
Это и есть требуемое представление разности А! \ А2
Пусть теперь an<cn<dn< Ьп. Тогда вводим ячейки
А3 = [с1, dx\ ...; с„_ь d„_,; an, сп),
Д4 —[С], О]*, ...; cn-i, dn_[; dn, bn).
Ясно, что ячейки А2) А3 и А4 дизъюнктны и что
A2UA3UA4 = [c1, dt; ...; с„_,, rf„_,; а„, &„)сД,.
По доказанному выше разность Ai\ (A2 U A3 U 40 пред:
ставима в виде объединения конечного числа
дизъюнктных «-мерных ячеек,
A,\(A2UA3UA4)=ljAft,
а тогда
ДГ\А2=А3иД4и (jh,
и требуемое представление получено.
В случае, если ап <. сп <. dn = Ъп (или,л
соответственно, ап = сп < dn < &n), доказательство 'проводится
аналогично, с той лишь разницей, что вместо двух ячеек
А3 и А4 придется ввести только одну из них Д3 (или,
соответственно, А4).
Из доказанных предложений следует, что
совокупность всех ячеек из пространства Rn — полукольцо.
Обозначим его через 3?,

114 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Теорема V. 3.1. Функция v, заданная на
полукольце 5R и равная для каждой ячейки ее объему, — а-конеч-
ная мера в R„.
Доказательство. По определению vA ^ 0 для
любого А е Dt. Счетная аддитивность функции v
доказана в V. 2. Наконец, пространство Rn представимо в
виде счетного объединения ячеек с конечными объемами,
например, ячеек
ДР = [-р. р; — р, р; •••; -р. р) (р = 1, 2, ...)*). (И)
§ 4. Представление открытого множества
с помощью ячеек
В II. 5 мы уже установили одну теорему о строении
открытых мнежеств в пространстве R„. Эта теорема
была аналогом теоремы II. 4.1 о структуре линейного
открытого множества лишь в одном отношении:
произвольное открытое множество представимо в виде
объединения простейших открытых множеств — шаров. Однако
эти шары могли пересекаться друг с другом. Сейчас мы
установим, что всякое открытое множество в Rn может
быть разложено (не единственным способом) на
дизъюнктные части другого простейшего вида — ячейки. Но
эти части не будут открытыми множествами.
Теорема V. 4.1. Всякое открытое множество
G a Rn представимо в виде не более чем счетного
объединения дизъюнктных n-мерных ячеек с конечными
ребрами**).
Доказательство. Для каждого натурального ni
образуем разбиение пространства Rn на ячейки [а, Ь),
где каждое из а* может иметь любое значение вида
k/2m, причем k — любое целое число (k = О, ±1, ±2,...),
a bt:=ai-\--^fn. Эти ячейки назовем ячейками т-го
ранга. Ясно, что ячейки одного ранга дизъюнктны,
а каждая ячейка (т + 1)-го ранга целиком содержится
в одной из ячеек т-го ранга ***).
*) Иными словами, ячейка ДР состоит из всех тех точек
х ei?n, для которых —р ^ |( < р при любом i = 1, 2, .... и.
**) Легко понять, что если G Ф 0, то его нельзя представить
в виде конечного объединения ячеек.
***) Точнее, ячейки (m-fl)-ro ранга получаются в результате
разбиения каждой из ячеек т-го ранга на 2т частей,

§4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА П5
Пусть дано открытое множество G с: Цп. Будем
считать, что G ф 0; в противном случае само G— ячейка.
Из совокупности ячеек 1-го ранга выберем все те,
которые целиком содержатся в G; множество этих ячеек
обозначим Si (это множество может оказаться и
пустым) *). Далее, из совокупности ячеек 2-го ранга
выберем все те, которые целиком входят в G, но не
содержатся ни в одной из ячеек,
включенных в Si (а
следовательно, и не
пересекаются с ними). Множество этих
ячеек 2-го ранга обозначим
S2. На рис. 14 Si состоит
из 3 квадратных ячеек со
стороной V2, a S2— из 10
ячеек со стороной 'Д. Этот
процесс продолжаем до
бесконечности. В множество
Sm включаем все ячейки
m-ro ранга, которые
целиком входят в G, но не
содержатся ни в одной из
ячеек, включенных в
множества Si, S2, ..., Sm_i. Пусть Н.— множество точек
из Rn, представляющее объединение всех ячеек, входя-
оо
щих в (J Sm. Так как всех ячеек любого ранга — счет-
ное множество, то и каждое из множеств Sm не более
чем счетно, а потому и множество Н — объединение не
более чем счетного множества ячеек. При этом, по
самому построению, ячейки, из которых мы образовали
множество Н, дизъюнктны.
Докажем, что G = Н. Включение Н a G очевидно
по построению; остается проверить обратное включение.
Пусть Хо е G. Тогда и некоторый _открытый шар
Vn
Рис. 14.
5(лго, е)с: G. Если взять т так, что
< е, то легко
сосчитать, что та ячейка /n-го ранга, которая содержит
точку xq, сама целиком содержится в S(xo,г), а следова-
*) Поясним, что под 2i мы понимаем множество ячеек,
а не множество всех точек этих ячеек,

116 ~ МЕРА ЛЕБЕГД В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ *.ГЛ. V
тельно, и в G. Из всех т, обладающих тем свойством,
что ячейка т-го ранга, содержащая хо, целиком
содержится в G (мы уже установили, что такие т
существуют!), выберем наименьшее; пусть это будет т = т0.
Через До обозначим ту ячейку т0-го ранга, которая
содержит Хо. Тогда ячейки т-го ранга при т <С т0,
содержащие До, не могут целиком входить в G и потому не
включаются в' 2т. Следовательно, по построению,
До е 2т0, а потому До с: Н и x0 e И. Тем самым
включение GczH, а вместе с ним и равенство G — H, доказаны.
§ 5. Измеримые множества
Исходя из меры v, определенной в V. 3 на
полукольце 91, т. е. объема ячеек, и применяя процесс
распространения меры, описанный в гл. IV, построим в /?rt
стандартное распространение меры v.
Определение. Стандартное распространение \i
объема у называется мерой Лебега (дальше мы часто
называем" ее просто мерой в /?„), а множества, для
которых мера ц определена* (т. е. у-измеримые),
называются измеримыми по Лебегу (или просто измеримыми).
Конечно, в пространстве Rn могут быть определены и
различные другие меры, однако мы условимся, что в
этом пространстве в пределах данной главы буква \а
обозначает именно меру Лебега.
''Мера (х а-конечна, так как Rn представимо в виде
счетного объединения ячеек с конечными объемами (см.
доказательство теоремы V. 3.1). Для всех множеств из
пространства Rn определена внешняя мера ц,*,
порожденная мерой v. Ее называют внешней мерой Лебега.
При этом, по построению, мера ц — сужение внешней
меры ц* на 0-алгебру © измеримых множеств.
Поскольку совокупность измеримых множеств — сг-ал-
гебра, то объединение и пересечение конечного или
счетного множества измеримых множеств измеримы, разность
двух измеримых множеств измерима, в частности,
дополнение к измеримому множеству до всего Rn измеримо.
Из общих свойств меры вытекает, что если Ecz\jEt
i
(в частности, E = \jEt), где все множества Et и Е

§5]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
117
измеримы, а объединение конечно или счетно, то
(i?<S(i?i (IV. 2, предложение б))—счетная
полуаддитивность меры. Если же Е = (J Еи а множе-
i
ства Et дизъюнктны, то цЕ = 2 ц?« (счетная а д д и-*
тивность меры). Поскольку мера Лебега получена
как стандартное распространение объема v, то, как
отмечено в IV. 4, она полна, т. е. всякое подмножество
множества меры О измеримо (и тоже имеет меру 0).
Так как мера Лебега порождена внешней мерой, то
для нее справедлив критерий ц*-измеримости
(предложение 4° из IV. 3): если Е czRn и для любого е > 0
существуют такие два измеримых множества А и В, что
А с Е с В и ц (В\А )<е, то Е тоже измеримо. В
последующем мы называем этот признак просто
критерием измеримости в /?п.
По самому построению ст-алгебры измеримых
множеств в нее входят все ячейки. При этом цА = vA для
любой ячейки Д.
В дальнейшем нам часто будет полезным следующее
замечание: если для -произвольного множества Е с Rn
его пересечение с ячейками Ар A4) измеримо хотя бы
при всех достаточно больших р (а тогда оно очевидно
будет измеримо и при всех р), то и Е измеримо.
Действительно, положим Ер = Е Л Ар (р = 1, 2, ...)
и пусть Ер измеримо при всех р ^ р0. Но ясно, что
оо
Е= \J Ер, и потому ? тоже измеримо,
р=р',
Теорема V.5.1. Каждое открытое множество и
каждое замкнутое множество из Rn измеримы.
Доказательство. Измеримость открытого
множества вытекает из измеримости ячеек и теоремы
V. 4.1. Поскольку каждое замкнутое множество —
дополнение к некоторому открытому, то оно тоже измеримо.
Теорема V. 5.2. Любой параллелепипед А
измерим и при этом цА = vA.
Доказательство. Измеримость открытых и
замкнутых параллелепипедов вытекает из предыдущей
теоремы. Проверим, что их мера совпадает с объемом.

118 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1ГЛ. V
Рассмотрим сначала открытый или замкнутый
параллелепипед Д с конечными ребрами. Зададим
произвольное е > 0. Рассуждая, как в V. 2, легко подобрать две
ячейки А' и А", для которых выполнены условия (8) и
(9). А тогда
уА — е < vA" = цД" < цА < цД' = vA' < vA + е,
откуда vA — е < (хА < уА + е и, вследствие
произвольности е, цД = vA.
Пусть теперь А={а,Ь) — произвольный
параллелепипед с конечными ребрами. Вводим параллелепипеды
Ао=(а,Ь) и А* = [а, Ь]. Тогда АосДсгА* и цДо =
= цЛ* = vA. Согласно предложению 3° из IV. 3 отсюда
вытекает, что А измерим и что цА = vA.
Пусть, наконец, А — параллелепипед, имеющий
бесконечное ребро. Положим Ер = Д П Ар, где Ар —
ячейки, определенные по формуле A4). При всех достаточно
больших р параллелепипед Д и ячейка Др налегают
друг на друга, а тогда их пересечение Ер —
параллелепипед (с конечными ребрами). Следовательно, оно
измеримо. Тогда, как отмечено выше, и параллелепипед А
измерим. Ясно, что в А содержится и некоторая ячейка
А' с бесконечным ребром, и так как \аА ^ цА' = -f-oo,
то и цД = +оо, т. е. (хД = vA.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что
мера любого промежутка в /?( равна его длине. Тогда из
теоремы II. 4.1 следует, что мера линейного непустого
открытого множества равна сумме длин его
составляющих интервалов.
Теорема V. б.З. Всякое конечное или счетное
множество точек из Rn измеримо и его мера равна 0.
Доказательство. Множество, состоящее из
одной точки, замкнуто и потому измеримо. Так как его
можно заключить в параллелепипед сколь угодно
малого объема, то его мера равна 0. Из измеримости
одноточечных множеств вытекает измеримость любого
конечного или счетного множества. Мера такого
множества равна 0 как сумма мер одноточечных множеств.
Теорема V.5.4. Все борелевы множества из Rn
измеримы.
Доказательство. Совокупность 33 всех бореле-
вых множеств из Rn — наименьшая с-алгебра, содержа-

§5]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
119
щая все замкнутые множества из Rn- Совокупность <5
всех измеримых множеств из Rn — тоже ст-алгебра,
содержащая все замкнутые множества из Rn-
Следовательно, 53 сз @.
Однако совокупность 53 далеко не исчерпывается бо-
релевыми множествами и существуют не борелевы
измеримые множества. Этим подтверждается сделанное в
IV. 4 замечание о том, что стандартное распространение
может не быть минимальным. В пространстве R4
минимальным распространением объема v с полукольца
ячеек было бы его распространение на ст-алгебру 53 бореле-
вых множеств, т. е. сужение меры Лебега на 53.
Теорема V. 5.5. Внешняя мера любого множества
Е cr Rn равна точной нижней границе мер всевозможных
открытых множеств G *), содержащих Е:
ц*?= inf iiG. A5)
E<=G
Доказательство. Из монотонности внешней
меры следует, что
H*?<nG, если ?cG. A6)
Поэтому, если ц*Е = +оо, то равенство A5)
тривиально. Будем дальше считать, что \i*E < -f oo. Так как
внешняя мера \i* порождена объемом и, то по
произвольному е > 0 найдется такая не более чем счетная
совокупность ячеек As (k = 1, 2, ...), что
?c(JAb 2»** <ц*Е + е.
k k
Отсюда, в частности, вытекает, что все vAh < "+"оо.
Для каждого k подбираем открытый
параллелепипед Ай так, что Aft с: Ай, а
\ib'k<vAk + j^.
Положим G = (J Aft. Тогда множество G открыто, Е cr G, а
k
цО<2цА'*< 2 vAft + е < ц*Е + 2в.
k ft
*) Такие открытые множества С всегда существуют, например,

120 МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Сопоставляя это с A6) и учитывая произвольность е,
мы заключаем, что равенство A5) справедливо.
Следствие 1. Для всякого измеримого множества
Е с Rn и любого е > 0 существуют:
а) такое открытое множество G с: Rn, что Е с: G и
что (x(G\?) < e;
б) такое замкнутое множество F cz Rn, что F cz E и
что n(E\F) < е.
Доказательство, а) Если цЕ < +°°» то
сформулированный в п. а) результат непосредственно
вытекает из теоремы V. 5.5 В общем случае положим
Ер==Е(]Ар (р = 1, 2, ...),
где Ар — ячейки, определенные формулой A4). По
доказанной теореме существуют такие открытые множества
00
Gp =>?р, что \i(Gp\Ep < е/2Р. Пусть G= (J Gp. Тогда
множество G — открытое, Е cz G, a
G\Ecz\J(Gp\Ep).
Следовательно, \i(G\E) < е.
б) Эта часть нашего утверждения вытекает из
предыдущей за счет перехода к дополнениям.
Действительно, положим Е' = Rn\E и подберем открытое
множество GczRn так, что E'czG и что \x.{G\E') < е.
Множество F = Rn\G замкнуто;, при этом F czE и E\F =
= G\E\ следовательно, \i(E\F)<. е.
Следствие 2. Мера любого измеримого
множества EczRn равна точной верхней границе мер
всевозможных замкнутых множеств F, содержащихся в Е:
(i?' = supnF. A7)
FcB
Доказательство. Аналогично A6) имеем
\iF < цЕ, если F сЕ.
Кроме того, если \iE < +°°, то по предыдущему
следствию существует замкнутое множество F cz E с мерой,
сколь угодно близкой к \iE. Отсюда сразу вытекает
формула A7).

§5]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
121
Если же \х.Е = -f- oo, a F удовлетворяет условию б)
из предыдущего следствия, то и \iF = -f00. и формула
A7) становится тривиальной.
Теорема V. 5.6. Для всякого измеримого
множества Е czRn существуют такие два множества Я типа
Fa и К типа G& (см. II. 8), что
' HczEczK, цН = цЕ = цК и ц(/С\Я) = 0.
Доказательство. По следствию 1 из теоремы
V. 5.5 (п. а)) для каждого натурального m существует
такое открытое множество Gmz^E, что \x(Gm\E)<.l/tn.
Положим К = Р| Gm. Тогда множество К типа Ge,
m=.\
EczK и ц(/С\?) ^ \i(Gm\E) < 1/m при любом т,
а следовательно, ц(/е\?) = 0. Аналогично, с помощью
п. б) того же следствия, устанавливается существование
множества Я типа Fa, для которого Я cz E, а ц,(?\Я) =
= 0. Отсюда
ц(/С\Я) = ц(К\?) + ц(Я\Я) = 0,
ц? = цЯ + ц (? \ Я) = цЯ,
Попутно мы доказали, что всякое измеримое
множество представимо в виде объединения некоторого боре-
лева множества (типа F„) и некоторого измеримого
множества меры 0.
В заключение отметим без доказательства
некоторые принципиальные факты. Движением в
пространстве Rn называется всякое взаимно однозначное
преобразование Rn на Rn, при котором расстояние между
любыми двумя точками равно расстоянию между их
образами. Множества Е\ и Е2 из Rn называются
конгруэнтными, если одно из них — образ другого при
некотором движении. Можно доказать, что если два
множества Ei и Е2 конгруэнтны и одно из них измеримо, то
*) Таким образом, из включения Н cz E cz К и равенства
ц(К\#)=0 равенство \iH = \iE = р.К вытекает (для измери-
мых множеств) автоматически. В то же время заметим, что из
равенства цН = цК при HczK можно вывести, что ji(/(\tf)=Q
только в случае цЯ ¦< +оо.

122 МЕРА ЛЕВЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
и другое тоже измеримо, a {iEt = [iE2. Иными словами,
мера Лебега инвариантна относительно движения.
Установлено, что в каждом из пространств Rn
существуют неизмеримые по Лебегу множества. Более того,
доказано, что ни в одном из пространств Rn нельзя
построить а-конечную меру так, чтобы: а) она была
определена для всех множеств из Rn; P) была
инвариантна относительно движения; у) мера любого
параллелепипеда совпадала с его объемом. В этом утверждении
крайне существенную роль играет то, что мы включили
в определение меры требование счетной аддитивности.
Если понятие меры несколько расширить и допустить,
что мера может быть лишь конечно-аддитивной, то, как
доказал С. Банах, в /?i и в R2 уже будут существовать
меры, обладающие свойствами а) — у). Однако при
га ^ 3 в Rn не существует и конечно-аддитивной меры,
удовлетворяющей условиям а) — у). Этот последний
результат установлен немецким математиком Ф, Хаусдор-
фом A868-1942).

ГЛАВА VI
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение измеримых функций
В этой главе-будет изучен класс функций, играющий
важную роль в последующем при определении
интеграла. Основное изложение будет проведено для функций
на абстрактном множестве с мерой. При этом большая
часть результатов устанавливается при
произвольной мере, и лишь иногда нужно дополнительно
предполагать полноту меры. "Поскольку мера Лебега в
евклидовом пространстве Rn полна, все доказанное в этой
главе для функций на абстрактном множестве
справедливо и в Rn- Конец главы посвящен специально
измеримым функциям в евклидовом пространстве.
Итак, пусть X— произвольное множество, ©—
некоторая о-алгебра его подмножеств и на © задана
мера (д.. Множества из © будем называть измеримыми.
В частности, в качестве X может быть взято /?„, за ©
может быть принята а-алгебра всех множеств,
измеримых по Лебегу, а за ц — мера Лебега.
Будем сначала рассматривать вещественные функции
с конечным ^значениями, областью задания
которых может быть произвольное множество из X. В
дальнейшем, как правило, это множество будет измеримым.
Определения: 1. Пусть функция f задана на
множестве ЕсХ; ее множествами Лебега называются
все множества следующих четырех типов:
l)E[f(x)>a], 3)E[f(x)<a],
2) Е\Цх)>д\, 4) ?[/(*)< а]*),
*) См. обозначение, введенное в П. 7.

124
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
где а может быть любым вещественным числом (см.
рис. 15, на котором изображен график функции,
определенной в одномерном пространстве R\).
2. Функция /, заданная на множестве EczX,
называется измеримой (на этом множестве), точнее —
^-измеримой, если все ее
множества Лебега,
указанные в определении 1, при
любом а измеримы.
Если" X = Rn, a ©
состоит" из множеств,
измеримых по Лебегу, то и
измеримая функция
называется функцией,
измеримой по Лебегу.
Заметим, что если
функция f измерима на
множестве Е, то и само
ElflxXa] E(ftx)>a1
Рис. 15.
множество Е измеримо. Это вытекает из очевидного
равенства
E=\jE[f(x)>-n],
п=»1
A)
поскольку множества, стоящие под знаком
объединения, суть лебеговы множества функции f.
Если / измерима на Е, то и множество E[f(x) = a]
измеримо при любом «^Действительно, это множество
представимо как пересечение двух измеримых множеств:
E[f(x) = a] = E[f(x)>a](]E[f(x)^a].
Теорема VI. 1.1. Если функция /, заданная на
множестве Е, такова, что ее множества Лебега какого-
нибудь одного типа измеримы при всех а, то. эта
функция измерима.
Доказательство. Пусть, например, лебеговы
множества первого типа E[f(x)>a] измеримы при
всех а. Нужно проверить измеримость для f лебеговых
множеств остальных трех типов.
При любом а
Еи(х)^а]=Г\Е[!(х)>а-Д.
B)

§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ
125
Действительно, включение левой части в правую
очевидно. Если же х входит в пересечение, стоящее в
правой части формулы B), то f(x)>a ,при любом п,
а тогда f(x)^a. Тем самым доказано включение
правой части в левую, а вместе с ним и равенство B). Из
этого равенства и измеримости всех множеств Лебега
первого типа функции / вытекает измеримость
множества E[f(x)^a]. Таким образом, лебеговы множества
второго типа измеримы. .
Выше, с помощью формулы A), из измеримости
лебеговых множеств первого типа мы вывели
измеримость самого Е. Тогда измеримость лебеговых множеств
третьего и четвертого типов вытекает из измеримости
лебеговых множеств первых .двух типов на основании
очевидных соотношений:
E[f(x)<a] = E\E[f(x)>a],
E\f(x)<a] = E\E[f(x)>a]. .
Аналогично доказывается измеримость f, если
допустить измеримость ее лебеговых множеств не первого,
а какого-нибудь другого типа. При этом следует,
заметить, что измеримость множества Е может быть
выведена из измеримости лебеговых множеств других типов
с помощью формул, аналогичных формуле A) *).
Установим ряд простых предложений.
Г. Если f(x) = c (с — постоянная) на измеримом
множестве Е, то f измерима.
Доказательство. Так как f(x) равна
постоянной с, то
f E при а < с,
E[f{x)>a] = { _,- F .
11 у ' @ при а > с.
Отсюда видно, что все множества Лебега первого типа
функции f измеримы.
*) Если, например, известно, что измеримы все лебеговы
множества четвертого типа, то нужно воспользоваться равенством
оо
П-1

J26 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Пусть функция / задана на некотором множестве
EczX, а множество E'czE. Если все лебеговы
множества функции /, 'составленные на множестве Е',
измеримы, то говорят, что функция I измерима на Е'.
2°. Если f измерима на множестве Е, то она изм(
рима и на всяком измеримом подмножестве Е' cz E.
Доказательство. Для лебеговых множеств пе^
вого типа функции f на Е' имеем
E'[f(x)>a] = E'()E[f(x)>a],
а потому ясно, что они измеримы.
3°.Пусть функция f задана на множестве Е, которое
равно конечному или счетному объединению множеств
?//?=Jj?fy Если f измерима на каждом из Еи то
она измерима и на Е.
Доказательство. При любом а
E[f(x)>a] = \jEl[f(;x)>al
i
и так как каждое из множеств в правой части
измеримо, то и их объединение измеримо.
Частным случаем этого предложения является
следующее.
4°. Пусть Е=* [J Еи где все Ег (г = 1, 2, ...) изме-
i
римы. Если функция f, заданная на Е, принимает на
каждом Е{ постоянное значение, то f измерима на Е.
Действительно," это вытекает сразу из 1° и 3°.
Определение. Пусть множество EczX.
Функция %в, заданная на всем X так, что
A при х^ Е,
%е М = \ о при х е= X \ Е,
называется характеристической функцией множества Е.
Из 4° очевидным образом вытекает
5°. Если множество В измеримо, то его
характеристическая функция хе тоже измерима (на X).
Легко видеть, что верно и обратное заключение.
6°. Если мера ц полна, то всякая функция f,
определенная на множестве Е с \iE = О, измерима.

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 127
Доказательство. Поскольку мера ц полна,
всякое подмножество множества Е измеримо, а потому
все лебеговы множества функции f измеримы.
Для функций в евклидовом пространстве отметим
еще одну теорему.
Теорема VI. 1.2. Если функция f непрерывна на
замкнутом множестве F с: Rn, то она измерима по
Лебегу на этом множестве.
Доказательство. По теореме II. 7.1, если /
непрерывна на F, все ее лебеговы множества второго типа
замкнуты, а следовательно, измеримы (теорема V.5.1).
Остается сослаться на теорему VI. 1.1.
Следствие. Функция f, непрерывная на каком-
нибудь измеримом множестве Е сг /?„, измерима на Е.
Доказательство. Из V,5 известно, что
множество Е представимо в виде объединения Е = Е^ U Е2,
оо
где Ei — типа Fa, а \хЕ2 = 0. Множество Et = (J Fk,
fc=i
где Fk замкнуты. По доказанной теореме функция /
измерима на каждом Fh. Тогда ее измеримость на ?"i
вытекает из предложения 3°. С другой стороны, f
измерима на Е2 согласно предложению 6°. А тогда f
измерима на Е.
При выводе простейших свойств измеримых функций
(кроме предложения 6°) использовано только то, что
измеримые множества образуют ст-алгебру, а значения
меры ц при этом не играли роли. Поэтому при
введении понятия измеримой функции достаточно
предполагать, что в множестве X выделена некоторая о-алгебра
<5 его подмножеств (которые названы измеримыми).
Например, если в качестве множества X снова взять
пространство Rn, а в качестве <5 а-алгебру 33 всех бо-
релевых множеств из R„, то определение 2 приводит
к понятию 93-измеримых функций. Эти функции
называются бэровскими, по имени французского математика
Р. Бэра A874—1932), изучавшего этот класс функций
с другой точки зрения. Из теоремы V. 5.4 следует, что
все бэровские функции измеримы по Лебегу.
Из доказательства теоремы VI. 1.1 легко видеть, что
всякая функция, непрерывная на замкнутом множестве
из Rn, 33-измерима на этом множестве.

128
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
§ 2. Арифметические действия над измеримыми
функциями
В этом параграфе мы докажем, что арифметические
действия не выводят из класса измеримых функций,
т. е. если операции сложения, вычитания, умножения и
деления применяются к измеримым функциям, то и
результаты также оказываются измеримыми функциями.
Лемма VI. 2.1. Если функция f измерима на
множестве EczX, то функции Щ (где k— любая
постоянная),. |/| и /2 измеримы на Е. Если, кроме того, !{х)ф О
на Е, то и функция 1// измерима на Е.
Доказательство, а) Рассмотрим функцию kf.
Если k = 0, то произведение kf(x)==0 и тем самым как
постоянная оно измеримо (измеримость множества Е
вытекает из измеримости функции /). Если кФО, то
измеримость лебеговых множеств (первого типа)
произведения kf вытекает из измеримости лебеговых мно-
- жеств функции / с помощью очевидных равенств:
Е [kf (х) > а] = Е [f{x) > j] при k > О,
E[kf{x)>a] = E[f(x)<~\ при k<0.
б) Для функции | /1 имеем
E[\f{x)\>a] = E, если а < О,
E[\f(x)\>a) = E[f(x)>a][)E[f(x)<-a), ес<ди а>0.
Отсюда и вытекает, что все лебеговы множества
первого типа функции |/| измеримы.
в) Для лебеговых множеств функции /2 имеем
\Е, если а < О,
?[/2(х)>а]Н , ,_,
l/ W J l?[|f(x)|>/4 если а>°-
Так как |/| измерима, то все эти множества измеримы.
г) Пусть f(x)?s0 во всех точках множества Е.
Легко проверить, что
E[f(x)>0]()E[f(x)<-i], если а > 0,
Е ЬЬ) >а]в=\ E[f(x)> 0]U E [f(x) < i], если а < О,
Е [/ (х) > 0], если а = 0.

§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ИЗМЕРИМ ФУНКЦИЯМИ 129
Во всех трех случаях лебеговы множества функции -у-
измеримы.
Теорема VI.2.1. Если функции fug измеримы
на множестве Е, то функции f ± g и fg тоже измеримы
на Е. Если, кроме того, g(x)=?0 на Е, то и функция
fig измерима на Е.
Доказательство, а) Перенумеруем все
рациональные числа: ги г2, ..., rh, ... Это возможно,
поскольку множество всех рациональных чисел счетно.
Теперь докажем, что для любого вещественного числа а
справедливо равенство
00
E\f(x) + g(x) >a]=\J {E[f(x) > a-rk]f)E[g(x) > rk\).
C)
Пусть точка х принадлежит левой части равенства
C). Это значит, что f (x) +g (х) > а или g{xL>a— f(x).
Благодаря свойству плотности множества рациональных
чисел найдется такое rh, что g(x)> /"& > а — f(x), т. е.
g(x)~>rh и f(x)> a — rh. Таким образом, точка х
входит в одно из множеств в правой части, следовательно,
х включается в правую часть равенства C).
Обратно, если точка х принадлежит правой части
равенства C), то f(x)>a — rh и g(x)>rk при
некотором k. Следовательно, f(x) + g(x) > а, т. е. х
включается в левую часть равенства C). Тем самым
равенство C) доказано.
Теперь измеримость функции / + g вытекает сразу
с помощью формулы C) из измеримости лебеговых
множеств функций f и g.
б) Разность f(x) — g(x) можно представить в виде
f(x)-g(x) = f(x) + [-g(x)].
По лемме функция —g = (—\)g измерима, а тогда и
f — g измерима как сумма двух измеримых функций.
в) Измеримость произведения доказывается с
помощью равенства
/ W g W = i {f/ (х) + g Ml2 - f (x) - g2 (x)},
если учесть доказанное в п. а) и б), а также лемму.
5 Б, 3. Вулих

130 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
г) Если Ц{х)ф 0 на Е, то имеем
g(X) 'W g(X)'
при этом функция 1/g измерима по лемме и
измеримость частного вытекает из измеримости произведения
измеримых функций.
Следствие. Если fug измеримы на множестве
Е, то оба множества
A = E[f(x) = g(x)] и B = E[f(x)^g(x)]
измеримы.
Действительно,
A = E[f(x)-g(x) = 0], В = Е\А.
§ 3. Предельный переход в классе измеримых
функций
В этом параграфе мы докажем, что операция
предельного перехода не выводит из класса измеримых
функций.
Лемма VI. 3.1. Если функции fk измеримы на
множестве Е czX, а множество этих функций конечно или
счетно, и функция f (х) — sup fk (х) (или g (х) = inf fk (x))
k к
конечна во всех точках ле?, то f (соответственно g)
тоже измерима на Е.
Доказательство. Измеримость множества Л =
= E[f(x)>a] при любом а вытекает из очевидного
равенства A = \jAk> где Ah = E[fh(x) > а]. Аналогично,
к
измеримость множества В = Е [g(x) < а] вытекает из
равенства
B=[)Bk, где Bk = E[f„(x)<a].
к
Теорема VI. 3.1. Если функции fh (k = 1, 2, ...)
и f заданы на множестве Е сХ, причем fh при всех k
измеримы на Е, a f(x)=limfh(x) при каждом х&Е,
то функция f тоже измерима на множестве Е.
Доказательство. Определим на Е функции
Фа (*) = sup {/*(*), fk+l{x), ...} (k=l, 2, ...).

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В КЛАССЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 131
которые по предыдущей лемме измеримы (из
сходимости {fh(x)} вытекает ограниченность этой
последовательности в каждой точке). А тогда измеримость /
вытекает с помощью той же леммы из известного
равенства
/(*) = inf <pft (*)*)¦ D)
к
Следствие. Если функции Uu (k=l, 2, ...)
измеримы на множестве Е, функция s задана на
множестве Е и для всех х^Е
оо
s (х) = 2 uk (х),
то s тоже измерима на Е.
Это очевидным образом вытекает из теорем VI. 2.1
и VI. 3.1 и определения суммы ряда.
Рассмотрим функции, определенные на некотором
замкнутом множестве FczRn. Мы уже знаем, что все
непрерывные функции измеримы на F. Читателю
известно, что если последовательность непрерывных
функций равномерно сходится к предельной функции, то
предельная функция тоже непрерывна**). Однако, если
последовательность непрерывных функций сходится в
каждой точке, но не равномерно, то предельная
функция может уже не быть непрерывной. Такую
разрывную функцию, которая представима как предел
*) Иными словами, мы используем то, что предел (если он
существует) совпадает с наибольшим пределом: f(x') = lim fi,(х).
Проведем доказательство формулы D). Фиксируем х е Е. По
произвольному е > 0 найдем k0 так, что
f(x) — e<fk(x)<f(x) + e при k^ka,
а тогда
f (х) — е < cpk (лг)< f (х) + е при k > kQ.
С другой стороны, из определения функций фй следует, что они
образуют убывающую последовательность, а потому inf фй (х) =
= Ншф/,(д:). Переходя к пределу в предыдущем неравенстве,
получим
f (х) — г < inf <pfe (x) < f (х) + е,
что, вследствие произвольности е, и означает равенство D).
**) Эта теорема справедлива для функций, заданных на
произвольном множестве из Лп.
5*

132
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VT
последовательности непрерывных функций, называют
функцией 1-го класса (по классификации Бэра). По
доказанной выше теореме функции 1-го класса измеримы
(и даже 23-измеримы).
Классификацию разрывных функций можно
продолжить и дальше. Функции, не входящие в 1-й класс, но
представимые во всех точках как пределы сходящихся
последовательностей функций 1-го класса, относят ко
2-му классу. Простым примером функции 2-го класса в
пространстве Ri служит известная функция
Дирихле:
J1, если * —рациональное,
\0, если х — иррациональное.
Эта функция получается из непрерывных функций с
помощью двукратного предельного перехода:
f (х) = lim lim cos2* (m! nx).
m->oo ?->oo
Аналогично, исходя из функций 2-го класса, можно
определить 3-й класс и т. д. Все функции, получаемые
за счет таких последовательных предельных переходов,
оказываются ©-измеримыми (бэровскими). Однако
совокупность функций, получаемых за счет конечного
числа предельных' переходов из непрерывных функций,
далеко не исчерпывает все множество бэровских
функций. Последнее в свою очередь существенно уже, чем
множество всех функций, измеримых по Лебегу.
Иногда встречается необходимость рассмотрения
функций, которые могут допускать значения -f-°° и —оо.
Повторяя определение, приведенное в VI. 1, мы можем
ввести понятие измеримости и для таких функций*).
*) При этом в определении множеств Лебега можно
по-прежнему считать а любым, вещественным числом и нет необходимости
допускать, что а может быть равно +оо или —оо. Тем не менее,
если f измерима на Е, то оба множества ?[/(х) =+оо] и
?[/(*)=— оо] измеримы. Это следует, например, для первого из
чих из очевидного равенства
оо
E[f(x) = +°°]=r\E[f(X)>n].

§ 4) ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ, СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ 133
Легко проверить, что теоремы и предложения,
установленные до сих пор в этой главе, остаются в силе и
для функций, допускающих бесконечные значения, с
одной оговоркой: в тех случаях, когда речь идет о
действиях над функциями, нужно, чтобы эти действия
имели смысл; например, при сложении двух функций
приходится требовать, чтобы не было точек, в которых
эти функции имели бы бесконечные значения разных
знаков. Существенное исключение составляет лишь
теорема VI. 1.1, в формулировке которой придется
предполагать, что множество Е (на котором задана
рассматриваемая функция) измеримо. Дело в том, что хотя
из измеримости функции с бесконечными значениями,
как и раньше, вытекает измеримость множества Е, но
на этот раз, в отличие от случая, когда функция имела
только конечные значения, измеримость множества Е не
вытекает из измеримости лебеговых множеств одного
типа. Это подтверждается простым примером: функция
/ задана на неизмеримом множестве Е и равна на нем
— оо. Для этой функции все ее лебеговы множества
первого типа пусты (а следовательно, измеримы).
Во всем последующем мы уже не требуем, чтобы
рассматриваемые функции имели только конечные значения.
Теорема VI. 3.2. Если функции /ft (k = 1, 2, ...) и f измеримы
на множестве Е а X, то подмножество E[jit(x)-*- f(x)] измеримо.
Доказательство. Рассмотрим две функции
g (х) = Hm fk (x), h(x)=*\imfk(x),
определенные для всех х е Е. Обе эти функции измеримы на Е (см.
доказательство теоремы VI. 3.1). При этом множество Е' тех точек
х е Е, где lim /a (jc) (конечный или равный ±оо) существует, равно
?[g(x)= h(x)] и потому измеримо. Множество Е" = E\g(x)= f(x)]
тоже измеримо, а тогда и E[fk(x)-+ f{x)] = Е' Г) Е" измеримо.
§ 4. Эквивалентные функции. Сходимость
почти всюду
В этом параграфе мы дадим некоторые дополнения
к теореме о предельном переходе в классе измеримых
функций. С этой целью введем следующее
Определение. Если некоторое высказывание
справедливо в одних точках множества Е сг X и, может

134
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
быть, не справедливо в других, но совокупность тех
точек из Е, где оно не справедливо, содержится в
каком-нибудь множестве меры 0, то говорят, что данное
высказывание справедливо почти всюду на множестве
Е (или для почти всех х из Е).
Например, если fh(x)-*f(x) при всех ле?, за
исключением, может быть, некоторого подмножества
Е'а Е, причем Е' с Е0, а ц?0 = О, то говорят, что
последовательность {/*} сходится к f почти всюду
на Е.
Если функция f задана па множестве ?сЛли
множество ее точек разрыва имеет меру 0, то функцию
f можно назвать непрерывной почти всюду на
множестве Е.
Среди функций, допускающих бесконечные
значения, особый интерес представляют функции, которые
могут принимать значения +оо и —оо только на
множестве меры 0 (или на его подмножестве). Про такие
функции говорят, что они почти всюду конечны.
Из того, что конечное или счетное объединение
множеств меры 0 тоже имеет меру 0, сразу вытекает
следующее: если рассматривается конечное или счетное
множество некоторых высказываний, каждое из
которых справедливо почти всюду на множестве Е, то все
эти высказывания одновременно справедливы тоже
почти всюду на Е. Например, если дана
последовательность функций {fu}, каждая из которых больше 0 почти
всюду на Е, то неравенство fu (x) > 0 выполняется сразу
при всех k=l, 2, ... тоже почти всюду на Е.
Если мера \х, заданная в X, полна, то предыдущее
определение упрощается. Именно, термин почти всюду
в Е означает в этом случае: для всех je?, за
исключением некоторого подмножества Е' аЕ с
цЕ' = 0.
Ниже мы увидим, что в теории интеграла часто
можно пренебрегать некоторыми особенностями, которые
функция имеет лишь на множестве точек меры 0. В
связи с этим введем еще одно
Определение. Две функции f и g, определенные
на множестве Е czX, называются эквивалентными на
этом множестве, и в таком случае мы пишем f ~ g,
если f(x) = g(x) почти всюду на Е.

4 1] ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ, СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ 135
Легко видеть, что отношение эквивалентности
обладает свойством транзитивности: если f ~ g на Е, а
g ~ h на том же множестве, то и / ~ h на Е.
Если у измеримой почти всюду конечной функции
заменить ее бесконечные значения какой-нибудь конечной
постоянной, то получится измеримая функция с
конечными значениями, эквивалентная первоначальной.
Теорема VI.4.1. Пусть мера ц в X полна. Тогда,
если функции fug эквивалентны на множестве Е и
одна из них измерима на этом множестве, то и другая
тоже измерима.
Доказательство. Пусть / измерима на Е.
Положим
E' = E[f(x) = g(x)},
Е" = Еи(х)Ф8(х)].
По условию \хЕ" = 0. Тогда Е' = Е \ Е" измеримо,
следовательно, /, а вместе с ней и g, измерима на Е'.
Кроме того, g измерима на Е", поскольку \у.Е" = 0, и
потому g измерима и на Е.
Заметим, что без полноты меры доказанная теорема
не верна. Например, пусть ЕсХ, цЕ — 0, а
подмножество Е' cz E неизмеримо. Тогда функция
{1 при хе ?',
^ W = \0 при хе?\?',
очевидно, эквивалентна измеримой функции g(x)==Q
на Е, но / не измерима.
Теперь докажем, что при условии полноты меры
теорема VI. 3.1 о предельном переходе верна для
сходимости не только всюду, но и почти всюду*). В
частности, этот важный факт верен для функций, измеримых
по Лебегу, в евклидовом пространстве.
Теорема VI. 4.2. Пусть снова мера ц в X полна.
Если функции /й (k — 1, 2, ...) и f заданы на
множестве Е сХ, причем fh при всех k измеримы на Е и
fk(x)-*f(x) почти всюду на Е, то функция f тоже
измерима на Е.
*) Для сходимости почти всюду (при полноте меры) сохра^
няется также и следствие из теоремы VI. 3.1.

136 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Доказательство. Пусть Е' — совокупность всех
тех точек из Е, где fk(x)-*f(x), a E" = Е\Е'. Тогда
Е" измеримо и цЕ" = 0. Так как Е измеримо*), то и
Е' = Е\ Е" измеримо, а согласно предложению 2° из
VI. 1 функции /й измеримы на Е'. Следовательно, по
теореме VI. 3.1 / тоже измерима на Е'. Кроме того, /
измерима на Е", поскольку \х,Е" = 0 (см.
предложение 6° из VI. 1), а тогда / измерима и на ? (см.
предложение 3° из VI. 1).
Замечание. Эта теорема также перестает быть
верной, если отказаться от полноты меры. Однако в
этом случае справедливо следующее утверждение: если
функции fh (k=l, 2, ...) измеримы на множестве Е,
функция f задана на Е и fk(x)—*f(x) почти всюду на Е,
то на Е существует такая измеримая функция g, что
fk(x)-*g(x) тоже почти всюду на Е и g ~ f.
Действительно, существует такое (измеримое)
множество Н czE (с цЯ = 0), что
/ (х) = lim fk (х) при всех л: е Е' = Е\ Н.
Тогда / измерима на Е', Положим
| f (x) при х е ?',
gW~t 0 при шЯ,
Ясно, что g удовлетворяет всем поставленным
требованиям.
В заключение отметим, что без требования полноты
меры верно следующее: если fk и f измеримы на Е и fk(x) -»-/(•*)
почти всюду ни Е, то множество
Е If k (х)-A fix)]
измеримо и имеет меру 0.
Это вытекает сразу из теоремы VI. 3.2.
§ 5. Сходимость по мере
В теории измеримых функций существенную роль
играет еще одно понятие сходимости, определение
которого мы сейчас дадим. Для простоты в основном
тексте мы снова рассматриваем функции с конечными зна-1
*) Напоминаем, что функции /А измеримы на Е.

§ 5]
СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ
137
чениями. Однако читатель легко сможет перенести все
изложенное ниже на измеримые почти всюду конечные
функции.
Определение. Пусть функции fh (k=l, 2, ...)
и / измеримы на множестве Е cz X. Говорят, что
последовательность {fh} сходится по мере (на множестве Е)
к функции А если для любого е > О
li?[lM*)-/(*)|>e]—— *<)•).
к —> со
В случае, если цЕ < + оо, предыдущее условие
означает, что множество точек из Е, где \fh(x) — f(x) | < е,
имеет меру, которая при k —*¦ оо становится сколь угодно
близкой к мере всего Е **).
Для сходимости по мере используем обозначение
Одна и та же последовательность может сходиться
по мере к разным функциям. Например, если fh=$>f, a
/ ~ g, и функция g измерима, то fs=#>g. Верно и
обратное заключение, т. е. справедлива следующая
теорема.
Теорема VI. 5.1. Если fk=^f и fk^g на
множестве Е, то f ~ g на Е.
Предварительно отметим следующее
вспомогательное утверждение: если f (х) = <р (х) -f ф (*) на
множестве Е, то для любого е > О
E[\f{x)\>B]<=E[\4(x)\>±][}E[\$(x)\>±]. E)
Действительно, если х е ?, но не входит в правую
часть E), то |<р(х)|<е/2 и 11|? (х) | < е/2, а тогда
|f (х) | < е, т. е. х не входит и в левую часть.
*) Измеримость этих множеств вытекает из результатов,
установленных в VI. 2. При этом важно, что не только fk измеримы, но
и / заранее предполагается измеримой.
**) Определение сходимости по мере имеет смысл и для
функций, почти всюду конечных. Однако в этом случае нужно помнить,
что множество E[\fk(x)—f(x)|<e] может не быть дополнением
к Е{|fh(x) —/(х)I5= г]. Кроме точек этих двух множеств, в Е
может содержаться еще непустое подмножество меры 0, состоящее из
таких точек, где разность fi,(x)—f(x) не имеет смысла.
***) Обозначение =^> для сходимости по мере введено
Г. М. Фихте н го льнем A888—1959) на его лекциях в
Ленинградском университете.

138 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. VI
Доказательство теоремы. Пусть Е' =
оо
= E[f(x)^g (х)]. Тогда Е' = (J Ер, где
p=i
Ep = E[\f(x)-g{x)\>±\ (p = l, 2, ...)•
Положим еще
L 2fJ | (p, * = 1,2, ...)•
По формуле E) ?р cr ?pA (J ??ft. Следовательно,
ц?р < iiE'pk + \iE"pk -r—-> °>
r ft -> oo
а потому |i?p = 0 при всех р. Отсюда вытекает, что и
\iE' = О, т. е. / ~ g.
Теперь приступим к выяснению соотношения между
сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.
Теорема VI. 5.2. (А. Лебег). Если
последовательность функций /л, измеримых на множестве Е с
цЕ < +°°. сходится почти всюду на этом множестве
к измеримой функции /, то /а Ф / *).
Доказательство. Фиксируем е>0 и положим
Ak = E[\fk(x)-f(x)\>B] (* = 1, 2, ...)•
Пусть Е' — совокупность всех тех точек из Е, где
последовательность {fh(x)} не стремится к f(x). По
условию Е' содержится в множестве меры 0 (точнее,
как отмечено в конце VI. 4, цЕ' = 0).
оо сю
Введем множества Bk — (J Ap, В — [) Bk. Тогда В
p=fe fc=i
измеримо. Докажем, что В cz E'.
Действительно, если хей, то xefii, при всех k.
А тогда для любого k существует такое р ^ k, что
*) Если функция f(x) определена как limfk(x) всюду,
где этот предел существует и конечен, то всегда можно
доопределить ее в остальных точках из Е,> не нарушая свойства
измеримости, и тем самым считать, что / задана на всем Е.

§ 5] СХОДИМОСТЬ ПО MHPIt 139
,vE/lp. Таким образом, существуют сколь угодно
большие индексы р, для которых
l/PW-/WI>e,
а отсюда следует, что fh(x) 7*/С*), т. е. ^е?', Тем
самым доказано, что Вс?',а тогда \уВ = 0.
Так как множества Bh образуют убывающую
последовательность и цВк <с: iiE < +оо, то [iBk—>[xS, т. е.
[iBh—*0. Но Ak cz Бй, следовательно, [хЛА ^ jiBa, a
тогда fi*4h-*0. Теорема доказана.
Замечание. Фактически мы доказали несколько
более сильное утверждение: если fk (х) —»• / (х) почти
всюду на Е с цЕ •< -foo (fk и / измеримы), а
со
< p=k
где е > 0, то \iBk -> 0.
Этим замечанием, мы воспользуемся в следующем
параграфе.
Заключение, обратное к теореме Лебега, неверно:
последовательность может сходиться по мере, но при этом
не иметь предела ни в одной точке. Приведем пример
в пространстве R\. Пусть отрезок Е = [0, 1] разбит на п
равных частей и определено п функций
!, m— 1 ^ ^ m
1 при ^*< —,
.„ - ¦ , " "
[0 при всех прочих *е[0, 1]
(m= 1, 2 п).
Беря поочередно «=1, 2, ..., расположим все
функции <pjjm) в виде одной последовательности
Ф1,1», ФУ, Ф^2), Ф*1», Ф<2>, Ф<3), ... F)
Кроме того, положим f(x) = 0 на отрезке [0, 1]. Так как
|i?Km)(*) #/(*)] =-?¦•
то ясно, что последовательность F) сходится к / по
мере. В то же время для любого х е [0, 1] в
последовательности F) встречается как бесконечное множество

140
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
функций, принимающих в этой точке значение 1, так
и бесконечное множество функций, принимающих в этой
точке значение 0. Следовательно, последовательность
F) не имеет никакого предела ни в одной точке.
В теореме VI.5.2 нельзя отбросить условие iiE<.-{-oo,
т. е. на множестве Е с [iE = -f-°o из сходимости
почти всюду не вытекает сходимость по мере. Это
подтверждается следующим простым примером: пусть
функции Д (k=l, 2, ...) определены на интервале
Е = @, +°о) с /?i так, что
ГО при 0 < x^.k,
fr(x)x=ll при x>k.
Тогда fh(x)-*0 при всех хе@, +оо), но nE[fh(x)==
= 1] = -j-oo и потому последовательность {fA} не
сходится к функции f(x) = 0 по мере.
Лемма VI. 5.1. Если последовательность измеримых
на множестве Е функций fh такова, что для любого
е>0
Ц?[!Ы*)-Ы*I>е]-1а^0, G)
то из нее можно выделить частичную последовательность
lfk ), которая почти всюду на Е сходится к некоторой
измеримой (на Е) предельной функции с конечными
значениями.
Доказательство. Зададим числа е; > 0 так, что
оо оо
2 fy < + ОО, И ПОЛОЖИМ бр = 2 г1 (р = 1. 2, . . .). Для
1=1 i=p
каждого i подберем натуральное kt так, что
\хЕ[ | fk(х) — fi(х) |>ег] < е, при &,/>?,-.
При этом, можно считать, что k{<k2< ... < kt < ...
Тогда, в частности,
• ^[|/*f+1w-/*fw|>«*i<ei-
Положим
?p=U?[|/*i+,(*)-M*)|>e<]-

§ 5]
СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ
141
Тогда \iEp < 6Р. Наконец, для пересечения E' = f]Ep
очевидно цЕ' = 0 (так как 6р->0).
Покажем, что последовательность [fk {х)\ имеет
конечный предел в каждой точке х<= Е \Е\ Если
х е Е \ Е', то х ш Ер при некотором р. Следовательно,
\fki+l(x) — fkt(x)\<e, при всех />р.
Тогда для лк ых двух индексов / и j таких, что
/ > г'^р, имеем
/*,(*) ~ fkt (А) | < S | /*m+I (X) ~ hm (X) | <
1-Х со
< 2 em< 2 em==6j.
m—t m=i
Таким образом,
Jim [/*,(*)-/*.(*)] = 0,
и существование конечного \imfk.(x) вытекает из
признака сходимости Больцано—Коши. Остается положить
( Hm fkl (х), если х е ? \ ?',
/(*) = 10, если jgF.
Это и будет требуемая предельная функция.
Лемма VI. 5.2. Если /ь=>/ на множестве Е и
одновременно fk (х)-* g (х) почти всюду на Е, то f ~ g
на Е.
Доказательство. Не уменьшая общности,
можно считать функцию g тоже измеримой (см. замечание
к теореме VI. 4.2). Как и в доказательстве предыдущей
сю
леммы, зададим числа е* > 0 так, что 2 ei < + °°- За-
тем подберем возрастающую последовательность
натуральных чисел k\ < k2 < ... < ki < ... так, что
рЕ[\}к1(х)-?(х)\^г,]<г,,
и положим
^ = U?[|^*iW-/W|>e/J.

142
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
Если х&А, то | fk. (х) — / (х) I < ег при всех г"; переходя
в этом неравенстве к пределу (напоминаем, что fh(x) —*
—>g(x) почти всюду), получим, что g(x) =f(x) для
почти всех х ё= А. С другой стороны, поскольку ц.Л <
< +оо, то по теореме VI. 5.2 fh^g на А, а тогда по
теореме VI. 5.1 / ~ g на А. Отсюда следует, что f ~ g и
на всем Е.
Теорема VI. 5.3 (Ф. Рисе*)). Если fa^f на
множестве Е, то существует такая частичная
последовательность {fk.}, которая сходится к f почти всюду на Е.
Доказательство. При любых k и / на
основании E) имеем
?[1Ы*)-//(*I>е]с=
cr?[lM*)-/«l>|]U?[lM*)-/«l>y].
откуда видно, что для последовательности {fh}
выполнено условие G). Тогда по лемме VI. 5.1 существует
частичная последовательность {/л^}, которая сходится
почти всюду на ? к некоторой функции g. Так как
fk^f, то по лемме VI. 5.2 f ~ g. Таким образом,
fkiix)~*8(x) почти всюду, g{x)*=f(x) почти всюду,
следовательно, и fh. {x) -*{(х) почти всюду на Е.
§ 6. Регулятор сходимости. Теоремы
Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина и М. Фреше
В этом параграфе мы докажем три
фундаментальные теоремы теории измеримых функций. Первая из
них в пределах нашей книги использована не будет.
Предварительно будут доказаны некоторые другие
теоремы, представляющие и самостоятельный интерес.
Теорема VI.6.1 (об устойчивости
сходимости). Если функции fk измеримы и почти всюду
конечны на множестве Е cz X с цЕ < -j-oo и fh(x)-*0
почти всюду на Е, то существует такая возрастающая
*) Ф. Рисе A880—1956)—выдающийся венгерский
математик, главные работы которого относятся к области функционального
анализа. Повторяя доказательство леммы VI. 5.1 в несколько
упрощенном виде, можно дать непосредственное доказательство
теоремы VI. 5.3. Однако мы вывели сначала лемму, поскольку она
необходима для дальнейшего,

§ В]
РЕГУЛЯТОР СХОДИМОСТИ
143
последовательность положительных чисел Яд—>+00.
что Khfk (х) —* 0 почти всюду на Е.
Это свойство сходимости почти всюду и называют
ее устойчивостью.
Доказательство. Не уменьшая общности,
можно считать, что все значения функций fh конечны (см.
VI. 4). Кроме того, отбрасывая из ? в случае
необходимости некоторое подмножество меры 0, можно считать,
что fh (х) -+ 0 при всех х е Е.
Если fk(x)-*0, то и \fh(x)\-+0. Применяя к этим
последним функциям формулу D), мы видим, что
существуют измеримые конечные функции щ,
образующие убывающую последовательность и такие, что при
всех х е Е s
1/*(«I<ф»D <р*(*)-*о.
По теореме VI. 5.2 для каждого натурального /
подбираем ki так, что ki+l >¦ ki и что
liE
Щ(х)> —
<т
Затем положим
1 при k < k2,
I при kt^k<kl+x (/ = 2,3,...)-
Введем множества
Иначе
k — 1
4=0  ?hw>i]-
Но при и!>/
? [ф*+1 W > tJt] ^ ? [щ (х) ^ т!г]с Е [ф* W ^ Я
а потому
со
Atcz\jE[fkn(x)^±]
n=l

144 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
и, следовательно,
оо оо
оо
Далее положим А — f) Bt. Тогда цА = 0. Докажем,
2=1
что ккЩ(х) -*0 при всех хШ А.
Действительно, если хЩ А, то хЩ В;„ при
некотором /о. Следовательно, хШ At при всех / ^ /0, а тогда
^аФа (*) < т ПРИ ^ =^ *'• Теперь уже ясно, что и
hkfk(x) — при всех хЩ А, и теорема доказана.
'Теорема VI.6.2 (о регуляторе сходимости). Если
функции fu измеримы и почти всюду конечны на
множестве ?ci с [iE <с +оо и fh(x) —*0 почти всюду на Е,
то существуют такая измеримая, почти всюду конечная,
неотрицательная функция g на Е и такая
последовательность положительных чисел аи -* 0, что
I fk (x) I ^ u-kg (x) при почти всех х^Е.
Тем самым сходимость почти всюду оказывается
равномерной по отношению к некоторой функции g.
Такая функция g называется регулятором сходимости
последовательности {/&}.
Доказательство. По предыдущей теореме
подбираем положительные множители Kh~> +<» так, что
Ык (х) -*¦ 0 почти всюду на Е. После этого полагаем
g(x) = supXk\fk(x)\.
Эта функция g измерима (см. лемму VI. 3.1, которая
остается в силе и для функций с бесконечными
значениями) и почти всюду конечна, а | fk (х) | ^ -j- g (x).
В следующей главе мы дадим одно обобщение
теоремы о регуляторе сходимости.
Теорема VI.6.3 (Д. Ф. Егоров*)). Если
функции fh измеримы и почти всюду конечны на множестве
*) Д. Ф. Егоров A869—1931) —профессор Московского
университета, положивший начало .систематической работе в области
теории функций вещественной переменной в России.

§6] РЕГУЛЯТОР СХОДИМОСТИ 145
Е cz X с цЕ < -j-oo и fb{x) -*f(x) почти всюду на Е,
причем f тоже почти всюду конечна, то для любого е > О
существует такое измеримое множество Е' cz E, что
цЕ' < е и что fh{x)-*f(x) равномерно на
множестве Е\Е'.
Таким образом, для измеримых почти всюду
конечных функций сходимость почти всюду «не очень
сильно» отличается от равномерной.
Доказательство. Не нарушая общности, будем
считать, что значения функций /а и / конечны, а
функция f измерима. Пусть g— регулятор сходимости для
последовательности {fh — /}. Имеем очевидное
равенство
оо
E[g(x) = + oo] = f\Ep, где Ep = E[g(X)>p].
p=i
Поскольку множества Ер образуют убывающую
последовательность, а функция g почти всюду конечна, то
\iEp—*0. Следовательно, по заданному е>0 можно
подобрать р так, что цЕр < е. Положим Е' = Ер. Тогда,
по определению регулятора сходимости, имеем на
Е\Е'
Ih (х) — /(*)!<а*?(х)<akp,
причем %-¦ 0, откуда и вытекает, что fh(x) —*f(x)
равномерно на Е \ Е'.
Последующие результаты будут установлены
специально для функций в евклидовом пространстве Rn-
При этом ц будет обозначать меру Лебега.
Теорема VI.6.4 (Н. Н. Лузин*)). Если функция f
измерима и почти всюду конечна на множестве Е cz Rn,
то для любого г > О существует такая непрерывная во
всем Rn функция ф, что
цЕ [f (х) Ф ф D1 < е.
Доказательство. Предварительно мы докажем,
что для любого е >• 0 существует такое замкнутое
*) Н. Н. Лузин A883—1950)—выдающийся советский
математик, ученик Д. Ф. Егорова, основатель советской школы теории
функций вещественной переменной.

146
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
множество FaE, что \i(E\F) < г и что сужение
функции / на F непрерывно на этом множестве*).
а) Сначала допустим, что / ограничена на
множестве Е, т. е. |/(л:) | ^ М. Зададим произвольное 8 > 0.
Затем для' любого натурального k делим отрезок
[—М, М] на 2k равных частей. Точками деления будут
yt = -M + -!j- A = 0, 1, 2, .... 2k).
Введем множества
Aki = E[yo<f(xXyi],
Aki = E[yi_l<f{x)^yi] при 1 = 2, 3, ..., 2k.
Эти множества измеримы, дизъюнктны и
2ft
E=\jAkl.
По следствию 1 из теоремы V. 5.5 известно, что для
каждого Aki существует такое замкнутое множество FkiCZ
с= Ahi, что
v(Aki\Fki)<^j^.
2k
Пусть Fk = \jFki. Тогда
2ft
Е \Fk=\J(Aki\Fkl)
и потому
ll(E\Fk)<jir. (8)
Теперь определим на Fu функцию fu, полагая Ы*) =
= у{ при JfEfij (t=l, 2, ..., 2k). По следствию из
*) Это значит, что если xm s F и хт -> х0 (х0 е F), то / (хт) ->
->/(.v0). Однако при этом возможно, что если xm^E\F и
х,п -> *о е /\ то / (хт) -/* [ (х0).

§ 6]
РЕГУЛЯТОР СХОДИМОСТИ
147
теоремы II. 7.1 fk непрерывна на Fh. Кроме того, из
определения множеств Ahi следует, что при всех x^Fh
о<Ы*)-/(*)<1г- ^
Положим F = f] Fk. Тогда
k=i
E\F=[}(E\Fk)
и по (8) ц(Е\ F) <. г. Кроме того, для xgF
неравенство (9) справедливо при любом k, а потому fk(x)—*
-*f(x) равномерно на F. Следовательно, поскольку все
функции fh непрерывны на F, функция / тоже
непрерывна на F.
б) Пусть теперь / не ограничена, но почти всюду
конечна на множестве Е. Введем функцию g(x) =
= avctgf(x). Если считать, что arctg ± оо = ± —, то
эта функция определена на всем Е и ограничена. Для
любого as -|, 4г)
Е [g (х) >а] = Е [arctg f(x)>a] = E [f (х) > tg a],
а последнее множество измеримо как лебегово
множество функции /. Если а ^ л/2, то E[g(x) > а] = 0; если
а = —л/2, то
оо
E[g(x)>a] = E[f(x)^-oo]=\jE[f(x)>~n};
л=1
если а < — л/2, то E[g(x) > а] = Е. Таким образом, g
измерима, |g(*) | <; п/2 на всем Е и \g(x)\< п/2
почти всюду на Е.
Теперь, по доказанному в а), выделим такое
замкнутое множество FczE, что n(E\F)<i e и что
сужение функции g на F непрерывно. Но f{x) = tgg(x), a
потому и сужение f на F непрерывно.
Легко понять, что, поскольку f почти всюду конечна,
множество F можно выбрать так, что / имеет на нем
только конечные значения.

148
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
F
Дополнительный интервал
Рис. 16.
в) Теперь, чтобы завершить доказательство теоремы,
достаточно показать, что всякая фуакция /, заданная и непрерывная на
замкнутом множестве F cz Rn, может быть распространена с
сохранением непрерывности на всё Rn- В этой части доказательства
мы ограничимся случаем одномерного пространства*).
Итак, пусть F с К, (Рф0). Мы знаем (см. II. 4), что среди
промежутков вида [а, Ь], в которые может быть погружено
множество F, существует наименьший**). Сначала распространяем
функцию / с F на упомянутый
наименьший промежуток [а, Ь]. С этой
целью полагаем ср(х) равной f(x),
если jjef, и определяем (р(х) по
правилу линейного
интерполирования в тех дополнительных
интервалах, которые содержатся в
[а, Ь] (рис. 16) ***). Ясно, что в
этих дополнительных интервалах
<р непрерывна как линейная
функция. Если х0 е F (х0 Ф Ь) и
является левым концом некоторого
дополнительного интервала, то ф
непрерывна справа в точке х0
тоже как линейная функция.
Пусть, наконец, xosf (хоФЬ),
но не является левым концом дополнительного интервала, а хт ->¦
-+х0 + 0 (т. е. справа). Если ье? (т = 1, 2, ...), то ц>(хт) ==
= f(xm) -*-{(х0) = ф(*о) по непрерывности / на F. Если же хт е
i F (т = 1, 2, ...), то легко сообразить, что концы ат и f$m того
дополнительного интервала, который содержит хт, тоже стремятся
к х0 (справа). Тогда }(ат) -*-/(*о) и }(&т) -*¦ /'(*о). Но q>(xm)
содержится между /(ат) и /(Рт), так как ф линейна в каждом
дополнительном интервале, а потому и ц>(хт)->¦ [ (х0) = q(x0).
Отсюда следует, что ф непрерывна справа на отрезке [а, Ь].
Аналогично проверяется непрерывность функции ф слева.
Теперь дополнительно полагаем
( ф(а) при всех х<а (если а >—<»),
ф (л:) = {
I фF) при всех х>Ь (если &<+<х).
Ясно, что распространенная таким образом на всю ось функция ф
непрерывна всюду.
Замечание. Из указанного способа
распространения непрерывной функции с замкнутого множества F
*) Общий случай — в пространстве Rn с любым числом
измерений — рассмотрен в книге: И. П. Натансон, Теория
функций вещественной переменной, Физматгиз, 1957, стр. 374.
**) Если F не ограничено слева (справа), то а = —оо
F = -f-oo). Ср. с подстрочным примечанием на стр. 104.
***) Эта часть построения, естественно, отпадает, если F =
= [а, Ы

§ 6]
РЕГУЛЯТОР СХОДИМОСТИ
149
на всю ось видно, что если \f (х) | ^ М на F, то jф(л:) | ^
^ М на всей оси. В пространстве Rn с любым числом
измерений распространение непрерывной функции тоже
можно осуществить с соблюдением этого условия. Таким
образом, если в теореме Лузина |/(х)|^Л1 на
множестве Е, то и от ф можно требовать, чтобы во всем Rn
выполнялось неравенство |ф(х) | ^ М.
С помощью предложений 3° и 6° из VI. 1, а также
следствия из теоремы VI. 1.2 легко получить, что если
для неко_торой функции /, заданной и почти всюду
конечной на измеримом множестве EaRn (но не
предполагаемой заранее измеримой!), справедливо
заключение теоремы Лузина, то она измерима. Таким образом,
теорема VI. 6.4 допускает обращение, которое можно
сформулировать, например, так: если на измеримом
множестве Е c/fn задана почти всюду конечная функция f
и для любого е > 0 существует такое измеримое
подмножество Е'аЕ, что ц(Е\Е')<с в и что на Е'
функция f непрерывна, то f измерима на Е, Тем самым
свойство измеримых функций, установленное в теореме
VI. 6.4, полностью характеризует функции этого класса.
Оно означает, что измеримые функции в Rn по своей
структуре тесно связаны с непрерывными.
Как следствие из теоремы Лузина установим
теорему, принадлежащую М. Фреше.
Теорема VI. 6.5. Если f измерима и почти всюду
конечна на множестве Е cz Rn, то существует такая
последовательность функций фй, непрерывных на всем Rn,
что (fh(x) ~*f(x) почти всюду на Е.
Доказательство. Зададим последовательность
положительных чисел е*—>(). По теореме Лузина для
каждого i можно подобрать такую непрерывную
функцию gi, ЧТО
nE[f(x)^gi{x)]<ei.
Тем самым последовательность gi=$>f на множестве Е.
По теореме VI. 5.3 существует такая частичная
последовательность {gik}, что gik (x) -> f {x) почти всюду на Е.
Остается положить ф^ = gi/t.
Из теоремы VI. 6.5 в свою очередь можно вывести следующую
теорему, доказанную итальянским математиком Дж. Витали
A875—1932).

150
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. VI
Теорема VI. 6.6. Если функция f измерима и почти всюду
конечна на множестве Е cz Rn, то она эквивалентна некоторой
функции 2-го класса. Точнее, существует такая функция g не выше 2-го
класса, заданная на всем Rn, что f(x) = g(x) для почти всех
х е Е.
Доказательство. Используем последовательность
непрерывных функций фй, удовлетворяющую требованиям теоремы
VI. 6.5, а затем положим
g (x) = lim <pft (x) = lim sup (<pft (x), yk + . (x), ...}.
Тогда g(x) = Пгпфа(л:) там, где этот предел существует, а
следовательно, g(x) = f(x) почти всюду на Е. Но функции
gk(x) = sup {q,k (x), (fk+ г (х),...} =
= lim sup {фй (х), (fk + l (x) (fk+p (x)}
не выше 1-го класса, следовательно, g не выше 2-го класса.
Если функция f ограничена на Е, \f(x)\ ^ M, то на
основании замечания к теореме Лузина функцию g можно построить так,
что и \g(x) | ^ М па всем Rn. В общем случае из наших
построений не следует, что g непременно будет всюду иметь конечные
значения. Однако, за счет некоторого усовершенствования
доказательства, можно добиться, чтобы g всегда была конечной функцией.

ГЛАВА VII
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ
.ФУНКЦИИ
§ 1. Определение интеграла Лебега
Классическое определение интеграла по Риману, при
котором интеграл вводится как предел римановых сумм,
рассчитано в первую очередь на то, чтобы
интегрируемыми оказались все непрерывные (в замкнутой
ограниченной области) функции, и хотя некоторые разрывные
функции тоже интегрируемы по Риману, но класс таких
функций весьма не широк. Это обстоятельство связано
с тем, что при построении интеграла Римана область
интегрирования разбивается на множества сравнительно
несложной формы. Например, в одномерном
пространстве промежуток интегрирования разбивается только на
промежутки и используется лишь понятие длины
промежутка. Введение понятия меры позволило А. Лебегу дать
новое определение интеграла, при котором класс
интегрируемых функций оказывается значительно шире.
К точному описанию конструкции интеграла Лебега мы
и переходим. При этом мы не будем придерживаться
первоначальной схемы самого Лебега.
В этой главе мы будем изучать интеграл Лебега
в произвольном пространстве *) X с мерой ц, но только
для ограниченных функций и только по множествам
конечной меры. Как и раньше, © — та а-алгебра
подмножеств из X, на которой задана мера \х,, а
множества из © называются измеримыми.
*) Множество с мерой мы в дальнейшем, как правило,
называем пространством (с мерой).

152 ИНТЕРГАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Пусть ограниченная функция / задана на измеримом
множестве ? с?, причем д? < -f-oo. Разобьем
множество Е произвольным образом на конечное число
дизъюнктных измеримых множеств et(E—\Jet\ и
положим
Af4=sup/(x), mt=inff(x) (/ = 1, 2, ..., р) *).
лее, х е е^
Самое разбиение обозначим буквой т. Составим две
суммы
р р
5 (т; /) = 2 Mi\ieh s (т; /) = 2 т,це*
и назовем их верхней и нижней (соответственно) сг/лг-
мами Лебега — Дарбу **). Мы допускаем для этих сумм
и более короткие обозначения S(x) и s(t), если функция,
для которой они составлены, уже заранее указана.
Установим некоторые свойства сумм Лебега — Дарбу.
Рассмотрим два разбиения множества Е: т — на
множества е< и т/ — на множества е\. Будем говорить, что
разбиение т/ мельче, чем т, если каждое е) содержится
в некотором е^ (иными словами, множества е'/ получены
дальнейшим дроблением всех или некоторых из
множеств в{).
Г. Если разбиение х' мельче разбиения т, то S(x') ^
<S(t), a s(t')^s(t).
Доказательство. Так как переход от т к т'
может быть осуществлен постепенно, то достаточно
проверить предложение 1° в случае, когда х' получается из т
разбиением одного из множеств еи например еи на две
дизъюнктные части: е[ и е'{. Положим
Mi = sup f(x), M'{ = sup f(x).
*) Множества е* мы считаем непустыми.
**) Г. Дарбу A842—1917)—французский математик.

§ П ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 153
Тогда М\, Af"<M1( a \iel = \xe\ +це". Следовательно,
S (х') = AfJixeJ + М'№ + S Mi\iei <
г=2
< Мх (ц< + це'{) + S М,це, = g Af/fie, = S (т),
т. е. верхняя сумма Лебега — Дарбу не увеличивается
при переходе от т к т'. Аналогично доказывается, что
нижняя сумма не уменьшается.
2°. Любая нижняя сумма Лебега — Дарбу s (%') не
превосходит любой верхней суммы Лебега — Дарбу
S (т"), даже если они составлены для различных
разбиений х' и х" множества Е.
Доказательство. Неравенство s(t)^S(t) для
сумм, составленных при одном и том же разбиении,
очевидно. Пусть теперь х' и х" — два различных разбиения:
t':? = U<, x":E = (]eJ.
1=1 /=i
Составим третье разбиение т множества Е из
множеств e.tj = e't П е" (пропуская при этом те вц, которые
пусты). Тогда т мельче, чем т/ и х", и согласно
предложению Г,
s(t)>s(t/), S(t)<S(t"),
но так как, кроме того, s(t)^ S(x), то и s(x'} s^.S(x").
Из 2° вытекает, что множество всех нижних сумм
Лебега — Дарбу s(x), соответствующих всевозможным
разбиениям множества Е, ограничено сверху любой верхней
суммой. Следовательно, К= sup s(x; /)^S(t; /). Ta-
т
ким образом, К служит нижней границей для множества
верхних сумм, и потому
L = inf S (т; /) > К.
X
Определение. Функция f называется
интегрируемой *) (по Лебегу) на множестве Е, если К = L, и
в этом случае общее значение граней К и L называется
*) Точнее, интегрируемой по мере ц.

154 ИНТЕГРАЛ ЛПБПГЛ ОТ ОГРЛИПЧЕННОП ФУНКЦИИ [ГЛ. VI!
интегралом (Лебега) функции / по множеству Е и
обозначается /ф, или (иногда) I f{x)d\i.
Е Е
Если Е— отрезок [а, Ь] из Ri, a jx — мера Лебега, то
ь ь
употребляют и классическую запись I f(x)dx или \ fdx.
а а
Широкий класс интегрируемых функций указывается
следующей теоремой.
Теорема VII. 1.1. Если ограниченная функция f
измерима на множестве Е, то она интегрируема на Е.
Доказательство. При любом т
s(t)<A:<L<S(t).
Поэтому, чтобы установить равенства К = L,
достаточно показать, что существуют разбиения т множества Е,
для которых верхняя и нижняя суммы Лебега — Дарбу
сколь угодно близки друг к другу.
Пусть А < f(x) < В для всех х е Е (А и В —
конечные величины). Разобьем промежуток (Л, В) на
конечное число участков с помощью точек
А = А0 < А, < ... < Ар = В
и положим б равным наибольшей из разностей между
двумя соседними числами А;.-
6 = max (А; — А/.,) (*' = 1, 2, ..., р).
Далее введем множества
е, = ?[Л,_, </'(*)< Л,] (/=1, 2 р).
Каждое из множеств ег измеримо как пересечение двух
лебеговых множеств функции /, множества е* дизъюнкт-
р
ны и ?=(Je; (рис. 17)*). Отсюда, в частности, сле-
дует, что
р
2j це^ = [iE.
i=i
*) Именно такой порядок: сначала разбивается промежуток, в
котором содержатся значения функции, а уже по нему строится
разбиение области задания функции, — и был положен Лебегом в
основу его схемы определения интеграла.

«1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
155
Обозначим через т разбиение множества Е с помощью
этих et (если некоторые из них пусты, мы их
пропускаем). Тогда для каждого i
li-s < mi < Mi < %i
и потому Mi — rrii < б, а
p p
S(x) — s (t) = 2 (Af j — m,) це,- < 6 2 це, = бцЕ,
i=i i=i
что, вследствие произвольности б, может быть сделано
сколь угодно малым.
Важнейшим частным случаем введенного выше
понятия интеграла является интеграл Лебега от функций,
заданных в евклидовом пространстве, в котором в качестве
меры (.1 выбрана мера Лебега *). Для функций в
евклидовом пространстве из предыдущей теоремы, с помощью
теоремы VI. 1.2, сразу выводится
Следствие. Если функция f непрерывна на
ограниченном замкнутом множестве Е в Rn, то она
интегрируема по Лебегу.
Известно, что классический интеграл (Римана) от
непрерывной -функции по ограниченной замкнутой области
D заключен между суммами Дарбу. Суммы Дарбу
представляют частный случай сумм Лебега — Дарбу; они
*) Сам Лебег начинал построение своей теории интеграла для
функций в одномерном пространстве. '

156 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
составляются по тому же принципу, но при этом
используются разбиения области D не на произвольные
измеримые подмножества, а на множества некоторого
определенного вида (например, тоже области).
Следовательно, интеграл Лебега от непрерывной функции подавно
заключен между суммами Дарбу. Но между суммами
Дарбу для непрерывной функции можно вставить лишь
единственное число —ее интеграл Римана, а потому
интегралы Лебега и Римана от непрерывной функции
по ограниченной замкнутой области совпадают. К тому
же заключению можно аналогичным образом прийти и
для любой ограниченной функции, интегрируемой по
Риману.
Приведем еще два примера.
1. Пусть X— произвольное бесконечное множество,
в котором выделено счетное подмножество точек
Х\, Хч..., xh и пусть задан сходящийся положитель-
00
ный ряд 2 М*. где все \ih > 0. Для любого Е с: X по-
ложим ц.?= 2 Pk, где суммирование
распространен)
няется на все те k, при которых Xk e E *). Пользуясь
физической терминологией, говорят, что в точке xh
помещен заряд jj.ft, а тогда \хЕ равна сумме всех тех зарядов,
которые попадают в Е **). Ясно, что определенная таким
способом функция ц — конечная мера в X.
Если теперь f— произвольная ограниченная функция,
заданная на некотором множестве Е а X (она
непременно измерима, поскольку все подмножества из X
измеримы), то легко проверить, что ее интеграл
В k(xk^E)
*) Если таких k нет, то указанная сумма по определению
считается равной 0.
**) Поскольку в этом примере все точечные нагрузки цй
положительны, их можно было бы назвать также массами. Однако
мы предпочли термин «заряд», имея в виду, что он сохранится в
последующем и в том случае, когда положительные точечные
нагрузки заменятся нагрузками любого знака (см. XI. 1).

§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 157
Иначе, полагая \i(x) равным для любого ие? мере
одноточечного множества (х), имеем
{ / d\i = 2] / (х) ц (х),
Е х(=Е
т. е. интеграл равен «взвешенной» сумме значений
функции / во всех точках множества Е. При этом значения
в точках, отличных от всех хк, имеют «вес», равный 0.
2. Пусть в произвольном пространстве X с мерой р,
выбрано некоторое измеримое множество А. Затем для
любого измеримого ЕаХ положим vE = ц(ЕГ\А).
Функция v — мера, заданная на той же а-алгебре
множеств из X, что и ц. Если функция / ограничена и
измерима на множестве Е с vE < +00, то
\fdv= J /ф.
Е Е(]А
Отметим без доказательства, что теорема VII. 1.1
допускает следующее обращение: если ограниченная
функция / интегрируема на измеримом множестве Е сХ
(с \iE < +°°). причем мера ц полна, то f измерима
на Е *).
§ 2. Простейшие свойства интеграла
Перейдем к установлению ряда простых свойств
интеграла Лебега. Как правило, все функции,
встречающиеся в дальнейшем под знаком интеграла,
предполагаются ограниченными, измеримыми, а интегралы
берутся по множествам конечной меры. Однако отметим,
что если (х? = 0, то любая ограниченная на Е функция
интегрируема на этом множестве**). Это тривиальным
образом вытекает из определения интеграла. Условимся
также считать, что интеграл по пустому множеству от
любой функции имеет смысл и равен нулю.
*) Без полнота меры ц можно доказать, что если
ограниченная функция интегрируема, то она эквивалентна некоторой
ограниченной измеримой функции.
**) Это замечание представляет интерес, если только мера ц —
не полная (ср. предложение 6° из VI. 1).

158 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Теорема VII. 2.1 (оценка интеграла). Если
С ^f(x)^D и f измерима на множестве Е, то
C»E^jfdn^D\iE. A)
Е
Доказательство. Если под т понимать
разбиение множества Е, составленное только из самого Е,
т. е. принять р=1, ех = Е, то s (т) = m ¦ цЕ, S (т) =
= М ¦ iiE, где m = inf / (х), М = sup f (х). Но С ^ m ^
х^Е лиз?
^ М ^ Д и потому
Сц?< s(x) < j f ф <S(t)< ?>ц?.
E
Следствия. 1. Если f(x)^0 на Е, то j fd\x~^Q
E
(вытекает из A) при С = 0).
2. ?сли /(х) равна постоянной р на множестве Е,
то \ fd\i = р ¦ цЕ (вытекает из A) при С — D = р).
Е
Теорема VII. 2.2 (счетная аддитивность
интеграла). Пусть множество Е представлено в виде конечного
или счетного объединения дизъюнктных измеримых
множеств Ej (E =\JEj). Тогда для всякой функции f, огра-
i
ничейной и измеримой на множестве Е,
Jfdi* = 2 Jfrfji. B)
Б 1 Ej
Доказательство. Сначала покажем, что
равенство B) справедливо в случае, когда Е разбито на два
подмножества: Е = E\\JE2, причем Е1Г\Е2 = 0.
Возьмем произвольное разбиение т множества Е:
р
E=\Jet. Затем положим
e'l = el{\Ev e'[ = et(\E2 (/=1,2 р)
и получим разбиение т/ и х" множеств Ех и Е2
(соответственно):
I i

§ 2]
ПРОСТЕПШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
159
(те из e't и е", которые пусты, отбрасываются). Тогда
s(t')< J/d|i<S(xO, s(t")<{/^<5(t"). C)
Объединяя все множества е\ и е", получим новое
разбиение т* множества Е. Оно мельче, чем т. При этом
S (О = s (О + s (т"), 5 (О = S (т') + S (т").
Отсюда и из неравенств C) (с учетом предложения Г
из VII. 1) находим, что
s (т) < s (О < \ f d\i + f / d\i < S (г*) < S (t).
?, E.
Но интеграл j /ф—это единственное число, заключен-
?
ное между s(t) и S(r) при любом т, а потому
|/ф= J"/d|i + j fd{i.
Е Ei E2
Теперь по индукции легко получить формулу B) и
в случае, когда Е разбито на любое конечное число
дизъюнктных измеримых множеств.
оо
Переходим к случаю счетного объединения: E~[jEj.
оо
Положим Нр = (J Ej. Тогда
Е = ЕМЕ2{] ... \}ЕР\}НР, D)
причем множества в правой части измеримы. Кроме
оо
того, \х.Нр = 2 ^Ej, т. е. цЯр равна остатку сходя-
i=p+i
оо
щегося ряда ^цЕ. — рЕ. Поэтому ц#р->-0.
Так как объединение в формуле D) — конечное, то,
по уже доказанному,
р
Jfrf|i=S J/rfji+J/dti.

160 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Из теоремы VII. 2.1 следует, что Г f d\x —-•> 0, а потому
р оо
J/dfi = lim J] J/4*=2 J/dH-
/=1 ?y /=1 ?;-
Доказанная теорема означает, что при заданной
функции / интеграл \ f d\i— счетно-аддитивная
е
функция, определенная на- 0-алгебре ©? всех
измеримых подмножеств е сг Е. Если же f(x)^0 на Е, то
J f dn^O для любого е е ©?, т. е. этот интеграл пред-
е
ставляет некоторую новую меру, заданную на <2>я.
р
Следствия. 1. ?слы E = \jEjt причем Et изме-
/=i
римыи дизъюнктны, a f(x) = c/ на Et (/=1, 2 р;
с/ — постоянные), то
р
J f d\i = 2] c/(i?/.
? /=I
Это вытекает сразу из теоремы VII. 2.2 и следствия 2
из теоремы VII. 2.1.
оо
2. ?слы ? = (J ?m, где множества Е'т измеримы и
образуют возрастающую последовательность, то
\ fd\i = lim J fdyi.
Это следует из теоремы IV. 1.2.
3. Если f ограничена и измерима на Е, причем
f (х) ^ 0, а измеримое множество Е' а Е, то
jfdvL^jfdp.

§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 161
Для доказательства этого предложения достаточно
рассмотреть интеграл как меру и вспомнить свойство
монотонности меры.
Теорема VII. 2.3. Для любых двух функций fug,
ограниченных и измеримых на множестве Е, и любой
постоянной с
l(f±g)dv=jfdii±jgdli, E)
В БЕ
|cfd|* = cjf'^*).. F)
в в
Доказательство. -Сначала проверим равенство
E) для суммы двух функций h = f + g. Пусть т —
произвольное разбиение множества Е на дизъюнктные изме-
р
римые множества et, E*={J?*,
mr,= inf f(x), m'f— inf g(x), m, = inf h{x),
xeel xee^ xse{
M'i = sup / (x), M'l = sup g (x), Mi = sup h (x).
iee, xset «se(
Тогда
m\ + ml<hW<M; + Ml при x&et,
и потому для любого /=I, 2 р
mt>m't + m"t, Mt<M't + M?.'
Далее имеем
р р
причем в обеих формулах крайние члены неравенств
могут быть сделаны за счет выбора разбиения т сколь
*) Существование интегралов в левых частях обеих формул
обеспечено тем, что функции / ± g и с] ограничены и измеримы
на ?.
6 Б. 3. Вулих

162 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
угодно близкими друг к другу. Следовательно,
i«l . . . . В Е i=l
Одновременно
р ¦ - р
S (К+о ^ < ? т^е< ^ Jh d[i <
i«=i г=1
Так как крайние члены в неравенствах G) и (8) сколь
угодно близки друг к другу, средние члены совпадают,
и тем самым формула E) для суммы двух функций
доказана.
Переходим к доказательству формулы F).
Пусть сначала с ^ 0. Тогда
f cf cfy — sup s (т; cf) = sup с • s (т; /) =
в * *
= с sup s (т; f) = с f frfu- *).
i
Если же с < 0, то
f с/ ф = sup 5 (т; с/) = sup с • S (т; /) =
*) При этом используются очевидные равенства
sup {cct|} = с • sup {а|}, inf {cct^} = с • inf {с^},
справедливые для любого ограниченного множества чисел aj, если
с ^ 0. Отсюда, в частности, следует, что
inf cf (x) = с • inf / (дс),
хге лее
и поэтому 5 (т; c}) = c-s (т; /).

§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА F3
Наконец, формула E) для разности двух функций
очевидным образом вытекает из уже доказанного.
Теорема VII. 2.4. Для любой ограниченной
измеримой функции f
/ fda < Ji/lrfu*).
? Я
Доказательство. Положим
?,=?[/(*)>()], Е2 = Е[Нх)<0].
Множества Ех и Е2 измеримы, Ех Л Е2 = 0 и El\JE2 = E.
Тогда, по аддитивности интеграла,
jfdp= J*/rfu.+ J/dn= /|/|rf|i- /|/|*ц.
Я ?i Яг ?i Яг
Следовательно,
[fdti < J|/|rfji+ /|Л^= Jl/lrfn.
Я Я, Яг ?
Теорема VII. 2.5. ?сл« f~g «а множестве Е (обе
функции ограничены и измеримы), то
\fd\i= \gd\L**).
Я Я
Доказательство. Положим
Е1 = Еи(х)Фё(хI Е2 = Е\ЕХ.
По условию цЕх = 0, а потому
j fdn= j gd\i = 0.
я, я,
С другой стороны, f(x) = g(x) на ?2, и потому
\fd\x= J gdii.
Яа Я2
О)
*) Измеримость функции |/| доказана в лемме VI.2.1.
**) Легко доказать и более общее утверждение: если функции
fug ограничены на множестве Е, f ~ g и f интегрируема на Е, то
и g интегрируема на Е и при этом справедливо равенство (9).
В частности, если ограниченная функция эквивалентна некоторой
измеримой, то она интегрируема.

164 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Отсюда, вследствие аддитивности интеграла, и вытекает
равенство (9).
Замечание. Доказанная теорема означает, что
изменение значений подынтегральной функции на
множестве меры 0 не влияет на величину интеграла*).
В связи с этим можно рассматривать интеграл J f d\x
Е
и от измеримой (а в пределах этой главы еще и
ограниченной) функции, которая задана лишь почти всюду
на Е, не уточняя, как именно функция / доопределяется
на остальной части множества Е **).
Следствие 1 из теоремы VII. 2.1 может быть несколько
усилено: если f(x) ^ О почти всюду на Е (/ ограничена
и измерима), то | f dp ^0. Действительно, полагая
Е
| /(*), если f(x)>0,
gW*=\ 0, если /(*)<0,
получим измеримую функцию, эквивалентную /. Так
как g {х) > 0 при в с е х х е Е, то | g dp > 0. Следова-
Е
тельно, по теореме VII.2.5 и Г fdp^O.
Аналогично, если f(x) — p почти всюду на Е, то
\ fdp = p ¦ рЕ. В частности, если f~A (т. е. f(x) = 0
Е
почти всюду), то jfdp = 0.
Е
Это замечание допускает частичное обращение
в виде следующей теоремы.
*) Так как мы ввели до сих пор интеграл только от
ограниченных функций, то следует предполагать, что изменение значений
функции на множестве меры 0 производится без нарушения
свойства ограниченности функции. В следующей главе мы освободимся
от этого условия.
**) Такое доопределение всегда возможно с сохранением
свойства измеримости функции. Например, если f измерима на Е' с Е
и ц(? \ ?') =* 0, то достаточно принять [(х) = 0 на Е \ ?'.
Однако примечание к теореме VII. 2.5 показывает, что требование
сохранения измеримости несущественно,

§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА 165
Теорема VII. 2.6. Если /(*)>0 почти всюду на Е
(/ ограничена и измерима) и [/<2ц = 0, то f~0.
в
Доказательство. Положим
?, = ?[/(*)> 0], ?2 = ?[/(*)<0], E3 = E[f(x) = 0].
По условию цЯ2 = 0, а потому и J fdn = 0. Кроме
Е2
того, J fdn — 0, следовательно,
в,
J / rfp. = J f//|x == 0. - A0)
Я, Б
Ясно, что
то '
Е,= {}Нт, где Hm = E[f(x)>±].
m=l
Из оценки интеграла (теорема VII. 2.1) следует, что
/¦
fd\i^— цНт при любом т.
С другой стороны, так как f(x)>0 на всем ЕЬ то
(см. следствие 3 из теоремы VII. 2.2), а потому
fdix>~nHm.
Отсюда, по A0), вытекает, что \кНт = 0 при всех т;
следовательно, и |a?i=0. Таким образом, \i(Ei U Е2)=0,
а это и значит, что f ~ 0.
Теорема VII.2.7 (почленное интегрирование
неравенства). Если f(x)^. g(x) почти всюду на множестве Е
(обе функции ограничены и измеримы), то
//<*!*< \ gdy..

166 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Доказательство. Так как g(x) — f(X)>0 почти
всюду на Е, то
J g Ф - j f dp = J" (S - f) d\i > 0.
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла
Пусть на множестве Е cz X с iji: < -f- °о задана
последовательность ограниченных измеримых функций
fh (k— 1, 2, ...) и пусть /ft=7>/, причем функция f тоже
ограничена (и, конечно, измерима). Если выполняется
соотношение
{ffctffi-* Jfrfji, A1)
то говорят, что для данной последовательности функций
на множестве ? допустим предельный переход под
знаком интеграла.
Предельный переход под знаком интеграла может не
иметь места, даже если fh(x) -*f{x) во всех точках
х^Е. Возьмем в качестве Е интервал @, 1) и положим
fk(x) =
k при 0 <x<-i,
, (А = 1.2, ...)•
0 при -г-^х < 1
Тогда fk(x) -+0 при всех *е@, 1), т. е. /(л:) = 0; в то
же время, по следствию 1 из теоремы VII. 2.2,
1
fkd\i = k -j=l,
и соотношение A1) не выполняется.
Докажем теорему, дающую достаточное условие, при
котором предельный переход под знаком интеграла
допустим.
Т еор е м a VII.3.1 (А. Лебег). Пусть функции
fh (k = 1, 2, ...) ограничены и измеримы на множестве
ЕаХ (с ц,?<-+оо) и существует такая постоянная
М > 0, что \fh(x) |^Af при всех k и почти всех jce?.

§ 3] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 167
Если h^f (на Е) *), причем функция f ограничена на
множестве Е, то соотношение A1) справедливо.
До к аз а те л ь ст в о. Переходя, в случае
необходимости, от функций fh к эквивалентным функциям,
можно сразу считать, что |М*)|г^Л1 при всех х е ?
(k = 1, 2, ...)• Такая замена, как мы знаем, не влияет
на величину интегралов J fkdy. (см. теорему VII. 2.5)"
в
и, конечно, не отразится на сходимости по мере к /. За
счет увеличения М всегда можно добиться, чтобы f была
ограничена той же постоянной М: |/(х)|^Л1 на всем
?**).
Будем считать, что цЕ > 0; в случае, когда цЕ *= 0,
соотношение A1) тривиально.
Зададим произвольно е>0 и положим Ч—~<[Ьг'
Введем множества
Ek = E[\fk(x)-f(x)\>rl] (A = l, 2, ...).
По определению4 сходимости по мере цЕк-*0.
Следовательно,
*Е*<'Ш ПРИ k>K.
Считая 6 Ж, оценим разность
Е Е
С помощью уже известных свойств интеграла,
в частности, теоремы VII. 2.4, имеем
jhdix- jfdii < J|/*-/|rf|i«
В В Е
*) В частности, если //,(*) -+f(x) почти всюду (см. теорему
VI. 5.2).
**) Впрочем, из теоремы Рисса (VI. 5.3) сразу следует, что
если |f*(*)l ^ М на ? ПРИ всех fe> T0 I/MI <  почти всюду
на ?.

168 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Так как | ]к (х) — / (х) К 2М на всем Е, то
j\h-f\dn^2M-ixEk<^.
С другой стороны, | fk(x) — f (х) |< т] на Е\Ек и потому
е
J
fft — ЛФ<11- \x(E\Ek)^r\- pE=-j.
Сопоставляя с A2), сразу получаем
jfkdp- jfd\i
<е,
что вследствие произвольности е й доказывает
соотношение A1).
В следующей главе теорема Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла будет дана в более
сильной форме.
§ 4. Пространство S измеримых функций
Используя интеграл Лебега только для ограниченных
функций, можно ввести метрику в множестве всех
измеримых (почти всюду конечных) функций, заданных на
каком-нибудь множестве Е с конечной мерой.
Пусть ?сАи |х? <-f °°- Обозначим через S
совокупность всех измеримых-функций /, заданных на ? и
почти всюду конечных. При этом мы условимся
отождествлять друг сдругомэквивалентныемежду собой функции,
т. е. считать их одним и тем же элементом множества
S. Таким образом, каждый элемент f e S
изображается не одной определенной функцией, а любой
функцией из целого класса эквивалентных между собой
функций. В частности, каждый элемент /eS можно
изобразить функцией, имеющей всюду конечные значения, и
можно считать, что S состоит только из таких функций.
Для любых двух элементов f,geS определим
расстояние между ними по формуле
*«'*)-$т№±та»- A3)
Е

§ 4] . ПРОСТРАНСТВО 5 ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИИ 169
Так как подынтегральная функция ограничена (ее
значения заключены между 0 и 1) и измерима, то интеграл
всегда существует. При этом, если / или jf заменить на
какую-нибудь эквивалентную функцию из S, то p(f, g)
не изменится, т. е. p(f,g) не зависит от того, какие
именно функции среди всевозможных эквивалентных
между собой и изображающих элементы fag,
соответственно, подставлены в формулу A3).
Проверим, что р(/, g), определенное по формуле A3),
удовлетворяет всем аксиомам расстояния в метрическом
пространстве. Ясно, что р(/, f) = 0. Из теоремы VII. 2.6
следует, что если pjf, g) =s= 0, то подынтегральная
функция в A3) эквивалентна 0, т. е. / ~ g; а это~и значит,
что f и g равны как элементы множества. S. Аксиома
симметрии, очевидно, выполняется.
Для проверки аксиомы треугольника выведем
сначала одно вспомогательное неравенство. Пусть 0 ^ а ^'
<; р. Тогда а + «р < р + «р. Деля обе части на
A + а) A + Р), получим
< е (и)
1+а "*» 1+р-
Теперь для любых двух вещественных чисел а и Ъ
с помощью неравенства A4) имеем
\а + Ь\ ^ UI + IM _
1+ \а+ Ь\ ^ 1 + |а| + |&|
lal , 1*1 ^ lal I 1*1
— 1 + |в| + |Я "*" l+|a| + |ft| ^ l+|o| "*" 1 + |6р
Беря любые три функции /, g и h из S и полагая
a = f{x) — h(x), b = h{x) — g(x),
находим
\f(x)-g(x)\ ^ \f(x)-h(x)\ . \h(x)-g(x)\
i + |f(*)-erWI ^ l + \f(x)-h(x)\ t"i+ \h{x)-8(x)i*
интегрируя почленно по множеству Е, получим
?(f,g)<P(f, A) + P(A, g).
Таким образом, S — метрическое пространство.
Из формулы A3) непосредственно видно, что для
любых двух элементов f, geS расстояние р(/, g) равно

170 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ И"Л. VII
расстоянию от / — g до 6:
Р(/, g) = P(f-g. в)
@ — нулевой элемент пространства S, изображаемый не
только функцией, тождественно равной 0, но и всякой
функцией, эквивалентной нулю).
Теорема VII.4.1. Сходимость по расстоянию в S
совпадает со сходимостью по мере.
Доказательство. Пусть fh^f {fh,/eS), Тогда
для любого е > 0
цЕ
\fkM-HxU .>е
»+|f*W-/M|
<|i?[|/»(*)-/(*)l>e],
а поэтому последовательность j . ,.f _,-. \ сходится
по мере к 0. Следовательно, по теореме VII. 3.1
С другой стороны, если {fk} не сходится по мере
к /, то для некоторого е > 0
ц?[!М*)-/(*I>е]т*0.
Это значит, что существует такое б > 0, что для
бесконечного множества индексов ki
liE[\fkl(x)-f(x)\>e}>6.
По неравенству A4), если | fkl (х) — / (х) | > e, то
i + |f4jW-/W| ^ ! + •*
а потому
Следовательно, ур (fkl, /) т4 0.
Теорема VII.4.2. S — полное метрическое
пространство.
Доказательство. Пусть последовательность {fh}
из S — фундаментальная, т, е. p(fh, ft) -»0 при ft, / =* оо.

§ 4] ПРОСТРАНСТВО S ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 171
Тогда, с помощью рассуждения, аналогичного только что
проведенному, мы сразу убедимся, что при любом е > О
vE[\fh(x)-fl(x)\>B]J-r^*0.
По лемме VI. 5.1 из {/ft} можно выделить частичную
последовательность {/ft/}, которая сходится почти всюду
к некоторой предельной измеримой функции / с
конечными значениями. По теореме VI. 5.2 из сходимости
почти всюду вытекает сходимость по мере; таким
образом, fht -*f по расстоянию в S. По лемме III. 4.1 отсюда
следует, что и fh —>• /. Таким образом, всякая
фундаментальная последовательность из S имеет предел, т. е.
полнота пространства S доказана.
Рассмотрим, в частности, случай, когда X = Rn,
а ц — мера Лебега (и, как выше, цЕ < + оо). В этом
случае пространство S оказывается сепарабельным. Для
доказательства достаточно установить, что множество^,
всех алгебраических полиномов от п переменных с
рациональными коэффициентами всюду плотно в S (см.
замечание в конце I. 4). Пусть feS. По теореме VI. 6.5
существует последовательность функций, непрерывных
на Rn, сходящаяся к / почти всюду на Е, а тем самым и
по расстоянию в S. Следовательно, по произвольному
е > 0 можно найти такую функцию g, непрерывную на
всем Rn, что для ее сужения на множестве Е (мы
сохраняем для сужения ту же букву g) будем иметь
неравенство p(f,g)<-j- Далее, из теоремы Вейерштрасса
легко следует, что для любой непрерывной на Rn
функции ф существует последовательность полиномов из &,
сходящаяся к (р(х) при всех леЛ„*). А тогда,
аналогично предыдущему, для функции g можно подобрать
полином Q из & так, что р (g, Q) < -j в метрике
пространства S на множестве Е. Следовательно, р(/, Q) < е,
что и доказывает сепарабельность S.
Сформулируем одно весьма общее понятие, введенное
советскими математиками П. С. Александровым
и П. С. У р ы с о н о м.
*) Нужно при каждом натуральном р подобрать полином QP
из & так, что \Qp(x) — <f(x) [< \/р при всех х из
параллелепипеда [—р, р; —р, р; ..,; —р, р].

172 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Определение. Пусть в некотором множестве У
определено какое-то понятие сходимости, т. е. указано,
какие последовательности считаются сходящимися и
к какому пределу. Пусть эта сходимость названа
(/)-сходимостью (запись: ук —-> у) *). Последовательность {yh}
из У называется (*) -сходящейся кг/G У (пишем #*—*#),
если из любой ее частичной последовательности [Ук^
можно выделить подпоследовательность [ук{} так, что
yk{ —*y. Точнее, эту сходимость следует называть
|(*)-сходимостью по отношению к (/)-сходимости.
Если У—метрическое пространство, то
(*)-сходимость по отношению к сходимости по расстоянию в нем
совпадает со сходимостью по расстоянию.
Действительно, если Ун~*У по расстоянию, то и любая частичная
последовательность Ук{-*У> а тогда ук—~>у.
Если же ук-ЛУ по расстоянию, то при некотором
? > 0 расстояние р(г/*г, */)г^е для бесконечного
множества индексов k\ < k2 < ... < ki <.... А тогда из
последовательности {уь{} нельзя выделить никакой
частичной, которая сходилась бы к у по расстоянию.
Таким образом, если в каком-то множестве У задано
некоторое понятие (/)-сходимости, то для того чтобы
Множество У могло быть метризовано так, чтобы
сходимость по расстоянию совпала с {I)-сходимостью,
необходимо (но не достаточно), чтобы (/)-сходимость
совпадала со своей (*) -сходимостью.
Из теорем Лебега (VI. 5.2) и Рисса (VI. 5.3) сразу
следует, что если У — множество S измеримых функций
на некотором множестве ? с: X с ц? < + оо, а (I)
-сходимость в S — сходимость почти всюду, то (*)
-сходимостью будет сходимость по мере, которая может не
совпадать со сходимостью почти всюду (см. пример из
VI. 5). Сопоставляя это с предыдущим результатом, мы
видим, что в таком случае в S нельзя ввести метрику
так, чтобы сходимость по расстоянию совпала со сходи-
*) Например, Y может быть метрическим пространством, в
котором (/)-сходимость определена как сходимость по расстоянию.
Или У —множество S измеримых функций, а (/) -сходимость
определена как сходимость почти всюду.

§ 4] ПРОСТРАНСТВО 5 ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 173
мостью почти всюду. Тем самым сходимость по мере
оказывается в некотором смысле проще, чем сходимость
почти всюду, поскольку сходимость по мере может быть
реализована как сходимость по метрике.
В связи с изучением пространства S остановимся вкратце на
одном общем понятии, относящемся к произвольным множествам.
Пусть в множестве М введено определение, согласно которому
некоторые из элементов х, у г М названы эквивалентными (запись:
х ~ у). При этом предполагаются выполненными следующие условия:
1) если х~«/, то и у~х (симметричность
определения эквивалентности);
2) х ~ х для любого х&М (рефлексивность);
3) если х ~ у, а у ~ г, то х ~ г (транзитивность).
В этом случае говорят, что в множестве М введено отношение
эквивалентности. Ясно, что отношение эквивалентности между
функциями из пространства S обладает перечисленными свойствами.
Докажем, что если в множестве М введено отношение
эквивалентности, то М можно разбить на такие дизъюнктные
подмножества, что все элементы каждого из этих подмножеств эквивалентны
между собой, а элементы, входящие в разные подмножества, не
эквивалентны. Эти подмножества называются классами эквивалентных
элементов. С этой целью для любого х&М обозначим через Кх
совокупность всех элементов из М, эквивалентных х. Ясно, чго
Кх Ф 0, так как х е Кх- Любые два элемента у, г е Кх
эквивалентны между собой. Действительно, у ~ х, г ~ х, и, используя
симметричность и транзитивность отношения эквивалентности,
сразу получаем, что у ~ г. С другой стороны, если у s Кх, а и —
какой-то элемент, эквивалентный у, то, по транзитивности, и ~ х,
т. еле Кх. Конечно, если х ~ у, то Кх °= Ку. Остается показать,
что если какие-нибудь два класса Кх и Kv не совпадают, то они
дизъюнктны. В самом деле, допустим, что существует г е Кх П Kv.
Но тогда г ~ х, г ~ у, следовательно, х ~ у и Кх = Ку. Таким
образом, совокупность всех различных множеств Кх и дает
требуемое разбиение на классы.
Допустим теперь, что в множестве М эквивалентные элементы
«отождествляются». Строго говоря, это означает, что вместо М мы
рассматриваем новое множество М' '(называемое его
фактор-множеством), элементами которого служат классы эквивалентных между
собой элементов из М. Однако, допуская некоторую вольность речи,
мы иногда предпочитаем (как это и было сделано в отношении
пространства S) обозначать множество с отождествленными
элементами прежней буквой М, а его элементы изображать не в виде
классов, а в виде элементов исходного множества. Но.при этом каждый
элемент из множества М в новом его понимании оказывается пред-
ставимым не только как некоторый определенный
«индивидуальный» элемент исходного множества, но так же как любой элемент,
ему эквивалентный (т. е. любой элемент из соответствующего
класса). Именно так мы и трактуем здесь пространство S, хотя, строго
говоря, следовало сказать, что под S понимается не само
.множество всех измеримых почти всюду конечных функций на Е, а его
фактор-множество,

174 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
Допустим, наконец, что в множестве М определены некоторые
операции над элементами, не выводящие из М (например,
сложение). Если эти операции «хорошо» согласованы с отношением
эквивалентности в том смысле, что при замене любых элементов на
эквивалентные результат операции над ними тоже заменяется на
эквивалентный элемент, то операции из М естественным образом
переносятся в фактор-множество и могут рассматриваться как
операции над классами. Это замечание полезно вспомнить при
рассмотрении в следующей главе пространства L (см. VIII. 5).
Вернемся к изучению пространства S.
Теорема VII. 4.3. Для любого счетного множества
неотрицательных функций fh e S (k = 1, 2, ...)
существуют такие числа аи > 0 и функция AeS, что при
любом k ад/и (я) <: h (х) почти всюду на Е.
Доказательство. При каждом k и при любом
(напоминаем, что функции fh можно считать всюду
конечными), следовательно, p(hfk, 0)->O при Я—> + О, и
потому существует такое а^ > 0, что р(а*/й, 9) < —г.
2я
Далее положим
Л* =2 «Л (* = 1, 2, ...).
Тогда
Р (hk+ь hk) = р (Ak+i - hk> в) = р (afe+1ffc+i, 6) < -щ-,
а при любом m > k
m— 1 m—1
P (Am, AA)< J] p (ht+u ht)< J] тт+г < TF-
Таким образом, последовательность {hh} —
фундаментальная и, вследствие полноты пространства S,
существует такой /г е S, что p(hh,h)-*0. Это значит, что
hh=^h. Но тогда, по теореме Рисса (VI. 5.3), некоторая
частичная последовательность п/г{(х)-+п(х) почти всюду.
Так как функции hh образуют возрастающую
последовательность, то Umhhix) существует в каждой точке.
Вместе с предыдущим это дает, что почти всюду

§4]
ПРОСТРАНСТВО S ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
175
h{x) = limhh(x) = suphh(x). Следовательно, почти
всюду на Е при любом k
akfk(x)<:hk(x)^h(x).
Теперь мы можем усилить теорему о регуляторе
сходимости (VI. 6.2), доказанную в предыдущей главе.
Теорема VII. 4.4 (об общем регуляторе
сходимости). Если функции
fjf'eS (k, p = l, 2, ...) и /f (х)-^-*0
при каждом р почти всюду на Е, то у всех этих
последовательностей существует общий регулятор сходимости.
Доказательство. Пусть функция gp^S
(р = 1, 2, ...) служит регулятором сходимости для
последовательности {f(,p))fe. По предыдущей теореме
подберем функцию g e S так, что при некоторых аР > О
aPgP (х) < g (х) при почти всех х <= Е.
Тогда g и будет требуемым общим регулятором
сходимости.
Действительно, при каждом р существует такая
последовательность я4р> k-*<x>* о> чт0
I ff1 (х) | < ^gp (x) почти всюду на Е.
Отсюда уже следует, что почти всюду на Е
IV м| <-?-*(*>¦
Следующая теорема принадлежит М. Фреше.
Теорема VII. 4.5 (о диагональной
последовательности). Пусть функции р?\ fp (k, p = 1, 2, ...) и f
входят в S, причем
1) ff Wi^^fpW пРи каждом р=\, 2, ...
почти всюду на Е;
2) fP(x) p+co*f(x) почти всюду на Е.
Тогда существует такая возрастающая
последовательность индексов kp, что
Рк](х) p+ot+fix) почти всюду на Е.

176 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ, VII
Если расположить все функции /</> в виде матрицы
ИГ) Ю) . . «О
/i » /2 » • • •> ik '
fB) fB) fB)
f|P), /Г'- ••- tf\ -..
то требуемая последовательность [f'fep)] получается так:
из первой строки берется элемент с номером k\, из
второй — элемент с номером k2, стоящий правее, чем /у,
и т. д. Эту последовательность и принято называть
диагональной.
Доказательство. Ко всем последовательностям
разностей {/\р) — f } и [fp — /} применим предыдущую
теорему и найдем их общий регулятор сходимости. Пусть
это будет g. Далее находим ар-*0 так, что при
любом р
\fp(x) — f(x)\^apg(x) почти всюду на Е.
Затем для каждого р подберем такой индекс kp, что
I /<р> (х) — / (х) 1 < apg (x) почти всюду на Е.
При этом kp можно выбирать так, что ki<k2<..,.
-.. < kp < ... А теперь из неравенства
I Rp) (x) — I (х) К 2a„g (x) почти всюду на Я
\ кр i p
следует, что flp) (*) -> f (x) тоже почти всюду на Е.
р
Из теоремы о диагональной последовательности
следует, что если бы мы попытались строить в евклидовом
пространстве (или на его измеримом подмножестве)
аналог бэровской классификации функций, исходя из
сходимости не во всех точках, а из сходимости почти всюду,
то все свелось бы к определению функций 1-го класса.
Всякая функция, представимая почти всюду как предел
последовательности функций 1-го класса, сама была бы
функцией 1-го класса, и потому более высоких классов
не получилось бы.

§4]
ПРОСТРАНСТВО а- ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
177
С помощью метрики в пространстве S можно сравнительно
несложно доказать одно интересное свойство этого пространства, на
первый взгляд весьма не очевидное. Введем в пространстве S
частичное упорядочение, полагая f ^ g (/, geS), если f(x) ^ g{x)
почти всюду на Е*). Если множество Т с: S и существует такая
функция g e S, что f ^ g для любой feT**), то множество Т
называется ограниченным сверху, a g — его верхней границей.
Оказывается, что в пространстве S справедлива классическая теорема о
существовании точных границ у ограниченного множества.
Приведем ее точную формулировку.
Теорема VII. 4.6. Пцсть Т — произвольное непустое, ограни*
ченнре сверху множество функций из пространства S'. Тогда суще-
ствует такая функция h e S, что
1) h — верхняя граница множества Т;
2) если g — любая другая верхняя граница множества Т, то
h ^ g. (Такую функцию h называют точной верхней границей
множества Т.)
Заметим, что если множество Г счётно, то требуемая функция
h может быть определена по формуле
h (x) = sup f (x) ***). A5)
Однако если множество Т несчетно, то такое определение функции
h, вообще говоря, невозможно, поскольку в этом случае функция,
определяемая формулой A5), может даже не быть измеримой.
Например, если ? = [0, 1] cr /?i, ц — мера Лебега, HczE —
неизмеримое множество, а Т состоит из характеристических функций всех
одноточечных подмножеств множества И, то sup f (x) будет ха-
f<=r
рактеристической функцией множества Я и не войдет в S. В то
же время нетрудно сообразить, что точной верхней границей
множества Т в этом примере будет h(x)ss0 (или любая
эквивалентная ей функция).
Доказательство теоремы. Выберем любую функцию
fo s T и рассмотрим множество Т'. состоящее из всех функций вида
Ф = max (/,/„'), т. е. <р (*) = max \f (x\ f„ (x)] (f e Г) ****).
Ясно, что верхние границы у множеств Т и Т — одни и те же,
поэтому достаточно доказать существование точной верхней границы
для множества V'. Далее рассмотрим множество Т" всех функций
вида ф — /о (феГ). Это множество состоит из неотрицательных
функций, а его верхние границы суть функции вида g — fo. где
g — верхние границы множества Т. Если мы докажем, что у Т"
*) Такое упорядочение называется частичным,
поскольку не всякие две функции из S сравнимы между собой.
**) Иными словами, для любой fsT неравенство f(x)^g(x)
выполняется почти всюду на Е, причем множество меры 0, на
котором это неравенство нарушается, может зависеть от f.
***) Если мы хотим, чтобы функция А была всюду конечной, то
следует уточнить формулу A5) и на том множестве (меры 0), где-
sup/(x)= -foo, положить h(x), например, равной какой-нибудь
конечной постоянной.
****) Измеримость функций <р доказана в VI.3,

178 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ [ГЛ. VII
существует точная верхняя граница, пусть это будет со, то функция
А = со + ft будет точной верхней границей для Т', а тем самым и
для Т. Таким образом, с самого начала, не нарушая общности,
можно считать, что 7" состоит из неотрицательных функций. Кроме того,
предположим, что для любого конечного подмножества функций
ft, /г, .... fp из Г функция f = max (ft, ft, .... fp) s Г.
Действительно, присоединение к Т всех функций такого вида не влияет на
его верхние границы, и потому наше последнее допущение также
не нарушает общности.
Для любой почти всюду неотрицательной функции f e S
положим
т(П-р(/,в)- J-JLydn.
Е
Из неравенства A4) следует, что если 0 ^ ft(x) < ft(x) почти
всюду на Е (ft.fteS), то m(ft)^ m(ft). В частности, если g —
верхняя граница множества Т, то m(j) < m(g) для любой. / е Г.
Положим
Af= sup m(f) (M < + oo)
fsr
и найдем такую последовательность функций fs e T, что
ffi(/*)-»-Af. Заменяя в случае необходимости каждую f* на
max (ft, ft, ...,/*). можно сразу считать, что /а образуют
возрастающую последовательность.
Пусть теперь Л (х) = sup /Л (At) = lim fь (х) *). Тогда по
теореме VII. 3.1
и потому т(Л) = А/. Кроме того, А(х) < g{x) почти всюду на ?
для любой верхней границы g множества Т, т. е. Л удовлетворяет
условию 2). Остается проверить условие 1).
Возьмем любую функцию f* е Г и положим ft^ = max (fk, /*),
A* = max (А,/*). При этом fjsr, a f*(x) -> A*(*), возрастая, и
потому m (fj) -> m (А*); следовательно, m (А*) < М. С другой
стороны, A* > Л, и потому m (A*) > m (A) = ЛГ, откуда /п (А*) = Af.
Таким образом,
/(т^--^)*!*-«<*•)-* (А)-а
в
Поскольку подынтегральная функция здесь неотрицательна, то по
теореме VII. 2.6 она должна быть почти всюду равна 0 и, тем
самым, А* ~ А. Но /*(*)< Л* (х) при всех дс е ?, следовательно,
f * (*) < Л (*) почти всюду на ?. Таким образом, /* ^ А для любой
f* е Г, т. е. Л — верхняя граница множества Г.
*) Ср. также подстрочное примечание к формуле A5),

ГЛАВА VIII
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Расширение понятия интеграла Лебега
и определение суммируемой функции
В этом параграфе мы распространим понятие
интеграла Лебега на случай, когда подынтегральная функция
может быть неограниченной, а множество, по которому
производится интегрирование, может иметь бесконечную
меру. По-прежнему рассматриваем абстрактное
пространство X с мерой ц, заданной на 0-алгебре ®
измеримых множеств, причем меру |л будем предполагать
а-конечной. Сначала мы введем интеграл от
неотрицательной функции.
Определение. Пусть функция /(*);> 0 измерима
и почти всюду конечна на множестве Е czX. Рассмотрим
всевозможные измеримые подмножества е с Е,
имеющие конечную меру, на которых функция / ограничена *),
и положим
J"/rfn = sup jfdpi. A)
Е * е
Тем самым Г fdii^Q. Если при этом Г /dfi < + <»,<
Е Е
*) Ддч таких множеств е интеграл f d\i уже определен в
3 e
VII. 1. Множества есЕ с конечной мерой, на которых /
ограничена, всегда существуют, например, пустое. Однако из сг-конечно-
сти меры ц можно вывести, что, за исключением случая, когда
ц? = 0 и }(х) = -f-oo всюду на Е (в этом случае все же можно
сказать, что / почти всюду конечна), существуют и непустые
множества гс? с конечной мерой, на которых / ограничена.

180
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
то функция f называется суммируемой (по мере ц) на
множестве Е.
Ясно, что если неотрицательная функция f
ограничена, a [iE < +°°. то среди всех интегралов, входящих
в правую часть формулы A), есть наибольший —
интеграл по множеству Е*). Следовательно, в этом случае
интеграл от /, определяемый формулой A), совпадает
с интегралом, определенным в гл. VII с помощью сумм
Лебега — Дарбу. Таким образом, на множестве с
конечной мерой всякая ограниченная неотрицательная
измеримая функция суммируема. На множестве с бесконечной
мерой ограниченная функция может уже не быть
суммируемой. Например, если f(x)sc>0 (с —постоянная),
а цЕ =я ]-f- оо, то Г fdy, = + оо **).
Из определения сразу вытекает, что если измеримое
множество Е' с Е, то'
Е' В
Следовательно, если / суммируема на Е, то она
суммируема и на Е'.
Если цЕ = 0, то всякая неотрицательная измеримая
функция / суммируема на ? и Г fd\i=Q. Действи-
Е
тельно, в этом случае все интегралы, входящие в правую
часть равенства A), равны 0, поскольку це = О, а
потому и левая часть тоже обращается в 0.
Если /(я) S3 0 на Е, а Е — произвольное измеримое
множество, то J fdp = 0 (очевидно).
Дадим дополнение к определению интеграла,
приведенному в начале этого параграфа. Именно определим
*) См. следствие 3 из теоремы VII. 2.2. .
**) Действительно, из а-конечности меры и. вытекает, что в
множестве Е содержатся подмножества е со сколь угодно большой
конечной мерой, и потому
Г / dp = sup / dp — sup с • ре = + оо.

I 1] РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 181
интеграл и для функции f(x)^0, которая измерима на
множестве Е сХ, но \nE\J(x)= + оо] > 0. В этом
случае будем по определению считать, что j fdp, = + оо.
Е
Если /(*)<; 0 и измерима на множестве ЕаХ, то
полагаем
(интеграл в правой части уже определен). При этом
функция / называется суммируемой, если ее интеграл
имеет конечное значение, т. е. если функция \f\
суммируема.
Понятие интеграла для функции, принимающей и
положительные, и отрицательные значения, вводится
следующим образом. Пусть функция / измерима на
множестве Е. Разобьем Е на два измеримых множества,
полагая
?i = ?[f(*)>0], ?, = ?[/(*)< 0].
Интеграл от / по множеству Е определяется формулой^
//.</ц- //<*!* + jfdn= j\f\dn- j\f\dix. B)
В ?i ?3 Ei Ез
Однако нужно иметь в виду, что эта формула имеет
смысл, только если по крайней мере один из
интегралов \ f d\i или Г f d\i конечен. В случае же, если они
Bi Ез
оба равны бесконечности,
jfdn = +oo, J*/dn = -oo,
?. Е,
то интеграл [ fd\i лишен смысла.
в
Функция / называется суммируемой на множестве Е,
если она (или |/|, что равносильно) суммируема на
каждом из множеств Е\ и Е2, т. е. если J fdy. имеет
в
конечное значение.

182
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Ясно, что если функция суммируема на множестве Е,
то она суммируема и на любом его измеримом
подмножестве. Если ц? = 0, то всякая измеримая функция /,
заданная на Е, суммируема и
J"/4i = 0.
Е
Оба эти замечания вытекают из того, что такими же
свойствами обладают неотрицательные функции.
Опять заметим, что если функция / ограничена и
измерима на множестве Е с конечной мерой, то поскольку
ее интегралы по Е\ и Е2 имеют в этой главе те же
значения, что и раньше, интеграл Г / dp, определяемый фор-
Е
мулой B), совпадает с интегралом, определенным
в гл. VII. Таким образом, если функция f ограничена и
измерима на множестве Е с цЕ < + оо, то f
суммируема на этом множестве.
§ 2. Леммы об интегралах от неотрицательных функций
Докажем ряд лемм, используемых в следующем
параграфе. Соответствующие факты для интегралов от
ограниченных функций по множествам конечной меры уже
были установлены в VII. 2. Все рассматриваемые ниже
функции предполагаются почти всюду конечными и это
не оговаривается в каждой формулировке.
Лемма VIII.2.1 (счетная аддитивность интеграла).
Пусть множество Е представлено в виде конечного или
счетного объединения дизъюнктных измеримых множеств
Ej (Е = [J ЕЛ . Тогда для любой неотрицательной
функции /, измеримой на множестве Е,
J/# = S jfdn. C)
Е 1 Ej
В частности, если множеств Ej всего конечное число,
a f суммируема на каждом из Eh то она суммируема
и на Е.

§ 2] ЛЕММЫ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 183
Доказательство. Если хоть один из интегралов
Г fdy, равен + оо, то и Г Ыц = +°°. а тогда равен-
Ei E
ство C) выполняется тривиальным образом.
Пусть все | fdn < + оо. Возьмем любое измеримое
множество е с Е с конечной мерой, на котором /
ограничена, и положим e/ = e[}Ej. Тогда благодаря счетной
аддитивности интеграла от ограниченных функций
|/ф = 2 J7d|*<2 J/.ф..
в / ву / Ej
Переходя в левой части к точной верхней границе,
получим, что
|/Ф<2 J/flffi-
I El
С другой стороны, возьмем первые k множеств
из Е/, зададим произвольное е > 0 и для каждого
/=1, 2, ..., k подберем измеримое множество ejcEj
с конечной мерой, на котором f ограничена, так, что
j/af|x> J fd\i-j.
е1 Е1
к
Положим e = {Jet. Тогда ес?, це <-|-оо и
.< i
чена на
или
1—«
е. При этом
k
е /=1 Ej
k
2 Jfdn<j№ + e< J/dn + e.
/=1 Ej в В
f ограни

184
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ, VIII
Вследствие произвольности е отсюда вытекает, что
k
2 /Мц< f/dn.
/=1 Б{ „ Е
Устремляя ft к оо в случае, если Е разбито на
бесконечное множество множеств Ej, или беря k равным числу
всех этих множеств, если их совокупность конечна,
приходим к неравенству
J J/rfn< jfdix.
I Е, В
Вместе с установленным выше противоположным
неравенством это и дает равенство C).
Замечание. Из доказанной леммы вытекает
следствие, аналогичное следствию 2 из теоремы VII. 2.2.
Из леммы VMI. 2.1 легко выводится, что при
определении интеграла от функции f со значениями разных
знаков формулу B) можно заменить равносильной
формулой х
j/dfi= jf+dn- \f_d», D)
ЕЕ Е
где (рис. 18)
если f (х) > О,
если / (х) < О,
\f(x)\, если /(*)<0,
если / (х) > 0.
Действительно, если- ?\ и Е2 — множества из
формулы B), то
Jf+#= jfdii+ j" 0-dix= jfdii,
Я\Е,
(измеримость /+ и /_ очевидным образом вытекает из
измеримости А.

§ 2] ЛЕММЫ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 185
Лемма VIII.2.2. Пусть f(x)^Q и суммируема на
множестве Е. Тогда для любого е > 0 существует такое
б > 0, что
\ f dp < е, если Е' СЕ и цЕ' < б.
Е'
Доказательство. По любому е>0, согласно
определению интеграла по множеству Ё, подбираем такое
fjxi
fjx)
Рис. 18.
измеримое множество е czE, на котором / ограничена,
что
jfdn> Jf^-f.
По предыдущей лемме
В\е
Следовательно,
ltd*
<
В\е
5)

186 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
Пусть 0 < f (х) < М на множестве е. Положим б = -^
и пусть Е'сЕ, а цЕ' < б. Множество Е' представим
в виде Е' = Е1[}Е2, где Е1 = Е'[\е, Е2 = Е'[")(? \е).
Тогда по теореме VII.2.1
а из E) следует, что
Вг Е\е
Таким образом, J / dp < е.
в'
Лемма VIII. 2.3. .Если f и g измеримы на
множестве Е, f (х) > 0, g (х) > 0 и / ~ g, го
в в
Для доказательства этой леммы нужно дословно
повторить то рассуждение, которым была доказана
теорема VII. 2.5.
Эта лемма показывает, что так же, как и в
предыдущей главе (см. замечание к теореме VII. 2.5), изменение
значений подынтегральной функции на множестве меры
О не влияет на величину интеграла *).
Лемма VIII. 2.4. Если функции f(x) ^ 0 и g(x) > О
и измеримы на множестве Е, и f(•*)<?(*) почти всюду
на Е, то
jfdp^jgdp. F)
в в
В частности, если g суммируема на Е, то и f тоже
суммируема на Е.
Доказательство. Не уменьшая общности можно
считать, что f[x) < g(x) при всех х е ?.
Возьмем произвольное измеримое множество ес?
с \ie < -f oo, на котором / ограничена, и рассмотрим два
*) Как и в аналогичных случаях выше, мы предполагаем, что
изменение значений функции происходит с сохранением свойства
измеримости,

§2] ЛЕММЫ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 187
случая: a) g тоже ограничена на е и б) g не ограничена
на е. В случае а), по свойствам интеграла от
ограниченной функции и по определению интеграла от
неограниченной функции,
|Мц< /¦«fd(»< J* gd\i.
в в В
В случае б) будем считать, что также не умаляет
общности, что g конечна на всем е. Введем множества
en = e[ffW<«] (л =1,2, ...)•
Тогда e—\Jen, причем множества еп образуют воз-
п=,\
растающую последовательность, и
J"fcfH< J*g4i< j gd\i.
en . en E
По следствию 2 из теоремы VII. 2.2
J f dn -> J" f d\i,
en e
а потому
Jfdji< Jsrfji. G)
в E
Таким образом, в обоих случаях мы имеем неравенство
G). Теперь, переходя в его левой части к точной верхней
границе (по е), мы и получим формулу F).
Следствие. Если f измерима (и неотрицательна)
на множестве Е и f(x) ^ А > 0 почти всюду на Е, то
J fd\i^*Ay,E.
Е
Лемма VIII. 2.5. Для любых двух неотрицательных
функций f и g, измеримых на множестве Е, и любой
положительной постоянной с
\(f + g)dp= jfd\i+ fad», (8)
Е ЕЕ
J cfd\n = c J / dji. (9)
В Е

188 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
В частности, если fug суммируемы, то и их сумма
тоже суммируема.
Доказательство. Если хоть одна из функций f
или g не суммируема, то по лемме VIII. 2.4 и их сумма
не суммируема, а тогда равенство (8) очевидно. Будем
далее доказывать формулу (8) в предположении, что /
и g суммируемы.
Возьмем любое измеримое множество е czE с
конечной мерой, на котором сумма f + g ограничена. Ясно*
что и каждая из функций fug ограничена на е, и
потому по теореме VII. 2.3
\(f + g)dn=l fdn+jgdii.
в в в
Отсюда следует, что
$(f + g)dn< lfdn+ jgdp.
е ЕЕ
Переходя в левой части к точной верхней границе,
получим, что
j(f + g)dn< //# + jgd\i.
Е ЕЕ
Чтобы вывести обратное неравенство, разобьем
множество Е на две части. Именно, положим
Е1 = Е[f (х) <g (x)], E2 = E[f (х) > g(x)].
Зададим произвольное е > 0 и подберем измеримое
множество ecz Ех с це < + оо, на котором g ограничена
и притом так, что
' jgd»> Jgdn-f. A0)
в в,
Тогда и / ограничена на е. При этом, по предыдущей
лемме,
J fd|*< J gdii= jgd\i- jgdn<±.

§ 2] ЛЕММЫ ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 189
Следовательно,
jfdp^JfdyL- J /rf|l> J/rfji-|.. A1)
e Ex Et\e Ei
Складывая почленно неравенства A0) и A1) и
используя теорему VII. 2.3, получим, что
\ (f + g)d\i> J/dn.+ jgdp-6.
в Ех Я,
Тем более
j(f + g)dix> J fdn+ jgdn-e.
Я, ?, В,
Отсюда благодаря произвольности е сразу следует, что
\{t+g)d\i> J/rffx-b [id».
Ei Ei Ei
Аналогично
j{f + g)dp> jfdn+ jgdii,
а тогда по лемме VIII. 2.1
j(f + g)dp> jfd4+ jgdp.
E ЕЕ
Тем самым формула (8) установлена.
Теперь докажем формулу (9). Ясно, что функции f
и cf ограничены на одних и тех же подмножествах е аЕ.
При этом, если це < + °°> то по теореме VII. 2.3
J cfd\i*=c f fd\i.
в е
Переходя в обеих частях этого равенства к точной верх»
ней границе, мы и получаем формулу (9).
Суммируемость степеней нормы в Rni
Рассмотрим один важный пример. Пусть А = [—а, а] -~
куб в /?„ *). Для простоты будем считать, что а = 1, но
*) Т. е. параллелепипед, характеризуемый неравенствам^
—а<|<<а((» 1,2, .... га).

|90 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
нетрудно разобрать и общий случай. Для любого х ф 9
из Rn положим
f{x) = T7t> где а>0
( || • || — евклидова норма в #„, т. е. ||х||= 1/ 2 Щ) •
Покажем, что функция f суммируема на А (по
отношению к мере Лебега), если а < п, и не суммируема при
а > п *).
Для любого натурального р определим куб Ар =
-[-1.1]. Тогда
Если л:еАр\Др+1, то
л = { U (Ар\ Др+1))и(в).
1 -<IUII<^-
р + \
Отсюда следует, что
-?-(|1Др-цДр+,К J /Ф<
дР\др+.
<(Р+1)а((хАр-цАр+1)
(ц—мера Лебега в JRn). Но р,А„ = (—I и потому
Ра 2п (р + 1)п-рп < Г ы <
<r- ^n J. Па 0" (Р+0"-р"
<(Р+1) 2 рП(р+1)П •
Если из крайних членов этого неравенства образовать
ряды, суммируя по р от 1 до оо, то их общие члены
будут того же порядка, что и ¦,, **). Но из теории
рП— u-t-i
*) f непрерывна на Rn \ @), а потому и измерима.
••*) Разность.(р + 1)п — рп имеет тот же порядок, что рп~х.

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛА 191
рядов хорошо известно, что ряд 2 р-'"_а+1) сходится
р=1
при а < п и расходится при а^п. Поэтому J fdp < + оо
л
при а<л и |/^ц = + °° при а^я.
д
С помощью аналогичных выкладок можно убедиться,
что на множестве /?П\Д функция f суммируема при
а > п и не суммируема при а ^ п.
§ 3. Распространение простейших свойств
интеграла
В этом параграфе мы покажем, что почти все
результаты, полученные в VII. 2 для интегралов от
ограниченных функций по множествам конечной меры,.
переносятся и на общий случай *), разбираемый в этой главе.
Как и в предыдущем параграфе, все рассматриваемые
ниже функции предполагаются почти всюду конечными.
Теорема VIII. 3.1. Для того чтобы измеримая на
множестве Е с X функция } была суммируемой на этом
множестве, необходимо и достаточно, чтобы функция |/|
были суммируемой на Е.
Доказательство. Если / суммируема на Е, то,
по определению, функция |/| суммируема на каждом из
множеств
El = E[f(x)>0] и. E2 = E[f(x)<0].
А тогда по лемме VIII. 2.1 |/| суммируема и на Е.
Обратно, если |/| суммируема на Е, то она
суммируема и на Е\ и на Е2, т. е., по определению, /
суммируема на Е.
Доказанная теорема означает, что каждая
суммируемая функция оказывается «абсолютно суммируемой*.
Тем самым в одномерном случае (т. е. в Rt) интегр.ал.
Лебега от неограниченных функций или по бесконечным
промежуткам по своим свойствам существенно
отличается от классического несобственного интеграла. Как
*) Т. е. на интегралы от функций со значениями любых знаков
и по множествам с любой мерой.

192
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
известно, в классической теории несобственных
интегралов функция, заданная в промежутке н# прямой, может
быть интегрируемой в несобственном смысле, не будучи
при этом абсолютно интегрируемой*). Для абсолютно
интегрируемой функции легко доказать, что
классический несобственный интеграл в R\ совпадает с
интегралом по мере Лебега (можно использовать замечание
клемме VIII. 2.1).
Теорема VIII.3.2. Если интеграл \ fdp имеет
Е
смысл, то
jfdp < Jl/U/ц**).
A2)
Доказательство. Из формулы B) сразу следует
что
jfdp < J|/|d|i+ J|/|d|i- Jlfldji.
? ?, E, E
Теорема VIII. 3.3. Пусть f суммируема на
множестве Е. Тогда для любого е > 0 существует такое
6>0, что
J/'й
<е, если E'czE и рЕ' <б.
Доказательство. Эта теорема вытекает из
аналогичной леммы VIII. 2.2, доказанной для
неотрицательной суммируемой функции и неравенства A2), поскольку
из суммируемости f вытекает суммируемость \f\.
Доказанное свойство интеграла от суммируемой
функции называется его абсолютной непрерывностью.
*) В пространстве Rn при п > 2 это различие между
интегралом Лебега и классическим несобственным интегралом
отсутствует. См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. III, п. 613 (по изданию 1960 г.).
**) Напоминаем, что правая часть формулы A2) всегда имеет
смысл,

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛА 193
Свойство счетной аддитивности интеграла
сохраняется и в общем случае и может быть выражено с помощью
следующей теоремы.
Теорема VIII.3.4. Пусть множество Е
представлено в виде конечного или счетного объединения
дизъюнктных измеримых множеств Ej (E = (J Е}\. Тогда:
а) если интеграл I f d\i имеет смысл, то и каждый
Е
из интегралов j / dp тоже имеет смысл и при этом
EJ
//^=2//^; A3>
/ в,
б) если f суммируема на каждом Eh то для
суммируемости f на Е необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
2 J I Л <*!*< +«>. A4)
/ в,
В частности, условие A4) заведомо выполняется,
если Е разбито на конечное число множеств Ejt а
потому в этом случае из суммируемости f на каждом Es
вытекает ее суммируемость на всем Е.
4 Доказательство, а) Используем формулу D).
Так как интеграл Г f d\i имеет смысл, то по крайней
в
мере один из интегралов Г/+Ф или J /_ d\i конечен.
в в
Пусть это, например, второй из них, т. е. /_ суммируема
на Е. Но тогда /_ суммируема и на каждом из ?,-,
следовательно, все интегралы Г / йц имеют смысл. При этом
Е1
каждый из них может иметь конечное значение или быть
равен +оо. Также и j f d\i или конечен, или равен
?
Н- оо. А тогда, с помощью леммы VIII. 2.1, мы получаем
7 Б. 3; Вулнх

194
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
следующую цепочку равенств (все они имеют смысл!):
BEE
/ Ej IE] t Ej
которая и приводит к формуле A3).
б) По лемме VIII. 2.1
Е i Ej
Поэтому условие A4) означает суммируемость |/| на Е,
что в свою очередь равносильно суммируемости на Е
самой функции /.
со
Следствие. Если Е = (J Ej, причем множества Ej
измеримы и дизъюнктны, a nEt < + °о при всех j, и
f (x) — ct на Ej (j =1,2, ...', Cj — постоянные), причем
О©
2 I Ct |ц?/ < + °°. то f суммируема на Е и
/-=1
/ / dp = 2 c/ti?/
(обобщение следствия 1 из теоремы VII. 2.2).
Следствие вытекает из обеих частей доказанной
теоремы.
Отметим, что в условии A4) нельзя интегралы от |/|
заменить интегралами от / и потребовать, чтобы (в
случае бесконечного множества слагаемых) ряд V j / dp
I Et
сходился. Это подтверждается следующим простым
примером.
Пусть функция f задана на промежутке (О, 1],
причем
f(*) = (-lf" при -lT<^<i- (л=1, 2, ...).

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛА 195
Тогда
1/п
С— П"
fdy,= ' (ц — мера Лебега)
1/(я+1)
1/П
VI ( — IV
ряд У , . сходится. В то же время
1
О и=1
1
Как и в VII. 2, из доказанной счетной аддитивности
интеграла вытекает, что если измеримые множества
Ер(р = I, 2, ...) образуют возрастающую последова-
оо
тельность, Е= (J Ep, a \ f d\i имеет смысл, то
J/dH = Hm J/rf|*. A5)
Е ер
Теорема VIII. 3.5. Если fug измеримы на
множестве Е, f ~ g, и хоть один из интегралов | }й"ц или
Е
I g d\x имеет смысл, то и другой тоже имеет смысл и
в
при этом
/ / dp = \ gd\i.
Е Е
В частности, если f суммируема на Е, то и g
суммируема.
Доказательство. Если f ~ g, то f+ ~ g+, a
f- ~ g-, и по лемме VIII. 2.3
J /+ dp = J g+d\i, J /_ rf|i = J" g_ rffi.
? ? В ?
*) Несколько изменяя этот пример, можно показать, что
абсолютной сходимости ряда из интегралов \ f d\i в условии f 141
тоже было бы недостаточно,
7*
Е1

196 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
Отсюда сразу следует, что интегралы Г fdp и J g d\i
Е Е
имеют смысл лишь одновременно и что при этом они
равны между собой.
Теперь замечание, сделанное в предыдущей главе
после доказательства теоремы VII. 2.5, можно применять
и к интегралам от неограниченных функций. В
частности, можно рассматривать интеграл ) / dp от функции,
Е
заданной лишь почти всюду на Е, и не доопределяя ее
на остальной части множества Е.
Из теоремы VIII. 3.5, в частности, вытекает, что если
функция f(x) ^0 почти всюду на Е и измерима, то
интеграл от нее имеет смысл и при этом [ fd\i^Q. Если
Е
f ~ 0 на Е (/ и Е измеримы), то \ fd[i = 0. Справед-
Е
ливо и то частичное обращение этого замечания, которое
для ограниченных функций давалось теоремой VII. 2.6,
т. е. справедлива
Теорема VIII. 3.6. Если {(х)^0 почти всюду на Е
и j / dn — 0, то f ~ 0.
е -
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от
доказательства аналогичной теоремы VII. 2.6 для
ограниченных функций.
Теорема VIII. 3.7. Если fug измеримы на
множестве Е, g суммируема, a \f(x) | ^ g(x) почти всюду
на Е, то и f суммируема и при этом
jfdix^jgdii. A6)
5 Е
Доказательство. Благодаря теореме VIII. 3.5, не
уменьшая общности можно считать, что g(x)^0 при
всех *<=?. Тогда по лемме VIII.2.4 функция |/|
суммируема на Е, а вместе с ней суммируема и f.
Неравенство A6) вытекает из той же леммы и теоремы VIII. 3.2.
Теорема VIII.3.8. Для любых двух функций f и
g, суммируемых на множестве Е, и любой постоянной с

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛА jg/
функции f ±g и cf тоже суммируемы и при этом
j(f±g)dlx= jfdn± jgdii, A7)
Е ЕВ
J' cfdii = c f fdp. A8)
E E
Хотя функция f ± g определена лишь почти всюду,
а на некотором множестве меры 0 может и не иметь
смысла, это не мешает рассматривать интеграл от f±g
по множеству Е. То же замечание относится и к
произведению cf *).
Доказательство. При доказательстве можно
считать, что.^ и g всюду конечны.
Прежде всего заметим, что из неравенства
\f(x)±g(x)\^\f(x)\ + \g(x)\,
леммы VIII. 2.5 и теоремы VIII. 3.7 вытекает
суммируемость функции f ± g.
Сначала установим формулу A7) для разности двух
неотрицательных функций fug. Положим h(x)=.
= f (х) — g(x). Так как, с другой стороны,
h = h+-h- и f(x)>h+(x), g(x)>h.(x)
(см. рис. 18 из VIII. 2), то
fix) - h+ (x) = g(x)- /L (x) = k(x)> 0.
Следовательно, /
f (х) = h+ [x) + k (x), g (x) = h- (x) + k (х).
Отсюда с помощью леммы VIII. 2.4 видно, что функция k
суммируема.
По лемме VIII.2.5
Г f dn — j h+ d\i + J k dp, J g dp = J h- dp + j k dp.
ЕЕ E E E E
*) Если с = 0, a f(x) = ±oo, то произведение не имеет
смысла,

198
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
В результате почленного вычитания (здесьчвсе интегралы
имеют конечные значения) получаем
Г / dp — Г g dp = J h+ dp — J h- dp =
BEE E
= J h dp = J" (f — g) dp.
E E
Теперь докажем формулу A7) для суммы двух
функций. Имеем с помощью леммы VIII. 2.5
J fdp + J" gd\i =
Е Е
= J* f + dp - j f_ dp + J" g+ dp — j g_ dp =
E E E E
= j(f+ + g+)dp- /(f_ + fif_)rf|i. A9)
Обе суммы, стоящие в "скобках, суть суммируемые
функции; их разность равна f + g и, по доказанному
выше, правая часть A9) равна J (f + g)dp.
Е
Формула A8) очевидна, если с = 0. При с ф 0
положим l{x) — cf{x). Если с > 0, то l+ = cf+, l_ = cf_, и
по лемме VIII. 2.5
Е
откуда
J /+ dp = с j f+ dp, J /_ dp = с J" /_ йц,
J/rfn = c J/rfj*. B0)
Если с < 0, то /+ = \c\f-, L = \c\f+, и равенство B0)
получается с помощью аналогичных выкладок.
Наконец, формула A7) для разности двух функций
без предположения, что они неотрицательны, получается

§ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 199
очевидным образом:
Е Е
= j*fdH + (-l) Jgdn= J/djx — jgdn.
- ? E E E
Теорема VIII. 3.9. Если fug суммируемы на
множестве Е и f (*)<#(*) почти всюду на Е, то
jfdp^jgdp. B1)
Я ?
Доказательство. Таккакразностьg{x)—f(#)^О
почти всюду, то
j gdn- jfdlx = j(g-f)dn>0,
? ? ? ч
что равносильно B1)*).
§ 4. Предельный переход под знаком интеграла
Прежде всего мы покажем, что теорема Лебега
(VII. 3.1) о предельном переходе под знаком интеграла
верна в значительно более общем виде. В то же время
заметим, что если весьма частным «классическим»
достаточным условием для возможности предельного
перехода под знаком интеграла на множестве конечной меры
является равномерная 'сходимость, то на множестве
бесконечной меры дело обстоит иначе'. Например,
рассмотрим на интервале @, + оо) функции
/пМ = 7е
*) Последние две теоремы могут быть установлены и в случае,
если лишь известно, что интегралы / dp, и [ g d\x имеют
? ?, .
смысл, но тогда в теореме VIII. 3.8 нужно сделать дополнительное
предположение о том, что правые части формул A7) и A8) тоже
имеют смысл.

200 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
Все эти функции непрерывны и легко найти их наи-
3 ^З
большие значения —р=- e~3/2t откуда видно, что f„ (х) -> 0
у п
+¦»
равномерно, В то же время J fndx=\ при всех п,
о
следовательно, предельный переход под знаком
интеграла в данном примере не допустим.
Теорема VIII. 4.1 (А. Лебег). Пусть на множестве
Е а X задана последовательность суммируемых функций
fk, которая сходится по мере к некоторой функции
f (fh=^>f). Если существует такая неотрицательная
суммируемая функция ф, что \fh(x) | ^ ф(х) при
каждом k почти всюду на Е, то f тоже суммируема и
lim jfkdn= jfdvi*). .B2)
Доказательство. По теореме Рисса (VI. 5.3)
существует, частичная последовательность {/*Д, которая
сходится к f почти всюду на Е. А тогда ясно, что
\f(x) 1^ ф(*) почти всюду и по теореме VIII. 3.7 /
суммируема.
Зададим е > 0. Из определения интеграла следует,
что существует такое множество Е' с Е с \хЕ' <. + оо,
что
" Фф<4 - B3)
о
X
Е\Е'
(если [i?< + 00i то берем Е' = Е). Далее, по теореме
VIII. 3.3 существует такое б > 0, что фс?ц<-|-, если
Е"
Е"<=.Е и ц?" <б. Выберем л > 0 так, что тцх?'<-|.
*) Поскольку переход в подынтегральном выражении к
эквивалентной функции не влияет на величину интеграла, можно
считать, что функции /а и / имеют во всех точках конечные значения.
Впрочем, это замечание не имеет принципиального значения, так
как сходимость по мере можно рассматривать и без этого
ограничения (ср. VI. 5).

§ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 201
Из определения сходимости по мере следует, что
существует такое /С, что при k ^ К
.»Ef[\fk(x)-f(x)\>4]<6.
Для каждого k множество Е разбиваем на три
подмножества:
ЕХ = Е\Е\ E2 = E'[\fk(X)-f(x)\>^],
E3 = E'[\fk(x)-f(x)\<r\].
Так как | fk(х) — f (х) |<2ф(л;) почти всюду на Е, то,,
по B3) и по теореме VIII.3.7 при всех k=l, 2, ...
ifk-f)d\i
^ 3 *
Если k^K, то цЁ2 < 6, а тогда, по выбору б,
$<fk-f)dv.
^ 3 '
Наконец, при всех k
j(fk-f)d»
< щЕ3 < щЕ' < -j.
Таким образом,
| fkdn - J* f d»
<e
при k ^ К, что и доказывает равенство B2).
Теорема VII. 3.1—частный случай теоремы VIII. 4,1,
поскольку в теореме VII. 3.1 \iE < -f- oo и,
следовательно, постоянная М, ограничивающая в этой теореме
функции fh, суммируема на ? и может играть роль функции <р.
Замечание. Из доказательства теоремы Лебега
видно, что она остается в силе, если в ее формулировке
сходимость по мере з'аменить на сходимость почти всюду
(к измеримой функции). Действительно, в
доказательстве теоремы Лебега достаточно использовать
сходимость по мере на некотором множестве Е' с цЕ' < -f оо,
а при этом условии сходимость почти всюду влечет
сходимость по мере (см. теорему VI. 5.2).

202
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Для монотонных последовательностей можно
доказать несколько более сильную теорему, принадлежащую
итальянскому математику Б. Леви A875—1961). Мы
дадим ее для последовательности, состоящей из
неотрицательных функций.
Теорема VIII. 4.2. Если функции fh(x)^0 (k =
= 1, 2, ...) измеримы на множестве Е и образуют
неубывающую последовательность (fk (x) ^ fk+\ (x) для
всех k), причем fh{x)-+f(x) при всех х^Е, a f почти
всюду конечна на Е, то справедливо равенство B2):
lim Jfkrf|i= J fdy. .
ЕВ
Доказательство. Из леммы VIII.2.4 следует,
что интегралы Г fk d\i образуют неубывающую после-
Е
довательность и J /fe J(x =^ J fd\i при всех k, а тогда и
Е Е
lim J"ffeu?p,< //<*!*•
E Б
Чтобы получить обратное неравенство *), возьмем
произвольное измеримое множество ее Е с це < -+- оо,
на котором f ограничена. По теореме Лебега
J" / с?ц — lim J fk dn < lim | fk d[i.
e e E
Переходя в левой части к точной верхней границе,
получим, что
J"/rf|i<lim J" fkdpi.
Е Е
Тем самым равенство B2) доказано.
Замечание. Покажем, что в теореме Леви можно
отказаться от требования, чтобы рассматриваемые
функции были почти всюду конечными.
- *) Обратное неравенство вытекает также из приводимой ниже
Теоремы VIII. 4.3,

§ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 203
Пусть при выполнении всех прочих условий теоремы
Леви цЕ [f (х) = + оо] > 0. Тогда, по определению
Г fd\i = -\-оо и нужно доказать, что lim j fkd\i = -{- оо,
Е Е
т. е. что интегралы Г fkdp в совокупности не ограничены.
Е
Рассуждая от противного, у
допустим, что J fkd\i^. M
т
f(xi
fmixi
Рис. 19.
при всех k. Возьмем любую
положительную постоянную
С. Из предыдущего
неравенства следует, что
ц?[Ы*)>С]<4г
(? = 1,2, ...).
Но
E[f(x)>C) = (jE[fk(x)>C],
причем множества в правой части образуют
возрастающую последовательность. Поэтому и
ц?[/(*)>С]<-?.
Отсюда видно, что
ц? [/(*) =+ «>]<.?
при любом С, т. е. nE[f(x) = +оо] = 0, и мы приходим
к противоречию.
Введем одно полезное понятие. Именно, если f —
неотрицательная функция, измеримая на множестве Е, то
для каждого натурального т и х е Е положим
f fix), если /(*)<«,
'mW —\ m, если f{x)>m
(рис. 19). Иными словами, все значения f(x), которые
больше т, мы заменяем числом т. Эти функции fm мы
называем срезками функции /. Ясно, что все fm
ограничены и измеримы на множестве Е. Измеримость fm

204
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. VII!
вытекает на основании леммы VI. 3.1 из очевидного
равенства
/„ (х) = min [/ (x), т].
Отметим ряд следствий, которые вытекают из
теоремы Леви и доказанного замечания к ней.
а) Для всякой неотрицательной измеримой функции
и последовательности ее срезок допустим предельный
переход под знаком интеграла.
б) Если в условиях теоремы Леви дополнительно
предположить, что интегралы \ fk dp, в совокупности
Е
ограничены, то отсюда уже будет следовать, что
предельная функция f почти всюду конечна.
в) Если функции UkW^O и суммируемы на мно-
оо
жестве E(k='l, 2, ...). о У] Г ыА rf[x <; -|- оо, то фу'нк-
к=\ Е
оо
ция s {х) = 2 Щ (х) конечна почти всюду на Е и
k=i
/*Фв2 1"*^-
k=l E
m
Доказательство. Положим sm (х) — 2 Щ (х).
Тогда sm{x)->s(x) не убывая, а интегралы \ smd\i
Е
в совокупности ограничены. Согласно предыдущему
предложению, отсюда уже следует, что s почти всюду
конечна, и по теореме VIII. 4.2
m оо
J sdn = Hm J swdn = lim^] j икй\и = ^ j" ukdp.
E E k=\ E k=l E
Приведем еще теорему французского математика
П. Фату A878—1929), в которой устанавливается
соотношение несколько более слабое, чем равенство B2).
Теорема VIII.4.3. Пусть на множестве Е задана
последовательность измеримых, почти всюду конечных

§ 4} - ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 205
функций fh (x) ^ 0, которая сходится по мере к
некоторой почти всюду конечной функции f (fk^f)- Тогда
j f dp *s; sup jfkdn. B4)
в k в
Доказательство*). С помощью теоремы Рисса
из {fh} можно выделить частичную последовательность
{fA }, сходящуюся к / почти всюду на Е. Отсюда следует,
что, не уменьшая общности, можно считать, что уже
fh(x) -*f(x) почти всюду на Е. Кроме того, f(х) ^ О
почти всюду на Е, а за счет перехода к эквивалентной
функции можно допустить, что f(x) г^ 0 при всех х&Е.
Введем функции
gk (x) = min [fk (x), f (x)] (k = 1, 2, ...).
Они измеримы по лемме VI. 3.1, ?&(*)< f(x) (* —
= 1, 2, ...) и, очевидно,
gk(х)-*• /(*) при почти всех хе?,
Рассмотрим два случая. Пусть сначала f
суммируема на Е. Тогда применима теорема VIII.4.1 (см.
замечание к ней), следовательно,
/ gkd\i^> f fdp.
Е Е
Но J fk dp > Г gk dn при всех k, а потому
Е , Е
sup j" fk dp. > j gk dp,
* E E
и переход к пределу сразу приводит к B4).
Предположим теперь, что f не суммируема на Е.
Выделим произвольное подмножество ееЕ с конечной
мерой, на котором f ограничена. По уже доказанному
sup f fkdn^sup f/*rfn> \fd\i.
E ее
Переходя в правой части к точной верхней границе, мы
снова получим B4).
*) Это доказательство сообщено автору Г. И. Натансоном,

206
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Замечание. Непосредственно из доказательства
теоремы Фату видно, что она верна и в том случае,
когда fk(x) —+fix) почти всюду на Е и / измерима.
Фактически доказательство и было, проведено для этого
случая. Кроме того, покажем, что в случае сходимости
почти всюду в теореме Фату можно не требовать, чтобы
функции fh и f были почти всюду конечными.
Введем срезки /^ и /1р) функций fk и /
(соответственно) *). Ясно, что /<>> (*) -?—>¦ !{р) (х) почти всюду
на Е. По теореме Фату, уже доказанной для конечных
функций,
j>>dn<supj*/^,
Е к Е
и, тем более,
J7*%<supj"/,dn.
Е ' Е
С другой стороны, согласно следствию а) из теоремы
Леви,
Е Е
и мы приходим к неравенству B4).
Теорема Леви и теорема о счетной аддитивности интеграла
позволяют наметить еще один способ перехода от интеграла
ограниченной функции по множеству конечной меры к интегралу от
произвольной неотрицательной измеримой функции /. Сначала, если
функция / задана на множестве Е с цЕ < +оо, то / d\i можно
Е
определить как предел последовательности интегралов от ее
срезок. Затем, если ц? = -foo, то подбираем возрастающую последо-
оо
вательность множеств ?Р с конечной мерой так, что Е = \j Ep> и
интеграл от / по Е определяем формулой A5)
/ dn = Iim / йц.
Е Ер
*) Здесь индекс р означает срезку «числом р». Например,
4p,(*) = min[/ft«. p].

§ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА 207
Из теорем VIII. 4.2 и VIII. 3.4 следует, что построенное таким
способом определение равносильно приведенному в VIII. 1.
С задачей о предельном переходе под знаком интеграла тесно
связано понятие равностепенной абсолютной непрерывности
интегралов.
Определение. Пусть функции fk (k = 1, 2, ...)
суммируемы на множестве Е. Говорят, что их интегралы равностепенно
абсолютно непрерывны, если для всякого е > 0 существует такое
б > 0, что для любого измеримого множества е с Е с jxe < б
\fk\d[i<e. при всех k.
е
Конечно, это определение можно сформулировать не только для
последовательности функций, но и для любой их совокупности.
Легко видеть, что если у функций fk есть суммируемая
мажоранта <р (т. е. \fk(x)\ sg ср(х) почти всюду на Е при любом k), то
интегралы от fk равностепенно абсолютно непрерывны*). Именно
это обстоятельство по существу и было использовано в
доказательстве теоремы VIII. 4.1. Более детальный анализ этого доказательства
приводит к теореме, представляющей частичное усиление теоремы
VIII. 4.1.
Теорема VIII. 4.4 (Дж. Витали). Если функции fk (k =
= 1, 2, ...) суммируемы на множестве Е с ц? <+оо, / —
измерима и почти всюду конечна на Е и fk=^f, а интегралы от fft
равностепенно абсолютно непрерывны, то f тоже суммируема на Е и
справедливо равенство B2).
Однако если ц.? = +оо, то равностепенной абсолютной
непрерывности уже недостаточно для возможности предельного перехода
под знаком интеграла, и поэтому теорема Лебега в полном объеме
не является следствием из теоремы VIII. 4.4.
о
Доказательство. Зададим е>0 и положим г) = —jr.
Затем по е подберем б > 0 из условия равностепенной абсолютной
непрерывности интегралов от fk- Из неравенства
||.fAW|-l/WI|<IM*)-/W |
следует, что | fk | =#> | f \ на Е. Поэтому, если е cz E и це < б, то
по теореме Фату
J | f | d\i < sup j | fk | rfp. < e.
e e
Теперь введем множества
. Ak = E\\fk{X)-f{x)\<4], Bk = E\Ak.
*) Обратное заключение неверно, что подтверждается простыми
примерами,

208
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Если k достаточно велико, то р.Вь<б и потому
\\!н-1\л*<\\*к\й*+ /|Л4К2е.'
Ч. Вк Вк
С другой стороны,
j\fk-f\dn<:r\-iiAk^r\-iiE = e.
Таким образом,
j\fk-f\dix<3t.
Отсюда, в частности, следует, что функция /* — / суммируема на
Е, а тогда и / = /*—(/*— /) тоже суммируема и притом
J fk dv -*¦ J f dv-
E
В качестве примера применения последней теоремы докажем
непрерывность интеграла типа потенциала.
Пусть Е — ограниченное измеримое по Лебегу множество в
пространстве /?п, В(х,у) —ограниченная непрерывная функция,
заданная при х, у е Е, |В (х, у) | < М. Положим
Г В(х,у)
i ^-yf
Пу)-\ , ' ,*dnx, B5)
где 0 < а < п, ц — мера Лебега, а индекс х при ц означает, что
интегрирование производится «по х-»; у играет роль параметра.
Норма понимается как обычная евклидова норма в Rn.
Так как Е ограничено, то существует такой параллелепипед
Дс/?„, что х — }еД при любых л\ </е Я. При этом функция
1/IMI" суммируема на Д (см. VIII. 2). А тогда для любого е>0
существует такое 5 > 0, что
Г djx
J ll«lla
<е, если есД и це<б.
Проверим теперь равностепенную (относительно у)
абсолютную непрерывность интегралов от функций В(х, уI\\х — у\\а
(«взятых по дг»). Действительно, если измеримое множество е а Е,
то для любого у е Е множество в', получающееся из е трансля-

§ 5] ПРОСТРАНСТВО L СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ 209
цией на вектор —у (т. е. е' = {х —' у}, где х е е), содержится в Д
и имеет ту же меру, что и е. Поэтому, если це < б, то
Г \В(х, у)\ Г d\ir f dp,
i ll*-</f * J \\x-yf I ««11°
что и доказывает равностепенную абсолютную непрерывность
интегралов, от рассматриваемых функций. Из непрерывности функции
В следует, что если уь-*уо (уи,у0^Е), то при х Ф у<,
B(x,yk) ^ В(х,у0)
\\*-ук\\а \\*-у0\\а'
Сходимость при всех х Ф у0 (х е Е) влечет сходимость по мере, а
тогда по теореме VIII. 4.4
т. е. интеграл B5) — непрерывная функция от у.
§ 5. Пространство L суммируемых функций
В этом параграфе мы рассмотрим совокупность всех
функций, заданных и суммируемых на некотором
фиксированном множестве EczX, как нормированное
пространство (см. III. 6). Обозначим эту совокупность
через L. Если при этом обозначении потребуется указать
область задания функций, будем также писать LE. Как
и при определении пространства S (VII.4), мы
отождествляем в множестве L функции, эквивалентные
между собой, а тогда можно считать, что каждый элемент
множества L изображается функцией, имеющей всюду
конечные значения. Это облегчает арифметические
действия над функциями из L.
По теореме VIII.3.8 множество L — линейное. Если
при определении суммы / -\- g двух функций из L мы
заменим каждое слагаемое эквивалентной функцией из
L, f\ ~ f и gi ~ g, то сумма /i -f- gi окажется
эквивалентной сумме f + g, т. е. эти суммы, как элементы
множества L, совпадут. Аналогичное замечание
справедливо и по отношению к произведению функции на число.
Нулевой элемент 6 множества L изображается не только
*) Легко понять, что среднее равенство (результат замены
переменной по формуле х — у = и) очевидно,

210
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
функцией, тождественно равной 0, но и всякой
функцией f, эквивалентной 0.
Введем норму в множестве L, полагая для любой
fsL
II / II = J I /1 rf|i.
Е
Ясно, что ||f || ^ 0 для любой f e= L, а из
теоремы VIII. 3.6 следует, что ||/|| = 0 только тогда, когда
f ~ 0, т. е. когда f = 0 в множестве L. Из теоремы
VIII.3.8 видно, что ||с/!| = |c|||f||. Наконец, из
теорем VIII. 3.8 и VIII. 3.9 вытекает неравенство треугольг
ника для нормы:
Н/ + *Н= Jl/ + gl^</l/l^+|lgl^=llfll + llgl|.
Е ЕЕ
Итак, L — нормированное пространство.
Соотношение fh~*f в смысле сходимости по норме
в пространстве L означает, что
$\fk-f\d\i-+0.
Е
Такую сходимость называют сходимостью в среднем
1-го порядка. В пределах этого параграфа мы часто
будем говорить просто — сходимость в среднем.
Теорем"а VIII.5.1. Если h-*f no норме в L, то
fk =Ф / (т. е. из сходимости в среднем вытекает
сходимость по мере к той же предельной функции).
Доказательство. Допустим, что
последовательность {fh} не сходится по мере к f. Это значит, что для
некоторого е > 0 существует такое б > 0, что
цЯ[1М*)-/(*I>в]>в B6)
для бесконечного множества значений индекса k = k\,
&2, ••-, kit ... Обозначим через е^ множество, стоящее
в левой части B6). Тогда
l\hi-f\dli>j\flli-f\dii>be.
Е е*
Таким образом, последовательность \fk.) не может
сходиться в среднем к f. Теорема доказана.

§5] ПРОСТРАНСТВО L СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 2Ц
Обратное заключение неверно: последовательность
суммируемых функций может сходиться по мере к
некоторой тоже суммируемой функции, но не сходиться
в среднем. Это подтверждается примером, приведенным
в начале VII. 3. В этом примере за. Е взят интервал
(О, 1), fh{x) —>О всюду на этом интервале и эти
функции суммируемы. Однако fh-/-Q ъ пространстве L@, i), так
как Ц/У = 1 при всех k.
Теорема VIII.5.2. L — банахово пространство.
Доказательство. Нужно проверить только
полноту пространства L. Пусть последовательность {/*} из
L — фундаментальная, т. е. \\fh~fi\\-*0 при k, l-*oo.
С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые
проведены при доказательстве предыдущей теоремы, мы
легко убедимся, что для любого е > О
^я II М*)-Ы*I> 81x^*0.
По лемме VI. 5.1 из {fu} можно выделить частичную
последовательность {/*.}, которая сходится почти всюду
на ? к некоторой предельной функции / с конечными
значениями.
Докажем, что f суммируема. Действительно, задавая
ц > 0, имеем при всех достаточно больших k и /
(*, / > К)
\\fk-fi\\<r\.
В частности, ||/ft{ — fkj\\ < r\, т. е.
/|^-/*;|^<Л
в
при всех достаточно больших / и ;' (таких, что kh kj ^ К).
При фиксированном /
\fkt(x)-hl(x)\-RZ*\fkl(x)-f(x)\
почти всюду на ? и по теореме Фату (VIII.4.3)
\\fkt-f\dn< s^Pk J|/*(-f*,|d(i<4.
В I E
Следовательно, функция fk — / суммируема на Е,
а тогда и функция

212
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
тоже суммируема. Попутно мы уже доказали, что
\\fkt — /Ц^Л ПРИ всех достаточно больших t. Вследствие
произвольности ц это и означает, что /*г-*/ по норме
в L. Тогда по лемме III. 4.1 мы сразу заключаем, что
и fh—*f, т. е. полнота L установлена.
Остановимся теперь специально на случае, когда
пространство L состоит из суммируемых функций,
заданных на некотором множестве EaRn (\i — мера
Лебега), и докажем, что в этом случае пространство L
сепарабельно. Пусть Ер при любом натуральном р
означает пересечение множества Е с замкнутым
параллелепипедом
t А*р = [-р, р; —р, р; ...; — р, р],
а Нр — множество всех4 таких функций tp, заданных на Е,
что ty(x) равна на Ер некоторому алгебраическому
полиному (от п переменных) с рациональными
коэффициентами и ty(x) = 0 на Е \ Ер. Каждая такая функция
суммируема на Е, следовательно, Нр с L. Все множе-
оо
ства Яр счетны, а потому и множество H={jHp тоже
счетно. Докажем, что Н всюду плотно в L *).
Пусть fet. Зададим е>0 и подберем р так, что
j \f\dli=j\f\dn- j\f\d]x<% B7)
?Ч?р Е ер
(см. формулу A5)). Затем подберем измеримое
множество еаЕр так, что / ограничена на e[\f(x)\<.M]
и что
| |/|ф= Jl/lrfn-Jl/l^
7 '
Положим
<т-
?Ле ер
*М-Ц
f (x) при * е е,
при а:е Ер\е.
*) Если множество Е ограничено, то за Я может быть взято
множество самих полиномов с рациональными коэффициентами.

§ 5] ПРОСТРАНСТВО L СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 213
Тогда
j]f-g\dii= | |/|rfn<-J-. B8)
Ер Вр\*
По теореме Лузина существует такая непрерывная
на всем Rn функция <р, удойлетворяющая условию
|ф(х)| sg: М (см."замечание к теореме VI.6.4), что
кЗД(*)^ф(*)]<-ог-
Так как I g (*) — <р (*) К %М на всем Ер, то
е е
g-<V\dn<2M-^r = ?[. B9)
Наконец, подберем алгебраический полином Р (от п
переменных |ь |г, .... in) с рациональными
коэффициентами так, что
| ф(дг) — Р(х) |<—5-г при всех дгеД»,
и положим
* W ~~ I 0 при х е= Е \ ?р.
Тогда
Г|ф-^|^< * .^р<«. C0)
Из определения ip следует, что i|ie Hpcz H и что
II/-* 11= Jl/-*|dn+ \ 1/1Ф-
*„ Е\Ер
А тогда из B7), B8), B9) и C0) сразу вытекает, что
llf — if II < е. Тем самым доказано, что множество Н
всюду плотно в L.
Теперь покажем, что, как было отмечено в III. 4,
пространство CL непрерывных функций на отрезке [а, Ь] не
полно*).Действительно,из предыдущего доказательства
*) Также не будет полным аналогично метризованное
пространство непрерывных функций нескольких переменных, заданных,
например, на замкнутом параллелепипеде с конечными ребрами,

214
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
вытекает, что множество всех непрерывных
функций, заданных на отрезке [а, Ь], всюду плотно в Jt[a, ц-
Возьмем в Lfe, ь\ какую-нибудь функцию, не
эквивалентную никакой непрерывной, например,
( 1 при а^х^с,
f(*)=iO при с<х<6,
где а <. с < Ь. Существует последовательность
непрерывных функций lh, сходящаяся к / по норме в Ца, ъ\ *).
Тогда последовательность {/&} фундаментальна в
смысле сходимости в среднем, а это и есть сходимость по
расстоянию в CL**). С другой стороны, из
единственности предела в L вытекает, что последовательность {fhY
не может сходиться в среднем ни к одной непрерывной
функции, т. е. не может иметь предела в CL.
Вернемся снова к общему случаю, когда X
может быть произвольным пространством с мерой, и
остановимся на линейных функционалах в
пространстве LE.
Будем говорить, что функция- ср, заданная на
множестве Е, ограничена почти всюду на этом множестве,
если существует такая постоянная С, что |ф(*)| <| С
почти всюду на Е. При этом среди, постоянных С,
удовлетворяющих указанному условию, существует
наименьшая. Действительно, пусть С0 равно точной нижней гра-
*) Например, можно положить
It ^- ^ с — а
1 при а<*<С ?-,
О при с < х < Ъ
и определить fk (х) по закону линейного интерполирования в про-
межутке \с —, с).
**) Если в Cl ввести норму по той же формуле, что и в L, то
Cl становится нормированным пространством с прежним
определением расстояния:
Ь
P(f,g)=ilf-Sll^ [\f-S\Hx.
а

§ 5] ПРОСТРАНСТВО L СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 215
нице таких постоянных. Считая для простоты функцию ф
измеримой и полагая при любом натуральном т
е« = ?[|ф(*I>С0 + -~].
во
имеем цет = 0. Если e=\Jem, то и це = 0. Ясно,
что |ф(*)|^Со при всех хе?\е; следовательно,
|ф(л;) |^ Со почти всюду на Е и из определения С0
вытекает, что это и есть наименьшая из всех постоянных С.
Эта наименьшая постоянная называется
существенной верхней гранью функции |ф[ и обозначается
vrai sup |ф(д:)|*).
х<=Е
Пусть ф —произвольная ограниченная почти всюду и
измеримая функция на множестве Е, С0 =
= vrai sup | ф (jc) J, Тогда произведение /ф измеримо для
любой feL и при этом |П*)ф(*)| =^0>|/(*)| почти
всюду на Е. Отсюда по теоремам VIII. 3.7 и VIII. 3.8
вытекает, что произведение /ф суммируемо на Е.
Интеграл от этого произведения представляет функционал
F(/)=Jfodn, C1)
Е -¦•
определенный для всех f e L. По теореме VIII. 3.8 этот
функционал дистрибутивен и, кроме того, он ограничен,
а именно
|/?(f)l<C0J|f|d|i = C0||f||. C2)
Е
Тогда, по теореме III. 7.2 функционал F линеен.
Ясно, что эквивалентные между собой функции ф
определяют по формуле C1) один и тот же функционал.
Если же ограниченные почти всюду и измеримые
функции ф1 и фг не эквивалентны между собой', то легко найти
функцию /ei, для которой
J /Ф, dp ф J f(f2 d[i,
Е Е
*) Вместо vrai sup употребляется также обозначение ess sup.

216 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
т. е. линейные функционалы, определяемые функциями
Ф1 и фг — различны.
Покажем, что для линейного функционала C1)
||F|| = vraisup|<p(x)|,
т. е. \\F|| = С0.
Из неравенства C2) следует, что \\F\\ ^ С0. С другой
стороны, для произвольного е>0 существует множество
е с Е с lie > 0, на котором | ф (х) \ > С0 — е. Уменьшая,
в случае необходимости, множество е, но сохраняя
условие це > 0, можно считать, что ц.е < -f-oo и что ф
сохраняет на е определенный знак, например, (р(х) >0.
Возьмем в качестве f характеристическую функцию
множества е. Тогда ||/|| = це, а
/Ч/)=|фф>(С0-е)це = (С0-е)||Л1.
е '
Отсюда следует, что Н-Р jj ^ С0 — е, а так как е
произвольно, то ||iF|l ^ С0. Тем самым равенство C3)
доказано.
Можно доказать, что формула C1) дает общий вид
линейного функционала в L; тем самым каждый
линейный функционал F в пространстве L может быть
представлен по формуле C1) при надлежащем подборе
ограниченной почти всюду и измеримой функции ф*).
§ 6. Геометрический смысл интеграла Лебега
в евклидовом пространстве
Геометрический смысл интеграла мы выясним
специально для евклидова пространства. Поскольку по ходу
рассуждений нам придется одновременно рассматривать
евклидовы пространства разной размерности, мы
условимся обозначать меру Лебега в пространстве /?„
через цп.
Введем некоторые геометрические понятия. Если
точка у = (г\1,гJ, ..-.Tin, T]„+1)e/?n+i, то ее проекцией в про-
*) Для простейшего случая, когда ? = [0, 1] с: Rlt эта
теорема была доказана польским математиком Г, Щтейнгаузом,
A887-1972) в 1918 г, I
C3)

§ 6] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 217
странство Rn будем называть точку х = {г\иу\2,• •¦• ,ч]„),
т. е. точку из Rn, определяемую первыми п
координатами точки у. Далее, обобщая понятие криволинейной
трапеции, введем следующее определение.
Определение. Пусть функция f(х) ^ 0 на
множестве EczRn. Ее подграфиком*) на этом множестве
называется совокупность Q всех таких точек у =
= (t]i. 412. ¦••, Лп, Цп+i) ^Rn+u что если л; —проекция
точки у в R„, то:
а) хе?;
б) 0 <!]„+, </(*).
Иными словами, над каждым х^Е «надстраивается
в направлении (и + 1)"й оси отрезок [0, /(*)]» л под Q
понимается объединение множеств точек всех этих
отрезков**). ¦
Если f(x) = с (с Г2: 0 — конечная постоянная) на
множестве Е, то ее подграфик Q на Е назовем также
цилиндром с основанием Е и высотой с. В этом случае
будем писать, что, Q = Е X [0, с] (ср. с обозначением,
введенным в V.3 для ячеек).
Лемма VIII. 6.1. Если Q — цилиндр, основание
которого — измеримое множество Е cz Rn, а высота
равна с, то Q — измеримое множество в пространстве Rn+u
а Цп+iQ = с\апЕ при О 0 и |x„+iQ = 0 при с = 0 ***).
Доказательство. Рассмотрим сначала
цилиндр Q, высота которого с > 0.
а) Пусть основание цилиндра Q — некоторое
непустое открытое множество GczRn. По теореме
V. 4.1 G=(jAA, где Ah — дизъюнктные непустые
к
«-мерные ячейки, а их множество счетно. Тогда
Q = (J(AftX[0> Ф- Каждое из множеств в правой ча-
к
сти — параллелепипед, а его объем равен сцпДл.
Поэтому цилиндр Q тоже измерим и, благодаря счетной
*) Термин «подграфик» введен И. П. Натансоном A906—
-1964).
**) В точках, где /(*) = +°°. отрезок [0, +<»], как мы уже
условились в гл. V, означает то же, что и полуинтервал [0, +оо).
***) Если ц„? = +оо, а с — 0, то произведение сц„? не
имеет смысла. Однако и в этом случае Цп+iQ = 0.

218 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ " [ГЛ. VIII
аддитивности меры,
k
б) Пусть теперь основание цилиндра Q —
ограниченное замкнутое множество F. Погрузим F в некоторый
ограниченный открытый параллелепипед Дсг/?„. Тогда
и множество G = Д \ F открыто. Образуем цилиндры
Qi = GX[0, с], Q2 = AX[0, с].
По доказанному цилиндр Q, (а также и Q2) измерим,
Hn+iQi = сц„0, n„+1Q2 = сц„Д. Но Q, с: Q2, a Q = Q2 \ Qb
следовательно, цилиндр Q измерим и
M-n+iQ = M71+1Q2 — |A»+iQi = с (ц„Д — n„G) = cn„F.
в) Пусть основание цилиндра Q — ограниченное
измеримое множество Е. По произвольному е > О
подберем замкнутое множество F и открытое множество G
так, что F сЕ aG и что n„G — u„F < е. Построим
цилиндры Q' и Q" с основаниями F и G (соответственно)
и высотой с. Тогда
Q'cQczQ", (in+iQ'-W?, H„+1Q" = ^nO.
Следовательно,
H„+1Q" — цп+1<Э' < се.
Таким образом, цилиндр Q можно заключить между
двумя измеримыми множествами Q' и Q", разность мер
которых можно сделать сколь угодно малой. На
основании критерия измеримости в евклидовом пространстве
(см. V. 5) цилиндр Q тоже измерим, а тогда
В то же время
При этом с\кпЕ и есть то единственное число, которое
заключено между всевозможными fin+iQ' и Цп+iQ", т. е.
Hn+iQ = c-\inE.
г) Пусть, наконец, основание цилиндра Q —
произвольное измеримое множество Е. Представим Е в виде

§ 6] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 219
объединения возрастающей последовательности
ограниченных измеримых множеств Ет[Е = \J Ет), а ци-
^ m=i /
оо
линдр Q — в виде Q=\J Qm, где Qm = Em X [0, с]. По
m=l
уже доказанному Цп+iQm = с-цпЕт, а по свойствам
меры
Hn+iQ =Iim Vn+iQm = c -Urn цпЕт = с ¦ цпЕ.
Осталось рассмотреть случай, когда с = 0.
Если с = 0, a \inE < +оо, то погрузим цилиндр Q
в цилиндр Q' с тем же основанием ? и со сколь угодно
малой высотой с' > 0. Так как за счет с' меру p,n+iQ'
можно сделать сколь угодно малой, то цилиндр Q
измерим и Цп+iQ = 0 (см. теорему IV. 4.2). Если же с =
= 0, но цп? = +°°. то представим Е в виде счетного
объединения множеств Ет с конечной мерой. Тогда
оо
Q=s U Ф«> где Qm —цилиндр с основанием ?т и высо-
т=1
той с = 0. По доказанному \in+iQm = 0, а тогда и
Hn+iQ = 0.
Лемма полностью доказана.
Теорема VIII.6.1. Если f(x) >0 а измерима на
множестве Е с R„, то ее подграфик Q на этом
множестве—измеримое множество в R„+u a
|i„+iQ=J7rf|i„. C4)
Е
Доказательство*), а) Пусть сначала функция
/ ограничена на множестве Е, а цпЕ < -f-oo.
Рассмотрим произвольное разбиение т множества ,Е на
конечное число дизъюнктных измеримых множеств ?*
(i == 1, 2, ..., р). Положим, как обычно,
Mi = sup / (x), mt = inf / (л;),
*) Проводимое ниже доказательство справедливо как для
функции, почти всюду конечной, так и без этого ограничения.

220 -СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII,
и составим суммы Лебега — Дарбу ',
р р
S(т) = 2 MiVtfii, s (т) = 2 mi^ei.
Пусть Qi ~ подграфик сужения функции f на
множестве et, Q't и Q" — цилиндры с основанием е1 и вы-:
р
сотами mi и М ^ (соответственно), a Q' = [J Q^,
i=i
р
Q"= (J Q". Тогда Q^cQtC: Q'{' при каждом i и потому
г=1
Q'aQcz Q". При этом
р р
Hn+iQ' = 2 l*n+iQI = 2 mtnnet = s (т),
T " C5)
IWiQ" = 2 H„+1Q? = 2 М^яе, = S (т).
Так как функция f интегрируема на множестве Е, то за
счет выбора разбиения т разность 5(т) —s(t) может
быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, на;
основании критерия измеримости, множество Q изме-'
римо и
nn+iQ'<n«+iQ<n«+,Q". (Щ
С другой стороны, ^
s(T)<J"fdfi„<S(T), C7);
причем указанный интеграл — единственное число,
заключенное между верхними и нижними суммами
Лебега —Дарбу. Из C5), C6) и C7) непосредственно
вытекает равенство C4).
б) Пусть теперь \inE = -f00. но / ограничена на Е.
Тогда представим Е в виде объединения возрастающей
последовательности множеств Ет с конечной мерой;
?= (J Em\ и обозначим через Qm подграфик сужения
m=l '

§7]
ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
221
функции / на множестве Ет. По уже доказанному
Vn+\Qm= jfdlln,
Ет
т
и с помощью формулы A5) получаем
Hn+lQ = lim \in+iQm = lim J / с?ц„ = J* f d\tn.
в) Если, наконец, f не ограничена, то используем
ее срезки fm. Подграфики Qm срезок fm образуют воз-
00
растающую последовательность и Q= (J Qm. А тогда,
используя доказанное в п.п. а) и б) и свойство
интегралов от срезок (см. предложение а) из VIII.4), имеем
j*i.+iQ = limn#l+,QM = lim|/mdne= J/rfu,,.
в в
§ 7. Повторные интегралы
Интегралы Лебега по множествам, лежащим в
многомерных пространствах, как и в классическом анализе,
могут вычисляться с помощью сведения их к повторным
интегралам. Как мы увидим ниже, окончательный
результат в этом направлении имеет в теории интеграла
Лебега более законченный вид, чем для интегралов Ри-
мана.
Предварительно мы рассмотрим вопрос о вычислении
меры множества с помощью интегрирования меры его
сечений. Для некоторого упрощения записей будем вести
основное рассуждение для множества, лежащего в
двумерном пространстве R2. В конце параграфа будет
указано, каким способом результат, полученный для R2,
переносится в пространство Rn с любым большим числом
измерений.
Пусть множество EczR2. Для каждого
фиксированного вещественного числа gi обозначим через ?(gi)
множество всех g2, для которых точка х = (gi, g2) ^Ё, т. е.
?(gi) суть сечения множества Е прямыми gi = const*).
*) Точнее, это — проекции сечений на ось 0?г.

222
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Множества ?(?i) мы будем рассматривать как
линейные, т. е. как множества на прямой, и, говоря об их
мере, мы будем иметь в виду линейную меру, т. е. меру
в пространстве Ri.
Теорема VIII. 7.1. Если множество EczR2
измеримо и \х,2Е < +оо, то для почти всех %\ сечения ?(Ei) —
измеримые линейные множества с конечной мерой,
функция ni?(|i) измерима на Ri и
ц2? = Jn.^d,)^,. C8)
я.
Доказательство. Отметим, что если Е пусто, то
формула C8) очевидна. Дальнейшие рассуждения
разобьем на ряд пунктов.
а) Если в качестве Е взять прямоугольник А =
= (а, Ь\ с, d) с конечными ребрами, то
f (с, й) при a<ii<b,
™'~\ 0 при |,<а и при li>b.
Следовательно,
М —с при a<li<b,
Ц1 ™> — \ 0 при 6, < а и при %i>b,
и формула C8) очевидна.
б) Пусть G — произвольное открытое множество
в Ri с \iiG < +00. По теореме V. 4.1 оно представимо
как конечное или счетное объединение дизъюнктных
двумерных ячеек Ak, G=[jAft (ц2АА < + оо). Тогда при
к
каждом |!
G (?,) = U д* (h), |i,C (I,) = S ц,А, (?,)•
& ft
В частности, все чсечения G(?i) измеримы и функция
(XiG(li) измерима (см. следствие из теоремы VI. 3.1).
Вследствие счетной аддитивности меры и уже
доказанной для прямоугольников формулы C8)
|i2G = 2M* = S{l*iA*(SiLi. C9)
к к Rt

«71
ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
223
Из C9) с помощью следствия из теоремы VIII. 4.2 (см.
предложение в) из VIII.4) сразу следует, что niG(j-i)<
<С -f- оо для почти всех |г, кроме того, знаки суммы и
интеграла в правой части C9) могут быть переставлены
между собой (ср. то же предложение в)). Тем самым
мы приходим к равенству
I^G^Jn.Gft,)^,. . D0)
в) Если Е a R2 — множество типа Ge с ^Е < -f°o, то
представим Е в виде пересечения убывающей
последовательности открытых множеств Gm с конечной мерой *):
E=f]Gm.
m=l
00
ТогДа ?(?,)= Р) Gm(li) при любом |i и множества C?m(|t)
m=l
тоже образуют убывающую последовательность. Отсюда
следует, что все сечения Е (?,) измеримы и \ихЕ (|,) =
= lim(i1Gm(|1) < + °° при почти всех |j (поскольку
l^iGi (li) < + °° при почти всех \х). Теперь по
теореме VIII. 4.1
Е = lim n2Gm = lim J ji,Gm (?,) dg, = j щ? (|,) dg,
ц2
г) Пусть теперь ? — какое-то измеримое множество
из /?2 с ^Е = 0. По теореме V. 5.6 существует такое
множество К типа G6, что Е с К и что ^К = 0. По
доказанному выше
J*MC(?,Li = MC = 0,
*) Если f^M Tk. где Г* — какие-то открытые множества, то
fc=i
полагаем Gm = Г^ П Г2 Л • • • Л Гт. Тогда множества Gm тоже открыты,
00
образуют' убывающую последовательность и ?= М Gm. Кроме
того, с самого начала можно взять G) так, что \i2(G1\E)< 1
(см. следствие 1 из теоремы V. 5.5) и тогда HsGi<4-«>.

224 СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
следовательно, по теореме VIII. 3.6, \i\K(li) — 0 для
почти всех 1\. Но ?(gi)c: K(h) при каждом 1ь и так
как мера ц\ полна, то сечения ?(?i) измеримы и
Hi?(Si) = 0-для почти всех |i. Отсюда по теореме VI. 4.1
следует, что функция ni?(g]) измерима, а
¦/ Hi^ (?i) dgi = 0 = ца^.
д.) Пусть, наконец, Е — произвольное измеримое
множество из R.2 с цг? < +оо. Подбираем множество К
типа G6 так, что Е cz К и что ц2(К\Е) = 0. Тогда
"?(&i) = *F,)\(/(\?)(g,),
а почти все сечения множества К\Е, по доказанному
в п. г), имеют меру 0. Следовательно, сечения ?(?i)
измеримы и jii?(|i) = (Xi/C(|i) для почти всех |ь функция
jxi?(?i) измерима снова по теореме VI. 4.1, а
J ц,? (|,) dg, = J ц,/С (g,) rfg, = Ц2/С = Ц2?.
л, л,
Теорема полностью доказана.
Замечание. Формула C8) верна и без
предположения, что цг? < -f-°°. однако в этом случае уже нельзя
утверждать, что для почти всех сечений ni?(?i) < +°°-
Чтобы получить формулу C8) для множества Е cR2 с
ц2? = -|-оо*), представим ? в виде объединения
возрастающей последовательности измеримых множеств
Ет с конечной мерой. Применяя формулу C8) к
каждому Ет, имеем
ц2?т= J|i,?m(S,)rfi,. D1)
оо
Далее ясно, что ?(?i) = \J ?m(gi)npn всяком |ь. следо-
m=l
вательно, сечения ?(|i) измеримы при почти всех gi, а
Hi?m(li) —*niE(li), возрастая. Но тогда теорема VIII. 4.2
*) Конечно, и предыдущий вывод формулы C8) можно с очень
небольшими изменениями провести сразу без предположения, что
ц2? < -)-оо.

§7]
ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
225
(см. также замечание к ней) позволяет перейти в
равенстве D1) к пределу под знаком интеграла (при
т->оо) и тем самым получить C8). При этом, как и в
теореме VIII. 7.1, функция jjliZT(?,i) измерима на R\.
Следствие. Пусть неотрицательная функция f
задана на измеримом множестве Е с R\ и ее подграфик
Q — измеримое множество в R2. Тогда f измерима.
Действительно, как только что было упомянуто,
функция n.iQ(?i) во всяком случае измерима на R\ и, в
частности, на Е. Но для любого l\ e E сечение Q(|i) —
= [0, f{h)l а потому mQ(ii) = /(?i) и, тем самым, /
измерима *).
Перед тем как переходить к повторным интегралам,
условимся относительно некоторых обозначений и
терминологии. Пусть функция /(?ь?г)**) задана на
множестве EcR2. Если при некотором gi сечение ?(Ы
не пусто и измеримо, а для функции f(gi, |2). как
функции от одной переменной \2, имеет смысл интеграл по
множеству E(li), мы записываем этот интеграл в виде
/ /(li. h)dh- D2)
Если же || таково, что ?(|i) = 0, то хотя при таком gi
функция f{li, ?2) не задана не при одном ?2, мы все же
условимся, что и в этом случае интеграл D2) определен
и равен 0.
Кроме того, мы условимся, что утверждение «/(^ьЫ
измерима (соответственно, суммируема) по |2 на сечении
?(?i) при почти всех |ie/?i» означает, что для почти
каждого |i <= Ri справедливо одно из двух: или ? (|i) ф
Ф 0 и измеримо, а функция /(gi, \2), как функция от |2,
измерима (соответственно, суммируема) на ?(§i), или
?(g,)=0.
Теорема VIII. 7.2. (Г. Фубини ***)). Если функция
f(|i, I2) суммируема на множестве EczR2, то при почти
*) Если же ц2(? < +°°, то, как это следует из формулы C8),
/ суммируема.
**) В этом обозначении мы вводим явно оба аргумента функ*
ции, т. е. координаты gi и |г точки х.
***) Г. Фубини A879—1943) — итальянский математик.
8 Б, 3, Вулих

226
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
всех %\ она суммируема по |2 на ?(|i) и при этом
справедливо равенство
Г / rf|*a — Jdg, J /(|ь g2)^2. D3)
? Л, ? E,)
При этом, конечно, внутренний интеграл представляет
измеримую, и даже суммируемую, функцию от \\.
Доказательство. Пусть сначала функция f(x)^
^ 0 на множестве Е, a Q — ее подграфик. По теореме
VIII. 6.1
jfd\i2=:\L3Q, D4)
причем n3Q < Ц-оо. Множество Q расположено в
пространстве Ra и для него справедлива теорема,
аналогичная теореме VIII. 7.1. Следовательно, для почти всех gi
плоское сечение Q(|i) множества Q *) измеримо и
PtfQdi) JfCrh00, При этом
H3Q= Jti2Q(S,)rfSi. D5)
Обозначим через Л множество всех gi e /?ь для которых
оба сечения Q(§i) и ?(gi) измеримы и |a2Q(gi) < -Ь00-
Из теоремы VIII. 7.1 (и замечания к ней) вытекает, что
[ц(#,\Л) = 0. При этом, если ?(?,)^0, то (?(?,) —
подграфик функции /(gi, g2), рассматриваемой на ?(gi)
при фиксированном \\. Таким образом, если ?ie,4 и
Е(\\)Ф0, то по следствию из теоремы VIII. 7.1
функция /(|i, |2) измерима по g2 на ?(gi), а тогда она и
суммируема й
HaQFi)« }/(!.. 12)^12. D6)
?(i>)
Если же ?(ii) = 0, то равенство D6) справедливо
тривиальным образом.
Сопоставляя формулы D4), D5) и D6), мы
приходим к равенству Dа),
*) Т, е." множество, состоящее из всех таких точек (|2, |3)е1?2.
что (R„ |j, |,) аз Q.

§7]
ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
227
Если f(lu |2) —произвольная функция, суммируемая
на множестве Е, то вводим функции /+(|i,|2) и f-(h,b)
(ср. формулу D)). Записывая для каждой из этих
функций формулу D3) и производя почленное вычитание,
мы получим ту же формулу и для функции f(|i, |2).
Сведение двойного интеграла к повторному по
формуле D3) возможно и без условия суммируемости f;
достаточно предполагать, что интеграл Г / d\t2 имеет
Е
смысл. В частности, верна следующая теорема, в
основном принадлежащая итальянскому математику Л. То-
нелли A885—1946).
Теорема VIII. 7.3 Пусть функция f(|i, |2) ^ 0 и
измерима на множестве Е cz R2.
Тогда:
1) /(ii. I2) измерима по 12 на ?(gi) при почти всех
h е= Я,;
2) справедлива формула D3);
3) если функция ф(^)= [ /di, |2)^|2 суммируема
ЯF.)
на Rи то функция f(li, |2) суммируема наЕ.
Для доказательства первых двух утверждений
достаточно повторить первую часть доказательства теоремы
Фубини, не выделяя при этом сечений Q(?i) с конечной
плоской мерой*). Однако вместо суммируемости
функции f(l\, ?2) по |2 при почти всех gi можно будет
установить лишь ее измеримость, а внутренний интеграл
будет лишь измеримой функцией от |i. Третье утверждение
вытекает из формулы D3):
JMH2= j dh J f(lu h)dh= \y(h)dlx< + oo.
В Rt E(h) «1
При вычислении повторного интеграла в формуле D3)
нас фактически интересуют только непустые сечения
E(li). Множество всех gi, для которых Е(\{)-Ф0,
называется проекцией множества Е на первую
координатную ось и обозначается Pri?. Легко понять, что из
*) Напоминаем, что теорема VIII. 7.1, на которую опиралось
доказательство теоремы Фубини, справедлива и для множеств с
бесконечной мерой.
8*

228
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
измеримости множества Е в пространстве^не вытекает
измеримость Pri? в пространстве R\. Однако, если Е
таково, что Pri? измерима, то внешний интеграл по Ri
в формуле D3) можно заменить интегралом по Pri?,
поскольку
J f(lu |2L2 = 0 при 1,ёРг,?.
Тем самым формуле D3) можно придать следующий,
часто встречающийся вид:
J/rf|i2= J dli j /(?„ l2)dl2.
В Pr;? ?(|,)
В частности, если множество Е — прямоугольник
Д = (а, Ь; с, d), то
Ь d
J fd\i2 = J rf|, J/(|i, Wdh-
Д а с
Аналогично получается, что
d Ь
J/dji2= J rf|2 J/(|,, h)dlx.
Д с а
Отсюда вытекает, что если функция f суммируема
в прямоугольнике А = {а, Ь\ с, d), то
Ь d d b
\d%x \f(luWdh^\dl2 J/(|lf |2Ll
а с с d
Теорема Фубини указывает путь, по которому можно
осуществить изменение порядка интегрирования и в
более сложных случаях, если заданный повторный
интеграл удается представить как результат вычисления
некоторого двойного интеграла. В частности, для
неотрицательной функции из теоремы VIII. 7.3 вытекает:
если функция /(ЕьЫ^О и измерима на множестве
Е a R2, то
J dg, J /(Si, h)d%2= J d\2 j f(lu Wdh- D7)

§я
ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
229
В заключение параграфа наметим, как обобщается теорема
Фубини на случай интегралов в пространствах с любым числом
измерений, большим двух.
Пусть функция f (|i, |2, ..., Ъ,п) суммируема на множестве
Е с. Rn с \inE < + оо. Разобьем все аргументы на две группы:
ii> h h (*<") и h+v •¦•• Sn-
Для каждого фиксированного набора вещественных чисел
|,, |2, ..., tk обозначим через
E(hl2 У
множество всех точех (s?+1. •••, ln) из пространства Rn-k,
для которых
* = (|,Л2, .... 6*. .... 6„)е?.
Тогда оказывается, что при почти всех (|(, ..., |ft) e /ffe или
функция /(!,, |2, ..., gft, ..., |„) суммируема на ?(|г \2 |fe),
как функция от переменных ?А + , |п> или Е (?,, |2, ..., ?fe) = 0.
При этом справедливо равенство
lfdpn-jdH -J fFl, i2 ift, ....ij rf(xre_ft*),
? ^ в(б,-Ь h)
если, как и выше, условиться, чдо внутренний интеграл равен О
в случае, когда ?(|ь ...,?/,) =0. В частности, беря k = 1, мы
получим, что
j/dn„= Jrf6i J /(ii, h ln)dpn-i.
В R, E (?,)
Применяя к последнему интегралу еще раз теорему Фубини, мы
придем к равенству
JfdH«= Jdgl {^2 J f(|l, g2 In) #«-2.
Продолжая эти преобразования, мы получим в конце концов
представление интеграла по множеству Е в виде повторного
интеграла, содержащего п однократных интегралов. В частности, если
множество Е есть параллелепипед Д = (а, Ь), то предыдущей
формуле можно придать более простой вид:
6, б2 ьп
JfrfH„= J" d\x J" rf|2... | Н|ь l2 In) din,
*) Здесь внутреннее интегрирование производится «по
совокупности, переменных |а + 1 In»-

230
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
§ 8. Произведение мер
Изложенное в предыдущем параграфе допускает далеко
идущие обобщения. Пусть X и Y — два пространства с мерами ц. и v
(соответственно), © — а-алгебра измеримых множеств в X, X —
а-алгебра измеримых множеств в К; обе меры предполагаются
полными и а-конечными. Рассмотрим множество Z, состоящее из всех
упорядоченных пар (х, у), где х е X, yeY. Множество Z
обозначается X X Y и называется произведением множеств X и Y. В
множестве Z выделим совокупность SR всех подмножеств вида
АХ В,
где А е @, BeJ, Легко видеть, что 9J — полукольцо. На Ш
зададим функцию я, полагая
я (Л XS) = M-vB. D8)
причем если хоть один из сомножителей в правой части равен О,
то произведение тоже считается равным 0 (даже если второй
сомножитель равен +°°). Аналогично лемме V. 2.1, видоизменяя
надлежащим образом конструкцию сетчатого разбиения, нетрудно
доказать, что функция я конечно-аддитивна. Однако в этом нет
необходимости, поскольку, используя установленные выше свойства
интеграла, можно провести такое доказательство аддитивности
.функции я, при котором одновременно устанавливается не только
ее конечная аддитивность, но и счетная.
Действительно, пусть
АХВ = [](АпХВп),
причем множества в правой части дизъюнктны (А„, А е @, В„,В&
е %), а их совокупность конечна или счетна. Для каждого п
зададим на множестве А измеримую функцию /„, полагая
t i \ Г vS"> если х е Ап, ¦
fn(x) = \
{ 0, если хе/(\ Ап.
Тогда ясно, что при всех я е Л
2 fn (x) = vB.
п
Почленно интегрируя это равенство (если слагаемых — счетное
множество, то мы опираемся при этом на теорему VIII. 4.2 и
замечание к ней), получаем
п А
Но
^ J"f„dH = vB-M = nG4XB).
j fn dp = \Bn • [iAn = я (Ап X B„),

§ 8] ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР 231
и тем самым счетная аддитивность функции я доказана. Таким
образом, я — мера. Легко видеть, что она ст-конечна.
Осуществим стандартное распространение меры я с
полукольца SSI на а-алгебру, которую мы обозначим через Ш.
Полученную таким способом меру в 2 обозначим ц X v и назовем ее
произведением мер \i и v*).
Пусть, в частности, X и Y — два евклидова пространства Rn
и Rp с лебеговыми мерами ц„ и jxp. Произведение Rn X Rp можно
интерпретировать как евклидово пространство Rn+P. Покажем, что
произведение мер \in X Up в Rn+p совпадает с лебеговой
мерой |Хп + р.
Пусть SR — полукольцо множеств из Rn + p вида А X В, где А
и В— измеримые множества из Rn и Rp (соответственно). Легко
проверить, что такие множества измеримы по Лебегу в
пространстве Rn + P**). При этом, обобщая теорему VIII. 7.1 на
пространства с любым числом измерений, легко установить, что
V-n+p (А X В) = ц„Л • \1РВ,
т. е. функция я, определяемая через ц„ и цР по формуле D8),
совпадает на 9i с Цп + р- Мы знаем (см. теорему IV. 4.3), что
внешняя мера в Rn + p, порождаемая мерой ц,. + Р, и внешняя мера,
порождаемая объемом ячеек в Rn+p, совпадают. Но тогда с ними
совпадает и внешняя мера, порождаемая «промежуточной»
функцией я. Отсюда уже следует что стандартное распространение
меры я совпадает с мерой Лебега цп+р.
Теорема VIII. 6.1, дающая геометрический смысл интеграла в
евклидовом пространстве, допускает следующее обобщение.
Пусть X—произвольное пространство с полной мерой и;
положим 1 = X х R\, а (о = р. X Hi, где Hi — мера Лебега на прямой.
Тогда, если f(x) >0 и измерима на множестве Е с: X, то ее под-
график
Q = {(х, })eZ;ie?,0<K/(*)}
—¦измеримое множество в Z, а
fi>Q = j* f dn.
E
Вернемся к общему случаю, рассмотренному в начале
параграфа, когда X и У — произвольные пространства с полными
мерами ц и v (соответственно). Нетрудно проверить, что все
результаты, установленные в VIII. 7 для пространства /?2, переносятся
*) Аналогично можно построить меру и в произведении
любого конечного числа пространства с мерой. Несколько сложнее
обстоит дело, если вводить понятие произведения бесконечной
совокупности мер.
**) Достаточно применить следствие 1 из теоремы V. 5.5,

232
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
[гл. vm
и в пространство 1 = X X У с мерой \i X v. В частности,
формула C8) принимает вид
(nXv)?= [ vE(x)dn.
х
По ходу доказательства этой формулы нужно вместо открытых
множеств использовать множества, представимые в виде конечных
или счетных объединений дизъюнктных множеств из полукольца St.
Формула D3) запишется так:
jf(x, »)rf(|iXv)= Jrffi J f(x,y)dv
E X E(x)
(в предположении, что интеграл слева имеет смысл),

ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ
§ 1. Пространство L2
Для многих приложений функционального анализа
более существенную роль по сравнению с пространством
L играет пространство функций, суммируемых с
квадратом. По своим свойствам оно оказывается ближе к
евклидовому пространству Rn, чем пространство L.
Пусть, по-прежнему, X — пространство с мерой ц,
заданной на о-алгебре измеримых множеств. Будем
говорить, что измеримая функция f, заданная и почти
всюду конечная на множестве Е czX, суммируема с
квадратом на этом множестве, если
Е
Совокупность всех функций, суммируемых с квадратом
па некотором фиксированном измеримом множестве
ЕсХ, обозначим через L (точнее, Le). Таким образом,
f e Le (f задана на Е) в том и только том случае., если
/ измерима и f^.LE. В множестве L2, как и в
пространстве L, мы будем отождествлять функции, эквивалентные
между собой. Поэтому, как и в L, можно считать, что
каждый элемент из L2 изображается функцией,
имеющей всюду конечные значения.
Сначала докажем, что множество L2 — линейное.
Ясно, что если функция f входит в L2, то и произведение
cf входит в L2 при любом с. Если f и g — две функции
из L2, то из очевидного неравенства
\f(x)g(x)\<f2(x) + gHx)

234
ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
вытекает, что произведение fg^L, А тогда из
равенства
[/ (х) + g (x)f = Р (*) + 2/ (х) g (х) + g2 (x)
следует, что функция (/ + gJ суммируема, и тем самым
/ + g входит в L2. Таким образом, множество L2—
линейное; при этом произведение любых двух функций из
L2 суммируемо (но может не входить в L2). Как и в
пространстве L, нулевой элемент 0 множества
^изображается любой измеримой функцией, эквивалентной 0.
Теперь выведем некоторые неравенства,
представляющие интегральный аналог неравенств Коши из II. 1.
Пусть /, g e L2. Введем вспомогательную функцию <р
от вещественной переменной X
cp(X)=l(lf + gJdii = tfjf2dli + 2kjfgdli+jg2dlx,
В Е Е Е
где X может принимать все значения от —оо до +оо.
Так как Xf + g e L2 при любом X, то ф имеет конечные
значения. Кроме того, ф(Я)^ 0 при всех X, как интеграл
от неотрицательной функции. Но если квадратный
трехчлен ф(А,)^=0 при всех X, то, как отмечено в II. 1, его
дискриминант должен быть не больше 0, т. е.
(jfgdiiJ^jf2diijg2dii. A)
\Е IE E
Это соотношение называется неравенством
Буняковского*).
Теперь аналогично тому, как это сделано в II. 1,
извлекаем из обеих частей неравенства Буняковского
квадратные корни, удваиваем эти корни, и складываем
их с выражением
Е Е
Тогда мы получим
*) В. Я. Буняковский A804—1889)—выдающийся
русский математик.

§1]
ПРОСТРАНСТВО ?'
235
или
л/1 (/ + §Г dn < л/~ \ f*dn + i/j* g2dn. B)
Введем норму в множестве L2, полагая
11/11= l/ J" №*).
Тогда предыдущее неравенство принимает вид И/Ч-^И^
^ 11/11 + \\g\\, т. е. превращается в . неравенство
треугольника. Выполнение прочих аксиом нормы в L2
очевидно и, таким образом, L2 становится нормированным
пространством.
Если X = Rn, а ц — мера Лебега и цЕ > 0 (случай,
когда \iE = О, очевидно, не представляет интереса), то
всегда можно построить функцию, суммируемую на Е,
но не суммируемую с квадратом. Таким образом, L не
включается в L2. Если цЕ = +°°. то и обратное
включение не имеет места. Например, если Е — интервал
A,+оо) из R\, то функция — не суммируема на Е,
но входит в L|4 В связи с этими замечаниями особый
интерес представляет следующая важная теорема.
Теорема IX. 1.1. Если цЕ < +00, то L2 cz L и для
любой fet2
ll/IK/SF-Шу (З)
(здесь в обозначении нормы указывается пространство,
в котором вычисляется эта норма)**).
Доказательство. Если цЕ < +00, то любая
постоянная (на множестве Е) входит в L2. А тогда
произведение любой функции / из L2 на любую постоянную
*) Конечно, здесь подразумевается арифметический корень.
**) Строго говоря, термин «функция, суммируемая с
квадратом» оправдан лишь при наличии включения L? a L. В общем случае
правильнее было бы говорить — «функция с суммируемым
квадратом». Однако мы придерживаемся в этой книге исторически
сложившейся терминологии.

236 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
суммируемо на Е. В частности, суммируема и сама
функция /. При этом, по неравенству Буняковского,
J|/|d|iY<J>d|i J l2^,
что равносильно неравенству C).
Соотношение fk —*f по норме в пространстве L2
обозначает, что •
Jlf*-/№-*o.
Е
Такая сходимость называется сходимостью в среднем
2-го порядка. Для нее справедлива следующая теорема,
аналогичная теореме VIII. 5.1, доказанной для
сходимости в среднем 1-го порядка.
Теорема IX. 1.2. Если fu.—*f no норме в L2, то
fk=?f.
Доказательство этой теоремы почти ничем не
отличается от доказательства теоремы VIII. 5.1. Если
допустить, что последовательность {fk} не сходится по мере
к f, то для некоторых е > 0 и б > О
\iE(\fk(x)-f(x)\>*)>t
при бесконечном множестве значений k = k\, k2, ...
,. ., Hi, . ..
А тогда
f \fk.-f\2dii>6e2,
J I I I
?
и мы приходим к противоречию со сходимостью {fh} к /
по норме.
Теор ем а IX. 1.3. Если цЕ < +оо, a fh-*f no норме
в L2, то fh-*f no норме в L, т. е. из сходимости в среднем
1-го порядка вытекает сходимость в среднем 1-го
порядка к той же предельной функции.
Доказательство. Если цЕ < -f-°°( то L2 cz L, а
по неравенству C)
Wfk-f\\L<VvE\\fk-f\\L»
откуда и вытекает утверждение теоремы.

§ и
ПРОСТРАНСТВО Li
237
Теорема IX. 1.4. L2 — банахово пространство.
Для доказательства нужно только проверить
полноту U-, а это делается совершенно так же, как и для
пространства L (теорема VIII. 5.2) *).
Если же X = Rn, а ц—мера Лебега, то по той же
схеме, что и для пространства L, доказывается
сепарабельность L2. Именно, то самое счетное множество Я,
которое было определено по ходу доказательства
сепарабельности L в VIII. 5, оказывается всюду плотным и в
L2. В прежнее доказательство этого факта для L
придется внести следующие изменения. Неравенство B7)
из гл. VIII нужно заменить на pd[i < е2/4. Множе-
Е\Ер
ство е cz Е нужно подобрать так, что Г /2Jfi<e2/16.
Ер\е
Тогда неравенство B8) из гл. VIII заменится на
\\f-g\2dn<-%r.
ер
Непрерывную функцию ср подберем так, что
ц?р [g (х) ф <р (х)] < -g^p-.
Тогда неравенство B9) из гл. VIII перейдет в
¦ ?Р
Наконец, полином Р нужно подобрать так, что
\у(х) — Р(х)\< —j== на всем Др. Тогда вместо
неравенства C0) из гл. VIII получится
||Ф-гИ2^<-^-.
*) Пространство L2 привлекло внимание математиков раньше,
чем L. Полноту V- доказал в начале XX столетия немецкий
математик Э. Фишер A875—1954),

238 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Окончательно оценку нормы ||/ — i|)|| (в пространстве/,2)
можно провести так. Имеем
М/ — -ФИ2— J|/_^,|2d|i+ J" f2dn.
ЕР Е^ЕР
По неравенству B)
l/ Jl?-<p№ + 1/ [\<9-*\2dn
13
а потому || / — т|) ||2 < -jg- е2, следовательно, || / — -ф ||< е.
§ 2. Скалярное произведение
Пространство L2 оказывается похожим на Rn не
только тем, что расстояние в L2 определяется по
формуле, аналогичной формуле расстояния между двумя
точками из Rn (лишь роль суммы переходит к
интегралу), но еще большее сходство между L2 и Rn
обеспечивается за счет введения в L2 понятия скалярного
произведения.
Определение. Скалярным произведением двух
функций / и g из пространства L2 (обозначается (f, g))
называется интеграл от их произведения
(f,g)=jfgdp. D)
в
Как доказано в предыдущем параграфе, скалярное
произведение (f, g) имеет конечное значение для любых
Если вспомнить, что в Rn скалярное произведение
двух векторов х = (|ь %2 ?п) и у = (ци ц2 т)„)
определяется по формуле
п
(х, у) = 2 iMt, E)

§2)
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
239
то ясно, что формулу D) можно рассматривать как
аналог формулы E), получаемый за счет замены конечного
числа координат векторов бесконечным множеством
значений функций, а суммы — интегралом. Впрочем,
пространство L2 можно трактовать не только как
некоторый аналог пространства Rn- Если пространство Ьб
построить на множестве Е, состоящем из п точек, причем
мера ц в? задана так, что для каждого одноточечного
множества мера равна 1, то Le превратится в /?„,
причем общая формула D) как раз и перейдет в формулу
E). Таким образом, /?„ оказывается частным случаем
пространства L2.
При рассмотрении скалярного произведения (f, g)
элементы fug часто называются его сомножителями.
Ясно, что если в скалярном произведении любой из его
сомножителей заменить эквивалентной функцией, то на
величине скалярного произведения это не отразится.
Из определения сразу вытекают следующие свойства
скалярного произведения:
а) (/, g) = (g, f);
б) (f + *,A) = (/,A) + te,ft);
в) (с/> §) — c(f> S) (c — любое вещественное
число)*),
г) (f. f) ^ О ДЛЯ любой f e L2, причем (f, f) = О
тогда и только тогда, когда f = 0.
Свойства б) и в) представляют частный случай
более общей формулы:
ik I \ k i
(дистрибутивность скалярного произведения).
Неравенство Буняковского может быть записано в виде
(f, ?J<ИЛ12Ш2
или
10, ?I<ШШ. F)
Ясно, что норма и скалярное произведение в L2 связаны
соотношением
п/||=у7Г7Г G)
*) Свойства б) и в) справедливы и по отношению ко вторым
сомножителям.

240 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Всякое банахово пространство, в котором любым
двум его элементам fug сопоставлено вещественное
число, называемое их скалярным произведением,
обозначаемое (/, g), причем выполнены свойства а)—г), а
норма любого элемента выражается через скалярное
произведение по формуле G), называется вещественным
гильбертовым пространством*). Таким образом, I? —
вещественное гильбертово пространство.
Покажем, *что скалярное произведение —
непрерывная функция своих аргументов, т. е. если fh-*f, a gh-*g
по норме в Ь, то (//(, gh) -* (/, g).
Действительно, благодаря дистрибутивности
скалярного произведения имеем тождество
(/*. 8к) — (/. §) = (/* — /. §k) + if, ek — g).
Так как нормы элементов gh в совокупности ограничены
(поскольку gh образуют сходящуюся последовательность,
см. III. 6), И^йИ^С.при всех к, то по неравенству F)
\(fk-f,'gk)\<\\fk-f\\\\gk\\<C\\fk-f\\^0,
К/, gk-g)\<\\f\\\\gk-g\\->0,
откуда (/ь gk) -> (/, g).
Непрерывность скалярного произведения позволяет
установить, что оно обладает свойством
дистрибутивности и по отношению к сложению бесконечного
множества слагаемых (о бесконечных рядах см. III. 6). Имен-
оо
но, если /=2/*> a g — произвольный элемент из L2, то
if, g) = Hm (J] ft, g) = lim ? (fu g) = ? (ft, g). (8)
Определение. Две функции f и g из Lb
называются ортогональными на множестве Е (обозначение:
fig), если (/, g) =0.
Из свойств скалярного произведения непосредственно
вытекает:
*) По имени знаменитого немецкого математика Д.
Гильберта A862-1943).

S 2]
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
241
1) нулевой элемент 8 ортогонален любой функции
feL2;
2) f I f только в том случае, когда f = 0;
3) если / = 2с(/г (сумма содержит конечное или
i
счетное множество слагаемых), a g A. fi при всех i, то
g J. / (в случае счетного множества слагаемых вытекает
из формулы (8));
4) если множество А всюду плотно в L2, a f
ортогональна каждой функции из А, то f = 0. Действительно,
по определению плотного множества, / == 1 im ^a, где
fh e А. По непрерывности скалярного произведения
(/, /) = lim (/, /й), откуда и следует, что / = 0.
В L2 верна обобщенная теорема Пифагора: если
/ = 2 /; (сумма может содержать конечное или счетное
i
множество слагаемых) и все элементы fi попарно
ортогональны, то
II /II2= 2IIUII2-
i
Действительно, благодаря дистрибутивности
скалярного произведения
Ш2=(/, /) = Bи, 2 /,) = 22(/i,f,).
Ho (//, //) = 0 при i ф j, и потому
i i
oo
Теорема IX. 2.1. Для того чтобы ряд 2/ь
г"=1
составленный из попарно ортогональных элементов,
сходился (по норме), необходимо и достаточно, чтобы
оо
сходился числовой ряд 2 II ft II2-
оо
Доказательство. Если ряд 2 fi сходится, то
(=1
со
и ряд 2 II/ill2 сходится по теореме Пифагора.

242 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Обратно, пусть сходится числовой ряд 2 II U II2- Поло-
k
жим sft= 2 fi- При / > k
I
st — $k — 2j ft,
и по теореме Пифагора
\\si-sk\\2= 2 II fi II2.
i=k+l
Отсюда видно, что \\st — sfe||->0 при k, /->oo, т. е.
последовательность {sk} — фундаментальная. Вследствие
OO
полноты пространства L2 существует lim sk, т. е. ряд 2 ft
сходится.
§ 3. Ортогональные ряды
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о
разложении функций из L2 в ортогональные ряды, т. е. ряды,
составленные из функций, попарно ортогональных между
собой. При этом, говоря о сходимости рядов, мы все
время имеем в виду сходимость в среднем 2-го порядка,
т. е. сходимость по норме в пространстве L2.
Определение. Система функций фь ф2,
..., фг-, ... из LE (конечная или счетная) называется
ортонормированной на множестве Е, если фг -L ф3- при
i ф /, а ||фг|| = 1 при всех L -
Мы рассматриваем дальше только бесконечные орто-
нормированные системы и не оговариваем это каждый
раз. Множество Е считаем в дальнейшем
фиксированным.
Если функции t|>t попарно ортогональны на
множестве Е и отличны от 8 (система таких функций
называется просто ортогональной), то функции фг- = 1|зг7||1|з,-||
образуют ортонормированную систему.
Важным примером ортонормированной системы на
промежутке [—я, л] из /?i может служить известная

§ 3]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
243
тригонометрическая система функций
1 11. 1 ,
—7=, —7=cos x> ^=Sin?, ..., —=zr COS ЙЯ,
—p= sin kx, ... (9)
На промежутке [—1, 1] ортонормированную систему
образуют полиномы
""W-^r/Mfr^^-1«*). (Ю)
В квадрате [—л, я; —я, я] cz R2 ортонормированную
систему можно составить, например из функций
— cos /j|j sin /|2 (k, 1=1, 2, ...).
Ортогональные ряды обладают следующим важным
свойством: если {ф,}— ортонормированная система
функций из L2, а функция f представлена в виде
оо
/= 2 «гфг (как обычно, сумма ряда понимается
в смысле сходимости по норме), то коэффициенты
a,i определяются единственным способом, а именно
а1=(/,Ф<) (/=1,2,...).
Действительно, благодаря дистрибутивности
скалярного произведения имеем для любого /= 1, 2, ...
(/, Ф/) = 2 а, (Фь ф;) = а,1| ф/1|2 = а/.
(=i
Определение. Пусть задана ортонормированная
система функций {фг} из L2. Для произвольной функции
f из L2 скалярные произведения (f, фг-) (i = 1, 2, ...)
называются ее коэффициентами Фурье (относительно
оо
заданной ортонормированной системы), а ряд 2 а<Ф*1
где а,- = (/, фг) (/ = 1, 2, ...),—рядом Фурье функции/.
*) См. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. II, 1959, п° 320. Указанные полиномы
i/fe+ 1
лишь множителем I/ —~ отличаются от широко применяемых.
в математике полиномов Лежандра Р*.

244 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Теорема IX.3.1. Ряд Фурье любой функции f из
I? сходится по норме. Для того чтобы его сумма совпала
(в пространстве L2) с f, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
со
Ш2=2<х2 (П)
1=1
(си — коэффициенты Фурье функции f).
Доказательство. Для произвольного
натурального k положим
k
? = /— 2 а»Фг-
Тогда для любого /=1, 2, ..., k
k
(g, Фу) = (/> Ф/) — 2 ai (Фь Фу) = «у — аУ II Фу II2 = °>
т. е. g ортогональна всем q>j (j = 1, 2, ..., k). Теперь из
k
представления / в виде / = g + 2 <хгф,- с помощью тео-
ремы Пифагора вытекает, что
llfll2=llgll2+2 4
'='
k
Следовательно, 2 a? ^s II/II2 при любом k, откуда видно,
(=1
оо
что ряд 2 а? сходится и что
(=i
оо
2а2<||/||2. A2)
со
Тогда, по теореме IX. 2.1 ряд 2 <*;Фг сходится по норме.
i=i
00
Если / = 2 ai4>t, то равенство A1) вытекает из тео-
i=i
ремы Пифагора. Обратно, пусть дано равенство A1).
оо
Положим /? = / — 2 сс,-ф;. Как и выше (для функции g),
i=i
легко убеждаемся, что h _L ф; при всех /, а тогда, снова

§ 3]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
245
с помощью теоремы Пифагора,
II/ II2 = 11 h II2 +S<x?.
Поскольку равенство (И) выполнено, h = 9, т. е.
00
/= 2 а<Ф<- Теорема полностью доказана.
/=|
Попутно мы установили, что для любой функции
[ei2 справедливо неравенство A2), которое
называется неравенством Бесселя'*). Равенство A1),
представляющее частный случай соотношения A2),
называют уравнением замкнутости.
Следующая важная теорема получается как простое
следствие из предыдущих результатов.
Теорема IX. 3.2 (Ф. Рисе —Э. Фишер). Пусть
{ср,} — ортонормированная система функций из L2, а
оо
числа at таковы, что ^ а2. < + °°- Тогда:
оо
1) ряд 2 «гФг сходится в среднем 2-го порядка к не-
(=1
которой функции f из L2;
2) а,- суть коэффициенты Фурье этой функции;
3) для f выполнено уравнение замкнутости.
оо
Действительно, сходимость ряда ^ а(фг вытекает
<=1
из теоремы IX. 2.1, а тогда этот ряд, в силу
единственности разложения, и будет рядом Фурье своей суммы.
Уравнение замкнутости выполняется на основании
теоремы IX. 3.1.
Определение. Ортонормированная система
функций {ф;} с L2 называется полной, если в V- не
существует функции, отличной от 6 и ортогональной всем ср,-.
Ясно, что если из полной системы удалить хотя бы
одну функцию, то оставшаяся система уже не будет
полной.
Если система {фг} полна, то в L2 не существует двух
различных (т. е. не эквивалентных между собой)
функций, имеющих один и тот же ряд Фурье. Действительно,
*) Ф. В. Бессель A784—1846) — немецкий астроном.

246 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ И~Л. IX
если две функции f и g имеют одинаковые системы
коэффициентов Фурье, то их разность ортогональна всем фг-
и потому / — g = 0.
Теорема IX.3.3. Для того чтобы ортонормирован-
ная система {фг} обладала тем свойством, что для любой
функции f из L2 ее ряд Фурье (построенный по данной
системе) сходится в среднем 2-го порядка к этой же
функции f, необходимо и достаточно, чтобы система {ф,}
была полной.
Доказательство. Пусть система {фг} полна. Беря
/ei2 и вводя функцию h так же, как это сделано по
ходу доказательства теоремы IX. 3.1, мы увидим, что,
благодаря полноте системы {ф,}, h = 0. Это и значит, что
/ — сумма своего ряда Фурье.
Если система {фг} не полна, то в L2 существует
функция /, отличная от Э и ортогональная всем фг. Для этой
функции все ее коэффициенты Фурье равны 0,
следовательно, сумма ряда Фурье равна 0 и тем самым
отлична от f.
Докажем, что тригонометрическая система (9) полна
в пространстве L2, построенном на отрезке [—я, я]. Для
этого сначала установим, что множество Т всех
тригонометрических полиномов
Р (х) = а0 + 2 (<*k cos kx + bk sin kx)
A—i
ВСЮДУ ПЛОТНО В L\-n,n]-
Возьмем любую функцию / из L\-„, „]. Зададим
произвольное е > 0 и подберем непрерывную функцию g
на отрезке [—л, я] так, что \\f — g\\ < е/3.
Существование такой непрерывной функции вытекает из
доказательства сепарабельности пространства Le (при Е с Rn)
в IX. 1*). Пусть при этом |g(*)l < М. Возьмем поло-
е2
жительное число б < ^&м2 и такое, что одновременно
6<2я.
*) Поскольку множество Е, на котором сейчас построено
пространство L2, — конечный отрезок, то алгебраические полиномы с
рациональными коэффициентами образуют совокупность, всюду
плотную в L2 (см. подстрочное примечание на стр. 212),

§ 3]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
247
Введем непрерывную функцию h, полагая
h(x) = g (х) при — я ^ л: <! я — б,
h(n) = h (— я) = g (— я),
и определим h(x) на промежутке (я — б, я) по закону
линейного интерполирования. Тогда и \h(x)\<cM, a
f я-б
-Л|| = 1/ |?(*)-А(*)Р<** <1ЛШ26 <
в
По теореме Вейерштрасса существует
тригонометрический полином Р, для которого
|AW"PWi<W
на всем отрезке [—я, я]*). Тогда легко подсчитать, что
\\h — P\\<-j. Следовательно, llf — P\\<e. Таким
образом, множество Т всюду плотно в L[-„, „].
Теперь уже легко установить полноту
тригонометрической системы (9). Если некоторая функция / е Lf_rt, Я)
ортогональна всем функциям системы (9), то она
ортогональна и любому тригонометрическому полиному, а
тогда, согласно предложению 4) из IX. 2, / = 0.
Еще проще доказывается, что система полиномов A0)
полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—1, 1].
Вообще можно доказать, что в любом сепарабелыюм
пространстве Le (с \iE > 0) существует полная орто-
нормированная система**).
Теорема IX. 3.4. Если функция f представима
00
своим рядом Фурье, т. е. f = 2 «гф» в смысле сходи-
<=1
мости по норме, то для любого измеримого множества
е cz E с \ie <. +°о
оо
/ / d\i = 2 о,{ J <pt d\x. A3)
е (=1 е
*) См. Г. М. Фихте н голь ц, Основы математического
анализа, т. II, п° 407.
**) См. Б. 3. Вулих, Введение в функциональный анализ,
«Наука», 1967, теорема 6.9.1.

248 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Таким образом, для разложения функции в ряд Фурье,
даже при отсутствии не только равномерной, но и
просто точечной сходимости, допустимо почленное
интегрирование.
Доказательство. Пусть g— характеристиче-
екая функция множества е. Тогда g e Lr и, по дистрибу-
00
тивности скалярного произведения, (/, g) = 2 a,- (ф,, g),
i=i
что и означает равенство A3).
Существование полной ортонормированной системы в
сепарабельном пространстве L2 позволяет
установить интересную связь между этим пространством и
пространством I2 (см. III. 1). Прежде всего заметим, что
пространство I2 можно превратить в нормированное, если
для х — {?,•} положить
11*11=1/ 111
Г i=i
Проверка выполнения аксиом нормированного
пространства не представляет труда. В частности,
неравенство треугольника для нормы превращается в
неравенство Коши для бесконечных последовательностей (см.
формулу A) из гл. III). Алгебраические операции в
пространстве 1г, как и во всяком пространстве
последовательностей, были определены еще в III. 6.
Пусть функции ф; (г=1, 2, ...) образуют полную
ортонормированную систему в L2. Возьмем любую
функцию fei2 и сопоставим ей последовательность ее
коэффициентов Фурье a.i = (f, фг). Согласно неравенству
Бесселя A2) последовательность чисел а* представляет
элемент из пространства I2, т. е. а = {аг} е I2. При этом
из теорем IX. 3.3 и IX. 3.1 сразу следует, что II/]] = ||а||.
Таким образом, мы установили отображение
пространства L2 в пространство Р, сохраняющее норму.
Из теоремы Рисса — Фишера (IX. 3.2) сразу следует,
что указанным способом пространство L2 отображается
на I2, т. е. что каждая последовательность а из I2
служит образом некоторой функции / е L2. Кроме того,
благодаря полноте системы {ф;} построенное
отображение взаимно однозначно, т. е. по каждой
последовательности а = {а*} е I2 функция, для которой заданные

§ 4]
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ?2
249
числа а,- служат коэффициентами Фурье, определяется
единственным образом с точностью до эквивалентности.
Установленное взаимно однозначное отображение
пространства V- на I2 обладает еще следующими
свойствами:
а) если f, g e L2, а а = {ос,} и Р =
{рЛ—последовательности их коэффициентов Фурье (соответственно),
то сумме / + g соответствует сумма а + Р = {«г + Р;};
б) если /ei2, а — соответствующая ей
последовательность, а с — вещественное число, то функции cf
соответствует последовательность са — {ссц}.
При наличии взаимно однозначного отображения од-
ного1 нормированного пространства на другое,
сохраняющего норму и обладающего отмеченными выше
свойствами а)—б), говорят, что эти пространства
алгебраически изоморфны и изометричны.
Таким образом, мы показали, что сепарабельное
пространство L2 и пространство I2 алгебраически изоморфны
и изометричны.
В пространстве I2 можно ввести скалярное произве-
Оо
дение по формуле (а, Р)=2а/Р< (оно будет обладать
t=i
свойствами а)—г), отмеченными в IX. 2). При этом
нетрудно проверить, что для любых {, g e L2 и
соответствующих им а, р е I2 справедливо равенство
if, 8) = (а, Р).
§ 4. Линейные функционалы в L2
Пусть в скалярном произведении (/, g) второй
сомножитель g зафиксирован, а первый пробегает все
пространство L2. Тогда такое скалярное произведение можно
рассматривать как функционал F(f) с аргументом
f e L2. По свойствам скалярного произведения этот
функционал дистрибутивен, а по неравенству Буняков-
ского
1^ (/Ж II/IIII г II.
Следовательно, функционал F ограничен. Тогда по
теореме III. 7.2 этот функционал линеен, a \\F\\ ^. ||g||.

250 ФУНКЦИИ, СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Покажем, что на самом деле справедливо точное
равенство \\F\\ = \\g\\. Действительно, при / = g мы имеем
F(g) = (g, g) = \\g\\2 = \\g\\\\g\\.
Отсюда следует, что НЛ1 ^ \\g\\, что вместе с
предыдущей оценкой и дает требуемое равенство.
Оказывается, что верен и обратный результат, т. е.
что всякий линейный функционал F в пространстве L2
представим в виде скалярного произведения (f, g) при
надлежащем подборе элемента g. Предварительно мы
докажем одну лемму.
Лемма IX. 4.1. Если F — линейный функционал в
L2, отличный от тождественного нуля, а Н —
совокупность всех f e V-, для которых F(f) = 0, то в L2
существует функция h =f= 0, ортогональная всем feff*).
Доказательство. Так как функционал F
отличен от тождественного нуля, существует функция ф е L2,
не входящая в Я. Положим
d= inf||/-«p||
fe=tf
и докажем, что эта грань достигается, т. е. существует
/0 е Н, для которой ||/0 — qp|| = d. С этой целью для
каждого натурального п подберем f„eff так, что
Win — 4>\\<dm где dn = d-\—. Покажем, что
последовательность {/„} — фундаментальная.
Элементарным подсчетом проверяется, что для
любых и, t/ei2
||u + f||2 + ll"-f||2 = 2(||«||2 + ||t>||2).
Подставляя в это равенство «==/„ — ф, v = fm — ф,
получим
11(/„ + /т)-2ф||2 + ||/„-/т||2 = 2(||/„-ф||2 + ||/т-ф||2).
' (И)
*) Эта лемма верна и в том случае, если Я — любое
замкнутое линейное подмножество в L2, отличное от L2,

§ 4]
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ?»
251
Но
(/„ + /т)-2ф = 2[4(/„+/т)-ф],
a j(U fm)еЯ,и потому [[(/„ + fm) - 2<р || >2rf. Тогда
из A4) вытекает, что
||/*-U2<2№ + ^)-4d2ir^-o-
Теперь из полноты L2 следует, что существует fo =
= !im/n. При этом F(f0) = О благодаря непрерывности
F, т. е. /о е= Я. При любом п
rf<ll/»-9ll<rf«.-
Используя непрерывность нормы и переходя в этом
неравенстве к пределу, мы сразу получим, что И/о — <р||= d.
Теперь положим h = fQ — ф и докажем, что hLf
для любой функции /е//, При этом h Ф 0, так как
(рёЯ. Если f = 0, то соотношение /t J_ f тривиально.
Поэтому будем дальше считать, что f ф 0. При любом
вещественном % функция fo — А/ей и потому
||/г_Я/|р = ||(/0-Я/)-ф||2>^г. A5)
Так как ||А|| = d, то непосредственный подсчет
показывает, что
\\h-kf\\2 = d2-2X(h, /) + Ш|р,
откуда, благодаря A5), следует, что
/t2||/||2-2A(A, П>0. A6)
Возьмем Я = ., ''2 . Тогда из A6) вытекает, что
что возможно лишь при (ft, f) =0, т. е. действительно
ft J_ f. Лемма доказана.
Теперь уже легко установить следующую теорему об
общей форме линейного Функционала в L2.

252 ФУНКЦИИ. СУММИРУЕМЫЕ С КВАДРАТОМ [ГЛ. IX
Теорема IX.4.1 (М. Фреше —Ф. Рисе). Общая
форма линейного функционала в пространстве s L2
(т. е. Le) дается формулой
F(f)=jfgdii, A7)
Е
где g тоже входит в L2. При этом
l|/l=l/jV^. A8)
а функция g определяется по функционалу F
единственным образом (с точностью до замены на
эквивалентную функцию).
Доказательство. Выше мы уже установили, что
если get2, то формула A7) дает линейный функционал
в L2 и при этом выполнено равенство A8).
Пусть теперь F — произвольный линейный
функционал в L2. Если F(f) s= 0, то F представим по формуле
A7) при g(x) == 0. Пусть далее функционал F не
является тождественным нулем. Применим предыдущую
лемму и возьмем функцию h ез L2, существование
которой установлено в этой лемме. Если, как и в лемме,
H = L*[F(f) = 0],
то для любой f <= L2
F(f)h-F(h)fe=H,
а потому скалярное произведение
(F(()h-F(h)f,h) = 0.
Вычисляя левую часть, находим
F(f)\\h\?-F(h)(f, К) -0,
откуда
/чп-•?$¦(/. а).
Если теперь положить
F(h) ,
8 i/*ip

§ 41 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ П V 253
мы сразу получим, что
F(f) = (f,g),
т. е. представление функционала F по формуле .A7)
доказано.
Остается проверить единственность функции g. Пусть
g\ Ф ft- Рассмотрим функционалы
Fi(f) = (f,gi)
/72(f) = (f,g2).
Для fQ = gi — g2 имеем
fi (fo) ~ F2 (fo) = (ft ~ ?2, gi - ft) = II ft - ft IP > 0;
тем самым F\ (f0) ф F2(fo), следовательно, функционалы
F] и F2 не совпадают.

ГЛАВА X
ПРОСТРАНСТВА L"
§ 1. Определение пространств Lp. Основные неравенства
В этой главе мы рассмотрим пространства,
представляющие прямое обобщение пространства функций,
суммируемых с квадратом. Пусть, как и в предыдущей главе,
X — пространство с мерой \а, а Е — некоторое
фиксированное измеримое множество из X, и пусть еще задано
число р> 1. Обозначим через V (точнее, Ьв)
совокупность всех функций /, измеримых и почти всюду
конечных на множестве Е, для которых
||ПР^ < + <*>*)•
Е
В множестве V отождествляем функции, эквивалентные
между собой. В дальнейшем считаем, что каждый
элемент из f изображается функцией с конечными
значениями.
Легко проверяется, что множество Lp — линейное.
Действительно, если f^Lp, то включение cf^Lp при
любом постоянном с очевидно. Пусть /, g e V. Положим
El = E[\f(x)\^\g(x)\], E2 = E\Et.
Тогда для ie?, имеем
\Ш + g(*)f <(\f (*)\ + \ gW\)p <2"\ g(x)\p,
*) Измеримость функции \f\p очевидным образом вытекает из
измеримости /.

§ П ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ПРОСТРАНСТВЕ Lp 255
а потому
\\f + gfdv<2p\\g\?d»< + oo.
Аналогично
\\f + g\"dVi<i2p\\frdvL< + <x>.
Следовательно,
j\f + gfdVL< + oo
в
и f-\-g^L".
Изучение пространства Lp оказывается тесно
связанным с рассмотрением второго пространства того же
типа — L4-, (на том же множестве ?), у которого
показатель q связан с р соотношением
Такие показатели р и q называются сопряженными.
Из A) следует, что q=—;Ц->1. Заметим," что если
р = 2, то и q = 2. Если же р ф 2, то q ф р.
Выведем неравенства, обобщающие неравенства A)
и B) из предыдущей главы. Предварительно установим
числовое неравенство
а'/у.'^^ + А, B)
Р Q
справедливое для любых а, Ь^О (q — показатель,
сопряженный с р).
Если хоть одно из чисел а или b равно 0, то
неравенство B) очевидно. Будем считать, что a, b > 0.
Положим т = 1/р (тогда 0 < т < 1) и рассмотрим
функцию
q>(t) = tm-mt (*>0).
Тогда (p'(t) = m(tm-1 — 1), следовательно, ф'@ > 0
при t <. 1 и ф'@ <0 при t> 1. Поэтому функция ф
возрастает в промежутке @, 1], убывает в промежутка
[1,-foo) и имеет наибольшее значение при t = 1, Таким

256
ПРОСТРАНСТВА Lp
[ГЛ. X
образом, ф@^фA) при всех / > 0, т. е. tm — mt ^
^ 1 — т или (m—i s^m(t-l). Положим t = a/b.
Тогда предыдущее неравенство принимает вид
— 1 sCm
*-')-.
откуда в результате почленного умножения на Ъ
получаем
атЬ ~т ^ та + A — т) Ь.
Но т = 1/р, а 1—т= l/q, и тем самым неравенство
B) установлено.
Теперь берем любые две функции / е!р и g^L4.
Сначала допустим, что оба интеграла
/, = J|/|"dn и I2=j\gfdix ,
Е Е
больше 0. В неравенстве B) положим
a=T-|/(*)ip, b=Ug(x)r.
'1 >2
Тогда из B) следует, что
p/l
+
I g (*) \"
}•
Так как правая часть представляет функцию,
суммируемую по множеству Е, то по теореме VIII. 3.7
произведение fg тоже суммируемо и при этом
fgd\i
<Г- IlIPlVl( l _L '
:/Ж
Это неравенство верно и в том случае, если 1\ или h
равно 0, так как тогда f или g эквивалентна нулю.
Таким образом, для любых двух функций /el/ и g^Lq
произведение fg суммируемо и при этом справедливо
неравенство
\fgd» <fJ|/|prfliY/4j|g|'rfn,/', C)

§ I] ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ПРОСТРАНСТВЕ Lp 257
называемое неравенством Гёльдера*). Неравенство Бу-
няковского (неравенство A) из гл. IX) —частный случай
неравенства Гёльдера.
Пусть теперь / и g— любые две функции из V.
Положим
h = \\\fd^ h=\\g\pd\i, /=/|/ + $Р*|1
Е Е Е
и докажем, что
7i/P</i/P + /./P> D)
В случае, когда / = 0, неравенство D) тривиально.
Будем считать, что 1ф0. Пусть q — показатель,
сопряженный с р. Так как \f-\-g\p суммируема, то
\f-\- g\p/i ^ Lq. Заметим, что p/q = р— 1.
Далее
\f(x) + g(x)f^(\f(x)\ + \g(x)\)\f(x) + g(X)\p-\ E)
Применяя теперь неравенство Гёльдера к
произведению |/||f + g|p-1 и учитывая, что (р—\)q = p,
получаем, что
$\f\\f + gf-ldli^lllPIll<'.
Е
Аналогично
j\g\\f + grldn^lllpIll'>.
Е
Тогда из E) вытекает, что
/<(/i/P + /2/P)/1/G.
а это приводит к неравенству D). Таким образом, для
любых двух функций /, gelp справедливо неравенство
{\\f + g\pd»y^(\\ird^lp + (\\g\^»y,
*) О. Л. Гель дер A859—1937)—немецкий математик.
9 Б. 3. Вулих

258
ПРОСТРАНСТВА l"
[ГЛ. X
называемое неравенством Минковского*). Неравенство
треугольника в L% — частный случай неравенства
Минковского.
В множестве V вводим норму, полагая
11/11 = ^1/1"^
Ир
Неравенство Минковского превращается в неравенство
треугольника. Выполнение прочих аксиом нормы в V
очевидно и, следовательно, L" оказывается
нормированным пространством. Его называют пространством
функций, суммируемых с р-й степенью.
Заметим, что в определении пространства V можно
считать, что р ^ 1. При этом в случае, когда р = 1,
пространство Lp превращается в то пространство L
суммируемых функций, которое рассматривалось в VIII. 5.
Теорема X. 1.1. Если цЕ < + оо, то из неравенства
s>r^:{ вытекает, что LsczLT. При этом для любой
fe=Ls
||f||ir<(n?f^l/||?S**). F)
Доказательство. Положим p = sjr. Тогда
сопряженный показатель q = s/{s — r). Если fels, то
функция \f\r входит в V. В то же время, поскольку
\iE <. +00, любая постоянная (на множестве Е) входит
в L". Тогда произведение функции \f\r на любую
постоянную суммируемо на Е. В частности, суммируема
сама функция |/|г; тем самым /eLr. Кроме того, по
неравенству Гёльдера
= ^Er^(\\ffd^s.
*) Г. Минковский A864—1909)—немецкий математик и
физик.
**) Как и в гл. IX, здесь в обозначении нормы указывается
пространство, в котором вычисляется эта норма.

§ 2]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ
269
Возводя обе части последнего неравенства в степень с
показателем —, мы приходим к неравенству F).
Соотношение fh~*f по норме в пространстве Lp
означает, что
j\fk-ffdv-+0.
Е
Такая сходимость называется сходимостью в среднем
р-го порядка.
Следующие теоремы представляют прямое обобщение
теорем, доказанных в IX. 1 для пространства L2. Мы
ограничимся лишь формулировками теорем, поскольку
их доказательства совершенно аналогичны
доказательствам соответствующих теорем из IX. 1.
Теорема IX. 1.2. Если /й-*/ по норме e^.Lp, то
Теорема X. 1.3. Если \лЕ < +оо, a s>r^l, то
из сходимости fh—*f no норме в V следует, что fk-*f no
норме в V, т. .е. из сходимости в среднем некоторого
порядка вытекает сходимость в среднем любого более
низкого порядка к той же предельной функции *).
Теорема X. 1.4. Lp при любом р~^\—банахово
пространство.
Если же Е с'Х = Rn, а \х, — мера Лебега, то
пространство Le сепарабельно.
§ 2. Интегральные средние
Если пространство U построено на множестве Е, для
которого 0 < цЕ < +оо, то для каждой функции /st'
имеет смысл интегральное среднее r-го порядка ее
модуля
^(/)=|-^/|/г^Г. G)
*) Мы определили лишь сходимость в среднем с
показателями р :> 1. Аналогичным образом можно ввести понятие
сходимости в среднем и для случая, когда 0 < р < 1. Однако такая
сходимость уже не может быть охарактеризована как сходимость
по норме. Это связано с тем, что для показателей р < 1 теряет
силу неравенство Минковского.
9*

260
ПРОСТРАНСТВА Lp
[ГЛ. X
Однако поскольку мы не исключаем случай, когда цЕ =
= +оо, мы будем рассматривать не обыкновенное
среднее, а взвешенное. Именно, выберем некоторую
ограниченную функцию а, суммируемую на множестве Е и
такую, что а{х) >0 при всех х^Е. Тогда при каждом
г ^ 1 произведение a|f|r суммируемо для любой /el/.
Взвешенное среднее для модуля функции f определим по
формуле
Ja|f|'d|i
в
Mr(f) =
a й\х,
I/r
(8)
При таком определении среднего функция а называется
весовой. Ясно, что среднее, определяемое формулой
G),— частный случай взвешенного среднего и
получается из (8), если а(х) =з 1 (а цЕ < -Ь°о).
Для сокращения дальнейших записей введем новую
весовую функцию
Р(*)- а(х) ~
a dp
Тогда Грйц = 1, а из формулы (8) следует, что
AU/) =
Hei/r
\Е
d\i
Ur
т. е. взвешенные средние, вычисленные с помощью
функций а и. р\ совпадают.
Взвешенные средние Mr(f) можно рассматривать и
для любой функции, измеримой на множестве Е,
однако, если / ШЬГ, то не исключено, что Mr(f) = +оо.
Теорема Х.2.1. Если 1 < г < s, то Mr(f) ^ Ma(f)
для любой функции f, измеримой на множестве Е.
Доказательство. Если Ms(f) = +°°. то
утверждение, содержащееся в теореме, тривиально.
Предположим, что Ms(f) < +оо. Пусть p = s/r, а q —
показатель, сопряженный с р. Представим произведение
p|f|r в виде
Plfl
^pi/iW7.

§2]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ
261
При этом первый сомножитель из правой части входит
в V, а второй — в V. С помощью неравенства Гёльдера
имеем
(AUW= J PI/Г<*и<
Б
Отсюда сразу следует, что MT(f) ^ Ms(f), ч. т. д.
Дополняя определение существенной верхней
грани, введенное в VIII. 5, условимся считать, что
vrai sup \f{x) | = +oo, если функция / не является
ограниченной почти' всюду.
Теорема X. 2.2. Для любой функции f, измеримой
на множестве Е,
Af,(f)-75+=*vraisup|/(x)|. (9)
Доказательство. Существование limMr(f)
вытекает из предыдущей теоремы. Пусть С = vrai sup | / (л;) |.
Если С^конечно, то ясно, что при любом г
То же неравенство Mr{f) ^ С тривиально, если С =
= -|-оо.
Теперь возьмем произвольное число С] < С. Тогда
найдется множество E\CzE с \х,Е\ > 0, на котором
|f(x)|>Ci. Положим
X = Г Р rf(i.
Так как $(х) > О всюду, то т > 0. Теперь ясно, что
Переходя к пределу при г—юо, получим, что

262
ПРОСТРАНСТВА Lp
[ГЛ. X
Вследствие произвольного выбора числа С\ отсюда вы
текает, что
lim Mr (/) > С.
Тем самым доказано и соотношение (9).
§ 3. Одно неравенство для повторных интегралов
Теорему, доказываемую в этом параграфе, мы установим для
интегралов по множествам, лежащим на прямой и имеющим
конечную меру. Однако получаемый результат без всякого труда может
быть перенесен на интегралы по произвольным измеримым
множествам в евклидовых пространствах любой размерности*).
Пусть Ei и Ег — измеримые множества из Ri с конечной мерой,
а множество ? = ?| X Е2, т. е. Е состоит из всех точек (gi, §2)е R2<
для которых |is?i, |ге?2. Как отмечено в VIII. 8, Е —
измеримое множество в R2 (а тогда по теореме VIII. 7.1 ц? = |i?i • цЕ2).
Используя эти обозначения, формулируем теорему.
Теорема X.3.1. Пусть на Е задана измеримая функция
filuh) >0 и пусть:
а) для почти всех %tmE\ функция /di, |г) суммируема на Е2
как функция от одной переменной \2\
б) при некотором г > 1 интеграл
J/r(ii. i2)rf|i< + oo
В,
для почти всех \2 s Е2.
Тогда
{/ (jf (&.. h)d%Xdh |1/г< J" f J r(i„ i^i.y^. (ю)
V Ei \ Et J ) E-i \ Ei I
Неравенство A0) справедливо тривиальным образом и тогда,
когда условие б) при данном г не выполнено. Ведь в этом случае
нужно считать, что правая часть A0) равна +оо. Если же
нарушено условие а), то обе части неравенства A0) равны -f-oo.
Неравенство A0) представляет интегральный аналог
неравенства для сумм (конечных или счетных)
i У '
которое в свою очередь является обобщением неравенства
треугольника для нормы в L .
*) А так же и на интегралы в произведениях пространств с
полной мерой (см. VIII. 8).

§ 3] ОДНО НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ПОВТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 263
Доказательство. Рассмотрим сначала срезки fm от
функции /. Эти срезки суммируемы на ? с r-й степенью, а потому
(см. теорему VIII. 7.2) интегралы
Ег Я,
представляют суммируемые функции от переменных |i и |г
(соответственно).
Положим
Фт(Б1)=//и(Е,.У^г
Е,
Тогда фт(gf)<тц?2, следовательно, ipmeLj, При этом
J Фгт (I,) rfii = J (чС Fi) J U Fi. 62) ^бЛ «1. (П)
Функция ср^ (li)fm(ii> I2). как ограниченная измеримая функция
на Е, суммируема на этом множестве. А тогда по теореме Фубини
J «С (Si) fm F1. h)d»2 = J <&-' F,) dti j f„ (Si. Sj) rfl2 =
= J ^82 J Фт~' Fl)/«Fl. t2)rf6i. A2)
E2 Ei
К последнему интегралу по множеству Ei применим неравенство
Гёльдера с p = rl(r — 1) (тогда сопряженный показатель q = /¦).
Получим
j<Prnl{h)fm{li,h)dh<
Ei
<ljfrm (Б,) rfl, J" ( j fm (|„ fe) rfi,J/r • A3)
Теперь из A1), A2) и A3) следует, что
J <& (Si) dSi <( J Ф^ F,) dliY/P J ( J 4 (S„ 12) dS,)'/r d|a
?1 \Ei I Ei \El I
или
( J ф; (s.)<*s>Y/r< / (J 4(Sp s2)rfi,jI/rrfi2. (H)
Таким образом, неравенство A0) доказано для срезок

264 ПРОСТРАНСТВА Lp [ГЛ. X
Возвращаемся к функции f. Положим
<p(ii)= jfiii, i»)rfi2.
в,
Согласно условию а), ф(Ы<+°° Для почти всех ii е Ex. По
свойству срезок (см. предложение а) из VIII. 4)
чРт (^i)_> чр A0 для почти всех iis Ey
При этом фт+1(?1)>фтE1) (т=1,2, ...)• По теореме Б. Леви
(VIII. 4.2)
J Фт (Б,) ^6, -ST^^ J «P" F0 rf6l-
С другой стороны, по той же теореме Б. Леви,
I fm{h>h)dlxl^± \ Г {h,l2)dlx
Ex ?,
для почти всех ?2 е ?а. Еще раз применяя теорему Б. Леви,
получим, что
U\fm (h< h) dh)l'rdh 1^> \[\f (h, h) dh)l'rdl2.
E2 \E, - I B,\E, I
Теперь уже ясно, что переход к пределу в A4) приводит к
неравенству A0).
§ 4. Линейные функционалы в V
Пусть р > 1, a q — сопряженный показатель. Если
g— некоторая функция из V, то ее произведение на
любую функцию / из Lp суммируемо, следовательно,
интеграл от этого произведения определяет функционал
в L":
F(f)=jfgdn. A5)
Е
Дистрибутивность этого функционала очевидна, а
согласно неравенству Гельдера
1^(/ЖН/1И№.
Таким образом, функционал F ограничен и по теореме
III. 7.2 он линеен. При этом || F||^|| g\\Lq, Докажем, что
на самом деле имеет место точное равенство
\\F\\ = \\g\\L4. A6)

§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В Lp 265
Доказательство необходимо только для случая, когда
№>о.
Рассмотрим функцию /, определенную на
множестве Е по формуле
!<?-'
f(x) = \g(x)risigng(x)*).
Ясно, что / измерима и |/|?/(«_1) суммируема. Но
_fe
q-\
р, следовательно, / s V. При этом
¦¦-*
Wf\\LP = (\\u\4dv>\IP=\\g\№. A7)
Далее
FW~l\g?d»*=\\g\l,.
Е
Отсюда благодаря равенству A7) следует, что
F{f)^\\f\\LP\\g\f~q
Но q — — = 1, а потому
^(/)=ll/IHgl!t».
Из этого равенства вытекает соотношение || F || ^ || g ||??,
что вместе с установленным выше противоположным
неравенством дает равенство A6).
Ф. Рисе доказал в 1910 г. (для Ее:Hi), что формула
A5) дает общий вид линейных функционалов в V.
Именно, каждый линейный функционал F в
пространстве V представим формулой A5) при надлежащем
*) Для любого вещественного числа а величина sign а
(обозначение происходит от латинского слова signum — знак)
определяется по формуле
!1, если а>0,
— 1, если а<0,
( 0, если а = 0.

266
ПРОСТРАНСТВА Lp
[ГЛ. X
подборе функции g e L"'. При этом функция g
определяется по функционалу F единственным образом с
точностью до эквивалентности. Иными словами, в
пространстве V существует единственный элемент g такой,
что
Е
Этот результат Рисса распространяется и на общий
случай, а тогда из него, в частности, получается и
теорема IX. 4.1 об общей форме линейного функционала в
пространстве /Л

ГЛАВА XI
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
§ 1. Вариации аддитивных функций множества
В этой главе мы рассмотрим обобщение интеграла
Лебега, введенное австрийским математиком И.
Радоном A887—1956). Предварительно дадим
некоторые дополнения к тем сведениям об аддитивных
функциях множества, которые были изложены в IV. 1. Во
всей этой главе конечно-аддитивные функции будем
называть просто аддитивными.
Пусть в абстрактном множестве X выделена алгебра
© некоторых его подмножеств и для всех As6 задана
аддитивная функция ф. Как и в гл. IV, будем считать,
что если ф принимает бесконечные значения, то только
одного знака. Кроме того, будем всегда предполагать,
что ф0 = 0.
Определение. Функции, построенные по
функции ф с помощью формул
<р (Л)== sup ф(В), ф_(Л)= sup {—ф(В)},
ВсА, Be® ВсА, Bi=®
М(Л) = ф+(Л) + ф_(Л) (Лев),
называются соответственно положительной,
отрицательной и полной вариациями функции ф*).
Отметим, что если функция ф ограничена, т. е.
существует такая постоянная К, что |ф(Л)| ^ К для всех
Ле®, то все три вариации функции ф имеют
конечные значения. Если ф ограничена только сверху
*) Из последующего видно, что |ф|(Л) имеет смысл для
любого А е @,

268
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
(ГЛ. XI
(соответственно снизу), то ф+ (соответственно ф_)
конечна. Верны и обратные заключения*).
Теорема XI. 1.1. Все три функции ф+, ф_ и |ф| суть
неотрицательные аддитивные функции множества на
алгебре ©. При этом, если ф(Л) конечно для некоторого
Л е ©, то
|ф|(Л) = sup {Ф(В,)-ф(В2)}. A)
Доказательство. Так как среди множеств
В а А (Л, Веб) встречается В = 0, а ф@) = О, то
Ф+(Л)^гО для любого Ае6, Кроме того, ясно, что
функция ф+ монотонна: если В с: Л, то ф+(В) ^ф+(Л).
Пусть Л; и Л2 — дизъюнктные множества из ©, а
Л =» Л^Лг. Докажем, что
Ф+(Л) = Ф+(Л,) + Ф+D»)- • B)
Если хоть одно из значений ф+(Л,) или ф+(Л2)
равно +' оо, то и Ф+(Л) = + °° (благодаря
монотонности ф+), и равенство B) в этом случае тривиально.
Будем дальше считать, что оба значения ф+ (Л,) и ф+ (Л2)
конечны.
Для произвольного В с Л (Be®) положим
Вх =ш ВЛЛ,, В2 = ВГ)Л2. Тогда В = B,UB2 и
Ф (В) = ф (В,) + Ф (В2) < Ф+ (Л,) + Ф+ (Л2).
Переходя в левой части к точной верхней границе,
получим
Ф+(Л)<Ф+(Л1) + Ф+(Л2). C)
С другой стороны, по произвольному е > 0
подбираем В)С:Л1 и В2сгЛ2 (Вь B2e<S) так, что
ф(В,)>Ф+(Л1)-|, ф(В2)>Ф+(Л2)-|.
Тогда В = Bj U В2 с: Л, а
Ф (В) > Ф+ (Л,) + Ф+ (Л2) - е.
*) Заметим, что на алгебре всякая аддитивная
неотрицательная функция с конечными значениями непременно ограничена. Это
вытекает из ее монотонности.

§ 1] ВАРИАЦИИ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВА 269
Следовательно, и
Ф+(Л)>Ф+(Л,) + Ф+(Л2)-е.
Благодаря произвольности е отсюда вытекает, что
Ф+(Л)>Ф+(Л,) + Ф+(Л2). D)
Из неравенств C) и D) следует равенство B).
Аддитивность функции ф+ доказана.
Из самого определения следует, что ф_ будет
положительной вариацией для функции —ф. А так как —ф
тоже аддитивна, то по уже доказанному
ф_—(Неотрицательная аддитивная функция. Сумма двух
аддитивных функций, очевидно, аддитивна, а потому и полная
вариация аддитивна.
Остается доказать формулу A). Если ф(Л)
конечно, то и ф(В) конечно для любого В с А (Ве6)
(см. IV. 1), а потому разность в правой части формулы
A) имеет смысл. Для произвольных Ви 52 a A
(Вь-б2еE) имеем
Ф (В,) - Ф (В2) < Ф+ (Л) + Ф_ (Л) -1 Ф | (Л). E)
С другой стороны, по произвольным числам 1Х < ф+ (Л)
и 12 < ф_ (Л) найдутся такие Blt B2cz A (Bu B2 e S), что
Ф (?,)>/„ -Ф(В2)>/2.
Тогда
ф(В,)-ф(В2)>/1 + /2.
Сопоставляя это неравенство с E) и учитывая
произвольность 1\ и /2, мы и приходим к формуле A).
Теорема XI. 1.2. Всякая ограниченная сверху или
снизу аддитивная функция множества ф, заданная на
алгебре <5, представима в виде разности двух
неотрицательных аддитивных функций множества.
Доказательство. Мы покажем, что имеет
место равенство
Ф=.Ф+_Ф_. F)
Эта формула называется разложением аддитивной
функции по Жордану. Проведем доказательство для
функции ф, ограниченной снизу.

270
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Так как в наших условиях функция ф_ конечна, то
равенство F) равносильно тому, что ф+(Л) = ф(Л) +
+ Ф_(Л) для любого Леб. Если ф(Л)=+°°, то и
Ф+(Л) «= -}- оо, и предыдущее равенство тривиально.
Если же ф(Л) < +°°. то имеем
Ф(Л) + Ф_(Л) = Ф(Л)+ sup {-Ф(В)} =
BczA, Beg
= sup {ф(Л) —ф(В)} =
В<=А, Ве@
«= sup {ф(Л\В)}= sup {Ф(В')}*) = Ф+(Л).
Полная вариация функции ф может быть
определена и по формуле
|ф|(Л)-5ир2|Ф(Л()|, G).
где точная верхняя граница берется по всевозможным
разбиениям множества А на конечное число
дизъюнктных множеств Ai^<S>.
Действительно, если ф(Л)=±оо, то |ф|(Л)=+°°,
а в каждом разбиении по крайней мере одно из
значений ф(Лг) = ± оо; тогда равенство G) тривиально.
Будем дальше считать, что ф(Л) конечно. В этом
случае для любого разбиения множества Л на конечное
число дизъюнктных множеств Л* объединим в одну
группу все те множества Л,-, на которых ф(Лг) > 0, а
во вторую — все те, на которых ф(Л,) < 0. Обозначим
через Bi объединение всех множеств из первой группы,
а через В2 — из второй. Тогда, с помощью формулы
A), имеем
2|ф(Лг)|-ф(Б,)-ф(В2)<|ф|(Л).
Следовательно, если через М обозначить правую часть
формулы G), то и
М<|Ф|(Л). (8)
*) Когда В пробегает все подмножества из А, входящие в @,
В' — А\ В тоже пробегает все подмножества из А,
входящие в @.

§ 1] ВАРИАЦИИ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА 271
С , другой стороны, по произвольному числу
/<|ф|(Л) подберем Вь В2 с= Л (Ви B2 e ©) так, что
ф(В,)-ф(В2)>/. (9)
Положим В = В, П В2, Л! == 5, \ В, Л2 = В2 \ В. Все эти
множества входят в © и Л!ПЛ2=0. При этом
Ф(Д,) = Ф(В) + ФМ,), Ф(В2) = Ф(В) + ф(Л2). A0)
Положим еще А3 = A\(Al\J А2). Теперь из (9) и A0)
следует, что
/<ф(Л1)-ф(Л2)<|ф(Л1)| + |ф(Л2)| + |ф(Лз)|<М.
Благодаря произвольности / отсюда вытекает
неравенство, противоположное (8), а вместе с тем и равенство G).
Формула G) позволяет указать другой подход к введению
положительной, отрицательной и полной вариации
ограниченной аддитивной функции множества. Сначала по формуле G)
можно определить полную вариацию и с помощью некоторых
несложных рассуждений доказать ее аддитивность. После этого
положительная и отрицательная вариации могут быть определены
формулами
Ф+ = " (I Ф I + Ф). Ф_ = J (I Ф I - Ф)-
Теорема XI. 1.3. Если функция ф
счетно-аддитивна на алгебре <&>, то все три ее вариации ф+, ф_ и |ф|
тоже счетно-аддитивны.
оо
Доказательство. Пусть A=\J Ait причем Л
и все Ai входят в 6 и Л| дизъюнктны. Из конечной
аддитивности и монотонности ф+ вытекает, что для
любого k
2ф+(^)=ф+(.УЛг)<ф+(Л)'
а тогда и
;|ф+(Л,.)<ф+(Л). A1)
Возьмем произвольное fie Л (Be©) и положим
оо
Bi = B[\Ai (i=l,2,...). Тогда B={jB*, причем

272
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
1ГЛ. XI
Bi e © и они дизъюнктны. Отсюда следует, что
оо оо
ф(В) = 2ф(я«)<2ф+(А)-
i=i (=1
Переходя в левой части к точной верхней границе, мы
получим, что
Ф+М)<2ф+(Л,)- A2)
Из A1) и A2) и вытекает счетная аддитивность
функции ф+. Одновременно доказана и счетная
аддитивность функции ф-, так как ср_ — положительная
вариация для —ф. Тогда и | ф | = ф+ -f- ф_ тоже
счетно-аддитивна.
В двух последующих теоремах © предполагается
сг-алгеброй.
Теорема XI. 1.4. Если функция ф с конечными
значениями счетно-аддитивна на а-алгебре ©, то она
ограничена.
Доказательство. Допустим, что
sup |ф(Л)| = + оо,
АсХ, Лее
и положим At = X. Тогда найдется такое ВаАи для
которого |фE) | > j ф (у! i) |-f 1. Отсюда уже будет
следовать, что
1ф(л,\вI>1ф(ВI-1фМ.I>1.
Обозначим через А2 то из множеств В или Ai\B, на
совокупности подмножеств которого (входящих в <5)
функция ф не ограничена. Таким образом,
sup 1ф(Л)| = +оо,
Ас:Д2, As®
а |ф(Л,)-ф(у!2)|>1.
Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную
убывающую последовательность множеств Лпе® так,
что
|ф(Ля)-фD,+,Л>1

§ 1] ВАРИАЦИИ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА 273
при каждом /1=1, 2, ... Так как ® — ст-алгебра, то
00
А= f\ Л„еЗ (см. 1.7) и, по теореме IV. 1.2, ф(Л„)->
->ф(Л). Но это противоречит предыдущему неравенству.
Тем самым теорема доказана.
Следствие. Если счетно-аддитивная функция ф,
заданная на а-алгебре ©, а-конечна*), то ее полная
вариация |ф| (а вместе с ней ф+ и ф_) тоже а-конечна.
Действительно, если ф а-конечна, то по доказанной
теореме пространство X представимо в виде счетного
объединения таких множеств Хп, что при каждом п
функция ф ограничена на той части а-алгебры ©,
которая содержится в Хп.
Теорема XI. 1.5. Если функция ф
счетно-аддитивна на а-алгебре €> и не принимает значения +оо
(соответственно—оо), то она ограничена сверху
(соответственно снизу).
Доказательство. Рассуждая от противного,
допустим, что счетно-аддитивная функция ф не принимает
значения -+-°о, но не ограничена сверху. Тогда
существует такое множество /4ie®, что ф(Л])> 1. Так как
при этом <р(А{)ф +оо, то (f(Ai) конечно,
следовательно, ф(Л) конечно и при любом АаАх (Деб), и
потому по предыдущей теореме ф ограничена на той
части сх-алгебры ©, которая содержится в А\. Но тогда ф
не может быть ограничена сверху на тойхчасти ст-ал-
гебры ©, которая содержится в Л\ЛЬ Следовательно,
существует такое множество A2czA\A^ (Л2е@), что
ф(Л2)> 1. Затем аналогично найдем А3аА \(Л] О А2)
(Л3е©), на котором ф(Л3)> 1, и этот процесс может
быть продолжен до бесконечности. В результате мы
построим последовательность дизъюнктных множеств
Л,-е© (i = 1, 2, ...), на каждом из которых ф(Л,)> I.
оо
Положим В= (J At. Так как © — о-алгебра, то 5е®.
z=l
*) а-конечность функции q>, заданной на алгебре ®, означает
оо
то же, что и для меры: X = \J Хп, где Хп е © и ф (Хп) конечно
при каждом, п.

274
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
При этом ф(В) = 2 фМ/) = + °°> что противоречит
(=1
условию. Тем самым предположение о
неограниченности ф сверху опровергнуто.
Приведем примеры. 1) Пусть ц — 0-конечная мера
в X, заданная на а-алгебре ©, и на измеримом
множестве Е<^:Х задана измеримая почти всюду конечная
функция g, интеграл от которой g d\i по мере \х имеет
Е
смысл. Положим для любого измеримого множества
АсЕ
ф(Л)= f gdp.
Тогда ф — счетно-аддитивная функция множества.
Покажем, что
Ф+ (А) = J g+ d\i, ф_ (Л) = J" g_ d\i,
, А A3)
\<p\(A)=\\g\dp
A
(cm. VIII. 2, в частности, формулу D)). Достаточно
установить первую из трех формул, остальные будут
следовать из нее.
Действительно, по определению функции g
существует такое измеримое множество В с А, что
g(x) на В,
на А\В.
Тогда
i \ I g{x
g+M = { 0
J g+ d[i = J gd\i = ф (В) < ф+ (А).
С другой стороны, для любого измеримого В с: А имеем
Ф(Я) = j g d\i = J g+ d\i - J g_ d\i < J" g+ d\i < J g+d\x.

§ I] ВАРИАЦИИ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВА 275
а потому ф+ (А) < Г g+ dp. Из двух противоположных
А
неравенств вытекает требуемое равенство.
Легко видеть, что функция ф в этом примере
©-конечна.
2) Рассмотрим теперь пример, представляющий
обобщение одного из примеров, приведенных в VII. 1.
Пусть в произвольном бесконечном множестве X
выделено счетное подмножество точек {хЦ, а заряды — ве-
оо
щественные числа ф; ф О — таковы, что ряд 2 Фг аб-
солютно сходится. Для любого Е аХ положим
Ф(Я)= 2 <р<-
*(*,<= В)
Таким образом, ф(?) равна сумме всех зарядов ф,-,
которые попадают в Е, но заряды могут теперь быть
любого знака. Ясно, что ф — ограниченная
счетно-аддитивная функция множества. При этом
<Р+(?)= 2 - <pf> Ф-^K 2 ФГ.
Ф|(Я)= 2 I
Ф1
где
Ф+ = -
Фг.
0,
если
если
Фг>0,
Ф* < 0,
"т- (
Ф/ ж[
0,
\Ч>1 1.
если
если
Ф/>0,
Ф, < 0.
3) Пусть на отрезке / = [а, Ь] с: /?i задана
произвольная возрастающая в широком смысле (т. е.
неубывающая) функция F, а <5— алгебра, порожденная
совокупностью всех ячеек Дс[о,6)*). Иными словами,
каждое А е © представимо в виде конечного объедине-
р
ния дизъюнктных ячеек: А= М А/. Если ячейка Д =
== [а, C) cz /, то положим
<t(b) = F(®-F(a). A4)
*) €> — алгебра подмножеств в ячейке [а, Ь).

276
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Для пустой ячейки полагаем ф@) = О. Для
произвольного /leS, используя указанное выше его
представление с помощью дизъюнктных ячеек, полагаем
Ф(Л) = 1ф(Д/). A3)
Легко проверить, что при таком определении <р(А) не
зависит от способа представления А в виде
объединения дизъюнктных ячеек и что функция ф аддитивна.
Однако, если F не непрерывна слева, то ф не будет счетно-
аддитивной *).
Действительно, пусть функция F имеет разрыв слева
в некоторой точке с. Зададим возрастающую
последовательность чисел сп-*с — 0 (считая, что с\ = а) и
положим An = [c„, c„+i). Тогда ячейки Д„ дизъюнктны,
оо
(J А„ = А, где А = [а, с),
п=1
5 Ф (Дя).- i [F (cn+l) - F (cn)\ = F(c-0)-F (a),
а ф (А) = F (с) — F (а). Но F{c)>F(c — 0) и потому
функция ф не счетно-аддитивна.
Аналогичный пример можно построить, предполагая,
что F — произвольная функция ограниченной вариации
на отрезке [а, Ь]**). Тогда ф, определяемая по формулам
*) Наоборот, если F непрерывна слева, то можно доказать,
что ф счетно-аддитивна. Ср. XI. 6, в частности, теорему XI. 6.1.
**) Напомним, что функция F, заданная на отрезке [а, Ь],
называется функцией ограниченной вариации (на этом отрезке), если
для любого разбиения отрезка [а, Ь] на конечное число участков
с помощью точек а = Хо < Х\ < ... < хт .= Ь выполняется
неравенство
т-\
2l\F(xi+l)-F{xt)\<tK,
1=0
где К — некоторая постоянная. Наименьшая из постоянных К назы-
ь
вается полной вариацией функции F на [a, b] (Var F). О свойствах
а
функций ограниченной вариации от одной переменной см.,
например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. III. В частности, крайне важно, что всякая
функция ограниченной вариации представима в виде разности двух
возрастающих функций. Верно, и почти очевидно, и обратное.

§2)
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
277
A4) и A5), тоже будет ограниченной аддитивной
функцией на ©, но при этом она может иметь отрицательные
значения. Из формулы G) сразу следует, что функция
|ф| совпадает с полной вариацией функции F, т. е.,
точнее, для любой ячейки Д = [а, Р)с /
|ф|(Д) = УагЛ
а
§ 2. Интеграл Радона
Обобщение интеграла, введенное Радоном,
заключается в том, что интегрирование производится не по
мере, а по произвольной счетно-аддитивной функции
множества (которая может принимать и отрицательные
значения). При этом, однако, интеграл Радона весьма
близок по своим свойствам к интегралу Лебега.
Начнем с вспомогательной леммы.
Лемма XI. 2.1. Пусть X — абстрактное множество,
в котором выделена а-алгебра © его (измеримых)
подмножеств, и на © заданы две а-конечные меры ц и v.
Пусть функция f суммируема на множестве Е е © по
каждой из этих мер. Тогда f суммируема на Е и по их
сумме а = |л + v и при этом
jfdv^jfdfl+jfdv. A6)
Е Е Е
Доказательство. Пусть сначала функция /
измерима и ограничила на ?, а ц? и vE конечны. Для
произвольного разбиения т множества Е на
дизъюнктные измеримые подмножества ем ? = (J e* j суммы
Лебега — Дарбу связаны очевидным соотношением:
р v р
sa. (t. /)"" ]? mi®ei = 2 ffii]iet -f ^ mtvei <
;=i 1=1 (=i
p p
< J f ёц + j" fdv <J] Mm + 2 M,vet =
E E i=l fr=l
P

278
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Так как / интегрируема по мере со, то суммы s„,(t, /) и
5а,(т,/) сколь угодно близки друг к другу, а их общие
точные границы на основании выписанных соотношений
совпадают с суммой интегралов \ f d\i + \ f dv. Тем
Б В
самым доказано равенство A6).
Пусть теперь функция / измерима, ограничена и
неотрицательна на Е, но со? = -)-оо. Представим Е
оо
в виде Е = (J Ek, где Ек дизъюнктны и со?А < -f- с©
при всех k *). По доказанному
j/dco= J/d|i+ {/dv (? = 1, 2, ...)•
?ft ?fc Ek
Суммируя эти равенства по k, мы приходим к A6).
Теперь откажемся от требования ограниченности /,
но будем считать ее измеримой и неотрицательной.
Образуем ее срезки fm- Для них, по доказанному,
J" /mdco = J fmdn + J" /mrfv.
<? В В
Переходя в этом равенстве к пределу при т-*оо (см.
VIII. 4), получим формулу A6).
В общем случае представляем / в виде f = f+ — /-,
записываем равенство A6) для каждой из функций /+
и /_ и производим почленное вычитание.
Замечание. Из проведенного доказательства
видно, что для неотрицательной измеримой функции /
равенство A6) справедливо и без предположения об ее
суммируемости. Кроме того, если ц и со — две о-конеч-
ные меры, заданные на ©, и \iA ^ ыА для любого
AczE (А<=Щ, a f неотрицательна и измерима, то
J/d|*< J /rfco.
Переходим к определению интеграла Радона. По-
прежнему считаем, что X — абстрактное множество, в
*) Из ст-конечности мер ц и v очевидно следует, что мера ш
тоже а-конечна,

§2]
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
279
котором выделена о-алгебра © подмножеств,
называемых измеримыми, а на © определена счетно-аддитивная
cr-конечная функция ф. Из предыдущего параграфа (см.
теорему XI. 1.3 и следствие из теоремы XI. 1.4)
вытекает, что ф+ и ф_ — а-конечные меры в X. Кроме того,
поскольку ф может принимать бесконечные значения
одного знака, она ограничена по теореме XI. 1.5 по
крайней мере с одной стороны, а тогда для нее справедливо
равенство F).
Определение. Пусть / — измеримая функция,
заданная на некотором измеримом множестве EczX.J:e
интеграл (в смысле Радона) по функции ф на
множестве Е определяется формулой
jfd<f=jfdV+-\fd<t-, A7)
Е Е В
в предположении, что интегралы в правой части
формулы и их разность имеют смысл*). В противном
случае мы считаем, что и интеграл f dq> смысла не имеет.
Е
Если | f dq> имеет конечное значение, то функция f на-
Е
зывается суммируемой на Е (в смысле Радона) по
функции ф.
В отличие от интеграла по мере, интеграл \ fdq> от
Е
неотрицательной измеримой функции / может не иметь
смысла. В частности, из того, что I fdq имеет смысл,
Е
не вытекает, что \f\dy тоже имеет смысл. В то же
Е
время из предыдущей леммы (см. также замечание к
ней) вытекает, что f суммируема по ф тогда и только
тогда, когда она (а вместе с ней и |/|) суммируема по
полной вариации |ф|.
*) Последнее означает, что или по крайней мере один из
интегралов в правой части конечен, или один из них равен -\-°°,
а другой —оо.

280
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Интеграл Радона иначе называют интегралом
Лебега— Стилтьеса*).
Из определения интеграла Радона легко следует, что
почти все свойства интеграла Лебега, доказанные в
VIII. 3, переносятся буквально или с небольшими
изменениями и на интеграл Радона. В частности,
сохраняется счетная аддитивность интеграла, остается в силе
теорема VIII. 3.8. Непосредственно из формулы A7)
вытекает следующая оценка интеграла Радона:
Jfdq> </|Ж1ф1- A8)
Е Е
Отсюда видно, что интеграл Радона от суммируемой
функции обладает свойством абсолютной непрерывности
(см. теорему VIII.3.3) по отношению к мере |ф|.
Теоремы, связанные с эквивалентными функциями и с
соотношениями, выполняющимися почти всюду, остаются
в силе, если термин «почти всюду» понимать по
отношению к |ф|: почти всюду на Е означает — «для всех
х^Е, за исключением, может быть, точек некоторого
подмножества Е', для которого | ф | (Е') = 0».
Отметим еще одно свойство интеграла Радона,
дополняющее лемму XI. 2.1. Пусть ф и гр— две
счетно-аддитивные конечные функции, заданные на @. Если
функция f суммируема на множестве Е и по ф и по ip, то
она суммируема по ф ± ip, a
\ fd(y±$)=jfd<f± jfdq.
Е Е • Е
Простое доказательство этого утверждения, основанное
на лемме XI. 2.1, предоставляем читателю.
Для счетно-аддитивной функции ф, построенной в
примере 2 из XI. 1 по точечным зарядам, интеграл
Радона сводится к сумме:
J f <*Ф = 2 f (*i) m
E i(xtsE)
(ср. также пример 1 из VII. 1).
*) Т. И. Стилтьес A856—1894)—голландский математик,
которому принадлежит понятие интеграла, непосредственно
обобщающее интеграл Римана (см. XI.5).

§2]
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
281
В качестве другого примера рассмотрим интеграл
Радона по функции множества, которая сама
представляется в виде интеграла Лебега от некоторой функции
точки. Пусть (х — а-конечная мера в пространстве X,
заданная по а-алгебре ®, / и g— измеримые, почти
всюду конечные функции, заданные на множестве ?е®,
причем gd\x имеет смысл, а счетно-аддитивная сг-ко-
Е
нечная функция <р задана для любого измеримого
множества АсЕ по формуле
Ф(Л)=* j gdn
Е
(см. пример 1 в XI. I). Докажем следующую теорему.
Теорема XI.2.1. Для того чтобы функция f была
суммируема на множестве Е по функции <р, необходимо
и достаточно, чтобы произведение fg было суммируемо
на Е по мере ц, и при этом
jfdy^jfgd». A9)
Е Е
Таким образом, интеграл Радона по функции ф сво7
дится в рассматриваемом случае к интегралу Лебега
по мере м-
Доказательство, Пусть сначала / и g
неотрицательны (а тогда и ф неотрицательна, т. е. ф — мера).
Кроме того, допустим, что ф? < +оо.
Если f ограничена, то возьмем произвольное
разбиение т множества Е на дизъюнктные измеримые
подмножества ?* (i = 1, 2, ..., р) и составим суммы Лебега —
Дарбу. Имеем очевидное соотношение:
р р -
Мт; /)e S т,фе<= S mi \ 8 dV- <
f=l l<=\ e.
Р Р
P
= Yi %1в5,(т; /).

282
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Но так как J fdq> существует и заключен между
Е
S(f(t;f) и 5ф(т;/), то, следовательно, эти суммы могут
быть сколь угодно близкими друг к другу, а отсюда
сразу вытекает равенство A9).
Переход к неограниченной функции f производится
очевидным образом с помощью срезок и теоремы Леви.
Если теперь ф?'=+00, то разбиваем Е на
дизъюнктные множества ?* (t = 1, 2, ...) с (pEt < +оо,
записываем равенство A9) для интегралов по Et и
суммируем эти равенства.
В общем случае, когда fug могут иметь значения
разных знаков, используем функции /+, /_, g+, g-, ф+
и ф_. По доказанному для неотрицательных функций,
с учетом формул для ф+ и ф_ из примера 1 в XI. 1,
имеем
Jf+dq>+ = jf+g+d\i, j /+й?ф_= j" f+g-dp,
E E E E
/ L d(f+ = J f_g+ d\i, J f_ dy_ = J f_g_ d\x,
E E E E
отсюда
ffdy+= j fg+dix, j /с?ф_ = / fg_d\i,
E E E E
что и приводит к равенству A9), если только
предположить, что один из интегралов в этом равенстве имеет
конечное значение*).
Замечание. Тем же рассуждением доказывается,
что для того чтобы в условиях теоремы XI. 2.1 интеграл
fd(f имел смысл, необходимо и достаточно, чтобы
Е
интеграл fgd\a имел смысл, и при этом также спра-
Е
ведливо равенство A9).
*) В этом случае и все интегралы, записанные выше, также
имеют конечные значения.

§ 3] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ ФУНКЦИИ 283
§ 3. Интегрирование по конечно-аддитивной функции
множества
Дальнейшее обобщение интеграла заключается в
переходе к интегралу по конечно-аддитивной функции
множества. Впервые такой интеграл был изучен
Г. М. Фихтенгольцем и Л. В. Канторовичем,
а также американским математиком Т. Гильде-
брандтом. Мы ограничимся рассмотрением случая,
когда и подынтегральная и интегрирующая функции
ограничены.
Итак, пусть X — абстрактное множество, в котором
выделена алгебра <? некоторых его подмножеств и на
<5 определена ограниченная аддитивная функция
множества ср. Допустим сначала, что функция ф
неотрицательна.
Пусть на множестве ?а® задана ограниченная
вещественная функция точки f. Для любого разбиения т
множества Е на конечное число дизъюнктных множеств
е,- s= © (г'=1, 2, ..., р) составляем суммы Лебега —
Дарбу:
р р
s (т; /) = 2 т,ф (ei), S (т; /) = S Mty (et),
где
mt = inf /(*), Af, = sup/(*) (/==1, 2, ..., р).
Свойства сумм Лебега — Дарбу, установленные в VII. I,
сохраняются и при конечной аддитивности функции ф,
поскольку при их доказательстве счетная
аддитивность меры не была использована. Интеграл j f dq>
в
определим по образцу интеграла Лебега (VII. 1), как
общее значение sups(t; /) и inf5(r; /), если-эти гра-
т т
ни совпадают.
В общем случае, когда ф принимает значения любого
знака, | f dq> определяется по формуле A7) при усло-
Е
вии, что оба интеграла в правой части этой формулы
существуют.

284
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Как и в VII. 1, доказывается, что если
ограниченная функция f измерима по отношению к алгебре ©*),
то она интегрируема. Однако класс интегрируемых
функций на этот раз может быть существенно шире класса
измеримых функций.
Интеграл по конечно-аддитивной функции множества
обладает многими свойствами интеграла Радона. Легко
проверить, что если f интегрируема по ф, то и / и |/|
интегрируемы по полной вариации |<р| и при этом
выполняется неравенство A8). Из этого неравенства в
свою очередь следует, что если |/(х) | ^/(, то
jfd<v
</С1ф1(?).
B0)
Действительно, по определению
J / d<p = J f d<p+ - J" / dy_ .
ЕЕ Е
По теореме, аналогичной VII. 2.1,
/Мф+
<Kv+(E),
jfd<p„
<K<?_(E),
а отсюда уже сразу вытекает неравенство B0).
Вместо счетной аддитивности интеграла можно
доказать лишь его конечную аддитивность. Для
ограниченных интегрируемых (по ф) функций / и g
справедлива теорема VII. 2.3. Отметим при этом, что в
доказательстве формулы E) из гл. VII для (/ + §)^ф мы
Е
уже не сможем ссылаться на то, что существование
этого интеграла обеспечивается измеримостью функции
f + g, поскольку сейчас измеримость по отношению к
алгебре <5 не предполагается**). Однако,
интегрируемость / + g фактически устанавливается самим ходом
доказательства формулы E).
На других свойствах интеграла мы сейчас не
останавливаемся.
*) Как и раньше, это означает, что все лебеговы множества
функции f входят в @.
**) Даже если бы мы предположили fag измеримыми
относительно алгебры @, то все же мы не могли бы утверждать, что
f + g тоже измерима.

§ 4) ФУНКЦИОНАЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ОГРАНИЧ. ФУНКЦИЙ 285
Рассмотрим частный случай, когда X = /?п> алгебра
© содержит все замкнутые множества, Е — ограниченное
замкнутое множество из Rn и f непрерывна на Е.
Проверим непосредственно, что тогда / dq> существует
?
для любой ограниченной аддитивной (на ©) функции ф.
Достаточно провести доказательство для случая,
когда ф неотрицательна. Зададим произвольное е > О
и подберем б > 0 так, что колебание функции f на
любом подмножестве из ? с диаметром, меньшим б, будет
меньше е (равномерная непрерывность функции f).
С помощью сетки ячеек с диаметрами, меньшими б*),
разобьем Е на конечное число дизъюнктных множеств
е,. Каждое е{ есть пересечение множества Е с
некоторой ячейкой. Но все ячейки, как разности двух
замкнутых множеств, входят в алгебру ©, а потому и ?, е ©.
Теперь уже ясно, что разность между верхней и
нижней суммами Лебега — Дарбу для построенного
разбиения меньше, чем еф(?). Таким образом, эта
разность может быть сделана сколь угодно малой, и,
следовательно, функция f интегрируема.
К такому же результату можно прийти и в случае,
если © — алгебра подмножеств из Rn, порожденная
совокупностью всех ячеек. Если EczRn — ячейка с
конечными ребрами, а функция / непрерывна на ее
замыкании Е, то она интегрируема на Е по любой
ограниченной аддитивной функции ф, заданной на ©. В то же
время измеримыми на Е по отношению к указанной
алгебре © будут только «кусочно-постоянные» функции
с не более чем счетным множеством различных
значений, у которых все лебеговы множества представляются
в виде конечного объединения ячеек.
§ 4. Линейные функционалы в пространстве
ограниченных функции
Интеграл по конечно-аддитивной функции множества
можно применять к установлению аналитического
выражения линейных функционалов в пространствах
*) Чтобы диаметр «-мерной ячейки был меньше б, достаточно,
чтобы каждое ее ребро было меньше щуп.

286
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
ограниченных функций. Первый результат в этом
направлении — нахождение общей формы линейного
функционала в пространстве ограниченных измеримых
функций— был получен Г. М. Фихтенгольцем и Л. В.
Канторовичем. Им по существу и принадлежат приводимые
ниже теоремы.
Пусть, как и в XI.3, X— абстрактное множество,,
а © на этот раз — cr-алгебра некоторых его
подмножеств, названных измеримыми. Обозначим через В
(точнее, В(Х, €>)) совокупность всех ограниченных
измеримых функций /, заданных на X. Так как ©—
а-алгебра, то из результатов гл. VI (см. VI. 2)
вытекает, что В — линейное множество. Введем в нем норму,
полагая
||/|| = sup|/(x)|.
хе=Х
Ясно, что II/U удовлетворяет всем аксиомам нормы и,
таким образом, В становится нормированным
пространством. Сходимость по норме в В совпадает с
равномерной сходимостью. Так как операция предельного
перехода (для сходимости в каждой точке) не выводит из
класса измеримых функций (см. теорему VI. 3.1), то
пространство В — полное.
Теорема XI.4.1. Общая форма линейного функ-.
ционала в пространстве В дается интегралом
F{f)=\fdy, B1|
х
где ф — произвольная ограниченная аддитивная
функция множества, заданная на ©. При этом
1|/1 = |ф1(Х).. B2>
Доказательство. В XI.3 указано, что интеграл
B1) существует для любой /еВ, какова бы ни была:
функция ф, удовлетворяющая указанным условиям. ПЬ
свойствам этого интеграла функционал F, определяв*
мый формулой B1), дистрибутивен. Из неравенства
B0) вытекает, что для любой feB j
W)KII/II-MW. !

§ 4] ФУНКЦИОНАЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ОГРАНИЧ. ФУНКЦИИ 287
Следовательно, функционал F линеен и
Обратно, пусть задан произвольный линейный
функционал F в пространстве JB. Для любого /1е®
положим
<V(A) = F(fA),
где 1а — характеристическая функция множества А. Из
аддитивности функционала F сразу вытекает
аддитивность функции ф. Кроме того,
1ф(Л)|<||Л111/л11<11Л1
и потому функция ф ограничена. Следовательно,
интеграл в формуле B1) существует для любой /еВ.
Пусть |еВи С </(#) < D. Произведем разбиение
промежутка (С, D) с помощью точек С — Ко <. %i < ...
... <. km = D и образуем множества
ei = X [*,,_,</(*)< Я,] (« = 1, 2 т).
Строим конечнозначную функцию
т
5 = JU*//,
где ft~характеристическая функция множества et. Ясно,
что g измерима, а тогда g sB. Если х е е,-, то
\f{x)-g{x)\ = \f{x)-%i\<:b,
где б = тах(Яг — A(_i), а потому
sup \f(x)~ g(x)|<6,
т. е. ||/ —g II ^6. Следовательно,
\F(f)-F(g)\^\\F\\6. B4)
С другой стороны, ~~"
т т
F(g)=l, KF (fd = 2 А,-ф (е,), B5)
(=1 (=1
а
/я
J /аГФ - J] Я,Ф (<?,)=/ (/ - г)^Ф<б| Ф |(X). B6)

288
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Сопоставляя B4), B5) и B6), мы видим, что за
счет б разность
F(f)- jfdtp
х
можно сделать сколь угодно малой, что и доказывает
формулу B1).
Остается проверить равенство B2). Зададим е>0
и на основании формулы A) так подберем множества
Ви Б2е@, что
Ф(Д1)-ф(В2)>|Ф|(Х)-е.
Пусть fi и /г —характеристические функции этих
множеств (соответственно), a f = f\—Ь- Тогда / может
принимать только значения 1, —1 и 0 и потому 11/11=^1.
Но
F(f)~F(fi)-F(f2) = <(>(Bl)-<?(B2).
Следовательно,
\\F\\>F(f)>\v\(X)-t;
благодаря произвольности е отсюда вытекает, что
\\F\\ ^ |ф|№, что вместе с B3) и дает равенство B2).
Теорема полностью доказана. Обращаем внимание
читателя на то, что при определении пространства В не
требовалось, чтобы на сг-алгебре © была определена
какая-нибудь мера.
Замечание. Легко проверить, что ограниченная
аддитивная функция ф определяется по заданному
линейному функционалу единственным образом.
Действительно, если линейный функционал F представлен по
формуле B1), то для характеристической функции /д
любого Де® непременно будет F(fA) = у(А), т. е.
функция ф совпадает с той, которая была построена по
ходу доказательства теоремы.
Рассмотрим еще несколько иное пространство
ограниченных измеримых функций на X. Пусть теперь на
а-алгебре 8 задана некоторая мера ц. Будем
отождествлять эквивалентные между собой функции, а норму
определим по формуле
|| / II = vrai sup |/(*)|

§ 4] ФУНКЦИОНАЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ОГРАНИЧ. ФУНКЦИЙ 289
(см. обозначение из VIII.5). Получается новое
банахово пространство, обозначаемое М.
Теорема XI.4.2. Общая форма линейного
функционала в пространстве М дается интегралом B1), где
Ф — произвольная ограниченная аддитивная функция,
заданная на всех измеримых подмножествах из X,
удовлетворяющая дополнительному условию: ф(Л) = 0, если
цЛ = 0. При этом справедливо равенство B2).
Доказательство. Пусть в М задан линейный
функционал F. Вводя функцию измеримого множества
Ф тем же способом, что и выше:
<?(A) = F(fA),
мы сразу видим, что ф — ограниченная аддитивная
функция и притом ф(Л) = 0 для всех Л с цЛ = 0. Повторяя
предыдущее рассуждение, мы придем к выводу, что
функционал F представим по формуле B1) и что
ll^ll^klW.
Обратно, пусть ф — любая функция,
удовлетворяющая условиям теоремы. Заметим, что если цЛ = 0, то
и |ф|(Л) = 0. Существование интеграла B1)
обеспечено для всех f-^M. Если / ~ 0, то X раскладывается
на два непересекающихся измеримых множества Е\ и
Е2 так, что f(x) 2= 0 на Еи а цЕ2 = 0. Тогда
С другой стороны,
Ifdtf <*1ф1(?2) = 0,
Ег
где К — какая-нибудь верхняя граница для |/(*)|.
Следовательно,
|/^Ф = 0.
х
Если же f, g&M и f~g, то
J/rfq>- j gd<?= \(f-g)d<p = 0,
10 Б, З. Вулих

290
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
т. е. интегралы B1) от эквивалентных между собой
функций равны. Таким образом, формула B1)
определяет дистрибутивный функционал в М.
Для любой f е.М положим
Л,=.Х[|/(х)|<||/||], А2 = Х\А{.
Тогда цА2 = 0 и потому | /dqp = 0, a
X Al
Отсюда сразу следует оценка
<11ЛНф1(Д) = 11Л1-1ф1(Х).
jfdtf
Таким образом, функционал F, определяемый
формулой B1), линеен, a \\F\\ sg: |<р| (X). Два
противоположных неравенства дают равенство B2), и теорема
доказана.
Пространство М можно рассматривать и как
составленное из всех функций, измеримых и ограниченных
почти всюду на X Чтобы теорема XI.4.2 осталась
в силе, достаточно условиться понимать интеграл от
любой такой функции как интеграл от какой-нибудь
эквивалентной ей измеримой функции, ограниченной на
всем X.
§ 5. Интеграл Стилтьеса на отрезке
Интеграл Стилтьеса, иначе называемый
интегралом Римана—Стилтьеса, представляет
непосредственное обобщение классического интеграла Римана. Мы
приведем его определение в такой форме, которая
наиболее близка к определениям других видов интеграла
в этой книге.
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы две функции:
произвольная ограниченная функция / и возрастающая (в
широком смысле) g. Возьмем произвольное разбиение т

§5]
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА НА ОТРЕЗКЕ
291
отрезка [а, Ь] на конечное число отрезков с помощью
точек а = х0 < хх < ... < хр — Ь. Положим
Mt = sup f (x), mi = inf / (x)
X<B[Xi-VXi\ X(slxi-V*t]
(/=1, 2 p)
и образуем суммы Стилтьеса — Дарбу
S(T)=i)Af,[g (*,)-? (*,_,)],
р
s (т) = 2 тг [g (*,) — g- (*j_,)].
Как и для классических сумм Дарбу, легко установить,
что
sup s (т) < inf 5 (т). B7)
т т
Если обе эти грани совпадают, то общее их значение
и называется интегралом Стилтьеса от функции f no
функции g и обозначается
| f dg I или J f (*) dg (x) J.
Заметим, что если g и /г—две возрастающие функ-
ь
ции на отрезке [а, Ь] и если оба интеграла \fdg я
а
Ь Ь
\fdh существуют, то и \fd{g-\-h) существует и при
а а
ЭТОМ
Ь
\fd(g + h) = jfdg+jfdh. B8)
а а а
Доказательство этого утверждения совершенно
элементарно.
Пуеть теперь g—произвольная функция
ограниченной вариации на отрезке [а, Ь]*). Представим ее в виде
разности двух возрастающих функций: g = gx— g2.
*) / по-прежнему — любая ограниченная функция.
10*

292
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Если среди таких представлений найдется хоть одно,
ь ь
при котором оба интеграла J fdgl и J fdg2 суще-
а а
ствуют, то положим по определению
6 6 6
\fdg=[fdgl-\fdg2.
' а а а
Проверим, что при таком определении интеграл
ь
\ f dg не зависит от выбора g\ и g2. Пусть нам дано
о
еще одно представление функции g в виде разности
возрастающих функций g — h\ — h2, причем интегралы
б б
\ f dhi и \ f dh2 существуют. Тогда gi -f- h2 = g2 + fti
о а
и по формуле B8)
ь ь ь ъ
$fdgl+jfdh2=lfdg2+lfdhl,
а а а а
откуда
6 Ь Ь Ъ
jfdgi-ffdg2=jfdhl-lfdh2.
а а а а
Ь
Докажем, что \ f dg существует, если f непрерывна
а
на отрезке [а,Ь]. Достаточно рассмотреть случай,
когда g — возрастающая функция. Благодаря
равномерной непрерывнсгти функции f, по произвольно
заданному е > 0 можно подобрать б > 0 так, что если все
длины х{ — х{-1 промежутков, образующих разбиение т,
меньше б, то Mt — m,- < e для всех i. А тогда
S (т) - s (т) = ? (Af, - пи) [g (х,) - g (*,_,)] <
<e ? [g (xt) -«fc.,)l = e[g(b) - g(a)],
i=l
откуда и вытекает совпадение граней в неравенстве B7).

§ 5] ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА НА ОТРЕЗКЕ 293
Мы не останавливаемся на элементарных свойствах
интеграла Стилтьеса. Читатель может найти их во
многих учебниках, например, в уже цитированной книге
И. П. Натансона *}. Установим лишь связь между
интегралом Стилтьеса и интегралом по аддитивной
функции множества. С этой целью используем пример 3 из
XI. 1, и по заданной возрастающей функции g построим
аддитивную функцию ф на алгебре ©, порожденной
совокупностью всех ячеек А с: [а, Ь) так, как это сделано
в указанном примере.
Пусть сначала функция / непрерывна на отрезке
[a, b], a Е = [а, Ь). Из сказанного в XI. 3 ясно видно, что
J fdy существует. С другой стороны, любое разбиение
в
х отрезка [а, Ь] порождает разбиение ячейки Е на
дизъюнктные ячейки е, = [*f_i, Xi) («=1, 2 р).
Благодаря непрерывности функции / ее грани на отрезках
[Х{-и xi\ и на ячейках е,- одинаковы, а потому суммы
Стилтьеса — Дарбу переходят в суммы Лебега~—Дарбу.
Например, имеем для верхних сумм
S (т) = S Mt [g (xt) - g (*,_,)] = S Af,q> (et).
Тем самым
ь
[fdg= \ fdq> , B9)
a [a, b)
(слева стоит интеграл Стилтьеса по отрезку [а, Ь],
справа — интеграл по аддитивной функции множества ф
по ячейке [а, Ь)).
*) Интеграл Стилтьеса в этой книге, как и во многих других,
определен классическим способом как предел «сумм Римана —
Стилтьеса», причем функция g — любая. Определение, приведенное
в нашей книге, применимо только, когда g — функция
ограниченной вариации, но в этом, наиболее интересном случае оно
несколько шире классического, т. е. приводит к более широкому
классу интегрируемых функций. Определение, равносильное'нашему
(в случае, когда g — функция ограниченной вариации), дано в
книге Э. X. Гохмана, Интеграл Стилтьеса и его приложения,
Физматгиз, 1958. В этой же книге содержится ряд сведений о
соотношении между этим определением и классическим,

294
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
К тому же результату легко прийти и в случае, если
g— любая функция ограниченной вариации на отрезке
[а, Ь].
Однако если не требовать непрерывности функции f,
то можно лишь доказать, что из существования инте-
ъ
грала Стилтьеса | fdg вытекает существование инте-
а
грала | /йф^и их равенство. Действительно, в этом
[а. Ь)
случае
М\ = sup f (x) < М{, m'i = inf f (x) > m?.
Поэтому, предполагая функцию g возрастающей
(достаточно рассмотреть этот случай), имеем следующее
неравенство для сумм Стилтьеса — Дарбу:
s(т)< 2 m,'<p(et)< 2 M'i(p(et)<5(т),
т. е. между суммами Стилтьеса — Дарбу всегда
заключены некоторые суммы Лебега—Дарбу. Но sups(t) =
т
= inf5(t), а потому и грани сумм Лебега—Дарбу
X
совпадают, т. е. интеграл f d<f существует. При этом
la. Ь)
ясно, что выполнено равенство B9).
Приведем пример, показывающий, что обратное
заключение неверно. Пусть
f(*) = g(x)-
0 при O^xK-g,
1 при -5-^x^1,
а Е — [0, 1). Разобьем Е на две дизъюнктные ячейки
ех = [о, -j) и е2 = [у. l) • Тогда т\ = М[ = 0, /иг =
= М2=1, ф(е»)=1, ф(е2) = 0 и суммы Лебега — Дарбу

§ 6] ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПРЯМОЙ 295
совпадают. Следовательно, J fdq> существует (и ра-
[0, 1)
i
вен 0). Однако интеграл Стилтьеса fdg не существует.
о
Действительно, для любого разбиения т отрезка [0, 1]
выберем то /, при котором л:г--1 < -j ^ xt. Тогда Mt = 1,
/П| = 0и разность
S(T)-s(T) = g(xi)-g(xi_l)=l.
Таким образом, даже в классическом случае
переход от интеграла Стилтьеса к интегрированию по
функции множества оказывается полезным в связи с тем,
что- расширяется класс интегрируемых функций.
§ 6. Функции распределения на прямой
В этом параграфе мы остановимся подробнее на
вопросе, затронутом в последнем из примеров в XI. 1.
Мы покажем, что между мерами, заданными на
полукольце ячеек в /?ь и возрастающими непрерывными
слева функциями на вещественной оси можно установить
соответствие, позволяющее интеграл по мере сводить
к интегралу Стилтьеса.
Определение. Функцией распределения (на
прямой) называется любая конечная, возрастающая (в
широком смысле) и непрерывная слева функция F,
заданная на оси (—оо, +°°)- Функции распределения,
отличающиеся друг от друга на постоянное слагаемое,
называются эквивалентными.
В XI. 1 мы уже видели, что всякая функция
распределения порождает по формуле A4) (при
дополнительном условии ф0 = 0) неотрицательную аддитивную
функцию ф. Эта функция задана на полукольце №
одномерных ячеек с конечной длиной*). Однако за счет
непрерывности слева функции F мы сможем сейчас
доказать, что ф счетно-аддитивна, т. е. мы установим
следующую теорему.
*) Подчеркиваем, что, в • отличие от гл. V, сейчас в SR
включаются только конечные промежутки вида [а, Ь).

296
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Теорема XI.6.1. Для всякой функции
распределения F порождаемая ею на полукольце Ш ячеек в Rt
аддитивная функция ф— мера*).
Доказательство этой теоремы проводится по
аналогии с доказательством счетной аддитивности объема
ячеек (см. V. 2). Конечная аддитивность функции ф
отмечалась выше и она очевидна. Далее по образцу
леммы V. 2.2 доказывается, что если ячейки АьДг Ар
р
(из Щ дизъюнктны и (jAAcA (Д — тоже ячейка),
р
то ^фД^^фД. По образцу леммы V. 2.3 устанавли-
4=1
вается, что если Аь А2, ..., Ар —любые ячейки (из Ш),
Л p
а ячейка Acz\jAk, то фА^^Ф^А- Наконец, счетная
аддитивность функции ф доказывается по образцу
леммы V. 2.4. На этой части рассуждения остановимся
немного подробнее.
оо
Пусть ячейка A=(jAft причем ячейки А* дизъ-
fe=i
юнктны. Из предыдущего сразу следует, что
оо
2 фАА < фА,
и остается доказать обратное неравенство.
Пусть А = [a, b), Aft = [ak, bk), причем ah < bk
(k=l, 2, ...)**). Зададим е > 0 и, используя
непрерывность слева функции F, подберем числа 6ft > 0 так,
что
F(ak-6k)>F(ak)-jb. .
Зададим еще число б > 0. Интервалы (ah — 6ft, bh) 66-
разуют покрытие отрезка [a, b — 6], а тогда из них
можно выделить конечное покрытие. Тем более ячейка
*) Если в определении функции <р на ячейках формулу A4)
заменить другой, а именно принять ф(Д) = F((J — 0)—F(a — 0),
то ф окажется мерой и без требования непрерывности F слева.
**) Достаточно предполагать, что все ячейки Дл — не пустые.
.}

§ 61 ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПРЯМОЙ 297
[а, Ь—6) покрывается конечным числом ячеек [ah—Ьц, Ьк)
(к = 1, 2 р). Следовательно, по отмеченному выше
F(b - 6) - F{a) < & [F(bk) -F(ak- 6k)] <
Переходя к пределу при б, е->0, получим
q>A = ^F)-/=¦(*)< 2 <рД*.
k=i
что и завершает доказательство.
Аналогичную теорему можно получить и в случае,
если в понятие функции распределения включить
требование непрерывности справа. В этом случае вместо
ячеек [а, Ь) нужно было бы рассмотреть полукольцо
промежутков вида (а, Ь].
Теорема XI.6.2. Пусть на полукольце St ячеек в
R\ задана конечная мера v. Тогда функция F,
определяемая на прямой формулой
О, если * = 0,
F (х) = • v [0, л;), если х > О,
— v[x, 0), если х < 0,
— функция распределения, а порождаемая ею счетно-
аддитивная функция ф совпадает с v. Всякая другая
функция распределения, порождающая ту же меру v,
эквивалентна F*).
Доказательство. Ясно, что для любой ячейки
Д = [а, Ь)
FF)-F(a) = vA.
Проверим непрерывность слева функции F; остальные
ее свойства, требуемые от функции распределения,
очевидны.
Пусть, для определенности, х0 > 0 и пусть х„ —*
-*х0 — 0, строго возрастая. Можно считать, что все
*) Функция распределения, порождающая меру v, называется
также производящей функцией для v.

298
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
хп > 0. Рассмотрим ячейки An=[xr!, xn+i ) и А=[хих0).
со
Ясно, что Ап,дизъюнктны и что A = (jArt, а потому
оо ею
F (х0) - F (*,) = vA = S vA„ = 2 [F (*„+I) - F (*„)],
откуда F(x0) = limF(xn).
Если G — функция распределения, также
порождающая меру v, то
G (х) — G @) = v [0, x) = F(x) для любого х > О,
G (х) — G @) = — v [х, 0) = F (х) для любого х < О,
а потому G(x) = F (x)+ G@) при всех х. Теорема
полностью доказана.
Функция распределения F может иметь разрывы
справа. Выясним их смысл. Для произвольного х0
рассмотрим убывающую последовательность ячеек
К = [ч *° + 7r)- Тогда
F(x0 + 0)-F (дйо) = lim F^ + ty-F (xQ) = lim фА„,
оо
где ф —мера, порождаемая функцией F. Но f*)Art =
.= (л;о), следовательно, ПтфАп равен мере
одноточечного множества (х0), которую это множество получает
при распространении меры ф с полукольца ячеек на
какую-нибудь о-алгебру. Таким образом, точки разрыва
функции F суть те точки, которые получают строго
положительную меру.
Теперь читатель легко может проверить, что при
распространении меры ф (меру, полученную в
результате распространения, обозначаем той же буквой ф)
имеем для любых конечных а < Ь
Ф[а, b] = F(b + 0)-F(a),
Ф(а, b) = F(b)-F(a + 0),
ф(а, b] = F(b + 0)-F(a + 0).
Кроме того, ф(— «о, +о°)= lim F(x)— lim F (x).

§ 6] ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПРЯМОЙ 299
Покажем, как интеграл по мере (в абстрактном
пространстве) преобразуется к интегралу Стилтьеса. Мы
рассмотрим только случай, когда подынтегральная
функция ограничена, поскольку переход к
неограниченным функциям потребовал бы рассмотрения вместо
интеграла Стилтьеса по отрезку интеграла такого же типа
по всей прямой.
Итак, пусть Х-~ абстрактное пространство с мерой
щ заданной на некоторой о-алгебре, / — ограниченная
измеримая функция на множестве Ес^Хс [iE <; -(-об и
пусть A<.f(x)<.B для всех ig?. На множестве
вещественных чисел зададим функцию F с
неотрицательными значениями, полагая для любого t
F(t) = nEU(x)<t]. C0)
Проверим, что F — функция распределения на прямой.
Монотонность F очевидна, а непрерывность слева
получается так: если t„—W0 — 0 возрастая, то
E[f(x)<tQ]=\jE[f(x)<tn],
и по теореме IV. 1.2 F(t„)-+ F (t0). Кроме того, F(t) = 0
при t < A, F (/) = ц? при / ;> В.
Докажем равенство
в
jfdv^jtdFit), C1)
В А .
где слева стоит интеграл Лебега, а справа — интеграл
Стилтьеса, существование которого гарантировано,
поскольку интегрируемая функция g(t)=t непрерывна.
С этой целью возьмем произвольное разбиение т
отрезка [А, В] с помощью точек A = t0 < ty < .".. < tp —
— В и положим
*,-?[//_,</(*)</,] (i=h 2 р).
Тогда \iet = F (ti) — F (ti-.y) и суммы Стилтьеса — Дарбу
для функции g(t) = t имеют вид
S СО = 1 // [F (t{) - F &_,)] = 2 tiixeu
s (x) = S U.x [F (tt) - F &_,)] = ? tt-№t.

soo
ИНТЕГРАЛ РАДОНА
[ГЛ. XI
Наряду с т рассмотрим разбиение т' множества Е
на дизъюнктные множества е,-. Полагая, как обычно,
/И( = ini / (х), Mi = sup / (х),
имеем ti-i^.mi^.Mi^.tt при любом /. Следовательно,
суммы Лебега — Дарбу s (т'; /) и 5 (т'; /) заключены
между s(r) и S(t):
s(t)<s(t'; /)<S(t'; /)<S(t).
Отсюда вытекает, что при любом т
s(T)<J/d|i<S(T).
Е
Но так как
в
f * rfF (t) — sup s (т) = inf S (т),
a
то равенство C1) доказано.
Изложенное в этом параграфе имеет существенные применения
в теории вероятностей. Само понятие функции распределения
возникло оттуда. Именно, пусть х—случайная величина,
принимающая конечные вещественные значения. Функция F, определенная
для любого / <= (—оо, -f-oo) как вероятность ц осуществления
неравенства х < t, называется функцией распределения случайной
величины х. Вероятность ц предполагается заданной на
какой-нибудь а-алгебре @ в /?ь содержащей все борелевы множества;
это — счетно-аддитивная неотрицательная, функция, т. е. мера.
Кроме того, \i(—оо, +оо) = 1, т. е. вероятность того, что х
примет вообще какое-то вещественное значение, равна 1. Поэтому
в теории вероятностей функция распределения F возрастает вдоль
прямой от 0 до 1.
Пусть f — ограниченная измеримая (по отношению к а;ал-
гебре @) функция, заданная на прямой; А < }(х)<с В при всех
#e/?i. Тогда у = {(х) — также случайная величина, а ее
функция распределения совпадает с функцией F, определенной по фор-
— в
муле C0). При этом . интеграл t dF (t) выражает математике-
А
ское ожидание случайной величины у (и. о. у). Но тогда интеграл
+ 00
I f dp дает другое выражение того же математического ожи-
— оо
дания.

§ 6j ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ПРЯМОЙ 301'
Поясним сказанное на примере дискретной случайной
величины. Пусть вероятность ц сосредоточена в точках t\, /2, ... и
имеет в этих точках значения Ць Цг, ... (соответственно). При
оо
этом (is > 0 и 2^=1' Иными словами, случайная величина х
может принять только одно из значений ti, а ц< — вероятность
того, что х = tt. Тогда </ = /(*) может принимать только
значения f(ti), a
00
м. о. 2/=2/(^)Иг.
+»
Эта сумма и есть не что иное, как I f dp (ср. пример I
из VII. 1),

ГЛАВА XII
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
МНОЖЕСТВА
§ 1. Определение абсолютно непрерывных функций
Выше, изучая интеграл Лебега, мы установили
свойство его абсолютной непрерывности (теорема VIII.3.3).
В этой главе мы займемся общим исследованием счетно-
аддитивных функций множества, обладающих
свойством абсолютной непрерывности, и покажем, что этим
свойством полностью характеризуются те функции,
которые представимы в виде интегралов. Однако
определение абсолютной непрерывности мы дадим сейчас в
несколько иной форме, равносильность которой с
прежней формой будет доказана для функций с конечными
значениями. Рассматривая аддитивные функции,
допускающие бесконечные значения, мы будем считать, что
значение —оо исключено.
Определение. Пусть X — пространство с а-конеч-
ной мерой ц, заданной на 0-алгебрё ©, а ф —
произвольная счетно-аддитивная функция, определенная на
той же о-алгебре, Ъ. Функция <р называется абсолютно
непрерывной по отношению к мере \i (обозначение:
Ф -с ц), если ф(Л) = 0 для любого А е © с цЛ = 0.
Из определения сразу следует, что если ф < ц, то и
все три ее вариации тоже абсолютно непрерывны
относительно ц. Обратно, если полная вариация |ф|<Сц,
ТО И ф < Ц.
Теорема XII. 1.1. Для того чтобы
счетно-аддитивная функция ф с конечными значениями, заданная на
о-алгебре 8, была абсолютно непрерывной относительно
меры ц, необходимо и достаточно, чтобы для любого

§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ- 303J.
е>0 существовало такое б > 0, что |ф(Л)|<е для
каждого А е © с \хА < 6.
Последнее условие коротко можно записать так:
litn ф(Л) = 0. A)
Доказательство. Достаточность условия A)
очевидна для любой счетно-аддитивной функции ф.
Докажем его необходимость.
Допустим, что, несмотря на абсолютную
непрерывность функции ф, условие A) не выполнено. По
теореме XI. 1.4 функция ф ограничена. Зададим числа
оо
б„ > 0 так, что 2 о« < + °°. При некотором е >0
можно подобрать такие множества Л„е© с цАп < бп
(я = 1, 2, ...), что |ф(Лп) |^ е, и тем более |ф| (Ап)^
^ е. Положим
ОО 00
я„=1Мп, в=[)вр.
п=р р=1
Тогда цВ = 0, следовательно, |ф|E) = 0. Но |ф|(АрJ>
^|ф|(Л„)^е при любом р, что противоречит теореме
IV. 1.2.
Приведем пример, показывающий, что доказанная
теорема перестает быть верной, если отказаться от
условия конечности функции ф. При этом в нашем примере
функция ф будет 0-конечной. Именно, разобьем R\ на
счетное множество дизъюнктных множеств Еп с \vEn = \
(здесь |х — мера Лебега) и положим для'любого
измеримого множества A cz R\
ф(Л)=1>ц(ЛГШ.
Ясно, что ф абсолютно непрерывна, однако условие A)
для нее не выполнено, поскольку для любого
измеримого АаЕп имеем ф(Л) = п-цЛ, и таким образом, как
бы мало ни было \хА, значение ф(Л) может быть сколь
угодно большим.
Как показывает следующая теорема, условие A)
представляет интерес не только как характеристика
абсолютно непрерывных функций.

304 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА [ГЛ. XII
Теорема XII. 1.2. Если конечно-аддитивная
функция ф, заданная на а-алгебре, удовлетворяет условию
A), а мера р, конечна, то ф счетно-аддитивна.
00
Доказательство. Пусть А — \J An, где Л„е6
р
и дизъюнктны. Положим Вр = {J Ап. Тогда (i (A \ Вр)->0,
следовательно, по условию A), ф(Л\Вр)->0, а это и
означает, что
ф(Л)=2ф(Л).
§ 2. Теорема Радона — Никодима
Переходим к основной теореме этой главы.
По-прежнему предполагаем, что X — пространство с а-конечной
мерой ц, заданной на а-алгебре 6.
Теорема XII.2.1. (И. Радон —О. Никодим*)).
Если ф — конечная, счетно-аддитивная функция,
заданная на <5, и ф абсолютно непрерывна относительно ц,
то на X существует такая суммируемая (по ц)
функция f, что для любого AeS
<p(A)=jfdli. B)
А
При этом функция f — единственная с точностью до
эквивалентности, т. е. если g — другая суммируемая
функция, удовлетворяющая тому же условию B), то
f~g-
Доказательство. Так как ф = ф+ — ф_, причем
Ф+ и ф_ — тоже конечные, счетно-аддитивные (см.
теоремы,. XI. 1.3—4) и абсолютно непрерывные относительно
ц функции, то достаточно провести доказательство
для случая, когда ф неотрицательна, т. е.' является
мерой в X.
Сначала будем предполагать, что и мера ц конечна.
Положим со = ф + Ц- Это тоже конечная мера в X,
заданная на ©. Рассмотрим пространство L% (со), постро-
*) О. Никодим — польский математик XX столетия.

§2]
ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА
305
енное на X по мере со, т. е. состоящее из функций,
суммируемых на X с квадратом по мере со. Для любой
измеримой функции g
X X
(см. замечание после леммы XI. 2.1), поэтому если
geLx(w), то geL*((p). А так как q>(.X)<-f-°o, то по
теореме IX. 1.1 g суммируема по мере ф. Тогда
интеграл
F(g)=jgd<p
х
представляет дистрибутивный функционал, заданный на
Lx (со). Проверим, что он линеен. Для этого по
теореме III. 7.2 достаточно установить его ограниченность,
что легко сделать с помощью неравенства Буняковск'ого:
|/4g)l2<j?2^f 12^Ф<ф(Х)/я2^ = ф№№
XX X
.Согласно теореме IX.4.1 об общей форме линейного
функционала в пространстве L2, существует такая
функция йе Lx (со), что
F(g) = jghda
х
для любой g^L2x(a>). Тем самым
J gd<p= $ ghd«>. C)
X X
В частности, принимая за g характеристическую
функцию произвольного множества А е ©, получаем, что
Ф (А) = j h da>. ^
А
Отсюда следует, что h(x)^0 почти всюду на X
относительно меры ю. Действительно, если допустить, что

30S АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА [ГЛ. XII
h(x)<0 на множестве AQ с ьзА0 > 0, то по D) и по
теореме VIII. 3.6
Ф(Д0)= Г h da < О,
а у нас функция ф неотрицательна. Кроме того, ф(Л)^
^со(Л) для любого Аеб, а потому
Г h da < со (А).
А
S
Отсюда совершенно аналогично вытекает, что h(x)^.l
почти всюду на X относительно меры «. Не уменьшая
общности, можно считать, что Q^h(x)^.\ при всех
х<=Х.
Введем множество
N=*X[h(x)=\].
С помощью формулы D) имеем
ф(Л0 = J* h da = со (N) = q>(N) + iiN,
N
следовательно, \iN = 0, т. е. h(x)<.\ на всем X, sa
исключением множества N с puV = 0. Заметим, что
благодаря абсолютной непрерывности функции ф также и
ф(А/) = 0.
Из равенства C) следует, что для любой g^.Lx (со)
[ g A — h) d(f> = j ghda — \ gh dq>,
X X X
а тогда по лемме XI. 2.1
Jg(l—A)rff= JgArfji. E)
x x
Если же g — произвольная неотрицательная,
"измеримая, всюду конечная функция на X, то ее срезки gm^
^Lx(a). Записывая равенство E) для gm и
применяя теорему Леви, мы снова получим это же равенство
E) и для g.

§2]
ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА
307
Теперь определим искомую функцию /, полагая
/(*) =
, _\ {х) , если x<=X\N,
0, если х е N.
Проверим равенство B). Для этого зададим g по
формуле
g(x) =
ХА(х)
¦, если х <= X \ N,
1 - Л (х)
0, если х & N
(Ха — характеристическая функция множества А). Ясно,
что эга функция неотрицательна, измерима и конечна.
Подставляя ее в равенство E), получаем, что для
произвольного Де®
Ф (А) = J gh d\i = \ j~ dvL = j* f dp *).
Существование требуемой функции / доказано. При этом
построенная нами функция / неотрицательна.
Переходим к случаю, когда мера \х о-конечна.
Разобьем пространство X на счетное множество
дизъюнктных подмножеств А,- с дЯ; < -f bo (i=l, 2, ...). По
доказанному на каждом из Х( существует такая
неотрицательная суммируемая функция /,-, что для любого
измеримого А а X,-
ф И) = [ /, rf(*.
Определим функцию / на X, полагая f(x) — fi(x), если
j;eXj (i = 1, 2, ...). Тогда / измерима (см.
предложение 3° из VI. 1), неотрицательна и почти всюду конечна
на X. Для любого А е Ъ, с одной стороны,
фМ)=5ф(Л<), где Л, = ЛП*ь
*) Равенство цЛ/ = (p(jV) = 0 позволяет пренебрегать
множеством N при интегрировании.

308 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА [ГЛ. XII
а с другой, по лемме VIII. 2.1
во оо оо
A i=l At l=\ А{ /«=1
и тем самым равенство B) доказано. Из этого
равенства, в частности (при А = X) следует, что f
суммируема на X.
Докажем единственность требуемой функции /. Если
g— вторая функция, удовлетворяющая условию B), то
для их разности / = /— g
А
при любом Де®,
Допустив, что существует множество положительной
меры, на котором или всюду 1(х)>0 или всюду /(х)<0,
мы придем к .противоречию. Следовательно, 1{х) = 0
почти всюду, т. е. f ~ g.
Мы отмечали, что построенная по ходу
доказательства функция / неотрицательна. Таким образом, если
функция ф неотрицательна, то f(x)^Q почти всюду на
X для всякой функции /, удовлетворяющей условию B)
в теореме Радона — Никодима.
Распространим теперь теорему Радона— Никодима
на случай, когда функция ф лишь ст-конечна (и
удовлетворяет прочим условиям этой теоремы). По следствию
из теоремы XI. 1.4 функция ф+ тоже а-конечна.
Разобьем пространство X на счетное множество
дизъюнктных подмножеств Xt (г'=1, 2, ...), на которых ф+(Яг)
конечно. По уже доказанному на каждом подмножестве
Xi существует такая неотрицательная суммируемая
функция g{, что
Ф+(Л)= J gtdn
А
для любого измеримого A cz ЛГ*.

§ 2] ТЕОРЕМА РАДОНА - НИКОДИМА 309
•
Полагая
8(x) = gi(x), если хбХ( (t =1,2, ...),
мы, как и в конце доказательства теоремы XII. 2.1, легко
убедимся, что
Ф+(Л)= j gdy.
для любого А е <В.
Так как функция <р не принимает значения —с», то
по теореме XI. 1.5 она ограничена снизу, и потому ф_
конечна. Тогда по доказанному в теореме XII. 2.1
существует такая суммируемая на X функция h, что
Ф_ (А) = \ hd\i для любого Ле®,
А
Теперь уже ясно, что функция f = g —h и будет
искомой функцией, т. е. для любого А е <5 она будет
удовлетворять условию B). Однако, в отличие от случая,
когда ф была конечной, f на этот раз не обязана быть
суммируемой на всем X.
Функция /, определяемая по заданной функции ф на
основе теоремы Радона — Никодима, называется
производной Радона — Никодима от ф по ц, и иногда ее
обозначают -j=-. Однако при таком определении
производной Радона — Никодима не указывается способ ее
вычисления в отдельных точках, как для обычной
производной, а она строится лишь «глобально» на основе
соотношения B) (с точностью до эквивалентности).
Некоторые указания по поводу возможности определения
производной Радона — Никодима в точке будут
приведены в следующей главе.
Производная Радона—Никодима играет ту же роль,
что и обычная производная от функции одной
переменной, в вопросе о замене переменной под знаком
интеграла. Это становится ясным, если равенство A9) из
гл. XI переписать в виде
//<«»-/'¦&«•

310 АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА [ГЛ. XII
§ 3. Разложение счетно-аддитивной функции по Гану
Теорема Радона — Никодима позволяет легко
вывести одно интересное свойство счетно-аддитивной
функции множества, называемое разложением по Гану*).
Теорема XII.3.1. Пусть <р — а-конечная
счетно-аддитивная функция, заданная на а-алгебре <Ъ
подмножеств множества X. Тогда существуют такие два
множества Хи Х2е<5, что
а) X, U Х2 «= X;
б)Х1[)Х2=0;
в) ф_(*,) = Ф+(**) = ().
Последнее условие означает, что ф(?)^0 на всех
подмножествах ЕаХ\ и ф(?)^0 на всех
подмножествах ЕаХ2 (?с=@).
Доказательство. Полная вариация |ф| —
а-конечная мера в X (см. следствие из теоремы XI. 1.4).
Обозначим ее через ц. Из определения полной вариации
видно, что фСц. Следовательно, существует
производная Радона — Никодима /=_^~- Положим
Xa = X[f(x)<0].
Ясно, что Хи Х2&& и что эти множества
удовлетворяют условиям а) и б), а условие в) вытекает из
формул A3) гл. XI..
Теперь мы можем еше дальше обобщить теорему Радона —
Никодима. Пусть на а-алгебре © подмножеств множества X заданы
две о-конечиые счетно-аддитивные функции <р и со. Будем говорить,
что ф абсолютно непрерывна относительно со, если <р<С|ш|. Пусть
Х{ и Xi — два множества, удовлетворяющие для функции ш всем
условиям предыдущей теоремы. Тогда
I со | (?) «= со (?), ' если ?eS и ? <= X,.
| со | (?) = — со (?), если ? е= @ и ? с: Хг.
*) Г. Ган A879—1934)—'австрийский математик. Прямое, но
более сложное доказательство разложения по Гану можно найти,
например, в книге П. Халмоша, Теория меры, ИЛ, 1953.

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ СЧЕТНО-АДДИТИВН. ФУНКЦИИ ПО ГАНУ 311
Пусть, наконец, g= ,, . . Положим
а | со |
f(x\ = { 8^' еСЛИ Х^Х*'
\ — В М- еСЛИ х *= %2-
Теперь для любого А е @ имеем
Ф(Л)= jgd\(o\= J /rf»+ J (-/)rf(_(B) =
A AflXt A{\X2
= J fda> + j f da = j f da>.
AOXi А[\Хг А

ГЛАВА XIII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Абсолютно непрерывные функции точки
В этой главе мы изучим более подробно интеграл от
функции одной переменной, т. е. интеграл в одномерном
пространстве. Мы будем предполагать, что
подынтегральная функция / задана и суммируема на некотором
отрезке [а, Ь]. В этом случае при любом х е [а, Ь] имеет
смысл функция
х
F(x)=jfdx,
а
т. е. процесс интегрирования приводит естественным
образом не только к интегралу как функции множества,
но и к интегралу «с переменным верхним пределом» —
функции точки. Само собою напрашиваются вопросы:
какие именно функции точки F представимы в виде
интеграла от некоторой суммируемой функции и можно
ли, как в классическом случае интеграла от
непрерывной функции, восстановить подынтегральную функцию /
посредством дифференцирования функции F. Для
решения обоих вопросов введем следующее
Определение. Функция F (с конечными
значениями), заданная на отрезке [а, Ь], называется
абсолютно непрерывной на этом отрезке, если для любого
е > 0 существует такое б > 0, что для всякой конечной
системы неналегающих друг на друга отрезков
[аиЬЦ (i = 1, 2, ..., п) *), содержащихся в [а, Ь], сумма
*) Мы называем два отрезка неналегаюшими, если они не
имеют общих внутренних точек (ср. V. 1). Таким образом, не
исключено, что некоторые из отрезков [а,-, Ы\ имеют общие концы.

I 1] АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ТОЧКИ 313
п
длин которых 2 (&» — ai) < Ь, выполняется неравенство
п
я
1=1
Ясно, что абсолютная непрерывность функции F
влечет ее равномерную непрерывность (достаточно
рассмотреть систему, содержащую всего один отрезок), а
потому и непрерывность в каждой точке отрезка [а, Ь].
Замечание. В определении абсолютной
непрерывности неравенство A) можно заменить более
слабым
2[Р(ь,)-Р(а1)]
t=i
< е. B)
Действительно, пусть е > 0 произвольно, а 6 > 0
таково, что неравенство B) выполнено для любой
конечной системы неналегающих отрезков с суммой длин,
меньшей 6. Беря любую такую систему {[а,-, &Л},-=1,2 п,
разобьем входящие в нее отрезки на две группы: в
первую отнесем все те, для которых F(bi) — F(ai) ^ 0,
а во вторую — все остальные. По условию
неравенство B) должно быть выполнено для каждой из групп
в отдельности; поэтому сумма абсолютных
величин приращений функции F по отрезкам каждой из
этих групп меньше е, а тогда
t\F(bi)-F(ai)\<2e.
Тем самым, вследствие произвольности е, функция F.
абсолютно непрерывна.
Простейшим примером абсолютно непрерывной
функции может служить функция, удовлетворяющая
условию Липшица*), т. е. такая функция F, для
которой при любых Xi и х2 из [а, Ь] выполняется неравен-*
ство
\F(x2)-F(xl)\^C)x2-x1\,
где С — некоторая постоянная. В частности,
абсолютно непрерывной функцией будет всякая дифференци-
*) Р. Липшиц A832—1903)—немецкий математик.

314 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
руемая во всех точках отрезка функция, производная
которой ограничена.
Очевидно, что сумма и разность двух абсолютно
непрерывных функций абсолютно непрерывны.
Условимся, что во всей этой главе буква (д.
означает меру Лебега на пряхмой.
Теперь так же, как это сделано в примере 3 из
XI. 1, сопоставим абсолютно непрерывной на отрезке
[а, Ь] функции F некоторую аддитивную функцию
множества. Именно, пусть <5 — алгебра подмножеств
ячейки I = [а, Ь), порождаемая совокупностью всех
ячеек, содержащихся в /. Если множество Л е <р и
р "
А = (J А{ — его представление в виде конечного объ-
единения дизъюнктных ячеек Дг- = [а,-, ?,), то положим
V(A)=t[F(bt)-F(at)]. C)
Из определения абсолютной непрерывности функ-„
ции F сразу вытекает, что Игл Ф(Л) = 0. Точнее, если
цА < б, то |Ф(Л)|<е для любой пары е и б из
определения абсолютной непрерывности F.
Докажем, что функция Ф ограничена. Возьмем
какую-нибудь только что упомянутую пару е и б. Любое
Ле@ можно представить в виде объединения
конечного числа дизъюнктных множеств А, е 6 (/ = 1,2, ..., /)
А А
так, что ixAj==Y ПРИ каждом j^.l—1 и цЛ/^-д-
(рис. 20). Тогда (/— lWs^fi — а, откуда /<С, где
2
C — -j(b — a)+l. Так как |Ф(Л/)|<е для каждого
/=1, 2, ..., /, то
г
I Ф (Л)|< 2 I Ф (А,) |< /е < Се.

§ 1] АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ТОЧКИ 315
Таким же рассуждением доказывается, что всякая
абсолютно непрерывная функция точки есть функция
ограниченной вариации. Этот результат вытекает
также и из следующей теоремы. Попутно заметим, что
обратное неверно, даже если ограничиться
непрерывными функциями, т. е. непрерывная функция ограничен*
ной вариации может не быть абсолютно непрерывной.
Теорема XIII. 1.1. Каждая абсолютно
непрерывная функция точки F представима в виде разности
двух возрастающих абсолютно непрерывных функций.
Доказательство. Используем только что
построенную функцию Ф, возьмем ее положительную
вариацию Ф+ и положим
[ Ф+ [а, х) при а < х < Ь,
G{x) = \ л
[ О при х~а.
Ясно, что G— возрастающая функция. Докажем,
что она абсолютно непрерывна. Зададим е > О,
подберем соответствующее ему б > 0 из определения
абсолютной непрерывности функции F и рассмотрим
любую конечную систему неналегающих
отрезков [аиЬЦ a[a,b] (i = 1, 2, .... п), для которой
п п
2 (bi — at) < б. Положим Л = (J [ait bt). Тогда А е ©'
и цА < б. По определению положительной вариации
Ф+(Л) = , sup Ф(В).
В<=А, Ве=<5
Но iiB ^ цЛ < б, а потому |Ф(В)|<е,
следовательно, Ф+(Л) sg: е. Иными словами,
S[G(M-G(a,)]<e,
и тем самым абсолютная непрерывность функции G
установлена.
Аналогично с помощью отрицательной вариации Ф_
строим возрастающую абсолютно непрерывную
функцию точки
(Ф_[а, *) при а<х^.Ь,
Н (х) = „
4 [ О при х = а.

316 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
Теперь для любого х е [а, Ь]
F(x) = F(a) + $>[a, х) = F (а) + Ф+ [а, *)-Ф_[а, х) =
= [F(a) + G(x)]-H(x),
а это и есть требуемое представление *).
§ 2. Характеристика функций, представимых
в виде интеграла
Чтобы ответить на первый из вопросов,
поставленных в начале главы, займемся сначала
распространением функции Ф, построенной в предыдущем
параграфе по абсолютно непрерывной функции точки F на
некоторую а-алгебру множеств. Теорема XIII. 1.1
позволяет свести эту задачу к случаю, когда функция F —
возрастающая, а функция Ф, следовательно, —
положительная.
Итак, пусть F—возрастающая абсолютно
непрерывная функция на отрезке [а, Ь], а Ф определена по
формуле C) на алгебре ©, порожденной
совокупностью всех ячеек, содержащихся в J = [a, b). Сужая
область определения функции Ф, будем временно
считать ее заданной только на полукольце ячеек,
содержащихся в /. По теореме XI.6.1 Ф —мера**). Пусть
4я — ее стандартное распространение на некоторую
(Т-алгебру $ подмножеств из /. Ясно, что <S с Z и что
ф(Л) = W(A) для любого А е ©.
Теорема XIII. 2.1. а-алгебра ? содержит все
измеримые по Лебегу подмножества из I. При этом, если
А измеримо и цА = 0, то и У (А) = 0.
Доказательство. Пусть 4я* — внешняя мера,
порожденная мерой Ф. Покажем, что если А с: / и
[Х/4 = 0, то У*(/4) = 0. Зададим е > 0 и подберем
соответствующее ему б > 0 из определения абсолютной
непрерывности функции F. Затем найдем такое
открытое множество G, что А с= G и \iG < б. Представим G
*) Вместе с G функция F(a)+G(x)— также возрастающая
абсолютно непрерывная функция. Если х = а, то ячейка [а, а) —
пустая.
**) Чтобы формально можно было применить теорему XI. 6.1,
нужно доопределить функцию F на всей прямой, полагая, например,
F(х) = F(a) при х < a, F(x) == F(b) при х > Ь. Тогда F станет
функцией распределения.

§2] ФУНКЦИИ. ПРЕДСТАВИМЫЕ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ¦ 317
в виде объединения его составляющих интервалов
{aitbi) (i = 1, 2, ...). Тем более
Af=:{J[at, bt),
i
причем все эти ячейки дизъюнктны. Не уменьшая
общности, можно считать, что все ячейки [a,-, bt) с: /
(поскольку само /1с/), По определению внешней
меры W*
V*(Л)< 2 Ф К Ь,) = 2 [F(bt) - F(а,)].
i I
Если слагаемых в правой части — конечное число, то
вся сумма будет меньше е, поскольку 2 (bt — at) < 6.
Если же слагаемых — бесконечное множество, то
Hm I>lF(bi)-F(at)]<e.
ц->оо (=1
Таким образом, W*(A) ^ e, и вследствие
произвольности е, W*(A) = 0.
Известно, что если Л?*(А) = 0, то множество А
^-измеримо (см. IV. 3, предложение 1°),
следовательно, Лег*) и?(/1)=0.
Пусть теперь А — произвольное измеримое по Ле<
бегу подмножество из /. По теореме V.5.6 А = Н [)В,
где Я —типа Ft, В(]Н = 0 и \iB = 0. По уже
доказанному Bel, С другой стороны, все борелевы
подмножества из / должны входить в 1, поскольку сг-ал-
гебра борелевых множеств — наименьшая а-алгебра,
содержащая все ячейки. Следовательно, Яе1, а
потому и А е St. Теорема доказана.
Обозначим через Ш а-алгебру всех измеримых по
Лебегу подмножеств ячейки /. По теореме XIII. 2.1
Ш cz St. Заметим, что St может быть существенно шире,
чем Ж. Например, если F(x) = const на некотором
отрезке [а, р]с:[а, Ь], то все подмножества ячейки [а, р)
входят в %. Будем дальше рассматривать сужение
функции W на о-алгебре Ж, обозначая это сужение
*) Напоминаем, что по определению стандартного
распространения ст-алгебра S? состоит из всех ^'-измеримых множеств.

318 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
той же буквой W. Тогда в предыдущей теореме
содержится следующее утверждение: ^Сц.
Теорема XIII. 2.2. Для того чтобы функция
точки F, заданная на отрезке [а, Ь], была представима в
виде
X
F(x) = F(a)+jfdx, D)
а
где f — некоторая суммируемая на [а, Ь] функция,
необходимо и достаточно, чтобы F была абсолютно
непрерывной.
Доказательство. Необходимость условия
вытекает из свойства абсолютной непрерывности
интеграла от суммируе.мои функции (ср. замечание по поводу
неравенства B)). Докажем его достаточность. При
этом благодаря теореме XIII. 1.1 достаточно провести
доказательство для случая, когда F — возрастающая.
Используем построенную выше счетно-аддитивную
функцию W на cr-алгебре ffl. Так как она абсолютно
непрерывна относительно jx, то по теореме Радона —
Никодима она представима в виде интеграла от
некоторой суммируемой функции:
4(A) = $fdx (Ле=5й).
А
В частности, для любого х е [а, Ь]
х
F(x)-F(a) = 0[a, x) = W[a, x)=jfdx.
а
§ 3. Дифференцирование непрерывных монотонных
функций
Как известно, непрерывная функция не обязана
быть дифференцируемой. Более того, существуют
примеры непрерывных функций, которые ни в одной точке
не имеют производной*). Однако, если предположить,
что непрерывная функция монотонна, то вопрос об ее
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, том II,

§ 3] ПРОИЗВОДНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 319
дифференцируемости решается положительно, за
исключением, может быть, множества точек, имеющего
меру 0. Сейчас мы и проведем исследование этого
вопроса для возрастающей функции. При этом мы будем
придерживаться схемы изложения, предложенной в
книге Ф. Рисса и Б. С. Надя «Лекции по
функциональному анализу».
Определение. Пусть g— непрерывная функция,
заданная на отрезке [а, Ь]. Внутреннюю точку х из
этого отрезка назовем п-точкой (соответственно л-точ-
кой), если существует такая точка. |, что х < | ^ Ь
(соответственно а ^ \ < х) и что g{Vj> g (x).
Множество всех п-точек
(соответственно л-точек)
функции g обозначим Кп
(соответственно /Сл),
точнее Ka(g) И K.i(g).
Ясно, что если х0 е
е(а, Ь) — точка, в
которой функция g
принимает наибольшее
значение, то ха не входит ни в
Кп, ни в К.1- Однако
всякая другая внутренняя
точка отрезка [а, Ь] принадлежит по крайней мере
одному из этих множеств. В то же время не исключено,
что одно из множеств Ка или Кл пусто, например,
Кл = 0 для возрастающей функции. Для функции,
изображенной на рис. 21, /(„ = (а, Р), Кп=(а, Ь).
Лемма XIII. 3.1. Для любой непрерывной
функции g, заданной на отрезке [а, Ь), множества Кл и Ка
открыты. При этом, если (а, р) — составляющий
интервал множества Кп (соответственно Кл), то g(<x) ^
jg:g(P) (соответственно |f (а) ^я(Р)).
Доказательство. Проведем рассуждение для
множества Кп- Если х е Кп, 1>х и g(x) <g(l), то
по непрерывности функции g то же неравенство
выполнено и в некоторой окрестности точки х,
следовательно, х — внутренняя точка множества Ки, а КП открыто.
Пусть (а, р) — произвольный составляющий интер«
вал множества Кп- Предположим, что g(a) > g(P).
Тогда существует такая точка x0f что а < х0 < р, a

320 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
g(xo) >g(P)- На отрезке [х0, Р] найдем точку xit где
функция g принимает наибольшее на этом отрезке
значение. Ясно, что Xi ф р, а потому Xi e Ка-
Следовательно, существует \ > хи где g(l) > g(xi). При этом
неравенство Xi < | ^ р невозможно по определению
точки х^ Если же допустить, что | > р, то из
неравенства g(P) < g(xo) ^g{Xi) < g(l) вытекает, что
Р е /Сп, что тоже исключено. Полученное противоречие
доказывает, что g(a) s^ g(P)*).
Пусть теперь F — произвольная функция (с
конечными значениями), заданная на отрезке [а, Ь), Хо е
е (а, Ь). Составим отношение
F(x)-F(xu) ,g.
X — Xq '
и введем следующие определения: наибольший
(соответственно наименьший) предел этого отношения
тт— F(x)-F{x0) (
при х -* х0 справа hm —————^ соответственно,
х->х„+0 X Хо у
.. F(x)-F(x0)\ ,
lim ——. —^-\ называется правым верхним (соот-
, п X — Xq I
ветственно нижним) производным числом функции F
в точке х0 и обозначается DnF(xa) (соответственно
DnF(x0)). Аналогично, определяются левые
производные числа ПлР(хо) и DnF(xo). Ясно, что наличие
обычной производной F'(xo) означает, что
DnF (х0) = DnF (х0) = DAF (х0) = DnF (*0),
и при этом все четыре производных числа совпадают
cF'(*o).
Рассмотрим следующий пример. Пусть функция F
задана на отрезке [0, 1] так, что
F(x) = {
1, если х — рациональное,
0, если х — иррациональное.
Тогда, если х0 — рациональное, то отношение E) при
х > Хо может принимать только значения
отрицательные или равные 0, причем это отношение, по мере
приближения х к Хо, может стать сколь угодно большим
*) Легко понять, что если аф_а, то g(a) — g($).

§ 3] ПРОИЗВОДНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 321
по абсолютной величине. Отсюда сразу следует, что
DaF(x0) = О, DnF(xo) =—оо. С другой стороны, при
х <L_xu отношение E) оказывается неотрицательным,
и D:iF(x0) = +oo, D:1F(x0) = 0. Если же х0 —
иррациональное, то положение меняется и легко выяснить,
что в этом случае
D„F (*о) = + °°. DaF (х0) = DaF (х0) = 0, DaF (х0) = - оо.
Ни в одной точке наша функция не имеет ни обычной
(двусторонней) производной, ни даже односторонних
производных.
Если функция F — возрастающая, то отношение
E) при любом х Ф х0 неотрицательно, а потому все
четыре ее производных числа тоже не отрицательны.
Будем дальше считать функцию F непрерывной и
возрастающей на отрезке [а, Ь].
Лемма XIII. 3.2. Пусть множество Ее. (а, Ь) и
существует такая постоянная М > 0, что DnF(x)>M в
любой точке х е Е. Тогда
^E^[F(b)-F(a)]. F)
Доказательство. Из определения DaF следует,
что для любого Хо <= Е существует такое ? > Хо, что
HI)-Ffa)>
S — хо
откуда
F(l)-Ml>F(x,)-Mxu. G)
Введем функцию, непрерывную на всем отрезке [а, Ь]:
g(x) = F {x) - Мх.
Тогда неравенство G) означает, что хй — п-точка
функции g. Таким образом, Ec:Kn{g).
По предыдущей лемме Kn(g) открыто.
Следовательно, оно представимо в виде объединения составляющих
интервалов:
tfn(g) = (J(a»> P»)-
п
При этом g (a„) < g (Р„) для каждого п, т. е.
M(pn-an)^F(%)-F(an).
И Б. 3. Вулнх

322 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ, XIII
Отсюда
1**?<|х*„(*) = 2(ря-ав)<
п
П
Следствие. Если Е = {х; же (a, b),DaF{x) =~-f"o°},
то цЕ = 0.
Действительно, в этом случае неравенство F)
справедливо при любом М > 0.
Лемма XIII. 3.3. Пусть множество Е cz (a, b) и
существует такая постоянная N > 0, что DxF(x) < N в
любой точке х е Е. Тогда существует такое открытое
множество G cz (а, Ь), что EczG и что на каждом
составляющем интервале (а, р) множества G
. F(P)-f(a)<iV(P-a). (8)
Доказательство. Пусть ХоеЕ. По
определению DnF существует такое | < дг0, что
f(l)-^Uo) <v
откуда
/7(?)-^6>F(*tf)-^0.
Полагая, аналогично предыдущему доказательству,
g(x) = F{x) — Nx, видим, что х0^Кл(я)- Таким
образом, если G = K.i{g), то EczC? и G открыто. Кроме
того, для любого его составляющего интервала (a, р)
имеем g(a)^g(P), а это равносильно неравенству (8).
Лемма XIII.3.4. Пусть' 0 < JV < М < ^ьо,
? с: (а, ?)•«
ДлР(х)<ЛГ<М<Д/(^)
(Эля каждого х е ?. Тогда ц? = 0.
Доказательство. Пусть G — открытое
множество, удовлетворяющее всем требованиям предыдущей
леммы, а (an, рп) — его составляющие интервалы! По*
ложим Еп — Е[\ (an, pn). Тогда ? = U^«- К каждому
п.

§ 3] ПРОИЗВОДНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 323
из Еп применим лемму XIII. 3.2, рассматривая
функцию F на отрезке [ап, М- По этой лемме и по
неравенству (8)
»Еп < ±- [F Ю - F (а„)] < -g- (рЛ - а„).
Отсюда, полагая X — N/M@ < % < 1), имеем
» л
Возьмем теперь произвольный отрезок [а', b'] a
~а[а, Ь] и положим Е' = Е П (а', ?')• Применяя уже
доказанное к множеству ?', получим, что ц*Е' г?Г
г^А,F' —а')- Остается вывести отсюда, что ji? == 0.
По теореме V. 5.5 для любого е > 0 существует
такое открытое множество G гэ.?, что
p,G < ц'Е + е.
Не уменьшая общности, можно считать, что Gc (a,b).
Пусть G = (J (a„, &„)—представление множества G в
л
виде объединения его составляющих интервалов.
Тогда Е = (J Еп, где ?„ = ? П (а„, 6„), и по уже дока-
п
занному
\х'Е < 2 ц*?„ < Я 2 F„ - а„) = A^G < Л (fi*? + e).
Л П
Переходя- к пределу при е "-*• 0, получим р,*? ^ Кц*Е,
что возможно лишь при ц*? = 0.
Лемма XIII. 3.5. Пусть
E = {x;xs= (а, Ь), DAF (х) < DaF (x)}.
Тогда ц? = 0.
Доказательство. Рассмотрим всевозможные
пары положительных рациональных чисел р и q, для
которых р <. q. Таких пар счетное множество. Пусть
Ер, q = {х; х <= (а, Ь), DJ> (x)<p<q< DnF (x)}.
Ясно, что каждое Epqc:.E и, обратно, для -лю'бого
х s ? найдется такая пара рациональных чисел р и q,
И*

324
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
ГГЛ. XIII
~ь
-а
Рис. 22.
что х е Epq. Таким образом, Е = (J Epq. По предыду-
р<ч
щей лемме iiEpq = О для любой пары р н q, a тогда и
ц? = 0.
Теорема XIII.3.1 (А. Лебег). Если F —
непрерывная возрастающая функция, заданная на
отрезке [а, Ь], то почти всюду
на этом отрезке
существует конечная
производная F'(x).
Доказательство.
По следствию из леммы
XIII. 3.2 DnF(x)<+оо
почти всюду, а по лемме
XIII. 3.5 D_^F(x)^DaF(x)
тоже почти всюду.
Рассмотрим функцию Ф(х) —
= —F(—x) на отрезке
\—Ь, —а]. Эта функция
непрерывна и возрастает, как и F (рис. 22),
следовательно, и для нее
АаФ (х) > Д, Ф (х) ПОЧТИ ВСЮДУ.
В то же время из равенства
F(x)-F(x0) _ Ф(-х)-Ф(-х0)
х — х0 —х—{—ха)
следует, что DJ> (х0) ~ Я„Ф (- х0), a DnF (х0) = Г>ЛФ (- *„),
и потому DnF (x) > DnF (x) почти всюду. Кроме того,
по определению
DaF(x)^DttF(x) и D/W<D/W
всюду. Объединяя все полученные неравенства для
производных чисел функции F, видим, что почти всюду
на отрезке [а, Ь]
О < DnF (х) < DJP (х) < DJP (х) < DnF (х) < DaF (х)< + со,
следовательно, почти всюду существует F'(x) и она
конечна.

§ 3] ПРОИЗВОДНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 325
Теорема XIII. 3.2. Если F— непрерывная
возрастающая функция на. отрезке \а, Ь], то ее производная F!
суммируема на этом отрезке и
ъ
J F'dx^F(b)-F(a). (9)
а
Доказательство. Будем считать функцию F
определенной на отрезке [а, 6+1], полагая
F(x) = F(b) при &<*<&+1.
Далее введем функции
ФЛ(*)=»«[>(*+ ¦?¦)-/'(*)] (<*<*<*, л=1, 2, ...).
Так как F возрастает, то ф„(дс)^0 при всех х. Кроме
того, ф„ непрерывны и ф„ (х) -> F' (х) во всех точках,
где F'{x) существует, т. е. почти всюду на отрезке [а, Ь].
Отсюда, по теореме VI. 4.2, вытекает, что F' измерима.
По теореме Фату
j F'dx"^ sup J" qndx.
A0)
Ho-
ь
\<$ndx = n J f(x +-~^\dx— \ F(x)dx
a
a b
j F(x)dx— J F(x)dx
= n
a+-
n
= n
a+—
a+-
f F(x)dx— j* F(x)dx = F(b)-n j F(x)dx.
*) Здесь мы использовали классическое правило замены
переменной в определенном интеграле от непрерывной функции,

326 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
Так как F(x)^F(a), то
п J F(x)dx>F(a),
а
и потому
Ь
$yndx^F(b)-F(a) (л=1, 2, ...)•
а
Теперь неравенство (9) очевидным образом вытекает
из A0).
Заметим, что в общем случае в формуле (9)
возможно строгое неравенство, т. е. для производной от
непрерывной возрастающей функции не всегда
справедлива формула Ньютона — Лейбница. Например,
существуют непрерывные возрастающие функции, отличные
от постоянной, у которых производная почти всюду
равна 0*). Ниже, в XIII. 5, мы увидим, что
необходимым и достаточным условием того, чтобы в формуле
(9) имел место знак равенства, является абсолютная
непрерывность функции F.
В заключение этого параграфа остановимся на
одной теореме о почленном дифференцировании ряда
монотонных функций.
Теорема XIII. 3.3 (Г. Фубини). Если Fn — функ-
ции, возрастающие на отрезке [а, Ь], и ряд 2 Fn cxo-
дится во всех точках этого отрезка к некоторой функции
F [F (х) = 2 Fn (х)), то для почти всех х е [а, Ь] допу-
\ п=1 /
стимо почленное дифференцирование этого ряда, т. е.
существует конечная F'(x) и
Ff(x)=^P'n(x). (И)
Доказательство. Мы докажем сейчас эту
теорему с помощью теоремы XIII. 3.1, для чего нам при-
*) См. И. П. Натансон, Теория функций вещественной
переменной, Физматгиз, 1957, стр. 232.

§ 3] ПРОИЗВОДНАЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 327
дется предполагать, что все функции Fn и F непрерывны.
В следующем параграфе мы увидим, что на самом деле
теорема верна и без этого ограничения.
а) Прежде всего ясно, что функция F — тоже
возрастающая. Далее, не умаляя общности, можно
считать, что Fn(a) = О при всех п. Проверим, что ряд в
формуле A1) сходится почти всюду. Из теоремы
XIII. 3.1 следует, что для почти всех х е [а, Ь] все функ«
ции Fn и функция F имеют конечные производные
F'n (х) и F'(x). Множество всех таких х обозначим
через А. Положим
«»(*)= ?м*> («=1,2,...).
I
Тогда Sn+i — Sn, а также F — S„ — возрастающие
функции. Отсюда вытекает, что при всех х е А
S'n(x)^S'n+i(x)<Ff(x).
Следовательно, существует конечный Iim S'n (х), т. е.
00
ряд 2 F'n(x) сходится при всех хеА
б) Теперь докажем равенство A1). Подберем
возрастающую последовательность" индексов {nft} так, что
F{b)-Snh(b)<± (* = 1, 2, ...).
Тогда
1) 0 < F (х) - Snk (х) < F (Ь) - Snk (b) < —¦ для любого
х е= [а, Ь]\
2) ряд 2i[F(b) — S„k(b)] сходится.
Поэтому ряд
i[F(x)-S4(x)]
сходится равномерно на отрезке [а, Ь], а поскольку его
члены непрерывны, то и его сумма непрерывна. Так
как этот ряд состоит из возрастающих непрерывных

328 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII -
функций, то он удовлетворяет условиям доказываемой
теоремы, и по доказанному в п.а) ряд из производных
^[F'(x)-S'nk(x)]
сходится почти всюду. Следовательно,
F' (х)— SL (х)——> 0 почти всюду,
т. е.
SL(x) + F'(х) почти всюду.
Но так как при каждом х е А последовательность
{S'n (*)}-—возрастающая, то ее предел (конечный или
+оо) существует и он должен совпадать с пределом
частичной последовательности. Таким образом, .Si(*)—>•
~*F'{x) почти всюду, а это и означает равенство A1).
Заметим, что непрерывность функций Fn и F была
использована в этом доказательстве только для того,
чтобы гарантировать существование почти всюду
конечных производных F'n(x) и F' (х).
§ 4. Дифференцирование разрывных монотонных
функций
Покажем теперь, как изложенное в предыдущем параграфе
переносится на произвольные монотонные функции. Пусть F —
возрастающая функция, заданная на отрезке [а, Ь]. Как известно,
в любой точке х0 е (а, Ь) существуют конечные односторонние
пределы F(xq + 0) и F(xq — 0} *), причем
F(xo-0XF(xo)<F(x0 + Q),
а точки разрыва функции F характеризуются тем, что хоть одно
из этих неравенств — строгое. Если а (соответственно Ь) — точка
разрыва, то F(а) < F(а + 0) (соответственно F(b — 0)<.F(b)).
Для любой точки х0 е(а, Ь) разность
6+(x0) = F(x0 + 0)-F(x0)
называется скачком справа (функции F), разность
,6-(x0) = F(x0)-F(xQ-0)
— скачком слева, а разность
6(x0) = F(x0 + 0)-F(x0-0)
— двусторонним скачком. В точке а определяется только скачок
*) Монотонная функция может иметь разрывы тхэлько I рода.

§ 4] ПРОИЗВОДНАЯ РАЗРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 329
справа, в точке Ь — только скачок слева, и по определению
полагаем о(а)=б+(а), 6F)=о_F). Непрерывность функции F в
какой-нибудь точке с той или иной стороны означает, что
соответствующий скачок равен 0.
Теорема XIII. 4.1. Множество Я точек разрыва
возрастающей функции F не более чем счетно.
Доказательство. Пусть F задана на отрезке [а,Ь\
Н — множество всех ее точек разрыва, а Нп — множество всех то-
ОО
чек, где б (х) >— (п — 1, 2, ...). Тогда Я = (J Нп. Покажем,
п=1
что каждое из множеств Нп конечно, а тогда Я не более чем счетно.
Положим А = F(b)—F(a) и покажем, что число точек в Я„
должно быть меньше, чем пА. Допустим, что в Я„ нашлось k
различных точек. Занумеруем их слева направо:
а < с1 < сг < ... < ск < Ь.
Тогда
F(o)<F(с, - 0)<F(с, + 0)<
<F(c2-Q)<F(c2 + 0)^...^F(ck-0)<F(ck + 0)^F(b)*)
Отсюда
k
2i[F(ci + 0)-F(cl-0)]<F(b)-F(a) = A. A2)
г=1
Но ci e Яп, и потому
следовательно, ?•—<Л, а ?<яЛ. Теорема доказана.
Теперь занумеруем заново все точки множества Я, т. е. все
точки разрыва функции F: Н = {сЛ. Тогда
2ib(cl)<A = F(b)-F(a). A3)
/
Действительно, для любого конечного числа слагаемых в левой
части это неравенство получается так же, как и A2). Если же Я
счетно, то к той же оценке мы придем с помощью предельного перехода.
Исходя из функции F, определим функцию S, задаваемую на-
всем отрезке [а, Ь] следующим способом:
S (а) = 0,
$(*)= 2 °(<7) + 6_(х) при а<*<6
. i.Cj<X
*) Если С\ = а (соответственно Ch — b), то F{c\ — 0)
(соответственно F(ct4-0)) нужно пропустить, а в сумме из неравенства A2)
заменить его на F(a) (соответственно F{b)),

330 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
(здесь суммирование распространяется на все те индексы /, при
которых точки разрыва с, лежат строго левее х). Эта функция S
называется функцией скачков функции F. Ясно, что S —
возрастающая функция, aO<S(x)<S(ft)</l при всех х.
Теорема XIII. 4.2. Разность G = F— 5 — непрерывная
возрастающая функция на отрезке [а, Ь].
Доказательство. Пусть а ^ Xi < хг ^ Ь. Разность
S(*2)-S(*l) = M*l)+ 2 *(С/) + М*2).
/(*1<<7<*2)
т. е. это — сумма всех скачков сужения функции F на ofpe3Ke \хи х&
Применяя формулу A3) к этому отрезку, мы находим, что
S(x,)-SU,)<F(x,)-f(je,J, A4)
откуда G(x2)—G(xi)^0. Тем самым, функция G — возрастающая.
Возьмем произвольную точку х0 е [а, Ь) и докажем, что G
непрерывна в этой точке справа. Если х > хо, то по формуле iA4)
S{x)-S{x0)<F(x)-F(x0).
Переходя здесь к пределу при х -> х0 + 0, получим
5 (*0 + 0) - 5 (*0) < F (*0 + 0) - F (хр). A5)
С другой стороны,
S(x)-S (дс„) > S+ (*„) = F (хо .+ 0) - F (xQ),
8 ПОТОМУ И
S (х0 + 0) - S (дг0) > F (лг0 + 0) - F (*„). A6)
Сопоставляя A5) и A6), видим, что
S (х0 + 0) - S Ы = F (*о + 0) - F (*0).
Отсюда
G (*„ + 0) = Г (ха + 0) - S (х0 + 0) = F (х0) - S (х0) = С (*„).
Аналогично доказывается непрерывность функции G слева.
Переходим к распространению теоремы XIII. 3.1 на
произвольные возрастающие функции.
Функцию g, заданную на отрезке [а, Ь], назовем г-функцией,
если все ее разрывы только I рода. В частности, класс /--функций
содержит все непрерывные на отрезке функции и все монотонные
функции. Заметим, что сумма двух г-функций — тоже '/--функция.
Если g — r-функция, то для кажДой точки х0 е (а, Ь) положим
G (х) = max [g (x), g (х + 0), g {x - 0)],
а на концах отрезка [а, Ъ] полагаем
G (а) = max [g (a), g(a + 0)], G (b) = max [g F), g (b - 0)].
Совершенно элементарно доказывается, что всякая
/--функция g ограничена, а ее верхняя грань «достигается» в следующем

§ 4] ПРОИЗВОДНАЯ РАЗРЫВНОЙ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ 331
смысле: если М = supg(x) на [а, Ь], то существует точка хо е [а, Ь],
в которой G(xo) = М.
Определение п-точек и л-точек, введенное в предыдущем
параграфе для непрерывных функций, переносится на r-функции в
следующем виде: х0 е (а, Ь) — п-точка (соответственно л-точка), если
существует такое § > х0 (соответственно ? < Хо), что G(xo)j< g(|).
Лемма XIII. 3.1 обобщается так: если g —r-функция на
отрезке [а, о], то множества Кп ее п-точек и Кл ее л-точек открыты;
при этом, если (а, Р) — составляющий интервал множества Кп
(соответственно Ка), то g(« + 0)^G(|3) (соответственно G(aJs
>«Г(Р-0)).
Чтобы доказать, что #п открыто, достаточно заметить, что если
G(*o) < g(I), то неравенство g(х)<с < g(?) выполнено для ввех х
из некоторой, окрестности точки Хо, а тогда G(x)<g(§) в этой
окрестности. Дальнейшее рассуждение почти не отличается от
доказательства леммы XIII. 3.1 и мы предоставляем его читателю.
Пусть теперь F — произвольная возрастающая функция на
отрезке [а,Ь]. Лемма XIII. 3.2 остается для нее в силе. При этом,
поскольку множество Я всех точек разрыва функции F не более чем
счетно и, следовательно, имеет меру 0, достаточно получить
оценку F) для множества Е\Н, а для-этого множества в
доказательстве леммы почти ничего не изменится*). Кроме того, есДй
заметить, что значения функции F на концах отрезка не влияют на ее
производные числа во внутренних точках, то неравенство (б) можно
уточнить и получить вместо него
^E^-^[F(b-0)-F(a + 0)]**).
В лемме XIII. 3.3 вместо неравенства (8) получится
/?(P_0)-F(a + 0)<Af(P-a), A7)
а от Q следует потребовать, чтобы Е \ Н cr G.
После этого без всяких изменений доказываются леммы XIII. 3.4
и XIII. 3.5, а затем и теорема XIII. 3.1. Таким образом, у всякой
возрастающей на отрезке [а, Ь] функции F почти всюду существует
конечная производная F'(x). To же самое, очевидно, справедливо и
для всякой функции ограниченной вариации.
После переноса теоремы XIII. 3.1 на произвольные
возрастающие функции можно и теорему Фубини (XIII. 3.3) получить Для
рядов из произвольных возрастающих функций. А теперь легко
рассмотреть вопрос о дифференцировании функции скачков.
Теорема XIII.-4.3. Пусть F — возрастающая функция на
отрезке [a,b], S — ee функция скачков. Тогда S'(x)=Q почти всюду
на [а, Ь].
*) В процессе доказательства полезно учесть, что, поскольку
F — возрастающая функция, а g(x)= F(x) — Мх (g —/--функция)',
то для любого х < Ь имеем G(x) = F(x + 0) — Мх.
**) Нужно временно принять F(o + 0) и F(b — Q) за значения
функции F на концах отрезка [а, Ь],

332 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. ХП1
Доказательство. Перенумеруем все точки разрыва
функции F: Си Сг, ... Каждой точке ск е (а, Ь) сопоставим функцию,
заданную на отрезке [а, Ь] по формулам
О при х < ск,
Sk (x) = 6_(cfc) при x=ck,
b(ck) при x>ck.
Если ck — а. (соответственно ск = 6) при некотором k, то полагаем
при х = а,
г) при х>а
О при х < 6,'
/ @ при КМ
(соответственно Sk (х) = \ Я/1А I.
Ясно, что каждая из функций Sk — возрастающая и что S? (*) = О
при всех хфск. Кроме того,
S(x) = ^Sk(x)
k
при всех х е [a, ?]. А тогда по теореме Фубини *)
s' (х) — 2 $к (*) = ° почти всюду.
k
Теперь покажем, что и теорема XIII. 3.2 сохраняется для
произвольной возрастающей функции f**). Пусть S — ее функция
скачков, a G = F— S. Тогда по теореме XIII. 4.2 G— непрерывная
возрастающая функция и потому, по доказанному в теореме XIII. 3.2,
ь
\ G'dx^G(b)-G{a).
а
Кроме того, по предыдущей теореме F' (х) = G' (лг) почти всюду, а
F(b)-F (a) = G(b)-G(a) + S (b) ~S(a)^G (b) - G (a).
Следовательно,
ь
[ F'dx^F(b)-F(a).
a
*) Ясно, что ссылка на теорему Фубини нужна только в
случае, если точек разрыва у функции F — бесконечное множество.
**) Впрочем, доказательство теоремы XIII. 3.2, проведенное в
предыдущем параграфе, лишь с незначительными уточнениями
применимо и в общем случае.

§ 5] ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ИНТЕГРАЛА 333
§ 5. Производная от интеграла
В этом параграфе мы займемся ответом на второй
вопрос, поставленный в начале главы: если функция F.
представима в виде интеграла от некоторой
суммируемой функции /,
х
F(x) = $ fdx,
а
то имеет ли место равенство F'(x) =f(x)} Как и в
классическом случае, легко доказать, что это равенство
справедливо в каждой точке, где f непрерывна. Однако
суммируемая функция может не иметь ни одной точки
непрерывности. Все же, как мы убедимся ниже, и для
произвольной суммируемой функции имеется «весьма
много» точек, где F'{x) = f{x).
Лемма XIII. 5.1. Если функция f суммируема на
отрезке [аг Ь] и для любого отрезка [а, р] с [а, Ь]
р
\fdx^Q,
а
то f(x) ^ О почти всюду на [а, Ь].
Доказательство. Из условия леммы сразу сле«
дует,ч что для любого открытого множества Gc(a,b)-
о
Если Кс:(а,Ь) — множество типа G6, то оно предста-
вимо в виде пересечения убывающей последователь-
оо
ности открытых множеств Gncz(a, b), K= f] Gn, а тог-
да по теореме IV. 1.2
j7rfn = lim |fd|*>0.
к ап
Наконец, пусть Е—произвольное измеримое
множество из (а, Ь). По теореме V. 5.6 существует такое мно«
жество К с: (а, Ь) типа G&, что EczK и ц(К\Е) = 0.

334 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
Тогда
? К
Если же'допустить, что f(x) < О на множестве Е
положительной меры (можно считать, что Еа(а,Ь)), то по
теореме XIII. 3.6 J f dp < О, и мы приходим к противо-
е '
речию.
Теорема XIII. 5.1. Пусть функция f суммируема
на отрезке [a, b], a
X
F(x)=jfdx. A8)
а
Тогда F'(x) = f(x) почти всюду на [а,Ь].
Доказательство. Так как всякая суммируемая
функция представима в виде разности неотрицательных
суммируемых функций, то достаточно доказать теорему
для случая, когда f(x) ^ 0.
Пусть сначала функция / ограничена: 0^/(х)^М.
X
Положим g (х) = М — / (х) и G (х) = J g dx. Тогда
а
х
H(x)=j(f + g)dx = M(x-a)
а
и функция Я всюду имеет производную Н'(х) = М.
Обе функции F и G — возрастающие (и
непрерывные), и по теореме XIII. 3.2 для любого отрезка [а, р] с:
<= [а, Ь)
J F'dx^F(®-F(a) = J fdx.
a a
Следовательно,

§5]
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ИНТЕГРАЛА
335
Тогда, по предыдущей лемме, f(x)— F'(x) ^ 0 почти
всюду. - Совершенно аналогично, g(x) — G'(x) ^ 0
почти всюду. Если хоть в одном из этих соотношений
строгое неравенство имеет место на множестве
положительной меры, то найдется по крайней мере одна точка
х, в которой
M = f(x) + g(x)>F'(x) + G'(x) = H'(x) = M%
и мы приходим к противоречию. - Следовательно,
F'(x) = f(x) почти всюду.
Переходим к случаю, когда f — неограниченная
суммируемая функция (по-прежнему /(*)>0). Пусть fm —
X
ее срезки, a Fm(x) = J fmdx. По уже доказанному F'm=*
а
— fm(x) почти всюду. Составим ряд
Fi + i^-FJi- ... +(F»-/V-i)+ ...
Так как fm(x) — fm-i(x)'^0 всюду,v то функции Fm —
— Fm^i — возрастающие. Сумма этого ряда равна
X X
UmFm(x) — \\m [ fmdx= Г fdx = F(x)
а а
(см. предложение а) из VIII. 4), а по теореме XIII. 3.3 **)
почти всюду на [а, Ь]
F'(х) = F[ (х) + 2 [F'm(x) - F'm., (х)] =»
т—2
= /i (X) + S [fm (X) - /m_, (X)] = / (*).
m=2
Теорема доказана.
Объединяя доказанный результат с теоремой
XIII. 2.2, можно заключить, что всякая абсолютно не-
*) Если, например, f(x)> F'(x) на множестве положительной
меры, то это множество непременно пересекается с множеством,
где g(x)^ G'(x), поскольку второе неравенство справедливо почти
всюду.
**) Заметим, что здесь мы применяем теорему Фубини к ряду,
составленному из непрерывных функций, и 'тем самым ссылки на
обобщение из XIII. 4 не требуется.

336
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
прерывная функция F представима по формуле D) в
виде интеграла от своей производной:
X
F(x) = F(a) + J" F'dx.
а
Отсюда сразу вытекает:
1°. Если F абсолютно непрерывна, a F'(x) = 0 почти
всюду, то F(x) = const.
2°. Если F и G абсолютно непрерывны, a F'{x) =
= G'(x) почти всюду, то F(x)— G(x) = const.
Вернемся снова к произвольной возрастающей
функции F и к формуле (9).
Теорема XIII. 5.2. Для того чтобы в формуле (9)
имел место знак равенства, необходимо и достаточно,
чтобы функция F была абсолютно непрерывной.
Доказательство. Достаточность условия
вытекает из предыдущей теоремы. Проверим его
необходимость.
Пусть
ь
| F'dx = F(Ь) - F(а). A9)
а
Но для любого х е (а,Ь), применяя формулу (9)
порознь к отрезкам [а, х] и [х, Ь], имеем
х ь
j* F'dx< F(х) - F(a), j F'dx ^F(b)-F(x).
а а
Если бы хоть в одной из этих формул выполнялось
строгое неравенство, мы бы получили, что
ь
\F'dx<F{b)-F{a),
а
вопреки условию A9). Следовательно, функция F
представима по формуле D), а потому она абсолютно не*
прерывна.

§ 5] ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ИНТЕГРАЛА 337
Приведем одно усиление теоремы XIII. 5.1.
Соотношение F (x0) = f(x0) означает для функции A8), что
x0+h
х0
или (если f(x0) конечно)
x0+h
i } [/(*)-/(*<,)№—>0. B0)
х,
Несколько усиливая соотношение B0), приходим к
следующему определению.
Определение. Точка х0 е [а, Ь] называется
точкой Лебега суммируемой на [а, Ь] функции /, если f(x0)
конечно и
Xo + ft
4 J L/M-/(-*o)№—0>o. Bi)
Легко видеть, что всякая точка хо, где функция f
непрерывна, является ее точкой Лебега.
Теорема XIII. 5.3. Если функция f суммируема на
отрезке [а, Ь], то почти все точки этого отрезка суть
точки Лебега функции f.
Доказательство. Пусть г — произвольное ра<
циональное число. Функция \f{x)—r\ вместе с f
суммируема на [а, Ь], следовательно, по теореме XIII. 5.1,
для почти Bftex хо ^ [а, Ь]
Xo+ft
1} \f{x)-r\dx—,\f{xu)-r\.
Хц
Множество тех точек х0 е [а, Ь], для которых это
соотношение нарушается, обозначим Е(г). Его мера
ц?(г)=0.
Перенумеруем все рациональные числа (ri, Гг, ...
,.., /¦„, ...) и положим
00
Е = (J Е(гп)\){х; х€= [а, Ь\,/(*) = ± °о}.
и=1

338 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
Тогда цЕ = 0. Покажем, что любая точка х0 ё= В —
точка Лебега функции /.
Пусть х0 ШЁ. Зададим е > 0 и подберем
рациональное число гп так, что
\f(x0) — rn\<j.
Тогда для любого х, где f(x) конечно,
ll/W-r„|-|/(x)-/(xo)||<-f.
Интегрируя, находим
B2)
xt+h
xt+h
т\ \f(x)-rn\dx-± ] \f(x)-f(x0)\dx
х,
5s- 3 «
^ 3
Ho xQ e E (rn) и потому
Xo+ft
j J \f(x) — iin\dx — \f(x<u—rn\
x,
при |Л|<б(е). Следовательно, благодаря B2)
xa+h
\] \f(x)-rn\dx
а тогда
х„
xt+h
<|е,
Т J \f(x)-f(x0)\dx
Xt
<8
при |/г|<6(е). Тем самым B1) доказано.
Теорема XIII. 5.1 о дифференцировании интеграла
от суммируемой функции обобщается в некотором
смысле и на интегралы в многомерных евклидовых
пространствах. См., например, неоднократно цитированную
книгу И. П. Натансона.
§ 6. Критерий Ф. Рисса
Теорему XIII. 2.2 можно уточнять, отыскивая
характеристики функций, представимых в виде интеграла не
от произвольной суммируемой функции, а от суммирует
мой функции того или иного класса. В этом параграфе

§ в] КРИТЕРИИ Ф. РИССА 339
мы изложим решение такой задачи для классов V
(р > 1). Предварительно введем следующее
Определение. Пусть р > 1. Будем говорить, что
функция точки F, заданная на отрезке [а, Ь],
принадлежит классу А", если существует такая постоянная К,
что при любом разбиении т отрезка [а, Ь] на конечное
число участков с помощью точек а = х0 < Xi <Z . ..
,..<xn = b
п-1
2
i=0
p_, <*• B3)
При p = 1 это определение переходит в
определение функций ограниченной вариации.
В последующих рассуждениях нам придется
опираться на неравенство Гёльдера для сумм,
представляющее аналог интегрального неравенства Гёльдера,
выведенного в X. 1. Его можно получить и независимо от
интегрального, с помощью аналогичных выкладок, однако
сейчас мы выведем неравенство для сумм как прямое
следствие интегрального неравенства. Именно, пусть с*
и di (i = 1, 2, .. ., п) — любые вещественные числа,
р > 1, a q таково, что —(- —=1. На промежутке
(О, п] определим две функции fug, полагая
f(x) = ci, g(x) — dt при ./— !<*</,
и применим к ним интегральное неравенство Гёльдера
(см. формулу C) из гл. X). Вычисляя интегралы,
входящие в эту формулу, находим
2 ctdi
i=i
/ п \1/р / п \4q
<y|k<lpJ [S|rf*rJ . B4)
Это и есть неравенство Гёльдера для сумм.
Лемма XIII. 6.1. Если F е Ар при некотором
р > 1, то F абсолютно непрерывна.
Доказательство. Прежде' всего заметим, что
если неравенство B3) выполнено для любого
разбиения отрезка. [а, Ь], то и для любой конечной системы

340 Неопределенный интеграл лебега (гл. хш
неналегающих отрезков [аи bt] с [a, b] (t=l, 2, ..., п)
к ('.-.г' <к'
Теперь, на основании неравенства B4), имеем
i=l 1=1 V ' 'V
|)/р
<
<
л |^(М-^К)
2
;=1
5>
/=1
v 1=1 ^
Следовательно, если 2 Fi — я<) < б, то
i=i
i|JF(^)-JF(af)|</C6,/?,
i=l
и за счет б эта сумма может быть сделана сколь
угодно малой. Тем самым абсолютная непрерывность
функции F доказана *).
Теорема XIII. 6.1 (Ф. Рисе). Для того чтобы
функция F, заданная на отрезке [а, Ь], была
представима по формуле D) с подынтегральной функцией f e Lp
{р > 1), необходимо и достаточно, чтобы РеА'.
Доказательство, а) Необходимость. Пусть
/ е Lp, а F представима по формуле D). Тогда для
любых двух точек хи х2^[а,Ь], Х\ < х2, имеем с
помощью интегрального неравенства Гёльдера
jfdx <[j Ifl'dxUx.-xy
\F(x2)-F(xl)\
(!+!=¦)•
*) Подчеркнем, что в этом доказательстве существенную роль
играло условие р > 1.

16]
КРИТЕРИЙ Ф. РИССА
341
Следовательно, для любого разбиения отрезка [а, Ь\
i=0 VXi + l XU i=0 xt a
б) Достаточность. Пусть F e Ap (p > 1). По
лемме F абсолютно непрерывна, следовательно,
функция представима по формуле D), причем по теореме
XIII. 5.1 f(x) = F,(x) почти всюду.
Для любого натурального п положим
хм==а + 1{Ь-а) (/ = о, 1 П)
и введем кусочно-постоянные на отрезке [а, Ь] функции
НхПд-НхГ)
Ш
М _ (п)
xi+l xi
при 4П) < х < х^х (в точках xff> функция fn не
определена). Если Jte[a, b] и не совпадает ни с одной из
точек 4П) ни ПРИ °ДН0М п и притом / (х) = F' (х), то
fn{x)-*f(x)*). Таким образом, fn(x)-+f(x) почти всюду
на отрезке [а, Ь]. Следовательно, по теореме Фату,
ь ь
Jl/I'd^supjl/J'rf*.
*) Если F' (хй) существует, то
F>{Xo)== Iim РЫ-РЫ ш
*i->x«—О Х2 — Х\
Действительно, из очевидного равенства
F(x2)-F(Xl) _
#2 — Х\
___ F(x2) — F(x0) х2 — х0 F(xj)~F(x0) _ Xq — xt
%2 """ Xq X2 ~~ X\ X\ ~*~ Xq X2 ™~ ^1
¦ F(x2)-F{xi)
вытекает, что дробь —; ———— заключена между отноше-
F(x2)-F(x0) F(xx)-F(x0)
ниями ——- —— и —-11 —^—, каждое из которых стре-
Х2 — Xq Xi — Xq
мится к F' (*0)-

342 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. ХШ .
Но
л-1
\]f \рдх=у Г^'+'i *& Л </c
J I Л. I <** 2j M») ,<»>)'-' ^A'
а потому и
jlffdx^K ' B6)
a
И / GE IP.
Замечание. Сопоставляя неравенства B5) и B6),
сразу получаем что
где верхняя грань берется по всевозможным
разбиениям х отрезка [а, 6]. Лишь немного варьируя
проведенные выше оценки, легко получить, что если F
абсолютно непрерывна, а / = F', то
f |/|d* = VarF.
« a
,' § 7. Точки плотности линейного множества
Аппарат, изученный в этой главе, позволяет
рассмотреть одно важное геометр-ическое понятие.
-Определение. Пусть Е — произвольное
множество на прямой R (может быть, и неизмеримое!).
Точка х0 ев /?i (которая может и не принадлежать Е)
называется его точкой плотности, если
lim \ • = '
хве= Д, цД->0 Ид
(здесь А обозначает произвольный промежуток, а
предел вычисляется при условии, что Д содержит точку Хо
и стягивается к этой точке).
Ясно, что, например, каждая внутренняя точка
множества Е — его точка плотности.

§ 7] ТОЧКИ ПЛОТНОСТИ ЛИНЕЙНОГО МНОЖЕСТВА 343
Теорема XIII. 7.1. Почти все точки множества Е
суть его точки плотности.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
такое множество Е, которое содержится в некотором кэ-<
нечном интервале (а, Ь). Введем функцию
F(x)={ ,•
О, если х — а,
(Е[)(а, х), если а<х^Ь.
Это — возрастающая непрерывная функция. Кроме
того, если х\ < х2, то
F(x2)-F(Xl) = n*(E[}(xux2)). B7)
Это следует из того, что поскольку все промежутки
измеримы, они «хорошо разбивают» любое множество, и
потому
ц* (Е П (а> х2)) = ц* (? Л (а, х,)) + ц* (Е Л (*„ х2))
(ср., например, формулу D) из гл. IV).
00
Зададим числа еп > 0 так, что 2 е„ < + то, и при
я=1
каждом п найдем такое открытое множество Gn, что
а) EczGnc (a, b);
б) [iGn < \i*E + e„.
Теперь положим
( f 0, х = а,
F"W = \ n(G„n(<v*)), a<x^b.
Fn — тоже возрастающие непрерывные функции.
Проверим, что и разности Фп = Fn — F— возрастающие.
Действительно, если a sg: Ху < х2 ^ Ь, то благодаря
B7)
Ф» (х&) - Ф„ (*i) = (х (G„ П (хи х2)) - ц* (Е П (*ь *2)) > 0.
При этом
О < Фп (х) < Ф* Ф) = pGn - ц'Е < еп>

344 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА [ГЛ. XIII
следовательно, ряд 2 Фл М сходится при всех х е [а, Ь].
п=1
00
Тогда по теореме XIII. 3.3 ряд 2 ФИ*) сходится почти
всюду и потому ФП-*:)->0 почти всюду, т. е. F'n(x)-+
->F'{x) почти всюду.
Из определения функции Fn ясно, что внутри
каждого составляющего интервала множества Gn
приращение функции F„ совпадает с приращением аргумента л;,
следовательно, F'n (х) = 1 при х е Gn. Но тогда, если
х е Е, то F'n (х) = I при всех п, а потому и F' (х) — 1
для почти всех х е ?.
Возьмем любую точку *0е ?, где F' (х^) = 1, и пусть
промежуток А = (я,, -«а), где л:, < jc0 < x2. Из формулы B7)
сразу следует, что
И*(ЕПА) = Г(*,)-*Ч*.) >^(лЛ=1.
цД *з — Xi *„ x2-»x„ v u/
К тому же результату мы придем и в случае, если Хо —
один из концов промежутка Д (а (хД—>0). Таким
образом теорема доказана.
Замечания. Г. Для измеримого множества Е
доказанный результат можно вывести значительно проще
из теоремы XIII. 5.1 с помощью дифференцирования
интеграла от характеристической функции множества Е.
2°. Если множество Е измеримо, то, рассматривая
точки плотности его дополнения, легко понять, что для
почти всех Хо Ш Е
,. ц(?ПД) л
urn v ' = О-
Я.еД, ц.Д-*0 ^а
Такие точки называются точками разрежения
множества Е. Значит, всякое измеримое множество на прямой
устроено таким образом, что почти все точки прямой
обладают следующим свойством: около каждой из этих
точек одно из множеств Е или Ri\E расположено
«весьма густо», а другое, наоборот, «весьма редко».
Точек, около которых оба множества Е и его дополнение
расположены «густо», мало; они образуют множество:

§ 7] ТОЧКИ ПЛОТНОСТИ ЛИНЕЙНОГО МНОЖЕСТВА 345
меры 0: Само собой разумеется, что последние
высказывания не имеют точного математического смысла и
носят лишь описательный характер.
Из доказанной теоремы вытекает одно интересное
следствие. Именно, если Е— множество на прямой с
положительной внешней мерой (ц*? > 0), то не может
существовать такое число К < 1, что
\1*(ЕП{а,Ь))^ЦЬ-а)
для любого промежутка (а, Ь). Впрочем, этот вывод
можно также сделать и из доказательства
леммы XIII. 3.4.

ЛИТЕРАТУРА
В настоящий список включецы книги, специально посвященные
теории функций вещественной переменной, а также некоторые книги,
в которых вопросы теории функций вещественной переменной,
главным образом, теории меры и интеграла, занимают значительное
месте).
Г. П. А к и л о в, Б. М. М а к а р о в, В. П. X а в и н.
Элементарное введение в теорию интеграла, изд. ЛГУ, 1969.
П. С. Александров.
Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат,
1948.
П.С.Александров и А.Н.Колмогоров.
Введение в теорию функций действительного переменного,
ГОНТИ, 1938.
Н. Б у рбаки.
Интегрирование (Меры, интегрирование мер), «Наука», 1967.
И. И. Г и х м а н, А. В. Скороход.
Введение в теорию случайных процессов, «Наука», 1965.
Н. Данфорд и Дж. Шварц.
Линейные операторы (Общая теория), ИЛ, 1962.
Е. К а м к е.
Интеграл Лебега — Стилтьеса, Физматгиз, 1959.
А.Н.Колмогоров и С.В.Фомин.
Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука»,
1972.
А. Лебег.
Интегрирование и отыскание примитивных функций, ГТТИ, 1934.
М. Л о э в.
Теория вероятностей, ИЛ, 1962.
И. П. Н а т а н с он.
Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957,
Ф. РиссиБ. Секефальви-Надь.
Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.
С. С а кс.
Теория интеграла, ИЛ, 1949.

ЛИТЕРАТУРА . 347
В. И. С м и р н о в.
Курс высшей математики, т. V, Физматгиз, 1959.
В. И. Соболев.
Лекции по дополнительным главам математического анализа,
«Наука», 1968.
Е. Титчмарш.
Теория функций, Гостехиздат, 1951.
П. X а л м о ш.
Теория меры, ИЛ, 1953.
Ф. Хаусдорф.
Теория множеств, ОНТИ, 1937.
Г. Е. Ш и л о в.
Математический анализ (специальный курс), Физматгиз, 1960.
Г. Е. Ш и л о в, Б Л. Г у р е в и ч.
Интеграл, мера и производная, «Наука», 1967.

УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность
интеграла 192
Алгебра 34
—, порожденная множеством 36
Алгебраически изоморфные
пространства 249
Бесселя неравенство 245
Буняковского неравенства 234
Вариация отрицательная 267
— полная 267
— положительная 267
Взаимно однозначное
соответствие 18
Внешняя мера 90
¦ Лебега в евклидовом про
стр'анстве 116
, порожденная мерой 92
Гёльдера неравенство для
интегралов 257
, Сумм 339
Дизъюнктные множества 15
Дистрибутивный закон (для
множеств) 13
Дополнение (множества) 14
Дополнительный интервал 51
Замыкание 68
Интеграл Лебега от
неограниченной функции 179, 181
ограниченной функции
154
— Лебега — Стилтьеса 280
— по конечно-аддитивной
функции множества 283
— Радона 279
— Стилтьеса 291
Интегральное среднее 259
, взвешенное 260
Кольцо 34
—, порожденное множеством 36
Коши неравенство 41, 62
Липшица условие 313
Мера 88
— конечная 88
— Лебега в евклидовом
пространстве 116
— полная 97
—, порожденная внешней мерой
95
— а-конечная 88
Метризация 64
Минковского неравенства 258
Множества одинаковой
мощности 18
Множество борелево 58
— всюду плотное 73

УКАЗАТЕЛЬ
349
Множество замкнутое 46, 67
— измеримое (ц*-измеримое,
т-язмеримое) 92, 96, 123
— — по Лебегу в евклидовом
пространстве 116
— Лебега 123
— линейное точек 49
— .— функций 75
— несчетное 25
— ограниченное (в евклидовом
пространстве) 44
(в метрическом
пространстве) 70
(в нормированном
пространстве) 78
— открытое 48, 67
— пустое 11
— счетное 20
— типа Fa 58
G6 59
Мощность континуума 26
Норма функционала 83
— элемента 76
Нулевой элемент 75
Образ элемента 18
Объединение множеств 11
Объем параллелепипеда 106
Окрестность точки 43, 67
Ортогональная система функций
242
Ортогональные функции 240
Ортонормированная система
функций 242
полная 245
Отношение эквивалентности 173
Параллелепипед, с конечными
ребрами 104
— л-мерный 104
, замкнутый 103
, открытый 103
Пересечение множеств 12 ,
Подграфик 217
Подмножество 10
Покрытие 54
Полукольцо 36
Почти всюду (справедливость
некоторого высказывания)
134
Предел последовательности
точек 42, 64
Принцип склеивания 20
Проекция точки в я-мерном
пространстве 216
Произведение мер 231
— множеств 230
Производная Радона — Никоди-
ма 309.
Производные числа 320
Пространство банахово 78
— гильбертово 240
— евклидово бесконечномерное
62
я-мерное 40
— метрическое 60
полное 71
— нормированное 76
— сепарабелыюе 73
— точечное я-мерное 39
Равенство множеств 10
Равностепенная абсолютная
непрерывность интегралов 207
Разложение аддитивной
функции по Жордану 269
— счетно-аддитивной функции по
Гану 310
Разность множеств 12
Расстояние 60
Регулятор сходимости 144
Сетчатое разбиение
параллелепипеда 106
Скалярное произведение
функций 238
Скачки монотонной функции 328
Составляющий интервал 50
Срезки функции 203
Стандартное распространение
меры 96
Суммы Лебега — Дарбу 152
— Стилтьеса—Дарбу 291
Существенная верхняя грань 215
Сходимость в себе 70
— в среднем 1-го порядка 210
2-го порядка 236

350
УКАЗАТЕЛЬ
Сходимость в среднем р-ro
порядка 259
— по мере 137 —
расстоянию 64
— почти всюду 134
Счетная полуаддитивность ^ меры
(внешней меры) 90
Теорема Больцано — Вейер-
штрасса 45, 46
— Бореля — Лебега 54
— Егорова 144
— Лебега о дифференцировании
монотонной функции 324
предельном переходе
под знаком интеграла 166,
200
— Леви 202
— Лузина 145
— о диагональной
последовательности 175
— об общем регуляторе
сходимости 175
— Радона — Никодима 304
— Тонелли 227
— Фату 204
— Фреше 149
— Фубини о повторных
интегралах 225
о почленном
дифференцировании рядов 326
Точка внутренняя 48, 69
— изолированная 44
— Лебега 337
— плотности 342
— предельная 43, 67
— разрежения 344
— сгущения 43
— я-мерного пространства 39
С
Уравнение замкнутости 245
Устойчивость сходимости 143
Фактор-множество 173
Фундаментальная
последовательность 70
Функционал 79
— аддитивный 80
— дистрибутивный 80
— линейный 80
— непрерывный 79
— ограниченный 82
— однородный 80
Функция абсолютно непрерывная
множества 302
точки (одной
переменной) 312
— бэровская (SB-измеримая) 127
— измеримая 124
по Лебегу 124
— интегрируемая по Лебегу 153
— множества 85
конечно-аддитивная 86
счетно-аддитивная 85
— непрерывная 56 -
— ограниченная почти всюду
214
— ограниченной вариации 276
— распределения 295
— суммируемая 180, 181
с квадратом 233
— характеристическая 126
— 1-го класса 132
— 2-го класса 132
— ©-измеримая 124
Фурье коэффициенты 243
— ряд 243
Шар замкнутый 67
— открытый 43, 67
Эквивалентные множества 18
— функции 134
Ячейка (н-мерная) 111
(*)-сходимость 172
а-алгебра 36
- а-кольцо 35

Борис Захарович By лих
КРАТКИЙ КУРС
ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(Введение в теорию интеграла)
М., 1973 г., 352 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор Е. Н. Земская
Корректоры 0. А. Бутусова, Е. Я- Гороховская
Сдано в набор 20/1ГI 1973 г.
Подписано к печати 12/1Х 1973 г- Бумага 84X10S'/s2.
тип. № 2. Физ. печ. л. 11. Условн. печ. л. 18,48. .
Уч.-изд. л. 16,52. Тираж 22 000 экз. Т-14463.
Цена книги 68 коп. Зак. № 565.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового. Красного Знамени
Ленинградская'типография J* 2
имени Евгении-Соколовой
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29