А.И.МАРКУШ ЕВИ®
' .........г
ТЕОРИИ
- .._ . .. г . '
ФУНКЦИЙ
А. И. МАРКУШЕВИЧ
КРАТКИЙ КУРС
ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Допущено Министерством
высшего образования СССР
в качестве учебника
для государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ литературы
МОСКВА 1957

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...............................................    6
Введение .................................................... 7
1. Предмет теории аналитических функций (7). 2. Аналитические функ-
ции комплексного переменного (8).
Глава I. Комплексные числа и их геометрическое представление 10
1. Геометрическое представление комплексных чисел на плоскости (10).
2. Операции над комплексными числами (И). 3. Предел последова-
тельности (14). 4. Бесконечность и стереографическая проекция (15).
5. Множества точек на плоскости (18).
Глава II. Функции комплексного переменного. Производная и ее
геометрический и гидромеханический смысл........................ 21
1. Функция комплексного переменного (21).	2. Предел функции
в точке (22). 3. Непрерывность (23). 4. Непрерывная кривая (24).
5. Производная и дифференциал (27).' 6. Правила дифференцирова-
ния (29). 7. Необходимые и достаточные условия дифференцируе-
мости во внутренней точке области (30). 8. Геометрический смысл
аргумента производной (36). 9. Геометрический смысл модуля про-
изводной (38). 10. Пример: линейная и дробно-линейная функ-
ции (38). 11. Угол с вершиной в бесконечно удаленной точке (40).
12. Гармонические и сопряженные гармонические функции (42).
13. Гидромеханическое истолкование аналитической функции (45).
14. Примеры (50).
Глава III. Элементарные аналитические функции и соответ-
ствующие им конформные отображения............................... 52
I. Многочлен (52). 2. Точки, в которых конформность отображения нару-
шается (53). 3. Отображение вида w = (z— а)п (54). 4. Групповые
свойства дробно-линейных преобразований (57). 5. Круговое свой-
ство (60). 6. Инвариантность двойного отношения (63). 7. Отобра-
жение областей, ограниченных прямыми или окружностями (68).
8. Симметрия и ее сохранение (70). 9. Примеры (73). 10. Функция
Жуковского (76). 11. Определение показательной функции (81).
12. Отображение прсредством показательной функции (83). 13. Три-
годометрические функции (88). 14. Геометрическое поведение (92).
15. Продолжение (95). 16. Однозначные ветви многозначных функ-
ций (97). 17. Функция w==yz (99). 18. Функция w = Р (z) (104).
19. Логарифм (108). 20. Общие степенная и показательная функ-
ции (113). 21. Обратные тригонометрические функции (118).
1*
I
4	СОДЕРЖАНИЕ
Глава IV. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды ... 123
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (123). 2. Теорема Коши —Ада-
мара (125). 3. Аналитичность суммы степенного ряда (127). 4. Равно-
мерная сходимость (130).
Глава V. Интегрирование функций комплексного переменного . . 132
1. Интеграл от функции комплексного переменного (132). 2. Свойства
интегралов (134). 3. Сведение к вычислению обыкновенного инте-
грала (136). 4. Интегральная теорема Коши (137). 5. Продолжение
доказательства (141). 6. Применение к вычислению определенных
интегралов (143). 7. Интеграл и первообразная (152). 8. Обобщение
интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является
аналитической на контуре интегрирования (154). 9. Теорема о состав-
ном контуре (155). :10. Интеграл как функция точки в многосвязной	|
области (158).
Глава VI. Интегральная формула Коши и ее следствия.............162
1. Интегральная формула Коши (162). 2. Разложение аналитической функ-
ции в степенной ряд. Террема Лиувилля (164). 3. Бесконечная диффе-
ренцируемость аналитических и гармонических функций (167). 4. Тео-
рема Морера (170). 5. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходя-
щихся рядах аналитических функций (171). 6. Теорема единственно-
сти (174). 7. Л-точки и, в частности, нули (177). 8. Ряд степенных ря-
дов (178). 9. Подстановка ряда в ряд (180). 10. Деление степенных
рядов (184). 11. Разложение в степенные ряды функций ctg z, tg z, esc z ,
и sec z (189). 12. Разложение гармонических функций в ряд. Инте-
грал Пуассона и формула Шварца (192).
Глава VII. Ряд Лорана. Изолированные особые точки однознач-
ного характера. Целые и мероморфные функции ... 197
1. Ряд Лорана (197). 2. Теорема Лорана (200). 3. Изолированные особые
точки однозначного характера (203). 4. Теорема Сохоцкого (208).
5. Особые точки производных и рациональных комбинаций аналити-
ческих функций (212). 6. Случай бесконечно удаленной точки (215).
7. Целые и мероморфные функции (216). 8. Разложение целой функ-
ции в произведение (221). 9. Порядок и тип целой функции (227).
Глава VIII. Вычеты и их приложения. Принцип аргумента ... 229
1. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению определенных
интегралов (229). 2. Принцип аргумента и его следствия (235).
3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки (241). 4. При-
менение теоремы о вычетах к разложению мероморфных функций
на простейшие дроби (243). 5. Разложение sec z, ctg z, esc z и tgz
на простейшие дроби (248).
Глава IX. Аналитическое продолжение. Понятие римановой
поверхности. Особые точки......................................256
1. Задача аналитического продолжения (256). 2. Непосредственное ана-
литическое продолжение (258). 3. Построение аналитической функ-
ции по ее элементам (259). 4. Построение римановой поверхно-
сти (261). 5. Принцип симметрии Римана — Шварца (263). 6. Особые
точки на границе Kjjyra сходимости степенного ряда (267). 7. Кри-
терий для обнаружения особых точек (271). 8. Определение радиуса
сходимости степенного ряда по известному расположению особых
СОДЕРЖАНИЕ
5
точек функции (275). 9. Изолированные особые точки многозначного
‘ характера (278).
Глава X. Отображения посредством аналитических функций.
Понятие об эллиптических функциях. Формула Хри-
стоффеля — Шварца...............................................283
- 1 Отображение области посредством аналитической функции (283).
2. Принцип максимума модуля и лемма Шварца (284). 3. Локаль-
ный критерий однолистности (286). 4. Обращение аналитической
функции (287). 5. Распространение понятия однолистности на случай
функций, имеющих полюсы (291). 6. Понятие о теореме Римана.
Единственность отображения (293). 7. Понятие о соответствии гра-
ниц. Обратная теорема (294). 8. Отображение’ верхней полупло-
скости посредством эллиптического интеграла (300). 9. Понятие
об эллиптической функции Якоби sn w (305). 10. Интеграл Христоф-
феля — Шварца (309). 11. Обтекание кругового цилиндра (без цир-
куляции) (317). 12. Гидромеханическое истолкование простейших
особых точек (318). 13. Общее решение задачи об обтекании кру-
гового цилиндра (323). 14. Определение подъемной силы крыла
аэроплана (326).
Литература для дальнейшего изучения.............................331
Предметный указатель............................................333
I
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой учебник теории аналитических
функций в объеме, предусмотренном программой физико-математи-
ческих факультетов университетов. Многочисленные примеры, слу-
жащие для иллюстрации общих положений и методов, напечатаны
здесь петитом. Петитом же напечатаны и некоторые (впрочем, немногие)
вопросы и детали, дополняющие основной курс. Читателя, желаю-
щего углубить свои познания в этой области, автор отсылает к моно-
графиям, список которых приложен к книге.
При подготовке настоящего учебника автор широко пользовался
своей книгой «Теория аналитических функций» (Гостехиздат, 1950).
Автор
ВВЕДЕНИЕ
1. Предмет теории аналитических функций- Предмет, излагаемый
в этой книге, носит двоякое название: теории аналитических функ-
ций и теории функций комплексного переменного. Каждое из этих
названий подчеркивает лишь одну сторону дела, так как мы будем
изучать аналитические функции комплексного переменного.
Функция f(x) действительного переменного х, определенная
в некотором интервале (а, Ь) (конечном или бесконечном), называется
аналитической в этом интервале, если в окрестности каждой
его точки х0 она представляется в виде суммы степенного ряда,
расположенного по целым неотрицательным степеням х — х0:
f(x) — А^х— х0)4~ А2(х — х0)2—. + Ап(х — х0)п-|- . •.
Произвольный многочлен, функции ех, sin х, cosx являются ана-
литическими на всей числовой оси; каждая рациональная функция,
функции tgx, ctgx, sec х, cscx— аналитические в интервалах, не
содержащих точек, в которых соответствующая функция не опреде-
лена (обращается в бесконечность); функция 1пх— аналитическая
в интервале (0, оо). Все эти утверждения легко проверяются. Напри-
мер, если xQ > 0, то
1П X = In х0 + In (1 +	= In х0 + У (— I)”-1
\	Х0 /	I	пхо
при |х—х0|<|х0|.
Сумма, разность, произведение и частное аналитических функций
(в интервале, в котором делитель не обращается в нуль) являются
аналитическими функциями; аналитическими являются также произ-
водная и интеграл от аналитической функции. С некоторыми оговор-
ками справедливы следующие предложения: а) функция, обратная
по отношению к аналитической, есть аналитическая; б) если Aj(x)
(j = 0, 1, .fi) — аналитические функции, то функция /(х),
определяемая уравнением
А(X) + А (х)/(х) + . .. + Ап(X) [f(x)]n = О
8
ВВЕДЕНИЕ
или уравнением
ло(х) + А (X)	. + Ап (X)	= О,
dx	dx
является аналитической.
Отправляясь от этих предложений, легко понять, что все наиболее
важные функции, к которым приводят задачи математического ана-
лиза, геометрии, механики и физики, являются аналитическими.
И в самом деле, не только названные выше элементарные функции,
но также и такие функции, как гамма-функция, цилиндрические
(бесселевы) функции, эллиптические функции и многие другие являются
аналитическими в соответствующих интервалах. Это обстоятельство
объясняет, почему аналитические функции играют такую большую
роль в математике и ее приложениях и вместе с тем служат доста-
точным основанием для выделения общего учения об аналитических
функциях в особую математическую дисциплину.
2. Аналитические функции комплексного переменного. Уже при
изучении наиболее простой аналитической функции — многочлена
/(х) = а0+ а^х + .. . + апхп (ап =# 0)
выявляется целесообразность рассмотрения ее как функции комплекс-
ного переменного.
В самом деле, только при таком подходе обнаруживается, что
эта функция каждое значение, в частности значение, равное нулю,
принимает при п значениях х (некоторые из них могут совпадать
между собой). Отсюда, далее, вытекает основное следствие о том,
что многочлен может быть представлен в виде произведения линей-
ных множителей
У 00 = (х %i) (х Х2) • • • (х хп),
и другие, связанные с этим предложения.
Естественно, что при изучении многочленов как функций ком-
плексного переменного в качестве значений их коэффициентов допу-
скаются произвольные комплексные числа. Подобно этому, при изу-
чении наиболее общих аналитических функций комплексного пере-
оо
менного з=х + /у используются степенные ряды ^An(z—z$\
о
в которых коэффициенты Ло, Лр ..., Ап, ..., а также число zQ
являются комплексными числами. Функция f(z) называется анали-
тической на некотором множестве точек комплекс-
ной плоскости (изображающих комплексные числа),
если в окрестности любой из этих точек она представляется в виде
суммы степенного ряда .
о
ВВЕДЕНИЕ
9
Выясняется, что вообще на функции комплексного переменного
можно распространить основные понятия математического анализа
и среди них понятия производной и интеграла J f(z)dz, взятого
L
вдоль какой-либо плоской кривой £.
В нашем курсе будут доказаны следующие фундаментальные
факты. Для того чтобы функция f(z) была аналитической в неко-
тором круге плоскости комплексного переменного z, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось какое-либо одно из следующих
четырех условий*.
а)	функция f(z) имеет производную f'(z) в каждой точке
круга*,
б)	если f(z) = u(x, y)-\-iv(x, у), где и(х, у) и v(x, у) — две
действительные функции действительных переменных х и у, то
и и(х, у) и v(x, у) являются дважды дифференцируемыми функ-
циями, удовлетворяющими дифференциальному уравнению Лапласа
дх*' ду* ~'
и связанными друг с другом уравнениями
ди ди ди  ду_9
дх	ду 1 ду	дх’
в)	функция f(z) непрерывна в круге и интеграл от нее по
любой замкнутой кривой, лежащей в круге, равен нулю*,
г)	в любом концентрическом круге меньшего радиуса функ-
ция f(jz) может быть приближена многочленами с произвольной
степенью точности.
На этих предложениях строится вся теория аналитических функ-
ций комплексного переменного. Любое из свойств а), б), в) и г)
может быть положено в основу определения понятия аналитической
функции комплексного переменного. Мы в нашем курсе будем поль-
зоваться определением, основанным на свойстве а), и лишь впослед-
ствии покажем, что это определение эквивалентно тому, в котором
участвуют степенные ряды.
Отметим, что многие приложения теории аналитических функций
в физике и механике основаны на свойстве б); например, так называе-
мые плоские задачи теплового или электрического равновесия, задачи
обтекания плоских контуров установившимися потоками жидкости или
газа приводят именно к уравнению Лапласа, из различных решений
которого построены все аналитические функции.
ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
1.	Геометрическое представление комплексных чисел на пло-
скости. Теория комплексных чисел излагается в курсах высшей
алгебры *). Мы напомним здесь только основные определения и резуль-
таты этой теории и несколько пополним их в интересах дальнейшего
изложения.
Каждое комплексное число с имеет вид а-\-Ы, где а и b — дей-
ствительные числа, a i—так называемая мнимая единица; а назы-
вается действительной частью с, b—мнимой частью с. Обо-
значения: а — Re с, b=knc (Re — начальные буквы латинского
realis —действительный, Im — начальные буквы imaginarius —мнимый).
Два комплексных числа с' и сц равны между собой тогда и только
тогда, когда Re с' — Re с" и Im cf — Im с". Если Im с — 0, то с = Re с
есть действительное число; если Fm с =/= 0, то с называется мнимым
числом и при добавочном условии Rec = 0 — чисто мнимым.
Для геометрического изображения комплексных чисел на плоскости
выбирают прямоугольную декартову систему координат и каждую
точку М(х, у) рассматривают как образ комплексного числа z=x-\-yi\
число x-\-yl называют аффиксом точки М. Это условие устана-
вливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех
точек плоскости и множеством всех комплексных чисел. При этом
множество всех действительных чисел изображается осью абсцисс,
которая называется поэтому действительной осью, множество
всех мнимых точек — множеством точек, не лежащих на оси абсцисс,
и, в частности, множество чисто мнимых чисел — осью ординат, на-
зываемой мнимой осью (заметим, что одна точка мнимой оси,
а именно начало координат, изображает действительное число—0).
Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется
комплексной плоскостью (иногда гауссовой плоскостью),
а также плоскостью (г), плоскостью (-w) и т. п., в зависимости от того,
какой буквой (г, w, ...) обозначаются комплексные числа.
*) См., например, А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, изд. 4-е, М.,
Гостехиздат, 1955.
2. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
11
Термины «комплексное число х~\~1у» и «точка х-\-1у» употреб-
ляются как синонимы.
Для геометрического представления числа z = х -f- iy, кроме
точки (х, у), используется еще и вектор с проекциями х
и у на
координатные оси; начало его может
быть помещено в произвольной точке
(черт. 1). Поэтому можно употреблять
как синонимы термины «комплексное
число» и «вектор». Длина вектора
называется модулем комплексного
числа z и угол Arg^ между положи-
тельным направлением действительной
оси и вектором (здесь предполагается,
что z #= 0) — аргументом z\ по-
следний определен с точностью до
целого, кратного 2?:. Одно и только
одно значение а аргумента удовлетво-
ряет условию — тс <ак; оно называется главным значением
аргумента и обозначается argz. Очевидно, что
Arg z = arg z + 2£тс,
где k обозначает любое целое число.
Отметим еще следующие соотношения:
Если z=x-\-iy, то | z\ = ]/*х2+_у2;
arctg— при х > 0,
arg2r = arctg~ при х<0 и ^>-0,
argz = arctg — — к при х < 0 и у < 0.
Действительная и мнимая части z выражаются через модуль и
аргумент так: Re z = | z | cos Arg z, Im z = | z | sin Arg z\ поэтому само
z может быть представлено в виде z— |^|(cos Argz-p/sin Arg г),
который называется тригонометрической формой z.
Два комплексных числа x-^-iy и х — 1у называются сопряжен-
ными (взаимно). Если одно из них обозначить z, то другое обозна-
чается z. Очевидно, что точки z и z симметричны относительно дей-
ствительной оси. Поэтому | z | = ] z |; кроме того, arg,? = — argz, если
z не есть действительное отрицательное число; в последнем, случае
arg^ = arg^= к.
2.	Операции над комплексными числами. Действия сложе-
ния и умножения комплексных чисел определяются следующими
12 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
равенствами:
(tti 4~ #i) 4~ (а2 + #2) = (ai + аг) + * (А 4“ ^2)»
(**х + #1)0*2 + #2) = (^1^2 — М2) + i (atb2 4- а2Ь{),
а вычитание и деление—как соответствующие обратные действия.
Из этих определений вытекают важные следствия: сложение и умно-
жение обладают переместительным и сочетательным свойствами, умно-
жение обладает распределительным свойством относительно сложения;
произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда,
когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю; вычита-
ние возможно всегда, деление возможно при условии, что делитель
отличен от нуля. Все это означает, что комплексные числа образуют
поле. Отметим частный случай умножения: если c = a-\-ib, то
с . с — а2 + Ь2 = | с |2, отсюда | с | = Vс • с.
Геометрически сложение чисел = at 4- #1 и с2 == а2 4~ 1Ь2 произ-
водится по правилу сложения векторов (черт. 2, а). Разность q—с2
представляется вектором, конец которого находится в точке q,
а начало — в точке с2 (черт. 2, б). Отсюда вытекает, что расстояние
двух точек q = 4- #1 и с2 — а2 4~ #2 равно модулю разности:
p(q, q)= |q — q|. Далее отметим важные неравенства для модуля
суммы и разности
+	+ ki——Wh
знаки равенства могут иметь здесь место лишь при условии, что
векторы <\ и с2 коллинеарны и одинаково направлены.
Первое неравенство распространяется на любое число слагаемых:
I ci + с2 4~ • • • + сп I -С I ei I + • • • +1 сп Г»
и здесь равенство может осуществляться только при условии, что
все п векторов cv q, ..., сп коллинеарны и направлены в одну сто-
рону.
2. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
13
Для геометрического истолкования умножения запишем ct и с2
в тригонометрической форме
q = | q | (cos Arg q i sin Arg cj, c2 — I c21 (cos ArS c2 + Isin Arg сг)’>
тогда определение умножения дает:
С = сгсг = I q 11 С21 [cos (Arg Ci + Arg q) + i sin (Arg + Arg c2)].
Отсюда следует, что
|С1-с2| = |с1||с2| и Arg (q • c2) = Arg q-f-Arg c2
(последнее соотношение нужно понимать в том смысле, что, образуя
всевозможные суммы значений Argq и Argq, мы получаем множе-
ство чисел, совпадающее со множеством значений Arg(q • с2)). Гео-
метрически умножение q на с2 (q 4= О и с2 =# 0) означает, что век-
тор q растягивается в | с21 раз и поворачивается (около своего
начала) на угол Argq. Для частного сг: с2 = ^- (сх 4= 0, q #= 0) по-
лучаем равенства
| q : q | = I q | : | q I и Arg (q: q) = Arg ct — Arg q.
Из последнего равенства вытекает, что угол между векторами
с± и с2, отсчитываемый от с2 к против часовой стрелки (и опре-
деляемый с точностью до целого, кратного 2тс), равен Arg — :
°2
с2, q = Arg“.
Из правила умножения следует, что
сп = | с р (cos п Arg г —|— Z sin п Arg с),
где п — натуральное число; очевидно, что эта формула справедлива
и при п = 0 (с° = 1). Замечая, что с~п — ^, получаем:
с'п = | с | ~п [cos (—1 п Arg с) -|~ i sin (— п Arg с)].
Итак, для любого т цёлого справедлива формула
ст = | с р (cos т Arg с + i sin nt Arg с).
Если р и q—целые числа, причем ^>2 и дробь ~ несократима,
то правая часть формулы
С« =УСГ’ = /| с |Р[cos (£ Argc^ + Z sin(£ Argc
q ___ S.
где И | гр обозначает положительное значение степени |ср, дает
q различных значений степени cq,
14 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Чтобы получить их все, достаточно, фиксировав какое-либо одно
значение Arg с, равное ср, подставить в правую часть q следующих
значений Argczcp, ср —2ти,	ср + (^ — 1)2ти.
3.	Предел последовательности. Последовательность комплексных
чисел {сп=ап~-^1Ьп} называется сходящейся к пределу
c=a-\-ib (коротко: lim сп= с или сп—> с, п-+оо), если для любого
П->ОО
е>0 существует положительное число?/(в) такое, что|сп—с|<£
при n>N(e). Так как \ап — а|<|сп—с|<е и \Ьп — Z>|<
— г| < е при п > А/(в), то lim an = aw lim bn = Ь. Итак, два
П -> 00	п -> оо
последних соотношения являются следствием того, что lim (an-\-ibn)—
П -> ОО
— а-\-Ы. Обратно, если lim ап—а и lim bn=b, то тогда
п -> ОО	п -> ОО
И Рп— ПРИ П>
|«п —«I <
поэтому
|«»+^п— (« + #)1 = 1сп— с| = /(дп — а)2 + (Ьп — Ь)2 <е
при п>А\(е), т. е. lim сп—с.
П -> оо
Следовательно, соотношение lim (ап+ й>те) = а-{~ Ы эквива-
п->со
лентно двум соотношениям*, lim ап= а и liin bn = b. Это замечание
п -> оо	п -> оо
позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей дей-
ствительных чисел на последовательности комплексных чисел. Так,
например, получается следующее необходимое и достаточное условие
сходимости (критерий Коши): для каждого е > 0 существует
Af(s) такое, что — ^|*<в, если n>AZ(e) и р— произволь-
ное натуральное число. Далее, если lim с'п=с' и lim с"п=с", то
п -> оо	п -> ОО
с	с
lim (с'± с") = с'± с", lim (с' • с") = с' • с", lim -у, — —,
4 П П'	v П П'	J'
П->оо	п->оо	П -> оо Сп	С
(последнее при условии, что с"п =# 0 (п = 1, 2, ...) и с" #= 0).
Назовем р-окрестностью точки с внутренность круга с цент-
ром с и произвольным радиусом р. Очевидно, что точка z принадле-
жит этой окрестности тогда и только тогда, когда |z — с [ < р.
Теперь определению предела последовательности {сп} можно придать
следующую геометрическую форму: последовательность {сп} назы-
вается сходящейся к пределу с, если для любого е > 0 все точки
последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат
^-окрестности точки с.
Предлагаем читателю доказать, что из lim сп = с всегда сле-
П -> оо
дует, что lim | сп | == | с |. Если, кроме того, с =# 0, то существует
п-> оо
4.БЕСКОНЕЧНОСТЬ И СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ	15
последовательность значений аргументов сп, предел которой равен
одному из значений аргумента с\ в качестве такой последовательности
можно брать последовательность главных значений аргументов за
исключением случая, когда с < 0, а среди сп встречается бесконечно
много точек, расположенных как выше, так и ниже действительной
оси. Указанное здесь свойство аргументов последовательности {сп}
условно записывается так: lim Argcw = Argc. Обратно, если послед-
П -> ОО
нее условие выполнено и если, кроме того, lim |cw| = |c|, то
п -> оо
lim сп = с.
п ->°°
4.	Бесконечность и стереографическая проекция. Для нужд
теории аналитических функций к описанным выше собственным
(конечным) комплексным числам добавляют еще одно несобствен-
ное (бесконечное) комплексное число, обозначаемое символом оо;
оно называется бесконечностью или бесконечно удален-
ной точкой. Обращение с бесконечно удаленной точкой основы-
вается на следующих определениях и правилах, р-окрестностью
точки оо называется внешность круга с центром в начале координат
и радиусом р. Очевидно, что точка z принадлежит этой окрестности
тогда и только тогда, когда | z | > р.
Последовательность {сп} называется сходящейся к оо (коротко
lim сп — оо), если для любого р > 0 все ёе точки, начиная с неко-
П ->оо
торого номера, принадлежат окрестности | z | > р бесконечно удален-
ной точки. Иными словами, для любого р>0 существует 7V (р) > О
такое, что | | > р, если п > Af (р); следовательно, условие lim сп = оо
п -> оо
эквивалентно условию lim = Заметим еще, что в случае,
П -> оо
когда сп =# 0, условие lim сп = оо эквивалентно условию lim ~ = 0.
п -> оо	п -> оо
Для несобственного комплексного числа понятия действительной
и мнимой части, а также понятие аргумента не вводятся, точнее
говоря, объявляются лишенными смысла (заметим, что понятие аргу-
мента не имеет смысла и для числа 0). Что касается модуля числа оо,
то для него используется символ -|~оо : |оо] =-|~°о.
По определению устанавливается смысл следующих операций»
в которых участвуют оо и собственные комплексные числа а и а (а =£ 0):
оо zt а = а ± оо — оо, оо • а = а • оо = оо • оо = оо,
Операции оо zt оо, 0 • оо , 7г , —объявляются лишенными смысла,
и оо
Чтобы получить геометрическое изображение числа оо, прибегают
к представлению комплексных чисел точками сферы.
16 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Опишем для этого из точки О комплексной плоскости z, как из
центра, сферу радиуса 1 (черт. 3). Введем для наглядности геогра-
фическую терминологию. Окружность, по которой сфера пересекается
комплексной плоскостью, назовем экватором, прямую, проходящую
через О и перпендикулярную к плоскости,—осью сферы, а точки
N и S, в которых ось встречает сферу,—северным и южным по-
люсами соответственно. Далее будем пользоваться понятиями и тер-
минами: северное и южное полушарие, меридианы, параллели, ши-
рота и долгота X. Отсчет широты ведется от экватора в пределах
от —~ (южный полюс) до ~ (северный полюс). Отсчет долготы
ведется в плоскости экватора от положительной части оси Ох в пре-
делах от —к (исключительно) до к (включительно); при этом поло-
жительным направлением считается направление против часовой
стрелки, если смотреть на экватор со стороны северного полюса.
Будем теперь соединять точку N с различными точками сферы пря-
молинейными лучами с началом в N и отмечать на каждом луче
точку встречи его с плоскостью. Таким образом, все точки сферы,
за исключением точки N, спроектируются на плоскость. Эта проек-
ция (центральная проекция с центром в N) называется стерео-
графической; она издавна употреблялась сначала в астрономии,
а затем в географии.для изображения небесной или земной сферы
на плоскости. С помощью стереографической проекции каждую точку
сферы (кроме 2V) можно рассматривать как изображение соответ-
ствующей точки плоскости и вместе с тем как изображение ком-
плексного числа, представленного этой точкой плоскости. Выясним,
как связаны широта и долгота точки сферы, изображающей ком-
плексное число z = г (cos a-J-г sin а) (а = arg г), с модулем и аргу-
ментом этого числа.
Из черт. 4 заключаем, что ON А1 —	4” -т? и, следовательно,
г = tg	; кроме того, очевидно, что а = X; отсюда <р =*
4. ВЕСКОНЕЧНОСТЬ и стереографическая проекция 17
±=2arctgr—-j. Л = а. Если для последовательности {zn}, для
которой |zJ = rn, выполнено условие lim z„=oo, то lim r„=-|-oo
И, следовательно, lim ®n = lim (2 arctg rn — -|) =	. Таким
образом, точки сферы, изображаю-
щие числа zw неограниченно при-
ближаются к северному полюсу N.
Справедливо и обратное: если <рп -> у
(каковы бы ни были значения дол-
гот А„), то rn = tg (-j-H-y-)
->-4- сю и, следовательно, lim zn^=
72 "» ОО
= оо. Естественно поэтому усло-
виться рассматривать точку N как
изображение на сфере бесконечно
удаленной точки. С этим условием
вполне согласуется то обстоятель-
ство, что окрестность |^|>р бес-
конечно удаленной точки на плоскости изображается на сфере около-
полярной областью ср >2 arctg р— у; при р—>оэ эта область стя-
гивается к северному полюсу.
Комплексная плоскость, к которой мысленно присоединяется един-
ственная бесконечно удаленная точка, называется расширенной
комплексной плоскостью, или, короче, расширенной
плоскостью. Геометрически наглядным представлением расши-
ренной плоскости является вся сфера. Комплексная плоскость,
образованная лишь собственными (конечными) точками, называется
конечной комплексной плоскостью, короче, конечной плоскостью. Из
предыдущего следует, что конечную плоскость можно наглядно
представить сферой, из которой исключена одна точка, а именно
точка N.
Отобразим сферу зеркально в ее экваториальной плоскости, при
этом сфера перейдет в себя так, что северное полушарие перейдет
в южное (и обратно), северный полюс — в южный (и обратно); эква-
тор перейдет сам в себя. Вообще каждая точка с географическими
координатами (ср, X) перейдет в точку (—ср, X).
Этому отображению сферы на себя будет соответствовать ото-
бражение расширенной плоскости на себя, при котором точка z
с координатами г = tg	и а = к перейдет в точку zf с коор-
динатами r'==tg^~ — —А и а' = л = а. Очевидно, что z и zf свя-
2 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
18 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
заны соотношением z * z' = 1, т. е. г'= 4-. Это преобразование пере-
водит внешность единичной окружности во внутренность (и обратно)
и, в частности, точку со в 0 (и обратно). Единичная окружность
переходит при этом в себя. Преобразование У = 4- можно рассма-
z
тривать как преобразование симметрии расширенной плоскости отно-
сительно единичной окружности или зеркальное отображение в еди-
ничной окружности. Такая точка зрения оправдывается посредством
рассмотрения того, что происходит при этом на сфере. Позже
(гл. III, п. 8) мы дадим более общее определение преобразования
симметрии расширенной плоскости относительно произвольной окруж-
ности плоскости.
5.	Множества точек на плоскости. Напомним некоторые изве-
стные из курса анализа определения и свойства множеств точек на
плоскости и несколько дополним их в интересах дальнейшего изло-
жения.
Точка Zq называется предельной для некоторого множества Е,
если каждая окрестность этой точки содержит бесконечное множе-
ство точек, принадлежащих Е.
Множество Е точек плоскости называется ограниченным,
если все его точки заключаются внутри некоторого круга с центром
в начале координат. Множество Е (ограниченное или неограниченное)
называется замкнутым, если ни одна точка, не принадлежащая F,
не может быть предельной для него. Иными словами, замкнутое
множество либо совсем не имеет предельных точек, либо содержит
все свои предельные точки.
Каждое бесконечное ограниченное множество Е имеет, по
крайней мере, одну предельную точку (теорема Больцано —
Вейерштрасса). Если бесконечное множество Е неограниченно,
то тогда имеются лишь две возможности: либо некоторый круг
| z | R будет содержать бесконечное множество точек из Е, а сле-
довательно, и предельную точку этого множества, либо в каждом
таком круге будет находиться конечное число точек из Е, тогда
бесконечное множество их будет лежать в любой окрестности
| z |> R бесконечно удаленной точки и, следовательно, со будет
предельной точкой Е. Итак, в расширенной плоскости каждое беско-
нечное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку
(конечную или бесконечно удаленную).
Пусть {К}—множество кругов, образующих покрытие огра-
ниченного замкнутого множества Е, т. е. таких кругов, что для
каждой точки z^E существует, по крайней мере, один круг из
множества {К}, содержащий внутри эту точку; тогда из множе-
ства {/С} можно выделить конечное число кругов'. Kv К2> • ••> Кн,
образующих покрытие Е (теорема Гейне — Боре л я).
.	б. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ	19
Пусть Е— какое-либо множество точек плоскости. Расстоя-
нием точки С до этого множества называется нижняя
грань расстояний точки С до всевозможных точек Е\ р(С, Е) =
-__jnfi£_z\, z£E. Если р(С, Е)=0, то либо С£Е, либо ^^Е,
но тогда Е содержит точки, сколь угодно близкие к С, т. е. С
является предельной точкой Е. В случае, когда Е— замкнутое мно-
жество точка, пе принадлежащая Е, не может быть предельной
для Е. Поэтому из £Е следует, что р(С, Е) > 0. Пусть Е и
р___два множества точек; расстоянием между ними
называется нижняя грань расстояний между всевозможными парами
точек zf и z" таких, что zf £Е и z"£F: р(Е, F) = inf | z'—z"\.
Расстояние между Е и Е может равняться нулю и в том случае,
когда Е и F не имеют общих точек. Но если оба замкнуты и, по
крайней мере, одно из них, например Е, ограничено, то из того,
что Е и Е не имеют общих точек, следует, что р(Е, F) > 0.
В самом деле, если z' (~Е, то zr £F и поэтому р(У, F) > 0.
Опишем из zf, как из центра, круг радиуса р(У, F): внутри него
не будет лежать ни одной точки из F. Совокупность кругов с теми
же центрами и вдвое меньшими радиусами образует покрытие мно-
жества Е. По теореме Гейне — Бореля существует конечное число
кругов /Ср /С2> •••> Кп с центрами z^, z2, . zn и радиусами
ур(^', F), ~p(z', F), . .., -±-p(z'n, F), покрывающих Е. Обозначим
наименьший из этих радиусов через о(о>0). Пусть zr £Е, тогда
z'£Kj, и так как концентрический круг вдвое большего радиуса
2 • у р (Z, F) не содержит ни одной точки из F, то для любой
точки ZZ£F имеем: \z'—z" |> ~ р (z'.f F)^. Поэтому и p(z', z")=
= inf | zf—z" |^>8> 0, что и нужно было доказать.
Точка некоторого множества Е называется внутренней (по
отношению к этому множеству), если существует окрестность точки,
содержащаяся в Е. Множество Е, состоящее только из внутренних
точек, называется открытым множеством. Точки, предельные для
открытого множества Е и не принадлежащие ему, называются гра-
ничными; совокупность их составляет границу Г множества Е,
Сама граница является замкнутым множеством. Замкнутыми являются
множество Е = Е (J Г, получаемое объединением множества Е и его
границы Г и называемое замыканием Е, а также множество всех
точек плоскости, не принадлежащих Е. Последнее распадается на
два подмножества: границу Г множества Е и множество Ег точек,
не принадлежащих Е и не являющихся предельными для него, назы-
ваемых внешними точками. Для каждой внешней точки суще-
ствует окрестность, не принадлежащая Е; такая окрестность запол-
нена только одними внешними точками. Поэтому множество Ег всех
2*
20 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
внешних точек множества Е само является открытым. Важнейший
частный случай открытого множества—область. Открытое мно-
жество Е называется областью, если любые две точки Е можно
соединить между собой ломаной, содержащейся в £ (в частном слу-
чае ломаная мржет сводиться к одному прямолинейному отрезку).
Области чаще всего обозначаются буквами: G (немецкое Gebiet),
D (французское domaine), В (немецкое Bereich).
Примеры: а) Все точки г, удовлетворяющие неравенству | г—г01 < р
(р — фиксированное положительное число), образуют область G — внутрен-
ность круга (или окружности) с центром и радиусом р. Граница этой
области есть окружность Г: |г — z0|==p. Внешние точки характеризуются
неравенством — ^[^р. Они в совокупности образуют также область
Gi — внешность круга (или окружности). Точка со является также внешней
по отношению к G, поэтому она принадлежит Gj. Граница области Gi— та
же окружность Г. Добавим еще, что каждая точка z £ G является внешней
по отношению к Gt так, что совокупность всех точек, внешних для Gv
совпадает с G.
б) Пусть Г: Ах -f- By -f- С = 0 (Д В и С — действительные числа, при-
чем Л24-В2¥=0) — какая-либо прямая на плоскости z. Все точки, удовлет-
воряющие неравенству Ах -)- By -|- С > 0, составляют одну, а все точки,
удовлетворяющие неравенству Ах By -j- С < 0, — другую из двух различ-
ных областей Gi и G2, имеющих общую границу Г. Эти области Gi и G%
называются полуплоскостями (ограниченными прямой Г). Каждая из
них состоит из точек, внешних по отношению к другой. Точка z = оэ
является граничной точкой для Gt и G2 (через эту точку проходит Г).
в) Множество точек < | z — г01<R% — область (круговое кольцо),
граница которой состоит из двух концентрических окружностей
\z — Zq J = Bi и Г2: |z — z0 | = T?2. Совокупность внешних точек распа-
дается здесь на две области: внутренность круга [ z — г0|</?1 и внешность
круга |г —|>/?3.
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
И ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
1.	Функция комплексного переменного. Понятие функции ком-
плексного переменного является частным случаем общего математи-
ческого понятия функции. Именно, если Е— некоторое множество
точек комплексной плоскости (z) и каждому z поставлены в соот-
ветствие одно или несколько комплексных чисел w, то говорят, что
на Е определена функция комплексного переменного^
значениями которой являются ж коротко w — f (z). Если каждому z
соответствует лишь одно значение w, то функция называется одно-
значной, если некоторым z соответствует более чем одно значе-
ние w,—многозначной. Так, например, <w = zn (п— натураль-
ное), w=\z\t w = z, w = Re^, w=Imz — однозначные функции,
nr-
определенные на всей плоскости (конечной), w = у z—многозначная
функция (n-значная), также определенная на всей плоскости,
w = Arg z — многозначная функция (бесконечнозначная), определенная
на множестве всех точек, отличных от нуля. Если Е расположено
на действительной оси, то z=x является действительным перемен-
ным. Если все значения w также действительны, то приходим к по-
нятию действительной функции одного действительного переменного
как весьма частному случаю функции комплексного перемен-
ного.
В общем случае положим: z=x-\~ly и w— u-\-iv. Тогда
предложение «функция ‘W==f(z') (например, однозначная) опреде-
лена на Е» эквивалентно следующему: «каждой точке из Е
с координатами х и у поставлены в соответствие действитель-
ное число и и действительное число V», Иными словами, на Е
определены две действительные функции и = у(х, у) и г/=ф(х, у)
двух действительных переменных х и у. Итак, одно комплексное
соотношение w = /(z) эквивалентно двум соотношениям: zz«cp(x, у)
и -и = ф(х, у). Например, соотношение ^ = :2~(х + /у)2=з
л*2 —У2 + 2lxy эквивалентно следующим: и = х2 —у2, v ~ 2ху.
22
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
2.	Предел функции в точке. Пусть w —/(г) — однозначная
функция, определенная на Е, и — предельная точка этого мно-
жества. Если для фиксированного комплексного числа А и для
любого s>0 найдется 8(г)>0 такое, что |/(г) — Л|<а при
\z—г01 < 8 (г), z£E (и z Ф г0), то говорят, что f(z) стремится
к пределу А при г, стремящемся к г0, и пишут:
Иш f(z)=A.
z	s £ Е
В дальнейшем для упрощения записи указание z£E опускается
всюду, где это не вызывает сомнения.
Полагая A = B-]-lC, f(z)==u(x,y)-{-iv(x, у), г0 = х0+^0
и рассуждая так же, как и в п. 3 главы I, найдем, что предыду-
щее комплексное соотношение эквивалентно двум действительным
соотношениям:
lim и(х, у)=Ву inn v(x, у)?=.С.
х хс, у у0	х-+х0, у -> у3
Это замечание показывает, что простейшие предложения, отно-
сящиеся к пределам функций действительных переменных, без из-
менений распространяются на пределы функций комплексного пере-
менного. Например, если функции g(z) и h(z) определены на одном
и том же множестве Е и для них
lim ^(г)=Лр lim h(z) = A2,
z -> z,	z -> z0
TO
lim [g(2r)±/z(2!)] = 4j±X2,
lim
 +	(г)
lim g(z)  h(z)= Al - A2,
z -> ZQ
A
A
(последнее при условии, что Л2^0).
Аналогично рассматривается случай, когда вместо конечной точки
берется бесконечно удаленная точка. Именно, если точка z—oo
является предельной для Е и для фиксированного комплексного
числа А и для любого е > 0 существует N (е) такое, что |/(г)— А | < г
при |z|>Af(s) О££), то говорят, что f(z) стремится к пре-
делу Л при z> стремящемся к сю, и пишут:
lim f(z) = A.
z ->оо
Очевидно, отличие этого случая от предыдущего лишь в том,
что вместо окрестности ]z— z01 < 8 (е) конечной точки г0 здесь рас-
сматривается окрестность |z|>N(s) бесконечно удаленной точки.
Наконец, если z0—любая предельная точка множества Е (конеч-
ная или бесконечно удаленная) и для любого А/ > 0 можно указать
такую окрестность точки, что неравенство |/(^)|>N будет удов-
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
23
отворяться, если z принадлежит этой окрестности (zg£ и £=£z0),
то говорят, что /(г) стремится к со при z, стремящемся
к z0, и пишут:
lim /(г) = оо.
z Zj
Все три частных случая предела функции можно охватить одним
общим определением: пусть zQ— предельная точка множества Е
(конечная или бесконечно удаленная) и А — комплексное число
(собственное или несобственное)} если каждой окрестности U
точки Д соответствует окрестность и0 точки zQ такая, что
f(z) принадлежит U, если z принадлежит uQ (кроме того z£E
и z=£zQ), то говорят, что f(z) стремится к пределу А, когда
z стремится к zQ, и пишут'.
lim f(z) = A.
z-bz^z^E
При таком общем определении предела, когда возможно, что
Д = оо, мы не можем без оговорок пользоваться теоремами о пре-
делах суммы, разности, произведения и частного функций, так как
,	оэ
операции ccztco, а • оо, — лишены смысла.
3.	Непрерывность. Если предельная точка z() множества Е (ко-
нечная или бесконечно удаленная) принадлежит этому множеству и
для функции f(z) = u(x, у)А^[^(х, у), определенной на Е, выпол-
нено условие
lim f(z) = f(z0) (f(z0)^<x>),
z->zc, z£E
то f(z) называется непрерывной в точке zQ (по множеству Е).
Если f(z) непрерывна в каждой точке множества Е, то говорят,
что она непрерывна на множестве Е.
В силу п. 2 условие непрерывности f(z) в точке zQ == х0 iyQ
эквивалентно двум следующим:
lim и(х, _у)==«(х0,	•' lim v(x, j/)==v(x0, _y0),
ж a?0, у -> y(i	x у
выражающим непрерывность двух действительных функций и(х, у)
и v(x, у) в той же точке.
Итак, функция комплексного переменного непрерывна в точке z0
тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части,
рассматриваемые как функции действительных переменных х и
у, непрерывны в той же точке.
Отсюда следует, что многие свойства непрерывных функций двух
действительных переменных непосредственно переносятся на непре-
рывные функции комплексного переменного.
Именно сумма, разность, произведение и частное двух непре-
рывных функций суть функции непрерывные (в случае частного
24 ГЛ. П. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
исключаются те точки, в которых делитель обращается в нуль).
Далее, если функция w = f(z) непрерывна на множестве Е и ее
значения принадлежат множеству Ft на котором непрерывна функция
С = ©(^), то сложная функция C = (p[/(z)] =F(z) непрерывна на Е.
Пусть множество Е ограничено и замкнуто. Тогда каждая функ-
ция w = f(z), непрерывная на Е, ограничена на этом множестве,
т. е. удовлетворяет соотношению вида [/£г)|-СС < оо, z£E\ ее
модуль достигает на Е своей верхней и нижней грани; наконец,
/(г) равномерно непрерывна на £'. Последнее утверждение
означает, что для любого е>0 существует 3(е)>0 такое, что
—f (^2) I < 4 s * * Для любых двух точек множества, для которых
zi—^1<8(2)‘ Все эти свойства следуют из соответствующих тео-
эем, относящихся к функциям двух действительных переменных,
непрерывным на’ ограниченных замкнутых множествах; впрочем, их
нетрудно доказать и непосредственно, повторяя почти без изменений
известные из курса анализа доказательства.
При определении непрерывности предполагалось, что /(z0)=#oo.
При изучении отображений посредством аналитических функций
целесообразно отказаться от этого ограничения и считать функцию
непрерывной в точке z& где /(z0)~oo, если
Ник /(<г) = оо.
*	z £ Е
Мы будем называть функцию в этом случае обобщенно-не-
прерывной. На обобщенно-непрерывные функции перечисленные
выше свойства не распространяются.
Пример. Функция	при и г=#оо, обращающаяся в нуль
в точке z = со и в бесконечность в точке z = 0, является обобщенно-непре-
рывной в расширенной плоскости. В самом деле, для нее
lim f(z) = 0 = 7(00).	lim f (г) = оо = / (0).
г -> со	z => О
4. Непрерывная кривая. Понятие непрерывной кривой обобщает
наглядное представление о кривой как о траектории движущейся
точки. Относительно функции г = Х(/) действительного переменного
(параметра) /, непрерывной на некотором сегменте [а, [}], говЪрят*
что эта функция определяет непрерывную кривую (а также
линию или дугу); значения функции называются точками кривой,
уравнение z = называется уравнением кривой (в пара*
метрической форме). Для каждой кривой можно фиксировать одно
из двух взаимно противоположных направлений пробега кривой соот*
ветственно возрастанию или убыванию параметра. В первом случае
Х(а) есть начальная (начало), а Хф)— конечная точка (конец) кривой,
во втором случае эти точки меняются ролями. Кривая, начальная и
конечная точки которой совпадают, называется замкнутой.
4. НЕПРЕРЫВНАЯ КРИВАЯ
25
Если одна и та же точка z кривой соответствует двум или более
различным значениям параметра, из которых, по крайней мере, одно
отлично от а и от р, то такая точка называется кратной. Кривая,
не имеющая кратных точек, называется простой или жор да но-
вой кривой.
Две непрерывные кривые	(а<7<р) и г=|л(т)
рассматриваются как тождественные тогда и только тогда,
когда существует непрерывная, монотонная на отрезке [а, 3] функ-
ция т =<?(/) такая, что <р(а)==у, <?(р) = 8 (или ®(а) = 8, ср(Р) = у)
и z = [1 [<р(/)] = *(О (а<*<₽)•
Нетрудно показать, что множество всех точек непрерывной кри-
вой есть замкнутое множество (доказательство предоставляем чита-
телю).
Примеры кривых: а) Уравнение г — / (—определяет
кривую, изображенную отрезком действительной оси — 1	1. Для напра-
вления, соответствующего возрастанию параметра, начальной точкой будет
— 1, конечной -|- 1; кривая не замкнута. Она не имеет кратных точек, сле-
довательно, это — жорданова кривая (дуга).
б)	z = cos t (0 < t < те) — кривая, тождественная предыдущей; здесь
прежнее направление соответствует убыванию параметра.
в)	г = cos t (0 t < 2те). Эта кривая изображается тем же отрезком
действительной оси —-1 < х < 1, но она не тождественна предыдущей.
В самом деле, это — замкнутая кривая, так как / = 0 и / = 2те соответствует
одна и та же точка г= 1. Кроме того, здесь двум разным значениям пара-
метра t и 2те — t (0 < * <2те) соответствует одна и та же точка z = cos
поэтому кривая имеет кратные точки и не является жордановой.
Различие между непрерывными кривыми а), б) и в) проявляется в том,
что для первых двух из них точка z однократно пробегает отрезок
[—1, 1], когда параметр пробегает весь промежуток своего изменения,
тогда как в случае последней кривой точка z при аналогичном условии дву-
кратно пробегает тот же отрезок.
г)	Пусть At, Д2, •••,	— прямолинейные, определенным образом ориен-
тированные отрезки, расположенные на плоскости так, что конец каждого
отрезка Ду(; = 1, 2,..., n — 1) совпадает с началом следующего отрезка Ду+1.
Обозначая через aj комплексное число, изображаемое вектором Ду, а че-
рез Zq начальную точку отрезка Др мы можем получить на сегменте 0 t < п
простейшую непрерывную функцию, определяющую кривую, изображаемую
совокупностью данных отрезков:
? = г0 4 • • • +	+ aj — j + 0 (J ~~ 1	/ == 1, 2,..., n).
Кривая эта называется ломаной, отрезки Ду — ее звеньями. Ло-
маная замкнута или не замкнута в зависимости от того, совпадает ли конец
отрезка Дп с началом иличне совпадает. Жордановой кривой она будет
только в случае отсутствия самопересечений, т. е. при условии, что общую
точку, и притом только одну, могут иметь лишь два соседних звена Ду и
(в случае замкнутой ломаной звенья Д„ и Дх == Д^-ц соседние).
Покажем, что если любые две точки £0 и zr какого-либо откры-
того множества Е можно соединить между собой непрерывной кри-
вой L, содержащейся в £*, то тогда их можно соединить также и
ломаной, содержащейся в Е> откуда следует, что Е есть область
(см. п. 5 главы I).
26
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
В самом деле пусть z—7\t)	— уравнение L, причем
г0 — л(о0 и z' = л(р). Обозначим через о (о > 0) расстояние между L
и границей Г множества Е. Пользуясь равномерной непрерывно-
стью Х(/) на отрезке [а, [3], разобьем этот отрезок точками /0 =
= а < /у < /2 < • • • <	? на столь мелкие отрезки, чтобы выпол-
нялись условия [ X (tj ,г1) — X (Zj) | < 8 (у = 0, 1,. . ., п — 1), и соединим
каждую пару соседних точек кривой zj = k(tj) и	хор-
дой Ду. Очевидно, что все хорды До, Др..., содержатся в Л;
они составляют ломаную Л, вписанную в Л и соединяющую zQ с z'.
Следовательно, Е есть область.
Приведем две теоремы относительно жордановых кривых и ото-
бражений, которые мы примем без доказательства (доказательства
содержатся в курсах топологии).
Теорема Жордана. Каждая замкнутая жорданова кри-
вая Г делит всю плоскость на две различные области Gr и G2>
общей границей которых она является. При этом одна из обла>-
стей ограничена (она называется внутренностью Г), а другая
не ограничена (она называется внешностью Г).
Внутренность будем обозначать /(Г), а внешность Е(Г) (/ и
Е — начальные буквы французских слов interieur—внутренность и
exterieur — внешность).
Простейшую иллюстрацию к теореме Жордана дает внутренность
(|г—г0|<р) и внешность (| z—z01 > р) окружности Г: |г—-г0|—-р
(в параметрическом виде z = г0-|- p(cosZ-|- i sin t) (0 < t 2ir)).
Пусть G—произвольная область; если для любой замкнутой
жордановой кривой у, принадлежащей G, внутренность 7 также
принадлежит О, то область G называется односвязной (относи-
тельно конечной плоскости). Примером односвязной области является
внутренность окружности; внешность окружности или круговое
кольцо — не односвязны относительно конечной плоскости, так как
для каждой из этих областей можно указать такую окружность, при-
надлежащую области, внутренность которой не вся принадлежит
области. Для нужд теории конформных отображений понятие одно-
связной области обобщается. А именно область G расширенной пло-
скости называется односвязной (относительно расширенной пло-
скости), если для любой замкнутой жордановой кривой у, принадле-
жащей G, внутренность у или внешность у также принадлежит G;
все прочие области называются многосвязными. Конечно, область,
односвязная относительно конечной плоскости, является односвязной
и относительно расширенной плоскости. Обратное, вообще говоря,
неверно. Так, внешность окружности, которой в расширенной пло-
скости принадлежит также и бесконечно удаленная точка, является
односвязной относительно расширенной плоскости, хотя она не одно-
связна относительно конечной плоскости. Но круговое кольцо нс
односвязно как относительно конечной, так и расширенной плоскости,
т. е. является многосвязной областью.
5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
27
Теорема о взаимно однозначных и непрерывных
отображениях.
Пусть О____область расшаренной плоскости и <w = j(z)— функ-
Ния. обобщенно-непрерывная в G и отображающая Q взаимно
однозначно на некоторое множество D; тогда D является также
областью и функция	обратная по отношению к f(z\
обобщенно-непрерывна в области D. Если при тех же предполо-
жениях f(z) определена и на границе Г области G и притом
так, что дна является обобщенно-непрерывной в замкнутой
области G, то она отображает Г на границу А области D\
иными словами, граница образа области G совпадает с образом
границы той же области.
Впоследствии эта теорема будет нами рассмотрена при дополни-
тельном предположении, что f(z) — аналитическая в области О (пп. 1,
4, 7 главы X).
В заключение этого пункта обобщим понятие непрерывной кривой.
А именно пусть z~X(t)—функция обобщенно-непрерывная на от-
резке [а, р] (который может быть теперь бесконечным в одну или
в обе стороны); будем говорить, что эта функция определяет об-
общенную непрерывную кривую в расширенной плоскости.
Если z=l(t) не обращается в оо ни в одной точке отрезка [а, [3],
то обобщенная кривая не проходит через бесконечно удаленную
точку. Понятия начальной и конечной точек кривой, понятие замкну-
той кривой, кратной точки, понятие жордановой кривой, естественно,
распространяются на случай обобщенной непрерывной кривой. При-
мерами обобщенных жордаиовых кривых могут служить: прямая линия
г =	+ где а24~Т2=£0 и функ-
ция z обращается в оо при / = ±оо, парабола г = (aZ2 +у)
—[—Z(8^ —е), где а^=0 и z обращается в оо снова при / = -+“он.
Гипербола z =	+	(— оо <t<4-со), где а#=0 и b^Q,
является обобщенной непрерывной кривой, но не кривой Жордана,
так как точка z — оо есть кратная точка кривой (она соответствует
двум различным значениям /: ±1).
5. Производная и дифференциал, Пусть /(г) —функция ком-
плексного переменного, определенная и однозначная на некотором
множестве Е, и пусть z0 — какая-либо точка этого множества, являю-
щаяся предельной для него.
Составим разностное отношение	.
Очевидно, оно представляет функцию от z, определенную для
ВСех точек множества Е, отличных от zQ.
Если существует предел
lim	>
z z0> г С Е z г0
28 ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
то он называется производной от функции f(z) по мно-
жеству Е в точке Zq и обозначается через /я(г0) или, короче,
/'(^о). Сама функция /(г), обладающая производной, называется диф-
ференцируемой или моногенной по множеству Е
в т о ч к е z0. ’
В частном случае, когда Е является интервалом действительной
оси (конечным или бесконечным), f(z) есть функция действительного
переменного z=x, принимающая, вообще говоря, комплексные зна-
чения f(z) = /(х) = <р(х) + гф(х). Если ф(х)==0, т. е. если и зна-
чения f(z) действительны, то наше определение производной и диф-
ференцируемости, очевидно, совпадает с обычными определениями
дифференциального исчисления. Если ф(х)фО, то, переписывая
f(x)— /(хоУ	<?(х)— ?(х0) . . ф(х)— Ф(х0)	п
'—------<L. в виде  —-  -4- i	, заключаем в силу п. 2,
X — х0	X — х0 1 X — Xq	j
что производная f'(x) существует тогда и только тогда, когда суще-
ствуют производные ср'(х) й ф'(х), причем (х) = с/(х) + г/(х).
Так, например, если f(x) = acosx-|-f&sinx, то /'(х) =— asinx-j-
+ ib cosx.
Обозначая f(z)—f(z^) через &f(z) (приращение функции) и
z — z0 через Az (приращение независимого переменного), запишем
условие дифференцируемости так:
^=/z(*o)+e(*o- м.
где e(z0, Дг)~>0 при Дг->0 (z£E). Отсюда следует, что прира-
щение дифференцируемой функции может быть представлено в виде
Д/(.г)= Д-Az-HOo, М’А* И = /'Оо))	(О
с Д, не зависящим от Дг, и е, стремящимся к нулю вместе с Дг.
Обратно: всякая функция, для которой приращение может быть
представлено в виде (1) при тех же условиях относительно А и
е (г0, Дг), является дифференцируемой и ее производная равна Д.
В самом деле, из (1) вытекает, что предел
Нш	^z = z — z^ z£E)
Д2->0
существует и равен Д. Таким образом, представимость приращения
функции в виде (1) с Д, не зависящим от Дг, и е, стремящимся
к нулю вместе с &Z, является необходимым и достаточным условием
дифференцируемости функции. Заметим, что из (1) непосредственно
следует, что функция, дифференцируемая в точке zQ£E, является
непрерывной в этой точке (на этом множестве).
Обозначая Дг через dz (дифференциал независимого переменного)
и А • &z = fE(zQ}dz через df (z) = dEf(z) (дифференциал функции),
получим для производной следующее выражение через дифференциалы:
6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ	29
Поясним на примере, какую роль в определении понятия диф-
ференцируемости играет множество Е, по которому берется произ-
водная. Пусть сначала Е есть действительная ось и f(z) = f(x) — x.
Тогда производная f'E(x) существует при любом х£Е и равна еди-
нице, т. е. функция дифференцируема всюду на Е. Продолжим
теперь функцию /(х) на всю комплексную плоскость Ev полагая
попрежнему f(z) = x. Очевидно, эта функция непрерывна при любом z
и совпадает с исходной функцией, когда z£E (т. е. когда у = 0).
Разностное отношение здесь таково:
♦ /(*)—/(*<>) _ (х —х0)
г — г0	(х — хв) + ?(у — Уо)’
Оно не имеет предела для z-+zQ (z0— любая точка плоскости), ибо
при х — х0 и у Уо равно нулю, а при х #= х0 и у~у0 равно еди-
нице. Итак, функция f(z) не дифференцируема по плоскости ни
в одной точке.
6. Правила дифференцирования. Из определения производной
и свойств пределов функций комплексного переменного вытекает7 что
основные правила, известные из дифференциального исчисления, рас-
пространяются и на производные по множеству от функций комплекс-
ных переменных.
Вот эти правила:
1.	Если f (z) s с, то = 0.
2	_ r dt (*)
dz ~c~dT-
3.	^- = 1. '
az
^1Л«+ли+-+/»(г)1=^+^+...+ ^У’.
5-	4 1/1 (*) • /2 (2) . . . /„ (?)] == /2 (z)/8 (Z) ... fn (z)	+
+Л Ш (2)  •	(г)	..+Л (z)f2 (Z)...t (z)	.
6-	£lf<z)]n==n[f(z)]n~l • f'(z).	6'. ±(z»)^nz^.
7-	^(аоЧ~ dtz-j- . . . 4-а„г«) = al~j-2a2z-^ .. . -]-nanzn-1.
/	м dh<z)
8	-1 Pi — h dz h ( )
^1/г(г)]	[/3 (г)Р
Здесь все функции f(z), fatz), f2{z), ... предполагаются диф-
ференцируемыми в данной точке z множества Е. В правиле 8 тре-
буется еще, чтобы /2(г) была отличной от нуля.
Зо
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
9.	Правило дифференцирования сложных функций^
Допустим, что функция w = /(z) дифференцируема в точке .
рассмотрим функцию Z = cp(w), определенную на множестве F зна-
чений этой функции, дифференцируемую в точке w0 = /(г0) по этому 
множеству. Тогда сложная функция Z—tff/C?)] дифференцируема;
в точке по множеству £, причем	J
djtf Шг)1  dF\ W dL<:J (г)	;
dz	dw dz ’	;
10.	Правило дифференцирования обратных функ- <
ций. Пусть функция w = /(^) устанавливает взаимнооднозначное
соответствие между точками двух множеств Е и F> причем обратная 
ей функция ^=cp(w) непрерывна на F. Тогда, если f(z) дифферен- :
цируема в точке zQ£E и /^(^о) т0 и °^Ратная функция z =	•
дифференцируема в точке w0~/(z0)£F и
=	j
В самом деле, в силу взаимной однозначности отображения w== f(z) ?
z z0 при w #= w0, поэтому разностное отношение для функции <p(w) ]
может быть представлено в виде
?(w)~ ?(w0)_ г —г0 _	1	'
W — WQ W — w0 w —	’
г
и так как при	z~ ф(-ш)->г0= ?(w0), то
Пп1 ? (w) — <р Оо)	1	_____1_____________1
lim	lim	'	4(0’
z -> z;t %	^0 z -> Zj z г0
что и требовалось доказать.
7. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости
во внутренней точке области. Мы будем преимущественно рассма-
тривать функции, определенные в некоторой области Е = G, ив этом
dFf(z)	df(z)
случае вместо fE(z) или - будем писать короче: / (г) или —.
Пусть f(z)—u(x, y)-\-iv(x, у); напомним, что функция двух
действительных переменных и(х, у) называется дифференцируемой
в точке (х0, у0) области, где она определена, если имеет место соот-
ношение
и (х, У) — и (х0, v0) = А (х0, у0) (х — х0) + В (х(), v„) (v — v0) Т
4-гДх, у, х(|, _у0)(х — х0) 4- г,(х, у; х„, v0)(>— у0),
где
lim (х, у; х0, у0)= Ише2 (х, у; х0, у())~0.
У “> ?/о	-> У V
7 УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ВО ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКЕ ОБЛАСТИ 31
Коэффициенты А(х0, у0) и В(х0, Уо) в правой части равенства пред-
ставляют частные производные функции и(х, у):
А(х0,
ди (х, у)
З’о)=.. дх~
У = У«
ди (х, у)
ду
X = XQ
У = У»
B(xQ, v0)—
Докажем следующее важное предложение.
Теорема. Для того чтобы функция f(z) = и (х, у) 4" iv (х, у),
определенная в некоторой области G, была дифференцируема
в точке z этой области как функция комплексного переменного,
необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и v(x, у)
были дифференцируемы в той же точке (как функции двух дей-
ствительных переменных) и чтобы, кроме того, выполнялись
условия
ди да ди_________да
дх	ду ’ ду	дх *	7
При выполнении всех условий теоремы производ-
ная f'(z) может быть представлена в одной из сле-
дующих форм:
г,, к ди . .да	да	.ди ди	.ди да	.	.да	/оч
J (z) = з—н i -ч— =	з-1 з— — з----1 з— — з-г — •	(3)
v 7 дх 1 дх	ду ду дх	ду ду	'	дх	v 7
Условия (2) имеют основное значение в теории аналитических
функций и в приложениях этой теории к задачам механики и физики.
Они называются условиями (или уравнениями) Коши —
Римана.
Следует отметить, что это общепринятое в учебной и научной
литературе наименование несправедливо с исторической точки зре-
ния, так как условия (2) изучались еще в XVIII в. Даламбером и
в особенности Эйлером в работах, посвященных применению функ-
ций комплексного переменного к гидромеханике (Даламбер и Эйлер),
картографии и интегральному исчислению (Эйлер). Поэтому правиль-
нее изменить установившуюся терминологию и называть уравнения (2)
Уравнениями Даламбера — Эйлера.
Обратимся к доказательству теоремы и покажем сначала, что ее
условия необходимы для дифференцируемости функции f(z).
В самом деле, если f(z) дифференцируема в точке z области G, то
kf(z)==f'(z)±z-i-3 ±z,	(4)
где
Дг = z, — z = (X! — х) + i(_у1 — у) = Дх -4- z Ду,
Д/(г) = /(zj —f(z) = [«(Х1,	— ц(х, v)] _|_
-4- z [п (хр У]) — v (х, V)] A/Z 4 Z Д'Г,
/(2)= « 4 z7i, s —s, -! is.,,
32
ГЛ. It. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
причем ©i и е2 стремятся к нулю, когда Дх и Ду одновременно стре-
мятся к нулю.
Отделяя в соотношении (4) действительные и мнимые части, будем
иметь:
ки — а &х — b Ду 4- Дх — s2 Ду,
Дх/ = b Дх 4* я + ®2 ^х — ei ^У-
Отсюда в силу того, что lim iims2 = О, вытекает:
До?, Ag/-»o Да?, дг/->о
1) функции й(х, у) и х/(х, у) двух действительных перемен-
ных х и у дифференцируемы в точке (х, у);
2) их частные производные в этой точке таковы:
ди	ди	dv	. dv
f	s~ =— b, — ~Ь,	= а
dx	dy	dx dy
и, следовательно, удовлетворяют условиям
ди dv	ди  dv
dx	ду ’ ду	дх'
Наконец, для f'(z) получаем:
л, , ч ... ди , .dv dv .ди da .du dv . .dv
f =	=	=	=	= +
Итак, необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность условий теоремы. Пусть они выполнены.
Тогда
Дм = ^Дх + ^ Д-У + а1 Лх + а2дЛ
dv dv
д^^^Дх + ^Ду+^Дх + Рз^
где otp а2, и р2 стремятся к нулю при Дх и Ду, стремящихся
к нулю. Кроме того,
ди	dv	ди	dv	,
—
dx	dy	dy	dx
Следовательно,
Ди = а Дх — b Ду 4~ Дх 4- а2 Ду,
д-v = ь Дх 4- д Ду 4- Pi ^х + ?2 ^у
и
Д/(г) = Ди 4- / Дх/ = а (Дх 4~ I &У) + (Ах + * Д.У) +
' + Oi + $i) &х + (а2 + ^2) Ду = (я +	4-
+	+Й] Дг А Дг +8 Дг- (7)
7. условия
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ВО ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКЕ ОБЛАСТИ 33
Так как
:в|«|(а1 + ^)ё + (аг + /Р2)^1<|й1 + /Р11|ё| +
] а2	| < I а, +	1 + | а2 + $2 КI а11 + I ?11 +1 а21 + I ₽2 I'
ТО в вместе с аР а2> ?г стремится к нулю при Дг = Дх-НДу,
стремящемся к нулю. Отсюда и из соотношения (7) следует, что
функция /(г) дифференцируема и ее производная J' (z) равна Д:
,,, .	.	... ди . . dv
f (£)=	_|_f —= . . .
Этим и заканчивается доказательство.
Из общего курса анализа известно, *что для дифференцируемости
функций и(х, у) и v(x, у) достаточно существования и непрерыв-
ен ди dv dv п	.
ности их частных производных:	. Поэтому для диф-
ференцируемости функции f(z) — u-\-iv достаточно, чтобы частные
ди ди dv dv	-
производные ду» 5^» существовали, были непрерывными и
удовлетворяли уравнениям (2).
Функция /(г), дифференцируемая в каждой точке области G,
называется дифференцируемой в этой области, а также голоморф-
ной, или аналитической (иногда регулярной, или пра-
вильной). Название голоморфный (подобный целому, от греческих
слов 6Ло<£ — весь, целый и (хорсьо;— формам вид) было введено уче-
никами Коши — Врио и Буке. «Этим названием мы указываем,—
писали они,—что она (т. е. голоморфная функция.—A. AL) подобна
целым функциям (т. е. многочленам.—А. М), обладающим теми же
свойствами во всей плоскости». Смысл термина «аналитический»,
употреблявшегося ранее Лагранжем, а позднее Вейерштрассом и
в настоящее время общепринятого, разъяснен во введении; его при-
менимость к функциям комплексного переменного, дифференцируемым
в некоторой области, будет оправдана в дальнейшем изложении,
когда мы покажем, что такая функция может быть представлена
в некоторой окрестности любой точки области в виде суммы сходя-
щегося степенного ряда. Пока же мы будем употреблять термин
«аналитическая функция» в качестве синонима термина «дифферен-
цируемая в данной области функция комплексного переменного».
В виде примера рассмотрим функцию f(z) = £T(cosy-|-r sin у),
определенную во всей плоскости. Здесь
и == e^cosy, v = ех sin у,
du	dv ди	ди
и ^=-e.3i3y^^.
3 Зак 1636. А. И Маркушевич
34
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
Таким образом, условия (2) выполнены, и функция f(z) является
аналитической во всей плоскости. Для ее производной имеем:
/' О) =	= ev cosy + iex sin у = f(z).
В примере, рассмотренном в конце п. 5, f(z)=x, и~х, г/=0,
ди . ди а dv А dv а
^=1, gy=O, ^=0, —=0и условия Даламбера—Эйлера не
ди , dv кл	,	. .
выполнены:	видели, что эта функция нигде не диффе-
ренцируема (по плоскости).
Во многих случаях важно иметь условия дифференцируемости
функции комплексного переменного f(z)~u-]-lv в точке z =# О,
выраженные с помощью полярных координат |z| = r и Argz—Ф.
Условия эти (необходимые и» достаточные) таковы:
1') и и v являются дифференцируемыми функциями г и Ф;
2') их частные производные связаны соотношениями
ди  1 dv	dv 	1 ди
дг	г дФ ’ дг	г
(8)
ЧТО и И V диф-
и только тогда,
и что при этих
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать,
ференцируемы как функции г и Ф (г =£ 0) тогда
когда они дифференцируемы как функции х и у,
условиях уравнения (8) эквивалентны уравнениям (2). Но выполнение
первого требования следует из того, известного из общего курса
анализа факта, что дифференцируемая функция (например, и = и(х, у))
от дифференцируемых функций (например, х=гсозФ и ,у=г51пФ)
является также дифференцируемой (относительно переменных г и Ф).
Второе утверждение проверяется непосредственно. Например, если
условие Г) выполнено и, кроме того, выполнены условия (2), то
ди ди \ ди . dv	dv	. -	1	dv
— = — cos Ф + sin Ф = -г- cos Ф — -г- sin Ф = —	,
дг дх ’ ду	ду	дх	г	0Ф
dv	dv	я- 1 dv	. дч ди	\ ди	.	1 ди
дг	дх 1 ду	ду	1 дх	г дФ
(9)
Читатель легко выполнит и обратный переход от условий (8)
к условиям (2).
Записывая уравнения (9) в виде
ди ди - dv . А 
дг	дх	дх
dv	dv	дч	.	ди	. лч
дг	дх	1	дх
получаем из них:
да ди - । dv . - dv ди .	। dv -
-«-созФ + ^япФ, -^--^пФ + ^созФ,
7 УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ВО ВНУТРЕННЕЙ ТОЧКЕ ОБЛАСТИ 35
и следовательно*
//(г) = ^4-г^ = ^(созФ — 1япФ)-М-^(со8Ф—(sin Ф) =
=г^+{-^(С05Ф-/ЯПФ) = Г(^ + /^.
\dr ! dr/K	' z \дг 1 дг /
(10)
Эта формула удобна для вычисления f'(z) с
координат. Уравнения (8) позволяют записывать
7 1 7 z W	1 до) 
помощью полярных
/Z(z) также в виде
(11)
тФ
cos —
п
В качестве примера рассмотрим функцию
Ы	т ,	А	А \	М
~ , .V / т Arg z . s , rn Arg z\ тг
Zn =\г\” (cos —+1 sin —^2-1 = г п
где т — целое число и и — натуральное. Функция эта определена в области Q:
г =£ 0 и является многозначной, если рациональное число не является
т
целым (см. гл. 1, п. 2). Многозначность функции z п обусловлена многозначно-
стью аргумента Ф. Чтобы' иметь возможность говорить о производной этой
многозначной функции в некоторой точке z области и, возьмем в этой области
какую-либо окрестность точки z, не содержащую начала координат, и, фик-
сировав одно из значений Ф в точке г, будем брать во всех других точках zt
той же окрестности значения Ф1? удовлетворяющие условию | Фх — Ф |<~
(черт. 5). Тогда получим в рассматриваемой окрестности однозначную
и непрерывную ветвь функ-
т
ции z п, Будем обозначать эту од-
нозначную функцию тем же зна-
ти
ком: /(г) = гп.
Очевидно, в
т
Ц = Г»СОЗ^,
п
ди^ __ т
дг ^~7ГГ+
этом случае
т
~п . ^Ф
v = г г sin----,
+ п
тФ
cos----=
п
\ dv
г, дФ ’
dv т
dr ‘Г
т
п
1 ди
. тФ
sin--=-----—
п г дФ
* ™5?Овательно’ (г) является дифференцируемой функцией. Для ее произ-
водной получаем в силу формулы (10):
ТИ
'’«“-Нт'?
• т
Ш ~п (
(cos п
—-1
т
тФ . т
cos----------г 2
п ' п +
sin
тФ I :in отФ\ 1 ...../(*>
‘ п / Z п Z
3*
36 ГЛ. П. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
Читатель видит, таким образом, что правило дифференцирования «Дроб-
ях
ной степени» гп формально остается тем же, что и для соответствующей
m
функции действительного переменного хп. Нужно помнить, что наша
выкладка выполнялась при условии z =£ 0, которое можно опустить только
т
в том случае, когда — является неотрицательным целым числом.
В виде упражнения предлагаем читателю убедиться в том, что функция
f(z) = In г + определенная в той же области G, дифференцируема и про-
изводная ее равна (здесь также необходимо выделятьоднозначные и
непрерывные ветви функции).
8.	Геометрический смысл аргумента производной. Рассмотрим
сначала комплексную функцию z = X (t) действительного перемен*
ного Л определенную и непрерывную на некотором сегменте Е: [а, р]
действительной оси. Как указывалось в п. 4, такая функция опре-
деляет непрерывную кривую L. Предположим, что в некоторой точке
сегмента [а, р] существует производная (по множеству Е) А/(/)=£0.
Покажем, что тогда в соответствующей точке z0==X(/0) кривой L
существует касательная Т к ней (понимаемая как предельное поло-
жение секущей, проходящей через ^0), причем угол между Т и
действительной осью совпадает с ArgX'(£0).
В самом деле, проведем секущую через точки z0 = Л(/о) uzt = Х(/х)
кривой L. Можно предполагать, что точки эти не совпадают для
всех tv отличных от /0 и достаточно близких к tQ (в противном слу-
чае найдется последовательность	такая, что
*(*!„) — w=o
при всех /г, и, следовательно,
X'(Q= lim	= 0).
Замечая, что направление секущей одинаково с направлением век-
юра	t заключаем, что секущая, наверное, имеет предельное
положение при tY -> tQ (zt -> z0), если только угол между последним
вектором и действительной осью, равный Arg » имеет предел
при	Но Е силу условия существует предел
lim £l^ = X'(fo)=#O;
поэтому существует и предел
lim Arg ** —= ArgX'(Q,
чем и завершается доказательство.
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДНОЙ
37
Итак, для комплексной функции действительного переменного
аличие отличной от нуля производной означает существование
касательной к соответствующей кривой', угол наклона касатель-
ной к действительной оси совпадает с аргументом производной.
Обратимся теперь к функции комплексного переменного w = /(z),
определенной и непрерывной в некоторой области О, и допустим,
что в точке	существует производная	Пооведем
через точку zQ какую-либо кривую L: z==k(.t) (а<Л<р, Х(а) = .г0),
для которой существует производная Х'(/о)¥=О; по-предыдущему
кривая L обладает касательной в точке zQ = X (а) с углом наклона,
равным Arg Xх(/0). Эта кривая преобразуется посредством отображе-
ния -о/==/(г) в кривую А, расположенную в плоскости w: w = f [X (01 ~
= ^(0	р-(Q === / C?o) == wo)- Так как по правилу Диффе-
ренцирования сложных функций функция рь(О дифференцируема
в точке /= tQ и р/(/0) = f (z0) X' (70) =# 0, то кривая А обладает каса-
тельной в точке w0 = /(z0), причем угол между касательйой и дей-
ствительной осью равен
Arg|i'tf0) = Arg(X'(f0)/'(z0)] = Arg V(/o)+ Arg/'(z0).
Отсюда вытекает, что при переходе от кривой L к ее образу А
угол наклона касательной в начальной точке кривой изменяется
на величину
Arg р-' (f0) — Arg V (Q = Arg /' (z0),
не зависящую от этой кривой. Если из точки г0 выходят какие-либо
две кривые Lx и £2, обладающие касательными 7\ и Т2 в точке zQ,
« то касательные и т2 к их образам At и А2 в точке <w0 = f(zQ)
получатся из 7\ и Т2 посредством поворота на один и тот же
угол Arg/'(z0) и, следовательно, угол между кривыми Lt и L2 будет
равен (по величине и по направлению отсчета) углу между Aj и Л2.
Таким образом, при отображении посредством непрерывной функции
ад = /(г), обладающей отличной от нуля производной /'(z^), все кри-
вые плоскости г, проходящие через точку zQ и обладающие каса-
тельными в этой точке, преобразуются в кривые плоскости w, про-
ходящие через точку w0 = /(z0) и также обладающие касательными
в этой точке, причем углы между кривыми при этом преобразовании
сохраняются. Отображение посредством непрерывной функции, сохра-
няющее углы между кривыми, проходящими через данную точку,
называется к он ф о р м н ы м в этой точке.
Если при этом сохраняются не только величины углов, но и напра-
вления их отсчета (как это имело место в рассмотренном выше ото-
бражении), то говорят о конформном отображении первого
Р°Да; если же направления отсчета углов изменяются на противо-
положные (например, в случае зеркального отражения в действитель-
ной оси: waz), то говорят о конформном отображении
второго рода.
38 ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
Итак, отображение посредством аналитической в некоторой
области Q функции комплексного переменного является конформ-
ным отображением первого рода во всех точках, в которых
производная отлична от нуля. Если отображение является кон-
формным во всех без исключения точках области О, то его назы-
вают конформным отображением области G.
Общий пример конформного отображения второго рода дают ото-
бражения, осуществляемые посредством функций, сопряженных с ана-
литическими: w = /(£) (предполагается, что /'(z)#=0).
Предлагаем читателю доказать, что если производная в некоторой точке
равна нулю, то углы могут как сохраняться, так и изменяться (рассмотреть
отображения
А С*) = r2 (cos Ф 4- i sin Ф)
и
/2 (г) = г2 (cos 2Ф 4- I sin 2Ф) = &
в точке г = 0).
9.	Геометрический смысл модуля производной. В предыдущем
пункте было показано, что Arg/7\z^ выражает собой угол поворота
касательной к кривой L в некоторой ее точке zQ при переходе к ее
образу Айк точке w0 = /(^0). В частности, если /'(Zq)—действи-
тельное положительное число, то векторы касательных к L в z0 и
к А в f(z$) параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
Выясним теперь геометрический смысл модуля производной |/' (г0) |.
С этой целью заметим, что
im)i= ит
и что числа }z— zol и |/(г)—/(г0)| представляют собой соответ-
ственно расстояния между точками z и z§ плоскости z и между их
образами /(z) и /(z0) в плоскости w. Если отношение —7Г/ foil
можно рассматривать как растяжение вектора z — z§ в результате
отображения посредством функции w = /(,?) (это растяжение может
быть меньше единицы, равно единице и больше единицы), то модуль
производной |/'(^0)| можно рассматривать как растяжение
в точке при отображении посредством функции ш = f(z). Вели-
чина растяжения в точке z0, как следует из только что сказанного,
не зависит от того, какой берется вектор z—zQ, выходящий из этой
точки; однако она не совпадает с растяжением вектора z — z&
а представляет собой предел этого растяжения при условии, что z
стремится к z^
10.	Пример: линейная и дробно-линейная функции. В виде
иллюстрации рассмотрим дробно-линейную функцию L(z)=
== —Ф4 (по крайней мере, одно из чисел с или d отлично от нуля).
cz -j- а
Пусть сначала с= 0. Тогда L(z) можно переписать в виде L(z)~wr
10. пример: линейная и дробно-линейная функции >39
р = -^; это — целая линейная функция. Она
определена при всех значениях z и имеет производную //(.?) = а,
сохраняющую постоянное значение и отличную от нуля, если а ¥= 0.
Следовательно, функция L(z) производит конформное отображение
всей плоскости комплексного переменного z. При этом отображении
касательные ко всем кривым плоскости z поворачиваются на один
и тот же угол, равный Arg а, и растяжение во всех точках оказы-
вается равным |а|. Если а=1, то Arga=2br, | а | = 1, и как по-
ворот, так и растяжение фактически отсутствуют. Так как отобра-
жение в этом случае принимает вид w = то оно, очевидно,
сводится к сдвигу всей плоскости как целого на вектор р. Если же
а^1 (иа^О), то отображение можно представить в виде w —
==a(z — у), где у определяется из уравнения у = Отсюда
следует, что каждый вектор z—у, выходящий из точки у, в резуль-
тате отображения поворачивается на угол, равный Arg а, и подвер-
гается растяжению в |а| раз, превращаясь в вектор w — у, выходящий
из той же точки у. Это означает, что отображение L(z) = az-\-$
при а 1 (и а 0) сводится к повороту всей плоскости как целого
вокруг точки Т = на угол Arg а и к растяжению относительно
этой точки в |а| раз. Очевидно,— это отображение подобия с цен-
тром в точке у = и коэффициентом подобия |а|, сопровождаю-
щееся поворотом вокруг той же точки на угол Arg а. Таково кон-
формное отображение в простейшем случае.
Пусть теперь с =# 0. Тогда при ^¥=8 =—~ существует произ-
водная
г / / ^\	ad — Ьс  ad — be 1
L W (cz + dp	’
Если определитель ad — be	0 (а равенство нулю выражения ad — be
a b \
означает справедливость пропорции у = ~ = А, откуда а — ск>
b = dl и L (/) =	= cU. j~d^- ss /) > то L' (z) 4* 0 при всех
cz-\-d cz 4- d )
^¥=8. Следовательно, отображение w = является конформным
во всех конечных точках, отличных от 8. При этом отображегии
касательные к кривым, проходящим через произвольную точку z ¥= 8,
поворачиваются на угол, равный
Arg L' (z) = Arg ad^C- — 2 Arg (z — o).
Угол поворота касательной, очевидно, меняется от точки к точке,
сохраняя одно и то же значение для тех точек, для которых Arg («г —8)
сохраняет одно и то же значение, т. е. для точек каждого из прямо-
линейных лучей, выходящих из точки 8, Растяжение длины в точке %
40 ГЛ. И. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
при данном отображении есть | £' (z) | = |	: | z — 812 и также
меняется от точки к точке. Оно сохраняет одно и то же значение
для тех точек, Для которых величина |z— 8|—одна и та же, т. е.
для точек каждой окружности с центром в точке 8. В частности,
попрежнему с 0 и ad — Ьс=£О.
это растяжение равно едини-
це в каждой точке окружности
|z—8|=уЬу| ad—/?с|(изо-
метрическая окружность
дробно-линейного преоб-
разования), больше единицы
внутри Y, стремясь к бесконеч-
ности при z, стремящемся к 8,
и меньше единицы вне 7, стре-
мясь к нулю при z, стремящемся
к бесконечности (черт. 6).
11. Угол с вершиной в бес-
конечно удаленной точке. Пусть
Тогда, очевидно,
lim
5 d
► 8= —
с
az-\-b
cz-^-d
00
lim
«->00
az-\-b___a
cz-^-d 7
и
Дополним определение функции L(z), положив
L (8) = co и L (00) == a.
Теперь функция w = £(z) определена во всей расширенной плоско-
сти z, причем конечную точку 8 она преобразует в бесконечно уда-
ленную точку плоскости w, а бесконечно удаленную точку плоско-
сти z — в конечную точку а.
Из уравнения w = получаем для обратной функции z=sL~l (w)
следующее выражение:
%  —-tZw 4»^
cw — a
При этом мы предполагаем сначала, что w =£ оо и w =£ а (тогда
z =¥= 8 и z Ф оо). Для и*== со и w я® а имеем следующие значения:
£~1(оо) = 8 и £~1(а) = со.
Итак, функция, обратная по отношению к дробно-линейной, сама
является дробно-линейной. Мы видим при этом, что дробно-линейная
функция w=sL(z) осуществляет взаимно однозначное отображение
расширенной комплексной плоскости самое на себя и что это отобра-
жение является конформным при z 8 и z =Л оо. Чтобы иметь воз-
можность говорить о конформности отображения и в этих точках.
11. УГОЛ С ВЕРШИНОЙ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ 41
нужно дать целесообразное определение угла с вершиной в беско-
нечно удаленной точке. Пусть Сг и С2—две непрерывные кривые,
проходящие через начало координат, в котором они образуют угол 6.
Отобразим плоскость самое на себя посредством £ = •—. Тогда Сг и С2
отобразятся на непрерывные (в обобщенном смысле) кривые С' и С',
проходящие через бесконечно удаленную точку. Будем говорить по
определению, что С' и С' образуют в бесконечно удаленной точке
также угол 6. Так, например, действительная и мнимая оси соста-
вляют между собой в начале координат угол Посредством ото-
* 1 *
бражения каждая из них преобразуется в самое себя, а точка
z = G преобразуется в точку С==оо. Отсюда следует, что действи-
тельная и мнимая оси пересекаются в бесконечно удаленной точке
к
под тем же углом , как и в начале координат.
Вообще будем говорить, что любые две кривые С' и С'2> прохо-
дящие через точку z=oq, образуют в ней угол, равный 0, если
образы Ct и С2 этих кривых при отображении С = образуют
в начале координат угол 6.
Вернемся к общему случаю отображения посредством
w =	=	(ad — bc^Q.c&O).
Пусть две кривые Сг и С2 образуют угол 0 с вершиной 8 =—
Так как £(§)== оо, то образы этих кривых C'i = L(Ci) и С2 = L(C2)
проходят через точку w = oo. По определению, угол межАу ними
должен равняться углу с вершинЪй в начале координат между кри-
выми и Сг, полученными в результате отображения £==•—-. Оче-
видно, что С" и С2 суть образы кривых Сг и С2 при результирую-
щем отображении	Но последнее является дробно-
линейным и, следовательно, конформным в точке z = 8 (которую оно
преобразует в конечную точку С=0). Поэтому кривые С" и С" обра-
зуют в точке С=0 угол 6, т. е. кривые С' и С' образуют в точке
w==oo угол 6. Итак, мы установили конформность отображения
w = L(z) в точке 8, в которой дробно-линейная функция обращается
в сю. Этот результат справедлив, конечно, и для обратной функции
в точке а, в которой эта функция обращается в оо.
Иными словами, отображение w — L(z) является конформным и в бес-
конечно удаленной точке (которую оно преобразует в точку а). Окон-
чательно получаем: каждая дробно-линейная функция
42 ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
(ad—be =£0, с 0) отображает расширенную плоскость взаимно
однозначно и конформно самое на себя.
Читатель легко проверит, что это утверждение справедливо и для
целой линейной функции w = az-\-b\ единственное отличие от пре-
дыдущего случая здесь в том,- что бесконечно удаленная точка пре- '
образуется в себя.
12. Гармонические и сопряженные гармонические функции.
В дальнейшем будет показано (п. 3 главы VI), что действительная
и мнимая части и(х, у) и v(x, у) функции /(г), аналитической в неко-
торой области, обладают дифференцируемыми (следовательно, и непре-
рывными) частными производными любого конечного порядка. В этом
пункте мы выведем некоторые следствия из этого факта. Дифферен-
цируя первое из уравнений (2) по х, а второе — по у и замечая,
d2v d2v
ЧТ0 ду'Ь'х = дх'ду ’ ПОЛУЧИМ’ складывая почленно оба результата;
д2и . д2и А
Аналогичное уравнение получится и для функции ^(х, у), если
первое из уравнений (2) дифференцировать по v, второе по х и затем
вычесть почленно второе равенство из первого:
d2v . d2v n
дх2 ‘ ду2
Уравнение
ц_ ^ = о	(12)
дх2' ду2
является дифференциальным уравнением с частными производными
второго порядка. Оно называется уравнением Лапласа, а функ-
ции, обладающие в некоторой области непрерывными частными произ-
водными до второго порядка включительно и удовлетворяющие этому
уравнению,— гармоническими функциями.
Следовательно, можно утверждать, что действительная и мни-
мая части функции комплексного переменного, аналитической
в некоторой области, являются функциями, гармоническими
в той же области. Так, например, для функции z2 = (х1у)2 ==
= х2—y2~\~2ixy, аналитической во всей плоскости, действительная
часть х2 — у2 и мнимая часть 2ху являются гармоническими во всей
плоскости. В конце п. 7 указывалось, что функция f(z) = In | z | -р
+ /Arg^ является аналитической в области д: г #= 0, поэтому In | z|
и Arg z являются гармоническими функциями в этой области (это легко
проверить, замечая, что In | z [ = ~ In (х2 +.У2) и krgz= arctg~ + C,
если х =£ 0, или Arg z— С — aretgy, если у Ф 0). Заметим, что Arg 2
дает простейший пример многозначной гармонической функции; строго
говоря, определение гармоничности следует прилагать к однозначным
непрерывным ветвям этой функции.
12. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 43
Пусть <р(х, у)— какая-либо функция, гармоническая (однозначная)
в данной односвязной области G (например, в круге, полуплоскости
или во всей плоскости). Покажем, как найти функцию f(z) = и (х, у)-|-
-}-^(х, у)> аналитическую в этой области, действительная часть
которой совпадает с ср (х, у): и (х, у) = <р (х, у). Для отыскания мнимой
части функции имеем два уравнения (уравнения Даламбера — Эйлера);
dv	ди гь, , dv ди ~ ч
— = — — == Р (х, у), — = — = Q (х, у).
дх ду 4	ду дх
Функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области G и обладают
в ней непрерывными частными производными первого порядка (по-
следние выражаются через частные производные второго порядка
от и (х, у)).
При этом выполняется условие
дР  д2и  д2и  dQ
ду	ду2	дх2	дх ’
в силу которого криволинейный интеграл
(а?, у)
J Pdx-\-Qdy
(Фо> Уд
не зависит от вида пути, соединяющего точки (х0, у0) и (х, у) обла-
сти G, и, следовательно, представляет однозначную функцию ф(х, у)
точки (х, у) *). Эта функция имеет те же частные производные, что
и искомая функция t/(x, у):
дф р  dv dty п  ду~
дх дх ' ду ду ’
поэтому v(xt у) может отличаться от ф(х, у) только на постоянное
слагаемое:
(«3?» У)
г»(х, д») = ф(х, _у)Ч-С = J Р dx-\-Qdy-\-C =
(OV уд
У)
f ди ,	, ди ,	,
,	W2/o)
(здесь С — действительное число). Вычисляя v по этой формуле,
будем иметь две дифференцируемые в области О функции:
и = ср (х, у), v — ф (х, у) + С,
связанные уравнениями Даламбера — Эйлера
ди dv ди dv
^ = 37’ 375в=“‘^-
л *) Су, например, Г. М. Фихтенгольц, Основы математического ана-
За, т. П, м., Гостехиздат, 1956, гл. 21, § 4.
44
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
Отсюда следует, что функция /(г) = я(х, ^) + ш(х, з/) = ср(х, ,у)+
(х, у) + iC—аналитическая в области О. Итак, по функции <р (х, у\
гармонической в односвязной области О, можно найти аналити-
ческую функцию f(z), действительная часть которой совпадает
с ср (х, у). Эта функция определена с точностью до постоянного
чисто мнимого слагаемого.
Пример. Пусть G получается из плоскости исключением полуоси:
у « 0, х < 0. Легко проверить, что функция и (х, у) = In (х2	у2) — гар-
моническая в этой области. Для отыскания мнимой части имеем уравнения
/V
4/
о—
Мяу/
/V
«г
dv __ ди __ у
"дх ~ Ну “ ~~ Х2 + у2*
dv	du_____х
Ну	dx ~~ х2 + у2 ’
поэтому
(а, у)
v(x, У)=	+
(1-0)
+^<0 + е-
Черт. 7.	Если, например, точка
M(xt у) лежит в правой полу-
плоскости (х>0), то, интегрируя вдоль двузвенной ломаной ANM (черт. 7),
найдем:
У
v(x, у)= J-Х2^-у2 + С = arctg~ + С.
о
Если точка Л4(х, у) лежит во втором (или третьем) координатном угле
(х < 0, у 0), то, интегрируя вдоль ломаной AL'M (соответственно AL"M),
получим:
у	to
v<x‘ У)= JrT7~ J^H!S’ + C“arctg)'“arctg7 + arctg7 + C’
0	1
Отсюда видно, что о (х, у)=» arg z С во всех точках G; следовательно,
/(г)»| In (х2 + у2) 4- i arg z-\- IC = In | z | + I arg z + iC.
Изложенный здесь прием отыскания аналитической функции по
ее действительной части применим и для случая многосвязной
области О, но в случае многосвязной области интеграл ф(х, у)^
(агУ}	дР dO
«» J Pdx^Qdy при условии	представляет, вообще
(®о. Vo)
13 ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 45
говоря, многозначную функцию точки (х,у); поэтому и функция
j)+/ф (х, >0 вообще говоря, оказывается много-
ачной (хотя ф(х, у)— попрежнему однозначная). Все это легко
иллюстрировать, отыскивая аналитическую функцию f(z) в области
q- z^O по заданной действительной части <р(х, у) = ~ 1п(х2-р^2).
Получим многозначную аналитическую функцию f(z) = In | z | + i Arg .г.
Заметим, наконец, что совершенно таким же путем можно нахо-
дить аналитическую функцию по ее мнимой части. Впрочем, еслиф(х,у)
есть мнимая часть для f(z), то она же является действительной
частью для -T-f(z).
Гармонические функции встречаются во многих задачах физики
и механики. Так, например, температура однородной пластинки, на-
ходящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского
проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока
однородной, несжимаемой жидкости и т. д. являются гармоническими
функциями декартовых координат х и у в соответствующих областях.
Значение теории аналитических функций для решения многих задач
механики и физики заключается в том, что вместо того, чтобы искать
гармонические функции и оперирЪвать с ними, ищут аналитические
функции, действительными или мнимыми частями которых служат эти
гармонические функции.
13. Гидромеханическое истолкование аналитической функции. Будем
рассматривать установившееся плоек о-п араллельное движе-
ние несжимаемой однородной ж и д к о с т и (г а з а). Это движе-
ние характеризуется тем, что скорость каждой частицы жидкости предста-
вляется вектором, параллельным одной и той же плоскости (х, у) и завися-
щим лишь от координат х и у проекции частицы на эту плоскость (т. е. не
зависящим ни от третьей координаты С, ни от времени). В таком случае
достаточно следить лишь за движением проекций частиц жидкости на пло-
скости (х, у), т. е. рассматривать все движение как плоское. Сообразно
с этим мы и будем говорить о движении жидкости в плоскости (х, у).
Пусть G — область плоскости, занятая движущейся жидкостью. Замкнутое
множество F, дополнительное к G относительно плоскости, можно рассма-
тривать как совокупность проекций цилиндрических твердых тел, обтекаемых
жидкостью в пространстве. Мы будем называть эти проекции просто твер-
дыми телами, обтекаемыми жидкостью. В этой схеме они
являются неподвижными. Но к этой же схеме можно свести и случай посту-
пательного прямолинейного и равномерного движения твердого тела (или
системы твердых тел) в жидкости. Для этого достаточно в силу классического
принципа Галилея сообщить всей жидкости в целом постоянную по величине
и направлению скорость, равную скорости любой точки тела. Тогда жидкость
в бесконечности вместо того, чтобы покоиться, будет иметь ту же скорость,
в обтекаемые тела можно будет рассматривать как неподвижные.
Пусть и (х, у) и v (х, у) — проекции вектора скорости частицы жидкости,
находящейся в точке (х, у), на координатные оси (эти функции предпола-
гаются непрерывными). Рассмотрим какую-либо дугу у гладкой кривой, соеди-
няющую две точки и z2 области G. Если ds — элемент дуги ? и п — на-
правление нормали к ds, проведенной так, что п остается справа от дуги 7
при обходе ее от точки к точке г2, то площадь параллелограмма, построенного
46
ГЛ. И. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДИЛ^
на ds и векторе скорости и 4~ lv, равна, очевидно, произведению ds на про-
екцию этого вектора на нормаль, т. е.
[и cos (п, х) + v cos (п, у)] ds.	(13)
Эта величина будет иметь знак 4-, если вектор скорости составляет с п -
острый угол, и знак —, если этот угол тупой. Очевидно, что указанный
параллелограмм можно рассматривать как основание прямого параллелепи-
педа с высотой, равной единице (перпендикулярной к плоскости ху). Объем
этого параллелепипеда совпадает по абсолютной величине с числом (13),
которое представляет, следовательно, взятый с определенным знаком объем
количества жидкости, принадлежащей слою высотой, равной единице, парал-
лельному плоскости (х, у), протекающей за одну секунду через площадку,
проектирующуюся в элемент ds. Общее количество жидкости, принадлежащей
указанному слою и протекающей за одну секунду через цилиндрическую
площадку, проектирующуюся в дугу у, будет равно
[и cos (п, х) 4 v cos (л, у)] ds.
т
о	—	3 Г4
Замечая, что при наших условиях угол п, х превышает на угол /, х
между касательной к у, проведенной в направлении обхода этой кривой, и
действительной осью, получаем, что
cos (п, х) ~ sin (х, £) =	.
Аналогично
cos (я, у) =•= — cos (х, /) = —	.
Следовательно, указанный интеграл можно представить в виде
(14)
7
Полученная величина называется потоком жидкости через кривую у.
Если кривая замкнута и на ней выбрано положительное направление так, что
внутренность кривой остается слева от наблюдателя, обходящего кривую
в этом направлении, то нормаль п направлена во внешность кривой По-
этому поток через элемент ds границы является положительным, если
жидкость вытекает через ds изнутри у, и отрицательным, если она втекает
во внутренность у. Предположим, что внутренность у принадлежит области G,
занятой текущей жидкостью, причем здесь не содержится ни источников,
откуда жидкость могла бы появляться, ни стоков, куда она могла бы
убывать. Тогда общая величина потока через ? должна равняться нулю:
I — v dx 4- и dy = 0.
Применяя это заключение ко всем замкнутым кривым произвольной одно-
связной подобласти ga G, не содержащей ни источников, ни стоков, заклю-
чаем, что поток жидкости через любую дугу, принадлежащую этой области,
не зависит от вида этой дуги, а зависит только от выбора ее концов и z?-
13 гидромеханическое истолкование аналитической функции 47
(15)
допустим, что и и v обладают непрерывными частными производными.
Тогда из полученного условия будет вытекать, что *)
ди _ д (— v)
дх ду
Мы получили так называемое уравнение неразрывности для
сжимаемой жидкости. Очевидно, что оно совпадает с одним из уравнений
Паламбера — Эйлера для пары функций и (х, у) и — v (х, у). Чтобы придти
к другому уравнению Даламбера — Эйлера, рассмотрим интеграл
и dx -k v dy,
(16)
взятый вдоль замкнутой кривой у. Выражение udx~[~vdy представляет
проекцию вектора скорости на элемент ds дуги у (точнее, произведение
проекции скорости на касательную, проведенную в направлении обхода кри*
вой и длины ds элемента дуги). Интеграл (16) называется циркуляцией
скорости вдоль кривой у. Предположим, что в некоторой односвязной
подобласти gdG циркуляция скорости равна нулю для любой замкнутой
кривой, принадлежащей G. Тогда, очевидно, в данной области должно выпол-
няться условие
ди __ д (— у)
ду “ дх
(17)
Это —второе уравнение Даламбера — Эйлера для пары функций и и —v. Его
физический смысл заключается в том, что оно выражает отсутствие вихрей
в рассматриваемом движении жидкости (в подобласти g с: G). Вообще вих-
рем скорости и iv в плоском движении называется вектор, перпен-
. дикулярный к плоскости (х, у) и имеющий проекцию на третью координатную
v	dv ди "
ось С, равную -----. Вихрь скорости характеризует вращательное дви-
жение частицы жидкости. Если предположить, что частица жидкости отвер-
дела бы, то угловая скорость ее вращения в точке (х, у) имела бы значе-
1 / dv ди \	_	.	u	u .
ние у—’ду/ ‘акпм образом. отсутствие вихреи в данной области g
означает, что частица жидкости в каждой точке этой области может иметь
только поступательное движение и подвергаться некоторой деформации, не
испытывая вращения, рассматриваемого как одна из компонент движения
в данной точке. В случае отсутствия вихрей уравнение (17) выполняется,
и следовательно, циркуляция скорости обращается в нуль для любой замк-
нутой кривой.
Предполагая, что в данной подобласти g a G выполнены одновременно
уравнение (15) (что предполагает отсутствие источников и стоков) и урав-
нение (17) (что предполагает отсутствие вихрей), найдем, что функция
и	(—- v) I = и — iv,
сопряженная со скоростью движения частицы жидкости, является аналити-
ческой функцией точки z ~ х 1у.
В дальнейшем (п. 7 главы V) будет показано, что каждую функцию, анали-
тическую в односвязной области конечной плоскости, можно рассматривать
как производную некоторой однозначной аналитической функции.
Так как g— односвязная область, то и — lv можно рассматривать как
производную однозначной аналитической в этой области функции f (z), опре-
деляемой с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
-—_______________
*) См. сноску на стр. 43.
48 ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
Эта функция, удовлетворяющая условию
f (z) = и — lvt
называется комплексным потенциалом или характеристи-
ческой функцией течения.
Положим
/ (*) = 9 (*. У) + <Ф (•*> >')•	(18)
Тогда
Г W “ дх + дх ду ~ 1у
и, следовательно,
Первая пара полученных соотношений показывает, что и (х, у) -  действи-
тельная часть комплексного потенциала — есть потенциал скоростей
в рассматриваемом движении. Очевидно, что для него имеем следующее
представление:
ф (*, У) ~ Ф (*о> Уо)2=3 J и dx + v dy.
(xot у0)	'
Из второй пары соотношений следует, что
(#> у)	*
Ф <*• у) — Ф (х0, у0) = J — v dx + и dy,
Уо)	♦
т. е. разность двух значений функции ф (х, у) равна потоку жидкости через
любую кривую, соединяющую те точки, в которых берется разность. Функция «
ф(х» У) — мнимая часть комплексного потенциала — называется функцией •
тока.	*	J
Рассмотрим два семейства кривых:
Ф (*» У) = c°nst	(19) д
и	i
ф (х, у) = const.	(20)
Эти семейства в плоскости значений функции С = / (z) изображаются
семействами координатных прямых 6 = const и т] == const. Так как последние
взаимно ортогональны, то и семейства кривых (19) и (20) взаимно ортого-
нальны в силу конформности отображения С = / (?) (это заключение имеет
силу только там, где f (г)=#0, т. е. где скорость частицы отлична от нуля).
Кривые (19) характеризуются тем, что для них	~ -
~ dx + dy = 0,
дх 1 ду 7
и dx + v dy s= 0.	(21)
Это—’Кривые равного потенциала. Для кривых (20) характерно
соотношение
^dx + ^dy^Q.
13. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 49
т. е.
или
— v dx и dy = О
dx __ &у
и ~ v
(22)
Они называются линиями тока*
Из уравнения (21) следует, что вектор скорости и-{-tv в тех точках,
в которых он отличен от нуля, направлен по нормали к соответствующей
линии равного потенциала. Точно так же из уравнения (22) следует, что этот
вектор направлен по касательной к линии тока. Отсюда лишний раз вытекает,
что линии равного потенциала и линии тока взаимно ортогональны.
Кроме того, из совпадения вектора скорости с касательной к линии тока
и из того, что движение является установившимся (скорости зависят только
от положения частицы), вытекает, что линии тока совпадают с траекториями
частиц *).
Если область G течения жидкости содержит отдельные (изолированные)
точечные источники, стоки или вихри (т. е. точки, которым соответствуют
отличные от нуля вихри), то, исключая их из области G, получим много-
связную область G', к каждой односвязной подобласти которой применимо
все сказанное выше. Отсюда следует, как и прежде, что функция и — lv,
сопряженная со скоростью а -|- lv, представляет собой однозначную во всей
области G' аналитическую функцию.
Функция (18) (вообще многозначная) попрежнему будет комплексным
потенциалом движения жидкости, распадающимся в каждой односвязной
подобласти gf cz Gr на однозначные аналитические ветви. Так как производ-
ная от каждой из них совпадает с одной и той же функцией и — lv, то раз-
личные ветви комплексного потенциала могут отличаться друг от друга только
постоянным слагаемым.
Итак, мы установили, что каждому плоскому установившемуся движению
несжимаемой жидкости в некоторой области -6 соответствует функция
/(г) — комплексный потенциал движения, аналитическая во всех точках
области G, за исключением тех, в которых имеются источники, стоки или
вихри. >
Функция эта вообще является многозначной, но ее производная, пред-
ставляющая собой в каждой точке области комплексное число, сопряженное
со скоростью и + lv, является однозначной.
Границу области можно рассматривать как совокупность очертаний
(проекций или сечений) стенок сосуда, заключающего жидкость, или же тех
цилиндрических тел, которые обтекаются жидкостью. Так как частицы
жидкости, непосредственно прилегающие к стенкам, должны скользить вдоль
них, то граница области должна входить в систему линий тока.
Если вообще мы имеем в некоторой области G аналитическую, за исклю-
чением^ отдельных точек, функцию / (г), вообще многозначную, но с одно-
значной производной f то эту функцию можно интерпретировать как
комплексный потенциал некоторого течения жидкости в области G. При этом
точки, попадающие в область G, в которых аналитичность функции /(г)
нарушается, в простейших случаях могут быть истолкованы как источники,
стоки или вихри течения, а граница области — как очертание обтекаемых
Жидкостью твердых тел. Для возможности последнего истолкования необхо-
димо, чтобы граница области G входила в систему линий тока, т. е. чтобы
Функция тока (ф (х, у) = Im / (г)) сохраняла постоянные значения на всех
-Раничных кривых (на каждой кривой — свое значение).
0	*) В общем случае неустановившегося движения также можно говорить
С0*ИНиях тока как кривых, касательные к которым в данный момент времени
спрПадают с векторами скорости; но здесь линии тока, вообще говоря, не
падают с траекториями частиц.
4 Зак. 1636. А. И. Марку шевич
50
ГЛ. II. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРОИЗВОДНАЯ
14. Примеры. Переходя к иллюстрации общих соображений, выска-
занных в предыдущем пункте, рассмотрим сначала случай целой линейной
функции
/(г)==аг.
Ее можно рассматривать как комплекс-
ный потенциал движения жидкости,
занимающего всю плоскость. Дви-
жение это * является поступательным, -
и его скорость равна f (z) = а в лю-
бой точке. Полагая а = a -f- Zp, полу-
чим для потенциала скоростей выра- •
жение
<р (х, у) = ах —
а для функции тока
Ф (х, у) = £х 4- ау.
На черт. 8 изображены линии >
тока и ортогональные к ним линии
равного потенциала.
Если вместо всей плоскости рассмотреть лишь полосу, ограниченную
двумя прямыми, параллельными вектору а, то та же функция представит
комплексный потенциал течения жидкости в полосе.
Возьмем еще пример функции
 /(г)=Л
14. ПРИМЕРЫ
51
_____также комплексный потенциал движения жидкости, занимающего всю
плоскость. Скорость частицы жидкости, находящейся в точке z, равна
потенциал скоростей имеет вид
<р (х, у) = х2 — у2,
а функция тока
Ф (х, у) = 2ху.
На черт. 9 представлены линии равного потенциала х2— у2 = const и
линии тока 2ху = const рассматриваемого течения. Очевидно, это — равно-
бочные гиперболы. К линиям тока принадлежат также обе координатные оси
(2ху = 9). В точке их пересечения (начале координат) скорость равна нулю.
Рассматривая вместо всей плоскости один из координатных углов, например
первый, заключаем, что та же функция представляет комплексный потенциал
плоского движения жидкости, заключенной в первом координатном угле.
При этом стороны угла изображают стенки сосуда, в котором движется
жидкость.
глава in
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Многочлен. Простейший и наиболее важный класс дифферен-
цируемых функций составляют однозначные функции, аналитические
во всей плоскости, исключая из последней бесконечно удаленную
точку. Такие функции называются целыми. Весьма частным при-
мером целых функций служит многочлен (полином)
«о+ a^z + a2z2 + . . . + anzn = Pn(z).
Он может сводиться к постоянной (п = 0). Если же п > 0 и ап#=0,
то lim Pn(z) = оо. Следовательно, многочлен степени выше нулевой
Z ->оо
обращается в до в бесконечно удаленной точке.
Если w — произвольное комплексное число (собственное), то, как
известно из алгебры, уравнение Pn(z)=w имеет п корней, из
которых некоторые могут быть равными между собой (кратные
корни). Поэтому каждая точка плоскости w принадлежит образу пло-
скости z при отображении w =/(,?), причем эта точка будет иметь п
прообразов zv zv . zn. Прибавим к этому, чТо Рп(оо)=оо и,
следовательно, со принадлежит к образу расширенной плоскости.
Прообразами бесконечно удаленной точки w = оо служат корни
уравнения Pn(z)= оо, т. е. также бесконечно удаленная точка. Мы
будем считать ее для симметрии n-кратным корнем этого уравнения.
Итак, многочлен степени п(ап^0, п>0) отображает расширен-
ную плоскость на самое себя так, что каждая точка образа w
имеет п прообразов zv z2, ..., zn. Впроч^, как уже было ого-
ворено, для отдельных, исключительных значений w (к которым
относится и w = оо) число прообразов может быть и меньше п.
Легко видеть, что количество этих исключительных значений не
превышает п. В самом деле, если w0=£oo и уравнение Pn(^) = w0
имеет кратные корни, то, как известно из алгебры, для каждого из
них Pfn(z) = $. Но последнее уравнение имеет п — 1 корней"(среди
которых также могут быть равные между собой) С2, •••> ^n-v
Отсюда следует, что w0 должно иметь одно из следующих п — 1
значений: Pn(Ci), . .., Pn&n-i)’ и если сюда еще присоединить бес-
конечно удаленную точку, то мы и получим те (самое большее) п точек
плоскости w, которые имеют менее чем по п прообразов в плоскости w.
2. ТОЧКИ, В КОТОРЫХ КОНФОРМНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ НАРУШАЕТСЯ 53
2. Точки, в которых конформность отображения нарушается.
В силу общей теории отображение = является конформ-
ным во всех точках, за исключением тех точек С2, . . . ,
в которых производная обращается в нуль, а также, быть может,
за исключением точки ^=оо.
В случае, когда 1, многочлен является целой линейной функ-
цией, и здесь отображение является взаимно однозначным и конформ-
ным во всей расширенной плоскости, включая и бесконечность
(см. пп. 10—11 главы II). При п, > 1 конформность действительно
нарушается в указанных точках.
Пусть, в самом деле, Рте(го)=О. Тогда z=zQ является кратным
корнем уравнения Рп(z) — Pn(z^) = 0 и, следовательно, Рп (z) — Рп(^0)
можно представить в виде
Рп (*) — Рп Оо) = О—Q О),
где — кратность корня z = zQ (число kt как известно, на еди-
ницу выше кратности корня z — z0 для уравнения Pn(z)=0) и мно-
гочлен Q(z) не обращается в нуль при z==zQ. Полагая Pn(z) = w
и = получаем отсюда, что
Arg (w — w0) = Arg (z —	+ Arg Q (z),
и далее:
lim {Arg(w —^0) —Arg(z —2r0)ft} = ArgQ(z0).
2 Zq *
Пусть теперь z = X (t) — кривая А, выходящая из точки г0 (zQ = X (/0))
и имеющая в этой точке касательную, наклоненную под углом
ArgX'(/0) = lim Arg———
Л -> to, Л >	' Г0
к действительной оси (см. п. 8 главы II). Образ А этой кривой
в плоскости w будет: w — Рп [X (/)] = рь(/). Непосредственно мы не
можем заключить отсюда о существовании касательной к Л в точке
^0(^ = /0) (так как р/ (Q = Рп (г0) ’ Xх (fo) = O). Но для наклона секу-
щей, проходящей через точки w0 и w#=w0, получаем при t > /0:
Arg	= Arg	+ k Arg
t-t<>	6(г-г0)^ s t-tb
-► ArgQ(z0) + Zs ArgX'(/o) при t-+f0,
откуда и следует, что касательная существует.
Если и L2 — две кривые: z=Xr(t) и .z = X2(Z), выходящие из
точки Zq и образующие в ней угол 6:
• е = ArgXzCA)—ArgXj(Q (Ч (Ч) = Х2 О2) =-Zo)>
то образь! этих кривых At и Л2 выходят из точки w0 и образуют
в ней угол
[Arg Q(z0) + k Arg Лг (A>)[ — [Arg Q (z0) + k Arg Xj (^)] ==
= A [Arg X2 (fg) — Arg x{ (^)[ =
54 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Итак, при отображении <w — Pn(z) все углы с вершинами
в точках, в которых производная P'n(z) обращается в нуль,
изменяются, а именно увеличиваются в число раз, равное крат-
ности соответствующего корня уравнения Pn(z) — P^z^ — Q.
Используя преобразование C = , читатель легко убедится в том,
что при п > 1 конформность отображения нарушается также и в бес-
конечно удаленной точке. А именно углы с вершиной в бесконечно
удаленной точке при отображении w = Pn{z) увеличиваются в п раз.
8. Отображение вида w = (z— а)п. Рассмотрим, в частности,
отображение вида w=(z—а)п (п > 1). Оно отображает расширен-
ную плоскость самое на себя так, что каждая точка w имеет п про-
образов в плоскости z. Исключение представляют точки w = 0 и
w = oo, для которых прообразы сливаются в одну точку: а и оо
соответственно. Прообразы z=£оо) определяются из уравнения
w = (z — а)п,
так что
z = а 4- У*а + У |w | cos W + / sin —r£ w j.
Очевидно, эти n точек располагаются в вершинах правильного
n-угольника с центром в а.
Отображение w=(^—а)п является конформным во всех точках,
за исключением точек z=a и z=oo. Углы с вершинами в двух
последних точках увеличиваются при данном отображении в п раз.
Для того чтобы получить более отчетливое представление об этом
отображении, заметим, что
|w|=|z— а|и и Argw = nArg(>— а).
Отсюда следует, что каждая окружность радиуса г с центром
в точке z~a отображается на окружность радиуса гп с центром
в точке w == 0. Если при этом точка z пробегает окружность
\z — а| = г один раз в положительном направлении (т. е. Arg(z—а),
непрерывно возрастая, увеличивается на 2к), то точка w пробегает
окружность | w | = гп в том же направлении п раз (т. e.Argw,
непрерывно возрастая, увеличивается на 2irn). Заставим теперь точку z
пробегать прямолинейный луч Arg (г — a)=cp0-|-2Zm от точки а до
бесконечности. Наши формулы показывают, что соответствующая
точка w будет пробегать при этом прямолинейный луч Argw =
= zz<p0 —от начала координат до бесконечности.
Рассмотрим область g, представляющую внутренность угла рас-
2 тс
твора 6, 0 < 0	» с вершиной в точке а. Пусть этот угол огра-
3. ОТОБРАЖЕНИЕ ВИДА W = (Z— й)п
55
ничем прямолинейными лучами
Arg — а) = <?ОЧ-2Й1С
и
Arg (z — а) = 4- 2mrr
(?i— ?o = 6)-
Из сказанного следует, что образом области g в плоскости w является
область d, представляющая угол раствора пб с вершиной в начале
координат, ограниченный прямолинейными лучами (черт. 10). Соответ-
Черт. 10.
ствие между g и d, устанавливаемое посредством функции w = (z~ d)n,
будет взаимно однозначным. Действительно, так как функция	—а)п
однозначна, то, чтобы проверить это утверждение, достаточно уста-
новить, что каждая точка w из области d имеет лишь один прообраз
в области g. Для этого заметим, что все п прообразов точки w
располагаются в плоскости z в вершинах правильного п-угольника
с центром в а, так что два из них могли бы попасть внутрь неко-
торого угла с вершиной в а лишь в том случае, когда раствор угла
2гс и	2я/
больше чем — . Но раствор угла g не превышает —, следовательно,
углу g принадлежит лишь по одному прообразу каждой точки из d,
чем и заканчивается доказательство нашего утверждения.
Итак, функция w = (z—а)п отображает взаимно однозначно
и конформно внутренность любого угла с прямолинейными сто-
2тт
ронами, вершиной в точке а и раствором 6, 0<6<^—, на
внутренность соответствующего угла также с прямолинейными
сторонами, вершиной в начале координат и раствором пЬ.
Поэтому к рассматриваемой функции прибегают каждый раз,
когда нужно отобразить один угол с. прямолинейными сторонами на
другой угол, в несколько раз больший.
Разумеется, было бы ошибочным думать, что при отображении
w = (z— а)п (п > 1) всякая вообще прямая преобразуется в прямую,
56
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
а всякая окружность — в окружность. Положим, например, я = 0
и п=2. Тогда получим функцию w = z2s Рассмотрим, во что пре-
образуются посредством функции w = z2 прямые, не проходящие
через начало и параллельные одной из координатных осей. Возьмем,
например, прямую, параллельную мнимой оси: z=c~\~it, с=#0,
— оо < / < -|- оо. В качестве образа получим линию w = (сЧ- it)2,
или, полагая w=u-\-iv и отделяя действительные и мнимые части:
и — с2 — t2, v = 2ct
(— оо < t < оо).
Это й суть уравнения преобразованной линии, представленные
в декартовых координатах в параметрической форме. Если исключить
отсюда параметр t, то получим:
-и2 ~ 4c2(f2 —
Это — уравнение, параболы с осью, направленной по действитель-
ной оси в отрицательную сторону, с фокусом в начале координат
и с параметром р=2с2. Совершенно так же обнаружим, что каждая
прямая, параллельная действительной оси z — t-\-ic', преобразуется
в параболу
V2=4C'2(« + C'2)
с осью, направленной по действительной оси в положительную сто-
рону, с фокусом в начале координат и с параметром р' = 2с'2.
Итак, два семейства прямых, параллельных координатным осям,
отображаются посредством функции <w — z2 в два семейства
4. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 57
парабол с общим фокусом в начале и с осями на действительной
оси (черт. 11). Из того, что семейства прямых были взаимно "орто-
гональны, а отображение конформное, вытекает, что и полученные
семейства парабол взаимно ортогональны; это легко проверить и не-
посредственным подсчетом.
Читатель должен помнить, конечно, что отображение всей пло-
скости z посредством функции = z2 не является взаимно одно-
значным: каждая точка w, отличная от нуля и от бесконечности, имеет
два прообраза. В частности, прообразами параболы v2=4c2(c2— и)
являются две прямые, симметричные относительно мнимой оси:~z — c-\-lt
и z = — с it\ точно так же прообразами параболы v2 = 4с'2(и 4~ с'2)
являются две прямые, симметричные относительно действительной
оси: z = t-\~icf и z = t — icf. Но если рассматривать только образ
какой-нибудь полуплоскости g, ограниченной прямой, проходящей
через начало координат (такая полуплоскость есть внутренность угла
с вершиной в начале, координат и раствором тг), то по-предыдущему
соответствие между g и ее образом d будет взаимно однозначным.
d будет представлять здесь угол раствора 2к с вершиной в начале
координат; обе стороны этого угла сливаются'в один прямолинейный
луч, выходящий из начала координат.	.
4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований.
В и. 10 главы II было показано, что дробно-линейная функция
w — L (z) —
az-\-Ь
cz-\~d
для которой определитель ad — be =# 0,
взаимно однозначно и конформно отображает расширенную плоскость
самое на себя. Изучим свойства этого отображения, называемого
дробно-линейным, и являющегося наиболее простым и чаще
всего применяемым видом конформных отображений.
Мы будем изучать множество. М всех дробно-линейных отобра-
жений (или преобразований) с определителями, отличными от нуля.
Два отображения
(г) =
ах2 4-
cxz + d\
£2(*) =
и
0^ 4~ ^2
Ctf ~Ь ^2
будем рассматривать как одинаковые тогда и только тогда, когда
(^) А2 (^) при всех значениях z. Для этого достаточно, чтобы
соответствующие коэффициенты были пропорциональны между собой:
л2=:Хяр J2 = MP г2 = Хср d2~\dx (X Ф 0).
Эти же условия и необходимы. Действительно, если (z) = L2 (z),
то, в частности,
Ла(0) = Л2(0), ^(^-^(l) и L1(oo) = L2(oo);
это означает, что
__ ^2 __ р ах + bi я2 4~ b2 ах___
di d2 ’ Ci -f“ с2 + d2 Ci с2
58
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Подставляя
= b2 = d2p,	И a2~c2q
в среднее равенство, получим:
+ dip  c2q + d2p
ci +	Сд +	*
или
(cid2 — c2d1)(q—p)=0.
Но а =/= р ("иначе было бы — = -^-, т. е. a.d<
\	Ci	.	11
речии с предположением). Следовательно,
— btcx — 0 в противо-
£1 __ £2^
d2
Полученные соотношения можно переписать в виде
£2 Ь2 с2 d2 
ch-у	b-±	dt
что и требовалось доказать.
Из изложенного следует, что значение определителя дробно-
линейного отображения само по себе не является характерным для
этого отображения. В самом деле, при переходе от коэффициен-
тов av bv сг и dr к коэффициентам \av \bv 'кс1 и \dr (X =# 0)
определитель помножается на X2. Но во всяком случае этот опреде-
литель, будучи отличным от нуля для каких-нибудь значений коэф-
фициентов, остается всегда отличным от нуля.
Отображение
U(z) — z,
очевидно, принадлежащее множеству М, будем называть тожде-
ственным или единичным отображением.
Отображением, обратным по отношению к некоторому ото-
бражению
т z х az + b
z1 = L(z) =---г~т,
> 1	4 7 cz-\-d
мы назовем такое, при котором каждому zr в качестве образа ста-
вится его прообраз z при данном отображении. Обратным отобра-
жением служит:
dzr — b
„	— czr + а ’
Мы будем обозначать отображение, обратное по отношению к L,
через
Если
zi — L(z>— Cz-\-d И г2 —4(^1) qzx + di
— два произвольных линейных отображения (как всегда, с не равными
нулю определителями), то отображение, получаемое, если выполнить
4. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 59
их последовательно одно за другим в определенном порядке, назы-
вается произведением данных отображений. Пусть мы произво-
дим сначала отображение zt — L(z)> а затем отображение ^2 = £1(^1).
Тогда их произведение обозначается через Ь^Цг). Для него имеем:
гг/\	Г	I и 1 Г az + I xJ 1
z2 — LtLfz) — [а1 с2 d ~Ь ^1] : [С1 сгd + rfiJ —
= [(ад1 4- cftj) z 4- (bat 4- dbj]: [(04 + cdt) z(bct 4- ddt)].
Следовательно, z2 — L^^z) есть также дробно-линейное отображение;
для его определителя получаем:
(аа^ —1~ cb^) (bcl —J— dd^) — (b^i + db±)	===
= (ad — be) (atdt — btct) =£ 0.
Итак, отображение LxL(z) принадлежит множеству M.
Очевидно,
LL~\z)=L~1L(z) = U(z).
Заметим, что отображение z2 = LLt(z)t получающееся, если сна-
чала выполнить отображение zt — Lt (z), а затем отображение
z2 = L(zl), вообще отличается от отображения LrL(z). Так, напри-
мер, если
L (*)=и ~ ’
то
LtL(z) = — 2z— 1, a LLt(z) = ^±±.
Определенная нами операция умножения отображений ассоциа-
тивна, т. е. для любых линейных отображений £, Lr и £2 имеет
место соотношение
(LLt) L2 — L (LxL<£).
Свойство это легко проверяется. В самом деле, пусть L2(z)~z2.
Тогда
\	(LLJ L2 (z) = LL. [£2 (z)] = Щ (г2)
и	.
(^1^2) (^) “ L 1^1^2 (^)1 =	(^2)»
итак,
(LLi) L2 (z) = L (LtL2) (z).
Свойство ассоциативности распространяется на произведение
любого числа отображений. Оно избавляет нас от необходимости
писать скобки в этом произведении. Так, например,
L [Lx (L2L3)] (z) = LLt (L2L3) (z) = L (LjZ^) £3 (^) =..,«= ХАа£2£3 (z).
Так как множество M наряду с каждыми двумя отображениями L
и £х содержит также и их произведение LXL (или ££х) и наряду
60
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
с отображением L содержит обратное отображение L"1, то оно
образует группу отображений (преобразований) *).
5. Круговое свойство.^Обратимся к доказательству кругового
свойства дробно-линейного отображения, выражающегося в том,
что образохМ прямой или окружности при отображении w = L(^)
является прямая или окружность, причем образом прямой могут быть
и прямая и окружность, точно так же как и образом окружности
могут быть прямая и окружность.
Для целой линейной функции Z, (г) = х?р это свойство является
очевидным, так как отображение w = £(,?) сводится к сдвигу (при
а = 1) или же к повороту и растяжению (если а 4 1); см. п. 10
главы Ц.
Рассмотрим теперь отображение
-w = A (z) = у,
которым мы неоднократно пользовались.
Очевидно, уравнение любой прямой или окружности можно пред-
ставить в виде'
Л(х2 + у2)+25x4-2Су+0=0.
Мы получаем прямую при А = 0 и В и С, не равных одновременно
нулю, и окружность при А 4'0 и В24-С2— ЛО>0. Заменяя здесь
х24-^2 через zz, 2х через z~\-z и 2у через — i(z—z), мы пред-
ставим это уравнение в виде
Аг! 4- (В — iC) z 4- (В 4- iC)z 4- D = О,
или
‘	Д^+^4-Е?+О=0,	(1)
где Е = В-\-С1. Здесь 'А = 0, а комплексное число Е отлично от
нуля в случае прямой иЛ#=0 и ЕЕ—AD>0 в случае окруж-
ности. Обратно: любое уравнение такого вида с действительными
коэффициентами А и D и комплексными сопряженными коэффициен-
тами Е и Е будет являться уравнением прямой, если А = 0 и
число Е отлично от нуля, и уравнением окружности, если А 4 О
и ЕЕ — AD > 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти от z
к х и у по формулам
zz — х2+^2> z=xJ^iyi z = x — iy.
*) См., например, А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, изд. 4-е, § 56*,
Гостехиздат, 1955, или Ван дер Варден, Современная алгебра, т. I,
§ 6, Гостехиздат, 1947.
5. КРУГОВОЕ свойство
61
Желая получить образ кривой (1) при отображении w=y, за-
меним z в уравнении (1) на Получим:
А —Е — + Е -Хн- D = 0, или	+А= 0. (2)
WW W W
Уравнение ’(2) имеет тот же вид, что и уравнение (1), с заме-
ной А на D, D на А и Е на Е. Отсюда следует, что при 0=0
это есть уравнение прямой (так как тогда либо А=0 и Е =£ О,
либо А Ф 0 и ЕЕ — AD = ЕЕ > 0, т. е. снова Е =# 0), а при D =£ 0 —
уравнение окружности (так как при А =# 0 уравнение (1) изображало’
окружность и, следовательно, выполнялось условие ЕЕ — AD>Q,
а при А~0 оно изображало прямую, следовательно, Е было отлично
от нуля, откуда ЕЕ — AD=EE>0). Мы доказали, что образом
прямой или окружности при отображении w = A(z)= у является
прямая или окружность.
Переходя к произвольной дробно-линейной функции
W = L (г) = ^4-7	(с ¥= 0),
4 7 cz-[-d	4 ' 7
представим ее в виде
а , Ьс — ad
w —----г-т-----
с 1 c(cz-^-d)
Положим
г / \	।	»	а/ \	1	t / \ и i Ьс " ad
Zi = Lt(z)=cz + d, z2 = A{zl') = - и w = Z.2(z2)=7H-------— z2;
тогда L(z) запишется в виде произведения трех отображений:
Так как образом прямой или окружности при каждом из отображе-
ний Л и L2 является прямая или окружность, то тем же свойством
обладает и отображение L. Круговое свойство дробно-линейного
отображения доказано полностью.
Если с =# 0, то в точке
л d ,	Т / \	az —J— b
8 = -7 функция =
обра-
щается в со. Поэтому образ каждой прямой или окружности, про-
ходящей через 8, должен содержать бесконечно удаленную точку
Л (8) —со и, следовательно, не может быть окружностью. В силу
кругового свойства этот образ есть прямая. Образ прямой или
окружности, не проходящей через точку 8, не может содержать
бесконечно удаленную точку и, следовательно, не может быть прямой.
В силу кругового свойства этот образ есть окружность. Итак, при
отображении м-Цг) все прямые и окружности, проходящие
62
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
через точку 8, преобразуются в прямые плоскости м, а прямые
и окружности, не проходящие через 8, преобразуются в окруж-
ности плоскости
Пусть ад = L (z) — произвольная дробно-линейная функция,
у — прямая или окружность плоскости z и Г — ее образ в пло-
скости м (т. е. также прямая или окружность). Рассмотрим области gr
и g2, ограниченные линией у в плоскости z\ это будут две полу-
плоскости, или же внутренность и внешность круга. Покажем, что
образом одной из них будет служить одна, а другой—другая
из двух областей, ограниченных линией Г в плоскости ад. В самом
деле, пусть zt—точка области gx и z2— точка области g2. Так как
zx и z2 не лежат на у, то образы этих точек и ад2 не могут
лежать на Г и, следовательно, попадают в области, на которые
Г разбивает плоскость ад. Если допустить, что они попадают в одну
и ту же область, то их можно будет соединить в ней отрезком А
прямой (или дугой окружности), без общих точек с Г (черт. 12).
Прообразом отрезка Д в плоскости z должен быть отрезок
прямой (или дуга Окружности) 8, соединяющий zr с z2 и не имеющий
общих точек с у. Но существование такого отрезка противоречит
тому, что zr и z2 лежат в различных областях gr и g2. Итак, из того,
что точки zt и z2 принадлежат различным областям gt и g2, следует,
что их образы и ад2 также принадлежат различным областям,
ограниченным линией Г. Мы обозначим через область, содержа-
щую адр а через О2 — область, содержащую ад2, и покажем, что
образом области gt является Ор а образом области g2 служит G2.
В самом деле, если zf, например,—какая-либо точка области gl9
то из того, что zr и z2 принадлежат разным областям gr и g2,
следует, по доказанному, что их образы ад' и tw2 принадлежат разным
областям Oi и G2. Но ад2 принадлежит G2, поэтому ад' принадлежит Gt.
Итак, образ каждой точки области gx принадлежит области Ор
точно так же образ каждой точки области g2 принадлежит О2. Возь-
мем, наконец, произвольную точку ад области GP Она должна быть
образом одной из точек z области gt или g2. Но z не может быть
точкой области g2, так как иначе ад была бы точкой области О2.
Следовательно, ад является образом точки zt принадлежащей gv
б. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
63
Итак, есть образ области gp а О2 есть образ области g2. Мы
доказали, следовательно, что две области, ограниченные линией у,
отображаются на две области, ограниченные линией Г, и установили
при этом, что, для того чтобы узнать, какая именно из двух обла-
стей, ограниченных линией Г, является образом данной области gp
ограниченной линией у, достаточно проследить за образом одной
только точки	та область Gp которой принадлежит wp и
будет образом области gP
6. Инвариантность двойного отношения. Если дробно-линейное
преобразование w = Z,(z) отлично от тождественного, то w вообще
отлично от z. Однако и здесь существуют неподвижные точки
преобразования, характеризуемые уравнением
Пусть сначала с = 0 (d #= 0). Тогда L (z) представляет целую
линейную функцию
Z(z) = az + ₽ (а = 7« ? = у)-
Так как /(сю)=оо, то одной из неподвижных точек целого линей-
ного преобразования является бесконечно удаленная точка плоскости
2:==:оо. При а =# 1 существует и другая неподвижная точка, опре-
деляемая из уравнения
z — az-f-p.
g
Это — точка z—	* При a = 1 и не существует конечной
неподвижной точки. Но если а=£1, [3 =£ О и а—>1, то конечная
неподвижная точка стремится к бесконечно удаленной точке.
Поэтому в случае преобразования l(z) = z-\~fi (р =# 0) бесконечно
удаленную точку можно рассматривать как две слившиеся неподвиж-
ные точки.
Пусть теперь с =# 0. Тогда L(оо)— ~ =# оо, т. е. точка z—oo
не является неподвижной. Точно так же не является неподвижной и
d А
точка----, ибо
с
\ с)	с
Считая, что z =# оо и z=#—будем решать уравнение ,
аг 4- b
z —--------------------------!—
cz-^-d
или
cz2 — (а — d)z — Л = 0.
64 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Получим:
а — d + V{a — ay + 4bc
.
Если (a — d)2 + 4£c^=0, то мы находим отсюда две различные
конечные неподвижные точки. В случае (а — d)24~4/>c = 0 эти две
а — d
точки сливаются в одну конечную неподвижную точку ——.
Итак, дробно-линейное преобразование, отличное от тожде-
ственного, имеет только две неподвижные точки, которые
в частном случае могут сливаться в одну. Целые линейные пре-
образования вполне характеризуются тем, что, по крайней мере,
одна неподвижная точка является бесконечно удаленной.
Дробно-лйнейное преобразование, имеющее больше двух непо-
движных точек, может быть только тождественным преобразованием
U(z) = z (для которого все точки суть неподвижные). Отсюда можно
вывести, что для совпадения двух дробно-линейных преобразований
£(г) и A(z) достаточно, чтобы уравнение L(z) = A(z) выполнялось
для трех различных точек z: zv z2 и г3. Действительно, пусть
L(zk) — A (Z0 = wk = 2,*3), тогда A-1 (wj = zk (k = 1, 2, 3)
и, следовательно, преобразование	переводит точки zk снова
в те же точки, т. е. A”1 L (zk) = zk (k = 1,2, 3)(ибо L(zk) — wk и
A"1 (wk) — zk). Поэтому преобразование А”1 А имеет три различные
неподвижные точки: zv z2 и z3, т. е. является тождественным пре-
образованием:	’
t А-1Д =(/.
Следовательно,
А(А~14) = AU.
Но
А (А"1/,) = (АА'1) L =zUL=L
и
AU = А.
Окончательно получаем:
£ = А,
что и требовалось доказать.
Итак, для того чтобы определить дробно-линейное преобразо-
вание, достаточно задать три различные точки*. w2 и w3,
в которые преобразуются три заданные различные точки*. zv z2
и z3.
Поставим, себе задачу найти дробно-линейную функцию, осуще-
ствляющую это преобразование, и предположим сначала, что zv z2
и z3—конечные точки и что ^ = -0, w2 = oo И w3=l.
Для того чтобы дробно-линейная функция
6. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
65
обращалась в нуль при z = zt и в оо при z = z2, необходимо и
достаточно, чтобы z = zr было нулем числителя az-^-Ь, т. е. числи-
тель имел вид a(z—z^) и z = z2 было нулем знаменателя, т. е.
знаменатель имел вид c(z— z2). Поэтому искомая функция должна
иметь вид	•
Но при z — z3 w должно равняться единице. Из уравнения
—
с ’ z3 — z2
получаем: ч
с ' г3 — z2'
откуда	1
z — z2 z3 — z2
Это и есть искомая дробно-линейная функция, переводящая точки
zv z2 и zz соответственно в точки 0, оо и 1.
Пусть теперь w2 и — произвольные (различные) конечные
точки и w = L(z)— дробно-линейное преобразование, удовлетворяю-
щее условиям
L(^1) = w1, L(z2) = ‘w2 и L(z3)==w3.
r-r	t	« А , ч W --------Wl Wa----Wi	„
По доказанному, функция С — At (w) =	преобразует
точки w2 и в точки 0, оо и 1. Поэтому функция &tL(z)
преобразует точки zv z2 и z3 в точки 0, оо и 1, т. е.
AtL (z) = Л (г) = —.
1	’	’ z — z% z3 — z2
Из соотношения
AjA = А
следует, что
Ax_1(AiL) = Ai"lA,
т. е.
L = Af *А
(так как Ах"1 (Ах£) = (Ax^Ai) L = UL = L).
Последнее соотношение решает задачу, так как преобразования А
и Ах—известные:
а/П С —г! . z3 — zr	.	С — wx. w3 — wt
Впрочем, для изучения преобразования w —£(г) удобнее поль-
зоваться прямо соотношением
Ах/.(г) = А(г),
5 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
66
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
откуда после замены L(z) на w следует:
Ai (w) = А (г),
или
W — Wj . w3 —W1   Z — Zx . Z3 — Zx	/ox
w -*w2 * w3 — w2 Z — z2 ’ г3 — z2 ’	'
Это уравнение дает дробно-линейную функцию w = L (z) в неявном
виде.
Мы решили нашу задачу в предположении, что все точки z^ z2,
z3, wlf w2 и w3 — конечные. Если, например, zt = сю, то функция
A (z), преобразующая точки zt = оо, z2 и z3 в точки = 0, w2 = оо
и w3 — 1, принимает вид
л^)=7^7:т4у-*)-
Z ^2	^3	^2
Поэтому уравнение (3) заменяется' уравнением
W — t W3 — Wi   1 . 1	z,x
w — w2 ’ — w2 z — z2'z3 — z2	'
(в предположении, что точки w2 и w3— конечные). Если z2 = oo,
то функция А (г), преобразующая точки zv z2=oo и z3 в точки
tw1 = 0, и»2 = со w3 = 1, принимает вид *
A(z) = (*—*i) :(г3 —-О
и, следовательно, уравнение (3) заменяется уравнением
W —	W3~W2 V 1/ x 3	1/	X /
Если ^3=oo, то функция А (г), преобразующая точки zv z2 и
z3=oo в точки ‘ге/1=О, w2=oo и w3=l, принимает вид
Z —г2
и уравнение (3) заменяется уравнением
W — Wi ' ЧУ t — W-f  Z— Zi
w —w2 ’ w3 —w2 z — z2'	' '
*) К этому выражению можно придти,"если, считая z± конечным, пере-
писать
Z — Zy . z3 — zx
Z — Z2 ' z3 — z2
в виде
— — 1	— l
_£i____.	_____
z — z2 • г3 — z2
и затем перейти к пределу при z1->oo.
6. ИНВАРИАНТНОСТЬ ДВОЙНОГО ОТНОШЕНИЯ
67
Подобным же образом левую часть уравнения (3) нужно заменять
через
1 . 1
W — w2 ’ w3 — w2 ’
(w — wt): (w3 —
w —
w — w2
в зависимости от того, будет ли = оо, w2 =»oq либо = оо.
В результате приходим к следующему мнемоническому правилу:
если zk — co или = оо (&=1, 2, 3; Z=l, 2, 3), то в уравне-
нии (3) разности, в которых фигурирует zk или нужно заменять
через единицу. Читатель легко подтвердит справедливость этого
правила с помощью предельного перехода в уравнении (3) (при
оо или > оо).
Из уравнения (3) вытекает важное общее свойство дробно-линей-
ных преобразований. Пусть а, Ь, с и d — произвольные различные
(конечные) комплексные числа. Назовем отношение
с — а .	— а
с — Ь * d — b
двойным или ангармоническим отношением
чисел или точек а, Ь, с и d. Отношение это будем
символом (a, Ь, с, d):
/ г	с — a d — а
(а, Ь, с, d) =-—-г.
v	7 с — b d— b
четырех
обозначать
Определение двойного отношения мы распространим и на тот
случай, когда одна из четырех точек ar b, с, d будет бесконечно
удаленной. Именно двойным отношением четырех точек, среди кото-
рых одна—бесконечно удаленная, мы будем называть предел двой-
ного отношения четырех конечных точек, из которых три совпадают
с заданными точками, а четвертая стремится к бесконечно удаленной
точке. Следуя этому определению, будем иметь:
(оо, Ь, с,	= —-
1
d~ b 9
(а, оо, с, d) = (c — d)\(d—а),
(а, Ь, оо, zZ)=l:4—г,
v	7 d — b
(а, Ъ, с, =
Пусть теперь w = L(z)—произвольное дробно-линейное преоб:
разование. Обозначим через А, В, С и D точки, в которые оно пре-
образует какие-либо четыре различные точки: а, Ь, с и d. Так как
три точки а, b и d преобразуются в4 точки Л, В и D, то w = L(z)
5*
68 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
и z будут связаны соотношением (3):
w — А . D — А  z — a t d — а
w — В' D — В	z— b d — b ’
в котором нужно заменять через единицу те разности, где фигури-
рует бесконечно удаленная точка. Полагая z = с, мы должны поло-
жить w = С (так как при нашем преобразовании точке с соответ-
ствует точка С). Следовательно,
— А 9 D — А __ с — а . d — а
С — В' D — B — с — Ь : d — b
(разности, в которых фигурирует бесконечно удаленная точка, должны
быть заменены через единицу), или
(Л, В, С, О) = (а, Ь, с, d).	(7)
Итак, при дробно-линейном преобразовании двойное отношение
любых четырех точек не изменяется*, иными словами, двойное
отношение является инвариантом линейного преобразования.
7.	Отображение областей, ограниченных прямыми или окруж-
ностями. Опираясь на круговое свойство дробно-линейного отобра-
жения и на возможность отобразить любую тройку точек zv z2, z3
в другую, наперед заданную тройку w2, w3, докажем следую-
щее предложение:
Каковы бы ни были прямые или окружности у и Г и две
тройки, точек zv ^2, z3 и wP w2, w3, принадлежащих соответ-
ственно ] « Г, существует дробно-линейная функция •w — L^z),
отображающая у на Г так, что точки zv ^2, z3 отображаются
соответственно в wp w2, w3.
В самом деле, построим дробно-линейную функцию <w — L(z)>
удовлетворяющую условиям L(Zj) = T£)j (/==1, 2, 3). По-предыду-
щему такая функция существуем и является единственной, удовле-
творяющей этим условиям. Прямую или окружность у она отобра-
жает на некоторую прямую или окружность Г'*. Но 7 проходит
через точки zv z2 и z3, поэтому Г' проходит через точки wp
и ^3, и так как через три точки нельзя провести двух различных
прямых или окружностей, то Гх совпадает с Г. Итак, w = L(z)
удовлетворяет всем условиям высказанного предложения.
Возьмем снова произвольные прямые или окружности у и Г (раз-
личные или совпадающие) и пусть g—одна из двух областей, огра-
ниченных линией у, a G — одна из двух областей, ограниченных
линией Г. Очевидно, та и другая могут быть полуплоскостью, внут-
ренностью окружности или внешностью окружности. Выберем про-
извольную тройку точек zv z2 и z3 на у и предположим для опре-
деленности, что при движении наблюдателя вдоль у в направлении
от точки zr к z3 через точку z2 область g остается слева от него.
Пусть wp w2 и — тройка точек на Г такая, что при передвиже-
7. ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПРЯМЫМИ ИЛИ ОКРУЖНОСТЯМИ 69
нии наблюдателя вдоль Г в направлении от точки к w3 через
точку w2 область О остается слева от него. В остальном точки
w2 и остаются произвольными. Образуем, как это было показано
выше, дробно-линейную функцию = удовлетворяющую усло-
виям =	(у=1, 2, 3) и, следовательно, отображающую у
на Г. Покажем, что эта функция отображает также область g на
область G. Действительно, если 8 есть отрезок нормали к линии у,
проведенной через точку z2 внутрь области g, т. е. влево от наблю-
дателя, находящегося в точке z2 и смотрящего вдоль у по устано-
вленному выше направлению, то в силу конформности отображения
w = L(z) образ Д этого отрезка (он будет отрезком прямой или
дугой окружности) также направлен влево от наблюдателя, находя-
щегося в точке -ш2 и смотрящего вдоль Г в установленном на Г на-
правлении (черт. 13). Следовательно, по условию Д будет принад-
лежать G. Итак, мы установили уже, что область G содержит
образы некоторых точек, принадлежащих g (а именно образы точек
отрезка 8). Но по п. 5 A(g) есть одна из областей, граница кото-
рых совпадает с образом границы области g, т. е. с Г = £(у). Так
как таких областей только две и одна из них G содержит образы
точек области g, то она и есть искомый образ этой области g:
G = L(g)
Поясним изложенное примером. Пусть нужно конформно отобра-
зить верхнюю полуплоскость у > 0 на внутренность единичного
круга.
Для решения задачи полагаем, например, zx = — 1, z2~Q и
z3=l, так что полуплоскость остается слева от наблюдателя, иду-
щего по действительной оси в направлении от zt к z3 через z2, и
выбираем на единичной окружности также три точки:	<ш2 и w3
так, чтобы внутренность круга оставалась слева от наблюдателя,
идущего по окружности в направлении от к через w2. Можно
взять для простоты = 1, w2 = I и w3 = — 1. Тогда линейное
°тображение, удовлетворяющее условиям wy = L(^) (7 = 1, 2, 3;,
70
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
и будет искомым. Его можно представить в виде
w —1 . —1 — 1 = г-к 1 . 1 + 1
W —-I ' — 1 — Z 2 ’	1
ИЛИ
8.	Симметрия и ее сохранение. Пусть zt и z2— две точки,
симметричные относительно некоторой прямой у. Тогда центр про-
извольной окружности 8, проходящей через zx и z2l будет лежать
на т и, следовательно, 8 будет ортогональной к у. Ортогональной
к т будет и прямая, проходящая через zx и z2. Легко видеть, что
справедливо и обратное: если любая окружность или прямая, прохо-
дящая через пару точек zr и z2i ортогональна к прямой 7, то Z{
и z2 симметричны относительно 7.
Отобразим плоскость посредством дробно-линейной функции
w = £(.?) так, чтобы прямая у перешла в некоторую прямую или
окружность Г. Тогда пара точек zt и z2, симметричных относи-
тельно 7, перейдет в некоторую пару точек и w2, а каждая
окружность или прямая 8, проходящая через zt и z2, перейдет
в окружность или прямую А, проходящую через и w2, и обратно:
любая прямая или окружность, проходящая через wx и w2, будет
образом некоторой прямой или окружности, проходящей через zr
и z2. В силу симметрии точек zx и z2 относительно у и конформ-
ности отображения w = L(z) прямые и окружности, проходящие
через и w2, все будут ортогональны к Г. Если, следовательно,
Г будет прямой линией, то точки wx = L(^1) и ^2==L(^2) будут
симметричными относительно Г. Обобщая понятие симметрии, назо-
вем две точки симметричными относительно окруж-
ности, если любая прямая или окружность, через них проходящая,
ортогональна к данной окружности. Тогда можно будет сказать, что
если прямая у отображается посредством дробно-линейной функции
w==L(z) на окружность Г, то любая пара точек, симметричных
относительно прямой, отображается в некоторую пару точек, симме-
тричных относительно окружности, и обратно. Отсюда следует, что
по данной окружности Г и точке wx точка, симметричная с
относительно Г, определяется единственным образом. Действительно,
если бы существовали две различные точки w2 и w2, симметричные
с относительно Г, то при дробно-линейном отображении Г на
прямую у точки w2 и w' перешли бы в точки zv z2 и z’2^ z2,
причем zx и z2, а также zt и z2 были бы симметричными относи-
тельно у, что, очевидно, невозможно.
Приведенные здесь рассуждения об отображении прямой у на
црямук) или окружность Г переносятся без всякцх изменений
8. СИММЕТРИЯ И ЕЕ СОХРАНЕНИЕ	71
случай, когда окружность отображается на окружность, и мы полу-
чаем, что при дробно-линейном отображении любая пара точек,
симметричных относительно окружности у, отображается в пару
точек, симметричных относительно окружности Г, являющейся обра-
зом у. Итак, мы пришли к следующему общему свойству сохра-
нения симметрии при дробно-линейных преобразованиях:
Если точки zx и z2 симметричны относительно некоторой
прямой или окружности у, то при любом дробно-линейном ото-
бражении w — L(z) их образы Wj и w2 будут симметричными
относительно образа -у: Г = L (у).
Отметим частный случай этого ,предложения. Пусть у отобра-
жается на окружность Г и zt—точка, отображающаяся при этом
в центр wr окружности Г. Тогда точка z2, симметричная с zv
должна отобразиться в точку w2 расширенной плоскости, симметрич-
ную с wx относительно Г. Но такой точкой является бесконечно
удаленная. В самом деле, прямая, соединяющая wx и w2 = oo, т. е.
любая прямая, проходящая через центр окружности Г, ортого-
нальна к Г.
В силу единственности симметричной точки (для данной точки
относительно данной окружности) оо и только она одна будет сим-
метричной с центром окружности Г относительно Г.
Пусть у — произвольная прямая или окружность. Преобразование
расширенной плоскости, заключающееся в том, что каждая точка z
преобразуется в точку z\ симметричную с z относительно у, назы-
вается преобразованием симметрии относительно у, или
зеркальным отражением в-у. В случае, когда у есть
окружность, это отображение называют также инверсией отно-
сительно у.
Дадим аналитические выражения для преобразования симметрии.
Пусть сначала у есть прямая. Она вполне' определяется некоторой
своей точкой а и единичным вектором а = cos 6 4~ I sin 6, по ней на-
правленным.
Выполним линейное преобразование
z = а + aw = I (w),
очевидно отображающее действительную ось плоскости (w) на нашу
прямую. Так как отображение w = /-1(^) преобразует у в дей-
ствительную ось, то оно отображает каждую пару точек z и Z,
симметричных относительно у, в пару точек w и w*, симметричных
относительно действительной оси. Последние выражаются сопряжен-
ными комплексными числами w = t и w* = Л Поэтому z — a = at,
или z — a = aF=a~1F, и z* — a—aw* —at. Исключая t из двух
последних равенств, получаем:
f — а = a2 (z — а).
(8)
72
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Это уравнение показывает, что для выполнения преобразования
симметрии относительно прямой у, проходящей через точку а под
углом 6 к действительной оси, следует от вектора z— а перейти
к симметричному с ним относительно действительной оси вектору
z—ап затем повернуть последний около точки а на угол 26.
, Рассмотрим теперь преобразование симметрии относительно окруж-
ности Г с центром в а и радиусом R (0 < /? < оо). Выполним
дробно-линейное преобразование, отображающее Г на действитель-
ную ось. Проще всего взять отображение
. о 1 + iw т / \
z = а 4- R — £ (w),
1	1 — lw х 7
которое точкам действительной оси — 1, w2 = 0 и w3=l
ставит в соответствие точки окружности Г: zr = a—IR, z2~a-{~R
и z%= а -\- iR и, следовательно, отображает действительную ось
на Г. Обратное'отображение: tw = L~1(z) преобразует Г в действи-
тельную ось и каждую пару точек z и г*, симметричных относи-
тельно Г, преобразует в пару точек w и w*, симметричных отно-
сительно действительной оси. Так как w и w* изображаются сопря-
женными комплексными числами w = t и w == г, то z —
	__ pj 1 —— It	ф	О 1 4" tt у-г
или z—a = R-------- и z —a~R—!—= . Перемножая почленно по-
1 4- и	' 1 — и
следние два соотношения, найдем:
— a)=R*
или
г?—а = -Л±=-.	(9)
г — а
В частности, преобразование симметрии относительно единичной
окружности Ы = 1 имеет вид Z = мы рассматривали его в п. 4.
z
главы I.	.	♦
Из (9) вытекает, во-первых, что
Arg(Z— а) = — Arg (г— а) = Argfz— а)
и, во-вторых, что
|Z — а \ • \z — а| == R2.
Следовательно, точки Z и z лежат на одном и том же луче, выхо-
дящем из центра, и на таких расстояниях от центра, произведение
которых равно квадрату радиуса. Этими двумя условиями, или, что
то же самое, формулой (9), вполне определяется положение одной
из точек z, z* по заданной другой точке, т. е. преобразование
9. ПРИМЕРЫ
73'
инверсии относительно окружности |z — а| = /?. Предлагаем читателю
установить доказанное свойство точек, симметричных относительно
окружности, элементарно геометрическими рассуждениями.
Из равенств (8) или (9) следует, что общее преобразование сим-
метрии сводится к последовательно произведенным линейному
(целому или дробному) преобразованию и затем преобразованию
симметрии относительно действительной оси.
Так, например, преобразование симметрии относительно прямой
можно^ представить в виде
2! = а 4-а2 (г — а)	(10)
и
z* = zv
а преобразование симметрии относительно окружности — в виде
и
= (11)
Так как линейное преобразование является конформным и обла-
дает круговым свойством, а преобразование симметрии относительно
действительной оси обладает теми же свойствами с тем единственным
различием, что, сохраняя величины углов, оно меняет направления
их отсчета на противоположные, то и преобразование симметрий
в самом, общем случае обладает указанными свойствами. А именно
оно является конформным отображением второго рода и преобразует
прямые и окружности в прямые или окружности.
9.	Примеры. Иллюстрируем двумя примерами применение свой-
ства сохранения симметрии при дробно-линейных отображениях.
П р и м е р 1. Отобразить конформно верхнюю полуплоскость на
внутренность круга [w| </? так, чтобы заданная точка а полупло-
скости перешла в центр круга: w = 0.
Искомая функция, если она существует, обращается в нуль при
z = а (а) = 0. Итак, мы знаем нуль z — а функции L (z). Но
точка а, симметричная с а относительно действительной оси, должна
отображаться в точку, симметричную с центром окружности относи-
тельно самой окружности, т. е. в бесконечность. Поэтому L(z)
имеет вид
w===L(z)==	(12)
с (z — a)	z — а
где X—комплексное число, отличное от нуля.
Покажем, что найденная функция отображает полуплоскость на
круг |w|<|X| так, что' точка а переходит в центр круга w = 0.
Последнее условие, очевидно, удовлетворяется для функции (12) при
74 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
любом X. Остается проверить, что действительная ось переходит при
этом в окружность радиуса |Х| с центром в начале координат.
В самом деле, если z = x— произвольное действительное число, то
числа х — а и х — а — комплексно сопряженные, и следовательно,
| w | = | L (х) | =
Мы получили, что образы всех точек действительной оси лежат на
окружности |w|=|X|, откуда в силу кругового свойства и выте-
кает, что образ действительной оси есть эта окружность.
Чтобы получить отображение полуплоскости на круг радиуса R,
следует взять | X | = R. Останется неопределенным ехще аргумент
числа X. Геометрический смысл этой неопределенности вполне ясен.
Переход в формуле (12)-от одного значения X к другому при неиз-
менном модуле | X | = R равносилен изменению аргументов всех точек
на одну и ту же величину, т. е. повороту круга около своего
центра w = 0. При таком повороте круг переходит сам в себя,
центр его остается на месте, и условия задачи не нарушаются.
Если мы хотим, чтобы поставленная задача имела единственное
решение, то нужно ввести дополнительное условие. Можно потребо-
вать, например, чтобы:
а)	заданная точка действительной оси х = перешла в точку
w = R окружности или
б)	производная L' (а) была действительным положительным числом
(это означает геометрически, что касательные к кривым, проходящим
через точку а, не должны менять наклона в результате отображения).
Действительно, при условии а) получаем из (12):
откуда
и
L(z)^Rx° а- -—=.
Хо — a z — а
(13)
Очевидно,
I X I = RI	—- I = R.
1 ' I АГ0 —а I
Пусть теперь	где т] > 0. Так как
Г (а)
X
г —а
9. ПРИМЕРЫ
75
д, ч	X	к	X
то при условии б) заключаем, что --------=====----, а значит, и — есть
а — a	2v)Z	I
действительное положительное число. Но, с другой стороны, модуль
| X | должен равняться R. Поэтому X = IR и
/>(/) = //? ^=4.	(14)
Пример 2. Отобразить конформно круг | z | < R самого на себя
так, чтобы заданная точка z — а. этого круга перешла в его центр
. w=0.
Искомая дробно-линейная функция L(z\ если она существует,
обращается в нуль при .г=а: Л(а) = 0. Итак, мы знаем нуль z = &
функции L(z). Но точка а*, симметричная с а относительно окруж-
ности | z | = R, должна перейти в точку, симметричную с центром
относительно той же окружности, т. е. в бесконечно удаленную
точку. Следовательно, дробно-линейная функция L(z) должна иметь
вид
та = £(г)=
где X—комплексное число, отличное от нуля. По формуле (9)
точка а*, симметричная с точкой а относительно окружности |.z| = R,
есть
* R2
а* = —.
а
Поэтому
w = L (z) = — Ха
Z— a	z — а
----= М------__
R2—аг r R2 — аг
(15)
Покажем, что найденная функция отображает круг | z | < R на
круг | w | < так, что точка а переходит в центр круга 0. По-
следнее, очевидно, имеет место для функции w = /,(/) при любом р».
Остается показать, что окружность | z | = R отображается посред-
ством (15) на окружность | w | ===.• Но действительно, пусть
z=RC, где С= cos 6 —sin в (0 < 0. < 2ir),
— произвольная точка окружности | z | = R. Тогда для ее образа
^ = Z,(RQ =
RC — g _ • и
^R2-aRC RC
RC —g
RC-g
имеем:
RC — g |p,|
R?~« R
76
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
^так как |С|==1 и |-^—0ТКУда и следует, что образом
окружности |z| — | у | является окружность | w | =
Чтобы получить отображение круга радиуса R самого на себя,
следует, очевидно, в формуле (15) взять |рь| = /?2. Аргумент числа у.
продолжает оставаться неопределенным. Для того чтобы задача ото-
бражения имела единственное решение, можно наложить одно из
следующих дополнительных условий:
а)	заданная точка а окружности | z | = R переходит в точку
<w = R той же окружности;
б)	производная Z/(a) является действительным положительным
числом.
Мы предоставляем читателю проверить, что в случае а)
L(z) = R	. *-а_ ,	(1б)
а — а /?2 — аг
а в случае б)
L(z) = ^~a} 	(17)
/?2 — az
10.	Функция Жуковского. Рассмотрим функцию w = у 4“
= X(z). Из-за тех приложений, которые Н. Е. Жуковский дал ей
в аэродинамике, ее называют функцией Жуковского. Очевидно,
что'уравнение -ar==y^4~ для любого w имеет не более двух
корней:	и z2. Так как X(£) = X0^=w, то zrz2 = 1; если один
из корней принадлежит внутренности единичного круга, то другой
принадлежит ее внешности и обратно. Следовательно, множества зна-
чений w=X(z), принимаемые во внутренности или во внешности
единичного круга, должны быть одинаковыми.
Чтобы исследовать отображение w — X(г)подробнее, найдем образы
окружностей | z\ = г и радиусов Argz== a 4-	(черт. 14). При
этом мы можем ограничиться, например, внутренностью единичного
круга |*|< 1.
Положим
г (cos/4-* sin 0 (0<;/<;2'п, 0<г<1);
тогда
г-1) = Г (у + r)cos t — I y (у — /•) sinf
ИЛИ
« =44+r)c°S#1 v = —y4 — /)sinf (0</<2it). (18)
77
10. ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО
✓
Отсюда, исключая параметр /, получаем:
(19)
Это—уравнение эллипса с полуосями a —	и 6 =	—г)
и фокусами ±1. Из формулы (18) следует, что когда t непрерывно
возрастает от нуля до 2я (т. е. точка z описывает однократно
в положительном направлении всю окружность | z | = г), соответствую-
щая точка описывает однократно в отрицательном направлении весь
эллипс (19). В самом деле, при	и положительно и убы-
вает от а до 0, a v отрицательно • и убывает от 0 до —Ь\ при
< t < к и продолжает убывать от 0 до —a, a v возрастает от — b
до 0; при	и возрастает от —а до 0, a v возрастает
Зтс
от 0 до Ъ\ наконец, при -g- < / < 2тг и возрастает от 0 до a, a v
убывает от b до 0.
Меняя радиус г окружности | z | = г от 0 до 1, мы заставим а
убывать от оо до 1 и b убывать от оо до 0; соответствующие
эллипсы пробегут всю совокупность эллипсов плоскости с фоку-
сами ± 1. Отсюда следует, что w = X (z) отображает единичный круг
взаимно однозначно на область О, представляющую внешность отрезка
действительной оси Г: —При этом образом центра
единичного круга является бесконечно удаленная точка, а образом
единичной окружности — (дважды пробегаемый) отрезок Г.
78
ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Для образа радиуса z =/(cosa + * sin а) (0<^<1) получаем
сначала уравнение
w = у 0- + cos а — i у 0------sin а,
или
и = у 0--|-^cosa, V — —у0-------/^sina (0<;/<1). (20)
Отсюда видно, что образы двух радиусов, симметричных относительно
действительной оси (если один из них соответствует углу а, то дру-
гой соответствует углу—а), также симметричны относительно
действительной оси, а образы двух радиусов, симметричных относи-
тельно мнимой оси (если один из них соответствует углу а, то дру-
гой соответствует углу тс—а), симметричны относительно мнимой
оси. Поэтому достаточно рассмотреть лишь образы радиусов, при-
надлежащих, например, первому квадранту:
Заметим, что при а=^0 имеем:
«=!(!+/), -а = 0	(0<*<1).	'
Это — бесконечный полуинтервал действительной оси: 1 < и оо.
Симметричный с ним интервал — оо и < — 1 является образом
радиуса, соответствующего a = тс.
При а=-^ имеем:
и = 0, v = — 4(7 —	(0<7<1).
Это—мнимая полуось: —оо^-и<0. Другая мнимая полуось 0<
<v<^oo является образом радиуса, соответствующего a = —у.
Итак, образом «горизонтального» диаметра единичной окружности
является бесконечный интервал действительной оси, идущий от точки
— 1 к точке +1 через оо, а образом «вертикального» диаметра
является вся мнимая ось, за исключением начала координат (и со
включением бесконечно удаленной точки).
Пусть теперь 0 < a < ^ . Тогда, исключая из уравнений (20)
параметр /, получаем:
ц2 v2 ^1.	(21)
COS2 a	sin2 a	47
Это — уравнение гиперболы с действительной полуосью а — cos a,
мнимой полуосью fr=sina и с фокусами ztl. Однако точка w не
описывает этой гиперболы полностью, когда точка z описывает #есь
радиус z = t (cos а +I sin a) (0 t < 1). Действительно, из урав-
10. ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО
79
нений (20) следует, что При возрастании t от нуля до единицы и
убывает от оо до cos a, a v возрастает от —оо до нуля. Следова-
тельно, точка описывает однократно лишь четвертую часть всей
гиперболы, принадлежащую четвертому квадранту. В силу замечен-
ного выше четверть, принадлежащая первому квадранту, т. е. сим-
метричная с данной относительно действительной оси, будет образом
радиуса, симметричного с данным радиусом относительно действи-
тельной оси»/ т. е. радиуса, соответствующего углу — а. Но было бы
неправильно сказать, что вся ветвь гиперболы, проходящая в первом
и четвертом квадрантах, является образом пары указанных радиусов.
Действительно, вершина гиперболы и—a, v=0 не принадлежит
этому образу (не забудем, что наши радиусы берутся без их конеч-
ных точек, а вершина гиперболы есть образ каждой из этих точек:
*=1). ,  .
Далее получаем, что образами радиусов, соответствующих углам
к — а и a-f-ir (или а — к), будут четверти той же гиперболы, рас-
положенные в третьем и втором квадрантах.
Полная гипербола, за исключением своих двух вершин, является
образом четверки радиусов: ±a, и±а. Заметим, что образом каж-
дого из двух диаметров, составленных из этих радиусов, будет часть
гиперболы, составленная из пары ее симметричных относительно
начала координат четвертей, связанных между собой в бесконечно
удаленной точке.	1
Итак, функция — X (z) — (z -f- уj отображает взаимно
однозначно как внутренность, так и внешность единичного круга
на внешность отрезка — 1	1 (действительной оси).
При этом окружности | z | = г отображаются на эллипсы
с фокусами ± 1 и полуосями: — | у |, а пары диаметров, сим-
метричных относительно координатных осей (составленных из
радиусов z = ± г (cos a dz i sin a) (0 О < 1)), отображаются на
гиперболы с фокусами ztz 1 и полуосями |cosa|, |sina| с исклю-
чением вершин этих гипербол.
Так как производная нашей функции
W=X'(^=2-(1 — i)
отлична от нуля при z=#z±l, то отображение является конформным
во всех точках рассматриваемых областей (внутренность и внешность
единичного круга). Отсюда следует, что гиперболы пересекают
эллипсы под теми же углами, под которыми радиусы пересекают
окружности, т. е. под прямыми.
Рассмотрим еще образы окружностей, проходящих через точки ip 1. Из
равенства
80 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
получаем:
(£-1)2 w . г2 + 2г+1_ (г+J)2
2г “ 2г ’	2г ~ 2г
откуда
Легко видеть,
z — 1	, w — 1
—— == У и ——г
г_|_ 1 w + 1
следующим:
w — 1 __ /г— 1\2
w + 1 “\г + 1/
что это уравнение эквивалентно заданному. Полагая
= wf, найдем, что отображение w = X (г) можно заменить
(22)
Первое из них переводит окружности, проходящие через точки + 1,
в прямые, проходящие через начало координат, второе преобразует каждую
из этих прямых в луч, выходящий из начала координат, и, наконец, послед-
нее отображает каждый из этих лучей на дугу окружности, соединяющую
точки ±1. Из формул (22) легко' видеть, что если угол между окружностью
и положительным направлением действительной”оси в точке z = 1 был равен 0,
то угол в точке w = 1 между ее образом (дугой окружности) и положитель-
ным направлением действительной оси будет равен 26 (черт. 15). *
Итак, функция w = X (г) отображает каждую окружность у, проходящую
через точки ± 1 и составляющую в точке 1 угол 6 с положительным напра-
влением действительной оси, на дугу 6 окружности, проходящей через
точки ±1 и составляющей угол 26 с положительным направлением действи-
тельной оси. Те же формулы (22) показывают, что при этом каждая из двух
дуг y с концами ± 1 в отдельности отображается на одну и ту же дугу 6.
Заметим, что внешность окружности у при первом из отображений (22)
преобразуется в полуплоскость, при втором из отображений (22) мы полу-
чаем область, ограниченную прямолинейным лучом, выходящим из начала
координат, и, наконец, при третьем отображении — область, границей кото-
рой служит дуга б. Так как все эти отображения являются взаимно однознач-
ными в соответствующих областях, то и функция w = l(z) дает взаимно
однозначное конформное отображение внешности окружности у (а также и
внутренности этой окружности) на область, границей которой является дуга
окружности 5, соединяющая точки ± 1.
Полезно заметить, что функция w = X (z) отображает полукруг
1*1 < находящийся в верхней полуплоскости, на нижнюю полу-
плоскость w, а полукруг k2, находящийся в нижней полуплоскости,—
1 1 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
81
на верхнюю полуплоскость w. Но в силу соотношения А (г) = X j
функция принимает в точках полукруга k2 те же значения, что и
в точках верхней полуплоскости, внешних к полукругу kv Если мы
обозначим множество последних точек через К2 (черт. 16), то можно
будет утверждать, что образом области К2 также является верхняя
полуплоскость. Учтем, наконец, что образом полуокружности,
Черт. 16.
разделяющей и К2, служит однократно пробегаемый отрезок
—1 <й<^1. Отсюда следует, что образ верхней полуплоскости при
отображении w = X (г) состоит из верхней и нижней полуплоскостей
и из отрезка действительной оси: —1 <п<1, т. е. это есть вся
плоскость, за исключением бесконечного отрезка действительной оси,
соединяющего точки — 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку.
11. Определение показательной функции. Показательную функ-
цию ех действительного переменного х можно определить Katf решение
дифференциального уравнения = f9 удовлетворяющее начальному
условию /(0) = 1. Поставим целью найти аналитическую функцию
У), удовлетворяющую аналогичным условиям
^=/ и /(0)я»а(0, 0) + /®(0, 0)=1.
_	dt ди . . dv dv . ди	. .
Так как	1	— 1Цу ' то наше ДиФФеРенНиальное
уравнение принимает вид
ди	. . dv	dv	. ди	.	.
дх дх	ду	ду	’
откуда
ди	dv	dv	ди
дх	ду	дх	ду
Из уравнения = и и начального условия и (0, 0)=х 1 находим:
и (х, у) = ех\ (j/),* где X (у) — дифференцируемая функция, удовле-
творяющая условию X (0) == 1. Аналогично из уравнения = v и
6 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
82 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
начального условия v (0, 0) = 0 находим: v (х, у) —	(у), где
|л (у)—дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию |л (0)=0.
Следовательно,
= е^' (у)=и = еЧ (у), —	= — еЧ' (y)=v =	(j>),
т. е.
у/(.у) ==*(»> —Ь'ОО^рСу).
Очевидно, что Х(у) и р.(у) удовлетворяют одному и тому же
линейному дифференциальному уравнению второго порядка
^ + т(Л-о.
общее решение которого имеет вид <р(у) = cosy + С2 siny.
Учитывая начальное условие для рь(у), получим: p-(y) = Csiny
и, следовательно, X (у)= р/(у) = Ccosy, откуда С = 1 в силу началь-
ного условия для Х(у).
Итак, X(y) = cosy, |x(y) = siny и, следовательно,
f(z) — и(х, y)-\-lv(xt у)== ^(cosy + ^siny).
Мы нашли единственную аналитическую функцию (функция эта
является аналитической во всей плоскости, т. е. целой), удовлетво-
ряющую поставленным условиям. Функция эта называется показа-
тельной функцией комплексного переменного z и
обозначается expz:
exp z — ^(cosy Ц-f siny).
z Заметим, что для z действительного (y = 0, z = x) получаем:
exp x — ex,
т. e. на действительной оси показательная функция комплексного
переменного совпадает с показательной функцией действительного
переменного, известной из общего'курса анализа.
Непосредственной проверкой убеждаемся далее, что на показа-
тельную функцию комплексного переменного переносится теорема
сложения для показательной функции действительного
переменного = е^+Жа), а именно: exp zr • exp z2 = exp (zt -}- z2).
Будем называть комплексное число z показателем функ-
ции . expz. Теорему сложения можно будет формулировать
следующим образом: при перемножении двух значений показатель-
ной функции показатели можно складывать. Все сказанное дает
возможность пользоваться наряду с обозначением fexp z также и обо-
значением ez:
ея = ех (cosy i sin у).
12. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 83
12. Отображение посредством показательной функции. Из
определения показательной функции
expz= e®(cosy-|-/siny)	(23)
следует, что она не обращается ,в нуль ни при каком z и что
| exp z | = ех и Arg(exp z) = y 4"
При .г=/у(х=0) получаем:
exp (iy) — cos у + isi п у.
Это соотношение позволяет вместо тригонометрической формы записи
комплексного числа
с = г (cos ср + i sin ср) (г =£ 0)
пользоваться более компактной показательной формой
с = г ехр (/ср) = г№.
Мы видим из формулы (23), что показательная функция обладает
периодом 2tcZ (так как *при изменении у на 2тс z изменяется на 2ш,
а значение функции не изменяется):
exp (z + 2kz) = exp z.
Покажем, что 2ш является основным периодом функции,
т. е. что любой другой период ее должен иметь вид 2&тс/, где
k—целое число.
В самом деле, пусть а> = а+р/ есть период показательной функ-
ции. Тогда
exp (z + о)) — exp z
при любом z и, в частности, при z — 0:
ехр о) = ехр (а + /р) = ел (cos р 4~ i sin р) = 1.
Но это означает, что еа= 1, т. е. а=0 и cos р4“ * sin р ===J, т. е.
Р а 2&тс. Следовательно,
а) = а 4~ /р = 2&тп,
что и требовалось доказать.
Выражение ехр оо мы будем считать лишенным смысла, так как
lim ez не существует. Достаточно заметить, что при х > 0 и стре-
«->оо	'
мящемся к оо ех—>оо, а при х<0и стремящемся к — оо ех—>0.
Отсюда, в частности, следует, что ехр z не совпадает ни с одним
многочленом (так как всякий многочлен, не равный постоянной, стре-
мится к оо при ,г->оо). Целые функции, отличные от многочленов,
называются трансцендентными целыми функциям и, сле-
довательно, expz есть трансцендентная целая функция. •*
•*
84 ГЛ. HI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИЙ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЙ
Так как, по определению функции expz,
(exp z)' = exp z,
то производная показательной функции не обращается в нуль ни при
каком z.
Ознакомимся с геометрическим поведением функции w = exp z,
или, что то же самое, с отображением, осуществляемым при ее
помощи. Мы уже отмечали, что значение w = 0 не принимается этой
функцией ни при каком z. Это означает, что начало координат плоско-
сти w не принадлежит к образу конечной плоскости z при отобра-
жении ^ = ехр^. Покажем, что всякая другая конечная точка пло-
скости w принадлежит к этому образу. В самом деле, из уравнения
w = exp z, где w =£ О задано, a z = х 4- 1у — неизвестное, получаем:
\<ю\ = ех> откуда х = In | w| и Arg w = у + 2тг&, т. е. j/==Arg^.
Итак, прообразами точек w могут быть только точки вида
z = In | w | -1- i Arg -w.
Очевидно, их бесконечно много, так как Arg ter имеет бесконечное
множество значений, различающихся попарно на целые кратные 2тг.
Кроме того, каждая из найденных точек действительно есть прообраз
точки w, так как
exp (In | w | + i Arg w) = г1п 1 w I (cos Arg w / Sjn Arg w) ==»
= | w | (cos Arg w + i sin Arg w) = w.
Итак, множество всех корней уравнения <w = ez (w #= 0) пред-
ставляется формулой	и
z — In | w 14" I Arg w = In | w 14~ * (arS 4~ 2Ak),	(24)
где 6=0, ±1, ±2, ...
Все эти точки расположены на одной прямой, параллельной мни-
мой оси, на расстояниях друг от друга.
Мы (Обнаружили, что функция w=expz отображает конечную
плоскость z ца область, получающуюся из конечной плоскости w
путем исключения одной точки w = 0, причем отображение не взаимно
однозначно, так как каждая точка w =£ 0 имеет бесконечное множе-
ство прообразов (24).
Так кдк производная показательной функции всюду отлична от нуля,
то это отображение конформно во всех точках конечной плоскости z.
Заставим z описывать какую-либо прямую, параллельную одной
из координатных осей (черт. 17). Если это будет прямая z = c-{-iti
параллельная мнимой оси, то w = ес (cos sin t), т. e. w будет
находиться на окружности с центром в начале координат и радиусом,
равным ес. При этом, когда точка z описывает прямую однократно
так, что ордината этой точки, равная t, непрерывно растет от —оо
12. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
85
до -|-сю, то w описывает соответствующую окружность бесконечно
много раз в рдном и том же (положительном) направлении.
Если же точка z описывает прямую z = t-\-ic', параллельную
действительной оси, то w = ef (cos с' + i sin с'), очевидно, пробегает
прямолинейный луч, выходящий из начала координат и образующий
с положительной частью действительной оси угол с'. При этом, когда
точка z описывает прямую однократно так, что абсцисса этой точки,
равная t, непрерывно растет от —оо до -f-o°, то и w описывает
соответствующий луч однократно так, что расстояние этой точки
от начала координат непрерывно растет от нуля до оо (и тот и дру-
гой пределы, конечно, исключаются, так как | w | = е*).
Итак, при отображении плоскости z посредством функции
w — ez семейство прямых, параллельных мнимой оси, преобразуется
в семейство окружностей с центром в начал?координат, а семей-
ство прямых, параллельных действительной оси,— в семейство
прямолинейных лучей, выходящих из начала координат.
Рассмотрим область g, представляющую внутренность прямоли-
нейной полосы шириной h (0 < h < 2z), параллельной действительной
оси. Пусть эта полоса ограничена прямыми линиями _У=?0 и у = ^х
(?i —	^з установленного нами выше следует, что образом
области g в плоскости w будет область d, представляющая угол
раствора h с вершиной в начале координат, ограниченный прямо-
линейными лучами Arg w== ?о+ 2^тг и Argw=	(черт. 18).
При этом соответствие между точками областей g и d, устанавли-
ваемое посредством функции w = expz, будет взаимно однозначным
86 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Чтобы проверить последнее утверждение, достаточно заметить, что
прообразами некоторой точки w из области d могут ’быть только
точки In | w| Arg w, различающиеся друг от друга значениями
мнимой части. Две такие точки лежат на одной прямой, параллель-
ной мнимой оси, на расстоянии, кратном 2к. Но наша полоса g имеет
ширину не более 2тс, поэтому она может содержать внутри лишь
один прообраз точки w. Итак, каждая точка %£g имеет лишь один
образ и каждая точка w£d лишь один прообраз внутри g, что и
выражает взаимную однозначность отображения.
Мы видим, что показательная функция w = ехр z взаимно одно-
значно и. конформно отображает полосу ширины h 2к, парал-
лельную действительной оси, на угол раствора h с вершиной
в начале координат.
Поэтому к показательной функции прибегают каждый раз, когда
нужно конформно отобразить некоторую прямолинейную полосу
на внутренность угла.
Если прямая плоскости z не является параллельной какой-либо
оси координат, то образ ее в плоскости w будет уже не прямой и
не окружностью, а логарифмической спиралью. В самом деле, если
эта прямая есть
z~ /(1	/а) + bi (—схз < t < 4~оо)
(а — угловой коэффициент прямой, а Ъ — ордината в начале), то обра-
зом будет кривая
w = ехр [/	i (at + Z>)] = е* [cos (at 4~ b) + i si^(a/ ft)].
Здесь
| w | = r = et, cp == Arg w = af £ -I” 2тк,
— £ — 2mn TI .
или, исключая параметр t: r = exp ------------. Ho Arg w или по-
лярный угол ср определен только с точностью до целого кратного
от 2п. Поэтому, обозначая ср — 2тп снова через ср, получаем:
<р	ъ
г= се* , где с == е *.
Это и есть уравнение логарифмической спирали (черт. 19).
Из того, что она является образом прямой z — t(\-\-ia)-^bi, пере-
секающей прямые, параллельные действительной оси под постоянным
углом argtga, следует в силу конформности отображения, что и
логарифмическая спираль пересекает под тем же углом образы ука-
занных прямых, т. е. все лучи, выходящие из начала координат. Мы
получили характеристическое свойство логарифмической спирали.
12. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 87
Отображения, осуществляемые посредством функций w = (z — а)п и
w = expz, обнаруживают некоторое сходство между собой. Это сходство
можно выяснить при помощи формулы
/	z \п
exp z = lim (1 ---) ,
S	п-^со \	П I
доказательство которой мы предлагаем читателю в качестве упражне-
ния *).
/ z \п 1
Рассмотрим отображение w = 11 + — 1 = [г — (— n)]w, по отно-
шению к которому отображение w = exp z является предельным. В силу
сказанного в п. 3 эта функция отображает угол раствора — (0 < h < 2те) с вер-
шиной в точке Ап (— п, 0), ограниченный частью действительной оси х > — п
(у = 0) и лучом Arg (z 4- п) = — -J- 2&тс, на угол раствора he вершиной
в начале координат, ограниченный лучами Argw = 0 и Argw = h -f-2тте
(черт. 20). Если п стремится к бесконечности, то вершина Ап удаляется
в бесконечность вдоль отрицательной части действительной оси и длина
h
отрезка ОВп стремится к пределу lim n tg—= h так, что предельное
п->оо И
См. А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитических функций
Учпедгиз, 1944, стр. 106—107.
88 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
положение луча АпВп есть прямая у = h, ограничивающая вместе с действи-
тельной осью полосу шириной Л. При этом очевидно, что предельным поло-
жением для лучей, выходящих из вершины угла, будут прямые, параллельные
действительной оси, а предельными положениями для дуг окружностей
с центром в точке Ап — отрезки прямых, перпендикулярных к действитель-
ной оси, заключенные внутри полосы. Мы видим, что картина отображения
посредством показательной функции может быть получена из соответствую-
щей картины отображения посредством степенной функции при помощи
надлежащего предельного перехода.
13. Тригонометрические функции. Перейдем к определению
синуса и косинуса комплексного аргумента. Из формул
ехр (/х) = cos х + i sin x и exp (— lx) = cos x — I sin x
получаем известные формулы Эйлера
cos х = ехр (/х) +2ехр (~~Zx), sin х = ехр ~2ехр ,
справедливые, таким образом, при. любом действительном х. Так
как правые части этих формул определены при любом"4комплексном
z (z^<x>) и являются, очевидно, аналитическими функциями от z, то
мы имеем здесь две целые функции от z\
ехр (iz) + ехр (— Iz)	ехр (iz) — ехр (— iz)
2-------- И --------------2Z-------’
принимающие при действительных значениях z=x действительные
значения, совпадающие соответственно с cosx и sinx. Естественно,
что, по определению, первую из них обозначают cosz, вторую — sin^
и называют основными тригонометрическими функциями —
косинусом и синусом zx
ГПе 7 — бХР (^) + еХР Z2>) cjn 7 — еХ₽- ~ бХР	(V>\
& -1 	2	*	& -  —	2^ -iu	•	j
Формулы (25) называются формулами Эйлера. Формулой Эйлера
называется также и формула, получающаяся путем умножения обеих
частей второй формулы на I и почленного сложения с первой фор-
мулой
ехр (iz) = cos z 4-Z sin z.	(26)
Из формул (25) непосредственно вытекает, что cos£ — четная,
a sinz—нечетная функции:
cos (— z) = cos (z), sin (— z) = — sin z.	(27)
Из тех же формул (25) следует, что cos .г и sinz обладают
периодом 2it (так как при изменении z на 2тс аргументы показатель-
ных функций в правых частях формул изменяются на ±2ш— вели-
чины периодов показательной функции). Покажем, что 2^ является
13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	89
основным периодом функций cos^ и sin г. В самом деле,
если а) есть период функции cos г, то
cos (z + ю) = cos z,
и при z = у получаем:
Но отсюда следует, что
или
exp [Z (2w + -it) ] — — 1.
Следовательно, по формуле (24)
Z(2(i) + it)= In |—l|4~ZArg(—l) = Z(-it--|-2fot), т. e. w = fot,
и так как cos (d = cos 0=1, to k есть четное число и
(D = 2 m л.
Подобным же образом устанавливаем, что 2л является основным
периодом функции sin г.
Перейдем к выводу теорем сложения для функций cos г
и sin z, т. е. к отысканию соотношений между cos (24 4~ z2) и
sin (zt 4- z2)» c одной стороны, и coszp cos z2, sin^ и sin z2i с дру-
гой стороны (zt и z2 — произвольные комплексные числа). Мы полу-
чим требуемые соотношения как следствия из теоремы сложения для
показательной функции.
Заменяя в формуле (26) z суммой zx-\-z2i находим:
cos (zr + z2) + Z sin (zt 4~ z2) = exp [Z (zt + z^} = exp (Iz^ • exp (iz2) =
= (cos z1~j-l sin zj (cos z2 + Z sin 2'2)
или, выполняя умножение:
cos (zr + z2) +1 sin (zr z2) = ;
= (cos zt cos z2 — sin zt sin z2) 4“ Z (sin zt cos z2 4~ cos zt sin z2).
Если сюда подставить —zr и —z2 вместо zt и z2 и воспользоваться
соотношениями (27), то получим:
cos (zt 4- z2) — I sin (zt 4- z2) —
= (cos zr cos z2 — sin zr sin z2) — i (sin zx cos z2 4- cos zr sin z2).
Складывая и вычитая почленно две последние формулы, найдем:
cos (2\ 4- z2) = cos zr cos z2 — sin zt sin z2,
sin (гг + г2) = sin zx cos z2 4~ cos zx sin z2.
(28)
90 ГЛ. HI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Эти формулы являются основными в теории тригонометрических
функций. В частности, в них содержатся так называемые «формулы
приведения аргумента». Действительно, полагая в формулах (28)
я
zr = z и z2 = у, получаем:
cos {z + у) = cos z cos j — sin z sin ~ = — sin z.
sin [z + y) = sin z cos у + cos z sin у = cos z.
При zt = z и z2 = к находим другую пару формул приведения:
cos (z Н- it) = — cos zt
sin (z -4- it) = — sin z
и т. n.
Полагая в первой из формул (28) zt = z и z2 =—z, находим
следующее соотношение между sinz и cosz:
1 = cos2 z	sin2 z.	(29)
Мы видим, что все известные из тригонометрии соотношения
между тригонометрическими функциями действительного аргумента
сохраняются и в комплексной области. Однако из формулы (29)
нельзя заключать, что | cos z | <^ 1 и |sinz|<;i, так как cos2 z и
sin2z не является, вообще говоря, действительными неотрицательными
числами.
С тригонометрическими функциями sinz и cosz тесно связаны
гиперболические функции ch z и shz, определяемые посред-
ством формул
chz = 4JP£+^P(=A,	shg=exP£--^P(-?).. <зо)
При z = х действительном эти функции, очевидно, принимают дей-
ствительные значения и совпадают тогда с известными из анализа
функциями ch х и sh х. Первая из них (четная) убывает на полу-
интервале — оо < х 0 отоо до единицы и затем возрастает от
единицы до оо на полуинтервале 0<^х<оо; вторая (нечетная) воз-
растает на всем бесконечном интервале —оо<х<4“°° от —оо
до -|-оо, обращаясь в нуль при х=0.
Из сравнения формул (30) с формулами (25) следует, что между
тригонометрическими и гиперболическими функциями существуют
следующие соотношения:
chz — cos (Zz), sh z = — I sin (Zz).	(3I)
Отсюда, в частности, вытекает, что
ch2 z — sh2 z — [cos (Zz)]2 4~ Is*n (^)l2 — 1 •	(32)
13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	91
Определим действительные и мнимые части, а также модули
функций cosz и sinz. Полагая z= x-^-iy, получаем по форму-
лам (28) и (30):
cos (х + Zj/)=cos х cos (iy) — sin x sin (iy) = cos x ch у—I sin x sh
sin (x Z_y)=sin x cos (iy) + cos x sin (iy)=sin x ch * cos xshjL J ^3)
Отсюда
Re cos (x + iy) “ cos x ch y,	Im cos (x -j-iy)=s — sin x sh y, 1
Re sin (x 4~^) ==sin xchj/,	Im sin (x-P Zj/) = cosxshj/.	J
Для модулей функций cosz и sin г получаем следующие выражения:
| cos z | = V^cos х ch у^- + (sin х sh у)г =
+
= Veh2 (1 — sin2 x)4~sin2 xsh2j/= j/ch2^— sin2x
+ +
и аналогично | sin z | = ]/ sh2 у 4~ sin2 x. Итак,
| cos | =]/ch2j/—sin2x, | sin z | = '|/sh2ey + s^n2^-	(35)
Отсюда следуют неравенства
chj/;> | cosz| ;>]/ ch2j/ — 1 = | sh j/|,
r__________	*	,	(36)
У sh2j/-J- 1 = chy^>| sin^ |^> |shy|.
Мы видим, что модули функций cos z и sin z бесконечно возрастают
вместе с |у| по мере удаления от действительной оси, причем
это возрастание происходит не быстрее возрастания ch у и не мед-
леннее возрастания shy/. На черт, 21 представлена поверхность
tf = |sinz|, так называемый рельеф синуса*). Так как shj=/=0
при у 4= 0, то из неравенств (36) вытекает, далее, что cos г и sin z
не могут обращаться в нуль вне действительной оси, т. е. что урав-
нения cos 2= 0 или sin 0 не имеют мнимых корней. Следова-
тельно, все корни этих уравнений сводятся к известным из тригоно-
метрии:
z^(2k— 1)у для уравнения cosz==0
и
z = kn	для уравнения sinz=0.
*) Чертеж заимствован из «Таблиц функций» Янке и Эмде, Гостехиздат,
1948.
92 гл. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Отметим еще формулы для производных от тригонометрических
и гиперболических функций
(COSZ)' = [+	= i	_sinz,
L	J	*
(sin z)f = cos zt (ch z)r = sh z, (sh z)' — ch*z.
Вслед за функциями sin г и cosz могут быть определены и изу-
Черт. 21.
чены и другие тригонометрические функции комплексного аргумента:
1
.	sin Z	,	cos z	1	1
igz —-------,	, secz =, cscz = -—
&	cos г	&	sin г	cos г	sin г
14. Геометрическое поведение. Займемся изучением геометриче-
ского поведения тригонометрических функций. При этом мы можем огра-
ничиться изучением отображения
W = cos zt
так как отображение w — sin z может быть представлено в виде
/ I тс\
w = — cos (z -|- ~2 I
. гс
и, следовательно, сводится к сдвигу 2^ = гту плоскости в направлении
действительной оси, отображению г2 = cos zlt и, наконец, повороту всей
Плоскости относительно начала координат на угол, равный тс: w = —- z%.
14. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
93
Рассмотрим сначала прообразы точки w при отображении w = cos z,
т. е. корни уравнения
w = cos z,	(37)
где w — произвольное комплексное число, отличное от оо. Заменяя cos z по
формуле Эйлера (25) и полагая для краткости
exp (Zz) = А	(38)
получим для определения t уравнение
или
/2 —2wZ+l=0,	(39)
откуда
* tj = w 4-	1 (j = 1, 2)	(40)
(мы не ставим перед квадратным корнем двойного знака, так как этот корень
сам по себе имеет два значения). Очевидно, произведение чисел и /2 равно
единице, поэтому каждое из них отлично от нуля. Обозначая одно из них
через х, а другое через у, получаем из (38) два уравнения для определе-
ния z:
exp (Zz) s= т (У=0) и exp (Zz) == -i- (#=0).	(41)
Каждое из этих уравнений по п. 12 имеет бесконечное множество решений,
выражаемых по формуле (24):
izf «ж In | х | 4- Z Arg х и lz" = In | y | 4~ i Arg у — — (In | x | 4- Z Arg x),
или
zz = Arg x — Z In | т | и z" = — (Arg т — Z In | x I).	(42)
Мы получили два бесконечных множества точек, расположенных на паре
прямых у = ± In | х |, параллёльных дей-
ствительной оси. На каждой из них	yi
соседние точки zz, соответственно zzz,
отстоят друг от друга на расстоянии 2л;
при этом для каждой точки zz, лежа-
щей на прямой у = — In | х |, имеется
на другой прямой у = In | т | точка z7
симметричная с zr относительно начала
кобрдинат (см. чёрт. 22, соответствую-
щий случаю |т|< 1). При w = ± 1 кор-
ни т и уравнения (39) становятся рав-
Черт. 22.
ными ± 1. Тогда обе прямые совмещаются с действительной осью и оба
множества точёк zz и zzz также совмещаются.
Итак, уравнение (37) во всех случаях имеет решения и всегда множество
решений является бесконечным. Отсюда следует, во-первых, что функция
w = cos z отображает конечную плоскость z на всю (конечную) плоскость w,
и, во-вторых, что каждая точка w имеет бесконечное множество прообразов
в плоскости z. Отображение это является конформным во всех точках,
в которых (cos z)z = — sinz#=0, т. е. при z^kit (& = 0, ±1, ±2,...).
Заставим z описывать какую-либо прямую, параллельную одной из коор-
цинатных осей. Если это будет прямая z = с -f- ZZ, параллельная мнимой
94 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
оси, то образом ее будет кривая £: w = cos z = cos c ch t—Zsincsh/(cM.
первую из формул (33)). При с = kit получаем w = cos kit ch t =• (— 1)* ch t
(— co < t < -J- oo), t. e. w дважды описывает часть и 1 действительной оси
тс
при k четном и — 1 при k нечетном. При с — (2k—1) получаем
w = (—l)ft I sh Z, т. е. w описывает однократно всю мнимую ось в направле-
нии возрастания и при k четном и в направлении убывания и при k не-
четном.
Пусть теперь	(ни для какого целого т). Перепишем уравнение
кривой L в виде
и = cos с • ch == — sin с • sh t (— oo < t < oo)	(43)
или, исключая параметр Z(cosc=£0 и sinc=£0):
d2	v2
cos2 c	sin2 c
(44)
Мы получили уравнение гиперболы с полуосями | cos с | и Г sin с | и с фо-
кусами в точках ± 1.
Не нужно думать, однако, что кривая L совпадает со всей этой гипер-
болой. Из параметрического представления (43) для L вытекает, что и
храняет все время один и тот же знак, одинаковый со знаком cos с, тогда
как и монотонно и непрерывно меняется от —оо до 4-°° (или обратно).
Отсюда следует, что кривая L совпадает только с одной из двух ветвей
гиперболы (43), а именно с правой ветвью, если cos с > 0, или с левой ветвью,
если cosc<0. На правой половине черт. 23 представлены образы трех
прямых плоскости г:
I (х = те), II (х = и III (х — с, где ^<с<2те^.
Отображение прямой г = с 4" И на соответствующую ветвь является при
этом взаимно однозначным, и каждая из двух полупрямых, на которые наша
прямая разделяется действительной осью, взаимно однозначно отображается
на одну из полуветвей, на которые ветвь гиперболы разделяется в вершине.
Пусть теперь z описывает прямую /': z = 14- параллельную действи-
тельной оси. Образом ее будет кривая
w= cos z « cos t ch cr — I sin / sh c'.
15. ПРОДОЛЖЕНИЕ
95
При cf = 0 Z' есть действительная ось и £' имеет уравнение w = cos t
(—оо<7<Н-оо); следовательно, w описывает бесконечно много раз отре-
зок — 1 < и < 1 действительной оси, причем каждому отрезку прямой Z'
длины 2л соответствует двукратный обход указанного отрезка. Пусть ez=/=0;
тогда переписываем уравнение кривой U в виде
и = cos/ch с', и = —sin/she7 (— оо</<оо)	(45)
и, исключая параметр /(che'=£0, she'=#0), получаем:
ch2 с' ф sh2cz “	1 }
Это — уравнение эллипса с поЛуосями ch с' и | sh с' | и фокусами в точ-
ках ± 1- Из параметрического представления (45) кривой U вытекает, что
точка w бесконечное мноя&ство раз пробегает эллипс одном и том же
направлении, причем каждый пробег соответствует перемещению точки z по
прямой z =з t + lcf на расстояние, равное 2л (черт. 24, где на правой поло-
вине представлены образы двух прямых плоскости z:I (у = 0) и II (у = е=£0)).
Итак, отображение w = cos г переводит ортогональную сетку пря-
мых , параллельных координатным осям, в сетку эллипсов и гипербол
с общими фокусами ± 1. Так как отображение является конформным во
всех точках плоскости z, исключая точки вида г —£л (& = 0, ± 1, ±2,...)
(образами которых как раз и, являются указанные фокусы), то сетка кон-
фокальных эллипсов и гипербол также должна быть ортогональной. С этим
выводом мы уже встречались в п. 10.	।
15.	Продолжение. Возьмем й плоскости z область g, которая отобража-
лась бы посредством функции w = cos z взаимно однозначно на соответ-
ствующую область плоскости w. Выбор такой области можно произвести
многими способами. Нужно лишь позаботиться о том, чтобы ей не принад-
лежали два прообраза одной и той же точки w. Выберем, например, в ка-
честве g полуполосу шириной h (0 < h < 2те), параллельную мнимой оси,
с основанием, расположенным на действительной оси (черт. 25). Очевидно,
она удовлетворяет поставленным условиям. Действительно, если для какой-
либо точки Zq С g, col z$ = wo, то все другие прообразы точки Wo в плоско-
сти z должны, как мы уже знаем (стр. 93), располагаться в одной своей
части на прямой, параллельной действительной оси, проходящей через
точку Zty а в другой части — на прямой, симметричной с первой относительно
действительной оси. Но прообразы, расположенные на первой прямой, отстоят
от точки го на расстояния, кратные 2л; так как ширина полуполосы не больше,
чем 2л, то ни один из них не попадет ни внутрь полуполосы, ни на ее гра-
ницу. Вторая же прямая вообще не имеет общих точек с полуполосой. Итак,
функция w = cos z отображает область g взаимно однозначно и конформно
на некоторое множество точек плоскости w.
Чтобы построить это множество, заставим точку z опйсывать границу ?
области g так, чтобы она последовательно и непрерывно пробегала сначала
96 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
сторону I полуполосы, затем основание II и, наконец, другую сторону III полу-*
полосы. Точка w = cps z опишет при этом также последовательно и непре-
рывно полуветвь (F) одной гиперболы, затем пройдет часть (IF) кривой,
являющейся образом действительной оси и изображаемой отрезком
— !•<«<!, v = 0 (так как основание полуполосы не длиннее, чем 2л, то
w обойдет последний отрезок не более чем двукратно), и, наконец, пройдет
еще одну полуветвь (IIF) некоторой гиперболы.
Черт. 25.
Полученный нами в плоскости w полный образ границы области g—
обозначим его Г — делит плоскость на две области; мы' утверждаем, что
одна из них есть искомый образ d области g (см. п. 4 главы I). Укажем
два общих приема, с помощью которых можно установить, какая именноГиз
найденных областей является образом области g.
Первый прием, применявшийся в п. 5 этой главы, заключается в том,
что берут какую-нибудь точку г0 С g и отмечают ее образ w0 = cos z0. Этот
образ не может принадлежать контуру Г, так как иначе один из прообразов
точки Wq принадлежал бы области g, а другой — границе 7 этой области,
что, как мы видели, невозможно. Следовательно, точка попадет в одну
из указанных выше областей. Эта область и будет искомой.
Другой прием, применявшийся в- п. 7 этой главы, заключается в том,
что мы отмечаем направление обхода границы 7 области g. Это можно сде-
лать, например, вообразив наблюдателя, перемещающегося вдоль границы
области g вместе с точкой z и замечающего, с какой стороны от него на-
ходится внутренность области. При обходе, принятом на нашем чертеже,
область g остается, очевидно, слева от наблюдателя. Заставим теперь того
же наблюдателя перемещаться по Г вместе с точкой w — cos z. Тогда он
должен будет увидеть образ области g с той же стороны, т. е. в нашем
примере слева от себя.
Заметим в заключение, что вид области d будет вообще меняться
вместе с изменением расположения и ширины полуполосы g. На черт. 26
мы изобразили случай, встречающийся, когда основание полуполосы при-
надлежит одному из интервалов вида (knt (^-j-l)^)- Случай же, представ-
ленный на черт. 25 и характеризующийся тем, что основание полосы как
бы переламывается в результате отображения в точке w = 1 или w = —1,
встречается, когда основание полуполосы содержит внутри точку вида
В качестве упражнения предлагаем читателю изучить отображение
полосы 0 < х < к посредством функции w = cos z, рассматривая это ото-
16. ОДНОЗНАЧНЫЕ ВЕТВИ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ	97
бражение как совокупность последовательно выполненных одно за другим
отображений
Z	1 /	,	1\
zt=iz, г.А = е"‘,	.
2 \	*2/ с
В результате читатель должен будет получить, что w — cos z отображает
указанную полосу взаимно однозначно и конформно на область плоскости W,
ограниченную бесконечным отрезком действительной оси, соединяющим
точки —1 и 1 через бесконечно удаленную точку.
16.	Однозначные ветви многозначных функций. Изученные
в предыдущих пунктах функции <w = f(z) принимают одно и то же
значение w вообще в нескольких (двух или более) точках пло-
скости z. Исключение составляет лишь дробно-линейная функция,
дающая взаимно однозначное отображение расширенной плоскости
самое на себя> Если оставить в стороне это исключение, то во всех
остальных случаях обратное отображение z = У”1 (w) неоднозначно.
Это означает, что функции, обратные рассмотренным нами, являются
многозначными.
Для того чтобы к многозначным функциям можно было приме-
нять понятия и результаты, полученные для однозначных функций,
нужно уметь выделять однозначные ветви этих функций.
Вот каким образом это обычно достигается.
Пусть z = f(<w) — функция определенная, однозначная и непре-
рывная (в обобщенном смысле) в области G расширенной плоскости.
Предположим, что область G удалось разбить каким-либо способом
на конечное или счетное множество областей gt, g2, ..., попарно
не имеющих общих точек, так, что любая точка области О является
внутренней для одной только области gk или же общей граничной
точкой, по крайней мере, для двух областей gj и gk, причем в каждой
из этих областей отображение z = f(tw) является взаимно однознач-
ным. Тогда, как мы знаем (п. 4 главы II), образ каждой из обла-
стей gk будет также областью f(gk) ~Gk и весь образ /(G) будет
покрываться областями Gk, а также образами общих частей границ
областей gk.
7 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
98 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Будем рассматривать обратную функцию w = F(^) в каждой из
областей Ок, определяя ее тем дополнительным условием, что ее
значения принадлежат gk— прообразу области Ок. Тогда функция
F(z), вообще многозначная, представится посредством нескольких,
быть может бесконечно многих, однозначных и непрерывных (в обоб-
щенном смысле) функций Fk(z). Каждую из них мы будем называть
однозначной ветвью функции F(z) в соответствующей
области Ок. При этом определении важно помнить, что характер
областей Ок, а вместе с тем и однозначных ветвей функции Fk(z)
существенно зависит от того, как именно область G разбита на
области gk. В простейших случаях область О допускает такое раз-
биение на области gk, при котором соответствующие области Gk
совпадают между собой. Пусть, например, 0^ 0^ • • • совпадают
с одной и той же областью О'. Тогда многозначная функция
<w = F(z) обладает многими, быть может бесконечно многими, одно-
значными ветвями в области О', а именно Fki (z), Fk* (z), ...
Ко всему сказанному выше нужно прибавить, что для произволь-
ной непрерывной функции z=f(<w) разбиение области О на области gk,
удовлетворяющие указанным выше условиям, вообще говоря, невоз-
можно. Однако для случая, когда /(w) аналитическая в области О
(за исключением изолированных точек, в которых она может ббра-
щаться в оо), подобное разбиение всегда возможно и притом беско-
нечно многими способами.
Назовем функцию z = /(^), аналитическую в некоторой области g
(за исключением, быть может, точек, в которых она обращается
в оо) и принимающую в различных , точках области различные зна-
чения (/(^О ¥“/(w2), если w2 и w2£g), однолистной
в области g. Если жё в области существует, по крайней мере,
одна пара различных точек, в которых /(w) принимает одно и то же
значение: /(w1) = /(<tt/2),	то мы назовем функцию много-
листной в этой области.
Факт, на который мы сослались выше (без доказательства), можно
формулировать так: если аналитическая функция z = /(w) многолистна
в области О, то эту область можно разбить на конечное или счетное
множество областей, в каждой из которых /(w) будет однолистной.
Соответствующие области gk называются областями однолист-
ности функции /(w).
Таким образом, к функциям, обратным по отношению к много-
листным, всегда применим описанный выше способ выделения одно-
значных ветвей.
Иллюстрируем указанный способ на элементарных функциях; раз-
биение области О на области однолистности будет получаться
каждый раз путем использования известных свойств элементарных
функций.
Помимо функций, обратных элементарным, мы будем рассматри-
вать здесь и другие многозначные функции, получающиеся как слож-
17. функция w = ]/z	99
ные функции вида срфС?) (где cp(z) или ф(^) — функции, обратные
элементарным) или как рациональные комбинации таких функций.
п	п__
17.	Функция м = У z. Рассмотрим радикал ю = У z, представ-
ляющий функцию, обратную по отношению к степенной функции
2 = ^ (я — натуральное число, большее, чем единица).
При каждом z> отличном от нуля и бесконечности, радикал
имеет п различных значений, которые даются формулой
w = ^cos 4“ sin •	(47)
При z = 0 или z = оо получаем по одному значению функции
соответственно w=0 или ^=00.
п значений (47), представляющих те точки плоскости w, в кото-
рых ww принимает одно и то же значение z, располагаются
в вершинах правильного л-угольника, вписанного в окружность
Обратно: вершины любого правильного n-угольника с центром
п_______________________________________________________
в начале координат можно рассматривать как п значений у z. По-
этому область g плоскости w будет областью однолистности для
z = тогда и только тогда, когда из п вершин любого правиль-
ного многоугольника с центром w = 0 она содержит не более, чем
одну вершину.
~	2те
Очевидно, этому условию удовлетворяет каждый угол раствора —
с вершиной в начале координат.
Проведем из начала координат п прямолинейных лучей под рав-
ными углами. Тогда найдем, что вся плоскость, в которой опреде-
лена многолистная функция z = ww, разделится на п областей одно-
листности этой функции: gv g2, ...» gn. Образом каждой из них
будет одна и та же область G' плоскости zt границей которой
является некоторый прямолинейный луч L, выходящий из начала.
Если область gk ограничена лучами, составляющими углы <р0—|——
2 (k 4- п к
и гро-|—>.._г.... <— с положительной частью действительной оси, то
луч L составляет с положительной частью действительной оси угол пср0.
Сообразно со сказанным в п. 16 получим в области О' п одно-
п	п
значных ветвей функции у z. Каждая из них: У z (£= 1, 2, .. ., п)
к
пг—
вполне определяется условием, что ее значения w = У z принадле*
*
жат области Так как z = ww имеет отличную от нуля произвол-
п _
ную во всех точках области gk: zr — м»п~\ то и ветви yz
jt
7*
100 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
обладают отличными от нуля производными
к
Возьмем теперь систему прямолинейных лучей, выходящих из
начала координат, получающуюся из предыдущей путем пово^эота
вокруг начала координат на угол а ^0 < а <	. Тогда новая си-
стема разделит плоскость w на п областей dv ...» dn, из которых
каждая область dk будет иметь общие части с двумя соседними
областями gk и gk+1 (если k = n, то gw+1 следует заменить на gr)
(черт. 27).
Образом каждой из областей dk плоскости w будет одна и та
же область /У, ограниченная прямолинейным лучом М, выходящим
Черт. 27.
из начала координат под углом пср0-|-па к положительной части
действительной оси. В этой области мы также получим п однознач-
п
ных ветвей функции у z> из которых каждая вполне определяется
тем, что ее значения принадлежат соответствующей области dk,
п
Обозначим эти ветви через (у z)k. Они являются дифференцируемыми
в О' и для их производных имеем:

I	17. функция	101
n --
Сравним их с ветвями у z\ так как часть прообраза dk
i / &
< области D в плоскости w принадлежит области gk, а часть —
п ,
области gk+v то ветвь (yz)k в части области D' (представляющей
w/~
образ общей части областей dk и будет совпадать с у z,
к
1 а в другой части области D' (представляющей образ общей части
п________________________________________________
областей dk и gk+i) будет совпадать с yz.
f
Мы видим, что при замене одних областей однолистности дру-
гими каждая новая однозначная ветвь получается путем объединения
части определения одной из прежних ветвей с частью определения
другой прежней ветви.
$	Если угол поворота а = 0, то dk совпадает с gk, D' — с О' и
п	п
? каждая ветвь (у z)k совпадает с у z. Когда же угол а, непрерывно
4	2тек
увеличиваясь, приближается к то область dk приближается
и	К	£k+i>	соответствующая область	D'	приближается	к	G'	и ветвь
(У z)k во все большей и большей части области D' совпадает
П	п	п
?	с	ветвью у z	(вместо	gn+1 и у z	следует	брать	gt	и	у	z).	При
к+1	П4-1	1	_
2тс	п/-~
dk совпадает с gk+v D —с О и ветвь (у z)k переходит
п г—
\ в ветвь у z.
5	А+1
i	w/-~	п/—
За переходом одной ветви у z в другую у z можно проследить
s	к	к+1
также, заставляя точку z описывать полный круг с центром в на-
'	Пг~
чале координат. Если значение у z в точке z0 было взято принад-
П
лежащим ветви у z и изображалось точкой w0 области
It	*
П ___ I	V
™о= V I *о| (cos+ i sin,
то при непрерывном движении точки z по окружности |г| = |г0|
3 в положительном направлении соответствующее значение радикала
‘w = y^ol (cosу+1 sin-^)
будет непрерывно изменяться вместе с ср, и после полного обхода
и возвращения точки z в исходное положение z$ значение радикала
102 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
перейдет в
%/— (	+ 2тс I . .	+ 2тс \
== V z0(cos -------1-1 sin Y0^- J.
Последнее получается из w0 путем поворота вокруг начала коор-
динат на угол —; следовательно, точка принадлежит области gk+i>
соседней с gk, и является значением ветви в точке zQ.
к+1
Это заключение применимо к любой точке области G', откуда
следует, что в результате обхода точкой z окружности любого
п
радиуса с центром в начале координат значения у z, непрерывно
п  	п 
изменяясь, переходят от ветви у z к ветви yz.
к	А+1
Понадобится n-кратный обход точки z в положительном направ-
ив____________________________________________________________
лении вокруг, точки z=0 для того, чтобы ветви радикала у z,
п	__ п______ п___ п______	п__
заменяясь одна другой (у	z на yz,	у	z на у	z, ..., у	z на
ч	к Л+1 Ац-1 к+2	п
п	п	пг~
у z, ♦.., у z на у z), вернулись к исходной ветви.
1	к-1	к
Точка, обладающая тем свойством, что полный (однократный)
обход вокруг, нее в любой ее окрестности по какой-либо замкнутой
жордановой кривой заменяет одну непрерывно изменяющуюся ветвь
многозначной функции другой ветвью этой функции, называется
точкой разветвления функции.
То обстоятельство, что после n-кратного обхода в одном и том
же направлении мы снова возвращаемся к исходной ветви, выражают,
говоря, что данная точка разветвления обладает конечным порядком,
а именно порядком п — 1, и точку эту называют алгебраи-
ческой точкой разветвления*).
Итак, точка z = 0 есть алгебраическая точка разветвления по-
п
рядка п — 1 для функции у z.
Очевидно, точку z—oo можно также рассматривать как алге-
?и/—
браическую точку разветвления порядка ti — 1 функции у z, так
как каждый обход вокруг нее вдоль окружности сколь угодно боль-
шого радиуса с центром в начале координат является вместе с тем
и обходом вокруг начала координат. Поэтому многозначная функция
п
w=y z имеет две точки разветвления в плоскости z\ z = 0 и
z = оо , обе порядка п — 1.
*) Последнее понятие предполагает еще, что в данной точке существует
предел функции (конечный иди бесконечный),
103
<~	nr~
17. ФУНКЦИЯ w=yz
Описанные выше однозначные ветви этой функции строились для
областей типа О' или D', граница которых представляла прямоли-
нейный луч, соединяющий обе точки разветвления. Более общий тип
подобной области получится, если вместо прямолинейного луча про-
вести произвольную жорданову кривую расширенной плоскости,
соединяющую точки 0 и оо. Пусть Г — эта кривая и О—ограни-
ченная ею область. Если z • описывает Г от йачальной точки (0) до
п
конечной (оо), то соответствующие ей п точек w = у z описы-
вают п жордановых кривых соединяющих точку 0 с точкой оо.
Эти кривые не имеют других общих точек, кроме 0 и оо, и соста-
вляют попарно (тл с 7fe+i) замкнутые жордановы кривые расширен-
ной плоскости.
Пусть g^— та из двух областей, ограниченных кривыми и
которая не содержит кривых ..., Tft+1, ..., уп. При по-
2п
вороте плоскости z вокруг начала координат на угол — в силу
построения переходит в	—в и область ^переходит
в область . Так как g^ и g'k+l не имеют общих точек, то ни
одна из этих областей не содержит пары точек, которые перехо-
дили бы одна в другую в результате такого поворота. Поэтому все
области g^ (&=1, 2, ..., п) являются областями однолистности для
z — <wn, и мы получаем п однозначных ветвей функций у zb области О,
потребовав, чтобы значения каждой ветви принадлежали соответ-
ствующей области gk. Для фиксации одной ветви достаточно указать
п
значение у z в какой-либо точке z§ области О; если это значение
есть то найдется единственная область содержащая точку w0,
пг-
и вместе с тем и единственная ветвь у z в области G, принимающая
значение w0 в точке z0. Именно таким путем и поступают обычно,
п
когда хотят фиксировать определенную ветвь у z в области типа О.
w	п	п
Пусть у z и у z — две ветви у z в области О и их значения
к	г
в некоторой точке zQ суть соответственно w' и w''. Так как
г	i/"i—г/	-j- 2тгъ \
= y z = y|z|(cos-J^---------Нsin ---------),
к	+	'	‘
< = У z = УIz I (cos ---------*"1 sin n------) ’
I	+	'	'
где т' и т"— целые числа, то w'' можно получить из w' путем
умножения на
2 (т" — т') тс ... 2 (т" — т') тс
tq = cos —----------k i sin -,
4	n 1	n
104 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	>
п	п
т. е. на одно из значений у 1. Но, умножая функцию у z на число tq,
л	|
мы, очевидно, получим однозначную и непрерывную в области О
п	. п
функцию т] у z, значения которой представляют у z и принадлежат
к
п	пг~
той же области, что и точка = Следовательно,
к	i	I
п___ п___	п__
ч\у z= у z во всей области Q. Мы видим, что две ветви у z в одной
к I *	\
и той же области О могут быть получены одна из другой посред-
п
ством умножения на некоторое значение у 1.
Все выводы этого пункта переносятся с соответствующими оче-
видными изменениями на функции несколько более общего вида:
п ---- пГ z — а
w = у z — а или w = 1/ --------,.
г	У z — b
Рекомендуем читателю рассмотреть эти примеры, заметив, что
функции эти являются обратными по отношению к функциям
. п	bwn — а	л
z=,a-\-wr или z =	1 *1 для которых области однолистности—
те же, что и для функции ^ = ww. При этом следует обнаружить,
п -----------------------------------------
что точки разветвления функции z — а суть а и оо, а точки
/	__ci
разветвления функции эд = у ' СУТЬ а и и что выДеление
однозначной ветви функции возможно во всякой области, граница
которой есть жорданова дуга, соединяющая точки разветвления.
п ____
18. Функция эд = ]/ P(z). Для лучшего выяснения понятия точки раз-
ветвления рассмотрим многозначную функцию
п.____
®=/(г) = У^).	(48)
где Р (z)— произвольный многочлен. Пусть У—степень этого многочлена,
аь я2, ..., ат—все различные его нули, а а2,’..., <*т —их кратности
(ai + а2 "F • • • +	= N)- Тогда Р (г) можно представить в виде
Р(г) = Л(г-.1)\..
откуда
/(•?) = V A (z — «,)“' ... (г — ат)ат.	(49)
Рассмотрим произвольную замкнутую жорданову кривую 7 (например,
окружность), не проходящую ни через одну из точек ац (£=1, ..., т).
Заставим z однократно обойти эту кривую в определенном направлении.
Фиксируем значения аргументов для z — z— ат в какой-либо точке г0
на кривой у. Пусть эти значения будут ср^, ..., При обходе точкой z
105
кривой т угол % между вектором z— положительным направлением
действительной оси будет непрерывно изменяться, отправляясь от начального
значения и в результате однократного обхода кривой 7 он либо вер-
нется к прежнему значению (если точка лежала во внешности 7),
либо приобретет приращение ± 2п (если точка а^ лежала во внутренно-
сти 7fc) *) (черт. 28). При этом знак приращения + или — будет зависеть
только от выбранного направления обхода кривой у; мы будем называть
положительным то направление, при котором соответствующие углы полу-
чают положительное приращение 2тс. Предположим для определенности, что
точка z описывает 7 в положительном направлении. Если ни одна из точек ajc
не лежит внутри 7, то все углы вернутся в результате обхода к перво-
начальным значениям а вместе с тем вернется к первоначальному зна-
чению и функция (49). Отсюда следует, что ни одна из конечных точек С
плоскости, отличных от а/с, не может быть точкой разветвления для этой
функции. В самом деле, для такой точки можно указать окрестность, не
содержащую ни одной точки ад тогда офсод любой замкнутой жордановой
кривой 7, принадлежащей этой окрестности и содержащей внутри точку С,
будет сохранять избранную ветвь нашей функции.
Итак, никакая конечная точка С, отличная от всех а^, не является
точкой разветвления для f(z).
Рассмотрим теперь окрестность какой-нибудь точки а^ настолько малую,
чтобы в ней не содержались другие точки: аь ..., аъ-р ...» ат. Тогда
при обходе кривой 7, принадлежащей этой окрестности и содержащей а^
внутри, угол изменится на 2тс, тогда как все углы	• • •>
вернутся к прежним значениям. Отсюда следует, что аргумент подкоренного
выражения в формуле (49) в результате обхода кривой 7 изменится на 27cat>
а следовательно, радикал (49) приобретет множитель cos - + I sin ,
который, очевидно, будет отличным от единицы тогда и только тогда, когда а&
не является кратным п. Итак, каждый нуль многочлена Р (г), кратность
которого не есть число, кратное л, является точкой разветвления для
п______________
функции у Р (z). Чтобы определить порядок этой точки, предположим, что
(^к < «) есть наибольший общий делитель ак и п. Тогда, полагая ак = Ъкак
*) Эти факты, легко проверяемые в простейших случаях (например,
когда 7 есть окружность, эллипс или многоугольник), могут быть доказаны
в самом общем случае. См., например, П. С. Александров, Комбина-
торная топология, Гостехиздат, 1947, глава Ц.
106 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	’
2яа, 2яа.	2тса^
и п = wk > 1), запишем двучлен cos -|- Z sin —в виде cos ——р
। > 1 ^к	£
+1 sin----- .
В результате р-кратного обхода кривой 7 в одном и том же направле-
2ка^р	2калр
нии функция f (z) приобретет множитель cos —-----1- Z sin —-—, который,
очевидно, будет равным единице тогда и только тогда, когда р кратно
Наименьшее соответствующее значение р есть Отсюда следует, что поря-
док точки разветвления есть — 1.
Рассмотрим, наконец, окрестность бесконечно удаленной точки, не со- *
держащую ни одну из точек и в этой окрестности жорданову кривую у,
содержащую внутри все точки а^. Тогда внешность у будет содержать
точку оо и не будет содержать ни одной из точек Совершим однократ-
ный обход кривой 7. Все углы приобретут приращения 2тс, следова-
тельно, аргумент подкоренного выражения в формуле (49) изменится на
2те(<%1 + «2 + ••• + ат) и вся функция f(z) приобретет множитель
2тс (ах 4- ... + ат) । . , (at + ... аш) 2kN	2nN
cos-------------— 4- / Sin —----------•-— == COS-------h I sin--.
n	1	n	n 1 n
Он будет равен единице или* отличен от единицы в зависимости от того,
будет ли N кратным п или нет. В первом случае оо не будет, а во втором
будет точкой разветвления функции /(z). Если при этом 5 есть наибольший
общий делитель N и п (В < п) и п = Н то порядок бесконечно удаленной
точки, рассматриваемой как точка разветвления, будет равняться n — 1.
Мы заметили, что в случае, когда кратно п, обход жордановой кри-
вой у, заключающей внутри точку и не заключающей ни одной из осталь-
ных точек ау, не изменяет значения/(г). Точно так же не изменяет значе-
ний f(z) обход кривой 7, заключающей внутри все точки в случае, когда
N кратно п.
Пусть вообще ак, ..., ак —такая группа точек разветвления, для ко-
торой сумма + ... 4“ а& кратна и; тогда обход любой замкнутой жорда-
новой кривой 7, содержащей внутри указанные точки и не содержащей ни
одной точки отличной от них, не сможет изменить значений/(z). Поэтому
во всякой области G, содержащей только такие замкнутые жордановы кри-
вые, внутренности которых либо не заключают ни одной точки разветвле-
ния а^, либо заключают группы точек разветвления, для которых суммы
соответствующих чисел ак делятся на п, можно выделять однозначные ветви
функции / (г).
Для этого достаточно фиксировать значение w0 функции /(z) в одной
из точек z0 этой области. Среди п образов f(G) области G в плоскости w
один будет содержать точку wQ; пусть этот образ есть gk. Тогда однознач-
ная ветвь функции f (z) в области G вполне определится тем требованием,
что все ее значения принадлежат gk. Значение этой ветви в любой точке zt
области G можно получить также следующим образом: соединим точку z0
с точкой zx какой-нибудь непрерывной кривой X, принадлежащей области G,
и будем пробегать эту кривую от точки z0 до точки zt, следя за тем, чтобы
соответствующее значение f(z) непрерывно изменялось, начиная от значе-
ния w0. Тогда мы придем в точку z± с одним из п значений/(z), которое
обозначим через «4. Это значение зависит, только от значения w0, выбран-
ного в точке z0, и от самой точки z± и не зависит от выбора пути, соеди-
няющего z0 и zx, и, следовательно, представляет однозначную функцию от zj
в области-О. В самом деле, если 72 — другая кривая, соединяющая z0 и Zj
18. функция	107
в области G, то при обходе замкнутой кривой у, составленной из ft и ft,
мы получим сначала, двигаясь от г0 до вдоль уг, значение в точке zv
а затем, двигаясь вдоль ft—от точки zt до zQt должны вновь придти к ис-
ходному значению w0 (так как обход замкнутой кривой в области G, по
условию, не может привести к изменению значений функции / (г)). Отсюда
и следует, что, двигаясь вдоль ft от z0 к zb мы придем в точке zx к тому же
значению что и при движении вдоль ft.
Поясним все сказанное примерами:
1.	о, = У(1 — £2) (1 _^2г2)} где 0<&<1. Это —двузначная функция
с четырьмя точками разветвления: ±1, Здесь N = 4 кратно л = 2 и
поэтому оо не является точкой разветвления.
Так как все числа равны единице (±1, ± суть простые нули под-
коренного выражения), то обход вдоль’любой замкнутой кривой ?, заклю-
чающей внутри только две точки разветвления, не изменяет значения функ-
ции. Поэтому можно выделять ее однозначные ветви, например в области G,
границей которой служат два отрезка:--------1 и 1<х<-г-, или
в области Gr с границей, состоящей из отрезков — 1 <. х 1 и беско-
нечного отрезка действительной оси, соединяющего точки — ~ и через
бесконечно удаленную точку (черт. 29).

г/1 си//
Черт. 29.
В первой из них ветви f\(z} и /2 (г) можно различать по тому значе-
нию, которое они принимают в начале координат. Например, А (0) = 1 и
/2(0) = -1. ________________
2.	w = /4z3 — g2z— g3, где g2 и g3— комплексные числа, удовлетво-
ряющие условию ^2 — 27^2 =£ 0, означающему, что дискриминант многочлена
4г3 — g%? — g3 отличен от нуля, а следовательно, различны и нули elt е2 и е3
этого многочлена. Так как в этом примере N = 3 не делится на я = 2, то
точка оо также является точкой разветвления. Снова обход какой-либо пары
точек разветвления по замкнутой жордановой кривой не изменяет значения
функции. Поэтому, соединяя жордановыми кривыми ft и у2 точку с е2 и е3
с оо, мы получим область G с границей, состоящей из ft и ft, в которой
можно выделять однозначные ветви данной функции (черт. 30).
3.	Рассмотрим функцию, обратную по отношению к функции z —	>
т. е. w = ср (г) = z 4- V г2 — 1. Это — двузначная функция, обладающая теми
же точками разветвления, что и функция У г*—1, т. е. * = ±1.
108 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Чтобы получить область G, в которой можно выделить однозначные
ветви рассматриваемой функции, соединим точки — 1 и 1 конечным отрезком
действительной оси. Получим область, которая взаимно однозначно отобра-
жается посредством функции w = У z%— 1 на каждую из двух областей:
внутренность единичного круга (gt) и его внешность (g2) (см. п. 10). Выде-
лить любую из них можно, фиксируя одно из двух значений w в какой-либо
из точек области G, например в бесконечно удаленной точке. Как видно из
формулы z == А	, z обращается в оо либо при w == 0, либо при
до = оо. Поэтому одна из ветвей функции ср (г) характеризуется тем, что для
Черт. 30.
нее ср (оо) == 0; она отображает G на внутренность единичного круга. Дру-
гая же ветвь характеризуется тем, что для нее ср (оо) = оо; она отображает
область G на внешность единичного круга.
Мы могли бы вместо области G брать, например, область G', границей
которой служит бесконечный отрезок действительной оси, соединяющей точки
— 1 и 1, или области G" и G"7, границы которых суть верхние или нижние
единичные полуокружности.
Мы предоставляем читателю, опираясь на результаты п. 10, выяснить,
на какого рода области плоскости до отображают соответствующие однознач-
ные ветви функции ср (г) области G', G" или Gf".
Все содержание настоящего пункта относилось к многозначной функции
вида у P\z), где Р (z) есть многочлен.
Читатель без труда распространит полученные результаты на случай
более общей функции уP(z), где R(z) есть произвольная рациональная
п_____________________________________________________________
функция. Для нахождения точек разветвления функции ]//? (z) придется
рассматривать все точки плоскости, в которых R (г) обращается в нуль или
в бесконечность.
19. Логарифм. Функция, обратная по отношению к
z = ew = еи (cos 1 sin -и),
определена для любого z, отличного от нуля и оо, и представляется
формулой (см. формулу (24))
-до = In | z\ i Argz.
Эта функция, очевидно, многозначная и даже бесконечнозначная,
называется логарифмом и обозначается Lnz.
Итак, по определению,
-до = Ln z — In | z 14~ * Arg z.	(50)
19. ЛОГАРИФМ
109
Если значение логарифма, равное In |г|-|-/аг£(г, назвать глав-
ным значением и обозначить его In z, то для Ln z будем иметь:
Ln z = In z + 2^tcZ,	(51)
где & = 0, ztz 1, zt2, ...
Отсюда следует, что каждое комплексное число, отличное от
нуля и бесконечности, имеет бесчисленное множество логариф-
мов (т. е. значений логарифмической функции), из которых любые
два различаются на целое кратное 2т: I. Если z — действительное
положительное .число, то главное значение логарифма совпадает
с Гп |z | и, следовательно, представляет то действительное число,
с которым мы имели дело в курсе анализа, когда рассматривали
логарифмы как действительную функцию>действительного переменного.
Так, получаем: In 1 = 0, Ine = 1, In 2 = 0,69314718... и т'. д.
Но, кроме этих действительных значений, логарифмы действи-
тельных положительных чисел имеют еще и бесконечное множество
мнимых, получаемых по формуле (51). Так, например, Lnl=2ArcZ,
Lntf = 1 -|-2kni, Ln2= 0,69314718. . .	2£ш и т. д.
Для действительных отрицательных чисел и для мнимых чисел
главное значение логарифма есть мнимое число
In | z} 4-Z argz (argz=£0, larg^lO).
Все прочие значения логарифма также являются мнимыми числами,
вычисляемыми по формуле (51).
Например,
Ln (— 1) = (2k + 1) я/, Ln (— 2) = 0,69314718. .. + (2* + 1) kL
Ln (1 — I) = In /2 + i (— j + 2rtfe) «=
= 0,34657359...и т. д.
Известные правила о логарифме произведения и частного сохра-
няют свою силу и для многозначного логарифма комплексного числа,
а именно:
Ln (zx • z2) = In 1 z21 + I Arg (gj  z2) =
= In | 14- In | z21 + / (Arg zt	Arg г2) = Ln 4- Ln z2, (52)
Ln == In |	14- i Arg = In | | — In | z214-1 (Arg zt — Arg z2) =
= Ln^ — Ln z2.	(53)
Здесь zt и z2—произвольные, отличные от нуля комплексные
числа. В каждом из этих равенств левая и правая части при задан-
ных zt и z2 изображают бесконечные множества комплексных чисел.
Равенства следует понимать, в том смысле, что эти множества
ПО ГЛ. Ill. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
одинаковы, т. е. состоят из одних и тех же чисел. Забвение этого
обстоятельства может повести к ошибкам.
Рассмотрим, например, следующий софизм, % принадлежащий
И. Бернулли.
Утверждается, что Ln(—1?) = Ln,z при любом z #= 0.
Для доказательства рассматривается следующая цепь равенств:
1) Ln [(— z)2] = Ln (z2),	2) Ln (— z) 4- Ln<— z) = Ln z + Ln z,
3)	2 Ln (— z) = 2 Ln z и 4) Ln (— z) = Ln z.
. Но это заключение неверно, так как
Ln z = In | z | + i Arg z = In | z 14“* arg 4-
Ln (— z) = In | — z | + i Arg(— г) = In | г |	* arg-? + (2* 4“ 9
и, очевидно, ни одно из чисел, являющихся значениями Ln^, не сов-
падает ни с одним из чисел, являющихся значениями Ln(—z).
Ошибка в приведенном выше доказательстве произошла при пере-
ходе от равенства 2) к равенству 3). Первое из них, полученное
на основании формулы (52), конечно, справедливо. Но сумму Ln(—z)+
4~Ln(—z) нельзя заменять через 2Ln(—г), так как указанная
сумма получается из множества чисел Ln (— z) путем сложения любого
из этих чисел с таким же или отличным от него числом того же
множества, тогда как множество 2Ln(—z) получается путем удвое-
ния каждого из чисел Ln(—z), т. z. путем сложения такого числа
только с самим собой. Итак, Ln(—г) + Ln(—г) =£ 2Ln(—z);
точно так же и
Ln z 4- Ln z #= 2 Ln z.
•Читатель вполне уяснит себе суть этого возражения, обратившись
к простейшему примеру. Пусть А обозначает множество, состоящее
из двух чисел: 0 и 1. Тогда А 4-А обозначает множество, состоящее
из трех чисел: 04-0 = 0, 04-1=1 и 14-1=2, тогда как мно-
жество 2А состоит только из двух чисел: 2-0 = 0 и 2-1 = 2.
Заметим еще, что, полагая в соотношении (53)	= z2 = z =/= 0,
мы получим:
Lnl = Lnz — Lnz.
Это — верное соотношение; но правую часть здесь нельзя заменять
нулем, так как речь идет о множестве всех разностей между парами
значений логарифма одного и того же числа. Это множество состоит
из всевозможных целых кратных числа 2ш, тйк что в соответствии
с истиной имеем:
Lnl=2fou (А = 0, ±1, d=2, ...).
Переходя к рассмотрению однозначных ветвей логарифма, найдем
сначала области однолистности функции z — ew, для которой лога-
рифм является обратной функцией.
19. ЛОГАРИФМ
111
Так как все значения w, в которых ew принимает данное значе-
ние z(z#=30 и z =# оо), даются формулой (24)
w = ln |z|4-* Argz
любого из них путем сдвига на вели-
то область однолистности показа-
и значения эти получаются из
чину -2&лг (k — ± 1, dz2, ...),
тельной функции не должна со-
держать ни одной пары точек,
одна из которых может быть по-
лучена из другой путем подоб-
ного сдвига.
Проще всего удовлетворить
этим условиям, взяв какую-нибудь
прямолинейную полосу g0, парал-
лельную действительной оси и
имеющую ширину 2к:	< v <
< ®o + 2«-
Наряду с ней мы получим еще
бесконечное множество областей
однолистности gk\ Vq 4~ 2&л < v <
< v0 + (2£ + 2)к (k= ± 1,
±2,...).
Очевидно, каждая точка плос-
кости w будет либо внутренней
для одной из областей gk, либо
общей граничной точкой для двух
областей gk и gk+l (черт. 31).
Образом каждой полосы gk в
плоскости z является одна и та
же область О, а именно угол рас-
твора 2л с вершиной в начале
координат. Границей области О
служит прямолинейный луч, вы-
ходящий из начала координат
под углом -и0 к действительной
оси.
В области О получаем бес-
конечное счетное множество раз-
Черт. 31.
личных однозначных ветвей функции Ln z. Каждая из этих ветвей Ьпл z
будет полностью характеризоваться тем, что ее значения должны
принадлежать определенной полосе gk. Впрочем, вполне достаточно
фиксировать значение функции Lnz в некоторой точке zQ об-
ласти G, так как из всех областей gk одна и только одна область gkQ
содержит точку •Wq.
Рассмотрим какую-нибудь ветвь логарифма
Lnft z = In | z 14- i Argfc zt
112 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
где Argft2 есть значение аргумента, удовлетворяющее условию
2&тг < Argft2 < тл0 —(2^ —|~ 2)ти.
(Это условие как раз и означает, что значения Lnkz принадлежат
полосе gft.)
Так как функция w=sLn^ осуществляет взаимно однозначное
и непрерывное отображение области О на полосу gk и функцией,
ей обратной, является z = ew, обладающая отличной от нуля про-
изводной во всех точках области gk, то по правилу дифференциро-
вания обратных функций Ьпд.2 также обладает производной, вычисляе-
мой по формуле
и V 1 _ 1 _ 1
\^kz) == (eWy ew z -
Точками разветвления функции Ln 2 являются нуль и бесконеч-
ность. В самом деле, когда z однократно описывает какую-нибудь
окружность с центром в начале координат (сколь угодно малого или
сколь угодно большого радиуса), значение Arg 2, непрерывно изме-
няясь, отправляясь от какого-либо начального значения Argfe20,
получает по возвращении в исходную точку приращение ± 2тс
(в зависимости от направления обхода окружности), и, следовательно,
ветвь
Lnftzx=ln|z|-H Argfcz
переходит в другую ветвь
Lnfc ± 1 z = In | z | + i (Argft z -±. 2n) = In | z | +1 Argfc ± i z.
Очевидно, описывая окружность сколько угодно раз в одном и
том же (например, в положительном) направлении, мы каждый раз
будем получать новые ветви
Lflfc+i	Ьпл+2 z, Ьпл+3 z, ...
и, следовательно, никогда не вернемся к исходной ветви Lnfc2. По
этой причине точки разветвления 0 или со называются здесь точ-
ками разветвления бесконечного порядка, или лога-
рифмическими точками разветвления.
Области более общего типа, чем О, в которых возможно выде-
ление однозначных ветвей Ln 2, получатся, например, если в пло-
скости z провести какую-нибудь жорданову кривую Г', соединяющую
точку 2=5=0 с точкой 2 = оо. Образами этой кривой В ПЛОСКОСТИ Ю
при отображении w = Lnz будут жордановы кривые^ у'(£ = О,
z±z 1, ±2, ...), разбивающие плоскостью на бесконечное множество
криволинейных полос gk с границами, составленными из пар кривых
Та и Та+1 • • • В области О', границей которой является кривая Г',
мы получим счетное множество однозначных ветвей Ln 2: (Ьп2)л,
каждая из которых отображает О' взаимно однозначно на соответ-
ствующую область gfk.
20. ОБЩИЕ СТЕПЕННАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ	111
Любую из функций (Ln z)n можно получить из любой другой
функции (Ьп,г)ш путем прибавления соответствующего целого крат-
ного от 2~/.
Для производной от (Ln*)ft имеем прежнюю формулу
/т v 1
<Ln4 = 7-
Независимость последнего результата от выбора ветви Ln* позволяет
писать вообще:
(Ln *)'==у,
понимая левую часть как производную от произвольной однознач-
ной ветви Ln z, выделенной в области, заключающей данную точку
20. Общие степенная и показательная функции. В этом пункте
мы рассмотрим- общую степенную и общую показатель-
ную функции, а также логарифм при произвольном
основании. Предварительно мы должны выяснить понятие степени
с произвольным показателем.
Пусть а — произвольное отличное от нуля число. Если п— число
целое, то, как мы знаем, ап определяется соотношением
ап~ | а |п [cos (я Arg a)-|-Z sin (n Arg а)].
Если г — произвольное рациональное число, равное —, где q — число
Q
р
натуральное и дробь у несократима, то аЛ имеет q различных зна-
чений, получаемых из формулы (см. п. 2 главы I)
Р	Рг ,	ч	.	ч «1
аЛ =|я|4 jcos^y ArgaJ-j-Zsin^y Argan.
Эта формула охватывает и случай целого показателя.
Пусть теперь р—действительное иррациональное число. Фикси-
руем произвольное значение с? = Arg а и рассмотрим последователь-
ность рациональных чисел гп, сходящихся к р. Последовательность
определенных значений аГп
| а |'« [cos (rn Arg а) + i sin (rn Arg a)],
очевидно, сходится к определенному пределу
| a |L [cos (р Arg sin (p Arg a)],
который мы и примем за одно из значений а9. Чтобы получить все
значения степени а9 с иррациональным показателем р, будем прида-
вать Arg а в полученном выражении все возможные значения.
8 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
114 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Так как два различных значения pArga различаются на число
вида 2&ртс, которое не может быть целым кратным от 2к (k— целое
число, не равное нулю, и р — иррациональное число), то все значе-
ния ар, соответствующие различным Arg а, различны между собой.
Итак, мы определили степень а* для случая, когда а есть произ-
вольное действительное число. Все значения степени заключаются
в формуле
аа = | a |^[cos(a Arg a) + f sin (а Arg а)].	(54)
Мы получаем одно значение степени в случае, когда а есть целое
число, несколько, а именно q, различных значений в случае, когда
а есть рациональное число, представимое несократимой дробью
и, наконец, бесконечное (счетное) множество различных значений в слу-
чае, когда а — иррациональное число.
Для того чтобы определить понятие степени а* в случае любого
комплексного показателя а, заметим, что формула (54) может быть
представлена в виде
. аа «= I [cos (а Arg sin (а Arg а)] ==
= ехр (а In | а 14~Arg а) = ехр (а Ln а).
Правая часть этой формулы имеет смысл не только при а действи-
тельном, но и при любом комплексном а. В соответствии с этим по-
ложим, по определению, для любого комплексного а:
а* = ехр (а Ln а).	(55)
Очевидно, при а мнимом все значения аа, соответствующие раз-
личным значениям Ln а, или, что то же самое, соответствующие
различным значениям Arg л, также различны между собой. а Действи-
тельно, два различных значения a Ln а различаются на число вида
Зша, которое при а мнимом не может быть целый кратным от
Заметим, что степень с произвольным показателем, вообще говоря,
не подчиняется ни правилу сложения показателей при умножении
степеней, ни правилу умножения показателей при возведении степени
В степень. Именно, если ни для какого целого k число ах(1 —k)—
не является целым, то
• а** = ехр (04 Ln а) • ехр (а2 Ln а) = ехр (04 Ln а 4- Ln а)
4 ехр [(04 4- а2) Ln а] ==
Аналогично, если ни для какого целого k число р — ka$ не является
целым, то
(а*)Р е= [ехр (a Ln а)р = ехр [р (а Ln а 4- 2£iu)] 4
4 ехр (ра Ln а)==
20. ОБЩИЕ СТЕПЕННАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ	115
Поясним примерами определение степени:
1V2 = exp (}/Л2 Ln 1) = exp((2to’y’2) = cos (2^У2) 4-sin (2^к У*2)
(£ = 0* ±1, ±2,...);
2) ez = exp (z Ln e) — exp [z (1 + 2£ш)1 = exp 2 exp (2fot/z)
(£ = 0, ± 1, ±2,...).
Отсюда видно, чго лишь одно из значений степени е* совпадает с exp z.
Другие значения суть exp z exp 2nlz, exp z exp (—2itiz) и т. д. В частности,
лишь одно из значений ех {х— действительное число) совпадает с действи-
тельным положительным числом ехр х. Другие значения таковы: ехр х ехр 2т:/х,
ехр х ехр (—2тих),... Их будет конечное число при х рациональном и беско-
нечное множество различных значений при х иррациональном.
Тем не менее мы в нашем курсе пользуемся привычным из курса анализа
пониманием символа е* как -совпадающего с ехр г. Такое употребление мно-
гозначного символа вполне аналогично обычному в анализе пониманию сим-
п
вола V а (а— действительное положительное число) как единственного поло-
жительного («арифметического») значения радикала.
3) 1* = ехр (Z Ln Z) = ехр р	I — 2£я/^ = ехр £(4Л — 1) J = е (4к ) 2
(£ = 0, ±1, ±2, ...).
Таким образом, все значения степени if суть действительные положитель-
ные числа, среди которых имеются и сколь угодно большие и сколь угодно
малые.
Опираясь на определение степени, можно рассматривать следую -
щие две многозначные функции:
z* и а*.
Первая из них — степень с произвольным показателем — опреде-
лена вообще только при z =А 0.
Если а есть действительное целое число, то za представляет
рациональную функцию частного вида. Она определена тогда и при
z «= 0, где имеет нуль (если a > 0) или полюс (ёсли a < 0). В случае,
когда a—действительное рациональное нецелое число: а = ^-(^—на-
туральное число и дробь несократима), za может быть представлена
в виде
Q.__
z* = VzP .
Это — многозначная, а именно ^-значная функция. Для нее точки
z — 0 и z = оо служат точками разветвления порядка q — 1. В любой
области G, полученной из расширенной плоскости путем проведения
жордановой кривой, соединяющей точки разветвления, можно вы-
делить q различных однозначных дифференцируемых ветвей функ-
ции. Эти ветви непрерывно переходят одна в другую при обходе
8*
116 ГЛ. Ш. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
точкой z кривых, окружающих начало координат (или бесконечно уда-
ленную точку).
Если, наконец, а не есть действительное рациональное число
(т. е. а — действительное иррациональное или произвольное мнимое
число), то функция z* бесконечнозначна. Все ее значения заключены
в формуле
Z* = exp (a Ln z).
Для нее также точки г=0иг=оо являются точками разветвления.
Но теперь это точки разветвления бесконечного порядка.
В самом деле, при однократном обходе точки z = 0, например
в положительном направлении, значение Arg г, непрерывно изменяясь,
увеличивается на 2тг, поэтому значение aLnz изменяется на 2-rcZa,
а значение функции z* приобретает множитель ехр(2к/а)#= 1.
Обратимся к общей показательной функции яг(я#=0). Она опре-
делена при любом конечном значении z формулой
az = exp (z Ln a).
Чтобы получить определенную однозначную ветвь, достаточно
фиксировать одно из значений Ln а = Ь.
Предполагая, что это сделано, мы получим однозначную и всюду
дифференцируемую функцию exp(Z?z). Беря все возможные значения
Ln а, получим все возможные однозначные ветви функции az. Так как
два значения Ln а различаются слагаемым вида 2^Z, то две ветви
функции az различаются множителем вида ехр(2£-/г), представляю-
щим также однозначную всюду дифференцируемую функцию, при-
нимающую значение 1 только для действительных и целых значений z.
Однако в рассматриваемом случае ветви многозначной функции будут
существенно отличаться по своему характеру от ветвей всех ра-
нее рассмотренных нами многозначных функций. А именно во всех
прежних примерах существовали такие точки расширенной пло-
скости (точки разветвления), двигаясь вокруг которых по замкнутым
жорданоьым кривым и заставляя значения функции (определенной
ветви) непрерывно изменяться, мы имели возможность непрерывно
перевести одну ветвь в другую.
Здесь эта возможность исключена именно потому, что каждая
ветвь представляет функцию, непрерывную и однозначную во всей
конечной плоскости. По какой бы мы замкнутой кривой ни двигались, по
возвращении в исходную точку получим то же самое исходное число z
(пусть с другим значением аргумента), а следовательно, и то же
самое значение функции ехр(£г) (Ь—фиксированное значение Ln а).
Таким образом, многозначная функция az не имеет ни одной точки
разветвления и ее однозначные непрерывные ветви не могут непре-
рывно переходить одна в другую. Все это позволяет смотреть на них
как на самостоятельные, не связанные друг с другом, однозначные
20. ОБЩИЕ СТЕПЕННАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ	117
всюду дифференцируемые функции, а следовательно, целые функции:
exp(zlna), ехр [^(1п а + 2-Z)], ехр[г(1пя — 2тг/)], . . .
То обстоятельство, что все эти различные целые функции могут
быть представлены как ветви одной бескойечнозначной функции az,
имеет для нас не большее значение, чем тот, например, факт, что
функции sin z и —*\x\z можно рассматривать как ветви двузначной
функции У 1—cos2 г или гиперболические функции shz и ch г рас-
сматривать как две ветви двузначной функции у [ехр г-{~Уехр(—2z)\.
(Обращаем внимание читателя на то, что функции У1—cos2 z и
у [expz-|-V^expC—2z)], так же как и функция я^не обладают точ-
ками разветвления.)
Фиксировав одну из ветвей функции z = aw = ехр (6-w), где b
является одним из значений Ln а, мы можем рассматривать функцию,
обратную по отношению к этой ветви. Получим, очевидно:
w = yLn^ (b = In а 4- 2Z?07tZ).	(56)
Эта функция отличается от- Ln z только постоянным множителем у .
Так как из соотношения (56) следует, что
z — ехр (bw) = aw (одно из значений
то w можно рассматривать как логарифм z по основанию а.
Итак, мы определяем логарифм произвольного комплексного числа-
по некоторому основанию а (а — комплексное число, отличное от нуля)
посредством формулы
где в знаменателе фиксировано одно из бесконечно многих значе-
ний Ln а (одно и то же значение b для всех z).
Это определение требует, таким образом, не только указания
основания а системы логарифмов, но и фиксации одного из значе-
ний Ln а.
Поясним сказанное примерами.
1)	а = е. Если фиксируем значение Ln#, равное единице, то получим;
Loge z = Ln г.
Это и есть обычное определение натурального логарифма. Но мы могли бы
взять значение Ln е, равное, например, 1 + 2л/. Тогда имели бы:
Ln г
118 ГЛ. HI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Читатель легко проверит, что при таком определении из всех действитель-
ных положительных чисел одни только числа вида ек (k — целое число) имели
бы по одному действительному значению натурального логарифма.
2)	а = 10. Беря значение Ln 10, равное 2,302585 ... = х ••• «тг,
0,43429 М
получим:
Log10 z = М Ln z = 0,43429 ... Ln z.
Это определение десятичного логарифма произвольного комплексного числа
z(z^ty согласуется с обычным определением десятичных логарифмов действи-
тельных положительных чисел. А именно, если z = х > 0, то, беря главные
значения логарифмов, будем иметь:
1g х =s 0,43429 ... In х.
3)	а—\, В этом случае при определении логарифма с основанием 1
по формуле (56') нельзя пользоваться главным значением Ln 1, равным нулю.
Возьмем значение Ln 1, равное 2тс/. Тогда, по определению, будем иметь:
т	Ln^ .	I 1 . ,
Lo^z=-2^r=Ar^-2^lnl^'
Отсюда следует, что все значения Log1(? являются действительными, если
|г| = 1, и мнимыми, если 1 -г* | #= 1. Следовательно, действительными логариф-
мами при основании, равном единице, обладают те и только те числа, кото-
рые изображаются точками единичной окружности. Для этих чисел значения
логарифма совпадают со значениями их аргументов. Итак, Arg г для комплекс-
ных чисел с модулем единица совпадает с логарифмом z при основании, рав-
ном единице.
21. Обратные тригонометрические функции. В этом пункте
мы остановимся на обратных тригонометрических функциях Arccosz
и Arctgz. Функция w=Arccosz определяется посредством урав-
нения
	z = cosw.	(67)
Заменяя exp (Zw)	exp (Zw) + exp (— lw) cosw через ——— • 2 			 и полагая = Л перепишем уравнение (57) в виде	для сокращения (58) (59)
откуда и	Z	2 /2 — 2^+ 1 = 0	
	t = z~{-Vz2 — 1.	(60)
Так как оба корня квадратного уравнения (59) отличны от нуля
(их произведение равно единице), то уравнение
exp(Zw) = /
имеет корни (относительно неизвестного w). Получаем:
w = у Ln£= — Ln^ + V^2— 1).	(61)
21. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	Ц9
(Заметим, что все эти выкладки уже производились нами в п. 14
этой главы.)
Итак, многозначная функция we Arccos z выражается через лога-
рифм и квадратный корень
w === Arccos z = у Ln(z4~]/z2 — 1).	(ВЗ)
Ее точками разветвления являются прежде всего точки	В самом
деле, при однократном обходе точкой z какой-нибудь замкнутой жордановой
кривой, заключающей внутри лишь одну из этих точек, одно из значений
— 1 заменяется другим, отличающимся от первого знаком. При этом
значение z-f- / г2 — 1 = /, являющееся корнем квадратного уравнения (59),
заменяется другим корнем того же уравнения, равным у (мы уже указы-
вали, что произведение обоих корней равно единице.) Следовательно, от зна-
чений w = у Ln t мы переходим к значениям у Ln у, наверное отличным
от исходных, если только t =£ у. Но t может равняться у только при t = ±1;
как видно из (59) или (60), это возможно только при z = ± 1. Так как обхо-
димые нами жордановы кривые не проходят через точки z==± 1, то указан*
ный случай Не может встретиться, и мы действительно можем утверждать,
что значения w«Arccos z изменяются в результате отмеченных обходо».
Итак, точки ± 1 являются точками разветвления для Arccos z. Они обязаны
своим существованием присутствию в формуле (62) квадратного радикала.
Но формула (62) имеет вид w = yLn/ (^ = г+/г24-1), и мы можем еще
ожидать точки разветвления, соответствующие двум точкам разветвления для
Ln /: t« 0 и / == оо.
Мы знаем из п. 14 этой главы, что каждому однократному обходу точ-
кой t окружности с центром в начале координат соответствует в плоскости z
однократный обход точкой z эллипса с фокусами ± 1 и обратно.
Итак, однократному обходу точкой z эллипса с фокусами ± 1 соответ-
ствует изменение Arg/ на ±2те и изменение у Ln / на ±2к. Так как такой
эллипс может принадлежать любой, наперед заданной окрестности точки
z =? оо, то она является точкой разветвления для Arccos z и притом беско-
нечного порядка.
Конечно, обход любого эллипса с фокусами в точках dz 1 можно рас-
сматривать так же как обход вокруг точки z = 0. Но ни один из этих эллип-
сов не лежит целиком в окрестности |z|<p, где р<1.
Покажем, что ни точка г - 0 и никакая вообще точка z0 расширенной
плоскости, за исключением указанных выше (z =» ± 1 и z == со), не может
быть точкой разветвления для Arccos г. В самом деле, формула (60) дает для
z^Zq два различных значения: /^ и /^, отличных-от 0, ± 1 и со и удовлет-
воряющих условию/'Zq = 1. Можно взять настолько малые окрестности Ur
и Un этих точек, чтобы они не заключали точек 0 и оо и чтобы ни U\ ни Ua
Порознь не содержали двух точек Zt, /2> удовлетворяющих условию /^ =® 1-
В самом деле, если точка /' не лежит на единичной окружности, например
|/ф | < 1, то и точка /'' не лежит на этой окружности и |/" | > 1. В этом слу-
чае достаточно взять окрестности, одна из которых ([/') целиком лежит
внутри единичной окружности, а другая (Urr)— вне окружности (черт» 3?).
120 ГЛ. III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если же tQ лежит на единичной окружности и находится, например, в верх-
ней полуплоскости, то = -i- также лежит на единичной окружности и при-
том в нижней полуплоскости. В этом случае достаточно взять одну окрест-
ность ((/') в верхней полуплоскости, а другую (U") — в нижней полуплоскости.
В каждой из окрестностей U' и U" функция z = [t будет однолист-
ной (она принимает одно и то же значение только в парах точек, связан-
ных соотношением	1) и, следовательно, будет взаимно однозначно
Черт. 32.
отображать Uf и U" на некоторые области g' и g" плоскости z, содержа-
щие внутри точку zQ (образ центров t'Q и окрестностей U' и U").
Будем брать окружности \z — г0| = р с центром в z0 столь малыми,
чтобы они содержались как в области g', так и в области g". Очевидно, все
окружности с достаточно малыми радиусами удовлетворяют этому требова-
нию. Тогда в силу отображения (58) такой окружности будут соответствовать
замкнутые жордановы кривые / и у", по одной в окрестностях Uf и U".
Ни одна из этих кривых не содержит внутри точки О. Поэтому, когда z
обходит окружность | г — z01 = р, t обходит либо кривую / (соответственно
одной ветви функции (60)), либо кривую (соответственно другой ветви
гэункции (60)). Если фиксировать значение Arg/ в какой-нибудь точке у'
или 7") до обхода, то оно, изменяясь непрерывно, вернется в результате
обхода к прежнему значению (именно потому, что ни у', ни у" не содержат
внутри точки / = 0). Поэтому в результате обхода вернется к своему исход-
ному значению и значение Ln / = Arccos z.
Итак, точка Z& отличная от + 1 и оо, не может быть точкой разветвле-
ния для Arccos z.
Для того чтобы получить какую-нибудь область плоскости z, в которой
возможно выделить однозначные непрерывные ветви Arccos z, нужно соеди-
нить между собой точки разветвления этой функции жордановыми кривыми.
Возьмем, например, бесконечный сегмент А действительной оси, соединяю-
щий точки — 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку. Этот сегмент А
является границей некоторой области G.
21. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	121
Из того, что нам известно о функции (58), следует, что эта функция
отображает на область G взаимно однозначно как верхнюю, так и нижнюю
полуплоскости t. В свою очередь функция w = — Ln / отображает каждую
из них на полосы плоскости w, параллельные мнимой оси и имеющие ши-
рину к, а именно верхнюю полуплоскость — на полосы
(2k — 1) те < и < 2kn	(k = 0, ±1, ± 2,...)
и нижнюю полуплоскость — на полосы £2к:
2Ь<и<(2^+ 1)те.
Итак, образами области G в плоскости w являются указанные полосы gn.
Чтобы фиксировать какую-либо* однозначную ветвь Arccos z в области G,
достаточно указать, какой именно из полос gn принадлежат ее значения.
Так, получаем ветви: Arccos0z, Arccost<?, Arccos-^,... Впрочем, достаточно
фиксировать значение Arccos z в какой-либо одной точке области G, напри-
мер в начале координат. Тогда та полоса gn, куда попадает это значение, и
определит собой всю ветвь Arccos z.
Однозначные ветви Arccos z можно определять, конечно, и во многих
других областях плоскости z. Укажем, например, область Gf, граница кото-
рой состоит из конечного сегмента о действительной оси, соединяющего
точки — 1 и 4-1, и из положительной части мнимой оси, или область (7',
граница которой состоит из того же сегмента о и отрицательной части мни-
мой оси.
Предлагаем читателю выяснить, на какие области плоскости w отобра-
жают Gr или G" соответствующие этим областям однозначные ветви функ-
ции Arccos z.
Перейдем к рассмотрению функции -ш —Arctgz, обратной по
отношению к функции z = tgw. Выражая tgw через sin w и cos w
и, далее, через показательную функцию, получим:
__ 1 — __________ 1 — 1
z Т eiw + e-vu)	Т е*й» 4-1 ’	' '
или, полагая e2iw — т:
i Tfl’
откуда
1 4“
т 1 — iz’
и, наконец,
Итак, Krctgz выражается через логарифм от дробно-линейной
функции
w = Arctgz = Д-Ln,	(64)
Zl 1 IZ
122 ГЛ. HI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Предлагаем читателю убедиться в том, что Arctg,? имеет только две
точки разветвления: ± /. Простейшими областями, в которых можно выделять
однозначные ветви Arctg.?, будут область Z), границей которой служит беско-
нечный сегмент А мнимой оси, соединяющий точки разветвления 1 и 4"
и область d, границей которой является конечный сегмент б, соединяющий
те же точки.
Читатель легко убедится, далее, в том, что однозначные ветви Arctg-z
в области D отображают эту область взаимно однозначно и конформно на
полосы шириной тс, параллельные мнимой оси:
kn — ~ О<Ь: у (& = 0, ±1,...),
а однозначные ветви этой функции в области d отображают d на подоб-
ные же полосы #7с<&<(&+1)я-
ГЛАВА IV
РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Пусть {wn= un-^-lvn} —
последовательность комплексных чисел. Выражение
^1+'®2 + «’з+'-(О
ОО
или, коротко: 2 называется рядом, числа w2, w3, ... —его
i
членами, суммы sn =	. -|-wn (п = 1, 2,...) — ча-
стичными суммами ряда. Если последовательность частичных сумм
сходится, то ряд называется сходящимся, а предел последова-
тельности limsn=s — суммой ряда; в этом случае пишут:
п -> оо
оо
2	= s. Если последовательность частичных сумм расходится, то
1
ряд называется расходящимся. Очевидно, что эти определения
включают как частные случаи известные определения для рядов с дей»
ствительными членами. Замечая, что
п	п
1	1
и что соотношение lim sn = s эквивалентно двум соотношениям:
П -> СО
П	п
lim ^uk = Res = о и lim ^vk — 1ш$==т, заключаем, что схо-
Н -> CO 1	п -> оо 1
димость ряда с комплексными членами эквивалентна одновремен-
ной сходимости рядов, составленных соответственно из действа-
оо	оо
тельных и мнимых частей данного ряда*. ^ип и 2
1	1
Применяя к последовательности {$я} общий критерий Коши, полу-
чаем следующий общий критерий сходимости рядов: ряд (1)
сходится тогда и только тогда, когда для любого в > 0 существует
такое Л/(е), что неравенства | sn+p—sw| < е выполняются при я >
и любом натуральном р. Как частный случай (р= 1) получаем н е об-
124 ГЛ. IV. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ходимое условие сходимости ряда lim == 0, т. е.
п “> оо
lim wn=0.
П -> оо
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится
оо
ряд модулей его членов S I I-
1
Из общего критерия сходимости рядов вытекает, что каждый
абсолютно сходящийся ряд сходится. Что обратное предложение
неверно, следует уже из известного примера сходящегося, но не абсо-
оо
лютно сходящегося ряда с действительными членами	••
1
Из двойных неравенств
\ип Н
I	+ KI
I ип I J
сю
вытекает, что абсолютная сходимость ряда 2 эквивалентна одно-
1
оо,	оо
временной сходимости рядов S | ип I и	т- е- абсолютной схо-
1	1
со	оо
димости рядов 2 ип и S Следовательно, на абсолютно сходя-
1	1
щиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что
произвольное изменение порядка Членов не влияет на сумму ряда.
Судить об абсолютной сходимости ряда (1), т. е. о сходимости ряда
ею
S|wn|, можно на основании любого признака сходимости рядов
1
с неотрицательными членами, например признака Коши {ряд абсо-
п ___________________________
лютно сходится, если -у |	| < q < 1 при п п0) или Даламбера
[ряд абсолютно сходится, если
^*1'•	< 1 при п^пУ.
Заметим, наконец, что сумма или разность двух сходящихся рядов
оо	со
и ^‘w"n=s'f выражается сходящимся рядом
оо
w") = s'±:s".
При дополнительном условии абсолютной сходимости данных
рядов ряд
S (« 4-	+ • • • +
2. ТЕОРЕМА КОШИ---АДАМАРА
125
также абсолютно сходится и сумма его равна s's". Последние пред-
ложения доказываются для рядов с комплексными членами точно
так же, как и соответствующие предложения для рядов с действи-
тельными членами.
2. Теорема Коши — Адамара. Степенной ряд
«о+«1(2 — *о) + • • • +ап(г — 2о)”4- ..	(2)
где а0, av . . ., ап, . . . —фиксированные комплексные числа, a z—ком-
плексное переменное, является простейшим примерохМ функционального
ряда, т. е. ряда, члены которого суть некоторые функции от z.
Такой ряк, вообще говоря, сходится при одних значениях z и рас-
ходится при других. Сведения о том, где это происходит, дает сле-
дующая теорема Коши—Адамара:
----------- п ----
Если lim У | ап | == А *), то при А = 0 ряд (2) абсолютно схо-
дится во всей плоскости, при А = оо он сходится только в точке
z = zQu расходится при z zQ, наконец, в случае, когда 0 < А < оо,
он абсолютно сходится в круге К : | z— zQ | < ~ и расходится
во внешности этого круга.
_________________________________________________________ п __
Доказательство, а) Пусть сначала А = 0. Тогда lim у |ап| =
п ______ у------------------------------------------------
= limУ | ап|=0 и, следовательно, для любого z lim У | ап 11 z—zo|/l==O.
со
В силу признака Коши отсюда следует сходимость ряда 2 [anllz—
о
т. е. абсолютная сходимость ряда (2).
б) Пусть А=оо. Тогда существует возрастающая последователь-
knf_________________________________
ность индексов {&п} такая, что У|а^|->оо. Поэтому для любого
kn г	k^	-
£=/=z0 имеем: у | а^п ||z—г0| п = у |а*я 11 z—z0| -► оо, а это
означает, что la^ffz—20| и->оо, т. е. для ряда (2) не выполняется
необходимое условие сходимости.
в) Пусть 0 < А < оо. Если z = z§, то все члены ряда (2), начи-
ная со второго, обращаются в нуль и, следовательно, ряд абсолютно
сходится. Если z Zq, причем точка z лежит внутри круга А, то
*) Число А(—со С А -J- оо) называется верхним пределом
последовательности действительных чисел {ап} : А == lim aw, если выполнены
п -> оо
следующие два условия:	\
1) для каждого А' > А существует N такое, что ап < А' при п > А;
2) существует подпоследовательность {а }, сходящаяся к А.
«п
В курсах анализа доказывается (см., например, Фихтенгольц, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, изд. 3-е, Гостехиздат,
1951, п. 42), что каждая последовательность обладает конечным или беско-
нечным верхним пределом.
126 ГЛ. IV. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ» СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
О'2	А
можно положить: |z—z0| =-д~, где 0 < 6' < 1. Так как Д' =	> А,
то в силу свойств верхнего предела существует такое Nlt что
V|an|<A' при n>AfP Тогда v\anHz— .г0|п < А'♦ |z —z0| =
A 6'2 А, . 1	и
= и <1 при п > Д/р откуда по признаку Коши вытекает
абсолютная сходимость ряда (2).	1
Наконец, если z лежит вне круга /С, то \z— z0| =	(0 < 6 < 1).
В силу свойств верхнего предела существует возрастающая после-
кп __________________________________________
довательность индексов {kn} такая, что у \а^ [ —> Л, поэтому
к_________________ п
у 1%Пг —г0Г”->Л|г—г0|=т> 1-
Следовательно, |	11z— z0| w-+oo, т. е. для ряда (2) не выпол-
нено необходимое условие сходимости.*
Круг с центром z§ и радиуса — ^внутри которого степенной ряд
сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется кру-
г» 1
гом сходимости степенного ряда, а число /? =» у — радиусом
сходимости.
Эти определения распространяются и на крайние случаи: Л=0
(/? =е оо) и А = оо (/? = 0). В первом из них круг сходимости
есть вся конечная комплексная плоскость и внешность его — пустое
множество; во втором случае он вырождается в точку z§ и внешность
его представляет всю плоскость, за исключением точки z0.
В случае, когда 0 < А < -|- оо, имеем еще окружность схо-
димости ]z—z0 | = /? = у. В ее точках степенной ряд может
вести себя по-разному (в смысле сходимости).
со
— (« — действительное число). Здесь
1
____п/~Т
А = lim V ~ х= lim л п =» 1 и, следовательно, радиус сходимости 7? == 1.
п->оэ'^ап-»оо
1^п I 1
— = —; поэтому при а > 1 ряд абсолютно
сходится во всех ее точках, а при расходится. Пусть теперь 0<а<1.
Тогда в точке z ~ 1 ряд будет расходитсся; покажем, что он сходится во
всех других точках единичной окружности. Действительно, если z = е®
(0<6<2я), то
у — = е{ (п+1) о I У !--------------------!-----1 +
& Г	1	3 1(п +; + 1)“	(n+/ + 2)»J	{п+рУ
п+1
8. АНАЛИТИЧНОСТЬ СУММЫ
СТЕПЕННО!^ РЯДА
127
где	е)п-/+1А
1__(4+1) 9	..в Sln 2—
®у= ! + «/9+ ••• +«*№ = —t _--е— =	------g---.
sin у
Так как |	|< -- * е , то
sln 2
ff>-2
< _J_ j V r__J_________________!____] + . L...
sin|(^0L(n+j + i)’ («+;+ 2)“_Г(п+р)“
п+р
п+1
Отсюда и
— -------------, _> 0, /7 —> CO.
siny(n+l)a
следует сходимость данного ряда при | z | = 1 и £ =£ 1.
Итак, степенной ряд может сходиться во всех точках окружности
сходимости, может расходиться во всех ее точках и, наконец, может
сходиться в одних и расходиться в других ее точках.
Из теоремы Коши—Адамара как простое следствие вытекает
следующая теорема:
со
Первая теорема Абеля. Если ряд ^an(z~^o)W сходится
о
в точке zr zQ, то он абсолютно сходится в круге \z — z0|<
<|^i — z0|. В самом деле, из условия следует, что точка zY не
может лежать во внешности круга сходимости ряда. Поэтому она
лежит внутри него или на его границе. В обоих случаях круг
\z— zo I < I zi—*ol принадлежит кругу сходимости и, следовательно,
ряд абсолютно сходится в нем.
3. Аналитичность суммы степенного ряда. Покажем, что в круге
оо
сходимости ]z—z0| </? (/? > 0) степенного ряда ^an(z— z^n
о
сумма его f(z) является аналитической функцией, причем произ-
водная f'(z) может быть получена путем почленного дифферен-
оо
цирования ряда f'(z)=3^nan(z— Убедимся в том, что
1
радиус сходимости R' последнего ряда также равен R. Очевидно,
прежде всего, что он совпадает с радиусом сходимости ряда
_____________________ п	1 ________ п 	 ___ п __
£}Пап(х — z0)n. Но lim у п\ ап\ = lim пп lim y|an| = limj/|o„|,
О	п -> оо_п ОО п -> оо_п -> оо
-- W	_	--- п ___
поэтому R = ( lim у п | ап ] ) = ( lim у | ап | ) — R.
и -> оо	п -> оо
Пусть — какая-либо точка круга |z—z0| </?; возьмем точку С
так, чтобы —20|<|С — z0| = p</?.
128 ГЛ. IV. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ч*
Так как ряд 2 Пап(у—	абсолютно сходится, то для любого
1
е > 0 неравенство
S JI d} I Ру-1 < «
1
оо
выполняется при у^п0(е)=п0. Полагая ^nan(z—	= ср (z),
1
будем иметь при z #= zv |z— г0|<;р:
00
ОО
Zj »«n(A—Zq)”
1
со
S — ^о)П 1Ч~(£ — ^o)W 2(^1—^o)+ • •• + (X—zo)n ll —
1
По
an {(? — zQ)n 1	• • •
1
* • • 4“ (Z1 — ^o)n	tl (zt zQ)
co
4-2 2"IIp”-1*
na+ 1
Первая'величина стремится к нулю, когда z—>zv поэтому она
будет меньше в при \z — zj < 8 (в); последнее слагаемое меньше 2в
в силу выбора п0.
Итак,
|/(гХ-/(л) — ?(gi)l<3s ПрИ |z—-zJC^e),
I	^1	I
откуда и следует справедливость теоремы.
оо
Применяя эту теорему к сумме ряда ^nan(z—Zo)n~l = f'(z),
1
получаем, что f'(z) также является аналитической функцией в круге
\z— z0|</?, причем /"(z)=2n(n — l)anO— zQ)n'2. Повторное
2
применение этой теоремы приводит к следующему выводу:
оо
Сумма степенного ряда ^an(z— zQ)n = f(z) бесконечно диф-
0
ференцируема в круге сходимости \z — z0| </?(/? >0); производ-
ная люоого порядка р получается путем р-кратного почленного
3. АНАЛИТИЧНОСТЬ СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА	129
дифференцирования ряда	\
/О>) (z) = 2 (n— 1) ... (« — Р + 1)ап(z—z0)n~P =
О
= 2 п(п— 1) ... (п— p-\-V)an(z — z^n~p.
п-р
Полагая здесь z—zQi найдем:
fW(z0) = p(p — 1)... 1 • ар,
откуда
Этот результат верен и для р=0, если считать /(°>(z) = /(z)
и 0!= 1. Поэтому степенной ряд можно переписать в виде
О
Последний ряд называется рядом Тейлора функции /(z).
Мы доказали, следовательно, теорему:
Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходи-
мости является рядом Тейлора для своей суммы.
оо	оо
Пусть ряды ^an(z— zQ)n и ^bn(z— z^n имеют одну и ту же
о	о
сумму f(z) в окрестности | z — z0| < р (р > 0) точки zQ. Тогда, по
доказанному, будем иметь:
=	(« = 0,1,2,...),
т. е. соответствующие коэффициенты двух рядов равны между собой.
Это предложение выражает свойство единственности разло-
жения в степенной ряд.
В качестве примера применения доказанного свойства установим
вид степенных рядов, расположенных по степеням z и представляю-
щих соответственно четные или нечетные функции от z.
Пусть функция
/(•*) == «0 + «1* + а2*2 + • • • + V” + • • •
— четная, т. е. /(—z)=f(z). Тогда сумма данного ряда совпа-
дает с суммой ряда
'/(— z)== а0—а^4-a2z2+ . . . +(— 1 )nanzn-|- ..
откуда по доказанному
an = (-l)nan (« = 0,1,2,...).
9 Зак. *1636. А. И. Маркушевич
130 ГЛ. IV. РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ* СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
При п нечетном получаем ап = —aiv откуда 0 (п = 1,3, 5,...)
и, следовательно,
/О) = ^0 + а2^ +•••-+-	+ • • •
Аналогично покажем, что в случае, когда f(z)— нечетная
функция, т. е. /(—z) =—f{z\ все коэффициенты с четными инде-
ксами должны обращаться в нуль и, следовательно,
/С?) = axz	a2m_xz2^ + . . .
Мы доказали выше, что сумма каждого степенного ряда есть ана-
литическая функция. Впоследствии мы сумеем доказать, что каждая
аналитическая функция разлагается в степенной ряд в некоторой
окрестности ее точки аналитичности. Это позволит распространить
на все аналитические функции свойства сумм степенных рядов, уста-
новленные в этом пункте.
4. Равномерная сходимость. Понятие равномерной сходимости
рядов с действительными членами и основные их свойства распро-
страняются и на ряды с комплексными членами. Именно ряд
где функции fj(z) определены на множестве Е, называется равно-
мерно сходящимся на множестве E1czE, если он сходится на
Et и для каждого е > 0 неравенство
всех точках Ег при n>N(e).
S fj (*)
12+1
£
выполняется во
со	п	оо
Полагая S fj (^)=/(«), S fj (z)=Sn (*) и S fj (*) = /(г)- (z)=
1	1	n+1	-
= Rn(z), можно представить это условие в виде
sup I Rn (г) I 8 ПРИ ^>А/(е), или iim sup | Rn (z) | = 0.
п -> оо z£El
В случае, когда ряд сходится на Е1г но не равномерно, имеем:
lim Rn(z)— 0, z£Elt но lim sup | Rn(г) | либо не существует, либо
п -> оо	п со z^E{
отличен от нуля.
Условие равномерной сходимости можно представить также в виде
п+р
п+1
< £
во всех точках Et при	и любом натураль-
ном р. Отсюда получаем следующий признак равномерной
сходимости (признак Вейерштрасса): если ряд 2 ип
с постоянными положительными членами сходится и | fn (z) | ип,
оо
?£EV n^Nv то ряд 2/. (z) равномерно (и абсолютно) схо-
1
4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
131
оо
дате я на Ev Применим этот признак к степенному ряду 2 an(z—zo)n >
о
радиус сходимости которого R > 0; покажем, что в каждом круге
где г < он сходится равномерно.
Пусть zr—точка круга сходимости, лежащая вне круга | z — z0|<7.
Тогда r<	—z0| =p<R и, следовательно, неравенство | an(z—z0)n\
^\an(zr—^о)72! выполняется в каждой точке круга |z — £0|О.
Но ряд с постоянными членами ]an(z1—z0)v | сходится, поэтому ряд
со
^an{z— zQ)n равномерно сходится в круге \z — (r < R)-
о
Покажем, что существуют степенные ряды, сходящиеся неравномер-
но в круге сходимости. Простейший пример такого ряда — геометри-
^2,	1 — gn+t
ческий ряд 2 гП- Здесь R=l, Sn (z) =. 1 + z + ... + zn = —ZZ------,
о	z
/(^=1^, M =	и ]г8ир1|/?п(г)| = |г8ир11г-7Г= 4-co
при любом п, т. е. условие равномерной сходимости не выполнено.
С другой стороны, существуют степенные ряды, равномерно сходящиеся
оо
__	V ?п
в замкнутом круге сходимости. Примером может служить ряд
1
1гп| 1
Здесь R = 1 и kj2 рС jja ПРИ	по признаку Вейерштрасса заключаем,
что ряд равномерно сходится в замкнутом единичном круге.
Отметим, что на равномерно сходящиеся ряды комплексных функ-
ций без изменений распространяются формулировка и доказательство
известной теоремы: если функции fj(z) непрерывны на Е и ряд
со
^Sfj(z) ровномерно сходится на Е, то сумма ряда f(z) также
непрерывна на Е.
9*
ГЛАВА V
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
1. Интеграл от функции комплексного переменного. Пусть
L—спрямляемая кривая комплексной плоскости и z~\ (0=*(0 + (У(0
— ее уравнение*). На L можно выбрать одно из двух
возможных направлений: одно соответствует возрастанию, а другое —
убыванию параметра t. Выбрав произвольно одно из них, будем
в дальнейшем понимать под символом L данную кривую с фиксиро-
ванным направлением; ту же кривую с противоположным направле-
нием обозначим через —L. Пусть для определенности выбранное
направление соответствует возрастанию параметра t. Тогда точку
20=Х(а) назовем началом, a zr = Х(Р) — концом L. Каждой системе
значений t: tQ = а < tr < t2 < ... < tn = [3 соответствует разбиение Т
кривой L на дуги /0, ..началом дуги 1к служит точка
а концом zk+1 = X (tk+l) (zn = z'). Если
=/(г) — zz (%, y)4-to(x, у) — функция, однозначная и непрерыв-
ная на Л, то, выбирая в каждом сегменте tk^t ^tk±x по одному
значению параметра t = rzk, получим на каждой дуге 1к по одной
точке СЛ=Х(тЛ), в которой и будем брать значение функции f(z)
для построения комплексной интегральной суммы
п-1
2 f(^k)(zk+i— соответствующей данному разбиению Т. Полагая
о
для краткости /(Ck)=efe + lv(£й, -»]Л) = uk-£lvk, zk+l — zk=*
= (^й+1 —^Ч-КЛ+х—=	+ получим:
П-1	n—1 '	п —1
S /(Cft) (zk+i — zk) = S (“к Lxk—vk Ьук) + i 2 (Vk bxk + uk byk).
о	о	0
Очевидно, что действительная и мнимая части комплексной инте-
гральной суммы сами являются интегральными суммами для пары
действительных функций от х и у, вводимыми в анализе при опре-
*) Определение спрямляемой кривой см., например, в книге Г. М. Ф и х-
тенгольц, Основы математического анализа, т. I, п. 199, Гостехиз-
дат, 1955.
1. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
133
делении криволинейного интеграла вида J Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy,
L
первая сумма построена для пары функций й(х, у) и —v(x, у) и
данного разбиения Т кривой £, вторая — для пары v(^, у) и а(х,у)
и того же разбиения. Так как каждая из функций любой пары не-
прерывна на L, а сама кривая — спрямляема, то по известной тео-
реме анализа *) суммы эти стремятся к конечным пределам
J й(х, y)dx — v(x, y)dy и J v(x, y)dx-±-u(x, y)dy для любой
L	Ь
последовательности подразделений Г, удовлетворяющих условию
& = тах(^—tQi t2— tv	tn —	Пределы эти, как изве-
стно, не зависят от рассматриваемой последовательности подразде-
лений и выбора точек Со,	на дугах каждого подразде-
ления. Итак, существует предел
„	п-1
lim 2 /С*й) (^л+1
8->0Й = 0
== j” и (х, у) dx—v (х, у) dy + I J v (x, у) dx «(x, y) dy.
l	L
Предел этот называется интегралом от функции /(z) вдоль
кривой L (в выбранном направлении) и обозначается символом
J f(z)dz:
L	*
Hm 5 /(Q(^+i — zk)= f/(z)dz.
6->0й = 0	У
L называется также путем или контуром интегрирования.
Из определения следует, что интегралы от f(z) вдоль L и —L
связаны соотношениями
/ f(z)dz= — J f(z)dz.
-L	L
Примеры, а) Пусть /(z) = l, тогда интегральная сумма
S	—(г*+1 —	=zn — г0 = г' — z9,
к=0	А:=0
следовательно, dz = zr — г0. В частности, когда L — замкнутая кривая,
i
т. е. zr == г0:	dz^ 0.
L
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. Ш, Гостехиздат, 1949, п, 560.
-434 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО (ПЕРЕМЕННОГО
б) Пусть /(г) = г, тогда, полагая — ^к (& = 0, 1, 2, .п — 1), полу-
п — 1
чим интегральные суммы	+ i — zkY Если положить ^ = ^+1
к — 0	_
(£=0, 1, 2, ..и—1), то интегральные суммы примут вид 2 **+1 (^fc+t—2к)-
к = 0
Так как они имеют общий предел, то и их среднее арифметическое должно
иметь тдт же предел j* z dz\
L
п-1	п-1
zdz= lim у V +	— ^)== Нт 4 У (4-м ~ 4) =
»/	о -> 0	6 -> 0
L	к-0	к-0
= 8И“ 4 4- го) = у (г'2 -
Если L — замкнутая кривая, то снова получаем: J г^г = 0.
L
\	С dz
в) Вычислим еще интеграл	-----, где окружность | z — а | = р •
j z d
\2- <2[ = р /
проходится в направлении против часовой стрелки. Уравнение окружности
можно представить в виде 2’ = а4~р^ (0</<2тс). Выберем подразделение
“Ь ^к+1 2As -j-
tlt = и положим еще	= Л_А_2£±1 = —_*— л	= о, 1, 2,..., п — 1),
2kr.i	(2к + 1)пг
тогда Zk == а + ре п и Cfc = а + ре п . Соответствующие интегральные
суммы примут вид
п -1
у_______L—
(2S + 1) —
° Ре . п
р\е
2 (fe + l) кг
п
2ктЛ'
— e n .
кг
кг • тЛ \
п п ]	, тс
— е ) = n2l sin—,
п
V -е
О
следовательно,
= lim 2nl • sin ~ = 2л/ .
J Z d п -> оо	Я
\z-a | = р
интегралов. Из известных свойств криволинейных
J Р(х, y)dx-4-Q(x, y)dy как следствия вытекают
2. Свойства
интегралов вида
соответствующие свойства интеграла J* f(z)dz. А именно:
L
с р . р г ,
I- J 5 ckfk(z) = 2 с\| fk^dz-,
L k==1	k-1 l
п. J f(z)dz= 2 f(z)dz.
Z<i + -b$4- • • • '\~L д	J ” 1 JLy
2. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
135
Здесь £х-4-£2 + . .. -f-£а °^означает кривую, составленную из дуг Lj
так, что конец Lj совпадает с началом Lj+1 (J = 1, 2, . .., q—1).
Весьма часто приходится оценивать сверху модуль интеграла.
Для модуля интегральной суммы получаем оценку
s7(Q(^+1—zk) <"s i/о ।	-^i •
к =0	& = 0
Очевидно, что |zk+l—zk\—длина хорды, соединяющей точки zK
и zk±v поэтому |^+1—длина 1к = <зк и, следовательно,
2ЖЖ+1-^)
& = 0
п —1
< 2 №) I ч
к = о
Переходя здесь к пределу при условии, что 8=тах (^ —/0,
..tn—/п_!)->0, получаем:
III.
J f(z)dz
L .
< J 1/(2) |rf3.
L
В правой части здесь фигурирует криволинейный интеграл вида
j* f(p)d<5, где о—длина дуги, отсчитываемая от начала L до про-
L
извольной ее точки в выбранном направлении. Если
(г££), то из найденной оценки выводим более простую, но в общем
случае менее точную:
IV.
J j\z)dz
L
/И • дл. L.
В частности,
IV'.
f(z)dz < sup |/(г) | • дл. L.
Отметим еще следующую формулу почленного инте-
грирования ряда:
Эта формула справедлива, например, при следующих условиях:
оо
функции fn(z) (п=1, 2, 3, ...) непрерывны на £ и ряд fn(z)
1
равномерно сходится на £, Доказательство точно такое же, как и
для функций действительного переменного. Известные из общего
курса анализа примеры показывают (в частном случае, когда £ есть
отрезок действительной оси и все функции fn (z) = fn (х) принимают
136 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
действительные значения), что одной лишь сходимости ряда недо-
статочно для того, чтобы формула V была справедлива.
3. Сведение к вычислению обыкновенного интеграла. Пусть
L — гладкая кривая; это' означает, что для нее можно указать
параметрическое представление
(а </< р)
такое, что X (/) имеет непрерывную и не обращающуюся в нуль на
сегменте [а, р] производную V(/) = х' (/)+ ty'(0- Геометрически
гладкая кривая характеризуется тем, что в каждой точке она обла-
дает касательной, причем угол наклона касательной к действительной
оси (равный ArgX'(f).) непрерывно изменяется, когда точка касания
перемещается по кривой.
' Для интеграла J P(x, y)dx-\-Q(x, y)dy> взятого по гладкой
L
кривой, в курсе анализа выводится формула
J* Р(х, y)dx-}-Q(x, y)dy —
L
3
= J { Р [х (t),~y (01 x' (0 + Q [x (О, у (OJ y' (0) dt,
a
J
сводящая вычисление криволинейного интеграла к обыкновенному.
Следовательно,
J f(z)dz = У udx— vdy-\-i $ vdx-^-udy^
L	L	L
3
=	(0, y(t)]x'(t) — v[x(t), y(f)\y'(t')\dt+
a
+ i J {V lx (0. у (01 x' (0 4-«[x (t), у (01 у' (0} dt.
л
Заметим, что обыкновенный интеграл У f (t)dt можно рассматривать
a
как частный случай комплексного интеграла У f(z)dz, определен-
L
ного в п. 1: здесь L представляет отрезок действительной оси, про-
бегаемый в направлении от а к |3, а f(z) принимает действительные
значения. Поэтому к интегралам в правой части последнего равен-
4. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ	137
ства можно применить свойство I п. 2. Получим:
3
J f(z) dz = J \и [х (0, У (0) (0 — v [х (0, у (0] у' (0 +
L	«
4- iv [х (0, у (0] х' (0 4- 1и [х (0, у (0] у' (0} dt =
= J { и [х (0, у (0] 4- iv [х (0, у (0]} [х' (0 4- iy' (0] dt.
а
Очевидно, что u[x(t), у (/)]	iv [х (/), у (0] = f [А (01 и х'(/) +
-\-iy'(t)— Х'(0» поэтому получаем окончательно:
J f(z)dz=-f f[k(t)lX'(t)dt.
L	а
Эта формула сводит вычисление комплексного интеграла к вычисле-
нию обыкновенного интеграла (от комплексной функции).
Пример. Рассмотрим интеграл J	(окружность проходится
|г-а | = р
в направлении против часовой стрелки). Здесь уравнение кривой интегриро-
вания таково: z = ai peif (0 < t < 2тс) и \r	1реи. Следовательно,
2к	2тс
|2-а | = р	о	о
Конечно, этот результат совпадает с результатом п. 1.
4. Интегральная теорема Коши. В этом пункте мы приступим
к доказательству центральной теоремы теории аналитических функ-
ций комплексного переменного. *
Интегральная теорема Коши. Если G — односвязная
область конечной плоскости и f(z) — однозначная аналитическая
в этой области функция, то для любой замкнутой спрямляемой
кривой, лежащей в области, интеграл от f(z) вдоль L равен
нулю'.
J f(z)dz~Q.
L
Заметим, что эта теорема может быть легко выведена из уравнений
Даламбера—Эйлера и формулы Грина при добавочной гипотезе,
что производная f'(z) непрерывна в G. В самом деле, формула
Грина
J Pdx + Qdy= J J
I	D
138 гл. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
где D — внутренность замкнутой жордановой спрямляемой кривой £,
выводится обычно при следующих предположениях:
а)	любая прямая, параллельная координатной' оси? пересекает L
не более, чем в двух точках (исключения допускаются лишь для
двух крайних положений в направлении каждой оси, где возможно
пересечение по прямолинейному отрезку);
б)	Р, Q, и непрерывны в замкнутой области D. Считая,
что L удовлетворяет условию а), и замечая, что из непрерывности
гГ, ч ди , .dv dv .ди	ди ди dv
f ^^д-х + ^х-д-у-1^ ВЫтекает непрерывность gp
dv f
и (и, конечно, также самих функций и и v), получаем:
j	| (udx — v
 L	I
(-и dx + и dy) ~
Выражения под знаками двойных интегралов ' обращаются в нуль
в силу уравнений Даламбера—Эйлера
du dv dv  ди
дх	ду' дх	~ду'
поэтому
J/(г) dz = 0.
L
В дальнейшем мы убедимся в том, что производная аналитиче-
ской функции всегда является аналитической и, следовательно, не-
прерывной. Но вывод этот будет опираться на интегральную теорему
Коши. Желая избегнуть «логического круга», мы должны поэтому
дать доказательство последней теоремы, не предполагающее непре-
рывности /х(z). Такое доказательство впервые было дано Э. Гурса
и затем упрощено А. Прингсхеймом.
Доказательству мы предпошлем лемму, в силу которой общий
случай спрямляемой кривой будет сведен к простейшему случаю,
когда L есть контур треугольника.
Лемма. Если функция f(z) непрерывна в односвязной
области G и для любого треугольного контура Д, содержащегося
в G, Jf(z)dz = 0, то тогда Jf(z)dz=0 и для любой замкну-
Д	L
той кривой L> содержащейся в G.
Доказательство. Пусть сначала L есть замкнутый много-
угольник* Р. Если число его вершин п > 3 и Р не имеет самопере-
сечений, то существует диагональ MN, принадлежащая внутренности
4. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
139
многоугольника (за исключением точек Л4 и /V, лежащих на Р) и
рассекающая внутренность Р на два многоугольника MNAM и
NMBN (черт. 33), каждый из которых имеет число сторон меньше
чем п (докажите!). Так как
J f{z)dz —	f(z)dz-\- J f(z)dz
MNAM	MN	NAM
J f(z~)dz = j‘f(z)dz-i- J f(z)dz,
NMBN	NM	MBN
TO
| f(z)dz+ J f(z)dz = J /(z)dz-(- J f(z)dz=~ff(z)dz.
MNAM	NMBN '	NAM	MBN	P
Если утверждение леммы верно для многоугольника с числом
вершин, меньшим п, то отсюда следует, что оно будет верно и для
многоугольника с п вершинами. Но по условию оно выполняется для
треугольников. Следовательно (по индукции), оно выполняется для
любого многоугольника без самопере-
сечений.
Рассмотрим, далее, многоугольник
Реп вершинами, имеющий само-
пересечения (черт. 34). Будем двигаться по нему в заданном
направлении, начиная от точки Ло, до тех пор, пока некоторая сто-
рона не встретит в первый раз одну из ранее пройденных сторон.
В нашем примере—это сторона А3А4, пересекающая сторону 4^
в точке В. Тогда замкнутый многоугольник ВА1А2А3В не будет
иметь самопересечений и, следовательно, по доказанному
j"f(z)dz= J f(z)dz-j- J f(z)dz— у f(z)dz.
Р	ВА^А^А^В	А0ВА4АвАвА7А3	АдВА^А^АаА7А^
Число вершин нового многоугольника Л0ВЛ4ЛбЛ6Л7 меньше п, так
как мы ввели здесь лишь одну новую (по сравнению с Р) вершину В
140 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и отбросили вместе с BA1A2AzBi по крайней мере, две вершины
первоначального многоугольника. Необходимо отметить, однако, одну
возможность, не предусмотренную предыдущим рассуждением.
Иллюстрируем ее на примере многоугольника Л0ВЛ4ЛбЛ6Л7. Если
двигаться по нему/ начиная от Ло, в направлении, определяемом ука-
занным порядком вершин, то на пути от А4 до Лб будут встречаться
ранее пройденные точки стороны ВА4, причем ни одна из этих точек
самопересечения не будет первой. В этом случае следует выделить
двуугольник ВА4В, интеграл по которому, очевидно, равен нулю;
получим:
J f(z)dz~ J f(z)dz+ J f{z)dz= J f(z)dz.
Ao-BA^-AgA^Ay-Ao	BA±B	AjBA^AeAjAo	AqBAqA^AjAq
Число вершин последнего многоугольника на единицу меньше числа
вершин предыдущего, так как вершина Л4 отброшена и никакой
новой вершины не введено взамен.
Итак, во всех случаях многоугольник с самопересечениями можно,
не изменяя значения интеграла, заменить другим с меньшим числом
сторон. Следовательно, и здесь можно завершить доказательство
рассуждением по индукции, начиная с треугольника (для двууголь-
ника, представляющего прямолинейный отрезок, проходимый дважды в.
противоположных направлениях, предложение, очевидно, справедливо).
Пусть, наконец, L — произвольная замкнутая, спрямляемая кри-
вая, принадлежащая О. Рассмотрим какую-нибудь ограниченную
замкнутую подобласть Е области G, содержащую L; пусть для опре-
деленности Е есть множество всех точек, расстояние которых от L не
превосходит некоторого 8 > 0 (8 должно быть меньше расстояния
между L и границей О).
Функция f(z), непрерывная на Е, равномерно непрерывна на нем,
и для любого э>0 можно указать р>0 такое, что |/(Q—/(С2)]<8,
если |СХ—С2| <Р и & (7=1, 2). Фиксируем на L в определен-
ном направлении (направлении интегрирования) точки zQf zlfzn=zG,
разбивающие ее на дуги/0, /р ..., так, чтобы max дл.
У==0,1, ...» п—1
< min(8, р). Соединяя каждые две точки Zj и Zj+l (7=0, l,x..,n—1)
отрезком прямой pj, получим хорды кривой Ц так как дл. р^дл.
то все pj содержатся в множестве Е. Совокупность этих хорд соста-
вляет замкнутую ломаную Р, вписанную в L ц принадлежащую Е.
Так как, по доказанному, $ f(z)dz— 0, то
р
f dz
L
л-l	л —1
S I /(*) — S I dz
PJ „
n—1
2 \f(z)dz—
i-0 ,J
J f{z)dz .
pi
б. ПРОДОЛЖЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
141
Замечая, что
j* / (Zj) dz—f {Zj) (zJ+1 —Zj)= | / (Zj) dz,
pi
получаем:
j f(z)dz — f/(z)dz < J [f(_z)~f(z$ dz + J[f(z)~/(zj)] dz <
V • pi	pi
<sup |/(z)—7(z,)| дл. /,+ sup |/(z)—/(^-)| дл. Pj.
Но любые две точки дуги Ц или хорды отстоят друг от
друга менее чем на р, поэтому
sup |/(z)—/(^)|<e, sup |/(Д)— f(Zj)l <9
Jf(z)dz— f f(z)dz
Ъ	pi
< e (дл. l} + дл. pj) < 2a дл. lj.
Следовательно,
L
n -1
f (z) dz 2з 2 Дл- Ч == 2a • дл. L,
j=o
откуда вследствие того, что а произвольно мало, вытекает, что
j* f(z)dz= 0.
L
5. Продолжение доказательства. Итак, для доказательства
интегральной теоремы Коши достаточно доказать ее для случая,
когда L есть контур Д какого-либо треугольника, принадлежащего
области G. Положим	1
J f(z)dz ==Л4>01
нужно доказать, что Л1 == 0. Разобьем Д на четыре треугольника
Д1, Дп, Дш и Д1У, соединяя отрезками прямых середины сторон Д
(черт. 35). Замечая, что
142 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
получим:
откуда
мере, один из модулей
М
4
и следовательно, по крайней
не меньше
Обо-
значим через Дх тот из треуголь-
ников Д1, Дп, Дш, Д{У, для которого
J J\z)dz
Повторяя для Дх те же рассуж-
;	дения, которые выше были про-
ведены для Д,-найдем треугольник Д2 — один из четырёх треуголь-
ников, на которые треугольник Aj разбивается прямолинейными от-
резками, соединяющими середины его сторон,—такой, что
j f(z)dz
До
М_
> 42 •
Таким путем мы можем придти к последовательности треуголь-
ников Д, Др Д2,..Дл>. • из которых каждый принадлежит пре-
дыдущему (мы обозначаем одним и тем же символом Дп и контур
треугольника и замкнутую область, им ограниченную; из контекста
ясно, что каждый раз подразумевается под Дп). При этом

д
4п
и
дл. Д„ =
ДЛ. An-t
2
дл. Д
2п
Используем теперь аналитичность f(z), Все треугольники Aj(A0 —Д)
имеют общую точку С, принадлежащую замкнутой области Д, а сле-
довательно, и области О.
Так как f(z) дифференцируема в этой точке, то для любого
е > 0 существует о > О такое, что
|	ПРИ |г—С|<8.
*
6. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 143
Положим
«(*.	-/Щ),
S
тогда
Ж - /(0 + /' (0 {z -:) + a (z, С) (z - С),
где |a(z, С)|<е при \z— £|<8.
Если п достаточно велико (я^>п0), то треугольник Дп, содержа-
щий С, 8удет содержаться в круге \z — С|<8, поэтому, замечая,
что J* dz= fzdz = 0 (см. п. 1), получаем:
Лп '
I	= | / [/(Q +Г (С) (*-£)+«(*> С)(г-С)]^| =
лп	Ап
== |/(0 J dz-\-f'(ty J	jrfz+ J a(z> Q(z-:)^| <
Д •	Д	Д	Д
n	n	n	n
< 8 sup | Z — Г, | ДЛ. Д„ < e (дл. Д„)2 = 8	.
4
Сравнивая оценки снизу и сверху, найденные
для | {f&dz
найдем:
М . (дл. Д)3
4?г	£	47г
откуда
М<е(дл. Д)2.
Но е произвольно мало, следовательно, 7И = 0, чем и заканчивается
все доказательство. *	•
6. Применение к вычислению определенных интегралов. В первых
работах Коши его теорема служила средством вычисления различных опре-
деленных интегралов от функций действительного переменного (главным
образом несобственных интегралов). Чтобы дать понятие об этих приложе-
ниях теоремы Коши, вызвавших к жизни самую теорему, приведем три
примера.
сю
1.	Интегралы Френеля: J cos ;2d$
о
и J sin £2 d£.
о
Для. вычисления этих встречающихся в теории диффракции интегралов
рассмотрим вспомогательную функцию комплексного переменного f (z) =
144 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Функцию эту можно рассматривать как сложную функцию P(z) = ср [/(z)],
где f(z) = Zz2, и ср (С) = А Отсюда по правилам дифференцирования слож-
ной функции следует, что P(z) дифференцируема во всей плоскости, причем
dP(z) iz*
—= Size . Следовательно, к ней при-
менима интегральная теорема Коши.
Возьмем линию В черт. 36 в каче-
стве контура интегрирования. Она со-
стоит из отрезка ОА положительной по-
луоси длиной 7? (7? — произвольное по-
ложительное число), дуги АВ окружности
радиуса 7? с центром в начале координат
и отрезка, ВО биссектрисы первого коор-
динатного угла. Угол АОВ равен, таким
образом, ~. В силу интегральной тео-
ремы интеграл J ег^ d£ равен нулю-
L
=	J	| ?<’йК = О.
i	ОА	АВ	во
На ОА С равно действительному числу Поэтому = d$ и
R
(/?) = J Л = J eiV di.
ОА	0
Ha AB C = 7? (cos cp/ sin ср), где ср меняется в пределах от нуля до
Поэтому
Р = /?2 (cos 2<р +1 sln 2<р) (о < 2<? < 4) •
= 7? (— sin ср i cos ср) dy = Z7? (cos ср -|-1 sin ср) dy
и
те
Т
У2 (/?) = J e^dZ = J* exp [Z7?a (cos 2cp -f-1 sin 2cp)] /7? (cos cp -f- z sin cp) dy.
AB	о
(те	те \
cos-^- -f-1 sin — 1, где p меняется от R до нуля.
Поэтому
С2 = р2 (cos ~ + Z sin-^ = ip2, . dC = (cos -|- i sin dp
и
о
J3 (7?) s J* d^sa f (cos -j- + I sin dp v
bo
R	_ л
= — (cos + I sln J dp Xp41 + /) [ dp.
О	о
6. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 145
Заставим R неограниченно возрастать. J$(R) будет стремиться при этом
к пределу
оо
-Х^(1+0 j e-parfp = _l^(i + Z),
о
так как
оо
о
Покажем, что J2(R)-+0 при	Для этого оценим модуль |
Имеем:
7
I Л (#) I < Я J* I ехР (cos 2? + Z sin 2<р)] | • | cos 7 -f~1 sln ? I
о
Здесь
| exp [z/?2 (cos 2<p +1 sin 2c?)] | = exp (— R* sin 2<p) и | cos + Z sln ? I = 1;
*) В самом деле,
(*)
Впишем в квадрат с центром в начале координат, со сторонами, параллель
ными осям координат и равными по длине 2/?, круг k, а также опишем
около этого квадрата круг К. Тогда в силу положительности подынтегральном
функции
R R
J “т'а d£ dq < Р р-;аdl df\ < J	dri
к	-R -R	К
или, заменяя прямоугольные декартовы координаты $ и д полярными р и ср
и пользуясь, формулой (а):
2к R .	R	2п R V7
е~ рас dp dy.
оо	о	оо
Выполняя интегрирование и извлекая квадратный корень из всех чле jo j
неравенства, найдем:
У < 2 J е-^‘ di < V«(\-e-2Ra),
о
откуда
R	со	_
lim 2 Г	или f e^adi=—^.
R->oo J	j	z
0	. и
10 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
146 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
поэтому
п
4
1«4 (Я) | < Я J ехр (- Я2 sin 2?) d<t-
О
2	7С
Но sin 2? > — • 2? при 0 < 2с? < у *).
Следовательно,
к
,	Г /	4	\	ехр(--1/?2<р
I /3 (Я)| < Я ехр - £	d<? = R------:
« V
откуда и вытекает, что
lim J2(#)=:0.
R -> оо
4 тс 1 — е
~ Т /?
о
Наконец, рассмотрим
'	R	R	R
jt (Я) = J di = J cos £ di + i J sin 52 di.
0	0	0
Так как (/?) + *4 (Я) + *4 (R) = ° при любом R, то Jt (R) = — J2 (R) —
-J3(tf)H
lim Л(Я) = - lim /2(Я)- lim J3 (Я) =	(1 + 0.
B-»oo	R -> oo	B->oo
t. e.
R	' R	—
cose2<fi + z J sin $2 di) =	(1 + /).
0	0
Отсюда следует, во-первых, что существуют интегралы
оо	R	оо	R
f cos S2 di = lim f cos £2 dt и Г sin $2 d^ == lim f sin J2 dl
J	R -> oo J	J	й -> w
0	0	0	о
*) В самом деле, функция 7(а)=-~—• убывает в интервале ^0,
так как ее производная
.... a cos а — sin а COS а (а — t-g а) . п
/(«) =-------3---------------------<°
л л „	„ z ч , / те \	^.те sin а. 2
приО<а<-^. Поэтому /(а) >/(“2”)’ если	т‘ е<	ИЛИ
sina>4a
те
Это неравенство переходит в равенство при a == 0 или a = .
6.	ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 147
и, во-вторых, что
00	оо
J cos ем? = J =
о	о
2. Интеграл
+оо
J cos (2Х«х) dx (Х>0, а>0).
—оо	—
Для его вычисления будем интегрировать функцию / (г) == по кон-
-туру, L прямоугольника, изображенного на черт. 37. Так как эта функция
дифференцируема во всей плоскости, то к ней применима интегральная тео
рема. Следовательно,
f <rx^ =	f	e-™dZ+ f	<ГХ^С + f	f	^Л = 0.
i	ab	вс	di)	DA
Ha AB
C .== x (— R < x	R) и dd~ dx,
поэтому

Ha BC
r = R + iy (0<y<«),	№ = R*2iRy — у2 и d^^idy,
поэтому
/2 = J е-™ Л = f exp [- X (/?a -f- l2Ry«- Я1 tdy =.
ВС	и
=» i J exp [— X (Я2 — y2)] exp (— 2Rly\) dy.
о
Ha CD
C==x + /a (/?> X > — /?), С2 = х2Ц-2/ах —«2 и d^z^dx,
10*
148 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
следовательно,
-я
J8= f = f exp [— k(x2-}-2Zax — &)]dx =
CD	R
+R
<	= — e^3 f exp (— kx2 — 2ia\x) dx =
-R~
+R
= — gU? f g-W [cos (2kax) — i sin (2kax)] dx.
-R
Наконец, на DA
C== —/? + Zy (a>y >0), C2 = /?2 —2/?Z>—>2 и dt = idy,
поэтому
0
Ji = Je-W dr. = J exp [— X (£2 — 2J?Zy — у2)] I dy =
DA	a
= — i J exp [—^ X (Z?2 __ y2)] eXp (2Riyl) dy.
о
Заставим теперь /? неограниченно возрастать. Тогда интегралы /2- и Л
будут стремиться к нулю. В самом деле,
1ЛI < /1 ехр [- X (Z?2 _ _у2)] I. I ехр (- 2Z/?Xy) | dy = f\‘x dy.
о	о
При /?>а получаем:
IJ21 < J ехр [- X (/?2 - «2)] dy = a ехр [- X (Z?2 - в2)] -> 0 (Я -> оо).
О
Точно так же
I4K J |ехр[—X(Z?2_y2)j |jexp2Z7?Xy \dy =
о
= j* ехр [— Х(/?2 — Я]^У->0	(7?->оо).
о
Интеграл при /?->оо будет стремиться к пределу
?4-со	'	4-00	__
(* ехр (— Хх2) dx =	[ ехр [—(У"кх)21 ^(У kx) = l/'-Д
J	у к J	ГА
—оо	—оо
4-оо
^так как J* е~& dx = У те; см. предыдущий примеру.
—оо
6. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 149
Наконец, из соотношения
Л + /з + «4 + Л = 9
выводим:
+оо
^iaa J* [cos (2кал) — i sin (2Хах)] dx =
—оо J
Сравнивая в этом соотношении действительные части, получаем:
+оо
№ | cos (2kax) dx =
—оо
3. Интеграл
оо
Г sin 5
—=—а;
J «
о
Возьмем вспомогательную функцию/(г) = —. Функция эта определена
в области Gt образованной всеми точками плоскости, исключая начало коор-
динат, и дифференцируема в этой области.
Беря контур интегрирования £, изображенный на черт. 38 (этот контур,
как и все точки его внутренности, лежит в односвязной области D, огра-
ниченной отрицательной частью мнимой оси), найдем по интегральной тео-
реме, примененной к функции /(г) = —:
На АВ С равно действительному числу Поэтому d& = dx и интеграл
R
J
АВ	г
R	R
Г cos с de, . f sin $
J ё н J
г	г
На BCD С = R (cos + I sin <f>) (0 < < к), поэтому
d\ R (— sin у + i cos dy == IR (cos -f- i sin <f>) dy
150 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
и
я
j св	f — f ехр [ZT? (cos ср 4 / sin ?)1 Ж (cos У + * sin ?)	_
3 e	J 4 . “J	R (cos cp 4- i sin cp)
BCD	о
я
=» i | exp (iR cos cp — R sfn cp) dy.
и
Ha DE С равно действительному числу 8, поэтому d^ = dk и
-г	-г	-г
т f ег^ dZ Г ег* dk f cos $ dk . . f sin $ dk
Js~ J —= J — = J ——+< J —5—
DE,	—R	— R	— R
Заменяя здесь переменную интегрирования $ на — получим:
R	R
/в=_ + /
Наконец, на ЕРА
С = г (cos ср -j- i sin ср) (п > ср > 0),
поэтому
d{ = ir (cos ср 4 i sin cp) tfcp
exp [Zr (cos cp 4 / sin cp)] ir (cos cp 4 / sin cp)
r (cos cp 4 i sin cp)
exp (ir cos cp — r sin cp) dy,
Заставим R неограниченно возрастать, при этом
&vp(iR
cos ср — /? sin cp) dy
будет стремиться к нулю. В-самом деле,
к	к
J ехр (iR cos ср — R sin ср) dy | < J ехр (~ R sin ср) dy
о	о
я/2	я/2
f	Г	/	9 \	1  	чг
«2 I ехр (— R sin ср) dy < 2 ехр(—R — ср) dy = т. -—
J	J	\ я /	R R
о	о
откуда и следует, что lim /2 =« О,
Л -> <?о
6. ПРИМЕНЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 151
Пусть, наконец, г стремится к нулю; найдем предел интеграла равного
к
— I J ехр (ir cos 9 — г sin 9) dy.
о
Так как функция ехр (iz) непрерывна в точке z = 0, где она обращается
в единицу, то для любого е > 0 можно указать такое Ь (е) > 0, что при
| z | = г < Ъ (е) будет выполняться неравенство
| ехр (iz) — 11 = | ехр (ir cos 9 — г sin 9) — 11 < в.
Отсюда вытекает, что
те
J* [ехр (i cos 9 — г sin 9) — 1] dy
Ks»
т.
Возвращаясь к основному соотношению
~~у •" = Л + Л + 4 + 4 = О,
выводим из него: 4- J3 = — J2 — Л или> пользуясь указанными выше вы-
ражениями для Jt и J3:
:	R
2Z J =
г
При /?-*оо и г->0 правая часть, как мы видели, стремится к пределу
— lim J2— lim J4 = nf. Следовательно, и левая часть стремится к тому же
R -> оо г -> о
пределу:
R
lim 2/ f ^2-^ dk = ni.
R -> co	J	*
r -> 0	r
R
Г sin 6
Обозначая hm I —— d$, существование которого мы доказали, через
,В-»оо J *
г->о г
J dit получаем окончательно:
о
оо
f sin £ , Я
J “Г = 2
9
152 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7. Интеграл и первообразная. Из интегральной теоремы Коши
вытекает, что интегралы от аналитической функции вдоль любых
двух кривых и L2 с общим началом zQ и концом z (черт. 39) имеют
равные значения. В самом деле, кривая L = £14-(—L2) является
замкнутой и, следовательно,
откуда
j f(z)dz = Jf(z)dz-j-f f(z)dz =
L	Tjl	——Tj-2
1^
Итак, интегралы от функции f(z), аналитической в односвязной
области Q, зависят только от начальной и конечной точек пути
интегрирования. Поэтому для интеграла вдоль произвольной спрямляе-
мой кривой L, соединяющей точки zQ и z, можно пользоваться обо-
2
значением Jf(z)dz. Мы будем называть z0 и z пределами ин-
Zo
тегрирования (соответственно нижним и верхним).
г
Фиксируя z& рассмотрим интеграл J f(z)dz как функцию верх-
Zj
него предела:
2
§ f(z)dz = F (z).
Покажем, что F (^) — аналитическая функция и что ее произ-
водная равна f(z). В интересах дальнейшего дадим этому предло-
жению более общую формулировку.
Теорема. Пусть f(z) — функция, непрерывная водносвязной
области О, для которой интегралы вдоль любых спрямляемых
кривых, принадлежащих области, зависят только от начальной
и конечной точек кривых.
Тогда интеграл
Z
F(z)= f(z)dz
Zj
является аналитической функцией, причем
F'(z) = f(z).
7. ИНТЕГРАЛ И ПЕРВООБРАЗНАЯ *
153
Доказательство. Рассмотрим какую-либо окрестность U
точки г: |Z>— z [ < р, принадлежащую области G. Пусть Laz G— ка-
кая-либо кривая, соединяющая z0 с z, и А — прямолинейный отрезок,
соединяющий z с какой-либо точкой z1 z, ^cU (черт. 40),
тогда
F(z)= $ f(z)dz, F(zl) — J f(z)dz = J f{z)dz+ J f(z)dz
L	L+k	L	X
и, следовательно,

р(С)^-/(г)(г1-г) f [/(С)-/(г)]Л
^-F^. _f(z) _ 1______________= 2-----------
Zx — Z J v }	zx — z	zx —z
В силу, непрерывности f(z) можно для л
радиус р окрестности U столь малым, чтобы
для любой точки выполнялось бы нера-
венство |/(С)—f(z)\ <s. Тогда будем иметь:
I F(zx) — F(z}	6 дл. А
---11---------< 77--------7Г " 3
I z\ —z	I I zx — zi
(так как lzt—^| = дл.А); отсюда и следует,
что
lim F(z.)-f (z) =	= F,
z^z	Zi — Z
Назовем функцию Ф(г), аналитическую в
некоторой области О, первообразной
относительно функции f(z) (короче:
первообразная от /(^)), если Ф'(z)—f(z) во
e > 0 выбрать
всех точках области.
z
При условиях доказанной теоремы можно утверждать, что J f(z)dz
z:) ь
есть первообразная от f(z). Покажем, что любая первообразная
от f(z) выражается формулой
z
Ф(г)= / f(z)dz-\-C,	(1)
где С—постоянное. Положим:
Z
«>(г) = Ф(2')— f(z)dz = и (х, y)-\-iv(x, у),
4 54 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
тогда
л/ \ ди dv dv . du ч z/ ч Л
откуда
du   dv   dv   ди Л
дх	дх	ду	' ду S
и, следовательно,
й(х, у)==С1, v(x, у) = С2,
т. е.
to (z) = и (х, y)-\-iv(x, y)^Ci~\-iC2=^ С.
Полагая в формуле (1) z=zQ, получим:
Ф(^0)х=С,
поэтому
Z
]7(г)<& = Ф(г)-Ф(г0).	(2)
Этот результат позволяет сводить вычисление интеграла от анали-
тической функции f(z) к отысканию какой-либо первообразной
функции.
Так, например, замечая, что в области — rc<arg£<> функция In г =
= In | г [ + * arg г является первообразной от /(*) = —, получим:
— = In z — Ini «= In г.
г
8. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда
функция не является аналитической на контуре интегрирования.
Интегральная теорема Коши обобщается в различных направлениях.
Пусть область G представляет внутренность жордановой спрям-
ляемой кривой Г и f(z) — функция-, непрерывная в замкнутой
области G й аналитическая в области G. Тогда можно, утвер-
ждать, что §f(z)dz = 0. Обобщение здесь заключается в том,
г
что f(z) уже не предполагается аналитической в точках кривой
интегрирования. Мы докажем это обобщение при дополнительном
условии, что каждый луч, выходящий из некоторой точки z0 £ О,
встречает L только в одной точке и что L состоит из конечного
' числа гладких дуг. Очевидно, что эти условия выполняются, когда L
есть выпуклый многоугольник (в частности, треугольник) или окруж-
ность.
9. ТЕОРЕМА О СОСТАВНОМ КОНТУРЕ
155
Пусть z = z0 4“ X (0 (0 С t С 2л) — уравнение £; X (/), по пред-
положению, обладает кусочно-непрерывной производной Х'(£). Под-
вергнем L преобразованию подобия в отношении р (0 < р < 1)
с центром Zq, получим замкнутую кривую £р: z = 2?o4~pX(O
(О -С t 2л), "лежащую в области G. По интегральной теореме
Коши
2~
J/(2)^ = J/{zo+p4OlpV(O^ = 0.
откуда
2я
J Лго-+-Р*(ОЩ(О<И==О.	,
о
Следовательно,
2тс
L	О
= I f {/ k0+A (Of—/ко 4- pA (01} A' (0 dt | <
0
2’
</ l/Ю 4-A(01—/ko4-pA(01l|A'(OI^.
0
Ho f(z) равномерно непрерывна в замкнутой области О, поэтому для
любого е > О
I/O')— /О")1<®> если \z' — //|<8(е), zr, z"
Обозначим верхние грани функций X(Z) и X'(f) на отрезке [0, 2л]
соответственно через X и X'. Тогда | [z04~X(f)]— fcoРМО)
^(1—р) X < 3(е), если 1—р <8(s)/X, и, следовательно,
| J< е . X' • 2л.
L *
В силу произвольности г‘отсюда вытекает, что
f(z) dz— 0.
i
9. Теорема о составном контуре. Пусть теперь/(z) — функция,
аналитическая в области G, не являющейся односвязной областью
конечной плоскости. Если L—замкнутая спрямляемая кривая, лежа-
щая в области G, то ее внутренность может либо принадлежать,
либо не принадлежать G. В первом случаев интегралу j f(z)dz
156 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
применимы без изменений все рассуждения, приведенные выше при
доказательстве интегральной теоремы Коши, и мы снова получаем,
что J f(z) dz = 0. Во втором случае эти рассуждения не удастся
L
применить до конца.
В самом деле, теперь мы уже не сможем утверждать, что внут-
ренность любого многоугольника, вписанного в Л, а также внутрен-
ность любого из треугольников, на которые этот многоугольник
может быть разложен, принадлежат области (7. Следовательно, мы
не сможем и опереться на существование производной от функ-
ции f(z) в некоторой точке С такого треугольника (сравните с п. 5
этой главы).
Простой пример функции /(£) = -?-, аналитической в области G, полу-
чающейся из конечной плоскости путем исключения начала координат (эта
область не является односвязной- в конечной плоскости), показывает, что
здесь существуют замкнутые спрямляемые кривые £, по которым f (z) dz^O.
L
Такой кривой будет каждая окружность с центром в начале координат,
так как ^- = 2ni ^0 (см. пример в) п. 1).
И=р
Покажем с помощью интегральной теоремы Коши, что в общем
случае функции f(z), аналитической в произвольной области G (вообще
многосвязной), можно свести вычисление интеграла по одному замкну-
тому контуру вычислению интегралов по другим замкнутым конту-
рам, лежащим внутри, данного. Точнее, пусть Г—замкнутая
жорданова спрямляемая кривая, лежащая внутри области G,
а Тр 72’ •••’ 7« — кривые, обладающие теми же свойствами и
расположенные во внутренности Г. Потребуем еще, чтобы каждая
кривая yj лежала во внешности любой другой кривой 7k(j, k =
= 1, 2, ..., п, j Ф k) и, наконец, чтобы многосвязная область D,
ограниченная кривыми Г, ур ..содержалась бы в G (черт. 41).
При этих условиях	•
= f f{z)dz-\- ... + f(z)dz,	(3)
т«	т»
где все пути интегрирования проходятся в одинаковых напра-
влениях, например против часовой стрелки,
” Для доказательства соединим жордановыми спрямляемыми дугами,
например ломаными, кривую Г с с у2, • • •» 7n-i с 7» и 7«
с Г так, чтобы эти дуги 8Р 82, ...» 8п+1 попарно не имели общих
точек и содержались бы в области D (за исключением концов дуг,
лежащих на границе D). Начальные и конечные точки дуг
8Р 82, ...» 8п+1 разобьют каждую кривую Г, ур ...» на две
9. ТЕОРЕМА О СОСТАВНОМ КОНТУРЕ
157
дуги, которые мы будем обозначать так же, как и всю кривую, но
с одним или двумя штрихами наверху. Эти штрихи можно рас-
ставить так, чтобы внутренность каждой из двух замкнутых жорда-
новых кривых, составленных соответственно из дуг Г', Зр у', 32,
Тг.....Т»> 8n+i и Г"’ 8»+1>	8».......71-	8i- принадлежала бы
области D, а следовательно, и G. Интегрируя f(z) вдоль этих
замкнутых кривых в направлениях, соответствующих выбранному
Черт. 41.
обходу кривой Г (см. черт. 41), и замечая, что при этом у', у"
будут проходиться в направлении, противоположном выбранному на
Yft(£==l, 2,	п), получим:
J	f(z) dz = j* f{z) rfz + J f(z) dz — J f(z) dz+
r' + \-/l+«2-T2+"--Tn+8n+l	Г'	°'	П
+ $ f(z)dz — J f(z)dz-\-   — f f(z)dz+ J/(г)г?г = 0,
°2	T2	4	0,1+1
J f(z)dz =
r"-6n+l-4-"--52-Vl-Sl
= ^f(z)dz— j*f(z)dz — J f(z)dz — ..
Г"	6	"
и + |	In
— J f(z)dz — J f(z) dz — J f(z) dz = 0.
oa	T»	6,
168 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Сложим почленно эти равенства, тогда интегралы по дугам 8Р ...» 8п+1
попарно уничтожатся, а интегралы по дугам Г' и Г", у' и
Ti ’ ’ • * * Тп и Тп попаРно дадут интегралы по соответствующим
замкнутым кривым. Следовательно,
f(z)dz — Jf(z)dz — ... — J j\z)dz = О,
(3')
что и требовалось доказать.
Вернемся к функции /(г) = ув области Ci: z Ф 0. Если Г — любая
замкнутая жорданова спрямляемая кривая, внутри которой находится начало
координат, а ? — окружность с центром в начале, содержащаяся внутри Г,
то по доказанному будем иметь:
A dz =	— dz = 2гЛ.
J Z J z
г
Доказанному общему результату можно придать иную форму.
Условимся рассматривать границу многосвязной области £>, состоя-
щую из отдельных кривых Г, fP y2> • • •» Тн» как °ДИН составной
контур L. Положительным направлением L будем считать такое,
при котором внешний контур Г проходится в направлении против
часовой стрелки, а внутренние ур ...»	— в направлений по часо-
вой стрелке. Иными словами, при положительном обходе составного
контура L внутренность D этого контура должна оставаться слева
от обходящего. Теперь выражение в левой части равенства (3Z)
можно условиться записывать в виде J f{z)dz. Тогда можно утвер-
L
ждать, что интеграл от f(z) вдоль составного контура L, при-
надлежащего О вместе с областью D, ограниченной этим кон-
туром, равен нулю.
Это предложение является, очевидно, распространением инте-
гральной теоремы Коши на случай составных контуров, принадле-
жащих многосвязным областям. Для удобства ссылок мы будем
называть предложение, доказанное в этом пункте, теоремой
о составном контуре.
10. Интеграл как функция точки в многосвязной области.
Теорема о составном контуре позволяет изучать интегралы от ана-
литических функций в многосвязной области. Пусть G—многосвязная
область и /(z) — функция, однозначная и аналитическая в ней.
Если J f(z)dz — Q для каждой замкнутой спрямляемой кривой, при-
ъ
надлежащей О (так будет, например, для функции =
10. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ТОЧКИ В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 159
в круговом кольце 1 < | z | < R, где R— любое число, большее
Z	~~
единицы), то к интегралу J f(z)dz можно применить все сказанное
* 2.)
в п. 7. Мы снова получим, что этот интеграл является однозначной
аналитической функцией — первообразной от
f(z). Допустим теперь, что в области G суще-
ствуют замкнутые контурр L (по крайней мере,
один), для которых f(z)dz =£ 0 (так будет,
L
например, для функции-j в области^ z =£ 0
или для функции у-ц-уз в области 1 -1~г2=£0,
т. е. z I и
1+^
z 4=—1\ в первом случае
во втором случае при г < 2
Черт. 42.
dz
= к,
\z-i\~r
для двух кривых
A(zq) и C(z), имеем:
J f(z)dz~ J f
А ВЕС	ABDC
i I г^=-4Тогда
АВЕС п ABDC (черт. 42),
соединяющих точки
BDC
L
ВЕС
z
следовательно, интеграл j* f(z)dz имеет, по крайней мере, два раз-
личных значения в точке г, т. е. функция F(z)= J f(z)dz является
*0
многозначной в области G.
Выясним характер этой многозначности на примере функции / (г) = у
в области G: г^О. Убедимся в том, что интеграл J ~ dz, где L CZ G — про-
в
извольная, спрямляемая кривая, соединяющая точки zQ = 1 иг, может быть
представлен в виде суммы интеграла вдоль какой угодно другой кривой /,
соединяющей те же точки и целого кратного значения интеграла вдоль жорда-
нова замкнутого контура 7, содержащего внутри точку 0 (не принадлежащую
области). Пусть £, / и у — контуры, указанные на черт. 43. Присоединим
к L дуги АВ и ЯС, проходимые при интегрировании по два раза в противо-
положных направлениях.
Получим:
J J
АаВА АВЬСА
A CD
160 ГЛ. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Каждый из двух замкнутых контуров, по которым берутся первые два
интеграла правой части, вместе с контуром ? образует составной контур.
Следовательно, по теореме п. 9
f dz ___ Г dz f dz f dz_
J z J	J J z
АаВА	у	АВЪСА	у
Далее, кривые l и DCA образуют замкнутый контур, внутренность
которого принадлежит области G, поэтому интеграл по нему равен нулю,
откуда
ACD	I
Итак,
L I	у
Это рассуждение носит вполне
общий характер’; для произвольной
кривой L будем иметь:
где п — некоторое целое число, которое может равняться нулю, а также
быть отрицательным (последнее —в случае, когда замкнутые контуры, по-
строенные в предыдущем рассуждении, проходятся в отрицательном напра-
влении). Заметим, что всегда можно найти кривую L такую, чтобы п имело
любое наперед заданное (целое) значение.
В качестве у можно выбрать ‘ окружность | z [ = р; следовательно,
j	Далее, если точка z не лежит на отрицательной части действи-
Y
тельной оси (| arg z | < к), то в качестве I можно взять кривую, содержа-
щуюся в области | arg z | < я. Тогда найдем: j -^- = 1пг (см. п. 7). Если же
I
arg£ = r:, то в качестве I можно взять, например, кривую, принадлежащую
области arg£=^=—~ (т. е. не пересекающуюхотрицательную часть мнимой
оси). Обозначим через 0 значение аргумента произвольной точки этой об-
ласти, заключенное между-------% н ; Тогда в == 0 для начальной точки /
к
и 6 = тс для конечной точки. Так как в односвязной области argz=£—
функция ср (г) = In | z [ + /6 является первообразной по отношению к ~ , то
по п. 7
— =<? (г) — <?(!) = 1п | г | + (к = 1п г.
j z
10. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ТОЧКИ В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 161
Итак, во всех случаях
Z
D/	dz Л dz . in, г
/?(г) =	— = I — = In г + 2rz7c/= Ln z.
1	L
z
f dz	~
Мы видим, что интеграл — представляет в области z =£ 0 много-
1 z
значную функцию Ln г. Предлагаем читателю убедиться, что интеграл
Z
dz
J
о
в области z =# ± I представляет также многозначную функцию
д .	1 I I — *
Arc‘g*=2T.Ln—.
И Зак. 1636. А. И. Марсушевич
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
1. Интегральная формула Коши. Пусть f(z)— функция, одно-
значная и аналитическая в области G, и L — замкнутая жор-
Черт. 44.
данова спрямляемая кривая, принадлежа-
щая G вместе со своей внутренностью D
(черт. 44). Тогда для всякой точки zQ£ D
справедлива интегральная формула
Коши
Ж) =
1 f
2те/ J
L
f(z)dz .
—-2-0 ’
(1)
здесь кривая L проходится в положительном
направлении, т. е. против часовой стрелки.
Эта формула выражает значения аналитической
функции внутри замкнутой кривой через зна-
чения той же функции на самой кривой.
Для доказательства опишем из точки z§,
как из центра, окружность радиуса р,
столь малого, чтобы круг {z—z0|<p лежал
внутри L, Тогда для составного контура, образованного кривыми L
и 7р, будем иметь:
1 f f(z)dz = 1 f f(z)dz
2iti J z — 2teZ J z — zQ
L	b
(2)
f(z)dz
Z — Zq
Следовательно, для доказательства формулы (1) достаточно уста-
новить равенство
/(^o)=2Sz
ИЛИ
j	(*о) =
= [ -^-dz — f(z0) [
J г—z0 ' 4 °' J z— г0
гР	У,
Г/(г)-/(г0)
J г —
dz = 0.
(3)
е
1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
163
В силу непрерывности f(z) в точке zQ неравенство
1Ж —Ж)|<® (*€tp)
будет выполняться для любого а > 0, если р < 8 (е). При этом усло-
вии получаем:
J *	^0
ТР
— 2тгр = 2лг.
Следовательно,
lim f Ж~ Ж) d^=»0.
р -> О V г ^0
ТР
Но интеграл, стоящий под знаком предела, равен левой части
Г f (z}
равенства (3) и поэтому не зависит от р (что интеграл   dz
J 2— Zq
ТР
не зависит от р, видно из равенства (2)). Следовательно, он равен
нулю при всех рассматриваемых значениях р. Итак, равенство (3)
справедливо, а вместе с ним справедлива и интегральная формула
Коши (1).
Интеграл J(z0) = 2^7 I
L
Мы вычислили его значение для z0, принадлежащего внутренности
кривой L. Если zQ принадлежит внешности Е кривой L, то под-
интегральная функция  '<•' является аналитической не только на L,
*
но и всюду внутри L (делитель z — ZQ отличен от нуля на L и
внутри Л); по интегральной теореме Коши интеграл Коши обращается
в этом случае в нуль. Итак,
J(Z ) = 1 Г = J /(го) ^D)>
*	2*1 } z-z0 | о (z0£E).
Для Zq£L интеграл Коши, вообще говоря, теряет смысл не только
как собственный, но и как несобственный интеграл.
Пусть в частном случае L есть окружность с центром zQ. Если
р — радиус окружности, то уравнение окружности можно предста-
вить в виде z = z0-ppei<? (0<^<р<;2гс). Следовательно,
2«
f(z') = — Г f(z)dz — 1 I
7 W 2«Z J z-z0 2*1 J
L	0
(4)
dz называется интегралом Коши.
(5)
2-п
^/ж+р^М?- (6)
о
dcp «
11*
164
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Последний интеграл можно рассматривать как среднее арифме-
тическое значений /(г) на окружности |г— г0| = р. В самом деле,
интеграл этот равен пределу при п -> оо среднего арифметического
значений /(г) в вершинах какого-либо правильного /^-угольника,
вписанного в окружность:
П~1 /	. / 2Лтс \\
i Л*о+?**’)<*? = lim	+	'фо+~'j^ =
* j
A = 0
Итак, значение аналитической функции f(z) в любой точке Zq
области аналитичности равно среднему арифметическому ее
значений на любой окружности с центром zQ (нужно лишь, чтобы
Черт. 45.
и сама окружность и ее внутренность
лежали в той же области).
2. Разложение аналитической функ-
ции в степенной ряд. Теорема Лиу-
вилля. В п. 3 главы IV было доказано,
что сумма степенного ряда является ана-
литической функцией в круге сходимости
ряда. Теперь с помощью интегральной
формулы Коши мы можем доказать, что
каждая аналитическая функция в круге
может быть представлена в виде суммы
степенного ряда. Точнее говоря, докажем
следующее предложение:
Теорема. Пусть f(z) — функция,
однозначная и аналитическая в обла-
сти G. Если zq£G и г — расстояние
Zq до границы G, то в круге \z — z0| <
< г f(z) разлагается в степенной
ряд, расположенный по степеням z — z§.
Пусть z — точка круга |г — г0|<г; рассмотрим концентрический
круг радиуса р (0 < р < г), содержащий эту точку внутри
(черт. 45).
Если -[р — граница круга, то
/(*) =
С —г "
(7)
Чтобы доказать теорему, достаточно разложить в Ряд по сте'
2. РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД 165
пеням z— Zq и затем выполнить почленное интегрирование. Имеем:
1	1	=	1________1 у (г — гор
£ — г	С — г0 — (г — г0)	С~г0‘ t г —z0	—
£ — ^0	°
и	/
/(С) _V//n
С —г	w (С-го)”*1'
При фиксированном z последний ряд равномерно сходится отно-
сительно ССТр» так как	I тах ।	। n+i* ' ’
I G го) I Тр	Р
оо
и числовой ряд Nj max |/(С) | 	сх°Дится (как геометрическая
о тр
прогрессия со знаменателем ~-г° '•<!). Поэтому почленное инте-
грирование законно:
/(*) =
^-^>га у — Г
(C-*o)n+1 ’	-7 2reZ J
/(£)
(1-20)п+1
сК • (z — z0)n.
Коэффициенты’ полученного степенного ряда
„ _ 1 f
” atf J (c_^0) «+i
\o
(n = 0, 1,2,...)
не зависйт от радиуса р. Действительно, если рх #= р и 0 < pt < г,
то по теореме о составном контуре
Г 7(C) Г
J(c-^)n+1 Jg-^)b+1’
тР	V
Так как найденное разложение
/(г)=2«п(^ — zQT
О
установлено нами для произвольной точки z круга	— ^0|<г, то
теорема доказана.
Положим max I f (С) | = М (р); из найденных формул для коэффи-
^Тр
циентов степенного ряда получим неравенства Коши -
(ft=0’ b (8)
166
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕВ СЛЕДСТВИЯ
Они позволяют оценивать сверху модули коэффициентов степен-
ного ряда через максимум модуля суммы ряда на окружности
|z—I = р и радиус этой окружности.
Для остаточного члена ряда получается следующая оценка:
оо
ак zo)
п+1
SM(?) , „ у . ЛЦр) |я+1
I* *ol pn(p_|z_Zo|) •
п+1
(9)
Она дает представление о величине погрешности приближенного
равенства
п
ак(z — Zq) .
о
С помощью формулы (8) легко доказать теорему Лиувилля:
всякая целая функция, ограниченная по модулю, есть константа.
Пусть f(z)— целая функция, тогда ее разложение в степенной
ряд
= я0+	+ а2*2 + ... + anzn + ...
сходится во всей плоскости (здесь г — расстояние от точки Zq — Ъ
до границы конечной плоскости, т. е. до точки оо, равно оо).
Если f(z) ограничена по модулю, то \f(z)\^M, где М — положи-
тельная константа. Тогда
(п= 0, 1, 2, ...),
где в качестве р можно брать любое положительное число. Считая
1 фиксированным, заставим р стремиться к оо. Получим:
|«п|-<0, т. е. ап=Ъ, п=1, 2, 3,
Следовательно,
/(z)so0l
теорема доказана.
В виде простого примера приложения теоремы Лиувилля докажем
так называемую основную теорему высшей алгебры:
всякий многочлен Р (г) = с0 + cxz + ... + cnzn (п 1, сп0)
имеет, по -крайней мере, один нуль.
Докажем теорему от противного. Пусть P(z) не имеет ни одного
нуля. Тогда	— целая функция, удовлетворяющая усло-
вию Нт /(^ = 0. Такая функция ограничена по модулю во всей
г-+оо
плоскости (в самом деле, существует /?>0 такое, что при |z|>/?
|/(ж)1 < 1; если max 1/(д)| = т, то |/(г)| < т-\- 1 для каждого г). .
|г|<Д
Поэтому /(г) в const = 0, что противоречит определению этой
функции.
3. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
167
3. Бесконечная дифференцируемость аналитических и гармо-
нических функций. Из результатов п. 2 вытекают важные след-
ствия.
I. Каждая функция f(z), аналитическая в области G, имеет
производные всех порядков в этой области, т. е. бесконечно
дифференцируема в ней.
В самом деле, f(z) в окрестности любой точки zq£Q разлагается
в степенной ряд и поэтому бесконечно дифференцируема в соответ-
ствующей окрестности (см. п. 3 главы IV).
По п. 3 главы IV разложение для функции f(z) может быть
записано в виде
оо
*o)n (|г—г0| <г).
О
В частном случае, когда f(z)—целая функция, расстояние г
от точки Zq до границы конечной плоскости (бесконечно удаленной
точки) равно бесконечности. Полагая ^os==O, получим:
и<-
о
Вычисляя производные различных порядков от элементарных функций
ехр.?, sin .г, cos г, sh z, ch г, читатель легко получит для них следующие
сходящиеся во всей плоскости разложения:
оо
sin г =* 2 (— I)w-1
1
г2п-1
(2п — 1)! ’
COS Z
п
1 (2п)П
о
1
2<2п-1
(2п — 1)! *
v <2’2п
w
о
Остановимся на степенных разложениях однозначных ветвей простей-
ших многозначных функций. Рассмотрим прежде всего однозначную ветвь In г,
определяемую посредством условия In 1 = О в области G, границей которой
служит неположительная часть действительной оси: х<0, у==0 (ветвь эта
может быть представлена в виде In z = In | г| -f-1 arg г, где | argz| <л). Так
как (In г)' = у, то (In г)(А:) = (— l)^-1	и следовательно, разложе-
ние In z по степеням z — 1 имеет вид
или
168
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Расстояние г от точки г0 = 1 до границы области G равно единице.
Поэтому найденным разложением можно пользоваться при | z — 1 |< 1.
Заменяя здесь z—1 на г, получим степенной ряд для ln(l-|-z), сходя-
щийся при |г| < 1:
со
1п(1 + г)=2(-1)*_1^ (И<1)-
1
In(l-l-z) является однозначной ветвью функции Ln (1 -f- определяемой
условием [Ln (1 + г)]2в0 = In 1 == О в области G, границей которой служит
часть действительной оси — 1, у = 0.
Рассмотрим, далее, функцию где а — произвольное комплексное число.
Это —• многозначная (в случае, когда а не есть целое число) функция, выра-
жающаяся через показательную функцию и логарифм при помощи соотноше-
ния = ехр (a Ln z).
Выделим однозначную ветвь ср (z) этой функции в той же области G,
которая фигурировала в предыдущем примере, посредством условия ср (1) == 1.
Эту ветвь можно представить в виде
cp(z) = exp (a In г),
откуда
ср' (г) = а ехр (a In z) • у = а ехр (а In z) ехр (— In z) = а ехр [(а — 1) In z]
и, далее,
<p(ft) (z) = а (а — 1).. .(а — fe 4- 1) ехр [(а — k) In z] (k = 1, 2, ♦..).
В точке :=1 производные равны (1) = а (а — 1) ... (а — k -J- 1), и следо-
вательно, разложение ср (z) по степеням z — 1 имеет вид
оо
/ \	1 1 V1 а (а — 1) ... (ос — k 4- 1) , 1Ч ь
<р (г) = 1 +	—-------—--------Z—L (г — 1)*.
1
Оно имеет место, как и в предыдущем примере, при |г—1 |<1. Заме-
няя здесь z— 1 на г, получим разложение для ср (z + 1) в ряд по степеням z.
Пользуясь вместо ср (z 4-1) привычным обозначением (1 4- г)а (понимаемым
как обозначение однозначной в области G функции ехр [a In (1 4~г)])>
получаем:
(1 + г)я = 1 +	“ (а~~ П	г* (|г|<1).
1
Это — биномиальная формула, установленная здесь для самого об-
щего случая, когда показатель степени есть произвольное комплексное число.
II.	Производная аналитической функции сама является ана-
литической функцией. Действительно, f'(z) обладает производной
всюду, в области О.
III.	Действительная и мнимая части аналитической функции
обладают дифференцируемыми частными производными всех
порядков.
3. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
169
В самом деле, если f(z) — и(х, y)-}-iv(x, у) — функция, анали-
тическая в области G, то и(х, у) и v(x, у)—дифференцируемые
функции х и у в области G в силу п. 7 главы II. Так как
z х  ди .. dv   dv	. ди
J \z)	fa * z дх	ду	1 ду ’
то отсюда следует, что и частные производные первого порядка
от функций и и v дифференцируемы в области О. Чтобы доказать
предложение III, достаточно показать, что для любых целых не-
.	.	дк+1и / dk+lv \
отрицательных k и I частная производная дх^ду"1 \ ли дх% ду1')
существует и является действительной или мнимой частьюнекоторой
аналитической функции (а именно функции ±f(k+l](z)).
Пусть это утверждение верно для всех производных порядка п,
так что, например,
£w’=ReF(^==t/(x> где k+l-n-
Тогда существуют:
ди дк+1+1и	_ pf. . ди дк+1+хи .	.
-3— —	= Re ? С?) и = л =--------------Im г (z),
дх дхк+1 dyt	v 7 ду дх^ду1^1	v 7
откуда вытекают справедливость утверждения для частных произ-
водных порядка п —|— 1, а следовательно, и справедливость предло-
жения III.
В частности, существуют непрерывные (в силу их дифференци-
руемости) частные производные второго порядка отф, у) и v(x, у).
Как раз на этот факт мы опирались в п. 12 главы II, когда дока-
зывали, что действительная и мнимая части аналитической функции
являются функциями гармоническими (сопряженными между собой).
IV.	Если L — замкнутая жорданова спрямляемая кривая, при-
надлежащая области Q вместе со своей внутренностью D, то
в каждой точке z£D для любого натурального k справедливо
равенство
<10)
В самом деле, если — окружность с центром z, лежащая
внутри £, то
1 f /(9* __ 1 f /(9^
2tcZ J __	1 27tZ J (С — z)k+1 k*
где ak — коэффициент при (z'— z)k в степенном ряде, представляю-
щем f(z') в окрестности z. Но этот коэффициент выражается также
170 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
через производную порядка k от суммы ряда в точке z по формуле
п _ /(ft) (*)
к~ к\ ’
Из сопоставления последних формул следует предложение IV.
Заметим, что доказанное равенство можно формально получить
из формулы Коши /(z) = J* Г—* если Дифференцировать обе
части k раз по z\ в правой'части дифференцирование проводится
«под знаком интеграла.
Доказанное предложение устанавливает, следовательно, косвенным
путем законность такого дифференцирования. Впрочем, можно было бы
и непосредственно доказать законность дифференцирования под зна-
ком интеграла в данных условиях.
4. Теорема Морера. Каждая функция /(z), аналитическая в одно-
связной области О, является непрерывной в области Q и обладает
тем свойством, что интегралы от нее вдоль любой кривой зависят
только от начальной и конечной точек пути интегрирования. Очевидно,
что это предложение лишь по формулировке отличается от инте-
гральной теоремы Коши. Преимущество этой формулировки теоремы
Коши в том, что в таком виде она допускает обратную теорему.
Теорема Морера. Если функция f(z) непрерывна в од не-
связной области О и интеграл от нее вдоль любой кривой зави-
сит только от начальной и конечной точек пути интегрирова-
ния, то функция эта является аналитической в области Q.
Для доказательства заметим, что интеграл J f(z)dzt где z$— фик-
«0
сированная, a z— текущая точки области, представляет в данном
случае однозначную функцию F (z). В п. 7 главы V было доказано
при предположениях, совпадающих с предположениями данной теоремы,
что F(z) есть аналитическая функция, причем F' (z)—f(z), т. е.
f(z) есть производная от аналитической функции. Но отсюда в силу
предложения II п. 3 следует, что f(z) есть аналитическая функция.
Условия теоремы Морера могут быть ослаблены. Прежде всёго,
вместо того, чтобы требовать, что интеграл от f(z) для любой кри-
вой зависит только от начальной и конечной точек этой кривой,
достаточно потребовать, чтобы интеграл от f(z) обращался в нуль
вдоль любого треугольного контура, принадлежащего области Q.
В самом деле, из такого предположения будет вытекать, как это
было установлено при доказательстве интегральной теоремы Коши,
что обращается в нуль интеграл также и вдоль любого замкнутого
многоугольного, а затем и любого замкнутого спрямляемого контура.
Но последний факт равносилен тому, что f(z)dz зависит только
5. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА О РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДАХ 171
от начальной и конечной точек L для любой кривой L. Далее,
в интересах одной теоремы, которая будет доказана впоследствии
(п. 5 главы IX), заметим еще, что вместо обращения интеграла
в нуль вдоль любых треугольников можно требовать лишь обраще-
ние их в нуль вдоль треугольных контуров, не имеющих общих
точек с данным отрезком В некоторой прямой R.
Действительно, если треугольный контур А0сО имеет общие
точки с В, то он или располагается по одну сторону от R (случаи
а) и б) на черт. 46), или разбивается R на два выпуклых много-
угольника Дх и Д2 (случай в) на черт. 46). В каждом из этих слу-
чаев функция f(z) является непрерывной на контуре Д?- (j==0, 1, 2)
и внутри него и, кроме того, аналитической внутри Aj (так как
внутри Д^ к f(z) применима теорема Морера). В п.' 8 главы V было
показано, что при этих условиях J f(z)dz = 0. В случаях а) и б)
получаем, следовательно: J /(z)tfe = O; в случае в): J /(z)rfz = 0
до	Д1
и J f(z)dz = 0, откуда, складывая, получим: $ f(z)dz — Q. Итак,
Д1	до
мы проверили, что интеграл будет обращаться в нуль и вдоль тре-
угольников, пересекающих R. Следовательно, f(z) является аналити-
ческой во всей области G (включая точки R).
5. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах
оо
аналитических функций. Пусть члены ряда ‘3/. (z)— функции,
1
однозначные и аналитические в области G, и ряд этот равно-
мерно сходится в каждом замкнутом круге, содержащемся
в области G. Тогда: а) сумма ряда f(z) является аналитической
в этой области', б) ряд можно почленно дифференцировать любое
оо
число раз: ^fnX^)—fk(z),.u в) все продифференцированные ряды
i
равномерно сходятся в каждом замкнутом круге, содержащемся
в области G.
172
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
В дальнейшем для краткости ряд, равномерно сходящийся в каждом
замкнутом круге, принадлежащем некоторой области G, называется
равномерно сходящимся внутри области G. Пользуясь
теоремой Гейне — Бореля о покрытиях, можно легко доказать, что
равномерная сходимость внутри области G эквивалентна равно-
мерной сходимости на каждом ограниченном замкнутом множе-
стве точек, принадлежащем G. Заметим, что для равномерной схо-
димости внутри области G не требуется равномерной сходимости
ряда во всей области G. Поэтому теорема применима, например,
к любому степенному ряду в его круге сходимости (см. п. 4
главы IV).
Для справедливости теоремы существенно, что ее условия выпол-
няются в области плоскости, точнее говоря, существенно то, что
для каждой точки G существует круг с центром в этой точке, содер-
жащийся в множестве G. Если, например, рассмотреть ряд простей-
ших аналитических функций — многочленов Pn(z), равномерно схо-
дящийся на отрезке действительной оси (множестве, ни одна из точек
которого не удовлетворяет упомянутому только что условию), то
сумма такого ряда может и не быть дифференцируемой на этом
отрезке, а в случае, когда она дифференцируема, не всегда будет
законно почленное дифференцирование ряда *). Таким образом, тео-
рема Вейерштрасса выражает специфическое свойство аналитических
функций комплексного переменного.
Обращаясь к доказательству, заметим сначала, что теорему доста-
точно доказать для произвольного круга К- \z — г0|<р, принадле-
жащего вместе со своей границей данной области. Чтобы доказать
утверждение а), воспользуемся теоремой Морера. Так как ряд равно-
мерно сходится в К и члены его непрерывны, то и сумма его f(z)
непрерывна в К и его можно почленно интегрировать по любому
треугольному контуру Д, содержащемуся в /С. Поэтому
J f{z)dz
dz = 0
(мы воспользовались аналитичностью функций fn (z) в круге К). Отсюда
вытекает по теореме Морера, что f(z)— функция, аналитическая в К,
а следовательно, и во всех точках области G. Далее, если z£K, то
/(0
(С — z)k+1
/mw = A
dX.-
(см. предложение IV п. 3). Но
/(0
(С — z)k+l
SAG)
(^—z)k+l ’
п= 1	'
причем
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. 41, изд. 3-е, Гостехиздат, стр. 461.
5. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА О РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДАХ 173
при фиксированном z последний ряд равномерно сходится на окруж-
ности |Х—z0 [ = р (он получен из равномерно сходящегося ряда
оо
2 /те© путем умножения на ограниченную по модулю функцию
п= 1
1 1 \ Г7
------;---------------ггг • Поэтому ряд этот можно почленно
+	(р__|г_го |)Л+1 /
интегрировать по С и, следовательно,
оо	оо	оо
7 {Z) J, Ас-г)**1 ’ J (1-г)п+~2/п {z)’
K-^J = PW=1	П = 1	l^-£j|=p	П=1
т. e. справедливо утверждение б).
Наконец, переходя к доказательству в), рассмотрим круг
К': \z— ^0|<p', где р' > р, но меньше, чем расстояние от zQ до
границы области G. Замкнутый круг К' содержится в G и содержит
внутри замкнутый круг К. Для каждой точки z£K имеем:
/(£)-2 л. (С)
_____1____
к—
р' d<?
у A f /п &
k\ 27tpZ
2" (р' - р)*+1
sup
I — I = pf
N
1
oo
В силу равномерной сходимости ряда 2 fn (Q на окружности |С—
последний множитель может быть сделан сколь угодно малым, если
N достаточно велико (независимо от положения точки z £ К), Итак»
для любого е>0 и z£K
N
/*’(2)-SAbw
1
< е, если

Этим и заканчивается доказательство теоремы Вейерштрасса.
В п. 2 этой главы было доказано, что функция f(z), аналитиче-
ская в круге ^z — zol </?, разлагается в этом круге в ряд Тейлора.
Так как степенной ряд равномерно сходится в каждом концентриче-
ском круге меньшего радиуса \z — zQ\^ r(r < R), то отсюда сле-
довало, что в таком круге для любого е > 0 выполняется неравенство
< ®/
о
п > N(e, г).

174 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Иными словами, существует многочлен, приближающий аналити-
ческую в круге \z— г0|<г Функцию f(z) с произвольно высокой
точностью. Теперь мы можем доказать обратное предложение: если
функцию f(z), определенную в круге \z — z0| < R, можно в каждом
концентрическом круге меньшего радиуса как угодно хорошо при-
близить многочленом, то эта функция является аналитической
в этом круге.
В самом деле, пусть {гп) —возрастающая последовательность
положительных чисел, сходящаяся к R', построим для каждого круга
|z— ^ol*Crn многочлен pn(z) такой, что \f(z)—рп(^)|	~ при
\z —	Тогда, как легко видеть, будем иметь: f(z) = pl(z)-^
оо	’
+ S tPk(z) — Pk-i (*)Ь т- е- представляется в круге \z — z0| < R
k=2
в виде ряда многочленов, равномерно сходящегося в каждом мень-
шем круге. Отсюда и следует по теореме Вейерштрасса, что
f(z) — аналитическая в круге )z — z0|<R.
Сопоставляя указанные факты, получаем следующее предложение.
Для того чтобы функция f(z) была аналитической в круге
\z — г0| < R, необходимо и достаточно, чтобы в каждом кон-
центрическом круге меньшего радиуса ее можно было приблизить
многочленом с произвольной степенью точности.
Этим установлено свойство г) п. 2 введения.
6. Теорема единственности. Одно из важнейших свойств анали-
тических функций выражается теоремой единственности:
может существовать самое большее одна функция f(z), однознач-
'ная и аналитическая в области О, принимающая заданные зна-
чения на каком-либо множестве точек Е этой области, обла-
дающем, по крайней мере, одной конечной предельной точкой zq£Q.
Прежде чем доказывать теорему единственности, поясним ее на при-
мерах:
а)	Пусть G — конечная плоскость и Е— интервал	действи-
тельной оси. Очевидно, что каждая точка Е в этом случае является пре-
дельной для Е и принадлежит G. В силу теоремы может существовать самое
большее одна аналитическая в конечной плоскости функция /(г), значения
которой для z = х С Е совпадают, например, с sin х\ f (x)=sin х ^0 <х	•
Известно, что такая аналитическая функция действительно существует:
— e-iz	т
f(z) =---------«= sin z. Теорема единственности позволяет утверждать, что
эта функция — единственная, совпадающая с sinx в точках Е. Аналогичное
утверждение справедливо для функции у (z) =*=-----= cos г-
б)	Теорема единственности позволяет утверждать, что некоторые соот-
ношения, установленные между аналитическими функциями при частных
предположениях относительно значений аргумента, справедливы и без этих
ограничений. Так, например, справедливость соотношения sin2 г + cos2 z =» 1
6. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
175
на интервале 0 < z = х < вытекает прямо из теоремы Пифагора. Чтобы
установить его справедливость при любом комплексном г, достаточно заме-
тить, что функция F (z) = sin2 z 4- cos2 z, аналитическая во всей плоскости,
принимает на Е значения, равные единице. Но те же значения на Е прини-
мает аналитическая функция Ф (z) = 1. По теореме единственности F(z)
и Ф(г) должны быть одной и той же аналитической функцией, т. е. sln2z +
-f-cos2z=l во всей плоскости.
в)	Выясним, существует ли функция, аналитическая во всей конечной
плоскости G и удовлетворяющая условиям ~	-—j = ’— (и == 1,
2,	3,...). Пусть Е обозначает множество точек 1, -i-, -i,оче-
2 о п
видно, что оно обладает предельной точкой 0, принадлежащей Q. Так как
аналитическая функция F(z)~z принимает в точках Е заданные значения
Л — (п = 1, 2, 3,...), то другой аналитической функции, удовлетво-
ряющей тем же условиям, не существует и, следовательно, / (z) = F (z) s z.
Ho f(z) = z в точках — — принимает значения — —, а не — , как это тре-
буется в условии вопроса. Отсюда вытекает отрицательный ответ на этот
вопрос: ни одна аналитическая в G функция /(z) не может удовлетворять
условиям
г)	Пусть, наконец, нужно найти функцию /(z), аналитическую в конечной
плоскости, зная, что /(^) = 0 (& = 0, ±1, ±2, ...). Здесь значения функ-
ции заданы на множестве точек Е: 0, ± к, ± 2те, ± Зк,..., не имеющем ни
одной предельной точки в конечной плоскости. Следовательно, мы не можем
опираться на сформулированную выше теорему единственности. Легко видеть,
что она в данном случае неверна. В самом деле, существует бесконечное
множество различных аналитических функций, удовлетворяющих поставлен-
ным условиям, например, /(z)=0, sinz, Csinz, sin2z, sin3z, ..., sin^z, ...
Обратимся к доказательству теоремы. Допустим, что f(z)
и <p(z) — две аналитические функции, принимающие одни и те же
значения во всех точках Е. Тогда их^ разность <p(z)=«/(z) — <p(z)
есть функция, аналитическая в О, обращающаяся в нуль в каждой
точке Е. Если мы докажем, что = z£Qt то отсюда будет
вытекать, что /(z) = ^(z), что и утверждает теорема.
Рассмотрим сначала частный случай, когда Q есть круг конеч-
ного или бесконечного радиуса (в последнем случае О совпадает
с конечной плоскостью) с центром в точке z0, предельной для Е.
Функция ф(г), аналитическая в G и обращающаяся в нуль на Е,
представляется степенным рядом, сходящимся во всем круге:
Ф(г) = Со + ^1(г——(п)
Покажем, что все коэффициенты ряда суть нули; отсюда и будет
следовать, что ф (z) = 0.
176
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Так как zQ есть предельная точка множества Е, то из Е можно
выделить последовательность отличных от Zq и различных между
собой точек zlt z2, . .zk, . . ., сходящуюся к zQ.
Имеем:
Ф (^а) = со Ч~ ci (zk — zo) + • • • + сп (zk — z^n + • • • = 0	(12)
(k= 1, 2, 3, ...), откуда, переходя к пределу при zk~+zQl получим:
Ф (*о) = со = °-
Пусть уже доказано, что коэффициенты с0,	. .., сп_х суть
нули, тогда
Ф (^а) === Сп (Zk-Zo)n + Сп+1 (Zk-Zo)n+ 1 + • ‘ • = О’
или
cn~]~cn+i (zk — Zq) . — 0 (k = 1, 2, . . .).	(13)
Переходя в соотношениях (13) к пределу при zk-+zQ> получим:
сп = О-
X \ Итак, все коэффициенты ряда (И)
/( Д 1 суть нули, откуда и следует справед-
/ \	Т /	J ливость теоремы в случае, когда об-
/	/ ласть есть круг и центр его является
/	1 предельной точкой для Е. Рассмотрим
/	\ общий случай. Пусть /<— какой-либо
z A / /	содержащийся в области G круг с
/	/ центром в точке z0, предельной для Е.
/	/	По Доказанному выше функция <р(г),
/	/ обращающаяся в нуль в каждой точке Е,
)	/	лежащей в К, обращается в нуль во
/ (	) J /	всем кРУге Так как Q не совпа-
/	дает с 9ТИМ КРУГОМ> т0 Должны су-
1V	ществовать точки области О, не со-
\	держащиеся в ТС Покажем, что ty(z)
обращается в нуль в любой такой точ-
Черт. 47.	ке z'. Соединим zQ с z' внутри G не-
прерывной кривой L и пусть р>0 —
расстояние между L и границей Г области G. Разобьем L на дуги точ-
ками zQi zv z2, zn_v zn = zr так, чтобы расстояние между
каждыми двумя соседними точками было меньше р, и опишем из
каждой точки z$, как из центра, круг Kj радиуса р (черт. 47). Оче-
видно, что внутренность Kj принадлежит G и содержит центр сле-
дующего круга Zj+X (/ = 0, 1, . . п—1). Во всех точках круга Kq
функция ф(г) обращается в нуль. Допустим вообще, что уже дока-
зано, что <p(z) = O во всех точках круга^/Q —1), и покажем,
что <р(.г) = О во всех точках круга Kj+1-
7.	A-точки и, в частности, нули	177
В самом деле, центр Zj+l круга Kj+1 содержится внутри Kj и,
следовательно, является предельной точкой для множеству, на кото-
ром ф(^) = 0; п'о доказанному частному случаю теоремы отсюда
следует, что ty(z) = 0 в Л}+1. Отсюда вытекает, что ty(z) = 0 и в Кп
и, в частности, в центре zn = zf этого круга. Итак, ф(^) = 0, z£G,
чем и завершается все доказательство.
. 7. A-точки и, в частности, нули. Пусть А — произвольное
конечное комплексное число. Назовем A-точками функции f(z),
аналитической в некоторой области G, корни уравнения f(z) = А.
Из теоремы единственности следует, что в случае, когда Дг)фА,
множество A-точек не может иметь ни одной предельной точки, при-
надлежащей области G (допустив противное, мы нашли бы, что
/(.?)== А). Отсюда следует, в частности, что любое'ограниченное
замкнутое множество F области G может содержать лишь
конечное число А-точек (для фиксированного А).
В самом деле, допуская, что F содержит бесконечное множество
A-точек, найдем, что это множество имеет предельную точку, при-
надлежащую F, а следовательно, и F.
Пусть zQ — какая-нибудь A-точка функции/(z), так что f(zQ) — А.
В окрестности точки zQ имеем:
f(z) = А+/' (ZO) (z — z0)+(z - z0)2 + ...,
или
/(2)-Л = /'(го)(2-2о)+^1 (^-z0)2+ ...	(14)
Если /(г)фА, то среди коэффициентов правой части найдутся
отличные от нуля. Пусть (z — z^ — младшая степень z — zQ, коэф-
фициент при которой отличен от нуля. Тогда равенство (14) прини-
мает вид
/(г)_Л = (г_^[«+»(г_га)+ ..ф (15)
где /W (Zq) =£ 0. Натуральное число k называется порядком или
кратностью A-точки zQ.
В случае, когда k=\, A-точка называется простой, в случае,
когда А > 1, — кратной.
В силу определения простая точка характеризуется дем, что для
нее /(z0) = A и /'Сго)=£О; кратная A-точка порядка характе-
ризуется соотношениями
f(zQ) = А, /'(z0) = 0, ..., /<*-*) (zQ) = 0, /(*) (zQ) + 0. -
Все сказанное приложимо, в частности, к случаю, когда А = 0;
0-точки аналитической функции называются короче ее нулями.
Легко проверить, что принятые в алгебре определения кратности
нуля многочлена или вообще произвольной рациональной функции
12 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
178
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
согласуются с общими определениями, данными выше. Заметим, что
для каждого Л =£ 0 Л-точки функции f(z) являются нулями функ-
ции f(z) — А.
Примеры:
а)	Для sinz все его нули z = bt(& = 0, ±1, ±2,...) являются про-
стыми, так как (sin z)z = cos z не обращается в нуль при z = Ы.
б)	Для функции cos z 1-точки суть z = 2bt (k = 0, ±1, ± 2, ...), все они
имеют кратность 2, так как (cos z)z = — sin z == 0 при z = 2bc, тогда как
(cos z)zz = — cos z Ф 0 при z == 2b:. Отсюда следует, что все нули функции
cos z — 1 (или 1 — cos z) — двукратные.	-
в)	Для функции f(z) = sinz— z точка z = О является нулем кратности 3,
так как /(0) = 0, f (0) = 0, ff (0) = 0, f” (0) == — cos 0 #= 0.
8.	Ряд степенных рядов. Займемся рассмотрением некоторых
приемов разложения аналитических функций в степенные ряды. Прин-
ципиально вопрос о нахождении тейлоровского разложения решается
формулами для вычисления коэффициентов ряда
(« = 0,1,2,...).
Но непосредственное проведение выкладок, опирающихся на вычис-
ление последовательных v производных функции, /(z), нередко может
оказаться весьма громоздким или трудно выполнимым. Однако во
многих практически важных случаях можно получить тейлоровские
разложения, выводя их определенным образом из других, ранее
известных разложений.
Допустим., что функция /(z) представляется в виде ряда анали-
тических функций, равномерно сходящегося внутри некоторой окрест-
ности |z — z0|<p точки z0:
№)=2Ш	(16)
1
Тогда в силу теоремы Вейерштрасса будем иметь:
/<ft)(2) = S/n)(2)
1
и
4-/(й)(2о)=2^Г^-	(17)
1 ’
Здесь	представляет коэффициент при (z—z0)fe в тей-
лоровском разложении функции fn(z), a ^-/(ft)(z0)—коэффициент при
(z—z0)ft в тейлоровском разложении /(z).
Следовательно, тейлоровские коэффициенты суммы равномерно
оо
годящегося ряда аналитических функций 2/п(г) получаются
8. РЯД СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
179
путем сложения одноименных тейлоровских коэффициентов (т. е.
коэффициентов при той же степени (z—z0)k), взятых из разложе-
ний каждой из функций fn(z).
Приведем два примера. Рассмотрим сначала- сумму ряда

Члены этого ряда являются функциями от г,* аналитическими в единичном
оо
круге, причем ряд | ZTpi сходится равномерно внутри единичного круга.
В самом деле, если Е—замкнутое множество точек этого круга и&>0 —
расстояние от Е до единичной окружности, то для любой точки z С Е имеем:
।	। рп рп
| г | < 1 — Ь = р < 1; следовательно, j-ц < р*-—< р—, и так как ряд
оо
р— сходится (это — геометрическая прогрессия со знаменателем р), то
1
данный ряд сходится равномерно на Е, т. е. равномерно сходится внутри
единичного круга. Для определения тейлоровского’ коэффициента функции
F(z) при zk по-предыдущему нужно сложить тейлоровские коэффициенты
при zk во всех тейлоровских разложениях функций
+ + (Л==1> 2j
Коэффициент при zk в таком разложении равен нулю, если k не делится
на л, и равен единице, если k делится на п. Следовательно, искомый коэф-
фициент при zk в разложении Л (г) равен сумме единиц в количестве, рав-
ном числу всех натуральных делителей числа k. Обозначая его через
т (k) (т (1) = 1, т (2) = 2, : (3) = 2, х (4) = 3, х (5) = 2, ...), будем иметь:
оо
1
Это и есть искомое разложение. Так как F(z) является функцией, аналити-
ческой в единичном круге (по теореме Вейерштрасса), то найденное разло-
жение сходится в единичном круге.
Заметим еще, что при z =s 1 оно расходится, так как ряд принимает вид
оо
2х (£), где все члены — натуральные числа. Отсюда следует, что радиус
1
сходимости ряда равен единице.
Возьмем еще пример ряда
1
2z
Функция	является аналитической всюду, кроме точек г = ± итс,
12*
180 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
где она обращается в оо. Следовательно, каждая из этих функций является
аналитической в круге |z|<tc. Покажем, что данный ряд сходится равно-
мерно внутри этого круга. В самом деле, если | z | р, где р < тс, то
| _?£_ I < 2Р _ 2р 1	. 2р 1
| z2 — /г2^2 |	л2^2 — р2 Л2^2 р2 и2тс2 . р2 ’
“S'2
и так как в правой части получился общий член сходящегося ряда
00	оо
^ряд сходится^ , то ряд	РавномеРно сходится внутри
1	1
круга | z | < тс. Следовательно, коэффициент при zk в тейлоровском разло-
жении функции Ф (г) равен сумме коэффициентов гу>и той же степени z
в тейлоровских разложениях каждой из функций	* ПослеДнее раз-
ложение имеет вид
2z	2z	1 =s
Z2 — П2^2	П2П2 _____/ Z \2
\Пп)
2z ____ 2z3	2z5	2z2g~t
=	n2^2 H4TC4	* * * tl2(ll&Q. ‘ ’ ’ ’
2
здесь коэффициент при z& равен нулю, если k четное, и равен — 2g *
если k == 2q — 1 (нечетное). Поэтому коэффициент при z* в разложении
оо
функции Ф (z) равен нулю, если k — четное число, и равен — 2	,
1
если k — нечетное число: k == 2q — 1.
Итак,
оо Г со
Ф (z) = — 2
Qw:l Ln =1
Z2<Z~L
Это и есть искомый степенной ряд. Он должен сходиться в круге | z | < тс,
так как функция Ф (z) является аналитической в этом круге. В точке z = тс
для каждого члена ряда получаем неравенство
оо	оо
у _±_^-1 = ±У _!_>±,
(пп^	ТС п2^ тс
п»1	п=1
откуда следует, что необходимое условие сходимости ряда не выполнено и
ряд расходится. Итак, радиус сходимости полученного ряда равен тс.
9.	Подстановка ряда в ряд. Пусть /(z) представляется в виде
/(z) = F[T(z)],	‘ (18)
где
?(.?) = ao4-a^-ta222+••• (И<г)	(19)
9. ПОДСТАНОВКА РЯДА В РЯД
181
и
F (w) = До + 41 (w — %) + А2 («*—а0)г + • • • + Ат (w—а0)т +... (20)
(|о» —а0| </?),
причем коэффициенты степенных рядов для <р (z) и F (w) известны.
Так как при наших предположениях <р (г) -> а0 при z —> 0, то можно
указать такое число р (0<р-<г), что модуль | О) — а0| будет
меньше чем R при | z | < р. При этом условии точка w = ср (г) при-
надлежит кругу сходимости ряда (20), и следовательно, функция
f(z) = F (w) = F [ср (z)] является аналитической при | z | < р. Отсюда
следует, что должно существовать разложение функции f(z) в ряд
по степеням z, сходящееся при Izf < р. Задача заключается в вы-
числении коэффициентов этого ряда.
Рассмотрим разложение
/(:) = F[f(z)]=bn[?(2)-«0Г	(21)
О
относительно которого мы уже знаем, что оно будет сходящимся
при |-гг[ < р. Для того чтобы можно было ссылаться на равномерную
сходимость этого ряда, заменим р не ббльшим числом р'(0 <р'<^р)
так, чтобы в круге | z | < р' выполнялось неравенство
|?(^)—а0|<4'
ft
Так как ряд (20) равномерно сходится при |w — а0| < -%, той
ряд (21) равномерно сходится при |z| <р'. Следовательно, коэффи-
циент при zk в тейлоровском разложении функции f(z) можно по-
лучить, взяв сумму одноименных коэффициентов в разложении каждой
из функций An[<?(z) — а0]\
Последние разложения получаются путем ^-кратного умножения
ряда для ср (z) — самого на себя. В данном случае почленное
умножение рядов законно, так как мы имеем дело со степенным
рядом в круге его сходимости, где он абсолютно осодится.
В итоге приходим к следующему предложению: для того чтобы
получить тейлоровское разложение функции f(z) — F [ср (z)], где
cp(z)— функция, аналитическая в окрестности начала координат,
a F(w) — функция, аналитическая в окрестности точки а0=ср (0),
следует подставить ряд для w = ^(z) (19) в ряд для F (уэ) (20),
выполнить необходимые возведения в степень, т. е. умножения
рядов, и, наконец, сложить коэффициенты членов, содержащих
одинаковые степени z. Полученный ряд и даст искомое тейло-
ровское разложение функции f(z). Он будет наверное сходиться
в круге | z | < р, где р выбирается так, чтобы при | z | < р было
!?(«)—«о1 <R-
182
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Изложенный прием получения степенных разложений называется
подстановкой ряда в ряд.
Иллюстрируем его двумя примерами.
Пусть;
f(z) = y^cos z,
где рассматривается та однозначная в окрестности начала координат ветвь
этой двузначной функции, которая принимает значение 1 при г = 0. Чтобы
применить к этому примеру предыдущее правило, представим f(z) в виде
1
= [1 — (1— cos г)]1 2 .
В нашем случае
2*2	^4
W = cp(^) = l —cos^ = 2p — 4г +	••• ( И<оо),
_L 1115
/7^) = (1W) 2 =1 —	-Q W2—77 W3 * * —... (| w I < 1) .
z о ID Izo
Следовательно,
1/2*2	5*4 уб
/(г) = /’[<Р(г)] = 1-т^-|5 + ^
8\2	24"' ’ /	16 \ 2	"’)
Ограничимся вычислением коэффициентов при первых степенях до ше-
стой включительно. Тогда, очевидно, ненаписанные члены можно не рассмат-
ривать, так как все они будут участвовать лишь в образовании членов ряда,
содержащих степени z выше шестой. Имеей:
\2	24 "h” J 4	24+””\2	’ ’ J “ 8	‘ ‘ ’
следовательно,
t(z\-\ — — (— — -4-	—I2*	4-	\
7W-1	2 2	24 + 720	")	8 Ц 24+"J —
1 /г*	\ ,	_ 1 z2 г* 19г8
16 \ 8	4 gg 5760	•••
Так как f(z) = j^cos z является функцией, аналитической в круге
| z |<— (она обладает в нем производной---, то ряд для / (г)
2 \	2 У cos z /
должен сходиться при
Рассмотрим еще
/(*)= expj-^>
9. подстановка: ряда в ряд	183
Представляя /(г) в виде f(z) — e exp р, положим:
= (г) = р^ = г + г2 + гЗ+... ([г|<1)
и
Л(ш) = ^+1 = ё?(1+^ + ^ + ..^ (|^|<оо).
Подстановка ряда в ряд дает:
/(г) = е [1 + (г + ^+	...) + (£±^+^±^- +
, (г + ^ + ^+...f , I
3!	T---J’
%
В данном примере, где ср (г) =	, можно избежать непосредствен-
ного выполнения умножений рядов, замечая, что при |г|<;1
(г + г2 + г3+	=
„ Г, . k . k(k-\-1) „ ,	, k...(k-X-n — 1) „ .	1
= г»-р+тгН— Т 2*+ ... -|----i-X-----
и так как
£(£-Н) ... (k + n — 1)	(Л: + n — 1) (А: -И п — 2).. .(лг 4- 1) /Аг + п — 1\
п\	~	(£—-1)!	“Д k—\ )'
то, следовательно,
оо
VI /А4-П —1\
(г+га+г.з+...)й=21 (Х-i )гП™- -
п=0
Поэтому
оо	оо	оо
у (г) = Л1 +1г«+‘ +1	(л +1)г”»+34~2^+3+- • •
О	о	о
+ШГ7‘Н+--] =
О
“^{1+z+('ii'+2f)ie+(ii’+22'+3i')^+(n+32r^f^4i)i4^’"'
•+[1т + ("Г1)24+("Г1)у+-+С72)₽й)!+л]г”+-' !
Это и есть искомое разложение. Функция / (г) является аналитической
в круге |г|<1, поэтому полученный ряд сходится в единичном круге. Так
как все коэффициенты ряда в фигурных скобках — положительные числа,
не меньшие, чем единица, то ряд расходится при г=\. Отсюда следует,
что радиус сходимости ряда равен единице.
184 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
10.	Деление степенных рядов. Перейдем теперь к вопросу
о делении степенных рядов. Пусть
ао (z — + • • • + ап (z — а)п • • •	(22)
и
b. + b - а) + ... Ч- bn(z-d)n-\- ...	(23)
— два степенных ряда с положительными радиусами сходимости г
и р, причем свободный член bQ второго ряда отличен от нуля. Обо-
значим через о не большее из двух чисел г и р: о = min (г, р)
(если г = р, то а = г = р). Тогда в круге \z— а | < о оба ряда схо-
дятся. Если в этом круге содержатся нули суммы ряда (23), то
возьмем новый круг меньшего радиуса, внутри которого сумма этого
ряда не обращается в нуль (такой круг существует, так как точка а
не является нулем для суммы ряда (23) в силу условия bQ 4s 0).
Итак, существует круг ]z— a|<R, в котором оба ряда сходятся,
причем сумма второго ряда не имеет нулей. Внутри этого круга
отношение
f (~\_~i~ at (z — я) + »- * +	(^ — a)n + ♦ • •	/олд
П )~ bQ + b±(z-a)+..,+bn(z^ar+...
представляет аналитическую функцию, как это следует из правила
дифференцирования частного. Поэтому существует степенной ряд
cQ+c1{z — a)+...^rcn{z — aT+...i	(25)
представляющий /(z) внутри круга \z — а|<7?. Ряд этот мы можем
называть частным рядов (22) (делимого) и (23) (делителя),
а самый процесс его Отыскания — делением рядов.
Произведем деление рядов сначала по методу неопределен-
ных коэффициентов. Для этого перепишем соотношение (24)
в виде
ko + ciC^ —а)+ •. • +cn(z—a)n+ ..• №04-M* —а)4~ • • •
..'.-J- bn(z—а)п 4-...] = а0+ at (z—a)+ ...+ап (z—a)n+...
и заметим, что наши степенные ряды, сходящиеся внутри круга
\z — а|</?, должны, сходиться здесь абсолютно. Поэтому ряды,
стоящие в левой части последнего равенства, можно почленно пере-
множить. Выполняя перемножение, получим:
саЬ0 + (^1 + А) —а) 4- (с0Ь2 4- с Д 4- c2b0) (z — а)2 4-...
• • • 4-M»-+-cA-t+ • • • 4~СА)(2 fl)n4- • • • ==
= «о+ (2—а)4- ... 4- an(z — а)”4- ... (26)
Из того, что суммы степенных рядов, стоящих слева и справа,
совпадают в круге \z-—а| </?, следует, по свойству единственности
для степенных рядов, что коэффициенты обоих рядов равны. Полу-
10. ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
185
чаем уравнения
c(fio = ^0»	I
с0^2 Ч- С1^1 ~Ь с2^0 = а2’
(27)
C<fin + с1^п-1 Ч~ С2^п-2 + • • • + cifio ~ ап>
Это — бесконечная система линейных уравнений относительно не-
известных коэффициентов clt с2, ..., сп, ... Особенность этой
системы, крайне упрощающая ее решение, состоит в том, что для
любого n(n = 0, 1, 2, 3, ...) первые п+1 уравнений содержат
первые п+1 неизвестных. Определяя с0 из первого уравнения
с0 = ~(Z>o =И= 0, по предположению) и подставляя во второе, получим
уравнение ~ bx + ctbQ = av откуда
"0
Пусть вообще мы нашли значения первых п коэффициентов
£0, ci> •••» сп-г Подставляя их в п+1 уравнение, получим:
г — cobn CiPn-i ... Сп-A
Таким образом/ можно определить коэффициент с любым наперед
заданным номером. Легко получить выражение для сп через коэф-
фициенты п0,	п2, ...» ап и bQ, Ь19 ..., bn в виде определителя.
Определитель системы, образованной первыми п+1 уравнениями,
равен
	0	... 0	
^0	0	... 0	
#2 Ьх	^0	... 0	=	о,
^п-1	• • • ^0
следовательно,
bQ	0	0	aQ
t	br	b0	°
Cn = £П+1	&2	^0	a2
bn	bn_^	bn_2 • • • O'n
(29)
Эта формула полностью решает задачу деления рядов.
186
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Покажем, что частное (25) двух степенных рядов может быть
получено путем деления ряда (22) на ряд (23), выполняемого по тем же
правилам, как если бы ряды (22) и (23) были многочленами, распо-
ложенными по возрастающим степеням z — а. Для доказательства
начнем производить указанную операцию. Получим:
«о+ .	(г—#)+•••+	% (z— а)п+...	(*—л)п+-

__а)4-.. | а^п
(г-аГ+...
#0 I #1^0 ‘— #0^1
*о+
(г — а)+ ...
~bn(z—а)»+...
2А^(г_а)+...+^=^йп_1(г_а)»+.„
"0
Первые два коэффициента получаемого частного совпадают со
значениями с0 и cv найденными выше из уравнений (27). Допустим,
что мы получили, таким образом, первые п коэффициентов частного,
совпадающие со значениями с0, с1г ...» cn_v найденными из си-
стемы (27). Тогда будем иметь:
a0+at(z-a)+ я2Сг-я)2+...+ an(z-a)n+..,\bQ+b1 (z-a)+...+bn(z-a)n+...
b0c0+blcQ (z~a)+b2co (* -«)2 + • • • + Vo (*-«)*+ • ’ • I co+ci (*-*)+• • • +cw-i (*-«/*+ • • •
^~a)+
+(a2-b2CQ) (z-a)2+...	\
...+(fln-fenc0) (z-fl)n+...	?	1-й	остаток
b0cl <z~a)+bici (-г-я)2*--*	'
(a2~b2C(TblCJ (z'a^+' ‘ *	l	2-й	остаток
+•••	J
(^“Я)п+... n-й остаток
Первый член n-го остатка есть (ап— bncQ—bn_xcr—...
...—^iVi) (*— a)w> поэтому следующий за cn_i(z— а)п~* член
частного равен
ап bncQ bn-iCi—...	\п
(Z — <Z) .
Но коэффициент этого члена совпадает со значением сп, определяе-
мым по формуле (28) из уравнений (27).
Итак, способ неопределенных коэффициентов в применении
к делению степенных рядов приводит к тому же результату,
что и операция, выполняемая по правилам деления многочленов,
расположенных по возрастающим степеням x — z — а.
Приведем пример на деление степенных рядов. Рассмотрим функции
10. ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
187
Функция эта является аналитической во всех точках плоскости, за исклю-.
чением нулей функции г*-—1, т. е. за исключением точек 0, ± 2«/, ± 4тс/,...
Заменяя es — 1 разложением в ряд
е 1 “ 1 + 21
zn
та
^(г)-——
14--—
2!
и сокращая числитель и* знаменатель дроби на г, мы получим следующее
выражение для Г (z) (которое определит функцию F(z) также и приг = 0):
1
(я + 1)|-*-•••
Ряд, стоящий, в знаменателе, сходится при любом г и имеет те же нули,
что и функция ez—1, за исключением одного нуля в начале координат.
gZ_______________________________________________________________ 1
(Все это следует из того, что ряд этот представляет функцию —-— (при
z 0).) Поэтому внутри круга | z | < 2п сумма его не обращается в нуль.
Следовательно, функцию F(z) можно разложить в ряд в этом круге, поль-
зуясь делением рядов. Первое из уравнений (27) дает
с0«1 = 1, т. е. « 1.
Так как все коэффициенты ряда делимого, кроме начального коэффи-
циента, равны нулю, то (п -|- 1)-е уравнение (27) имеет-вид
с° +	- +с»-14 + с» = °	2> з, •••)• (30)
Это уравнение позволяет определять числа сп оцно за другим. Для опреде-
ления коэффициента сп можно воспользоваться также формулой (29):
Cq —’ 1,	—
=(— 1У*
1	0	0	... 1
_1_	1	0	... 0
2!			
1	1		л
3!	2!	1	... и
1	1	1	... 0
(п+1)Г	nl	(и-1)1	
	1	0	... 0
2!			
1	1	1	
•3!	2!	1	... и
1		1	л
4!	31	2!	,.. и
1		1	1
(п +1)!	п\	(л-1)1	“‘21
(n = 1, 2, 3,...).
Числа cwn! называются числами Бернулли и обозначаются через
&п 1=5 спМ
188 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ,
Через эти числа просто выражаются коэффициенты многих важных
соотношений. Для их вычисления имеем формулы: Во = со.О! = 1,
	1 2!	1	0	..0	
	1_	£	1	.. 0	
	3!	2!			
в„ = cnnl = (— 1)**я!	1	1	1		(я = 1, 2, 3...). (31)
 - -			-		
	4!	3!	2!		
	1	1	1	1	
	(П +1)!	п\	(п-1)! '	’ 2!	
Впрочем, вычисление бернуллиевых чисел удобнее производить последо-
вательно, пользуясь формулой (30). Из нее получаем:
«"(5гст)г+«-п1а+-+я"эт=0
,	Z , 14.	(п + 1)!
или, умножая обе части равенства на (я + 1)! и замечая, что
л	о л.,	/и *4“
есть биномиальный коэффициент ( £ )»
+	+Вп(Л + 1) = 0 (я = 1, 2, 3,...).
Формулу эту можно представить в следующем символическом виде:
(1 + B)n+1 — Bn+1 = 0.	(32)
После возведения в степень по биномиальной формуле все показатели сте-
пени здесь нужно заменить индексами.
Так как 30=1, то последовательно находим:
Во + 2В1 = О; В1 = -|в0=—
Во+ЗВ1+ЗВ2»0; В2=-1д,-В1 = -1;
Во + 4В1 + 6В3 + 4В3 = О; В, = -|в0-В1--|в2 = 0;
Во + 5В1 + 10В2 + 10В8 + 5В4 = 0;
В4 = -у Во - Вх - 2В2 - 2В3 = -1;
Во + 6В4 + 15В2 + 20В3 + 15В4 + 6ВБ = 0;
В5 = —|-Во-В1-4в2-^В3-4в4 = О;
Во + 7Bt + 21Ва + 35В3 + 35В4 + 21В5 + 7Вв = 0;
В8 = —у Во — В4 — ЗВ2 — 5В3 — 5В4 —; ЗВБ =
11.	разложение в степенные ряды функций ctgz, tgz, esc z и sec г 189
Итак,
Во=1, В^--В2 = 1,В3 = 0, В< = -1, Bs = 0, Вв = 1,...
Покажем, что все бернуллиевы числа с нечетными номерами, боль-
шими единицы, равны нулю:
B^+1 = 0 (£=1,2,3,...).
Для доказательства заменим в разложении
= со 4" с12 4" с• 4“ спгП 4“ • • • =
= В0 + ^г + §^+...+^<+... (33)
г на — z\ получим:
2___________2е*	_ 2в*	= D ___	2 I ^2	_^8 ,3 I
е~* — 1“	(#-* — 1)^“^— 1	.1! г ‘ 21 г 3!	+””
или, вычитая последнее соотношение из (33):
2______2е* «х __ z -39^1 z 4-2 — г3 4-	4-2 ^+1 z3^+4 д_
г*-1	2 2 1! 2 + Л 3! 2 ±”‘ + 2(2£ + i)l 44~---
Отсюда на основании единственности разложений в степенной ряд следует:
= — 1, В3 — В5 — ... = В2к+1 = ... = 0,
что и требовалось доказать.
Пользуясь доказанным свойством бернуллиевых чисел, мы можем пере-
писать разложение (33), в виде
оо
<34)
7c = l
И. Разложение в степенные ряды функций jctg г, tgz, cscz и sec z.
Из разложения (34) можно без труда получить разложения функций zctgz,
tgz и zcscz. Представим ctgz в виде
cos г eiil + e~ist _ e*te -|- 1	2Z
ctg2— Sin*- 1 e^ — e-i“ ~ e^— 1	e** — !’
откуда
. 2iz
^ctgz-lz + ^—r.
2Zz
Функцию —j можно разложить по формуле (34), если заменить
в этой формуле z на 2lz. Так как ряд (34) сходился при | г | < 2те, то вновь
полученный ряд будет сходиться при 12lz |< 2тс, т. е. при | z |< тс.
Итак,
=1 - ¥+2 (‘2/г)2й=1 -/г+S1 )fc w
и, следовательно,
 к~1
190
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Чтобы получить тейлоровское разложение tg z, проще всего заметить, что
ctg z — tg z — 2 ctg 2г,
откуда
tg z = ctg z — 2 ctg 2z.
Заменяя в формуле (35) z на 2z, получим ряд, сходящийся % при 12z | < те,
т. е. при 1 z I <	:
2^ctg2z=l + ^	(36)
Вычитая почленно (36) из (35), найдем:
“	22Л(1—22Ь)В,Ь
г ctg г — 2г ctg 2г = z tg z = \ (— 1)^-^jj—~
&=1
ИЛИ
‘g^=
4=1
ft_i22fc(22fc-l)B2fc
(2£)!
^2Л-1е
(37)
получения этого
ряда следует,
Из способа
те
< *2-
Переходя к функции ^cscz, замечаем, что
Z , , z
COS Z COS -7Г + Sin Z sin -я-
x , * 2	2	2
Ctg^ + tgy =
что он сходится,
если
,	*2
sin г cos у
z
cos 'ey
------------ = CSC z.
, 2
sin z cos
получим ряд, который будет сходиться
при
2»
Заменяя в (37) z на
||r | < у > t. e- ПРИ 1 2 I < Отсюда и из разложения (35), сходящегося
также при |г|<те, находим:
со
гcscг = гctgг + гtg j = l +	( — I)*-11—^-^-г^.	(38)
fc = l
Найдем, наконец, разложение sec г. Так как эта функция является ана-
литической в круге | z ] <	, то искомое разложение будет сходиться в том
же круге. Воспользуемся снова способом деления рядов. Будем иметь:
_ 1 1 _
sec г - ж -	T(_1)ft±L - . "
1	2t+4l	•	' (24)U •*'
==* л0 + a±z + tfgZ2 + • • •
11. разложение в степенные ряды функций ctg z, tg z, esc z и sec z 191
Из того, что sec г — четная функция, следует, что все коэффициенты, при
нечетных степенях аг, а3, аь, ... равны’ нулю:
sec-г ==----~----------= а0 4-	4-	4- ...	(39)
2!	4!	*
Коэффициенты а0, а2,	... этого разложения принято записывать
в виде
Е2к
= (* = 0’
Числа Е2к, определяемые таким способом, называются эйлеровыми
числами. Переписывая (39) следующим образом:
и производя умножение в правой части, найдем:
1 =Е°~ (2!"^"2^) г3
4- (Ql 4-	4-	f — 4-	4-	| гб ।
+ \4! +2!2!+ 41/	\6! +4!2Г 2!4!+ 6!Г + •”
откуда	z
£о=1>
I	^2	о
2|	-+	21	и’
4-	4-	= о
4! ‘212!	4!
fi) I ^2	। ^4	I	^6	 л
6!	412! ‘ 2! 4!	6!	’
Эти уравнения позволяют последовательно определять эйлеровы числа.
Получаем:
Ео=1(	= —1, £*4 = 5, Е6 = —61, £8 = 1385,...
Если вообще найдены числа £0, Ё2, ..., то для определения Е^п
имеем уравнение
^0 I_______^2______।	^4_______।	। ^2X1 _ л
(2и)!	(2п — 2)! 2!	(2п — 4)14!	(2п)! ~ ’
или
Ео + (22 ) ^2 + Q”) ^4 + • • • + (2п- 2) Е^~2 +	= °’
Отсюда следует, что если числа Eq, Ё2, ..Е2п-2 — целые, то и
число Е2п будет целым. Но первые найденные нами числа суть целые. Сле-
довательно, все эйлеровы числа — целые.
Разложение sec г окончательно запишем в виде
VI	Е2к
О
(40)
192
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Оно сходится при |г|<у. Эйлеровы числа Е2ь, входящие в коэффициенты
разложения, полностью определяются условиями
*0=1. eo + (22n)f2 + (24/’)f4+-..+(2n2l2)£2»-2 + f2» = O (41)
(n= 1, 2, 3, ...).
12. Разложение гармонических функций в ряд. Интеграл Пуассона
и формула Шварца. Пользуясь связью гармонических функций с аналити-
ческими, можно вывести основные свойства гармонических функций из уже
известных свойств аналитических функций.
Пусть и(х, у) — однозначная функция, гармоническая в некотором
круге /<: |г—	Тогда по п. 12 главы II 6 круге К существует одно-
значная гармоническая функция v (х, у), сопряженная с и (х, у). Образуем
соответствующую аналитическую функцию /(z) = и (х, у) 4" (х» У) и раз-
ложим ее в ряд по степеням z— г0. Получим:
/ (г) = 2 (“» + W ~ го)” 	(42)
о
где ап и — действительные числа. Введем полярные координаты г и О
с полюсом в точке z0, так что z = z0^re^, и будем употреблять для и (х, у)
и v(x, у) обозначения и (г, 0) и v (г, 0) в качестве равнозначащих с и (х, у)
и v (х, у). Отделяя в (42) действительные и мнимые части, получим ряды
и (г, 0) == а0 + 2 (aw cos — ₽» sin лв)гП»	(43)
1
V (г, 0) = р0 4- 2' (₽n^os «0 4- ап sin »0)	(44)
1
равномерно сходящиеся внутри К.
Таким образом, каждая функция и (г, 0), гармоническая внутри круга
|г—£()[</?, допускает в нем разложение вида (43), равномерно сходя-
щееся внутри этого круга. Коэффициентами ряда являются действительные
числа ап и — рп. Так как степенной ряд (42) сходится данном круге и,
быть может, имеет радиус сходимости, больший, чем R, то числа эти должны
удовлетворять неравенству
lim Vi «я +	|
П->оо
Легко видеть, что если ап и $п — a priori заданные числа, удовлетво-
ряющие последнему неравенству, то ряд (43) определяет функцию, гармо-
ническую внутри круга К. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
при выполнении указанного неравенства степенной ряд (42) сходится
в круге К и, следовательно, представляет в нем аналитическую функцию,
действительная часть которой и изображается данным рядом (43). Итак,
наличие разложения вида (43) или (44) с соответствующим неравен-
ством, наложенным на коэффициенты ряда, является характеристиче-
ским признаком функций, гармонических внутри данного круга.
12. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ФОРМУЛА ШВАРЦА
193
Применим сказанное к функции f (г) » у—,
которой в круге | z — г01 < р имеет следующий вид:
разложение
+	—^о) = _ j . 2pg/g
Р^* —(*~^с)	Р^а —(^ —^о)
== — 1 н- 2 Г1 +-—4- ...1=14-2 У .^n е-ш^
1	|_	*	р^«	1 р^Зга “ J ~	pn	’
1
получим *):
оо
Re / (»>D р! + r3 _ 2,р cos (S - .) = 1 + 2 S (?) с03 л <в —	<45>
1
причем оба ряда равномерно сходятся внутри круга |г— zQ\<p.
Возвращаясь к рядам (43) и (44), перепишем первый из них, заменив г
через произвольное р(р</?) и 0 — через а, затем умножим обе части на
cos та и проинтегрируем (при фиксированном р) по а в пределах от нуля
до 2к. Получим:
2п	2п
J* и (р, a) cos та da = атрт j* cos2 та da,
о	о
откуда
2’	2к	"
“° = 2п J U da’ “ш ~ прт J U (Р’ C0S та da	(47)
Аналогично, умножая на sin та и интегрируя в тех же пределах, найдем:
2тс
— = ys J “ (р> “) sin та da (т > !)•	-	(48)
О
Подставляя найденные выражения для ап и в ряды (43) и (44),
будем иметь:
2к	со 2гс
«(г, 0) = 2^ У“(р’ а)Л + J U('?’ “)cosm(e —a)rfa(y)”*>
О	10
оо 211
i> (г, 6) = % + 7 J и (р> °) sln т (® “ “)da (у)”**
1 о
*) Действительную и мнимую части f(z) находим, умножая числитель и
знаменатель на выражение, сопряженное со знаменателем:
р^« 4-	_ (р^« 4- ге^) (ре-^ — ге~^) _ р2 — г2 4- /2гр sin (0 — g)
ре^ — ге^ ““ (ре^ — ге^) (ре^^ — ге~^) ““ р2 4" — 2rp cos (0 — а) ‘
13 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
194 ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Пусть р удовлетворяет условию г < р < R. Очевидно, последние фор-
мулы могут быть получены из формул (45) и (46) путем умножения на
— и (р, а) и почленного интегрирования по а в пределах от нуля до 2л (при
фиксированных г и р). Все эти операции законны в силу равномерной схо-
димости рядов (45) и (46) внутри круга [г — г0|<р.
Итак, получаем:
и (г, 6) =
к(р, а)
cos п (0 — а)
da =s
2тс
Г	р2 — /*2
J а) р2 + г2 — 2рг cos (0 — а)
о
1
2л
sin п (0 — а) Ida ==
2п
о । 1 f /	\ 2rP sin (6 — а)$
₽о + 2л J а а р2 4- Г2 — 2rp cos (6 — а) а’
(49)
(50)
Мы нашли для функции и (г, 0) и сопряженной с ней функции v (г, 6)
интегральные представления через значения и (р, а) в точках окружности
| Z — Zq I = Oq < R.
Различие вида интегралов в формулах (49) и (50) объясняется тем, что
во второй из них гармоническая функция v (г, 0) выражается не черё^
свои собственные значения на окружности |г— г0|=р, а через значения
сопряженной с ней функции. Однако формула (49), установленная для
любой гармонической в данном круге функции, справедлива также и для
v(x, у). Поэтому для о (г, 0) имеем формулу, аналогичную формуле для
и (г, 6):
2тс
1 Г	р2 —Г2
V (г, 0) = 77- V (р, а) ----5 77-------77----г da.	(51)
'	7 2л J 7 р2 -j- f*2 — 2pr cos (0 — a)	v 7
о
Интеграл, стоящий в правой части формулы (49) или (51), называется
интегралом Пуассона соответствующей функции и (р, а) или v (р, а),
а гармоническая функция
________Р2 —г2___________ п Г ^ + (z — Zq) 1
р‘2 г2 — 2pr COS (6 — a) L Р^а — (* — го) J
— ядром интеграла Пуассона.
Полагая в формуле (49) и (г, 0) = 1, получаем:
2те
1 f ______________р2 —- Г2_____________
2л J р2 4- г2 — 2pr cos (0 — а)
(52)
Вообще, если (а) — действительная функция, определенная и непре-
рывная на сегменте [0, 2л], то мы будем называть интегралом Пуассона
12. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА И ФОРМУЛА ШВАРЦА
195
выражение вида
2п
1 Г . - О2 — Г9
25? J ф ра + г2 —2pr cos (в —a) da’	(53)
О
не требуя, чтобы функция 9 (а) совпадала со значениями некоторой гармо-
нической функции и (р, а). Можно доказать, что интеграл (53) представляет
гармоническую функцию в круге |г— -г0|<р, которая при приближении
точки (г, 0) к какой-либо точке (р, а) стремится к пределу, равному ср (а) *).
Интеграл Пуассона диалогичен интегралу Коши, распространенному на
окружность, и может быть получен некоторыми преобразованиями из по-
следнего интеграла. С этой целью рассмотрим наряду с формулой Коши
J	<и>
| яр
где точка г лежит внутри окружности | С — г01 = р0, интеграл Коши,, полу-
рз
ченный путем замены z точкой г* == z0 4- ——=—, симметричной с z отно-
2 — Zq
сительно окружности ] С — г0| = р. Так как точка г* лежит во внешности
окружности, то этот интеграл должен равняться нулю:
°-Ж7 J	<И>
Вычтем почленно (55) из (54) и преобразуем результат, воспользовавшись
тем, что
С — z = С — zq — (z — г0) =2	— г&\
О2 А
5 — z* == £ — z0 — (г* — г0) = р^а — у и (ZCZp^« da.
Найдем:
I ^-“Zq I sp
2тс
= — f fit} Г Р I	1 d _s
2л J . L р _г^(в-а) р—9) J
2тс
_ 1 f ,	р2_ г2
2л J р2 4- г2 — 2гр cos (a — 0) ^a‘
о
Заменяя здесь /(г) на и (г, 6) + Zv(r, 6), а/(£)— на и(р, а) 4-iv (р, а)
и отделяя действительные и мнимые части, вновь получим формулы (49) и (51).
Из формул (49) и (50) легко выводится важная формула, выражающая
аналитическую функцию /(г) через значения ее действительной части на
*) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических функ-
ций, Гостехиздат, 1950, гл. VI, п. 1.5.
13’
196
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
окружности. А именно, умножая (50) на I и складывая с (49), получаем:
2*
ч ,0 .1 f / чГ__________Р2 —Г2______| . 2rp sin (0 — а) 1
/ W в Ро + 2к J и [pa г2—2rр cos (6—а)	* р2 + г2—2r р cos (0—a)J а*
о
Но выражение в квадратных скобках представляет собой аналитическую
функцию от г:
р^« — (г — г0) ’
Поэтому
2к
/w-*+£f.»-.>-g±grg...	(56)
О
Здесь /р0 — чисто мнимая постоянная, представляющая мнимую часть значе-
ния /(z0); эта постоянная, конечно, не может быть определена по действи-
тельной части функции f(z). Формула (56) называется формулой
Шварца.
Из формулы (49) получаем при г = О, т. е. для центра круга К:
2к
и(Х0, Уо) = j «(Р>
о
где и(р, а), как условлено, обозначает значения функции и(х, у) в точках
окружности |г —z0| с центром в г0 = *о +/уо- При более подробной записи
будем иметь:
2к
и(х0, y0) = ^-Ju(x04-pcosa, Уо + Р sin «) rfa.	(57)
о
Итак, значение гармонической функции в центре круга равно сред-
нему арифметическому ее значений на окружности с центром в этой
точке. Можно доказать, что последнее свойство является характеристиче-
ским свойством гармонических функций. Точнее говоря, справедливо сле-
дующее предложение:
Пусть и(х, у) — действительная функция, однозначная и непрерыв-
ная в области G. Если для каждой точки г0 = xQ + /Уо С О существует
окрестность [ z — г01 < о (г0), в которой и (х0, у0) равна среднему ариф-
метическому своих значений по любой окружности \г — го| = р(О<
< р < о (г0)), то и (х, у) является гармонической функцией в области G *).
*) См., например, А. И. М а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функ-
ций, Гостехиздат, 1950, гл. VI, п. 3.1.
ГЛАВА VII
РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧ-
НОГО ХАРАКТЕРА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Ряд Лорана. Среди классов рядов аналитических функций,
отличных от степенных, наиболее близкими к степенным по своему
происхождению и свойствам являются ряды, расположенные по целым
отрицательным степеням z—z^0:
А)+A(*-*oF2 + • •. + лп(г^0)-” + ...	(1)
Полагая С
—, преобразуем ряд (1) к виду
го
ЛО + Л1С + Л2Г2+ ... +Л/Л+ . • •
(2)
Радиус сходимости последнего ряда есть /? ------------------; если
fim у | Лп|
п -> оо
R = 0, то ряд (2) сходится только в точке С = 0; если 0 < R < сю,
то ряд абсолютно сходится в круге | С | < R и расходится вне его;
наконец, если R = oo, то ряд абсолютно сходится в каждой конеч-
ной точке плоскости. Отсюда в силу соотношения | С |	~—i
сле-
__~ .
дует, что если lim у | Ап | = сю/ то ряд (1) расходится в каждой ко-
нечной точке; если 0 < lim у | Ап | < сю, то он абсолютно сходится
________________п _____ _______________________________п ____
при ]z— ^0 | > lim]/| Ат\ и расходится при | z — z0] < lim 1/ | Ап |;
________________п -----
наконец, если lim]/1 Ап | = 0, то ряд абсолютно сходится во всех
точках плоскости, за исключением точки г = ^0. Иными словами,
область сходимости ряда (1) есть внешность круга радиуса
_______ п _____
r= lim ]/|Лп| с центром ^0, которая при г = сю вырождается
П -> оо
в бесконечно удаленную точку, при 0 < г < сю является внешностью
круга в собственном смысле слова и, наконец, при г = 0 превра-
щается во всю плоскость, за исключением из нее точки z = г0.
_____________________________п ----
Будем считать, что г = lim у | Ап | < сю; тогда действительно
198
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И , МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
существует область сходимости ряда (1) |z— z0|>r, которую мы
обозначим через К. Так как ряд (2) сходится равномерно на каждом
замкнутом множестве точек круга k\ | С | < R, и линейное преобра-
зование С =---- переводит любое замкнутое множество точек
<2* — ^0
круга k в некоторое замкнутое множество точек области Д’ и
обратно, то ряд (1) равномерно сходится внутри области /<. В этой
области он определяет функцию F(z)\
F(2) = 4o4-A(2-Zo)-1+...+^n(^-2o)-”+....	О')
аналитическую (по теореме Вейерштрасса) во всех конечных точках
области К. В бесконечно удаленной точке F(z) принимает значе-
ние Л: F(oo) = Aq. Будем, по определению, называть функцию F (z)
аналитической в бесконечно удаленной точке. Таким
образом, аналитичность функции в бесконечно удаленной точке будет
характеризоваться наличием разложения вида (1'), сходящегося в не-
которой окрестности бесконечно удаленной точки.
Рядом, обобщающим понятие ряда, расположенного только по
целым неотрицательным степеням z— zQ (степенного ряда) или только
по целым неположительным степеням z — z0, является ряд Лорана.
Так называется ряд вида
4-оо
^an(z—z0)n.	(3)
—ОО
Ряд этот понимается как сумма двух рядов
оо	оо
и %a_m(z — z0)~m	(4)
О	1
и рассматривается как сходящийся тогда и только тогда, когда схо-
дятся оба ряда (4). Итак, по определению:
4-оо	р.
%a„(z-z/ = lim — 20)“+ lim % a_m(z— z0)~m,
—oo	s • V -> оо 0	p. -> 00 1
или, что то же самое,
Ч-оо	ч
%an(z — zof= lim ^an(z — za)n.	(5)
— OO	V ->oo — p.
p. -> oo
Здесь и n стремятся к бесконечности независимо друг от друга*
В последнюю запись вкладывается следующий смысл: для любого
е>0 существует такое 7V(e), что неравенство
4-оо	v
5 ап (z — z0)n — ^an(,z — z0)n
— оо	—р.

выполняется при \>Л/(е) и [х > М(з).
1. РЯД ЛОРАНА
199
Свойства абсолютной и равномерной сходимости ряда Лорана
в силу определения сводятся к соответствующим свойствам рядов (4).
—_ п ----- ------------- т ______
Обозначим lim у | ап [ через X и lim	через г. Тогда
п -> оо	оо
первый из рядов (4) сходится абсолютно и равномерно внутри
области О, представляющей внутренность окружности Г: \z—£0|~
= -!- = /?, и расходится во внешности этой • окружности, а второй
из рядов (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области g,
представляющей внешность окружности у: \z—z0| = r, и расхо-
дится во внутренности этой окружности.
Области О и g имеют общие точки тогда и только тогда, когда
выполняется неравенство
r<R.	(6)
В этом случае общая часть областей G и g представляет круго-
вое кольцо D:
г <\z — z0\<R.	(7)
Внутри области (7) оба ряда сходятся абсолютно и равномерно,
следовательно, внутри этой области абсолютно и равномерно схо-
дится и ряд Лорана (3), представляющий в D некоторую аналити-
ческую функцию
4-со
f(z)=	— Zo)n	(r<|z—:г0|</?).	(8)
— ОО
В каждой точке вне областей D расходится один из рядов (4),
тогда как другой ряд продолжает сходиться; отсюда следует, что
вне области D ряд Лорана расходится. Итак, область сходимости
ряда Лорана есть круговое кольцо *) (при условии (6)). В даль-
нейшем, говоря о рядах Лорана, мы всегда будем предполагать, что
выполнено ^условие (6), без которого не существует области сходи-
мости ряда.
Если г < р < /?, то ряд (8) равномерно сходится на окружности у:
|z— ^о1 = Р» он будет равномерно сходиться на у и после того,
как все члены будут умножены на -^(z—	где — произ-
вольное целое число. Интегрируя полученный ряд по у, найдем:
(*	+о° г
2к1 J	dz=sj^ апъй J {z — z^-11-1 dz.
у v '	—co	у
Все интегралы в правой части, как показывает простое вычисле-
ние (следует воспользоваться уравнением окружности у: z — z§ pei9
*) Кроме того, ряд Лорана может еще сходиться в некоторых точках,
лежащих на границе кругового кольца.
200
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(0	6	2я)), равны нулю, кроме одного, соответствующего n = k
и равного 2тг/. Следовательно,
(* = «.±‘.±2....).	(9)
Мы получили выражения для коэффициентов ряда Лорана через
сумму этого ряда. Отсюда следует, что если суммы рядов Лорана
4-оо	-f-oo
/(*) =	— ?о)к и ©(?)= ЕМ*—*oA
— 00	—оо
сходящихся в круговых кольцах D и Д, содержащих одну и ту же
окружность \z— zQ I = р, совпадают в точках этой окружности, то
коэффициенты обоих рядов попарно равны
ак=^ьк (& = 0, =t 1, ±2..
т. е. ряды тождественны. В частности, ряды будут тождественными, -
если кольца D и Д совпадают друг с другом и f(z) — v(z) во всех
точках кольца £). Из изложенного вытекает, что разложения в ряд
Лорана обладают свойством единственности.
Опираясь на свойство единственности, получим .совершенно так же,
+оо
как и в п. 3 главы IV, что если разложение 2 ак%к представляет
—оо
четную функцию, то в нем равны нулю все коэффициенты при не-
четных степенях z, а если нечетную, то равны нулю все коэффи-
циенты при четных степенях.
2. Теорема Лорана. Докажем следующее важное предложение.
Теорема Лорана. Каждая функция f(z), однозначная и
аналитическая в круговом кольце D: r<\z— zQ | < /?, предста-
вляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана
4-оо
/(*) =	z0)n.
— ОО
Заметим, что в условиях этой теоремы кольцо может вырождаться
в круг с выколотым центром (г = 0, 7? < оо), во внешность круга
с выколотой бесконечно удаленной точкой (0 < г, R = сю) и, нако-
нец, во всю плоскость с двумя выколотыми точками z0 и оо (г = О
и R = оо). Указанные случаи не исключаются при дальнейшем дока-
зательстве.
Пусть z — какая-либо точка кольца D. Образуем новое кольцо D':
r'<\Z-z0\<R',
лежащее внутри первоначального и содержащее точку г (черт. 48).
Чтобы построить его, достаточно взять:
г < г' < I z — Zq I < R! < R
2. ТЕОРЕМА ЛОРАНА
201
Пусть еще | С — z | = р — окружность
внутри /У. Так как
с
‘ х 7 С — z
является аналитической функцией от £ в области D, исключая точку
t = z, то по интегральной теореме Коши для составного контура
(п. 9 главы V) будем иметь для нее:
1 f /(О	1
2тЛ JC —г ~~2™
YRf
4 В ™
То
где Г/г, 1> и YP обозначают соответ-
ственно окружности
|С — г0| = Я',
IC—г0| = г' и |С —z0| = p,
центром в z, лежащая
проходимые при интегрировании в направлении против часовой
стрелки. Но последний интеграл в формуле (10) есть интеграл Коши
и, следовательно, равей f(z). Поэтому
2nl	'	2«Z J С — z*
yr<	Yr'
Представим под .знаком первого интеграла (С£Гв') в виде
суммы геометрического ряда со знаменателем , модуль кото-
* — <2?о
рого
R — zp I _ \г — г0\ _ fl .
|С-г0|— К
Получим:
1	_ 1	1	_..У (*-го)”
С —г	С — z0 — {г — г0) С — z0 .	z — г0	АЛ (С — z0)^'	’
,	1	С-*о	°
Так как для всех точек С, принадлежащих Гд-, модуль общего члена
последнего ряда есть
1 -i£~ I — J- Q” (0 < 6 < 1)
| (С — г0)п+1|	R'
то ряд (12) равномерно сходится на Гд- (относительно С). Равно-
мерно будет сходиться также и ряд, получаемый из (12) путем
202
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
умножения на функцию -^/(С) (ограниченную по модулю на Гд-):
СО
1 /(g) _ V 1	/(0 /г , у»
.	2я/ с — г ~ АЛ 2п1 (С — z0)ra+i1	°' ’
о
Отсюда следует, что последний ряд можно почленно интегрировать
на Г/?'. Получим:
г	00
\^^-%an(z-zor,	(13)
Гд'	о
где
an’~2nl J (С —J0)«+i	(« = 0. 1. 2,...).	(14)
ГЛ'
Итак, первый из интегралов в правой части равенства (11) мы
разложили в сходящийся ряд по неотрицательным степеням z — z0.
Обращаясь ко второму интегралу ацравой части равенства (И),
представим —как сумму геометрического ряда со зна-
г___________z
менателем --- , модуль которого
г — z0
|Ll£o|=^_=={,<1.
Р —г0| |г — г0|
Получим:
:___!_______1__1	_ у (с-^о)п	'
. С-г0 ~^(2—г0)«+1’	U°-’
1 —	о
Z--Zq	'
Замечая, что этот ряд также сходится равномерно на Г/, умножая
все члены его на ~~/(С) и интегрируя почленно, находим:
*	со
-Я	<16)
гг,	1	.
где
°-. ° я J Л?, Л	<" = ' 2->-	<17>
Ггг
Итак, второй интеграл в правой части равенства (И) мы пред-
ставили в виде суммы сходящегося ряда, расположенного по отри-
цательным степеням z — zQ.
Подставляя найденные разложения (13) и (16) в правую часть
равенства (11), получаем разложение функции f (z) в ряд Лорана
3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 203
для произвольной точки z £ D:
оо	оо	Ч-оо
=	—^o)n + Sa-n(^ —^оГ”= 2ай(г-z0)n. (18)
О	1	—оо
Коэффициенты этого разложения вычисляются частью по форму-
лам (14), частью по формулам (17). Беря произвольную окруж-
ность Г: \z— ^0| = Х, где г < X < R, убеждаемся с помощью инте-
гральной теоремы Коши для составного контура, что каждый из них
можно вычислять, выполняя интегрирование по окружности Г:
Un ~ М / (С-~г0)п+1	(n==0, ± 1, ±2,. . .).	(19)
г
Этот результат вполне согласуется с полученным нами ранее (см.
формулы (9)).
3. Изолированные особые точки однозначного характера. Рас-
смотрим однозначную функцию /(г), аналитическую в окрестности
точки Zq, за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда
f(z) является аналитической в-некоторой области D:
0<|г — z0|</?. t
Относительно точки zQ можно сделать два предположения. Во-
первых, возможно, что существует конечное комплексное число а0
такое, что, положив /(^0)=a0, мы получим функцию f(z), аналити-
ческую во всем круге [z — z0| < R (включая точку z0). Во-вторых,
возможно, что такого числа не существует. В первом случае гово-
рят, что Zq—правильная точка функции f(z) или что функ-
ция f(z)—правильная в этой точке; во втором случае zQ назы-
вается изолированной особой точкой однозначного
характера для функции f(z), коротко особой точкой.
Основным аппаратом для представления и изучения аналитической
функции в окрестности изолированной особой точки zQ является ряд
Лорана. Применим теорему Лорана к функции f(z) в области
D: 0 < |z — z0| < R. Эта область есть вырожденное круговое кольцо
с внутренним радиусом г == 0. Получим:
+ оо
/(*) = San(^-zor (z$D),	(20)
— ОО
где
= J (С —	(я==0> —	±2,...),
причем тР есть окружность с центром в точке zQ и радиусом
р (0 < р < R). Разложением (20) можно пользоваться и в том случае,
когда Zq — правильная точка. В этом случае ряд Лорана превращается
в ряд Тейлора, и мы имеем: а_г а_2 = ...= 0.
204
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Докажем следующее основное предложение.
Теорема. Для того чтобы функция f(z), однозначная и ана-
литическая в области D: 0 < | z— z0| < R, была правильной
в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы существовала
окрестность U точки z0, в которой f(z) ограничена по модулю.
Доказательство. Пусть точка zQ является правильной для /(г).
Тогда ](z) можно определить в точке Zq так, что она станет анали-
тической и, следовательно, ограниченной в некоторой окрестности
точки Zq. Тем самым необходимость условия теоремы доказана.
Докажем теперь достаточность. Пусть существуют окрестность U
точки Zq и положительное число М < оо такое, что
|/О)| < М для всех z£U.
Тогда, выбирая р (0 < р < R) так, чтобы окружность ур принадле-
жала U, получаем из формул (19) для модулей коэффициентов ап
ряда Лорана (20) следующие оценки:
I ап I < git * т* е* । Ct'n । < р™ *
Рассмотрим здесь лишь коэффициенты при отрицательных сте-
пенях z — Zq, т. е. для п < 0. Устремляя р (подчиненное единствен-
ному условию 0 < р < R) к нулю, получим, очевидно:
ап = 0 при п = — 1, —2, —3,...
Итак, ряд Лорана превращается в ряд Тейлора
оо
f(z)—^an(z — гй)п\
О
остается положить:/(г0)= я0, чтобы убедиться, что точка z0 является
правильной для f(z).
Из доказанной теоремы вытекает, что для того, чтобы точка Zq
была изолированной особой точкой для f(z), необходимо и достаточно,
чтобы в любой ее окрестности модуль ]/(,?) | был неограниченным,
т. е. чтобы выполнялось условие
lim | f(z) | = + оо.	(21)
Z -> Zq
Отсюда следует, что.a priori имеются две возможности для по-
ведения f(z) в окрестности изолированной особой точки:
a)	lim /(.?)= со;
б)	не существует ни конечного, ни бесконечного предела функ-'
ции f(z) при z, стремящемся к Zq.
Каждый из этих случаев действительно осуществляется.
3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 205
1
(* — *о)
Положим f(z)
, где п — натуральное число. Очевидно, эта
функция является аналитической при 0<|г — I и для нее lim /(г)««оо-
* -> «и
Итак, в этом примере осуществляется случай а).
1
В качестве другого примера возьмем /Сг) = £г~г°. Эта функция также
является аналитической при 0<|г—- z0[, но в отличие от предыдущего при-
мера lim f(z) не существует. В самом деле, если, например, точка 2 лежит
«-> <о
на прямой, проходящей через параллельно действительной оси, так что
1
z — = х — xq — действительное число, то при X > Л0 и X -> Xq еХ~Х* -> ОО?
I
а при х < xq и х -> Xq ех~х° -> 0. Итак, в этом примере осуществляется слу-
чай б). На черт. 49 представлена поверхность u = jexpy|—рельеф рассма-
триваемой функции (при Zq ® 0) *).
*) Чертеж заимствован из «Таблиц функций» Янке и Эмде.
206
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Изолированная особая точка zQ однозначного характера, для ко-
торой выполнено условие a) dm /(г)=оо, называется полюсом
аналитической функции.
Изолированная особая точка zQ однозначного характера, для ко-
торой выполнено условие б): lim f(z) не существует (ни конечный,
ни бесконечный), называется .существенно особой точкой
функции.
Исследуем подробно каждый из этих двух типов особых точек.
Пусть z0 есть полюс функции f(z). Тогда lim | f(z) | = оо и,
следовательно, существует окрестность \z —	точки zQi
в которой /(г) удовлетворяет неравенству |/(^)| > 1. В этой окрест-
ности функция ср (z) = бужт, очевидно, аналитической всюду,
за исключением, быть может, точки z0. Но из того, что
|rp(2)| ==_L-j < 1, следует по теореме этого пункта, что точка г0
является правильной для ®(г). Значение этой функции в точке
равно lim у-Ц = 0. Поэтому точка г0 является нулем функции ф (z).
Обратно: если известно, что ф(г)— функция, однозначная и ана-
литическая в некоторой окрестности точки z^ и zQ является нулем
этой функции, причем о(г)ф0, то можно указать Д>0 столь
малое, чтобы ср(^) не имела в круге \z — .г0|<Д других нулей,
кроме точки Zq (см. п. 7 главы VI). Образуем функцию /(^) = у^;
она является однозначной и аналитической при 0<|z — £0|<Д и
стремится к оо, когда z стремится к zQ. Следовательно, Zq является
полюсом для f(z). .
Итак, мы доказали следующее предложение: для того чтобы
точка Zq была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно,
чтобы эта точка была нулем для функции ф(г)==у-^.
Благодаря этому свойству, устанавливающему соответствие между
нулями и полюсами, появляется возможность ввести понятие крат-
ности или пор яд ка кратности (короче, порядка) полюса.
Мы будем говорить, что точка zQ является полюсом кратности k
1) для функции /(г), если эта точка является нулем порядка k
для функции y(7)‘ В случае k = 1 полюс будет называться про-
стым, в случае & > 1 — кратным.
В окрестности полюса кратности k лорановское разложение имеет
определенный характер, который мы сейчас обнаружим. Именно,
докажем следующее предложение:
Для того чтобы точка z0 была полюсом кратности k для
функции f(z), необходимо и достаточно) чтобы лорановское раз-
ложение f(z) в окрестности точки Zq не содержало членов со
3. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 207
степенями ниже, чем —k, и коэффициент при (z— z^~k был
отличен от нуля. Иными словами, лорановское разложение функ-
ции f(z) должно иметь вид
f(z) = a_k(z — £0)-a+ ... +o_t(г —z0) + а0 +
4-«i(z — 20)	(22)
где а_*=£0.
Пусть, в самом деле, z$ есть полюс функции /(z). кратности k.
Тогда для мы должны иметь в этой точке нуль порядка k,
откуда
_>_==A(z-^4-A+1(^-^)ft+1+.-- GM=0)
в некоторой окрестности точки zQ. Поэтому
f(z) —_____________________-..,____________!__________.
(z — zQ)k Au 4~ Ak+i (z — z0)
(23)
Степенной ряд Ak-\-Ak+x(z— z0)+... представляет аналитическую
функцию, не обращающуюся в нуль в некоторой окрестности точки zQ
(так как Лд.=#0). Поэтому функция	г ) ;р— является
аналитической в окрестности z0 и допускает разложение вида я0 +
-^a^tz — z0)+..., где а0 = 4-#=0- Подставляя последний ряд в фор-
мулу (23), получаем для /(z) разложение
f(z) = а0(z — z0)~k4- 04(z — z0)-fc+14-.... (ао4=О),
которое в силу единственности разложения в ряд Лорана является
лорановским разложением функции /(z). Оно совпадает с (22) с точ-
ностью до обозначений — an-k> п = L 2, ...).
Итак, условие доказываемой теоремы является необходимым.
Докажем теперь, что оно и достаточно. Пусть /(z) обладает в окрест-
ности z0 разложением вида (22), где а_к =£ 0. Переписывая его
в виде
f /~\  	+ 1 (z — ^о) + «•»
(2-2^
заключаем отсюда, что
7<z)~^Z~ Z^ м + М+1(г-г0)-н..?
или, заменяя функцию----;------------------- ее разложением в ряд
a-/c4-a-/c+iC* — *0)+ •••
Тейлора по степеням z—z0:
— —zo)k IPo~I- Pi (2— 2o)+ • • •] =
ГАе =
208
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Мы нашли, что. точка г0 является нулем порядка k для функ-
ции ттт- Следовательно, та же точка есть полюс кратности k для
/(г)
функции /(г). Теорема доказана.
4. Теорема Сохоцкого. Обратимся к случаю существенно особой
точки. Поведение функции в окрестности существенно особой точки
характеризуется следующим предложением:
Теорема Ю. В. Сохоцкого. Каково бы ни было комплекс-
ное число А (собственное или несобственное), существует такая
последовательность точек {zn} ^сходящаяся к существенно особой
точке zQ) что lim f(zn) = A.
n -> оо
Доказательство. В случае, когда Л = оо, теорема спра-
ведлива, ибо функция f(z) не ограничена по модулю в любой окрест-
ности существенно особой точки. Пусть теперь А =/= оо; будем
доказывать теорему от противного. Если в произвольной окрестности
точки z0 нельзя найти точек, в которых значения функции сколь угодно
близки к Л, то должны существовать окрестность 0 < | z — о
и число а>0 такие, что |/(г) — Л|>а при 0
Построим функцию ср (z) =	> она является
J А
в окрестности 0<|г — г0|<8. Кроме того, она
в этой окрестности неравенству
Следовательно, по первой теореме п. 3 y(z) является правильной
в точке z0 и ее значение в этой точке должно равняться пределу
lim ——2. Но f(z) не ограничена ни в какой окрестности точки z0.
z->z0	А
Поэтому указанный предел может быть только нулем, т. е. cp(^o)==O.
Итак, функция —имеет нуль в точке z0, откуда вытекает, что
/С2*)— А
функция f(z) — Л, а значит и f(z), имеет полюс в этой точке. Мы
пришли к противоречию с условием теоремы, откуда и следует ее
справедливость.
аналитической
удовлетворяет
Иллюстрируем эту теорему на двух примерах.
Примеры: a) f(z) = sin — . Здесь существенно особой точкой является
начало координат. В самом деле, при z, стремящемся к нулю, sin-j- не стре-
мится ни к какому пределу, ни к конечному, ни к бесконечному, как не-
медленно обнаруживается при рассмотрении одних лишь действительных
значений г.
_	Z	1
Если Л = оо, то, полагая, например, zn == и, следовательно, — = — In,
и	гп
получим:
sin — = — I sh п оо при п -* оо.
2п
4. ТЕОРЕМА СОХОЦКОГО
209
Пусть теперь А оо. Чтобы получить последовательность {гп}> о кото-
рой говорит теорема Сохоцкого, попытаемся решить уравнение
sin — = А.
z
Получим:
~ = Arc sin А = -j- Ln (tA + У" 1 — А2),
откуда
Ln (1А + У1 — Л2)	In | 1А + У1 — А21 -j- 2Ы ’
Полагая
=_____________I__________
” “ In 11А 4-	I + 2/Ы
и придавая п значения 1, 2, 3, получим последовательность {zw}, сходя-
щуюся к нулю и удовлетворяющую условию
f(zn) = A (я=1, 2, ...),
следовательно, lim f(zn) — А.
п->оо
1
б) f(z) = ez. Здесь существенно особой точкой также является начало
1
координат, так как снова не существует предела lim ez.
Z->0
Полагая А = оо, возьмем хп — —. Имеем: f (zn) = еп -> оо при п->оо,
т. е. последовательность | ~ | отвечает утверждению теоремы Ю. В. Сохоц-
кого при А = оо. Пусть теперь А = 0. Тогда, полагая гп = —будем
иметь: /(zw) = ^“n при п->оо, т. е. утверждение теоремы проверено и
в этом случае. Пусть, наконец, А =£ 0, А #= оо. Здесь проще всего подобрать
соответствующие точки гп, решая уравнение
- ,Кл.
Получим:
— = Ln А,
Z,
откуда
_ 1 _ i
г~ ЕпЛ- 1п|ЛЦ-2ЛкГ
Полагая
г” = In I л | + 2ял/ (n = 1, 2,...),
будем иметь последовательность {zn}, сходящуюся к нулю и удовлетворяю-
щую условию f(zn) = А; следовательно, lim f(zn) = А.
П->ОО
Из теоремы Ю. В. Сохоцкого вытекает, что если —сущест-
венно особая точка функции /(г) и — множество значений, при-
нимаемых функцией в произвольно малой окрестности \z — z0[<3
14 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
210 ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
этой точки, то замыкание множества Еь (т. е. Е% вместе со всеми
предельными точками этого множества) совпадает с расширенной
комплексной плоскостью.
В самом деле, каждая точка А комплексной плоскости является
пределом для последовательности {/(zw)} точек, принадлежащих к Еь,
и, следовательно, А принадлежит замыканию множества Е§.
В примерах а) и б) мы видели, что за отдельными исключениями
(Л = оо в первом примере, Л = оо и Л = 0— во втором) вместо
последовательности точек {^п}, для которой выполняется предель-
ноеравенство
lim f(zn) = A,
удается находить такие последовательности, для которых справед-
ливы точн неравенства
Ж) = л (П=1, 2, ...)•
Оказывается, что аналогичное положение имеет место и в общем
случае. Об этом говорит следующее предложение:
Теорема Пикара (большая). Если zQ—существенно особая
точка функции f(z), то для каждого А #= оо, за исключением,
быть может, одного значения А = А0, существует бесконечная
последовательность А-точек функции f(z), сходящаяся к <г0*).
В примере /(z)==sitiy исключительное значение отсутствует,
2_	±
в примере f(z) — ez оно равно нулю, ибо функция ez всегда отлична
от нуля. Легко проверить, ’ что теорема Ю. В. Сохоцкого заклю-
чается в утверждениях теоремы Пикара.
Из последней теоремы следует, что множество значений функ-
ции f(z), принимаемых в произвольней окрестности }z— ^0|<S
существенно особой точки z0, совпадает со всей конечной плоско-
стью | z | < оо, исключая из нее самое большее одну точку Ло
(Ло не зависит от 8).
Лорановское разложение функции f(z) в окрестности суще-
ственно особой точки Zq обязательно должно содержать беско-
нечное множество членов с отрицательными степенями z— zQ
(подразумевается с отличными от нуля коэффициентами). В самом
деле, если бы такие члены совсем отсутствовали в этом разложении,
то точка zQ была бы правильной для f(z), а если бы они имелись
только в конечном числе,. то точка zQ была бы полюсом f(z) (по
теореме п. 3). Обратно: всякий раз, когда лорановское разложе-
ние функции f(z) в окрестности некоторой точки z0 содержит
бесконечное множество членов с отрицательными степенями z—z0,
*) См., например, А. И. Маркушев ич, Теория аналитических функ-
ций, гл. VIII, п. 8.4.
4. ТЕОРЕМА СОХОЦКОГО
211
то Zq является существенно особой точкой функции f(z). В самом
деле, она не может быть ни правильной для f(z) (ибо тогда члены
с отрицательными степенями должны полностью отсутствовать), ни
полюсом (ибо тогда должно иметься лишь конечное число таких
членов).
Ъ виде примера рассмотрим функцию ехр для нее справед-
ливо следующее разложение, сходящееся при любом z 0:
ехР — 1 +	+ 2! г» + 3!	*
Очевидно, его можно рассматривать как лорановское разложение
функций в окрестности точки 2 = 0. Так как это разложение содер-
жит бесконечное множество отрицательных степеней z. то z = 0
является существенно особой точкой функции. Разумеется, то же
самое можно установить, наблюдая поведение этой функции в окрест-
ности начала координат. Читатель легко обнаружит, что она стремится
к оо, когда z приближается к началу координат, оставаясь на коор-
динатных осях, и к нулю, когда z приближается к началу координат,
оставаясь на биссектрисах координатных углов. Следовательно,
lim ехр не существует, и точка z = 0 является существенно особой
z-> о z
точкой функции exp-i.
Из всего изложенного вытекает, что определяющее значение для
характера особой точки имеет совокупность членов с отрицатель-
ными степенями в лорановском разложении рассматриваемой функ-
/	оо
ции f(z) в окрестности этой точки. По этой причине ряд 2 o_k{z—z^)~k
называют главной частью лорановского разложения
4-оо	~	оо
^ak(z— zQ) в окрестности точки zQ. Ряд ^ak(z— zQ)k, состоящий
—оо	О
из всех членов разложения с неотрицательными степенями, предста-
вляет функцию, правильную в точке zQ, и поэтому называется пра-
вильной частью ряда Лорана.
Применяя высказанные предложения, следует помнить, что они
имеют в виду лишь те лорановские разложения, которые сходятся
в некоторой окрестности 0 < |z. — z0|</? исследуемой точки.
В виде примера рассмотрим ряд Лорана
11	1	1 z	zn
••• + 7+7гт+---+7+|+^ + --- + ^т+--
Он содержит бесконечное множество членов с отрицательными степе-
нями z. Однако раньше, чем утверждать, что z = 0 является существенно
особой точкой для суммы ряда, следует выяснить, сходится ли он в какой-
нибудь окрестности этой точки. Заметим, что наш ряд представляет сумму
14*
212
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
жп	VI 2П
двух прогрессий:	и ~^ГГ- ПеРвая из них сходится для |z|>l
1	о 2
1
Z	1
и представляет функцию -----=— = ——-т-; вторая сходится для |z|<2 и
1-- г~1
Z
2	1 п
Представляет функцию ------== р-— • Следовательно, область сходимости
~г
данного ряда есть кольцо 1 < | z ] < 2, которое, конечно, не является
окрестностью начала координат. Сумма ряда в этом кольце равна
^2. । + 2 —г	----Функции, для которой начало координат
является правильной точкой и все особые точки которой сводятся к двум
простым полюсам: z = 1 и z =* 2.
5. Особые точки производных и рациональных комбинаций анали-
тических функций. Для скорейшего определения положения и характера
особых точек функции в конкретных случаях полезно иметь в виду следую-
щие простые предложения, вытекающие из теорем пунктов 3 и 4.
а)	Если f(z) и cp(z)^O— две функции, однозначные и аналитические
в данной области G, то функция F(z) — может иметь в области G
особые точки, а именно полюсы, только в нулях функции (г). Пусть С
является ^-кратным нулем функции 9 (г) (&>1) и /-кратным нулем функ-
ции f(z) (/>>0) (в случае, когда С не является нулем функции/(г), пола-
гаем / = 0). Тогда в окрестности точки С имеем:
,s4®-+-
k\ {	k\

где (С)=АО и (С)=#0. Отсюда следует, что F (z) имеет в точке С полюс
порядка k — /, если k > /, и правильную точку, если k /, причем она
является нулем функции F(z) порядка / — k, если #</.
б)	Если f(z) и с? (z) — две функции, не имеющие в области G других
особых точек, кроме полюсов, то их сумма, разность, произведение и частное
(последнее образуется только в том случае, когда (z) ф 0) также не имеют
других особых точек, кроме полюсов.
В частности, рассмотрим разность этих функций f(z) — 9 (г) и пусть
С — точка, в окрестности которой лорановские разложения функций /(z)
и (z) имеют вид
(г — С)‘	г — С
<?(г) = 7-Цл+---+-^т + ^ + ^(г-С)+---
(г — С)л .	z —С
Здесь I и k обозначают порядок точки С, рассматриваемой соответственно
как полюс той или другой функции. Условимся для большей общности
считать, что /^О^или &<;0) в случае, когда С является правильной точкой
5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПРОИЗВОДНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ КОМБИНАЦИЙ 213
для f(z) (или <р(г)), и начинать в этом случае разложение с членов с не-
отрицательными степенями г —С
Вычитая почленно из разложения для f(z) разложение для ср (г), полу-
чим разложение для f(z) — ср (г). Очевидно, точка С будет полюсом для этой
разности тогда и только тогда, когда она является полюсом по крайней
мере для одной из функций f (z) и ср (z) (&>1 или />1), причем главные
части разложений для f(z) и ср (z) не совпадают друг с другом. В случае же,
когда главные части одинаковы (т. е. &==/,	= мы
получаем для разности разложение
/ (г) — <р (г) = а0 — 60 + (й! — &0 (г — С) + ...,
откуда следует, что С является правильной точкой для f(z) — ср (г),
Рассмотрим, далее, функцию
/?(2’) = VW
Ее особые точки возможны только в нулях функции ср (z) или в полюсах
функции f(z). Пусть С — точка, являющаяся нулем или полюсом функций f(z)
или <р(г). Во всех случаях мы можем писать:
/(г) = (г-С)г[ао + «1(г-С)+...],
(2) = (2-С)* [6о + М*-О + • • 4
где I и k — целые числа (положительные, отрицательные или нули), а в ква-
дратных скобках заключены степенные ряды, сходящиеся в некоторой
окрестности точки С и имеющие^ отличные от нуля свободные члены (яо=£О,
При этом условию &>0, например, соответствует случай, когда ср (г)
имеет ^-кратный нуль в точке С, k = 6 означает, что г —С есть правильная
точка, в которой ср (z) =£ О, и, наконец, &<0 означает, что г = С является
особой точкой функции ср (г), а именно полюсом порядка — k.
Подставим разложения для f(z) и ср (z) в формулу для F(z). Будем
иметь:

Очевидно, при />& точка С будет правильной для F(z) (в частности, при
/># — нулем порядка l — k)> а при l<^k — полюсом функции F(z) по-
рядка k — L .
в)	Пусть f(z) — однозначная функция,, не имеющая в области G других
особенностей, кроме полюсов. Тогда и производная этой функции fr (z) не
может иметь в области G других особенностей, кроме полюсов. А именно
f'(z) имеет полюс в каждом полюсе функции f(z) и притом кратности на
единицу большей, чем кратность полюса f(z).
В самом деле, пусть С — полюс функции f(z) кратности # > 1. Тогда f(z)
имеет в некоторой окрестности U точки С, 0<|г — разложение
/(*).=	+ • • • +^Ц- + + А (г - С) + • • •,	* °)-
(z — С)й	z~~	'
Так как члены этого разложения являются аналитическими в U и само
разложение сходится равномерно внутри области U (по свойству ряда
Лорана), то его можно почленно дифференцировать в U. Получаем:
f (z) =------'M-fc
214
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Мы получили для f (z) лорановское разложение в окрестности точки С,
откуда видно, что С является полюсом кратности k -ф- 1 для производной f (zj.
г)	Пусть f(z)£ const’—однозначная функция, не имеющая в области G
других особых точек, кроме полюсов, и Л оо — произвольное комплексное
число. Тогда логарифмическая производная функции /(z) — А
rf {Ln [/(z)-4]} = 7(z)
dz	f(z) —А
не имеет в области G других особых точек, кроме полюсов; а именно она
имеет простые полюсы во всех полюсах функции /(z) и во всех Л-точках
этой функции (т. е. во всех нулях функции(z) — Л).
Для проверки этого утверждения сошлемся на общий случай, рассмо-
тренный выше в рубрике б). Мы видели, что частное двух функций может
иметь полюсы в нулях знаменателя или в полюсах числителя. Пусть точка
z = С является ^-кратным нулем знаменателя, т. е. Л-точкой функции / (z)
кратности k. Тогда
f(z) — A = a0(z — t)k-\-a1(z — tyk+1-]-...	(й>1, «о ¥= 0).
Отсюда следует, что
г (г) =	У*-1+	+ 1) (*-С)й + • • •.
т. е. точка С является k — 1-кратным нулем числителя дроби. Отсюда и сле-
дует, что эта точка есть простой полюс логарифмической производной.
Пусть, с другой стороны, z = С есть полюс числителя f (z). Это воз-
можно лишь в случае, когда С есть полюс для /(z) — Л; при этом, как мы
видели в рубрике в), кратность полюса для f (z) будет на единицу выше
кратности того же полюса для / (z) — Л. Следовательно, для логарифмиче-
ской производной снова получаем простой полюс в точке С.
д)	Если С является правильной точкой или полюсом для функции / (z)^£0,
а для функции 9 (z) С есть существенно особая точка, то С будет существенно
ф (z)
особой и для каждой из функций с? (z) ± f (z), f (z) 9 (z) И -у .
Действительно, обозначим последние функции соответственно через (^)>
^2(z) и Фз (г)« Тогда будем иметь:
<?(г’) = Ф1(г)±/(г)>	=	?(*) = Фе(?)i(г).
Если допустить, что фу («г?) (/= 1, 2, 3) имеет правильную точку или полюс
при Iz = С, то и функция 9 (z) будет иметь правильную точку или полюс
при z = С, что противоречит условию. Итак, точка z = С не может быть пра-
вильной для функций фу (z). Так как эти функции являются однозначными
аналитическими в некоторой окрестности точки С, исключая эту точку, то
она должна быть изолированной особой точкой однозначного характера
для фу (z). Но мы убедились. в том, что точка С не может быть полюсом
для фу(г}. Следовательно, она является Существенно особой для каждой
из этих функций.
е)	Если С является существенно особой точкой для функции (z), то
функция —будет иметь в С либо также существенно особую, либо не
изолированную особую точк у — предельную точку по-
люсов.
В самом деле, имеются две возможности: либо существует окрестность
точки С, в которой 9 (z) не обращается в нуль, либо такой окрестности не
существует. В первом случае функция ф (z) = —будет аналитической
6. СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ
215
в некоторой окрестности точки С, за исключением самой точки С. Эта точка
не может быть для Ф(г) ни правильной точкой, ни полюсом; в противном
случае С была бы полюсом или правильной точкой для (z) =
1
Ф (г)
вопреки
предположению. Следовательно, С является существенно особой точкой
для Ф (z).
Во втором случае в каждой окрестности точки С существуют нули функ-
ции с? (z) и, следовательно, в ней же существуют полюсы функции
ф (г) = —	. Отсюда вытекает, что любая окрестность точки С содержит
особые точки (а именно полюсы) функции ^(z). Поэтому С является в рас-
сматриваемом случае неизолированной особой тонкой для ф (z). Это — пре-
дельная точка полюсов.
6. Случай бесконечно удаленной точки. Рассмотрим однознач-
ную функцию /(z), аналитическую во всех точках внешности | z | > г
некоторого круга с центром в начале координат, за исключением,
быть может, бесконечно удаленной точки. Выполняя преобразова-
ние z = -^, мы сведем изучение такой функции к изучению функ-
ции /*(£) = /(-^, аналитической во всех точках окрестности начала
координат, за исключением, быть может, самого начала координат.
При этом точка £ = О будет служить образом бесконечно удаленной
точки z = oo, и каждой последовательности точек [zn], сходящейся
к бесконечно удаленной точке, будет соответствовать последователь-
ность	| точек, сходящаяся к нулю, и обратно.
i zn j
В зависимости от того, будет ли точка С = 0 правильной точкой,
полюсом порядка k или существенно особой точкой для /*(С), мы
будем называть точку z = оо правильной точкой, полюсом порядка k
или существенно особой точкой. Так как в указанных "случаях /*(С)
будет иметь в окрестности точки С = 0 лорановское разложение,
имеющее соответственно вид
Г(С) = а0 + «Л + ^2+ • • •	....
Г(0 = айГ/£+---+«Л_1 + «о+«_л+--. . (ай¥=0),
— со
(где в последнем случае бесконечное множество коэффициентов ап
при отрицательных степенях С отлично от нуля), то функция f(z)~
= в окрестности бесконечно удаленной точки в зависи-
мости от того, будет ли эта точка правильной, полюсом
порядка k или существенно особой точкой, должна иметь
216
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
лорановское разложение вида
/(2r) = a04-a_i2r-1 + a_22:-2+ ... + a_nz~n + ....
/(г) =	+ ... + «1* + «о + «-1 + • • •	(«* ¥= 0),
+ оо
/(*) = S anzn
— ОО
(где в последнем случае бесконечное множество коэффициентов при
положительных степенях z отлично от нуля).
Таким образом, связи между характером точки по отношению
к функции и соответствующим разложением в ряд Лорана получаются
здесь такие же, как и в случае конечной точки, только роли членов
с положительными и отрицательными степенями меняются между со-
бой. В соответствии с этим главной частью лорановского разложения
в окрестности бесконечно удаленной точки является совокупность
членов с положительными степенями, а правильной частью — совО’
купность членов с неположительными степенями.
Мы знаем, что различать правильную точку, полюс и существенно
особую точку при С=0 можно, не рассматривая соответствующего
лорановского разложения, а изучая лишь, какая из трех возможностей
имеет место:
О /* (0 ограничена в окрестности начала координат;
2) предел /* (С) при С, стремящемся к нулю, равен бесконечности;
3) не существует ни конечного, ни бесконечного предела /* (С)
при С стремящемся к нулю.
Из того, что /(г) = /*(£) и	следует, что те же крите-
рии остаются в силе и для бесконечно удаленной точки, и функция f(z)
будет иметь правильную точку, полюс или существенно особую точку
при z — оо в зависимости от того, будет ли она ограниченной
в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, стремится ли
к бесконечности при z, стремящемся к бесконечности, или же, нако-
нец, не имеет никакого, ни конечного, ни бесконечного, предела при z,
стремящемся к бесконечности.
7. Целые и мероморфные функции. Целая функция f(z) по
своему определению (функция однозначная и аналитическая во всей
конечной плоскости) не имеет особых точек в конечной плоскости.
Следовательно, она может иметь особую точку только в бесконечно
удаленной точке. Так как f(z) изображается всюду сходящимся сте-
пенным рядом
/(z) = a0+«i2+ ••• +<Vn+ •••>
то этот ряд представляет функцию в любой окрестности бесконечно
удаленной точки и поэтому совпадает с лорановским разложением
функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Отсюда следует,
что в случае, когда точка z = оо является правильной для f(z),
7. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
217
то аг = а2 = ... =ап= . .. =0и /(,г)===я0. Этот результат сле-
дует также из теоремы Лиувилля:’ из того, что точка z = oo пра-
вильная для f(z), вытекает, что f(z) ограничена по модулю в неко-
торой окрестности этой точки и, следовательно, ограничена во всей
плоскости, поэтому f(z) = const. i
В случае, когда точка z = oo— полюс f(z) порядка k, имеем:
ак ¥= 0, ак+1 = ак±2 = • • • =0»
откуда
+	••• 4~ «»•**>
т. е. f(z)— многочлен (целая рациональная функция) степени k.
Наконец, в случае, когда z = oo — существенно особая точка f(z);
среди коэффициентов f(z) должно быть бесконечное множество отлич-
ных от нуля чисел» В этом случае f(z) отлична от многочлена; она
называется целой трансцендентной функцией. Примерами
таких функций является es, sin z, cos z, ...
Итак, целая функция может иметь в бесконечности правиль-
ную точку у полюс или существенно особую точку, соответственно
этому целая функция будет являться константой, многочленом
(степень которого совпадает с порядком полюса) или трансцен-
дентной целой-функцией.
Мероморфная в конечной плоскости функция (от греческих
слов рьвроа — часть, дробь и рьорсроо — форма, вид) — функция, которую
можно представить в виде частного двух целых функций:
= (*(*)*<>)•
На основании п. 5 заключаем, что в конечных точках плоскости
она не может иметь других особых точек, кроме полюсов. Именно
f(z) имеет полюс в точке zQ тогда и только тогда, когда эта точка
есть нуль знаменателя (h (zQ) = 0), а числитель либо отличен от нуля
в этой точке (g(zQ) =# 0), либо имеет нуль, порядок которого ниже,
чем порядок нуля знаменателя. При этом порядок полюса z0 равен
разности между порядком нуля знаменателя и порядком нуля числи-
теля. Если во всей конечной плоскости существует только конечное
число йолюсов f(z), то существует такая окрестность точки z = oo,
в которой не лежит ни одной конечной особой точки./(z). Следова-
тельно, f(z) в этом случае, так же как и в случае целой функции,
может иметь в оо либо правильную точку, либо полюс, либо суще-
ственно особую точку. Пусть zv z2, . .., zm— все возможные раз-
личные между собой полюсы f(z), рд, р2» •••> Pm— кратности этих
полюсов. В окрестности точки Zj f(z) имеет лорановское разложение
вида
А^
f(O = ,	4- • • • + — 4- № 4-	(г - Zo) +...
{z — z№	z — Zj
218
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Главная часть этого разложения есть рациональная функция Gj(z),
имеющая во всей расширенной плоскости только одну особую
точку — полюс порядка Pj в точке Zj. В точке z = oo эта функция
обращается в нуль. Очевидно, разность f(z) — Gj(z) не имеет особой
точки при z = Zj, остальные точки zv ..., zj_v Zj+V ..., zm
являются полюсами этой функции. Главные части лорановских раз-
ложений f(z) — Gj(z) совпадают с соответствующими главными
частями функции /(^); в самом деле, Gj(z) является правильной
в каждой из точек zk (k J)» и, следовательно, ее разложение
в окрестности zk содержит только неотрицательные степени z—zk,
не влияющие на главную часть разложения. Если из f(z) вычесть сумму
'	т	-	т
главных частей 2 G^(z), то получится функция <р(^) = f(z)— 2
^=1
не имеющая ни одной особой точки в конечной плоскости и, следо-
т
вательно, целая. Так как lim [f(z) — cp(z)]= lim 2Oy(z) = 0, то
2->OO	2->OOj=l
функции f(z) и cp(z) ведут себя одинаково в бесконечно удаленной
точке, т. е. имеют там одновременно либо правильную точку, либо
полюс, либо существенно особую точку, причем в последних двух
случаях главные части лорановских разложений f(z) и <o(z) в окрест-
ности точки z~oo равны. Итак, в рассматриваемом случае меро-
морфная ' функция f(z) представляется в виде суммы целой функ-
т
ции <p(z) и рациональной функции 2 Gj(z):
/(*) = ? СО+Sfy(*)-
у=1
В случае, когда f(z) имеет правильную точку или полюс порядка k
в точке z = оо, целая функция <р (z) соответственно будет констан-
той: <?(/) = lim f(z) = Ло, или многочленом степени k: Л04“ Arz + • • •
г->оо
...	гДе +	— главная часть разложения f(z)
в окрестности точки z = oo. Обозначая эту главную часть GQ(z) и
считая, что G0(z) = 0, если оо является правильной точкой f(z),
получаем:
т
/(O = A) + S<W	(24)
J = 0
Этот результат можно сформулировать в виде следующей теорем ы:
если мероморфная функция f (z) имеет лишь конечное число по-
люсов в конечной плоскости и бесконечно удаленная точка является
для нее правильной точкой или полюсом, то f(z) есть рацио-
нальная функция', f(z) можно представить в виде суммы главных
частей Gj(z) ее лорановских разложений относительно всех ко-
7. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ	219
нечных полюсов (/=1, 2, tn) и бесконечно удаленной точки
т
(7 = 0) и постоянной Ло = lim [f(z)—	-
Z ->oo	0
Заметим, что эта теорема устанавливает попутно существование
разложения любой рациональной функции на-простейшие дроби.
В самом деле, переписывая формулу (24) в развернутом виде,
получаем:
Л Г	1
/м=л+А2+ ...+А^+s [j—
а это и есть разложение /(z) на простейшие дроби.
Обратимся, наконец, к случаю, когда множество полюсов меро-
морфной функции /(z) бесконечно. Легко видеть, что каждый зам-
кнутый круг | z | R < оо может содержать лишь конечное число
полюсов. Допустив противное, найдем, что наш круг содержит, по
крайней мере, одну точку С, предельную для полюсов. Но такая
точка С не может быть ни правильной, ни полюсом для f(z), так как
для нее не существует окрестности, в которой функция f(z) была бы
аналитической всюду, кроме, быть может, самой точки С; допустить
существование такой точки (конечной) для мероморфной функции
невозможно.
Итак, каждый круг | z | -С R содержит лишь конечное число
полюсов f(z), поэтому окрестность | z | > R точки оо содержит при
любом R бесконечное множество полюсов f(z)9 откуда следует,
что оо в рассматриваемом случае является предельной точкой полюсов,
т. е. неизолированной особой точкой. Покажем, что все полюсы f(z)
можно перенумеровать, расположив их в последовательность
в порядке неубывающих модулей. С этой целью разобьем всю
плоскость посредством окружностей с центром в начале координат
на зоны RofkK1)’ Ki(l <И<2), /C2(2<|z|<3), ... Каждая
из них содержит лишь конечное число (в частности, равное нулю)
полюсов f(z). Поэтому, перенумеровав в порядке неубывающих
модулей различные полюсы
O<l*oKkil< •••
лежащие в замкнутом круге	мы можем продолжать далее
нумерацию, присоединяя к ним полюсы, содержащиеся в примы-
кающей к кругу зоне Ку
I &nj I < i ^nj+l I	I ^n/4-1 I*
Продолжая эту операцию неограниченно, получим последова-
тельность {zn}, куда включены все полюсы f(z), причем выполнено
условие |^nl<kn+i|-
220
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть Oj(z) обозначает главную
ния f(z) в окрестности точки zf.
часть лорановского разломе-
А^	+1	А^\
п. М =	_1_	~^ + 1 I I -1
3 (г — zjfi ' (z — г^з'1	' ' * (z — zj)~l'
Можно пытаться и в данном случае поступать так же, как мы
выше поступали в случае мероморфной функции с конечным числом
полюсов, а именно вычесть сумму всех главных частей из f(z) с тем,
чтобы в разности получить функцию, не имеющую особых точек
в конечной плоскости, т. е. целую. Однако в данном случае множество
оо
главных частей бесконечно, и нет гарантии того, что ряд ^Gj(z)
сходится. Шведский математик Миттаг-Леффлер преодолел эту
трудность, показав, что всегда можно подобрать такие много-
оо
члены Р,(2), что ряд S [Oj (д) - Р, (2)| будет ра.номерно сходиться
в любом круге | z | < R (если из этого круга выключить попадающие
в него точки z0, zlt ...—полюсы членов ряда). Предполагая, что
оо
такие многочлены найден^, получим, что F(z)~ ^[Gj(z)-Pj(z)]
представляет мероморфную функцию, имеющую полюсы в тех же
точках Zp в которых имеют полюсы и /(z), причем главные части
лорановских разложений f(z) и F(z) в окрестности z$ — одни и те же
рациональные функции G$(z). Поэтому разность f(z)— F(z) = <o(z)
есть целая функция, и мы получаем формулу
/(*) =?(*)+£ [Од (*) - Pj (z)} =
ag\
__i___i_ _j_____L
3

Это — так называемое митта г-леффлеровское разложение
мероморфной функции f(z). Его можно рассматривать также как
разложение мероморфной функции на простейшие дроби.
Не приводя доказательства теоремы Миттаг-Леффлера, укажем про-
стейший пример разложения, который будет обоснован ниже
(п. 5 главы VIII):
оо	оо
8. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
221
Здесь 2^0 = о,	^ = —yir (у = 1, 2, 3, . ..),	глав-
ная часть Gj(z) лорановского разложения ctgz в окрестности точки Zj,
-----тот простейший многочлен P$(z) (в данном случае нулевой
степени), который нужно добавить к ОД.г), чтобы обеспечить схо-
димость. Наконец, целая функция <p(z) из общей формулы (25) в дан-
ном случае тождественно равна нулю.
8. Разложение целой функции в произведение. В этом пункте
будет показано, что для каждой целой функции f(z), имеющей нули,
существует разложение на множители, аналогичное разложению
многочленов на множители. Чтобы подчеркнуть аналогию, перепишем
разложение многочлена на множители в форме, несколько отличной
от общеупотребительной. Пусть P(z) — многочлен, zv ..., zn — его
нули, отличные от начала координат (среди них могут быть равные,
что соответствует кратным корням); пусть, наконец, z = 0 является
нулем P(z) кратности X (если Р(0)#=0, то полагаем X = 0). Тогда
P(z) можно представить в виде следующего произведения:
-с^' (* -^-wno
Для сравнения возьмем целую функцию sin г, имеющую простые
нули 0, ztir, ±:2к, .. ., dz/nt, ... Если расположить нули sin z,
отличнце от начала координат, в порядке неубывающих модулей,
положив z2j_l=jK) z2j = —jit, то можно доказать формулу
Эта формула во всем похожа на разложение многочлена. Мы
докажем ее в п. 5 главы VIII.
В общем случае, однако, такой простой формулы не получается.
Дело в том, что если f(z)—целая функция с нулями: 0 (кратности X),
со
zv z2......zn, ... (I zn КI гп+11), то произведение (1—
может расходиться. Чтобы справиться с этой трудностью, Вейер-
штрасс ввел в произведение дополнительные множители вида
л+г+...+_А
гл	к fy
еJ 3 з j , которые сами нигде в нуль не обращаются, но
обеспечивают сходимость бесконечного произведения. Если числа kj
z	z*3
со	—+...Н---
.	1 ТТ / z \ z3 *.? .3
подобраны так, что произведение zл | | II-------------\е зз
222
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
сходится равномерно в любом замкнутом круге | z |	/?, то оно пред-
ставляет целую функцию F (z), имеющую те же нули, что и функ-
ция /(z). Отсюда можно вывести, что f(z) либо совпадает с F(z),
либо отличается от F(z) множителем вида е9&\ где g(z)— также
целая функция (этот множитель — целая функция, нигде не обра-
щающаяся в нуль). Окончательно для f(z) получается формула
Вейе рштрасса
« Л
оо	—+...+—
f(Z)=п о — т)•	(27>
Перейдем к доказательству этой формулы.
Лемма. Если целые функции f(z)^0 и F(z)=jsO имеют одни -
и те же нули (с одинаковыми кратностями), то
f(z) = es^F(z'),
где g(z)— некоторая целая функция (в частности, константа).
f(2\
В самом деле, частное <?(г) = у^ может иметь особые точки
(полюсы) только в нулях F(z). Но каждый нуль F(z) является
нулем f(z) той же кратности, поэтому <p(z) не имеет ни одного
полюса в конечной плоскости и, следовательно, является целой
функцией. Те же рассуждения, с помощью которых мы установили,
что ср (г) не имеет полюсов, показывают, что y(z) не имеет также
и нулей. Поэтому = является целой функцией (п. 5, а).
Интегрируя h(z) от нуля до произвольного z, получим также целую
функцию gx(z):
%	z
&(*) = \h(z)dz=	=
О	о
откуда
ср (z) = <р (0) e9t(г) = e9t(2)+1й *(0) = e9{z\
где g (z) = (z) + In <p (0) — также целая функция.
Итак,
f(z') = <f(z)F(z) = e3®F(z).
При доказательстве леммы мы установили, что любую целую
функцию cp(z), не имеющую нулей, можно представить в вйде
<f(z) = е9{?\ где g(z) — также целая функция.
8. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
223
Пусть f(z)—целая функция, имеющая конечное число нулей:
О,	z1} z2, . .., zn. Так как многочлен F(z) — zx\\-
имеет те же нули, то по лемме
п
/О) = е
Чтобы получить аналогичное представление целой функции,
имеющей бесконечное множество нулей, нужно построить сначала
хотя бы одну целую функцию, имеющую предписанные нули. Дока-
жем, что такая функция всегда существует.
Теорема. Для любой сходящейся к оо последовательности
комплексных чисел {zn}, отличных от начала координат и рас*
положенных в порядку неубывающих модулей (| zn |	| zn+i |),
можно построить целую функцию f(z), нули которой совпадают
с числами zn.
Примечание. Среди членов последовательности могут встре-
чаться равные между собой (расположенные рядом друг с другом);
если znQ+i = znQ+2= . • • = <гИо+а = п, причем остальные члены по-
следовательности отличны от а, то это означает, что число а должно
являться нулем функции f(z) кратности а.
Доказательство. Пусть {&п} — последовательность целых
S°° / R \kn+l
i-j—г)	сходится при
\IгпI /
n=l
любом R^Q. Для любой последовательности {zn} в качестве.^
пригодны числа &w=[lnn] ([Inп] — целая часть Inn). Действительно,
если > е2 при п > Af0, то П >	> е2 in n = n2,
/ R \kn+i 1	„	,
откуда i-j—г I	< -г. Но в отдельных случаях в качестве kn можно
\IznI/	п
брать равные между собой числа. Например, если|гп| = п, то
можно положить kn— 1; если zn = n2, то достаточно принять kn = 0
(п— 1, 2, ...). Покажем, что искомую целую функцию можно пред-
—+ 1 ** 
оо	--1- • • • -1 ГТ
ПЛ	Z \	Ь.гУ
^1  —] 6	33
(если fy = 0, то'соответствующий показатель степени следует пола-
гать равным нулю). Пусть R— произвольное положительное число;
обозначим через N(R) натуральное число такое, что |^п|> 2/?, если
п
n>N(R). Считая n>N(R)f представим частичное произведение ]£
1
224
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(28)
Первое произведение представляет целую функцию, которая
имеет заданные нули	.... ZN(RY следовательно, в круге
нули этого произведения отвечают условиям теоремы.
Второе произведение перепишем в виде
п
ЭТ(Я)+1
п
= JJ ехр
п
= ехр У
I <2* I 1
Так как | z | < R и ) Zj\ > 2R, то — <	, поэтому
г ,	। . гк3 ____
г.	' k-zki
Z}	Ufa J
zk3+x .	г^'+2	,
(^ + l)z^+1~h (k; + 2)zp + !!
In i 1 — —
\ г3
Rki+l
к .+ 2
l^|2
2RKr
,л .+1
Из найденного неравенства и из того, что
^.+ 1
сходится, вытекает.
...	у*''
сходится абсолютно и равномерно в круге | z | <./?; следовательно,
сумма ряда срл (z) является
однозначной и аналитической в этом
кр^уге.
Переходя к пределу при п -> оо в соотношении (28), получим:
Z	Z J
п	—Ь • • • +	оо N (R)
11m Il(l-i)/'	*Л7=П=,11.^И. (29)
R , /?а

R Г 1
1 —
гк1 |
vFj
(J>N(/?)).
1

8. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
225
Пределом является функция, аналитическая в круге | z | < /?,
имеющая в этом круге предписанные нули. Так как этот вывод при-
меним к кругу сколь угодно большого радиуса /?, то бесконечное
произведение JJ сходится во всей конечной плоскости ко всюду
7=1
аналитической, т. е. целой, функции f(z), имеющей предписанные
нули
*
— +... +---Y
ej
(30)
П риме ры: a) zn = л2; здесь можно положить kn = 0. Получим про-
стейшую целую функцию с этими нулями в виде
оо
1
б) ?п “ здесь можно положить kn~l. Получим:

в) Пусть последовательность {гп} имеет вид 1, 2,2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5,
5, 5, 5, ... Здесь снова kn = 1, и соответствующее бесконечное-произведение
можно представить в виде
Г/ z\ if г/ г\ Ъ8
/(z) = (l —г)ег |jl — -jje2 j	J
Пусть теперь f(z)=^0— произвольная целая функция, имею-
щая бесконечное множество нулей. Замечая, что каждый замкнутый
круг | .г | оо может содержать лишь конечное число нулей этой
функции, находим, так же как и в случае полюсов мероморфной
функции (п. 7), что все эти нули можно расположить в последова-
тельность в порядке неубывающих модулей
0, 0, . . ., 0, zv z2, . .zn, . . lim zn — oo.
Если	целые числа такие, что ряд
сходится
для любого /?, то, по доказанной теореме, функция
°°	8 Г ... J г*п
является целой функцией, имеющей те же нули, что и f(z).
15 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
226
ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫВ ФУНКЦИИ
Следовательно,
/(z) = ед w ?ТТ (1 — —) е ’п
\	2п/
. g п
кп*пп
где g(z)— некоторая целая функция (она может равняться нулю).
Это и есть формула Вейерштрасса.
В виде иллюстрации приведем функцию здесь Г (z) — гамма-
функция *) — мероморфная функция, с которой читатель ознакомился
в общем курсе анализа, где она рассматривалась как функция действитель-
ного положительного аргумента. Можно показать, что у функции Г (г) нет
нулей и что она имеет простые полюсы в точках 0, —1, —2, ..., — п, ...,
откуда следует, чтор^— целая функция с простыми нулями в указанных
точках. Полагая kn = 1 (п = 1, 2, 3 ...) и замечая, что здесь 1 (К — крат-
ность точки z = 0, рассматриваемой как нуль целой функции), получаем:
1
Г (г)
Целую функцию ^(г) можно определить, пользуясь специальными свой-
ствами гамма-функции. Оказывается, что g(z} — Cz, где С — так называемая
константа Эйлер а-М аскерони:
С= lim (1+-J-+ ... +-J- —Inn) = 0,5772...
n->oo \	‘ 2 1	‘ п	/
i
Итак,
1
Г (г)
оо
И=1 х
Основная теорема этого пункта позволяет доказать, что каждая
функция Ф(^), однозначная и аналитическая в конечной плоскости,
за исключением отдельных точек, где она имеет полюсы, является
мероморфной функцией, т. е. может быть представлена в виде част-
ного двух целых функций. В самом деле, построим целую функ-
цию F (z), имеющую нули в тех же точках, где Ф (z) имеет полюсы,
причем кратность каждого нуля примем равной кратности соответ-
ствующего полюса. Тогда произведение F (г) Ф (z) = H(z) будет,
как легко проверить, целой функцией и, следовательно, функция
H(z)
F{z)
является мероморфной.
*) Подробнее о гамма-функции см., например, А. И. Маркушевич,
Теория аналитических функций, гл. VII, § 4.
9. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИЙ
227
Отсюда следует тождество двух классов аналитических функ-
ций'. а) функций, не имеющих в конечной части плоскости других
особых точек, кроме полюсов, и б) функций, представимых
в виде частного двух целых функций. В самом деле, мы только что
установили, что каждая функция класса а) содержится в классе б).
Обратно, функция класса б) не может иметь других конечных осо-
бых точек, кроме полюсов (п. 7), откуда и вытекает наше утвер-
ждение. Теперь можно дать такое определение мероморфной
функции (эквивалентное прежнему): однозначная аналитическая
функция называется мероморфной, если она не имеет в конеч-
ной плоскости других особых.точек, кроме полюсов.
9. Порядок и тип целой функции. В этом пункте мы введем понятия
порядка и т и п а целой функции f(z)— двух числовых характеристик,
дающих представление о скорости возрастания максимума модуля функции,
Af(r)= max |/(г)| при г->оо. В силу теоремы Лиувилля limAf(r) = oo,
| Z К Г	Г->СО
если f(z)£ const. Будем сравнивать рост InlnAf(r) с In г. Порядком
целой функции назовем число
р = 1Ы
г ->оо In Г
(31)
Если р = + оо, то функция / (г) называется функцией бесконечного
порядка. Примером функции бесконечного порядка может служить
=	; здесь М (г) — е , In In М (г) =±= г и р яв lim т— =±=оо. Если р < + оо
Г->со 1ПГ
(р 0), то / (г) называется функциейконечного порядка. Так как
для любого е>0 существует /?о(*)>0 такое, что
In In М (г)	,
------------------------— < р 4- е при г > /?о (•),
то
р+а
М (г) < eY при г > (О •	(32)
С другой стороны, для любого б>0 существует возрастающая после-
довательность положительных чисел {rw.(s)} (limrn = oo) такая, что
In In М (гп) '
-1п>„	>Р—•
откуда
Г(е)^~~в
М[гп(*)]>еп	.	<	(33)
Из сопоставления неравенств (32) и (33) следует, что порядок р целой
функции можно определить как нижнюю грань тех неотрицательных чисел а,
для которых выполняется неравенство
уа
М (г) < е при г >	(а).
Примеры: а) Если f(z) = е (п — натуральное число), то М (г) = е ,
„ InlnM(r) 1Я «п
откуда р= hm-----г—— = п. Итак, е —функция порядка п, в частности,
Г-»оо 111 г
е — функция первого порядка.
15*
228 ГЛ. VII. РЯД ЛОРАНА. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
...; здесь
б) Пусть / (z) = sin г; так как | sh у | < | sin z |< ch у (п. 13 главы Ш),
то sh г < М (г) < ch г. Следовательно, р = 1, т. е. порядок sin z равен еди-
нице. Точно так же найдем, что порядок cos z равен единице. _
в) Пусть/(г) = 511ХХ=1-±4.г1 ---------------. ЛкИ .
Y г	31 'г 5!
ch У г	1
< —и, следовательно, р —
Если порядок р функции ' f(z) есть конечное положительное число
0<р< + °°» то в дополнение к р можно получить еще одну числовую харак-
теристику, уточняющую рост максимума модуля целой функции. Будем
сравнивать In М (г) с гр, положив:
уг- 1ПЛ1(Г)
г->оо /
(34)
а называется типом целой функции. Если а = оо, то говорят, что данная
функция порядка о есть функция бесконечного^ или максималь-
ного, типа. Если а<оо(а;>0), то функция f(z) называется функцией
конечного типа, точнее нормального, или среднего типа,
если а О, и минимального типа, если а = 0.
Рассуждая так же, $сак и при рассмотрении порядка функции, найдем,
что для любого в 0 выполняются неравенства
Л4(г)<е(’+б)гР , г>Я(е),
(а—е) гр
М (rn) > е п, rn< rw+1, lim rn = оо.
П-»ОО
Отсюда следует, что тип целой функции можно определить как нижнюю
грань чисел р, для которых имеют место неравенства
М(г)<е^, г>Я2(₽).
Примеры: а) Каждая из функций первого порядка eAz, sin Az, cos Az
(А Ф 0) имеет тип a = | A |; б) функция exp (c0 c^z . 4- cnzn) (n 1,
cn 0) имеет порядок n и тип | сп |.
ГЛАВА VIII
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
1. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению опре-
деленных интегралов. Займемся вычислением интегралов от одно-
значных аналитических функций по замкнутым кривым в предположе-
нии, что в некоторой области, содержащей контур интегрирования,
не заключается других особых точек, кроме изолированных особых
точек однозначного характера. При такой постановке вопроса внут-
ренность кривой может содержать лишь конечное число особых точек
(в противном случае особые точки имели бы, по крайней мере, одну
предельную, являющуюся также особой точкой функции, но неизо-
лированной). Пусть zv z2, . .., zn — изолированные особые точки
функции f(z), расположенные внутри спрямляемой замкнутой кривой Г.
Опишем около каждой из точек zk окружность \z — zk\ = pk
столь малого радиуса рл, чтобы эта окружность лежала внутри Г
и чтобы каждая из них лежала во внешности всех остальных. Тогда
в силу интегральной теоремы для составного контура будем иметь:
J f(z)dz — j* f(z)dz-\- J f(z)dz+ • • • + j* f(z)dz.
r	Ti	Тя	'(n
Таким образом, вопрос сводится к вычислению интеграла J f(z) dz
по окружности \z — zk\ — pki находящейся в окрестности изолиро-
ванной особой точки zk функции f(z).
Заменяя /(г) ее разложением Лорана в окрестности точки zk и
интегрируя почленно (что возможно ' ввиду равномерной сходимости
ряда Лорана на у^.), найдем:
+оо	-j-оо
У/(г)б/г = У 2 am(z — zk)m dz= 2 ^^z—z^dz^a^Til.
Xk '	yk m = —co	m~— oo
В самом деле, из всех интегралов §(z — zk)m dz отличен от нуля
только один, соответствующий значению т = — 1, причем интеграл
этот равен 2к/.
. 230 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Итак,
J /(г) dz = 2та (а® + а® + ... + «'“D-	G)
Г
Формула (1) полностью решает поставленную задачу. Мы видим, что
значение интеграла аналитической функции зависит при наших пред-
положениях только от коэффициентов при минус первой степени
в лорановских разложениях функции в окрестностях особых точек.
Эти коэффициенты называются вычетами функции.
Таким образом, вычетом функции относительно
изолированной особой точки а однозначного харак-
тера называется коэффициент при (z— а)~1 в лорановском разло-
жении функции в окрестности а *).
Формула (1) выражает следующую теорему.
Теорема о вычетах. Интеграл от функции f(z), взятый
по замкнутому контуру Г» содержащемуся в области, где функ-
ция является однозначной и аналитической, за исключением изо-
лированных особых точек однозначного характера, и не прохо-
дящему через особые точки, равен произведению суммы вычетов
функции относительно всех особых точек, заключенных внутри Г,
на
Чтобы применять эту теорему, нужно уметь вычислить вычеты.
Последние находятся без труда в случае когда особая точка функ-
ции есть полюс. Пусть сначала а—простой полюс функции. Тогда
в некоторой окрестности точки а имеет место разложение
= —«)+ • • •>
*) Понятие вычета принадлежит Коши. Им уже указаны и многочислен-
ные приложения этого понятия к различным вопросам анализа. Название
вычет (residu) объясняется, по-видимому, тем, что Коши пришел к этому
понятию, отыскивая разность между интегралами, взятыми по таким двум
путям, имеющим общие начало и конец, между которыми заключаются полюсы
функции. В таком виде вычеты можно усмотреть еще в «Мемуаре об опре-
деленных интегралах» (1814). Самый термин «вычет» встречается впервые
в статье «О новом роде исчисления, аналогичного исчислению бесконечно
малых», помещенной в первом томе «Exercices de mathematique» Коши (1826).
Вот каким образом Коши вводит здесь это понятие: «Если, после того как
найдены значения х, обращающие f(x) в бесконечность, прибавить к одному
из этих значений, обозначаемому через хр бесконечно малое количество е
и далее разложить / (х} -f- е) по возрастающим степеням того же количества,
то первые члены разложения будут содержать отрицательные степени е и
один из них будет произведением — на конечный коэффициент, который мы
назовем, в ы ч е т о м функции f(x), относящимся к частному значению хг
переменной х». Вслед за это$ статьей Коши дал большое количество дру-
гих, помещенных в этом и следующих трех томах «Exercices» (1826—1829),
в которых он рассматривал приложения теории к вычислению интегралов,
разложению функций в ряды и бесконечные произведения, к теории урав-
нений и т. д.
1. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
231
откуда
f(z)(z— а) = а_!-|-а0(г — ay + a^z—а)2-]- ...
и, следовательно,
a_t = Выч. f(z) = lim[/(z)(,z— а)].	(2)
z-a	z~>a
Вычисление вычета еще более упрощается, если /(г) имеет вид
/(*)
Ф(г) ’
где <р(а) =/= 0, а^С?) имеет простой нуль при z — a (т. е. ф(о)~=0
и ф'(а)=£0). Тогда z = a является простым полюсом функции/(г),
и по формуле (2) получаем:
Выч. f(z) = Выч. = lim
«-а	»=а т W г->а
<р(г)(г —а)
 Ф(г)
lim у(г) _?(Д) (V.
2^Ф(г)-’Нд) ~¥Ю W
z —а
В случае, когда а есть полюс кратности k(k > 1), имеем в окре-
стности точки а разложение
/и =-5^+  +“г + »«+«.^-»)+  •
откуда
f(z)(z—a)ft =a_ft4-a_fc+l(2r —a)4-	—
Дифференцируя почленно k—1 раз, получим:
— *[/(^)	= (fe — i) i a^ + k(k— 1)... 2a0(z — a)+ ...
и, наконец, при z—
(*-!)!» l = llnr^Wl£^21
1 z + a	dzk~x
или
о л, 4	If dk~r f/(z) (z — a)k ]	//14
a_ t = Выч. f(z) = -y2_ hm-----------------------1—	(4)
z = a	z->a dz*
Примеры.
4-oo
а) Вычислить интеграл I Р(х) dx, где F(x)— рациональ-
Р(х)
ная функция: F(x) = q , не
имеющая полюсов на действительной оси и
такая, что степень знаменателя Q (х), по крайней мере, на две единицы
превышает степень числителя Р (х).
Возьмем контур интегрирования, изображенный на черт. 50, где ВС А —
полуокружность радиуса R с центром в начале координат. Выберем радиус R
232 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
столь большим, чтобы все полюсы функции F (z)t находящиеся в верхней
полуплоскости, заключались внутри этого контура. Тогда будем иметь:
J F (х) dx 4- J F (г) dz = 2тс/ Выч. F (г),
ВСА
где сумма распространяется на все полюсы функции F(г), принадлежащие
верхней полуплоскости.
Так как
1-4-	| - а~- 
IPZ „	!^(г)|	|aw^+...+aol_|	|
|Л(г)|-|0(г)| I Мп+ ••• +*о I I Ьпгп-™\	Ь.
ьпгп
и п — /и > 2, то при достаточно больших значениях | z | = R будем иметь
I £? 7 \ I	।	1 __
|Л(г)1<1*п|Яа	Я2’
Поэтому
If I С лС
| J F (г) dz | < v.R =	-> О
вол
при
Следовательно,
Ч-оо	4* R
I F(x)dx~ lim f F(x) dx—
J	7?->oo J
—co	—7?
= 2zZ Выч. F (г).
Итак, интеграл от рациональной функции, не имеющей полюсов на дей-
ствительной оси и обладающей в бесконечно удаленной точке нулем, по край-
ней мере, второго порядка (это условие эквивалентно требованию/г — /и >>2),
равен произведению 2тс/ на сумму вычетов функции F(z) относительно полю-
сов, лежащих в верхней полуплоскости.
Пусть, в частности,
г2^_г2^
Л(г) =
1 —г2г
где р, q и г — целые неотрицательные числа, причем и
Здесь степень знаменателя 2г, по крайней мере, на две единицы пре-
восходит степень числителя. Все полюсы функции F (г) заключаются в фор-
муле
кпг
z~er (£==1,..., г — 1, г 4-1,..., 2г —1)
(точки+1 и —1 не являются полюсами функции F (г), так как числитель
и знаменатель дроби имеют общий множитель 1 — г2; если р — q и г не взаимно
простые, то некоторые из указанных точек также не являются полюсами F (г)).
Из них в верхней полуплоскости лежат полюсы
kni
г = ег (й=1, 2..........г—1)
1. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
233
Все они являются простыми и,
7m
--2р
Р *
Выч. Л (г) = -
7m
следовательно,
feni	Ani	lent
— 2q	(23 + 1)—	(2p + l)-—.
—— == A. I e	—e
^(2r-l)	2r^	'
— Ire r
z-e
Поэтому
ур’Р__ Х^^-
*------— ^Х =
1 — хгг
(23 + 1)^	(23> + 1)^'
r —е г
(2g+i)
/1±£______г
(23+1)
1 — е г
(27> + D^
1 — е г >
/ 2р 4- 1 2q 4- 1
к
I
(2j0 + l)^
я
Замечая, что подынтегральная функция является четной, получаем:
оо
/* х^Р_/ 2р 4~ 1	2</ 4-1 \
J	, 1 ' dx= 2r c‘g-^"-ctg^T-4-
О	1 — х
Если г = 2п и £=р4-п (/><п), то последняя формула приобретает вид
оо
С Х2Р	*
---------------dX = --On I 1	•
J 1+x2n 2n Sin + ?. 7t
01---------------------------2n -
б) Пусть Ф (г) — функция, аналитическая, за исключением конечного
числа полюсов, в некоторой области, содержащей замкнутую верхнюю полу-
плоскость (исключая бесконечно удаленную точку). Если она не имеет полю-
сов на действительной оси и стремится к нулю при zt стремящемся к оо
в верхней полуплоскости, то для любого |л > 0 справедлива формула
оо
J [е^Ф (х) + е~^Ф (— х)] dx = 2itZ Выч. [е^г Ф (г)]. -
О
где сумма распространяется на все полюсы функции Ф (z), лежащие в верх-
ней полуплоскости.
Беря тот же контур интегрирования, что и в примере а), получаем.
R
J* Ф (х) dx 4- J* e*lz Ф (z) dz — 2itl Выч. Ф (г)].
-R	ВСА
Радиус R выбираем столь большим, чтобы все полюсы функции е^г Ф (z),
принадлежащие верхней полуплоскости (они совпадают с полюсами функции
ф (г)), лежали внутри контура интегрирования.
Покажем, что при наших условиях
lim f еиг2:Ф (z) dz == 0.
R + 00 ВСА
234 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
В самом деле,
ТС
| Jr | — | J ^Ф (г) dz I = I j* exp (ц//? fcos <p — p./? sin <?) Ф (Re'*) iRe^ dy | <
вол	о
IX
< J ? | ф | # d<t.
О
По условию max | Ф (№гф) | = s (/?)-> О при /? -> оо. Поэтому
0<ф<к
к
Тс	2
Re~^R ^td<t=! 2е (£) j* Re~^R sln? dy <-
О	о
тс
I 2
<2е(/?)	d<t = ^^(1 —<?-11й)< ^^0 при /?->оо,
V	Р*	Р*
О
Следовательно,
+R	R
lim f ^te®(x)rfx = lim f Ф(х) + е~^Ф(— x)]dx =
Я->оо J	2?->co J
-R	0
oo
= j* [^“Ф (x) + £-^жФ (— X)] dx = 2л/ 2 Выч- кМ4,ф (*)!•
о
Это и есть нужный результат. Если Ф (г) — четная функция, то формула
принимает вид
cos [лхФ (х) dx = ni 2 Выч. [е^*Ф (г)].
Если Ф (г) — нечетная функция, то получаем формулу
оо
J* sin |ххФ (х) dx = к 2 Выч. [е^Ф (г)],
о
Например,
оо
Гcos
J Я2 4" АГ2
О
dx =: ni Выч.
«=аг
_ ке~^а
а2 4-г2 “ 2а
Г х sin рх
J л24-х2
dx = тс Выч.
о
ze^iz тс<?-^
а34-г2 “	2	’
2. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
235
2.	Принцип аргумента и его следствия. В качестве одного
из важных приложений теории вычетов найдем значение интеграла
? (?) тгт^~л dz. где f(z)— функция, однозначная в области G
Zill J J (Z) — А
Г
и не имеющая в ней особых точек, за исключением, быть может,
полюсов, А — произвольное комплексное число, ф(г)— функция, одно-
значная и аналитическая в той же области, а Г — замкнутая жорда-
нова спрямляемая кривая, принадлежащая области О вместе со своей
внутренностью и не проходящая ни через полюсы, ни через Д-точки
функции f(z).
(z}
Особыми точками функции F (z) = <р С?);/-/ А в области G могут
быть только полюсы, происходящие от Д-точек или полюсов функ-
ции f(z). Пусть ар ...» ат—-'Д-точки функции f(z). лежащие
внутри Г, ар ...» ат— кратности этих Д-точек, Ьг. ...» bn—по-
люсы функции f(z), лежащие внутри Г, и (Зр .— кратности этих
полюсов. В окрестности точки функции <p(z) и f(z) имеют сле-
дующие разложения:
?(*) = ?(«,/)+•••>	/(«) —4 =	...
Следовательно, f'(г) = сл.a.и
F(z) = [<?(«/)+...)

а у	<.	1 тр .. •
2~ aj
7^7 If (>,)+•! =
Члены, не выписанные нами, содержат старшие степени z— а$.
В частности, за членом, содержащим (z—Яу)”1, должен идти сво-
бодный член лорановского разложения, затем член, содержащий z —
и т. д. Отсюда следует, что z~dj есть простой полюс функции F(z).
имеющий вычетом число а/р(аД Этот вычет может равняться нулю,
если ф(а^) = О; в этом случае точка фактически не будет являться
полюсом функции F (z).
Рассмотрим, далее, какой-либо из полюсов функции /(г). В его
окрестности имеем следующие разложения:
f(z) - А = d.^ (z — b^i + ...,
Г (*) = - M-fy ~	— • • •.
236 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
откуда

-у_^г-ь^- -
d-^^z~bi>
(^)
— В,-	1 + ...	8,
= W+    1 т+— = - 7^ I? <^+    1=- 7Z77--  • 
Следовательно, F (z) имеет простой полюс в точке z = b$ с вычетом,
равным —(обращающимся в нуль, если ф(^-) = 0).
. Применяя теорему о вычетах к интегралу
Ы	dz’
г
получаем:
_	т	п
ЪйJ ?(*) f'&T-A = 2	~	(5)
г	/=1	; = 1
Первая сумма в правой части' представляет сумму значений функ-
ции ф(г), принимаемых ею в Л-точках функции f(z), причем каждое
из них повторяется слагаемым число раз, равное кратности соответ-
ствующей Л-точки. Если считать, что в перечне Л-точек, лежащих
внутри Г, каждая выписывается в количестве, равном ее кратности,
то сумму	можно называть просто суммой значений функ-
ции ф(г) в Л-точках функции /(г). Аналогичное замечание справед-
ливо и для второй суммы, где суммирование произвбдится по полю-
сам функции /(г). Окончательно приходим к следующей формули-
ровке.
Интеграл
dz равен разности между суммой
г
/(г)-Л
значений, принимаемых функцией ф(г) в A-точках функции f(z),
лежащих внутри Г> и суммой значений, принимаемых той же
функцией ф(г) в полюсах функции f(z), лежащих внутри Г.
Отметим частные случаи этого предложения:
a)	y(z) — z. В этом случае получаем формулу
т	п
2^1 I z j[z) —A	aJaJ X №i’
г	J=1	J=1
т. e. интеграл оказывается равным разности между суммой Л-точек
функции f(z), лежащих внутри Г, и суммой полюсов этой функции,
лежащих внутри Г;
2. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
237
б)^(г)=1. В этом случае получаем:
'	т	п
М f t(z) — A	<7)
г	j=i	j=i
т. e. интеграл оказывается равным разности между числом Л-точек
функции /(г), лежащих внутри Г, и числом ее полюсов, лежащих
внутри Г.
Если А = 0, то Л-точки будут нулями функции f(z). Обозначая
их число внутри Г через N, а число полюсов функции f(z)> лежащих
внутри Г,— через Р, находим:
1 Г
2л/ J
г
fL^dz ~ ft р
f(z) " 1	к
(8)
Интеграл в левой части носит название логарифмического
вычета функции f(z) относительно контура Г (заметим, что под
знаком интеграла стоит логарифмическая производная функции f(z)).
Итак, мы приходим к следующей теореме:
Разность между количеством нулей и полюсов функции f(z)
внутри контура Г (оба количества подсчитываются с учетом крат-
ностей нулей и полюсов) равна логарифмическому вычету функции
относительно этого контура.
Логарифмический вычет функции имеет простой смысл. Чтобы
раскрыть его, перепишем интеграл в виде
кЦ ( dz = ^—. [ {Ln [/(г)]} dz.
2nl J f(z) 2ш J dz ( и\ /jj
г "	г
Отметим на кривой Г произвольную точку z& которую будем
считать начальной и конечной точкой пути интегрирования. При обходе
кривой Г точкой z в положительном направлении Ln f(z) будет непре-
рывно меняться, и после обхода всей кривой его значение в точке zQ
будет вообще отличаться от исходного значения в той же точке.
Но при одном и том же /(г0) значения Ln/(г0) могут различаться
лишь благодаря разным значениям, приписываемым Arg/(^0) до
и после обхода. Обозначая исходное значение Arg/(z0) через Фо,
а значение Arg/(^0) после обхода через Фр найдем:
I /W dz = i fI!n 1 /(2о) i+/Ф11 -[ln 1 /(2о)!+/фо]}=	•
Следовательно, по формуле (8)
2тс
(9)
238 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
или (обозначая Фх— Фо через VarArg/(z)—от латинского слова
г
variatio — изменение)
W-P = -^-VarArg/(*).
Это соотношение выражает так называемый принцип аргу-
мента:
Разность между количествами нулей и полю'сов функции f(z),
заключающихся внутри замкнутой кривой Г, равна изменению
Arg/(г) при обходе точкой z контура Г в положительном напра-
влении, деленному на 2тс.
Отметим еще геометрическую интерпретацию полученного пред-
ложения. При обходе точкой z замкнутой кривой Г в положительном
направлении конец вектора w = /(^) описывает некоторую замкнутую
кривую Г'. Обозначим через v количество полных оборотов вокруг
начала координат, которые вектор w сделает при указанном обходе.
Каждый оборот будем при этом засчитывать как + 1, если он совер-
шается в положительном направлении, и как —1, если он совершается
в отрицательном направлении. Тогда для изменения Arg/(z) получим
величину откуда вытекает следующая формулировка принципа
аргумента:
Разность между количеством нулей и полюсов однозначной
функции f(z)f, заключенных внутри замкнутой кривой Г, равна
числу полных оборотов \, которые делает вокруг начала коор-
динат вектор, изображающий f(z), в то время как точка z опи-
сывает контур Г в положительном направлении,
В частном случае, когда /(г) не имеет полюсов внутри Г, получаем:
количество нулей функции f(z), заключенных внутри замкну-
той кривой Г, равно числу полных оборотов вектора f{z) вокруг
начала координат при однократном’обходе точкой z контура Г
в положительном направлении.
Из принципа аргумента вытекает следующая теорема:
Теорема Руше. Если f(z) и <p(z)— две функции, одно-
значные и аналитические в точках замкнутой спрямляемой кри-
вой Г и внутри нее, и если в точках этой кривой выполнено
условие |/(z)| > | <p(z)|, то внутри Г сумма /(£)-|-<p(z) имеет
столько же нулей, сколько их имеет функция f(z).
Доказательство. Для отыскания числа нулей функции /(z)+
4- <р (z) воспользуемся принципом аргумента. Переписывая /(-?) + ? (г)
для точек кривой Г в виде
(|/(z)| в точках кривой Г больше, чем |<р(г)|, и, следовательно,
в нуль не обращается), найдем:
Arg [/(*) + ? (2)1 = Arg/(*)+Arg[l
2. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ	239
поэтому конец вектора, изображающего 14-у^-у»
описывает замкнутую кривую, целиком заключающуюся внутри круга
с центром в точке 1 и радиусом 1. Следовательно, соответствующий
вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, и изме-
нение Argp -р J'(f)'] ПРИ обходе точкой z кривой Г равно’нулю.
Итак, изменение Arg [/(z)	? (z)] при указанном обходе совпадает
с изменением krgf(z) при том же обходе, откуда по принципу
аргумента вытекает равенство числа нулей функций /(z)+<?(.?) и f(z).
Полезным приложением этой теоремы является следующее предложение:
Теорема Гурвица. Если { /п (г)} — последовательность функций,
аналитических в области Q, равномерно сходящаяся внутри этой области
к некоторой функции f (z) ф 0, то для любой замкнутой спрямляемой
кривой 7, принадлежащей и вместе со своей внутренностью и не про-
ходящей через нули функции / (г), можно указать такое число n = v (у),
что при я >^(7) каждая из функций fn(z) будет иметь внутри 7 одно
и то же число нулей, равное числу нулей функции / (г), лежащих внутри
этой кривой.
Доказательство. Обозначим через р> минимум | / (z) | в точках кри-
вой f; в силу условия > 0. Следовательно, в силу равномерной сходимо-
сти последовательности {fn(z)} на 7 можно указать такое v (7), что при
во всех точках кривой у будет выполнено неравенство
|/w(z)-/(z)|<fx<|/(z)|.
Но отсюда, по теореме Руте, следует, что функции f(z) и /(z) 4~ [fn (z) —
— f(z)} =fn(z) (n>v(f)) имеют одно и то же число нулей внутри 7, чем
и заканчивается доказательство.
Примеры: а) Найти число корней уравнения z8 — 4г5 4~ & — 1=0, по
модулю меньших, чем единица.
Применим теорему Руше.
Для этого представим г8 — 4^г5 + z2 — 1 в виде / (z) 4“ ср (г), где / (г) =
= — 4z5 и ср (г) = г8 -|- г2 — 1. Так как при | z | = 1
|?(2')| = |z84-z~l|<|z8|4-|z2|4-l=3 и |/(z) | = | 4z* | =» 4,
то I <р (г) I < \f(z) |.
Следовательно, по теореме Руше, функция / (z) 4“ ? (*) = z8 — 4г5 + г2 — 1
имеет внутри окружности | z | = 1 столько же нулей, сколько их имеет функ-
ция f(z) = — 4z5. Но последняя имеет пятикратный нуль в начале координат,
и следовательно, число ее нулей в единичном круге равно 5. Поэтому и
уравнение z8— 4z5-j-z2—1 =0 имеет пять корней внутри единичного круга,
т. е. пять корней, по модулю меньших единицы.
б)	Доказать, что уравнение
а0 4“ COS $ + #2 COS 2$ 4" ... 4" аП COS пЪ == 0,
где 0. <^ап, имеет в интервале 0<0<2я2я различных кор-
ней. Кроме того, данное уравнение совсем не имеет мнимых корней.
Докажем сначала, что все нули многочлена
Р (г) = До +	+ • • • + anzn
240 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
лежат внутри единичного круга. Этот многочлен, очевидно, не имеет действи-
тельных положительных корней. Если же z не есть положительное число, то
| р (г) (z — 1) | = |	— [д0 + (Л1 — д0) г + ... + (ап — an_r) г™] | >
—lao + Cai —а0)г+ ... + (аа —ап_х) zn\>
>ЛпИп+1 — 1^о— я0)|г I4-... +(ап — an^)\z\n],
В самом деле, так как числа а0, — а0,...,ап— ап-1 положительны,
а число z не является положительным, то векторы а0, (а± — aQ)zf ...
..., (ап— an~i)zn не могут быть направлены все в одну и ту же сторону, и
следовательно,
1«о+(«1 — а0)г+ ... +(ап — «п-1)1Гя|<а04-(л1 — а0) И + •••
...+(«п — «п-1) И"
Если, кроме того, |г|>1, то
^о + (л1“ло)1^1 + ••• +
< а01 z |n+1 + (Л1 — лоМ z lW+1 + • • • + (ап — an-i) Iz ln+1 =
= la0 + (al — ao) + • 4" (an — Яп-l)] I z |n+1 = an I z |w+1*
Итак, при | z | > 1 и z неположительном
(г) (г — 1) | >	| г |n+1 ~an\z\n+l =0, t. e. p(z)(z — 1) #= 0.
Но отсюда следует, что при z. неположительном и по модулю не меньшем
единицы р (z) =/= 0. Последнее справедливо и для положительных z, и, сле-
довательно, р (г) не имеет нулей ни вне единичного круга, ни на его окруж-
ности. Поэтому все п нулей многочлена р (г) лежат строго внутри еди-
ничного круга.
Заставим точку z описывать окружность | z | = 1 в положительном напра-
влении. Тогда вектор, представляющий р (г), должен, по принципу аргумента,
сделать около начала координат число оборотов, равное числу нулей много-
члена p(z), т. е. п. Так как при каждом обороте кривая, описываемая кон-
цом вектора, пересекает мнимую ось, по крайней мере, два раза (раз сверху
и раз снизу), то мы будем иметь, по крайней мере, 2п таких пересечений.
Каждое из них соответствует определенному положению точки z на окруж-
ности | z j = 1, т. е. определенному значению ее аргумента $, изменяющегося
при одном обороте в интервале (0, 2л).
Мы имеем, следовательно, по крайней мере, 2п различных значений аргу-
мента 0 в интервале 0 < $ < 2л, для которых точка, изображающая р (г) =
= р попадает на мнимую ось. Для каждого из этих значений Я
Re [р (^)] = Re (aQ +	+ ... + ап№) =
= Re [а0 + (cos 0 + i sin ft) + ... + an (cos nO 4~ Z sin nO)J =
= a0 + cos 0 + ... + cos
обращается в нуль; следовательно, существование, по крайней мере, 2п кор-
ней уравнения
а0 4- cos & 4" • • • + ап cos ~ 0
в интервале (0, 2л) доказано.
Покажем, что число всех корней в этом интервале точно равно 2п. С этой
целью положим ~ С; тогда будем иметь:
ei^+e-ik» £*4. (Г*
cos --------у-----------!----
2
8. ВЫЧВТ ОТНОСИТЕЛЬНО БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ точки 241
и, следовательно,
аа + «1 cos ». 4-ап cos п» = у С“"(ап + ап..1Ч+ ... + а£п~1 +
+2aoe,+<i+l + ...+an:4
Если Ср Сз» .Сйп — нули многочлена, стоящего справа, то все нули триго-
нометрического многочлена, стоящего слева, удовлетворяют соотношениям
=	(/=1, 2, ..., 2л).
Отсюда вытекает прежде всего, что количество различных действительных
нулей рассматриваемого тригонометрического многочлена в интервале (0, 2л)
не превосходит 2п. Так как выше было доказано существование 2п различ-
ных действительных нулей этого многочлена в интервале (0, 2л), то общее
число их равно 2п. Заметим, что модули чисел Cj = все равны единице;
поэтому среди нулей данного тригонометрического многочлена не может
быть ни одного мнимого.
3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки. Если f(z)
является однозначной и аналитической в некоторой окрестности
| z | > R бесконечно удаленной точки (за исключением, быть может,
самой этой точки), то в этой окрестности справедливо разложение
/(z)= ...+Л_тог-И1+ ... -4-Л_1г-1Ч-Л0+Д1г+.. .-±-Anzn+...
Будем интегрировать f(z) вдоль окружности Са : | z | = о, для
которой а > /?, причем направление обхода выберем таким, чтобы
окрестность | z | > а бесконечно удаленной точки оставалась при
обходе слева. Такое направление естественно считать положительным
по отношению к обходу вокруг бесконечно удаленной точки, но по
отношению к внутренности круга | z | < а, т. е. по отношению к окрест-
ности конечной точки — 0, оно будет отрицательным. В результате
почленного интегрирования лорановского ряда получим:
J f(z)dz =	—2ш) = 2ш(—Л^).
Для того чтобы и в случае интегрирования вокруг бесконечно
удаленной точки интеграл от функции равнялся произведению вычета
функции на 2л/, целесообразно дать следующее определение:
Вычетом функции, однозначной и аналитической в некоторой
окрестности точки z = оо относительно этой точки, называется
взятый со знаком минус коэффициент при z~x в лорановском
разложении функции в этой окрестности.
Тогда
f f(z) dz = 2ш Выч. f(z),
а,
где интеграл берется в направлении, положительном по отношению
к бесконечно удаленной точке, т. е. по направлению, при котором
остается слева не внутренность кривой, как обычно, а ее внешность.
16 Зак 1636. А. И. Маркушевич
242 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
Пользуясь этим определением, получаем следующую теорему:
Сумма всех вычетов однозначной аналитической функции,
имеющей в расширенной плоскости одни только изолированные
особые точки, равна нулю.
Действительно, прежде всего, число особых точек такой функции
конечно (в противном случае существовала бы конечная или беско-
нечно удаленная предельная точка множества особых точек, которая
являлась бы тем самым неизолированной особой точкой функции).
Опишем такую окружность | z | = а с центром в начале координат,
чтобы на ней и в ее внешности (за,исключением, быть может, точки
z == оо) не лежало особых точек функции. Тогда все конечные осо-
бые точки zv z2> ...» zn будут лежать внутри этой окружности,
так что, по теореме о вычетах, будем иметь:
п
Г f(z)dz — 2Kl 2 Выч. f(z).
*=l z=zk
Интеграл здесь берется в обычном положительном направлении, т. е.
в таком, при котором внутренность окружности находится ^слева.
Но это же направление будет отрицательным по отношению к бес-
конечно удаленной точке. Поэтому тот же интеграл будет равен
f f(z) dz = —2ш Выч. / (z).
с
а
Вычитая из первого соотношения второе, получим окончательно:
2ш ГВыч./(z)4~ ... -|~Выч./(^)4-Выч./(^)1 = О,
1»=^	г=со J
ИЛИ
Выч./(.?)+ . • • +Выч./(г) + Выч./(£)== 0.
3 = ^	3 = 2L	« = о°
Теорема доказана.
В частности, эта теорема справедлива для любой рациональной
функции, ибо рациональная функция имеет только изолированные
особые точки однозначного характера (а именно полюсы).
Заметим, что вычет функции относительно бесконечно удаленной
точки определяется посредством коэффициента одного из членов
правильной-части лорановского разложения, в то время как
вычет относительно конечной точки определяется посредством коэф-
фициента одного из членов главной части (следует вспомнить,
что совокупность отрицательных степеней лорановского ряда пред-
ставляет правильную часть для точки z = оо и главную часть для
конечной точки). Отсюда следует, что вычет относительно точки
z=:oo может отличаться, от нуля и в том случае, если эта точка
не есть особая, т. е. является правильной, тогда как вычет относи-
тельно конечной правильной точки всегда равен нулю. Так, например,
4. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 243
для функции f(z) — ^ точка г = оо правильная (нуль первого по-
рядка). Вместе с тем, здесь Выч./(.?) = — 1	0. *
4. Применение теоремы о вычетах к разложению мероморф-
ных функций на простейшие дроби. Пусть f(z)—однозначная ана-
литическая функция, не имеющая в конечной части плоскости других
особых точек, кроме полюсов.
Обозначим через С какую-либо замкнутую жорданову спрямляе-
мую кривую, не проходящую через полюсы функции f(z), и пусть
z— точка внутри С, отличная от начала координат и полюсов.
Вычислим интеграл
1
2л/ J С — z *
С
По виду он схож с интегралом Коши. Но это не интеграл Коши,
так как функция f(z\ будучи аналитической на контуре С, имеет
особые точки (полюсы) внутри С. Рассматриваемый интеграл отно-
сится к интегралам типа Коши. Вообще интегралом типа
Коши называется интеграл вида
1 f <? (9 dZ
2л/ J С — Z ’
I
где ср (С) — функция, непрерывная на спрямляемой кривой L.
В частном случае, когда L есть замкнутая жорданова спрямляемая
кривая, принадлежащая вместе со своей внутренностью /(L) некото-
рой области, в которой y(z) является однозначной аналитической
функцией, интеграл типа Коши превращается в интеграл Коши.
Вернемся к данному интегралу.
Очевидно, полюсами функции (С) =« внутри С являются
точка t~z и все полюсы функции /(z), лежащие внутри С. Обо-
значим те из этих полюсов, которые отличны от нуля, через
..., рп, а соответствующие им главные части лорановских разло-
жений функции f(z) — через G^z), . . ., Gn(z). Положим еще ро = О,
считая Gq(z) равной главной части лорановского разложения функ-
ции f(z) в окрестности точки 2 = 0, так что функция GQ(z) тож-
дественно равна нулю, если z = Q есть правильная точка для f(z)9
и Gq(z) есть рациональная функция с единственным полюсом в начале,
если z — 0 есть полюс функции f(z).
Подсчитаем ' вычеты функции ср (С) относительно точек С" z9
р0, •••» Получим прежде всего:
Выч. ф (С) =/(£).
t—я
16*
244
ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Далее, заменяя /(С) в окрестности точки соответствующим лора-
новским разложением
/(0
(Wfc)T/c
+ А<Р + Ар (С — Р&) -|-
=<зд+ад>>
где ОЛ(С) и /\.(С) соответственно — главная и правильная части раз-
ложения, и замечая, что при |С—— рл|
1 __ 1 ' 
=______1 C-pfc	(C-W*"1
Z— h	(* —Pfc)a	(z—
находим, что член, содержащий (С — ₽л) 1 в разложении <р(С) =
Равен
л<*> , л<*>
г-^+(г-^)2
I 1
। ~lfc . 1_______
U-MT*J c~₽ft

Следовательно,
Итак,
Выч. <?(£) = — Gk(z).
ft	п
с	о
или
/« =
О	С
(Ю)
Эту формулу можно было бы получить иным путем. А именно заметим,
п
что S (£) — рациональная функция, обращающаяся в нуль в бесконеч-
о
S Ofc (О
ности; все полюсы ее лежат внутри С. Функция	(г лежит внутри С)
обладает теми же свойствами и в бесконечности имеет нуль, по крайней
мере, второго порядка. Поэтому ее вычет относительно бесконечно удален-
ной точки равен нулю, и следовательно,
п
i	' -
с
4.
ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 245
откуда
1 [’/(0^ 1
2п/ J Т--* z 2п1
с
о
п
Но функция /(£) —2 Gjt(C) является аналитической во всех точках внутри С>
о
поэтому к последнему интегралу применима формула Коши, и мы получаем:
sItSt-sI-------
С	с	0
т. е. формулу (10).
Допустим, что существует последовательность не проходящих
через полюсы функции f(z) замкнутых жордановых спрямляемых кри-
вых {Ст}, из которых каждая (Cw) содержится внутри следующей
(Cw+1) и внутренности которых при достаточно большом т содержат
любой заданный круг | z | </?, причем для кривых удовлетво-
ряется условие
lim 2^1т=т = °-	(11)
m->ooZKi £	*
Тогда число полюсов функции f(z), лежащих внутри Ст, будет
зависеть от т : n = и из формулы (10) получим:
т
f(z)= 11m 2о*(г),
т -> оо 0
(12)
т. е. функция f(z) представляется в виде предела последователь-
ности сумм главных частей ее лорановских разложений, относящихся
к полюсам, лежащим внутри Cw.
Условие (11) удовлетворяется, например, в случае, когда
_ . ШП f |/(Q	< оо.	(13)
tn ->со .у
°™ _
В самом деле, обозначая через гт расстояние от начала коор-
динат до Cw(rw->oo при /п->оо) и полагая, что z принадлежит
кругу | z | < R, получим при rm > R:
m	tn
246 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Из этой оценки видно, что при условии (13) остаточный член
формулы (10) стремится к нулю равномерно относительно z> при-
надлежащего произвольному кругу |j| </?. Поэтому последователь-
ность (12) равномерно сходится к функции f(z) в любом круге
И<я.
Можно получить представление для f(z), аналогичное (12), при
значительно более общих условиях. Именно допустим, что вместо (13)
для последовательности кривых {Cw} и некоторого целого неотри-
цательного числа р выполняется соотношение
iim L^LL</s<0o.	(14)
| С |J’+1	4
Если предположить, что длины 1т кривых Ст растут не быстрее,
чем Krmi где X — некоторая постоянная (так будет во всех случаях,
когда Ст являются кривыми, подобными относительно начала коор-
динат), то найдем, что
г ‘ ч	шах |/(С)|
!Z§lds'<>maxl/(Ql-^7<X^a—-----------.
J I Г |Р + 1 Л 17 \ Z I р + 1	р
Д •I	ш	г т	г т
т	А
Отсюда видно, что условие (14) будет удовлетворяться, если выпол-
нено более простое условие
___ max|/(C)|
iim --------<оо,	(15)
Ш оо т
допускающее бесконечный рост шах|/(С)|, но не более быстрый^
чем рост грт.
Сделав предположение, что условие (14) (или (15)) выполнено,
вернемся к соотношению (10) и заменим в нем дробь С — z под
знаком интеграла выражением
1	_ 11	_ 1 , z .	. zp .	1 zp+1
С — z~~ £ i£ С ‘ С2 ‘	‘	+ i ‘ (С —г) С7’4’1 ’
С
Тогда будем иметь:
_2 о. Ы+2 tLJta л+2; J(16)
0	ОС	С
Заметив, что функция имеет своими полюсами внутри С точки'
Ро> ₽1...Рп> положим:
Выч.-£§- = 4Л (7 = 0,1..........р).
4. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 247
Тогда получим:
р , *	„ р	п
2	д=Ж’+ • •+-4-’>?=Ёр-»
у=о с	л=о
где Pk(z) — многочлены степени не выше р:
ра(2)=40)+4^+...+4^<_	(17)
Итак, формулу (16) можно переписать в виде
/ W = 2 [°*« + р- и]+sj	л- <18>
Заменяя здес£ С на Ст и, следовательно, п на пт, получим,
используя условие (14), что остаточный член этой формулы
1 (/го?**1 ,
2л/J ^_2^Р+1и^
стремится к нулю и притом равномерно относительно точек z, при-
надлежащих любому фиксированному кругу | ^ | < /?. В самом деле,
при /п, настолько большом, что rw > /?, имеем:
11 f /(о	< 1 f wp+1d~' RP+1
|2я/ J C-2^+1 ’ 2л J |С|-|г||Ср+1	^2«(rTO-/?) J |C|P+1
Но в силу условия (14) интегралы
ограничены:
< М < оо.
Следовательно,
Г1Ж1
J |С1Р+1
Ст
ds
|_i_ f
12л/J
Ст
MR?*1
(rw R)
>0 при /п~»оо,
и мы получаем из формулы (18) разложение
пт
f(z)^ lim 2(0й(г)4-Рй(г)1,	(19)
пт 00 0
равномерно сходящееся к f(z) в каждом круге |г|</?. Это раз-
ложение можно записать в виде ряда
/(2) = [О0(2)+Р0(г)]+ S {Юпот+1 (^)+^nm+i (г)] +...
™=о т	т
•• + 1°"»+.М+р",м<гМ.	<20>
где п0 следует положить равным нулю.
248
ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
Заметим, что первые члены последовательности (19) или ряда (20)
обращаются в оо в точках р0, ...,	, т. е. там, где обращается
в оо функция f(z). Поэтому равномерную сходимость ряда (19)
нужно понимать как равномерную сходимость того ряда, который
получается из данного после отбрасывания нескольких первых чле-
нов, имеющих полюсы в круге
Разложения вида (19) (в частности, (12) или (20)) являются раз-
ложениями f(z) на простейшие дроби.
5.	Разложение secs, ctgs, cscs и tgs на простейшие дроби. Изло-
женный нами метод разложения функций в ряды/ принадлежит Коши. При-
меним его к нескольким частным примерам, имеющим важное значение.
а)	Р а з л о ж е н и е sec г. В качестве Ст выберем контуры квадратов
с центрами в точке z = 0 и сторонами, параллельными осям координат и
равными по длине'2/ип. На сторонах квадратов, параллельных мнимой оси,
имеем z = ± тте + /у, и следовательно,
| cos (± /птс + /у) | I cos ly | ch у ‘
На сторонах квадратов, параллельных действительной оси, имеем г =» х ± imn,
и, следовательно (см. формулы (36) главы III),
I ==	1	1
’SeC *	| cos (х ± irnit) | sh /ил ’
Из этих неравенств получаем для интеграла J* | sec С | ds оценку
тп
I sec С | ds < 2	4-	.
J 1	1 J ch у ‘ shmix
ст
Ч-оо
Так как интеграл J сходится	при т->со, то условие (13),
—со
а следовательно, и условие (11) выполнены. Поэтому в данном случае можно
пользоваться формулой (12).
Внутри Ст функция sec z =» имеет полюсы вида (2/ — 1) ~, где
— т1	все они являются простыми, так как нули cos г —простые.
Очевидно,
Выч. sec г =---------/2-_1 v =
г=(2У-1)|	sin(-22~
И
и следовательно, главная часть sec z в окрестности точки z = (2j—1)-g-
(____________________ip*
есть Qj (z) =---------------. Заметим еще, что г = 0 не является полюсом
(2у — 1)
5. РАЗЛОЖЕНИЕ sec z> dgZ, CSC Z И tgz НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 249
для sec г, и, следовательно, соответствующую главную часть следует считать
равной нулю. Из формулы (12) находим:
sec г = lim V -------— — ---=»
^^тоу.Г1+1г-(2у^1)^
Заменим во второй из сумм под знаком предела j на 1 — k. Получим, что k
будет изменяться в пределах от единицы до /и, и следовательно,
-Z+i ^“-(2j —1) j ^ + (2£-l)-j‘
Поэтому, меняя обозначение k на у, найдем:
sec z = Hm
т -> оо
т	. . п
7t
J=1? + (2/-l)TJ
in
= lim
1П -> OO
^«1
(27— 1)
гз_(2у_1)з^
Мы пришли к разложению sec? в ряд
ОО
sec z =
(2/—1)ТС
7^2 ‘
^2_(2/— 1)2 —
(21)
Из способа получения этого ряда (частный случай формулы (12) при
условии (13)) вытекает, что он равномерно сходится в каждом круге | z | < R
(причем, чтобы говорить о сходимости ряда, из него следует исключить
несколько первых членов, имеющих полюсы в данном круге).
б)	Р а з л о ж е н и е ctgz. В качестве Ст выберем контуры квадратов
с центрами в точке z »0 и со сторонами, параллельными осям координат
и равными по длине (2т-}-1)~. Тогда на сторонах квадратов, парал-
лельных мнимой оси,
г = ± (т + -i) л iy
и, следовательно,
|ctg?| =
COS
sin
I sln (W I — I еУ — e-У I
I cosjfZy) I I ev 4- e~v |
250 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
На сторонах квадратов, параллельных действительной оси,
z = х ± i (т -|“ -g-j тс, •
и, следовательно (см. формулы (36) главы III)
I ctg^| =
cos х ± I \ т	тс
sin х ± I (т 4- тс
1 + ^-(2ш + 1) к	1 е-к ~ ек + j
Итак, на сторонах квадратов Ст модуль | ctg z
равенству
удовлетворяет не-
Поэтому условие (15), а следовательно, и условие (14) выполняются при
р = 0, и мы можем пользоваться формулой (19).
COS Z
Внутри Ст функция ctg г = имеет полюсы 0, ± те, ..., ± тите, причем
все они являются простыми, так как все нули sin z суть простые. Очевидно,
Выч. ctg г
cos kn
cos kn
поэтому главная часть Gjc (г) разложения ctg z в окрестности точки z = kn
Равна 7=^-
Многочлены Pjc (г) (см. формулу (17)) в данном случае суть многочлены
степени не выше р = 0:	'	-
Рк(г) = А^= Выч.^-.
4 к С
ctg С
Но’функция - ~ , очевидно, четная. Поэтому ее разложение в ряд Лорана
в окрестности начала координат содержит только четные степени С, и, сле-
довательно,
Выч. = 0.
ctg С
Далее, точки С = kn (k Ф 0) являются простыми полюсами для • Поэтому
ctg С cos kn 1
Выч. —у— — -7-------Г- = 7~ •
С kn cos kn kit
Итак,
Ро(г) = О, =
5. РАЗЛОЖЕНИЕ sec Ctg£, CSC Z И tgz НА, ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 251
следовательно, по формуле (19)
Мы получили разложение ctg г на простейшие дроби. Как следует из
самого способа получения этой формулы (из общей формулы (19)), ряд (22)
равномерно сходится в любом круге |г| </?, если исключить из него конеч-
ное число членов, имеющих полюсы в этом круге.
Переписав соотношение (22) в виде
с‘^-7 = 2(т^ + 7Тк)’
1
проинтегрируем его почленно вдоль произвольной кривой £, выходящей
из начала координат и не проходящей через точки kn (k = £ 1, ±2,...).
Получим:
|/ .	1\. Vi /kn — zkn-]-z\ V. /,
О	1	1
где в правой части стоят вполне определенные значения логарифмов,
а именно значения, представляющие величины соответствующих интегралов
f( 1 + 1 \dz.
J \ г — kn 1 z-\- kn /
_ _	«	<.« г sin z
Интеграл в левой части равен одному из значении Ln—у—. Итак,
, Sin Z „ V 1 /1	& \
Ln----= 11m	?. Ln 1 — -Т7-5-),
Z n->oo-^	\
1
откуда
*!!!£= lim nf1—i)>
Z n->co±±\	№t&}'
1
что записывают обычно при помощи символа бесконечного произведения
sin^nfl-W-)-	(23)
1
Это — разложение sin г в бесконечное произведение.
в)	Разложения esc z и tgz. Из разложений для sec z и ctg z не-
медленно получаются разложения для cscz и tgz. В самом деле, esc z =
= sec — z}. Поэтому из полученной выше формулы
1. V	(—1)J
sec? = lim V ------------------
т -> оо .	9 - /О; 1 \
««-m+i z	i)“2
252 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
находим:
esc z =
т	j
у —---------------------
1	00	/о /	1 \ тс
Jsa—WJ4-1 2	1 2
т
— n(J — 1) — г
ja -w + i
m
= lim
j= -m-bl
(-I)'"1
л(/-1)+г-
Заменяя j — 1
т-1
на k, будем иметь:
CSC z —
(-D*
z 4- kit
к-—т
lim
г—2тс ‘ г
1
кг — (m — 1) л * z + (m — 1) тс
г — тп
Добавим в квадратных скобках еще один член: (— l)w 1
—г-----, предел
z + тп ’ *
которого равен нулю (равномерно относительно z, принадлежащих произ-
вольному кругу | z |< /?). Получим:
п Г1 2г . 2г	. , 1хт 2г 1
ш-юоС2,	г2 —1 г2—(2тс)2	• '	^2 —(тте)2 J
2г
Это и есть нужный результат.
Аналогично
выше формулы
для tgz имеем: tg£
, поэтому из найденной
ctg г == lim
m
г — kn 1 г 4- kn
1
1
1
получаем:
m
' 1
tg z ~ lim
lim
1
тс
-7 — г
~/ 1
I ТС ' 7С
_\Т-г
, I 1
1_________
у — г — kn Т —г + ^л
1 \  / 1
Зтс
~2	2
1
4Н+--
2 г /
1_____
(2/п—l)y —z	— (2m — 1)у — z j (2/п4-1) j — z
5. разложение sec г, ctg .г, cscz и tgz на простейшие дроби 253
Отбросив в квадратных скобках член------------, предел которого равен
нулю, найдем:
2	°°	2
tg 2 = ,Дгаот 2	(2/-1)\3 = 2 г2 . (2/-1)\а •
Это и есть искомое разложение для tgz.
г)	Из найденных разложений легко получить, в частности, лорановские
разложения тригонометрических функций в окрестности начала координат,
которые мы раньше находили посредством деления рядов (п. И главы VI).
Рассмотрим sec г. Эта функция является аналитической в круге | z | <
и, следовательно, допускает в нем разложение в ряд Тейлора. Формула (21)
представляет эту функцию в виде суммы ряда
оо
5есг= ^(— 1/
1
(2/ — 1) ти
К2
равномерно сходящегося в каждом круге, в частности, внутри круга | z
Поэтому, опираясь на теорему Вейерштрасса о равномерно сходящихся
рядах аналитических функций, тейлоровские коэффициенты sec г можно
получить путем сложения соответствующих коэффициентов тейлоровских
разложений каждой из функций, стоящих в квадратных скобках в правой
части последней формулы (см. п. 8 главы VI). Но
z + (2/-l)y
ОО
=-2 <- 1)J_1 2 г----('21 < - 0•
o[(2j-l)^J
Здесь коэффициенты при нечетных степенях равны нулю, а коэффициент
при z^ (m = О, 1, 2, ...) равен
2(—l)^-1	= 2 /'2\2w+1 (— 1/-1
(27 — 1) £12от+1	'	.	(2>-1)2’п+1/
254 ГЛ. VIII. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ, принцип аргумента
Поэтому тейлоровские коэффициенты в разложении sec г при нечетных
степенях z равны нулю (что, очевидно, можно было видеть сразу, так как
sec z — четная функция), а при четных степенях 2&т представляются в виде
рядов
о/2\2.",+1у (-р'-1
Итак,
sec г = 2j
m=o
V (-Р^1
^(2/-р2^

Вспомним, что в п. 11 главы VI то же разложение было получено в дру-
гой форме:
оо
о
где Ezm — целые числа, называемые эйлеровыми (Ео=1, £3 = —-1, £4 = 5,
£6 =— 61,...). Из сравнения коэффициентов обоих рядов получаем ра-
венства
2 (l\*m+i V (~1У~1 = С— В*”
\к/	(2j — i)2*»+i	>	(2/n)|
(m = 0, 1, 2,...),
в частности,
S(- p'-1 _ £0 « _ ft
2/— 1 “2 2 ~ 4 ’
(_p/-i_	£a /я\з_пз
(2/—ps	2-2! \2)	32'
V (~ 1)y~1
Z4 (2J — ps
1
£4 / г \5 _ 5те5
2^4!\2/ ““ 1536’
Рассмотрим еще функцию ctg z — ~, аналитическую в круге | z | < тс.
Чтобы вычислить коэффициенты ее тейлоровского разложения, воспользуемся
формулой (22), из которой вытекает следующее представление этой функции
в виде ряда
ct^-7=S(r^ + FF^)-
>=1
J
5. РАЗЛОЖЕНИЕ sec Ctg^, CSC £ И tgZ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 255
Для каждого слагаемого этой суммы имеем следующее тейлоровское
разложение:
оо	оо
_L_+__L_ = _ V	+ V (_ п* £*_ =
+	А,х>й+1 Г (М*+1
СО
VI g2m-l
=-22^ (И<'Л
Поэтому тейлоровские коэффициенты при четных степенях z в разложении
функции ctgz----равны нулю (что сразу же следует из нечетности этой
функции), а при нечетных степенях г2™-1 представляются в виде рядов "
со	оо
— 2 2	= — л2»» 2 ;2и» (rn=l, 2, ...).
Следовательно,
Ш = 1
со
2 V 1
^2т j2m
З-1
г2ш-1е
В п. 8 главы VI то же разложение было получено в иной форме:
СО
•1	q2WI d
ctg z---= у (— I)”1	г2™-1.
6 z	’	(2m)l
m=l
Из сравнения двух разложений вытекает, что
2	1	. ( 1 \ ш-1 22шВ2ш
П2т	рт '	(2лп)! *
3^
Так как левая часть этого равенства положительна, то и правая должна
быть положительной, т. е. (— l)™"1 В2т > о. Отсюда следует, что бернуллиевы
числа B2w(/n=l, 2, 3,...) должны иметь чередующиеся знаки (в п. 10
главы VI мы видели, что B2 = -g-,	В6=^,...у
Из найденного соотношения следуют, в частности, следующие равенства;
00
ji ~	2.41 (2,t)4 ~ 90’
J=1
2-6! ( ’ ””945’
ГЛАВА IX
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ
ПОВЕРХНОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
1.	Задача аналитического продолжения. Задача аналити-
ческого продолжения функции /(г), определенной на неко-
тором множестве Е, заключается в таком распространении определе-
ния этой функции на возможно более широкую область О э Е, при
котором f(z) была бы аналитической и в области D. Простейшим
примером аналитического продолжения может служить переход от
функций действительного переменного ех, sin х, cosx (т. e. функ-
ций, определенных только на действительной оси Е) к функциям ezt
sin/, cos z комплексного переменного, аналитическим во всей пло-
скости и совпадающим на Е с соответствующими функциями дей-
ствительного переменного. Переход этот можно осуществить, заменяя
в степенных рядах
оо	оо	со
О	1	о
действительное переменное х комплексным переменным z и замечая,
что ряды эти остаются сходящимися.
оо
Рассмотрим еще пример степенного ряда 2 сходящегося
о
в единичном круге E:|z|<l. В этом круге он определяет анали-
оо
тическую функцию f(z) = г” =	. Хотя вне единичного круга
О
ряд расходится, функцию f(z) можно аналитически продолжить на
более широкую область D, представляющую всю плоскость, за исклю-
чением одной точки z=l; достаточно положить в этой области
/ы=14т
Обратимся от этих частных примеров к общей задаче. Пред-
положим сначала, что возможность продолжения f(z) на область D
как однозначной и аналитической функции уже установлена и речь
1. ЗАДАЧА АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ	257
идет лишь о способе вычисления ее значений в этой области, ’Такой
способ совпадает по своей идее с доказательством теоремы един-
ственности, изложенной в п. 6 главы VI; рассмотрим его подробно.
Пусть EaD — множество точек, имеющее хотя бы одну предельную
точку Zq в области D. ч
Начнем с определения коэффициентов степенного ряда
/(^ = ^ + 4’)^-^)+ ... +cW(z-z0)»+-. ...	(1)
изображающего f(z) в окрестности точки Zq. Известно, что ряд этот
сходится в круге Kq\\z— ^0|<r0, где го— расстояние точки г0
до границы Д области D (но ряд может сходиться и в большем
круге). Пусть {zk} — последовательность точек из множества £,
отличных от zQ и различных между собой, сходящаяся к zQ't значе-
ния f(z^) (&—1, 2, 3, ...) мы считаем известными.
Для cW — f(z^ получаем, очевидно:
4°,e ton/(**).
гл-*го
Предположим, что коэффициенты с^, . .., уже вычи-
слены. Тогда из формулы (1) получаем для
с(о)
п
..	/ (**) — 40> — <4°’ <гк — г0)-...-	(гк — гй)п 1
= 11Ш
________-<
(гк~го)п
Таким путем цожно вычислить один за другим все коэффициенты
ряда (1). Пусть теперь z'— произвольная точка области, не при-
надлежащая кругу Kq- Соединяя zr с zQ ломаной LaD, обозначим
расстояние между L и Д через 3 > 0. Разделим L на дуги с дли-
нами, меньшими 3, и пусть точки деления по порядку в направлении
от Zq к zr таковы: Zq> zv z2> ...» zm_v zm=*zf. Если r$—рас-
стояние от точки z$ до Д, то в круге Kj'.\z —	/(*) изо-
бразится рядом
Л*) = (z -Zj) + ... + (z-z.)n + . • •	(2)
При / = 0 коэффициенты ряда уже вычислены. Допустим, что
они вычислены для ряда (2) при некотором J < т. Замечая, что
расстояние между центрами Zj и Zj+l кругов Kj и Kj+1 меньше,
чем длина дуги с концами Zj и Zj+V и, следовательно, меньше,
чем BOj, заключаем, что Zj+l принадлежит /Q. Поэтому для
y(n) (z • )
вычисления коэффициентов с^+1) =------— можно пользоваться
разложением функции в круге Kj-
17 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
258 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
Получаем:
= (2 _2)+
П	п\ . п '	1! n+iA^j+1
, (П+2) (П + 1) (,•) ,	_ z )2 |
2!	cn+z\zj+i zj>	-
Таким путем коэффициенты каждого последующего из рядов (2)
могут быть выражены через коэффициенты предыдущего ряда. Сле-
довательно, могут быть вычислены и все коэффициенты ряда, соот-
ветствующего j — т, в частности сМ —f(z ) = f(z'). Поставленная
задача решена до конца. Читатель видит, что мы почти без изме-
нений воспроизвели здесь ход доказательства теоремы единствен-
ности. Существенную роль в решении задачи сыграла цепь кругов
в каждом из которых определена однозначная аналитическая
функция fj(z) (сумма степенного ряда (2)), причем каждый
последующий круг имеет общую часть с предыдущим Kj й
в общей части значения функций fj+1 (z) и fj(z) совпадают. В сле-
дующем пункте мы рассмотрим обобщение такой цепи, где круги
будут заменены произвольными выпуклыми областями.
2.	Непосредственное аналитическое продолжение. Напомним,
что область G называется выпуклой, если прямолинейный отрезок,
соединяющий любые две точки области, содержится в области.
Примерами выпуклых областей являются круг, треугольник, прямо-
угольник, полуплоскость, угол (раствора, не большего тс), полоса,
заключенная между параллельными прямыми, и т. п. Если две
выпуклые области имеют непустое пересечение (т. е., по крайней
мере, одну общую точку), то это пересечение само является выпук-
лой областью (докажите!).
Пусть О — выпуклая область и f(z) — функция, аналитическая
и однозначная в области G. Эта совокупность функции и области на-
зывается элементом аналитической функции (коротко—
элементом); мы будем обозначать элемент символом {О,/(<?)} *)•
Два элемента {Ор АС2)} и {G2, f2(z)} рассматриваются как тожде-
ственные тогда и только тогда, когда области Gx и О2 совпадают
и /1(^) = /2(<г) во всех точках области. Два элемента {Gp А(^)}
и {О2, /2(^)}> удовлетворяющие условиям: 1) Gt и G2 имеют непустое
пересечение, 2) в общей части областей Gt и О2 значения А(^)
и /2(z) совпадают, называются непосредственными анали-
тическими продолжениями один другого.
*) Условие выпуклости обеспечивает связность общей части двух обла-
стей. Если устранить это условие, то можно сохранить все последующее
изложение, вводя уточнения в формулировки, вызываемые тем, что в общем
случае общая часть двух областей состоит из многих областей, попарно
не имеющих точек.
3. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ЭЛЕМЕНТАМ 259
Элементы {Gp Л (г)}, {G2, /2(^)}.....{Gn, /w(z)J составляют
цепь аналитических продолжений (непосредственных), если каждым
последующий элемент {Gy+P /j+iC?)} является непосредственный
продолжением предыдущего. Цепь соединяет начальный элемент
Д(^)} с конечным {Gn,	очевидно, что та же цепь,
пройденная в обратном направлении, соединяет элемент {Gn,fn(z)}
с {Gp Два элемента {G, f(z)} и {D, <p(z)} называются ана-
литическими продолжениями один другого, если суще-
ствует цепь, соединяющая один элемент с другим.
Примеры: а) Вернемся к задаче п. 1. Очевидно, что для каждого
у(у = О, 1, 2, ..., п) сумма степенного ряда (2) вместе с соответствующим
кругом Kj'\z — zj\<rj составляет элемент аналитической функции, кото-
рый мы коротко обозначим Ej. Два соседних элемента Ej и £^+1 являются
непосредственными аналитическими продолжениями один другого; элементы
£0, £р ..., Еп образуют цепь аналитических продолжений, соединяющую £0
с Еп, Ео и Еп (и вообще Ej и Ek,	— аналитические
продолжения один другого. Наконец, и самый процесс, посредством кото-
рого была решена задача п. 1, может быть назван процессом анали-
тического продолжения.
Из рассуждений п. 1 ясно также, что если для каждой точки С С D
образовать степенной ряд
/(п) /РЧ
сходящийся к /(г) в круге К(С): \z—	<р, где р— расстояние от точки С
до Д, то получим бесконечное множество элементов {К (С), / (г)}, из которых
каждый будет давать аналитическое продолжение другого, причем все вместе
они могут служить, для определения данной однозначной функции /(г)
в области D.
б) Пусть Gj — полуплоскость, определяемая следующими неравенствами
для полярного угла 9: j <9<(J-|-2)у (7 = 0, ±1, ±2,...); очевидно,
что Gj+4w = Gj (п — целое число). Положим fj (г) = In | z | + Z?, где
удовлетворяет тем же неравенствам; получим элемент {Gj, fj (г)}. Легко
видеть, что при любом j целом элементы {Gj, fj(z)}n{Gj+i,fj+i(z)}
являются непосредственными аналитическими продолжениями один другого
к
(общая часть полуплоскостей Gj и G^ + 1 — координатный квадрант (у’+Оу <
<?<(/ +2) у, в котором функции fj и fj+r имеют одинаковые значения).
Отсюда следует, что любые элементы {Gj, fj} и {Gk, fk} являются аналити-
ческими продолжениями один другого. Очевидно, что совокупность всех эле-
ментов {Gj, fj (z)} может служить для определения многозначной функ-
ции Ln z. <
3.	Построение аналитической функции по ее элементам.
Множество М элементов {G, /(z)} (конечное или бесконечное)
назовем для* краткости связным, если каждые два элемента этого
множества {Go, /0(z)} и {G*, /*(z)} являются аналитическими про-
должениями один другого и если наше множество вместе с каждой
парой своих элементов содержит также и элементы некоторой цепи,
17*
260 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
связывающей элементы пары. Например, множества элементов
в примерах а) и б) п. 2 являются связными. Покажем, что объеди-
нение (J О = D всех областей, входящих в определение элементов
некоторого связного множества Л4, является областью. Действи-
тельно, если z£D, то z принадлежит, по крайней мере, одной
из областей Q и, следовательно, окрестность точки z. содержащаяся
в G, содержится также и в D. Пусть z0 и z* — две различные
точки множества D и zQ принадлежит области Go, которой соот-
ветствует некоторый элемент {Go, /0(.?)} сА1, а точка z* — области G*,
которой соответствует элемент {G*, /*(.?)}. Далее, пусть {Go, /0(z)}>
{Gp ...» {Gn, fn(z)}	и G* = GW)—цепь элементов
из множества#М, соединяющая {Go, fQ(z)} c {G*, /*(.?)}. Выберем
по одной точке Zj+1 в пересечениях областей Oj й Gj+l (/==0,1,...
. . ., п—1). Тогда Zq можно будет соединить с точкой zt отрезком
прямой ^czGo (а следовательно, ^cD), zt можно соединить с z2
отрезком прямой ^aG^aD,	можно соединить с zn = z*
отрезком 8nczGn_1c:D. Очевидно, что совокупность отрезков пря-
мых Зр 32, ..., составляет ломаную, содержащуюся в D и со-
единяющую точку Zq с z*. Итак, D есть область. Мы можем теперь
следующим образом посредством множества М определить в D
аналитическую функцию f(z) (вообще многозначную). Если.г0££),
то, беря один из элементов {Go, fQ(z)}t для которого zQ£G0,
полагаем в окрестности точки zQ, содержащейся в Go,
и, в частности, /(^0) = /0(^oy. Тем самым получим в данной окрест-
ности точки Zq одну из однозначных ветвей аналитической функции /(z).
Так как может существовать несколько (быть может, бесконечное
множество) различных элементов {G, f(z)}t для которых ^0£G, то
получаем несколько (быть может, бесконечное множество) окрест-
ностей точки Zq и в каждой из них соответствующую однозначную
ветвь функции f(z). Очевидно, для того чтобы фиксировать какую-
нибудь одну из них, а вместе с ней и определенное значение /(z0),
необходимо указывать не только точку zQ, но и один определенный
элемент {О, /(?)}£ Л1, удовлетворяющий условию z0£G. Тогда мы
получим однозначную ветвь функции f(z) не' только в круговой
окрестности точки zQ, но и в целой области G; эта ветвь опреде-
ляется функцией f(z). Будем в дальнейшем рассматривать каждый
элемент {G, f(z)} как элемент построенной здесь функции Для
иллюстрации вернемся к множествам элементов в примерах а) и б)
п. 2. В первом из них объединение всех кругов Д'(С) дает исход-
ную область D и функция f(z), определяемая посредством своих
элементов {Д’(С), /(Q+/'G)(^ — Q+ • • •}> оказывается однозначной
аналитической в области D функцией. Во втором — объединение
всех полуплоскостей Оу : 7 у < < (/+ 2) у (j' — 0, ±1, ±2, ...)
представляет всю плоскость, за исключением точек z = 0 и z = + оо.
4. ПОСТРОЕНИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ	261
Рассматриваемые элементы < ф < (у+ 2) у, In | z|-|-i? } опре-
деляют в этой области бесконечнозначную аналитическую функцию,
а именно Ln г. В каждой^ из четырех полуплоскостей: /Оу<?<
<С/о + 2)у (/о = О, 1, 2, 3) (с такой полуплоскостью совпадает
бесконечное множество полуплоскостей Gj, для которых / = 4л-|-/0,
п = 0, ±1, ±2, ...) Lnz имеет бесконечное множество однознач-
ных ветвей, выражаемых формулами
fin+fr.(z) = In I z 14-lv + 12т.
4.	Построение римановой поверхности. Б. Риману принадлежит
идея такого обобщения понятия области, что любая многозначная
аналитическая функция f(z) комплексного переменного z становится
однозначной, если ее рассматривать как функцию точки соответ-
ствующей обобщенной области.
Пусть М— связное множество элементов {G, /(z)}. Когда мы
строили выше область £)=(JG, то каждая точка z, принадлежащая
области Gq некоторого элемента {Go, fQ(z)} и области G* некото-
рого элемента {G*, f*(z)}> рассматривалась не как две точки, но как
одна и та же точка области D.
Изменим теперь описанный выше процесс объединения областей
{G} и будем рассматривать точку z, принадлежащую областям Go и G*
элементов {Go, fQ(z)} и {G*, f*(z)}, как одну и ту же точку
тогда и только тогда, когда эти элементы являются непосредствен-
ными аналитическими продолжениями один другого (т. е. когда зна-
чения /0(z) и f*(z) совпадают в пересечении Go и G*). Чтобы при-
дать наглядность этому процессу, представим себе, что для каж^го
элемента {G, f(z)} изготовлена модель соответствующей области G
в виде куска бумаги или ткани соответствующих очертаний. Процесс
объединения областей {G} будем представлять как склеивание между
собой этих кусков вдоль тех их частей, точки которых отожде-
ствляются. Иными словами, куски, изображающие области Go и G*
элементов {Go, /0(z)} и {G*,	склеиваются друг с другом
только в случае, когда одновременно выполнены два условия:
1) области Go и G* имеют непустое пересечение O0nG* = g;
2) /о(*)~ /* (*) в0 всех т°чках g. Предполагая, что произведены
все возможные склеивания областей {G} друг с другом, подчиненные
этому правилу, мы получим в результате обобщенную область/?,
вообще говоря, многослойную или многолистную, расположенную
над областью £>. Впрочем, в частных случаях, как в примере а) п. 2,
процесс построения /? ничем не будет отличаться от построения
области D, так как каждый раз, когда круги /С(С0) и К (у) будут
иметь непустое пересечение, суммы соответствующих степенных ря-
дов (2) будут одинаковыми; поэтому эде^ь обобщенная область /?
262 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
тождественна области D. В примере б) п. 2 положение иное. Здесь
области Оу. < <р < (/+ 2) у для всех целых чисел у, дающих
при делении на 4 один и тот же остаток /0, представляют одну
и ту же полуплоскость /оу < ? <Uo4~2)y > ограниченную соот-
ветствующей координатной осью. Будем представлять эти области
в виде бесконечного множества различных между собой бумажных
листов, сложенных в одну стопу над полуплоскостью Gj. Так как
7о принимает 4 значения: 0, 1, 2 и 3, то всего получается четыре
такие стопы. Никакие два листа и Ga^0(k /) одной и той же
стопы не должны непосредственно склеиваться друг с другом, так
как в их пересечении (совпадающем с полуплоскостью Gj0) f4k+jo =
= In И +1 (ф + 2М, fil+jo = ln|z| +1 (ф + 2/it)	< ф <(/о+2)у,
k^l). Лишь листы с индексами, различающимися на единицу: Gj и
Оу+1 (они принадлежат двум различным стопам), склеиваются вдоль
общей части, расположенной над координатной четвертью (7+1) у <
<?<(/+2)~. В самом деле, в этой общей части значения
функций fj (z) = In |z| + /ф (/ -J < ф < (J + 2)yj и fj+1(z)= ln|z| + i<?
((J + 1) y < <P < (j + 3) у) совпадают.
В результате всех склеиваний полу-
чим бесконечнолистную область /?,
расположенную над соответствующей
областью D (D—плоскость z с двумя
исключенными точками z = 0 и z — 00).
Наглядное представление о ней мо-
жет дать черт. 51, на котором условно
изображена часть /?, полученная путем
склеивания И полуплоскостей О_р
-Go, Ор О2, • • •» О9(предлагаемчитателю
склеить аналогичную модель из 11 пря-
моугольных листков бумаги).
Очевидно, что для определения
точки в области R недостаточно за-
дать комплексное число z — аффикс этой точки. Так, в последнем
примере один и тот же аффикс 1 + / имеет бесконечное множество
различных точек /?, расположенных на частях /?, получившихся
путем склеивания G_t с Go, G3 с G4, G7 с G8.....вообще G4k+3
с О4Л+4 (* = 0>1> —2, ...)(см. черт. 51). В общем случае для
определения точки p£R нужно указать вместе с аффиксом z также и
определенный элемент {G*, f*(z)) такой, что z£G*. Тогда получим
однозначно определенное значение функции в этой точке:	f* (z).
5. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА---ШВАРЦА
263
Например, значение логарифма в точке /?*, отмеченной на черт. 51,
есть In 2 —/ j, в точке q*— 1п]Л2 —j— Z 2тгв точке г* —
In Y 2 -ЬI б-j- -Ь . Итак, в обобщенной области /?, построенной
указанным способом, заданное связное множество элементов ЛИ:
{G, f(z)} определяет однозначную функцию точки. Эта функция рассма-
тривается как аналитическая в области /?. Чтобы убедиться, что по-
нятие аналитичности непосредственно переносится на функции, опре-
деленные в /?, достаточно заметить, что задание точки р* на R пред-
полагает задание аффикса z* этой точки и, кроме того, выделение
определенного элемента {G*, /*(£)} из ЛИ, для которого z*£G*. Если
это сделано, то сразу же выделяется и такая часть /?, расположен-
ная над областью О* (говорят также, что эта часть проектируется
в область G**), в которой каждую точку р можно полностью харак-
теризовать ее аффиксом z£G* (проекцией точки р). Таким образом,
функцию f(p) точки в данной части R можно рассматривать как
функцию комплексного переменного z в области G и, следовательно,
применять к ней все понятия и результаты теории функций комплекс-
ного переменного. Обобщенная область R, описанная в этом пункте,
называется римановой поверхностью аналитической функции
f(z) (определяемой данным связным множеством элементов ЛИ).
5.	Принцип симметрии Римана—Шварца. В основе описанного
выше процесса аналитического продолжения лежало понятие непосред-
ственного аналитического продолжения двух элементов: {Ор ft(z)}
и (G2, /2(^)} с налегающими, областями. Существенным было' то,
что с помощью двух функций J\(z) и /2(z)» аналитических в двух
областях Gt и G2, получалась одна функция f(z), аналитическая
в большей области G= Ох1^2 (черт. 52); при этом f(z) совпадала
с в 0/;= 1, 2). Це-
лесообразно обобщить опре-
деление элемента и непо-
средственного аналитическо-
го продолжения следующим
образом.
Назовем элементом
аналитической функ-
ции совокупность функ-
ции f(z), однозначной и
аналитической в области G,
Черт. 52.
ограниченной обобщенной жордановой кривой Г (область — не обя-
зательно выпуклая), и самой области G; элемент будем по-прежнему
обозначать символом {G, f(z)}. Пусть {Gp ДС?)} и {°2» АС^))—
два элемента, причем области Gj и G2 не имеют общих точек, но
их границы 1\ и Г2 имеют общую открытую (т. е. рассматриваемую
без концевых точек) дугу 8 (черт. 53, а). Если в области
264 ГЛ? IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
G = Ог +<Э2 + 3 существует аналитическая функция f(z\ совпадающая
с f$(z) в Gj(/=1, 2), то элементы {Gp и {Ga, f2(z)} назы-
ваются по-прежнему непосредственными аналитическими
продолжениями один другого. Говорят также, что функция /х(z)
аналитически продолжается из области Gr через дугу 8
на область О2 и f2(z) является ее
аналитическим продолжением (или
f2(z) аналитически продолжается
из области G2 через дугу 8 в область
Gr и fi(z) является ее аналитиче-
ским продолжением). Разбираемый
здесь случай, когда области при-
мыкают одна к другой, можно
свести к ранее рассмотренному
случаю, когда области налегают
одна на другую. Действительно,
соединим концы дуги 8 дугами
и у2, как указано на чертеже 53, а,
Черт. 53.
и обозначим кривые, получаю-
щиеся из Гх и Г2 путем замены 8 соответственно на и у2» через
Г1 и Гг; внутренности Г1 и Г2 обозначим через Gi и С2.
Области Gi и G2 имеют общую часть, ограниченную жордановой
кривой ух U у2. Очевидно, что в случае, когда /х {z) аналитически
продолжается из Gt в G2 через дугу 8, мы можем продолжить
аналитически ft(z) на область и f%(z) на область О2, причем
элементы {Gi, fx(z)} и {G2, /2(z)}, области которых налегают друг
на друга, составят непосредственное аналитическое продолжение
один другого в прежнем смысле слова (п. 2; см. также сноску
на стр. 258). Аналогично можно убедиться и в справедливости
обратного: аналитическое продолжение с помощью элементов с нале-
гающими областями можно всегда заменить аналитическим продолже-
нием с помощью элементов с примыкающими областями.
Отправляясь от непосредственного аналитического продолжения
посредством элементов с примыкающими областями, можно ввести
понятие цепи, аналитического продолжения (не непосред-
ственного) и, наконец, перейти к построению римановой поверхности,
подобно тому как это делалось в пп. 2—4. При этом в процессе
построения римановой поверхности две области О0 й G* элементов
{Go, f0(z)} и {О*, f*(z)} соединяются (склеиваются) друг с другом
вдоль общей граничной дуги 8 тогда и только тогда, когда fQ(z) про-
должается через 8 в область G* и f*(z) является результатом продол^
жения. Предлагаем читателю проследить, как риманова поверхность
функции Ln z, полученная в п. 4 склеиванием бесконечного множества
налегающих друг на друга экземпляров четырех различных полуплоско?
ртей (верхней и нижней, правой и левой), может быт|> получена также
5. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ РИМАНА--ШВАРЦА	265
склеиванием бесконечного множества экземпляров только двух различ-
ных полуплоскостей, например верхней и нижней, соединяемых
попеременно вдоль положительной и отрицательной частей действи-
тельной оси.
Покажем, что элементы {Gp j\(z)} и (О2, f2(z)} будут служить
непосредственными продолжениями один другого в том частном слу-
чае, когда 8 есть интервал прямой, функции f$(z) непрерывны
на Gy-j-S и в точках 8 принимают равные между собой значения.
В самом деле, полагая f(z) = z£Gj (j =1,2) и f(z) = ft(z) =
=/з(^)(^€^)» получим, что функция f(z) непрерывна в области
G=G1UG2U3 и аналитична в каждой из областей Gy (у =1,2).
Следовательно, J* f(z)dz = 0, где у — любой треугольный контур,
т
лежащий целиком в Gt или О2. Отсюда по п. 4 главы VI следует,
что f(z) есть функция, аналитическая в области G, т. е. элементы
{Gp fifz)} и {G2, f2(z)} являются аналитическими продолжениями
один другого. Теперь легко доказать следующую важную теорему:
Принцип симметрии Римана — Шварца. Пусть Q —
область, ограниченная жордановой кривой Г, содержащей прямо-
линейный интервал 8. Пусть на множестве G—|—8 определена
непрерывная функция f(z), которая в области О является анали-
тической, а в точках отрезка 8 принимает значения, лежащие
на некоторой прямой А. Построим область G*, симметричную
с областью G относительно 8 {точнее говоря, относительно
прямой, содержащей 8), и определим на G*4~& функцию f*(z),
положив, что f*(z) = f(z), когда z£%, и что f*(z?) симметрична
с f(z) относительно А, если точка z*£G* симметрична с z£G
относительно 8. ^огда элементы {G, f(z)} и {G*, /*(.?)} будут
непосредственными аналитическими продолжениями один другого.
Эта теорема дает простые достаточные условия, при которых
функция f(z), определенная в области G, может быть аналитически
Черт. 54.
продолжена на область G + 8 -|- G*, так сказать, «вдвое большую»,
чем О, и при этом указывает, как фактически осуществить это
продолжение ’ (а именно по принципу симметрии). Прежде чем при-
ступить к доказательству теоремы, поясним ее на простом примере.
Пусть w = f(z) непрерывна $ замкнутом треугольнике АВС (черт. 54)f
266 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
аналитична внутри него и принимает на интервале ВС чисто мнимые
значения. Тогда формулированная теорема позволяет утверждать, что
функция f(z) аналитически продолжается на область АВА*С. Если
при этом точки z* и z названной области симметричны относительно
ВС, то и значения w* и w продолженной функции в этих точках
будут симметричными, относительно мнимой оси (черт. 54).
Переходим к доказательству. Прежде всего подвергнем
плоскость z и плоскость w целым линейным преобразованиям
z' = az-\-b и =	выбрав их так, чтобы интервал 8
перешел в некоторый интервал действительный оси плоскости z'
и прямая А перешла бы в действительную ось плоскости
При этом, конечно, изменятся соответствующим образом и области
и функции, о которых говорится в условии теоремы (например,
вместо функции w = f(z) будем иметь функцию w' = a/f---)+₽)•
Мы сохраним, однако, для тех
и других прежние обозначения;
прежние обозначения будут со-
хранены и для переменных z и
w. Существенно то, что наши
преобразования (а также преоб-
разования, им обратные) перево-
дят конечную плоскость в конеч-
ную плоскость, область в область,
прямые в прямые, сохраняют сим-
метричное расположение точек
относительно преобразуемых пря-
мых и, наконец, сохраняют непре-
рывность и аналитичность функций.
Поэтому, проводя доказательство
для случая, когда интервал 8
лежит на действительной оси и
прямая А совпадает с действительной осью, мы вместе с тем убе-
димся и в справедливости теоремы в ее первоначальной формули-
ровке.
Заметим, что теперь в точках отрезка 8 z = х (т. е. у= Im z— 0)
и w — f(z) = f(x) = и (т. е. i/=Im^ = 0), кроме того, точки z и
2*, симметричные относительно 8, так же как точки w и -от*, симмет-
ричные относительно А, представляются парами взаимно сопряженных
комплексных чисел. Покажем, что функция /*(.?*), определенная так,
как это указано в условии теоремы, аналитична в области G* и непре-
рывна на	Действительно, если ^*^0* и ее окрестность
\z*— г*| < р содержится в О*, то точка z0 = z* £ G и ее окрестность
I z — zQ | < р содержится в G (черт. 55).
Но в окрестности точки z§ f(z) представляется степенным рядом
/(^) — со 4~ ci (z — ^о)	• • • Н“ сп (z — zo)n ~Ь • • •
6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ГРАНИЦЕ КРУГА СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 267
Поэтому в симметричной точке z* = z, принадлежащей упомянутой
окрестности точки z* = z0, мы должны иметь, по определению:
/’(Z)=/(z)=70 + 7i(z — *о)+ ... + Fn(z — z0)w+ ... =
= С0 + С1 (? -^о) + ... + СП (z --Z0)n 4“ ...
Мы видим, что f*(z*) представляется сходящимся степенным
рядом в окрестности произвольной точки Zq£G и, следовательно,
является аналитической функцией.
Остается заметить, что f*(z*) непрерывна на G* -|-8. Проверки
требует только непрерывность в каждой точке х0£8.
Пусть для определенности в достаточно малой, принадлежащей
области G полуокрестности точки xQ у > 0. По условию теоремы,
lim f(z)— lim [u(x, у)-{-1ъ(х, y)]=f(x0) —u(xQ, 0),
z£G	x+x» 2/->0(2/>0)
откуда
lim [a(x, y)— iv(x, у)] = /(x0)== u(xQ, 0);
x-*x0, y->$(y>o)
следовательно, полагая z* — z, где z = x -|- iy£ G, и замечая, что
из z*-+x0 следует, что z — z*->x0, получаем:
lim /*(z*)= lim f(z) =
z*->Xo, z*£G*	z->x0, z£G
= lim [u (x, y) — iv (x, j^)] = /(x0) = /* (x0).
x->x0, y->0(y>0)
Итак, непрерывность f*(z*) на множестве G*-f-S доказана.
Остается заметить, что теперь элементы {G, f(z)} и {G*, f*(z)}
удовлетворяют условиям, формулированным на стр. 265, и, следо-
вательно, являются непосредственными аналитическими продолжениями
друг друга.
Теорема доказана.
6.	Особые точки на границе круга сходимости степенного
ряда. Обратимся к выяснению понятия особой точки. Вспомним
(п. 3 главы VII), что, рассматривая функцию f(z), однозначную
и аналитическую в" области D: 0 < jz— zQ| < R, мы называли
точку Zq — изолированную граничную точку области D—правильной
или особой точкой функции /(z) в зависимости от того, можно или
нельзя определить /(z) в точке z0 так, чтобы эта функция стала
аналитической во всем круге \z — zQ\<iR (включая эту точку).
Именно таким путем было введено понятие изолированной особой
точки однозначного характера.
Покажем здесь, как можно распространить понятия правильной
и особой точек на случай неизолированных граничных точек области.
Пусть О — область, ограниченная замкнутой жордановой кривой Г,
и /(z) — однозначная и аналитическая в области G; тогда /(z) и G
268 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
определяют элемент {О, Точку С£Г назовем правильной
точкой элемента {О, /(z)} (коротко — правильной точкой
функции /(z)), если существуют окрестность	\z — С|<р
точки Сив ней однозначная аналитическая функция <pc(z), совпа-
дающая с f(z) в общей части этой окрестности и области О. Оче-
видно, что в этом случае существует дуга 8 кривой Г, содержащая
точку С, через которую f(z) может быть анали-
тически продолжена (черт. 56).
Граничная точка С, не являющаяся правиль-
ной, называется особой точкой элемента
{G,	(коротко — особой точкой /(z)). В
этом случае ни в одной окрестности точки С не
может существовать ни одной однозначной анали-
тической функции, которая бы совпадала с f(z) в
общей части этой окрестности и области G.
Иными словами, не существует ни одной дуги
8 с: Г, содержащей^ внутри точку С, через кото-
рую функция f(z) могла бы быть аналитически
продолжена из области О.
Из определения правильной точки вытекает,
что если С0£Г — правильная точка, то и все точки
некоторой дуги 8, ее содержащей, также, яв-
ляются правильными. Отсюда, в частности, следует, что если суще-
ствует одна правильная точка, то существует и бесконечное множе-
ство их. В противоположность этому особая точка может быть
единственной.
Заметим, что каждая точка z0 £ G обладает характеристическим
свойством правильной точки, а именно для нее существуют окрест-
ность Kq (можно взять любую окрестность точки z0, содержащуюся
в G) и функция, аналитическая в KQ (сама функция /(z)), совпадаю-
щая с f(z) во всех точках, общих для Ко и G (т. е. в KQ). Поэтому
все точки области О мы будем также называть правильными точками
элемента {G,
Пример. Пусть G — единичный круг и f(z) =	• Для каждой
точки С, лежащей на окружности Г : | z | = 1 и отличной от единицы, суще-
ствуют окрестность К'\? — С | < 11 — С | и в ней аналитическая функция
ср (г) =.у	, совпадающая с f(z) в точках, общих для /< и G; поэтому
каждая такая точка С является правильной для . Покажем, что точка
Со = 1 является особой точкой.
В противном случае в некоторой окрестности /<0 этой точки существо-
вала бы аналитическая функция (z), совпадающая с у—у в части, общей
для и G. Но тогда существовал бы конечный предел
Ит <? (z) == Нт	? (1).
*
6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ НА ГРАНИЦЕ КРУГА СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 269
что, очевидно, не может иметь места. Итак, точка 1 является особой точкой
для 1 (а именно полюсом),
со
Теорема. Пусть ^an(z— z^n = f(z)—-степенной ряд с ко-
о
нечным радиусом сходимости /?; тогда на границе Г круга схо-
димости К существует, по крайней мере, одна особая точка
для суммы этого степенного ряда.
Предположим, что теорема не верна, тогда
окружности Г должна быть правильной для f(z)
каждой точки С окрестность и в ней аналити-
ческую функцию ^(г), совпадающую с f(z) в
общей части и К. Объединение круга К и
всех кругов /Q представляет область D, на кото-
рую f(z) аналитически продолжается. Покажем,
что функция, получаемая в результате продол-
жения, является однозначной. В самом деле, пусть
круги и имеют общую часть — луночку
(черт. 57). Тогда должна существовать часть а
луночки, общая, для трех кругов: К, и
(на чертеже она заштрихована). Так как значения
каждой из функций <рС1(.г) и cpCa(z) совпадают в <з
со значениями f(z), то <pC1(z) = cpCa(z) (z£<3) и, по
теореме единственности, <pCi(z)= <pG(z) цо всех
точках луночки. Итак, если некоторая точка
надлежит двум различным кругам и К^, то, беря в ней в каче-
стве значения продолженной функции <fa(z) или <рСа(^),. мы получаем
одно и то же число. Из этого рассуждения, примененного к каждой
паре кругов множества {/CJ, и вытекает однозначность, продолжен-
ной функции f(z). Заметим, далее, что каждая точка С£Г является
внутренней для области D, поэтому расстояние R' точки z$ до
границы Д области D будет больше, чем R. Но тогда степенной
ряд, представляющий f(z) и расположенный по степеням z — z$ (он
не может отличаться от заданного ряда), должен сходиться в круге
\z—	радиуса, большего, чем R, что противоречит условию
теоремы (/? — радиус сходимости данного ряда). Итак, теорема до-
казана.
Следствие. Для того чтобы радиус сходимости R тейло-
ровского разложения функции f(z):
/(*)=/(*o) + ^^-*o) + • • •	*о)" + • • '	(3)
аналитической в некотором круге К: \z — г0| < р, совпадал с ра-
диусом р этого круга, необходимо и достаточно, чтобы на
окружности Г: \z — I = Р лежала, по крайней мере, одна осо-
бая точка элемента {К,
аждая точка С на
. Построим для
Черт. 57.
области D
270 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
В самом деле, если /? = р, то, по доказанной теореме, получаем,
что на окружности Г лежит, по крайней мере, одна особая точка
элемента. Поэтому высказанное условие необходимо для равенства Я
и р. Но оно же- является и достаточным для этого равенства. Дей-
ствительно, по теореме п. 2 главы VI	Если допустить, что
на окружности Г лежит, по крайней мере, одна особая точка эле-
мента и R #= р, то мы должны иметь /? > р. В этом случае
сумма степенного ряда (3) представляет функцию, аналитическую
в круге \z— zQ\<iR и, следовательно, аналитическую в некоторой
окрестности каждой точки окружности Г, совпадающую ,с f(z) во
внутренности Г. Отсюда вытекает, что каждая точка окружности Г
является правильной для f(z). Из найденного противоречия и сле-
дует справедливость нашего утверждения.
В виде примера приведем геометрический ряд
1 4-Z4-Z2+ ... +^+ ...
Его радиус сходимости равен единице и сумма равна . На границе
круга сходимости |г|==1, как мы видели, действительно имеется особая
точка, притом единственная, z = 1.
Можно без труда указать примеры степенных рядов, для суммы которых
каждая точка границы круга сходимости является особой. Вот один из про-
стейших примеров такого рода.
Рассмотрим ряд
/(г)=и+г2 + г4+ ... + z^ + ...
Его радиус сходимости, очевидно, равен единице. Покажем, что при г,
стремящемся к единице, изнутри единичного круга по его радиусу (т. е. по
действительной оси), f(z) стремится к оо. В самом деле, для любого нату-
рального п частичная сумма ряда 1 -|-jv2 —]— ... 4~х2И при стремится
к п 4- 1 и, следовательно, Удовлетворяет неравенству
••• + *2W>n при 1 — х<3(и), т. е. х>1—В (л).
Но при тех же значениях х имеем:
f (х)=s > 2 ** > п,
0	0
откуда и следует, что
lim f(x) = оо.
а?->1
Опираясь на этот факт, легко убеждаемся, как и выше, в случае гео-
метрического ряда, в том, что точка 1 является особой точкой для f(z).
Запишем теперь тождество
f(S) = 22 + 24+ ... -|_ г2П + [1 _|_ (г2»)2 + (г2»)4 +
Так как ряд в квадратных скобках отличается от исходного лишь тем, что
здесь z заменено на г2П, то заключаем, что
/(г) = га + г<+ ... +*2” +/(г2”)
7. КРИТЕРИЙ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК
271
для любого натурального п.
2п
Рассмотрим все корни степени 2W из единицы: у 1. Они представляют
точки, расположенные на единичной окружности в вершинах правильного
2и-угольника.
Если С — одна из них и точка z единичного круга лежит на радиусе ОС,
то г2Я, очевидно, лежит на радиусе 01 и при z ->С г2П->1. Отсюда выте-
кает, что
lim /(г2™) = оо
и, следовательно,
lim f (г) = lim [г2 + г* + ... + г2” + /(г2П)] = оо.
2->С	2->С
z£(X~	z£(K
Итак, каждый из корней у 1 также является особой точкой для f(z)
(при любом п = 1, 2, 3, ...). Мы видим, что множество особых точек эле-
мента /(г) расположено всюду плотно на единичной окружности (т. е. так,
что любая сколь угодно малая дуга окружности содержит точки этого мно-
жества).
Но отсюда следует, что все без исключения точки единичной окруж-
ности являются особыми для f(z), так как для правильней точки, если бы
она имелась на окружности, существовала бы и целая дуга, все точки кото-
рой должны быть правильными, что в данном случае невозможно.
7.	Критерий для обнаружения особых точек. Укажем общий метод,
позволяющий для любой точки С, лежащей на границе Г круга сходимости
степенного ряда (3), решать, будет ли эта точка правильной или особой для
суммы ряда f(z). Пусть z± — точка радиуса z& отличная от г0 и С. Разло-
жим /(г) в ряд по степеням z — zP Получим:
/(г) = ^+*1(г-г1)+ ... +6„(г-г1)’»+	(4)
где
4п»^=<.»+^+1«п+1(2,-г;)+
+ ("+‘Х" + 2) «„1(21_2o)>+ ... (Л = о, 1, 2,...).
По теореме п. 2 главы VI найденный ряд сходится в круге [г— zt|<A,
где-А — расстояние от zt до Г, т. е. k = R—г0|.
Итак, ряд (4) сходится внутри окружности 7 с центром в точке zlt
касающейся окружности Г в точке С. По формуле Коши—Адамара радиус
сходимости ряда (4)
lim У\Ьп{
и->оо
Если г совпадает с А, то на окружности 7: |z— z0 | == А должна лежать,
по крайней мере, одна особая точка суммы ряда (4). Но ни одна точка
7 С К лежащая внутри /С, не может быть особой для этого ряда, так как
в окрестности точки v, целиком принадлежащей /<, f(z) является аналити-
ческой функцией, которая внутри 7 совпадает с суммой ряда (4). Следова-
тельно, особой является точка С. Очевидно, она должна быть особой точкой-
и для f(z)— суммы ряда (3). Допуская противное, мы имели бы функцию
272 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
<р (г), аналитическую в некоторой окрестности точки С, которая в точках
окрестности, лежащих внутри К, совпадала бы с /(г). Тогда эта же функ-
ция совпадала бы и с суммой ряда (4) в точках окрестности, лежащих
внутри f, т. е. С не была бы особой точкой для ряда (4).
Итак, если
1
& = R — \Zi — г0| = г= ____ п _____,
lim у \Ьп |
П->ОО
то точка С является особой точкой для /(г).
Покажем, что в случае, когда Д =£ r/т. е.
Д < г, точка С является правильной для
/(*)•
В самом деле, в этом случае сумма
ряда (4) представляет функцию ср (г), анали-
тическую в окрестности точки С и со-
впадающую с f(z) в части круга лежа-
щей внутри y (черт. 58). Но f(z) и ср (г)
суть однозначные аналитические функции
в луночке, являющейся общей частью кру-
гов и К- Из того, что они совпадают
в заштрихованной на чертеже части лу-
ночки, следует, по теореме единственно-
сти, что ср (г) совпадает с f(z) и во всей луночке. Итак, точка С является
’в этом случае правильной для /(г).
Мы установили, таким образом, что точка Z будет особой или правиль-
ной для f (z) в зависимости от того, будет ли выполняться равенство
Д =	| — г01 = п —
lim y'lbnl
П->оо
____________1____________
lg <»>.!
П->ОО '	П\
или неравенство
1ИГ У
П-»оо *	п\
В виде иллюстрации полученного критерия докажем следующую тео-
ремуПрингсхейма:
оо
Если коэффициенты ряда 2 апгП с единичным кругом сходимости
0
суть действительные неотрицательные числа ап 0, то точка г = 1
является особой для суммы ряда.
Для доказательства возьмем какую-либо точку zr = х на радиусе 01.
Если допустить, что точка 1 не будет особой для суммы ряда, то, по
только что доказанному, должно выполняться неравенство
Д = /? — |^i — г0| = 1 — х<
1
f п\
(5)
Рассмотрим теперь произвольную точку С единичной окружности; пусть
z± — точка радиуса ОЦ находящаяся на окружности | z | = х, т. е. | z11 = х.
Тогда для Zi расстояние Д до единичной окружности будет также равным
7. КРИТЕРИЙ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК	273
1 — х. С другой стороны,
I f(n) (2 ч I _ I | п + 1	f (п+ 1)(п4-2)	2 I |
п 1 п + 1 а х । (п+ 1)(п + 2) Х2 ;	—	/ гч
О"п I j ап +1Л Т	2!	4-2-^ । • • • — J (-^)
и, следовательно,
iryiZw'* е i/GEST <6)
Я->оо г	П\	п->со * п\
Поэтому для точки имеем на основании неравенств (5). и (6):
д <--------- 1 .......,
ita JZ24£1L1
и->со *	П\
со
откуда вытекает, что для суммы ряда 2 апгП любая точка единичной окруж-
о
ности является правильной, что, как мы знаем, противоречит условию дока*
зываемой теоремы (что единичная окружность является границей круга
сходимости).
оо
Итак, точка z = 1 должна быть особой тачкой для суммы ряда 2 апгП
о
при условиях ап>0 и R= 1.
Из доказательства теоремы видно, что если вместо точки 1 рассматри-
вать какую-либо другую точку С единичной окружности, то, для того чтобы С
была особой точкой, достаточно потребовать, чтобы действительными неот-
рицательными были числа ап£п. Более того, достаточно потребовать, чтобы
эти числа были действительными и неотрицательными, лишь начиная с неко-
торого п и0, так как, представляя f(z) в виде
??О—1	оо
/(•?)= 5 ак?к + 2 акгк
о	п0
немедленно убедимся в том, что точка С будет особой для /(г) тогда и
оо
только тогда, когда она будет особой точкой для суммы ряда S яЛг*-
«о
00 1.
VI z^
Рассмотрим, например, ряд V —т. Здесь коэффициенты ап равны нулю;
О
если п Ф и равны , если п = 2Л. Следовательно,
___ п		2fe г—i~
lim 1/1 ап | = lim i~ i
n-»oo y______к+сь V 2ki
откуда по формуле Коши—Адамара вытекает, что радиус зхм гг>гг *ч
равен единице.
18 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
274 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
Поэтому, по доказанной теореме, точка z а 1 является особой точкой
для суммы ряда /(г). Но из той же теоремы (в силу замечания, сделанного
2П
выше) следует, что и каждая точка С= у 1, где п — произвольное нату-
ральное число, есть особая точка для f(z). Действительно, при k^>n имеем:
£2&	(£2«)2fe~« j
2^а	2^3	О*
Итак, множество особых точек функции f(z) всюду плотно на единичной
окружности. Отсюда следует, что на этой окружности нет ни одной правиль-
ной точки элемента /(г), т. е. все точки С (|С| = 1) являются особыми.
Замечательно, что это обстоятельство не мешает данному степенному
ряду сходиться абсолютно и равномерно в замкнутом единичном круге, а его
сумме f(z) быть бесконечно дифференцируемой функцией на множестве
(в частности, во всех особых точках). В самом деле, при I z |< 1
имеем неравенства
z^
1
2к9 ’
V 1	V	,
и так как ряд	сходится, то и ряд 2j абсолютно и равномерно
о	о
сходится в замкнутом круге, и следовательно, его сумма f(z) является не-
прерывной в замкнутом круге. Далее, если данный ряд продифференциро-
вать почленно любое число раз т, то получим ряд
V 2*(2fc-l)...(2fc-/n+l)
2&э
2*(2ft-l)...(2fe-m+l) г^_т

о
модули членов которого при4! z |< 1 удовлетворяют неравенствам
2^m	।	।
2^=*	2^	< 2й
при	Следовательно, ряды, получаемые почленным дифференцирова-
00	7
—, равномерно сходятся в замкнутом круге
о
|£]<1, откуда, по теореме, известной для функций действительного пере-
менного и без изменений переносимой на функции комплексного перемен-
ного, вытекает, что эти ряды представляют производные (г). Итак, f (z)
есть функция, непрерывная и бесконечно дифференцируемая в замкнутом
круге | z |	1 и аналитическая внутри круга, для которой каждая точка
единичной окружности является особой точкой.
Этот поучительный пример показывает, что наличие особых точек ана-
литической функции на границе рассматриваемой области (круга) может
в некоторых случаях не сказываться внешним образом на поведении функ-
ции вблизи особой точки, точнее говоря, не обнаруживаться нарушением
непрерывности функции или ее производных в данной граничной точке С
Необходимо рассмотрение всех производных f(z) в некоторой точке гх дан-
ной области, для того чтобы из сравнения величины
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА СХОДИМОСТИ ПО ОСОБЫМ ТОЧКАМ 275
с расстоянием Д от точки zt до точки С решить, будет ли точка С особой
или правильной.
8.	Определение радиуса сходимости степенного ряда по известному
расположению особых точек функции. Предложения, установленные на
стр. 269, часто позволяют находить радиус сходимости тейлоровского разло-
жения аналитической функции f(z)t не прибегая к вычислению коэффициен-
(?\
тов ряда, т. е. чисел -—-. Все сводится при этом к нахождению особых
точек элементов. Нужно иметь в виду при этом, что для данной функции f(z),
аналитической в некоторой области G, существует бесконечное множество
различных элементов соответственно бесконечному множеству кругов с раз-
личными центрами, принадлежащих области. Таким образом, приходится
иметь дело с особыми точками различных элементов одной и той же анали-
тической функции, и может случиться, что точка, являющаяся особой для
одних элементов, оказывается правильной для других. Эти обстоятельства
мы выясним сейчас на простых примерах. Предварительно заметим, что
в случае, когда аналитическая функция /(г) задается формулой, содержащей
конечное число элементарных функций, возможные особые точки ее элемен-
тов легко обнаруживаются среди точек разрыва этой функции, например
точек, в которых она обращается в бесконечность, а также среди точек
разветвления функции f(z).
Примеры: а) Пусть /(г) == р-1—Эта функция однозначна и анали-
тична во всей плоскости/ за исключением точек z = ± Z, в которых она
обращается в оо. Пусть Zq— произвольная точка, отличная от ±Z; опишем
из нее, как из центра, окружность т:|г — z0 | = р, проходящую через бли-
жайшую к z0 точку -f-Z или —Z. Пусть для определенности этой ближайшей
точкой «будет Z. Внутри у f(z) является аналитической и, следовательно,
представляет некоторый элемент. Убедимся, что точка I будет особой точкой
элемента. В самом деле, допуская противное, мы должны иметь окрестность U
точки Z и в ней аналитическую функцию (г), совпадаю цую с /(г) в части
окрестности U, лежащей внутри 7 (эту часть мы обозначим d). Тогда
в точке Z должен существовать конечный предел
<р (Z) = lim (г) = lim f(z) = lim -т-4—z,
' z-*i	z->i	z-*i 1 1 *
z£d	z^d	z£d
что, очевидно, невозможно.
Итак, на f лежит особая точка элемента f(z) и, следовательно, радиус
сходимости R тейлоровского разложения для f(z) по степеням z— г0 сов-
падает с радиусом р окружности 7, т. е. с расстоянием от г0 до ближайшей
к ней из двух точек ± Z.
Само тейлоровское разложение в данном случае проще всего найти,
разлагая  । на пР0Стейшие дроби и затем используя геометрический
ряд. Получаем:
1 + г2 21 V — z^i + z)
e____IZ 1________1	1_____1
~ 2Z Z — Zq . _ Z — Zq ' I 4- Zq . , Z — Zq
\	I-Zq	^I + Zq
Так как I?——
\i — Zq
и
1 (точка z лежит внутри ?, а точки ± i
18*
276 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
другая —во внеш-
можно представить
лежат либо обе на 7, либо одна из них лежит на у, а
х	1	1
нести т), то каждую из дробей --------, —----------
1 _ г~2о 1 I г~~го
"* Z + z0
Z — Zq	Z — Zo _
геометрическим рядом со знаменателем ----- или ———Получим:
z — zQ	1~гго
оо	оо
_Д_.________L Г_1_ V	+_J_ У (_ о»
1 ~f-z2 2Z [Z— Zq V* — го/ ^ + го	V + ^o/ J
о	о
со
=	2(- 1)n+1 К*о + О"”’1 - (?0 - О"”'1] (* - ъ)п-
о
Этс и есть разложение, радиус сходимости /? которого мы выше опре-
делили В частности, для z0 =» 1 получаем /? х= р = У 2, и разложение при-
нимает вид
00	П4-1
г^=2(-1)’*2' 2 [sm(n + D |](г-1)” =
о
б) Пусть ^7(2') = ’£п’5'* Рассмотрим область G, границей которой слу-
жит неотрицательная часть действительной оси Л: х > 0, у = 0. В ней мно-
гозначная функция F(z) распадается на однозначные аналитические ветви,
из которых мы рассмотрим одну ветвь
_____1____________1
Ln!* In I г. l + ZArgi^’
где Arg1(? удовлетворяет неравенствам
О < Argi z < 2л.
Из формулы, определяющей P(z) (или /(г)), следует, что особые точки
элементов функции F(z) могут совпадать либо с z = 0 (точка разветвления
для Ln г и /(z)), либо с точкой z= 1, в которой обращается в нуль одно
из значений логарифма. Положим для определенности z0 = 1 + Z. Тогда бли-
жайшей к Zq из двух точек 0 и 1 будет, очевидно, точка 1. Описав из zQ,
как из центра, окружность у радиусом р, равным единице (черт. 59), найдем,
что / (z) внутри 7 определяет некоторый элемент у (z). Так как при стрем-
лении точки z (лежащей внутри 7) к точке 1, лежащей на 7, In | z | стре-
мится к нулю и Argtz также стремится к нулю, то значения элемента ср (г)
стремятся к со, откуда, рассуждая, как и в предыдущем примере, заклю-
чаем, что точка z — 1 является особой точкой для рассматриваемого эле-
мента. Поэтому радиус сходимости R тейлоровского разложения для ср (г)
(разложение берется по степеням z— (1 + 0) равен единице.
Рассмотрим, далее, точку z0 = 1 — Z, лежащую в нижней полуплоскости.
Для нее ближайшей из двух точек 0 и 1 будет снова точка 1. Описав
из z'q, как из центра, окружность 7' радиусом 1, будем иметь внутри нее
определенный элемент функции /(z), который обозначим ф(г). Покажем, что
все точки окружности 7' являются правильными точками этого элемента.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА СХОДИМОСТИ ПО ОСОБЫМ ТОЧКАМ 277
Черт. 59.
то
К

С этой целью рассмотрим круг К'. |г — (1 — 0 |< 1^2, граница которого
содержит точку 0. Внутри круга К функция Ln г распадается на однознач-
ные аналитические ветзи, одна из которых совпадает с Ln^ z внутри
окружности / (достаточно выбрать однозначную ветвь Ln г, значение кото-
рой совпадает с Ln^ в точке 4). Обозначим эту однозначную ветвь Ln г
через Ln2 <? = In j <2* | -]-ZArg2£. Так как в точке zQ значение Arg2z совпа-
дает со значением Arg^, равным
7л
—, а внутри круга К значения
Arg22r отклоняются от значения в
центре этого круга менее чем
на у по абсолютной величине,
krg2z во всех точках круга
удовлетворяет неравенствам
5л А 9л
— <Arg2i'<-f-.
Отсюда следует, что Ln2z не об-
ращается в нуль в круге /<. По-
этому функция -j----- является
i~n2 Z
аналитической в этом круге. Но
она совпадает с % в круге К!'.
] z — (1 — Z) | < 1, т. е. совпадает
с элементом ф (z) функции / (г).
Отсюда и следует, что каждая точ-
ка окружности / является пра-
вильной для ф(г) (в самом деле,
для каждой точки С С т' существуют
окрестность Щ и в ней аналити-
ческая функция -=—!—, совпада-
Ln2 Z
ющая с ф (г) в части, общей для U? и К'). В частности, точкй 1 будет также
правильной точкой для ф (г). На этом примере мы
та же точка 1 является особой точкой для одного
функции / (z) (для 9 (г)) и правильной точкой для
функции (для ф.(г)).,
Из того, что все точки окружности / являются
вытекает, что радиус сходимости тейлоровского разложения этого элемента
по степеням z—(1 — Z) больше, чем радиус окружности т. е. больше
единицы. Но в круге К' ф(<г)=^п2г, поэтому тейлоровские разложения
функций ф (.г) и Ln2z совпадают. Так как Ln2£ является функцией, анали-
тической в круге |г— (1 — Z)|< У* 2, то радиус сходимости R' этого раз-
ложения не может быть меньше, чем ]/*2. Чтобы показать, что он точно
равен У*2, достаточно убедиться в том, что, по крайней мере, одна из точек
окружности Г: | z— (1 — Z)| = ]/2 является особой точкой для -г—!—.Такой
LngZ
точкой является начало координат. Действительно. (j—j) в	**
когда г->0, оставаясь внутри Г. Отсюда и следует, что не существует
никакой функции у (г), аналитической в окрестности U начала координат,
убеждаемся, что одна и
элемент^ аналитической
другого элемента этой
правильными для ty(z\
278 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РОМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
которая бы в точках, общих для U и К, совпадала с -г-— (если допу-
LH2 Z
стить существование такой функции, то нужно допустить также существо-
вание конечного предела
X' (0) = lim у/ (z) = lim (-j--1--) >
z -> 0	0 \ ЬП2 Z /
что, как мы заметили, невозможно).
Предлагаем читателю убедиться в том, что в нашем примере для
каждой точки г0 области G, лежащей в верхней- полуплоскости, радиус схо-
димости тейлоровского разложения функции / (г) по степеням z— г0 равен
расстоянию от z§ до ближайшей к ней точки из пары 0 и 1, тогда как для
точек лежащих в нижней полуплоскости, расстояние от z'q до 1 не играет
никакой роли при определении радиуса сходимости соответствующего ряда;
этот радиус всегда совпадает здесь с расстоянием от z\ до точки 0.
9. Изолированные особые точки многозначного характера.
Применим результаты предшествующих пунктов к изучению функ-
ций в окрестности изолированной особой точки, вообще говоря, мно-
гозначного характера (т. е. точки разветвления). Пусть. Zq— точка
плоскости (для определенности — конечная)—и ОД/ — 0, ztl, ±2,...)
означают попеременно верхний и нижний полукруги некоторого
радиуса /?<оо с центром в этой точке. Именно, обозначая через <р
и г полярные координаты с началом в z0, будем определять Gj
посредством неравенств (/— 1) тс < <р </тс, 0 < г < R (очевидно, что
верхний полукруг получим при j нечетном, а нижний — при j чет-
ном). Пусть (Gj, —элементы такие, что f$(z) для любого
j = 0,	1, z+r 2, ... продолжается через радиус <р = /тс, 0 < г < R
в' область Gj+1, причем fj+i является результатом продолжения
Тогда множество элементов {Gj, определяет в окрестности’
0<|г — z0|</? точки Zq аналитическую функцию f(z). Если эле-
мент {G3, f3(z)} совпадает с элементом {Gp Д(z)}, то тогда, как
легко видеть, любой элемент {G^+2, fj+2} совпадает с элементом
{Gj, fj(z)} (/ = 0, z±z 1, z±z 2, ...) и функция /(г) оказывается одно-
значной. В верхнем полукруге Gt она совпадает с /Дз), в нижнем О2—
с /2(г), причем продолжение ft(z) через радиус ср = -тс(0 < г < R)
в нижний полукруг дает f2(z) и продолжение f2(z) через радиус
ср = 2к (0 < г < /?) в верхний полукруг дает J\(z). Точка z=^zQ
может быть либо правильной точкой для f(z), либо особой точкой
(изолированной особой точкой однозначного характера). Этот случай
был подробно исследован нами раньше (в главе VII). Допустим
теперь, что элемент {О3, f3(z)} отличен от элемента {Gp j\(z)}
(т. е. функция /з(^) отлична от ft(z) в верхнем полукруге). Тогда
мы рассматриваем далее элементы {Об, /б(г)}, ...» {O2ft4.P/2fc+1 (-?)},
сравнивая каждый из них с {Gp fi(z)}. Имеются лишь две возмож-
ности: либо среди бесконечного множества элементов (O2ft+P /2ft+1}
(k > 1) встретится элемент, совпадающий с {ОР /Дг)}, либо такого
9. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ. ТОЧКИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 279
элемента не встретится. Рассмотрим первую возможность. Пусть
{О2л0+ь Ал0+1(^)} (Ло>0 — элемент с наименьшим номером, совпа-
дающий с {Gp	Покажем, что тогда будут совпадать друг
с другом элементы {Gj+2ku, fj+zk^} и {Gp лля любого
целого j. Очевидно, достаточно показать, что из совпадения эле-
ментов {Ол+2Ли, /л+2*о(2)} и {°л>	лля какого-либо цело-
го Уо следует совпадение элементов {О/, ± ц-гл». /j0±i+2»0(2)} и
Ж±1- /л±1(г)}- Но если аналитические функции fjri(z) и /д+гкДг)
совпадают в полукруге Gjq — С^+2к,> то и результаты их аналитиче-
ского продолжения через один и тот же радиус в другой полукруг
Gjd4-i = Gjo+i+2&o будут также совпадать (в силу теоремы единст-
венности). Аналогично допущение о том, что функции	и
/j0-i+2ft0 не совпадают в полукруге Gjo_i = Gj0_i+2fc0, привело бы
к тому, что fj0(z) и fjo+2^(z) — результаты их продолжения через
один и тот же радиус в полукруг Gjq = Gjo+2ko— не совпадали бы
друг с другом. Из этих рассуждений вытекает, что совпадение
{Gv fitz)} с {О№Л-т0Й влечет за собой совпадение {Gj, fj(z)}
с {Gj+2]^, fj+2k0(.z)} при любом у. Следовательно, среди бесконеч-
ного множества элементов {Gn> fn(z)} может существовать лишь
конечное число различных между собой: {Ор A (z)}t ..., {G2*0, /2й0(^)}-
Легко видеть, что все они действительно различны. Допустим про-
тивное, и пусть элементы {Gp, fp(z)} и {Gq, fq(z)}t где
< q^ 2&0, совпадают друг с другом. Применяя установленный выше
результат, получим, что будут совпадать также элементы {Gj, fj(z)}
и {Gj+q_p, fj+q~p(z)} при любом целом у. В частности, совпадать
друг с другом должны Элементы {Gp ft(z)} и {G1+7_p, А+д-?(*)Ь
где 0 < #— р < 2&0. Но это заключение противоречит тому, что 2А0
есть наименьшее из натуральных чисел п, для которых элемент
(О1+п> А+п(*)} совпадает с {Ор A(*)}-
Итак, kQ функций ДО), fs(z), ..., /2fc0-iO) различны между
собой в полукруге Gp точно так же как различны между собой Ло
функций /2(<г), ..., fzkQ(z} в полукруге G2. Отсюда следует, что
аналитическая функция f(z), определяемая элементами {Gj, fj(z)}
в области 0 < | z — 20| < R, является многозначной, а именно
&0-значной. Фиксируя в одном из полукругов Gj однозначную
ветвь fj(z) этой функции и продолжая ее далее аналитически в по-
лукруги Gj+1, Gj+2, ... через соответствующие радиусы, будем
получать при возвращении в исходный полукруг каждый раз новые
ветви: /у+2 (Д А+4 (z), •••> до тех П0Р пока не дойдем до /у+2л0(^),
совпадающей с Можно охарактеризовать это положение сле-
дующим образом. Обход вокруг точки Zq при аналитическом про-
должении в направлении против часовой стрелки приводит к замене
элемента {Gj, fj(z)} отличным от него элементом {О^2, А+2 (я)}
и лишь Ао обходов вокруг точки Zq приводит к элементу
{Oj+2fc0, А+2Л0(^)}> совпадающему с исходным. Точка zQ называется
в этом случае точкой разветвления функции f(z) ко-
280 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
немного порядка ( = &0—1). Легко видеть, что риманова по-
верхность f(z) в окрестности точки г0 будет иметь в этом случае
вид А0-листного круга (черт. 60, а и б, где схематически изо-
бражены случаи А0 = 2и &0 = 3).
Найдем аналитическое представление f(z) в окрестности точки
разветвления (&0—1)-го порядка. С этой целью подвергнем &0-лист-
Черт. 60.
ко----tz
ный круг преобразованию у z— z0. Тогда полукруги Gv G2, ...
-** из которых составлена эта риманова поверхность, преоб-
разуются в секторы g2, ..., g2k круга радиуса у R с цент-
0	4-
ром в начале координат, причем сектор gj определяется неравен-
• тс	тс	г—
ствами (/— От- < « </ -г-, 0<р (а и р — полярные коор-
Ло	*о
динаты с началом в точке / = 0). Функция f$(z) преобразуется
в функцию ^(0 = 4(2o4-fft»), "причем /}(Z) будет допускать анали-
Ли у—
тическое продолжение через радиус a. — J -г-, 0 < р < У в сосед-
«о
ний сектор и результатом продолжения будет /?+1(0- Элементы
{gj, /J(0} (/= 1» 2, ..2fe0) определят в области 0 < 111 < у R
однозначную аналитическую функцию /*(0» которая, следовательно,
будет представляться в этой области своим лорановским разложе-
+оо
нием /*(0 = 2 Для коэффициентов Л_2,
-оо
имеется одна из трех возможностей: а) бесконечное множество среди
них отлично от нуля, б) только конечное число (>' 1) среди них
отлично от нуля, в) все эти коэффициенты окажутся равными нулю.
Случай а) имеет место при условии, что lim /*(/) не существует
/-> о
вовсе, случай б) — когда lim /*(/) = оо, и случай в) — когда lim /*(0
существует и отличен от оо. Возвращаясь" к переменному z, заклю-
9. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 281
чаем, что f (z) имеет разложение
4-00	п
— ОО
1
расположенное по целым степеням (г — ^о)л° ’ коэффициенты с от-
рицательными индексами удовлетворяют здесь условиям а), б) или в)
соответственно в зависимости от того, будет ли lim f (z) вовсе
не существовать, существовать и равняться бесконечности, наконец,
существовать и быть конечным.
В последних двух случаях (т. е. когда существует конечный или
бесконечный предел lim f(z)) точка Zq называется алгебраиче-
ZQ
ской точкой разветвления.
Если же предел lim f(z) не существует, точка разветвления zQ
z-+zQ~
порядка kQ—1 называется трансцендентной точкой раз-
ветвления конечного порядка (~kQ—1). Легко видеть,
К_______ 2	--- Ло __________
что функции у Z ~z0’ £	е'2", sin у z—z0 имеют при
V z — z0
z = Zq алгебраическую точку разветвления порядка —1, функ-
V Z-Zq .	1
ции е у 0 , sin г-------имеют при z = z0 трансцендентную точку
разветвления того же порядка k0—1.
Возвращаясь к общему случаю, предположим, что ни один из
элементов {Oj, fj(z)} при />1 не совпадает с {Gp fi(z)}. Тогда,
как это следует из предыдущего, никакие два элемента {0^, fp(z)}
и {0^, fq(z)} при р Ф q не могут совпадать друг с другом. В этом
случае аналитическая функция ff(z)> определяемая в области
0<|z— ZqI <R совокупностью всех элементов {Оп, fn(z)}, ока-
зывается бесконечнозначной, причем аналитическое продолжение
любого элемента {Оу, fj(z)} при любом числе обходов вокруг точки z0
приводит к элементу, отличному от исходного. Точка z0 называется
в этом случае точкой разветвления бесконечного по-
рядка, или логарифмической точкой разветвления.
Риманова поверхность f(z) в окрестности точки z0 имеет в этрм
случае вид бесконечнолистного круга. Примерами функций с ло-
гарифмическими точками ветвления в точке z0 могут служить функ-
ции Ln(z— z0) и (z — Zq)9 (а не является действительным рацио-
нальным числом). Функция Ln - имеет две логарифмические
точки: z = а и z = b\ две логарифмические точки разветвления z — zt i
1 i z
имеет функция Arctg z — Ln .
282 ГЛ. IX. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ
Все изложенное в этом пункте может быть применено и к точке
г0 = схэ, если рассматривать, например, ее окрестность /?<|^|<
разделенную на две части, принадлежащие соответственно
верхней и нижней полуплоскости. Достаточно воспользоваться
преобразованием вида С = ~, чтобы свести этот случай к случаю
конечной точки С = 0.
Заметим, что наименование алгебраической точки разветвления
оправдывается следующей теоремой: среди аналитических функ-
ций лишь алгебраические функции F (z), т. е. функции, удовле-
N
творяющие уравнению вида ^Pk(z)[F(z)]k (Pk(z)— полиномы,
k-0
причем Р^ (z) ф 0,	1), обладают тем свойством, что их осо-
быми точками в расширенной плоскости могут быть лишь полюсы
и алгебраические точки разветвления *).
з<_________
Примеры: а) Особыми точками алгебраической функции у z2 — 5z + 6
являются г = 2, г-3 и г = оо. Каждая из них есть алгебраическая точка
з --------------------------------------------
разветвления второго порядка; б) функция У 1 4~г3 имеет три алгебраиче-
Ki Tzi
ские точки разветвления второго порядка в точках —1, е3 , е 3, авоо —
простой полюс (точнее говоря, каждая из трех однозначных в окрест-
ности | z ] > 1 точки г = оэ ветвей функции: У1z3 = z У1z~3—
2тЛк I
*=ze 3
1	3 \ 3	/	I
-х-г-3 -J Ц—-—- г~6	где k = 0, 1,2, имеет про-
стой полюс в точке z = оо); в) функция z имеет алгебраическую точку
ветвления первого порядка в точке г = 0и трансцендентную точку ветвле-
ния того же порядка при z = оо; г) функция У cos z имеет алгебраические
точки ветвления первого порядка при z = ~ -}- kn (k = 0, ± 1, ± 2, ...) и.
трансцендентную точку ветвления того же порядка при z == со; д) функции
sin У z , ,/•— ;
—, ch У z, е
з>— , з<— /	\
е 1/ z е21/ г I -------- ч	1
-j-e г	\е = е 3 —корень кубичный из 1/
являются целыми функциями (с единственной существенно особой точкой
-в бесконечности), так как при одном обходе вокруг возможной точки раз-
ветвления (в начале координат или в бесконечно удаленной точке) они
возвращаются к исходным значениям.
*) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических функ-
ций, гл. VIII, § 6.
ГЛАВА X
ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА
1.	Отображение области посредством аналитической функции.
Пусть w = f(z) ф const — функция, однозначная и аналитическая
в области G. Покажем, что множество D всех принимаемых ею
в G значений также есть область. Для этого нужно показать, что
каждая точка w0 = /(^0)^D принадлежит D вместе с некоторой
своей окрестностью и что две люб.ые точки из D можно соединить
непрерывной кривой, лежащей в £>. Построим замкнутый круг
Со: — *ol<P так» чтобы он содержался в области О и чтобы
значение w0 не принималось функцией в точках круга, отличных
от Zq. Последнего можно добиться, беря р достаточно малым; допу-
ская противное, мы в любой окрестности Zq имели бы точки, в ко-
торых f(z) принимает одно и то же значение wa, что невозможно
по теореме единственности (/(г)ф^0). Обозначим min |/(^) — w0|
|г-з0|“р
через |х; очевидно, что р. > 0 в силу того, что f(z) непрерывна и
не обращается в w0 на окружности \z — zQ | == р. Мы утверждаем,
что круг Kq : | w— w01 < рь принадлежит множеству D. Действи-
тельно, уравнение /(z) — wo = 0 имеет, по крайней мере, один
корень внутри Со, а именно z = z0 (эту точку нужно считать столько
раз, какова ее кратность). Пусть w' £ Kq (м/ Ф ^о)’ так как
|w0 — w'|<|i, a \f(z) — w0|;>pL на окружности \z — г0| = р, то
по теореме Руше уравнение [/(г) — w0] (w0 —• w') = /(z) — w' — 0
имеет внутри этой окружности столько же корней, сколько и
уравнение f(z)—wo = O, т. е., по крайней мере, один. Обозначим
один из корней через z't получаем: f(z') = <w't т. е. каждая точка w'
круга Kq является значением функции f(z), принимаемым внутри
круга Со. Следовательно, Kq содержится в D.
Пусть	и w2=/(^2)— Две любые точки множества О.
Так как и z2 принадлежат О, то существует непрерывная кри-
вая у: z&*X(f),	соединяющая zt с z2 внутри О (А (а) я
zv X (Р) =» z%). Очевидно, что w =» f(z) = /(X (f)J (а t •< Р) также
284 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
является непрерывной кривой, содержащейся в множестве D и сое-
диняющей с w2 (w1 = /(2r1) = /[X(a)], w2=/(z2) = /[X(P)]).
Итак, мы доказали, что множество D значений, принимаемых
в некоторой области Q однозначной аналитической функцией
w =/(z) ф const, есть область. Иными словами, аналитическая
функция (ф const) всегда преобразует область в область.
Доказанная теорема остается верной и в том случае, когда
область О расширенной плоскости содержит точку оо и f(z) имеет
полюсы в области G. Чтобы убедиться в этом, достаточно выпол-
нить вспомогательные дробно-линейные отображения. Именно, если
zQ = оо, выполняем отображение z'~~, переводящее окрестность
бесконечно удаленной точки в окрестность начала координат; если
^о —/Сго) = 00 (zo — конечная или бесконечно удаленная точка —
полюс функции f(z)), выполняем вспомогательное отображение
w' =	, переводящее функцию f(z) с полюсом в z0 в функцию -~-г
с нулем в той же точке. Очевидно, что эти преобразования сводят
вопрос к уже рассмотренному в этом пункте случаю, когда и зна-
чение независимого переменного и значение функции конечны. Ана-
логичные замечания могут быть сделаны и по отношению к даль-
нейшйм пунктам этой главы:
2.	Принцип максимума модуля и лемма Шварца. Из теоремы
щ 1 вытекает принцип максимума модуля. Пусть
/(2?) ф const — функция, однозначная и аналитическая во
всех точках области G расширенной плоскости', тогда ни в од-
ной точке z0£O модуль |/(z)| не может иметь максимума.
Иными словами: если известно, что модуль функции f(z), однознач-
ной и аналитической в области О, имеет максимум в некоторой
точке этой области, то f(z)^ const.
Доказательство (в первой формулировке) вытекает из того,
что точка w0 = /(z0) принадлежит множеству значений функции/(z)
вместе с некоторой своей окрестностью /Со: |w — w01 < |х (мы со-
храняем обозначения п. 1). Выберем из этой окрестности точку w'
так, чтобы |w'| > |w0|; по доказанному в п. 1 w'=/(У), где
zf лежит внутри окрестности Со: \z— zQ | р точки zQ. Итак,
в окрестности точки zQ (эту окрестность можно сделать произвольно
малой, беря р, достаточно малым) всегда найдется, точка z', в кото-
рой |/(zz)| > |/C?0)|. Это и4 значит, что модуль |/(z)| не может
иметь максимума в точке z0. Читатель может убедиться совершенно
так же, что в случае, когда f(z) не обращается в нуль в области G,
ее модуль не может иметь минимум ни в одной точке области.
Отметим важное следствие из принципа максимума модуля:
Если f(z) непрерывна в замкнутой области G и аналитична
внутри этой области, то sup|/te)| достигается на границе
Г области. В самом деле, модуль [/(г) |, будучи непрерывным на
2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ И ЛЕММА ШВАРЦл	285
замкнутом множестве точек О, должен достигать верхней грани,
по крайней мере, в одной из точек этого множества. Но если
f(z) ф const, то такой точкой не может быть внутренняя точка G;
следовательно, ею может и должна быть некоторая граничная точка.
Если же /0)== const, то sup | f(z) | достигается в каждой точке G,
в том числе и в граничной. Итак, утверждение доказано во всех
случаях. Замечая, что в этом предложении можно вместо sup
писать max приходим к следующему выводу: в каждой точке
области О. выполняется неравенство
|Г(г)Ктах|/(г)|;
з£Г
знак равенства для какой-либо точки z0£O возможен здесь тогда
и только тогда, когда /(г) == const.
В качестве приложения принципа максимума модуля докажем
так называемую лемму Шварца, которой мы воспользуемся ниже.
Лемма Шварца. Если f(z)— функция, однозначная и ана-
литическая в единичном круге, удовлетворяет условиям f ($) — §,
(|z|<l), то она удовлетворяет также и условиям
fr (0) К 1, | f(z) | < |z | (| z | < 1). При этом равенство |/'(0)| — 1
или |/Сг0)| = |^о| (хотя бы в одной точке z0, z0 Ф 0, |г0|<1)
может иметь место только в случае, когда f(z) есть линейная
функция вида f(z) — eiaz (а — действительное постоянное).
Доказательство. Пусть f (z) — ctz	c2z2 .. .(|z| < 1);
положим (z) =	= cx -|~ c2z + ... Очевидно, что ф (z) — функ-
ция, аналитическая в единичном круге, удовлетворяющая условию
Рассмотрим значение y(z) в какой-либо точке z' единичного
круга; если г удовлетворяет условию \z' |,< г < 1, то мы должны
иметь, по доказанному выше:
| ф(/)| max | ср(г)|.
|?|==г
Но max[ <рС?)| = max I-——-1 так как	поэтому
|3|=r	|»l=rl г I ' г
| <р (z7) | у- или, оставляя здесь z' фиксированным и заставляя /•
стремиться к единице, получаем:
В частности, для z' = 0 | ср (0) | === | /' (0) [	1 и для zr = zQ =# 0
|<РОо)1 =|:ф-)|<1- Т- е- |/(*o)|< 1*о1-
I *0 I
Знак равенства в одном из этих соотношений означал бы, что
в некоторой точке z' единичного круга модуль |<р(г)| имеет максимум,
286 гл. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
равный единице; это возможно только в случае © (z) ss const == eia
(так как |ср(z)| = 1), т. е. f(z)~eiaz.
Применим еще принцип максимума к гармоническим функциям.
Докажем, что функция и(х, у)ф const, однозначная и гармони-
ческая в области G, не может иметь ни максимума, ни мини-
мума ни в одной точке области. В самом деле, пусть (х0, у0)—
точка области О и (70 — ее окрестность, содержащаяся в G. Построим
функцию v(x, у), гармоническую в О и сопряженную с и(х, у)
(п. 12 главы II). Тогда и(х, y)-}-lv(x, y) = f(z) будет функцией,
однозначной и аналитической в (Jo; однозначными и аналитическими
в той же окрестности будут и функции = и F2(z) =
Так как они не являются константами, то к каждой из них применим
принцип максимума модуля. Поэтому значения | (Zq) | == еи^> и
I ^*2 C^o) I ~	не могут быть максимальными; следовательно,
значение и(х& у^) гармонической функции не может быть ни мак-
симальным, ни минимальным.
Если и(х, у) — функция, непрерывная в замкнутой ограничен-
ной области О и гармоническая в области G, то из доказанного
вытекает, что ее наибольшее и наименьшее значения должны
достигаться только в граничных точках области. Если, в част-
ности а(хр у) сохраняет постоянное значение на границе области G,
то отсюда следует, что и(х, у) = const в области G. Поэтому две
функции иг(х, у) и и2(х, у), непрерывные в замкнутой области G,
гармонические в этой области и принимающие одинаковые значения
в граничных точках области G, должны совпадать между собой
всюду в этой области. Это означает, что так называемая задача
Дирихле, заключающаяся в отыскании функции, непрерывной
в замкнутой области О и гармонической в области G, по ее значе-
ниям, заданным на границе области, может иметь только одно решение.
3.	Локальный критерий однолистности. Рассмотрим подробнее
отображение w = f(z) в замкнутой окрестности -Со: | z — zQ | р.
Предположим сначала, что /'(^о)==0, ...,	= 0, а
/(р) (zQ) #= 0 (р^>2). Производная f'(z) может обращаться в нуль
не только в точке Zq, но и в других точках Со; так как Zq не является
предельной точкой для множества нулей f'(z) (в противном случае
было бы f'(z) = Q и /(z) = const), то можно выбрать р столь малым,
чтобы ff(z) не обращалась в нуль ни в одной точке Со, отличной
от zQ. Допустим, что такой выбор сделан. Тогда, сохраняя прежние
условия и обозначения, можем утверждать, что для любого w' #= w0,
|w'— w0| < |i уравнение f(z)— ?е/ = 0 имеет внутри CQ столько же
корней, сколько и уравнение f(z) — wo = O. Но последнее имеет
р корней (Zq — р-кратный корень уравнения); поэтому и f(z) — = 0
имеет р корней внутри Со. Ни один из этих корней zr не может
быть кратным, так как У #= Zq (в п-ротивном случае было бы
w' == f(z') = /(Zq) = w0, что неверно) и, следовательно, /'00 ^0*
4. ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
287
Итак, уравнение /(г)—== 0 имеет р различных корней zv zv .. zp
внутри Со, т. е. существует р различных точек этой окрестности,
в которых f(z) принимает одно и то же значение -ш'. Отсюда непо-
средственно следует, что функция f(z), производная которой обра-
щается в нуль хотя бы в одной точке zQ области G, не может быть
однолистной в этой области. Иными словами: если f(z) однолистна
в области G, то ее производная не обращается в нуль ни в од-
ной точке области.
Условие 'О	будучи необходимым, не является
достаточным для однолистности, как показывает пример функции ez.
Ее производная (£2)' = ez нигде не обращается в нуль и, однако,
е* принимает одно и то же значение во всех точках вида 2тгтс/
(л==0, zt 1, z±z2, . . .).
Покажем, однако, чпю для точки z0, в которой f'(z0) =£ О,
можно всегда построить такую замкнутую окрестность
Co:|2 — <г0|<^р0, что f(z) будет однолистной в ней. Пусть
оо
f(z) = 2 ап (z — zof — разложение f(z) в некоторой окрестности
о
fz— ze\<r точки Zq (яд = f (Zq) 0), тогда в той же окрестности
оо
сходится ряд fr (z) == 2	следовательно, при р<г
1
со
сходится и ряд 2п I ап\ Р71'1’ и сумма его стремится к нулю,
2
когда р 0. Выберем р0 (0 < р0 < г) так, чтобы выполнялось нера-
со
венство S«lan|p”_1 < l°il- Тогда,, для любых двух точек zv z2,
2
z2, лежащих в замкнутом круге \z — zQ |	р0, будем иметь:
1/(^1)	— S “ ^о)	-4^2 zo) 1 —
о
= ^101
---Z2) + 5 ап KZ1------Zo)n “Н • • ♦ “F (Z2 Zo) ] (Z1	z2)
2
{00	1
Ы—-SKIll*!—г0Г_1+ • • • +1*2 —	>
2	)
{co
|«i| — S«|o»l Po~ f > °> t. e.
2	J
Однолистность функции f(z) в замкнутом круге }z— ^ol^Po доказана.
4.	Обращение аналитической функции. Пусть <w = f(z) —
однозначная аналитическая функция, однолистная в области G,
не содержащей бесконечно удаленной точки. По доказанному
в п. 1, эта функция отображает G на некоторую область D.
288 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Покажем, что обратная функция z = <f(w) является также одно-
значной, аналитической и однолистной в D. Однозначность ср (w)
сразу следует из однолистности /(z). Действительно, если zx =# z2—
два значения ср (w) в точке w0 £ D, то должно быть f(z^ = f(z2) = Wq,
что противоречит однолистности f(z). Подобным же образом одно-
листность cp(w) вытекает из однозначности f(z): если допустить,
что ср Oi) = ср (w2) = Zq, где Wi #= ^2’ то должно быть f(Zo) = tWl
и Z(-^o):=== w2> что противоречит однозначности f(z). Докажем непре-
рывность cp(w). Пусть w0£D и (w0) = z0; построим для zQ зам-
кнутую окрестность Со: \z — z0|<;p, которой мы пользовались в п. 1.
Тогда каждая точка принадлежащая кругу Kq. |w— w0| < ц,
где min |/(z) — w0|>0, будет значением f(z) в некоторой
|г-г0|«Р
точке z , лежащей внутри Со, иными словами, z = <p(w) лежит
внутри Cq, если w'^Kq* &ля произвольного положительного е вы-
берем р < s, тогда для соответствующего ему ц = р. (р) будем иметь:
если | м'— w01 < рь, то | ср (эд')— cp(w0)( < р < в.
Непрерывность cp(w) в области D доказана. Остается доказать
дифференцируемость cp(w) в любой точке wQ£D. Пусть <p(w0) = z0,
тогда для w =И= w0 имеем ср (w) = z —> ср (w0) = zQ при —> w0
(z ^o) и» следовательно,
lim	нт _L_
(/'(z0) =h 0 в силу однолистности /(.?)). Теорема полностью доказана.
Применим этот результат к локальному обращению
произвольной однозначной (вообще говоря, неоднолистной) анали-
тической функции z~ cp(w), обратной по отношению к w — f(z)
в некоторой окрестности точки w0 = /C?0) C?o€0).
Пусть сначала /'(?о)^0; тогда по п. 2 существует круг
С0:|г—*о|<Ро> в котором функция f(z) однолистна. Этот круг
отображается посредством w = f(z) взаимно однозначно и конформно
на некоторую область £>0 плоскости w, содержащую точку w0.
4. ОБРАЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	289
По доказанному в этом пункте обратная функция z = <p(w) будет
однозначной, аналитической и однолистной в области .Z)o; она отобра-
жает круг Kq'- | w — w0| < г0 (г0 — расстояние точки w0 до границы
области Z)o) взаимно однозначно и конформно на некоторую
область g0 плоскости z, содержащую точку г0 (черт. 61). В круге
K0?(w) разлагается в степенной ряд
2: = <f>(w) = c0+c1(w —w0)+• • •+сп(и’ —‘к'о)“+• • •	0)
(|w — w0|<r0).
Коэффициенты сп этого ряда можно вычислять, например, пользуясь
методом неопределенных коэффициентов (для этого нужно подста-
вить вместо w — w0 =/(,?)—/(^о) соответствующий степенной ряд,
коэффициенты которого предполагаются известными: /(г)—/(z0) =
= ar (z — z0) + а2 (z — Zq)2 +...). В' частности, получим:
1
С0--» • • •
Пусть теперь /'Оо) = ... = f(P~l>(z0) = 0, f^(z0) Ф 0	2).
Представим разложение
f (_z)=a0-\-ар (z~zoy>+ ... (а0 = /О0) = 'а’о> 0р=~^о)^0)» (2)
К
сходящееся в круге \z — .г0|<р, в виДе
/(2) = а0+«р(-г — г0)₽[1 +«(•?)]•
где a (z) =	(г — z0) +	(z — z0)2 + ... — функция, аналитиче-
ар7	ар
ская в круге \z — г0|<р. Пусть рх (0 < рх < р) таково, что
1
|a(z)|< 1 в круге, \z — z0|<pP тогда р(^) = [1 +аСЮР =
°° (
= 1 + 2 \ и / 1а(^)]п~ФУнки>йя> однозначная и аналитическая в этом
п = 1
круге, удовлетворяющая условию Р(^о)==1. Поэтому ?(z) =
~(z — Zq) р (z) — также функция, однозначная и аналитическая
в круге \z — z0| < рр для которой *['(Zq) = 1 =# 0. Очевидно, что
f(z) следующим образом выражается через у (г):
w =i f(Z) = а0-+-ар[у (Z)}P.	(3)
Рассмотрим преобразование
C = T(2) = (z — zj + b2(z — г0)2+---	(4)
К нему применимы выводы, полученные выше для преобразова-
ния ^—f(z) в случае, когда /'(^о)#=О. Следовательно, существует
область g0, лежащая в круге \z — z0|<P и содержащая точку Zq,
19 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
290 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
которая отображается посредством (4) взаимно однозначно и кон-
формно на некоторый круг KQ' |С| <гх. Функция z = 8(Q, обрат-
ная по отношению к (4), имеет в этом круге разложение вида
г = 8(С) = С+с2(?+.--	(5)
Чтобы получить преобразование (2), достаточно выполнить сна-
чала преобразование (4), а затем подвергнуть круг KQ преобразо-
ванию
=	(«о = ®'о> ЙР==^^^=0)-	(6)
Оно уже не является взаимно однозначным: р различных между
i -—	г — (р—1)
собой точек круга KQ: С, & $ , . .., & $ (С ¥= 0) переходят
в одну и ту же точку w = + Однако если представить
образ круга KQ в виде р-листной римановой поверхности—р-лист-
ного круга с центром а0 = м0, то взаимная однозначность изобра-
жения будет иметь место и здесь. Этот /7-листный круг можно
-построить так. Делим круг Ко на 2р равных между собой секторов
Sj: (j—1)~<а</я, 0 < г < гх (/=1, 2,..., 2р) и каждый
из них подвергаем преобразованию (6). В результате получаем 2р
экземпляров верхних и нижних полукругов Df. (J—1)тг < ср </гс,
0<г<г^ (ср и г — полярные координаты с началом в точке w0).
Остается склеить каждый полукруг Dj с Dj+l (/==1, 2,..., 2р—1)
вдоль общего радиуса ср =/к (0 < г < г^); последний полукруг D2p
склеивается с первым Dt вдоль общего радиуса <р = 0 (0<r<r^).
Из формул (6) и (5) немедленно получается обращение z — v(w)
функции w =/(.?) в окрестности точки w0. А именно из (6) сле-
дует, что
1 1
можно приписать коэффициенту (—V какое-либо одно опре-
деленное значение корня степени р из —; различные значения С,
ар
соответствующие одному и тому же w, будут получаться в резуль-
тате обходов вокруг точки w0). Подставляя в (5), находим:
оо	п	п
z = <p(w)=^X„(w — (ап = сп(-^р Ci—1).	(7)
Это разложение, сходящееся при |w — w01 < г*, показывает, что
функция ^ = <p(w) имеет в точке w0 алгебраическую точку развет-
вления порядка р—1. Построенный нами р-листный круг предста-
б. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОДНОЛИСТНОСТИ	291
вляет часть римановой поверхности функции <p(w) в окрестности
точки w0; она отображается посредством (7) на однолистную
область g0, расположенную в плоскости z.
Мы показали в этом пункте, что при отображении области G
посредством однозначной аналитической функции <w=f(z) можно
для каждой точки Zq^G указать область g$, содержащую
точку Zq и лежащую в области G, которую f(z) отображает
взаимно однозначно на однолистный {если f {z^ Ф 0) или много-
листный (если /' (<го) = 0) круг с центром <wQ = f(zo). Выбрав для
каждой точки z соответствующую ей область g, можно затем склеить
соответствующие круги {/С}, соединяя два круга и К2 тогда и
только тогда, когда они налегают друг на друга и когда их про-
образы gr и g2 также налегают друг на друга. Читатель легко пой-
мет, что этот процесс совпадает со знакомым из главы IX процес-
сом построения римановой поверхности аналитической функции по
ее элементам.
В данном случае речь идет об элементах функции £ = o(w),
определяемых разложениями вида (1) (в однолистном круге) или (7)
(в р-листном круге, р^>2). Правда, последний случай не подходит
под определение элемента, данное в главе IX, так как сумма
ряда (7) имеет особую точку при = w0 (точку разветвления). Чтобы
приблизить рассматриваемое здесь построение к построению
главы IX, достаточно было бы, так сказать, «расклеить» р-листный
круг, расчленив его, например, на полукруги Dj и беря в каждом
полукругл соответствующую однозначную аналитическую ветвь функ-
ции (7) (а именно в полукруге (J—l)it<cp</ir, 0<r<J*P,
берем однозначную сумму ряда	(cos s*n> значе-
0
ния этой ветви изображаются точками той части области gQ, на
которую функция (5) отображает круговой сектор Sy. (j—1)~<
0<r<r1). Впрочем, предпочитают расширить понятие
элемента аналитической функции, допуская в качестве областей эле-
ментов р-листные круги, а в качестве определенных в этих обла-
стях функций — функции, имеющие в центре круга алгебраическую
точку разветвления (р—1)-го порядка.
5.	Распространение понятия однолистности на случай функ-
ций, имеющих полюсы. Случаи, когда zQ или ^o = /(^o) обра-
щаются в оо, могут быть сведены к рассмотренным выше, как
указывалось в конце п. 1. Приведем окончательные формулировки
некоторых результатов.
Если zQ = oo и функция f(z) является правильной в этой точке,
то в окрестности бесконечно удаленной точки имеем:
/(г)=Ло+ф.+^+^+...
19*
292 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Легко видеть, что в этом случае все производные обращаются
в нуль: /'(оо) = /"(оо) = ... = 0, однако характер отображения
зависит здесь не от них, а от коэффициентов Лр Л2, ... Если
= А2 = ... = Ар_г = 0, а Ар =# 0 (р ¥= 0), то в любой окре-
стности бесконечно удаленной точки найдется р различных точек,
в которых f(z) принимает одно и то же значение (ср. п. 3). Сле-
довательно, для однолистности f(z) в области G, содержащей
бесконечно удаленную точку, необходимо, чтобы	—Выч./(^)=#0.
2 = 00
Если известно только, что f(z) является правильной в точке
z = (x и что коэффициент #= 0, то можно утверждать, что
в некоторой окрестности этой точки f(z) будет однолистной
функцией (п. 3).
Расширим понятие однолистной функции, допуская, что одно-
значная и аналитическая функция .f(z) может иметь полюсы
в области О. Из условия однолистности (/(^) #=/(г2), если ^=#z2)
следует, что она может иметь только один полюс. Покажем, что
этот полюс необходимо должен быть простым. Пусть zQ£G—
полюс f(z)', для определенности положим г0#=оо. Тогда
=	— + Л+... (Р>!> Л_р#=0)
(г — г0)Р	2 — 2й
В окрестности точки z0. Если f(z) однолистна в этой окрестности,
то и j^-==ap(z—z0)?4~ap+i(z — z0?+1+... (хр==Д-#=о)
однолистна в ней; по доказанному в начале п. 3 это возможно
только в случае р—\, т. е. когда порядок полюса f(z) равен еди-
нице. При нашем обобщении понятия однолистности теорема, при-
веденная в начале п. 4, сохраняется и для областей, содержащих
бесконечно удаленную точку, если добавить в ее формулировке, что
функция z = <?(w), обратная однолистной, может иметь один про-
стой полюс в D.
Заметим, наконец, что взаимно однозначное отображение
области О на область D, осуществляемое однолистной функ-
цией w = f(z), является конформным (первого рода) во всех
точках области G. Если z0 ¥= оо и f(z0)=£oo, то это следует из
того, что / С?о) =# 0. Пусть z0^oo, a /(z0) = oo, тогда w==f(z)==
= -4^- + До+---(^-1#=О) и	=
где	=	#= 0. Так как отображение = 7—•
аг |2-20	j (?)
является конформным в точке z0, то и отображение w = f(z) кон-
формно в той же точке. Случай z0 = 00 сводится к рассмотренным
посредством преобразования z = ~ (здесь снова возможны случаи,
6. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ РИМАНА. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ 293
когда /(оо)^оо; тогда ®>=/^=Ло + Л1г, + Л2г,24-...(Л1=#0),
либо /(«?) = оо, тогда w = /(7) = Л + ^1^+--И_1¥=0)).
6.	Понятие о теореме Римана. Единственность отображения.
Рассмотрим несколько общих предложений, относящихся к теории
конформных отображений. Мы видели, что каждая функция
однолистная в области О *), осуществляет взаимно однозначное и
конформное (первого рода) отображение этой области на некоторую
область D.
Д. Е. Меньшовым была доказана обратная теорема:
каждое взаимно однозначное и конформное (первого * рода) ото-
бражение одной области G расширенной плоскости на другую осу-
ществляется посредством некоторой однолистной в области G
функции. Поэтому в дальнейшем можно употреблять выражения:
«конформное отображение области (первого рода)» и «отображение
области посредством однолистной функции» как равнозначащие.
В основе теории конформных отображений лежит следующая
теорема Римана, которую мы приведем без доказательства:
любую односвязную область G, граница которой содержит более
одной точки, можно конформно отобразить на круг (например,
единичный) и притом бесконечно многими различными способами.
Условие, наложенное здесь на область (7, существенно. В самом
деле, пусть граница области G состоит только из одной точки С
Если С ¥= оо , то ее можно перевести в оо посредством конформного
отображения zr ““77- Допустим, что оно уже выполнено, тогда О
совпадает с конечной плоскостью. Функция w=f(z)t конформно
отображающая G на единичный круг |w|< 1, должна быть анали-
тической во всей конечной плоскости, т. е. целой и, кроме того,
ограниченной: |/(г)| <1. По теореме Лиувилля (п. 2 главы VI),
f(z)=s const, т. е. отображает всю плоскость в одну точку. Из
этого противоречия и следует, что область, граница которой содер-
жит лишь одну точку, невозможно конформно отобразить на круг.
Когда условия теоремы выполнены, то конформное отображение
осуществимо бесконечным множеством способов. Именно функцию
w = f(z), конформно отображающую область G на единичный круг,
можно подчинять еще различным дополнительным условиям. Можно,
например, потребовать, чтобы при отображении наперед указанная
точка Zq области G перешла в центр круга (f(zQ) = Q) и чтобы,
кроме того, касательные к кривым в этой точке не изменили бы на-
правления (это означает, что arg/'(z0) = 0, т. е. f'(zQ) — действи-
тельное положительное число). В самом деле, пусть <w1—j\(z) —
*) Здесь и в дальнейшем подразумевается при этом, что она однознач-
ная и аналитическая в области G всюду, за исключением, быть может,
одного простого полюса.
294 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
какая-либо функция, конформно отображающая область О на круг
|wj<l. При этом точка zQ переходит в /i(z0) и касательные
к кривым в точке zQ поворачиваются на угол, равный arg/'(г0)= а.
Если	отобразим конформно круг сам на себя так, чтобы
точка /x(z0) перешла в центр. Это можно сделать посредством
отображения w2 =»	- (п. 9 главы III). Очевидно, что функ-
1 — А (^о)
ция w2 = /2 (?) =	конформно отображает область О
на круг |w2|<l так, что точка zQ переходит в центр круга. При
этом /2 (г0) = -j	|2 и» следовательно, arg/2 (^^arg/f^^a.
Остается положить <w ===f (z) ==== e~iaf2(z), чтобы получить кон-
формное отображение, удовлетворяющее поставленным условиям.
Докажем следующую теорему единственности кон-
формного отображения: может существовать только
одна функция w = f(z), конформно отображающая область G
на единичный круг К: | w | < 1 и удовлетворяющая условиям
/(2>о) = О, /'С?о)>0» г&е — фиксированная точка области О.
В самом деле, пусть = ft (z) и w2=/2(z)— две такие функ-
ции. Очевидно, что функция z = cp2(w2), обратная по отношению
к w2 = /2(z), конформно отображает круг |w2| < 1 на область G
так, что при этом <p2(0) = zo и ©2(0)>0. Поэтому = Д [ф2 (w2)]
отображает круг |w2|<l сам на себя так, что [<р2(0)1== О и
dw^ I	I . — I — f' (z v ff	> 0
dw2U9=o dz |z=s0 ^2|w9~o
Замечая, что к функции ft [<p2(w2)) применима лемма Шварца
(п. 2) (так как |/i?2(w2)| < 1), получаем 0 </'(г0):/'(z0)< 1.
В проведенном рассуждении функции f1(z) и /2(г) можно поме-
нять ролями, тогда получим 0 < /'(zQ):	C?o)<^ 1 • Сравнивая оба
результата, находим:	_0 = /1,(^0):/2(^0)= что в СИЛУ той
же леммы Шварца возможно лишь при условии, когда == е*а • w2,
причем множитель eia в данном случае должен равняться единице
(так как ~~ _q = 1) . Итак, —/x(^)s w2 = /2(^), чем и закан-
чивается доказательство.
7.	Понятие о соответствии границ. Обратная теорема. Из
теоремы Римана немедленно следует, что любые две односвязные
области Gx и G2 расширенной плоскости, с границами 1\ и Г2>
содержащими более чем по одной точке, всегда могут быть
конформно отображены одна на другую, В самом деле, если
^=/1(1г1) отображает область G на круг |w|<l и w=/2(z2)
отображает область G2 на тот же круг, то z2 = cp2/i (zt), где
^2==?2(w) — функция, обратная по отношению к w = /2 (z2), —
7. ПОНЯТИЕ О СООТВЕТСТВИИ ГРАНИЦ. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА 295
отображает Ot на О2. Предположим, что границы /Г2 и	обла-
стей G2 и Ох суть жордановы кривые (в обобщенном смысле; т. е.
быть может, проходящие через бесконечно удаленную точку), и
пусть z2 = F(z1)—какая-либо однолистная функция, конформно
отображающая Gr на О2. Эта функция определена, конечно, только
во внутренних точках области Ov Можно доказать, однако (мы не
даем здесь доказательства), что для каждой точки £ 1\ существует
определенный предел функции F (^), когда zv оставаясь внутри Ор
стремится к причем этот предел С2 находится на кривой Г2:
lim F(z1) = C2,	С2£Г2.
«1 -» Ci,
Опираясь на этот факт, можно распространить определение функ-
ции F (^) на замкнутую область Gp полагая F (Q= lim F(zr).
г.-к,,
Определенная таким образом ^функция будет обобщенно-непрерыв-
ной в Gr и, в частности, обобщенно-непрерывной на ГР Предполо-
жим, что это не так, и пусть F (z) не будет непрерывной в неко-
торой точке Ci0)£ 1\; предположим для определенности, что Ci0,¥=oo
и F (Ci°}) ¥= оо . Тогда в любой окрестности \z— Ci0) | < в точки Ci0)
найдется точка такая, что | F (C(i0)) — F^))	> 0, где а—
некоторое постоянное. Но в той же окрестности \z — Ci0)|<e
можно найти точку zx £ Gx столь близкую к Ср что | F(Zt)—F(zt) [<у
и, следовательно,	>0. Так как радиус s-окрест-
ности произвольно мал, то отсюда получаем противоречие с опре-
делением F(Ci0)) как lim Ffo).
В проведенном рассуждении области Gt и О2 можно поменять
ролями. Поэтому для функции г1 = Ф(,г2), обратной по отношению
к z2 — F(Zi)i найдем, что существуют пределы
нт ф^2)=Сх (c2gr2,
С3,
Полагая Ф(£2) = СР получим, что Ф(г) обобщенно-непрерывна
в G2 и, в частности, обобщенно-непрерывна на Г2. Легко видеть,
что функции ^2 = F(Ci) и ^ = Ф(С2) являются взаимно обратными.
Посредством этих функций устанавливается взаимно однозначное и
обобщенно-непрерывное в обе стороны соответствие между жорда-
новыми кривыми Гх и Г2.	ч
Итак, справедлива следующая теорема о соответствии
границ: функция z2 = F («zj, конформно отображающая
область Qv ограниченную замкнутой жордановой кривой Г2, на
область Gv также ^ограниченную замкнутой жордановой кри-
вой Гр может быть определена, очевидно, единственным образом?
296 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
в точках ?! так, что после этого она становится обобщенно-
непрерывной в замкнутой области Gv и устанавливает взаимно
однозначное и обобщенно-непрерывное в обе стороны отображе-
ние ?! на ?2. Короче: при конформном отображении друг на
друга двух областей, ограниченных замкнутыми жордановыми
кривыми, между их границами всегда устанавливается взаимно
однозначное и взаимно непрерывное соответствие.
Как уже было сказано, мы не собираемся приводить доказатель-
ство этой теоремы вследствие его сравнительной сложности *).
Более элементарной является обратная теорема, справедливая, однако,
лишь при некоторых ограничениях. Формулируем ее для наиболее
простого случая, когда жордановы кривые ?г и ?2 не проходят
через бесконечно удаленную точку и области и G2 являются
соответственно внутренностями этих кривых.
Обращение теоремы о соответствии границ.
_ Пусть функция z2 — F(zl), непрерывная в замкнутой области
Glf ограниченной жордановой кривой ?р и аналитическая
в области Gr, устанавливает взаимно однозначное и непрерывное
в обе стороны отображение ?х на некоторую жорданову кри-
вую ?2. Тогда эта функция однолистна в Ох и отображает эту
область на внутренность G2 кривой ?2.
Теорема эта может быть легко распространена и на случай,
когда Gr есть внешность кривой ?ь или когда ?! есть обобщенная
жорданова кривая и Gr — одна из двух областей, ограниченных ею
(например, ?t— прямая и — полуплоскость). Чтобы свести каждый
из этих случаев к тому, о котором говорится в теореме, доста-
точно фиксировать какую-либо точку z<®, внешнюю по отношению
к области Ov и выполнить вспомогательное преобразование
z'= —7КГ- В результате ?г преобразуется в некоторую жорда-
нову кривую ?' плоскости z' (не проходящую через точку z' — оо),
область Gt — в область G' — внутренность кривой ?' и функция
F(^x)—в функцию	’ непРеРывнУю в замкнутой области О',
аналитическую в G' и устанавливающую взаимно однозначное и не-
прерывное в обе стороны отображение ?' на ?2. Заметим, однако,
что кривые ?! и ?2 играют в условии теоремы неодинаковую роль,
и теорема перестает быть верной, если ?2 проходит через беско-
нечно удаленную точку. Простейший пример, подтверждающий ска-
занное, дает функция z2 = z*, рассматриваемая в верхней полупло-
скости. Очевидно, что она отображает границу полуплоскости —
действительную ось — взаимно однозначно и взаимно непрерывно
(в обобщенном смысле слова) также на действительную ось. Однако
*) См., например, А. И. Маркушевич, Теория аналитических функ-
ций, гл. V, § 3.
7. ПОНЯТИЕ О СООТВЕТСТВИИ ГРАНИЦ. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА 297
Черт. 62.
она не является однолистной в верхней полуплоскости и отображает
последнюю не на верхнюю полуплоскость, а на риманову поверх-
ность, которую можно получить из двух экземпляров G' и G'”
верхней полуплоскости и одного экземпляра G" нижней полупло-
скости, склеивая G' и G" вдоль отрицательной части действительной
оси и G'' с G”'—вдоль по-
ложительной части действи-
тельной оси (черт. 62).
Обратимся к доказатель-
ству теоремы. Мы проведем
его, опираясь на принцип
аргумента (п. 2, главы VIII).
Так как этот принцип был
доказан нами при известных^
ограничениях, то мы введем
некоторые упрощающие предположения. Именно предположим, что
Гх — спрямляемая кривая и что она (вместе с областью Gx) принад-
лежит некоторой области G', в которой /(zx) однозначна и анали-
тична. Иными словами, мы предполагаем Теперь, что /(zx) анали-
тична не только во внутренности ГР но и на самой кривой Гг
Пусть z^— какая либо точка области G2. Покажем, что эта точка
принадлежит к множеству значений /(^) в области Gv причем
уравнение /(2^) — z^ = Q имеет один и только один корень в Gr
По принципу аргумента число N корней этого уравнения равно
~ Var Arg [/(г.)— в предположении, что zt однократно пробе-
гает 1\ в положительном направлении. Но, по условию теоремы,
должна при этом однократно пробегать в некотором на-
правлении всю кривую Г2. Следовательно, вектор /(з^)—^0)=^2—^0)
с началом в точке z^, лежащей во внутренности Г2, и с концом
на Г2 должен повернуться на угол ± 2тг, откуда
N= Var Arg [/(z^ — 4°)] =	Var Arg (z2 — z<°>) = z±r 1.
Знак минус, очевидно, исключается (V^O). Поэтому заключаем,
что точка z2=f(z1) необходимо должна двигаться по Г2 в по-
ложительном направлении (относительно внутренности Г2) и уравне-
ние f(z^)—:Z^ — 0 имеет один корень Bz области Gr Совершенно
также убедимся, что для точки г', лежащей во внешности Г2,
уравнение /(^)— г' = 0 не имеет ни одного корня в области
О, Var Arg— z'j = Оу
Мы доказали, что множество значений /(гх) в области Gx содер-
жит все точки, лежащие во внутренности Г2, и не содержит ни
298 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
одной точки из внешности Г2. Так как это множество есть область
(каждая точка его является внутренней по отношению к нему), то
оно совпадает с областью О2, ограниченной кривой Г2. Наконец,
каждая точка z2£G2 является значением /(^), принимаемым лишь
в одной точке области ОР Поэтому z2=f(zl) однолистна в Gt и
отображает эту область конформно на О2.
Мы доказали теорему, менее общую, чем та, которая была
сформулирована на стр. 296. Для приложений важен случай, когда Gt
есть верхняя полуплоскость и функция /(Zj) имеет конечное число
особых точек на действительной оси, оставаясь непрерывной в Gt.
Так как этот случай не покрывается только что доказанным, пока-
жем, как убедиться для него в справедливости теоремы. Положим
^ = оо и пусть Ci, ...»	— конечные особые точки функции f(zx)
(лежащие на действительной оси), а Ь2\ Сг, •••>	—образы этих
точек (лежащие на Г2). Для каждого натурального п опишем из
точек	как из центров, полуокружности (п) радиу-
1
сом — и, кроме того, из начала координат, как из центра, полу-
окружность у[0)(п) радиусом п. При п достаточно большом (n>N0)
полукруг, ограниченный у^(п) и соответствующим интервалом дей-
ствительной оси, будет содержать все полукруги, ограничен-
ные т^(п) (1^С/<^р) и соответствующими интервалами 8<Я(я) дей-
ствительной оси, причем последние полукруги будут попарно лежать
один во внешности другого. Обозначим через Dt(n) область, огра-
ниченную всеми этими полуокружностями и соединяющими их интер-
валами Х^(п) (£=1, 2, ..., рЦ-1) действительной оси (черт. 63),
Черт. 63.
а через I\(n) — ее границу; пусть, наконец, 3(i0)(n) — бесконечный
интервал действительной оси, соединяющий точку п с —п через
точку сю. Очевидно, что z2 = f(z^) является аналитической в области
£\(п) и на ее границе 1\(п) и отображает 1\(п) на некоторую не-
прерывную кривую Г2(п) (относительно которой a priori не известно,
будет ли она жордановой). Г2 (п) получается изГ2 посредством некото-
рых деформаций этой кривой в окрестности точек C2Z) (I — 0, 1.р),
а именно каждая дуга ^(п), являющаяся образом интервала 8^ (л)»
7. ПОНЯТИЕ О СООТВЕТСТВИИ ГРАНИЦ. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА 299
положительном на*
заменяется образом соответствующей полуокружности (черт. 64).
В силу непрерывности функции f(zx) в замкнутой области Gr дуги
и у^(п) должны стягиваться к точке ф (Z = 0, 1.................р)
при /г->оо; следовательно, для системы сколь угодно Малых окре-
стностей иточек	можно указать
такое Af, что при N указанные
дуги будут лежать попарно в наз-
наченных окрестностях.
Пусть z2} — произвольная точка
области G?; выберем окрестности d®
точек Q столь малыми, чтобы z2 ле-
жала во внешности каждой из них,
и N > No столь большим, чтобы дуги
Ъ2}(п) и /2Z)(n) заключались внутри
(1 — 0, ...» р) при п > N. Мы утвер-
ждаем, что тогда уравнение /(^х) —
— z(20) ~ 0 будет иметь один и
только один корень внутри Dt (п).
Для этого достаточно доказать, что
VarArg[/(^i) — 40)]» когда z± пробегает 1\(п) в
правлении, совпадающая, очевидно, с Var Arg (г—М°>), равна 2к.
Мы и покажем это, установив, что
Var Arg (z2 — 40)) = Var Arg (z2 — 40))	> №)-
£а€Г2(п)	zaCr3
Действительно, дуги у(2г)(п) и 8^(п), которыми отличаются одна
от другой кривые Г2(п) и Г2, попарно имеют общие начала и концы.
Поэтому Var Arg (z2— z^) может отличаться от Var Arg (z2— z^)
z2^^(n)	z2&$(n)
только на целое кратное 2тт. Но каждое из этих чисел в отдель-
ности меньше к по абсолютной величине, так как конечная точка
вектора z2— z(2°> находится внутри круга и№ и его начальная точка —
во внешности (черт. 64). Следовательно,
Var Arg (z — 40)) = Var Arg (z — z^) (I = 0, ..., p)
z2^>(n)	S2C^(n)
И
Var Arg (z2 — 40)) = Var Arg (z2 — z<0)) 2*>
г^г9(п)	га£Га
что мы и утверждали.
Итак, каждое значение z2} £ О2 принимается функцией /(^)
в области	при всех достаточно больших п и притом
300 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
однократно. Беря точку zr2 во внешности кривой Г2, посредством
такого же рассуждения установим, что при N'
Var Arg (z — z') = Var Arg (z — z') = 0,
г2Сгз(^)	€ ra
т. e. значение z2 не принимается /(^x) ни в одной точке области Dt (п),
а следовательно, не принимается и в области GP
Отсюда и следует, что множество значений функции /(24)
в области Gt совпадает с областью G2, причем z2 = f(z1) является
однолистной в Gi.
Мы обнаружили при доказательстве обратной теоремы, что соот-
ветствие между кривыми 1\ и Г2 сохраняет порядок обхода кри-
вых— положительное направление переходит в положительное. Подоб-
ного рода дополнение можно сделать и к основной (прямой) теореме
о соответствии границ, а именно: соответствие границ, уста-
навливаемое при конформном отображении области Gt на
область G2, всегда таково, что точка z2 — F(Zi) описывает гра-
ницу области О2 в положительном направлении, если zr описы-
вает границу области Gt в положительном направлении (т. е. в на-
правлении, при котором область остается слева от наблюдателя,
движущегося вместе с точкой вдоль границы, или, выражаясь
точнее, в направлении, в котором для произвольной точки z^£Gi
Var Arg (z — z(p) — 2ir).
Опираясь на факт соответствия границ, можно подчинить функ-
цию z2 — конформно отображающую Gx на G2, дополнитель-
ным условиям иного типа, чем те, которые были отмечены в п. 6.
Так, можно требовать, чтобы при отображении точка z^ £Oi пере-
шла в точку Z20)EG2 и, кроме того, чтобы граничная точка Ci0) пере-
шла в граничную точку С20), но при этом ничего нельзя утверждать
об Arg/'(z^). Аналогично можно требовать, чтобы три любые
точки Ci, СГ кривой 1\ перешли в три любые точки С2, Сг,
кривой Г2 при единственном ограничении сохранения направления
обхода. Чтобы убедиться в справедливости двух последних утвержде-
ний, достаточно рассмотреть случай, когда, например, область О2
есть внутренность единичного круга. Если некоторое конформное
отображениеXzj на G2 не будет удовлетворять поставленным усло-
виям, например образы точек Ci, м на единичной окружности
не будут совпадать с назначенными, то останется только произвести
надлежащее конформное отображение единичного круга самого на
себя, чтобы прийти к нужному результату.
8.	Отображение верхней полуплоскости посредством эллип-
тического интеграла. В виде примера применения обратной тео-
ремы о соответствии границ исследуем отображение верхней полу-
8. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ИНТЕГРАЛОМ 301
плоскости посредством функции
W=/(z) = f  -	..,
где 0 < &2 < 1 (эллиптический интеграл первого рода
в нормальной форме Лежандра). Функция/(1—/2)(1—£2/2)
является двузначной и имеет точки разветвления первого порядка-
при t = ± 1 и / = Так как все они лежат на действительной
оси, то в верхней полуплоскости можно выделить две однозначные
аналитические ветви этой функции, имеющие противоположные зна-
чения в каждой точке. Мы выберем ту из этих ветвей, которая
в интервале (0, 1) действительной оси принимает действительные поло-
жительные значения. Тогда наш интеграл представит в верхней полупло-
скости однозначную аналитическую функцию, непрерывную в замкнутой
полуплоскостей аналитическую всюду, кроме точек ±1 (в окрест-
ности 1 z | > у— бесконечно удаленной точки подынтегральную функ-
цию можно разложить в следующий ряд:
_1_	_£	_£	_2_
(1—^2) 2(1_А2/2) 2=Д,-1Г2(1—Г2) 2(1—£“2/-2) 2 =
= ± гЛ-2(1 4-1Г2+...) (1	г24- • • •) =
= ±	2+1 (б"14-+ •  • ].
и потому для f(z) получаем:
/О) = с0 zp 4- 2~з	+ ^-3)	4- • • • ].
откуда видно, что обе ветви функции f(z) являются аналитическими
в бесконечно удаленной точке).
Принимая верхнюю полуплоскость за область Ор а действитель-
ную ось — за кривую 1\ (мы уже отметили выше, что распростра-
нение доказанной теоремы на случай неограниченных областей и кри-
вых законно), рассмотрим отображение кривой 1\ посредством функ-
ции w=f(z). Когда z = x пробегает отрезок 0<х<1, то
х
Г_______М_____
W =/(*) = J У(1—f2)(l—^2)>
302 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
сохраняя действительные значения, возрастает от нуля до
1
Г________dt_____
К== J /(Г— ^)(1 — W>)'
О +
На отрезке 1 < х < ~ подынтегральное выражение приобретает вид
_________1________
± I /(/2—1)(1—^2) ’
+
Знак в последнем выражении не может быть выбран произвольно;
его следует согласовать с произведенным выше выбором ветви
квадратного корня так, чтобы обеспечить непрерывность этой ветви
в верхней полуплоскости. Записывая (1—£2)(1—k2t2) в виде
^2 (f _ 1) _ (_ 1)] (t _ I) р _	= <р (0>
замечаем, что при переходе от точек отрезка (0, 1) к точкам
отрезка (1, вдоль полуокружности с центром в 1, принадлежа-
щей верхней полуплоскости, изменение Arg ср (/), складывающееся из
изменений аргументов отдельных множителей, равно — к (а именно:
Arg(/—1) уменьшается на к, тогда как аргументы остальных мно-
жителей не изменяются). Поэтому Argj^cp^) изменяется на — уя
и, следовательно, приобретает значение — ~к-|--2&7г. Мы видим, что
из двух значений ±/]Л(/2—1)(1—k2t2) следует выбрать значение
+
—//(*2—1)(1—А2/2). Итак, при 1<х<~ имеем:
+ *
я?	1
f________dt	С_______dt	(
J	— J /(1—/2) (1 — ^2) +
0 +	0 +
0?	X
p_______dt________	. f______d£______
~^г J У(/2 — 1) (1 — ^2)	+ 1 J У (Z2—l)(l —Й2/2) •
1 + 1 +
Отсюда следует, что когда z — x пробегает отрезок 1<х<-^,
то точка w пробегает прямолинейный отрезок, параллельный мнимой
оси, от точки К до точки	где
1
к
f	dt
“ J	1)(1 —W)’
8. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ИНТЕГРАЛОМ 303
Последний интеграл можно представить в виде,
посредством подстановки
1
аналогичном /С,
Получим:
t =	, где k'2 = 1 — k2.
У i _	2
dt
5 V(l-t2)(l-^2t2) ’
Перейдем от отрезка 1 < х < — к отрезку
аргумент подкоренного выражения
1
k
изменится, уменьшившись на it ^вместе с Arg \t — Jf) )‘ Поэтому д,
— 1)(1 —^2/2) получим значение, имеющее аргумент —
— i /(f2—1)(/г2/2—1).
Итак, при
<w
dt
к
dt
________dt_____	________________
J —1)(1 —W>) J У(/2—1)(^2—1) “
^K+iK' —	- ===.t
J VXa— i)(w>—i)
£ +
к
x
K	1 I	’ Г dt
Если x возрастает от -т- до -н~ оо, то интеграл	 -.... ,
k	J V(fl—i) (w—i)
Тс
возрастает от нуля до величины
оо	1
______dt_____
У(А—\)(^А—\)
dt
г—........ =- = К
У(1— т2)(1 — kW)
304 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(мы произвели замену = —). Поэтому точка w = /(^) описывает
\	лх /
прямолинейный отрезок, параллельный действительной оси, от точки
#+/// до точки 1К'»
Аналогично убеждаемся в том, что когда х описывает отрезки
1	1	1	’1
от нуля до —1, от —1 до---------т- и от —т Д° —сю, то точка
ю = /(х) последовательно описывает прямолинейные отрезки от нуля
до —/С, от —К до —наконец, от —K^piK' до 1К'.
Итак, функция — взаимно однозначно отображает дей-
ствительную ось 1\ на контур Г2 прямоугольника с вершинами
— К, К, К-+-1К' и — K+iK', где
1 1
== С ______dt_______	_____ Г dt
-J /(1-^(1-^)’ J r(l_<2) (1-^/2)
и fe/2 = l — k2.
Отсюда, по доказанной теореме, следует, что эта функция одно-
листна в верхней полуплоскости и отображает ее конформно на ука-
занный прямоугольник.
Основание прямоугольника есть 2/С, а высота К', поэтому
1
Г _______dt________
К' J
2/^—i
2	f — ...	; —
Если параметр k (0 < A < 1) возрастает от нуля до единицы, то
1
Л dt
знаменатель дроби возрастает от 2 J	= к до сю; при этом
о
kr (kr = V 1____k2] убывает от единицы до нуля и, следовательно,
'	+	тс	*	1
числитель дроби убывает от оо до Таким образом, отношение
= X (А), непрерывно изменяясь, убывает от сю до нуля, когда А
возрастает от нуля до единицы. Поэтому для любого прямоуголь-
ника с основанием 2а и высотой b можно найти одно и только одно
значение А
(0 < А < 1), для которого
К'
2К •
О
/(1—/2)(i — w2)
9. ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЯКОБИ snw
305
Следовательно, функция
z
dt
J \Z) —— I —izs....'	л...	u.-'L j
построенная для найденного значения k, конформно отображает верх-
нюю полуплоскость на прямоугольник, подобный заданному.
Если мы хотим получить отображение на заданный прямоугольник»
2а b
то достаточно ввести еще множитель и =	; найдем:
z
Т dt
J,'
В результате отображения получим прямоугольник с вершинами
—— а, рК — а, pK^i}yKr — а-\-Ь1, —= — а^Ы.
Итак, посредством эллиптического интеграла
Z
dt
можно отобразить полуплоскость на прямоугольник с произволь-
ными длинами сторон, подбирая соответствующие значения пара-
метров k а [л. .
9.	Понятие об эллиптической функции Якоби snw. Остано-
вимся здесь на некоторых свойствах функции, обратной по отноше-
нию к эллиптическому интегралу
g
dt
W =	------------------= f(Z) (0 < Я < 1).
В п. 8 было показано, что w=/(z) конформно отображает
верхнюю полуплоскость на прямоугольник До с вершинами
z±:/С —|— Z/C' (черт. 65), причем она является непрерывной в замкнутой
верхней полуплоскости и отображает действительную ось взаимно
однозначно и непрерывно на контур прямоугольника так, что точки 0,
±1, —у, оо, переходят соответственно в точки 0, ±К,
1К'< Отсюда следует, что обратная функция — ее назы-
вают эллиптической функцией Якоби и обозначают
z = sn (w; k), короче z = sn w — является однозначной и однолистной
в До, непрерывной (в обобщенном смысле) в До и отображающей вза-
имно однозначно и непрерывно контур прямоугольника на действи-
тельную ось так, что основание АВ переходит в отрезок [— 1, + 1],
боковые стороны ВС и DA — в отрезки 11, -Ц и Г— — , —11
20 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
306 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
и, наконец, части СЕ и DE верхнего основания — в отрезки ooj
и [оо, —Очевидно, что функцию sow можно аналитически про-
должать через АВ, ВС, DA, СЕ и DE по принципу симметрии
Римана — Шварца (п. 5 главы IX). Через АВ, например, она продол-
жается на прямоугольник Aj, : AD&B. По принципу симметрии функ-
ция z — sn w будет принимать в этом прямоугольнике значения,
принадлежащие нижней полуплоскости. При этом она также в силу
(?)
Черт. 65.
симметрии продолжения будет однолистна в Др боковые стороны
ВСХ и ADr будет отображать на отрезки [1, и £—1J, a CxEt
и EJ\ — на отрезки |~ , coj и [оо,—-~-J. Заметим, что точка 0
является нулем функции; это — простой нуль, так как функция одно-
листна в прямоугольнике DD^C. Аналогичные утверждения спра-
ведливы и для аналитического продолжения через боковые сто-
роны ВС или DA прямоугольника До. Так как в середине Е верхнего
основания этого прямоугольника snw обращается в оо, то здесь
продолжение можно осуществлять лишь через части верхнего осно-
вания СЕ или ED. Легко видеть, что в том и другом случае получим
продолжение на один и тот же прямоугольник Д3, причем результаты
продолжения в обоих случаях будут одинаковыми. Именно если точка
w3£A3 симметрична с w0£A0 относительно прямой, на которой
лежат СЕ и ED, то для sn wg в обоих случаях получим: snw3=sn-w0.
Итак, продолжение snw из До через СЕ или ED приводит к функ-
ции sn w, однозначной аналитической в прямоугольнике АВВ%А3
всюду, кроме точки Е с аффиксом K'i, в которой она обращается
в оо. Следовательно, K'i есть полюс функции. Но snw однолистна
внутри прямоугольника АВВ$А3, следовательно, в точке K'i она имеет
простой полюс (п. 5). Продолжив нашу функцию на прямоуголь-
ники Др Д2, Д3 и Д4, мы можем, далее, осуществлять ее аналити-
ческое продолжение по тому же принципу симметрии на все новые
и новые прямоугольники. Неограниченное повторение этого процесса
9. ПОНЯТИЕ 05 ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЯКОБИ sn W	307
приведет к тому, что функция sn w окажется продолженной на всю
конечную плоскость w как однозначная и аналитическая функция,
не имеющая других особенностей, кроме бесчисленного множества
полюсов. Следовательно, эллиптическая функция ^ = snw есть меро-
морфная функция. В указанном процессе продолжения вся плоскость
покроется сетью равных и одинаково расположенных прямоугольни-
ков, попеременно конформно отображаемых посредством z = sn w
на верхнюю или нижнюю полуплоскость. На черт. 66 мы изобра-
Черт. 66.
зили часть этой сети, заштриховав прямоугольники, отображаемые
на верхнюю полуплоскость. Кроме того, мы отметили кружками
нули функции^ snw и крестиками — ее полюсы (расположение тех
и других, как было показано выше, немедленно вытекает, по прин-
ципу симметрии, из того, что нам известно о значениях sn w в До).
Очевидно, что все нули snw содержатся в выражении 2тК-\- 2тКг,
а все полюсы — в выражении 2/nA' + (2n + Х)1К' (т и п произволь-
ные цедые числа); и те и другие имеют кратность 1, т. е. являются
простыми.
Покажем, наконец, что функция snw является периодической,
а именно она имеет периоды вида 4 т К-\-2niK', где т и п — любые
целые числа. Достаточно убедиться в том, что периодами являются
числа 4К и 21К', так как отсюда уже будет следовать, что и их
любые целые кратные, а также и суммы этих кратных также будут
периодами. Обратимся к черт. 66; пусть w —точка одного из прямо-
угольников. Применим двукратно принцип симметрии, продолжая
каждый раз функцию snw через правую боковую сторону соответ-
ствующего прямоугольника. Найдем, что sn w' = snw и sn w" = snw',
откуда sn w" = sn w. Но очевидно, что отрезок с концами в точках
w и w" параллелен действительной оси и по длине вдвое больше
основания прямоугольника, поэтому w" = w-|-4/<. Итак, sn(w + 4/<)=
= snw (при любом w). Аналогично, применяя двукратно принцип
20*
308 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
симметрии так, что каждый раз продолжение осуществляется через
верхнюю сторону соответствующего прямоугольника, найдем:
sn (w + 2lK') = sn w.
Отметим, что функция 2’ = snw для действительных значений независи-
мого переменного w = и встречается в задаче о колебаниях математического
маятника. Задача эта заключается в изучении ко-
лебаний тяжелого шара, подвешенного на тонкой
нити, совершаемых в некоторой вертикальной пло-
скости (черт. 67).
Пусть I — длина нити, т— масса шара, g—ус-
корение силы тяжести, 0 — угол отклонения нити
от вертикали в момент времени t, 60 — наибольшее
значение 6. Сравнивая положение шара в точке Яо,
когда его скорость равна нулю, и в точке А, когда
его скорость есть v = / —, находим по теореме
живых сил:
ts mg (i cos 6 — I cos 60),
откуда, заменяя и его значением и интегрируя, получим:
(мы будем отсчитывать t от момента, когда 6 = 0). Произвёдем замену под
знаком интеграла, полдгая sin у = sinполучим:
откуда
т = sn j/^y sin-у, или sin у = sin-y • sn ^j/^ysin у).
Эта формула сводит задачу об изучении колебаний математического маят-
ника к задаче об изучении поведения эллиптической функции sn (щ k) при
k = sin -у. Так как действительный период эллиптической функции равен
1 '
47< = 4 I ——х.............-	, то период колебаний маятника будет,
• ]/ (1 — Т2)6 —
10. ИНТЕГРАЛ ХРИСТОФФЕЛЯ---ШВАРЦА
309
очевидно, 4/<:
т. е.
Мы установили у snw наличие двух основных периодов:
2/К' и 4/С, отношение которых является "мнимым; все остальные
периоды суть линейные комбинации этих периодов с целочисленными
коэффициентами. Функции, обладающие периодами с такими свой-
ствами,, называются двоякопериодическими (в отличие от
однопериодических функций, таких, например, как sin<w
или ew, для которых любой период есть целое кратное одного
основного периода). Итак, эллиптическая функция Якоби есть меро-
морфная, двоякопериодическая функция. Вообще каждая мероморфная
двоякопериодическая функция называется эллиптической.- Если
2сох и 2о)2 — ее основные периоды (отношение 2о)2:‘2о)1 — мнимое,
но не обязательно чисто мнимое число), то параллелограмм, построен-
ный на векторах 2сох и 2w2, выходящих из любой точки w0, называется
Параллелограмм d'M периодов эллиптической функции. ДЕг
функции z = sn(w; k) в случае, когда 0 < k < 1, параллелограмм
Периодов есть прямоугольник со сторонами, параллельными коорди-
натным осям, и с длинами сторон 4/< и 2К' (он вмещает четыре
прямоугольника, о которых речь шла до сих пор). Значение парал-
лелограмма периода состоит в том, что, изучив в нем поведение
эллиптической функции, мы на основании двоякой периодичности будем
знать ее поведение в любом другом параллелограмме, полученном
из данного посредством сдвига на вектор, представляющий какой-
либо период. Эллиптические функции имеют многие применения
в вопросах математики и механики. Поэтому их изучение есть задача
особого отдела теории аналитических функций — теории эллиптиче-
ских функций. Не останавливаясь здесь на этой теории, ограничимся
тем, что приведем одну из основных теорем этой теории, принадле-
жащую Лиувиллю: если эллиптическая функция z — ср (-w) не есть
тождественная константа, то в параллелограмме периодов
(внутри или на сторонах) она должна иметь, по крайней мере,
Ъдин полюс.
Действительно, если допустить, что полюсы отсутствуют, то ср(-ш)
будет ограниченной по модулю в замкнутом параллелограмме перио-
дов, а следовательно, аналитической и ограниченной по модулю
во всей конечной плоскости, т. е. константой.
10.	Интеграл Христоффеля — Шварца. Обобщением эллиптиче-
ского интеграла, рассмотренного в п. 8, является следующий
f
310 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
интеграл Христоффеля — Шварца:
'	Z
w = /(*) = Cj>—— а/’"* 1 ... (f — anY^df,	(8)
О
здесь С—положительное число (например, С—1),	..., ап —
различные между собой действительные числа (мы предположим для
определенности, что аг < а2 < ... < ап), а показатели ах— 1, ...
..., ап — 1 также действительные, но среди них могут быть и равные
между собой. Эллиптический интеграл п. 8 получится отсюда, если
Л	1	1	1	Л
положить п = 4,	= — -т-, а2 = — L а8 = 1,	==-г- и = а2 =
R	к
1
— а3 —	2 •
Возвращаясь к общему случаю, наложим на показатели —1
ограничения, обеспечивающие сходимость интеграла в каждой из
точек ак и в точке z == оо. Ограничения эти, очевидно, должны
быть такими:
- 1 > — 1 (/ = 1, 2, ..., п) и 04+ .. . H-aw — п <— 1 (9)
^последнее вытекает из того, что в окрестности точки z = 00 под-
интегральную функцию можно представить в виде
^ыберем определенную однозначную ветвь функции X (z) =
— (z —	. (z — an)an~l в верхней полуплоскости, подчинив
ее, например, следующему усло-
вию: на части действительной оси
z£	г = х < av где все разности z — aj
/ \	#	\ отрицательны, берем для каждой
I	| из них значение аргумента, рав-
1	~---ное к, а для аргумента Х(^)—зна-
Черт. 68.	чение (al-l)1t-|-...+(an—1)Л.
Условившись в этом, мы должны
будем на интервалах (ak_v ак) придавать аргументу X(z) значения,
согласованные с выбранным. При этом достаточно заметить, что когда
точка z переходит из интервала (ak_v ак) в интервал (ак, ак+])
(&=1, 2, ..., n, а0 —оо и йп+1 = со), то лишь одна из разно-
стей z — aj меняет знак (с — на --)-)> а именно z — ак. Заставляя z
описывать полуокружность с центром в ак, принадлежащую верхней
полуплоскости (черт. 68), найдем, что аргумент z — ак должен умень-
шиться на z и, следовательно, принять значение 0; соответственно
аргумент степени (z— должен измениться на —(ак—1)~
и на столько же изменится аргумент Х(г). Так как на интервале
(bo, at) последний имел значение (ах.— 1)^+...+(ал—1)и, то
10. ИНТЕГРАЛ ХРИСТОФФЕЛЯ—ШВАРЦА
811
на интервале (ар а2), изменившись на —(04 — 1)тс, он будет сохра-
нять постоянное значение (а2 — 1) к + (ап — 1) it, вообще
на интервале (ak_if ак) (k = 2, 3, . . п) значение (aft—1)тс —|— ...
... 4~ (an—l)it, наконец, на интервале (ап, оо) —значение 0.
ак-1	—
Полагая для краткости cj* (t— a1)ax“’1 ••• (t — dt = wkt pac-
0
смотрим поведение интеграла (8) на интервале (ак_г, ак). Имеем: .
w = f(z) =	+ C Г=
ak^i	я
= ^i+cA'l)Ki+‘”+(a»’l)Ki /|Х(0|^.	(Ю)
afc-i
Второе слагаемое правой части сохраняет неизменный аргумент
(аА—1)тс—... —(aw—1)я, а модуль его.при возрастании г = х
ак
от ak_t до ак непрерывно возрастает от нуля до lk = C j* | к (t)| dt,
\	аА~1
Отсюда слеАует, что когда z, возрастая, описывает интервал (ak_v ак),
<w = f(z) описывает в одном и том же направлении прямолинейный
отрезок Дл_д с началом в точке wk_v наклоненный под углом
(aft—l)it-f- L . 4~(an—l)it к положительному направлению дей-
ствительной оси и с длиной, равной 1к, конец его находится в точке
ак \
wk = C j* (t— k)*1"1 ... (t—an)*n~l dt. Это заключение справедливо
° \
и по отношению^ интервалу (00, at) I здесь начало отрезка До есть
оо	\	\
w0 = C j* (t—ац1’1 ... (t — an)*n~ldtj и к интервалу (ап, 00)
° \ /
(\	со	\
здесь конец отрезка Дп есть -wn+i=C J	. (A—dt I.
j	°	1
Из приведенного рассуждения вытекает, что функция (8) отобра-
жает действительную ось на замкнутую ломаную А со звеньями
До, ..., Дп и вершинами w0, wp ..., wn, wn+1 = w0. Нельзя утвер-
ждать, однако, чт! это отображение взаимно однозначно, так как
ломаная может иметь самопересечения, т. е. звенья Ду могут иметь
общие точки и помимо вершин. Допустим, что самопересечения
отсутствуют (как это было, например, в случае эллиптического инте-
грала). Тогда А является замкнутой жордановой кривой, ограничи-
вающей многоугольник с вершинами wQ, ..., wn, и следовательно,
312 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
по п. 7, интеграл (8) Христоффеля — Шварца конформно отображает
верхнюю полуплоскость на указанный многоугольник. Из черт. 69
следует, что внутренний угол этого многоугольника с вершиной
равен алк. Хотя все величины углов, отмеченные
на этом чертеже, должны рассматриваться как определяемые с точ-
ностью до целых кратных 2тс, можно показать, что акп дает вну-
тренний угол многоугольника без какой-либо поправки; иными словами,
выполняются неравенства 0 < ак < 2, лишь одна часть которых
Черт. 69.	I
(afe>0) предусмотрена условиями (9). Чтобы убедиться в этом,
нужно воспользоваться однолистностью отображения w #= /(z) в окрест-
ности точки ак. Заметим, что	/
А(г)= [(z — aj»*-1 ... (2 —	— ak+lp+i~l ...
... (z — any^\{z — a^ , /
где выражение в квадратных скобках является функцией, аналити-
ческой и не обращающейся в нуль в окрестности (точки ак. Следо-
вательно, это выражение можно разложить в ряд по степеням z — ак
со свободным членом, отличным от нуля: До
причем ряд будет равномерно сходиться в некоторой окрестности
точки ак. Но тогда в этой окрестности	I
Z	Z	I
w=wk+C§ W)dt=-a>k+C^ [A^+A^(t-ak)-y...]	dt=
ak	ak	I
л (ft)	д(^)	I
=	+ C-±- (2 - ajb + C (z - akM + •  • «’ * 0),
откуда	/
4k)	« Г ak A<ik)l	1
w —	= C — (z — ak)k 1-|--------ak)4r * • • •
ak	L aic + 1 ^01	J
I	1
\ I
10. ИНТЕГРАЛ ХРИСТОФФЕЛЯ---ШВАРЦА
313
Если z стремится к ак по радиусу окружности с центром ак, соста-
вляющему с положительным направлением действительной оси угол 0
(0 < 6 < тс) (см. черт. 68), то из последней формулы вытекает, что w
будет стремиться к точке wk по некоторой кривой, касательная
к которой в точке wk имеет угол наклона, равный lim Arg(w—wft)=
Wk
= ArgHo^ + ^O (мы учли здесь, что С> 0 и ак > 0). Если 6 непре-
рывно меняется от нуля до тс,
то радиусы, выходящие из точ-
ки ак, будут непрерывно менять-	/
ся, заполняя полукруг с цент-	---
ром ак, соответственно будут
меняться и их образы при кон-	/{	/
формном отображении —указан- z 	\	-_____г________
ные выше кривые, заполняя весь	\ J
угол многоугольника с верши-
ной <юк (в достаточной близости	^-//тг+...-v
к вершине). Но угол наклона каса-
тельных к этим кривым в точ-	Черт. 70.
ке мк изменится при этом на вели-
чину алтс (от значения Arg до значения Arg ЛоЛ) + алтс), поэтому алтс
и есть величина внутреннего угла многоугольника и, следовательно,
0<afe<2 (£=1, 2, ..., п).
Для вершины w0 = wn+1 величина внутреннего угла получается
следующая (черт. 70):
К» —1) —(ах+ ... 4-an)J л.
Из неравенства (9) можно заключить только, что это — число поло-
жительное. Однако, если учесть, что наш многоугольник имеет всего
п+1 углов и, следовательно, сумма всех углов должна равняться
[(п+1)—2]тс = (п—1)тс, мы для (п+1)-го угла, зная величины
остальных п углов о^тс, ...,*аптс, должны получить как раз указан-
ную величину
[(п— 1) — (ах+ .. . +ап)]тс.
Поэтому должны иметь:
0 < [(п — 1) — (oq + ... + ап)] тс < 2тс,
откуда
а1 + а2 + • • • ++ я — 3.
Итак, окончательно числа ак (&=1, 2, ..., п) должны удовлетво-
рять следующим неравенствам:
0 <	< 2 (6=1, ..., n), n —3<a1+...+aw</t —1. (9х)
314 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Эти условия необходимы для того, чтобы интеграл (8) давал кон-
формное отображение верхней полуплоскости на некоторый огра-
ниченный многоугольник с вершинами wk (k = 0, 1, п) и вну-
тренними углами акк (& = 1, 2, ..п) и [(п— 1) — (ах + ... +ап)1к>
однако они не являются достаточными.
В частном случае, когда ах4~ ... +ап == п— 2, для величины
угла с вершиной w0 получаем к; это означает геометрически, что w0
не есть вершина, а просто одна из внутренних точек стороны с вер-
шинами и wf, иными словами, в этом случае интеграл (8) ото-
бражает полуплоскость не на (п-|- 1)-угольник, а на п-угольник.
Именно так обстоит дело в случае эллиптического интеграла, где
п = 4 и а1Н-а2 + а3Ч-а4 = 4-у = 4 —2.
Воспользуемся интегралом Христоффеля — Шварца для отображе-
ния полуплоскости на треугольник с углами а2тг, а3тг (ак > О,
а14-а2Ч""аз= 1) и стороной длины /, противолежащей углу а^.
Здесь можно поступать двояко. Во-первых, можно применять фор-
мулу (8) при п = 3, назначив по произволу действительные числа
av а2 и я3— точки действительной оси, которые должны перейти
в три вершины треугольника (см. замечание в конце п. 7). Положим,
например, = —1, а2 = 0 и а3=1. Тогда будем иметь:
-да = С f (t + Ip'1 f3'1 (t — I)’3'1 dt,
0
и остается найти положительный множитель С, &ля этого заметим,
что длина I должна равняться по-предыдущему:
1 1
С J I (/+ Ip'1 *“3'1 (t — Ip"11 dt = C J (1 + /р'1 f3'1 (1 — zp'1 dt,
0	0
откуда
-	i
C = I: J (1 4-	*“2-1 (1 — O'*3-1 dt.
0
Итак,	1
J (t + Ip'1 P'1 {t — I)*3-1 dt
w=i	.	(ii)
J (1 + 0®*-1 г"3'1 (1 — O’3'1 dt
0
Эта функция действительно решает поставленную задачу, так как
отображает действительную ось на треугольник с заданными углами
и заданной длиной стороны (треугольник не имеет самопересечений).
В частности, когда = а2 = а3 = ~ , получаем равносторонний тре-
315
10. ИНТЕГРАЛ ХРИСТОФФЕЛЯ---ШВАРЦА
угольник, и функция приобретает следующий вид:
dt
J ^(0-1)2:
w = I —----------;
[ dt
J ^2 (1 _>3)3
при a2 = у,	~ a3 ~ y получаем отображение на прямоугольный
равнобедренный треугольник с длиной катета /:
Z
С1)3
W = 1—------------
Г dt
I __________
О Vt у (1 —^2)3
и т. д.
Во-вторых, ту же задачу об отображении полуплоскости на
треугольник можно решать, полагая в формуле (8) п = 2 и назначая
по произволу две точки действительной оси и а2, которые должны
перейти в две вершины треугольника с углами и a2ir.
Так как ax4~a2 здесь не равно п — 2 (= 0), то бесконечно уда-
ленная точка должна перейти в третью бершину, где образуется
угол, равный [(2—1) — (at а2)] к = тг — — а2т:==а3к. Выбирая,
например, а1 = 0, я2=1, получим отображающую функцию в виде
w = С J Z“1-1 (/— I)"2"1 dt.
о
Для определения С получим уравнение
С j\t^-l(t— iy1 \dt = l,
1
откуда
J (t — 1)“а-1 dt
316 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Следовательно, нашу задачу будет решать также функция
J	df
w = I JL-----------------1	(12)
 [ re‘~l (t— I)*3-1 dt
очевидно, отличная от (И).
Например,
треугольник с
для отображения,
длиной стороны I
полуплоскости на равносторонний
получаем функцию
z
Г dt
о ^(/-1)2
ОО
f . dt
l ft2(l--t)2
В общем случае, когда задача за-
дается в отображении на п-уголь-
(п 4) с углами ахк, . .., аптг и
нами сторон ZPZ2,..., 1п (к сто-
[е 1к (А = 2, ..., п) прилежат
гы ак_^ и к стороне —
ы апк и а^), в формуле (8) можно
произвольно выбрать точки av а2 и а3, которые должны перейти в вер-
шины w2 и с углами ахк, a2ir и а3тг (замечание в конце п. 7).
Остается определить еще п — 3 точки действительной оси:	, апи
положительный множитель С, всего п — 2 неизвестных. На первый
взгляд для их определения будем иметь избыточное число уравне-
ний, а именно п уравнений, выражающих, что длины сторон много-
угольника равны соответствующим интегралам. Легко видеть, однако,
что если углы многоугольника известны, то задание только п — 2
длин сторон Zp Z2, ...» Zn_2 определяет уже единственным образом
длины двух остальных сторон: Zn-1 и 1п (черт. 71). Поэтому
остается лишь п — 2 независимых уравнения
ак
С J Itf —	.. .(t — an)an~1\dt = llt (/г = 1, 2.п — 2) (13)
ak-i
для определения п — 2 неизвестных: а4, ..., ап, С.
Опираясь на теорему Римана и теорему о соответствии границ,
можно доказать, что константы в интеграле (8) всегда можно по-
добрать так, что он будет давать отображение полуплоскости на
любой наперед заданный многоугольник. Поэтому уравнения (13}
всегда будут иметь решения. Мы отсылаем читателя за подробно-
И. ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО цилиндра (без циркуляции) 317
стями об отображении полуплоскости на произвольные многоуголь-
ники к большим курсам теории функций (см., например, нашу
«Теорию аналитических функций», стр. 676—686).
11. Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции). В заключение
укажем некоторые применения теории аналитических функций к гидромеха-
нике *).
Найдем движение жидкости, обтекающей круговой цилиндр и имеющей
в бесконечности скорость U + IV = Ае1*.
С этой целью воспользуемся приемом конформного отображения. Пусть
| г | = R — сечение цилиндра плоскостью ху (или проекция цилиндра на эту
—• fa
плоскость). Тогда функция zA = —5— конформно отображает внешность
К
круга | z | > R на внешность единичного круга в плоскости zb причем век-
yl
тор Ае1* преобразуется в вектор -5-, направленный по действительной оси
i\
(в положительном направлении). Далее, функция^ = тг Ki Н---) конформно
л	2 V *1 ' о
отображает внешность единичного круга на внешность отрезка деиствитель
ной оси —1<х2«<1, у2 = 0.
1 / ze~ia R \
Поэтому функция г2 = 2Д—---------1---является аналитической во
внешности G проекции заданного цилиндра, причем ее мнимая часть у2
сохраняет постоянное значение, а именно нуль на границе |z| Отсюда
следует, что если эту функцию рассматривать как комплексный потенциал
течения жидкости в области G, то граница области будет одной из линий
тока, т. е. жидкость будет обтекать цилиндр |z|=/?.
Для скорости течения будем иметь:
dzz\ = J_ /g-** R \ = J_ ( еЫ _	\
dz )	2 \ AJ	2 \ R & )
1 £га
откуда скорость в бесконечно удаленной точке равна тт-тт. Эта величина
2 R
отличается от заданной Aeia лишь действительным положительным множи-
телем Умножая построенную выше функцию на 2AR, получим окон-
чательно функцию
+	_ (У _ г + ^+7^ .
мнимая часть которой по-прежнему имеет постоянное значение (равное нулю)
на окружности | z | = R и производная которой имеет в бесконечно удален-
ной точке величину U — iV, сопряженную с заданной величиной скорости.
Итак, функция
/(г) = (U - IV) г + Я+1КЦ?!
дает комплексный потенциал движения жидкости, обтекающей цилиндр
|г| = /? с заданной на бесконечности скоростью U -f- IV.
*) См. пп. 13—14 главы II.
318 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Для потенциала скоростей находим выражение
? (х, у) = Re/(*) = (Ux + Vy) (1 +
а для функции тока — выражение
ф (х, у) = Im [f (г)] = (- IZx + Uy) (1 -
Поэтому линии равного потенциала имеют уравнения
(£7х 4- Vy) (хз + У2 + Л2) =	(л<4- у2),
а линии тока — уравнения
(~ Vx + Uy) (х2 + у2 _ Д2) = С2 (Л2 + у2).
И те и другие являются алгебраическими кривыми третьего порядка. Они
изображены на черт. 72 (он соответствует случаю, когда скорость на беско-
нечности параллельна действительной оси). Заметим, что при С2 = 0 в каче-
стве линий тока получаются прямая —Vx 4~ Uy = О, проходящая через
начало координат параллельно вектору скорости на бесконечности, и окруж-
ность х2 у2 = R2, В точках ± Re™ пересечения этих линий скорость
г4
обращается в нуль, во всех же других точках плоскости она отлична от
нуля.
Мы увидим в п. 14, что возможны течения, обтекающие тот же цилиндр
с другим комплексным потенциалом.
12. Гидромеханическое истолкование простейших особых точек.
Остановимся на истолковании простейших особых точек аналитической
12. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 319
функции как источников, стоков или вихрей. Рассмотрим сначала логариф-
мическую особенность (точку разветвления бесконечного порядка).
Пусть/(*) = Ln*; эта многозначная функция, определенная в области
О < | z | < оо, имеет однозначную производную /(*) =-^-и, следовательно,
может рассматриваться как комплексный потенциал некоторого установив-
шегося течения жидкости. В данном случае потенциал скоростей однозна-
чен: ср (х, у) = 1п|*|, а функция тока многозначна: Ф (х, у) = Arg *. Линии
равного потенциала In | z | = const или | z ( = const представляют окруж-
ности с центром в начале координат, а линии тока — прямолинейные лучи
Arg* = const.
Так как скорость в точке z есть f (*) = — = —— и, следовательно, на-
*	|*Р
правлена по лучу Arg* = const от начала координат к бесконечно удален-
ной точке, то все частицы движутся по направлению от начала координат
к бесконечно удаленной точке со скоростями, весьма большими вблизи
начала и весьма малыми вдалеке от него (|/z(*)| = Указанная кар-
тина заставляет нас рассматривать одну из точек разветвления функции Ln*,
а именно точку z = 0, как источник жидкости, а другую * = оо как сток
жидкости. Чтобы определить мощность источника или стока, подсчитаем
поток жидкости, протекающий через произвольную окружность у с центром
в начале координат.
По установленному в п. 13 главы 11 поток этот равен
J — v dx + и dy = Im £ j* f (*) dz j = Im £ j*	=
T	r	7
Итак, через окружность сколь угодно малого радиуса с центром в начале
координат протекает за одну секунду количество жидкости, равное 2-гс (точ-
нее, следует представлять себе поверхность кругового цилиндрического слоя
высотой единица, сечением которого является указанная окружность; через
эту поверхность и протекает объем жидкости, равный 2п). Полученное число
мы рассматриваем как мощность источника * = О, откуда жидкость выбра-
сывается с бесконечно большой скоростью, или как мощность £тока * = оо,
где жидкость исчезает (с нулевой скоростью).
Если вместо функции Ln* рассмотреть в качестве комплексного потен-
циала функцию F(z)~ — iLnz, то потенциалом скоростей будет функция
ср (х, у) = Re [У7 (*)] «= Arg *, функцией тока ф (х, у) = Im [У7 (*)] = — In | * | и
скорость в точке * будет равна -=- == -j—. В этом случае линии равного
* I 2 г
потенциала суть прямолинейные лучи, выходящие из начала координат,
а линии тока суть окружности с центром в начале координат.
m	iz
Так как скорость направлена в положительную сторону по каса-
тельной к соответствующей окружности, то каждая частица жидкости дви-
жется по окружности с центром в начале координат, обращаясь вокруг
него в положительном направлении (против часовой стрелки). Скорость
частиц по-прежнему весьма велика вблизи начала и весьма мала вдали от
него. Вследствие этого время, употребляемое на пробег окружности, есть
2яг : у = 2т:г2 и, следовательно, растет пропорционально квадрату радиуса
окружности. Можно легко проверить, что источники и стоки в этом случае
отсутствуют (это следует из того, что функция тока в данном случае одно-
значна). Для циркуляции скорости вдоль произвольной окружности 7 с
320 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
центром в начале координат получаем величину
f'(z)dz
2тс.
Так как величина циркуляции остается одной и той же как для окруж-
ностей | z | = г сколь угодно малых* радиусов, так и для сколь угодно боль-
ших, то и начало координат и бесконечно удаленную точку можно рассма-
тривать как вихревые точки рассматриваемого течения, а величину
2л— как интенсивность вихревой точки (той или другой).
От указанных примеров легко перейти к случаю источника и стока
любой мощности т, помещенных в< двух наперед заданных точках плоскостй,
или к случаю двух произвольно расположенных вихревых точек с данной
интенсивностью Г. Первым соответствует комплексный потенциал Ln-------г
Z7C z — о
,	ч	*	Г т z — а
(а — источник, b — сток), вторым — комплексный потенциал Ln “—
(а и b — вихревые точки). При заданных точках а и b общая картина линий
равного потенциала и линии тока в том и другом случаях одинакова
(черт. 73). Однако в первом случае линиями тока являются дуги окруж-
ностей, соединяющих точки а и Ь, а линиями равного потенциала — ортого-
нальные к ним окружности. Во втором случае, наоборот, последние линии
являются линиями тока, а первые — линиями равного потенциала.
Рассмотрим комплексный потенциал, равный сумме двух указанных выше:
_ z . т — /Г т z — а
f (г) — ——- Ln-------г.
J v f 2л z — b
Для него точки а и b можно рассматривать как вих реи сточн ики,
а именно как совмещения источника (или стока) мощности т с вихревой
(И)
12. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 321
точкой интенсивности Г. Здесь потенциалы скоростей и функции тока равны
соответственно
.	.	т	,	I z— а\	,	Г	д	z— а
(х,	у) = —	In	--Н- 4- тг-	Arg----г,
7 v	"	2п	[z — b |	2т:	6	z — b ’
, ,	ч	т	к	z — а	Г t	Iz	— а\
ф (X у) =	Arg —Т-^1п
Линиями равного потенциала и линиями тока служат два взаимно ортого-
нальных семейства, так называемых двойных логарифмических
Черт. 74.
спиралей, навивающихся на точки а и &*). На черт. 74 изображены три
кривые одного семейства и одна кривая другого семейства.
Отправляясь от эТих рассмотрений, перейдем к гидромеханическому
истолкованию полюса аналитической функции. Пусть
— комплексный потенциал, соответствующий двум вихреисточникам в точ-
ках а и Ь. Представим /(z) в виде
х/.ч _ (т —/Г) (^ —a) Ln (z^-а) — Ln (z — b)
J W ~	2k
и предположим, что Ь стремится к пределу а и при этом т — /Г стремится
к бесконечности так, что произведение (т — /Г) (Ь — а) имеет конечный,
отличный от нуля предел Re**. Тогда в результате предельного перехода
*) Они превращаются в логарифмические спирали путем дробно-линей-
ного преобразования £ = узгу и> следовательно, образуют семейство линий,
пересекающих любую дугу окружности, соединяющую точки а и bt под
одним и тем же углом.
21 Зак. 1636. А. И. Маркушевич
322 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
получим функцию
PU)S=^_J_,
7 2п г —а
(15)
имеющую единственную особую точку, а именно простой полюс в точке а.
Итак, простой полюс можно рассматривать как слияние двух вихреисточни-
ков с одинаковыми, неограниченно возрастающими интенсивностями.
Черт. 75.
Тот же результат можно получить, конечно, если отправляться только
от источника и стока (Г = 0) или только от двух вихревых точек (т = 0).
Полагая z — а = ре*\ запишем потенциал скоростей и функцию тока
в виде
Ф (г) = Re F (г) = А ££AzA,
27С р
ЧГ(г) = 1ш Р(г) = - A 6) .
Отсюда следует, что линии равного потенциала и линии тока
R cos (а — 6)
75------------- = const ,
2л р
R sin (а — 6)	.
— о-----------~ = COnst
2л р
представляются в виде двух ортогональных семейств окружностей:
р = cos (а — 6), р = С2 sin (а — 6),
причем окружности первого семейства (линии равного потенциала) касаются
в точке а вектора iRe™, выходящего из этой точки, а окружности второго
семейства (линии тока) касаются в той же точке вектора Re^ (черт. 75).
13. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНЙИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 323
Аналогично могут быть истолкованы полюсы второго порядка — посред-
ством слияния двух полюсов первого порядка, гполюсы третьего порядка —
посредством слияния двух полюсов второго порядка и т. п.
13. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра. Рас-
смотрим построение комплексного потенциала для потока жидкости, обте-
кающей круглый цилиндр, которое приведет нас к результату более общего
характера, чем полученный в п. 11.
Пусть требуется найти комплексный потенциал для течения жидкости
в области | z | > R в предположении, что скорость в бесконечно удаленной
точке есть U -f- IV и в области R< | z |<со отсутствуют источники, стоки
и вихревые точки. Тогда для производной f (г) комплексного потенциала,
являющейся сопряженной со скоростью в точке z, получаем, что она должна
быть однозначной аналитической функцией в области R < | z | <оо, прини-
мающей конечное значение V — IV в бесконечно удаленной точке. Следова-
тельно, бесконечно удаленная точка является правильной для нее, и мы
получаем:
/(z) = t/-;v+A-+A+A+..„
откуда
/
Мы приняли здесь постоянную интегрирования равной нулю. Чтобы
получить отсюда функцию тока ф(2г) = 1ш/(г), положим:
' z ® г^®,	lbb А2 = #2 + ^2» -^з = лз 4“ ^з> • • •
Будем иметь:
ф (re^) = Ur sln 0 — Vr cos 0 4~ In r + “ sin ®	~ cos ® +
4- sin 20 — A- cos 20 + ... = aj0 + bA In r —
—’ AfJA cos 0 4- sin 0 —A- cos 20 4- tA- sin 20 — ...
r	1 r	2r2	‘ 2r2
Так как окружность |г] = /? является одной из линий тока, то функ-
ция ф (ге^) должна сохранять постоянное значение при г = R и любых зна-
чениях 0. Из найденного разложения для ф (г^®), сходящегося при г > /?,
следует, что мы удовлетворим поставленным условиям, если положим:
а1==0, ^ + W2 = 0, Лз4-Ш?2==0, £>з = 0, а3 = 0,...
При таком выборе коэффициентов будем иметь:
/ (г) = Ln г + (t/ — <V) г + -
(bi — произвольное действительное число).
Для производной f (г) находим выражение
z ‘	г2
откуда
J f(z)dz = J 2^£ = _2а.
|Z*|=r	|2|«Г
21*
324 ГЛ. х. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Поэтому поток жидкости через окружность | г | = г равен нулю, а цир-
куляция скорости вдоль той же окружности равна —2лст. Выбирая надле-
жащим образом Ьь мы можем получить любое, наперед заданное значение
Г
циркуляции Г: — 2к^ = Г, откуда	Следовательно, /(z) можно
записать в виде:
+с (16)
где мы ввели еще произвольное постоянное слагаемое С.
Комплексный потенциал представляется здесь в виде суммы чисто цир-
куляционного течения Ln z, соответствующего вихрям с интенсивностью Г
в начале координат и в бесконечно удаленной точке, и течения без цир-
куляции
найденного в п. 11.
Покажем, что формула (16) дает наиболее общее решение задачи об
обтекании цилиндра с заданной скоростью U 4- iV в бесконечно удаленной
точке и с заданной циркуляцией Г. В самом деле, пусть Д (z) — комплексный
потенциал, удовлетворяющий тем же условиям. Тогда разность f \ (z)—/' (z),
сопряженная с разностью скоростей частиц жидкости, участвующих в первом
и во втором движениях, является однозначной! аналитической функцией
в области | z | обращающейся в бесконечно удаленной точке. Следова-
тельно,
откуда
J {/1 (г) — / (г)] dz “ У Сл^- = 2я/С1,
т	т
где у — произвольный замкнутый контур, содержащий внутри окружность
| Z | =а /?.
Так как циркуляции двух скоростей вдоль 7 должны быть равными
между собой, то
Re j* [/j (z) — f' (z)] dz = — 2л Im =* 0,
т
t. e. Ci является действительным числом. Для разности комплексных потен-
циалов Д (г) — f (z) получаем:
AW—/(г) = с0 + С1Ьпг —
и для разности их мнимых частей, т. е. функций тока:
Цг, 0)= Im [Д (г)-/(*)] =
«= То + с16 — у-cos 6 + -7 sln 0 — gy cos 26 + Д sin 26 —	,
где через Ру обозначены действительные и через уу мнимые части коэффи-
циентов Cj. По смыслу задачи окружность г = R должна быть линией тока
13. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 325
для каждого из рассматриваемых течений, поэтому б (R, 6) == const = с. Но из
разложения, найденного для б (г, 6), следует, что б (г, 6) — сх6 есть однознач-
ная функция от z = ге®. В частности, однозначной функцией 6 должна быть
и функция б (/?, 0) —	= с — CjQ, откуда следует, что. = 0.
Итак,
б (г, 6) = т0 — — cos 0 + — sin 8 — cos 26 -4- sin 26 — ...
\	1 г 2г2	2г2
Мы видим, что б (г, 6) — однозначная гармоническая функция в области
R, сохраняющая постоянное значение с на окружности г = R. Отсюда
следует, что б (г, 6) = const (см. п. 2), а следовательно, и аналитическая
функция Д (г)—мнимой частью которой является б (г, 6), есть постоян-
ное. Итак,
й Ю / (*) +• С' =	Ln z + (U -1V) z + (^+ гЮ/?а + C",
ZTCt	z
чем и заканчивается 4 доказательство единственности найденного нами ре-
шения.
Для потенциала скоростей и функции тока течения, Определяемого функ-
цией (16), имеем следующие выражения:
V U. У) = Argz + (Ux+Vy) (1 +	+ ₽>
Ф(х, У) = -^1п|г|+(-Ул + 17у)(1--^5) + Т.
Следовательно, уравнения линий равного потенциала и линий тока соот-
ветственно суть:
i Arg z 4- (Ux + Vy) (1 +	= Cb
-	1 n PI + (- Vx YUy) (1 -	) = C2.
При Г = 0 мы рассматривали их в п. 11, при Г^=0 — это трансцендент-
ные кривые, вид которых зависит от соотношения между Г и U -J-iV. До-
пустим для простоты, что V = 0 (к этому случаю можно всегда придти
посредством поворота осей координат), и найдем критические точки тече-
ния, т. е. те точки, в которых скорость обращается в нуль. Из выражения
скорости
2nlz	&
следует, что эти точки удовлетворяют квадратному уравнению
ИЛИ
откуда z
I ЛГ г? (
4nU r V п \ 4nU / *
Если | Г О 4тс7? | U |, то обе критические точки zr и г3 являются чисто
мнимыми, причем из соотношения zrz2 = — /?2 видно, что только одна из них
326 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
лежит вне окружности | z | = /?, т. е. в области, занятой жидкостью. Линии
тока для этого случая изображены на черт. 76. Если | Г [ = 4тс/? | U |, то мы
получаем лишь одну критическую точку, лежащую на пересечении окруж-
ности | z | = R с мнимой осью (черт. 77). Наконец, при | Г | < 4тиА> | U | суще-
ствуют, как и в случае потока без циркуляции, две критические точки,
Черт. 77.
лежащие на окружности | z | = R симметрично относительно мнимой оси
(черт. 78).
14. Определение подъемной силы крыла аэроплана. В предыдущем
пункте мы решили задачу обтекания круга (круглого цилиндра). Отпра-
вляясь отсюда, можно при помощи конформного отображения решить задачу
обтекания тела произвольного вида. Пусть L — замкнутая жорданова кривая
плоскости г; требуется построить комплексный потенциал потока жидкости,
обтекающего L и имеющего заданную скорость U -f- IV в бесконечности.
Отобразим конформно внешность L на внешность единичного круга 11\ > 1
так, чтобы точка г = со перешла в точку / = оо. Пусть /«/’(г)— функция,
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ КРЫЛА АЭРОПЛАНА
327
осуществляющая отображение. В окрестности точки г ==со она будет иметь
разложение вида
/?(г) = с1г + с0 + -^1+
где Ct #= 0.
Мы положим еще для определенности, что коэффициент ct есть действи-
тельное положительное число, т. е. Р'(ро)>0. Указанными условиями P(z)
определится единственным образом ^чтобы свести этот случай к отображе-
нию внутренности жордановой кривой на внутренность круга, достаточно
прибегнуть к вспомогательным отображениям zr =-----------, где г0— точка,
Z — Zq
лежащая внутри £, и Р = yj . При этом отображении искомый комплексный
потенциал f(z) перейдет в комплексный потенциал потока, обтекающего
единичный круг, и, следовательно, будет иметь вид
f (г) = f [F~i (OJ = 9 (О = Ln t+ (и - iv) t +	«
(см. формулу (16)). Так как / (оо) = и — lv =	, то найден-
ную формулу можно переписать в следующем виде:
ч г , ч , и —IV в, ч , U + IV
“ 2«/ Ln Р + F (оо) Р (г) + /"(оо) F (г)
В этой формуле, помимо произвольного постоянного с, не играющего
никакой роли, фигурирует еще действительный коэффициент Г. Покажем, что
его следует выбрать равным циркуляции скорости потока вдоль любой замкну-
той кривой, заключающей внутри кривую £, например вдоль образа окруж-
ности 111 = г > 1 при отображении z = Т7-4 (Q. В самом деле,
Г	Г	*
f (г) dz = Var/(z) =	Var Arg Р(г).
J	тг	Тг
(17)
Тг
Но когда z обходит однократно в положительном направлении, t = Р (z)
обходит окружность \t | = г однократно в том же направлении, поэтому
Var Arg/7(/) = 2Tt и
Yr
J/(a)^ = r,
Tr
откуда и следует наше утверждение.
Итак, поток жидкости, обтекающей контур £, определяется формулой
(17), где Г — циркуляция потока, U IV—скорость в бесконечно удаленной
точке и P(z)— функция, конформно отображающая внешность контура L на
внешность единичного круга так, что /?(оо) = оо и Р' (оо)>0.
Применим эту формулу к нахождению комплексного потенциала потока
обтекающего профиль Ж у к о в с к о г о—Ч аплыгина (профиль крыла
аэроплана с округленным передним краем).
Чтобы построить подобный профиль, рассмотрим две окружности v и V
плоскости С, одна из которых, у, проходит через точки i 1 и касаето-
окружности / изнутри, в точке 1. При отображении г = -- (с +7-) окруж-
328 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ность 7 перейдет, как мы знаем, в дугу б окружности с концами ±1 и
внешность 7 конформно отобразится на внешность о (п. 10 главы III). Сле-
довательно, окружность / отобразится взаимно однозначно на некоторую
замкнутую кривую 5', принадлежащую внешности о (за исключением одной
точки z = 1, общей с б). Так как г = 1 является образом точки С = 1 и
dz 1 Л 1\	С2— 1
— = — и—^2 ) = —да- имеет ПРОСТОИ куль в этой точке, то углы с вер-
шиной в точке С == 1 должны увеличиваться вдвое при рассматриваемом
отображении. Но угол между у и 7', по условию, равен нулю. Поэтому б
и б' должны также образовывать в точке z = 1 угол, равный нулю. Вид кри-
вой б' представлен на черт. 79. Это и есть профиль Жуковского — Чаплы-
гина. Его вид и размеры можно изменять, во-первых, изменяя окружности
7 и 7', а во-вторых, применяя преобразование подобия.
Чтобы применить формулу (17) к отысканию потока, обтекающего по-
строенный профиль, остается найти функцию, конформно отображающую
внешность кривой б' на внешность единичного круга. Но функция
1 Л , 1 \	.
z = Т v ' Т/ КОНФ°РМНО отображает внешность окружности 7' на внеш-
ность кривой бЛ. При этом она преобразует точку С == оо в точку г == оо и
производная ее в точке С = оо имеет значение . Если центр окружности 7'
находится в точке а, а радиус равен р, то функция t = -i- (С — а) отображает
внешность 7' на внешность единичного круга. Поэтому функция z ==
== l(pt + «) + (р^ + а)”1] отображает внешность единичного круга на
внешность б' так, что t = 00 переходит в точку г = оо и производная
в бесконечно удаленной точке имеет положительное значение: . Следова-
тельно, У == У7 (г) является обратной по отношению к построенной функции,
т. е. f'(z) = у — а -|-г4- У г2 — 1 , причем мы должны взять ту ветвь
последней функции, которая обращается в бесконечность в бесконечно уда-
2
ленной точке. Для нее имеем: F' (оо) == у.
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ КРЫЛА АЭРОПЛАНА 329
Итак, искомый комплексный потенциал имеет вид
/(г) = £Еп[7(~а+г + 7^^)] +
+ £^(_а+г + Гет)+-----------------.+ С. (18)
'	2 V	2(—а + г+/?а—1)	’
Отсюда
Г Г	1	А'
у/ f _ I Х_	1	I
L2tt:Z — а 4" г 4"	— 1
. У-™____________PHU + IV) 1 л г X
2	2( —а + г-Ь У>а —1)2 ]\	1 /’
Чтобы производная f (г), а следовательно, и скорость были ограничен-
ными вблизи задней кромки крыла, т. е. вблизи точки г = 1, необходимо
ввести следующее условие, связывающее величину циркуляции Г СО скоро-
стью U 4- IV и параметрами аир, определяющими вид крыла;
г 1 U-iV PW + IV)
2тс/1—сА 2	2(1—а)2
откуда
Г =	- (U - IV) (1 - а)].
Из черт. 79 видно, что 1 — а = р^-*9; полагая еще U 4- IV = AeW, по-
лучим:
Г = - 2т:Лр sin (0 + <?).	(19)
Следовательно, формула (18) окончательно приобретает следующий вид:
/ (?) = ^ (- 2sin (”~by)- Ln [(₽<?-<’ - 1) + г +	+
+7^-'- >+,+)+;+	(2°>
Вычислим в заключение результирующую сил давления потока на крыло
(подъемную силу крыла аэроплана), отнесенную к тому слою
жидкости с высотой, равной единице, для которого проводится все рассуж-
дение.
Обозначим ее проекции на оси координат через X и Y (так как движе-
ние плоское, то эта сила параллельна плоскости ху). Для нее имеем сле-
дующую общую формулу С. А. Чаплыгина:
X-lY = ^ j	(21)
С
где d — плотность жидкости (газа), а С — какая-либо замкнутая спрямляе-
мая кривая, содержащая внутри обтекаемый контур.
Для вычисления интеграла (21) достаточно взять вычет функции [/(г)]3
относительно бесконечно удаленной точки. Но в окрестности бесконечно
330 ГЛ. X. ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
удаленной точки имеем:
г/ (г)12 = Л2Р2 ( __ 2 sin (е + Ф) _!___________।
4 * I ре~^— 14-?+У?2—1 р
1	I2/ z \2
___________-----------I (1 4.	] s
(р^9__ 1 4-г 4- /г2—I)2 I \ У г2—1/
__ Л2р2 , I sin (64-ср) ,	12/о , 1 f \2
“ —[~7+ ~г +’"J	=
= Д2^-2гу 4- 2Ы2р^-^ Sin (в + (?) у 4-	;
поэтому искомый вычет есть —2tA^pe~^ sin (0 4" ?)» и Для подъемной, силы
крыла получаем выражение
X— IY = — 2л/Л2 dpe~^ sin (0 + ср) *),
или по формуле (19)
Х~ IY = 1Ае-Ъ Yd = i(U — IV) Yd
и, наконец,
X-\-lY=~ i(U + iV) Vd.	(22)
, Мы получили знаменитую теорему Н. Е. Жуковского:
Подъемная сила крыла ортогональна к скорости потока в беско-
нечно удаленной точке и по величине равна произведению этой ско-
рости на циркуляцию скорости и на плотность жидкости (газа).
За всеми дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя к курсам
гидромеханики (см. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Тео-
ретическая гидромеханика, ч. I, или В. В. Г о jry б е в, Теория крыла аэро-
плана в плоскопараллельном потоке).
*) Мы учитываем при этом, что контур С в формуле (21) обходится
в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗУЧЕНИЯ
1.	Ахи ез ер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, М. —-Л.,
Гостехиздат, 1948.
2.	Бермант А. Ф. и Марк у ш евич А. И., Теория функций комплекс-
ного переменного (Обзорная статья из Сборника «Математика в СССР
за"~30 лет» 1917—1947, М. — Л., Гостехиздат, 1948, стр. 319—414).
3.	Бохнер С. и Мартин У. Т., Функции многих комплексных перемен-
ных, М„ ИЛ, 1951.
4.	Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, М.—Л., Гостехиздат,
1952.
5.	Г о л у б е в В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений, изд. 2-е, М. — Л., Гостехиздат, 1950.
6.	Гол у зин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного пере-
менного, М. — Л., Гостехиздат, 1952.
7.	Г у р в и ц А., Теория аналитических и эллиптических функций. Перев.
с 3-го нем. изд. Ю. В. Икорникова под ред. Н. Е. Кочина, Л. — М., Гос-
техиздат, 1933.
8.	Жюлиа Г., Геометрические принципы анализа, ч. I. Перев. с франц.
А. И. Маркушевича, М. — Л., ОНТИ, 1935.
9.	К а н т о р о в и ч Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы выс-
шего анализа, изд. 4-е, М. — Л., Гостехиздат, 1952.
10.	К а р а т е о д о р и К., Конформное отображение. Перев. с англ. М. Кел-
дыша, М. — Л., 1934.
11.	Курант Р., Геометрическая теория функций комплексной переменной.
Перев. с 3-го нем. изд. Ю. В. Икорникова под ред. Н. Е. Кочина, Л.— М„
ОНТИ, 1934.
12.	Кура н т Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минималь-
ные поверхности, М„ ИЛ, 1953.
13.	Л а в р е н т ь е в М. А., Конформные отображения, М.—Л., Гостехиздат,
1946.
14.	Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций ком-
плексного переменного, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
15.	Л е в и н Б. Я., Распределение корней целых функций, М., Гостехиздат,
1956.
16.	Мандельбройт С., Примыкающие ряды. Регуляризация последова-
тельностей. Применения. Перев. с франц. В. С. Виденского под ред.
В. Л. Гончарова, М., ИЛ, 1955.
17.	М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, М — Л., Гостех-
издат, 1950.
18.	М а р к у ш е в и ч А. И., Очерки по истории теории аналитических функ-
ций, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
19.	Мон те ль П., Нормальные семейства аналитических функций. Перев.
с франц. В. М. Шепелева, М. — Л., ОНТИ, 1936.
2О.	*М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. Гра-
ничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математи-
ческой физике, М. — Л., Гостехиздат, 1946.
332
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗУЧЕНИЯ
21.	Н е в а н л и н н а Р., Однозначные аналитические функции. Перев. с нем.
Л. И. Волковыского, под ред. и с добавлениями М. В. Келдыша и
М. А. Лаврентьева, М. — Л., Гостехиздат, 1941.
22.	Н е в а н л и н н а Р., Униформизация. Перев. с нем. Л. И. Волковыского,
М., ИЛ, 1955.
23.	Полна Г. и Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, ч. I. Перев. с нем.
Д. А. Райкова, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1956.
24.	Полна Г. и Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, ч. II. Перев.
с нем. Д. А. Райкова, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1956.
25.	Привалов И. И„ Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного, изд. 9-е, М. — Л., Гостехиздат, 1954.
26.	П р и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, изд.
2-е, М. — Л., Гостехиздат, 1950.
27.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 2, изд. 6-е, М„
Гостехиздат, 1956.
28.	Т и т ч м а р ш Е., Теория функций. Перев. с англ. В. А. Рохлина, М. — Л.,
Гостехиздат, 1951.
29.	У и т т е к е р Е. и Ватсон Г., 1) Курс современного анализа.
Перев. с англ, под ред. Г. М. Голузина, ч. I. Основные операции ана-
лиза, Л. — М., Гостехиздат, 1933. 2) То же, ч. II. Трансцендентные функ-
ции, Л. — М., 1934.
30.	Фукс Б. А., Теория аналитических функций многих комплексных пере-
менных, М. — Л., Гостехиздат, 1948.
31.	Фукс Б. А. и Левин В. И., Функции комплексного переменного и
некоторые их приложения. Специальные главы, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
32.	Фукс Б. А. и Ш а б а т Б. В., Функции комплексного переменного и не-
которые их приложения, М. — Л., Гостехиздат, 1949.
33.	Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., Гостех-
издат, 1948.
34.	Чеботарев Н. Г. и Мейман Н. Н., Проблема Рауса— Гурвица для
полиномов и целых функций, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова,
М. — Л., 1949.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Д-точка функции 177
Аффикс точки 10
Бесконечность (или бесконечно уда-
ленная точка) 15
Верхний предел последовательности
действительных чисел 125
Вихреисточник 320
Вихрь скорости 47
Вычет относительно бесконечно уда-
ленной точки 241
— функции 230
----логарифмический 231, 237
Гамма-функция 226
Двойная логарифмическая спираль 321
Двойное или ангармоническое отно-
шение четырех чисел или точек 67
Деление степенных рядов 184
Дифференцирование функций 29, 30
Дифференцируемость функции, усло-
вия, необходимые и достаточные 31
Единственность разложения в сте-
пенной ряд 129
Задача Дирихле 286
Изометрическая окружность дробно-
линеиного преобразования 40
Инвариантность двойного отноше-
ния 68
Инверсия 71
Интеграл Коши 163
— от функции комплексного пере-
менного 133
—	Пуассона 194
----, ядро 194
—	типа Коши 243
—	Христоффеля — Шварца 310
—	эллиптический первого рода в нор-
мальной форме Лежандра 301
Интегралы, свойства 135
—	Френеля 143
Источник 46
Комплексная интегральная сумма
132
—	плоскость 10
-----расширенная 17
Комплексное число 10
-----, аргумент 11
-----, —, главное значение 11
геометрическое представле-
ние 11
-----, модуль 11
----- несобственное 15
-----собственное 15
-----, степень 13
-----, тригонометрическая форма 11
Комплексные числа сопряженные 11
Комплексный потенциал 48
Константа Эйлера — Маскерони 226
Кривая, внешность 26
—	, внутренность 26
—	гладкая 136
—	замкнутая 24
—	непрерывная 24
-----обобщенная 27
—	простая (или жорданова) 25
—	, точка 24
—	, — кратная 25
—	, уравнение 24
Кривые равного потенциала 48
Критерий Коши 14
— сходимости рядов общий 123
Лемма Шварца 285
Линии тока 49
Логарифм 108
—, главное значение 109
— при произвольном основании 113
Логарифмическая спираль 87
-----, уравнение 86
Локальный критерий однолистно-
сти 287
Ломаная 25
334
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод неопределенных коэффициен-
тов 184
Многочлен 52
Множество, граница 19
—	замкнутое 18
—	, замыкание 19
—	ограниченное 18
—	открытое 19
Неравенства Коши 165
Нуль функции 177
Области однолистности функции 98
Область 20
—	выпуклая 258
—	многосаязная 26
—	обобщенная 261
—	односвязная 26
----(относительно расширенной
плоскости) 26
Отображение дробно-линейное 57
----, круговое свойство 60
----, свойство сохранения симмет-
рии 71
—	, конформное в точке 37
		второго'рода 37
		области 38
		первого рода 37
—	обратное 58
—	тождественное 58
Отражение зеркальное 71
Первообразная 153
Подстановка ряда в ряд 182
Подъемная сила крыла аэроплана 329
Полюс 206
—	кратный 206
—	простой 206
Порядок Л-точки 177
—	целой функции 227
Последовательность чисел сходя-
щаяся 14
----, — к оо 15
Потенциал скоростей 48
Поток жидкости через кривую 46
Предел функции в точке 23
Предельная точка множества 18
Преобразование симметрии 71
Признак равномерной сходимости
(признак Вейерштрасса) 130
Принцип аргумента 238
—	максимума модуля 284
—	симметрии Римана—Шварца 265
Произведение отображений 59
Производная 28
—	, геометрический смысл аргумен-
—	,---модуля 38
Производная логарифмическая 214
Профиль Жуковского—Чаплыгина 327
Процесс аналитического продолже-
ния 259
Разложение мероморфной функции
миттаг-леффлеровское 220
-------на простейшие дроби 220
—	рациональной функции на про-
стейшие дроби 219
—	функций в ряды 189, 192
Расстояние между множествами 19
—	точки до множества 19
Риманова поверхность аналитической
функции 263
р-окрестность точки 14
Ряд 123
—	абсолютно сходящийся 124
— Лорана 198
---1 главная часть 211
---, правильная часть 211
—	, равномерно сходящийся 130
—	,--внутри области 172
—	расходящийся 123
— степенной 126
---у круг сходимости 126
---t окружность сходимости 126
---t радиус сходимости 126
—, сумма 123
— Тейлора 129
Стереографическая проекция 16
Сток 46
Теорема Абеля первая 127
—	Больцано — Вейерштрасса 18
—	Вейерштрасса о равномерно схо-
дящихся рядах аналитических функ-
ций 171
—	высшей алгебры основная 166
—	Гейне — Бореля 18
—	Гурвица 239
—	единственности 174
---конформного отображения 294
—	Жордана 26
—	Н. Е. Жуковского 330
—	Коши интегральная 137
-------, обобщение 154
—	Коши — Адамара 125
—	Лиувилля 166, 309
—	Лорана 200
—	Морера 170
—	о взаимно однозначных и непре-
рывных отображениях 27
—	о вычетах 230
—	о разложении аналитической функ-
ции в ряд 164
—	о соответствии границ 295
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
335
Теорема о соответствии границ, обра-
щение 296
—	о составном контуре 158
—	Пикара большая 210	'	'
—	Прингсхейма 272
—	Римана 293
—	Руше 238
—	Ю. В. Сохоцкого 208
Тип целой функции 228
Точка вихревая 320
—	внешняя 19
—	граничная 19
—	множества внутренняя 19
—	особая 203
--- изолированная однозначного
характера 203
—	Правильная 203
—	разветвления 102
--- алгебраическая 102, 281
---бесконечного порядка 281
---логарифмическая 112, 281
--- трансцендентная конечного по-
рядка 281
—	существенно особая 206
—	элемента особая 268
--- правильная 268
Точки, симметричные относительно
окружности 70
Угол с вершиной в бесконечно уда-
ленной точке 40
Уравнение Лапласа 42
—	неразрывности для несжимаемой
жидкости 47
Условия Даламбера— Эйлера
(Коши — Римана) 31
Формула биномиальная 168
—	Вейерштрасса 222
—	Коши интегральная 163
—	С. А. Чаплыгина 329
—	Шварца 196
Формулы Эйлера 88
Функции гармонические сопряжен-
ные 43
---, характеристическое свойств^
196
—	гиперболические 90
— многозначные, однозначные ветви
97, 98
—	тригонометрические 88
---обратные 118
Функция аналитическая 8, 33
—	, — в бесконечно удаленной точке
198
Функция, аналитическое продолже-
ние 256, 264
—	бесконечного порядка 227
—	гармоническая 42
—	голоморфная 33
—	двоякопериодическая 309
—	» Дифференцируемая по множеству
в точке 28
—	дробно-линейная 38
—	Жуковского 76
— комплексного переменного 21
--------многозначная -21
-------- однозначная 21
—	конечного порядка 227
—	максимального типа 228
—	мероморфная 217, 227
—	минимального типа 228
—	многолистная в области 98
—	моногенная по множеству в точ-,
ке 28	.	'
—	, непрерывная в точке 23
—	, — на множестве 23
—	нормального типа 228
—	обобщенно-непрерывная 24
—	общая степенная 113
—	, однолистная в области 98
—	однопериодическая 309
—	, основной период 83
—	показательная 82
—	— общая 113
—	, равномерно непрерывная на мно-
жестве 24
—	регулярная 33
—	тока 48
— характеристическая течения 48
— целая 53, 216
--- линейная 39
--- трансцендентная 53, 217
— эллиптическая 309
---, основные периоды 309
---, параллелограмм периодов 309
--- Якоби 305
—	w = j/’г 99
—	w = z + In z 108
Цепь аналитических продолжений 259
Циркуляция скорости вдоль кривой 47
Числа Бернулли 187
—	Эйлера 191
Элемент аналитической функции 258,
263
—, аналитическое продолжение 258
Алексей Иванович Маркушевич
Краткий курс теории аналитических функций
Редакторы
Э. П. Тихонова и Г. Ц. Тумаркин
Техн, редактор Р. А. Негримовская.
Корректор Е. А. Белицкая.
Сдано в набор 5/Х1 1956 г. Подписано к пе-
чати 14/111957 г. Бумага 60х92/1в. Уч.-изд. л. 22,32.
Физ. печ,л. 21. Условн. печ. л. 21. Тираж 15 000 экз.
Т-01695. Цена книги 8 р. 20 к. Заказ № 1636.
Государственное издательство технико-
теоретической литературы
Москва, Б. Калужская, д. 15
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Ев?. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.