I Г. H. АГАЕВ
| Н. Я. ВИЛЕННИ!: ,
|Г. М. ДЖАФАРЛИ
А И. РУБИНШТЕЙН
I
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
И ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
НА НУЛЬ-МЕРНЫХ
ГРУППАХ
£ АКМ - | 2 <11
АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
Г. Н. АГАЕВ, Н. я. ВИЛЕНКИН,
|Г. М. ДЖАФАРЛИ|, А. И. РУБИНШТЕЙН
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ И
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НА НУЛЬ-МЕРНЫХ ГРУППАХ
Издательство „Элм“
Бак у—1981
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Академии наук Азербайджанской ССР
Редактор Ф. Г. МАКСУДОВ
AFAJEB ЬАШЫМ НИЗАМ оглу, ВИЛЕНКИН НАУМ ЛАКОВЛЕВИЧ,
|ЧЭФЭРЛИ ГЭЗЭНФЭР МУСА оглу|, РУБИНШТЕЛН АЛЕКСАНДР
ИОСИФОВИЧ
ФУНКСИЛАЛАРЫН МУЛТИПЛИКАТИВ
СИСТЕМЛЭРИ ВЭ СЫФЫР еЛЧУЛУ ГРУПЛАРДА
ЬАРМОНИК АНАЛИЗ
(Рус дилиндэ)
(g) Издательство «Элм», 1981 г.
А
20203—000
М—655—81
67—81
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена в основ-
ном теории рядов по мультипликативным системам функций—
системам, являющимся коммутативными группами относитель-
но операции поточечного умножения. Эти системы возникают
как группы характеров некоторых коммутативных групп. Так,
например, хорошо известная тригонометрическая система
является системой характеров группы Т комплекс-
I	)п==—ОО
ных чисел с единичным модулем.
В последнее время как в теоретическом, так и в приклад-
ном плане находит применение система Уолша—полная орто-
нормированная система функций, принимающих значения ±1.
И. М. Гельфанд заметил, что система Уолша является систе-
мой характеров счетной суммы циклических групп порядка 2,
и предложил Н. Я. Виленкину изучить ряды по характерам
произвольных нуль-мерных компактных коммутативных групп.
Это было выполнено в работе [28]. В силу общей теории ха-
рактеров, построенной Л. С. Понтрягиным (см., например,
[83]), такие ортонормированные системы оказываются мульти-
пликативными и периодическими—некоторая степень любой
функции тождественно равна единице. Оказывается, многие
<свойства тригонометрических рядов присущи и рядам по муль-
типликативным периодическим системам. Вместе с тем простое
„устройство" (конечное или счетное множество значений) под-
час упрощает доказательства.
Стремление не потерять аналогии с тригонометрической
системой, желание проследить, сколь далеко простираются
эти аналогии, заставляют ограничиться изучением характеров
только для нуль-мерных групп.
Все это отличает данную работу от известных монографий
У. Рудина [231] и Э. Хьюитта и К. Росса [185].
С другой стороны, авторы преследовали цель по мере воз-
можности следовать известной монографии Н. К. Бари „Три-
гонометрические ряды" и попытались изложить материал в
духе теории функций, а не теории групп. Вместе с тем необ-
ходимость использования теоретико-группового языка потре-
бовала изложения минимальных сведений по этой теории (гл. I).
Столь же традиционна по содержанию й изложению глава
II, посвященная изучению функций на нуль-мерных группах.
3
Если материал первых двух глав в значительной степени
„монографичен” и приведен для удобства чтения, то содержа-
ние двух последующих глав до сих пор излагалось лишь в
журнальных статьях.
Особое место занимает последняя глава—V. Это обзор ре-
зультатов, не вошедших в основной материал или установлен-
ных лишь в частных случаях (как правило, для системы Уол-
ша). Поэтому основные исторические ссылки помещены именно
в этой главе. (Необходимые минимальные сведения по исто-
рии содержатся в конце каждой главы). Глава V может рас-
сматриваться как продолжение обзора [11].
В монографии почти не обсуждаются приложения исследо-
ваний системы Уолша к численным методам, теории кодиро-
вания, разработке фильтров, модуляторов и т. д. Интересу-
ющихся можно адресовать к работам [4, 40, 69, 82, 98, 191,
193, 226-228, 267, 268].
Формулы внутри каждой главы нумеруются двойными но-
мерами—первый соответствует номеру параграфа, второй—
собственный номер формулы внутри параграфа. При ссылке
на формулу из другой главы применяется тройная нумерация-
номер главы, параграфа, формулы. Теоремы нумеруются внут-
ри главы—номер главы, номер теоремы.
глава I
КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Как уже отмечалось во введении, в теории мультипликатив-
ных систем естественно использование теоретико-группового
языка. Исходя из этого приведем основные понятия и пред-
ложения теории коммутативных групп.
§ 1.	КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ
1.	Группы. Множество G называется группой, если опре-
делена операция, ставящая в соответствии каждой упорядо-
ченной паре (а, Ь) элементов из G определенный элемент c^G
и удовлетворяющая нижеформулируемым аксиомам. Как пра-
вию, в работе рассматриваются коммутативные, или иначе —
абелевы группы, для которых парам (а, Ь) и (Ь, а) ставится
в соответствии один и тот же элемент с. В этом случае груп-
повая операция называется сложением и обозначается а + b
(точка позволяет отличать действие от обычного сложения
чисел).
Приведем аксиомы, которым должна удовлетворять опера»
ция сложения в коммутативной группе:
1)	ассоциативность-, для любых трех элементов а, Ь, с из
G выполнено соотношение
(а 4- b) + с = a -£*(& + с)-,
2)	коммутативность: для любых а и b из G выполнено
соотношение
а 4- b = b + а\
3)	в О имеется элемент 0, называемый нулем, такой, что
для любого a£G
а + 0 = а;
4)	для каждого элемента а из О существует противопо-
ложный элемент, обозначаемый —а и удовлетворяющий со-
отношению
а + (— а) = 0.
Элемент (— Z>) будем обозначать а—Ь.
5
Множество элементов группы может быть как конечным,
так и бесконечным. Соответственно группа называется конеч-
ной или бесконечной. Число элементов конечной группы на-
зывается ее порядком.
2.	Примеры групп. 1. Пусть Z—множество всех целых чи-
сел. Это множество образует коммутативную группу относи-
тельно операции обычного сложения, называемую бесконечной
циклической группой.
2.	Пусть Z (2)—множество, состоящее из двух элементов-
чисел 0 и 1. Определим групповую операцию формулами
04-0=1 + 1 = 0, 0 + 1 =1 + 0=1.
Легко проверить, что Z (2)—коммутативная группа. Эта груп-
па называется циклической группой второго порядка.
3.	Обобщением группы Z (2) является циклическая группа
Z(n) порядка п, состоящая из чисел 0, 1, . . ., п—1. Группо-
вая операция в Z(n) определяется как сложение по модулю
п, т. е.
•, t (а 4- д, если а + b < п,
а +6 = {
\а + b — п, если а + b п.
4.	Множество Q рациональных чисел образует группу (бес-
конечную коммутативную) относительно операции обычного
сложения.
5.	Множество Q(l) рациональных чисел х таких, что
0<х<1, образует коммутативную группу относительно опе-
рации сложения по модулю 1:
i Г* + У, еслих + у<1,
х + у = /	1 7
(х + у—1, если х + у>1.
6.	Множество Qp рациональных чисел, знаменателями ко-
торых являются степени простого числа р, является коммутатив-
ной группой относительно операции обычного сложения.
7.	Множество р™ рациональных чисел, представимых в ви-
а
де г =
рк
где р—простое число, 0<^а</?к, а и &6N, об-
разует коммутативную группу относительно операции сложе-
ния по модулю 1.
8.	Множество R всех действительных чисел образует ком-
мутативную группу относительно операции обычного сло-
жения.
9.	Множество R+ всех положительных чисел образует ком-
мутативную группу относительно операции обычного умноже-
ния. „Нулем" группы R+ является число 1, а „противополож-
ным,, а—число —.
6
10.	Пусть R(a)—множество действительных чисел х таких,
что 0^х<"а. Это множество образует коммутативную груп-
пу, в которой групповая операция определена как сложение
по модулю а:
,• ix + у, если х + у<а,
х 4-у =
1х + у —а, если х + у > а.
11.	Повороты плоскости вокруг начала координат образуют
коммутативную группу, если за групповую операцию принять
последовательное выполнение поворотов.
12.	Множество С всех комплексных чисел z = x-f- iy обра-
зует коммутативную группу относительно операции обычного
сложения комплексных чисел. Эту группу называют аддитив-
ной группой комплексных чисел. Нулем этой группы явля-
ется число 0, а противоположным элементом числа z-=x-\-iy—
it» число —z = — х — iy.
13.	Множество Со всех отличных от нуля комплексных чи-
сел z = x + iy образует коммутативную группу относительно
операции умножения. „Нулем* группы Со является число
1 = 1 4-/0, а „противоположным" z=x-\-iy—комплексное число
х + iy х2 + у2 х2 + у2
14.	Множество Т всех комплексных чисел, модуль которых
равен единице, образует коммутативную группу относительно
операции умножения. Элементы этой группы удобно обозна-
чать в виде
е", 0 < х < 2 к.
Легко видеть, что
(	е1х+е1у = е1х-е1у= е1(х+у>,
, где сложение выполняется по модулю 2 к.
3.	Изоморфизм групп. Гомоморфное отображение.
Отображение <? группы G на группу G' называется изо-
। морфным отображением, или изоморфизмом, если оно вза-
имно однозначно и сохраняет групповую операцию, т. е.1
v		/	• \
\а, b£G, <d (а 4- b) =» <р (а) ф (Ь).
I Легко видеть, что если <р—изоморфизм, то и обратное ему
отображение О’ на G тоже изоморфно1.
Если существует изоморфизм G на G', то эти группы назы-
ваются изоморфными.
i	1 Мы считаем, что в группе G операция сложения обозначена + > а в
группе G' — ф.
7
Разобьем множество всех групп на классы, отнеся к одно-
му классу все изоморфные между собой группы. Класс изо-
морфных групп называется абстрактной, группой. Каждый
элемент такого класса называется реализацией абстрактной
группы.
Группы R и R+, рассмотренные выше, изоморфны. Дей-
ствительно, изоморфизм устанавливается отображением х^е\
где x(jR. При этом отображении
х + у — х + у-+ <?х+у = е*-еу = ф еу,
т. е. групповая операция в R переходит в групповую опера-
цию R+.
Далее, группы R(2it), Т и группа поворотов плоскости изо-
морфны между собой: повороту на угол © ставятся в соот-
ветствие число <р из R(2it) и число £,<Р6Т.
Обобщением изоморфизма является гомоморфизм—сохра-
няющее групповую операцию, но необязательно взаимно-одно-
значное отображение группы G на О'. Например, если каждо-
му действительному числу х поставить в соответствие такое
число ? (х), что х = 2 т.п + ср (х), где n^Z и 0<<p(x)<2it,
то <р—гомоморфное отображение R на R (2 it). Точно так же,
ставя в соответствие каждому числу х из Q₽ его дробную
часть, получим гомоморфное отображение Qp на Группа
Z(n) —гомоморфный образ группы Z (каждому &(jZ сопостав-
ляется его остаток при делении на п).
4.	Подгруппы. Смежные классы. Фактор-группа. Мно-
жество Н элементов некоторой группы О называется подгруп-
пой в G, если групповая операция в G превращает Н в группу.
Например, группа Z целых чисел является подгруппой груп-
пы R действительных чисел, которая, в свою очередь, есть под-
группа группы С комплексных чисел (с операцией обычного
сложения). Группа R+ является подгруппой группы Со комп-
лексных чисел, отличных от нуля, с групповой операцией
умножения. Другой подгруппой Со является группа Т комп-
лексных чисел с единичным модулем.
Пусть А—некоторое подмножество группы G. Наименьшая
подруппа, содержащая А, называется подгруппой, порожден-
ной А. Например, аддитивная группа Z целых чисел порож-
дается одним элементом—1.
Рассмотрим некоторую подгруппу Н коммутативной группы
G. Назовем элемент gt € G эквивалентным элементу g2^G
относительно подгруппы Н , если gi—g26//, и запишем
(mod//).
Введенное отношение эквивалентности обладает свойствами
рефлексивности (g- = g (mod//) для любого О), симметрич-
8
ности (если	(mod//), то g2 == g, (mod//)) и транзитив-
ности (из =	(mod//) 'и g-i^gs (mod//) следует, что
gt^gs (mod//)). Действительно, так как Н—группа,
g — g = 0£H.
Из gx — g.^H следует, что g2 — g^H, а из —g2€//,
gi^-gi^H следует, что gi-^-g2eH.
Таким образом группа G распадается на попарно непере-
секающиеся подмножества, состоящие из взаимно эквивалент-
ных элементов. Эти подмножества называют смежными, клас-
сами группы О по подгруппе Н. Для задания смежного класса
достаточно указать один его элемент. g. Все остальные эле-
менты смежного класса имеют вид g + h, где h пробегает
подгруппу Н. Поэтому смежные классы обозначают g+/7.
Обозначим множество смежных классов коммутативной
группы G по подгруппе Н через G’H. Это множество можно
рассматривать как группу. Пусть + Н и gz+H~два смеж-
ных класса. Выберем из них элементы gt + hx и g2 + где
/гъ h2^H. Тогда сумма
(gl + Л1) + (g2 +	= (g, + g,) + (й; +Й2)	(1. 1)
принадлежит смежному классу (gt + g2) + Н. Этот класс не
зависит от выбора представителей gt, g2 из классов gt + Н и
g2+//. Назовем смежный класс gi + g2-f- Н суммой смеж-
ных классов gj-bZ/и g2 + //. Легко проверить, что гее груп-
повые аксиомы выполняются. Роль нулевого элемента играет
смежный класс 0 4- И = Н, а роль элемента, противоположно-
го g-i-H, —смежный класс —g+H.
Множество G//Z с определенной указанным образом суммой
смежных классов назыгается фактор-группой группы О по.
подгруппе Н. Равенство (1.1) показывает, что соответствие
g->g + Н является гомоморфизмом группы Q на фактор-труп-,
пу G///.
Например, циклическая группа Z(n) порядка п есть фактор-
группа группы Z целых чисел по подгруппе nZ, которая со-
стоит из целых чисел, делящихся на п. Группа R(a) является
фактор-группой группы R действительных чисел по изоморфной
группе Z подгруппе аТ чисел вида ka, где k£Z.
5.	Прямая сумма коммутативных групп. Пусть дано ко-
нечное множество G,, . . ., Gn коммутативных групп. Построим
новую группу G, называемую прямой суммой этих групп
G,, . . ., Qn и обозначаемую
п
o-vok.
k=l
9
Элементами группы G являются кортежи (конечные последо*
вательности) g = (gb . . gn), gk^Gk, A=l, . . n, элемен:
тов групп Gk. Групповая операция определяется покоординатно-
(gt, • • • , gn) + (At, . • , An) = (gt + At, . . gn + An).
Очевидно, что эта операция удо летворяет всем групповым
аксиомам и коммутативна. Нулевым элементом в G служит :
кортеж (0, . . ., 0) (одним и тем же символом 0 обозначены
нулевые элементы во всех группах G'k). Элементом, противо-
положным g = (gt, •  gn), является ^g = ( — gt. . . .,— gn)
Справедлива следующая
Теорема ([68] стр. 122). Любая конечная коммутативная
группа G изоморфна сумме циклических групп, порядки ко-
торых являются степенями простых чисел.	о
Из этой теоремы следует, что если простые числа рг, ...
. ., рк попарно различны, то циклическая группа Z(n), где
п = рх ... р^ является прямой суммой циклических групп
Z(Pt)....Z(pk):
k
Z(Pi, pk)~jrz(Pi).
i=i
Понятие прямой суммы обобщается и на случай бесконеч-
ного множества слагаемых. Ограничимся случаем, когда это
множество счетно. Элементами группы
к=1
являются финитные последовательности
g = (gi, . . ., gn, . . •),
состоящие из элементов gk групп Ок, т. е. такие, что все эле-
менты gk, за исключением конечного множества, рагны нулю.
Ясно, что сумма двух финитных последовательностей финитна,
а потому G—группа. Нулем этой группы является последова-
тельность (0, . . ., О, . . .).
Приведем примеры прямых сумм коммутативных групп.
- 1. Прямая сумма п экземпляров группы R состоит из сово
купностей п действительных чисел (xt, . . ., x„). Обозначим
эту группу через Rn. Групповая операция в Rn определяется
равенством
(хг, . .	х„) 4- (у(, . . ., уп) = (Xi + уь . . ., хп + уп).
Группа Rn называется п-мерным арифметическим простран-
ством (над полем действительных чисел).
Заметим, что группа R2 изоморфна группе С комплексных
чисел.
10
—
2. Рассмотрим прямую сумму п экземпляров группы Т
комплексных чисел, по модулю равных единице. Элементами
этой группы являются совокупности п комплексных чисел
(е‘Тх, . .	г”").
Групповая операция определяется формулой
+ (е1ф1, . .	е|ф") =
Группа называется п-мерным тором и обозначается Тп.
Наконец, возьмем счетное множество групп Z(n). Их пря-
мой суммой будет группа, состоящая из бесконечных после-
довательностей вида
(а0, . . ., лк, . . .),
> где Лк—числа 0, 1, . . п~ 1, причем все лк, за исключением
конечного числа, равны 0. Групповая операция определяется
формулой
(л0, . . ., Лк, . . .) + (Ьо, . . bk, ...)•=
= (л0 + Ьй, . . лк + Ьк, . . .) ,
где
лк + bk, если лк + Ьк < л,
лк + Ьк — п, если лк Ьк > п.
Аналогично определяется прямая сумма групп Z(nk), име-
ющих различные порядки:
G = £z(nk).
к=0
6.	Безгранично делимые группы. Коммутативная группа G
называется безгранично делимой (или полной), если для лю-
бого элемента g этой группы и любого натурального числа п
найдется такой элемент h из G, что nh — g, где nh. = fi + •••
• • • + h (п слагаемых).
Примерами безгранично делимых групп являются группа Q
рациональных чисел с обычным сложением и группы типа р°°.
Имеет место (см. [68], стр. 139)
Теорема. Любая счетная безгранично делимая группа G
является прямой суммой не более счетного множества
групп, каждая из которых изоморфна или группе Q рацио-
нальных чисел или одной из групп р™.
Таким образом,
s	QO sm
У ом,
k—1	m=ln —I
11
где Qk изоморфны Q, a G(pm)—группе pm  При этом s и sm
могут принимать как натуральные значения, так и значение со.
7.	Периодические коммутативные группы. Коммутативная
группа G называется периодической, если любой ее элемент
имеет конечный порядок, т. е. для любого g из G найдется
такое натуральное число п, что ng = 0. Отсюда следует, что
в периодической коммутативной группе любое конечное
множество элементов порождает конечную подгруппу.
Пусть периодическая коммутативная группа счетна. Тогда
ее элементы можно расположить в виде последовательности
Ui> ёъ • • gn. • • •)•	(1-2)
Обозначим через Но подгруппу, состоящую из элемента 0.
Пусть gnt—первый отличный от 0 элемент в последователь-
ности (1. 2). Элемент gn, порождает конечную подгруппу Нх.
Если gnt—первый элемент в (1.2), не содержащийся в Ht, то
{gn„ gn,} порождает конечную подгруппу	где вклю-
чение строгое. По индукции получаем строго возрастающую
цепочку подгрупп
0=М,сЯ1сЛ'2с •••	•••,	(1.3)
00
объединение Н Нк которых дает группу G. При этом фактор-
к—0
группы	являются циклическими группами конечного
порядка. В самом деле, для образования Нк надо присоеди-
нить gnk к и взять порожденную этими элементами груп-
пу. Поэтому 7fk//7k-i состоит из смежных классов вида
s-g^+/4-1, где s = 0, 1, . . .,	Л-1— наименьшее
натуральное число такое, что Л-igS €Лк_ь Порядок цикли-
ческой группы //k///k-i равен рк-ь
Выше сформулирована теорема, согласно которой любая
конечная циклическая группа распадается в прямую сумму
конечного числа циклических групп простого порядка. На
основании этого, не ограничивая общности, можно считать,
что для цепочки (1.3) все фактор-группы 7fk//7k-i являются
циклическими группами простого порядка pk-i. Такую цепоч-
ку будем называть основной цепочкой для G.
В дальнейшем будем упорядочивать элементы счетной пе-
риодической коммутативной группы G следующим образом:
пусть в группе G выбрана основная цепочка конечных под-
групп
О = /7оС//1С ••С/4С ••••
Выберем в Нк элемент Лк, не принадлежащий //k-i. Так как
/fk/T/k-i является циклической группой простого порядка pk-i,
Л-» €/Л-1; при 1<а<Л—1 имеем айк(£Лк-1. Поэтому лю-
12
бой элемент g^Hk единственным образом записывается в виде
g — ahk + h, где Аб^к-i и e = 0, 1, . .., Pk-i — 1.
Обозначим порядок подгруппы Нк через тк. Очевидно,
тк —Ро • • • Рк-ъ ш0=1. Каждое целое неотрицательное число
п единственным образом представляется в виде
n==2ak/zlk’	t1-4)
k=0
где Лк = 0, 1, . . рк— 1. Положим
£-п = 2акА*+ь	(к 5)
к-0
С помощью индукции по k получаем следующее утверж-
дение.
При описанной нумерации каждый элемент g группы G
получает определенный номер, причем различным элемен-
там соответствуют различные номера. Элементам под-
группы Нк соответствуют номера 0, 1, .. ть—1.
Из (1. 4), (1.5) следует, что если « = где г =
t	S
= 3 Лк wik и = 2 йк/Ик *то
к=-=0	k=t+l
gn = gr + akhk+i = gr + gg-	G-6>
k—t+1
Пусть g0, gt, .. ., ga, . . .—элементы счетной периодической
коммутативной группы О, занумерованные по формуле (1. 5),
и пусть
gt + gm = ga-
Запишем тогда п — 1 +/п и будем называть число п обобщен-
ной суммой чисел I и т. Число t такое, что gt + gt e g0 e О,
обозначим — I. Тогда
g\t +gl = go = O-
Легко проверить, что множество чисел {0, 1, . . ., п, . . .)
с введенной таким образом операцией „сложения" является
коммутативной группой.
В самом деле, так как gi + (gm 4- £n) = (gi 4- £m) 4- gn*
I 4- (m 4- n) = (l + m} + n.
Так как gt 4- gm = gm + gt, l + m = m + l. „Нулем" группы
является число 0, а обратным числу /—число —Z.
Если 0 Z < тк, О т < Шк, то 0 I -4 т < /Ик- Это сле-
дует из того, что элементы g0, ..gmk-i образуют подгруп-
пу /7кСб.
13
8.	Примеры нумерации счетных периодических коммута-
тивных групп. Приведем примеры нумерации групп по опи-
санной выше схеме.
1.	Пусть Q—группа типа р°° (см. пример 7 п. 2). Подгруп-
пы 77k состоят из чисел вида где а=,0, 1, ...» рк—1, а
потому изоморфны группам Z(pk). В качестве элементов
Лк€ Нк/Нк-\ выберем числа -4-. Тогда описанная в п 7 ну-
Р
м рация сводится к следующему: запишем число г= в
Р
Лф	Аь_1
®-ной системе счисления: г  -----I- • • • 4-г—, а\ =0, 1, ....
р	РК
р—1, У = 0, 1, . . ., k— 1, и сопоставим ему номер
п — а0 + а^р 4- • • • + ак-1рк~'.
2.	Аналогично нумеруется прямая сумма счетного множест-
ва циклических групп Z(p) простого порядка р (см. пример 3
п. 5). В этом случае через Нк обозначим подгруппу, состоя-
щую из элементов вида (ао...ак_1,О,...). В качестве Лк выбе-
рем элемент
йк = (0, 0, . . ., 0, 1, 0, . . .)
(Лк—i=L все остальные <Zj=O). Тогда элемент (а0, ...
ак-1, . . .) получает номер
п = а0 + (bp 4- • • • 4- «к-i рк~' + • • • .
(Эта сумма фактически конечна, так как последовательность
(а0, . . ., ak-i, . ..) финитна).
3.	Прямая сумма циклических групп различных простых
порядков рй, ри . . ., рк-ь    нумеруется так же, как и в
случае, когда все р, равны. Элемент
g = (a0, . . ., «к, • • ),
где а, — 0, 1, . .., pj — 1, получает номер
п = а0 4-	+ • • • 4- актк 4- • • •,
причем
mk^PoPi-  -Pk-i-
4.	Несколько сложнее нумерация элементов группы Q(l)
(см. пример 5 п. 2). Чтобы занумеровать Q (1), возьмем по-
следовательность р0, . . Рк, • •  всех простых чисел и соста-
вим таблицу:
р0, рй, . . ., /?0, . . .
Pi, pi, Pi, ...
рк, Рк, . . Рк, • • •
14
Эту таблицу можно переписать в виде последовательности
tfo, 01* • • •» А'к» • • м
в которую каждое простое число входит бесконечное число
раз. Положим тк = qQqx ... ^k_i, &6N. Легко видеть, что каж-
дое x£Q(l) единственным образом записывается в виде ко-
нечной суммы
х^-^-+ ••• 4--^,
тх	mj
где а, = 0, 1, . .q} — 1. Сопоставим этому числу номер
п = а0 + ахтх + - • • + ахтх.
Заметим-, что во всех описанных случаях нумерация не
является однозначно определенной. Она зависит от выбора
основной цепочки подгрупп 0 = H0CZ • • -CZ Нк-\ CZ . . . и эле-
ментов Ztj, . . hk, • . . .
§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1.	Топологические пространства. Множество М называет-
ся (хаусдорфовым) топологическим пространством, если
каждому элементу (точке) х из М сопоставлена система под-
множеств {t/a(x)}, называемых окрестностями элемента х,
удовлетворяющая следующим требованиям:
1)	элемент х принадлежит всем своим окрестностям 1/Л(х) и
совпадает с их пересечением:
х= ПЩх);
а
2)	если yfUa(x), то найдется окрестность Ур(у) элемента У
такая, что
V₽(y) С Щх);
3)	в пересечении Ua(x) C]U^(x) двух окрестностей элемента
х содержится хотя бы одна окрестность и7(х) этого элемента;
4)	для любых двух различных элементов х и у из М най-
дутся такие непересекающиеся окрестности ил(х) и U$(y), что
Ua(x) П 0Ху) == 0 (пустое множество).
Примером топологического пространства может служить
числовая ось. Окрестностями точки х являются открытые ин-
тервалы
Щх) = ]х-5, х + Ц, 8>0.
Как И’на прямой, в топологическом пространстве с помощью
окрестностей определяются понятия предельной точки, от-
крытого и замкнутого множеств.
Точка х^М называется предельной для множества ЛсзТИ,
если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну
15
точку а£А, отличную от х. Если отказаться от условия а=£х,
то получим определение точки прикосновения. Множество А
называется замкнутым, если оно содержит все свои точки
прикосновения. Множество, получающееся присоединением к
А всех его точек прикосновения, называется замыканием А.
Множество А называется открытым, если для любой точки
а^ А найдется такая окрестность U(a), что f/(a)CZA
Может случиться, что в одном и том же множестве М за-
даны две системы окрестностей—{t/a(x)} и {^(х)}, определя-
ющие для любого множества А одно и то же замыкание.
В этом случае системы окрестностей называются эквивалент-
ными.
Можно доказать следующее утверждение.
Для того чтобы системы окрестностей. {£7а(х)} и {Vp(x)}
были эквивалентными, необходимо и достаточно выполне-
ние условий-.
1) для всякой окрестности и«(х) любого элемента х&М
найдется окрестность Vp(x) такая, что
^(х)сЩх);
2) для всякой окрестности U^(x) любого элемента х^М
найдется окрестность* U^x) такая, что
Ц(х)с V?(x).
Если в топологическом пространстве М можно найти счет-
ную систему окрестностей, эквивалентную исходной, то М
является топологическим пространством со второй аксио-
мой счетности. Так, например, числовая прямая будет топо-
логическим пространством со второй аксиомой счетности—до-
статочно взять в качестве системы окрестностей все интерва-
лы ]х— 8, x-f-8[ с рациональными концами.
Введем понятие компактного подмножества топологического
пространства. Назовем покрытием подмножества А из М
такую систему множеств {Да}, что Де (J Покрытие {Да}
называется открытым, если все Аа открыты в Л1. Подмножест-
во А называется компактным, если из любого его открытого
покрытия {Да} можно выбрать конечное число Ааг, . . ., АЛа
множеств, покрывающее Д.
Если в топологическом пространстве М само множество М
компактно, то М называется компактным топологическим
пространством.
Назовем пространство М локально-компактным, если лю-
бая его точка х имеет окрестность £Л(х) с компактным замы-
канием. Примерами компактны^ пространств могут служить
замкнутый /1-мерный шар, /г-мерйая сфера, n-мерный тор.
Вообще, для компактности подмножества А, лежащего
в Rn, необходимо и достаточно, чтобы это подмножество
16
было замкнуто и ограничено. Отсюда вытекает, в частности,
что Rn локально компактно.
Отображение f-.X-^У топологического пространства Хв
топологическое пространство У называется непрерывным, если
для любого х^Х и любой окрестности V(y) элемента y=f(x)
существует такая окрестность U(x) элемента х, что /(t/(x))cz
CZ V(y). Взаимно однозначное и взаимно непрерывное С/тобра-
жение f: Х-* У называется гомеоморфизмом, или гомеоморф-
ным отображением X на У.
2. Топологические группы. Множество G называется mo-
no логической группой', если:
1)G является коммутативной группой (см^ § 1);
2) G является (хаусдорфовым) топологическим простран-
ством;
3) операции группового сложения и перехода к противо-
положному элементу непрерывны в топологии множества О.
Последнее означает следующее:
а)	если с = а 4- Ь, то для любой окрестности U(c) элемен-
та с найдутся окрестности У(а) и U7(Z>) элементов ан b такие,
что1 2
V(a)+W(b)<zU(c)-,
б)	для любой окрестности £/(—«) элемента —а найдется
дакая окрестность U(a) элемента а, что— V(a) Q а}.
Для задания топологии в топологической коммутативной
группе G достаточно указать систему окрестностей U{a} нуле-
вого элемента. При этом окрестностями любого элемента а 6 G
будут множества вида a + Ua.
Система Е* окрестностей нуля топологической коммутатив-
ной группы G удовлетворяет следующим требованиям, выте-
кающим из определения топологической группы:
а)	пересечение всех множеств системы Е* содержит лишь 0;
б)	пересечение любых двух множеств системы S* содер-
жит некоторое третье множество этой системы;
в)	для всякого множества U из Е* найдется такое V из Е*,
что V + VCZG;
г)	для всякого U из Е* и любого afiU найдется такое
V€ E*, что а + VCZ U.
Справедливо обратное утверждение.
Если G—коммутативная группа и Е*—система мно-
жеств, удовлетворяющая условиям а)—г), то в группе G
можно ввести топологию (систему окрестностей), и при-
том единственным образом, так, что групповые операции
1 Как и ранее, рассматривается лишь случай коммутативных групп.
2 Через А 4- В обозначается совокупность сумм х + у, где х Q А,
* через —А—совокупность элементов вида —х, где х £ А.
4-2	17
будут непрерывными в этой, топологии и система Е* будет
системой окрестностей нуля. Именно за окрестности эле-
мента a^G надо принять множества a-\-U, где U пробегает
2*. (Подробно см. [83], стр. 107).
Всякая группа может рассматриваться как топологическая,
если каждому элементу сопоставить единственную окрестность,
состоящую только из этого элемента: U(g) = g. Подобная то-
пологизация называется дискретной.
Наиболее известным примером недискретной топологиче-
ской коммутативной группы является группа R действитель-
ных чисел (см. пример 8 п. 2 § 1). Окрестностями нуля в R
являются интервалы ] — 8, 8 [ при 8 > 0. Ясно, что условия
а)—г) выполняются. Окрестностями элемента a^R являются
интервалы ]а — 8, а + 8[.
Группа Т комплексных чисел, равных по модулю единице
(см. пример 14 п. 2 § 1), также является топологической. Ок-
рестности нуля в этой группе задаются неравенствами | е'х— 11 <
<8, 8>0.
3.	Задание топологии в группе системой подгрупп. Пусть
в коммутативной группе Q задана система подгрупп {иа} такая,
что пересечение Ua П любых двух подгрупп этой системы
содержит подгруппу той же системы, а пересечение всех
подгрупп состоит лишь из нулевого элемента. Покажем,
что эта система удовлетворяет условиям а)—г).
Условия а) и б) выполнены по предположению, а в) и г)
следуют непосредственно из того, что Ua—подгруппа G (доста-
точно положить 14 =£/«).
Мы можем, таким образом, принять систему подгрупп {Ua}
за систему окрестностей нуля группы G. Будем говорить в этом
случае, что топология в группе G задана системой подгрупп
{Ua}. Пусть подгруппы {£4} образуют счетную убывающую це-
почку. Для того чтобы эти подгруппы задавали топологию в
группе G, достаточно, чтобы их пересечение состояло лишь
из нулевого элемента.
4.	Подгруппы и фактор-группы топологических групп.
На топологические группы переносятся введенные в § 1
для дискретных групп понятия подгруппы, гомоморфизма,
смежного класса, фактор-группы и т. д. При этом возникает
некоторое своеобразие, связанное с наличием топологии в
группе.
Например, подгруппой топологической группы Q называ-
ется подмножество Н такое, что
1) Н является подгруппой G в алгебраическом смысле;
2) Н является замкнутым подмножеством в топологии G.
Точно так же рассматриваются не все гомоморфные отобра-
жения группы G на группу G', а лишь гомоморфные непре-
рывные отображения. В частности, топологические коммутатив-
18
ные группы G и G' называются изоморфными, если существу-
ет гомеоморфное отображение ? группы G на G' такое, что
? (£1 + g2) = ?Ui) Ф ?(£»)•
Если Н—подгруппа коммутативной топологической группы
G, то G распадается на непересекающиеся смежные классы
по этой подгруппе. Введем топологию в множестве смежных
классов, т. е. в фактор-группе G/Н. Пусть {Z7a}—полная систе-
ма окрестностей нуля в группе G. Можно показать, что сис-
тема множеств Ua -j- Н удовлетворяет всем условиям а)—г)
п. 2 § 2. Принимая эту систему за систему окрестностей нуля
в G/Н, получим топологическую фактор-группу.
Отметим еще следующее утверждение: всякая открытая
подгруппа Н топологической группы G замкнута.
В самом деле, если подгруппа Н открыта, то и любой смеж-
ный класс g + И по этой подгруппе также открыт. Образуем
объединение 2 всех смежных классов, не пересекающихся с
И. Оно открыто как сумма открытых множеств. Так как Н—
дополнение к 2 в G, Н замкнуто.
Назовем множество А топологического пространства М
связным, если его нельзя непрерывно отобразить на дискретное
множество {а, Ь}. Для каждого элемента g топологической
группы G есть наибольшее связное множество A(g), содержа-
щее этот элемент. Его называют связной компонентной эле-
мента g.
Если в любой окрестности нуля топологической коммута-
тивной группы G содержится открытая подгруппа, то связная
компонента нуля группы G есть нуль. В самом деле, пусть А—
компонента нуля группы G. Если А =£ {0}, то найдется такая
окрестность нуля G, что иПА=£А (см. а) п. 2 § 2). В U со-
держится открытая подгруппа V. Как показано выше, V од-
новременно и замкнуто в О, поэтому подмножество V (~| А
за мкнуто и открыто в А. Но тогда и дополнение 5 множества
V П А в А замкнуто и открыто. Вследствие этого отображе-
ние /: V П А-+а, S-+b непрерывно, что противоречит связности
А. Наше утверждение доказано.
Группы, у которых связная компонента нуля есть нуль, на-
зывают нуль-мерными группами. Мы доказали, таким образом,
что если топология в группе G задается при помощи
системы подгрупп, то группа G нуль-мерна. Обратное ут-
верждение, вообще говоря, неверно. Примером может служить
группа Q рациональных чисел (см. пример 4 п. 2 § 1) с ес-
тественной топологией.
5. Прямые суммы коммутативных топологических групп.
Пусть Gj, . . ., Gn—коммутативные топологические группы.
Построим группу G, являющуюся их алгебраической прямой
суммой (см. п. 5 § 1). Определим систему окрестностей нуля
2*	19
группы. О следующим образом: выберем в каждой уз групп
Gk окрестность нуля G<k) и рассмотрим множество G=£7(£/(1),
. . Uw) элементов g » (uH . .uD), где U^^uw. Система
всевозможных множеств U, когда £7(|), . . £7(п) независимо
пробегают системы окрестностей нуля в группах G,, . . ., Gn,
очевидно, удовлетворяет условиям а)—г) п. 2 § 2 и потому
может быть принята за систему окрестностей нуля G. Опре-
деляемая этой системой окрестностей топология в G превра-
щает ее в коммутативную топологическую группу, которая
называется прямой, суммой топологических коммутативных
групп Gi, . . ., Gn и обозначается
G = 2
к=1
Пусть множество топологических групп Gn . .., Gk, ...
счетно. Определение прямой суммы в этом случае отличается
от изложенного в п. 5 § 1 для дискретных (алгебраических)
групп. Рассмотрим группу G, элементами которой являются
всевозможные (а не только финитные) последовательности
(glt . . gk, • • •), где gk€Gk. Групповую операцию введем в
G покоординатно:
(^, ..., gk, . . .) +(Jii..A-t, . . .)«=	:
+	..., gk +Ak, . ..).
Нулем в группе G является последовательность (0, .. ., О, . . .),
а противоположным к g — (gt, . ..,	...)—элемент — g =
e (— gi, . . ., — gk, . • .,).
Чтобы превратить G в топологическую группу, надо задать
систему окрестностей нуля в ней. Для этого зададим число п
и возьмем некоторые окрестности нуля Uw, . .	47<п) в груп-
пах Gt,.. ., Gn. Рассмотрим множество . . ., £7(п)) в G,
состоящее из элементов (gb . . ., gk, • •.) таких, что при
имеем gk6t/k). Полная система окрестностностей
нуля в G состоит из всевозможных множеств вида U{UW, . . .,
i7(n)), где n(±N, a Uw, . . ., £7(п) независимо пробегают полные
системы окрестностей нуля в группах G,, . . ., Gn. Чтобы от-
личить полученную группу от введенной выше прямой суммы
алгебраических групп, будем называть ее топологической
прямой суммой топологических групп G,, . . ., Gk, ... и обо-
значать
G = S Gk.
k=l
Понятие прямой суммы топологических групп тесно связано
с общим понятием топологического произведения топологиче-
20
ских пространств. Пусть {Ха, а€ А)—совокупность топологи-
ческих пространств. Их топологическим произведением назы-
вают топологическое пространство всевозможных множеств
х = {ха, а(?Л), где ха^ХЛ.
Окрестность элемента х определяется заданием любого
конечного числа окрестностей . ., Un элементов х ац • • •»
и состоит из всех элементов у = {у«} таких, что уЛк^Пак при
Таким образом, пространство топологической, прямой
суммы топологических групп Gt, . . ., Gn, ... является то-
пологическим произведением пространств слагаемых.
Основным результатом теории прямых произведений топо-
логических пространств является следующая
Теорема (А. Н. Тихонова). Прямое произведение компакт-
ных топологических пространств компактно.
6. Примеры топологических прямых сумм. 1. Пусть Gk.
циклические группы 2-го порядка. Группа
G = SOk	(2.1)
k=l
состоит из последовательностей
g = (й„ .. ., йк, • . •),
где йк принимает значения 0 или 1. Сложение в группе опре-
деляется покоординатно по модулю 2. Иными словами,
(а....... ак, .. .) + (Z»i, .. ., bk, . . .) ==
=	+ bt, . . ., йк + bk, . .,.);
здесь
’ 1, если йк 4- bk = 1,
йк + bk = А	. , (О
О, если йк + bk
(2’
Так как группы G* дискретны, окрестностями нуля в них являют-
ся сами нулевые элементы. Поэтому А-й окрестностью нуля Uk
в группе Gk является совокупность элементов вида (б, . . ., О,
йк+1, . ..). Очевидно, что сумма двух элементов а и b из Uk
принадлежит Uk и из x^Uk вытекает —x^Uk. Поэтому Gk-
подгруппа в G. Итак, в группе G существует полная систе-
ма окрестностей нуля, состоящая из подгрупп Uk. Значит,
она нуль-мерна.
2.	Обобщением группы (2. 1) является топологическая пря-
мая сумма счетного множества экземпляров циклических групп
Z(n) порядка п. Элементами этой группы являются последо-
вательности
g- (й(, . . ., йк, . . .),
где йк принимает значения О, 1, . . ., п—\. Сложение в груп-
пе G определено покоординатно по модулю п. Система ок-
21
рестностей нуля строится, как и в примере 1),~такая окрест-
ность нуля состоит из всех элементов g таких, что «j=0
при 1^/0. Эта группа также нуль-мерна.
3.	Рассмотрим любую последовательность натуральных чисел
л=®	. . ., «к, • . .), «к>2 и пусть Z(/ik)—циклическая груп-
па порядка Пк. Обозначим
О(п) = 5 Z(/zk).
к==1
Примеры 1) и 2) получаются при п = (2, . .	2, . . .) и п =
«= (п, . . ., п, . . .) соответственно. Группа G(n) нуль-мерна.
4.	Бесконечномерный тор Т00—прямая топологическая сум-
ма счетного множества экземпляров группы Т (см. 14 п. 2 § 1).
Элементы группы Т°° — последовательности вида
(«Ч......еЧ . . .),	(2. 2)
тде 0<®к<2ки
еЧ ...,) + (е,ф*. . . е'Ч . . .) =
в ^ifa+w......^(п+'М . . .)
(сложение в показателях по модулю 2 тс).
Полная система окрестностей нуля строится так: задается чис-
ло k и через Uk обозначается множество элементов из Т00 та-
ких, что
|е’^ —1|< —, 1 </<£.
1	k
Система всех множеств {£/4 образует полную систему окрест-
ностей нуля в Т00.
Заметим, что хотя, как и раньше, £7k+iCZ£7k, окрестности
£7к уже не являются подгруппами. Группа Т00 бесконечномерна.
7. р-адические числа. Построим нуль-мерную компактную
топологическую коммутативную группу, отличную от рассмот-
ренных выше прямых сумм циклических групп,—группу Zp
целых /?-адических чисел. Элементами этой группы являются
(как и в случае прямой суммы групп Z(p)) последовательности
а = (а0.....ап, • • •),
где ап может принимать значения 0, 1, . . ., р — 1. Топология
в множестве таких последовательностей определяется следу-
ющим образом: k-я окрестность элемента а — ((а0, . . ., ап, • . •)
состоит из всех элементов х = (х0, . . ., хп, . . .), для которых
Xj =aj при	Ясно, что a = lima(k), где а=(а0,
к-* оо
. . ., ап, . . .) и а(к) = (а0. • • •»	0, . . .). Следовательно, фи-
нитные последовательности образуют в Zp всюду плотное мно-
жество.
22
Определим теперь в Zp операцию сложения, в первую оче-
редь, для финитных последовательностей. Пусть
а — (а0, ..., ак, 0, ...),
b = (&о, • • -.......bi,
Сопоставим этим элементам целые числа
а = ап + dip + • • • +«кРк,
Ъ = Ьй + Ьгр Н-----h bip1.
Пусть
a-J-^=c0 + Ci/?H------1- c3ps,
где
с-, = 0, 1, ..., р — 1, 0
Положим по определению
а 4- b » с — (с0, . . ., cs, 0 . . .).
Если
а = («о.....«п, • • •),
Ь — (Ь0, ..., Ьп, ...),
то будем считать
а + b = lim (а(к) + &(к)),
к-*оо
где а(к), bw—последовательности финитных элементов, сходя-
щиеся соответственно к а и Ь. Мы опускаем доказательство
того, что этот предел существует и множество Zp с введенной
указанным выше образом топологией и операцией сложения
является компактной коммутативной топологической груп-
пой. Обозначим через U„ подмножество в Zp, состоящее из
последовательностей вида
а — (0, ..., О, ап, .. .).
Легко видеть, что все £7П—открытые подгруппы в Zp, причем
00
П = {0}. Поэтому цепочка подгрупп
п=0
••• •
задает топологию в Zp, и, следовательно, группа Zp нуль-
мерна.
Элементы группы Zp целых р-адических чисел часто запи-
сывают в виде формальных степенных рядов по степеням р:
а = а0 + а{р +-----1- акр* + • • •,
где коэффициенты принимают значения О, 1, . . р— 1.
Группу Zp можно также описать следующим образом. Обо-
23
оо
значим через О группу 5 Gk, где Gk—циклическая группа по-
k—1
рядка р\ Тогда любой элемент из G имеет вид |—, . . .,
\ Р
_।	\	.
-—, . . . , где ак = 0, 1,	1 и сложение произго-
Рк	/
дится	по модулю	1.	Множество	Н	элементов	из	G	таких,	что
---= (mod	1),	образует	замкнутую	подгруппу	в G.	Легко
Рк Р
проверить, что эта подгруппа изоморфна группе Zp.
Аналогично строится более общая группа Zp, где Р—после-
довательность (рх, . . ., рк, . . .) некоторых простых чисел, не-
обязательно различных. Положим
^k = Pi, . . . Рк
и рассмотрим множество формальных рядов
4- ахтх-\---------------------ь- актк 4--,
где
ак = 0, 1, . . ., рк+1-1, A6NLj{0}.
Топология и сложение в группе Zp определяются, как и в
группе Zp. Предоставляем читателям право самим дать эти
определения. Группу Zp будем называть группой целых Р-
адических чисел.
В частности, если в последовательность Р каждое простое
число входит бесконечно много раз, будем называть соответ-
ствующую группу группой целых Q-адическпх чисел и обо-
значать Zq.
Рассмотрим случай, когда каждое простое-число рк входит
в последовательность Р лишь конечное число пк-раз:
(ni-раз	лк-раз	\
аГ. . 77i,..Рк, _ •,
Тогда Zp состоит из формальных степенных рядов вида
^0 “Ь ‘Pl1 4“ • • • + ^к -р? • • • рПк + • • •»
где
г>к = о, 1..Pk+t’-i, £€Nи{0}.
Можно показать, что в этом случае группа Zp изоморфна
группе
Szw*).
к—1
Построим группы дробных р- и Р-адических чисел. Группа
Qp дробных р-адических чисел состоит из формальных рядоз
„лорановского* вида
24
—Г---F • • • + d0 + dip + • • • + drffi + •  •,
/>
aj-O, 1, . . ., p -1, ££N U {0}.
Каждый элемент из Qp можно представить в виде г + а, где
Если g = a + r, h=b+s, причем r-Ys = c-\-q, где c — Q
или 1, то положим
g + h = q + (a + b + c).
Легко проверить, что Qp является коммутативной группой от-
носительно этой операции сложения.
Группа Zp является подгруппой Qp, и топология Qp одно-
значно определяется условием, по которому Zp открыта в Qp.
Группа Qp дробных Р-адических чисел определяется бес-
конечной в обе стороны последовательностью простых чисел
Р=(. . р_к . . ., р0, . . ., pj, . . .).
Элементами Q₽ являются формальные ряды вида
—- -F • • • + z~~ + do + dptii +••’-+- актк -F • • •,
m-k	т—i
где т_к = p_k+1 • • • р0; wk = А * • • Рк,
d_k = 0, 1, . . ., p_k+i 1. dk — 0, 1, ..., pk+1 1.
Сложение и топология в Qp определяются аналогично то-
му, как это делается в Qp.
Пусть группы Gk, AEN, изоморфны группе Zp. Тогда труп-
00
па G = SGk состоит из бесконечных последовательностей g =
k=l
(й'ъ , gt,   •) целых р-адических чисел. Окрестности нуля
в G задаются конечными наборами (лъ . . ., пк) натуральных
чисел. Именно окрестность нуля U(n.x, . . ., пк) состоит из по-
следовательностей вида
(pntgx, . . ., pnkgk, gk+i . . .),
где g^ jf?N, независимо друг от друга пробегают группу Zp.
8. Соленоиды. Назовем р-соленоидом топологическую груп-
пу Sp следующего вида. Элементами Sp являются пары (х, а),
где л—действительное число, a€Zp, причем пары (х + 1, а)
и (х, а-р 1) отождествляются для всех a:€R, a€Zp. Сложе-
ние в множестве Sp определяется формулой
(х, d) + (y, Ь)^(х+у, a-i-b).
Нулем является пара (0, 0).
25
Окрестность нуля Un состоит из элементов вида (х, рпа), где*
ай Zp, |х|< -Д
Легко проверить, что система окрестностей f7n удовлетво-
ряет условиям а)—г) п. 2 § 2 настоящей главы, а потому Sp
является коммутативной топологической группой.
Аналогично строятся Р-соленоиды Sp—исходя из последо-
вательности Р = (р}, . . рп, . . .) произвольных простых чи-
сел. Если в Р бесконечно много раз входит простое число,
то соответствующий соленоид называют Q-соленоидом.
Соленоид можно определить также следующим образом.
Обозначим через <р естественное вложение группы Z в R, а
через ф—вложение той же группы в Zp. Через Н обозначим
подгруппу в R + Zp, состоящую из элементов вида (<?(«),
ф(п)), «6Z. Тогда Р-соленоид Sp изоморфен фактор-группе
(R + Zp)///.
§ 3. КОМПАКТНЫЕ И ЛОКАЛЬНО-КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ.
МЕРА ХААРА
1.	Компактные группы. Топологическая группа G называ
ется компактной, если компактно топологическое простран
ство этой группы. Многие из рассмотренных выше групп ком-
пактны. Для некоторых из них компактность вытекает из
возможности реализации в виде замкнутых ограниченных подх
множеств в Rn. Например, элементы группы Т комплексны--
чисел, равных по модулю единице, геометрически изобража*.
ются точками единичной окружности, а топология задается
топологией в R2 (см. п. 2 § 2). Так как окружность—замкну-
тое ограниченное множество в R2, то группа Т компактна-
Так же доказывается компактность группы Тп «-мерного тора-
Компактность бесконечномерного тора Т00 вытекает из упо-
минавшейся в п. § 2 теоремы А. Н. Тихонова. Простым след-
ствием этой теоремы является общее утверждение.
Топологическая прямая сумма компактных групп явля-
ется компактной группой.
Из этого факта вытекает компактность группы G (р) и,
вообще, любой группы G(P) (см. примеры 2,3 п. 6 §2).* Каж-
дый элемент g группы О(р) задается последовательностью
(«о»	• • •»	• • •)
целых чисел, принимающих значения 0, 1, . . ., р~ 1. Такой
же последовательностью задаются элементы группы Zp целых
р-адических чисел. Этим устанавливается взаимно-однознач-
ное соответствие между множествами О(р) и Z(p). Нетрудно
показать, что это соответствие гомеоморфно. Поэтому из ком
пактности группы Gp вытекает компактность группы Zp. Ком'
пактна и группа Zp целых Р-адических чисел.
26
Докажем компактность соленоидов. Нетрудно показать,,
что соленоид Sp можно определить как множество пар (х, а).
где 0<х<Л, а—целое Р-адическое число, причем пары (1, а)
и (0, а+0 отождествляются. При таком определении сло-
жение задается формулой
(х, а) + (у, (,) = ((*+>’•	кл" •'+У <’•
Цх + у — 1, а + b + 1), если х + у> 1,
0<х< 1, 0<^у < 1.
Окрестности нуля состоят из элементов (х, а) таких, что
О 'С х < — или 1-----— < х < 1 и а имеет вид (0, 0, . . .,0.
п	п
ап, . . .). Отрезок [0, 1] и множество целых Р-адических чи-
сел компактны. Поэтому компактно и множество пар (х, а).
При отождествлении пар (1, а) -и (0, а + 1) это множества
непрерывно отображается на соленоид. Так как непрерывный
образ компактного множества компактен, то соленоид—ком-
пактная группа.
Для некоторых коммутативных групп выполняется более
слабое, чем компактность, условие локальной компактности,'.
в группе О существует такая окрестность нуля U, что ее за-
мыкание является компактным множеством.
Простейшим примером локально-компактной коммутативной
группы является группа R действительных чисел. Окрестностью
нуля в R с компактным замыканием является любая окрест-
ность вида ] — 8, 8[. Локально-компактной группой является
и R“. Далее, локально-компактна группа Qp дробных Р-адиче-
ских чисел. Одной из компактных окрестностей нуля в этой
группе является подгруппа Zp целых Р-адических чисел. При
этом в каждом из вышеприведенных примеров нет свойства
компактности.
Локально-компактна и прямая сумма компактной и беско-
нечной дискретной групп.
Отметим следующее свойство локально-компактных групп.
Если локально-компактная группа G со второй аксио-
мой счетности нуль-мерна (§ 2, п. 4), то топология в ней
задается с помощью убывающей цепочки подгрупп.
(Относительно доказательства этого утверждения см. [83],
стр. 139).
Как было показано выше, обратное утверждение справед-
ливо для всех топологических групп. Поэтому для локально-
компактных групп вместо „группа, в которой топология зада-
на с помощью цепочки подгрупп11, будем говорить „нуль-мер-
ная группа".
Напомним, что дискретная группа называется периодичес-
кой, если любой ее элемент порождает конечную циклическую
27
подгруппу. Поскольку для дискретных пространств понятия
компактности и конечности подмножеств эквивалентны, естест-
венным обобщением понятия периодичности на топологические
группы является следующее. Топологическая группа О назы-
вается периодической, если для любого g^G наименьшая замк-
нутая подгруппа, содержащая g, компактна.
Из этого определения вытекает, в частности, что все ком-
пактные группы периодичны. Нетрудно доказать следующее
утверждение. Если группа О содержит открытую и компакт-
ную подгруппу Н такую, что фактор-группа G\H периодична
(эта фактор-группа дискретна), то группа G периодична.
Из этого утверждения сразу вытекает, что группа Qp дроб-
ных р-адических чисел периодична. Примером непериодичес-
кой топологической группы может служить группа R.
2.	Отображение нуль-мерных компактных коммутативных
групп со второй аксиомой счетности на отрезок. Пусть О—
нуль-мерная компактная коммутативная группа со второй ак-
сиомой счетности. Тогда топология в ней задается с помощью
вложенной цепочки открытых подгрупп
G = U^U^---
Так как группа G компактна, число смежных классов по
каждой подгруппе Ua конечно (смежные классы по подгруппе
U„ образуют открытое покрытие G, из которого можно выбрать
конечное подпокрытие). Поэтому все фактор-группы £7n/£7n+i
конечны. Уплотняя в случае необходимости цепочку подгрупп,
мы можем добиться, чтобы все фактор-группы UnIUn+i были
циклическими группами простого порядка />п-н. Такую цепоч-
ку открытых подгрупп также назовем основной.
Выберем в каждой из подгрупп Un по элементу gn, не при-
надлежащему подгруппе t7n+i. Так как t/n/f/n-ы—циклическая
группа простого порядка /?n+i, Pn+ign€ Mi+i, в то время как
при а—1, . . ., Рп+1 — 1- Поэтому любой элемент
gf-.Ua можно представить в виде g — agn + h, где h^Un+i.
Значит, каково бы-то ни было т, любой элемент gfiH можно
представить в виде
g = 2	%* + Лт+Ь
s=0
где <zsm = 0, 1, . . ., ps+i, Am+i€t/m+i. Легко видеть, что если
т < п, то для всех s, s = 0, 1, . . ., т имеем aSm e flsn- Поэто-
му вместо asm можно писать просто as:
g = 2fls^ + Лт+1 
s=l
28
Так как П^т^={0}, 11тЛт+1 = 0, и потому получаем
т««1	т-*оо
(3-1)
s=!
Итак, каждый элемент g группы О может быть пред*
ставлен в виде суммы бесконечного ряда вида (3. 1). Из ком-
пактности' группы Q вытекает и обратное: каждый ряд
вида (3. 1) сходится к некоторому элементу g.
Построим теперь отображение X: g —> х группы О на отре-
зок [0, 1]. Элементу g^G, представленному в виде (3.1), по-
ставим в соответствие действительное число
И^) = У—.	(3.2)
£1 ms+<
где ms — pt . . ,ps.
Ясно, что числовой ряд (3. 2) сходится, так как его члены
убывают не медленнее геометрической прогрессии со знаме-
нателем 2-1 и его сумма лежит на отрезке [0, 1]. Очевидно,
что каждая точка отрезка [0, 1] является образом, по крайней
мере, одного элемента группы G.
При построенном отображении элементам подгруппы (7П со-
ответствуют точки отрезка Гб; ——1, а элементам смежного
L J
класса а 4- Un—точки одного из отрезков вида
I —, -1— I, k == 1, . . ., mn — 1.
|mn ma J
Отображение К коммутативной нуль-мерной компактной
группы G на отрезок [0, 1] не является взаимно-однозначным.
Если
g' = 2	+(«п - l)gn+
s=0	s=n-H
n
g" = 2 asgs, an^=°,
S=1
то X (g") = X (gr), так как
n	n—-1	00 n ______1
—5 VI__gs i ^n~~l I vi ^s4-l
Й<Л+1 S=0Ws+1 Wn+1 '”s+l
Точки r£[0, 1], допускающие два различных разложения
типа (3. 2), будем называть Р-ично рациональными. Очевидно,
что множество таких точек счетно.
29
Чтобы восстановить взаимную однозначность отображения
X, заменим отрезок [0, 1] „модифицированным отрезком* /*.
Для этого заменим каждую Р-ично рациональную точку г
отрезка [0,1] (кроме точек 0 и 1) двумя точками г —0 и
г + 0 и положим X(g') = г — 0, X(g")xsr + O-
Введем на /* отношение порядка. Если 0<х<г, то бу-
’дем считать, что х<+ — 0, а если г < х + 1, то г + 0<*х.
Для всех Р-ично рациональных точек положим г — 0<г + 0.
Таким образом, модифицированный отрезок есть упорядочен-
ное множество.
Определим топологию на /*. На обычном отрезке [0, 1]
промежутки ]< И, где г', г" Р-ично рациональны, образуют
базис. Сопоставим каждой такой окрестности окрестность
]г' + 0, г" — 0[ на модифицированном отрезке I* и при-
мем полученную систему окрестностей за базис в /*.
В дальнейшем будем рассматривать функции, заданные на
коммутативных нуль-мерных компактных группах. Можно от
таких функций перейти к функциям на модифицированном
отрезке, понимая непрерывность и другие подобные свойства
в смысле топологии I*.
Пусть Х(£л) и A(g2)—два элемента модифицированного от-
резка. Введем для них обобщенное сложение, положив
Hgi)+Hg2) = Hgi + g2)-	(3.3)
Так как при отображении X подгруппе Un соответствует отрезок
[о, -----ol, получаем:
если х, у, € Го, —Г. — о],
L тп J
то и х + у 6 0, —--------о].
L тп J
Легко видеть, что модифицированный отрезок /* с введен-
ной выше топологией и операцией сложения (3.3) является
топологической группой, изоморфной О.
Приведем примеры отображения нуль-мерной группы на
отрезок [0, 1]. Пусть G(p) —прямая топологическая сумма цик-
лических групп порядка р, элементы которой задаются в виде
последовательностей
g = (at, . . ак, . . .)
(см. п. 5 § 2), где ак = 0, 1, . . ., р — 1. Отображение О(р) на
отрезок [0, 1] имеет вид
k=I г
Аналогично отображение группы Zp целых р-адических чи-
сел на отрезок [0, 1] задается формулой
30
к=0^
где
£ = S «кЛ
к=0
3.	Отображение коммутативных локально-компактных
нуль-мерных групп на луч. Перейдем к рассмотрению ком-
мутативных нуль-мерных локально-компактных групп со вто-
рой аксиомой счетности. Ограничимся случаем, когда группа
О периодична. В этом случае в О есть бесконечная в обе сто-
роны основная цепочка открытых подгрупп
• • • Z)£/-n 2D • • • Z)t/0 Z) • • • ZD • • •
такая, что
П t/n={0}, U Ua^G
n=—00	n=— 00
и при любом п фактор-группа i7n/t/n|-i является циклической
группой простого порядка рп-ьь
Выберем в каждой подгруппе U„, n^Z, по элементу gnC^n+i.
Легко доказать, что любой элемент gf*G единственным обра-
зом представляется в виде суммы ряда
§=2 akgk’	(3-4)
к=-оо
где ак = О, 1...Pk+i и ак = 0 при k < — N (jV зависит от g).
Построим отображение X группы G на луч [0, + оо[. Для
этого поставим в соответствие каждому элементу (3. 4) неот-
рицательное действительное число
к=—оо
mk+l
где1 т0— 1, ms = Pi, . . . ps для s > 1, ms = -—— для — 1.
Po'  ’Ps+l
Это’отображение не является взаимно однозначным. Чтобы
восстановить взаимную однозначность, надо модифицировать
луч, заменив Л’-ично рациональные точки г двумя точками
г — 0 и г -I- 0. Как и в случае отрезка, на модифицированном
луче вводится обобщенное сложение по формуле
Mgi) + Hg2) + g2).
Приведем пример отображения локально-компактной нуль-
мерной периодической группы на луч [0, + оо[. Пусть Qp—
1 Обозначения Un р& т3 будут использоваться и далее.
31
группа дробных р-адических чисел, т. е. группа „лорановских*
рядов
£=2 ЛпрП'
QO
где an = 0, 1, . . р— 1, ап = 0 при n<7V (N зависит от g).
Положим
3 > = 3 >
n=—оо Р n=N Р
Это соотношение и задает искомое отображение.
4.	Меры. Непустой класс множеств А? называется а-коль-
цом, если он обладает следующими свойствами:
а)	если E(*R, F(*R, то E\F$R,
б)	если Ek£R, 6(jN, то Н fk€/?.
k—1
00
Из этих свойств вытекает, что и Г)£к€/?. Таким образом, а-
k—1
кольцо множеств замкнуто относительно операций образования
счетных сумм и пересечений.
Определим теперь понятие меры. Л"—некоторое множество
и R—a-кольцо, состоящее из каких-то подмножеств этого мно-
жества. Действительная функция р.(Д), принимающая конечные
или бесконечные значения и областью определения которой
служит R, называется неотрицательной, если р(А')	0 для
любого £€/?. Эта функция называется счетно-аддитивной,
если для всякой последовательности Ек, k f N, попарно непе-
ресекающихся множеств a-кольца R выполняется равенство
Vk=1 7
Если функция р на R неотрицательна, счетно-аддитивна и при-
нимает нулевое значение на пустом множестве, р(0)=О, то
она называется мерой. Примером может служить лебегова
мера на прямой.
Пусть E(?R и |х(Д)<< + оо. Тогда говорят, что Е имеет ко-
00
нечную меру. Если Е= I) Ек, где Ek$R и р(Ек) < -f- оо, то
к=1
говорят, что Е—множество o-конечной меры.
Наконец, мера р называется полной, если из EczR, F(Z.E
и р(£) = 0 следует, что p(F) == 0.
5. Мера Хаара. Пусть G—локально-компактная топологи-
ческая группа, а—класс всех компактных подмножеств G и
Е—наименьшее о-кольцо, содержащее класс а. Множества Е
из Е называются борелевскими множествами в группе О.
32
Очевидно, что если Е— борелевское множество коммута-
тивной локальуо-компактной топологической группы G, то и
все множества g + Е, а также —Е являются борелевскими.
Хаар доказал, что на любой локально-компактной ком-
мутативной топологической группе G существует мера |х,
определенная на a-кольце борелевских подмножеств этой
группы, такая, что-.
1)	р (U) > 0 для любого непустого открытого борелев-
ского множества U;
2)	Р- (g + Е) = |л (f) для любого борелевского Е (инвариант-
ность меры относительно сдвигов);
3)	р. (—£') = р. (£) (симметрия).
Такую меру называют мерой Хаара на G.
Простейшим примером меры Хаара является обычная лебе-
гова мера в группе R действительных чисел. Совпадает с ле-
беговой мерой и мера Хаара в R".
Легко показать, что на группе Т комплексных чисел, рав-
ных по модулю единице, мера Хаара совпадает с лебеговой
мерой на окружности.
Мы не приводим здесь доказательства теоремы Хаара (см.
[83], стр. 197) в общем случае, а рассматриваем необходимые
частные ситуации. Начнем со следующего результата.
Теорема. Пусть G—коммутативная локально-компакт-
ная периодическая нуль-мерная группа со второй аксиомой
счетности. Тогда на О существует мера Хаара у..
Доказательство. При сделанных предположениях в Q
существует основная цепочка открытых подгрупп
Z)67_nZ) ••• Z)67OZ) •••	=)••>.
Положим р-(g + 67п) =—— для всех п и всех gf*G. Пусть 67—
тп
открытое множество в G, являющееся объединением счетного
множества непересекающихся смежных классов по подгруп-
пам Un:
U (gk 4-66s \
k=l	к
причем слагаемые не пересекаются. Положим тогда
00 1
Д77)=2— •
Чтобы доказать однозначность этого определения, достаточно
заметить, что подгруппа Un распадается на рп-н смежных клас-
сов по подгруппе tAi+ь причем
|х(67п) = — = ^±L= Рп+1 (х (С/п+1).
тп ™n+l
4-3
33
Мы определили меру р. для множеств, распадающихся на
непересекающиеся смежные классы по подгруппам Un- Так как
мера смежных классов инвариантна при сдвигах, мера таких
множеств также инвариантна при сдвигах. Распространяя эту
меру далее на борелевские множества, получим искомую ме-
ру Хаара.
Построенную меру Хаара можно описать и так. В п. 3 по-
строено отображение X группы рассматриваемого вида на луч
(О, 4- оо[. Оказывается, что отображение X сохраняет меру, т. е.
И(£) = /[Х (f)],
где /—лебегова мера на луче [0, 4- оо[.
Для доказательства этого достаточно заметить, что отобра-
жение X переводит подгруппу Un в отрезок О,
Хаара Ua равна —, т. е. лебеговой мере этого отрезка.
77Zn
скольку смежные классы g -i-Un переходят в отрезки
г к j+1 ]
L мп
JL1. но
Мп J
мера
По-
вида
, равенство мер доказано и для таких смежных
классов. После этого оно легко переносится на все борелевские
мп
множества.
6. Мера Хаара на прямой топологической сумме компакт
ных групп. Многие компактные группы, описанные в п. 1 § 3
являются прямыми топологическими суммами других компакт-
ных групп. Мера Хаара в таких группах вычисляется следу-
ющим образом.
Пусть
G = S Ок.
к-1
Зададим число п и выберем в группах Оъ . . ., Оп окрестно-
сти нуля Um, . . ., О(п). Как говорилось в п. 5 § 2, этим ок-
рестностям соответствует окрестность нуля /7=О(/7(1), . . ., £/(п))
группы G. Обозначим через р-(к> меру Хаара в группе Ок и
положим
м -ГИИ-
к=1
Далее, положим для множеств вида g + U
Легко проверить, что введенная мера продолжается до м<еры
Хаара на группе G.
В случае прямой топологической суммы циклических групп
Gx, . ., Ок, . . . порядков ръ . . рь • • • соответственно по-
34
лучаем следующее описание меры Хаара (его можно получить
и используя конструкцию, описанную в п. 5 данного пара-
графа).
Рассмотрим множество U(at, . . ап), состоящее из эле-
ментов
g = (аь . . ап, ga+u . . .)
группы G(jp), где ак, 1	фиксированы, а элементы gk,
k^n-\- 1, принимают произвольные значения. Положим
.....ап)) = —.
7ИП
Если открытое множество U распадается на непересекающиеся
множества Z7,, . . ., Un, . . . указанного вида, то будем считать
П=1
После этого распространим меру на все борелевские множества.
Опишем меру Хаара на группе Т00—бесконечном торе.
Пусть . ., £7П--открытые множества на группе Т. Обозна-
чим через U(UU . . ., Un) множество точек тора Т00 таких, что
при	Полагая
п
k—I
определяем меру U(Ui, . . CJn) (через p(Un) обозначена нор-
мированная мера на окружности Т). Дальнейшее распростра-
нение меры на все борелевские множества проводится обыч-
ным путем.
Примечания и литературные указания
Необходимые сведения по теории групп можно найти, на-
пример, в [68, 83]. Отображение компактной группы на отре-
зок [0, 1], сохраняющее меру, рассматривалось впервые, по-
видимому, Фрейденталем [175]; см. также [148, 169].
з*
Глава h
ФУНКЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУППАХ
Рассмотренные выше понятия позволяют систематически
изучать свойства функций, определенных на тех или иных
группах. Прежде всего, назовем числовой, функцией f, опре-
деленной на группе G, отображение О во множество С комп-
лексных чисел. В дальнейшем для краткости будем называть
такое отображение функцией.
Если за G взять группу R всех действительных чисел, то
получим комплекснозначные функции действительного аргу-
мента, если G—множество Т комплексных чисел с модулем,
равным единице, то получим 2 ^-периодические комплексно-
значные функции и т. д.
1.	Непрерывные функции. Модуль непрерывности. Нали-
чие топологии в множестве G позволяет ввести понятие непре-
рывности. Функция f называется непрерывной в точке go£G,
если для любого е>0 найдется окрестность U(gQ) такая, что
при всех g£U(go) выполнено неравенство:
i f(g)~f(go) I <£
Как обычно, непрерывность на множестве понимается как
непрерывность в каждой точке этого множества, причем оста-
ются в силе гее обычные свойства непрерывных функций (не-
прерывность суммы, произведения, частного с отличным от
нуля знаменателем). Класс непрерывных и ограниченных на
группе G функций будем обозначать C(G).
Для функций, непрерывных на компактных множествах
(в частности на компактных группах) справедливы теоремы
Вейерштрасса об ограниченности и о достижении точных гра-
ниц, а также теорема Кантора о равномерной непрерывности.
При этом функция /, заданная на подмножестве М топологи-
ческой группы G, называется равномерно непрерывной наТИ,
если для любого е >0 найдется окрестность нуля U такая, что
I — f(g) | <л при всех h, g^M, удовлетворяющих усло-
вию А — g$U.
2.	Непрерывные функции на коммутативных компактных
нуль-мерных группах. Для характеристики степени гладкости
функции действительного переменного используют понятие
модуля непрерывности (см.: [13], стр. 50). Введем аналогич-
36
ное понятие для функций, заданных на компактной коммута-
тивной нуль-мерной группе G. Как показано в п. 4 § 2 главы 1,
топология в подобной группе задается основной цепочкой от-
крытых и замкнутых подгрупп
О = ий ZD • • • Z)<Vn Z) • • ••
Назовем модулем непрерывности функции f последователь-
ность чисел	« € N U {0}’ определяемых соотношением
<on(/)=sup | f(g + h)-f(g) | .	(1.1)
Если группу G представить как объединение смежных классов
по подгруппе Un, то <оп(/) есть наибольшее из колебаний функ-
ции f на смежных классах. Очевидно, что о>п(/) монотонно не
возрастает, а если f непрерывна на О, то lim<on(/) = 0.
п—>оо
Как показал С. М. Никольский [77], модуль непрерывности
w(/; 8) функции из C(R) или С(Т) есть непрерывная функция
от 8, удовлетворяющая условиям
0 = ш(0) <«>(/; М <<«(/; 82),
“(/; + 82) < “(У; М + “(/; М при о < < 82,
причем любая функция (/; 8), для которой эти условия вы-
полнены, является модулем непрерывности. Условия С. М. Ни-
кольского показывают, что модуль непрерывности функции из
C(R) и С(Т) ведет себя достаточно „регулярно".
Совершенно иная картина наблюдается для модуля непре-
рывности функции, определенной на нуль-мерной компактной
коммутативной группе G.
Именно для любой, последовательности о> = {и>п}о°'чО* 1 най-
дется функция f tC(G), у которой <»n(/)=<on, rt(jNo=N(J{O}.
В качестве такой функции возьмем следующую:
/(«•)= /Шп при ^€t7n\t/n+i, «€N0,
(0 при g = 0.
Любой элемент g£.G\Un можно представить в виде g = g0+
+ ^!п), где g-0€t/n, gjn4t/n. Поэтому [при h^Un сумма g + h
принадлежит тому же смежному классу gjn) +Un, что и g. По
определению, если gjn)=#O, то функция f постоянна на любом
таком смежном классе. Поэтому
f(g + Л) — f(g) =0, если h^UB, g£G\l7n.
С другой стороны, для g(^Ua, h.^UB
	I f (g + h) — f(g) | < «>n,
1 {(°n}o°\O означает, что lim юп == 0, причем <o0>.coi^ •. • ^con> • • •.
37
причем |/(А) — /(0) | = а>п, когда h&Un\Un+i- Эти соотноше-
ния и доказывают равенства wn(/) e “n, «GN0. Таким образом,
никаких ограничений ни на скорость убывания к нулю после-
CD , 1( f)
довательности {<»п(/)}, ни на „регуляргость" отношения —
для модулей непрерывности функций из С(р) не существует.
Например, <оп(/) может обратиться в нуль для всех п~> k
(для функции const). Кажущееся противоречие (по срав-
нению со случаем R или Т)» разрешается тем, что как мно-
жество i7k, так и G\Uk замкнуты (см. п. 4 § 2).
Введем следующее определение.
Пусть <1)={<1>п}, п. 6 No—произвольная невозрастающая после-
до: ательность чисел, стремящаяся к нулю. Через //"(G) обо-
значим множество функций /, для которых
^Jn(_/*)	= No.
Класс функций, для которых
°>п(/) = 0((Вп),
обозначается A(“’(G).
В п. 2 § 3 было построено непрерывное отображение К
компактной коммутативной нуль-мерной группы G на отрезок
[0, 1]. Каждой непрерывной функции f на [0, 1[ соответствует
непрерывная функция F на G: F(g) — /(X(g')). Однако множест-
во непрерывных функций на G не исчерпывается функциями
такого вида; например, любая функция, постоянная на классах
смежности g +Un при фиксированном п, непрерывна на G.
Если о>(8)—модуль непрерывности на R или Т (удовлетво-
ряет условиям С. М. Никольского), то нетрудно доказать, что
где <оп «= w(p-(/7n)). В частности
Lip a(Z Lip a(G) == {/ | o>n(/XC-(;л({7п)Г!|
При этом Lipa (G) содержит непостоянные функции и при о£>1
3.	Функции с ограниченным изменением на компактных
коммутативных нуль-мерных группах. Пусть G =	 -\U
• • -Z)U„ Z)  • • —основная цепочка открытых подгрупп в нуль-
мерной компактной коммутативной группе G. Тогда разложение
группы Gac нмежные классы по подгруппе Un имеет вид
mn
G=a0=n (g^ + un),
j=l
где gjn)—gkn4/7n при /VA.
i После ^пересадки" на G, подобной описанной выше.
38
Назовем полным изменением V(f) функции f число
mn
V(/) = sup2 sup | f(g) — f(h) | .
neN»j=, MegW+'t/n
Если	то говорим, что / имеет ограниченное изме-
нение. Класс таких функций обозначим через V(G). Так как
sup	I f(g)~/(А) | <«>„(/),
ь. geg^+k’n
V(/) <supmn«)n(/) = sup
n	я ЩОП)
Отсюда следует, что при а > 1 имеем
Lipa(G)CZ V(G).
Как и для функций действительного переменного, можно
г вести в рассмотрение класс Vq(G) функций / ограниченной
^•вариации, т. е. таких, что
^q(/) = sup
n
1 1
sup |/(g)—/(/oiq|q <0°.
h>geg !n)+
Легко проверить, что
Lip—(G)CZ Vq(G).
Я
4.	Измеримые и интегрируемые функции на коммутатив-
ных топологических группах. Наличие меры Хаара на ком-
мутативной топологической группе G позволяет ввести понятия
измеримости, интегрируемости и интеграла для функций f на О.
Назовем функцию f измеримой на группе G, если ее мож-
но представить в виде
где /+^(g-)>0 и для любого а множества
A^’22(a)={gQG \ f+,— (g)>a}
измеримы по мере Хаара р»
Для измеримых на компактной группе G функциий спра"
ведливы многие свойства измеримых на отрезке функций, в
том числе и С-свойство Лузина.
Пусть G—компактная коммутативная группа со второй
аксиомой счетности и f—измеримая почти всюду конечная
функция на G. Для любого е> 0 найдутся замкнутое (ком-
пактное) подмножество At(Z.G и непрерывная на G функ-
ция такие, что
39
p(G\A)<e и/(g) = <?E(g) при g$At.
Назове^м функцию /, заданную на локально- компактной
группе О, финитной, если существует компактное подмно-
жество такое, что f обращается в нуль вне Л. На ком-
пактных группах Есе функции финитны. Для финитных, изме-
римых, почти всюду конечных функций на локально-компактной
группе справедливо утверждение, аналогичное теореме Лузина.
Доказательства этих утверждений почти дословно повторя-
ют рассуждения, приводимые для случая функций действи-
тельного переменного.
Введем теперь понятие интеграла от функций на О. Назо-
вем финитную измеримую функцию, принимающую лишь ко-
нечное множество значений, ступенчатой. Для ступенчатой
функции ср, принимающей значение ак наЛк\ 1 п, акЕС
п
и равной нулю вне (J Лк, положим
к—1
п
J?(g) d ?(g) =
G
к=1
Назовем функцию ср на G е-малой, где г > 0, если сущест-
вует счетная совокупность неотрицательных ступенчатых
со	оо
функций такая, что 2 J Фк(^)d ?(g) < $ и | <p(g) | <	^(g)
k=l G	k=l
для всех g б G. Функцию f назовем интегрируемой на G, если
для любого £ > 0 существует такая ступенчатая функция ср,
что функция | f— <р | е-мала. Такую функцию ср назовем е-при-
ближением для /.
Интегралом интегрируемой функции f назовем число /,
удовлетворяющее всем неравенствам
> G
где е пробегает множество положительных чисел, а ср при фик-
сированном £—множество e-приближений для /. Интеграл бу-
дем обозначать и в этом случае
Следующие утверждения доказываются так же, как и для
функций действительного переменного.
Пусть f интегрируема на компактной или локально-
компактной коммутативной группе G.
Тогда:
1) !/(£*) I интегрируема на G и
1 По предположению, Ак измеримы.
40
I G
0
2) для любого г>0 найдется такое 8 = 8
равенства р,(А)<8 следует J |/(g)\d p(g) < г
А
(s), кто из не-
(интеграл абсо-
лютно непрерывен).
Теорема Лебега. Если последовательность интегрируе-
мых функций fa, n£N, почти всюду сходится к F и сущест-
вует интегрируемая неотрицательная функция ® такая,
кто для всех g^Q | fn(g) I <?(g), то F интегрируема,
причем
Пт, J/n(g)d !*(£) = J FW) d Н (£)♦
G	G
Введем понятие точки Лебега для функции f, определен-
ной на локально-компактной коммутативной группе О со вто-
рой аксиомой счетности. Скажем, что g0QG—точка Лебега
функции f, если для любого г > 0 найдется такая окрестность
нуля LE, что для любой окрестности нуля	справедлива
оценка
J I f(g)~f(go) I d?Ag) <e-p(V).
s.+v
Очевидно, всякая точка непрерывности интегрируемой
функции f является ее точкой Лебега. В самом деле, в силу
непрерывности / в точке g0 для любого г > О найдется такая
окрестность нуля Ut, что из вытекает |/(go + ^) —
—/(So)l<e- Но тогда для
f l/(g)~/(go)|dHg)= fl/(A+go)-/(MrfKA) <
So+v	V
< s J dp(h) = s-p (V).
v
Аналогично случаю функции действительно переменного
можно показать, что почти все элементы локально-компакт-
ной коммутативной группы G являются точками Лебега
интегрируемой функции f.
5. Классы функций на группах. Пусть 1<р<оо. Обоз-
начим через £P(G) множество функций /, измеримых относи-
тельно меры Хаара р и таких, что
f |/(£) l₽d|*(g) < оо.
G
Как обычно, можно показать, что L*(G) является банаховым
пространством относительно нормы
41
1Лр = (p/U) IW(g)}p.
Отметим, что L2(G)— гильбертово пространство со скалярным
произведением
(<?, ф) == f <?(g)$(g)d?(g)-
Q
Назовем измеримую функцию f на G существенно ограни-
ченной сверху , если существует такое число 7И, что
Iх U€G|/(g) > АГ} = 0.
Наименьшее из таких чисел М называется существенной верх-
ней границей для f и обозначается esssup/(g). Аналогично
gGG
определяется существенно ограниченная снизу функция. Если
I/1 существенно ограничена сверху, то f называется сущест-
венно ограниченной на О функцией. Линейное пространство
существенно ограниченных измеримых на G функций являет-
ся банаховым пространством с нормой
ll/1'оо = ess sup I/(g) I
geo
и обозначается L°°(G).
Для компактной коммутативной группы G со второй акси-
омой счетности Lp* (G)CZLP’(G) при <р2<оо.
Если G—локально-компактная, но некомпактная коммута-
тивная группа, то через Cc(G) обозначим класс непрерывных
финитных функций на G. Отметим, что пространство Cc(G)
всюду плотно в LP(G), 1<^р<оо. В L"(G) подпространство
Cc(G) уже не является всюду плотным. Замыкание Cc(G) в
L00 (G) состоит из непрерывных функций, „стремящихся к ну-
лю при g->oo“, т. е. таких, что для любого е>0 найдется
компактное подмножество AcG, вне которого выполняется
неравенство |/(g) | <е. Пространство таких функций обозна-
чим C0(G).
Если группа G нуль-мерна и • • -G_nZ)- •	• -ZDGnZ)- •  —
ее основная цепочка подгрупп, то назовем функцию f на G
гладкой, если найдется такое п, что f постоянна на смежных
классах по Ua. Очевидно, что пространство 5(G) гладких фи-
нитных функций на G всюду плотно в Cc(G), а тем самым—
в LP(G), 1-<р<оо. Пространство 5(G)—линейное и вместе с
любыми функциями содержит их произведение.
6. Сдвиги в пространствах LP(G). Свертка функций на
группе. В силу инвариантности меры Хаара на коммутативной
группе относительно сдвига таким же свойством обладает к
норма порядка р, 1 оо. Дейстгительно для 1 <р <. оо
имеем
42
hh/i'p = H|/(g + ^)|M|x (g)V = [ f |/(g)№(g-/o)p =
Ig	J 'g	J
i
= ^l/U)IW(g)}P =1!Лр-
Для p « oo подобное равенство очевидно.
Покажем, что если G—локально-компактная коммута-
тивная группа со второй аксиомой счетности, 1 < р < оо и
/CLP(G), то является равномерно-непрерывным ото-
бражением группы G в пространстве LP(G). Это значит, что
для любого е > 0 найдется окрестность нуля группы О та-
кая, что при hi — h2^U справедливо соотношение
<е.
Так как Cc(G) плотно в L₽(G), найдется непрерывная функ-
ция ф, равная нулю вне компактного множества А и такая,
что.[1/ — ф||р < Непрерывная на компактном множестве А
функция ©, по теореме Кантора, равномерно-непрерывна на
нем, а потому найдется такая компактная окрестность нуля LA
что при h£U-.
l®(g + A)-<p(g)|<s.[}i(A)) р	(1.2)
Для g, gA-h^A.
Окрестность Us можно считать столь малой, что при
. иИ\Л0и(АМ)]<—О-3)
б?Н?Ноо
где Ah = {g — h\g^A}.
Представим G в виде объединения попарно-непересекаю-
щихся множеств
G = (А П Ah) J (A\4b) U (4М) U 1(О\Л) П (G\Ah)].
Тогда Цть© — ф|;р представим в виде суммы интегралов по этим
множествам, причем интеграл по (G\A) f") (G\Ah) обращается
в нуль. Из неравенства (1. 2), (1.3) следует, что Нм?- ?||р<
< -Д- при h ^иг. Наконец,
3
К/——^h?l!₽ + hi? — ?ЯР + |1? — Л₽ =
= У - ? ?₽ + hh ? - ® ЯР + II? — /Рр < 4* + + 4" = 1
ООО
43
Итак,
IIV-V||p=|lTb-^-/||₽<e’	1
если — htfi Us.	i
Заметим, что для p=oo утверждение, доказанное	выше,	j
неверно. (Исключение составляет случай дискретной группы О).	?
Пусть <?, 6—функции из Cc(G), где О—локально-компактная	|
коммутативная группа. При любом g£G <?(g — h) ty(ti) являет- <
ся, очевидно, непрерывной финитной функцией от й, а пото- *
му существует интеграл	J
f (g)e J <?(£ - Л) Ф W (Л)«
о
Функцию f называют сверткой функций <р и ф и обозначают
ср^-ф.
Понятие свертки можно распространить на более широкие |
классы функций. Будем говорить, что для функций © и ф на G |
существует свертка ?%ф, если функция F (й) = © (g — h) ф (й)
интегрируема для почти всех g€G. Интеграл по О от и
называется сверткой <р и ф. Свойства свертки сформулируем I
в виде следующей теоремы.	
а.	Если для некоторого g£G
JI <Р (g — h) ф (й) | d ji (й)< оо,
и	'	1
то (?*Ф) (g) = (Ф*<?) (g);
б.	Если <?£L(G), а ф€Е°°(О), то ©-Х-ф существует, ог- ।
раничена и равномерно-непрерывна на G;
в.	Если ©, ф€Сс(О) и обращаются в нуль вне компакт-
ных множеств А и В соответственно, то ©-Х-ф обращается
в нуль вне А А- В и ©-Х-ф € Cc(G) (здесь А В = {а+ Ь\а^А,
Ь^В}-
г.	Если ?>€LP(G), 1<р<оо, а ф€Ь₽(О), где —+ — = ], то
Р Я
Ф^.фбСс(С) (т. е. для любого е>0 найдется компактное
множество А такое, что | с? -х- ф (g) | < г на О\Л);
д.	Если ?, фбЬ(О), то <р-х-ф€Ь(О), причем
II <й и-Vr,
е.	Если <?, ф, x^L(G), то
(?*Ф)*х==
Доказательство: а) произведя замену переменной й =
= g — t и используя инвариантность меры Хаара при сдвигах,
получим
44
(<Р * ф) (g) « f <j> (g А) ф( A) d p(h) =
G
= f ?(0 Ф(£—0<зМ0=(Ф*<р)(£);
G
б)	ЯСНО, ЧТО
I (? * Ф)(g) I = I J ?(g — fi) Ф(h) d (i(A) I < J | ?(g—A)| | ф(А) |
I G	I G
<hL J l?(g-A)dH(A)| = hk-hh.
и потому свертка ограничена. Далее,
I (® * Ф) (gi) — Н* т) (g2)-l = I JbCgi h) —
I G
- ?(g2"k^)] Ф(Л)йн(Л)|<|ф,|о0 Jl f^ + gi-'-gj) -? (01^(0-
G
В силу утверждения, доказанного в начале данного пункта,
последнее выражение можно сделать сколь угодно малым,
если gi —£*2 брать из достаточно малой окрестности нуля
группы G;
в)	если <р обращается в нуль вне А, а Ф—вне В, то при
f ? (g — fi) Ф (fi) d fi(A) = ( <p(g—А) Ф(А) d [i(A) = 0.
G	В
Действительно, в этом случае (g — В) (~]А = 0 и, следова-
тельно, ?(g —А) = 0 для h^B. По утверждению б), функция
ср-Х-ф непрерывна. Таким образом, утверждение в) доказано;
г)	в силу плотности Сс(О) в LP(O) для	можно
выбрать две последовательности функций {<рп} и {фп} такие, что
®п€Сс(О), фп€Сс(О) и
Пт || <р — cpn|ip = Ит Ц ф — фп |fq = 0.
п-* 00	п-> ОО
Поэтому, используя неравенство Гельдера, получим
lim sup | (с? -X- ф) — (<рп фп) | = Пт sup I Г { (g — h) —
п-»оо geG	n“*°° geG I $
- <?n(g-=-А)] ф(А) + <pn(g —А) [ф(А) — фп(А)]М(1(А)|<
< Нт (|| ср — срп |ip . J ф ||q + [ <рп |!р • В ф — фп fq) = О,
п-> оо
т. е. последовательность непрерывных финитных (см. в)
функций срп % фп равномерно на G сходится в свертке <р % ф.
Но тогда ®-Х-фбС0(О);
д)	по теореме Фубини,
45
J JI ?(g — fi)^(h)\dp(g)dp(h) = J[J|?(g —A)|dp(g)j X
X | ф(А) | d p. (A) = f|?(g)|dp.(g) • f |ф(А)|л?|*(А) = ll<p||< • ЦФЙ1
G	G
и, следовательно, функция
e(g) = JI ?(g — h) ф (A) | d i* (A)
G
интегрируема. Поэтому она почти всюду конечна. Но тогда
почти всюду существует причем
1®*ф1 = | f ®(g — А) ф(А) Jр(А) | < 9(g) €L(G).
Ъ
Отсюда
f l(?*'?)(g)l^tA(g)< f 9(Л) </р(А) = h!1! - Hili < °°,
G	G
что и доказывает д);
е)	этот пункт также доказывается с помощью теоремы
Фубини:
(ср * (ф * %))(g) = J <p(g^-A) (ф * х)(Л) d р.(А) =
G
= J J ?(g — А) ф(А— t) 1 (/) rfp.(A) dp (t) =»
= J J ?(g — Л — t) ф(А) /(/) d h(A) d p(0 =
G G
= f (? * Ф) (g — t) X(0 d n(0 = ((? * Ф) * x) (g).
G
Теорема полностью доказана.
Пусть G — локально-компактная коммутативная группа и
<р, фбЬ(С). Тогда по пункту д) только что доказанной теоре-
мы <р-Х-ф€Ь(О), т. е. пространство L(G) замкнуто относительно
операции свертки функций, причем эта операция коммутатив-
на (а)) и ассоциативна (е)). Поскольку, кроме того, li ср }(-ф
||ф|11 (см. д)), L(G)—коммутативное нормированное кол-
цо относительно свертки. Это нормированное кольцо называ-
ют групповым кольцом группы G.
7. Интегральный модуль непрерывности. Свертка и мо-
дуль непрерывности. Для функций, заданных на компактной
коммутативной нуль-мерной группе, можно ввести понятие
интегрального модуля непрерывности в пространстве L₽(G).
Пусть /€LP(G), 1</><оо. Назовем интегральным моду-
лем непрерывности функции f в пространстве LP(G) после-
довательность чисел {«>пр)(/)1> лбМ0, где
' 4в
»<?’(/) = sup {j If(g + A) -/(g) |Pd |x(g)|₽	(1.4)
(подгруппы О = Uo^DUt ZD- • • ZDt/nZD- • • образуют основную це-
почку в (G).
В п. 2 § 4 показано, что любая последовательность о> =
= {шп}Хо\О является модулем непрерывности некоторой
функции /6С(О), т. е. найден критерий модуля непрерывно-
сти в C(G) (необходимость условий очевидна). Подобно этому
покажем, что при любой последовательности <о = {<оп)п=о \ О
найдутся функции /t(jL(G) и /2€L2(G), для которых
41,(/1)в0’п 7/г) = «>п, «6N0.	(1.5)
Для доказательства (1. 5) нам понадобится следующая
Лемма. Для функции
F(g) = Ва при g£Un\Un+u neN0,
модуль непрерывности (<0n₽> (F)}, I’C/’^C00, определяется
соотношениями
2 2 l^s— £k|p(OTs 1 — /ns+’i)l₽ при 1<P<OO,
k s=k+l	'
sup |2?s — £k|	при р= оо,
*s>k>n
(1.6
где
mk =[p.(t7kl-1, «€N0.
Действительно,
[4P,(F)]₽= sup Г \F(g + h) - F(g)\*d^g) =
het/n g
= sup sup f I F(g + h) — F(g) |p d p.(g) =
k>n het/k\l/k+i
mk—1
= sup sup У f |f(g + A) — F(g)|pd|*(g), (1.7)
k>khe^\^+<^<kL
®j ~k
где
mk—1
0“ U (rf’ + f/.)
j=0
—разложение группы G на смежные классы по подгруппе Uk.
По определению F(g), она постоянна на любом таком смеж-
ном классе при gjk) =^0. Так как из включения h$Uk\Uk+iCJJk
следует, что g + h € gjk) + Uk, если g €gjk)+£4, то
• J № + ^-F(g)№(g)=O.
<i(k)+uk
Поэтому, по равенству (1. 7),
[o>nP)(0]P= sup sup f |F(g + h) — F(g) lpd?(g) =
k>n heuk\uk+1 J
Jl^ + й) -W'MsH
Л'к
= sup sup
k>n h6Uk\yk+i
f |/7(g + A)-F(g)|₽d{x(g) = sup
Uk\Uk-M	k^1
-ОД№) + J I F(g + h)~ £k|M|x(g)l, (1.8)
k>h£vk\uk+1 У
uk\uk+l	J
Заметим, что сдвиг на h—сохраняющее меру преобразование
группы Ои 67к\7/к+ь Поэтому, когда g пробегает мно-
жество 77k\£7k+i, точки gh целиком заполняют Z7k+1 и
pk+i — 2 множеств вида hf} + Z7k+i, где Uk = |j1(Ajk)4-С/щ) —
i=i
разложение группы Uk на смежные классы по подгруппе £4+1.
Эти множества целиком лежат в £7k\Z7k+i и являются мно-
жествами постоянства F(g). В силу этого из (1.8) следует
[4₽)(F)]P = 2 sup f |Bk-/?(g)|prf(x(g) =
k>n uk+i
=2sk>? 2 J
"n S=k+1 Us\us+1
= 2 sup V |Bk — 5s|p[i(t7s\t7s+i) =
k>n,^J+1
= 2 sup V | Bk — Bs |p (m7l — m7+i),
s=k-f-l
что доказывает первое из соотношений (1.6). Второе непосред-
ственно вытекает из определения F(g).
Пусть Sn= zrtk(A-i — А). Если А\0, то (1.6) прини-
к--=1
мает вид
48
{00
2 s
S=n+1
4p)(f) =
v=n-J-l
V т\А,.л — A.)
U=S+i
при 1 <C p < 00,
при p = oo.
(1.9)
Определим /^g) как f(g), где A = -j-<»n.
По (1.9), меняя порядок суммирования, получим
4П(Л)= 2
S=n + 1
1 — <BV) (zns 1 — CTs+l) =
_ v=n-|-1
00	00	'
= 2 w»(w'v-i — ®v)	—	=
V=n-f-l	S = V
00	oo	00
= 2 /»v(<Ov-l — <0v) 2	— ^s+l) = 2	—	=
V=n-|-1	S—V	v=n-}-l
Функцию /2(g)
также определим как F(g) при
По (1. 9),
2 m/A-i
_v=n-hl
s= n4-2|_v=n4-2
2	— Д,)
2
fa' —	+ ffin+i(4n — Лп+i)3 X
X 2 (/«s 1 — ffis+i) + 2 2тп+1(Дп — Лп+i) X
s=n+l	s=n+2
x 2	(OTs~l ~	= v [(o"+|(/2)]2 +
v=n-f-2	-
-f- /ftn_i_](.An Дп-н)" 4“ ^п4-1(^п	^n+1) T/lv(Av—1 -Ду)/К
v==n4-2
x 2	—m’+i) ~ 4r [<o"+1^/2^2+—-^n+i)=
s=v
4—4
49
= -J- [“n2+l(/2)]2+ Wn+1 • mn+l(<»n -- “n+l) = -y [«>n+l(/2)j2 +
+	(«>n — <°n+l)-
Другими словами,
H/jF — [«n+l(/2)]2 = wn — «>п+1.
Суммируя эти равенства и учитывая, что <оп и <»п2)(/2) стре-
мятся к нулю, находим, что	= о>п_.
Можно показать, что для любой, функции f €С(О) или
I?(G) имеем
sup II/ (g 4- h) -/(g)||oo <sup|l/(£ + Л) 4-/(g- — h) —
heun	heun
-S/U)!^ < 2 supii/(g + h) -fig)"^,
heun
supP/ (g + h) -f (g) f2 < sup |'/(g + h) + f(g -h)~ 2f(g) |'2 <
neun	heun
<2sup;/(g +A)-/(g)ll2.
heun
Таким образом, введение модулей непрерывности, использу-
ющих разности высших порядков, для функций на группах G
вряд ли целесообразно.
Рассмотрим модуль непрерывности свертки функций на
компактной коммутативной нульмерной группе. Пусть {<*>п(?)},
Чр)(?)} — модуль непрерывности и интегральный модуль не-
прерывности некоторой функции ср. Через {Qn}, {Qn^} обозна-
чим модуль непрерывности и интегральный модуль непрерыв-
ности свёртки <х>-X-ф. Справедливая следующая
Теорема: а) если при пУ>т имеем о)п(?) = 0 и &6L(O), то
2n = 2nn = 0 для п > т;
б) если ^gL(O), то Йп< Л-а)п(?)> где Д = |Ж1ь
в) если © б Lp(G), 1<р<^оо, а ф6 Lq(G), -—j—— = 1, то
< || ф !’q шпР)(<р)-
Доказательство:
а)	по определению, для свертки 0 = ср-X-ф имеем
+ 0 - е(£) = f [?(g	А)] ^(А) d [i(A).
G
Если при п^т модуль непрерывности о)п(?)==0, то ср посто-
янна на классах смежности по подгруппе £7Ш, а потому при
59

1имеем <p(g 4-1 — K) — ?(g — A) = 0. Но тогда 6(g + 0 —
— 6(g)=0 при t£Lfm, что означает 2n = 0 для m. Тем бо-
лее, 2п) = 0 для тех же индексов;
б)	действительно,
2П = sup | 6(g +/) — 6(g) | <sup f | ®(g + t — h) —
teun	g6G,teun J
— ?(g — A) | | 6 {fi) dy.(Ji)^ wn(®) •!%;
в)	применяя неравенство Гельдера, получим
Sn< sup f |?(g + ^ — h) — ?(g-^A)| 16(A) | fi? |i(A) <
gee, t6un b
< sup hU +- ?(£^z0 1рЖ,ч=<ипр\?)'М
ge<j> teun
8. Обобщенные функции на нульмерных, периодических
локально-компактных коммутативных группах. Пусть О—
нуль-мерная периодическая локально-компактная коммутатив-
ная группа ZDGZ-n ZD • • • ZZ) • • • ZDt/n -ZD • • • — основная це-
почка подгрупп и 5(G)—пространство гладких финитных функ-
ций на G. Назовем последовательность функций {срп} из 5(G)
сходящейся к функции ®£S(G), если существует такое kt что
все срп постоянны на смежных классах по и равны нулю
вне £7„к, причем на /7__к функции срп равномерно сходятся к ср.
Линейные функционалы на 5(G) (т. е. отображения F \ S(G)~+
->С такие, чтоЛ(аср - р ф) = аЛ(ср) + р/^ф), a, pg С, ср, ф€5(0)
и	при lim<pn = cp) будем называть обобщенными
П-*ОО	П->оо
функциями на S(G).
Каждой локально интегрируемой функции / на G (т. е.
функции, интегрируемой на любом компактном множестве
-А с О) соответствует обобщенная функция, задаваемая равен-
ством
Я?) = f/(g)<P (g)d\>.(g).
G
При этом очевидно, что /1(ср) =/2(ср) Для всех ср g 5(G) в том
и только в том случае, когда почти всюду J\(g) ~fAg)- Час-
то вместо F(cp) пишут JF(g) <p(g) dp (g) и для произвольных
обобщенных функций, хотя, вообще говоря, нельзя говорить
о значении F в некоторой точке g.
Приведем некоторое примеры обобщенных функций.
1. Пусть т—локально-конечная мера на G, т. е. такая мера,
что т(А) < оо для любого компактного подмножества AcziG.
4*
51
Полагая
zn(?) = J ©(g)dm(g),
G
получим линейный функционал в S(G), т. е. обобщенную функ-
цию. В частности, такой обобщенной функцией является 8-
фуыкция, определяемая формулой
s(?) = f 8(g) ?(g) d p(g) = ©(0).
б
2. Выберем для каждого п в Un\Un+i элемент gn и положим
(Z?®)(g) = OTn[®(g + gn) — 9(g)],
П=— оо
1
Po-’-Ps+i
где, как обычно, т0 = 1, т3 — рх• • -р3 для 1 и т3=
для s< — 1, a ps—порядок фактор-группы U^Us+i.
Легко проверить, что D отображает 5(G) в 5(G). Этот опе-
ратор называют дифференциатором Гиббса. Полагая F (©) =
= (D ®)(0), получаем обобщенную функцию на О.
3. Дифференциатор Гиббса принадлежит к обширной сово-
купности операторов, определяемых следующим образом. По-
ставим в соответствие каждому кортежу (4, . . ., zk) длины
k составленному из натуральных чисел, элемент
компактной группы G так, что lim g} — gt
gi ...lu
1 k
, где
k
символ ij означает, что число i} опускается. При этом пусто-
му кортежу сопоставляется нулевой, элемент группы G. Далее,
положим
(А (Л, . . ., 4)<р) (g) = 2 (- 1)S k 9 (g + gj1...jk)’
где суммирование распространено на все подмножества (j\,...
. . ., j'k) множества (4, . . ., 4), и
(ДЛ ®)(g) =	• • •’ Zs)?)(g),	(1. 10)
где суммирование распространено на всевозможные кортежи
(4......4)	длины s, a С, Л = (Ч’"1»)-
В силу условия, наложенного на выбор элементов gt ч
для любой функции ср € 5(G) выражение A(Zi, ... , 4)? при дос-
таточно больших значениях ij обращается в нуль и потому
в сумме (1. 10) лишь конечное число слагаемых отлично от
нуля. Поэтому оператор Дд определен на всем 5(G)
52
и, очевидно, отображает S(G) в 5(G). Значение при g=O
является обобщенной функцией на G.
Поскольку обобщенные функции—линейные функционалы,
их можно складывать и умножать на числа. Сдвиг обобщен-
ных функций определяется формулой
(Ч1^)(<?) = ^h •-?).	(1. 11>
В самом деле, для локально интегрируемых функций
- .[Ж + A) Ж) dЖ) =
G
= J/U) Ж-^-ЖЖ) =/(T_h ?),
G
а потому естественно принять (1. 11) для любых обобщенных
функций.
Обобщенную функцию F называют финитной, если сущест-
вует такое п, что /?(ср)=О для всех wQS(G), равных нулю на t7_n
Если F финитна, то для любой <р € 5(G) функция Ф(Л)=Л(ть ср) где
<?(§) = ?(”£) также принадлежит 5(G). Эту функцию называ-
ют сверткой F и <р и обозначают
Свертку обобщенных функций F и Ф, из которых хотя бы*
одна, например, Ф, финитна, определяют формулой
(Г*Ф)(?) =
Примечания и литературные указания
Понятие модуля непрерывности непрерывных на нуль-мер-
ной группе функций введено Н. Я. Виленкиным [28]. Для
пространства L₽(G) модуль непрерывности вводился Моргента-
лером [205] (см. также [169]).
Критерий модуля непрерывности в C(G) для компактной
нуль-мерной группы G установлен А. И. Рубинштейном [97]г
хотя излагаемый пример был известен Н. Я. Виленкину, но
не публиковался.
Понятие класса V(G) см. в [28]. Предлагаемый способ вве-
дения интеграла на группе G принадлежит Н. Я. Виленкину.
Теорема о критерии модуля непрерывности в L(0) и L2(G)
установлена А. И. Рубинштейном [97].
Понятие дифференциатора введено Гиббсом [176, 177] (см.
также [154, 257]). Изложенное здесь обобщение этого поня-
тия принадлежит Н. Я. Виленкину и А. И. Рубинштейну.
Глава III
ХАРАКТЕРЫ КОММУТАТИВНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП И
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
§ 1. ХАРАКТЕРЫ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА
Один из лейтмотивов анализа—это стремление аппроксими-
ровать функции достаточно общей природы выражениями, сос-
тавленными из более простых функций. Этой цели служит
аппарат рядов Фурье, позволяющий представить (в том или
ином смысле) суммируемую функцию периода 2?с в виде бес-
конечной суммы тригонометрических функций. При этом бла-
годаря свойству ортогональности процедура вычисления ко-
эффициентов такой суммы оказывается достаточно простой и
независимой для различных гармоник.
Естественной областью определения 2тс-периодических функ-
ций является группа Т = {z |z Е С, |г| = 1} (см. пример 14
л. 2 § 1 гл. I). Как увидим далее, система {г’пх}, n(jZ, с яза-
на именно с этой группой. Есди же аргумент брать в виде
последовательности нулей и единиц, что легко осуществимо
в теории и практике передачи информации по каналам связи,
то естественной областью определения функций оказывается
прямая сумма циклических групп второго порядка (см. пп. 1
и 5 § 1 гл. I). Ниже будет показано, -что естественным набо-
ром „простейших* функций (аналогичным системе {^1ПХ}) в
этом случае будет система функций Уолша. Вообще, каждой
коммутативной группе соответствует с..ой набор „простейших*
функций, с помощью которых можно аппроксимировать про-
извольную функцию на этой группе. Перейдем к систематиче-
скому изучению и построению подобных наборов.
1. Группа характеров коммутативной группы. Пусть О-
коммутативная топологическая группа. Характером этой груп-
пы называют непрерывную функцию /, заданную на О, при-
нимающую комплексные значения, равные по модулю единице,
IX (g) I = h и удовлетворяющую функциональному уравнению
x(gi + g2) = x(gi)x(g2)-	(1-1)
Полагая в этом равенстве g2=0, получим /(0) = 1. Полагая
же g2 = —gi, получаем, что x(gi)x( —gi) =х(0) = 1, а потому
 Х(— gl) = -7^ = X(gl)>
x(£i)
Примером характера может служить функция £|Хх на груп-
пе R, где XgR. В самом деле, эта функция непрерывна,
|й'Хх| = 1, если X, x6R, и для любых х и у из/? имеем е1Х<х+у)-=
= е^еЛу.
54
Теорема 3.1. Любой характер группы R имеет вид е|Ххг
где X(«R.
Доказательство. Пусть/—непрерывное решение функ-
ционального уравнения
/(* + у)=/(*)/(у)	(1-2>
такое, что |/(х)| = 1 для гсех x€R. Докажем сначала, что
функция / бесконечно дифференцируема. Для этого умножим
обе части равенства (1.2) на какую-нибудь бесконечно диффе-
ренцируемую финитную функцию «(у) такую, что А =
00
— t\lf(y)(?(y)dy^=O, и проинтегрируем по у:
—оо
ОО	00
f/(* + y)?(y)dy=/(x) f /(y)®(y)cfy = Л/(х),
— СО	__ 00
откуда
/ (*) = “Г Т Лх + У) ’Р(У) dy = "Г f '^у ~ dy-
— ОО	— 00
Поскольку правая часть полученного равенства бесконечна
дифференцируема по х, то и /(х) бесконечно дифференци-
руема.
Продифференцируем обе части равенства (1.2) по у и по-
ложим у = 0:
/'(*) =/'(0)/(х).
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид С е*\
где р.=/'(0). Так как /(0) = 1, С=1, а потому /(х) —
Наконец, вспомним, что |/(х)|2 = 1, и потому е|ЛХ-е!ХХ = 1 для
всех x6R. Это может иметь место лишь при условии, что
|л -f- [л, = 0 или [1 = i X, XgR. Значит, /(х) = е1Хх. Теорема дока-
зана.
Отметим, что произведение двух характеров группы R само
является характером той же группы. В самом деле, е -ег =
= е|(Х+|1)х.Отсюда следует, что совокупность характеров груп-
пы R образует группу, изоморфную R, хгХр, = Хх+11.
Покажем, что гообще, характеры коммутативной топо-
логической группы G образуют группу X относительно
умножения (в общем случае X не изоморфна О). В самом
деле, пусть и ^—характеры группы G. Тогда функция
X = Xi’X2 непрерывна на G, для любого g£G имеем |z(g')| =
= !Xi(£)l lx2U)l = 1, и наконец, если gt) g2£0, то
x(£i + gJ = Xi(gi + g2) X2(gi + g2) = Xi(^i) X1U2) X2(£i)X
X Z2(g2) = Xi(^i) X2(£i) XiU2) Х2(^2) = X(^t) x(g2)-
55
Это и значит, что /—характер группы G. Предоставляем чи-
тателю проверить, что наряду с / и функция */х является ха-
рактером G.
Итак, совокупность X характеров коммутативной то-
пологической группы G—группа относительно умножения.
„Нулем" этой группы является функция /0(g) = 1— единичный
характер группы G, элементом группы X, обратным харак-
теру /,—функция 7х, т- е- X-
Примеры. 1. Найдем группу характеров конечной цикли-
ческой группы Z(n). Мы знаем, что Z(n) можно реализовать
как множество чисел {0, 1, . . ., п — 1}, введя в него сложение
по модулю п (см. пример 3 п. 2 § 1 гл. I). Пусть /—харак-
тер группы Z(«) и /(1)=а. Тогда
х(0) = /(«)= х(1 + ••• +1) = [/(1)]п = ап.
Но /(0) = 1, и потому а—один из корней n-й степени из 1,
/ ^Ttik \
т. е. а = ехр ----1,	1. При этом для любого J,
\ tl J
имеем
/(/) =aJ = exp(2itZ—Y	(1.3)
\ п /
Обратно: если а—какой-нибудь корень n-й степени из 1,
то равенство (1.3) задает характер группы Z(«).
Мы доказали, что группа характеров X группы Z(n) со-
стоит из п элементов /0, . . ., /п1, причем
Хк(» = ехР(2л 1	1, • . п — \.	(1.4)
Легко проверить, что xk/z = xk+z, где сложение производится
по модулю п. Это значит, что группа характеров для Z(n)
изоморфна Z(n).
2. Точно так же, как в предыдущем примере, доказыва-
ется, что любой характер / бесконечной циклической группы
Z (или, что то же самое, группы целых чисел) имеет вид
у(т) = ат, где а(*Т.	(1.5)
При этом для любого а£Т равенство (1.5) задает характер
группы Z. Число а из Т имеет вид е1\ 0<.Х<2т:. Соответ-
ствующий характер группы Z записывается следующим обра-
зом:
/х(/и) = <?,гаХ, 0<Х<2к.
Так как /х(/и) /и(/п) = Хх+11(™) (сложение производится по мо-
дулю 2к, группа характеров для Z изоморфна R(2k), т. е.
группе Т.
56
3. Найдем группу характеров группы Т. Пусть у—харак-
тер этой группы. Положим для любого x€R 6(л) =/(а), где
а—остаток от деления х на 2 те. Очевидно, что функция ф не-
прерывна на R, удовлетворяет условию | ф(х) | = 1 и функцио-
нальному уравнению (1.2).
Из теоремы (3. 1) вытекает, что ф(х) = ел\ XgR. При этом
должно выполняться равенство ф(2те) = ф(0) = 1, откуда сле-
дует, что	== 1; X—целое число. Таким образом, каждый
характер группы Т (или R(2k)) задается целым числом т,
причем
Zm(x) = е'юх, mei, x€R(2k).
Так как zn-zm = xn+m, группа характеров для Т изоморфна
группе Z.
Последний из примеров показывает, что классическая сис-
тема ортогональных функций {£|шх}, т € г, на отрезке [0,2 те]
является системой характеров коммутативной топологической
группы Т.
2. Сужение и распространение характеров. Группа ха-
рактеров для фактор-группы и подгруппы. Пусть О—комму-
тативная топологическая группа, //--ее подгруппа и у—харак-
тер группы G. Сузив z на подгруппу Н, получим характер <?
этой подгруппы. Тем самым определяется отображение группы
характеров X для G в группу характеров Ф для Н. При этом
отображении в единицу группы Ф переходят такие характеры
Z группы G, что z(^) = 1 для всех h еН. Совокупность таких
характеров называют анулятором подгруппы Н и обозначают
Построенное выше отображение X в Ф определяет оче-
видным образом отображение фактор-группы Х/Н1- в Ф, — все
элементы смежного класса z+//"L переходят в один и тот же
элемент группы Ф. При этом отображение Х/Н^ в Ф моно-
морфно, т. е. его ядро состоит лишь из нулевого смежного
класса /Л.
Мы доказали, что группа характеров Ф для Н содержит
подгруппу, изоморфную фактор-группе Х/Н\ Если Н откры-
та в G, то группы Ф и XjH1' изоморфны.
Чтобы доказать это утверждение, нам понадобится следу-
ющая
Лемма. Пусть И открыта в G и пусть у—некоторый
характер группы Н. Тогда существует характер z группы
О такой, что у(А) = <?(Л) для всех h^H, т. е. у можно рас-
пространить до характера у группы О.
Ради простоты ограничимся случаем, когда дискретная
фактор-группа G/Н счетна. В этом случае
57
G!H={H, gl + H,	gB + H,
Обозначим через Ha наименьшую подгруппу в О, содержащую
Н и все элементы gu . . gB, и предположим, что характер
<? уже распространен до характера ©п подгруппы На. Возмож-
ны два случая:
а)	для любого целого k, отличного от нуля, элемент &gn+i
не принадлежит Нв,
б)	найдется -целое т #= 0 такое, что т ga+i € Нв.
В первом случае выберем любое число а€Т и положим
?n+1(* £n+1 + Лп) = ак <?a[ha), ha€Нп,
Предоставляем читателю возможность проверить, что срп+1—
распространение характера <рп на подгруппу ЛГп+1.
Во втором случае возьмем наменьшее положительное т такое,
что т gn+1 6 На, и пусть cpn(zn gn+1) = е'*- Положим тогда для
любых k и йп, где k = 0, 1, . . ., /ц—1; Ап€^/П,
?п+1(^п + 1 +Ап) =еХр(-^)?п(Ап).
И здесь срп+1—распространение ср на /7п+1. По индукции, рас-
пространяем х на всю группу G. Если фактор-группа G//Z не-
счетна, надо заменить обычную индукцию на трансфинитную.
Из доказанной леммы вытекает, что любой элемент ср
группы характеров Ф для Н получается при сужении на Н
некоторого характера группы О, а потому отображение
в Ф не только мономорфно, но и изоморфно. Поэтому спра-
ведливо следующее утверждение.
Если подгруппа Н открыта в коммутативной тополо-
гической группе G, то группа характеров для Н изоморф-
на фактор-группе Х/Н\ где Н1- CZ Х—аннулятор Н.
Рассуждения, с помощью которых мы доказали лемму,
позволяют также доказать еще одно утверждение.
Если подгруппа И открыта в О и g$H, то существует
характер х группы G, равный 1 на Н и такой, что x(g) Ч=. 1 •
Покажем теперь, что группа характеров Ф фактор-
группы G/Н изомофна Н\ В самом деле, выберем в не-
который характер х- Тогда для любого h^H имеем х(^) = 1»
и потому если g€G, то %(g + fi) = x(g) х(Л) = /(§)• Это
показывает, что характер х постоянен на каждом из смежных
классов по Н, т. е. определяет характер фактор-группы GjH.
Обратно; если ср—характер фактор-группы GjH, то он за-
дает характер х группы G, определяемый равенством х(£) =
= cp(g +//). При этом, очевидно, х(^) = 1, если h^H, т. е.
XG#x. Тем самым доказан изоморфизм групп Нг и Т.
58
Из доказанного утверждения вытекает, что если П} и Н2—
подгруппы, в G такие, кто Н{сН, и Н2 открыта в G, то
группой характеров для H2jHx является
В самом деле, группой характеров для G)HX является Hi~.
Поскольку подгруппа Н2 открыта в О, открыта в G/'HX.
Отсюда следует, что группой характеров для	является
совокупность характеров группы 0/Нх, обращающихся в 1 на
H2iHx. Эта совокупность совпадает с совокупностью элемен-
тов группы Hi~, равных 1 на Н2, т. е. с Н^Н^.
3.	Группа характеров конечной прямой суммы коммута-
п
тивных компактных групп. Пусть G = J?Gk, где Gk—комму-
к=1
тативные топологические группы. Как указано в п. 5 § 1 гл. I,
элементами G являются кортежи (gt, . . ., gk,  . gn), где
gk€Gk. Обозначим через GK подгруппу в G, состоящую из
элементов вида gk = (0, . . ., О, gk, 0, . . .0). Очевидно, что
эта подгруппа изоморфна Gk.
Пусть /—характер группы G. Сузим его на подгруппу Gk.
Ясно, что при gk, ЛкЕОк : x(ik + Ak) =zjik)z(Ak), й потому
сужение у на Gk—характер подгруппы Gk. В силу изоморфиз-
ма групп Gk и Gk это сужение являемся одним из характеров
(к)
Х«к группы Gk.
Обратно: пусть (yVA . • •, Z^)—произвольный кортеж, со-
ставленный из характеров групп Glt . . ., Gn. Любой элемент
п
g = (g,, . . ., gn)€G может быть записан в виде g = ^gk>
k=l
где gk = (0, . . ., 0, gk, 0.0)€^k. Положим
(п \
2^ “ П ХакШ.
к=1	)	к=1
Нетрудно показать, что у является харак тером группы G. Итак
доказана
Теорема 3.2. Пусть G = ^Gk—прямая сумма коммута
к=1
тивных топологических групп Gk, 1 А «. Каждый харак-
тер 1 группы О задает некоторый кортеж (у!1?. • • •. Х^О*
состоящий из характеров групп Gk, и наоборот: каждый
такой кортеж задает характер % группы Q по формуле
п
х(£)=*(£1, • • .,^)=Пх?Ы	(1-6)
к=1
59
Примеры. 1. Рассмотрим характеры /я-мерного тора Тт
(см. п. 5 § 1 гл. I). Функции, заданные на этой группе, явля-
ются 2к-периодическими по каждому аргументу функциями
J(xx, . . ., Хщ) от т переменных. Так как характерами группы
Т являются функции вида elnx, «€Z, любой характер у груп-
пы Тш задается кортежем целых чисел N = (nt, . . .,' nm) и
определяется по формуле
m
XN(g) == 2гкХк- S = (eix\ ..., е'Н
к-1
m
Для краткости обозначим ^ПкХк = (N, х). Тогда хЛ(£) =
к=1
2. В теории групп (см.: [63], стр. 123) доказывается, что
любая конечная коммутативная группа G является прямой
суммой циклических групп, порядок каждой из которых—
степень некоторого простого числа
m
j=l k=l
где рх, . . ., рт—простые числа. Так как группа характеров
для Z(/?jJ'k) изоморфна этой группе, и группа характеров для
О изоморфна G.
На основании утверждения, доказанного в конце п. 2, мож-
но сказать, что если H\C1H2(Z.G, причем Н2 открыто в G, и
фактор-группа H2lHt конечна, то H2jHx —Н^/Н^.
В самом деле, группа характеров для H2fHx изоморфна
как Н\-(Н2, так и Н^НХ.
4.	Группа характеров топологической прямой суммы
счетного множества коммутативных топологических групп.
Во многих вопросах теории характеров полезна следующая
Лемма. Пусть у—характер коммутативной топологиче-
ской группы G, причем для всех g(*G выполнено неравен-
ство | y(g) — 11 <	. Тогда y(g) = 1 для всех g£G.
Доказательство. Обозначим через а наименьшее по-
ложительное число такое, что | «ie — 11 =Ясно, что
0<а<-у. Условие 1х(ё’)—'1)1 < равносильно тому, что
|argx(g)|<« для всех g£G. Если бы нашелся такой элемент
g0^G, что. xCgo)^1’ то мы «мели бы 0< | argх(Sb) I < «-
Обозначим через k число ЕI - ——— ], где Е (х) — целая
Г	\ I arg x(g0) | /
60 .
часть х. Тогда [argy ((&+l)g0) I = (&+1) |argy(g0)! > а, при-
чем, очевидно, arg у ((А + l)g0) 'О- Но это противоречит тому,
что I argy (g) I « для всех g€G. Лемма доказана.
Пусть Gk, k €N0—коммутативные топологические группы и
СО
(j = SGk—их топологическая прямая сумма. Элементами gQG
k=0
являются последовательности (ge, . . ., gk, • . .)> гДе gk€Gk.
Пусть у—произвольный характер группы G. Так как это не-
прерывная функция на группе G и у(0) = 1, найдется окрест-
ность нуля U в Q такая, что при g^U выполнено неравенство
lx(g)-H<^.	(1.7)
Окрестности нуля U{U{0\ . . ., в группе G описаны в
п. 5 § 2. гл. 1). Ясно, что окрестность £/(£7<0), . .., t7(n>) содер-
жит подгруппу GnCZG, состоящую иа элементов вида g =
= (0, ..., О, gn+1, ...).
По теореме А. Н. Тихонова, эта группа компактна, причем
выполнено неравенство (1. 7). Значит по доказанной выше
лемме y(g) = 1 для g€Gn. Но любой элемент g£.G един-
п
ственным образом можно записать в виде g=2gk + gn, где
к=0
gk = (0, . . ., О, gk, 0, . . .), gn€Gn. Рассуждая далее так же,
как в п. 3, получаем следующее утверждение.
Теорема 3. 3. Пусть группа О является топологической,
прямой суммой счетного множества коммутативных то-
пологических групп Gk, £€N0. Тогда каждый характер у
группы G задается натуральным числом п и кортежем
(у®), составленным из характеров групп Gk, k = 0, 1, . . ., п.
Такой характер имеет вид
п
X(g) = П X«k (gk),	(1.8)
k=0
где
g = (go, . . ., gk, . . .).
Характер, задаваемый формулой (1. 8), можно записать в
виде y(g) = П X^gk), гДе ПРИ п все у^’—единичные ха-
к=0
рактеры.
5.	Характеры групп, топология которых задана цепочкой
подгрупп. Пусть в коммутативной топологической группе О
существует полная счетная система окрестностей нуля G =
=U0 ЗУА ZD • • • ZZ)Gn ZD • • •, состоящая из подгрупп. Если у—
характер группы G, то он непрерывен в нуле этой группы, и
потому найдется такое п, что | y(g) — 1) | ПРИ g€Gn. По-
61
скольку £7П—группа, по лемме из п. 4 для всех g£Ua выпол-
няется равенство /(g) = 1. Мы доказали, таким образом, что
для любого характера у группы G найдется такое п, что
/,С^.
Иными словами, доказана
Теорема 3. 4. Если в коммутативной топологической
группе G существует цепочка открытых подгрупп G=U0ZJ- • •
•  • E)Un ZD • • •, образующая полную систему окрестностей
нуля в G, то группа характеров X для G является объеди-
I	00 I
нением аннуляторов U„ подгрупп Un'.X= |J Un.
n=0
Напомним,^что U„ — группа характеров фактор-группы G/Un,
которая в данном случае дискретна. В частности, если группа
G компактна, то все фактор-группы GfUa конечны (группа G
покрывается конечным числом открытых смежных классов
gk + £Л). Как было показано в п. 3, группа характеров конеч-
ной коммутативной группы изоморфна этой группе. Мы до-
казали, таким образом, следующую теорему:
Теорема 3. 5. Группа характеров X коммутативной
нуль-мерной компактной группы G является объединением
возрастающей цепочки Uo~CZ ••• Ct/nCZ ••  конечных под-
групп.
Поскольку любой элемент у из X принадлежит одной из
конечных подгрупп Un, он имеет конечный порядок. Значит,
группа X периодична.
Примеры. 1. Найдем группу характеров для группы Zp
целых р-адических чисел (см. п. 7 § 2 гл. I). В этой ,'П’,’пиё
существует такая цепочка открытых подгрупп Zp =U0‘^Ui ZD
ZD • • • ZDf/n ZD •  где Un= pn Z., что fl £4= {0}, причем Z, U
n—o	a
—циклическая группа порядка pn. Отсюда следует, что
Un тоже является группой Z(pn). Поэтому группа характеров
для Zp является объединением возрастающей цепочки групп
O=L/o4Z- • •	• • •, где Un ~Z(pn). Иными словами, X—
группа типа р00 (см. пример 7, п. 2 § 1 гл. I). Элементы груп-
пы X имеют вид —, где 0<й<р1’ и а—целое число. Если
Рп
у = —, то характер y(g) задается формулой
Рп
(п — 1	\
2^'2 abkpk~a ,
k=0	J
где
g = 2 bkp*' bk = Q’ • • •> P ~ ь
k=0
62
Аналогичный вид имеет группа характеров для группы це-
лых Р-адических чисел.
2. Пусть G—прямая топологическая сумма групп Оп, каж-
дая из которых изоморфна Zp. Тогда ее группа характеров X
является прямой суммой групп Хл, изоморфных группе р00,
(	ак \
т. е. состоит из элементов вида у = ——, . . . , —— , где
\ Р 1	Р k /
= 0, 1, . . ., р"к — 1. Характер у имеет вид
(ОО
2
k=l m=t
i™-nk .
• здесь
g = (gt, • . gk, • • •). gk = 2 bmkpm.
m—0
6. Введение топологии в группу характеров. До сих пор,
говоря о группе характеров, мы имели в виду лишь ее алгеб-
раическую структуру. Введем теперь в группу характеров X
коммутативной топологической группы G топологию. Для это-
го достаточно задать в группе X полную систему окрестностей
единичного характера zosl. Каждая окрестность этой систе-
мы определяется компактным подмножеством А из О и поло-
жительным числом е. Именно окрестность U(A, е) состоит из
таких характеров у, что I /(g) — 1| < е для всех g^A. Мы
опускаем несложную проверку того, что система подмножеств
{U(A, $)}, где А пробегает все компактные подмножества в G,
а е—все положительные числа, удовлетворяет системе аксиом
из п. 2 § 2 гл. I. Введя в группу X топологию с помощью
этой совокупности окрестностей характера /0, получим топо-
логическую группу, которую в дальнейшем и будем называть
группой характеров для G.
Из леммы п. 4 вытекает.
Теорема 3. 6. Группа характеров X компактной ком-
мутативной группы G дискретна.
В самом деле, возьмем в качестве А самое группу О и в
качестве е число 1/10. По упомянутой лемме, множество
U{(j, состоит лишь из единичного характера у0, и пото-
му группа дискретна.
Докажем теперь двойственное утверждение.
Группа характеров X дискретной коммутативной груп-
пы компактна.
Ради простоты ограничимся случаем, когда коммутативная
группа G счетна. Возьмем любую последовательность харак-
теров Xi» • • м Хпт • • • и выберем с помощью диагонального
процесса такую последовательность yki, • • •> Xkn, • • •> что йля
63
любого gQG числовая последовательность (/к (g)j сходится.
Положим /(g) = limxk(g). Тогда | /(g)= lim j /к (g) | = 1 и
п->00 П	п
при любых g и h. из G имеем
Z(g + Л) = Пгп Xkn(g + й) = Пт xkn(g) хкп(й) =
= Итхк (g)-lim х (А) =/(g)/(/?).
п->со П h->qo п
Так как группа G дискретна, / непрерывна. Значит, /—харак-
тер группы G. Последовательность характеров /к сходится к
В самом деле, любое компактное подмножество А в G
конечно: A = {gi, . . ., gm}, и потому для любого е>0 най-
дется такое v, что |xkn(gj,x(gj) | < е Для всех и у =
= 1, . . ., т. Это значит, что Hmxk = у. Итак, из любой по-
П~*оо п
следовательности характеров можно выбрать сходящуюся по-
следовательность, а потому группа X компактна.
Рассмотрим теперь группу G, содержащую открытую ком-
пактную подгруппу Н (такая группа локально-компактна).
Группа характеров X для G содержит подгруппу/У^—аннуля-
тор подгруппы Н. По лемме из п. 4, эта подгруппа совпадает
с множеством U^H, характеров, для которых jx(/z)v- 11 <
<-~ при h£H. Поскольку Н компактна, HL=U^H, от-
крыта. С другой стороны, как было показано в п. 2, подгруп-
па Ну совпадает с группой характеров дискретной фактор-
группы G//7 и потому компактна. Значит, если группа G со-
держит открытую U компактную подгруппу И. то ее груп-
па характеров X также содержит открытую и компакт-
ную подгруппу Нк~аннулятор Н.
В частности, если группа G локально-компактна и нуль-
мерна, то ее группа характеров X является объединением
возрастающей цепочки открытых и компактных подгрупп—ан-
нуляторов подгрупп Z7n, образующих полную систему окрест-
ностностей нуля в G. Любой элемент / группы X принадле-
жит в этом случае хотя бы одной из компактных подгрупп
Un - Следовательно, группа X периодическая1.
Группа характеров нуль-мерной локально-компактной
группы является периодической локально-компактной груп-
пой.
Справедливо и обратное утверждение.
1 Определение периодических групп см. в п. 7 § 1 гл. I.
64
Группа характеров периодической локально-компактной
групппы, является нуль-мерной локально-компактной груп-
пой.
Мы опускаем доказательство этого утверждения, основан-
ное на том, что любое компактное подмножество периодиче-
ской локально-компактной группы порождает компактную под-
группу.
Напомним, что группа характеров X группы R алгебраи-
чески изоморфна R. Легко проверить, что и топологиза-
ция этой группы характеров совпадает с обычной топологиза-
цией группы R: в качестве компактных подмножеств А можно
выбрать отрезки [—а, а], а условие |eiXx— 1 |<е при |х|<а,
е < 1, означает, что IX' <8, где 8 = — arc sin —. Иными сло-
вами, окрестностями нуля в X являются промежутки вида
НЛ
Из доказанного утверждения следует, что группа харак-
теров для R не только алгебраически, но и топологически
изоморфна R.
Во всех рассмотренных примерах группа характеров ло-
кально-компактной группы оказывалась локально-компактной.
Вообще, справедливо следующее утверждение, доказательство
которого мы опускаем.
Группа характеров локально-компактной группы ло-
кально-компактна.
Найдем теперь группу характеров дискретной группы G,
являющейся прямой суммой счетного множества дискретных
ОО
групп Gn, ngN0:G=^Gn. Пусть Ха—группа характеров для
п=0
Gn и /—характер группы G. Сужая / на подгруппы Gn~Gn,
получим характеры /п этих подгрупп. Таким образом, каждо-
ОО
му характеру / группы G = Gn соответствует элемент (/0, ...
п=0
. . ., /п, топологической прямой суммы групп X. Обратно:
если /пе^п, «€N0, g = (g0, . . .,ga, . . то равенство /(£)=•
ОО
= П Хп(ёп) определяет характер / группы G (в произведении
п=0
все множители, кроме конечного числа, равны единице, так
как все gn = 0, кроме конечного числа). При этом топология
ОО
группы S Хп совпадает с топологией группы X. В самом деле,
п==0
так как группа G дискретна, любое компактное подмножество
А в G конечно. Но любое конечное подмножество группы G
лежит в прямой сумме конечного множества групп Оп, ДсТ
“-5	65
m
CZ 2 @D- Отсюла без труда следует, что система окрестностей
П=1
вида LJ(A, е) BSJVn эквивалентна системе окрестностей вида
U(U0, . . Ua, . . .), т. е. что Х= SXB.
П—1
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Если дискретная группа G является прямой суммой
групп ОП, n€N0, то группой характеров для G является
S Хл, где Лп—группа характеров для Gn.
п=0
7. Теорема двойственности. Пусть О—коммутативная то-
пологическая группа и Х—ее группа характеров. Поставим в
соответствие элементу g0ji3 О функцию g0 на группе X, оп-
ределяемую равенством g0(x) = x(g’o)- Очевидно, что | go(x) | =
= 1. Далее, для любых Xi и /2 из X имеем ^0(Х1Хг) —
(XiXa) (go) = Xi(go) X2(go)= go(l\)'go(^)-
Наконец, функция g0 непрерывна на X. В самом деле, по-
скольку множество {g0} компактно, для любого е > 0 множест-
во U(goy е) открыто в X. Для любого х из этого множества
выполняется неравенство | x(go) — 11 < е или, что то же самое,
неравенство | g0(x) — 11 <Се- Это означает, что функция ~g0 не-
прерывна в точке /0 = 1. Но тогда она непрерывна при любом
Xi, поскольку
1 io(XtX) ~ Jo(Xt) I = * gZ(Xi)g^(x) — ^o(Xi) I =
=; go(xi); • < B(x) - i_r= । Jo(x) -11-
Из доказанного следует, что g0—характер группы X. Мы
построили, таким образом, отображение g0-+g0 группы G в
группу характеров О группы X. Основным результатом тео-
рии характеров является доказанная Л. С. Понтрягиным тео-
рема двойственности.
Теорема 3. 7. Пусть G—локально-компактная коммута-
тивная группа, Х—ее группа характеров и О—группа ха-
рактеров для X. Тогда отображение g-+g, сопоставляю-
щее каждому элементу g^G характер g : х-* x(g) группы
X, является изоморфизмом между топологическими груп-
пами G и G.
Мы не будем доказывать эту теорему в общем виде, и на-
метим доказательство лишь для случая, когда группа G нуль-
мцерна и периодична. В этом случае в группе G есть основная
цепочка подгрупп • • • ZD U_a ZD • • • ZD^0 ZD • • • ZD Ua ZD • • • такая,
что:
66
а)	П tf» = {0},
Л=-0О
6)	U = G<
n=—oo
в)	фактор-группы Un/Un+i конечны.
Отсюда вытекает, что в группе X существует цепочка под-
групп
• • • T)U^	Z)G±n Z) • • •
такая, что
а)	П Un = {/oh
П——«оо
б)	U Un =
п=-оо
в)	фактор-группы	и Un-JUa изоморфны.
При переходе от Л- к Q снова получается цепочка подгрупп
с тем же свойством, причем восстанавливается порядок под-
групп, обращенный при переходе от G к X. Из изоморфизма
фактор-трупп Un ilUnn	выводится, что группы G
и Q изоморфны. Мы опускаем детали этого рассуждения.
8.	Примеры систем характеров компактных коммутатив-
ных групп.
Теоремы пп. 2—4 данного параграфа позволяют находить
системы характеров многих конкретных групп.
1.	Системы Уолша и Крестенсона. По теореме 3*3 п. 4,
00
каждый характер у группы G(q) = S Gk, Gk — Z(^), определя-
k=0
ется последовательностью а = (а0, . . ., ап, . . .) чисел, прини-
мающих значения О, 1, . . ., q—l, причем все числа, начиная
с некоторого, равны нулю. %a(g) находится по формуле
Ха(£) = ехр	(1.9)
где
00
g = (х0, . . хп, . . .), хп = О, 1, . . ., q - 1, (а, ^) = 2 акХк
к=0
(сумма на самом деле конечна).
Мера Хаара на группе G(q) однозначно определяется соот-
ношением
Р ({g I Хк = О, k = 0, 1.. п— 1}) = —, «€N0.
чп
Отображение X группы G на модифицированный отрезок [О, 1]
задается формулой
5*
67
X
к==0 Я
(Г. 10)
(#-ично рациональные точки удваиваются).
С помощью этого отображения находим систему функций
<}>а(х) =ехр^-~-(а, х)),	(1.П)
оо	оо
где х задается (1. 10),	(а, х) — ^акхк.
k=0	к=0
Если q = 2, то получим систему Уолша в нумерации Пэли
(см. [63]):
J(n)
= П Гк (X),
где
j(n)
«=22ki.	0<*.
i=l
и функции Радемахера
Гк(х) -(- 1Л для
к=о
Для простых q =/= 2 получаем так называемую систему
Крестенсона—Леви (см. [161]), обобщающую систему Уолша.
Система Крестенсона алгебраически порождается системой
функций
<Рк(х) =ехр(^р^,	(1.12)
если
Действительно, для
а«=	«к^к, Лк = 0, 1, . . q — 1,
к-0
имеем
V(4X)
Ш) = П [?к(*)Гк-
к=0
2.	Система Прайса. Дальнейшим обобщением системы Уол-
ша является система, введенная Прайсом. Пусть п. = (п0.........
«к, . . .) — последовательность целых чисел. Топологическую
прямую сумму циклических групп Z(/ik) порядка Пк мы в при-
68
мере 3 п.6 § 2 гл. I обозначили О(я). Теорема 3. 3 п. 3 дан-
ного параграфа позволяет заключить, что характеры группы
G(n) определяются финитными последовательностями а(а0, ,..,
Лк, . • •). где «к = 0, 1, . . ., «к —1; йк = 0 начиная с некото-
рого ka. Для g = (х0, . . ., хк, . . .), хк = 0, 1.пк - 1, xa(g)
вычисляются по формуле
Х<,(?) = ехр(2«<£-гИ£.\	(1.13)
\ к±о ”к /
При переходе на отрезок [0, 1] возникает система функций
{фа(х)}, определяемая следующим образом: положим
тк = nQnX' • -Пк, A>l;/w0—1.
Пусть
а = 2 Лк тк>
к=0
где
хк, ак = 0, 1, •  •. Чк— 1,
и ак = 0 при k > v(a). Тогда
фЛх)=еХр6я/У	(1.14)
v S Ик J
Положим
. ?к = Фтк-
Очевидно
»(а)
= П [ткО)]ак-
к=0
Функции срк играют здесь роль функций Радемахера в системе
Уолша—Пэли.
Ясно, что при Пк = Ц система Прайса превращается в сис-
тему Крестенсона—Леви.
3.	Система Иессена ([63], стр. 481). Рассмотрим бесконеч-
номерный тор Т°° —топологическую прямую сумму счетного
множества экземпляров группы T (см. пример 4 п. 6 § 2 гл. I).
Элементы этой группы имеют вид
g = (е1х°, . . ., е'Хк, . .	0<хк<2я.
По п. 3, характер группы Т00 определяется финитной после-
довательностью целых чисел
69
Л/ «= (л0, . . Лк, .. .), «k€Z,
и задается формулой
XN(g) =ехР f2irZ2 «к-«к^ехр (2iu(7V, g)), (1. 15)
\	к=0 J
где
(м s) = 2Пк Хк
к=0
является в силу финитности N конечной суммой.
4.	Системы Виленкина—Джафарли. Вычислим группу ха-
рактеров для группы Zp целых р-адических чисел (см. п. 7
§ 2 гл. I), т. е. группы формальных степенных рядов
g = 2
k=0
здесь
at = 0, 1, . . ., р — 1.
Полная система окрестностей нуля в группе Zp состоит из
подгрупп 47n=pnZp, где
PnZp = {png;^eZp}.
Пусть х~хаРактеР группы Zp. Так как Zp нуль-мерна и ком-
пактна, найдется такое число п, что х(й*) = 1 для Обо-
значим х0)~а- Ясно, что
«рп = [х(1)1рП = х(рп) = 1
и потому
(2 тс i b \	4
—— j, b = 0, 1, . . рп — 1.
Произвольный элемент
g=2ak/,K6Zp
k=0
можно представить в виде g = h' + h", где
h'= ^акрк, h" = ^akpk^Un.
k=0	k=n
Тогда
X(g) = X(A' + h") = x(A') X(A") = x(A').
Ho h'—целое число, и потому
70
М = х(Ю = 1х(1 )Г = exp	(1. 16)
Таким образом, задание числа b = 0, 1, . . ра — 1, одно-
значно определяет характер х группы Zp. Соотношение (1. 16)
можно переписать в виде
z(g) = exp (
I pn
оо
S akpk
k=0
oo
= П exP
ЬО
/ 2r.iba^
\ />n-k
При этом следует иметь в
। виду, что члены произведения, на-
чиная с k—n., равны единице. Итак, любой характер хгруппы
ь
7 целых р-адических чисел определяется числом г вида —,
Р	рп
где n€N, b =0, 1, . . ., рп— 1. При этом характер Xr(g') зада-
ется формулой
Xr(g) = exp(2«Zrg).	(1.17)
В дальнейшем будем считать, что если г' == г (mod 1), где
г—число указанного выше вида, то хг- = Хг.
Докажем, что система X — {xJ замкнута относительно опе-
рации извлечения корня. Из (1.17) следует, что
Xkr(£) =exp(2uZ£rg) = [xr(g)]k-
Отсюда вытекает, что если Хг~одна из функций рассматрива-
емой системы, то
Хг(£) =
причем хг принадлежит той же системе.
Т
Пусть теперь простое число, отличное от р. Найдется
целое число с такое, что cq = 1 (modpn). Тогда
[XcrU)]q = [Xr(ff)]СЧ = Ixr(g)]kpn Xr(g).
Так как г =	IXr(£)]kpn==exp(2iu££>g-) = 1. Поэтому [Xcr(£)]q=
= Xr(£)- Но функция Xcr, где с—целое число, принадлежит
системе Л". Этим доказано, что для любой функции хг рассмат-
риваемой системы и любого простого числа q найдется функ-
ция Xs той же системы такая, что
(Xs)q = Хг.
Отсюда следует, что система X = {хг} замкнута относительно
операции извлечения корня.
Отметим, что если л—любое число, не делящееся на р, то
извлечение корня л-й степени из любой функции системы од-
71
позначно определено. Если же п — рк-т, где т не делится на
р, то существует рк различных корней «-степени из каждой
функции системы X, принадлежащих этой же системе. Если
Хг—один из этих корней, то остальные задаются в виде xr+s,
где s = b = 0, 1, . . ., рк — 1.
Опишем теперь отображение системы функций X = {уг} на
отрезок [0, 1]. Пусть
ОО
S = 2 х*рк
к=0
И
Поставим в соответствие
на [О, 1[ по правилу
функции Хг на группе О функцию
где
Фа(*) = Xr(g'),
п	00
а = 2 <hp‘. х = 2
к=0	k—0 Р
Можно рассмотреть следующее обобщение системы Вилен-
кина—Джафарли. Пусть Р = {р\, ръ . . ^—последователь-
ность простых чисел, причем каждое простое число либо не
входит в Р, либо входит в нее бесконечно много раз. Группа
Zp формальных рядов вида
к—О
где т0 = 1, mK=pt . . . рк, «к = 0, 1, . . ., рк+1 — 1
(см. п. 7 § 2), обладает характерами Хп задаваемыми рацио-
нальными числами вида г = b—Q, 1, . . ., ms — 1, по
ms
формуле
/ \	• I 2* ib g \
XrU) = ехр ------ .
\	J
Построенная система функций также замкнута относитель-
но извлечения корня.
5.	Группа характеров соленоида. В п. 8 § 2 гл. I показа-
но, что Р-соленоид Sp является фактор-группой прямой сум-
мы R-f-Zp по подгруппе Н — {(?(«), Ф(л)), »€Z}, где <р и ф—
естественные отображения группы Z в R и в Zp. Отсюда вы-
72
текает, что любому характеру х группы Sp соответствует ха-
рактер у группы R + Zp такой, что x(g + А) =х(£ + 77), если
h^H. Иными словами, группа характеров для Sp является
подгруппой характеров для R 4- Zp, состоящей из характеров,
которые на подгруппе И принимают значение 1.
Мы уже знаем, что характеры группы R имеют видхх(-*) =
— giXx, а характеры группы Zp — xr(g) = exp (2 it irg), где
00	b
g = Y fnK, r —-------(b — 0, 1, .... mt
i£o	We
Поэтому характеры группы R + Z имеют вид
Xx r(*. g) =expfZX* + 2ivi Y mK
I	iS
{1.18)
Выясним, какими должны быть X и г = чтобы для всех
целых чисел п выполнялось условие г(?(л). ф(л)) = I, т. е.
условие exp (Zn (X + 2лг)) = 1. Очевидно, что оно выполняется
для всех целых чисел п. в том и только в том случае, когда
X 4- 2« г кратно 2 г, Это значит, что X имеет вид 2«(£ —г).
4fZ и, следовательно пара (X, г) задается одним рациональ-
ным числом.
Таким образом, характеры солеонида Sp нумеруются рацио,
нальными числами, представленными в виде дробей со знаме-
нателями вида т3— рс • -ря. В частности, если все простые
числа входят в Р, то группа характеров для Sp изоморфна
группе Q.
6.	Пусть группа О = D 4- К является прямой суммой дис-
кретной группы D и компактной группы К. Тогда группой ха-
рактеров X для G является Ф4-Чг, где Ф—группа характеров
D, а ЧГ—группа характеров К- Так как Ф—компактная, а ЧТ—
дискретная группа, то группа X—локально-компактна.
о	со
7.	Пусть D = Gk, s °* где 6*' Z—циклическая
к«ж—QO	*"*1
0 °®.
группа порядка рПк. Тогда Ф «= S Ок, W = YOk и группойха-
к==оо
К=1
рактеров для G = D К является
о	00
Если
g = х = {х4
73
(как gK, так и хк~~элемент группы Z(pn,t), т. е. одно из чисел
О, 1, .. /Л-1), то
X(g) = ехр| 2«д 2 XKgKj-	О- 19)
\	к——со	/
Отметим,
что лишь конечное число членов ряда
ОО
2 от‘
к«=-«=
лично от нуля, так как найдется такое М > 0, что gK = OnpH
k < — М, а хк = 0 при k ^>М.
8.	Найдем группу характеров для группы Qp дробных р-
адических чисел. Для элементов этой группы определена не
только операция сложения, но и операция умножения: для це-
лых чисел она определяется обычным образом, а для осталь-
ных—по формуле g-h.= lim(gn-М, гДе {^п} и {йп)—последо-
n-»oo
вательности целых чисел, сходящиеся соответственно к g и h.
Легко проверить, что равенство
XhU) =exp(2t:/Ag), й, g€Qp	(I. 20)
задает характер группы Qp (значение этого характера зависит
лишь от рационального числа—дробной части р-адического
числа hg). В самом деле, функция xh непрерывна, |xh(^)j — I
'И Xh(gi +g2) = exp[2«ZA(g, + g2)] =exp[2«i(ftg1 + Ag2)] =
= exp(2K//ig1) exp(2«ZAg2) = xh(g1)Xh(fir2)- Мы опускаем не-
сложную проверку того, что все характеры группы имеют
вид (1. 20).
Поскольку каждый характер группы Qp задается элементом
h той же группы, группа X характеров для Qp алгебраически
изоморфна Qp. Легко видеть, что топологии X и Qp также
совпадают. В самом деле, любое компактное подмножество
А в Qp содержится в некоторой компактной подгруппе вида
/?~nZp, а аннулятором этой подгруппы является, как легко
проверить, подгруппа вида paZp, т. е. окрестность нуля b .Qp’
Аналогичный вид имеет группа характеров для группы Qp
дробных Р-адических чисел.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НА ЛОКАЛЬНО-КОМПАКТНЫХ
КОММУТАТИВНЫХ ГРУППАХ
1. Ортонормированность системы характеров компакт-
ной группы. Выше были приведены многочисленные примеры
систем функций, являющихся характерами тех или иных ком-
пактных коммутативных групп. Докажем, что любая такая
74
система функций ортонормирована относительно меры Хаара
на соответствующей группе.
Теорема 3. 8. Пусть G—компактная коммутативная
группа. Тогда система X — {х,} характеров этой группы
ортонормирована относительно меры Хаара на О и муль-
типликативна.
Доказательство. Так как функция х^Х непрерывна,
а группа G компактна, то x€L₽(g) при любом р, 1 оо,
в частности x€L2(G). Кроме того, lx(g)|=®l, a|*G — l.
Поэтому
f IX (g)	(g) = 1-
5
Нормированное™ системы функций {x«} доказана.
Далее, пусть х—характер группы G, отличный от единич-
ного. Тогда найдется такой элемент g06G, что х (go) Ф 1- Но
в силу инвариантности меры Хаара на G
(= Jx(g4-go)rfP(g)=X(go) [x(gW(g)’
G	G	G
Так как х(^о) ¥= h J x(g)rfMg)=O. Итак, интеграл по
G
группе G от любого неединичного характера этой группы
равен нулю.
Возьмем два различных характера Xt и Хг группы G. Тогда
X = Xt Хг будет неединичным характером этой группы, и потому
f xiteJxHFWU) = [x(gW(g) =о.
о	Ь
Тем самым доказано, что система функций {ха} ортогональна.
Мультипликативность системы функций (ха) вытекает из того,
что произведение двух характеров снова является характером.
Из ортонормированности следует, что система характеров
компактной группы, удовлетворяющей второй аксиоме счет-
ности, счетна. В дальнейшем мы не будем особо оговаривать
условия счетности.
Используя сохраняющее меру отображение группы G на
отрезок [0, 1], из каждой системы характеров получим муль-
типликативную ортонормированную систему функций на [0, 1].
Примеры. 1. Так как функции jglnx), n6Z,
тему характеров для группы
мера на этой группе имеет вид
R(2tx), • причем
dx
2^’
получаем
образуют сис-
нормированная
известное со-
отношение
75
2л J	(о при т^п.
2. На группе Z(n) характеры имеют вид
/	ik \
Х-(А) = ехр 2к7-^— . Отсюда следует, что
1	\	п /
П-1	/1	М
1 VI /п • Jk \ ь если J
— У ’ ехр 2 л i — =
п	\	«7	10, если 7 = 1, . . ., « — 1.
к=0
3.	Пусть Н—открытая подгруппа компактной коммутатив-
ной группы G, A"—группа характеров для G. Так как
группа характеров для конечной группы GfH, подгруппа Н±-
конечна. Пусть /7± = {х0- • • •» Хп—>}• Тогда имеет место равен-
ство
_Ly’ fa) = P’ если
nS К	10, если g$H.
В самом деле, g(xK)^XK(g)~характер на подгруппе Н\
причем инвариантный интеграл на Н1- имеет вид
п-1
HX	к=0
Отсюда следует, что
— 2^) =4" 2"^^ =	=
П к==0	к=0	н±
= J g(x) О (х) d t* (х)>	(2. 1)
нх
где О—нуль группы G. Из соотношений ортогональности вы-
текает, что интеграл (2. 1) равен 1, если единичный ха-
рактер группы Н1-, т. е. если g^H, и равен нулю в против-
ном случае.
Из доказанного утверждения получаем, что
n-1	e
2 Xkte - =
к«0
1, если g^gv + H,
.0, если g0+ -77.
(2. 2)
Иными словами,
76

1	11	1	_____
— SXkte>Xk(£o) “
k=0
1, если g£g0 +H,
JO, если g^g0 + H.
(2. 3)
4.	Системы функций Уолша, Крестенсона—Леви, Прайса,
Виленкина—Джафарли ортонормированы на соответствующих
группах (см. примеры 1, 2, 4 п. 8 § 1). При отображении этих
нуль-мерных компактных групп на отрезок [0, 1] получим ор-
тонормированные мультипликативные системы функций на
этом отрезке.
2. Полнота системы характеров компактной коммутатив-
ной группы. Если коммутативная группа Q конечна и ее по-
рядок равен п, то пространство L2(G) функций на этой груп-
пе конечномерно и имеет размерность п. Так как группа
характеров X конечной коммутативной группы G изоморфна
этой группе, X также содержит п элементов. Поэтому харак-
теры /к, k — Q, 1, . . ., л —1, группы G образуют в силу со-
отношений ортогональности ортогональный базис в L2(G), т. е.
система {хк}о—1 полна в 1?(О).
Это утверждение остается истинным для любой компактной
коммутативной группы G.
Теорема 3. 9. Система характеров X = (xj компактной,
коммутативной группы G образует ортонормированный
базис в L2(G) относительно нормированной меры Хаара в G.
Поскольку ортонормированность системы характеров уже
доказана, осталось доказать полноту {хв}> т. е. что любая
функция из L2(G), ортогональная всем характерам хв. равна
нулю почти всюду на G.
Доказательсгво этого утверждения в общем случае осно-
вано на существовании нетривиальной собственной функции
у эрмитова ядра вида K(g, h)—F(g — А), где F *= f (gj-Xfi—g).
Мы приведем лишь доказательство для частного случая, когда
группа G нульмерна.
Пусть G =£70о£Д ZD • • • Z)Gn Z>-основная система под-
групп в Си O = X0CZAF1CZ ••• СA'nС •••—возрастающая
цепочка аннуляторов этих подгрупп в А, Ха =U±. Каждая
из подгрупп Хп конечна, Хп = [Хо, .. ., JGnn_j}. Так как все
интегралы |/(5г)Хк(Я)^Р’(я) равны нулю, для любого g0€G
о
и любого п
mn-!	Шп-’ 
Jf (g) 2 ^g - g^d ^g) = 2 P~d и =
b	к—0	k=0 G
77
mn~l______ ___________
= 2 Xk(~ &>) f f <£) *n (^) d Iх te) = °-
k==»0	G
По формуле (2. 2), это равенство можно записать в виде
та У f(g)dp.(g) =0.	(2.4)
s»+Vn
Поскольку (2. 4) справедливо для всех п и всех g0, в любой
точке Лебега g0 функции f (g) имеем f(g6) = 0, т. е. / равна
нулю почти всюду.
Итак, теория характеров позволяет сопоставить любой
компактной коммутативной группе G полную ортонормирован-
ную мультипликативную систему функций—совокупность ха-
рактеров этой группы. В силу мультипликативности система
функций (/J. образует дискретную группу X относительно опе-
рации умножения. Теорема двойственности Л. С. Понтрягина
показывает, что для любой коммутативной группы X найдется
такая компактная коммутативная группа О, что группа харак-
теров для О изоморфна X. В качестве О надо выбрать группу
характеров для X с соответствующей топологией.
Из теоремы двойственности следует далее, что если ком-
пактные коммутативные группы Gt и О2 неизоморфны, то со-
ответствующие им системы характеров образуют по умноже-
нию неизоморфные группы. В самом деле, если бы группы
Xt и Х2 были изоморфны, то были бы изоморфны и группы
Gi и Оа как группы характеров изоморфных групп.
Пусть (хя| и {<ра}— системы функций, заданные на множест-
вах соответвенно с мерой (X, р.) и (К, v). Назовем эти сис-?
темы эквивалентными, если в X и К можно выделить под-
множества Хх и полной меры и задать сохраняющее меру
взаимно-однозначное отображение р:Л'1~>К1 так, что при со-
ответствующей нумерации этих систем имеем ха(%) = Фа(р(х))’
Можно доказать, что если на множестве (X, р) задана
полная ортонормированная мультипликативная система функ-
ций, то она изоморфна системе характеров некоторой компакт-
ной коммутативной группы G (относительно меры Хаара на G).
Это замечание сводит задачу классификации полных ортонор-
мированных мультипликативных систем функций к задаче
классификации счетных коммутативных групп. Эта задача пол-
ностью решена для периодических групп (см. [68], § 28).
Поэтому можно дать исчерпывающую классификацию полных
ортонормированных периодических мультипликативных систем
функций (см. [31]).
3. Преобразование Фурье интегрируемых функций на
локально-компактных коммутативных группах. Пусть G—
локально-компактная коммутативная группа и <p€L(G), хбА",
где X—группа характеров для G. Так как (g)l = l для
78
всех g€G, интеграл J <p(g) x(g)<*l* (g) сходится. Значит функ-
ции ? соответствует функция
ф(х) = J ?(£) X (g)d Р'(ё’),	(2- 5)
о
заданная на группе X. Эту функцию называют преобразова-
нием Фурье функции ср.
Имеют место следующие свойства преобразования Фурье:
а) отображение ср->^ аддитивно и однородно, т. е.
(X,	+ Х2 ср2)^ - X, ф, + Х2 ?2,
что непосредственно вытекает из свойств интеграла;
б)	при сдвиге функции <р на h ее преобразование Фурье
умножается на х(А):
<рГ(х) =“= х(Л) ?(х),
где
41 Tte) = <f(g + А).
В самом деле, в силу инвариантности меры Хаара при
сдвиге и свойств характеров имеем
(•'ь'рГ(х) = J <?(£ + A) x(g) d |х (g) = J cp(g) x(g — Л) d |i (g) =»
G	G
“х(-л) [ <p(g) x(gM p (g) =x(^)?(x);
о
в)	при умножении функции ср на характер ее преоб-
разование Фурье сдвигается на — Xi:
(xi ?Нх) = ?(х—Xi)-
В самом деле,
(Xi ?) (X) = J 4>(g)Xi(g)x(g) d?(g) = J <p(g)x(g)Xi(:Lg)^lx(g) =
G	G
*= f ?(g) (x—Xi)(g) d i* (g) = ?(x xi);
G
г)	если ’p(g) = ?(-^g), mo ?(x) = ?(—x)-
В самом деле,
Ф(х) = f ср(— g) x(gj d p. (gj = J cp(g) x(—g) d [X (g) =
G	G
= f?(g) (-i-x(g))^ix(g) = ?(— x);
G
79
д)	имеет место равенство = (9)*, т. е.
(?Пх) = ?(—х)-
В самом деле, — х = х. и потому
(?) (х) = J ?(g) Xte)	(g) = J ?(g) (—x(g)) d I* {g) =
= ?(-^x)e (?)*(x)-
Следствие. Если функция <p действительна, то ее пре-
образование Фурье эрмитово-симметрично, т. е. (?)* = ?;
е)	имеет место равенство (?*) = ср. Это равенство сле-
дует непосредственно из г) и д).
Следствие. Преобразование Фурье эрмитово-симметрич-
ной функции является действительной функцией на X.
Если функции ?! и ®2 принадлежат L(0), то их свертка
?i ?2 тоже принадлежит L(G)r
ж)	преобразование Фурье свертки функций из L(O) равно
произведению преобразований Фурье свертываемых функций'.
(?1*?»Г = ?1-?2-
В самом деле,
(?i *?s)~(x) e f (?i * ?j) (g) И7) d |i (g) =
= f f ?i(g xU) d p(g) d p(A) =
G G
— J J ?1(# — A) X' g -1- h) ?»(A) zW d ?(g) d p(A) =
GO
“ J ?ite) x(F) d p (g) • J ?a(Zt)x(A) d p. (A) = ?!(x) ?a(x)
O	G
(мы использовали теорему Фубини и сделали замену перемен-
ной g— h — gi).	_
Из свойств е) и ж) преобразования Фурье вытекает, что
и в частности
(<р%?) =|<р|2;
з)	если последовательность функций {?п} из L(O) схо-
дится к ?, то для любого х € X имеем
80
Hm <pfl(x) = <p(x).
n-*w
В самом деле, |x(g)l~l. и потому
l?n(x) — ?(х)I в |	(g) — ?(g)]x(g) dp.(g)| <
< JI Tn (g) — ?(g)\ dP (g) = з <Pn - <?It.
Поскольку lim J<pn — <p ||i = 0, lim <pn(x) = ?(x)-
n—*00	П—*00
Назовем групповым кольцом группы G пространство L(G),
в котором сложение и норма определяются обычным образом,
а „умножение11 —как свертка функций. Легко проверить, что
L(G) является нормированным кольцом (банаховой алгеброй).
Имеет место следующее утверждение.
и)	если ФсзА", то множество У(Ф) функций. cp£L(G),
преобразования Фурье которых равны нулю на Ф, образуют
идеал в ЦО).
В самом деле, очевидно, что если ср €/(Ф) и ф£/(Ф). то
<р4-ф€/(Ф). Далее, если <р€/(Ф) и ф€Цб), то (<р	== ф ф
также обращается в нуль на Ф, т. е. ср-Й-ф€ У(Ф). Очевидно,
наконец, что идеал У(Ф) замкнут в L(G): если ф = lim срп и
?п(х) = 0 при х € Ф, я 6 N, то
ср(х) = lim срп(х) ==0.
П—*оо
В частности каждому элементу хо группы X соответствует
идеал 7(Хо)> состоящий из функций, преобразования Фурье ко-
торых обращаются в нуль при х = Хо- Имеет место следую-
щее утверждение, доказательство которого мы опускаем:
к)	идеал /(хо) в L(G) максимален, т. е. не содержится ни
в каком замкнутом идеале, отличном от него самого и L(G).
4.	Преобразование Фурье гладких финитных функций.
Особенно простой вид имеет преобразование Фурье, если груп-
па нуль-мерна и периодична, а функция ср финитна и гладка.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Пусть Н—открытая и компактная подгруппа
локально-компактной коммутативной группы G, а функция
<Р равна 1 на Н и нулю вне Н. Тогда ср равно р-(Н) на
и нулю вне Н^.
Доказательство. По определению <р, имеем
?(х) = J?(g)x(sr)^i,'(g) = fx(g)rfiA(g)-
о	н
Если хб^х. то x(g) = 1 при g^H, и потому
4—<5
81
?(х) =	(g) — Если же х(сН\ то, сужая х на Н,
получим неединичный характер группы Н, и потому
? (х) = J X (g)d И U) = 0 в силу теоремй 3. 8.'
н
Используя свойства б) и в) преобразования Фурье, имеем
Следствие 1. Если Н и О такие, как в лемме, и функция
<Р равна 1 на gi + H и нулю вне g,4- Н, то f равно
на И1- и нулю вне1-.
Следствие 2. Если Н и О такие, как в лемме, и функ-
ция <р равна Xi€A на Ни нулю вне Н, то <р равна р(Н)
на Xi + #х и нулю вне Xi +
Из следбтвия 1 получим описание преобразования Фурье
для гладких финитных функций. Пусть локально-компактная
коммутативная группа G нуль-мерна и периодична и . . . ZDG_„ZD
ZD • • • Z3t70 ZD • • • ZDM, ZD • ‘ • —основная цепочка подгрупп этой
группы. Если функция <р гладкая и финитная, то найдется та-
кое п и такие элементы g^, . . ., gm, что
m
?=2Тк>
К=1
ГДв
ъ („)=(“«или
(О, если gtfgk+Ц,.
Но тогда, по следствию 1, имеем, что
го
?(х)=2 м =
к^-1
m _______
2 ак X (gK). если ХОД,
k—1
О,	если Х^п”*
(2. 6)
Заметим теперь, что в рассматриваемом случае группа X
также нуль-мерна и периодична, причем G является ее груп-
пой характеров. Отсюда следует, что для функций 6 из Ъ(Х),
в свою очередь, определено преобразование Фурье, отобра-
жающее их в функции на G:
9->e(g-) = J 9 (х) g (х) d V (х),
х
где к—мера Хаара на X. В дальнейшем будем считать, что
меры р. и V нормированы так, Что p(G0) =	= 1. В этом
случае для любого п р (C7n) •v(47^-) = 1-
Применим, в частности, это преобразование для функции
82
(2. 6). Учитывая, что x(gk) = gK(x), получим в силу следствия
2, что (<?)~ равно ак на — gK + ua, k = 1, . . т, и нулю вне
ш .	*	\
(J (-^-gk + «n). Иными словами, имеет место равенство
к==1
(?)~(g)= ?(—g). Из него непосредственно вытекает следу-
ющая теорема обращения.
Теорема 3. 10. Пусть G -нуль-мерная периодическая ло-
кально-компактная коммутативная группа и у—гладкая
финитная функция на О. Тогда имеет место равенство
<p(g) = J?(x)x(g)<b(x).
х
где ^—преобразование Фурье функции <р.
Заметим теперь, что как произведение, так и свертка глад-
ких финитных функций снова являются гладкими и финитны-
ми. Поэтому, применяя теорему обращения к свертке пре-
образований Фурье, приходим к следующему выводу.
Следствие. Если <р и ty—гладкие финитные функции на
нуль-мерной. периодической группе Q, то преобразованием
Фурье функции <рф является (<р-Х-ф)(—х)-
f ?(g),?(g)z(gj^tA(g) =	(-х)-
G
В частности положим <[» = ?. Так как (<р) = (<р)\
f । ? (g) '2 Xi (g) d и (g) = (? * (?)’) (- Xi) =
G
= J?(x)(?)’(—Xi—x)rf^(x) = j* ?(z)<? 1x4-Xi) <ь(х).
X	X
Выбирая в качестве единичный характер, Xt = l, имеем ра-
венство
jMgJlWU) = f l?(x) \2d V (х),
о	х
называемое равенством Планшереля. Еще раз напомним, что
меры и v нормированы так, что р.(£70) = v (i/gL) — 1.
5.	Теорема Планшереля для нуль-мерных периодических
групп. Гладкие финитные функции принадлежат пространству
L2(G). Равенство (2. 6) п. 4 показывает, что при соответству-
ющей нормировке мер Хаара на нуль-мерной периодической
локально-компактной коммутативной группе G и на ее группе
характеров X отображение для гладких финитных функ-
ций изометрично. Поскольку множество этих функций всюду
плотно как в L2(G), так и в Ь2(ЛГ), отсюда следует, что ото-
6*	83
Сражение ?-><р можно распространить до изометрического ото-
бражения L2(G) на L2(A). Тем самым преобразование Фурье
определено для функций из L2(G), причем теперь достигнута
полная симметрия между Си/ (в то время как преобразо-
вание Фурье функции из L(G) не обязано принадлежать L(.¥)).
Если ip€L2(G), то ее преобразование Фурье ? можно опре-
делить следующим образом. Обозначим через <рп сужение
функции ср на U_n. Так как подгруппа U_a компактна, L2(G_n)CZ
CZ L(i/_n)C L(G), и потому cpnQL(G). Следовательно, функция
' срп имеет преобразование Фурье срп, определяемое формулой
(2. 5) п. 3. Ясно, что последовательность функций {<рп}
дится к ср в пространстве L2(G). Из изометричности преобра-
зования Фурье вытекает, что последовательность фунда-
ментальна в L2(A’) и потому сходится к некоторой функции.
Очевидно, что этой функцией и является ср. Итак,
<p(g) x(g) <Mg),
n->“ d_n
где l.i.m обозначает сходимость в L2(G).
Для функций из L2(G) справедлива формула обращения
<F(g) “ f?(x)g(xH*(x)	(2.7)
х
(интеграл понимается в смысле сходимости в Ь2(Л)):
С ф(Х) g(х) d *(х) “l.i.m f т(х) g(x) (х).
х	хп
где Хп = Un]. При этом изометричность преобразования Фурье
означает, что
f 17(g) № (g) = J I ? (X) fd v (x).	(2.8)
G	X
Равенство (2. 8) называется равенством Планшереля.
Из равенства Планшереля следует, что для любых двух
функций ср и ф из L2(G) справедлива формула
J <p(g) W) d i* (g) = j ?(x) ф (x) d м (x).	(2. 9)
G	X
Мы доказали формулы (2. 7)—(2. 9) для случая, когда груп-
па G нуль-мерна и периодична. Можно доказать, что они вер-
ны для любой локально-компактной коммутативной группы.
Только t/oCt7_jCZ • • • CZ£7_nCZ-любая цепочка компакгных
подмножеств в G, исчерпывающая G, a A"0CZ Хх CZ • • • CZ Xn(Z.
С ••• — аналогичная цепочка в X.
84
6.	Преобразование Фурье обобщенных функций. Пусть G—
нуль-мерная периодическая локально-компактная коммутатив-
ная группа /€L(G) П L2(G). Тогда для любой гладкой финит-
ной функции у справедливо равенство
= J7(x)?(xH4x),
X
т. е./(у)=/(у). Это равенство можно записать в виде
у-(ф) = f (ср), где ф(^) = у(— g)(cM. свойства г) и д) п. 3).
Поэтому для обобщенной функции F, на G преобразование
Фурье F определяется равенством
р (у) = F (ф).
Примеры. 1. Пусть F = Ъ. Тогда
8(ф) = 8(ф) = ф(0)= <|>(—0) =у(0)= (“ у (х) d v (х).
х
Это значит, что 8 = 1. Но тогда, по свойству б) п. 3,
(тЗГ(х) = х(А).
2. Оператор дифференцирования Гиббса можно представить
в виде D ср = F -X- ср, где
2 я.к.8-8)-
k=-<»
Преобразованием Фурье для F является
^=2	-1] = 2 отккк(х)-1].
к=—оо	к=—оо
Поэтому
(£>?Г(х) = 2 отк[^к(х) — 1] т(х)-
к=—«ю
Иными словами, после преобразования Фурье оператор Dy
00
превращается в оператор умножения на функцию тк х
Х[£к(х)~1].
3. Аналогично для оператора Д примера 3) п. 8 гл. И имеем
(Д?Г (х) =	.....4)?Г(х).	(2.Ю)
где
|Д(Л, .... 4)tHx) = 2(-1)s~4. •jJx) (2.11)
В формуле (2. 10) суммирование распространено на все кор-
тежи длины s из натуральных чисел, а в формуле (2. 11)—
на все части кортежа 0\, . . ., is).
85
Примечания и литературные указания
Основополагающие результаты по характерам групп, при-
водимые в данной главе, принадлежат Л. С. Понтрягину (см.,
напр., [83]).
Системы характеров нуль-мерных компактных и локально-
компактных коммутативных групп как соответствующие муль-
типликативные ортонормированные системы функций изучались
впервые, по-видимому, Н. Я. Виленкиным [28]. Система Уол-
ша рассматривалась раньше (см. J258, 220]). Подробный обзор
результатов по системе Уолша можно найти в [11]. Класси-
фикацию мультипликативных систем дали Н. Я. Виленкин,
Г. Н. Агаев, Г. М. Джафарли [31].
Конкретные мультипликативные системы изучались Крес-
тенсоном [161], Прайсом [221], Иессеном [63], Н. Я. Вилен-
киным [28], Г. Н. Агаевым и Г. М. Джафарли [3, 41—44].
Глава IV
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
§ 1. УПОРЯДОЧИВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМ
ФУНКЦИЙ
Рассмотренные выше свойства рядов и коэффициентов
Фурье по мультипликативным ортонормирбванным системам
характеров компактных коммутативных групп не касались
вопросов, связанных с упорядочиванием этих систем. Теперь
перейдем к изучению свойств, существенно зависящих от по-
рядка функций в системе.
1. Периодические мультипликативные системы функций.
Широкий класс систем характеров, допускающих естествен-
ное упорядочивание, составляют так называемые периодиче-
ские мультипликативные ортонормированные системы. Оказы-
вается, что большинство результатов, касающихся рядов по
системе !^‘пх}, переносится на ряды по таким системам.
Система характеров {х«} компактной коммутативной
группы G называется периодической, если для каждой функ-
ции найдется целое ka такое, что	= 1, yg. Это
означает, что группа характеров X для G является периоди-
ческой группой. Разумеется, отобразив группу О на отрезок
[О, 1|, мы могли бы говорить о периодичности системы
в которую переходит система характеров. Необходимо помнить
при этом, что отображение группы G на [0, 1] взаимно одно-
значно лишь с точностью до счетного множества точек.
Из рассмотренных в предыдущей главе систем характеров
периодическими были системы Прайса (и ее частные случаи—
системы Уолша и Крестенсона), а также Виленкина—Джафар-
ли. Система {е‘пх} не является периодической.
В предыдущей главе было доказано, что если компактная
группа G нуль-мерна, то ее группа характеров X периодична,
а потому периодична и соответствующая мультипликативная
ортонормированная система функций. Докажем, что справедли-
во обратное утверждение.
Теорема 4. 1. Если группа характеров X компактной
коммутативной группы G периодична, то группа G нуль-
мерна.
Доказательство. Так как группа X периодична, она
является объединением цепочки конечных подгрупп
Х= и Хп, где {0} = AZOC •• • С А'пС - •
п—0
87
Обозначим через Un аннулятор Ха, т. е. множество таких эле-
ментов gfcG, что x(g) —О для всех	Мы знаем, что
иа—подгруппа в G.
Покажем, что каждая подгруппа Ua открыта в G, причем
П Un = {0}. В самом деле, так как Xn—конечная группа, для
п=0
всех имеем xm = 1, где т—порядок подгруппы Ха. Это
значит, что множество значений характера х конечно (оно
2 к ik	\
состоит из чисел вида ехр---; k — 0, .... т — 11. Поэтому
т	/
при достаточно малом е > 0 условие I х(£) — 1 1 <" е выполня-
ется для этих характеров лишь если х(£) = 1- Значит, для
каждого х€А"п множество таких g, что х(^) = Ь открыто в
G. Но тогда открыто и Ua как пересечение конечного числа
открытых подмножеств.
Нам осталось доказать, что fWn = {0}. В противном случае
п
нашелся бы элемент а € ПЦ,. отличный от нулевого. Для всех
п
Х€-^ мы имели бы x(fl) == L а этого не может быть, посколь-
ку {хп}-полная система непрерывных функций. Таким обра-
зом, в компактной группе G нашлась цепочка О — Uo ZD • • • ZD
ZZ)£7n ZD • • • открытых подгрупп такая, что Г)7/п = {0), и пото-
п
му G—нуль-мерна.
2. Упорядочивание периодических мультипликативных
систем. В п. 7 § 1 гл. I описан процесс упорядочивания пе-
риодических счетных коммутативных групп. Применим этот
метод к группе X характеров компактной нуль-мерной ком-
мутативной группы G, образующих периодическую мультипли-
кативную ортонормированную систему. Для этого представим
X в виде объединения возрастающей цепочки конечных под-
групп
Хос^с: ••• cz^ncz •••.
При этом порядок подгруппы Хп равен тп, а ра = •”*—• —
простое число. Положим Хо(^)^1- Далее, в каждой подгруп-
пе ЛГп+1 (/г = 0, 1, . . .) выберем по одному характеру х, не
принадлежащему Хп, и придадим ему номер та, Так как порядок
фактор-группы A'n+iXA'n равен ра, {Хт^а€Ха. Пусть»—нату-
ральное число и
к=0
68
ак = 0, 1, . . рк— 1 (/п0==1, ибо подгруппа Хо состоит из
одного характера Хо^1)-
Положим
Xn(g) = П[Хтк(£)Гк-
k=0L	J
(1.2)
Как показано в п. 7 § 1 гл. I, мы получим нумерацию всей
группы X. При этом элементы подгруппы Хп имеют номера
0, 1, .... тп — 1.
§ 2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМАМ ХАРАКТЕРОВ
НУЛЬ-МЕРНЫХ КОМПАКТНЫХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП.
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ.
1. Коэффициенты Фурье функций различных классов.
Для ортонормированных систем функций, являющихся харак-
терами нуль-мерных компактных коммутативных групп (пери-
одических мультипликативных ортонормированных- систем)
можно получить оценки коэффициентов Фурье функций, свя-
занные со структурными свойствами этих функций.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Пусть G-нуль-мерная компактная коммутатив-
ная группа, G —	• • • ZDt/n ZD • • • —основная система
открытых подгрупп в G и {хп}~~система характеров группы
G, упорядоченная описанным выше образом. Если п ~^пгк, то
для всех g0£G имеет место равенство
J Xn(gMP(g) = 0-	(2.1)
g.+1/к
Доказательство. Сузив характер хп на ^4» получим
характер группы UK. Поскольку п>тк, хД^4’ и потому по-
лученный характер группы UK не равен на ней тождественно
единичному. Но тогда он ортогонален единичному характеру
группы «к, а это значит, что f хп (g) I* (g) =
"к
Так как xn(g — go) = Xn(g)xn(go)> и
J Xn(g) d P (g) = J Xn(g ~ go) d и (g) =
go+(7K
= Xn(go) f Xn (g) d |X (g) = 0.
89
Теорема 4. 2. Пусть f gL(G) и {Чп(/)}Хо —ее модуль не-
прерывности в этом пространстве. Тогда для п^тк коэф-
фициент Фурье
cn(f) = $f(g)xn(g)d Hg)
G
no системе характеров X = {zn}Xo нуль-мерной компакт-
ной коммутативной группы О имеет оценку
\cnU)\<^UY п>тк.	(2.2)
Доказательство. Представим ca(f) в виде
тк~1	____
*п(/)= 2 У /te)Xn(gW(g).
j=0 8j+UK
где {gj + £/к}, j = 0, ..., mK— 1—полная система смежных
классов по подгруппе UK. Из (2. 1) вытекает, что
тк~1	.	____
М/)=2 У [/te)-/(£j + A)]Xn(g)<*!*(£)
j=0 gj+UK
и, следовательно
тк“1
pn(/)|<2 J |/^)-/(^ + A)lrfHg). (2.3)
j==0 gj+uK
Интегрируем (2. 3) no UK и, меняя порядок интегрирования,
получим
Рп (/) I J ^Н(А) =
ик ик
mK—1
< 2 У У i/(g)—/(gj+^Hti(g)^H(A) =
i=0 ик gj+uK
тк-1
= 2 У УI/(£)""/(£ +(^j-g + A))|d{x(A)d|*(g).
i=0 gj+UKUK
Когда g	a h пробегает подгруппу UK, и = g. — g +
+ h также пробегает всю подгруппу £7K. Учитывая инвариант-
ность меры Хаара при сдвигах, имеем
90
irn(/)ifrf7iw<2 J Jif(g)+“) 1dиd=*
UK	j=Ogj+UKUK
= | 2 J |/(g + “) ~/(g)| rfp(g)dp(«)—
UK j=0 gj+UK
= J Jl/(g + «)— /(g) I	(g) d p («) <
ик о
откуда непосредственно следует (2. 2).
Напомним, что для компактной группы «4° (/) < <»к₽),(/)
<;<ок(/), I’Cp-C^oo, если / принадлежит соотвётствующему
пространству. Поэтому из (2. 2) следует, что
к(П|<К,(/Х	если /6L₽(O),
ln 1 И(/).	если/€ 0(G).
При h£UK для /6 V (G) получим
mK—1
Jl/(g +A)—/(g)|rfp(g) = 2 J I/(gj + g-M —
ё	j=° UK
тк—1
-f(gj+g)\dAg)<m^ 2 g|gP+JA£ + A) —/(g) = "^
J heUK
то есть <йк’(/Х
Поскольку при « znK имеем ^Cn(/) i ^’(Z), мы доказали
следующее утверждение.
Если /€ V(G), то |сп (/) | для п^-тк.
Заметим, что если рк=О(1), где Р^==——, то 1	—— <
к »iK	«к
'"k+I	! 1 \
< ~	П₽И тк<П< т«+1 И (/) =° (—)•
2. Аналог неравенства С. Б. Стечкина. Установим важное
неравенство, аналог которого в тригонометрическом случае
получен С. Б. Стечкиным (см. [13], стр. 609—610). Идея вы-
вода также принадлежит Стечкину.
91
Теорема 4.3. Пусть f$L3(G). Тогда
-n=rak
Действительно, на основании п. 1 и 2 а) § 6 гл.1
f (g + A) -f (g) - 2	[Xn(A) - 1 ] Xn(g).
n=0
По равенству Парсеваля имеем
fl/(g + A)-/(g)|2d|x(g) = 2kn(/)l2IXn(A)-1i>.
G	n=0
Проинтегрируем это неравенство по UK, используя соотноше-
ние Xn(A) = 1 при и п < znK:
f JI/ (g + А) - /(g) |2rf|х (g)rf|x (й) = J 2 1	1 Хп(А) -
ok о	Uk п”тк
- 1 |М IX (й) = 2 | сп (/) I’ J [2 - Хп (А) - 5йА)] d IX (й)
п=Ш|(
= 2 2 kn(/)l2[|x(yK)-Re Jxn(A)4?|x(A)'.
П=ГП|С
2<-^42)(/), л = 0’ 11	(2>4)
(2.5)
uk	J
Так как J* Хп (Л) p (Zt) = 0 при л>/пк, (2.5) можно перепи-
uk
сать в виде
ммо 2i<M/)i2=y J Ji/(^+A)-/(g)i2^^u)rf^(A).
n=mk	Uk °
Правая часть этого равенства не превосходит величины
т J[bs“v	*)
= ^И>(/)]гми,),
откуда, сокращая на |x(t7K) и извлекая квадратный корень, по*
лучим (2. 4).
Таким образом неравенство (2. 4) доказано.
А. В. Ефимов [45] получил оценку (2. 4) (и даже более
общий случай), правда, с константой 1, а не Этот ре»
зультат А. В. Ефимова мы изложим позже.
S2

Отметим, что множитель в (2. 4) окончателен—сущест-
У 2
вуют функции, для которых в (2. 4) реализуется равенство.
Для тригонометрического случая неравенство, аналогичное
(2.4) с той же постоянной, установил Н. И. Черных [142],
доказавший неулучшаемость Так как система {е1пх} не
является системой характеров нуль-мерной группы, результат
Н. И. Черных, естественно, не содержится в доказанном
выше утверждении (2. 4).
Выведем из (2.4) ряд следствий в случае, когда рк=О(1).
Так как
1	—
2	м/)1’
П“ тк
повторяя рассуждения [13] (стр. 209), получим следующий
аналог теоремы Лоренца.
Теорема 4.4. Если /6 Lip a (G) и а> —-— (0 </? -<2),
Р 2
то	,
2 1М/И12 =oW 2 Д (2.6)
_n=mk	J
В соотношении (2. 6) можно заменить тк на т.
При р = 1 из (2. 6) вытекает
Теорема 4.5. Для aL>-^-
и ряд Фурье функции /6 Lip а (О) при а>
по системе
характеров нуль-мерной коммутативной группы G, для ко-
торой рк = О{\), абсолютно сходится.
В тригонометрическом случае это классический результат
С. Н. Бернштейна. Бернштейн показал, что для а = -^-триго-
нометрический ряд может абсолютно расходиться. Б. С. Ми-
тягин доказал аналогичный результат для произвольных пол-
ных ортонормированных систем. Так как класс Lip а на отрез-
ке [0, 1] вложен в класс Lipa(G), из результата Митягина
следует неусиляемость следствия.
Докажем аналог еще одной теоремы Лоренца (см. [13],
стр. 209).
93
Теорема 4. 6. Если
2^п(/)|-0(тГ),
П=Ш
(2. 7>
то
/6 Lip «(G).
Действительно, при h^Un
l/(g + A)— /U)l = ^"(ЛхЛ^ИхДА)-1]
n=0
2 ^n(/)Xn(g) 1Хп(Л) - 1]
n=mk
<2£ |М/)1=0(™Г).
n=mk
что, по определению (см. п. 2 § 4 гл. 1), означает включение
/€Lipa(G).
Теперь можно доказать, что оценка (2. 2) неулучшаема.
По только что доказанному,
/«U) = 2 т*Л 6 LiP а
к==0
а так как
4° (/«) < “к (А) < С.тГ = С-ст* (/),
по (2. 2),
С <“к’(/в)
Можно привести пример неулучшаемости и оценки IcnC/)]^
У(П
Из аналога второй теоремы Лоренца можно вывести сле-
дующее
Следствие. Если са—О (п-1~я), а>0, то
2Cn Xn(g) 6 Lip а (G).
п~0
Используем неравенство (2. 4) для вывода аналогов теорем
Саса и Стечкина (см. [13], стр. 609).
Теорема 4. 7. (Саса). Пусть G-нулъ-мерная группа та-
кая, что соответствующая ей совокупность простых чисел
Wk4-1
рк =	— ограничена.
тк
94
Тогда сходимость ряда	'
(2.8)
к=2
влечет абсолютную сходимость ряда Фурье функции f.
Теорема 4.8. (Стечкина). Если рк—О(\}, то сходимость
ряда
где
1 Г" ОО	~1 1
£'2)(/) = infrf|/(g)-rn(g)|2rf(x(g)l2= У |сг(/)2 2
(Тп'[а	j l_z=n+i
влечет абсолютную сходимость ряда Фурье функции f.
Действительно, положим
m/)=2im/)|2 = [£W
(=п
Так как ra(f) | 0, а —к+1 = рк < С, ряды
тк
f	И1	<2-10>
п=1 '	К—1
сходятся одновременно. Если сходится ряд (2. 9), то, по (2. 4),
сходится второй ряд из рядоз (2. 10). Но тогда сходится и
первый ряд (2.10). Повторяя рассуждения С. Б. Стечкина
(см. [13], стр. 611), получим абсолютную сходимость ряда
Фурье /. Из сходимости (2. 9) непосредственно следует схо-
димость первого ряда в (2. 10) и опять абсолютная сходи-
мость ряда Фурье /.
Из неравенства <42) (/X “к (/) для /€С(О) и теоремы
Саса вытекает следующая
Теорема 4. 9. (Бернштейна). Сходимость ряда
2^"^ м/)
К=1
влечет абсолютную сходимость ряда Фурье функции /.
Мы доказали выше, что если /€ У(С), то
(2.И)
4 к
Далее, при h^UK имеем
JI/te-M) —/(g)l2flMg) < sup \f(g + h) — y(g)jx
ft	ggO; h£Uk
95
f l/(g-M)-/(£) I
d i* (g),
откуда
(/) <	(2. 12)
Из (2. 12), (2. 11) и теоремы Caca немедленно следует
Теорема 4. 10. (Зигмунда). Если f(* V(G)QC(G), рк = 0(1),
и
ОО
2/мл < +
К=1
(2. 13)
то ряд Фурье функции f абсолютно сходится.
Следствие. Если V (G) (~| Lipa(G), то ряд Фурье этой
функции абсолютно сходится.
Так как для /(jLipa(G) имеем МЛ =O(/n7a), ряд (2. 13)
очевидно сходится. Ссылка на теорему Зигмунда доказывает
следствие..
§ 3. ЯДРО ДИРИХЛЕ
1. Формула для ядра Дирихле. Рассмотрим частичную
сумму номера п ряда Фурье / по системе характеров компакт-
ной нуль-мерной коммутативной группы G:
5n(/; g) =2Ск(/)Хк(Л>
к==0
Если представить коэффициенты Фурье ск (f) по формуле
cK(f) = J/ (й)%к (h)dp (Л), то можно записать, что
о
п—1
M/;g)=2 J/(A)Xx(g - A)cfp(A)==
к=0 G
и—1	n—1
=	—	= J/(g-«) 2xk(«)^P(«) =
G k=0	G	k=0
(3.1)
G
k=0	G
= J/(g —«) On(u)4Z[x(«),
G
где
Dn (g) = 2 Xn(g)-
к—О
(3.-2)
Функция .Dn(g) называется ядром Дирихле номера п. За-
пишем ядро Дирихле в более удобной форме.
96
Пусть
s
n = 2 at ть at = 0, 1, ...
t=o
Представим Da в виде
(Z+l)ms-1
Da(g)= 2 2 '
1=0 K==Z-ms
a0-l (
A-l. as#=0.	(3.3)
as~]
(i)
(Z+Oms^-lH-agnis
2	+
K=bms_i+asms
(Z4-l)m0—l+aimiH-basms
2 Xn(g)s
k=Z • me+aimi4- • * • +asms
J- V<2) J______L V<s+n
1	aS-l-l
xk(s)+ 2
z=o
(Если верхний индекс суммы меньше нижнего, полагаем сум-
му равной нулю).
Пользуясь представлением характера по формулам (1. 1) и
(1.2), находим, что
ms-l	as-l	ms-l
2 Хч(^) Xt.m(g) = 2 lz”s W i Xq(£) s
q—0	1=0	q=0
as-’
(1) __ Vl
z=o
_D..(s)kM2
l~Xms(g)
ms_i—1
as-l
V'” = 2 2 z,(s)z,
/==0
•ms_/£) Xasms(g) —
q=0
= [xms(^)]as 2 [xms_iU)]z 2 Z“(g) =
i_r < \ as~1
- Ms)]c".-,<s)  A"‘ S> -
1 Xms-iks)
(3. 5)
ac —1 m0— 1
Xbm/?) ^aimX^) ’	^3^^)““
Z=0 q=0
= [zm(e)]’‘    [x.,(s-)]--o.,(g) ‘ ,1^”
В (3. 5) считаем, что
--- —1---— = at, если Xm (я) = 1-
l-XmtU)	m‘ 7
(3. 6)
4-7
97
Таким образом,
D.(g) = j [z.,(?)]    [Z.k(«)]‘‘Omk_,(?) !~!-'~'<g£r' +
к=г1	1 Хтк—its)
+ o„.(g)	(3.7)
1 Ims\s2
Чтобы упростить это выражение, используем соотношение
m‘“l lmt при g^Ut
= *2	“ {о при g£G\Ub (3- 8)
откуда
. Л °ms(g)	1—[Xms(g)]as . Ome_i(£)
W)=Zn(g) — ~ur + x
(3. 9)
I-[Xm8-l(g)]as-1 ,	,	D--(g)	_
l-Xm,-i(g)	[Xm. (г)Гт‘ i-Xm.Cg) /
sXn(g) ^n(g),
где, напомним, п = а^пц 4- • • • + as/ns.
В самом деле, так как при g € Ut все Xm,(g) = 1 при I < i,
Dm (f)	s	Dm (g)
ГП1 *6 '	r~~V r z v -г Л»	tilt * 6 /
Xn(g) [Xmt(g)p = Д	[Xmt(g)]a‘ =
= П M^)P £>mtU)-	(З.Ю)
Z=t+1
При g^.G\Ut, no (3.8), Dmt(g) = 0 и (3. 10) выполнено оче-
видным образом. Из (3. 4), (3. 5) и (3. 10) следует (3. 9). При-
меним полученное выражение ядра Дирихле для вывода не-
которых оценок. Определим на группе G без g = 0 функцию
[—1 следующим образом: ’
s J
r_Ll= \тк при <€САгчЛ4+ь й = 0, 1, .... jp
L g J 1+ о® при g — о
/это аналог функции — на оси!.
Покажем, что если рк = О(1), т. е. VpK то
|O.U)|«4(C)[-j-]'	<3-12>
где Л(С)—постоянная, зависящая только от С.
эа
Действительно, пусть g 6 UK \ J/K+i. Согласно (3. 8)
Dmi(g) =0 при />й + 1. Одновременно Dmt (g) = mt при
Принимая это во внимание, из (3.4) и (3.5) получим
Шё) < 2OTt
t=0
! —[*mt (*>Р
1' Х|П|
К
t=0
к	Г	1	1
<2	Р. +1 + 7^ +    +
t==0
тк(С-]-1 + — Н—]-+•••)== (С + 2) znK.
\	2	4/
Легко видеть, что
I Tn (g) | = I Xn(g) To(g) I = | Dn (g) | < A(C)
Заметим, что при g(*G\UK в силу (3.8), (3. 9)
Da(g) = Xn(g)	1	1^-[Хтк^1^)]ак 1 .	। 1	1 [im/ff)] * 1	zg jgj 1-Xm.(<) Г
т. е. 7~n(g) зависит лишь от первых k коэффициентов в
разложении (3. 3).
S 4. КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА
Как известно, в вопросах сходимости ортогональных рядов
важную роль играют функции Лебега. Для системы характе-
ров нуль-мерной компактной коммутативной группы О функ-
ции Лебега имеют вид
Поэтому
п—1	____
2Хк(Л)Хк(«) dp (и).
к—О
п—1
2Хк(А-^-м) d р (и) = JI Dn (й и) I d р («) —
к=0	G
= J|Dnte)|dp(g).
О
Это значит, что Ьп(й) не зависит от й: Еп(й)==кп. Числа Ln
назовем константами Лебега.
Используем представление ядра Дирихле (3. 9) для оценки
констант Лебега. Представим я 1 в виде
п = asms 4- 2	— а*тз + n'	(4. 1)
t-0
и разобьем интеграл Ln = I Dn(g) | d |* (g) на два слагаемых
b
Ln= flDn(g)|dp(g) + f IW) Id Mg). (4.2)
us	OxUs
На основании (3. 13), равенства |/n(g) I =1 и (3. 8) имеем
f |Do(g)ldMg)= f |£n-(g)ldMg)»
OXUg	GXUS
= f | DU'(g) | d Mg) - f I Da\g) I d!* (g) = U' - n'M t/s) -
о	и,
= Ln«--^-.	(4.3)
/Ид
Так как
Xmt(g) = 1 при g€t/s и t <s,
(•.„ , ч, ,	, . f l-[Xm8(g)]as
Dn(g)ldHg) = ms -Tl 8 -J - X
X------L—- + n'\d? (g).	(4. 4)
[Xm8(g)] 8
С другой стороны,
l-[y.ms(g)]as	1	I <
’“Mg') [Xm8(g)]as X S’
и, следовательно,
f |Z?n(g)|d|x(gX(/nsas + «') [dMg) ==—“<Ps<C. (4.5)
u8	&s
Из (4. 3)—(4. 5) вытекает, что
Ln < Ln' + C.	(4. 6)
Применяя это неравенство, по индукции, $ раз и используя
очевидную оценку
Latm0 = La0 #0 <С Ро
получим
Ln < (s 4- 1) С< log2n,	(4. 7)
так как n>m8>2s.
Покажем, что оценка (4. 7) не может быть улучшена, т. е.
100

lim Ln > c2 > 0.
n—> 00 10g2 n
(4. 8)
Положим
П = т^ + »*2(q-l) + • • •'+ m2 + m0-
В этом случае s = 2q, а потому
п'
ffl2(q-14 m2q-2 + ^2q-3
m2q	/?2q-l’/?2q-2
<a+jl=a
4	8	8
/^2q
1
(4.8)
По
l-[Xmg (g)fs
/ns---------------------------
1
[X.. <«>]*•
+ «' dp’(g) =
= J |m1, + »'z.Iq(g)|d|‘(g)> j	-
U2q	U^q
m3q—n'	n'	5
™	«2q	= w8	8 ‘
(4. 3), (4. 4), (4. 9) и (4. 10), получим
3	5
Ln = Lm2q4-m2q__ 1+..,q_me > Lm2q_24-,..+me	— 4“ — =
__i---------f______1
L'm2q—2H----bmr I •
(4. 10)
По индукции, применяя эту оценку q раз, находим
m2q"b‘ ’ ’+га»
откуда
.	log2(m2qH---(-/по)
Lm2q+ • •  + m. >	4(1+2 logaC)
Действительно,
logj (^2q +-------F m0) = log2 wi2q (1 +
1
P2qP2q-2
(4. 11)
(4. 12)
H------
1_______
PiqPiq— 2 • • • Po
<log2C24-2=l +2^1cg2C<
и
ч
4 ’
1
<?(l+21og2C).
Отсюда, no (4. 12), следует (4. 8).
101
Таким образом, при рк=О(1)
0<с,< Hm -^-<ct.	(4.13)
П-»«5 10g2«
§ 5.	СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХАРАКТЕРОВ
1.	Признак локализации Римана. Формула (3. 1) § 3 для
частичных сумм позволяет свести задачу исследования схо-
димости ряда Фурье по системе характеров нуль-мерной
компактной коммутативной группы в фиксированной точке g0
к оценке интеграла
J [/ (go) ~ / (go -=- A)] Dn(A) d р. (Л) = /(g0) - sn(/; go)- (5.1)
Покажем, что сходимость ряда Фурье зависит лишь от по-
ведения функции в окрестности точки g0. Для тригонометри-
ческой системы это классический результат, принадлежащий
Риману (см. [13], стр. ПО). Сформулируем точнее доказыва-
емое утверждение.
Теорема 4. 11. Пусть f (g0 —А) =0 для h$UK при неко-
тором k. Тогда
11m sn(/; g0) = 0.	(5. 2)
n-»OO
В самом деле, по (5. 1), (3. 9) и условию, получаем, что
sn(f\go)x \f(go^-h}\Dn(h)dp.(h)^= f /(g0—A)Dn(A)dp(A)-
G	G\Uk
= J /(go--A)r„(A)xn(A)rfp(A).	(5.3)
oxuk
В силу (3. 13) функции ГП(А) для	при различных п
принимают лишь тк различных значений и, следовательно,
(5. 3) совпадает с коэффициентом Фурье номера — »(x^n(g)"
= Xn(g)) от одной из тк интегрируемых на О функций
f/(go^-A) Гп(й) при Л€О\£/К,
(	0	при h 6 U*.
Легко видеть, что lim(—л) = со. Так как коэффициеты
п— оо
Фурье по ограниченной в совокупности ортонормирэванной
системе стремятся к нулю по теореме Мерсера (см. [63], стр.
181), в силу (5. 3) справедливо (5. 2).
Принцип локализации Римана можно формулировать и сле-
дующим образом:
Если fi(g) = f3(g) при g0^~g£UK и	то ряды.
102
Фурье этих функций являются равносходящимися в точ-
ке ёй.
Для доказательства достаточно положить f =*f\— />.
2.	Признак сходимости Дини. Результаты § 3 и 5 позволяют
доказать следующий аналог известного признака Дини сходи-
мости ряда Фурье в точке (см. [13], стр. 119).
Теорема 4.12. Если рк = О(\) и f I /(g0) — f(g0 — h) | X
X [—< °°. mo Ря& Фурье интегрируемой функции f
L h J	-
no системе характеров нуль-мерной компактной коммута-
тивной группы. G сходится в точке g0 к значению f(g9).
В силу условия для любого • > 0 найдется k = Л(е) такое,
что
f l/(go)-/(go-i-A)l f—(5.4)
т т	I h I
uk
Отсюда, по (3. 12),
J	/(^о--Л)] £>П(А)^Р(Л) <Л(<?) f |/(go) -
uk	uk
-/(^о-^Л)|[-^-р{1(Л) < Л(с).е.	(5.5)
С другой стороны, в § 5 показано, что
Um f (/(go)-/(go<J-A)]Dn(ft)rfp(A)-O	(5.6)
n-*°°oxuk
для любой функции /€L(G).
По (3. 1), (5. 5) и (5.-6), имеем
Um [7(g0)-sn(/; go)] - Q,
что и заканчивает доказательство.
Как следствие доказанного выше, можно получить, что
ряд Фурье функции /(jLipa(G) сходится в каждой точке
gK f(g). Действительно, в этом случае
Jl/(g)-/(g —Л)|Г-^-]</|л(Л) = 2
Л	t J	а —Л
( 17(g)-
и8-1\и.
-/^-^-Л)|Г-Ц</|Х(Л)<2 J 17(g)-/(g^-л) |d|*(A)
s-=l Us-1
X
x < 2 ^s-1 %-! (7) J d p(h) = 2даГ-1 < 2 2-(s-l)e < OO.
s—1	Us—1	s=l	s==l
Если проинтегрировать неравенство
103
J^/U) I
QD
<У/п8_1 C |/(g)-/(g —A)kp(A),	I
S=1 ^s-l
то получим соотношение
JJl/te)~/(g—Л)I
GO	J
< 2OT’-J f \\f(g)~f(g^-h)\dp-(g)dy.(Ji)<
s=l	U8_ i	s=l
(5. 7)
Оценка (5.7) и теорема Фубини позволяет утверждать, что
ОО	'
сходимость ряда'? (f) влечет сходимость почти, всюду ?
S=1	i
ряда Фурье	функции	/€Ь	(О)	при	рк^С.	|
3.	Признак сходимости	Харди—Литтлвуда. Докажем еле- |
дующий, по сути дела принадлежащий Яно [273] (доказан им ]
для рядов по системе Уолша) признак сходимости ряда Фурье |
по системе характеров нуль-мерной компактной коммутатив- |
ной группы G.	|
Теорема 4.13. Пусть для группы G справедливо соот- j
ношение рк^С, а функция f£L(G) такова, что	|
«п [ |/(g04-g) ~/(go)I^H(g) = of—— )	(5.8)	|
й	\i°g m*>
И
и	1
^(/)=О(ПЗ>0.	(5.9)
Тогда ряд Фурье f по системе {хп} сходится в точке  g0 к
значению /(go).
Не ограничивая общности, можно считать, что g0 = O и
/ (go) = О- Тогда задача сводится к доказательству равенства
Ёмо-о.	<5.10) |
к=0	Ц
Используя	интегральное представление частичных сумм ряда I
Фурье	и	(3.	8),	(5. 8),	получим	I
104	I
%-
2 </)
к=0
|Ч(/;0>|!=
mn-’___
/(g) 2xk(gMMg)
к=0
= |^п f / (g) d р (g) I = о/———)= о (1).
I	| \l°g тп/
Пусть /пп^С k < /Пп+ь Теорема будет доказана, если установим,
что
sup |sk(/;0) —s (/; 0)1 =о(1) При га->оо. (5.11)
mn<k<mn+i 1	п	1
Заметим, что
M/;°)-v,(/;0) = f/(g) 2 xJgW(g) =
О	V=mn
= J / (g) Xran (g) ^k_mn(g)	(g) = f + J + jS
0	Un urxun o\ur
^P+Q + R.	(5.12)
где
!!е~р;днэ оценить P и Q:
I Pf< (A - mn) f | f (g) | d p (g) < (C- 1) ma x
un
X [ |/(g)\dp(g) = o(—5—1
J	\ log mJ
un
|QI<2 J I/(s)l
s=r UsXUs+1
<д(С)2 f i/(g)i[-lrf^(g)=H(O2/«sX
s=rUg\Us+I	L^J	s=r
x J i/(g)i^t^(g) =Д(С) 2ms Г J i/(g)^i*(g) —
Us\Us+i	s=r [us
- J l/(g) l^n(g)	Д(С)|/пг J|/(g)I^H (g) +
Us+1	J	Ur
+ (mr+1-/nr) J I/(g) irfp (g) 4------F - mn_2) X
ur+i
105
x f l/(g)|dMg)f|/(g)I^H(g)l<
Un-!	&n
< A(c) Г—-----h---h T-"2— ]<£' (max e,) (— + • • •
L 1ogmr	log mn J \r<»<n ) \ r
---h -M = oflog — )= 0(1).
При оценке Q использованы соотношения (3. И), (3. 12) и
(5. 13). Оценивая /?, заметим, что функция
(5. 14)
, te) = I Z".fe’(gi приееОШ
I 0	при g 6 L/r.
является многочленом по системе {х» (g)}*^»,’ 1 в силу (3. 8):
Но тогда
'п
2 *•</) 5 т (g) xv(g) t* <g)
v=mn	G
2 *’</> I Xm(g)^>A_m (g)x,(g)rfH(g) =
v=xme GXUr ”	“
mn+l-“n-’	__________
2 Ч+Ч f Pk- mn(g) Xq (g) d fi (g) -
q=«0	GxUf
“nr-1
2	2	Стп+?(/) §
s=0	p=smr	GxUj
(g)Xp(g) <*Mg) , (5. 15)
Wn-M“mn
где anr «= —2±1--2-.
mr
Пусть
k — mn= i-mt + /, где /— 0, 1, . . ., mt— 1, f = 0, 1, .. .,
“nr - 1-
Тогда
t-l	mr~’	z-i
Dk-mn (g) - 2 Zx>"r 2 Z’ (g^ + Z<-«"r	16>
X =0	v=0	v=0
106
Так как
mf-
2 x,(g) = ° ПРИ
V=0
ПО (5. 15) и (5. 16),
I«nf-> (9+Onir—1_______________________
2	2 ч+₽(/) f Di(g)7.t.m(g)xf(g)d^(g)
QXUT
p=smr
z z ^mn+»tnf+q
s== 0 q—0
(/) f ^g)lt.m<gK.m(g)^g)^(g> •
OXUr
(5. 17)
Если s^t, TO Xt.mf(g)Xs.mr(^) = Xx.mr(^). где x>l.
Функция	________
t/ . Pi (g) Xq(g) при g£G\Ut,
*te)Se A ,rr
[	0 при g6t/r,
есть многочлен по системе {x,(g)}^ *• ортогональный, естест-
венно, функции Хх.щ	Поэтому из (5.17), (4,7) и
<5.13) следует
,/d== 2 4+tmr+q(/) f ^ТхД)
q-0	OxUr
тч
С"
— 1
mr 4
2 IЧ+ь>»г+я(/) I f IDi <S) \*P(g) <
q=0	G
„ с' ' „ л 8 2fl0*rC .
СГ2п8^С 2 log, c 2"’
nS
л8 22
21og,c 2n*	°
Соотношение (5. 11) и, следовательно, теорема доказаны.
Замечание. Легко проследить, что если (5. 8) имеет место
равномерно, скажем, на go + Ц,. то сходимость ряда будет
равномерной на этом множестве. В частности, если <%(/) —
в ° (~log )’ т0 РЯд ®УРье f сходится равномерно на О
(см. [2?5]Т-П 7
107
§6. РЯДЫ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1.	Сходимость рядов с монотонными коэффициентами.
Рассмотрим специальный класс рядов по системам характеров
нуль-мерных компактных коммутативных групп—ряды с мо-
нотонной последовательностью коэффициентов
ОО
2СпХп(^). М°-	(б-1.)
п^=0
Оказывается, что справедлива следующая
Теорема 4. 14. Если сп|0, то ряд (6. 1) при условии
рк<СС сходится всюду, кроме, быть может, g = О, причем
сходимость равномерна на G\U3 при любом s = 0, 1, ... .
Применив преобразование Абеля (см. [13], стр. 17) к раз»,
ности частичных сумм ряда (6. 1), получим
*	к-1
2 CnXn(g) = 2 (Сп - cn+l) Dn+l(g) + <\Db+№~CA-Sg)-
n=m	n—m
(6. 2)
В силу (3. 12) при любом g=£0 имеем
k-i	л-i ...
21 (' - '.ж) D^(g) | <2 т - ‘-ж) =
n=m	n=m L s J
-Л(С)[Д](С,-Г,)
Равномерная сходимость на G\US следует из оценок (3.12)
и (3. 11).
Неравенство (4, 13) для констант Лебега системы харак-
теров нуль-мерной группы, удовлетворяющей условию рк—Су
позволяет установить, что существует последовательность
6п|0, для которой функция
/te) = 2*nXnte)> g*^	(6-3)
n=0
не принадлежит L(g), хотя ряд сходится всюду при я=7=0
и даже равномерно на любом множестве G\US (последо-
вательность {Z>n}, вообще говоря, зависит от {хп(й’)}).
Выберем последовательность номеров (nJ столь быстро рас-
тущей, что выполняются неравенства
108
2 Vlog/z* < --/logns,
K==l
8
(6. 4)
— /10g«s,
S
где /n¥i<n.<w,s+1.
Положим, далее,
Ьй = bt - •. • = &nt_r
 \
^пк+1~р ’ '
(6. 5>
Л - b « -.a1...... , k = 0, 1, . . ., bn = bn
“k nk+! j/log nk	0	0
Так как на G\L/t ряд (6.3) сходится равномерно,
(6. 4) и (6. 5)
J 17(g) I dy. (g) _ J 2 *nxn(g)rfi*(g)l- f
согласно
G=XUV
s
охщ
s
п=О
GXUV
s
оо
2P.-
n=0
-^+i)£,n+1(g)rfH(g) - J 2
GxUv ‘ 
8
iT=i /lognk
1
/log ns
^tFlognRJ'	/log nk
p	f c r____ n3^(Uv V\
f lAk(4T)|^(g)>(-|Klog«.--V1iJ-)
OxUv
6
8-1	____ 00
~2c‘^iognA- 2
K»1	k=s+l
A(C) p FJ_j
/Iog”k oxuv L 8 -I
s
>Klogns(——----------
\ 2 log ns s s /
Отсюда вытекает, что
fl/(g)|dH(g)= + «>,
G
что и доказывает сформулированное выше утверждение.
1
rfl*(g)>
109
2.	Ряды с монотонными коэффициентами и несобствен-
ные интегралы. Введем понятие несобственного интеграла
функции, определенной на нуль-мерной компактной коммута-
тивной группе О.
Пусть функция /г L(O\(g0+£/s)) ПРИ любом 5 (не огра-
ничивая общности, можно считать go = O). Если существует
конечный предел
lim f f(g)^Kg)e4
’"°0 GX(g.+Us)
то говорят, что f интегрируема в смысле несобственного
интегрирования на Q и
Как показано выше, сумма сходящегося всюду, кроме
ОО
£ = 0, ряда 2cnXn(g)> сп|0. может оказаться неинтегрируе-
п=0
мой на О в смысле Лебега, и, следовательно, этот ряд не бу-
дет рядом Фурье—Лебега своей суммы. Однако имеет место
оо
Теорема 4. 16. Всегда сумма ряда 2cnXn(g)< ин~
п==0
тегрируема в смысме несобственного интегрирования, а сам
ряд есть ряд Фурье f в этом смысле, т. е.
«.»0m f №)xJ£MHg). «“О, 1................. (6.6)
~°°oxug
Так как ряд указанного вида сходится на О\С/8 равно-
мерно,
□О
f/(g)xJgMMg) = 2 е» f xnU)£te)<*i»te) e
O\Ug	n=o OxUt
so
= 2^ [f xn(g) XkteHHg)- f xn(g)Xk(g)rfMg)l =
n=0 [o	us	J
QO
= ck - 2 cn f xn(g)хЛ)d Iх
n=0 Us
В силу гл. Ill, выбрав s достаточно большим, можем считать,
что xjg) — 1 ПРИ g€i/s- Поэтому для доказательства равен-
ства (6. 6) достаточно показать, что
lio
и™ Sfxn(s)rfMg)-О-
s^° n=O 6,
Если 0</i<ms —1, то для g6t7s функции xn(g)=l. Следо-
вательно,
(6. 7)
tne—i
i 8
хД)<ВД»— 2 rn
s n-0
Если же /г > ms, то, по лемме п. 1 § 2 гл. IV,
f Xn(g)rfl*(g)-0.
us
Таким образом,
nig—1
!!” Sc. R(S’)‘*l‘(K)=llm--j- 2^ = °
S n" us	s^°° «s n=o
как средние арифметические стремящейся к нулю последова-
тельности. Соотношение (6. 7), а тем самым и (6. 6) доказаны.
Если положить в (6. 6) /1 = 0, то получим, что функция
/ несобственно-интегрируема.
Введем теперь понятие Л-интеграла. Пусть /—измеримая
по мере Хаара функция на компактной коммутативной груп-
пе G и
гесли |/(g)|<Л,
1УИЛ {О если |/(g)| >М.
Обозначим через £м(/) множество g € G, для которых |/(g) | >
> М. Функция / называется Л-интегрируемой на группе О,
если выполнены два условия:
О fx(£M(/)) = o(^-\	(6.8)
2) Существует конечный предел
Hm f l/(g)]M^H(g) = Z.
М->оо J
В этом случае значение / принимается за значение Л-интег-
рала от функции /:
/»M)^/(g)«Mg).
Справедливо следующее утверждение, являющееся анало-
гом теоремы П. Л. Ульянова для тригонометрической системы
Функций [130]:
ill
Теорема 4.17. Если
оо
/(g) = 2 cnXn(g). сп\о,
п=0
(6. 9)
00
то функция f А-интегрируема и ряд £nxn(g) ectnb А-ряд
п=0
Фурье функции f, т. е.
Сп “ И) J/(g) Xn(g) d И (g)> n = °- 1
G
(отметим, что Л-интегрируемость функции f следует из (6. 9)
при п = 0).
В самом деле, пусть М > 0 фиксировано. Если /г0 = п0(Л1) ==
[М 1
— 1> то
2со J
п0—1
2 CnXn(g)
п—О
По—1
S'n
М
2
при любом g^G. Поэтому En(f)
входит в
множество, гае
2 cnZn(g)
П— По
м
2
Применяя преобразование Абеля
00
П=По
и оценку
00
-cnA.(£)+ 2(cn~*n+i)Dn+1te)
П==По
(3. 12), получим
- Cn+1) I On+1(^) | < 2 Д(г) [у] сПл.
Таким образом, для gffM(/) выполнено соотношение
[-1 > ~ЖГ7---------•	(6-Ю)
L g J 4/ЦС)’Спо(М)
Пусть s = s(7Vf) таково, что
М '
т^< 4Л(С)-Ч(М) ^^s+r
Тогда, по (6. 10), множество fM(/)Ct/s и, следовательно,
' V 11 т3 OTs+i	М	\М)
что доказывает первое условие из (6. 8). Так как |xn(g)| e’ 1
112
= о
и /(g) Хп(?) удовлетворяет первому условию A-интегрируемо-
сти. Далее, по определению s(M)
IJ [/(g)xn(g)]M<*Hg) - f /(g)xn(g)^p(g)|-
I G	GXU8	I
e J [/(g)xn(g)]M<^(g) + J [/(g)xnU)]MrfMg)-
us	6\U,
- f /(g)xn(gW(g) = f [/(g)x„(g)]M(g)|<
°\US	US	I
S
<Af|x(t/s) = ^-<C.4A(C).cno(M) »o(l).
Принимая во внимание доказанное соотношение (6. 6), полу-
чим
lim f[/(g)xn(g)]MflMg) =£П-М) f /(g) XnUW(g)«
M_°o g	J
Таким образом, равенство (6. 9) доказано.
§ 7. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ПО СИСТЕМАМ ХАРАКТЕРОВ
НУЛЬ-МЕРНЫХ КОМПАКТНЫХ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
Ряды вида
ОО
Sak4(g)’
k^l
(7. 1)
где
lim _2Ь±1
nk
> 1,
как обычно, назовем лакунарными рядами по системе харак-
теров Х = {уп} нуль-мерной компактной коммутативной груп-
пы G.
Относительно этих рядов можно сформулировать такие,
например, утверждения.
ОО
Если 2laki2<°°, т0 ланУнаРньш ряд сходится почти
к=1
всюду, в то время как при условии 2laki2 = 00 он не СУМ~
к—1
миру е тс я на множестве положительной меры ни одним
методом Теплица Т (и даже Г*).
113
Сумма J лакунарного ряда (7. 1) при выполнении уело-
00
вия 3|ак|2< оо такова, что при любом т>0
к-1
Jexp (т \f(g) l3)<Zt*(g) < °0-
В частности / (g) £ LP(G) при любом р^\.
Если лакунарный ряд является рядом Фурье ограничен-
00
ной функции, то 21 ак I < 00 •
к—1
Докажем здесь просто устанавливаемые теоремы.
Теорема 4.18. Для того, чтобы функция f, имеющая
лакунарный ряд Фурье, принадлежала классу Lip a (G), а > О,
необходимо и достаточно выполнение условия
«к-О(лГ).	(7.2)
Необходимость условия (7. 2) следует из (2.2) (см. § 2
гл. IV). Для доказательства достаточности определим для
каждого $ 6 N номера v = v(s) такие, что
Из (7.2), используя лакунарность последовательности {п*\,
получим
s s -о(".-)-О(«)
nk>mg	^nk>tng J
Но тогда, по одной из теорем, доказанных в п. 2 § 2 гл. IV,
/6 Lip a (G).
Следующий результат показывает, что суммы лакунарных
рядов специального вида принадлежат Lip a (G) « в каждой
точке*.
Существуют последовательности {^к}“ натуральных
чисел и ]«к}“ такие, что для суммы f ряда (7.1) справед-
ливы в любой точке g$G неравенства
0<са< Пт/Пк sup Ij(g-i-A) —/(g) |< с15 а> 0. (7.3)
к-»00 hgUfc
Рассмотрим функцию
<s * 7-4’
где
Шп^-А^ос.
ш
По предыдущему утверждению, /€Lfpa(O), что доказывает
правое неравенство в (7. 3).
Выберем К^икч\^К(1+1- Тогда
|/(g+Aq) —7(g) I -
q-l
XmKz(g)[xmitz (Ач) - 1 ]+	(g) [XmKq(Aq> - 1] +
/==1
+ 2 тч Х»,, (g) [хШк/(Ач) — 1 ] j > тГч“ |	(*,) - 11 -
q-l	00
-2'".,|z.4W-I|- 2	(|Ч(Л’’| + 1)- (7 5)
’	/=q+l
Так как hq^UKq,
XmK/(Aq) — 1=0 при 1, .. q — 1.	(7.6)
С другой стороны, если Aq^6/Kq+1
ет одно из значений корня степени рк
ловии р„ С С, следовательно,
кч
Т0 XmK (Aq) ¥= 1 И
к4
из
единицы
принима-
При ус-
q
|XmK (Aq)-l|>B(C)>0.
I Kq	I
(7.7)
Учитывая (7. 6) и (7. 7), из (7. 5) получим
l/(g4-Aq)-/(g)|>B(C)/nK7-2 2
/ тк
> В(С) т~* -2 С' т~а —9-
Kq	Kq I mv
\ Kq+i,
_	m
Так как lim (k ,. — k ) = oo, lim —— «Он
q_^> \ ч+‘ ч/
| f (g + Aq) - f (g) | > B(C) > 0.
что доказывает левое неравенство в (7. 3).
8*
115
j
§ 8. НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОЛИНОМАМИ	I
ПО СИСТЕМАМ ХАРАКТЕРОВ НУЛЬ-МЕРНЫХ КОМПАКТНЫХ
КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
Как обычно, обозначим через (f) наилучшее прибли-
жение функции /6LP(G) полиномами по системе характеров
X порядка не выше п — 1 в метрике LP(G), т. е.
Г	п-i	р 1—
^п₽)(/) = inf f /(g) - 2«KxK(g)	1<р<со.
Lo "о	J
Следуя А. В. Ефимову [45], покажем, что
W)<4P)(/)<2W)- 1<и^л = о, 1,....
п	п.
Очевидно, что (1 < р < оо)
/(?)-
_G
mn-1	р 12
к—0	J
1
где гк (/^—коэффициенты Фурье функции /.
По (3. 1),
П1п"*1
2 ^к(/)Хк(^) = J/U- «)^тп(«)^Р(и) =
= £/(g+«)^^MH«)	(8.1)
и, следовательно, при 1^р<оо, используя (3.8), имеем
f(g)~ \f(g^u)~D^T)d[.(u) M|*(g)'
G	n
1
р _
о
116
=mnp Г f [ |/ (g) —f(g + u)\pdp.(g) rf|i(«) j p<
|uno	I
=4P)(/).
Здесь мы применили неравенство Гель дера.
Если р=|эс, то
(/)< sup|/(g)- f / (g + «) D |\(«) I <
n	n geGI	g	I
< sup J |/(g) - f(g + «(L>mn(w)UI* («) <
<mn [ sup If (g) - f (g + a) | d ц (и) < <4°°’ (/) = <%(/)•
geo
Заметим, далее, что при h£UB, k<mn имеем
XK(g + А) = zx(g) хк(Л) = XK(g)-
Поэтому для полинома Рт (f; g) наилучшего приближения к
функции f в соответствующей метрике
(/;g + A) = Pm (/; g);
n	n
Следовательно, при h^Un
V - ’.Л, = I/-	- (*./ - 'ь />«„) |p «
<J / -	+IV —.Рл.п!, - 21/ - P..I - 2 Е'« (/).
Все функции хк с номерами А = 0, 1, . . ., та — 1 постоян-
ны на смежных классах gjn) + Ua, j= 1, 2, . .	т0. Поэтому,
выбирая соответствующим образом комплексные постоянные
%, можно добиться выполнения равенств
mn-l
2 aKXK(g) = Pj ДЛЯ g€gjn) + ^n, /-1, ... /»п,
к=0
при любых комплексных постоянных р(, j = 1, . . ., та. Выбе-
рем Pj = -1- [/0,d) +/(А2 J], где Л, р й2 . принадлежат
смежному классу gjn> + £7П и таковы, что
1 Здесь || /||р—норма / в L₽(G).
117
Ш-/Ы1-
sup l/CgO—/(£)!
g<. е«ее|п)+Уп
Очевидно, что
“п-1
£^)(/) = inf sup /(g)- J aKXK(g)
{ак} geo	*4
к=0
mn-l
= sup /(g)- 2 %XK(g)
«еО	к=о
Таким образом, для любой
равенство
/ € C(G) == L °°(G) спра ведливо

Это равенство показывает неулучшаемость постоянной в пра-
вом неравенстве А. В. Ефимова и возможность улучшить ее
в левом неравенстве для случая р — оо. Как показано в [32]
{см. также п. 2 § 2 настоящей главы), левое неравенство
улучшается и прир=2:
Константу -рт: улучшить нельзя. Можно доказать, ЧТО АЛЯ
функции
оо “«+!-*
/'(g)=а>+2лп 2
n=0 K=mn
где
выполняется равенство
к=п
- [42;. (F )]2}.
(Для F(g) имеем ^(F) = о>п).
Если положить, например,
% = (Оя+1= ••• =%s; wk = ° ПРИ k>n + s, то
118
- ТимеемДЛЯ ЛЮбогО *>0 "Ри Достаточно большом s =
sss ИМссМ
V
(Функция F зависит, вообще говоря, от е).
Отсюда непосредственно следует, что
feU<o> «?’</> F2
Заметим, что для любого р, 1</><оо, справедлива оценка
	I
<е!?(о> -“(л гг'
т. е. правое неравенство в оценке А. В. Ефимова точно при
любом р.
§ 9. ВЛОЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ
НА НУЛЬ-МЕРНЫХ КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ
Рассмотрим некоторые теоремы о вложении классов функ-
ций на компактных нуль-мерных коммутативных группах.
Пусть
/617 [О, 1] A sup
0<h<8
Яр“ = f
1—h
J|/(x + A)-/(x)|Mx:
о

П. Л. Ульянов доказал [133], что для вложения
С17 [О, 1] при <_q < оо необходимо и достаточно чтобы
00 — ~2Г ! 1 \1Ч
2«р г(т)] <°°-	(э. О
П=1
Из соединения результатов [133] и [5] следует, что для вло-
жения /УрС/Z^*, l-Cp <q < о®, необходимо и достаточно,
чтобы
V л₽ 2f<J—ТГ < С |ш* / J-YI4, т = 1...... (9.2)
L \ п } J	L \ т 1J
П—ш
Вопрос о вложениях ЯрСС[0. 1] = L°°[0, 1] и ЯрССю*[О, 1]
решен В. А. Андриенко (см., напр., [5]):
для вложения /У“СС необходимо и достаточно, чтобы
119
(9-3)
n=l	'
для вложения HaQC“* необходимо и достаточно, чтобы
ynP	\ от = 1.......... (9.4)
\ п /	\ т /
n=m
Весьма подробная библиография по вопросам вложения
классов функций одного переменного содержится в обзоре
В. А. Андриенко [5].
В 1975 г. М. Ф. Тиман и А. И. Рубинштейн перенесли ре-
зультаты П. Л. Ульянова и В. А. Андриенко на классы функ-
ций, определенных на нуль-мерных компактных коммутативных
группах. Весьма поразителен тот факт, что хотя поведение
модулей непрерывности на прямой и нуль-мерной группе G
весьма различно (см. пп. 2 и 7 гл. II), формулировка теорем
в случае группы G есть точный перенос соответствующих
утверждений для функций на прямой. Справедливы следующие
результаты.
Теорема 4. 19. Для вложения //J(O)cLq(g), где w==
= {<вп|о> \0, в, случав ра<*С необходимо и достаточно,
чтобы
00	— — 1
. а) V <»n < 00 для 1	< # < оо,
П=° !	(9.5)
00 _ z
б) у т£«)п < оо для 1	<<7 = оо.
п=0
Теорема 4. 20. Для вложения H"(G) H^fG) в случае
ра^С необходимо и достаточно, чтобы
а)	°>к< С] (о>п)4, «==0, 1, . .,, !</?<?< оо,
к=п	.(9. 6)
б)	тк “к С1 л=°. 1.....I=j0<g=oo,
К—п
в)	при выпуклости {<оп}?Г необходимо и всегда достаточно
чтобы
00	1
У щкр “к < Ci 4, л = 0, 1, . . ., 1 </> <q = оо.
К—n
Прежде всего, при условии	применяя
120
теорему Коши о числовых рядах, получим, что сходимость
ряда (9.1), например, эквивалентна сходимости ряда
Но это полностью аналогично (9. 5а).
Для доказательства теорем 4. 19, 4. 20 необходим ряд леммг
некоторые из которых представляют и самостоятельный ин-
терес.
Лемма 1. Система характеров X = {хп}“ нуль-мерной
компактной коммутативной группы. Q удовлетворяет не-
равенству С. М. Никольского [78[:
для	и любого многочлена Pn(g)= 2cvX,(g}
v=0
справедлива оценка
?)(" + 1)₽; чИЛ!!р- (9-7>
Действительно,
J ЛДО^хЛйШО d МО <
n	____
Sx,(g)x,(O
v=0
1
2
Hnlk.
(9. 8)
Здесь использованы ортонормированность системы X и нера-
венство Буняковского—Коши.
Пусть	Выберем четное Ча>р. Если учесть ну-
ч.
мерацию X (см. п. 2 § 1 гл. IV), то [Pn(g)]2 оказывается
многочленом по X порядка не выше —. Поэтому неравен-
ство (9. 8) дает
ч»	1	2
I pa(s) ।2 < (” + 02 ИI рп(я) 2
'	'	\0 .	/
121
= (-Т+ О2 ff|pnU)|4’-p|pnU)|₽^H(g)y<
1 qp-р	р
<(^ + 1)!ИХ •ИЛ1.
откуда
IIР- II» < ( * + 1ГIIР- II. < с</>) <" + 1)Т II р„ II,. (9. 9)
Используя это неравенство, находим
1
ИЛ, = И |P.te)i’-'  и, uihi* (?)}’<
q-p	i р
<1|рл» (Чи.	’<
\° /
д-р 1_. д-р д-р р
<С(р) 4 (»+1)₽ 4 • ||РП||/ • ||Рп||рч =
= C(A^)(a+l)7“||Pn||lk.	(9.10)
Объединив (9. 9) и (9. 10), получим (9. 7).
Лемма 2. Пусть {\}£Lo\O, а {|\}Хо такова, что
2^СЛ. 2^‘<С.|Ч*, л-0, 1, .... (9.11)
к=0	к=п
"Тогда при любом г, 0 < г < оо, ряды
и 2МГ. <9-12)
п=®0	п=0
сходятся и расходятся одновременно.
Эта лемма аналогична лемме 16 из работы П. Л. Ульяно-
ва [133].
Для доказательства леммы 2 достаточно показать, что из
сходимости первого ряда в (9. 12) следует сходимость второ-
го, так как обратное очевидно. Положим
«п = М*п-А+1)г>0-
Тогда ряды в (9. 12) перепишутся в виде
122
Рассмотрим сначала случай г> 1. Легко видеть, что при-
менив неравенство Гельдера, имеем
Здесь мы воспользовались тем, что всякая последователь-
ность {|\}, удовлетворяющая любому из условий (9. 11), яв-
ляется конечным объединением лакунарных (см. [13], стр.23),
и наоборот. Но тогда (р*} при любом е > 0 также удовлетво-
ряет (9. 11).
В силу (9. 13)
к5)	2 п5)	„2
Гк	Гк
Эта оценка доказывает одновременную сходимость рядов
(9. 12') при г > 1. При 0 < г < 1
что завершает доказательство леммы.
Лемма 3. Пусть <о = {шк}Хо\О и 1 <р< оо. Функция
1 оо -L-1	£«п+1->
ЛЛ)==Св₽о-4)Р + 2/ПпР ' U-<1)₽ 2 xn(g) (9.14)
n=0	K=mn
принадлежит классу
123
Можно показать, что
=S/«k(A-i-4) ПРИ ^GLrn\(/n+1, я = 0, 1, ....
к=1	(9. 15)
где
-L-i	—
Лп = /пп₽ (<ир —	р .
Тогда по лемме п. 7 гл. 2,
1°° s Г —-1	—
22 2 mvlX-i - «>?)р-
s=k+1 v=k+1
-L-1	_L|₽
— tn? (<o? — <o?+1)₽ I (ms 1 — fns+i) = 2sup5’ (9.16)
Применяя преобразование Абеля к внутренней сумме выра-
жения S, получим
^<?2 &тГ1.
S=K
(9. 17)
Оценим величину Bs. Обозначая через р целую часть р > 1
и дважды используя неравенство Юнга, имеем
124
p-1 s _L	As 1_A	t_A
<C (p; {ma}) ms ₽ 2	(w’ — w’+i) ₽ 2 m’ ₽ (“’ — a>’+|) ₽ =
v=K	V=K
p~* s s 1 J—.L	JL	i-JL
=C(p; {ma})msp 2 2 mp mt p («>₽-o>p+1) ₽(«>?-<o?+1) p<
V=K Z=K
p-1 s s L 1 ——
<.C(p; {/nn}) msp 2 2 mi ₽ Kw’ —	— “'+’)]
v—К Z=K
₽2 ^₽H-
1»K
As 1_ A
+ ms₽2^ ₽(шГ-«>?+1)].	(9.18)
Z=k
Из (9. 17) и (9. 18) следует, что
2«ct [р-, {0)2 w?^2	-<») + m?~' i>"^x
s=k L v=k	/»к
x (a>? — O)?+1)] =Ci (p; {O)
2 mp (<»p - 0>p+1) 2 ms p +
_v=K	8=1»
00	J_£	00	_1-|__P_'
+2^ р(ш?-<ог+1)2»1з p
Z—к	s=Z
^({^n}) X
<ci (p; W)
00	OO	-j
x 2	-®?+>)+сз({О)2^~^+,Н = с'(/’; N)
v—К	Z=K	J
(9.19)
По (9. 16) и (9. 19),
[4₽,(O]P<C'^; {AJpup®* = c'-*0»»
что и доказывает лемму 3.
Лемма 4. а. Для функции Fm, определенной в (9. 14),
с (Р,
лр« 1 < р < q < оо и л = О, 1, . . .;
1
Г оо А_1	1 Ч
2 /"к”	«>2
_к=п
оо	mn+l-1
(9. 20)
б. Для функции F(g)=2 *<о0+2 2 1 <»п 2 XKU) (9.21)
п=0
125
44) (F) >
(
i I я
C(^;W) 2m2 “2
,K=n	J
оо, /1 = 0, 1, ....
(9. 22)
при q = oo, n = 0, 1, . . .;
.	K=n
в. Для выпуклой последовательности {«>n}^=o\O
00	1
(/=») > C(p- {/nn}) 2 mp <%, 1 < P < оо, n = 0, 1, ... . (9.23)
K=n
Пусть Tfi*—полином наилучшего приближения по норме
L4(G) к функции Fw порядка не выше тп— 1. По теореме
Ватари [260] (см. также [11]),
с(«; К))^.) = с(?: {»Ж-- T'-U >
n—1 Рк+1-1
+ 2 2
к«=0 j=l
2	₽ (“2 —
v-j.mk
1	X
-®S+i)р -aJx,(g)
2 оо Pk+I^1 (j+l)mK—1 _
+ 2 2	2	m- ’(•£-
к—n j«l v—j-mk
A ]T
1	|21 2	I
- °>p+i)p x,(g)l J <Mg)J >
2 Pk4*1*~1
-<l)p 2 |Xjmkte)|2-
j=l
В силу (3.8) из (9.24) имеем при g €ЦЧЦ+1
_2(i-±)	A mk“1 2 I L	L '
2^к 1 ₽М-<о£+1)₽ 2Xs(g) =2m«PH-4iK(9.25)
к=п	s=0	к—n
126
Поэтому	L
С	2 2“«’W
|/=nLK=n
{» _ч__]	-2-1—	г00 - i 1—
’>c(a*W) 2m'P °Чч-
Z=n	J	_Z=n	|
(9. 26)
Из (9. 26) и неравенства А. В. Ефимова (см. § 8 гл. IV) выте-
кает (9. 20а). Дословное повторение (9. 24)—(9. 26) с заме-
ной тк + ₽ (<»к — <»к+1)₽ на шк дает первое из неравенств (9.226).
Функция F, определенная в (9. 21), равна
1 “
V 2	“ юк) п₽и S € Ц,\Чн-1	(9. 27)
2 К=1
и ограничена лишь в том случае, когда
ОО
2 т* К-i - < °°-
К=1
Но тогда, по лемме 2,
ОО
2^“>к<°°
к=0
и Пт /пк «о* = 0.
К->00
Из (9. 27) видно, что
= У 2	- %) = Т [Wa+1 % + Кп+2-
v=n4-l
00
- OTn+I) °>n+l + • • •] > 4"	%.
K=n
что доказывает второе неравенство (9. 22).
Пусть {°>п}Х=о\О и выпукла вниз. Тогда при р > 1 тем же
свойством обладает последовательность {«>S}X=o и
1 1
— <о?) ₽ > («>? — ш?+1) ₽ .
Поэтому
J__j
m,₽_! UP.-coP)»	, т yl-y	’-у
---------------------------—1_1_| Р^>2 и, следовательно,
4г-1---------------------—	\ m»-i /
/п»	(<>₽ — #>р) ₽
127
znJ/nvLi U?-i —•<*>?)p — o>vp	(<*>? — <*>?+1) p j
/ l-Л ±	J_
\1 —• 2p ) тпД1 — u»p) p .
Последнее неравенство вместе с (9. 14), (2. 16) и леммой 2
из настоящего параграфа дает
оо Г J_._j	±	±_1	1_1
40O’(f<b)= 2 Lw’-» M-i — “S)p —	(ш? — (o?+i)pj/nv>
v=n4~l
> c(p) 2тк - “«+’)p > c{p’’ {mn}) 2 m* “><
K—n	K= n
Лемма 4 полностью доказана.
Перейдем к доказательству теорем 4. 19—4. 20.
Достаточность условия (9.5а). В силу двусторон-
ней оценки модуля непрерывности через наилучшие прибли-
жения (см. § 8 настоящей главы) условие (9. 5а) эквивалент-
но условию
00 1
п=0
или, после применения теоремы Коши,
2«^'2[£<₽,(/)]ч<оо.	(9.28)
п=0
Очевидно, что достаточность условия (9. 6а) будет доказа-
на, если мы установим неравенство
1
||/llq<C(p, 7)
q оо JL-2	) q
j/uwu) +2«₽ [^np)(/)]q • <9-29)
Обозначим через 7'„p> полином наилучшего в L₽(0) приближе-
ния к функции f порядка не выше п — 1 по системе харак-
теров X. Пусть, далее,
2V J________________________________________2
Д, = 7^ - Т$\	2 /₽ [£?’(/)]q. (9.30)
Z=2V~1 + 1
„	р4-<7
Покажем, что для а = ———
i	‘1	_Ь_И(2_-ма)
[|Др,Д,|2 d|i(g)<C(p,	а,2 -2 Ь (9.31)
ъ
128
Использовав в левой части (9.31) неравенство Гельдера с
показателями а = и а' = р+ч , а затем неравенство (9.7),
Р	ч
находим
|рд^Ъм£)<11МД-11МР1ч <
1g	2	2
(»+’>(г-Ч	1 <ж>Р--Ц т
<C\p,q)-2 е'||Мр ’2 U “ Я1Мр <
1
_S±L f (|л+п А	_2±1
<|2С(л<7)]ч-2 “ -12	qK(/)]4i -2 X
X k+1>^ [^(Л]4}2.
Так как
(н-Ы) А	А_А 11
2	₽[^(n]4<2₽ 2-22<
A	A-i —|v—Pl (2—«) -L-L
|Д^2^)<[2С(а<7)Г4₽ -2 Ь Ц2о,2,
что и дает (9. 31).
q
Обозначим через г = [</] + 1 и 3^ = | AJ2. Тогда (9.31) дает
G
N q	/ N \г	N	N
£д, dp(g)<j 2Md|x(g) = fS-• •
у—1	G \v=l /	G vi—1	vf—1
N N г J_____________1	N N r
-S'" 2 J П8.'Г'8-'Г‘Ф(«)< S " 2 Пх
v,=l »=lGI,j=l	»,=1	,=! •.i==l
Г	Г i<j
(X- -L.	\ 2 N Nr/	q
"'-‘'-s-" 2 n flSSI’x
G	)	vi=l vr-l 1, i=j \G
Г j<l
2	2
Xrf|x(g)) г(г-°<[С(л
X
N N r
2 "2 П x
*1=1 vr=l L j=l '
r i<j
2
;jy(r-i)
4-9
129
I i ( 1	1 \	12	, KT N
j=l	1=1 \V1=1	’r=1
ХП 2 Jlb »b-Jr<C1(p,<7) £ 2	*2«.<
j—I	v= — 00	V=1
(00 Л-2	12.
<Ci(/^)|S«p Ю/)Г|Ч.	(9.32)
Таким образом,
7'1(р) + 2[^1-7'2?’]	(9.33)
v=0
|7lp> Ik <С(р, q) || ГГ ||р < С(р, q)
сходится в Lq(O) к функции, эквивалентной /. Так как
[ | J/(g)<Mg)| +
из (9. 32) следует (9. 29).
В случае q -= оо, по неравенству (9. 7),
|| 4%1 - T^IL < C(p).2(v+1)71| 7^1 - т%> ||р <
1_____________V
<С(р)-2р -2Р 2E$\f),
ОО J	J
и если сходится ряд 2й₽	£пр>(/) или эквивалентно
П=1
ОО 1
2 /»пр шпр)(/)> то ряд (9.33) сходится в С(0), что доказыва-
П=0
ет достаточность условия (9. 56).
Рассматривая вместо /(g) разность f(g) — Sm _](/; g) и
применяя неравенство (9. 29), получим

C(p, q)
[£k₽>(/)]4 4
при 1 < p<Zq < oe ,
00	1
с(р)2^кр^р’(/)
при 1 </> < q = 00 ,
/1=0, 1, . . .,
430
что в силу оценки
^₽Ч/)<Чр)(/)<2£<р>(/)
дает достаточность условий (9. 6).
Необходимость условий (9. 6) следует непосредственно из
леммы 4, а необходимость условий (9.5) для 1<р<о<оо
и /?= 1, 9=оо-из (9.20), (9.21).
В случае 1 < р < q = оо заметим, что если
00	1
2	тп “п =
n-0 *
то найдется монотонная последовательность <р —
для которой
00	1	1
0<ш7Оп, 2mnp^=oo, Ит/ппр%=0. (9.34)
Л	п-> 00
п=0
Функция
_ 2_	00	2__j _	_ J_mn+i-i
(»:-«+.)- 2 z.U)
П=0	к=тп
очевидно принадлежит классу //₽ (О) с Нр (О). Кроме того,
как отмечалось, при g^Un\un+1
п	Г _ i+ 2_ _	_	_ 1+ 2_ _	_ 1 ~1
F~(g) = 2	Ь”"-1 Р (“к-1 — шк) Р — WK Р (<ВР — <0Р+1) Р J.
К=1
Применяя к правой части этого равенства преобразование
Абеля и учитывая (9. 34), имеем
п Г 2__i
Ит V тк|ткр_1
П->00
К=1
— <0Р) Р — Шк (<»£ — шр+1) Р J =
П	J____I	1	1
= lim V (тк+1 — т\ (йр — <Г>р+1) р + тх — й?)р —
П->00	'
_}__1 _	_	2_"1	п—1	1	1
— тп-Шп («р	— о>£+1) р J >	Пт У тк	(«>? — «£+1) р	=
n->QO
к==1
00 ± 1
= 2 /ПКР (о>к — 0>Р+1) ₽ = ОО,	(9. 35)
к—1
так как в силу леммы 2 ряды
9*	131
2 тк “к И 2 /”к₽	— “«+1) ₽
К=1	К—1
расходятся одновременно.
Соотношение (9. 35) означает, что F- неограничена на G
и, следовательно, не принадлежит С(О), т. е. (О) $ С (О).
Но тогда и подавно H'“(G)<zC(G), что окончательно доказыва-
ет теоремы (4. 19) и (4. 20).
§ 10. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ПО СИСТЕМАМ ХАРАКТЕРОВ»
Рассмотрим суммирование рядов Фурье по системе харак-
теров X нуль-мерной компактной коммутативной группы G с
помощью матриц.
Пусть дана треугольная матрица А = || Хг> к ||0<г, к<«> чисел,
где Xr0 = 1; Хгк = 0 при k > г; г = 0, 1, .... Эта матрица ес-
тественным образом определяет последовательность линейных
операторов мг(А) в L(O):
Мл)/“2 Мк(/)ХК> ск(/) =	(10. 1)
к—0	G *
Всюду ниже будем считать, что для группы О последова-
тельность ограничена.
Цель параграфа—изучение величины
/?<4)(/;A) = ||/-Ur(A)/i|qS=
= (J 17(g) - l«r (Л)/] (g)|qrfp(g)|i	(10.2)
Прежде всего, выясним, при каких условиях на Л
Пт (/; Л) = 0	(10.3)
г-»00
для всякой функции /€Lq(G).
Нетрудно показать, что для выполнения (10. 3) достаточно,
чтобы
11m Хгк = 1 при k = 0, 1, .. .,	(Ю. 4)
1.,
(ю: 5)
1 Результаты данного параграфа принадлежат С. Л. Блюмину.
132
Действительно, частичные суммы Smn(/; g) ряда Фурье
функции /(=L4(G),	сходятся в метрике Lq(G). Это
вытекает хотя бы из того, что
п / ч_ "v’ , ч _(тп при
^njg) Zx,(«)-|o при gQQ\Ua.
Поэтому для любого е > 0 найдется номер п0 = л0 (е; f) такой,
что
II/-$-.(/) II, <•
По неравенству треугольника,
Tf - U, (Л) Л < || f - Smn, (/).||q + || Smn. (/)- «г (Л) .Smn<(/)||q 4-
. ,	+|«t(A)/-ut (A)Smn,(/)|iq,	(10.6>
Как уже говорилось, первое слагаемое в правой части мень-
ше е. В силу линейности операторов мг(А) имеем
МА) f - МА) Smn.(/) - МА) (/ - Smn. (/)) =
^тп» (Л)] Хк(АИи(Л) jzk(g) в
- fi) - smn.(/; g - *)] 2Хк<А) ’Хгк d ^h)-	'
к=0
Применяя неравенство Минковского и используя инвари-
антность меры Хаара относительно сдвигов, получим
JUr(A)/-MA)Smn.(/)|[q =
1
q 1 q
Х2 хгк Хк(А)</|*(Л) dv-(g)
к=0
1
q
G
-SmrSf-,g-A)|q • 2^Хк(Л) 4(g)ГdМЛ) =
к=0
I/ (g - fi) - $п>п.(/; g - h) I4d н (g)l’ x
к—О
X dp.(h) —
j^Ali) dv.(h). K|/(g)-smn,(/; g)|qX
1
xrf|*(g))4 <е.фг.
133
Следовательно,
j/ - Ut (A)/|lq < (1 4- Фг) -® 4- |«r (A) Smn. (/) - Smn, (/) ||q.
Первое слагаемое мало в силу (10. 5), а второе—в силу
(10.4). Таким образом, условия (10.4), (10.5) гарантируют
Условие (10.5) „глухое14, и естественно возникает воп-
рос: какие требования надо наложить на матрицу Л, чтобы
оно выполнялось?
Одно из таких достаточных условий дает следующая
Теорема 4. 21. Пусть при некотором, ц, 1 < >}< 2, и лю-
бых г«1, 2, ...
1 - -L / г	уч
г ЧУкН <£<«>,	(10.7)
где
[Хг, й-i — >гк npk KKr-ii
агк = <
I Хг> г-1 при k—r.
Тогда условия (10.4), (10.5) выполняются и, следова-
тельно, справедливо соотношение (10. 3).
Доказательство. Как отметил Г. А. Фомин {135], из
условия (10. 7) и из того, что Хг0 * 1 при всех г, следует
(10.4). Основное, таким образом, показать, что из (10.7)
следует (10. 5). Применяя преобразование Абеля, получим
Фг —’j
О •
Если та < г < /Пп+ь то, учитывая
ч
k > г, имеем для k а\т; 
1=0
m . . ~ 1
ч+>
К—I
соотношения агк «О при
n тч+' 1 q
2 2 ®гк 3, ^*"1 х
[=0 K=mq j=d
q
°r1	_______
X 5 [x«i.(A)]“ [Хт/А)]в1 Хк(Л) С?|»(Л).
в==0
(10. 8)
Фг = |
d
п
Меняя в (10. 8) порядок суммирования й внося внутрь
знак модуля, находим
п ч
фг< 2 S"1! I
q«0 j=0 Uj
134
mq+l”1
2
K=smq
«j—1
[XmjWp.2	=
a=0
n q Pj	mq-H 1	______ al 1
= 2 2“>2 J	2 MWx
q=0 j=0	»==0 U] +1+h<j> K=niq	a=0
n q	Pj-1
XXk(A)^H(A) =2 2^ 2 f
q=^	v=° Uj+i+hO’)
dp(h)f
причем
“q+l-1
(10. 9)
К интегралам
K=mq
применим неравенство Гельдера. Получим
q==0 j=0	v==0
w
. -1?I 4 n q
Xxu(A)r7lrfHA)J <51
q=0 j««0
7]-l
v=o L
Последний интеграл
mq
2
K=»mq
mq+1-l
K=smq
оценим по теореме Рйсса (l <т)<2):
4 V
_ 1 Pj-1 /mq+l-1
______ъ n p> n 21 2 I w
q~0 j=o	v=a \ k=niq
Используя (10. 9) й оценку p.^C, имеем
1 J, 1—
2", ’<
j=«0
2— -Д- n ./ mq-H 1
K-mq
<(2С)
П / Hiq+i—l	\ Tj ____
2 2 l“r«i' 1 <’
K=mq

Pj—1
n q
71 Pi '
w
л
135
Эта оценка завершает доказательство.
Рассмотрим некоторые следствия доказанной
Возьмем метод суммирования (С, 1), для которого
теоремы.
1 — ——	при 0 < k < г,
О	при k > г.
В этом случае
у—- ПрИ 1 < k < Г 1,
2	, ,
—-— при k—r.
Следовательно,
Таким образом, средние Чезаро первого порядка ряда Фурье
функции /€Lq(G), >1 < д'С оо, по системе характеров нуль-
мерной коммутативной компактной группы сходятся в метрике
L4(G) к /.
Кроме того,
Хк<£) d?.(g)
d^(g)
К«1
Ниже изучается , поведение величины Л). в зависи-
мости от конструктивных свойств или, что то же самое, в
силу оценки А. В. Ефимова
от структурных свойств функции /.
Введем обозначение

т($+ 1; z’) = j>
о
2 0 ~Хгк)Хк<£) dM-
136
Теорема 4. 22. Пусть /€Lq(G), 1<7<оо, и Л=||Хгк|[ —
треугольная матрица суммирования. Тогда,

/-2 мл/)*.'
к—О
< (1 + фг)^ч,(/> +
q
п
+ 2^7(5+ 1:
s=0
(10. 10)
где ma^r <mn+i, a	наилучшее приближение f (g)
полиномами вида
п —1
к=0
в метрике Lq(G).
Доказательство. В силу ортогональности системы ха-
рактеров
J 2 aj ~ $ 2 xKwd = J 2zj ~х
G j==0	. k±=i	Q j=o ''
rn-—1
.X 2	(10.11)
K=1
при l^mt и любых {PjJkJLY1-	.........
Далее, если 7\ ==a0—полином наилучшего приближения f
первого порядка,- то-
(Л(^-А)2?кХк(А)^^(А) = 0	(10.12)
О	к=1	'
при любых 1 И . . ., {3,.
Аналогично (10. 6)
/; Л) < ц/ - т,[, +1 т, - «,(Л) т, + [ «,(л) г, -
- “,(A)/jlq = £>’>(/) + л<’> (7Г; Л) + U | J [/ (g - й) -
г	|q
- ТАё — А)]2 ХгкХк(Л)«/|*(Л) rfp-(g)
к—О
4 <£<9)(/) +
п
+ /?(гЧ)
137
- Tt(g - Й) |Ч d |x ( g)} q d |x (A) < (1 + фг) Z: <q,( /) +
+/?(rq)(Tr; Л).	(10.13)
Применим (10. 11) и (10. 12):
/?(гЧ)
q
2 (l-\K)xK(A)rf|x(A)
к=1	iq
n—1	ms+l—1
2 J	г..(г-л)] j (i-i„)x
s=l G	k=1
mn+l^l
ххк(4)<МЛ) + ( 1л(г-*)-г„,(г-л)] 2 (i-*Jx
0	K=1
x XK (A) d |X (ft) +J [rmt (g - ft) - Tat(g - ft)] X
mi—1
x2PA)x«(*)^W •
K=1
q
Используя неравенство Минковского, отсюДа имеем
h—1 ms-f4“l
6=1 G
K-l
mn+l-1
\,)XK(A) d^h}4
mi—1
+2£»>(/)J 2 (1-Mx.W	=
K=1
G
n
= 2 27(5+l;r)^m4I(/).
s=0
Подставляя эту оценку в (10. 13), получим (10. 10).
Рассмотрим некоторые следствия этой теоремы.
Пусть
k
1-------- при 0 < к < г,
'„-I "+1
. 0 :	при к> г.
138
В этом случае ыг(Л)/==а
j
— S sk(/) и и3 Д°казанной
теоремы следует, что
и « С
r+1
r = 0, 1, . . . . (10. 14)
Для доказательства (10. 14) заметим
“s+i-1 г
что
ХК(А)
G
“s+l-1 t
: k
К—I
/Я. , ,
Хк(Л) rfp (*) = -*!
«s+i-1
2 Хг(*) -
к==4)
О K»d Г
”’+1-,Z	<•
- S ll--ar~
Й \ Ws+l -
Поэтому (10. 10) дает
[а 'Ц	1
EJ'V) +7;, 2 '*.+,£“(/) •
J
Хк(й) <МЛ)<С
1
— т.
В силу монотонности наилучших приближений и ограни-
ченности {рк) получим требуемую оценку.
Если 4Ч’( f) С тйа, то при условии рк < С имеем
о (г-)
при 0 < a < 1,
при a=l, (Ю: 15)
при a > 1.
Оценка для a = 1 уточняет результат А. В. Ефимова [45].
Покажем, что оценка (10. 14) неулучшаёма в случае q= 00.
Рассмотрим для этого функцию	.	:
где —произвольная монотонно убывающая к нулю по-
следовательность-.	. 	1
|/-»Л=
к
139
Очевидно, что
^“’(Ф) < sup | ф (g) - 5Г(Ф; g) | =
= s“g 2 (£v - £v+i) Ш < 2 (E - *v+I) - Et.
В то же время, поскольку x,(0) = 1 при всех * = О, 1, . . .
i f - °, i- = s“g 2 (£. ~ f.+.) x.(?) - 2 (f. ~ £,+.) X
•	\й— 1	4*-1
х(1“7^)хМ>2<£-“£’*')ттг+ 2 (£r-£-+1)
'	^=1	v=r-H
Г	- r + 1
V—1	v4-l
что доказывает утверждение.
Рассмотрим метод суммирования, определяемый следую-
щей матрицей.
Пусть /пп<г</ип+1, п = п(г). Положим
при 0<к<(дп-1)г,
при (дп— 1)г+	1,
при к~^>г-ра.
В этом случае операторы мг.Рп(Л)у могут быть записаны
в виде
1 1 Р”Г
W)=-7 2 ></)•
-=(Рп-1)Ж
где, как обычно, «,(/)—v-я частичная сумма ряда Фурье/.
Подобный метод суммирования является аналогом метода
Валле—Пуссена. С. Л. Блюмин доказал следующее утверж-
дение.
Теорема 4. 23. Пусть ff- L4(O), 1 < q < оо и группа G та-
кова, кто рк<С. С. Тогда
|7-
140
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что если
г = тп, то
I f - И.,( f) I, < С £?>( j )< С .«(f).
Доказательство. Очевидно, что
О
при 1 < к < г (ра — 1),
при г(ра - 1) 4-1 <к<грп.
Используя то, что ранее было показано, имеем
i
Далее,
1; rpa) = J
1	/ г₽п \ч
2 1) <с2.
\«“г(Рп-1)Н /
-Aj + vkw
г J
о
“s+l-1
K=r(Pn-l)+1

Если s<n — 1, то	r-/?n)=0, так как для такого $
суммирование ведется лишь до та — 1, а нижний предел в
последней сумме равен г(ра — 1) + 1 >та(рп — 1) + 1 >
> тп 4 1. Если же s>n— 1 (таких значений s при каждом
г всего два: п и п-\- 1), то, учитывая оценки,
о
«Млхс,
ms+l-1
S TTTz-(4)
К—1
d|*(A)<Cws+w
получим
7($+ 1; гра) =(ра— 1)
Хк(А)
к
г(Рп—1)
К
Г(РП~\)
d р. (й) +
< (Рп - 1)
_^}ш\*№)<(Рп~ЬХ
С?|Х(Й)<
141
<Mh) + C\<
2 d + J 2
"о	Ok" V’n-W
ws-f-l J
G
“s+l-1
2 ~пг~
k=0 Ws+1
XK(A) ЗД + С <C'.
Таким образом,
I/ ~ W) 1, < (• + О £"n(/) + 2 С' /) + ^+,(/)}
и в силу монотонности наилучших приближений
|/- W) Ik < с {^Ч)(/) + ^Чп(/))-
Рассмотрим еще один метод суммирования, не являющий-
ся треугольным—метод Абеля.
Для 0<р< 1 определим
д//)=3 Рк<?к(/)Хк
к=0
Теорема 4. 24. Если О такова, что р*<,С и /€Lq(G),
1	/по
v=l
Доказательство. Так как
(1-р)22(«+1)Рк=1
К—1
И
 2 ₽Ч(/)х. = (!-₽)’
к=0	к—О
по неравенству Минковского и по одной из доказанных теорем,
l/-A₽(/)’q =
(1-р)22рк(« + 1)(/-<’к+1) <
к=0	|q
<(i - р)22 pk(*+ ОЙ-*к+11к<
к=0
С (1 - р)! 2 р* (к + >) 2ттг ’< /) <
к=0	V=1
<с'(1-р)2
V=1
142
Из этой теоремы, прежде всего, вытекает суммируемость
в метрике Lq(G) методом Абеля ряда Фурье функции/6 Lq(G).
Нетрудно установить, что если <о„ч)(/) —О (/и7“) и рк<С>
к = 0, 1, . . . , то

О((1—р)е)	при
О((1 — p)|log(l — р)') при
0(0 — Р))	при
0<а< 1,
а = 1,
а > 1.
Примечания и литературные указания
Простые оценки для коэффициентов Фурье через модули
непрерывности и вариацию, приведенные в § 2, получены
Н. Я. Виленкиным [28] (см. также [203]). Точные оценки для
коэффициентов Фурье—Уолша функций разных классов со-
держатся в работах А. В. Ефимова [46] и Н. П. Хорошко
[139-141].
Аналоги неравенства С. Б. Стечкина и теорем Саса, Берн-
штейна, Зигмунда получены в [32] и [203], а для системы
Уолша—Ионедой [275] и Блюминым и Котляром [21]. Упо-
минание о возможности доказательства теорем Саса, Зигмун-
да и Лоренца для произвольной нуль-мерной группы G со-
держится в упомянутой работе [21].
Относительно абсолютной сходимости рядов по системам
характеров см. также [216] и [158—160].
Запись ядра Дирихле в виде (4. 3. 9) приведена в [28].
Оценки констант Лебега в общем случае принадлежат
Н. Я. Виленкину [28]. Они следуют и из общих результатов
А. М. Олевского [80]. Для системы Уолша константы Лебега
оценил фактически еще Пэли [220]. Тонкие оценки констант
Лебега системы Уолша получены А. А. Шнейдером. По пово-
ву констант Лебега системы Уолша см. также [169]. Признак
локализации Римана для произвольных систем доказал
Н. Я. Виленкин [28].
Локализация для системы Крестенсона—[161]. Аналог при-
знака сходимости Дини рядов по мультипликативным систе-
мам фактически установлен Г. М. Джафарли [42] (см. также
Признак сходимости Харди—Литлвуда, приведенный в п. 3
§ 5 для системы Уолша, доказан Яно [273] и дан с необходи-
мыми изменениями.
Аналоги теорем П. Л. Ульянова [130], содержащиеся в
п. 1, 2 § 6, доказаны А. И. Рубинштейном [90, 91]. Утверж-
дение о сходимости рядов Уолша с монотонными коэффици-
ентами принадлежит А. А. Шнейдеру [147] и Файну [169].
Аналоги теорем Зигмунда (см. [13], стр. 684) и Сидона
([13], стр. 693) вытекают из общих теорем В. Ф. Гапошкина
'	143
о лакунарных подсистемах (см. [33—34]. Применительно к
мультипликативным системам подробные результаты установ-
лены в [35—36] и [29].
Аналоги теорем Лоренца и Лоуда получены А. И. Рубин-
штейном [94].
Результаты § 8 о связи между наилучшими приближения-
ми по системам характеров нуль-мерных групп и наилучшими
приближениями принадлежат А. В. Ефимову [45]. Для систе-
мы Уолша этот результат установлен Ватари [261].
Аналоги теорем вложения, установленных П. Л. Ульяно- .
вым [133] и В. А. Андриенко [5] для классов функций, опре-
деленных на Т, получены в случае нуль-мерной компактной
коммутативной группы (§9) М. Ф. Тиманом и А. И. Рубин-
штейном [128]. При этом аналог неравенства С. М. Николь-
ского [78] (лемма 1) получен М. Ф. Тиманом, а леммы 2—4—
А. И. Рубинштейном.
Приведенные в § 10 результаты по суммированию рядов
по системам характеров принадлежат в основном С. Л. Блю-
мину [16, 17]. Тригонометрические ранее установленные ана-
логи получены С. Б. Стечкиным [116], Г. А. Фоминым [135]
и М. Ф. Тиманом . [125]. (С, 1)—суммируемость рядов по
мультипликативным системам рассмотрена в [28, 161, 171[.
Глава V
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ О РЯДАХ
ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ
1.	Сходимость рядов Фурье в точке. Явление Гиббса.
Принцип локализации Римана для рядов по системам харак-
теров нуль-мерных групп, а также признаки сходимости Дини
и Харди—Литтлвуда доказаны в гл. IV. Этот результат при-
надлежит Н. Я. Виленкину [28].
Для системы Уолша принцип локализации и признак Дини
получен Н. Файном [169, 170]. Аналог признака сходимости
Жордана (см. [13, стр. 121]) доказан Ли Луантан [70], при
другом определении вариации—Н. Я. Виленкиным [28].
Эти же утверждения для своих систем получил Крестен-
сон [161], а признак Харди—Литтлвуда для системы Уолша—
Пэли доказал Яно [273].
В [169] изучалось явление Гиббса для рядов Фурье—Уол-
ша. Для систем характеров нуль-мерных групп с 11шрп<с<
< оо эти результаты обобщены А. М. Зубакиным [54].
2.	Равномерная сходимость. Аналог признака Дини—Лип-
шица (см. [13], стр. 280) непосредственно вытекает из нера-
венства Лебега и оценки А. В. Ефимова [45] для наилучших
приближений полиномами по системам характеров нуль-мер-
ных групп. Признак Дини—Липшица для системы Уолша
установлен в [169], в общем случае—в [28].
Аналог признака Салема (см. [13], стр 283) для функций,
определенных на нуль-мерных группах, получен Оннвиром и
ОО
Уотерманом [215] (для группы S Z (2) и в [213]). Как след-
К=1
ствие выводятся аналоги признаков Дини—Липшица, Жорда-
на и признака равномерной сходимости с ограниченным Ф-
изменением.
Аналог теоремы Штейнгауза (см. [13], стр. 111) для сис-
темы Уолша—Пэли доказан Ли Луантаном [70], а для общих
систем характеров с условием lim/?n< + oo — А. М. Зубаки-
ным [50].
Некоторое уточнение признака Дини—Липшица в случае
рядов Уолша—Пэли можно получить из оценки А. В. Ефи-
мова [46]
т- 2n'“ni 2n,J v(2z)dz +
l<j<Km / О
sup|l/-Sn(/)||c<4
4—10
145
где
я- 2П‘ + 2"Ч----+ 2”» «1 > л2 > •  • > пга >0.
Здесь функции рассматриваются на отрезке [0, 1].
3.	Сходимость почти всюду. После решения Карлесоном
[156] проблемы Лузина аналогичный результат для системы
Уолша—Пэли в 1967 г. получил Виллард [151] (см. также
[187]). Затем Госселин [179] доказал, что ряд Фурье функции
из LP(G), р > 1, по системе характеров произвольной нуль-
мерной компактной абелевой группы О с lim рп < + х> почти
всюду сходится. Этот же результат (для р = 2) получен Шип-
пом [240].
00
Для группы 8 ZK(2) (систем >i Уолша—Пэли) Сьёлин [247]
К=1
доказал более сильное утверждение: почти всюду сходится
ряд Фурье — Уолша—Пэли любой функции из L(bg','L)x
x(log+ log+L).
Аналог теоремы Марцинкевича—Зигмунда для системы
Уолша—Пэли доказал Моргёнталер [205] (см. [11], стр. 164).
Много работ посвящено изучению сходимости (и расходи-
мости) рядов по переставленным системам Уолша—Пэли и
системам характеров.
Системами сходимости являются системы Уолша в его ну-
мерации (Бахшицян [14], Шипп [146]), Уолша—Качмажа (Шипп
[146]). Последняя нумерация обладает тем свойством, что
почти всюду сходится любой ряд Фурье функции из L^og^L)2—
Янг Восанг [277].
В работе Госселина и Янг Восанг [181] указаны классы
перестановок систем характеров нуль-мерных групп, сохраня-
ющие сходимость почти всюду рядов Фурье функций из L2(G)
и LP(G) при 1 < р < 2.
ОО
Л. А. Балашоз показал [10], что если аа 10 и 2 ~~ < ’°.
П^1 П
то ряд Уолша—Качмажа с коэффициентами {ап} сходится поч-
ти всюду и в L (0, 1).
4.	Расходимость в точке и почти всюду. Существование
непрерывных на группе G функций с расходящимся в одной
точке рядом Фурье следует из оценок функций Лебега (Пэли,
-Файн, Н. Я. Виленкин).
Конкретный пример с использованием аналога полиномов
Фейера построен Шиппом [232]. Конструкция Шиппа исполь-
зована Онневиром [214] для доказательства неусиляемэсти
признака Дини—Липшица в случае произвольной нуль-мерной
компактной группы. Если limpn< + oo, то существует/0, у
146
которой	и РЯД Фурье по системе характеров
расходится в точке х — 0.
Аналог теоремы А. Н. Колмогорова о расходящемся всюду
ряде Фурье—Уолша—Пэли доказал Ш. В. Хеладзе [137], ко-
торый использовал метод С. В. Бочкарева, установившего
расходимость на множестве положительной меры ряда Фурье
по любой ограниченной ПОНС.
Мун [204] показал, что если Ф(/) > 0 выпукла и возраста-
ет, ф(1^) вогнута и Ф(/) = о (t log log t) при /->oo, то най-
дется /оеФ(Ь), ряд Фурье—Уолша—Пэли которой почти всю-
ду расходится.
Для системы Уолша—Качмажа Л. А. Балашов построил
[10] примеры функций/6L(hg+)1+\ 0 <s< 1, с расходящи-
мися почти всюду рядами Фурье.
Рядом авторов изучалась скорость расходимости рядов
Фурье по системе Уолша. Так, Шипп [233] показал, что для
любой последовательности {%)/'>	— о (log log «) найдется
функция yof-L(O, 1) для частичных сумм ряда Фурье—Уол-
ша—Пэли, которой sn (у0> х) почти всюду выполнено соотно-
шение Пш -1  -—— — со. Он же в [236] несколько обобщил
этот результат и установил существование /0: sup j| f0(x 4- h) —
~/о(х)\=0{  —— | c расходящимся почти всюду рядом
I log log Y I
Фурье. (В тригонометрическом случае ранее подобное утверж-
дение доказал В. И. Прохоренко [87]. Близкие по тематике
вопросы рассмотрены Индлекофером [190].
В нескольких работах (см. Тандори [250], Наката [208,209])
разыскивались условия на {Рп}/*30- ПРИ которых найдутся по-
00
следовательность {an],	и перестановка нату-
1
рального ряда такие, что ряд Уолша—Пэли с коэффициента-
ми {ап} после перестановки расходится почти всюду.
Значительно более сильный результат получил С. В. Боч-
карев [27]; в качестве рп можно взять любую о (logп).
5.	Абсолютная сходимость. Абсолютная сходимость рядов
по системам характеров нуль-мерных групп обсуждалась в
гл; IV. Приведем ряд других результатов.
Онневир [216] доказал, что если /6Lipa(G), 0< а < 1, то
ОО	оо
°° для ? >-----(аналог теоремы Саса) и X
16*	147
X |cn(/)| < оо для f > — а. (аналог теоремы Харди). Неу-
силяемость этих утверждений вытекает из общих результатов
С. В. Бочкарева [24, 25] для произвольных полных ортонор-
мированных систем.
Эти же результаты для системы Уолша получили Ионедо
[275], Блюмин и Котляр [21]. Мак Лафлин [201] показал, что
существует абсолютно непрерывная f(x) с расходящимся аб-
солютно рядом Фурье—Уолша—Пэли. Бочкарев [26] устано-
вил этот факт для любой полной ограниченной в совокупно-
сти ортонормированной системы.
Аналог теоремы Винера об абсолютной сходимости ряда
Фурье—Уолша для —, f(x) =#0, доказан Г. Н. Агаевым [2].
УСя)
Некоторые утверждения об абсолютной сходимости содер-
жатся и в пункте „Преобразования функций и рядов" насто-
ящей главы.
6. Оценки и сходимость в пространствах Lp. В работе
Ватари [259] показано, что
1
тп+1' 1	2 ,
v=mn	|
I Х f (Х) lll_₽<0. 1)
и
X’P 1sn (/; *) |₽ < Р) J I/(я) l₽ dx
для	1<р<оо И-------< а < 1----.
Р	Р
Функции и система характеров рассматриваются на отрез-
ке [0, 1], lim/?n < 4-00.
Из этих результатов следует, что система характеров нуль-
мерной компактной коммутативной группы О с 11mрп < 4- 00
является базисом в Lp(0) при 1 <р < оо.
Для группы О, являющейся топологической прямой сум-
мой счетного числа групп Z(2), система характеров которой
изоморфна системе Уолша—Пэли, этот результат получен
Пэли [220].
Для системы Уолша—Пэли приведенные выше оценки
установлены Хиршманом [186] (см. также [182]). Вторая оценка
для тригонометрической системы ранее найдена К. И. Бабенко.
В указанной работе Ватари отмечается, что оценка (5,-1)
Pfr | 1
не имеет места при ——	> 1.
Рк
Окончательность оценок Пэли для системы Уолша уста-
новлена А. Бонами [152]: существуют последовательность на-
148
туральных чисел кДсо,—11, X —Хп->оо и функция
“п
f0(x) из некоторого L₽(0, 1), р > 1, такие, что
оо
п—О
2\ 2
LP(O, 1)
хп+1-1
2 с,(/о)
v=An
не оценивается через ll/о |ILP(O>
Для произвольной нуль-мерной группы, даже с limpn =
= + оо, Янг Восанг [278] доказала оценку
||5n(/> *)|!bP<	||/i|Lp,	1 <_р<00,
и базисность в LP(G) системы характеров X, а также оценку
слабого типа	'
mes {х: | $„(/; х) | > у] < -С, /6L(G).
Для мажоранты частичных сумм по системам характеров
неравенство с весом <и(х) (при некоторых условиях на этот
вес)
J[supjsn(/, x)|jp«)(x)t/x<C f |/(х) |?0> (х) dx
установил Госселин [180].
Оператор мажоранты частичных сумм по системе Уолша
изучался Татеокой [261] и Сьелиным [247], установившими,
что
||sup|sn(/, х)| ||lP-^ Ср- ll/|jLp, 1<р<оо,
|| sup (sn (/, х) | ||l < Ct j | f | (log+/)2 dx + C2, f € L (log+L)2,
mes (x rsup । sn (/; x) | > yj < C exp (-	f e L°° .
Оценки мажоранты частичных сумм рядов по некоторой
модификации системы Уолша, связанной с перестановкой сис-
темы Радемахера, найдены Янг Восанг [276].
Ватари [263] изучал поведение частичных сумм по системе
Уолша—Пэли в Lp(0, 1), 0<р< 1, и в пространствах Орлича
(по поводу этой работы см., напр., [11]).
Очень интересные результаты, выявляющие различие сис-
тем Уолша и тригонометрической, получены в [279] Янг Во-
санг.
7.	Суммируемость. Равномерная (С, 1) суммируемость ря-
4-40	149
дов по системе характеров нуль-мерных групп от непрерыв-
ных функций установлена Н. Я. Виленкиным [28]. В гл. IV
это утверждение получено как следствие общей теоремы,
установленной С. Л. Блюминым [16]. Эта теорема содержит
и аналоги утверждений, в тригонометрическом случае уста-
новленных С. Б. Стечкиным и Г. А. Фоминым [135].
Не останавливаясь более на результатах, приведенных в
гл. IV, упомянем о более ранних частных случаях, а также
о не вошедших в основной материал результатах.
Равномерная (С, 1) суммируемость рядов Фурье—Крестенсо-
на для непрерывных функций установлена в [161 [.
Суммируемость рядов Фурье—Уолша методом типа Раго-
зинского Харшиладзе рассматривал в [136] для непрерывных
функций и Моргенталер [205]—для /€LP, 1 <р < оо.
Критерий равномерной суммируемости с помощью треуголь-
ных методов суммирования рядов Фурье—Уолша—Пэли не-
прерывных функций установлен Ли Луантаном [70].
Файн [171] доказал (С, а)-суммируемость (а >0) почти всю-
ду рядов Фурье—Уолша—Пэли.
Суммирование рядов Уолша—Пэли в Lp рассматривали ряд
авторов: Моргенталер [205], Яно [274], М. А. Ястребова [149]
В. М. Кокилашвили [66], причем последние два автора нахо-,
дили оценки соответствующих приближений для разных
классов функций.
Сильная суммируемость рядов Уолша—Пэли изучалась в
работах Шиппа [235, 238], Цибертовича [168].
В работах Ладхавалы [195] и Ладхавалы и Панкраца [196]
изучалось поведение частичных сумм и коэффициентов рядов
Фурье—Уолша—Пэли для функций класса /У*1*—аналога клас-
са Харди, предложенного Гарсией:
1
/6/7(1), когда j"
о
СО
2(М/;	*)]2
Л=1
2
dx
оо.
Если	то Ук 11 с (/) I <оо (Ладхавала); limsn (/; л) =
,	1	к-^оо к
к=1	w
= /(х) почти всюду при -K-tl- >k> 1, но существует /об/7(1)
пк
такая, что 5п(/0;л) почти всюду расходится (Ладхавала и
Панкрац).
Суммируемость по произвольным системам характеров нуль-
мерных групп с условием lim/?n<4-oo изучалась в ряде ра-
бот А. М. Зубакина и Г. С. Сурвилло.
150
Так, в [51] установлено, что для f^L(O, 1)
lim ^(f; х) = lim Лх+^х~^ ,
K->co	t-н-о	2
где <3ка)(/; х)—среднее Чезаро. Там же приведены достаточ-
ные условия равномерной суммируемости рядов непрерывных
функций некоторыми треугольными методами суммирования.
Этому же вопросу посвящена и работа [57]. Суммирование
методами с треугольными матрицами рассматривал Г. С. Сур-
вилло [117, 118]. Им же в [119] перенесены теоремы
Д. Е. Меньшова [74, 75] о (С; — а)-суммируемости; 0<а<1.
Оценки приближения (С; 1) средними для классов LipG(a; р)
получены А. В. Ефимовым [45].
По поводу абсолютной суммируемости рядов по системе
характеров см. [56] и [18].
8.	Принадлежность классам. Мультипликаторы классов.
Критерий принадлежности /(х) (на отрезке) классу Lipa, ис-
пользующий ряды Фурье—Уолша, указан Ли Луантаном [70].
Моргенталер [205] нашел критерий принадлежности ряда
Уолша—Пэли классам рядов Фурье, Фурье—Стилтьеса (см.
также Файн [172]), рядов Фурье ограниченных функций, ря-
дов Фурье непрерывных (на группе) функций.
Критерии принадлежности функции классам , LipG (а; р)
(G—топологическая прямая сумма счетного множества групп
Z(2)) получил Ватари [261].
В упомянутой работе Моргенталера [205] указаны необхо-
димые и достаточные условия мультипликаторов классов ря-
дов Фурье—Уолша (В, 5); (С, C(G)); (L, L); (S', L); (В, C(G)),
где В—класс рядов Фурье—Уолша существенно ограниченных
функций, С—класс рядов непрерывных на [0, 1] функций,
6(G)—класс рядов непрерывных на О функций (напомним, что
CCC(G)), L —класс рядов Фурье—Уолша суммируемых функ-
ций, S'—класс рядов Фурье—Уолша—Стилтьеса.
Достаточные условия мультипликаторов классов рядов
(Lp, Lp), 1 < р < оо, по системам характеров нуль-мерных
групп, для которых limpn<oo, найдены С. Л. Блюминым [17].
Янг Восанг [279] установила различие классов мультипликато-
ров (Lp, Lp), р^=2, для классов рядов Фурье по системам
{cos г. п х} и Уолша—Пэли.
9.	Преобразования функций и рядов. В работах Харпера
[183] и Кобаяси [194] изучалась сходимость и расходимость
a—1
рядов Уолша—Пэли с коэффициентами aK(/) [log2K] ₽ , где
1	0 < a < 1 и ак(/)—коэффициенты Фурье—Уолша-
Пэли функции из Lp (подробнее см. [11], стр. 164—165).
151
Игари [188, 189] установил, что
1	и
«к(/)
£
(log k) р
р
dx <
®К(х)
1
Ар J|/(x) \pdx при 1	< 2,
о
A J|/(x)|log+|/(x)|dx + £ при
Р = 1,
J sup * s°^’ ' с? х < Лр J | у (х) |р d х при 1 < р < 2,
С SUp |5п(/, *)l dx<A СI/ (х) | log+1/(х) | dх + В
J n>2	10g П	J
при р = 1,
mes (х : sup LMZiJlL > у) < — f I f (x) | d x.
I n>2 logn	J у J
В работе [ 188] приведены также оценки -^(^-^(х) в 1Л
к==2 (log k)р
Свойства сверток уа функции /а(х) = 1 + 2 2“,10g,kl’®K (х)
К—1
с У(х) изучал в [264] Ватари. Установлено, что:
1) (/Л=А+₽. «>0. Р>0 H/6L,
2) если ||/(x-i-/t) — /(x)fLP< с • |ЛГ, то
H/^ + Aj-yp^PLP^G.lAi^,
3) S
|| \к=0	/—а
Lp
Zo IIlp

4) если /6LP, р> 1, то /i _ j€L4 и ll/£_ И) <
Г- Т II i i Hl4
1_
5) mes{|/«(^)|>y}< (~HL) ПРИ 0<а<1.
152
Ряды Фурье—Уолша—Пэли так называемых „сжатых функ-
ций" исследовались Ватари [262] и Окуямой [212]. Приведем
более сильный результат Окуямы.
Пусть для /6L2 найдутся последовательности неотрица-
2
тельных чисел [in)~=1 и р, — <р<2, такие, что
_1р / П \ 2
2 (2Ак)“
\к«=1	/
п
и 2' I»+л
П=1 ,
М
__Р /	00	\ 2
2 м ,<0°’
\K-n4-lJL/ .
Тогда для любой функции g со свойством
C|g(x-t-A) — g(x)\2dx< J|/(х + A) — f(x)fdx (5. 2)
о	о
оо
имеем 2 | Cn (g) |р < °°. При р = 1 получим результат Ватари.
П=1
Для рядов по системам характеров нуль-мерных групп с
условием Йт/>п< + оо более общий результат установлен
В. И. Прохоренко [88].
Пусть последовательность неотрицательных чисел {kn}“=i
монотонна и Хп-/г~а| при некотором а > 0. Если для фикси-
рованного р, 0 <р <2,
р
оо _ Р / оо	\ 2
2	2кк(/)Р	<оо,
П=1	\ к=п	/
ОО
то для любой g(x), удовлетворяющей (5. 2), имеем 2 X
П=1
I сп (g) |р <°о. Показана и окончательность в некотором смыс-
ле этого утверждения.
Гиббсом [176, 177] предложено понятие „диадической" про-
изводной [1], приводящей к соотношению
[®к(х)]Ц1 = к-аук(х),
где wK(x)—функция Уолша—Пэли номера к.
Это понятие изучалось Бутцером и Вагнером [154], Шип-
пом [240, 241], Палом и Шимоном [219], перенесшим понятие
производной на функции, определенные на произвольной нуль-
мерной компактной коммутативной группе О, Вейдом и др.
153
Например, Шипп [241] показал, что если как 10, то
со	|[1| 00
 2 «к ®к(*)	= X к а*™Лх)-
к=0	J	к«0
В. А. Скворцов и Вейд установили подобный результат
для рядов по произвольным системам характеров нуль-мерных
групп в более общих условиях и значительно упростив дока-
зательство.
Попытки определения сопряженных функций f (и сопря-
женных рядов о) к функциям, определенным на нуль-мерных
группах, предпринимались С. Л. Блюминым [20] и А. И. Ру-
00
бинштейном [96]. Для О —	[20] доказан аналог тео-
К=1
ремы Рисса: /6ЬР, если /€LP, 1<р<оо, а в [93]—аналог
теоремы Лузина: о(/) = а(/) при /gL2(G).
ОО
Поведение рядов вида 2	(/) W по системе
к=0
Уолша, принадлежность их суммы Д(х) к Lp, связь между
наилучшими приближениями En(f) и Ап (А) в Lp изучались
В. М. Кокилашвили [65].
10. „Исправление функций". В ряде работ классическая
теорема Д. Е. Меньшова об „исправлении11 функции (см. [13],
стр. 448) переносилась на ряды Уолша—Пэли и общие ряды
по системам характеров нуль-мерных групп.
Так, Р. И. Осипов [81] и Б. Д. Котляр [67] независимо
друг от друга установили, что для всякой измеримой, почти
всюду конечной функции f (х) и числа е>0 моянэ постро-
ить функцию ge6C’(0, 1) с равномерно сходящимся рядом
Фурье—Уолша—Пэли и такую, что mes{x:/(х) ф gt (х)} < е.
Прайс [224] несколько усилил этот результат, показав, что
gt (х) можно выбрать таким образом, что ск (g£) = 0 вне про-
межутков vn < к < |4П, где Vi < [ij <	. —заранее за-
данные натуральные последовательности, удовлетворяющие
условию lim -^2- =оо.	.
п->оо vn
Аналог теоремы Д. Е. Меньшова для системы характеров
с условием limрп <-|-оо установлен А. М. Зубакиным [51,
52], а с произвольной последовательностью рп—Чень Яуде
[158].
И. Наилучшие приближения. Аналог теоремы Джексона
и обратных теорем типа С. Н. Бернштейна в самом общем
случае приближений многочленами по системе характеров
нуль-мерной компактной коммутативной группы О в метрике
Lp(G) получил А. В. Ефимов [45]:
154
^’(/)<(BnP)(/)<2^pn’(/),	oo, « = 0, 1,. . . .	(5.3)
Частный случай ^(У) = 2~“n (t. e. Lipo(a; /?)) этого не-
равенства для системы Уолша—Пэли установил Ватари [261].
Для системы Уолша и обычного (негруппового) модуля непре-
рывности в С(0, 1) неравенства (5. 3) с другими константами
доказал Ли Луантан [70].
В работе [39] Б. И. Голубов получил аналоги неравенств
П. Л. Ульянова и С. Б. Стечкина—А. А. Конюшкова для
оценки обычного модуля непрерывности <»(/; S)L₽ через наи-
лучшие приближения многочленами по системе Уолша—Пэли.
Вложения в Lp(0, 1) в терминах наилучших приближений
по системе Уолша—Пэли изучались М. Ф. Тиманом [127] и
Н. Д. Рыщенко [101].
12. Оценки коэффициентов. Порядковые оценки коэффи-
циентов Фурье непрерывных на [0, 1] функций (через мажо-
ранту модуля непрерывности)
кк(/)1<	при	<тп и У^" (°> 0
/	\ "'п—1 /
и функций ограниченной вариации на [0, 1]
установили для систем характеров Н. Я. Виленкин [28] и
Окума [210].
В частном случае систем Крестенсона подобные неравен-
ства доказаны в [161].
Точные оценки коэффициентов Фурье—Уолша для классов
функций /Г(0, 1), И(0, 1), W9Hm(0, 1) найдены А. В. Ефи-
мовым [46] и Н. П. Хорошко [139, 141]. Последний оценивал
и коэффициенты Фурье—Радемахера. Пал [218] в терминах
функции sup |!/(х+/) —/(x)L указал для фиксированной
111<«
последовательности {Хк) j необходимые и достаточные уело-
ОО
вия сходимости ряда ^1 ск( f ) 12-Хк.
Исследованием возможной скорости убывания коэффици-
ентов Фурье—Уолша—Пэли непрерывных функций занимался
С. В. Бочкарев. В [23] он доказал, что если |cn(/) I = O(d„)
| и dn < оо, то /,(х) = const.
Л —1
Вместе с тем существует непрерывная F(x), для которой
I сп (^) I =	—j---j. В докторской диссертации С. В. Боч-
155
GO
карев показал, что условие 2^п<°° является окончатель-
на
ным в теореме эквивалентности непрерывных функций кон-
станте.
Коэффициенты Фурье—Уолша—Пэли абсолютно непрерыв-
ных функций исследовал Моргенталер [205].
Поведение коэффициентов Фурье класса 77(1) изучалось
Ладхавалой [195]. Соответствующий результат приведен в п.
„Суммируемость".
13. Функции и ряды специального вида. Ряды с моно-
тонной последовательностью коэффициентов по системам ха-
рактеров нуль-мерных групп достаточно подробно рассмотре-
ны в гл. IV. Некоторые утверждения по поводу рядов Уолша—
Пэли с монотонными коэффициентами приведены в [И].
Рассмотрим некоторые результаты, не вошедшие в упомя-
нутые материалы.
00
Так, Пал [217] доказал, что 2 ]сп(/)|<°°, где /(х) —
п—1
оо	00
= 2 <M(2Vn*), ''nt00, Slan|<oo, ф(х+1) =<J»(x) =
П=1	П=1
Л /	1
X ДЛЯ 0 < X < —,
=	!	и сп (/) — коэффициенты
1—х для —<х<1
2
Фурье—Уолша—Пэли. В частности ряд Фурье—Уолша—Пэли
непрерывной, нигде не дифференцируемой функции Ван-
дер-Вардена сходится абсолютно.
В работе Лидла [198] рассматривается разложение в ряд
Фурье—Уолша—Пэли характеристической функции интервала
(О, а), а в работе Ричардсона [239] — подобный вопрос для
, 1
функции ------------.
2 ак Ш)к (X)
к=0
Достаточные условия тождественности постоянной непре-
рывной функции /, не покрывающиеся теоремой С. В. Бочка-
рева, указал Кури [164]:
00	2v+i—1
если Jim 2П 2	|А(Л~ ck+i(/)| =о> то 7 const.
’ =п к=2”
Ряд работ посвящен приложениям системы Уолша к теории
линейных антенн, теории передачи сигналов, распознаванию
156
образов и т. д. Например, работы В. В. Лесина [69], С. П. Ры-
манова [98, 99], Охта [211], Вайса [267-269], Шенкса [243].
Приложениям посвящены и сборники [226—228]. .
14. Анализ Фурье на нуль-мерных группах с условием
lirnрп — + ос. Большинство результатов теории рядов по сис-
темам характеров нуль-мерных групп относится к случаю
Нт/7п<+°°- Для таких групп и соответствующих систем
характеров (модельный случай рп = 2 —система Уолша—Пэли),
по-видимому, справедливы (после соответствующей перефор-
мулировки) почти все утверждения, касающиеся тригономет-
рической системы.	____
Иная ситуация в случае lim />п = + °°-. Например, Прайс
[221] показал, что если limpn= + °o, то lim«сп(?) = + 00
для ®(х)=х — [х]. Более того, существует/0(х) € Lip а и аб-
солютно непрерывная с периодом 1, что сп(уо) О (я-1). Если
ОО
2	=	t, то любая непостоянная абсо-
•у=К-{-1
лютно непрерывная функция f имеет коэффициенты сп(/)=?^
=#О(Я-1).
Быть может, коэффициентные утверждения не так убеди-
тельны (даже по системе Уолша коэффициенты непрерывных
функций ведут себя отличным от тригонометрического случая
образом), но при условии lim/?n = oo найдется/0€ С(0, 1) —
ряд Фурье, который по соответствующей системе характеров
несуммируем методом (С, 1) в одной точке. Для группы G,
у которой рп f и тк-i log/\ -» оо (С, 1), средние функции х—
— [х] расходятся на счетном множестве.
Ватари [259] доказал, что если  -к+1-	> 1, то найдется
Рк
ОО mn_p-l
такая /o6Lp(O, 1) при всех 0<р<2, что ряд S S х
n=0
X £v(/o) хДх) I2 всюду расходится и невозможен аналог извест-
ной оценки Пэли [220] для системы Уолша.
А. М. Зубакин [54] обнаружил, что при lim/>n = -|-oo яв-
ления Гиббса в {/?„}—иррациональной точке может не быть
(для lim/?n< + no явление Гиббса обязательно имеет место
в любой такой точке).
1 m
При условии — ^PilogPi^ с М. А. Ястребова [150] уста-
новила, что
157
sup max
0<x<l
1 n
/w-72 x>
K=1
=0
где n = aKiznKi+ ••• 4-^^, к, > •• >Kr>0
и KVV
_Вместе с тем ряд утверждений остается в силе и для групп
с Iimpn = H-oo. Наиболее интересный результат в этом на-
правлении получен Янг Восанг [278]: || sn (/; х) |('р < £pI|/||lp
при 1 < р < оо, и, следовательно, система характеров нуль-
мерной компактной коммутативной группы G—всегда базис в
LP(G) для 1 <р < оо. Обычно этот результат получают с по-
мощью оценок типа Пэли, которые в случае limpn = + <*>,
вообще говоря, не имеют места!
В этой же работе Янг Восанг установила, что
mes {х : | sn (/; х) > у |} <	.
Чень Яуде [158] доказал для групп с limpn = 4-°° аналог
теоремы Д. Е. Меньшова об „исправлении* функций.
Напомним два упоминавшихся в книге результата, спра-
ведливых и для случая lim/?п= + оо: оценку А. В. Ефимова [45]
и критерий модуля непрерывности в пространствах С(0),
L(G), L2(G) (А. И. Рубинштейн [97]).
Результаты по теории лакунарных подсистем систем харак-
теров, полученные В. Ф. Гапошкиным [35—36] (см. п. „Лаку-
нарные ряды“ настоящей главы), также справедливы без вся-
ких ограничений на {рп}.
15. Лакунарные ряды. Наиболее сильные результаты по
теории лакунарных подсистем систем характеров нуль-мерных
групп получены В. Ф. Гапошкиным (см., напр., [33—36]). '
Для формулировки его результатов необходимо привести
ряд определений.
Система характеров X = | Хп(х)}^о нуль-мерной компакт-
ной группы G индуцирует в множестве целых неотрицатель-
ных чисел групповую операцию 4-:
v = « +	если zjx) = хп(х)-хк(х),
v = —п,	если х,(х) = хп(*)
Для последовательности различных натуральных чисел 11 =
= {лк}Х1 подсистема (хп(*)} обозначается АГ(П).
158
Последовательность II QBt, если уравнение ftKi +- «к,= *>
‘>0 (#1 > к2) имеет не более чем А решений.	если не
более А решений имеет уравнение пК1 — пКг = v >0. В2 =
= Bt Л вт и & = В$ и ВТ.
Говорят, что И€С2, если II^В2 и число решений уравне-
ния пК1 + «к, == v при v > 0 не превосходит А. И 6 /?, если чис-
ло решений уравнения
л» i йкг i • • • i Лк8 —v (Kt > к2 > • • • > Ks)
при любых v>0 и s>2 не превосходит As.
ОО
II€£>2, если П = (J Др где Д, Л Дг = 0, число элементов
. Д;| </И и число решений уравнения
«K1±«K, = v при v>0, «K>€AZ1, «к,€Д/? Zt¥=Z2
не превосходит А.
И€О2, если lim (пк +	= °о,
К1 — К 2-*00 V 1	2
К1^=К2
II б дг (ОГ), если lim («к, + «к) = оо,
Ki-Ke-* СО
К1^К2
соответственно если lim (nKl — лКг) = °°.
К1—Ке-*с°
Ki^K2
Аналогично определяются классы Dt и DT-
Если П разбивается на конечное число последовательно-
стей класса Bt (ВТ, . . DT), то П € Bt (ВТ, • . DT)- П€
€ А (о), если ”к+1 q > 1 и П € А,, если П = (J Пь где IIj 6
1=1
€ U А (^).
q>l
Система функций	называется $р-системой,
если
1	И	/' 1	\2
2 Я 2
к=1	Рр	\к==1	/
j/K(*)} -Sp-система при любомрТ>
при всех Z и {ск}. Если
2, то говорят, что {/к(-х)}—
— s ^-система.
ОО
Система {/к(х)}—система сходимости, если условие 21с42<
К=1
15^
00
< оо влечет сходимость почти всюду ряда 2 cKfK(x). ЕсЛи
К=1
оо
сходимость 2 cKfK(x) почти всюду (на множестве положи-
К=1
00
тельной меры) влечет сходимость у | ск |2, то {/к(х) называет-
к=1
ся системой строгой сходимости (строгой сходимости в узком
смысле).
Система сходимости (строгой сходимости) при любом по-
рядке называется системой безусловной сходимости (безус-
ловной строгой сходимости).
В. Ф. Гапошкин показал, что если П £ Лв(11€ Й&), то
А’(П) — ^-система. В тригонометрическом случае это резуль-
таты Зигмунда, Сидона, а для системы Уолша — Пэли —
А. А. Шнейдера.
Если пелДпев^), то X (П)—система безусловной стро-
гой сходимости. То, что А'(П) при Ilf А и специального вида
есть система строгой сходимости, доказал Н. Я. Виленкин
[29].
Если П€.£>2 (или П£ЛО), то X (П)—система безусловной
строгой сходимости в узком смысле тогда и только тогда,
когда ПбОГ-
Оказываются эквивалентными следующие условия:
1)	Х(П) — система Сидона J(t. е. из	и /(х)~
оо	оо	\
~ S ск Хпк (*) следует 2 | ск | < оо ;
К=1	К=1	/
- m	m	।
2)	2Ы< с-sup 2скХпк(*)';
_	X	,	К I
К=1	К=1	I
3)	Для любой последовательности <7К-»О найдется /6L(0, 1)
1
такая, что J/ (х) хПк(х) dx = <zK, к = 1, 2, ... .
о
Приведем еще ряд результатов В. Ф. Гапошкина.
( Если (в частности П€Аа), то Х(П)—система Сидона
для П fjA и специального вида—Н. Я. Виленкин [29]).
Более того, X(П)—система Сидона—Зигмунда, т. е. схо"
160
00
дикость 2|Ск|<оо следует из ограниченности /(х) на про-
\	К=1
извольном интервале.
Е&ли А’(П)—система' Сидона, то она и -система, причем
1
__ / m	\ 2
<вур 2КР
р	\к—1	/
m
2ск'ч(х)
К=1
При любых Р > 1, 7И>1.
Если (в частности П£Аа), то Х(П)—-система, и
00
если yigL(O, 1) имеет ряд Фурье вида 2СДП (*)> то ехр(Х/2)£
К=1
€L(0, 1) при Х>0.
Для П€Л и специального вида это установлено Н. Я. Ви-
ленкиным [29].
Если П € Йч, то для любой /(х) € В(0, 1) с рядом Фурье
00
2 СкХпк(*)
имеют место соотношения
{ак/
m
/(X)- 2ДкХпк(*>
К=1
00
m
/(х)-2 *к(/)хПк(*)
К=1
~ 2 К(П|.
оо к—m-f-1
В указанных работах В. Ф. Гапошкина [35, 36] содержится
еще ряд интересных утверждений, например, о поведении
систем {Rexn (х)} и pmxn(x)J. Эти результаты обобщают и
усиливают некоторые результаты Моргенталера [205], Ревеша
и Вшебора [229], Морица [206].
В ряде работ изучаются дифференциальные свойства сумм
рядов по системе Радемахера (см. Мак Лафлин [199, 200],
Кури [165]—в этой работе содержится обзор по данной тема-
тике).
Несколько утверждений типа единственности приведено в
[163]. Например: пусть лакунарный ряд Уолша—Пэли таков,
что наименьшее число подрядов с отношением номеров со-
седних членов не меньше 2 есть Л1. Если указанный ряд
сходится к 0 на множестве Е с мерой, большей 1— 2-м, то
все его коэффициенты равны нулю. Следует заметить, что
фактически этот результат получен В. Ф. Гапошкиным [33],
а для системы Радемахера—еще раньше С. В. Стечкиным и
«-и	161
.П Л. Ульяновым [114]. Утверждение, напоминающее выше-
приведенное, имеется в работе А. И. Рубинштейна [93]. /
Приведем еще одно утверждение Кури [163]: если мно-
жество Е второй категории обладает свойством Бэра и лаку-
нарный ряд Уолша сходится на Е к постоянной, то все его
коэффициенты, начиная с некоторого, равны нулю. /
Суммирование рядов Радемахера нерегулярными методами
изучалось Мутафьяном и Пегрие [207].
А. Фёльдеш доказала центральную предельную теорему
ОО
для рядов Уолша—Пэли вида 2 ак®к(л:), если
К=1
> 1 + C-k~\ с > 0, 0 < а < _L и
«к	2
1
(п \ 2
j >ОО, (Хп === О (/1 Дп) •
к=1	/
16. Единственность и представление функций. В проблеме
единственности, трудной и тонкой, где чаще проявляется от-
личие от тригонометрической системы, наиболее изучена сис-
тема Уолша—Пэли.
Из результатов по произвольным системам характеров нуль-
мерных групп укажем аналоги теорем Кантора- (Виленкин [28]):
ОО
если ряд 2 On Zn (*) всюду сходится к нулю, то ап = 0 при
п=0
всех п, и Юнга (Зубакин, Тузикова [59]): счетное множество
есть 67-множество. Напомним, что множество Е называется 67-
множеством (множеством единственности), если из сходимо-
сти ряда вне Е к нулю следует тождественность нулю всех
его коэффициентов. В противном случае Е есть 714-множество.
Для системы Уолша—Пэли аналог теоремы Юнга установи-
ли А. А. Шнейдер [148] и Файн [169].
Ф. Г. Арутюнян [7] доказал аналог теоремы Валле—Пус-
сена для рядов Уолша—Пэли—Данжуа: если ряд по системе
Уолша—Пэли сходится всюду, кроме счетного множества, к
конечной функции /б£>(0, 1), то это ее ряд Фурье—Данжуа.
В [6] Ф. Г. Арутюнян и А. А. Талаляп доказали, что если
подпоследовательность частичных сумм с номерами 2кт ряда
систем Уолша с коэффициентами, стремящимися к нулю, схо-
дится всюду, кроме счетного множества, к суммируемой функ-
ции, то этот ряд есть ряд Фурье—Лебега своей суммы.
Оказывается, что структура номеров сходящейся последо-
вательности (2кт) весьма существенна. В. А. Скворцов [108]
показал, что найдется ряд Уолша со стремящейся к нулю по-
162
с^едовательностью не нулевых коэффициентов, у которого по-
следовательность частичных сумм с номерами специального
видц всюду сходится к нулю.
Вместе с тем (Скворцов [107]) если ап->0 и Snk(x)->/(x) £
б7И(й 1) всюду, кроме счетного множества точек, причем
\ 00
2“ 1 <«к < 2К, то ряд	— РЯД Фурье—Уолша функ-
п=0
ции / (х).
В работе В. А. Скворцова [105] приведены условия на по-
ведение частичных сумм ряда Уолша вне 77-множества, доста-
точные для того чтобы этот ряд был рядом Фурье (в терми-
нах поведения S2k(x)). В. А. Скворцов [ПО] указал достаточ-
ные условия, чтобы ряд Уолша—Пэли был рядом Фурье в
смысле узкого интеграла Данжуа.
Им же [111] указано множество натуральных чисел такое,
что для частичных сумм рядов Уолша—Пэли с номерами из
этого множества имеет место теорема единственности.
Несколько теорем единственности для рядов Уолша, свя-
занных с интегралом Перрона, установил Вейд [255].
Ему же принадлежит [254] аналог теоремы Н. К. Бари:
счетное объединение замкнутых 77-множеств для рядов Уолша
является 77-множеством.
Приведем следующий результат Вейда [253]: пусть
ОО
2^KwK(x)—ряд по системе Уолша—Пэли такой, что найдет-
к=0
ся функция g(x), локально интегрируемая на [0, 1]\Д8, где
Ag—замкнутое не более чем счетное множество: S2n(*) по мере
сходится к g(x), lim IS (х) I < оо всюду, кроме счетного Е,
___	j—>оо I 2nj |
HmS (х) </(x)€ L(0, 1) на [0, 1 ] \£ и limaK = 0. Тогда
g(x)gL(0, 1) и указанный выше ряд—ее и ряд Фурье—Уолша.
Обратимся теперь к результатам относительно /И-множеств
и нуль-рядов.
Кури [162] показал, что для любой последовательности
{М С [0, 1], не стремящейся к нулю, найдется неубывающая
сингулярная функция F такая, что множество точек [0, 1],
где F'(x) = 0, есть Л4—множество для системы Уолша. В тех
ОО
точках, где F'(x) существует, она представляется в виде["|Х
к—О
оо
Х(1 + 7к+1гк(х)). Для случая /к->0, 7к<-у- и У, t2K = оо по-
К=1
добный результат установил А. А. Шнейдер [148].
п*	163
„Густоту" /И-множеств для системы Уолша изучал
В. А. Скворцов [112]. Он показал, что для любой функпии
h{i}7, А(+0)=0 найдется совершенное /И-множество для
системы Уолша с нулевой Л-мерой.	7
Коэффициенты нуль-рядов Уолша детально иссле/огал
В. А. Скворцов в [113]. Оказалось, что для любой неотрица-
тельной последовательности Xm | оо найдется нуль-ряд ш) сис-
оо	т-1
теме Уолша 5}anwn(x) такой, что
п=0	п—1
Далее, для . любой последовательности <оп\ такой, что
2П<О2п	°° шп	°°
—-— монотонна и	= °°> найдется нуль-ряд ап X
п=2	п=0
X Юп^х), у которого | ап | < оп.
В [109] В. А. Скворцов построил пример нуль-ряда по сис-
теме Уолша, сходящегося к нулю вне замкнутого Al-множест-
ва, а на нём сходящегося к 4- оо.
В связи с этим отметим следующее:
А. А. Талалян и Ф. Г. Арутюнян [124] показали, что ряды
по системе Уолша не могут сходиться к 4- оо на множестве
положительной меры. На ряды по системе характеров нуль-
мерных групп с условием lim/>n<4“°° этот результат пере-
несли А. М. Зубакин и Г. С. Сурвилло [58].
Шипп построил [237] нуль-ряд по системе Уолша с неот-
рицательными частичными суммами—аналог результата Кац-
нельсона для тригонометрических рядов. Существенно более
сильный результат получил Р. И. Овсепян [79]: для любой
g(x)6C(0, 1) и любой перестановки {фп(х))Х1 системы Уолша
оо
найдется ряд 2 апфп(х), почти всюду сходящийся к g(x),
П=1
к
причем 2апФп(л:) > g(x) при к = \, 2, ... . В этой же рабо-
П=1
те показано, что любая измеримая функция /(х) (даже рав-
ная оо на множестве положительной меры) может быть пред-
ставлена почти всюду сходящимся рядом по соответствующим
образом подобранной перестановке системы Уолша.
Упомянем и работу Прайса [225], где доказано, что су-
ществуют подсистемы Уолша нулевой плотности, полные, по
мере (конечные линейные комбинации сколь угодно точно по
мере приближают произвольную функцию). При этом плот-
ность понимается как lim lim g(w+*)~3W а _ числ0 ин.
к-»00 п->со	К
дексов п{ < п.	в
164
\ Аналог теоремы Зигмунда о множествах относительонй
единственности доказал для системы Уолша—Пэли В. Шапи-
р6[244].
И 7. Кратные ряды. Обобщением рядов по системам харак-
теров на случай нескольких переменных занимались А. Р. Аб-
дулхамидов [1] (системы Радемахера и Уолша на компакте в
Rn), Горженска [178] и Бутц [153].
В работах И. А. Схиргладзе [122, 123] приведены условия
абсолютной сходимости и суммируемости двойных рядов Уол-
ша. Сильной суммируемости кратных рядов Уолша посвящены
статьи [144, 145] Т. В. Шарашенидзе.
А. М. Сидоров [104] переносит на двойные ряды Уолша
признак сходимости почти всюду, установленный Шиппом [236].
Д. К. Санадзе и Ш. В. Хеладзе [102, ЮЗ] установили, что
если
/(log4/)2v€L(0, 1)’, v > 2, или f (leg 7)3€L(0, I)2
. (случай v = 2),
то
lim S (1)	n(v)(/; x)=/(x)
ndUoo.....n(v)_oo "L4..V
к	к
почти всюду на [0, 1)\ где {«к'{Xi t эо a (v — 1) из них ла-
ОО
кунарны. В. А. Скворцов [106] доказал, что если 2 anm X
m, n=0
X ®n(x)®m(y) сходится по Принсгейму на кресте (аХ(0, 1)}U
[J {(0, 1)Х&), где а, ,Ь—двоично-иррациональны, всюду, кроме,
быть может, счетного множества, то lim <2nm = 0.
n-J-m-*00
Теорема единственности типа Валле—Пуссена для кратных
рядов Уолша установлена X. О. Мовсисяном [76].
Аналог теоремы Д. Е. Меньшова об „исправлении" функ-
ций переносили Г. Г. Кемхадзе [64] (кратные ряды Уолша) и
Чень Яу-де [157] (кратные ряды по системам характеров).
Аналоги известных оценок типа
1 2n	I
/(*, у)- — 2 ’(/>*> у)
I
<С-Д‘р)п(/),
р
f у)  dr 2 s- /' х-<777-2 f >
v=0	р	к=0
f (X, у) - (1 - г) 2 г S..,(/, х, у) t < С• (1 - г) 2 гк £<₽>( f)
v=0	lip .	к=0
165
при 1 < р < =>о для двойных рядов Уолша указала Н. Д. Рь/
щенко [100]. Она же в [101] перенесла некоторые результаты
П. Л. Ульянова и М. Ф. Тимана о вложении в классы LP(O,
1)п, 1</?<оо, в терминах наилучших приближений поли-
номами по кратной системе Уолша.	/
Янг Восанг [279] показала, что оператор Tf	X
п<гп
Х'К’п(у) ограничен в Lp(0, I)2 лишь при р = 2, а для тригоно-
метрической системы при всех 1 </><<□©.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Абдулгамидов А. Р. О системах Хаара, Радемахера и Уолша
функций многих переменных. „Уч. зап. Казан. ун-та", 129, 1969. № 3.
53—59.
2*	. А г а е в Г. Н. Теорема типа Винера для рядов по функциям Уол-
ша. „ДАН СССР", 142, 1962, № 4, 751—753.
3*	. А г а е в Г. Н., Д ж а ф а р л и Г. М. Об одном классе мультипли-
кативных ортонормированных систем функций. „Изв. АН Азерб. ССР, се-
рия физ.-матем. и техн. наук“, 1963, № 2, 27—36.
4.	А к у ш с к и й И. Я., Юдицкий Д. И. Машинная арифметика в
остаточных классах. М., „Сов. радио“, 1968.
5.	Андриенко В. А. Теоремы вложения для функций одного пере-
менного. В сб. „Итоги науки. Матем. анализ, 1970“. М., 1971, 203—262.
6.	Арутюнян Ф. Г. Восстановление коэффициентов рядов по систе-
мам Хаара и Уолша, сходящихся к функциям, интегрируемым по Данжуа.
„Изв. АН СССР, серия матем/, 30, 1966, № 2, 325—344.
7.	Арутюнян Ф. Г., Тал а лян А. А. О единственности рядов по
системам Хаара и Уолша. „Изв. АН СССР, серия матем/, 28, 1964, № 6,
1391—1408.
8.	Бабенко К. И. О сопряженных функциях. „ДАН СССР", 62,
1948, 157-160.
9*	. Балашов Л. А. О рядах с лакунами. „Изв. АН СССР, серия ма-
тем.4, 29, 1965, № 3, 631—644.
10*	. Балашов Л. А. О рядах по системе Уолша с монотонными ко-
эффициентами. СМЖ, 12, 1971, № 1, 25—39.
11.	Балашов Л. А., Рубинштейн А. И. Ряды по системе Уол-
ша и их обобщения. В сб.: „Итоги науки. Матем. анализ, 1970“. М., 1971,
147-202.
12.	Б а л а ш о в Л. А., Прохоренко В. И. О сжатиях функций.
СМЖ, 13, 1972, № 4, 748—760.
13*	. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., Физматгиз, 1961.
14.	Б а х ш е ц я н А. В. О некотором обобщении систем Радемахера и
Уолша. „Изв. АН Арм. ССР. Математика", 10, 1975, № 1, 85—91.
15.	Бесов О. В., Стечкин С. Б. Описание модулей непрерывности
в L2. Тр. МИАН СССР, 134, 1975, 23-25.
16*	. Блюмин С. Л. О линейных методах суммирования рядов Фурье
по мультипликативным системам. СМЖ, 9, 1968, № 2, 449—455.
17*	. Блюмин С. Л. Некоторые свойства одного класса мультипли-
кативных систем и вопросы приближения функций полиномами по этим
системам. „Изв. вузов. Математика", 1968, № 4, 13—22.
18.	Блюмин С. Л. О сильной суммируемости рядов Фурье по муль-
типликативным системам. „Изв. вузов. Математика", 1968, № 12, 24—28.
19.	Блюмин С. Л. Некоторые замечания к вопросу приближения
функций полиномами по мультипликативным системам. „Матем. зап. Урал,
ун-та", 6, 1968, № 4, 17—26.
20.	Б л ю м и н С. Л. О сопряженных функциях по системе Крестенсо-
на. Тр. Днепропетр. с.-х. ин-та, 13, 1969, 35—38. *
* Звездочкой отмечена литература, приведенная в обзоре [11],
167
21.	Блюмин С. Л., Котляр Б. Д. Операторы Гильберта-Шмидта/
и абсолютная сходимость рядов Фурье. „Изв. АН СССР, серия матем.", 34,
1970, № 1, 209—217.	/
22.	Блюмин С. Л., Ш м ы р и н А. М. О порождении функций У 6л-
ша и их обобщений. „Изв. вузов. Математика", 1977, № 2, 6—9. Г
23*	..Б о ч к а р е в С. В. О коэффициентах Фурье—Уолша. „Изв. /АН
СССР, серия матем.“, 34, 1970, № 1, 203-208.	/
24.	Б о ч к а р е в С. В. О коэффициентах Фурье функций класса/Lip а
по полным ортонормированием системам. „Матем. заметки", 7. 1970; К° 4,
397-402.
25.	Б о ч к а р е в С. В. Об абсолютной сходимости рядов Фурье по
полным ортонормированным системам. УМН, 27, 1972, № 2, 53—76.
26.	Бочкарев С. В. Об абсолютной сходимости рядов Фурье по
ограниченным полным ортонормированным системам функций. „Матем. сб.“,
93, 1974, № 2, 203-217.
27.	Б о ч к а р е в С. В. О мажоранте частных сумм для переставлен-
ной системы Уолша. „ДАН СССР", 239, 1978, № 3, 509—510.
28*	. Виленкин Н. Я. Об одном классе полных ортогональных сис-
тем. „Изв. АН СССР, серия матем.", 11, 1947, 363—400.
29.	В и л е н к и н Н. Я. К теории лакунарных ортогональных систем.
„Изв. АН СССР, серия матем.", 13, 1949, 245—252.
30.	Виленкин Н. Я. К теории интегралов Фурье на топологиче-
ских группах. „Матем. сб.“, 30, 1952, № 2, 233—244.
31*	. Виленкин Н. Я.,. Агаев Г. Н., Джафарли Г. М. К те-
ории мультипликативных ортонормированных систем функций. „ДАН
Азерб. ССР", 18, 1962, № 9, 3-7.
32.	В и л е н к и н Н. Я., Рубинштейн А. И. Одна теорема С. Б. Стеч-
кина об абсолютной сходимости и ряды по системам характеров нуль-мер-
ных абелевых групп. „Изв. вузов. Математика", 1975, № 9, 3—9.
33*	. Га по ш к ин В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции.
УМН, 21, 1966, № 6, 3-82.
34*	. Гапошкин В. Ф. К вопросу об абсолютной сходимости лакунар-
ных рядов. „Изв. АН СССР, серия матем.", 31, 1967, № 6, 1271—1288.
35.	Гапошкин В. Ф. О лакунарных рядах по мультипликативным
системам функций, I, СМЖ, 12, 1971, № 1, 65—83.
36.	Гапошкин В. Ф. О лакунарных рядах по мультипликативным
системам функций, II, СМЖ, 12, 1971, № 2, 295—314.
37.	Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем,
СМЖ, 9, 1968, №2, 297-314.
38.	Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара. В сб.: „Итоги науки.
Матем. анализ, 1970". М., 1971, 109—146.
39.	Голубов Б. И. Наилучшие приближения функций в метрике Lp
полиномами Хаара и Уолша. „Матем. сб.“, 87, 1972, № 2, 254—274.
40.	Де дю но в Н. Г., Сенин А. И. Ортогональные и квазиортого-
нальные сигналы. М., „Связь", 1977.
41.	Джафарли Г. М. О му;ьтипликативных ортонормированных сис-
темах функций, замкнутых относительно операции извлечения корня. „Изв.
АН Азерб. ССР, серия физ.-матем. и техн, наук", 1961, № 6, 11—23.
42*	. Джафарли Г. М. О сходимости рядов Фурье по одному классу
ортонормированных мультипликативных систем. „Изв. АН Азерб. ССР, се-
рия физ.-матем. и техн, наук", 1962, № 4, 17—36.
43.	Д ж а ф а р л и Г. М. Ряды Фурье функций из пространства Lq по
одной мультипликативной системе функций. „Уч.зап. АГУ им. С. М. Ки-
рова, серия физ.-матем. наук", 1964, № 4, 11 — 16.
44.	Джафарли Г. М. О сходимости рядов Фурье по одному классу
ортонормированных мультипликативных систем функций. В сб.: „Исследова-
ния по современным проблемам конструктивной теории функций". Изд-во
АН Азерб. ССР, 1965, 433-439.
45*	. Ефимов А. В. О некоторых аппроксимативных свойствах перио-
168
дических мультипликативных ортонормированных систем. „Матем. сб.“, 69
1966, № 3, 354—370.
\46	* Ефимов А. В. О верхних гранях коэффициентов Фурье-Уолша.
жМатем. заметки*, 6, 1969, № 6, 725—736.
47.	Ефимов А. В. О приближении непрерывных функций частичными
суммами Уолша—Фурье. Proc. conf, constr. theory funct. (Budapest, 1969).
Budapest,. 1972, 131—144.
48	За м ыс л OB В. E. О некоторых свойствах непрерывных отображе-
ний топологического кольца в задаче аппроксимации функций. В. сб.: „При-
менение функц. анализа в теории приближений*, вып. 1. Калинин, 1973,
57—72.
49*	. Зигмунд А. Тригонометрические ряцы, 1, 2. М., „Мир“, 1965.
50*	. Зубакин А. М. Об одном аналоге теоремы Штейнгауза. СМЖ,
9, 1968, № 1, 206—210.
51*	. Зубакин А. М. К теории полных мультипликативных периодиче-
ских ортонормированных систем, У МН, 24, 1969, № 6, 187—188.
52*	. Зубакин А. М. О теоремах „исправления* Меньшова для одно-
го класса мультипликативных ортонормированных систем функций. „Изв.
вузов. Математика*, 1969, № 12, 34—46.
Л53	. Зубакин А. М. О (С, ^-суммировании рядов Фурье по мульти-
пликативным периодическим системам. „Матем. записки Краснояр. гос. пед.
института*, вып. 2, 1970, 78—86.
54.	Зубакин А. М. Явление Гиббса для мультипликативных систем
типа Уолша и типа Виленкина—Джафарли. СМЖ, 12, 1971, № 1, 147—157.
55.	3 у б а к и н А. М. Об оценках некоторых величин для мультипли-
кативных систем типа Уолша и типа Виленкина—Джафарли. Тр. зон. объед.
матем. кафедр пед. ин-тов Сибири, вып. 1, 1972, 1—12,
56.	Зубакин А. М. Об аппроксимации в цельном смысле рядов Фурье
по мультипликативным периодическим системам. Тр. зон. объед. матем. ка-
федр пед. ин-тов Сибири, вып. 1, 1972, 13—26.
57.	Зубакин А. М. О суммировании треугольными матрицами рядов
Фурье равномерно ^--непрерывных функций по мультипликативным пери-
одическим системам; Тр. зон. объед, матем кафедр пед. ин-тов Сибири,
вып. 1, 1972, 27 - 43.
58.	3 у б а к и н А. М.' О рядах по некоторым классам ортогональных
систем. Тр. Новосибир. гос. пед. ин-та, вып. 94, 1974.
59.	Зубакин А. М., Сурвилло Г. С. О сходимости к бесконечно-
сти рядов по мультипликативным периодическим системам и соответствую-
щим им системам сходимости. Тр. зон. объед. матем. кафедр пед. ин-тов
Сибири, вып. 1, 1972, 49—61.
60.	Зубакин А. М., Т у з и к о в а И. И. О множествах единственно-
сти рядов по мультипликативным периодическим системам. Тр. зон. объед.
матем. кафедр пед. ин-тов Сибири, вып. 1, 1972, 62—63.
61.	Кара кулин А. Ф. Приб жжение функций с использованием ото-
бражений топологического кольца в себя. Мат-лы межвузов, конфер. „При-
менение функц. анализа в теории приближений*. Калинин, 1970, 52—55.
62.	К ара кулин А. Ф. О приближении непрерывных отображений
топологического кольца в себя. Тр. центр, зон. объед. матем. кафедр
„Функц. анализ и теория функций*. Калинин, 1970, 109—117.
63*	. Качмаж С., Штейн га уз Г. Теория ортогональных рядов.
М., Физматгиз, 1958.
64.	Кемхадзе Г. Г. Теорема об исправлении функции для кратной
системы Уолша. Тр. МИАН Груз. ССР, 55, 1977, 15—26.
65*	. Кокилашвили В. М. О наилучших приближениях функций по-
линомами Уолша и ряды Уолша—Фурье. Bull. Acad, polon. sci., Ser. math.,
astr. et phys., 13, 1965, № 6, 405—410.
66*	, Кокилашвили В. M. О приближении функций средними рядов
Уолша—Фурье. „Сообщ. АН Груз. ССР*, 45, 1967, № 2, 305—310.
169
I
/
/
67*	, Котляр Б. Д. Ряды Уолша и теорема Меньшова об „исправле-
нии" функций. „Изв. АН СССР, серия матем.", 30, 1966, № 5, 1193—1200.
68.	Курош А. Г. Теория групп. М., 1967.	/
69.	Лесин В. В. Об аналоге системы функций отсчетов, соответству-
ющим функциям Уолша. Матем. заметхи", 21, 1977, № 4, 485—493.
70*	. Ли Луантан. Система ортогональных функций Уолша. Acta
sci., natur. Univ, pekinensis., 3, 1957, № 4, 403—422.
71.	Локоть В. В. О нормах линейных операторов по системе Уолша.
„Уч. зап. Калинин, гос. пед. ин-та", 61, 1968, № 1, 83—98.
72.	Локоть В. В. Обобщение теоремы о нормах линейных операторов
по системе Уолша. „Уч. зап. Калинин, гос. пед. ин-та" 69, 1969, 110—116.
73.	Локоть В. В. Замечание об операторах проектирования с мини-
мальными нормами по системе Уолша. Тр. Центр, зон. объед. матем. ка-
федр, вып. 2. Калинин. 1971, 95—101.
74.	М е н ь ш о в Д. Е. Свойства чезаровских средних отрицательного
порядка и некоторых других Г-средних для рядов Фурье от непрерывных
функций. „Матем. сб.", 86, 1971, № 3, 419—445.
75.	Меньшов Д. Е. Применение методов суммирования Чезаро от-
рицательного порядка к рядам Фурье—Лебега. „ДАН ССР", 210, 1973, № 2,
271—273.
76.	М о в с и с я н X. О. О единственности двойных рядов по системам
Хаара и Уолша. „Изв. АН Арм. ССР. Математика", 0, 1974, № 1, 40—61.
77.	Никольский С. М. Ряды Фурье с данным модулем непрерыв-
ности. „ДАН СССР", 52, 1946, 191—194.
78.	Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной,
степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих пе-
ременных. Тр. МИАН СССР, 38, 1951, 244 - 278.
79.	Овсеп ян Р. И. О представлении функций ортогональными ряда-
ми. „ДАН Арм. ССР", 57, 1973, № 1, 3-8.
80.	О лев с к ий А. М. Fourier series with Respect to General orthogo-
nal system. Berlin, 1975.
84*	. Осипов P. И. О сходимости рядов по системе Уолша. „Изв
АН Арм. ССР. Математика", 1, 1966, № 4, 270—283.
82*	. Поляк Б. Т., Шрейдер Ю. А. Применение полиномов Уолша
в приближенных вычислениях. В сб.: „Вопросы теории матем. машин". М.,.
Физматгиз, 2, 1962, 174—190.
83.	Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., Гостехиздат, 1954
84.	Поспелов А. С. О приближении фунсций с помощью отображе-
ний локально-компактной группы в себя. Мат-лы межвузоз. конфер. „При-
менение функц. анализа, в теории приближений". Калинин, 1970, 119—130.
85.	Поспелов А. С. Пример замкнутой системы алгебраических ото-
бражений некоторого кольца в себя. В сб. статей по конструктивной тео-
рии функций. Калинин, 1972.
86.	П о с п е л о в А. С. О приближении непрерывных функций много-
членами над полем формальных степенных рядов с неархимедовой нормой.
В сб. статей по конструктигной теории функций. Калинин, 1972.
87*	. Прохоренко В. И. О расходящихся рядах Фурье, сб. 75, 1968,
№ 2,185-198.
88.	Прохоренко В. И. О рядах Фурье сжатых функций. Тр. МЭИ,
вып. 146, 1972, 134—141.
89*	. Проценко А. А. Построение натлучшего приближения функци-
ями Уолша при заданном числе членов разложения. Тр. ЛПИ, 1967, № 275,
5—11.
90*	. Рубинштейн А. И. Д-интеграт и ряды по системе Уолша.
УМН, 18, 1963, № 3, 191-197.
91*	. Рубинштейн А., И. О некоторых свойствах одного класса пе-
риодических мультипликативных полных ортонормироганных систем. „Изв.
вузов. Математика", 1966, № 3, 128—138.
170
92	*. Рубинштейн А. И. О рядах с монотонными коэффициентами
по системе Уолша. „Матем. заметки", 2, 1967, №3, 279—288.
93.	Рубинштейн А. И. О лакунарных подсистемах мультипликатив-
ных систем. „Докл. науч.-техн, конфер. Моск, лесотехн. ин-та", 1968, 62—63.
94*	. Рубинштейн А. И. О лакунарных рядах Уолша—Пэли. Мат-лы
межвузов, конфер. „Применение функц. анализа в теории приближений".
Калинин, 1970, 139—142.
95.	Р у б и н ш т е й н А. И. Перестанозки полных систем сходимости.
СМЖ, 13, 1972, № 2, 420—428.
96.	Рубинштейн А. И. Сопряженные ряды по мультипликативным
ч системам. Тр. межвузов, конфер. по физике межфазных явлений и избран-
ным вопросам математики, посвящ. 50-летию образования БАССР. Нальчик,
1972, 131.
97.	Рубинштейн А. И. О модулях непрерывности функций, опре-
деленных на нуль-мерной группе. „Матем. заметки", 23, 1978, № 3, 379—388.
98.	Рыма нов С. П. Спектр мощности Уолша, инвариантный к неко-
торой группе преобразований фин иных функций. Тр. ВЗМИ, 4, 1974
11-19.
99.	Рым ано в С. П. О возможности представления рядов Уолша в
комплексной форме. Научные тр. ВЗМИ. 4, 1974, 20—26..
100.	Рыщенко Н. Д. Об уклонении функций от средних типа Мар-
цинкевича рядов Фурье —Уолша. ВИНИТИ, № 1338—75 Деп.
101.	Рыщенко Н. Д. Приближение функций многих переменных по-
линомами Уолша—Пэли. ВИНИТИ № 21—76 Деп.
102.	Санадзе Д. К., Хеладзе Ш. В. О сходимости кратных рядов
Фурье—Уолша. „Сообщ. АН Груз. ССР", 80, 1975. № 2, 285—288.
103.	С а н а д з е Д. К., Хеладзе Ш. В. О сходимости и расходимости
кратных рядов Фурье —Уолша. Тр. МИАН Груз. ССР, 55, 1977, 93 —106.
104.	Сидоров А. М. Замечания о двойных рядах Фурье—Уолша
Сб. аспирант, работ Казан, ун-та. Матем.-мех. Казань, 1973, 65—71.
105.	Скворцов В. А. Некоторые обобщения теоремы единственности
для рядов по системе Уолша. „Матем. заметки", 13, 1973, № 3, 367—372.
106.	Скворцов В. А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов
Хаара и Уолша. „Вести. МГУ. Матем. и мех.", 1973, № 6, 77—79.
107.	Скворцов В. А. О единственности рядов Уолша, сходящихся
по последовательности частичных ^умм. „Матем. заметки", 16, 1974, № 1
27—32.
108.	Скворцов В. А. Пример ряда Уолша со всюду сходящейся к
нулю подпоследовательностью частичных сумм. „Матем. сб.“, 97, 1975, № 4,
517—539.
109.	Скворцов В. А. Об однэм примеое нуль-ряда по системе Уол-
ша. „Матем. заметки", 19, 1976, № 2, 179 — 186.
110.	Скворцов В. А. Теоремы единственности для рядов Уолша,
суммируемых методом (С, 1). „Вестн. МГУ. Матем. и мех.", 1976, № 5,
73-80.
111.	Скворцов В. А. Об условии единственности представления
функций рядами Уолша. „Матем. заметки". 21, 1977, № 2, 187—197.
112.	Скворцов В. А. О /г-мере Л4-множества для системы Уолша.
„Матем. заметки", 21, 1977, № 3, 335—320.
113.	Скворцов В. А. О скорости стремления к нулю коэффициентов
нуль-рядов по системам Хаара и Уолша. „Изв. АН СССР, серия матем.",
41, 1977, № . 3, 703-716.
114.	Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье, III.
„Изв. АН СССР, серия матем.", 20, 1956. 289—302.
115.	Стечкин С. Б. О приближении периодических функций сумма-
ми Фейера. Тр. МИАН СССР, 62, 1961, 48—60.
116*	. Стечкин С. Б., Ульянов П. Л. О множествах единственно-
сти. „Изв. АН СССР, серия матем.", 26, 1962, 211—222.
171
117.	Су рви л о Г. С. О суммировании треугольными матрицами рядов
Фурье по мультипликативным периодическим системам. Тр. зон. объед.
матем. кафедр, пед. ин-тов Сибири, вып. 1, 1972, 44—48.
118.	С у р в и л л о Г. С. О сумми рогании треугольными матрицами ря-
дов Фурье по мультипликативным периодическим системам типа Виленки-
на—Джафарли. Тр. НоЕОСибир. гос. пед. ин-та, вып. 94, 1974, 34—35.
119.	С у рви л ло Г. С. Применение методов суммирования Чезаро от-
рицательного порядка к рядам Фурье по мультипликативным ортонормиро-
ванным системам. Тр. Моск. обл. пед. ин-та, вып. 4, 1974, 241—253.
120.	Су рви лл о Г. С. О методах суммирования Чезаро отрицатель-
ного порядка. Мат-лы 5-й конфер. по матем. и механ. Томского ун-та.
Томск, 1975.
121.	С у db илл о Г. С. О линейных методах суммирования. СМЖ, 17,
1976, № 2, 381—391.
122.	Схиртладзе И. А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье-
Уолша. „Сообщ. АН Груз. ССР", 64, 1971, № 2, 274—276.
123.	СхиртладзеИ. А. Об абсолютной сходимости и суммируемо-
сти простых и кратных рядов Фурье—Уолша. „Сообщ. АН Груз. ССР“,
69, 1973, № 1, 17—20.
124*	. Т а л а л я н А. А., Арутюнян Ф. Г. О сходимости рядов по
системе Хаара к + оо. „Матем. сб/ ,66, 1965, № 2, 240—247.
125*	. Г и м а н М. Ф. Наилучшее приближение функций и линейные ме-
тоды суммирования рядов Фурье. „Изв. АН СССР, серия матем/, 29, 1965,
№ 3, 587—604.
126.	Тиман М. Ф. Наилучшее приближение периодических функций
тригонометрическими полиномами и преобразования типа свертки. „ДАН
СССР", 198, 1971, № 4, 776-778.
127.	Тиман М. Ф. Об одном усилении теоремы Харди—Литлвуда—
Пэли и некоторых теоремах вложения. В сб.: „Теоремы вложения и их при-
ложения*. Алма—Ата, 1976, 155—159.
128.	Тиман М. Ф., Рубинштейн А. И. О вложении классов функ-
ций, определенных на нуль-мерных группах. „Изв. вузов. Математика",
1980, № 8, 66-76.
129.	Тузикова И. И. Об Ux и М*-множествах рядов по одному клас-
су оотогональных систем. Тр. Новосибир. гос. пед. ин-та, вып. 94, 1974
36—37.	,
130*	. Ульянов П. Л. Применение Л-интегрирОЕания к одному классу
тригонометрических рядов. „Матем. сб.“, 35, 1954, № 3, 469—490.
131.	Ульянов П. Л. Расходящиеся ряды Фурье. УМН, 16, 1961, № 3,
61—142.
132.	Ульянов П. Л. Решенные и нерешенные проблемы теории три-
гонометрических и ортогональных рядов. УМН, 19, 1964, № 1, 3—69.
133.	Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций /т" „Изв.
АН СССР, серия матем/, 32, 1968, № 3, 649—686.
134.	Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наи-
лучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках.
„Матем. сб/. 81, 1970, № 1, 104—131.
135.	Фомин Г. А. О линейных методах суммирования рядов Фурье
„Матем. сб/, 65, 1964, № 1, 144—152.
136*	. ХаршиладзеФ. И. О рядах Уолша—Фурье. Тр. Груз, поли-
техи. ин-та, 1962, № 1, 47—53.
137.	Хеладзе Ш. В. О расходимости всюду рядов Фурье—Уолша
„Сообш. АН Груз. ССР“, 77, 1975, № 2, 305—307.
138.	Хеладзе Ш. В. О сходимости рядов Фурье почти всюду и в L.
„ДАН СССР", 232, 1977, № 3, 535—537.
139.	Хорошко Н. П. Оценка верхней грани коэффициентов Фурье
на классах непрерывных функций по некоторым ортонормированным сис-
темам. Мат-лы межвузов, конфер. молодых ученых-математиков. Харьков,
1966, 116—124.
Г40*	. Хорошко Н. П. Верхняя грань коэффициентов Фурье на не-
172
которых классах функций по системам Хаара, Радемахера и Уолша. Сб.
работ аспирантов Днепропетров. ун-та. Механ. и матем. Днепропетровск,
1970, 212—215.
• 141. Хорош к о Н. П. Оценка верхней грани коэффициентов Фурье
на некоторых классах функций по системам Хаара, Радемахера и Уолша.
В сб.: „Теор. функций, функц. анализ и их приложения*, вып. 15, 1972,
3-12.
142.	Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L?. Тр. МИАН СССР,
88, 1967, 71—74.
143.	Ш а г и н я н Л. А. О пределах неопределенности и о множестве
предельных функций рядов по системе Уолша. „Матем. сб.“, 95, 1974, №2,
263—271.
144.	ШарашенидзеТ. В. О сильном суммировании рядов Фурье-
Уолша. „Сообщ. АН Груз. ССР“, 70, 1973, № 1, 33—36.
145.	Шарашенидзе Т. В. О кратных рядах Фурье—Уолша. „Сообщ.
АН Груз. ССР“, 81, 1976, № 3, 365—367.
146.	Шипп Ф. О некоторых перестановках рядоз по системе Уолша.
„Матем. заметки“, 18, 1975, № 2, 193—201.
147*	. Шнейдер А. А. О рядах по функциям Вальша с монотонными
коэффициентами. „Изв. АН СССР, серия матем.“, 12, 1948, 179—192.
148*	. Шнейдер А. А. О единственности разложений по системе функ-
ций Уолша. „1\4атем. сб.“, 24, 1949, 279—300.
149*	. Ястребова М. А. О приближении функций, удовлетворяющих
условию Липшица, арифметическими средними их рядов Уолша—Фурье.
„Матем. сб.“, 71, 1966, № 2, 214-226.
150.	Я с т р е б о в а М. А. О (С, 1)-суммировании разложений функций
по периодическим мультипликатигным ортонормированным системам. „Изв.
вузов. Математика", 1969, № 12, 112—123.
151*	. В i 1 1 а г d Р. Sur la convergence presque partout des series de
Fourier—Walsh des fonctions de 1’espace L2(O, 1). Studia Math., 28, 1967,
№ 3, 363-388.
152*	. Bonami A. Apropos d’un theoreme de Paley sur les founctions
de Walsh, C. R. A. S., 266, 1968, № 13, A655—A657.
153.	Butz A. R. Walsh—Fourier series for functions of n variables with
localization. J. Approxim. Theory, 16, 1976, № 3, 261—272.
154.	В u t z e r P. L., W a g n e r H. J. Walsh—Fourier series and the con-
cept of a derivative. Appl. Anal., 3, 1973, № 1, 29—46.
155*	. Byrnes J. S., S w i ck D. A. Instant Walsh functions, SIAM Sev.,
12, 1970, № 1, 131.
156*	. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fou-
rier series. Acta Math., 116, 1966, № 1—2, 135—157.
157.	Chen J a u-D. On modifying functions with respect of bounded.
Vilenkin systems, Tamkang J. Math., 4, 1973, № 2, 187—190.
158.	C h e n J a u-D. Convergence-producing modification of functions
Vilenkin—Fourier series. Tamkang J. Math., 7, 1976, № 1, 121—127.
159.	Chi G u a n-fu. Some theorems on the absolute convergence of
periodical multiplicative orthogonal series. Acta math, sinica, 14, 1964, №6,
809-819.
160.	Chi G u a n-fu. Some results on the absolute convergence of peri
odical multiplicative orthogonal series. Sci. Abstr. China. Math. Phys. Sci.
3, 1965, № 1, 5-6.
161*	. Chrestenson H. E. A class of generalized Walsh functions.
Pacif. J. Math., 5, 1955, № 1, 17—31.
162*	. Coury J. E. A class of Walsh Af-sets of measure zero. J. Math
Anal. Appl., 31, 1970, № 2, 318—220.
163.	Coury J. E. Some results on lacunary Walsh series. Pacif. J. Math.,
45, 1973, № 2, 419—425.
164.	Coury J. E. Walsh series withs coefficients tending monotonic-
ally to zero, Pacif. J. Math., 54, 1974, № 2, 1 — 16.
173
165.	Coury J. E. On the different lability of Rademacher series. Mich
Math. J., 21, 1975, № 4, 311-336.
166*	. Crittenden R. B. A theorem on the uniqueness of the (C, 1)
summability of Walsh series. Eoct. diss. Univ. Oregon, 1964. Dissert. Abstr.
25, 1964, № 5, 2997.
167*	. Crittenden R. B., Shapiro V. L. Sets of uniqueness on the
group 2% Ann. Math., 81, 1965, № 3, 550-561.
168.	Cybertowicz Z. On strong (C, r)-summabi!ity of Walsh—Fou-
xier series. Funct. approxim., 1976, № 3, 37—46.
169*	. Fine N. I. On the Walsh functions. Trans. Amer. Math. Soc., 65,
1949, № 3, 372—414.
170*	. Fine N. I. The generalized Walsh functions. Trans. Amer. Math.
Soc., 69, 1950, 66—67.
171*	. Fine N. I. Cesaro summability of Walsh—Fourier series. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 41, 1955, № 8, 588-591.
172.	Fine N. I. Fourier—Stieltjes series of Walsh functions. Trans.
Amer. Math. Soc. 86, 1957, № 1, 246-255.
173.	Foldes A. Central limit theorems for weakly lacunary Walsh
series. Stud. sci. math. Hung., 10, 1975. № 1—2, 141 — 146.
174.	Fournier J. Extensions of a Fourier multiplier theorem of Pa-
ley. Pacif. J. Math., 30, 1969, № 2, 415—431.
175.	Frendenthal H. Die Haarschen Orthogonalsysteme von Grup-
pencharakteren in Lichte der Pontriaginschen Dialitatstheorie. Comp. Math..
5, 1938, 354-357.
176.	G i b b s J. E., Ireland B., Marshall J. E. A generalization of
the Gibbs differentiator. Theory and application of Walsh and other non-
sinusoidal functions, June 28 and 29, 1973.
177.	G i b b s J. E., M i 1 1 a r d M. J. Walsh functions as solutions of a
logical differential equation. NPL DES Rept, 1972, № 1.
178.	Gorzenska M. Some remarks on orthonormal systems of Vilen-
kin’s type in n variables. Fasc. math., 1972, № 6, 65—77.
179.	Gosselin J. A. Convergence a. e. V i 1 e n к i n—Fourier series.
Trans. Amer. Math. Soc., 185, 1973, 345—370.
180.	Gosselin J. A. A weighted norm inequality for Vilenkin—Fou-
rier series. Proc. Amer. Math. Soc., 49, 1975, № 2, 349—353.
181.	Gosselin J. A. Young W. S. On rearrangements of Vilenkin—
Fourier series which preserve almost everywhere convergence, Trans. Amer
Math. Soc/, 209, 1975, 157-174.
182.	Harboure E. O., Aguilera N. E. Dos designaldades on nor-
mas con pesos para series de Walsh. Rev. Union math, argent., 26, 1972,
№ 3 143-159.
183*	. Harper L. H. Capacities of sets and harmonic analysis on the
group 2Ш. Trans. Amer. Math. Soc., 162, 1977, № 2, 301—315.
184.	Hewitt E., Zuckerman H. S. Some theorems on lacunary Fou-
rier series, with extensions to compact groups. Trans. Amer. Math. Soc., 93,
1959, № 1, 1—19.
185.	Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis. Berlin, 1963
(пер.: Хьюитт э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, 1, 2. М.,
„Мир", 1975).
186*	. Hirschman I. I. The decomposition of Walsh and Fourier seri-
es. Mem. Amer. Math. Soc., 1955, № 15, 65.
187.	Hunt R. A. Almost everywhere convergence of Walsh—Fourier se-
ries of L2 functions, Actes Congr. int. mathematiciens, 2, 1970, Paris, 1971
655—661.
188*	. I g a ri S. Sur les facteurs de convergence des series de Walsh—
Fourier, Proc. Japan Acad., 40, 1964, № 4, 250—252.
189*	. Igari S. Sur les facteurs de convergence des series de Walsh-
Fourier. J. Analyse math., 15, 1965, 389—401.
174
190.	Indlekofer К. H. Bemerkung zur Divergenz von Fourierreihen.
Ann. Univ. Sci. Budapest, sec. math., 15, 1972, 53—59.
.	191. Как S. C. Sampling theorem in Walsh—Fourier analysis. Electro-
nics letters 9-th July, 6, 1970, № 14, 447—448.
192.	Katznelson Y. Trigonometric series with positive partial sums
Bull. Amer. Math. Soc., 71, 1965, 718—719.
193.	Kennett B. L. N. A note of the finite Walsh transform. IEEE*
Transection on inform, theory, VIT-16. 1970, № 4, 489—491.
191*	. Kobayashi M. Capacities of sets and harmonic analysis on
the group 2Ш. Tohoku Math. J., 21, 1969, № 3, 419—433; Correction: Tohoku
Math. J., 21, 1969, № 4, 676.
195.	Ladhawala N. R. Absolute summability of Walsh—Fourier se-
ries. Pacif. J. Math., 65, 1976, № 1, 103—108.
196.	L a d h a w a I a N. R., Pankratz D. C. Almost everywhere con-
vergence of Walsh—Fourier series of HMunctions. Studia math. (PRL), 59
1976, № 1, 85—92.
197*	. Liedl R. Uber gewisse Funktionale in Raum [0, 1] und
Walsh—Fourierkoeffizienten. Monatsh. Math., 72, 1968, № 1, 38—44.
193.	Liedl R. Die Entwicklung der charakteristischen Funktion des
Intervals (0, x) in eine Walshfourierreche. Anz. oster. Akad. Wiss., Math.-
naturwiss., kl., 105, 1968(69), № 1—15, 33—36.
199*	. McLaughlin J. R. Functions represented by Rademacher se-
ries. Pacif. J. Math., 27, 1968, № 2, 373-378.
200*	. Me Laughlin J. R. Rademacher series with nondifferentiable
sums. Proc. Amer. Math. Soc., 23, 1969, № 1, 140—143.
201.	Me Laughlin J. R. Integrated orthonormal series, Pacif. J. Math.,
42, 1972, № 2, 469—475.
202.	Me Laughlin J. R. Haar series. Trans. Amer. Math. Soc., 137
1969, 153—176.
203.	M c L a u g h 1 i n J. R. Absolute convergence of series of Fourier
coefficients. Trans. Amer. Math. Soc., 184, 1973, 291—316.
204.	Moon К. H. An everywhere divergent Fourier—Walsh series of
/he class L (log+log+L)1-£ Proc. Amer. Math. Sos., 50, 1975, 309—314.
205*	. Morgentheler G. W. On Walsh—Fourier series. Trans. Amer.
Math. Soc.. 84, 1947, № 2, 472—507.
206.	Moricz F. Inequalities and theorems concerning strongly multip-
licative systems. Acta scient. math., 29, 1968, № 1—2, 115—136.
207*	. Mutafian C., Pergriere J. Sur les procedes de sommatipn
des series de Rademacher. Bull. sec. math., 93, 1969(70), № 3—4, 181—185.
208.	Nakata T. On the divergence of rearranged Walsh series. Tohoku
Math. J., 24, № 2, 275—280,
209.	NakataS. On the divergence of rearranged Walsh series II. To-
hoku Math. J., 26, 1974, № 3, 407—410.
210.	Ohkuma T. On a certain system of orthogonal step functions.
Tohoku Math. J., 5, 1953, 166-177.
211.	Ohta T. A new expression for Walsh functions —the completion
of Rademacher functions. Bull. Kyushu Inst. Technol. (Math., Natur. sci.),
j974, № 21, 67—68.
212*	. О kuyama Y. On contraction of Walsh—Fourier series. Tohoku
Math. J., 19, 1967, № 2, 156—167.
213*	. Onneweer C. W., On uniform convergence for Walsh—Fourier,
series. Pacif. J. Math., 34, 1970, № 1, 117—122.
214.	Onneweer C. W. On moduli of continuity and divergence of
Fourier series on groups. Proc. Amer. Math. Soc., 29, 1971, 109—112.
215.	Onneveer C. W., Waterman D. Uniform convergence of Fo-
urier series on groups, I, Mishigan Math. J., 18, 1971, 265—273.
216.	Onneweer C. W. Absolute convergence of Fourier series on ser-
ain groups. Duke Math. J.. 39, 1972, 599—609.
175
217*	. Pal L. G. On the absolute and uniform convergence of Walsh-
Fourier expansions of Faber functions. Ann. Univ. sci. Budapest, sec. math),
9, 1766, 109—113.
218*	. P a 1 L. G. On the role of the structural properties of functions in
the theory of their Walsh—Fourier expansions. Ann. Univ. Soc. Budapest,
sec. math., 10,. 1967, 155—166.
219.	Pal J., Simon P. On a generalization of concept of derivative.
Acta math. Acad. sci. hung., 29, 1977, № 1—2, 155—164.
220*	. Paley R. A remarkable system of orthogonal functions. Proc.
London, Math. Soc., 34, 1932, 241—279.
221.	Price J. J. Certain groups of orthonormal step functions. Canad.
J. Math., 9, 1957, № 3, 413-425.
222.	Price J. J. On an equality involving group characters. Proc.Amer.
Amer.- Math. Soc., 14, 1963, № 6, 869—874.
223.	Price J. J. A density theorem for Walh functions. Proc. Amer.
Math. Soc., 18, 1967, № 2, 209—211.
224*	. Price J. J. Walh series and abjustment of functions on small
sets, III. J. Math., 13, 1969, № 1, 131-136.
225.	Price J. J. Space subsets of orthonormal systems. Proc. Amer.
Math. Soc., 35, 1972, № 1, 161—164.
226.	Proceedings of the Sumposium and Workshop on Applications of
Walsh Functions.Naval Research Labor. Washington, D. C. 1970, C. A. Bass
(edit).
227.	Proceedings of the Symposium and Workshop on Applications of
Walsh Functions, Washington, D. C., 1971, R. W. Zeek — A. E. Showalter
(edit.).
228.	Proceedings of the Symposium and Workshop on Aplications of
Walsh Functions. Washington, D. C., 1972.
229*	. Revesz P., Wschebor M. On the statistical properties of the
Walsh functions. Magyar tud. akad. Math. Kutato int. kozl., 9, 1964(65), № 3,
543—554,
230.	Richardson R. L. Reciprocal Walsh series. IEEE Trans. Comput.
23, 1974, № 9, 961-966.
231.	Rudin W. Fourier analysis on groups. N. Y., 1962.
232*	. Schipp F. Construction of a continuous functions, whose Walsh
eries diverges at a prescribed point. Ann. Univ. sci. Budapest, sec. math
9, 1966, 103-108.
233*	. Schipp F. Uber die Grobenordnung der Partialsummen der Ent-
wiklung integrierbarer Funktionen nach IT-systemen. Acta Sci. math., 28,
1967, № 1—2, 123-134. „
234*	. Schipp F. Uber Walsh—Fourierreihen mit nichtnegativen Parti-
alsummen. Ann. Univ. sci. Budapest, sec. math., 10, 1967, 113—116.
235*	. Schipp F. Bemerkung zur starken Summation der Walsh—Fourier-
Reihe. Acta math. Acad, scient. hung., 20, 1969. № 3—4, 263—274.
236*	. SchippF. Uber die Divergenz der Walsh—Fourierreihen. Ann. Univ,
sci., Budapest, sec. math., 12, 1969, 49—62.
237*	. Schipp F. Uber Walsh—Fourierreihen mit nichtnegativen Parti-
alsummen. Ann. Univ. sci. Budapest., sec. math., 15, 43—48.
238*	. Schipp F. Uber die starke Summation von Walsh—Fourierreihen.
Acta sci. math., ЗЭ, 1969, № 1—2, 77—87.
239*	. Schipp F. Walsh—Fourier—sorok eros approximaciojarol. Magy-
artud. akad. Math, es fis. tud. oszt. kozl., 19, 1970, № 1—2, 101—111.
240.	Schipp F. Pointwise convergence of expansions with respect to
certain product systems. Anal, math., 2, 1976, № 1, 65—76.
241.	Schipp F. On term by term dyadic differentiability of Walsh
series. Anal, math., 2, 1976, № 2, 149—154.
242.	Schipp F. On the dyadic derivative. Acta Math. Acad. sci. hung..
28, 1976, № 1-2, 145-152.
176
243.	Shanks L. Computation of the fast Walsh—Fouriei transform.
IEEE Trans, on Computers. May 1969, 457—459.
244*	. Shapiro V. 6(e)-sets for Walsh series. Proc. Amer. Math. Soc.
16, 1965, № 5, 867-870.
245*	. Siddiqi A. H. On the symmability of a sequence of Walsh
functions. J. Austral. Math. Soc., 10, 1969, № 3—4, 385—394.
246.	Siddiqi A. H. On the lacunary partial sums of Walsh—Fourier
series. Rend. Circ. math. Palermo, 18, 1969(70), № 3, 313—318.
247*	. SjOlin P. An inequality of Paley and convergence a. e. of
Walsh—Fourier series, Arkiv math., 7, 1969, № 6, 551—570.
248*	. Sunouchi G. On the Walsh—Kaczmarz series. Proc. Amer. Math.
Soc., 2, 1951, №1, 5—11.
249*	. Sunouchi G. Strong summability of Walsh—Fourier series. To-
hoku Math. J., 16, 1964, № 2, 228—237.
250*	. Tandori K. Ober die Divergenz der Walshschen Reihen. Acta
scient. math., 27, 1966, № 3—4, 261—263.
251*	. Tateoka J. On almost everywhere convergence of Walsh—Fou-
rier series. Proc. Japan Acad., 44, 1968, № 7, 647—650.
252.	Wade W. R. Uniqueness theory of the Haar and Walsh systems.
Doct. diser. Riverside Univ. Calif., 1968.
253*	. Wade W. R. Uniqueness theorem for Haar and Walsh series,
Trans. Amer. Math. Soc., 141, 1969, 187—194.
254.	Wade W. R. Summing closed (7-sets for Walsh series. Proc. Amer.
Math. Sos., 29, 1971, № 1, 123—125.
255.	Wade W. R. Haar and Walsh Fourier series of Perron integrable
functions. J. Indian Math. Soc., 33, 1974(75), № 1—4, 19—35.
256.	Wade W. R. Uniqueness and а-capacity on the group 2W. Trans.
Amer. Math. Soc., 208, 1975, 309-315.
257.	Wagner H. J. Ein Differential- und Integralkalkiil in der Walsh-
Fourier Analysis mit Anwendungen. Doktors Dissertation, Rheinishen—West-
falischen Technischen Hochschule. Aachen. 1972.
258*	. Walsh J. L. A closed set of normal orthogonal functions. Amer.
J. Math., 45, 1923, 5-24.
259*	. Watari C. On generalized Walsh—Fourier series, I. Proc. Japan
Acad., 73, 1957, № 8, 435-438.
260*	. W atari C. On generalized Walsh—Fourier series. Tohoku Math
J., 10, 1958, № 3, 211-241.
261*	. Wat ar i C. Best approximation by Walsh polynomials. Tohoku
Math. J., 15, 1963, № 1, 1-5.
262*	. W atari C. Contraction of Walsh—Fourier series. Proc. Amer.
Math. Soc., 15, 1964, № 2, 189-192.
263*	. Wat ar i C. Mean convergence of Walsh—Fourier series. Tohoku
Math. J., 16, 1964, № 2, 183-188.
264*	. Watari C. Multipliers for Walsh—Fourier series. Tohoku Math.
J., 16, 1964, № 3, 239- 251.
265*	. Watari C. On decomposition of Walsh—Fourier series. Tohoku
Math. J., 17, 1965, № I, 76-86.
266.	W a t e r m a n D. IT-systems are the Walsh functions. Bull. Amer.
Math. Soc, 75, 1969, № 1, 139-142.
267*	. We ib P. Ober der Verwendung von Walshfunktionen in der Co-
dierungstheorie. Arch. Elektr. Obertragung, 21, 1967, 255—258.
268*	. W e i b P. Die Darstellung von zyklischen Codes mit Hilfe von
Walshfunktionen. Arch, elektr. Obertragung, 22, 1967.
269.	W e i b P. Zusammenhang von Walsh—Fourierreihen mit Polynomen.
Monatsh. Math, 71, 1967, № 2, 165-179.
270.	Wells В. B. A random L1 function with divergent Walsh series
Proc. Amer. Math. Soc, 24, 1970, № 4, 794—796.
271*. Yano S. On approximation by Walsh functions. Proc. Amer. Math.
Soc, 2, 1951, № 6, 962-967.
4-12	177
272*. Yano S. On Walsh—Fourier series. Tohoku, Math. J., 3, 1951, №2,
223 - 242.
273*. Yano S. A convergence test for Walsh—Fourier series. Tohoku
Math, J., 6, 1954, № 2-3, 226-230.
274*. Yano S. Cesaro summability of Walsh—Fourier serils. Tohoku
Math. J., 9, 1957, № 3, 267-272.
275.	Yoneda K. On absolute convergence of Walsh—Fourier series.
Math. Jap., 18, 1973, № 1, 71-78.
276.	Young W. S. On rearrangements of Walsh—Fourier series and
Hardy—Littlewood—type maximal inequalities. Bull. Amer. Math. Soc., 80,
1974, № 3, 490-494.
277.	Yong W.-S. On the a. e. convergence of Walsh—Fourier—Kacz-
marz series. Proc. Amer. Math. Soc., 44? 1974, № 2, 353—358.
278.	Y о u n g W.-S. Mean convergence of generalized Walsh—Fourier
series. Trans. Amer. Math. Soc., 218, 1976, 311—320.
279.	Young W.-S. A note on Walsh—Fourier series. Proc. Amer. Math.
Soc., 59, 1976, № 2, 305-310.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Глава I. Коммутативные топологические группы.......................5
§. 1. Коммутативные группы.........................................5
1.	Группы (5). 2. Примеры групп (6). 3. Изоморфизм групп. Гомоморфное
отображение (7). 4. Подгруппы. Смежные классы. Фактор-группа (8). 5. Пря-
мая сумма коммутативных групп (9). 6. Безгранично делимые группы (11).
7. Периодические коммутативные группы (12). 8. Примеры нумерации счетных
периодических коммутативных групп (14).
§ 2. Топологические группы.......................................15
1. Топологические пространства (15). 2. Топологические группы (17). 3. Зада-
ние топологии в группе системой подгрупп (18). 4. Подгруппы и фактор-груп-
пы .топологических групп (18). 5. Прямые суммы коммутативных топологичес-
ких групп (19). 6. Примеры топологических. прямых сумм (21). 7. Р-адичес-
кие числа (22). 8. Соленоиды (25).
§ 3. Компактные и локально-компактные группы. Мера Хаара ... 26
1. Компактные группы (26). 2. Отображение нуль-мерных компактных комму-
тативных групп со второй аксиомой счетности от отрезок (28). 3. Отображе-
ние коммутативных локально-компактных нуль-мерных групп на луч (31). 4.
Мера Хаара (32). 6. Мера Хаара на прямой топологической сумме компактных
групп (34).
Примечания и литературные указания ..............................35
Глава II. Функции на топологических группах......................36
1. Непрерывные функции. Модуль непрерывности (36). 2. Непрерывные функ-
ции на коммутативных компактных нуль-мерных группах (36). 3. Функции с
ограниченным изменением на компактных коммутативных нуль-мерных груп-
пах (38). 4. Измеримые и интегрируемые функции на коммутативных тополо-
гических группах (39). 5. Классы функций на группах (41). 6. Сдвиги в прост-
ранствах L^(G) Свертка функций на группе (42). 7.. Интегральный мо-
дуль непрерывности. Свертка и модуль непрерывности (46). 8. Обобщенные
функции на нуль-мерных периодических локальных-компактных коммутатив-
ных группах (51).
Примечания и литературные указания...............................53
Глава III. Характеры коммутативных топологических групп и ортонор-
мированные системы функций......................................54
§ 1. Характеры групп и их свойства...............................54
1. Группа характеров коммутативной группы (54). 2. Сужение и распростра-
нение характеров. Группа характеров для фактор-группы и подгруппы (57).3.
Группа характеров конечной прямой суммы коммутативных компактных групп
(59). 4. Группа характеров топологической прямой суммы счетного множест-
ва коммутативных топологических групп (60). 5. Характеры групп, топология
которых задана цепочкой подгрупп (61). 6. Введение топологии в групп^ ха-
рактеров (63). 7. Теорема двойственности (66). 8. Примерь! систем характе-
ров компактных коммутативных групп (67).
§ 2. Преобразование Фурье на локально-компактных коммутативных
группах	.................................................74
1. Ортонормированность системы характеров компактной группы (74). 2. Пол-
нота системы характеров компактной коммутативной группы (77). 3. Преобра-
зование Фурье интегрируемых функций на локально-компактных коммутатив-
ных группах (78). 4. Преобразование Фурье гладких финитных функций (81).
5. Теорема Планшереля для нуль-мерных периодических групп (83). 6. Пре-
образование Фурье обобщенных функций (85).
Примечания и литературные указания................................86
Глава IV. Периодические мультипликативные ортонормированные систе-
мы функций.....................................................  87
§ 1. Упорядочивание периодических мультипликативных ортонормиро-
ванных систем функций.............................................87
1. Периодические мультипликативные системы функций (87). 2. Упорядочива-
ние периодических мультипликативных систем (88).
179
§ 2. Коэффициенты Фурье по системам характеров нуль-мерных компак-
тных коммутативных групп. Абсолютная сходимость •	89
1. Коэффициенты Фурье функций различных классов. (89). 2. Аналог нера-
венства С. Б. Стечкина (91).
§ 3.	Ядро Дирихле..................................... 96
1.	Формула для ядра Дирихле (96).
§ 4.	Константы Лебега .........................................99
§ 5.	Сходимость рядов по системе характеров ...................102
1. Признак локализации Римана (102). 2. Признак сходимости Дини (103).
3. Признак сходимости Харди-Литтлвуда (104).
§ 6.	Ряды с монотонными коэффициентами........................108
1.	Сходимость рядов с монотонными коэффициентами (108). 2. Ряды с моно-
тонными коэффициентами и несобственные интегралы (НО).
§ 7.	Лакунарные ряды по системам хаарктеров нуль-мерных компакт-
ных коммутативных групп........................................ИЗ
§ 8.	Наилучшие приближения полиномами по системам характеров нуль-
мерных компактных коммутативных групп..........................116
§ 9.	Вложения классов функций, определенных на нуль-мерных компакт-
ных группах.....................................................119
§ 10.	Суммирование рядов	по	системам характеров................132
Примечания и литературные	указания.............................143
Глава V. Обзор дальнейших результатов о рядах по мультипликативным
системам функций...............................................  145
1. Сходимость рядов Фурье в точке. Явление Гиббса (145). 2. Равномерная
сходимость (145). 3. Сходимость почти всюду (146). 4. Расходимость в точке
и почти всюду (146). 5. Абсолютная сходимость (147). 6. Оценки и сходимость
в пространствах L*7 (148). 7. Суммируемость (149). 8. Принадлежность клас-
сам. Мультипликаторы классов (151). 9. Преобразования функций и рядов
(151). 10. «Исправление функций». (154). 11. Наилучшие приближения (154).
12. Оценки коэффициентов (155). 13.. Функции и ряды специального вида
(156). 14. Анализ Фурье на-нуль-мерных группах с условием lim Рд=+©о
(157). 15. Лакунарные ряды (158). 16 Единственность и представление функ-
ций (162). 17. Кратные ряды (165).
Литература ..........................................167
Редактор издательства М. Василенко
* Художник В. Мамедов
Художественный редактор Ф. Сафаров
Технический редактор Т. Гасанова
Корректор А. Гамедова
ИБ № 428
Сдано в набор 8/1-81 г. Подписано к печати 17.XII 1981 г. ФГ 33717.
Формат бумаги бОхЭО1/^. Бумага типографская № 1. Гарнитура шрифта ли-
терат. Печать высокая. Печ. лист 11,25. Уч. изд. лист. 12,36. Тираж 1300.
Заказ 4. Цена 2 руб.
Издательство «Элм».
370143 Баку-143, проспект Нариманова, 31, Академгородок, Главное
здание
Новая книжная типография Государственного комитета Азербайджан-
ской ССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Баку,
ул. Али Таги-заде, 4.