Р. Эдварде
РЯДЫ ФУРЬЕ
в современном
изложении
В 2-х томах
Том 1
Перевод с английского
В. А. Скворцова
D
Москва «Мир» 1985

Graduate Texts in Mathematics
64
Editorial Board: P. R. Halmos (Managing Editor)
F. W. Gehring, С. С Moore
Robert Edmund Edwards
Institute for Advanced Studies
The Australian National University, Canberra
FOURIER SERIES
A MODERN INTRODUCTION
VOLUME 1
Second Edition
Springer-Verlag
New York Heidelberg Berlin
1979

РЯДЫ ФУРЬЕ
Том 1

ББК 22.16
Э 18
УДК 517
Эдварде Р.
Э 18 Ряды Фурье в современном изложении: В 2-х т. Т. 1.
Пер. с англ.—М.: Мир, 1985.—264 с.
Учебное пособие по теории рядов Фурье, написанное австралийским
математиком, уже знакомым нашему читателю по переводу его фундаментальной
монографии «Функциональный анализ. Теория и приложения» (М.: Мир, 1967). Книг? дает
краткое, ясное и современное изложение предмета. На простейших примерах
демонстрируется богатство идей и методов теории и ее связь с другими разделами
математики. Много упражнений.
Для студентов и специалистов разных направлений, использующих методы
гармонического анализа.
Л 1702060000-168 ._ ос t ББК 22.16
27-85, ч. 1
041 (01)-85 ' 517.2
Редакция литературы по математическим наукам
© 1967, 1979 by Springer-Verlag New
York, Inc. All Rights Reserved.
Authorized translation from
English language edition published by
Springer-Verlag Berlin —
Heidelberg— New York
© Перевод на русский язык, «Мир»,
1985

ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Австралийский математик Р. Эдварде знаком нашему читателю
по книге «Функциональный анализ. Теория и приложения»,
переведенной на русский язык в 1967 г. (М.: Мир). Предлагаемый
двухтомник по рядам Фурье вышел в популярной серии
университетских учебников Graduate Texts in Mathematics, выпускаемой
издательством «Шпрингер», и выдержал уже два издания (1-е изд.—
1967 г., 2-е изд.— 1979 г. (т. 1), 1982 (т. 2)).
Эта книга ставит своей целью дать современное введение
в теорию рядов Фурье как часть гармонического анализа.
Уступая в энциклопедичности известным трактатам А. Зигмунда и
Н. К. Бари, она привлекает краткостью, ясностью и
современностью изложения. На простейших примерах автор объясняет
начинающим математикам богатство идей и методов
гармонического анализа и его связей с другими областями математики.
Помимо материала, традиционно включаемого в обязательные
и специальные курсы по теории рядов Фурье, автор знакомит
читателя с понятиями групповой алгебры, почти-периодической
функции, положительной определенности, ёмкости, с принципом
двойственности Понтрягина и т. д. В приложениях приведены
в удобной и лаконичной форме необходимые сведения из
функционального анализа.
В целом книга Эдвардса будет очень полезна и студентам,
и преподавателям.
Том 1 и главы 14, 15 тома 2 перевел В. А. Скворцов,
остальные главы тома 2 —Т. П. Лукашенко.
А. А. Кириллов

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
При переиздании в текст внесено множество мелких
исправлений. Кроме того, имеются и существенные изменения и
дополнения, в том числе в доказательствах (это касается, например,
§§ 7.1-7.3).
Рекомендуем для параллельного чтения вышедшую в 1968 г.
книгу проф. Кацнельсона [Kz].
Было включено много ссылок на рефераты из Mathematical
Reviews. Знакомство с этими рефератами не обязательно для
понимания основного текста, и на эти ссылки можно не
обращать внимания при первом чтении. Литература по затронутым
в книге вопросам стала уже весьма обширной и быстро
разрастается, и поэтому предварительный просмотр рефератов (часто
более доступных, чем соответствующие оригинальные статьи) может
помочь наиболее активным читателям решить, какую из статей
им изучать. Перечень ссылок такого рода не претендует на полноту.
Я признателен профессору Гёзу, переписка с которым
привела к появлению целого ряда добавлений и улучшений. Моя
горячая благодарность —другу и коллеге д-ру Джеффу Сэндерзу
за помощь в подготовке переиздания.
Наконец, я благодарен жене, приготовившей машинописный
текст переработанного издания.
Канберра, январь 1979 Р. Э. Э.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная цель, которую преследовало написание этой книги,—
снабдить читателя введением (едва ли чем-либо большим) в
некоторые разделы теории рядов Фурье и примыкающие к ним
вопросы, в котором широко использовались бы современные методы
и которое подготавливало читателя к изучению актуальных
проблем общего гармонического анализа- Фактически современные
понятия и методы использовались лишь в той мере, в какой это
совместимо с требованием, чтобы книга была доступна студентам-
старшекурсникам и начинающим аспирантам, для которых она
может послужить подготовкой к «Гармоническому анализу на
группах» Рудинах) и ко второму тому «Абстрактного
гармонического анализа» Хьюитта и Росса2).
Упор на современные методы и точки зрения отразился не
только на выборе доказательств, но в значительной степени и на
отборе материала. Прежде всего это выразилось в том, что
минимальное место отведено изложению вопросов поточечной
сходимости и суммируемости; как объясняется в главе 1, ряды Фурье
открываются не с самой лучшей или не с самой естественной
стороны, если смотреть на них через очки поточечной сходимости.
К тому же в известных монографиях Зигмунда и Бари3) эти
вопросы изложены с большой подробностью, тогда как
современные аспекты теории освещены в них недостаточно. То же самое
можно сказать и о более элементарном курсе Толстова 4). Далее
опять же по причинам, объясняемым в главе 1, в программу этой
книги совсем не входила теория общих тригонометрических рядов.
Значительное место отводится вопросам, которые в книге такого
объема и назначения нельзя рассмотреть во всех деталях. Среди
такого рода материала (набранного в основном петитом) —
замечания, касающиеся различных специальных тем (ёмкость,
множества спектрального синтеза, множества Хелсона и т. д.), а также
замечания по поводу возможных обобщений излагаемых
результатов на более общие группы. Включение такого материала имеет
3) См. [R] в списке литературы в конце книги.— Прим. ред.
2) См. [HR].— Прим. ред.
3) См. соответственно [Zif2] и [Ва1|2].— Прим. редщ
4> См. [Tv].— Прим. ред!

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
целью в первом случае помочь читателю получить некоторое
представление о значении затронутых проблем и дать
рекомендации для дальнейшего чтения, во втором—содействовать развитию
читателя в плане общематематической культуры, подчеркнуть
единство, лежащее в основе на первый взгляд различных областей
математики. Не будет лишним еще раз предупредить, что
изложение всех этих вопросов в книге по необходимости носит сугубо
вводный характер.
Чтение книги требует постепенно возрастающей от главы
к главе активности читателя. Заметим, что, хотя, конечно, книгу
лучше всего рассматривать как единое целое, первый том,
который легче второго, вполне самостоятелен и замкнут и может
служить основой для небольшого курса. В таком курсе можно
опустить главу 9 и § 10.6.
Что касается требований к подготовке читателя, то первым
и наиболее существенным из них является достаточно хорошее
знакомство с интегралом Лебега, по крайней мере в объеме
вводной книги Уильямсона «Интеграл Лебега»1)2). Иногда требуется
знакомство в большем объеме, и тогда мы ссылаемся на
приложение С в конце тома 1, книгу Хьюитта и Стромберга
«Вещественный и абстрактный анализ» или книгу Эсплунда и Бангарта
«Начальный курс теории интегрирования»3). Кроме того,
читателю надо знать, что такое метрическое пространство и
нормированное линейное пространство, и быть знакомым с начальными
понятиями теоретико-множестЕенной топологии. Нужные факты
из функционального анализа (теорема Бэра, принципы
равномерной ограниченности, теоремы о замкнутом графике и об
открытом отображении, теорема Хана — Банаха) собраны в приложениях
А и В в конце тома 1. Используется стандартная терминология
линейной алгебры, но знания сколько-нибудь глубоких
результатов из линейной алгебры не предполагается.
В конце каждой главы приводятся упражнения. Более
трудные из них снабжены указаниями к решению.
Библиография, включающая как книги, так и периодику,
предлагает большой выбор работ для дальнейшего чтения почти по
всем затронутым вопросам, а также содержит выборку
исследовательских работ, появившихся после публикации упомянутых
книг Зигмунда, Бари и Рудина. Иногда в тексте делаются ссылки
на рефераты из реферативного журнала Mathematical Reviews (MR).
Мои первые слова благодарности—профессорам Ханне
Нейман и Эдвину Хьюитту, побудившим меня написать эту книгу;
1) Gm. [W].— Прим. ред.
2) Или, скажем, книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы
теории функций и функционального анализа» (М.: Наука, 1976).— Прим. ред.
3) См. соответственно [HS] и [АВ].— Прим. ред.

Предисловие 9
Ханне Нейман я признателен, кроме того, за предоставленную
возможность испытать первоначальные наброски тома 1 на
студентах Школы обших исследований при Австралийском
национальном университете, а Эдвину Хыоитту —за постоянную
поддержку и советы. Мне хочется также поблагодарить упомянутых
студентов за предложенные ими исправления.
Что касается непосредственно работы над рукописью, то я
весьма благодарен моему коллеге д-ру Гарту Годри, который
досконально прочел весь машинописный текст (за исключением
позднейших вставок), сделал бесчисленное количество ценных
предложений и важных исправлений и не раз спасал меня от
полного провала. Кроме того, ему целиком принадлежат §§ 13.7
и 13.8 и пункт 13.9.1. Поскольку, однако, мы не всегда
приходили к согласию по отдельным мелким вопросам, касающимся
способа изложения, я один несу ответственность за недочеты
в этом отношении. Ему же выражаю горячую благодарность.
Далее, мне хочется поблагодарить г-жу Эйвис Дебнэм, г-жу
К. Сьюмеги и г-жу Гейл Лидделл, чьими общими усилиями была
напечатана рукопись.
Наконец, я глубоко признателен жене за помощь при чтении
корректур и неизменную поддержку.
Канберра, 1967 Р. Э. Э.

ГЛАВА 1
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
1.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ И РЯДОВ ФУРЬЕ
1.1.1. Истоки. Начиная примерно с 1740 г. Д. Бернулли, Да-
ламбер, Лагранж и Эйлер, изучая некоторые проблемы
математической физики, оказались вовлеченными в жаркие споры по
поводу возможности представить более или менее произвольную
функцию / с периодом 2я в виде суммы тригонометрического
ряда
00
у 0о+ £а (anzosnx + bnsmnx) (1.1.1)
или формально эквивалентного ему ряда в «комплексной» форме
00
X *»*"**, (1.1.1*)
П— — 00
где, если положить b0 = О, коэффициенты сп задаются формулами
свя7 K-ffc„), с_в = у (an + ibn) (л = 0,-1, 2, ...).
Эти дискуссии ознаменовали начало одного Мз кризисов в
развитии анализа.
В 1811 г. Фурье выразил уверенность в возможности такого
представления. В его книге Theorie Analytique de la Chaleur,
вышедшей в 1822 г., содержится много частных примеров такого
представления и тригонометрические разложения широко
используются на эвристическом уровне. В результате с именем Фурье
стали обычно связывать следующие формулы для вычисления
коэффициентов а„, Ьп и сп:
я я
ап=— \ f (х) cos пх dx, bn = — \ f (х) sin nxdx, (1.1.2)
— я —я
я
c« = i 1 f{x)e-'"xdx, (1.1.2*)
•Я

1.1. Возникновение теории тригонометрических рядов 11
и сейчас все называют ап и Ьп вещественными, а сп
—комплексными коэффициентами Фурье функции / (которая предполагается
интегрируемой на (—я, я)). Формулы (1.1.2) были, однако,
известны уже Эйлеру и Лагранжу.
Мотивы для принятия формул Фурье, приписывающих каждой
интегрируемой на (—я, я) функции определенный
тригонометрический ряд, будут более подробно рассмотрены в п. 1.2.3. Ряды
(1.1.1) и (1.1.1*), у которых коэффициенты определены
соответственно формулами (1.1.2) и (1.1.2*) и которые тем самым
отвечают функции /, называются соответственно вещественным и
комплексным рядами Фурье функции /.
За период с 1823 по 1827 г. Пуассон и Коши независимо
получили доказательства представимости функций определенного
типа их рядами Фурье, но они при этом наложили на функции
условия, которые, как скоро выяснилось, были излишне
ограничительными.
Далее следует упомянуть Дирихле, который в 1829 г. начал
строгое изучение рядов Фурье, а с 1837 г.— тесно связанное с ним
исследование понятия функции. Оба эти направления с тех пор
интенсивно развивались, несмотря на отдельные кризисы, не менее
серьезные, чем тот, который привлек внимание Бернулли, Эйлера,
Даламбера и других, и связанные с выработкой взглядов на
понятие функции и на представимость функций
тригонометрическими рядами. (Работы Кантора по теории множеств, которые
в конце концов привели к другому большому кризису, родились
из исследований по теории тригонометрических рядов).
1.1.2. В результате упомянутого выше строгого изучения по
прошествии некоторого времени выявилось, что имеются тонкие
различия между тригонометрическими рядами, сходящимися во
всех точках, и рядами Фурье функций, интегрируемых на (—я, я),
хотя причина этих различий совсем не очевидна. Например,
тригонометрический ряд
00
V1 sin пх
~ Inn
сходится всюду; однако, как будет видно из упражнения 7.7,
а также из п. 10.1.6, он не является рядом Фурье никакой
функции, интегрируемой (по Лебегу) на (—я, я).
Теория общих тригонометрических рядов столкнулась со
многими вопросами, которые просто не возникают в теории рядов
Фурье. Специально для исследования таких вопросов была
развита сложная техника, которая в большинстве случаев не нужна
при изучении рядов Фурье. Оказалось, что ряды Фурье
фактически можно вполне эффективно изучать без ссылок на общую

12
ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
теорию тригонометрических рядов, и именно этот путь избран
в данной книге.
Остальные параграфы этой главы призваны показать, что, хотя
у теории рядов Фурье есть свои ограничения, у общей теории
тригонометрических рядов тоже есть ограничения, не менее
серьезные, и что с определенной точки зрения и в определенных
ситуациях ряды Фурье являются естественным и мощным
инструментом для эффективного представления функций. Читатель,
который готов без дальнейших обсуждений принять нашу установку
ограничиться рассмотрением рядов Фурье, может после п. 1.1.3
перейти непосредственно к упражнениям в конце главы.
1.1.3. Соотношения ортогональности. Прежде чем начать
обсуждение, о котором говорилось в предыдущем пункте,
необходимо отметить некоторые факты, которые служат эвристической
основой для формул Фурье (1.1.2) и (1.1.2*) и для любого
обоснования особой роли рядов Фурье.
Эти факты, непосредственно следующие из элементарных
вычислений, выражены в следующих так называемых соотношениях
ортогональности, которым удовлетворяют как круговые функции,
так и комплексная экспонента:
(тфп, т^О, я^О), )
(т = я > 0),
(т = /г = 0),
(тфп, т^О, я^О),
(т = я > 0),
(т = /г = 0),
2л
2л
л
I
-л
cos тх cos пх dx = ■
0
Уг
Я
I
s\x\mxs\x\nxdx =
2л
-я
л
1
о
1А
1
\ costnxs\nnxdx — 0,
-л
л
1 [ ешХе-;пХс1х=(0 (тфп)
2я J \ 1 (т = /г),
-я
(1.1.3)
где тип обозначают целые числа, а интервал (—я, я) может
быть заменен любым другим интервалом длины 2я.
1.2. ПОТОЧЕЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ РЯДАМИ
1.2.1. Поточечное представление. Общая теория
тригонометрических рядов была начата в 1854 г. Риманом и с тех пор
интенсивно развивалась, существенно обогатив весь анализ. Обзор
современного состояния общей теории можно найти в [Zx, гл. 9]
и в [Ва1>а, гл. 12— 15].

1,2. Поточечное представление функций 13
Основная проблема с самого начала состояла в представлении
более или менее произвольной функции /, заданной на
интервале-периоде / (скажем, на [—л, я]), в виде суммы хотя бы
одного тригонометрического ряда (1.1.1), при этом обсуждался
также вопрос о единственности такого представления.
Легко понять, что содержание этой проблемы зависит от того,
какое значение мы приписываем слову «представление» или, что
то же, термину «сумма» применительно к бесконечному ряду.
Первоначально под этим подразумевалась поточечная сходимость
ряда к данной функции / во всех точках интервала-периода.
Со временем это истолкование претерпело изменения по крайней
мере в двух направлениях. Во-первых, требование сходимости
ряда к / во всех точках интервала-периода / было ослаблено до
требования сходимости в почти всех точках этого интервала.
Во-вторых, требование сходимости ряда к / во всех или почти
всех точках было ослаблено до требования, чтобы ряд
суммировался к / одним из нескольких возможных методов, опять же во
всех или почти всех точках. В данном обсуждении нам
достаточно будет ограничиться одним из таких методов суммирования,
называемым методом Чезаро и состоящим в замене частичных
сумм
s0 (х) = У2 а0,
N
%(*)= ^o + S (апcosnx + bnsinпх) (#=1, 2, ...) (1.2.1)
ряда (1.1.1) их средними арифметическими
°N-S°+N'+iSN (# = 0,1,2,...). (1.2.2)
Таким образом, мы скажем, что ряд (1.1.1) суммируем в точке х
к функции /, в том и только в том случае, когда
lim (Тдг (х) = / (х).
Удобно будет объединить все эти интерпретации слова
«представлять» в одном термине: поточечное представление (всюду или
почти всюду, в смысле сходимости или суммируемости, в
зависимости от конкретного случая) функции / рядом (1.1.1).
Используя это, возможно немного расплывчатое, определение,
мы попытаемся бросить общий взгляд на положение дел в области
поточечного представления и, в частности, попробуем очертить
то место, которое в общей картине занимают ряды Фурье.
1.2.2. Недостатки поточечного представления. Хотя само по себе
знание того факта, что некоторая функция или каждый элемент
данного класса функций допускают поточечное представление

14 ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
каким-то тригонометрическим рядом, несомненно очень интересно,
однако следует сразу подчеркнуть, что этот тип представления
оставляет многого желать в отношении его применимости.
Оценить, следует ли считать способ представления удачным, иначе
говоря, полезным в качестве орудия исследования, можно по
тому, какие стандартные операции анализа, примененные к
представленной функции, могут быть достаточно просто выражены
через коэффициенты ап и Ьп, фигурирующие в представлении. Это
в конце концов одна из главных причин, заставляющих искать
представление в форме ряда. И, к сожалению, поточечные
представления сами по себе в этом смысле не очень полезны; они
просто слишком слабы, чтобы обеспечить возможность почленного
применения стандартных операций анализа.
Другой дефект, присущий поточечным представлениям, состоит
в том, что поточечное представление почти всюду на / никогда
не является единственным. Это связано с тем, что, как установил
Меньшов в 1916 г., существуют тригонометрические ряды,
которые почти всюду сходятся к нулю и тем не менее имеют по
крайней мере один ненулевой коэффициент; см. п. 12.12.8.
(Обнаружение этого факта явилось большой неожиданностью для
математиков.)
1.2.3. Роль соотношений ортогональности. Априорная
убежденность в том, что ряд Фурье интегрируемой функции / реализует
поточечное представление / (или, вообще, представление в каком-
нибудь разумном смысле), основывается на соотношениях
ортогональности (1.1.3). В самом деле, из этих соотношений
непосредственно следует, что если существует какой-нибудь
тригонометрический ряд (1.1.1), представляющий / поточечно, и если, кроме
того, sN (или aN) сходятся к /, обладая интегрируемой
мажорантой (см. [W]), то ряд (1.1.1) обязан быть рядом Фурье
функции /. Однако второе из указанных условий не позволяет
заранее прийти к сколько-нибудь общим заключениям.
Как мы в свое время убедимся, это второе условие
выполняется лишь для рядов Фурье достаточно гладких функций
(например, функций /, которые непрерывны и имеют ограниченную
вариацию). Однако, как ни прискорбно, эти необходимые
дополнительные требования вовсе не выполняются для функций из более
широких классов, которые мы намереваемся рассматривать в этой
книге. Правда, мы достигнем большего успеха, если заменим
сходимость суммируемостью. Но в любом случае само исследование
таких дополнительных условий требует основательного
погружения в глубины теории рядов Фурье. Это означает, что такое на
первый^ взгляд простое и удовлетворительное объяснение
доминирующей^ роли рядов Фурье вряд ли можно заранее принять для
функций того вида, который мы намереваемся изучать.

1.2. Поточечное представление функций 15
1.2.4. Ряды Фурье и поточечные представления. Сказанное в
п. 1.2.3 позволяет ожидать, что ряды Фурье хотя и могут
принести успех при решении проблемы поточечного представления,
но лишь частичный. Приведем ряд фактов но этому поводу.
Ряд Фурье периодической функции /, которая непрерывна и
имеет ограниченную вариацию, сходится во всех точках к этой
функции, причем частичные суммы ограничены в совокупности.
Однако ряд Фурье периодической непрерывной функции может
расходиться в бесконечном множестве точек; даже поточечная
сходимость почти всюду для ряда Фурье произвольной непрерывной
функции оставалась под сомнением до 1966 г. (см. п. 10.4.5), хотя
намного раньше и намного более простым методом было
установлено, что некоторая фиксированная подпоследовательность
частичных сумм ряда Фурье любой такой функции почти всюду
сходится к этой функции (подробнее об этом будет сказано в
§ 8.6). Ряд Фурье интегрируемой функции может расходиться
во всех точках.
Если заменить обычную сходимость суммируемостью,
положение улучшается. Ряд Фурье периодической непрерывной функции
равномерно суммируем к этой функции. Ряд Фурье произвольной
периодической интегрируемой функции суммируем почти всюду
к этой функции, но ни sN> ни gn не обязаны при этом иметь
интегрируемую мажоранту.
1.2.5. Тригонометрические ряды и поточечные представления.
Отметив определенные ограничения в применимости рядов Фурье
к решению проблемы поточечного представления, мы должны
упомянуть, что в этом направлении можно достичь успеха,
используя общие тригонометрические ряды.
В 1915 г. Лузин и Привалов установили существование
поточечного представления почти всюду в смысле некоторых методов
суммирования для любой измеримой и почти всюду конечной
функции /. В течение 25 лет оставалось неясным, можно ли
здесь суммируемость заменить обычной сходимостью, пока
в 1940 г. вопрос не был решен положительно Меньшовым.
Этот результат был в 1952 г. уточнен Бари, которая показала,
что если функция / измерима и почти всюду конечна на
интервале /, то существует непрерывная функция F, такая что
F' (х) = / (х) почти во всех точках / и ряд, полученный
почленным дифференцированием ряда Фурье для F, сходится почти
всюду на / к f(x). Между тем Меньшов в 1950 г. показал, что
любой измеримой функции / (быть может, бесконечной на
множестве положительной меры) соответствует по крайней мере один
тригонометрический ряд (1.1.1), частичные суммы которого sN
сходятся к f по мере на /. Это значит, что sN--= uN + vNt где uN
и vN конечнозначны почти всюду, lim uN (х) = / (х) почти во всех
N-+CD

16
ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
точках х из / и для любого фиксированного е > 0 множество
точек х из /, для которых \vN(x) | > е, имеет меру, стремящуюся
к нулю при N—^oo. (Указанное условие на vN равносильно
требованию, чтобы
я
lim С JiMff* о-
-я
некоторая «окольность» этой переформулировки вызвана тем, что
/ может принимать бесконечные значения на множестве
положительной меры.) Представление в этом смысле слабее поточечного
представления. Более подробно об этом см. [Ва2, гл. 15].
Эти теоремы Меньшова и Бари являются очень глубокими и
представляют собой огромное достижение. Однако, как было
отмечено в конце п. 1.2.2, представление, существование которого
они утверждают, ни в коей мере не является единственным.
Кантору удалось показать, что представление во всех точках
сходящимся тригонометрическим рядом обязано быть
единственным, если оно существует. К сожалению, лишь сравнительно
немногие из функций / допускают такое представление: например,
существуют непрерывные периодические функции /, для которых
такое представление невозможно. (Это получается, если
скомбинировать теорему дю Буа-Реймона и Лебега, приведенную на
стр. 200 книги [BaJ, с результатами о рядах Фурье,
содержащимися в гл. 10 настоящей книги.) На самом деле в некотором
смысле «большинство» непрерывных функций не обладает
представлением такого рода.
1.2.6. Резюме. Заключая, можно сказать, что возможности
поточечных представлений как аналитич еского инструмента
ограничены и что по отношению к этим представлениям ряды Фурье
могут играть важную роль лишь в случае класса функции, более
узкого, чем те классы, с которыми часто приходится иметь дело.
В силу этого естественно попытаться приписать слову
«представлять» различные иные значения в надежде найти технически
более эффективное представление, при котором к тому же ряды
Фурье будут играть главенствующую роль.
Прежде чем приступить к реализации этой программы, стоит
добавить, что аналогичные вопросы встают и при истолковании
дифференцирования (эта проблема фактически связана с
проблемой представления). Поточечное дифференцирование всюду или
почти всюду, если не делать никаких ограничений на класс
функций, также не всегда эффективно в качестве технического
аппарата. Одна из возможных новых интерпретаций здесь ведет
к понятиям теории обобщенных функций; этой теме посвящена
гл. 12.

1.3. Новые идеи, связанные с представлением функций 17
1.3. НОВЫЕ ИДЕИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ
ФУНКЦИЙ
1.3.1. План действий. В предыдущем параграфе мы отметили
ряд трудностей, возникающих при попытке обосновать
исключительную роль рядов Фурье, оставаясь в рамках традиционно
формулируемой проблемы представления функций
тригонометрическими рядами. Мы также указали на недостатки так
понимаемого представления.
К этому можно добавить, что в случаях, когда
математическая модель, применяемая при исследовании физической проблемы,
требует использования разложений в тригонометрические ряды,
поточечные представления зачастую не обеспечивают достаточно
хорошего соответствия с физической реальностью.
Ввиду этого мы намерены рассмотреть новые значения для
глагола «представлять», которые вполне согласуются с современными
тенденциями и которые, как мы увидим в дальнейшем, вполне
оправдывают выделение рядов Фурье в качестве аппарата
представления.
1.3.2. Различные понятия сходимости и представления. В
последнее время аналитики в самых разных областях стали отдавать
предпочтение другим значениям глагола «представлять», которые
в большинстве случаев (и во всех случаях, разбираемых нами)
соответствуют новому смыслу, вкладываемому в понятие
сходимости функционального ряда. Зти новые понятия по существу
служат конкретными исходными моделями для понятий общей
топологии и теории топологических линейных пространств.
Имея это в виду, рассмотрим некоторые возможные
соотношения между интегрируемой функцией / на (—я, я) и
тригонометрическим рядом (1.1.1) или (1.1.1*), выражаемые
приведенными ниже соотношениями (A) —(D).
Для этого запишем опять
N
so (х) = ^ а0> sn = ^2 ао + 2 (¾ cos пх + Ьп sin пх),
л=1
так что
М*)= 2 с,/**, (1.3.1)
а также
П /V4 _ so (х)+ ...+sN(x)
°N \х) — tfZfl

18 ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Соотношения, о которых мы сказали выше, таковы (см.
также пп. 6.1.1, 6.2.6, 12.5.3 и 12.10.1):
я
(A) lim ^ I / (х) — oN (х) | dx = 0;
W-*00 -я
я
(B) hm l\f(x)-sN(x)\Pdx = 0;
(C) lim sup,, | f (x) - a^ (л:) | = 0;
я я
(D) lim \ и (x) sN(x)dx= \ и (x) f(x)dx
*->«> -Я -Я
для каждой бесконечно дифференцируемой периодической
функции и.
Если какое-то из этих соотношений имеет место для данной
функции / и данного тригонометрического ряда, то говорят, что
этот тригонометрический ряд представляет / в соответствующем
смысле: в случае (А) принято говорить, что тригонометрический
ряд суммируем к f по Чезаро в среднем степени (или порядка) 1;
в случае (В) — что тригонометрический ряд сходится к f в
среднем степени (или порядка) тр\ в случае (С) —что
тригонометрический ряд равномерно суммируем по Чезаро к /; в случае (D) —
что тригонометрический ряд сходимости к f в смысле
обобщенных функций.
1.3.3. Роль рядов Фурье. Очень легко проверяется, что для
данной функции / найдется не более одного тригонометрического
ряда, для которого выполнено какое-либо из соотношений (А) —
(D), и что таким рядом может быть лишь ряд Фурье функции /
(см. рассуждения, приведенные в п. 6.1.3). Далее, такое
соотношение действительно имеет место для тригонометрического ряда,
являющегося рядом Фурье от /, если, в случае (В), либо
1</?<оо и /€1Л либо р=1 и /log+l/I^L1 (см. пп. 8.2.1,
12.10.1 и 12.10.2), а в случае (С), если / непрерывна и
периодична. (Символы L1 и Lp здесь обозначают множества измеримых
функций / на (—я, я), таких что |/| или соответственно \f\*>
интегрируемы по Лебегу на (—я, я). Это определение,
незначительно видоизмененное, детально рассматривается в п. 2.2.4 и
далее используется во всей книге.)
Таким образом, каждое из соотношений (А) — (D) может быть
использовано в качестве характеристического свойства ряда Фурье
от / при указанных условиях и каждое служит некоторым
оправданием выделения рядов Фурье в качестве объекта изучения.
(Заметим, что имеется много других соотношений, которые можно
было бы добавить к нашему списку.)

1.3. Новые идеи, связа-нные с представлением функций 19
Оказывается, что самое слабое из соотношений, (D), открывает
путь к плодотворному обобщению понятия ряда Фурье, при
котором различие между рядом Фурье и тригонометрическим рядом
в значительной степени стирается. Фактически это приводит
к понятию обобщенной функции (распределения) в том виде, как
оно было введено Л. Шварцем [DSlf2]. При этом любой
тригонометрический ряд, у которого сп = 0(\п\к) при некотором k,
можно трактовать как ряд Фурье некой обобщенной функции,
к которой он сходится в соответствующем обобщенном смысле.
Этот вопрос изучается в гл. 12.
1.3.4. Резюме. Сказанное в § 1.2 и п. 1.3.3 дает нам основание
в дальнейшем сосредоточить внимание прежде всего на рядах
Фурье, по крайней мере пока мы имеем дело с гармоническим
анализом в классическом смысле. Вскоре мы приступим к
реализации программы, включающей в себя проверку в
соответствующих местах каждого из тех приведенных выше без
доказательства утверждений, на которых были основаны наши выводы. Что
касается общих тригонометрических рядов, то мы лишь в
отдельных случаях будем останавливаться на некоторых простых
результатах, не требующих специальной техники.
Взгляд «с птичьего полета» на многие из тем, которые более
или менее обстоятельно будут рассмотрены в этой книге,
читатель может найти в обзорной статье Weiss [1].
1.3.5. Ряды Фурье и общие группы. В пользу сделанного нами выбора можно
привести и другие доводы, основанные на новейших тенденциях в анализе.
Гармонический анализ не ограничился изучением рядов Фурье периодических
функций вещественной переменной; в частности, сейчас вполне ясно, что
теорию рядов Фурье можно по аналогии построить для функций, определенных
на компактных абелевых группах (и даже, до определенного предела, на более
общих группах), см., например, [HR], [Re], [Ех]. Хотя уровень, на котором
написана эта книга, не дает нам возможности подробно остановиться на такого
рода обобщениях, мы часто будем ссылаться на современное состояние дел
в этой области. Как бы ни казалось это достойным сожаления, но факт
остается фактом, что современные исследования сосредоточены на обобщении
именно тех разделов классической теории, которые не опираются на глубокие
свойства поточечной сходимости и суммируемости, и что детальное изучение
аналога для компактных групп общей теории тригонометрических рядов
является делом далекого будущего. Более того, именно те разделы классической
теории, которые были обобщены до сих пор, представляются наиболее
естественным средством для решения тех проблем, которые в настоящее время
находятся в центре внимания общего гармонического анализа. Конечно, ситуация
может измениться со временем. Но поскольку пока указанные разделы
преобладают, это дает дополнительную поддержку той точке зрения, что
целесообразно предоставить известную автономию теории, в которой виды
представления указанного в п. 1.3.2 типа играют преимущественную роль по сравнению
с поточечным представлением.

20
ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬБ
Упражнения
1.1. Проверьте формулы
DN (х) =
^ sin Vi*
|л|< W
/> (*) = (# + О""1 [A, (*) + • • • + ^ (*)]
= (^ + 1)-1
sin /2*
для целых N^0 и х^О (тос!2я), где знаки равенства
непосредственно после DN (х) и FN (х) означают равенство для всех
вещественных х по определению.
1.2. Докажите, что если р и q — целые и pKq, а хфО
(тос!2я), то
2 <*»*
<! |cosec гЛх\.
Используя суммирование по частям (преобразование Абеля, см.
п. 7.1.2 и [Н, стр. 97 и далее]), проверьте, что при ср ^ср+1 ^...
,..^^^0 и хфО (тос!2я)
2 cneinx < ср | cosec хАх\.
1.3. Пусть сп^сп+1 и limc„ = 0. Покажите, что ряд
П->- 00
00
2 спе1'пх
сходится при л: Ф О (mod 2я) и что сходимость равномерна на
любом компактном множестве вещественных чисел х, не
содержащем чисел, равных 0 по модулю 2я.
1.4. Пусть сп^сп+1^0 и псп^А. Покажите, что
N
2 cns'mnx
п = \
<Л (л+1).
Указание. Можно считать, что 0 < х < я. Положим т =
= min(/V, [я/х]) и разобьем рассматриваемую сумму на две:
т N
2+2 (сумма из пустого числа слагаемых считается равной
1 /п+1
N
нулю). Оцените каждую из сумм отдельно, используя для 2
т+ 1
результат упражнения 1.2.
1.5. Пусть сп — такие же, как и в упражнении 1.4. Покажите,

Упражнения 21
00
что ряд 2 сп $т пх ограниченно сходится и что его сумма не-
прерывна всюду, кроме, быть может, точек х = 0 (mod2ji). (Более
общие результаты приведены в гл. 7.)
1.6. Вычислите комплексные коэффициенты Фурье следующих
функций, каждая из которых определена указанной формулой
на [—я, я) и далее продолжена периодически с периодом 2я:
(1) /(*) = *;
(2) /(*) = |sin*|;
(3) f(x) = x при —я<л;<0, f(x)=0 при 0 < х < я.
1.7. Будем называть тригонометрическим полиномом всякую
функцию /, допускающую по крайней мере одно представление
вида
/(*)= 2 спе<™,
\n\<N
где сп—зависящие от f комплексные числа.
(1) Используя соотношения ортогональности, покажите, что
если /—тригонометрический полином, то коэффициенты
л
f со ^ i J / (*> e~inx dx
■зх
обращаются в нуль для всех целых п, кроме конечного числа, и
/(*)= 2;?(n)eto.
nzZ
Покажите также, что для тригонометрического полинома /
я
\- f|/(*)N*=E|f(n)|*.
2л
-зх
(Это равенство представляет собой частный случай равенства Пар-
севаля, которым мы будем заниматься в гл. 8 и в § 10.5; см.
также замечание 6.2.7.)
Тригонометрический полином /, такой что f(n)=*0 при \п\ >#,
называется полиномом степени не выше N.
(2) Проверьте, что множество TN тригонометрических
полиномов степени не выше N образует комплексное линейное
пространство размерности 2N +1 по отношению к поточечным
операциям и что если f£TNi то также Ref£TN и lmf£TN.
3) Покажите, что если f£TN, f¥=0, то / имеет не более 2N
корней (с учетом кратности) на интервале [0, 2я) (рли на любом
интервале, конгруэнтном ему по модулю 2я).

22
ГЛ. 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
1.8. (Лемма Стечкина.) Пусть функция /£7N вещественнозначна,
и пусть
, ^ sup | / (лг) | = М = / (л:0).
Докажите, что
/(х0 + у)>МcosNy при |r/|<Ji/iV.
Указание. Пусть g(y) = f (х0 -\-у)—М cos Ny. Рассуждая от
противного, выберем уь так, чтобы \у0\ < ji/jV и g(y0) < 0.
Предположим, что 0 < yQ < n/N\ в противном случае последующие
рассуждения проведем для интервала [—2я, 0) вместо [0, 2я).
Рассмотрев знаки g в точках kn/N (k = 0, 1, 2, ..., 2N),
установите, что g имеет по меньшей мере 2N + 1 нулей на [0, 2я).
С помощью упражнения 1.7 получите противоречие.
1.9. (Неравенство Бернштейна.) Докажите, что если /6: Тдг,
то || /' ||во ^ N (| / Jo,, (используются обозначения предыдущих
упражнений).
Указание. В силу упражнений 1.7 и 1.10 достаточно доказать
неравенство для вещественнозначных / g Тдг. Если /' (л;0) = т s=
/'Цоо (чего можно добиться, заменив при необходимости / на
— /) и УИ^^Ц/Цос, то упражнение 1.8 дает /' (д;0 + у) ^ т cos Ny
при |#|^я/#. Остается проинтегрировать это неравенство.
Примечания. Известно много других доказательств. Приведенное выше
принадлежит Стечкину и, по-видимому, является самым простым. По поводу
доказательства, основанного на методе интерполяции, см. [Z2, стр. 20]. У
Бернштейна имеются и более общие результаты, относящиеся к целым функциям
экспоненциального типа порядка 1; см [Z2, стр. 414].
См. также [Kz, стр. 17]; Bloom [1, 2]; MR 51 # 1239; 52#6288, 11446;
53 :# 11289; 54 #829.
Неравенство Бернштейна было также обобщено совсем в другом
направлении Приваловым, который показал, что если / = (а', Ь') и J = (a, 6) —два
подынтервала в [—гс, я], причем а < а' < Ь' < 6, то существует числос(/, J),
такое что
sup |/'(х)|<с(/, ./) W. sup |/(*)|
xeI xe J
Г
для любого f € Тдг. Далее, установлено, что для таких же интервалов (но,
возможно, при другом значении константы с(/, J)) выполняется неравенство
(x)\PdxVlp<c(I, J)N.i^\f(x)\PdxV/P
для любого / £ Тдг и любого р, 1^р < оо. Оба неравенства верны также
при / = / = [—я, я] и с(/, /) = 1; в этом случае первое сводится к
неравенству Бернштейна, а второе —к неравенству, принадлежащему Зигмунду.
Подробности см. в [Ва2, стр. 897—898]. См. также [L2, гл. 3].
1.10. Пусть Е — комплексное линейное пространство комплексно-
значных функций на заданном множестве (с поточечными
операциями), так что E = E04-tE0, где Е0 — множество вещественнознач-

Упражнения 23
ных функций из Е. Пусть, далее, / — комплексный линейный
функционал на Е, принимающий вещественные значения на Е0,
и р— полунорма на Е (см. приложение В, п. В.1.2).
Предположим, что р (х) < /? (у) при ху у^Еи\х\^\у\н что | / (х) К
<^р{х) при х£Е0. Докажите, что \1(х)\^р(х) при xgE.
Указание. Пусть x = a-\-ib, где a, b£E0, и пусть / (х)=г (а-Ир),
где г^О, аир вещественны и а2 + Р2=1. Тогда
| / (*) | = г = (а- ф) / (х) = I [(а- ф) (а + ^)];
раскрывая скобки и беря вещественную часть, получаем | / (х) |=*
= / (aa + pfr) ^р(аа + Р^), и т. д.
1.11. Докажите, что если тригонометрический полином / вещест-
веннозначен и неотрицателен, то f=\g\2 для некоторого
тригонометрического полинома g (Фейер и Ф. Рисе).
Указание. Пусть f (х) за 2 cneinx. Разберем сначала слу-
\п\< N
чай, когда /(#)>0 при всех х. Допустим (это не ограничит
общности), что c_N^0, и рассмотрим полином
р (Z) = zN 2 с„г*.
|л|< N
Заметим, что Р (z)=z2NP (z~l) и f{x) = e~iNxP (eix). Проверьте,
что нули Р имеют вид аъ а29 ..., aj~\ а^1, ..., где 0 < \аг\ < 1,
и разложите Р на соответствующие множители.
Замечание. Эта теорема не имеет естественных аналогов для других
групп; см. [R, п. 8.4.5].

ГЛАВА 2
ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
Цель первых двух параграфов этой главы состоит в том, чтобы
показать, как и в какой мере структура топологической группы
множества вещественных чисел R и некоторых его подгрупп
и факторгрупп предопределяет изучение периодических функций
и комплексных экспонент, а также изучение проблемы
разложения в общий тригонометрический ряд, и в частности в ряд
Фурье. В последующих параграфах главы мы начинаем
подробное изучение коэффициентов Фурье.
Для достижения целей, намеченных в §§ 2.1 и 2.2, нам
придется рассмотреть довольно общие топологические группы и
связанные с ними конструкции. Мы надеемся таким путем дать хотя
бы в грубых чертах представление о том, как классическая
теория рядов Фурье увязывается с современными тенденциями в
различных разделах анализа, и подготовить читателя к постижению
того подлинного структурного единства, которое лежит в основе
внешнего сходства. Конечно, не предполагается — да это и не
нужно для понимания последующего изложения,— что читатель
на этом месте должен остановиться и изучить в деталях все, что
касается топологических групп и связанных с ними понятий,
о которых пойдет речь (двойственность, инвариантные интегралы
и т. д.); автор берет на себя смелость считать, что к детальному
изучению обобщений лучше всего обратиться после некоторого
знакомства с частными случаями. С другой стороны, читатель,
как мы надеемся, извлечет пользу из осознания того факта, что
классическая теория является притоком более широкого потока,
и в свое время захочет приложить силы к исследованию
последнего с помощью указаний, содержащихся в этой главе.
2.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При любом разумном истолковании термина «представлять»
(см. гл. 1) любая функция вещественной переменной, которую
мы собираемся глобально представить тригонометрическим рядом,
должна обладать периодом 2л или же приобрести это свойство

2.1. Периодические функции 25
после подходящего исправления на множестве нулевой меры.
Поскольку такое исправление н£ отражается на ряде Фурье
функции, мы можем и будем предполагать, что все наши функции
вещественной переменной имеют период 2я. (Представление в
ограниченной области так называемым «половинным рядом» ни в коей
мере не противоречит этому соглашению.)
2.1.1. Группы R и Т. Множество вещественных чисел R со
сложением в качестве групповой операции и с топологией,
задаваемой обычной метрикой, дает пример абелевой топологической
группы. Это значит, что оно является, во-первых, абелевой
группой и, во-вторых, топологическим пространством и что алгебра
и топология связаны так, что отображение (х, у) —>х — у является
непрерывным отображением из RxR в /?. Если здесь опустить
требование, чтобы группа была абелевой, то получится общее
понятие топологической группы; см. [В, стр. 98 и далее] или
[HR, гл. 2]. В дальнейшем у нас термин «группа» всегда будет
употребляться в значении «локально-компактная группа,
топология которой удовлетворяет хаусдорфовой аксиоме отделимости».
Интересующая нас топологическая группа R локально-компактна,
но не компактна. Мы намерены заняться не столько самой
группой /?, сколько ее факторгруппами.
Нетрудно показать, что замкнутые подгруппы /?, отличные
от {0} и всей R, исчерпываются подгруппами, состоящими из всех
целых кратных некоторого положительного числа (см.
упражнение 2.1). Какую из них выбрать — несущественно; мы выберем ту,
которая образована всеми целыми кратными числами 2я и потому
обозначается 2nZ (через Z обозначается группа целых чисел по
сложению).
Образуем факторгруппу R/2nz^=T и обозначим через р
естественную проекцию R на 7\ которая приписывает каждому x£R
смежный класс x = x + 2tcZ, содержащий х. Группа Т становится
топологической группой, если ее наделить так называемой фактор-
топологией. Конкретнее, под этим имеется в виду, что открытые
множества в Т — это множества вида p(U), где U открыто в R.
В еще более конкретной расшифровке, фактортопология в Т — это
топология, заданная метрикой d(x, у) = inf {\х — у + 2пп\:п 6Z}.
Другой способ истолкования группы Т получается, если отме-
тить, что отображение х—+ exp (ix) является изоморфизмом Т на
группу по умножению комплексных чисел, равных по модулю
единице. При этом изоморфизме описанной выше фактортополо-
гии соответствует топология на единичной окружности,
порожденная обычной метрической топологией комплексной плоскости.
Ввиду этого группа Т часто именуется группой (вращений)
окружности или группой одномерного тора.
Пожалуй, самое существенное различие между R и Т состоит

26
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
в том, что группа Т компактна. Если бы мы попытались
перенести на R излагаемые ниже рассуждения, касающиеся Г, то это
привело бы нас к рассмотрению интегралов Фурье вместо рядов
Фурье; почти все дополнительные трудности, с которыми бы мы
при этом столкнулись, вытекали бы из того факта, что R
некомпактна.
2.1.2. Периодические функции. Если / — периодическая функция
на R (говоря «периодическая», мы всегда имеем в виду «с перио-
дом 2л»), то существует единственная функция / на Т, такая
что / = /ор. (Заметим, что мы никогда не будем иметь дело
с так называемыми «многозначными функциями».) Обратно, каж-
дой функции f на Т соответствует периодическая функция / на /?,
заданная приведенной выше формулой. Более того, при таком
взаимно-однозначном соответствии /<-►/ непрерывным / соответст-
вуют непрерывные /. Фактически это соответствие сохраняет все
структурные свойства, существенные для наших целей, и мы
в дальнейшем будем просить читателя мысленно отождествлять
/ и /.
Можно также с полным основанием рассматривать функции
на группе Т как функции комплексной переменной г = eix,
имеющей единичную абсолютную величину, но мы редко будем
пользоваться таким истолкованием.
2.1.3. Роль групповой структуры. Как мы увидим в § 2.2,
структура топологической группы Т теснейшим образом связана с
изучением и самим возникновением понятия ряда Фурье. В самом
деле, как будет постепенно становиться все яснее, многие из
наиболее фундаментальных аспектов этой теории определяются
почти исключительно тем фактом, что Т является компактной
абелевой группой. Мы также увидим, что сам интеграл Лебега
определяется (с точностью до ненулевого постоянного множителя
пропорциональности) этой топологической групповой структурой.
К указанной главной структуре можно в целях обогащения
и углубления теории добавлять более специальные структуры
и понятия —например понятие ограниченности вариации или
понятие дифференцируемости для функций. В соответствии с
замечаниями, сделанными в п. 2.1.2, мы скажем, что функция / на Г
принадлежит классу С* (т. е. является k раз непрерывно
дифференцируемой либо, при 6=оо, бесконечно дифференцируемой)
или имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда
функция / о р на R обладает соответствующим свойством на
каждом интервале из R длины 2л.

2.2. Сдвиги функций 27
2.2. СДВИГИ ФУНКЦИЙ. ХАРАКТЕРЫ И ЭКСПОНЕНТЫ.
ИНТЕГРАЛ, ИНВАРИАНТНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГА
2.2.1. Сдвиги и характеры. Зададимся вопросом: каковы
основные причины того, что разложение производится по косинусам
и синусам cos'kx и sinXx, или, что то же, по комплексным
экспонентам eikx?
Возможный ответ, связанный с соображениями исторического
характера и одновременно базирующийся на опыте приложений,
состоит в том, что эти функции являются собственными
функциями особенно простого линейного дифференциального
оператора. То, что для непрерывного параметра X мы ограничиваемся
дискретной областью изменения 2rcZ, отражает периодичность
граничных условий.
Существует, однако, другое и более фундаментальное
объяснение, которое основывается лишь на топологической групповой
структуре множеств R и Т. Рассмотрим его.
Простейший и наиболее очевидный способ использовать
групповую структуру при изучении функций состоит в применении
операторов сдвига Та (где а —элемент группы), действующих на
функции по формуле
Taf(x) = f(x — <*)-
Уделяемое оператору Та внимание ретроспективно оправдывается
тем, что большинство линейных операторов, используемых в
гармоническом анализе, оказываются в том или ином смысле
пределами линейных комбинаций операторов сдвига (см., например,
п. 3.1.9 и гл. 16).
Для определенности рассмотрим Та как оператор,
действующий в линейном пространстве C = C(R) или С (Т) непрерывных
комплекснозначных функций на R или на Т соответственно. (Почти
всё, что будет ниже сказано, остается верным при замене С=С (R)
или С(Т) различными другими функциональными пространствами
на R или Т.)
Если /бС, то и Tj£C Каждый оператор Та является на
самом деле автоморфизмом линейного пространства С. К этому
добавим для последующих ссылок соотношения
* q— ' * *■ а + Ь== *- а* 6» ' -в = *■ о > (2.2.1)
где / обозначает тождественный автоморфизм пространства С.
Вообще говоря — и уж, конечно, в частном случае
рассматриваемых здесь групп R и Т,— пространство С является
бесконечномерным, и проблема анализа поведения операторов Та на С
оказывается весьма сложной. Однако элементарная линейная алгебра
(и в еще большей степени теорема о совместном спектральном
разложении в подходящей форме) позволяет надеяться, что дело

28
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
упростится, если удастся редуцировать проблему, найдя линейное
подпространство V пространства С, которое инвариантно в том
смысле, что Ta(V)cz\ для всех элементов а группы. Для
краткости будем называть такое V инвариантным подпространством.
При этом можно надеяться представить С в виде некоторой (быть
может, бесконечной) прямой суммы инвариантных подпространств
Vj, V2, ..., причем подпространства V{ должны быть по
возможности малыми. Операторы Та можно тогда рассмотреть на
каждом V,. отдельно.
На этом пути мы приходим к вопросу о существовании
минимального инвариантного подпространства V в С; при этом
«минимальность» означает, что V не содержит никакого собственного
инвариантного подпространства, отличного от {0}. Очевидно, что
одномерное инвариантное подпространство V (если таковое
существует) заведомо является минимальным и что каждое такое
подпространство V порождено функцией /, которая служит
совместным собственным вектором операторов Та (если такие функции
существуют). Итак, попробуем непосредственно найти такие
функции. (Для неабелевых групп, вообще говоря, может не
существовать никаких одномерных инвариантных подпространств, и нам
пришлось бы довольствоваться нахождением конечномерных
подпространств, которых и в самом деле имеется в избытке в случае
компактных групп; в случае некомпактных неабелевых групп
ситуация значительно усложняется.)
Для данной функции /£С обозначим через Vf наименьшее
инвариантное подпространство, содержащее /, т. е. множество
всех конечных линейных комбинаций сдвигов TJ функции /.
Мы ищем такие функции /, что dim V^= 1. Ясно, что f =^=0 и что
каждому групповому элементу а соответствует комплексное число
х!—а)> такое что
Т J = X (- a) f.
Это значит, что
f(x-a) = i(—a)f(x) (2.2.2)
для всех пар (а, х). Если л; = 0, то /'(—а) = /(0) х(— а); это,
в частности, показывает, что % непрерывна и что %Ф0. Далее
(2.2.1) и (2.2.2) приводят к функциональному уравнению
%(a+b) = x(a)%(b). (2.2.3)
Будем называть всякую комплекснозначную функцию %¥=09
удовлетворяющую уравнению (2.2.3), характером рассматриваемой
группы. Сразу видно, что % не обращается в нуль, yv (0) = 1
и ^(—a) = ^(a)-i Мы будем иметь дело лишь с непрерывными
характерами. Если характер х ограничен, то, как следует из
(2.2.3), [х(а)|=1 для всех групповых элементов а, так что х

2.2. Сдвиги функций 29
определяет гомоморфизм нашей группы в мультипликативную
группу комплексных чисел, по модулю равных 1.
Возвращаясь к (2.2.2), мы можем сказать, что фигурирующая
там функция х является непрерывным характером. Более того,
поскольку из (2.2.2) вытекает, что / (— a) = %(—a)f (0) для всех а,
то c = f(0) отлично от нуля и f = c% является, таким образом,
ненулевым скалярным кратным характера %.
Найдем теперь явный вид всех непрерывных характеров
групп R и Т. По поводу характеров, которые не предполагаются
непрерывными, см. упражнение 3.19.
Пусть х является непрерывным характером группы R.
Проинтегрировав соотношение (2.2.3) по параметру b на интервале (0, Л),
получим
h h
lv(a + b)db = yAa).lx(b)db.
о о
Поскольку х непрерывен и х (0)= 1, мы можем выбрать и
зафиксировать такое Л, чтобы множитель
н
l%(b)db
0
был отличен от нуля. Далее,
l%(a + b)db= J X(c)dc.
о
Снова воспользовавшись непрерывностью х, заключаем, что
последнее выражение является дифференцируемой функцией от а. Отсюда
следует, что характер % дифференцируем. Зная это, получаем
из (2.2.3)
х< {а) в иш -*<«+Ц-*(«)д lim *<»>7Х(0) • X (а),
так что х удовлетворяет дифференциальному уравнению
Х' = '*Х. (2.2.4)
где k = — *х'(0). Единственным решением уравнения (2.2.4),
принимающим значение 1 в нуле, служит
X (х) = eikx. (2.2.5)
Очевидно, что, каково бы ни было комплексное число k, (2.2.5)
определяет непрерывный характер группы R. Этот характер
ограничен тогда и только тогда, когда k вещественно.
Чтобы найти непрерывные характеры группы Г, нужно просто

30
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
добавить требование, чтобы функция % имела период 2я. Это
означает, что k g Z.
Итак, приходим к следующим выводам.
(1) Непрерывные (и потому заведомо ограниченные) характеры
группы Т находятся во взаимно-однозначном соответствии с Z,
причем характером, соответствующим числу п g Z, является функция
en(x) = einx. (2.2.6)
Числу п = 0 соответствует характер е0, равный тождественно 1;
его обычно называют главным характером.
(2) Одномерные инвариантные подпространства в С (Г)
исчерпываются подпространствами \п = {'кеп,Л — константа}, где п
пробегает Z.
(3) Задача гармонического анализа по отношению к С (Г)
(и аналогично по отношению к другим функциональным
пространствам) может быть несколько грубо, но понятно описана
как задача представления С (Г) в виде прямой суммы в том или
ином смысле подпространств Vn(n£Z). Эта задача распадается
на две части:
(a) Для заданной функции / g С (Т) требуется определить
соответствующие «компоненты» /, лежащие в различных
подпространствах V„. Это собственно и есть проблема гармонического (или
спектрального) анализа в строгом смысле слова, и она довольно
проста, по крайней мере в случае компактных абелевых групп.
Указанными компонентами будут функции f(n)enJ где
Как выяснится в гл. И, компонента f{n)en отлична от нуля
тогда и только тогда, когда Vnf\\/ =£ {0}у где V —замкнутое
инвариантное подпространство, порожденное функцией /.
(b) Изучение формулы
f~ -2j f(n) еп,
по которой мы надеемся восстановить /, зная ее гармонические
компоненты. Эта задача может быть описана как проблема
гармонического (или спектрального) синтеза для /. Она
представляет собой намного более трудную часть программы и, конечно,
включает в себя вопрос о представлении / тригонометрическим
рядом. Следует подчеркнуть, что на самом деле такое
представление рядом в С, вообще говоря, невозможно, если требовать
поточечную сходимость. Исследование того, в каком именно смысле
реализуется синтез (а этот смысл будет меняться при переходе
от одного функционального пространства к другому), составляет
существенную часть стоящей перед нами задачи; см. замечания,
сделанные в п. 10.3.6 и § 16.8.

2.2. Сдвиги функций 31
В связи с пунктом (1) интересно отметить, что групповая структура Z
соответствует при использовании Z для нумерации характеров еп поточечному
перемножению характеров. Далее, в качестве соответствующей «двойственной
топологии» на Z выступает такая, для которой соотношение п —* п0 означает,
что
еп (*) —* *по (*)
равномерно по х(£Т, и такой топологией оказывается как раз дискретная
топология на Z (топология, у которой база окрестностей точки OgZ состоит
из одного множества {0}). Это отражает общую картину: ограниченные
непрерывные характеры любой заданной группы сами образуют группу относительно
поточечного перемножения, называемую двойственной группой или группой
характеров, и в этой группе можно так ввести топологию, что (выражаясь
неформально) последовательность или направленность (сеть) (%/) характеров
сходится к характеру % тогда и только тогда, когда lim yj (х) = %(х) равно-
i
мерно по х£К для каждого компактного подмножества К исходной группы.
Всё сказанное до сих пор является в основном прямым следствием
определений или простых наблюдений. Интересный и уже совсем не тривиальный факт
состоит в том, что в оправдание термина «двойственность» группа характеров
группы характеров оказывается совпадающей (с точностью до изоморфизма)
с исходной группой. Эта двойственность является глубоким и
фундаментальным фактом общего гармонического анализа, но развитие этих идей в сколько-
нибудь общей форме увело бы нас далеко в сторону. Достаточно будет
упомянуть, что локально-компактные абелевы группы образуют взаимно
двойственные пары — такие как (R, R) и (7\ Z),—в которых каждый член пары
изоморфен двойственной группе другого члена; в этом состоит так называемый
закон двойственности Понтрягина, подробнее о котором см. [В, гл. 11] и
[HR, гл. 6]. Нас будет прежде всего занимать гармонический анализ на
группе 7\ но время от времени мы будем бросать беглый взгляд и на двойственные
проблемы, касающиеся гармонического анализа на группе Z, которую мы всегда
будем считать наделённой дискретной топологией. Читателю мы предлагаем
в дальнейшем постоянно обдумывать возможные аналоги для Z тех
результатов, которые будут в тексте устанавливаться для Т. Для начала он может
проверить, что в согласии с законом двойственности Понтрягина группу
характеров для Z можно отождествить с Т, используя формулу (2.2.6); это
значит, что каждому ограниченному (с необходимостью непрерывному)
характеру £ группы Z соответствует ровно одно х£Т, такое что t)(ri) = en(x) при
n£Z, причем первоначальная топология на группе Т совпадает с ее
двойственной топологией, определяемой соответствием *<->£* (см. упражнение 2.3).
Изучение гармонического анализа на каждой из групп Т hZ, проводимое
совместно, служит полезйым введением в общий гармонический анализ. Это
отчасти объясняется тем, что такое изучение иллюстрирует по отдельности
некоторые из трудностей, которые сразу вместе возникают, когда мы
переходим к гармоническому анализу на общих группах. Фактически следующая
ступень сложности представлена группой R (аддитивной группой вещественных
чисел с ее обычной топологией). В лице Г, R и Z мы имеем, так сказать,
естественные строительные кирпичи, с помощью которых могут быть построены
весьма общие локально-компактные абелевы группы. Известно, например, что
любая такая группа, если она является компактно-порожденной, изоморфна
произведению RaxZbXF, гдеаиб — некоторые неотрицательные целые числа,
a F— компактная абелева группа (см. [HR, теор. (9.8)]); более того, F
изоморфна замкнутой подгруппе некоторого, быть может, бесконечного
произведения экземпляров группы Т\ сверх того существует сколь угодно малая
замкнутая подгруппа Н в F, такая что факторгруппа F/H изоморфна TcxF0,
где с — неотрицательное целое число, a F0 — конечная группа (см. [HR, теор.
(24.7)]). Эти факты приведены здесь лишь для того, чтобы читатель смог со-

32
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬБ
ставить некоторое представление о том, как ограниченная программа,
избранная нами в данной книге, укладывается в общую схему гармонического
анализа; они нигде в этой книге использоваться не будут.
Читателю было бы сесьма полезно внимательно изучить обзорную статью
Weiss [1], где рассмотрены как классические, так и современные аспекты
теории.
Оставляя на время эту тему, заметим, что в гл. 11 развитая
к тому моменту теория рядов Фурье будет использована для
классификации всех замкнутых инвариантных подпространств
в С(Т) (и в некоторых других функциональных пространствах).
Эта теория покажет также, в каком смысле С(Т) (и другие
функциональные пространства) могут быть разложены в прямую
сумму одномерных (и, значит, минимальных) инвариантных
подпространств.
2.2.2. Инвариантный интеграл. Давайте ненадолго расширим
рамки наших исследований и рассмотрим произвольную локально-
компактную топологическую группу G (см. п. 2.1.1); не будем
пока предполагать, что G абелева. Из-за этого нам надо
позаботиться уточнить, что мы будем иметь дело с операторами левого
сдвига Та, определяемыми соотношением TJ (х) = f (— а + х).
Если G абелева, это определение согласуется с определением,
введенным в п. 2.2.1. В общем случае нам следует отличать эти
операторы Та от операторов правого сдвига / (х) —* / (х — а).
Обозначим через CC(G) линейное пространство комплексно-
значных непрерывных функций / на G, каждая из которых
обращается в нуль вне некоторого зависящего от f компактного
подмножества в G. Очевидно, что С^. (G) является линейным
подпространством пространства C(G). Если G компактна (например,
если G = R/2nZ)y то CC(G) и C(G) совпадают.
Принципиальным фактом, лежащим в основе всего общего
гармонического анализа, является существование линейного
функционала / на CC(G), который
(1) положителен в том смысле, что / (/) > 0 для каждой
ненулевой неотрицательной вещественной функции / на Сс (G);
(2) лево-инвариантен (инвариантен относительно левых сдвигов)
в том смысле, что
/ (TJ) = / (/)
для всех / £ Сс (G) и всех a g G.
При этом с точностью до постоянного положительного
множителя такой функционал единствен. Всякий такой функционал /
называется лево-инвариантным (или лево-хааровским) интегралом
на G. (Аналогичные факты справедливы и для право-хааровского
интеграла.)
Известно, что лево-инвариантный интеграл всегда можно
продолжить на более общие функции таким образом, чтобы сохра-

2.2. Сдвиги функций 33
нились основные полезные свойства интеграла Лебега,
построенного для функций одной вещественной переменной Подробное
описание такого продолжения можно найти, например, в любой
из следующих книг: [HR, гл. Зи 4]; [HS, гл, 3]; [В, гл. 8—10];
[Е, гл. 4] Однако для понимания данной книги вполне
достаточно знать результаты, касающиеся такого продолжения, лишь
для случая функций одной вещественной переменной, причем
неважно, какой из возможных различных подходов к построению
интеграла Лебега был положен в основу. Подробнее о нужных
нам сведениях будет сказано в п. 2.2.4.
Выбор CC(G) вместо C(G) в качестве исходной области
определения для / объясняется следующим. Сразу видно, что ни для
какой некомпактной группы G не может существовать
инвариантного интеграла /, значение которого было бы конечным для
всех неотрицательных вещественных функций /gC(G) (или даже
для всех неотрицательных вещественных /gC(G), стремящихся
к нулю на бесконечности). Другими словами, «интегрируемость»
функции требует весьма серьезных ограничений на «среднюю
малость» функций на бесконечности. Одним из простейших и, как
оказывается, вполне эффективных таких априорных ограничений
на / является требование, чтобы / обращалась в нуль вне
некоторого компактного подмножества группы G. (Но, конечно же,
это условие не является необходимым для интегрируемости.)
Не будет преувеличением сказать, что современный
гармонический анализ на группах своим возникновением обязан
открытию Хааром в 1933 г. существования лево-инвариантного
интеграла для любой локально-компактной группы G,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности. Последующее развитие,
включающее снятие всех ограничений на G, касающихся счетности,
связано с именами А. Вейля, Какутани, А. Картана, фон Неймана
и многих других Читателю, интересующемуся историей вопроса,
рекомендуем заметку Bredon[l]. См. также MR 39 #7066.
При рассмотрении некоторых известных групп старые
знакомые показываются в новом свете. Например, в случае G^Rnt
как следует из характеристических свойств (1) и (2),
инвариантным интегралом является
/ if) = \ • • • ) f (*i, • • •, хп) йхг ... dxn
— лебегов (или риманов) интеграл, взятый по гиперкубу, вне
которого / обращается в нуль.
Если же G = R/2nZy то инвариантным интегралом является
f(f) = -^)fop(x)dx (2.2.7)
— лебегов (или риманов) интеграл, взятый по любому интервалу
из R длины 2д. Здесь мы выбрали множитель пропорциональ-
Р Эдварде, т. I

34
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
ности так, чтобы /(1)=1 (такой выбор возможен для
компактных групп и только для них).
Единственность (с точностью до множителя) инвариантного
интеграла в случае группы окружности Т (и аналогично в
случае Rn) можно установить вполне простыми, «земными»
рассуждениями, а именно так. Функции на Т будем истолковывать как
периодические функции на R (см. п. 2.1.2) Прежде всего
заметим, что любой инвариантный интеграл / удовлетворяет
соотношению
|/(/)!</(!)-sup |/|; (2.2.8)
это следует из свойства (1) и линейности /. Далее, если /
непрерывно дифференцируема, то равномерно
Hm Tdzd = —f'm
Комбинируя (2.2.8) и свойства (2), получаем отсюда, что/(/') =0
для любой непрерывно дифференцируемой /. Если теперь g—
непрерывная периодическая функция, для которой
2л
J g(x)dx = 0,
о
то £ = /', где
f(x)-\g(0dt
о
— непрерывно дифференцируемая периодическая функция.
Следовательно, / (g) = 0 для таких g. Наконец, выберем
произвольную неотрицательную непрерывную периодическую функцию ft0,
такую что
2л
J h0(x) dx= 1,
о
При любой заданной непрерывной периодической функции h
применим приведенное выше рассуждение к функции g, заданной
равенством
2л
g (я) = /г (х) — ft0 (х, j h (t) dt\
о
ясно, что она является непрерывной и периодической, причем
2 Л
^ g (х) dx = 0.
о

2.2. Сдвиги функций 35
В результате приходим к заключению, что /(g-) = 0, а это как
раз и означает, что
2я
f(h) = / (А0) • J ft (jc) d*.
о
т. е. / отличается от выражения в правой части равенства (2.2.7)
постоянным множителем 2л/ (/г0) > 0. Тем самым установлена
единственность (с точностью до множителя) инвариантного
интеграла на Т.
С помощью этого свойства единственности нетрудно вывести
другие свойства инвариантности рассматриваемого интеграла.
Элементарные свойства интеграла Римана показывают, что если
/ — непрерывная периодическая функция на R и k£Z, k=£0, то
2л 2л
^j / (Л*) dx =-5J-J /(*)dx. (2.2.9)
о " о
Это равенство легко установить, используя отождествление,
даваемое соотношением (2.2.7), и свойство единственности
инвариантного интеграла. Заметим, что мы можем заменить Т любой
компактной группой G, а отображение х—> kx — любым
непрерывным групповым гомоморфизмом t группы G на себя. Пусть
/— инвариантный интеграл на G, нормированный так, что /(1)= 1.
Докажем, что
l(№) = l(f) (2.2.10)
для всех непрерывных функций / на G. Равенство (2.2.9) будет
следовать отсюда в качестве частного случая. Действительно,
поскольку k£l и £=7^=0, то отображение t:x—> (kx)' является
непрерывным гомоморфизмом Т на себя.
Для доказательства (2.2.10) рассмотрим новый функционал /',
определяемый равенством
/'(/) =/(М- (2.2.11)
Это определение корректно, потому что в силу непрерывности t
функция jot непрерывна, если непрерывна /. Поскольку t
отображает G на G, то ясно, что /' обладает свойством (1)
инвариантного интеграла. Поскольку, далее, ввиду того факта, что
^—групповой гомоморфизм, верны равенства
Ta(fot)(x)^fot(x-a)=f[t(x-a)\ = f[t(x)-t(a)]
= Ttmf[t(x)] = (Tt(J)ot(x),
то Ta(fot) = (Т ((a)f)ot. Снова воспользуемся тем, что /отображает
G на G; тогда из инвариантности / относительно сдвигов еле-
дует, что /' также инвариантен относительно сдвигов. Поэтому
2*

36
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
в силу единственности интеграла найдется число с, такое что
/'(/) = с/(/) для всех непрерывных функций /. Выбирая /=1,
получаем из (2.2.11), что /' (1) = / (1о/) = / (1) = 1. Значит, с=1
и /' совпадает с /. Тем самым (2.2.10) доказано.
Двойственная ситуация. Давайте ненадолго переключим
внимание с группы Т на двойственную ей группу Z. Не составляет
особого труда догадаться, что представляет собой инвариантный
интеграл на Z; с точностью до постоянного множителя он должен
выражаться суммой
/(Ф)= 2 Ф(и) (2.2.7*)
по крайней мере для тех функций ф на Z, носитель которых
{п ^ Z:cp (п) Ф 0} конечен. (Компактные подмножества дискретного
пространства вроде Z — это как раз его конечные подмножества.)
Однако линейное пространство функций ф на Z с конечным
носителем слишком бедно, чтобы дать по-настоящему
эффективную операцию, и поэтому желательно продолжить инвариантный
интеграл на другие функции. Никаких трудностей при этом
не возникает для функций ф, у которых ряд в (2.2.7*) абсолютно
сходится: получается пространство, которое обычно обозначается
через I1 (Z) и представляет собой точный аналог для группы Z
пространства L1 интегрируемых по Лебегу функций на Т.
Чтобы продвинуться еще дальше, нужно принять
какое-нибудь соглашение об истолковании правой части в (2.2.7*).
Например, можно рассмотреть условную сходимость ряда, которая
по определению будет всегда означать существование конечного
предела у последовательности симметричных частичных сумм
2 ф(л)
\п\ < N
при N—юо. Еще более общая интерпретация, которая в
дальнейшем будет играть важную роль, состоит в том, чтобы
понимать правую часть (2.2.7*) как предел (если он существует) при
д/-—у оо арифметических средних первых N + 1 симметричных
частичных сумм. Эти арифметические средние представимы в виде
L (1-д)Й)ф(»).
\п\ < N
и этот процесс обобщенного суммирования ряда (2.2.7*) известен
как суммирование с помощью чезаровских средних первого порядка.
Применительно к рядам Фурье этот метод будет достаточно
подробно изучен в гл. 5 и 6. Известны и другие весьма полезные
и эффективные методы суммирования, но мы не будем сколько-
нибудь подробно рассматривать их в этой книге (см. § 6.6).

2.2. Сдвиги функций 37
2.2.3. Соотношение ортогональности. Здесь интересно заметить,
что соотношения ортогональности (1.1.3), которые, как мы видели,
лежат в основе построения рядов Фурье, непосредственно
следуют из определяющих свойств инвариантного интеграла.
Пусть G—произвольная компактная топологическая группа
и /—лево-инвариантный интеграл на G, для которого /(1)=.-1.
Рассмотрим какой-либо отличный от главного непрерывный
(и, значит, ограниченный) характер % группы G и выберем какое-
нибудь я£(/, такое что %(—а)ф\. Тогда в силу (2.2.3) и
свойства (2) из п. 2.2.2
/ (X) = ' (Та%) = / [X (- а) • X] = X (- а) • / (X).
откуда следует, что /(%) = 0. Применяя это равенство к
произведению х^УгХг двух непрерывных характеров %t и %2,
получаем соотношения ортогональности
' (№=<! !• еСЛИ Xl = 7w2' (2 2.12)
414 | 0 в остальных случаях.
Ввиду (2.2.6) и (2.2.7) эти соотношения при G = T сводятся
к соотношениям (1.1.3), которые теперь предстают в их
подлинной зависимости от групповой структуры Т.
Есть и другие соотношения ортогональности, связанные с
неприводимыми унитарными представлениями компактных
топологических групп, которые сводятся к (2.2.12) в случае одномерных
представлений (см. п. 2.2.1); обсуждение этих вопросов увело
бы нас далеко в сторону, к тому же они никак не связаны
с нашей основной тематикой.
Двойственные соотношения ортогональности. Ввиду (2.2.7*) любые
возможные соотношения ортогональности для дискретной группы Z должны
выражаться в такой форме:
2 efnx-e!w=\ или О
a ez
в зависимости от того, совпадают или нет по модулю 2гс вещественные числа
х и у. Однако невозможно придать этому соотношению смысл с помощью
применения какого-либо метода суммирования к ряду в левой части при
индивидуальных значениях хну. Тем не менее, используя понятия, которые будут
введены в гл. 12, можно утверждать, что при фиксированном у этот ряд
сходится в смысле обобщенных функций к определенной обобщенной функции,
известной как мера Дирака, сосредоточенная в точке у. Эта мера в некотором
смысле обращается в нуль на открытом множестве точек лг, не равных у по
модулю 2л, но нет разумного способа приписать ей численное значение
в точках х, совпадающих с у по модулю 2л.
Таким образом, имеется неустранимая асимметрия, разделяющая наши
Две взаимно двойственные ситуации; это можно объяснить глубокими
топологическими различиями между «гладкой» компактной группой Т и дискретной
некомпактной группой Z.

38
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
2.2.4. Lp и другие функциональные пространства. В п. 2.2.3
было отмечено, что инвариантный интеграл всегда можно
распространить на функции, более общие, чем принадлежащие классу
CC(G). В случае G=Ty когда инвариантный интеграл может
быть определен равенством (2.2.7), его продолжение состоит в
переходе от риманова к лебегову интегралу; для случая
двойственной группы Z мы уже указали в конце 2.2.2 несколько этапов
такого продолжения. С тем чтсбы облегчить построение фурье-
теории и сделать ее более плодотворной, весьма важно
воспользоваться преимуществами, которые дает такое продолжение
интеграла. Выражаясь несколько фигурально, можно сказать,
что лебегова теория интегрирования необходима и достаточна
для большей части современного анализа; почти все теории
интегрирования для функций на более общих множествах и
пространствах делят общие характеристические свойства с лебеговой
теорией. Однако в некоторых специальных случаях, касающихся
функций вещественной переменной, оказались полезными более
сложные теории. У нас не будет ни места, ни повода для
рассмотрения этих теорий, лишь в п. 12.8.2(3) некоторые из них
будут бегло упомянуты. (Другие же, исходящие в основном из
трактовки интегрирования как операции, обратной
дифференцированию, вообще не будут упомянуты в данной книге.)
Итак, мы будем предполагать, что читатель знаком с
определением и основными свойствами интеграла Лебега для функций
одной вещественной переменной. За небольшими исключениями,
часть которых обсуждается в приложении С, все нужные нам
результаты можно найти в [Wp\ Необходимые дополнительные
сведения читатель может почерпнуть в [HS], [АВ], [Е. гл. 4]
или любом из многих других хороших учебников по теории
интегрирования, изданных за последнее время. При
использовании содержащихся в этих источниках результатов, касающихся
интеграла Лебега для функций одной вещественной переменной,
надо помнить, что функция / на Т измерима (или интегрируема),
если соответствующая периодическая функция fop измерима
по Лебегу (или интегрируема) на некотором —а значит и на
любом—интервале длины 2л.
Имея это в виду, мы в дальнейшем не будем делать
различия между обозначениями / и /ор, другими словами, не будем
различать периодическую функцию на R и соответствующею
функцию на группе вращений окружности.
Введем ради удобства некоторые обозначения для
функциональных пространств, с которыми мы постоянно будем
встречаться на последующих страницах.
х) Или в книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории
функций и функционального анализа» (М.: Наука, 1976).— Прим, ред9

2.2. Сдвиги функций 39
Если к— целое, &^0, то через С* = С*(Т) будет обозначаться
множество комплекснозначных функций с периодом 2д и с k
непрерывными производными; далее, С00 = С* (Г) = fj {Cft: & =
= 1, 2, ...}. Для краткости вместо С0 будем писать С.
Для любого вещественного /? > 0 обозначим через L/=1/(71)
множество периодических комплекснозначных измеримых функций
/, таких, что величина
ш,=
конечна; здесь интеграл берется по любому интервалу длины 2я;
ср. с [№, стр. 68], [АВ, стр. 215] или [HS, стр. 188]. Кроме
того, 1^==1-.00 (Г) будет обозначать множество
существенно-ограниченных периодических комплекснозначных измеримых
функций /, для которых конечна, величина
I/I. = esssup|/(x)|, (2.2.14)
где существенная верхняя грань берется по х, пробегающим
любой интервал длины 2я.
Мы часто будем, когда нужна будет полная аккуратность,
понимать под I/ (0 < р^ оо) множество соответствующих классов
эквивалентности, причем две функции попадают в один и тот
же класс тогда и только тогда, когда они совпадают почти
всюду (п. в.). Так как мы не всегда будем оговаривать, какая
именно из точек зрения принята в том или ином случае, читатель
должен проявлять бдительность и уделять внимание выбору
подходящей к каждому случаю интерпретации. Ряд Фурье функции
зависит только от класса, определяемого данной функцией.
Каждое из пространств Ck (k — целое неотрицательное или оо)
и I/ (0 < р ^ оо) является линейным пространством; ввиду
предыдущих замечаний читателю предлагается проверить, что это
верно и тогда, когда I/ рассматривается как множество классов
эквивалентности.
Для l^p^oo величина || • \\р является нормой bLp,
рассматриваемом как множество классов эквивалентности (но лишь
полунормой в L/> понимаемом как множество индивидуальных
функций); см. п. В. 1.2 для справок по терминологии. Это
утверждение по существу составляет содержание неравенства Минков-
ского, которое утверждает, что f + g € I/ и
и + вКШр + Ш, (2.2.15)
при l^p^oo и /, gel/. Доказательство неравенства Минков-
ского см. в любой из следующих книг: [W, стр. 68], [HLP, стр. 176],
Iе. § 4.11], [АВ, стр. 218], [HS, стр. 191-192]. При 0 < р < 1
это утверждение уже неверно (см., например, [HLP, стр. 178]),
1
2л
jl/WI
Pdx
i/p
(2.2.13)

40
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
но в этом случае верно, что lf — g% является метрикой в Lp как
в множестве классов эквивалентности (или полуметрйкой, если
Lp рассматривается как множество индивидуальных функций).
Для 0 < р ^ оо пространство Lp полно относительно метрики
I! / ~ g lp ПРИ Р ^ 1 и относительно метрики \\f-g ||£ при 0 < р < 1;
первый случай рассмотрен, скажем, в [W, теор. 4.5 а], и те же
рассуждения легко переносятся на случай 0</?<1; либо же
см. [HS, стр. 1921 или [АВ, стр. 220].
Наконец, в пространстве С* (k— целое ^0) введем норму
|i/|U= sup ID*fU, (2.2.16)
где D здесь и далее обозначает оператор дифференцирования.
В С00 введем метрику ||/ — g||(0D), где
00
2~*II/lb,
Щ.,-1.Ъ№- (2.2.17)
Несмотря на обозначение, величина ||/||(<») не является нормой.
Пространства С* полны относительно метрики \\f — g\\(k) при любом
&^0, 1, 2, ..., оо (читателю предлагается доказать это).
Каждое из этих пространств со своей метрической топологией
является топологическим линейным пространством (см. п. В. 1.1),
т. е. (ср. с п. 2.1.1, где шла речь о топологических группах)
операции линейного пространства (/, g)—*f — g и (К, /)—>^-/
(^—комплексное число) непрерывны. Более подробные сведения
о О будут приведены в § 12.1.
Мы часто будем пользоваться одним или несколькими звеньями
из цепочки включений
Сдас,..сСй+1сРс...сС0 = Сс1дас1/сМ, (2.2.18)
где k — целое ^0 и оо>/?>^>0. Более того, каждое
включение здесь является непрерывным отображением. В этом
последнем утверждении нетривиальна лишь часть, опирающаяся на
неравенство
II/II, < II Л!« , 0<9<р<оо. (2.2.19)
Оценка (2.2.19) является следствием неравенства Гёльдера,
утверждающего, что если 1 < р < оо и р' обозначает сопряженный
показатель (или индекс), определяемый равенством l/p+l/p' = I
(при дополнительном соглашении считать /?' = оо при /7=-1 и
р'=1 при /7=Оо), ТО f'g^L1 и
tif'g?h<UlP-\\gl> (2.2.20)
для всех f£LP и g £ Lp' .^Доказательство неравенства Гёльдера
можно найти в [Ка, стр. 72—73]; сделанные там предположения
относительно непрерывности / и g не являются существенными;
см. также |Е, § 4.11], [HS, стр. 190-191], [АВ, стр. 217].

2.2. Сдвиги функций 41
Обстоятельное обсуждение неравенств Минковского и Гёльдера
предпринято в гл. 6 книги [HLPJ, но нам эти сведения не
понадобятся.
Каждое из пространств \J> (О < р ^ оо) и С* (k = 0, 1, 2, ..., оо)
инвариантно относительно сдвигов, и этим же свойством обладают
соответствующие метрики и нормы. Если Е обозначает любое
из этих топологических линейных пространств, кроме L00, и если
/gE, то a—+TJ является непрерывным отображением из R
(или Rl2nZ) в Е. (Для случая E^L1 доказательство содержится
в [W, стр. 67]; это доказательство легко переносится на случай
Е-—L^ при любом 0</?<оо. В остальных возможных случаях
результат почти очевиден в силу хорошо известного результата,
состоящего в том, что непрерывная комплекснозначная функция
на компактном метрическом пространстве равномерно непрерывна.
По поводу исключенного случая р = оо см. упражнение 3.5.)
Во всех случаях без исключения отображение /—► TJ при любом
фиксированном a£R является непрерывным эндоморфизмом Е;
более того,
\\Taf\\P = ||/|я
при f£LPt 0<р^оо, а также
при /gC*, 6 = 0, 1, 2, ..., оо.
Сходимость в смысле метрики Lp (0</?^оо) будет
именоваться сходимостью в Lp или сходимостью в среднем с показателем
(индексом) р. Отметим, что сходимость в С в смысле нормы И»!»
эквивалентна равномерной сходимости.
2.2.5. Двойственные понятия. Ввиду (2.2.7*) для группы Z
естественным аналогом введенных выше пространств I/ служат
пространства lp = lp (Z) комплекснозначных функций ф на Z,
таких что величина
1ф1„-{2 М")]Ч1/р1фи0<Р<оо
или
||qi»=sup |s (я)| при /?=оо
конечна.
Кроме того, мы иногда будем использовать подпространство
c0 = c0(Z) пространства /х (Z), образованное теми ф, для которых
lim ф (п) = 0.
Каждое из пространств Ip (1^/?<Соо) и с0 является банаховым
пространством; при 0 < р < 1 пространство 1р является полным
метрическим пространством.

42
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
Вместо (2.2.18) и (2.2.19) здесь имеют место соотношения
/«с/яссос/*, (2.2.18*)
|]ф|и<||ф||я<Цф||, (2.2.19*)
при 0 < q < р < оо. (Заметим, что из |j ф \q < 1 следует |ф(п)|<1
при всех ngZ, откуда К (л) |^^|ф(л)|* при всех n£Z и,
значит, SKI/?<2I(pI'<1-)
Неравенства Гёльдера и Минковского имеют в
рассматриваемой двойственной ситуации тот же вид, с очевидной заменой
интегралов соответствующими суммами. Доказательство для
случая конечных сумм имеется, например, в [Ка, стр. 67 — 72].
В нашем случае бесконечных сумм результат получается с
помощью очевидных предельных переходов; см. [HS, стр 194].
Намного более подробное изложение данной темы содержится
в гл. 2 книги [HLP].
Что касается обозначений, мы иногда будем записывать
функцию ф на Z в виде последовательности (<pn)nez\ это иногда
удобнее и во всяком случае соответствует традиции. При этом, однако,
имеется возможность путаницы из-за того, что (ц>п)п&г может
также обозначать бесконечную в обе стороны последовательность
функций на Z. Контекст всегда поможет устранить возможные
сомнения.
2.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ И ИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
За исключением случаев, когда будут обсуждаться некоторые
конкретные примеры, мы систематически будем пользоваться так
называемыми «комплексными» коэффициентами Фурье. В самом
деле, содержание §§ 2.1 и 2.2 явно свидетельствует, что
экспоненты einx играют намного более важную роль, чем их
вещественная и мнимая части по отдельности. Лишь начиная с гл. 12
у нас появятся коэффициенты Фурье и ряды Фурье от объектов,
более общих, чем интегрируемые функции.
Для /gL1 мы будем систематически использовать для
(комплексных) коэффициентов Фурье от / обозначение
f^ = Ы I f М e~inx dx ПРИ всех п € 2. (2.3.1)
Интеграл в (2.3.1) берется по любому интервалу длины 2я.
Символ f тем самым обозначает функцию n—+f(n), определенную
на Z; на нее можно смотреть как на бесконечную в обе стороны
последовательность. В этом параграфе мы установим некоторые
из простейших свойств преобразования Фурье /-->/. Чтобы
избежать смешения с рядами Фурье от мер и от обобщенных функ-

2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства 43
ций, которые будут введены в гл. 12, мы будем именовать ряды
вида 2 f(n)eirix при /6L1 рядами Фурье—Лебега.
nil
Читатель может проверить, что (2.3.1), вообще говоря, не
имеет смысла для /gL^ при 0 < р < 1. Мы нигде не будем
подробно останавливаться на возможности обобщений на случай
таких функций, хотя с помощью методов гл. 12 можно дать один
способ обобщения на некоторые неинтегрируемые функции; см.
пример в п. 12.5.8.
Прежде чем приступить к изложению элементарных свойств
преобразования Фурье, введем следующие обозначения.
Символ D будет обозначать дифференцирование, как оно
понимается в случае вещественной переменной. Пока мы не дойдем
до гл. 12, у нас не будет случая применять D к каким-либо
функциям, отличным от абсолютно непрерывных; новый смысл,
который мы придадим D в гл. 12, будет для абсолютно
непрерывных функций совпадать с обычным. Для любой комплексно-
значной функции / через / обозначается комплексно-сопряженная
функция. Для любой функции /, определенной на какой-либо
группе (в частности, на /?, Т или Z), обозначим через / функцию
t—► /( — /), а через /* функцию t —*/( — /); таким образом,
/* = ф~ = (/)^. Отображения D и /—►/ линейны, а /—>/ и
/—►/* сопряженно-линейны.
2.3.1. Отображение /—► / линейно. Кроме того, (/)" = (/)* и
(/г=(/)--
Доказательство. Первое утверждение очевидно, поскольку
операция интегрирования линейна относительно
подынтегрального выражения. Из двух оставшихся утверждений достаточно
провести доказательство первого. Имеем
при всех ngZ.
Примечание. В пп. 3.1.1 и 4.1.2 будут сделаны некоторые
важные дополнения к первому утверждению п. 2.3.1.
2.3.2. Для любых / g L1 и п £ Z выполняется неравенство
1/(и) КШх.
Доказательство. Имеем (см. [W, теор. 3.4с])
Примечание. Если положить Ц/|]«, = sup {| / (п) |: п £ Z}, то

44 ГЯ- 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
утверждение 2.3.2 эквивалентно неравенству ||/[|* ^|J/||i- Эта
оценка, хоть и тривиальна, не улучшаема, так как /(0) = 11/(^ для
вещественных и неотрицательных /. С другой стороны, для общих
вещественно- или комплекснозначных функций / связь между
iJl^ и \\1\\г оказывается довольно сложной; см. упражнение 8.8
и пп. 11.3.1 и 11.4.14. В частности, существуют функции /6L1,
для которых [|/||i>0, а отношение ||/|<»/||/||i сколь угодно мало:
Множество примеров такого рода можно построить, используя
результаты гл. 15. Более простой пример получается с помощью
так называемого ядра Дирихле
D»W- I *'"- "'1+Jf :
\п /< N
если / = 0/^, то |)/[Joo = 1 и, однако, (как мы увидим в п. 5.1.1)
11/1, асимптотически равно (4/л2) In N при N—^оо, так что
упомянутое выше отношение равно п2/4 In Л^ и может быть сделано
сколь угодно малым, если N выбрать достаточно большим. Более
того, оказывается (см. Newman [2]), что для любого целого
положительного N существует тригонометрический полином
N
п-0
такой что |ся|=1 (я = 0, 1, ... N) (и значит, Ц/Ц* = 1), а ||/||, >
>/V1/v — г, где г—некоторая абсолютная постоянная.
Если бы такого рода явлений не наблюдалось, теория рядов
Фурье была бы гораздо проще и в то же время гораздо менее
увлекательной, чем она есть на самом деле.
2.3.3. (Tjy (п) = е-»-'!(п) при /zgZ и /gL1.
Доказательство. Легко проверить, что если g (x) = f (x)e'l'nx, ^о
Tag(x)^ei™.TJ{x)-e-i»*.
Интегрируя это равенство и используя инвариантность интеграла
относительно сдвигов, получаем
\
— e
ina
2д
lTaf(x)-e-in*dx = e!»*.(Tjy(ri),
что эквивалентно доказываемому утверждению.
Примечание. Если бы читателю предложили самому
доказать 2.3.3, то его первой реакцией была бы, наверное, попытка
применить обычную формулу замены переменной в
рассматриваемом интеграле. И это, конечно, вполне законный путь дока-

2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства 45
зательства. Но мы здесь предпочли дать доказательство,
использующее характеристическое свойство инвариантности интеграла
(см. п. 2.2.2).
2.3.4. Пусть / абсолютно непрерывна и Df обозначает любую
интегрируемую функцию, равную почти всюду производной от /.
Тогда
(Df)~ (n) — in-f (п) при всех n£Z.
Доказательство. То, что производная от / существует почти
всюду и интегрируема, следует, например, из [W, sS 6.3, упр. 15
и 16 на стр. 111 и теор. 5.2g]. Формула интегрирования по частям
(см., скажем, [W, теор. 5.4а]) дает
2л
(Df)~(n)=±$Df{x).e-'»*dx
О
2я
= ши{х) - е~''"Ч»я+ш 1f {х)' е~'ах'in •dx
О
= } (n)-in,
что и требовалось доказать.
Замечание. Все, что здесь требуется от D/, это то, чтобы формула
интегрирования по частям
2л 2л;
\ Df-u-dx = — \ f*Du*dx
о о
была верна для всех периодических бесконечно дифференцируемых функций а.
Поэтому предыдущее истолкование Df в случае абсолютно непрерывной
функции f будет согласовываться с обобщенным понятием дифференцирования,
которое будет введено в гл. 12. Следует, однако, напомнить читателю, что
результат, вообще говоря, неверен для произвольных функций /, обладающих почти
всюду интегрируемой производной; необходимо дополнительно потребовать,
чтобы / была равна неопределенному интегралу от своей производной, что
обеспечивается абсолютной непрерывностью и на самом деле эквивалентно ей.
2.3.5. Предположим, что / абсолютно непрерывна и что ее
производная Df почти всюду равна некоторой абсолютно непрерыв-
ной функции. Тогда /(п) = 0 (l/п2) при \п\—^оо, так что ряд
Фурье от / сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Утверждение 2.3.4 можно здесь
применить к Df вместо /, что дает
/>) = (т)-2ф2/Г(")
при пфО. Искомая оценка следует отсюда, если применить 2.3.2.
Замечания. (1) Намного более сильный результат будет
приведен в § 10.6.

46
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
(2) Если воспользоваться утверждением 2.3.8 (которое вполне
можно было бы получить непосредственно вслед за 2.3.4), то О,
фигурирующее в 2.3.5, можно заменить на о. Отметим, что
предположения п. 2.3.5 заведомо выполняются, если /gCa.
(3) Предположения п. 2.3.5 на самом деле гарантируют, что
ряд Фурье от / во всех точках сходится к f(x), но пока мы еще
не готовы к доказательству этого факта; см. п. 2.4.3.
(4) Аналогичным образом из 2.3.4 следует, что f(n) =
= 0(1/\п\) (а с учетом 2.3.8, что / (п) = о{1/| п |) для любой
абсолютно непрерывной /. Из приведенного ниже результата видно,
что эта оценка фактически верна для любой функции /
ограниченной вариации.
Для периодической функции / определим полную вариацию
V (/) как верхнюю грань сумм
пг
взятых по всем таким последовательностям (xk)f^, что х0 < хх<...
• • • < хт ^л"о + 2я. Будем говорить, что / имеет ограниченную
вариацию, если V (f) < оо; условимся в этом случае писать /GBV
(ср. [W, стр. 105], [HS, стр. 266], [АВ, стр. 256]). Очевидно, что
верхнюю грань выше можно было брать лишь по таким xk,
которые попадают в любой заранее выбранный интервал длины 2я.
2.3.6. Если / имеет ограниченную вариацию, то
I >W (я) К-н-V (/) ПРИ всех n£Z.
Доказательство. Если считать известным понятие интеграла
Римана—-Стилтьеса ([HS, § 8]; [АВ, гл. 8]), то можно записать
f(«)=ij/w4piy]
о
для пфО и затем применить формулу интегрирования по частям
для такого интеграла. Поскольку нам хотелось бы избежать
ссылок на свойства интеграла Римана —Стилтьеса, мы изберем здесь
«пеший» путь.
Пусть сначала / непрерывна. При пфО положим g(x) =
= e~inx/(—in)> Тогда, как легко проверить, при данном е > 0
неравенство
т
f(n)—-5rL/(**)[£ (**)—£(**-i)]
k-
<е

2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства 47
выполняется при пфО для всех достаточно мелких разбиений
О = х(} < хх < . .. < хт = 2л отрезка [0,2л], Обозначив через 2
фигурирующую выше сумму и применяя суммирование по частям
(преобразование Абеля), получаем
Б = [/(2л)-/(х1)]§(0)- 2 [/(**+,)-/(**)J£(**).
В силу непрерывности (и периодичности) / первое слагаемое
справа по абсолютной величине не превосходит 8 при достаточно
мелком разбиении. Таким образом,
t т— I
|/(п)|<е + £ + ^£|/(**+,)-/(**)Н*(**)1
2л / ■ 2л w' | /г Г
так как | g" (л:) | ^ 1/|л|. Полагая е—► (), получаем при п=^0
^ V(f)
f(n)\
с 2л | п |'
что равносильно доказываемому утверждению.
Пусть теперь /—любая функция с ограниченной вариацией.
В этом случае мы придем к искомому результату, приближая /
подходящей последовательности непрерывных функций fr с
ограниченной вариацией. Пожалуй, проще всего взять
x+l/r 1//-
fr(x) = r J f(t)dt = r\f(x + t)dt.
х 0
Для любой возрастающей конечной последовательности (xk) точек
из [0,2л] имеем
Чг
2lM**)-M**-i)l<' $2|/(^ + 0-/(^., + /)|Л;
ь о *
поскольку подынтегральное выражение не превосходит V(f),
правая часть мажорируется величиной V(f). Таким образом, V(fr)^:
^V (f) при всех г. Следовательно, в силу уже доказанного,
|£<я>|->^т<-$?г (2-3-2)
при Аг^О и любых г.
Далее, простые вычисления показывают, что
/r(„) = exp(|)./(n).-i^),

48
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
и поэтому
\im\ fr(n)\ = \J(n)
Г->0О
Комбинируя это соотношение с (2.3.2), приходим к неравенству
/>)1<
V0)
2л\п\
при пфО, чем и заканчивается доказательство.
Замечания, (1) Утверждение, обратное к 2.3.6, неверно:
существует непрерывная функция /, для которой / (п) = о (1/|и|)
при п\—> оо и, однако, /(£BV.
(2) Оценку из 2.3.6, а именно оценку f (п) = О (1/| п\) при
\п\—^оо, нельзя улучшить, даже если предположить, что / не
только имеет ограниченную вариацию, но и непрерывна. Другими
словами, существуют непрерывные функции / с ограниченной
вариацией, для которых f (п)Фо(\/\п\) при |м|—+оо.
Доказательство см., скажем, в [Ваь стр. 203—204] или в упражнении 12.44.
Ввиду 2.3.4 и 2.3.8 никакая такая функция / не может быть
абсолютно непрерывной.
Между прочим, известно (результат Випера), что функция /
с ограниченной вариацией непрерывна тогда и только тогда, когда
lim i И |л?(л)1 = °;
см. упражнение 8.13.
(3) Если в неравенстве из 2.3.6 заменить множитель 1/2я
единицей, то для этого ослабленного варианта имеется весьма изящ-
ное доказательство, принадлежащее Тэйблсону (Taibleson, [1
При п gZ и пфО положим ak = 2kn/\n\ для k£ {0, 1,2, ..., \п
Обозначим черезg ступенчатую функцию, равную f(ak) па (ak_u ак),
&€{1, ...,|я|}. Тогда поскольку
2л(/г+1) \ п\~*
\ e~inx dx = 0,
2/ел. | /г|-»
ТО
2л \f(n)
2зт
0
\п\
\(f(x)—g(x))e-'»*dx
а.
I
ak-i
f(x)-f{ak)\dx
<
i "I
2
a,
S V*dx
a
£-1
3 Vk(ah
fe=i
■**-i).

2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства 49
где Vk обозначает полную вариацию функции / на отрезке
K-i> «J- Так как V1+...+Vn*^V(f) и ah—ah_t=*2nl\n\9 то
2n\f{n)\^V(f)2n\n\"1
и, значит,
\nJ(n)\^V(f).
См. также Izumi and Izumi [1].
2.3.7. Определим интегральный модуль непрерывности функции /
порядка (или индекса) 1 равенством
«>i/(а) = 11 ТУ-/lli = %/(-а).
Тогда для / g L1
|7(n)|<|«tf(£) (л€2, пфО).
Доказательство. По определению
f(n)=-^lf{x)e-inxdx,
а в силу 2.3.3
Вычтя второе равенство из первого и разделив пополам, получаем
f{n) = \{f-T_nlnfy{n),
и применение 2.3.2 дает доказываемое утверждение.
2.3.8. (Лемма Римана—Лебега.) Для любой интегрируемой
функции /
lim ?(/i) = 0.
Доказательство. Это немедленно следует из 2.3.7 и того
факта (см. [W, теор. 4.3с])/ что coj^)—»0 при а—+0.
Замечания. (1) Лемма Римана—Лебега столь
фундаментальна, что стоит остановиться на другом методе ее
доказательства (который на самом деле лежит в основе доказательства
теоремы 4.3с из книги [WJ). Пусть через Е обозначено множество
интегрируемых функций /, для которых справедливо утверждение
леммы. Из 2.3.2 следует, что Е является замкнутым
подмножеством в L1 (относительно топологии, определяемой нормой Ц-^).
Очевидно также, что Е является линейным подпространством
пространства L1. Поэтому для доказательства леммы достаточно
показать, что Е содержит хотя бы одно множество функций —
обозначим его S,— конечные линейные комбинации которых плотны

50
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
в L1. Можно указать много таких множеств S. Примерами могут
служить: (i) множество характеристических функций интервалов
(я, Ь) (0<я<Ь<2я), продолженных периодически; конечные
линейные комбинации этих функций плотны в L1 (см. [W, теор.
4.За]); выполнение для каждой из этих функций утверждения
леммы проверяется непосредственно (это следует также из 2.3.6);
(и) множество О (см. [W, теор. 4.3Ь] и 2.3.4).
(2) Стоит отметить, что в 2.3.4 и 2.3.8 речь по существу идет
об ограничениях на скорость убывания f (п) при | лг |—► оо. Легко
заметить, что чем более гладкой является функция, тем быстрее
убывание. Этот вывод в дальнейшем получит новые
подтверждения; некоторые экстремальные случаи рассмотрены в
упражнениях 2.7 и 2.8.
2.3.9. Пространство A (Z). Предыдущие результаты и замечания
могут породить надежду на возможность решать вопрос о
принадлежности / тому или иному функциональному пространству
(скажем, С или \JP при различных значениях /?), опираясь только
ОЧ
лишь на знание скорости убывания /'или, во всяком случае, на
изучение |/|. Однако, хотя имеется много критериев такого рода,
которые являются либо необходимыми, либо достаточными, тем не
менее, за единственным исключением случая L2 (см. гл. 8),
неизвестно ни одного необходимого и достаточного условия такого типа.
Более того, как будет показано в гл. 12 и 14, никакой полной харак-
теризации такого рода, использующей лишь значения |/|, вообще
нельзя получить. Немногие известные необходимые и
достаточные условия имеют намного более сложную природу, и, к
сожалению, их крайне трудно применять в конкретных случаях;
см. п. 2.3.10. В этом направлении остается сделать еще очень
много.
Для определенности рассмотрим само пространство L1. Если
обозначить через c0(Z) линейное пространство комплекснознач-
пых функций (двусторонних бесконечных последовательностей')
Ф на Z, для которых lim ср(я) = 0, и снабдить его нормой
ВфЯоо = sup {| Ф (л) |: n£Z} (2.3.3)
(см. п. 2.2.5), то, как мы уже знаем, /—>} является
непрерывным линейным отображением L1 в c0(Z). Обозначим через A (Z)
множество значений этого отображения. Возникает вопрос: как по
заданной функции , 6c0(Z) определить, принадлежит она A (Z)
или нет? Для решения этого вопроса нет никакого эффективного
общего метода.
Хотя известно, что / на бесконечности стремится к нулю для
любой функции /6L1, скорость убывания может быть при этом

2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства 51
сколь угодно медленной. Например, для любой заданной
функции ф£с0(2) можно выбрать положительные целые числа Nt <
< N2 <... так, чтобы
|ф(я)К&~2 при \n\^Nk.
Тогда
/ (х) = 2 2Ф (Nk) cos Nkx
/г=1
будет непрерывной функцией, для которой
/>) = Ф (Nk)
при n — ±:Nk (k= 1, 2, ...). Более того, как мы увидим в § 7.4,
функцию /(EL1 можно выбрать (опять же для любой заранее
заданной qjgc0(Z)) так, чтобы
?(л)>|Ф(л)|
при всех я g Z.
Далее, хотя последовательность ф, определенная равенством
/ ч I т~i—г ПРИ 1^1>2,
[ 0 в остальных случаях,
принадлежит A(Z), тем не менее последовательность ф^, заданная
равенством
thW при H>2'
Ф1 (л) = <
О в остальных случаях,
уже не обладает этим свойством (см. упражнение 7.7 и п. 10.1.6).
Мы видим, что даже довольно регулярное и поэтому на первый
взгляд безобидное изменение знака может нарушить
принадлежность множеству A(Z).
Этот (или любой другой подобный) пример показывает, между
прочим, что A(Z) строго вложено в c0(Z); он также показывает,
что |ф] может принадлежать A(Z), в то время как ср не
принадлежит ему. Имеется иной, типично современный подход к опи-
санию строгости включения A(Z) ,c0(Z), который позволяет
утверждать больше, а именно что A (Z) на самом деле является
тощим множеством (т. е. множеством первой категории; см. § АЛ)
в c0(Z).
Чтобы это доказать, заметим, что L1 и c0(Z) являются
банаховыми пространствами с нормами, заданными формулами (2.2.13)
и (2.3.3) соответственно, и что T:f—>f является непрерывным

52
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
линейным оператором, отображающим L1 в c0(Z) и имеющим
в качестве множества значений A (Z) (см. пп. 2.3.1 и 2.3.2).
Если бы наше утверждение было неверным и A (Z) не было бы
тощим множеством в c0(Z), то из теоремы об открытом
отображении (п. В.3.2) следовало бы, что Т является открытым
отображением L1 на c0(Z). Принимая на время без доказательства
теорему единственности 2.4.1, мы получили бы отсюда
существование такой постоянной В > 0, что
l/ii<fil/|oo (2.3.4)
для любой /g IA Однако на самом деле (2.3.4) может нарушаться,
что и приводит к искомому противоречию, доказывающему наше
утверждение. Так, например, если f = DN (см. упражнение 1.1),
то прямое вычисление, которое будет во всех деталях проведено
в п. 5.1.1, показывает, что
для больших N. Поскольку в этом случае ||/Ц^ = 1, то ясно, что
при достаточно больших N получается противоречие с (2.3.4).
В связи с изложенным см. также упражнение 9.8.
В дополнение к структуре линейного пространства, которой
обладает множество c0(Z), можно рассмотреть его структуру как
алгебры относительно поточечных операций. В таком случае
естественно поставить вопрос: является ли A (Z) не только
подпространством, но и подалгеброй в с0 (Z)? Это приводит нас
к задаче нахождения двуместной операции над интегрируемыми
функциями— своего рода умножения,— соответствующей
поточечному перемножению их преобразований Фурье. Мы изучим этот
и связанный с ним вопрос в гл. 3, а затем, обогащенные новым
знанием, в гл. 4 вернемся к рассмотрению A (Z) и
преобразования Фурье. Дальнейшие результаты на эту тему появятся в пп.
11.4.23 и 11.4.16.
2.3.10. Критерии принадлежности к A (Z). Просто ради интереса (так как мы
в дальнейшем не будем их использовать) мы соберем здесь несколько
известных критериев, позволяющих заключить, что данная последовательность
Ф = (фи)яб2 является последовательностью коэффициентов Фурье функции,
принадлежащей тому или иному функциональному пространству. Дальнейшие
результаты в этом направлении будут приведены в § 8.7, пп. 10.6.3 (1) и (2),
12.7.5, 12.7.6, 12.7.9 (2) и упражнении 12.50. Если читатель внимательно
посмотрит на эти условия, он убедится, как трудно применять их в
конкретных случаях.
(1) Для принадлежности <р к A (Z) необходимо и достаточно, чтобы для
любого р, выбранного из интервала 0 < р < оо, выполнялось равенство
lim ]£ <рпйг(п) = 0
г-*00 neZ

s И 111+ ^ (8)- sup \u{n)\ (2.3.6)
2.4. Теорема единственности 53
для любой последовательности («r)pLi тригонометрических полиномов,
удовлетворяющих условию
ll«rlL<1» Iim I! ar \\p=°-
Г -** 00
Эквивалентное условие состоит в том, что для любого 8 > 0 найдется число
k (е) ^ 0, такое что
2 ф„"(л) <e.|MU + *(eHIMll;> (2.3.5)
для всех тригонометрических полиномов и; см. Edwards [1] и Ryan [1].
Частный случай /? = 2 этого результата принадлежит Салему; см.
[Ва„ стр. 231—2331.
(2) Чтобы последовательность <р была последовательностью коэффициентов
Фурье непрерывной функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого
8 > 0 нашлось число k{&)^0 и конечное подмножество F множества Z, такие
что
2 ф«"(л)
П€ Z
для всех тригонометрических полиномов и; см. Edwards [1].
(3) Как мы увидим в п. 13.5.1, из того, что ф = / для некоторой f£LPt
где 1 < р<*2> следует, что ф£/Р', т. е.
2 l<P»lp'<». (2-3.7)
причем р' определяется равенством \/р-\-\/р' = \. Известно (см. Rooney [1]),
что если последовательность ф удовлетворяет условию (2.3.7), то она является
последовательностью коэффициентов Фурье некоторой функции из LP (1 < р ^2)
тогда и только тогда, когда
v
sup (v+ I)/*-1 2 I Mv, т (Ф) \Р < оо, (2.3.8)
v m = 0
где верхняя грань берется по параметру v, пробегающему все целые
неотрицательные значения, причем
Mv, т (ф) = 2 йп> v» т Уп>
n€Z
1
On. V, т «= vCm ^t" (1 ~Ov-m еш'п' Л
О
для rc^Z, vgZ, mgZ, v^sO и O^m^v.
(4) Еще одно условие, достаточное для принадлежности к A (Z), будет
рассмотрено в § 8.7.
(5) Поведение A (Z) при перестановках Z рассматривалось Каханом
(Kahane [4]).
2.4. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ И ПЛОТНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
В этом параграфе мы установим теорему единственности,
которая утверждает, что функция определяется почти всюду своим
преобразованием Фурье, и получим некоторые следствия из этой

54
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
теоремы, касающиеся аппроксимации тригонометрическими
полиномами.
2.4.1. (1) Если /gC и / = 0, то / = 0.
(2) Если /6L1 и / = 0, то / = 0 п.в.
Доказательство. Утверждение (1) является, конечно,
частным случаем утверждения (2). Мы сначала докажем его,
а потом выведем из него (2).
Ввиду 2.3.1 мы можем во всех случаях считать, что / прини-
мает вещественные значения. Кроме того, так как из / = 0
следует (Taf)^ =0 для всех а (в силу 2.3.3), то достаточно будет
показать, что если /£С и
у- \ ftdx — О для всех тригонометрических полиномов /,
(2.4.1)
то
/(0) = 0. (2.4.2)
Фактически мы покажем, что из отрицания (2.4.2) следует
отрицание (2.4.1).
Если (2.4.2) не выполняется, то мы можем (заменив при
необходимости /на —/) предположить, что /(0) = с > 0, и выбрать
б > 0 так, чтобы
f{x)>Tc ПРИ И<в- (2-4-3)
Чтобы построить тригонометрический полином t, для которого
нарушается (2.4.1), положим
/0 (х) = 1 + cos х — cos б
и .возьмем t = to, где достаточно большое целое положительное
число /V будет подобрано позднее. Ясно, что t действительно
является тригонометрическим полиномом. Ясно также, что
|*(х)|<1 при 8<|*|<ji, / (*) > 0 при |*|<8,
t (х) ^<7,v при |*К"2 8,
(2.4.4)

2.4. Теорема единственности 55
где q= 1 +0)3/28-cos б > 1. В силу (2.4.3) и (2.4.4) имеем
iUtdx>i I ft dx-±\\f l„(2n-26)
\x |<6
i*i<4
последняя величина положительна, если выбрать N
превосходящим
ln(4Hl/JU/c6) ,
In?
тем самым получено отрицание (2.4.1). Утверждение (1) доказано.
Пусть теперь / удовлетворяет условиям утверждения (2).
Положим
F(x) = c+lf(y) dx,
о
где число с выбрано так, что F (0) обращается в нуль. Так как
/(0)--=0, то функция F периодична. Кроме того, она абсолютно
непрерывна и DF =f п. в. (см. [W, теор. 5.2g]). В силу 2.3.4,
выбора с и предположений относительно / получаем, что F = 0.
Поэтому утверждение (1) показывает, что F = 0, а / = 0 п.в.,
что и требовалось доказать.
Замечание. Теорема единственности для случая
тригонометрических полиномов является непосредственным следствием
соотношений ортогональности (1.1.3) и покрывается упражнением 1.7(1).
Выведем теперь из 2.4.1 два довольно специальных, чисто
вспомогательных результата, которые касаются восстановления
функции по ее ряду Фурье; более важные результаты в этом
направлении будут получены в гл. 6 и 10. Как уже отмечалось
в п. 2.2.1, эти вопросы относятся к гармоническому синтезу на
группе Т.
2.4.2. Если /^L1 обладает рядом Фурье, который почти всюду
сходится, имея интегрируемую мажоранту, то
/(*)= 2 f(n)einx п.в.
П€ Z

56
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
Доказател ьство. Пусть g—функция, равная сумме ряда Фурье
от / там, где он сходится, и, для определенности, нулю в
остальных точках. Ввиду наличия интегрируемой мажоранты, g £ 1Л
По той же причине для любого т g Z
g (т) = -^- Г g (х) e~imx dx = ]Г f (п) • ~ Г einx.e"lmA dx=/ (m);
последнее равенство справедливо в силу соотношений
ортогональности. Из теоремы единственности 2.4.1 следует, что f = g п.в.
2.4.3. Если / — непрерывная функция с равномерно сходящимся
рядом Фурье, то всюду
пе z
Доказательство. В обозначениях из доказательства
утверждения 2.4.2, функция g теперь всюду равна сумме ряда и в силу
равномерной сходимости ряда непрерывна. Кроме того, поскольку
областью интегрирования в нашем случае является ограниченный
интервал, то из равномерной сходимости следует наличие
интегрируемой мажоранты для частичных сумм. Поэтому из 2.4.2
вытекает, что f и g совпадают почти всюду. Но так как обе эти
функции непрерывны, то отсюда в свою очередь следует их
совпадение всюду.
Выведем теперь из 2.4.1 следующую очень важную аппрокси-
мационную теорему; позднее она также будет усилена.
2.4.4. Множество Т всех тригонометрических полиномов всюду
плотно в каждом из банаховых пространств С, L^ (1 ^/? < оо),
т. е. для любых заданных /£С (соответственно /£L^) и е > О
существует полином t g Т, такой что
||/-f||<e (соотв. ||/-/||я<8). (2.4.5)
Доказательство. (1) Сначала рассмотрим случай
пространства С. По заданному е>0 выберем ggC2 так, чтобы
lf-гКйв. (2.4.6)
Это можно сделать, взяв достаточно малое а>0 и положив
х+а х+а
?iW = «"1 $ f(y)dyf g(x) = a-1 $ 8i(y)dy.
X
В силу (2.3.5) и (2.4.3)
8 s" 2 g (я) е„,
niZ
причем ряд сходится в С (т. е. равномерно). Поэтому для доста-

2.5. Замечания о двойственной ситуации 57
точно большого N
8- 2 g(n)en <'/2е. (2.4.7)
|n|<iV
Оценки (2.4.6) и (2.4.7) дают (2.4.5) с
' == 2 g(n) еп.
(2) Этот случай следует из (1), того факта, что С всюду плотно
в Lp (ср. с [W, теор. 4.4е]), и неравенства |1Л|я^|А[|ю. Именно
для заданных f£LP и е>0 сначала выбираем g£C так, чтобы
II/ —ё11/>^ х/2 8> а затем (согласно (1)) / gT так, чтобы||g- — t\\ao г^Уге.
Тогда 1^-^11^^^2 8, и поэтому
U-tlp^lf-gl+lg-t^*.
Замечания. (1) Утверждение 2.4 теряет силу для р = оо.
(Почему?)
(2) Можно было бы получить 2.4.4 из 2.4.1 с помощью
теоремы Хана —Банаха (см. § В.5) и результатов о пространствах,
топологически двойственных (сопряженных) пространствам С и Lp
(эти результаты приведены соответственно в гл. 12 и
приложении С). Одно из следствий теоремы Хана —Банаха фактически
состоит в том, что теоремы о единственности и теоремы о
плотности образуют, так сказать, двойственные пары.
(3) В сочетании с 2.3 2 теорема 2.4.4 дает новое, независимое
доказательство утверждения 2.3.8; см. упражнение 2.9.
(4) Из той части утверждения 2.4.4, которая относится к
пространству С, можно вывести 2.4.1 (см. упражнение 2.10). Таким
образом, 2.4.1 и 2.4.4 эквивалентны; этот факт служит
иллюстрацией к сделанному выше замечанию (2).
(5) Другие доказательства теорем 2.4.1 и 2.4.4 появятся
в пп. 5.1.2 и 6.1.1, где будут рассмотрены более тонкие варианты
теоремы 2.4.4; см. также § 6.2, где упомянуты некоторые
приложения этих результатов.
2.5. ЗАМЕЧАНИЯ О ДВОЙСТВЕННОЙ СИТУАЦИИ
2.5.1. Определение преобразования Фурье. Пусть нам дана
функция ф на Z. Естественно попытаться определить ее преобразова-
ние Фурье ср как функцию на Т, задаваемую равенством
Ф(*)= 2 q>(n)einx\ (2.5.1)
П€ Z
при сравнении с (2.3.1) читатель заметит замену e~inx на einx\
она сделана лишь для удобства в дальнейшем. Хотя выражение
(2.5.1) прекрасно может быть истолковано при ср g /1 (Z), — в этом

58
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬВ
случае ср, очевидно, представляет собой непрерывную функцию
на Т, удовлетворяющую условию
ВфКИфЬ (2-5-2)
(ср. с 2.3.2), — ясно, что положение осложнится, если,
например, про ф известно лишь, что она принадлежит Ip (Z) при
некотором /?> 1. (В случае группы Т аналогичных осложнений не
возникало ввиду компактности Т.) Придется рассматривать
условную сходимость или суммируемость, причем, быть может, лишь
для почти всех х, о чем уже говорилось мельком в конце п. 2.2.2
в связи с интерпретацией инвариантного интеграла на Z.
На самом деле —это будет видно из содержания гл. 8, 12
и 13—часто оказывается более эффективным заменить
рассмотрение поточечной сходимости (всюду или почти всюду) ряда
в правой части (2.5.1) изучением сходимости симметричных
частичных сумм
Фаг (х) в 2 Ф (п) einx
\n\<N
либо в одном из пространств L?, либо в смысле обобщенных
функций. С другой стороны, для функций ф специальной
природы из результато гл. 7 вытекает поточечная сходимость (по
крайней мере почти всюду) рядов, определяющих ф, хотя даже
здесь нет гарантии, что так определенная почти всюду функция ф
будет принадлежать L1. Дальнейшие, весьма специальные
результаты такого рода, применимые в ситуациях, когда про ф
известно, что она имеет вид / для некоторой /€L\ содержатся
в гл. 5, 6 и 10,
2.5.2. Теорема единственности. Сходные трудности возникают
в связи с соответствующей теоремой единственности, во всяком
случае если рассматривается поточечная сходимость или
суммируемость и если на ф не наложено сильных априорных
ограничений. 1Никаких трудностей не возникает, если мы, например,
предположим, что ряд в правой части (2.5.1) сходится почти
всюду с интегрируемой мажорантой; но так может быть лишь
в случае, когда ф принадлежит A(Z), что очень трудно
обнаружить заранее.] Если сходимость понимается в смысле
обобщенных функций, то теорема единственности не представляет
никаких трудностей и фактически содержится в результатах гл. 12.
Упорное следование курсу поточечного истолкования
сходимости приводит к самой сердцевине восходящей к Риману
теории общих тригонометрических рядов, в том числе к
некоторым проблемам исключительной трудности (таким, как задача
характеризации так называемых М-множеств и (/-множеств), столь
тонким, что они проскальзывают сквозь «сети», сконструирован-

Упражнения 69
ные с помощью требований сходимости в смысле обобщенных
функций или в смысле пространств LA Два сравнительно простых
результата, касающихся поточечной сходимости, рассматриваются
в упражнениях 2.13 и 2.14.
2.5.3. Пространство А. Двойственным к A (Z) является
пространство А = А(Т); это —линейное пространство функций на Т вида
Ф, получающихся, когда ф пробегает всё пространство /1(Z).
Эквивалентная формулировка: А состоит в точности из тех непре-
рывных функций / на Г, у которых / ¢/1. С А дело обстоит так
же, как и с A(Z): нет полного решения вопроса о возможности
охарактеризовать элементы А непосредственно в терминах
значений, принимаемых этими функциями. Мы вернемся к рассмотре-
рению А в §§ 10.6 и 12.11, где будут получены и использованы
некоторые частные результаты.
2.5.4. Утверждение, двойственное к 2.4.4. Почти-периодичность. В свете
заключительных замечаний п. 2.2.1 и упражнения 2.3 естественно отнести термин
тригонометрический полином на Z к каждой функции на Z, которая является
конечной линейной комбинацией характеров еа:п—► eian группы Z, где
параметр а пробегает множество Т (или, что эквивалентно, множество R).
В таком случае утверждение, двойственное к 2.4.4, должно состоять в
описании тех комплекснозначных функций на Z, которые являются равномерными
пределами тригонометрических полиномов на Z. Здесь мы не сможем
предпринять исследование этой проблемы. Функции, которые аппроксимируются
указанным образом, в точности совпадают с так называемыми
почти-периодическими функциями на Z.
Почти-периодичность—понятие, приложимое к функциям на произвольной
группе, и ему посвящена обширная литература. По поводу случая группы R
см. [Bes]; по поводу более общих групп см. [Mk], [HR, § 18], [We, гл. 7],
[Lo, гл. 8].
На компактных группах, таких как 7\ все непрерывные функции почти-
периодичны; этим объясняется та форма, которую имеет утверждение 2.4.4.
На некомпактной группе Z единственный почти-периодический элемент
пространства c0(Z)—это нулевой элемент.
Упражнения
2.1. Пусть S — замкнутая подгруппа в R, отличная от {0} и R.
Покажите, что существует число d > 0, такое что S совпадает
с множеством целых кратных d.
Указание. Рассмотрите нижнюю грань всех положительных
элементов подгруппы S.
2.2. Пусть л;— такое вещественное число, что х/п иррационально.
Докажите, что множество {einx\n^Z} всюду плотно на
единичной окружности комплексной плоскости.
Замечание, Один сильный результат приведен в упражнении 2.15.
Сформулированный результат является частным случаем теоремы Кронекера
(см. о ней [HW, гл. 23, в особенности стр. 370]). Имеется общая теоретико-
групповая формулировка этой теоремы, которая обсуждается в [HR, стр.

60
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
545—546, 550—552] и которая, в частности, утверждает, что любой характер
X на 7, непрерывный или нет, можно сколь угодно хорошо приблизить на
любом заданном конечном подмножестве Т подходящим образом подобранным
непрерывным характером еп.
Указание. Покажите, что еШхФе(пх при m, n£Z и тфп.
Выведите отсюда, что для рассматриваемого множества 1 является
предельной точкой.
2.3. Пусть £ —ограниченный характер группы Z. Покажите, что
существует ровно один элемент х£Т, такой что 1>(п) = е1ПХ^
===^(^) для всех n£Z.
Пусть на Z введена дискретная топология; проверьте, что
двойственная топология на группе Т (рассматриваемой как
двойственная к Z) совпадает с исходной топологией (как она
определена в п. 2.1.1).
2.4. Найдите непрерывные линейные функционалы / на С = С(Г),
которые являются «относительно инвариантными», в том смысле,
что существует функция Д на Т, такая что
/ (TJ) = Д (а) • / (/)
для всех я £ Т и всех / € С.
Указание. Покажите сначала, что если 1ф0, то А(а) = е1'па
при некотором n£Z. Затем рассмотрите функционал */,
определенный равенством J (/)= / (e_n-f).
2.5. Рассмотрите конечную группу Zm = Z/mZ (где m —
положительное целое число), наделенную дискретной топологией. Что
играет роль инвариантного интеграла на Z,rt? Каковы характеры
группы Zw? Постройте теорию рядов Фурье для этой группы.
2.6. Пусть £ —непрерывный гомоморфизм R/2nZ на себя.
Покажите, что существует k £ Z, такое что t отображает смежный
класс x + 2nZ на смежный класс kx-\-2nZ.
Указание. Рассмотрите характер группы Т, который
переводит x + 2tcZ в einx, и получите отсюда гомоморфизм s группы Z
в себя, для которого eint{x+2JlZ) = eis{n)ix+2JlZ). Исследуйте s.
2.7. Пусть f^L1. Докажите, что соотношение
f(n)-0(e-ei"l)
при некотором е > 0 выполняется тогда и только тогда, когда /
почти всюду совпадает с функцией, аналитической в
горизонтальной полосе | Im г | < б при некотором б > 0.
Указание. Для доказательства части «тогда» примените
теорему Коши с подходящим прямоугольным контуром к интегралу,
определяющему f(n).

Упражнения 61
2.8. Предположим, что /(ЕС00, и положим
Mk = \\D"fl (Л=1, 2, ...)•
Докажите, что при п Ф О
\f(n)\^Mk\n\~k.
Докажите также, что если
УИЛ< const /?ЛГ(а/г+1) (Л = 1, 2, ) (1)
при некоторых R > О, а > 0, то
|f(n);i<const|n|l/aa.exp [-(-^- )1/а] (л €2, /i#0), (2)
и что если (2) справедливо, то
Mk^constRkF(ak+l)(l+ka^2) (й=1, 2, ...). (3)
Указание. Воспользуйтесь формулой Стерлинга, описывающей
поведение Г (г) при больших положительных значениях г.
Замечание, Функции /, для которых выполняется неравенство вида (1)
(постоянная может зависеть от /), образуют простейший тип так называемых
квазианалитических классов функций; случай сс = 1 соответствует
аналитическим функциям. Взаимосвязь между такими классами и классами,
определяемыми неравенствами, в которые входят коэффициенты Фурье, — такими как (2),
например, — изучалась весьма детально; см., скажем, [М, в особенности стр.
78—79, 138—139].
2.9. Дайте доказательство утверждения 2.3.8, основанное лишь
на 2.4.4 и 2.3.2.
2.10. Выведите утверждение 2.4.1 непосредственно из той части
утверждения 2.4.4, которая касается пространства С.
2.11. Получите из 2.4.1 следующую теорему единственности.
Если / определена и интегрируема на (—я, л) и если
я
\f(x)xNdx = 0 (N = 0, 1, 2, ...),
-Я
то / = 0 п. в. на (—я, я).
Примечание. С помощью теоремы Хана — Банаха (см. § В.5) из этого
утверждения можно вывести результаты об аппроксимации обычными
полиномами в духе теоремы Векерштрасса (см. п. 6.2.2).
2.12. Докажите, что если / определена и интегрируема на
(—я, я) и
я
\ I (х) elaNX dx - 0 (#=:1, 2, ...),
-Я

62
ГЛ. 2. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
где (<xn)h=i — последовательность комплексных чисел, имеющая
по крайней мере одну (конечную) предельную точку, то/ = 0 п. в.
на (— я, я).
Указание. Можно считать, не теряя общности, что ocN=^=0t
л
(х^-н.О. Рассмотрите J / (х) eizx dx как функцию комплексной пе-
-л
ременной г.
2.13. (Теорема Данжуа —Лузина.) Пусть тригонометрический ряд
00
2 cneinx записан в вещественной форме У2а0+ 2 (ап cos пх +
+ bns\nnx), и пусть ряд
00 со
2 К^* + с_„бГ<'"*|~У2 |д01+2 Kcosmr + ^sinm;!
сходится при всех х£Еу где множество £ измеримо и имеет
положительную лебегову меру т(Е). Докажите, что
2 \сп\ < оо,
n€Z
т. е. что
00
53 (|fl„l + l*U)<«>.
Указание. Не теряя общности, можно считать, что ап и fcn
вещественны. Положим an = rn cos0W, ft„ = r„ sin0„, где г„>0 и
0„ вещественны. Используя теорему Егорова, обоснуйте
возможность почленного интегрирования ряда
со
2 Гп \ COS (tlX - 9„) |
по некоторому множеству Е0 с т (£0) > 0 и заметьте, что
\ \cos(nx — Qn) \dx^\ cos2(nx - 0J dx = -^- m (E0) + o (1).
Примечание. По поводу одного простого обобщения этого результата см.
[KS, стр. 84, теор. II]. Теорема Данжуа —Лузина положила начало
многочисленным более тонким исследованиям по абсолютной сходимости
тригонометрических рядов; см. [Zlf гл. 6]; [Ва2, гл. 9], [KS, гл. 7].
2.14. (Теорема Кантора—Лебега.) Как уже говорилось в конце
п. 2.2.2, тригонометрический ряд 2 cneinx именуется сходящимся
пег
в данной точке х в том и только в том случае, когда
существует конечный предел
lim 2 cnein*
N-+ go 1 п |< N

Упражнения 63
при этом значении х. Докажите, что если ряд сходится в
каждой точке х некоторого измеримого множества Е положительной
лебеговой меры, то Игл сп = 0.
| п | -» 00
Указание. Как и в предыдущем упражнении, сведите задачу
к случаю, в котором ]У] rn cos (пх — Qn) равномерно сходится при
х £ £0, где т (Е0) > 0.* Если бы утверждение было неверно, то
существовали бы целые числа /г^<я2<..., такие что
cos (nkx — QnА —*■ О
равномерно для х£Е0. Рассмотрите интегралы
^ cos2 (nkx — Qnk) dx.
Примечание. Кантор рассмотрел случай, когда Е—невырожденный интервал.
Штейнгауз привел примеры рядов 2 cneinx', для которых сп—► () и ко-
nez
торые тем не менее всюду расходятся. Одним из таких примеров служит ряд
00
2 (In л) "J» cos п(х— In Inn);
см. [Ва, стр. 176].
2.15. (Равномерно распределенные последовательности.) Пусть
х0 — такое вещественное число, что х0/я иррационально.
Предположим, что g— периодическая функция с тем свойством, что для
любого е > 0 найдутся непрерывные периодические функции и
и и, такие что u^.g^v и
\ (v — и) dx < 8.
2я
Докажите, что
Ига N-*2g{nxJ = g(0). (1)
Выведите отсюда, что если /—подынтервал в [0, 2л), то
поделенное на N число точек х0, 2х0, ..., Nx0t попавших в / (по
модулю 2я), сходится при /V —* оо к длине интервала /,
поделенной на 2я, т. е. точки пх0(п=\, 2, ...) равномерно
распределены (по модулю 2я). Заметьте, что этот результат
включает в себя утверждение упражнения 2.2. См. также [Ва2, стр. 907].
Указание. Докажите сначала (1) для непрерывных
периодических g", используя 2.4.4.
Примечание. Понятие равномерно распределенной последовательности
принадлежит Г. Вейлю. Несколько результатов о таких последовательностях можно
найти в [PS, т. 1, стр. 97—104].
По поводу обобщений на произвольные группы см. [HR, стр. 546, 552—
553J и Rubel [1].

64 ГЛ. 2- ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА И РЯДЫ ФУРЬЕ
2.16. (Лемма Фейера.) Допустим, что 1 </? < оо, /g L^ и g£Lp\
где 1//?+ 1//?' = 1. Докажите, что
-%;§nx)g(nx)dx-+1(0)g(0)
ДЛЯ fl^Z При | AZ | —^ оо.
Указание. Сначала предположите, что /?> 1, и,
воспользовавшись 2.4.4, приблизьте g в Lp' тригонометрическими полиномами;
затем используйте 2.3.8. В случае когда р=1 и, значит, р' = оо,
аппроксимируйте f в L1 непрерывными функциями.
Примечание. Этот результат остается справедливым, если условие п g Z
заменить условием п £ R.
2.17. Пусть (en)n=i — любая последовательность положительных
чисел, сходящаяся к нулю. Выделив подходящую
подпоследовательность (e„ft) и рассмотрев ряд
оо
Л е- exp (in* *),
/:=1 '*
покажите, что существуют непрерывные функции f, такие ч*го
lim sup —- > 0.
п -*> со "
Указание. Используйте 2.3.7.
2.18. Докажите, что любая неотрицательная непрерывная
функция / является равномерным пределом функций вида |g|2, где
g — тригонометрический полином.
Сформулируйте и докажите аналогичный результат для
функций / из \.р (1^р<оо).
Указание. См. упражнение 1.11.
2.19. Докажите, что для любого конечного множества FaZ и
любого е > 0 существует тригонометрический полином /, такой что
0^/4^)^1 при всех ngZ, f(n)=l при Есех ng/7,
Для каких множеств F результат остается справедливым при
б = 0?
Указание. Возьмите целое положительное г, такое что
Fcz[—ry г], и выберите достаточно большое положительное N.
Рассмотрите
f(х) = \(W + 1)-* >] <""*]•[ S г""1=«(*)-о(х)
и воспользуйтесь упражнением 1.7 (1) и неравенством Коши —
Шварца.

ГЛАВА 3
свёртки функций
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СВЁРТКИ
В конце п. 2.3.9 мы поставили задачу нахождения бинарной
операции на множестве интегрируемых функций, которая
соответствовала бы поточечному перемножению их преобразований
Фурье. Прямая попытка определить результат применения этой
операции к функциям /, gg L1 —обозначим его f*g — посредством
требования, чтобы (f*g) = f-g, не эффективна, так как мы не
умеем охарактеризовать A(Z) таким образом, чтобы была видна
замкнутость этого пространства относительно поточечного
перемножения. Более эффективным оказывается применение
соотношений ортогональности вместе с некоторыми специальными
свойствами характеров.
Пусть еп обозначает функцию х—>einx (ngZ). Соотношения
ортогональности (1.1.3) показывают, что для т и п из Z
±[е (х-и)е (U)du=l вЛх) ПРИ Ш = П'
2л J т у> п\уг у ^ о в остальных случаях.
В соответствии с этим если мы определим f*g равенством
f*g(x)=i§f(x-y)g(y)dy> @лл)
то окажется, что для ет*еп преобразованием Фурье будет пото-
чечное произведение преобразований Фурье ет и еп. Поскольку
каждое из выражений /*g и f»g билинейно по (/, g"), мы получаем,
что нужное нам свойство сохранится для функций fug,
являющихся тригонометрическими полиномами, т. е. конечными
линейными комбинациями функций еп. Таким образом, видно, что (3.1.1)
является шагом в нужном направлении. Перейдем к более
детальному исследованию.
Предположим, что fug принадлежат IA Тогда применима
теорема Фубини — Тонелли (см. [W, теор. 4.2 Ь, 4.2 с и 4.2 d],
[HS, стр. 384—386, 396], [АВ, стр. 154—155]), из которой следует,
что для почти всех х подынтегральное выражение в правой части
(3.1.1) является интегрируемой функцией от у, так что (3.1.1)
Р. Эдварда т. 1

66 ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
эффективно определяет f*g(x) для почти всех х\ более того, так
определенная почти всюду функция измерима и
ll/*gl<ll/Mlg1i. (3.1.2)
В частности, fxgttL1.
Из приведенных рассуждений вытекает также, что
1/»г(*)К1Л»1г|(*) п-в. (3.1.3)
Ввиду инвариантности интеграла ясно, что в каждой точке х9
в которой существует f*g(x), существует и g*f{x) и эти два
значения совпадают. Таким образом,
/*£ = £*/• (3.1.4)
Вычислим теперь коэффициенты Фурье для /*g", используя
теорему Фубини — Тонелли и равенство е~Ых = е~'п{*~У)-е"~ыУ:
(I*gV(n)=-^§f*g(x)e-in*dx
Ъ^У №e~inx f (*- У)8 iy)d(x9 у)
^y${lf(x-y) e~in и"у) g {у) e~iny dx\dy
(дважды применили теорему Фубини — Тонелли)
=i 18 М e~iny {к $ f(x ~ у) e~in {х~у) dx)dy
2л
§ g (У) е-"У {? (п)} dy
(в силу инвариантности внутреннего интеграла относительно
сдвигов)
= }(n)g{n).
В результате получаем искомое соотношение
(f*g)~ (n) = f(n)'g(n) Для всех n^Z. (3.1.5)
Введенная операция свёртки ассоциативна, т. е. (f*g)*h =
= /*(g*h) для /, g, h g IA Это можно проверить непосредственно,
используя теорему Фубини — Тонелли. Другой путь состоит
в привлечении (3.1.5) и теоремы единственности 2.4.1 и в
использовании очевидной ассоциативности поточечного умножения функ-
ций /, g и h.
Замечания* Сформулировать определение и установить
перечисленные выше свойства свёртки можно было бы иначе, не

3.1. Определение и простейшие свойства свёртки 67
используя ничего, кроме самой элементарной формы теоремы
Фубини, относящейся к непрерывным подынтегральным функциям
(этот вариант теоремы кто-то удачно окрестил «Фубинито»1*).
Начать можно с определения f*g формулой (3.1.1) для ft
g£C. Для таких fug Фубинито дает свойства (3.1.2)-(3.1.5).
Кроме того, очевидно, что (/, g)—*f*g является билинейным
отображением из СхС в CcLA
Неравенство (3.1.2), выражающее непрерывность билинейного
отображения (/, g) —► f*g из СхС (с топологией, индуцированной из
L^xL1) в L1, позволяет однозначно и непрерывно продолжить
это отображение до билинейного отображения из L^xL1 в L1.
Другими словами, f*g для /, g^L1 будет 1Лпределом
последовательности (fi*gi), где (fi) и (g() — последовательности функций
из С, сходящиеся в L1 к / и g соответственно. [Из неравенства
(3.1.2) следует, что (/;#§*,•) является последовательностью Коши,
которая поэтому сходится в L1; отсюда же следует, что предел
не зависит от выбранных последовательностей, а зависит лишь
от самих / и g.] Такое продолжение обеспечивает сохранение
свойств (3.1.2), (3.1.4) и (3.1,5), причем последнее свойство
сохраняется в силу 2.3.2.
Остается проверить, что (3.1.1) остается справедливым почти
всюду для произвольных / и g из L1. Поскольку обе стороны
этого равенства билинейны по (/, g) и поскольку (как читатель
может убедиться самостоятельно) любая вещественная функция
h g L1 равна п. в. разности двух неотрицательных интегрируемых
функций hx и h2t каждая из которых равна пределу монотонно
возрастающей последовательности неотрицательных непрерывных
функций, то можно предположить, что последовательности (f()
и (g{) в С выбраны так, что O^frff п. в. и O^grfg п. в. Тогда
из теоремы о монотонной сходимости получаем, что
fi*St(x)^i\jf(x-y)g(y) dy.
Так как (fi*gi) сходится к /*g" в L1, то заключаем, что (3.1.1)
выполняется для почти всех х. Отсюда, в частности, видно, что
функция у—>f(x — y)g(y) интегрируема для почти всех л:, когда
/ и g — любые неотрицательные функции из L1. Заменив [ и g
на |/| и \g\, получим, что то же верно для любых / и g из L1
Раз (3.1.1) установлено для любых /, g-g L1, из него следует (3.1.3)
[Обратим внимание читателя на то, что нельзя утверждать,
что любая неотрицательная интегрируемая функция h равна
п. в. пределу монотонно возрастающей последовательности (hn)
непрерывных неотрицательных функций. Для контрпримера можно
взять в качестве функции h на [0, 2я] характеристическую функ-
Х) В оригинале Fubinito (Фубинчик).— Прим. ред,
3*

68
ГЛ. 3. СВЁРТКИ функций
цию дополнения относительно [0, 2я] к замкнутому нигде не
плотному множеству К ^ [0, 2я], имеющему положительную меру.]
Та же техника применима и к утверждениям пп. 3.1.4 — 3.1.6.
Теперь стоит подытожить то немногое, что мы до сих пор
узнали о свёртке, и поставить несколько вопросов, которые
будут служить нам ориентиром при последующем изложении.
3.1.1. Некоторые проблемы. Если свёртка f*g двух функций /
и g из L1 определена равенством (3.1.1), то (/, g)—>f*g является
ассоциативным и коммутативным билинейным отображением Ь*х L1
в L1; это отображение непрерывно в силу (3.1.2). В современной
терминологии (которая будет подробно объяснена в § 11.4) L1
образует относительно свёртки коммутативную комплексную
банахову алгебру. Однако, как будет показано ниже в (с), L1 не
обладает единичным элементом относительно свёртки.
Ввиду 2.3.1, 2.3.2 и (3.1.5) преобразование Фурье /—+}
является непрерывным гомоморфизмом L1 как алгебры относительно
свёртки в алгебру c0(Z), взятую с поточечными операциями,
как в п. 2.3.9. В частности, при каждом n£Z отображение
уп: f-+J(n) (3.1.6)
есть непрерывный гомоморфизм L1 на комплексное поле
(последнее при этом рассматривается как алгебра над самим собой).
В связи со сказанным естественно возникают некоторые вопросы
алгебраического характера. Наиболее важными из них являются
следующие:
(а) Будет ли отображение /—► / изоморфизмом L1 в с0 (Z)?
Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, следует ли из соотно-
шений f(n) = 0 (ngZ) равенство / = 0 п. в., и, таким образом,
на него уже был дан положительный ответ в п. 2.4.1.
(в) Имеются ли какие-нибудь другие, отличные от уп (n£Z),
непрерывные гомоморфизмы L1 на комплексные числа? В п. 4.1.2
мы увидим, что ответ отрицательный, и тем самым получим весьма
удовлетворительное обоснование фундаментальной роли
преобразования Фурье.
(с) Из 2.3.8 и (3.1.5) сразу ясно, что L1 не содержит единицы
относительно свёртки, т. е. такого элемента е, что e*f = f для
всех /6LA (Если бы такой элемент существовал, то из (3.1.5)
следовало бы, что е(/г)=1 при всех n^Z, что невозможно bf иду
2.3.8.) Поэтому естественно поставить вопрос: любая ли функция
/gL1 представима в виде свертки ft*f2 двух функций /х и f2
из L1? Положительный ответ опубликован был сравнительно
недавно (У. Рудиы и П. Дж. Коэн), хотя известен был уже несколько
ранее Салему и Зигмунду; см. [Zlf стр. 592]. Наиболее
элегантным здесь представляется метод Коэна, применимый к широкому

3.1. Определение и простейшие свойства свёртки 69
классу банаховых алгебр. Мы вернемся к этому и родственным
вопросам в § 7.5; см. также п. 11.4.18(6).
(d) Какие элементы е в L1 являются идемпотентными, т. е.
удовлетворяют условию е*е = е? Очевидно, что каждый
тригонометрический полином вида
е = ^еп (конечная сумма)
идемпотентен. Из 2.3.8 и 2.4.1 следует, что только они и
являются идемпотентными в L1.
(e) Поскольку ет*еп = 0 при тфп,т ясно, что L1 не является
целостной областью (т. е. в нем содержатся в изобилии делители
нуля). Какие подалгебры в L1 не содержат делителей нуля?
Вопрос этот получит некоторое освещение в п. 11.3.9.
(f) Можно ли как-то описать замкнутые подалгебры в L1?
Эта проблема оказывается чрезвычайно трудной. Легко видеть,
что если взять последовательность (Sfe)~=1 попарно
непересекающихся конечных подмножеств в Z, то множество тех /6L1, для
которых / принимает постоянное (зависящее от /) значение на
каждом из Sk (&= 1, 2, ...) и ^ = 0 на Z\ U SkJ образует зам-
кнутую подалгебру в IA Естественно было ожидать, что все
замкнутые подалгебры в L1 имеют такой вид. Но недавно
Ж--П. Кахан опроверг эту гипотезу. Его результат, а также
некоторые более простые аспекты изучения замкнутых подалгебр
будут рассмотрены в § 11.3.
(g) В соответствии с обычной алгебраической терминологией
будем называть идеалом в L1 всякое линейное подпространство
IczL1 с тем свойством, что /*g"€l при любых /£1 и ggL1;
замкнутым идеалом будем называть подмножество, которое
одновременно является идеалом и замкнутым подмножеством в IA
Возникает вопрос: можно ли эффективно описать все
замкнутые идеалы в L1?
В § 11.2 мы дадим положительный ответ на этот и некоторые
родственные вопросы для случая, когда рассматривается группа Т\
в то же время отметим, что для многих других групп,
представляющих интерес, аналогичные вопросы не получили вполне
удовлетворительного ответа. См. также упражнения 3.2 — 3.5.
Читатель, быть может, обратил внимание tfa то, что вопросы
(f) и (g) сформулированы не в чисто алгебраических терминах,
так как мы говорили о замкнутых подалгебрах и идеалах.
Такие топологические ограничения обычны при работе с
бесконечномерными алгебрами. Пытаться классифицировать все
(не только замкнутые) подалгебры или идеалы неестественно,
да и излишне самонадеянно. Топологические ограничения в ка-

70
ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
кой-то мере компенсируют бесконечность размерности и естественны
именно ввиду этой бесконечности.
Как уже было отмечено, проблема (f) еще не решена. Кроме
того, в п. 12.7.4 мы еще раз встретимся с проблемами (b), (d)
и (g) в несколько иной ситуации, где алгебра L1 будет заменена
большей алгеброй, а в § 16.8 проблема (d) появится для еще
более широкой алгебры со свёрткой. Аналоги проблем (Ь) и (g)
для этих расширенных алгебр еще не получили полного решения.
Можно также добавить, что в случае, когда исходная группа
существенно отлична от группы Т, 1Лвариант проблемы (d)
может оказаться намного труднее; см. [R, гл. 3], а также Rudin
[3], Rudin, Schneider [1], Rider [1].
Отметив эти белые пятна, обратимся теперь к некоторым
простым аналитическим свойствам операции свёртки, которые
будут играть важнейшую роль в последующем изложении.
Начнем с двух свойств, непосредственно вытекающих из
инвариантности интеграла; доказательство предоставляем читателю.
3.1.2.
3.1.3.
Taf*Tbg=Ta + bf*8-
3.1.4. Пусть l^p^oo и р' —сопряженный показатель,
определяемый равенством 1/р + \/р' =1 (/?' = 1 для р — оо и рг = оо
для р=1). Если f^LP и g£Lp't то свёртка f*g определена
всюду, непрерывна и
Доказательство. Неравенство Гёльдера показывает, что
функция y—+f(x—y)g(y) в нашем случае интегрируема при
каждом х, так что свёртка f*g(x) определена для всех х, и
\f*8(x)\ = \'2£§f(x-y)g(y)dy\^:lf(x-y)lp-lglP.,
где первый множитель f(x—y) рассматривается как функция
от у. В силу инвариантности относительно сдвига |] / (х — у) jp = || /1| •
отсюда следует доказываемое неравенство. Докажем
непрерывность f*g. По соображениям симметрии мы можем предположить,
что р < оо. Используя 3.1.1 и 3.1.2 и только что установленное
неравенство, получаем
\TAf*g)-f»8U='\TJ»g-f»gU
Но fTJ—flP—+0 при a—-+0 для любых f£LP и р < оо
(см. 2.2.4).

3,1, Определение и простейшие свойства свёртки 71
Замечания. (1) Предыдущий результат наводит на мысль,
что свёртка является сглаживающей процедурой. Следующие два
результата развивают эту тему, показывая, что если /€1Д то
/*g обладает некоторыми свойствами гладкости, общими с g.
Дальнейшие рассмотрения в этом направлении нам придется
отложить до гл. 12; см. в особенности пп. 12.6,2 и 12.7.2
и 12.7.3.
(2) Утверждение 3.1.4 можно в определенном смысле
обратить, и такое обращение по существу содержится в пп. 12.8.4
и 16.3.5.
3.1.5. (1) Если /eL1, a g принадлежит СЛ, или имеет
ограниченную вариацию, или абсолютно непрерывна, то f»g обладает
тем же свойством. Кроме того, в первом случае
Dm(f*g) = f»Dmg (3.1.7)
для любого целого т^О, не превосходящего k.
(2) Формула (3.1.7) справедлива при т=1 для любой
функции f£L* и абсолютно непрерывной функции g.
Доказательство. (1) Мы докажем лишь утверждение,
касающееся С*, предоставив читателю провести в остальных случаях
сходные рассуждения. В выделенном нами случае достаточно
показать, что /*g€C*, если ggC*, и что D(/*g) = /*Dg\ общий
случай получится индукцией по т.
При а Ф 0 имеем
a-'[/.g(* + a)-/»g(*)]-j^/fr) ^^~У)-^-У) ^
Поскольку ggC1, дробь в подынтегральном выражении при
а—>Q стремится к Dg(x — y)1 и, как видно из теоремы о среднем
значении, сходимость равномерна по у (и по х). Поэтому из
общих теорем о предельном переходе (см., например, [W, теор. 4.1 bj)
следует, что /*g имеет производную, равную f*Dg и
непрерывную в силу утверждения 3.1.4 для случая /?=1.
(2) Предположим, что /gL^a g абсолютно непрерывна.
Сначала докажем, что f*g абсолютно непрерывна.
Для любых двух вещественных чисел а и Ь имеем
\f*g{b)-f*g(a)\^±^\f{y)\\g{b-y)-g(a-y)\dy. (3.1.8)
Так как g абсолютно непрерывна, то для любого заданного е > 0
найдется такое число б = б (е) > 0, что
2le(»*)-ewi<e

72 ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
для любой последовательности (\ak, bk])rks=s^ непересекающихся
отрезков \aki bk]y удовлетворяющих условию ^{bk — ak)^.b.
Но тогда для всякой такой последовательности отрезков
г
4E\g(bk-y)-g(ak-y)K*
при всех у, и поэтому из (3.1.8) вытекает, что
ii/»g0*w»j?(a*)j<i/iii-e-
Это показывает, что свёртка f#g абсолютно непрерывна. В
справедливости равенства (3.1.7) при т—\ проще всего убедиться
теперь, применяя к каждой его части 2.3.4 и используя (3.1.5).
3.1.6. Если /gL1 и g£LP (1<р<оо), то f*g£LP и
Доказательство. Для любой функ ции h g Lp' теорема
Фубини — Тонелли дает
-¾^ ^ /* ЙГ W Л (х) cte ^ -^- ^ | Л(х) | |-gj- J | / (У) £Г(^ — if) I rf^| Л^
^ i 11'( у ) I {i SIh (x)8 (x " y Я dx /dy -
В силу неравенства Гёльдера внутренний интеграл не
превосходит ||Л|р"||£||/?' Следовательно,
^§f*g(x)h(x)dx\<MUh\\P>.\}g\\p.
Обращение неравенства Гёльдера (см. упражнение 3.6) позволяет
теперь сделать вывод, что /*g€L* и \\f*gjp <\\f\\i-\\g\\P> как
и утверждалось.
Замечания. (1) Можно сделать доказательство более
элементарным, предположив сначала, что / и g непрерывны. Тогда
можно считать, что h тоже непрерывна, и для доказательства
нам понадобятся более простые варианты теоремы Фубини —
Тонелли, неравенства Гёльдера и его обращения. Применив их,
мы придем к нужным результатам в случае непрерывных f и g,
Переходя к общему случаю, можно предположить, что р<оо,
так как в противном случае результат содержится в 3.1.4, и затем
приблизить / и g соответственно в L1 и в LP непрерывными
функциями fn и gn (я=1,2, ...). Ввиду (3.1.2), /„n„—/*g
в L1, и потому некоторая подпоследовательность этой
последовательности сходится почти ьсюду. Применяя к ее членам уже

3.1. Определение и простейшие свойства свёртки 73.
полученный для непрерывных / и g результат и используя затем
лемму Фату ([W, теор. 4. Id]), приходим к желаемому
утверждению.
(2) Утверждение 3.1.6 может быть уточнено в нескольких
направлениях; см. п. 12.7.3 и упражнение 13.5. В § 13.6
будет получен результат, объединяющий и обобщающий 3.1.4
и 3.1.6.
3.1.7. Другие алгебры с операцией свёртки в качестве умножения.
Из 3.1.5 вытекает, в частности, что каждое С* является
ассоциативной и коммутативной комплексной алгеброй относительно *
и что то же верно для множества функций ограниченной вариации
и множества абсолютно непрерывных функций. Фактически
каждое из этих пространств, кроме С°°, может быть превращено
в коммутативную комплексную банахову алгебру относительно *.
(Пространство С00 не нормируемо, но является вполне хорошей
комплексной топологической алгеброй относительно #, которая
метризуема, полна и ассоциативна.) Аналогично, в силу 3.1.6,
Lp (1 <[ /7^ со) является ассоциативной и коммутативной
комплексной банаховой алгеброй. Будучи подалгебрами в L1 (в чисто
алгебраическом смысле), содержащими все тригонометрические
полиномы, ни одна из этих алгебр не содержит единичного эле-,
мента; см. 3.1.1(c).
Кроме того, 3.1.6 показывает, что на Lp (l^p^oo) можно
смотреть как на модуль над кольцом L1 (при этом * является
одновременно операцией умножения в кольце L1 и операцией
модульного умножения элементов из Lp на элементы из L1).
3.1.8. Свёртка и сдвиг. И 3.1.2, и 3.1.3 указывают на тесную
связь между операторами сдвига Та и свёрткой. Это подтвердится
в дальнейшем (см. в особенности §§ 16.2 и 16.3). А сейчас
приведем один из основных результатов в этом направлении.
3.1.9. Пусть /gL1, и пусть Е обозначает любое из
нормированных пространств С или L/ (1^/?<оо). Если g^E, то f*g
является пределом в Е конечных линейных комбинаций сдвигов
функции g.
Доказательство. Пусть дана функция g£E. Обозначим
через V^ замкнутое линейное подпространство в Е, порожденное
сдвигами Tag функции g> т. е. замыкание в Е множества всех
линейных комбинаций элементов Tag. Обозначим, далее, через S
множество таких /6L1, для которых f*g£Vg. Нам нужно
показать, что S=IA Очевидно, что S —линейное подпространство
в L1, а из 3.1.6 следует, что S замкнуто в L1. Поэтому
достаточно доказать, что S содержит подмножество S0, такое, что
конечные линейные комбинации элементов из Sy плотны в L1.

74
ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
Если Е = С, то в качестве S0 можно взять С (см. [W, теор. 4.3Ь]).
Предоставим читателю доказать, что фактически ^*g является
равномерным пределом конечных линейных комбинаций сдвигов g",
если f и g непрерывны. (Указание. Аппроксимируйте интеграл,
определяющий /*g, суммами Римана, используя равномерную
непрерывность рассматриваемых функций.)
Перейдем к остальным случаям.
Пусть Е —f (1^/7<оо). В этом случае в качестве S0
годится множество функций /, каждая из которых на [0,2я]
совпадает с характеристической функцией некоторого отрезка I = [а, Ь],
где 0 < а < Ъ < 2я, а далее продолжена периодически (ср. [W,
теор. 4.3а
длины | Ik
). Разобьем / на конечное число подынтервалов /Л
, не превосходящей числа б, которое мы вскоре
подберем. Выберем и зафиксируем точку % в каждом из /Л. Тогда
имеем
f*£ М- i £' 7*l£ (*~ а^
1
2л
k и k
(hk введены для сокращения записи), и неравенство Минковского
дает
1
/•*—sri;i/*i-7v
<
2л
5>
k \\р*
(3.1.9)
Используя теперь неравенство Гёльдера и теорему Фубини —
Тонелли, получаем
Mi
12= 2^-И J [8(x-y)-g(x-ak)]
dy
\dx
2л
yftip/p'j" {(-^)51^-^-^-^^}^
^r'-Suv-^l^-
(3.1.10)
Для любого заданного e > 0 мы можем подобрать столь малое
6 > 0, что
при всех t/(E/ft (см. 2.2.4). Тогда (3.1.10) дает
|л*К<К*1р/р'-1М-в'=|/*Г^;

3.2, Аппроксимативные единицы для свёртки 75
здесь учтено, что р/р' + 1=р\ таким образом,
11М„<|/*К (3.1.11)
Объединяя (3.1.9) и (3.1.11), получаем
Поскольку
srLlM-71^
2л
является конечной линейной комбинацией сдвигов функции g,
мы заключаем, что /*g"€V^; и тем самым доказательство
завершено.
Замечание. Некоторое дополнение к 3.1.9 содержится в 3.2.3.
См. также упражнение 3.7. Другое доказательство утверждения
3.1.9 можно найти в части (2) доказательства утверждения 11.1.2.
3.1.10. Характеризация свёртки. Некоторые результаты этого
параграфа, взятые по отдельности или в сочетании друг с
другом, допускают обращения, интересные с той точки зрения, что
они в сущности дают характеризацию свёртки как некоторой
линейной или билинейной операции в терминах таких
фундаментальных понятий, как инвариантный интеграл, стандартные
функциональные пространства и операторы сдвига.
Например, 3.1.2 и 3.1.4 вместе показывают, что при данной
функции /gLp' отображение U:g"—► /*g является непрерывным
линейным оператором из Lp в С, который коммутирует с
оператором сдвига (т. е. TaU = UTa при всех a£Rl2nZ). Как мы
увидим в п. 16.3.5, верно и обратное утверждение.
Далее в п. 16.3.11 мы обсудим возможность обращения
результата п. 3.1.9.
Переходя к третьему примеру, заметим, что отображение
^'•(/> S)—*f*g билинейно, обладает различными свойствами
непрерывности и положительности и связано с операцией сдвига
соотношением
B(TJ9g)^TJB(f9g)^B{ftTag).
В п. 16.3.12 мы придем к заключению, что с помощью этих
свойств можно охарактеризовать свёртку как билинейный
оператор (это будет довольно долгий путь).
3.2. АППРОКСИМАТИВНЫЕ ЕДИНИЦЫ ДЛЯ СВЕРТКИ
Как уже отмечалось в п. 3.1.1 (с), L1 не содержит единичного
элемента относительно операции #. То же верно и для меньших
^■алгебр, таких как Сл и Lp (l^p^oo). Поэтому мы сейчас

76 гл. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
рассмотрим наилучший «суррогат единицы» —так называемую
аппроксимативную единицу.
3.2.1. Под аппроксимативной единицей (для свёртки) понимается
последовательность (Кп)%=г элементов из L1, таких что
sup || /СД < оо, (3.2.1)
п
lim -^-[Kn(x)dx=\ (3.2.2)
п —>■ 00
и
lim J \Kn{x)\dx = 0 (3.2.3)
для любого фиксированного б, удовлетворяющего условию
О < б < я.
В гл. 5 мы увидим, что существуют аппроксимативные
единицы (Кп)п=1, У которых каждое Кп является тригонометрическим
полиномом, и это обстоятельство сыграет весьма важную роль
в дальнейшем.
Более простые примеры аппроксимативных единиц
непосредственно получаются из наблюдения, что любая
последовательность (Кп) неотрицательных интегрируемых функций,
удовлетворяющих условию (3,2.2) и условию
lim J Кп (х) dx = 0
п"*л 6<\х \<п
для любого фиксированного б, такого что 0 < б < я, является
аппроксимативной единицей. Значит, в качестве Кп (п= 1, 2, . ..)
можно взять, скажем, функцию, которая на [—я, я) равна
помноженной на я/г характеристической функции интервала
[—1//г, 1//г], а далее продолжена периодически.
Название «аппроксимативная единица» оправдывается
следующим результатом.
3.2.2. Пусть (/C„)SLi — аппроксимативная единица. Тогда
lim |^T£*/)-^/IL = 0 (/€ С*)
П -»■ 00
при условии, что т — целое число ^0, не превосходящее &;
Hm |/С„./-/1, = 0 (/еИ
при 1 ^/? < ОО.
Доказательство. Так как Dm (Кп* /) = /С„* Dm/ при любых
/С„ € L1 и /gCw (см. 3.1.5), то второе утверждение следует

3.2. Аппроксимативные единицы для свёртки 77
из первого. Первое же следующим образом вытекает из
равномерной непрерывности /. Имеем
Kn*f(x)-f(x)^Kn{y)dy = ^Kn{n)\f(x^y)-f(x)\dy.
Положив
получаем
*„«/-a„/L<^rJ|K» МИTJ-fl-dy^I. (3.2.4)
Пусть нам задано е > 0. Выберем и зафиксируем б из интервала
(0, я], такое что \\Tyf — /f^ <е при |#|^б. Тогда
/-ijl^(f/)l-IIV-/IL-^
J +25Г I • (3-2-5>
1
2л
I # I < б б < 1/ < я
Первый интеграл ввиду (3.2.1) мажорируется величиной
1
§\Кп\*У<Мг, (3.2.6)
8*2л"
где Л4 не зависит от п. Поскольку, далее, ||7\/ —/|L^2
для всех у, то второй интеграл мажорируется величиной
2||/|L-~ J \K(y)\dy. (3.2.7)
в<|»|<я
Сохраняя фиксированными 8 и б, получаем из (3.2.3) — (3.2.7)
Hmsup||/(„*/-aJL<Me.
Так как е —произвольное положительное число и так как,
в силу (3.2.2), liman=l, мы заключаем, что для любой
непрерывной функции f
lim \\Kn*f-f\l = 0.
Для доказательства третьего утверждения сначала по заданным
f(tW и е>0 выберем такую функцию р gC, что ||/ —/%<|е.
Ввиду 3.1.6 и (3.2.1) имеем
1*,.»/-*я*И,<!*,,И<Л1в, (3.2.8)
где М не зависит от п. Используя уже доказанное, найдем такое
п<> = п0 (е), что
\Кп*Р-Р1<г при п>п0.

78 ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
Тогда тем более
^/z*/+-W%<8 при п>п0
и, значит,
[*„*Л-/11,<2в при п>п0. (3.2.9)
Следовательно, в силу (3.2.8) и (3.2.9)
I^„»/-/t<Ale + 2e при п>п0У
чем и завершается доказательство.
3.2.3. Пусть Е обозначает любое из нормированных пространств
С или Lp (1 ^.р < оо). Поскольку каждое отображение сдвига Та
является непрерывным эндоморфизмом множества Е, то 3.2.2
показывает, что Та (Кп # /) —► TJ для каждой функции / € Е.
Кроме того, в силу 3.1.2, Та(Кп*f) = TaKn*f. Таким образом,
мы видим, что TJ является пределом в Е свёрток &#/, где
k^L1. Этот результат служит дополнением к 3.1.9.
Взятые вместе эти два результата показывают, что для
функции /gE замкнутое линейное подпространство в Е, порожденное
всеми сдвигами /, совпадает с замыканием в Е множества всех
свёрток &#/, где k пробегает всё L1; если Е рассматривается
как *-модуль над L1, то последнее множество является замкнутым
подмодулем в Е, порожденным /. Дальнейшие результаты такого
рода будут получены в § 11.1.
3.2.4. Аппроксимативные единицы и 8-функция Дирака. Первая
часть утверждения 3.2.2 показывает, в частности, что
lim *„•/(0) = /(0),
П -> 00
или, что эквивалентно (заменяем / на /),
lim -±-\Kn(x)f(x)dx = f{0)
для каждой непрерывной функции /. (В действительности
внимательный анализ доказательства показывает, что это равенство
справедливо для любой функции /€L°°, непрерывной в 0.) Это
означает, что последовательность (Кп) относится к тому виду
последовательностей, которые часто называют сходящимися
(в определенном смысле) к так называемой b-функции Дирака.
Полную строгость этому высказыванию можно придать, используя
понятия, которые будут изучаться в гл. 12; см. в особенности
пп. 12.2.3 и 12.3.2 (3).
3.2.5. Аппроксимативные единицы и суммирующие множители.
Главный эффект использования аппроксимативных единиц в
теории рядов Фурье состоит в том, что они позволяют ввести
в расходящиеся ряды так называемые «суммирующие множители».

3.3, Понятие групповой алгебры 79
А именно, роль этих множителей играют преобразования ФурьеКп,
обладающие, как следует из результатов п. 3.2.4, свойством
lim Rn(m) = l (m£Z).
Конкретные примеры будут даны в §§ 5.1 и 6.6.
3.3. ПОНЯТИЕ ГРУППОВОЙ АЛГЕБРЫ
3.3.1. Классическое понятие. В классической, чисто
алгебраической теории конечных групп для получения более гибких
методов изучения группы G вводится так называемая групповая
алгебра (или групповое кольцо) Щ группы G. Она определяется,
после выбора некоторого поля скаляров /С, как множество всех
формальных (конечных) линейных комбинаций
/= 2/(*)•*
xeG
групповых элементов x^G с коэффициентами f(x)£K*
Алгебраические операции определяются так:
/ + £=2 [f(x) + g(x)]-x,
XGG
te=2 Г2 f(x-y)g(y)]-x.
Если учесть, что
/(/)-2 fix)
*<s G
выступает в качестве инвариантного интеграла на G (см. п. 2.2.2
и упражнение 2.5), то нетрудно заметить, что групповую алгебру
можно рассматривать как алгебру /С-значных функций на G
с поточечными линейными операциями и со свёрткой в качестве
умножения; сумма
2 f(x-V)8(y)
У* G
в точности соответствует интегралу
±[f(x-y)g(y)dy*
использованному в § 3.1 для определения свёртки двух функций
на группе Т.
В наши планы не входит детальное изучение групповой ал
гебры конечной группы (по этому поводу, см., например, [Во]

80
ГЛ. 3. СВЕРТКИ ФУНКЦИЙ
или [vW]); мы упомянули здесь это понятие просто потому, что
оно является предшественником другого понятия, играющего
важную роль в современном развитии гармонического анализа
(см. п. 3.3.2). Для дальнейших сравнений отметим, что изучение
групповой алгебры конечной группы ведет в конечном счете
к получению большого количества информации о структуре
исходной группы, правда лишь в сочетании с изучением
представлений данной группы.
3.3.2. Современное понятие. В случае бесконечных групп и
в особенности локально-компактных топологических групп G
имеются различные способы обобщить понятие групповой алгебры.
Обычно здесь предполагают, что основным полем является
комплексное поле. Однако и при этом остается большая свобода
выбора, особенно когда G компактна. Например, npnG = 7 термин
«групповая алгебра» можно отнести к любому из пространств
L^(l^p^oo), или СЛ(0^£<; оо), или же к алгебре мер М,
вводимой в гл. 12. Больше всего этот «титул» подходит
пространству L1, главным образом потому, пожалуй, что L1 остается
алгеброй относительно свёртки, даже когда исходная группа
некомпактна. (Это последнее свойство присуще и М, но в алгебре М,
вообще говоря, гораздо больше загадочного, чем в L^cm. п. 12.7.4.)
Имеются, конечно, важные различия между групповой
алгеброй 31 конечной группы и любой из алгебр LP или С*. Так, (1)
31 обладает единичным элементом (таковым будет функция,
принимающая значение 1 вх = 0и значение 0 в остальных точках) —
ср. с п. 3.1.1 (с); (2) 31 является конечномерным линейным
пространством, чго очевидно неверно для LP и Ck. Указанное в (2)
отличие означает, что изучение групповой алгебры в
современной трактовке есть задача в такой же степени анализа, как и
алгебры.
В силу тех же отличий здесь намного труднее найти
ясно выраженные связи между свойствами групповой алгебры
и свойствами исходной группы; см. замечание в п. 4.2.7.
Фактически при современном подходе делается больший упор на
изучение структуры функциональных пространств, определенных на
группе, чем на изучение структуры самой исходной группы.
3.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ПОНЯТИЯ
Не вызывает никаких затруднений сформулировать
определение свёртки ф#\[) двух функций на Z, при условии что наложены
подходящие ограничения на их поведение на бесконечности; см.
упражнение 3.15.
Но уже не так просто обстоит дело с аналогом соотношения
(3.1.5). Этот аналог должен выглядеть так:
(qmj))'4 = ф-if, (3.4.1)

Упражнения 81
и достаточно вспомнить замечания, сделанные в § 2.5, чтобы
понять некоторые трудности, связанные с доказательством
соотношения (3.4.1). Единственный простой случаи —это тот, в
котором как ф, так и -ф принадлежат Z1; тогда ср*я|; также
принадлежит I1 (ср. с (3.1.2)).
В будущем нас больше будут интересовать случаи, когда (3.4.1)
устанавливается для ц и \р, имеющих соответственно вид fug,
где / и g — определенные на G=~T функции, на которые
наложены некоторые ограничения; в этих случаях формула (3.4.1)
будет по существу представлять собой вариант формулы Парсе-
валя, которую мы будем изучать в гл. 8 и 10. См. также
пп. 12.6.9 и 12.11.3.
Упражнения
3.1. Для /€La положим
W= 2 f{n)en
\п\ < N
и предположим, что функция DN определена, как в
упражнении 1.1. Проверьте, что sNf = DN*f и
sNf*g = sN (/*g) = f*sNg
для /, g€IA Выведите отсюда, что sNf является пределом в L1
линейных комбинаций сдвигов функции /.
3.2. Пусть l^p^oo. Положим
1 = {/€1^:К/||, = 0(1) при ЛГ-+оо},
J = {/<EL': lim \\f-sNf\\p = 0}.
Проверьте, что I и J являются подмодулями в Lp
(рассматриваемом как *-модуль над L1), причем Jcl. Докажите, что I и J
всюду плотны в L? при р < оо. Будет ли J плотно в L°° при
/7=оо? Обоснуйте свой ответ.
3.3. Пусть в предыдущем упражнении р=\. Покажите, что I и
J не замкнуты в L1.
Указание. Воспользуйтесь результатами вычислений п. 5.1.1
и принципом равномерной ограниченности, как он сформулирован
в п.п. В.2.1 или В.2.2.
3.4. (1) Пусть Е — множество тех / g L1, для которых f(x) = f (—х)
п. в. Будет ли Е идеалом в L1? Будет ли Е подалгеброй в L1?
Замкнуто ли Е в L1? Обоснуйте ответы.
(2) Докажите, что сох (/#§•) ^ |] /\\г • co^g- для /, g(tLl. Выведите
отсюда, что множество
I = {/gLI:(oi/(a) = o(aTJ при а-*0/

82 ГЛ. 3. СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ
является идеалом в IA Замкнуто ли I в L1? Обоснуйте ответ.
Указание для (2). Заметьте, что I всюду плотно в IA
3.5. Пусть функция /gL00 такова, что функция а—>TJ
непрерывна как отображение из R в L00, наделенное топологией
нормы (т. е. ITJ—11^-+0 при а—>0). Докажите, что / почти
всюду равна некоторой непрерывной функции. (Обратное
утверждение тоже верно и почти тривиально.)
Указание. Возьмите какую-нибудь аппроксимативную единицу
(Кп)п=\ в L1 и рассмотрите функции fn = Kn*f. Покажите, что fn
равностепенно непрерывны и равномерно ограничены. Пусть
(#f)?Li — всюду плотная на (0,2я) последовательность. Подберите
строго возрастающие последовательности натуральных чисел
(n^)gLi так, чтобы (Пк+1))%^ была подпоследовательностью
последовательности (я^)ь=1 и чтобы lim fna)(x{) существовал и был
конечен при каждом i. Получите отсюда, что существует функция
g"gC, такая что при пк = п(^ («диагональная последовательность»)
1пь—>g равномерно. Используя 3.2.2, сравните /и g.
Замечания, Это утверждение—частный случай для группы R/2nZ одного
результата Д. Эдвардса (D. Edwards [1]), справедливого для общих групп.
Имеется аналогичный более старый результат для мер Радона (см. гл. 12),
принадлежащий Плеснеру и Райкову. Результаты обоих типов рассмотрены
в работе R. Edwards [2]. См. также упражнения 11.22 и 12.23.
Существование у последовательности (/„) равномерно сходящейся подпоследовательности
есть частный случай теоремы Асколи; см. [Е, § 0.4].
3.6. (Обращение неравенства Гёльдера.) Пусть 1 ^р^ оо и
функция f€L* такова, что
для каждой функции g"gC, причем число т не зависит от g.
Докажите, что f£Lp\ где 1/р-\-1/р' — \, и
If К т.
Указание. Покажите, что (1) остается верным для ggL00.
Замечания. Достаточно даже предполагать, что (1)
справедливо лишь для gGC00. Другой вариант этого результата см.
в п. 13.1.5.
3.7. Останется ли 3.1.9 верным, если взять Е = С*9 Обоснуйте
ответ.
3.8. Пусть {Кп)пш-1 — аппроксимативная единица. Докажите, что
при р > 1
lim\\KJp = oo;
П -*• с»
ср. с упражнением 7.6.
-klfSdx

Упражнения 83
3.9. Пусть Нр обозначает множество таких /€LP, что f(n) = 0
при п < О (здесь 1^/J^oo). Покажите, что Нр является
замкнутым идеалом в L/.
Замечания. Изучение пространств \iP—так называемых пространств
Харда—дело весьма сложное, тесно связанное с теорией комплексных
аналитических функций. Эту связь можно понять, если заметить, что каждая
функция f£HP может рассматриваться как граничное значение (в некотором точном
смысле) при |г| = 1 функции /#, определенной для комплексных г с |г| < 1
степенным рядом 2 / (п) гП* (В терминах функций /# определение классов
п> о
Нр можно распространить на случай 0< р< 1.) В этой книге мы не
собираемся предпринимать систематическое изучение этой темы, хотя в той или
иной степени она затронута в упражнениях 6.15, 8.15, 11.8, 11.10, а также
в пп. 12.9 и 12.10.3. Детальное изложение темы можно найти в [Но], [Hel],
[dBR], [R, гл. 8], [Zx гл. 7J, [Kz, стр. 81], [Ba2, стр. 538—547]. Обзор
абстрактной теории дан в работе Srinivasan, Wang fl]; см. также
библиографию к этой работе и MR 37 #1982; 55 #989, 990.
ЗЛО. Пусть (Kn)°n^ — последовательность неотрицательных инте-
грируемых функций, таких что lim KN(n) = l (n£Z). Докажите, что
N -> оо
lim KN*f = f
равномерно для каждой непрерывной функции /. Выведите
отсюда, что {Kn)n=\ является аппроксимативной единицей
(см. п. 3.2.1).
3.11. Допустим, что при вещественном а число а/п
иррационально и / — измеримая комплекснозначная функция, для
которой TJ = fn. в. Докажите, что / = const п.в. (Напомним, что все
рассматриваемые функции имеют период 2я.)
3.12. Пусть 1^/7^оо. Докажите, что свёрточная алгебра LP
не имеет ни одного обобщенного (или топологического) нильпо-
тентного элемента, т. е. такого элемента /, что
inf || /** \f = О,
k
где /« = / и /***+i) = /»/**(A5=if 2, ...). См. п. 11.4.18(1).
3.13. Предположим, что /(gL1 и i|/C|!<l. Покажите, что для
любой заданной функции g£LP (где 1^/?^оо) уравнение
имеет единственное решение
00
f=g+ 2 K'n*g
П а 1

84 ГЛ. 3. СВЕРТКИ ФУНКЦИЙ
и это решение удовлетворяет условию
l/II^U-Wi)-1!*!,.
Замечания, Очевидное необходимое условие разрешимости указанного
уравнения при любой функции ggL1 состоит в том, что К(п)ф\ (n£Z). То
что это условие является и достаточным,—более глубокое утверждение. Оно
следует из 11.4.13.
Отметим, между прочим, что свёрточные неравенства вида /—/С*/^0
находят применение в некоторых разделах современной теории потенциала и
гармонического анализа. При этом /С, обозначавшее до сих пор интегрируемую
функцию, там часто обозначает меру (см. п. 12.2.3). В нашей книге такие
неравенства не будут играть никакой роли; интересующиеся могут обратиться
к работе Essen [1] и приведенной там библиографии.
3.14. Допустим, что (cn)nez — такая последовательность, что
2 \СП?(П)\ <оо
пе z
для каждой функции /€1А Докажите, что 2 k/J < °°-
n€Z
Указание. Воспользуйтесь принципом равномерной
ограниченности из п. В.2.1.
Примечание. Условие задачи не следует смешивать с требо-
ванием простой сходимости ряда 2jCnf(n) для каждой f^L1.
См. п. 10.5.1.
Сходными рассуждениями можно установить более общую лемму Бозан-
ке и Кестельмана, утверждающую, что если функции и^ (6 = 1, 2, ...) та-
ковы, что fttk^L1 и 2 \ fukdx < оо для любой /^L1, то ^ lMfel€L°°.
3.15. Рассмотрим последовательности (= комплекснозначные
функции на Z) ф, г|з, .... Дайте определение свёртки ф*я|),
такое что (fg)~ = f*g для тригонометрических полиномов fug.
Используя обозначения, введенные в п. 2.2.5, рассмотрите
«двойники» результатов § 3.1.
Примечание. Дальнейшее изучение соотношения (fg)~ =}*g
будет у нас связано с формулой Парсеваля; см. гл. 8 (особенно
(8.2.5)) и гл. 10. Замена исходной группы (Т на Z) привела
к некоторым интересным вопросам, касающимся свёртки для
некомпактных групп; эти вопросы изучались в ряде статей
Раджагопалана (Rajagopalan) и Желязко (Zelazko),
прореферированных в MR 32 # 2506. См. также упражнение 4.6, [HR, (38.26)
и (38.27)], MR 34 #1868, 8213; 35 #7136; 37 # 4509; Gaudet,
Gamlen [1].
3.16. Пусть S—-множество на вещественной прямой, у которого
внутренняя мера
ть (S) === sup {т (F):F замкнуто, F<zS\

Упражнения 85
положительна. Докажите, что множество разностей S+==S — S=s
= {х— y-x^S, y£S} содержит окрестность нуля.
Указание. Взяв подходящее замкнутое подмножество
какого-нибудь сдвига множества S, можно считать, что S измеримо,
содержится в (0, я/2) и имеет меру m(S)>0. Пусть
/—периодическая функция, совпадающая на [—л, п] с
характеристической функцией множества S. Примените 3.1.4 к/*/.
Примечание. Этот результат принадлежит Штейнгаузу (Sur le distances
des points des ensembles des mesure positive. Fund. Math. 1 (1920), 93—104).
Его можно сформулировать исключительно в терминах группы Т; фактически
результат сохраняется для любой локально-компактной группы, причем в
доказательство, предложенное Ъыше, нужно внести лишь небольшие изменения.
В качестве следствия получаем, что всякая подгруппа группы Т или открыта,
или имеет нулевую внутреннюю меру.
По поводу некоторых обобщений см. Ray, Lahiri [1], Mueller [1] и
указанные там работы.
Имеется аналогичный результат, принадлежащий Банаху, Куратовскому
и Петтису и относящийся к топологическим группам, которые не обязательно
локально-компактны; при этом термины теории меры заменяются категорными 1)\
см. [К, стр. 276] и (для одного частного случая) [Zlt стр. 398, пример 2].
По поводу обратного утверждения см. MR 51 4t= 6286.
3.17. Пусть (аи)"в1 — последовательность вещественных чисел.
Предположим, что lim exp (ianx) существует для каждого х из
некоторого множества вещественных чисел, имеющего
положительную внутреннюю меру (см. предыдущее упражнение).
Докажите, что lim ап существует и конечен.
Указание. Множество точек сходимости последовательности
(exp(ianx)) является, очевидно, подгруппой в R. Используя
упражнение 3.16, покажите, что S = R, так что g(x) =
= lim exp (ianx) существует для всех вещественных х. Следова-
тельно, на основании известных результатов теории
интегрирования,
lim J / (х) exp (ianx) dx = ) f (х) g (х) dx
П-+ со R R
для каждой интегрируемой по Лебегу на R функции /. Выведите
отсюда, что последовательность (аи)"=1 ограничена (для этого
понадобится усовершенствованный вариант теоремы 2.3.8), а затем
(подбирая подходящее / или используя соображения
компактности) докажите, что эта последовательность ограничена.
3.18. Пусть (Оя=т ~~ последовательность комплексных чисел,
а (сс/2)~==1 — последовательность вещественных чисел. Предположим,
1} В смысле Бэра. —-Прим. ред.

86
ГЛ. 3. свёртки ФУНКЦИЙ
что lim сп exp (ianx) существует для каждого х, принадлежащего
П ~> 00
некоторому множеству вещественных чисел, имеющему
положительную внутреннюю меру (см. упражнение 3.16). Докажите, что
(i) последовательность (сп) сходится к некоторому комплексному
числу и (и) если ИтспфО, то (ап) сходится в R.
3.19. Пусть % — измеримый характер группы Т. Докажите, что
% непрерывен.
Указание. Сначала воспользуйтесь упражнением 3.16 для того,
чтобы показать, что % ограничен, а затем установите
непрерывность % с помощью рассуждений, сходных с примененными
в п. 2.2.1 при доказательстве того, что непрерывный характер
дифференцируем.
См. также [HR, стр. 453], где этот результат сформулирован
и доказан в более общем виде.
Замечание. На Т существуют характеры, которые
одновременно ограничены и неизмеримы.

ГЛАВА 4
ГОМОМОРФИЗМЫ СВЁРТОЧНЫХ АЛГЕБР
В этой короткой главе мы познакомим читателя с двумя
проблемами, типичными для современного подхода к
гармоническому анализу. Первая проблема, решение которой будет
детально рассмотрено в § 4.1, возникает в связи с выбором любой
из свёрточных алгебр Е, упомянутых в п. 3.3.2, и состоит в
нахождении всех гомоморфизмов у алгебры Е в комплексное поле.
Получаемый при этом ответ подчеркивает фундаментальную роль
преобразования Фурье в изучении групповой структуры.
Вторая проблема связана с эндоморфизмами множества Е
(т. е. с гомоморфизмами Е в себя). Из рассматриваемых алгебр Е
только случаи L2 и L1 разобраны полностью. Первый случай
прост и сравнительно мало интересен (ср. с упражнением 8.1).
Случай E = LX, напротив, весьма сложен, и мы сможем лишь
показать, как решение проблемы о комплексных гомоморфизмах
позволяет осуществить полезную редукцию проблемы об
эндоморфизмах, и затем сформулировать ответ.
Такое неполное изложение вопроса о гомоморфизмах
приводится уже на этой ранней стадии изложения потому, что, как
мы убедились в пп. 3.1.9 и 3.1.10, свёртка теснейшим образом
связана со структурой группы, и ввиду той фундаментальной
роли, которую предстоит сыграть свёртке, следует
безотлагательно познакомить читателя с проблемой гомоморфизмов. Эта
проблема фактически оказалась в центре внимания современных
исследований.
4.1 КОМПЛЕКСНЫЕ ГОМОМОРФИЗМЫ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
4.1.1. Мы будем рассматривать нетривиальные комплексные
гомоморфизмы у свёрточной алгебры L1 в комплексное поле. Другими
словами, у есть линейный функционал на комплексном линейном
пространстве L1, который не равен тождественно нулю и
удовлетворяет соотношению
V (/•*) = У (/) • У (§) (4.1.1)
Для /, g€L\

88 ГЛ. 4. ГОМОМОРФИЗМЫ ОБЁРТОЧНЫХ АЛГЕБР
Как будет выяснено в пп. 11.4.9 и 11.4.12, такой
гомоморфизм у необходимо непрерывен на L1, т. е.
|у (/) | < const I/1*, (4.1.2)
а пока мы просто предположим, что у непрерывен.
4.1.2. Пусть у — любой нетривиальный непрерывный кОхМплексный
гомоморфизм IA Тогда существует единственное п g Z, такое что
У = Уп> гДе (см- (3.1.6))
?*(/)=/>)
при /€LA
Доказательство. Единственность п очевидна.
Доказательств существования п мы предложим два,
относительные преимущества каждого из них будут рассмотрены в п. 4.1.3.
Первое доказательство. Положим сп=у(еп) для n£Z.
Поскольку у непрерывен и нетривиален, то из теоремы 2.2.4 о
плотности многочленов следует, что спфО по крайней мере для
одного целого п. Далее, поскольку еп*еп> = еп или 0 в
зависимости от того, равно п' числу п или нет, то после применения у
также сп-сП' = сп или 0 при тех же п! и п. Таким образом, сп>
равно 1 или 0 в зависимости от того, равно п' числу п или нет.
Тогда линейность у показывает, что y(f) = f(ti) для всех
тригонометрических многочленов /. В свою очередь непрерывность у
вместе с теоремой о плотности многочленов показывает, что
Y(/)=/(/2) для всех /€1А
Второе доказательство. Ввиду непрерывности у и того факта,
что С всюду плотно в L1, достаточно установить, что при
некотором n G Z формула
7(/) = / in)
справедлива для всех непрерывных /.
Снова в силу непрерывности у мы можем выбрать и
зафиксировать непрерывную функцию /0, для которой у (/0) отлично от
нуля. Рассмотрим функцию % на R/2nZ, определяемую формулой
l(x) = yJ£f^. (4.1.3)
Очевидно, х (0) = 1. Ввиду (4.1.2) и того факта, что выражение
\\Txh-Tyf0\\i=iTx-Jo-L\\i
стремится к нулю вместе с х—у, заключаем, что % непрерывна.
Объединяя 3.1.3 и (4.1.3), получаем, что
x(*+</) = xW-x(</)-

4.1. Комплексные гомоморфизмы и коэффициенты Фурье
89
Следовательно (см. 2.2.1), существует такое ngZ, что
%{x) = e'inx. (4.1.4)
Возьмем теперь любую непрерывную /. Тогда (ср. с
доказательством в п. 3.1.9) при любом заданном е>0 свёртка f0*f
равномерно с точностью до 8 аппроксимируется любой суммой вида
т
2п
2 f(xk)-T*kh-(4—**-i).
/2=1
где 0 = х0 < хг.. . < хт = 2я — произвольное разбиение отрезка
[О, 2я], шаг которого тах(л^— хк_г) достаточно мал (он зависит
от е, /0 и /). Следовательно,
1
/о*/
2я
/^ / (¾)' Txjo • (¾ — -½-1)
s^e
для каждого из таких разбиений. Применив к выражению под
знаком нормы у и воспользовавшись (4.1.2), получим
У tf°*/) ~ы11 f (**)' V (7¾^)' (х*—^*-i)
<! const -е.
Привлекая (4.1.1), деля неравенство на y(f0) и используя (4.1.3)
и (4.1.4), находим, что
ия-^Ем**)-*"'"'*-^*-**-!)
<
const-е
TvW
(4.1.5)
для всех достаточно мелких разбиений. Но сумма в левой части
неравенства (4.1.5) при стремлении к нулю шага разбиения
сходится (поскольку / непрерывна) к интегралу
■%ilf{x)e-"*dx=}{n).
Отсюда следует, что у {f) = f (п), и тем самым доказательство
закончено.
4.1.3. Комментарии к предыдущим доказательствам. (1) Легко
понять, что первое доказательство теоремы 4.1.2 без болыпнх
изменений проходит в случае, когда пространство L1 заменено
любым его подмножеством Е, удовлетворяющим следующим
четырем условиям:
(a) Е является алгеброй относительно свёртки;
(b) Е является топологическим пространством;
(c) существует такое множество S целых чисел, чтое„£Е при
AigS и линейные комбинации этих еп всюду плотны в Е;

90
ГЛ. 4. ГОМОМОРФИЗМЫ ОБЕРТОЧНЫХ АЛГЕБР
(d) для каждого n£S функция f-+f{ri) непрерывна на Е.
Поэтому можно заключить, что каждый нетривиальный
непрерывный комплексный гомоморфизм у множества Е имеет вид
y(l) = f (я) (при всех / g Е) для некоторого п g S, зависящего от у.
Далее, после изучения гл. 12 читателю станет ясно, что в
вышеприведенном утверждении нет необходимости предполагать, что
элементами Е являются интегрируемые функции: можно считать,
что элементами Е являются обобщенные функции. Это замечание
мы используем в § 16.6.
(2) Если читатель внимательно проанализирует второе
доказательство, он увидит, что в нем нужно лишь заменить
отдельные слова, чтобы оно прошло при замене L1 на С* или на L^(l <
</? < оо).
В случае L00 необходимо видоизменение, вызванное тем, что
С не плотно в L00. Однако из (4.1.1) и из того, что f*g£C при
любых /gL°° и g£L*> следует, что у, будучи по предположению
отличным от тождественного нуля на L00, не может обращаться
в нуль всюду на С. Значит, /0 можно подобрать, как и раньше.
Снова придем к равенству у (/) = / (п) = уп (/) для всех / £ С.
Но тогда для ggL® получаем (поскольку /<,*£€ С)
Y(/o*ff) = Y„(/o*ff).
т. е.
Y(/o)-Vte) = Y«(/o)-Y«fe).
Так как у (/0) = уп (/0) ф0, то у (g) = уп (g) для всех gg L°°.
Таким образом, наше утверждение справедливо и для L00.
Очевидно, что второе доказательство более сложно и
трудоемко, чем первое. Мы привели его, потому что его можно
приспособить к случаям, когда рассматриваемая группа некомпактна
(как, например, Z или R). В этих случаях схема первого
доказательства совсем не годится, ибо у L1 тогда вовсе нет
непрерывных характеров. Кроме того, второе доказательство не
использует теорему о плотности полиномов и опирается на меньшее
число фактов гармонического анализа.
4.1.4. Аналогичная, но намного более трудная проблема
возникает, когда вместо L1 берется алгебра мер М, которая будет
введена в гл. 12; см. в особенности замечания, сделанные в п. 12.7.4.
4.1.5. Максимальную пользу из результатов пп. 4.1.2 и 4.1.3
можно извлечь, если рассмотреть их в свете гельфандовской
теории коммутативных банаховых алгебр. Если бы мы собирались
развить гармонический анализ на общих группах, то было бы
уместным именно здесь остановиться на теории Гельфанда и затем
пожать плоды ее применения. Мы, однако, отложим и посев,
и жатву до § 11.4.

4.2. Гомоморфизмы групповой алгебры 91
4.2. ГОМОМОРФИЗМЫ ГРУППОВОЙ АЛГЕБРЫ
4.2.1. Постановка задачи. В § 3.3 мы отметили, что каждое из
пространств Lp (1<^/?^оо) и Ck (0^&<оо) может выступать
в качестве аналога групповой алгебры конечной группы и что
наиболее подходящим претендентом на эту роль является L1.
Не отдавая пока предпочтения никакому из пространств, будем
считать, что Е обозначает любую из упомянутых групповых
алгебр.
Весьма естественная проблема, решение которой (насколько
можно судить в настоящее время) опирается на гармонический
анализ, состоит в описании, по возможности в явном виде, всех
гомоморфизмов Е (в себя). Под таким гомоморфизмом мы будем
иметь в виду непрерывное линейное отображение Т множества Е
в себя, такое что
T(f*g) = Tf*Tg (4.2.1)
Для /, g£E. (Применяя теорему о замкнутом графике, как это
делается в п. 4.2.3, и используя обязательную непрерывность
комплексных гомоморфизмов алгебры Е, можно показать, что
любой гомоморфизм Е в себя необходимо непрерывен.)
В упражнениях 4.2, 4.3 и 4.8 внимание читателя обращается
на простейшие и наиболее очевидные из таких гомоморфизмов,
а именно на гомоморфизмы вида
Tf(x) = e"»f(kx),
где я, k£Z и кфО. Каждое из таких отображений Т
определяет гомоморфизм любой из рассматриваемых групповых алгебр Е.
Это свойство не является типичным, поскольку имеются
гомоморфизмы Т алгебры С00 (или L2), которые нельзя продолжить
до гомоморфизма алгебры L1; см. упражнение 8.1.
Указанная проблема гомоморфизмов была поставлена для
общих групп. Для случая когда в роли Е выступает L1 или
алгебра мер М (см. гл. 12), большинство из известных к
настоящему времени результатов подробно изложены в [R., гл. 4]. Все
эти результаты получены сравнительно недавно.
Наша цель здесь ограничивается тем, чтобы показать, как
знание комплексных гомоморфизмов алгебры Е, обсуждавшихся
в предыдущем параграфе, позволяет сделать небольшой шаг
вперед и представить нашу проблему в другой, более обозримой
форме; мы также сформулируем без доказательства решение
проблемы.
4.2.2. Другая формулировка проблемы. Пусть Т — гомоморфизм
алгебры Е. При каждом п £ Z отображение
/_(77)~(Л) (4.2.2)

92
ГЛ. 4. ГОМОМОРФИЗМЫ СВЁРТОЧНЫХ АЛГЕБР
является непрерывным комплексным гомоморфизмом Е. Поэтому
в соответствии с 4.1.2 и 4.1.3 это отображение (4.2.2) либо
тривиально (т. е, тождественно равно нулю), либо имеет вид 7л'
при некотором п' g Z.
Обозначим через Y множество тех п g Z, для которых
отображение (4.2.2) нетривиально на Е. Ясно, что
(77Г(п) = ?(/*') •
при n£Y и /GE. Из этого соотношения вытекает, что п'
однозначно определяется числом п £ У, так что возникает отображение
a: Y-+Z,
для которого а(п) = п'. Таким образом,
(Г/Г(/1) = /оа(/1) (4.2.3)
для п£У и /gE.
При tt£Z\y имеем (Tf)~ (п) = 0 для всех /£Е. Лемма Ри-
мана — Лебега 2.3.8 наводит на мысль положить а (п) = оо для
n£Z\Y, считая, что f(oo) = 0. Сделав это, мы можем
рассматривать а как отображение Z в Zw{oo}, и тогда (4.2.3) будет
верно для n^Z и /£Е.
Отображение а должно обладать тем свойством, что
2 f(a(/0K= 2 f(a(/i)K€E (4.2.4)
rceZ rt€ Y
при любой функции /6Е. Следует отметить, что (4.2.4)
означает лишь, что существует такая функция g£E (единственная
•ч «ч
ввиду 2.4.1), что g- = /oa; при этом ничего не утверждается
относительно сходимости рядов в (4.2.4). (Эти ряды фактически
сходятся в смысле обобщенных функций, как мы увидим в гл. 12,
но это обстоятельство нигде не будет использоваться.)
4.2.3. Следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что если
a — отображение Z в Zvj{oo}, обладающее свойством (4.2.4), то
отображение Т алгебры Е в себя, определяемое равенством
Tf =2 f(a(/0K, (4.2.5)
nez
является непрерывным гомоморфизмом Е в себя. Еше раз
воспользовавшись теоремой единственности 2.4.1, убеждаемся, что
имеется лишь одна функция g£E, для которой g" = /oa, и эта
g совпадает с Tf.
Прежде всего, та же теорема единственности сразу
показывает, что Т линейно и удовлетворяет соотношению (4.2.1); это
следует из соотношений (к})оа — к (/oa), (/\+ /2)оа = (/ioa) +
+ (/2оа) и (fJ2)oa = (f1oa)^(f2oa)7 справедливых для любого

4.2. Гомоморфизмы групповой алгебры 93
скаляра X и любых /lt /2^Е. Остается лишь доказать, что 71
непрерывно; для этого мы воспользуемся теоремой о замкнутом
графике (см. п. В.3.3). Теорема применима, поскольку Е во всех
случаях является либо банаховым пространством, либо
пространством Фреше (см. п. 2.2.4).
В соответствии с теоремой о замкнутом графике для
доказательства непрерывности Т достаточно показать, что из
предположений
lim /Л = 0 в Е, lim Tfh = g в Е (4.2.6)
вытекает, что
g = 0. (4.2.7)
Но во всех рассматриваемых здесь случаях из lim fk = 0 в Е сле-
дует, что lim fk = 0 поточечно на Z. Аналогично из второго усло-
вия в (4.2.6) вытекает, что lim (Tfk)" = g поточечно на Z. Так
как (77*Г=?*оа. a(Z)cZu{oo} и f*(oo) = 0, то g = 0, откуда
(снова по теореме единственности) и следует (4.2.7). Тем самым
непрерывность Т доказана.
4.2.4. Подводя итоги, мы можем сказать, что гомоморфизмы Т
алгебры Е в себя соответствуют отображениям a: Z—*Zvj{oo},
обладающим свойством, выраженным в (4.2.4), причем
соответствие Т<->а определяется равенством (4.2.5).
Здесь читателю рекомендуется обратиться к упражнениям
4.4 и 4.5.
4.2.5. Нахождение отображений а множества Z в Zwjoo},
обладающих свойством, выраженным в (4.2.4), является (за
исключением случая E=L2; см. упражнение 8.1) трудоемкой и
сложной задачей. В случае Е = L1 решение было найдено в 1956 г.
Рудином, о чем пойдет речь в п. 4.2.6. По поводу решения
двойственной проблемы, в которой группа R/2nZ заменена группой Z,
будет сказано в п. 10.6.3(3). Аналогичная проблема для общих
групп (в частности, двойственная проблема для группы Z) и для
гомоморфизмов алгебры L1 в алгебру мер М была в общем виде
решена Коэном (Cohen [2]) в 1960 г., хотя решения для
различных частных случаев были получены ранее рядом авторов (см.
замечания в п. 12.7.4). Более подробный обзор вопроса и ссылки
на литературу можно найти в [R, гл. 4] и [Kah, гл. 4—7]. См.
также упражнения 12.19 и 13.7.
4.2.6. Формулировка решения. Найденное Рудином решение
проблемы гомоморфизмов L1 в себя (для случая группы R/2nZ) выра-

94
ГЛ. 4. ГОМОМОРФИЗМЫ ОБЁРТОЧНЫХ АЛГЕБР
жается в терминах соответствующих отображений а и состоит
в следующем.
Для того чтобы отображение а множества Z в Zkj{oo}
порождало в соответствии с формулой (4.2.5) гомоморфизм Т алгебры L1
в себя, необходимо и достаточно, чтобы существовали целое q > О
и отображение |3 множества Z в себя, обладающие такими
свойствами:
(1) Если Aiy ..., Aq обозначают классы вычетов по модулю q
в Z, то Y = a~x(Z) имеет вид SiU.-.llS,., где S{ попарно не
пересекаются и каждое S( либо конечно, либо содержится в
некотором Лу, отличаясь от него лишь на конечное множество;
(2) р(,г + <7)^|3(А1) (ngZ);
(3) Р(/г + <7) + Р(п-<7Н2|3(А1) (ngZ);
(4) a (п) = Р (/г) для всех я g У, кроме самое большее
конечного множества чисел.
Условия (1), (3) и (4) необходимы и достаточны для того,
чтобы а порождало гомоморфизм L1 в алгебру мер М, которую
мы введем в гл. 12.
Читатель без труда проверит, что условие 3) означает
существование целых чисел ин и vh (/i = 0, 1, ..., ¢-1), таких что
$(kq + h) = uhk+vh (4.2.8)
для (&, /i)gZx{0, 1, ..., q— 1}, и что совокупность условий
(2) и (3) означает выполнение равенства (4.2.8), в котором к тому
же инфО при /i = 0, 1, ..., q—l.
4.2.7. Другие проблемы; мультипликаторы. Большое внимание уделялось такому
довольно специальному вопросу: в какой степени существование
автоморфизма Т алгебры L1 обусловливает существование автоморфизма исходной
группы R/2nZ? Или в более общей постановке: в какой степени существование
изоморфизма Т алгебры L1 (С2) на L1 (G2) обусловливает существование
изоморфизма группы (ji на G2? Эти проблемы решены лишь частично; см. [R,
теор. 4.7.1, 4.7.2 и п. 4.7.7], а также п. 16.7.1.
Аналогичные проблемы ставились и по поводу гомоморфизмов и
изоморфизмов LP (Gi) на Lp (G2). Перенести метод Рудина — Коэна на случай р Ф 1
не представляется возможным. Другой подход к проблеме изоморфизмов
опирается на предварительное изучение так называемых мультипликаторов
алгебры LP (G), т. е. непрерывных эндоморфизмов U алгебры LP (G), которые
коммутируют со сдвигами (так что UTa = TaU для всех a£G). Связь между
этими двумя проблемами обусловлена тем фактом, что если Т—изоморфизм
LP (Gi) на LP (G2), то формула Ui = T~1U2T устанавливает
взаимно-однозначное соответствие между мультипликаторами алгебры LP (G{) и
мультипликаторами алгебры LP (G2). Можно надеяться, что связь между алгебрами
мультипликаторов переносится на исходные группы.
В гл. 16 мы изучим мультипликаторы сами по себе, уделив в п. 16.7.1
особое внимание тому, как сказывается наличие информации о
мультипликаторах специального типа на изучении проблемы изоморфизмов.
По поводу гомоморфизмов алгебры LP при 1 < р < оо см. также п. 15.3.6.
Руководством к дальнейшему чтению могут служить MR 41 4t 4141; 53
#8781; 54 #3296, 5746.

Упражнения 95
Упражнения
4.1. Покажите, не используя 4.1.2, что если у — нетривиальный
комплексный гомоморфизм алгебры L1 и
M = rl№)^{ftV: Y(/) = 0}.
то М является идеалом в L1 со свойствами:
(1) МФ11;
(2) М является максимальным, т. е. не существует в L1
идеала /, отличного от М и от L1 и такого, что Мс/;
(3) имеется единица по модулю М, т. е. элемент е из 1Д
такой что е # / — / g М для каждого элемента / g L1 (идеал М
именуется тогда регулярным или модулярным).
Замечание. Из 11.4.9 следует, что указанная выше связь
между модулярными максимальными идеалами и комплексными
гомоморфизмами обратима и сохраняет силу и в более общих
случаях.
4.2. Пусть tn£Z, k£Zt /гфО. Положим
Tf(x) = eimx-f(kx).
Проверьте, что Т определяет непрерывный гомоморфизм алгебры
E(=LP или С) в себя. Когда 7(Е) = Е?
Указание. См. п. 2.2.2.
4.3. Пусть гомоморфизм Т определен, как и в предыдущем
упражнении. Найдите соответствующее отображение а (как оно введено
в п. 4.2.2).
4.4. Пусть Г и а те же, что в пп. 4.2.1 и 4.2.2. Покажите, что
гомоморфизм Т взаимно-однозначен и Т (Е) содержит все
тригонометрические полиномы тогда и только тогда, когда Y = Z и а
взаимно-однозначно отображает Z на себя.
4.5. Пусть Т — непрерывный гомоморфизм алгебры Lp (1 ^ р ^ оо)
в себя и а — соответствующее отображение Z в ZU{°o} (см.
п. 4.2.2). Покажите, что
(1) для любого mgZ множество а~г({т}) конечно;
(2) существует такое число &^0, что для всех m£Z
У> е„ < k.
Указание. Рассмотрите образ ет при 7\
4.6. Пусть lp(Z)t 1 <! р ^ оо — пространство, определенное
в п. 2.2.5. Проверьте, что lx{Z) является алгеброй относительно
свёртки. Есть ли у этой алгебры единичный элемент?
Является ли lp {Z) при р > 1 свёрточной алгеброй? (См.
примечание к упражнению 3.15.)
пеа~1({т})

96
ГЛ. 4. ГОМОМОРФИЗМЫ СВЁРТОЧНЫХ АЛГЕБР
4.7. Найдите все непрерывные комплексные гомоморфизмы
алгебры /1^). (См. п. 11.4.17.)
4.8. Определите все комплексиозначные функции h на Rj2nZ,
обладающие тем свойством, что оператор Т: /—*hf является
гомоморфизмом из Т в L1, где каждое из этих двух пространств
рассматривается как свёрточная алгебра.
4.9. В общей теории, изложенной в гл. 4 книги [R], важную
роль играют аффинные отображения.
Пусть отображение а множества Z в себя является аффинным
в том смысле, что
а (п + п' — if) --=а(п) + а (/?/) — а {п)
при любых /г, п'у п" $Z. Покажите, что а определяет
посредством формулы (4.2.3) гомоморфизм Т алгебры L1 в себя, и
найдите явное выражение для Tf через /.

ГЛАВА 5
ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА. СУММИРУЕМОСТЬ
ПО ЧЕЗАРО
В данной главе мы введем так называемые ядра Дирихле
и Фейера и рассмотрим их элементарные свойства. Эти ядра
играют основную роль при изучении соответственно сходимости
и суммируемости рядов Фурье. Из свойств этих ядер мы выведем
принцип локализации, а также получим новые доказательства
теоремы единственности 2.4.1 и аппроксимационной теоремы 2.4.4.
В текст главы и в упражнения к ней включены некоторые
результаты о свойствах суммируемости по Чезаро общих рядов;
большинство этих результатов позднее будет применяться в
случае рядов Фурье.
5.1. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
В этом параграфе мы определим указанные в заголовке ядра
и сформулируем некоторые из их основных свойств, играющих
решающую роль при изучении поточечной сходимости и
суммируемости по Чезаро рядов Фурье.
Нужно сказать несколько слов по поводу терминологии и
обозначений. Функции DN и FN, вводимые в (5.1.2) и (5.1.7) и назы:
ваемые здесь ядрами соответственно Дирихле и Фейера, на самом
деле в два раза больше тех функций, которые обычно носят
такое название; ср., например, с [Bax, стр. 94 и 138] или с [Zx, стр.
86 и 148], где пишется KN вместо нашего ViF'N. Такой выбор
обозначений был произведен с той целью, чтобы были
справедливы выраженные с помощью свёрток соотношения (5.1.1) и (5.1.6).
Если N — неотрицательное целое число, то N-я симметричная
частичная сумма ряда Фурье функции / определяется как
%/(*)= 2 f{n)e*».
Когда мы будем говорить о сходимости ряда Фурье от fy мы
всегда будем иметь в виду сходимость этих симметричных
частичных сумм; см. конец п. 2.2.2.
Р. Эдварде, т. 1

98 ГЛ. 5. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
Подставив в предыдущее равенство интегральное выражение
для f{n), получим
sNf(x)=-b$f(y)DN{x-y)dy = DN*f(y)9 (5.1.1)
где (см. упражнение 1.1) при х.-^О (mod2ji)
DN(x)= 2 *«-^ + ^1 (5.1.2)
если же х равно 0 (mod2ji), то DN(x) принимает значение 2jV + 1,
что совпадает с продолжением по непрерывности выражения в
правой части (5.1.2). Функцию DN, а иногда и последовательность
(Dn)n=0, мы будем именовать ядром Дирихле.
Следует заметить, что DN является тригонометрическим
полиномом порядка N', четным и удовлетворяющим соотношению
_1_
2я
С DN(x) dx = ^[ DN(jc) dx= 1. (5.1.3)
о
Кроме того,
IDN(x) | <cosec-| (О <б<|лг|<л). (5.1.4)
/V-я сумма Чезаро (см. конец п. 2.2.2) ряда Фурье от/ —это
среднее арифметическое первых N +1 членов последовательности
симметричных частичных сумм этого ряда, т. е.
^/ = ^2¾^. (5.1.5)
Это выражение называют также (С, 1)-средним ряда Фурье от /,
где «С» стоит в честь Чезаро (Cesaro), а «1» указывает на
первый порядок средних арифметических. Используя (5.1.1),
получаем после элементарных выкладок
<W (*) = i $ /(») FN(x—y) dy= FN*f(y)
= S (* - тШ *(л) *"*• (5Л*6)
где функции
\п\< N
ГЛУХ) ~ ЛТП
- £ ('-тВД'
\п\< N
[sin V2 (N + \)x\*
(N + l)(sin V2x)*
пх
(5.1.7)

6.1. Ядра Дирихле и Фейера
99
(см. упражнение 1.1) образуют так называемое ядро Фейера (Фейер
первым начал систематически изучать суммирование рядов Фурье
методом Чезаро); при х = 0 (гтюс!2я) последнее выражение в (5.1.7)
считается равным N -f 1 (продолжение по непрерывности).
Отметим, что FN является четным тригонометрическим
полиномом порядка N и
2л
л
\ FN(х)dx = —\FN(х)dx= 1.
о
(5.1.8)
Кроме того,
0^.FN (х) < cosec Уг 6, \
с\^г /«л ^- cosec2 У* б ,}
и<^(*)< N+l j
> (0<6<|х|<я). (5.1.9)
5.1.1. Относительно нормы |D^||j. Поскольку FN^0, то уже из
соотношений (5.1.8) и (5.1.9) видно, что (FN)%^0 является
аппроксимативной единицей. Для ядра DN это неверно — для него (3.2.1)
не имеет места (как мы сейчас убедимся). Этот последний факт
служит главной причиной большинства плохих свойств ряда
Фурье в отношении сходимости и объясняет, почему
суммируемость часто оказывается эффективнее сходимости.
Оценка (3.2.1) не выполняется для (Dv)aL0> поскольку
фактически
D
'N Ы
J_
2л
я
j\DN(x)\dx = ^\DN(x)\dx
О
Л'
\nN + 0(l)
(5.1.10)
при N—+oo. В самом деле, (5.1.2) дает
я
\\ол
2л
-я
я
2
sin\N+j)x
'. х
smY
dx
ц
Л J
о
_я
2
=-Ч
л J
о
sm(2N+])y
sin у
s'm(2N + \)y
У
dy (мы положим у = х/2)
dy + 0(l),
так как функция (sin у)'1—у1 ограничена на (0, я/2). Если
положить t=(2N + l) у, то последний интеграл преобразуется

100 ГЛ. 5. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
к виду
Va(2/V+l)n 2N l/2(k+l)n
Я J t л ь п J
sin' L dt
t
2N
2 v I Uk(s)ds
_ 2 V
*-0j/ -J- + S
где мы положили £ = fcrt/2-f-s и ^(s) = sins или coss
соответственно для k четного или нечетного. Далее, для 6=1, 2, ...
и 0 <! s <! я имеем
o<-J _L_^
Л
fort Ал , "^ / А7л \2 я&2 *
00
и ряд Jb 1/^2 сходится. Поэтому
fe=l
2 Л/
2 V 1
т
2Л/
2V 2
я ^- &я
+ 0(1).
2«
Поскольку 2 т = In^+0(1).
соотношение (5.1,10) установлено.
5.1.2. Новые доказательства утверждений 2.4.1 и 2.4.4. Стоит
отметить, что 3.2.2 вместе с первым утверждением п. 5.1.1 дает
новые независимые доказательства утверждений 2.4.1 и 2.4.4.
Рассмотрим, например, 2.4.1. Если / = 0, то (5.1.6) показывает,
что FN*f = 0 при всех N. Поскольку, как уже отмечалось
в п. 5.1.1, ядра FN образуют аппроксимативную единицу в L1,
из 3.2.2 вытекает, что функция /, будучи пределом в L1 (соотв.
равномерным пределом, если / непрерывна) последовательности
FN*f при Л/—^оо, равна нулю почти всюду (соотв. всюду).
Аналогично выводится 2.4.4 из (5*1.6) и 3.2.2 (соотношение
(5.1.6) показывает, что FN*f является тригонометрическим
полиномом при всех N и всех /6L1).
Из гех же результатов с помощью таких же рассуждений
можно вывести утверждения о суммируемости по Чезаро рядов
Фурье. Мы отложим их вывод до гл. 6.

5.2. Принцип локализации 101
5.2. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
Собранные в § 5.1 формулы позволяют показать, что
сходимость или суммируемость в какой-нибудь точке х ряда Фурье
функции / зависит лишь от поведения / в сколь угодно малой
окрестности точки х. Обобщенный вариант этого так называемого
принципа локализации формулируется так.
5.2.1. Если / и g- интегрируемые функции и при фиксированном
значении х функция
„_* /(y)-g(y)
У у — х
интегрируема в некоторой окрестности точки х, то
Hm [sNf (х) - s„g (х)] = 0, (5.2.1)
N -* оо
lim [oJ(x)-olXg(x)] = 0. (5.2.2)
N -> оо
Доказательство, Поскольку как h—► sNh, так и /i—+алА
являются линейными операторами, мы можем предположить, не
теряя общности, что g"^=0 (всюду). Кроме того, поскольку из
(5.1.1), (5.1.6) и 3.1.2 следует, что
sj(x) = s Г_,/(0), a/v/(x)=avr.,/(0),
то можно считать, что # = 0.
Далее, ввиду (5.1.1)
я
%/(0) = 4 ]' f(y)D,{y)dy
—Л
Я
-sr 1Ы%гНп(Л/ +[,2)ydy- (5--3>
Если функция / (у)/у интегрируема в некоторой окрестности
точки 0, то, как легко видеть, функция f(y)/s\n (у/2) интегрируема
на [—л, я], поскольку для любого достаточно малого а>0
отношение y/s\n (у/2) ограничено при 0<|у|^а, а функция
cosec (у/2) ограничена при а^|#|^я. Соотношение (5.2.1) (при
g=x = 0) следует поэтому из леммы Римана — Лебега 2.3.8,
примененной к правой части равенства (5.2.3).
Наименее трудоемкий путь для получения (5.2.2) состоит
в том, чтобы вывести это соотношение в качестве следствия из
(5.2.1) на основе одного простого и общего результата, который
мы докажем в п. 5.3.1.
5.2.2. Очевидно, что условия теоремы 5.2.1 выполнены, если /
и g совпадают в некоторой окрестности точки л:, как это и имеет
место в принципе локализации.

102 ГЛ. 5. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
5.2.3. Если в качестве g взять постоянную функцию s, то
sNg=s (N=0, 1, 2, ...),
и тогда из 5.2.1 мы получаем, что
lim sNf(x)= lim oNf(x) = st (5.2.4)
N -*> oo N -*■ oo
если функция (f (у) — s)/(y—x) интегрируема в некоторой
окрестности точки у — х. Это, очевидно, выполнено, когда /' (х)
существует, a s=f(x).
Этот первый наш результат, касающийся поточечной
сходимости и суммируемости рядов Фурье, будет дополнен в гл. 6
и 10 многочисленными другими критериями; его полезно сравнить
с признаком Дини из п. 10.2.3. Хотя этот результат и не очень
глубок, он оказывается достаточным во многих конкретных
случаях. Он показывает, что ряды Фурье большинства функций,
которые возникают в задачах прикладной математики, сходятся
к этим функциям в большинстве точек.
5.2.4. Замечания, (i) В формулировке утверждения 5.2.2 нельзя
заменить слова «в некоторой окрестности точки х» на «на
некотором множестве положительной меры, содержащем а:»; см. [Ва^,
стр. 421J.
(ii) Принцип локализации (5.2.1) нарушается для групп Тт,
даже в случае непрерывных функций / и g. Более слабый
принцип (5.2.2) остается справедливым, по крайней мере для
ограниченных функций / и g. См. [Z2, стр. 458]. По поводу
некоторых других групп см. MR 37 # 1527, 5330.
5.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СУММИРУЕМОСТИ
Хотя теория суммирования рядов разработана весьма широко
и глубоко, здесь мы ограничимся почти исключительно
использованием метода Чезаро применительно к рядам Фурье. Более того,
даже в этом случае нас будет интересовать этот метод лишь
постольку, поскольку он позволяет в ситуациях, когда обычной
сходимости недостаточно, восстановить почти во всех точках
функцию по ее ряду Фурье. По поводу суммируемости общих рядов
мы сделаем лишь отдельные краткие замечания.
Рассмотрим бесконечный в обе стороны ряд 2 сп и запишем
для него частичные суммы
s.v = 2 сп
\п\< N
-и чезаровские (или арифметические) средние
s0+... + sjv
а" = —лГ+Т—'

5.3. Замечания относительно суммируемости 103
Напомним (см. конец п. 2.2.2), что данный ряд называется сум-
маруемым по Чезаро (или (С, 1)-суммируемым) к сумме s в том
и только в том случае, когда
lim oN = s.
[Имеются еще чезаровские методы (С, а) при любом аф—1,—2...,
но мы совсем не будем затрагивать это понятие; см., например,
[Zlf стр. 129].]
Возьмем в качестве примера ряд 2^.Соотношение (5.1.2)
nez
показывает, что ни при каком вещественном значении х этот
ряд не сходится (к конечной сумме). С другой стороны, из
(5.1.7) видно, что тот же ряд суммируем по Чезаро к 0 при всех
вещественных хщкО (mod2jx). Как выяснится в гл. 6 и 10, этот
весьма частный пример удивительным образом показателен в
отношении общей картины поведения рядов Фурье.
Обращаясь к общим рядам, проверим прежде всего, что
понятие суммируемости по Чезаро служит обобщением понятия
обычной сходимости.
5.3.1. Если sn—+s, то oN—+s (при N-+oo).
Доказательство. Это утверждение не должно вызывать
удивления, поскольку естественно ожидать, что арифметические
средние oN ведут себя более регулярным образом, чем sN. Ввиду
тождества
(s0—s)+...+(sN—s)
/V + 1
oN-s
мы можем при доказательстве предполагать, что s = 0. Пусть
нам задано произвольное е > 0. Найдем такое N0 — NQ(&)t что
|sw|^e ПРИ N > ^j- ^Ри N > NQ имеем
так что
l^l< V+i +8>
где M = sup I Sn I <oo. Полагая N —* oo, заключаем, что
N
lim sup | oN | < e.
В силу произвольности e отсюда следует доказываемое
утверждение.

104 ГЛ. 5. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
5.3.2. В утверждении 5.3.1 подразумевается, конечно, что
предел s конечен. Однако, если мы ограничимся вещественными
последовательностями sa', результат переносится на собственно
расходящиеся 1] последовательности. Например, легко проверить,
что предыдущее доказательство с небольшими видоизменениями
применимо для проверки того, что если lims/v = oo, то lima^ = oo.
На самом деле справедлив следующий более общий результат:
— оо ^lirn inf SA^Hm inf ot\ < lirn supa^ ^ limsup s„^oo.
5.3.3. Обратные результаты. Полное обращение теоремы 5.3.1
неверно. Так, (5.1.2) показывает, что ряд
2 einx
neZ
является собственно расходящимся к оо, если х ==0 (mod 2л), и
ограниченно расходящимся для всех других значений х. С
другой стороны, (5.1.7) показывает, что этот ряд суммируем по
Чезаро к 0 при любом х, неравном 0 (mod 2л); если же х = 0 (mod 2я),
то ввиду сделанного в 5.3.2 замечания a а—>сю.
Простым частным обращением служит следующий результат.
5.3.4. Если sjy вещественны и не убывают (например, если сп"^0)9
то из суммируемости по Чезаро следует сходимость.
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что
Sa^O. Тогда
rr ^> SN+-"+S2N ^ (N+\)sN ^ sN
°2N ^ 2ЛГ+1 ^ 2Л/+1 ^ 2 '
Значит, s/v ограничены сверху, откуда и следует сходимость.
Этот результат можно получить и из 5.3.2.
5.3.5. Тауберовы теоремы. Имеются более тонкие частичные
обращения теоремы 5.3.1 как для метода Чезаро, так и для других
сажных методов суммирования. В этих случаях положительность
сп (предполагавшаяся в 5.3.4) заменяется какими-либо другими
условиями. Поскольку первый результат такого типа
(применительно к суммируемости по Абелю) был установлен Таубером,
такие теоремы стали именовать глауберовыми теоремами. По
поводу одного источника получения таких теорем будет немного
сказано в п. 11.2.4.
Одна из простых теорем такого рода (принадлежащая Харди;
см. упражнение 5.8) утверждает, что если сп-=0 (1/|я |), то из
суммируемости по Чезаро вытекает сходимость. Это утверждение
достойно внимания, поскольку, используя его в сочетании с
1) То есть стремящиеся к оо или —оо,— Прим. ред.

Упражнения 105
2.3.6, можно выяести сходимость ряда Фурье функции с
ограниченной вариацией из суммируемости этого ряда по Чезаро (мы
докажем это в гл. 6). Правда, такой подход не дает большого
выигрыша, и мы в свое время дадим прямое доказательство
сходимости (см. п. 10.1.4).
Упражнения
5.1. Предположим, что функция /6L1 удовлетворяет условию
t-sj(а) = о(\а\) при а —*0
(обозначения те же, что и в п. 2.3.7). Докажите, что / почти
всюду постоянна.
Указание. Рассмотрите сначала случай, когда / —
тригонометрический полином. Общий случай сведите к этому, используя
подходящую аппроксимативную единицу.
5.2. Предположим, что /GL1 удовлетворяет условию
coj (а) = О (| а \а) при а—+0
для некоторого а > 0. Пусть N — любое целое, такое чтоМх>1.
Докажите, что f*N равняется почти всюду непрерывной функции.
[Здесь /*Д7 = /*...*/ (N сомножителей).] (Ср. с упражнением 8.4.)
В следующих упражнениях использованы обозначения § 5.3.
5.3. Покажите, что если lim а# существует и конечен, то sn=io(N)
ЛМ-оо
при /V —> оо.
5.4. Дайте подробное доказательство утверждений п. 5.3.2.
5.5. Докажите, что разность Дл/^sa/ — gn представима в виде
Д„ = (Л/+1)-1 2 \п\са.
\n\<N
Докажите, что если
neZ
при некотором р^\ и если lim a# = s, то lim s# = s.
/V -* со Л/ ->■ оо
Указание. Используя неравенство Гёльдера для рядов,
покажите, что
| Д* |<ЛМ1/',
где Л— некоторая абсолютная константа. Заметьте, что lim sup|A#|
не изменится, если для произвольного- k положить сп равными
нулю при \п | ^&.

Юб ГЛ. 5. ЯДРА ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
5.6. (1) Предположим, что с„—*0 при \п —>оо, причем сп — 0
для всех номеров, кроме, быть может, п = 0у ±пк (£—1,2, ...),
где 1 ^пг < п2 <... и inf (nk+1/nk) == q > 1. Докажите, что если
к
lim oN = s, то lim sm = s.
(2) Докажите, что то же заключение справедливо, если
*« = 0(1//0.
Указание. Определите AN, как в упражнении 5.5, и, положив
"* = sup(KJ, |c-„J),
п©кажите, что при nk^N <nk+i
k
|Д*|<2- 2 urq'-K
Покажите, далее, что последнее выражение стремится к нулю
при k—> ОО.
Замечание. Результат (1) допускает обобщение на случай,
когда предположение inf {nk+1/nk) > 1 заменено условием
£5-°(s=)i
k>m R v m/
см. [Ва1э стр. 178—181].
5.7. Положим для /V, A=l, 2, ...
Проверьте, что
а также, что
Выведите из первого соотношения, что если k = kN—► оо при
N —> оо так, что при этом N/ku остается ограниченным, и если
lim oN = s, то lim Outk = s.
5.8. Предположим, что сп = 0[1—г) при I rcl-—юо и что lim oN~s.
Докажите, что limsyv = s. (Это и есть теорема Харди,
упомянула -»-00
тая в п. 5.3.5.)

Упражнения 107
Указание. Воспользуйтесь вторым из соотношений,
установленных в предыдущем упражнении, чтобы показать, что
II - /l/v
On, k — Sn I ^¾ -jf
для соответствующей постоянной Л. Подберите подходящее £ = fe/v
и используйте заключительное утверждение предыдущего
упражнения.
5.9, Предположим, что функция /GL1 удовлетворяет условию
|/W_/(,0)| = o[(lnT7ri^T)-,-e]
при х—*х0 для некоторого е > 0. Докажите, что
nez
Указание. Используйте 5.2.3.

ГЛАВА 6
СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО РЯДОВ ФУРЬЕ
И ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ НЕЕ СЛЕДСТВИЯ
6.1. РАВНОМЕРНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
В СРЕДНЕМ
Из утверждения 3.2.2 и того факта, что ядра Фейера F^ об*
разуют аппроксимативную единицу (см. п. 5.1.1), сразу вытекают
следующие основные результаты о равномерной суммируемости
и суммируемости в среднем рядов Фурье.
6Л.1. Если j £Ck и т — неотрицательное целое число, не
превосходящее £, то
lim|D-(/-<W)|L = 0.
Л/-»-ао
Если f£LP, где 1</?<оо, то
N -»-оо
6.1.2. Случай fe = 0 теоремы 6.1.1 заслуживает особого внимания.
В этом случае теорема утверждает, что ряд Фурье любой
непрерывной функции равномерно суммируется к ней по Чезаро. Этот
результат, а также некоторые другие результаты того же типа,
рассматриваемые в данной главе, были получены Фейером в 1904 г.
Так как к тому времени было уже известно, что ряд Фурье
непрерывной функции может расходиться в некоторых точках,
можно полагать, что результат Фейера позволил тогда
математикам, занимавшимся анализом, вновь вздохнуть с облегчением.
Если бы метод Чезаро не дал ничего другого, и одно это вполне
бы оправдало его введение; но мы увидим, что фактически он
дает намного больше.
Доказательство теоремы 6.1.1 с успехом проходит и для
многих других функциональных пространств Н, отличных от С* и
Lp (1^р<оо), во всяком случае для всех так называемых
однородных банаховых пространств на Т. Таковыми по
определению являются линейные подпространства в L1 (Г), наделенные
нормой ||«Цн, относительно которой они являются банаховыми
пространствами, причем

6.1. Равномерная суммируемость и суммируемость в среднем 109
(i) 1/KI/ln Для Rcex /ёН;
(ii) если /бКиобГ.то 7в/(ЕН и ||7а/||„ =(/(„;
(Hi) lim||7e/ —/||н = 0 для всех , (ЕН.
(см. [Kz/гл. 1 пп. 2.10 и 2.I1J.)
Из упражнений 3.1 и 3.2 следует, что вторая часть теоремы
6.1.1 перестает быть верной, если aNf заменить на sNf\ первая
часть также теряет силу. В обоих случаях это вызвано тем
обстоятельством, что
D;
sup
N
j = СО
как это еидно из (5.1.10), (По поводу случая & = 0 в 6.1.1 см.
также § 10.3 ниже.)
Для однородных банаховых пространств Н на 71,
удовлетворяющих условию ||е„/||н =|/||н Для всех n^Z и всех /gH,
известно (см. [Kz, стр. 49]), что соотношение
lim I/—s^/||h = 0 для всех /gH
выполняется тогда и только тогда, когда Н замкнуто относительно
сопряжения, т. е тогда и только тогда, когда из /gH следует
/£Н, где / — сопряженная функция, определяемая в п. 12.8.1.
[Последнее условие эквивалентно требованию существования для
каждой функции f£H такой функции /gH, что
f (п) = i'Sgnn>f(n)
для всех n£Z.] Пространство L? (1<р<оо) замкнуто
относительно сопряжения (см. п. 12.9.3), но этим свойством не
обладают ни С, ни L1 (см. пп. 12.8.3—12.8.5).
6.1.3. Характеризация рядов Фурье. Мы можем теперь дать ха^
рактеристику ряда Фурье данной функции /gL1, выделяющую
его из всех других тригонометрических рядов, о чем уже
говорилось в § 1.3. А именно, теорема 6.1.1 в случае р=1
показывает, что oNf— чезаровские средние ряда Фурье от / — сходятся
в норме L1 к /. С другой стороны, ряд Фурье от / является
единственным тригонометрическим рядом с этим свойством.
В самом деле, пусть 'Успеш' — такой тригонометрический ряд,
у которого средние Чезаро
сходятся в норме L1 к /, Тогда ввиду 2.3.2 имеем
lim oN(n) = f(n).

no
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
Но
при | п | ^ N и oN (п) = О при остальных /г, так что lim oN(n) =
= с„. Таким образом, с„ = /(/г) при всех ngZ, и тем самым
рассматриваемый тригонометрический ряд совпадает, с рядом Фурье
от /.
6.1.4. Поведение If — Vf/flp при N —+оо. Хотя нам и известно
из п. 6.1.1, что при N—>оо
для f^LP, 1^/?<оо, и
1/-^/1. = 0(1)
для /£С, однако эти оценки нельзя улучшить, заменив в них
о(1) на 0(&N) для какой-нибудь фиксированной
последовательности en —> 0.
Точнее говоря, нельзя найти последовательность (KN)\'=i
интегрируемых функций и последовательность (е^),"=
положительных чисел, такие что
(1) liminfe^ = 0
и либо
(2) I/ —^#/11^ = 0(8^) при некотором р из промежутка
1^/?<оо и при любой функции f£LP,
либо
(2а) i / —/Слг * / L = О (e^v) ПРИ любой /gC.
С другой стороны, из результатов § 6.5 и упражнений 6.6—
6.9 будет видно, что можно выбрать такие интегрируемые
функции Км и положительные числа zN —*- О, что (2а) будет
выполняться для функций /, удовлетворяющих определенным
требованиям гладкости.
Мы приведем сейчас доказательство невозможности
удовлетворить требования (1) и (2); точно такие же рассуждения можно
применить для проверки невозможности выполнения (1) и (2а).
Идея доказательства состоит в том, чтобы, используя технику
функционального анализа, показать, что из предположения о
выполнении (1) и (2) следует противоречие с 2.3.8. Прежде чем
разбирать доказательство, читателю рекомендуется просмотреть
приложения А и В (§ В.1).

6.2. Приложения и следствия теоремы 6.1.1. 111
Итак, допустим, что (1) и (2) выполнены для каких-то
выбранных (Kn)n~i и (^aUi- Изучим функцию qt определенную
на Lp формулой
?(/) = sup{eu1/-/(W[|^=l,2, ...}.
В соответствии с (2) функция q конечна на L/, и отсюда почти
очевидно, что q является полунормой на Lp (см. п. В. 1.1).
Применяя при каждом N теорему 3.1.6, убеждаемся, что функция
/-^1 II/ -*WI,
непрерывна на LP. Значит (см. § AA),q—полунепрерывная снизу
полунорма на Lp. Решающим моментом является применение
утверждения В.2.1(1), где мы полагаем E = Lp и pk = q при &=1,
2, ...; это применение возможно в силу полноты Lp (см. п. 2.2.4).
В результате приходим к заключению, что q непрерывна на Lp.
Это показывает, что существует такая константа с, что q (/) ^
с 1/11^ для всех f£LP. Другими словами,
V-i<N*f\p<c-eN-\np (6.1.1)
для всех /£ Lp и N = 1, 2, ... . Подставляя сюда f=en,
приходим к неравенству
\RN{n)-l\t^c-eN (6.1.2)
при всех n£Z и /V = 1, 2, ... . Отсюда в силу (1) вытекает,
что
\KN(n)-l |< 1/2
для всех n£Z и бесконечно многих N. Для любого такого N
lim \п\\К„(п)\^1/2>09
\п\-+*
в противоречие с 2.3.8. Это противоречие и завершает
доказательство.
Другие иллюстрации того же метода доказательства будут
даны в § 10.3.
6.2. ПРИЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ 6.1.1.
6.2.1. Комментарии к теореме 6.1.1. Прежде чем перейти к
уточнениям теоремы 6.1.1 (в § 6.3 и 6.4), выведем из нее несколько
результатов, каждый из которых имеет большое значение.
В связи с тем что теорема 6.1.1, очевидно, уточняет теорему
2.4.4 об аппроксимации тригонометрическими полиномами,
указывая конкретный алгоритм построения тригонометрических
полиномов, приближающих данную функцию, возникают два
соображения.

112
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
(1) В вещественном анализе известна другая знаменитая ап-
проксимационная теорема, а именно теорема Вейерштрасса. Она
говорит о приближении, равномерном на компактном
вещественном интервале /, непрерывных на / функций обычными
полиномами. В пп. 6.2.2 и 6.2.4 мы покажем, как эту теорему можно
вывести из 6.1.1, и выясним общую основу обеих теорем.
(2) Что можно в общем сказать о приближении
тригонометрическими полиномами? Насколько хорошим является
приближение данной функции / полиномами oNf по сравнению с
другими тригонометрическими полиномами степени не выше N? Мы
кратко обсудим этот вопрос в § 6.5.
В пп. 6.2.5 — 6.2.8 будут получены некоторые следствия из
6.1.1. более непосредственно касающиеся рядов Фурье.
6.2.2. Теорема Вейерштрасса о приближении полиномами. Эта теорема
утверждает, что если /—непрерывная функция (не обязательно периодическая) на
компактном интервале [а, Ь] вещественной прямой, то / равномерно
приближается на [а, Ь] (обычными) полиномами.
Доказывая ее на основе теоремы 6.1.1, мы, не теряя общности,- можем
считать, что [а, Ь] совпадает с [—л, л] Далее, можно подобрать константу с
так, чтобы функция / — сх принимала одинаковые значения в точках —л и л
и, следовательно, могла быть продолжена до периодической непрерывной
функции. Достаточно, очевидно, показать, что эту новую функцию можно
равномерно приблизить полиномами на [—л, л]. Итак, с самого начала можно
считать, что / периодична и непрерывна.
Для заданного 8 > 0 выберем столь большое iV, что
||/--о>/||оо<е/2.
Тригонометрический полином
<W(*) = 2 (У*п*
\n\<N
в свою очередь может быть равномерно приближен на [—л, я] с точностью
до е/2 обычными полиномами — нужно просто каждую экспоненту einx
заменить достаточно большим числом членов ее тэйлоровского разложения в
окрестности нуля, ибо это разложение равномерно сходится на любом
компактном множестве. В результате получим полином Р, для которого
равномерно по |*|^я. Но тогда
IMWKe
равномерно по |#|<^л, и тем самым теорема Вейерштрасса доказана.
8.2.3. Другие доказательства теоремы Вейерштрасса. Существует множество
других доказательств теоремы Венеринрасса, как «классических», так и
«современно-абстрактных» по духу; последние, конечно, в большей степени
освещают суть деля.
М. Стоун был первым, кто (в 1937 г.) предпринял абстрактный анализ
положения дел с теоремой Вейерштрасса и близкими результатами. Его
изыскания и последующие исследования обнажили суть вопроса и привели в
результате к весьма общим аппроксимационпым теоремам, касающимся
замкнутых подалгебр банаховой алгебры (с поточечными операциями) непрерывных

6.2. Приложения и следствия теоремы 6.1.1. 113
функций на произвольном компактном отделимом пространстве; мы снова
встретимся с такими алгебрами в п. 11.4.1. Как теорема 2.4.4, так п теорема
Вейерштрасса укладываются в эту схему в качестве весьма специальных
случаев. Имеется сравнительно свежий обзор на эту тему — статья Стоуна
«Обобщение аппроксимационной теоремы Вейерштрасса» в [SMA, стр. 30—87]; см.
также [Е, § 4.10], [HS, стр. 94—98] и [L2, гл. 1].
6.2.4. Точно в том же смысле, в каком теорема 6.1.1 включает в себя и
уточняет теорему 2.4.4, знаменитая теорема Бернштейна включает в себя и
уточняет теорему Вейерштрасса из п. 6.2.2. Теорема Бернштейна утверждает, что
если / — непрерывная функция на [0, 1], то соответствующие ей так
называемые полиномы Бернштейна
N
гс=0
сходятся к / равномерно на [0, 1].
Имеется обширная литература, посвященная полиномам Бернштейна;
для начала желающие могут обратиться к [Ка,стр. 52—59], [LJ и [L2, гл. 1].
Займемся теперь некоторыми следствиями теоремы 6.1.1, более
тесно связанными с рядами Фурье.
6.2.5. Пусть f, g^L1. Предположим, что ряд Фурье функции g
существенно-ограниченно сходится почти всюду, т. е. что
SUP|I ■SivS'lloo < °° и 1*т snS(x) существует для почти всех х. Тогда
d nez
где ряд справа является сходящимся.
Доказательство. По предположению имеем
где М не зависит от /V и х, причем lim sNg (х) существует почти
всюду. В силу 5.3.1 и 6.1.1 lim sNg (х) = g (х) почти всюду. Сле-
довательно,
2^- J / (*) § (х) dx = lim 2^ J f (x) sNg (x) dx
= Hm 2 f(—n).g{n),
где переход к пределу под знаком интеграла оправдан в силу
теоремы Лебега ([W, теор. 4.1 Ь]). Отсюда следует доказываемое
утверждение.
6.2.6. Замечания. (1) Ввиду 2.3.5, наложенные выше на g
условия очевидно выполнены для любой функции ggC2. Поэтому 6.2.5
служит обоснованием того факта, что указанное в п. 1.3.2 свой-

114
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
\ и (х) h (х) dx = y~ \ и {х) g (х) dxt
ство (D) действительно является характеристическим для ряда
Фурье от / g L1, выделяя его среди всех прочих
тригонометрических рядов.
(2) Утверждение 6.2.5 можно вывести при одном лишь
предположении, что sup J Sjyg"IL < оо. В этом случае теорема В.4.1
N
позволяет заключить, что существует по крайней мере одна
подпоследовательность (SNkg)t которая слабо сходится в L°°. Далее,
если (SNkg) — последовательность, сходящаяся слабо в Г к ft, и
и g Т, то
-^ J и (х) sNkg(x)dx=:^^u (х) g (х)dx
для всех достаточно больших k\ значит,
_]_
2л
и поэтому h = g п.в. Отсюда следует, что sNg—>g слабо в L00.
В силу результатов § С. 1 это эквивалентно доказываемому
утверждению.
6.2.7. Замечание. Формула в 6.2.5, является вариантом так
называемой формулы Парсеваля, простейший случай которой
фигурировал в упражнении 1.7 и к которой мы еще вернемся в §§ 8.2
и 10.5 при различных предположениях относительно fug.
Следует заметить, что ряд, о котором идет речь в 6.2.5,
сходится не для всех /gL1 и g(tC\ см. упражнение 10.7. С другой
стороны, используя 6.1.1, легко показать, что этот ряд
суммируем по Чезаро к (1/2я) ^ fgdx для любых f£Lx и ggL°°; см.
упражнение 6.2.
Один весьма частный, но важный случай теоремы 6.2.5
требует более внимательного изучения, поскольку он позволяет
сделать вывод о том, что, как бы плохо ни вел себя ряд Фурье от
/£ L1 в отношении поточечной сходимости, его тем не менее всегда
можно почленно интегрировать.
6.2.8. Если /6L1, то
ь
ginb gin а
J/(*)d*=£f(n)
in
neZ
где член, соответствующий лг = 0, считается равным /(0)(6- а).
Доказательство. С учетом значения, приписываемого члену
ряда с п = 0, формулу достаточно доказать в случае, когда а = 0
и 0<&<2я. Пусть g — функция, равная 1 на интервале [0, Ь),
нулю на дополнении к нему относительно [0, 2л) и продолжен-

6.3. Еще о поточечной суммируемости 115
ная периодически с периодом 2я. Прямое вычисление
показывает, что
. e-inb—i e~ibn/2sin(bn/2) /а о n
где правая часть считается равной Ь/2л при п = 0. Отсюда после
некоторых преобразований получаем
N
с rr/v\— Ь J.V sinn(x—b) — slnnx
SNew—^+Zt — .
Используя упражнение 1.5, убеждаемся, что этот ряд ограниченно
сходится для всех х. Кроме того, ввиду 5,2.3, sNg(x) сходится
к g(x) при 0 < л: < 2л и хфЬ, поскольку g постоянная в
некоторой окрестности каждой такой точки х. Следовательно (см.
[W, теор. 4.1 Ь]),
b 2л 2л
j / (х) dx = ] f (х) g (х) dx = lim J f (x). s^g {x) dx
0 0 /V-*oo о
2л
= lim 2 £(1)-5/ (*) e'"* d*
= lim 2 S {n)*2nf(—n)
«lim 2 f(n)-2ng(—n).
Учитывая (6.2.1), получаем доказываемое равенство.
Замечание. Этот результат (и даже немного сверх того)
будет получен в п. 10.1.5 на основе более общих теорем.
6.3. ЕЩЕ О ПОТОЧЕЧНОЙ СУММИРУЕМОСТИ
Здесь мы займемся некоторыми уточнениями первой части
теоремы 6.1.1.
Для удобства введем некоторые обозначения. Для данных
точки х и числа s запишем
П(у)^К(У, x) = ±[f(x + y) + f{x-y)-2s]. (6.3.1)
С учетом (5.1.6) и (5.1.8) это приводит к равенству
л
aNf (х) - s = 1J ft (У) FN (у) dy. (6.3.2)
0
Мы хотим найти простые условия, достаточные для того, чтобы
выражение (6.3.2) стремилось к нулю при N—>oo. Изучая этот

116
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
вопрос, мы не будем заранее предполагать, что s есть «нужное»
значение, а именно f(x). В самом деле, существенным является
поведение /* в окрестности у —О (т.е. поведение / в
окрестности х), и при этом главная роль принадлежит не значению f*s
в нуле (т. е. / в х), а предельному поведению /s* вблизи 0 (т. е. /
вблизи х). В этом параграфе мы рассмотрим простейший случай,
когда предполагается существование предела /* (у) при у—-»+0.
6.3.1. Пусть /6L1. Предположим, что предел
f(x + 0) + f(x-0)^ lim [f{x + y)+f(x-y)] (6.3.3)
существует и конечен. Тогда
lim o„f(x) = ±[f(x + 0) + f(x-0)l (6.3.4)
Предел в (6.3.4) является равномерным на любом множестве, на
котором равномерен предел в (6.3.3).
Доказательство. Применим формулу (6.3.2), положив в ней
* = у[/(* + 0) + /(*-0)].
По предположению ft(y)—+Q при у—>-\-0. Значит, для любого
заданного е>0 можно найти число б > 0, такое что |/*(#)1^8
при О^г/^б. Это число б будет зависеть от х и е, но может
быть выбрано равномерно по х, когда х пробегает все значения
из того множества, на котором предел в (6.3.3) достигается
равномерно. Представим интеграл в (6.3.2) в виде суммы
6 я
я J я J
л+/,-
Тогда
б Я
О о
в силу (5.1.8). (Заметим, что здесь мы пользуемся
положительностью ядра FN\ она уже не имеет места в случае ядра DN, а
подстановка \DN\ вместо DN непоправимо ухудшает оценки.) Далее,
применение (5.1.9) приводит к оценке
/ I <r cosec2 (°7^)
2'^ ЛГ+Т
я
11П (У) I dy
О
^^ cosec2 (6/2) Г||П1 , , ,|

6.4. Поточечная суммируемость почти всюду 117
Оставляя е и б фиксированными, а /V устремляя к оо, получаем
lim sup | aNf (x)~s|<8 + hm sup | /21 = e.
Поскольку e было произвольно выбранным положительным
числом, отсюда следует доказываемое утверждение.
6.4. ПОТОЧЕЧНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
До сих пор мы опирались лишь на тот факт, что ядра Фей-
ера образуют аппроксимативную единицу. Используя некоторые
более специальные свойства этих ядер в сочетании с
фундаментальной теоремой Лебега о дифференцируемости неопределенного
интеграла, мы сможем установить поточечную суммируемость
почти всюду ряда Фурье любой интегрируемой функции. Прежде
чем доказывать этот результат, приведем некоторые
вспомогательные оценки.
6.4.1. Вспомогательные оценки. Укажем два неравенства, в
которых фигурирует FN. Условимся, что А и В будут ниже
обозначать абсолютные константы., Тогда первое неравенство
записывается в виде
О < FN (у) < F*N (у) a t +^2y2 (0<*/<я). (6.4.1)
Это легко доказать, рассмотрев отдельно области 0^.у ^.n/N
и n/N ^у ^я; в первом промежутке F^ (у) мажорируется с
точностью до постоянного множителя числом jV, во втором
—величиной N~1y"i\ тоже с точностью до постоянного множителя.
Неравенство (6.4.1) в свою очередь показывает, что
О < F* (у) </¾ (у) <-^ (0<У<п). (6.4.2)
Нам также понадобится такое следствие из (6.4.1):
я я
ly\F*Z\dy = 2AN*^
y2dy
о
00
<2Л^ТГР¥==В- (6АЗ)
6.4.2. Что касается теоремы Лебега, то нам достаточно будет
знать, что для любой интегрируемой функции Д периодической

118
РЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
или нет, почти во всех точках х справедливы соотношения
l\f(x+y)-f(x)\dy = o{h).
о
h
\\f(x-y)-f{x)\dy = o(h)
о
при А—► + (). Доказательство см. в [HS, стр. 276].
Воспользовавшись обозначениями, введенными в § 6.3,
получаем отсюда, что для почти всех значений х
h
\\ftiy)\dy=o(h) (ft —+ 0), (6.4.4)
где в качестве s взято значение f(x). Такие точки х обычно
называют точками Лебега функции /, а множество таких точек —
множеством Лебега для /.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основную
теорему этого параграфа.
6.4.3. Если / g L1 и для данных х и s выполнено соотношение
h
\\ft(H)\dy^o[h) (А — + 0),
о
то
lim oNf (х) = s.
N -+-00
(6.4.4)
(6.4.5)
Доказательство. Снова будем исходить из формулы (6.3.2),
т. е. из равенства
л
oNf (х) - s = -1 J f*s (У) F„ {у) dy.
о
Предположим, что (6.4.4) выполнено, и пусть задано е > 0.
Выберем такое б > 0, что
п
0</(А) = $|Д*(г/)|ф<е/1 (0<А<6). (6.4.6)
и
Ввиду (6.4.1)
и о
7г I А* (</) F* (y)dy < МIД* (у) | П (у) dy.
о о

6.4. Поточечная суммируемость почти всюду
119
Интегрируя по частям и используя (6.4.6), можно показать, что
последнее выражение мажорируется величиной
б
n-4(b)F'N(6)-n-*lHy)FlHy)dy
о
б
<n-WN(6)+n-*ely\F%(y)\dy
о
(мы учли (6.4.2) и (6.4.3)). Таким образом,
о
- J ft (У) fn (У) dy
о
^ -тг An h + Вп~Ч
и, следовательно,
1%/M-sKr1 (тА + в)* + \т$П(У)Р*(У)*у\. (6.4.7)
б
Далее, как видно из неравенства (5.1.9), при любом 6>0
интеграл, фигурирующий в (6.4.7), стремится к нулю при N —> оо.
Поэтому, фиксируя е и б, получаем из (6.4.7)
limsup|oNf (x) — s|<я"1 (-=-A + В J e.
Наконец, полагая e—*0, приходим к (6.4.5).
6.4.4. Если /g L1, то
lim oNf(x) = f(x)
N -> оо
(6.4.8)
для почти всех х.
Доказательство. Справедливость этого утверждения
немедленно следует из утверждения 6.4.3, соединенного с
заключительным замечанием п. 6.4.2.
6.4.5. Если тригонометрический ряд ^спе1пх суммируем по Чезаро
почти всюду к f (х) и к тому же является рядом Фурье —Лебега,
то /gL1 и данный ряд есть ряд Фурье функции /.
Доказательство. По предположению наш ряд является
рядом Фурье некоторой функции g^L1. Ввиду 6.4.4 его чеза-
ровские средние oN почти всюду сходятся к g. Значит, g = f
п. в., откуда и следует доказываемый результат.

120
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
6.4.6. Замечание. В связи с теоремой 6.4.5 следует заметить,
что тригонометрический ряд ^спе1'пх вполне может суммироваться
по Чезаро почти всюду к интегрируемой сумме, но не быть при
00
этом рядом Фурье —Лебега. Так, ряд 1 +2 2 cos/гл; суммируем
по Чезаро к 0 для всех хфО (то(12я) (как будет видно из (7.1.1)
и (7.1.2)), но из 2.3.8 вытекает, что он не является рядом
Фурье —Лебега. (Он является, однако, рядом Фурье —Стилтьеса
от меры Дирака е; см. пп. 12.2.3 и 12.5.10.)
6.4.7. Мажорантная функция а*/. Стоит отметить, что если g"gL°°,
то из (5.1.8) сразу вытекает, что для всех х
\°Ng(x)\<\gl. (6.4.9)
Ввиду (6.4.9) имеет смысл рассмотреть мажорантную функцию
a* f (х) = sup | aN f (х) | « оо). (6.4.10)
л/
Очевидно, o*f является неотрицательной измеримой (на самом
деле полунепрерывной снизу) функцией. Используя специальные
свойства ядер FNi можно показать (см. [Zlt стр. 249—251],
Edwards, Hewitt [1, теор. 3.1]), что эта мажоранта
удовлетворяет следующим интегральным неравенствам:
\*np<Ap\f\p при /<EL* и р>1, (6.4.11)
*Hp<Ap\fU при /6L1 и 0<р<1, (6.4.12)
o*fh<4;§\f\^+\f\dx + B при /.ln+|/|€IA (6.4.13)
В этих неравенствах А и В обозначают абсолютные постоянные,
Ар зависит только от р и ln+ t = In (max (1, t)).
По поводу аналогичного утверждения, касающегося мажоранты
s*f(x) = sup\sNf(x)\ (6.4.14)
n
для обычных частичных сумм ряда Фурье функции /, см. пп.
10.3.5 и 10.4.5.
6.4.8. Об оценке (6.4.9). Соотношение (6.4.9), справедливое для g £ L°°, близко
к наилучшему из возможных. В самом деле, для любого заданного
множества Е нулевой меры существует неотрицательная функция /, принадлежащая
Lp для всех р < оо и такая, что
lim адг/(*) = оо (х£Е). (6.4.15)
Покажем это. Мы можем считать, что Е лежит на (0, 2л), и выбрать
такие числа ak > О и ck^0 (/г = 1, 2, ...), что
00
lim ^=--00, 2 ckak< °° (6.4.16;

6.5. Приближение тригонометрическими полиномами 121
при любом /; < оо; например, годятся ck^=\nk, а£ = £-2. Поскольку Е имеет
меру нуль, можно выбрать такое открытое множество £^, что EdE^d (О, 2л)
и m(£fe)^a/j. Пусть /& обозначает характеристическую функцию множества
Ek, продолженную периодически. Положим
Тогда f£Lp при любом р< оо, что следует из второго соотношения (6.4.16)
и теоремы Беппо Лени ([W, теор. 4.1 е]). Заметим также, что /
неотрицательна и полунепрерывна снизу. Согласно 6.3.1,
lim oNfk(x) = \
N -*> оо
для всех x£Ek и, значит, для х ^ Е. Так как Fjs/ неотрицательно, то для
всех х и всех k выполнено неравенство
oNl(x)^ck-(JNfk{x)f
и потому для всех х £ Е и всех к
lim inf адг/ (х) ^ с^.
/V -> оо
Отсюда с учетом первого соотношения (6.4.16) получаем (6.4.15).
См. также упражнение 6.18.
6.4.9. Замечания по поводу сходимости. Комбинируя упражнения
5.5 и 5.6 с теоремой 6.4.4, можно дать некоторые простые
условия на /6L1, достаточные для того, чтобы
lim sNf(x) = f(x) п. в.; (6.4.17)
<V -> 00
см. упражнения 6.12 и 6.13, а также пп. 10.1.1, 10.1.4, 10.2.1
и 10.2.3. Как мы убедимся в п. 10.3.4, надежда получить
соотношение (6.4.17) в общем случае f^L1 излишне оптимистична.
6.5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
В этом параграфе мы обратимся к вопросам, затронутым
в п. 6.2.1 (2). Это вовлекает нас в сферу общих проблем теории
приближений тригонометрическими полиномами; в качестве
введения в общую теорию таких приближений читатель может
воспользоваться соответствующими главами книг [L2], [Z], [Ва],
[Ti] и [ВК].
6.5.1. Функционалы р^ и EN. Для определенности мы будем
иметь дело с банаховым пространством С непрерывных функций,
но вряд ли требуется пояснять, что каждый рассмотренный
здесь вопрос имеет в той или иной форме аналог для случая,
когда С заменяется пространством Lp (или каким-нибудь
другим из „естественных" функциональных пространств).
Чтобы рассмотреть вопросы, поднятые в несколько
неопределенных терминах в п. 6.2.1 (2), введем две последовательности

122
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
функционалов р^ и EN (N = 0, 1, 2, ...) на С, определяемые
следующим образом:
P*M/-<WL. ENf=ml\y-t\m: ttTN\; (6.5.1)
здесь TN обозначает множество тригонометрических полиномов
степени не выше N. Ясно, что отношение величин pNf и ENf
дает чувствительный критерий того, насколько хорошим
приближением к функции / служит aNf по сравнению с другими
элементами из Т#.
Очевидно, что
En+J ^ ENf < pNf
и что pNf = 0 тогда и только тогда, когда / является
константой. Далее (см. упражнение 6.5), нижняя грань в определении
ENf на самом деле достигается; отсюда следует, что ENf = 0
тогда и только тогда, когда /6TyV.
Согласно теореме 6.1.1, pNf = o(l) при N—► оо для каждой
функции /g С; однако ввиду 6.1.4 соотношение pyV/ = 0 (еЛ/), где
eN = о(1) — заданная последовательность, не выполняется для
некоторых /gC (на ,самом деле для / из некоторого нетощего
множества в С). Легко также показать (см. упражнение 6.10), что
соотношение pNf = o(l/N) выполняется тогда и только тогда,
когда / — константа. Этот простой результат интересен тем, что
в сочетании с упражнениями 6.8 и 6.9 он показывает, насколько
для достаточно гладких непрерывных функций /, не являющихся
постоянными, тригонометрический полином aNf далек от того,
чтобы быть наилучшим приближающим элементом среди всех
элементов из TN. Если функция / очень гладкая, то она намного
лучше приближается с помощью sNf, чем oNf. Грубо говоря,
преимущества aNf видны в случае произвольных непрерывных
функций /.
После этих предварительных замечаний перейдем к
нахождению некоторых улучшенных оценок для pNf в случае, когда /
удовлетворяет определенным условиям Липшица (или Гёльдера).
Условия этого типа с учетом наших ближайших целей лучше
всего выразить в терминах модуля непрерывности,
определяемого так:
0-/(в)« sup ||ra/-/|L;
\а\ <6
ср. с (8.5.1) и с определением &J в п. 2.3.7. Используя (6.3.1),
где s = f(x), убеждаемся, что

6.5. Приближение тригонометрическими полиномами 123
так что (6.3.2) приводит к неравенству
я
pNf<-Z-§FN(y)QJ(y)dy. (6.5.2)
О
Поскольку, как показывает (6.4.1),
0^FN(y)^AN, FN(y)^A/Ny*
для некоторой абсолютной постоянной Л, то из (6.5.2) получаем
неравенство
р./<^ Г QJWv+£r j -5=^. (6.5.3)
О \/N
Последующие оценки упрощаются, если воспользоваться
следующим простым результатом, доказательство которого мы
предоставляем читателю.
6.5.2. Пусть а и |3 — неотрицательные функции, определенные на
некотором интервале (0, с), где с> 0, и интегрируемые на (с\ с)
при каждом с\ удовлетворяющем неравенству 0 < с' < с.
Предположим, что
<*(У) = о\Р(у)] при У—+ + 0,
l$(y)dy-+oo при t—> + 0.
Тогда и
\a{y)dy = o [${y)dy
t
t
при t—> + 0.
Сформулируем теперь основной результат этого параграфа.
6.5.3. Пусть функция со определена, неотрицательна и возрастает
на некотором интервале (0, с), где с>0, а у~аа>{у) убывает на
том же интервале при некотором я, удовлетворяющем
неравенству 0<а<1. Пусть, далее, функция f непрерывна и для нее
&J (У) = О (<о {у)) (соотв. о (со (у))) при у—> + 0. (6.5.4)
Тогда
P/// = 0(®(ir)) (coom 0(®("лг))) ПРИ N-+°°' (6-5-5)
Доказательство. Если с<я и мы продолжим со, положив
со (у) = (о(с) при с<//^я, то эта продолженная функция
удовлетворяет всем указанным условиям на интервале (0, я]. Таким
образом, мы можем с самого начала считать, что с = п>

124
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
Далее, не обращаясь к 6.5.2, получаем непосредственно из
(6.5.4), что
1/Л/ , [/N
М- J ®J(y)dy = 0 (соотв. о) (/V. J о (y)dy
о \ о
= 0 (соотв. о) (Л/.Л^.соО/ЛО)
= 0 (соотв. о) (со (1/Л^)); (6.5.6)
на втором шаге мы использовали тот факт, что со возрастает.
Для оценки второго члена справа в (6.5.3) применим 6.5.2,
взяв а (у) = у"2 QJ (у) и |3 (у) = у~2со (у). Можно считать, что со
не равна тождественно нулю (иначе / была бы постоянной и
нечего было бы доказывать). Тогда из убывания у~аы{у) при
некотором а, удовлетворяющем неравенству 0<я<1, следует,
что р удовлетворяет предположениям леммы 6.5.2. В результате
получаем
N-*. J ЫМ1у = М-*.0 (соотв. о)(\
\/N М/Л/
л
со (у) dy
У2
= 0 (соотв. о)
= 0 (соотв. о)
#-*. $ у-а(*(у)-уа~2с1у
\/N
* / I / \Т I
1/Л/ J
на последнем шаге мы воспользовались тем, что у~аы(у) убывает.
Вычислив последний интеграл и произведя возможные
сокращения, получим
*-. I 5=^ = 0 (соотв. о) (co(-L)) . (6.5.7)
Объединяя (6.5.3), (6.5.6) и (6.5.7), приходим к (6.5.5).
6.5.4. Замечания. (1) Полученные в 6.5.3 оценки являются, по крайней мере
для некоторых естественным образом выбранных со, наилучшими из
возможных (см. [Bai, стр. 206]). Сходные результаты имеются для функций,
удовлетворяющих интегральным условиям Липшица вида \\TJ — /||i = 0(|a|a)
при | а | —* 0 ([Zj, стр. 193]). См. также MR 53 # 6203.
(2) Поскольку Елг/<Рлг/» то теорема 6.5.3 и ее аналоги дают оценки для
£дг/ в случае специальных классов функций /. Результаты можно улучшить,
если оценивать не р^/ = ||/—oNf\\ „, а ||/—Тдг/|| mt где
некоторые вычисления такого рода включены в упражнения 6.6—6.9. Более
сложные результаты содержатся в статье Тимана [1]. Для тех же целей можно

6.6. Общие замечания о суммируемости рядов Фурье 125
воспользоваться так называемыми полиномами Джексона J^*f, где
/sin {N'x/2)\*
W = [W/2] + l, а число c^v выбрано так, что \\JN\\i=\ ([L2, стр. 55—56]).
См. также Bloom [3], [4].
6.5.5. Обратные результаты. Следует упомянуть, что известно много
результатов обратного характера: из возможности приблизить / с заданной степенью
точности тригонометрическими полиномами порядка не выше N выводятся
свойства гладкости функции /. Наиболее ранние из таких результатов
принадлежат, по-видимому, Бернштейну (1912 г.) и Балле Пуссену (1919 г.);
с тех пор эта тема энергично изучалась (см. [L, гл. 4], [ВК, стр. 45—59] и
указанные там работы). Один весьма специальный пример результата такого
типа приведен в упражнении 6.10. Ключевую роль в этих исследованиях играет
неравенство Бернштейна (см. упражнение 1.9); дело в том, что это
неравенство вместе с первой теоремой о среднем значении дает оценку для модуля
непрерывности \\Tat — / Ц«, тригонометрического полинома t через ||1||м и
порядок полинома N.
Вот типичный результат такого рода: если функция / £ С такова, что
ENf = 0(N~a)t где 0 < а<1, то
нт f_ni -/ °(Ма> ПРИ а< 1>
II' al I II ~-^ о (| а | In | а |-х) при а=1;
этот результат близок к обращению теоремы 6.5.3 в ее частном случае.
Другие результаты такого рода позволяют заключить о существовании у /
нескольких непрерывных производных и дают оценки их повторных разностей
([La, гл. 4), и [ВК, стр. 45—57, 72—88]). См также MR 54# 13433, 55 #
960 и Zamansky [1], [2].
6.6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
До сих пор мы всё внимание уделяли суммируемости по
Чезаро, но стоит попутно упомянуть и метод Абеля (или
Абеля—Пуассона), не менее популярный. Еще об одном методе,
играющем важную роль в теории тригонометрических рядов,
говорится в упражнении 6Л4.
Абелевыми средними ряда Фурье функции / называют функции
Arf{*)= 2 rln{f(n)e"* = Pr*f(x), (6.6.1)
где непрерывный параметр г удовлетворяет неравенству О^г^ 1,
а Рг—-это так называемое ядро Пуассона:
1 —г*
п j 1—2rcos* + r3 '
входящее в формулу Пуассона для представления гармонических
функций. Суммируемость по Абелю ряда Фурье от / — это
существование предела у абелевых средних Arf при г —* 1 (слева).
Все установленные в этой главе результаты, касающиеся
суммируемости рядов Фурье методом Чезаро, переносятся и на

126
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
суммируемость по Абелю (читателю рекомендуется проверить это
в качестве упражнения). В некоторых случаях (но не в этой
книге) метод Абеля чуть предпочтительней, отчасти благодаря
его очевидно более тесной связи с теорией функций
комплексной переменной. Подробнее об этом см. [Zu гл. 3 и 7], [Z2, гл. 14].
См. также упражнение 6.16.
И для общих (локально-компактных абелевых или компактных) групп
имеется масса методов суммирования, каждый из которых выражается в виде
процедуры предельного перехода lim/Ct-*/ и оказывается столь же
эффективным в отношении сходимости по норме С или Lp (1 <: р < оо), как и методы
Чезаро и Абеля. В каждом случае (К{) является последовательностью (или
направленностью) ядер, обычно образующей аппроксимативную единицу
и состоящей из функций с хорошими свойствами. Сюрпризы начинаются, когда
возникает желание изучить соответствующую проблему поточечной
суммируемости почти всюду для разрывных функций, о чем до сих пор известно
удивительно мало (за исключением случая групп Т, R и их конечных
произведений). Некоторых успехов здесь достиг Стейн (Stein [1]) для случая компактных
групп и пространств LP при 1 <:/?<; 2; несколько более слабые результаты,
но с более широкой областью приложения рассмотрены в работе Edwards,
Hewitt [1]. Эти результаты фактически применимы к последовательностям
Ш-операторов типа (LP, LP) (1 ^р < оо); см. пп. 16.2.7 и 16.2.8.
6.7. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ДВОЙСТВЕННОЙ СИТУАЦИИ
На результаты этой главы и гл. 10 ниже можно смотреть
в свете вопроса о том, какую интепретацию в поточечном смысле
допускает «формула обращения»
f = (f)\ (6.7.1)
где / — данная интегрируемая функция на 0==71. В данной главе
мы занимались случаем, когда второе преобразование Фурье
в (6.7.1) истолковывается с помощью методов поточечного
суммирования: в гл. 10 интерпретация осуществляется посредством
метода поточечной сходимости (см. обсуждение этого вопроса
в конце п. 2.2.2).
В гл. 8, 12 и 13 мы выясним, что указанную формулу
обращения можно интерпретировать с помощью сходимости в среднем
или в смысле обобщенных функций.
Остается еще вопрос о двойственной формуле обращения
Ф = (ФГ, (6.7.2)
где теперь ср — заданная функция на Z. Здесь вновь трудности
концентрируются вокруг определения ср; см. § 2.5. Как всегда,
принятие в качестве способа определения ср поточечной
сходимости или суммируемости приводит к осложнениям (за
исключением простого случая ср^/1). Все трудности сразу исчезают, как
только берется на вооружение сходимость в среднем или в смысле
обобщенных функций, что и будет сделано в пп. 8.3.3, 12.5,4
и 13.5.1(2).

Упражнения 127
Упражнения
6.1. Пусть / € L^ О^р^оо) и ^j cneinx"" некоторый
тригонометрический ряд с частичными суммами sn и средними Чезаро а^.
Докажите, что если
Шп||/-*Л|, = 0,
ТО
lim (| / — а^ || =0.
Это— аналог утверждения 5.3.1 для сходимости в среднем.
6.2. Пусть /6L1 и g€L°°. Покажите, что
1-Ugdx= lim £ (l-^)f(/i)£(-n).
6.3. Положим для / g L1
m (6) = ess sup I/(^)), m = limm(6)1
j л- J< 6 6-*0
Докажите, что
lim sup | oNf (0) | < m.
6.4. Является ли ряд
yi (—\)neinx
яв7 (1+|л|)1п(2 + я«)
рядом Фурье ограниченной (измеримой) функции? Обоснуйте
ответ.
Следующие пять упражнений связаны между собой и
посвящены приближению тригонометрическими полиномами; их нужно
решать последовательно.
6.5. Для /gC положим, как и в (6.5.1),
где нижняя грань берется по всем тригонометрическим
полиномам t порядка не выше N. Докажите, что эта нижняя грань
достигается.
6.6. Приняв без доказательства формулу
со
<W(*)=4 J /(x + y)-2sin*-^.^
so
для /£С (см. [Zj, стр. 155]), проверьте, что при iV^l
W — 2(J2N-lf-°N-J

J28 ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
задается формулой
00
h {у) dy
ww-|J[/(^+|-)+^-i
у2 >
О
где
h (у) = sin2 у — sin2у = 2 (cos y — cos2y).
6.7. В обозначениях упражнения 6.6 положим
00
H0(y) = h(y)y-, Hi(y)=\Hi_1(t)dt (/=1, 2, ...; у>0).
У
Проверьте, что
00
(1) §Hi(y)dy <оо (i = 0, 1, 2, ...),
О
(2) Н{ (0) = 0 для четных i > 1.
Указание. В случае (1) покажите, что Hi(y) = 0 (у~2) при
у—>оо. Для проверки (2) примените результаты упражнения
6.6, положив по очереди /(л:)=1 и f(x) — cosx. Возьмите л: = 0
и получите
00 00
±§H0(y)dy=l, ^^cos[jr).H0(y)dy=l.
О О
Проинтегрируйте второе выражение по частям и воспользуйтесь
первым, чтобы установить равенство
00
jcos(|,).#2(*/)dy = 0.
о
Положив N —►оо, выведите отсюда, что #3 (0) = 0. Аналогично
00
H6(0)=$Hi(y)dy=0,
О
и т. д.
6.8. Пусть /(ЕС* (k — целое^0) и М — целое положительное число.
Покажите, что
и выведите отсюда, что
^/<^.||D»/B..iV-*f
где Ак и Л^ зависят лишь от k.

Упражнения 129
Указание. Ввиду упражнения 6.6
00
*Nf{x)-f(x) = l]\f{x + i)+f(x-JL)-2nx)f(y)d»
О
У2
Примените k раз интегрирование по частям и воспользуйтесь
результатами упражнения 6.7.
6.9. Пусть /gC* (k — целое ^0). Покажите, что
W-/f. < я*-Q-(0*/)(-r )•#-*,
и выведите отсюда, что
£A,/<5*.Q.(D*/)(-^).iV-*.
Здесь Bk и В^ зависят только от k и
0^(6)= sup \Tag-g\p (1<р<оо).
б
Указание. Рассмотрите /б (л:) = (26)""1 ^ f (х-\- y)dyt где б > 0.
-б
Покажите, что /0€СА+1,
£>*+7б|!о° < (26)-42. (£>*/) (26) < 6-Ч>« (D*/) (б)
и
Л*(/-Л0|.<О.(Я*/)(в).
Поскольку %Nf = TNfi + tn (/— /,-), искомый результат получится,
если воспользоваться упражнением 6.8 и взять 8 = 2n/N
6.10. Пусть /GL1 и ||/ — ст/v/Id = 0(1 /Л^) при N—+oo. Докажите,
что функция / равна почти всюду постоянной.
Докажите также, что если /gL1 и
то
l/WK^i-i/ (Л = ±1, +2,...).
Замечание. Первая часть этого упражнения означает, что
последовательность операторов /—> aNf (N=1, 2, ...) на С
«насыщается» функцией \\>(N) = N~l; но поводу этого понятия
см. [L2, стр. 98-102]. См. также MR 36 #5605.
6.11. Пусть 2 сп&Г1Х —тригонометрический ряд и
neZ
oN= £ (i - дет k,*
I И I х' АР ' J
5 Р Эдварде, т. I

130
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
— его N-e среднее Чезаро. Докажите, что данный ряд является
рядом Фурье —Лебега тогда и только тогда, когда
N. Л/'-> оо
(Ср. с результатами пп. 12.7.5 и 12.7.6.)
6.12. (Теорема Фату.) Докажите, что если /£Ll и
N'1 2 |л/(/1)| = о(1) при УУ-*оо,
|л|< Л/
то lim suf (x) = f (х) для очти всех х\ если, кроме того, функ*
ция / непрерывна, то lim s^f^f равномерно.
Л/-*оо
Указание. Воспользуйтесь упражнением 5.5 и результатами
пп. 6.1.1 и 6.4.4.
Примечание. Используя тот же самый метод в сочетании
с теоремой 8.3.1, можно показать, что если сп = о(1/\п |) при
|/г|—>оо, то тригонометрический ряд 2 cneinx сходится для
почти всех х.
6.13. Пусть /gL1 и f(n) = 0 для всех целых п, за
исключением, быть может, /г = 0, ±пи ±:п21 ..., где 0 < пх < п2 < ...
и nk+1/nk> 1. Докажите, что lim sNf (х) = f (х) для почти всех л:;
если к тому же / непрерывна, то lim s^f = f равномерно.
Л'-*х
Указание. Воспользуйтесь упражнением 5.6 и результатами
пп. 6.1.1 и 6.4.4.
Примечание. К этим так называемым лакунарным рядам мы
еще вернемся, в гл. 15; см. в особенности замечания в § 15.6.
Как и в упражнении 5.6, данный результат допускает обобщение.
6.14. Пусть функция rN (Л/=1, 2...) определена равной nN
на [ — 1//V, 1///] и нулю на [-я, — 1/N) и (1/N, я], а далее
продолжена периодически Положим /?,v = /\v */"#• Проверьте, что
(Rn)n-\ образует аппроксимативную единицу. Вычислите Ru и
выведите отсюда, что
равномерно для любой непрерывной /; при этом sin 0/0 считается
равным 1.
Примечание. Здесь определен риманоз метод суммирования,
играющий фундаментальную роль в общей теории
тригонометрических рядов; см. [Zl9 гл. 9J и [Ваг, сгр. 189J.

Упражнения 131
6.15. Докажите, что для того, чтобы непрерывная функция /
была представима в виде f = Foeu где е1(х) = е1Х, а функция F
определена и непрерывна на замкнутом единичном круге
комплексной плоскости и голоморфна внутри этого круга, необхо-
димо и достаточно, чтобы f(n) = 0 при n£Z и п < О (ср. с
упражнением 3.9).
6.16. Пусть /glA Положим
F (х) = S / (if) dy.
— Я
Докажите, что если в точке х существует и конечна
симметрическая производная
DsF {х) _ Hm ^+^^-^,
ТО
lim Arf(x) = D,F(x),
г->1-0
где Лг/ определяется так же, как и в § 6.6.
Замечание. Соотношение DSF (х) — f (х) имеет место во всех
точках х лебегова множества функции / (см. п. 6.4.2), но оно
вполне может выполняться и в других точках. Ср. этот
результат с теоремой 6.4.3.
Указание. Не теряя общности, можно считать, что /7(я) = 0.
Выполните в формуле (6.6.1) интегрирование по частям и
получите соотношение
л
A,f (х) = -^- J (2 sin г/)"1 {F(x + y)-F(x- у)} Qr {у) dy,
-Я
где Qr(y) = —-sin у-Р'г (у). Проверьте, что Qr>0, || Qr||1 = r и
lim sup Qr (у) = О
при любом 6g(0, я]. Действуйте, как в доказательстве теоремы
6.4.3.
6.17. В некоторых случаях (см. пп. 6.4.7, 12.9.9, 13.8.3 и 13.10,
упражнения 13.21—13.23, [Zlf стр. 273 — 281], [Z2,
стр. 175— 179, 236]) полезно рассмотреть множество Ьф
измеримых функций //таких что Ф(|/|)€1Л где Ф—фиксированная
неотрицательная функция определенного вида. При этом возни-'
кает вопрос, будет ли множество Т тригонометрических полиномов
содержаться в 1ф в качестве всюду плотного подмножества, т. е.
5*

132
ГЛ. 6. СУММИРУЕМОСТЬ ПО ЧЕЗАРО
существует ли для данных /€L° и е>0 такой
тригонометрический полином /gT, что
N(\f-l\) = ±§4H\f-(\)dX<e. (•)
Предположим, что Ф — неотрицательная вещественная
функция, определенная на [0, оо) и обладающая следующими
свойствами:
(1) Ф возрастает, и O(s)—+0 при s—>+0;
(2) 0(s)^As для достаточно больших s > 0;
(3) 0(s + s')<B{s + s'+O>(s) + <I>(s')} для s, s'>0.
Здесь А и В — какие-то положительные числа. Докажите, что
Ьф является линейным подпространством пространства L1, что
ЬфзЬ°° и что аппроксимация (*) всегда возможна.
6.18. Пусть (y/v)a/=i — любая последовательность положительных
чисел, такая что y^=o(N) при N —* оо. Воспользовавшись
принципом равномерной ограниченности (п. В.2.1), докажите
существование неотрицательной функции /^L1, такой что
Urn sup -^^ = 00. (1)
Можно ли в каком-нибудь смысле утверждать, что этот
результат является наилучшим из. возможных?
Можете ли вы в явном виде задать функцию /6L1, для
которой (1) выполняется при заданной конкретной
последовательности (ум), например при ук = N -{\n(N + 2)}~е (г > 0)?

ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
В этой главе мы приведем несколько результатов, касающихся
двух специальных видов рядов, а именно:
И а» + X а„ cos пх = Л спе1пх, (С)
1=1 nsZ
где сп= Угах„,, и
00
2 ansmnx= 2 cnein\ (S)
n=i nez
где c„ = -jr sgn я-я, „,. Всюду здесь мы будем считать, что ап
вещественны, и обозначать через sN и oN соответственно N-ю частичную
сумму и /V-e чезаровское среднее рассматриваемого ряда того или
иного вида.
Ряды (С) и (S) дают пример так называемых сопряженных
рядов, к изучению которых мы обратимся в § 12.8.
Главной нашей целью будет нахождение условий, при
которых указанные ряды являются рядами Фурье —Лебега. Хотя
результаты в этом направлении носят довольно частный характер,
поскольку на последовательность ап приходится налагать очень
жесткие условия, тем не менее они часто играют важную роль
при решении вопросов, имеющих общее значение (как, например,
в § 7.5).
Обстоятельное изложение теории рядов специального вида
можно найти в книге [Zlf гл. 5].
Результатам, которые мы получим, легко придать вид
утверждений, касающихся определения и свойств преобразования ср
(см. § 2.5) для некоторых довольно специальных функций <р на Z.

134
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
7.1.1. Упрощенные ядра. Нам понадобится несколько формул,
часть которых уже приводилась в § 5.1:
|+Хсозл«-1 £,.^ = >лгМ = Ч(1Х- (7.1.1)
_,* + „-. [S^LM]-. ,7,.2,
^ (*) =
Мя1 | fl |< Л/
О0(*) + ... + Яд,(х)
Формуле (7.1.1) параллельна формула, служащая для определения
так называемого сопряженного ряда Дирихле:
*йЯ(х) = isin** = cos (X\Zl%+m)X\ (7.1.3)
/isl
где волна означает переход к так называемому сопряженному
ряду; это понятие будет рассмотрено нами в достаточно общей
постановке в § 12.8.
Упрощенные ядра определяются формулами
sin Nx
^/2)
V2D% (x)=YiDN (х)-У* cosA/x = 2TT
(7.1.4)
и
% D% = Н£)Л (x) - H sin Nx
1—cosW*
(7.1.5)
2 tg (x/2) *
Они играют полезную, хотя и эпизодическую роль. Заметим, что
D% четно, а Ь* нечетно. Кроме того,
D/v(*)>° (0<*<я), (7.1.6)
|DN (х) | <2п/х (0 < х < л). (7.1.7)
Из 5.1.1 и приведенных выше формул следует, что
J
л1
4
Ay
D/5
л
, In Л' + 0 (1),
In N +0(1)
(7.1.8)
(7.1.9)
при Л'—»оо. Аналогично
D
л/
_2
л
2_
л
п | и N
ln/V + 0(l),
D*|, ~-In Л/+0(1)
л
оо; см. упражнение 12.20, а также [7,и стр.
(7.1.10)
(7.1.11)
87, 115].

7.1. Некоторые предварительные сведения 135
7.1.2. Выпуклые последовательности. В этом пункте мы изучим
некоторые классы последовательностей (ая), которые дальше будут
играть роль коэффициентов в рядах (С) и (S). Условимся
нумеровать последовательность, начиная с индекса /г = 0 (как в случае
ряда (С)): при переходе к последовательностям, занумерованным
с лг = 1 (как в случае ряда (S)), потребуются лишь
незначительные поправки.
Для любой вещественной последовательности (fl„)£U определим
последовательность ее разностей формулой Aan = an — an+i. Ясно,
что (ап) убывает (в широком смысле слова, т. е. не возрастает)
тогда и только тогда, когда Аап ^ 0. Последовательность вторых
разностей определяется формулой
A2an = Aan-Aan+i.
Последовательность (ап) будем называть выпуклой тогда и только
тогда, когда А2ап ^ 0; квазивыпуклой тогда и только тогда, когда
00
2 (л+1)|Д2ап|<оо;
/1=0
последовательностью ограниченной вариации (или
последовательностью класса BV 1)) тогда и только тогда, когда
00
2 |Afl„|<oo.
Стоит сразу же пояснить, что введение последовательности
разностей вызвано частым использованием техники суммирования
по частям, которая уже применялась в предыдущих главах без
специальных оговорок; см. также [Н, стр. 97]. Формула сумми*
рования по частям выглядит так:
2 anbn = aqBq-apPp.,+ 2 ^п-В„ (7.1.12)
для любых двух данных последовательностей (ап) и фп)\ в этой
формуле предполагается, что p^q и
вп = 2 bki
г < k < п
где г — любое фиксированное целое число, такое что r^ip и ап9
Ьп определены для п^г\ пустые суммы (т. е. суммы, взятые по
пустому множеству) всегда считаются равными нулю.
Повторное применение формулы суммирования по частям
приводит ко вторым разностям А2ап.
Следующий простой результат о выпуклых последовательностях
поможет нам при рассмотрении теоремы 7.3.1.
А> От bounded variation (ограниченная вариация).— Прим. ред.

136 ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1.3. (1) Если последовательность (ап)п=о выпукла и ограничена,
то она убывает,
lim n.Afl„ = Of (7.1.13)
и
X (п+1)-ДЧ = а0- lim а„. (7.1.14)
(2) Если (ап) квазивыпукла и ограничена, то она имеет
ограниченную вариацию, и последовательность (/г-ДаJ ограничена.
(3) Если (ап) квазивыпукла и сходится (к конечному пределу),
то она имеет ограниченную вариацию и для нее выполняется
(7.1.13).
Доказательство. (1) Выпуклость означает, что (Аап)
убывает. Если \ат = с < О, то &ап^.с для п^т, откуда следует,
что ап—► оо при п—► оо, в противоречие с предположенной
ограниченностью (ап). Итак Да„^0, последовательность (ап) убывает,
и поэтому из ее ограниченности вытекает существование конечного
предела a— lim ап. Далее,
#о — ^n — Дя0 + • • • + Дя#-1» (7.1.15)
что, как мы теперь знаем, представляет собой частичную сумму
ряда из неотрицательных членов, сходящегося к а0 — а. Поскольку
к тому же Л (ЛяJ ^ 0, мы легко получаем отсюда, что n-han —> О,
т. е. что выполнено (7.1.13). Наконец, (7.1.14) получается, если
применить к (7.7.15) суммирование по частям и использовать
(7.1.13).
(2) Справедливо соотношение
ат-am+n+i = А2ат + 2А2ат + 1+ ...
+ пА2ат+п^ + (п+\)Аат+п. (7.1.16)
[Его можно следующим образом доказать индукцией по п. При
п = 0 оно очевидно. Если оно справедливо при некотором п, то
#да #да + (л + 1) +1 = ^/я ат+п + 1 ~Т~ ат + п + 1 ат + п + 2
= \ат am + n + l) + &&т + п + 1
= ДЧ* + 2ДяаЛ + 1 + -.. +п^ат+п^
+ (n + l)kam+n + /iam+n+1
= &2am + 2№ain + l+...+n№am+n_1
+ (/1+ l){Aflm+H + i + A2a*+ii}+Aa« + n + i
= (Д8ая + 2ДЧЛ + 1+ .•+(л+1)Д2ая+в)
+ (п + 2)Ьая+п+и

я
7.1. Некоторые предварительные сведения 137
т. е. наше соотношение остается верным при замене п на я-fl»
Тем самым индукция завершена.]
Положив т==0 в (7.1.16), получаем, что
I (л + 1) Дая К | а0 - ая +, | +1 Д2а0| + 21 Д2ах | + ... +п | ДЧ-i I»
(7.1.17)
где правая часть ограничена, если (ап) ограничена и квазивы-
пукла.
Далее, поменяв местами (ап) и (Ьп) в (7.1.12) и взяв затем
an = sgnbn, заключаем, что
<:\bn\^(q+\)\btl\+in\Abn\.
П-0 /2 = 0
Подставив сюда bn = AanJ приходим к неравенству
Afl„|<(9+l)|AflJ + il п\№ап1
где величина справа ограничена по q (в силу (7.1.17)), если
(ап) квазивыпукла и ограничена.
Тем самым (2) доказано.
(3) С учетом (2) остается лишь убедиться в справедливости
(7.1.13). Для этого подставим в (7.1.16) последовательно т — п
и т = п + 1 • Это дает
| (п + 1) Да2„ К | ап - а2п+ t| +1 А2ап | +21 Даа„+г \ +... + п \ Д2а2л-11
2/1-1
<|fl„-aan+1|+ S \(k+l)b*ak\
kzztl
и аналогично
|(л+1)Да2л + 1|<|ая + 1-а2л+я|+ 2 (*+1)|А2ал|.
k=n+ 1
откуда и следует (7.1.13).
В § 7.4 нам понадобится существование последовательности
(ап)у которая положительна, выпукла и стремится к нулю сколь
угодно медленно. Следующие два результата показывают, как
строить такие последовательности.
7.1.4. Пусть а > 1 и (Affe)~=1 — строго возрастающая
последовательность положительных целых чисел, таких что
N2^[\ + V2 (a- 1)-4^,
(k+l)Nlt+l^2kNk-(k-\)Nk_1 (ft = 2, 3, ...).1 '
Если последовательность (а„) определена равенствами а0 — а,
ап= l/k, при п — Nк (k— 1, 2, ...) и доопределена линейно для га,

138 ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
удовлетворяющих неравенствам 0 < я < Л/2 и Nk<n < Nk+i (k =»
= 1, 2, ...), то она положительна, выпукла и убывает к нулю.
Доказательство. Очевидно, что последовательность (ап)
положительна и убывает к нулю. Ее выпуклость обеспечивается
условием (7.1.18), которое по существу означает, что
отрицательные коэффициенты наклона прямолинейных отрезков,
последовательно соединяющих соседние точки плоскости с координатами
(О, я), (Nu 1), ..., (Nkt 1/й), ...,
образуют убывающую по модулю последовательность.
7.1.5. Пусть (спуп= —любая комплексная последовательность,
такая что
lim сп = 0.
Тогда найдется положительная, выпуклая, убывающая к нулю
последовательность (fl„)£_ , для которой
\сп\<ап (л = 0, 1, 2, ...). (7.1.19)
Доказательство. Выберем сначала Nfr > 0 так, чтобы | сп | ^
^ 1/2 при п ^Nи а затем подберем а > 1, столь большое, чтобы
прямолинейный отрезок, соединяющий на плоскости точки (0, а)
и (Nu 1), лежал выше всех точек
(0, KI). ..«, (#1 — 1, кл/,-. |).
Далее, как легко проверить, можно по индукции выбрать целые
числа jV2, N3, ... таким образом, чтобы они строго возрастали,
удовлетворяли условию (7.1.18) и чтобы для n^Nk
Тогда последовательность (ап), построенная в п. 7.1.4, будет
удовлетворять всем нашим требованиям.
7.2. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ (С) И (S)
со
7.2.1. Пусть ап = о(1) и 2 | Аоя | < оо. Тогда
гс=0
(1) ряд (S) сходится всюду;
(2) ряды (С) и (S) равномерно сходятся при 6<! |#| <^я для
любого б > 0.
Доказательство. Рассмотрим ряд (S). Ввиду (7.1.12)
и (7.1.3)
2 ansinnx = aQ.V2DQ(x)—ap.l/2D1(x)+ % Aan-V2Dn(x)t
р<п<q р< п< q

7.2. Поточечная сходимость рядов (С) и (S) 139
и поэтому при 0<|л'|^л
•^ I | I 1.1 • *v
2 ап sin я* < | ая |/| sin -§■ | +1 fl/> |/| sin т |
+ 2 i Аа« I/Isin т I-
Отсюда и из сделанных предположений следуют утверждения,
касающиеся (S). Для (С) доказательство аналогично, надо только
вместо (7.1.3) воспользоваться (7.1.1).
Несколько более тонкими являются условия равномерной
сходимости ряда (S).
7.2.2. Пусть ап[0. Тогда
(1) ряд (S) равномерно сходится тогда и только тогда, когда
пап = о(1)\
(2) ряд (S) ограниченно сходится тогда и только тогда, когда
/юя = 0(1);
* (3) ряд (S) является рядом Фурье непрерывной функции тогда
и только тогда, когда /ш„ = о(1);
(4) ряд (S) является рядом Фурье-функции'из L00 тогда
и только тогда, когда пап = 0{\).
Доказательство. (1) Предположим, что (S) равномерно
сходится. Положив x = n/2N, получим
N N
21 a„sin nx^sm (т)"алг X *»
[N/2]+\ К ' iN/2]+\
откуда следует в силу равномерной сходимости, что пап—*0.
Обратно, пусть пап —► (). Положим bk = sup пап, так что bk —► О
п > k
при k—►«>. Для 0<х^я определим N = NX как целое число,
для которого
yV +1 --^ # •
Представим остаток ряда в виде
2 ansmnx=* 2+2 =# + Я'.
п > m mKn<m+N п^тл-Н
Тогда
|#|= 2 ansinn* <*. 2 nan^xN.bm^jibM.
т < л < m + Л/
m < л < m+Л/
(7.2.1)

140
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
2 Да„ • % £>п (х) — am+N. й D„+ N_ х (х)
Далее, используя суммирование но частям и. неравенство (7.1.7),
находим, что
|# |== jU ^"пя '*"n\"J—Um+N
п > т+ N
^2Jn±^<2(N + \)am+N^2bm. (7.2.2)
Объединяя (7.2.1) и (7.2.2), получаем.
2 ansmnx <(л4-2)6от,
п > т
откуда и следует равномерная сходимость.
(2) Единственное и очевидное изменение, которое здесь нужно
сделать по сравнению с доказательством утверждения (1), связано
с тем, что теперь bk = 0(1).
(3) Если пап—>0, то из (1) следует, что ряд (S) равномерно
сходится и, значит, является рядом Фурье своей непрерывной
суммы.
Обратно, пусть (S) есть ряд Фурье некоторой непрерывной
функции f. Тогда, в силу 6.1.1, oN—> f равномерно. Отсюда видно,
что /(0)-0. Поэтому, ввиду равномерной сходимости,
<Мт»-*°-
(7.2.3)
Поскольку sin t ^ 2//я при 0 < t < л/2, то
4 ' /7<Л//2 х
Поэтому из (7.2.3) следует, что
я
ЛГ + 1
я
я < Л//2
п
0.
откуда
JV-Ja
f/V/2]
2 я—о,
/1 < Л//2
ЯЯ
и, таким образом, NaN—+Q.
(4) Доказательство, по схеме в точности повторяющее
доказательство утверждения (3), использует (2) и тот факт, что
00
IIQnWoo — О (1), если ^ans\nnx является рядом Фурье ограничен-
ной (измеримой) функции /; см. (6.4.9).
Замечание. Из доказательства утверждений (3) и (4) видно,
что любая функция, для которой ряд (S) является рядом Фурье,
почти всюду совпадает с суммой ряда (S). Это следует также
и из 6.4.5.

7.3. Ряды (С) и (5) в качестве рядов Фурье 141
7.2.3. Положим
an = sup/A-1- 2 пг\ат\: &€{1, 2, ...}1
К = п 2 | Да,
tn>n
Тогда
(1) если аи = 0(1) и [^Л/ = О (1), то (S) сходится ограниченно;
(2) если ап = о(1) и ри = о(1), то (S) сходится равномерно.
Доказательство. Мы х.ожем предполагать, что 0<л:^я.
Обозначим через Л/ = Nx положительное целое число, такое что
л ^ л
W+1 ^ Л^УУ '
Тогда для mg {1, 2, ...}
2a„sinm; = 2 + 2 =Я + Я'.
Имеем
l#K 2 |я„| •/?*<* 2 п\ап\
= Nx-N~1. 2 /i|flj <#*•«,„ <jtam (7.2.4)
'тг<м<т + Л/
Далее, используя суммирование по частям и замечая, что при
наших условиях ап = 0(\), получаем
< 2 | Аа„ |.лх-1Н-|ода+ . I-jia:-1
ат+ | + У \Aan\)(N + l).
Поскольку
ап^п\ап\ при всех п£{1, 2, ...},
то
(Л/ + 1) | am+N | < (m + N) | аот+ л/1 < am + N.
Следовательно,
|/?'|<am + yv+(m + /V) 2 \&ап\< am+N+$m + N. (7.2.5)
Оба доказываемые утверждения следуют из (7.2.4) и (7.2.5).
7.3. РЯДЫ (С) И {S) В КАЧЕСТВЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Наша цель здесь — установить аналоги утверждений (3) и (4)
теоремы 7.2.2 при более слабых предположениях относительно
коэффициентов ап. Начнем с ряда (С).

142
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
7.3.1. Допустим, что
ап-+0, (7.3.1)
00
2(л+1)|АЧ,1<°о. (7.3.2)
Тогда для ряда (С)
s* (*) — /(*)= Х(л+1)Д*ая'4-^1,М (7-3-3)
п = 0
поточечно при х^О (гтюс12я), причем /gL1 и (С) является рядом
Фурье функции /. Указанные условия выполнены, в частности,
если ап\0 и последовательность (ап) выпукла (см. п. 7.1.3);
в таком случае /^0.
Доказательство. Дважды применяя суммирование по
частям, приходим с учетом формул п. 7.1.1 к равенству
/V-2
SN
(х)= £i(n+l)№an.TFaM + TNbaN-l-FN^ (х)
+ ±aNDN(x). (7.3.4)
Ввиду 7.1.3 (3), nkan—-*0, и поэтому поточечная сходимость при
хц^О (mod2ji) следует из (7.1.1), (7.1.2) и (7.3.4). Поскольку
к тому же \\Fn\\i=h то ряд
00
X (n + l)b*an.TFa (7-3-5)
гс=0
сходится в L1 к / (мы здесь не утверждаем, что s^f сходятся
в L1; см. 7.3.2(1)).
Остается показать, что (С) является рядом Фурье функции /.
Мы можем считать, не теряя общности, что я0 = 0. Рассмотрим
00 оо
£(*)= 2j n~lQns\nnx= 2 cC,s\nnx. (7.3.6)
В силу 7.2.3 этот ряд равномерно сходится, поскольку
a = sup j ^ гп\а?п\ = sup j £ К
* n<£tn<n + h
< SUP I am I — °.
IV fV — Л
* n<£m<n+k k n<.tn<n + k
n n ' rt + 1\Ai лг —J— 1 у

7.3. Ряды (С) и (S) в качестве рядов Фурье 143
и поэтому
p; = n£|Aa;i<nL(I^+|e.+1|(l.
^- ^^ #n ' леи" tn* J
m+\
tri>-n ni>n
напомним, что тАат—+0 и ^-+0.
Далее, если положить
N
gN= 2 n~lan$mnx,
то мы получим О^л/ — 5л/, и поэтому ввиду (7.3.4)
g/vW = j sN(y)dy= j ^(n+l)A2a„.TF„(t/)di/
0 0 rc=0
x x
+ j Л/Дал/-1 • \ FN-i(y)dy + -^aN\^ DN(y)dy,
о о
В силу сходимости в L1 ряда (7.3.5) первое слагаемое сходится
.V
к \f{y)dy\ поскольку пАап—*0, второе слагаемое стремится
о
к нулю, а поскольку ап—*0, то и третье слагаемое стремится
к нулю. Таким образом,
х
£(*)=$ / (У) dy.
о
Следовательно, ввиду 2.3.4, f(n) = ing(n) при всех ngZ. Кроме
того, в силу равномерной сходимости ряда (7.3.6), g (п) =
1
= (2т)"1 а( п | при всех ненулевых п g Z. Поэтому / (я) ^ — ^ n j
при отличных от нуля ngZ и f (0) = 0, что и показывает, что ряд
(С) действительно является рядом Фурье функции /.
7.3.2. Дополнения к теореме 7.3.1. (1) Если последовательность
(ап) квазивыпукла, то sN—^в L1 тогда и только тогда, когда
ая-In/1 = 0(1), (7.3.7)
Доказательство. Поскольку (ап) квазивыпукла,то ряд (7.3.5)
сходится в IA Значит, ввиду (7.3.4), sN—>f в L1 тогда и только
тогда, когда
±N.baN_1-FN_l(x) + ±aN.DN(x)-+0 в 1Л (7.3.7')

144
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Если выполнено (7.3.7), то ап = о(\). Тогда 7.1.3(3)
показывает, что п-Аап = о (1), и (7.3.7') следует из (7.1.8) и равенства
ll^jvlli — l» справедливого при N g {0, 1, 2, ...}.
Обратно, если выполнено (7.3.7'), то
1 - !
j N -AaN_1-FN_l(n}+ ^aNDN(n)—»0 при /V —со
равномерно по n£Z. Взяв сначала /г = 0, а затем n~N/2 или
(/V —1)/2 в зависимости от того, четно N или нет, легко
получим, что
N.Дяд^—*0 при Л/—►оо.
Тогда, поскольку \jFN_11|, = 1 при всех /Vg{l, 2, ...}i из (7.3.7')
следует, что aNDN—>0 в L1, и поэтому ввиду (7.1.8)
справедливо (7.3.7).
(2) Объединяя (7.3.4), 7.13(3) и (7.1.8), получаем, что если
последовательность (ап) квазивыпукла и
ая.1пп = 0(1), (7.3.8)
то
sNh=0(l).
Отсюда можно заключить (см. 12.5.2 и 12.7.5), что (С) является
рядом Фурье (—Стилтьеса) некоторой меры.
См. также статью Теляковского [2], MR 48 # 794, 52 # 14808а,
Ь, 54 # 13436.
(3) Легко доказывается (см. упражнение 7.5), что при р > 1
\FJp = 0{nW), \\DJp = 0(nV»'), (7.3.9)
где 1/р-\- 1/р' = 1. Отсюда и из равенства (7.3.4) вытекает, что
условия
«i-i/pa„ = 0(l), (7.3.10)
/*«-»"> Да„ = 0(1), (7.3.11)
00
2/г2-1/р|Дяая|< оо (7.3.12)
в совокупности достаточны для того, чтобы нормы \\sN\\p были
ограничены по /V, и в таком случае можно показать (см. п. 12.7.6),
что (С) является рядом Фурье некоторой функции из ЬЛ
Для случая ап \ О более точный результат содержится в 7.3.5(2).
(4) Если последовательность (ап) квазивыпукла и ап-^о(1)у
то (С) есть ряд Фурье функции /6L1; он сходится в L1 к /

7.3. Ряды (С) и (5) в качестве рядов Фурье 145
тогда и только тогда, когда выполняется (7.3.7); соотношение
SUP || %))!< оо
выполнено тогда и только тогда, когда выполнено (7.3.8).
Первое из этих утверждений содержится в 7.3.1; второе
покрывается рассмотренным выше утверждением (1); третье
доказывается почти точно так же, как и (1).
Эти результаты в основном принадлежат Янгу (W. Н. Young)
и Колмогорову; см. [Ва1э гл. 1 § 30], [Ва2, гл. 10, § 2], [Zlf гл. 5,
теор. (1.12)].
(5) Из 7.2.1 следует, что если я |0, то как (С), так и (S)
сходятся при хфО (mod 2зх). В обоих случаях рассматриваемый
ряд является рядом Фурье тогда и только тогда, когда его сумма
принадлежит L1 (доказательство см., например, в [Ва2, стр. 650]).
(6) В случае ап\0 доказательство теоремы 7.3.1 допускает
следующее упрощение (любезно сообщенное мне проф. Г. Гёзом
(G. Goes.)). Ввиду 7.2Л(2) ряд (С) сходится равномерно при
6^|л;| ^я для любого б>0. Сумма / поэтому непрерывна
всюду, кроме, быть может, точек х^==0 (mod2jt). Равенство (7.3.4)
и оценки
-g- N Да^ ^FN_, (х) I < y | А%-! |- (sin j xY\
j aNDN (x)
^-7)-¾
. 1
sin-^- X
(cm. (7.1.1) и (7.1.2)) в сочетании с предложением ап\0
показывают, что (7.3.3) выполняется при 0<|л;|<!я. Положив
N
gN(x) = 2^-1¾ sin пх,
имеем при 0 < б ^ х ^ я
X
Sn (*)—ЯГ*(8) = S % (У) dy
6
и в силу равномерной сходимости sN к / на [б, я] получаем, что
х
g(*)—g(&)=lf(y)dy
б
при 0<б<х<я. Ввиду (7.3.3) и (7.3.2), /$1Л Поскольку
к тому же g непрерывна и g (0) = 0, то
А
£(*)=$/ (У) dy
о

146
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
при О^дг^я. Аналогичные рассуждения приводят к тому же
равенству для —я^х^О. Начиная с этого места, можно в
точности повторить соответствующие рассуждения предыдущего
доказательства.
Далее, в случае ап \ 0 можно даже до некоторой степени
обойтись без условия (7.3.2), хотя в таком случае нельзя
утверждать, что / б L1. Тем не менее сохранится равенство
X
g(x)—g x0)=)f(y)dy
при —п<^.х0^х <0 и при 0<a:0^a:^jx. Ввиду этого можно
произвести интегрирование по частям в формуле
л я
п"1ап = —\ g (х) sin пх dx = lim— \ g(x) sin пх dx
п J 6-М) п £
и получить в результате
я
ап = lim — \ / (х) cos пх dx;
о
напомним, что g непрерывна и g (0) = 0 и что мы, как и выше,
предполагаем, что а0 = 0. Иначе говоря, ряд (С) имеет вид
2 }{n)ein\
tl€Z
где теперь
?(/i) = lim-gL J f(x)e-in*dx9
т. е. интеграл можно понимать в смысле главного значения по
Коши. Таким образом, в этом более широком смысле (С) всё еще
можно рассматривать как ряд Фурье функции /.
Обратимся теперь к некоторым аналогичным результатам для
ряда по синусам (S).
7.3.3. Предположим, что ап 10, и рассмотрим ряд
/(*)= X ansinnx,
который всюду сходится в силу 7.2.1. Тогда /g L1 в том и только
в том случае, если
£^<оо, (7.3.13)
/1=1

7.3. Ряды (С) и (5) в качестве рядов Фурье 147
причем в этом случае ряд (S) является рядом Фурье функции / и
lira || sN-fl = 0. (7.3.14)
Доказательство. Читатель легко убедится, что при
наложенных на (ап) условиях (7.3.13) эквивалентно соотношению
2Ля„-1пя<оо. (7.3.13')
Суммирование по частям дает
Sn (*) = 2 Ч*1/2Ьп (х) + lAaN• DN (х)
00
-*2 kan.V2Dn(x) = f(x). (7.3.15)
Заменив здесь Dn на D*, получим функцию
00
/# (*) = 2 Ля„. HD* (*), (7.3.16)
которая отличается от / на функцию
00
2 Да„- % sin/гл;,
«=1
а эта функция непрерывна, потому что ввиду соотношения ап[0
2|AaJ<oo.
Таким образом, /gL1 тогда и только тогда, когда /# g L1.
С другой стороны, поскольку функции Dn нечетны и
неотрицательны на (0, п) (см. (7.1.5), то /# G L1 тогда и только тогда,
когда
2 Ая„
гс=1
А это требование ввиду (7.1.11) эквивалентно соотношению
(7.3.13').
Наконец, считая выполненным условие (7.3.13'), получаем
ап In п = In п • 2 Дя* ^ 2 ^¾ • In &,
чтб стремится к нулю при п—► оо. Поэтому из (7.1.10) и (7.3.15)
следует, что sN—►/ в норме L1 при N—юо.
5*1, <оо

148
ГЛ. 7 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
7.3.4. Предположим, что ап 10 и
00
]Г^=оо. (7.3.17)
00
Тогда ряд ^ansmnx, хотя и сходится всюду, не является,
однако, рядом Фурье— Лебега.
Доказательство. Это немедленно следует из 5.3.1, 6.4.5
и 7.3.3.
7.3.5. Дополнения, (i) Теорему 7.3.3 можно обобщить. Так,
например, в работе Теляковского [1] доказано, что если
последовательность (ап) квазивыпукла и ап—^О, то (S) является рядом
Фурье тогда и только тогда, когда
со
2 п~1\ап\< оо.
Далее, Кано и Утияма (Капо, Uchiyma [1]) доказали, что если
(ап) квазивыпукла и ограничена, то (S) сходится в L1 тогда и
только тогда, когда
со
2 я"11 ап I < °° и яя • In /г -—* О,
sup|| s^Hi < оо
N
тогда и только тогда, когда
со
Е п~1\ап\< оо и ап-\пп = 0(1).
п=\
Эти авторы показали также, что существует неотрицательная
квазивыпуклая последовательность (ап), такая что ап—>0, ряды
(С) и (S) оба являются рядами Фурье и, однако, как (С), так
и (S) расходятся в L1.
См. также Теляковский [2], MR 52 # 14 805, 14 819, 55 # 8673.
(ii) В п. 7.3.2(3) мы указали условия, достаточные для того,
чтобы сумма / ряда из косинусов (С) принадлежала L?. В случае
ап\§ известно более точное необходимое и достаточное условие.
Обозначая через g сумму соответствующего ряда из синусов (S)
и предполагая, что 1</?<оо, можно доказать эквивалентность
следующих условий:
(1) /€L";
(2) g € LPi

7.4. Приложение к изучению пространства A(Z) 149
(3) последовательность (tfj£=i (монотонно убывающая к нулю)
удовлетворяет условию
2 пР-*аРп< оо.
Несмотря на простой вид, этот результат значительно глубже
упомянутого в п. 7.3.2(3). Его доказательство опирается на
теорему 12.9.1 и неравенство Харди; см. [Z2, стр. 193] или |Ва2,
стр. 657].
По поводу дальнейших результатов в этом направлении см.
Aljancic [1] и библиографию к этой работе.
Харди (Hardy [1]) доказал, что если (S) является рядом
Фурье некоторой функции /gL^ (п ^ 1), то тем же свойством
обладает и ряд
00
53 (Ta)nsinnx, (7.3.18)
где
(Та)п = п"1 (#, + ...+ ап) при п £ {1, 2, ...}.
С другой стороны, Г. Гёз и 3. Гёз (Goes, Goes [1]) доказали,
что если последовательность (ап) — класса BV и а„—^0, то ряд
(7.3.18) является рядом Фурье тогда и только тогда, когда
оо
X n'l\an\<oo.
См. также MR 55 # 8673.
(Hi) См. еще [Boa] и Boas [2].
7.4. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОСТРАНСТВА A (Z)
Мы можем теперь доказать утверждение, высказанное в п.
2.3.9 и касающееся существования интегрируемой функции,
у которой коэффициенты Фурье стремятся к нулю сколь угодно
медленно.
Для заданной функции ц £c0(Z) положим
Я.я = тах[|ф(А1)|, |<р(—л)|] (п-0, 1, 2, ...).
Тогда кп—► () при п—> оо и можно, как и в п. 7.1.5, построить
последовательность (ап), которая выпукла и удовлетворяет
условиям ап \ 0 и
2^<дя (/1 = 0, 1,2, ...),
Рассмотрим функцию /, фигурирующую в доказательстве теоремы
7.3.1. Так как (ап) выпукла, то / неотрицательна и интегри-

150 ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
руема. Рядом Фурье для / служит ряд itCi0 + 2u ancosnxt так
n = l
что f(n) = 1/2a\n\ при всех n£Z. Значит,
f(n) ^ | ф (п) | при всех и g Z.
См. также [HR, (32.47)].
7.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
В этом параграфе будет показано, как теорема 7.3.1 помогает
в решении некоторых вопросов, касающихся возможности
разложения вида f = g*h, где /, g и h принадлежат тем или иным
функциональным пространствам. Будет рассмотрен упоминавшийся
в п. 3.1.1 (с) результат Салема - Зигмунда -Рудина — Коэна.
Будет избран «классический» подход (в противоположность
введенной для решения некоторых проблем такого рода Коэном
(Cohen [4]) техники, опирающейся на аппарат банаховых алгебр),
который представляет собой небольшую модификацию
рассуждений Рудина (Rudin [1]).
7.5.1. Пусть через Е обозначено любое из пространств Lp
(1</?<оо) или С* (0<&<оо). Тогда E^L^E.
Доказательство. Поскольку, в силу 3.1.5 и 3.1.6, L1 * Е с Е,
достаточно показать, что Ее LX#E. Для этого мы воспользуемся
простейшими результатами о суммируемости по Чезаро; столь же
пригодными, однако, были бы и многие другие методы
суммирования.
Предположим, что /£Е. Нам нужно доказать существование
таких g£E и /i^L1, что
f = g*h. (7.5.1)
Исходным моментом при построении функций g и h будет
служить тот факт, что ввиду 6.1.1
lim I/-fW| = 0. (7-5-2)
где ||-|) обозначает соответствующую норму (fl-f^ или ||-||л)
пространства Е. В силу (7.5.2) можно, как легко проверить, выбрать

7.5. Приложение к проблеме факторизации
151
неотрицательные числа aN (Л/' =1,2, ...), такие что
оо
2 ocN=ooy
оо
2 ajvlZ-^WK00.
N=1
00
< оо.
(7.5.3)
(7.5.4)
(7.5.5)
Далее, из (7.5.4) и полноты Е вытекает, что
00
g = f+ >] *N(J-FN*f)
Л'=1
(7.5.6)
принадлежит Е, причем ряд сходится в Е. Отсюда в свою
очередь следует, что
Л. Л
g=f
GO
1+ S «лгО-^лг)
/V = l
(7.5.7)
нетрудно заметить, что при фиксированном n£Z и возрастаю-
щих Л/" имеет место соотношение 1 FN (п) = 0 (1/Af), так что
(7.5.5) обеспечивает поточечную сходимость на Z ряда из (7.5.7).
Ввиду 2.4.1, (3.1.5) и (7.5.7) для установления (7.5.1) при
некоторой функции h g L1 достаточно показать, что
последовательность (an)nez> определяемая равенством
ап =
1
00
1+ 2 «лг(1-
l JV = 1
""
-FN(n))
п
(7.5.8)
является последовательностью коэффициентов Фурье — Лебега.
Именно тут нам и может оказать помощь теорема 7.3.1.
Заметим, что ап = а\п\. Теорема 7.3.1 показывает, что нам остается
лишь проверить следующие два свойства:
(1) ап I О при п —> оо;
(2) последовательность (ап)п > о выпукла.
Что касается (1), то мы имеем
(г
п
' о,
если O^in^N,
если п > /V,
так что O^FN{n)^\ и FN{n) = Q при n>N. Следовательно,
в силу (7.5.3),
bn^\+ 2 ccN—^0 при /г-^оо.

152 ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ ОЙВЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Кроме того, bn+l^bni поскольку адг^О, и FN(n+l) ^FN(n).
Таким образом, (1) выполняется.
Обращаясь к (2), заметим, что выпуклость
последовательности (tfjn> о эквивалентна условию
^'Г^^Г^1' (7-5-9)
Оп "п + 2
Далее, как нетрудно проверить,
aN
7
N > п
°п+1 °п— 2L n+\
и поэтому с учетом неравенств aN^0 и bn^bn + 1^bn+2 ясно,
что справедливо (7,5.9). Таким образом, (2) выполнено, и тем
самым теорема доказана.
7.5.2. Замечания. (1) Исключенный в теореме 7.5.1 случай &=<х>
легко может быть рассмотрен отдельно; в самом деле, используя
12.1.1, нетрудно убедиться, что С* = С"*С°. В другом
исключенном случае р = оо утверждение теоремы уже неверно (как видно
из 3.1.4).
Как и в 6.1.1, метод доказательства предыдущей теоремы
применим к случаю однородных банаховых пространств на Т;
см. [Kz, стр. 61, упр. 1].
(2) Частичное обобщение теоремы 7.5.1 (за исключением
случая E^L1) на более общие группы рассматривалось в работах
Hewitt [1], Curtis, Figa-Talamanca [1]. (Рассуждения Рудина
применимы к локально-эвклидовым группам.) При этом Хьюит
использует метод Коэна, рассматривая вопрос в общей постановке
теории банаховых алгебр; см. п. 11.4.18 (6).
7.5.3. После того как установлено, что L^L1*!^1, естественно
поставить вопрос, верно ли, что L^=L/*L^ при /? > 1. Мы
получим отрицательный ответ на этот вопрос для р = 2 в § 8.4,
а для всех р > 1 в упражнении 13.20 и еще раз в п. 15.3.4.
7.5.4. Дополнения к теореме 7.5.1. (1) Стоит сделать два замечания по поводу
фигурирующих в (7.5.1) функций g и h, построенных при доказательстве
теоремы 7.5.1.
Во-первых, сумма в (7.5.4), очевидно, может быть сделана меньше любого
наперед заданного б > 0, ив этом случае, как видно из (7.5.6),
IIS-/IK6. (7.5.10)
Во-вторых, поскольку построенная последовательность (ап)п>. о убывает
к нулю и выпукла, то из уравнения (7.3.4) видно, что h неотрицательна, так
что || Л ||i = а0 и, значит,
/i|li = l. (7.6.11)
(2) Небольшие дополнительные рассуждения позволяю! усилить теорему
7.5.1 в следующем направлении.

Упражнения 153
Предположим, что Ej является а-компактным подмножеством множества Е
(т. е. Ei содержится в объединении счетной последовательности Л, (/— 1,2, ...)
компактных подмножеств из Е). Тогда существует функция 'i g L1, которая
неотрицательна и удовлетворяет равенству (7.5.11) и следующему условию:
для каждой функции / £ Ех можно найти такую функцию g g Е, что
выполняется (7.5.1). (Фактически h можно взять одну и ту же для всех f g Ех.)
Доказательство этого обобщения основано на том, что поскольку Л,-—
компактные подмножества в Е, то числа
р((Л') = 5ир{||/-^*/||:/6 А[)
стремятся к нулю при N—► оо для каждого фиксированного i. (Это в свою
очередь вытекает из того факта, что в произвольном метрическом пространстве
любое компактное множество может быть покрыто конечным числом шаров
произвольно малого радиуса; при этом следует еще использовать неравенство
\\f — Fx*f ||^2 ||/||, верное для всех N и всех / £ Е.) В таком случае числа
адг^О можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения (7.5.3) и (7.5.5),
а вместо неравенства (7.5.4) выполнялось неравенство
оо
2 <**Р/ (Щ < оо (7.5.4')
N = 1
для каждого t = l, 2, .... Далее доказательство проводится по предыдущей
схеме.
(3). Из 7.5.1 можно вывести другие факториэационные теоремы. Например,
отправляясь от соотношения C^C^L1, можно показать, что
С1«=С*АС, (7.5.12)
где АС обозначает пространство (периодических) абсолютно непрерывных
функций; см. упражнение 7.10.
7.5.5. Рекомендации для дальнейшего чтения даны в п. 11.4.18(6) ниже; см.
также [HR, (32.14) и далее], [DW], MR 34 #4817, 4818, 46#2355, 52#6327,
53 #8782, 8789, 54#843, 8151.
Упражнения
00 00
7.1. Докажите, что если ряд 2 сп сходится и 2 |AA,J<oo,
оо
то сходится и ряд 2 ^пСп-
7.2. Докажите обращение результата предыдущего упражнения,
00
а именно что если 2 ^Л сходится при любом сходящемся
А7=0
00 00
2 сп9 то 2 |ДЬ„|< °°-
л=0 п=0
Указание. Покажите, что сделанные предположения означают,
00
что 2 &K'sn сходится для любой последовательности sn—► ().
гс=0

154
ГЛ. 7. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
7.3. Докажите, что если £ сп/\п(2 + п) сходится, то сходится и
п = 0
оо
2 сп-(\+п)~а ПРИ любом а > 0.
00
7.4. Пусть s„=2^ и оп = (п + \)~1 (s0 + Si + ...+sn). Дока-
fc=0
жите, что если (оп) является ограниченной последовательностью
00 00
и s„ = o(ln/2) при п—*оо, то ряды ^ сп/1п(2 + я) и 2 с« О +л) ~а
сходятся при а > 0.
Указание. Положив Кп = 1/ n (2 +я), дважды примените сум-
00
мирование по частям к ряду 2 ^п6'»-
гс=0
7.5. Проверьте, что при /7 > 1
при N—юо, где 1//?+1//?'= 1, а Л^ и Вр положительны и не
зависят от N (ср. с (7.3.9)).
7.6. Предположим, что функция а(х) определена и непрерывна
для х^О и ее вторая производная а"(х) существует и
неотрицательна при х > 0. Докажите, что последовательность (a (/i))£-o
выпукла.
00
7.7. Покажите, что ряд 2 zosnx/lnn является рядом Фурье ин-
л=2
00
тегрируемой функции /^0, в то время как 2 sinnA;/ln/2 вообще
гс = 2
не является рядом Фурье. (Значение этого примера станет ясно
в п. 12.8.3.)
7.8. Используя 7.3.2(3), покажите, что если 0<а<1, то ряд
00
2 cos пх/па является рядом Фурье неотрицательной функции
Л«в1
/£ YP при 1 ^р < (1 —а)"1, и что при этом
N
lim
N -*■ оо
/-Z
COS AU
= 0.
р
Что можно сказать в случае а > 1?
7.9. Используя упражнение 7.8, покажите, что если 0<а^1,
то ряд 2 ё(п)'\п\~а сходится для каждой функции g £ L<*
'«6 2, л =£ О
при </ > а"1,

Упражнения 155
По поводу дальнейших результатов в этом направлении см.
п. 10.4.3 и упражнения 10.4—10.6, 13.1.
7.10. Дайте доказательство соотношения (7.5.12) и далее
выведите, что
0я = О-1*АС = С*АС* ... *АС
т сомножителей
при т— 1, 2, ... .
7.11. Докажите, что (в обозначениях, введенных в замечании (4)
п. 2.3.5 и в п. 7.5.4 (3))
(1) AC^L^AC;
(2) AC^L^BV.
Примечание Из (2) видно, что L1 * BV является собственным
подмножеством в BV. При доказательстве включения L^BV с АС
полезно помнить, что V (1) = \\0(\}г для каждого
тригонометрического полинома /. (Фактически равенство V (/) = || D/Ik верно для
любой абсолютно непрерывной функции /; см. [Na, стр. 279].)

ГЛАВА 8
РЯДЫ ФУРЬЕ В L2
В этой главе мы покажем, что проблема сходимости в
среднем" рядов Фурье функций из L2 имеет полное и простое
решение. Абстрактной основой этого служит тот факт, что L2 является
гильбертовым пространством со скалярным произведением
и что, далее, функции еп, определенные равенством
еп(х)=е*«* (я €2), (8.2)
образуют ортоноржированный базис в L2. Последнее означает,
что семейство (еп) является ортонормированным в том смысле, что
(*». еп) = Ьтп (m» "€z)> (8.3)
и
/£1Д (/,0 = 0 (w€Z)=*/=0 п.в. (8.4)
Фактически (8.3) есть просто переформулировка соотношения
ортогональности, а импликация (8.4) является частным случаем
теоремы единственности 2.4.1. Как показывает теория
гильбертовых пространств, из этих двух фактов следует, что каждая
функция / 6 L2 допускает сходящееся разложение
/== 2 (/. еп)еп\
см., например, [Е, следствие 1.12.5], или [HS, стр. 245—246],
или [АВ, стр. 239-240J.
Несмотря на это готовое решение проблемы, мы не будем
опираться на знание теории гильбертовых пространств и приведем
здесь все нужные нам результаты. По поводу общих
ортогональных разложений см. [KSt, гл. 3]. То немногое, что мы намерены
сказать по поводу поточечной сходимости, включено (помимо
небольшого § 8.6) в гл. 10.
*> Точнее, в среднеквадратичном,— Прим, ред.

8.2. Сходимость в среднем рядов Фурье для функций из L2 157
8.1. СВОЙСТВО МИНИМАЛЬНОСТИ
Мы начнем с доказательства того, что для данной функции
f £ L2 последовательность частичных сумм ал/ ее ряда Фурье
обладает определенным свойством минимальности, которое, как
уже отмечалось, служит для выделения ряда Фурье от / среди
всех тригонометрических рядов (gm. обсуждение этого вопроса
в § 1.2).
Обозначим через Т/v линейное пространство всех
тригонометрических полиномов степени не выше Л/, т. е. всех линейных
комбинаций
'= 2 «„*„ (8.1.1)
|л|< N
функций еп с |/?|^N; см. упражнение 1.7.
8.1.1. Для всякой функции / g L2
ii/-a>n/-wn?
при любом полиноме t £Т , отличном от S\f.
Доказательство. Непосредственные вычисления, основанные
на соотношениях ортогональности (8.3), дают
ll/-<li = ll/li+ 2 K-/W- 2 |f(л)г (8.1.2)
| п |< N | п |< Л/
для произвольного /6ТЛ/ вида (8.1.1). Правая часть в (8.1.2)
очевидно достигает строгого минимума при значениях an = f(ri)
(\n\^N) и только при них, и величина этого минимума равна
/-WB-
8.2. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ
для ФУНКЦИЙ ИЗ 1Л
ФОРМУЛА ПАРСЕВАЛЯ
С помощью 8.1.1 и результатов гл. 6 нетрудно установить
сходимость в среднем рядов Фурье для функций из L2.
8.2.1. Если /gL2, то
»га 1/-^/1,= Ига |/-(W|. = 0 (8.2.1)
И
£|/(*)|adx = 1/111= Xj/>)|2. (8.2.2)
2л
Более того, для любого заданного 8 > 0 существует конечное
подмножество FQ = FQ(e) в Z, такое что, каково бы ни было конеч-

158
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L*
ное подмножество F в Z, содержащее F0,
/-2 ?(п)ея <е. (8.2.3)
ябР 2
Доказательство. Поскольку oNf£TN, из 8.1.1 вытекает, что
11/-%/12<11/-^/||2.
С другой стороны, случай р = 2 теоремы 6.1.1 дает
lira || / - oNf I = 0.
Л/ ~> оо
Тем самым (8.2.1) установлено. Положив t = sNf в (8.1.2),
получим
lf-sNfi=m- 2 I/C0I';
устремляя N к оо, приходим к (8.2.2).
Наконец, полагая sF= 2 / (л) е„ (для произвольного конеч-
ного множества FcZ) и g = f—sF, видим, 4ToggL2 и
g(n) = 0 (n(tF), g(n) = J(n) (n<EZ\F).
Применение (8.2.2) к g дает
11/-^1 = 2 ifwi1.
Поскольку 2l/(n)l2 есть сходящийся ряд с неотрицательными
членами, отсюда сразу вытекает (8.2.3).
Замечание. Равенство (8.2.2) представляет собой один из
вариантов формулы Парсеваля. Полезные ее обобщения будут
получены в §§ 13.5 и 13.11. Взяв /, g g L2, заменив в (8.2.2)
/ на / + ^g" и проварьировав скаляр А,, можно непосредственно
получить так называемый поляризованный вариант формулы,
который выглядит так:
8.2.2. Если /, g£V\ то
tf> ^e^f f(x)sJx)dx = ^ f(n)J{n)9 (8.2.4)
где ряд сходится абсолютно. Ввиду 2.3.1 это равенство
эквивалентно следующему: для /, g £ L2
-5J- f / (*) * (х) dx=Y.Hn)g (- л), (8.2.5)
J rc€Z
где ряд сходится абсолютно.

8,3. Теорема Рисса — Фишера 159
8.3. ТЕОРЕМА РИССА-ФИШЕРА
В свете того обстоятельства, что
2 |/(Я)Г<оо
П€ Z
для любой функции / £ L2, особое удовлетворение вызывает
возможность сформулировать и доказать полное обращение этого
факта.
8.3.1. (Теорема Рисса — Фишера.) Пусть (cn)nez—произвольная
последовательность комплексных чисел, для которой
2 К1и<оо. (8.3.1)
Тогда существует функция / g L2, определяемая однозначно почти
всюду, такая что f(n) = cn (n£Z).
Доказательство. Если положить
SN = 2j Спеп>
то соотношения ортогональности (8.3) дают при М < N равенство
isM-sN\\i= 2 \сп\\
М <\п\ ^ М
где в силу (8.3.1) правая часть стремит я к нулю при М, N —► оо.
Ввиду полноты L2 ([W, теор. 4.5а]) существует единственная
с точностью до значений на множестве меры нуль функция / g L2,
такая что
Km 1/-^1, = 0. (8.3.2)
Л/ -* оо
Далее, из (8.3.2) следует (в силу неравенства Коши—Шварца),
что/(/г) = Игл sn (п) при каждом rcgZ Поскольку sN(n) рав-
N -*■ оо
но сп ИчДИ 0 соответственно при |я|^Л/ и | п | > N, отсюда
вытекает, что f(n) = cn при всех /igZ.
8.3.2. Замечания. Известно, что теорема 8.3.1 является
наилучшей в следующем смысле: какова бы ни была заданная
последовательность (cn)nez , для которой
п ez
можно так расставить знаки ±, что ряд ^±спе1ПХ ле будет
рядом Фурье ни для какой интегрируемой функции (и даже не
будет рядом Фурье—Стилтьеса ни для какой меры в смысле

160
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В LI
определения п. 12.5.2). Этот вопрос будет более подробно
рассмотрен в гл. 14; см. в особенности пп. 14.3.5 и 14.3.6.
Можно также показать, что соотношение 2 |/(я)|2<°°>
выполняющееся для /£L2, не допускает существенного
улучшения даже для класса непрерывных функций /. Например (см.
упражнение 8.9), для любой положительной функции со на Z,
такой что Нт о)(/г) = оо, существует непрерывная функция /,
для которой
lim sup | со (п) J (п) | = оо (8.3.3)
п -> оо
И
2 со (л) |/(л)|а =оо. (8.3.4)
п ez
Более того, существует (Карлеман) непрерывная функция /,
такая что
2j I / (п) |2"8 = °° Для любого заданного е>0, (8.3.5)
neZ
и даже (Банах) такая, что
2 |Ы|-вя=00
п eZ
для соответствующим образом выбранной последовательности
&п — -» 0 (см. упражнение 15.13). В качестве конкретного примера
функции /, для которой выполнено (8.3.5), можно привести
функцию
00 Jen In п
где Р >• 1 и с>0; см. [Z,, стр. 321, теор. (4.11)]; этот пример
имеет совсем иную природу, чем пример из упражнения 15.13.
См. также [Ва2, стр. 311].
По поводу возможных полезных обобщений теоремы 8.3.1 см.
§§ 13.5 и 13.11. По поводу обобщений теорем 8.2.1 и 8.3.1 на
общие группы см. п. 13.5.2.
8.3.3. Теорема 8.3.1 и двойственность. Как уже отмечалось в § 2.5,
теореме 8.3.1 можно придать вид результата, относящегося к
двойственной ситуации. Она фактически утверждает, что если ч£/2,
то тригонометрические полиномы
4n = 2 Ф (п) еп
\п\< N
сходятся в среднем (в L2) •: некоторой функции / = (р на Т, такой
что /=ф. Это дает возможность интерпретировать формулу обра-

8.5. Дополнит, сведения об интегральном модуле непрерывности 161
щения, обсуждавшуюся в § 6.7, и, в частности, позволяет при-
дать разумный смысл преобразованию Фурье ф для любой
последовательности cpg/2 (см. § 2.5).
См. также §§ 13.5 и 13.11.
8.4. ЕЩЁ О ПРОБЛЕМЕ ФАКТОРИЗАЦИИ
Как было сказано в п. 3.1.1(c) и доказано в п. 7.5.1, в #-ал-
гебре L1 нет ни одного простого элемента, т. е. каждый элемент
/6L1 можно по крайней мере одним способом разложить на
множители, представив его в виде f^=f1^f2^ гДе /i» /2 € L1. В п. 7.5.3
мы отмечали, что аналогичное утверждение для L^(/?> 1)
несправедливо; см. также упражнение 13.20. Мы можем сейчас это
проверить для р = 2.
В самом деле, если /? = 2, то формула Парсеваля (8.2.4) в
сочетании с теоремой Рисса — Фишера 8.3.1 показывает, что любая
функция /€1Д для которой ^ |/(/г)| = оо, является простым
nez
элементом алгебры L2 и что (см. упражнение 8.2) это
единственные простые элементы в L2.
В связи с этим естественно поставить вопрос о том, можно
ли любой элемент из L^(/?> 1), не являющийся простым,
представить в виде конечного свёрточного произведения простых
элементов из LA Утвердительный ответ для случая р = 2 дается
в упражнении 8.3.
8.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ МОДУЛЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Обобщая понятие, введенное в п. 2.3.7, определим
интегральный модуль непрерывности функции f порядка р > 0 равенством
apf(a) = \\TJ-f\\p. (8.5.1)
Этот модуль можно считать определенным для любой измеримой
функции /\ если положить соя/(я) = оо, когда TJ—/ не
принадлежит D\ Инвариантность интеграла относительно сдвигов
показывает, что
(opf(-a) = a>pf(a). (8.5.2)
При р ^ 1 получаем в силу неравенства Минковского
<upf(a + b) = \\Ta+bf-fl
<\\Ta+bf-TJIP+\\Tbf-fl = <upf(a) + <»pf(b) (8-5-3>
(мы вновь воспользовались инвариантностью интеграла). Кроме
того, ввиду (2.2.19)
V (а) < со/ (a) (0<p<q). (8.5.4)
6 Р. Эдг.ардс, т. I

162
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L»
Как мы видели в упражнениях 5.1 и 5.2, ограничения на
скорость убывания (ог[(а) при а—* О влекут за собой те или иные
свойства гладкости /. Используя результаты § 8.3, мы получим
сейчас дальнейшие результаты в этом направлении, выраженные
в терминах coj и со2/. Аналогичные, но намного более сложные
результаты будут упомянуты в конце п. 10.4.6; см. также п. 10.6.2.
8.5.1. Если /£ L1 и
00
И К/ (-£
N=\
N
< оо,
оо
+1 / (0)
то / G L2 и
Доказательство. В силу 2.3.7 и (8.5.2)
1/(")1<т«х/(|Тг)
при /zgZ, пфО. Поэтому (8.2.2) дает
1
/v = i L
что эквивалентно (8.5.5).
8.5.2. Пусть / б L2 и а > 0.. Тогда
/В<|/(0)|2 + 2£ [1^(-^)]1.
Я'
Z |"/>)|2<
\п
л
а
со2/ (а)
а
nez
Доказательство. В силу 2.3.3 и (8.2.2)
К/(a)P = 2l^--l М/(")1а.
Далее,
eina_\\= 2
sinT
и
sin
2
>2l
sin
па
па
"2"
<2
при
ял
<:
я
па
~2~
= \па
(8.5.5)
< ИI Л) I2. (8-5-б)
(8.5.7)
при всех п и всех а. Подставляя эти оценки в (8.5.7), получаем
после деления на а2 неравенство (8.5.6).
8.5.3. По поводу абсолютной непрерывности. На основе теоремы
8.5.2 мы сможем найти несколько интересных условий, каждое из

8.5. Дополнит, сведения об интегральном модуле непрерывности 163
которых необходимо и достаточно для того, чтобы данная функция
из L2 была почти всюду равна абсолютно непрерывной функции,
у которой производная (существующая почти всюду) тоже была
бы из LA
8.5.4. Пусть / £ L2. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:
(1) после исправления на множестве меры нуль / становится
абсолютно непрерывной и D/gL2;
(2) 2|/г/(/2)|2<оо;
пег
(3) lim a~1(T_J — f) существует как предел в среднем (в L2);
а -> О
(4) со2/(а)/а = 0(1) при а—+0.
Если выполнено любое из этих условий, то фигурирующий в (3)
предел равен D/.
Доказательство. То, что (1) влечет (2), вытекает
непосредственно из 2.3.4 и (8.2.2).
Если выполнено (2), то 8.3.1 гарантирует существование такой
функции ggL2, что g(n) = inf(n) при всех n£Z. Тогда в силу
6.2.8
ь
2 1(п) (einb —eina) = [g(x)dx (8.5.8)
a
для всех а и b. Кроме того, из (2) вытекает, что 2 \f(n)\ < °°,
пег
а тогда 2.4.2 показывает, что после изменения / на множестве
меры нуль
при всех х. Поэтому из (8.5.8) и из теоремы Лебега о
дифференцировании неопределенного интеграла [W, теор. 5.2g] следует,
что f абсолютно непрерывна и Df = g почти всюду. Таким
образом, (1) выполнено, и тем самым эквивалентность (1) и (2)
установлена. '
Снова предположив выполнение (2) и используя предыдущие
обозначения, из формулы Парсеваля (8.2.2) получаем
la"1 (T_J-f)-g$= 2\a-4e"»-l)f(n)-in}(n)\*
nez
= 2 \a-l(e*na—1)-in\*\f(n)\\ (8.5.9)
nez
Далее,
lim a"1 (eina— 1)-w = 0 (n£Z)

164
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L*
и (см. доказательство теоремы 8.5.2)
| a"1 (eina — 1) К const • | п |.
Эти соотношения вместе с (2) и (8.5.9) дают
1^(7^/-/)-^--0
при а—>0. Таким образом, из (2) следует (3).
Поскольку <о2/(а) = ||Т_в/ —/|2> то очевидно, что из (3)
следует (4).
Первое неравенство из 8.5.2 показывает, что из (4) следует (2).
Итак, мы установили, что
(1)»(2)=ф(3)=ф(4)=ф(2).
Тем самым наше утверждение доказано.
8.5.5. Замечания. (1) С помощью принципа равномерной
ограниченности (пп. В.2.1 и В.2.2) можно показать, что пятое условие,
эквивалентное предыдущим, получится, если ослабить (3),
потребовав, чтобы предел там существовал лишь в смысле слабой
сходимости в L2, т. е. (см. § С.1) чтобы предел
lim [a^iT.J-fi-hdx
существовал и был конечен для каждой функции /z£LA
(2) Еще одно эквивалентное условие состоит в существовании
такой функции g £ L2, что
lim \ a~1(T_J — f)-udx= \ gudx
для каждой функции и£С°°\ см. упражнение 12.24.
8.6. О ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ sNj
В п. 10.4.5 будет рассказано о результате Карлесона,
доказавшего в 1966 г., что для любой функции /gL2 суммы sAf
поточечно сходятся почти всюду. Несмотря на это, мы подробно
изложим здесь в качестве иллюстрации применения формулы Пар-
севаля доказательство намного более раннего результата,
принадлежащего Колмогорову (1925 г.). Эта теорема Колмогорова,
утверждающая существование точно описываемых быстро
растущих последовательностей Шк)^ положительных целых чисел,
таких, что lim Swft/ = / поточечно почти всюду для любой функ-
ции /€L2, вызвала к жизни большое число исследований в этом
направлении, результаты которых не исчерпываются теоремами
Карлесона; см. п. 10.4.Q.

8.6. О подпоследовательностях последовательности $„f 155
Начнем с определения. Последовательность {Nk)%^
положительных целых чисел называется последовательностью Адамара,
если
7 - inf %ti > 1;
It /V k
такие последовательности уже встречались нам в упражнениях
5.6 и 6.13 и вновь встретятся в гл. 15.
8.6.1. (Колмогоров.) Пусть (N k)^ —последовательность Адамара.
Тогда если / g L2, то sN / (х) —» f (х) для почти всех х.
Доказательство. Напомним результат п. 6.4.4 о том, что Одг/—► /
почти всюду. Заметим также, что если (gr)?Li— любая последовательность
неотрицательных интегрируемых функций и
00
23 $«/■<•.
'■!
оо
то ([W, теор. 4.1eJ) сумма J^ gr интегрируема, а следовательно, конечна
почти всюду, и поэтому #г —► 0 почти всюду. Ввиду этих двух замечаний
достаточно показать, что
S-%V>n1-*nJI<*- (8-6.1)
В силу (8.2.2)
li°N f-sNjf=iN*+v-* 2] ^\hn)\\
k k \n \<,Nk
так что
SI'W-WIF^S^ 2 n*\](n)\*s*Sp. (8.6.2)
k<o k »<(> \n\<Nk
■4
Положив ып=*яа I / (я)р| можем переписать последнее равенство в виде
Vе S 2 и* S ^
где считается, что Л/0 равно 0. Но поскольку, {Nk) — последовательность
Адамара, то легко проверить, что 1
где число С зависит лишь от q. Значит,
Далее,

166
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L»
Таким образом, в силу (8.6.3) и (8.2.2)
s,<c 2 1/>)12<с-И/112-
Из этой оценки и из очевидного соотношения
5 <; sup Sp
р
следует (8.6.1), а тем самым и утверждение теоремы.
Более общие результаты подобного рода доказаны в [Z2, гл. 15, в
частности стр. 345].
8.7. И СНОВА A (Z)
В этом параграфе мы, следуя методу Хиршмана, получим
с помощью теорем 8.2.1 и 8.3.1 одно условие, достаточное для
того, чтобы комплекснозначная функция ф на Z принадлежала
A(Z); см. п. 2.3.10(4). Результат, непосредственно
принадлежащий Хиршману (Hirschman [1, лемма За]), приводится в п. 8.7.3;
он будет использован в § 16.4.
Для k g Z через 7\ср будем обозначать сдвинутую функцию
п—*ф(/г — k) на Z (ср. с обозначением, введенным в п. 2.2.1 для
функций, определенных на группах).
8.7.1. Пусть (fgc0(Z) и
S-S 2-^7(2*,)Ф-ф||2<оо. (8.7.1)
т = 0
Тогда существует функция /€L\ такая, что / = ф и
||/ii<|s. (8.7.2)
Доказательство. Пусть т—неотрицательное целое число и k = 2m.
В соответствии с 8.3.1 из (8.7.1) следует прежде всего существование такой
ФУНКЦИИ /fegL2, что ?й=Тйф-фИ
lim sNyk = fk в 1Д
где
\n\<N
Поэтому (см. доказательство теоремы 4.5а из [W]) можно выбрать такие
последовательности (Nrnn)^ (m = 0, 1, 2 ...) целых чисел, что (W(/"+1>)£-i есть
подпоследовательность последовательности (Л/(гт))Г=1 и
lim V™> * = ^

8.7. И снова A(Z) Г67
поточечно почти всюду. Взяв «диагональную подпоследовательность» (Wr)£L =
= (^Vrr))^Li, получим
fk (*) = lim 2 I* (м—^)-Ф (л)} е"1*
для почти всех х и всех & = 1, 2, 4, 8 Поскольку известно, что ф
принадлежит c{i(Z)t это последнее соотношение можно переписать в виде
fh (х) = lim (в'** — 1) 2 Ф (л) ein*
для почти всех х и всех /? = 1, 2, 4, ... . Из этого соотношения видно, что
существует измеримая периодическая функция /, такая что
/*(*) = (*'**-!)/(*) п. в., (8,7.3)
а тогда в силу 8.2.1
-L j | (e/A*_i) / (д)|я ^..ц ГйФ~ф li (8.7.4)
Пусть /л обозначает множество, определяемое неравенствами
2л 2я
о»
так что U /^, = (—Jt, Jt)\{0}. Для х£1т
msO
|б/л*—1 |->21/а,
и поэтому из (8.7.4) вытекает, что
J |/(*)|2Жг<л||7*ф--ф||. (8.7.5)
На основании неравенства Коши — Шварца и (8.7.5) можно заключить, что
$ |/(*)М*<д2~"/2||Г,ф--ф||2,
/
т
откуда, суммируя по /я, получаем с учетом (8.7.1)
т.е. (8.7.2). В частности, из (8.7.1) следует, что /£LA
Наконец, при всех n£Z
ф (д_*)_ф (/2) = ij. f /fc (х) *-'«* d*.
что в силу (8.7.3) равно /(/г — £) — / (/г)- Устремляя m к оо и используя 2.3.8
и условие ф£с0(£), приходим к равенству Ф = /. Теорема доказана.
8.7.2. В формулировке леммы Хиршмана фигурирует выражение
( г-1 \ 1 A3
V,i (ф) = su р | Д | ф (пк+1) - ф (пл) |* > ,

168
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L»
где р — положительное число, а верхняя грань берется по всем
строго возрастающим конечным последовательностям {пк}1^ целых
чисел. Она может, конечно, оказаться равной оо.
Очевидно, что Vt (ср) = || A(f ||lt где разностный оператор А
определяется так же, как и в п. 7.1.2. Кроме того, если ф
ограничена, то для любого р > 1
П(Ф)< (2ИФI.)»-»/э• 1 ДфЦ/р.
Менее очевидной является следующая оценка Хиршмана.
8.7.3. Предположим, что
| ф (/2)| < К (1 +1 п |)"2/а (п е Z) (8.7.6)
при некотором а>2 и что Ур(ф)<оо при некотором р,
удовлетворяющем неравенству 1<!Р<2. Тогда для &=1, 2, 3, ...
Э(а-2) а(2-|3) а-2
^Ф-Ф^^сс.^СФ)2^"^2^'^*2^"^- С8'7'7)
В частности, существует такая функция /6L1, что / = ф и
р(а-а) а (2-0)
/1|1<^;.рУ|5(Ф)2(а-^2(а-р).
Доказательство. Неравенство Гёльдера для сумм дает
117*ф--ф|1:2</ 2 1ф(*)-Ф(* + *)1Э1«
\/t€Z /
а-2
-з
2-Э
/S 1фМ-ф(* + £)1а1а-Р- (8.7.8)
Далее,
/г-1
2 1<Р(")-Ф(" + *)|3=2 2 I Ф (отЛ-Ь/) — ф (тЛ+/—Л)|Р
n€Z /=0 m€Z
<*-1/|3(Ф)р, (8.7.9)
и в силу (8.7.6)
V | ф („)-ф (/i + Ar)|«< 2 А« (I Ф (^)1а + 1 Ф (* + *) 1а)
<2Ла/(<* ^] (1 + |п|)-2. (8.7.10)
n€Z
Объединяя (8.7.8), (8.7.9) и (8.7.10), получаем оценку (8.7.7).
Заключительное утверждение леммы следует из (8.7.7) и 8.7.1.

Упражнения 169
Упражнения
8.1. Пусть а—произвольная перестановка множества Z. Для
/gL2 определим Tf равенством
neZ
Проверьте, чго 7' является изометрическим изоморфизмом свёр-
точной алгебры L2 на себя.
Постройте такие перестановки а множества Z, для которых Т
не является сужением на L2 никакого гомоморфизма свёрточной
алгебры L1 в себя.
Указание. Для решения второй части задачи воспользуйтесь
условиями (3) и (4) из 4.2.6 и покажите, как можно построить
перестановку а множества Z, такую что для любого целого q > О
соотношение
а (п + q) -f а (п — q) = 2а (п)
нарушается для бесконечно многих ngZ.
8.2. Покажите, что элемент / из L2 является простым элементом
алгебры L2 тогда и только тогда, когда 2 1/(^)1 = 0° (см- § 8-4).
8.3. Покажите, что любой элемент / из L2, не являющийся
простым, представим в виде произведения двух простых элементов
из L2.
Указание. Сведите задачу к доказательству того, что если
<оо, то возможно представление сп = апЬп, где 2la»l2<^°°»
5<°°. 2la*i = 2l^l = °°-
У
Сп
ь
8.4. Пусть /gL1 и со,/(а) = О (| я |а) при а—* О для некоторого
а> 0. Покажите, что f*N (£L2 при любом целом N, для которого
Na > 1/2. (Сравните этот результат с упражнением 5.2.)
8.5. Пусть k^L1 и Tf = k*f. Докажите, что Т — непрерывный
эндоморфизм алгебры L2, удовлетворяющий условию
|T|Hsup{177St:/€L», ||/||2 ^ 1} = ||£|L
где для функции k на Z норма ЦбЦ^ определяется, как в п. 2.2.5.
Каковы собственные значения и собственные векторы
оператора Г? Может ли случиться, что T(L2)=L2? (Обоснуйте ответ.)
При каких условиях Т (L2) всюду плотно в L2?
8.6. В обозначениях упражнения 8.5 рассмотрите те же вопросы
применительно к T — XI вместо Г, где X — комплексное число,
а /—тождественный эндоморфизм 1Л

170
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L»
8.7. Пусть последовательность a = (an)neZ принадлежит 1р при
некотором р > 0 (обозначения те же, что и в п. 2.2.5). Докажите,
что
lim
аЛ
A/k _
1 —
а,.с,
где ос* представляет собой поточечное произведение k
последовательностей, каждая из которых совпадает с а.
8.8. Формула спектрального радиуса для L2 (см. упражнение
3.12 и п. 11.4.14). Покажите, что для f£L2
lim | /:* |i/A = i /il.
Указание. Воспользуйтесь упражнением 8.7 в сочетании с
формулой Парсеваля.
8.9. Пусть со—положительная функция на Z, такая что lim со(/г) =
/гс|-*оо
= оо. Докажите существование непрерывной функции /,
удовлетворяющей условиям (8.3.3) и (8.3.4).
Указание. Рассмотрите ряд 2 ю (п^-^е"1*** где целые числа nfe
возрастают достаточно быстро.
8.10. Рассмотрим волновое уравнение
д2и д2и
Ix* ~~~dF
с граничным условием и (О, t) = и (2я, t) и начальными условиями
ди
и (х, 0) = / (*), -£• (xt 0) = g (х)
в следующей интерпретации:
(1) при каждом />0 имеем ut£C, ut(0) = ut(2n) = 0\
(2) производная Dut абсолютно непрерывна и D2ut£L2 при
всех t > 0;
(3) t/t = LMim &~1(ut+e — ut) им^ La-lime"1(tt<+e — ut) сущест-
e-M) e-*0
вует при каждом t > 0;
(4) ut = D2ut как элементы L2 при каждом t > 0;
(5) LMim ut = f и LA lim ut = g, где / и g — данные элементы
из L2.
Рассмотрите вопросы: (а) об условиях существования
решения, (Ь) о единственности решения.
8.11. Запишем sN(x) = 2 cneinx. Покажите, что если с =?
I л|< N

Упражнения 171
0(\п\~1) при |л| —>оо, то (s^(л:))^] сходится почти всюду и
предельная функция принадлежит LA
8.12. Пусть (pjnez — такая последовательность неотрицательных
чисел, что
2р„ = °°, (1)
2р,!,<оо. (2)
nt-Z
Докажите, что существует функция /gL2, такая что
О") 1/(^)1 = 0 (ря) Для ^€2, | дг| —^ оо;
(п) / существенно неограничена на каждом невырожденном
интервале.
Указание. Пусть /V = {/? g Z: рп Ф 0}. Рассмотрите линейное
пространство Е функций /6L2, таких что / (Z\N) = {0} и / (п) =
= o(pJ при |/i| —* оо. Введите в Е норму
||/||Е = sup р-Ч/>)1
и проверьте, что тогда Е становится банаховым пространством.
Предположив, что доказываемое утверждение неверно,
примените теорему В.2.1 и покажите, что
II/L < const 1/|Е. (3)
Возьмите произвольную функцию ggL1 и рассмотрите линейный
функционал на Е, определяемый формулой
Используя (3) и теорему В.5.1, покажите, что существует такая
последовательность ag/^Z), что
Л(/)= 2 0i(n)pnlf(n) (/(ЕЕ); (4)
ns N
при этом вам придется проверить, что каждый непрерывный
линейный функционал на c0(Z) (см. 2.2.5) представим в виде
Ф — 2 а (/г) '-\ (п)
с некоторой последовательностью ag/!(Z). Получите из (4)
противоречие с (1), воспользовавшись упражнением 3.14.
Замечания. Условие (2) не является существенным; оно
принято лишь для того, чтобы несколько сократить доказательство.
В общем случае всегда можно выбрать / так, чтобы выполнялись
условия (i) и (и) и чтобы / принадлежала пространству I/ при
каждом р < оо; подробности см. в Edwards [3].

172
ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В U
8.13. Пусть /£1Л Применив формулу Парсеваля к функции
покажите, что
2г
2
^Li/(«)Psin«(^)-ij5:|/(x+^)-/(x+^)
n$Z Агав 1
dx
где Q^/ (б) = sup {|| Ta/ — /L: a^ 6}. Выведите отсюда, что если
/ имеет ограниченную вариацию, то она непрерывна тогда и
только тогда, когда
Urn r£|f(rc)|2sin2(g)=0. (2)
00
Указание. Заметьте, что если | / (£ + 0) -— / (g — 0) | = d > 0, то
для всех достаточно больших г и почти всех х по крайней мере
один из членов суммы, фигурирующей под интегралом в (1),
дает вклад, не меньший чем (d/3)2.
Замечание. Не очень трудно показать, что (2) эквивалентно
соотношению
lim N-1 2 \nf{n)\=0 (3)
(см., например, |_Ва19 стр. 205—208]). В этой форме критерий
непрерывности для функций ограниченной вариации принадлежит
Винеру. Из этого критерия, в частности, следует, что любая
функция / ограниченной вариации, для которой f(n) = o(l/\n\),
является непрерывной. Ср. с замечаниями к теореме 2.3.6. См.
также MR38#487, 44 # 7220.
8.14. (1) Пусть /, g", ftgLa. Докажите следующее обобщение
тождества Аполлония:
\\h-!\rHh-gf^V2\\f-gt + 2\\h-y2(f + g)f (1)
(мы использовали здесь обозначение ||-|| вместо |-|2).
(2) Пусть М —замкнутое выпуклое подмножество в LA
(Выпуклость М означает, что а/ + (1 — а) gg М для любых /, gg
£ М и 0<а< 1.) Покажите, что существует единственный
элемент f0£My такой что
l/ol=ini{||/|: f€M).
Указания. Равенство (1) устанавливается прямым вычислением.

Упражнения 173
Для доказательства (2) выберите fn£M (лг = 1, 2, ...) так,
чтобы
||/j|^8„j8^inf{||/||: /<ЕМ}.
Примените (1) и получите, что (fn) является последовательностью
Коши в L2. Рассмотрите предел /0 этой последовательности. Для
доказательства единственности еще раз примените (1).
Замечание. Результат (2) можно назвать «принципом
проектирования»; он имеет многочисленные интересные приложения
к конкретным проблемам анализа; некоторые из них
обсуждаются в упражнении 8.15 и в [Е, стр. 99 и далее].
8.15. Пусть функция /£Н2 (см. упражнение 3.9) равна нулю не
почти всюду (т. е. ||/|| = ||/||2 > 0). Докажите, что тогда f(x)=£0
для почги всех х.
Указания. Не теряя общности, можно считать, что /(0)=£0.
Пусть М — наименьшее замкнутое выпуклое множество в L2,
содержащее все функции вида f-t, где / — тригонометрический
полином, принадлежащий Н2 и такой, что /(0) = 1. Возьмем
элемент g^M, минимизирующий расстояние от точки нуль до
элементов М (см. упражнение 8.14). Сравнив |g"|| с Hg + ^'^g'll, где
К — любой скаляр, а п ---= 1, 2, ..., покажите, что |g"| равняется
почти всюду некоторой постоянной с. Проверьте, что с не может
быть равно 0. Наконец, заметьте, что если / обращается в нуль
на множестве S положительной меры, то то же верно и для g.
Замечание. Можно сказать, что фактически
±§ln\f\dX>-oo.
По этому поводу и по поводу многих других примыкающих сюда
результатов см. [Hel] и [Но]. Ср. также с упражнением 15.17.
8.16. Так называемая изопериметрическая задача состоит в
нахождении среди всех замкнутых плоских кривых с данным
периметром (его здесь удобно считать равным 2я) той (или тех),
которая ограничивает наибольшую площадь.
Предполагая достаточную гладкость рассматриваемых кривых
и выражая параметрически через длину дуги, можно
сформулировать изопериметрическую задачу так: среди всех пар (/, g)
вещественных абсолютно непрерывных периодических функций
fug, для которых D/, Dg^L2 и
(Dfy + (Dg)*=l п.в.,
определить такие, что
2л
Л = и (fDg-gDf)ds
0

174 ГЛ. 8. РЯДЫ ФУРЬЕ В L8
принимает максимальное значение.
Используя формулу Парсеваля, решите задачу в этом ее
варианте.
Примечания. Обсуждение изопериметрической задачи для плоских
многоугольников см. в [Ка, стр. 27—34]. Глава 7 из [HLP] содержит краткий обзор
классических методов, основанных на вариационном исчислении, относящихся
к этой и подобным задачам. Две другие задачи того же сорта, оказавшие
глубокое влияние на развитие математики, — это задача Дирихле и задача
Плато; см. [СН] и библиографию к этой книге, [Е, § 5.13] и [Am].
Вариационные методы пригодны для изучения многих линейных функциональных
уравнений, где они часто позволяют получить полезную информацию о
распределении собственных значений в случае, когда не удается найти удобный
явный вид решения уравнения; см., например, [So, гл. 2.]. Для многих
вариационных задач теоремы существования играют ключевую роль и весьма трудны;
они послужили начальным толчком для современных исследований по
изучению компактности в функциональных пространствах и для развития
многочисленных других методов функционального анализа. В упражнении 8.14
приводится один простой вариационный принцип, а упражнение 8.15
иллюстрирует его конкретное применение.
8.17. Напомним, что интеграл \ F dx для любой неотрицательной
измеримой функции F на Т определяется (быть может, со значе-
нием со) как lim ^ inf(/7, k)dx, а сумма 2j °п лля лю^°й неот-
/г-*оо * п е 2
рицательной функции (cn)nez на Z определяется (быть может, со
значением оо) как lim 2 сп-
к-+ оо | п | < к
Проверьте, что при этих определениях формула Парсеваля
neZ
справедлива для любой функции / g 1А
8.18. Пусть /g L1 и S обозначает множество вещественных чисел а,
таких что TJ — f£L2. Покажите, что S — подгруппа в R.
Предположим для a g R
U(ci) = {±$\TJ-f\*dxyi\
где (ср. с упражнением 8.17) оо1/2 будем считать равным сю.
Докажите, что функция N полунепрерывна снизу (см. § А.4).
Используя упражнение 3.16 и результаты § А.5, покажите,
что если множество S имеет положительную внутреннюю меру
или является нетощим, то существуют такие положительные
числа б и Д, что
£|f(n)|»sln»f <Д
п€ Z
для любого |а|^б. Выведите отсюда, что /€1Л

Упражнения 175
Примечание. Этот результат можно переформулировать так,
чтобы он имел смысл и тогда, когда / — обобщенная функция
(см. гл. 12). Кроме того, можно заменить L2 другими
пространствами Lp: доказательство при этом несколько усложняется. По-
видимому, первые результаты такого рода принадлежат де Брейну
(de Bruijn [1], [2]). См. также работы Кемпермэна (MR20 # 1123),
Кэрролла (MR28#5137, 30 #1126, 2101) и автора настоящей
книги (R. Edwards, Differences of functions and measures, J.
Austral. Math. Soc, 1968, 8, 250—268).

ГЛАВА 9
ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ФУНКЦИИ
И ТЕОРЕМА БОХНЕРА
9.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ ПЕРСПЕКТИВА И СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ
По-видимому, первым, кто изучал непрерывные (не
обязательно периодические) положительно-определенные функции
вещественной переменной, был Бохнер, который, используя
современную ему теорию интегралов Фурье, установил для них
фундаментальную теорему представления, носящую теперь его имя и
являющуюся аналогом для группы R приводимой ниже теоремы
9.2.8. Долгое время, в течение десяти или пятнадцати лет,
истинное место и значение положительно-определенных функций
оставались непонятыми. И только после зарождения и развития
теории коммутативных банаховых алгебр и приложений этой теории
к гармоническому анализу на локально-компактных абелевых
группах (см. п. 11.4.18(3)) было осознано и признано центральное
место теоремы Бохнера в гармоническом анализе. Таким
развитием событий мы обязаны 1лавным образом советским математикам
Гельфанду и Райкову, которые еще более подняли роль
положительно-определенных функций, заметив их тесную связь с теорией
представлений локально-компактных (не обязательно абелевых)
групп. Сходный путь независимо и почти одновременно,
отправляясь с несколько иных позиций, проделали французские
математики А. Картан и Годеман; см. [В, стр. 220 и далее]. В
настоящее время будет справедливым сказать, что значительная
часть наших теоретико-функциональных знаний в теории
локально-компактных групп базируется на изучении
положительно-определенных функций на таких группах.
Непрерывность плюс положительная определенность
интегрируемой функции / — это одно из немногих известных условий,
которые (а) обеспечивают интегрируемость ее преобразования/и
(Ь) выражаются исключительно в терминах структуры
топологической группы. Для группы Т этот результат содержится в
теореме 9.2.8; по поводу группы Z см. п. 12.13.3. Поэтому понятие
положительной определенности надо рассматривать как одно из
исходных орудий построения гармонического анализа, а не как
поздний продукт последнего (как казалось вначале;.

9.2. Теорема Бохнера 177
Можно также сказать, что положительная определенность
интегрируемой функции / эквивалентна требованию, чтобы ее
преобразование / было неотрицательным. (Относительно случая
группы Т см. п. 9.2.4, случай Z покрывается теоремой 12.13.2.)
Ввиду важной роли преобразования Фурье этот факт придает
еще большее значение понятию положительной определенности.
В данной короткой главе мы бегло рассмотрим часть теории
положительно-определенных функций на группе Т и укажем, как
можно на основе этой теории дать новый подход к теории
пространства L2 и формуле Парсеваля (см. гл. 8). Рассматриваемая
нами ситуация —мы имеем дело с компактной абелевой группой —
технически намного проще, чем ситуация с произвольной локально-
компактной группой.
Другой частный случай общей ситуации —это двойственный
случай, когда исходной группой вместо Т является Z. Имеется
общая теорема Бохнера, применимая к этому случаю, но ее
обсуждение нам придется отложить до § 12.13.
Некоторые замечания, касающиеся обобщений излагаемой
теории, содержатся в § 9.4.
9.2. ТЕОРЕМА БОХНЕРА
Мы начнем с формулировки нашего определения
положительно-определенных функций. (Первоначальное определение самого
Бохнера было другим; см. п. 9.2.7.)
9.2.1. Будем называть функцию /£ L1 положительно-определенной
в том и только в том случае, когда
fmm* (0) = ^ \ \ /(*— У)и ix) u(y)dxdy^0 (9.2.1)
для каждой непрерывной функции и. (Напомним, что а*
обозначает функцию х—*и(—х)\ см. начало § 2.3.)
9.2.2. Множество положительно-определенных функций не
образует, конечно, линейного пространства. Однако можно
утверждать, что любая линейная комбинация с вещественными
неотрицательными коэффициентами положительно-определенных функций
снова будет положительно-определенной.
Как легко проверить, всякий непрерывный характер
является положительно-определенным; значит, то же верно и в
отношении тригонометрических полиномов с неотрицательными
коэффициентами.
Дальнейшие примеры приведены в п. 9.2.5.
9.2.3. Функция /(EL1 положительно-определённа тогда и только
тогда, когда (9.2.1) выполняется для каждого
тригонометрического полинома и.

\7% ГЛ. 9. ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Пусть (9.2.1) выполнено для каждого
тригонометрического полинома и. Если и — произвольная непрерывная функция,
то выберем (в соответствии с 6.1.1) последовательность {ип)™=1
тригонометрических полиномов, равномерно сходящуюся к и.
Тогда, в силу 3.1.4 и 3.1.6, f*un*u*n—+f*u*u* равномерно.
Поскольку по предположению f*un*u*n (0) ^ 0, мы заключаем, что
/*ы*и*(0)^0, т. е. соотношение (9.2.1) выполнено.
9.2.4. Функция f^L1 является положительно-определённой тогда
и только тогда, когда /^0. Отсюда, в частности, следует, что
для всякой положительно-определенной функции мы имеем / =
= /* почти всюду.
Доказательство. Пусть / положительно-определённа. Взяв
в (9.2.1) и = епУ где en(x) = einx, мы как раз придем к
неравенству/(/г) ^0. Обратно, пусть f^O. Если
и = 2 спеп
— тригонометрический полином (так что суммирование ведется
по конечному подмножеству из Z), то
f*u*u* (0) = 2 c„fin • f*em*e« (0)
т, п
= 2 с«с„ • KJ (п) = 2 \сп |2 f (п) > о,
т, т п
и 9.2.3 показывает, что / положительно-определённа.
9.2.5. С помощью критерия 9.2.4 легко проверяется, что для
функции g£L2 непрерывная функция
f(x) = g*g*(x)=^^g(x+y)g(jj)dy
будет положительно-определенной. То же заключение можно
получить и с помощью приводимой ниже теоремы 9.2.6. По
поводу обратного утверждения см. п. 9.2.10.
9.2.6. Непрерывная функция / является
положительно-определенной тогда и только тогда, когда
k _
2 Т(ха-хн)гягп^0 (9.2.2)
т, п»1
для любой конечной последовательности {хп)кп=в1 вещественных
чисел и любой конечной последовательности (zJJUi комплексных
чисел.
Доказательство. Мы представляем читателю проверить, что
из (9.2.2) вытекает (9.2.1). Заметим лишь, что для этого надо

9.2. Теорема Бохнера 179
просто приблизить интеграл из (9.2.1) суммами Римана
k
2 f(xm- хп) и (хт) и (хп) (хт - хт_г) (хп -хп_г).
Отсюда и будет видно, что из (9.2.2) следует положительная
определенность /.
Обратно, пусть / непрерывна и положительно-определённа.
Ввиду 9.2.4, f^O. Значит, oNf представляет собой
тригонометрический полином с неотрицательными коэффициентами, и можно
непосредственно проверить, что справедливо неравенство (9.2.2), в
котором вместо / стоит oNf. Теперь достаточно положить /V —► <х>
и воспользоваться 6.1.1, и мы получим (9.2.2) в общем случае.
9.2.7. Условие теоремы 9.2.6 представляет собой точный аналог
первоначального определения непрерывных
положительно-определенных функций, данного Бохнером для функций на аддитивной
группе R вещественных чисел. Оно не подходит для изучения
разрывных функций, поэтому мы и взяли за основу определение
Теперь мы можем установить вариант теоремы Бохнера,
приспособленный для группы Г.
9.2.8. (Бохнер.) Предположим, что функция/g L1 является
положительно определенной и существенно ограничена в некоторой
окрестности начала координат. Тогда ]£/(я)<оо и
nez
/W=S/(")^ п. в., (9.2.3)
neZ
так что / равна почти всюду непрерывной
положительно-определенной функции. Если / непрерывна, то равенство в (9.2.3) выпол
няется всюду.
Доказательство. Прежде всего заметим, что
л
°*f (0) = Ъ, J f М FN (*) dx-
-л
Поскольку по предположению | / (х) | ^ т (< <х>) для почти всех х,
удовлетворяющих неравенству |x|^a при некотором а > О, то
а
I<W(0) I <£ J/V (*)<** +5^ I \f{x)\dx.(N + l)-*cosec*%.
-a a< | x |< я
Отсюда видно, что
sup | a^/(0) | <оо. (9.2.4)

180
ГЛ. 9. ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Но
<W(0)= £ />)(l-J^L). (9.2.5)
\п\< N
Это равенство вместе с (9.2.4) и тем фактом, что /^0,
показывает, что 2 / (я) < °° Равенство (9.2.3) следует теперь из 2.4.2.
Далее, если известно, что / непрерывна, то из 2.4.3 вытекает,
что (9.2.3) выполняется всюду.
9.2.9. Сформулируем и докажем два следствия теоремы 9.2.8.
(1) Если функция /gL1 является положительно-определенной
и |/(х)|^т почти всюду в некоторой окрестности нуля, то это
же неравенство выполняется почти всюду.
Доказательство. Неравенство, предшествующее соотношению
(9.2.4), показывает фактически, что
hmsup | oNf (0) | ^ т.
Последнее неравенство в сочетании с 9.2.4 и (9.2.5) сразу
приводит к неравенству
а тогда (9.2.3) и 9.2.4 показывают, что \f(x)\^.m для почти
всех х.
(2) Если f—непрерывная положительно-определенная функция,
то | f (х) | <; / (0) для всех х.
Доказательство. Это следует из равенства (9.2.3),
выполненного в данном случае для всех ху и из 9.2.4 (а также легко
выводится из 9.2.6).
9.2.10. Теперь легко установить обращение теоремы 9.2.5: любая
непрерывная положительно-определенная функция f представима
в виде f = g*g*, где g б 1Л
В самом деле, ввиду 9.2.4 и 9.2.8, />0 и
2/(я)<~.
rc€Z
Тогда из 8.3.1 следует, что существует такая функция g g L2, что
g = Jl/*y а в таком случае 2.3.1, (3.1.5) и 2.4.1 показывают, что
/ = £*£*•
Читателю рекомендуется сравнить теорему 9.2.5 и только что
доказанное ее обращение с критерием М. Рисса, приводимым ниже
в п. 10.6.2(4) и применимым к абсолютно сходящимся рядам Фурье.

9.4. Другие варианты теоремы Бохнера 181
9.3. ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ПАРСРВАЛЯ
С помощью теорем 9.2.5 и 9.2.8 можно дать очень короткое
доказательство формулы Парсеваля, на которую опиралась вся
теория, изложенная в гл 8.
В самом деле, если g£ L2 и мы применим к непрерывной
положительно-определенной функции / = g*g* формулу (9.2.3) и
положим в ней а: = 0, то получим
/(0)= 2 f(n). (9.3.1)
neZ
Поскольку
/(0)=2^|g(*)|Mx
и
fin) = \g(n) \\
то (9.3.1) превращается в равенство
^$|g(*)|»dx=£|£(n)|\
nqZ
как раз и представляющее собой формулу Парсеваля.
Именно такой подход к формуле Парсеваля и 1Атеории
используется во многих исследованиях по гармоническому анализу на
локально-компактных абелевых группах. См. [В, стр. 235 и далее].
9.4. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМЫ БОХНЕРА
Как мы уже упоминали в § 9,1, понятие положительно-определенной
функции естественно обобщается на совершенно общие группы, и в этом
направлении была проделана большая работа. Здесь мы дадим ряд библиографических
указаний для читателя, заинтересовавшегося этой темой и обладающего
достаточной целеустремленностью и энергией.
«Естественным» обобщением теоремы Бохнера можно считать ее полный
вариант, применимый к любым локально-компактным абелевым группам.
Подробнее об угом см. [В сгр 220 и далее], [R, стр. 19], [N, стр. 477—478],
[We, гл. 6], [Е, §§ 10.3 и 10.4], Bucy, Maltese [1], [Ph]. Третья из указанных
книг демонстрирует, как используется техника банаховых алгебр; см.
замечания в п. 11.4.18(1). Весьма частные случаи такого обобщения теоремы Бохнера
будут рассмотрены в § 12.13 и упражнениях 12.34 и 12.35.
Несколько менее полные варианты этой теоремы были получены для
некоммутативных локально-компактных групп; см. [N, стр. 460 и далее] и Godement
[1, в особенности стр. 50—53].
Стремясь к еще большей общности, Ито и М. Г. Крейн дали формулировки
этой теоремы, применимые к функциям на множествах (пространствах), не
являющихся группами. Один из примеров таких обобщений см. в [N, стр. 498];
краткий обзор этого вопроса можно найти в [Hew, стр. 145—149]; см. также
приведенную там библиографию.
Отчасти под влиянием импульсов, исходящих от физиков-теоретиков,
занимающихся квантовой теорией поля, особое внимание было уделено разновидно-

182 ГЛ. 9. ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
стям теоремы Бохнера и вообще гармоническому анализу на абелевых, но не
локально-компактных топологических группах. Специальным, но важным в этих
вопросах примером такой группы является бесконечномерное гильбертово
пространство, рассматриваемое как аддитивная группа; см [GJ и указанную там
литературу, а также [GV, гл. 4]. Возможно, случай гильбертова пространства,
хотя и играет весьма важную роль, тем не менее слишком специфичен, чтобы
служить модельным примером: большое разнообразие применимых в этом случае
методов, пожалуй, затемняет суть дела. Как бы то ни было, но и в более общих
случаях тоже были достигнуты определенные успехи. Для абелевых групп,
не являющихся локально-компактными, может не существовать настоящего
инвариантного (=хаарова) интеграла со всеми его обычными свойствами (как
это объяснено, например, в [HR, в § 15]). Однако, как показал Шах (Shah [1]),
значительного прогресса можно добиться в случае, если имеется подходящая
замена отсутствующего инвариантного интеграла. Для гильбертова пространства
такая замена действительно существует, и именно это, по-видимому, служит
основной причиной успеха в этом случае.
По поводу дальнейших результатов см. MR 37 4t 1893, 5610, 5611, 40 4ф 6224,
51 #13 582, 52 #14 870, 55 3678, 3679.
Упражнения
9.1. Пусть /gL1 и (/j£Li — последовательность интегрируемых
функций на Z, такая что lim fn = f. Покажите, что если fn поло-
жительно-определённы, то и / положительно-определённа.
9.2. Пусть / непрерывна и положительно-определённа и
Х е^ lim inf а~2 [2/(0)- f(a) — f(— а)] < оо.
а -* 0
Докажите, что
2(l+/i2)/(/i)</(0) + b.
neZ
9.3. Покажите, что если функция / является
положительно-определённой и принадлежит С°° (U) (соотв. аналитична на U), где
U—некоторая открытая окрестность нуля, то / принадлежит С°°
(соотв. аналитична) всюду.
Указание. Используя упражнение 9.2, оцените сверху суммы
2 \п\*к]{п) при k = 0, 1, 2, ... .
neZ
9.4. Докажите, что (поточечное) произведение двух положительно-
определенных функций из L°° снова будет
положительно-определенной функцией.
9.5. Положительно-определенная функция /g L00 называется
минимальной, если всякая функция g£ L°°, положительно-определенная
и такая, что /—g тоже является положительно-определенной,
совпадает почти всюду с функцией /, помноженной на некоторый
скаляр. Проверьте, что все минимальные функции исчерпываются
непрерывными характерами einx, помноженными на
неотрицательные скаляры.

Упражнения 183
Примечание. Эта характеризация непрерывных характеров
играет важную роль в подходе Картана — Годемана, упомянутом
в § 9.1.
9.6. Пусть функция /6L°° является положительно-определенной.
Покажите, что функция 1// тогда и только тогда равна почти
всюду некоторой положительно-определенной функции из L°°, когда
/ почти всюду совпадает с одним из непрерывных характеров е{пх,
помноженным на положительную постоянную.
9.7. Покажите, что линейное подпространство пространства С,
порожденное множеством непрерывных
положительно-определенных функций, совпадает с множеством А непрерывных функций /,
таких что
2 \f(l)\ <оо.
(Мы еще раз встретимся с пространством А в § 10.6 и далее
в п. 11.4.17 и § 12.11.)
9.8. Известно (см. п. 10.6.3), что существуют функции g^L1, для
которых |g"| не является преобразованием Фурье никакой
функции из L1. Приведите примеры такого же рода для случаев, когда
L1 заменено на С или L00

ГЛАВА 10
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
В этой главе мы довольно кратко изложим некоторые
результаты как положительного, так и отрицательного характера,
касающиеся поточечной сходимости рядов Фурье. Причины, по которым
мы не останавливаемся на этой теме подробнее, уже обсуждались
в гл. 1. Читатель, который особо заинтересуется этой тематикой,
может обратиться к книгам [Z, в особенности гл, 2, 8 и 13],
"Ва, в особенности гл. 1, 3—5, 7, 9], [HaR, в особенности гл. 4]
"I, стр. 23, 103 и далее], [А], а также к работе Карлесона,
упоминаемой в п. 10.4.5.
Особенно неполным будет наш обзор в отношении
многочисленных известных достаточных условий сходимости в отдельной
точке. Из лавины таких результатов, число которых возрастает
почти с каждым днем, мы докажем лишь самые известные
критерии, связанные соответственно с именами Жордана и Дини. Именно
они, пожалуй, находят наибольшее применение, когда имеют дело
с функциями, возникающими естественным образом в широком
круге вопросов.
С другой стороны, отчасти для подкрепления
замечаний,сделанных в гл. 1 по поводу трудностей, возникающих при попытке
характеризации рядов Фурье непосредственно в терминах
поточечной сходимости, а отчасти для того, чтобы продемонстрировать
некоторые характерные функционально-аналитические методы
современного анализа, мы посвятим достаточно большую часть главы
ознакомлению с примерами плохого поведения рядов Фурье с точки
зрения поточечной сходимости.
Хотя нашей главной целью на протяжении всей книги будет
изучение рядов Фурье функций на 'Г, стоит отметить, что сейчас,
в довольно поздний в исторической перспективе момент развития
гармонического анализа, выяснилось, что такие естественные
с классической точки зрения группы, как Г и ее конечные
произведения, являются «трудными» в плане изучения вопросов,
касающихся поточечной сходимости рядов Фурье. Точнее говоря,
имеются компактные абелевы группы, которые с классической
точки зрения могут показаться весьма причудливыми, но на кото-

10.1. Функции ограниченной вариации и признак Жордана 185
рых ряды Фурье ведут себя проще и «цивилизованней», чем в
случае, когда исходной группой является Т. Простейшим примером
такой группы (среди бесконечных групп) служит так называемая
группа Кантора #, которая будет рассмотрена в гл. 14 в
качестве вспомогательного инструмента для исследования рядов Фурье
на Т. Оказывается, что для любой непрерывной комплекснознач-
ной функции / на # ее ряд Фурье равномерно сходится к /2).
По поводу рассматриваемых в этой главе вопросов
применительно к двойственной ситуации см. замечания в § 6.7.
Еще раз напомним, что если не оговорено противное, то
сходимость числового ряда ^ сп означает существование конечного
nkz
предела
Km 2 сп.
Это же соглашение распространяется на случай, когда в качестве
сп берутся элементы любого из тех топологических линейных
пространств функций, мер или обобщенных функций, что появятся
в дальнейшем. Если в качестве сп выступают неотрицательные
вещественные числа, то приведенное определение суммы 2 сп
neZ
приводит к значению, совпадающему с
sup 2 сп>
F /z€F
где верхняя грань берется по всем конечным подмножествам F
множества Z. В этом случае, если ряд расходится, множество
таких конечных сумм неограничено сверху, и тогда в соответствии
с общепринятым соглашением мы будем писать
2 сп = оо.
neZ
Таким образом, сумме ряда, образованного неотрицательными
вещественными числами, приписывается конечное значение тогда
и только тогда, когда он сходится.
10.1. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
И ПРИЗНАК ЖОРДАНА
10.1.1. (Признак Жордана). Если функция /g L1 имеет
ограниченную вариацию в некоторой окрестности точки х, то
lim sNf{x)=^[f(x + 0) + f(x-0)].
Х) Это верно лишь для частичных сумм специального вида. См.
подстрочное примечание к п. 14.1.12.— Прим. перев.

186
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬВ
Доказательство. Поскольку ([W, лемма 6.4Ь]) как
вещественная, так и мнимая части функции / представимы в некоторой
окрестности точки х в виде разности двух монотонных функций,
то оба предела
f(x + 0)=z\imf(x + a) и f(x—0)*= lim/ (х—а)
существуют и конечны.
Ясно, что достаточно рассмотреть случай вещественнозначнои /,
что и будет в дальнейшем предполагаться. Имеем
я
S^M =^§f(x—y)DN(y)dy = -^{U(x + y) + f(x—y)]DN(y)dy.
Поэтому достаточно показать, что
я
J'^i ^ (У) DN(y) dy ^= yS (+ °)
(10.1.1)
для любой вещественнозначнои функции g, которая интегрируема
на (0, п) и имеет ограниченную вариацию в некоторой правой
окрестности [0, б] точки 0, где 0 < б < л. При этом мы можем,
не теряя общности, считать, что g возрастает на [0, б] и g (+ 0) = 0.
[Последнее предположение оправданно ввиду того, что (10.1.1)
очевидно справедливо, когда g является константой; см. (5.1.3).]
В таком случае вторая теорема о среднем из интегрального
исчисления дает
л
я
о о #
я
= ^e$-0)§DN(y) dy + ± §g(y)DN(y)dy
г б
при некотором £, удовлетворяющем неравенству 0 ^ £ ^ б. Это
значение £ может зависеть от /V. Следовательно,
2л
л
j g (У) DN (у) dy
о
<^rg(S-0)
2л
^DN{y)dy
+
2л
я
I g (У) DN(y) dy
. (10.1.2)

10.1. Функции ограниченной вариации и признак Жордана
187
Далее,
а
±-^DN(y)dy
б
<
л J
б
л J
sin (N+ 1/2) у dy
2 sin 4
sin (7VH-1/2) г/df/
б
У
+"H
У
-1
0
V2 cosec —■
dy
{N+1/2)6
Я J
sin t dt
1
л
(A/+l/2)|
+11
0
у-1-V2 cosec |-
dy.
Поскольку функция y~1 — 1/2cosec (у/2) интегрируема на (0, я),
то, воспользовавшись доказываемым ниже утверждением 10.1.2,
получаем
б
— j DN (у) dy
<А,
(10.1.3)
где А не зависит от £, б и Л/.
Возвращаясь к (10.1.2) и предполагая заданным е>0, мы
можем найти столь малое б > 0, что /Jg"(6)^e (это возможно,
так как g" (+0) = 0), и получить неравенство
2л
J 8 (У) DN (у) dy
<8 +
J
2л
я
о
б
Так как функция g (у) cosec (у/2) интегрируема на (б, я), можно
устремить N к бесконечности и применить ко второму
слагаемому в правой части (10.1.4) теорему 2.3.8. В результате
придем к оценке
я
lim sup I 2^ j g {y)DN (y) dy
N -> oo
0
<e.
Поскольку 8 произвольно, то (10.1.1) тем самым установлено.
См. также Izumi [1].
ь
10.1.2. Интеграл ^ t'1 smt dt равномерно ограничен при всех
а
вещественных а и Ь, т. е.
sup I С Г1 sin/
а, /;€/?' J
а
dt
< oo.
Доказательство мы предоставляем читателю в качестве
упражнения 10.1.

188
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
10.1.3. Как уже указывалось в п. 5.3.5, теорему 10.1.1 можно
было бы вывести из 6.3.1 с помощью 2.3.6, 5.2.1 и тауберовой
теоремы Харди (см. упражнение 5.8).
Анализ доказательства теоремы 10.1.1 позволяет установить
следующий ее глобальный вариант.
10.1.4. Если функция / имеет ограниченную вариацию, то
Hm %/(*> = 4[/(* + 0)+/(*-0)J
при всех х и для всех частичных сумм выполнено неравенство
| sNf (х) | <const (|| /|U + 1/(/)), (10.1.5)
где V (/) обозначает полную вариацию функции / на любом
интервале длины 2л.
Доказательство. В доказательстве нуждается лишь
неравенство для частичных сумм. Внимательный анализ
доказательства теоремы 10.1.1 с учетом того факта, что функция
ограниченной вариации может быть представлена в виде разности двух
неубывающих функций ([W, стр. 105]), показывает, что нам
достаточно доказать неравенство
л
2^^g(U)DN(y)dy <const.sup {|g({/)i:0<#<jij (10.1.6)
и
для любой неубывающей функции g на [0, я], такой что g (+0)-^0.
Вторая интегральная теорема о среднем значении даёт для такой
функции g соотношение
л • л
^^g(y)DN(y)dy = -^;g(n-0) ^DN(y)dy
и а
при некотором а из [0, л], поэтому (10.1.6) немедленно следует
из (10.1.3).
Замечания. (1) Этот результат легко выводится также из
результата упражнения 10 12.
(2) Для функций /, которые одновременно непрерывны и
имеют ограниченную вариацию, соотношение lim$Nf = f
ВЫПОЛЗУ-* 00
няется равномерно. См. упражнения 10.13 и 10.14
10.1.5. Если /6L\ то ряд
1(п)
равномерно сходится при всех х<
zIJz
е(пх

10.2. Замечания по поводу других критериев сходимости 189
Доказательство. Функция gf определенная равенством
f%
8(x) = \f(y)dy-f(0)x,
о
является периодической и абсолютно непрерывной, и ее рядом
Фурье служит ряд
V
£ (in)"1!{п)einx
(см. 2.3.4). Доказываемое утверждение вытекает теперь из
замечания (2) в конце п. 10.1.4.
10.1.6. Замечания. (1) Обобщая доказательство утверждения 10.1.5,
можно показать, что ряд ^ jli (п)/п сходится для любой меры
а (см. §§ 12.2 и 12.5).
со
(2) Из 10.1.5 следует, что ряд 2 s\nnx/\nn не является ря-
дом Фурье —Лебега. (Ввиду замечания (1) он не является и так
называемым рядом Фурье —Стилтьеса; см. п. 12.5.2.) См также
п. 7.3.4 и упражнение 7.7.
10.2. ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ДРУГИХ КРИТЕРИЕВ
СХОДИМОСТИ. ПРИЗНАК ДИНИ
Мы применим здесь обозначения § 6.3. В частности,
2
К(у)=*П(у, x) = TU(x + y) + f(x-y)-2s\- (10-2Л)
По аналогии с (6.3.2) имеем
л
sNf (х) - s = i- Г /; (у) DN (у) dy. (10.2.2)
0
Поскольку функция /; (у) cosec (у/2) интегрируема на (б, я) при
любом 6, удовлетворяющем неравенству 0<6^я, то теорема
2.3.8 показывает, что
л
lim ±U;(y)DN(y)dy = 0 (0<6<л). (10.2.3)
Л/.-* оо Jl *>
Отсюда в качестве следствия немедленно вытекает следующее
утверждение.
10.2.1. Пусть /gL1. Для того чтобы
hm sNf(x) = s, (10.2.4)

190 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
необходимо и достаточно, чтобы при некотором б, 0 < б ^ я,
выполнялось соотношение
lira ±-\fl{y)DN(y)dy = 0. (10.2.5)
Далее, справедлив такой результат.
10.2.2. Для выполнения (10.2.4) достаточно, чтобы для любого
е>0 существовали число б(е), удовлетворяющее неравенству
0<б(е)^я, и положительное целое число N (г), такие что
6(8)
7Г I Г*(У)0„(у)(1у\^г при N^N(e). (10.2.6)
о
Доказательство. Имеем
я
1
^rs(y)DN(y)dy <е + |^ J f*s(y)DN(y)dy
0 6(e)
при N ^ N (г)у откуда с помощью 2.3.8 получаем (с учетом (10.2.2))
lim sup | sN f (x) — s | ^ 8.
N -*■ со
Полагая e--*0, приходим к (10.2.4).
10.2.3. (Признак Дини.) Для выполнения (10.2.4) достаточно,
чтобы при некотором б, удовлетворяющем неравенству 0 < б^я,
было справедливо соотношение
б
i /г <у> i rfy <00 (1027)
о
(Ср. с п. 5.2.3).
Доказательство. Поскольку функция y~1 — 1/2cosec (у/2)
ограничена на (0, б), то (10.2.7) вместе с теоремой 2.3.8 дают
(10.2.5). Поэтому наш результат следует из 10.2.1.
10.2.4. Замечания. (1) Если (10.2.7) выполняется для какого-то
s и / имеет в точке х разрыв первого рода, то значение s должно
совпадать с V2[/ (х + 0) +/ (* —0)"|.
(2) Очевидно, что (10.2.7) выполняется (с s = f{x))f если,
например, f (х + у)— f (х) = 0 (\ у\а) при некотором а > 0.
10.3. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
В этом параграфе мы соберем несколько результатов,
касающихся поточечной расходимости рядов Фурье функций разного
вида Намного более подробный обзор результатов такого рода

10.3. Расходимость рядов Фурье 191
содержится в [Zlt гл. 8] и [Ва^ гл. 1 и 5]. По поводу
расходимости в норме L1 см. упражнение 10.2 и п. 12.10.2.
Обосновывать утверждение „Ряд Фурье непрерывной функции
может расходиться" можно по крайней мере двумя способами.
Либо пытаться построить, по возможности в явном виде,
конкретную непрерывную функцию g нужным свойством, либо,
используя метод рассуждения от противного, пытаться показать, что
предположение о том, что ни одной такой функции не
существует, приводит к противоречию с уже известными фактами.
В первом случае (если предполагаемое построение удается
осуществить) мы имеем конструктивное доказательство нашего
утверждения, во втором (при условии, что в ходе рассуждений не
сделано никакой ошибки) перед нами так называемое
доказательство существования; оно просто показывает, что функция с
нужными свойствами должна существовать, но при этом не указывает
никакого способа ее нахождения. В п. 6.1.4 мы уже встречались
с методом доказательства второго рода. Каждый из методов имеет
свои преимущества. Конструктивное доказательство обычно
предпочтительнее, но часто оно невозможно из-за отсутствия
достаточно подробной информации об определенных элементах
предполагаемой конструкции. Такая ситуация нередко наблюдается
в абстрактном анализе, и именно здесь часто приходит на
помощь доказательство существования.
Другой иллюстрацией к сказанному служит утверждение:
„Существует интегрируемая функция, преобразование Фурье
которой стремится к нулю на бесконечности сколь угодно
медленно". Для группы Т конструктивное доказательство усиленного
варианта этого утверждения включено в § 7.4; оно использует
многие специфические особенности этой группы. Имеется
содержательный аналог этого утверждения для произвольной
недискретной локально-компактной абелевой группы. Такой аналог
легко установить (см. упражнение 10.22), дав доказательство
существования, использующее абстрактные методы; прилагая
дополнительные усилия, можно, используя свойства множеств
Сидона (см. вводные замечания к гл. 15), получить также и
более или менее конструктивное доказательство.
Проиллюстрируем теперь оба типа доказательства на примере
утверждений о расходимости рядов Фурье.
10.3.1. Пример Фейера. Мы начнем с принадлежащей Фейеру
конструкции, позволяющей строить непрерывные функции, ряды
Фурье которых расходятся в заданной точке; в качестве этой
точки, не теряя общности, можно взять начало координат.
Для целых чисел р и q, удовлетворяющих неравенству р^
^ <7^5 1, обозначим через tp$ q тригонометрический полином, задан-

192
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ d>yPbF
ный формулой
. /лЛ_ соь(р — д)х L cos(p— \)х
Lp, q\x) ~~ q f • • • ~Г j
cos (p-\-\)x cos (p+q) x
— • • . "■—- "
я
= 2 sin /7a: 2 ^-1 s^ &*• (10.3.1)
Ввиду упражнения 1.4 полиномы tp%Q равномерно ограничены.
Пусть теперь (/?&)?=, и (qk)k=i — последовательности целых
чисел, удовлетворяющие неравенствам
l<4fe<Pfe, Pk + Qk<Pk+i-Qk+i- (10.3.2)
Пусть, далее, (afe)?Li — любая последовательность комплексных
чисел, такая что
2К|<°°, (10.3.3)
liminf|aft|ln^fe>0. (10.3.4)
Можно взять, например,
Рассмотрим функцию
В силу (10.3.3) этот ряд сходится равномерно, так что /
непрерывна. Ввиду равномерной сходимости коэффициенты Фурье
функции / можно вычислять путем почленного интегрирования
ряда в (10.3.5). В результате находим, что
|sPb+,j(0)-Spj(0)| = K|
cos(pft + l)0 cos (Pk+Ян) 0
II • • • |
Як
К| Х/^-КИп^ (Ю.3.6)
/•=1
(В ходе этого вычисления мы используем соотношения (10.3.2),
чтобы убедиться, что различные тригонометрические полиномы
tp qk не имеют подобных членов.) Соотношения (10.3.6) и (10.3.4)
показывают, что последовательность (s^/(0))^1 не сходится, т. е.
что ряд Фурье функции / не является сходящимся в начале
координат. Если к тому же выбрать аи так, чтобы
limsup|aft| \nqk~ сю,

10.3. Расходимость рядов Фурье 193
то из (10.3.6) получим, что частные суммы ряда Фурье от /
неограничены в начале координат.
Можно дать многочисленные варианты приведенной
конструкции: см. [Zlf стр. 471—473], [Ba2, гл. 1, § 45], [Kz, стр. 51,
док-во В], Edwards, Price [1].
10.3.2. Доказательства существования. Здесь и в следующем
пункте мы воспользуемся принципом равномерной ограниченности
в качестве основы для доказательств существования, дающих
утверждения о возможности расходимости рядов Фурье
непрерывных функций.
В этом пункте будет доказан такой результат. Пусть (xk)k=i—
произвольная последовательность вещественных чисел, a (PA;)^=T —
любая последовательность положительных вещественных чисел,
такая что
lim P^ = 0. (10.3.7)
N -> оо
Пусть С обозначает банахово пространство непрерывных
(периодических) функций; см. п. 2.2.4. Утверждается, что каждая
функция /бС, кроме, быть может, функций из некоторого
тощего подмножества (подмножества первой категории, см. § АЛ)
в С, удовлетворяет соотношениям
hmsup |s^/fa)l =оо (*=1, 2, ...). (10.3.8)
л'-**1 p*ln(tf+l)
Поскольку С не является тощим в самом себе (§ А.З), это
показывает, что наверняка существуют непрерывные функции /, для
которых выполнено (10.3.8).
Доказательство. Применим результат,
сформулированный в н. В.2.1, взяв в качестве фигурирующего там
пространства Фреше банахово пространство С и положив
*«-.",?, в№?
Эти pk обладают всеми требуемыми свойствами (их
полунепрерывность снизу следует из того, что отображение
очевидно, представляет собой непрерывный линейный
функционал на С). Множество тех /6 С, для которых выполняется (10.3.8),
в точности совпадает с дополнением относительно С к множеству
S={/€C:inf pk(f)< со}.
k
Поэтому достаточно показать, что S тоще.
/27 Р. Эдварде, т. 1

194 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Если бы S таковым не являлось, то из теоремы В.2.1
следовало бы, что при некотором k найдется константа с, такая что
при всех /£С. Это означало бы, что
±§f(xk-y)DN(y)dy\KcpN\\f\\\n(N+l). (10.3.9)
Воспользовавшись инвариантностью интеграла относительно
сдвигов и обращением неравенства Гёльдера (см. упражнение 3.6),
мы из (10.3.9) получили бы, что
-^§\DN (xk - у) \dy < c$N In (N + 1),
т. е. снова в силу инвариантности интеграла, что
||ад<Ф*1п(ЛГ + 1). (10.3.10)
Но (10.3.7) и (10.3.10) явно противоречат соотношению (5.1.10),
утверждающему, что
|| DNI ~ 1 In N (N-+00).
Это противоречие и доказывает наше утверждение. См. также
[Kz, стр. 51, док-во А].
10.3.3. Пусть (^)JLj и (PaOaLi— те же, что и в п. 10.3.2. В С
существует тощее подмножество S с таким свойством: если / £ C\S, то
V7JUJ> ы^+о=0° (х€£)- (10-ЗЛ1)
где Е — множество (быть может, зависящее от /), которое всюду
плотно и дополнение к которому тоще (так что Е нетоще и,
значит, несчётно), причем xk£E при всех k.
Доказательство. Мы с самого начала можем предполагать,
что точки хк всюду плотны в [— я, я] и все рассматриваемые
значения х лежат в том же промежутке. В качестве S возьмем
множество, описанное при доказательстве утверждения из п. 10.3.2;
там было доказано, что S тоще. Пусть /gC\S. Положим
/ \ i sivf (х) I
w (х) = sup ft ', ' \ V 1Ч
так что w(xk) = oo при й=1, 2, .... Если мы определим Е как
множество х g [—я, л], для которых w(x)=oo, то Е содержит
все xk и поэтому всюду плотно в [—я, я]. Кроме того, если
Ег = {х £ [— л> n]\w(x)> г] (/-=1,2, ...),

10.3. Расходимость рядов Фурье 195
то Ег является открытым относительно [—я, п] (поскольку
функция w, очевидно, полунепрерывна снизу) и содержит все точки
хк, а значит, всюду плотно в [—я, я] и Е= f) Ег. Переходя
Л = 1
к дополнениям относительно [—я, я], получаем, что дополнение
к Е есть объединение дополнений к Ег. Каждое из последних
замкнуто и нигде не плотно, так что дополнение к Е тоще. По
следствию из теоремы Бэра о категориях (§ А.З) Е нетоще.
Поскольку [—я, я] не является дискретным множеством, отсюда
следует, что Е несчетно.
10,3.4. Некоторые дальнейшие результаты. Очевидно, что из теоремы 10.3.3
вытекает существование непрерывных функций /, у которых ряд Фурье
расходится на множестве Е, являющемся несчетным, тощим и всюду плотным.
(Существование непрерывных функций с рядом Фурье, расходящимся в
отдельной точке, было известно еще Дюбуа-Реймону в 1872 г.)
Во всех примерах, содержащихся в пп. 10.3.2 и 10.3.3, величины \sj^f(x)\
неограничены по N при некотором значении х. Может, однако, случиться, что
(sjvf (*))lv=i ограниченно расходятся для каждой точки х из некоторого
множества мощности континуум, для подходящим образом выбранной
непрерывной функции /; по поводу таких примеров см. [Ва^ стр. 322).
Из результатов Карлесона, о которых говорится в п. 10.4.5, следует, что
ряд Фурье любой непрерывной функции почти всюду поточечно сходится к этой
функции.
Как доказал Меньшов в 1947 г., существует такая непрерывная функция /,
что любая подпоследовательность последовательности (sty/)w=i расходится
в некоторой точке. Он же установил любопытный факт, состоящий в том, что
любую функцию /£С можно представить в виде суммы /i + /2, где //£С и
некоторая подпоследовательность последовательности (sa'//^v=i равномерно
сходится (t= 1, 2).
Имеется очень мало простых операций в классе, скажем, непрерывных
функций, которые сохраняют сходимость рядов Фурье. Так, например, с>ще-
ствуют непрерывная функция /, у которой ряд Фурье равномерно сходится,
в то время как ряд Фурье функции /2 расходится на множестве мощности
континуум, и такая же функция /, для которой ряд Фурье функции | / |
расходится в некоторых точках ([Ваь стр. 323, р. 350, problem 141>]). По
поводу дальнейших результатов такого типа см. Kahane, Katznelson [1].
В 1926 г. Колмогоров показал, что существуют интегрируемые функции /,
у которых ряды Фурье расходятся всюду. Доказательство, более или менее
конструктивное, весьма сложное и трудоемкое, приводится в [Zl5 стр. 488—4941
и [Ваь стр. 412—421]; в [HaR, теор. 79] описана более ранняя конструкция
Колмогорова, дающая пример интегрируемой функции с рядом Фурье,
расходящимся почти всюду. Слейн (Stein [1, теор. 6]) получил доказательство
существования таких функций на базе общей теоремы, которая будет
приведена в п. 16.2.8 и которая дает мощный общий метод получения теорем
существования такого типа. Предположив существование одной такой функции,
довольно просто вывести отсюда, что их очень много; см. упражнение 10.21.
См. также Chen [I] и Izumi, Izumi [2].
Что каса-ется сходных результатов для случая, когда операторы s^
заменены аналогичными более общими операторами, см. упражнения 10.23 и 10.24.
v Во втором случае указан номер страницы по английскому изданию,
потому что речь идет о месте, добавленном Н. К. Бари для этого издания.—
Прим. перев.
V.7*

196 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
У колмогоровской функции /, равно как и у функций из пп. 10.3.2 и
10.3.3, суммы sNf (х) неограничены. В 1936 г. Марцинкевич доказал, что
существуют интегрируемые функции /, у которых sjs/[ (х) ограниченно
расходятся для почти всех х (см. [Zlf стр. 486] и [Ваь стр. 391—402]), но, по-
видимому, пока не известно, можно ли здесь «почти всюду» заменить на
«всюду»1).
Превосходное обсуждение вопросов расходимости для однородных
банаховых пространств (включая упомянутый пример Колмогорова) содержится в
[Kz, стр. 55—61]; см. еще [Moz, прил. С].
См. также MR 33 #6266, 35 #3349, 39 #7342, 41 #8906, 51 # 13578.
10.3.5. Мажоранты для sNf. Введем обозначение
s*f(x) = sup\sNf(x)\(^oo).
Построенный Колмогоровым пример, упомянутый в п. 10.3.4,
показывает, что существует интегрируемая функция /, такая что
S*f (х) = оо.
при всех х. Читателю рекомендуется сравнить это утверждение
с приведенными результатами в п. 6.4.7, относящимися к
мажоранте а*/ для чезаровских средних oNf. См. также п. 10.4.5,
упражнение 10.2 и § 13.10.
Несмотря на такую неблагополучную ситуацию, можно всё же
получить ряд важных результатов, утверждающих, что если у
вещественной функции / суммы sNf ограничены снизу в
определенном смысле, то они также ограничены сверху в соответствующем
смысле. Типичным результатом такого рода является теорема
о том, что если вещественная функция /gL1 удовлетворяет
условию infs^/gL1, то supsNf£LP для любого р из интервала 0<
N N
</?< 1. По поводу подробностей и других сходных результатов
см. [Z2, стр. 259—261].
10.3.6. Топологический базис из тригонометрических полиномов. Рассмотрим
банахово пространство Е и последовательность (an)n&z элементов из Е.
Говорят, что эта последовательность образует топологический базис пространства Е,
если для каждого элемента /£Е существует единственная последовательность
скаляров {<xn)n€Z* такая что
f="Eianan^ lim 2 апап> (10.3.12)
nez N-*"*>\n\>N
где предельный переход осуществляется по норме пространства Е. Сходное
определение можно дать для последовательностей вида (an)n=i- [Напомним,
что (не обязательно счетное) семейство {ап) элементов из Е образует
алгебраический базис, или базис Гомеля, в пространстве Е, если каждый элемент /£Е
единственным образом представим в виде конечной суммы членов ап ат где
коэффициенты ап суть зависящие от / скаляры.] О топологических базисах в
общем случае см. [Е, § 6.8J. Существование топологических базисов было уста-
1) С учетом теоремы Карлесона (см. ниже 10.4.5) ответ (отрицательный)
на этот вопрос'известен (см. [Ва2, замеч. на стр. 421]).— Прим. перев.

10.4. Порядок роста Sj^f 197
новлено лишь для отдельных (однако играющих особенно важную роль)
банаховых пространств; см. MR 35:^700.
Перейдем теперь к более конкретной ситуации, предположив, что в
качестве Е выступает одно из пространств LP, где 1 ^/7¾¾ оо, или С, а в качестве
ап — функции еп, т. е. х—>einx. Мы покажем в п. 12.10.1, что (en)neZ
является топологическим базисом для LP при любых р, 1 < р < оо. Однако эта
последовательность не будет топологическим базисом ни для одного из
пространств L1, L°°, С; см. упражнение 10.15.
Рассматривая пространство С, можно поставить вопрос, существует ли
в нем топологический базис (/п)аГ—ь в котором каждый элемент tn является
тригонометрическим полиномом, и если это так, то что можно сказать о
степени dn полинома tn. Оказалось, что неравенство dn^n не может
выполняться при всех п (см. [Baf, р. 360, problem 16]); в то же время существует
(см. там же, problem 17) топологический базис (tn)n=i в С, образованный
тригонометрическими полиномами, у которых dn = o(n2 + e) при любом е > 0. Пока
не известно, однако, ни одного условия на степени dm которое было бы
необходимым и достаточным для существования топологического базиса в С,
образованного тригонометрическими полиномами степени dn.
В п. 2.2.1 мы затронули вопрос о возможности представить С в виде
прямой суммы минимальных инвариантных относительно сдвигов подпространств.
Ввиду 2.2.1 (2) такое представление возможно тогда и только тогда, когда
(en)nez образует топологический базис в С. Поэтому, в силу упражнения 10.15,
такое представление для С невозможно. По той же причине такое
представление невозможно для L1 и L". С другой стороны, тот факт, что еп образуют
топологический базис в LP (1 < р < оо), обеспечивает возможность такого
представления в каждом из этих пространств.
10.4. ПОРЯДОК РОСТА sNf.
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
Этот параграф открывается результатом, показывающим, что
отмеченное в пп. 10.3.2 и 10.3.3 плохое поведение рядов Фурье,
наблюдающееся у некоторых непрерывных функций, является
в определенном смысле наихудшим из возможных даже в случае
произвольных интегрируемых функций. Используя этот результат,
можно сделать вывод о сходимости всюду или почти всюду
некоторых рядов, тесно связанных с рядами Фурье —Лебега (см. пп.
10.4.3 и 10.4.4). Это в свою очередь ведет к изучению условий
на последовательность (cn)nez, достаточных для сходимости почти
всюду тригонометрического ряда
В круге указанных идей возникли некоторые проблемы,
касающиеся точечной сходимости рядов Фурье, которые, долго не
поддаваясь решению, явились стимулом для многих плодотворных
исследований; см. пп. 10.4.3 и 10.4.4—10.4.6.
10.4.1. Если /GL1, то соотношение
sNf (*) - о (In N) (10.4.1)
выполняется
7 Р. Эдварде, т. 1

198
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
(1) в тех точках, где предел
f(x + 0) + f(x-0) = lim\f(x + y) + f(x-y)]
существует и конечен, и
(2) в любом случае для почти всех х.
Доказательство (1) Предположим, что указанный предел
существует и его величина равна 2s. Ввиду (10.2.2)
б
sNf (x)-s\
±ln(V)DN(y)dy<±] + ij
и о
где б > 0 будет вскоре подобрано.
По предположению fl(y)—+0 при у 10. Поэтому по данному
е > 0 мы можем найти и зафиксировать такое б > 0, что |/s* (t/)|<8
при 0^ у ^б. Тогда в силу 5.1.1
б
о
я
in<e.iJ|DyV(f/)|dy<^elnyV,
и
где Л—некоторая абсолютная константа. Теорема 2.3.8
показывает, что при фиксированном б
л
ij = o(l) при N
6
оо.
Таким образом,
sNf (х) — s |< Аг In N -f 8
для всех достаточно больших Л/, откуда и следует (10.4.1).
(2) В общем случае мы будем действовать, как и раньше, с той
лишь разницей, что область интегрирования (0, я) теперь
разбивается на две: (0, n/N) и (л/N, я). Используя оценки \DN (у) | <:
^AN, \DN(y)\^A/y, где А снова — некоторая положительная
абсолютная константа, находим, что
A-*\sNf(x)-s\<± $\П(У)\1*<1у + ± j ШЩу
= /, + /2- (10.4.2)
Пока несущественно, как мы выбрали s. Полагая, как и в (6.4.6)
/ W = f I /.* (У) I dy,

10.4. Порядок роста s^f 199
получаем, что
L^~ л \ N
Далее, интегрирование по частям дает
я
J (у) dy
/.
л L У J я/yv я J
л/TV
</2
Следовательно, в силу (10.4.2),
я
Л-'М(*)-5|<> (^)+^ + 1 ^. (10.4.3)
Согласно 6.4.2, если взять s = f(x)y то 1(у)=г.о(у) при у|0
для почти всех х. Для любого из таких х оценка (10.4.3)
приводит к соотношению
\sNf(x)-f(x)\ = 0(\) + o( j df\ = o(\nN),
что и требовалось доказать.
10.4.2. Замечания. По-видимому, неизвестно, является ли оценка
10.4.1 наилучшим возможным результатом такого рода. Известно,
однако (Stein [1, теор. 6], Carleson [1]), что если e^jO при N\ оо,
то существует по меньшей мере одна функция / g L1, для которой
соотношение
sNf(x)-sN>f(x) = 0{eN-N>\n(N-N')} (N>N' + lf N'-+oo)
нарушается для почти всех х\ и что существует по меньшей мере
одна функция / g L1, для которой соотношение
sNf (х) = О (eN In In Л0 (N -+ оо)
нарушается для почти всех х.
10.4.3. Если /GL1 и а > 0, то каждый из рядов
Y< 1 (п) einx ^ f (п) einx
2и ln(2 + |n|)' la (\ + \п\)а
сходится
(1) в тех точках, где предел f (x + 0) + f (х—0) существует
и конечен, и
(2) в любом случае для почти всех х.
Доказательство. Это следует из 6.3.1, 6.4,4, 10.4.1 и
упражнения 7.4.

200
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
10.4.4. Случай /*>1. Затратив несколько больше усилий, можно улучшить
оценку (10.4.1) для случая, когда f£Lp, при некоторых р > 1. Например,
уже давно Литтлвуд и Пэли доказали, что
sNf (*)=o{(lntf)1/p} Для f£Lp, Кр<2, (10.4.4)
при почти всех х. Однако почти до самого последнего времени не удавались
попытки установить (10.4.4) для случая р > 2 или даже показать, что (10.4.4)
с некоторым р > 2 имеет место для /£С; см. [Z2, стр. 245, 249—250].
Положение дел к настоящему моменту будет обрисовано в п. 10.4.5.
Используя 10.4.3, сравнительно просто показать, что
тригонометрический ряд
2^я* (Ю.4.5)
neZ
сходится почти всюду, если
2К|21п2(1+М)<оо; (10.4.6)
n€Z
этот результат, принадлежащий Харди, явился предшественником более
тонких результатов, о которых мы упомянем непосредственно ниже в этом
пункте и двух последующих пунктах.
Опираясь на (10.4.4), можно показать ([Z2, стр. 254]), что
1пх
у f (")е"
~lln(2 + |"|)]1/p
сходится почти всюду для любых f£Lp и 1^/?^2; и что (10,4.5) сходится
почти всюду при условии
2 |ся|21п(1 + |п|)<оо. (10.4.7)
nez
Этот последний результат принадлежит Колмогорову, Селиверстову и Плес-
неру; см. [Z2, стр. 244] или |Ва1( стр. 332].
С другой стороны, известно (см. [Ва1э р. 483 х>, problem 1]), что
существует функция /gС, такая что
2 |f(n)|aln(l + |n|)<co.
/t€Z
и тем не менее ряд Фурье от / расходится на бесконечном множестве точек.
10.4.5. Проблема Лузина и теорема Карлесона. Упомянутые в
пп. 10.4.1 —10.4.4 результаты появились в качестве побочного
продукта длительных и напряженных исследований, посвященных
решению поставленной в 1915 г. Лузиным проблемы: является
ли условие
2К|2<°о (10.4.8)
neZ
достаточным для сходимости почти всюду ряда (10.4.5)? Другими
словами, сходится ли почти всюду ряд Фурье любой функции
Х) Страница указана по английскому изданию, так как в русском
издании соответствующее место отсутствует.— Прим. перев.

10.4. Порядок роста s^f 201
из L2? Естественно поставить и более общий вопрос: сходится ли
почти всюду ряд Фурье любой функции, принадлежащей Lp при
некотором р > 1?
В течение пятидесяти лет на попытки решения этих проблем
были потрачены огромные усилия. Некоторое представление о
положении дел в этой области до 1966 г. можно получить из
[Z2, стр. 247—249J и соответствующих разделов книги [Li].
В 1966 г. Карлесон опубликовал (Carleson [1]) утвердительный
ответ на вопрос Лузина и одновременно получил значительные
усиления оценки (10.4.4). Его результаты, доказательство которых
слишком длинно и сложно для того, чтобы его можно было
привести здесь, состоят в следующем:
(1) если /(1п+|/|)1+6 g L1 при некотором б > 0, то
sNf(x) = o(lnlnN)
для почти всех х\
(2) если f^L? при некотором р > 1, то
sNf (х) = о (In In In N)
для почти всех х\
(3) если /€ L2, то
lim sNf (х) = f (х)
для почти всех х.
(Позднее Хант (R.A.Hunt) доказал, что в (3) показатель 2
можно заменить любым показателем /?> 1.) Доказательства
можно найти в [Ga], [Moz], MR 49 # 5676. См. также MR 52 # 6300,
где имеется полезное обсуждение этой темы.
Здесь мы отметим лишь, что из сходимости почти всюду ряда
Фурье любой функции / £ \J> при любом фиксированном /?, 1 < р ^ 2,
и из теоремы Стейна, формулируемой ниже в п. 16.2,8, вытекает,
что оператор
s*:/--* s*/,
определенный в п. 10.3.5, имеет слабый тип (р}р) на L^,t. е.
существует такое число Ар, что
m({*€[0,2n):sV(*)>4)<V~'I^ (10А9)
для любых X > 0 и f^LP\ кроме того, для каждого числа q,
удовлетворяющего неравенству 0 < q < /7, существует число Ар% qf
такое что
WU<A,.Ml (10-4-10)
для любой функции f^LP. Числа Ар и AptQ не зависят от /.
Символ т в (10.4.9) обозначает меру Лебега. (Эти вопросы
затронуты также в п. 13.10.2.)

202
ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Отметим еще, что если 1<р<!оо, 0<^^оо и известно,
что s* имеет слабый тип (/?, q) на 1Д т. е.
т ({х 6 [0, 2л): s'f (х) > X}) < (const || /\рГк)'
при любых X > 0 и / G L*7, то, как относительно нетрудно
показать, lim sNf (х) = / (х) при почти всех х для любой / £ Lp\ см.
Л/-» со
упражнение 13.26.
10.4.6. Множества расходимости. В свете того что было выше сказано о
следствиях, вытекающих из условий типа (10.4.6) или (10.4.7), становится
понятным большой интерес, проявлявшийся к вопросам следующего типа.
Возьмем весовую последовательность W, определенную на неотрицательных
целых числах и такую, что W (N) возрастает к бесконечности вместе с N.
Предположим, что
2 Ы2№(|"|)<о°. (10.4.11)
nsZ
Что можно тогда сказать о размерах множества Е точек расходимости ряда
nsZ
Оказалось, что по крайней мере в случаях, когда W (N) растет быстрее, чем
In Л/" (ср. с (10.4.7)), начинают играть роль новые понятия малости множеств,
более тонкие, чем малость, характеризующаяся равенством нулю лебеговой
меры множества. Служащие для выражения этих более тонких понятий
функции множества называются ёмкостями в связи с тем, что по форме они очень
сходны с соответствующими понятиями из теории потенциала; см. § 12.12,
Общий вид заключений, выводимых из (10.4.11), состоит в том, что
утверждается равенство нулю ёмкости множества Е; при этом конкретный тип
емкости, о котором идет речь, зависит от весовой функции W. Известно
несколько результатов такого рода, полученных (начиная с 1940 г.) Бёрлингом,
Салемом, Зигмундом и Темко. Подробнее см. [Baj, стр. 362—377], [KS, гл. 4].
Как мы видели в § 8.6, если (10.4.5) является рядом Фурье некоторой
функции /gL2, то Sa, f—► / почти всюду для любой последовательности Ада-
k
мара (Nk)k=\ (т. е. последовательности положительных целых чисел, для
которой inf (/V/j + x/iV/j > 1). С другой стороны, по теореме Колмогорова —
Селиверстова— Плеснера, если выполнено (10.4.7), то sjyf—►/ почти всюду.
Исследованием общих вопросов такого рода, основанных на том или ином
предположении вида (10.4.11), мы обязаны Салему. Результатом этого
исследования явились новые условия на последовательность (^)feel, достаточные для
того, чтобы из (10.4.11) вытекало, что sN f—►/ почти всюду. Одно из
k
таких условий состоит в том, что
lu W(Nk) <0°
fe = l
при некотором А>0; случай W (N) = \n N включает в себя результат
Колмогорова— Селиверстова — Плеснера. Но что, пожалуй, еще более удивительно,
так это то, что Салем получил условие на Л'^, достаточное для того, чтобы
sN !—rf почти всюду для любой заданной функции /£LX; условие состоит

10.5. Ещё раз о формуле Парсеваля 203
в том, что
?Ш1/(£
lllfflx/fjl
<оо,
где о)х/ определяется, как и в п. 2.3.7. Подробности можно найти в [Ва1э
стр. 354—362].
10.5. ЕЩЁ РАЗ О ФОРМУЛЕ ПАРСЕВАЛЯ
Некоторые варианты формулы Парсеваля уже рассматривались
в п. 6.2.5 и § 8.2, и здесь мы немного продвинемся далее. Во
всех рассматриваемых случаях для нас будет безразлично, брать
(поляризованную) формулу в виде (8.2.4) или же в виде (8.2.5).
Для определенности возьмем ее во втором виде. Таким образом,
мы будем иметь дело с формулой
±-\f{x)g{x)dx^ £?(/i)£(-n). (10.5.1)
10.5.1. Если /gL1 и g£BV, то выполнено (10.5.1), причем ряд
справа сходится.
Доказательство. Как мы видели в п. 10.1.4,
sNg(x)-»lU{g(x + 0)+g(x-0)},
причем частичные суммы ограничены. Далее, правая часть равна
g(x) всюду, за исключением, быть может, счетного (и, значит,
имеющего нулевую меру) множества значений х. Поэтому ([W,
теор. 4.lb])
что эквивалентно равенству (10.5.1).
Замечание. Как заметил профессор Гёз (личное сообщение),
(10.5.1) имеет место для всех /gL1 тогда и только тогда, когда
sup %gL<°°;
N
ср. с замечанием 6.2.6(2).
10.5.2. Если /6L1 и g€L°°, то ^J(n)g(—п) суммируем по Че-
заро к (1/2я) j fgdx.
Доказательство. Это утверждение можно доказать так же,
как и 10.5.1, с той лишь разницей, что s^g следует заменить
на о Kg и вместо 10.1.4 сослаться на 6.4.4 и 6.4.7. Еще проще
сослаться на 6.1.1; см. 10.5.3.

204 гл- lo. ПОТОЧЕЧНАЯ сходимость РЯДОВ ФУРЬЁ
10.5.3. Если 1</?<оо и /€D\ ggL"', то ряд 2/(я)£(— п)
neZ
суммируем по Чезаро к (1/2я) J fgdx.
Доказательство. Снова воспользуемся тем же методом, но
теперь сошлемся на тот факт, что oNg—*g в среднем в норме
Lp' (см. 6.1.1), и на неравенство Гёльдера; в результате получим
10.5.4. Замечание. На самом деле в предположениях п. 10.5.3
f{n)g(—п) сходится. Это связано с тем, что если f^LP
nez
и 1 </?<оо, то суммы Syv/ сходятся в среднем в норме Lp к f
(что неверно, если /7=1 или оо). Этот результат будет доказан
позднее в § 12.10.
10.5.5. Отрицательные результаты. (1) Нельзя утверждать, что
РЯД 2 f(n)g(—п) сходится при любых /6L1 и ё£С; см. уп-
nez
ражнение 10.7.
(2) Из 10.5.4 нам известно, что ряд 2j f(n)s(—п) сходится
neZ
при 1 </?<оо и /€LP'; если /? = //== 2, то этот ряд даже
абсолютно сходится (см. 8.2.2). Можно показать, что ни для какого
f(n)g(—п) не может сходиться абсолют-
пег
но для всех f£LP и всех ggL^'. [Заметим, что замечание (1)
исключает возможность абсолютной сходимости при всех / £ L1 и
всех g£ L00.]
10.6. функции С АБСОЛЮТНО сходящимся
РЯДОМ ФУРЬЕ
10.6.1. Пространство А. Как уже отмечалось в п. 2.5.3, для
группы Т аналогом пространства A (Z), введенного в п. 2.3.9,
является пространство А = А(Т) функций на Т вида ср, где ф
пробегает пространство Iх (Z). Очевидно, что А совпадает с
множеством непрерывных функций / на 7\ таких что
!Л1а = 2|?(")1<°°; (Ю-6.1)
neZ
см. также характеризацию функций из А, данную в
упражнении 9.7.
(1) Предоставим читателю в качестве легкого упражнения
проверить, что А является банаховым пространством относительно
поточечных линейных операций и нормы, определяемой равенст-

10.6. Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье 205
вом (10.6.1), и что А является также алгеброй относительно
поточечного умножения, причем
11&»а<1ШИЫа; (Ю.6.2)
см. упражнение 10.16. Это означает, что А с поточечными
операциями и нормой (10.6.1) образует коммутативную комплексную
банахову алгебру с постоянной функцией 1 в качестве
единичного элемента. К этой интерпретации пространства А мы еще
вернемся в пп. 11.4.1 и 11.4.17.
(2) Включение А в С является строгим. Это можно усмотреть
из 10.3.1 или же применив 7.2.2(1) к сумме ряда
00
Lsin пх
(пЛпп) »
последняя является даже абсолютно непрерывной функцией, но
не принадлежит А. См. также упражнение 10.18.
Между прочим,' поскольку сумма предыдущего ряда /
абсолютно непрерывна (и значит, имеет ограниченную вариацию), то
из сделанного ниже замечания 10.6.2(1) следует, что / не
удовлетворяет условию Липшица ни при каком порядке а > 0.
(3) Как мы увидим в п. 12.11.3, проблема нахождения всех
непрерывных линейных функционалов на А приводит к одному
важному классу обобщенных функций.
10.6.2. Классический подход. При. классическом подходе к
пространству А (с которым читатель может ознакомиться no[Zf, гл. 6],
[Ва2, гл. 9J, [KS, гл. 10], [Kah2, в особенности гл. 1,2], [I,
стр. 66 и далее]) основное внимание уделяется нахождению
условий на индивидуальную функцию /, необходимых и достаточных
для того, чтобы / g А. Современный подход, описываемый ниже
в п. 10.6.3, характеризуется интересом к вопросам, касающимся
алгебраико-топологической структуры А. В плане обоих этих
подходов новейшее и, пожалуй, наиболее выпуклое изложение
вопроса дает книга [Kah2].
Из классических результатов мы подробно остановимся лишь
на двух, удовлетворившись кратким упоминанием об остальных.
Начнем с некоторых вычислений. Ввиду (8.5.7), для /£L2
nez
и поэтому
f(o2/(2a)]2^^4sin^^.|/(A2)|«.
a$Z

206 гл» 10- ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Интегрируя по а по отрезку [0, n/N], где Af g {1, 2, ...}» получим
/Я/N \
iJA \ s\n4iada)\f(n)\2<nN-4QJ(2nN-i)]\
nez\ о у
Если 1 <5<Л^_1|/г| < s+1, то
я/TV |n|n/iV
4dt
f sin2 nada= |/г I""1 С sin
о о
sn я
^> (s + 1)-1.^-1 J sin2/rf/ = (s+ l)-1^-^ J sin2 tdt
о 0
= (s+ O-W-^s • y>(4^)-^.
Значит,
T^ 2 |/(/г)|2<[Ц/(2яЛ^)]2. (10.6.3)
Далее»
" 1-2 \?(n)\=\f(0)\+2<\f(n)\+\f(-n)\)
= I?(0)|+S 2"-ч|/(«)|+Г/(-п)|)
= l/(°)l+S 2 "_1 (If(л)I+|/(-«)I)
<l?(0)l+|j 2 "_121/2(I/>)l2+1/(-^)12)^2
/V=l n^iV
°° / V/V /,- , - \\1/2
<l/(0)|+s 2 2n-2) 2 (l/(*)l2 + l/(-*)lr
N=\ \n^N J \n>N \
< 1/(0)1 + V2AM/1/ V |/(«)|2)V/2
(0)|+2 2^V-vt/ 2 |/(")l2)
= |/(0)| + 2|] N-V>yN.
Nszl
Значит, в силу (10.6.3),
l/lli<|/(0)| + 2 f N-v*9J(2nN-*). (10.6.4)
Л' = 1
Предположим теперь, что / имеет ограниченную вариацию, а
число а удовлетворяет условию 0<я<2я/ЛЛ Тогда
2 \f(x + ka)-f(x + (k-l)a)\*^QJ(2nN-*yV(f).

10.6. Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье 207
Интегрируя по х и используя инвариантность интеграла
относительно сдвигов, приходим к неравенству
N-[<*J(a)]%<QJ№N-*).V(f)9
откуда
QJ (2ЛЛ/-1)2 t^N-iQJ (2nN'1)*V(f).
Таким образом, (10.6.4) дает
со
/li<lf(0)| + 2W 2 N-*QJ(2nN'*yt*. (10.6.5)
Из (10.6.4) и (10.6.5) можно в качестве следствий получить
целый ряд результатов.
(1) Если / имеет ограниченную вариацию и
2(^/(2-%))1/2<оо, (10.6.6)
то fd-l1] в частности, если / к тому же непрерывна, то /€А.
Заметим, что (10.6.6) выполняется, когда QJ (а) = 0 (\а\а) при
а —► 0 для некоторого а > 0.
Этот результат принадлежит Зигмунду; см. [Kah2, стр. 21].
См. также упражнение 10.17.
Доказательство. Применяем (10.6.5) и замечаем, что
со со
2 N-42J (2nN~iy/* =2 2 N~4U (2ЛЛГ-1)1/*
/V = 2 k=2 2*el< N <2k
00 00
< 2 2*"1- Qk-^-i-QJinZ-k+yl* = 2 QJ(2-*+»nWi.
(2) Если / 6 L2 и
2 W-Vi£y(2jitf-i)<oo, (10.6.7)
то fg/1.
Заметим, что неравенство (10.6.7) выполнено, если
2 2*/202/(2-*я)<оо,
Aral
и оба неравенства выполнены, если
Q2/ (а) = О (| а |а) при я—*0 для некоторого а> 1/2.
Эти результаты принадлежат Бернштейну и Сасу; см. [Ва2,
стр. 608—611J и [Kah2, стр. 21—22]. См. также упражнения
10.25 и 13.2.

208 ГЛ. 10- ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Доказательство. Это следует из (10.6.4) аналогично тому,
как (1) следует из (10.6.5).
Замечания и дальнейшие результаты. Пример,
приведенный в п. 10.6.1(2), показывает, что без условий типа (10.6.6),
касающихся модулей непрерывности функции /, нельзя вовсе
обойтись в утверждении (1). По поводу сходных результатов см.
Hlrschman [1, леммы 2d и Зс (последняя — применительно к
двойной ситуации)], а также Boas [1].
Утверждение (2) допускает обращение. А именно, известно,
что существует непрерывная функция /, для которой QJ (а) =
= 0(\а\1/2) при а-^0и которая тем не менее не принадлежит А.
См. [Z,-, стр. 384], [KS, стр. 129], [Kah2, стр. 22—23]. См. также
Митягин [1], Yadav, Goyal [1].
Аналогичное обращение допускает и утверждение (1); см.
[Kah2, стр. 24].
Известно, что никакие условия, формулируемые в терминах
одного лишь модуля QJ, не могут быть одновременно
необходимыми и достаточными для того, чтобы / совпадала почти всюду
с элементом из Л.
Для дальнейшего чтения рекомендуем MR 34 # 2790, 3197,
4797, 35 #7081, 39 #1912, 6015, 40 #7729.
(3) В другой группе условий, достаточных для того, чтобы
функция / принадлежала А, используются величины
см. § 6.5 (где вместо Е{™] использовалось обозначение ENf) и
упражнение 6.10. Среди результатов такого рода отметим теорему
/ч
Стечкина, утверждающую, что если /€^2, то f£lx при условии,
что
S N-«*Etff <оо;
см. [Ва2, стр. 609]. Некоторые результаты Стечкина применимы
к общим ортогональным разложениям и тем самым дают критерии
того, что
2 |?(п)|<оо
nes
для заданного подмножества S из Z. См. также Yadav (1) и
Жук [1].
(4) Из 8.2.1 и 8.3.1 легко вывести, что /gA тогда и только
тогда, когда возможно представление вида f = u*v, где иу i'£L2.
Зтот критерий впервые был отмечен М. Риссом; к сожалению, его

10.6. Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье 209
трудно применять в тех случаях, когда вопрос не удается решить
каким-либо другим, более прямым способом.
Сходные результаты были получены М. и С. Идзуми (Izumi,
Izumi [4]) и другими авторами.
(5) Другое необходимое и достаточное условие, найденное
Стечкиным в 1951 г., звучит так: если /g L2, /g/1 тогда и только
тогда, когда
со
где
.£y=lnf|/-S||„
причем нижняя грань берется по множеству тригонометрических
полиномов 5 вида
n
S(x)= 2 cn-exp(i\nx),
где сп — комплексные числа, а Хп — различные вещественные (не
обязательно целые) числа; см. [Ва2, стр. 636—637], [Kah2, стр. 18].
Ср. это с достаточным условием, содержащимся в утверждении
(3), используя очевидное неравенство
*^ 2JV + 2/ ^ *^ 2N+ г/ ^= ^ л/ / •
(6) Винер показал, что всякая функция на Т9 которая
совпадает в окрестности каждой точки х с некоторым (быть может,
зависящим от х) элементом множества А, сама принадлежит А.
Короче говоря, функция, локально принадлежащая А,
принадлежит А и глобально. Мы не будем приводить первоначальное
доказательство этого результата (которое можно найти в [Zf,
стр. 391], [Ва2, стр. 638], [Kah2, стр. 19]), а наметим в следующей
главе доказательство, базирующееся на теории банаховых
алгебр (см. упражнение 11.19).
Одно простое достаточное условие локальной принадлежности
к А можно вывести из результата упражнения 13.3.
(7) Если, забегая вперед, ввести в рассмотрение сопряженную
функцию /, которая будет определена в § 12.8, то можно
сформулировать замечательный результат Харди и Литтлвуда, состоя-
щий в том, что если как /, так и / имеют ограниченную
вариацию, то
2 |/>)|<оо.
nez

210 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ сходимость РЯДОВ ФУРЬЕ
Доказательство см. в [Zit стр. 386 и 454]. Сравните это
утверждение с теоремой Ф. и М. Риссов, приводимой в п. 12.8.5(4).
См, также упражнение 12.19.
(8) Пусть Е обозначает замкнутое подмножество в Т. Почти
все вопросы, ставившиеся до сих пор по отношению к А, можно
также поставить по отношению к А(Е) — множеству сужений на
Е функций из А. По этому поводу отсылаем читателя к [KS,
гл. 10, в особенности стр. 130 и далее] и [Kah2, стр. 37].
Конечно, А(Е) всегда является подмножеством С(£),
пространства всех непрерывных комплекснозначных функций на Е.
Существенно менее очевиден тот факт, что существуют бесконечные
замкнутые подмножества £, такие что А (Е) исчерпывает всё С(Е).
Такие множества Е называются «множествами Хелсона», и о них
будет кое-что сказано в § 15.7; см. в особенности п. 15.7.3. См.
также [Kah2, гл. 3, 4, 9], MR 40 #630, 7731, 43 # 6660, 55 #
#966, 970.
10.6.3. Современный подход. (1) В последнее время главный
упор стали делать на изучении структурных свойств А в целом.
Одной из задач такого рода, которая привлекла большое
внимание, является следующая задача: при каких условиях на
функцию F, определенную на некотором подмножестве D комплексной
плоскости, справедливо, что F о f g А, если / g А и / (R) = f(T)a D?
Фактически некоторые аспекты этой проблемы были впервые
рассмотрены Леви еще в 1934 г., а еще раньше Винер получил
частный случай теоремы Леви; Винер доказал, что f~* £ А, если
/gA и / не обращается в нуль, а Леви показал, что функция F
обладает свойством, указанным в предыдущем абзаце, если D
открыто и F аналогична в каждой точке D. Современный подход
к этим вопросам отличается от первоначального (о котором см.
[Zlt стр. 391—393], [Ва2, стр. 637—646], [Kah2, стр. 72—73])
используемыми методами; а именно, он использует методы теории
банаховых алгебр. Мы рассмотрим указанные теоремы с этой
точки зрения в п. 11.4.17; двойственные результаты будут
приведены в пп. 11.4.13 и 11.4.16.
В 1958 г. Кацнельсон изучил вопрос о необходимости
достаточного условия Леви, а затем различные варианты и аналоги
результатов Леви—Кацнельсона рассматривались для случаев,
когда исходная группа Т заменена более общей группой. В эти
исследования внесли свой вклад Кацнельсон, Хелсон, Рудин и
Кахан; см. Herz [1], Rudin [2], [5], [R, гл. 6], [Kah, гл. 4—6],
[Kah2, гл. 6], [Kz, гл. 8]. Здесь мы упомянем лишь варианты
результатов Леви —Кацнельсона, относящиеся к группам Т и Z
и состоящие в следующем:
(а) Если функция F определена на [—1,1] и Fo/gA для
любой функции /бАс/(Г)с[-1,1], то F аналитична на [—1,1].

10.6. Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье 211
(Ь) Если F определена на [—1,1] и Foq£A(Z) для любой
функции ф£ A(Z) с (p(Z) с [—1,1], то F аналитична в 0 и F (0) = 0.
Теорема (а) принадлежит Кацнельсону, а теорема (Ь)
получена совместно Хелсоном и Каханом. Утверждение, что F
аналитична на [—1,1] (соотв. в 0), означает, что F может быть
продолжена до функции, аналитической в некотором открытом
подмножестве комплексной плоскости, содержащем [—1,1]
(соотв. 0).
Из (а) вытекает в качестве следствия, что существуют такие
функции /6 А, для которых |/| не принадлежит А; равным
образом из (Ь) следует аналогичное утверждение с A (Z) вместо А.
(Оба эти следствия были немного ранее установлены Каханом
(Kahane [2], [3]). С другой стороны, Бёрлинг показал, что если
функция /gA такова, что |/(±л)|^ея (/1 = 0,1,2,...), где
со
сп\0 и 2с„<оо, т° |/| € А; см. [/, стр. 78].
/1 = 0
(2) Аналогичные вопросы возникают, если вместо A (Z)
рассматривать A^(Z) = {/:/€ L/}. Случай 2^/?^оо был изучен
Райдером (Rider [2]), который показал (среди прочего), что
комплекснозначная функция F на комплексной плоскости
обладает тем свойством, что F о ср g А^ (Z) для любой функции ср £ А^ (Z)
тогда и только тогда, когда она имеет вид
F (z) = az + bz + \ z\2tf>' с (z),
где а и Ь — комплексные числа, а функция с ограничена в
некоторой окрестности начала координат. (По поводу достаточности
указанного условия см. упражнение 13.24.) См. также Rudin [4].
Эта проблема изучалась и для других важных алгебр; см.
конец п. 11.4.17.
(3) Сейчас удобный момент для того, чтобы сказать несколько слов о
следующей проблеме, двойственной к проблеме, поставленной в п. 4.2.5: какие
отображения Ф множества Т в себя обладают тем свойством, что /оФ^А при
всех / £ А? Из результатов, двойственных к изложенным в гл. 4, можно
усмотреть, что такие отображения Ф соответствуют гомоморфизмам свёрточной
алгебры /1 (Z). Как и в отношении проблемы гомоморфизмов пространства L1
для случая общих групп, мы вновь отсылаем читателя к [R, гл. 4]. В
частном случае рассматриваемой нами здесь группы независимое и более прямое
решение принадлежит частично Лейбензону, частично Кахану (1954—56 гг.);
изложение подхода Кахана можно найти в [Kah, гл. 3]; см. также [Kah2,
стр. 106—107 и гл. 9]. Про отображение, обладающее указанным свойством,
естественно сказать, что оно определяет допустимую замену переменной
(относительно А), и результат Лейбензона — Кахана утверждает, что допустимые
замены переменной — это те и только те отображения Ф, которые имеют вид
Ф:х—► (пх-\-а)*, где п £ Z и а £ R.
В подходе Кахана к этой проблеме отображение Ф (очевидно,
непрерывное) рассматривается сначала как (периодическое) отображение R в Т. Для
Каждого х ^ R значение Ф (х) £ 7\ а тем самым и е1ф{х) определены однф-

212 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
значно. Функция х —► е1ф(х) непрерывно отображает R в мультипликативную
группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Простое рассуждение
(использующее локальные ветви логарифма) показывает, что существует
непрерывная вещественная функция <р на /?, такая что е1ф^ =е1ф^, а значит,
Ф (х)~-(ц> (х))', где (ф (*))• — смежный класс по подгруппе 2nZ, содержащий
вещественное число ф(#). Поскольку Ф периодично, то ф должно обладать
тем свойством, что
ф (лг+2я) —ф (х) = 2/гя
тождественно по х, где п — некоторое целое число. Существенным моментом
этих преобразований является то, что ф есть комплексно- (фактически
вещественно-) значная функция на R, в то время как про Ф этого сказать нельзя.
Однако ф не обязана быть периодической, и мы должны осуществить еще
один шаг, чтобы позаботиться о периодичности, а именно перейти к
периодической вещественной функции ф0, определяемой равенством
ф0 (#)=ф (х)—пх.
Используя тот факт, что /оф = /оФ g А для любой / g А, сравнительно
легко вывести, что
(с) sup || ****• JA = sup I eik*\\ А < со, (d) фо € А.
kez kez
По поводу (с) см. упражнение 10.19; утверждение (d) легко следует из
результата, сформулированного в п. 10.6.2(6).
Центральной частью рассуждений Кахана является трудоемкое
доказательство того факта, что из (с) и (d) следует, что ф0 — константа.
(4) По поводу результатов об изоморфизмах и гомоморфизмах алгебр
А(£), определенных в п. 10.6.2(8), см. de Leeuw, Katznelson [1], McGehee [1]
и [Kah2, гл. 9]. (В терминологии, вводимой в гл. 11, А(Е) изоморфно фактор-
алгебре алгебры I1 (Z) по идеалу Ijj, образованному теми ф £ I1 (Z), для
которых ф обращается в нуль на Е.)
Для дополнительного чтения рекомендуем MR 34 #3226, 3365, 3366,
4793, 4796, 35 #670, 3373, 36 #1924, 6880, 37 #6672, 6690, 41 #744,
49 #5723, 7700, 50 #895, 5338, 51 # 1289, 6627, 52 #8777, 8798, 8805,
14816, 53 #8791, 8792, 54 #856, 858, 8160, 8163.
Упражнения
10.1. Докажите утверждение 10.1.2, т. е. установите неравенство
sup
} /-1 sin tdt
:a£R, b£R}<oo.
10.2. Пусть ($n)n=i—сходящаяся к нулю последовательность
положительных чисел. Покажите, что существует такая функция
/ g Ll, что
lim sup (|| sNf уф„ In N)) = oo.
Л/ -> oo
Проверьте, что в то же время
\\sNfli = о (In N) при N-+oo
для любой / £ 1А

Упражнения 213
Указание. Для доказательства первого утверждения
видоизмените рассуждения, использованные в п. 10.3.2. Для проверки
второго покажите, привлекая теорему Фубини — Тонелли, что
SNf-ni<i§F-J-f\\i-\DN(y) | dy,
и используйте тот факт, что \\Т f—/||f—►О при у—»0.
10.3. Внимательно рассмотрев доказательство утверждения 10.4.1,
убедитесь, что соотношение (10.4.1) выполняется равномерно по х,
если /—непрерывная функция.
10.4. Покажите, что если функция / непрерывна, то ряд
2L In (2 + | л |)
пег
равномерно сходится.
Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением и схемой
доказательства, указанной в п. 10.4.3. Или же, положив
<?(f\— V /W <? f — V /(")
l/'"" Z* In (2 + | я |) ' °NI— 2и In (2 + | я |) »
пег |«|<л/
проверьте, что SN (/) -~> S (/) для любой непрерывной функции / £ С,
и примените принцип равномерной ограниченности (п. В.2.1(2))
для доказательства того факта, что SN равностепенно
непрерывна на С. Выведите отсюда, что SN(f)—*S(f) равномерно по /
на каждом относительно компактном подмножестве в С, и, значит,
SN (TJ) —* S (TJ) равномерно по х для любой данной / g С.
10.5. Докажите, что ряд
V f W g м
2- In (2+1 я |)
ne z
сходится для любых /gC и g^L1. Выведите отсюда, что
существует такое число с, что
8(") еп
X
In (2+| я |)
\n\<N
<c4g
для всех N и для всех g g L1 (число с не зависит от N и g) и
что ряд
£
In (2 + | л |)
пе Z
сходится в L1 для любой функции g^L1.

214 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Наконец, покажите, что ряд
iLln(2+|/t|)
/tSZ
сходится при любых /gL00 и ggL1.
Указание. Для доказательства первого утверждения
воспользуйтесь принципом равномерной ограниченности (п. В.2.1(2))
и упражнением 3.6. Выведите отсюда, что множество тех ggL1,
для которых ряд
v^ g (п) еп
Zd\n{2+\n\)
сходится в L1,- замкнуто в 1А
10.6. Докажите, что если (А*я)£.0— последовательность, для которой
со
2 |Д^|<оо, то ряд
Eh п \ g {п) еп
In (2 + | л |)
nez
сходится в L1 для всех g'gL1.
Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением и
упражнением 7.1.
10.7. Покажите, что ряд 2 f(n)g(—п) расходится при некоторых
jFgL1 для g£C. (Ср. с Ю.5.5(1).)
Указание. Проведите рассуждения от противного,
воспользовавшись принципом равномерной ограниченности и
упражнением 10.2.
10.8. Пусть / — периодическая функция, такая что / (х)= Уг(я — х)
при 0 ^ х < 2п. Покажите, что рядом Фурье от / служит ряд
00
2 (sin пх/п). Проверьте, что при 0<!л;<^я
х
%/ (*) + у х = у j dn (У) dy,
о
и выведите отсюда, что
SnI (*) +У*х— [ Sinttdi | = 0 равномерно по 0 <

Упражнения -215
(2) lim sNj (x) = j (x) при 0 < x < л,
N -> oo
a
(3) lim sNj (-£■ j = J sin/ * для a > 0;
о
л
(4) lim sup sN j (x) > f ^- >£ = /(+ 0).
N ->> QO
л: -> + 0 °
Указание. Неравенство (4) показывает, что для
последовательности функций (sNj) наблюдается так называемое явление Гиббса
в правой окрестности нуля. Подобная ситуация имеет место
и в левой окрестности нуля. Такое поведение типично для
последовательностей (siV/), отвечающих функциям /с ограниченной
вариацией и с разрывом первого рода; см. [Zit стр. 104—106]. Явление
Гиббса для последовательности (sNf) в некоторой точке х0 отражает
неравномерность сходимости в некоторой окрестности точки
разрыва.
Детальный обзор вопроса, включающий интересный очерк
истории изучения явления Гиббса, можно найти в статье Hewitt,
Hewitt [1].
10.9. Исследуйте описываемую ниже процедуру и, в частности,
укажите условия, достаточные для оправдания каждого шага. По
заданной функции F на R образуем периодическую функцию
/(*)= 2 F(x + 2nk).
kez
Тогда
00
f (") =-Я I F (У)'-ш dy (neZ),
— 00
и, поскольку /(0)= 2 /(я), мы получаем формулу суммирования
neZ
по Пуассону
00
£/Ч2£я) = -^ £ I FMe-tnydy.
k€Z neZ -oo
См. [Kz, стр. 129], MR 36 # 4265, 54 # 5734.
10.10. Обоснуйте применимость формулы суммирования по
Пуассону (упражнение 10.9) в случае F (у) = (а2-\- у2)~1 (где а
вещественно и отлично от нуля) и получите в результате, что
kez

216 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
для таких я. Выведите отсюда, что
10.11. Обоснуйте применимость формулы суммирования по
Пуассону (упражнение 10.9) в случае F (у) — ехр(—а2у2) (где а
вещественно и отлично от нуля) и получите в результате, что
keZ ' nQZ
для вещественных s > 0.
Примечание. Это — известная формула преобразования для
одной из так называемых дзета-функций; см. [Be, стр. 11].
10.12. Обозначим через CBV линейное пространство'(периодическ,их)
функций, которые непрерывны и имеют ограниченную вариацию.
Покажите, что CBV является банаховым пространством с нормой
Используя принцип равномерной ограниченности (п. В.2.1)
и содержащийся в п. 10.1.4 результат о том, что sup | sNf(0) I < оо
n
для /gCBV, выведите неравенство (10.1.5), т. е. докажите
существование независимого от / числа т ^ 0, такого что
N
для /gCBV.
Замечание. Я благодарен профессору Г. Гёзу, обратившему
00
мое внимание на то, что ввиду 7.2.2(2) ряд А (я) = 2 2 n~1s\nnx
сходится ограниченно, Если / имеет ограниченную вариацию, то
интегрирование по частям дает
2л
sNf (*) = J (0) + -gj- j sN h (x—y) df (y)t
0
и поэтому
sNfl<\f(0)\ + \\sNh\\^V(f)^\f(0)\ + const.V(^
10.13. Докажите, что lim sNf = f равномерно для любой функции
/GCBV.
Указание. Проанализируйте доказательство утверждения 10.1.1.
Другой способ—воспользоваться упражнениями 5.5 и 8.13
и теоремой 6.1.1. См. также MR 50 # 10 657.

Упражнения 217
10.14. Верно ли, что для любой функции /gCBV
lim sNf = f
N -*- со
по норме пространства CBV, определенной в упражнении 10.12?
Можно ли утверждать, что тригонометрические полиномы всюду
плотны в пространстве CBV (относительно той же нормы)?
Дайте полное обоснование своих ответов. При этом вы можете
считать известным тот факт, что существуют непрерывные
функции с ограниченной вариацией, не являющиеся абсолютно
непрерывными; см. замечание (2) в п. 2.3.6.
10.15. Докажите, что последовательность (en)nez не является
топологическим базисом ни в одном из пространств L1, L00, С.
Указание. Предположив противное, определите вид
коэффициентов ап в соответствующем разложении (10.3.12).
10.16. Дайте детальное обоснование сделанных в п. 10.6.1(1)
утверждений, касающихся А.
10.17. Докажите, что если / имеет ограниченную вариацию и
QJ(a) = 0((\n\a\-1)-V) при а-*0
для некоторого р < 2, то /б/1.
Указание. Используйте (10.6.5).
10.18. (1) Предположим, что У] \сп | < оо ипсп фо(\) при |/г | —^ оо.
nez
Покажите, что функция f(x) = 2 cnein* принадлежит А и при
n€Z
этом не является абсолютно непрерывной.
(2) Воспользовавшись упражнением 3.14, докажите, что
существуют абсолютно непрерывные функции, которые не принадлежат А
(ср. с 10.6.1(2) и упражнением 10.25).
10.19. Пусть ф—такая же функция, как и в п. 10.6.3(3), т. е.
вещественная функция на /?, для которой
Ф (х + 2л) — ф (х) = 2пл
при некотором целом п и всех x£R и, кроме того, выполнено
условие /оф^А при всех /£А. Докажите, что
su р || £^<Р ||А<оо.
ktZ
Указание. Рассмотрите линейное отображение Т пространства А
в себя, определяемое равенством Tf — f о ф. Покажите, что Т имеет
замкнутый график, и примените теорему В.3.3.
10.20. (С. Сакс.) Пусть Е—банахово пространство, a (S^)^ —
последовательность непрерывных линейных операторов из Ев L^,

218 ГЛ. 10. ПОТОЧЕЧНАЯ сходимость РЯДОВ ФУРЬЕ
где 0</?^оо. Пусть, далее, F — нетощее подмножество в Е,
а а — положительное число. Предположим, что для каждой функции
/£F существует множество Af лебеговой меры т (Af) > а, такое
что limsup | SNf(x)\ < оо для почти всех х £ Af.
Докажите следующие два утверждения:
(1) для любого е из интервала 0 < е < а найдется множество Л,
такое что /л(Л)>а—е и lim sup | SNf (х) | < оо для почти всех
N -> оо
х^А при каждом /gЕ;
(2) существуют множество А и тощее подмножество Е0 в Е,
такие что
lim sup | SNf (x) | < оо для почти всех x £ A,
N -> оо
какова бы ни была /£Е, и
lim sup | SNf (x) | = оо для почти всех x(£ A,
N -* оо
какова бы ни была / g Е\Е0.
Указание. См. [KSt, стр. 36—37] или [GP, стр. 153].
Замечание. Эти результаты остаются верными, и когда Е
является пространством Фреше; Lp также можно заменить более
общими функциональными пространствами.
10.21. Опираясь на теорему Колмогорова (утверждающую, что
существует интегрируемая функция с почти всюду расходящимся
рядом Фурье), докажите, что множество функций /6L1, у
которых ряд Фурье расходится почти всюду, является существенным
подмножеством в L1 (т. е. подмножеством, дополнение к которому
тоще и которое само поэтому нетоще).
Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением.
10.22. Применяя принцип равномерной ограниченности (см.
п. В.2.1), докажите следующее утверждение» если
q—неотрицательная функция на Z, такая что множество N = {п £ Z\ ср (п) > 0}
бесконечно и
lim inf ф (п) = 0,
то существуют функции /6L1, для которых
limsup " \ \[ =оо.
n€/V, |П|-* оо Ф \п)
(См. вводные замечания к § 10.3.)
10.23. Пусть U — линейный оператор из Т на Т^, такой что £//»=/
при f£TN (так что U — проектор из Т на Т^). Докажите, что
^UTJ(x + a)da = sNf(x)

Упражнения 219
для /£ Т. Полагая
I[/(,„«sup {||Uf у /€Tf Ш,<1}
и аналогично определив \sNlPtp9 установите неравенства
10.24. Пусть Е означает С или L1, (#Л)"в1 —такая
последовательность положительных целых чисел, что supA^ = oo и Uk — про-
k
ектор из Е на TV, непрерывный как оператор из Е в Е. Дока-
жите, что существует такая функция / G Е, что
Iimsup||(/ft/||E = oo. (1)
00
Замечания. В случае Е = С неизвестно, всегда ли найдутся
такие / б С и х £ Т, что lim sup | UJ (х) \ — оо, но если предположить
к -> оо
дополнительно, что каждый оператор U\ коммутирует со сдвигами,
то это утверждение легко выводится из (1). В случае Е = L1
вызывает также сомнение, существует ли такая функция /GL1, для
которой lim sup | Ukf (х) | = оо при почти всех х (или даже при х
из некоторого множества положительной меры). См. п. 10.3.4, где
упомянут случай Nk = k, l)k = sk.
Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением и
равенством (5.1.10) в сочетании с принципом равномерной
ограниченности (п. В.2.2).
10.25. Предположим, что функция / абсолютно непрерывна и Df g L2.
Докажите, что / £ А и
!/||А<|/(0)|+Б||о/12(
где В — абсолютная константа.
Замечание. Более сильные результаты будут приведены
в упражнениях 13.2 и 13.3; см. также упражнение 10.18.
Указание. Проанализируйте доказательство утверждения 8.5.4
и воспользуйтесь сходным методом.
10.26. Пусть 0 < е < я/2 и ve—непрерывная неотрицательная
четная периодическая функция, которая обращается в нуль вне
"—8,е] (mod 2л), линейна на [0, е] и удовлетворяет соотношению
^е(|i = 1/2jt. Проверьте, что ve£A и |ае||А==8-1.
Положим ие = 4ги2г—еуе. Покажите, что ие равняется 1 на
— е, е], обращается в нуль вне [—2е, 2е] (mod 2л), а также что
иг ||а ^ 3.
Пусть /gA и /(0) = 0. Докажите, что lim ||ме/||А = 0.

220 rJi- 10- ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Замечание. Эта конструкция найдет ниже применение в связи
с множествами спектрального синтеза; см. упражнение 12.52.
Ср. с теоремой 2.6.4 из [R].
Указание. В случае второго утверждения покажите сначала,
что достаточно рассмотреть случай, когда /б Т. В этом случае
оцените 1Лнорму функции uj и Ь°°-норму функции D(^J), а затем
примените предыдущее упражнение.

ПРИЛОЖЕНИЕ А
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
И ТЕОРЕМА БЭРА
Мы предполагаем, что читатель знаком с определением и основ*
ными свойствами метрического пространства и метрической
топологии. Цель этого приложения — ввести понятия тощего и нетощего
множества, доказать теорему Бэра «о категориях» и получить ряд
следствий из нее (на некоторые из них будут опираться
результаты, приводимые в приложении В). См. также [К, стр. 264—268]
или [HS, стр. 68].
АЛ. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть Е — метрическое (или, вообще, топологическое)
пространство. Подмножество А в Е называется
(1) нигде не плотным (или просто неплотным), если его
замыкание А не содержит ни одной внутренней точки;
(2) всюду плотным, если Л = Е;
(3) тощим (или множеством первой категории), если оно пред-
ставимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств;
(4) нетощим (или множеством второй категории), если оно
не является тощим;
(5) существенным, если его дополнение тоще.
Легко проверить, что множество А нигде не плотно тогда и
только тогда, когда Е\Л всюду плотно.
А.2. ТЕОРЕМА БЗРА
Если Е — полное метрическое пространство, то
00
(1) пересечение U = П Un всякой последовательности всюду
/7=1
плотных открытых подмножеств Uп пространства Е всюду плотно.
(2) всякое тощее подмножество пространства Е не имеет ни
одной внутренней точки (или, что то же, всякое существенное
подмножество всюду плотно).

222 ПРИЛОЖЕНИЕ А. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ТЕОРЕМА БЭРА
Доказательство. (1) Покажем сначала, что U непусто. Для
любого х £ Е и любого е > 0 положим
В(х, e) = {y€E:d(y, х)< е},
В(х, s) = {y€E:d(yy лг)<е},
где d обозначает метрику на Е. (Чтобы предупредить возможность
путаницы из-за обозначений, подчеркнем, что, хотя множество
В (х, е) и замкнуто в топологии, задаваемой метрикой d, оно
может не совпадать с замыканием множества В(х, г).)
Очевидно, можно считать, что Е непусто. Тогда то же верно
и в отношении Ux (так как V\ всюду плотно). Возьмем любую
точку x1^Ul и подберем такое ех > 0, что
ех< 1, В(х1У ejct/f.
Поскольку V 2 всюду плотно, то V 2 имеет непустое пересечение
с B(xlt 8j). Возьмем х2 £ U2(]B(xu ех) и подберем такое е2>О, что
е2 < V2, В\х29 82)сВ {хи &1) П U%\
это возможно, так как В (xlt 82) Г) У2 открыто. Продолжая эту
процедуру, мы получим числа еи, удовлетворяющие условиям
О < еп < 1//г, и точки хп g Е, такие что
В(хп, гп)аВ {хп_1у еп_х) П Un. (А.2.1)
При п > т в силу (А.2.1) имеем хп £В (хп, еп)с:В(хт, £т), так
что d(xnJ хт) < гт < 1/т. Таким образом, (хп) является
последовательностью Коши, и поэтому в Е существует х = Нтл:„ (в силу
предполагаемой полноты Е). Поскольку хп £В(хт, гт) при м>ш^1,
то х^В(хт9 ет) при всех т, и из (А.2.1) следует тогда, что х€ U.
Таким образом, U непусто.
Возьмем теперь любой замкнутый шар В = В(х0У8) в Е. Как
легко проверить, Un(]B всюду плотно в полном метрическом
пространстве В (подпространстве пространства Е). Поэтому, в силу
уже доказанного, fl (B(]U ) непусто, т. е. С\ Un = U имеет не-
пустое пересечение с В. Так как это верно для любого В, то U
всюду плотно в Е. Тем самым (1) доказано.
00
(2) Пусть М— тощее подмножество в Е. Тогда М = 1)АпУ где
_ я=1
каждое Ап нигде не плотно. Поэтому Vп = Е\Ап всюду плотно и

A.5. Одна лемма 223
открыто. В силу (1), П Vп всюду плотно, так что U Ап не
П= 1 /2= I
имеет внутренних точек. Значит, то же верно и в отношении
А.З. СЛЕДСТВИЕ
Всякое полное метрическое пространство нетоще в себе самом.
А.4. ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ СНИЗУ ФУНКЦИИ
Пусть Е — метрическое (или топологическое) пространство.
Функция (/ на Е со значениями в (—оо, <х>] называется полу-
непрерывной снизу тогда и только тогда, когда для каждого
вещественного числа а множество \х£ E:f(x) > а} является
открытым подмножеством в Е.
Читатель легко убедится самостоятельно, что верхняя грань
произвольного семейства полунепрерывных снизу функций также
будет полунепрерывной снизу.
А.5. ОДНА ЛЕММА
Пусть Е — метрическое (или топологическое) пространство и
(fi)iei — произвольное семейство полунепрерывных снизу функций
на Е. Если
sup/,.(*) <оо
для каждого х из некоторого нетощего подмножества S в Е, то
существуют такое число /п<оо и такое непустое открытое
подмножество U в Е, что
sup fi(x)^m (x£U).
Доказательство. Для всякого натурального числа т
положим
Sw = {*6E:/(*)<m}t
где /—верхняя грань всех ft. Поскольку / полунепрерывна снн-
зу, то Sm замкнуто в Е, Далее S = USm. Так как S нетоще, то
тш 1
Sm при некотором т не будет нигде не плотным. При этом т
множество Sm содержит непустое открытое множество.

ПРИЛОЖЕНИЕ В
О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В. 1.1. Все рассматриваемые ниже линейные пространства
являются линейными пространствами над вещественным или
комплексным полем скаляров; поле скаляров будет обозначаться
через Ф.
Под топологическим линейным пространством понимается
линейное пространство Е вместе с введенной на нем топологией,
по отношению к которой функции (х, у)—>х+у и (X, л;) —+ Хх
являются непрерывными как отображения соответственно изЕхЕ
вЕ и изФхЕ вЕ. См. [Е, гл. 1].
В основном тексте нам нужны лишь результаты о
топологических линейных пространствах, относящихся к специальному
классу таких пространств, а именно к так называемым
пространствам Фреше (см. [Е, гл. 6]). Мы дадим их определение в
терминах полунорм.
В. 1.2. Полунормой (или преднормой) на линейном пространстве
Е называется всякая функция р из Е в [0, оо), обладающая
следующими свойствами:
Р (х+ У) <Р(х) + Р (У), Р (Ьс) = \Х\р(х)
для любых х, у£Е и Я£Ф.
Нормой называется полунорма /?, для которой р (х) > 0," если
хфО. Нормы будут обычно обозначаться символом [|-||.
В. 1.3. Пространства Фреше. Пространство Фреше—это
топологическое линейное пространство Е, удовлетворяющее следующим
условиям:
(а) На Е определено конечное или счетное семейство (pk)
полунорм, которые задают топологию пространства Е в том смысле,
что множества
{x£E:pk(x) < е при всех k£J\, (В. 1.1)
отвечающие всевозможным положительным е и всевозможным
конечным множествам J индексов ky образуют базу
(фундаментальную систему) окрестностей нуля в топологии пространства Е.

В.1. Предварительные определения 225
(b) Топология пространства Е является отделимой (хаусдор-
фовой), т. е. л; = 0 — единственный элемент в Е, для которого
^(^)=^0 при всех k (как легко видеть, это эквивалентно
стандартному определению).
(c) Е полно в том смысле, что для любой последовательности
(*„)"-! точек из Е, такой что
ljm Рк(хя—хп)=0
т, п -*оо
при каждом к, существует элемент х £ Е, к которому эта
последовательность (хп) сходится, т. е.
lim pk(x—xn) = 0
при каждом k.
При выполнении этих условий говорят, что (рк) образует
определяющее семейство полунорм пространства Фреше Е.
В.1.4. Замечания. (1) Для данного пространства Фреше существует
много различных определяющих систем полунорм.
(2) Если задано линейное пространство Е, а на нём задано
счетное семейство (pk) полунорм, для которых выполнены условия
(Ь) и (с), то можно ввести в Е топологию, и притом
единственную, так, чтобы Е стало пространством Фреше, для которого
(рк) является определяющим семейством полунорм. А именно, мы
можем принять по определению, что множества (В. 1.1) образуют
базу окрестностей нуля; далее, для любой точки х0£Е образы
этих множеств при сдвиге х—>х-{-х0 можно принять за базу
окрестностей этой точки х0. Свойства полунорм гарантируют,
что таким путем мы получим топологическое линейное
пространство, удовлетворяющее условиям (а) — (с).
(3) Всякое пространство Фреше можно превратить в полное
метрическое пространство, топология которого совпадает с
исходной топологией в Е, и сделать это можно разными способами.
Один из способов—определить метрику равенством
(Их и) - У /г» Рк (*"~у)
(4) В пространстве Фреше определяющее семейство (pk) всегда
можно выбрать так, чтобы множеством индексов было множество
натуральных чисел, и при этом выполнялись неравенства рх^
^/?2 ^... . (Повторяя, если надо, полунормы, мы можем сделать
множество индексов бесконечным, а затем ввести новые
полунормы qh=sup \pk: l^k^.h\ и взять последовательность (qh) в
качестве искомого определяющего семейства). В таком случае
одну из возможных баз окрестностей нуля образуют множества
{х^Е: рк(х)<е\ при различных k и е > 0; база окрестностей

226 ПРИЛОЖЕНИЕ В. О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
нуля получится также, когда е пробегает лишь какую-нибудь
последовательность положительных значений, стремящуюся к 0;
можно также строгие неравенства pk (х) < е всюду заменить
нестрогими рк (х) ^8.
(5) Произведение двух пространств Фреше, а также
замкнутое линейное подпространство Фреше снова будут пространствами
Фреше. Если (pk) и (qh) — определяющие семейства соответственно
для Е и F, то полунормы rkh (х, у) = pk (х) + qh (у) образуют
определяющее семейство для ExF.
В.1.5. Банаховы пространства. Банахово пространство—это
пространство Фреше, которое обладает определяющим семейством,
состоящим ровно из одного элемента, по необходимости
являющегося нормой. Другими словами, банахово пространство — это
нормированное линейное пространство, являющееся полным
относительно своей нормы.
Отметим, что скалярное поле Ф само является банаховым
пространством с нормой, равной абсолютной величине.
В. 1.6. Ограниченные множества. Пусть Е—топологическое
линейное пространство и А — его подмножество. Будем говорить, что
А ограничено, в том и только в том случае, когда для каждой
окрестности нуля U в Е существует такой положительный
скаляр А,, что AdXU (последнее множество состоит из всех
помноженных на К элементов окрестности U). За исключением случая
когда Е — банахово пространство, введенное понятие
ограниченности отличается от метрической ограниченности (которая
эквивалентна конечности диаметра).
Если Е — пространство Фреше, a (pk) — определяющее
семейство полунорм для Е, то множество ЛсгЕ ограничено тогда и
только тогда, когда sup\pk(x): х^Л}<оо при каждом k\ если
Е—банахово пространство, то это условие сводится к условию
sup {\х\\ х^А) <оо.
В.1.7. Двойственное пространство. Для всякого топологического
линейного пространства Е через Е' будем обозначать линейное
пространство всех непрерывных линейных функционалов на Е
(алгебраические операции в Е' осуществляются «поточечно»). Это
пространство называется (топологически) двойственным к Е;
используют также термины «сопряженное» и «дуальное».
Последовательность (fn)n=i элементов из Е' называют слабо
сходящейся е Е' к /^Е' в том и только в том случае, когда
Mm fn(x) = f(x) при каждом х£Е.
Если Е — банахово пространство, то Е' также будет банаховым
пространством, если наделить его так называемой двойственной
нормой
i/| = sup{|/(x)|: *<ЕЕ, |*|<1};

В.2. Принципы равномерной ограниченности 227
доказательство полноты Е' проводится точно так же, как в том
частном случае, с которым мы имеем дело в п. 12.7.1.
ВЛ.8. Факторпространства и факторнормы. Пусть Е—линейное
пространство и L—линейное подпространство в Е. Факторпро-
странство E/L, элементами которого являются смежные классы
х + L, определяется в чисто алгебраических терминах; оно
становится линейным пространством, если в нем определить
операции равенствами
(x + L) + (f/ + L):=(x+y)+L,
X(x + L) = (kx) + L
для ху у€Е и К^Ф. Обозначим через ф каноническое (или
естественное) отображение х—^x + L пространства Е на E/L; оно
линейно.
Если Е—топологическое линейное пространство, то E/L
становится топологическим линейным пространством (которое мы
по-прежнему будем называть фактор пространством), если в
качестве базы окрестностей нуля в E/Z, взять множества ф(^), где U
пробегает все элементы какой-либо базы окрестностей нуля в Е.
Факторпространство E/L является отделимым тогда и только
тогда, когда L замкнуто в Е.
Важный частный случай возникает, когда Е — нормированное
пространство. В этом случае описанная выше фактортопология в
E/L может быть задана факторполунормой
||* + L||= inf||*+f/|.
Если L замкнуто в Е, то эта факторполунорма становится нормой;
она называется факторнормой на E/L.
Если Е—банахово пространство и L замкнуто в Е, то и E/L—
банахово пространство (относительно факторнормы); ср. с п. 11.4.7.
Подробнее обо всем этом см., например, в [Е, пп. 1.8.5 и
1.10.5].
В.2* ПРИНЦИПЫ РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ
Нам нужны два таких принципа, имеющих общим источником
теорему Бэра (см. § А.2). В первом из них речь идет о
полунормах и линейных функционалах, а во-втором—о линейных
операторах.
В.2.1. (1) Пусть Е —пространство Фреше и pk (£=1,2, ...) —
такие полунепрерывные снизу функции на Е со значениями в
[0, оо], что
Pk (х + уХ Рк (х) + pk (у), Ph (Кх) = | X | pk (х)

228 приложение в. о топологических линейных ПРОСТРАНСТВАХ
при х, у€Е и Х^Ф. (Эти условия на pk выполнены, в
частности, когда pk— полунепрерывные снизу полунормы на Е.) Если
inf pk (х) <оо при каждом х из некоторого нетощего подмноже-
k
ства S в Е (в частности, если infpk(x) <оо при всех х£Е), то
к
существует такой индекс k, что функция pk конечна и
непрерывна на Е.
(2) Пусть Е — пространство Фреше и (/);<=/ — произвольное
семейство непрерывных линейных функционалов на Е. Если
sup{|/,(*)|: i'€/}<oo (В.2.1)
для каждого х из некоторого нетощего подмножества S в Е (в
частности, если (В.2.1) выполняется для всех xgE), то ft
равностепенно непрерывны на Е, т. е. для каждого е > 0 найдется
окрестность нуля U в пространстве Е, такая что при всех x£U
выполняется соотношение sup | fi (х) \ < е. В случае когда Е —
i
банахово пространство, заключение утверждения сводится просто
к неравенству sup ||//1| < оо.
Доказательство. (1) При интерпретации условий,
налагаемых на pk, считается, что: а + 00 = 00 + 00=г0° при любом
вещественном а ^ 0; 0• оо = 0; а • оо = оо при любом вещественном
а > 0. Для k, r=l, 2, ... пусть Skr обозначает множество
таких л; £Е, для которых pk(x)k^r. Поскольку pk полунепрерывны
со
снизу, каждое Sk г замкнуто в Е. Ясно, что Scz U Sk г, и, зна-
чит, поскольку S по предположению нетоще (по поводу частного
случая S = E см. § А.З), некоторое Skt г имеет внутренние точки.
Таким образом, найдутся точка х0£Е и окрестность нуля U в
Е, такие что pk(x)^r при всех x£xQ + U. Тогда тождество
х=1/2(х{) + х) — V2 (-^0—х) в сочетании со свойствами pk
показывает, что Pk(x)^f или x£U. Следовательно, при заданном
е > 0 неравенство pk (х) ^е выполняется для всех х £ U1 = (r~1e)U.
Но иг тоже является окрестностью нуля в Е, так как функция
л;-—► (гг~г) х является непрерывной функцией из Е в Е (см.
аксиомы топологического линейного пространства в п. В.1.1.). Это
показывает, что функция pk конечна и непрерывна на Е, и тем
самым (1) доказано.
(2) Это утверждение непосредственно следует из (1), если
положить для всех k
pk = p, где p(x) = sup\\fi(x)\: i£l\.
Важным следствием теоремы В.2.1 является следующее
утверждение о семействах непрерывных линейных операторов.

В.З. Теоремы об открытом отображении и о замкнутом графике 229
В.2.2. Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть Е и F —
пространства Фреше и (Trfie/ — произвольное семейство непрерывных
линейных операторов из Е в F. Предположим, что для каждого х
из некоторого нетощего подмножества S в Е (например, для
каждого х£Е) множество {Ttx\ i^I) является ограниченным
подмножеством в F. Тогда операторы Т( равностепенно непрерывны
на Е, т. е. для любой окрестности нуля V в F найдется такая
окрестность нуля U в Е, что Т{UaV при всех i£l.
Доказательство. Можно считать, что заданная нам
окрестность V имеет вид V=\y^F: <7(*/)<^е}, где q—некоторая
непрерывная полунорма на F (являющаяся, скажем, членом
некоторого определяющего семейства полунорм для F; см. п. В.1.4(4)),
а тогда можно применить В.2.1(1) к случаю
pk = s\\v\q\oT{ (*=1, 2, ...).
/6/
Замечание. При доказательстве теоремы В.2.2 тот факт, что
F — пространство Фреше, по сути дела не использовался. Нам
нужно было лишь то, что F является топологическим линейным
пространством, топология которого может быть задана при
помощи непрерывных полунорм. Другими словами, теорема В.2.2
распространяется на случай так называемых локально-выпуклых
топологических линейных пространств F. Дальнейшие сведения
на эту тему можно найти в [Е, гл. 7].
В.З. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТКРЫТОМ ОТОБРАЖЕНИИ
И О ЗАМКНУТОМ ГРАФИКЕ
В.3.1. Некоторые определения. Пусть Е и F — пространства Фреше,
а Т—линейный оператор из Е в F. Графиком оператора Т
называется подмножество в ExF, образованное парами (х, у), в
которых у=Тх. Будем говорить, что оператор замкнут (или имеет
замкнутый график), в том и только в том случае, когда его
график является замкнутым подмножеством в пространстве ExF.
Это означает, что если lim хп = 0 в Ей lim Тхп = у в F, то
П -*- 00 /1-х»
обязательно у = 0.
Очевидно, что если Т непрерывен, то он замкнут. Одна из
двух теорем, которые мы собираемся здесь доказать, утверждает,
что справедливо обратное. Она выводится из другой, весьма
удивительной теоремы, в которой фигурирует понятие открытого
отображения.
Пусть, как и выше, Т — линейный оператор из Е в F.
Назовем Т открытым, если TU является открытым подмножеством
в F для любого открытого подмножества U в Е. В силу
линейности это в точности означает, что TU является окрестностью
нуля в F для любой окрестности нуля U в Е.

230 ПРИЛОЖЕНИЕ В. О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В.3.2. Теорема об открытом отображении. Пусть Е и F —
пространства Фреше, а Т — замкнутый линейный оператор из Е в F,
такой что ТЕ нетоще в F. Тогда Т является открытым, так что,
в частности, TE^F. (Заметим, что предпосылки теоремы
выполнены, если Т непрерывен и TE = F; см. § А.З.)
Доказательство. Нужно доказать, что если U—окрестность
нуля в Е, то TU — окрестность нуля в F. Мы можем (см. В1.4(4))
выбрать для Е возрастающее определяющее семейство полунорм
(pk)k-i так, чтобы U содержала множество {х £ Е:/7Х (х) ^ 1}. Пусть
(Qh)h=i — определяющее семейство для F, тоже возрастающее.
Покажем, что найдутся индекс hx и числа г > 0 и ег > 0, такие что
каждый элемент f/gF, удовлетворяющий неравенству ^i(f/)^8i»
представим в виде ц = Тх при некотором лг£Е, для которого
р1(х)^г. Ясно, что этого уже достаточно для того, чтобы
убедиться в справедливости доказываемой теоремы.
Приступим к доказательству. Положим Uk = {х£ E:pk(x)^k~2}
СО 00
для &=1, 2, ... . Поскольку Е = V(nUk), то ГЕс U T(nUk).
п=\ п—1
Так как ТЕ по предположению нетоще, найдется такое пу что
замыкание множества Т (nUk) = п • TUk содержит внутренние точки.
Отсюда, как легко проверить, следует, что TUk является
окрестностью нуля в F. Таким образом, найдутся индекс hk и число
&k > 0, такие что TUk содержит множество Vk = {у £ F: цн (y)^k}-
Не теряя общности, можно считать, что hk ^ k и lim е^ = 0.
k ->> со
Предположим теперь, что y£Vx. Поскольку TU^V^ то можно
выбрать такую точку x1£Ul, что q\4 (у—Тхг) ^ е2. Тогда у—Тхг g
£У2, и снова, поскольку TU2zdV2, можно выбрать x2£(J2 так,
чтобы qhz(y—Txt — Тл:2)^83. Продолжая этот процесс, мы
получим точки хп из Е, такие что
Рп (хп) < "~2> Янп+1 (у—Тх1 — Тхш—... — Тхп) < ея+1. (В.3.1)
Из полноты Е следует, что
х = lim (х14- х2 + ... + хп)
П -> QO
существует как предел в Е, поскольку первое из неравенств (В.3.1)
дает 2р*(*я)<°°» и» значит, (*i+...+*„)"-! является после-
п
довательностью Коши в Е. Второе из неравенств (В.3.1)
показывает, что при n^h
Qh {У—Txi— • • • —Тхп) < qhn (У—Тх1— ... —Тхп) < еп+и

В.4. Принцип слабой компактности 231
так что Тхх +...+ Тхп «= Т (хг + ... + хп) —* у в F. Так как
оператор Т замкнут, то мы получаем, что у=^Тх. Наконец,
рг (х) = lim рг (хх + ... + хп) <lim inf 2 рг {хн)
П -*■ 00 я-*- 00 £=г 1
П 00
< lim inf 2 pk (xk) < 2 k~a a r;
здесь мы снова воспользовались (В.3.1). Тем самым
доказательство завершено.
В.3.3. Теорема о замкнутом графике. Пусть Е и F —
пространства Фреше. Тогда любой замкнутый линейный оператор из Е в F
непрерывен.
Доказательство. Пусть G — график рассматриваемого
оператора Т. Он представляет собой замкнутое линейное
подпространство в ExF и поэтому (см. В. 1.4 (5)) сам является
пространством Фреше. Определим линейный оператор S из G в Е,
положив S(x, Тх) = х для л:$Е. Ясно, что S непрерывен и
SG = E. Поэтому, в силу В.3.2, S открыт. Отсюда следует, что Т
непрерывен как оператор из Е в F. В самом деле, пусть V —
любая окрестность нуля в F. Множество W пар (х, Тх)9 для
которых х£Е и Tx£V, представляет собой окрестность нуля
в G, так что SW является окрестностью нуля U в Е; но если
x(tU, то Tx£V, так что TUaV, откуда и видно, что Т
непрерывен.
В.4. ПРИНЦИП СЛАБОЙ КОМПАКТНОСТИ
В.4.1. Пусть Е—сепарабельное пространство Фреше (т. е.
пространство Фреше, в котором существует счетное всюду плотное
подмножество) и (/„)£»!—такая последовательность непрерывных
линейных функционалов на Е, что
lim sup | fn (x) | < oo
д^я каждой точки x из некоторого нетощего подмножества S в Е.
Тогда существует подпоследовательность (fnk)^=lt слабо
сходящаяся в Е' к некоторому функционалу /£Е' (см. п. В.1.7).
Доказательство. Из В.2.1 следует, что функционалы fn
равностепенно непрерывны; в частности, sup | fn (х) J < oo для всех
п
х£Е.
Выберем и пронумеруем в виде последовательности (хк)^\
счетное всюду плотное в Е подмножество. Поскольку числовая
последовательность (/„ (*i))£=i ограничена, из нее можно извлечь

232 ПРИЛОЖЕНИЕ В. О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
подпоследовательность (/а1(л))л=ь для которой существует и
конечен предел lim /а, {п) (х^). (Здесь а, представляет собой строго
Л ->- со
возрастающее отображение множества N натуральных чисел в себя.)
Далее, поскольку числовая последовательность (fai(n) (^2))^-1
ограничена, из нее можно извлечь подпоследовательность (/aia2(n))~=i,
такую что (/a,a2(n)(*2))*-i сходится к конечному пределу. (Мы
обозначаем здесь через а^а2 композицию ajoa2.) Продолжая этот
процесс, получим подпоследовательности аи а2а2, ..., каждая
из которых является разрежением предыдущей и для которых
Hm fax...aAn)(XJ)
л ->• со
существует и конечен при 1 ^ j'^ i и 1 = 1, 2, ... . Построим
«диагональную» последовательность |5, определяемую равенством
р (п) = a1#. .аи (п).
Последовательность (Р (я))~=1 обладает тем важным свойством,
что она является подпоследовательностью последовательности
(ax.. .а{(п))п=и и поэтому предел
lim /3 (Я)(*,) (В.4.1)
л-> со
существует и конечен при каждом /.
Возьмем теперь произвольное х£Е и произвольное 8 > 0.
В силу равностепенной непрерывности существует такая
окрестность нуля U, что | /„ (у) | ^8/4 при всех п и всех y^U. Выберем
такое i9 что х—x^U (это возможно, поскольку точки х{ всюду
плотны в Е). Тогда
I /э(п) (*) — U(n') (X) | < | /р (л) (*) —/р (п) (*f) |
+ | /р (л') (*) — /3 <"'> (Xl) I + I /а (я) (*;) ~ /р (я') (*,-) |
= I /р (Л) (* — */) I + I /э (л'> (*—*/) I +1 /р (л> (xt)—/р (л') (*,) |
^ 2--J + | /р (л) (X/)— /р (л') (*j) |
равномерно по п и /г'. Из существования предела (В.4.1)
следует, что
|/р(л)(*) —/з <«'>(*) 1<8/2
при /г, л'>л0(е). Отсюда видно, что предел
/(*) = lim /з(я>(*) (В.4.2)
л -> со
существует и конечен для каждой точки х£Е. Ясно, что /
является линейным функционалом на С. Включение /gE' (т. е.
непрерывность /) следует из того факта, что (во введенных выше
обозначениях) |/(#)|^е/4 при y£U. Таким образом, /gE', и

В.5. Теорема Хана — Банаха 233
равенство (В.4.2) показывает, что lim /)3 {П) =f слабо в Е'. Таким
образом, подпоследовательность (/р {П))п=) является искомой
В.4.2. Заметим, что у теоремы В.4.1 имеется вариант,
справедливый для любых (не обязательно сепарабельных) пространств
Фреше Е, и даже в еще более общих случаях.
Пусть Е—любое топологическое линейное пространство, а
(fn)n=\ — любая равностепенно непрерывная последовательность
линейных функционалов на Е. Хотя не всегда возможно извлечь
из (/„) слабо сходящуюся в Е' подпоследовательность, тем не
менее справедливо следующее утверждение.
Существует такой непрерывный линейный функционал / на Е,
что для любого заданного 8 > 0, любого конечного подмножества
{xiy ..., хг} из Е и любого целого п0 найдется целое п > /г0, для
которого
!/(*/)-/„(*/) К е 0'=1. 2, ..., г).
(Такой функционал / является не чем иным, как предельной
точкой данной последовательности относительно так называемой
слабой топологии в Е', порожденной Е; см. [Е, стр. 130—132].)
В.5. ТЕОРЕМА ХАНА-БАНАХА
В пп. В.5.1 — В.5.3 приводятся используемые в данной книге
варианты этой многоликой теоремы. Подробнее о теореме Хана —
Банаха и ее приложениях см. [Е, гл. 2].
8.5.1. Пусть Е — линейное пространство, р — полунорма на Е,
L — линейное подпространство в Е и /0 — определенный на L
линейный функционал, удовлетворяющий -соотношению
I/oWKpW (xGL). (В.5.1)
Тогда существует такой линейный функционал / на Е, что
f(x) = h(x) (*€£), (В.5.2)
|/(х)| </?(%), (*€Е). (В.5.3)
Доказательство. Можно дословно воспроизвести
доказательство из [Е, стр. 83—86].
8.5.2. Пусть Е — пространство Фреше (или любое
локально-выпуклое топологическое линейное пространство, см. замечание
в п. В.2.2), А — произвольное непустое подмножество вЕ и х0 —
произвольный элемент из Е. Для того чтобы х0 можно было
представить в виде предела в Е конечных линейных комбинаций
элементов из Л, необходимо и достаточно, чтобы было выполненг
следующее условие, для любого непрерывного линейного функ
8 Р.Эдварде, т. 1

234 ПРИЛОЖЕНИЕ В. О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ционала / на Е (т. е. для /€Е'), такого что f(A) = {0},
справедливо равенство /(#0) = 0.
Доказательство. Необходимость тривиальна ввиду
линейности и непрерывности функционала /.
Докажем достаточность. Пусть условие, фигурирующее в
теореме, выполнено, и пусть L0 обозначает замкнутое линейное
подпространство в Е, порожденное множеством А. Допустим, что
найдется ,v0(jfL0. Поскольку L0 замкнуто и топология в Е
задается семейством непрерывных полунорм, найдется такая
непрерывная полунорма р на Е, что р(у—х0) > 1 для всех y£L0J а
поэтому также
Р(У + х0) = р(—у—х0)> 1 (f/e^o). (В.5.4)
Положим L = L0-f-<Djt0 и определим на L линейный функционал
/0 формулой /ц (у + Xxq) = X (у g L0, X g Ф). Тогда для х = у + Хх0 g L
имеем, в силу (В.5.4),
\fo(x)\ = \X\^\X\'p(K^ + x0^=p(y + Xx0) = p(x)
при ХфО; то же неравенство тривиально выполняется и при
Х — 0. Теорема В.5.1 показывает, что /0 можно продолжить до
линейного функционала / на Е, для которого выполнено
неравенство (В.5.3); из этого неравенства ввиду непрерывности р
вытекает непрерывность /. С другой стороны, очевидно, что /0, а значит,
и / обращаются в нуль на L0, а поэтому / обращается в нуль
на Л, в то время как f(x0) = f0(x0) = 1 ФО. Пришли к
противоречию.
В.5.3. Пусть Е — нормированное линейное пространство, а Е' —
пространство, двойственное к нему (см. п. В. 1.7). Для всякого
*и€Е существует такой функционал /£Е', что
||/||<1 и /(х0) = 1*0|.
Доказательство. Пусть L — линейное подпространство в Е,
порожденное элементом х0. Определим /0 на L, положив f0(Xxl}) =
= 4l*oII (^€Ф)- Теперь достаточно применить теорему В.5.1, взяв
р(х) = ||д:|!; любое из даваемых этой теоремой продолжений /
функционала /0 удовлетворяет всем нужным требованиям.

ПРИЛОЖЕНИЕ С
ПРОСТРАНСТВО, ДВОЙСТВЕННОЕ К L' (1</?<оо).
СЛАБАЯ СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ПОЛНОТА L1
В этом приложении мы приведем доказательство двух
результатов, используемых в основном тексте.
С.1. ПРОСТРАНСТВО, ДВОЙСТВЕННОЕ К If
(1 «S р < 00)
Теорема. Пусть 1^/?<оо и F — произвольный непрерывный
линейный функционал на If. Тогда существует единственная с
точностью до значений на множестве меры нуль функция g£Lp'
(1//7+ \lpf = 1), такая что
F tf> = i J fed* (CI)
при всех /gL^ Лля этой функции g выполняется соотношение
Мр- = 11^11 = sup {|F(/)|:/€IA |/|,<1}. (С2)
Доказательство. То что любая функция g£Lp\
удовлетворяющая соотношению (С.1), удовлетворяет также и соотношению
(С.2), непосредственно следует из неравенства Гёльдера и его
обращения (см. упражнение 3.6). Поэтому обратимся к
доказательству существования g (ее единственность, в указанном хмысле,
следует из (С.2)). Наше доказательство будет опираться на
теорему Радона —Никодима (см. [W, гл. 6], [HS, § 19], [АВ, стр. 406]).
Рассмотрим борелевские подмножества Е интервала X = (О, 2я)
(см. [W, стр. 93]). Характеристическую функцию множества £,
продолженную периодически, обозначим через %Е. Отметим, что
%Е является элементом LA Поэтому определено число
v(E) = F(XE). (С.З)
Поскольку F—линейный функционал, функция v (конечно-)
аддитивна. Если мы покажем, что v счетно-аддитивна, то отсюда будет
следовать, что v есть комплексная борелевская мера на X ([W,
стр. 95], [HS, стр. 329]). Пусть Е является счетным объедине-
8*

236 ПРИЛОЖЕНИЕ С. ПРОСТРАНСТВО, ДВОЙСТВЕННОЕ К LP
нием попарно непересекающихся борелевских множеств Еп (л= 1,
2, ...). Тогда
00
%Е— 2.1 %Еп,
причем ряд сходится в 1А поскольку /?<оо. (Именно здесь
объяснение того, почему теорема неверна для р = оо.)
Непрерывность функционала F в сочетании с его линейностью
показывает, что
v (Е) = S v (£„),
т. е. v и в самом деле оказывается счетно-аддитивной.
Снова ввиду того что р < оо, из непрерывности F вытекает
абсолютная непрерывность v относительно сужения меры Лебега
на интервал X (см. [W, стр. 981, [HS, стр. 312]).
Теперь мы можем применить теорему Радона — Никодима
([W, теор. 6.3d], [HS, стр. 315]), гарантирующую существование
интегрируемой функции g (которую можно продолжить
периодически), такой что
v{E) = F (хе) =2^\sdx = ^^%Eg dx
i'
для всех борелевских множеств ЕаХ Из линейности следует,
что равенство
выполняется для всех /, представимых в виде конечных
линейных комбинаций функций %Е. Отсюда нетрудно вывести, что
g € №' и
II я К1И
(ср. с упражнением 3.6) Неравенство Гёльдера показывает тогда,
что разность
представляет собой непрерывный линейный функционал на \J>%
обращающийся в нуль для всех / из всюду плотного подмножества
в Lp9 образованного конечными линейными комбинациями
характеристических функций борелевских множеств. Значит,
функционал F0 должен обращаться в нуль тождественно, т. е. соотношение
(С. 1) выполняется для всех /€1/\

С. 2. Слабая секвенциальная полнота L1 237
Примечание. Для 1 < р < оо можно дать другое
доказательство; см. [HS, стр. 222], [АВ, стр. 246]. Приведенное выше
доказательство характерно для случая р=\ ([HS, стр. 351]).
С. 2. СЛАБАЯ СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ПОЛНОТА L1
Хотя для случая р=\ утверждение 12.3.10(2) несправедливо,
имеется частичный его заменитель, который иногда спасает
положение.
Теорема. Пусть ([()Г=\ — последовательность интегрируемых
функций, образующая слабую последовательность Коши в L1, т.е.
такую, что предел
I -*■ ОС v
существует и конечен при любой функции ggL00. Тогда
существует функция /6L1, к которой (/,) слабо сходится, т.е. такая,
что
^wlfiBdx^^fgdx
при любой g"€L°°.
Доказательство этого результата довольно длинное, и мы
отсылаем читателя к [Е, стр. 381]

ПРИЛОЖЕНИЕ D
( СЛАБЛЕРНЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ РУНГЕ
Здесь мы применим теорему Хана —Банаха (п. В.5.2) для
доказательства упрощенного варианта теоремы Рунге, который нам
понадобится в п. 12.9.8(3).
Ниже Л обозначает комплексную плоскость,. А —
компактифицированную комплексную плоскость (т.е. сферу Римана), Q
—непустое открытое подмножество в Д и К — непустое компактное
подмножество в Q. Мы будем предполагать, что
(1) множество А\/< связно (это равносильно тому, что К од-
носвязно);
(2) в Q\K существует гладкий замкнутый путь Г, такой что
интегральная формула Коши
Г
справедлива при любом г £ К и любой голоморфной в Q функции /.
Мы не собираемся здесь подробно обсуждать условия, при
которых выполнено (2) (см. замечания ниже); достаточно отметить,
что (2) очевидным образом выполнено при предположениях,
принятых в п. 12.9.8:
Теорема. При сделанных выше предположениях каждая функция
/\ голоморфная в О, является равномерным на К пределом
полиномов от г. (Как обычно, символ «г» используется для
обозначения как комплексного числа, так и естественной комплексной
координатной функции на А.)
Доказательство. Обозначим через С (К) комплексное
линейное пространство непрерывных комплекспозначных функций на /С,
в котором введена норма
1/|=8ир{|/(г)|:г€*Ь
Через Н обозначим подпространство в С (К), образованное
функциями, представляющими собой сужение на К функций,
голоморфных в Q. В силу В.5.1 и В.5.2, мы докажем наше утверждение,

Приложение D. Ослабленный вариант теоремы Рунге 239
если покажем, что любой непрерывный линейный функционал F
на С (К) с тем свойством, что
F(un) = 0 (n = 0,l,2, ...), (D.2)
где и„ —сужение на К функции z—±zn, удовлетворяет также
условию
/4/) = 0 (D.3)
при всех /€Н.
Для любой точки / б Д\/С пусть ft обозначает элемент из С (Л),
полученный сужением на К функции z —* (/ —г)"1. Используя
формулу (D. 1), можно показать, что если /£Н, то / является
пределом в С (К) (т. е. равномерным пределом на К) линейных
комбинаций функций ft с t £ Г; для этого достаточно приблизить
интеграл, фигурирующий в (D.1), суммами Рищна. Поэтому (D.3)
следует из утверждения, что
F (/,) = 0 (/€Г) (D.4)
(а фактически и эквивалентно этому утверждению).
Наконец, чтобы доказать, что из (D.2) следует (D.4),
рассмотрим функцию
9(0 = ^(/t), (D.5)
определенную для /gA\/C'. Учитывая непрерывность F на С(Ю,
легко проверить, что ф голоморфна во всех точках множества
Д\Д; проверку этого утверждения мы предоставляем читателю
в качестве простого упражнения. Далее, если \t\ достаточно
велико, то
причем ряд сходится равномерно по г ¢/(, так что из
непрерывности F вытекает, что
00
ФЮ^Х^и.)'-"-1, (D.6)
Г2=0
снова для достаточно больших \t\. Равенство (D.6) показывает,
во-первых, что функцию ц можно продолжить на А\/С так, что
она будет голоморфной в окрестности оо (достаточно положить
ф(оо) = 0), а во-вторых, в сочетании с (D.2), что ф обращается
в нуль в некоторой окрестности оо. Поскольку, в силу (1), А\/<
связно, то же можно сказать и о Д\Д=(Д\/<)и {°°}> и
поэтому функция ф должна обращаться в нуль на всём множестве
Д\/С. В частности, справедливо соотношение (D.4). Тем самым
доказательство теоремы завершено.

240 ПРИЛОЖЕНИЕ D. ОСЛАБЛЕННЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ РУНГЕ
Замечания. По поводу другого подхода к теореме Рунге и
связанных с ней вопросов см. [Не, стр. 149 — 153] и указанную
там литературу. Эта теорема допускает уточнения и обобщения
на римановы поверхности (см., например, соответствующие
разделы книги Бенке и Штейна «Theorie der analytischen Functionen
einer komplexen Veranderlichen») и на функции многих
комплексных переменных или на комплексные аналитические многообразия
(см. книгу Ганнинга и Росси «Аналитические функции многих
комплексных переменных», гл. 1, § F, и гл. 7).
Имеется также вещественный вариант теоремы Рунге,
находящий применение в теории линейных дифференциальных уравнений
с частными производными; см. [Е, стр. 545] и указанную там
литературу.

ЛИТЕРАТУРА l)
книги
РУКОВОДСТВА ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ, ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
И ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[АВ] Asplund, Е. and Bungart, L. A First Course in Integration, Holt,
Rinehart and Winston, Inc., New York (1966).
IPSlt2]* DuNroRD, N. and Schwartz, J. T. Linear Operators, Parts I, II.
Interscience Publishers, Inc., New York (1958, 1963).
[E] * Edwards, R. E. Functional Analysis: Theory and Applications*
Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York (1965).
[GP] GorrMAN, С and Pedrick, G. First Course in Functional Analysis.
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1965).
[HS] Hewitt, E. and Stromberg, K. Real and Abstract Analysis. Springer-
Verlag, Berlin (1965).
[K] * Kelley, J. L. General Topology. D. Van Nostrand Company, Inc.,
Princeton, New Jersey (1955).
[Na] * Natanson, I. P. Theory of Functions of a Real Variable* Frederick
Ungar Publishing Co., New York (1965).
[W] Williamson, J. H. Lebesgue Integration. Holt, Rinehart and Winston,
Inc., New York (1962).
ЛЮЛОГРАФИИ ПО РЯДАМ ФУРЬЕ И ДРУГ* М СПЕЦИАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ
[A]* Alexits, G. Convergence Problems of Orthogonal Series. Pergamon
Press, Inc., New York (1961).
[Am] Almgren, F. J. Plateau's Problem: an Invitation to Varifold Geometry.
W. A. Benjamin, Inc., New York (1966).
[B] Bachman, G. Elements of Abstract Harmonic Analysis. Academio
Press, Inc., New York (1964).
[Ba1>a] * Baby, N. A Treatise on Trigonometric Series, Vols. 1 and 2. Pergamon
Press, Inc., New York (1964).
1> Звездочками помечены работы, имеющиеся на русском языке (см.
соответствующий ашгок ниже) При ссылках на уги работы в тексте страницы
указываются по русскому изданию. — Прим. ред.

[Be] Bellman, R. A Brief Introduction to Theta Functions. Holt, Rinehart
and Winston, Inc., New York (1961).
[Bee] Besicovitch, A. S. Almost Periodic Functions. Cambridge University
Press, New York (1932).
[BK] Butzer, P. L. and Korevaar, J. (editors). On Approximation
Theory. Birkhauser Veriag, Basel und Stuttgart (1964).
[Bo] Boerner, H. Representations of Groups with Special Consideration
for the Needs of Modern Physics. North Holland Publishing Co. and
Interscience Publishers, Inc., New York (1963).
[Boa] Boas, R. P. Jr. Integrability Theorems for Trigonometric Transform**
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Bd. 38. Springer-
Verlag, New York (1967).
[CH] * Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics,
Vol. II. Interscience Publishers, Inc., New York (1962).
[dBR] de Branges, L. and Rovnyak, J. Square Summable Power Series.
Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York (1966).
[DW] Doran, R. S. and Wichmann, J. Approximate Identities and
Factorization in Banach Modules. To appear Springer-Veriag Lecture Notes
in Mathematics Series.
[Ea] Edwards, R. E. Integration and Harmonic Analysis on Compact
Groups. London Math. Soc. Lecture Note Series 8, Cambridge
University Press, New York (1972).
[G] Gross, L. Harmonic Analysis on Hilbert Space. Mem. Amer. Math.
Soc, No. 46, Amer. Math. Soc, Providence (1963).
[Ga] Garsia, A. M. Topics in Almost Everywhere Convergence. Lectures in
Advanced Mathematics, 4. Markham Publishing Co., Chicago (1970).
[GP] Goffman, С and Pedrick, G. First Course in Functional Analysis.
Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1965).
[GV] * Gelfand, I. M. and Vilenkin, N. Ya. Generalized Functions, Vol. 4
Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, Inc., New York
(1964).
[H] Hirschman, I. I., Jr. Infinite Series. Holt, Rinehart and Winston,
Inc., New York (1962).
[Ha] * Hardy, G. H. Divergent Series. Oxford University Press, New York
(1949).
[HaR]* Hardy, G. H. and Rogosiinsli, W. Fourier Series. Cambridge
University Press, New York (1944).

243
[He] Heins, M. Topics in Complex Function Theory, Holt, Rinehart and
Winston, Inc., New York (1962).
[Hel] Helson, H. Lectures on Invariant Subspaces. Academic Press, Inc.,
New York (1964).
[Hew] Hewitt, E. A Survey of Abstract Harmonic Analysis. Surveys in
Applied Mathematics, IV, John Wiley & Sons, Inc., New York
(1958), 107-168.
[Hi] Hirschman, 1.1., Jr. (editor). Studies in Real and Complex Analysis,
Studies in Mathematics, Vol. 3. The Math. Association of America;
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1965).
[HLP]* Hardy, G. H., Littlewood, J. E. and P6lya, G. Inequalities,
Cambridge University Press, New York (1934).
[Ho] * Hoffman, K. Banach Spaces of Analytic Functions. Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1962).
[HR] * Hewitt, E. and Ross, K. A. Abstract Harmonic Analysis, J, II.
Springer-Verlag, Berlin (1963, 1970).
[HW] Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of
Numbers, Oxford University Press, New York (1938),
[I] Izumi, S.-I. Introduction to the Theory of Fourier Series, Institute of
Mathematics, Academia Sinica, Taipei (1965).
[Ka] Kazarinoff, N. D. Analytic Inequalities, Holt, Rinehart and
Winston, Inc., New York (1961),
[Kah] Kahane, J.-P. Algebras de Convolution de Sucesiones, Funciones у
Medidas Sumables. Cursos у Seminarios de Matematica, Fasc. 6.
Univ. de Buenos Aires (1961).
[Kahjl Kahane, J.-P. Lectures on Mean Periodic Functions. Tata Institute
of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics,
No. 15. Bombay (1959).
[Kah2] Kahane, J.-P. Series de Fourier absolument convergentes. Ergebnisse
der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Bd. 50. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York (1970).
[KS] Kahane, J.-P. and Salem, R. Ensembles Parfaits et Series Trigone*
metriques. Hermann & Cie, Paris (1963).
[KSt] * Kaczmarz, S. and Steinhaus, H. Theorie der Orthogonalreihtn.
Chelsea Publishing Company, New York (1951).
[Kz] Katznelson, Y. Introduction to Harmonic Analysis. John Wiley &
Sons, Inc., New York (1968).

[hi] Lorentz, G. G. Bernstein Polynomials. University of Toronto Press
(1955).
[La] Lorentz, G. G. Approximation of Functions. Holt, Rinehart and
Winston, Inc., New York (1966).
[Li] Littlewood, J. E. Some Problems in Peal and Complex Analysis.
Lecture notes, Univ. of Wisconsin, Madison (1962).
[Lo] * Loomis, L. H. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D.
Van Nostrand Company, Inc., Princeton, New Jersey (1953).
[M] Mandelbrojt, M. Series de Fourier et Classes Quasianalytiques de
Fonctions. Gauthier-Villars, Paris (1935).
[Mk] Maak, W. Fastperiodische Funktionen. Springer-Verlag, Berlin
(1950).
[Moz] Mozzochi, C. P. On the pointwise convergence of Fourier Series.
Lecture Notes in Mathematics, 199. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-
New York (1971).
[N]* Naimark, M. A. Normed Pings. P. Noordhoff, N. V., Groningen,
Netherlands (1959).
[P] Pitt, H. R. Tauberian Theorems. Oxford University Press, New
York (1958).
[Ph]* Phelps, R. R. Lectures on Choquefs Theorem. D. Van Nostrand
Company, Inc., Princeton, New Jersey (1966).
[PS] * P6lya, G. and Szego, G. Aufgaben mid Lehresatze aus der Analysis,
Bd. I, II Springer-Verlag, Berlin (1925).
[R] Rudin, W. Fourier Analysis on Groups. Interscience Publishers, Inc.,
New York (1962).
[Re] Reiter, H. Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups.
Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, New
York (1968).
[Ri] Rickart, С. E. Banach Algebras. D. Van Nostrand Company, Inc.,
Princeton, New Jersey (1960).
[SMA] Studies in Modern Analysis, Vol. I. (edited by R. C. Buck) The Math.
Assoc, of America, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey
(1962).
[So] * Sobolev, S. L. Applications of Functional Analysis in Mathematical
Physics. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, Vol.
VII, Providence (1963).
[T] Tonelli, L. Serie Trigonometriche. Bologna (1928).
£Ti] * Timan, A. F. Theory of Approximation of Functions of a Peal Variable,
The Macmillan Company, New York (1963),

245
Tolstov, G. P. Fourier Series. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,
New Jersey (1962).
van der Waerden, B. L. Moderne Algebra. Springer-Verlag, Berlin
(1937).
Weil, A. VIntegration dans les Oroupes Topologiques et Ses
Applications. Hermann & Cie, Paris (195.1).
Wiener, N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications.
Cambridge University Press, New York (1933).
Zygmund, A. Trigonometrical Series, Vols. I and II. Cambridge
University Press, New York (1959).
СТАТЬИ
Этот список не претендует на полноту; его скорее надо
рассматривать как добавление к библиографиям, приведенным в
таких стандартных руководствах, как [Z], [Ва], [R].
Aljan£i£, $.
[1] On the integral moduli of continuity in Lp (1 < p < oo) of Fourier series
with monotone coefficients. Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1906), 287-294.
Bloom, W. R.
[1] Bernstein's inequality for locally compact Abelian groups. J. Austr. Math.
Soc. XVII(l) (1974), 88-102.
[2] A converse of Bernstein's inequality for locally compact Abelian groups.
Bull. Austr. Math. Soc. 9(2) (1973), 291-298.
[3] Jackson's theorem for locally compact Abelian groups, ibid. 10(1) (1974),
59-66.
[4] Jackson's theorem for finite products and homomorphic images of locally
compact Abelian groups, ibid. 12(2) (1975), 301-309.
Boas, R. P. Jr.
[1] Beurling'8 test for absolute convergence of Fourier series. Bull. Amer.
Math. Soc. 66 (1960), 24-27.
[2] Fourier Series with positive coefficients. J. Math. Anal. Appl. 17 (1967),
463-483.
Bredon, G. E.
[1] A new treatment of the Haar integral. Mich. Math. J. 10 (1963), 366-373.
Bucy, R. S. and Maltese, G.
[1] Extreme positive definite functions and Choquet's representation theorem.
J. Math. Anal. Appl. 12 (1965), 371-377.
BUTZER, P. L. AND NESSEL, R. J.
[1] t)ber eine verallgemeinerung eines satzes von de la Vallee Pousein.
International Series In Numerical Mathematics, 5, pp. 45-48. Birkhftuser
Verlag (1964).
Carleson, L.
[1] On convergence and growth of partial sums of Fourier series. Acta Math.
in (1966), 136-157.
[TV]*
[vW]*
[We]*
IWi]*

Chen, Y. M.
[1] An almost every where divergent Fourier series of the class £(log+ log+ L)l~*.
J. London Math. Soc. 44 (1969), 643-654.
Cohen, P. J.
[1] Factoriz-tfon in group algebras. Duke Math. J. 2# (1959), 199-205.
[2] On homomo/phicnis of group algebras. Amer. J. Math. 82 (1960), 213-226.
[3] On a conjecture of Littlewood and ir^ernpotent measures. Amer. J. Math. 82
(1960), 191-212.
[4] A note on constructive methods in Banach algebras. Proc. Amer. Math.
Soc. 12 (1961), 159-163.
Curtis, P. С Jr. and FigA-Talamanca, A.
[1] Factorization theorems for Banach algebras. Function Algebras, pp. 169-
185. Scott, Foresman and Company, Chicago (1966).
de Bruijn, N. G.
[1] Functions whose differences belong to a given class. Nieuw Arch. Wiskunde
83 (1951), 194-218.
[2] A difference property for Ricmann integrable functions and for some
similar classes of functions. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A55 (1952),
145-151.
DE LZEUW, K. AND KATZNELSON, Y.
[1] On certain homomorphisms of quotients of group algebras. Israel J. Math.
2 (1964), 120-126.
Edwards, D. A.
[1] On translates of Ln functions. J. London Math. Soc. 36 (1961), 431-432.
EBWARD8, R. E.
[1] Criteria for Fourier transforms. J. Austr. Math. Soc. 7 (1967), 239-246.
[2] Translates of L°° functions and of bounded measures. J. Austr. Math. Soc.
IV (1964), 403-409.
[3] Boundedness principles and Fourier theory. To appear Pacific J. Math.
Edwards, R. E. and Hewitt, E.
[1] Pointwise limits for sequences of convolution operators. Acta Math. 118
(1965), 181-218.
Edwards, R. E. and Price, J. F.
[1J A naively constructive approach to boundednesa principles, with
applications to harmonic analysis. VEns. maih. XVI, fasc. 3-4 (1970), 255-296.
Essen, M.
[1] Studies on a convolution inequality. Ark. Mat. 5 (9) (1963), 113-162.
Gaudet, R. J. and Gamlen J. L. B.
[1] An elementary proof of part of a classical conjecture. Bull. Austr. Math.
Soc. 3 (1970), 289-291.

GODEMENT, К.
[1] Les fonctions de type positif et la theorie des groupes. Trans. Amer. Math*
Soc. 63 (1948), 1-84.
Goes, G. and Goes, S.
[1] Sequences of bounded variation and sequences of Fourier coefficients. I.
Math. Z. 118 (1970), 93-102.
Hardy, G. H.
[1] Notes on some points in the integral calculus, LXVI, The arithmetic mean
of a Fourier constant. Messenger of Math. 58 (1928), 50-52.
Herz, C. S.
[1] Fonctions operant sur certains semi-gftmpes. 0. J?. Acad. Sci. Paris 255
(1962), 2046-2048.
Hewitt, E.
[1] The ranges of certain convolution operators. Math. Scand. 15 (1964),
147-155.
Hewitt, E. and Hewitt, R. E.
[1] The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode in Fourier analysis. To
appear The Mathematical Intelligencer.
Hibschman, I. I., Jr.
[1] On multiplier transformations. Duke Math. J. 26 (1959), 221-242.
Izumi, M. and Izumi, S.-I.
[1] Fourier series of functions of bounded variation. Proc. Japan Acad, 44 (6)
(1968), 415-417.
[2] Divergence of Fourier series. Bull. Austr. Math. Soc. 8 (1973), 289-304.
[3] On absolute convergence of Fourier series. Ark. for Mat. 7(12) (1967),
177-184.
[4] Absolute Convergence of Fourier series of convolution functions. J. Approx.
Theory 1 (1968), 103-109.
Kahane, J.-P.
[1] Idempotents and closed subalgebras of A(Z). Function Algebras, pp. 198-
207. Scott, Foreeman and Company, Chicago (1966).
[2] Sur certaines classes de series de Fourier absolument convergentes. J.
Math. Pures et AppL 35 (1956), 249-258.
[3] Sur un probleme de Littlewood. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A60 =*
Indag. Math. 19 (1957), 268-271.
[4] Sur les rearrangements des suites de coefficients de Fourier-Lebesgue.
C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. А В 265 (1967), A310-A312.
Kahane, J.-P. and Katznelson, Y.
[1] Sur les series de Fourier uniformement convergentes. С R. Ac^d. Sci. Paris
261 (1965), 3025-3028.
Kajso, T. and Uchiyama, S.
[1] On the convergence Ьх L of some special Fourier series. Proc. Japan Acad*
53A(2) (1977), 72-77.

McGehee, О. С.
[1] Certain isomorphisms between quotients of group algebras. Notices Amer»
Math. Soc. 13 (1966), 475.
Men'shov, D. E.
[1] *ч On convergence in measure of trigonometric series. (In Russian) Trudy Mat.
Inst, im V. A. Steklova 32 (1950), 3-97.
Mitjagin, B. S.
[1] * On the absolute convergence of the scries of Fourier coefficients. (In
Russian) Dokl. Akad. NaukSSSR 157 (1964), 1047-1050.
Mueller, M. J.
f 1] Three results for locally compact groups connected with the Haar measure
density theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965), 1414-1416.
Newman, D. J.
[1] The non-existence of projections from L1 to H1. Proc. Amer. Math. Soc. 12
(1961), 98-99.
[2] An L1 extremal problem for polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965),
1287-1290.
Ray, К. С and Lahiri, В. K.
[lj An extension of a theorem of Steinhaus. Bull. Calcutta Math. Soc. 50 (1964),
29-31.
KlDER, D.
[1] Central idempotents in group algebras. To appear Bull. Amer. Math. Soc.
[2] Transformations of Fourier coefficients. To appear Pacific t/. Math.
Booney, P. G.
[1] On the representation of sequences as Fourier coefficients. Proc. Amer.
Math. Soc. 11 (1960), 762-768.
Rubel, L. A.
[1] Uniform distributions and densities on locally compact Abelian groups.
Symposia on Theor. Physics and Math., Vol. 9, 183-193. Plenum Press, New
York (1969).
RUDIN, W.
[1] Representation of functions by convolutions. J. Math. Mech. 7 (1958),
103-116.
[2] A strong converse of the Wiener Levy theorem. Canad. J. Math. 14 (1962),
694-701.
[3] Idempotents in group algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 224-227.
[4] Some theorems on Fourier coefficients. Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959),
855-859.
[5] Positive definite sequences and absolutely monotonic functions. Duke
Math. J. 26 (1959), 617-622.
Rudin, W. and Schneider, H.
[1] Idempotents in group rings. Duke Math. J. 31 (1964), 585-602,

Ryan, К.
[1] Fourier transforms of certain classes of integrable functions. Trans. After.
Math.Soc. 105 (1962), 102-111.
Shah, T.-S.
[1] Positive definite fmictions on commutatlye topological groups. Scientia
Sinica (5)XIV (1965), 653-665.
Srinivasan, T. P. and Wang, J.-K.
[ 1 ] Weak* Dirichlet Algebras. Function Algebras, pp. 216-249. Scott, Foresman
and Company, Chicago (1966).
£i\tfiN, E. M.
[1] On limits of sequences of operators. Ann. Math* 74 (1961), 140-170.
Taibleson, M.
[1] Fourier coefficients of functions of bounded variation. Proc. Amer. Math.
Soc. 18 (1967), 766.
Teljakowskii, S. A.
[1]* Some estimates for trigonometric series with quasiconvex coefficients
(Russian). Mat. Sbornik 63 (105) (1964), 426-444 = A.M.S. Translations (2)
86 (1970), 109-131.
[2]* On the question of convergence of Fourier series in the X-metric (Russian).
Mat. Zametki 1 (1967), 91-98. MR 34 # 8067.
Timan, M. F.
[1] * Best approximation of a function and linear methods of summing Fourier
series. (In Russian) Izv. Akad. Nauk SSSB Ser. Mat. 29 (1965), 587-604.
Weiss, G.
[1] Harmonic Analysis, Studies in Mathematics, Vol. 3t pp. 124-178. The
Math. Assoc, of America; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New
Jersey (1965).
Yadav, B. S.
[1] On a theorem of Titchmarsh. Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 2(16)
(1962), 87-92 (1963).
Yadav, B. S. and Goyal, O. P.
[1] On the absolute convergence of Fourier series. J. Maharaja Sayajirao Univ.
Baroda 10 (1961), 29-34,
Zamansky, M.
[1] Approximation et Analyse Harmonique, I. Bull. Sci* math*> 2e serie, 101
(1977), 3-70.
[2] Approximation et Analyse Harmonique, II. Bull. Set. math., 2* sene, 101
(1977), 149-180.
Zuk, V. V.
[1] * On the absolute convergence of Fourier series. (In Russian) Dokl. Akad.
NaukSSSR 160 (1965), 519-522.

250
ЛИТЕРАТУРА
РАБОТЫ, ИМЕЮЩИЕСЯ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
книги
[А] Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. — М.: ИЛ,
1963.
[Ва1)2] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961.
[СН] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2.
Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
[DS! 2] Данфорд Н., Шварц Лж. Т. Линейные операторы. Т. 1. — М.: ИЛ,
1962; Т. 2. —М.: Мир, 1966.
[Е] Эдварде Р. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1969.
[GV] Гельфанд И. М., Виленкин Н. И. Обобщенные функции. Т. 4. — М.:
Физматгиз, 1961.
[На] Харди Г. Расходящиеся ряды. — М.: ИЛ, 1951.
[HaR] Харди Г., Рогозинский В. Ряды Фурье, —М.: Физматгиз, 1962.
[HLP] Харди Г., Литтльвуд Дж., Полна Г. Неравенства.—М.: ИЛ, 1948.
[Но] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.— М.:
ИЛ, 1963.
[HR] Хьюитт Э., Росс К- Абстрактный гармонический анализ. Т. 1.— М.:
Наука, 1975; т. 2.—М.: Мир, 1975.
[К] Келли Дж. Л. Общая топология.—2-е изд.— М.: Наука, 1981.
[Kah2] Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье.— М.: Мир, 1976.
[KSt] Качмаж С, Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов.— М.: Гос-
техиздат, 1958.
[Lo] Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ.— М.: ИЛ,
1956.
[N] Наймарк М. А. Нормированные кольца.— 2-е изд.—М.: Наука,
1968.
[Na] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.— 3-е
изд.—М.: Наука, 1974.
[Ph] Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке.— М.: Мир, 1968.
[PS] Полна Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х томах.— М.:
Гостехиздат, 1956.
[So] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
[Ti] Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного
переменного.— М.: Гостехиздат, 1960.
[Tv] Толстов Г. П. Ряды Фурье.—3-е изд.— М.: Наука, 1980.
[v\V] ван дер Варден Б. Л. Алгебра.— М.: Наука, 1976.
[We] Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его
применения.—М.: ИЛ, 1950.
[Wi] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его применения.— М.:
Физматгиз, 1963.
[Zlf 2] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х томах.— М.: Мир, 1135.
СТАТЬИ
Жук В. В.
[1] Об абсолютной сходимости рядов Фурье.—ДАН СССР, 1965, 160, № 3,
с. 519-522.
Меньшов Д. Е.
[1] О сходимости по мере тригонометрических рядов.— Труды Мат. ин-та им.
Стеклова, 1950, 32, с. 3—97.
Митягин Б. С.
[1] Об абсолютной сходимости ряда коэффициентов Фурье.— ДАН СССР, 1964,
157, № 5, с. 1047—1050.

Работы, имеющиеся на русском языке 251
Теляковский С. А.
[1J Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми
коэффициентами.— Мат. сборник, 1964, 63, № 3, с. 426 — 444.
[2] К вопросу о сходимости рядов Фурье в метрике L.— Мат. заметки, 1967,
1, Ко 1, с. 91—98.
Тиман М. Ф.
[1] Наилучшее приближение функции и линейные методы суммирования рядов
Фурье.—ИАН СССР, сер. мат., 1965, 29, с. 587 — 604.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Банах (5. Banach) 85 , 160
Бангарт (L. Bungart) 8
Бари Н. К. 5 , 7 , 8 , 15 , 16 , 195
Бенке (Н. Behnke) 240
Бернулли( D. Bernoulli) 10 , 11
Бернштейн С. Н. 22 , 125 , 207
Бёрлинг (A. Beurling) 202 , 211
Бохнер (5. Bochner) 176 , 177 , 179
Балле Пуссен (Ch. J. de la Vallee Pous-
sin) 125
Вейль A. (A. Weil) 33
Вейль Г. (H. Weyl) 63
Винер (N. Wiener) 48 , 172 , 209 , 210
Ганнинг (R. Gunning) 240
Гёз Г. (G. Goes) 6 , 145 , 149 , 203 , 216
Гёз 3. (S. Goes) 149
Гельфанд И. M. 176
Годеман (R. Godement) 176 , 183
Годри (G. Gaudry) 9
Даламбер (J. D'Alembert) 10 , 11
Дебнэм (Mrs. A. Debnam) 9
де Брейн (N. G. de Bruijn) 175
Дини (U. Dini) 184
Дирихле (P. G. L. Dirichlet) 11
Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond)
195
Желязко (W. Zelazko) 84
Жордан (С. Jordan) 184
Жук В. В. 208
Зигмунд (A. Zygmund) 5 , 7 , 8 , 22 , 68 ,
150 , 202 , 207
Идзуми М. (М. Izumi) 209
Идзуми С. (S.-I. Izumi) 209
Ито (К. Но) 181
Какутани (S. Kakutani) 33
Кано (Т. Капо) 148
Кантор (G. Cantor) 11 , 16 , 63
Карлеман (Т. Carleman) 160
Карлесон (L. Carleson) 164 , 184 , 195 ,
201
Картан (Н. Cartan) 33 , 176 , 183
Кахан (J.-P. Kahane) 53 , 69 , 210 — 212
Кацнсльсон (Y. Katznelson) 6 , 210 , 211
Ксмпермэн (J. Kemperman) 175
Кириллов А. А. 5
Колмогоров А. Н. 8 , 38 , 145 , 164 , 165 ,
195 , 196 , 200
Коши (A. L. Cauchy) 11
Коэн (P. J. Cohen) 68 , 93 , 150 , 152
Крейн М. Г. 181
Куратовский (К. Kuratowski) 85
Кэрролл (Carroll) 175
Лагранж (J. L. Lagrange) 10 , 11
Леви (P. Levy) 210
Лейбензон (Leibenson) 211
Лидделл (Mrs. G. Liddell) 9
Литтлвуд (J. Е. Littlewood) 200 , 209
Лузин Н. Н. 15 , 200
Лукашенко Т. П. 5
Марцинкевич (J. Marchinkiewicz) 196
Меньшов Д. Е. 14 — 16 , 195
Митягин Б. С. 208
Нейман (Hanna Neumann) 8 , 9
Петтис (В. J. Pettis) 85
Плеснер А. И. 82 , 200
Привалов И. И. 15 , 22
Пуассон (S. D. Poisson) 11
Пэли (R. Е. А. С. Paley) 200

Именной указатель
253
Раджагопалан (Rajagopalan) 84
Райдер (D. Rider) 211
Райков Д. А. 82 , 176
Риман (В. Riemann) 12 , 58
Рисе М. (М. Riesz) 180 , 208 , 210
Рисе Ф. (F. Riesz) 23 , 210
Росс (К. A. Ross) 7
Росси (Н. Rossi) 240
Рудин (W. Rudin) 7 , 8 , 68 , 93 , 150 ,
152 , 210
Сакс (S. Saks) 217
Салем (R. Salem) 53 , 68 , 150 , 202
Сас (О. Szasz) 207
Селиверстов Г. А. 200
Скворцов В. А. 5
Стейн (Е. М. Stein) 126 , 195
Стечкин С. Б. 22 , 208 , 209
Стоун (М. Stone) 112 , 113
Стромберг (К. Stromberg) 8
Сьюмеги (Mrs. К. Sumeghy) 9
Сэндерз (J. Sanders) 6
Таубер (A. Tauber) 104
Теляковский С. А. 144 , 148
Темко (Temko) 202
Тиман М. Ф. 124
Толстов Г. П. 7
Уильямсон (J. Н. Williamson) 8
Утияма (S. Uchiyama) 148
Фейер (L. Fejer) 23 , 108 , 191
Фомин С. В. 8 , 38
фон Нейман (J. von Neumann) 33
Фурье (J. В. J. Fourier) 10
Хаар (А. Haar) 33
Хант (R. A. Hunt) 201
Харди (G. Н. Hardy) 104 , 149 , 188 ,
200 , 209
Хелсон (Н. Helson) 210 , 211
Хиршман (I. I. Hirschman , jr.) 166
Хьюитт (Е. Hewitt) 7 — 9 , 152
Шах (T.-S. Shah) 182
Шварц (L. Schwartz) 19
Штейн (К. Stein) 240
Штейнгауз (Н. Steinhaus) 85
Эдварде Д. (D. A. Edwards) 82
Эдварде P. (R. Е. Edwards) 5
Эйлер (L. Euler) 10 , 11
Эсплунд (Е. Asplund) 8
Янг (W. Н. Young) 145

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абелевы средние 125
Абеля преобразование см ,
суммирование по частям
Абеля (— Пуассона) метод 125
Адамара последовательность 165
Аполлония тождество 172
аппроксимативная единица 76
— теорема 56
аффинное отображение 96
базис алгебраический (Гамеля) 196
— топологический 196
Банаха — Штейнгауш теорема 229
банахово пространство 226
Бернштейна неравенство 22
— полином 113
— теорема 113
Бозанке — Кестельмана лемма 84
Бохнера теорема 179 , 181 — 182
Бэра теорема 221
вариация ограниченная 46
— полная 46
Вейерштрасса теорема 112
весовая последовательность 202
внутренняя мера 84
всюду плотное множество 221
второй категории (Бэра) 221
выпуклая последовательность 135
гармонический анализ 30
— синтез 30
Гёльдера неравенство 40
обращение 82
— условия 122
Гиббса явление 215
гомоморфизм алгебр 91
гомоморфизмов проблема 91
график 229
группа 25
— вращений окружности 25
— окружности 25
— топологическая 25
групповая алгебра 79 — 80
Данжуа — Лузина теорема 62
двойственное пространство 226
Джексона полином 125
Лини признак 190
Лирика мера 37
-~ 6-функция 78
Дирихле ряд сопряжённый 134
— ядро 44 , 98
единственности теорема 53 , 58
ёмкость 202
Жордана признак 185
замкнутый оператор 229
идеал 69
— замкнутый 69
— максимальный 95
— модулярный 95
— регулярный 95
изопериметрическая задача 173
инвариантное подпространство 28
инвариантный интеграл 32
Кантора группа 185
Кантора — Лебега теорема 62
Карлесона теорема 201
квазианалитичность 61
квазивыиуклая последовательность 135
Колмогорова теорема 218
Колмогорова — Селиверстова — Плес-
нера теорема 200
компактности принцип 231
Кронекера теорема 59

Предметный указатель
255
лакунарный ряд 130
Лебега точка (множество) 118
лево-инвариантность 32
лево-хааровость 32
Липшица условия 122
локализации принцип 101
Лузина проблема 200
минимальности свойство 157
Минковского неравенство 39
модуль непрерывности 122
интегральный 49 , 161
мультипликатор 94
неплотное множество 221
нетощее множество 221
нигде не плотное множество 221
нильпотентный элемент обобщённый
(топологический) 83
норма 224
— двойственная 226
обращения формула 126 , 160 — 161
ограниченная вариация 135
ограниченное множество 226
однородное банахово пространство на
Т 108
определяющее семейство полунорм 225
ортогональности соотношения 12
ортонормированный базис 156
отделимость (хаусдорфовость) 225
открытый оператор 229
Парсеваля формула 114 , 158 , 181 , 203
поляризованный вариант 158
первой категории (Бэра) 221
полунорма 224
Понтрягина двойственность 31
поточечное представление 13
право-инвариантность 32
право-хааровость 32
проектирования принцип 173
Пуассона ядро 125
равномерно распределённая
последовательность 63
равномерной ограниченности принцип
227
Римана — Лебега лемма 49
риманов метод суммирования 130
Рисса — Фишера теорема 159
Рунге теорема 238
свёртка последовательностей 80 , 84
— функций 65 — 66
свёрточная алгебра 68
сдвига оператор 27
сепарабельность 231
Сидона множество 191
симметрическая производная 131
слабая сходимость 226
сопряжённый показатель (индекс) 40
— ряд 134
спектрального радиуса формула 170
спектральный анализ 30
— синтез 30
Стечкина лемма 22
суммирование по Пуассону 215
— — частям 135
суммируемость по Абелю 125
Чезаро 18 , 103
— равномерная 18
существенное множество 221
сходимость в смысле обобщённых
функций 18
среднем 18 , 41
— по мере 15
тауберовы теоремы 104
теорема о замкнутом графике 231
— об открытом отображении 230
топологическое линейное пространство
221
тощее множество 221
тригонометрический полином 21 , 59
упрощённые ядра 134
факторнорма 227
факторполунорма 227
факторпространство 227
фактортопология 25
Фату теорема 130
Фейера лемма 64
— пример 191
— ядро 99
Фреше пространство 224
Фубинито 67
функция измеримая на Т 38
— интегрируемая на Т 38
— периодическая 25
— положительно-определённая 177
— — минимальная 182
— полунепрерывная снизу 223
— почти-периодическая 59
Фурье коэффициент 11 , 42
— преобразование 57
—ряд 11

256
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Фурье — Лебега ряд 43
Фурье — Стилтьеса ряд 189
хааровский интеграл 32
Хана — Банаха теорема 233
характер 28
— главный 30
Харди пространства 83
— теорема 106
Хелсона множество 210
Хиршмана лемма 166
— оценка 168
Чезаро метод 13 , 103
— сумма 98
чезаровские средние 36 , 102
BV 135
(С) 133
(5) 133
6-функция Дирака 78

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А = А(Т) 59 , 173
АС 153
А(£) 210
A (Z) 50
BV 46
С 27
CBV 216
С* 26 , 39
Сс (G) 32
c0 = c0(Z) 41
D 43
DN 20 , 97
DN , D*9 D# 134
Д 135
E.\f 122
E^NP) (f) 208
/ , / , /* 43
f 42
f 134
/s 115 , 189
FN 20 , 97
Ф 57
HP 83
LP 39
IP = IP{Z\ 36 , 41
R, T 25
9Nf 122
sa// 81 , 97
n,v/ 98
s*/ 120, 196 , 201
o*/ 120
T 56
Ta 27
T* 21
t^v/ 124
V{f) 46
Vp(<p) 167
x 25
Z 25
©,f 49 , 161
<y 122 , 129
* 65 , 84
И II, 39 , 41
40

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию , » . . 5
Предисловие ко второму английскому изданию ..,.,, , 6
Предисловие 7
ГЛАВА 1
Тригонометрические ряды и ряды Фурье 10
1.1. Возникновение теории тригонометрических рядов и рядов
Фурье 10
1.2. Поточечное представление функций тригонометрическими
рядами 12
1.3. Новые идеи, связанные с представлением функций .... 17
Упражнения 20
ГЛАВА 2
Групповая структура и ряды Фурье 24
2. 1. Периодические функции 24
2.2. Сдвиги функций. Характеры и экспоненты. Интеграл,
инвариантный относительно сдвига 27
2.3. Коэффициенты Фурье и их элементарные свойства .... 42
2. 4. Теорема единственности и плотность множества
тригонометрических полиномов 53
2.5. Замечания о двойственной ситуации 57
Упражнения 59
ГЛАВА 3
Свёртки функций 65
3. 1. Определение и простейшие свойства свёртки 65
3.2. Аппроксимативные единицы для свёртки 75
3.3. Понятие «рупповой алгебры 79
3. 4. Двойаве.шые понятия 80
Упражнения 81
ГЛАВА 4
Гомоморфизмы свё'рточных алгебр , . . 87
4. 1. Комплексные гомоморфизмы и коэффициенты Фурье ... 87
4.2. Гомоморфизмы групповой алгебры . , . , 91
Упражнения . f ,,...,,,,... 95

Оглавление 259
ГЛАВА 5
Ядра Дирихле и Фейера. Суммируемость по Чезаро 97
5. 1. Ядра Дирихле и Фейера 97
5. 2. Принцип локализации 101
5. 3. Замечания относительно суммируемости 102
Упражнения 105
ГЛАВА 6
Суммируемость по Чезаро рядов Фурье и вытекающие из нее следствия 108
6. 1. Равномерная суммируемость и суммируемость в среднем . . 108
6.2. Приложения и следствия теоремы 6.1.1 111
6. 3. Еще о поточечной суммируемости 115
6.4. Поточечная суммируемость почти всюду 117
6.5. Приближение тригонометрическими пслиномами 121
6. 6. Общие замечания о суммируемости рядов Фурье 125
6. 7. Замечания по поводу двойственной ситуации 126
Упражнения 131
ГЛАВА 7
Некоторые специальные ряды и их приложения 133
7. 1. Некоторые предварительные сведения 134
7.2. Поточечная сходимость рядов (С) и (S) 138
7.3. Ряды (С) и (S) в качестве рядов Фурье 141
7. 4. Приложение к изучению пространства A (Z) 149
7.5. Приложение к проблеме факторизации 150
Упражнения 153
ГЛАВА 8
Ряды Фурье в L2 156
8. 1. Свойство минимальности 157
8. 2. Сходимость в среднем рядов Фурье для функций из L2 . . 157
Формула Парсеваля 157
8.3. Теорема Рисса — Фишера 159
8.4. Ещё о проблеме факторизации 161
8.5. Дополнительные сведения об интегральном модуле
непрерывности 161
8.6. О подпоследовательностях последовательности sAr/ .... 164
8. 7. И снова A (Z) 166
Упражнения 169
ГЛАВА 9
Положительно-определенные фу» киии и теорема Бохнера 176
9. 1. Историческая перспектива и содержание главы 176
9.2. Теорема Бохнера 177
9. 3. Другое доказательство формулы Парсеваля 181
9. 4. Другие варианты теоремы Бохнеря 181
Упражнения 182
ГЛАВА 10
Поточечная сходимость рядов Фурье 184
10. 1 Функции ограниченной вариации и признак Жордана . . 185
10.2. Замечания по поводу других критериев сходимости.
Признак Дини 189
10.3. Расходимость рядов Фурье t 190

260 ОГЛАВЛЕНИЕ
10. 4. Порядок роста s#/. Поточечная сходимость почти всюду . 197
10.5. Ещё раз о формуле Парсеваля 203
10.6. Функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье 204
Упражнения 212
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Метрические пространства и теорема Бэра 221
А. 1. Некоторые определения 221
А. 2. Теорема Бэра 221
А. 3. Следствие 223
А. 4. Полунепрерывные снизу функции 223
A. 5. Одна лемма 223
ПРИЛОЖЕНИЕ В
О топологических линейных пространствах 224
B. 1. Предварительные определения 224
В. 2. Принципы равномерной ограниченности 227
В.З. Теоремы об открытом отображении и о замкнутом графике 229
В. 4. Принцип слабой компактности 231
B. 5. Теорема Хана — Банаха 233
ПРИЛОЖЕНИЕ С
Пространство, двойственное к LP (1<;/?< оо) Слабая секвенциальная
полнота L1 235
C. 1. Пространство, двойственное к LP (\^р< оо) 235
С. 2. Слабая секвенциальная полнота L1 237
ПРИЛОЖЕНИЕ D
Ослабленный вариант теоремы Рунге 238
Литература 241
Книги 241
Статьи 245
Работы, имеющиеся на русском языке 250
Именной указатель # . . 252
Предметный указатель 254
Указатель обозначений 257

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании
книги, ее оформлении, качестве перевода
и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й
Рижский пер., д. 2, издательство
«Mhd»
t

Роберт Эдмунд Эдварде
РЯДЫ ФУРЬЕ В СОВРЕМЕННОМ ИЗЛОЖЕНИИ
В 2-х томах
Том 1
Ст. научн. редактор В. И. Авербух
Мл. научн. редактор Р. И. Пяткина
Художник М. Н. Кузьмина
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор В. П. Сизова
Корректор В. С. Соколов
ИБ 4053
Сдано в набор 25.07.84. Подписано к печати 14.01.85.
Формат 60x90Vie- Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Объем 8,25 бум. л. Усл. печ. л. 16,50. Усл. кр.-отт. 16,50.
Уч.-изд. л. 14,77. Изд. № 1/3205. Тираж 12 000 экз.
Зак. 137. Цена 1 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.* 2.
Отпечатано с матриц МПО «Первая Образцовая типография»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств»
полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28
в Ленинградской thiioi рафии JV« 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ченинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.