Анализ временных последовательностей в геофизике - Канасевич Э.Р.

Автор: Канасевич Э.Р.

Теги: прикладная геология и геофизика геологические методы поисков и разведки интерпретация результатов анализ математический анализ издательство недра анализ временных последовательностей в геофизике

Год: 1985

Похожие

История развития теории спектрального оценивания. Статьи. ТИИЭР, том 70, 1982 №9

Спектральный анализ в геофизике

Гравиметрия

Количественная сейсмология. Теория и методы. Том 1

Текст

Э.Р.Канасевич
ализ
временных
последовательностей
в геофизике

Э. Р. КАНАСЕВИЧ
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В ГЕОФИЗИКЕ

Time Sequence Analysis
in Geophysics
Third Edition
E.R. Kanasewich
The University of Alberta Press
1981

Э.Р.Канасевич
Анализ
временных
последовательностей
в геофизике
Перевод с английского
В. Н. Лисина
Редактор перевода
д-р техн. наук О. А. Потапов
МОСКВА „НЕДРА" 1985

УДК 550.834
Канасевич Э. Р. Анализ временных последовательностей
в геофизике. Пер. с англ. В. Н. Лисина. Редактор» пер. д-р техн.
наук О. А. Потапов.—М.: Недра, 1985.—300 с.
Систематизированы способы математической (с помощью
ЭВМ) обработки геофизической информации, проанализированы
последовательности отсчетов данных или наблюдений с целью
определения физических свойств земных недр. Рассмотрены
свертки временного ряда, преобразования Фурье, функции кор-
корреляции и ковариации, спектры мощности, методы максимальной
энтропии, деконволюции, полосовые и поляризационные фильтры.
Основное внимание уделено раскрытию физической сути вопро-
вопросов.
Для геофизиков производственных и научных организаций,
занимающихся обработкой сейсмических материалов.
Табл. 9, ил. 243, список лит.— 491 назв.
Книга рекомендована к переводу д-ром техн. наук О. А. По-
Потаповым и д-ром физ.-мат. наук Г. Я. Гогоненковым
Э. Р. Канасевич
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В ГЕОФИЗИКЕ
Редактор издательства Т. И. Борушко
Переплет художника О. ВДамаева
Художественный редактор В. В. Ш у т ь к о
График-иллюстратор С. И. Е р о х и н
Технический редактор Н. В. Жидкова
Корректоры Т. М. Столярова, С. В. Зимина
ИБ № 5838
Сдано в набор 04.10.84. Подписано в печать 26.03.85.
Формат 60X90'/ie. Бумага кн. журнальная. Гарнитура «Литературная».
Печать высокая. Усл. печ. л. 25,0. Усл. кр.-отт. 25,0. Уч.-изд. л. 24,05.
Тираж 2550 экз. Заказ 4/141—3. Цена 1 р. 90 к.
Ордена «Знак Почета» издательство «Недра»,
103633, Москва, К-12, Третьяковский проезд, 1/19.
Ленинградская типография № 8 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
© The University of Alberta
Press, 1981
1903010000—220 © Перевод на русский язык,
043@1)— 85 издательство «Недра», 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ
Анализ временных последовательностей широко приме-
применяется при научных и производственных исследованиях строе-
строения земных недр. На каждом геофизическом предприятии орга-
организуются учебные курсы по данному предмету. В предлагаемой
для геофизиков книге собран воедино и систематизирован ма-
материал из множества источников. Предполагается, что геофизик
владеет физико-математическими знаниями на уровне студента
выпускного курса или аспиранта. К настоящему времени опуб-
опубликовано множество книг, в которых освещаются различные
вопросы рассматриваемого предмета. Характер изложения ма-
материала в этих книгах разнообразен. Одни из них целиком по-
посвящены отдельной проблеме, например деконволюции, другие
написаны либо на весьма элементарном уровне в расчете на
техников или специалистов в иной отрасли знаний, например
в геологии, либо доступны лишь высококвалифицированным
научным работникам. Приняв во внимание успех, которым
пользовались первые два издания, было решено сохранить
прежним математический уровень изложения этого быстро раз-
развивающегося научного направления. В третье издание вклю-
включены многие из новейших разработок, появившихся одновре-
одновременно с написанием предыдущего издания данной книги. На-
Наряду с этим в нем сохранены важные разделы, совершенно не-
необходимые для понимания сути рассматриваемых вопросов.
Данная область науки названа анализом временных после-
последовательностей на том основании, что многие из ее практиче-
практических приложений связаны с волновыми процессами, изменяю-
изменяющимися во времени. Характер связей между последовательно-
последовательностью отсчетов или сигналов позволяет в ряде случаев определить
строение и физические свойства исследуемой среды. Не-
Некоторые из процессов, участвующих в формировании наблюден-
наблюденных данных, по природе детерминированные, другие — случай-
случайные. Время возникновения волнового импульса часто известно,
а иногда является величиной, которую нужно найти. Понятие
временной ряд обычно употребляется при исследовании слу-
случайных процессов либо для обозначения таких данных, чьи
свойства не зависят от переноса начала временной координаты.
В книгу включены опубликованные результаты различных
исследователей и сделаны ссылки на их работы. В течение по-
последних десяти лет на базе данной книги читались два курса
лекций, рассчитанных один для студентов-выпускников, другой
для аспирантов. Цель настоящей книги — изложение основ циф-
цифровой обработки геофизических и других экспериментальных
данных, где до сих пор ведутся активные исследования. Автор

надеется, что рассмотренные в книге вопросы окажут помощь
геофизикам при чтении современной технической литературы.
Читатели, знакомые с предыдущими изданиями, обнаружат
большое сходство рассмотренных вопросов, но в то же время
большинство глав подверглось существенной переработке. Осо-
Особенно это касается глав, посвященных быстрому преобразова-
преобразованию Фурье, функциям корреляции и ковариации, расчету энер-
энергетических спектров, максэнтропийному анализу, деконволюции,
полосовым и поляризационным фильтром. В учебных целях
текст дополнен несколькими программами машинной обработки,
причем некоторые из них публикуются впервые. При этом ос-
основное внимание уделяется разъяснению физического смысла
понятий, а не развитию техники манипулирования подпрограм-
подпрограммами. Написаны новые главы, посвященные цифровой регистра-
регистрации, преобразованиям Уолша и уплотнению данных, преобразо-
преобразованиям Гильберта, спектрам второго порядка, гомоморфной де-
деконволюции и линейным методам решения обратной задачи.
Курс для студентов охватывает главы 1—3, 6—9, 13—15 и 21.
Для аспирантов вначале дается обзор преобразований Фурье,
Лапласа, Гильберта и Уолша, а затем подробно рассматри-
рассматривается спектральный анализ (главы 6—12). После этого реко-
рекомендуется заняться рассмотрением фильтрации и деконво-
деконволюции.
Весь текст, включая математические уравнения, набран
с помощью ЭВМ по алгоритму, составленному автором. В этой
работе автору оказали помощь Дейв Холберт, Эд Гремз,
Джеймс Димянив, С. Г. Макклучан, всем им хочется выразить
признательность.
Я многим обязан своим коллегам за предложения и мораль-
моральную поддержку, а профессору Ф. Абрамовичу — за консульта-
консультации по способам решения обратной задачи. Я высоко ценю
письма и замечания читателей, но их так много, что невозможно
перечислить в данном предисловии. Я хотел бы отметить по-
помощь студентов, слушающих мои лекции, аспирантов, среди
которых следует упомянуть К. Д. Хеммингса, Дж. Ф. Монтал-
бетти, К. Ф. Спренке, Дж. Манна, а также докторов наук
Р. Дж. Агарвала, Т. Алпаслана, Р. М. Клауза, П. Р. Г. Гутов-
ского, А. С. Бейтса, Дж. Хавскова и Д. К. Генли.
Физический фак-т Э. Р. Канасевич
Альбертский университет
Эдмонтон, Канада

ГЛАВА 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. Исторический очерк
Анализ временных последовательностей заключается в вы-
выделении полезного сигнала на фоне случайных шумов и помех
и в последующем изучении статистического распределения
и временных закономерностей между выделенными полезными
сигналами. При таком анализе обычно используются инте-
интегралы Фурье, функции авто- и взаимной корреляции, энергети-
энергетические спектры, операции свертки или фильтрации. Благодаря
быстродействию и удобству использования цифровых вычисли-
вычислительных машин наибольшее распространение получил анализ
сигналов в дискретной форме, т. е. в виде временного ряда
либо временной последовательности. Временной ряд можно
изобразить вектором-строкой, чьи коэффициенты обычно ве-
вещественны, но могут быть и комплексными функциями вре-
времени или пространства
Х = (Х\, Х2, . . ., Хп). A.1.1)
Теоретические основы исследования характеристик времен-
временных рядов были разработаны независимо друг от друга Н. Ви-
Винером [475, 476] и А. Н. Колмогоровым [243]. Они разработали
теорию гармонического анализа временных функций, имеющих
бесконечную длительность. Поскольку подобные сигналы не от-
относятся к классу периодических или переходных (неустановив-
(неустановившихся), их нельзя исследовать непосредственно с помощью
рядов или интегралов Фурье. Особый интерес представляет по-
полученное ими соотношение, аналогичное уравнению Эйлера—
Лагранжа из вариационного исчисления и называемое уравне-
уравнением Винера—Хопфа [477]. Оно является решением интеграль-
интегрального уравнения и описывает оптимальный линейный фильтр,
с помощью которого можно выделять полезные сигналы при
условии, что форма искомого (полезного) сигнала задана, а на
вход фильтра подается осложненный помехой сигнал.
Из более поздних исследований, имеющих особое значение
для геофизики, отметим работу Р. Блекмана и Дж. Тьюки по
вычислению энергетических спектров [55] и предложенный
Дж. Бургом спектральный анализ методом максимальной
энтропии [83] (максэнтропийный спектральный анализ). В раз-
развитии цифровой фильтрации не были оценены по достоинству
выполненные впервые В. Гуревичем исследования свойств г-пре-
образований [208]. Следует отметить введение таких понятий,
как минимально-фазовый и минимально-задерживающий [362]

операторы; фильтры обратной свертки (деконволюции) [356];
рекурсивные фильтры [174], а также внедрение в практику
алгоритмов быстрого преобразования сейсмозаписей [113]. За-
Заметным событием в развитии методов цифровой обработки яви-
явилось создание теории многоканальной цифровой фильтрации
Э. Робинсоном, Р. Уиггинсом и С. Трейтелом [363, 437, 481].
Важным вкладом в решение обратной задачи явилась разра-
разработка Д. Буром [64, 65] и Дж. Клаербоутом [103] методов рас-
расчета волновых полей с использованием конечных разностей.
Для исследования усложненных моделей А. Трори [445]
и Ф. Хилтерман [204] предложили использовать принцип Гюй-
Гюйгенса для численного решения уравнения Гельмгольца.
Ранее А. Шустер изобрел метод периодограммного анализа
с целью отыскания скрытых периодичностей в метеорологиче-
метеорологических и экономических данных. Предложенный метод позволял
определять энергетические спектры путем фурье-анализа. По-
Получаемая периодограмма имела весьма нерегулярный вид, так
как при ее вычислении не применялось сглаживание с помо-
помощью спектральной весовой функции. Дисперсия спектральной
плотности не зависит от величины выборки, поэтому увеличение
числа наблюдений не уменьшает ее. Дж. Тейлор [428], изучая
изменения атмосферного давления, ввел в 1920 г. функцию
автокорреляции
[XffiJ , A.1.2)
где квадратными скобками обозначено суммирование. Он пока-
показал, что функция автокорреляции всегда четная, и применил ее
для исследования диффузии, возникающей при турбулентном
движении жидкости. Н. Винер определил функцию автокорреля-
автокорреляции, не прибегая к нормирующему множителю в знаменателе:
т
a(L)= lim BГГ1 ( x{t)x(t + L)dt. A.1.3)
Он придал математическую строгость всем предшествующим
работам по гармоническому анализу и сформулировал много
важных теорем, оказавшихся полезными при создании оптималь-
оптимальных фильтров. Особо важным было открытие им того факта,
что функция автокорреляции и энергетический спектр являются
взаимными фурье-преобразованиями.
1.2. Применение методов анализа временных
последовательностей
Самые ранние примеры эффективного использования энер-
энергетических спектров относятся к физической океанографии
и впервые опубликованы в работах [34, 35], которые затем
8

обобщены в работе [300]. В одном из опытов на дне океана
у побережья Калифорнии была помещена трехэлементная си-
система датчиков давления с цифровой регистрацией. Флуктуации
давления экспоненциально уменьшаются с ростом отношения
толщины водного слоя к длине волны. Поэтому водный слой
можно рассматривать как фильтр, ослабляющий короткие
волны, которые возникают на месте наблюдений от прибоя.
По каждой паре записей вычислялся комплексный взаимный
спектр, а по последнему — направление подхода и фазовая ско-
скорость поверхностных волн, порожденных далекими штормами.
В некоторых случаях с помощью спектрального анализа уда-
удавалось обнаружить волны, которые образовались на расстоянии
до 14 000 км и были вызваны штормами в Индийском океане.
Амплитуда волн в месте регистрации могла составлять всего
1 мм, в то время как длина волны достигала 1 км. Подобные
волны обнаруживались путем исследования нестационарности
наблюдаемых временных рядов. На энергетических спектрах
многих записей длительностью 4 ч каждая был обнаружен
пик, соответствующий данной волне. С течением времени ча-
частота обнаружения пика возрастала, что служило указанием
на дисперсный характер волнового цуга. Теоретическая группо-
групповая скорость определяется соотношением
U = g/4nf9 A.2.1)
где / — частота появления пика.
Чем длиннее волна, тем быстрее она движется. Расстояние,
которое прошла волна, можно найти по разности времен реги-
регистрации волн различной длины. График плотности энергии изо-
изображен на рис. 1.1, заимствованном из работы [300]. Линиями
соединены точки с равными значениями log?. Изолинии про-
проведены через одинаковые интервалы значений log?(f, t)> при-
причем утолщенные изолинии соответствуют 0,01, 0,1, 1,0 и
10 цикл/кс. По оси абсцисс отложены числа мая 1959 г.
На графике «гребни» соответствуют вступления диспергирую-
диспергирующих волн, исходящих из одиночного источника, расположен-
расположенного на расстоянии А по большому кругу в направлении 0, от-
отсчитываемом по часовой стрелке от направления на географи-
географический север. Наклон гребней обратно пропорционален расстоя-
расстоянию от источника. Для каждой из пяти гребневых линий
A—5) вычислены направление на источник 8 и расстояние по
большому кругу А: 1) А = 84°, 9 = 228°; 2) Д=92°, 0 = 192°;
3) А=96°, 0 = 220°; 4) А = 113°, 0 = 215°; 5) А = 102°, 0 = 197°.
Дата появления первого «гребня» совпадает со временем
шторма, перемещавшегося южнее Новой Зеландии, т. е. вдоль
заштрихованной полосы на рис. 1.2. На рис. 1.2 [300] кроме
карты атмосферного давления нанесены субгоризонтальные
отрезки 0 больших кругов, азимуты которых равны 240, 230,
220, 210° от о-ва Сан-Клементе, и субвертикальные отрезки А,

характеризующие расстояние от источника до точки наблюде-
наблюдения. Расчетное местоположение источника на 12 мая 1959 г.
показано зачерненным квадратиком. Рассмотренный пример
свидетельствует об эффективности спектрального анализа
и в случае нестационарных временных рядов, поскольку эти
волны были обнаружены лишь благодаря ярко выраженной
f, цикл/кс
90
20
10 -
12 13
15 16 77 18 10 20 21 22 23 2U 25 t
Рис. 1.1. Изолинии плотности энергии ?(/, /) на плоскости с ко-
координатами /, /
нестационарности наблюдений. Примером эффективного при-
применения спектрального анализа служит и обнаружение сво-
свободных колебаний Земли. Теоретическая формулировка этой
задачи для однородной сферы была выполнена М. Ламэ [259],
Л. Кельвином [237] и Г. Лэмбом [257]. А. Ляв [279] решил
задачу для случая однородной сферы тех же размеров
и массы, что и Земля, приняв во внимание силу тяжести
и сжимаемость. Он получил значение периода колебаний для
10

самой низкой моды о5г, равное 60 мин. Свободные колебания
описываются главным образом сферическими гармониками
S?= eim°PT (cos в), A.2.2)
где Р — присоединенный полином Лежандра; в — дополнение
широты до 90°; Ф — долгота; / — угловая степень; т=—1, ...,
+/ — угловое порядковое число.
120 В
180 3
70
120°Ъ 130°д М*Ъ 150°Ъ Ю0°Ъ ПО°Ъ 1303 60* ПО°Ъ 50" 150*3
kO Ю
Рис. 1.2. Карта атмосферного давления по метеоанализу в южной части
Тихого океана
Число узловых поверхностей задается радиальным поряд-
порядковым числом /г. Колебания, имеющие радиальное смещение,
называются сфероидальными и обозначаются символом riS™.
Колебания, имеющие только горизонтальную составляющую,
для которой дилатация всегда равна нулю, называются кру-
крутильными (тороидальными) и обозначаются пТ?. Порядковое
число m обычно опускается, так как в случае невращающейся
среды частота cojn не зависит от значений 21+1. Основные моды
получаются при я = 0. Самая низкая мода 0S2 названа упругой,
так как она описывает деформации Земли, попеременно пере-
переходящие от сжатого сфероида до вытянутого и обратно. Ампли-
Амплитуды мод определяются механизмом источника землетрясения,
возбуждающего свободные колебания.
Г. Беньоф [45] выделил волну с периодом около 57 мин,
зарегистрированную сейсмостанцией Изабелла в Калифорнии,
в результате Камчатского землетрясения 1952 г. силой
8,25 балла. Надежное распознавание мод свободных колебаний
11

стало возможным лишь после того, как массовые численные
расчеты были распространены на случай слоистой сфериче-
сферической Земли. Последнее условие было выполнено к моменту
следующего крупного землетрясения 22 мая 1960 г. в Чили.
Запись Чилийского землетрясения магнитудой 8,25 с помощью
высокоточного гравиметра была подвергнута энергетическому
анализу (рис. 1.3). На рис. 1.3, заимствованном из работы
[304], сопоставляются неотфильтрованные энергетические
спектры гравиметрических записей, полученных в течение 110 ч
сразу же после землетрясения (кривые /, 3) и в течение 116 ч
в спокойный период в конце июня 1960 г. (кривая 2). Изуча-
Изучались также наблюдения с помощью датчиков деформации и ма-
маятниковых сейсмографов [46, 11, 304J. Теоретическими расче-
расчетами [11] было доказано существование более 70 мод свобод-
свободных колебаний.
В работе [46] приведен фактический материал, где некото-
некоторые из спектральных линий расщеплены. На рис. 1.4 показано
явление расщепления энергетического спектра моды S2, кото-
которое получено в результате обработки отрезка A6000 мин)
записи колебаний, возникших после Чилийского землетрясения.
Период первого пика равен 54,7 мин, период второго — 53,1 мин.
С. Пекерис [336] предположил, что расщепление спектральных
линий объясняется вращением Земли. Это предположение ка-
кажется весьма правдоподобным, так как еще Г. Лэмб [258] по-
показал теоретически, что во вращающемся круглом сосуде с водой
волны, движущиеся в направлении вращения, имеют боль-
больший период по сравнению с волнами, движущимися в противо-
противоположном направлении. Самую трудную задачу теории свобод-
свободных колебаний вращающейся Земли решили Дж. Бакус
и Дж. Джилберт [26]. Для сфероидальной моды частотный ин-
интервал между спектральными линиями определяется соотно-
соотношением
Асо = рл/й/п, A.2.3)
где Q — угловая скорость вращения Земли, а Р—сложная ин-
интегральная функция, описывающая изменение поля смещений
от центра Земли до ее поверхности. Предсказанные в работе
[26] значения периодов равны 52,33; 53,10; 53,89; 54,71
и 55,55 мин соответственно для /п = 2, 1, 0, —1, —2. Поскольку
по наблюденным данным (см. рис. 1.4) выделяются спектраль-
спектральные линии на 54,7 и 53,1 мин, то исследователи предположили,
что возбуждены преимущественно волны с периодами для т =
= ±1, а это можно объяснить, если предположить наличие
вертикального источника землетрясения. Интересно, что неза-
независимое подтверждение факта вращения Земли вокруг своей
оси получено в результате довольно замысловатых наблюдений
над сфероидальными колебаниями, вызванными крупным зем-
землетрясением.
12

Значимые свободные колебания наблюдались после двух
землетрясений: Аляскинского 24 апреля 1964 г. магнитудой 8,4
F, мкГал2/цикл
10
10
ю и 12 13 т
Рис. 1.3. Энергетические спек-
спектры гравиметрической записи
Чилийского землетрясения
Рис. 1.4. Запись деформаций
на станции Изабелла Чилий-
Чилийского землетрясения в мае
1960 г.
и Колумбийского 31 июля 1970 г. магнитудой 7,2. В результате
их обработки получено много детальных сведений о скоростях
распространения волн, плотностях и поглощающих свойствах
13

Рис. 1.5. Наблюденные сфероидаль-
сфероидальные и крутильные составляющие сво-
свободных колебаний, возникших после
Аляскинского землетрясения 28 марта
1964 г.:
/ — радиальные моды; 2 — основные сфе-
сфероиды; 3—5 — сфероидальные максимумы,
соответственно 1—4-го порядков; 7 —тан-
—тангенциальные моды
1 2 3 k 5 6 7
(добротности Q) внутренних
частей Земли. А. Дзивонский
и Ф. Джилберт [139] оконча-
окончательно установили,что внутрен-
внутреннее ядро радиусом 1229 км
твердое, с высоким коэффи-
коэффициентом Пуассона @,44) и
средней скоростью распростра-
распространения поперечных волн, рав-
равной 3,6 км/с. Последнее зна-
значение было до того времени
неизвестным. Эти выводы ос-
основываются на результатах
спектрального анализа сейсмограмм, зарегистрированных на
84 сейсмических станциях, входящих во Всемирную стандартную
сеть (рис. 1.5).
По объемным волнам было трудно получить усредненную
модель Земли, так как эти волны возникают в аномальном
поясе землетрясений и регистрируются в пределах коры конти-
континентального типа, строение которой отличается от строения
коры океанического типа. Проанализировав запись (в течение
67 ч) свободных колебаний после Колумбийского землетрясе-
землетрясения, А. Дзивонский и Ф. Джилберт получили улучшенную мо-
модель Земли, поскольку волны свободных колебаний многократно
прошли сквозь Землю и более равномерно отразили ее внут-
внутреннее строение. Они пришли к заключению, что используе-
используемые модели содержали ошибки во временах пробега, состав-
составляющие 4 с для поперечных и 2 с для продольных волн.
Определение физических свойств внутри Земли по наблюде-
наблюдениям на земной поверхности называется обратной задачей гео-
геофизики. С позиций анализа временных рядов она сводится
к отысканию оптимального решения по множествам неточных,
грубых геофизических данных. Предложено три метода решения
обратной задачи геофизики: 1) метод Монте-Карло, 2) метод
подбора и 3) обобщенный линейный метод.
14

Метод Монте-Карло предложен Ф. Прессом и С. Бихлером
[347] в США и несколькими группами исследователей в СССР
[23, 86, 271]. Метод основан на случайном поиске приемлемых
моделей с помощью больших ЭВМ. Ф. Пресс использовал этот
метод наиболее широко, проверив 5 млн. моделей на фактиче-
фактическом материале, включающем 97 значений периодов свободных
колебаний, времена пробега продольных и поперечных волн,
массу и момент инерции Земли. Всей совокупности наблюден-
наблюденных данных удовлетворили шесть довольно похожих друг на
друга моделей.
Метод подбора предложен В. Валусом [459] и кратко опи-
описан в работах [236 и 271]. Выбранные N параметров (скорости,
плотности, мощности слоев и т. п.) вместе с верхней и нижней
границами значений параметров и шагом перебора определяют
М-мерную сеть, узлы которой являются возможными моделями
среды. Исходная приемлемая модель находится методом Мон-
Монте-Карло, последующие модели получаются в результате плано-
планомерного поиска. Под руководством Л. Кнопова и В. Кейлис—
Борока составлена программа, позволяющая учитывать сведе-
сведения об объемных и поверхностных волнах. Одна из современных
версий этой программы реализована Э. Ниландом в Кембридж-
Кембриджском и Альбертском университетах. Метод подбора наиболее
перспективен для решения некорректно поставленных задач,
включая задачу о гетерогенной среде. Этот метод может ока-
оказаться весьма емким в отношении машинного времени, если не
пользоваться диалоговым режимом через графический вывод.
Третий, самый эффективный метод решения обратной за-
задачи— обобщенный линейный метод, развитый Дж. Бакусом
и Дж. Джилбертом в блестящих, но сложных статьях [27, 28,
29]. Более ясное изложение сути метода дано в работах [222,
326, 412, 479]. Теория метода имеет много общего с обобщен-
обобщенными уравнениями деконволюции [356], согласно которым
квадрат разности между полезным и фактическим сигналами
на выходе фильтра минимизируется путем приравнивания
к нулю частных производных по коэффициентам фильтра. Возь-
Возьмем совокупность h модельных значений At и п наблюдений О/.
Модель рассчитана с учетом множества т параметров модели
Mi. Требуется минимизировать разность между наблюденными
и расчетными значениями. Одно из существенных условий за-
заключается в том, что исходная модель известна нам доста-
достаточно хорошо. В этом случае становится возможным линеари-
линеаризовать задачу, разложив расчетные значения в ряд Тейлора
и отбросив члены со степенями 2 и больше:
Ew /=1,2,...,л. A.2.4)
Неизвестные поправки ДМ* в параметры модели находятся
путем решения системы п линейных уравнений. Для этого не-
15

on Рис. 1.6. Модель образования общей
то woo 500 Ж юоо 1500 х,и глубинной точки на сейсмическом
разрезе в случае горизонтально-слои-
горизонтально-слоистой среды:
/ — подошва ВЧР; 2—4— отражающие гра-
границы и соответствующие им годографы
отражений, R — расстояние от пункта
взрыва до пункта приема.
WOO
700
300
ПВ
обходимо образовать матрицу
размером mXn, состоящую из
отношений бесконечно малых
изменений в модели д бес-
бесконечно малым изменениям
в данных. Упомянутые выше
сведения о нормальных модах
\]г о)ц о,б о,8 10 12 i\ },t> \ с свободных колебаний были
; ' использованы в работах [14,
169] для разработки новых
моделей Земли с уточненными скоростями волн Р и S и твердым
внутренним ядром.
Анализ временных последовательностей значительно изме-
изменил способы обработки и интерпретации геофизических данных
при поисках полезных ископаемых. Едва ли не самой первой
в этом направлении была работа [465], выполненная сотрудни-
сотрудниками группы геофизического анализа Массачусетского техноло-
технологического института. Пожалуй наиболее удачное применение
этот анализ нашел в методе отраженных волн. При работах
этим методом'регистрируются упругие волны, возбуждаемые
взрывами, падающие на границы раздела слоев под углами,
близкими к нормальному, и отражающиеся от них. К настоя-
настоящему времени геофизическими компаниями выполнен большой
объем работ по изучению глубинного геологического строения
нефтегазоперспективных осадочных бассейнов методом отражен-
отраженных волн, обладающим высокой разрешающей способностью.
С помощью цифровой фильтрации и корреляции цифровых
записей достигнуто такое увеличение отношения сигнал/помеха,
что стало возможным вести поиски даже стратиграфических
ловушек углеводородов.
Анализ временных последовательностей применяется также
для автоматического определения скоростей распространения
сейсмических волн. Возможность определения скоростей с по-
помощью ЭВМ была исследована в работе [393] для метода об-
общей глубинной точки (ОГТ), предложенного У. Мейном [285]
в 1962 г. При наблюдениях по схеме ОГТ (рис. 1.6) пункты
взрыва и приема располагаются симметрично относительно
центральной точки, поэтому сейсмические лучи отраженных волн
имеют общую глубинную точку отражения. Регулярная (коге-
16

рентная) сейсмическая волна, отраженная от глубинной гра-
границы, опознается на сейсмограмме путем вычисления функции
Рис. 1.7. Суммирование записей с постоянными скоростями
взаимной корреляции между всеми трассами. Значения скорости
определяются по временным сдвигам, которым соответствуют
максимумы меры когерентности, т. е. функции взаимной корре-
ляции. На рис. 1.7 и 1.8 приведены примеры определения скоро-
2 Заказ № 4
17

стей по графику зависимости коэффициентов взаимной корреля-
ции трасс от времени пробега отраженной волны по нормали
7,5 2,4 3,3 Ut2 5,1 1*ср,км/с
Рис. 1.8. Использование статистически нормиро-
нормированной функции взаимной корреляции в качестве
меры когерентности
к отражающей границе [296]. Зная скорость, можно вычислить
глубину залегания отражающего слоя. Можно также построить
стратиграфический глубинный разрез, картируя изменения ин-
интервальной скорости в плоскости разреза.
18

15
20
Л ГЦ
в г
№ 800 3000Q 6,4_Um\z 7,2 8,0 №км/с
В последующих главах
будут рассмотрены много-
многочисленные примеры, иллю-
иллюстрирующие эффективность
различных способов филь-
фильтрации. Здесь же приведем
еще несколько примеров
анализа временных после-
последовательностей (по геофи-
геофизическим материалам Аль-
бертского университета).
Они показывают возмож-
возможность использования мето-
методов математической стати-
статистики для исследования раз-
различных физических ситуа-
ситуаций с целью расчета волн
и полей.
Несмотря на то что к на-
настоящему времени отрабо-
отработано огромное количество
сейсмических профилей
MOB, способы определения
природы отражающих гори-
горизонтов потока развиты очень
слабо. В работе [108] срав-
сравнивались энергетические
спектры реальных отраже-
отражений от подошвы земной коры
и синтетических сейсмо-
сейсмограмм, рассчитанных для
различных моделей. На
рис. 1.9 изображены резуль-
результаты сопоставления спект-
спектров для двух вариантов чередования пластов с высокими и низ-
кими скоростями. Модели с линейными градиентами скоростей
не согласуются с наблюденными данными по меньшей мере на
один порядок.
Методика автоматического определения простираний магнит-
магнитных аномалий с помощью ЭВМ, основанная на расчете двухмер-
двухмерных функций взаимной корреляции, изложена в работе [3].
Функции взаимной корреляции вычисляются следующим обра-
образом: сначала каждая матрица значений двухмерного поля пере-
переводится в волновую область с помощью алгоритма быстрого
преобразования Фурье, затем над ней выполняются соответст-
соответствующие операции умножения, результат которых подвергается
обратному преобразованию. Методика опробована на материа-
материалах, полученных на площади Стоуни Рапиде в провинции Саска-
35,0
Н,т
Рис. 1.9. Сравнение энергетических спек-
спектров, вычисленных по интервалам B с),
центрированным относительно двух от-
отражений на полевых A) и синтетических
B) сейсмограммах:
а —спектр записи, усредненный по шести
трассам; б —график изменения затухания Q
с глубиной; в, г — скоростные характеристики
переходных зон в кровле отражающих гори-
горизонтов
19

чеван. Простирания магнитных аномалий трассировались путем
аппроксимации максимальных коэффициентов корреляционной
матрицы многочленом третьей степени по способу наименьших
квадратов (рис. 1.10).
Согласно уравнению, полученному первоначально Пуассо-
Пуассоном, потенциалы гравитационного U и магнитного V полей свя-
107 00
юзов
707*00'
ffl°05r
Рис. 1.10. Простирания магнитных аномалий на одной из площадей провинции
Саскачеван (Канада)
заны с плотностью р и интенсивностью намагничения /:
/ dU
V =•
dv
A.2.5)
где G — гравитационная постоянная; v — направление магнит-
магнитной поляризации.
Необходимые операции дифференцирования очень просто
выполняются в области волновых чисел. Данная методика вы-
вычисления теоретического псевдомагнитного поля ZT предложена
в работе [230]. Теоретическое поле можно сопоставить с факти-
фактически наблюдаемым магнитным полем Zo.
20

Оценка значимости подобного сопоставления для каждой
пары длин волн (Х\у Яг) производится с помощью функции ко-
когерентности
"Ч12, A.2.6)
7Л,км
Рас, ML Мера когерентности К в изолиниях как функция длины волны
для района аномалии Стоуни Рапиде на севере провинции Саскачеван
где СР (Zo, ZT)— взаимный энергетический спектр двух мно-
множеств данных; P(Zo) и Р (ZT) — энергетические спектры. Опро-
Опробование на гравимагнитных данных для участка Стоуни Ра-
Рапиде показало высокую когерентность для большинства длин
волн (рис. 1.11). Поэтому появилась возможность использовать
уравнение A.2.5) для определения отношения интенсивности
намагничения к плотности пород, вызывающее аномальные
поля. Найденные значения отношения изображены на рис. 1.12.
21

Они в общем соответствуют значениям отношения //р, харак-
характеризующим основные горные породы. Отсюда был сделан вы-
вывод о том, что полученные значения скачка плотности и намаг-
намагничения соответствуют норитам и родственным им породам ос-
основного состава, которые на исследуемой площади выходят на
поверхность.
150
700
50
W ,усл.е9.
-
-
-
i
•
•
•
•
•
•
• •
•
• x. * •
:*. •' .
*.?•*;.;.
•
• •* о
о
:
у • .* • °и. • ! " • о
5 | о \0;5<К<0,7 | » |/Г>Д;
cr. 7.J2. Расчетные значения отношения //р для района Стоуни Рапиде
провинции Саскачеван
Альбертский и Техасский университеты в рамках совмест-
совместной программы провели на Юго-Западе США исследования гео-
геомагнитного поля по сети 46 станций, оснащенных магнитными
вариометрами Гуга. На рис. 1.13 показана карта результатов
преобразования Фурье полевых записей, на которой изолиниями
изображены спектральные амплитуды вертикальной составляю-
составляющей магнитного поля. Значения изолиний теплового потока
(прерывистые линии) равны 1,5 и 2,0 мккал/(см2-с). Точками
обозначены стоянки вариометров. Отмечается приуроченность
повышенных значений вертикальной составляющей магнитного
поля к восточным частям положительных аномалий теплового
потока [354]. Модель, предложенная в работе [344], объясняет
эту корреляцию. Согласно модели предполагается наличие
в верхней мантии высокопроводящих слоев, благодаря которым
22

изотерма в 1500°С испытывает подъем. Конечно, такая модель
не единственная, но вытекающие из нее предположения об уча-
участии верхней мантии в горообразовании, а также о большой
длительности процесса достижения современного состояния
равновесия вполне убедительны.
Рис. 1.13. Изолинии спектральных амплитуд для периода Г«60 мин вертикаль-
вертикальной составляющей геомагнитного поля во время магнитной бури 1 сентября
1967 г.:
I—VIII — соответственно штаты Индиана, Невада, Юта, Аризона, Вайоминг, Колорадо,
Нью-Мексико
Можно привести множество других примеров использования
анализа временных последовательностей при обработке элек-
электромагнитных полей. При определении кажущегося сопротивле-
сопротивления земной толщи по магнитотеллурическим данным [89] су-
существенная роль отводится спектральным оценкам. Спектраль-
Спектральный анализ используется также и в астрофизике [379] с целью
определения поляризационных характеристик источников энер-
энергии и полей, связанных с плазмой в ионосфере.
23

ГЛАВА 2
СВЕРТКА ВРЕМЕННОГО РЯДА
2Л. Введение
Регистрируемый в процессе эксперимента сигнал является
результатом воздействия на исходный импульс исследуемой
среды и измерительной аппаратуры. Процесс изменения си-
сигнала можно считать процессом фильтрации, суть которого опи-
описывается на языке математики уравнением свертки. Поскольку
операция свертки лежит в основе всего анализа временных
последовательностей, рассмотрим ее в приложении в дискрет-
дискретным данным.
Физический смысл операции свертки особенно просто рас-
раскрывается на примере свертки дискретных сигналов. Тем не ме-
менее необходимо дать представление о более полной операции
свертки непрерывных сигналов, что и будет сделано позднее.
В этом разделе мы будем изучать сигналы, равные нулю до
некоторого начального момента и стремящиеся к нулю по мере
беспредельного увеличения времени. Другими словами, подра-
подразумевается, что интеграл квадрата любого сигнала (его энер-
энергия) конечен:
Е= J [*(*)]*<«< оо. B.1.1)
—оо
В случае дискретных сигналов
Z °°. B.1.2)
Если х(t) — изменяющееся во времени напряжение на ак-
активном сопротивлении /?, то рассеянная мощность
P = E/R. B.1.3)
Дискретные данные х=(..., х-г, #-i, #o, х\, *2, ...) можно
пропустить через линейный оператор или фильтр вида
П7 ( ш W . Wn W, W* \
и получить на выходе у. Необходимое и достаточное условие
устойчивости такого оператора имеет вид
Z \Wt\ <оо. B.1.4)
t saa—ОО
24

Доказательство неравенства B.1.4) (см. приложение 6)
приведено в работе [208]. Однако для временного ряда обычна
достаточно соблюдения более слабого условия
Z \Wt\2<oo. B.1.5)
t=—oo
Оно обеспечивает сходимость в среднем результата свертки
последовательности случайных переменных х.
На выходе предложенного фильтра получаем свертку после-
последовательности х с W:
Vl = M f WtxL-t, B.1.6)
t ев—ОО
где в дальнейшем будем полагать At=l. Эта операция записы-
записывается в сокращенном виде, как
y = W*x. B.1.7)
Рассмотренный выше фильтр нереализуем, так как для его
действия требуется знание всех прошедших и будущих значений
данных.
Более обычна ситуация, когда количество анализируемых
данных конечно. Так, если временной ряд содержит п+1 отсче-
отсчетов, то это значит, что все значения до и после рассматривае-
рассматриваемой последовательности полагаются равными нулю:
х = (..., 0, 0, х0, хи х2, . . ., хп. 0, 0, . . .).
Можно сконструировать односторонний линейный оператор,
называемый импульсной реакцией фильтра,
W = (. . ., 0, 0, Wo, Wu W2, . . ., Wm> О, О, . . .).
Он называется так потому, что при подаче на вход такого
фильтра единичного импульса или дельта-функции Дирака на
выходе получим именно импульсную реакцию. В случае дис-
кретизованных данных эквивалентной функцией является еди-
единица-импульс, называемый иногда сигма-функцией [250J:
... 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, . . .-+W-+0, 0, 0, 0, WOi Wu...
..., wmt о, о...
Односторонний фильтр реализуем, так как он воздействует
только на прошедшие данные и в отличие от фильтра B.1.6)
не нуждается в будущих значениях:
#о> *1» • • м Xn^*-W09 1у1э . . ., Vvm~-*- r/ot Уи • • •! Ут + п»
На выходе такого фильтра получаем свертку у = W*x:
n. B.1.8)
25

Свертку можно считать либо интегрированием согласно
уравнению B.1.8), либо одной из двух геометрических опера-
операций, либо алгебраическим преобразованием. Поясним сказан-
сказанное на примерах.
2.2. Свертка как численное интегрирование
Пусть на вход фильтра (рис. 2.1) с импульсной реакцией
W=4, 2, 1 подан элементарный волновой импульс х=B, О,
Рис. 2.1. Свертка волнового импульса с помощью импульсной реакции:
а — входной сигнал; б — импульсная реакция фильтра; в — сигнал на выходе
—1). Согласно уравнению B.1.8), на выходе получим:
y = xW = 8;
у = (8, 4, -2, -2, -1).
2.3. Свертка как геометрическая операция сложения
Запишем входные данные и импульсную реакцию вдоль осей
х и у, а поэлементные произведения — на пересечениях соответ-
соответствующих координат [364]. Результат свертки получается сум-
суммированием значений произведений по диагоналям (рис. 2.2).
26

у = (8, 4, -2. -2, -1)
Рис, 2.2. Свертка как операция сложения вдвое
2.4. Свертка как геометрическая операция взаимного сдвига
Свертку можно рассматривать как операцию взаимного
сдвига двух векторов или как автокорреляцию с обращенной
последовательностью входного импульса (рис. 2.3).
= 8
Рис. 2.3. Свертка как геометрическая операция взаимного сдвига
2.5. Свертка как алгебраическая операция
При алгебраической трактовке результат свертки записы-
записывается в виде последовательности коэффициентов, получаемых
при перемножении двух многочленов.
Определим г-преобразование дискретной функции анало-
аналогично тому, как это сделано в работе [208], но с противополож-
противоположным знаком:

Следовательно, волновые импульсы w и х выразятся как
W (z) = wo + wxz + w2z2 + . . .;
X (z) = Xo + xxz + x2z2 + . ..,
где z — комплексное число.
Иногда удобно обозначать z-преобразование функции w
символом Z[w\ а не W(z).
Пусть U — функция единичного скачка, определяемая как
Тогда 2-преобразование произведения двух функций, задер-
задержанных на i единиц времени, примет вид
iUi^]= Z (wt^lUt^i)zn=zi S Wn-tUn-tz»-'. B.5.3)
Обозначив n — i через /, получим:
[iitl] X)
Но из определения функции единичного скачка следует, что
при отрицательных i равно нулю, т. е. имеем
Если же, кроме того, функция ш = 0 до нулевого момента
времени, то функцию единичного скачка можно опустить:
). B.5.4)
Таким образом, задержку на i единиц времени легко осу-
осуществить путем возведения z в t'-ю степень, не изменяя исход-
исходное z-преобразование функции.
Рассмотрим произведение
Y(z) = W(z)X(z) = ? t
или с учетом уравнения B.5.4)
. W (z) X B) = Zo «>nzn m|o xmzm.
28

Изменим порядок суммирования и заменим выражение znxm
на его запаздывающий эквивалент [уравнение B.5.4)]:
W(Z)X(Z)= ?
W (z) X (z) = Z \ f, >„*„,_„]. B.5.5)
Уравнение B.5.5) представляет собой ^-преобразование
уравнения свертки, так как член в квадратных скобках есть не
что иное как уравнение B.1.8). Верхний предел равен /л, а не
оо, поскольку функция Хт-п принимает нулевые значения при
(т — п)<0.
Некоторые авторы г-преобразование называют производя-
производящей функцией Лапласа [221].
Итак, z-преобразование функции на выходе фильтра у
имеет вид
В рассматриваемом примере свертки двух трехэлементных
векторов-строк получаем:
w0 + wxz + w2z2
х0 + xxz + x2z2
XqW0 + (X0Wt + XXWO) Z + (X0W2 + XXWX + X2W0) Z2-\-(XxW2-\-X2Wx) Z8 +
+ x2w2zA.
Заметим, что коэффициенты при различных степенях z
представляют собой элементы выходного вектора у.
Отметим, что операция свертки обладает свойствами ком-
коммутативности, дистрибутивности и ассоциативности, т. е. спра-
справедливы следующие соотношения:
z * w = w * х; B.5.6)
х * {w + g) = {х * w) + (л: * g); B.5.7)
(x*w)*g = x*(w*g). B.5.8)
2.6. Свертка непрерывных сигналов
Следует иметь в виду, что применение операции свертки
вовсе не ограничивается дискретными данными. В статье
М. Смита [411] предложена оригинальная схема свертки анало-
29

говых сигналов с помощью системы смещенных вдоль трассы
магнитных головок. Коэффициенты Wo, W\, ..., Wm имити-
имитируются активными сопротивлениями (рис. 2.4).
Вход
Фильтр
Выход
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
D, Oz 03 U i, 05
3
Рис. 2А. Способы фильтрации с помощью электрических (/) фильтров, системы
смещенных B) вдоль трассы магнитных головок и цифровой C) [411]
2.7. Алгоритм свертки
При обработке дискретных данных рекомендуется сверты-
свертывать их путем перемножения многочленов. Э. Робинсон предло-
предложил простой алгоритм свертки [367].
ГЛАВА 3
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
3.1. Ряды Фурье
Ряды Фурье были введены Л. Эйлером и другими математи-
математиками в 1748—1753 гг. при исследовании колебаний струны. Они
предложили разлагать функцию f(x), описывающую движение
30

струны, закрепленной в точках с координатами jt = O и 1, в ряд
ло синусам с периодом 2:
f(x)= Z F (n) sin лях. C.1.1)
л —1
Данная математическая трактовка базируется на серии тон-
тонких опытов, которые поставил Д. Бернулли в 1732 г., когда он
исследовал колебания струны и других вибрирующих систем.
Опираясь на результаты этих опытов, Л. Эйлер пришел к вы-
выводу, что струна музыкального инструмента, например скри-
скрипичная, может колебаться с частотой гармоник, т. е. в 2, 3, 4,
... раза чаще основной частоты. Д. Бернулли в 1733 г. выдви-
выдвинул принцип, согласно которому музыкальная вибрация струны
представляет собой совокупность небольших колебаний, по-
поэтому решение можно представить в виде тригонометрического
ряда. Д. Бернулли и Л. Эйлер использовали этот принцип для
решения задачи о колебании столба воздуха в органной трубе.
Выражение для коэффициентов Фурье F (п) получено Л. Эйле-
Эйлером в 1777 г. в виде
1
F (п) = 2 j f (*) sin лях dx. C.1.2)
Название рядов оказалось связанным с именем Ж. Фурье,
французского математика и инженера, после того, как он сде-
сделал в Французской Академии наук 7 декабря 1807 г. доклад,
в котором утверждал, что любую функцию произвольного вида,
определенную на конечном интервале, можно представить сум-
суммой синусов и косинусов. Справедливость этого заявления под-
подвергалась сомнению многими математиками, в том числе
и Лагранжем. Французская Академия наук не публиковала
данную работу Фурье до 1822 г., а в более полном виде —до
1824—1826 гг. Справедливость теоремы Фурье постепенно была
признана, в первую очередь благодаря трудам Л. Дирихле
[269], Б. Римана [357J, Л. Фейера [146] и А. Лебега [266].
Многие физические задачи с граничными или начальными
условиями однозначности связаны с решением уравнения вида
Ly + Xr{t)y = 09 C.1.3)
где L — линейный однородный дифференциальный оператор
второго порядка. В качестве примера рассмотрим уравнение
¦Зг + ^-0, C.1.4)
в котором член r(t) равен 1. Решение уравнения C.1.4) пред-
стазляет собой множество ортогональных функций, определен-
31

ных на интервале @, 71). Эти функции могут быть тригономет-
тригонометрическими или показательными
Isin nnt/T;
cos tint/T; (ЗЛв5)
е±'Ч
где
сод = 2ля/Г, м = 0, ±1, ±2, ... C.1.6)
функция
Хп = 4п2п2/Т2. C.1.7)
Функция %п называется собственным значением, а со яв-
является круговой частотой, измеряемой в рад/с.
Рис. 3.1. Связь между амплитудным Fn и фазовым
ап Фп спектрами и коэффициентами an, bn Фурье
Начальные условия в любой физической задаче опреде-
определяются обычно функцией / времени или пространства, которая
зачастую легко преобразуется в ряд Фурье. Любую функцию,
кусочно-непрерывную на интервале —T/2^t^T/2 и периоди-
периодическую с периодом Г, можно разложить в полный ряд Фурье,
содержащий синусы и косинусы:
со
f @ = 0,5а0 + ? (an cos v>nt + bn sin со**), C.1.8)
где
Г/2
an = 2T-1 [ f {t) cos G>ntdt9 n = 0, 1,2,..., C.1.9)
-f/2
Г/2
bn*=2T~l \ f(t)sin®ntdt9 /i=l,29... C.1.10)
-7/2
Амплитудный спектр любой частотной компоненты имеет вид
\Fn\ = (a2n+b2nyf>. C.1.11)
Он является четной функцией в том случае, когда п прини-
принимает и отрицательные значения частоты. Фазовый спектр
(рис. 3.1)
<^ = arctg(+&n/an). C.1.12)
32

В геофизике пользуются понятием запаздывания по фазе
или фазовой характеристикой, которая является отрицательной
частью фазового спектра [98]. Фазовый спектр — антисиммет-
антисимметричная или нечетная функция. Следовательно, если задать для
всех частот амплитуду и фазу, то функция будет полностью
определенной.
Другой равнозначный метод заключается в разложении по
показательным функциям с получением двухстороннего спектра,
т. е. содержащего положительные и отрицательные частоты
(доказательство см. в приложении 1):
fw~JLF»e'eii'« (зллз)
где коэффициенты Фурье определяются выражениями
7/2
Fn = T \ f(t)e-i(°nfdt. C.1.14)
-Г/2
Коэффициент Fn — комплексная величина. Доказательства
некоторых теорем и свойств рядов и интегралов Фурье даны
в приложении 1.
3.2. Дискретное преобразование Фурье
Если главный интервал ряда Фурье C.1.13) сдвинуть на по-
половину периода, то уравнение можно записать в виде
г"||1ш?вв/7»е'вя'; <3-2Л)
г
-iw»' dt. C.2.2)
Нормирующий множитель \\Т по желанию можно перенести
из уравнения C.2.1) в C.2.2). Чтобы получить данные в дис-
кретизованном виде, на сигнал следует воздействовать беско-
бесконечной функцией дискретизации Дирака (рис. 3.2):
оо
V(t,At)= X b{t—nAt). C.2.3)
Л» — ОО
Преобразование Фурье этой функции представляет собой
тоже бесконечную последовательность спектральных линий
(рис. 3.3) с одинаковым весом или спектральной амплитудой
[55]:
V(f, 1/Д0 = АГ« ? 6(f-nlAt). C.2.4)
Л=»— оо
3 Заказ № 4 33

Последнее уравнение называется дискретным преобразова-
преобразованием Фурье. Его можно использовать вместо интеграла или
-2-1 о 1 г
Рис. 3.2. Бесконечная функция ди-
дискретизации Дирака представляет
собой бесконечную последователь-
последовательность дельта-функций Дирака (еди-
(единичных импульсов), следующих с ин-
интервалом At
Рис. 3.3. Обратная бесконечная функ-
функция дискретизации Дирака в частот-
частотном представлении
-29Г
Рис. 3.4. Импульсная реакция W(t) широкополосной сейсморегистрирующей
системы (а), логарифм модуля передаточной функции \Y(f)\ или амплитудная
(б) и ' ''" "
реакция
фазовая реакция Ф(/) сейсмической системы (в)
ряда Фурье, но следует заметить, что связь между упомяну-
упомянутыми преобразованиями не проста. Поясним действие дискрет-
дискретного преобразования Фурье на примере. На рис. 3.4, а изобра-
изображена импульсная реакция W(t) сейсмической системы, приме-
применяемой для цифровой регистрации землетрясений. Преобразо-
34

вание импульсной реакции с помощью интеграла Фурье в ча-
частотную область называется передаточной функцией. На рис. 3.4,
б, в показаны модуль и фаза передаточной функции Y(t).
Запись волны в аналоговой форме была дискретизована с по-
5
\
V
1
-50
1
-25
log\Y(f)\
t
J
0
\
1
25
А
Л
1
50
1
75 Л Гц
i/BAt)
Рис. 3.5. Импульсная реакция, дискретизованная с помощью функции Дирака
V(/, АО (а) и фурье-преобразование (логарифм модуля) дискретного сигнала
мощью преобразователя аналог—код с частотой 50 выборок
в 1 с. В математическом смысле эта операция эквивалентна
умножению непрерывного аналогового сигнала на функцию
дискретизации Дирака бесконечной длительности:
оо
f (n At) = W (t) v (t, ДО = ? W{n At) 6{t-n At). C.2.5)
Функция f состоит из последовательности линий бесконечной
высоты, но конечной площади, равной значению функции W(t)
(рис. 3.5, а). Фурье-преобразование функции / является сверт-
3*
35

кой функции Y(t) с функ-
функцией дискретизации Ди-
Дирака в частотном пред-
представлении:
F(f) = Y(f)*V(f, ИМ).
C.2.6)
Рис. 3.6. Прямоугольная весовая функция,
смещенная на половину интервала дискре- Ня „яннпм ~Тяпр ?7П
тизации, чтобы избежать искажений зна- Па Аанном этапе t \J ^
чения в начале координат (а), и модуль является непрерывной
фурье-преобразования прямоугольной ве- функцией (рис. 3.5,6),
совой функции (б) напоминающей по форме
функцию Y(f) в главном
интервале —1/2 А^/^ 1/2 At. Она периодически повторяется
с частотой 1/Д/, причем максимумы совпадают с положением
импульсов Дирака (см. рис. 3.3). Зазубренная часть кривой на
рис. 3.5,6 соответствует тем частотным интервалам, где могут
наложиться помехи дискретизации, если анализируемый сигнал
обладает значимой энергией на частотах выше половины час-
частоты дискретизации. В последнем случае следует либо умень-
уменьшить интервал дискретизации, либо применить перед кодирова-
кодированием низкочастотную фильтрацию. В гл. 8 будет показано, что
неправильный выбор частоты дискретизации вызывает переток
энергии сигнала из высокочастотной области в низкочастотную,
что приводит к искажению спектра и как следствие к неправиль-
неправильной интерпретации спектральных особенностей.
ЭВМ обладают конечным объемом памяти, поэтому дискре-
тизованные данные необходимо учесть с помощью прямоуголь-
прямоугольной функции, изображенной на рис. 3.6. Умножение во времен-
временной области соответствует свертке в частотной области. Число
выборок в интервале длительностью Тв равно N, т. е. Гв —
NAt
fB = W (t) V (*, АО WB (t) = ? W (n ДО б (t - n A/), C.2.7)
FB = Y (f) * V (/, 1/Д0 * YB (/)• C.2.8)
Каждый отсчет в частотном представлении свертывается
с функцией sin х/х (рис. 3.7). В результате на вычисленный
спектр накладывается легкая пульсирующая помеха. Чтобы
ослабить пульсацию, нужно увеличить длительность анализи-
анализируемой записи (или расширить прямоугольник усечения). Не-
Несмотря на то что сигнал дискретный, его фурье-преобразование
все еще непрерывная функция. При цифровой обработке это
преобразование следует дискретизовать путем умножения на
функцию дискретизации Дирака в частотном представлении
Vi(f. 1/Гв)= S ЬЦ-тГГв). C.2.9)
т=—оо
36

Преобразование Фурье этой функции имеет вид
V,(*. ТВ) = ТВ 2 6(t-mTB).
C.2.10)
Для нахождения дискретного преобразования Фурье по N
выборкам частота дискретизации берется равной 1/Гв, где Тв —
длина прямоугольной функции, используемой для усечения ана-
63
-7/B At)
0 25
7/BЛЬ)
Рис. 3.7. Импульсная реакция после дискретизации и усечения (а) и логарифм
модуля фурье-преобразования сигнала (б)
лизируемых данных. Во временном представлении функция WB
свертывается с уравнением C.2.10) (рис. 3.8):
f (n M) =
WB (t) * V {t9 TB); C.2.11)
f(n, At) =
t
со JV-1
E Z
a—oo n=0
C.2.12)
Из уравнения C.2.12) следует, что временная функция яв-
является периодической, имеющей всего N различающихся зна-
значений на любом интервале длительностью ГБ. Ряд Фурье функ-
функции, подобной функции f на рис. 3.8, а, на интервале от —At/2
до Т — At/2 можно записать компактно в виде последователь-
последовательности спектральных линий:
1= I Fnb(f-nlTB).
П=—оо
C.2.13)
37

где согласно уравнению C.2.2) коэффициенты
Тв-Ы,2
1 В _&/2
, п = 0, ±1, ±2, . . .
C.2.14)
C.2.15)
N
, J
W
63
N-1
I, ¦
tiiitiiiittii
-32
-25
W
. 5.5. Функция, подвергнутая дискретному фурье-преобразованию (а)%
и логарифм модуля преобразованной функции (б)
Для главного периода в интервале ТВ = Т в уравнении
C.2.12) положим т = 0 и проинтегрируем его:
i Е —п А/)е'v rf/- @'2Л 6)
-Д//2 п=0
Если поменять местами операции суммирования и интегри-
интегрирования, то получим:
ЛГ-1 Г-Д//2
Fn = J] \
C.2.17)
/
n = J] U7(п М) \ b{t-nM)
п=0 -Д^/2
л=0
Удобно считать, что интервал дискретизации Д/=1. В этом
случае в уравнении C.2.17) можно сделать подстановку
38

W(nkt) =f(Г) и получить уравнение дискретного преобразова-
преобразования Фурье (ДПФ)
F(W)=Z f(T)e'2niWT/N, W = 09 1 , tf-1, C.2.18)
Анализируемую временную функцию можно точно восстано-
восстановить путем обратного преобразования Фурье
ы-\
f(T)=l/N 2 F(W)e+2niWTIN, Г = 0, 1,..., ЛГ-1. C.2Л9)
Здесь N — общее число отсчетов, взятых с шагом Д/ (в се-
секундах), а угловая частота (в радианах)
№ = 0, 1,..., N12. C.2.20)
Если подставить уравнение C.2.18) в C.2.19), то должна
получиться та же самая функция
\tf{)] C.2.21)
QLV=Q J
Это произойдет при условии
где 6дг(Г — V)—дельта-функция Кронекера с аргументом по
модулю N:
A, если К — целое число,
iN(KN) = L C.2.23)
7 [0 в других случаях. v
Соотношение C.2.21) выполняется в том случае, если функ-
функции f(T) и ^(l^) периодические с периодом N, т. е., когда
имеем
TIN ^
Функции /(Г) и F(W) циклические, они как бы возникли
в круговом пространстве (рис. 3.9)
= . . . ftf-2> /лг-ь /о» fi. /2» • • -э fiv-2» frv-i» fo» fi • • • C.2.25)
Функция C.2.25) и ее преобразование являются цикличе-
циклическими
C.2.26)
F (W) = F (W + MN), М = 0, ± 1, ±2, . . ., C.2.27)
и поэтому
/ (—Г) = f(N — T); F (-W) = F(N — W). C.2.28)
39

Обратное преобразование Фурье C.2.19) получается путем
вычисления ряда комплексно-сопряженных функций, обозначен-
обозначенных звездочками:
f (Г) = ЛГ'
9 (W)
C.2.29)
f(T)
N-J
Рис. 3.9. Функции f{T) при выполнении БПФ, циклически повторяющиеся
вдоль временной оси (а) или же по кругу (б)
Выражение C.2.29) весьма удобно, так как у него тот же вид,
что и у C.2.19), и позволяет вычислять прямое и обратное пре-
преобразования Фурье с помощью одних и тех же программ.
3.3. Основы быстрого преобразования Фурье
Быстрый способ вычисления комплексных рядов Фурье пред-
предложен Дж. Кули и Дж. Тьюки в 1965 г. [ИЗ] после опублико-
опубликования алгоритма Гуда [176]. Этот алгоритм был использован
для решения разнообразных задач, включающих вычисление
авто- и взаимных ковариаций, авто- и взаимных энергетических
спектров, преобразований Лапласа, сверток и многомерный
анализ Фурье [164]. Быстрый способ преобразования Фурье
впервые предложен К. Рунге [374—376]. Можно считать, что
он в том или ином виде предлагался К. Штумпфом [423]
и И. Гудом [176]. Однако эти предложения использовались
40

лишь эпизодически, пока не появилась работа [113]. Более по-
подробно история этого вопроса изложена в работах [75, 105, 114].
На основе дискретного преобразования Фурье можно соста-
составить эффективный и точный машинный алгоритм. В данном раз-
разделе будет описана одна из трех модификаций быстрого преоб-
преобразования Фурье. Основополагающий принцип всех модифика-
модификаций БПФ состоит в том, чтобы число выборок N было кратным
2 или 4. Составлены алгоритмы и для случаев разложения чи-
числа N на произвольные целые множители, например, для iV =
= 168 = 3X7X2X2X2, но множители 2 и 4 максимально удобны
для двоичной системы счисления и при этом упрощается вычис-
вычисление синусов и косинусов. Читателей, интересующихся выво-
выводом обобщенного алгоритма, отсылаем к работе [164]. Действие
алгоритма БПФ рассмотрено для случая, когда N может быть
представлено произведением двух целых чисел
N = NXN2. C.3.1)
Для индексации во временной области будут использоваться
латинские, а в частотной — греческие буквы, т. е. а и а — це-
целые числа от 0 до N\ — 1, b и р —целые числа от 0 до N2— 1.
Условимся, что
W = а + pJVi; Т = Ь + aN2. C.3.2)
Заметим, что минимальное значение W или Т равно 0, когда
а=0, Р=0, а максимальное — (N—1), когда a+$N\ [N\—1 +
+ (N2 — 1 )N\]. Подставив уравнение C.3.2) в C.2.18), получим
F (а + рЛГ.) = ? ? / (b + aNt) ем, C.3.3)
&0 а0
где
М = -2ni/NxN2 [(а + рЛГ,) F + aN2)] C.3.4)
или
М = — 2ш {ab/MxN2 + aalNx + $b/N2 + ар).
Выражение ехр (—2яшр) = 1, так как произведение ар
всегда целое, поэтому получаем
М = —2niab/NxN2 — 2niaa/Nl — 2ni$b/N2. C.3.5)
Отсюда уравнение C.3.3) записывается в виде, независимом
от а:
F(a + (W,) = ?1 е-2я"р/ЛГ'Р (Nu а, Ь), C.3.6)
где P(N\(x, b) — преобразование Фурье по N\ выборкам, не со-
содержащее Р:
Р (ЛГ, а, Ъ) = е-2*'*'** f f{b + aN2) е-2я/ал^. C.3.7)
Очевидно, уравнение C.3.6) фактически является произведе-
произведением двух более коротких преобразований Фурье. Описанный
41

"V0 W
процесс можно повторять, по-
последовательно разлагая N по
меньшим основаниям. Показа-
Показательная функция перед знаком
суммирования в уравнении
C.3.7) называется дополни-
дополнительным множителем.
Поскольку число операций,
содержащихся в любом урав-
уравнении фурье-преобразования
растет пропорционально N2,
Рис. 3.10. Действительная (а) и мни- рекурсивное перемножение уко-
мая (б) части преобразования Фурье роченных (Nu N2% Nz> ..., Nh)
преобразований Фурье умень-
уменьшает число вычислительных операций до Nlog2N. Вычисли-
Вычислительная машина может выполнить БПФ по 2048 точкам (отсче-
(отсчетам) менее чем за тысячную долю времени, которое требуется
для вычисления фурье-преобразования по самой технологиче-
технологической традиционной программе.
Алгоритмы БПФ разработаны для случая комплексных век-
векторов входных данных (рис. 3.10).
C.3.8)
Поскольку фактические данные являются вещественными
величинами х(Т) =х*(Т)у преобразования Фурье связаны со
своими комплексно-сопряженными преобразованиями соотноше-
соотношением
= X*(-W). C.3.9)
Для вещественных данных функция у (Т) приравнивается
нулю. Результаты вычислений обычно записываются в те же
ячейки памяти, в которых находились функции х(Т) и у{Т)>
поэтому исходные данные уничтожаются.
Заметим, что согласно уравнению C.2.17) коэффициенты
отрицательных частот хранятся во второй половине ячейки, от-
отведенной вектору F(W). Следовательно, при N=9 значение
W=0 является индексом нулевой частоты, W=\, 2, 3, 4 опреде-
определяют коэффициенты положительных, а W=5, 6, 7, 8 — отрица-
отрицательных частот, т. е. частот —4, —3, —2 и —1 соответственно.
Для вещественных данных действительная часть функции
X(W) будет четной, а мнимая — нечетной. Для четного числа
значений данных, например N = 8, положительные частоты W=>
= 1, 2, 3, 4, а отрицательные —IF=5, 6, 7=(—3, —2, — 1).
Можно считать, что половина амплитуды частоты с индексом
W = 4 содержится в W=*—4. Начиная вычисления в частотной
области, важно не упускать это обстоятельство при расчете по-
последнего частотного коэффициента с W=N/2. Возможно, что
перед выполнением БПФ мнимую часть последнего члена при-
42

дется приравнять нулю, так как в противном случае в резуль-
результате обратного преобразования выходной вектор может ока-
оказаться не вещественным. Такое случается при обработке син-
синтетических сейсмограмм. Нужно быть достаточно вниматель-
внимательным, чтобы обеспечивать правильную симметрию выходного
вектора и требуемую симметрию коэффициента с W=N/2.
3.4. БПФ с позиций матричного исчисления
Алгоритм БПФ можно видоизменить в соответствии с при-
приемами, используемыми в матричном исчислении [30, 118, 176,
334, 369]. Матричные модификации БПФ могут реализовы-
ваться как на ЭВМ общего назначения, так и на спецпроцес-
спецпроцессорах.
Обозначим массив дискретных данных вектором-строкой
7= [/о, /„ /,....,/»-i]. C.4.1)
Результат дискретного преобразования Фурье будет тоже
вектором-строкой
-э Fn-l
C.4.2)
Определим матрицу, элементы которой имеют вид
e-8«*wr/w> И7, Г = 0, 1, 2 N-1 C.4.3)
или же после подстановки Q = —2ni/N
eQWT = eaM, M = 0,l,2,...,(N-iy,
т. е. матрицу
1 e° e° e° e° e°
e° eQ e2Q e3Q ... e(N~lH
e° e2Q e4Q e6Q ... e2("-')Q
ее е e9Q
L е° е^-*H е2(ЛГ—1) Q e3(;V-l)Q -е(ЛГ—1) (iV —1) О
C.4.4)
Заметим, что матрица Е симметричная, так как элементы
матрицы циклические по своей природе:
. 0>M>N-l. C.4.5)
43

Поэтому в случае N=8 матрицу
еи
е11
е21
е31
2Q
4Q
е° e5Q
Л0 6Q
10Д
Le
7Q
2Q
е°
3Q
6Q
J2Q
J5O
a18Q
210
е°
12Q
16Q
e20Q
e24Q
280
e°
6Q
e° ^
e7fl
е
еюо
e15Q
е
е
езоо
е
е
е120
е180
е
езоо
е36О
е
е
e14Q
210
e28Q
e35Q
e42O
е
C.4.6)
можно с помощью уравнения C.4.5) привести к виду
1-1111 1111
1
1
i
1
1
1
_i
е°
е
еза
-1
еБа
е
e7Q
е2а
-1
e6Q
1
е2а
|
е60
еза
е60
е°
-1
е7а
е2а
е50
— 1
1
—1
1
— 1
1
—1
e5Q
e2fl
e7Q
-1
eQ
e6
e
e6a
-1
e2Q
1
e6Q
-i
e2a
e7Q
e6Q
e5Q
— 1
e
e2
e°
C.4.7)
В данном примере мы заменили е° на 1, а
на —1.
С точностью до масштабного множителя матрица Е является
унитарной, и ее обращение имеет вид
E*T/N.
C.4.8)
Дискретное фурье-преобразование записывается в виде
F = ?f. C.4.9)
Обратное фурье-преобразование получается путем отыска-
отыскания комплексно-сопряженного преобразования матрицы Е:
T=~FE'r/N. C.4.10)
Чтобы обеспечить быстроту вычислений, матрицу Е следует
представить в виде произведения п разреженных матриц Sn
44

и матрицы перестановок Р, которая упорядочивает выходной
вектор в требуемую последовательность:
... snpN,
C.4.11)
где
п-
Aog2N. C.4.12)
Как и в алгоритме Кули—Тьюки, для достижения макси-
максимальной эффективности вычислений результативные материалы
представляются в различных форматах. Когда N = 2n, выход-
выходной вектор представляет собой последовательность, порядок
элементов которой определяется значениями обращенных дво-
двоичных индексов. Заметим, что указанный перебор элементов
выходного вектора приводит к разделению результата преоб-
преобразования по четным и нечетным индексам. Перестановочная
матрица превращает перемешанный вектор Fs в искомый
вид F:
%~ F. C.4.13)
C.4.14)
Для случая N=8 перестановочная матрица
10000000
0 0 0 0 10 0 0
0 0 10 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 10
0 10 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 10 0
0 0 0 10 0 0 0
.0000000 1
Таким образом, получаем, что [Fo, Ft, F2, Fe, F\, Fs,
•*
Fs, F]P=[Fo, F\, F2, Fa, F\, Fs, Fe, Ft\. Матрица перестановок
"¦••*• -> •->
ортогональна, т. е. Р2=1 и Р=РТ. Без перестановочной мат-
матрицы согласно уравнениям C.4.9), C.4.11) и C.4.13) уравнение
БПФ принимает вид
.... Snf. C.4.15)
Каждая разреженная матрица получается как комбинация
базисной матрицы:
1
45

где значения Mj следуют в соответствии с обращенными дво-
двоичными индексами. Число следующих друг за другом единиц
и повторений базисной матрицы вдоль главных диагоналей
разреженных матриц Si, S2, S3, ..., Sn равно 2^п~1\ ..., 22,
21, 2°. Например, в случае N = 8 последовательность показате-
Ill
4 '
1
e°
0
0
0
0
0
0
1
0
e°
0
0
0
0
0
1
0
0
0
e°
0
0
0
= 2
1
0
0
0
0
0
0
"o~~
1
0
"
0
0
0
0
0
1
0
0
0
eo
0
с
)
0
0
1
e2Q
0
0
0
0
~r
0
e4fl
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
e°
0
0
0
1
e6Q
0
0
0
0
0
1
0
e4Q
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
e°
0
0
0
0
1
elfl
0
0
0
0
0
0
1
0
e2Q
0
1
0
0
0
e40
0
0
0
0
0
0
0
1
e5Q
0
0
0
0
0
0
0
1
0
e2fl
0
1
0
0
0
e4Q
0
0
0
0
0
0
0
0
1
e3a
0
0
0
0
1
0
e6Q
0
0
0
1
0
0
0
e4Q
0
0
0
0
0
0
0
1
e7S
0
0
0
0
0
1
0
e6!
0
0
0
1
0
0
0
e4Q
46

В каждой матрице присутствуют только два вида ненулевых
элементов, один из которых всегда единица, поэтому для пере-
перемножения каждой пары разреженных матриц требуется произ-
произвести N операций умножения и сложения. Полное число опера-
операций умножения и сложения при подобных вычислениях п =
= N\og2N. Экспоненциальный элемент можно однажды вы-
вычислить и записать в память в табличной форме, хотя в более
общих программах это не всегда предусматривается.
3.5. Преобразование Фурье больших массивов данных
Оригинальный метод быстрого преобразования Фурье, изло-
изложенный в работе [376], особенно удобен для анализа массивов
данных, больших, чем те, которые можно обрабатывать с по-
помощью обычных программ БПФ из-за ограниченных объемов
памяти у ЭВМ. Пусть f (Т) — вектор длиной от Т = О до Т =
= 2N—1. Его можно записать в виде двух более коротких век-
векторов, состоящих из выборок с четными и нечетными индек-
индексами. Множество значений данных с четными индексами за-
задается выражением
2*iWTIN C.5.1)
а с нечетными индексами — выражением
ЛЛ— 1
/BГ+1)= ? F0{W)e2niwTIN9 C.5.2)
гдеГ = 0, 1,2, ..., N— 1.
Обратное преобразование Фурье всей последовательности
определяется уравнением.
2ЛГ- 1
/ (Т) = j? F (W) e2niWT/m • C.5.3)
Уравнение C.5.3) можно разбить на функции с четными
или нечетными, заменив Т на 2Т:
2W-1
/BГ)= ? F(W)e2nlWTIN; C.5.4)
и Г на 2Г+1:
2ЛГ-1
fBT+l)= S F(W)e2niWriNe2ntwim, C.5.5)
w=o
где
2ш {2WT/2N + W/2N) = 2niW BГ + 1/2ЛГ).
47

Поскольку expBniN/N) =1, a expBniN/2N) =—1, можно
разделить ряд C.5.3) на две части с пределами суммирования
от 0 до N — 1 и от N АО 2N — 1 :
2W-1 W-i
e2niWT/N. C.5.6)
Справедливо также и соотношение
2W-1 N-l
S F(W) e2niwT/" e2niW/2N = — T. F(N+ W)
C.5.7)
Подставим уравнения C.5.6) и C.5.7) в C.5.4) и C.5.5)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях пока-
показательной функции коэффициентами уравнений C.5.1) и C.5.2).
В результате получим
Fe (W) = F(W) + F(N + W); C.5.8)
FQ (W) = IF (W) -F(N + Wy] e2jliw/2N. C.5.9)
Решив приведенные уравнения относительно F(W), получим:
F (W) = [Fe (W) + Fo (W) e-2niw/2"]/2; C.5.10)
F (W + N) = [Fe(W) - Fo (W) e2sliW/2M]/29 C.5.11)
Г = 0, 1, 2, ..., N— 1.
Некоторые из алгоритмов БПФ предусматривают вычисле-
вычисление преобразований не более чем по 213 дискретных значений
данных. С помощью же только что полученной пары уравнений
становится возможным находить преобразования Фурье по
214=16 384 отсчетам. Особенности обработки длинных рядов
данных, хранящихся во внешней памяти, подробно рассмотрены
в работе [73].
3.6. Одновременное вычисление двух преобразований Фурье
Вместо функции у (Т) из уравнения C.3.8) можно поместить
вещественное ненулевое множество данных и выполнять преоб-
преобразование Фурье функций х (Т) и у (Т) одновременно. Обозна-
Обозначим преобразование Фурье функций х(Т) и у(Т) соответст-
соответственно через X(W) и Y(W):
F {х (Г)] = X (W); F [у (Г)] = Y (W). C.6.1)
Пусть
f(T) = x(T) + ty(T)9 C.6.2)
где х и у — вещественные величины. Поскольку хну линейно
независимы одна от другой, получим
F [/ (Г)] = F {W) = X (W) + iY {W)9 C.6.3)
48

где X и Y — комплексные величины, a F[f(t)] не обладает
свойством симметрии C.3.9).' Найдя комплексно-сопряженное
уравнение C.6.3) и положив W=N — W, получим
/7* до _ W) = х* до _ и?) _ fy* до _ ^ (з.6.4)
Заметим, что в случае
Fix(T)-]=X(W)
имеем
; C.6.5)
• C.6.6)
Если л:(Г)—вещественная функция, то
X (W) = X* (-№) = X* (N - №). C.6.7)
Если же у (Т) — чисто мнимая, то
у (W) = -У* (-№) = -У* (W -1^). C.6.8)
С учетом последних двух соотношений уравнение C.6.4)
принимает вид
F* (N - W) = X (W) - IY {W). C.6.9)
Решив систему уравнений C.6.3) и C.6.9), получим
X (W) = [F (W) + F*(N — №)]/2; C.6.10)
y(U7) = [F(^) -F* ДО- U7)]/2/. C.6.11)
С помощью двух последних соотношений можно вычислять
два преобразования Фурье одновременно. Если необходимые
данные имеются в наличии, то способ одновременного вычисле-
вычисления преобразований Фурье следует применять, так как в этом
случае улучшаются технико-экономические показатели.
3.7. Двухмерные преобразования Фурье
Двухмерные преобразования Фурье весьма полезны при изу-
изучении геофизических и геологических данных в пространст-
пространственно-частотном представлении. Еще в 1939 г. была предло-
предложена методика пересчета поля силы тяжести с одного уровня
на другой, смысл которой сводился к следующему. Посредст-
Посредством равномерной дискретизации исходная карта аномалий силы
тяжести в редукции Буге превращается в двухмерную матрицу.
Затем производится двойное фурье-преобразование, в резуль-
результате которого для любого заданного уровня z можно трансфор-
трансформировать исходную карту
, У, г)- Z Z Bmn^^2y''>
00
C.7.1)
4 Заказ № 4 49

где L — длина карты в направлении х или у; Втп — коэффици-
коэффициенты разложения в ряд Фурье; то и по — индексы наивысших
гармоник по осям х и у.
При отрицательном z получаем аналитическое продолжение
поля вверх, а при положительном z находим трансформацию
исходного поля ближе к источнику.
Магнитные аномалии часто упрощаются, если пересчитать
наблюденное магнитное поле к аномалиеобразующему магнит-
магнитному полюсу по методике В. Баранова [32] или Б. Бхаттача-
рья [54]. В данном случае можно также использовать двухмер-
двухмерный анализ. При решении задач грави- и магнитометрии более
удобно пользоваться показательными функциями, а не триго-
тригонометрическими, и применять БПФ.
Двухмерное фурье-преобразование матрицы данных f(X, У)
определяется как
f(X, Y)e-2n"XK''N> + rK'>N'\ C.7.2)
Обратное двухмерное фурье-преобразование имеет вид
f(X, Y) = (NlN2)-lNZ "l! F(Ku /B)е2я'<*«'/"'-™"'\ C.7.3)
где
ХУ /С,=0, 1, 2, ..., Nx-\\
У, /С2 = 0, 1, 2, ..., N2-l.
Длины волн в направлениях х и у задаются выражениями
Xx = Nx&x/Kx; tfi = 0, 1, ..., NJ2; C.7.4)
Х2 = N2 Ay/K2\ K2 = 0, 1, ..., NJ2. C.7.5)
Обычно обрабатывается квадратная карта, для которой
N{=N2, а шаг дискретизации одинаков в обоих направлениях:
&х=Ау. Исходные данные формируются в виде матрицы
[13, 301]:
/@, 0) /A, 0) ... f(Nx-l9 0);
/@, 1) /A, 1) ... /М-1, 1);
/@, АГ.-1) /A, tf.-l) ... f(tf,-l. ЛГ.-1).
Данный вектор, состоящий из N=N\N2 дискретных значе-
значений, подвергается быстрому одномерному фурье-анализу. По-
Поскольку уравнение C.7.2) очень похоже на C.3.3), двухмерное
фурье-преобразование можно представить как линейную супер-
суперпозицию двух конечных дискретных преобразований:
w,-i
F(Ku K2)= Z g(X. K2)eM{X); C.7.6)
g {X, К2) = уЕо / {X, Y) ем (Г). C.7.7)
50

где
M(X) = -2niXKi/Nl; M(Y) = -2niYK2/N2. C.7.8)
Дискретные фурье-преобразования C.7.6) и C.7.7) яв-
являются одномерными, т. е. их можно выполнять по обычным
одномерным программам БПФ. При этом, произведя БПФ строк
а ' б
iilllli1. Л№
Ы**
•ill -> ••: :•:::•:::••• :
«Ч.Г.-:.::::»1:::::::::"
Ж т W :;!:::Й|||||Р
...i:::::::!:i".;.#" :: ::*..•¦:¦:::::::::::::::."
::::::.::: • .::•. * "•'••.'. ' '. "Siiijiiiiii
iiiiLl
/Г;:;:"::: U
30
Ш^. Ч.а!!:.. :ВИ И
•::.:.:
lill»
-1 0
Puc. 3.11. Карта силы тяжести (а) на земной поверхности [448], аналитиче-
аналитическое продолжение этого поля в верхнее полупространство на высоту 15,9 км
над земной поверхностью (б) и оно же, полученное с помощью программы
БПФ (в), а также первая вертикальная производная (г) карты «в»
матрицы, получим ряд Y(X, /C2), а затем после БПФ столб-
столбцов— функцию F (К\, /Сг). Распространение методики на боль-
большие массивы не встречает принципиальных затруднений, но
из-за ограниченных объемов памяти ЭВМ приходится подвер-
подвергать многомерному анализу только матрицы с небольшим N.
Чтобы обеспечить правильное сопоставление результатов, полу-
получаемых по БПФ и по методике подобной C.7.1), следует уде-
уделять определенное внимание созданию требуемой симметрии
в исходных данных.
На рис. 3.11 приведен пример пересчета в верхнее полу-
полупространство гравиметрических данных, заимствованных из ра-
4*
51

боты [448J и переобработанных по алгоритму двухмерного БПФ
[3]. Заметим, что вертикальная производная М-го порядка мат-
матрицы NiXNi легко находится умножением комплексных коэф-
коэффициентов Фурье на показательную функцию вида
exp [2n/N (K2i + Kl)/(N AX)]M, C.7.9)
где N=N\N2 — общее число дискретных значений данных;
АХ — шаг дискретизации.
Первая вертикальная производная изображена на рис. 3.11, г.
Прежде чем вычислять аналитические продолжения вверх или
fu
f2.
ьГ
U У
f.2
f22
fi2
f.2
fu
{2^
f»
f«
f.4
f24
f,4
f44
-fli
f21
fa
-f«
fa
fa
-f.2
fa
fa
-f.2
fn
fa
-f.l
f23
fa
-f«
fn
fa
-f.4
f24
fu
-f44
fa
f>4
-fn
fa
fn
-fn
fa
f23
-fa -
fa
fa
-fa "
fj2
fa
Puc. 3.12. Матрица исходных Рис. 3.13. Трансформированная матрица.
дискретных данных Вектор данных, расширенный с целью
обеспечения четной симметрии относи-
относительно строк и столбцов, обозначенных
черточками. Симметрия достигается,
когда данные циклически повторяются
за пределами главного интервала
вниз и производные, элементы матрицы можно переставить та-
таким образом, чтобы обеспечивалась симметрия относительно
первых и последних строк и столбцов. Это позволит избежать
на краях карты резких перепадов или коротких волн с большой
энергией. Например, матрица 4x4 исходных данных (рис. 3.12)
перед Фурье-преобразованием трансформируется в матрицу,
изображенную на рис. 3.13.
Подобная методика организации двухмерных матриц с чет-
четной симметрией практически применима для небольших мно-
множеств данных. Она становится недопустимо дорогой, когда мат-
матрица превышает порядок 64X64, т. е. 4096 дискретных отсче-
отсчетов. В этих условиях краевые эффекты на краях матрицы
(рис. 3.12) можно устранить путем срезания их косинусной
функцией (см. гл. 9). После любого вида фильтрации краевые
значения следует исключать из рассмотрения. Поэтому посте-
постепенное сведение краевых значений двухмерной функции до нуля
весьма эффективно при анализе больших многомерных мно-
множеств.
52

3.8. Программы быстрого преобразования Фурье
В настоящее время существует большое количество техноло-
технологичных алгоритмов для быстрого расчета дискретных преобра-
преобразований Фурье. Их описания и особенности применения приво-
приводятся в работах [75, 105, 190, 368] и многих других источниках.
Зарекомендовала себя надежной и простой в употреблении
написанная на Фортране программа HARM, входящая в пакет
подпрограмм компании IBM. С ее помощью БПФ выполняется
в одно-, двух- и трехмерном вариантах. Очень важно проверять
действие каждой подпрограммы на простых функциях типа си-
синусоид различной частоты, коротких импульсов и последова-
последовательностей знакопеременных прямоугольных функций. Далее
расчет коэффициентов Фурье должен проверяться с точки зре-
зрения математического прогноза путем последовательных вычис-
вычисления. Прежде чем обрабатывать и физически истолковывать
результаты преобразований Фурье, следует полностью осмыс-
осмыслить циклическую природу дискретного преобразования Фурье
и влияние дополнительных нулей.
В качестве примера ниже приводится программа на Форт-
Фортране, которая аналогична программе, предложенной в работе
[115]. В ней отсутствуют усложненные операторы вызова, кото-
которые хотя и делают саму программу компактной, но не повы-
повышают ее эффективность. Результат фурье-преобразования с вы-
выхода подается на вход вместо FR и FI. Для вычисления функ-
функций синуса и косинуса используется рекуррентное соотношение.
Когда показательная функция имеет вид
Е% = exp (—2sdKIN) = cos {-2nK/N) + / sin (-2nK/N),
рекуррентное соотношение выглядит как ?*+к=?^ -?^, при-
причем начальное значение равно Е°^ = 1,0+0,0/. В приложении 7
даны уравнения в явном виде, на которых базируется данный
алгоритм.
SUBROUTINE FASTF(FR,F1,N)
С
С N IS THE NUMBER OF DATA POINTS = 2**M
С FR IS THE REAL DATA SET
С FI IS THE IMAGINARY PART OF DATA SET (= 0 0 IF ONLY REAL)
С FIRST COMPUTE M
REAL FR(N), FI(N), GR, GI, ER, El, EU, EZ
M = 0
KD = N
1 KD=KD/2
M = M+1
1F(KD.GE.2)GOTO1
ND2 = N/2
NMl = N-I
L=l
53

с
С * SHUFFLE INPUT DATA IN BINARY DIGIT REVERSE ORDER
DO4K=I,NMI
IF(K.GE.L)GOTO2
GR = FR(L)
GI = F1(L)
FR(L)=FR(K)
FI(L)=F1(K)
FR(K) = GR
F1(K) = GI
2 NND2=ND2
3 IF(NND2.GE.L)GOTO4
L = L - NND2
NND2 = NND2/2
GOTO3
4 L=L+NND2
PI = 3.14159265
С
С FIRST ARRANGE ACCOUNTING OF M STAGE
DO6J=1,M
NJ = 2**J
NJD2 = NJ/2
EU= 1.0
EZ = 0.0
ER = COS(-PI/NJD2)
El = SIN(-PI/NJD2)
С
С COMPUTE FOURIER TRANSFORM IN EACH M STAGE
DO6IT-I.NJD2
DO51W«IT,N,NJ
GR = FR(IWJ) • EU - FI(IWJ) • EZ
GI - FI(IWJ) • EU + FR(IWJ) • EZ
FR(IWJ)=FR(IW)-GR
FI(IWJ)=FI(IW)-GI
FR(IW)=FR(IW) + GR
5 FI(IW)=FI(IW) + GI
SEU = EU
EU - SEU • ER - EZ • El
6 EZ«EZ*ER + SEU*EI
RETURN
END
В качестве пробы подпрограмма FASTF использовалась
в следующей программе, вызова. Обрабатывалось несколько
массивов данных, состоящих из восьми значений, причем ча-
частота дискретизации равнялась 7в в 1 с. Косинусоиды имели
единичную амплитуду и частоту 1 и 2 Гц. Читатель должен сам
проинтерпретировать результаты дискретного фурье-преобразо-
вания. Заметим, что вещественные и мнимые части преобразо-
преобразования Фурье нужно разделить на число дискретных значений N,
а положительные и отрицательные частотные составляющие
следует сложить, чтобы получить искомые коэффициенты
54

Фурье или амплитуду гармоники. Для нулевой и центральной
(N = 4) гармоник суммирование не нужно. Если имеется фазо-
фазовый сдвиг, то вещественная и мнимая части преобразования
Фурье будут ненулевыми. Пример программы вызова в случае
подачи на вход косинусоиды с частотой 2 Гц приводится
ниже.
DIMENSION CRBO*S), СЦ2О48)
DATA CR/1.0,0.0,-1.0,0.0,1.0,0.0,-1.0,0.0/
DATACI/0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0/
CALL FASTF(CR,CI,8)
WRITEF^00) CR
WRITEF,:00) CI
200 FORMAT(8F8.4/)
STOP
END
Входные данные: косинус, 2 Гц: CR/1.0,0.5,— 1.0,0,1-0,0.0,— 1.0,0.0
Фурье-преобразование: FR=
FR= [0.0,0.0,4.0,0.0,0.0,0.0,4.0,0.0]
FI= [0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0]
re, 1 Гц: CR/1.0,0.707107,0.0,—0,707107,— 1.0,
Входные данные: косинус,
— 0.707107,0.0,0.707107/
Фурье-преобразование: FR= [0.0,4.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,4.0]
FI= [0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0]
Входные данные: синус, 2 Hj:CR/0.0,1.0,0.0,— 1.00.0,1.0,0.0,— 1.0/
Фурье-преобразование: FR= [0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0]
FI= [0.0,0.0,—4.0,0.0,0.0,0.0,4.0,0.0]
Входные данные: единичный CKa4OK:CR/l.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,
1.0/
Фурье-преобразование: FR= [8.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0]
FI= [0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0]
Входные данные: убывающая экспонента:0?/1.0, 0.7 ,0.7 ,0.7 ,
0.7 , ... 0.7 /
Фурье-преобразование: FR= [3.1412,0.9517,0.6325,0.5681,0.5543,
0.5681,0.6325.9517]
FI=[0.0,— 0.9328,— 0.4427, — 0.1881,0.0,0.1881,
0.4427,0.9328]
Входные данные: задержанный единичный импульс: CR/0.0,1.0,0.0,0.0,0.0,
0.0,0.0,0.0/
Фурье-преобразование: FR= [1.0,0.7071,0.0,—0.7071,—1.0,—0.7071,0.0,
0.7071]
.7071]
3.0,—(
.7071]
FI=[0.0L—0.7071,—1.0,—0.7071,0.0,0.7071,1
0.7
55

ГЛАВА 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ОТОБРАЖЕНИЕ
НА КОМПЛЕКСНОЙ s-ПЛОСКОСТИ
4.1. Введение
О. Хевисайд предложил в 1899 г. [200] метод решения обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений типа
4^a2y=U D.1.1)
dt
1
Рис. 4.1. График функции /@ е
*=ехр(—at) для ' ~
у которых y(t), dyldt и d^yldt1 равнялись нулю для отрица-
отрицательных времен. Строгое математическое обоснование предло-
предложенного О. Хевисайдом метода разработано Т. Бромвичем [78J.
Дж. Карсоном [93] и Б. Ван дер Полем [461]. Дж. Карсон на-
назвал полученное интегральное решение преобразованием Лап-
Лапласа. Преобразование Лапласа есть не что иное, как комплекс-
комплексное фурье-преобразование, повернутое на 90° в комплексной ча-
частотной плоскости.
Возьмем функцию (рис. 4.1)
e', f>0,
0> ,<0. D.1.2)
Ее фурье-преобразование имеет вид
Подстановка верхнего предела дает нуль, и в результате
имеем
Амплитудный (рис. 4.2) и фазовый (рис. 4.3) спектры выра-
выразятся следующим образом:
Ф (со) = — arctg со/а. D.1.6)
56

Для удобства введем обозначение
s = a +/со, D.1.7>
Где о) угловая частота; a — коэффициент сходимости. Следо-
Следовательно, соотношение D.1.4) можно записать как
F(s)=l/s. D.1.8)
СО
-зг/г
Рис. 4.2. Амплитудный спектр функ-
функции, изображенной на рис. 4.1
Рис. 4.3. Фазовый спектр экспоненци-
экспоненциально затухающей функции
Функция F(s) является аналитической в некоторой области,,
если сама функция и ее производные существуют в данной об-
области. Функция D.1.8) аналитическая всюду, кроме точки^
в которой 5 = 0. Фурье-преобразование определено только для
Рис. 4.4. Область, где функция /(s) =
= 1/5 аналитическая
положительных а. Переменную 5 можно нанести на комплекс*
ную s-шюскость. Область, в пределах которой функция f(s)
аналитическая, на рис. 4.4 заштрихована.
4.2. Преобразование Лапласа
Рассмотренный выше пример подсказывает способ обра-
обработки функций, подобных функции единичного скачка (единич-
(единичной функции), для которых преобразование Фурье не опреде-
определено, так как они не удовлетворяют условию B.1.1). В каче-
качестве коэффициента сходимости можно использовать член в'*
у которого величина а достаточно велика, чтобы обеспечить
абсолютную сходимость. Изменения амплитудного и фазового
спектров весьма незначительны, кривые столь же просты, как
кривые на рис. 4.2 и 4.3:
F(a,
dt
или
D.2.1)
D.2.2)
57

Функция F (s) называе1ся преобразованием Лапласа функ-
функции f(t). Для функции единичного импульса (рис. 4.5) она
имеет вид
оо
F(s) = L[f (/)] = \ le~sldt = Ms. D.2.3)
О
Обратное преобразование Лапласа [78J определено как
f (t) = L"' If (s)] = A/2я,) § F E) ^ Л, D.2.4)
(.О)
c. 4.5. График единич-
единичной функции
er
Рис. 4.6. Путь интегрирования при
обратном преобразовании Лапласа
Причем путь интегрирования проходит по мнимой оси и пра-
правее всех особых точек функции F(s). Этот интеграл использо-
использован Г. Риманом в 1859 г. (рис. 4.6).
4.3. Примеры преобразования Лапласа
1. В качестве примера отображения на комплексной s-пло-
скости возьмем функцию
f(t)
0>
D.3.1)
D.3.2)
Эту функцию (рис. 4.7) можно отобразить на s-плоскость,
если положить f(t)=O для отрицательного времени и выпол-
выполнить преобразование Лапласа:
F(s) = L [f (/)] = [ AeTat cos «,< e"rf dt = -4- J e(
о о
-s)f
a — i<ai
D.3.3)
D.3.4)
58

Функция F (s) имеет полюс порядка п в точке 5 = 5ь если
lim FE)—oo, D.3.5)
а функция
D.3.6>
f(t)
Рис. 4.7. График затухающей косинусоиды
конечна и не равна нулю. Аналогично функция F(s) имеет нуль
порядка п в точке 5 = 52, если l/F (s) имеет в этой точке полюс
порядка п. Согласно уравнению D.3.4), рассматриваемая
в примере функция имеет нуль в точке 5=—а. Поскольку 5 =
= а+/со этот нуль находится в точке с координатами а = —а
Ш
X -
-о-
ш,
х -
Рис. 4.8. Отображение затухающей косинусоиды на комплексную s-плоскость
(а) и график затухающей косинусоиды (б)
и со = ±@i существует пара полюсов. Отображение затухающей
косинусоиды на 5-плоскости и сама функция (рис. 4.8) имеют-
вид
F(s)=
(s
^tt t>0. D.3.7>
2. Если затухание отсутствует (рис. 4.9), то отображение на
5-плоскости имеет вид
As .
F(s) = .
D.3.8)
3. В случае затухающей синусоиды (рис. 4.10) нуль исче-
исчезает:
D.3.9)
59»

4. Затухающая синусоида с фазовым сдвигом (рис. 4.11)
имеет нуль в точке Ь = —а — jScosG:
FМ-
D.3.10)
4.9. Отображение косинусоиды на s-плоскость (а) и гра-
график косинусоиды (б)
Отображение затухающей синусоиды (а) и график
затухающей синусоиды (б)
Рис. 4.11. Отображение смещенной затухающей синусоиды на
s-плоскость (а) и график смещенной по оси времени затухающей
синусоиды (б)
5. Еще один простой пример — единичная функция
(рис. 4.12). Она имеет единственный полюс в начале координат
F(s)=l/s; f(t) = u(t). D.3.11)
6. Линейно нарастающая функция (рис. 4.13) имеет два по-
полюса в начале координат:
t. D.3.12)
В заключение можно сделать следующие выводы.
1. Полюсы отрицательной части вещественной оси соответ-
соответствуют членам e~at или te~at (рис. 4.14).
§0

2. Комплексные полюсы на левой полуплоскости соответст-
соответствуют затухающим синусоидам (рис. 4.15).
3. Полюсы на мнимой оси соответствуют синусоидам
(рис. 4.16).
4. Нули определяют амплитуду и фазовые углы, но не
влияют на форму функции времени.
ш м
F(s)=L/s e
Рис. 4.12. Отображение единичной функции на s-плоскость (а)
и график единичной функции (б)
fit)
Рис. 4.13. Отображение линейно нарастающей функции на s-пло-
скость (а) и график линейно нарастающей функции (б)
to
to I
ш J
Рис. 4.14. Отображение
на s-плоскость показа-
показательных функций e~af
или /е"в|
Рис. 4.15. Отобра-
Отображение на s-пло-
s-плоскость затухаю-
затухающих синусоид
(о
Рис. 4.16. Отобра-
Отображение на s-пло-
s-плоскость синусоид
5. Полюсы, имеющие положительную вещественную коорди-
координату, соответствуют членам, экспоненциально возрастающим
со временем и чей отклик неустойчив.
4.4. Смещение функции
Смещение по оси времен соответствует умножению на пока-
показательную функцию в s-области. Рассмотрим следующие две
функции (рис. 4.17). Преобразование Лапласа функции fit)
можно обозначить
= F(s). . D.4.1)
61

Согласно D.2.2), преобразование Лапласа смещенного по
времени импульса имеет вид
D.4.2)
G
fit)
Рис. 4.17. Треугольный импульс с нулевым смещением по времен-
временной оси (а) и тот же импульс, смещенный на L единиц времени
(б)
Рис. 4.18. График квадратного импульса
Рис. 4.19. Графики единичной функции и
отрицательной запаздывающей единичной
функции (а) и квадратного импульса (б)
а
f(t)
А
Ь
Сделаем подстановку t{ = t — L и получим
D.4.3)
Следовательно, функция e~sL играет роль множителя за-
задержки в 5-области. Этот факт будет использован ниже при
рассмотрении г-преобразования.
Преобразование квадратного импульса (рис. 4.18) можно
найти непосредственно по формуле
Ae~s
1-е
-sL
D.4.4)
62

Возможен и иной подход, основанный на использовании еди-
единичной функции и (t) и отрицательной запаздывающей единич-
единичной функции (рис. 4.19):
¦f
D.4.5)
В случае последовательности квадратных импульсов
{рис. 4.20) поступим следующим образом. Пусть fi (/) — одиноч-
f(t)\
Рис. 4.20. Последователь-
Последовательность квадратных импуль-
импульсов
Г
2Т
ЗТ Ъ
ный квадратный импульс. Тогда последовательность квадрат-
квадратных импульсов запишется в виде
f(t) = h @ + М* - Г) + М* - 2Г) + ...;
I* U ('И =
D.4.6)
Ft (s) e~Ts + F, (s) e~2Ts + ...; D.4.7)
)[l + e-Ts+e-2Ts+ ...]. D.4.8)
Множитель в квадратных скобках представляет собой разло-
разложение в ряд функции вида
D.4.9)
поэтому
Поскольку
l(s) = A(l-e-sTI2)/s,
где L = Т/2, окончательно получим
A l-e~sT'2
1-е
-Ts
D.4.10)
D.4.11)
D.4.12)
D.4.13)
63

ГЛАВА 5
ИМПУЛЬСНАЯ РЕАКЦИЯ, СВЕРТКА
И ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
5.1. Импульсная реакция
Предполагается, что все фильтры, электронные усилители,
механические записывающие устройства и цифровые опера-
операторы— линейные системы. Линейной (рис. 5.1, 5.2) называется
такая система, которая преобразует линейную комбинацию
w
Рис. 5.1. Входной сигналу,
линейная система W и вы-
выходной сигнал у\
Рис. 5.2. Входной сигнал
лг2, линейная система W и
выходной сигнал уг
входных сигналов, например Ах\+Вх2у в суперпозицию выход-
выходных сигналов Ау\+Ву2 (рис. 5.3).
Поведение многих известных систем можно описать прибли-
приблизительно таким образом. Линейность дифференциальных опера-
операторов позволяет складывать множество решений. В экстремаль-
+ вх2
а
4 w V-Ay, +вуг
Рис. 5.3. Суммарный входной сигнал
Ах\ + Вх2> линейная система W и сум-
суммарный выходной сигнал Ау\+Ву2
в y,i
Рис. 5.4. Входной сигнал (а), линейная система (б) и импульс-
импульсная реакция линейной системы, используемой в Альбертском уни-
университете для записи землетрясений (в)
ных условиях режим работы любого усилителя может стать
нелинейным, неустойчивым, вносящим дополнительные искаже-
искажения. Строго говоря, электромеханические устройства типа сей-
смоприемника должны рассматриваться как нелинейные си-
системы, особенно когда они реагируют на сверхдлиннопериод-
ные колебания.
Рассмотрим импульс, напоминающий единичный (дельта-
функцию Дирака), поданный на вход линейной системы. Опре-
64

деление дельта-функции Дирака можно найти в приложении 2.
Функция импульсной реакции W (t) (рис. 5.4) представляет
собой отклик системы на импульс, приложенный ко входу в мо-
момент времени / = 0. В соответствии с формулой B.2) из прило-
приложения 2 имеем
E.1.1)
I
u(t)\
Рис. 5.5. Единичная функция u(t) и ее
производная б(/)
Рис. 5.6. Представление ли-
нейно возрастающей функции
с помощью ряда взвешенных
единичных импульсов
Идеальный единичный импульс нереализуем физически, но
импульс малой длительности, меньшей значимых постоянных
времени рассматриваемой системы, будет его хорошим прибли-
приближением. На выходе системы получается растянутый во времени
сигнал, так как система обычно обладает четко выраженными
характеристиками полосового фильтра.
Импульсную реакцию можно получить также, подав на
вход линейной системы единичную функцию u(t). Единичный
импульс является производной единичной функции (рис. 5.5)
»(')-¦тгги
EЛ-2)
Любой входной сигнал можно представить в виде линейной
комбинации взвешенных дельта-функций (рис. 5.6)
оо
xi(t)= J Xi
E.1.3)
На выходе линейной системы должна быть та же самая ли-
линейная комбинация запаздывающих импульсных реакций
оо
y(t)= J x(L')W{t-L')dL'.
E.1.4)
На рис. 5.7 показан механизм образования выходного си-
сигнала для случая, когда на вход подается ряд дискретных ко-
коротких импульсов. Обозначим t — V в уравнении E.1.4) через
L (время задержки), тогда
оо
y(t)= j W(L)x(t-L)dL.
5 Заказ № 4
E.1.5)
65

Так как фильтр или электрическая цепь не может реагиро-
реагировать на сигнал, прежде чем он подан на вход, для отрицатель-
отрицательных задержек имеем W(L)=0. Поэтому уравнение E.1.5) при-
принимает вид
оо
y(t)=\w{L)x(t-L)dL.
E.1.6)
xv
0
f
1
2
;
x3
5
wet)
3
Рис. 5.7. Свертка трех квазиединичных импульсов с импульсной реакцией:
а— входная последовательность импульсов; б —импульсная реакция линейной системы;
в — реакция системы на квазиединичные импульсы /—3; г — сигнал на выходе линейной
системы
Процесс формирования выходного сигнала, выраженный ин-
интегралом E.1.6), называется сверткой в вещественной области,
В результате этой операции функция импульсной реакции
и входной сигнал свертываются друг с другом. Обычно исполь-
используют сокращенную запись данной интегральной операции
x(t). E.1.7)
Графическое изображение процесса свертки в вещественной
области дано на рис. 5.8. Вначале входной сигнал зеркально
отображается относительно оси ординат. Затем сигнал сдви-
сдвигается последовательно на время /о, U> ..., и для всех значений
сдвига L вычисляются произведения функции импульсной ре-
реакции на отображенный сигнал. Наконец, вычисляется площадь
фигуры, ограниченной подынтегральной функцией и осями ко-
координат, т. е. выходной сигнал у (t). Таким образом, свертка
66

а
В
2 4 6 t
D 2 Ь 6
\
- L
i \
л L
6 L
6 -
6 L
\
\
8 L
ЩЩ+-*~ в
в L
Ж
о г и l
Рис. 5.8. Последовательные этапы
свертки сигнала:
а —отклик системы на импульсное воз-
воздействие; б — сигнал на входе линейной
системы; в — свертка в момент времени
<—0; г — свертка функций в момент вре-
времени <—2 и соответствующая подынте-
подынтегральная функция; <Э — свертка функций
п . р ""а в момент времени /—6 и соответствующая
и У ° ъ подынтегральная функция; е — свертка
функций в момент времени /-8 и соответствующая подынтегральная функция; <мс — ре-
результирующий сигнал на выходе линейной системы
10

предполагает выполнение операций зеркального отображения
сигнала, сдвига (по оси времени), умножения и интегрирова-
интегрирования. Процесс свертки дискретного сигнала рассмотрен в гл. 2.
5.2. Свертка в частотной области
Интересный результат получается, если интеграл свертки
преобразовать по Фурье. Пусть выходной сигнал yo(t), образо-
образованный сверткой функций x\(t) и Хг@> имеет вид
оо
yo(t)= J Xi(L)xt(t-L)dL. E.2.1)
—оо
Найдем обратное фурье-преобразование каждого из сигна-
сигналов, применив для этого формулу A.34) из приложения 1:
оо
х (L) = — [ X
—оо
оо
E.2.2)
Согласно определению единичного импульса [формула B.9)
в приложении 2] функция Дирака для колебания одной частоты
(@1=0J)
^dL. E.2.3)
Отсюда выражение E.2.2) принимает вид
—оо —оо
Проинтегрировав по coi и приняв во внимание определение
функции Дирака B.2) в приложении 2, получаем, что данный
интеграл существует только при (o = coi=(O2:
оо
г/0(/)=Bя)'- \ JMcdJJMco)^©. E.2.4)
— оо
68

Сравнив уравнение E.2.4) с фурье-преобразованиями A.33)
и A.34) в приложении 1, убеждаемся, что
оо
Х,(со)Х2(<о)= \ уАЦе~ШМ; E.2.5)
— оо
Х1(со)Х2(о)) = Уо(со), E.2.6)
т. е. фурье-преобразование свертки двух функций равно произ-
произведению частотных спектров этих функций.
Если сигналы равны нулю до / = 0, можно воспользоваться
преобразованием Лапласа
Xl(s)X2(s) = Y0(s) E.2.7)
ИЛИ
X, (s) X2 (s) = L U хх (L) x2 (t - L) dL J. E.2.8)
Это соотношение имеет очень большое значение, так как
свидетельствует о том, что свертка в области действительных
времен аналогична умножению в комплексной частотной об-
области.
Приравняв уравнение E.2.1) к E.2.4) для случая Х\=*Х2
и t = 0, получим формулу Парсеваля
Р= j \x(L)\2dL = Bл)~1 $ |Го((о)|2Ло. E.2.9)
По ней можно оценить значение полной рассеянной мощности,
фигурирующей в соотношении B.1.3).
5.3. Передаточная функция
Благодаря наличию связи между формулой свертки E.1.7)
и соотношением E.2.5), удобно производить вычисления в ча-
частотном представлении.
Передаточная функция У (со) определяется как отношение
преобразований Лапласа выходной и входной переменных при
нулевых начальных условиях:
Y (со) = Уо (со)Д (со) = Уо (s)/X0 (s). E.3.1)
Если входной сигнал — единичный импульс Дирака, т. е.
x(t)=8(t), а Х(со)=1, то согласно уравнению E.3.1) переда-
передаточная функция
У(со) = Уо(со). E.3.2)
69

Другими словами, фурье-преобразование импульсной реак-
реакции дает передаточную функцию:
;и)= j W(t)e~Mdt;
оо
= Bл)~' J K(«))e'w'rf«
E.3.3)
E.3.4)
Рис. 5.9. Процесс получения передаточной функции. Чтобы получить полный
амплитудный к фазовый спектр У (со), процесс сравнения следует повторять
для широкого набора частот:
/ — генератор синусоидальных колебаний х-[ехрA(д^)]/2п; 2 — комплексный спектр У (о):
3 — амплитудный спектр y(t)-*Y((Dt)exp(Ia)it)l2n; 4 — фазовый спектр Ф (о)
При вычислениях удобно применять формулы комплексно-
сопряженных функций:
(_(о)=у#(<о)= J W(t)eimtdt;
—оо
оо
1 J n-o))e""i(u'dco
E.3.5)
E.3.6)
Согласно уравнениям B.9) из приложения 2 и E,3.2) пере-
передаточная функция наиболее просто получается как установив-
установившийся отклик системы на синусоидальное воздействие. На вход
системы подается синусоида единичной амплитуды и опреде-
определенной частоты, амплитуда выходного сигнала измеряется
и наносится на график в зависимости от круговой частоты со
(рис. 5.9).
Из уравнений E.2.8) и E.3.3) следует, что сигнал на вы-
выходе системы, характеризующейся передаточной функцией
У (со),
-*! (СО) Y (СО).
E.3.7)
70

Если x(t)—одиночная синусоида, то
Х(о)) = 6(оI —со).
После обратного фурье-преобразования соотношения E.3.7)
получаем
E.3.8)
ГЛАВА 6
ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ И КОВАРИАЦИИ
6.1. Определения \
Допустим, что записана вещественная функция f{t), являю-
являющаяся реализацией случайного стационарного гауссова про-
процесса. Исследуемый сигнал может также представлять собой ан-
ансамбль функций, подобных f(t)y каждая из которых начинается
в разное время. Такой сигнал должен обладать нулевым сред-
средним значением, т. е. его среднее за длительный промежуток вре-
времени равно
Г/2
/= lim Г'1 ( f(t)dt = O. F.1.1)
Дисперсия конечна и задается выражением
[f(t)-ffdt
дается
_?/
или
Г/2
/
а@)= lim Г ( f(tJdt <оо. F.1.2)
Пусть регистрируются два равномерно дискретизуемых сиг-
сигнала. В этом случае исходные данные состоят из двух векто-
векторов-строк, которые могут быть и комплексными величинами, на-
например, когда они представлены коэффициентами Фурье, зави-
зависящими от частоты или длины волны,
f = f-N> • • •» f~-i> fo> f\> • • •> /V>
g — g~N> •••» ?-!> go* gu • • м gN*
71

Коэффициент корреляции или взаимной корреляции с нуле-
нулевым сдвигом двух множеств данных
s— N
Звездочками обозначены комплексно-сопряженные вели-
величины. В математическом смысле величина с@) является косину-
косинусом угла между двумя векторами:
Максимальные значения, принимаемые функцией cN@),
равны ±1, т. е. функция нормирована. Когда функция прини-
принимает максимальное значение, существует сильная прямая или
обратная линейная корреляция между двумя сигналами. Если
функция cN@)=0, то линейная корреляция отсутствует. Во
многих случаях знаменатель опускается и коэффициент корре-
корреляции оказывается ненормированным.
Функция автоковариации с нулевым математическим ожида-
ожиданием определяется выражением
а {L) Л t
где L — временной сдвиг.
В случае непрерывных данных функция автоковариации при
сдвиге L
Т/2
a(L)= lim Г'1 V f(t + L)f*(t)dt. F.1.6)
Т -*- оо —Г/2
Функцию автоковариации часто называют функцией авто-
автокорреляции [324] или корреляционной функцией [355], хотя,
строго говоря, последний термин должен относиться к нормиро-
нормированной функции. На рис. 6.1 изображено несколько функций ав-
автоковариации. В математической записи функция автокорреля-
автокорреляции имеет вид
aN(L) = a(L)/a@). F.1.7)
Функция автокорреляции была введена Дж. Тейлором
в 1920 г. [428].
Функция взаимной ковариации двух последовательностей
f (t) и g(t) имеет вид
72

В случае непрерывных данных выражение для функции вза-
взаимной ковариации принимает вид
Г/2
c(L)= lim Г j f(t + L)g*(t)dt. F.1.9)
При цифровой обработке дискретных данных начальный ин-
индекс времени удобно положить равным 1: f=(fu /2, /з, ..., /jv).
Так как в действительности множество данных всегда конечно,
можно получить лишь оценку функции автоковариации для зна-
значений сдвига, равных 0, 1, ..., N— 1:
a(L) = N-> Z{ft + Lft. F.1.10)
Оценку функции взаимной ковариации находят по формуле
tL F.1.11)
6.2. Свойства функции автоковариации
Предположим, что имеем вещественную часть функции, ко-
которая является суммой двух синусоид:
f = R [(а{ + ibx) ei(Oit + (a2 + ib2) еш>']. F.2.1)
Первое слагаемое данной функции — колебание с частотой
coi, сдвигом фаз <?i и амплитудой г\:
ах + ibx = г{е(ф1. F.2.2)
Второе слагаемое имеет частоту сог и фазовый сдвиг #2.
В этом случае функция автоковариации
a{L) = R lim Г Т [(a, + ibt) е^+г> + (а, + 1Ь2)еш'{1+()]х
X [(а, - ibt) e-lait + (а, - ib2) е~ш'*] dt. F.2.3)
Взаимные члены
равны нулю вследствие ортогональности синусов и косинусов.
Члены вида
Г/2
lim Г ( e'^dt
1 ( е'в|?
73

равны eiu)iL. Следовательно, функция автоковариации суммы
двух синусоид
а (I) = R [{а\ + Ь$еш* + (в| + Ь1)еш>1],
т. е. равна сумме косинусоид с двумя частотами:
a{L) = R (r? ei(OiL + r\^L). F.2.4)
Эта функция имеет максимум при нулевом сдвиге. Заметим,
что информация о фазах косинусоид оказалась потерянной,
а информация о частоте и амплитуде сохранилась.
При нулевом сдвиге функция автоковариации становится
дисперсией
Г/2
а@)= lim Г { f(t)dt. F.2.5)
Последнее выражение равнозначно уравнению B.1.1), в ко-
котором через f(t) обозначено напряжение или ток при активном
сопротивлении в 1 Ом. Следовательно, а@)—средняя мощ-
мощность. Пиковое значение функции a(L) получается для случай-
случайной функции при L=0.
Если L = oo, то а(оо)=0 при отсутствии в сигнале Постоян-
Постоянной или непрерывной периодической переменной составляющей.
Дисперсию в виде F.1.2) можно записать с иными преде-
пределами интегрирования:
772-Г,
lim Т~> \ f2(t)dt
Г-voo _TJ2-Tl
ИЛИ
Т/2
a@) = lim Г J f(t + Tt)dt. F.2.6)
Согласно неравенству Шварца [348] получаем
ъ * ь ь
\fihdt < j |f,P<tt Jl/,1»Л. F-2.7)
а а а
С учетом функции автоковариации F.1.6) неравенство
F.2.7) можно записать в виде
Г/2
2 Г/2 Г/2
/ / /
f(t + L)f(t)dt <Г-' S f{t)dtT~* $ f{t+L)dt.
-Т/2 -Т/2 -Т/2
F.2.8)
Согласно уравнению F.2.6), два интеграла в правой части
выражения F.2.8) приближаются к конечной функции а@) при
74

Т->оо. Следовательно, квадрат функции автоковариации
[a(L)|2 в пределе конечен. С учетом F.2.8) получаем важное
соотношение
|a(I)|<a@). F.2.9)
Функция автоковариации при отрицательных сдвигах
Г/2
a (-L) = lim Г j f(t'-L)f(t')dt'. F.2.10)
Г-voo _Ti2
или, положив t' = t+L,
Т/2
a{-L)= ton Г [ f(t)f{t + L)dt. F.2.11)
T-+oo _fl2
Интеграл в правой части уравнения F.2.11)—это функция
автоковариации при положительных сдвигах
a (-L) = a (L). . F.2.12)
Таким образом, на основании выражений F.2.9) и F.2.12)
можно сделать вывод, что функции автоковариации и автокор-
автокорреляции являются вещественными, конечными и четными. Пере-
Переходная функция автоковариации определяется выражением
оо
a(L)= \ f{t)f{t + L)dt. F.2.13)
—оо
Подытоживая сказанное, получаем, что функции автоковари-
автоковариации:
1) имеют при нулевом сдвиге абсолютный максимум, равный
средней мощности;
2) не содержат сведений о фазовых соотношениях между ча-
частотными составляющими;
3) случайные функции стремятся к нулю с ростом сдвига;
4) являются вещественными, конечными и четными.
Дополнительные сведения о функциях автоковариации мо-
можно найти в работах [268]. На рис. 6.1 приведены простые
функции и их автоковариация.
Матрица автоковариации, используемая в различных спосо-
способах временной и пространственной фильтрации, имеет вид
а@) a(\) aB) ... а(п-\)
а(-1) а@) а(\) ... а(я-2)
а(-2) я(-1) а@) ... а(п-3)
F.2.14)
75

Рис. 6.1. Простые функции и их автоковариации. Перед вычислением функции
атоковариации из функции следует вычесть ее среднее значение, чего не де-
делается в случае однополюсных переходных функций:
а —синусоида #С0— A cos BЯ//+8) и ее автоковариация a(I) — (A2/2) cos 2nfL; б —прямо-
—прямоугольная функция уСО—? при *о<*<Г+<о и ее автоковариация а(Ц—В2(Г — \Ц)\ в —
переходная линейно возрастающая функция y(t)~At/T при 0</<Г и ее автоковариа-
автоковариация a(L)-»i42(L8 —3PL+2P); г —отрезок синусоиды с возрастающей частотой (виоро-
сигнал) и ее автоковариация (импульсоид Клодера): частота синусоиды увеличивается
от 14 до 56 Гц, т. е. на 2 октавы за 7 с; д — множество случайно распределенных им-
пульсоидов и их автоковариация, приблизительно равная единичному импульсу

Нормированная автоковариационная матрица с единицами
на главной диагонали называется автокорреляционной матрицей
AN=A(a@).
F.2.15)
Обе названные матрицы симметричные и неотрицательные
[240], т. е. определитель и все главные миноры каждой из них
больше нуля. Для л=3 имеем
М1) - " F.2.16)
1 М2)
М-2) 1
1
Ml)
aN(-2) aN(-
ад, B)
МО
F.2.17)
F.2.18)
Если математическое ожидание и автоковариационная матрица
сохраняются при изменении начала временной координаты, это
означает, что генерируемое множество данных является стацио-
стационарным процессом до второго порядка.
6.3. Вибрационные источники
Новые способы возбуждения сигналов, применяемые в аку-
акустической, электромагнитной или сейсмической разведке, часто
основаны на использовании функций автоковариации и взаим-
взаимной ковариации. Для изучения большой энергии в широком диа-
диапазоне частот можно использовать вибраторы, создающие дли-
длительные сигналы выбранной формы. Такие сигналы намного
проще выделять на фоне помех. Функции автокорреляции и ав-
автоковариации можно определять на основе приема вибросиг-
вибросигнала и сжатия его в короткий импульс с помощью согласую-
согласующего фильтра. В качестве примера источника упругих волн мо-
можно привести синусоидальный сигнал переменной частоты. Си-
Синусоида переменной частоты (рис. 6.1, г) в качестве однозначно
опознаваемого сигнала впервые была применена в радиолока-
радиолокационных системах [241]. Более ранние исследования по данной
тематике приводятся в работе [18]. При сейсморазведке сигнал
в виде синусоиды с плавно изменяющейся частотой излучается
в среду с помощью 1—4 механических вибраторов. Эта мето-
методика работ называется вибросейсом. Прямоугольная функция
B(t, Т) имеет значения 1 в интервале от 0 до Г и 0 — на других
временах. Обычно Т равно 5—7 с:
у (t) = В (*, T)[cos Bя (fxt + kt>/2) + фоI
F.3.1)
77

Фаза вибросигнала подчиняется соотношению
а мгновенная частота
ft = Bл) -l dtydt = f, + «. F.3.2)
Заметим, что частота синусоидальной волны (вибросигнала)
растет по линейному закону от начального /i до конечного /г
значения. У сигнала длительностью Т скорость изменения ча-
частоты равна
k = (f*-fi)/T. F.3.3)
Конечное значение высокой частоты обычно выбирают по
формуле
f2 = 2nfu F.3.4)
где п — отношение граничных частот излучаемого диапазона
(измеряется в октавах).
Полевую сейсмограмму s(t)9 получаемую при вибрационном
воздействии, т. е. виброграмму, можно смоделировать в виде
свертки импульсной реакции слоистой среды e(t) с вибропосыл-
вибропосылкой (свип-сигналом) y(t)
e(t). F.3.5)
Упругая реакция осадочной толщи слагается преимущест-
преимущественно из волн, которые отразились от слоев, имеющих случай-
случайное распределение мощностей и волновых сопротивлений. Ее
можно считать реализацией белого шума (см. приложение 4).
Чтобы получить вибросейсмограмму v(x), находят взаимную
корреляцию полевой сейсмозаписи (виброграммы) с исходной
вибропосылкой:
vW=Zy(t + *)s(t). F.3.6)
Обычно полагают шаг дискретизации Atf = l, а нормирующий
множитель 1/jV постоянным, т. е. его можно опустить. Из урав-
уравнения свертки B.1.6) видно, что функция взаимной ковариации
равна свертке сигнала с импульсной реакцией при отрицатель-
отрицательных сдвигах:
*(т)-а(т)*у(-т). F.3.7)
Использование величины у(—т) равнозначно зеркальному
отображению вибропосылки. Приняв во внимание свойство ком-
коммутативности свертки и подставив F.3.5) в B.5.7), получаем
v (т) = у (-т) * У (т) * е (т). F.3.8)
Очевидно, что свертка волны у(х) с собственным зеркальным
отображением у(—т) представляет собой функцию автокова-
78

риации, если пренебречь нормирующим множителем. Если в ка-
качестве свертываемой волны используется синусоида с перемен-
переменной частотой, то ее автоковариация называется импульсом Кло-
дера а(х) (см. рис. 6.1, г):
а(т) = у(-т)*у(т); F.3.9)
а (т) = Bя&т)~' cos Bя/0т) sin {nkxT —
+ D?Г0'5 cos [2nk (flk~2 - x2/4)
+ 0,25AT0'5 cos [2nk (f\k-2 - т2/4) + 2ф0] [С (F2) - С (л)] +
+ 0,25'5sin [2nk (fik'2 - т2/4) + 2фо] [S (F2) - S(f1,)], F.3.10)
где Л=2k0'5 (h/k+т/2); F2=2№5 (/2/Л — т/2); <?0 — начальная
фаза, а центральная частота
/о = (Л + /2)/2. F.3.11)
Функции С (и) и 5(м)—это соответственно вещественная и
мнимая части интеграла Френеля Z(u):
и
Z(u) = C (и) + /5 (и) = \ е/ла2/2 da. F.3.12)
Интеграл Френеля используется для расчета дифракционной
картины, возникающей при прохождении света через щель. Его
можно вычислить с помощью программ, входящих в пакет про-
программ для ЭВМ IBM. Следовательно, вибросейсмограмма
имеет вид
и(т) = а(х)*е(т), F.3.13)
т. е. является сверткой импульса Клодера с последовательно-
последовательностью импульсов, соответствующих сейсмическим отражениям.
Отметим, что функция автокорреляции принимает вид F.3.10)
только в случае экспериментальной вибропосылки. Она отли-
отличается от функции, предложенной Дж. Клодером и другими
[241], где они приводят выражение для согласующего фильтра
в случае комплексного сигнала. Вещественная часть их уравне-
уравнения не содержит краевых эффектов, присущих интегралам Фре-
Френеля.
На рис. 6.2 изображены часть импульсной реакции, состоя-
состоящая из четырех отраженных импульсов, полевая виброграмма
и вибросейсмограмма. Кроме того, на рис. 6.2 изображен типич-
типичный энергетический спектр импульса Клодера. Фурье-преобра-
Фурье-преобразование вибропосылки имеет вид
S (/) = [Г/2 (f2 - !г))ч*е-ы {f~hLk [Z (и2) - Z (щI F.3.14)
(u) задается выражением F.3.12):
щ = -2 (/ - /о) (Г/2ДI/2 - (Т A/2)'/f,
и2« -2 (/ - /о) (Т/2 А)'7' + (Г Д/2)!/'.
79

Ширина полосы частот Д равна /2— fu а средняя частота
fo= (/2+/O/2. Приближенные значения комплексных интегралов
Френеля можно найти в работах [185, 358, 399]. Чтобы вычис-
вычислить энергетический спектр вибропосылки с линейно нарастаю-
нарастающей частотой, нужно либо найти произведение 5(/M*(/), либо
рассчитать по формуле F.3.10) функцию автоковариации до
Рис. 6.2. Простая модель слоистого разреза (а), вибросейсмограмма (б), им-
импульсная виброграмма, соответствующая модели «а» (в) и энергетический
спектр вибросейсмограммы (г)
значения сдвига, равного 2Г, при частоте дискретизации около
250 выборок в 1 с и преобразовать ее по Фурье с помощью ал-
алгоритма БПФ. Функция B(ty T) может быть прямоугольной или
медленно изменяющейся по амплитуде, которая постепенно сре-
срезает вибропосылку в начале и в конце. Предлагались и другие
формы временных весовых функций в качестве огибающих виб-
вибропосылки, но они не нашли применения из-за доминирующего
влияния характеристик механической связи в системе вибра-
вибратор—почва.
80

6.4. Многомерная регрессия
Во многих задачах величина у описывается как функция не-
нескольких независимых переменных хи #2, ..., *n-i- Например,
через х можно обозначить содержания некоторых элементов или
минералов в породе, а через у — температуру минерализации.
Независимые переменные связаны с зависимой у неизвестными
коэффициентами kit Если /-е измерение не содержит ошибок,
можно записать уравнение
yj = ko + kxxu + k2x2f + ... + knXnj. F.4.1)
Задача не ограничивается случаем линейной зависимости,
так как через х могут обозначаться и сложные функции. Напри-
Например, случай, когда X\ = t> x2 = t2, х$=Р и так далее, называется
полиномиальной регрессией. Поскольку в каждом измерении у
содержится ошибка опыта е$, получаем систему уравнений, каж-
каждое из которых содержит остаточный член указанного вида:
k2x2l + ... + knXm + ex\
= k0 + kxx{2 + k2x22
knx
n2
e2;
Ут = kQ + k{X{m + k2X2m -!-
+
F.4.2)
При определении доверительных интервалов обычно предпола-
предполагается, что величина у содержит случайную ошибку, распреде-
распределенную по нормальному закону, и что значения х известны
точно. Определив векторы-столбцы
хУ2 ... ут)Н
F.4.3)
и матрицу
Х\\ Х\2
Х2\ Х22
Х\п
F.4.4)
Xtnl ~т2 • • • Хтп
можно записать уравнение F.4.2) в матричном виде
Y = X~K + ~E. F.4.5)
Чтобы получить наилучшие значения коэффициентов ku ис-
используем метод наименьших квадратов, с помощью которого
6 Заказ № 4 81

сумма квадратов ошибок минимизируется. Сами ошибки опре-
определяются соотношением
F.4.6)
а сумма их квадратов
S = ^?. F.4.7)
Минимизация достигается путем приравнивания нулю,первой
производной указанной выше суммы квадратов по каждому из
неизвестных коэффициентов
dS/dki = O; * = 0, I, 2, ..., п. F.4.8)
В результате получаем систему из я+1 уравнений, записы-
записываемую в виде
!T1~K = ~XTY. F.4.9)
В решении системы содержится обращенное произведение
матриц
~K=\XT1YXHTY. F.4.10)
Оценка дисперсии [137] определяется уравнением
о2 = (y'Y - K'x'?)/(m - п - 1). F.4.11)
Симметричная обратная матрица размером (п+1)Х(п+1)
. F.4.12)
называется матрицей ковариации. Дисперсия и ковариация мо-
модельных параметров k\ задаются диагональными и недиаго-
нальными элементами ковариационной матрицы С:
дисперсия (kj) = cn; ковариация (&*, kl) = cil. F.4.13)
ГЛАВА 7
ТЕОРЕМА ВИНЕРА—ХИНЧИНА И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ
СПЕКТР
7.1. Периодограмма
Многие переменные, измеряемые в геофизике, либо имеют
периодический характер, либо приобретают видимую периодич-
периодичность в результате наложения сильных реверберационных по-
82

мех. Поэтому для изучения подобных процессов вполне естест-
естественно применять гармонический анализ. При отсутствии помех
переходные процессы, развивающиеся во времени или в прост-
пространстве, можно подвергать фурье-преобразованию. Когда же из-
измеряемые переменные подобны электрической и магнитной со-
составляющим магнитотеллурического поля или микросейсмиче-
микросейсмическим смещениям грунта, то невозможно определить ни начало,
ни конец регистрируемого сигнала. Поскольку энергия, опреде-
определяемая выражением B.1.1), не ограниченная, применение фурье-
преобразования невозможно, и следует получить оценку плотно-
плотности энергии. Одним из часто применявшихся в прошлом подхо-
подходов к решению этой задачи было вычисление периодограмм
Шустера [397], определяемых выражением
Т/2
ЕР= lim Г
г-
-Т/2
f(t)etmdt
G.1.1)
При вычислении периодограммы для дискретных данных ко-
конечной длительности используют выражение
| F (о)) |2 = | F BnJIN) |2 = A
T1
TV— 1
f (К) e
-i2nIKIN
G.1.2)
К сожалению, дисперсия этой оценки не уменьшается с уве-
увеличением длины записи, а остается постоянной [147, 193]. С уве-
увеличением длительности записи достигается все большая разре-
шенность по частоте, но статистическая надежность результата
не увеличивается [39]. Периодограмма выходного сигнала ге-
генератора белого шума или выборки из таблицы случайных чи-
чисел характеризуется наличием большого числа максимумов. Та-
Такие флуктуации периодограммы не уменьшаются с уменьшением
длины выборки. Временной ряд отрезка стационарного белого
шума можно рассматривать как последовательность N вещест-
вещественных и N мнимых чисел, причем мнимые числа тождественно
равны нулю. В процессе преобразования по Фурье эти данные
превращаются в N амплитуд и N фаз, соответствующих N/2 по-
положительным и N/2 отрицательным частотам. Спектральная
оценка с помощью периодограммы содержит N/2 независимых
членов, каждый из которых распределен по закону «хи-квад-
рат» с двумя степенями свободы. Это эквивалентно построению
гистограммы со столь малым групповым интервалом, что на
каждый интервал приходится всего два наблюдения.
В настоящее время существуют способы уменьшения нере-
нерегулярности и ошибочности периодограмм, основанные на изме-
изменении длительности записи в соответствии с рекомендациями
П. Даниеля [125]. Эти способы, нашедшие некоторое признание
[218, 450], будут рассмотрены в гл. 9 вместе со спектральными
весовыми функциями.
6* 83

7.2. Теорема Винера—Хинчина
Н. Винер [475] начал развитие математического подхода
к решению задачи об энергетических спектрах, базирующегося
на использовании функций автоковариации или автокорреля-
автокорреляции. Аналогичный подход был предложен А. Хинчиным [240],
хотя и в более абстрактной форме. В разработке этих идей уча-
участвовали многие математики, но в приложении к нормально рас-
-T/2+L
Г/2
T/2+L t
Рис. 7.1. Интервалы существования функций f(t)
и f(t+L)
пределенным стохастическим процессам, как показано в [55], ос-
основной вклад сделан Дж. Тьюки [449]. Функция автокорреля-
автокорреляции удобна тем, что легко поддается модифицированию в нуж-
нужном направлении, поэтому вычисленные по ней энергетические
спектры являются гладкими функциями, а оценки дисперсии по-
получаются меньшими, чем у периодограммы.
Согласно условию, накладываемому при вычислении оценки
дисперсии, плотность энергии или мощность должна быть ко-
конечной
772
Я= lim Г J |/(/)|2<ft<oo. G.2.1)
При сравнении выражения G.2.1) с B.1.1) следует учиты-
учитывать деление на длину записи Г. Функция автоковариации
F.1.6) имеет вид
7/2
a(L) = T\imQT-* \j(t)f(t + L)dt. G.2.2)
Сигнал f(t) определен на интервале от —Г/2 до Г/2, но
функция f(t+L) непрерывна на интервале от —T/2+L до
T/2+L (рис. 7Л\. Чтобы избежать осложнений, на функцию
f(t) накладывается требование: /@=0 ПРИ \t\>T/2.
Фурье-преобразование функции f(t) имеет вид
F («)= J fWe-'^dt, G.2.3)
—оо
а обратное фурье-преобразование —
оо
/(/) = BяГ' J F(cD)e"°'rfco. G.2.4)
— ОО
84

Отсюда получаем выражение для функции автоковариации
Т/2
a(L)= lim {2nT)~l !/(/)( F (a)zi(*{t + T) dudt. G.2.5)
T-+00 _//2
После изменения порядка интегрирования
Т/2
(
a(L)= lim BлГ) J Р(<о)еш j )
Г-*»оо „^ -Г/2
и подстановки в это выражение G.2.3) с отрицательными ча-
частотами получаем
оо
a(L)= lim BлГ)"! J F (со) е'"' F (-co) dco. G.2.6)
Г -*- оо J^
Если определить энергетический спектр как
Р ((о) = lim Т [_г (со) г (~~))J /7 9 7^
Г -*• оо ' •^•'/
или
то выражение G.2.6) принимает вид
оо
аA) = Bя)~1 J Р1(о>)ешс1а>. G.2.9)
—оо
Следовательно, энергетический спектр Р(со) является обрат-
обратным фурье-преобразованием функции автоковариации, т. е.
a(L)e-iaLdL. G.2.10)
Согласно F.2.9) и F.2.12), усеченная функция автоковариа-
автоковариации является четной, стремящейся к конечному пределу. Фурье-
преобразование автоковариационной функции также четная
функция, стремящаяся к конечному пределу при выполнении на-
начального условия G.2.1). Назовем функцию
Р(о)) = rfA/rfco, G.2.11)
где
1 00
Л(и)= [ />(<»') <*<•>' G.2.12)
—оо
85

спектральной функцией распределения или интегральным спек-
спектром. Тогда уравнение G.2.9) с учетом G.2.11) можно записать
в виде
оо
а(Ц = BлГ1 J e'eidA(o). G.2.13)
—оо
Последнее соотношение известно как теорема Винера—Хин-
чина, так как оно впервые было найдено Н. Винером [475] и
независимо от него А. Хинчиным [240]. Вид данного соотноше-
соотношения — преобразование Фурье—Стилтьеса — прямое следствие
того факта, что функция автоковариации является неотрица-
неотрицательной, определенной функцией. В случае дискретных данных
уравнение G.2.13) принимает вид
'I. G.2.14)
Круговая частота изменяется только от —я до я, так как
сдвиг L — целое число и, следовательно, показательная функ-
функция периодическая. В случае дискретных данных интегральный
спектр Л монотонно возрастает в диапазоне частот —л ^ со ^
Л(со) = j Р(®0Лв'. G.2.15)
—Л
Из теоремы Винера—Хинчина следует важный вывод о том,
что энергетический спектр и функция автоковариации являются
парой преобразований Фурье. Если f(t)—падение напряжения
на активном сопротивлении в 1 Ом, то P(co)dco— средняя рас-
рассеянная энергия в полосе частот от со до со + Ло.
Значения интегрального спектра Л изменяются от 0 на ча-
частоте со=—я до а0, равного дисперсии или функции автокова-
автоковариации при нулевом сдвиге, на частоте со=я. Для физически
реализуемых процессов функция Л состоит из двух частей: Ai
и Л* Величина Ai — абсолютно непрерывная часть, обусловлена
сигналами, возникающими под воздействием случайного или не-
неслучайного (детерминированного) процесса. Величина Лг по
своей природе приближенная и состоит из ступенчатых функ-
функций. Она обусловлена детерминированными сигналами типа си-
синусоиды определенной частоты, которые проявляются на энер-
энергетических спектрах в виде резко выраженных спектральных ли-
линий. Примерами детерминированных сигналов служат сигналы
точного времени, колебания кристалла или лазерное излучение,
хотя и они не дают абсолютно точных линий на спектре. На
рис. 7.2 показаны монотонно возрастающий характер спектраль-
86

ной функции распределения и ее связь с энергетическим спек-
спектром, вытекающая из уравнения G.2.15).
чг си
-«7Г
VC CJ
Рис, 7.2. Энергетический спектр (а) и спектральная функция
распределения детерминированных сигналов (б)
7.3. Взаимный энергетический спектр
Если fi(t) и /2(/) —две периодические функции, то каждую
из них можно разложить в ряд Фурье согласно уравнениям
C.1.13) и C.1.14). Функция взаимной ковариации двух рядов
получается из уравнения F.1.9)
Г/2
c(L) = T~l S f*(t)f2(t + L)dt, G.3.1)
-TJ2
откуда после подстановки C.1.13) в G.3.1) имеем
772 оо
-Г/2 n«-oo
ia>n(t+L)
dt.
G.3.2)
Если изменить порядок суммирования и интегрирования, то
получим
c(L)- ? РФ)е+Ш»1Т-1 Т\ /I@e+'Vd/. G.3.3)
П=.-оо -Г/2
Из сравнения полученного интеграла с функцией, комплекс-
комплексно-сопряженной с C.1.14), видим, что
c(L)= ?
G.3.4)
87

Назовем
Р\2 (ft) = F\ (n) Fz (ti) G.3.5)
взаимным энергетическим спектром. Тогда
оо
с(Ц= ? /Vм" . G.3.6)
П=— оо
Это — ряд Фурье, коэффициенты которого выражаются по
аналогии с C.1.14) как
Р12(гг) = Г [ c{L)z~il*nLdL. G.3.7)
-Г/2
В общем случае функция взаимной ковариации несимметрич-
несимметричная, поэтому имеет порядок вычисления корреляционной функ-
функции F.1.9), поскольку
C12(-L)=C2#i(L) G.3.8)
и
Pi2r{n) = Pl{(n). G.3.9)
В случае fx{t)=fz{t) получаем периодическую автоковариа-
автоковариационную функцию
Т/2
G.3.10)
Г/2
-1 мо/1
-Г/2
Г/2
Из уравнения G.3.4) получаем
G.3.11)
rt=s—оо
а из выражений G.3.5) и G.3.7) —энергетический спектр
Т/2
P(cort) = |F1(/z)|2 = 7-1 j a(L)e~l<*nLdL. G.3.12)
-Т/2
Энергетический спектр и автоковариационная функция яв-
являются парой преобразований Фурье.
Полагая 1=0, из уравнений G.3.10) и G.3.11) получаем
теорему Парсеваля
Т/2
j
/
а@) = Г- j IM0|s<tf= S |f(*)l2. G.3.13)
-Г/2 п=-оо
или из G.3.12) и G.3.11)
а@)= 2 Р(п). G.3.14)
П*=- оо
88

В случае же непрерывного (аналогового) сигнала, напри-
например, падения напряжения на сопротивлении в 1 Ом, из уравне-
уравнений G.3.13) и B.1.1) следует, что функция автоковариации
равна средней мощности всех гармоник.
Поскольку функция автоковариации четная, ее можно запи-
записать в виде косинусного ряда Фурье с нулевым фазовым сдви-
сдвигом. Из уравнений G.3.11) и G.3.12) следует, что
Л—1
Р(п) cos (*nL. G.3.15)
Коэффициенты Фурье ап и Ъп определяются из выражений
C.1.9) и C.1.10) и связаны с функцией F(n) посредством A.21)
из приложения 1:
F(n) = 0?{an-tbny9 л = 0, ±1, ±2, ... G.3.16)
Из уравнения G.3.12) получим выражение для энергетиче-
энергетического спектра периодической функции.
Р(п) = | FX (n)\2 = (a2n+ Й)/4. G.3.17)
Функция автоковариации периодической функции получается
из уравнения G.3.15)
a (L) = al/4 + 0,5 ? (a* + Й) cos «>nL. G.3.18)
l
7.4. Компенсация влияния измерительной аппаратуры
Аппаратурные искажения сигнала в процессе его регистрации
можно компенсировать путем обратной свертки во временной
области. Покажем, что если предметом исследований являются
только энергетические спектры, то аппаратурные искажения
легче всего скорректировать, оперируя в частотной области.
Обозначим входной сигнал через x(t), импульсную реакцию и
передаточную функцию записывающей аппаратуры соответст-
соответственно через W(t) и У(со), а дискретный выходной сигнал через
y(t). Выходной сигнал задается интегралом свертки E.1.5).
Коэффициент автоковариации выходной функции определяется
выражением F.1.6). Подставив выражение E.1.5) вместо вы-
выходных функций в F.1.6), получим
Г/2 оо оо
a(L)= lim Т~х \ \ \ W{LX)W{L2)x{t-Lx)x{t + L-
Г-*оо -Г/2 -оо -оо
— Ь2) cLL^ ciL<i at. (/.4.1)
89

Пусть исходная функция автоковариации определяется вы-
выражением
Г/2
,-L2)= lim T~l I x(t - Lt)x[{t - Lx
+ (L + Lx-LJ\dt. G.4.2)
Тогда уравнение G.4.1) примет вид
оо оо
a(L)=\ \ WiLJWiLJaxiL + U-L^dLtdLi. G.4.3)
Фурье-преобразование функции ax{L + Li — L2) является со-
согласно G.3.12) энергетическим спектром Р(со), поэтому
оо оо оо
—oo —oo —oo
J W{LX)W(L2)P{<u)ztmiL+tl + Ll)dUdLi da.
oo
G.4.4)
Перегруппировав члены в выражении G.4.4), получим
а(?) = BлГ' f Г f WiLJe'^'dLAx
—оо L—оо J
X И W (L2) *-Ш12 dL2 Р (©) ei<oL dv>. G.4.5)
Согласно уравнению E.3.3), интегралы в квадратных скоб-
скобках выражения G.4.5) представляют собой передаточные функ-
функции У* (со) и У (со), поэтому
оо
а(Ь) = BлГ1 \ |К(ю)|2Р(со)е'и1(/(о. G.4.6)
Это выражение является фурье-преобразованием функции
Ру{®) ^Wi®) |2^(@)- Учитывая теорему, согласно которой
фурье-преобразование автоковариационной функции является
энергетическим спектром, получаем
оо
J a{L)<TtLdL, G.4.7)
где Ру(ы)—энергетический спектр сигнала на выходе регист-
регистрирующей аппаратуры. Поэтому в соответствии с G.4.6) имеем
Ру(со)==|У(со)|2Р(со). G.4.8)
Если передаточная функция известна, то искажения энерге-
энергетического спектра, вносимые измерительной аппаратурой, легко
90

исправляются. Истинный энергетический спектр определяется
соотношением
Р((О) = Р?,(со)/|У(со)|2. G.4.9)
Амплитудно-частотная характеристика |У(со) | типичного
сейсморегистрирующего устройства, используемого для записи
землетрясений, изображена на рис. 3.4.
ГЛАВА 8
ИСКАЖЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
8.1. Частота Найквиста
Для получения энергетического спектра наблюденных дан-
данных вначале нужно преобразовать непрерывную запись в дис-
Рис, 8.1. Бесконечная функция ди-
дискретизации Дирака во временном — #
представлении '" ~Ш-аь о At ZAt
кретную с помощью аналого-цифрового преобразователя
(рис. 8.1). Процесс преобразования аналоговой формы записи
в цифровую равнозначен умножению непрерывной функции на
бесконечную функцию дискретизации Дирака C.2.3). Фурье-пре-
Фурье-преобразование временной функции дискретизации Дирака дает
функцию частотной дискретизации C.2.4) Дирака [324].
Заметим, что фурье-преобразование одиночной дельта-функ-
дельта-функции Дирака (одиночного единичного импульса) — непрерывная
функция, а фурье-преобразование бесконечной последовательно-
последовательности дельта-функций Дирака, т. е. функции временной дискрети-
дискретизации Дирака—дискретная функция. Гармонические функции
интерферируют деструктивно, т. е. подавляя друг друга, за ис-
исключением тех мест, где частота
1 = фп = п/М. (8.1.1)
Предположим, что синусоида дискретизована равномерно
с шагом А*. Частоты 0 ^ / ^ fN образуют главный частотный
91

диапазоны. Наибольшая частота этого диапазона /jv называется
частотой Найквиста [308] или частотой биений
fN=*/2At. (8.1.2)
Это соотношение следует из теоремы Котельникова, согласно
которой для обнаружения любой частотной составляющей тре-
2АЬ
А А /у.
Рис. 8.2. Максимальная обнаружи- Рис. 8.3. Бесконечная функция ди-
ваемая частота при интервале ди- скретизации Дирака в частотном
скретизации в 2 мс представлении. Наблюденные данные
находятся в главном интервале, пока-
показанном штриховкой
буется не менее двух выборок (рис. 8.2). Фурье-преобразование
бесконечной функции временной дискретизации Дирака можно
изобразить в зависимости от удвоенной частоты Найквиста
(рис. 8.3).
В частотном представлении процесс дискретизации можно
определить как свертку функции частотной дискретизации
фурье-преобразованием наблюденных данных. В результате по-
получаем непрерывную функцию, которая содержит всю информа-
информацию в главном частотном диапазоне (рис. 8.3).
8.2. Искажения за счет появления частот Найквиста
При дискретизации невозможно отличить частоты, большие
частоты Найквиста, от частот главного диапазона (рис. 8.4).
С аналогичной ситуацией сталкиваются при изучении распрост-
распространения волн через периодические структуры типа кристаллов
[76]. Поэтому, если в дискритизуемом сигнале имеются состав-
составляющие с частотами выше /дг> то их энергия будет отражена
в главный диапазон энергетического спектра симметрично отно-
относительно fry Это объясняет необходимость максимального
подавления в анализируемом сигнале частот выше частоты
Найквиста.
Возьмем непрерывный временной ряд и найдем его функцию
автоковариации и энергетический спектр (рис. 8.5). Пусть зна-
значения энергетического спектра Р(со) для |/| >fN равны нулю.
Если этот временной ряд равномерно дискретизовать, т. е. взять
отсчеты в моменты времени t = O±At, ±2ht, ..., то энергетиче-
энергетический спектр дискретной функции определится выражением
оо
Ра (о) = j [v (t. ДО а (<)] е~ш dt, (8.2.1)
—оо
92

где величина в квадратных скобках представляет собой дис-
дискретную функцию автоковариации.
Энергетический спектр дискретной функции можно получить
с помощью операции свертки в частотной области [55]: _
Pa(co)=v(o), l/M)XP(<*) (8.2.2)
Рис. 8Л. Пример, демонстрирующий невозможность выделения после дискре-
дискретизации сигналов с частотами, превышающими частоту Найквиста:
/_3 — сигналы частотой 1, 4, 11 Гц (Д/-0.2 с; fN-*2,S Гц)
Рис. 8.5. Энергетический спектр ги-
гипотетического сигнала
ИЛИ
6(о>72л — rt/Д/) Р (со/2л —
(8.2.3)
Интеграл существует, только когда <о72я=п/Д*, поэтому
оо
Ра(<*)= 2 Р(о)/2л-л/Д0. (8.2.4)
Из уравнения (8.2.4) следует, что энергетический спектр
дискретной функции является периодической функцией
(рис. 8.6). Части энергетического спектра, находящиеся за пре-
пределами главного диапазона частот, не принимаются во вни-
внимание.
Если рассматриваемый временной ряд обладает значитель-
значительной энергией на частотах, больших частоты Найквиста, то энер-
энергетический спектр, рассчитанный по дискретным данным, не бу-
будет истинным (точным) в пределах главного диапазона частот.
Гармонические составляющие с частотами выше f^ должны
быть подавлены с помощью фильтра нижних частот до вычисле-
93

ния функции автоковариации. Этот прием позволит избежать
искажений энергетического спектра в главном диапазоне.
Если же по невнимательности указанная предварительная
фильтрация выполнена некачественно, то полезно знать, какие
частоты вносят энергию в главный диапазон рассчитанного
спектра. Обозначим истинный энергетический спектр непрерыв-
непрерывной функции через P(f). Пусть энергетический спектр дискрет-
дискретных данных имеет вид, как на рис. 8.6. Тогда в соответствии
Рис. 8.6. Энергетический спектр
дискретного сигнала. Заштрихован
истинный энергетический спектр
непрерывного сигнала
й)/29Г
с законом сохранения энергии мощность (или энергия в единицу
времени), сосредоточенная в главном диапазоне спектра Ра,
должна равняться полной мощности, сосредоточенной в истин-
истинном спектре P(f):
oo
Pa(f)df= $ P(f)df.
(8.2.5)
В главном диапазоне спектра дискретной функции мощность
определяется по формуле (8.2.4) или в терминах циклической
частоты
(8.2.6)
При положительных п функция Р четная, т. е. Р(—х) =Р(х),
-2nfN) = PBnfN-f).
или
Уравнение (8.2.6) можно записать в виде суммы трех членов
только с положительными nf причем у первого члена /г=0 [55}
Ра (/) = Р (f) + Е [P BnfN - /) +' Р BnfN + /)]. (8.2.7)
Согласно уравнению (8.2.5), частота в (8.2.7) может изме-
изменяться только в диапазоне от 0 до />. В развернутом виде спек-
спектральная энергия дискретной функции [уравнение (8.2.7)] запи-
записывается как
-•> (8.2.8)
Например, если интервал дискретизации равен 0,2 с, то ча-
частота Найквиста равна 2,5 Гц. В соответствии с (8.2.8) в значе-
94

ние Pa(f) на частоте /= 1 Гц дополнительно вносятся мощности
зеркально отраженных составляющих с частотами BfN — /),
B/+f)> D/n — f) и т. д., т. е. 4; 6; 9; И Гц и т. д., поскольку
... (8.2.9)
Если в уравнении (8.2.7) п = 12, то 2п/л-=60 и, значит, лю-
любой сигнал с частотой 60 Гц наложится в виде энергии на по-
постоянную составляющую с / = 0. Механизм возникновения иска-
Рис. 8.7. Искажения за счет дискре- F г
тизации, возникающие в том случае, ' '
когда до дискретизации применен
недостаточно эффективный фильтр
нижних частот (а — главная полоса
искажений)
О 1 2,5 Ц 5 6 7,5 9 10 II 12,5 1k
Рис. 8.8. Искажения за счет дискретизации сигнала, трактуемые как наложе-
наложение частот, зеркальных относительно частоты Найквиста
жений в процессе дискретизации непрерывного сигнала пояс-
поясняется рис. 8.4 и 8.7.
Искажения за счет дискретизации сигнала называют также
сложением частотного спектра относительно найквистовой ча-
частоты (рис. 8.8).
Влияние дискретизации на исходный вибросигнал по мере
того, как его частота начинает превышать частоту Найквиста,
иллюстрируется рис. 8.9. Аналоговый сигнал на входе имеет вид
y(t)=As\nj>, (8.2.10)
где фаза
+ Ы2/2), (8.2.11)
а мгновенная (текущая) частота f< задается выражением
JL-g_ = /, = /„ + ?/. (8.2.12)
На выходе аналого-цифрового преобразователя имеем
у Цп + п0] А/] = Л sin 2л [f0 (п + п0) At -f [(« + п0) Д/]2 Лг/2], (8.2.13)
где At — шаг дискретизации, м —целое число; по— начальная
фаза; k — скорость нарастания частоты в Гц/с или в цикл/с2.
95

Заметим, что после дискретизации положение видимой макси-
максимальной амплитуды дискретного сигнала изменяется в полосе
между половинной и полной частотой Найквиста. Это происхо-
Вхад
а
6
г "|
250 Гц
Рис. 8.9. Синусоида возрастающей частоты на входе преобразователя аналог—
код (а) и сигналы на выходе преобразователя аналог—код, дискретизован-
ные через Д*=0,004 с (б—-д).
Частота Найквиста равна 125 Гц. Дискретизованные выходные сигналы дискретизованы
соответственно с начальной фазой п0, равной О, 0.25Д/, 0,5Д/, 0,75А^
дит из-за интерференции входного сигнала с функцией дискре-
дискретизации Дирака в процессе аналого-цифрового преобразования.
Форма возникающих биений целиком определяется начальной
фазой. В дискретной форме вибропосылки частоты большей
частоты Найквиста, зеркально отражаясь, накладываются на
этот сигнал в диапазоне 0 — fa.
96

Если вся полезная информация, содержащаяся в наблюден-
наблюденных данных, сосредоточена между нулевой и 7г частоты Наикви-
ста, то дискретизация непрерывного сигнала не будет сопровож-
сопровождаться потерей информации. Это в высшей степени важный
факт, так как он позволяет посредством дискретизации инфор-
информации хранить данные в очень компактной форме. Заметим, что
между частотами /^/2 и fN теряется фазовая информация. Если
представляет интерес только информация о периодах, больших
1 с, а динамический диапазон записи равен 15 битам (обычно
14 бит уходит на запись амплитуды и по 1 биту на идентифика-
идентификацию времени и канала), то на одной магнитной ленте при 9-до-
рожечной цифровой записи с плотностью 1600 бит/дюйм можно
закодировать данные, зарегистрированные непрерывно в тече-
течение одного месяца.
ГЛАВА 9
ОЦЕНКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ
9.1. Введение
Известно почти столько же способов вычисления оценок
энергетических спектров, сколько существует программистов,
составляющих алгоритмы для решения этой задачи. В большин-
большинстве способов предусмотрено использование определенных ком-
комбинаций весовых множителей и дискретного преобразования
Фурье. БПФ позволило использовать в новейших алгоритмах
вычисления энергетических спектров модифицированные перио-
периодограммы [218], а не преобразовывать по Фурье сглаженные
и усеченные функции автоковариации, как первоначально было
предложено Р. Блекманом и Дж. Тьюки [55]. Новейшими яв-
являются методы максимального правдоподобия Дж. Кейпона
[91] и Р. Лакоса [256] и максимальной энтропии Дж. Бурга
[83], основанных на теории оптимальной предсказательной
фильтрации (см. гл. 11 и 12).
9.2. Влияние конечности данных
Энергетический спектр, рассчитанный по данным конечной
длительности, искажается, поэтому необходимо свести до мини-
минимума этот нежелательный эффект, что связано со значитель-
значительными трудностями. Усечение данных можно рассматривать как
умножение записи бесконечной длительности на временную ве-
весовую функцию прямоугольной формы (рис. 9.1).
7 Заказ № 4 97

В частотном представлении усечение эквивалентно свертке
фурье-преобразования данных /'(со) с фурье-преобразованием
или ядром прямоугольной весовой функции W(co) (рис. 9.2):
W (со) = 2Lm sl^Lm . (9.2.1)
Периодограмма получается возведением в квадрат этой
свертки, т. е. в виде [F(co) *W((o)][F(to)*W((o)] *.
W(t)
1
Рис. 9.1. Прямоугольная весо-
весовая функция во временной об-
области
fit)
Рис. 9.2. Ядро или фурье-преобразо-
фурье-преобразование прямоугольной весовой функ-
функции
t
-оо
-60 60
Рис. 9.3. Бесконечная синусоида и ее фурье-преобразование
fit)
59,3
60,7
60
yt Гц
Рис. 9.4. Отрезок сигнала F0 Гц) и его фурье-преобразование.
Длительность сигнала равна я/2 с
Когда фурье-преобразование прямоугольной весовой функ-
функции свертывается с фурье-преобразованием сигнала, на каждой
расчетной частоте результирующая частотная функция изменя-
изменяется аналогично изменению на кривой, изображенной на рис. 9.2.
Это иллюстрируется простым примером фурье-преобразования
синусоиды с частотой 60 Гц (рис. 9.3). Если сигнал, изображен-
изображенный на рис. 9.3, усечь, то спектральные линии превратятся в по-
полосы определенной ширины с побочными экстремумами, подоб-
подобные преобразованию прямоугольной весовой функции (рис. 9.4).
98

Конечная ширина спектральных линий — общая особенность
физических процессов с выраженной периодичностью. Наиболее
яркий пример такой особенности заключен в принципе неопре-
неопределенности Гейзенберга. Однако, если усечению подвергается
функция автоковариации, а не сам сигнал, как на рис. 9.4, то ее
фурье-преобразование (энергетический спектр) может на неко-
некоторых частотах стать отрицательным. Поскольку отрицательная
энергия не имеет физического смысла, данная особенность спек-
спектра является нежелательной. Поэтому предпринимаются по-
попытки устранить или ослабить эти эффекты путем применения
различных спектральных весовых функций. Спектральные
оценки, базирующиеся на функциях автоковариации, в настоя-
настоящее время используются редко, поэтому эти вопросы рассмот-
рассмотрены в приложении 6.
9.3. Сглаживание краевых эффектов
В начале и в конце вектора данных может наблюдаться
большой перепад в значениях функции. Полезно постепенно
уменьшать значения в начальной и конечной частях записанной
информации, сводя их к среднему, которое обычно равно нулю.
В качестве оптимальной сглаживающей концы записи, служит
так называемая косинусная колоколообразная функция. В слу-
случае N' отсчетов данных n-я выборка умножается на
Wn=
(l+cos
(l+cos
I, -L^n^L, (9.3.1)
L<n<L + M.
Фурье-преобразование весовой функции имеет вид
+ м[cos [«о+со,) м+«ц sh;i;+oy ]+
I г/ \ \л I /л sin (со — coo) M 1
+ COS [(CD - С00) М + 0)L] {*_щ)'м J,
где соо=я/2М, а со=2я/. В этом выражении М определяет пе-
период косинусной колокольной функции. При использовании ал-
алгоритма БПФ можно добавить нули в начале или в конце век-
вектора дискретных данных, чтобы довести общее число выборок
до jV=2\ где k — любое целое число. На рис. 9.5 изображены
пара косинусных колокольных функций и отрезок данных, рас-
расширенный до N=2k выборок путем добавления нулей. Сглажи-
Сглаживание краевых эффектов не имеет большого значения при ана-
анализе протяженных записей, но весьма существенно при изуче-
7* 99

нии отдельных волновых пакетов в сейсмологии. Оно позволяет
свести к минимуму влияние соседних волновых пакетов и избе-
избежать корректировки больших значений в начале и конце мно-
множества данных.
/kkkkkkkkkkkiikkk кк ккккк АЛ
\ -н-
I Ка аа а к.
-(Z. + M) -L О L L+M n
Рис. 9.5. Весовая функция, применяемая для ослабления краевого
эффекта
9.4. Спектральная оценка Даниеля
Длительность данных необходима для разделения двух
близко расположенных пиков и надежности оценки энергетиче-
энергетических спектров. Чтобы преодолеть недостатки, свойственные пе-
периодограммам, особенно при изучении данных, содержащих по-
помехи, периодограмму можно оценить в пределах небольшого
диапазона частот. Этот прием может значительно уменьшить
дисперсию оценки энергетического спектра. Дисперсию оценки
Ре определяют по формуле
где P(o)i) —истинная спектральная плотность; W(co) —реакция
сглаживающего фильтра или спектральной весовой функции.
Если Р2 приблизительно постоянна в пределах главного мак-
максимума спектральной весовой функции, то этот член можно вы-
вынести за знак интеграла. Определив асимптотическую дисперсию
как
оо
А. V. (со) = Г \ W2(a>)da>, (9.4.2)
—оо
получим приближенную дисперсию оценки в виде
Var \Ре («)] « Р2 (со) [А. V. (©)]. (9.4.3)
Если анализируемый сигнал не является стохастическим про-
процессом, характеризующимся приблизительно постоянной энер-
энергией на всех частотах, то дисперсия, а следовательно, и ошибка
оценки, будет больше. Фурье-преобразование спектральной весо-
весовой функции дает ее форму в пространственном или временном
100

представлении W(L). По нему можно судить о степени сглажи-
сглаживания автоковариационной функции. Обозначим главный макси-
максимум или ширину временной весовой функции через Lm. Разре-
шенность по частоте, достигаемая с помощью величины Lm,
определится как
Ц=\Цт. (9.4.4)
-1/2т
0
чт/т со
У2.т f
Рис. 0.6. Прямоугольная или
спектральная весовая функция
Даниеля
Рмс. 9.7. Обратное преобразование
Фурье идеальной весовой функции
Даниеля, изображенной на рис. 9.6
П. Даниель [125] предложил пользоваться спектральной ве-
весовой функцией, имеющей прямоугольную форму в частотной
области (рис. 9.6). Приближенное выражение этой функции мо-
можно получить путем усреднения по 2т+1 соседних частот. Спек-
Спектральная оценка Даниеля, базирующаяся на быстром преобра-
преобразовании Фурье [114], имеет вид
- ЛF*<w -
W = 0, 1, .... N'12. (9.4.5)
Звездочкой обозначена комплексно-сопряженная функция.
При вычислении функции F (W) используется дискретное преоб-
преобразование Фурье, в основе которого лежит алгоритм БПФ
F (W) = Zf (T) e
7=0
-2niWTIN'
(9.4.6)
К N выборкам данных (Г=0, ..., N— 1) добавляются нули
на временах T=N> ..., Nf — 1, чтобы сделать число N' кратным
2. Как будет показано ниже, отношение N/N' должно равняться
приблизительно 0,7, чтобы спектральная весовая функция стала
гладкой. Угловая частота со (в рад/с) определяется выражением
«> = 2nW/N'At; IF = O, I, ..., W/2. (9.4.7)
Ширина весовой функции (рис. 9.6) в частотном представлении
Дсо = 2л/тДг. (9.4.8)
Параметр m определяет разрешенность, причем его значение
устанавливается опытным путем. Как правило, он принимает
значения от 3 до 8.
101

Во временном представлении (или же в пространственном,
когда энергетический спектр вычисляется по автоковариацион-
автоковариационной функции) обратное преобразование Фурье прямоугольной
-7 О 10)
Рис. 9.8. Весовая функция Даниеля для N/N'=0,7 (/) и 1,0 B) при т==7
весовой функции определяется соотношением (9.4.10), график
которого приведен на рис. 9.7:
(9.4.9)
J-я/т —
(9.4.10)
102

Частотная характеристика спектральной весовой функции
изменяет свою форму в результате дискретного преобразования
Фурье и добавления нулей к концам анализируемого множества
данных:
Я fa), f (94in
Форма весовой функции показана на рис. 9.8. Заметим, что
при использовании расширенного множества данных изрезан-
ность функции уменьшилась. Дисперсия оценки пропорцио-
пропорциональна отношению
Var [PD (со)] = Р2 (©)/ЛГ Лео, (9.4.12)
причем ширина весовой функции на половинном уровне мощ-
мощности
Af=l/NAt + 2m/N'At, (9.4.13)
где At — шаг дискретизации. Соответствующее число степеней
свободы распределения хи-квадрат равно N/2Af. Вычисление
спектральной оценки по Даниелю рекомендуется для случаев,
когда анализируемое множество данных состоит из малого
A00—500) или среднего E00—4000) числа выборок.
9.5. Спектральная оценка Бартлета
В случае весьма больших множеств данных (число выборок
превышает 2000) энергетический спектр рекомендуется опреде-
определять как среднее из нескольких оценок, найденных с использо-
использованием периодограмм. М. Бартлет [39] предложил уменьшать
дисперсию путем разбиения временного ряда, состоящего из N
выборок, на / подмножеств, каждое из которых включает в себя
L дискретных значений (рис. 9.9). Для каждого из подмножеств
находится уравнение типа G.1.2) и затем для каждой частоты
рассчитывается усредненная плотность энергии
Ре (W) = 4Г S
где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная функция.
Циклическая частота (в цикл/с или Гц)
f = W/L'Att W = 0, I, ..., U12. (9.5.2)
Чтобы найти функцию Fi(W)> применяют дискретное преоб-
преобразование Фурье по алгоритму БПФ
Fi(W) = "ft ft (T) e-2niWTfL\ (9.5.3)
103

Число выборок L в функции /г доводится до V добавлением
нужного числа концевых нулей так, чтобы сделать V кратным
2 и с наибольшей эффективностью использовать алгоритм БПФ.
Чтобы правильно скорректировать значения энергии, в спек-
спектральную оценку Ре вводят весовые коэффициенты с помощью
L/L для увеличения разрешенности. В работе [114] показано,
что дисперсия оценки уменьшается обратно пропорционально
числу подмножеств /:
co)] = P2(co)//. (9.5.4)
ft
Рис. 9.9. Разбиение множества данных, состоящего из N отсчетов,' на / под-
подмножеств в случае вычисления спектральной оценки Бартлета
При вычислении данной оценки дисперсии предполагается,
что истинный энергетический спектр Р приблизительно равно-
равномерен на всех частотах в пределах главного диапазона. Соответ-
Соответствующее число степеней свободы распределения хи-квадрат
равно 2/1.
9.6. Рандомизация (фильтрация) данных
Оценки энергетического спектра получаются наиболее точ-
точными, когда энергия распределена равномерно по всему диапа-
диапазону частот. Часто распределение энергии имеет один или не-
несколько широких максимумов. Среднее значение энергии на
отдельной частоте / может сильно исказиться в процессе вычисле-
вычислений, поскольку спектральные весовые функции перераспреде-
перераспределяют энергию больших максимумов на соседние частоты. Чтобы
преодолеть эти трудности, анализируемые данные пропускаются
через фильтр, который усиливает частотные составляющие
с меньшими амплитудами. Процесс приведения формы резуль-
результирующего спектра к виду, близкому к спектру случайной
функции, называется рандомизацией (или стохастизацией) ис-
исходных данных. В результате выравнивания амплитуд частот-
частотных составляющих уменьшается вредное влияние побочных
максимумов спектральных весовых функций. После вычисления
спектра с помощью весовой функции применяют некоторый об-
обратный фильтр, компенсирующий действие рандомизирующего
фильтра. Другими словами, энергетический спектр рандомизи-
рандомизированной функции Р(со) следует разделить на квадрат модуля
передаточной функции Y рандомизирующего фильтра:
Рв(со) = Р(со)/|У(о))|2. (9.6.1)
104

Является ли операция рандомизации данных перед вычисле-
вычислением спектра действительно весьма полезной — вопрос спорный.
Однако перед вычислением энергетических оценок важно сде-
сделать выборочную среднюю, равную нулю. В противном случае
на низких частотах будет преобладать постоянная составляю-
составляющая. Кроме того, на практике иногда исключают линейный
тренд (перекос нулевой линии), поскольку он приводит к иска-
искажению спектральных оценок на всех частотах и особенно на
длинных периодах [214].
9.7. Энергетический спектр в матричной форме
В некоторых случаях удобно выражать оценку спектральной
плотности в матричной форме [256]. Зададим функцию автоко-
вариации ап выражением
Nn Yj
ап = а-п. (9.7.1)
Если шаг дискретизации обозначить через Д/, а спектраль-
спектральную весовую функцию во временном представлении через Wn,
то выражение для оценки энергетического спектра на частоте
f примет вид
(9.7.2)
Весовая функция Бартлета (см. приложение 5)
\n\<N,
\n\>N.
Wn=
N
О,
(9.7.3)
Уравнение (9.7.2) с весовой функцией Бартлета в матричной
форме будет иметь вид
X
или в более компактном виде
-i2nf At
.-i2nf (N-\)M
(9.7.4)
105

где Е — вектор-столбец; Т — операция транспонирования; А —
корреляционная матрица размером NxN, а звездочкой обозна-
обозначена комплексно-сопряженная функция.
Для вычисления уравнения (9.7.4) сначала найдем произве-
произведение Л?*:
а_ (лг- „ + а- (,v-2)e-2"'-f д< + .. . + аое*" (ЛГ~ '>
(9.7.5)
Затем просуммируем приведенные выше слагаемые и найдем
-\)f M
+ S але-2я1||/А'. (9.7.6)
Суммы, входящие в уравнение (9.7.6), можно сформировать
графически (рис. 9.10) для случая N = 5. Символом Еп обозна-
обозначено выражение
-i2nfnAt
а линии проведены через просуммированные точки.
При суммировании по столбцам (рис. 9.10, б) матрица при-
приобретает вид
M. (9.7.7)
106

Таким образом, получаем выражение для оценки энергетиче-
энергетического спектра с помощью весовой функции Бартлета
*¦ -*" *- Т" Л/ — I П I O~Jf A *
= Zj N ппе * (9-7-8)
'. i i i i i
n-4 -3 -2 -t 0 1 Z 3 Ц П-Ь -3 -Z -1 О 12 3b
Puc. 9.10. Суммирование строк (а) и столбцов (б) при вычислении значения
матрицы Е'АЕ*
9.8. Вычисление спектров по функциям автоковариации
До БПФ спектральные оценки определялись с помощью
фурье-преобразования модифицированной функции автоковариа-
автоковариации am, которая в свою очередь получалась в результате умно-
умножения усеченной автоковариационной функции a(L) на времен-
временную весовую функцию W(L):
am(L) = W(L)a(L). (9.8.1)
Данная процедура известна под названием методики вычис-
вычисления спектров Блекмана—Тьюки [55]. В настоящее время ме-
методика устарела, но некоторые эмпирические весовые функции,
использованные ранее, представляют определенный интерес (см.
приложение 6). По этому вопросу имеется обширная литера-
литература [193,214,325,328].
ГЛАВА 10
ВЗАИМНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ДВУХ МНОЖЕСТВ ДАННЫХ
10.1. Вычисление функции взаимной ковариации
с помощью БПФ
Функция взаимной ковариации является мерой линейной за-
зависимости между двумя рядами хну при некотором заданном
сдвиге L. Так как дискретное фурье-преобразование можно вы-
107

полнять весьма быстро с помощью специального алгоритма,
было предложено [384] рассчитывать функции авто- и взаимной
ковариации во всей частотной области. В таком случае энерге-
энергетические спектры этих функций можно получать обратным пре-
преобразованием Фурье ковариационных функций, оцененных с по-
помощью сдвиговой весовой функции. При круговой рекурсии дан-
данных временные ряды должны быть расширены добавлением не-
необходимого числа нулей. Ниже приводится последовательность
математических операций, требуемая для расчета автовзаимных
и энергетических спектров, заимствованная из работы [164].
Два анализируемых временных ряда дискретизуются с шагом
Д/, а их математические ожидания приводятся к нулю
У = (Уо, У и #2, ..., Уы-х)-
Искомое значение функции взаимной ковариации при сдвиге
определяется по формуле
Z Ь = 0, 1, ..., JV-1. A0.1.1)
Значение функции автоковариации получается при
Фурье-преобразования рядов х и у имеют вид
X (W) = ?х (Т) e-**iWT,N*. (Шл 2)
ty() A0.1.3)
г=о
При этом временные ряды х(Т) и у(Т) на концах сглажены
косинусными колокольными функциями и расширены за счет
добавления нулей до числа N'9 кратного 2 или 4. Если исполь-
используется весовая функция Даниеля, то N' ^ 2N. Другими словами,
в начале, в конце или на обоих концах временных рядов нужно
добавить такое число нулей, которое позволяет избежать иска-
искажения периодограммы за счет побочных максимумов весовой
функции. Подобное может случиться и с циклическими функ-
функциями X(W) и Y(W)> повторяющимися с периодом N'. В случае
весовых функций Парцена и Ганна величина N' может дости-
достигать всего лишь 120 % от N, поэтому необходимо добавлять
меньшее число нулей. При вычислении энергетического спектра
по авто- или взаимным корреляционным функциям с указан-
указанными выше весовыми функциями используется всего 10 или
20 % значений сдвигов.
Функция взаимной ковариации получается посредством
фурье-преобразования произведения X*(W)Y(W) аналогично
уравнению C.2.29)
108
С (L) = I/AT \"t' (X* m Y (W)T e-*4*wT. (io. 1.4)

При отрицательных сдвигах значения функции вычислять не
следует, так как они определяются в результате циклического
повторения ряда, т. е. С(—1) =C(N'— 1) и т. д.
10.2. Взаимный спектральный анализ и функция
когерентности
В результате взаимного спектрального анализа можно полу-
получать не только функцию когерентности, являющуюся мерой кор-
корреляции двух процессов на каждой из частот, но и фазовый
спектр, определяющий разность фаз на всех частотах. Комплекс-
Комплексный взаимный энергетический спектр получается путем фурье-
преобразования функции
Cm = C{L)W(L), A0.2.1)
где W(L)—выбранная весовая функция в сдвиговом или вре-
временном представлении.
Данная кажущаяся модифицированная функция взаимной
ковариации вычисляется в М точках, где M = 2kf при этом k —
целое число, значение которого зависит от типа и формы вы-
выбранной весовой функции
P(W)= Z Cm(L)e-2nlWL/M. A0.2.2)
Вещественная часть комплексного взаимного энергетического
спектра называется ко-спектром
CSP (W) = Re [P (W)], A0.2.3)
а мнимая — квадратурным спектром
QSP (W) = Im [P (W)]. A0.2.4)
Фазовый спектр
0 (W) = arctg'JQSP (W)/CSP (W)]. A0.2.5)
Коэффициент когерентности определяется отношением [450]
CU{W) = CSP + iQSP A0.2.6)
*V ' [X(W) У (W)]l/i V '
Функция когерентности имеет вид
_ (CSP)>+(QSP)> (lQ27)
Эти величины будут рассмотрены в следующем разделе. На
рис. 10.1 и 10.2 приведены блок-схемы процесса вычисления
энергетической оценки.
Согласно уравнению (9.5.1), взаимная спектральная оценка
определяется выражением
109

x{t)
2
3
к
5
6
\
\
Ку
\ \
wfx
*^
W3*Y
Mx
}
A-D
it*
X(T)
Y(T)
У(П
пл
7
\
w*x
\
k
1
5
PXY
\
\
7
1
W*Y
r(w)
CSP(W) CSP(W) 9{W) C{W)
Цирродои плоттер
Рис. 10.1. Блок-схема
электронной обработки:
/ — обнаружение и усиление
сигналов; 2 — хранение сиг-
сигналов в аналоговой форме;
3 — фильтрация (свертка)
с целью подавления спек-
спектральных составляющих
выше частоты Найквиста;
4 — мультиплексирование и
подбор данных для дискре-
тизации; 5 — преобразование
аналоговой записи в цифро-
цифровую (умножение на функ-
функцию дискретизации); 5 —
данные в цифровой форме,
записанные на магнитной
ленте или на перфокартах
Рис. 10.2. Этапы вычисления взаимных энергетических оценок:
1 — отбор данных; 2 — усечение с помощью прямоугольной весовой функции и добавле-
добавление нулей; 3 — выравнивание частотного состава или устранение перекоса нулевой линии;
4 — быстрое преобразование Фурье; 5 — сглаживание взаимных спектральных оценок;
€ — обратная фильтрация для компенсации фильтрующего воздействия аппаратуры и
выравнивания частотного состава; 7 — вычисление ко-спектра, квадратурного спектра,
фазовой характеристики, функции когерентности; 8 — интерпретация
Интерпретация
где X(W) и Y(W) получаются путем БПФ векторов данных,
разделенных на подмножества (см. рис. 9.9).
Как правило, анализируемое множество данных недоста-
недостаточно велико, поэтому применяется какая-нибудь модификация
весовой функции Даниеля, например (9.4.5):
-
X(W - j)Y* (W - j), A0.2.9)
где
W = 0, 1, ... N'/2;
v> =-2л{N'-W)/Nr, W = N'/2+\ ЛГ-1.
Заметим, что ко-спектр является четной функцией частоты,
а квадратурный спектр — нечетной.
110

10.3. Коэффициент когерентности
Взаимный спектральный анализ необходим при исследова-
исследовании физических процессов, связанных с электромагнитными яв-
явлениями. При изучении монохроматического поляризованного
света было обнаружено, что составляющие электрического
поля х и у могут находиться в фазе и в этом случае считаться
линейно поляризованным (рис. 10.3). С другой стороны, эти две
составляющие могут быть и не в фазе, и в этом случае конец
электрического вектора движется по эллипсу, а излучение на-
называется эллиптически поляризованным. Линейно-поляризован-
Линейно-поляризованная составляющая определяется ко-спектром, а эллиптически
поляризованная — квадратурным спектром.
Функции взаимной корреляции используются при обработке
магнитотеллурических зондирований [90]. Поведение коэффи-
коэффициента когерентности между наблюдениями на далеко отстоя-
отстоящих друг от друга станциях исследовано в работе [318]. Ко-
Коэффициент когерентности использовался в океанографических
исследованиях при определении источника некоторых видов по-
поверхностных волн [300].
Функции взаимной корреляции использовались при обра-
обработке сейсмических данных, полученных группой станций
с целью улучшения отношения сигнал/помеха.
Изучение когерентности особенно необходимо при сравне-
сравнении двух множеств данных, осложненных случайными поме-
помехами. Теория этого вопроса тщательно изучена Н. Гудманом
[177]. В оптике значение функции когерентности, меньшее 1,
свидетельствует о присутствии неполяризованного света, возни-
возникающего, когда атомы испускают фотоны несогласованным об-
образом, так, что направления электрического поля каждого
кванта света меняется случайно.
Некоторые источники электромагнитных полей (особенно
те, которые создают магнитотеллурические поля) могут гене-
генерировать случайную последовательность импульсов, в которых
электрическое и магнитное поля находятся в определенном
фазовом соотношении. Другие типы источников, в частности,
небольшие по размеру и слу-
случайно распределенные в про-
странстве, могут генерировать
некогерентные сигналы, у ко-
торых постоянство соотноше- <<\
ния фаз не соблюдается
(рис. 10.4). Пусть входные PtiCm 1О.з. Линейно поляризованный
шумы гп 1 И 8П2 абсолютно слу- свет, две векторные составляющие
чайные В ЭТОМ случае функ- которого находятся в фазе (а), и эл-
ция взаимной корреляции на- ™-q ^ГГиТсос—'
олюдаемых сигналов Ан и лЕ ЩИМи электрического поля сущест-
будет иметь нулевое значе- вует сдвиг фаз в я/4 (б)
111

ние только благодаря волновым импульсам, связанным с es.
Если сглаживания не производится, то независимо от при-
природы наблюдаемых процессов функция когерентности
= \X(W)Y*(W)\2/[\X(W)\2\Y(W)\2]^l. A0.3.1)
Следовательно, значение функции когерентности всегда бу-
будет равно 1, если только не предусмотрена полосовая фильт-
фильтрация или операция сглаживания с помощью спектральной
весовой функции, как в уравнении A0.2.8) или A0.2.9). С другой
/
1 it f_
2
Ay,'
W
HZ
W
?2
3-
Рис. 10.4. Схема, поясняющая степень когерентности регистрируемых сигналов:
/ — генераторы случайного шума; 2 — свертка с импульсоидом или с импульсной реак-
реакцией среды; 3 — регистрируемые сигналы
стороны, эта операция равнозначна умножению функции вза-
взаимной ковариации на сдвиговую весовую функцию. В резуль-
результате усреднения соседних спектральных оценок шум, который
можно считать случайным вектором, подавляется, так как фазы
двух взаимно коррелируемых сигналов не связаны между со-
собой [281]. Следовательно, функция когерентности Ce(W) из-
измеряет степень общности между двумя сигналами в полосе ча-
частот с центром на W.
10.4. Биспектральный анализ
Статистическое сравнение временного ряда при изменении
сдвига L осуществляется с помощью функции автоковариации.
Можно образовать функции корреляции более высоких поряд-
порядков путем сравнения функции одновременно при двух сдвигах
и более. Н.- Винер определил' функцию автоковариации второго
порядка (называемую также третьим моментом или третьим
семиинвариантом) [476]
A0.4.1)
112

Ее фурье-преобразование является комплексной величиной
и называется биспектром
eiIl)dL,dL,. A0.4.2)
— оо —оо
Он эквивалентен произведению трех фурье-преобразований
функции f (t):
В (со,, co2) = F (со,) F (©,) F* (со, + о>2). A0.4.3)
В работе [199] дано определение нормализованного эквива-
эквивалента, названного функцией бикогерентности,
Перед вычислением функции бикогерентности каждое из
фурье-преобразований в A0.4.3) и каждый энергетический
спектр в A0.4.4) должны быть оценены с помощью соответ-
соответствующей весовой функции.
В работе [197] показано, что, исходя из свойств симметрии,
график биспектра В (он, 02) должен находиться только в одном
из октантов с координатами coi и сог. Значения биспектров вы-
выборок из нормально распределенного шума равны нулю.
Биспектры оказались полезными при исследовании опера-
операций в физических нелинейных процессах. С помощью одной из
подобных операций можно возводить, например, все сигналы
в квадрат.
Возьмем сигнал, состоящий из двух косинусоид:
х = A cos (со,* + ф\) + В cos (со2* + <?2).
Данный сигнал, возведенный в квадрат, примет вид
/ @ = A2 cos2 (со,* + фг) + В2 cos2 (<*2t + ф2) +
+ 2АВ cos (со,/ + <?,) cos (oJt + ф2). A0.4.5)
Взаимный член можно разложить по суммарной и разно-
разностной частотам следующим образом:
2АВ cos (gV + <?0 cos (oJ/ + ^2) = AB cos [(со, + co2) t +
+ (*i + Ф2)] + AB cos [(со, - g>2) t + {фг - ф2]. A0.4.6)
Таким образом, нелинейная система не только пропускает
первоначальные частоты coi и оJ, но и действует как гетеродин,
генерируя суммарную o)i + oJ и разностную coi — со2 частоты.
Подобные эффекты можно обнаруживать с помощью биспект-
рального анализа. В океанографии к нелинейным процессам
относятся, например, удары прибоя и перенос гравитационной
энергии [197]. В работе [199] приведены исследования нели-
нелинейных взаимодействий при возникновении микросейсм,
8 Заказ Кя 4 ЦЗ

а в [281] — низкочастотных составляющих в электромагнитных
полях, но полученные результаты неоднозначны. В работе
[491] высказано предположение, что некоторые из экстремумов
в спектрах записей Чилийского и Аляскинского землетрясений
объясняются взаимодействием различных мод свободных коле-
колебаний вследствие нелинейных явлений.
10.5. Спектральная оценка процесса скользящего среднего
Оценка энергетического спектра надежна только в том слу-
случае, если метод расчета соответствует принятой физической
модели [187, 442]. Методики, рассмотренные в главах 9 и 10,
используют сглаженные периодограммы и могут применяться
к процессу скользящего среднего [69], описываемому простым
уравнением свертки B.1.8). Процесс скользящего среднего —
это такой процесс, при котором текущий сигнал представляется
линейной комбинацией настоящих и прошлых значений случай-
случайного входного сигнала в виде белого шума. Выходной или из-
измеряемый процесс yL получится, если пропустить входной слу-
чайный сигнал s через фильтр W с коэффициентами 1, —W\,
—W2, ..., —Wj. Для удобства первый член фильтра нормиро-
нормирован к 1 и взят фильтр конечной длины. Согласно B.1.8) урав-
уравнение свертки в момент времени t имеет вид
~? i. A0.5.1)
Второй сигнал х можно получить сверткой с входным сигна-
лом п:
xt=~n*W = nt-Wxnt-x-W2nt-2- ... -W}nt-j. A0.5.2)
Переходя к г-преобразованию, получим эти два уравнения
в виде многочленов /-го порядка:
yt = A - Wxz - W2z2 - ...- Wt2f) st\ A0.5.3)
Xt = A - Wxz - W2z2 - ... - Wissf) nt. A0.5.4)
Заметим, что с учетом задерживающих свойств переменной
г-преобразования W\(zst) =W\st-i; W2= (z2st) =Wst-2 и т. д.
Оба уравнения можно разложить на множители, если найти
корни полиномиальных уравнений [277]:
#* = (ai + Piz)(a2 + P2z) ... (ау + Р/г)^. A0.5.5)
Аналогичное уравнение можно составить и для хи Прирав-
Приравняв уравнение A0.5.5) нулю, убеждаемся, что все особые точки
являются нулями. Такой нулевой процесс подобен электрон-
электронной системе с прямой связью. В гл. 13 мы увидим, что все нули
устойчивого фильтра в комплексной плоскости лежат вне еди-
114

ничного круга с |г|=1. Z-преобразование процесса скользя-
скользящего среднего имеет вид
X(z) = W(z)N(z). A0.5.6)
Z-преобразование автоковариационной функции сигнала х%
имеет вид
A(z) = X(z)X(z~l). A0.5.7)
Приравнивание 2 = ехр(—2nif) равнозначно фурье-преобра-
зованию функции автоковариации при вычислении энергетиче-
энергетического спектра или периодограммы сигнала хи Другими сло-
словами, А(~*.) определяется на единичной окружности с |г|=1:
= \Х (Ж2 = X [ехр (-/2л/)] X [ехр (+/2л/)]. A0.5.8)
Оценка энергетического спектра процесса скользящего
среднего
P(f) = \W(f)\2\N(f)\\ A0.5.9)
Оценка взаимного энергетического спектра двух процессов
скользящего среднего имеет вид
Pxv (/) = I W (f)\2 S [ехр (-/2л/)] N [ехр (+/2л/)]. A0.5.10)
При обработке фактических данных названные оценки
нужно производить с помощью описанных выше весовых функ-
функций Даннеля или Бартлета. Отметим, что роль физических ве-
величин Wy NN* или SN* из уравнений A0.5.9) и A0.5.10) взаи-
взаимозаменяема, т. е. можно считать, что W представляет собой
входной сигнал, a S и N описывают два фильтра в различных
точках пространства.
Процесс скользящего среднего является весьма общей мо-
моделью любой устойчивости линейной системы. Иногда число
членов / фильтра может быть довольно большим. В следующей
главе будет описана методика расчета энергетических спек-
спектров, применимая к небольшим множествам. Однако она спра-
справедлива только для процессов с отрицательной обратной
связью. Ее нельзя применять без достаточно верных априорных
сведений о физической модели для получения спектров с ост-
острыми (высокоразрешенными) максимумами. В геофизике при
использовании импульсных или вообще ограниченных во вре-
времени источников (например, при изучении упругих волн, воз-
возникающих при взрывах или землетрясениях) можно пред-
предполагать, что сигнал, распространяющийся по одному или
нескольким лучам, быстро ослабится ниже уровня помех из-за
поглощения и многократного рассеяния. В подобных случаях
исследуемый сигнал можно изолировать, исключив влияние дру-
других лучей. Укороченный таким способом сигнал можно удлинить
путем добавления нулей на концах записи перед вычислением
8* 115

сглаженной периодограммы для повышения разрешенное™.
Эта методика предполагает, что функция автокорреляции
плавно уменьшается до незначимого уровня. Именно этот факт
наблюдается во многих физических ситуациях.
ГЛАВА 11
МАКСЭНТРОПИЙНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
11.1. Адаптивные методы спектрального анализа
Традиционные методы определения спектральной плотности
энергии используют сглаженную периодограмму и базируются
на фурье-преобразовании входных данных (см. гл. 9 и 10).
Именно такую оценку энергии следует применять к входным
данным, образованным в результате процесса скользящего
среднего. Этот процесс описывается уравнением свертки, со-
содержащим ^-преобразование оператора фильтра, которое опи-
описывается нулями полинома. Для получения надежной оценки
в присутствии помех сглаживают автоковариационную функ-
функцию с помощью временной весовой функции либо квадраты
амплитуд фурье-преобразования. В результате сглаживания
значения функции автоковариации (и импульсной реакции
филотра) уменьшаются до нуля, а за пределами анализируе-
анализируемого интервала записи упомянутые выше функции пренебре-
пренебрежимо малы. Сглаживающий фильтр редко бывает идеальным,
поэтому возможна утечка энергии через боковые экстремумы
передаточной функции.
• Разработано несколько новых методов расчета спектров
с повышенной разрешенностью. Они базируются на предполо-
предположениях о физическом процессе возникновения сигнала. Преиму-
Преимущество этих методов заключается в том, что для их применения
обычно не нужны какие-либо предположения о функции авто-
автоковариации за пределами анализируемого интервала. Недостат-
Недостатком является то, что они применимы только к физическим мо-
моделям, обладающим системой обратной связи, причем необхо-
необходимо определить порядок полинома, описывающего данную
систему.
Первый метод был предложен Дж. Бургом [83]; он особенно
эффективен для анализа небольших массивов равномерно дис-
кретизованных данных. Он называется максэнтропийным спек-
спектральным анализом (или спектральным анализом по методу
максимальной энтропии). Метод аналогичен авторегрессион-
авторегрессионному методу спектрального анализа, изобретенному Г. Акайке
116

[5, 6]. Второй метод максимального правдоподобия, предложен-
предложенный Дж. Кейпоном [91], служит для анализа площадных дан-
данных по волновому числу. Этот метод можно применять также
для расчета спектральной плотности при одноканальной инфор-
информации [256]. При использовании метода максимального прав-
правдоподобия для каждой частоты рассчитывается такая весовая
функция, которая адаптируется к анализируемому шуму. При
анализе по максэнтропийному методу сохраняются без сглажи-
сглаживания все оцениваемые сдвиги и используется теория оптималь-
оптимальной фильтрации Винера—Колмогорова для расчета фильтра
предсказания, рандомизирующего входной сигнал. Располагая
энергией рандомизированного выходного сигнала и частотной
характеристикой предсказывающего фильтра, можно рассчи-
рассчитать энергетический спектр входного сигнала.
Третий метод, разработанный С. Трейтелом, П. Гутовским
и Э. Робинсоном [442], позволяет определять оптимальные (по
методу наименьших квадратов) спектры сигналов, образуемые
в результате авторегрессионного процесса скользящего сред-
среднего [69]. У z-преобразования импульсной реакции авторегрес-
авторегрессионного процесса скользящего среднего имеются полюсы
и нули. Такая система называется системой с обратной и пря-
прямой связью. Упомянутые три метода вместе с новыми методи-
методиками В. Ф. Писаренко [341, 342], базирующимися на автоко-
автоковариационной функции, обеспечивают высокую разрешенность
анализа при коротких отрезках данных. Поэтому Р. Лакос на-
назвал эти методики спектрального анализа адаптирующимися
к особенностям данных, или адаптивными. Во всех этих мето-
методах предполагается, что процесс стационарный, а система воз-
возбуждается линейной комбинацией случайных импульсов.
Авторегрессионную модель Дж. Юла [490] можно описать
стохастическим процессом, у которого текущее значение Xt вре-
временного ряда получается в результате свертки волнового им-
—>•
пульса с прошлыми значениями сигнала х и новой входной по-
следовательности п. Последняя обычно представляет собой вы-
выборку из случайного (белого) шума. Волновой импульс
является импульсной реакцией D устойчивого фильтра (см.
гл. 13) в качестве диракоида или минимально-фазового волно-
вого импульса. Входной белый шум щ в любой момент вре-
времени можно считать последовательностью случайных импуль-
импульсов или чисел с нулевым математическим ожиданием и посто-
постоянной дисперсией [подобно функции в уравнениях F.1.1)
и F.1.2)]. Такие физические системы можно точно смоделиро-
смоделировать с помощью конечного числа членов т, т. е. с помощью ав-
авторегрессионного процесса [5, 6]
2+ ... +dmxt-m. A1.1.1)
117

В соответствии с B.5.1) г-преобразование уравнения
A1.1.1) получается подстановкой X(z) =xo+x\z+x2z2+ ... +xtz*
и N(z) =tio+n\z+n2z2+ ... +titzf. Заметим, что с учетом задер-
задерживающих свойств переменной z имеем d\zxt = d\Xt-u d2z2xt =
= d2xt-2 = ..., т. е.
X(z)-X(z)[dlz + d2z2+ ... +dmzm] = N(z) A1.1.2)
или
X (z) = N {z)/[l - dtz - d2z2 - ... -dmzm]. A1.1.3)
Приравнивая одинаковые степени в обеих частях уравнения,
получим решение для любого значения х. Импульсная реакция
фильтра [1, —rfi, —d2, ..., —dm] определяется так же, как и для
цепи с обратной связью. Чтобы найти корни уравнения, ее
-г-преобразование можно приравнять нулю и разложить на
множители. На комплексной г-плоскости корни проявляются
в виде полюсов функции X(г). Z-преобразование авторегрес-
сионного процесса записывается в виде
X(z) = N(z)/D(z). A1.1.4)
Интересно отметить, что авторегрессионная модель первого
порядка (т = 1) называется также марковским процессом пер-
первого порядка. Значение xt в любой момент времени t зависит
непосредственно от предшествующего значения х и от выборки
¦случайного шума. Примером авторегрессионной модели второго
порядка [215, 38J может служить простой маятник с затуха-
затуханием, которое пропорционально скорости перемещения маятника
и создается сопротивлением воздуха. Маятник находится под
воздействием случайных импульсов, возникающих через регу-
регулярные дискретные интервалы времени (рис. 11.1, а). Под влия-
влиянием каждого из импульсов маятник совершает затухающее
гармоническое колебание (см. рис. 4.10). Заметим, что авторег-
авторегрессионная модель второго порядка имеет два полюса на левой
^-полуплоскости, т. е. она будет иметь два полюса вне единич-
единичного круга на комплексной 2-плоскости. Под воздействием слу-
случайно распределенных во времени импульсов маятник будет со-
совершать беспорядочные периодические колебания. Примером
авторегрессионного процесса высшего порядка может служить
слоистая среда (рис. 11.1, б), причем волны, возбуждаемые
источником, регистрируются с помощью сейсмоприемника, по-
помещенного в нижнем слое неограниченной мощности [207].
Предполагается, что коэффициенты отражения от границ раз-
раздела слоев распределены случайно, поэтому к сейсмоприемнику
импульсы подходят со случайно распределенными амплиту-
амплитудами, так как число возможных путей пробега бесконечно (см.
гл. 16).
Существует всего лишь несколько физически реализуемых
систем, которые можно описать как авторегрессионный про-
118

цесс. Большинство же физических устройств более сложно, чем
простой маятник, а воздействующие на систему функции бо-
более сложны, чем последовательность случайных импульсов,
разделенных равными промежутками времени. Если взять гео-
геофизический пример слоистой среды, то, очевидно, более вероят-
вероятным будет случай, когда сейсмоприемник располагается на
земной поверхности, а при таком условии возникающий про-
процесс перестает быть авторегрессионным. Более того, полупро-
полупространства в природе не существует даже в приближенном виде,,
поэтому обязательно появятся волны, отраженные от границ»
Рис. 11.1. Авторегрессионный процесс второго порядка в виде затушенного
маятника, возбуждаемого случайными импульсами (а) (предложена Дж. Юлом,.
высказавшим идею маятника, бомбардируемого мальчиками из духовых ру-
ружей) и авторегрессионный процесс высшего порядка, смоделированный источ-
источником и приемником в слоистом полупространстве (б) (показны два луча из
бесконечного множества):
1 — источник возбуждения; 2 — приемник; 3 — земная поверхность; 4—7 — слои
расположенных ниже сейсмоприемника, т. е. и в этом случае
наблюдаемый процесс не будет авторегрессионным. Если объ-
объединить уравнения A1.1.1) и A0.5.2), описывающие функции
авторегрессии и скользящего среднего, то получим в более об-
общем виде процесс, называемый авторегрессионным процессом
скользящего среднего:
A1.1.5)
A1.1.6)
A1.1.7)
119
-W2nt-2 -...-'
Его 2-преобразование записывается как
X (г) - X (г) \dxz + d2z2 + ... + dmzm) =
= N(z) [I - Wxz - W2z2 -...-'
или
X(z) = N(z)W(z)/D(z),

где многочлен m-ro порядка D(z) и многочлен /-го порядка
W (г) имеют вид
A1.1.8)
=l—Wlz — W2z2— ... — W,z!. A1.1.9)
Этой системой уравнений описывается много физических
процессов, включая важный случай, когда сейсмоприемники
расположены на земной поверхности, являющейся слоистым
полупространством. К сожалению, почти никогда не бывают
известны т и /, поэтому до сих пор еще не разработан эффек-
эффективный алгоритм расчета спектров методом авторегрессионного
скользящего среднего.
Максэнтропийный метод спектрального анализа широко
применяется, несмотря на свое весьма ограниченное соответст-
соответствие физическим ситуациям. Наиболее интересные примеры мо-
моделирования авторегрессионного скользящего среднего и более
сложных процессов приводятся в работах [456, 457J. Прежде
чем применять авторегрессионный спектральный определитель,
основанный на максэнтропийном алгоритме, следует его физиче-
физически или теоретически обосновать. В работе [187] подчерки-
подчеркиваются опасности, которые могут возникнуть при неправиль-
неправильном предположении об используемом процессе спектральных
оценок. То, что с помощью максэнтропийного метода полу-
получаются спектры с острыми максимумами, еще не означает, что
полученный спектр — истинный. В следующих разделах главы
будут более подробно исследованы максэнтропийный и авто-
авторегрессионные методы расчета спектров.
11.2. Понятие об энтропии
Понятие энтропии было введено К. Шенноном в 1948 г.
[401]. Энтропия характеризует меру случайности или неопре-
неопределенности в системе, передающей информацию. Если взять
множество из М символов хь то их можно скомбинировать
в некоторое множество сообщений, пользуясь набором символов
как алфавитом. Вероятность появления любого символа xi
равна p(xi), а полная вероятность
Мера информации получается как минимальное число сооб-
сообщений «Да» и «Нет», которое необходимо для идентификации.
Если, например, сообщение представляет собой число, мень-
меньшее 64, и вероятность появления любого числа одинакова
и равна 1/64, мы сначала спросим, не меньше ли оно числа 32.
В случае отрицательного ответа, мы зададим вопрос, меньше
ли оно числа 16, и т. д. Следовательно, число вопросов, на ко-
120

торые возможны два альтернативных ответа, равно 6. Заметим,
что каждый вопрос увеличивает информацию на единицу, по-
поэтому в аддитивной двоичной системе счисления удобной ме-
мерой будет логарифм с основанием 2 (одна единица информа-
информации равна Iog22). Сумма шести подобных единиц
6 log2 2 = log2 26 = log2 64 = 6.
Определим теперь величину, называемую собственной ин-
информацией и равную величине обратной вероятности появления
значения х:
S (*,) = log l/p (*,) = - log p (Xi). A1.2.2)
Заметим, что собственная информация уменьшается с ро-
ростом вероятности появления знака и, наоборот, считается, что
редкое событие содержит более значимую информацию. Если
вероятность появления х равна 1, то собственная информация
равна 0. Итак, если сообщение состоит из бесконечной цепочки
«Да», то в нем нет значимой информации.
В течение длительного периода времени Т число появлений
х равно p(xi)T> поэтому полная информация о системе предста-
представится в виде —p(x\)Tlog2p(x\) — р (х2)Тlog2p(х2) —.... Сле-
Следовательно, среднее за единицу времени количество информа-
информации, называемое также математическим ожиданием собствен-
собственной информации,
м
Е [S (хд] = ? Р (xi) S (*,), A1.2.3)
и оно принято за энтропию
Я = - Z P(xt) log p(Xi). A1.2.4)
Это определение энтропии подобно определению в термоди-
термодинамике, где энтропия измеряет степень неупорядоченности фи-
физического процесса. Здесь же энтропия — мера неопределенно-
неопределенности того, что система будет находиться в определенном состоя-
состоянии. Основанием логарифма может быть любое число, но его
логично полагать 2, когда используется двоичная система счи-
счисления. В нашем примере «Да» равнозначно 1, а «Нет» — 0.
В работе [77] замечено, что энтропия является мерой нашего
незнания системы.
Можно показать [401, 431], что энтропия дискретного рас-
распределения максимальна, когда все вероятности равны. Для
двоичной системы, пропускающей только 0 и 1, вероятности
равны р и 1 —р:
tf=-plog2p-(l-p)log2(l-p). (П.2.5)
Энтропия максимальна, когда р = V2.
121

Если наложено условие постоянства дисперсии последова-
последовательности х, то можно показать, что энтропия максимальна при
нормальном распределении вероятности вида
A1.2.6)
A1.2.7)
Энтропия в этом случае [431] имеет вид
Н = 72 log* 2nea\
11.3. Максимизация количества информации
Дж. Бург показал [83, 84], как можно найти энергетический
спектр данных, образуя с помощью специальной фильтрации
исходных данных новое множество с наибольшей случайностью
и максимальной энтропией. Спектры, рассчитанные по такому
множеству, имеют высокую разрешенность, поскольку исполь-
используются все сдвиги в автоковариационной функции. Спектраль-
Спектральный анализ по методу максимальной энтропии максимизирует
количество информации, извлекаемой из исследуемого времен-
временного ряда.
Рассмотрим вначале методику расчета фильтра ошибки
предсказания, состоящую из N+1 членов [332]. Согласно тео-
теории оптимальной фильтрации Винера—Колмогорова [уравне-
[уравнение A4.5.20)], импульсная реакция D, которая должна ис-
использоваться как оператор предсказания, определяется- выра-
выражением
AD'= С,
A1.3.1)
где D' обозначает оператор обращения (D~l) или деконволю-
цию (см. гл. 14); А — автоковариационная матрица размером
-*•
(NxN)\ С — вектор-столбец, равный значению функции взаим-
взаимной ковариации между входным х и искомым выходным си-
сигналом.
Для оператора предсказания искомый сигнал является вход-
входным в некоторый момент времени t + T в будущем. В матричной
записи уравнение A1.3.1) имеет вид
Со
а0
а,
а,
а0
aN-2
а0 -
Jn.
A1.3.2)
Выходной сигнал, полученный в результате применения
оператора деконволюции, равен yL\ он должен равняться вход-
122

ному сигналу, пересчитанному на некоторый момент времени
t+T=L в будущем. Знаком Т обозначен интервал предсказа-
предсказания в единицах времени
AL3'3)
Ошибка этого ряда равна разности между истинным зна-
значением сигнала в момент времени t+T и предсказанным зна-
значением сигнала yL:
= *t + T — yt + т
или
ЛЛ— 1
A1.3.4)
A1.3.5)
Выполнив 2-преобразование обеих частей уравнения, по-
получим
z'TE (г) = z-TX (z) — X (z) D' (z). A1.3.6)
После умножения всех частей уравнения на zT имеем
Е(г) = Х(г)[1-гт1У{г)]. A1.3.7)
Отметим, что некоторые ошибки можно вычислить непосред-
непосредственно сверткой входного сигнала с функцией [1—zTD'(г)],
которая называется оператором ошибки предсказания.
Ненормированная функция взаимной ковариации из уравне-
уравнения A1.3.2) без учета множителя 1/N имеет вид
N-\ ЛГ-1
cL=
<—о
A1.3.8)
и связана с автоковариационной функцией при сдвиге T + L.
Положим интервал предсказания равным шагу временной дис-
дискретизации. Тогда матричное уравнение A1.3.2) примет вид
а0
а,
а,
а0
г_, адг-2
а0 J
а,
а2
A1.3.9)
Можно выписать полностью эту систему из N уравнений,
прибавив и вычтя из каждого уравнения коэффициент автоко-
вариации щ так, чтобы исчезли правые части. Затем, чтобы
сохранить симметрию, расширим матрицу путем добавления
123

нового уравнения. В прямоугольнике заключено исходное мно-
множество уравнений A1.3.9)
= — Рт
—а, -г
aodx
axdx
axd2
aN-xdN
= а, — а,
= ajv — aN. A1.3.10)
Умножив каждый член на —1, получим следующую матрич-
матричную запись:
'а0 ах ... aN
ах а0 ... aN~x
1
-р
О
A1.3.11)
Определим новое множество фильтрующих операторов по-
посредством вектора-столбца
D:
-dx
A1.3.12)
Чтобы найти коэффициент фильтра и множитель Рт, нужно
решить уравнение
"" %о ах ... aN ' ""
ах а0
aN-x
a0
Dx
0 DN_
О
A1.3.13)
называемое уравнением Бурга для фильтра ошибки предсказа-
предсказания на одну единицу времени [83]. В матричной записи урав-
уравнение Бурга имеет вид
Р. A1.3.14)
Поскольку волновой импульс на входе фильтра состоит из
N членов, а функция взаимной корреляции представлена только
одним ненулевым членом, оператор предсказания сокращает
124

длительность выходного сигнала до
единичного импульса со среднеквадра-
гической ошибкой или средней энер-
энергией на выходе Рт.
N
Ы+1
Рис. 11.2. Свертка с опера-
оператором ошибки предсказа-
предсказания.
В частотной области энергети-
энергетический спектр выходного сиг-
сигнала б равен произведению
спектра входного сигнала х на
энергетическую реакцию филь-
фильтра D
Оператор D можно рассматривать
как набор весовых коэффициентов
фильтра предсказания, после свертки
которого с входными данными полу-
получается временной ряд белого шума.
Элементы временного ряда белого
шума не коррелируются друг с другом,
т. е. фильтр вызывает наибольшее из возможных разрушение
энтропии (рис. 11.2). Энергетический спектр входного сигнала
можно получить путем корректировки спектра выходного си-
сигнала за влияние частотной характеристики фильтра. В частот-
частотной области эта операция задается выражением G.4.9), т. е.
энергетический спектр входного сигнала равен энергетическому
спектру выходного сигнала, деленному на частотную характери-
характеристику фильтра. Энергетический спектр входного временного
ряда определяется по Дж. Бургу как максэнтропийная оценка
плотности энергии (мощности)
A1.3.15)
где Рт — константа; fN — частота Найквиста, определяющая
ширину главного частотного диапазона для шага дискретизации,
fN = l/2M. A1.3.16)
В матричной записи уравнение A1.3.15) имеет вид
где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина,
а через t — операция транспонирования матрицы; Е — вектор-
столбец размером (N+\),
2nifn At
JZnifn At
A1.3.18)
2nifN At
125

Уравнение Бурга для максэнтропийной спектральной оценки
наиболее просто выводится из ^-преобразования авторегресси-
авторегрессионного процесса в уравнении A1.1.3). Сделав подстановку г =
= ехр(—2т'/АО и возведя в квадрат соотношение X(z) =
= N(z)/D(z), получим выражение для спектральной плотности
энергии:
1- Z
/—1
A1.3.15а)
где а2 — дисперсия последовательности белого шума с нуле-
нулевым математическим ожиданием п, т. е. е. Заметим, что это
уравнение аналогично максэнтропийному уравнению Бурга.
Уравнение Бурга можно вывести с помощью метода неопре-
неопределенных множителей Лагранжа [99, 414]. Найдем стационар-
стационарное значение энтропии
Н= j log Pe (f)df A1.3.19)
при условии, что функция автоковариации ап при сдвиге nAt
равна обратному фурье-преобразованию энергетического спек-
спектра PE(f):
In
2ifAidf. A1.3.20)
ап= \
-Таг
Дополнительное условие для каждого значения п можно
записать как
fn
S [PE(f)e2:iifnAt-an/2fN]df = 0. A1.3.21)
-/AT
Интеграл A1.3.19) максимизируется путем увязки
дополнительных условий с неопределенными множителями
Лагранжа Яп:
б J [-log РЕ - 2 кп (Ре exp Bnifn At) - an/2fN)] = 0. A1.3.22
Максимальное значение 2N+1 должно удовлетворять соотно-
соотношению Эйлера—Лагранжа [уравнение C.13) в приложении 3],
в котором L обозначает подынтегральное выражение, у — РЕ>
ах — f. Решение получается в виде
? Ke2nifn". A1.3.23)
126

Поскольку энергетический спектр является вещественной
и положительной функцией либо нулем, приведенные выше
уравнения можно записать как
E D D
?*
A1.3.17a)
или же в виде уравнения Бурга A1.3.15).
Фурье-преобразование функции автоковариации A1.3.20)
имеет вид
?(/)=/2fjV
At
A1.3.24)
Заметим, что an = a_n, а уравнение A1.3.24) равнозначно
уравнению A1.3.15). Приравняв коэффициенты при равных
степенях показательных функций, получим уравнение A1.3.13).
Отсюда находим решение относительно неизвестных коэффи-
коэффициентов фильтра Dn или множители Лагранжа кп> если рас-
рассматривать фильтр ошибки предсказания со среднеквадратиче-
СКОЙ ОШИбкОЙ Рт-
Коэффициенты фильтра D получаются из уравнения
A1.3.14), где через А обозначена матрица Топлица порядка
N+1, которая должна быть полуположительной и определен-
определенной, а ее ядро — неотрицательное. У матрицы Топлица эле-
элементы симметричных диагоналей равны между собой. Это свой-
свойство обеспечивает положительные значения энергетического
спектра во всех точках. Точное определение функции автокова-
автоковариации— основная проблема любого метода расчета спектров
[83, 84]. Способ расчета коэффициентов фильтра, рекомендо-
рекомендованный Дж. Бургом, детально исследован в работе [12]. Пусть
в уравнении A1.3.11) i-й коэффициент фильтра ошибки пред-
предсказания, состоящего из т+1 членов, равен dm/. Тогда уравне-
уравнение A1.3.11) запишется в виде
а0
а,
0>т-\
1 '
~dmx
A1.3.25)
Составим рекуррентное уравнение для т = 0, 1, 2, ..., Му
где выбранное максимальное значение M<N. Требуется найти
значение М для вычисления окончательной ошибки предсказа-
предсказания [7]. Между обозначениями фильтров, использованными
127

в данной главе и в работе [84], существует следующее соответ-
соответствие:
A1.3.26)
1
•
•
=
1
•
=
1 "
•
•
. . . Х\_|
Х2
Хз
Хм-1
-dn
Рис. 11.3. Свертка как двойная операция сложения (см. рис. 2.2)
в случае диполя A, ..., —d\\)
Фильтр начинают рассчитывать с т = 0. В результате урав-
уравнение A1.3.25) принимает вид
[«.]Ш = [/%]. A1.3.27)
При нулевом сдвиге средняя энергия одночленного фильтра
предсказания
Po=\/N ?*?.
A1.3.28)*
Здесь и далее номер уравнения со звездочкой означает, что
оно используется для составления машинных программ расчета
максэнтропийных спектров.
При поиске решения сначала выполняется свертка вход-
входных данных х\, Х2, ..., xN с двухчленным фильтром предсказа-
предсказания A, —dn) (рис. 11.3). Чтобы не делать предположений
о наличии нулей на концах, будем избегать свертки на конце-
концевых участках. Ошибка предсказания
?, = * + !-?/„*?, /=1 N-1. A1.3.29)
Фильтр ошибки предсказания можно реверсировать и пройти
ряд в обратном направлении. В результате получим равноцен-
равноценный ряд ошибок (рис. 11.4). В этом случае ряд ошибок имеет
вид
i = l, ..., N-\. A1.3.30)
В соответствии с уравнениями B.1.2) или F.2.5) средняя
энергия определяется значением функции автокорреляции при
128

нулевом сдвиге. Средняя энергия при прямой и обратной
свертках
ИЛИ
JV— 1
(П.3.31)
X2
Xn—i
Xn
1
Xn-I
Рис. ПА. Свертка в обратном направлении временного ряда
с двухчленным оператором предсказания
Исходя из принципа максимальной энтропии, коэффициент
dn определяется так, чтобы Р\ была минимальной:
-<*п*/) 2 (-
2 (—^ + ,)] =
ЛЛ— 1
Это условие удовлетворяется при
Д
Д
A1.3.32)
A1.3.33)
Заметим, что можно рассчитать величины Р\ и d\u не ис-
используя непосредственно автоковариационную функцию и не
задаваясь значениями за пределами анализируемого участка.
9 Заказ № 4
129

Матричное уравнение A1.3.25) при /п=1 или выражение двух-
двухчленного оператора имеет вид
11 ГР. 1
A1.3.34)
Можно решить это уравнение относительно аи опираясь на
оценки d\\ и по:
а{ = аос1п. A1.3.35)
В общем случае средняя энергия при прямой и обратной
свертках с фильтром (из /л+1 членов) предсказания
^~т Г/ т
=2(N-m) Z U- ?
^ .
A1.3.36)
Коэффициенты фильтра высшего порядка получаются по
т коэффициентам низших порядков. Таким образом, коэффи-
коэффициент d22 получается в результате минимизации Рг только по
отношению к d.22- Коэффициент cfei находится из матричного
уравнения A1.3.46) Левинсона [270]. Рекуррентное уравнение
Левинсона обеспечивает выполнение неравенства |^2г|<1
и минимально-фазовый (или диракоидный) фильтр ошибки
предсказания [1, ^гь ^L Автоковариационная матрица в этом
случае будет матрицей Топлица и неотрицательной, определен-
определенной. Общее рекуррентное выражение для коэффициентов
фильтра имеет вид
_ и" k ~~~~ 1 1TL "~— 1 *
!шо = —1; A1.3.37)
s = 0, k > m.
Тогда уравнение A1.3.36) принимает вид
1 V1 \(i i *' \2 |^ /t' j t \21
m —• о /a/ ггг" /. 1^/п' — amm°mlj ~r V^m/ — "mm0 ml) J»
A1.3.38)
130

где
A1.3.39)*
A1.3.40)
A1.3.41)
Согласно уравнению A1.3.37), коэффициенты Ь и Ь' можно
рассчитывать по формулам
-l&m-l, i\
Необходимо найти
(U.3.42)*
A1.3.43)*
A1.3.44)
Функция Рт принимает минимальное значение при
N-m f N-m 2
dmm = 2 2 bmibmil Yj (b2mi + bmi). (U.3.45)*
Используя теорию фильтров Винера—Колмогорова, Г. Ле-
винсон [270] нашел рекуррентное соотношение для Рт. Для
этого нужно подставить уравнение A1.3.37) в A1.3.25). Напи-
Напишем матрицу при / = 3:
гРт1
по ах а2 az'
ах а0 ах а2
а2 ах а0 ах
La3 a2 ах а0.
—d
m2
0
0
- 0.J
Подставив рекуррентные соотношения, получим
а0 ах а2 а3
ах а0 ах а2
а2 п\ а о ах
_а3 й2 ах по
0
0
1 -1
—dm-l, l
—"m—l, 2
0 -
- 0 -1
rfm-i.2
dm-i,i
- 1 -
rdmZPm-xl
0
0
L0 J
(П.3.46)
131

Величины, помеченные звездочкой, получены путем симмет-
симметрии. Уравнение получено на основе прямой и обратной сверток
коэффициентов фильтра, изображенных в квадратных скобках.
Следовательно, общая рекуррентная формула для i = m имеет
вид
Pm = Pm_i(l —d2mm). A1.3.47)*
Так как |dmm|^l, из уравнения A1.3.37) следует, что Рт
постепенно уменьшается, т. е. 0^Pm^Pm_i.
Для расчета максэнтропийных спектров Бурга можно ис-
использовать следующие две программы:
SUBROUTINE BURGAR(X,N,A,P.B1,B2,MM)
С
С THIS SUBROUTINE BY D. С. GANLEY WILL CALCULATE THE BURG
С ESTIMATES OF THE AUTOREGRESSIVE PARAMETERS FOR AR MODELS
С OF ORDERS I TO N-I WHICH ARE FITTED TO AN INPUT TIME SERIES
С OF LENGTH N. THE ALGORITHM IS TAKEN FROM N. ANDERSON A974).
С
С INPUTS ARE:
С X = INPUT TIME SERIES
С N = LENGTH OF X
С BI,B2 = WORK SPACES
С MM = MAXIMUM ORDER CALCULATION FOR D.(DEFAULT IS N-l).
С
С OUTPUTS ARE:
С D = THE ESTIMATES OF THE AR PARAMETERS D(M,I) WHERE I GOES
С FROM I TO M AND M IS THE ORDER OF THE PROCESS WHICH
С RANGES FROM I TO MM. THESE PARAMETERS ARE STORED IN
С THE ORDER D(U)J)B,I)DB,2),DC,1),...,D(N-1,N-1).
С FOR AN AR PROCESS OF ORDER M WE HAVE
С X(T) = E(T) + D(M,1)*X(T-1) + ... + D(M,M)*X(T-M)
С WHERE ЦТ) IS WHITE NOISE.
С
С Р = OUTPUT POWER. P(I) IS THE ESTIMATE OF THE VARIANCE OF
С THE WHITE NOISE OF THE AR PROCESS OF ORDER 1-1.
С
С DIMENSIONS ARE X(N),P(MM+I),D((MM+1)*MM/2),B1(N-I),B2(N-1)
С
DIMENSION XA),PA),DB),B1(I),B2<I)
NI=N-1
IF(MM.LE.O.OR.MM.GT.Nl) MM=NI
XN=0.0
DO3I=1,N
3 XN=XN+X(I)*X(I)
P(I)=XN/N
DO5I=I.NI
B2(I)=X(I+I)
XN=0.0
XD=0.0
DO7I-I.NI
XN=XN+BI(I)*B2(I)
XD=XDfBl(I)*BI(I>fB2(I)*B2(I)
132

D(l)=2.0*XN/XD
PB)=PA)*A.O-DA)*DA))
DO19I=2,MM
JE=N-I
LM=(l4-l)/2
K=LM+1
LK=K-I
KM=LM+I
DO13J=UE
B1(J)=BI(J)-D(LM)*B2(J)
13 B2(J)=B2(J+1)-D(LM)*B1(J+1)
XN=0.0
XD=0.0
DO15J=UE
XN=XN+Bl(J)*B2(J)
15 XD=XD+B1(J)*B1(J>+B2(J)*B2(J)
D(KM)=2.0*XN/XD
P(l+I)=P(I)*A.0-D(KMrD(KM))
JE=I-1
DO17J=UE
17 D(LM+J)=D(LK+J)-D(KM)*D(K-J)
19 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE SPECTR(A,M,PM,Y,N,FI,DF,DT)
С
С THIS SUBROUTINE WILL COMPUTE THE MAXIMUM ENTROPY
С SPECTRAL ESTIMATE OF AN AUTOREGRESSIVE PROCESS GIVEN THE
С AR PARAMETERS. SPECIFICALLY IF DA)XK2)...D(M) ARE THE
С AR PARAMETERS THEN THE PROGRAM WILL CALCULATE THE SQUARE
С OF THE MODULUS OF PM*DT / A-DA)*Z**2...-D(M)*Z**M)
С EVALUATED ON THE UNIT CIRCLE.
С
С INPUTS ARE:
С D = AUTOREGRESSIVE PARAMETERS
С М = ORDER OF THE AR PROCESS
С РМ = ESTIMATE OF THE VARIANCE OF THE WHITE NOISE
С N = NUMBER OF FREQUENCIES TO CALCULATE POWER AT
С Fl = FIRST FREQUENCY TO CALCULATE POWER AT
С DF = FREQUENCY INCREMENT
С DT= SAMPLE INTERVAL OF INPUT TIME SERIES IN MILLISECONDS
С
С OUTPUTS ARE:
С Y = POWER SPECTRUM
С
DIMENSION DA),YA)
COMPLEX Z.SUM
PFACT=PM*DT/1000.0
DO9I=1,N
F=F1+DF*(I-1)
ARG=006283l853*DT*F
SUM=CMPLX@.0,0.0)
133

DO5J=I,M
B=ARG*J
C=COS(B)
S=S1N(B)
Z=CMPLX(C,-S)
SUM=SUM+D<JrZ
C=1.0-REAL(SUM)
S=-AIMAG(SUM)
9 YA)=PFACT/B
RETURN
END
В работе [457] исследован способ определения коэффициен-
коэффициентов фильтра. Он заключается в оптимальной (по методу наи-
наименьших квадратов) минимизации ошибки предсказания отно-
относительно всех коэффициентов dmk, а не только относительно
последнего dmm, как в уравнении A1.3.37). Это означает, что
фильтр [1, dmu ..., dmm] не будет диракоидным, а матрица
автоковариации не обязательно будет топлицевой.. Если сигнал
представляет собой синусоиду с аддитивным белым шумом, эта
методика дает более устойчивые спектры. В работе [36] даны
и другие программы. Р. Кромер [249] показал, что дисперсия
спектральной оценки для авторегрессионной модели, состоящей
из т элементов, имеет вид
Var[P? (/)] = N-^m'Pl (/), A1.3.48)
где Ре — истинное значение спектра; РЕ — оценка спектра по
ограниченному множеству выборок данных.
11.4. Порядковое число авторегрессионного процесса
Главная проблема при использовании максэнтропийного ме-
метода расчета спектров состоит в определении порядкового чи-
числа т=М. Для этих целей наиболее широко применяется кри-
критерий окончательной ошибки предсказания (КООП) [5, 6, 7]:
Порядковое число авторегрессионного процесса выбирается
таким, чтобы средняя ошибка одношагового предсказания ми-
минимизировалась. При этом учитываются как ошибка в непред-
непредсказуемой части, так и ошибка из-за неточностей определения
коэффициентов фильтра. Оценка ошибки предсказания Рт рас-
рассчитывается по формуле A1.3.47) для последовательно более
высоких значений т до тех пор, пока не будет достигнут ми-
минимум при т=М.
134

В работах [8, 9] введен новый, информационный критерий
Акайке (ИКА):
ИКА = —2 (максимум логарифма функции^правдоподобия) +
+ 2 (число независимо подбираемых параметров). A1.4.2)
Порядковое число выбирается с помощью процедуры, ко-
которая заключается в подборе методом наибольшего правдопо-
правдоподобия той модели, которая характеризуется наименьшим зна-
значением ИКА. В случае одиночного временного ряда ИКА при-
принимает вид
HKAm = AMog|Pm| + 2(l + M). A1.4.3)
С помощью критериев КООП и ИКА почти всегда выби-
выбирается одно и тоже значение М, так как они асимптотически
равнозначны:
ИКА « N log (КООП). A L4.4)
В критерии A1.4.3) второй член часто опускается, так как
он является постоянным слагаемым, учитывающим только вычи-
вычитание выборочной средней.
Когда процесс имеет структуру с конечным т, минимизация
по рассмотренным критериям не дает удовлетворительной
оценки. В работе [456] с целью стабилизации структуры спек-
спектра в присутствии резких спектральных линий наложено огра-
ограничение M=N/2. В работе [10] предложена модификация ИКА:
ИКА = (N - т) In [S (m)l(N -m)] + m In [(S @) - S {m))/m]f
A1.4.5)
где S(m) — умноженная на N оценка дисперсии ряда белого
шума п по методу максимального правдоподобия; т — число
коэффициентов. Э. Парзен [330] ввел еще один критерий, кото-
который будем называть порядковым критерием Парзена (ПКП):
т -+- -+.
) = Л^ YjPT{-Pm\ A1.4.6)
где
~Pi = Pi/(l-i/N). A1.4.7)
Путем минимизации ПКП определяется оптимальное значе-
значение т. В работе [51] на основе численного моделирования
сейсмических данных предложен чисто эмпирический критерий:
длина оператора принимается равной М9 когда
M = 2N/\n2N. A1.4.8)
Использование эмпирического критерия для определения
оптимального порядкового числа менее корректно, чем сам ав-
135

торегрессионный анализ. Если нужно получить спектры по ав-
авторегрессионному процессу скользящего среднего, то для этого
требуется, чтобы т = оо. В работе [166] описаны модельные
исследования эффективности применения максэнтропийного
метода к авторегрессионному процессу скользящего среднего.
Они показали, что максэнтропийный спектр действительно
0,8
б
\р\
1,0
0,8
0,6
0,2
0,5 7,0 7,5 2,0 f,Tu,
I PI
1,0
0,8
0,6
OA
0,2
0,5 7,0 7,5 2,0 f,Tu,
Рис. 11.5. Отрезок (в 1 с) синусоиды частотой 1 Гц, осложненной белым шу-
шумом, энергия которого составляет 10 % энергии синусоиды (а), энергетический
спектр сигнала, вычисленный как квадрат модуля фурье-преобразования (б),
и максэнтропийный энергетический спектр (в) этого же сигнала [453]
приближается к теоретическому спектру на основе авторегрес-
авторегрессионного процесса скользящего среднего по мере увеличения
длительности анализируемых данных и соответственно поряд-
порядкового числа фильтра. Они также доказали, что основанная
на критерии КООП оценка эффективна при анализе длинных
рядов данных.
Опубликовано очень много примеров использования макс-
энтропийных методов для определения спектров отрезков сину-
синусоиды в присутствии аддитивной помехи. Один из первых при-
примеров [453] воспроизведен на рис. 11.5. В случае очень корот-
коротких отрезков синусоиды с аддитивной помехой в максэнтропий-
ных спектрах наблюдаются частотные смещения, зависящие от
начальной фазы и длительности отрезка синусоиды [99]. Когда
136

уровень шума невысок и применяются длинные фильтры, спек-
спектральные максимумы расщепляются [152]. Подобная неустой-
неустойчивость не удивительна, поскольку синусоида с аддитивной по-
помехой не удовлетворяет никакой авторегрессионной модели,
лежащей в основе спектрального анализа по методу макси-
максимальной энтропии. В работе [457] рассмотрена методика пре-
преодоления этих трудностей путем минимизации энергии относи-
относительно всех коэффициентов фильтра. Если известно, что в ис-
исследуемом физическом процессе присутствуют чистые или
экспоненциально затухающие синусоиды, то следует применять
более развитые методы, чем прямое выравнивание методом наи-
наименьших квадратов [56].
11.5. Автоковариационная функция
Дж. Бург показал, как составляется матричное уравнение
для расчета автоковариационной функции через коэффициенты
фильтра ошибки предсказания и оценки ошибок [84]. Изобра-
Изобразим фильтр предсказания йц из / элементов в виде квадратич-
квадратичной матрицы D размером {NXN):
1 О
d2N 1
d$N d2tN-
A1.5.1)
,-UN </*-,,*-, ... 1 О
!n,n ^jv-i,jv-i ••• d22 1.
Средняя энергия на выходе фильтра из / элементов предска-
предсказания определяется матрицей размером (NXN), помеченные
звездочками элементы которой не нужны:
Pn ?: •••?:?:
Pn-i ... * *
О ... ?: *
0
0
0
0
0
0
Р' =
О
О
0 0 Р2 *
_0 0 0 Р,_
Уравнение A1.3.14) автоковариационной
записать как
AD=P'.
A1.5.2)
функции можно
A1.5.3)
137

Если определить квадратичную матрицу Р размером
(NXN), имеющую ненулевые элементы только на главной диа-
диагонали
Р =
¦pN о
О Рдг-,
О
о
A1.5.4)
_0 0 ... Р
то уравнение A1.5.3) умножением на DT преобразуется к виду
D*TAD = P. A1.5.5)
-¦ -* -*
Заметим, что А=АТ, а Р — эрмитова матрица. Произведя
последовательные обращения матриц в A1.3.5), получаем
= D~ 1Г*Р
D = A~lD-iT*P
i =г>-1Та-1Ъ-1Тр
или
P-1 = D~1A-1D-1T*. A1.5.6)
Преобразовав уравнение A1.5.6) относительно Л, получим
U —А =/5. (П.О./)
Следовательно, обращение автоковариационной функции В
выражается через коэффициенты фильтра ошибок и средние
оценки ошибок. В случае трехчленного фильтра ошибки пред-
предсказания с вещественными коэффициентами имеем
Л
В2
Вх
Во
у
-1
Рз О О
О Pz О
О О РГ
О 1 d23
О 0 1
A1.5.8)
138

Компоненты обращения автоковариационной функции, вы-
выраженные через коэффициенты фильтра, имеют вид
п
где п — меньший из двух индексов i и /, а
Ви = Вц = Вт-.1,т-1 = Вт-1,т-1. A1.5.10)
Максэнтропийный метод позволяет рассчитывать энергети-
энергетический спектр, обладающий максимальной энтропией, по
N значениям данных хп, не делая каких-либо предположений
относительно увеличения массива данных. В процессе вычис-
вычислений находится оптимальный фильтр предсказания из N эле-
элементов, на выходе которого образуется разность между дей-
действительным и предсказанным значениями временного ряда.
Поскольку математическое ожидание произведения en-ien
равно нулю для любого значения п, все величины еп не кор-
коррелируемы. На выходе фильтра ошибки предсказания полу-
получается равномерный спектр, плотность которого равна Pm/fit-
По уровню спектральной плотности и передаточной функции
l/DTE* фильтра ошибки предсказания можно найти истинный
энергетический спектр P(f) данных, поданных на вход. Дости-
Достигаемая этим методом разрешающая способность будет намного
выше разрешающей способности получаемой другими извест-
известными методами. Зная величину Рт и коэффициенты фильтра,
можно получить лучшую оценку автоковариационной функции,
топлицева матрица которой будет неотрицательная, определен-
определенная. Функцию автоковариации можно также найти с помощью
фурье-преобразования:
ап= j PE(f)e-2nifn"df, n = 0, 1, ... N-1. A1.5.11)
11.6. Развитие максэнтропийного метода
Максэнтропийный метод Дж. Бурга не дает прямой оценки
энергии по максимуму спектральной оценки Ре(П- В работе
[256] указано, что пиковые значения кажутся пропорциональ-
пропорциональными квадрату энергии. Спектральную энергию можно оценить
путем вычисления площади части спектрального графика, соот-
соответствующей каждому максимуму, но на практике это редко
выполнимо, так как максимумы располагаются слишком близко
друг к другу. Энергия р отдельного максимума пропорцио-
пропорциональна энергии Ре(!) и ширине максимума В:
A1.6.1)
139

В работе [217] описан способ вычисления р без численного
интегрирования. Согласно этому способу автоматически обес-
обеспечивается равенство суммы энергетических оценок и полной
интегрированной энергии.
Уравнения Бурга A1.3.15а) и A1.3.26) записываются через
2-преобразования [z = exp(—2nif) в виде
Ре (/) = Рт tdRD (z) D (l/z)]; A1.6.2)
m. A1.6.3)
Можно положить dmo =—1 и учесть, что в знаменателе
уравнения A1.6.2) есть множители вида zm и zn:
Я(*) = - Е dmnzm-n; A1.6.4)
D (z) = - (z - zx) (z-z2) ... (z- zm). A1.6.5)*
Нули функции A1.6.5)
rk>\. A1.6.6)
расположены вне единичного круга, а нули функции D(l/z) на-
находятся внутри единичного круга на расстоянии 1/г*. Если
сигнал представляет собой синусоиду, то полюсы функции Ре
расположены на единичной окружности. При добавлении по-
помехи особые точки перемещаются за пределы единичного
круга. Если полюсы находятся вблизи единичного круга, то на
спектре появляются максимумы.
Полная энергия Ро временного ряда определяется либо пу-
путем интегрирования по всем частотам в главном (найквисто-
вом) диапазоне, либо же путем суммирования энергий р* всех
спектральных составляющих
0,5 т
Ро= j PE(f)df= ?p(/*). A1.6.7)
-0,5 *«1
В следующих разделах будет показано, что энергия каждой
спектральной составляющей определяется выборкой функции
Pe(z)/z в точке z=Zk. Таким образом, полную энергию можно
определить и как сумму выборок:
т
р0 = 1/2я ф Р B) dz/z = 2 Res fe). A1.6.8)
Интегрирование производится по единичной окружности
в комплексной 2-плоскости. Энергия — функция, симметричная
относительно нулевой частоты. Поскольку Res B* ) =Res* B*),
140

энергия каждой спектральной составляющей равна удвоенной
вещественной части Re выборок:
р (fk) = Res (zk) + Res (z*k) = 2 Re [Res (zk)], 0<fk< 0,5.
A1.6.9)*
Для граничных точек на шкале частот энергия рассчиты-
рассчитывается по выборкам
; f* = 0; 0,5. A1.6.10)*
Согласно уравнениям A1.6.2) и A1.6.5), спектральную
оценку на любой заданной частоте f можно записать с знаме-
знаменателем в виде произведения П от /=1 до т расстояний от по-
полюсов до единичной окружности в точке 2 = ехр(—2nif):
РЕ{1) = РтМ1[ПГ=х{г-г1){\1г-гЪ]. A1.6.11)
Рассмотрим специальный случай одиночного четкого макси-
максимума на частоте /*. На данной частоте имеется пара сопряжен-
сопряженных полюсов вблизи единичного круга. Вклад, вносимый этими
полюсами в спектр, определяется произведением (z — 2/)Х
X(l/z — 2*), где 2 = ехр(—2nif) изменяется вдоль единичной
окружности в полосе частот / = /*. Так как максимум одиноч-
одиночный, все прочие полюсы находятся далеко от единичной окруж-
окружности. Судя по рис. 11.6, можно заменить z на Zk во всех чле-
членах, у которых / не равно k. Приближенное значение макс-
энтропийной спектральной оценки по Дж. Бургу
Яд (/) » Рщ А«/[(г — 2|к)A/2Г — 2^/7/^* | 2ГА — 2Г/ |2]. A1.6.12)
На частотах, близких к /*, произведения членов, у которых
} не равно &, почти не зависят <от частоты, и их можно прирав-
приравнять к Dk'
Dk = ni*k\zk-'zib / = 1. .... m. A1.6.13)
На частотах вблизи полюсов в точках Zk и 1/г* расстояние
от единичной окружности до каждого из полюсов обозначено
через h на рис. 11.7. Из рис. 11.7 получаем
fi2 = \Az\2+(rk~lJtt\z~zk\\l/z-zl\9 A1.6.14))
где
|Дг| = 2л|/-/*| = 2лД/. A1.6.15)
Приближенное значение максэнтропийной спектральной
оценки энергии
Ре (f) » Pm M/[Dk | Дг |2 + (rk - IJ]. A1.6.16)
Расстояние между парой сопряженных полюсов в точках Zk
2{rh-\). A1.6.17)
141

Можно показать, что ширина максимума В* (рис. 11.7, б)
связана с расстоянием ги соотношением
Я* = (г*-1)/я. A1.6.18)*
Im(z)
Рис. 11.6. Полюсы (г) функции
Рв{г)9 расположенные внутри и
за пределами единичного круга
Рис. 11.7. Увеличенная часть еди-
единичного круга из рис. 11.6
в окрестности полюсов z\ и l/zk
(а) и форма энергетической спек-
спектральной оценки Ре изолирован-
изолированного полюса в точках Z\ (б)
в" Л
В результате подстановки A1.6.15) и A1.6.18) в A1.6.16)
получим выражение
Ре (/) « Рт Ы/[йк4к2 (Д/2 + flJ/4)]. A1.6.19)
Максимальное значение достигается при Д/ = 0:
Ре (fk) «Рт M/Dkn2Bl % A1.6.20)
При интегрировании уравнения A1.6.19) по всем частотам
при постоянных Dk получаем половину энергии одиночного
максимума. Другая половина вносится полюсами в нижней г-
полуплоскости при fk = —U- Энергия спектральной состав-
составляющей
p(fk) = Pmbt/DknBk. A1.6.21)
142

После подстановки A1.6.20) в A1.6.21) получаем
A1.6.22)
т. е. уравнение A1.6.1).
Наконец, нужно связать выборку функции Pe(z)/z в точке
z=Zk с энергией спектральной составляющей. Для простого
полюса в точке z = a выборка функции / задается соотноше-
соотношением (его можно найти в любом элементарном пособии по
функциям комплексного переменного)
= [(z-a)f(z)]2-fl. A1.6.23)
Следовательно, выборка функции Pe(z)/z в точке z=z* по-
получается непосредственно из уравнения A1.6.11):
Res (zk) = Рт Д//М/Ф т (zk - zj) n?Li {l/zk - zj)]. A1.6.24)*
Его также можно записать со знаменателем, содержащим
произведение П от /= 1 до т при \фк\
Res (zk) = Pm M/[zk (l/zk - zl) П/Ф k [(zk - zt) (l/zk - zj)]].
С учетом выражения A1.6.13) формула выборки упро-
упрощается:
Res (zk) = Рт At/zk A/z* - zl) Dk. A1.6.26)
Из определения z-преобразования и с учетом выражений
A1.6.17) и (П.6.18) получим
z*(l/z* - zl) = exp (-2nifk) 2nBk exp Bnifk) = 2nBk. A1.6.27)
Тогда выборка на частоте fk
Res (zk) = Pm At/2nBkDk. A1.6.28)
Если прибавить выборку от полюса —fk, то получается
уравнение, аналогичное A1.6.21):
р (/*) = 2 Res (zk) = Pm At/nBkDk. A1.6.29)
Приведенные выкладки доказывают тождественность урав-
уравнения A1.6.8) и устанавливают, что выборка полюса функции
Pe(z)/z равна p(f*), т. е. энергии данной гармоники. При рас-
расчете функции р(/) необходимо получить оценку фильтра
ошибки предсказания A, —dmi, ..., 4m) и определить нули Zk
при k = l до т полинома в уравнении A1.6.5). В работе [217]
рекомендуется использовать подпрограмму двойной точности
типа PA07PD из харвелловской библиотеки подпрограмм в ка-
качестве надежного средства расчета комплексных корней много-
многочленов 100-го порядка и более. Энергию спектральных состав-
составляющих получают с помощью уравнения A1.6.26) для вы-
выборки и уравнений A1.6.9) и A1.6.10) для p(fk). Также по-
143

лезно с помощью уравнения A1.6.18) оценить ширину полосы
частот в зависимости от частоты.
Метод максимальной энтропии использовался при взаимном
спектральном анализе [455]. Он применялся также при реше-
решении двухмерных [343] и многомерных [298] задач. Этот метод
продолжает интенсивно исследоваться.
ГЛАВА 12
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПО МЕТОДУ
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
12.1. Введение
Метод максимального правдоподобия при получении оценок
спектральной плотности энергии создан Дж. Кейпоном в 1969 г.
[91] для работы в частотно-волночисловой области. Он был
весьма успешно использован при обработке сейсмических дан-
данных, полученных с помощью площадной расстановки в штате
Монтана (США). Р. Лакос применял этот метод при анализе
одноканальных данных [256]. Вместо фиксированных времен-
временной и частотной весовых функций, воздействующих соответст-
соответственно на функцию автоковариации и периодограмму, при вы-
вычислении спектров по методу максимального правдоподобия
форма весовой функции изменяется в зависимости от волнового
числа или от частоты. Весовые функции рассчитываются та-
такими, чтобы оптимально подавлять все частотные составляю-
составляющие за исключением одной, полезной.
Пусть на вход фильтра с импульсной реакцией W подаются
сигнал и аддитивная помеха у, а на выходе имеем х. Входной
сигнал состоит из синусоидальной компоненты с амплитудой А
и случайной помехи с нулевым математическим ожиданием.
Предположим, что шаг дискретизации равен At, а через k обо-
обозначен временной индекс, тогда
ук = А^"к + Ч. A2.1.1)
На выходе фильтра согласно уравнению свертки имеем
n
хк= Е Wnyh + l-n. A2.1.2)
П=т\
Потребуем, чтобы коэффициенты фильтра удовлетворяли
условию пропуска чистых (без помех) сигналов без изменений
144

В результате деления обеих частей последнего равенства на
входной сигнал вида А ехр (i2nfk At) получим
1= 5^А|A^ A2.1.4)
В матричной записи, обозначив векторы-столбцы через
W2
1
I2nf Д*
J2nf (М-I) At
условие A2.1.4) можно записать как
1 = ~E*TW.
A2.1.5)
Данный фильтр должен также пропускать без искажений
комплексно-сопряженный сигнал Xk = А ехр (—i2nfk At). По-
Последнее условие можно записать в виде
l=?rlF. A2.1.6)
Чтобы надежно определить энергию сигнала, дисперсию чи-
чистого шума на входе следует минимизировать. Поскольку ма-
математическое ожидание шума равно нулю, дисперсия на выходе
задается математическим ожиданием квадрата выходного си-
сигнала:
. A2.1.7)
Для случая
имеем
Е
= [W]Wiao
В матричной записи это уравнение более компактно:
A2.1.8)
где Л—квадратичная корреляционная матрица Топлица раз-
размером (NXN), образованная из коэффициентов функции авто-
ковариации.
Заказ
145

В постановке Дж. Кейпона задача заключается в миними-
минимизации дисперсии при условии A2.1.5). Для этого необходимо
найти связь между двумя уравнениями с помощью неопределен-
неопределенного множителя; затем ее минимизируют относительно неизве-
неизвестных коэффициентов фильтра:
(d/dW)[w*TAW- k(E*TW- l)] = 0. A2.1.9)
Если все члены вещественные, решение находится очень про-
просто. При jV=3 легко убеждаемся в том, что приравнивание
нулю частных производных d/dW\, d/dW2 и д[д\Уз дает следую-
следующую систему уравнений:
2Wxa0 + 2W2ax + 2Wza2 — X = 0;
2W{a2
2W2a0
2W2ai
L" = 0;
/ = О
или
a0
ax
a2
ax
ax
a2
ax
ao_
wx
w2
w,
= 1/2
1
enif
ejt/f
At
At
A2.1.10)
В матричной записи последнее уравнение принимает вид
2 A2.1.11)
После умножения на обращенную матрицу А~х получим
решение
A2.1.12)
Это уравнение выполняется, когда коэффициенты фильтра
комплексные. Чтобы определить неизвестный множитель К под-
»>
ставим выражение для W в дополнительное условие, наложен-
наложенное на сигнал, т. е. A2.1.6):
=ЕтА-1Е*Х/2
или
A2.1.13)
A2.1.14)
В таком случае фильтр, рассчитанный на пропускание един-
единственной частотной составляющей и оптимальное подавление
помехи, имеет вид
\V7 Л — 1 /7* / рТ Л — 1 /7* /1 О 1 1 К\
146

Дисперсию результата на выходе фильтра получаем под-
становкой W в уравнение A2.1.8):
или
A2.1.16)
Это уравнение представляет собой энергетическую оценку,
совпадающую со спектральной оценкой по методу максималь-
максимального правдоподобия в формулировке Р. Лакоса [256]
Р?=1/ЯГЛ-!Я*. A2.1.17)
12.2. Сравнение методов спектральных оценок
Рассмотрим предложенный Р. Лакосом теоретический при-
пример разделения двух синусоид с частотами 0,15 и 0,2 Гц на
фоне белого шума [256]. Функция автоковариации сигнала
и помехи имеет вид
ап=\ +5,33cos@,Зл/г) + 10,66cos@,4лп), /х = 0, 1, ..., N — 1.
A2.2.1)
На рис. 12.1 изображены результаты сопоставления для
случая N=11. С помощью максэнтропийного метода дости-
достигается полное разделение заданных спектральных составляю-
составляющих. Вместе с тем пиковые значения составляющих разли-
различаются на 6 дБ, а не на
3 дБ, как во входном сигнале.
Пиковые значения оказываются
непропорциональными квадрату
амплитуды сигнала, но площадь,
занимаемая каждым из пиков,
пропорциональна энергии. Метод
максимального правдоподобия
Дж. Кейпона лишь указывает на
наличие двух пиков, но дает хо-
хорошую сравнительную оценку
энергии. Спектральная оценка
с помощью весовой функции
Бартлета совершенно не реаги-
реагирует на присутствие в анализи-
анализируемом сигнале двух синусои-
синусоидальных составляющих.
Теоретическое соответствие
между расчетами энергетиче-
30
О 0,1 0,2 0,3 0,Ц ft Гц
Рис. 12Л. Относительные спек-
спектральные оценки сигнала по Барт-
лету A), методу максимального
правдоподобия B) и методу мак-
максимальной энтропии C)
10*
147

ских спектров по методам максимальной энтропии и правдопо-
правдоподобия исследовано Дж. Бургом [84] для волночислового случая.
Обозначим через E(k) направленный вектор-столбец из N эле-
элементов:
1
2nkn Axl
A2.2.2)
Если А — взаимно энергетическая матрица на частоте f, k —
волновое число, Ах— расстояние между приемниками, а N —
число приемников, то в пределах найквистовой полосы частот
\k\^l/2&x. Согласно методу максимального правдоподобия,
энергетический спектр определяется выражением
PL(k) = NЬх\\Ет(фЛ-1 (/)?* (k)\ A2.2.3)
Оно сопоставимо с выражением A2.1.15) для спектральной
оценки в частотной области по одиночному каналу.
Согласно уравнениям A1.3.15), A1.5.1) и A1.5.3), м'акс-
энтропийный спектр, полученный с помощью фильтра из N чле-
членов, имеет вид
^^| A2.2.4)
где Рп определяется выражением A1.5.2) или A1.5.4),
a din = 1.
Из уравнения A1.5.7) следует, что обращение взаимно энер-
энергетической матрицы
A2.2.5)
Это равенство можно подставить в знаменатель отношения
A2.2.3) и получить уравнение
iT)Tl (Вг) A2.2.6)
N
п=*1
1-1
/«1
N
, П).
A2.2.7)
148

Итак, между спектральными оценками, полученными мето-
методами максимального правдоподобия и максимальной энтропии,
существует следующее соотношение:
N-1 Z UPE(k% л), A2.2.8)
1
т. е. значение спектра по методу максимального правдоподобия
равно среднему из максэнтропийных оценок, определенных
с помощью набора фильтров ошибки предсказания с числом
членов от 1 до N. Это объясняет, почему максэнтропийный ме-
метод обеспечивает большую разрешенность. Дело в том, что
расчет по методу максимального правдоподобия эквивалентен
усреднению с помощью системы запараллеленных сопротивле-
сопротивлений, дающей разрешенность от наименьшей до наибольшей, ко-
которую можно получить по максэнтропийному методу. Спект-
Спектральная оценка по методу максимального правдоподобия не-
несовместима с ковариационной матрицей. Пользуясь зависимо-
зависимостью A2.2.8), оценки по методу максимального правдоподобия
обычно рассчитываются с привлечением программ вычисления
максэнтропийных значений энергетического спектра. Оценки по
методу максимального правдоподобия не нашли широкого при-
применения, поскольку исследователи, как правило, стремятся по-
получать спектры с четкими максимумами, хотя последние совсем
не обязательно должны иметь физический смысл. Если наперед
известно, что физическая модель содержит в себе чистые сину-
синусоиды, а фон помех представлен белым шумом, то предпочти-
предпочтительнее пользоваться методом максимального правдоподобия
для определения значений энергетического спектра.
ГЛАВА 13
МИНИМАЛЬНОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ И СВОЙСТВА
ФИЛЬТРОВ
13.1. Введение
Известно, что в случае дискретной временной последователь-
последовательности уравнение свертки имеет вид B.1.8). Функцию автокова-
риации импульсной реакции можно определить следующим
образом:
Я/= ZWi + JWl A3.1.1)
i = 0
149

Если вектор-строка Wt состоит из т-\-\ элементов с индек-
индексами от 0 до /л, то индекс / пробегает значения от —т до +т>.
Реверсивный волновой импульс определяется как реверсная
комплексно-сопряженная величина и имеет вид
WR = (W*mt Wm-u ..., Wl). A3.1.2)
Функцию автоковариации можно интерпретировать как
свертку некоторого волнового импульса со своим реверсивным
импульсом [364]:
a = W*WR. A3.1.3)
Преобразовав по Фурье функцию импульсной реакции, полу-
получим передаточную функцию У (со), описывающую фильтр или
электрическую цепь в частотной области:
У(со)= %УГ*ГШ9 A3.1.4)
где
л
k S Пю)е""Л>. A3.1.5)
Частотный диапазон от —я до +я включает в себя все ча-
частоты, определяемые шагом дискретизации. Это значит, что
максимальная циклическая частота равна ±7г цикла на еди-
единицу времени, а максимальная угловая частота со равна
±я рад на единицу времени. Энергия передаточной функции
р (со) = Y (со) Y (-со) = 7 (со) Г* (о). A3.1.6)
В полярных координатах выражение для передаточной
функции записывается как
У(со) = |У(со)|е^е(со) = |У(со)|е?ф(а)), A3.1.7)
где | Y(со) | — амплитудный, а 6 (со) =—</>(со) — фазовый спектр.
13.2. Z-преобразование
Z-преобразование получается подстановкой
г = е~ш. A3.2.1)
Как было показано в формуле B.5.4), эта функция предста-
представляет собой единицу времени задержки вида ехр(—/соД/), где
At — шаг дискретизации, обычно полагаемый равным одной
единице времени. Любая точка на окружности | з: | = 1
(рис. 13.1) изображает синусоидальное колебание бесконечной
150

длительности с частотой / = со/2я. Вещественная и мнимая ча-
части находятся из соотношения г = cos со — i sin со. Д/=1.
Z-преобразование известно с 1779 г., когда оно было вве-
введено в употребление П. Лапласом [263, 264] вместе с коэффи-
коэффициентами ряда Тейлора, который определяет импульсную реак-
реакцию Wt\
Y(z)= YuWtz*. A3.2.2)
Позже г-преобразование было заново введено В. Гуревичем
[208] с той лишь разницей, что вместо z в определении A3.2.1)
Im(zH
Рис. 13.1. Единичный круг на г-плоскости. Чистые
гармоники с угловой частотой со, т. е. незатухающие
синусоиды, изображаются точками на единичной
окружности
он употреблял 2Г1. Его символика широко используется в тех-
технических текстах различными исследователями [225, 149, 42,
251, 105]. В книге и в работах [363, 366, 462] используется
классическое определение. Неоднозначность символики не при-
приведет к путанице, если придерживаться какого-то одного опре-
определения.
Вместо фурье-преобразования A3.1.4) можно воспользо-
воспользоваться преобразованием Лапласа [404]. Переход к г-преобразо-
ванию совершается, как следует из D.4.3), с помощью соотно-
соотношения
z = e's. A3.2.3)
Преобразование Лапласа (или комплексное преобразование
Фурье) можно изобразить графически на s-плоскости E =
= cr+uo). Процесс дискретизации аналогового сигнала выносит
в преобразование периодичность (рис. 13.2).
Комплексная функция в области Л, складываясь, повто-
повторяется в областях В и С и затем в D и Е. При г-преобразовании
все комплексные частоты накладываются друг на друга, причем
данные, расположенные справа от оси ординат, отображаются
внутрь единичного круга, а данные, расположенные слева, ото-
отображаются на z-плоскости вне единичного круга (рис. 13.3).
Z-преобразование передаточной функции имеет вид A3.2.2).
Оно является частью ряда Лорана, и с помощью теоремы
Коши—Адамара можно показать, что условиями устойчивости
фильтра являются:
1) аналитическая функция Y(z) при \z\ <1;
151

2) все особые точки, лежащие вне единичного круга (если
особая точка находится на единичной окружности, то оператор
может быть как устойчивым, так и неустойчивым).
ш
Рис. /5.2. Периодичность преобразования цифровых или дискретных данных
на 5-плоскости.
Особые точки или пути вдоль стрелок в главной области [А(—л до +я)] неотличимы
от особых точек или путей вдоль стрелок, принадлежащих областям, зеркально отражен-
отраженным относительно областей с найквистовой частотой
w
1@
V
x 7&WAWj
yvxvxvx x x x x x x x )
X X X X X X X X X X X >
b
a
f
с
s
с
A*
d
00
Рис. /3.3. Отображение s-плоскости в г-плоскость
Условия устойчивости для аналоговых фильтров сформули-
сформулированы Пейли и Винером [476], а для цифровых — Колмогоро-
Колмогоровым и Гуревичем [244, 208]. Некоторые из аспектов устойчи-
устойчивости операторов освещены в гл. 4.
Согласно условию Колмогорова, для устойчивости реализуе-
реализуемого линейного оператора Wt необходимо и достаточно, чтобы
его энергетическая функция Р(со) была вещественной, неотри-
неотрицательной, интегрируемой, ненулевой почти везде от —я, по я
и чтобы соблюдалось неравенство
J log P (со) dm > — оо.
A3.2.4)
—я
152

Из условия Колмогорова следует, что спектральная функция
распределения G.2.12) не имеет горизонтального учаска. Если
же горизонтальный участок образуется, то энергетический
спектр Р(со) равен нулю в некоторой полосе частот, так как
.logP((o) равен минус бесконечности, только когда Р(со) равна
нулю.
13.3. Дипольное представление фильтрации
Диполем называется волновой импульс или вектор-строка,
состоящий из двух членов [364]. Примером (рис. 13.4) служит
-+>
волновой импульс вида W= B, —1) = (Wo, W\).
w
2
I
7
/
\
\
\
Рис. 13А. Элементарный волновой ^ w
импульс, превращающийся в диполь -7 О
после дискретизации
Передаточная функция такого волнового импульса в соот-
соответствии с A3.1.4) имеет вид
У (со) = 2-е"'*.
Амплитудная характеристика получается как модуль пере-
передаточной функции
| у (©) | = [(№o"+ W\e~tiB) (Wq + И?Ге/а))]1/а;
| Y (со) | = (W0Wl + WoW*el<* ^fWxWU"** + W\W"\fh. A3.3.1)
В нашем примере энергетический спектр или квадрат модуля
|Г(со)|2 = 5 —4cosco.
Понятие диполя играет очень важную роль в теории фильт-
фильтрации, так как волновой импульс или функцию импульсной ре-
реакции любой длительности можно представить согласно тео-
теореме о свертке в виде свертки соответствующего числа диполей.
Пусть имеем п диполей вида (а0, oci), (Po, Pi), ..., (coo, coi).
Тогда, если сигнал пропустить через п фильтров, то эта опера-
операция будет эквивалентна действию одного фильтра, обладаю-
обладающего передаточной функцией:
W = (do, a,) X (Ро, р,) # (Yo, Yi) ?r • • • * (о», со,). A3.3.2)
С помощью фурье-преобразования и г-преобразования
можно выразить свертку в алгебраической форме:
W (z) = (а0 + axz) (Ро + pt2) (ye + Yi*) • • • («о + ©i«) A3.3.3)
153

или
W (z) = W0 + Wxz + W2z2 + ... + Wnzn. A3.3.4)
На рис. 13.5 изображен п-звенный фильтр, действие кото-
которого эквивалентно действию одиночного фильтра (рис. 13.6).
Коэффициенты Wo, W\, ..., Wn вещественны во всех случаях,
представляющих физический интерес. Поэтому, если W(z)
имеет мнимые или комплексные нули, они должны появляться
Рис. 13.5. Многоступенчатый фильтр, в котором каждая импульсная реакция
представляет собой диполь (х — вход; # —выход)
"«¦ |—| Рис. 13.6. Эквивалентный одноступенчатый фильтр W,
а "*"""*" | И^ | j- » у импульсная реакция которого содержит Л+1 членов
комплексно-сопряженными парами. Например, импульсная ре-
реакция E, —2, 1) имеет z-преобразование вида
WA = 5-2z + Z2 = (-l+2i + z)(-l-2i + z). A3.3.5)
Заметим, что трехчленный волновой импульс A3.3.5) со-
состоит из пары взаимно сопряженных комплексных диполей.
В качестве еще одного примера возьмем импульсную реакцию
(864, -144, 186, -55, -79, 4, 4),
которая имеет следующее z-преобразование:
WB = 864 - 144z + I8622 - 55z3 - 79z4 + 4z5 + 4ze =
= D + Z) D _ z) (-3 + 2iz) (-3 - 2/z) B - z) C + z). A3.3.6)
Третья импульсная реакция, образованная из произведения
Wa и Wb> имеет вид
D320,-2448, 2082, -791, -99, 123, -67, -4, 4).
Ее z-преобразование записывается как
Wc = 4320 — 2448z + 2082z2 — 791 z3 — 99z4 + 123z5 —
- 67ze ~ 4z7 + 4z8 = D + z) D - z) (-3 + 2/z) X
(-3 _ 2/z) X B - z) C + z) (-1 + 2/ + z) (-1 - 21 + z). A3.3.7)
Нули функции We находятся в точках
z = ±4, ±C/2)/, 2, -3, 1±2/.
Четвертый пример
или
WD = 120 + 2z - 1 lz2 + 1 lz3 - 5z4 - z\ A3.3.8)
154

Все волновые импульсы и особые точки изображены на
рис. 13.7.
й lm(z) 2
Г\
Рис, 13.7. Волновые импульсы:
д —нули импульсной реакции We* ? —импульсная реакция фильтра Wa* в —импульс-
—импульсная реакция фильтра WB; г —импульсная реакция фильтра Wc; ^ — импульсная реак-
реакция фильтра WD
13.4. Нормированный волновой импульс
Любой двухчленный волновой импульс можно записать так,
чтобы его первый коэффициент равнялся 1. Следовательно,
функцию
W = (W09 Wx) A3.4.1)
155

можно записать в виде
^ = A, WyW'o)==(l, Wn). A3.4.2)
13.5. Диракоид
Диполь, у которого первый коэффициент имеет наибольшее
значение, называется минимально-запаздывающим волновым
импульсом, или диракои^ом:
\W»\>\WX\. A3.5.1)
Как мы видели, z-преобразование диполя имеет вид
W(z) = W0 + Wxz. A3.5.2)
Передаточная функция вещественных диполей, исходя из
A3.1.7), получается равной
Y (со) = W0 + W^* = {WQ + Wx cos со) - iWx sin со. A3.5.3)
Из уравнения A3.3.1) получаем амплитудный
| у (со) | = {Wl + 2W0W{ cos со + W\Lt A3.5.4)
и фазовый спектры диполя
ф (о) = —arctg (Wx sinco/[№o + Wt cos со]). A3.5.5)
Нормированный диракоид (см. раздел 13.3) В7=A, —1/2)
обладает следующими амплитудным и фазовым спектрами:
| Г (со) | = EД - cos co)Vl, A3.5.6)
ф (io) = arctg (sinco/[2 — cos со]). A3.5.7)
Графики этих функций изображены на рис. 13.8.
Диполь комплексного волнового импульса, имеющего веще-
вещественную и мнимую части, можно записать в виде
W = (lFoRe + ^olm, №,Re + iWlla). A3.5.8)
Амплитудный спектр такого диполя
| Y (СО) | = [^Re + Wlim + W^e + W2nm + 2 COS CO (tFoRe^lRe +
+ ^olm^iIm) + 2sinco(roRernm-- ^olm^lRe)]l/l A3.5.9)
а фазовый спектр
ф (со) = arctg [(WQlm + Wnm cos со - WlRe sin co)/(№0Re +
+ ^ШеС08СО+^11т8Шсо)]. A3.5.10)
Уравнение A3.5.10) представляет собой преобразование
нормированного волнового импульса A, Wn), у которого | Wn \ <
1
W(z)=l+Wn(z). A3.5.11)
156

Нуль данного г-преобразования можно найти, приравняв его
нулю:
W(z) = 0. A3.5.12)
Нуль находится в точке
z = -l/Wn. A3.5.13)
Поскольку |№п|<1, нуль находится вне единичного-круга
на 2-шюскости. Случай вещественного нуля изображен на
рис. 13.9.
-УГ -Уг/2 VT/2 9Г О)
Рис. 13.8. Амплитудный (а) и фазовый
(б) спектры минимально-запаздываю-
минимально-запаздывающего (диракоидного) диполя A, —1/2)
Рис. 13.9. Изображение дей-
действительного нуля нормали-
нормализованного диракоидного ди-
диполя
Если все п диполей, образующие более длительный волно-
волновой импульс A3.3.3), являются диракоидами, то в результате
свертки п таких диполей получается {п+\)-элементный мини-
минимально-задерживающий, или диракоидный, фильтр из (п+1)
элементов. Ряд подобных импульсов изображен на рис. 13.7,
их математические определения даны уравнениями A3.3.5) —
A3.3.8). Заметим, что, хотя первый коэффициент диракоида
наибольший по величине, последующие коэффициенты не обяза-
обязательно должны равномерно уменьшаться. В качестве простого
примера приведем импульс A6, 0, —1), который является ди-
ракоидом, так как его г-преобразование имеет вид D+г)Х
XD-z).
13.6. Реверсоид
Диполь, у которого наибольшим по величине является по-
последний коэффициент, называется реверсоидом. В результате
свертки п реверсоидов получаем максимально-задерживающий,
или реверсоидный, фильтр. Реверсоид (№*, 1) представляет
собой диракоид A, №*) с обратным порядком следования коэф-
коэффициентов. Его ^-преобразование
= W*n+z. A3.6.1)
157

Нуль находится в точке
-Wn; \K\ 1). Его передаточная функция записывается как
У((о) = —/2 + е . (lo.o.o)
Рис. 13.10. Изображение действительного нуля
нормализованного реверсоидного диполя
Рис. 13.11. Амплитудный (а) и фазовый (б)
спектры реверсоидного диполя (—1/2, 1)
Re(z)
a \Y(cj)\
2,0
V
\
X ю'
г \ .
\90
\
/- , Л
/ -90°
480°
I 1 ^
{ i
к *7Г/2 9Т Со
\
\
sr <o
Амплитудный спектр дипольного реверсоида такой же, как
и у дипольного диракоида:
|У(со)| = EЛ —cosco)'/a, A3.6.4)
но фазовый спектр иной:
^> (о) = —arctg (sinco/[cos со — 0,5]). A3.6.5)
Рассмотренные функции изображены на рис. 13.11. Заме-
Заметим, что фазовый спектр реверсоида везде больше фазового
спектра соответствующего диракоида.
13.7. Центроидный фильтр
В результате свертки п дипольных диракоидов и реверсои-
дов получим (п+1)-элементный среднезадерживающий, или
центроидный, фильтр. Если взять п диполей (диракоидов или
158

реверсоидов), то из них можно образовать 2п фильтров, каж-
каждый из которых состоит из п+1 элементов. Каждый из фильт-
фильтров является частью множества и обладает одинаковым ампли-
амплитудным спектром и одинаковой автоковариационной функцией.
В качестве примера образуем из следующих трех дипольных
диракоидов множество из 23=8 фильтров:
A0, 4), E, -3), B, 1)
1. A0, 4)*E, -3)*B, 1) = (Ю0, 30, -34, -12) - диракоид
2. D, 10)*(—3, 5)*A, 2) = (—12, —34, 30, 100) — реверсоид
3. A0, 4)*E, -3)*A, 2) = E0, 90, -32, 24)
4. D, 10)*(-3, 5)*B, 1) = B4, -32, 90, 50)
5. A0, 4)*(-3, 5)*B, 1) = (—60, 48, 78, 20)
6. D, 10)*E, -3)*A, 2) = B0, 78, 48, -60) центроиды
7. A0, 4)*(-3, 5)*A, 2) = (-30, -22, 96, 40)
8. D, 10)*E, -3)*B, 1) = D0, 96, -22, -30)
13.8. Накопленная энергия
Накопленную энергию волнового импульса можно опреде-
определить путем построения графика зависимости ее от времени.
В случае фильтра из п элементов строится график со следую-
следующими координатами:
Абсцисса (время) Ордината (накопленная энергия)
О
1
wl
т
/«0
Рис. 13.12. Парциальная энергия Рв диракоидов (/), ре-
версоидов D) и центроидов B, 3)
159

В качестве примера найдем накопленную энергию свертки
пар диракоидов или реверсоидов, приведенных • ниже. Резуль-
Результаты вычислений изображены на рис. 13.12.
Свертка
2,1
1,2
2.1
1.2
*
*
Z-преобразование
B + z)C-z
(l + 2z)(-l+3z
B + z M+3z
(l+2z)C-z
= 6 + z — z2
= —1+Z + 6Z2
= —2 + 5z + 3z2
= 3 + 5z — 2z2
Импульс
F,1,-1
(-1.1.6
C, 5, -2
Вид
Диракоид
Реверсоид
Центроид
Центроид
По диаграмме накопленной энергии можно различать ревер-
соиды, диракоиды и центроиды. Свойства физически реализуе-
реализуемых операторов фильтров рассматриваются в главе, посвящен-
посвященной преобразованию Гильберта.
ГЛАВА 14
ДЕКОНВОЛЮЦИЯ
14.1. Деконволюция как обратная фильтрация
Если IF—функция импульсной реакции линейной системы
(рис. 14.1), то сигнал на выходе системы можно получить
сверткой входного сигнала с импульсной реакцией B.1.7).
w
Рис. 14.1. Изображение свертки или
фильтрации в виде «черного ящика»
Рис. 14.2. Изображение деконволю-
ции или обратной фильтрации в виде
«черного ящика»
При заданных величинах W и у можно решить обратную
задачу, определив х. Этот процесс называется обратной фильт-
фильтрацией. Система, осуществляющая данную операцию, назы-
называется обратным фильтром и обозначается символом W'1
(рис. 14.2).
В качестве примера рассмотрим процесс восстановления
смещения или скорости смещения почвы по данным сейсмо-
—>-
графа, обладающего импульсной реакцией W. Уравнение де-
конволюции как обратной фильтрации имеет вид
*=№-'*?. A4.1.1)
160

Подставив уравнение B.1.7) в A4.1.1), получим первона-
первоначальный входной сигнал
* = I^-«K. W -K-jc. A4.1.2)
Можно получить сигнал х, свернув его с единичным импуль-
импульсом [см. уравнение B.1) в приложении 2]:
A4.1.3)
Из сравнений A4.1.2) и A4.1.3) следует, что
с»
6= W~l X W= J^wtwllt. ' A4.1.4)
Чтобы найти выражение для обратного фильтра из уравне-
уравнения A4.1.4), сделаем г-преобразование. При этом предпола-
предполагается, что импульсная реакция W нормирована, а z-преобра-
зование единичного импульса б равно 1:
1 =(wol + wTlz + \ ..)(l + wiz + w2z2+ ... +wnzn) A4.1.5)
или
+ ... +wnzn). A4.1.6)
Если импульсная реакция представлена нормированным ди-
диполем A, Wn), уравнение обратного фильтра запишется в виде
пИ = 1/A + wnz) =l-wnz + wlz2 - wlzz + ... A4.1.7)
или
W-l=(l9 -wn% wl -w\% ...).
Чтобы выполнить обратную фильтрацию точно, необходимо
располагать бесконечно длинным оператором. Если W — нор-
нормированный диполь-диракоид (|о>п|<1), то W~l — устойчи-
—>-
вый обратный фильтр. Если же W — диполь-реверсоид, то
—>-
W будет неустойчивым, так как ряд в уравнении A4.1.6) не
сходится. Если найден устойчивый обратный или деконволюци-
онный фильтр, то выражение исходного сигнала запишется как
xL= Zw7lyL-t. A4.1.8)
*=о
Заметим, что w~l — коэффициент деконволюции, т. е. —1 не
обозначает обратной величины l/wt.
И Заказ № 4 161

14.2. Деконволюция с помощью усеченных операторов
Когда фильтр деконволюции устойчивый, ряд в A4.1.8)
сходится и появляется возможность достичь разумного приб-
приближения, используя произвольное конечное число членов ряда
т
xL= Y,wTxYL-t. A4.2.1)
Этот обратный фильтр не самый лучший, так как другие,
оптимально приближенные обратные фильтры той же длины
обеспечивают меньшее различие между истинным входным си-
-»• •»>
гналом х и его приближением ха, полученным в результате
операции деконволюции.
Квадрат ошибки приближения равен квадрату разности
между искомым и фактическим выходными сигналами:
A4.2.2)
Величина Е называется квадратичной нормой. Последнее со-
соотношение следует из A4.1.4) или A4.2.1). Предполагается,
что первоначально на вход фильтра W были подана дельта-
функция Дирака (единичный импульс). Если обратный фильтр
действует нормально, на его выходе должна появиться дельта-
функция Дирака. Но так как фильтр конечен, выходной сигнал
будет несколько отличаться от ожидаемого. Точное обращение
импульсной реакции, имеющей вид диполя №=A, wn), со-
согласно уравнению A4.1.7) записывается как A, —wn, w2n,
—w3 , ,..).
В табл. 14.1 приведены квадратичные нормы для случая,
когда W представлена диполем, а обратные фильтры имеют
различную длину( содержат различное число коэффициентов).
Таблица 14.1
Квадратичная норма для обратных фильтров, полученных
простым усечением бесконечного оператора
Длина оператора
1
2
3
4
Усеченный обратный
A)
A, — Wn)
A. -•„. -J
A, — wn, w\.
фильтр
г)
-О
Е
<
<
<
162

14.3. Оптимальный диполь деконволюции
Можно рассчитать такие фильтры деконволюции, квадратич-
квадратичная норма которых меньше, чем у усеченных фильтров декон-
деконволюции. Они строятся аппроксимацией бесконечного опера-
оператора деконволюции по методу наименьших квадратов и счи-
считаются оптимальными. Для расчета подобных операторов
сначала получим выражение для двухчленного обратного
фильтра.
Рис. 14.3. Свертка с единичным | 1
импульсом Ъ0*0 +^\ w |^*t^,g...
Предполагается, что импульсная реакция является нормиро-
нормированным диполем
^ = A, шя), |а>я|<1. A4.3.1)
Автоковариационная функция импульсной реакции опреде-
определяется по коэффициентам произведения г-преобразований пря-
прямого W и реверсивного WR диполей:
A + wnz)[(wn + г) = wn + (l + wlLz + wnz\
a=(a_i, ao, ai) = (wnt l+w2n, wn). A4.3.2)
Если на вход фильтра подается единичный импульс A, О,
О, ...), на выходе получаем импульсную реакцию A, wn, 0, ...).
Искомый сигнал на выходе обратного фильтра — дельта-функ-
дельта-функция Дирака (рис. 14.3)
^ = б = A, 0, 0, ...). A4.3.3)
В результате деконволюции с помощью приближенного об-
обратного фильтра получается некоторое приближение к иско-
искомому сигналу (рис. 14.4)
xa=W~l KW=(wo\ wolwn + w7\ wTlwX A4.3.4)
а не ожидаемый вектор 6 = A, 0, 0). Ошибка приближения
е = A, 0, O) — (wo\ w^lwn + wr\ wTlwn) =
= 0—roo. —wolwn—WT\ —WrlWn). A4.3.5)
Квадратичная норма ошибки приближения имеет вид
Е = A - Wo1J + (—wolwn - wTj + (-wTlwnf = 1 - 2wo{ +
2wo [wawTl + (wT1J + (wTlwnJ =
w2n) + 2wolw7lwa + (wTlf (l + w%
A4.3.6)
11* 163

После подстановки значения автоковариационной функции
при соответствующих сдвигах получим
Е = 1 — 2wo{ + (wf1J а0 + 2wolwTla{ + (wT1J a0. A4.3.7)
Чтобы найти минимум квадратичной нормы ?, продифферен-
продифференцируем последнее уравнение по неизвестным коэффициентам
и результаты приравняем нулю:
дЕ/dwo1 = —l l
дЕ/dwT1 = 2w0 ]
1 = 0;
:0.
A4.3.8)
A4.3.9)
Wo
'
w
Рис. 14.4, Свертка с диполем. Вычисления можно выполнить в виде операции
сложения в соответствии с диаграммой в верхней части рисунка (см. раз-
раздел 2.3). Заметим, что —1 в W~* обозначает операцию деконволюции или
обращения, а не обратную величину lfW\
Затем решим следующую систему двух уравнений:
] = 1; A4.3.10)
= 0. A4.3.11)
Решения наиболее легко выражаются через определители
1 at
A4.3.12)
0 а0
а0
W\ 1 =•
а0
1
0
О Of
al-a\
—at
До
или же через коэффициенты диполя
w\
wl
A4.3.13)
A4.3.14)
164

Рассмотрим следующий пример. Пусть импульсная реакция
W представлена диполем A, j/2) (рис. 14.5). Тогда имеем:
№-¦ = B0/21, -8/21);
ха = B0/21, +2/21, -4/21);
Е= 1/21 «0,048.
а
о о /
Рис. 14.5. Сигналы на выходе обратного фильтра:
а — диполь, формирующий импульсную реакцию; б — искомый (идеальный) выходной
сигнал является единичным импульсом в момент времени tf—О, т. е. #—A, 0, 0); в —
сигнал на выходе оптимального по методу наименьших квадратов обратного дипольного
фильтра вида ха— B0/21; 2/21; —4/21), ?-0,048; г — сигнал на выходе двухчленного усе-
усеченного обратного фильтра вида *а-A, 0, —1/4), ?=0,062
Квадрат ошибки приближения равен V21 по сравнению
с Vie для эквивалентного усеченного обратного фильтра. Струк-
Структура обратного фильтра, приближенного по методу наименьших
квадратов, лучше, чем усеченного, поэтому квадрат ошибки
между искомым и фактическим сигналами на выходе такого
фильтра деконволюции минимален.
14.4. Общие уравнения деконволюции
В дальнейшем мы не будем ограничивать вид импульсной
реакции линейного оператора диполем. Будем считать, что чи-
число коэффициентов оператора равно т+1. Сигнал из м+1 чле-
членов на входе приближенного обратного фильтра 1^-1=(ш~1,
w-1, ..., arj, составленного из т+1 коэффициентов, обозна-
обозначим через х, а фактический выходной сигнал, состоящий из
165

т+n+l членов —через у. Ожидаемый на выходе фильтра
волновой импульс d = d0, du ..., <Wn.
Ожидаемый выходной сигнал может быть единичным им-
импульсом F = 1, 0, 0, ...) либо любой другой функцией. В по-
последнем случае обратный фильтр будет действовать, как фор-
формирующий фильтр (рис. 14.6)
^a = W-l*y. A4.4.1)
Z-преобразование импульсной реакции W можно разложить
Рис. 14.6. Сигналы на входе х и выходе у фильтра
.г-*-
-7
w
m+1 mn+t
деконволюции W'1
Рис. 14.7. Свертка р диполей
Вход -_. __ , ^_^ Выход
на р множителей, каждый из которых представляет собой
диполь:
W(г) = w0 + Wyz + w2z2 + ... -\-wpzp =
= (a0 + axz) (po + PiZ) (Yo + YiZ) ... (coo + @,2). A4.4.2)
Таким образом, функция W является сверткой р диполей
(рис. 14.7):
W = (a0, a,) * (р0, PO # (Yo, Yi)tt • • • * (©», со,). A4.4.3)
Точное обращение функции W получается посредством
^-преобразования
W~ * (z) = l/[(a0 + ахг) (р0 + М (Yo + у*) . .. (соо + со^)]. A4.4.4)
Если каждый из составляющих диполей является диракои-
дом, то и весь импульс в целом будет диракоидом, а его обра-
обращение— устойчивой системой. Если импульс W — реверсоид, то
его устойчивое обращение будет антиимпульсом. Чтобы поль-
пользоваться им, необходимо располагать будущими значениями
сигнала:
Если диполи, образующие функцию W, представляют собой
как диракоиды, так и реверсоиды, то обращение будет цент-
166

роидом, определяемым полным рядом Лорана. При использова-
использовании центроидного фильтра деконволюции нужно располагать
как прошлыми, так и будущими значениями фильтруемого
сигнала:
ЯГ1 (z)=...
A4.4.6)
В этом разделе предполагается, что функция W является
диракоидом.
Квадратичная норма
т + п
Е= Е (di-Xaif. A4.4.7)
где d — искомый, а ха— фактический сигнал на выходе
фильтра.
Уравнение свертки xa = W-i:fcy принимает вид
т
Xai= HwTxyi-i, A4.4.8)
/ — О
\2
V*J . A4.4.9)
поэтому
m + n s m
Чтобы отыскать минимум квадратичной нормы ?, прирав-
приравняем частные производные от Е по неизвестным коэффициен-
коэффициентам фильтра, т. е. по аду1, нулю:
т + п
~ ' ' A4.4.10)
или
/-*= So d,y,-k. A4.4.11)
Порядок суммирования можно изменить:
т т+п т+п
? wTl E yt-iUi-k = S %/-*• A4.4.12)
Функция автоковариации выходного сигнала
т + п
? A4.4.13)
Е t/j + kiyj- A4.4Л4)
167

Пусть /=/+&, a k и i принимают все значения от 0 до т>
тогда
т + п
ak-i= Z У1-1У1-к- A4.4.15)
Определим также взаимную ковариацию импульса d с им-
пульсом у, т. е. ожидаемых выходного и входного сигналов,
через
k\ k = 0, ..., m. A4.4.16)
Наконец, получаем уравнение обратного фильтра
т
YjWTXak-i = ck\ fe = 0, I, ..., т. A4.4.17)
По этим /л+1 уравнениям можно найти оптимальный или
формирующий фильтр, используя при этом функцию автоко-
вариации входных данных у и функцию взаимной ковариации
между входными данными и искомым выходным сигналом d.
Если искомый выходной сигнал представлен единичным им-
импульсом, то
у = W импульсная реакция,
d = 6 = (l, 0, 0, ...). A4.4.18)
В этом случае обратный фильтр определяется уравнением
A4.4.16), где единственное ненулевое значение получается при
/ = 0:
ЕаЛ*-^^--*, A4.4.19)
а поскольку W = 0 для отрицательных времен и пг=а-и то ре-
решение определится следующей системой линейных уравнений:
2 lam-2+ •• .
A4.4.20)
Звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина.
Это значит, что wo в правой части уравнения появляется в ре-
168

зультате вычислений по величинам W с отрицательными ин-
индексами [см. уравнение A4.4.19)]. У реальных фильтров wq
и w* равны между собой. Уравнение A4.4.19) в матричной
записи имеет вид
A4.4.21)
где W-1 и Wo — векторы-столбцы; А — матрица коэффициентов
из уравнения A4.4.22).
Отметим, что все элементы, принадлежащие диагоналям,
симметричным относительно главной диагонали, равны между
собой. Поскольку существует лишь т+\ автоковариационных
функций и они сдвинуты на один член относительно друг
друга, затраты машинного времени на вычисления можно со-
сократить. Описанная матрица называется матрицей Топлица
(см. раздел 14.6):
по
по
U2
ах
по
wo
dm-2
0>т-\ Ят-2 Ят-3
а0
Wo
0
0
0
0
A4.4.22)
14.5. Z-преобразование обратного фильтра
Если диракоидная функция W дискретизована, то ее г-пре-
образование можно записать следующим образом:
W (z) = w0 + wxz + w2z2 + ... + wmzm9 A4.5.1)
а комплексно-сопряженная
W*{l/z) = wl + w\\z + w\\z + ... + w*mlzm.
A4.5.2)
Произведение этих двух многочленов представляет собой
г-преобразование автоковариационной функции:
A(z) = W (z) W* A/2) = a-nz-n + ...+
а-хг~х + a0 + axzx
amzm.
A4.5.3)
Например, коэффициенты при z° дают значение автокова-
автоковариационной функции при нулевом сдвиге
+ \ + ... + wmw*m. A4.5,4)
169

Аналогично, коэффициенты при 2-1 и zl являются значе-
значениями автоковариационной функции при единичном сдвиге:
а\ = wlwi + w\w2 + ... + w*m-\wm. A4.5.5)
Когда фильтр W действителен, коэффициент автоковариации
для положительных и отрицательных сдвигов равны между
собой:
ak = aLk. A4.5.6)
Спектр мощности фильтра получается из уравнения A4.5.3)
в результате замены z на ехр(—iwAt). Обращенный диракоид
обладает такими же, как у прямого диракоида, функцией авто-
автоковариации и энергетическим спектром:
A (z) = W~l (z) W~l* (l/z). A4.5.7)
Поскольку W(z) — функция диракоидного типа, можно рас-
рассчитать обратный фильтр:
W(z)=l/W~l(z). A4.5.8)
Подставив последнее выражение в A4.5.3), получим альтер-
альтернативную запись функции автоковариации:
A (z) = W* {l/z)/W-1 (z). A4.5,9)
Уравнение, из которого можно найти выражение для обрат-
обратного фильтра, получается умножением обеих частей последнего
отношения на W~* (г):
A (z) Wl (z) = W* (l/z). A4.5.10)
Запишем ^-преобразование в развернутом виде:
о + axz + . . . + amzm) X
X (wo1 + wTlz + ... + wZlzm)
+ wyz2+... + w*m/zm. A4.5.11)
Коэффициенты при степенях г°, z\ ..., zm образуют следую-
следующую систему из т уравнений:
i -mt^1 = 0;
amwo +am—1t^i + •. • 4- aQWm =0»
170

Данная система уравнений в матричной форме имеет
_2 . . . а_
г-1
—1
0
A4.5.12)
В случае вещественных коэффициентов, когда ai = a_i, ат =
= а-щ и т. д. и w* =wo, это уравнение идентично уравнению
A4.4.22).
14.6. Рекурсивное уравнение Левинсона
для обратного фильтра
Н. Левинсон в 1947 г. предложил [270] практический способ
расчета оптимальных обратных фильтров. Способ Н. Левинсона
представляет собой дискретную форму (см. разделы 14.4
и 14.5) винеровского решения данной задачи для случая непре-
непрерывных (аналоговых) сигналов, рассмотренного в приложе-
приложении 3. Первый коэффициент фильтра нормирован к 1 путем де-
деления на до*1:
A4.6.1)
Теперь напишем уравнение
п0 ах а2 . . . ат ~
ах 0о 01 ...ат-,
_i am_2
1 и
WT1
т-1
A4.6.2)
_am am_i am_2 • • • во JL^m J l_ - u
В результате замены функции автоковариации на функцию
автокорреляции большинство алгоритмов Левинсона становится
более универсальным. Замена достигается делением обеих ча-
частей уравнения на функцию автоковариации при нулевом
сдвиге:
Л/+| = а,/а0, / = 0, ...,т. A4.6.3)
Поскольку в вычислительных программах, написанных на
ФОРТРАНе, нулевой нижний индекс в циклах DO не исполь-
используется, удобнее уравнение A4.6.2) записать так, чтобы нижние
индексы принимали значения от 1 до п = т+1. Обратный
фильтр находится путем последовательных итераций, номер
которых обозначается индексом /\ После каждой итерации
171

фильтр увеличивается на один член до тех пор, пока число его
членов (коэффициентов) не достигнет т+1. Поэтому удобно
производить теоретические выкладки, применяя двойную ин-
индексацию //, обозначающую коэффициент и порядковый номер:
А2
л2
At -2
-*7/
W
// J
о
/=1 п.
A4.6.4)
Коэффициент взаимной корреляции в правой части уравне-
уравнения A4.6.4) обозначен через Vj. Поскольку wo=l/w-?, полу-
получаем окончательное значение в виде
A4.6.5)
При первой итерации фильтр имеет только один член
[At] [Wul] = [Vt], /=1. A4.6.6)
Благодаря нормировке, решение находится очень легко.
Уравнения, номера которых помечены звездочками, приме-
применяются при составлении вычислительных программ:
Л, = 1; V, = 1; Wul = \, I—I. A4.6.7)*
После второй итерации получим следующее матричное
уравнение:
[At АЛ ПИгЧ TV Л
л 1 I = л • A4.6.8)
^2 -^iJ L\V^2 J L U J
Итеративное решение начинается с прибавления к уравне-
уравнению A4.6.6) новой строки и определения новой постоянной ?/.
Система двух уравнений и ее матрица записываются следую-
следующим образом:
A4-6-9)
Заметим, что первое уравнение точно такое же, как A4.6.6).
Эту пару уравнений можно реверсировать и записать соот-
соответствующую матрицу:
AlO+A2W7\l=E2 [At А21Г 0 1 ГЕ21
^0Т~1 ""' ' Ilu7^l = li/ I- 04.6.10)
172

Главным моментом при поиске итеративного решения яв-
является образование нового уравнения путем вычитания части
R] реверсированного матричного уравнения A4.6.10) из
A4.6.9):
Параметр Z?2 получается из верхней строки системы уравне-
уравнений A4.6.10)::
E2 = A2WnX. A4.6.12)
Уравнения A4.6.8) и A4.6.11) можно сделать равнознач-
равнозначными. Для этого правая часть нижней строки уравнения
A4.6.11) должна равняться нулю, находящемуся в правой ча-
части нижней строки уравнения A4.6.8):
E2 — R2Vl = 0. A4.6.13)
Коэффициент
A4.6.14)
строк уравнений A4.6.8)
Из правых частей верхних
и A4.6.11) можно найти
V2 = VX-R2E2. A4.6.15)
Новые коэффициенты двухчленного обратного фильтра по-
получаются приравниванием соответствующих элементов левых
частей уравнений A4.6.8) и A4.6.11):
= 1; A4.6.16)
WT\. A4.6.17)
WV2
При третьей итерации (/ = 3) систему можно представить
в виде автокорреляционной матрицы третьего порядка:
"Л, А2 АЛ
А2 Ах А2
_Л3 А2 Aij
33 —
= 0
A4.6.18)
Система уравнений A4.6.8) из предыдущей итерации увели-
увеличивается на одну строку, содержащую новый параметр ?з:
ГА, А2 ЛзТР12] (Тл
U2 At A2 W22 = 0 .
Li43 A2 Aij q L^sJ
A4.6.19)
173

Можно записать и реверсированную систему уравнений:
"Л, А2 АЛ ° 1 Г
А2 Л, Л2 Wvl =
_Лз Л2 Atj wr—\ L
A4.6.20)
Доля коэффициента R3 реверсированного матричного урав-
уравнения A4.6.20) вычитается из исходной системы A4.6.19):
л, л2
/\2 *М
-R3
= 0 -/?3
1]
A4.6.21)
' Параметр Е3 получается из верхней строки уравнения
A4.6.20):
Е3 = A2W22 + A3WT2l. A4.6.22)
Уравнения A4.6.18) и A4.6.21) эквивалентны. По правым
частям нижних строк этих уравнений можно определить /?з:
?з — /?з^2 = 0; A4.6.23)
/?з = Яз/1/2. A4.6.24)
По правым частям нижних строк эквивалентных систем на-
находим новое значение
Vs = V2-RzEs. A4.6.25)
Новые коэффициенты трехчленного обратного фильтра по-
получаются в результате уравнивания соответствующих элемен-
элементов левых частей уравнений A4.6.18) и A4.6.21):
WTz = WT21 - ^з^з!1 = 1; И^з!1 = 0; A4.6.26)
Wn = W221 — Лз^и1; A4.6.27)
WmX — Wf2l — R3W12; 1^32l = 0. A4.6.28)
Для общего случая можно записать следующие рекуррент-
рекуррентные формулы:
±
W/"^ + i,/-i, / = 2, . . ., п\ A4.6.29)
i= I, ...,},
A4.6.30)
A4.6.31)
A4.6.32)
174

где
№/./-, = 0. A4.6.33)
Уравнения коэффициентов обратного фильтра записываются
следующим образом (при этом используется первоначальная
индексация, начинающаяся с нуля):
WT1 (z) = Wr\{z) - RjZf-lWr±i (l/z). A4.6.34)
В качестве примера приведем г-преобразования степеней г,
равных 0, 1, и 2 для случая / = 3:
° /- R,z2 {l/zJW22l, i = 0;
wn z2 = W22 z2 — Rzz2 (l/z)° ww\ i = 2.
В общем случае формула коэффициента при г1 имеет вид
wTjlzi = wTt\^izi-RJzl"l(llz)i'i^lwJ-l^u^l. A4.6.35)
Заметим, что из A4.6.30) и A4.6.31) следует
ИЛИ
^ = ^[1 -(?/A0-iJ]. A4.6.36)
Так как Vi = 1, а величина Уп = 1/аоа* 'положительна, нахо-
находим, что коэффициент Rj=Ej/Vi-i всегда ограничен значениями
—1 и +1:
Kl. A4.6.37)
Поскольку до-^ всегда диракоидная функция, из A4.6.34)
следует, что новый фильтр wj1 также будет диракоидом. Ре-
Рекурсивный метод Левинсона всегда дает результат в виде ди-
ракоидного обратного фильтра, когда первоначальный импульс
или фильтр, по которому рассчитывается автокорреляционная
функция,— диракоид. Одновременно можно вычислять ошибку
A4.6.38)
или квадратичную норму
ЕЕ1 = 7еК A4.6.39)
Рекурсивный алгоритм можно изменить так, чтобы вычисле-
вычисления прекращались, когда квадратичная норма принимает зна-
значение, меньшее некоторого заданного.
175

Подпрограмма машинного решения уравнения A4.6.2) ме-
методом Левинсона приводится ниже. Входом служит функция
автокорреляции.
SUBROUTINE LEVREQA,W,V,N)
С A IS THE AUTOCORRELATION FUNCTION WITH
С ZERO LAG TERM UNITY.
С W IS THE INVERSE OR SPIKING FILTER
С N IS THE NUMBER OF AUTOCORRELATION TERMS
REAL AE0), WE0), RE0), VE0), 0E0), EE0)
DO 2 К = 2, N
2 D(K) = 0.0
DO 5 J = 2, N
ЕЕ = 0.0
DO3I = 2,J
E(J) = EE
R(J)=E(J)/V(J-1)
V(J)=V(J-I)-E(J)*R(J)
DO4I= 1,J
4 W(l) = D(I) - R(J) • D(J+l-I)
DOS 1=1, J
5 D(I)=W(I)
RETURN
END
14.7. Обратный формирующий фильтр
Можно сконструировать такой обратный фильтр, на выходе
которого искомый сигнал имеет форму, отличную от единичного
импульса в момент времени t = Q. В качестве выходного можно
Рис. 14.8. Схема прохождения сигнала через фильтр и его обра-
обращение
задать импульс любой желаемой формы либо задержанный на
некоторое время единичный импульс. Реализация формирую-
формирующей фильтрации показана на рис. 14.8. На рисунке показаны
неизвестный входной сигнал или искомый выходной сигнал dt
импульсная реакция линейной системы W, измеренный сигнал,
состоящий из п+1 дискретных значений г/, формирующий
фильтр из т-\~\ коэффициентов W1 и фактический сигнал х на
выходе формирующего фильтра, состоящий из т + п+1 дис-
дискретных значений.
176

Формирующий фильтр состоит из (т+\) элементов век-
тора-строки S или матрицы-столбца S:
s = (s0, su s2, . . ., s«)esS*. A4.7.1)
Символом t обозначено преобразование вектора-строки
в вектор-столбец, т. е. операция транспонирования матриц.
Фактический сигнал на выходе такого фильтра представляет
собой (т + п+1) элементов вектора-строки ха (или матрицы-
столбца X)
*а = (*о, Хи Х2, . . ., Хи + Я)э?, A4.7.2)
Ожидаемый сигнал на выходе фильтра также состоит из
(m + n+1) элементов вектора-строки d или матрицы-столбца D:
d = (d0, du d29 . . ., dm+n) ^D*. A4.7.3)
Операция деконволюции, в результате которой получается
фактический выходной сигнал, математически записывается
как
Ха = У * 5
или в матричном виде
A4.7.4)
A4.7.5)
где Y—множество чисел, называемое матрицей регрессии.
Последняя состоит из (т+1) строк и (m + n+1) столбцов:
0 0.
О
У1
Уп-\ Уп 0..
о
о
о п
о
A4.7.6)
.0 0 0 ... ... уп-1 УпЛ
Например, когда я = 4, а т = 3, то в матрице регрессора
будет 4 строки и 8 столбцов, а уравнение деконволюции при-
-> -> -¦•
нимает вид X = YfS или
х4
Хв
Уо
У1
Уг
Уь
У*
0
0
0
0
Уо
Уу
У*
Уз
У*
0
0
0
0
Уо
Ух
Уг
Уг
У*
0
о ¦
0
0
У*
Ух
Уг
Уз
У*.
s2
Ls3J
A4.7.7)
12 Заказ № 4
177

Произведения матриц можно просуммировать:
A4.7.8)
где В— матрица размером (тХп)\ С — матрица размером
(/гХр), А — матрица размером (тХр). Элемент, принадлежа-
принадлежащий 1-й строке и /-му столбцу, обозначен через ац в более об-
общем случае, когда поле чисел представлено матрицей
"ап .... п\р
*тр «.
A4.7.9)
Ошибка сигнала на выходе рассматриваемого фильтра
е = d — ха
или
E = D — X. A4.7Л0)
В матричной записи квадратичная норма ошибки является
*+¦
произведением матрицы Е на ее транспонированную вели-
величину Е*:
= ее*. A4.7.11)
Транспонированная матрица получается заменой строк на
столбцы, поэтому
» — Xq
[d0 — Хо
Х\
A4.7.12)
Квадратичная норма будет минимальной по методу наи-
меньших квадратов, когда матрица регрессора У ортогональна
матрице ошибок Е:
?(Г)=0 A4.7.13)
или
A4.7.14)
178

После подстановки A4.5.7) в A4.7.14) на выходе имеем
YY'S^YD. A4.7.15)
Последнее соотношение эквивалентно A4.4.17), что доказы-
доказывается последующим анализом:
т
Произведение матрицы регрессии размером Dx8) на свою
транспонированную величину
0 0 0
0 О
Уз Уг Vi О О
Ух Ui Уз У* О
УУ< =
Уо
О
о
о
Ух
Уо
о
о
о
Уз
Уг
Ух
Уо
yi
Уг
Уг
Ух
yi
Уг
yt
Уз
О
о
о
Уо
Ух
Уг
Уг
yt
О
О
Lo
Уо
Ух
Уг
Уг
yi
О
О
Уо
Ух
Уг
Уг
yi
О
дает матрицу автоковариации
~а0 а,
YY* =
а_2 a_i
_а_3 а_2
а2
а,
а0
а3
а2
а.
а0А
О
Уо
Ух
Уг
Уг
У^
A4.7.16)
A4.7.17)
В результате перемножения матриц У и D получаем мат-
матрицу взаимной ковариации С ожидаемого выходного сигнала
и сигнала на входе формирующего (обратного) фильтра:
0 0 0
С =
Со
Сх
с2
Уо
о
О
О
Ух
Уо
О
О
У*
Ух
Уо
о
Уз
Уг
Ух
Уо
yi
Уг
Уг
Ух
yi
Уз
Уг
О
Vi
Уг
О
О
d2
= YD.
A4.7.18)
Уравнение обратного или формирующего фильтра записы-
записывается в виде
AS = C, A4.7.19)
т. е. оптимальный обратный фильтр, умноженный на функцию
автоковариации входного сигнала,
12*
равен функции взаимной
179

ковариации входного и ожидаемого выходного сигналов. Об-
Обратный, или формирующий, фильтр определяется выражением
S = A-1C. A4.7.20)
Формирующий фильтр можно найти с помощью модифици-
модифицированного рекурсивного метода Левинсона, воспользовавшись
уравнением A4.7.19) и выражением для обратного фильтра,
приведенным в разделе 14.6. Функцию автоковариации преоб-
преобразуем в автокорреляционную матрицу путем деления на зна-
значение, соответствующее нулевому сдвигу. Для удобства про-
программирования индексация начинается с 1:
; = 09...9 п. A4.7.21)
Как и в предыдущем разделе, для обозначения коэффици-
коэффициентов фильтра и порядкового номера используются двойные
нижние индексы //, т. е. /=1, ..., /; /=1, ..., я+1. Уравнение
первой итерации весьма простое:
A4.7.22)
Поскольку Л l = 1, находим решение
5„ = Ci. A4.7.23)*
Для второй итерации (/ = 2)- уравнения решаются относи-
относительно пары формирующих коэффициентов s\2 и s22:
ГА " "" A4.7.24)
Перепишем уравнение A4.6.8) обратного импульсного
фильтра (фильтра сжатия) в обратном порядке:
\а лИ^ЫЛ- (i4j25)
Новая система уравнений получается из A4.7.22) добавле-
добавлением новой строки и путем определения новой постоянной Е2:
\а а о h\e • (I4J-26)
Отметим, что первое уравнение в A4.7.26) идентично
A4.7.22). Вычтя из A4.7.26) уравнение A4.7.25), умноженное
на коэффициент R2i находим соотношение:
180

Параметр Е2 находится из нижней строки уравнения
A4.7.26):
E2 = A2su. A4.7.28)
Уравнения A4.7.24) и A4.7.27) можно сделать одинако-
одинаковыми, если приравнять правые части нижних строк
C2 = E2-R2V2. A4.7.29)
Из последнего уравнения можно найти
R2 = (E2-C2)/V2. A4.7.30)
Коэффициенты фильтра получаются приравниванием соот-
соответствующих элементов левых частей уравнений A4.7.24)
и A4.7.27):
s,2 = sn —RtWa, A4.7.31)
si2 = 0-R2WT2. A4.7.32)
Для третьей итерации( / = 3) коэффициенты формирую-
формирующего трехчленного фильтра определяются из уравнения
г Л, Аг A3lrsl3-\ ГСП
U Л А2 L, = \С2 .
U. А2 Л,J U33J LC3J
A4.7.33)
Перепишем уравнение A4.6.18) обратного фильтра сжатия
в обратном порядке:
t
л,
л2
Лз
л2
л,
л2
Лз"
л2
л,
A4.7.34)
Расширив вторую итерацию A4.7.24) и определив новую
константу ?з, получим следующую систему уравнений:
ГС,-
[Л, А2 A3lrsl2l
Л2 Ai A2\\s22\=
Л» А2 At][oj
A4.7.35)
Вычтем из A4.7.35) долю реверсированной
A4.7.34), пропорциональную множителю Rsi
системы
ГЛ, Л2 АЛ р,Л Р33 ГСП Г 0-1
Л2 Л, Аг \\ s22 — #з Wk =\cA — RAo\.
U л2 л,] Loj w-i UJ ivA
A4.7.36)
181

Параметр Е3 находим из нижней строки матричного уравне-
уравнения A4.7.35):
A4.7.37)
Уравнения A4.7.33) и A4.7.36) будут одинаковыми, если
правые части нижних строк равны между собой:
C3 = E3-R3V3. A4.7.38)
Отсюда находим выражение для R$:
R3 = (E3~C3)/Vt. A4.7.39)
Коэффициенты фильтра определяем приравниванием экви-
эквивалентных элементов левых частей уравнений A4.7.33)
и A4.7.36): м
A4.7.40)
A4.7.41)
s33 = s32-R3WTs, («32 = 0). A4.7.42)
Теперь можно записать общий вид рекуррентных соотноше-
соотношений, с помощью которых определяются коэффициенты форми-
формирующего фильтра любой заданной длины:
? = 2, .. ., я, A4.7.43)*
*/-<?,-C/)/K/. A4.7.44)*
/=1,2, ...,/, / = 2, ...,/г, A4.7.45)*
где 5/./-1 = 0. A4.7.46)*
По аналогии с уравнением A4.6.34) можно записать z-npe-
образование формирующего фильтра. При этом используется
запись коэффициентов обратного фильтра, так как применяется
первоначальная индексация, начинающаяся с нуля:
s{l)(z) =suLl)(z)-RJzfwTl(Uz). A4.7.47)
Читатель может в качестве упражнения написать алгоритмы
импульсного и формирующего обратных фильтров, базирую-
базирующиеся на уравнениях Левинсона, используя для этой цели урав-
уравнения, помеченные звездочками.
14.8. Фильтр обратной свертки Раиса
Р. Райе в 1962 г. разработал [356] формирующий фильтр,
повышающий разрешенность сейсмограмм MOB. Предполага-
Предполагалось, что сейсмограмма образована последовательностью вол-
волновых импульсов Риккера y(t), которые по своим энерго-вре-
182

менным характеристикам близки к центроидам. Рассчитывае-
Рассчитываемый оптимальный обратный фильтр преобразует каждый
импульс Риккера (риккероид) в приближенный единичный им-
в
200 f} ГЦ
Рис. 14.9. Волновой импульс Риккера с частотой 75 Гц (а) и обратный при
интервале дискретизации 2 мс (б), амплитудные спектры обращенных им-
импульсов Риккера (в) с видимыми частотами 37,5 Гц A) и 75 Гц B). Фазовый
спектр — линейная функция, наклон которой зависит от выбора времени *=0
в
0,1с
Рис. 14.10. Сигналы на входе и вы-
выходе фильтра деконволюции, реакция
которого имеет вид W:
а — входной сигнал с частотой 37,5 Гц;
б — оптимальный обратный фильтр; в —
выходной сигнал в виде приближенного
единичного импульса
Рис. 14.11. Результат применения фильтра деконволюции C7,5 Гц) к синте-
синтетической сейсмограмме, рассчитанной по данным непрерывного скоростного-
каротажа одной из скважин в штате Небраска:
а —трасса, свернутая с импульсом G5 Гц) Риккера «в»; б — трасса «а», свернутая
с обращенным импульсом G5 Гц) Риккера; в —импульс Риккера; г— трасса «д», свер-
свернутая с импульсом C7,5 Гц) Риккера; д — трасса «в», свернутая с импульсом C7,5 Гц)
Риккера
пульс. В результате процесса выделения отраженных импуль-
импульсов, слагающих сейсмограмму, получается запись, состоящая
из одних коэффициентов отражения. По ней можно более обо-
обоснованно определять скоростные и плотностные границы,
Р. Раис рассмотрел случай, когда на вход подается симметрич-
симметричный импульс Риккера (рис. 14.9). Обратный фильтр обычно
обладает тем же числом коэффициентов. Отметим преоблада-
183

с. 14.12. Деконволюция с различными интервалами пред-
предсказания.
Исходные данные (а) после деконволюции с интервалом предсказания
4 мс (б), 40 мс (в) и 80 мс (г).
Заметим» что наименьший интервал предсказания обеспечивает макси-
максимальную разрешенность отражений, но индивидуальность формы записи
несколько нивелируется

ние в амплитудном спектре обратного фильтра Раиса высоких
частот. На рис. 14.9 показан риккероид с видимой частотой
75 Гц, а на рис. 14.10 — риккероид с видимой частотой 37,5 Гц.
На рис. 14.10 также приведены расчетный оптимальный обрат-
Рис. 14.13% Данные морской сейсморазведки MOB перед деконволюцией (а)
и после деконволюции (б). По материалам компании Пракла-Сейсмос, Ганно-
Ганновер
ный фильтр и результат свертки входного импульса с обратным
фильтром. Заметим, что длительность приближенного единич-
единичного импульса больше половины длительности исходного рикке-
роида. На рис. 14.11 показано повышение разрешающей способ-
185

ности, достигаемое в результате фильтрации синтетической сей-
сейсмограммы с помощью обратного фильтра Раиса, когда уровень
помех небольшой.
Успех применения операции деконволюции в сильной мере
зависит от стационарности автоковариационной функции. Он
также зависит от наличия помех и от их частотного состава по
сравнению с ожидаемым импульсом. На рис. 14.12 приведены
результаты процедуры деконволюции. Рис. 14.13 является впе-
впечатляющим примером эффективности деконволюции при подав-
подавлении реверберации на морских сейсмозаписях.
14.9. Оптимальный фильтр Винера—Хопфа
Н. Винер получил [476] интегральное уравнение, решение
которого представляет собой импульсную реакцию оптималь-
оптимального фильтра, рассчитанного на выделение полезных сигналов
при наличии помех. Такие фильтры иногда называют сглажи-
сглаживающими. Его можно использовать также в качестве оператора
предсказания, позволяющего прогнозировать сигнал на буду-
будущее, базируясь на статистическом поведении его в прошлом.
А. Колмогоров на год раньше получил аналогичное уравнение,
которое можно использовать для предсказания по дискретным
данным [244]. Работа Н. Винера была издана в 1942 г. в виде
засекреченного отчета по ведомству обороны. В 1949 г. эта ра-
работа появилась в открытой печати. Статья Г. Боуда и С. Шен-
Шеннона [58] и теоретические разработки И. Ли [268J сделали мно-
многое для популяризации данной работы.
Пусть х(t)—входной сигнал, состоящий из искомого си-
сигнала s(t) и случайной помехи n(t):
x(t) = s(t) + n(t). A4.9.1)
Предполагается, что сигнал и помеха стационарны, т. е. их
статистические характеристики (математическое ожидание, дис-
дисперсия, автоковариация) не изменяются со временем. Задача
заключается в отыскании линейного, физически реализуемого
оператора фильтрации W. Такой оператор должен сводить
к минимуму среднеквадратическую погрешность между иско-
искомым (полезным) d(t) и фактическим y(t) сигналами на его
выходе:
т
Е2= lim i-J [y(t)-d(t)Ydt. A4.9.2)
Сигнал у (t) получается из уравнения свертки (или декон-
деконволюции), в котором величина IF-1 = O для отрицательных вре-
186

мен, что делает данный фильтр физически реализуемым
(рис. 14.14):
A4.9.3>
</(')= W-*(L)x(t-L)dL.
Вывод последнего интегрального уравнения, известного под
названием уравнения Винера—Хопфа, дан в приложении 3. Он
аналогичен выводу уравнения Эйлера—Лагранжа, с помощью
которого находится минимум интегрального функционала. Ре-
w
Рис. 14.14. Деконволюция с помощью
оптимального фильтра:
/ — сигнал; 2 — помеха; 3 — оптимальный
фильтр; 4 — фактический выходной сигнал;
5 — искомый выходной сигнал
шение выражается через функции взаимной ковариации cx<z
между входным и искомым выходным сигналами и автокова-
риации входного сигнала:
= \w-l(t)ax(L-t)dt,
A4.9.4)
Решение последнего уравнения в виде фурье-преобразова-
ния Уопт(ы) импульсной реакции W~l(t) [268] имеет вид
ОО Г ОО -5
)"'] \ e'°* I J c* (««) е'Ш|< (p" И) rf®i J Л.
где
A4.9.5>
Рл(со) = Р+((о)Р-(со) A4.9.6>
является спектральной плотностью энергии входных данных.
Функция Р*((о) разлагается на множители путем определения
187

нулей и полюсов и образования рациональной функции пере-
переменной со:
@ - р{) (о - р,) (со - р2) (о -
A4.9.7)
Разложение на множители производится так, чтобы функ-
функция Р+ имела все особые точки (zu ?2, ..., pi, Р2, ...) в верх-
*ней комплексной частотной полуплоскости, а все особые точки
функции Р~ (г*, 2*, ..., р*, р*, ...) лежали в нижней по-
полуплоскости. Функция Cxd(o>) представляет собой взаимно
спектральную плотность энергии между входными данными
и искомым (полезным) выходным сигналом. Интегрирование
внутреннего интеграла обычно производится по контуру в верх-
верхней полуплоскости. Передаточная функция A4.9.5) получается
минимально-фазовой.
Статистическая природа оператора предсказания (сглажи-
(сглаживания) с очевидностью доказывается важностью авто- и взаим-
ноковариационных функций при выводе его уравнения. По-
Поскольку все вычисления производятся на ЭВМ, уравнение Ви-
Винера—Хопфа для непрерывных сигналов применяется редко.
Вместо него используются дискретные данные в формулировке
Раиса, Робинсона или Левинсона (см. разделы 14.5—14.8). Тре-
Требование линейности фильтра, по-видимому, ограничивает об-
область применения оператора. В действительности физический
процесс может быть известным, поэтому при расчете оператора
могут налагаться дополнительные ограничения. В таком случае
более приемлемыми могут оказаться нелинейные операторы.
14.10. Новые способы деконволюции
В данном разделе рассмотрена операция деконволюции,
в основе которой лежит работа Н. Винера. В случае дискрет-
дискретных данных использовались два подхода. При первом подходе
оператор обращения рассчитывался в предположении, что им-
пульс источника W известен. Такой вид деконволюции иногда
называют детерминированным. Этот тип винеровской фильтра-
фильтрации эффективен при наличии аддитивной помехи, так как опе-
оператор находится путем минимизации разности между входным
и фактическим выходным сигналами. Второй подход — пред-
предсказывающая деконволюция — изложен в гл. 12. При этом для
предсказания сигнала в будущем используются прошлые дан-
данные. Предсказанное (прогнозное) значение можно вычесть из
фактических данных, только что записанных либо хранящихся
в памяти ЭВМ. Разность является функцией ошибки предска-
предсказания, которая в случае сейсмического отраженного сигнала
(см. гл. 16) может быть тесно связанной с отражательной спо-
188

собностью среды. Последовательность коэффициентов отраже-
отражения, характерная для изучаемой осадочной толщи, часто по-
похожа на случайную функцию (белый шум). Предсказывающая
деконволюция дает надежные результаты только в том случае,
когда наблюденные данные сравнительно свободны от помех.
Фильтр, выполняющий предсказание на один шаг дискретиза-
дискретизации, является оптимальным обратным фильтром с нулевым
сдвигом. Предполагается, что импульс сейсмического источника
является диракоидом, т. е. хорошим физическим приближением
дельта-функции Дирака.
Деконволюция по пространству состояний, предложенная
Р. Кальманом [229] и Р. Стратоновичем [421], нашла приме-
применение в сейсмологии [43]. Она эффективна, когда известны фи-
физические детали системы, генерирующей сигнал, причем их
можно описать некоторым числом дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка. Результат кальмановской деконволюции
обычно получается на выходе линейной динамической системы
с частотным диапазоном белого шума. Вывод эффективной си-
системы уравнений дан в работе [416], а методика описана
в [122, 321]. Кальмановская фильтрация идеально подходит
для анализа нестационарных множеств данных. Например, им-
импульс источника может претерпевать существенные изменения
из-за затухания и дисперсии при своем распространении
в среде. Поскольку детали этих изменений и физических состав-
составляющих редко бывают известны, до сих пор данная методика
не нашла широкого применения.
Р. Меро разработал теорию оператора деконволюции во
временной области [292, 293], с помощью которой ошибка
формы вычитается из анализируемого сигнала. Пусть на вход
—>¦
подается импульсная реакция Wy форму которой желательно
—> —>
преобразовать в искомый сигнал D. Обычно в качестве D за-
задают единичный импульс, но им может быть любая другая
функция. Оператором деконволюции будет F. В результате
свертки W с F во временной области получаем искомый сигнал
D = W*~F. A4.10.1)
Фильтр F составлен из сверток функции IF с ее реверси-
рующей функцией WR. При этом результат свертки умножается
на прямоугольную реверсирующую функцию R(nAt), центри-
центрированную на функцию автоковариации импульсной реакции W
с целью создания знакопеременных реверсирующих функций
(рис. 14.15), путем замены знаков автоковариационной функ-
189

ции с нечетными индексами на обратные. Уравнение фильтра F
из N звеньев имеет вид
f^W^F^Fi* . . . *F**D, A4.10.2)
где
'P[~\ A4.10.3)
A4.10.4)
A4.10.5)
Рис. 14.15. Прямоугольная ре-
версирующая функция, анало-
ф У
' ГМГП ' I I рру фуц,
-/ I J I / I г I з\ I ипль гичная функции Уолша
Рассмотрим действие фильтра из одного звена, формирую-
формирующего на выходе единичный импульс, расположенный в центре.
Фактический выходной сигнал
у=Н?*?; A4.10.6)
A4.10.7)
—>- —>-
Каждая свертка W с WR является функцией автоковариа-
ции Л, следовательно,
~H = A*R-A. A4.10.8)
В качестве примера нормализуем функцию автоковариации
так, чтобы член, соответствующий нулевому сдвигу ао, рав-
-*•
нялся 1. Если эта автокорреляционная функция (А = аи 1, «i)
имеет всего три члена, то свертка в уравнении A4.10.8) будет
состоять из пяти членов, два из которых равны нулю:
~у = (аи 1, а,)*(—а,, 1, —а,);
;-(-а?, 0, 1-2а?Д -а?). A4.10.9)
Если число звеньев фильтра увеличить до N9 то нулевые
значения по обе стороны от единичного импульса
п = 2^—К A4.10ЛО)
190

На рис. 14.16 приводится сравнение действия оптимального
по методу наименьших квадратов фильтра, содержащего
253 элемента, с формирующим фильтром Меро той же длины,
состоящего из семи звеньев (N=7). При таком числе коэффи-
коэффициентов фильтра оба оператора фильтрации похожи друг на
друга, но они не идентичны. Обратный фильтр минимизировал
энергию ошибки по методу наименьших квадратов, но искомый
выходной сигнал не является идеальным единичным импульсом.
У фильтра Меро есть идеальный единичный импульс в центре,
который распределяет ошибки за пределы участка, изображен-
изображенного на рисунке.
-Г^^^
Рис. 14.16. Сравнение обратного оптимального и усеченного формирующего
фильтров Меро для N*=7:
1 — входной сигнал; 2 — искомый выходной сигнал; 3 — реакция фильтра; 4 — выходной
сигнал; 5 — точечно-формирующий фильтр; 5 —усеченный выходной сигнал
В одной из последующих глав будет рассмотрен нелинейный
метод, называемый гомоморфной деконволюцией. Р. Уиггинсом
предложен еще один метод, который он назвал деконволюцией
по минимуму энтропии. В соответствии с этой методикой пы-
пытаются найти наименьшее число сильных импульсов, не проти-
противоречащее анализируемым данным. При этом не делается ни-
никаких предположений относительно фазы функции источника.
Предпринимаются попытки минимизировать энтропию или вне-
внести наибольший порядок и простоту в анализируемое множе-
множество сейсмограмм. В своей основе — это статистический метод,
использующий эксцесс распределения вероятности отражатель-
отражательной способности с целью упрощения и подчеркивания сильных
191

отражений на сейсмической записи. Дальнейшая оценка этого
метода деконволюции сделана в работе [458]. В списке литера-
литературы можно найти резултьаты исследований по вопросам декон-
деконволюции. В работе [226], которая в настоящее время является
наиболее полной, содержатся 376 источников. В работе [36]
изложен алгоритм обратной фильтрации, использующий решение
по методу наименьших квадратов, но без требований к автоко-
автоковариационной матрице быть топлицевой. Такой фильтр обраще-
обращения или деконволюции может иметь полюсы внутри единичного
круга на г-плоскости, т. е. он не будет диракоидного типа.
ГЛАВА 15
ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
15.1. Идеальные фильтры и их конечные приближения
Идеальным фильтром низких частот называется полосовой
фильтр, обладающий единичной амплитудно-частотной характе-
характеристикой в выбранном диапазоне и нулевой — за ее пределами.
Модуль передаточной функции |У(со)| идеального фильтра
изображен на рис. 15.1. Передаточная функция |К(со)| норми-
нормирована по амплитуде к единице в полосе пропускания фильтра
от 0 до (oL рад/с.
Для дискретного представления разработаны приближения
идеальных фильтров, имеющие конечное число коэффициентов
импульсной реакции. Подобные фильтры описаны в работе
[436], а соответствующие программы на ФОРТРАНе — в [367].
Импульсную реакцию находят фурье-преобразованием выбран-
выбранной передаточной функции. Так как функция импульсной реак-
реакции должна быть вещественной, действительная часть функции
|К(со)[ должна обладать четной симметрией, а мнимая — не-
нечетной. Желательно, чтобы фазовый сдвиг равнялся нулю. Для
выполнения последнего требования мнимая часть должна рав-
равняться нулю, что следует из уравнения C.1.10). При назван-
названных условиях достаточно воспользоваться косинусным преоб-
преобразованием Фурье [уравнение A.8) из приложения 1]. Обозна-
Обозначим через Wiv частоту Найквиста (рис. 15.1). Частота Найквй-
ста задается шагом дискретизации At согласно выражению
(8.1.2):
<oN/2n = fN = 1/2At. A5.1.1)
192

Линейный оператор Wn, представляющий собой импульсную
реакцию, принимает вид
2 Г
Wn=--7— \ Y (со) cos mtco/cotf dco; л = ±1э ±2, ±3,...;
N о
A5.1.2)
A5.1.3)
I
I
-л
I
I
I
Рис. 15.2. Амплитудно-частотная ха-
характеристика идеального фильтра
высоких частот
Рис. 15.1. Амплитудно-частот-
Амплитудно-частотная характеристика идеального
фильтра низких частот
Импульсная реакция фильтра низких частот, амплитудно-
частотная характеристика которого изображена на рис. 15.1,
имеет вид
№«=¦
A5.1.4)
= —^— \ 1 cos mrco/cojv da, A5.1.5)
sin
«>Л
-. A5.1.6)
Последняя функция имеет вид (sinл:)/*.
Передаточная функция фильтра высоких частот изображена
на рис. 15.2. Штриховые части ее получаются из соображений
симметрии, поэтому | У (со) | —четная функция. Коэффициенты
линейного оператора находят путем соответствующих подстано-
подстановок в выражения A5.1.2) и A5.1.3):
= -J- \ 1Ло = («л,-
A5.1.7)
2 Г
cos
я
— sin i
, ±2,... A5.1.8)
13 Заказ № 4

Передаточная функция идеального полосового фильтра
изображена на рис. 15.3. Идеальный полосовой фильтр можно
считать комбинацией фильтров низких и высоких частот. Им-
Импульсная реакция полосового фильтра состоит из следующих
коэффициентов:
№о = (соя-соЛ)/со„; A5.1.9)
Wn = B/nn) (sin плсояМу — sin nnaL/(oN), п = ± 1, ±2, ±3, . . .
A5.1.10)
г
1
1
1
1 t
—1 *
1
1
1
1
Рис. 15.3.
фильтр
Идеальный полосовой
W,
-W
10
Рис. 15.4. Импульсная реакция фильтра высоких частот с гранич-
граничной частотой 100 Гц
На практике необходимо ограничиваться некоторым числом
членов разложения импульсной реакции, т. е. использовать про-
простые усеченные ряды. Пример импульсной реакции фильтра
высоких частот с шагом дискретизации 2,5 мс приведен на
рис. 15.4. Передаточные функции двух усеченных вариантов
данного фильтра показаны на рис. 15.5. Колебания и выбросы,
видимые на графиках, объясняются эффектом Гиббса; они яв-
являются весьма серьезным дефектом данного типа фильтров.
Ошибки, возникающие при простом усечении разложения
в ряд, можно уменьшить путем умножения импульсной реакции
на весовую функцию. Дж. Кайзер [227] рекомендует использо-
использовать для этих целей весовую функцию типа модифицированной
бесселевой
/о (со,т)
о,
A5.1.11)
194

где /о — модифицированная функция Бесселя; wit — параметр,
контролирующий энергию центрального максимума импульсной
реакции. Фурье-преобразование функции A5.1.11)
A5.1.12)
Другой подход состоит в устранении разрывов первой про-
производной передаточной функции идеального фильтра [283, 319].
U о
0,8
0,6
0,Ц
0,2
0 20 ЬО 60 80 WO VtO 200 fju,
Рис. 15 5. Амплитудно-частотная характеристика усеченного фильтра высоких
частот с числом членов линейного оператора 25 (/) и 101 B)
Ни один из упомянутых подходов не обеспечивает получение
вполне удовлетворительных операторов, поэтому рекомендуется
использовать функцию Баттеруорта.
15.2. Рекурсивные фильтры
Используя интеграл свертки, цифровые фильтры можно
применять различными путями. Непосредственное их использо-
использование во временной области на ЭВМ оказывается малоэффек-
малоэффективным, поэтому обычно используют БПФ. Такой подход обла-
обладает огромным преимуществом, поскольку позволяет конструи-
конструировать передаточные функции узко специального назначения,
базируясь на знании особенностей сигнала и помехи. Как было
показано в гл. 2, очень эффективна также и свертка на ЭВМ
с использованием г-преобразований. Метод ^-преобразований
можно сделать еще более быстрым и точным, если удается вы-
выразить передаточную функцию в виде отношения двух много-
многочленов, так как в этом случае можно вычислять ее с помощью
рекурсивного процесса. Рекурсивная фильтрация [174, 400] ис-
использует цепь обратной связи.
Пусть искомое z-преобразование импульсной реакции будет
функцией
W (z) = (No + Nxz + ВД/A + Dxz + D2z2). A5.2.1)
13* 195

На г-плоскости свертка заменяется перемножением двух
многочленов, представляющих импульсную реакцию и входные
данные (рис. 15.6). Следовательно, г-преобразование выходного
сигнала выразится формулой
У (г)- *№+!!? X(z). A5.2.2)
a
2Z "f...
в
y(,+yiz+y2z2+...
Рис. 15.6. Сигнал (в) на выходе линейного оператора (б), импульсная реакция
которого описывается функцией W(z), представляет собой ряд коэффициентов
уп, получаемый в результате умножения входной функции (а) и оператора (б)
или двух многочленов X(z) и W(z)
2
f
3
Ц
Y(Z)
5
Рис. 15.7. Схема, поясняющая действие простого рекурсивного фильтра:
/ — сигнал Я (г) на входе; 2 — линейный оператор; 3 — оператор свертки (конволюция);
4 — оператор задержки; 5 — сигнал Y(z) на выходе
Умножим правую и левую части уравнения A5.2.2) на зна-
знаменатель выражения A5.2.1) и получим
Y (z) + zY (z) (D, + D2z) = (No + Nxz + Nz2) X (z)
или
Y (z) = (No 4- Nxz + N2z2) X (z) - zY (z) (D{ + D2z). A5.2.3)
Последнее выражение, запрограммированное на ЭВМ, имити-
имитирует действие аналогового усилителя с обратной связью. Появ-
Появление z вызывает задержку входного или выходного значений
на одну единицу времени, появление z2 вызывает задержку на
две единицы. Заметим, что знаменатель функции W(z) воздей-
воздействует на выходной сигнал (рис. 15.7).
Смысл операций, указанных в правой части уравнения
A5.2.3), становится очевидным из следующего соотношения:
Уп = Noxn + Nxxn-X + N2xn-9 - (Dijfc-, + D2yn-t). A5.2.4)
196

При этом предполагается, что выходной сигнал вычисляется
в виде последовательности у0, у и \)ч, ... Предполагается также,
что фильтр не реагирует до тех пор, пока на вход не будет по-
подан ненулевой сигнал, то есть лс-i, х~г, у-ч и у% равны нулю.
Более общее выражение для передаточной функции в г-об-
ласти имеет вид
D(z) \ + Dxz + D2z2+ ...+Emzm *
Рекуррентная формула, определяющая выходной сигнал,
Уп = t NtXn-i - f DlVn^. A5.2.6)
Импульсную реакцию такого фильтра легко получить, если
на вход подать единичный импульс х=A, 0, 0, 0, ...).
Исследуем полосовой фильтр Баттеруорта, передаточная
функция которого будет выведена в разделе 15.10. Z-преобразо-
вание импульсной реакции этого фильтра имеет вид
где
В,= 1-О2,-гг + йя!г2, /=1,2,3,4, A5.2.8)
а коэффициенты D2/_i и D2/ определяются граничными часто-
частотами. Уравнение A5.2.7) можно записать как последовательное
произведение четырех фильтров:
W (z) = Wt (z) W2 (z) W, (z) W4 B), A5.2.9)
множители которого имеют вид
Wx (z) = A - z2)/(l - Dxz + D2z% A5.2.10)
Z-преобразование результата фильтрации Y(z) получается
умножением W(z) на входной сигнал X(z):
Y (z) = Wt (z) W2 (z) Wz (z) WA (г) X (z) =
= [W, (z) X (z)] W2 (z) Wz (z) W< (z) = [C (z) W2 (z)] Wz (z) WA (z) =
4(z). A5.2.11)
Очевидно, что четырехкаскадный фильтр дает на выходе
каскадов последовательно z-преобразования С (г), D(z)y E (z)
197

и, наконец, Y(z). Схема каскадной системы показана на
рис. 15.8. Программируемые рекурсивные уравнения имеют вид
сп = хп — хп-2 + DtCn-i — D2crt_2; A5.2.12)
dn = сп - с„_2 + Dzdn-1 - O4dn_2; A5.2.13)
е„ = d« - d*-2 + D5ert», - D6en-2\ A5.2.14)
yn^en — en-i + Drtn^—Dtf^, n = 0, 1, 2, . . ., ЛЛ A5.2.15)
Puc. /5.5. Схема действия рекурсивного полосового фильтра Баттеруорта,
имеющего восемь полюсов и четыре нуля
При многоканальной фильтрации г-преобразование можно
представить как сумму г-преобразований, после чего появляется
возможность программирования цифрового фильтра парал-
параллельной формы (рис. 15.9):
A5.2.16)
Преимущество каскадной и параллельной форм цифрового
фильтра заключается в том, что не нужно точно задавать па-
параметры. Каскадная форма удобна при использовании били-
билинейного z-преобразования (см. раздел 15.10). Параллельная
198

форма может оказаться более эффективной при использовании
обычных г-преобразований, так как они часто поддаются раз-
разложению на элементарные дроби.
Рис. 15.9. Цифровой фильтр параллельной формы для случая л=3 по уравне-
уравнению A5.2.16)
15.3. Фильтры с нулевым фазовым сдвигом
(каскадная форма) •
Когда данные дискретизованы, фильтры, не вносящие фазо-
фазового сдвига, получаются просто. Возможны два способа филь-
фильтрации, каждый из которых обладает различной амплитудой ха-
в
—*\ о
Рис. 15.10. Последовательность операций при фильтрации с нулевым фазовым
сдвигом.
1 — входные данные Х(г)+нули1 2 — свертка с W(z), в результате чего получается V(z);
3 — инверсия данных; 4 — свертка результата с тем же оператором; 5 — повторная инвер-
инверсия; 6 — выходной сигнал
рактеристикой и нулевым фазовым спектром на всех частотах.
Первый способ реализуется в каскадном фильтре, а второй ис-
использует параллельную суперпозицию рекурсивных фильтров
(см. гл. 17).
Данные можно профильтровать с помощью свертки или ре-
рекурсивным способом и обычным путем. Затем результаты фильт-
фильтрации реверсируются и снова пропускаются через тот же
фильтр. Вектор на выходе фильтра реверсируется еще раз, что
приводит в итоге к искомым, не смещенным по фазе данным.
Следует отметить, что входной сигнал фильтруется дважды,
поэтому амплитудно-частотная характеристика равна |У|2. Та-
199

кое изменение амплитудно-частотной характеристики при двой-
двойной фильтрации обычно желательно, так как при этом увели-
увеличивается крутизна среза. Может даже оказаться целесообраз-
целесообразным сконструировать фильтр, передаточная функция которого
имеет меньшее число полюсов, т. е. многочлен в знаменателе
имеет более низкий порядок. Каскадная фильтрация схемати-
схематически изображена на рис. 15.10. Чтобы результат первой
свертки стал значимо меньшим, к концу входных данных нужно
добавить достаточное число нулей. Типичная симметричная
форма импульсной реакции нуль-фазового фильтра приведена
на рис. 15.29.
15.4. Режекторные и узкополосные фильтры
Режекторный фильтр (фильтр-пробку) можно спроектиро-
спроектировать по г-диаграмме [446], на которой частоты нанесены на
единичной окружности. Простейший фильтр имеет 0 на единич-
а
-
1
6
—\
Jo
Рис. 15.11. Изображение на г-плоскости режекторного фильтра с нулевой
частотой (а) и его передаточная функция (б)
ной окружности в точке с частотой, которую следует подавить.
Например, постоянная составляющая или нулевая частота бу-
будет подавлена с помощью фильтра, импульсная реакция кото-
которого имеет вид
W(z)=l— z. A5.4.1)
Как видно из рис. 15.11, амплитуда на любой другой ча-
частоте /i будет пропорциональна длине вектора, проведенного
от 0 до частоты на единичной окружности. Амплитудно-частот-
Амплитудно-частотная характеристика этого фильтра не очень хорошая, так как
спектр искажается на всех частотах от 0 до найквистовой fNt
на которой амплитуда равна 2.
Данный фильтр можно улучшить, добавив полюс вне еди-
единичной окружности на весьма малом расстоянии от нуля. Если
поместить полюс в точку 2=1/Д где 2=1,01, a Z) = 0,9901> то
2-преобразование импульсной реакции
W B) = 0A -2)/A -D2). A5.4.2)
200

Амплитудный коэффициент G получается в результате нор-
нормирования усиления к 1 в некоторой точке, например, в точке
с найквистовой частотой солг=я, г = ехр(—/со) =—1. Приравняв
W(z)W*(r) к 1 в точке со = я, получим следующее выражение
для амплитудного коэффициента
A5.4.3)
Следовательно, импульсная реакция при D = 0,9901
0,99505A—2)
l-0,9901z #
W (*) =
A5.4.4)
\У(Ь)\
7 1
NT"
rN
Рис. 15.12. Изображение на г-плоскости режекторного фильтра с нулевой
частотой и одним полюсом (а) и его передаточная функция (б)
Согласно уравнению A5.2.3) получим рекуррентную форму
для подобного фильтра:
0,99505 (*„ — *„_,) + 0э9901уя_|.
A5.4.5)
Отображение на z-плоскости и передаточная функция при-
приведены на рис. 15.12. Теперь амплитуда на некоторой частоте ]\
равна отношению длины вектора zi, проведенного из нулевой
частоты до /i на единичной окружности, к длине вектора, про-
проведенного из полюса р\ до частоты ]\\
G(f) = Gzl/pl. A5.4.6)
Отношение близко к единице для всех частот за исключе-
исключением нулевой. Фазо-частотная характеристика равна разности
фазовых углов упомянутых выше векторов (рис. 15.12):
ф(/) = ф, — %. A5.4.7)
Проектируя фильтр, подавляющий любую другую частоту
(только не нулевую), например 50 Гц, полюс и нуль распола-
располагают в соответствующих точках z-плоскости. Угол Qr между на-
201

правлениями на полюс и нуль на z-плоскости определяется по-
подавляемой fr и найквистовой fN = l/BAt) частотами:
Qr = ±1807r//*. A5.4.8)
Полюсы и нули следует располагать как на положительной,
так и на отрицательной осях частот, так как косинусная функ-
функция не зависит от знака и неразличима во временном представ-
представлении. В то же время синусная функция обладает нечетной
симметрией. Поэтому, если полюсы и нули не являются ком-
комплексно-сопряженными парами, произвольный входной сигнал,
пройдя через такой фильтр, станет комплексным. Чтобы полу-
получить режекторный фильтр простейшей формы, нули следует по-
поместить на единичную окружность:
zz = cos Qr ± i sin Qr = Rez ± i Imz. A5.4.9)
Полюсы помещаются в непосредственной близости от еди-
единичного круга, чтобы обеспечить устойчивость фильтра и необ-
необходимую крутизну среза частотной характеристики. Если по-
полярный радиус равен гр, то полюс будет находиться в точках
zp = rp cos Qr ± iTp sin Qr = Rep ± i Imp. A5.4.10)
При частоте Найквиста 500 Гц (шаг дискретизации равен
1 мс) и подавляемой частоте 50 Гц угол Qr = 18°, а нули ока-
оказываются в точках
z2 = 0,951057 ± Ю,309017.
Если полюсы помещаются на расстоянии гр= 1,01 = |z|, то
их координаты
2Р = 0,960567 ±/0,312107.
Если полюсы находятся слишком близко к единичной окруж-
окружности, то у фильтра будет очень длительная импульсная реак-
реакция. Полоса подавления будет очень узкой, но, чтобы фильтр
работал эффективно, необходим очень длительный сигнал'.
Чтобы обеспечить единичную амплитуду на частоте Найквиста,
^-преобразование импульсной реакции с постоянным амплитуд-
амплитудным множителем G должно иметь вид
Переписав последнее равенство так, чтобы первым членом
в знаменателе была цифра 1, и разложив комплексные вели-
величины на вещественные Re и мнимые Im части, получим
202

где
= [l +BRep+
В случае режекторного фильтра с частотой
(рис. 15.13) г-преобразование импульсной реакции
W( ч__ 0,990124 (г2-1,9021 Иг +1)
w W— 1 — 1,8832802 + 0,98029622 *
A5.4.13)
50 Гц
SOOT*
A5.4.14)
Рис. 15.13. Изображение на г-плоскости режекторного фильтра E0 Гц)
с двумя полюсами (а) и его передаточной функции (б)
Р,
Рис. 15.14. Полюсы и нули на г-плоскости (а) и фазовый сдвиг для каждой
особой точки (б)
В соответствии с A5.2.6) получаем рекуррентную формулу
f/rt = 0,990124 (*„- 1,912114хя_, +хп-2)-
— 0,980296уя-я+ 1,883280уя_,. A5.4.15)
Ее можно преобразовать в режекторный фильтр с нулевым
фазовым сдвигом, если запрограммировать каскадную форму,
как в разделе 15.3.
Чтобы дать геометрическую интерпретацию особых точек на
2-плоскости (рис. 15.14), обозначим через z\, z<l, ри Рг, Рз, Ра
длины векторов, проведенных из точки, соответствующей инте-
интересующей нас частоте / на единичной окружности, до нулей
203

и полюсов. Тогда отношение длин векторов будет связано с нор-
нормированной передаточной функцией равенством
\Y(f)\ = zlz2/plp2p3pi. A5.4.16)
Фазовая характеристика
Ф (/) = Ф, + Ф2 - (яр, + гр8 + tb + ф4). A5.4.17)
Если в уравнении A5.4.11) опустить нули, то получим узко-
узкополосный фильтр, импульсная реакция которого в г-плоскости
Sfffffa
\ПП\
500
Рис. 15.15. Изображение узкополосного фильтра на г-плоскости (а) и ампли-
амплитудно-частотная характеристика (б) пары полюсов с частотами ±/i
задается соотношением
W (z) = G/(z — zp) (z — zp). A5.4.18)
Частотная характеристика типичного узкополосного фильтра
изображена на рис. 15.15. В качестве упражнения читателю
рекомендуется спроектировать рекурсивный узкополосный
фильтр с единичной амплитудой на частоте Найквиста. Более
сложные режекторные и узкополосные фильтры описаны в рабо-
работах [4, 205].
15.5. Фильтры Баттеруорта
Как мы убедились, явление Гиббса препятствует практиче-
практическому использованию усеченных идеальных полосовых фильт-
фильтров. Более удовлетворительные приближения квадрата ампли-
амплитудной характеристики идеального фильтра низких частот
можно достичь с помощью обобщенной функции вида
A5.5.1)
где
204

Отметим, что амплитуда и граничная частота нормированы
к единице, причем последняя путем замены QL на нормирован-
—>-
ную частоту W с помощью соотношения (рис. 15.16)
1F = Q/Qi. A5.5.2)
В последующих разделах, посвященных фильтрам Баттеруо-
рта, буква Q будет использоваться при рассмотрении фильтров
низких частот, а вектор W будет обозначать нормированную
\Y\Zl
V
г
1
1
i
i
\yL\z
1,0
0,5
1
W
Рис. 15.16. Отклик нормирован-
нормированного фильтра нижних частот, опи-
описываемого уравнением A5.5.1)
Рис. 15.17. Квадрат передаточной
функции фильтра Баттеруорта
для случая я=3
частоту. Чтобы получить монотонную функцию в качестве при-
приближения к квадратной форме характеристики (рис. 15.17),
С. Баттеруорт [87] положил, что
n=l, 2, 3, . .. A5.5.3)
Квадрат передаточной функции описывает фильтр Баттеру-
Баттеруорта выражением
\YL(w)f = lj(l+W*»). A5.5.4)
Функция \YL\2 для всех порядков п на частоте №=1 прини-
принимает значение 1/2. График этой функции предельно пологий как
внутри, так и вне полосы пропускания. Чем больше значение м,
тем выше скорость уменьшения значений характеристики. Ниже
приводится пример расчета необходимого значения величины п.
15.6. Число полюсов, требуемое для обеспечения заданного
уровня подавления
Если требуемое ослабление на частоте 2QL, измеренное
в единицах мощности, равно 48 дБ (по сравнению с ослабле-
ослаблением на частоте Q = 0), каким должно быть значение п у филь-
фильтра Баттеруорта? Воспользовавшись определением децибела
[1 дБ= 10log (E\IE2), где Еи /^ — соответственно максималь-
205

пая и минимальная энергия], и уравнением фильтра A5.5.4),
получим
[/( )] /[/(^")]-. =48;
W—2
A5.6.1)
Приближенные соотношения имеют вид
l/22rt « 10'8; A5.6.2)
п = 4,8/2 log 2 = 4,8/2 @,301) = 8. A5.6.3)
Следовательно, чтобы достичь нужного уровня подавления,
требуется принять п = 8. Вообще при изменении п на одну еди-
единицу мощность изменяется на 6 дБ.
15.7. Особые точки фильтра нижних частот Баттеруорта
Полюсы и нули определяются в результате исследования
преобразования Лапласа передаточной функции. Преобразова-
Преобразование Лапласа получается из фурье-преобразования A5.5.4), при
и р = 0:
p = i~W~\ A5.7.1)
где р— переменная преобразования Лапласа в случае фильт-
фильтров нижних частот. Выражения для всех других фильтров
можно получить из уравнения фильтра нижних частот. При
этом в уравнениях фильтров для обозначения переменной пре-
преобразования Лапласа будем использовать букву 5
\YL(p)\2=l/[l + (pliJnl A5.7.2)
\YL(p)\2=l/[\+(-l)np2n]. A5.7.3)
Поскольку числитель постоянный, все нули фильтра нижних
частот находятся в бесконечности. Полюсы находятся в точках,
для которых знаменатель равен 0:
l+(-l)Vrt = 0
или после умножения обеих частей последнего уравнения на
(-1)п
р2« + (-1Г = 0. A5.7.4)
Полюсы располагаются на единичной окружности, и их ме-
местоположение согласно теории комплексных чисел определяется
корнями данного уравнения. Комплексную функцию можно
записать в полярных координатах:
и = ге1ф. A5.7.5)
206

Тогда m-й корень комплексной функции A5.7.5), т. е. uifm9
определится выражением
и1/« = г1/«еМФ + 2и*)/«; k==Oi i,2,...,m-l. A5.7.B)
1. При м=1 корни квадрата передаточной функции фильтра
нижних частот находятся из A5.7.4):
р2 — 1 = 0.
Это уравнение можно решить путем разложения на множи-
множители:
Рис. 15.18. Полюсы низкочастотного фильтра Баттер- *ч
уорта первого порядка на р-плоскости (p=p-\-iW)
или, используя уравнение A5.7.6) при условии Ф = 0, и-
г=1 (рис. 15.18)
p^l'^e^, ft-0, 1;
/Г-1 = е°=1; Л^-« = е?я = —1;
2. Фильтр нижних частот Баттеруорта второго порядка по-
получается, если положить п = 2 в A5.7.4):
р4 + (-1J = 0; р4+1=0.
Из уравнения A5.7.6) при и = — 1, г=1, Ф = я следует, что
*-0, 1, 2, 3;
пр р «я/4 /7я/4
Полюсы находятся в точках
- B)'Л ± / BI/2 и + B)' '2 ± / BI/2.
Неудивительно, что квадрат передаточной функции вклю-
включает в себя функцию, которую можно бы назвать полиномом
Баттеруорта Вп(р), и ее комплексно-сопряженную. Другими
словами, уравнение A5.5.4) можно записать в виде
l^i(p)|2=l/(l + W2n)= l/[Bn(p)BUp)]. A5.7.7)
Отсюда следует, что преобразование Лапласа передаточной
функции
YL(p)=l/Bn(p). A5.7.8)
207

Корни нормированного фильтра расположены в левой части
р-плоскости (рис. 15.19) на единичной окружности. Если же
частота не нормирована, полюсы будут находиться вне единич-
единичной окружности радиусом сое.
Корни передаточной функции на р-плоскости определяются
выражением
v = 0, I л —1 A5.7.9)
ИЛИ
p2v + f = —sin л Bv + l)/2n + i cos я Bv + l)/2n. A5.7.10)
Рис. 15.19. Полюсы низкочастотного фильтра Баттер-
уорта второго порядка на р-плоскости
Полином Баттеруорта
Вп(р) = (р - ein A + л)/2")(р - е'л C + ")/2rt). . . (р - е2л {п~
или
/2rt). A5.7.11)
При разложении в ряд он принимает вид
ВП(Р)= t akp\ A5.7.12)
где
k
ak= П cos(|i— l)Y/sin|iY, A5.7.13)
i
a y = n/2n и ао=1. В работе [472] приведено доказательство
этого утверждения.
3. Найдем полином Баттеруорта и квадрат передаточной
функции для фильтра нижних частот второго порядка. Положив
в уравнении A5.7.12) и A5.7.13) п = 2, получим
В2 (р) Bl (р) = A + 21/2р + р2) A + 217'р+р2)\
208

Сделав подстановку p = /Wr-i, имеем
15.8. Синтез ФВЧ путем частотного преобразования
Фильтры высоких частот и полосовой можно легко скон-
сконструировать путем соответствующей частотной трансформации
фильтра нижних частот. Трансформация выполняется в области
комплексных частот или путем преобразования Лапласа.
Обозначим частоту функций, описывающих фильтры низких
частот, через
p = iW~\ A5.8.1)
а функций, описывающих фильтры высоких частот, через
s = lw~l. A5.8.2)
Нужно найти такую функцию частотного преобразования,
которая бы превращала один тип фильтров в другой. Пусть та-
такой функцией будет
p = F(s). A5.8.3)
Чтобы получить фильтр высоких частот, естественно исполь-
использовать обратное преобразование частот:
p=l/s. A5.8.4)
Подставив A5.8.1) и A5.8.2) в A5.8.4), получим
-\ A5.8.5)
Например, преобразуем фильтр низких частот Баттеруорта
n-го порядка в равнозначный фильтр высоких частот. Фильтр
низких частот описывается уравнением A5.5.4). Применив пре-
преобразование A5.8.5), получим выражение для квадрата пере-
передаточной функции фильтра высоких частот
Заметим, что фильтр высоких частот получается вычитанием
нижних частот из единицы (рис. 15.20):
¦ -к()Г /0 [НHН/[ +6
A5.8.7)
14 Заказ № 4 209

Чтобы получить фильтр высоких частот путем частотного
преобразования, нужно выполнить следующие операции:
1) привести характеристики фильтра высоких частот в нор-
нормализованный вид, определить граничную частоту сос и поря-
порядок я, обеспечивающий заданное ослабление; 2) рассчитать
фильтр низких частот с теми же характеристиками и преобра-
преобразовать его в эквивалентный фильтр высоких частот; 3) опреде-
определить полюсы и нули найденного фильтра.
0,5
Рис. 15.20. Квадрат передаточной функции низкочастотного на р-плоскости
(а) и высокочастотного на s-плоскости (б) фильтров Баттеруорта п-го порядка
Цифровая версия данного фильтра будет описана в раз-
разделе 15.10. Синтез аналоговых фильтров подобного типа описан
в многочисленных технических пособиях.
15.9. Синтез полосового фильтра путем частотного
преобразования
Как было отмечено в разделе 15.1, полосовой фильтр можно
представить как комбинацию фильтров низких и высоких ча-
частот. Нормированное преобразование типа A5.8.3) в рассмат-
рассматриваемом случае имеет вид
p = s+ 1/s, A5.9Л)
где р — комплексная частота в уравнении фильтра низких ча-
частот; s — комплексная частота в уравнении полосового фильтра.
Подставив уравнения A5.8.1) и A5.8.8) в A5.9.1), получим
W
1 =w 1 — \\W Х
или
]/=-.
Уравнение A5.9.2) можно считать квадратичным
w 1 —
1 — 1=0,
A5.9.2)
A5.9.3)
210

имеющим два корня:
= W
A5.9.4)
Заметим, что W-l = 0 преобразуется в ^^
Характеристики полосового фильтра, связанные с характери-
характеристиками фильтра нижних частот, можно найти, если положить
± EЛI/2 = 7* ±1,И8;
-0,618;
A5.9.5)
Г"
I
I
-7
/ w
w1
n
\щ\
-1,6 -1 -0,5 0,6 1 1,6 W
Aw=1
AW=1
Рис. 15.21. Преобразование каждой точки передаточной функции фильтра
нижних частот в две точки полосового фильтра:
а — р-плоскость; б — s-плоскость
При W-{== — 1 получаем сопряженную пару частот а^1 =
= —1,618 и w~* = +0,618. Эти четыре корня определяют ши-
ширину полосы пропускания нормированного полосового фильтра
(рис. 15.21). Интересно заметить, что любые две частоты по-
полосы пропускания можно получить посредством соответствую-
соответствующего преобразования фильтра нижних частот. Ширина полосы
пропускания нормированного фильтра равна 1, поэтому для
любой частоты соблюдается равенство
wTxW2l = l. A5.9.6)
Его легко проверить, подставив выражения для корней
A5.9.4).
Нормированные соотношения можно обобщить на случай
искомого полосового фильтра с ненормированными верхней
и нижней граничными частотами wi и со2. Геометрическая сред-
средняя частота а>о, которую иногда неправильно называют цент-
центральной,
оH = (со1со2I/2. A5.9.7)
14*
211

Любая другая частота соь характеризуемая определенным
ослаблением, связана с более высокой частотой сол равенством
coo=(co1co/lI/l. A5.9.8)
Ширина полосы пропускания Дсо связана с граничной часто-
частотой фильтра нижних частот соотношением (рис. 15.21)
До = 0J — 0)!. A5.9.9)
Ненормированный фильтр нижних частот и полосовой
фильтр изображены на рис. 15.22, который можно сравнить
Лео
сип
-я,
5?, Я
и,
Рис. 15.22. Частотные соотношения между ненормированным низкочастотным
и полосовым фильтрами, возникающие'после преобразований согласно урав-
уравнению A5.9.1)
с рис. 15.21. Ширину полосы пропускания можно измерять
в долях средней геометрической:
Q, = (<а2 — соО/соо. A5.9.10)
Смена единиц измерения воздействует на другие частоты Qh
следующим образом:
й/1 = (о)л-оI)/оH, A5.9.11)
но с учетом A5.9.7) можно исключить cof.
Qh = солМ, - соо/(ол. A5.9.12)
Последнее соотношение справедливо для любой частоты, по-
поэтому его можно записать в виде
Q = со/б)о — Юо/ю. A5.9.13)
Нормированную граничную частоту фильтра нижних частот
находят путем деления уравнения A5.9.13) на A5.9.10):
rj^L. | Q CO/(Oq — (Dq/(O
Ql (СО2 — <Oi)/G>o *
Отсюда, учитывая A5.9.7), имеем
W~l = (СО2 — 0I@2)/0) @J — СО,).
A5.9.14)
212

Заметим, что как и на
рис. 15.21, частоты, большие
средней геометрической, оста-
остаются положительными в области
существования фильтра нижних
частот, а положительные частоты
ниже coo отображаются в отрица-
отрицательную область.
Чтобы получить преобразова-
преобразование Лапласа, положим p = i'HMf
a s = tco. В результате имеем
(СО2 —
или
р = (S2 + «
Рис. 15.23. Полюсы низкочастот-
низкочастотного фильтра Баттеруорта четвер-
четвертого порядка на р-плоскости:
/ — полюсы \1Ва\ 2 — полюсы ЦВ*
@J — (di).
A5.9.15)
Преобразуем последнее уравнение в квадратное относи-
относительно s:
S2 — р (@2 — (дх) S + C0i@2 = 0.
Корни этого уравнения, определяющие местоположения по-
полюсов полосового фильтра, равны
s = s*=-?-i—^—И-±^-?-1—^ co,(o2j . A5.9.16)
Каждый из п полюсов фильтра низких частот в р-плоскости
отображается в комплексно-сопряженную пару полюсов в s-пло-
скости. Уравнение A5.9.16) можно записать в виде
[„2/ \2 I1/'
/, /=1, 2,. . „п. A5.9.17)
Преобразование Лапласа передаточной функции фильтра
низких частот определяется уравнением A5.7.8).
В качестве примера возьмем полином Баттеруорта четвер-
четвертого порядка. В соответствии с уравнением A5.7.11)
В4 = 1 + 2,6131259р + 3,4142136р2 + 2,6131259р3 + р4. A5.9.18)
Полюсы нормированного фильтра нижних частот, согласно
уравнению A5.7.10), находятся в точках (рис. 15.23)
ри 4 = —0,3826834 ± /0,9238795;
р2% з = -0,9238795 ± /0,3826834. A5.9.19)
Передаточная функция [уравнение A5.7.8)] принимает вид
YL (Р) = 1/(Р ~ Pi) (Р - Ра) (Р " Рз) (Р ~ Р.). A5.9.20)
21S

Согласно теории фильтрации, полюсы находятся на единич-
единичной окружности в р-плоскости. Частотное преобразование, не-
необходимое для перехода к полосовому фильтру, производится
по формуле
A5.9.Г)
Таким образом, преобразование Лапласа передаточной функ-
функции нормированного полосового фильтра имеет вид
V <*\ 1 /Г (*2 + 1 - pis) (s2 +1 - p2s) (s2 + 1 - Pzs) чу
Ynbp (s) = 1 /[ - - - X
X <' + 1s-"'>] A5.9.21)
или
S*I(S* + g7S7 + g6S6 + g5
+ g2S2 + giS + g0). A5.9.22)
Уравнение A5.9.21) более употребительное, однако интерес
представляет ненормированная передаточная функция. Ее
можно получить, используя непосредственно координаты полю-
полюсов из уравнения A5.9.17):
X
X (
Коэффициенты bj и с/ определяются по полюсам, образую-
образующим комплексно-сопряженные пары, что делает члены в круг-
круглых скобках в выражении A5.9.23) вещественными:
(s - sj) (s - s*) = s2+ bjS + cf. A5.9.24)
Непрерывное представление передаточной функции на s-пло-
скости нужно преобразовать в дискретное представление на
г-плоскости. Это достигается с помощью обычного г-преобра-
зования либо посредством билинейного z-преобразования, ко-
которое рассматривается в следующем разделе.
Если взять частотное преобразование, обратное преобразо-
преобразованию, которое используется при переходе от фильтра нижних
частот к полосовому, то можно определить полосовой загради-
заградительный фильтр в частотной области или через преобразование
Лапласа:
p = s(co2 — co,)/(s2 + coi(o2). A5.9.25)
Рассмотренные выше частотные преобразования носят весьма
универсальный характер, т. е. применимы не только к фильт-
214

рам Баттеруорта. Их можно, например, использовать для рас-
расчета операторов, описываемых функциями Чебышева или эллип-
эллиптическими. Подобные операторы позволяют достичь более кру-
крутого среза частотной характеристики за счет некоторой неглад-
негладкости самих характеристик [ПО, 174, 184, 472].
15.10. Билинейное z-преобразование
В работе [174] предложено алгебраическое преобразование,
превращающее непрерывную передаточную функцию в такую,
которую можно использовать при анализе дискретных данных.
Кроме того, это преобразование устраняет ошибки дискретиза-
дискретизации, присущие стандартному z-преобразованию передаточной
функции:
z = e~sA\ A5.10.1)
где At — шаг дискретизации.
Уравнение A5.10.1) можно записать как
In z = —s&t
и разложить в ряд [335]
In г = -2 [(l-z)/(l + z) + A-2O3A+ zf +...], 2>0.
Первый член разложения представляет собой билинейное
г-преобразование. В результате билинейного г-преобразования
диракоидные свойства фильтра сохраняются, но вносится нели-
нелинейное искажение шкалы частот, которое должно компенсиро-
компенсироваться перед выполнением преобразования. Искомое преобразо-
преобразование имеет вид
*--зг-ттг- <15Л0-2>
Билинейное z-преобразование хорошо известно в электро-
электротехнике [183, 224] и в теории комплексного переменного под
названием дробно-линейного преобразования [100]. Это преоб-
преобразование используется также и в теории распространения
плоских волн, где его называют коэффициентом отражения.
При этом волновое сопротивление самой верхней границы нор-
нормировано к единице.
Преобразование
s = (l-z)/(l+z) A5.10.3)
отображает правую часть z-плоскости на внутреннюю область
единичного круга на s-плоскости. Обратная функция
2 = A —s)/(l+s) A5.10.4)
имеет тот же вид, поэтому вся правая s-полуплоскость отобра-
отображается на единичной окружности z-плоскости (рис. 15.24).
215

Искажения частотной области определяются путем подста-
подстановки уравнения A5.10.1) в A5.10.2):
S 2 '-^
1+е
-s At
-I''-
ReU)
вычислении
Рис. 15.24. Отображение билинейного преобразования:
а — s-плоскость; б — z-плоскость. Сравните с рис. 13.3, на котором изображено обычное
^-преобразование
Умножив числитель и знаменатель последнего уравнения на
exp(sA//2)
2 ехр (s A//2) — ехр (—s А//2)
Sd ~ М ехр (s М/2) + ехр (—s M/2) *
srf = -^-thsA//2, A5.10.5)
переводим его в частотную область, полагая 5 =/со и исполь-
используя тригонометрическое тождество thx = —itgix,
<dd = -rrtg -^-, — я/Д* < w < я/Д*, A5.10.6)
/\? /л
где cod — деформированная угловая частота, используемая при
и билинейного 2-преобразования; со — угловая
частота в первоначальной передаточ-
передаточной функции. Правая часть уравнения
A5.10.6) периодическая, но значе-
значения о принадлежат только главному
интервалу (рис. 15.25). Перед опре-
определением полюсов передаточной функ-
функции вида A5.9.16) следует скомпенси-
скомпенсировать деформацию шкалы частот.
Вся ось частот со<* однозначно отобра-
отображается на диапазон, ограниченный
частотами Найквиста о)^=±я/Д^.
Таким образом, билинейное преобра-
преобразование ограничивает частотный ди-
диапазон функции, избегая при этом
искажений, обусловленных дискре-
дискретизацией. Билинейное г-преобразо-
вание подобно стандартному г-пре-
образованию на низких частотах
(рис. 15.25). Если шаг дискретизации
со
Рис. 15.25. Связь между де-
деформированными частотами
билинейного z-преобразова-
ния и фактическими часто-
частотами цифрового фильтра:
1 — деформированные частоты;
2 — фактические частоты после
билинейного г-преобразования
216

велик, то стандартное 2-преобразование особенно подвержено
спектральным искажениям дискретизации. Чтобы избежать по-
последних, рекомендуется применять билинейное преобразо-
преобразование.
В результате билинейного ^-преобразования передаточной
функции полосового фильтра A5.9.23) получаем члены в s-пло-
скости
4 A-гJ
Д*Ч1+гJ
2Д<
Д<2
26/ Д/ A
1 Д<2
1
~w
(i
i-
(i
-г)
A +
-2)(]
+ 2)
с/
A+2)
2J
1+2)
2 1
A
+ 2JД/2
A5.10.7)
1 Н—~~~ [с/ At ^7~ ) Н—~— (Т1 ^/ + с/ *о* )
uf \ ' At J aj \ At ' * 2 J
где
а} = 2/М + Ь, + су Д//2. A5.10.8)
Уравнение A5.10.7) можно записать более компактно:
-J-(l-z2)
5d — 7 A5.10.9)
где
Б/ = 1 — Z)l72 -f /J/г2. A5.10.10)
В соотношении A5.10.10) Di/ и D2j — это коэффициенты при
г и г2 в знаменателе уравнения A5.10.7). Опустив постоянный
множитель 1/а\а2аза4, получим г-преобразование полосового
фильтра Баттеруорта с восемью полюсами:
W(z) = (l - zy/B^z)B2(z) B3(z)Bt(z). A5.10.11)
В качестве примера возьмем полосовой фильтр с восемью
полюсами и граничными частотами 1 и 10 Гц. Частота дискре-
дискретизации равна 118 отсчетам в 1 с.
В соответствии с уравнением A5.10.6) деформированные
угловые частоты равны 6,28 и 64,36 рад/с или 1 и 10,24 Гц. Со-
Согласно уравнению A5.9.17), полюсы находятся в следующих
точках 5-плоскости (рис. 15.26):
а /со /, Гц
—47,0526 ±/25,8533 4,03
—20,1726 ±/59,7337 9,51
—6,6029 ±/3,6280 0,58
—2,0527 ±/6,0782 0,97
Коэффициенты многочленов в уравнении A5.9.22)
go = 2,67661 X Ю10; gi = 2,16737 X Ю7;
gx = 1,00427 X Ю10; g5 = 6,96027 X Ю5;
|2 = 2,14872 X Ю9; ge = 1,31337 X Ю4
|з = 2,81529 X Ю8; ?7 = 1,51762 X Ю2[
217

Коэффициенты уравнения A5.9.23)
?i =94,10519;
?2 = 40,34528;
?з= 13,20584;
^4 = 4,10533;
с,
с2
2882,33984;
3975,04687;
56,76093;
41,15739.
*
-МО
*
*
1
-20
*
WL
Si
%
'51
-lOi
в*
-
-
Рис. 15.26. Полюсы и нули полосового
фильтра с граничными частотами 1 и
10 Гц, изображенные на комплексной
5-плоскости. Звездочками обозначены
места полюсов функции Y в области де-
деформированных частот
А усл. ед
80 г
Рис. 15.27. Положение полюсов и
нулей полосового фильтра с гра-
граничными частотами 1 и 10 Гц на
г-плоскости
-МО -
-во и
Рис. 15.28. Импульсная реакция полосового фильтра с граничными частотами
1 и 10 Гц. Частота дискретизации равна 118 отсчетам в 1 с. По оси времени
отложены числа интервалов дискретизации
Особые точки функции A5.10.11) (рис. 15.27) имеют сле-
следующие координаты:
2, = 1,452137 ±/0,335533;
г2= 1,031333 ±/0,562206;
2з=1,057052 ±/0,032561;
г4=1,016185 ±/0,052410.
218

В знаменателе уравнения A5.10.11) стоят следующие члены:
jB, = 1 — 1,3074762 + 0,45019022;
В2 = 1 — 1,4948862 + 0,724783г2;
Б3 = 1 — 1,8902612 + 0,89411922;
В4 = 1 — 1,9629242 + 0,96582922.
-20 -
Рис. 15.29. Импульсная реакция по-
полосового фильтра с нулевым фазо-
фазовым сдвигом и с граничными часто-
частотами 1 и 10 Гц.
По оси абсцисс отложено число интерва-
интервалов дискретизации. Интервал дискретиза-
дискретизации равен «J/118 с
Рис. 15.30. Амплитудно-частотная (а)
и фазовая (б) характеристики поло-
полосового фильтра Баттеруорта с во-
восемью полюсами.
/, 2 — характеристики каскадного фильтра
соответственно с фазовым и с нулевым фа-
фазовым сдвигом
0,1 -
0,01
5
1
1 f
-//
n
f/
/
.1 1
\
n
i\
\\
i\
\\
\\
A
\ \
0,6 0,81
Ц 6 810 20 W fju.
180
90
0
-90
-180
-0,60,81
6 810 20 k0 f, Гц
График импульсной реакции приведен на рис. 15.28, ампли-
амплитудная и фазовая характеристики передаточной функции изо-
изображены на рис. 15.29. Видно, что для адекватного описания
импульсной реакции требуется приблизительно 130 отсчетов
(выборок). Во всех случаях следует проверять импульсную ре-
реакцию, чтобы убедиться, что данное условие соблюдено.
На рис. 15.30 изображена импульсная реакция полосового
219

фильтра с граничными частотами 1—10 Гц, нулевой фазовой
характеристикой и восемью полюсами. Параметры идентичны
оператору Баттеруорта, приведенному на рис. 15.28.
Ниже дается записанная на ФОРТРАНе подпрограмма по-
полосовой фильтрации Баттеруорта с нулевой фазовой характе-
характеристикой.
SUBROUTINE BNDPAS(FI,F2,D?LT,D.G)
С
С SUBROUTINE BY DAVE GANLEY ON MARCH 5, 1977.
С
С THE PURPOSE OF THIS SUBROUTINE IS TO DESIGN AND APPLY A
С RECURSIVE BUTTERWORTH BAND PASS FILTER. IN ORDER TO DESIGN
С THE FILTER A CALL MUST BE MADE TO BNDPAS AND THEN THE
С FILTER MAY BE APPLIED BY CALLS TO FILTER. THE FILTER
С WILL HAVE 8 POLES IN THE S PLANE AND IS APPLIED IN
С FORWARD AND REVERSE DIRECTIONS SO AS TO HAVE ZERO PHASE
С CUTOFF FREQUENCIES WILL BE -6DB AND THE ROLLOFF WILL
С BE ABOUT 96 DB PER OCTAVE. A BILINEAR Z TRANSFORM IS
С USED IN DESIGNING THE FILTER TO PREVENT ALIASING
С PROBLEMS.
С
COMPLEX PD),S(8),Z1,Z2
DIMENSION D(8),X(I),XCC),XDC),XEC)
DATA ISW/0/.TWOPI/6.2831853/
С
С - THIS SECTION CALCULATES THE FILTER AND MUST BE CALLED
С BEFORE FILTER IS CALLED
С
С Fl = LOW FREQUENCY CUTOFF F DB DOWN)
С F2 = HIGH FREQUENCY CUTOFF F DB DOWN)
С DELT= SAMPLE INTERVAL IN MILLISECONDS
С D = WILL CONTAIN 8 Z DOMAIN COEFFICIENTS OF RECURSIVE
С FILTER
С G = WILL CONTAIN THE GAIN OF THE FILTER
С
WRITE F,I)F1,F2,DELT
1 FORMAT ('I BANDPASS FILTER DESIGN FOR A BAND FROM \F8.3/ TO\F8
..3/ HERTZ.',//' SAMPLE INTERVAL IS ',F5.2/ MILLISECONDS.')
DT=DELT/1000.0
TDT=2.0/DT
FDT=4.0/DT
ISW=1
• P( I )=CM PLX(-.3826834,.9238795)
PB)=CMPLX(-.3826834,-.9238795)
PC)=CM PLX(-.9238795,.3826834)
PD)=CM PLX(-.9238795,-3826834)
W1=TWOP1*F1
W2=TWOP1*F2
W1 =TDT*TAN( W1 /TDT)
W2=TDT*TAN(W2/TDT)
HWID=(W2-WI)/2.0
WW=W1*W2 g
DO 19 1=1,4 f
ZI=P(I)*HWID
Z2=Z1*ZI-WW
220

Z2=CSQRT(Z2)
S<I)=Z1+Z2
19 SA+4)=Z1-Z2
WRITE F,2) S
2 FORMAT ('-S PLANE POLES ARE AT:',/' \8</' ',EI2.6/ + I \EI2.6))
G=.5/HWID
G=G*G
G=G*G
DO 29 1=1,7,2
B=-2.0*REAL(S(I))
C=REAL(ZI)
A=TDT+B+C/TDT
G=G*A
D(I)=(C*DT-FDT)/A
29 D(I+I)=(A-2.0*B)/A
G=G*G
WRITE F,3)
3 FORMAT ('-FILTER IS (I-Z**2)**4/ B1*B2*B3*B4')
WRITE F,4) D
4 FORMAT D(/' Щ1) = I + '.EI2.6/ Z + ',EI2.6/ Z**2'))
WRITE F,5) G
5 FORMAT ('-FILTER GAIN IS '.EI2.6)
RETURN
С
С
с
ENTRY FILTER(X,N,D,G.IG)
С
С X = DATA VECTOR OF LENGTH N CONTAINING DATA TO BE FILTERED
С D = FILTER COEFFICIENTS CALCULATED BY BNDPAS
С G = FILTER GAIN
С IG = I MEANS TO REMOVE THE FILTER GAIN SO THAT THE GAIN IS
С UNITY
С
IF(ISW.EQ.I)GOTO3I
WRITE F,6)
6 FORMAT (IBNDPAS MUST BE CALLED BEFORE FILTER')
CALL EXIT
С
С APPLY FILTER IN FORWARD DIRECTION
С
31 XM2=XA)
XMI=XB)
XM=XC)
XCA)=XM2
XCB)=XMl-D(irXC(l)
XCC)=X M-X M2-D( I )*XCB)-DB)*XC( I)
XDA)=XC(I)
XD<2)=XCB)-DC)*XD(I)
XDC)=XCC)-XC(l)-DC)*XDB)-DD)*XD(l)
XEA)=XD(I)
221

XEB)=XDB)-DE)*XE(I)
XEC)=XDC)-XD(l)-DE)»XEB)-DFrXE(l)
*B)=XE<2)-DG)*X(I)
XC)=XEC)-XE(I)-DG)*XB)-D(8)*X(I)
DO 39 1=4.N
XM2=XMI
XMI=XM
XM=X(I)
K=H(I-l)/3)*3
GOTOC4,35,36).K
34 M=l
Ml=3
M2=2
GO TO 37
35 M=2
Ml = l
' M2=3
GO TO 37
36 M=3
Ml=2
M2=l
37 XC(M)=XM-XM2-D(I)*XC(MI)-D<2)*XC(M2)
XD(M)=XC(M)-XC(M2)-DC)*XD(MI)-DD)*XD(M2)
XE(M)=XD(M)-XD(M2)-DE)*XE(MI)-DF)*XE(M2)
39 X(I)=XE(M)-XE(M2)-DG)*X(I-l)-D(8)*X(I-2)
С
С FILTER IN REVERSE DIRECTION
XM2=X(N)
XMI=X(N-I)
XM=X(N-2)
XC(I)=XM2
XCB)=XMI-D(I)*XC(I)
XCC)=X M-X M2-D( I )*XCB)-DB)*XC( I)
XD(I)=XC(I)
XDB)=XCB)-DC)*XDA)
XDC)=XCC)-XC(I)-DC)*XDB)-DD)*XD(I)
XE(I)=XD(I)
XEB)=XDB)-DE)*XE(I)
XEC)=XDC)-XD(I)-DE)*XEB)-DF)*XE(I)
X(N)=XE(I)
X(N-1)=XEB)-DG)*XA)
X(N-2)=XEC)-XE(I)-DG)*XB)-D(8)*X(I)
DO 49 I=4,N
XM2=XMI
XMi=XM
J=N-I+I
XM=X(J)
GO TO D4,45,46),K
222

44 M=l
Ml=3
М2=2
GO TO 47
45 М=2
М1=1
М2=3
GO TO 47
46 М=3
М1=2
М2=1
47 XC(M)=XM-XM2-DA)*XC(M1)-DB)*XC(M2)
XD(M)=XC(M)-XC(M2)-D<3)*XD(MlHX4rXD(M2)
XE(M)=XD(M)-XD(M2)-DE)*XE(M!)-DF)*XE<M2)
49 X(J)=XE(M)-XE(M2)-DG)*X(J+l)-D(8)*X(J+2)
IF(IG.NE.I) RETURN
DO 59 1=1,N
59 X(I)=X(I)/G
RETURN
END
15.11. Цифровые фильтры Чебышева и Якоби
Цифровые фильтры обладают многими достоинствами,
в первую очередь гибкостью и экономичностью, особенно на
низких частотах. Когда требуются крутые срезы и большая эко-
экономичность, самое простое — применять рекурсивную схему
фильтрации. Недостатком этой схемы является то, что для до-
достижения максимальной эффективности она нуждается в длин-
длинных отрезках данных, так как обладает бесконечной памятью.
При полосовой фильтрации вместо функции Баттеруорта можно
использовать функции Бесселя, Чебышева или эллиптические.
Так, фильтр Чебышева первого рода характеризуется изменчи-
изменчивостью частотной кривой в полосе пропускания, но в полосе
подавления спектральная кривая монотонно сходит на нет
(рис. 15.31). Многочлен Чебышева п-го порядка в случае коле-
колебательного характера спектральной кривой в полосе пропуска-
пропускания (период колебаний определяется величиной е) имеет вид
A5.11.1)
Функция
A5.11.2)
Если требуется приурочить изменчивость спектральной
кривой к полосе подавления, то используется фильтр Чебышева
второго рода:
Ап = е2 [тя {wr)lTn {wJwJW A5.11.3)
223
= e2T2n(w), /1 = 0,1,2,....

где Wr — частота, на которой ослабление впервые достигает
заданного значения.
Фильтр Чебышева второго рода предпочтительнее фильтра
первого рода, так как в его полосе пропускания фазовая ха-
характеристика более постоянна. Отметим, что в уравнении
A5.11.2) косинусная функция становится мнимой при значениях
1 Wr W
Рис. 15.31. Энерго-частотная характеристика фильтра Чебышева для случая,
когда п — четное:
а — фильтр первого рода, у которого характеристика негладкая в полосе пропускания;
б — фильтр второго рода с негладкой характеристикой в полосе подавления
\, т. е. она превращается в гиперболическую функцию, мо-
монотонно возрастающую с частотой. Полюсы такого фильтра
располагаются по эллипсу на р-плоскости [173, 184, 316].
Использование эллиптической функции Якоби приводит к со-
созданию фильтра с еще более крутым срезом частотной харак-
характеристики при заданном числе полюсов и нулей. При этом
и в полосе пропускания, и в полосе подавления наблюдается
колебательный характер спектральной кривой (рис. 15.32).
Рис. 15.32. Энерго-частотная
характеристика эллиптиче-
эллиптического фильтра для случая
четного п
Эллиптический фильтр является фильтром наименьшего по-
порядка из тех, которые остаются эффективными в случаях,
когда сигнал и помеха слабо разделены. Фазовые искажения
сравнительно сильны, местоположение полюсов и нулей опреде-
224

ляется с помощью более сложных уравнений [126, 173]. Когда
нужна обыкновенная низкочастотная, высокочастотная или по-
полосовая фильтрация, рекомендуется использовать функцию
Баттеруорта, которая обеспечивает оптимальную фильтрацию
в условиях четкого разделения по частоте сигнала и помехи.
Фильтры Чебышева или Якоби следует использовать только
в специальных случаях, когда требуется очень большая кру-
крутизна среза, а применение длительных импульсных реакций не
создает трудностей. Известны и многие другие виды дифферен-
дифференциальных и полосовых фильтров [95, 96, 112, 126, 175, 349].
В большинстве случаев в геофизике употребляются режектор-
ные фильтры и полосовые фильтры Баттеруорта с нулевой фа-
фазовой характеристикой; вероятность неправильного применения
их наименьшая.
ГЛАВА 16
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
16.1. Введение
При решении задач распространения плоских волн в слоис-
слоистых средах с позиций фильтрации достигнут существенный
прогресс [33, 178, 252, 253, 366, 404, 439, 444]. Вначале эти за-
задачи рассматривались применительно к оптике [123]. В сейсмо-
сейсморазведке наибольшее применение данная методика нашла при
синтезе сейсмограмм и при подавлении реверберации на поле-
полевых материалах.
16.2. Отражение и прохождение волн на границе
Рассмотрим систему двух упругих полупространств, прочно
связанных друг с другом. Пусть плоская волна сжатия распро-
распространяется вниз в положительном направлении оси у по нор-
нормали к поверхности раздела двух сред. Поскольку при нормаль-
нормальном падении поперечные волны на границе не возникают, будем
рассматривать только отраженную и проходящую продольные
волны.
Пусть падающая волна создает в первой среде смещение Vi
(рис. 16.1), описываемое вещественной частью функции
A6.2.1)
A6.2.2)
16 Заказ № 4 225

где а — скорость распространения продольной волны; X и \х —
упругие постоянные Ламэ; р — плотность пород; / — время;
со — угловая частота падающей синусоидальной плоской волны.
Тогда смещения отраженной и проходящей волн опреде-
определятся выражениями
i(*i/a + t); A6.2.3)
t). A6.2.4)
Рис. 16.1. Падающие, отражен-
отраженные и проходящие волны в пер-
первом и втором полупространст-
полупространствах
На границе должны выполняться два условия, от которых
зависят амплитуды отраженной Аг и проходящей At волн. Пер-
Первое условие заключается в непрерывности смещения
Vi + Vr = Vt A6.2.5)
или же, полагая # = 0, в непрерывности амплитуд
At + Ar = At. A6.2.6)
Второе условие заключается в непрерывности нормальных
напряжений. Если обозначить через и, v и w смещения по осям
х, у и г, то нормальное напряжение по оси у запишется в виде
Поскольку в случае плоской волны, распространяющейся
в направлении у, все частные производные по х и г равны
нулю, то
Pyy = (X + 2li)^. A6.2.7)
Подставив соответствующие выражения для падающей, от-
отраженной и проходящей волн, получим
(к{ + 2^) (-^- Vi - -J- Vr) = (к2 + 2<х2) -?- Vt A6.2.8)
или при у = 0
Xl+2lil (At - Ar) = *2 + 2ц2 At. A6.2.9)
Полное волновое сопротивление Z определяется как произ-
произведение плотности и скорости:
Z, = Р|а, = [{кг + 2^,)/о?] а, = (кг + 2|i,)/a,. A6.2.10)
226

С учетом последнего соотношения уравнение A6.2.9) прини-
принимает вид
Л/~Лг = -|?-^- A6.2Л1)
Амплитуды отраженной и проходящей волн можно найти
путем совместного решения уравнений A6.2.6) и A6.2.11). Сло-
Сложив их, получаем
Л, = [2/A+Z2/Z,)] Л,. A6.2.12)
Отсюда амплитуда отраженной волны
Аг = -Л* + [2/A + ZJZl)]Ai A6.2.13)
или
Аг = -А§[1- B/(Z2 + Zx)/Zx)] = -Л,[(Z, + Z2 - 2Zt)l(Zt + Z2)] =
= A[(Z, -Z2)/(Z, +Z2)]; A6.2.14)
A6.2.15)
Коэффициенты отражения и прохождения определяются сле-
следующим образом:
r =
l~ Zt + Z2 - 9гаг+9
Для волны, распространяющейся вверх, имеем
+ Z2); A6.2.18)
«2 t' = 2Z2l{Zx + Z2). A6.2.19)
16.3. Отражение в многослойной среде
Смоделируем осадочную толщу, состоящую из горизонталь-
горизонтальных слоев. Предполагается, что плоская волна распростра-
распространяется по нормали, но на рис. 16.2 лучи для наглядности раз-
развернуты в горизонтальном направлении, т. е. по оси времени.
Обозначим через a (k, k + 2m—1) амплитуду смещения, созда-
создаваемого нисходящей волной у кровли слоя k в момент времени
k + 2m—1, где т — временной индекс, изменяющийся от О
до оо. Заметим, что из уравнения A3.2.1) следует, что
2 = е"'юм. A6.3.1)
15* 227

Величина z представляет собой временную задержку, рав-
равную одному шагу дискретизации Д*=1, поэтому z-преобразо-
вание можно получить путем суммирования всех смещений, со-
создаваемых нисходящей волной, с соответствующими времен-
временными задержками:
« Z dktk+2m-xzk+2m-{. A6.3.2)
о 1 г з « s в t
I I I I Г
2
Z
/ 7
/
\Z
Рис, 16.2. Описание л-слойной среды:
О, 1, 2, ..., ^, «.., л — номера границ раздела слоев; 1. 2, ...» &, ... — номера слоев;
dl2 — амплитуда смещения нисходящей волны у кровли слоя 2 в момент времени 3
Так, у кровли второго слоя г-преобразование имеет вид
D2 = d2Xzx + d2Zzz + d25z5 + ....
Обозначим через d'(k, k+2m) амплитуду смещения, созда-
создаваемого нисходящей волной у подошвы &-го слоя на время
k+2m. Сумма смещений в нисходящей волне у подошвы дан-
данного слоя имеет вид (рис. 16.3)
U(z)= Z d'kfk+2mzk+2m. A6.3.3)
m=0
Например, г-преобразование смещений у подошвы второго
слоя
Волны, описываемые уравнениями A6.3.2) и A6.3.3), свя-
связаны между собой временем пробега через данный слой, ко-
228

торое равно единице времени задержки г, и коэффициентом
ослабления (затухания) Л(г):
D'k (z) = zAk (z) Dk (z). A6.3.4)
При отсутствии затухания
О 1 2 3 k 5 I
i i
Puc. 16.3. Импульсы смещения у нисходящих
волн
О 1 2 3 U Ь
Рис. 16.4. Импульсы смещения у восходящих
волн
Аналогичный анализ, выполненный для восходящих волн
(рис. 16.4), приводит к выводу о том, что г-преобразование для
восходящих волн у кровли k-ro слоя имеет вид
Uk(z) = zAk(z)U'k(z), A6.3.5)
а у подошвы &-го слоя
U'k= Z u'ktk+2mzk+2m. A6.3.6)
На рис. 16.5 поясняется, что коэффициент u'k f слагается
из отраженной части нисходящей волны d'k f и части восходя-
восходящей ВОЛНЫ Uk+l,j'.
uk% i = rkd'kt j + t'ktik + u/. A6.3.7)
Нижний индекс k у символов г и / означает номер границы.
Коэффициент
'' . A6.3.8)
229

Отсюда получим выражение
dk.i = {dk+UJ — rhuk+UJ)/th. A6.3.9)
В результате подстановки A6.3.9) в A6.3.7) имеем
l. A6.3.10)
Коэффициенты отражения и прохождения A6.2.16)—A6.2.19)
удовлетворяют соотношению
'L A6.3.11)
к+1
X
Рис. 16.5. Разделение амплитуды на k-й границе
поэтому уравнение A6.3.10) принимает вид
^ + |§/ + ^Ил + |§/. A6.3.12)
Умножим уравнения A6.3.9) и A6.3.12) на zk+2m и просум-
просуммируем от т=0 до т = оо по аналогии с A6.3.3) и A6.3.6),
Воспользуемся равенством г =—г' и в итоге получим
• оо
1 / V
rk Ys «*+..*+2m2*+2m ; A6.3.13)
_J_[- V ri k+2m
=-—\rk 2 "k + k + Z
A6.3.14)
По аналогии с A6.3.3) и A6.3.6) эти выражения можно
записать как
D'k {z)=[Dk + l(z) + rkUk + l(z)]ltk; A6.3.15)
U'k(z) = [rkDk + x (z) + Uk + X(z)ytk. A6.3.16)
230

При отсутствии поглощения D'k=zDk, a Uk=*zU'k, и уравне-
уравнения волнового движения преобразуются к виду
Luk+t{z); A6.3.17)
Uk+l{Z); A6.3.18)
[rkz
или
l-\rDk + l(z)l
\lUk+l(z)\
где Mk — матрица связи.
Использовав уравнения A6.3.15) и A6.3.16), получим урав-
уравнение волнового движения у свободной поверхности:
[А> (z)l 1
Последовательной подстановкой в A6.3.19) соответствую-
соответствующих выражений вместо Z)*+i и ?/*+ь учитывая, что D'0(z) =
=Do(z), a U'o=Uo(z), поскольку нулевой слой у свободной по-
поверхности не имеет мощности и, следовательно, не вносит вре-
временной задержки, получим уравнение
или в более сокращенном виде
rD0(zI А
LUo\Z)J ksa0
Обычно f/n+i = 0, так как назад в систему энергия не отра-
отражается. Как правило, падающая волна возбуждается единич-
единичным импульсом в момент времени ? = 0, поэтому
Do (z) = doo + d02z2 + dOiz* + . . . = 1. A6.3.22)
Следовательно, уравнение A6.3.21) примет вид
Физическую модель определяют коэффициентами отраже-
отражения и прохождения, а приближенный к реальному сейсмиче-
231

ский импульс получают сверткой функции U0(z) с z-преобра-
зованием заданного волнового импульса.
~>-
Матрица Mk аналогична матрице, приведенной в работе
[433] для случая объемных волн, падающих под произвольным
углом к границе. В работе [33] приведена синтетическая сей-
сейсмограмма, рассчитанная на основе аналогичных теоретических
предпосылок. В работе [404] исследована модель слоистой
Рис. 16.6. Поглощение в многослойной среде:
7 — источник; 2 — поглощение; 3 — приемник; 4 — отражающий слой
среды с учетом поглощения в каждом слое (рис. 16.6). Для этой
модели получена соответствующая синтетическая сейсмо-
сейсмограмма, степень рассеяния энергии которой зависит от частоты»
а дисперсия не принимается во внимание.
16.4. Синтетическая сейсмограмма с учетом рассеяния
Приближенные методы расчета сейсмограммы MOB с зату-
затуханием интенсивности колебаний разработаны А. Трори [444],
но они не учитывают дисперсионные свойства поглощающей
среды. Строгое исследование этого вопроса выполнено в ра-
работе [276]. Результаты применения общей теории для линейной
вязкоупругой среды даны в работах [66, 81, 116, 406]. Так
как скорость распространения волн в среде зависит от частоты,
для получения передаточной функции среды на всех частотах
путем интерполяции необходимо найти решения матричного
уравнения для нескольких дискретных значений частоты. Син-
Синтетическая сейсмограмма модели среды с поглощением полу-
получается путем обратного фурье-преобразования передаточной
функции. Необходимо также задать для каждого слоя про-
пространственный коэффициент затухания а или связанное с ним
значение Q (см. рис. 16.6). Коэффициент Q определяется от-
отношением пикового значения энергии Я, содержащейся в одном
периоде, к рассеянной (поглощенной) за период энергии
АЕ/2л:
Q = 2nE/AE = \(u\l2ca, A6.4.1),
где со — угловая частота; с — фазовая скорость.
232

Величина Q весьма полезна при описании твердых тел, так
как экспериментально установлено, что она практически не
зависит от частоты и для большинства разновидностей горных
пород принимает значения от 10 до 1000. При затухании фазо-
фазовая скорость зависит от частоты [157, 387]. Поэтому при стро-
а
0,2 0,Ц 0,6 0,8 1,0 1fZ 1,<t 1,6 1,8 Zfl t, с ^
Рис. 16.7. Синтетические сейсмограммы:
л— графики зависимости прогнозируемой скорости (/) и фактора поглощения B) от
времени отражения; 6 — неотфильтрованные импульсные реакции для модели «а» с уче-
учетом B) и без учета (/) поглощения; в — сейсмограммы (б) с учетом B) и без учета (/)
поглощения, пропущенные через полосовой фильтр, имеющий на уровне —6 дБ полосу
пропускания от 18 до 36 Гц и вносящий задержку в 0,06 с; 3 — импульсная реакция
•фильтра; 4 — его спектр. Отмечается уменьшение амплитуд сейсмозаписей с учетом по-
поглощения B), так как нижние частоты отфильтрованы
гом подходе г-преобразования неприменимы. Методика обоб-
обобщенной матрицы используется при достаточно высоком разре-
разрешении по частоте, позволяющем избежать искажений,
обусловленных дискретизацией во временной области.
На рис. 16.7 приведены синтетические сейсмограммы отражен-
отраженных волн с учетом поглощения и без него. На временах боль-
больших 1,87 с коэффициент Q постоянен и равен 1000. Взрыв про-
233

изведен под подошвой зоны малых скоростей, при этом верти-
вертикальное время равно 46 мс. При расчете теоретической сейсмо-
сейсмограммы усредненные значения скорости дискретизованы с ша-
шагом 4 мс. Плотность предполагается постоянной, а коэффици-
коэффициент отражения от свободной поверхности равным 1.
16.5. Реверберация в водном слое
Методы z-преобразования или матричный эффективны
также и при создании фильтров, подавляющих реверберацию
в приповерхностных слоях. М. Бакус [25] разработал методику
Рис. 16.8. Реверберации, возникающие в твердой упругой среде:
7 —источник; 2 — поверхность наблюдений; 3 — приемник; 4 — водный слой; 5 —твердая
упругая среда
подавления реверберации, возникающей в слое воды, для слу-
случая, когда коэффициент отражения от свободной поверхности
близок к —1, а от донных отложений равен п, причем послед-
последний коэффициент может принимать и большие значения. Когда
источник расположен вблизи поверхности воды (рис. 16.8)
и возбуждает единичный импульс давления, в водном слое воз-
возникает бесконечная последовательность импульсов, каждый из
которых запаздывает относительно следующего на L, т. е. на
двойное время пробега волны в водном слое. Z-преобразование
реверберации в слое воды под воздействием указанного источ-
источника имеет вид
Wx (z) = 1 - rxzL + rU2L - rU3L + .... A6.5.1)
Водный слой действует на восходящий импульс, отраженный
от некоторой границы на глубине, как фильтр реверберации.
8 результате z-преобразование водной реверберации опреде-
определится выражением
W (г) = A - rxzL + r\z2L - rWL + . . .J. A6.5.2)
234

Поскольку ri<l, полученный геометрический ряд сходится:
W (z) = l/(l + rxzLJ. A6.5.3)
Чтобы подавить данный цуг волн, необходимо использовать
обратный фильтр вида
W~x{z) = {\ + rizLf= I + 2rxzL+ rWL. A6.5.4)
a
Рис. 16.9. Примеры использования обратной фильтрации:
а, г — сейсмозаписи, полученные соответственно в Персидском заливе и у озера Мара-
каибо; б, в — сейсмозаписи «а, г» после обратной фильтрации
Допустим, что толщина водного слоя равна 15 м, а скорость
распространения упругих волн в воде составляет 1500 м/с.
Тогда двойное время пробега волны в водном слое будет равно
20 мс. При шаге дискретизации записи 4 мс L=5 и функция
импульсной реакции согласно A6.5.4) принимает вид
W~l(z) = (l, 0, 0, 0, 0, 2г„ 0, 0, 0, 0, г?);
* = @, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). A6.5.5)
Свертка морской сейсмозаписи с импульсной реакцией дол-
должна подавить реверберацию. Примеры подавления ревербера-
реверберации при морской сейсморазведке в Персидском заливе и на
оз. Маракаибо [25] с помощью обратной фильтрации приве-
приведены на рис. 16.9.
235

16.6. Подавление волн-спутников
На суше, в самой верхней части разреза, обычно находится
выветрелый слой, образующий зону малых скоростей (ЗМС).
Он представлен горными породами, подвергшимися различным
видам физического выветривания и измененными химически,
при этом выветрелый слой, как правило, не насыщен водой.
Подошва выветрелого слоя обычно не совпадает с какой-либо
стратиграфической границей, чаще всего она соответствует
зеркалу грунтовых вод. Скорость упругих волн в этом слое из-
изменяется крайне нерегулярно, причем значения скоростей, как
Рис. 16.10. Схема образования волны-
спутника в результате отражения от
земной поверхности (а) и часть сей-
сейсмической записи с волной-спутником
(б):
/ — скважина; 2 — источник; 3 — первичное
отражение; 4 — отражение-спутник; 5 —
зона малых скоростей; 6 — приемник
правило, низкие — от 400 до 1600 м/с. Этот слой воздействует
на спектральную характеристику записи и вносит нерегулярные
и большие задержки во времена вступлений отраженных волн.
Временные задержки компенсировать просто, для этого необхо-
необходимо лишь знать распределение скоростей в слое. Спектральные
же искажения можно компенсировать только обратной фильт-
фильтрацией. На скоростной границе, связанной с зоной малых ско-
скоростей, образуются отражения-спутники, очень похожие на
первичные (рис. 16.10).
Подавление волн-спутников с помощью оптимальной по ме-
методу наименьших квадратов фильтрации предложен в работе
[151]. Более простое изложение принципа подавления волн-
спутников дано в работе [367], поэтому ниже используется этот
пример. В работе [191] приведено несколько примеров подав-
подавления отражений-спутников (рис. 16.11).
Пусть отражение-спутник отстает от первичного на L се-
секунд. Предположим далее, что форма первичного отражения
и спутника одинакова, только у спутника амплитуда в п раз
меньше.
Если первичное отражение представлено единичным импуль-
импульсом, 2-преобразование падающей волны на уровне источника
имеет вид
W(z)=l +ггг\ A6.6.1)
поскольку спутник запаздывает на L шагов дискретизации. От-
Отсюда получаем следующее г-преобразование обратного фильтра:
rl2L). A6.6.2)
236

Такой фильтр является бесконечным фильтром, действую-
действующим подобно усилителю с обратной связью и единичным коэф-
коэффициентом усиления (рис. 16.12). Сигнал с выхода усилителя
/. Сводные сейсмограммы, составленные из записей, полученных при
взрывах на различных глубинах:
а — трассы получены при взрывах из одной скважины; б — трассы получены при взры-
взрывах из другой скважины, расположенной на расстоянии 15 м от первой; / — максимумы
и минимумы отражений-спутников; 2 — максимумы и минимумы истинных отражений.
A—F — отражения от глубоких горизонтов
Рис. 16.12. Аналоговая схема обрат-
обратной связи, действующая как обрат-
обратный фильтр
подается в цепь отрицательной обратной связи, под воздейст-
воздействием которой он ослабляется в г\ раз, задерживается на L еди-
единиц времени, обращается и смешивается с входным сигналом.
Математически эту последовательность операций можно пред-
представить уравнением
Y(z) = X(z) . * , A6.6.3)
или
A6.6.4)
237

С помощью оператора конечной длины [151] и многоканаль-
многоканального фильтра [391] можно эффективно подавить волны-спут-
волны-спутники.
ГЛАВА 17
СКОРОСТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
17.1. Введение
К скоростным фильтрам относятся двухмерные линейные
операторы, способные весьма эффективно выделять полезные си-
сигналы на фоне регулярных помех. Они работают в частотной
и волно-числовой областях и поэтому требуют регистрации волн
с помощью площадных систем. В простейшем варианте пред-
предполагается, что полезная волна распространяется по одному из-
известному направлению. Если источник изучаемых сигналов есте-
естественный (землетрясение или океанические волны), то необхо-
необходимо применение более сложных приемных систем.
Анализ временных последовательностей с целью определения
групповых или фазовых скоростей дисперсных волн, подобных
сейсмическим поверхностным, не будем рассматривать. Некото-
Некоторые из современных методик анализа изложены в работах
[138, 172,262,398].
Термин «скоростной фильтр» использован впервые в работе
[141]. Следует заметить, что эти операторы называют также
веерными фильтрами [144]. Р. Уиггинс [478] называет двух-
двухмерные операторы (о = ?-фильтрами. В приложении к двухмер-
двухмерным (площадным) приемным системам подобные операторы
обычно называют лучевыми фильтрами. Мы будем пользоваться
термином «скоростная фильтрация». Скоростные операторы по
своей природе эмпирические. В работах [151, 392] описаны
фильтры, разработанные на основе теории оптимальной фильт-
фильтрации Винера—Хопфа. Они обычно более сложные и приме-
применяются для подавления отражений-спутников (см. гл. 16) и крат-
кратных отражений на сейсмозаписях. Скоростные фильтры могут
успешно применяться как в цифровом, так и в аналоговом ва-
вариантах, при использовании лазерной техники и оптических си-
систем обработки.
Предполагается, что плоские волны сигнала обладают ско-
скоростями, отличными от скоростей регулярных волн-помех.
Фильтр рассчитывается так, чтобы полезный сигнал проходил
без искажений, а помеха не пропускалась. Анализируется одно-
одновременно несколько трасс, записанных в различных точках наб-
238

'ТА .
ir \
у
\
\
Рис. 17.1. Сигнал, регистрируемый вдоль линейной расстановки групп сейсмо-
приемников:
1—3 — трассы записи; 4% 5 —полезные волны Л и В; 6 — волна-помеха С
I woo
-0,006
Рис 17.2. Спектр когерентных сейсмических сигналов типичной сейсмограммы
MOB:
; — отраженные полезные волны; 2 — помехи, создаваемые боковым ветром; 3 — волны-
помехи, создаваемые рассеянием на боковых близповерхностных неоднородностях; 4 —
поверхностные волны; 5 —звук
людения. Сейсмоприемники образуют равномерную линейную
расстановку; разность времен подхода сигнала А к соседним
сейсмоприемникам равна тА (рис. 17.1). Назовем т относитель-
относительным временным сдвигом. По сейсмическим записям находят
спектры сигнала и помехи и изображают их на плоскости с ко-
координатами частота—волновое число (длина волны). Типич-
Типичный график показан на рис. 17.2. Недиспергирующие волны,
239

распространяющиеся с постоянными скоростями, описываются
прямыми, проходящими через начало координат. Сигнал пред-
представлен энергией, отраженной практически по вертикали от
глубоких границ. Поэтому отраженные сигналы подходят
к сейсмоприемникам почти в одно и то же время. Кажущаяся
длина волны очень большая и может достигать бесконечности.
Помехи обычно представлены волнами, распространяющимися
вблизи от свободной поверхности или рассеянными на неодно-
Рис. 17.3. Фильтр, рассчитанный на
пропускание определенного диапа-
диапазона скоростей со средним значением
I — полоса пропускания скоростного филь-
фильтра, в пределах которой У(/, Л)-1; 2 —
область заграждения скоростного фильтра;
3, 4 — граничные скорости фильтра соот-
соответственно 18 300 и 9150 м/с
Рис. 17.4. Общий скоростной фильтр,
рассчитанный на пропускание всех
волн, имеющих кажущуюся скорость,
большую некоторой заданной (
>flk)
1 — полоса пропускания; 2 — область за-
заграждения. Если в данные ввести времен-
временной сдвиг, то рассматриваемый фильтр
можно превратить в фильтр, изображен-
изображенный на рис. 17.3
родностях, поэтому их кажущиеся скорости намного меньше,
а кажущиеся длины волн намного короче.
Можно сконструировать такой скоростной фильтр, который
будет пропускать волны с определенной кажущейся скоростью,
например, волну А на рис. 17.1 и 17.2. Передаточная функция
такого фильтра является приближением передаточной функции,
изображенной на рис. 17.3. Вместо расчета фильтра для каж-
каждой группы скоростей в каждый /г-й канал вводят задержку
пхл и добиваются того, чтобы волна А вступала на всех трас-
трассах одновременно, т. е. имела бы бесконечно большую ско-
скорость. Обобщенный скоростной фильтр, обладающий переда-
передаточной функцией вида, изображенного на рис. 17.4, исполь-
используется для подчеркивания полезных волн и ослабления других
волн с отличными фазовыми скоростями. При выводе отфильтро-
отфильтрованного сигнала введенный ранее относительный временной
сдвиг устраняется.
240

17.2. Линейные скоростные фильтры с прямоугольной полосой
пропускания
Найдем импульсную реакцию фильтра, у которого двухмер-
двухмерная передаточная функция У(/, k) равна 1 в пределах полосы
пропускания и 0 вне ее:
A, -\f\/V <k<\f\/V;
F(f, *) = L # ' A7.2.1)
1 10, вне круга. . v '
Здесь k — пространственная частота,
k = | / \/V = К/2л = 1Д, A7.2.2)
где К — волновое число; X — кажущаяся длина волны.
Виды импульсных реакций для трапецеидальных и прямо-
прямоугольных передаточных функций даны в работах [141, 144].
Верхняя граничная частота определяется из соотношений
fN = */2M; A7.2.3)
kN = l/2Axf A7.2.4)
где At— шаг дискретизации; Да: — шаг между каналами в ли-
линейной приемной схеме.
Импульсная реакция W(t, x) определяется как двухмерное
обратное преобразование Фурье:
W(t, x)= S \ Y(f, k)exp[2ni(ft-kx)]dkdf. A7.2.5)
—оо —оо
После подстановки передаточной функции A7.2.1) в A7.2.5)
и умножения интеграла на At Ах, обозначая п-ю выборку
трассы через Tn = nAt, а m-ю трассу через Хт= (m+ll2)Ax> где
т = —L — 1, L, ..., 0, ..., L, получаем
W(Tn9 Xm) = At Ax ) J e (f n m)dkdf. A7.2.6)
~fN~~k
Заменив пределы интегрирования с учетом A7.2.2) и про-
проинтегрировав по &, получим
\f\JV 2nikXm
2niXm
sin 2lkX
Затем в результате подстановки A7.2.7) в A7.2.6) полу-
получаем
ft A728)
16 Заказ № 4 241

Из свойств симметрии подынтегрального выражения или из
требования вещественности импульсной реакции следует, что
-20-Ю о
Рис. 17.5. Скоростная фильтрация как процесс свертки:
/ — фильтр; // — передаточная функция каналов; /// — свертка и суммирование A2).
Все двенадцать трасс сдвинуты во времени друг относительно друга так, чтобы анали-
анализируемое отражение х вступало в фильтр / одновременно по всем каналам. Затем трассы
свертываются и суммируются ///, создавая на выходе результирующего трассу у. Заме-
Заметим, что второе отражение на выходе, обладающее несколько отличающейся скоростью,
оказалось ослабленным
мнимая часть интеграла равна нулю. Следовательно, нужно
вычислять только косинусное фурье-преобразование вида
W(Tn, Хт)=-
242
яХ„
j cos2nfnMsinBnfXmM/Ax)df. A7.2.9)

Из таблицы интегралов имеем, что
{ sin (mx) cos (nx) dx = C0S9(,m* + "х) - cos ("is - «) .
J ч ' * ' 2(т + л) 2(т —л) '
П7 /г У v
__ 2Д/Д* Г cos [2я М
: (т
+ п)
A7.2.10)
cos [2я Д^
— л)/2 Д/3
J
4я Д/
1
4лД*(*т/Д* —л) 4яД/ \ Хт^х + п "^ Хт/кх — п )]'
A7.2.11)
Два косинусных члена уничтожают друг друга, так как ве-
величины Хт/&х и ах являются целыми числами. Отсюда
W(TnXm)= 1/д2[(Хт/ДхJ-/г2]. A7.2.12)
Последняя импульсная реакция симметрична и в простран-
пространстве и во времени и обладает нулевым фазовым сдвигом. Ее
можно свертывать непосредственно с полевыми данными и по-
25
J44
Рис. 17.6. Изолинии передаточной функции (в дБ) скоростного
фильтра
243

лучать сейсмограммы, отфильтрованные по кажущимся скоро-
скоростям. На рис. 17.5 приведен процесс фильтрации 12-канальной
сейсмограммы, причем скоростной фильтр настроен на пропуска-
пропускание отражений, имеющих кажущуюся скорость 11,7 км/с. В ре-
результате двухмерного фурье-преобразования 12-канальной
сейсмограммы можно получить фактическую двухмерную пере-
передаточную функцию (рис. 17.6).
17.3. Рекуррентная формула скоростного фильтра
В работе [441] показано, каким образом можно преобразо-
преобразовать скоростной фильтр Амбрэ—Бурга—Бакуса в г-область
и получить для вычислений рекуррентную формулу. С помощью
рекуррентной формулы можно более экономично осуществить
двухмерную свертку. При обычной свертке т трасс каждая вы-
выходная трасса получается как результат т/2 сверток. Рекур-
Рекуррентная формула позволяет выполнять данную операцию по-
посредством всего лишь одной свертки независимо от значения т.
С целью упрощения вычислительного процесса необходимо
ввести новый параметр. Поскольку величина Хт/(Дх/2) всегда
нечетная целая, определим новый пространственный параметр
р = 2/л =F 1 = Хт/(Ах/2). A7.3.1)
Тогда выражение A7.2Л2) примет вид
п2)], A7.3.2)
где jli = ±1, ±3, ,.., ±L; n = 0, ±1, ..., ±JV — временной пара-
параметр.
На выходе подобного пространственно-временного фильтра
получим сумму сверток по всем входным трассам xn(\i) с инди-
индивидуальными импульсными реакциями A7.3.2). Выходной си-
сигнал уп в произвольный момент времени / имеет вид
L
Уп= S *яЬа*1Р|.0а)]. A7.3.3)
Далее, импульсную реакцию можно выразить суммой двух
частичных функций, что позволяет конструировать цифровой
фильтр параллельного вида (см. рис. 15.9). Такой фильтр опи-
описывается последним членом уравнения A7.2.11):
или
Wn Oi) = -J^- [rn Oi) + 9n Oi)]. A7.3.5)
244

Рис. 17.7. Графическое изображение
операторов гп и дп для случая |Л=1
W 2
3 k 5B
-J -к -3 -2 -/ О
2
I
О
ч
'2
-5'Ь-3-2-1
Jt О 1 2 3 Ь 5
-м/2
п>
где операторы гп и qn полу-
получаются из A7.3.4). Из графи-
графиков функций гп uqn (рис. 17.7)
видно, что оба оператора косо-
симметричны во времени отно-
относительно точек n=\i/2 и п = >
= —jLt/2 соответственно. Гра-
Графики rn(\i) и qn([i) при [хф\ \
имеют ту же форму, что и
гп(\) и <7пA), но сдвинуты во времени. Оператор qn отличается
от гп знаком и сдвигом на \i единиц времени:
qn ip) = -rn+ll{\i) = 1/(ц/2 + n). A7.3.6)
Из свойств симметрии следует, что
гп (|х) = 1/(jji/2 — п) = 1/[!/2 — (л — |л/2 + 7г)] =
A). A7.3.7)
Выражение для импульсной реакции системы можно запи-
записать через реакцию сеисмоприемника:
/. A) -
A7.3.8)
Тогда выходной сигнал
A7.3.9)
Запаздывание в свертке можно связать с входными данными
более логично, чем импульсную реакцию, поэтому уравнение
A7.3.9) принимает вид
L
[^(М)
Л
A7.3.10)
где
гп A)= 1/@,5 -я). A7.3.11)
При ^-преобразовании свертка превращается в умножение^
поэтому z-преобразование входного сигнала
t
24S

где
A7.3.13)
Вход
Рис. 17.8. Блок-схема скоростного фильтра с четырьмя входными трассами
(/=3, ц 3, —1, 1, 3).
Этому случаю соответствуют уравнения A7.3.10) и A7.3.15). Начальный временной сдвиг
трассы т обеспечивает поворот фильтра и настройку его на ту скорость, которую жела-
желательно пропустить без искажений
ИЛИ
[V- 1
A7-ЗЛ4)
Члены вида zn являются операторами чисто временного
сдвига, а функцию R\(z) согласно [441] можно с достаточной
точностью аппроксимировать, положив v= 11. В работе [400J
показано, как можно преобразовать операторы типа A7.3.14)
246

в
Рис. 17.9. Моделирование скоростной фильтрации:
а— 12 входных трасс, расстояние между которыми 0,29 км. По всем трассам прослежи-
прослеживаются синфазные волновые импульсы с различными кажущимися скоростями (от 11,7
до оо и от —оо до —11,7 км/с); б—результат полосовой скоростной фильтрации с гра-
граничными скоростями 35,2 и 11,7 км/с; в — результат полосовой скоростной фильтрации
с граничными скоростями меньше —35,2 и больше 35,2 км/с; г — результат полосовой,
скоростной фильтрации с граничными скоростями —11,7 и —35,2 км/с

в рекурсивный фильтр. Достаточно точное приближение имеет
вид
2A-0,654652-»)
(*)
1— 0,986122-»+ 0,13091г-2
22A-0,654652)
—0,98612*+ 0,13091г2 #
A7.3.15)
На рис. 17.8 схематически изображена последовательность
операций машинного алгоритма, реализующего скоростную
фильтрацию. Рекуррентное соотношение A7.3.15) можно трак-
трактовать как систему обратной связи, подобную системе, изо-
изображенной в разделе 15.8. Отметим, что при использовании дан-
а
16 t,C
c. /7.7G. Сейсмозаписи с расстояниями между трассами 0,29 км (а) и ре-
результат полосовой скоростной фильтрации с параметрами, указанными на
рис. 17.9 E—г)
248

ного соотношения необходимо располагать как положитель-
положительными 2П, так и отрицательными z~n временными сдвигами.
На рис. 17.9 изображены результаты моделирования скоро-
скоростной фильтрации. Использовался 8-канальный скоростной
фильтр, поэтому 12 трасс на входе давали пять трасс на вы-
выходе фильтра. Форма отражений, кажущиеся скорости которых
находятся в пределах полосы пропускания фильтра, не изме-
изменяется. Отражения с кажущимися скоростями, равными гра-
граничным, ослабляются в 2 раза. Все отражения, не попавшие
в полосу пропускания, оказались сильно ослабленными.
На рис. 17.10 приведены данные MOB, полученные на юге
провинции Альберта [109]. Отражения, помеченные буквами R
и М, вероятно, возникли на границах Рила (Конрада) и Мохо-
ровичича в низах земной коры. Очевидно, что рассмотренные
двухмерные операторы обеспечивают существенное улучшение
отношения сигнал/помеха.
17.4. Нелинейные скоростные фильтры
Простейшая форма скоростной фильтрации — суммирование*
с задержками. Даже если применяется взвешивание отдельных
трасс, эта методика не дает вполне удовлетворительных ре-
результатов, так как главный максимум характеристики фильтра
очень широк. На рис. 17.11 приводятся исходные полевые сей-
сейсмические данные, полученные сейсмологами Альбертского уни-
университета в Западной Канаде на различных расстояниях от
взрыва ВВ массой 5 т в оз. Верхнем. На рис. 17.12 изображены
результаты фильтрации с помощью узкополосного нуль-фазо-
нуль-фазового фильтра Баттеруорта. Эти же данные, профильтрованные
в полосе частот 1—5 Гц и затем просуммированные с задерж-
задержками, приведены на рис. 17.13. Отношение сигнал/помеха после
последней процедуры остается низким, первые вступления ре-
регулярных волн легче определяются по рис. 17.12, а не по
рис. 17.13. Столь простой линейный скоростной фильтр не по-
позволяет разделять волны с кажущимися скоростями, равными
8, 10, 12 и 14 км/с, т. е. в результате применения данной про-
процедуры не получается новой информации.
Предложен способ нелинейной скоростной фильтрации [231,
299], который заключается в введении временных относительных
сдвигов в трассы (причем сдвиги соответствуют определенной
кажущейся скорости), извлечении корня N-n степени (обычно
4-й или 8-й) из сигнала, суммировании и возведении резуль-
результата в N-ю степень. В процессе обработки знак обычно сохра-
сохраняется. Обозначим через хь\ выборку с /-го канала в i-й момент
времени для случая К каналов и М выборок. Пронормируем
/-й канал с уровнем записи G/ относительно некоторого общего
уровня G
j . A7.4.1)
249

Если вступающая на вход фильтра волна имеет кажущуюся
скорость Vt то временной сдвиг Lj на канале /, расположенном
на расстоянии ?>/ от центра расстановки, определится как
в
Рис. 17.11. Наблюденные сейсмозаписи на расстояниях от источника 1128 км
(а), 1140 км (б), 1232 км (в), 1428 км (г), 1472 км (д)
Lj=Dj/V. В случае извлечения корня п-й степени на выходе
лучевого (направленного) фильтра имеем
где
256
Г
<17-4-2>

Эффективность и принцип действия рассматриваемого филь-
фильтра проще всего объясняется для случая JV = 2 и двух каналов.
Пусть на одном канале имеем импульсы помехи и сигнала, а на
а
с. 17.12. Сейсмозаписи, изображенные на рис. 17.11, после полосовой филь-
фильтрации с помощью нуль-фазового фильтра Баттеруорта с граничными часто-
частотами 0,5 и 3,0 Гц
другом — только сигнала. На рис. 17.14 демонстрируется дей-
действие направленного скоростного фильтра корня второй сте-
степени. Отметим, что сигнал прошел скоростной фильтр без иска-
искажений. На рис. 17.15 демонстрируется эффективность опера-
оператора при обработке полевых данных, изображенных на
рис. 17.11. Исходные сейсмограммы были предварительно про-
пропущены через нуль-фазовый фильтр Баттеруорта с полосой
пропускания 0,5—3,0 Гц и затем подвергнуты направленной
скоростной фильтрации корня восьмой степени. Пять трасс
каждой результирующей сейсмограммы представляют собой
сигналы на выходе скоростного фильтра при значениях
25L

с. 17.13. Сейсмозаписи, изображенные на рис. 17,11, после фильтрации с по-
помощью нуль-фазового фильтра Баттеруорта с граничными частотами 1 и 5 Гц.
Пять трасс каждой из сейсмограмм представляют собой сигналы на выходе скоростных
фильтров, настроенных соответственно на кажущиеся скорости 6, 8, 10, 12 и 14 км/с
3
Рис. 17.14. Упрощенная схема действия остронаправленного скоростного филь-
фильтра, использующего операцию извлечения корня Af-й степени из трассы:
а—1-й канал; б — 2-й канал; в — выходная трасса; / — извлечение корня Af-й степени и
суммирование; 2 — деление на К; 3 — возведение в N-ю степень; 4 — помеха; 5 — полез-
полезный сигнал; Af-2, K-2

кажущихся скоростей 8, 10, 12 и 14 км/с. Заметим, что сигналы
искажены нелинейной операцией. Однако случайная помеха, при-
присутствующая до первых вступлений регулярных волн, сильно
ослаблена. Более того, амплитуды вступлений с кажущимися
а
w
6
*~*—-
'ЛИЦ
ут
, . ) 'S
V^v,
-—— _-^r_./vv
•--•—^rW
Рис. 17.15. Сейсмозаписи, изображенные на рис. 17.11, после фильтрации Бат-
теруорта в полосе частот 0,5—3 Гц с нулевым фазовым сдвигом и острона-
остронаправленной скоростной фильтрации, использующей операцию извлечения корня
восьмой степени. Пять трасс каждой из сейсмограмм представляют собой
сигналы на выходе скоростных фильтров, настроенных соответственно на
кажущиеся скорости 6, 8, 10, 12 и 14 км/с
скоростями 8 и 10 км/с (вторая и третья трассы) несколько
выше, что указывает на возможность определения скоростей
даже в случае небольшой группы из шести сейсмоприемников,
распределенных на базе в 2,4 км.
253

ГЛАВА 18
СКОРОСТНЫЕ СПЕКТРЫ
18.1. ОГТ и функции корреляции
После внедрения В. Мейном в 1962 г. [285], метода общей
глубинной точки в практику сейсморазведки MOB наступил
этап интенсивного развития способов определения скоростей
распространения продольных упругих волн. Лучевая схема рас-
распространения отраженных волн от источника до приемника при
наблюдениях по методу ОГТ приведена на рис. 1.6. Спектр ско-
скоростей представляет собой трехмерное изображение энергии
сигнала на плоскости с координатами время отражения и ско-
скорость. Методика скоростных спектров изложена впервые в ра-
работах [393 и 425]. Интересный обзор дан в работе [296]. По-
Помимо изучения распределения средних скоростей по глубине,
скоростные спектры позволяют распознавать первичные и крат-
кратные отражения, а также находить интервальные скорости и по
ним обнаруживать неоднородности в осадочной толще.
При вычислении скоростных спектров используется один из
множества способов измерения когерентности (регулярности)
сейсмических волн. Обозначим через /i, t(o амплитуду дискре-
тизованной сейсмической трассы на расстоянии i и в момент
времени /. Суммируются только сигналы, отразившиеся от об-
общей глубинной точки горизонтально-слоистой среды. Годограф
ОГТ аппроксимируется гиперболой вида
где V — средняя скорость в среде до отражающей границы;
Т — время пробега отраженной волны.
Можно использовать аппроксимирующие уравнения и более
высоких порядков [284J. Сумма М трасс с определенной скоро-
скоростью определяется выражением
ST~Zji.Hi), A8.1.1)
где / (i) соответствует траектории с определенной скоростью.
Чаще в качестве меры когерентности пользуются функцией
взаимной корреляции, при вычислении которой суммирование
производится по всем комбинациям каналов k, i. Функция кор-
корреляции центрируется в точке t0 и вычисляется на временном
интервале длительностью W с центром на времени Т:
WI2 М М
X ?/?+*. ta + k)\ . A8.1.2)
264

Эта функция называется статистически нормированной
функцией взаимной корреляции. Нормирование обеспечивает
изменение значений Ст в пределах ±1, а знаменатель опреде-
определяет среднюю геометрическую энергию трасс в заданном вре-
временном интервале. Число перемножений можно сократить, если
воспользоваться энергетически нормированной функцией взаим-
взаимной корреляции [303J. У нее в знаменателе находится средняя
энергия трассы:
СЕ= Z U - Z fi. t]l[2 (M - 1) Z Z fi. Л A8.1.3)
При расчете скоростных спектров используется еще одна
мера, называемая функцией подобия [425]. Она представляет
собой отношение энергии просуммированной по ОГТ трассы
к энергии на входе:
/( ) A8.1.4)
Функцию подобия можно охарактеризовать как многока-
многоканальный фильтр, измеряющий общую для всех каналов энергию
сигналов, соответствующую заданному набору временных
сдвигов. Ее значения изменяются от 0 до 1. Функция подобия
является такой мерой когерентности сигналов, которая не за-
зависит от общей энергии трасс. Статистические свойства функ-
функции подобия рассмотрены в работе [136].
На рис. 18.1 приведен скоростной спектр, основанный на
функции подобия, которая рассчитана по 24 трассам сейсмо-
сейсмограммы (рис. 18.1, в). На спектре скоростей нанесено распре-
распределение энергии в зависимости от скорости и времени отраже-
отражения. Обращает на себя внимание энергия кратных отражений
на временах 3,2—3,8 с, для которых получены значения скоро-
скоростей от 2100 до 2400 м/с. Еще один пример спектров скоростей
дан на рис. 1.7 и 1.8, при вычислении которых использовалась
статистически нормированная функция взаимной корреляции.
С помощью скоростных спектров можно классифицировать си-
сигналы, выделять регулярные волны, отделять энергию кратных
волн от энергии первичных отражений. На рис. 18.2, заимство-
заимствованном из работы [393], показана возможность усиления пер-
первичных либо кратных отражений с помощью скоростного опера-
оператора, рассчитанного на основе теории многоканальной опти-
оптимальной фильтрации [392]. Отмечается значительный уровень
кратных отражений в интервале 1,8—5,0 с. Примечательно, что
появляется возможность обнаружения наклонной отражающей
границы на времени 3,2 с даже в присутствии сильного фона
кратных отражений на тех же временах.
Точное определение скоростей сейсмических волн в усло-
условиях наклонного залегания границ и горизонтального градиента
255

скоростей становится затруднительным. Повышение точности
достигается посредством миграции сейсмических данных. С по-
помощью миграции глубинные отражающие горизонты или точки
% i i
S N N
1 11 *
В
*,*
Рис. 18,1. Типичное изображение вертикальных скоростных спектров (а)>
график изменения пиковой энергии (б) и анализируемая полевая сейсмиче-
сейсмическая запись (в)
дифракции перемещаются по горизонтали в их реальное поло-
положение. При этом распределения скоростей и структурные осо-
особенности разреза определяются одновременно. Из приближен-
приближенных методов миграции с помощью волнового уравнения наибо-
256

лее широко применяются метод конечных разностей Клаербоута
и Догерти [104], метод суммирования по Кирхгофу [395] и ча-
6
Pmc. 75.2. Участок временного сейсмического разреза, полученного при мор-
морской сейсморазведке вблизи п-ва Флорида.
а —разрез, содержащий преимущественно кратные отражения и полученный в резуль-
результате переменной во времени фильтрации до суммирования с целью подчеркивания крат-
кратных и ослабления однократных отражений; б —разрез, содержащий преимущественно
однократные отражения
стотно-волно-числовой метод Столта [420]. В настоящее время
проблема эффективного учета горизонтальной изменчивости
скорости этими методами еще не решена. В работах [223, 265,
396] рассмотрены частные решения данной проблемы. Допол-
17 Заказ № 4
257

нительные аспекты методов миграции исследованы в работах
[49, 62, 161, 162, 206, 207, 248].
18.2. Анализ скоростных спектров
Анализ скоростных спектров используется при изучении
данных, получаемых с помощью групп сейсмоприемников. Сей-
Сейсмическая энергия обычно изображается как функция времени
вступления волны и изменения ее во времени. Такой график
называется энергограммой. При анализе скоростных спектров
по методике, изложенной в работе [127], трассы сейсмограмм
суммируются с заданными задержками и затем вычисляется
энергия по ряду направлений в пределах анализируемого вре-
временного интервала.
Описанный процесс повторяется для различных значений
изменения скорости замедления (величина, обратная скорости)
при постоянном направлении суммирования до тех пор, пока
не получится двухмерное изображение энергии в изолиниях на
плоскости с координатами скорость замедления и время. Прак-
Практически приемная группа ориентируется по постоянному ази-
азимуту в направлении на источник, и затем ось максимальной
чувствительности скоростного фильтра поворачивается в неко-
некотором диапазоне изменения скоростей замедления волн, чтобы
исследовать поведение интенсивности вступающих волн во вре-
времени. Правильная интерпретация энергограмм требует знания
свойств характеристики приемной группы не только как функ-
функции скорости замедления, но и как функции времени [134].
Основными факторами, определяющими временную характери-
характеристику, являются изменение сигнала вдоль приемной расста-
расстановки, длительность сигнала и его симметричность.
В работе [186] предложена методика скоростного анализа,
базирующаяся на вычислении функции взаимной корреляции
при нулевом сдвиге. При обработке данных по этой методике
во внимание принимаются только большие значения меры ко-
когерентности, поэтому утечка энергии в побочные максимумы
характеристики сводится к минимуму и, как следствие, вероят-
вероятность неправильной интерпретации уменьшается. Выражение
для функции когерентности является по сути обобщением одно-
одномерного случая [296] на двухмерный:
A8.2.1)
где cc — когерентность; m — число каналов; k — постоянная при-
приращения на канале /; Т — длина анализируемого временного
258

а
ос,граЗус
-70,0
-8,0
-5,0
-2,0 -
О
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
I
10
i
20
—<^
1
30 UL
2
7\ 50 60 70
Ж
i i
Л7 Р^ tj с
•
..'V
кО
М, с/граЗус
12,2
10,2
8,2
6,2
2,2
0,2
1
«
••>
4
, I
, 9 $-
• о-
Ь
•
6
*
f
^.
, f
•
•
•
Л7
SO 60 70 80 90 100 i, с
30
50
60
70
80
90 WO t,C
Рис. 18.3. Энергоаиализ записи Нью-Ирландского землетрясения (h = 20 км,
А=95,8°, магнитуда 5,5) сеисмостанцией ВАСА, расположенной в провинции
Альберта.
Скорость (медленность М) и азимут, определенные по специальным таблицам, равны
соответственно 4,56 с/градус и 274,1°. а — изменение скорости и азимута во времени:
1 — график азимута о, 2 — график скорости (медленности М)\ б —изменение скорости
со временем; в — сумма сейсмических записей, полученных вдоль линии с азимутом
271,5° для значения кажущейся скорости 23,95 км/с
17*

интервала; /*, t — амплитуда /-го канала в момент вре-
времени /.
Вычисления начинаются с ввода в каждую из трасс соот-
соответствующих временных задержек, отвечающих заданным ско-
скорости замедления 5 и азимуту Ф. Для каждого времени вычис-
вычисляются значения функции взаимной корреляции при нулевом
сдвиге для всех комбинаций двух станций наблюдения в задан-
заданном временном интервале анализа, который равен 1 с для волн
Р и 4 с для волн S. Вычисленные значения затем нормируются
относительно 1 и суммируются. Таким образом, при пяти пунк-
пунктах наблюдения подобное суммирование выполняется над де-
десятью функциями взаимной корреляции. Поскольку коэффи-
коэффициент когерентности нормирован к 1, то, когда фазы и форма
сигналов одинаковы в пределах выбранного интервала, он при-
принимает значение 1. Если коэффициент когерентности 0,5^сс^
^1,0, то на график наносятся только сигналы с одинаковой
формой независимо от их энергии. Процесс корреляционного
скоростного анализа успешно работает даже при трех пунктах
наблюдения. Если из-за близповерхностных реверберации
форма сигнала сильно изменяется по линии наблюдения, то ко-
коэффициент когерентности каждой волны становится очень
низким.
На рис. 18.3 изображена запись землетрясения с помощью
группы станций с переменной апертурой недалеко от г. Эдмон-
Эдмонтона. По специальным таблицам скорость замедления М и ази-
азимут соответственно равны 4,56 с/градус и 274,1°. Коэффициент
когерентности и азимут в течение первых 30 с сохраняются
почти постоянными. Затем они изменяются на 40 и 75 с. Изо-
Изолинии коэффициента когерентности на ковеспаграмме
(рис. 18.3,6) позволяют предположить, что энергия подходила
группами длительностью около 25 с, повторяясь каждые 40 с. По-
Повторяющаяся группировка энергии, нередко наблюдаемая на
энергограммах, объясняется одиночным либо многократным от-
отражением от зон изменения скоростных характеристик разреза.
Граница в низкоскоростном слое на глубине 150 км может со-
создать разность времен около 40 с. Однако распределение энер-
энергии (почти постоянное в пределах каждой группы) нужно ин-
интерпретировать с привлечением функции источника землетря-
землетрясения, волн рР, sP и любых реверберации внутри земной коры.
По временной длительности таких групп можно судить о глу-
глубине источников землетрясений. Если предположить, что сей-
сейсмическая волна распространяется со скоростью 2 или 3 км/с
и малой длительностью, а когерентная группа волн имеет дли-
длительность 20—30 с, то при магнитудах землетрясения 5,1—6,0
глубина источника должна быть 40—60 км. Эти значения
согласуются с наблюдаемыми размерами поверхностных
разрывов при многих мелкофокусных землетрясениях [63,
рис. 3.16].
260

ГЛАВА 19
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
19.1. Введение
Поляризационные свойства электромагнитных полей иссле-
исследуются в оптике и радиосвязи, поэтому большая часть теории
заимствована из работ [67, 261, 484]. Природа и источник гео-
геомагнитных микропульсаций до сих пор не вполне ясны. С появ-
появлением широкополосных высокочувствительных трехкомпонент-
ных систем измерения переменных во времени магнитных
и электрических полей естественного происхождения были на-
начаты исследования поляризации с целью проверки различных
физических моделей [155, 331J.
В сейсмологии типы упругих волн, возникающих при зем-
землетрясениях или взрывах, хорошо изучены как теоретически,
так и экспериментально. В то же время сейсмические записи
всегда содержат помехи, которые затрудняют обнаружение
и интерпретацию слабых сейсмических сигналов. Поэтому,
чтобы разработать фильтры, могущие разделять упругие объем-
объемные волны на продольные Р и поперечные S, а также подчерки-
подчеркивать или ослаблять поверхностные волны Релея и Лява, приш-
пришлось использовать поляризационный анализ [19, 148, 295].
19.2. Теория поляризации
Рассмотрим плоскую квазимонохроматическую волну, рас-
распространяющуюся в направлении г. Квазимонохроматическая
волна — такая волна, у которой большая часть энергии сосре-
сосредоточена в узкой полосе частот А/ с центром на средней ча-
частоте /, т. е. когда соблюдается неравенство
Д///<1. A9.2.1)
Чтобы наблюдать поляризационные свойства в какой-либо
точке, требуется относительное постоянство комплексной ампли-
амплитуды и фазы в течение промежутка времени Т, называемого
интервалом когерентности и определяемого неравенством
1// < Т < 1/Д/. A9.2.2)
Регистрируемые составляющие — вещественные функции
времени, но их можно записать в виде
A9.2.3)
где амплитуда А и фаза ф— временные функции, изменяю-
изменяющиеся медленно по сравнению с периодом синусоидальных
261

колебаний. Предполагается, что средние по времени обеих со-
составляющих равны нулю.
Если волна монохроматическая и инвариантная во времени,
то поле считается идеально поляризованным. Сделав замену
—2nft=%, получим вещественные части уравнений A9.2.3):
Ех = Ах cos (т + фх); Еу = Ау cos (т + фу). A9.2.4)
Чтобы исключить т, воспользуемся следующими двумя три-
тригонометрическими тождествами:
cos (т ± ф) = cos т cos ф =F sin t sin ф\
A9.2.5)
sin (х — ф) = sin т cos ф — cos т sin ф.
Применив первое уравнение к A9.2.4), получим
Ех/Ах = cos т cos фх — sin т sin фх\
A9.2.6)
Еу/Ау = cos т cos фу — sin т sin фу.
Умножим оба равенства A9.2.5) на этфу и вычтем одно из
другого. Чтобы получить второе равенство, умножим оба ра-
равенства на cos фу и вычтем одно из другого:
-х1- sin Фу — -Т~ sin Ф* — cos т cos (Фу — Ф*У>
A9.2.7)
-I2- sin j>y — -r- c°s ^x = sin т sin (фу — фх).
У У
После возведения уравнения A9.2.7) в квадрат и сложения
получим уравнение эллипса, который описывает конец элек-
электрического вектора в пространстве:
к
C0S &» ~
Этот эллипс (рис. 19.1) вписывается в прямоугольник со
сторонами 2АХ и 2AV.
Уравнение A9.2.8) можно записать в матричной форме
[ЕуЕх] Г А\ -АХАУ cos (фу - фхI ГЕУ1 ^
1-АхАх = cos (фу -фх) А2У J I Ex J ~
= АхА1*\п2(фу-фх) A9.2.9)
или
ШЁ'=А2хА2у sin2 (фу-фх), A9.2.10)
где ?' — транспонированная матрица ?.
262

Путем ортогонального преобразования можно повернуть ко-
координатные оси на угол ф так, чтобы новая ось х совместилась
с главной осью эллипса. Матрица поворота
-* Г cosi|) sin ap"|
L—sina|) cos яр J
A9.2.11)
преобразует матрицу S в диагональную S':
fEsf=s\
Рис. 19.1. Поляризационный эллипс,
являющийся геометрическим местом
конца электрического вектора
г
Тогда уравнение эллипса примет вид
В повернутой системе координат составляющие поля
Ех' = Ах> cos (L + ФЪ Еу, = Ау, sin (L + ф). A9.2.14)
В работе [67] даны определения параметров поляризации.
Угол \f задается выражением
Ру — Фх)- A9.2.15)
Отношение малой оси к большой (эллиптичность)
где р определяется из соотношения
5in2p= 22Л*Ау 5[п(фу-фх).
A9.2.16)
A9.2.17)
При взгляде на распространяющуюся волну говорят, что по-
поляризация правосторонняя, когда вращение происходит по ча-
часовой стрелке (Р^О), и левосторонняя, когда вращение проис-
происходит против часовой стрелки (Р<0).
Волны с изменяющимися во времени амплитудами и фазами
[уравнение A9.2.3)] не поддаются простому анализу с по-
263

мощью векторов поля. В таких случаях рекомендуется образо-
образовывать авто- и взаимно ковариационные функции и находить
по ним матрицу когерентности С как функцию сдвига L:
Функция взаимной ковариации задается математическими
ожиданиями составляющих, таких, как Ех и комплексно-сопря-
комплексно-сопряженная функции Еу:
т
Cxy(L) = limT~{ \ Ex(t)El(i + L)dt. A9.2.19)
Матрица С является эрмитовой, поскольку Cyx(L) =
= C*y(L), и неотрицательной, определенной. Интенсивность
волны при нулевом сдвиге, измеряемая по плотности потока
энергии, задается следом матрицы:
tr С @) = Схх @) + Суу @). A9.2.20)
Коэффициент корреляции определяется отношением
»ху = I Сху @) \/[Схх @) Суу (О)]1'2. A9.2.21)
Он характеризует степень когерентности между квазипе-
квазипериодическими составляющими Ех и Еу. Отметим, что он зависит
от элементов, расположенных вне главной диагонали. При иде-
идеальной когерентности \ixy = \, а определитель матрицы коге-
когерентности равен нулю:
detC = O. A9.2.22)
При отсутствии поляризации Ех и Еу независимы друг от
друга, а внедиагональные элементы матрицы когерентности
равны нулю.
В работе [67] показано, что если несколько независимых
сигналов распространяются в одном направлении, то матрица
когерентности результативного сигнала является суммой мат-
матриц когерентности отдельных сигналов. Квазимонохроматиче-
Квазимонохроматическую волну можно представить как сумму абсолютно поляризо-
поляризованного и неполяризованного сигналов. Подобная ситуация
была проанализирована в работах [155, 331]. Пусть матрица
когерентности неполяризованных данных имеет вид
'U2 0 .
A9.2.23)
264

Идеально поляризованный сигнал задается матрицей, удов-
удовлетворяющей уравнению A9.2.22):
Матрица частично поляризованной волны представляется
уравнением:
B-iC I
Н A9-2-25)
Приравняв элементы матрицы A9.2.18) при нулевом сдвиге
с элементами матрицы A9.2.25), находим
Cxx@) = A*+U2\ ч
Суу @) = (В2 + С2)/Л2 + i/2; I A9.2.26)
J
+ С1)/А' = 4- 1-С„ @) + СУу @) + S].
Решив данную систему уравнений и положив
S = {[Схх @) - Суу (О)]2 + 41 Сху @) \2}4', A9.2.27)
получим
A9.2.28)
Степень поляризации в процентах получается как отношение
следа матрицы идеально когерентного сигнала к следу матрицы
частично когерентного сигнала:
р=юо
или с учетом уравнений A9.2.27) и A9.2.28):
Р = \00S/[Cxx @) + Суу- @)]. A9.2.30)
Матрицу когерентности Ср@) можно включить в уравнение
эллипса:
v и A9-2.31)
9yy J Lx J
Ортогональным поворотом на угол ф совмещают большую
ось эллипса с новой осью координат х':
265

Отношение малой оси эллипса к большой (эллиптичность)
где
Направление поляризации определяется знаком при р. Оно
будет правосторонним (по часовой стрелке), когда величина р
положительна, и левосторонним (против часовой стрелки),
когда р отрицательна.
Для упрощения вычислений и использования сдвиговой весо-
весовой функции более выгодно вычислять авто- и взаимно кова-
ковариационные функции посредством фурье-преобразования энер-
энергетических и взаимно энергетических спектров Pj}:
ci}{0)= J Pii(w)dw. A9.2.35)
19.3. Временные поляризационные фильтры
Методы цифровой обработки позволяют использовать поля-
поляризационные свойства сейсмических данных для увеличения от-
отношения сигнал/помеха. В случае подобия спектральных харак-
характеристик сигнала и помехи полосовая фильтрация оказывается
неэффективной. Наличие же трехкомпонентных сейсмозаписей
позволяет определять такие фильтрующие функции, которые
используют преимущества поляризационных свойств объемных
и поверхностных волн для создания благоприятных условий об-
обнаружению полезных сигналов.
Объемные упругие волны, обычно разделяющиеся на про-
продольные Р и поперечные S, можно считать недиспергирую-
щими. Максимум их энергии при землетрясениях умеренной
магнитуды сосредоточен в диапазоне периодов от 2 до 100 с;
наблюдаемые периоды от более мощных источников возрастают
до 57 мин. На эти сигналы накладываются микросейсмы и по-
помехи, порождаемые самими сигналами, к которым могут отно-
относиться кратные отражения, отраженно-преломленные и обмен-
обменные волны. Микросейсмическая помеха, которая состоит, глав-
главным образом, из основной и высших мод релеевских волн,
обладает резким максимумом в диапазоне периодов от 5 до 8 с
[80]. Наличие острого максимума в спектре микросейсмической
помехи позволяет в большинстве случаев использовать полосо-
полосовую частотную фильтрацию для улучшения отношения сигнал/
помеха. Эта фильтрация весьма эффективна при подавлении
фона микросейсм на записях длинно- и короткопериодных сигна-
сигналов, но она часто не способна разделить сигнал и помеху, ко-
266

торая порождена сигналом. Могут также возникать трудности
при идентификации волн с похожими частотными характеристи-
характеристиками.
Продольные и поперечные волны характеризуются высокой
степенью линейной поляризации. У поперечных волн движение
частиц среды совпадает с азимутом распространения волны. По-
Поверхностные волны релеевского типа обычно поляризованы эл-
эллиптически в вертикально-радиальной плоскости (в вертикаль-
вертикальной плоскости профиля наблюдений). При этом в основных мо-
модах движение частиц происходит в обратном направлении,
а в высших модах — в прямом или обратном.
Поверхностные волны Лява также поляризованы прямоли-
прямолинейно, но в горизонтальной плоскости, ортогональной к направ-
направлению распространения волны. Поскольку фон микросейсм об-
образован преимущественно волнами релеевского типа, его поляри-
поляризация должна быть эллиптической, но без выраженной направ-
направленности. Помехи, порождаемые сигналом, могут быть также
поляризованными, но направление поляризации по природе бу-
будет случайным. На основании указанных характеристик траек-
траекторий поляризации частиц среды можно спроектировать такие
фильтры, которые сохраняют движение, удовлетворяющее усло-
условиям поляризации в определенном направлении и ослабляют
волновое движение, если оно не удовлетворяет заданным кри-
критериям.
Предложено в качестве меры прямолинейности использовать
усредненное по времени векторное произведение вертикальной
и радиальной составляющих движения частиц,среды [405]. Вы-
Вычисленное векторное произведение умножается на исходный си-
сигнал, и в результате получается функция движения частиц
среды, усиливающая прямолинейно поляризованные сигналы.
В той же работе описана еще одна обрабатывающая процедура,
согласно которой по фурье-компонентам вертикального и ради-
радиального движений рассчитываются параметры эквивалентного
эллипса в каждый из моментов времени. Для частоты, которой
соответствует максимум энергетического спектра регистрируе-
регистрируемой волны, рассчитываются эксцентриситет, большая ось и угол
отклонения плоскости эллипса от вертикальной плоскости и по
ним производится отождествление волн типа Р и SV.
Различные исследователи применяли поляризационную
фильтрацию сейсмических данных с целью улучшения отноше-
отношения сигнал/помеха. Разработанный [19, 180, 181, 294] фазовый
фильтр типа детектора прямолинейного движения был применен
к данным, полученным летом 1966 г. во время эксперимента
под кодовым названием «Эрли райз». Такой же фильтр исполь-
использовался для изучения кратных волн Р, возникающих при под-
подземных ядерных взрывах [20], и для выделения волн Р на фоне
многочисленных сейсмических записей, зарегистрированных
в западной части провинции Альберта [41]. В последнем случае
267

поляризационная фильтрация записи длительностью 25 с волны
Р помогла выявить многочисленные обменные волны сжатия.
Поляризационный фильтр, использованный в работе [295],
является модификацией фильтра, описанного в [148]. Он позво-
позволяет изучать прямолинейность и направление движения частиц
среды. С целью измерения названных величин рассчитывают
матрицу ковариации множества N выборок из трех ортогональ-
ортогональных составляющих волнового движения; радиальной /?, попереч-
поперечной Т и вертикальной Z. Таким образом, трехкомпонентная
цифровая сейсмограмма анализируется в заданном временном
интервале длиной N At, где At— шаг дискретизации. Чтобы
определить матрицу ковариации данного множества наблюде-
наблюдений, нужно найти математические ожидания, дисперсии и кова-
ковариации указанных трех переменных.
Математическое ожидание Е реализаций случайной перемен-
переменной Хц D=1,2, ...,#)
N
^TlXi|Ba?w A9-зл)
Ковариация между N наблюдениями двух переменных Xt
и Хг задается выражением
N
cov[X,, X2] = 4-Z(*«_^)№<-^)' A9.3.2)
где jut и р,2 вычисляются по формуле A9.3.1). Очевидно,
2, Xt].
Величина cov[Xi, X2] определяется как автоковариация или
просто как дисперсия случайной переменной Х\. Матрица, эле-
элементы которой имеют вид cov[AV, Xs] (г, s = l, 2, ..., п), назы-
называется ковариационной матрицей множества п случайных пере-
»->
менных Xj, /=1, 2, ..., л. Если X — вектор случайных пере-
переменных, а \х — вектор математических ожиданий каждой из
этих переменных, то ковариационная матрица
A9.3.3)
Индексом t обозначен транспонированный вектор-столбец.
В нашем случае трех переменных /?, Т и Z, анализируемых в ин-
интервале времени N At, уравнение A9.3.3) принимает вид
"var[/?] cov[/?, T] cov[#, Z\
V =
covf/?, T] var[T] соу[Г, Z]
A9.3.4)
_cov[/?, Z] cov[r, Z] var[Z]
где ковариации и дисперсии определены уравнением A9.3.2).
268

Если ковариационная матрица A9.3.4) диагональная, то
оценку прямолинейности траектории движения частиц среды
в заданном временном интервале записи можно получить по
отношению главных осей этой матрицы. Направление поляри-
поляризации можно найти из рассмотрения собственного вектора са-
самой большой главной оси. Если Х\— наибольшее собственное
Рис. 19.2. Результат обработки множеств данных
значение, а Х2— следующее за К\ собственное значение кова-
ковариационной матрицы, то функция
F(XU X2)=l-(X2/Xl)n A9.3.5)
будет близка к 1, тогда Ai»A,2, и близка к 0, когда обе глав-
главные оси приблизительно одинаковы по величине. Направление
поляризации можно определить из рассмотрения компонентов
собственного вектора, связанного с наибольшим собственным
значением, относительно осей координат /?, Т и Z.
На рис. 19.2 изображены результаты обработки множеств
данных в двухмерном варианте. Модельные значения рассчи-
рассчитаны для эллиптической поляризации и затем искажены адди-
аддитивной случайной помехой. На рис. 19.2, б и г данные полу-
269

чены поворотом на 45° первоначальных эллипсов, изображен-
изображенных на рис. 19.2, айв. Получены следующие расчетные значе-
ния матрицы ковариации V, коэффициентов корреляции р,
функции прямолинейности F(KU K2) при /г=1 и собственных
векторов главной оси Е (рис. 19):
1,317 -0,237
26,510
~Е = (-0,009, 0,999);
Г 1,317 0,2371
а) F = L-0237 26,510 I' P = °'04°; ^(W = 0,950;
б)"
в)
г) "
- Г 13,75
V = L 11,751
v Г2'416
L0,221
Мо'420
Коэффициент
11,756-1
5 12.519J'" р =
Я = @,726,
0,2211
3,426 J' р = 0
? = @,205,
0,4201
3,085J' р==
Е = @,584,
= 0,895; F(
0,689);
чип: F(U
0,9079)
,143; F(A.,?
0,812).
корреляции определяется
р12 " var[A:
i)var[*2] *
ltl2) = 0,945;
12) = 0,318;
»,,) = 0,262;
по формуле
A9.3.6)
При сравнении рис. 19.2, а и 19.2, б убеждаемся, что в пер-
первом случае cov[Xi, X2] мала по сравнению с величинами ди-
дисперсионных элементов на главной диагонали, а собственный
вектор Е указывает на преобладающее направление вдоль оси
Л*2. Во втором случае (см. рис. 19.2, б) элемент cov[Si, S2]
больше, а собственный вектор Е не указывает на предпочти-
предпочтительность направления вдоль какой-либо из осей. В обоих слу-
случаях функция прямолинейности F^i, Я2) принимает приблизи-
приблизительно одинаковые значения. Аналогичные свойства ковариаци-
ковариационной матрицы и собственного вектора демонстрируются на
рис. 19.2, виг, но здесь прямолинейность F (К\, Х2) низка
в обоих случаях.
Из рассмотренного примера вытекает, что при значительных
внедиагональных элементах ковариационной матрицы диагона-
лизация приводит к вращению. После поворота ориентация
в пространстве главной оси ковариационной матрицы опреде-
определяется составляющими ее собственного вектора по отношению
270

к первоначальной системе координат. Функция прямолинейно-
прямолинейности оценивает степень поляризации вдоль большой оси.
На рис. 19.2 значения данных описывают траекторию движения
частицы среды в течение заданного отрезка времени в одной из
ортогональных плоскостей пространственной системы коорди-
координат /?, 7\ Z.
Теперь допустим, что в матричном уравнении A9.3.4) ко-
ковариационные элементы малы по сравнению с элементами глав-
главной диагонали, причем var [/?]>var[r]>var [Z]. Тогда длины
двух главных осей будут весьма точно соответствовать var[/?]
и var [Г], а собственный вектор var[/?], связанный с большой
осью, будет обладать максимальной составляющей в направле-
направлении R. Если var [/?]>var[7], то значение функции прямолиней-
прямолинейности A9.3.5) будет близко к 1, что свидетельствует о высокой
прямолинейности в направлении R. Если var [R]& var [Г], то
доминирующее направление поляризации останется вдоль R> но
прямолинейность будет низкая. Если бы внедиагоиальные эле-
элементы матрицы были значительными, то диагонализация при-
привела бы к повороту, а ориентировка в пространстве большой
оси эллипса задавалась бы составляющими собственного век-
вектора матрицы по отношению к исходной системе координат /?,
Г, Z. Из совместного рассмотрения функции прямолинейности
и соответствующего вектора определяют подходящую функцию
фильтрации.
При поляризационной обработке трехкомпонентных цифро-
цифровых сейсмограмм ковариационная матрица рассчитывается для
заданного временного интервала длиной N At с центром на вре-
времени to, причем to — текущее время в пределах всего интере-
интересующего нас отрезка сейсмозаписи. Затем определяют собст-
собственные значения и соответствующие собственные векторы по-
полученной матрицы. Мерой прямолинейности в момент времени
to является значение функции
RL(to) = [F(K X2)]'t A9.3.7)
где F (к\, К2) определено равенством A9.3.5). Если обозначить
собственный вектор главной оси в системе координат /?, 7\ Z
через Е=(е\, в2, ?з), то функции направления в момент вре-
времени to задаются в виде
Di(t0) = (eifi / = /?, Г, Zsl, 2, 3. A9.3.8)
—>
Поскольку собственный вектор нормирован (|?|=1), для
каждой из функций направления 0<Di<l. Показатели /, К и п
определяются эмпирически. После расчета этих функций интер-
интервал анализа смещается по сейсмозаписи на шаг дискретизации,
и указанные вычисления повторяются.
Весовые коэффициенты рассмотренного вида использовались
в работе [148] для контроля выходного сигнала. Они применя-
271

лись к соответствующим компонентам волнового движения.
В процессе описываемого исследования был сделан вывод о же-
желательности дополнительных расчетов. По достижении конца
анализируемой записи величины, найденные с помощью урав-
уравнений A9.3.7) и A9.3.8), усредняются по интервалу времени,
равному приблизительно половине исходного интервала анализа.
Эта операция обладает сглаживающим эффектом, поэтому
влияние аномальных значений уменьшается. Если временной
интервал анализа состоит из М аномальных значений, то выход-
выходные функции имеют вид
L
-±- ? RL(t,
= #, Г, Z;
?
A9.3.9)
Эти операторы затем используются для контроля выходных
сигналов по точкам. Такой контроль позволяет так смодулиро-
смодулировать повернутые записи, чтобы в любой момент времени t от-
отфильтрованные функции имели вид
A9.3.10)
= Z(t).RL*(t).D*z(t).
В большинстве случаев перед поворотом данные пропус-
пропускаются через полосовой цифровой фильтр с нулевой фазовой
характеристикой. Цель этой процедуры — ограничение спектра
записи. Длину интервала анализа можно выбрать совместимой
с одним или двумя преобладающими периодами. Вполне удов-
удовлетворительными значениями / и /С оказались соответственно
1 и 2. При вычислении функции прямолинейности использова-
использовались значения п = 0,5 или 1.
На рис. 19.3 изображена запись, полученная Эдмонтоиской
геофизической лабораторией Альбертского университета и об-
обработанная описанным выше методом. Землетрясение магниту-
дой 5,9 произошло на Филиппинах 30 января 1969 г. в 10 ч 29 мин
40,4 с по мировому времени. Эпицентральное расстояние равня-
равнялось 103°, глубина фокуса 70 км. Параметры поляризационной
фильтрации были следующие: / = 1, K = L=M = 2, n = l/2 [295].
Функции фильтрации определены по уравнениям A9.3.9). Гра-
Графики функций фильтраций и обработанной записи показаны
с момента начала вычислений. На обработанной сейсмограмме
отмечается хорошее разделение волн Рь Р2 и Рз в кодах Р, РР
и РРР. По хорошей коррелируемости времен вступлений этих
272

волн с соответствующими временами пробега волн РР можно
предположить, что энергия выделилась не сразу, а несколькими
порциями из одного и того же источника. Ослабленная запись
радиальной и поперечной трасс, особенно волн Р и РР, свиде-
свидетельствует о способности поляризационной фильтрации усили-
Рис. 19.3. Результат анализа записи землетрясений магнитудой 5,9:
/ 3 — соответственно вертикальная, радиальная и поперечная составляющие смещения
земной поверхности; 4— расчетный фильтр прямолинейности; 5 — расчетный оператор
фильтра вертикального направления; 6 — расчетный оператор фильтра радиального на-
направления, 7—расчетный оператор фильтра поперечного направления; 8—10— отфильт-
отфильтрованные сейсмограммы модулированной вертикальной, радиальной и поперечной состав-
составляющих Перед применением поляризационных фильтров данные были отфильтрованы
с помощью н>ль-фазового фильтра с полосой пропускания 0,3—4,0 Гц
вать движения в определенных направлениях, в данном случае
в направлении Z.
19.4. Фильтр прямолинейного движения
Частный случай поляризационной фильтрации, принимаю-
принимающий во внимание только прямолинейность в радиальном и вер-
вертикальном направлениях, а не в трехмерном пространстве,
18 Заказ Кя 4 273

называется детектором прямолинейного движения, или ДПД-
фильтром. Его описание во временном варианте дано в работе
[294], а в частотном — в [19]. Дополнительное развитие дан-
данного способа поляризационной фильтрации можно найти в ра-
работах [180, 181].
Принцип действия ДПД-фильтра заключается в повороте
вертикальной Z и радиальной R составляющих сейсмического
сигнала до такого положения, когда ожидаемое направление
распространения анализируемой волны будет делить угол
a z
-sv
z H
/\
Рис. 19.4. Поворот системы координат с целью получения Z- и /?-составляю-
щих фильтра прямолинейного движения (а) и движение частиц среды в волне
сжатия Р или в вертикально поляризованной волне сдвига SV (б).
1 — земная поверхность, 2 — падающая волна
между двумя ортогональными компонентами (Z и R на
рис. 19.4). В этом случае
Z = Z cos (л/4 — 9) + N cos a sin (л/4 — G) + Е sin а sin (л/4 — 0);
A9.4.1)
i? = Z sin (л/4 — 6) — N cos а cos (л/4 — 0) — Е sin а cos (л/4 — 0),
где 0 — угол подхода; а — азимут по большому кругу Z, N, Е —
вертикальная, северная и восточная составляющие вектора дви-
движения.
Оператор фильтра получается из функции взаимной корре-
»> •»>
ляции между Z(t) и /?(/), вычисляемой по отрезку записи W
с центром на времени t:
t + W/2^ ^
С(+Т)= Z Z(t)R(t + T). A9.4.2)
t-W/2
Чтобы оператор был четным и вносил фазовых искажений,
отрицательные сдвиги образованы из положительных:
С(-Г) = С(+Г). A9.4.3)
Если поляризация в плоскости R — Z преимущественно пря-
прямолинейная, функция С(Т) принимает большие значения. Если
274

движение эллиптично или случайно, значения С(Т) будут ма-
малыми. В результате свертки С(Т) с первоначальным времен-
временным рядом те движения, которые характеризуются высокой сте-
степенью прямолинейности, будут усилены, а эллиптически поля-
поляризованные движения — ослаблены. Сигнал на выходе такого
фильтра имеет вид
YR(t) = PpK Z R(t-T)C(T);
A9.4.4)
Yz(t) = PPK ? Z(t-T)C(T),
T^—L
где РР — оператор поляризации; К — нормирующий множитель.
Оператор С(Т) для каждого момента времени t должен
быть свой, поэтому на обработку уходит много машинного вре-
времени. Рекомендуется выбирать максимальный сдвиг Гтах рав-
равным половине интервала анализа, т. е. L/2. Нормирующий мно-
множитель К определяется по функции автокорреляции входного
сигнала; его можно использовать для усиления слабых сигна-
сигналов с высокой степенью прямолинейности:
[t+
.:?„Л'(')-?«Z"(()J • A9-4-5)
Описанный выше ДПД-оператор будет поочередно усили-
усиливать линейно поляризованные волны Р и SV, настраивать его
на пропускание одной либо другой волны [41, 180]. Отметим,
что согласно рис. 19.4 в случае продольных волн
R(t)~Z(t)>0, A9.4.6)
а для вертикально поляризованных поперечных волн
?@Z(*)<0. A9.4.7)
Оператор поляризации
. гюг@>»; A948)
в случае волн SV.
18* 275

ДПД-фильтр можно аппроксимировать в частотной области
косинусной функцией [19]
Y (со) = cos [R (со) — фг (со)] = cos ф, A9.4.10)
где фя и фг — фазовые углы, которые находятся фурье-преоб-
•»*¦ —*•
разованием г(со) и z(co) коротких отрезков R(t) и Z(t). Прак-
Практически функция У(со) получается из взаимно энергетической
оценки Pzr (со) с помощью соотношения
У (о)- RetP«<«>] П9 4 11)
У чисто релеевских волн при прямолинейном движении (90°)
аргумент ф равен 0 или 180°. Чувствительность фазовой харак-
характеристики можно увеличить путем возведения косинуса в более
высокую степень:
y(co) = cosrt^>. A9.4.12)
В работе [273] рекомендуется принимать я=7. Передаточ-
Передаточную функцию умножают на г (со) и г (со):
г' (со) = Y (со) г (со);
A9.4.13)
г' (со) = Y (со) z (со).
С целью перехода назад к отфильтрованному отрезку записи
производят обратное преобразование Фурье. Интервал анализа
смещается короткими шагами, определяется новая передаточ-
передаточная функция и, повторяя данную процедуру, фильтруется вся
трасса.
19.5. Фильтр поверхностных волн
Волны Релея и Лява можно усиливать с помощью опера-
операторов, пропускающих эллиптические траектории в вертикально-
радиальной плоскости и линейно поляризованное движение
в поперечно-горизонтальном направлении. Такой фильтр дол-
должен работать в частотной области, так как поверхностные
волны являются волнами дисперсного типа. Дискретные ряды
Фурье получают для трех составляющих движения среды — вер-
вертикальной Z, радиальной R и поперечной Т [408]. Амплитуд-
Амплитудным коэффициентам на каждой частоте присваиваются весовые
коэффициенты, зависящие от того, насколько близко трехмер-
трехмерная траектория движения частиц среды на данной частоте соот-
соответствует теоретическим траекториям для волн Лява или Релея,
подходящих по определенному направлению. При восстановле-
восстановлении трассы во временной области используются эти модифици-
модифицированные коэффициенты.
276

Возьмем отрезок записи длиной N At. Тогда для каждой
составляющей волнового движения амплитуда и фаза каждой
гармоники выразятся через дискретные коэффициенты Фурье
a(nf) nb(nf):
Ai(nf) = [aUnf)+bUnf)]42; A9.5.1)
</>(n/) = arctg[&,(M/)/^(M/)], /i = 0, 1, .... tf-2, A9.5.2)
где / = Z, /?, T — вертикальная, радиальная и поперечная со-
составляющие волнового движения.
Меру кажущегося горизонтального азимута (рис. 19.5)
можно найти из равенства
р (nf) = arctg [AT (nf)/AR (n/)]t A9.5.3)
Рис. 19.5. Связь между кажущимся горизон-
горизонтальным азимутом р, эксцентриситетом if и
тремя ортогональными компонентами движе-
движения частиц среды
\Az(nt)
а эксцентриситет эллиптической траектории
q(nf) = arctg[A(nf)/Az(nf)]t
где
A9.5.4)
Разность фаз между вертикальной и радиальной составляю-
щими определяется из соотношения
a (nf) = <j>R (nf) — <j>z (nf). A9.5.5)
Затем функции а, C и яр используются для определения ве-
весовых коэффициентов амплитуд в соответствии со следующими
уравнениями:
Az (nf) = Az (nf) cosM [p (nf)] cos* [ф (nf) - 9] sin" [a (nf)];
Ar (nf) = Л* (nf) cosM [p (n/)] cos* [г|> (n/) - 9] sin" [a (nf)];
At (nf) = AT (nf) sinM [p (az/)] sin* [я|> (/z/)].
A9.5.6)
Показатели степени М, К и N определяются эмпирически.
Заметим, что составляющие Z и R имеют одинаковые весовые
277

коэффициенты, а каждая из функций а, р и if принимает зна-
значения от 0 до 1.
Если на некоторой частоте движение в горизонтальной пло-
плоскости является чисто радиальным, $(nf)=0, то Az(nf)
и AR(nf) сохраняются, a AT(nf) ослабляется. Движение, кото-
которое по своей природе чисто поперечное, р(л/)=я/2, напротив,
будет ослаблено в вертикально-радиальной плоскости. Пара-
Параметр 0 в выражениях функций A'z(nf) и A'R (nf) можно вы-
выбрать так, чтобы сохранить определенное значение отношения
горизонтального смещения к вертикальному, которое характе-
характеризует траекторию движения частиц среды. Если г|)(/г^)=0, то
радиальную и вертикальную составляющие получают от функ-
функции cosK[i|)(rt/) — 6] единичные веса. Для чисто горизонталь-
горизонтального движения if (я/) = я/2, поэтому функция sinK[i|)(/2/)] при-
присваивает поперечной составляющей единичный вес. Функция
sinN[a(nf)] влияет на радиальную и вертикальную составляю-
составляющие волны в зависимости от того, насколько разность их фаз
отклоняется от теоретического значения я/2, характерного для
основной моды волны Релея.
Совместное действие весовых коэффициентов приводит
к усилению чистых волн Релея или Лява определенной частоты.
Если, например, движение в горизонтальной плоскости пре-
преимущественно радиальное, отношение горизонтального смеще-
смещения к вертикальному соответствует заданному 0, а разность фаз
радиальной и вертикальной составляющих равна я/2, то коэф-
коэффициенты Z и R будут сохранены, а поперечная составляю-
составляющая ослаблена. Эта ситуация соответствует случаю чистой
волны Релея. И, наоборот, доминирующее вступление опреде-
определенного периода на поперечной составляющей, сопровождаемое
малыми или нулевыми амплитудами на записи вертикальной
составляющей, соответствует волне Лява. Траектории движения
частиц среды, лежащие между указанными крайними случаями,
будут подвергаться ослаблению в различной степени. Вторич-
Вторичная мода волны Релея будет ослаблена, если
sin [а (л/)] == 0, я<а(л/)<2я. A9.5.7)
На практике коэффициенты Фурье определяются в заданном
интервале и затем модифицируются с помощью весовых функ-
функций, например, как в A9.5.6). Затем временной интервал сме-
смещается по записи на некоторую часть своей длины, и вычисле-
вычисления повторяются. Окончательный результат является средним
арифметическим по всем перекрывающимся временным интер-
интервалам для данной точки на сейсмограмме. На концах времен-
временной весовой функции в пределах приблизительно 10 % выборок
анализируемого интервала применяется срезание данных по ко-
косинусному закону с целью ослабления краевых эффектов.
278

19.6. Поляризационные состояния и унитарные матрицы
В предыдущих разделах показано, что матричная запись
имеет большие преимущества при анализе состояний поляриза-
поляризации волн. В квантовой механике для определения наблюдаемых
величин используются матрицы Эрмита. При изучении волно-
волновых полей других типов точная природа волнового явления не-
неизвестна из-за сложного влияния анизотропии, затухания
и дисперсии. Более того, их не всегда можно правильно смо-
смоделировать, так как обычно неясно, какие члены в дифферен-
дифференциальных уравнениях значимы, а начальные и граничные усло-
условия неизвестны или крайне сложны. Желательно иметь более
формальное изложение матричной алгебры, чтобы читатель мог
изучать текущую научную литературу. Рассмотрим некоторые
определения и теоремы, касающиеся присоединенных (эрмнто-
во-сопряженных), унитарных и эрмитовых матриц и их исполь-
использования при трансформациях взаимно энергетических спек-
спектральных матриц. Более формализованное изложение предмета
вместе с доказательствами можно найти в работах [282, 331,
380, 381].
Унитарное скалярное произведение двух векторов-столбцов
х и у определяется выражением
(х,
х, у)=Езд=^=^ЯЬ A9.6.1)
где звездочками обозначены комплексно-сопряженные функции;
t — операция транспонирования матрицы; Н — эрмитово-транс-
понированные векторы или матрицы. Векторы данных х и у
могут быть действительными или комплексными числами:
*я =*•< = [*;, xl ..., Хп]. A9.6.2)
Пусть 5 — матричный оператор, воздействующий на один из
векторов у. Присоединенной матрицей SA называется такая
матрица, для которой следующее скалярное произведение наб-
людается при всех х и у:
^) (^J) A9.6.3)
Для случая унитарного скалярного произведения A9.6.3)
присоединенная матрица равна ее эрмитово-сопряженной:
SA=~SH. A9.6.4)
Если SA = S, то для комплексных чисел матрица будет эр-
эрмитовой. Для действительных чисел она симметрична, и в этом
случае присоединенная матрица равна транспонированной
= 5*).
279

Матрица U называется унитарной, если она состоит из
комплексных чисел, невырожденная и ее присоединенная
равна обратной матрице U-1:
UA=U-{. A9.6.5)
Отсюда следует, что произведение унитарной матрицы на ее
присоединенную равно единичной матрице 1:
ииА=Т. A9.6.6)
Модули собственных значений К унитарной матрицы
равны 1:
1М2=1. A9.6.7)
Для заданной матрицы S можно найти две различные эр-
•¦+• **•
митовы матрицы Si и 5г:
A9.6.8)
S2 = -(s-SH)i/2.
Если положить S=Si?/i=?/2S2, гДе ^i и ^2 — унитарные
матрицы, то SH=Z/HSf="D-15i==52HL/2H=52i7-1. Отсюда сле-
следует, что Szi^'SiUimUiiSi^SSH и по аналогии S| =SSH. Реше-
Решение получается из квадратов:
S2{ = ~SSH; 51 = 5Я5. A9.6.9)
Каждая из эрмитовых матриц в уравнении A9.6.9) является
положительной, определенной и описывает случайный процесс.
Пусть собственные значения и векторы матрицы Si равны со-
ответственно Я/ и и\\
S$,= $ii9 y = l, 2, ..., п. A9.6.10)
Собственные векторы являются вещественными величинами.
Пусть U\ — квадратичная матрица, столбцы которой являются
собственными векторами матрицы 5J. Матрица U\ является
280

унитарной, и ее обращение будет эрмитово-сопряженной мат-
рице U:
C/r1=Gf. A9.6.11)
Матрица U\ диагонализирует матрицу S\ преобразованием
подобия:
S2l=Ul [diagft?, ll ..., %2n)]UTx. A9.6.12)
Символом diag(^) обозначена квадратичная матрица, у ко-
которой диагональные элементы равны Я2, а остальные — нулю.
Если взять Я/ с положительными знаками, то можно получить
матрицу Si, являющуюся положительной, определенной:
S,=t/, [diagftb *я, ..., K)\~UTl. A9.6.13)
Аналогично получается и матрица 5г.
Отметим, что в соответствии с уравнением A9.6.8) матрицы
S\ и 5г можно считать составляющими комплексной матрицы:
S^Si + iSi. A9.6.14)
-»>
Матрицу 5 можно также представить в виде произведения
-> -¦•
эрмитовой 5/ и унитарной V/ матриц:
? ? A9.6.15)
Если матрица 5 невырожденная, то унитарные матрицы по-
получаются следующим путем:
A9.6.16)
Эти унитарные матрицы можно записать в полярной форме:
Vi =exp(/S,); V2 = exp (iS2). A9.6.17)
Данная показательная функция определяется следующим
образом:
Vx =U{ [diag (exp [^i] ... exp [iXn])] UT1. A9.6.18)
—>
Матрице S в уравнении A9.6.15) можно дать геометрическое
истолкование. Согласно уравнению A9.6.7), собственные зна-
значения унитарной матрицы по абсолютной величине равны еди-
единице. Их можно считать точками на единичной окружности»
а значения X/ могут быть кратными 2я без изменения V/ или 5.
281

Рассмотрим геофизический пример конструирования филь-
фильтра при наличии измерений элементов матрицы поляризации
с помощью расстановки, состоящей из п приемников. Во вре-
временном представлении сигналы имеют вид x(t):
2 (') = [*! О. *»('). ..•> *пШ
Взаимная энергетическая спектральная матрица получается
из следующей ниже системы уравнений. Фурье-преобразование
z(k) обычно взвешивается с помощью весовой функции Да-
ниеля, у которой все коэффициенты а* равны единице. Полоса
частот Af не должна быть слишком узкой. Индексом И обо-
обозначена эрмитово присоединенная матрица
S[f{k, A/)] = (fea —ft,) ?
z{k)= Z х(<)ехр(—2яШ), ft = 0, 1, ..., (A^/2) — 1; A9.6.19)
Матрица S является неотрицательной и эрмитовой.
Преобразование матрицы S с помощью соответствующей
«->
унитарной матрицы U диагонализирует эту матрицу [381]. Сим-
Символом Н обозначена эрмитово присоединенная матрица, а че-
через Kj — собственные значения:
UHSU = diag(Xu X2i ..., Хп). A9.6.20)
Взаимную энергетическую спектральную матрицу можно
разложить на множество векторных произведений собственных
векторов щ матрицы 5 на их эрмитово присоединенные:
S= EM/"/1- A9.6.21)
Степень поляризации Р определяется следующим соотноше-
соотношением [380]:
=l л. A9.6.22)
Суммирование производится по всем / и k> а след матрицы
= EJLj) обозначен через tr. Данное определение лучше
других возможных, так как полученные при этом значения
282

легко истолковать и, кроме того, их можно вычислять, не при-
бегая к диагонализации матрицы 5. Поляризация данных
равна нулю, когда все собственные значения равны между со-
бой. Это значит, что матрица 5 инвариантна при всех унитар-
унитарных преобразованиях, а сами данные характеризуются макси-
максимальной случайностью или абсолютно неполяризованы. Если
все собственные значения, за исключением одного, равны нулю,
то Р=1Д а анализируемые данные — абсолютно поляризован-
поляризованные. Преимущество изложенного подхода состоит в следующем.
Если нужно отыскать абсолютно поляризованные отрезки во
временной области, то их следует соотносить с теми участками
записи, где имеется всего лишь одно ненулевое собственное
значение.
Ось абсолютно поляризованных спектральных данных можно
повернуть так, чтобы направление большой оси совпало с век-
тором в вещественном пространстве. Малая ось г2 в веществен-
вещественном пространстве определяется с точностью до знака из усло-
вия ортогональности ее с г:
"Г 0. A9.6.23)
При повороте вектор г2 движется в сторону вектора г\\
Im S = ~r2*r{ -TiTL A9.6.24)
Затем собственные векторы, за исключением фазового мно-
множителя фу определяются в комплексном пространстве:
щ = ехр {-1ф) [7, + Гг2]. A9.6.25)
Спектральная матрица состояния абсолютной поляризации
-*•
задается векторным произведением и\ на его эрмитово присо-
присоединенный вектор:
A9.6.26)
Если комплексная взаимная спектральная матрица абсо-
абсолютно поляризована в унитарном пространстве, то у нее лишь
одно вещественное собственное значение. Вещественная часть
матрицы 5 имеет одно или два ненулевых собственных значе-
значения в геометрическом пространстве.
Совершим ортогональный поворот R с использованием век-
-*•->¦->-¦• -*•
торов г*г\ и г^гг, чтобы получить квадратичную матрицу /
второго порядка и квадратичную матрицу порядка п — 2:
?<S/?=diag[7, О„-8], A9.6.27)
283

где
= ., , , |/| = 0. A9.6.28)
L ** 12 * 22 J
Матрица / аналогична матрице A9.2.18) и определяет эл-
ис. 19.6). Большая ось направлена по п,
авна отношению малой оси к большой:
abs?=(/22//n)I/8. A9.6.29)
липе поляризации (рис. 19.6). Большая ось направлена по п,
а эллиптичность Е равна отношению малой оси к большой:
*~2
Рис. 19.6. Эллипс поляризации в трех-
трехмерном пространстве
Для скалярных инвариантов матрицы / получаются сле-
следующие выражения [381]:
/п = [trS + (trSJ + 2 tr (lmSJ]!/' /2; A9.6.30)
/22 = [trS-(trSJ -2tr(lmSJ]>/2/2; A9.6.31)
У?2 = — tr(lmSJ/2. A9.6.32)
В пространстве вещественной части векторов степень поля-
поляризации
P/? = [ntr (Re3J — (trSJ]/[(n— l)(trSJ]. A9.6.33)
Заметим, что все величины, необходимые для расчета поля-
поляризационного фильтра, получаются посредством минимального
объема вычислений, причем нет необходимости превращать мат-
матрицы в диагональную форму. Сказанное справедливо лишь для
состояний абсолютной поляризации. При более сложных слу-
случаях поляризации, когда имеются два собственных значения и
более, возникает необходимость диагонализации взаимной энер-
энергетической спектральной матрицы.
Состояния абсолютной поляризации с заданной эллиптич-
эллиптичностью 0<?<1 получаются с помощью функции, аналогичной
той, которая была использована в работе [19]:
Dx=Pa{\ -abs[abs(/12//n)-?]}*. A9.6.34)
284

Числа а и b находятся эмпирическим путем, но при этом
следует выбирать а>Ь, так как отношение Jnlh\ является ме-
мерой эллиптичности только в том случае, когда Р = 1. Рассмот-
Рассмотренный поляризационный фильтр работает в частотной обла-
области. При обработке многоканальных данных он служит эф-
эффективным средством подавления помех и усиления полезных
сигналов произвольной формы. Другие формулы и их примене-
применение рассмотрены более подробно в работах [382, 383].
ГЛАВА 20
ГОМОМОРФНАЯ ДЕКОНВОЛЮЦИЯ
20.1. Спектры второго порядка'при анализе эхо-сигналов
На сейсмозаписях нередко присутствуют эхо-сигналы, обра-
образующиеся на жестких отражающих поверхностях, подобных
границе раздела горная порода—жидкость вблизи земной по-
поверхности. Эхо-сигналы можно использовать для определения
глубины фокуса землетрясения или для расчета операторов
обратной свертки, применение которых приводит к упрощению
сейсмических записей. Для определения разности времен
вступления первичной волны и ее эхо-сигнала можно использо-
использовать функцию автоковариации анализируемых данных, но ее
однозначная интерпретация возможна не всегда.
В 1959 г. Б. Богерт обнаружил периодичность спектрограмм
некоторых сейсмических сигналов. Оказалось, что периодиче-
периодическая зазубренность кривой спектра (рис. 20.1, а) объясняется
тем, что в образовании анализируемых данных участвуют си-
сигнал и его кратные повторения. Дж. Тьюки предложил опреде-
определять периодичность повторных сигналов путем логарифмирова-
логарифмирования энергетического спектра и его изучения. Спектр логарифма
частотной периодограммы называется спектром второго по-
порядка [59].
Рассмотрим первичный сигнал x(t), за которым через L се-
секунд следует эхо-сигнал, обладающий в А раз меньшей ампли-
амплитудой. Регистрируемый сигнал
y(t) = x(t) + Ax(t-L). B0.1.1)
Если Х(со) — фурье-преобразование сигнала x(t), то преобра-
преобразование сигнала y(t)
Y(со) = X(со) + J Ах^-Це-шсИ = Х((а)(\+Ае-1<01-).
B0.1.2)
285

Энергетический спектр задается квадратом модуля |У(со)|2,
обозначим его через Ру((о):
Ру[(<*) = /V(co) A + Ае'Ш1) A + Aeiti>L) =
= Рх И {1. + [2Л (е1*1 + е~ш1)/2] + Л2} =
= Рх (со) A + 2Л cos со/, + Л2), B0.1.3)
где Рх((о) — энергетический спектр первичного сигнала.
а
Л Гц Тд f
./. Логарифм периодограммы, имеющий ярко выраженную периодич-
периодичность (а), и спектр второго порядка (б).
Видно разделение высоких и низких частотных составляющих, максимум на времени Г*
объясняется присутствием реверберации или эхо-сигнала в анализируемой записи
Прологарифмируем обе части уравнения B0.1.3):
log Ру (со) = log;p;.(co) + log A + 2Л cos coL + Л2). B0.1.4)
Второй член в правой части можно разложить в ряд
log A + 2Л cosTcoL + А2) = BЛ cos coL + Л2) —
- [BЛ cos ©I + Л2J]/2 + ... = Л2 + 2Л cos oL -
— 2А2 cos2 <oL+ ... B0.1.5)
С учетом равенства 2Л2со5(о?=Л2+Л2со5 2со/, имеем
log A + 2Л|со8 uL + Л2)|> 2Л cos coL — Л2 cos 2<oL. B0.1.6)
Второй член описывает вторую гармонику, амплитуда кото-
которой будет небольшой, если коэффициент отражения Л значи-
значительно меньше 1. В этом случае логарифм энергетического
спектра
log Ру ((о) « log Рх (ю) + 2Л cos coL.
B0.1.7)
286

Эхо-сигнал (спутник) добавляет косинусоидальную пуль-
пульсацию к логарифму энергетического спектра. Поскольку энер-
энергия является функцией частоты / = ш/2я, частота пульсации, на-
называемая частотой кратности, будет равна L цикл/(цикл/с).
При обработке данных в такой частотной области амплитуда 2А
называется гамнитудой [59]. Фазовый спектр, равный 0 при по-
положительных А или п при отрицательных Л, называется дубль-
фазовым спектром.
Логарифм энергетического спектра можно считать частот-
частотным рядом, автоковариация которого называется автоковариа-
цией второго порядка, или кепстром (рис. 20.1, б). График за-
зависимости спектра второго порядка от частоты или автокова-
риации второго порядка от времени будет иметь максимум на
частоте пульсаций, которая соответствует времени запаздыва-
запаздывания волны-спутника или эхо-сигнала То. Прежде чем вычислять
кепстр, можно пропустить спектр второго порядка через фильтр
высоких частот и таким путем сгладить частотный ряд.
20.2. Гомоморфная фильтрация
Гомоморфная свертка является обобщением спектрального
анализа второго порядка [315]. Она связана с фильтрацией по-
посредством нелинейной системы, внутри которой входные дан-
данные претерпевают ряд линейных алгебраических преобразова-
преобразований, В основе гомоморфной фильтрации лежит идея о том, что
некоторые нелинейные системы удовлетворяют принципу супер-
суперпозиции при выполнении некоторой операции, не являющейся
операцией сложения, которая играет такую же роль в случае
линейных систем. Нелинейные системы, подчиняющиеся прин-
принципу суперпозиции, называются гомоморфными, так как их
можно представить математически алгебраическим линейным
отображением одного векторного пространства на другое. За-
Задачи, решаемые при помощи гомоморфной фильтрации, ка-
касаются обработки сигналов, образованных посредством мульти-
мультипликативных операций (умножений) и сверток.
Для приближенного восстановления входного сигнала при
гомоморфной деконволюции используется сложная алгебраиче-
алгебраическая процедура. Методика, рассмотренная в разделе 20.1, наи-
наиболее эффективна при анализе таких физических систем, в ко-
которых доминируют эхо-сигналы. В частности, она нашла успеш-
успешное применение в сейсморазведке методом отраженных волн,
при изучении сигналов от источников землетрясений, при рас-
распознавании образов и при анализе речи. За последнее десятиле-
десятилетие опубликовано много работ по данному вопросу.
Одним из наиболее важных вкладов в разработку теории
гомоморфной деконволюции явилось определение комплекс-
комплексны

кого спектра второго порядка [315]. Пусть входные данные
дискретизованы и имеют конечную длительность:
n-\
X(w)= ? afx{t)exp(-i2nwtlN); B0.2.1)
B0.2.2)
TV— 1
X (z) = Z a*x (t) z\ 0 < a < 1; B0.2.3)
2==e-*-/Oe B0.2.4)
Временной ряд умножается на а с целью придания ему
устойчивости в том случае, когда он не является диракоидом
[390]. Значения а часто принимают равными от 0,94 до 0,98
[418]. Комплексный натуральный логарифм 2-преобразования
или частотной функции является многозначной величиной
In X (г) = In | X (z) | + * arg [X (z)] ± /2л/. B0.2.5)
Поскольку ехр(/2я/) = 1 для любого целого /, аргумент
функции X (z) может принимать бесконечное множество значе-
значений при / = 0, ±1, ±2, ... Значение / должно быть выбрано
с таким расчетом, чтобы фаза начиналась с нуля на нулевой
частоте и являлась непрерывной функцией, z-преобразование
которой определено на круговом контуре вокруг г = 0. Развертка
фазовой кривой имеет очень большое значение, и этому вопросу
уделялось много внимания [390, 418, 443]. Окончательно ком-
комплексный спектр второго порядка определяется следующим
образом:
§ = 0, ±1, ±2, .... B0.2.6)
Фактические расчеты выполняются с помощью обратного
дискретного преобразования Фурье:
C(T) = N-1 2 [\nZ{w)]exp{i2nTw/N). B0.2.7)
Комплексный спектр второго порядка С(Т) вычисляется
посредством дискретного фурье-преобразования значений на
контуре, совпадающем с единичной окружностью |г[=1. Так
как первоначальная временная функция взвешена с помощью
а1, причем 0<а<1, контур интегрирования фактически нахо-
находится внутри единичного круга радиусом еА, где Л=—а:
R = e'°; o = — In а. . B0.2.8)
Все полюсы и нули исходного г-преобразования X(z) дол-
должны находиться вне круга с этим радиусом.
288

Комплексный спектр второго порядка обладает важными
свойствами. Прежде всего, он представляет собой последова-
последовательность вещественных чисел, которая состоит из четной и не-
нечетной компонент. Спектр второго порядка, определенный в ра-
работе [59], представляет собой четную часть. Определение
«комплексный» в названии спектра означает, что при вычисле-
вычислениях пользуются комплексным логарифмом. Комплексный
спектр второго порядка свертки двух сигналов равен сумме их
Рис. 20.2. Центроидный сейсмический импульс (а), наложение на него эхо-
сигнала (б), смещенного на 12 единиц времени, и комплексный спектр второго
порядка (в) сигнала «б»
спектров второго порядка. Если спектр исходного сигнала глад-
гладкий, то его комплексный спектр второго порядка для отрица-
отрицательных времен равен нулю. Временные искажения комплекс-
комплексного спектра второго порядка можно уменьшить, если добавить
к данным нули перед тем, как выполнять дискретное преобра-
преобразование Фурье.
Чтобы по комплексному спектру второго порядка восстано-
восстановить исходную функцию во временном представлении, нужно
выполнить обращение операций, содержащихся в уравнениях
B0.2.1), B0.2.5) и B0.2.6):
lnX(z)= Z C{T)zT; B0.2.9)
Т=— оо
ХB) = ехр[1пХ(г)]; B0.2.10)
х @ = Bл/)~ia~t ^X(z)z1~tdz. B0.2.11)
С
Практические примеры гомоморфной деконволюции по-
подробно рассмотрены в работах [82, 106, 452, 454]. На рис. 20.2,
заимствованном из работы [452], изображен комплексный
спектр второго порядка сигнала, осложненного простым эхо-си-
эхо-сигналом. Первый максимум на рис. 20.2, в соответствует самому
сигналу, а последующий ряд пиков является результатом эхо-
сигналов. Такое четкое разделение пиков позволяет подавлять
эхо-сигналы путем деконволюции, в результате которой восста-
восстанавливается первоначальный входной сигнал.
19 Заказ № 4 289

ГЛАВА 21
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
21.1. Минимальные фаза и запаздывание
При исследовании линейных операторов [244, 476] установ-
установлено, что условие устойчивости выполняется, когда все особые
точки находятся вне единичного круга на г-плоскости. Данная
концепция введена Г. Боудом [57] в качестве условия, налагае-
налагаемого на фазовый спектр в частотном представлении. Он опре-
определил минимально-фазовый оператор, который создает на вы-
выходе минимально-возможный фазовый сдвиг. Минимальность
фазового сдвига является свойством передаточной функции;
для характеристики аналогичного свойства функции импульс-
импульсной реакции Э. Робинсон [362] предложил использовать поня-
понятие минимального запаздывания. Поскольку передаточная функ-
функция и импульсная реакция являются взаимными фурье-преобра-
зованиями, приведенные выше определения синонимичны. Ми-
Минимально-запаздывающий волновой импульс, т. е. диракоид,
образуется посредством свертки п диракоидных диполей. Ре-
Результирующий фазовый спектр Ф (со) или фазовое запаздыва-
запаздывание —Ф((о) будет меньше, чем у остальных 271*1 реверсоидных
и центроидных фильтров данного множества. Все нули мини-
минимально-запаздывающего волнового импульса (диракоида) или
минимально-фазового фильтра лежат вне единичного круга на
2-ПЛ0СК0СТИ.
Из определения амплитудно-частотной характеристики
A3.1.7) следует, что производная передаточной функции по
угловой частоте
dY/d<* = (d\Y\/d(>>-i\Y\dQlda)e-iQ{<>). B1.1.1)
Производная dQ/dco названа групповой задержкой [369], ее
можно также получить из фурье-преобразования импульсной
реакции W(t) [см. уравнение E.3.3.)]:
оо
dY/da= j —UW(t)^mdt. B1.1.2)
о
Поскольку dY/d® и —itW (t) являются фурье-преобразова-
ниями, что подтверждается соотношением B1.1.2), к ним можно
применить равенство Парсеваля:
оо
|№@|2^= \ idY/daf d<* B1.1.3)
О —оо
290

оо оо
\t*\W (t) fdt= J [(d | Y |/rfcoJ + | Y |2 (rfe/dcoJ] rf©. B1.1.4)
0
или
Величина в левой части равенства представляет собой вто-
второй момент функции |У((о)|2. Возьмем группу импульсных ре-
реакций, обладающих одинаковыми амплитудными спектрами
|У(со)|. Благодаря умножению на весовую функцию t1 второй
момент будет минимальным у той импульсной реакции, у кото-
которой большая часть энергии сконцентрирована в начальной ее
части. Из уравнения B1.1.4) следует, что для подобных волно-
волновых импульсов производная dQ/da также должна быть мини-
минимальной. Поэтому такая импульсная реакция называется дира-
коидом; она обладает минимальным фазовым спектром.
В. В. Солодовников [415] показал, каким образом можно
рассчитать фазовое запаздывание (отрицательную часть фазо-
фазового спектра) минимально-фазового (диракоидного) оператора
по заданным амплитудным спектрам и наоборот. Это имеет зна-
значение при конструировании устойчивых операторов фильтрации
и позволяет вычислять полную частотную характеристику си-
системы «сейсмоприемник—гальванометр» в условиях, когда из-
известен только амплитудно-периодный спектр. Данный вычисли-
вычислительный процесс связан с преобразованием Гильберта [435].
21.2. Математическая трактовка преобразования Гильберта
В соответствии с математическими выкладками в приложе-
приложении 1 фурье-преобразование функции f(t) можно записать
(уравнение 1.33) в виде
оо
F((o)= \ f {t) (cos at —i sin at) dt B1.2.1)
—oo
или
где
oo
F*e(co) = J f (t) cos at dt; B1.2.2)
— oo
oo
Fim(a)= j f (t) sin at dt.
— oo
Из равенства
F (-co) = FRe (со) + iFlm (со) B1.2.3)
291

получим
^e(o)) = [F((o) + F(-co)]/2;
B1.2.4)
Обратное фурье-преобразование можно разделить на обла-
области положительных и отрицательных частот:
(©)e'e'rfa>. B1.2.5)
После подстановки уравнения B1.2.4) в B1.2.5) получаем
уравнение, содержащее только положительные частоты:
оо оо
f @ = -М F*e cos ^ d@ + 4" i Flm sin ®'d(S>- B1.2.6)
о о
Последнее уравнение можно выразить через комплексное
время tc = t+io в виде
оо
lim / (t) = lim -L \ (FRe cos со/ + Flm sin ©<) e"aco rfo. B1.2.7)
a^0 a-*¦ о я о
Определим далее комплексную функцию
fc = f(t, o)-ifH(t, a). B1.2.8)
Эта комплексная функция состоит из исходной веществен-
вещественной части f(t) n части, называемой квадратурной функцией
/н@» которая, как будет показано ниже, является преобразо-
преобразованием Гильберта функции f(t). Квадратурная функция опре-
определяется внесением фазового сдвига в 90°. Это сделано с рас-
расчетом использовать ее для получения огибающей вещественной
функции времени. Таким образом, синусы в уравнении B1.2.6)
превращаются в косинусы, а косинусы — в отрицательные
синусы:
оо
h [t, 0) = 4" S (f "п cos Ы - F** sin at) d B1 -2-9>
fc(t, a) = 4-Jt^Re(«)-tTlm(o))]e'4)'e-<r<Brf(o. B1.2.10)
292

Подставив выражения для Fne и Fim из уравнения B1.2.2)
в B1.2.9), получим более ясное соотношение между fH и /:
оо оо
fH(t)=z-L\ J [/(r)sincorcoscof — / (Г) cos соГ sin cof] df dco =
0 — oo
0)' oo
= lim -i- j j f(r)sinco(r — t)dTda>. B1.2.11)
Проинтегрировав это уравнение по t/co, получим
оо
Ы<)= Нт +-~Р $ f (T) {[I-cos и'(T-t)]/(T-t))dT,
С0'-*оо п J^
B1.2.12)
где Р — главное значение Коши. Используя лемму Римана—
Лебега, можно показать, что
оо
lim -±-~P j f{T)[cos<u'{T-t)]l(T-t)dT = 0. B1.2.13)
СО —*¦ оо —оо
Поэтому имеем
оо
fH(t) = --L~p j f(T)/(t-T)dT. ¦ B1.2.14)
—оо
Последнее выражение определяет преобразование Гиль-
Гильберта.
Подставляя Fne и Fim из B1.2.4) в B1.2.9), получаем
оо оо
!н (*) — -тг-\ [F (со) — F (—со)] cos at do> —-±-\ [F (со) -f
оо
+ F (-co)] sin со* Ло = -ij- j [F (о) е'10^ — F (-со) е~/0)'] с/о
B1.2.15)
или
оо О
О —оо
Если положить
FH (со) = iF (со) sgn со, B1.2.17)
293

где
Г 1, со>О,
sgnco=< 0, со = О, B1.2.18)
1 — 1, со<0,
то из уравнения B1.2.16) находим, что fH и FH являются об-
обратными преобразованиями Фурье:
оо
Ы0 = \ Fa(a>)eiutd<a. B1.2.19)
—оо
Из уравнений B1.2.17) и B1.2.7) можно также получить вы-
выражение для обратного преобразования Гильберта:
ГIdT- B1.2.20)
В уравнении B1.2.17) можно определить новое фурье-пре-
образование
Q (со) = / sgn со. B1.2.21)
Фурье-ряд функции Q (со) обозначим через qn:
я о
qn (п At) = ~2^- J Q (со) ехр (—/со/г At) dco =-- -^- J ехр (—шп At) —
—л
я
—SrJ ехр (-/со/г ДО Ло = ^- [-1 + ехр (//гя Д<) +
¦ехр (—/ля А*)— 1], B1.2.22)
= 0, п — четное,
= — 1/я/г Д?, /г — нечетное.
По мере того как At стремится к нулю, ряд Фурье превра-
превращается в интеграл Фурье, a nAt становится непрерывной пе-
переменной времени t:
q(t) = —\lnt. B1.2.23)
На рис. 21.1 изображены графики функции #@ и ее фурье-
преобразования Q(co). Согласно уравнению B1.2.17), преоб-
преобразование Гильберта в частотной области задается произведе-
произведением функций F(co) и Q(co):
FH (со) = F (со) Q (со). B1.2.24)
В соответствии с теоремой о свертке можно получить выра-
выражение для преобразования Гильберта во временном представ-
представлении путем свертывания q(t) с f(t):
fH (t) = q (*)> / (t) = (-л/)"' * f (t). B1.2.25)
294

Очевидно, что в результате двух последовательных преобразо-
преобразований Гильберта все фазы гармоник Фурье реверсируются,
и мы возвращаемся к первоначальной функции:
f(t)=*-(*t)-l*fH(t). B1.2.26)
Последнее выражение идентично B1.2.20). В табл. 21.1 при-
приведены некоторые из преобразований Гильберта.
а
со
-7
Рис. 21.1. График функции isgnco (а) и ее обратного
(б) преобразования
Таблица 21Л
Преобразования Гильберта
/(О
6@
/m-Л1' -1/2</<1/2
fW — to, вне
sin /
cos/
(sin
—1/я/
1/я In |(/ — l/2)/(/ + 1/2)|
cos t
— sin t
(cos/—
21.3. Огибающая функции
Огибающую Е любой функции /(/) можно получить в виде
уравнения B1.2.8):
E(t) = [f{t)+f%]4' = [fcfc}4'- B1.3.1)
Мгновенную фазу ф можно также выразить в виде функции
времени [70]:
*W = arctg[f я (*)//(*)]. B1.3.2)
Мгновенная частота со(/) получается из скорости изменения
фазы. Комплексную функцию fc можно записать в виде
fc = E(t)emi+{i). B1.3.3)
Отсюда получаем выражение для фазы:
B1.3.4)
295

Положив
Fc = tJE B1.3.5)
и продифференцировав, получим мгновенную частоту:
со (t) = dtydt = i (dFc/dt)/Fc. B1.3.6)
Последнее выражение можно аппроксимировать мнимой ча-
частью (Im) разностного уравнения [105]:
со(t) ~ Im 2lFc(*
со (t) ~ im bt[Fe(
Графическое изображение мгновенной частоты может ока-
оказаться полезным при исследовании дисперсных данных. Мгно-
Мгновенная частота используется в методе отраженных волн для
обнаружения зон интерференции, связанных с быстрыми изме-
изменениями упругих свойств среды [101, 145, 286, 349, 426].
21.4. Фазовый и амплитудный спектры физически
реализуемого фильтра
Линейная система называется физически реализуемой, а ее
импульсная реакция — причинной, если последняя превра-
превращается в 0 при отрицательных временах:
/@ = 0, t<0. B1.4.1)
Как отмечено в приложении 1 [уравнение A.13)], любую
функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной
функций:
fe(t) + fo(tY, B1.4.2)
f it) = If @ + / (-01/2 + [f (+t) - / (-<)]/2. B1.4,3)
Приняв во внимание уравнение B1.4.1), имеем
/#@--/eW. *<0;
B1.4.4)
fe(t) = fo(t), t>0.
Следовательно, для зависимых сигналов можно ввести
функцию sgn t:
B1.4.5)
МО = МО sgn*.
296

Вещественная часть фурье-преобразования F((o) четная,
а мнимая — нечетная:
B1.4.6)
оо
fo((o)==_J_P J JsSzLdm-tPlmi9).
—оо
Согласно уравнениям B1.4.5) и B1.2.17), действительная
и мнимая части причинной функции являются преобразова-
преобразованиями Гильберта:
FRe(*) = ±-~P J -%^-rfe»; B1.4.7)
— оо
Flm(o).J-P J -^jLdw. B1.4.8)
—оо
Поскольку передаточная функция определяется по формуле
A3.1.7), логарифм этой функции
In Y (со) = In | Y (со) | + /Ф (со). B1.4.9)
Предположив, что импульсная реакция является причинной
функцией, приходим к заключению, что можно сопоставить In Y
с функцией F((o) из уравнения B1.2.2). Следовательно, 1п|У|
и Ф являются преобразованиями Гильберта аналогично функ-
функциям Fj{e((u) и Fim из уравнений B1.4.7) и B1.4.8):
1п|П»)|~—-г? J -^dw, B1.4.10)
— оо
Ф(«)-А.Р J JELrJMJ.dw. B1.4.11)
—оо
Логарифм передаточной функции У(со) должен быть анали-
аналитической функцией, область существования которой находится
в нижней полуплоскости. Отсюда следует, что в нижней полу-
полуплоскости не должно быть полюсов и нулей, а сама система бу-
будет иметь минимально-фазовый спектр. Необходимое и доста-
достаточное условие того, что амплитудный спектр | У (со) | является
физически реализуемым, известное под названием критерия
Пейли—Винера [323], требует, чтобы интеграл вида
7 1п|Г(со)| ,
J i+<o2 До
был конечным.
297

В работе [415J приводятся практические рекомендации, ко-
которые необходимо выполнять при вычислении фазового спектра
диракоидной функции. Практические аспекты использования
преобразований Гильберта при цифровой фильтрации в терми-
терминах 2-преобразования рассмотрены в работе [173], а дополни-
дополнительные для одно- и двухмерного случаев — в работах [101,
316, 352].
ГЛАВА 22
ЦИФРОВАЯ РЕГИСТРАЦИЯ ДАННЫХ
22.1. Состав цифровой регистрирующей системы
Почти все физические сигналы представляют собой непре-
непрерывные функции времени и пространства и называются анало-
аналоговыми. Выборка данных в пространстве осуществляется с по-
помощью ограниченного числа физических датчиков. Часто ис-
используется всего один датчик, иногда же их число достигает
тысячи. Самая короткая обнаруживаемая длина волны равна
удвоенному пространственному шагу выборки (шагу дискре-
дискретизации). Аналоговые регистрирующие устройства типа осцил-
осциллографа или магнитофона с амплитудной или частотной моду-
модуляцией имеют ограниченный динамический диапазон записи.
Обычно можно различать от 64 до 1024 уровней записи, обес-
обеспечивая тем самым динамический диапазон от 36 до 60 дБ.
Аналоговые схемы и регистраторы характеризуются низкой по-
помехоустойчивостью, большие проблемы создает непостоянство
коэффициента усиления. Даже после регистрации на аналого-
аналоговые данные налагаются дополнительные шумы и искажения.
Чтобы избежать проблем, связанных с аналоговым способом
записи, сигналы можно дискретизировать во времени с по-
помощью преобразователя аналог—код и записать их в виде на-
набора дискретных чисел на магнитной ленте, магнитном диске
или на каком-либо другом запоминающем устройстве. Цифро-
Цифровые данные обладают повышенной помехоустойчивостью, ста-
стабильным коэффициентом усиления и точно воспроизводятся с по-
помощью широкого набора ЭВМ и графопостроителей. Динамиче-
Динамический диапазон большинства цифровых регистрирующих систем
составляет 66—90 дБ. Чтобы обеспечить высокую надежность
регистрации в широком диапазоне амплитуд и частот, времен-
временная дискретизация должна осуществляться непосредственно
в полевых условиях.
Преобразователь аналог—код обеспечивает запись в двоич-
двоичном коде, поскольку наименьшая неоднозначность записи и вос-
298

произведения какой-либо величины достигается в том случае,
когда используются только два возможных состояния. Элемент
двоичного кода называют битом. Термином «слово» обозна-
обозначается полный набор битов, с помощью которого записывается
одно измерение амплитуды на выходе датчика в какой-либо мо-
момент времени. Перед дискретизацией данных необходимо вы-
выбрать шаг дискретизации. От него зависит найквистова, или
EH
Щ-ЕН
н
11 I ' I \
1
1
1 '
10
11
12
13

Ik
У
15
f
16
T
17
Рис. 22.1. Блок-диаграмма многоканальной системы преобразования анало-
аналоговых сигналов в цифровую форму и хранения их в регистрирующем устрой-
устройстве:
1—3 — датчики; 4—6 — предварительные усилители; 7—9 — усилители; 10—12 — фильтры
нижних частот; 13 — выборка с запоминанием уровня; 14 — мультиплексор; 15 — синхро-
синхронизатор и устройство управления; 16 — преобразователь аналог—код; /7 —буферное
запоминающее устройство; 18 — записывающее устройство
верхняя, граница диапазона частот, сохраняемых в информации
без искажения. Главным недостатком цифрового способа ре-
регистрации является высокий уровень технического исполнения,
который требуется при проектировании, изготовлении и экс-
эксплуатации цифровых регистрирующих систем. Нет сомнения
в том, что в течение ближайшего десятилетия эта проблема бу-
будет решена путем создания экономичных систем цифровой ре-
регистрации и воспроизведения, включающих в себя микропроцес-
микропроцессоры и запоминающие устройства большой емкости. Стоимость
и надежность работы этих систем может сравниться с аналогич-
аналогичными характеристиками производимых в настоящее время кар-
карманных компьютеров и цифровых наручных часов.
Типичная современная система цифровой регистрации дан-
данных изображена на рис. 22.1. В геофизике в качестве датчиков
используются сейсмоприемники, акселерометры, наклономеры,
гравиметры, магнитометры, потенциометры, термопары, терми-
сторы, радиометры, фотометры, спектрометры и др. На ранней
стадии регистрации обычно применяют полосовую фильтрацию,
299

которая предотвращает проникновение в регистрирующий ка-
канал помех, частотный спектр которых лежит за пределами по-
полезного диапазона. Фильтрация должна применяться в мини-
минимально необходимых пределах, чтобы не ограничивать инфор-
информативные возможности последующей цифровой обработки
данных. Всегда следует применять также низкочастотную фильт-
фильтрацию при записи, чтобы высокочастотные помехи, свойствен-
свойственные операции дискретизации непрерывных сигналов, не иска-
искажали полезный сигнал. Как правило, граничная частота
фильтра нижних частот задается равной половине частоты Найк-
Найквиста или величине, обратной удвоенному шагу дискретизации.
На частоте Найквиста уровень энергетического спектра сигнала
и помехи должен быть ниже максимального на 48—60 дБ.
В большинстве геофизических ситуаций исследуемая среда
действует как фильтр низких частот. Однако это утверждение
нуждается в постоянной проверке путем тщательного изучения
помех.
Усилители должны обеспечивать кодирование сигналов на-
напряжением до ±10 В на входе преобразователя аналог—код.
Высококачественные системы должны обеспечивать контроли-
контролируемое усиление или ослабление регистрируемых сигналов.
Мультиплексор осуществляет автоматическое подсоединение
датчиков на вход преобразователя аналог—код (ПАК). Вход-
Входная схема ПАК позволяет избежать неточностей, которые мо-
могут возникнуть из-за изменения входного сигнала в течение
времени преобразования. Она выдает мгновенные значения вы-
выборок, а не усредненные. Мгновенные выборки со всех каналов
приемной системы хранятся в течение всего времени, необходи-
необходимого для последовательного кодирования каждой выборки.
В настоящее время почти при всех видах геофизических изме-
измерений необходимость в подобных входных схемах ПАК отпала,
так как современные преобразователи обладают очень боль-
большим быстродействием и задержка в опросе различных каналов
пренебрежимо мала. Имеются сравнительно недорогие преобра-
преобразователи, обеспечивающие скорость опроса в 50 тыс. каналов
в 1 с, а сам опрос занимает фиксированное время от 20 до
50 мкс. Преобразователи аналог—код каждый раз оперируют
только одной выборкой.
Аналого-цифровой преобразователь дискретизирует аналого-
аналоговый сигнал, измеряя амплитуду выборки в двоичной системе
счисления методом последовательных приближений. Это произ-
производится путем сравнения входного напряжения с эталонным.
В зависимости от полярности неравенства компаратор выраба-
вырабатывает соответствующий бит. Если опорное (эталонное) напря-
напряжение превышает сравниваемое, то выдается нулевой бит. Если
же входное напряжение превышает эталонное, то формируется
единица. Разностный сигнал сравнивается с половинным зна-
значением опорного напряжения, и формируется следующий бит.
300

Процесс сравнения продолжается до тех пор, пока не опреде-
определится наименьший значащий или младший бит.
В табл. 22.1 приведены сведения о достижимой разрешаю-
разрешающей способности аналого-цифровых преобразователей, позво-
позволяющие судить о точности представления непрерывной вели-
величины ее цифровым аналогом.
Таблица 22.1
Разрешающая способность аналого-цифровых преобразователей
Бит
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Шкала Грея
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2 048
4096
8192
16384
32 768
65 536
Динамический
диапазон, дБ
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
Амплитудный
диапазон
± (знак)
±1
+3
±7
+ 15
+31
+63
+ 127
±255
±511
+ 1023
+2 047
+4095
±8191
+ 16 383
+32 767
Напряжение
младшего разряда
10,000 В
5,000 В
2,500 В
1,250 В
0,625 В
0,312 В
0,156 В
78,100 мВ
39,100 мВ
19,500 мВ
9,700 мВ
4,880 мВ
2,440 мВ
1,220 мВ
0,610 мВ
0,305 мВ
Преобразователь в 1 бит иногда называют знаковым кон-
конвертором, так как он дает просто знак аналогового сигнала
(рис. 22.2). В определенных обстоятельствах простая запись
знаков может содержать огромную полезную информацию.
Можно записывать информацию, поступающую одновременно
от очень большого числа датчиков, и при этом применять не-
небольшой шаг дискретизации. Можно также использовать виб-
вибратор и трехмерные схемы наблюдений. Вибратор генерирует
колебания известной амплитуды в различных полосах частот
B0—50, 22—52, 24—54 Гц и др.), а отраженный знаковый вы-
выходной сигнал коррелируется обычным путем (см. раздел 6.3).
После суммирования сигналов от различных источников можно
с известной точностью определить относительную амплитуду
записи сигнала. И во многих других случаях знаковая инфор-
информация имеет определенную ценность при интерпретации физи-
физических данных [170].
Двухразрядный конвертор изображен на рис. 22.2,6. Здесь
10-вольтовый сигнал делится на четыре части по 5 В. Повыше-
Повышение разрешенности очевидно. Обычно используемые системы
301

с низкой разрешающей способностью содержат 6-разрядный
аналого-цифровой конвертор. Черно-белые или цветные фото-
фотографические детали очень хорошо разрешаются с помощью
64 оттенков серого цвета или наложением 64 оттенков красного,
зеленого и голубого цветов. В качестве примера можно приве-
привести спутниковые мультиспектральные сканирующие устройства.
шшшишшшшоши
О О Q П Ш Ш В Я в В в в В в в В В В СЗ О И Ш О ED Q И Q CD
Н-Л7В
Рис. 22.2. Двоичные сигналы на выходе однобитового (а) и двух-
двухбитового (б) преобразователей аналог—код
В сейсмических полевых регистрирующих системах высокого
класса применяется 15-разрядный аналого-цифровой преобра-
преобразователь, обеспечивающий динамический диапазон в 90 дБ. Они
также снабжаются переключающей системой с бинарной регу-
регулировкой усиления, которая расширяет динамический диапазон
до 132 дБ и более. Мгновенное значение сигнала может изме-
изменяться в диапазоне, равном 4 млн. единиц младшего разряда,
и регистрироваться в 15-разрядном коде. Столь широкий диа-
диапазон необходим, так как средний уровень сигнала на выходе
сейсмоприемника в методе отраженных волн изменяется от 1 В
до значений, меньших 1 мкВ. Такие большие динамические диа-
диапазоны характерны для геофизики. Например, магнитуды зем-
землетрясений изменяются от —2 до +9, т. е. в 10 или
100 млрд. раз. В то же время большинство датчиков сохраняет
линейность в пределах намного меньшего динамического диа-
диапазона, кроме того, очень трудно калибровать и поддерживать
302

в рабочем состоянии систему, которая должна обеспечивать
4-значную точность и более. Поэтому не следует использовать
более чем 14-разрядные аналого-цифровые преобразователи.
В переключателе с бинарной регулировкой усиления по дости-
достижении сигналом определенного уровня коэффициенты усиления
мгновенно изменяются в 2 раза, т. е. на 6 дБ. Обычно преду-
предусматриваются 15 таких изменений коэффициента усиления.
Вместе с цифровым сигналом записываются еще четыре двоич-
двоичных бита, чтобы отметить момент, когда произошло мгновенное
изменение коэффициента усиления.
Цифровые данные записываются магнитным способом в ре-
реальном времени. Запись можно произвести на магнитной ленте
или на магнитном диске. Магнитозаписывающие системы харак-
характеризуются большим потреблением энергии, а также большими
затратами на их обслуживание из-за обилия движущихся ча-
частей. Синхронные катушечные магнитофоны обладают большим
объемом памяти, но для обслуживания требуют высококвали-
высококвалифицированных специалистов. У кассетных магнитофонов объем
памяти мал, но они просты в обращении. В ближайшем будущем
можно предвидеть появление различных запоминающих уст-
устройств, которые позволят хранить огромное количество циф-
цифровых данных при низком потреблении энергии и минимальных
затратах на обслуживание.
22.2. Преобразование систем счисления
При редактировании цифровых материалов часто возникает
необходимость в переходе от одной системы счисления к дру-
другой. Это особенно эффективно при редактировании с помощью
мини-ЭВМ, использующих слова длиной 8, 12, 16 бит и более.
Цифровые регистраторы основаны на использовании числа 2,
нам же более привычны числа с основанием 10. В цифровой
вычислительной машине, например, десятичное число 3172 пре-
превращается в 110 001 100 100. Чтобы облегчить обращение с та-
таким числом с основанием 2, следует перейти к системе счисле-
счисления с основанием 8. В восьмеричной системе приведенное выше
число запишется как 6144. Полезно знать, как переходить от од-
одной системы счисления к другой.
Любая система счисления состоит из четырех элементов:
1) основания Ь\ 2) набора допустимых цифр du принимающих
значения от 0 до Ъ—1; 3) пробела, разделяющего целую часть
числа от дробной; 4) знака плюс или минус. В табл. 22.2 приве-
приведены некоторые из применяемых систем счисления. Значение
числа определяется выражением
[знак ( Z dibl]( Z rf-yb-Ol . B2.2.1)
L M=0 / \/=l / Основание
303

В первой квадратной скобке находится целая часть числа.
Она отделена от дробной части пробелом или запятой.
Рассмотрим несколько примеров.
То же число записывается в системах
ниями 2, 8, 10, 12 следующим образом:
счисления с основа-
основа+ @/2)+ A/4)+ A/8);
[15.3]8 = AХ81) + EХ8°), +C/8);
[11.46]12 = A X 121) + A X 12°), + D/12) + F/144);
[D.6]16 = A3X16°), +F/16).
Часто употребляются восьмеричные числа, так как они
близки по размеру к десятичным и легко переводятся в двоич-
двоичную форму. Двенадцатеричные и шестнадцатеричные числа
меньше используются, так как представляют собой комбина-
комбинацию числовых и буквенных символов. Десятеричные числа пре-
преобразуются в другую систему счисления путем последователь-
последовательного деления целой части на новое основание и последователь-
последовательного умножения дробной части на основание.
Таблица 22.2
Системы счисления
Основание
2
8
10
12
16
Название
Двоичная
Восьмеричная
Десятичная
Двенадцатеричная
Шестнадцатеричная
Используемые символы
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А, В
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В,
С, D, Е
2. Нужно преобразовать десятичное число C172,645) ю
в восьмеричное. Возьмем сначала целую часть и разложим ее
повторным делением:
3172: 8 = 396 +[4] A-й остаток);
396 : 8 = 49 + [4] B-й остаток);
49 : 8 = 6 + [1] C-й остаток);
6 : 8 = 0 + [6] D-й остаток).
304

Таким образом, C172)ю= F144)8. Затем разлагаем дроб-
дробную часть десятичного числа последовательным умножением:
0,645X8 = [5] + 0,160;
0,160 X 8 = [1] +0,280;
0,280X8 = [2]+ 0,240;
0,240 X 8 = [1] +0,920.
Следовательно, @,645)ю= @,5121...)8. Окончательно полу-
получаем C172,645I0= F144,5121...)8.
3. Преобразуем восьмеричное число F144,5121 )8 в равно-
равнозначное двоичное. Каждый восьмеричный символ di преобра-
преобразуется в группу из трех двоичных битов:
F 1 4 4, 5 1 2 1 )8 =
= A10 001 100 100, 101 001 010 001J.
4. Преобразуем двоичное число из примера 3 в шестнадца-
шестнадцатеричное. Это делается путем преобразования каждой группы
из четырех двоичных битов в эквивалентное шестнадцатеричное
число:
A100 ОНО 0100, 1010 0101 0001J =
= ( С 6 4, А 5 1 I6.
Очевидно, что преобразование двоичной системы счисления
в восьмеричную или шестнадцатеричную производится простым
делением двоичного числа на группы из трех или четырех битов,
начиная от десятичной запятой.
22.3. Биполярный и другие двоичные коды
На некоторых ЭВМ двоичную арифметику можно упростить
посредством использования модификаций чистой двоичной си-
системы счисления. К таким модификациям относятся вычисли-
вычислительные схемы, которые не могут производить вычитание. Здесь
вычитание производится посредством дополнения числа и по-
последующего суммирования.
Положительный обратный код двоичного числа равен са-
самому числу. Отрицательный обратный код двоичного числа об-
образуется из соответствующего положительного двоичного числа
заменой всех нулей на единицы, а единиц на нули. Такая за-
замена называется дополнением. Таким образом, число +3 при
дополнении до единицы равно ООП, а —3=1100.
Дополнительный код положительного двоичного числа равен
прямому двоичному числу. Отрицательное число получается
прибавлением 1 в наименьший значащий разряд обратного кода
двоичного числа. Например, дополнительный код числа +3 ра-
равен ООП, а числа—3=1100 + 0001 = 1101.
20 Заказ № 4 305

Смещенное двоичное число позволяет избежать многознач-
многозначности нуля ( + 0 и —0). Оно образуется из любого двоичного
числа путем дополнения наибольшего значащего разряда. Если
новый старший разряд равен 0, то другие биты являются допол-
дополнениям и к младшему разряду прибавляется 1.
В коде Грея при изменении десятичного числа на 1 изме-
изменяется только один разряд. Код Грея используется преимущест-
преимущественно в аналого-цифровых преобразователях для исключения
неоднозначности преобразования. В табл. 22.3 приведены не-
некоторые из используемых двоичных кодов.
Таблица 22.3
Двоичные биполярные коды
Десятичный
+8
+7
+6
Ь5
-4
-3
Ь2
+ 1
+0
—0
—1
о
—3
—4
—5
—6
—7
—8
Чисто двоич-
двоичный (знак 4-
+значение)
0 1000
0111
оно
0101
0100
ООП
0010
0001
0000
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
1 1000
Дополнитель-
Дополнительный
0 1000
0111
оно
0101
0100
ООП
0010
0001
0000
0000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1 1000
Обратный
0 1000
0111
оно
0101
0100
ООП
0010
0001
0000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
1 0111
Смешенный
двоичный
1 1000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
0000
1000
0111
оно
0101
0100
ООН
0010
0001
0 1000
Код Грея
0 1000
0100
0101
0111
оно
0010
ООП
0001
0000
1000
1001
1011
1010
1110
1111
1101
1100
1 1100
Двоично-кодированное представление десятичных чисел
(двоично-десятичный код) используется в тех цифровых систе-
системах, в которых требуется визуализировать десятичные числа,
например в цифровом вольтметре. Каждая десятичная цифра
представляется четырьмя двоичными позициями. В табл. 22.4
приведены различные варианты двоично-десятичного кода и зна-
значения двоичных разрядов в каждой из четырех позиций. В ка-
качестве примера запишем десятичное число 591 следующей по-
последовательностью двоичных разрядов в двоично-десятичном
коде 8421:
E91I0 = @101 1001 0001).
Код с избытком 3 является двоично-кодированным десятич-
десятичным кодом, в котором каждая десятичная цифра увеличена на
306

Таблица 22.4
Двоично-десятичные коды
Десятич-
Десятичный
0
1
2
3
4
5
б
7
8
9
Чистый
двоичный 8421
0000
0001
0010
ООП
0100
0101
оно
0111
1000
1001
2421
0000
0001
0010
ООН
0100
0101
оно
0111
1110
1111
8421
0000
0001
0010
ООП
0100
0101
оно
0111
1000
1001
Двоично-десятичные
4221
0000
0001
0010
ООН
1000
0111
1100
1101
1110
1111
С избытком 3
ООП
0100
0101
оно
0111
1000
1001
1010
1011
1100
Дополнитель-
Дополнительный
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
0111
оно
двоичное число 3. Код с избытком 3 позволяет использовать
двоичный сумматор для выполнения арифметических операций
непосредственно над двоично-десятичными цифрами.
22.4. Восстановление непрерывных сигналов
Дискретные данные можно превратить в непрерывные или
аналоговые с помощью графопостроителя. Первоначальный си-
сигнал, который подавался на вход аналого-цифрового преобразо-
преобразователя, можно восстановить с любой степенью точности путем
свертки каждой выборки с функцией вида sin t/t. Из уравнения
A1.6.3) для весовой функции Даниеля при t — to = x/m полу-
получаем следующий оператор:
W (t) = sin я (f — f 0)/я (t - t0). B2 A. 1)
В момент времени t = to функция sin t/t принимает .значе-
.значение 1 и после умножения на амплитуду выборки в момент вре-
времени t0 Дает точное выборочное значение. В целые дискретные
моменты времени / = ±1, ±2, ... значения данной функции
равны нулю. В нецелые моменты времени t функции sin t/t
с весовыми коэффициентами суммируются и образуют интерпо-
интерполированные значения для сколь угодно малого интервала ин-
интерполяции. На рис. 22.3, б описанная операция изображена
графически. Данный способ восстановления почти никогда не
используется, так как требует больших затрат машинного вре-
времени.
Существуют другие способы восстановления непрерывных
сигналов, которые проще в вычислительном отношении, но об-
образуют разрывы функции или ее производных. При плотной
20*
307

дискретизации преимущественно низкочастотных сигналов до-
стигается достаточно точная линейная интерполяция между вы-
выборками (рис. 22.3, в). Это относится к восстановлению данных
сейсморазведки MOB, имеющих максимум энергии на частоте
Рис. 22.3. Восстановление непрерывных сигналов:
а — исходный аналоговый сигнал и его дискретизованный эквивалент; б — точная ре-
реконструкция дискретного сигнала с помощью разрывов в первой производной; в — ли-
линейная реконструкция аналогового сигнала с помощью разрывов в первой производной;
г — реконструкция дискретного сигнала с помощью преобразования аналог—код и по-
последующего сглаживания фильтром нижних частот
50 Гц и дискретизованных с шагом 1 или 2 мс. Если линейная
интерполяция дает неудовлетворительные результаты, то можно
использовать многочлены высших степеней или кубические
сплайн-функции. При построении непрерывного сигнала можно
использовать цифро-аналоговый преобразователь. Каждая вы-
выборка сохраняется в течение одного периода дискретизации
в виде ступеньки постоянного напряжения соответствующей
амплитуды (рис. 22.3, г). Затем ступеньки постоянного напря-
308

жения пропускаются через фильтр низких частот, чтобы сгла-
сгладить ступенчатый сигнал перед выводом его на графопострои-
графопостроитель.
ГЛАВА 23
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША
И УПЛОТНЕНИЕ ДАННЫХ
23.1. Введение
Суперпозиция синусов и косинусов посредством фурье-пре-
образования имеет огромное значение при анализе различных
функций и линейных дифференциальных уравнений второго
порядка. С появлением цифровых вычислительных машин и по-
полупроводниковых переключателей стало возможным использо-
использовать полные системы ортогональных функций, характеризую-
характеризующих только два состояния. Эти функции имеют вид ступенек,
принимающих только значения +1 и —1. Преобразования, ос-
основанные на таких функциях, были предложены Дж. Уолшем
[467] и Р. Пейли [322]. Они являются подмножеством матриц
Адамара [189] и кодов Рида—Мюллера [353], которые сами яв-
являются частью более обширного класса преобразований, на-
называемых преобразованиями Гуда второй степени. Преобразо-
Преобразования Уолша определяются разностным, а не дифференциаль-
дифференциальным уравнением. Система, известная под названием преобразо-
преобразования Радемахера [351], не является полным множеством.
Преобразования Уолша и Пейли концентрируют большую
часть энергии сейсмического сигнала в узкой полосе спектра
[4851. Это свойство позволяет разработать способы уплотнения
дискретных данных в двоичном представлении без серьезного
ухудшения характеристик волнового импульса. Кроме того,
фильтрация в уолшевском представлении доказала свою эффек-
эффективность при выделении двухмерных образов. Преимущество
преобразования Уолша состоит в том, что для его осуществле-
осуществления требуются только операции сложения, тогда как при фу-
рье-преобразовании используются комплексная арифметика
и операция умножения, поэтому преобразование Уолша выпол-
выполняется быстрее БПФ.
Известна также функция Хаара [188], характеризующаяся
тремя состояниями: +1» 0 и —1. При нормировке функции
Хаара умножаются на 2,4*. Преобразование Хаара может вы-
выполняться даже быстрее преобразования Уолша, но оно пока
остается почти не исследованным.
309

Проблема уплотнения данных очень важна, так как в на-
настоящее время получают огромные объемы информации в циф-
цифровом виде. Спутники передают на Землю телеметрические
данные со скоростью тысяч битов в 1 с, причем эти передачи
могут длиться годами. В сейсморазведке один отряд может по-
получить более 100 млн. битов за один день работы. Обычно
в действии находятся ежесуточно более 100 таких отрядов, и все
они посылают сейсмозаписи всего в несколько вычислительных
центров. Обработка накопленной информации требует много
времени и дорогостояща, поэтому возникла потребность в раз-
разработке различных способов уплотнения данных. Помимо ис-
использования специальных трансформаций, большой экономии
времени и затрат можно достичь путем подготовки данных
в полевых условиях и обработки их на мини-процессорах
и мини-ЭВМ.
23.2. Функция Уолша
Функции Уолша изображены на рис. 23.1. Они подразде-
подразделяются на четные и нечетные, обозначаемые через Cal(/, t)
и Sal (/, /), почти так же, как функции косинуса и синуса. Пе-
Периодичность функций Уолша определяется числом пересечений
нулевой линии. Г. Гармут [194] ввел термин «чередота» для
обозначения половины числа перемены знака в единицу вре-
времени. Единицей чередоты служат нули. Определение чередоты
аналогично определению частоты синусоидальной функции. На-
Например, синусоида с частотой 60 Гц в течение 1 с 120 раз пере-
пересекает нулевую линию. Функции Уолша определяются. в буле-
булевой алгебре следующим образом:
W(j, t) = (-\)w{I't\
где
И/. 0= t (/«-* + !©/«-*)'*. B3.2.1)
Временной интервал t дискретизуется N раз:
N = 2n; / = 0, 1, ..., N—1;
/=0, 1, ..., N-1; й=1, 2, ..., п. B3.2.2)
Величина tk представляет собой п — &+1-Й двоичный разряд
записи t, a jk — n — &+1-Й двоичный разряд записи /. Вели-
Величины tk и jk могут принимать только двоичные значения 0 и 1.
Знаком 0 в булевой алгебре обозначается логическая функ-
функция несовпадения. В соответствии с этой операцией имеем
1©1=0;
310

Например, 5© 13 = 8 вычисляется следующим образом:
0101
'1101
1000.
П-П-П-Ги
8
Рас. 23.1. Функция Уолша с чередотами от 0
до 8 нулей/с
Найдем Щ5, t) для всех значений t, когда N = 8. Имеем
п = 3, / = 5, / = 0, 1, 2, ..., 7. Выразив десятичное число / = 5
в двоичном коде, получаем
/=[5],о = [О 1 0 1]2;
Выразив десятичное / = 0 в двоичном коде, можно опреде-
определить t\, h и U:
[0]10 = [0 0 0]2; ^ = 0, t2 = 0, h = 0;
wE, 0)=l -0+1 • 0+1 • 0 = 0;
WE, 0) = (-1)°=1.
311

Аналогично для /= [6]ю= [П0]2, /i = l, /2 = 1, /з = 0:
юE, 6)=1 .1 + 1.1 + 1 -0 = 2;
ГE, 6) = (-1J=1.
Подобным образом функция WEf t) определяется для всех t:
WE9 /) = [1, -1, -1, +1, -1, +1, +1, -1].
Эта функция изображена на рис. 23.1. Функцию Уолша
можно также найти рекуррентным способом, используя следую-
следующее дифференциальное уравнение в интервале —1/*1/
ХЩ1. 2(*-1/4)], B3.2.3)
где //2 — наибольшее целое. Начальные значения функции
/=0,
23.3. Матрица Адамара
Матрица Адамара образуется из частного случая преобразо-
преобразования Гуда [176J. Преобразование Гуда получается в резуль-
результате перемножения матриц Кронекера. Последние можно всегда
представить в виде произведения матриц, в каждом ряду кото-
которых содержатся только два ненулевых элемента. Это значит,
что каждая матрица размером 2лх2п разбивается на п раз-
разреженных матриц. Например, матрица Адамара Н* представ-
представляется следующим образом:
+ 1 -1 +1 -
+ 1 +1 _1 -
- + 1 -1 -1
- + 1 +10 0
0 0+1+1
+ 1-1 0 0
-0 0+1-1
Матрица Гуда размером
п матриц, причем N = 2n:
+ 1 0 0-,
О 0+1+1
+ 1-1 О О
О 0+1 -1J
чередота
О
3
1
2
разлагается на произведение
B3.3.1)
312

где
G\A
A
An
0
Gn= '
0
Cn
0
0
Bn
0
0
Dn
0
0
0
An
0
0
Cn
0
0 ...
Bn ...
0 ...
0 ...
Dn ...
0 ...
0
0
An
0
0
Cn
0
0
5»
0
0
Dn
Ядро матрицы для функции Адамара при N = 2 имеет вид
чередота
-+ Г + 1 +11 О
1
B3.3.2)
Функция Адамара при
Ht-.
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
—1
+1
—1
+1
-1
+1
+1
—1
—1
+1
+1
—1
—1
+1
-1
— 1
+1
+1
— 1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
1
—1
-1
+1
—1
+1
-1
—1
+1
-1
+1
+1
+1
—1
-1
—1
I
+1
+1
+1
—1
—1
+1
—1
+1
+1
-1
чередота
О
7
3
4
1
6
2
5
B3.3.3)
Заметим, что
#Я* =
B3.3.4)
где / — единичная матрица. В записи матрицы Н8 матрицы-
ядра для ясности разделены пунктиром. Функция Адамара
в булевой алгебре
#(/, ')=(-1)ММ\ B3.3.5)
313

где
Hi, t)=?tkjk. B3.3.6)
k = 1
Функция Адамара имеет естественный порядок, так как ее
можно сформировать из матрицы второго порядка. Наиболее
важно то обстоятельство, что их форма аналогична уолшевской
функции, но порядок следования значений чередоты иной. Урав-
Уравнение B3.3.3) следует сопоставить с рис. 23.1.
23.4. Преобразования Уолша и Адамара
Если f(xy у) является двухмерным множеством значений
интенсивности или картой в изолиниях, оцифрованной в N2 точ-
точках, то преобразование Адамара определится следующим мат-
матричным уравнением:
Ти (и, v) = Яя (и, v) 7 (х, у) Нн (и, v)IN\ B3.4.1)
Обратное преобразование Адамара выглядит аналогично,
только в нем отсутствует нормирующий коэффициент N2:
f(x9 у) =7? (и, v)FH(ut vI$(ut v). B3.4.2)
Конечное преобразование Уолша произвольной функции f(t),
где / = 0, 1, ..., N—1, определяется следующим равенством:
Z (j, t)f(t)/N. B3.4.3)
Обратное преобразование Уолша имеет вид
Z^(/, t)WU, t). B3.4.4)
Вычисления производятся путем матричного перемножения
квадратичной матрицы WN Уолша (или Адамара) размером
NXN и вектора-столбца данных X:
' ~'IN; B3.4.5)
W{0,0) W(l,0) WB,0) ...
W(Q,l) №A,1) №B,1) ...
№@,2) №A,2) №B,2) ... №(W-1,2)
_№@, N-l) W(l,N-l) WB,N-l) ... W(N-l,N-l)_
B3.4.6)
314

0
0
-0
0
0
—0
,60355
,250
,25
-0,10355
0
1
1
1
1
— 1
-1
— 1
— 1
1
1
-1
— 1
— 1
— 1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
— 1
— 1
X
Заметим, что W(j, t) =W(t, /), поэтому матрица W обла-
обладает высокой степенью симметрии.
Вычислим преобразование Уолша синусоиды с периодом 1
для N = 8. В этом случае Х= [0, 0,707, 1, 0,707, 0, —0,707,
—0707], а само преобразование
1
— 1
1
-1
-1
— 1 1 —1
—1 1—1 1
1 -1 1 -1.
' 0
0,707
1,000
0,707
0
-1,000
-1,000
-0,707
На рис. 23.2 видно, насколько точно суперпозиция четырех
ненулевых функций Уолша приближает синусоиду. Машинная
программа преобразования Уолша приведена в разделе 23.7.
23.5. Преобразование Пейли
Функции Пейли в булевой алгебре определяются следую-
следующим уравнением:
X
B3.4.7)
где
п
p(i> t)= X in-k+xtk.
k + i
Хотя Р. Пейли и не признает этого, функции Пейли по суще-
существу те же функции Уолша, отличающиеся двухчленным поряд-
315

ком следования, а не в соответствии с чередотой. Функции
Пейли располагаются в соответствии с кодом Грея (см. гл. 22).
В коде Грея младший разряд изменяется, не приводя к повто-
повторению. Эквивалентные функции Пейли и Уолша приведены
в табл. 23.1.
а
0
f
2
i
J
к
i
5
i
6
i
7
i
81
Рис. 23.2. Суперпозиция взвешенных преобразований Уолша W(l, /) (а),
IFB, /) (б), U7E, /) {в) и (W6t t) (г) с целью аппроксимации синусоиды (д)
Таблица 23.1
Эквивалентные преобразования Пейли и Уолша
¦Функции Пейли
Жо, t
P(U t
р
р
Р
р
р
р
р
р
р
2, t
4! t
5 /
б! /
• > *
9* /
10, о
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Двоичный
код Грея
0
1
и
10
по
111
101
100
1100
1101
1111
Десятичный
код /
0
1
3
2
6
7
5
4
12
13
15
Эквивалентная
функция Уолша
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
0, t)
1. 0
з, t
2, t
6, t
7, /
5; /
4, t
12, /)
13, /)
15, t)
316

23.6. Уплотнение данных
Исследованы различные способы уплотнения данных 16, 61,
245, 417, 485, в которых используются либо предсказания пер-
первого порядка, либо методика исключения малых амплитуд или
выборок с малыми первыми разностями. Для отождествления
сохраняемых выборок составляется система каталогов. Устано-
Установлена важность ограничения полосы чередот при обработке
сейсморазведочных данных. На рис. 23.3, заимствованном из ра-
, ,
25 SO — 71
700%
12-1/2 62-1/2 125
6
Гц
- 7f
f
Puc. 23.3. Амплитудные спектры Фурье сейсмических записей (а) и они же
лосле ограничения диапазона чередот с отношением сжатия 7: 1 (б)
боты [485], изображены амплитудные фурье-спектры сейсмо-
трасс до и после ограничения полосы чередот. Очевидно, что
преобразование Уолша приводит к появлению ложных ампли-
амплитуд за пределами четверти граничной частоты Найквиста. Эти
искажения можно ликвидировать с помощью полосовой фильт-
фильтрации (рис. 23.4). На рис. 23.5 приведены кривые накопленной
энергии, полученные после различных преобразований полевых
сейсмических данных. Ясно, что преобразования Уолша и Пейли
весьма удобны для уплотнения данных, так как 95 % энергии
сосредоточено в нижней половине полосы пропускания. Около
14 % диапазона полосы пропускания содержат более 75 %
энергии, т. е. применение одной этой методики обеспечивает
степень сжатия данных, равную 7:1. Можно показать, что од-
одним из самых простых путей достижения некоторого уплотне-
уплотнения служит усреднение соседних выборок по времени перед
выполнением преобразования Уолша. Следовательно, если сосед-
соседние четыре выборки данных усреднены во временном представ-
представлении, то вектор входных данных и преобразование Уолша бу-
будут уменьшены в 4 раза. Эта процедура искажает сигнал и вно-
317

сит высокочастотные искажения в спектр Фурье, которые
следует устранять путем низкочастотной фильтрации. Выходная
трасса также будет искажена в некоторой степени, поэтому
Рис. 23.4. Блок-диаграмма процедуры
сжатия и уплотнения данных (а) и
результат процедуры (б):
/ — входная трасса; 2 — преобразование
Уолша; 3 — ограничение диапазона чере-
дот; 4 — квантование данных; 5 — кодиро-
кодирование: 6 — декодирование; 7 — обратное
преобразование Уолша; 5 —частотная по-
полосовая фильтрация
Рас. 23.5. Кривые зависимости парци-
парциальной энергии Ре типичной сейсмо-
записи от ширины полосы пропуска-
пропускания В:
1 — преобразование Уолша; 2 — преобра-
преобразование Пейли; 3 — преобразования Ада-
мара
можно поставить под сомнение целесообразность применения
столь экстремальной процедуры уплотнения данных.
В результате преобразования Адамара энергия распреде-
распределяется равномерно по всей полосе пропускания. Это свойство
особенно ценно при передаче полных множеств данных. Любая
помеха или незначительная потеря данных не скажется суще-
существенным образом на качестве принятой информации.
Данные во временной области можно уплотнять и с приме-
применением специальных кодов. Одной из подобных кодирующих
схем является код Шеннона—Фано—Гуфмана, описанный в ра-
работе [373]. Код состоит из нулей и единиц, причем нули исполь-
318

зуются в качестве знаков препинания, разделяющих слова. Ис-
Использование такого кода в случае 12-битовых сейсмических
данных позволяет достичь 4-кратного уплотнения, то есть
12-разрядные значения амплитуд записываются фактически
с помощью 3 разрядов на выборку. Подобной степени уплотне-
уплотнения можно достичь, если вместо амплитуд использовать первые
разности [417]. Знаковые биты (+ или —) регистрируются от-
отдельно в начале или конце каждого блока слов. Полностью
записывается в двоичном коде и первое слово каждого блока.
В табл. 23.2 приведена схема регистрируемых кодовых слов
и вероятностей появления каждой амплитуды или разности.
Таблица 23.2
Уплотнительные коды
Номер
сообщения
Вероятность
Сообщение
Среднее
значение
Кодовое слово
Первые разности [417]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,525
0,259
0,107
0,031
0,013
0,015
0,014
0,015
0,009
0,005
0—8
9—19
20—39
40-59
60—79
80—100
101—122
123—153
154—174
174-211
4
14
30
50
70
90
112
138
164
192
0
10
ПО
1110
11110
111110
1111110
11111110
111111110
111111111
Амплитуды [485]
1
2
3
4
5
6
0,5
0,25
0,125
0,0525
0,03125
0,03125
0—50
51—150
151—325
326—550
551—825
826—2047
25
100
238
438
688
1436
0
10
ПО
1110
НПО
11111
Исключительно высокие коэффициенты уплотнения данных
(до 28) получены комплексированием двух способов и более
[485]. Это достигается за счет аномальных изменений ампли-
амплитуды или частоты. Поскольку целью геофизической разведки
часто является именно аномальный эффект, следует осторожно
использовать максимальные степени уплотнения, иначе может
случиться, что полевые наблюдения потеряют заложенный
в них смысл. Следует также иметь в виду, что при отсутствии
записей истинных амплитуд в широком динамическом диапа-
диапазоне существует опасность исказить данные при использовании
таких способов, как деконволюция, разложение на элементар-
элементарные волновые импульсы и миграция.
319

23.7. Алгоритм преобразования Уолша
Ниже приведена простая программа, которую можно исполь-
использовать для преобразования по Уолшу любого вектора данных.
Ее можно использовать также для образования функций Уолша
любого вида при помощи вектора данных с одним ненулевым
значением.
С PROGRAM FOR COMPUTING A FAST WALSH TRANSFORM
С F(J) IS THE INPUT SIGNAL REPLACED BY ITS WALSH TRANSFORM
С К IS RELATED TO THE NUMBER OF DATA POINTS, N, BY N=2"K
С PROGRAM IS DIMENSIONED FOR K=I TO 10
DIMENSION F(IO24),W(IO24)
100 FORMAT(IX,I2)
101 FORMAT(8F8.0)
102 FORMAT(8AX,F8.5))
103 FORMAT('l\' INPUT DATA '/)
104 FORMAT('07 WALSH TRANSFORM IN SEQUENCY ORDER '/>
READEt100)K
„ N=2»»K
READE,10lXF(J),J=l,N)
WRITEFJ03)
WRITEF,IO2XF(KL),KL=1,N)
DO 30 1=1,К
NN=2**(M)
1F(MJ2,22,26
22 DO24J=1,N,2
FF=F(J)
, F(J)=F(J)+F(J+I)
F(J+1)=FF-F(J+1)
24 CONTINUE
IF(N-2K2,32,25
25 GO TO 30
26 L=2*NN
J=0
DO 28 MA=1,N,L
MJ=NN+MA-I
DO 28 MW=MA,MJ,2
J=J+I
W(J)=F(MW)+F(NN+MW)
J=J+1
^ W(J)=F(MW)-F(NN+MW)
J=J+1
W(J)=F(MW+1)-F(NN+MW+1)
J=J+1
W(J)=F(MW+1>+F(NN+MW+1)
28 CONTINUE
DO29JJ=1,N
29 F(JJ)=W(JJ)
30 CONTINUE
32 DO33JK=1,N
33 F(JK)=F(JK)/N
34 WRITEF,104)
WRITEF,102XF(K)>K=l,N)
STOP
END
320

Проиллюстрируем работу этой программы.
1. Синусоида. Выходные данные:
0,0 0,70711 1,00000 0,70711 0,0 —0,70711 —1,00000 —0,70711.
Преобразование Уолша в порядке следования чередот:
0,0 0,60355 —0,25000 0,0 0,0 —0,25000 —0,10355 0,0.
2. При наличии восьми значений данных функция Уолша
ЩО, t) получается, если поместить 8 на первое место во вход-
входном векторе. Вместе с функциями Уолша W(j, t) при / =
= 0, ..., 3; ^ = 0, 1, ..., 7 показаны входные векторы с единст-
единственным ненулевым значением в позиции у+1.
Входные данные:
8,00000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0.
Преобразование Уолша в порядке чередот:
1,000 1,000 1,000, 1,000 1,000 1,000 1,000, 1,000.
Входные данные:
0,0 8,00000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0.
Преобразование Уолша в порядке чередот:
1,000 1,000 1,000 1,000 —1,000 —1,000 —1,000 —1,000.
Входные данные:
0,0 0,0 8,00000 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0.
Преобразование Уолша в порядке чередот:
1,000 1,000 —1,000 —1,000 —1,000 —1,000 1,000 1,000.
Входные данные:
0,0 0,0 0,0 8,00000 0,0 0,0 0,0 0,0.
Преобразование Уолша в порядке чередот:
1,000 1,000 —1,000 —1,000, 1,000 1,000 —1,000 —1,000.
ГЛАВА 24
ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
24.1. Введение
Геофизические наблюдения чаще всего интерпретируются
путем решения прямой задачи. Для этого создается упрощенная
модель, производятся теоретические модельные расчеты и по-
полученные величины сравниваются с наблюденными в ходе по-
полевого эксперимента. Упрощенную модель можно усложнять,
добиваясь более удовлетворительного согласия между наблю-
наблюденными и расчетными данными. Главная проблема прямого
метода интерпретации заключается в том, что заранее неизве-
неизвестно, существуют ли иные модели, решающие данную задачу.
21 Заказ № 4 321

Кроме того, трудно оценить ошибки решения или оптимизиро-
оптимизировать разрешающую способность для конкретного множества
данных. Например, можно взять модель среды с очень большим
количеством слоев, котбрая будет вполне удовлетворять наблю-
наблюдениям. Вместе с тем не исключено, что эти же данные с при-
приемлемой погрешностью удовлетворят модели с небольшим коли-
количеством слоев. Общий метод решения линейной обратной за-
задачи, разработанный Дж. Бакусом и Дж. Джилбертом [27—
29], непосредственно определяет всю совокупность моделей,
удовлетворяющих наблюдаемым величинам, и дает количест-
количественную оценку степени неоднозначности, присущей анализируе-
анализируемому множеству данных. Кроме того, названные авторы иссле-
исследовали зависимость разрешающей способности от характера
заданного множества наблюдений и от различного рода
ошибок.
Теория решения обратной задачи Бакуса—Джилберта со-
создана для случая непрерывных данных, который всегда яв-
является неопределенным. Этот случай характеризуется большой
вычислительной трудоемкостью, так как решения интегральных
уравнений требуют больших объемов оперативной памяти.
Дискретный вариант решения обратной задачи, основанный на
разложении на множители типа собственных векторов и значе-
значений, обладает заметными преимуществами [168, 412]. Наиболее
эффективные матричные представления дискретного варианта
решения линейной обратной задачи даны в работах [129, 212,
479]. Дискретный вариант легко поддается алгоритмированию
и программированию на ЭВМ.
24.2. Дискретная линейная обратная задача
Предполагается, что в результате физических наблюдений
получено множество экспериментальных данных, связанных со
структурой и свойствами исследуемого объекта посредством
ограниченного числа известных физических законов и математи-
математических уравнений. Так, в магнитометрии существует задача
определения проводимости по измерениям электрического и маг-
магнитного полей, причем при интерпретации опираются на урав-
уравнения Максвелла. В сейсмологии можно получить плотностную
и скоростную характеристики земных недр по измерениям ско-
скоростей поверхностных волн, периодов свободных колебаний
Земли, ее массы и момента инерции, используя при этом тео-
теорию упругих волн. Можно привести и другие примеры прило-
приложения теории решения линейной обратной задачи; они особенно
многочисленны при обработке наблюдений потенциальных
полей.
Обозначим т неизвестных параметров модели земных недр
через Mky а п полученных экспериментально наблюдений — че-
322

рез О/. Названные множества данных образуют матрицы-
столбцы М и О:
Al' = (AfIt М29 ..., Мт);
B4.2.1)
О'=(О„ О2 Оп).
Индексом / обозначена операция транспонирования. Пред-
Предполагается, что существует известная функциональная зависи-
зависимость между параметрами модели и наблюдениями:
0/ = 4/(Aflf М2 Мт)9 7=1, 2, ..., л. B4.2.2)
Необходимо сделать исходную предположительную оценку
параметров модели:
Л1'а=(Л1?, Ml ..., Al?). B4.2.3)
Функция Aj редко будет строго линейной, но если она ме-
меняется плавно, то наблюдения можно разложить в ряд Тей-
Тейлора относительно исходной оценки:
О, = А, {Маи ..., Мат) + JC (dAtldMk)Ma (Mk -
B4.2.4)
С целью линеаризации задачи членами высших порядков
в уравнении B4.2.2) можно пренебречь. Очень важно помнить,
что рассматриваемый метод решения линейной обратной за-
задачи не будет эффективен, если функция Aj(Mj) имеет раз-
разрывы. Так, следует очень осторожно подходить к обращению
времен пробега сейсмических волн, так как в поле времен при-
присутствуют точки возврата и разрыва, возникающие из-за нали-
наличия в земной толще градиентов скоростей и низкоскоростных
слоев [305].
Линеаризировав задачу, можно перейти к более привычной
для линейной алгебры записи. Пусть разность между наблю-
наблюденными и расчетными значениями, которую нужно минимизи-
минимизировать,
Jy-Oz-d/CAtf, ..., Мат\ у = 1, ..., п. B4.2.5)
Разности между исходными модельными параметрами и их
следующими приближениями обозначим через
xk = Mk— М", k=ly ..., т. B4.2.6)
21* 323

Первые частные производные, определенные при исходных
оценкам Mak, образуют матрицу А размером тХп с элемен-
элементами Л/*:
~<ЭЛ,/дЛ1, dAJdM2 ... dAJdMn
дА2/дМ2 ... дА2/дМ„
Л = • : B4.2.7)
_дАп/дМ1 дАп/дМ2 ... дАп/дМт_
Aik = dAj/dMk. B4.2.8)
Линеаризованное приближение к B4.2.4) образует систему
из п линейных уравнений, записываемых в матричной форме:
# = Л*. B4.2.9)
Решение данной системы уравнений будет зависеть, во-пер-
во-первых, от соотношения между числом параметров модели и чис-
лом наблюдений и, во-вторых, от поведения матрицы Л. Пере-
Переопределенный случай (п>т)—это классическая задача о наи-
наименьших квадратах. Для правильно определенного случая
(п = т) возможно точное решение. Требуется, чтобы матрица
—>• —>
и ее транспонирование были равны между собой (А*=А),
а сама матрица не была вырожденной, т. е. чтобы ее определи-
определитель не равнялся нулю:
det Л=И=0. B4.2.10)
Решение получается из обратной матрицы:
?=Л-^. B4.2.11)
Если исходное приближение модельных параметров оказа-
оказалось недостаточно хорошим и не обеспечивает выполнение
предположения о линейности, то на данной стадии можно полу-
получить новое приближение:
М1 = хк + М1, ft=l, ..., m. B4.2.12)
Чтобы найти дисперсию, полезно выразить в явном виде соб-
ственные значения Я/ и собственные векторы uj:
'Auk = Xtfik. B4.2.13)
3 24

Каждый собственный вектор имеет п составляющих:
k = l, ..., т\ B4.2.14)
B4.2.15)
Если матрица А симметричная, то собственные значения об-
образуют ортонормированную систему, на что указывает соотно-
«->
шение B4.2.15), и их можно расположить в виде матрицы и:
ип и
*21
12
^22
B4.2.16)
Эта матрица в правильно определенном случае будет квад-
квадратичной, т. е. п = /п, а собственные векторы можно переставить
таким образом, чтобы вектор с наибольшим собственным зна-
значением был первым, а с наименьшим — последним.
~>-
Пусть L—диагональная матрица с собственными значе-
значениями Аа, Я2, ..., Хт, расположенными на главной диагонали,
а остальными элементами — нулевыми:
B4.2.17)
Произведение матрицы U на ее транспонирование равно
единичной матрице:
ииг=иги = 1. B4.2.18)
Отсюда следует, что матрицу А можно выразить в виде про-
произведения B4.2.16) и UU
Ш1 B4.2.19)
'и1. B4.2.20)
Обращение матрицы L является диагональной матрицей со
значениями \\\\, ..., 1Дт, расположенными на главной диаго-
диагонали:
/Я, 0 ... 0
0 1/Л, ... 0
_ 0 0 ... 1Дт_
B4.2.21)
325

Дисперсия модели будет зависеть от того, насколько мат-
матрица невырожденная. Если l/Ki бесконечно велико, то обраще-
ния матрицы L не существует. В случае статистически незави-
независимых данных дисперсия поправки модельных параметров
определяется выражением
var(**)= Z (^Z ^r'w/jj var(t//). B4.2.22)
24.3. Обратная задача в случае переопределенной системы
Когда наблюдений больше, чем неизвестных модельных па-
параметров (n>m), решение (если оно существует) следует ис-
искать методом наименьших квадратов. Обозначим ошибку каж-
каждого множества данных:
"е = Л* — ~у. B4.3 Л)
Квадрат нормы получим умножением е' на е:
е*=~7е = (Ах - ~у)* (Ах — J), B4.3.2)
е2 = (х?А* -~уг)(Хс -1) = JcCffi- у'Лх - 1*АГу + y'J.
B4.3.3)
Чтобы минимизировать квадрат нормы, продифференцируем
•*¦ -*
последнее равенство в векторном пространстве по х или по х*
и приравняем результат нулю:
де*/дх = х*А'А - у*А = 0;
B4.3.4)
де'/д? = А*Ах - ~А*у = 0.
Оба уравнения дают один и тот же результат, поэтому
оценку можно найти из второго:
B4.3.5)
B4.3.6)
Необходимо, чтобы определитель был невырожденным:
det (Л'Л)^О. B4.3.7)
Для решения уравнения B4.3.5) относительно хь можно
воспользоваться машинным алгоритмом, аналогичным рекур-
326

сивному алгоритму Левинсона, используемому при выводе опе-
-> •->•
ратора деконволюции. Очевидно, что матрица [А*А] является
-*• ->
автоковариационной матрицей размером тХт, а Агу — функ-
функции взаимной ковариации.
Чтобы найти решение, применим обобщенный собственно
векторный анализ по методике, предложенной Э. Муром [297],
заново открытой Р. Пенроузом [338] и описанной в работе [260].
«+>
Матрицу А представляют произведением ортонормированных
модальных матриц U и V, элементами которых являются соб-
собственные векторы с ненулевыми собственными значениями:
B4.3.8)
Эта процедура называется спектральным разложением мат-
рицы Л. Матрица L является диагональной с собственными зна-
значениями, расположенными по убыванию их абсолютных значе-
ний. Матрицы U и V сформированы из двух множеств собствен-
ных векторов Uj и и*:
~ •... пг; B4.3.9)
.., п. B4.3.10)
Собственные векторы uj являются спектральными компонен-
компонентами информативной части пространства наблюдений. Данное
спектральное разложение аналогично преобразованию импульс-
импульсной реакции в передаточную функцию, состоящую из синусоид
(собственных векторов) различной амплитуды (собственных
«*•
значений) [482]. Матрица А является фильтром, отображающим
входные параметры в выходные.
Докажем, что А*=Я/. Умножим уравнение B4.3.10) на vtkf
учитывая при этом, что ||i>H2=llw||2=l, так как последние яв-
являются собственными векторами:
= А,/1| ti ||2 = Я/. B4.3.11)
Транспонируем B4.3.9) и } множим правую часть равенства
на Uj:
Г--а
= Яй[|"и||
B4.3.9а)
B4.3.12)
327

Сравнив B4.3.11) с B4.3.12), убеждаемся, что левые части
идентичны. Следовательно, в случае К/фО или ХкфО имеем
Имеются р ненулевых собственных значений и п — р соб-
собственных векторов с нулевыми собственными значениями. Если
р = т, то решение будет единственным и точным. Если р<т,
то существует много решений данной задачи; этот недоопреде-
ленный случай будет рассмотрен в следующем разделе. Мат-
рица U имеет размер пХр, а матрица V — размер тХр. Из ор-
тонормальности собственных векторов и/ и Vk получаем сле-
следующее соотношение:
jjtjj=lp\ VlV=Ip\ B4.3.13)
где Ip — единичная матрица, на главной диагонали которой
расположено р единиц. Если умножить уравнение B4.3.8) на
•+>
матрицу У, то с учетом единичной матрицы получим следую-
следующее соотношение:
~АУ = Ш. B4.3.14)
Можно также найти соотношение посредством транспониро-
вания матрицы B4.3.8) и умножения на матрицу U:
~ЖГ = 71. B4.3.15)
Умножив уравнение B4.3.14) на А% и заменив правую часть
на B4.3.15), получаем равенство
lfAV = VL\ B4.3.16)
-* •->
Матрица А1 А размером тХт неотрицательная, определен-
определенная и симметричная. Уравнение B4.3.16) можно использовать
для определения собственных значений и векторов в случае
т<1п. Аналогично можно получить соотношение для определе-
определения собственных значений и векторов в недоопределенном слу-
случае, когда п<т:
Тки = Ш\ B4.3.17)
Заменим матрицу Л в выражении B4.3.6) на B4.3.8):
?[(&у (^)Г (й*У
328

Воспользовавшись свойствами транспонированной матрицы
.+. «+. . >-> _».
[(А1У=А\ (АВ)* = В*А*] и определением единичной матрицы
B3.4. 13), упростим последнее уравнение:
Обращение произведения VLW1 равно VL-2]/1, поэтому
B4.3.18)
-*-> •+ .+.
Произведение VLrW1 обозначается символом Н и назы-
называется оператором Мура—Пенроуза или обобщенным обратным
оператором Ланцоша:
'H = vl'lUt; B4.3.19)
** = Й>. B4.3.20)
Поскольку согласно B4.2.9) у=Ах, новое обобщенное реше-
ние хь получается итерацией и может быть выражено через ис-
тинное решение х:
!cb=HAx = ~Rx; B4.3.21)
*/= Япм. B4.3.22)
Величина НА определена в работе [28] как матрица разре-
разрешенное™ R. Когда хъ близки к х, то элементы Гц матрицы R
близки к дельта-функции Дирака. Поскольку обращение Лан-
Ланцоша является лучшим из имеющихся, минимизируем следую-
следующую величину:
гя = JC (rQk - б,,J = S (HqiAik - б,,J. B4.3.23)
Матрицу разрешенности можно найти путем замены А на
B4.3.8), а Я —на B4.3.19):
R = Ш = (VL -' Uf) VhV1. B4.3.24)
329

Последнее соотношение сводится к VV*9 так как UfU равно
единичной матрице:
B4.3.25)
Можно также исследовать данные на содержание в них ин-
формации. Выразив B4.2.9) через фактические данные уъ и под-
подставим в него B4.3.20):
B4.3.26)
lj. B4.3.27)
Идеальные или свободные от ошибок данные представлены
матрицей у. Величина АН, обозначенная символом S, опреде-
определена в работе [479] как матрица плотности информации или
матрица ковариации наблюдений. Обращение Ланцоша дает
наилучшую матрицу плотности информации и минимизирует
следующую величину:
sq = S (sqk - М2 = Е iAqiHik - А**J. B4.3.28)
По матрице плотности информации можно судить об избы-
избыточности некоторых данных. Из B4.3.8) и B4.3.19) находим,
что матрица плотности информации
-^); Ъ = 1Ю1. B4.3.29)
В случае статистически независимых данных, нормирован-
нормированных так, чтобы varr//=l, дисперсия одной из составляющих
вектора хь определяется выражением
B4.3.30)
Приняв во внимание B4.3.19), получаем следующее выраже-
выражение для дисперсии нормированных данных:
var sq= ZjipiqjXiJ. B4.3.31)
Поскольку собственные значения Kt находятся в знамена-
знаменателе, при небольших собственных значениях дисперсия может
стать очень большой. Если ошибки велики, можно получать
очень хорошую разрешенность, но при этом дисперсия будет
очень большой. Уиггинс и Джексон рекомендуют располагать
собственные значения по порядку, а очень малыми пренебречь.
330

Эта процедура приводит к снижению разрешенное™.
На рис. 24.1 изображены кривые разрешенное™ и дисперсии.
С целью оптимизации решения рекомендуется уменьшить число
собственных значений с р до q.
Можно наложить дополнительные условия на решение
B4.2.9). Например, можно потребовать, чтобы точно соблюда-
соблюдалось условие
С*-2=0. B4.3.32)
х(р),г(р)
Рис. 24.1. Соотношение между разре-
шенностью гр (/) и дисперсией хр B)
?-го параметра некоторой модели
Новая квадратичная норма, заменяющая B4.3.2), прини-
принимает вид
Е2 = в< е + Ут (~Сх - z) + (Сх - г)' у. B4.3.33)
Последнее уравнение прибавляют к вспомогательному, ум-
умноженному на множитель Лагранжа у. Минимум результата
находят путем приравнивания нулю производной по х*:
~ffix - Ify + C'y = 0. B4.3.34)
Систему уравнений B4.3.32) и B4.3.34) можно использовать
для исключения множителя Лагранжа и нахождения решения
относительно х.
24.4. Обратная задача в случае недоопределенной системы
Когда n<m, числа уравнений недостаточно для определе-
определения всех неизвестных параметров модели. Необходимо добавить
новые условия или связи, чтобы иметь возможность наложить
на решение некоторые ограничения. Обычно также ограничи-
ограничивают число итераций, поэтому исходные оценки параметров
модели должны быть максимально приближенными к оконча-
окончательному ответу. Эта задача тоже решается с помощью множи-
множителя Лагранжа подобно уравнениям B4.2.9) и B4.3.34). Од-
нако при этом роли матриц С и А взаимозаменяются. Дополни-
Дополнительным условием, которое должно точно соблюдаться, яв-
является уравнение B4.2.9). Главное уравнение включает в себя
331

разность между начальными и расчетными модельными пара-
параметрами:
7* = О, B4.4.1)
-¦•
где / — единичная матрица.
Решение по методу наименьших квадратов должно миними-
минимизировать норму разностей параметров модели:
"?* = ? Л. B4.4.2)
Новая квадратичная норма, заменяющая уравнение B4.3.33),
имеет вид
Е2 = Gх)' 71 + а'(Ас-у) + (Жс-3)' а; <24-4-3>
Е* = *& + о* (л*- у) + (х'Л*—"J*)а, B4.4.4)
где а — множители Лагранжа.
Чтобы найти решение по методу наименьших квадратов,
продифференцируем по х* и приравняем результат нулю:
0. B4.4.5)
Умножим последнее уравнение на Л:
Лх + ЛЛ'а = 0. B4.4.6)
Выразим отсюда множитель Лагранжа и заменим Ах на у
в виде B4.2.9):
а = - (ЛЛ*)~J Ах = - (ллО"! J. B4.4.7)
Подставим результат последнего преобразования в B4.4.5)
и найдем решение, которое обозначим через хс:
> = лЧллО"!У. B4.4.8)
Данное решение для недоопределенного случая было дано
в работе [412]. Чтобы решение существовало, матрица АА1
должна быть невырожденной.
В рассматриваемом случае можно провести и обобщенный
собственно векторный анализ. Для этого результат в виде
B4.3.8) подставляем в B4.4.8) и предполагаем, что обращение
существует:
[ULV* (jJLV'}]-l у;
? = VLU* (jJi&VLU*)-1 J = VW* (ULW*)-1 y. B4.4.9)
332

Обращение матричного произведения ULzUl равно иЬ~211г,
поэтому
Xе = y
H ' B4.4.10)
Обозначим через Я обобщенный обратный оператор Лан-
цоша:
7/=?L-1Z7<. B4.4.11)
Отсюда получаем решение для недоопределенного случая,
полученное по методу наименьших квадратов с минимальной
нормой для х:
"хс =7Ту. B4.4.12)
24.S. Заключение
Метод решения линейной обратной задачи — эффективное
средство решения физических задач и оценки окончательной
модели строения среды. Самый серьезный недостаток этого ме-
метода заключается в том, что для линеаризации задачи требуется
близкое к истине первое приближение о значениях параметров
искомой модели [15, 212, 377, 434]. Итеративные процедуры не
всегда сходятся. До последнего времени большая часть иссле-
исследований направлялась на поиск реалистичной функции, связы-
связывающей наблюдения и физические модели, а не на изучение
методов итеративного приближения к приемлемой модели. Ко-
Конечно, существует несколько геофизических задач, для которых
обратное решение может быть получено и без итераций [278].
При наличии ограниченного числа измерений обратный метод
определения глубинных свойств земной среды дает неоднознач-
неоднозначные результаты при решении задач сейсмологии и при исследо-
исследовании электромагнитных и всех других потенциальных полей.
В настоящее время разрабатывается несколько нелинейных
методов решения обратной задачи. Для решения электромаг-
электромагнитных задач можно использовать обратный метод, основанный
на теории Штурма—Лиувилля [163] и использующий матрицы
рассеяния Кея [233]. Опробованы и подходы, базирующиеся
на решении интегральных уравнений [31, 216, 228, 471].
333

Линейный метод применяется для решения нескольких инте-
интересных обратных геофизических задач. Некоторые из них при-
приведены в списке литературы, поэтому мы не будем их рассмат-
рассматривать. Вполне вероятно, что в будущем большинство геофизи-
геофизических задач будет решаться с помощью каких-либо модифика-
модификаций общего метода решения линейной обратной задачи. При
интерпретации решений, полученных по ограниченному числу
неточных наблюдений, необходимо количественно оценивать
степень неоднозначности множества данных, определять реаль-
реальную разрешающую способность метода и давать решение в виде
нескольких наиболее вероятных моделей. Наибольшее значение
в настоящее время имеет вопрос соответствия предположений
реальной модели. Упрощения типа предположения о горизон-
горизонтальной слоистости среды оказали глубокое воздействие на вид
окончательных моделей как в сейсмологии, так и в магнито-
теллурическом методе. Вопрос о достаточном условии для су-
существования решения и трудности доказательства его единст-
единственности подробно рассмотрены в работе [327].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Любую функцию f(t) можно представить множеством функ-
функций yn(t)f ортогональных на заданном интервале (О, Т) с уче-
учетом весовой функции r(t) из уравнения C.1.3) в виде:
f(t)=Z ЬпУаУ). A.1)
Допустим, что подобное разложение существует, и выразим
f(t) через синусную функцию. В этом случае уравнение назы-
называется синусным рядом Фурье. Умножив обе части уравнения
на yk = sinknt/T> где у* — k-я функция данного множества,
получим
f@sin-^l=f; brtsin-^-sin-^-. A.2)
Интегрируя обе части последнего равенства по интервалу
(О, Г), можно поменять порядок суммирования и интегрирова-
интегрирования, если ряд равномерно сходится в пределах заданного ин-
интервала:
Lf inJ^-sin^Ld/. A.3)
Так как функции ортогональные, все члены в правой части
равны нулю, кроме случая n = k. В последнем случае интеграл
равен 772, поэтому
т
^Ldt. A.4)
Если /@ — нечетная функция /, то ряд
л—О
будет представлять функцию на большем интервале (—Г, Т).
Возьмем, например, функцию f{t)=t. Подставив ее в уравне-
уравнение A.4), найдем коэффициенты Фурье:
A.6)
В результате синусный ряд Фурье
-|-sin3/ --Lsin4/+ . . . A.7)
335

На рис. П1.1а изображен график функции A.7) внутри ин-
интервала ±Г, равного л, и вне его.
Аналогично, если f(t)— четная функция, можно образовать
косинусный ряд Фурье, существующий в интервале (—Г, Т)
(рис. П1.1, б):
оо
A.8)
A.9)
A.10)
т
а„= 2 \ f(t) cos
t; л=1, 2, ...;
fit)
\
\
\
т \Ь/ j
/ i \
/ 1 \
V | ч
1
а2
/Г4
/ 1 \,
J ^Г" Ъ
\
- 1
Рис. П1.1. Графики нечетной (а) и четной (б) функции f(t)=(,
определенной в интервале 0^/^л
Коэффициент а0 является средним значением или постоян-
постоянной составляющей функции /(/). Коэффициенты ап и bn имеют
множитель 2, т. е. они равны удвоенному среднему значению
произведения функций /(/) и cos nnt/T на интервале от 0 до Т.
Другой подход (может быть, лучший) к данному вопросу воз-
возможен при учете того факта, что угловые частоты
A.11)
могут принимать как положительные, так и отрицательные зна-
значения, которые физически неразличимы между собой. Половина
энергии приходится на отрицательные частоты, а половина — на
положительные. Эта трактовка станет очевидной при рассмот-
рассмотрении комплексных рядов Фурье.
Косинусный ряд функции f(t) =t:
=^—i-cos<-
9л
3/_
A.12)
Любую функцию можно выразить в виде суммы четной и не-
нечетной функций:
fe(t): + fo(t), A.13)
A.14)
так как можно составить равенство
/ (t) = [f (t) + f (-01/2 + [Ш - f (~t)]/2.
336

Например, единичную функцию можно образовать суммиро-
суммированием двух функций вида изображенных на рис. П1.2.
Для любой заданной частоты сумму синуса и косинуса
всегда можно свести к единственному косинусу (или синусу)
определенной амплитуды и фазы. Это утверждение поясняется
рис. П1.3 и следующим тригонометрическим тождеством:
a S В
Рис. П1.2. Функция единичного скачка (а) равна
сумме четной (б) и нечетной (в) функций
-л -
Рис. П1.3. Представление суммы любого числа синусов и косинусов одной
косинусной функцией определенной амплитуды и фазы при сохранении зна-
значения частоты.
/ — sin t\ 2 — cos t
ИЛИ
*/ = Л cos (/ + <?) = Л'cos/ +В'sin*.
В качестве примера положим А = 1, <?=45°:
A.16)
A.17)
Теперь докажем, что Фурье-разложение по тригонометриче-
тригонометрическим функциям равноценно разложению по показательным
функциям. Уравнение C.1.6) можно представить в виде
22 Заказ № 4
е п — е
-*юи*
337

или
+ 1Ьп)е-"*»']. A.18)
С учетом уравнений C.1.7) и C.1.8) получаем
7/2
t
-Г/2
f (/) (cos cortf + i sin (ont) dt;
или
Г/2
2 р
*n + ibn = -f- \ j
-Г/2
Г/2
пп — 1Ьп = -т- \ f (О е~Шп* dt; (Ы9)
1 -f/2
Г/2
art + /&rt = -|- J f(t)ei(Onf dt. A.20)
-Г/2
Поскольку «=я/г/Г, два последние уравнения различаются
только знаком при п. Поэтому можно положить
Fn = ап + /&Л = (а„ + ^л)л*»-я; A*21)
/?я = (а„ -f bn)!/l e'arcts ^ъ^пп^. A.22)
Если величина л принимает отрицательные значения, то из
A.20) следует, что
где F* — комплексная сопряженная функции F. Отсюда урав-
уравнения A.19) и A.20) можно выразить согласно C.1.12) как
Г/2
F,-| fMe-'^dt. A.23)
-f/2
Таким образом, искусственно введя отрицательные частоты,
можно упростить вид уравнений. Чтобы сигнал /(/) был веще-
вещественным, амплитуда синусоидальных колебаний еА, где Л =
= Ш, должна быть комплексной. Сигнал f(t) уравнения A.18)
принимает вид
/(')= Z РяеШя\ A.24)
идентичный C.1.13).
Пусть имеется бесконечная последовательность квадратных
импульсов шириной L каждый (рис. П1.4). В уравнении
338

C.1.12) можно заменить Т/2 на 1/2, так как функция равна
нулю за пределами этого интервала:
1/2
-L/2
2Л
— е
sin
Рис. П1.4. Функция, представляющая
собой последовательность узких квад-
квадратных импульсов
г
A.25)
/
-Т -L/2 L/2 T 2T
AL/T
Рис. П1.5. Амплитудный спектр Фурье последова-
последовательности квадратных импульсов
Шаг спектральных линий (рис. П1.5)
В частном
(рис. П1.6):
случае,
До = 2л/Г = 2т
когда L = n,
Т = 2п
и
A.26)
Л = 1, имеем
Я/1
Подставив последнее уравнение в C.1.13), получим
/(')= Z Рп*ш"*= Z Fn (cos nt + i sinn/).
П=—oo n=—oo
Итак, член вида rsinnf опускается, когда принимаются во
внимание положительные и отрицательные п. Этого следовало
ожидать, так как /(/)—четная функция и поэтому ее можно
выражать только через косинусы. В данном случае
cos B/1-
A.27)
339

Косинусный ряд Фурье имеет вид
~2~ ' "я~~ Зя 5я • • •» \ • /
а
f(t)H
д
-ЯГ/2 О
-J э№- ~Х 1 К ¦
ЧГ/2+39Г/2 t
Г
^ Ч
i
^ / г *
Рис. Я/.6. Функция, представляющая собой последовательность широких
квадратных импульсов (а) и ее амплитудный спектр Фурье (б)
и
9Г 2яг
nn Последовательность квад-
квадратных импульсов, смещенная на я/2
а
-5
I
-5
-3
\
-J
!
-;
0 j
г
9Г/2
1
1
J 4
J
1
j
5
\
Рис. 171.8. Амплитудный (а) и фазовый E) спектры нечетной функции, изо-
изображенной на рис. П1.7
при этом частоты гармоник
cort = 2n—1, и=1, 2, ,. . A.29)
Множитель 2 в выражении 2/ncost и т. д. объясняется
энергией, приходящейся на положительные и отрицательные
частоты. По аналогии с уравнениями C.1.3)— C.1.10) имеем
Fn = an\ bn = 0; <f>n = 0. A.30)
340

Таким образом, у четных функций сохраняются только ко-
косинусные члены, а фазовый сдвиг равен нулю.
Влияние фазового сдвига поясняется рис. П1.7 для случая
смещения прямоугольных импульсов на /=я/2:
Fn = -±-sin^einnl2. A.31)
Когда Л = 1, имеем
=4-+4-cos <*-я/2) - *1гcos <3'-
- 5я/2) - . . . = ~- + 4"si
Зя O111W*^ 5я
A.32)
1/2 \
1 I 1...
fit)
41
2 J к 5
3 S
Jf -*.
Т I 1 1 1°
~L/2 L/2 t
Рис. П1.10. Одиночный квадратный
импульс (а) и его непрерывный ча-
частотный спектр (б)
Рис. П1.9. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры функции, изображенной
на рис. П1.7, в интервале положительных частот
Последнее выражение можно сравнить с A.28). Заметим,
что перенос функции не повлиял на амплитуду гармоник. Все
влияние сводится к введению фазового сдвига (запаздывания),
пропорционального частоте. Спектры для рассмотренного выше
примера даны на рис. П1.8:
Fn = 0; n=±2, ±4, ...;
Fn=\Jinn; л=±1, ±3, . . .;
bn=l/nn;
=+1, +3,...;
Фп= +я/2, п = —1, —3, ...
Если использовать только косинусные ряды и ограничиться
положительными частотами, то амплитудный и фазовый спек-
спектры будут иметь вид, как на рис. П1.9. Если функция F(<x>n)
имеет мнимую часть, то последняя должна быть нечетной. Не-
341

четная часть функции f(t) и нечетная мнимая часть функции
F((on) являются взаимными отрицательными синусными преоб-
преобразованиями.
По мере увеличения Т до бесконечности переходим к оди-
одиночному импульсу. В данном случае Асоп стремится к нулю,
а дискретные спектральные линии сливаются в непрерывный
частотный спектр (рис. ШЛО). По достижении данного предела
уравнение A.24) превращается в интеграл Фурье.
fit)
А/г
-L
А/2
L
L t
"I
L
А/2
t
Рис. П1.11. Импульс, начинающийся
в нулевой момент времени
Рис. П1.12. Представление импульса, начинающегося в нулевой момент вре-
времени, в виде суммы четной и нечетной функций
Фурье-преобразование или спектр любого сигнала, удовлет-
удовлетворяющего условию B.1.1), задается формулой
ОО
F((o)= ( f(t)e-i(*fdt. A.33)
Обратное преобразование Фурье имеет вид
о
fV)=4r S
fo-
foA.34)
Указанные выше преобразования обычно выполняются
с функциями комплексного переменного, а интегрирование про-
производится методом вычетов. Покажем, как это делается, на
примере импульса, начинающегося в момент времени / = 0
(рис. П1.11).
Форма импульса похожа на ту, которая возникает при за-
замыкании цепи на время L:
= Л, 0<*<L;
:0, /<0; t>L.
Описанная выше функция не является ни нечетной, ни чет-
четной, но ее можно представить в виде суммы четной и нечетной
функций (рис. П1.12). Спектр имеет вещественную и мнимую
части. Из уравнения A.33) имеем
L
F (о) = J- [ Ае" ш dt (-ш) = - -4- [ е~'"%
^(^-Т-гО-е"'*'). A.35)
342

Обратное преобразование в бесконечных пределах находим
в соответствии с формулой A.34):
A.36)
Последний интеграл трудно взять непосредственно, поэтому
используем косвенный способ, взяв другой интеграл, содержа-
СО
Рис. П1.13. Путь интегрирования
криволинейного интеграла A.38)
щий комплексную переменную. Найдем интеграл функции
eizt/2niz вдоль замкнутого контура с, расположенного в ниж-
нижней 2-полуплоскости (рис. П1.13). Мы увидим, что ограничение
пути интегрирования нижней z-полуплоскостью позволяет на-
находить обратное преобразование для отрицательных времен.
Позднее в наших выкладках положим z = co+n/ и учтем, что
у = 0 в интервале от —R до Р. С приближением R к бесконеч-
бесконечности данная часть непрерывного интеграла будет идентична
последнему интегралу в A.36):
Jzt
• dz = 0.
A.37)
Каждому полюсу любой функции комплексного переменного
соответствует некоторое число, называемое вычетом. Это число
является частным коэффициентом разложения функции в окре-
окрестности полюса. Следовательно, согласно теории вычетов, по-
последний интеграл равен нулю, так как внутри контура интегри-
интегрирования подынтегральное выражение не имеет особых точек.
Рассматриваемый контурный интеграл можно разбить на
несколько частей, соответствующих отрезкам контура с
(рис. П1.13):
'—Г
ехр (Ш) Ло/оэ + ] exp (izt) dz/z +
exp (/coOa?f(o/(D + J exp (izt) dz/z I = 0
e J
A.38)
или
343

Положим z = /*eA, где A=iQ, на полуокружности
(рис. П1.14):
z = со + iy = г ехр (/8);
dz = ir exp (/0) dQ\
exp(izt) dz/z = exp [irt exp (/9)] dQ/r exp (/9);
exp
2л
0-29Г
Рис. П1.14. Путь интегрирования
в виде полуокружности радиусом
г
-i?
@
Re
19
Рис. Я/./5. Путь интегрирования
в виде полуокружности радиусом
R
По мере приближения г к нулю выражение exp [iWexp(tO)]
стремится к 1:
2я
lim -±-r J exp (tef) dz/* = -^r lim J d9 = V2. A.39)
На следующем этапе определим U, являющуюся интегралом
вдоль большой полуокружности с, при стремлении R к бесконеч-
бесконечности:
-я
Л = -i S exp (tef> rf2/2 = -Jj- J exp [//?/ exp (/9)] dQ;
с О
—я
/4 = J- J exp [«/(cos9 + /sin9)]
При R-*oo часть еА, где A =iRt cos 9, колеблется с боль-
большой частотой, так что положительные и отрицательные вклады
взаимно уничтожаются:
—я
Л = 4-\ ехр(—Wsin6)d8.
Функция sin 9 отрицательна на интервале от 0 до —я
(рис. П1.16, а), поэтому, если время отрицательно, то с ростом
R до бесконечности интеграл остается конечным. Если пользо-
пользоваться абсолютными значениями /, то можно интегрировать
344

от 0 до я/2 и умножать результат на 2 (рис. П1.16, б). Мак-
Максимальное значение функции sinG равно 1, поэтому вместо
sinG можно использовать 20/я, которое имеет максимум при
6=я/2. Действительно, в диапазоне 0<9<я/2 функция sin0>
>20/я. Следовательно,
Я/2
/4 < [я (-2/? | * |/я)] ' [ехр (-27? | *10/я)$/2;
/4<[l-exp(-/?|/|)]/B/?|f|) —0 при /?—оо, /<0. A.40)
slne,2&/?r
?Dl
Рис. П1.16. Пояснение способа интегри-
интегрирования выражения A.40)
0)
Рис. 171.17. Путь интегрирова-
интегрирования в интервале положитель-
положительных времен
Последний вывод известен как лемма Джордана [203]. Под-
Подставив A.39) и A.40) в A.38), получим:
[—г ^ 1
\ ехр (/со/) Ло/со + \ ехр (/со/) dco/co = —1/2.
-я г J
Обозначив через Р главную часть второго интеграла, имеем:
оо
-^-~Р \ ехр(/соОЛо/со=— 'Л при /<0. A.41)
— оо
Для положительного времени контур интегрирования нахо-
находится преимущественно в верхней г-полуплоскости (рис. П1.17).
Подынтегральное выражение имеет полюс первого порядка
в точке z = 0. Его вычет
Res @) = [z ехр (izt)/z]2=0 = 1.
Таким образом, значение контурного интеграла
345

Отдельные криволинейные интегралы
/ = -JL. j еХр (izt) dz/z + J ехр (Ш) dco/co +
Lc — R
ИЛИ
R -i
] exp (izt) dz/z + J ехр (Ш) doi/a A.42)
I
1/г
_
6 ll
1/г
4/2
-1/г
L
I
'/г
L
Рис. П1.18. Графическое изображение уравнения A.36):
а —первый интеграл; б —второй интеграл со знаком минус
Интеграл вдоль большой полуокружности, как и прежде,
исчезает при R-^oo и при положительном времени. Аналогично
на малой полуокружности [см. формулу A.39)] имеем
ехр (izt) dz/z = 1/2.
Подставив его в уравнение A.42), получим
[-г R 1
\ ехр (Ш) rfco/co + \ ехр (?со*) Ло/со = I — !Д.
-я г J
R
Главное значение
A.43)
346

На рис. П1.18 изображена процедура сложения двух инте-
интегралов, входящих в формулу A.36). Итак,
(О, *<0,
^ jlf 0<t<L,
[О, t > 0.
A.44)
Подынтегральное выражение не имеет особых точек в пре-
пределах интегрирования, поэтому главное значение интеграла
равно обыкновенному интегралу Римана.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Дельта-функция Дирака, определяемая как
оо
6@ = 0, *=^0; \ b(t)dt=\,
—оо
B.1)
Рис. П2.1. Дельта-функция
Дирака (единичный импульс)
Рис. П2.2. Гауссова или нормальная
функция
очень широко используется (рис. П2.1). Другое определение
использует интеграл свертки:
оо
J f(L)b(t-L)dL,
B.2)
где f(t) — произвольная функция.
Функция 8(t — L) равна 0 везде, за исключением одной
точки. Это неправильная функция, так как она не является
непрерывной или дифференцируемой в момент времени t=L.
Дельта-функция была введена О. Хевисайдом [201] в качестве
производной единичной функции, т. е. d/dtU(t — L), и вновь
предложена в современном виде П. Дираком [132].
Форма дельта-функции до того момента, когда ее длитель-
длительность в пределе уменьшается до нуля, произвольна. Например,
347

часто предполагают, что она является функцией Гаусса при
а^О (рис. П2.2):
0{t)= lim Bла2)-'/* ехр (—t2/2o2).
а-»-о
B.3)
Фурье-преобразование дельта-функции вида 8 (to— t) полу-
получается непосредственно приравниванием L = t в следующем
Фурье-преобразовании и учетом уравнения B.2):
B.4)
Рис. Я2.3. Амплитудный (а) и фазовый
(б) спектры дельта-функции Дирака.
Угловой коэффициент прямой равен t0
Рис. П2.4. Суперпозиция синусоид,
образующих дельта-функцию Дирака
6(f 1)
ИЛИ
F (со) = cos со/о — i sin co*o.
Амплитудный спектр (рис. П2.3, а)
| F (со) | = (cos2 со/о + sin2 со/оI/»
Фазовый спектр (рис. П2.3, б)
= 1.
ф (со) = со/0.
B.5)
B.6)
B.7)
Очевидно, что функцию Дирака можно считать результатом
суперпозиции синусоид всех частот и единичной амплитуды
(рис. П2.4). Синусоиды находятся в фазе только в момент вре-
времени ^о = О. В любой другой момент времени синусоиды ин-
интерферируют деструктивно, и на выходе получается нулевой си-
сигнал. Заметим, что при /о = О
F((o)=l. - B.8)
348

Еще одно определение дельта-функции Дирака дается через
обратное преобразование Фурье (см. уравнение A.34) в прило-
приложение 1:
f etoft-|}rf0. B.9)
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
УРАВНЕНИЕ ВИНЕРА-ХОПФА
Во многих случаях необходимо найти такую функцию, ко-
которая принимает максимальное или минимальное значение при
заданных граничных условиях. Примером является задача
о брахистохроне (о кратчайшем времени), сформулированная
в 1696 г. И. Бернулли. Вопрос заключается в определении
формы кривой, скользя по которой без трения, тело под воздей-
воздействием силы тяжести перемещается из А (хи У\) в В (*2, */г) за
кратчайшее время (рис. П3.1). Для общего случая эту задачу
можно сформулировать следующим образом: найти минималь-
минимальное значение функционала
J=\L(x, у, dyldx)dx C.1)
Х\
при соблюдении граничных условий в точках у\ и у2:
y(Xi) = yu У(х2) = у2. C.2)
Рассмотрим такое изменение формы кривой у(х), чтобы
функционал / принимал максимальное или минимальное (по
желанию) значение. Уравнение кривой запишется в виде
Уп = У(х) + РП(х)> C.3)
где р — вещественный параметр, независимый от х\ х\ — диффе-
дифференцируемая функция, причем tj(jci) =г\ (х2) =0.
Варьируя значением р (рис. П3.2), можно образовать около
у (х) целое семейство кривых. Обозначим вариацию у через
6у = РЧ(х). C.4)
Когда у изменяется на б у, вариация лагранжевой плотно-
плотности L равна:
Хг
J + Ы = J L (х, у + рл, у' + щ') dx, C.5)
Х\
349

где штрихами обозначено дифференцирование по x(n'=dn/dx).
Нужно найти такое значение /?, при котором J+6J принимает
минимальное значение, т. е. потребуем, чтобы
-?-
C.6)
, А
х2 х
Рис. П3.1. Задача о брахистохроне,
согласно которой требуется найти
минимальное время перемещения тела
из точки А в точку В
Х- X
Рис. П3.2. Одна из возможных реализаций функции г\(х) (а) и вариации
кривой y(x)t образующие семейство кривых, обозначенное через у(р) (б)
Предположим, что у (я) —фактическая кривая, соответст-
соответствующая экстремальному значению функционала. Тогда
независимо от выбора фукнции г|(д;). Получаем, что р=0
в уравнении C.6) при всех ц:
(/ + б/) = 0, (р = 0).
dp
Это является необходимым условием.
Пусть
Тогда равенство C.5) запишется как
Хг
6/=5lp(*, yP9 yp)dx.
C.7)
C.8)
350

В результате дифференцирования получаем
d
P f- \ "г •"* г- *s&p
Х\
Когда е=0, уравнение C.9) принимает вид
C.10)
Последний интеграл можно упростить посредством диффе-
дифференцирования по частям:
1 yi • 1
Согласно граничному условию,
Tl(*i) = 'n(*2) = 0.
С учетом C.7) уравнение (ЗЛО) можно записать как
для всех возможных rj. Ясно, что коэффициент при г\ в C.12)
должен равняться нулю, поэтому
•f—ж-ОчН-ь <злз)
Последнее уравнение является уравнением Эйлера, которое
иногда называют экстремальным уравнением Эйлера—Ла-
гранжа.
В задаче Бернулли частица массой m в соответствии с за-
законом сохранения энергии обладает кинетической энергией,
равной потенциальной:
mv2/2 = mgxt
где v — скорость, a g — ускорение свободного падения.
Из определения скорости и геометрических соображений
можно записать:
Следовательно,
351

Левую часть можно проинтегрировать от 0 до /, а правую —
умножить и разделить на dx и найти интеграл в пределах О
и х2. Полученное выражение является функционалом /, кото-
который следует минимизировать, причем подынтегральное выраже-
выражение имеет вид
Можно убедиться, что подстановка в уравнение Эйлера—
Лагранжа после двух интегрирований приводит к следующему
уравнению пути движения частицы:
у = BсхГх cos-1 A - 2сгх) - (х/сх - хУ> + с2.
-4
w'J
Рис. ПЗ.З. Деконволюция с помощью оптималь-
ного фильтра
Если х\ и ух находятся в начале координат, то постоянная
с2 = 0. Постоянную сх выбирают так, чтобы у = #2, когда х=хх
в точке В. Путь, по которому движется частица, называется
обращенной циклоидой. Аналогичным образом выводится урав-
уравнение Винера—Хопфа для оптимального фильтра.
Пусть х — сигнал на входе фильтра, состоящий из полез-
полезного волнового импульса и помехи; d — полезный выходной си-
сигнал; у — фактический выходной сигнал (рис. ПЗ.З) и W'1 —
импульсная реакция оптимального фильтра. Разность между
фактическим и полезным выходными сигналами называется
мгновенной ошибкой:
e(t) = y(t) — d(t). C.14)
Н. Винер потребовал, чтобы средняя квадратическая ошибка
была минимальной. Средняя квадратическая ошибка опреде-
определяется следующим образом:
т
Е2 = lim Jjr- j (y-dJdt. C.15)
i —>• ОО —7*
Выходной сигнал описывается уравнением свертки
=\ W-l(L)x(t-L)dL. C.16)
—оо
Подставив C.16) в C.15), получим
Г Г оо
Е2= lim -i- \ J W-l{L)x(t — L)dL —
Г-Н.ОО ** -JrL-«>
352

Возведя в квадрат и изменив порядок интегрирования,
находим
W-'^dL \ W-l{o)ax(L-a)do-
— оо —оо
оо
- 2 J W-* (L) cxd (L) dL + ad @), C.18)
—оо
где a{L)—функция автоковариации при сдвиге L,
т
ax(L-o)= lim 4- ( x(t-L)x(t-a)dt; C.19)
т ,
ad@)= lim -ir- S d*(t)dt9 C.20)
a c(L)—функция взаимной ковариации:
г
с«, (L) = lim 4т- S ^ @ x(t-L) dt, C.21)
Оптимальный фильтр W~l определяется минимизацией
функционала Е2 в виде C.18). Сравнив C.18) с C.1), убежда-
убеждаемся, что W*1 играет ту же роль, что и у. Как и в уравнении
C.3), положим, что р — вещественный параметр, a r\(t) — диф-
дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
Ч@ = 0; t<0. C.22)
Это условие необходимо для того, чтобы получить причин-
причинный или физически реализуемый оператор W~l, т. е. такой опе-
оператор, который был равен 0 для отрицательных времен.
Введем в W"l(L) вариацию:
C.23)
Эта операция изменяет функционал на величину 6?2:
Е> + 6?2 = J [№-' (L) + рц (L)] dL J [W-1 (а) + рп (а)] X
оо
-1
—оо —оо
оо
X daax (L - а) - 2 \ [W~l (L) + рц (I)] dLcxd (L) + ал @). C.24)
—оо
23 Заказ № 4 353

Развернем последнее равенство:
Е2 + ЬЕ2 = J W~* (L) dL \ W~l (о) doax (L - о) +
X J W~* (L) daax (L - о)+р2 \ t] (L) dL \ ц (a) daax (L - а) -
- 2 $ И^-1 (L) dZ,<^ (L) - 2/7 J r, (L) dL^ (L) + ad @). C.25)
Перегруппируем член, содержащий р, так, чтобы получить от-
отдельно б?2, и изменим порядок интегрирования:
6E2 = p\r\(o)da \w-x(L)ax(L-o)dL +
I (a) ax (L - a) da - 2p J r\ (L) cxd (L) dL. C.26)
Два первых члена равны между собой, так как ах — четная
функция. Заменив интегралы буквенными символами, запишем
C.26) в следующем виде:
ЬЕ2 = 2рР + P2Q - 2p#. C.27)
Чтобы найти экстремум функции ?2, поставим условие, что
-4-[ЬЕ2]р=0 = 0 C.28)
при всех возможных г\:
* [ЬЕ2] = BР + 2pQ - 2R)p=0 = 0 C.29)
ар
или
р — R == 0. C.30)
Это значит, что
J л (L) [ j Г (a) ax (L -о) do- cxd (L)]dL = 0. C.31)
В случае минимума при L^O имеем
оо
\ W-t(a)ax(L-a)da-cxd{L) = 0. C.32)
— оо
Последняя разность не равна нулю при L<0. Итак, мы
получили уравнение Винера—Хопфа для оптимальной линей-
линейной системы:
оо
Сх4 (ь) = \ w \О) пх (L — О) 0,0у L ^ U. ^О.ОО)
354

Заметим, что это уравнение связано только с функциями ав-
токовариации и взаимной ковариации между фактическим и по-
полезным сигналом. Нижний предел интегрирования равен 0, так
как W'1 равна нулю для отрицательных времен.
Решение интегрального уравнения C.33) затруднительно,
поэтому перейдем в частотную область [58]. Умножим обе части
уравнения Винера—Хопфа на ехр(—fcoL) и проинтегрируем от
L = 0 до бесконечности:
оо оо оо
\ cxd (L) е'ш1 dL = \ е~Ш1 dL \ W~l (о) ах (L - a) da. C.34)
Положим T = L— а в правой части и поменяем порядок ин-
интегрирования:
оо оо оо
J cxd (L) e~i(*L dL = S W~l (а) е"Ша do J ах (Г) e~l(*TdT. C.35)
Поскольку нижний предел интегрирования равен —а, пра-
правый интеграл не будет автоэнергетической спектральной плот-
плотностью. Из-за этого возникают сложности при решении данного
уравнения и в частотной области. Чтобы преодолеть препятст-
препятствия, представим ax{L) в виде свертки двух новых функций
автоковариации (Л+иЛ~):
ax(L)= j A+(L — t)A-(t)dt, C.36)
— оо
где вновь введенные функции определены только для положи-
положительных и только для отрицательных сдвигов:
Л+(?) = 0, L<0; A'(L) = 09 L > 0, C.37)
Поскольку ах получается в результате свертки, в частотной
области имеем произведение:
Ях(о)) = Р+(со)Р-(со), C.38)
где Р+ и Р- —функции спектральной плотности энергии. Все
особые точки функции Р+ находятся в верхней комплексной
частотной полуплоскости, а все особые точки функции Р- рас-
расположены в нижней полуплоскости. Показано, что функцию
Рх((о) всегда можно представить в виде произведения полино-
полиномов. Полюсы и нули расположены симметрично относительно
обеих координатных осей (рис. П3.4). Требование симметрии
возникает потому, что спектральная оценка Рх{ы) должна
быть вещественной, положительной и четной функцией со.
23* 355

Определим оператор фильтрации J3, который при свертке
с А" дает на выходе функцию взаимной ковариации между
входным и полезным сигналами:
о
cxd (Li) = S B(Lx—t)A-(t)dtt -oo < L < oo. C.39)
— oo
В результате фурье-преобразования обеих частей получаем
оо О
j cxd (Lx) е"ши dLx = J e"/u)Zl dLx \ B(LX- t) A" (t) dt C.40)
5.4. Полюсы и нули плотности распределения энер-
энергетического спектра
или, поскольку в левой части стоит спектральная плотность
взаимной энергии Сха((й),
О оо
Сха (и) = j A~ (t) dt j В (Z-, -1) e-la>L> dLt. C.41)
— oo —oo
Пределы интеграла, содержащего Л~, можно расширить до
+ оо, так как функция Л равна 0 для положительных времен.
Затем положим L = L\ — t и получим
оо
= \
оо
\ B(L)
-ia>i
dL.
C.42)
Последнее выражение записывается через функции спек-
спектральной плотности:
оо
—оо
Выполнив обратное фурье-преобразование, можно опреде-
определить
оо
356

Подставив C.39) и C.36) в уравнение Винера—Хопфа,
получим
О оо оо
J B{Ll—t)A-(t)dt = \w-l(a)da \ A+ (L,-o- t)A~(t)dt =
0
оо оо
= \ A-1 (t) dt \ Л+ (L, — а — t) W~l (а) da, Lx > 0. C.45)
— оо 0
Последнее равенство можно преобразовать следующим об-
образом:
оо Г оо
J A' (t) \В (L, -1) - J A+ (L, - а - t) W~l (а) do \dt = 0,
C.46)
Чтобы это выполнялось, достаточно, если члены в квадрат-
квадратных скобках будут равны нулю для всех отрицательных вре-
времен t:
0.
оо
В (Lx - t) - \ Л+ (L, - а - t) W-1 (а) do = О, L, > О, f <
C.47)
Можно положить L = L\ — / и интеграл все еще будет суще-
существовать, так как Л+ и W~{ будут ненулевыми:
[{o)do9 L>0. C.48)
Преобразовав по Фурье обе части равенства, причем t =
= L — а, получим
] В (L) е~шь dL = \ W' (а) е"Шо do \ Л+ (t) еш dt. C.49)
Обозначим первый интеграл через У0пт(со), а второй —
Р+((о). Следовательно, передаточная функция У0Пт, являю-
являющаяся фурье-преобразованием импульсной реакции W~lt
Yout (со) = I S В (L) ехр (-/©0 dt\jp+ (со). C.50)
Подставив -S(L) из C.44) в C.50), получим окончательно
l S
Cxa(®l)exp(t<ult)-p±-j-dl\dt. C.51)
357

Интегрирование по coi производится в комплексной плоско-
плоскости COi =0I Re+*G)iim (рИС. П3.5):
[ = \ + lim \ = 2ш У res.
Заметим, что Р+иР* являются взаимно комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными, так как функция автоковариации и спектральная
плотность энергии Рх обладают четной симметрией:
р+(со) = р-*(о)). C.52)
с. Я5.5. Интегрирование по coi
производится путем взятия кон-
контурного интеграла вокруг особых
точек
Из уравнения C.51) можно получить фильтр предсказания,
где to является временем задержки, которое положительно,
если нужен предсказывающий фильтр, и отрицательно или
равно нулю, если требуется сглаживающий фильтр.
Пусть полезный сигнал в момент времени t+to в будущем
связан с входным сигналом соотношением
d = x(t + tQ). C.53)
Функция взаимной ковариации между входным и полезным
сигналами
г
cxd (L) = lim -It- J x (t +10 + L) x (t) dt.
C.54)
Плотность спектральной энергии связана со спектральной
плотностью входного сигнала функцией запаздывания:
оо
Pxd(a>)=\
=\ ax{L + tt)е~Ш1 dL =
или
358
C.55)

Это случай отсутствия помехи во входном сигнале. При на-
наличии помехи уравнение C.51) передаточной функции опти-
оптимального предсказывающего оператора принимает вид
Г °°
-farf) \
L-o
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
И БЕЛЫЙ ШУМ
Временной ряд данных, свойства которого не зависят от на-
начального времени, называется стационарным. Другими сло-
словами, он должен иметь свойства, независимые от переноса на-
начала временной координаты. Данное определение следует про-
проработать более детально, так как мы имеем дело с функцией,
которая случайна во времени и будущие значения ее нельзя
описать точно. Она должна описываться полным множеством
возможных значений, т. е. распределением вероятностей.
Случайной переменной может быть, например, флуктуация
напряжения теплового шума, возникающего на активном сопро-
сопротивлении или на полупроводниках электронного усилителя,
либо микросейсмическая активность, регистрируемая сейсмо-
сейсмографом, или вариации амплитуды океанических волн. Если эти
флуктуации изучить с помощью группы идентичных инструмен-
инструментов, размещенных в большом числе точек наблюдения, то
можно будет отметить некоторое статистическое сходство
между различными наблюдениями и определить вероятность
появления любого значения амплитуды. Для простоты предпо-
предположим, что измеренная величина v(t) преобразована в напря-
напряжение и проквантована по амплитуде так, чтобы она принимала
дискретные значения х~т> .,., х-и Хо, х\, ..., хп (рис. П4.1). Ве-
Вероятность Р появления каждого значения амплитуды напряже-
напряжения V
*о (•?—т)> • • •» Р v (#о)> • • •» * v \Хп)»
359

Функция Pv(xi) представляет собой распределение вероят-
вероятности и удовлетворяет соотношению
п
JC Л,(*?)=1, D.1)
означающему, что полная вероятность появления всех событий
равна единице (рис. П4.2). Случайная переменная, которую
можно описывать только с помощью распределения вероятно-
Рис. П4.1. Графическое изображение случайной переменной как функции
времени ^
h«.
Рис. П4.2. Вероятность равенства
v—Xi задается распределением ве-
вероятности Pv
Рис. П4.3. Плотность вероятности
непрерывного напряжения равна х
стей, называется стохастической переменной или стохастиче-
стохастическим процессом [329]. Ему противоположен детерминированный
процесс (пример —последовательность квадратных импульсов
или синусоида), у которого отсутствуют признаки случайности.
Стохастические процессы изучались А. Эйнштейном [140]
и М. Смолуховским [4131 в связи с броуновским движением,
а Н. Винер [474] доказал, что x(t) — непрерывная функция.
Понятия, использованные выше при рассмотрении дискретных
переменных, легко распространяются на непрерывную случай-
случайную переменную, и в этом случае функцию Pv(x) называют
плотностью вероятности (рис. П4.3). Площадь, оконтуриваемая
этой кривой, должна тоже равняться единице:
оо
J Pv(x)dx=l. D.2)
— оо
Класс возможных случайных сигналов или же шум, гене-
генерируемый одиночным источником либо группой идентичных ис-
360

точников, образует бесконечную со-
совокупность случайных функций.
Длительность этой совокупности не
должна быть бесконечной; она мо-
может состоять из сигнала и помехи,
регистрируемых в процессе повто-
повторяющихся экспериментов, как это Рис П44 Гауссово или
делается при геофизической (сей- малыше распределение
смической или электромагнитной)
разведке.
Если данные регистрируются с помощью большого числа
одинаковых приемников, то полученную совокупность времен-
временных рядов называют ансамблем. На практике можно получить
лишь выборку из бесконечной совокупности временных рядов,
образующих ансамбль. Если вероятность появления отдельной
амплитуды в ансамбле одна и та же независимо от времени
наблюдения, говорят, что ансамбль стационарный. Получаемый
ансамбль сигнала и помехи называют стационарным случайным
процессом. Второй тип случайного процесса называется марков-
марковским. Это стохастический процесс, развитие которого в буду-
будущем зависит только от современного состояния. Авторегрессив-
Авторегрессивный процесс был рассмотрен в гл. 12.
Случайные вариации смещения Земли, называемые микро-
микросейсмической активностью, возникают в результате суперпози-
суперпозиции большого числа независимых событий. Они могут образо-
образовываться под воздействием далеких бурь в океане, когда энер-
энергия проникает в твердую оболочку Земли и распространяется
в форме упругой волны между границами в земной коре, или
же они возникают при ударах волн в берега континентов, либо
от ветра, заставляющего деревья и другие препятствия раска-
раскачиваться, или это может быть шум, вызванный дорожным дви-
движением и работой машин на заводах. Случайные напряжения
на активном сопротивлении возникают из-за флуктуации в дви-
движении ионов и электронов, они называются джонсоновским
шумом.
Согласно центральной предельной теореме [119], распреде-
распределение суммы некоторого числа независимых случайных пере-
переменных х = у\-\-у2+Уз+ ... Уп приближается к функции Гаусса
по мере стремления п к бесконечности. Гауссово, или нор-
нормальное, распределение плотности вероятности определяется
как
Pv (х) = —J=- exp [- (х - *0J/2а2]. D.3)
Эта функция (см. рис. П4.4) была открыта Де Муавром
в 1733 г. и позднее использована Гауссом в теории вероятно-
вероятностей. Случайная переменная v принимает любое значение в диа-
361

пазоне —оо<д:<оо. Стандартное отклонение равно а, а дис-
дисперсия а2. Опытным путем было найдено, что основные типы
шумов, например тепловой, подчиняются функции нормального
распределения вероятностей с нулевым математическим ожи-
ожиданием Xq.
Можно показать, что линейная комбинация случайных пе-
переменных, распределенных по нормальному закону, также рас-
распределяется в соответствии с функцией Гаусса. Большинство
Рис. П4.5. Ансамбль случайных
функций
Яис. #4.5. Фурье-преобразование
ограниченного по частоте белого
шума. Частота среза частотной ха-
характеристики регистрирующей аппа-
аппаратуры равна ©е
сигналов, представляющих исследовательский интерес, не под-
подчиняется нормальному распределению.
Теория эргодических процессов возникла из теории Гиббса
в статистической механике, описывающей шестимерное фазовое
пространство. Температура и давление газа являются величи-
величинами, усредненными по времени движения молекул в системе.
Чтобы найти средние по времени, Гиббс предположил, что
в замкнутой системе, полная энергия которой постоянна, сред-
среднее по времени движение частиц можно получить интегрирова-
интегрированием по некоторой поверхности в фазовом пространстве, назы-
называемой эргодической поверхностью. «Эргодический» — грече-
греческое слово, означающее «рабочий путь». Согласно модифициро-
модифицированной гипотезе предполагается, что эргодическая система,
предоставленная сама себе, рано или поздно пройдет беско-
бесконечно близко от каждой из фаз (dpxdpydpzdxdy dz), совмести-
совместимых с уравнением движения.
В приложении к ансамблям сигналов и помех теория эрго-
эргодических процессов утверждает, что в стационарном ансамбле
случайных функций, образованных идентичными источниками
и обладающих непрерывным диапазоном возможных значений,
наблюдаемые амплитуды некоторого числа ансамбля прибли-
приближаются бесконечно близко к каждому из возможных значений
непрерывного диапазона.
Нас интересует ансамбль функций вида /(/), каждая из
которых образована в результате случайного стационарного
гауссова процесса (рис. П4.5). Теория эргодичности гаранти-
362

рует, что среднее по ансамблю равно среднему по времени от-
отдельной функции (реализации):
оо О
\ xPv(x)dx= lim 4" \ f(t)dt. D.4)
Выражение
oo
\ xPv{x)dx
описывает среднее значение амплитуды всех членов ансамбля
в один определенный момент времени.
Выражение
о
lim 4- if (Л Л-
Т -*• оо л J;-p
определяет среднюю по времени амплитуду одного из членов
ансамбля, базируясь на его бесконечной во времени истории.
Этот вопрос подробно рассмотрен в работах [267, 432]. Сигнал,
характеризующийся равномерным энергетическим спектром
в полосе пропускания записывающей аппаратуры, называется
белым шумом, или гауссовым белым шумом (рис. П4.6). Если
сигнал дискретизирован, то временной ряд определяется как
X = (. . . X—2, X— I, XOi Х\) Х2 . . .)•
Сигнал является белым шумом, если он удовлетворяет сле-
следующим трем критериям.
1. Среднее по времени значение ряда равно 0:
<=°- D'5)
Символом Е обозначено математическое ожидание, или пер-
первый момент.
2. Среднее квадратическое значение или функция автокова-
риации при нулевом сдвиге конечна:
а*<°> -„'Й. 1апт %_„ х' = °2<°°- D-6>
Величина а2 характеризует энергию (мощность) белого
шума и одновременно является дисперсией, или вторым мо-
моментом.
3. Значение функции автоковариации временного ряда
равно 0 при всех сдвигах, отличных от нуля:
ax(j)= lim * У xi + Jxi = Oi /=^=0. D.7)
363

Случайная помеха является примером белого шума, и во-
вообще все белые шумы распределены нормально. Плотность
энергии белого шума постоянна на всех частотах:
Р(со) = о2. D.8)
С учетом уравнения D.8) автоковариация белого шума
°2е"^«. D.9)
Но, согласно уравнению B.9), дельта-функция Дирака в ну-
нулевой момент времени имеет вид
оо
Следовательно,
a(L) = G26(L). D.10)
Функция автоковариации белого шума является импульсной
функцией при L = 0. Отсюда получаем второй и третий кри-
критерии.
Многие физические процессы являются примерами белого
шума, обладающего ограниченным спектром:
1) джонсоновский шум, возникающий в результате случай-
случайного движения электронов в проводнике;
2) броуновское движение цветочной пыльцы или тончайших
пылинок под воздействием случайных ударов молекул;
3) дробовый шум, возникающий благодаря случайным уда-
ударам электронов об анод электронно-лучевой трубки;
4) микросейсмическая активность, вызванная воздействием
энергии океанических волн на берега континентов;
5) амплитуды волн в океаническом бассейне;
6) электромагнитные волны микропульсаций, возникающие
в результате взаимодействия солнечного ветра и внешних слоев
ионосферы Земли;
7) примеры из теории вероятностей: бросание монеты
(«орел»=1, «решка» =—1) и бросание кости A = 1, 2, = 2,
3 = 3, 4=—1, 5 = —2, 6 = — 3).
Геофизические примеры — неидеальные примеры белого
шума, так как они стационарны лишь приблизительно.
Белый шум можно свернуть с базовым волновым импульсом
и получить в результате представление фактически записанного
сигнала, измененного естественными процессами [362, 364, 483],
т. е. сигнал, называемый стационарным временным рядом
(рис. П4.7):
D.11)
xt=i, Wtnt.{. D.11a)
364

Найдем функцию автоковариации стационарного временного
ряда. Чтобы получить запаздывающий временной ряд, заменим
/на t+k:
а
л i
0
\
\
\
1
6
—
Ll,t + k_l. D.12)
В
Рис. П4.7. Разложение Уолда (белый шум получается сверткой случайной
последовательности импульсов с заданным волновым сигналом):
а — случайные события; б — физический процесс, в — стационарный временной ряд
Тогда функция автоковариации будет математическим ожи-
ожиданием произведения xtXt+k*.
X D.13)
Согласно уравнению D.6), величина в скобках представляет
собой функцию автоковариации белого шума:
1Ф0. D.15)
Энергия белого шума равна а2, а выражение для a,k имеет
значение только при j = i+k. Следовательно, функция автоко-
автоковариации
а* = о2? Wi+kWt. D.16)
Если обозначить через а™ функцию автоковариации волно-
волнового импульса W, то
ak=o2a%. D.17)
Белый шум абсолютно не коррелирующийся, поэтому зна-
значения функции автоковариации целиком обусловлены присут-
присутствием в стационарном временном ряде волнового импульса
с весовыми коэффициентами энергии белого шума.
365

ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ
Весовые функции Ганна и Хемминга
При вычислении энергетических спектров с помощью урав-
уравнения G.2.10) рекомендуется использовать [55] какую-либо из
двух специальных эмпирических весовых функций — Ганна
или Хемминга. В результате умножения усеченной автокова-
автоковариационной функции a(L) на весовую функцию получаем моди-
модифицированную кажущуюся автоковариационную функцию
am(L) = W(L)a{L). E.1)
Эта функция автоковариации является кажущейся, так как
она получается по конечному множеству данных. Определение
«модифицированная» объясняется тем, что функция автокова-
автоковариации изменяется весовой функцией и вычисляется только
для значений сдвига от 0 до Lm. Рекомендуется производить
вычисления только для 10—20 % общего количества возмож-
возможных значений сдвига [55]. Большие сдвиги дают ненадежные
результаты, так как последние критическим образом зависят от
начальной выборки. В настоящее время весовая функция Ганна
используется редко, чаще применяется весовая функция Пар-
зена. Эти весовые функции следует применять только при рас-
расчете энергетического спектра по автоковариационной функции
во временной (сдвиговой) области. Они не очень удобны для
вычислений в частотной области. При наличии БПФ рекомен-
рекомендуется вычислять один из вариантов спектральной функции
Бартлета или Даниеля (см. разделы 9.4 и 9.6). Тем не менее
в данном приложении будут рассмотрены различные весовые
функции.
Весовая функция Ганна, названная в честь австрийского ме-
метеоролога Джулиуса фон Ганна, представляет собой усеченную
косинусоиду (косинусный колокол):
t r ч @,5 = 0,5 cos nL/Lm, | L | < Im,
"(L) = l0, \L\>LM. E-2)
Ее фурье-преобразование состоит из трех членов, содержа-
содержащих функцию sin х/х:
Wr = О,5^о И + 0,25№0 (со + n/Lm) + 0,25W0 (со - n/Lm), E.3)
где
Wo (со) = 2Lm sin coLm/coLm. E.4)
Весовая функция Ганна широко применялась при вычисле-
вычислении спектров на ЭВМ первого поколения, собиравшихся на
366

электронных лампах или транзисторах первых моделей, так
как она требует очень малого машинного времени. Энергетиче-
Энергетический спектр обладает хотя и небольшими, но недопустимыми
побочными максимумами (рис. П5.1), что влечет за собой не-
Рис. П5.1. Весовая функция Ганна (а) и ее фурье-преобразование (б). В пря-
прямоугольнике краевая часть кривой (б) дана в увеличенном масштабе
ЩЬ)
Рис. П5.2. Весовая функция Хемминга (а) и ее фурье-преобразование (б).
В прямоугольнике краевая часть кривой (б) дана в увеличенном масштабе
которую потерю разрешенное™ в частотной области. Асимпто-
Асимптотическое выражение дисперсии задается уравнением (9.4.2):
т
E.5)
Если сдвиг Lm сделать большим, то спектральная оценка,
согласно E.5), будет обладать высоким разрешением, но низ-
низкой достоверностью. Длина данных равна Т.
Функция, подобная весовой функции Ганна и названная
в честь Р. Хемминга, сотрудника Дж. Тьюки, определяется
(рис. П5.2) следующим образом:
П7,м_ /0.54 + 0,46 cos nL/Lm, |L|<Lm,
E.6)
367

Ее фурье-преобразование имеет вид
Wx = 0,54^0 (со) + 0,23И?0 (со + n/Lm) + 0,23№0 (со - n/Lm)t E.7)
где Wo (со) задается выражением E.4).
Уровень первых боковых максимумов весовой функции
Хемминга составляет менее 1 % от главного, но затем побочные
максимумы становятся довольно большими, так как они дол-
должны образовывать разрыв при L = Lm.
Весовая функция Бартлета
Весовая функция Бартлета [40] представляет собой во вре-
временной области треугольную функцию и охватывает все воз-
возможные значения сдвигов от 0 до Г:
W(L)
-Г"
lo,
|L|>7\
E.8)
W(L)
2it/L fa/L G)
-T T L
Рис. П5.3. Весовая функция Бартлета (а) и ее фурье-преобразование (б)
Ее фурье-преобразование является произведением двух
функций вида sin*/*. Подобное произведение часто описы-
описывается сверткой двух прямоугольных функций (рис. П5.3):
IF (со) = Г [(sin соГ/2)/соГ/2)]2. E.9)
Весовая функция Бартлета используется при формировании
функции автоковариации, хотя иногда это и не реализуется.
При цифровой обработке функция автоковариации опреде-
определяется следующим образом:
?
Заметим, что число произведений равно Af — L и они сум-
суммируются, а затем делятся на Af—L, чтобы найти значение
автоковариации при сдвиге L. На практике функцию a(L) вы-
вычисляют с помощью уравнения F.1.10). Дополнительное вве-
введение весовой функции уменьшает функцию автоковариации до
368

нуля при очень больших сдвигах и таким образом исключает
нерегулярные ее флуктуации. Это свойство весовой функции
Бартлета благоприятно, так как названные эффекты присущи
сигналам переходного типа или данным, напоминающим нор-
нормально распределенную помеху. Уравнение F.1.10) можно
записать в виде:
E.11)
^
Из последнего выражения внешний вид весовой функции
Бартлета становится очевидным. Воздействие весовой функции
такой формы очень слабое, поэтому любая дополнительная ве-
весовая функция будет полностью определять характеристики
энергетического спектра. Асимптотическое выражение диспер-
дисперсии Da весовой функции Бартлета имеет вид
Da=
E.12)
Заметим, что дисперсия уменьшается с уменьшением Lm, но,
к сожалению, это приводит и к ухудшению разрешенности.
Весовая функция Парзена
Весовая функция Парзена обладает преимуществами перед
весовыми функциями Ганна и Хемминга, так как за счет незна-
а
W((J)
со
-7 -0,5 0,5 1 L
Рис. П5.4. Весовая функция Парзена (а) и ее фурье-преобразование (б)
чительного увеличения объема вычислений она дает неотрица-
неотрицательные оценки при исключительно низком уровне побочных
максимумов [328]. Весовая функция Парзена образуется из
усеченного симметричного кубического уравнения:
1 - 6 (| L \/Lmy + 6 (| I \ILm)\ \L\< 0,5Lm;
W(L)= 2A-|L|/LmK, 0l5Lm<|L|<Lm; E.13)
0, \L\>Lm.
24 Заказ № 4
369

Ее фурье-преобразование представляет собой произведение
преобразований четырех прямоугольных или вида sinxjx функ-
функций (рис. П5.4):
W (со) = -^L [(sin coLm/4)/(coLm/4)]4, E.14)
оо
D, = -^ J W (со) d& = 151Lm/280r ~ 0,54Lm/7\ E.15)
—oo
Еще одна весовая функция, характеризующаяся меньшей
дисперсией, описана в работе [325].
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ФИЛЬТРОВ
На выходе устойчивого фильтра сигнал ограничен, если
входной сигнал не становится бесконечно большим. Как указы-
указывалось в гл. 2, необходимым и достаточным условием устойчи-
устойчивости цифрового фильтра является абсолютная сходимость
суммы его коэффициентов, согласно уравнению B.1.4).
Выходной сигнал yL определяется как свертка весовых ко-
коэффициентов с входным сигналом' х по уравнению B.1.6), где
для удобства величина шага дискретизации принята равной 1.
Для доказательства последнего утверждения обозначим со-
согласно [208] максимальную амплитуду функции \Wt\, где t =
= ..., —2, —1, 0, 1, 2, ..., через М. Тогда максимальное значе-
значение выходного сигнала
Ы< S M\wt\=Ms. F.1)
Так как выходной сигнал ограничен числом MS, достаточное
условие устойчивости состоит в том, что 5 должно быть конеч-
конечным, положительным числом.
Поскольку все цифровые фильтры, применяемые на ЭВМ,
должны быть реализуемыми, предположим, что последователь-
последовательность коэффициентов фильтра односторонняя, т. е. W = Wo, W\,
№2, .... Доказательство необходимости абсолютной сходимости
продолжим, основываясь на данном предположении, хотя ана-
аналогичным путем выводится и более общий случай. Пусть после-
последовательность ограничена положительным числом В:
\Wt\<B, f = 0, 1, 2 F.2)
370

Предположим далее, что фильтр устойчивый, но сумма аб-
абсолютных значений расходится. Тогда должно существовать
некоторое положительное число 7A), которое вынуждает сумму
превысить 1:
Т(\)
Z^[>1. F.3)
Другое целое число, 7B)—7A) заставит сумму превысить
значение ВТA)+2. Если 7A) четное число, то положим 7B)
нечетным и наоборот:
Г B)-Г A)
Z \Wt\>BT(l)+2. F.4)
Вообще можно найти такое целое число T(i)—T(i—1), при
котором сумма превосходит значение BT(i— 1) + /:
Г(/)-Г<*-1)
Z \Wt\>BT{t-l) + t. F.5)
*о
Входной сигнал выбирается простым, подобно прямоуголь-
прямоугольному, импульсу, значения которого равны либо 0, либо ±1.
В каждом из интервалов 0 — 7A), 7A) — 7B) и т. д. значе-
значения х определяются знаком коэффициента фильтра:
F.6)
где
sgnW=
0, 1^=0, F.7)
-1, W<0.
С учетом уравнения свертки B.1.6) накопленная сумма на
выходе фильтра
Ути)= ? WtxT(i)-t. F.8)
Приняв во внимание уравнение F.5) и форму входного си-
сигнала, в соответствии с чем WtxT(i) равно \Wt\, получаем выра-
выражение для накопленной суммы:
г(о-г</-1)
WtxT{l)-t>BT(i-l) + i. F.9)
В случае входного ряда х% имеем
Т (I) -1
Z WtxTii)-t>-BT(i-l). F.10)
t = T(i)-.T (i-\) + \
24* 371

Слбжив F.9) и F.10), получаем следующее неравенство:
1. F.11)
Хотя входной сигнал ограниченный, выходной сигнал рас-
расходится, что противоречит предположению об устойчивости
фильтра. Следовательно, для устойчивости фильтра необходимо
и достаточно, чтобы сумма его коэффициентов сходилась абсо-
абсолютно, как ё уравнении B.1.4).
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
МЕТОДОМ КУЛИ-ТЬЮКИ
Чтобы понять, каким образом осуществляется быстрое пре-
преобразование Фурье, будем придерживаться матричной форму-
формулировки, изложенной в разделе 3.4. Приведем вывод уравнений,
используемых в машинном алгоритме, который дан в раз-
разделе 3.8. В работе [113] описан один из вариантов дискретного
преобразования Фурье, основанный на двоичной системе счи-
счисления. Если обозначить через N число выборок данных, то
произведение сумм определяется по формуле C.4.12).
Дискретное преобразование Фурье определяется выраже-
выражением C.2.18). Сделав, как в уравнении C.4.3), замену Q =
=—2ni/N, получим:
N-l
F(W)= Z f(T)eQWT. G.1)
Двоичный эквивалент уравнения G.1) определим для случая
N = 4. Индексы W и Г = 0, 1, 2, 3 в десятичной системе перепи-
переписываются в двоичной, т. е. ТпУ Ть, Wa и Wb могут принимать
только значения 0 или 1:
Tl0 = (Tbf TaJ; Wl0 = (Wb, WaJ. G.2)
Следовательно, при // = 4, 0ю= @, 0)г, 1ю= @, 1J, 2ю =
= A, 0J, Зю=A, 1)г. Уравнение дискретного преобразования
Фурье можно записать в виде двойной суммы, как в уравнении
C.3.3):
F(Wb, Wa) Z, 21 f{Tb, Ta)ex.p[QBWb + Wa)BTb + Ta)]. G.3)
372

Экспоненциальная функция разлагается на множители сле-
следующим образом:
e*WT = exp [п BWb+Wa) 2Tb] exp [Q2Wb+Wa) Ta] =
= exp (Q4WbTb) exp (Q2WaTb) exp [Q BWb + Wa) Ta].
Ho expDQWbTb) = 1, поэтому уравнение G.3) можно запи-
записать следующим образом, при этом все последующие сложения
выполняются для Та и Ть от 0 до 1:
F(Wbi Wa) = ZrZf(Tb, Ta)expBQWaTb)exp[QBWb + Wa)T
Уравнение в скобках представляет собой точечное
преобразование
G.4)
фурье-
P(Wat Ta)=*
Ta)expBQWaTb); Wa =
G.5)
Внешнюю сумму в уравнении G.4) можно записать в пере-
переставленном порядке битов как
Fs (Wa, Wb) =
Ta) exp [Q BWb + Wa) Ta],
Wa = 0, 1, Wb = 0t I. G.6)
Окончательное, непереставленное уравнение получается об-
обратной перестановкой порядка двоичных битов, подобной воз-)
действию перестановочной матрицы C.4.13):
F(Wb, Wa) = Fs(Wa, Wb). G.7)
Процесс, описываемый уравнением G.5), можно представить
более наглядно, если выразить Гь-точечное фурье-преобразова-
ние P(Wa, Та) в виде следующих четырех равенств для случая
N = 4:
= Р@, 0) =
. 0) е°,
l, l)e
2Q
G.8)
Данное Р-точечное преобразование не содержит операций
умножения, так как е°=1, а и e2Q = — 1. В матричной записи
последние уравнения имеют вид
G.9)
Р@, 0)
Р@, 1)
РA, 0)
РA, 1)_
1
0
1
0
0
1
0
1
е°
0
e2Q
0
0
е°
0
e2Q
7@, 0)"
/@, 1)
f(i. о)
lf(U О.
373

Fs@,
Fs@,
Fsih
Fs(U
0I
1)
0)
1)J
1
1
0
0
e°
e2Q
0
0
0
0
1
1
0 "
0
eQ
e3Q
~P@,
P@,
P(l,
P(U
0)"
1)
0)
D-
Внешнюю сумму в G.6) можно тоже записать в матричной
форме:
G.10)
В уравнениях G.8) и G.10) содержится Nn или 8 ком-
комплексных сложений и умножений. Однако некоторые из умно-
умножений производятся на величины е°=1 и e2Q = — 1. Поскольку
f{Tb, Ta) далее не используется, то в машинной памяти ее
можно заменить на P(Wa> Ta). Функция Fs(Wa, Wb) вычис-
вычисляется в таком порядке, что она заменяет функцию Р (Wa, Ta).
В общем случае N = 2n целые W и Г записываются в двоич-
двоичном коде, т. е. Г/ и W\ принимают только значения 0 или 1:
= (rn_b Гя_2, . . ., Г0J; G.11)
И710 = 2"-lWn-x + 2n~2Wn-2 + . . . + W> =
= (Wn-u Wn-2 , «70)я.
Дискретное преобразование Фурье C.2.18) записывается
в двоичном коде как
= Z Z . . . 2 №-
то Т1 Тп—\
uwt
. G.12)
При этом суммирование производится от 0 до 1. Разложим
экспоненциальный член с учетом G.11):
eQWT =exp [QBn
"-1Г„_,] X
~lW 4- 4_ U7 ^ T I G \4\
Первый экспоненциальный член разлагается и упрощается
с учетом равенства exp(Q2n/C) =ехр(—2niKN/N) = l, поскольку
является целым числом:
exp[Q2nBn-Vn_irn_O]exp[Q2rtBn-Vn_27'n_I)]. . .
-Vor,,..,)^ exp(Q2n~1W0Tn-l).
G.14)
374

Второй экспоненциальный член в уравнении G.13) разла-
разлагается аналогично:
exp [QBn" Vn_, + 2n~2Wn-2 + ... + W,) 2п~2Тп.2] =
= exp(Q2n2n-3VFn_lrn_2)exp(Q2't2't-Vn_2rrt_2). . .
Последний экспоненциальный член в уравнении G.13) ос-
остается неизменным. Подстановка в дискретное преобразование
Фурье G.12) сводит это уравнение к виду:
F(Wn-u Wa-t,...,W0)=Z ?••• Е/G\,_„ Г„_2) . . ., То) X
-» + ... +W0)T0]. G.15)
J=1 J=2
...exp[QBrt-'№„_,
11
11
Рис. 7.1. Схема быстрого преобразования Фурье в версии, предложенной
Дж. Кули и Дж. Тьюки
Суммы при Го, Т\ до Tn-i равны от 0 до 1. Каждая сумма
вычисляется-отдельно в виде Р-точечного фурье-преобразования,
причем их значения равны от 0 до 1:
Л
-u Тп-2у . . ., То) X
Wo
G.16)
375

„_з, . . ., To) = Z Pi (IFo, 7"»-i, • • ., To) X
Wo, Wlt Tn-3, .... r0 = 0,1; G.17)
Pn (l^o, IT, U^n-i) = S P»-i (^o, W,, . . ., Г») X
X exp [QBn~lWn-t + 2"~ Vn_2 + ... + W0) Г.]. G.18)
На конечной стадии вычислений двоичный код реверси-
реверсируется:
F(Wn-u Wn-2, . . ., Wo) = Pn(WOi Wu . . ., Wn-t). G.19)
В машинном алгоритме вектор / из уравнения G.16) заме-
•->• •->
няется на Pi с помощью уравнения G.16). Затем Pi заменяется
на Рг и т. д. до тех пор, пока F не будет вычислено с помощью
G.19). Вначале удобно пересортировать порядок входных дан-
данных в соответствии с обращенным порядком двоичных битов,
чтобы окончательный результат получился в правильном по-
порядке десятичных индексов. Стадии вычисления для N = 4 изо-
изображены на рис. П7.1. Двоичные индексы и символы програм-
программирования из алгоритма, изложенного в разделе 3.8, показаны
вне квадратиков. Умножение на экспоненциальные множители
изображено эллипсами. Квадратиками обозначены ячейки па-
памяти. Вычисления обеспечиваются отдельным объемом памяти,
поэтому векторы /, Р и F занимают постоянное место в памяти
ЭВМ, Так как Wf и Г/ могут принимать значения 0 или 1, урав-
уравнения G.16) — G.19) должны вычисляться N раз. Следова-
Следовательно, всего выполняется Nn комплексных сложений и Nn ком-
комплексных умножений, хотя многие из последних производятся
на 1 или —1. Алгоритм, приведенный в разделе 3.8, можно
легко изменить, приспособив его для вычисления обратного
фурье-преобразования или преобразования Фурье двух мно-
множеств данных одновременно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abels, F. A946), Nouvelle formules relative a la lumiere reflechie et trans-
mise par une empilement de almes a faces paralleles. Comptes Rendue de
L'Academie des Sciences 223, 891—893.
2. Adams, J. A. A976), Discussion on paper by R. N. McDonough, A974).
Geophysics 41, 771—773.
3. Agarwal, R. G. A968), Two dimension harmonic analysis of potential
fields, Ph. D. thesis. University of Alberta, Edmonton.
4. Ahmed, /., Abu-el-Haija and Peterson, A. M. A979), A structure for digital
notch filters. Transactions IEEE on Acoustics, Speech and signal Processing
ASSP-27, 193—195.
5. Akaike, H. A969a), Fitting autoregressive models for prediction. Ann. Inst.
Statist. Math. 21, 243—247.
6 Akaike, H. A969b), Power spectrum estimation through autoregressive mo-
model fitting. Ann. Inst. Statist. Math. 21, 407—419.
7. Akaike, H. A970), Statistical predictor identification. Ann. Inst. Statist.
Math. 22, 203—217.
8. Akaike, H. A974), A new look at the statistical model identification. IEEE
Transactions on Automatic Control AC-19, 716—720.
9 Akaike, H. A976). Canonical correlation analysis of time series and the use
of an information criterion. System identifi cation — advances and case
studies. Editors: R. K. Mehra and D. G. Laniotis. Academic Press, New
York, 27—96.
10 Akaike, H. A976), Time series analysis and control through parametric
models. Applied Time Series Analysis Symposium University of Tulsa.
Conveners: D. F. Findley and S. J. Laster, Tulsa, Oklahoma.
11. Alterman, Z., Jarosch, H. and Pekeris, С L. A959), Oscillations of the
earth, Proc. Roy. Soc. A, 252, 80—95.
12. Anderson, N. A974), On the calculation of filter coefficients for maximum
entropy spectral analysis. Geophysics 39, 69—72.
13. Anderson, G. L. A980), A stepwise approach to computing the multi-
multidimensional fast Fourier transform. IEEE Transactions ASSP, 28, 280—284.
14. Anderson, D. L. and Jordan, Т. H. A972), Interpretation of gross earth
inversion models. Abstract. Ninth International Symposium on Geophysical
Theory and Computers, Banff, Canada, University of Alberta.
15. Anderssen, R. S. A975), Inversion of global electromagnetic induction data.
Physics of the Earth and Planetary Interiors 10, 292—298.
16. Andrews, C. A., Davis, J. M. and Schwarz, G. R. A967), Adaptive data
compression. Proceedings IEEE 55, 267—277.
17. Andrews, H. С and Pratt, W. K. A969), Transform image coding. Sympo-
Symposium on Computer Processing in Communications. Edito J. Fox 19, Poly-
Polytechnic Institute of Brooklyn. 63—84.
18. Anstey, N. A. A964), Correlation techniques — a review. Geophysical Pro-
Prospecting 12, 23—382.
19. Archambeau, С. В. and Flinn, E. A. A965), Automated analysis of seismic
radiations for source characteristics. Proc. IEEE 53, 1876—1884.
20. Archambeau, С. В., Flinn, E. A. and Lambert, D. G. A969), Fine structure
of the upper mantle. J. Geophys. Res. 74, 5825—5865.
21. Arthur, C. W., McPherron, R. L. and Means, J. D. A976), A comparative
study of three techniques for using the spectral matrix in wave analysis.
Radio Science 11, 833—845.
22. Arya, V. K. A978), Deconvolution of seismic data — an overview. IEEE
Transactions on Geoscience Electronics, GE-16, 95—98.
23. Asbel, I. Ja., Keilis—Borok, V. I. and Yanovskaya, Т. В. A966), A techni-
technique of a joint interpretation of travel — time and amplitude — distance
377

curves in the upper mantle studies Geophysical Journal of Roy. Astr.
Soc. 11, 25—55.
24. Aseltine, J. A. A958), Transform method in linear system analysis.
McGraw-Hill Book Company, Inc. New York.
25. Backus, M. M. A959), Water reverberations: Their nature and elimination.
Geophysics 24, 233 261.
26. Backus, G. and Gilbert, J. F. A961), The rotational splitting of the free
oscillations of the earth. National Academy of Sciences, Proceedings 47,
363—371.
27. Backus, G. E. and Gilbert, J. F. A967), Numerical applications of a for-
formalism for geophysical inverse problems. Geophysical Journal of Roy.
Astr. Soc. 13, 247—276.
28. Backus, G. E. and Gilbert, J. F. A968), The resolving power of gross earth
data. Geophysical Journal of Roy. Astr. Soc. 16, 169—255.
29. Backus, G. E. and Gilbert, J. F. A970), Uniqueness in the inversion of in-
inaccurate gross earth data. Philosophical Transactions of the Royal Society
of London 266, 123—192.
30. Bailey, /. S. A969), A fast Fourier transform without multiplications. Sym-
Symposium on Computer Processing in Communications Vol. XIX, Polytechni-
que Institute of Brooklyn, Brooklyn, N. Y. 37—46.
31. Bailey, R. С A970), Inversion of the geomagnetic induction problem. Pro-
Proceedings of the Royal Society of London A315, 185—194.
32. Baranov, V. A957), A new method for interpretation of aeromagnetic maps:
Pseudo gravimetric anomalies. Geophysics 22, 359—383.
33. Baranov V. and Kunetz G. A960). Film synthetique avec reflexions multi-
multiples. Theorie et calcul pratique. Geophys. Prosp. 8, 315—325.
34. Barber, N. F. and Ursell, F. A948), The generation and propagation of
ocean waves and swell. Phil. Trans. A240, 527—560.
35. Barber, N. F. A954), Finding the Direction of Travel of Sea Waves. Nature
174, 1048—1050.
36. Barrodale, L and Erickson, R. E. A980), Algorithms for least squares
linear prediction and maximum entropy spectral analysis. Geophysics 45,
420—446.
37. Barry, K. M., Carers, D. A. and Kneale, C. W. A975), Recommended stan-
standards for digital tape formats. Geophysics 40, 344—352.
38. Bartlett, M. S. A946), On the theoretical specifications and sampling pro-
properties of autocorrelated time series. J. Royal Statistical Society B8, 27—41.
39. Bartlett, M. S. A948), Smoothing periodograms from time-series with con-
continuous spectra. Nature 161, 686—687.
40. Bartlett, M. S. A950). Periodogram analyses and continuous spectra. Bio-
metrica 37, 1—16.
41. Basham, P. W. and Ellis, R. M. A969), The composition of P codas using
magnetic tape seismograms. Bull. Seism. Soc. Am. 59, 473—486.
42. Bath, M. A974), Spectral analysis in geophysics. Elsevier Scientific Co.,
New York, 176.
43. Bay less, J. W. and Brigham, E. D. A970), Application of Kalman filtering
to continuous signal restoration. Geophysics 35, 2—23.
44. Bell, L. W. A968), Digital concepts. Tektronics Inc. Beaverton, Oregon.
45. Benioff, H. A958), Long waves observed in the Kamchatka earthquake of
November 4, 1952. J. Geophys. Res. 63, 589—593.
46. Beniofl, H., Press, F. and Smith, S. A961), Excitation of free oscillations
of the earth by earthquakes. J. Geophys. Res. 66, 605—619.
47. Berkhout, A. J, and Zaanen, P. R. A976), A comparison between Wiener
filtering Kalman filtering and deterministic least squares estimation. Geo-
Geophysical Prospecting 24, 141—197.
48. Berkhout, A. J. A977), Least squares inverse filters and wavelet deconvo-
lution. Geophysics 42, 1369—1383.
49. Berkhout, A. J. A979), Steep dip finite difference migration. Geophysical
Prospecting 27, 196—213.
378

50. Bernoulli, D. A732—33), Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili
connexorum et catenae verticaliter suspensae. L. Euleri, Opera Omnia II,
11, 154—173.
51. Berryman, J. G. A978), Choice of operator length for maximum entropy
spectral analysis. Geophysics 43. 1384—1391.
52. Berryman, J. G. and Greene, R. R. A980), Discrete inverse methods for
elastic waves in layered media. Geophysics 45, 213—233.
53. Bhanu, B. and McClellan, J. H. A980), On the computation of the complex
cepstrum. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing
AASP 28. 583—585.
54. Bhattacharyya, В. К- A965), Two dimensional harmonic analysis as a tool
for magnetic interpretation. Geophysics 30, 829—857.
55. Blackman, R. B. and Tukey, J. W. A958), The measurement of power
spectra. Dover, New York.
56. Bloomfield, P. A976), Fourier analysis of time series. John Wiley, New
York. 20—25.
57. Bode, H. W. A945), Network analysis and feedback amplifier design. Prin-
Princeton. Van Nostrand, New York.
58. Bode, H. W. and Shannon, С. E. A950), A simplified derivation of linear
least square smoothing and prediction theory. Proc. I. R. E. 38, 417—425.
59. Bogert, B. P., Healy, M. J. R. and Tukey, J. W. A963), The frequency
analysis of time series for echoes: Cepstrum, Pseudoautocovariance, cross
cepstrum and saphe cracking. Ch. 15 in Time series analysis, 209—243, John
Wiley and Sons, New York.
60. Bogert, B. P. and Ossanna, J. F. A966), The heuristics of cepstrum analy-
analysis of a stationary complex echoed Gaussian signal in stationary Gaussian
noise. IEE Transactions of Information Theory IT-12, 373—380.
61. Bois, P. A972), Analyse sequentielle. Geophysical Prospecting 20, 497—513.
62. Bolondi, G., Rocca, F. and Savelli, S. A978), A frequency domain approach
to two dimensional migration. Geophysical Prospecting 26, 750—772.
63. Bonilla, M. G. A970), Surface faulting and related effects. Ch. 3, 47—74 in
Earthquake Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 518.
64. Boore, D. M. A969), PhD thesis at Geophysics Dept., M. I. T.
65. Boore, D. M. A972), Finite difference methods for seismic wave propa-
propagation in heterogeneous materials. In methods in computational Physics,
Vol. 11, 37, Academic Press, N. Y.
66. Borcherdt, R. D. A973), Energy and plane waves in linear viscoelastic
media. Journal of Geophysical Research 78, 2442—2453.
67. Born, M. and Wolf, E. A965), Principles of optics. 3rd ed. Pergamon
Press, New York, 544—555.
68. Bowser, D. E. A970), Walsh functions, Hadamard matrices and data com-
compression. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility EMC-12,
33—37.
69. Box, G. E. P. and Jenkins, G. M. A976), Time series analysis: Forecasting
and Control. Chapter 3, Holden-Day Inc., San Francisco, 46—84.
70. Bracewell, R. N. A965), The Fourier transform and its applications. Mc-
McGraw-Hill Book Co., New York, 268—271.
71. Braile, L. W. A973), Inversion of crustal seismic reflection and refraction
data. Journal of Geophysical Research 78, 7738—7744.
72. Braile, L. W., Keller, G. R. and Peeples, W. J. A974), Inversion of gravity
data for two dimensional density distributions. Journal of Geophysical Re-
Research 79, 2017—2021.
73. Brenner, N. M. A969), Fast Fourier transform of externally stored data.
June 1969 —special issue on the fast Fourier transform. IEEE Transactions
Vol. AU-17, 128—132.
74. Brigham, E. O., Smith, H. W., Bostick Jr., F. X. and Duesterhoeft Jr., W. C.
A968), An iterative technique for determining inverse filters. IEEE Trans-
Transactions of Geoscience Electronics GE6, 86—96.
75. Brigham, E. O. A974), The fast Fourier transform. Prentice-Hall Inc. En-
Englewood Cliffs, New Jersey, 1—252.
379

76. Brillouin, L. A946), Wave propagation in periodic structure. Dover Publ.
Inc., New York.
77. Brillouin, L. A956), Science and information theory, Academic Press, New
York, 159—161.
78. Bromwich, T. J. A916), Normal coordinates in dinamical systems. Proc.
London Math. Soc. XV, 401—448.
79. Brown, R. D. A977), A recursive algorithm for sequency ordered fast
Walsh transforms. IEEE Transactions on Computers C26, 819—822.
80. Brune, /. N. and Olivier, J. A959), The seismic noise of the earth's surface.
Bull. Seism. Soc. Am. 49, 349—353.
81. Buchen, P. W. A971), Plane waves in linear viscoelastic media. Geophysical
Journal 23, 531—542.
82. Buhl, P., Stoffa, P. L and Bryan, G. M. A974), The application of homo-
morphic deconvolution to shallow water marine seismology. Part 2, Real
data. Geophysics 39, 417—426.
83. Burg, J. P. A967), Maximum entropy spectral analysis. Paper presented at
the 37th Annual Int. SEG meeting, Oklahoma, Oct. 31, 1967. Preprint —
Texas Instruments» Dallas.
84. Burg, J. P. A970), A new analysis technique for time series data. Present-
Presented at NATO Advanced Study Institute on Signal processing with emphasis
on Underwater Acoustics.
85. Burg, J. P. A972), The relationships between maximum entropy spectra
and maximum likelihood spectra. Geophysics 37, 375—376.
86*. Buslenko, P. P. and Schreider, Ju. A. A961), Method of statistical testing
and its realisation on digital computers. (In Russian), Fizmatgiz, Moscow.
87. Butterworth, S. A930), On the theory of filter amplifiers. Wireless Engr.
1, 536—541.
88. Cadzow, J. A. A980), High performance spectral estimator. A new ARMA
method. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing
ASSP 28, 524—529.
89. Cagniard, L. A953), Basic theory of the magnetotelluric method of geo-
geophysical prospecting. Geophysics 18, 605—635.
90. Cantwell, T. A960), Detection and analysis of low frequency magnetotellu-
magnetotelluric. signals. PhD thesis, M. I. T.
91. Capon, J. A969), High resolution frequency-wave number spectrum analy-
analysis. Proc. IEEE 57, 1408—1418.
92. Carpenter, E. W. A965), Explosion seismology. Science 147, 363—373.
93. Carson, J. R. A926), Electric circuit theory and operational calculus. Chel-
Chelsea Publishing Company, New York.
94. Cassano, E. and Rocca, F. A973), Multichannel linear filters for optimal
rejection of multiple reflections. Geophysics 38, 1053—1061.
95. Chan, A. K. and Chai, С. К. A979), Non-recursive digital filter designs by
means of Korovkin Kernals. Transactions IEEE on Acoustics, Speech and
Signal Processing ASSP-27, 218—222.
96. Chan, D. S. K. and Rabiner, L. R. A973), Analysis of quantization errors
in the direct form for finite impulse response digital filters. Transactions
IEEE on Audio and Electroacoustics AV-21, 354—366.
98. Chen, W. H. A964), Linear network design and synthesis. McGraw-Hill
Book Co., N. Y. 31.
99. Chen, W. Y. and Stegan, G. R. A974), Experiments with maximum entropy
power spectra of sinusoids. J. Geophys. Res. 79, 3019—3022.
100. Churchill, R. V. A960), Complex variables and applications. McGraw-Hill
Book Co., Inc., New York, 2nd Ed., 73—77, 286.
101. Cizek, V. A970), Discrete Hilbert transform. IEEE Transactions on Audio
and Electroacoustics AU-18, 340—343.
102. Claerbout, Л F. and Robinson, E. A. A964), The error in least squares
inverse filtering. Geophysics 29, 118—120.
103. Claerbout, J. F. A969), Coarse grid calculations of waves in inhomoge-
neous media with application to delineation of complicated seismic struc-
structure. Geophysics 35, 407—418.
380

104. Claerbout, J. and Doherty, S. A972), Downward continuation of moveout
corrected seismograms. Geophysics 37, 741—768.
105. Claerbout, J. F. A976), Fundamentals of Geophysical Data Processing.
McGraw-Hill, New York, 1—274.
106. Clayton, R. W. and Wiggins, R. A. A976), Source shape estimation and
deconvolution of teleseismic bodywaves. Geophysical Journal of the Royal
Astronomical Society 47, 151—177.
107. Clayton, R. W. and Ulrich, T. J. A977), A restoration method for im-
impulsive functions. IEEE Transactions on Information Theory, 262—264.
108. Clowes, R. M. and Kanasewich, E. R. A970), Seismic attenuation and the
nature of reflecting horizons within the crust. J. Geophys. Res. 75, 6693—
6705.
109. Clowes, R. M. and Kanasewich, E. R. A972), Digital filtering of deep
crustal seismic reflection. Can. J. Earth Sci. 9, 434—451.
110. Cole, A. J. and Oakes, J. B. A961), Linear vacuum tube and transfer cir-
circuits. McGraw-Hill Book Co., 164—177.
111. Conaway, J. G. A981), Deconvolution of gamma-ray logs in the case of
dipping radioactive zones. Geophysics 46, 198—202.
112. Constandinides, A. G. A969), Design of bandpass filters, Proc. IEEE 57,
1229—1231.
113. Cooley, J. W. and Tukey. J. W. A965), An algorithm for the machine cal-
calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation 19, 297—
301.
114. Cooley, J. W., Lewis, P. A. W. and Welch, P. D. A967), Historical notes
on the Fast Fourier Transform. IEEE Trans. AU-15, (June 1967), 76—79.
115. Cooley, J. W., Lewis, P. A. W. and Welch, P. D. A969), The fast Fourier
transform and its applications. IEEE Trans, on Education 12, 27—34.
116. Cooper, H. F. J. and Reiss, E. L. A966), Reflection of plane viscoelastic
waves from plane boundaries. J. Ac. Soc. Am. 39, 1133—1138.
117. Copson, E. T. A935), An introduction to the theory of functions of com-
complex variable. Oxford University Press, London.
118. Corinthios, M. J. A969), A time series analyzer. Symposium on Computer
Processing in Communications. XIX, Microwave Research Institute Sym-
Symposia Series, Poly. Inst. Brooklyn, N. Y. 47—61.
119. Cramer, H. A946). Mathematical methods of statistics, Princeton Univer-
University Press, Princeton. N. J.
120. Crawford, J. M., Doty, W. E. N. and Lee, M. R. A960), Continuous signal
seismograph. Geophysics 25, 95—105.
121. Cribb, J. A976). Application of the generalized linear inverse to the in-
inversion of static potential data. Geophysics 41, 1365—9.
122. Crump, N. A974), A Kalman filter approach to the deconvolution of
seismic signals. Geophysics 39, 1—13.
123. Crook, A. W. A948), The reflection and transmission of light by any
system of parallel isotropic films. Journal of the Optical Society of Ame-
America 38, 954—964.
124. Cuer, M. and Bayer, R. A980), Fortran routines for linear inverse prob-
problems. Geophysics 45, 1706—1719.
125. Daniell, P. J. A946), Discussion on autocorrelation in time series. Supple-
Supplement to the J. Roy. Statist. Soc. 8, 88—90.
126. Daniels, R. W. A974), Approximation methods for the designing of pas-
passive, active, and digital filters. McGraw-Hill Book Co., 1974.
127. Davies, D., Kelly, E. J. and Filson, J. R. A971), Vespa process for ana-
analysis of seismic signals. Nature 232, 8—13.
128. Der, Z. A., Masse, R. and Landisman, M. A970), Resolution of surface
waves at intermediate distances. Journal of Geoph. Research 75, 3399—
3409.
129. Der, Z. A. and Landisman, M. A972), Theory of errors, resolution and
separation of unknown variables in inverse problems. Geophysical Jour-
Journal 27, 137—178.
381

130. Deregowsky, S. M. A971), Optimum digital filtering and inverse filtering
in the frequency domain. Geophysical Prospecting 19, 729—768.
131. Deregowski, S. M. A978), Self-matching deconvolution in the frequency
domain. Geophysical Prospecting 26, 252—290.
132. Dirac, P. A. M. A935), The Principles of Quantum Mechanics, 2nd ed.,
p. 71, Oxford University Press, New York; 3rd ed., p. 58, 1947.
133. Dohr, G. P. and Stiller, P. K. A975), Migration velocity determination.
Geophysics 40, 6—16.
134. Doornbos, D. J. and Husebye, E. S. A972), Array analysis of PKP phases
and their precursors. Phys. Earth Planet. Int. 5, 387.
135. Dorman, L. M., Jacobson, R. S. and Shor, G. G. A981), Linear inversion
of body wave data. Part 1: Velocity structure from travel-times and ran-
ranges; Part 2: Attenuation. Geophysics 46, 138—162.
136. Douze, E. J. and Laster, S. J. A979), Statistics of semblance. Geophysics
44, 1999—2003.
137. Draper, N. R. and Smith, H. A966), Applied Regression Analysis. Wiley,
New York.
138. Dziewonski, A. M., Block. S. and Landisman, M. A969), A technique for
the analysis of surface waves. Bulletin Seismological Society of America,
427—444.
139. Dziewonski, A. M. and Gilbert, F. A972), Observations of normal modes
from 84 recordings of the Alaskan Earthquake of March 28, 1964. Geo-
phys. Journal of Roy. Astr. Soc. 27, 393—446.
140. Einstein, A. A905), Investigations on the theory of the Brownian move-
movement. Ann. d. Physik 17, also 19, 371—381, A906).
141. Embree, P., Burg, J. P. and Backus, M. M. A963), Wide band velocity
filtering —The Pie Slice Process. Geophysics 28, 948—974.
142. Evenden, B. S., Stone, D. R. and Anstey, N. A. A971), Seismic prospect-
prospecting instruments. 2, Gebruder Borntraeger, Berlin.
143. Euler, L. A748, 1753), De vibratione chordatum exercitatio. Memoires de
Tacademie des sciences de Berlin 4, 69—85.
144. Fail, J. R. and Grau, G. A963), Les Filtres en Eventail. Geophysica
Prospecting 11, 131—163.
145. Farnback, J. S. A975), The complex envelope in seismic signal analysis.
Bulletin seismological society of America 65, 951—962.
146. Fejer, L. A904), Untersuchungun uber Fouriersche reihen. Mathematische
Annalen 58, 51—69.
147. Fisher, R. A. A929), Tests of significance in harmonic analysis. Proc.
Roy. Soc. London, Ser. A125, 54—59.
148. Flinn, E. A. A965), Signal analysis using rectilinearity and direction of
particle motion. Proc. IEEE 53, 1874—1876.
149. Ford, W. T. and Hearne, J. W. A966), Least-squares inverse filtering.
Geophysics 31, 917—926.
150. Ford, W. T. A978), Optimum mixed delay spiking filters. Geophysics 43,
197-215.
151. Foster, M. R., Sengbush, R. L and Watson, R. L. A964), Suboptimum
filter systems for seismic data processing. Geophys. Prosp. 12, 173—191.
152. Fourgere, P. F. A975), A solution to the problem of spontaneous line
splitting in maximum entropy power spectrum analysis EOS Transactions,
American Geophysical Union 56, 1054.
153. Fourier, J. W. A822), Theorie Analytiques de la Chaleur, chapter 3 and 4,
141—303. Gauthier—Villars et fils, Paris.
154. Fourier, J. W. A824), Theorie du Movement del e la Chaleur dans les
corps solides. Memoire de TAcademie Royale des Sciences de l'lnstitute
de France. See Oeuvres de Fourier 2, 1—94. Gauthier—Villars et Fils,
Paris.
155. Fowler, R. A., Kotick. B. J. and Elliott, R. D. A967), Polarization analy-
analysis of natural and artifically induced geomagnetic micropulsations. J. Geo-
Geophys. Res. 72, 2871—2883.
382

156. Fryer, G. J., Odegard, M. E. and Sutton, G. H. A975), Deconvolution and
spectral estimation using final prediction error. Geophysics 40, 411 425.
157. Futterman, W. I. A962), Dispersive body waves. Journal of Geophysical
Research 67, 5279—5291.
158. Gabor, D. A946), Theory of communication, Part 1. Journal of Institute
of Electrical Engineers 93, part 111. 429—441.
159. Gailbraith, J. N. A971), Prediction error as a criterion for operator length.
Geophysics 35, 251—265.
160. Ganley, D. C. A979), The seismic measurement of absorption and dis-
dispersion. PhD Thesis, University of Alberta, Edmonton.
161. Gazdag, J. A978), Wave migration with the phase shift method. Geo-
Geophysics 43, 1342—1351.
162. Gazdag, J. A980), Wave equation migration with the accurate space de-
derivative method. Geophysical Prospecting 28, 60—70.
163. Gel\and, I. M. and Levitan, В. M. A955), On the determination of the
differential equation by its spectral function. American Mathematical So-
city Translation Ser 2 1, 253—305; Izvestia Akademia Nauk SSSR 77,
557—560, A951).
164. Gentleman, W. M. and Sande, G. A966), Fast Fourier transforms for fun
and profit. Proceedings of the Fall Joint Computer conference, San Fran-
Francisco. 563—578.
165. Gersch, W. A970), Estimation of the autoregressive parameters of a mixed
autoregressive moving-average time series. IEEE Transactions on Auto-
Automatic Control AC-15, 583—585.
166. Gersch, W. and Sharpe, D. R. A973), Estimation of power spectra with
finite order autoregressive models. IEEE Transactions on Automatic Con-
Control AC-18, 367—369.
167. Gersch, W. and Foutch, D. A. A974), Least squares estimates of structural
system parameters using covariance function data. IEEE Transactions on
Automatic Control AC-17, 493—494.
168. Gilbert, J. F. A971), Ranking and windowing gross earth data for in-
inversion and resolution. Geophysical Journal 23, 125—128.
169. Gilbert, F., Brune, J. N. and Dziewonski, A. M. A972). Inversion and
resolution for the seismological data set. Abstract. Ninth International
Symposium on Geophysical Theory and Computers Bahff, Canada, Uni-
University of Alberta.
170. Gimlin, D. R. and Smith, J. W. A980), A comparison of seismic trac sum-
summing techniques. Geophysics 45, 1017—1041.
171. Glenn, W. E., Ward, S. H., Pee pies, W. L, Ryu, J. and Phillips, R. /.
A973), The inversion of vertical magnetic dipole sounding data. Geo-
Geophysics 38, 1109—1129.
172. Godforth, T. and Herrin, E. A979), Phase matched filters. Application to
the study of Love waves. Bulletin Seismological Society of America 69,
27—44.
173. Gold, B. and Radar, С. М. A969), Digital processing of signals.
Chapter 3, McGraw-Hill Book Co., New York.
174. Golden, R. M. and Kaiser, J. F. A964), Design of a wide-band sampled
data filter. The Bell Telephone Technical Journal, 1533—1547.
175. Golden, R. M. A968), Digital filter synthesis by sampled-data transfor-
transformation. Transactions IEEE on Audio and Electroacoustics AV-16,
321—329.
176. Good, I. J. A958), An interaction algorithm and practical Fourier Ana-
Analysis. J. Roy. Stat. Soc. Series B, 20, 361—372.
177. Goodman, N. R. A957), On the joint estimation of the spectra cospectrum
and quadrature spectrum of the two-dimensional stationary Gaussian pro-
process. Scientific Paper No. 10 Engineering Statistics Laboratory, New York
University.
178. Goupillaud, P. L. A961), An approach to inverse filtering of near-surface
layer effects from seismic records. Geophysics, 26, 754—760.
179. Green, W. R. A975), Inversion of gravity profiles by use of a Backus-
383

Gilbert approach. Geophysics, 763—772.
180. Griffin, J. N. A966a), Application and development of polarization
(REMODE) filters. Seismic Data Laboratory Report 141, Teledyne Inc.
Alexandria, Va. (AD-630-515).
181. Griffin, J. N. A966b), REMODE signal/noise tests in polarized noise
Seismic Data Laboratory Report 162, Teledyne, Inc. Alexandria, Va
(AD-800-039).
182. Griffiths, L. G., Smolka, F. R. and Trembly. L D. A977), Adaptive decon
volution. A new technique for processing time varying seismic data. Geo
physics 42, 742—759.
183. Guillemin, E. A. A949), The mathematics of circuit analysis. John Wiley
and Sons Inc., New York.
184. Guillemin, E. A. A977), Synthesis of passive networks. John Wile, 588—
591.
185. Gurbuz, В. М. A972), Signal enhancement of vibratory source data in
the presence of attenuation. Geophysical Prospecting 20, 421—438.
186. Gutowski, P. R. and Kanasewich, E. R. A973), Velocity spectral evidence
of upper mantle discontinuities. Geophys. J. R. Astr. Soc. 36. 21—32.
187. Gutowski, P. R.; Robinson, E. R. and Treitel, S. A978), Spectral estima-
estimation: Fact or Fiction. IEEE Transactions on Geoscience Engineering GE-16,
80—94.
188. Haar, A. A910), Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme. Math
Ann. 69, 331—371.
189. Hadamard, J. A893), Resolution d'une question relative aux determinants.
Bull. Sci. Math ser 2 17, 240—246
190. Halpeny, O. S. A975), Appendix 6, Harm, in Digital Filtering and signal
processing by D. Childers and A. Durling. West Publishing Co, St Paul.
455—456.
191. Hammond, J. W. A962), Ghost elimination from reflection records Geo-
Geophysics 27, 48—60.
192. Hamon, B. V. and Hannan, E. /. A963), Estimating relations between time
series. Journal of Geophysical Research 68, 6033—6041.
193. Hannan, E. J. A960), Time series analysis. John Wiley & Sons, New York.
194. Harmuth, H. F. A968), A generalised concept of frequency and some ap-
applications. IEEE Transactions on Information Theory IT-14,' 375—382.
195. Harmuth, H. F. A969), Transmission of information by orthogonal func-
functions. Springer Verlag, Berlin, New York.
196. Harmuth, H. F., Andrews, H. C. and Shibata, K. A972), Two-dimensional
sequency filters. IEEE Transactions on Communications COM-20, 321—330.
197 Hasselman, K., Munk, W. and MacDonald, G. A963), Bispectra of ocean
waves. Ch. 8 of Time Series Analysis, Ed. M. Rosenblatt J. Wiley & Sons,
New York, 125—139.
198. Havskov, J. and Kanasevich, E. R. A973), Determination of the dip and
strike of the Moho fram Array studies. Bulletin Seismological Society of
America 68, 1415—1419.
199. Haubrich, R. A. A965), Earth Noise, 5 to 500 millicycles per second.
Journal of Geophysical Research 70, 1415—1427.
200. Heaviside, O. A899), Electromagnetic theory. London, 11, 34. From
Vol. I, II, III, 1893—1912, D Van Nostrand Co., New York.
201. Heaviside, O. A925), Electrical Papers, Copley Publishers, Boston.
202. Helstrom, С W. A960), Statistical theory of signal detection. Pergamon
Press, New York.
203. Hildebrand, F. B. A948), Advanced calculus for engineers. Prentics Hall,
New York.
204. Hilterman, F. G. A970), Three dimensional seismic modelling. Geophysics
35, 1020—1037.
205. Hirano, K, Nishimura, S. and Mitra, 5. K. A974), Design of digital
notch filters. Transactions IEEE on Communications C9M-22, 964—970.
206. Hood, P. A978), Finite difference and wave number migration. Geophy-
Geophysical Prospecting 26, 773—789.
384

207. Hubral, P., Treitel, S. and Gutowski, P. R. A980), A sun autoregressive
formula for the reflection response. Geophysics 45, 1697—2905.
208. Hurewicz, W. A947), Filters and servo systems with pulsed data Ch. 5,
p. 231—261 in Theory of Servomechanisms. McGraw-Hill, New York.
209. /. В. М. Applications Program, A968), System 360 Scientific Subroutine
Package, GH20-0205-4, 276—283.
210. loannides, G. A. A975), Application of multivariat autoregressive spectrum
estimation to ULF waves. Radio Science 10, 1043—1054.
211. Jackson, D. D. A973), Interpretation of inaccurate, insufficient and in-
inconsistent data. Geophysical Journal 28, 97—109.
212. Jackson, D. ?>., A973), Marginal solutions to quasi-linear inverse pro-
problems in geophysics. Edgehog method. Geophysical Journal 35, 121—136
213. Jenkins, G. M. and Priestly, M. B. A957), The spectral analysis of time
series. J. Royal Statis. Soc. 8, 19, 1—12.
214. Jenkins, G. M. A961), Geneial considerations in the analysis of spectrum.
Technometrics 3, 133—166.
215. Jenkins, G. M. and Watts, D. G. A969), Spectral Analysis and its Ap-
Applications. Holden Day, San Francisco, p. 164.
216. Johnson, /. M. and Smylie, D. E. A970), An inverse theory of the elec-
electrical conductivity of the lower mantle. Geophysical Journal 22, 41—53.
217. Johnson, S. J. and Anderson, N. A978), On power estimation in maximum
entropy spectrum analysis. Geophysics 43, 681—690.
218. Jones, R. H. A965), A reappraisal of the periodogram in spectral analysis.
Technometrics 7, 531—542.
219. Jones, R. H. A974), Identification and autoregressive spectrum estimation.
IEEE Transactions on Automatic Control AC-19, 894—898.
220. Jones, R. H. A976), Autoregression order selection. Geophysics 41, 771 —
773.
221. Jordan, C. A947), Calculus of finite differences. 2nd Edition, New York,
Chelsea Publishing Co.
222. Jordan, Т. Н. and Franklin, J. N. A971), Optimal solutions to a linear
inverse problem in geophysics. Proc. National Academy of Sciences 68,
291-293.
223. Judson, D. R, Lin, /., Schultz, P. S. and Sherwood, J. W. C. A980),—
Depth migration after stack. Geophysics 45, 361—375.
224. Jury, ?. /. A963), Recent advaces in the field of sampled data and di-
digital control systems. In theory of control systems using discrete informa-
information. Butterworths, London, 1—6.
225. Jury, E. /. A964), Theory and application of the z transform method.
John Wiley & Sons, New York.
226. Kailalh, T. A974), A view of three decades of linear filtering theoiy. IEEE
Transactions on Information Theory IT-20, 146—180.
227. Kaiser, J. F. A966). Digital Filters. Ch. 7 in Systems Analysis by Digital
Computers. 218—285. John Wiley and Sons, New York.
228. Kalaba, R. and Zagustin, E. A974), An initial value method for an inverse
problem in wave propagation. Journal of Mathematical Physics 15, 289—
290.
229. Kalman, R. E. A960), A new approach to linear filtering and prediction
problems. Transactions of ASME 82D, 34—35.
230. Kanasewich, E. R. and Agarwal, R. G. A970), Analysis of combined gra-
gravity and magnetic fields in wave number domain. J. Geoph. Res. 75, 5702—
5712.
231. Kanasewich, E. R., Hemmings, С D. and Alpaslan, T. A973), Nth root
stack non-linear multichannel filter. Geophysics 27, 927—938.
232. Kanasewich, E. R., Siewert, W. P., Burke, M. D., McCloughan, С. Н. and
Ramsdell, L. A974), Gain-ranging analog or digital seismic system. Bul-
Bulletin Seismological Society of America 64, 103—113.
233. Kay, L. A960), The inverse scattering problem when the reflection coeffi-
coefficient is a rational function. Communications on Pure and Applied Mathe-
Mathematics 13, 371.
25 Заказ № 4 385

234. Kay, S. M. A980), Л new ARMA spectral estimator. IEEE Transactions
on Acoustics, Speech and Signal Processing ASSP 28, 585 588.
235. Kay, S. M. A980), Noise compensation for auto-regressive spectral esti-
estimates. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing
ASSP 28, 292-3-3.
236. Keilis-Borok, V. I. and Yanovskaya, Т. B. A967), Inverse problems of
seismology. Geophysical Journal of the Roy, Astr. Soc. 13, 223—234.
237. Kelvin, Lord (Sir W. Thomson), A864), Dynamical problems regardin
elastic spheroidal shells and spheroids of incompressible liquid. Phil.
Trans. Roy. Soc. 153, 563—616.
238. Kemeraith, R. C. and Childers, D. G. A972), Signal extraction by cepstrum
techniques. IEEE Transactions on Information Theory IT-18, 745—
759.
239. Kennett, L N. A970), A note on the finite Walsh Transform. IEEE Trans-
Transactions on Information Theory IT-16, 489—491.
240*. Khintchine, A. A934), Korrelationstheorie der stationaren stochastischen
prozesse. Math. Annalen 109, 608.
241. Klauder, J. R., Prince, A. C, Darlington, S. and Albersheim, W. J. A960),
The theory and design of chirp radars. The Bell System Technical Jour-
Journal 39, 745—808.
242. Koehler, F. and Taner, M. T. A977), Direct and inverse problems relating
reflection coefficients and reflection response for horizontally layered me-
media. Geophysics 42, 1199—1206.
243*. Kolmogorov, A. N. A939), Interpolation and extrapolation. Bulletin de
l'academie des sciences de USSR. Ser. Math. 5, 5—14.
244*. Kolmogorov, A. N. A941), Stationary sequences in Hilbert space. Bull.
Moscow State Univ. Math. 2, 40.
245. Kortman, С. М. A967), Redundancy reduction. A practical method of
data compression. Proceedings IEEE 55, 253—263.
246*. Krein, M. G. A945), On a generalization of some investigations of
G. Szego, W. M. Smirnov and A. N. Kolmogorov. Doklady Akademy Nauk
SSSR, 46, 91—94, 306—309.
247. Krey, T. and Toth, F. A973), Remarks on wavenumber filtering in the
field. Geophysics 38, 959—970.
248. Krey, T. A976), Computation of interval velocities from common reflec-
reflection point moveout times for n layers with arbitrary dips and curvations
in three dimensions when assuming small shot-geophone distances. Geo-
Geophysical Prospecting 24, 91—111.
249. Kromer, R. E. A969), Asymptotic properties of the autoregressiv spectral
estimator. PhD Thesis. Department of Statistics, Stanford University, Te-
Technical Report 13.
250. Krutko, P. D. A969), Statistical dynamics of sampled data systems. Chap-
Chapter 2. American Elsevier Inc., New York.
251. Kulhanek, O. A976), Introduction to digital filtering in geophysics. El-
Elsevier Scientific Publishing Co., New York, 1—16.
252. Kunetz, G. and D'Erceville, I. A962), Sur certaines propnetes d'une onde
acoustique plane de compression dans un milieu stratifie. Annales de Geo-
physique 18, 351—359.
253. Kunetz, G. A964), Generalisation des operateurs d'anti-resonan ce a un
nombre quelconque de reflecteures. Geophys. Prosp 12, 283—289.
254. Kunetz, G. and Fourmann, J. M. A968), Efficient deconvolution of marine
seismic records. Geophysics 33, 412—423.
255. Кио, В. С A964), Automatic control systems. Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey.
256. Lacoss, R. T. A971), Data adaptive spectral analysis methods. Geophysics
36, 661—675.
257. Lamb, H. A882), On the vibrations of an elastic sphere. London Math.
Soc. Proc. 13.
258. Lamb, H. A932), Hydrodynamics, p. 320, article 209. Cambridge Univer-
University Press.
386

259. Lame, M. G. A853), Memoire sur Tequilibre d'elasticite des envelopes
spheriques. Comtes Rendue, 37.
260. Lanczos, C. A961), Linear differential operators. D. Van Nostrand Co,
London, 140.
261.* Landau, L. D. and Li\shitz, E. M. A962), The classical theory of fields.
Pergamon Press, Oxford, Chapter 6, 404.
262. Landisman, M., Dziewonski, A. and Sato, Y. A969), Recent improvements
in the analysis of surface waves observations. Geophysical Journal 17,
369—403.
263. Laplace, P. S. A779), Ouevres Completes. See also his book Analytic
Theory of Probability — The Calculus of Generating Functiones. Published
1882 by Gautier—Villars, Paris.
264. Laplace, P. S. A812), Des fonctiones generatrices a une variabl Livre
premier, Theorie Analytique des Probabilites, Oeuvres completes 7, 1—180.
Courcier, Paris.
265. Lamer, K. Hatton, L. and Gibson, B. A978), Depth migration of complex
offshore profiles. Proc. OTC, Houston.
266. Lebesgue, H. A905), Recherches sur la convergence des series de Fourier.
Matematische Annalen 61, 251—280.
267. Lee, Y. W. A960), Statistical theory of communication. John Wil Wiley
& Sons, Inc., New York.
268. Lee, Y. W. A964), Statistical theory of communication. John Wiley & Sons
Inc.
269. Lejeune Dirichlet, G. A829), Sur la convergence des series trigonometri-
ques qui servent a representer une fonction arbitraire entres des limites
donnees. Werke 1, 117—132. Berlin.
270. Levinson, H. A947), The Wiener RMS error criterion in filter design and
prediction. J. Math. Physics 25, 261—278.
271. Levshin, A. L, Sabitova, Т. M. and Valus, V. P. A966), Joint interpreta-
interpretation of body and surface waves data for a district in Middle Asia. Geo-
Geophysical Journal of Roy, Astr. Soc. 11, 57—66.
272. Levy, S. and Clowes, R. M. A980), Debubbling: A generalized linear in-
inverse approach. Geophysical Prospecting 28, 840—858.
273. Lewis, B. T. R. and Meyer, R. P. A968), A seismic investigation of the
upper mantle to the west of Lake Superior. Bull Seism. Soc. Am. 58,
565—596.
274. Lines, L. R. and Clayton, R. W. A977), A new approach to VIBROSEIS
deconvolution. Geophysical Prospecting 25, 417—433.
275. Lines, L. R., Clayton, R. W. and Ulrych, T. J. A980), Impulse response
models for noisey VIBROSEIS data. Geophysical Prospecting 28, 49—59.
276. Lockett, F. J. A962), The reflection and refraction of waves at an inter-
interface between viscoelastic media. Journal of Mechanics and Physical Solids
10, 53—64.
277. Loewenihal, D. A977), Numerical computation of the roots of polynomials
by spectral factorization. Topics in Numerical Analysis 3, 237—255. Acade-
Academic Press, London.
278. Loewenthal, D., Gutowski, P. R. and TreiteU S. A978), Direct inversion
of the transmission synthetic seismogram. Geophysics 43, 886—898.
279. Love, A. E. H. A911), Some problems of geodynamics. (See Love, A trea-
treatise on the mathematical theory of elasticity. Dover Publ. p. 286).
280. Lu, C. H. and Gupta, S. C. A978), A multirate digital filtering approach
to interpolation. Geophysics 43, 877—885.
281. Madden, T. A964), Spectral, cross spectral and bispectral analysis of low
frequency electromagnetic phenomena, 429—450 in Natural electromagnetic
phenomena below 30 Kc/s. Plenum Press, New York.
282. Malcev, A. I. A963), Foundations of Linear Algebra. H. W. Freeman and
Co., San Francisco.
283. Martin, M. A. A959), Frequency domain applications to data processing.
IRE Transactions on Space Electronics and Telemetry Vol. SET-5,
33—41.
387

284. May, В. Т. and Straley, D. К. A979), Higher order moveout spectra Geo-
Geophysics 44, 1193—1207.
285. Mayne, W. H. A962), Common reflection point horizontal data stacking
techniques. Geophysics 27, 927—938.
286. McDonald, J. A., Gardner, G. H. F. and Kotcher, J. S. A981), Areal seismic
methods for determining the extent of acoustic discontinuities. Geophysics
46, 2-16.
287. McDonough, R. N. A974), Maximum entropy spatial processing of array
data. Geophysics 39, 843—851.
288. Means, J. D. A972), The use of the three dimensional covariance matrix
in analyzing the polarization properties of plane waves. J. Geophysical
Research 77, 5551—5559.
289. Mendel, J. M. and Kormylo, J. A978), Single channel white noise esti-
estimators for deconvolution. Geophysics 43, 102—124.
290. Mendel, J. M., Nahi, N. E. and Chan, M. A979), Synthetic seismogram
using the state space approach. Geophysics 44, 880—895.
291. Mercado, E. A978), Maximum likelyhood filtering of reflection seismo-
seismograph data. Geophysics 43, 407—513.
292. Mereu, R. F. A976), Exact wave-shaping with a time-domain digital filter
of finite length. Geophysics 41, 659—672.
293. Mereu, R, F. A978), Computer program to obtain the weights of a time-
domain wave shaping filter which is optimum in an error distribution
sense. Geophysics 43, 197—215.
294. Mims, С. Н. and Sax. R. L. A965), Rectilinear motion detection (RE-
MODE). Seismic Data Laboratory Report 118, Teledyne, Inc. Alexandria,
Va. (AD-460-631).
295. Montalbetti, J. F. and Kanasewich, E. R. A970), Enchancement of tele-
seismic body phases with a polarization filter. Geophys. J. R. Astr. Soc. 21,
119—129.
296. Montalbetti, J. F. A971), Computer determinations of seismic velocities —
A review. Journal of the Canadian Society of Exploration Geophysicists 7,
32—45.
297. Moore, E. H. A920), (Untitled). Bulletin American Mathematical Society
26, 394—395.
298. Morf, M., Vienna, A., Lee, D. T. L. and Kailath, T. A978), Recursive mul-
multichannel maximum entropy spectral estimation. IEEE Transactions on Geo-
science Engineering GE-16, 85—94.
299. Muirhead, K. /. A968), Eliminating false alarms when detecting seismic
events automatically, Nature 217, 533—534.
300. Munk, W. H., Miller, G. R., Snodgrass, F. E. and Barber, N. F. A963),
Directional recording of swell from distant storms. Phil. Trans. Royal
Society, London A, 255, 505—589.
301. Naidu, P. S. A9?6), Fourier transform of large scale aeromagnetic field
using a modified version of the fast Fourier transform. Pure and Applied
Geophysics 81, 17—25.
302. Negi, J. G. and Dimri, V. P. A979), On Wiener filter and maximum en-
entropy method for multichannel complex systems. Geophysic Prospecting 27
156—167.
303. Neidell, N. S. and Taner, M. T. A971), Semblance and other coherency
measures for multichannel data. Geophysics 36, 482—497.
304. Ness. N. F., Harrison. J. C. and Slichter, L. B. A961), Observations of
the free oscillations of the earth. J. Geophys. Res. 66, 621—629.
305. Nolet, G. A978), Simultaneous inversion of seismic data. Geophysical
Journal 55, 679—691.
306. Noll, A. M. A966), Cepstrum pitch determination. The Journal of the
Acoustical Society of America 41, 293—309.
307. Northwood, E. J., Weisinger, R. C. and Bradley, J. J. A967), Recom-
Recommended standard for digital tape formats. Geophysics 32, 1073—1084.
308. Nyquist. H. A928), Certain topics in telegraph transmission theory.
A.I.E.E. Transactions, 617, 644.
388

309. Oldenburg, D. W. A976), Calculations of Fourier transforms by the
Backus—Gilbert method. Geophysical Journal 44, 413—431.
310. Oldenburg, D. W. A979), One — dimensional inversion of natural source
magnetotelluric observations. Geophysics 44, 1218—1244.
311. Olson, J. V. and Samson, J. C. A979), On the detection of the polariza-
polarization states of Pc micropulsations. Geophysical Research Letters 6, 413—416.
312. Olson, J. V. and Samson, J. C. A980), Generalized power spectra and the
Stokes vector representation of ULF micropulsation states. Canadian Jour-
Journal of Physics in Press.
313. Ooe, M. and Ulrich, T. J. A979), Minimum entropy deconvolution with an
exponential transformation. Geophysical Prospecting 27, 512—540.
314. Oppenheim, A. V. A965), Superposition in a class of nonlinear systems.
Technical Report 432, Research Laboratory of Electronics, M. I. T., Cam-
Cambridge, Mass. 1—62.
315. Oppenheim, A. V. A967), Generalized linear filtering. Information and
Control 11, 528—536.
316. Oppenheim, A. V. and Shafer, R. W. A975). Digital signal processing
Chapter 5, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.
317. Oppenheim, A. V. A978). Applications of digital signal processing. Pren-
Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. 1—499.
318. Orange, A. S. and Bostick, F. X. A965), Magnetotelluric micropusations
at widely separated stations. Journal of Geophysical Research 70, 1407—
1413.
319. Ormsby, J. F. A. A961), Design of numerical filters with applications to
missle data processing. Jour. Acm. 8, 440—466.
320. Otis, R. M. and Smith, R. B. A977), Homomorphic deconvolution by log
spectral averaging. Geophysics 42, 1146—1157.
321. Ott, N. and Meder, H. G. A972), The Kalman filter as a prediction error
filter. Geophysical Prospecting 20, 549—560.
322. Paley, R. E. A. C. A932), A remarkable series of orthogonal functions.
Proceedings of the London Mathematical Society 34, 241—279.
323. Paley, R. E. A. C. and Wiener, N. A934), Fourier transform in the com-
complex domain. Am. Math. Soc. Colloq. Pub. Vol. 19, Chapter 1.
324. Papoulis, A. A962), The Fourier integral and its applications. McGraw-
Hill Book Co., New York.
325. Papoulis, A. A973), Minimum-bias windows for high resolution. IEEE
Transactions on Information Theory 19, 9—12.
326. Parker, R. L. A970), The inverse problem of electrical conductivity in the
mantle. Geophysical Journal of Royal Astr. Soc. 22, 121—138.
327. Parker, R. L. A977), Understanding inverse theory. Annual Reviews of
Earth and Planetary Sciences 5, 35—64.
328. Parzen, E. A961), Mathematical considerations in the estimations of
spectra. Technometrics 3, 167—189.
329. Parzen, E. A962), Stochastic Processes, chapter 1, Holden —Day Inc. San
Francisco.
330. Parzen, E. A969), Multiple time series modeling in "Multivariate Ana-
Analysis II". P. R. Krishnaiah. Ed. New York, Academic Press, 389—409.
331. Paulson, K. V., Egetand, A. and Eleman, F. A965), A statistical method
for quantitative analyses of geomagnetic giant pulsations. Jour, of Atmo-
Atmosphere and Terrestrial Physics 27, 943—967.
332. Peacock, K. L., and Treitel, S. A969), Predictive deconvolution: Theory
and Practice. Geophysics 34, 155—169.
333. Pease III, M. C. A965), Methods of matrix algebra. 4, Academic Press,
New York. p. 406.
334. Pease, M. С A968), An adaptation of the fast Fourier transform for pa-
parallel processing. Journal, of the Association for Computing Machinery 15,
252—264.
335. Peirce, В. О. A956), A short table of integrals. Ginn and Co., Boston.
336. Pekeris, С L A960), Talk at the Helsinki meeting of the IUGG. See also
National Academy of Sciences, Proceedings 47, 95—96.
389

337. Pendrel, J. V. and Smylie, D. E. A979), The relationship between maxi-
maximum entropy and maximum likeli hood spectra. Geophysics 44, 1738—1739.
338. Penrose, R. A955), A generalized inverse for matrices. Proceedings of
Cambridge Philosophical Society 51, 406 413, 52, 17—19.
339. Peterson, R. A. and Dobrin, M. B. A966), A pictorial digital atlas. United
Geophysical Corporation. Pasadena, California.
340. Phillips, R. S. A947), Statistical properties of time-variable data, Ch. 6,
p. 262—307 in Theory of servo mechanisms. McGraw-Hill, New York.
341. Pisarenko, V. F. A972), On the estimation of spectra by means of non-
nonlinear functions of the covariance matrix. Geophysical Journal 28, 511—
531.
342. Pisarenko, V. F. A973), The retrieval of harmonics from a covariance
function. Geophysical Journal 33, 347—366.
343. Ponsoby, J. E. A973), An entropy measure for partially polarized radia-
radiation. Mon. Notices. Roy. Astron. Soc, 163, 369—380.
344. Porath, H. and Gough, D. I. A971), Mantle conductive structures in the
western United States from magnetometer array studies. Geophys. J. R.
Astr. Soc. 22, 261—275.
345. Pratt, W. /G. Kane, J. and Andrews, H. C. A969), Hadamard Transform
Image Coding. Proceedings of the IEEE 57, 58—68.
346. Press, F. A968), Earth models obtained by Monte Carlo Inversion. J. Geo-
Geophys. Res. 75, 5223—5234.
347. Press, F. and Biehler, S. A964), Inferences on crustal velocities and den-
densities from P wave delays and gravity anomalies. J. Geophys. Res. 69,
2979—2995.
348. Protter, M. H. and Money, С. В. Jr. A964), Modern mathematical analy-
analysis. Addison—Wesley Publ. Co. Inc., Reading, Mass.
349. Rabiner, L. R. and Gold, B. A975), Theory and applications of digital
signal processing. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs. New Jersey.
350. Radar, С. М. and Gold, B. A967), Digital filter design techniques in the
frequency domain. Proc. IEEE 55, 149—171.
351. Rademacher, H. A922), Einige Satze uber Reihen von allgemeinen ortho-
gonalfunctionen. Math. Annalen 87, 112—138.
352. Read, R. R. and Treitel, S. A973), The stabilization of two dimensional
recursive filters via the discrete Hilbert transform. IEEE Transactions on
Geoscience Electronics GE-11, 153—160, Addendum: 205—207.
353. Reed, I. 5. A954), A class of multiple-error correcting codes and the de-
decoding scheme. IRE Transactions on Information Theory IT-4, 38—49.
354. Reitzel, J. S., Gough, D. I., Porath, H. and Anderson, III, С W. A970),
Geomagnetic deep sounding and upper mantle structure in the western
United States. Geophys. J. R. Astr. Soc. 19, 213—235.
355. Rice, S. O. A944-45), Mathematical analysis of random noise. 282, Bell
System Technical Journal 23, 24. See also Selected papers on noise and
stochastic processes. Ed. N. Wax, 1954, 133—295, Dover Publ., New York.
356. Rice, R. B. A962), Inverse convolution filters. Geophysics 27, 4—18.
357. Riemann, B. A854), Veber die Anzahl der Prinzahlen unter einer gegebe-
ner Grosse. Werke (ed. 1876), 136—144. Also see on the possibility of
representing a function by means of a trigonometric series. Collected works
of Bernhard Riemann. Dover Publication, New York, 1953, 227—271.
358. Rietsch, E. A977), Computerized analysis of VIBROSEIS signal simila-
similarity. Geophysical Prospecting 25, 541—552.
359. Ristow, D. and Jurczyk, D. A974), VIBROSEIS deconvolution. Geophysi-
Geophysical Prospecting 23, 363—379.
360. Ristow, D. and Kosbahn, B. A979), Time varying prediction filtering by
means of updating. Geophysical Prospecting 27, 40—61.
361. Robinson, E. A. A957), Prediction deconvolution of seismic traces. Geo-
Geophysics 22, 539—586
362. Robinson, E. A. A962), Random wavelets and cybernetics systems. Hafner
Publishing Co., New York.
390

363. Robinson, E. A. A963), Mathematical development of discrete filters for
the detection of nuclear explosions. J. Geophys. Res. 68, 5559 5567.
364. Robinson, E. A. A964), Wavelet composition of time series. Ch. 2 of Eco-
Econometric Model Building, Ed. H. S. Wold, North Holland Pub. Co, Am-
Amsterdam.
365 Robinson, E. A. and Treitel, S. A964), Principles of digital filtering. Geo-
Geophysics 29, 395—404.
366 Robinson, E. A. and TreiteU S. A965), Dispersive digital filters. Reviews
of Geophysics 3, 433—461.
367. Robinson, E. A. A966), Fortran II programs for filtering and spectral
analysis of single channel time series. Geophys. Prosp. Vol. XIV, p. 8.
368. Robinson, E. A. A967), Statistical communication and detection. Appen-
Appendix 3, Hafner Publishing Co., New York.
369. Robinson, E. A. A967), Multichannel time series analysis with digital com-
computer programs. Appendix 3, 279 287, Holden Day, San Francisco.
370. Robinson, E. A. A966), Multichannel z — trasforms and minimum delay.
Geophysics 31, 482 500.
371. Robinson, E. A. and Treitel, S. A976), Net downgoing energy and the
resulting minimum phase property of downgoing waves. Geophysics 41,
1394—1396.
372. Robinson, E. A. and Silvia, M. T. A978), Digital signal processing and
time series analysis. Holden Day Inc., San Francisco.
373. Rosenfield, A. A969), Picture processing by computer. Academic Press,
New York, 1—18.
374. Runge, C. A903), Zeit fur Math, und Physik 48, 443.
375. Runge, C. A905), Zeit fur Math, und Physik 53, 117.
376. Runge, С and Konig, H. A924), Die Grundichren der Mathematischen
Wissenschaften. Band XI, Vorlesungen uber Numerisches Rechnen. Julius
Springer, Berlin.
377. Sabatier, P. C. A974), Remarks on approximate methods in geophysical
inverse problems. Proceedings of the Royal Society, London A337, 49—71.
378. Safon, С Wasseur, G. and Cuer, M. A977), Some applications of linear
programming to the inverse gravity problem. Geophysics 42, 1215—1229.
379. Samson, J. C, Jacobs, J. A. and Rostoker, G. A971), Latitude —dependent
characteristics of long — period geomagnetic micropulsations. J. Geophys.
Res. 76, 3675—3683.
380. Samson, J. C. A973), Description of the polarization states of vector pro-
processes: Application to ULF magnetic fields. Geophysical Journal 34, 403—
419.
381. Samson, J. С A977), Matrix and Stokes vector representation of detectors
for polarized waveforms. Theory and some application to Teleseismic waves.
Geophysical Journal 51, 583—603.
382. Samson, J. C. and Olson, J. V. A979), Generalized Stokes vectors and
generalized power spectra for second — order stationary vector processes.
Siam Journal of Applied Mathematics, in Press.
383. Samson, J. C. and Olson, J. V. A980), Some comments on the description
of the polarization states of waves. Geophysical Journal 61, 115—129.
384. Sande, G. A965), On an alternative method of calculating covariance
functions. Unpublished manuscript, Princeton University.
385. Satorius, E. H. and Zeidler, J. R. A978), Maximum entropy spectral ana-
analysis of multiple sinusoids in noise. Geophysics 43, 1111—1128.
386. Sattlegger, J. W. A975), Migration velocity determination. Geophysics 40,
1 —5.
387. Savage, J. С A976), Anelastic degradation of acoustic pulses in rocks —
Comments. Physics of the Earth and Planetary Interiors 11, 284—285.
388. Savitt, С. Н. A966), A proposed standard format for nine-track digital
tape. Geophysics 31, 812—815.
389. Sax, R. L. and Mims, С. Н. A965). Rectilinear motion detection (RE-
MODE). Seismic Data Laboratory. Teledyne Industries, Alexandria, Vir-
391

ginia. Advanced Research Project Agency report under Project Vela Uni-
Uniform, p. 1—14.
390. Schafer, R. W. A969), Echo removal by descrete generalized linear filter-
filtering. Technical Report 466, Research Lab. of Electronics, M. I. T., Cam-
Cambridge, Mass.
391. Schneider, W. A., Lamer, K. L., Burg, /. P. and Backus, M. M. A964),
A new data — processing technique for the elimination of ghost — arrivals
on reflection seismograms Geophysics 29, 783—805.
392. Schneider, W. A., Prince, Jr., E. R. and Giles, B. F. A965), A new data
processing technique for multiple attenuation exploiting differential normal
move-out. Geophysics 30, 348—362.
393. Schneider, W. A, and Backus, M. M. A968), Dynamic correlation ana-
analysis. Geophysics 33, 105—126.
394. Schneider, W. A. and Backus, M. M. A969), Dynamic correlation analysis.
Geophysics 32, 33—51.
395. Schneider, W. A. A978), Integral formulation for migration in two or
three dimensions. Geophysics 43, 49—76.
396. Schlutz, P. S. and Sherwood, J. W. C. A970), Depth migration before
stack. Geophysics 45, 376—393.
397. Schuster, A. A898), Investigation of hidden periodicities. Terrestrial Mag-
Magnetism 3, 13—41.
398. Seneff, S. A978), A fast new method for frequency filter analysis of sur-
surface waves. Bulletin Seismological Society of America 68, 1031—1048.
399. Seriff, A. J. and Kim, W. H. A970), The effect of harmonic distortion in
the use of vibratory surface sources. Geophysics 35, 234—246.
400. Shanks, J. L. A967), Recursion filters for digital processing. Geophysics
32, 33-51.
401. Shannon, С. E A948), A mathematical theory of communication. Bell
System Tech. J. 27, 379—423.
402. Sheingold, D. H. A972), Analog — digital conversion handbook. Analog
devices Inc., Northwood, Alass.
403. Shcn, Wen-Wa A979), A constrained minimum power adaptive beam for-
former with time varying adaptation rate. Geophysics 44, 1088 1096.
404. Sherwood, J. W. C. and Trorey, A. W. A965), Minimum phase and related
properties of a horizontally stratified absorptive earth to plane acoustic
waves. Geophysics 30, 191—197.
405. Shimshoni, Af. and Smith, S. A964), Seismic signal enchancement with
3 — component detectors. Geophysics 29, 664—671.
406. Silwa, W. A976), Body waves in a layered anelastic solid. Bull, of the
Seism. Soc. of Amer. 66, 1539—1554.
407. Silvia, M. T. and Robinson, E. A. A979), deconvolution of geophysical
time series in the exploration for oil and natural gas. Elseveir Scientific
Publ. Co., 1—251.
408. Simons, R. S. A968), A surface wave particle motion discrimination pro-
process. Bull. Seism. Soc. Am. 58, 629—637.
409. Sims, G. S. and D'Mello, M. R. A978), Adaptive deconvolution of seismic
signals. IEEE Trans. Geosc. Elect. GE16, 99—103.
410. Sinton, J. В., Ward, R. W. and Watkins, J. S. A978), Suppression of
long — delayed multiple reflections by predictive deconvolution. Geophysics
43, 1352—1367.
411. Smith, M. K. A958), A review of methods of filtering seismic data. Geo-
Geophysics 23, 44—57.
412. Smith, M. L. and Franklin, J. N. A969), Geophysical application of ge-
generalized inverse theory. J. Geophys. Res. 74, 2783—2785.
413. Smoluchowski, M. V. A906), Zur kinetischen Theorie der Brownschen Mo-
lekularbewegegung und der Suspensionen. Ann. d. Physik 21, 756—780.
414. Smylie, D. E., Clarke, G. К. С and Ulrich, T. J. A973), Analysis of irre-
irregularities in the earth's rotation in "Methods in Computational Physics"
13, Academic Press N. Y. 391—430.
415.* Solodovnikov, V. V. A952), Introduction to the statistical dynamics of
392

automatic control systems (Chapter 1). Translation ed. by J. B. Thomas
. and L. A. Zadeh, Dover Publ., N. Y. 1960.
416. Sorenson, H. W. A966), Kalman filtering techniques. Advances in Control
Systems, Theory and Application 3,Ed. C.T. Leondes, Academic Press, N.Y.
417. Stigall, P. D., and Panagas, P. A978), Data compression in microproces-
microprocessor based data acquisition systems. IEEE Trans. Geosc. Elec. GE-16, 323—
332
418. Stoffa, P. L, Buhl, P. and Bryan, G. M. A974), The application of homo-
morphic deconvolution to shallow water marine seismology. Part 1, Mo-
Models. Geophysics 39, 401—416.
419. Stokes, G. G. A852), On the composition and resolution of streams of
polarized light from different sources. Trans. Camb. Phil. Soc. 9, 399.
420. Stilt, R. A978), Migration by Fourier transform. Geophysics 43, 23—48.
421.* Stratonovich, R. L. A960), Application of the theory of Markov pro-
processes for optimum filtration of signals. Radio Engineering and Electro-
Electronical Physics (USSR) 1, 1—19.
422. Stratonovich, R. L. A970), Detection and estimation of signals in noise
when one or both are non-Gaussian. Proceedings IEEE 58, 670—679.
423. Stump]], K. A939), Tafeln und Aufgaben zur Harmonisches Analyse und
Periodogrammrechnung. Julius Springer, Berlin.
424. Swinger, D. N. A979). A comparison between Burg's maximum entropy
method and a non-recursive technique for the spectral analysis of deter-
deterministic signals. J. Geophys. Res. 84, 679—685.
425. Taner, M. T. and Koehler, F. A969), Velocity spectra — digital computer
derivation and application of velocity function. Geophysics 34, 859—881.
426. Taner, M. Т.. Koehler, F. and Sheriff, E. E. A979), Complex seismic trace
analysis. Geophysics 44, 1040—1063.
427. Tattersall, G. D. and Carey, M. /. A979), Digital band limiting f filters
for P. С. М. transmission systems. Trans. IEEE on Communications
COM-27, 240—246.
428. Taylor, G. I. A920), Diffusion by continuous movements. Proc. London
Math. Soc, Ser. 2, 20, 196—212.
429. Taylor, H. L, Bancks, S, C. and McCoy, J. F. A979), Deconvolution with
the 1 norm, Geophysics 44, 39—52.
430. Texas Instruments A966). Fundamentals of digitally recorded seismic data.
Manual No. 174498-0001 В., Dallas, Texas.
431. Thomas, G. B. A968), An Introduction to Statistical Communication
Theory. J. Wiley Sons, N. Y., 670.
432. Thomas, G. B. An introduction to statistical communication theory. John
Wiley Sons, Inc., New York, 1969.
433. Thomson, W. T. A950), Transmission of elastic waves through a stratified
medium. Journal of Applied Physics 21, 89—93.
434. Thornton, B. S. A979), Inversion of the geophysical inverse problem for
layers with non-uniqueness reduced to cases. Geophysics 44, 801—819.
435. Titchmarsh. E. C. A937, 1948), Introduction to the theory of Fourier in-
integrals. Chapter 5, University Press, Oxford.
436. Tooley, R. D. A955), Tables of special linear operators. Part 8 of geo-
geophysical Analysis Group Report No. 9, Editor: S. M. Simpson, Jr., De-
Department of Geology and Geophysics, M. I. T. Cambridge, Mass.
437. Treitel, S. A970), Principles of digital multichannel filtering. Geophysics
35, 785—811.
438. Treitel, S. and Robinson, E. R. A964), The stability of digital filters.
IEEE trans, on Geoscience Electronics GE-2, 6—18.
439. Treitel S. and Robinson, E. A. A966), The design of high resolution di-
digital filters. IEEE Transactions on Geoscience Electronics GE-4, 25—38.
440. Treitel, S. A974), The complex Wiener filter. Geophysics 39, 169—173.
441. Treitel, S.t Shanks, J. L and Frasier, C. W. A967), Some aspects of fan
filering. Geophysics 32, 789—800.
442. Treitel S., Gutowski, P. R. and Robinson, E. Л. A977), Empirical spectral
393

analysis revisited. Topics in Numerical. Analysis 3, Ed.: J. J. H. Miller:
Academic Press, London, 429—446.
443. Tribolet, J. M. A977), A new phase unwrapping algorithm. IEEE Trans-
Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing 77, 170—177.
444. Trorey, A. W. A962), Theoretical seismograms with frequency and depth
dependent absorption. Geophysics 27, 766—785.
445. Trorey, A. W. A970), A simple theory for seismic diffractions. Geophysics
35, 762-784.
446. Truxal, J. G. A955), Automatic feedback control system syntheses. Mc-
McGraw-Hill, 531.
447. Tsuboi, С and Fuchida, F. A939), Relations between gravity values and
corresponding subterranean mass distribution. Bull. Earthquake Res. Inst.
Tokyo 15, 636—649.
448. Tsuboi, С A959), Application of double Fourier series to computing gra-
gravity anomalies and other gravimetric quantities at higher elevations, start-
starting from given surface gravity anomalies. Inst. of Geodesy, Photography
and Cartography. Ohio State University Report No. 2.
449. Tukey, J. W. A949), The sampling theory of power spectrum estimates.
Symposium on application of autocorrelation analysis to physical problems,
47—67, Woods Hole, Mass., Office of Naval Research, Washington, D. С
450. Tukey, J. W. A965), Uses of numerical spectrum analysis in geophysics.
Presented at International Association of Statistics in the Physical Sciences
and the International Statistical Institute, Beograd, Yugoslavia, Sept. 14—
22, 1965, Princeton University.
451. Turin. G. L. A960), An introduction to matched filters. IRE Tran. on Ihf.
Theory, 311—329.
452. Vlrich, T. J. A971), Applications of homomorphic deconvolution to seismo-
seismology. Geophysics 36, 650—660.
453. Vlrich, T. J. A972), Maximum entropy power spectrum of truncated sinu-
sinusoids. J. Geoph. Res. 77. 1396—1400.
454. Vlrich, T. J., Jensen, O. G., Ellis, R. M. and Somerville, P. G. A972), Ho-
Homomorphic deconvolution of some teleseismic events. Bull. Seism. Soc,
Am. 62, 1269—1282.
455. Vlrich, T. J. and Jensen, O. A974), Cross spectral analysis using maxi-
maximum entropy. Geophysics 39, 353—354.
456. Vlrich, T. J. and Bishop, T. N. A975), Maximum entropy spectral analysis
and autoregressive decomposition. Rev. Geophysics and Space Physics 13,
183—200.
457. Vlrich, T. J. and Clayton, R. W. A976), Time series modelling and ma-
maximum entropy. Physics of the Earth and Planetary Interiors 12, 188—
200.
458. Vlrich, T. J., Walker, C. J. and Jurkevics, A. J. A978), A filter length
priterion for maximum entropy deconvolution. Jour. Can. Soc. Expl. Geoph.
14, 21—28.
459.* Valus, V. P. A968), Computation of seismic cross-sections conforming to
a set of observations. Some direct and inverse seismic problems. 4th issue,
ed. Keilis—Borok, V. I., Inst. of Phys. of the Earth, Moscow, p. 3—14.
460. Van den Bos, A. A971), Alternative interpretation of maximum entropy
spectral analysis. IEEE Transac. on Information Theory AC-17, 493—494.
461. Van der Pol, B. A929), See Operational calculus based on two —sided
Laplace integral. Cambridge University Press, Cambridge, U. K-, 1955.
462. Van Nostrand, R. A966), Seismic Filtering. Translated by N. Rothenburg
from Le Filtrage en Sismique. An edition by the French Institute of Petro-
Petroleum. Ed. by Soc. Expl. Geoph., Tulsa Okla., 1971.
463. Voith, R. P., Vogt, W. G. and Mickle, M. H. A972), On the computation
of the generalized inverse by classical minimization. Computing 9, 175—
187.
464. Vozoff, K. and Jupp, D. L. B. A975), Joint inversion of geophysical data.
Geoph. Jour. 42, 977—991.
465. Wadsworth, G. P., Robinson, E. A., Bryan. J. G. and Hurley, P M. A953),
394

Detection of reflections on seismic records by linear operators. Geophysics
18, 539—586.
466. Walker, G. A931), On periodicity in series of related terms. Proc. Royal
Soc. A131, 518—532.
467. Walsh, J. L. A923), A closed set of normal orthogonal functions Am. Jour.
Math. 45, 5—24.
468. Wang, R. J. and Treitel, S. A971), Adaptive signal processing through
stochastic approximation. Geoph. Prosp. 19, 718—728.
469. Wang, R. J. A977), Adaptive predictive deconvolution of seismic data.
Geoph. Prosp. 25, 342—381.
470. Ward, R. W. and Reining, J. B. A979), Cubic spline approximation of
inaccurate RMS velocity data. Geoph. Prosp. 27, 443—457.
471. Weidelt, P. A972), The inverse problem of geomagnetic induction. Zeit-
schrift fur Geophysik 38, 257—289.
472. Weinberg, L. A962), Network analysis synthesis. McGraw-Hill Book Co.,
Inc., Toronto, 485—498.
473. White, R. E. and Mereu, R. F. A972). Deconvolution of refraction seismo-
grams from large underwater explosions. Geophysics 37, 431—444.
474. Wiener, N. A923) Differential space. J. Math. Phys., M. I. T. 2, 131—174.
475. Wiener, N. A930J, Generalized harmonic analysis. Acta Mathematica 55,
117—258.
476. Wiener, N. A949), Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary
time series. J. Wiley & Sons, New York.
477. Wiener, N. and Hopf, E. A931), On a class of singular integral equations.
Proceedings of Prussian Academy, Mathematics — Physics Series. 696.
478. Wiggins, R. A. A966),—к filter design. Geoph. Prosp. 14, 427—440.
479. Wiggins, R. A. A972), The general linear inverse problem: Implications
of surface waves and free oscillations for earth structure. Rev. of Geo-
Geophysics and Space Physics 10, 251—285.
480. Wiggins, R. A. A977), Minimum entropy deconvolution. Proceedings In-
International Symposium on Computer Aided Seismic Analysis and Discrimi-
Discrimination, Falmouth Mass. IEEE Computer Soc. 7—13.
481. Wiggins, R. W. and Robinson, E. A. A965), Recursive solution to the
multichannel filtering problem. J. Geophys. Res. 70, 1885—1891.
482. Wiggins, R. A., Larner, K. L. and Wisecup, R. D. A976). Residual statics
analysis as a general linear inverse problem. Geophysics 41, 922—938.
483. Wold, H. A938), A study in the analysis of stationary time series. Thesis,
University of Stockholm, Almgvist and Wiksells, Uppsala, 2nd ed. A954).
484. Wolf, E. A959), Coherence properties of partially polarized electromagne-
electromagnetic radiation. II Nuovo Cimento 13, Series 10, 1165—1181.
485. Wood, L. С A974), Seismic data compression methods. Geophysics 39,
499—525.
486. Wood, L. C, Reiser, R. C, Treitel, S. and Riley, P. L A978), The de-
bubbling of marine source signatures. Geophysics 43, 715—729.
487. Woods, J. W. and Lintz, R. R. A973), Plane waves at small arrays. Geo-
Geophysics 38, 1023—1041.
488. Wuenschel, P. С A960), Seismogram synthesis including multiples and
transmission coefficients. Geophysics 25, 106—129.
489. Yuen, C. A970-71), Walsh functions and Gray Code IEEE Transactions
on Electromagnetic Compatibility EMC-12, 13, 68—73.
490. Yule, G. U. A927), On a method of investigating periodicities in distri-
distributed series, with special reference to Wolfer's sunspot numbers. Phil.
Trans. Roy. Soc. London, Ser. A226, 267—298.
491. Zadro, M. B. and Caputo, N. A968), Spectral, bispectral analysis and Q
of the free oscillations of the earth. Supplemento at Nuovo Cimento Vol. 6,
Series 1, 67—68.
Примечание. Звездочкой помечены работы, изданные на русском языке:
86. Бусленко П. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний и его
реализация на цифровых вычислительных машинах. М., Физматгиз, 1961.
395

240. Хинчин А. А Корреляционная теория стационарных случайных процес-
процессов,—Мат. анн., 1934, № 109.
243. Колмогоров А, Н. Интерполирование и экстраполирование стационар-
стационарных случайных последовательностей.— Изв. АН СССР. Сер. мат. 1941
№ 5, с. 3-14.
244. Колмогоров А Н. Стационарные последовательности в гильбертовом про-
пространстве.— Вестник МГУ. Сер. мат., 1941, № 2, с. 40.
245. Крейн М. Г. О генерализации некоторых исследований Шего Г., Смир-
Смирнова В. М. и Колмогорова А. Н.—Докл. АН СССР, 1945, № 46, с 91—
94, 306—309.
261. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Классическая теория поля. М., Наука,
1 Уои.
415. Солодовников В. В. Введение в статистическую динамику систем авто-
автоматического управления. М., Физматгиз, 1952.
421. Стратонович Р. Л. Приложение теории марковских процессов к опти-
оптимальной фильтрации сигналов.— Радиотех. и электр. физ., 1960, № 1,
с. 1—19.
459. Валуе В. П. Построение сейсмических разрезов, удовлетворяющих мно-
множеству наблюдений. Некоторые из прямых и обратных сейсмических
задач.—Труды ИФЗ АН СССР, вып. 4, 1968, с. 3—14.
предметный указатель
Алгоритм Левинсона 171, 175
Анализ
адаптивный спектральный 116, 120
биспектральный 112—113
взаимный спектральный 107—110
максэнтропийный спектральный 7, 116—144
Ансамбль 361
Весовая функция
Бартлета 105, 368—369
Бесселя 194
Ганна 366
Даниеля 100—102
Парзена 369
прямоугольная 98
Хемминга 366—367
Вибросейс 77
Волна
Лява 267
объемная 266
поперечная 225—226, 266
продольная 225—226, 266
Реле* 267
Гамнитуда 287
Деконволюция
гомоморфная 191, 285—289
минимально-энтропийная 191
оптимальная 163—165, 168, 171—176
предсказывающая 189
среднеквадратическая 163—165
Дельта-функция Дирака 64. 162—163, 347—
349
Динамический диапазон 298
Диполь 153, 156
Диракоид 156—160
Дисперсия 71, 363
Запись
аналоговая 298
цифровая 298
Импульс
единичный 69, 161
Клодера 79
нормированный волновой 155—156
реверсированный волновой 150
Риккера 183
Импульсоид 112
Интеграл Френеля 79—80
Интервал когерентности 111—112
Искажения дискретизации 91—96
Квадрат нормы 167, 178
Кепстр 287
Код
биполярный 305
Грея 306
двоичный 305
дополнительный 305
Рида—Мюллера 309
Шеннона—Фано—Гуфмана 318
Коспектр 109—111
Коэффициент
когерентности 109—112, 260
корреляции 72, 264, 270
Критерий информационный
Акайке 135
модификационный 135
Матрица
автоковариации 130, 179
Адамара 312—313
диагональная 263
ковариационная 82, 268—270
корреляционная 145
коэффициентов когерентности 264—266
перестановочная 45
присоединенная 279
разреженная 45
Топлица 127, 130, 169
унитарная 280
эрмитова 138, 279
396

Метод
максимального правдоподобия 116—117,
максимальной энтропии 120, 134, 139—144
решения обратной линейной задачи 321—
Множитель Лагранжа 126—127, 331
Обратная задача 14—15, 321—334.
Ожидание математическое 268, 363
Оператор
линейный 152, 165, 193
Мура—Пенроуза 329
обратный Ланцоша 329—333
ошибки предсказания 123, 125
предсказания 122, 186, 188
Отражение-спутник 236—238
Оценка спектральная
Даниеля 100—103
Бартлета 103—104
Ошибка
предсказания 128
среднеквадратическая 352
Периодограмма 8, 82—83, 98
Поляризация 261—266
Преобразование
Адамара 314—315
билинейное 215—217
быстрое Фурье 30—55, 372—376
Гильберта 290—298
Гуда 309
дискретное Фурье 33—40, 101
двухмерное Фурье 49—52
Лапласа 56—63, 69, 151
Пейли 315—316
Радемахера 309
Уолша 309-321
Фурье 84
Процесс
авторегрессионный 118—119, 134—136
Гаусса 362
детерминированный 360
Маркова 361
нелинейный 113
скользящего среднего 114—115
случайный 361
стохастический 360
Разложение Уолда 365
Разрешенность 101, 182
Рандомизация записи 104—105
Реверберация 234—235
Реверсоид 157—158, 166
Риккероид 183—185
Ряд
Лорана 151, 167
стационарный временной 359
стационарный случайный 361
Фурье 335—346
Свертка 24—30, 66, 68
Система счисления
восьмеричная 304
двенадцатеричная 304
двоичная смещенная 306
десятичная 304
шестнадцатеричная 304
Спектр
амплитудный 32, 56, 158, 296
взаимно-энергетический 21, 87, 109
второго порядка 285—289
дубль-фазовый 287
скоростной 254—260
фазовый 32—33, 56, 158, 296
энергетический 7, 85, 105—107
Теорема
Винера—Хинчина 84—86
Котельникова 92
Коши—Адамара 151
Уплотнение записи 317—319
Уравнение
Бурга 126
Левинсона 130—131
Эйлера—Лагранжа 7, 187
Условие Колмогорова 152
Фильтр
Баттеруорта 197—199, 204—205
Бесселя 194—195
веерный 238
Винера—Хопфа 186—188
высоких частот 193, 209—210
диракоидный 157, 161, 175
заграждающий 214
Кальмана 189
каскадный 197—199
Фильтр
Меро 189—191
направленный 238
нелинейный скоростной 249—253
нижних частот 193, 206—208
ошибки предсказания 127—128, 137
оптимальный линейный 168, 171, 186—188
параллельный 198—199
полосовой 192—225
поляризационный 261—285
пробка 200—204
' Раиса 182—186
реализуемый 25, 187
реверсоидный 157—158, 161
рекурсивный 8, 195—199
скоростной 238—253
формирующий 168, 176—182
центроидный 158—159, 167
Чебышева 223—224
Фильтрация
гомоморфная 287—289
оптимальная Винера—Хопфа 186—188
с нулевым фазовым сдвигом 199—200
Функция
автоковариации 72—77, 137—139, 149, 353
автокорреляции 8, 72
биокогерентности 113
взаимной ковариации 72, 88, 107—108,
353
взаимной корреляции 111, 124, 255
Функция
Гаусса 362
единичного скачка 57, 337
ковариации 71—77
когерентности 21, 109—112, 258
корреляции 71—77, 254
передаточная 69—71
прямоугольная 77
Хаара 309
Частота
зеркальная 92—96
кратности 287
Найквиста 91—97, 192
Чередота 310—314
Шум
белый 134, 363
броуновский 364
джонсонов 364
Энтропия 120—122, 125
Эффект Гиббса 194
Эхо-сигнал 285, 287

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Общие сведения 7
1.1. Исторический очерк 7
1.2. Применение методов анализа временных последовательностей 8
Глава 2. Свертка временного ряда 24
2.1. Введение 24
2.2. Свертка как численное интегрирование 26
2.3. Свертка как геометрическая операция сложения 26
2.4. Свертка как геометрическая операция взаимного сдвига . . 27
2.5. Свертка как алгебраическая операция 27
2.6. Свертка непрерывных сигналов 29
2.7. Алгоритм свертки 30
Глава 3. Быстрое преобразование Фурье 30
3.1. Ряды Фурье 30
3.2. Дискретное преобразование Фурье 33
3.3. Основы быстрого преобразования Фурье 40
3.4. БПФ с позиций матричного исчисления 43
3.5. Преобразование Фурье больших массивов данных 47
3.6. Одновременное вычисление двух преобразований Фуръе ... 48
3.7. Двухмерные преобразования Фурье 49
3.8. Программы быстрого преобразования Фуръе ........ 53
Глава 4. Преобразование Лапласа и отображение на комплексной
s-плоскости 56
4.1. Введение 56
4.2. Преобразование Лапласа 57
4.3. Примеры преобразования Лапласа 58
4.4. Смещение функции 61
Глава 5. Импульсная реакция, свертка и передаточная функция . . 64
5.1. Импульсная реакция 64
5.2. Свертка в частотной области 68
5.3. Передаточная функция 69
Глава 6. Функции корреляции и ковариации 71
6.1. Определения 71
6.2. Свойства функции автоковариации 73
6.3. Вибрационные источники 77
6.4. Многомерная регрессия 81
Глава 7. Теорема Винера—Хинчина и энергетический спектр .... 82
7.1. Периодограмма 82
7.2. Теорема Винера—Хинчина 84
7.3. Взаимный энергетический спектр 87
7.4. Компенсация влияния измерительной аппаратуры 89
Глава 8. Искажения, обусловленные дискретизацией 91
8.1. Частота Найквиста 91
8.2. Искажения за счет появления частоты Найквиста 92
Глава 9. Оценки энергетических спектров 97
9.1. Введение 97
9.2. Влияние конечности данных 97
9.3. Сглаживание краевых эффектов 99
9.4. Спектральная оценка Даниеля 100
9.5. Спектральная оценка Бартлета 103
9.6. Рандомизация (фильтрация) данных 104
9.7. Энергетический спектр в матричной форме 105
9.8. Вычисление спектров по функциям автоковариации 107
398

Глава 10. Взаимный спектральный анализ двух множеств данных . . 107
10.1. Вычисление функции взаимной ковариации с помощью БПФ 107
10.2. Взаимный спектральный анализ и функция когерентности 109
10.3. Коэффициент когерентности 111
10.4. Биспектральный анализ 112
10 5. Спектральная оценка процесса скользящего среднего .... 114
Глава 11. Максэнтропийный спектральный анализ 116
11.1. Адаптивные методы спектрального анализа 116
11.2. Понятие об энтропии 120
11.3. Максимизация количества информации 122
11.4. Порядковое число авторегрессионного процесса 134
11.5. Автоковариационная функция 137
11.6. Развитие максэнтропийного метода 139
Глава 12. Спектральные оценки по методу максимального правдопо-
правдоподобия 144
12.1. Введение 144
12.2. Сравнение методов спектральных оценок 147
Глава 13. Минимальное запаздывание и свойства фильтров .... 149
13.1. Введение 149
13.2. z-преобразование 150
13.3. Дипольное представление фильтрации 153
13.4. Нормированный волновой импульс 155
13 5. Диракоид 156
13.6. Реверсоид 157
13.7. Центроидный фильтр 158
13 8. Накопленная энергия 159
Глава 14. Деконволюция 160
14.1. Деконволюция как обратная фильтрация 160
14.2. Деконволюция с помощью усеченных операторов 162
14.3. Оптимальный диполь деконволюции 163
14.4. Общие уравнения деконволюции 169
14.5. Z-преобразование обратного фильтра 169
14 6. Рекурсивное уравнение Левинсона для обратного фильтра 171
14.7. Обратный формирующий фильтр 176
14.8. Фильтр обратной свертки Раиса 182
14 9. Оптимальный фильтр1 Винера—Хопфа 186
14.10. Новые способы деконволюции 188
Глава 15. Полосовые фильтры 192
15.1. Идеальные фильтры и их конечные приближения 192
15.2. Рекурсивные фильтры 195
15 3. Фильтры с нулевым фазовым сдвигом (каскадная форма) 199
15.4. Режекторные и узкополосные фильтры 200
15.5. Фильтры Баттеруорта 204
15.6. Число полюсов, требуемое для обеспечения заданного уров-
уровня подавления 205
15.7. Особые точки фильтра нижних частот Баттеруорта .... 206
15 8. Синтез ФВЧ путем частотного преобразования 209
15.9. Синтез полосового фильтра путем частотного преобразова-
преобразования 210
15.10. Билинейное z-преобразование 215
15.11. Цифровые фильтры Чебышева и Якоби 223
Глава 16. Распространение волн в слоистых средах с позиций теории
фильтрации 225
16.1. Введение 225
16.2. Отражение и прохождение волн на границе 225
16.3. Отражение в многослойной среде 227
16.4. Синтетическая сейсмограмма с учетом рассеяния 232
16 5. Реверберация в водном слое 234
16.6. Подавление волн-спутников 236
399

Глава 17. Скоростные фильтры 238
17.1. Введение 238
17.2. Линейные скоростные фильтры с прямоугольной полосой
пропускания 241
17.3. Рекуррентная формула скоростного фильтра 244
17.4. Нелинейные скоростные фильтры 249
Глава 18. Скоростные спектры 254
18.1. ОГТ и функции корреляции » . . . 254
18.2. Анализ скоростных спектров 258
Глава 19. Поляризационный анализ 261
19.1. Введение . . . 261
19.2. Теория поляризации 261
19.3. Временные поляризационные фильтры 266
19.4. Фильтр прямолинейного движения 273
19.5. Фильтр поверхностных волн 276
19.6. Поляризационные состояния и унитарные матрицы 279
Глава 20. Гомоморфная деконволюция 285
20.1. Спектры второго порядка при анализе эхо-сигналов .... 285
20.2. Гомоморфная фильтрация 287
Глава 21. Преобразование Гильберта 290
21.1. Минимальные фазы и запаздывание 290
21.2. Математическая трактовка преобразования Гильберта . . . 291
21.3. Огибающая функиия 295
21.4. Фазовый и амплитудный спектры физически реализуемого
фильтра 296
Глава 22. Цифровая регистрация данных 298
22.1. Состав цифровой регистрирующей системы 298
22.2. Преобразование систем счисления 303
22.3. Биполярный и другие двоичные коды 305
22.4. Восстановление непрерывных сигналов 307
Глава 23. Преобразование Уолша и уплотнение данных 309
23.1. Введение 309
23.2. Функция Уолша 310
23.3. Матрица Адамара 312
23.4. Преобразования Уолша и Адамара 314
23.5. Преобразование Пейли 315
23.6. Уплотнение данных 317
23.7. Алгоритм преобразования Уолша 320
Глава 24. Общий метод решения линейной обратной задачи 321
24.1. Введение 321
24.2. Дискретная линейная обратная задача 322
24.3. Обратная задача в случае переопределенной системы . . . 326
24.4. Обратная задача в случае недоопределенной системы ... 331
24.5. Заключение 333
Приложение 1. Ряды и интегралы Фурье 335
Приложение 2. Дельта-функция Дирака 347
Приложение 3. Уравнение Винера-Хопфа 349
Приложение 4. Стационарные временные ряды и белый шум .... 359
Приложение 5. Весовые функции 366
Весовые функции Ганна и Хемминга 366
Весовая функция Бартлета 368
Весовая функция Парзена 369
Приложение 6. Устойчивость фильтров 370
Приложение 7. Быстрое преобразование Фурье методом Кули—Тьюки 372
Список литературы 377
Предметный указатель 396