УДК 514.1
ББК 22.151.5
Е91
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии:
Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
240 с. - ISBN 5-9221-0252-4.
Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, кото-
которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой степени или
второй. На плоскости — это прямые и линии второго порядка. В простран-
пространстве — плоскости и прямые, поверхности второго порядка. Этот материал
изложен в книге в минимальном объеме, необходимом для усвоения даль-
дальнейших глав высшей математики и ее приложений.
Для студентов высших учебных заведений.
Ил. 122.
© ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2004, 2005
ISBN 5-9221-0252-4	© Н. В. Ефимов, 2002, 2004, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 		6
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости 		7
§ 1. Ось и отрезки оси		7
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось 		10
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Понятие
о декартовых косоугольных координатах 		12
§ 4. Полярные координаты 		16
Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости . .	19
§ 5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя точками 		19
§ 6. Вычисление площади треугольника 		24
§ 7. Деление отрезка в данном отношении 		26
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге
осей 		30
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при пово-
повороте осей 		31
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при из-
изменении начала и повороте осей 		33
Глава 3. Уравнение линии 		36
§11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий при помо-
помощи уравнений 		36
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий 		42
§ 13. Задача о пересечении двух линий		45
§ 14. Параметрические уравнения лилии 		46
§ 15. Алгебраические линии 		47
Глава 4. Линии первого порядка 		50
§ 16. Угловой коэффициент 		50
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 		51
§18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельнос-
параллельности и перпендикулярности двух прямых		54
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой . .	56
§20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в от-
отрезках» 		58
§21. Совместное исследование уравнений двух прямых		60
§22. Нормальное уравнение прямой. Задача вычисления расстояния
от точки до прямой		62
§23. Уравнение пучка прямых 		66

4	Оглавление
Глава 5. Геометрические свойства линии второго порядка		70
§24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического урав-
уравнения 		70
§25. Исследование формы эллипса		74
§26. Эксцентриситет эллипса 		77
§27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса		77
§28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения
эллипса 		78
§29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как
сечение круглого цилиндра		79
§30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического
уравнения 		82
§31. Исследование формы гиперболы 		86
§32. Эксцентриситет гиперболы 		93
§33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы ...	93
§34. Директрисы эллипса и гиперболы 		94
§35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы		97
§36. Исследование формы параболы 		100
§37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы		102
§38. Диаметры линий второго порядка 		104
§39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы 		109
§40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 		109
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат		111
§41. Примеры приведения общего уравнения линии второго поряд-
порядка к каноническому виду 		111
§42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола
как график квадратного трехчлена 		120
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии
в пространстве 		123
§43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве 		123
§44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось 		126
§45. Проекции вектора на оси координат 		130
§46. Направляющие косинусы 		132
§47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном
отношении		133
Глава 8. Линейные операции над векторами 		135
§48. Определение линейных операций		135
§49. Основные свойства линейных операций 		136
§50. Разность векторов 		139
§51. Основные теоремы о проекциях		141
§52. Разложение векторов на компоненты		144
Глава 9. Скалярное произведение векторов 		148
§53. Скалярное произведение и его основные свойства 		148
§54. Выражение скалярного произведения через координаты перемно-
перемножаемых векторов 		151

Оглавление	5
Глава 10. Векторное и смешанное произведения вектороы 		154
§55. Векторное произведение и его основные свойства		154
§56. Выражение векторного произведения через координаты перемно-
перемножаемых векторов 		161
§57. Смешанное произведение трех векторов 		163
§58. Выражение смешанного произведения через координаты перемно-
перемножаемых векторов 		167
Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии 		169
§59. Уравнение поверхности		169
§60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей ....	171
§61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей 		172
§62. Алгебраические поверхности		174
Глава 12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения пря-
прямой 		176
§63. Плоскость как поверхность первого порядка		176
§64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в от-
отрезках» 		179
§65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плос-
плоскости 		181
§66. Уравнения прямой 		185
§67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения пря-
прямой. Параметрические уравнения прямой 		189
§68. Некоторые дополнительные предложения и примеры		192
Глава 13. Поверхности второго порядка 		198
§69. Эллипсоид и гиперболоиды 		198
§70. Конус второго порядка 		204
§71. Параболоиды		205
§72. Цилиндры второго порядка 		209
§73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Конструкции В.Г. Шухова 		210
Приложение. Элементы теории определителей 		215
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными		215
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя
неизвестными 		219
§ 3. Определители третьего порядка 		222
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры 		226
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени
с тремя неизвестными		230
§ 6. Понятие определителя любого порядка 		237

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании произведены следующие изменения:
1.	Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравне-
уравнению линии второго порядка. Дело в том, что приведение к канони-
каноническому виду такого уравнения само по себе является вполне про-
простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто встречается,
чтобы имело смысл запоминать для нее готовые формулы. Поэтому
здесь достаточно разъяснить сущность метода, что и сделано.
2.	В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложе-
разложении вектора по косому базису.
3.	Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
4.	Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего
издания (приведение к каноническому виду общего уравнения по-
поверхности второго порядка).
Таким образом, в книге оставлены лишь те вопросы, которые
соответствуют основным разделам программы по математике для
высших технических учебных заведений в части аналитической гео-
геометрии и теории определителей.
Теперь по поводу произведенных сокращений. Они касаются
общей теории кривых и поверхностей второго порядка. Изложе-
Изложение этих вопросов в предыдущем издании книги ориентировалось
только на решение определенных задач аналитической геометрии.
Между тем, для приложений требуются многие вопросы алгебры,
которые тесно связаны с аналитической геометрией. Поэтому ана-
аналитическую геометрию следует излагать так, чтобы важные алгеб-
алгебраические понятия получили в ней достаточную акцентировку.
В частности, в теории кривых и поверхностей второго порядка
должны получить достаточное освещение основные свойства квад-
квадратичных форм.
Сюда примыкают также линейные преобразования и матрицы. Все
эти вопросы изложены нами в отдельной небольшой книжке («Квад-
(«Квадратичные формы и матрицы»), которая издается в серии «Избранные
главы высшей математики для инженеров и студентов втузов».
28 декабря 1961г.
Н. Ефимов
Настоящее (тринадцатое) издание не отличается от предыдущего
A975 г.)

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 1
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Ось и отрезки оси
1. Рассмотрим произвольную прямую. Она имеет два взаимно
противоположных направления. Изберем по своему желанию одно
из них и назовем его положительным (а противоположное направ-
направление — отрицательным).
Прямую, на которой «назначено» положительное направление,
мы будем называть осью. На чертежах положительное направле-
направление оси указывается стрелкой (см., например, рис. 1, где изобра-
изображена ось а).
А	В	D	С а
i	1	1	1	>
Рис. 1
2. Пусть дана какая-нибудь ось и, кроме того, указан масштаб-
масштабный отрезок, т. е. линейная единица, с помощью которой любой
отрезок может быть измерен и тем самым для любого отрезка мо-
может быть определена его длина.
Возьмем на данной оси две произвольные точки и пометим их
буквами А, В. Отрезок, ограниченный точками А, В, называется
направленным, если сказано, какая из этих точек считается нача-
началом отрезка, какая концом. Направлением отрезка считается на-
направление от начала к концу.
В дальнейшем тексте направленный отрезок обозначается двумя
буквами с чертой над ними, именно теми же буквами, какими
помечены ограничивающие его точки; при этом буква, которой
помечено начало, ставится на первом месте. Таким образом, АВ
обозначает направленный отрезок, ограниченный точками А, В,
началом которого является точка А; ВА обозначает направленный

Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
отрезок, ограниченный точками А, В, началом которого является
точка В.
В дальнейшем, рассматривая направленные отрезки оси, мы ча-
часто будем называть их просто отрезками, опуская слово «направ-
«направленный».
Условимся называть величиной отрезка АВ некоторой оси число,
равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого
отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком
минус, если оно совпадает с отрицательным направлением оси. Ве-
Величину отрезка АВ мы будем обозначать символом АВ (без черты).
Мы не исключаем случая, когда точки А ж В совпадают; тогда
отрезок АВ называется нулевым, так как величина его АВ равна
нулю. Направление нулевого отрезка неопределенно и, таким обра-
образом, называть такой отрезок направленным можно лишь условно.
Величина отрезка, в отличие от его длины, есть число
относительное] очевидно, длина отрезка есть модуль его величи-
величины*), поэтому, в согласии с принятым в алгебре способом обозна-
обозначать модуль числа, для обозначения длины отрезка АВ мы будем
употреблять символ \АВ L Ясно, что \АВ\ и \ВА |обозначают одно
и то же число. Напротив, сами величины АВ и В А отличаются зна-
знаком, так что
АВ = -ВА.
На рис. 1 изображены ось а и на ней точки А, В, С, D; EiE2 —
масштабный отрезок. Точки А, В, С, D предполагаются расположен-
расположенными так, что расстояние между Аи В равно двум, между С и D —
трем. Направление от А к В совпадает с положительным направле-
направлением оси, направление от С к D противоположно положительному
направлению оси. В данном случае мы имеем, следовательно,
АВ = 2, CD = -3
или
ВА = -2, DC=3.
Кроме того, можно написать
ЦВ 1=2, | CD 1=3.
3. При любом расположении точек А, В, С на оси величины от-
отрезков АВ, ВС и АС связаны соотношением
АВ+ВС=АС\	A)
это соотношение мы будем называть основным тождеством.
*) Слово «модуль» означает то же, что и «абсолютная величина».

§ 1. Ось и отрезки оси
Докажем основное тождество. Предположим сначала, что отрез-
отрезки АВ и ВС, будучи ненулевыми, имеют одинаковые на-
направления (рис. 2, верх); тогда отрезок АС имеет длину, равную
сумме длин отрезков АВ, ВС и направлен одинаково с ними.
В этом случае все три числа АВ, ВС и АС имеют одинаковые знаки,
число ^Сравно сумме чисел АВ, ВС, т. е. тождество A) справедливо.
Предположим теперь, что отрезки АВ и ВС, будучи ненулевы-
ненулевыми^ имеют разные направления (рис. 2, низ). Тогда отрезок
АС имеет длину, равную разности длин отрезков АВ, ВС и на-
направлен так же, как более длинный из них. В этом случае числа АВ
и ВС имеют разные знаки, а число АС имеет модуль, равный разно-
разности модулей чисел АВ, ВС, и знак, совпадающий со знаком того из
этих чисел, модуль которого больше. Следовательно, по правилу
сложения относительных чисел и при таком расположении точек
число ^Сравно сумме чисел AS, ВС, т. е. тождество A) справедливо.
А	ВС
—i	1	1	>
А	С В
—i	1	1—
Рис.2
Предположим, наконец, что какой-нибудь из отрезков АВ,
ВС — нулевой. Если АВ — нулевой отрезок, то точка В совпада-
совпадает с точкой А, следовательно,
АВ+ВС=АА+АС=О+АС=АС
Если ВС — нулевой отрезок, то точка В совпадает с точкой С,
следовательно,
АВ+ВС=АС+СС=АС+О=АС
Итак, тождество A) действительно справедливо при всех распо-
расположениях точек А, В, С
Замечание. Если бы в соотношении A) символы АВ, ВС
я АС считались просто длинами соответствующих отрезков
(без учета знаков!), то оно было бы верно только тогда, когда точ-
точка В лежит между точками Аи С. Универсальность соотношения
A) имеет своим источником именно то обстоятельство, что АВ, ВС
и АС в нем понимаются как величины отрезков АВ, ВС
и АС, т. е. как длины их, взятые с надлежащими знаками *).
*) Если отрезки не лежат на какой-либо оси, а рассматриваются как произ-
произвольные отрезки на плоскости, то нет оснований условно приписывать их дли-
длинам тот или иной знак. В таких случаях длины отрезков можно обозначать как
в элементарной геометрии, без символа модуля, что мы и будем часто делать
в дальнейшем (см., например, п° 40, где длина отрезка обозначена через СМ
вместо I СМ\).

10	Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось
4.	Мы укажем здесь способ, с помощью которого положе-
положение точек на произвольно выбранной прямой можно опреде-
определять заданием чисел.
Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок
в качестве линейной единицы, назначим на прямой а положи-
положительное направление (благодаря чему она станет осью) и отметим
на этой прямой буквой О какую-нибудь точку.
После этого условимся называть координатой любой точки М
на оси а величину отрезка ОМ. Точку О будем называть началом
координат; ее собственная координата равна нулю.
Заданием координаты точки М положение этой точки на дан-
данной прямой определяется вполне. Именно, модуль координаты,
т. е. ОМ, есть расстояние точки М от (заранее фиксированной)
точки О, а знак координаты, т. е. знак числа ОМ, устанавливает,
в каком направлении от точки О расположена точка М; если коор-
координата положительна, то точка М расположена в положительном
направлении от точки О, если отрицательна, — то в отрицательном,
если же координата равна нулю, то точка М совпадает с точкой О
(все это непосредственно следует из определения величины отрезка
оси; см. п° 2).
Представим себе, что прямая а расположена перед нами гори-
горизонтально и положительно направлена в правую сторону. Тогда
расположение точек прямой а, в зависимости от знака их коорди-
координат, может быть описано следующим образом; точки, имеющие
положительные координаты, лежат справа от начала координат О,
а точки, имеющие отрицательные координаты, — слева от начала
координат О.
Координату произвольной точки обычно обозначают буквой х.
В тех случаях, когда рассматривается несколько точек, их часто
обозначают одной буквой с разными номерами, например,
Мь Мъ..., Мп координаты этих точек тогда также обозначают одной
буквой с соответствующими номерами хь х2,..., хп.
Желая кратко указать, что данная точка имеет данную коорди-
координату, записывают эту координату в круглых скобках рядом с обо-
обозначением самой точки, например: М{ (хх), М2 (х2),..., Мп (хп).
5.	Здесь мы докажем две простые, но важные теоремы. Они
относятся к оси, на которой введена координатная система.
Теорема 1. Каковы бы ни были две точки оси Мх (xi) и М2 (х2),
всегда имеет место равенство
= х2-х1.	A)

§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось	11
Доказательство. Вследствие основного тождества (п° 3)
ОМ1 + М1М2=ОМ2,
откуда
МХМ2= ОМ2-ОМХ.
Но ОМ2 = хъ ОМ{ = хъ следовательно,
х2 2ъ
что и требовалось доказать.
Сущность этой теоремы можно высказать такими словами: что-
чтобы получить величину отрезка оси, нужно от координаты его конца
отнять координату начала. (См. рис. 3 и 4; в случае рис. 4 необхо-
необходимо учесть, что координата х{ отрицательна.)
Теорема 2. Если M^Xi) и М2(х2) — любые две точки оси и d —
расстояние между ними, то
d=\x2-xl\.	B)
Доказательство. Согласно предыдущей теореме
но расстояние между точками Мь М2 есть модуль величины отрез-
отрезка МХМ2 , следовательно,
d= \x2-x1\.
Теорема доказана.
Замечание. Так как числа х2 - хх и хх - х2 имеют общий мо-
модуль, то с равным правом можно писать d= \х2 - х{ I и d= \х{ - х21.
Приняв это во внимание,
мы можем выразить смысл
доказанной теоремы так: что-
чтобы вычислить расстояние
между двумя точками оси,
нужно от координаты одной	мх	О	м2
из них отнять координату	lv^^ x ^-As^ х ^^
другой и взять модуль полу-	р .
ченной разности.
м2
Пример LJJaHbi точки ^4E), ^(-1), С(-8), DB); найти величины отрез-
отрезков АВ , CD и DB.
Решение. На основании теоремы 1 имеем
АВ = -1-5=-6,
Пример 2. Найти расстояние между точками РC) и Q(-2).
Решение. На основании теоремы 2
d= I-2-3I = 1-51 =5.

12	Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
6.	Если на какой-нибудь оси введена координатная система, то
каждая точка этой оси имеет одну вполне определенную координату.
Обратно, какое бы мы ни взяли (вещественное) число х, на оси най-
найдется одна вполне определенная точка М с данной координатой х.
Условимся говорить, что точка М изображает число х. Ось, на
которой введены координаты по способу, описанному в п° 4, так что
ее точки изображают все вещественные числа, называется числовой
осью. На рис. 5 изображены числовая ось и несколько целых чисел.
-4-3-2-10 1 2 3 4
—i	1	1	1	1	1	1	1	ь-
Рис. 5
Условившись изображать числа в виде точек числовой оси, мы
тем самым делаем геометрически наглядным наше представление
о всех числах в их совокупности. Вместе с тем мы получаем воз-
возможность формулировать в геометрических терминах арифмети-
арифметические соотношения. Например, все решения неравенств 3 <х< 5
можно наглядно представить себе в виде точек числовой оси, рас-
расположенных между двумя ее точками, из которых одна изобража-
изображает число 3 (т. е. имеет координату, равную 3), другая — число 5
(т. е. имеет координату, равную 5). Это обстоятельство можно ко-
коротко выразить так: неравенства 3 < х < 5 определяют интервал (чис-
(числовой оси), ограниченный точками 3 и 5.
Выражение арифметических соотношений геометрическими тер-
терминами оказалось весьма удобным и постоянно употребляется во
всех разделах математики.
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.
Понятие о декартовых косоугольных координатах
7.	Если указан способ, позволяющий устанавливать положение
точек плоскости заданием чисел, то говорят, что на плоскости
введена система координат. Мы рассмотрим сейчас простейшую
и наиболее употребительную систему координат, которая называ-
называется декартовой прямоугольной.
Декартова прямоугольная система координат определяется за-
заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпен-
перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке (т. е. ука-
указано, какая из них считается первой, а какая — второй). Точка
пересечения осей называется началом координат, а сами оси —
координатными осями, причем первую из них называют также осью
абсцисс, а вторую — осью ординат.
Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс — буквами
Ох и ось ординат — буквами Оу. На чертежах буквы х, у ставятся

§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости	13
около соответственных осей в положительном направлении от точ-
точки О в том месте, где изображения осей обрываются; таким обра-
образом, само расположение букв О и х на чертеже указывает, куда
направлена ось абсцисс, а расположение букв Он у — куда направ-
направлена ось ординат. Тем самым отпадает надобность указывать поло-
положительные направления осей стрелками, поэтому в дальнейшем на
наших чертежах стрелки на координатных осях не ставятся.
Пусть М — произвольная точка плоскости. Спроектируем точ-
точку Мна координатные оси, т. е. проведем через Мперпендикуляры
к прямым Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим
соответственно Мхн Му (рис. 6).
Координатами тонки М в заданной системе называются числа
х=ОМх, у=ОМу,	A)
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМу —
величину отрезка ОМУ оси ординат. Число х называется первой
координатой или абсциссой точки М, число у называется второй
координатой или ординатой точки М. Желая кратко указать, что
точка М имеет абсциссу х и ординату у,
пользуются записью: М(х; у). Если нам при-
придется рассматривать несколько точек, то мы
часто будем обозначать их одной буквой
с разными номерами, например, Мъ М2,...9 Мп; му\	„ м
тогда координаты этих точек мы будем по-
помечать соответствующими номерами и запи-
записывать рассматриваемые точки так: Мх (хх\ у{)9	о
мх
ппп
8.	Если задана система декартовых прямо-	Рис. 6
угольных координат, то каждая точка плос-
плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару коор-
координат х, у. Обратно, каковы бы ни были два (вещественных) числа
х, у, на плоскости найдется одна вполне определенная точка, абс-
абсцисса которой в данной системе есть х, а ордината есть у. Чтобы
построить точку по ее координатам х, у, нужно на оси абсцисс
отложить от начала координат отрезок ОМХ , величина которого
равна х, а на оси ординат — отрезок ОМУ , величина которого
равна у (направления, в которых следует откладывать эти отрезки,
определяются знаками чисел х, у); после этого, проводя через Мх
прямую, параллельную оси Оу, и через Му — прямую, параллель-
параллельную оси Ох, мы найдем искомую точку М как точку пересечения
проведенных прямых.
9.	В п° 4 мы объяснили, как вводится система координат на
прямой. Введем теперь на каждой из координатных осей Ох и Оу

14	Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
систему координат, сохранив данную нам линейную единицу и дан-
данные направления осей Ох и Оу, а в качестве начала координат на
каждой оси выбрав точку О.
Рассмотрим произвольную точку М и ее проекцию Мх на ось Ох.
Точка Мх имеет на оси Ох координату, равную величине отрез-
отрезка ОМх; эта же величина названа нами (в п° 7) абсциссой точ-
точки М. Отсюда можно заключить: абсцисса точки Мравна коорди-
координате точки Мх на оси Ох. Аналогично: ордината точки Мравна
координате точки Му на оси Оу. Эти предложения при всей их
очевидности являются для нас весьма важными. Именно, они дают
право при рассмотрении точек на плоскости применять теоре-
теоремы 1 и 2 (п° 5), выражающие известные свойства координатной
системы на прямой.
10.	Чтобы удобнее формулировать последующие факты, мы усло-
условимся сейчас насчет некоторых терминов.
Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; ту из
них, которая расположена в положительном направлении оси Ох,
мы назовем правой, другую — левой.
Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полуплоскости;
ту из них, которая расположена в положительном направлении оси
Оу, мы будем называть верхней, другую — нижней *).
11.	Пусть М— произвольная точка правой полуплоскости; тогда
отрезок ОМх имеет на оси Ох положительное направление, и, сле-
следовательно, абсцисса х= ОМХ точки М положительна. Если же М
находится в левой полуплоскости, то отрезок ОМХ имеет на оси Ох
отрицательное направление, и число х= ОМХ отрицательно. Нако-
Наконец, в том случае, когда точка Млежит на оси Оу, ее проекция Мх
на ось Ох совпадает с точкой О и х= ОМХ есть нуль.
Таким образом, все точки правой полуплоскости имеют положи-
положительные абсциссы {х> 0), все точки левой полуплоскости имеют от-
отрицательные абсциссы (х< 0); абсциссы точек, лежащих на оси Оу,
равны нулю (х=0).
Аналогично рассуждая, установим, что все точки верхней полу-
полуплоскости имеют положительные ординаты (у > 0), все точки ниж-
нижней полуплоскости имеют отрицательные ординаты (у < 0); ордина-
ординаты точек, лежащих на оси Ох, равны нулю (у = 0).
Заметим, что у начала координат О, как точки пересечения осей,
обе координаты равны нулю: х= 0, у = 0, и этим оно характеризует-
характеризуется (т. е. обе координаты равны нулю только для точки О).
*) Такие названия оправдываются тем, что на чертежах координатные оси
обычно располагаются так, чтобы при рассмотрении их ось Ох была видна
направленной вправо, а ось Оу — вверх.

если
если
если
если
х>
х<
х<
х>
о,
0,
0,
0,
У>
У>
У<
У<
о,
о,
о,
о,
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости	15
12.	Две координатные оси вместе разделяют плоскость на че-
четыре части; их называют координатными четвертями и нумеруют
по определенному правилу. Именно — первой координатной четвер-
четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и верхней
полуплоскостях, второй — лежащая в левой и в верхней полуплос-
полуплоскостях, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоскостях,
наконец, четвертой четвертью называется та, которая лежит в пра-
правой и в нижней полуплоскостях. (Нумерация координатных чет-
четвертей показана на рис. 7.)
Пусть М — некоторая точка с координатами х, у. Из предыду-
предыдущего следует, что
то М лежит в первой четверти,
то М лежит во второй четверти,
то М лежит в третьей четверти,
то М лежит в четвертой четверти.
Рассмотрение координатных полуплоскостей и четвертей полез-
полезно тем, что помогает легко ориентироваться в расположении задан-
заданных точек по знакам их координат.
13.	Мы познакомились с декартовой прямоугольной системой
координат. Эта система наиболее употребительна. Однако в от-
отдельных случаях, при рассмотрении специальных задач, могут ока-
оказаться более удобными и другие системы. Расскажем в немногих
словах о декартовых координатах с любым углом между осями.
Такая система координат определяется заданием масштаба и двух
осей Ох, Оу, пересекающихся в точке О под любым углом (кроме
0° и 180°). Пусть М — произвольная точка плоскости. Проведем
через Мпрямые, параллельные осям Ох, Оу, и обозначим точки их
пересечения с этими осями соответственно через Мх и Му (рис. 8).
У
I
У
	.м
о
III
IV
о/	mv
Рис. 7	Рис. 8
Координатами точки М в заданной системе называются числа
х=0Мх, у=ОМу,
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси Ох, а ОМу — величи-
величину отрезка ОМУ оси Оу.

16	Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
В том частном случае, когда угол между осями Ох, Оу равен
прямому, описанная сейчас система координат оказывается де-
декартовой прямоугольной системой. Если же угол между ося-
осями Ох, Оу не прямой, то эта система координат называется декар-
декартовой косоугольной. В нашей книге в дальнейшем декартовы
косоугольные координаты не употребляются. Поэтому декартовы
прямоугольные координаты мы будем часто называть просто
декартовыми координатами.
§ 4. Полярные координаты
14. Здесь мы опишем так называемую полярную систему коорди-
координат] она весьма удобна и применяется довольно часто.
Полярная система координат определяется заданием некоторой
точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА,
называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кро-
Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, ка-
какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обыч-
Обычно считают положительными те повороты, которые совершаются
«против часовой стрелки».
Пусть заданы полюс и полярная ось (рис. 9). Рассмотрим произ-
произвольную точку М и обозначим через р расстояние ее от точки О
(р = I ОМ |), через 9 — угол, на который
нужно повернуть луч О А для совмеще-
совмещения его с лучом ОМ (9 = Z АОМ). Угол 9
мы будем понимать так, как это приня-
принято в тригонометрии (т. е. с учетом знака
и с точностью до слагаемого вида ±2пк).
~4	Полярными координатами точки М
Рис 9	(относительно заданной системы) назы-
называются числа р и 9. При этом число р
называется первой координатой, или полярным радиусом, число 9 —
второй координатой, или полярным углом (полярный угол называют
также амплитудой).
Замечание 1. Среди возможных значений полярного угла
точки М выделяют одно определенное, именно то, которое удов-
удовлетворяет неравенствам
-7г<9<тг;
его мы будем называть главным. Можно сказать, что в качестве
главного значения полярного угла берется угол, на который нужно
повернуть луч ОА до совмещения с лучом ОМ, но делая при этом
поворот не более, чем на 180° в ту или другую сторону. В частном
случае, когда луч ОМ направлен строго противоположно лучу ОА,

§ 4. Полярные координаты
17
возможными являются два поворота на 180°; тогда выбирается по-
положительный поворот, т. е. в качестве главного значения полярно-
полярного угла принимается 9 = тт.
Замечание 2. Если точка Мсовпадает с О, то р = I ОМ\= 0.
Значит, первая координата полюса равна нулю. Вторая его коорди-
координата, очевидно, не имеет определенного значения.
15. В некоторых случаях приходится одновременно пользовать-
пользоваться и декартовой и полярной системами. В таких случаях возникает
задача: зная полярные координаты некоторой точки, вычис-
вычислить ее декартовы координаты и, обратно, зная ее декартовы
координаты, вычислить полярные. Мы выведем сейчас фор-
формулы такого преобразования координат (формулы перехода
от полярных координат к декартовым и об-
обра т н о) в частном случае, когда полюс полярной системы совпада-
совпадает с началом декартовых прямоугольных
координат, а полярная ось совпадает с по-
положительной полуосью абсцисс (рис. 10).
Кроме того, при определении полярного
угла будем считать положительными по-
повороты в том направлении, в каком сле-
следует вращать положительную полуось Ох,
чтобы кратчайшим путем совместить
с положительной полуосью Оу.
Пусть М— произвольная точка плос-
плоскости, (х; у) — ее декартовы координа-
координаты, (р; 9) — полярные координаты. Опи-
Опим
А
Рис. 10
шем вокруг полюса О окружность радиуса р и будем рассматривать
ее в качестве тригонометрической окружности, а ось Ох — в каче-
качестве начального диаметра. Опустим из точки М перпендикуляры
на оси Ох, Оу; обозначим их основания соответственно через Мх, Му
(см. рис. 10). Отрезок ОМХ является линией косинуса угла 9; сле-
следовательно, ОМХ= \ ОМ\cos д. Отрезок ОМУ является линией си-
синуса угла 9; следовательно, ОМу = | ОМ I sin 9. Но ОМХ = х, ОМу = у,
I ОМ\= р; таким образом, из предыдущих соотношении имеем
x=pcos9, y=psmd.	A)
Это и есть формулы, выражающие декартовы ко-
координаты через полярные. Выражения полярных
координат через декартовы можно получить из этих же фор-
формул или непосредственно:
B)

18	Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости
Заметим, однако, что формула tg6 = — даже главное значение
х
полярного угла определяет не вполне; именно, нужно еще знать,
положительна величина 9 или отрицательна.
Пример. Даны декартовы прямоугольные координаты точки: (-2; 2); най-
найти ее полярные координаты (считая, что полюс полярной системы совмещен
с началом декартовой системы, а полярная ось совпадает с положительной по-
полуосью абсцисс).
Решение. По формулам B) имеем
, tg0 = -l.
Согласно второму из этих равенств 6 = — тс или 9 = — тс. Так как данная точка
4	4
лежит во второй четверти, то из двух указанных значений 6 мы должны в каче-
качестве главного выбрать первое. Итак, р = 2>/2, 9 = — тс.
4

ГЛАВА 2
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 5. Проекция отрезка.
Расстояние между двумя точками
16.	В дальнейшем при рассмотрении каких бы то ни было воп-
вопросов мы будем считать, что задана некоторая система коор-
координат. Если мы будем говорить, что даны какие-то точки, то
это нужно понимать в том смысле, что известны их координаты.
Если в какой-нибудь задаче требуется найти неизвестные точки,
то задача будет считаться решенной, ког-
когда будут вычислены их координаты.
В этой главе рассматриваются реше-
решения ряда простейших задач аналитичес-
аналитической геометрии.
17.	Пусть дан произвольный отрезок
МХМ2 и некоторая ось и (рис. 11).	и
Опустим из точек Мх и М2 перпенди-	l	2
куляры на ось и и обозначим их основа-	Рис- п
ния, соответственно, через Рх и Р2. Рассмотрим отрезок Р\Р2 оси и,
началом и концом которого являются, соответственно, про-
проекция начала данного отрезка МХМ2 и проекция его
к о н ц а. Величина отрезка РХР2 оси и называется проекцией данного
отрезка МХМ2 на ось и, что символически записывается равенством
приМ1М2=Р1Р2.
Согласно этому определению проекция отрезка на ось есть чис-
число; оно может быть положительным (рис. 11), отрицательным
(рис. 12, а) или равным нулю (рис. 12, б).
Особенно часто в аналитической геометрии встречается необхо-
необходимость вычислять проекции отрезка на координатные оси. Усло-
Условимся обозначать проекцию произвольного отрезка на ось Ох боль-
большой буквой X, проекцию на ось Оу — большой буквой Y.

20
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
Вопрос о вычислении X, Yno данным точкам Мъ М2 решается
следующей теоремой:
Теорема 3. Каковы бы ни были точки М{ (х{; у{) и М2 (х2; у2)9
проекции отрезка МХМ2 на координатные оси выражаются фор-
формулами:
Х=х2-хи Y=y2-yi.	A)
М2
Рис. 12
Доказательство. Опустим из точек Мъ М2 перпендику-
перпендикуляры на ось Ох и обозначим их основания через Рь Р2 (рис. 13).
Согласно п° 9, эти точки имеют на оси Ох соответственно коорди-
координаты хь х2. Отсюда и в силу теоре-
теоремы 1 п° 5
Р1Р2 = Х2-Х1.
Но Р{Р2 = X, следовательно, Х- х2-х{.
Аналогично устанавливается равенство
Y= QiQ2 = yi- Уi- Теорема доказана.
Таким образом, чтобы получить
проекции отрезка на координатные оси,
нужно от координат его конца от-
отнять соответствующие координаты
начала.
о
1
Y
в\
О
У
d/
/
--щ-
^Р^ X	"i
2
э X
Рис. 13
Предположим, что начало отрезка М{ совпадает с началом коор-
координат О; тогда х{ = 0, у{ = 0. Обозначив в этом случае конец
отрезка просто буквой Л/, а координаты точки М буквами х, у,
получаем по формулам A)
Х=х, Y=y;	(Г)
здесь X, Y— проекции отрезка ОМ. Отрезок ОМ, идущий из начала
координат в данную точку М, называется радиус-вектором этой
точки. Формулы (Г) выражают тот очевидный факт, что декартовы
прямоугольные координаты точки суть проекции ее радиус-вектора
на оси координат.

§ 5. Расстояние между двумя точками	21
18. Одной из наиболее часто встречающихся простейших задач
аналитической геометрии является задача определения
расстояния между двумя данными точками.Для
случая, когда точки определены декартовыми прямоугольными ко-
координатами, решение этой задачи дается следующей теоремой:
Теорема 4. Как бы ни были расположены на плоскости точки
М\ (xi; yi) и М2 (х2; у2), расстояние d между ними определяется
формулой
'	" ~^7-	B)
Доказательство. Сохраняя обозначения, которые приме-
применялись в предыдущей теореме, пометим, кроме того, буквой N
точку пересечения прямых M{Q{ и М2Р2 (рис. 13). Так как тре-
треугольник MiM2N— прямоугольный, то по теореме Пифагора
= yJMlN2+M2N
Но, очевидно, длины катетов M{Nn M7Nсовпадают с абсолютны-
абсолютными величинами проекций X, Y отрезка МХМ2 на координатные
оси; следовательно,
Отсюда и на основании теоремы 3 находим
что и требовалось.
Пример. Найти расстояние между точками Mx(-2; 3) и М2E; 4).
Решение. По формуле B)
= 5л/2.
19. Рассмотрим снова отрезок МХМ2. Проведем через его на-
начальную точку Мх луч и, параллельный оси Ох и направленный
с нею в одну и ту же сторону (рис. 14). Обозначим через 9 угол,
на который следует повернуть луч и, чтобы он направился по от-
отрезку МХМ2; этот угол будем понимать, как принято в тригоно-
тригонометрии (т. е. с учетом знака и с точностью до слагаемого ±2пк).
Угол 9 будем называть полярным углом отрезка МХМ2 относи-
относительно данных координатных осей. Очевидно, 9 представляет со-
собой не что иное, как полярный угол точки М2 в полярной системе
координат, полюсом которой служит точка Мь а полярной осью —
луч и; в этой же системе длина d данного отрезка будет играть
роль полярного радиуса точки М2.

22
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
Примем теперь точку Мх в качестве начала новой декартовой
системы координат, оси которой направлены так же, как оси пер-
первоначально данной декартовой систе-
системы (на рис. 14 новые оси показаны
пунктиром). Проекции отрезка МХМ2
на соответственные оси старой и но-
новой системы одинаковы: обозначим их,
как и раньше, через X, Y. Числа X, Y
являются декартовыми координатами
точки М2 в новой системе. Применяя
к ним формулы A) п° 15, найдем
Рис 14	Х= d cos 9, Y= d sin 9. C)
Формулы C) выражают проекции произвольного отрезка на коор-
координатные оси через его длину и полярный угол.
Из этих формул и на основании теоремы 3
/
Y
\
О
У
1
!
/i
i
i
г —-—
-~~ x -—^
— x —-^
M2
и
X
х2 - хх = d cos 9, у2 - У\ = d sin 9
D)
ИЛИ
COs9 =
Sin9 =
'—	E)
Формулы E) позволяют определить полярный угол отрезка по
координатам, его конца и начала (предварительно следует найти d,
пользуясь формулой B)).
Во многих случаях удобной является также формула
tge =
У2 ~У\
х2 - х1
F)
которая очевидным образом выводится из формулы D).
Пример 1. Найти проекции отрезка на координатные оси, зная его дли-
длину d = 2VJ и полярный угол 9 = 135°.
Решение. По формулам C) находим
X = 2V2 cosl35° = 2>/2 (--^ 1= -2,
V2 )
Y =2V2"sinl35° = 2V2"-
¦ = 2.
Пример 2. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки
МхE; 73) в точку М2(б; 2^).
Решение. По формуле B)
d =
= 2.

§ 5. Расстояние между двумя точками
23
Применяя формулы E), найдем
cos 0 = —,
2
Следовательно, главное значение 0 = 60°.
20. Пусть и — произвольная ось, ф — угол наклона отрезка МХМ2
к этой оси, именно, угол, на который следует повернуть ось и,
чтобы ее направление совпало с направлением отрезка МХМ2.
Для вычисления проекции отрезка МХМ2 на ось и служит
формула
npuMlM2 =dcosq,	G)
т. е. проекция отрезка на любую ось равна его длине, умноженной на
косинус угла наклона к этой оси.
Доказывать формулу G) нет необходимости, так как по сути
дела она не отличается от первой из формул C) п° 19. Заметим
только, что знак угла не влияет на его косинус; поэтому в форму-
формуле G) угол ф можно понимать в смысле элементарной геометрии:
без учета знака и в границах от 0 до 180°.
^\Ри щл-^р
Рис. 15
Если угол ф о с т р ы й, то cos ф и проекция отрезка положи-
положительны (рис. 15, а), если ф — тупой угол, то cos ф и проекция
отрезка отрицательны (рис. 15, б). Еслиф— прямой угол,
то проекция равна нулю.
Пример. Даны точки Мх A; 1) и М2 D; 6). Найти проекцию отрезка, МХМ2
на ось, проходящую через точки А{\\ 0) и ВE; 3) и направленную от Л к В.
Решение. Обозначим через и данную ось, через ф — угол наклона отрезка
МХМ2 к оси и, через 0 и 0' — полярные углы отрезков МХМ2 и АВ (см.
рис. 16, где все указанные углы построены при точке Мх). Легко видеть, что
cos ф = cos @ - 0'). Пусть X, Y — проекции на координатные оси отрезка МХМ2 ,
X'', Y' — проекции отрезка АВ , d и d' —длины отрезков МХМ2 и АВ . По
формуле G)
щ>иМхМ2 = d cos ф = d cos @-0г) = ?/( cos 0 cos 0r + sin 0 sin 0r).

24
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
Отсюда, пользуясь формулами C) п° 19, получим
О
ириМ1М2
Рис. 16
Г	/ [ Л	Л	У	У	1
9 = d\	- +	Т	\ =
[d d d d	'
XX' + YY'
Применяя теоремы З и 4, найдем
Х=3, 7=5, X' = 4,
7' = 3, / = V42 + З2 =5.
Следовательно,
,, ,. 3-4 + 5-3 27
При Л/^2 =	 = у .
Задача решена.
§ 6. Вычисление площади треугольника
21. Пусть даны три точки ^4(хь ji), ^(^2? У2) и С(х3, Уз)? не
лежащие на одной прямой. Выведем формулу, выражающую пло-
площадь S треугольника ABC через координаты его вершин.
Обозначим через ф угол между отрезками АВ и АС, через d
жй' — длины этих отрезков. Как известно из элементарной гео-
геометрии, площадь треугольника равна половине произведения двух
его сторон на синус угла между ними, следовательно,
S = — dd' sin ф.
A)
Пусть 9 —полярный угол отрезка АВ. Если кратчайший пово-
поворот отрезка АВ к отрезку АС на угол ф положителен^ то, прибав-
прибавляя к 9 угол ф, мы получим полярный угол отрезка АС; обозначив
его через_9^, найдем: 9Г = 9 + ф (рис. 17, а). Если же кратчайший
поворот АВ к АС отрицателен, то мы получим полярный угол 9Г
отрезка АС, отнимая от 9 угол ср; в этом случае 9' = 9 - ф (рис. 17, б).
Итак, ф = ±(9Г - 9); отсюда и из формулы A)
B)
Обозначим проекции отрезка АВ на координатные оси через Д Y,
проекции отрезка АС — через Х\ Y'. По формулам C) п° 19
X=<icos9,
X' =
Y= d sin 9;
= <Г sin

§ 6. Вычисление площади треугольника
25
Раскрывая скобки в правой части равенства B) и пользуясь
последними соотношениями, найдем
о
2V	}
е'=е + ф
о
C)
э'=е-ср
Рис. 17
Согласно теореме 3 п° 17
Х=х2-хь Y=y2-yl;
Х' = х3-хь Г = Уз-У1.
Подставляя эти выражения в формулу C), получим
S = ±^
-У1 )-(х3 -Xi )(y2 -У\
D)
Выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляет со-
собой определитель второго порядка*), поэтому формулу D) можно
написать также в виде
±s=l-
Х2-ХХ
Уз-У\
E)
Установленный результат мы сформулируем в виде следующей
теоремы.
Теорема 5. Каковы бы ни были три точки А (хх; у2), В (х2; у2),
С(х3; Уз), не лежащие на одной прямой, площадь S треугольника ABC
определяется формулой E). Правая часть этой формулы равна +S
в том случае, когда кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку АС
положителен, u-S в том случае, когда такой поворот отрицателен.
*) Основные сведения об определителях даны в приложении (см. стр. 215).

26
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
Пример. Даны точки АA; 1), ВF; 4), С(8; 2). Найти площадь треуголь-
треугольника ABC.
Решение. По формуле E)
уъ- у1
1
5 3
7 1
о о
= —о = —о.
Следовательно, S = 8. То, что значение правой части формулы E) в данном
случае отрицательно, означает, что кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку
АС является отрицательным.
§ 7. Деление отрезка в данном отношении
22. К числу простейших задач аналитической геометрии, имею-
имеющих многие применения, относится задача о делении от-
отрезка в данном отношении. Прежде чем точно сформу-
сформулировать, в чем эта задача заключается, нам придется подробно
объяснить, что мы подразумеваем, когда говорим об отношении,
в котором некоторая точка делит данный отрезок.
Пусть на плоскости даны две произвольные различные точки,
из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их
в заданном порядке через МхжМ2. Проведем через данные точки
прямую и и назначим на ней положительное направление; тем са-
самым мы сделаем ее осью.
Пусть, далее, М— еще одна точка оси и, расположенная на ней
как угодно с исключением только одного случая: она не должна
совпадать с точкой М2 (рис. 18).
Число X, определяемое равенством
, _ МХМ2
мм.
где МХМ и ММ2 суть величины направленных отрезков МХМ и ММ2
оси и, называется отношением, в котором точка М делит направ-
направленный отрезок МХМ2 .
Замечание 1. Число X не зависит
от того, как выбрано положительное на-
направление на прямой и, определяемой
точками Mi и М2. В самом деле, если мы
изменим положительное направление
этой прямой на противоположное, то ве-
величины МХМ и ММ2 одновременно изменят знак (сохраняя мо-
МЛ
Рис. 18
дуль); при этом дробь
М{М
ММ,
, очевидно, останется без изменения.
Замечание 2. Число X не зависит и от выбора масштаба для
измерения длин. В самом деле, при изменении масштаба величины

§ 7. Деление отрезка в данном отношении	27
всех отрезков на оси М{М2 умножатся на одно и то же число и,
следовательно, отношение —1-— не изменится.
ММ2
Замечание 3. Если не исключать возможности совпадения
точки М с точкой Мъ то в том случае, когда М совпадет с Мъ
равенство A) не определяет никакого числа (так как ММ2 = 0).
В этом случае говорят (по причине, которая выяснится в следую-
следующем п°), что отношение —1-— «равно бесконечности».
ММ2
23.	Предположим, что на прямой М\М2 положительное направ-
направление выбрано так, что отрезок МХМ2 положительно направлен;
тогда М{М2 есть число положительное. Если при этом точка М
находится между точками Мх и Мъ то числа МХМ, ММ2
также положительны, а потому и отношение X = —1-— есть число
ММ2
положительное. Если точка М приближается к точке Мъ то X
приближается к нулю (X становится равным нулю, когда Мсовпа-
Мсовпадает с Mi); если точка Мприближается к точке Мъ то X неограни-
неограниченно возрастает или, как говорят, стремится к бесконечности
(поэтому и говорят, что X «обращается в бесконечность», когда М
совпадает с М2).
Допустим теперь, что точка Мнаходится на прямой, определяе-
определяемой точками Mi и Мъ вне отрезка МХМ2. В этом случае
одно из чисел М{М, ММ2 положительно, другое отрицательно, а так
как М{Ми ММ2 суть величины разных знаков, то X = —-— в дан-
ММ2
ном случае есть число отрицательное.
24.	В аналитической геометрии задача о делении отрезка в дан-
данном отношении заключается в следующем.
Считая известными координаты двух точек Мх {хх; ji), M2 (х2; у2)
и отношение X, в котором некоторая (неизвестная) точка М делит
отрезок МХМ2, найти координаты точки М.
Решение этой задачи дает следующая теорема.
Теорема 6. Если точка М(х; у) делит отрезок МХМ2 в отно-
отношении X, то координаты этой точки выражаются формулами
_ х{Хх2	_ у{Ху2	т
Доказательство. Спроектируем точки Мъ М2, М на ось Ох
и обозначим их проекции соответственно через Рь Р2и Р (рис. 19).

28
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
На основании известной теоремы элементарной геометрии о про-
пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллель-
параллельными прямыми, имеем
О
РуР = МуМ
РР2 ~ ММ2 ~ '
C)
Согласно теореме 3 (п° 17)
Р1Р = х-хь РР2=х2-х.
Отсюда и из равенства C) получаем
Л
Л Р
Рис. 19
Р2
X -X
1 _ '
х2 - х
Решая это уравнение относительно неизвестного х, найдем, что
Х = ^
Тем самым мы получили первую из формул B). Вторая уста-
устанавливается совершенно аналогично при помощи проектирования
на ось Оу. Теорема доказана.
Замечание. Если X = -1, то формулы B) теряют смысл, так
как в знаменателях этих формул оказывается нуль A + А, = 0).
Но в этом случае и поставленная задача не имеет решения; в самом
деле, никакая точка не может делить отрезок МХМ2 в отношении
X = -1, так как, если
= -1, то М{М= -ММ2 и МХМ+ ММ2 =
мм2
что невозможно, поскольку точки Мь М2 предполагаются раз-
различными.
25. Отметим один важный частный случай предыдущей теоре-
теоремы: если М{ (х{; у{) и М2 (х2; у2) — две произвольные точки и М(х; у) —
середина отрезка МХМ2, то
х =
+х2
2 '	2 '
Эти формулы получаются из формул B) п° 24 при ?t=l*). Мы
можем утверждать, следовательно, что каждая координата сере-
середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его
концов.
*) Если М — середина отрезка МХМ2, то МХМ= ММ2 и потому X =
мм1
= 1.

§ 7. Деление отрезка в данном отношении	29
Пример 1. Даны точки Мх A, 1) и М2G; 4). На определяемой ими пря-
прямой найти точку М, которая в два раза ближе к Мъ чем к М2, и находится
между точками Мх и М2.
Решение. Искомая точка делит отрезок МХМ2 в отношении X = — . При-
Применяя формулы B) п° 24, находим координаты этой точки: х = 3, у = 2.
Пример 2. Даны точки Мх A; 1) и М2G; 4). На прямой МХМ2 найти
точку М, которая в два раза ближе к Мъ чем к М2, и находится вне отрезка,
ограниченного точками Мх и М2.
Решение. Искомая точка делит отрезок МХМ2 в отношении Х = - — . При-
Применяя формулы B) п° 24, находим координаты этой точки: х = -5, у = -2.
Пример 3. Даны вершины треугольника ^4E; -1), В(-1; 7), СA; 2).
Найти длину его внутренней биссектрисы, проведенной из вершины А.
Решение. Обозначим через М точку пересечения указанной биссектрисы
со стороной ВС, через cub— длины сторон АВ и АС Как известно из элемен-
элементарной геометрии, биссектриса, проведенная из какой-нибудь вершины тре-
треугольника, делит противолежащую этой вершине сторону на части, пропорцио-
пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, точка М делит отрезок ВС
в отношении X, где
х = ВМ = с
мс ъ'
Пользуясь формулой B) п° 18, находим длины сторон АВ ж АС
Следовательно, X = 2. Применяя формулы B) п° 24, находим координаты
точки М: х = —, у = — .
Снова пользуясь формулой B) п° 18, получаем искомую длину биссектри-
биссектрисы AM = — л/2 .
Пример 4. В точках Ml(xi; y{), М2{х2, у2), Мъ (х3; уъ) помещены массы
тъ т2, тъ. Найти центр тяжести этой системы масс.
Решение. Найдем сначала центр тяжести М'(х'; у') системы двух масс
тх и т2. Согласно известному положению механики центр тяжести системы
этих масс делит отрезок МХМ2 на части, обратно пропорциональные массам
тх, т2, т.е. в отношении Х = —^. По формулам B) п° 24 находим
х\+	Х2	У\+^У2
г _	т1 _ х1т1 + х2т2 / _	т1 _ ухтх + у2т2
Щ	т + т
Щ	т\ + т2	т2	т1
Пусть М(х; у) — центр тяжести системы трех масс ти т2, т3. Положение
точки Мне изменится, если массы тъ т2 будут сосредоточены в точке М'. Иначе
говоря, точка М является центром тяжести системы двух масс: массы тъ, поме-
помещенной в точке Мъ, и массы тх + т2, помещенной в точке М'. Следовательно,

30	Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
мы можем найти искомую точку М как точку, которая делит отрезок ММ3
в отношении X =	— . Применяя формулы B) п° 24, получаем
х + -
X = —
xlml + x2m2	m3
у+
у	у
_ тх+ т2 _ тх + т2 тх + т2 _ ухтх + у2т2
т	т	Ш + т +
шх + тп2
Замечание. Если дана система масс тъ т2,..., т3, помещенных в точках
М{ (хь у{), М2 (х2; у2), ..., Мъ (х3; у3), то координаты центра тяжести этой системы
масс определяются формулами
х= xlml+x2m2+... + xkmk	ylml+ y2m2 + ... + ykmk
m + т + + т '	m + т +
Для их доказательства следует применить формулы B) п° 24 и метод мате-
математической индукции.
§ 8. Преобразование декартовых координат
при параллельном сдвиге осей
26.	Как мы уже знаем, в задачах аналитической геометрии по-
положение заданных геометрических объектов определяется относи-
относительно некоторой системы координат. Может, однако, возникнуть
надобность в замене координатной системы, к которой отнесены
данные рассматриваемой задачи, другой системой, по каким-либо
соображениям более удобной. Но произвольная точка в разных
координатных системах имеет, вообще говоря, разные координаты.
Поэтому в том случае, когда при рассмотрении одного вопроса
употребляются две системы координат, возникает потребность: зная
координаты произвольной точки в одной системе, вычислить ко-
координаты этой же точки в другой системе. Для этой цели служат
формулы преобразования координат, соответству-
соответствующие данному изменению координатной системы.
27.	Прежде всего мы установим формулы преобразо-
преобразования декартовых координат при параллель-
параллельном сдвиге осей, т. е. при таком изменении декартовой си-
системы координат, когда меняется положение начала координат,
а направления осей (и масштаб) остаются неизменными.
Пусть Охи Оу — старые, аО'х'иО'/- новые координатные
оси (рис. 20). Положение новых осей относительно старой системы

§ 8. Преобразование декартовых координат
31
/
1
у
1
I
О
У
ъ
1
у\
а
у'
*—Jo;
	 х
	-^}
>М
К
X
X
РИС 20
определяется заданием старых координат нового начала: О' (а; Ь).
Число а будем называть величиной сдвига по направле-
направлению оси Ох, число Ъ — величиной сдвига по направ-
направлению оси Оу. Произвольная
точка М плоскости имеет относи-
относительно старых осей некоторые ко-
координаты (х; у); эта же точка по от-
отношению к новым осям имеет дру-
другие координаты: (х'; у'). Наша
цель — установить формулы, выра-
выражающие х, у через х ' у' (или х' у'
через х, у).
Спроектируем точку О' на ось Ох
и точку Мна оси Ох ж О'х '.
Обозначим проекцию точки О'
на ось Ох через Ох, проекции точки М на оси Охи О'х' — через Мх
и Мх>. Очевидно, величина отрезка ОХ'МХ оси Ох равна величине
отрезка О'МХ, оси О'х'. Но О'Мх=х'; следовательно, Ох'Мх=х'.
Кроме того, ООх' = а, 0Мх> = х. Согласно основному тождеству
(см. п° 3) ОМХ= ООХ + ОХ'МХ; отсюда и на основании предыдущих
указаний имеем х = х' + а. Аналогично при помощи проектирова-
проектирований на оси Оуи О'у' найдем у = у' + Ь.
Итак,
х = х' + а, у = у' + Ь.	A)
Это и есть искомые формулы. Их можно также записать в виде
х' = х-а, у' = у-Ь.	(Г)
Полученный результат можно сформулировать так: при параллель-
параллельном сдвиге декартовой системы координат на величину а в направ-
направлении оси Ох и на величину Ъ в направлении оси Оу абсциссы всех
точек уменьшаются на величину а, ординаты — на величину Ъ.
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат
при повороте осей
28. Теперь мы установим формулы преобразования
декартовых прямоугольных координат при по-
повороте осей, т. е. при таком изменении декартовой прямо-
прямоугольной системы координат, когда обе оси поворачиваются в одну
сторону на один и тот же угол, а начало координат и масштаб
остаются неизменными.
Пусть Ох и Оу — старые, а Ох' Оу' — новые координатные оси
(рис. 21). Положение новых осей относительно старой системы

32
Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
определяется заданием угла поворота, совмещающего старые оси с но-
новыми. Этот угол мы обозначим буквой а и будем понимать его, как
принято в тригонометрии (положитель-
(положительные повороты определим, как в п° 15).
Произвольная точка М плоскости
имеет относительно старых осей не-
некоторые координаты (х; у), эта же точ-
точка по отношению к новым осям име-
имеет, вообще говоря, другие координа-
координаты (х '\у'). Именно, х = ОМХ, у = ОМу,
х' = ОМХ>, у' = ОМу (см. рис. 21). Наша
цель — установить формулы, выра-
выражающие х' у' через х, у или х, у че-
через х\ у'.
Обозначим через (р, 9) полярные координаты точки М, считая
полярной осью Ох, и через (р, 9 ') — полярные координаты той же
точки М, считая полярной осью Ох' (в каждом случае р = I ОМ |).
Очевидно, 9 = 9' + а. Далее, согласно формулам A) п° 15
Рис.21
и аналогично
х = р cos 9, у = р sin 9,
х' = р cos 9' у' = р sin 9'.
Таким образом,
х = р cos 9 = р cos (9' + а) = р (cos 9' cos а - sin 9' sin а) =
= р cos 9' cos а - р sin 9' sin а = х' cos а - у' sin а,
у = р sin 9 = р sin (9' + а) = р (cos 9' sin а + sin 9' cos а) =
= р cos 9' sin а + р sin 9' cos а = х' sin а + у' cos а.
Итак,
х = х'cos ос - у'sin ос,
у = х'sin ос + у'cos ос.
A)
Это и есть искомые формулы, т. е. формулы, которые при повороте
осей на угол а выражают старые координаты (х; у) произвольной
точки М через новые координаты (х'; у') этой же точки.
Формулы, выражающие новые координаты х' у' точки Мче-
Мчерез ее старые координаты х, у, можно получить из равенств A),
рассматривая их как систему двух уравнений с двумя неизвест-
неизвестными х' у' и решая эту систему относительно х' у'. Но эти фор-
формулы можно получить и сразу при помощи следующего рассужде-
рассуждения: если новая система получается поворотом

§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат
33
старой на угол а, то старая система получается
поворотом новой на угол -а; поэтому в равенствах A)
можно поменять местами старые, и новые координаты, заменяя од-
одновременно а на -а. Выполнив это преобразование, мы получим
х = х cos ос + у sin а,
у' = -х sin а + у cos а,
B)
что и требовалось.
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат
при изменении начала и повороте осей
29. Мы рассмотрим сейчас такое перемещение осей, которое можно
осуществить путем параллельного сдвига и после-
последующего поворота (масштаб предполагается неизменным).
Обозначим величину сдвига системы в направлении оси Ох че-
через я, величину сдвига в направлении оси Оу через Ь, угол поворота
системы — через а. Пусть О'х'иО'/-новые оси. Произвольная
точка Мплоскости имеет относительно старых осей некоторые ко-
координаты (х, у); эта же точка М относительно новых осей имеет,
вообще говоря, другие координаты (х \у').
Наша цель — получить формулы, выра-
выражающие х' у' через х, у, а также форму-
формулы, выражающие х, у через х\у'.
Для решения этой задачи введем вспо-
вспомогательную систему координат, направ-
направления осей которой совпадают с направле-
направлениями осей старой системы, а начало со-
совпадает с началом новой системы (рис. 22);
оси вспомогательной системы мы обозна-
обозначим через О 'х' и О У' а координаты точки М относительно этих
осей — через х\у'. Так как вспомогательная система получается
параллельным сдвигом старой на величину а в направлении Ох
и на величину Ъ в направлении Оу, то согласно п° 27
х = х' + а,
b
о
у
^—
\
\
~ а—""'
У
\
X
Рис. 22
Так как, далее, новая система получается поворотом вспомогатель-
вспомогательной на угол а, то согласно п° 28
х' = х' cos а - у' sin а,
у' = х' sin а + у' cos а.

34	Глава 2. Простейшие задачи на плоскости
Подставляя эти выражения х' у' в правые части предыдущих ра-
равенств, получим
х = х cos а- у sin a + а,
у = x'sina + /cosoc + ?.	A)
Рассматривая здесь х' у' как неизвестные и определяя их из этой
системы, найдем
х = (х - я) cos ос + (у - ?)sinoc,
/ = -(x-a)sina + (y-b)cosa.	B)
Последние две пары формул и являются искомыми.
Формулы A) выражают старые координаты произвольной
точки через ее новые координаты, формулы B), наоборот,
выражают новые координаты через старые.
Полученный результат мы сформулируем в виде следующей
теоремы.
Теорема 7. Если оси декартовой прямоугольной системы па-
параллельно переносятся на величину а в направлении Ох и на величину Ъ
в направлении Оу и, кроме того, поворачиваются на угол а (а масш-
масштаб остается неизменным), то атому изменению системы соот-
соответствуют формулы преобразования координат
х = х cos a - у sin а + а,
' .	'	и	A)
у = х sin а + у cos а + Ь,
выражающие старые координаты х, у произвольной точки плоско-
плоскости через ее новые координаты х\у\ и алгебраически равносильные
им формулы
х = (х - а) cos а + (у - Ъ) sin а,
у' = -(х - a)sina + (у - b) cos а,	^
выражающие новые координаты через старые.
Пример. Составить формулы преобразования координат, соответствую-
соответствующие переносу начала в точку О' B; 3) и повороту осей на угол +45°.
Решение. Полагая в формулах A) а = 2, Ъ = 3, а = — , получим выраже-
выражения старых координат через новые:
х-х'-У i 2 у - х'+ У i 3
V2	V2
Отсюда (или из формул B)) получаются выражения новых координат через
старые:
' _ х + У __$_ ' _ -х + у _ J_
л/2 ~>/2' У~ S "VT

§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат	35
Замечание. Обычно на чертежах координатные оси располагаются так, что
для совмещения положительной полуоси абсцисс с положительной полуосью ор-
ординат ее нужно поворачивать (кратчайшим путем) против часовой
стрелки. В таком случае система координат называется правой. Иногда, од-
однако, употребляется система осей, иным образом расположенных, именно так,
что кратчайший поворот положительной полуоси абсцисс к положительной
полуоси ординат направлен по часовой стрелке. В таком случае систе-
система координат называется левой.
Пусть даны две (декартовы прямоугольные) системы координат. Если обе
они правые, или обе левые, то оси одной из них можно совместить
с осями другой при помощи параллельного сдвига и последующего поворота
на некоторый угол; отсюда и из предыдущего следует, что при переходе от од-
одной из этих систем к другой координаты любой точки плоскости преобразуют-
преобразуются по формулам вида A). Если же одна из данных систем правая,
другая — левая, то оси одной из них нельзя совместить с осями другой
при помощи сдвига и последующего поворота; именно, если при помощи сдвига
и поворота мы совместим положительную полуось абсцисс одной системы («ста-
(«старой») с положительной полуосью абсцисс другой («новой»), то их положитель-
положительные полуоси ординат направятся противоположно друг другу. Следовательно,
в этом случае при переходе от одной системы к другой преобразование коорди-
координат будет определяться формулами, которые получаются из формул A) изме-
изменением знака величины у\ Таким образом, общие формулы преобразования
декартовых прямоугольных координат (при неизменном масштабе) могут быть
написаны в виде
х = х cos a + у sin а + а,
у = х sin а ± у cos а + b,	^ '
где а, Ъ — старые координаты нового начала, а — угол, на который нужно повер-
повернуть старую ось абсцисс, чтобы она направилась так же, как новая; верхние
знаки в формулах C) соответствуют случаю перехода от правой системы
к правой или от левой — к левой, нижние знаки соответствуют слу-
случаю разноименных систем. Нужно еще иметь в виду, что если старая
система является левой, то угол а следует считать положительным в том слу-
случае, когда он отсчитывается по часовой стрелке.

ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§11. Понятие уравнения линии.
Примеры задания линий при помощи уравнений
30.	В элементарной геометрии детально исследуются лишь не-
немногие линии: прямая, окружность, ломаные. Между тем потреб-
потребности техники ставят перед математикой общую задачу исследо-
исследования многочисленных линий, многообразных по своей форме
и по характеру своих свойств. Для решения этой общей задачи тре-
требуются методы более совершенные, чем те, какими располагает
элементарная геометрия. Такие методы дают алгебра и математи-
математический анализ. В основе же применения методов алгебры и анализа
лежит некоторый единообразный способ задания линии, именно —
способ задания ее при помощи уравнения.
31.	Пусть х и у — две произвольные переменные величины. Это
значит, что как под символом х, так и под символом у подразуме-
подразумеваются какие угодно (вещественные) числа. Соотношение вида
F(x, у) = 0, где F(x, у) означает какое-нибудь выражение, содержа-
содержащее х и у, мы будем называть уравнением с двумя перемен-
переменными х, у, если F(x, у) = 0 есть равенство, верное не всегда, т. е. не
для всяких пар чисел х, у. Таковы, например, соотноше-
соотношения 2х+7у- 1 = 0, х2 + у2 -25 = 0, sin x +sin у- 1 = 0 и т. п.
Если соотношение F(x, у) = 0 имеет место при любых численных
значениях х, у, то его называют тождеством. Таковы, например,
соотношения (х + уJ - х2 - 2ху - у2 = 0, (х+у)(х-у) - х2 + у2 = 0 и т. п.
В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными,
мы не исключаем возможности, что левая часть уравнения, помимо
х и у, содержит еще и другие символы а, Ь, с,...; но в таком случае
мы будем предполагать, что они представляют собой фиксиро-
фиксированные (хотя бы и не указанные) числа, и будем называть их
постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении
ах + by - 1 = 0 параметрами являются аиЬ.
32.	Говорят, что два числа х - х0, у = у0 удовлетворяют некото-
некоторому уравнению с двумя переменными, если при подстановке их

§ 11. Понятие уравнения линии	37
в это уравнение вместо переменных получается верное равенство.
Например, числа х = 3, у = 4 удовлетворяют уравнению х2 + у2 - 25 = О,
так как при подстановке этих чисел в уравнение его левая часть
обращается в нуль; напротив, числа х= 1, у = 2 этому уравнению
не удовлетворяют, так как после подстановки их в уравнение слева
получаем число, не равное нулю.
33.	Рассмотрим произвольное уравнение F(x, у) = 0. Предполо-
Предположим, что х и у теперь обозначают уже не любые числа, а числа,
удовлетворяющие этому уравнению. И при таком условии
величины х и у могут, вообще говоря, изменяться, но уже не про-
произвольно друг относительно друга: задание численного
значения величины х обусловливает возмож-
возможные численные значения величины у. Ввиду этого
говорят, что уравнение F(x, y) = 0 устанавливает между переменны-
переменными хну функциональную зависимость.
34.	Важнейшим понятием аналитической геометрии является
понятие уравнения линии. Что под этим подразумевается,
мы сейчас объясним.
Пусть на плоскости дана какая-нибудь линия и пусть вместе
с тем выбрана некоторая система координат.
Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) назы-
называется такое уравнение F(x, y) = 0 с двумя переменными, которому
удовлетворяют координаты х и у каждой точки, лежащей на этой
линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей
на ней.
Таким образом, если известно уравнение линии, то от-
относительно каждой точки плоскости возможно решить вопрос: ле-
лежит она на этой линии или нет. Для этого достаточно координаты
испытуемой точки подставить в уравнение вместо переменных; если
эти координаты удовлетворяют уравнению, точка л еж и т
на линии, если не удовлетворяют, — не лежит.
Высказанное определение дает основу методам аналитической гео-
геометрии; суть их заключается в том, что рассматриваемые линии
исследуются при помощи анализа их уравнений.
35.	Во многих задачах уравнение линии играет роль первичного
данного, а сама линия рассматривается как нечто вторичное. Иначе
говоря, часто заранее дается какое-нибудь уравнение и тем самым
определяется некоторая линия. Это связано с потребностью гео-
геометрического изображения функциональных зависимостей.
Если уравнение дано и мы отвечаем на вопрос «что такое опре-
определенная им линия» (или что такое линия, имеющая его «своим
уравнением»), то удобно пользоваться следующей формулировкой:

38
Глава 3. Уравнение линии
линия, определенная данным уравнением (в некоторой системе коор-
координат), есть геометрическое место всех точек плоскости, коорди-
координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
36.	Линия, определяемая уравнением вида y=f(x), называется
графиком функции/(х). Можно также сказать, что линия, опреде-
определяемая произвольным уравнением F(x, у) = О, есть график той функ-
функциональной зависимости между х и у, которая устанавливается этим
уравнением.
37.	Поскольку величины х, у рассматриваются как координаты
переменной точки, их называют текущими координатами. Если
в основу положена не декартова, а какая-нибудь другая система
координат, то текущие координаты следует обозначать другими бук-
буквами, так, как принято для этой системы.
38.	Рассмотрим несколько простейших примеров определения
линий уравнениями.
1.	Данное уравнение есть х-у = 0. Представив его в виде у = х,
заключаем: точки, координаты которых этому уравнению удовлет-
удовлетворяют, суть те и только те, которые расположены в первой или
третьей четвертях на одинаковых расстояниях от координатных осей.
Таким образом, геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют данному уравнению, представляет собой биссектрису
первого и третьего координатных углов (рис. 23). Это и есть линия,
определенная уравнением х - у = О (она же — график функции у = х).
2.	Данное уравнение есть х + у = 0. Представив его в виде у = -х,
заключаем: точки, координаты которых этому уравнению удовлет-
удовлетворяют, суть те и только те, которые расположены на одинаковых
расстояниях от координатных осей во второй или четвертой чет-
четвертях. Таким образом, геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой
биссектрису второго и четвертого координатных углов (рис. 24).
Это и есть линия, определенная уравнением х + у = 0 (она же —
график функции у = -х).
У у	У
О
о
Рис. 23	Рис. 24
3. Данное уравнение есть х2-у2 = 0. Представив его в виде
(х-у)(х + у) = 0, заключаем: точки, координаты которых удов-
удовлетворяют данному уравнению, суть те и только те, которые

§ 11. Понятие уравнения линии
39
Рис. 23
удовлетворяют либо уравнению х-у = 0, либо уравнению
х+у = 0. Таким образом, линия, определяемая уравнением х2 - у2 = 0,
состоит из точек двух биссектрис координатных углов (рис. 25).
4.	Данное уравнение есть х1 + у2 = 0. Так как при вещественных
х и у числа х2 и у2 не могут иметь разных знаков, то при сложении
они не могут взаимно уничтожиться; следо-
следовательно, если х2 + у2 = 0, то х = 0 и у = 0. Та-
Таким образом, данному уравнению удовлетво-
удовлетворяют координаты только точки О @; 0). Зна-
Значит, геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 0,
состоит лишь из одной точки. В данном слу-
случае уравнение определяет, как говорят, в ы-
рожденную линию.
5.	Данное уравнение есть х2 + у2+1 = 0. Так
как при любых вещественных х и у числа х2
и у2 не отрицательны, то х2 + у2+\ > 0. Значит, нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению;
никакого геометрического образа на плоскости это уравнение не
определяет.
6.	Данное уравнение есть р = a cos 9, где а — положительное
число, переменные р и 9 — полярные координаты. Обозначим че-
через М точку с полярными координатами (р; 9), через А — точку
с полярными координатами (а; 0). Если р = a cos 9, то угол ОМА —
прямой, и обратно. Следовательно, геометрическое место точек,
полярные координаты которых удовлетворяют уравнению р = a cos 9,
представляет собой окружность с диаметром ОА (рис. 26).
7.	Пусть дано уравнение р = а 9, где а — некоторое положитель-
положительное число. Чтобы представить себе определяемую данным уравне-
уравнением линию, будем предполагать, что 9
возрастает, начиная от нуля, и проследим
за соответствующим движением переменной
точки М (р; 9), координаты которой связа-
связаны этим уравнением. Если 9 = 0, то также
р = 0; если 9 возрастает, начиная от нуля,
то р будет возрастать пропорционально 9
(число а служит коэффициентом пропор-
пропорциональности). Мы видим, что перемен-
переменная точка М (р; 9), исходя из полюса за-
заданной полярной системы координат, движется вокруг полюса (в по-
положительном направлении), одновременно удаляясь от него. Таким
образом, точка Мописывает некоторую спираль; спираль, опре-
определяемая уравнением р = ад, называется спиралью Архимеда (рис. 27).
Рис. 26

40
Глава 3. Уравнение линии
Если точка М (р; 9), исходя из произвольного положения, движет-
движется по спирали Архимеда и совершает в положительном направле-
направлении один полный оборот вокруг полюса, то угол 9 возрастает на 2тг,
а полярный радиус р на 2ап. Отсюда следует, что спираль Архимеда
рассекает каждый полярный луч на равные отрезки (не считая от-
отрезка, примыкающего к полюсу); все эти отрезки имеют постоян-
постоянную ДЛИНУ 2B71.
Уравнение р = ад, где а — отрицательное число, опре-
определяет «обратную» спираль Архимеда, точки которой соответству-
соответствуют отрицательным значениям 9 (рис. 28).
Рис. 27
Рис. 28
8. Данное уравнение есть р = —, где а — некоторое положи -
6
тельное число; будем исследовать определяемую им линию. Возьмем
какое-нибудь положительное значение 9, например 9 = —, ему со-
соответствует точка Мл—\ — .
V п 2 )
Если 9 затем неограниченно увеличивается, то р, будучи обрат-
обратно пропорциональным 9, стремится к нулю; следовательно, пере-
переменная точка М (р; 9) движется вокруг полюса в положительном
направлении и вместе с тем неограниченно приближается к полюсу
(рис. 29). Пусть теперь 9 уменьшается, начиная от значения —,
и стремится к нулю; при этом р -^ оо и точка М (р; 9) уходит в бес-
бесконечность. Чтобы исследовать движение точки Мболее детально,
спроектируем точку М на полярную ось и обозначим проекцию
через Р; тогда, очевидно, iW=psin9 (см. вторую из формул A)

§ 11. Понятие уравнения линии
41
п° 15). В силу данного уравнения psinG = а	. Но, как известно
6
из анализа, ^-^ —> 1 при 9^0. Следовательно, при 9^0 величи-
sin6
на РМ стремится к а. Отсюда можно заключить, что точка М,
уходя в бесконечность, приближается к прямой, которая парал-
параллельна полярной оси и отстоит от нее на расстоянии а.
Рис. 29
Мы видим, что данное уравнение, как и в предыдущем приме-
примере, определяет спираль; такая спираль называется гиперболической.
Уравнение Р = —, где а — отрицательное число, опре-
в
деляет «обратную» гиперболическую спираль, точки которой соот-
соответствуют отрицательным значениям 9 (рис. 30).
Рис. 30
9. Данное уравнение есть р = яе, где а — положительное число,
большее единицы. Это уравнение определяет спираль, называемую
логарифмической.
Чтобы уяснить себе особенности логарифмической спирали, пред-
предположим, что 9 —»+оо; в таком случае р = ад —»+оо и, следовательно,
переменная точка М (р; 9), двигаясь вокруг полюса в положительном
направлении, неограниченно удаляется от полюса. Если точка М, ис-
исходя из произвольного положения, совершает один полный оборот

42
Глава 3. Уравнение линии
в положительном направлении вокруг полюса, то к ее полярно-
полярному углу прибавляется 2тг, а полярный радиус умножается на а2к
(так как ав+2к = ава2к). Таким образом, с каждым оборотом вокруг
полюса полярный радиус точки М возрастает, причем рост идет
в геометрической прогрессии (со знаменателем а2к).
Предположим теперь, что 9 -»-оо; тогда р -»0 и точка М, враща-
вращаясь вокруг полюса (в отрицательном направлении), неограниченно
приближается к нему (рис. 31).
Если а меньше единицы (будучи положительным), то уравнение
р = ад определяет «обратную» логарифмическую спираль (рис. 32).
В этом случае при вращении точки М вокруг полюса в положи-
положительном направлении она неограниченно приближается к полюсу,
а при вращении в отрицательном направлении — неограниченно
удаляется от него (так как в случае 0 < а < 1 имеем ав —»0 при 9 —»+оо
и aQ -»+оо при 9 -»-оо).
Рис. 31
Рис. 32
Если а= 1, то уравнение р = ад определяет окружность, так как
для любого 9 будет р = 1.
Мы привели сейчас примеры уравнений настолько простых, что
определяемые ими линии усматривались непосредственно. В более
сложных случаях даже приближенное изображение линии (с задан-
заданной точностью) может быть весьма затруднительным и потребо-
потребовать применения разнообразных методов анализа и аналитической
геометрии.
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий
39. В предыдущем параграфе мы рассмотрели несколько приме-
примеров определения линии при помощи заранее данного уравнения.
Здесь мы рассмотрим примеры противоположного характера; в каж-
каждом из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение

§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий	43
ее требуется найти (как говорят, «вывести» из геометрического опре-
определения линии).
Если линия определена как геометрическое место точек, подчи-
подчиненных известному условию, то, выражая это условие при помощи
координат, мы получим некоторую зависимость между координа-
координатами. Это и будет уравнение данной линии, так как ему удовлетво-
удовлетворяют координаты точки в том и только
в том случае, когда расположение точки
подчинено поставленному условию, т. е.
когда точка лежит на данной линии.
40. Пример. Дана декартова прямоугольная
система координат. Вывести уравнение окружно-
окружности, которая имеет центр С (а; C) и радиус, рав-
равный г (рис. 33).
Обозначим, буквой М переменную точку, бук-
вами х, у — ее координаты (т. е. текущие коорди-	р ~~
наты). Данная окружность есть геометрическое
место точек, каждая из которых отстоит от точки С на расстоянии г; таким
образом, точка М находится на данной окружности в том и только в том слу-
случае, когда
СМ=г.	A)
По формуле B) п° 18 имеем СМ = у(х-а) + (у-C) • Заменяя этим выраже-
выражением величину СМ*) в равенстве A), получаем
J(x-ay + (y-Vy =r.	B)
Мы нашли уравнение, которое связывает величины х, у и которому удовлетво-
удовлетворяют координаты тех и только тех точек, что лежат на данной окружности. Это
и есть, следовательно, искомое уравнение. Задача решена.
41. Возводя обе части равенства B) квадрат, мы получим стандартную запись
уравнения окружности с центром С (а; C) и радиусом г:
Оно встречается во многих геометрических задачах**). Полагая в нем а = 0,
C = 0, найдем уравнение окружности с центром в начале
координат:
х2 + у2 = г2.	D)
*) См. сноску на. стр. 9.
**) При возведении обеих частей уравнения в квадрат может получиться урав-
уравнение, не равносильное исходному, а именно, удовлетворяющееся и такими зна-
значениями х и у, которые не удовлетворяют исходному уравнению. В данном слу-
случае, однако, так не будет, т. е. уравнение C) равносильно уравнению B). В самом
деле, извлекая из обеих частей уравнения C) квадратный корень, мы получим
+у(х -аJ + (у-(ЗJ =±г. Но в правой части необходимо взять знак +, так как
в противном случае получится неверное равенство. Таким образом, уравнение B)
выводится из уравнения C), как и уравнение C) выводится из уравнения B).

44	Глава 3. Уравнение линии
42. Пример. Вывести уравнение траектории точки М, которая в каждый
момент движения находится вдвое ближе к точке А B; 0), чем к точке В (8; 0).
Обозначим через х, у координаты точки М (т. е. текущие координаты). Со-
Согласно условию задачи, точка М всегда вдвое ближе к А, чем к В, т. е.
2АМ=ВМ.	E)
По формуле B) п° 18
AM = yj(x - 2 f + y2, BM = yj(x-SJ +y2.
Отсюда и из равенства E) находим
Мы получили уравнение, связывающее величины х и у. Ему удовлетворяют
координаты любой точки рассматриваемой траектории и не удовлетворяют
координаты никакой другой точки плоскости. Следовательно, это уравнение
и является искомым. Задача решена. Мы можем только пожелать переделать
запись этого уравнения и привести его к более удобному виду. С этой целью
возведем обе части уравнения F) в квадрат. Мы получим уравнение
равносильное уравнению F) *). Раскрывая скобки, находим
4х2 - 16х + 16 + 4у2 = х2 - 16х + 64 +у2
или
х2 +у2 =16.
Получив уравнение траектории в таком виде, мы легко можем уяснить себе
форму этой траектории. Действительно, сравнивая полученное уравнение с урав-
уравнением D) п° 41, заключаем: рассматриваемая траектория есть окружность, име-
имеющая центр в начале координат и радиус г = 4.
43. Пример. Составить уравнение прямой
в полярных координатах, считая известными рас-
расстояние р от полюса до прямой и угол 60 от по-
полярной оси до луча, направленного из полюса пер-
перпендикулярно к прямой (рис. 34).
Решение. Пусть а — произвольная прямая,
Р — основание перпендикуляра, опущенного на
нее из полюса О; согласно условию будем счи-
считать известными ОР = р и угол 60 от полярной
оси ОА до луча ОР. Возьмем на плоскости произ-
О	V ~А вольную точку М(р; 6). Очевидно, точка ?ле-
^	жит на прямой а в том и только в том случае,
Рис. 34	когда проекция точки Мна луч ОР совпадает с точ-
точкой Р, т.е. когда pcos(p=^?, где q = ZPOM. Заме-
Заметив, что ф = 6-60 (или ф = 60-6), получаем отсюда искомое уравнение прямой
а в виде р cos F-60) =р', текущие координаты здесь суть р и 6.
*) Это доказывается так же, как аналогичное утверждение в п°41 (см. пре-
предыдущее подстрочное примечание).

§ 13. Задача о пересечении двух линий	45
§ 13. Задача о пересечении двух линий
44. В аналитической геометрии часто приходится решать следу-
следующую задачу:
Даны уравнения двух линий:
F(x,y) = 0, Ф(х,у) = 0.
Найти точки их пересечения.
Как всегда в аналитической геометрии, говоря: «найти точки»,
мы подразумеваем: «вычислить их координаты». Принцип реше-
решения этой задачи усматривается сразу из определения уравнения
линии, данного в п° 34.
В самом деле, каждая точка пересечения данных линий есть их
общая точка. Следовательно, координаты такой» точки должны
удовлетворять как уравнению F(x, у) = 0, так и уравнению Ф (х; у) = 0.
Мы найдем все точки пересечения данных линий, если решим их
уравнения совместно. При этом каждое решение системы
Ф(х,у) = О
определяет одну из искомых точек. Само собой разумеется, что
практическое осуществление этого общего принципа может натолк-
натолкнуться на вычислительные трудности.
Пример 1. Даны уравнения двух окружностей (х- 1J + (у- 3) 2 = 4 и
(х- 3J + (у- 5J = 4. Найти точки их пересечения.
Решение. Раскрывая скобки и перенося все члены в левую сторону, мо-
можем записать данные уравнения в виде:
х2 + у2 - 2х - 6у + 6 = 0, х2 + у2 - 6х - 10у + 30 = 0.	A)
Вычтем из первого уравнения второе; получим: 4х+4у-24 = 0 или у = -х+6.
Объединяя это уравнение с первым из данных, составим систему
х2 + у2 - 2х - 6у + 6 = 0,
Система B) равносильна системе A)*). Поэтому задача сводится к решению
этой системы. Подставим в первое из уравнений B) у = - х+ 6, найдем: х2 + х2-
- 12х+36-2х+6х-36 + 6 = 0, или х2-4х+3 = 0. Отсюда х12 =2±>/4-3, т.е.
хх = 1, х2 = 3. По найденным значениям х определим соответствующие значе-
значения у из уравнения у = -х+6; при хх = 1 получаем у\ = 5, при х2 = 3 имеем
у'2 = 3. Таким образом, искомыми являются точки A; 5) и C; 3).
Пример 2. Даны уравнения двух линий: х + у = 0 (биссектриса второго ко-
координатного угла) и (х-5J + у2=1 (окружность). Найти точки их пересечения.
*) Так как система B) выведена из системы A), а систему A), в свою оче-
очередь, легко вывести из системы B).

46	Глава 3. Уравнение линии
Решение. Составим систему
(х-5J+у2=1,
Подставим в первое уравнение у = -х (из второго). Получаем: (х-5J + х2=1,
или х2 - 5х+ 12 = 0. Отсюда
Так как V-23 есть мнимое число, заключаем: система не имеет вещественных
решений, следовательно, данные линии не пересекаются.
§ 14. Параметрические уравнения лилии
45. Пусть задана какая-нибудь система координат и пусть даны
две функции от одного аргумента t:
Условимся величины х и у при каждом значении t рассматривать
как координаты некоторой точки М. При изменении t величины х
и у, вообще говоря, меняются, следовательно, точка М перемеща-
перемещается по плоскости. Равенства A) называются параметрическими
уравнениями траектории точки М; аргумент t называется перемен-
переменным параметром.
Параметрические уравнения играют важную роль в механике,
где они используются в качестве так называемых уравнений движе-
движения. Именно, если материальная точка М движется по плоскости,
то в каждый момент времени t она имеет определенные координаты
х, у. Уравнения, которые выражают х и у как функции времени t,
и называются уравнениями движения точки М; они имеют вид A).
В механике движение материальной точки считается математи-
математически заданным, если составлены его уравнения.
46. Пусть некоторая линия определена параметрическими урав-
уравнениями x=q>(t),y = \\f (t) как траектория точки М(х; у).
Если F(x, y) = 0 есть следствие данных уравнений, то ему удов-
удовлетворяют координаты х= ф (t), у-\|/ (t) точки Мпри любом t. Та-
Таким образом, точка Мдвижется по линии F(x, у) = 0. Если при этом
точка М обходит всю эту линию, то F(x, y) = 0 представляет собой
обычное уравнение траектории точки М. Составление такого след-
следствия F(x, у) = 0 параметрических уравнений х = ф (t), у = \|/ (t) назы-
называется исключением параметра.

§ 15. Алгебраические линии	47
Пример. Уравнения х = г cos t, y = rsint суть параметрические уравнения
окружности, которая имеет центр в начале координат и радиус г. В самом деле,
возводя эти уравнения в квадрат и складывая почленно, мы получим их след-
следствие х2 + у2 = г2. Отсюда видно, что точка М(х; у) движется по указанной
окружности. Кроме того, так как параметр t принимает все возможные чис-
численные значения, то луч ОМ (который составляет с осью Ох угол t) занимает
все возможные положения. Следовательно, точка М обегает всю окружность
(при бесконечном возрастании t бесконечно много раз).
47. Пусть р =/F) — полярное уравнение некоторой линии. Та
же линия в декартовых координатах может быть определена пара-
параметрическими уравнениями
x = /(9)cose,
у = /(9) sin 9.
Чтобы получить эти уравнения, достаточно в формулах х = р cos 9,
у = р sin 9 (см. п° 15) заменить р функцией /@).
Пример. Спираль Архимеда, гиперболическая спираль и логарифмичес-
логарифмическая спираль имеют полярные уравнения соответственно р = я6, р = —, р = ав
9
(см. п° 38). Отсюда находим в декартовых координатах параметрические урав-
уравнения:
—	спирали Архимеда,
_ я cos 6	_ я sin 6
Х~ 0 ' У~ 0
—	гиперболической спирали и
х= <2ecos6, y = flesin6
—	логарифмической спирали.
Во всех рассмотренных случаях параметром является полярный угол в пе-
переменной точки.
§ 15. Алгебраические линии
48. Основным предметом изучения в аналитической геометрии
являются линии, определяемые по отношению к декартовым пря-
прямоугольным координатам алгебраическими уравнени-
уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:
Лх+Ву+С=0;	A)
Ах2 + Вху+ Cy2 + Dx+Ey+F=Q\	B)
2 2+ Сху2 + Dy3 + Ex2 + Fxy- Gy2 +
+ Hx+Iy+K=0;	C)
Здесь А, В, С,В,Еж т. д. — некоторые фиксированные числа; они
называются коэффициентами указанных уравнений.

48	Глава 3. Уравнение линии
Уравнение A) называется общим уравнением первой степени (чис-
(численные значения его коэффициентов могут быть какими угодно,
но при условии, чтобы уравнение действительно содержало члены
первой степени, т. е. одновременное обращение в нуль А и В
исключается); уравнение B) называется общим уравнением второй
степени (численные значения его коэффициентов могут быть
какими угодно, но при условии, чтобы уравнение действительно
содержало члены второй степени, т. е. случай, когда все три ко-
коэффициента А, В, С равны нулю, исключается); уравнение C)
называется общим уравнением третьей степени (численные значе-
значения его коэффициентов могут быть какими угодно, исключая слу-
случай, когда все четыре коэффициента А, В, С, D равны нулю).
Аналогичный вид имеют уравнения четвертой, пятой и т. д. степеней.
В качестве примеров неалгебраических уравнений ука-
укажем следующие:
3/-sinx=0, 10х -У+1=0,
3>-logx=0, 2^-x -у=0,
у-10х = 0.
Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных
координат определяется алгебраическим уравнением степени п, на-
называется алгебраической линией п-го порядка.
49. Теорема 8. Линия, которая определяется алгебраическим уравнением
степени п в какой-нибудь системе декартовых прямоугольных координат, в лю-
любой другой системе таких же координат определяется также алгебраическим
уравнением и той же степени п.
Доказательство. Пусть некоторая линия определена алгебраическим
уравнением степени п в системе координат с осями Ох и Оу. При переходе
к какой-нибудь другой системе координат с осями О'х\ О'у' координаты всех
точек плоскости преобразуются по формулам вида
х = х cos a + у sin а + а,
у = х sin а ± у cos а + b	D)
при некотором выборе знаков перед вторыми членами в правых частях (см.
замечание в конце п° 29). Чтобы получить уравнение той же линии в новых
координатах, мы должны старые аргументы ее уравнения заменить по форму-
формулам D). Левая часть этого уравнения представляет собой сумму одночленов,
каждый из которых есть взятое с некоторым коэффициентом произведение
целых неотрицательных степеней переменных хну. После замены х и у по
формулам D) и после раскрытия всех скобок мы получим в левой части преоб-
преобразуемого уравнения сумму новых одночленов, каждый из которых есть взятое
с некоторым коэффициентом произведение целых неотрицательных степеней
новых переменных х' и у'. Следовательно, алгебраический характер урав-
уравнения при таком преобразовании сохраняется.
Теперь мы должны доказать, что и степень уравнения остается неизменной.
Это почти очевидно. В самом деле, так как формулы D) имеют относительно х'

§ 15. Алгебраические линии	49
и у' первую степень, то после замены х и у по этим формулам и раскрытия всех
скобок в левой части преобразуемого уравнения не может возникнуть ни одно-
одного одночлена, степень которого *) относительно новых переменных х'и/ была
бы выше п.
Таким образом, при любом указанном преобразовании алгебраического урав-
уравнения степень его не может повыситься. Заранее, однако, неясно, не может ли
она понизиться (т. е. не могут ли все старшие одночлены после преобразования
взаимно уничтожиться). Но если при переходе от одной декартовой системы
прямоугольных координат к другой такой же системе координат степень неко-
некоторого алгебраического уравнения понижается, то при обратном переходе она
должна повыситься, а это, как мы видели, невозможно. Теорема доказана.
Установленная сейчас теорема показывает, что алгебраический характер урав-
уравнения и «порядок суть свойства, присущие самой алгебраичес-
алгебраической л и н и и, т. е. что они не связаны с выбором координат-
координатных осей.
Общая теория алгебраических линий служит предметом специ-
специальных сочинений по аналитической геометрии. В этой книге будут
систематически рассматриваться только линии первого и второго
порядков.
В ближайших параграфах устанавливается, что линии первого
порядка суть прямые (и только прямые).
*) Степенью одночлена называется сумма показателей входящих в него пе-
переменных.

ГЛАВА 4
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 16. Угловой коэффициент
60. Пусть задана декартова прямоугольная система координат
и некоторая прямая. Обозначим через а угол, на который нужно
повернуть ось Ох, чтобы придать ей одно из направлений данной
прямой; углу припишем знак плюс или минус в зависимости
от того, будет ли этот поворот положительным или отрицатель-
отрицательным. Назовем угол а углом наклона данной прямой к оси Ох.
Если после некоторого поворота оси Ох мы придадим ей одно
из направлений данной прямой, то, совершая дополнительный пово-
поворот на угол ±71, или ±2тг, или ± Зтг и т. д., мы каждый раз снова будем
получать одно из направлений данной прямой. Таким образом,
угол а может иметь множество различных значений, которые отли-
отличаются друг от друга на величину ± пк, где п — натуральное число.
Чаще всего в качестве угла наклона прямой к оси Ох берут наимень-
наименьшее положительное значение угла а (рис. 35,а, 35,6), а в случае, когда
прямая параллельна оси Ох, угол наклона ее к оси Ох считают рав-
равным нулю.
Существенно заметить, что для данной прямой все значения
угла наклона ее к оси Ох имеют один и тот же тангенс
(так как tg (a ± пк) = tg a).
51. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом этой прямой.
Обозначая угловой коэффициент буквой к, запишем предыду-
предыдущее определение символически:
k = tga.	A)
В частности, если а = 0, то и fc = 0, т.е. прямая, параллельная
оси Ох, имеет угловой коэффициент, равный нулю. Если а = —,
то к = tg а теряет арифметический смысл (не выражается никаким
числом), т. е. прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет угло-
углового коэффициента. Впрочем, очень часто говорят, что если прямая

§17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
51
перпендикулярна к оси Ох, ее угловой коэффициент «обращается
в бесконечность»; этим выражают тот факт, что
при а —> —.
о
о
Рис. 35
Угловой коэффициент является важнейшей характеристикой
направления прямой и постоянно используется в аналитической
геометрии и ее приложениях.
52. Рассмотрим произвольную прямую; предположим только, что
она не перпендикулярна к оси Ох. Возьмем на ней любые две точки
Mi(xi;y{) и М2(х2\У2). Полярный
угол 9 отрезка МХМ2 равен углу
наклона рассматриваемой прямой
к оси Ох, следовательно, тангенс
угла 9 равен угловому коэффици-
коэффициенту этой прямой (рис. 36); отсюда
и по формуле F) п° 19 находим
У2~У\
B)
Рис. 36
(это соотношение легко усматривается также из рис. 36). Формула B)
выражает угловой коэффициент прямой по двум ее данным точкам.
§17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
53. Пусть дана некоторая прямая; как и раньше, предполо-
предположим, что она не перпендикулярна к оси Ох. Выведем уравнение
данной прямой, полагая известными_ее угловой коэффициент к
и величину Ъ направленного отрезка ОВ , который она отсекает на
оси Оу (см. рис. 37).
Обозначим через М переменную точку, через х, у — ее коорди-
координаты (т. е. текущие координаты); рассмотрим, кроме того, точку

52
Глава 4. Линии первого порядка
В@; Ъ), в которой прямая пересекает ось Оу. Вычислим правую
часть формулы B) п° 52, приняв в качестве Мх точку Д в качестве
М2 — точку М. Если точка М ле-
лежит на данной прямой, то в ре-
результате вычисления мы получим
угловой коэффициент этой пря-
прямой, т. е.
C)
если же М не лежит на данной
прямой, то это равенство не будет
соблюдаться. Следовательно, ра-
Рис. 37	венство C)является уравнени-
уравнением данной прямой (оно
легко усматривается также из рис. 37, если принять во внимание;
что к = tg а). Освобождаясь от знаменателя и перенося Ъ в правую
сторону, получим
у=кх+Ъ.	D)
54. Итак, каждая прямая, не перпендикулярная к оси Ох, может
быть определена уравнением вида D).
Обратно, каждое уравнение вида D) определяет прямую, которая
имеет угловой коэффициент к и отсекает на оси Оу отрезок величи-
величины Ь. В самом деле, если дано уравнение у = кх + Ъ, то, каковы бы ни
были числа к и Ъ, всегда возможно построить прямую, которая име-
имеет данный угловой коэффициент к и отсекает на оси Оу отрезок ОВ
данной величины Ь; но тогда, согласно предыдущему, построенная
прямая и будет определяться заданным уравнением. Уравнение вида D)
называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Пример. Построить прямую по уравнению
Решение. Отложим на оси Оу отрезок ОВ = 2 (рис.38); проведем через
точку В в «правую» сторону параллельно оси Ох отрезок BN= 4, и через точку N
в направлении оси Оу («вверх»)—отрезок NM= 3. После этого, соединяя точки В
и М, получим искомую прямую (она отсекает на оси Оу отрезок Ъ = 2 и состав-
составляет с осью Ох угол, тангенс которого равен 3/4).
55. Функция
у= kx+b
называется линейной. На основании изложенного можно сказать,
что графиком линейной функции является прямая линия.

§17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
53
При Ъ - О мы получаем
у- кх.
E)
Переменные хну, связанные такой зависимостью, называются
пропорциональными друг другу; число к называют коэффициентом
пропорциональности. Из предыдущего ясно,
что графиком функции у = кх является пря-
прямая, которая проходит через начало коорди-
координат и имеет угловой коэффициент к.
56. Во многих случаях встречается необ-
необходимость составить уравнение
прямой, зная одну ее точку
М\(хьУ\) и угловой коэффициент к.
Искомое уравнение сразу получается из фор-
формулы B) п° 52. В самом деле, пусть М —
переменная точка, х, у — ее (текущие) координаты. Если М лежит
на прямой, которая проходит через точку Мх и имеет данный угло-
угловой коэффициент к, то в силу формулы B) п° 52
В
У
о
у
м
s I I I
'N
X
Рис. 38
У-Ух
X - Хл
= к;
F)
если же точка М не лежит на этой прямой, то равенство F)
не соблюдается. Таким образом, равенство F) и есть искомое урав-
уравнение; обычно его пишут в виде
-ух = к(х-хх).
G)
;ji)
Замечание.В том частном случае, когда в качестве
берется точка В @; Ь), уравнение G) принимает вид D).
57. Применяя соотношение G), легко решить следующую зада-
задачу: составить уравнение прямой, которая про-
проходит через две данные точки Mi(xi;y{) и М2{х2\У2).
Пользуясь формулой B) п° 52, находим угловой коэффициент
прямой
X2 X{
после чего, на основании G), получаем искомое уравнение
У- У\ =——— (х-Хх).
х2 - хх
Это уравнение принято писать в виде
x-xl = у-у1
Х9 -Хл Уо - Vi
(8)

54	Глава 4. Линии первого порядка
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки МхC; 4)
и М2E; 4).
Решение. Подставляя данные координаты в соотношение (8), получим
х-3 = у-\
2	3 '
или Зх- 2у- 7 = 0.
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
58. Одной из стандартных задач аналитической геометрии явля-
является вычисление угла между двумя прямыми. Здесь мы выведем
формулу, но которой можно вычислить угол между прямыми, зная
их угловые коэффициенты (мы предполагаем, что ни одна из пря-
прямых не перпендикулярна к оси Ох).
Рассмотрим две прямые; будем одну из них (какую угодно) на-
называть первой, другую второй (рис. 39). Обозначим, соответственно,
через к{ и к2 угловые коэффициенты этих прямых, через ф — угол
наклона второй прямой к первой, т. е. угол, на который нужно повер-
повернуть первую прямую, чтобы
придать ей одно из направле-
направлений второй прямой. Углу ф
припишем знак плюс или ми-
минус в зависимости от того, бу-
будет ли этот поворот положи-
положительным или отрицательным.
Говоря об угле между двумя
прямыми, мы и будем подра-
О ^^Л /аА	_ зумевать угол ф.
Пусть щ — угол наклона
первой прямой к оси Ох. Если
Рис. 39	мы повернем ось Ох на угол аь
то придадим ей одно из направ-
направлений первой прямой; если затем повернуть ось Ох еще на угол ф,
то она получит одно из направлений второй прямой. Таким образом,
прибавляя к углу щ угол ф, мы получаем угол наклона к оси Ох
второй прямой; обозначим его через а2. Согласно сказанному, имеем
а1 + ф = а2, или ф = а2-а1.
Отсюда
tgф = tg((X2 -OCi) =	-^	— .
1 + tgOCj tgOC2
Но tgocx = ki, tga2 = k2; следовательно,

§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми	55
Это и есть формула, которую мы имели в виду получить.
В случае Ф = у тангенс угла ф теряет арифметический смысл
(«обращается в бесконечность»); в этом случае (и только в этом
случае) знаменатель правой части формулы A) будет равен нулю.
Пример. Даны прямые у---= х+2, у- -х+3. Найти угол между ними.
Решение. По формуле A) находим
1.1)
\ 7/ 21 + 4 ,
1)
4 \ 7/ 21 + 4
Таким образом, один из углов, которые составляют данные прямые, равен 45°.
59. При решении различных задач аналитической геометрии ча-
часто бывает важно, зная уравнения двух прямых, установить, явля-
являются ли они параллельными или являются ли они перпендикуляр-
перпендикулярными друг к другу.
Этот вопрос выясняется также весьма просто.
Пусть известны угловые коэффициенты двух прямых кхж к2.
Обозначим через а{ и а2 соответственно углы наклона этих прямых
к оси Ох. Очевидно, данные прямые параллельны тогда и только
тогда, когда углы наклона их к оси Ох; имеют одинаковые значе-
значения, т. е. когда tg a{ = tg a2. Но tg a{ = kh tg а2 = к2. Отсюда заключа-
заключаем, что признаком параллельности двух прямых является равенство
их угловых коэффициентов:
k2 = kx.
Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
угол ф между ними равен — , т. е. когда tg q> теряет арифметический
смысл; в этом случае знаменатель правой части формулы A) обра-
обращается в нуль и мы имеем: 1 + k{k2 = 0. Следовательно, признаком
перпендикулярности двух прямых является соотношение
Последнее соотношение обычно пишут в виде
и, соответственно этому, условие перпендикулярности двух прямых
формулируют так: угловые коэффициенты перпендикулярных прямых
обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

56	Глава 4. Линии первого порядка
Применяя установленные признаки, сразу можно сказать, что,
2	2
например, прямые у- — х+ 1, у- — х+5 параллельны, а прямые
4
у	= -^-х+3 перпендикулярны друг другу.
Пример. Найти проекцию точки РD;9) на прямую, проходящую через
точки А{Ъ; 1) и ЯE; 2).
Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение прямой АВ
с уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р. Преж-
Прежде всего, составим уравнение прямой АВ; применяя соотношение (8) п° 57,
получаем
х-3 =у-\
2	1
Чтобы составить уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ, напи-
напишем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку Р; согласно
соотношению G) п° 56 имеем:
у-9 = к (х-4),	(*)
где к — пока еще не определенный угловой коэффициент. Нам нужно, чтобы
искомая прямая прошла перпендикулярно к АВ; следовательно, ее угловой ко-
коэффициент должен удовлетворять условию перпендикулярности с прямой АВ.
Так как угловой коэффициент прямой АВ равен у , то согласно формуле B)
находим к =-2. Подставляя найденное значение к в уравнение (*), получаем
у-9= -2(х-4) или у = -2х+17.
Решая совместно уравнения
у = -2х+17,
найдем координаты искомой проекции:
х=7, у = Ъ.
§ 19. Прямая как линия первого порядка.
Общее уравнение прямой
60. Здесь мы докажем следующую принципиальную теорему.
Теорема 9. В декартовых координатах каждая прямая опре-
определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение
первой степени определяет некоторую прямую.
Доказательство. Сначала докажем первое утверждение тео-
теоремы. Пусть дана произвольная прямая. Если эта прямая не пер-
перпендикулярна к оси Ох, то согласно п° 53 она определяется уравне-
уравнением вида у = kx+ b, т. е. уравнением первой степени.

§ 19. Прямая как линия первого порядка	57
Если прямая перпендикулярна к оси Ох, то все ее точки име-
имеют одинаковые абсциссы, равные величине отрезка, отсекаемого
прямой на оси Ох (рис. 40); таким образом, если мы обозначим
величину этого отрезка буквой а, то получим уравнение прямой
в виде х = а, что также есть уравнение первой
степени. Итак, каждая прямая в декартовых ко-
координатах определяется уравнением первой сте-
степени; тем самым первое утверждение теоремы
доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано _
уравнение первой степени
Ах+Ву+С=Ъ	A)	Рис.40
с какими угодно численными значениями А, В, С. Если ВфО, то
данное уравнение можно записать в виде:
А С
У Х
А	С
Обозначая	через к,	через Ъ, получим у = кх + Ъ, а такое
В	В
уравнение согласно п° 53 определяет прямую, которая имеет угло-
угловой коэффициент к и отсекает на оси Оу отрезок, величина кото-
которого равна Ъ.
Если В=0, то АфО, и уравнению A) можно придать вид
С
Обозначая -— через а, получим х=а, т.е. уравнение прямой,
А
перпендикулярной к оси Ох. Итак, каждое уравнение первой сте-
степени определяет прямую. Теорема доказана.
Линии, которые в декартовых координатах определяются урав-
уравнением первой степени, называются, как мы знаем, линиями
первого порядка (см. п° 48). Употребляя эту терминологию, мы
можем высказать установленный результат так: каждая прямая
есть линия первого порядка; каждая линия первого порядка есть
прямая.
61. Уравнение вида Ах-\-Ву-\- С= 0 называется общим уравнением
прямой (как общее уравнение первой степени). При различных чис-
численных значениях А, В, С оно может определять всевозможные
прямые без исключения.

58	Глава 4. Линии первого порядка
§ 20. Неполное уравнение первой степени.
Уравнение прямой «в отрезках»
62. Рассмотрим три частных случая, когда уравнение первой
степени является неполным.
1)	С=0; уравнение имеет вид Ах+ Ву = 0 и определяет прямую,
проходящую через начало координат.
Действительно, числа х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнению
Ах + By = 0. Следовательно, начало координат принадлежит прямой.
2)	В=0 (^4^0); уравнение имеет вид Ах + С- 0 и определяет пря-
прямую, параллельную оси Оу.
Этот случай уже рассматривался в п° 60 в ходе доказательства
теоремы 9. Как было тогда показано, уравнение Ах+ С- 0 приво-
приводится к виду
х=а,
С _
где а = - — . Такое уравнение определяет прямую, перпендикуляр-
А
ную оси Ох, потому что согласно этому уравнению все точки прямой
имеют одинаковые абсциссы (х= а) и, следовательно, расположены
на одном расстоянии от оси Оу («справа», если а — число положи-
положительное, «слева», если а — число отрицательное); а есть величина
отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (считая от начала ко-
координат; см. рис. 40).
В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким
образом, уравнение
х=0
определяет ось ординат.
3)	А = 0 (Вф0); уравнение имеет вид Ву+ С=0 и определяет пря-
прямую, параллельную оси Ох.
Это устанавливается аналогично предыдущему случаю. Заме-
Заметим только, что если положить - — = Ъ, то урав-
В
- нение By + C= 0 примет вид
У=Ь;
число Ъ есть общий для всех точек прямой «уро-
«уровень расположения» (рис. 41) и вместе с тем ве-
величина отрезка, который отсекает прямая на
оси Оу (считая от начала координат).
В частности, если Ъ = 0, то прямая совпадает с осью Ох. Таким
образом, уравнение
у=0
определяет ось абсцисс.
О
Рис. 41

§ 20. Неполное уравнение первой степени
59
63. Пусть теперь дано уравнение
Лх+Ву+С=0
при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С не равен
нулю. Такое уравнение может быть приведено к некоторому спе-
специальному виду, который бывает удобен в раде задач аналитичес-
аналитической геометрии.
Перенесем свободный член С в правую часть уравнения; получим
Ах+Ву = -С.
Поделим затем обе части уравнения на -С; тогда будем иметь
или
Вводя обозначения
получим:
Ах
-С +
X
с
С
X
а
By
У
с
в
ъ
~ь~
= 1.
--§¦
A)
Это и есть тот специальный вид уравнения прямой, который мы
хотели получить.
Существенно, что числа а и Ъ имеют весьма простой геометри-
геометрический смысл. Именно, а ж Ъ суть величины отрезков, которые
прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала
координат (рис. 42). Чтобы убедиться
в этом, найдем точки пересечения пря- >
мой с координатными осями. Точка пе-
пересечения прямой с осью Ох определяет-
определяется путем совместного решения уравнения
этой прямой и уравнения оси Ох:
Ъ
о
Рис. 42
Отсюда х= а,у = 0. Таким образом, величина отрезка, отсекаемого
прямой на оси Ох, действительно равна а. Аналогично устанавлива-
устанавливается, что величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу, равна Ь.

60
Глава 4. Линии первого порядка
Уравнение вида A) принято называть уравнением прямой «в от-
отрезках». Эту форму уравнения, в частности, удобно использовать
для построения прямой на чертеже.
Пример. Дана прямая
Ъх-5у + 15 = 0.
Составить для этой прямой уравнение «в отрезках»
и построить прямую на чертеже.
Решение. Для данной прямой уравнение
«в отрезках» имеет вид
Рис. 43	T^ + f = L
Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ох
и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а = -5, Ь = 3, и соеди-
соединим их концы (рис. 43).
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых
64. Пусть дана система двух уравнений первой степени:
Ахх
Вху + Сх = 0,
А2х + В2у + С2 = 0.
A)
Каждое из уравнений A) в отдельности определяет прямую. Каж-
Каждое их совместное решение определяет общую точку этих прямых.
Будем исследовать систему A) и дадим результатам исследова-
исследования геометрическое истолкование.
Предположим, что —- Ф -?- . В этом случае определитель систе-
мы не равен нулю:
А2 В2
Значит, система совместна и имеет единственное решение *); соот-
соответственно, прямые, определяемые уравнениями системы, пересе-
пересекаются в одной точке; следовательно, эти прямые различны и не
параллельны друг другу. Координаты точки пересечения находятся
из уравнений A) при помощи формул
х =
-Q
-С2
А
А
в,
в2
в2
Л 7 — .
? у —
А
А
А
А
-с,
-С г
By
в2
*) См. Приложение, п° 2.

§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых
61
ИЛИ
X =
в,
в2
А
А2
с,
с2
в,
в2
' 5 У
с2
А
А2
А
А
By
в2
B)
*1 _ Bl
Предположим теперь, что —г~ ~ ~ЕГ • Здесь в свою очередь име-
ются две возможности: либо ~7~
C{
с2
А, В, С,
^77
Рассмотрим первую из них. Обозначим каждое из равных отно-
отношений -j- и -^- буквой q; тогда имеем А{ = A2q, В{ = B2q, С{ Ф C2q.
Помножим второе из уравнений A) на q и вычтем полученное
соотношение из первого уравнения; получим Q - C2q = 0. Это со-
соотношение противоречиво, так как Q Ф C2q. Но оно вытекает из
системы A); следовательно, уравнения системы A) ни при каких
численных значениях аргументов х, у не могут быть одновременно
правильными равенствами, т. е. система A) не имеет совместных
решений. В данном случае уравнения A) определяют прямые, не
имеющие ни одной общей точки, т. е. параллельные.
Рассмотрим вторую из двух указанных выше возможностей:
А2 В2 С2 '
Полагая каждое из этих отношений равным q, найдем: Ах = A2q,
Вх - B2q, C\ = C2q. Таким образом, приумножении левой части вто-
второго уравнения на некоторое число q мы получаем левую часть
первого уравнения. Следовательно, уравнения A) равносильны.
Следовательно, оба уравнения A) определяют одну и ту же прямую.
Примеры: 1) Прямые
Зх + 4у- 1 = 0,
2х+Зу-1 = 0
3 4
пересекаются, так как — ф — . Координаты точки пересечения суть х = -1,
у = +1.
2) Прямые
2х+Зу+1 = 0,
4х+6у+3 = 0
2 3	2 3 1
параллельны, так как — = -у, но система несовместна, так как — = -? ф —
умножая первое из уравнений на 2 и отнимая от второго, получим противоре-
противоречивое равенство 1 = 0.

62	Глава 4. Линии первого порядка
3) Прямые
х + у+ 1=0,
2х+2у+2 = 0
совпадают друг с другом, так как данные уравнения равносильны.
А в.
Замечание. Соотношение ~д~ = ^~ называют условием па-
параллельности прямых
A^+Btf+C^O, А2х+В2у+С2 = 0,
хотя, как мы видели, при этом условии прямые могут быть либо
параллельными, либо совпадающими. Таким образом,
А вг
говоря, что соотношение -д- - ~д~ есть условие параллельности двух
прямых, нужно условиться случай, когда две прямые совпадают,
рассматривать в качестве особого (предельного) случая их парал-
параллельности.
65.	Из рассуждений предыдущего пункта непосредственно вы-
вытекает следующее важное предложение.
Два уравнения
Ахх+Вху+ Сх = 0 и А2х+В2у+ С2 = 0
определяют одну прямую в том и только в том случае, когда их
коэффициенты пропорциональны, т. е.
А2 В2 С2 '
Это предложение в дальнейшем будет использоваться.
§ 22. Нормальное уравнение прямой.
Задача вычисления расстояния от точки до прямой
66.	Здесь мы рассмотрим один специальный вид записи уравне-
уравнения прямой, известный под названием нормального уравне-
уравнения прямой.
Пусть дана какая-нибудь прямая. Проведем через начало коор-
координат прямую п, перпендикулярную к данной, — мы будем назы-
называть ее нормалью, — и пометим буквой Р точку, в которой она
пересекает данную прямую (рис. 44). На нормали мы введем поло-
положительное направление от точки О к точке Р (если точка Р совпа-
совпадает с точкой О, т. е. если данная прямая проходит через начало
координат, то положительное направление нормали выберем про-
произвольно). Таким образом, нормаль является осью.
Обозначим через а угол_от оси Ох до направленной нормали,
через р — длину отрезка ОР.

§ 22. Нормальное уравнение прямой
63
Угол а будем понимать как в тригонометрии и будем называть
его полярным углом нормали.
Мы выведем сейчас уравнение данной прямой, считая извест-
известными числа а и р. С этой целью возьмем на прямой произвольную
точку Ми обозначим через х, у ее координаты; очевидно, проекция
отрезка ОМ на нормаль равна ОР, а так
как положительное направление норма-
нормали совпадает с направлением отрезка ОР, *
то величина этого отрезка выражается по-
положительным числом, именно числом р:
прп0М = р.	A)
_Найдем выражение проекции отрезка
О
Рис. 44
на нормаль через координаты
точки М. С этой целью обозначим через
Ф угол наклона отрезка ОМ к нормали, через р, 9 — полярные
координаты точки М. Согласно п° 20 имеем
пр ОМ = р cos ф = р cos (а - 9) = р (cos а cos 9 + sin а sin 9) =
= (р cos 9) cos а + (р sin 9) sin а = х cos а + у sin а.
Таким образом,
.	B)
C)
щ>пОМ =
Из равенств A) и B) следует, что х cos a + у sin a =p, или
х cos a + у sin a -p = 0.
\
Это и есть уравнение данной прямой (ему, как мы видим, удовлет-
удовлетворяют координаты х, у каждой точки М, лежащей на данной пря-
прямой; если же точка Мне лежит на данной прямой, то ее координа-
координаты уравнению C) не удовлетворяют, так
как тогда прп0М ф р).
Уравнение прямой, написанное в фор-
форме C), называется нормальным', в этом
уравнении а обозначает полярный угол
нормали, р — расстояние от начала ко-
координат до прямой.
67. Пусть дана произвольная прямая.
Построим ее нормаль п (назначив на нор-
нормали положительное направление так, как
было описано в предыдущем п°). Пусть,
далее, М* — какая угодно точка плоскости, d — ее расстояние от
данной прямой (рис. 45).
О
Рис. 45

64	Глава 4. Линии первого порядка
Условимся называть отклонением точки М* от данной прямой
число +d, если М* лежит по ту сторону от прямой, куда идет поло-
положительное направление нормали, и -d, если М* лежит с другой
стороны от данной прямой. Отклонение точки от прямой будем
обозначать буквой 5; таким образом: 5 = ±d, причем полезно заме-
заметить, что 5 = +d, когда точка М* и начало координат лежат по раз-
разные стороны от прямой, и 5 = -d, когда точка М* и начало коорди-
координат лежат по одну сторону от прямой (для точек, лежащих на пря-
прямой, 5 = 0).
Одной из стандартных задач аналитической геометрии явля-
является задача вычисления отклонения точки от прямой. Эта зада-
задача решается следующей теоремой:
Теорема 10. Если точка М* имеет координаты (х*; у*)9 а пря-
прямая задана нормальным уравнением
х cos а + у sin а -р = 0,
то отклонение точки М* от этой прямой дается формулой
5 = л* cos а + у* sin а -р.	D)
Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль; пусть
Q — ее проекция (рис. 45). Мы имеем
8 = PQ=OQ-OP,
где_^РB, 0B и ОР суть величины направленных отрезков PQ, OQ
и ОР, расположенных на нормали. Но OQ = npnOM*, OP=p; следо-
следовательно,
8 = прпШ*-р.	E)
Согласно формуле B) п° 66, примененной к точке М* имеем
пр„ ОМ* = х* cos а + у * sin a.	F)
Из равенств E) и F) получаем
5 = х* cos a + у* sin а -р.
Тем самым, теорема доказана.
Заметим теперь, что x*cosa + y*sina-/? есть не что иное, как
левая часть нормального уравнения данной прямой, где вместо те-
текущих координат подставлены координаты точки Л/*. Отсюда по-
получаем следующее правило:
чтобы найти отклонение какой-либо точки М* от некоторой
прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой
вместо текущих координат подставить координаты точки М*.
Полученное число и будет равно искомому отклонению.

§ 22. Нормальное уравнение прямой	65
Замечание. Расстояние точки от прямой равно модулю (аб-
(абсолютной величине) отклонения этой точки: d= | 5 |. Следователь-
Следовательно, если требуется найти расстояние точки от прямой, то доста-
достаточно вычислить по только что указанному правилу отклонение
и взять его модуль.
68. Мы видели, что задача вычисления отклонения точки
от прямой легко решается, если прямая задана нормальным
уравнением. Теперь мы покажем, как привести общее уравнение
прямой к нормальному виду. Пусть
Лх+Ву+С=0	G)
—	общее уравнение некоторой прямой, а
х cos а + у sin а - р = О	C)
—	ее нормальное уравнение.
Так как уравнение G) и C) определяют одну и ту же прямую,
то согласно п° 65 коэффициенты этих уравнений пропорциональ-
пропорциональны. Это означает, что, помножив все члены уравнения G) на неко-
некоторый множитель (а, мы получим уравнение
совпадающее с уравнением C), т. е. мы будем иметь
[iA = cos a, [iB= sin а, [iC=-p.	(8)
Чтобы найти множитель ц, возведем первые два из этих ра-
равенств в квадрат и сложим; получим
(л2 {А2 + В2) = cos2a + sin2oc= 1.
Отсюда
_i_ 1
(9)
Число (а, по умножении на которое общее уравнение прямой
приобретает нормальный вид, называется нормирующим множите-
множителем, этого уравнения. Нормирующий множитель определяется фор-
формулой (9), но не вполне: остается неопределенным его знак.
Для определения знака нормирующего множителя используем
третье из равенств (8). Согласно этому равенству \iC есть число
отрицательное. Следовательно, знак нормирующего множителя про-
противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Замечание. Если С-0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать по желанию.

66	Глава 4. Линии первого порядка
Пример. Даны прямая Ъх-Ау+ 10 = 0 и точка МD; 3). Найти отклонение
точки М от данной прямой.
Решение. Чтобы применить правило, изложенное в п° 67, нам нужно
прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду.
С этой целью находим нормирующий множитель
Умножая данное уравнение на ц, получим искомое нормальное уравнение
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем
5= -jC-4-4-3 + 10) = -2.
Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной прямой и удалена
от нее на расстояние d=2.
§ 23. Уравнение пучка прямых
69. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через
некоторую точку S(x0; у0), называется пучком прямых с центром S.
В аналитической геометрии часто встречается потребность, зная
уравнения двух прямых пучка, найти уравнение некоторой третьей
прямой того же пучка при условии, что направление этой третьей
прямой так или иначе описано. Задачи такого типа можно решать,
используя, например, уравнение G) п° 56: у - ух = к (х - хх), где в ка-
качестве хь у{ следует брать координаты xq, y0 центра пучка (угловой
коэффициент к находится соответственно тому, как задано направ-
направление искомой прямой). При этом, однако, приходится предвари-
предварительно вычислять координаты х0, у0 центра пучка.
Следующее предложение позволяет в подобных случаях избе-
избежать вычисления координат х0, у0.
Пусть Ахх + Вху + Q = 0, А2х + В^у + С2 = 0 — уравнения двух пря-
прямых, пересекающихся в точке S, и а, р — какие угодно числа, не
равные одновременно нулю; тогда
а {Ахх+ Вху+ Сх) + р {А2х+ By+ С2) = 0	A)
есть уравнение прямой, проходящей через точку S.
Доказательство. Прежде всего установим, что соотно-
соотношение A) есть действительно уравнение. Для этого запишем его
в виде
(аА1 + р,42) х + (аВг + р?2) у+(аС1 + ЬС2) = 0	B)

§ 23. Уравнение пучка прямых	67
и докажем, что величины аА{ + $А2 и аВ{ + $В2 не могут быть обе
равными нулю. Предположим противное, т. е. что аА{ + $А2 = О
и аВ{ + pi?2 = 0; но тогда -±- = --?- и -^- = - —. Так как числа аир
не равны нулю одновременно, то отношение JL не может быть
а
неопределенным; поэтому из предыдущих равенств следует про-
пропорция -А- = -^-. Однако коэффициенты Аь Вх не могут быть
пропорциональными коэффициентам Аъ Въ так как данные пря-
прямые пересекаются (см. п° 64). Таким образом, наше предположение
приходится отвергнуть. Итак, аАх + р^42 и а^\ + Р^2 одновременно
исчезнуть не могут, а это и означает, что равенство B) есть уравне-
уравнение (с переменными хну). Далее, непосредственно ясно, что оно
является уравнением первой степени, и, следовательно, определяет
некоторую прямую. Остается доказать, что эта прямая проходит
через точку S. Пусть х0, у0 — координаты точки S. Так как каждая
из данных прямых проходит через точку S, то Ахщ + В{у0 + Q = 0
и А2х0 + i?2Jo + С2 = 0, откуда
а (Ахх0 + Вху0 + Q) + р (А2х0 + ^ + С2) = 0.
Мы видим, что координаты точки ? удовлетворяют уравнению A),
следовательно, прямая, определяемая уравнением A), проходит че-
через точку S, и наше предложение доказано.
Таким образом, уравнение вида A) при всяких значениях а, р, не
равных одновременно нулю, определяет прямые пучка с центром S.
Теперь мы докажем, что в уравнении A) числа а, р всегда можно
подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную)
прямую пучка с центром S. Так как каждая прямая пучка с центром S
определяется заданием, кроме точки S, еще одной своей точки,
то для доказательства высказанного утверждения достаточно уста-
установить, что в уравнении A) числа а, р всегда возможно подобрать
так, чтобы определяемая им прямая прошла через любую заранее
назначенную точку М* (х*; у*).
Но это ясно; в самом деле, прямая, определяемая уравнени-
уравнением A), будет проходить через точку Л/*, если координаты точки М*
удовлетворяют этому уравнению, т. е. если
а (Ахх* + By* + Q) + р (А2х* + В$* + С2) = 0.	C)
Будем считать, что точка М* не совпадает с точкой S (только этот
случай нам и нужен). Тогда хотя бы одно из чисел
+Cb А2х* + By* + С2

Глава 4. Линии первого порядка
не равно нулю, следовательно, равенство C) является не тожде-
тождеством, а уравнением, именно, уравнением первой степени с двумя
неизвестными а, р; чтобы найти неизвестные а, р, нужно одной из
них придать численное значение произвольно, а другую вычислить
из этого уравнения; например, если А2х* + В$* + С2 Ф О, то а можно
взять каким угодно (не равным нулю), а р соответственно опреде-
определить равенством:
Р
А2х* +52у* + С
Итак, уравнением вида A) можно определить прямую, прохо-
проходящую через какую угодно заранее указанную точку плоскости,
а значит, и любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение
вида A) называют уравнением пучка прямых (с центром S).
Если а Ф О, то, полагая — = X, получим из уравнения A)
а
Ахх+ Вху+ Сх + Х (А2х+ By+ C2) = 0.	D)
В таком виде уравнение пучка прямых в практике решения задач
более употребительно, чем уравнение A). Существенно, однако,
заметить, что, так как при переходе от уравнения A) к уравне-
уравнению D) исключается случай а = 0, то уравнением вида D) нельзя
определить прямую А2х+ В^+ С2 = 0; т. е. уравнение вида D) при
различных X определяет все прямые пучка, кроме одной (второй из
двух данных).
Пример. Даны две прямые 2х + Ъу - 5 = 0, 7х + 15у + 1 = 0, пересекающие-
пересекающиеся в точке S. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку S
и перпендикулярна к прямой 12х-5у- 1 = 0.
Решение. Прежде всего проверим утверждение условия задачи: данные
прямые действительно пересекаются, так как — * — . Далее составим уравне-
уравнение пучка прямых с центром S:
2х+Зу-5 + Ц7х+ 15у + 1) = 0.	E)
Чтобы выделить в этом пучке искомую прямую, вычислим X согласно условию
перпендикулярности этой прямой к прямой 12х-5у-1 = 0. Представив урав-
уравнение E) в виде
B + 7Х) х+ C + 15Х) у + (-5 + X) = 0,	F)
находим угловой коэффициент искомой прямой:
* =  + 15Г

§ 23. Уравнение пучка прямых	69
Данная прямая имеет угловой коэффициент
k -12
По условию перпендикулярности к = -—, т.е.
2 + 1Х	5
3 + 15А, 12 "
Отсюда Х = -1. Подставляя Х = -1 в уравнение F), получаем -5x-12j-6 =
или
5х+12у+6 = 0.
Задача решена.

ГЛАВА 5
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе будут рассмотрены три вида линий второго поряд-
порядка: эллипсы, гиперболы и параболы. Основной целью
главы является ознакомление читателя с важнейшими геометричес-
геометрическими свойствами указанных линий.
§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод
его канонического уравнения
70.	Эллипсом называется геометрическое место точек, для ко-
которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами, есть постоянная величина', требуется, чтобы
эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы
эллипса принято обозначать через F{ и F2.
Замечание. Сумма расстояний произвольной точки М от двух
фиксированных точек F{ и F2, очевидно, не может быть меньше
расстояния между точками Fb F2. Эта сумма равна расстоянию
между F{, F2b том и только в том случае, когда точка Мнаходится
на отрезке F{F2. Следовательно, геометрическое место точек, сумма
расстояний от которых до двух фиксированных точек Fb F2, есть
постоянная величина, равная расстоянию между Fb F2, пред-
представляет собой просто отрезок F{F2. Указанный случай исключен
оговоркой в конце предыдущего определения.
71.	Пусть М— произвольная точка эллипса с фокусами F{ и F2.
Отрезки F{Mn F2M (так же как и длины этих отрезков) называют-
называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных
радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким обра-
образом, для любой точки М эллипса имеем
FxM+F2M=2a.	A)
Расстояние FXF2 между фокусами обозначают через 2с. Так как
FlM+F2M>FlF2,

§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод
71
ТО
2а > 2с, т. е. а > с.
B)
м
Из определения эллипса непосредственно вытекает следующий способ
построения его при помощи нити: если концы нерастяжимой нити
длины 2а закрепить в точках Fb F2 и натянуть нить острием каран-
карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс с фо-
фокусами Fu F2n суммой фокальных радиусов 2а. Выполнив это
построение фактически, можно наглядно убедиться, что эллипс
представляет собой выпуклую замкнутую линию (овал), симмет-
симметричную относительно прямой F{F2, а также относительно прямой,
которая проходит перпендику-
перпендикулярно к отрезку F{F2 через его
середину (рис. 46). Немного да-
далее мы установим форму эллип-
эллипса аналитически при помощи
исследования его уравнения;
уравнение эллипса выводится
в следующем пункте.
72. Пусть дан какой-нибудь
эллипс с фокусами F{, F2 (вмес-
(вместе с тем мы считаем данными а	РИС 46
и с). Введем на плоскости де-
картову прямоугольную систему координат, оси которой располо-
расположим специальным образом по отношению к этому эллипсу; имен-
именно, в качестве оси абсцисс мы возьмем прямую F{F2, считая ее
направленной от F{ к F2, начало координат поместим в середине
отрезка F{F2 (рис. 46). Выведем уравнение эллипса в установлен-
установленной системе координат.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее
координаты через х и у. Обозначим, далее, через гх и г2 расстояния
от точки М до фокусов (r{ = F{M, r2 = F2M). Точка М будет нахо-
находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
гх + г2 = 2а.	C)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве C) заме-
заменить переменные гх и г2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F{F2 = 2cn так как фокусы F{ и F2 располо-
расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то
они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это
во внимание и применяя формулу B) п° 18, находим
D)

72	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Заменяя г{ и г2 в равенстве C) найденными выражениями, получаем
-cJ +y2 =2а.	E)
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса в назначенной си-
системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки
М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на этом
эллипсе. Дальнейшие наши выкладки имеют целью получить урав-
уравнение эллипса в более простом виде. Уединим в уравнении E)
первый радикал, после чего возведем обе части равенства в квад-
квадрат; получим
(х + сJ +у2 =4а2 - Аау\(х-сJ +у2 +(х-сJ+у2 F)
или
2 =а2
+y2 =а2-сх.	G)
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем
а2х2 -2а2сх+ а2 с2 + а2у2 = а4-2а2сх+ с2х2,	(8)
откуда
(а2-с2)х2 + а2у2 = а2(а2-с2).	(9)
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
A0)
геометрический смысл величины Ъ будет раскрыт несколько позд-
позднее; сейчас мы только заметим, что а > с, следовательно, а2 - с2 > 0
и величина Ъ — вещественна. Из равенства A0) имеем
Ь2 = а2-с2,	A1)
вследствие чего уравнению (9) можно придать вид
win
?¦?-1.	A2)
Докажем, что уравнение A2) есть уравнение данного эллипса.
Этот факт не является самоочевидным, поскольку уравнение A2)
получено из уравнения E) двукратным освобождением от ради-
радикалов; очевидно лишь, что уравнение A2) есть следствие уравне-
уравнения E). Мы должны доказать, что уравнение E) в свою очередь

§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод	73
есть следствие уравнения A2), т. е. что эти уравнения эквива-
эквивалентны.
Предположим, что х, у — какие-нибудь два числа, для которых
соблюдено равенство A2). Производя предыдущие выкладки в об-
обратном порядке, мы получим из равенства A2) сначала равенство (9),
затем равенство (8), которое сейчас запишем в виде
а2[(х2-сJ + у2] = (а2-схJ.
Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим
aj(x-cJ +y2 = ±(а2 - сх).	A3)
Заметим теперь, что в силу равенства A2) должно быть | х \ < а. Так
как | х | < а и с < а, то | сх \ < а2, следовательно, число а2 - сх поло-
положительно. Поэтому в правой части равенства A3) необходимо взять
знак плюс. Так мы приходим к равенству G), после чего получим
равенство F); последнее мы напишем в виде
(х + сJ +у2 =\2а-4(х-сJ +у2 1 .
Отсюда
A4)
Исследуем величину
(х-сJ + у2 = х2-2сх+с2 + у2.	A5)
В силу равенства A2) имеем х2 < а2. Далее | сх \ < а\ следовательно,
число -2сх по абсолютному значению меньше 2а2. Наконец, также
из равенства A2) заключаем, что у2 < Ь\ т.е. у2 <а2- с2 или
с2 + у2<а\ Ввиду этих обстоятельств вся сумма в правой части A5)
меньше 4а2, значит, корень из этой суммы меньше 2а. Поэтому
величина, стоящая внутри скобок в правой части A4), положитель-
положительна, следовательно, в равенстве A4) перед скобками нужно брать
знак плюс. Таким образом, мы получаем
откуда сразу следует равенство E).
Итак, уравнение E) выводится из уравнения A2), как и уравне-
уравнение A2) выводится из уравнения E). Тем самым доказано, что
уравнение A2) есть уравнение данного эллипса, поскольку оно
эквивалентно уравнению E).
Уравнение A2) называется каноническим уравнением эллипса.

74	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
73. Уравнение
а1 Ъ1
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямо-
прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким обра-
образом, эллипс есть линия второго порядка.
§ 25. Исследование формы эллипса
74. Выше, в п° 71, мы описали форму эллипса, исходя из на-
наглядных соображений. Здесь мы проведем исследование формы
эллипса путем анализа его канонического уравнения
^ + ^ = 1.	A)
Подчеркнем прежде всего алгебраическую особенность уравне-
уравнения A): оно содержит члены только с четными степенями текущих
координат.
Указанной алгебраической особенности уравнения A) соответ-
соответствует важная геометрическая особенность определяемой им ли-
линии, именно: эллипс, определяемый уравнением A), симметричен как
относительно оси Ох, так а относительно оси Оу.
В самом деле, если М(х; у) — какая-нибудь точка этого эллипса,
т. е. если числа х, у удовлетворяют уравнению A), то числа х, -у
также удовлетворяют уравнению A); следовательно, точка М' (х; -у)
также лежит на этом эллипсе. Но точка М' (х; -у) симметрична
точке М (х; у) относительно оси Ох. Таким образом, все точки эл-
эллипса расположены парами, симметрично относительно оси Ох.
Иначе говоря, если мы перегнем чертеж по оси Ох, то верхняя
часть эллипса совместится с его нижней частью. А это и означает,
что эллипс симметричен по отношению к оси Ох.
Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу
доказывается совершенно аналогично (на основании того, что если
числа х, у удовлетворяют уравнению A), то ему удовлетворяют
и числа-х, у).
Чтобы исследовать форму эллипса, выразим из уравнения A)
величину у как функцию от х:

§ 25. Исследование формы эллипса
75
ИЛИ
7	I
B)
Поскольку эллипс симметричен относительно каждой из коор-
координатных осей, нам достаточно рассмотреть лишь ту его часть, ко-
которая лежит в первой координатной четверти.
Так как указанная часть эллипса лежит в верхней полуплоскости,
то ей соответствует знак + в правой части уравнения B); а так как она
вместе с тем лежит в правой полуплоскости, то для всех ее точек х > 0.
Таким образом, мы должны изобразить график функции
C)
а
при условии х > 0.
Возьмем сначала х = 0, тогда у = Ь. Точка В @; Ъ) является самой
левой точкой рассматриваемого графика. Пусть теперь х увеличи-
увеличивается, начиная от нуля. Очевидно, что при увеличении х подко-
подкоренное выражение в формуле C) будет уменьшаться; вместе с тем,
следовательно, будет уменьшаться и ве-
величина у. Таким образом, переменная
точка М(х; у), описывающая рассматри-
рассматриваемый график, движется вправо и вниз
(рис. 47). Когда х сделается равным я,
мы получим у- 0; тогда точка М(х; у)
совпадает с точкой А (а; 0), лежащей на
оси Ох. При дальнейшем увеличении х,
т. е. при х> а, подкоренное выражение
в формуле C) становится отрицатель-
отрицательным, а значит, у — мнимым. Отсюда следует, что точка А является
самой правой точкой графика. Итак, частью эллипса, расположен-
расположенной в первой координатной четверти, является дуга ВА, изображе-
изображение которой дано на рис. 47.
Производя зеркальные отражения дуги ВА относительно коор-
координатных осей, мы получим весь эллипс; он имеет форму выпук-
выпуклого овала с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии
(рис. 48).
Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями,
а точку пересечения осей — центром эллипса. Точки, в которых
эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. 48
вершины эллипса суть точки А, А\ В и В'. Заметим, что осями
эллипса принято называть также отрезки АА' =2а и ВВ' = 2Ь. Если
эллипс расположен относительно координатных осей так, как было
Рис. 47

76
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
описано в п° 72, именно, если фокусы его находятся на оси Ох, то
Ъ = ча2 -с2 , следовательно, а> Ь.
А\
в у
В этом случае отрезок ОА = а называют большой полуосью эллип-
эллипса, отрезок ОВ= Ъ — малой полуосью. Но, само собой разумеется,
эллипс, определяемый уравнением вида A), может быть располо-
расположен так, что его фокусы будут на оси Оу; тогда b> a n большой
полуосью его будет отрезок ОВ=Ь. Но во всяком случае длина
отрезка ОА на оси абсцисс обозначается через а, а длина отрезка ОВ
на оси ординат обозначается через Ь.
Замечание. На рис. 47 часть эллипса, расположенная в пер-
первой координатной четверти, изображена в виде дуги ВА всюду
выпуклой «вверх»; кроме того, на рис. 47 показано, что направле-
направление этой дуги в точке В перпендикулярно к оси Оу, а в точке А
перпендикулярно к оси Ох (вследствие чего полный эллипс в сво-
своих вершинах не имеет заострений). Между тем мы не доказали,
что дуга ВА действительно обладает такими свойствами. Но мы не
будем этим заниматься, так как такого рода исследования графи-
графиков наиболее естественно проводить при помощи методов матема-
математического анализа.
75. В частном случае, когда Ъ = а, уравнение
принимает вид
ill
х +у =а
такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром в начале
координат). В соответствии с этим окружность рассматривается как
частный случай эллипса.

§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса	77
§ 26. Эксцентриситет эллипса
76. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстоя-
расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозна-
обозначив эксцентриситет буквой 8, получаем
с
8 = —.
а
Так как с<а, то 8<1, т.е. эксцентриситет каждого эллипса
меньше единицы.
Заметим, что с2 = а2 - Ь2; поэтому
отсюда
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эл-
эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцент-
эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму
эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1-е2,
тем меньше, следовательно, отношение —; значит, чем больше
эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности
Ь = аи 8 = 0.
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса
77. Рассмотрим произвольную точку М(х; у), лежащую на дан-
данном эллипсе. Если rz и г2 — фокальные радиусы этой точки, то
-сJ+у2 .	A)
Оказывается, для выражения фокальных радиусов можно указать
другие формулы, свободные от иррациональностей. В самом деле,
из равенства G) п° 72 мы имеем
+ у2 = а	х.
а

78
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Полагая здесь — = г и принимая во внимание вторую из фор-
формул A), получим
по определению эллипса гх + г2 = 2а; отсюда и из предыдущего
гх = а + гх.
Итак, имеют место формулы
гх = а + гх,
г2 = а- гх.	B)
В § 34 эти формулы будут существенно использованы.
§ 28. Построение эллипса по точкам.
Параметрические уравнения эллипса
78. Пусть дан эллипс
A)
Опишем вокруг его центра две окружности, одну — радиусом а,
другую — радиусом Ъ (считаем а > Ь); проведем через центр эллипса
произвольный луч и обозначим буквой t полярный угол этого луча
У
]
1
	¦
в
/
/
1
р
	Л х
Рис. 49
(рис. 49). Проведенный луч пересечет большую окружность в не-
некоторой точке Р, меньшую — в некоторой точке Q. Проведем затем

§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость	79
через точку Р прямую, параллельную оси Оу, через точку Q —
прямую, параллельную оси Ох; пусть М— точка пересечения этих
прямых, a Рх и Qi — проекции точек Р и Q на ось абсцисс.
Выразим координаты точки М через L Из рис. 49 легко усмот-
усмотреть, что
х= ОРХ = ОР • cos t= a cos t,
у=рхМ= QiQ=OQ sint=bsint
Таким образом,
x = a cos t,
n\
y = bsint.	K)
Подставляя эти координаты в уравнение A), убедимся, что они
удовлетворяют ему при любом t Следовательно, точка Мнаходит-
Мнаходится на данном эллипсе. Итак, мы показали, как построить одну
точку эллипса. Проводя ряд лучей и производя указанное построе-
построение соответственно каждому из них, мы можем построить столько
точек эллипса, сколько пожелаем. Этот прием часто употребляется
в чертежной практике (соединяя построенные точки с помощью
лекал, можно получить изображение эллипса, вполне удовлетвори-
удовлетворительное с практической точки зрения).
79.	Уравнения B) выражают координаты произвольной точки
эллипса как функции переменного параметра t таким образом,
уравнения B) представляют собой параметри-
параметрические уравнения эллипса (см. § 14).
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость.
Эллипс как сечение круглого цилиндра
80.	Здесь мы докажем, что проекция окружности на произволь-
произвольную плоскость является эллипсом.
Пусть окружность к, лежащая в плоскости р, проектируется на
некоторую плоскость а. Обозначим через к' геометрическое место
проекций всех точек окружности к; нужно показать, что к' есть
эллипс. Для удобства рассуждений будем предполагать, что плос-
плоскость а проходит через центр окружности к (рис. 50). Введем на
плоскости а декартову прямоугольную систему координат, приняв
в качестве оси Ох прямую, по которой пересекаются плоскости а
и р, в качестве начала координат — центр окружности к. Обозна-
Обозначим через а радиус окружности к, через ф — острый угол между
плоскостями аир. Пусть Р — произвольная точка окружности к,
М — ее проекция на плоскость a, Q — проекция на ось Ox, t —

80
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим коорди-
координаты точки Мчерез t. Из рис. 50 легко усмотреть, что
х= OQ= OP cost=acost,
у = QM= QP coscp= OP sin ^ cos ф = я cos ф sin t.
Обозначив постоянную величину a cos ф буквой b, получим
x=acost,
у = b sin t.
Эти уравнения в точности совпадают с параметрическими урав-
уравнениями эллипса (см. п° 78); следовательно, линия к' является эл-
эллипсом (с большой полуосью а и малой полуосью Ъ = a cos ф).
Рис. 50
81. Легко показать также, что каждое сечение круглого цилиндра
плоскостью, не параллельной его оси, есть эллипс.
Для доказательства рассмотрим какой-нибудь круглый ци-
цилиндр и секущую плоскость а (рис. 51); линию, которая образу-
образуется в сечении, обозначим через к'. Пусть О — точка, в которой
плоскость а пересекает ось цилиндра; проведем через точку О
плоскость р, перпендикулярную к оси. Эта плоскость пересечет
цилиндр по окружности к. Обозначим через а радиус этой окружно-
окружности, через ф — острый угол между плоскостями аир. Выберем
затем на плоскости а координатные оси так, как показано на
рис. 51. Возьмем на линии к' произвольную точку М; пусть Р —

§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость
81
ее проекция на плоскость р, Q — проекция на ось Ox, t — угол,
который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты
точки М через t, имеем
х= OQ= OP cost=acost,
= QM =
QP _ OPsint _
COS ф	COS ф	COS ф
- sin t.
Рис. 51
Полагая	> a, получим
x = a cos t, y=b sin t.
Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эл-
эллипса; таким образом, линия к' является эллипсом, что и требова-
требовалось доказать.

82	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Заметим, что а > а; следовательно, а есть малая ось эллипса к\
Ъ его большая ось, т. е. эллипс к' вытянут в направлении оси Оу.
То обстоятельство, что эллипс есть плоское сечение круглого
цилиндра, а также проекция окружности на плоскость, делает пред-
представление об этой линии особенно наглядным.
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы
и вывод ее канонического уравнения
82.	Гиперболой называется геометрическое место точек, для ко-
которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоско-
плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина', указанная
разность берется по абсолютному значению', кроме того, требуется,
чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от
нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через Fx и F2, а рас-
расстояние между ними — через 2с.
Замечание. Разность расстояний от произвольной точки М
до двух фиксированных точек Fu F2, очевидно, не может быть боль-
больше расстояния между точками Fh F2.
Эта разность равна расстоянию меж-	fx	f2 m
ду Fb F2 в том и только в том случае,	•	•	•
когда точка М находится на одном	Рис. 52
из Мпродолжений отрезка F{F2. Сле-
Следовательно, геометрическое место точек, для которых разность рас-
расстояний от двух фиксированных точек Fb F2 есть постоянная вели-
величина, равная расстоянию между Fb F2, представляет собой оба
продолжения отрезка F{F2 (рис. 52).
Если разность расстояний от некоторой
М	точки Мдо точек Fu Нравна нулю, то эта
точка равноудалена от Fx и F2. Следователь-
Следовательно, геометрическое место точек, разность рас-
расстояний от которых до двух фиксированных
точек Fh F2 есть постоянная величина, р а в-
* ная нулю, представляет собой прямую,
2 перпендикулярную к отрезку F{F2 в его се-
середине (рис. 53).
Указанные случаи исключены оговоркой
в конце предыдущего определения.
83.	Пусть М — произвольная точка гиперболы с фокусами Fx
nF2 (рис. 54). Отрезки FXM и F2M (так же, как и длины этих
отрезков) называются фокальными радиусами точки М и обознача-
обозначаются через гх и r2 (F{M= гъ F2M= r2). По определению гиперболы

§ 30. Гипербола. Определение гиперболы
83
разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величи-
величина (т. е. при изменении положения точки Мна гиперболе разность
ее фокальных радиусов не меняется); эту постоянную принято
о
Рис. 54
обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки Мгипербо-
Мгиперболы имеем либо
FlM-F2M=2a,	A)
если точка М находится ближе к фокусу ?ъ либо
F2M-FlM=2a,	B)
если точка М находится ближе к фокусу F{.
Так как по определению гиперболы FXM- F2M< FXF2 и F2M-
- FXM< F{F2, то 2a < 2c, т. е.
a<c.	C)
В следующем пункте мы выведем уравнение гиперболы, после чего,
анализируя это уравнение, установим ее форму. Мы увидим, что
гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ее ветвя-
ветвями, каждая из которых бесконечно простирается в двух направле-
направлениях; целая гипербола симметрична относительно прямой FXF2,
а также относительно прямой, проходящей перпендикулярно к от-
отрезку FXF2 через его середину (см. рис. 54).
84. Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F^ F2 (вме-
(вместе с тем будем считать данными а ж с). Введем на плоскости
декартову прямоугольную систему координат, оси которой распо-
расположим специальным образом по отношению к этой гиперболе; имен-
именно, в качестве оси абсцисс мы возьмем прямую F{F2, считая ее
направленной от F{ к F2, начало координат поместим в середину
отрезка F{F2 (рис. 54).
Выведем уравнение гиперболы в установленной системе коор-
координат. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим
ее координаты через х и у, а фокальные радиусы FiMn F2M^ через
гх и г2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том

84	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
и только в том случае, когда г{-г2 = 2а, или г2-г{ = 2а. Последние
два равенства мы объединим общей записью
гх-г2 = ±2Ъ.	D)
Чтобы получить искомое уравнение гиперболы, нужно в равен-
равенстве D) заменить переменные гх и г2 их выражениями через теку-
текущие координаты х, у. Так как F{F2 = 2c и так как фокусы Fu F2
расположены на оси Ох симметрично относительно начала коорди-
координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); при-
приняв это во внимание и применяя формулу B°) п° 18, находим
-cJ+y2 .	E)
Заменяя гх и г2 в равенстве D) найденными выражениями, получаем
+ сJ+у2 -^(х-сJ+у2 =±2а.	F)
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы в назначенной
системе координат, так как ему удовлетворяют координаты
точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит
на данной гиперболе (фактически, мы здесь имеем два уравнения —
одно для правой, другое для левой ветви гиперболы).
Дальнейшие выкладки имеют целью получить уравнение гипер-
гиперболы в более простом виде. Уединим в уравнении F) первый ради-
радикал, после чего возведем обе части равенства в квадрат; получим:
(х + сJ + у2 = 4а2 ± 4а^(х-сJ +у2 + (х - сJ + у2 G)
или
сх-а2 =±а^(х-сJ+у2 .	(8)
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем
2224 2222с2 + а2у2,	(9)
откуда
(с2-а2)х2-а2у2 = а2(с2-а2).	A0)
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
(И)
геометрический смысл величины Ъ будет раскрыт несколько позд-
позднее; сейчас мы только заметим, что о а (см. п° 83), следовательно,
с2-а2>0и величина Ъ вещественна. Из равенства A1) имеем:
Ь2 = с2-а\

§ 30. Гипербола. Определение гиперболы	85
вследствие чего уравнению A0) можно придать вид
b2x2-a2y2 = a2b2
ИЛИ
Докажем, что уравнение A2) есть уравнение данной гиперболы. Этот
факт не является самоочевидным, поскольку уравнение A2) получено
из уравнения F) двукратным освобождением от радикалов; очевидно
лишь, что уравнение A2) есть следствие уравнения F).
Мы должны доказать, что уравнение F) в свою очередь есть
следствие уравнения A2), т. е. что эти уравнения эквивалентны.
Предположим, что х, у — какие-нибудь два числа, для которых
выполняется равенство A2). Производя предыдущие выкладки
в обратном порядке, мы получим из равенства A2) сначала равен-
равенство A0), затем равенство (9), которое сейчас запишем в виде
Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим
сх
-а2 =±а^(х-сJ+у2 .	A3)
Если точка (х, у) находится в левой полуплоскости, то х < О
и левая часть равенства A3) отрицательна. В этом случае, следова-
следовательно, в правой части равенства A3) нужно брать знак минус.
Если же точка (х, у) находится в правой полуплоскости, то х> 0;
согласно уравнению A2) имеем х > а. Так как о а, то сх > а2, сле-
следовательно, левая часть равенства A3) положительна; значит, в дан-
данном случае в правой части равенства A3) нужно брать знак плюс.
Таким образом, равенство A3) имеет тот же смысл, что и равенство
(8). Производя надлежащие преобразования, мы получим из равен-
равенства (8) равенство G); последнее мы напишем в виде
(х + сJ + у2 = <J(x - сJ + у2 ± 2а \ .
Отсюда
1	= " ' '	= " Х	A4)
±2д).
Выясним, какой знак нужно брать в правой части этого равен-
равенства перед скобками. Рассмотрим два случая.

86	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
1)	Точка (х; у) находится в правой полуплоскости; тогда со-
согласно предыдущему внутри скобок следует выбрать знак плюс,
вся величина в скобках будет положительна, значит, и перед скоб-
скобками нужно брать положительный знак.
2)	Точка (х; у) находится в левой полуплоскости. В этом слу-
случае х — число отрицательное, значит, абсолютная величина разно-
разности х-с равна сумме | х | + с. Согласно уравнению A2) имеем | х | > а;
кроме того, о а. Следовательно, (х- сJ>4а2, сумма (х- сJ + у2
тем более превышает 4а2, корень из этой суммы больше 2а и вся
величина внутри скобок в правой части равенства A4) снова поло-
положительна. Таким образом, и в этом случае в равенстве A4) перед
скобками нужно брать знак плюс. Мы видим, что при любом рас-
расположении точки (х, у) равенство A4) приводится к виду
откуда сразу получается равенство F).
Итак, уравнение F) выводится из уравнения A2), как и уравне-
уравнение A2) выводится из уравнения F). Тем самым доказано, что
уравнение A2) есть уравнение данной гиперболы, поскольку оно
эквивалентно уравнению F).
Уравнение A2) называется каноническим уравнением гиперболы.
85.	Уравнение
2El_zi = i,
а2 Ь2 '
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо-
прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким обра-
образом, гипербола есть линия второго порядка.
§31. Исследование формы гиперболы
86.	Займемся исследованием гиперболы, определенной уравне-
уравнением
44
а2 Ъ2
Выразим из уравнения A) величину у как функцию от х.

§ 31. Исследование формы гиперболы
87
ИЛИ
B)
Так как уравнение A) содержит члены только с четными степе-
степенями каждой из текущих координат х, у, то определяемая им ги-
гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей
(доказывается так же, как аналогичное утверждение для эллипса;
см. п° 74); отсюда ясно, что достаточно рассмотреть лишь часть
гиперболы, лежащую в первой координатной четверти.
Так как указанная часть гиперболы лежит в верхней полуплос-
полуплоскости, то в уравнении B) ей соответствует знак +; а так как она
вместе с тем лежит в правой полуплоскости, то для всех ее точек
х > 0. Таким образом, мы должны исследовать функцию
C)
при условии х > 0 и изобразить ее график.
Возьмем сначала х = 0. Подставляя х= 0 в правую часть форму-
формулы C), найдем у = —s-a ; мы получаем мнимое число. При воз-
а
растании х величина у остается мнимой до тех пор, пока х не станет
равным а. Полагая в правой части формулы C) х= а, найдем у = 0.
Следовательно, точка А (а; 0) является самой левой точкой графи-
графика. При дальнейшем возрастании х величина у будет веществен-
вещественной и положительной уже все время; это сразу видно из форму-
формулы C), так как при х> а имеем х2- а2>0.
Из формулы C) видно также, что у явля-
является возрастающей функцией от х (если
х> я), т. е. каждый раз, когда увеличива-
увеличивается х, увеличивается также и у. Нако-
Наконец, из формулы C) видно, что при бес-
бесконечном возрастании х происходит бес-
бесконечное же возрастание у (при х -»+ оо
также и у^ + °°). Сопоставляя все, что
было сейчас сказано, приходим к следую-
следующему заключению: при возрастании х, начиная от х= а, переменная
точка М(х; у), описывающая график, движется все время «вправо»
и «вверх», имея своим начальным положением точку А (а; 0); уда-
удаление точки М как от оси Оу «вправо», так и от оси Ох «вверх»
является бесконечным (рис. 55).
О
Рис. 55

88	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
87. Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка М
«уходит в бесконечность».
С этой целью мы наряду с уравнением
У = ^^>	D)
которое при х > а определяет изучаемую сейчас часть гиперболы,
рассмотрим еще уравнение
у = +^х;	E)
оно определяет прямую с угловым коэффициентом к = — , прохо-
проходящую через начало координат. Часть этой прямой, расположенная
в первой координатной четверти, изображена на рис. 55 для по-
построения ее использован прямоугольный треугольник ОАВ с кате-
катетами О А = а и АВ = Ь; очевидно, прямая ОВ как раз и имеет угловой
коэффициент к = — .
а )
Мы докажем, что точка М, уходя е бесконечность, неограниченно
*	- b
приближается к прямой у = — х .
а
Возьмем произвольное значение х (х > а) и рассмотрим две точ-
точки: М(х; у) и N(x; 7), где
Точка М (х; у) лежит на гиперболе D), точка N(x; Y) — на пря-
прямой E); поскольку обе эти точки имеют одну и ту же абсциссу х,
прямая, соединяющая точки М и N, перпендикулярна к оси Ох
(рис. 56). Подсчитаем длину отрезка MN.
Прежде всего заметим, что
Отсюда 7>уи, следовательно, MN= Y-y. Но

§ 31. Исследование формы гиперболы	89
то есть,
У-У =	^^=.	G)
Проанализируем полученное выражение, предполагая, что х —»+оо.
Знаменатель его представляет собой сумму двух положительных
бесконечно растущих слагаемых; следовательно, при х —»+оо знаме-
знаменатель стремится к (положительной) бесконечности. Числитель этого
выражения есть постоянная величина ab. Со-
Сопоставляя эти два обстоятельства, заключаем,
что при х -> -н>о правая часть равенства G) стре-
стремится к нулю; значит, стремится к нулю
и MN=Y-y.
Обозначим через Р основание перпендику-
перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую
у = — х (МР — расстояние от точки Мдо этой	Рис. 23
а
прямой). Очевидно МР< MN, а так как MN^> 0, то, следовательно,
и МР^О. А это мы и хотели доказать.
Итак, если переменная точка М уходит в бесконечность по той
части гиперболы A), которая расположена в первой координатной
четверти, то расстояние от точки М до прямой у = — х стремит-
стремится к нулю.
88. Пусть Г — какая-нибудь линия, М — переменная точка на
ней, а — некоторая прямая. Если возможно такое движение точки М
по линии Г, что 1) точка М уходит в бесконечность, 2) при этом
расстояние от точки Мдо прямой а стремится к нулю, — то гово-
говорят, что линия Г асимптотически приближается к прямой а. Прямая а
в таком случае называется асимптотой линии Г.
Употребляя только что указанную терминологию, мы можем
следующим образом сформулировать результат исследования, про-
проведенного в п° 87:
Ъ
График функции у = — vx2 - а2 (т. е. рассматриваемая часть ги-
а
перболы) асимптотически приближается к прямой у = — х при
а
х^+оо; или прямая у = —х есть асимптота графика функции
у = — vx2 -а2 (и в то же время асимптота нашей гиперболы).
а

90	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
89. Мы отметим еще некоторые дополнительные особенности
расположения гиперболы относительно ее асимптоты (все еще имея
в виду только часть гиперболы, лежащую в первой координатной
четверти).
Рассмотрим снова точки М (х; у) nN(x; Y), о которых шла речь
в п° 87, и вспомним, что точка М лежит на гиперболе, N — на
асимптоте. Как установлено в п° 87, имеет место неравенство Y> у.
Отсюда следует, что точка М всегда находится «ниже» точки N.
Иначе говоря, часть гиперболы A), расположенная в первой коор-
координатной четверти, на всем, протяжении лежит «ниже» своей
асимптоты.
Далее, на основании формулы G) имеем
Y-y = -
х + -
Знаменатель этой дроби, будучи при х > а вещественным и положи-
положительным, возрастает при возрастании х. Так как числитель здесь
является постоянной величиной, то в силу указанного обстоятель-
обстоятельства сама дробь при возрастании х всегда убывает. Таким образом,
мы можем утверждать, что если х монотонно стремится к по-
положительной бесконечности (т. е. все время только возрастает), то
MN= Y- у стремится к нулю также монотонно (т. е. все время
убывая).
Пусть ф — угол наклона прямой у = —х к оси Ох, Р — основа-
основание перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки М; тог-
тогда, очевидно,
MP=MN-cos ср.	(8)
Так как MN стремится к нулю монотонно, a cos q> есть постоян-
постоянная, из формулы (8) следует, что и МР стремится к нулю монотонно.
Иначе говоря, где бы ни была расположена на гиперболе D)
точка М(в первой координатной четверти), если она передвигается
по гиперболе «вправо», то расстояние от нее до асимптоты все время
уменьшается. Это обстоятельство мы выразим следующим образом:
приближение гиперболы к своей асимптоте является монотонным.
90. Подведем итог всему, что было сказано в п°п° 86-89.
Часть рассматриваемой гиперболы, лежащая в первой координат-
координатной четверти, исходит из точки А (а; 0) и идет бесконечно «направо»
г	. Ь
и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой у = —х, притом
«снизу» и монотонно.

§ 31. Исследование формы гиперболы
91
В согласии с только что сформулированным предложением
и выполнен рис. 55.
Замечание. Существенны еще два свойства рассматриваемо-
рассматриваемого графика: 1) направление его в точке А (а; 0) перпендикулярно
к оси Ох, 2) своей выпуклостью он обращен везде «вверх». Мы не
будем, однако, доказывать выполнение этих свойств, так как тако-
такого рода исследование графиков наиболее естественно проводить
средствами математического анализа.
91. После того как исследована часть гиперболы D), лежащая
в первой координатной четверти, общий вид целой гиперболы мо-
может быть легко установлен при помощи зеркальных отражений
относительно координатных осей.
Гипербола, определяемая уравнением
изображена на рис. 57. Легко понять, что она (целая гипербола)
имеет две асимптоты
Ъ	Ъ
у = — х и у = - — х;
а	а
первая из этих прямых нам уже знакома, вторая представляет со-
собой ее зеркальное отражение относительно оси Ох (или оси Оу).
Оси симметрии гиперболы называют обычно просто ее осями,
точку пересечения осей — центром гиперболы. (В данном случае
мы имеем дело с гиперболой, оси которой совмещены с осями
координат.) Одна из двух
осей (в данном случае та, ко-
которая совмещена с осью Ох)
пересекает гиперболу, другая
ее не пересекает. Точки пе-
пересечения гиперболы с осью
называются ее вершинами',
гипербола имеет две верши-
вершины (на рис. 57 они обозна-
обозначены буквами Аи А').
Прямоугольник со сто-
сторонами 2а и 2Ъ, располо-
расположенный симметрично отно-
относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, мы будем
называть основным прямоугольником гиперболы (на рис. 57 это пря-
прямоугольник ВВ'С'С). Диагонали основного прямоугольника ги-
гиперболы совпадают с ее асимптотами.
Рис. 57

92
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Заметим, что в математической литературе принято также назы-
называть осями гиперболы отрезки длиной 2аи2Ь, соединяющие сере-
середины противоположных сторон основного прямоугольника. Соот-
Соответственно этому говорят, что уравнение
определяет гиперболу с полуосями а и Ь.
Замечание. Если требуется сделать эскиз гиперболы с полу-
полуосями а и Ь, то следует прежде всего построить ее основной прямо-
прямоугольник, затем асимптоты. После этого может быть изображена
сама гипербола либо «на-глаз», либо с предварительным нанесением
на чертеж нескольких ее точек. На рис. 57 показано пунктиром, как
построить фокусы гиперболы, имея ее основной прямоугольник;
это построение очевидным образом основано на равенстве с2 = а2 + Ь2
(которое следует из формулы A1) п° 84).
92. Рассмотрим теперь уравнение вида:
(9)
При помощи перестановки букв х и у, аи b оно сводится к уравне-
уравнению, изученному в предыдущих параграфах. Отсюда ясно, что урав-
уравнение (9) определяет гиперболу, расположенную так, как показано
на рис. 58 (вершины ее В и В' лежат на оси Оу). Уравнение (9)
также называется каноничес-
каноническим уравнением гиперболы.
93. Две гиперболы, ко-
которые определяются уравне-
уравнениями
в одной и той же системе
координат и при одних и тех
же значениях а и Ь, называ-
называются сопряженными друг
с другом.
94. Гипербола с равными полуосями {а = Ь) называется равно-
равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы
может быть написано в виде
Рис. 58

§ 32. Эксцентриситет гиперболы	93
Очевидно, что основной прямоугольник равносторонней гипер-
гиперболы есть квадрат; отсюда ясно, что асимптоты равносторонней
гиперболы перпендикулярны друг к другу.
§ 32. Эксцентриситет гиперболы
95. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рассто-
расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вер-
вершинами; обозначив эксцентриситет буквой е, получим
_ с
а '
Так как для гиперболы о а, то г > 1; т. е. эксцентриситет каж-
каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что с2 = а2 + Ь\ находим
отсюда
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением —, а от-
отношение — в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким
образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основ-
основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем
меньше г2 - 1, тем меньше, следовательно, отношение —; значит,
чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее ос-
основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины).
В случае равносторонней гиперболы а = Ъ и г = ^2 .
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы
96. Рассмотрим произвольную точку М(х; у), лежащую на дан-
данной гиперболе. Если гх и г2 — фокальные радиусы этой точки, то
rx = V(x + cJ+y2, r2 = ^(х-сJ+у2 .	A)
Оказывается для выражения фокальных радиусов можно указать
другие формулы, свободные от иррациональностей.

94	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
В самом деле, из равенства (8) п° 84 имеем
=±Ux-a\
здесь знак плюс относится к случаю, когда точка М находится на
правой ветви гиперболы. Полагая — = г и принимая во внимание
второе из равенств A), получим
г2 = ±Bх-а\	B)
Чтобы выразить первый фокальный радиус, воспользуемся ос-
основным соотношением: гх-г2 = ± 2а, где знак плюс также относит-
относится к точкам правой ветви гиперболы. Из этого соотношения нахо-
находим г i = г2 ± 2а = ± (гх + а). Итак, для точек правой ветви гиперболы
г2 = гх-а,	C)
для точек левой ветви
гг = -(гх+а), г2 = -(гх-а).	D)
Эти формулы существенно используются в следующем параграфе.
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы
97. Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову пря-
прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определял-
определялся каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружнос-
окружностью, т. е. что аф Ъ и, следовательно, е^ 0. Предположим еще, что
этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а > Ь.
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и располо-
расположенные симметрично относительно центра на расстоянии — от
в
него, называются директрисами эллипса.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
а	а
х =	и х = + —.
8	8
Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой.
Так как для эллипса г < 1, то — > а. Отсюда следует, что правая
директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично,

§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы
95
левая директриса расположена левее его левой вершины. Эллипс
вместе с директрисами изображен на рис. 59.
98. Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову
прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола опре-
определялась каноническим уравнением
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее
пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на
расстоянии — от него, называются директрисами гиперболы.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид
х = — и
г
а
х = +—.
8
Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой.
Так как для гиперболы г > 1, то — < а. Отсюда следует, что пра-
вая директриса расположена между центром и правой вершине ги-
гиперболы; аналогично, левая
директриса расположена меж-
между центром и левой вершиной.
Гипербола вместе с директри-
директрисами изображена на рис. 60.
99. Значение директрис эл-
эллипса и гиперболы выявляется
следующими двумя теоремами.
Теорема 11. Если г —
расстояние от произвольной
точки эллипса до какого-нибудь
фокуса, d — расстояние от той
же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отно-
Рис. 59
шение — есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
Доказательство. Предположим для определенности, что
речь идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть М(х; у) —
произвольная точка эллипса (см. рис. 59). Расстояние от Мдо пра-
правой директрисы выражается равенством
/	U
а =	х,
8
A)

96
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
которое легко усматривается из чертежа; расстояние от точки М до
правого фокуса дается второй из формул B) § 27:
Рис. 60
г-а-
-ex.
Из соотношений
имеем
г
d
а-
а
8
-гх
у
— л
(а-
а -
A)
?х)г
гх
B)
и B)
Теорема доказана.
Теорема 12. Если г —
расстояние от произвольной
точки гиперболы до какого-
нибудь фокуса, а — расстоя-
расстояние от той же точки до со-
соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение — есть
а
постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:
г
е
Доказательство. Предположим для определенности, что
речь идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть М(х; у) —
произвольная точка гиперболы (см. рис. 60). Нам придется рас-
рассмотреть два случая:
1. Точка М находится на правой половине гиперболы. Тогда
расстояние от Мдо правой директрисы выражается равенством
d = х	,
8
C)
которое легко усматривается из чертежа. Расстояние от точки Мдо
правого фокуса дается второй из формул C) § 33:
г=гх-а.
Из соотношений C) и D) имеем:
гх - а (ех - а)г
D)
г
~d
а
х
8
гх-а
= ?.
2. Точка Мнаходится на левой половине гиперболы. Тогда рас-
расстояние от Мдо правой директрисы выражается равенством
d = \x
а
8

§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы	97
(| х | — расстояние от точки М до оси Оу, — — расстояние от
директрисы до оси Оу, d есть сумма этих расстояний); но так как
М находится на левой половине гиперболы, то х есть величина
отрицательная, следовательно, | х \ = -х, и мы получаем
d = \x\ + -.	E)
Расстояние от Мдо правого фокуса дается второй из формул D) § 33:
г=-(гх-а).	F)
Из соотношений E) и F) имеем
г -(г х-а) (-? х + а)г
d	а	-е х + а
-х + —
г
= 8.
Теорема доказана.
100.	Свойства эллипса и гиперболы, выраженные предыдущими
теоремами, можно положить в основу определения этих линий.
Именно, геометрическое место точек, для которых расстояние г
от некоторой фиксированной точки {фокуса) и расстояние d до
некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в посто-
постоянном отношении
-^-= е (е = const),
есть эллипс, если 8< 1, или гипербола, если 8> 1. (Чтобы убедиться
в справедливости такого утверждения, нужно вывести уравнение ука-
указанного геометрического места и установить, что полученное урав-
уравнение представляет собой уравнение эллипса или гиперболы соот-
соответственно случаям 8 < 1 и 8 > 1.)
Естественно поставить вопрос, что представляет собой геомет-
геометрическое место точек, определенное аналогичным образом, но при
условии 8 = 1, т. е. геометрическое место точек, для каждой из ко-
которых r=dl Оказывается, это есть некоторая новая для нас линия
второго порядка, называемая параболой.
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы
101.	Параболой называется геометрическое место точек, для каж-
каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плос-
плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фикси-
фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта
прямая не проходит через фокус).

98
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от
фокуса до директрисы — буквой/?. Величину/? называют парамет-
параметром параболы. Изображение параболы дано на рис. 61 (исчерпыва-
(исчерпывающее пояснение этого чертежа читатель
получит после чтения нескольких следу-
следующих пунктов).
Замечание. В соответствии с изло-
изложенным в п° 100 говорят, что парабола
имеет эксцентриситет 8=1.
102. Пусть дана какая-нибудь парабо-
парабола (вместе с тем мы считаем заданным па-
параметр /?). Введем на плоскости декартову
прямоугольную систему координат, оси
которой расположим специальным обра-
образом по отношению к данной параболе.
Именно, ось абсцисс проведем через фо-
фокус перпендикулярно к директрисе и бу-
будем считать ее направленной от директ-
директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между
фокусом и директрисой (рис. 61). Выведем уравнение данной
параболы в этой системе координат.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее
координаты через х и у. Обозначим далее через г расстояние от
точки М до фокуса (r= FM), через d — расстояние от точки М до
директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том
и только в том случае, когда
Рис. 61
r=d
A)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве A) заме-
заменить переменные г и d их выражениями через текущие координа-
координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты I Р-; 0 ); приняв
это во внимание и, применяя формулу B) п° 18, находим
B)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точ-
точки Мна директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты [ - ?.; у |;
отсюда и из формулы B) п° 18 получаем

§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы	99
2	p	CW
(при извлечении корня мы взяли х + -у со своим знаком, так как
х + — — число положительное; это следует из того, что точка М (х; у)
должна находиться с той стороны от директрисы, где находится
фокус, т.е. должно быть х>-у, откуда х + у>0). Заменяя
в равенстве A) г и dwx выражениями B) и C), найдем
2=х + ^-	D)
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной
системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точ-
точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на
данной параболе.
Имея в виду получить уравнение параболы в более простом
виде, возведем обе части равенства D) в квадрат; получим
2	2
х - рх + ?— + у = х + рх + ^—	E)
или
у2 = 2рх.	F)
Уравнение F) выведено нами как следствие уравнения D). Легко
показать, что уравнение D) в свою очередь может быть выведено
как следствие уравнения F). В самом деле, из уравнения F) оче-
очевидным образом («обратным ходом») выводится уравнение E); да-
далее, из уравнения E) имеем
x-iJ+y2=±{x+i
Остается показать что, если х, у удовлетворяют уравнению F),
то здесь можно выбрать только знак плюс. Но это ясно, так как
из уравнения F) х = —, следовательно, х>0, поэтому х + —
2р	2
есть число положительное. Мы приходим к уравнению D). По-
Поскольку каждое из уравнений D) и F) есть следствие другого,

100	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
они эквивалентны. Отсюда заключаем, что уравнение F) являет-
является уравнением параболы. Это уравнение называется каноническим
уравнением параболы.
103.	Уравнение у2 = 2рх, определяющее параболу в некоторой
системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй
степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
§ 36. Исследование формы параболы
104.	Постараемся при помощи анализа уравнения
у2 = 2рх	A)
уяснить себе форму параболы и тем самым обосновать вышеука-
вышеуказанное изображение ее на чертеже.
Так как уравнение A) включает у только в четной степени, то
парабола, которую оно определяет, симметрична относительно
оси Ох. Поэтому нам достаточно изучить лишь часть ее, лежа-
лежащую в верхней полуплоскости. Эта часть параболы определяется
уравнением
у = +Д^ .	B)
При отрицательных значениях х уравнение B) дает мнимые зна-
значения у. Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы
нет. При х = О получаем у = 0. Таким об-
^^ разом, начало координат лежит на пара-
параболе и является самой «левой» ее точкой.
Пусть теперь х возрастает, начиная от
нуля; как видно из уравнения B), при
этом у будет все время возрастать. Из
уравнения B) видно также, что если
	 х —»+оо? то и у —» +оо.
Таким образом, переменная точ-
Рис 62	каЛ/(х; у), описывающая рассматривае-
рассматриваемую часть параболы, исходит из начала
координат и движется «вправо» и «вверх»; удаление точки Мкак
от оси Оу «вправо», так и от оси Ох «вверх» является бесконеч-
бесконечным (рис. 62).
Замечание. Существенны еще два свойства параболы: 1) на-
направление ее в точке О @; 0) перпендикулярно к оси Ох, 2) часть
параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпуклостью
обращена «вверх». Рис. 62 выполнен с учетом этих свойств. Мы не
будем, однако, доказывать, что они действительно имеют место,
так как такого рода исследование линий наиболее естественно про-
проводить средствами математического анализа.

§ 36. Исследование формы параболы	101
105. После того, как мы установили форму части параболы,
лежащей в верхней полуплоскости, установление формы целой па-
параболы уже не требует ни малейшего труда. Для этого достаточно
произвести зеркальное отражение относительно оси Ох. Общее пред-
представление о целой параболе, заданной уравнением
дает рассмотренный ранее рис. 61.
Ось симметрии параболы обычно называется просто ее осью
(в данном случае она совмещена с осью Ох). Точка, в которой
парабола пересекает свою ось, называется ее вершиной (в данном
случае вершина совпадает с началом координат). Число р, т. е.
параметр параболы, выражает расстояние от фокуса до директри-
директрисы. Геометрический смысл параметра/? можно описать еще следу-
следующим образом. Возьмем какое-нибудь определенное значение абс-
абсциссы, например х= 1, и найдем из уравнения A) соответствующие
значения ординаты: у = ±sj2p . Мы получаем на параболе две точ-
точки Мх A; + yjlp ) и М2 A; - -sJ2p ), симметричные относительно
оси; расстояние между ними равно 2^2р . Таким образом, 2^J2p
есть длина хорды параболы, проведенной перпендикулярно к оси
на расстоянии в одну единицу длины от вершины. Мы видим, что
длина этой хорды (= 2^2р ) тем больше, чем больше р. Следова-
Следовательно, параметр р характеризует «ширину» об-
области, ограниченной параболой, при условии, что
эта «ширина» измеряется перпендикулярно к оси
на определенном расстоянии от вершины.
106.	Уравнение
У2 = ~2рх	C)	\о
(при положительном р) сводится к уравнению
у2 = 2рх путем замены х на -х, т. е. путем преоб-
преобразования координат, которое соответствует из-
изменению направления оси Ох на противополож-
противоположное. Отсюда следует, что уравнение у2 = -2рх также	Рис- 63
определяет параболу, ось которой совмещена с осью Ох, а верши-
вершина—с началом координат, но которая расположена в левой полу-
полуплоскости (так, как показано на рис. 63).
107.	По аналогии с предыдущим мы можем утверждать, что
каждое из уравнений
х2 = 2ру,
х2 = -2ру

102
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
(р>0) определяет параболу с вершиной в начале координат,
расположенную симметрично относительно оси Оу (эти уравнения
параболы, как и уравнения A) и C), называют каноническими).
о
Рис. 64
Параболу, определяемую уравнением х2 = 2ру, мы будем называть
восходящей, определяемую уравнением х2 = -2ру, — нисходящей (см.
соответственно рис. 64, аи б): эти названия естественны и не тре-
требуют разъяснений.
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
108. Пользуясь результатами, изложенными в п°п° 99-102, мы
выведем полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы (по фор-
форме записи общее для этих трех линий)
при некотором специальном расположе-
расположении полярной оси. Оговоримся, однако,
что в случае гиперболы это уравнение
определяет линию не целиком, а только
одну ее ветвь.
Пусть нам дана какая-нибудь из на-
названных линий: эллипс, гипербола или
парабола (если данная линия гипербола,
то мы будем рассматривать какую-ни-
какую-нибудь одну ее ветвь); обозначим ее
буквой L.
Пусть F— фокус линии, g— соответ-
соответствующая этому фокусу директриса
(в случае гиперболы в качестве Fug возьмем фокус и директрису,
ближайшие к рассматриваемой ветви).
Введем полярную систему координат так, чтобы полюс совме-
совместился с фокусом F, а полярная ось направилась из фокуса по
оси линии L в сторону, противоположную директрисе g (рис. 65).
Рис. 65

§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы	103
Обозначим, как обычно, через р, 9 полярные координаты произ-
произвольной точки М линии L. Чтобы вывести уравнение линии Z,
будем исходить из соотношения
Y
где 8 — эксцентриситет линии, а г и d имеют тот же смысл, что и
в п°п° 99-102.
Так как полюс совмещен с фокусом Д то
г=р.	B)
Далее,
d=QM=DN=DF+FN=
= DF+ р cos 9.	C)
Пусть Р — точка, расположенная на линии L так, что отрезок FP
перпендикулярен к оси линии Z, и р — длина отрезка FP. Иначе
говоря, р есть половина фокальной хорды линии L, перпендикулярной
к ее оси; эта величина называется фокальным параметром *) линии L.
Вследствие основного соотношения A), которое относится ко всем
точкам линии Z, мы имеем (в частности, для точки Р)
~SP=E'
FP л
откуда SP = — = — . Но SP= DF; следовательно,
?	?
8
Из последнего равенства и равенства C) получаем
d = — + р cos 6 .	D)
8
Подставляя теперь в левую часть уравнения A) вместо г и d их
выражения B) и D), найдем
Р
— + р cos 0
откуда
*) В том случае, когда линия L есть парабола, FP=PS (см. п° 101), следова-
следовательно, р = DF, т. е. р равно расстоянию от фокуса до директрисы. Таким обра-
образом, в этом случае величина р совпадает с параметром параболы, с которым мы
встречались уже ранее, обозначая его той же буквой.

104
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Это и есть полярное уравнение эллипса, гиперболы (вернее одной
ветви гиперболы) и параболы. Здесь р — фокальный параметр, г —
эксцентриситет кривой. Уравнение E) используется в механике.
§ 38. Диаметры линий второго порядка
109. Важное и неожиданное на первый взгляд свойство линий второго по-
порядка (эллипса, гиперболы и параболы) выражает следующая теорема:
Теорема 13. Середины параллельных хорд линии второго порядка лежат
на одной прямой.
Доказательство. 1) Пусть данная линия есть эллипс
i+y^-x	A)
(рис. 66). Обозначим через к общий угло-
угловой коэффициент параллельных хорд; тог-
тогда уравнение каждой из них может быть на-
написано в виде
^7777
У
77
S
1
1
//////Л х
ж?
у = кх + /;
B)
Рис. 66
здесь / для разных хорд имеет разные зна-
значения.
Будем искать концы хорды, определяемой уравнением B) при каком-ни-
каком-нибудь значении /. Решая совместно уравнения A) и B), исключим из них у;
получим
х2 (кх + 1J _л
или
а2	Ъ2
(Ь2 + а2к2)х2 + 2а2к1х+а2A2 -Ь2) = 0.
C)
Корни хь х2 этого квадратного уравнения суть абсциссы концов МХМ2 хорды.
Пусть точка Мо (х0; уо) — середина этой же хорды; тогда
_ х{ + х2
Но, по известной теореме о сумме корней квадратного уравнения,
2а2к1
х, +х9 = --
+ а2к
2к2
Следовательно,
а2к1
U	/9 2/2
Ъ +а к
Зная Xq, мы найдем у0 из уравнения B):
а2к21
у0 = кх0 + I = -
Ъ21
Ь2 + а2к2
Итак,
а2к1
Ь2+а2к
2j 7
Ь2 + а2к2
Ъ21
Ь2 + а2к2 '
D)

§ 38. Диаметры линий второго порядка
105
Меняя здесь /, мы будем получать координаты середин различных параллель-
параллельных между собою хорд эллипса, но при этом, как видно из соотношений D),
хо> У о будут неизменно связаны уравнением
ъ2
' а2к '
или у0 = к'х0, где
к = —
а2к
Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой
у = к'х.
2) Пусть данная линия есть гипербола
E)
F)
Ъ2
G)
(рис. 67, а, б). Обозначим через к общий угловой коэффициент параллельных
хорд; тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде
у = кх + I.
(8)
О
Рис. 67
Заметим заранее, что хорды гиперболы не могут быть параллельными ее асимп-
асимптотам (так как каждая прямая, параллельная асимптоте, пересекает гиперболу
только в одной точке); поэтому к ф — и к ф	. Будем искать концы хорды,
а	а
определяемой уравнением (8) при каком-нибудь значении /. Решая совместно
уравнения G) и (8), исключим из них у; мы получим
(кх + 1J
Ъ2
(Ь2 - а2к2)х2 -2а2к1х- а2A2 + Ь2) = 0.
(9)

106	Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Так как кф± — , то Ь2-а2к2^0. Следовательно, уравнение (9) является квад-
а
ратным. Корни этого квадратного уравнения хъ х2 суть абсциссы концов М{М2
хорды. Пусть Мо (х0; у0) — середина этой же хорды; тогда
Применяя теорему о сумме корней квадратного уравнения, находим
2а 2к1
а2к1
~	т~^
Ъ +а к
ак1
Следовательно, хп =—~	т~^г • Зная х0, мы найдем у0 из уравнения (8):
Ъ +а к
7 , a2k2l ,	б2/
Ъ2-а2к2	Ъ2-а2к2
Итак,
д2?/ ,	Ъ21
Ь2-а2к2
Х0 ~ ,2 ,2,2 +/' -^0 -"
Меняя здесь /, мы будем получать координаты середин различных параллель-
параллельных между собою хорд гиперболы, но при этом, как видно из соотношений A0),
х0 Уо будут неизменно связаны уравнением
х0 а2к '
или yQ = kfxQ, где
а к
Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой
у = к'х.	A2)
3) Пусть, наконец, данная линия есть парабола
у2 = 2рх	A3)
(рис. 68). Обозначим через к общий угловой коэффициент параллельных хорд;
тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде
у = кх+1.	A4)
Заметим заранее, что хорды параболы не могут быть параллельны ее оси (так
как каждая прямая, параллельная оси, пересекает параболу только в одной точ-
точке); поэтому к^О.
Будем искать концы хорды, определяемой уравнением A4) при каком-ни-
каком-нибудь значении /. Решая совместно уравнения A3) и A4), исключим из них у,
мы получим
(кх+1J-2рх = 0
или
к2х2 + 2(к1-р)х+12 = 0.	A5)

§ 38. Диаметры линий второго порядка
107
Так как кфО, то уравнение A5) является квадратным. Корни этого уравнения
хь х2 суть абсциссы концов Мъ М2 хорды. Пусть М0(х0; у0) — середина этой же
хорды. Мы имеем
по теореме о сумме корней квадратного уравнения
2(kl-p)
х, +х9 =--
к2
р — к\
Следовательно, х0 =——^—• Зная х0, мы найдем у0 из уравнения A4):
р-Ы
Итак,
A6)
Меняя здесь /, мы будем получать координаты середин различных параллельных
между собой хорд параболы; при этом, как видно из соотношений A6), добудет
оставаться неизменно равным числу — . Таким
к
образом, середины всех хорд лежат на прямой
О
У = к '	A7)
которая параллельна оси абсцисс и, вместе с тем,
параллельна оси параболы.
Мы могли бы теперь сказать, что теорема до-
доказана вполне, если бы не было одного дефекта
в технике наших вычислений. Дело в том, что
мы представляли хорды линии второго порядка
уравнением с угловым коэффициентом (вида
у=кх+1). Наши выкладки, следовательно, теря-
теряют смысл, если рассматриваемые хорды параллель-
параллельны оси Оу (так как прямые, параллельные оси Оу,
не имеют углового коэффициента). Однако для
таких хорд утверждение теоремы сразу вытекает
из свойств симметрии эллипса, гиперболы и па-
параболы. В самом деле, эллипс, гипербола и парабола, заданные каноничес-
каноническими уравнениями A), G) и A3), симметричны относительно оси Ох. Следо-
Следовательно, и в том случае, когда хорды этих линий параллельны оси Оу, середи-
середины их лежат на одной прямой (на оси Ох).
110. Прямая, проходящая через середины параллельных хорд линии второго
порядка, называется ее диаметром.
Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр', это ясно геометри-
геометрически (так как центр является серединой всякой проходящей через него хор-
хорды), а также сразу усматривается из уравнений F) и A2) п° 109.
Согласно уравнению A7) все диаметры параболы параллельны ее оси.
Отметим некоторые свойства диаметров эллипса и гиперболы.
Рис.

108
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
Рассмотрим эллипс
Пусть к — угловой коэффициент какого-нибудь его диаметра. Проведем
параллельно этому диаметру хорды эллипса; геометрическое место их середин
есть другой диаметр, который называется сопряженным первому. Он имеет угло-
угловой коэффициент к'', определяемый равенством E), или
кк=--
A8)
Будем теперь искать диаметр, который сопряжен диаметру с угловым коэффи-
коэффициентом к'; аналогично предыдущему, угловой коэффициент к" этого нового
диаметра определится равенством
кг=-4-
а
Отсюда и из A8) находим: к" = к.
Таким образом, если один из двух диаметров эллипса сопряжен другому, то
последний сопряжен первому. Поэтому такие диаметры называются взаимно со-
сопряженными. Соотношение A8) назы-
называется условием сопряженности диамет-
диаметров (эллипса) с угловыми коэффициен-
коэффициентами к и к''.
Взаимность сопряженных диамет-
диаметров можно выразить еще так: если один
из двух диаметров эллипса делит попо-
пополам хорды, параллельные другому, то
последний делит пополам хорды, парал-
параллельные первому (рис. 69; этот чертеж
иллюстрирует также интересное след-
следствие предыдущего предложения: ка-
Рис. 69
сательные к эллипсу в концах его диаметра параллельны между собой и парал-
параллельны сопряженному диаметру).
Все, что было сейчас сказано о диаметрах эллипса, непосредственно
переносится на диаметры гиперболы. Только условие сопряженности ди-
диаметров гиперболы несколько отлично от соотношения A8). Именно, если
гипербола задана уравнением
то условие сопряженности ее диаметров с угловыми коэффициентами к ж к' есть
кк' =
Ь2
A9)
Оно вытекает из равенства A1).
Замечание. Оси симметрии эллипса и гиперболы суть взаимно сопря-
сопряженные диаметры, так как каждая из них делит пополам хорды, параллельные
другой. Среди всех остальных пар сопряженных диаметров оси симметрии
выделяются тем, что являются диаметрами не только сопряженными, но
и перпендикулярными друг к другу.

§ 38. Диаметры линий второго порядка
109
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
111. К числу наиболее замечательных свойств эллипса, гиперболы и пара-
параболы относятся так называемые оптические их свойства. Эти свойства, между
прочим, показывают, что название «фокусы» имеет источник в физике.
Мы сформулируем их прежде всего чисто геометрически.
1.	Прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные
углы с фокальными радиусами FXM, F2Mn проходит вне угла FiMF2 (рис. 70, а).
2.	Прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные
углы с фокальным радиусом FM и с лучом, который, исходя из точки М, идет
параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирает-
простирается (рис. 70, б).
3.	Прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные
углы с фокальными радиусами FXM, F2Mn проходит внутри угла FXMF2 (рис. 70, в).
М
Рис. 70
Мы не будем останавливаться на доказательстве этих свойств. Заметим толь-
только, что для доказательства их при помощи вычислений нужно уметь выражать
угловой коэффициент касательной, зная уравнение кривой и точку прикосно-
прикосновения. Соответствующие правила даются в курсе математического анализа. Чтобы
выявить физический смысл приведенных предложений, представим себе, что
эллипс, парабола или гипербола вращается вокруг оси (содержащей фокусы).
Тем самым, образуется поверхность, называемая соответственно эллипсоидом,
параболоидом или гиперболоидом. Реальная поверхность такого вида, покрытая
амальгамой, представляет собой, соответственно, эллиптическое, параболичес-
параболическое или гиперболическое зеркало. Принимая во внимание известные в оптике
законы отражения света, заключаем, что:
1.	Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зер-
зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.
2.	Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то
лучи его, отразившись от зеркала, идут параллельно оси.
3.	Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического
зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они
исходили из другого фокуса.
На указанном сейчас свойстве параболического зеркала основано устрой-
устройство прожектора.
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
112. Следующая теорема с новой точки зрения освещает геометрическую
природу эллипсов, гипербол и парабол:
Теорема 14. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей
через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом,

по
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка
гиперболой или параболой. При этом, если плоскость пересекает только одну
полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс, если секущая
плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то
эта кривая — парабола', если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении
образуется гипербола (рис. 71).
Рис. 71
Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего
положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия
второго порядка (см., например, нашу книгу «Квадратичные формы и матри-
матрицы» п°31, 32).
Из рис. 71 легко усмотреть, что, поворачивая секущую плоскость вокруг
прямой PQ, мы заставим изменяться кривую сечения. Будучи, например, пер-
первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем
превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая
плоскость параллельна касательной плоскости конуса.
Вследствие сказанного в этом параграфе эллипсы, гиперболы и параболы
называются коническими сечениями.

ГЛАВА 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
КООРДИНАТ
§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии
второго порядка к каноническому виду
113. Важной задачей аналитической геометрии является иссле-
исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение
его к простейшим (каноническим) формам. Не стремясь решать
эту задачу в общем виде, мы поясним в настоящем параграфе только
сущность дела, пользуясь конкретными примерами.
Прежде всего сделаем одно замечание технического характе-
характера. Ранее (§ 15) мы писали общее уравнение линии второго по-
порядка, т. е. общее уравнение второй степени относительно х, у,
в виде
Ах 2 + Вху + Су 2 + Dx + Еу + F = О.
Однако в большинстве формул теории линий второго порядка
коэффициенты Д D и Е входят деленными на 2. Поэтому общее
уравнение второй степени оказывается целесообразным записы-
записывать следующим образом:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F= 0,	A)
т. е. буквами В, D я Е обозначать половины соответствующих
коэффициентов. Например, если дано уравнение
х2 + Ъху + 2у2 + 5х+Ау+ 1 = 0,
то
А=1, Д=|, С=2, D=|, E=2, F=L
Числа А, В, С, D, Д F называются коэффициентами уравнения A)
(по отношению к Д D и Е это название, как видим, условно).
Первые три члена уравнения A), т. е. члены второй степени, на-
называются его старшими членами.

112	Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
Чтобы сразу же показать удобство записи уравнения второй
степени в виде A), обратим внимание на следующее тождество:
Ах2 + 2Вху + Cy2
= {Ax+By + D)x+{Bx+ Cy + E)y+{Dx+Ey + F),	B)
проверка которого не составляет труда. Оно показывает, что вто-
второй, четвертый и пятый члены уравнения A) естественно состав-
составляются из двух одинаковых экземпляров каждый. Тождество B)
полезно во многих случаях и вскоре будет нами использовано.
114. Пусть дано общее уравнение линии второго порядка:
Ах2 + 2Вху + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F=0.	A)
Требуется упростить это уравнение путем перехода к другим
координатам (при ином, более выгодном расположении осей).
Уточним предъявляемые требования:
1) нужно добиться, чтобы в группе старших членов исчез член
с произведением текущих координат; 2) чтобы число членов пер-
первой степени стало наименьшим (если возможно, — совсем их
уничтожить); 3) кроме того, если возможно, уничтожить свобод-
свободный член. Уравнение, получаемое при соблюдении этих требова-
требований, называется каноническим. Далее практически показывается,
как следует выполнять необходимые действия, чтобы привести
данное уравнение к каноническому виду.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
17х2+12ху+8у2-46х-28у+17 = 0.	C)
Решение. Прежде всего постараемся упростить уравнение при помощи
параллельного переноса координатных осей. Перенесем начало координат в точку
S (х0; у0), которую пока будем считать произвольной. Согласно § 8 получим соот-
соответствующее преобразование координат:
х = х+х0, у = у + у0.	D)
Перейдем в левой части уравнения C) к новым координатам (т. е. заменим х, у
их выражениями D)); после приведения подобных членов найдем
17х2 + 12ху+ 8у2 - 46х- 28у+ 17 = 17х 2 + Пху + 8j> 2 + 2A7х0 + 6у0 - 23) х +
+ 2Fх0 + 8^о - 14)j> + A7х02 + 12x0^0 + 8у02 - 46х0 - 28^0 + 17). E)
В преобразованном уравнении данной кривой члены первой степени исчезнут,
если мы подберем х0, у0 так, чтобы соблюдались равенства
6хо +8jo-14=O.	F)

§ 41. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду ИЗ
Решая эти уравнения совместно, получим: хо = 1, Уо = 1. Свободный член преоб-
преобразованного уравнения, который мы обозначим через F, особенно легко под-
подсчитать при помощи тождества B) с учетом уравнений F):
F= 17х0 2 + 12х0у0 + 8у0 2 - 46х0 - 28^0 + 17 =
= A7х0 + буо - 23)х0 + Fх0 + 8jo - 14)^о + (~23х0 - Ыу0 + 17) =
= -23х0- 14jo+17 = -20.
Теперь начало координат новой системы находится в точке S (старые координа-
координаты которой х0 = 1, Уо= 1). Уравнение в новых координатах имеет вид
17x2+12xj> + 8j>2-20 = 0.	G)
Заметим, что левая часть уравнения G) не меняется при замене х, у на -х, -у.
Поэтому, если уравнению G) удовлетворяют некоторые числа х, у, то удовлет-
удовлетворяют также числа -х, -у. Значит, если какая-нибудь точка М(х,у) лежит на
данной кривой, то точка N(-x, -у) также лежит на данной кривой. Но точки
М(х,у) и N(-x,-y) симметричны относительно точки S. Таким образом, все
точки данной кривой расположены парами, симметрично относительно S (рис. 72).
Точка S в этом случае называется центром симметрии, или просто центром дан-
данной кривой. Теперь ясен геометрический смысл произведенного преобразова-
преобразования: начало координат перенесено в центр кривой.
Произведем далее поворот перенесенных осей на некоторый угол а. Соглас-
Согласно § 9 получим соответствующее преобразование координат:
х = х cos а- у sin a,
у = х sin а + у cos а.	(8)
Заменим в левой части уравнения G) величины х, у их выражениями (8); после
приведения подобных членов найдем:
17х2 + 12хр + &у2 - 20 = A7 cos2a + 12 cos a sin a + 8 sin2a)x/2 +
+ 2(—17 cos a sin a + 6 cos2a - 6 sin2 a + 8 cos a sin a)x'y +
+ A7 sin2a -12 cos a sin a + 8 cos2 a)/2 - 20. (9)
Постараемся подобрать угол a так, чтобы коэффициент при х'у' обратился в нуль.
Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение:
-17 cos a sin a + 6 cos 2 a - 6 sin 2 a + 8 cos a sin a = 0
или
6 sin2 a + 9 sin a cos a - 6 cos2 a = 0.
Отсюда
6tg2a + 9tga-6 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение относительно tg a, найдем: tg a = —
или tg a = -2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту координат-
координатных осей на острый угол. Зная tg a, вычислим cos a и sin a:
12.	tga	1
cos a = .	=¦ = —j=-, sin a =	=
V 2 V5
Отсюда и согласно (9) находим уравнение данной кривой в системе х\ у'\
20х/2 + 5);/2-20 = 0

114	Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
г2 v2
Мы получили каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 и 1 (большая ось
эллипса находится на оси Оу'\ см. рис. 73).
\
У
(
(
о
У
\
h
\
N
\
у
\
\ х
\ 1
\ / х
Рис. 72	Рис. 73
115. Если дана кривая второго порядка вообще:
Лх2 + 2В ху+ Cy + 2Dx + 2Ey + F=0,
то уравнения, определяющие ее центр S (х0, у0), напишутся так:
Суо + Е=О.	A0)
После переноса начала координат в центр S уравнение данной
кривой примет вид
Ах2 + 2Вху+Су2 + Р = 0,	A1)
где F = Axo2 + 2Bx0y0+ Cyl + 2Dxo+2Eyo+F. Если применить тожде-
тождество B), то
F = (Ах0 + Ву0 + D) х0 + (Вх0 + Су0 + Е)уо + (Dx0 + Еу0 + F).
При условии, что х0, Уо являются координатами центра кривой
и учитывая A0), найдем
F= Dx0 + Еу0 + F.
Чтобы получить уравнения A0) и A1), нужно в общем виде по-
повторить выкладки, с помощью которых мы получили уравнения F)
и G), когда рассматривали предыдущий пример.

§ 41. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду 115
116. Может случиться, что система уравнений A0) несовмест-
несовместна, т. е. не имеет решений. В таком случае у кривой центра нет.
Тогда упрощение заданного уравнения следует проводить по дру-
другому плану.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
Ах2-Аху + у2-2х-Щ+1 = 0.	A2)
Решение. Составив уравнения A0)
4x0-2j;0-l = 0,
-2хо + уо-7 = О,
видим, что полученная система несовместна. Значит, данная кривая не имеет
центра и действовать как в п° 114 нельзя.
Поступим иначе. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый
угол а. Согласно § 9 получим формулы соответствующего преобразования коор-
координат:
x = x'cosa-y' sin a,
у = х' sina + y' cos a.
Перейдем в левой части уравнения A2) к новым координатам:
4х2 - 4ху + у2 - 2х - Ыу + 7 = Dcos 2a - 4 cos a sin a + sin 2a) x'2 +
+ 2 (-4 sin a cos a - 2 cos 2a + 2 sin 2a + sin a cos a) x'y' +
+ D sin 2a + 4 sin a cosa + cos 2a) у'2 +
+ 2 (-cos a- 7 sin a)x'+ 2 (sin a- 7 cos a)y'+l. A3)
Постараемся теперь подобрать угол а так, чтобы коэффициент при х'у' обратил-
обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение
-4 sin a cos a - 2 cos 2a + 2 sin 2a + sin a cos a = 0.
Имеем
2 sin 2a - 3 sin a cos a - 2 cos 2a = 0,
или
2tg2a-3tga-2 = 0.
Отсюда tg a = 2 или tga = — . Возьмем первое решение, что соответствует пово-
повороту осей на острый угол. Зная tg a, вычислим cos a и sin a:
1	1	tga	2
cos a = .	= —j= , sin a = . b = -,=¦.
Vl + tg2a V5	V1 + tS2a ^5
Отсюда и учитывая A3), находим уравнение данной кривой в системе х\ у'\
5у2 - 6Sx - 2>/5/ + 7 = 0.	A4)

116
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
Дальнейшее упрощение уравнения A4) производится при помощи параллельно-
параллельного перенесения осей Ох\ Оу\
Перепишем уравнение A4) следующим образом:
5(/2-
7 = 0.
Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компен-
компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим
Введем теперь еще новые координаты х\ у\ полагая
/ * >/5 / * >/5
X = X +	, У = У +	,
л/5
что соответствует параллельному перемещению осей на величину — в направ-
направлении оси Ох' и на величину — в направлении оси Оу'. В координатах х", у"
уравнение данной линии примет вид
6V5 .
У=-
j
Эго есть каноническое уравнение пара-
параболы с параметром р =
Зл/5
и с верши-
вершиной в начале координат системы х", у".
Парабола расположена симметрично от-
относительно оси х" и бесконечно прости-
простирается в положительном направлении
этой оси. Координаты вершины в систе-
системе х\ у' суть
(-и.
, а в системе х, у
рис 74	суть I ~ т' т I. Расположение этой пара-
параболы показано на рис. 74.
117. Вернемся к системе уравнений A0), определяющих центр
данной кривой:
A0)
Обозначим через 5 определитель этой системы:
, А В
В С
= АС-В2.

§ 41. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду 111
Если 5^0, то система A0) имеет единственное решение (см.
Приложение, § 1). В этом случае данная кривая второго порядка
имеет единственный центр и называется центральной. К числу
центральных кривых относятся эллипсы и гиперболы. Но может
случиться, что при 5^0 данное уравнение приводится к канони-
каноническому виду, который сходен с каноническим уравнением эл-
эллипса или с каноническим уравнением гиперболы, однако не
совпадает в полной мере ни с тем, ни с другим. Сейчас мы при-
приведем примеры такого рода. Предварительно укажем, что в слу-
случае 5^0 общее уравнение второй степени всегда можно упрос-
упростить, действуя в точности так, как было показано на примере
вп° 114. Поэтому в приводимых далее примерах процесс преоб-
преобразования не указывается.
Пример 1. Уравнение 5х2 + бху + 5у2 - 4х + 4у +12 = 0 E = 9^0) приводится
к каноническому виду х'2 + 4у'2 + 4 = 0 или
Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не опре-
определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых дей-
действительных чисел х', у' левая часть его неотрицательна, а справа стоит -1. Та-
Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса.
Пример 2. Уравнение 5х2 + бху + 5у2 - 4х + 4у + 4 = 0 E = 9^0) приводится
к каноническому виду х/2 + 4у/2 = 0 или
(*)
Рис. 75
Уравнение (*) также похоже на каноническое уравнение эллипса, но опреде-
определяет не эллипс, а единственную точку: х' = 0, у' = 0. Такое уравнение и анало-
аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса. Чтобы объяснить
это название, рассмотрим уравнение
(**)

118
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
где 8 — какое-нибудь число (е>0). Уравнение (**) определяет обыкновенный
эллипс с полуосями а = 2г, Ь = г. Представим себе, что 8 стремится к нулю. Тогда
а^О, Ь^О и эллипс «вырождается» в точку (рис. 75). Вместе с тем и уравне-
уравнение (**) превращается в уравнение (*).
Пример 3. Уравнение Зх2 + Юху + Зу2 + 16х + 16у + 16 = 0 E = -16^0) при-
приводится каноническому виду х'2-4у'2 = 0, или
1
= 0 .
(*)
Уравнение (*) похоже на каноническое уравнение гиперболы; оно определяет
пару пересекающихся прямых: х' -2у' = 0, х'+ 2у' = 0. Такое уравнение и анало-
аналогичные ему называются уравнениями вырожденной гиперболы.
Чтобы объяснить это название, положим
1
(**)
где 8 — какое-нибудь число (е>0). Уравнение (**) определяет обыкновенную
гиперболу с полуосями а = 2г, Ь = г и с вершинами на оси абсцисс. Представим
себе, что 8 стремится к нулю. Тогда а —»0, Ъ —»0, вершины гиперболы сближают-
сближаются и гипербола «вырождается» в пару прямых, именно в пару своих асимптот.
Вместе с тем и уравнение (**) превращается в уравнение (*). Если в уравне-
уравнении (**) 82 заменить на -е2, то получим гиперболу с вершинами на оси ординат.
Эта гипербола при е ^ 0 вырождается в ту же самую пару прямых (рис. 76).
Рис. 76
Предположим теперь, что для данного общего уравнения вто-
второй степени имеем 5 = 0. При условии 5 = 0 возможны два случая:
1) Система уравнений A0) совсем не имеет решений; тогда
кривая второго порядка не имеет центра. В этом случае данное
уравнение всегда можно привести к каноническому виду так, как
показано на примере в п° 116, причем в результате всегда будет
получаться каноническое уравнение параболы.

§ 41. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду 119
2) Система уравнений A0) имеет бесконечно много решений,
тогда данная линия второго порядка имеет бесконечно много
центров.
Пример 4. Рассмотрим линию второго порядка
4х2 - 4ху + у2 + 4х - 2у - 3 = 0;	(*)
для нее 5 = 0. Система A0) в данном случае будет
4х0-2у0 + 2 = 0,
-2хо+ уо-1 = О.
Эта система равносильна одному уравнению 2хо-уо+ 1 = 0, следовательно, линия
имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х-у+ 1 = 0. Заметим,
что левая часть данного уравнения разлагается на множители первой степени:
-2у-3 = Bх-у+3)Bх-у- 1).
Значит, рассматриваемая линия есть пара параллельных прямых:
2х-у+3 = 0
и
2х-у-1=0.
Прямая 2х-у+1 = 0, составленная из центров, представляет собой не что
иное, как среднюю линию этой пары прямых (рис. 77).
Чтобы упростить данное уравнение (*), можно действовать как в п° 116. Про-
Произведя преобразование левой части уравнения аналогично тому, как сделано
в равенстве A3), и повторяя дальнейшие соображе-
соображения и выкладки, найдем tg a = 2. Повернув оси на
угол a (tg а = 2), приведем данное уравнение к виду
5/2 - 2yf5y -3 = 0;
отсюда
5 У-
-4 = 0.
Полагая х' = х'\ у = у + — , что соответствует па-
параллельному перемещению осей Ох\ Оу' на величи-
величину — в направлении оси Оу\ получим, наконец,
Ьу-4 = 0.
1
Рис. 77
Мы снова видим, что заданное уравнение определяет
пару параллельных прямых 4by" -2 = 0 и 4by" + 2 = 0 в последней координат-
координатной системе).
В том случае, когда уравнение второй степени определяет ли-
линию второго порядка с бесконечным множеством центров (как
в последнем примере), принято говорить, что оно является урав-
уравнением вырожденной параболы.

120	Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
118.	Рассмотренные примеры убедительно показывают, что
общее уравнение кривой второго порядка всегда можно приве-
привести к каноническому виду. Точное доказательство этого утверж-
утверждения см., например, в нашей книге «Квадратичные формы
и матрицы».
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности.
Парабола как график квадратного трехчлена
119.	В математике и ее приложениях часто встречается урав-
уравнение вида ху = т или у = — (т = const Ф 0); оно называется урав-
х
нением обратной пропорциональности величин х и у. Нетрудно по-
показать, что в декартовых прямоугольных координатах х, у такое
уравнение определяет равностороннюю гиперболу, асимптотами
которой служат оси координат.
В самом деле, повернем оси Ох и Оу на угол а = 45°. Тогда
координаты всех точек плоскости преобразуются по формулам:
/	/ .	X - У
х = х cos а-у sin а = —1=^—,
V2
' •	'	х + у	/п
у = х sma + y cos а = —-jJ-.	A)
л/2
Преобразуя уравнение ху = т по формулам A), получаем в новых
координатах
i.
2т 2т
Мы видим, что это есть каноническое уравнение равносторон-
равносторонней гиперболы с полуосями а- Ъ = ^2\т\; асимптоты ее накло-
наклонены под углом 45° к новым координатным осям, следовательно,
совпадают со старыми осями; если число т положительно, то
рассматриваемая гипербола пересекает новую ось абсцисс, если
т отрицательно, она пересекает новую ось ординат. Отсюда за-
заключаем, что, как мы и утверждали, уравнение ху = т определяет
равностороннюю гиперболу, асимптоты которой совпадают
с координатными осями; гипербола расположена в первой и тре-
третьей координатных четвертях, если т>0 (рис.78, а), во второй
и четвертой четвертях, если т<0 (рис. 78, б).
На основании изложенного мы можем также сказать, что рав-
равносторонняя гипербола есть график обратной пропорциональности.

§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности
121
120. Уравнение
B)
определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна к оси
абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а>0, нисходящей,
если а<0.
Ь
с Ц451
Рис. 78
Чтобы доказать сказанное, достаточно привести уравнение B)
к каноническому виду. С этой целью переделаем его запись сле-
следующим образом:
у = а\ х2 + — х \+с
или
или
4а2
C)
У-
Аас-Ь2
4а
1-г	I Ъ 4ас - Ъ
Перенесем теперь начало координат в точку -^г—;
2а9 4а V
Тогда координаты всех точек плоскости преобразуются по фор-
формулам
х = х-
2а'
4ac-b2
4a

122
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат
а уравнение C) в новых координатах примет вид
у = ил
или
у = ах
х2 = ±2ру,	D)
где р есть положительное число, определяемое равенством
Мы получили каноническое уравнение параболы с верши-
вершиной в новом начале координат и расположенной симметрично
относительно новой оси ординат. Эта парабола является восхо-
восходящей или нисходящей в зависимости от
1
того, будет ли число а =
±2р
положитель-
Рис. 79
но или отрицательно. Так как новая ось
ординат перпендикулярна к старой оси
абсцисс, то рассматриваемая парабола рас-
расположена именно так, как мы указали. Тем
самым наше утверждение доказано.
121. Выражение ах2 + Ьх+с называется
квадратным трехчленом от аргумента х. Со-
Соответственно этому мы можем сказать, что
парабола (с вертикальной осью) есть гра-
график квадратного трехчлена.
Пример. Уравнение у = 2х2-4х-1 определяет восходящую параболу, так
как а = 2 > 0. Чтобы определить ее вершину, перепишем данное уравнение так:
у+3 = 2(х- IJ. Для приведения этого уравнения к каноническому виду нужно
перенести начало координат в точку A; -3). Эта точка есть вершина рассматри-
рассматриваемой параболы (рис. 79).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
122. Если указан способ, позволяющий устанавливать положение
точек пространства заданием чисел, то говорят, что в пространстве
введена система координат. Мы рассмотрим сейчас простейшую
и наиболее употребительную систему координат, которая называ-
называется декартовой прямоугольной.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве
определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех
пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, зану-
занумерованных в каком-нибудь порядке (т. е. указано, какая из них счи-
считается первой, какая второй и какая третьей).
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами
оси — координатными осями, причем первую из них называют так-
также осью абсцисс, вторую — осью ординат, третью — осью аппликат.
Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс — буква-
буквами Ох, ось ординат — буквами Оу и ось аппликат — буквами Ог.
На чертежах буквы х, у, z ставятся около соответственных осей
в положительном направлении от точки О в том месте, где изобра-
изображения осей обрываются; таким образом, само расположение букв
указывает, куда направлена каждая ось.
Пусть М — произвольная точка пространства; спроектируем
точку Мна координатные оси, т. е. опустим из Мперпендикуляры
на прямые Ох, Оуи Ог. Основания этих перпендикуляров обозна-
обозначим соответственно Мх, Му и Мг.
Координатами точки М в заданной системе называются числа
х=ОМх, x=OMv, z=OMz,

124
Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМ— величи-
ну отрезка ОМУ оси ординат, 0М2 — величину отрезка OMZ оси
аппликат (что такое величина отрезка оси, изложено в п° 2). Число х
называется первой координатой или абсциссой точки М, число у
называется второй координатой или ординатой точки М, число 2
называется третьей координатой или аппликатой точки М. В тек-
тексте координаты записываются в круглых скобках радом с той бук-
буквой, которой помечена сама точка: М (х; у; 2).
Проекцию точки М на ось Ох можно получить также, если
опустить из М перпендикуляр на плоскость Оху, а затем из его
основания, которое мы обозначим М^, опустить перпендикуляр на
ось Ох; этот последний перпендикуляр и будет иметь своим осно-
основанием Мх; иначе говоря, Мх есть проекция на ось Ох точки М^.
Проекция точки М^ на ось Оу есть, очевидно, точка Му.
Аналогично, если МХ2 и Му2 — основания перпендикуляров, опу-
опущенных из Мсоответственно на плоскости 0x2 и 0у2, то, проекти-
проектируя МХ2 и Му2 на координатные оси, мы получим точки Мх, Му и М2
(каждая из точек Мх, Му, М2 получается при этом двояким спосо-
способом; например, точка Мх есть проекция на ось Ох как точки М^,
так и точки МХ2).
Точки Мх, Му, М2, М^, МХ2, Му2 и О являются вершинами пря-
прямоугольного параллелепипеда, стороны которого, взятые с надле-
надлежащими знаками, суть координаты точки М. Этот параллелепипед
изображен на рис. 80.
123. Если задана система декартовых прямоугольных координат,
то каждая точка пространства в этой системе имеет одну вполне
определенную тройку координат х, у, 2.
Обратно, каковы бы ни были три (ве-
(вещественных) числа х, у, 2, в простран-
пространстве найдется одна вполне определен-
определенная точка, абсцисса которой есть х, ор-
ордината есть у и аппликата есть 2. Чтобы
построить точку по ее координатам
х,у, 2, нужно на оси абсцисс отложить
от начала координат отрезок ОМХ , ве-
величина которого равна х, на оси орди-
ординат — отрезок ОМу , величина кото-
которого равна у, и на оси аппликат —
отрезок ОМz, величина которого равна 2. После этого, проводя
через Мх плоскость, перпендикулярную к оси Ох, через Му — плос-
плоскость, перпендикулярную к оси Оу, и через М2 — плоскость, пер-
перпендикулярную к оси 02, мы найдем искомую точку как точку
пересечения проведенных плоскостей.
/
Z
м/
/
О
м
У
*ху
Рис.

§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве	125
124.	Условимся насчет некоторых терминов (считая, что оси даны
как на рис. 80).
Плоскость Оуг разделяет все пространство на два полупростран-
полупространства; то из них, которое расположено в положительном направле-
направлении оси Ох, мы назовем ближним, другое — дальним.
Точно так же плоскость Охг разделяет пространство на два по-
полупространства; то из них, которое расположено в положительном
направлении оси Оу, назовем правым, другое — левым.
Наконец, и плоскость Оху разделяет все пространство на два
полупространства; то из них, которое расположено в положитель-
положительном направлении оси Ог, назовем верхним, другое — нижним.
125.	Пусть М — произвольная точка ближнего полупростран-
полупространства; тогда отрезок ОМХ имеет на оси Ох положительное направ-
направление и, следовательно, абсцисса х= ОМХ точки Мположительна.
Если же М находится в дальнем полупространстве, то отрезок
ОМх имеет на оси Ох отрицательное направление и число х = ОМХ
отрицательно. Наконец, в том случае, когда точка М лежит на
плоскости Оуг, ее проекция Мх на ось Ох совпадает с точкой О
и х = ОМХесть нуль.
Таким образом, все точки ближнего полупространства имеют
положительные абсциссы (х>0), все точки дальнего полупростран-
полупространства имеют отрицательные абсциссы (х< 0); абсциссы точек, лежа-
лежащих на плоскости Оуг, равны нулю (х= 0).
Аналогично рассуждая, легко установить, что все точки правого
полупространства имеют положительные ординаты (у > 0), все точ-
точки левого полупространства имеют отрицательные ординаты (у < 0);
ординаты точек, лежащих в плоскости Охг, равны нулю (у = 0).
Наконец, все точки верхнего полупространства имеют положи-
положительные аппликаты {г > 0), все точки нижнего полупространства
имеют отрицательные аппликаты (г < 0); аппликаты точек, лежа-
лежащих в плоскости Оху, равны нулю (г = 0).
Принимая во внимание, что точки плоскости Охг характеризу-
характеризуются равенством у = 0, а точки плоскости Оху — равенством г = 0,
заключаем, что точки оси Ох характеризуются двумя равенствами
у = 0, г = 0.
Аналогично, точки оси Оу характеризуются двумя равенствами
х = 0, г = 0,
и точки оси Ог характеризуются двумя равенствами
х=0, у=0.

126	Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
Заметим, что начало координат О как точка пересечения осей
имеет все три координаты равными нулю: х = О, у = 0, 2 = 0 и этим
характеризуется (т. е. все три координаты равны нулю только для
точки О).
126.	Три плоскости Оху, Oxz и Oyz вместе разделяют про-
пространство на восемь частей: их называют координатными октан-
октантами и нумеруют по определенному правилу. Именно, первым
октантом называют тот, который лежит одновременно в ближнем,
правом и верхнем полупространствах, вторым — лежащий в даль-
дальнем, правом и верхнем полупространствах, третьим — лежащий
в дальнем, левом и верхнем полупространствах, четвертым — ле-
лежащий в ближнем, левом и верхнем полупространствах; пятый,
шестой, седьмой и восьмой октанты суть те, которые находятся
в нижнем полупространстве соответственно под первым, вторым,
третьим и четвертым.
Пусть М — некоторая точка с координатами х, у, z. Из преды-
предыдущего следует:
>	0, то М лежит в первом октанте,
>	0, то М лежит во втором октанте,
>	0, то М лежит в третьем октанте,
>	0, то М лежит в четвертом октанте,
<	0, то М лежит в пятом октанте,
<	0, то М лежит в шестом октанте,
<	0, то М лежит в седьмом октанте,
<	0, то М лежит в восьмом октанте.
Рассмотрение координатных полупространств и октантов полез-
полезно тем, что помогает легко ориентироваться в расположении задан-
заданных точек по знакам их координат.
§ 44. Понятие свободного вектора.
Проекции вектора на ось
127.	Из курса элементарной физики читателю известно, что не-
некоторые физические величины, как, например, температура, масса,
плотность, называют скалярными. Некоторые другие величи-
величины, как, например, сила, перемещение точки, скорость, ускорение,
называют векторными.
Каждая скалярная величина может быть охарактеризована
одним числом, которое выражает отношение этой величины
к соответствующей единице измерения. Напротив, для характеристи-
характеристики векторной величины одного числа недостаточно;
это объясняется тем, что векторные величины, кроме размерности,
обладают еще и направленностью.
если
если
если
если
если
если
если
если
х>0,
х<0,
х<0,
х>0,
х>0,
х<0,
х<0,
х>0,
У>0,
У>0,
У<0,
У<0,
У>0,
У>0,
У<0,
3/<0,

§ 44. Понятие свободного вектора	127
Для отвлеченного выражения конкретных (физических) век-
векторных величин служат геометрические векторы.
Геометрическими векторами, или просто векторами, называют-
называются направленные отрезки.
Геометрические векторы являются предметом так называемого
векторного исчисления подобно тому, как числа являются предме-
предметом арифметики. В векторном исчислении над векторами произво-
производятся некоторые операции; они суть математические абстракции
некоторых единообразных операций, производимых с различными
конкретными векторными величинами в физике.
Возникшее для удовлетворения потребностей физики векторное
исчисление оказалось плодотворным и внутри самой математики.
В этой книге векторы используются как один из удобных инстру-
инструментов аналитической геометрии.
Начальным сведениям из векторного исчисления посвящена сле-
следующая глава. В ближайших пунктах сообщаются только простей-
простейшие, чисто геометрические предложения о направленных отрезках
в пространстве.
Однако представляется целесообразным уже здесь ввести неко-
некоторые понятия, обозначения и термины, принятые в векторном
исчислении.
128.	Вектор, как направленный отрезок, мы будем по-прежнему
записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей
чертой наверху, при условии, что первая буква обозначает начало,
вторая — конец вектора. Но, кроме того, мы очень часто будем
употреблять запись вектора одной малой латинской буквой жирно-
жирного шрифта (например, а). На чертеже вектор всегда будем изобра-
изображать в виде стрелки; если вектор обозначен одной буквой,
то на чертеже эту букву мы будем ставить около конца стрелки.
Начало вектора мы часто будем называть также его точкой прило-
приложения. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых, называются коллинеарными.
129.	Определение равенства векторов. Векторы
называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые дли-
длины и одинаковые направления.
На рис. 81 изображены равные векторы АВ и CD (АВ = CD) *),
на рис. 82 — неравные векторы PQ и PR (PQ ф PR), EF и GH
(EF^GH).
Очевидно, два вектора, порознь равные третьему, равны между
собой.
*) Мы предполагаем, что эти векторы лежат в плоскости чертежа.

128	Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни
были_вектор а и точка Р, существует, и притом только один, век-
вектор PQ с началом в Р, равный вектору а; иначе говоря, для
каждого вектора точка приложения может
быть выбрана где угодно. Соответственно этому в гео-
геометрии векторы рассматривают с точностью до их положения (т. е.
не различая равных векторов, получающихся друг из друга парал-
параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными.
f /g
Рис. 81	Рис. 82
130.	Длина вектора (при заданном масштабе) называется его мо-
модулем. Модуль нулевого вектора равен нулю. Для модуля вектора а
пользуются обозначением | а | или а. Очевидно, если а = Ь, то | а \ = \ Ь |;
обратное заключение, конечно, недопустимо.
131.	Пусть даны произвольная ось и и некоторый вектор АВ.
Опустим из точек Аи В перпендикуляры на ось и и обозначим их
основания соответственно через А' и В'. Число А'В\ т. е. величина
направленного отрезка АВ' оси и, есть проекция вектора АВ на ось и:
при~АВ = А'В'.
Построение проекции вектора на ось и показано на рис. 83, где для
наглядности через точки Аи В проведены плоскости аир, перпен-
перпендикулярные к оси и. Пересечением этих плоскостей с осью и опре-
определяются точки А' и В' (так как плоскости аир перпендикулярны
к оси и, то и прямые АА' и ВВ' перпендикулярны к этой оси).
132.	Возьмем в пространстве произвольную точку Sn проведем
через нее два луча: один в направлении вектора АВ, другой —
в направлении оси и (рис. 83). Угол (^составленный этими лучами,
называется углом наклона вектора АВ к оси и. Очевидно, выбор
точки ?для построения угла ф безразличен. Очевидно также, что
если мы заменим ось и другой осью, имеющей то же направление,
то угол ф останется прежним. Обозначим через v ось, которая на-
направлена так же, как ось и, и проходит через точку А. Согласно
сказанному, угол наклона вектора АВ к оси v равен ф. Пусть С —
точка, в которой ось v пересекает плоскость р. Так как ось v парал-
параллельна оси и, а эта последняя перпендикулярна к плоскости р, то

§ 44. Понятие свободного вектора
129
и ось v перпендикулярна к плоскости р. Следовательно, АС есть
проекция вектора АВ на ось v. Далее, поскольку оси unv парал-
параллельны и одинаково направлены, их отрезки, заключенные между
Рис. 83
параллельными плоскостями аир, имеют одинаковые величины:
А'В' = АС. Отсюда
щ>иАВ = npvAB.
A)
С другой стороны, так как вектор АВ и ось v расположены
в одной плоскости, мы вправе применить к ним формулу G) п° 20;
таким образом,
upvAB =
АВ
COS ф.
Сопоставляя равенства A) и B), находим
АВ
coscp.
B)
C)
Если, ради краткости, обозначить вектор АВ одной буквой а,
то формула C) примет вид
npw a = | а | cos ср.	D)
Итак, проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному
на косинус угла наклона вектора к этой оси.
133. Рассмотрим два равных вектора АХВХ , А2В2 и какую-ни-
какую-нибудь ось и. Так как равные векторы имеют одинаковые модули
и одинаковые углы наклона к оси и, то, применяя к каждому из
них формулу C), мы получим одинаковые результаты:

130	Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
Таким образом, равные векторы имеют равные проекции на одну
и ту же ось.
§ 45. Проекции вектора на оси координат
134. Мы предполагаем, что в пространстве задана некоторая си-
система декартовых прямоугольных координат.
Рассмотрим произвольный вектор а. Пусть X обозначает проек-
проекцию вектора а на ось Ox, Y — проекцию этого вектора на ось Оу
и Z — проекцию его на ось Oz.
Согласно п° 133 каждый вектор, равный а, имеет в качестве
проекций на оси координат те же числа X, Y, Z.
Обратно, если некоторый вектор Ь имеет проекции на оси коор-
координат такие же, что и вектор а, то Ь = а. Чтобы убедиться в этом,
приложим оба вектора аи Ьк началу координат; концы этих век-
векторов при таком их расположении обозначим соответственно бук-
буквами Аи В. Так как векторы аи b имеют одну и ту же проекцию х
на ось Ох, то ясно, что точки А и В должны лежать на одной
плоскости, перпендикулярной к оси Ох, именно, на плоскости, ко-
которая отсекает на оси Ох отрезок величины X (считая от начала
координат). По аналогичной причине точки А и В должны лежать
на одной плоскости, перпендикулярной к оси Оу, именно на той,
которая отсекает на оси Оу отрезок величины Y, а также на одной
плоскости, перпендикулярной к оси Oz, именно на той, которая
отсекает на оси Oz отрезок величины Z. Но в таком случае точки А
и В необходимо совпадают, поскольку три указанные плоскости
пересекаются в единственной точке. Следовательно,
Сказанное сейчас означает, что проекции вектора на оси координат,
будучи заданы, вполне определяют его как свободный вектор, т. е.
с точностью до положения в пространстве. Поэтому проекции X, Y, Z
вектора а называют его (декартовыми) координатами.
В дальнейшем, желая выразить, что вектор а имеет координаты
X, Y, Z, мы будем писать
a={X;Y;Z},
рассматривая правую часть этого равенства как новый символ для
обозначения вектора.
135. В аналитической геометрии часто приходится вычислять
координаты вектора, т. е. проекции вектора на координатные оси,
зная координаты его конца и начала. Эта задача решается следую-
следующей теоремой:

§ 45. Проекции вектора на оси координат
131
Теорема 15. Каковы бы ни &ыли две точка A(x{; у{; 2{
иВ(х2;у2; Zi), координаты вектора АВ определяются формулами
Х=х2-хъ Y=y2-yb
A)
> = z2-zx.
Доказательство. Опустим из точек А к В перпендикуляры
на ось Ох и обозначим их основания через Ах, Вх (см. рис. 84, где
для наглядности через точки А и В
проведены плоскости, перпендику-
перпендикулярные к оси Ох). Точки Ах и Вх име-
имеют на оси Ох соответственно коор-
координаты хь х2. Отсюда в силу теоре-
теоремы 1 (п° 5)
Рис. 84
Но АХВХ = X, следовательно, Х- х2 - хх.
Аналогично устанавливаются равен-
равенства Y= у2 - ух и Z = г2 - zx.
Таким образом, чтобы получить
координаты вектора, нужно от ко-
координат его конца отнять соответ-
соответствующие координаты начала.
136. Пусть М (х; у; г) — произ-
вольная точка пространства. Вектор г = ОМ, т. е. вектор, идущий из
начала координат в точку М, называется радиус-вектором этой
точки.
Вычисляя координаты вектора ОМ по формулам A), именно,
полагая в указанных формулах х2 = х,у2 = у, z2 = z,x{ = 0, у{ = 0,z2 = О,
мы получим
Х=х, Y=y, Z = z,
т. е. координаты точки М и координаты ее радиус-вектора ОМ
суть одни и те же числа. Заметим, однако, что последнее утвержде-
утверждение помимо формул A) сразу вытекает из определения декартовых
координат точки М (см. п° 122).
137. Пусть дан произвольный вектор а- {X; F; Z). Мы устано-
установим сейчас формулу, которая позволит вычислять модуль вектора а,
зная координаты X, Y, Z этого вектора. Будем считать для просто-
простоты, что вектор а приложен к началу координат. Проведем через
конец А вектора а плоскости, перпендикулярные к координатным
осям; точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соот-
соответственно Ах, Ау, А2. Проведенные плоскости вместе с координат-
координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, диа-
диагональю которого служит отрезок ОА (рис. 85). Как известно из

132
Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
элементарной геометрии, квадрат длины диагонали прямоугольно-
прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его смежных
сторон. Следовательно,
ОА2=ОА2+ОА2+ОА2.
Но О/4 = | а\, ОАХ = Х, OAy=Y, 0A2 = Z;
таким образом, из предыдущего равен-
равенства получаем
\a\2 = X2+Y2 ¦ ^2
или
у/
2
0
/
А
Ау
/ У
¦ ¦	B)
Рис. 85
Это и есть искомое выражение модуля произволь-
произвольного вектора через его координаты.
§ 46. Направляющие косинусы
138. Обозначим через а, р, у углы, которые составляет вектор а
с осями координат; cos a, cos p, cos у называются направляющими
косинусами вектора а. Они называются направляющими косинусами
вектора потому, что, будучи заданы, определяют его направление.
Если заданы не только направляющие косинусы, но и модуль
вектора, то тем самым вектор определен вполне (как свободный
вектор). В этом случае координаты вектора могут быть вычислены
по формулам:
Х = \а
Y = \а
cos а,
cosp,
Z -\a\ cos у.
A)
которые имеют место согласно п° 132.
139. Изложенное в предыдущих двух пунктах мы резюмируем
в виде следующей теоремы:
Теорема 16. Каким бы ни был вектор а, его модуль \а\, направ-
направляющие косинусы cos a, cos p, cos у и координаты X, 7, Z связаны
соотношениями:
Х-1 л | cos а, Y= | а \ cos p, Z = \a\ cos у,
A)
B)

§ 46. Направляющие косинусы	133
Замечание. Последние четыре формулы позволяют вычислить
направляющие косинусы вектора, зная координаты этого вектора.
В самом деле, из этих формул следует, что
X	Y
cos а = —-7^^^=^^^=, cos Р = —-7^^^=^^^=,
cos у = —-	C)
Здесь корни понимаются арифметически (как всегда, когда перед
корнем не указаны знаки).
140.	Возводя в квадрат левую и правую части каждого из ра-
равенств C) и суммируя полученные результаты, найдем
X2 +Y2 +Z2
cos2oc + cos2p + cos2y = —z	z	T ;
X2+72+Z2
отсюда
cos 2a + cos 2p + cos 2y = 1.	D)
При помощи соотношения D) можно вычислить любой из углов а, р, у.
Зная два других и, кроме того, зная, является ли искомый угол ост-
острым или тупым.
§ 47. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
141.	В аналитической геометрии пространства, как и в аналити-
аналитической геометрии плоскости, каждая задача, какой бы сложной она
ни была, сводится к некоторым простейшим задачам. Таковыми
являются: задача определения расстояния между двумя данными
точками, задача о делении отрезка в данном отношении, задача
вычисления угла между двумя векторами и т. п. В этом параграфе
мы рассмотрим первые две из перечисленных задач.
142.	Пусть даны две произвольные точки Mi{xi,y2\Z\),
М2 (х2, у2; z2) и требуется вычислить расстояние d между ними.
Искомый результат получается сразу при помощи теоремы 15
(п° 135) и формулы B) предыдущего параграфа.
В самом деле, мы имеем
МХМ2 = {х2 - х{; у2 - у{; z2 - zx);

134	Глава 7. Простейшие задачи в пространстве
далее, б/есть модуль вектора МХМ2, следовательно,
+ (zx - Z2J .	A)
Эта формула и дает решение задачи.
143. Пусть даны две произвольные точки Мх (хх; ух\ Zi),
М2 (х2; у2; z2) и требуется на прямой МХМ2 найти точку М, делящую
отрезок М1М2 в заданном отношении X.
Эта задача решается аналогично тому, как соответствующая за-
задача в аналитической геометрии плоскости (см. п° 24). Поэтому мы
сразу приведем готовый результат: если x,y,z — координаты иско-
искомой точки М, то
_ ХХ + Хх2	_ Ух + У2	~ _ z\ + ^2
Х~ 1 + Х ' У~ 1 + Х '	1 + Х '
В частности, координаты середины данного отрезка получаются
отсюда приХ= 1:
_ ХХ +Х2	_ Ух +У2	_ 2Х +22
Л —	^	5	У —	^	5	^ —	^	'
144. Для решения других простейших задач пространственной
аналитической геометрии удобно применять некоторые особые опе-
операции над векторами, которые называются сложением векторов,
умножением вектора на число, скалярным умножением векторов
и векторным умножением векторов. Определение и основные свой-
свойства этих операций будут изложены в ближайших трех главах.

ГЛАВА 8
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
§ 48. Определение линейных операций
145. Линейными операциями над векторами называются опе-
операции сложения векторов и умножения векторов на числа.
Определение суммы двух векторов. Пусть даны
два вектора а и Ь. Суммой а + Ь называется вектор, который идет
из начала вектора а в конец вектора Ь, при условии,
что вектор Ь приложен к концу вектора а.
Построение суммы а + Ь изображено на рис. 86.
Правило сложения векторов, которое содержится
в этом определении, обычно называют «правилом
треугольника».
Замечание. Может случиться, что при по-
построении суммы а + Ь по правилу треугольника
конец вектора Ь окажется совпавшим с началом Ри
вектора а; тогда а + Ь есть нулевой вектор: а + Ъ - 0.
Определение произведения вектора на чис-
л о. Пусть даны вектор а и число а. Обозначим их модули соответ-
соответственно через \а\ и |а|. Произведением аа (или аа) называется
вектор, который коллинеарен вектору а, имеет длину, равную
|#|-|а|, и направление такое же, как у вектора а, если а>0,
и противоположное, если а < 0.
Операция построения вектора аа называется умножением век-
вектора а на число а.
Замечание 1. Если а = 0 или а = 0, то произведение имеет
модуль, равный нулю, и, следовательно, представляет собой ну-
нулевой вектор. В этом случае направление произведения аа явля-
является неопределенным.
Замечание 2. Смысл операции умножения вектора на число
можно выразить наглядно следующим образом: при умножении
вектора а на число а вектор а «растягивается» в а «раз». Конечно,
1
это выражение условно; например, если ос = —, то «растяжение»

136	Глава 8. Линейные операции над векторами
в а «раз» по существу означает уменьшение длины а в два раза;
если а — число отрицательное, то «растяжение» в а «раз» следует
понимать как такое изменение вектора, при котором этот вектор
удлиняется в | ос | раз («модуль а раз») и меняет свое направление
на противоположное.
§ 49. Основные свойства линейных операций
146. Мы установим сейчас основные свойства линейных опера-
операций, которыми приходится пользоваться в векторном исчислении.
Прежде всего мы покажем, что сумма любых двух векторов не
зависит от порядка слагаемых.
С этой целью рассмотрим два произвольных вектора а и Ь.
Так как геометрические векторы суть свободные векторы, то мы
можем аи b приложить к одной точке О, выбрав ее произвольно.
Обозначим концы векторов а и b при та-
таком их расположении буквами А и В
(рис. 87). Приложим теперь вектор b к точ-
точке А, обозначим конец его (при новом рас-
расположении) буквой С и соединим точку В
сточкой С отрезком. Очевидно, вектор ВС
имеет такуккже длину и так же направлен,
как вектор О А; следовательно, ВС = а.
Рис gy	Рассматривая фигуру О АС и вспоминая
правило сложения векторов («правило тре-
треугольника»), найдем, что ОС =а + Ь. С другой стороны, рассмат-
рассматривая фигуру ОВС, согласно тому же правилу найдем, что
ОС =Ь + а. Отсюда
a + b = b + а,	A)
и утверждение доказано.
Свойство векторного сложения, выраженное тождеством A),
называется переместителъным.
Замечание. Фигуру О ABC называют параллелограммом, по-
построенным на векторах a, b с общим началом О, вектор ОС — его
диагональю (так говорят даже и в том случае, когда а= О А
и Ь= ОВ лежат на одной прямой, т. е. когда ОАВС не является
параллелограммом в собственном смысле слова). На основании
изложенного правило сложения векторов можно высказать в но-
новой формулировке:
если векторы а и b приведены к общему началу и на них построен
параллелограмм, то сумма а + b (или b + а) есть диагональ этого
параллелограмма, идущая из общего начала а и Ь.

§ 49. Основные свойства линейных операций	137
Высказанное в таком виде правило сложения векторов назы-
называется «правилом параллелограмма».
147. После того, как определена сумма двух векторов, есте-
естественным образом можно определить сумму любого числа век-
векторных слагаемых.
Пусть, например, нам даны три вектора я, Ъ и с. Сложив аи Ь,
мы получим вектор а + Ь. Прибавим теперь к нему вектор с; у нас
получится вектор (а + Ь) + с. Наряду с этим мы можем построить
также вектор а+(Ь + с), т. е. к вектору а прибавить сумму Ь + с.
Нетрудно убедиться в том, что, каковы бы ни были три вектора
я, Ь, с, всегда имеет место равенство
(a + b) + c = a+(b + c).	B)
Свойство векторного сложения, выраженное тождеством B), на-
называется сочетательным.
Чтобы доказать сочетательное свойство, расположим рассмат-
рассматриваемые векторы так, чтобы вектор Ъ был приложен к концу
вектора я, а вектор с — к концу вектора Ь. При этом их располо-
расположении обозначим буквой О начало вектора я, буквой А — его
конец, буквой В — конец вектора Ъ и буквой С — конец вектора с
(рис. 88). Тогда
Следовательно,
(а + Ь) + с = а
что и требовалось доказать.
На основании сочетательного свойства сложения векторов мы
имеем право говорить о сумме трех векторов a, i, с и записывать
ее в виде а + Ь + с, не указывая при этом, счи-
считаем ли мы a + b + c=(a + b) + c или а + Ь + с =
= а+(Ь + с). Аналогичным образом может
быть определена сумма четырех, пяти, вооб-
вообще, любого числа векторных слагаемых.
Практически построение суммы несколь-
нескольких векторов нет надобности выполнять по-
последовательно, фиксируя каждый промежуточ-
промежуточный результат; сумма любого числа векторов
может быть построена сразу при помощи
следующего правила.
Общее правило сложения векторов. Чтобы по-
построить сумму векторов аъ аъ ..., аю нужно к концу вектора а{

138
Глава 8. Линейные операции над векторами
приложить вектор аъ затем, к концу вектора а2 приложить век-
вектор а3, затем к концу вектора а3 приложить вектор а4 и т. д.,
пока не дойдем до вектора ап. Тогда суммой ах + а2 +... + лл будет
вектор, идущий из начала вектора ах в конец вектора ап.
Обозначим буквой О начало вектора аъ буквами А, Аъ... Ап —
соответственно концы векторов ah аъ..., ат расположенных со-
согласно только что сформулированному правилу. Фигура ОАхА2..Ат
называется ломаной с векторными звеньями ОАХ = я1? АХА2 = а2,...,
An_iAn = ап; вектор ОАп называется замыкающим ломаную
ОАхА2..Ап. Так как
ОАп = ОАХ+ АХА2 + А2АЪ
Ап_хАп = ах +а2
то в соответствии с этим говорят, что построение суммы не-
нескольких векторов производится при помощи замыкания ломаной
(на рис. 89 изображено построение суммы
четырех слагаемых).
Замечание. В п° 146 мы установи-
установили, что сумма двух векторов не зависит
от порядка слагаемых. Отсюда и из соче-
сочетательности сложения векторов следует,
что сумма любого числа векторов также не
зависит от порядка своих слагаемых.
148. Здесь мы отметим три свойства
линейных операций, которые относятся
одновременно к сложению векторов и умножению вектора на
число. Эти свойства выражаются с помощью следующих трех
тождеств, где 1и[1 обозначают произвольные числа, а и Ь —
какие угодно векторы:
а = Ха +
1) (к +
2)
3)
Справедливость первого тождества сделается наглядно ясной,
если высказать его в геометрических терминах, именно: при ра-
растяжении вектора а в X + \i раз получается такой же вектор, как
при сложении вектора я, растянутого в X раз, с вектором я, рас-
растянутым в (а раз *).
Столь же прозрачный геометрический смысл имеет и второе
тождество: при растяжении вектора а в \х раз и затем еще в X раз
*) «Растяжение» здесь надо понимать так, как указано в замечании 2 п° 145.

§ 50. Разность векторов	139
получается такой же вектор, как при растяжении вектора а сразу
в X\i раз.
Третье тождество вытекает из теории подобия фигур. В самом
деле, вектор а + Ь есть диагональ параллелограмма, построенного
на векторах аи b (в предположении, что аи b приведены к обще-
общему началу); при растяжении векторов a, b и а + b в X раз этот
параллелограмм изменяется подобно и, следовательно, превра-
превращается снова в параллелограмм. Таким образом, Х(а+Ь) есть
диагональ параллелограмма, построенного на векторах Ха и ХЬ;
отсюда Х(а + Ь) = Ха + Xb. (См. рис. 90, который соответствует слу-
случаю Х> 0; все векторы, изображенные на этом чертеже, считают-
считаются приложенными к точке О.)
Указанные сейчас свойства ли-
линейных операций имеют фундамен-
фундаментальное значение, так как они дают
право проводить выкладки в век-
векторной алгебре в основном так же,
как проводятся выкладки в обыч-
обычной алгебре. Первое из них выра-
выражает возможность «распределять»
векторный сомножитель по составляющим числового сомножи-
сомножителя; третье выражает возможность «распределять» числовой со-
сомножитель по составляющим векторного. Поэтому оба эти свой-
свойства называются распределительными. Совместно они дают право
при умножении скалярного многочлена на векторный многочлен
производить умножение «почленно».
Второе свойство дает возможность «сочетать» числовые со-
сомножители при последовательном умножении вектора на несколь-
несколько чисел (например, 2Eл) = 10я). Поэтому второе свойство назы-
называется сочетательным.
§ 50. Разность векторов
149. В векторной алгебре вводится действие вычитания векто-
векторов; как и в арифметике, оно обратно действию сложения.
Пусть даны два произвольных вектора а и Ь. Разностью Ь-а
называется вектор, который в сумме с вектором а составляет век-
вектор Ъ.
Приведем векторы а и b к общему началу О, после чего обо-
обозначим концы их буквами Аи В (рис. 91). Будем искать разность
Ь-а. Допустим, что этот искомый вектор приложен к точке А;
тогда конец его должен совпасть с точкой В, так_как в сумме
с вектором а = О А он должен составить вектор b = OB .

140	Глава 8. Линейные операции над векторами
Таким образом, разность Ъ - а представляет собой не что иное,
как вектор АВ:
Ь-а = АВ.
Итак, разность двух векторов, приведенных к общему началу,
есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец
«уменьшаемого».
150.	Наряду с произвольным вектором а рассмотрим вектор
(-\)а. Вектор (-\)а называется обратным вектору а и обознача-
обозначается символом -а.
-а=(-1)а.
Так как при умножении вектора а на -1 получается вектор с тем
же модулем, коллинеарный вектору а, но направленный проти-
противоположно ему (рис. 92), то векторы а и -а называются иногда
равнопротивоположными.
Если мы приложим вектор -а к концу вектора а, то конец
вектора -а совместится с началом вектора а; следовательно, а + (-а)
есть нулевой вектор:
а + (-а) = 0.	A)
151.	Рассмотрим снова два произвольных вектора а и Ь. Из
тождества A) тотчас следует, что
Ь-а = Ь+(-а).	B)
В самом деле,
а+[Ъ+(-а)] = Ъ+[а+(-а)] = Ъ + 0 = Ь;
таким образом, вектор Ь + (-а) в сумме с вектором а составляет век-
вектор Ъ, а это и значит, что вектор Ъ + (-а) является разностью Ь-а.
Равенство B) выражает новое правило вычитания: чтобы по-
получить разность Ь-а, нужно к вектору Ъ прибавить вектор, об-
обратный вектору а (рис. 93; из этого чертежа также непосредственно
,-я
О	^	Ь-а
Рис. 91	Рис. 92	Рис. 93
усматривается, что сумма векторов а и Ь+(-а) есть вектор Ь).
Последнее правило особенно удобно для построения результата
прибавления и вычитания нескольких векторов; например, чтобы

§ 51. Основные теоремы о проекциях
141
найти х-а-Ъ- с+ d-e, достаточно взять векторы а, -Ь, -с, d, -e
и построить их сумму, как показано в п° 147.
§ 51. Основные теоремы о проекциях
152. Здесь мы установим две важные теоремы о проекциях
векторов.
Теорема 17. Проекция суммы векторов равна сумме их про-
проекций (на одну и ту же ось):
Доказательство. Составим ломаную с векторными зве-
звеньями аъ аъ..., ап (см. п° 147), т. е. к концу вектора ах приложим
вектор аъ затем к концу вектора а2 приложим вектор аъ и т. д.,
наконец, приложим вектор ап к концу вектора ап_{. Обозначим
(при таком расположении заданных векторов) начало вектора а2
буквой О, конец его — буквой Аь конец вектора а2 — буквой А2
и т. д. Тогда
al+a2+... + an =OA^.	A)
Спроектируем все точки О, Аь А2,..., Ап на ось и и обозначим их
проекции соответственно через О\ А[, 4»» Л? (см- Рис- 94, ко-
который соответствует случаю п = 3); получаем
f\ / А / 		А / А / 		А /	А / 		/ О \
к
Hi
7
/
1
у/
\
1 \
! \
j \
Рис. 94
С другой стороны, вследствие равенства A)
=ОАП
C)

142
Глава 8. Линейные операции над векторами
Но согласно п° 3 при любом расположении точек О\ А[, А^,..., А'п
на оси и имеет место тождество
О'А{= О'А{ + А{А1 + А$А$ + ... + А'п_хА^.	D)
Из тождества D), принимая во внимание формулы B) и C), на-
находим, что
Теорема доказана.
Теорема 18. При умножении вектора на число его проекция
умножается на то же число'.
Доказательство. Пусть вектор а приложен к какой-ни-
какой-нибудь точке О оси и; обозначим конец его буквой А. Вектор аа мы
будем предполагать также приложенным к точке О и конец его
пометим буквой В. Таким образом, ОА = я, ОВ = аа.
Рассмотрим прямую v, на которой находятся точки О, А, В.
Установим на этой прямой (какое угодно) положительное на-
направление; тем самым мы сделаем ее осью.
Спроектируем точки О, А и В на ось и; пусть О\ А\ В' будут их
проекции (рис. 95, а и б). По известной теореме элементарной
геометрии мы имеем пропорцию:
О'В'\ ОВ
\°'А \0А\
E)
Если отрезки ОВ и ОА (лежащие на оси v) направлены в одну
сторону, то и отрезки О'В' и О'Х (на оси и) направлены в одну
сторону; если же отрезки ОВ и ОА направлены в разные стороны,
В
Рис. 95
А'
то и отрезки О В иОА направлены в разные стороны (так будет
при отрицательном а; этот случай соответствует рис. 95, б). Таким

§ 51. Основные теоремы о проекциях	143
г	ОВ	ОВ
образом, отношения величин этих отрезков -ггу и -^— имеют
D А	LJA
одинаковые знаки; значит, вместо равенства E) мы получаем
О'В' _ ОВ
О'А' " ОА '
Так как ОВ = а а и ОА = а, то	= а. Следовательно, —г-г - ос,
ОА	ОА
или О'В'= а • О'А'. Отсюда
щ>иаа = а щ>иа.
Теорема доказана.
Замечание. Последнюю теорему наглядно можно выска-
высказать так: при растяжении вектора в а раз его проекция растягива-
растягивается тоже в а раз.
153. В п° 134 был установлен принцип определения каждого
свободного вектора в пространстве заданием трех чисел — его
координат. Нам существенно знать, какие арифметические опе-
операции с координатами векторов соответствуют линейным опера-
операциям, производимым над самими векторами. Этот вопрос сразу
решается теоремами 17 и 18 п° 152, если принять во внимание,
что (декартовы) координаты вектора суть его проекции на коор-
координатные оси. Именно, согласно теореме 17 при сложении векто-
векторов их координаты складываются. Таким образом, если
а={Хх; Yx-Zx) и Ь = {ХЪ 72; Z2},
то
а + Ь ={ХХ+Х2; Yx+Y2; Zx + Z2).
Отсюда следует, что
a-b={Xl-X2; Yl-Y2;Zl-Z2}.
Это же обстоятельство можно выразить символически одним
соотношением:
{Хг; Yx; Zx) ± {Х2; 72; Z2) = {Хг ± Х2; Yx ± 72; Zx ± Z2). F)
Далее, согласно теореме 18 при умножении вектора на число его
координаты умножаются на то же число. Таким образом, если
а={Х; 7; Z}, то для любого числа а
аа={аХ; а7; aZ}.
Это обстоятельство можно выразить символически еще так;
а {X; 7; Z} = {aX; а7; aZ}.	G)

144	Глава 8. Линейные операции над векторами
154. Из предыдущего легко выводится условие коллинеарности
двух векторов, заданных своими координатами.
Именно, векторы а={Х{; YX\Z^ и b = {X2; Y2;Z2} коллинеарны
в том и только в том случае, когда один из них может быть полу-
получен умножением другого на некоторое число: Ь = Ха (предпола-
(предполагаем афО). Векторное равенство
Ь = Ха
равносильно трем числовым:
Х2 = X Xi, Y2 = XYi, Z2 = XZ±,
а эти последние равенства означают, что координаты вектора Ь
пропорциональны координатам вектора а. Следовательно, век-
векторы а={Х{; Y{;Zi} и b = {X2; Y2;Z2} коллинеарны в том и только
в том случае, когда
т. е. когда их координаты пропорциональны.
§ 52. Разложение векторов на компоненты
155. Если нам задана в пространстве какая-нибудь система
декартовых прямоугольных координат, то вместе с нею мы будем
рассматривать некоторую определенную тройку векторов; мы бу-
будем обозначать их символами /, j, к. Эти векторы определяются
следующими условиями:
1)	вектор i лежит на оси Ох, вектору — на оси Оу, вектор к —
на оси Ог\
2)	каждый из векторов /, j, к направлен на своей оси в поло-
положительную сторону;
3)	векторы /, j, к — единичные, т. е. | i \ = 1, \j \ = 1, | к \ = 1.
Оказывается, что любой вектор в пространстве может быть
выражен через векторы i, j, k при помощи линейных операций. Как
получается такое выражение, мы сейчас покажем.
Рассмотрим произвольный вектор а. Будем предполагать (для
удобства изложения), что он приложен к началу координат. Обо-
Обозначим конец вектора а буквой А. Проведем через точку А пря-
прямую, параллельную оси Ог. Она должна пересечь плоскость Оху;
обозначим точку пересечения буквой В. Проведем затем через
точку В прямую, параллельную оси Оу, и прямую, параллельную
оси Ох. Первая из них должна пересечь ось Ох, вторая — ось Оу.
Обозначим эти точки пересечения соответственно символами Ах

§ 52. Разложение векторов на компоненты
145
и Ау. Проведем, наконец, через точку А прямую, параллельную
прямой ОВ; эта прямая должна пересечь ось Ог в некоторой точ-
точке, которую мы обозначим символом А2 (рис. 96).
Согласно правилу сложения векторов (применительно к па-
параллелограмму 0ВАА2) имеем
а = ОВ + О А,.
A)
Точно так же по правилу сложения векторов (применительно
к параллелограмму ОАуВАх)
= ОАх+ОАу.
Вследствие равенств A) и B)
а = ОАХ + ОАу + 0А2 ,
B)
C)
Так как векторы ОАХ и i лежат на одной прямой, то ОАХ
может быть получен путем «растяжения» вектора /; таким обра-
образом, можем написать ОАХ = Ai, где
X — некоторое число.
Аналогично, ОАу =\ij и 0А2 = vk
(рис. 96 соответствует случаю, когда
числа А, (а и v положительны).
	Из равенств C) и соотношений
ОАХ =7а9 ОАу =\у, 0А2 =vk получаем
a = Xi+ \ii + vA;.	D)
Рис. 96
Тем самым мы показали, что лю-
любой вектор а в пространстве действи-
действительно может быть выражен при помощи линейных операций
через векторы /, у, к.
Имея в виду все векторы в пространстве выражать указанным
образом через векторы /, у, к мы будем эту тройку векторов назы-
называть координатным базисом.
Представление вектора а в виде суммы Xi + \ii + vA: называет-
называется разложением вектора а по базису /, у, к. Числа А, щ v носят
название коэффициентов этого разложения; векторы А/, |Д vA:
принято называть составляющими (или компонентами) вектора а
по базису /, у, к.
Векторы А/, (XI, vA: называется составляющими вектора а
потому, что они в сумме составляют вектор а.

146	Глава 8. Линейные операции над векторами
156.	Теперь мы постараемся выяснить геометрический смысл
коэффициентов X, ц,, v. Так как ОАХ = Xi, a i — единичный вектор,
то число X есть отношение отрезка ОАХ к единице измерения,
взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направ-
направлен ли этот отрезок так же как и вектор *, или противоположно
ему. Иначе говоря, X есть величина отрезка ОАХ на оси Ох, пони-
понимаемая так, как определено в п° 2, т. е. X = ОАХ. Но ОАХ есть не что
иное, как проекция вектора а= О А на ось Ох. Следовательно,
X = прх а-Х.
Аналогично
\i = пр^ а = Y, v = пр2 а = Z.
157.	Все изложенное в п°п° 155, 156 мы можем резюмировать
в виде следующей теоремы.
Теорема 19. Каким бы ни был вектор а, он всегда может
быть разложен по базису i, j, к, т. е. может быть представлен
в виде
a = Xi+ Yi + Zk;
коэффициенты этого разложения определяются вектором а одно-
однозначно, именно X, F, Z суть проекции вектора а на координатные
оси (т. е. координаты вектора а).
158.	Заметим теперь, что разложение векторов можно произ-
производить не только по базису /, у, к.
Пусть даны три вектора аь аъ аъ. Для наглядности будем пред-
представлять себе, что они приведены к общему началу О. Относи-
Относительно этих векторов мы не делаем никаких специальных пред-
предположений (считаем их векторами любой длины и с любыми уг-
углами наклона друг к другу). Мы потребуем только соблюдения
одного условия: будучи приведены к общему началу О, векторы
аъ аъ а3 не должны лежать в одной плоскости. При этом условии
справедлива следующая теорема.
Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть выражен
в виде линейной комбинации векторов яь а2, а3
а = Хах + \ia2 + v#3-	E)
Такое выражение вектора а называется разложением его по базису
аъ аъ а3.
Для доказательства высказанной теоремы проведем через точку О
три оси Ox, Oy, Oz по направлениям векторов аь аъ а3 соответ-
соответственно. После этого равенство E) можно установить путем бук-
буквального повторения выкладок и рассуждений, с помощью кото-
которых было доказано равенство D). Следует лишь всюду векторы

§ 52. Разложение векторов на компоненты	147
i,j, к заменять векторами аъ а2, аъ (параллелепипед, изображен-
изображенный на рис. 96, следует при этом представлять себе косым).
Остается выяснить геометрический смысл коэффициентов
X, \i, v в равенстве E). Мы имеем: ОАХ = Ха^ отсюда следует, что
X есть величина отрезка ОАХ оси Ох, если в качестве масштабно-
масштабного отрезка на этой оси принят вектор а{. Аналогичный смысл
имеют [I и v. Отрезки ОАХ, ОАу, 0А2 иногда называют косыми
проекциями вектора а на оси Ох, Оу, Ог. Соответственно можно
сказать, что коэффициенты X, ц, v в равенстве E) являются вели-
величинами косых проекций вектора а на оси Ох, Оу, Ог, если каж-
каждая проекция измерена на своей оси в своем масштабе. Отсюда
следует, что коэффициенты разложения данного вектора по данно-
данному базису определяются единственным образом (поскольку они вы-
выражают вполне определенные геометрические величины).
159. Если вектор а лежит в плоскости векторов аъ а2, то его
разложение по базису аъ а2, аъ имеет вид
а = Хах + \ia2,
т. е. v = 0. В самом деле, в этом случае точка А совпадает с точкой В
и, следовательно, 0А2 =0.
Если мы имеем в виду рассматривать только векторы, лежа-
лежащие в одной определенной плоскости, и только их разлагать по
базису, то достаточно брать ба-
базис из двух векторов аъ аъ лежа-
лежащих в данной плоскости (третий
вектор становится излишним).
В качестве базиса можно брать
любую пару векторов аъ а2 дан-
данной плоскости, но с обязатель-
обязательным условием: если векторы аь а2 ~oj щ	~Х	Зс
приведены к общему началу О, '
то они не должны располагаться Рис. 96,а
на одной прямой. Иначе говоря,
базис на плоскости обязательно состоит из неколлинеарных век-
векторов. Естественно, что построение составляющих на плоскости
проще, чем в пространстве; оно изображено на рис. 96,а. Имеем
а = ОА = ОАХ + ОАу = Хах + \ia2.
Отрезки ОАХ, ОАу являются косыми проекциями вектора а на оси
Ох, Оу; коэффициенты X и ц — их величины, при условии, что
в качестве масштабных отрезков на осях приняты векторы а{ и а2.

ГЛАВА 9
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства
160.	Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов а, Ь обозначается символом ab.
Обозначим угол между векторами а, Ъ через (р; тогда скаляр-
скалярное произведение векторов а, Ь мы сможем выразить формулой:
аЪ- | а | \Ъ\ cos ср.	A)
Для дальнейшего важно заметить, что |#|cos(p = npfl# (см.
п° 132), следовательно,
аЬ = | а | прй Ь.	B)
Аналогично, | а | cos ф = пр^я, и мы получаем также
ab=\b\npba.	C)
Таким образом, скалярное произведение векторов а, Ъ можно
рассматривать или как произведение двух чисел, из которых одно
есть модуль вектора а, другое — проекция вектора Ъ на ось векто-
вектора а, или как произведение двух чисел, из которых одно есть модуль
вектора Ъ, другое — проекция вектора а на ось вектора Ь.
161.	Понятие скалярного произведения имеет свой источник
в механике. Именно, если (свободный) вектор а изображает силу,
точка приложения которой перемещается из начала в конец век-
вектора Ъ, то работа w этой силы определяется равенством*)
м; = |л| • \b\ cos ср.
В векторном исчислении эту величину называют произве-
произведением двух векторов на том основании, что она обладает неко-
некоторыми алгебраическими свойствами обыкновенного произведения
*) См., например, И.М. Воронков. Курс теоретической механики. —
М.: Наука» 1966, § 107.

§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства	149
чисел (они будут указаны в следующем параграфе). Ее называют
скалярным произведением, так как она является скаляром
(числом).
162. Скалярное произведение обладает следующими алгебра-
алгебраическими свойствами:
1.	Свойство перестановочности сомножите-
сомножителей:
ab = Ьа.
Доказательство. По определению ab = \ а \ \ Ъ | cos ф
и Ьа = | Ь | | а | cos cp; но |я||А| = |А||л|, поскольку это есть просто
произведение чисел, следовательно, ab = ba.
2.	Свойство сочетательности относительно
умножения на число:
(аа) b = a (ab)
Доказательство. По формуле C) мы имеем
(aa)b = \b\npb(aa).
Но согласно теореме 18 (п° 152) прй (аа) = ащ>ьа. Таким обра-
образом,
(аа) Ь = | Ь | np^ (аа) = \ Ь \ а прА а = а (\ Ь \ прА а).
С другой стороны, по той же формуле C) \Ь\ npba = ab. Следова-
Следовательно,
(аа) b = a(\b\upba) = a(ab).
Замечание 1. Из свойств 1 и 2 следует, что
Действительно,
3. Свойство распределительности относи-
относительно сложения:
a(b + c) = ab + ас.
Доказательство. По формуле B) мы имеем
а (Ь + с) = | а | прй (Ь + с).
Но согласно теореме 17 (п° 152) пря (Ь + с) = пря Ъ + пря с. Та-
Таким образом,
а (Ь + с) = | а | прй (Ь + с) = \ а \ (прй Ъ + прй с) = \ а \ прй Ъ + | а \ прй с.

150	Глава 9. Скалярное произведение векторов
С другой стороны, по той же формуле B) \ a\npab = ab и
| а | пря с = ас. Следовательно,
а(Ь + с) = \а\ прй Ъ + | а | прй c = ab + ас.
Последнее из доказанных свойств скалярного произведения
дает право при скалярном перемножении векторных многочле-
многочленов выполнять действие почленно. В силу первого свойства можно
при этом не заботиться о порядке сомножителей. Второе свой-
свойство позволяет тогда (см. выше замечание 1) объединять число-
числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,
Bа+Щ Cc + 4d) = Ba+5b) (Зс) + Bа + 5b)Dd) =
= Bа)Cс) + EЪ)(Зс) + Ba)Dd) + Eb)Dd) = 6ac+ \5bc+&ad+ 20bd.
Замечание 2. В одном отношении скалярное произведе-
произведение векторов существенно не сходное обыкновенным про-
произведением чисел: так как скалярное произведение двух век-
векторов есть уже не вектор, а число, то бессмысленно говорить
о скалярном произведении трех или большего числа векторных
сомножителей. Заметим, что символ (ab) с можно понимать только
так: (ab) с есть произведение числа ab на вектор с, т. е. (ab) с есть
вектор с, «растянутый» в ab «раз».
163. Здесь мы приведем ряд важных геометрических свойств
скалярного произведения.
1.	Если неравные нулю векторы а и b составляют острый угол,
то скалярное произведение ab положительно.
В самом деле, если ф — острый угол, то cos ф > 0; следовательно,
ab = | а| \b\ cosф> 0.
2.	Если неравные нулю векторы а и b составляют тупой угол, то
скалярное произведение ab отрицательно.
В самом деле, если ф — тупой угол, то cos ф < 0; следовательно,
ab = | а| \b\ cosф<0.
3.	Если векторы а и b перпендикулярны друг к другу, то ab = 0.
В самом деле, если а и Ъ взаимно перпендикулярны, то ф = ^
и cos ф = 0; следовательно, ab = \ а \ \ Ъ \ cos ф = 0.
4.	Если скалярное произведение двух векторов а, Ъ равно нулю,
то векторы а, Ъ взаимно перпендикулярны.
В самом деле, если хотя бы один из векторов а, Ъ равен нулю, то
его можно считать перпендикулярным к другому, так как нулевой
вектор можно считать направленным любым образом; если же ни
один из этих векторов не равен нулю, то вследствие равенства

§ 54. Выражение скалярного произведения в координатах	151
аЬ = | а 11 Ь | cos q> =0 должно быть cos q> = 0, т. е. ср = у, что и озна-
означает перпендикулярность векторов а и Ъ.
Последние два свойства можно высказать совместно следующим
образом: скалярное произведение двух векторов обращается в нуль тогда
и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.
Наконец, мы отметим еще одно свойство скалярного произ-
произведения:
5. При скалярном умножении вектора самого на себя получается
квадрат его модуля:
аа = \а\2.
В самом деле, аа = \ а \ \ а | cos 0; но cos 0 = 1, следовательно,
аа = | а |2.
Замечание. Скалярное произведение аа называется ска-
скалярным квадратом вектора а и обозначается символом а2. На
основании предыдущего мы имеем: а2 = \ а |2, т. е. скалярный квад-
квадрат вектора равен квадрату его модуля.
§ 54. Выражение скалярного произведения
через координаты перемножаемых векторов
164. Следующая теорема дает возможность вычислять скалярное
произведение двух векторов, зная их координаты, т. е. проекции на
оси некоторой декартовой прямоугольной системы координат:
Теорема 20. Если векторы а и Ъ заданы своими координатами.
а={Хг; YuZj, b = {X2; Y2; Z2},
то скалярное произведение их определяется формулой
ab = XlX2+YlY2 + ZlZ2.
Доказательство. Предварительно составим «таблицу ум-
умножения» базисных векторов /, у, к:
i2 = 1, ij = 0, ik = 0,
/7 = 0, /2=1, jk = O,	A)
?/ = 0, kj = O, к2 =1.
Здесь скалярные произведения различных базисных векторов рав-
равны нулю, так как они взаимно перпендикулярны (см. свойство 3,
п° 163); I2 = 1, j2 = 1, к2 = 1, так как /, у, к суть единичные векторы
(см. свойство 5 п° 163).
Разложим теперь векторы аийпо базису /, у, к:
а = Xxi + Yrf + Zxk,
Ь = X2i + Y2j + Z2k	B)

152	Глава 9. Скалярное произведение векторов
(см. теорему 19 п° 157). На основании установленных в п° 162
алгебраических свойств скалярного произведения мы можем, вы-
вычисляя ab, перемножать правые части равенства B) почленно:
ab = XlX2i2 + XlY2ij + XlZ2ik + YlX2ji+ YxY2j2 + YxZ2jk +
+ ZXX2 ki + Zx Y2 kj + ZXZ2 k2.
Пользуясь таблицей A) умножения базисных векторов, нахо-
находим отсюда
что и требовалось.
Содержание установленной теоремы можно выразить еще так:
скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произ-
произведений соответствующих координат этих векторов.
165. Мы укажем сейчас ряд важных следствий теоремы 20.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием пер-
перпендикулярности векторов
а={Хх; Y^ZJ, b = {X2; Y2; Z2}
является равенство
X1X2+Y1Y2 + Z1Z2 = 0.	C)
В самом деле, согласно п° 163 векторы ажЬ взаимно перпен-
перпендикулярны в том и только в том случае, когда ab = 0. Но по тео-
теореме 20 имеем: ab = XiX2+YiY2 + ZiZ2. Следовательно, векторы а
и b перпендикулярны в том и только в том случае, когда выпол-
выполняется равенство C).
Следствие 2. Угол ф между векторами
а = {Хх; YX;ZX), b = {X2; Y2; Z2}
определяется равенством
В самом деле, по определению скалярного произведения
ab = | а 11 b | cos ф; отсюда
ab	/С\
()
Но по теореме 20 имеем: ab = X{X2+ Y{Y2 + Z{Zb а по теореме 16
(n°139) |tf|=A/x12+]f+z2 , \b\=^Xl+Y^+Zl . Отсюда и из
формулы E) получается формула D).

§ 54. Выражение скалярного произведения в координатах	153
Следствие 3. Если некоторая ось и составляет с коорди-
координатными осями углы а, р, у, то проекция произвольного вектора
s = {X; Y; Z} на эту ось определяется равенством
npus = Xcosa+ 7cosp + Z cosy.	F)
Для доказательства предположим, что направление оси и за-
задано единичным вектором е. Согласно формуле B) п° 160 мы
имеем: es=|e| npes. Заметим теперь, что |е|=1и npes = npus. Та-
Таким образом, при s=es. Так как вектор е направлен по данной
оси и, то он составляет с координатными осями те же углы, что
и эта ось, т. е. а, р, у. Отсюда заключаем (см. теорему 16 п° 139), что
щ>хе = | е| cos а, щ>уе = \ е| cos p, np2e = \e\ cos у;
но | в | = 1, следовательно,
e={cosa; cosp; cosy}.
Имея s={X; Y; Z} и е= {cos a; cos p; cos у}, по теореме 20 нахо-
находим: npas = es = Xcosa + Fcosp + Z cosy, что и требовалось.
166. Пример 1. Даны три точки АA; 1; 1), В B; 2; 1) и СB; 1; 2). Найти
угол ф = ABAC.
Решение. Применяя теорему 15 (п° 135), находим
АВ ={1; 1; 0}, АС ={1; 0; 1}.
Отсюда и на основании следствия 2 теоремы 20
1-2 + 10 + 01	1	1
COS ф = ¦	.		= —j=	j=- = — .
Vi2 + i2 + o2Vi2 + o2 + i2 V2V2 2
Следовательно, ф = 60°.
Пример 2. Даны точки А(\\ 1; 1) и ВD; 5;-3). Найти проекцию вектора
АВ на ось w, составляющую с координатными осями равные острые углы.
Решение. Пусть cos a, cos C, cos у — направляющие косинусы оси и; по
условию задачи они равны друг другу и положительны (так как а, C, у — одина-
одинаковые острые углы). Но согласно равенству D) п° 140
cos2 a + cos2 C + cos2 у = 1.
Отсюда и на основании только что сказанного
cos a = cos C = cos у = —j= .
л/3
По теореме 15 (п° 135)
АВ ={3; 4; -4}.
Нам остается применить следствие 3 теоремы 20, т. е. формулу F); применяя ее,
находим

ГЛАВА 10
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ВЕКТОРОВ
§ 55. Векторное произведение и его основные свойства
167. Здесь мы определим новое действие над векторами: век-
векторное произведение. При этом мы будем предполагать, что в про-
пространстве выбрана некоторая система декартовых прямоуголь-
прямоугольных координат.
Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется
вектор, обозначаемый символом [ab], который определяется следу-
следующими тремя условиями:
1)	модуль вектора [ab] равен \ а \ \ Ъ | sin ф, где ф — угол между
векторами а и Ь;
2)	вектор [ab] перпендикулярен к каждому из векторов а и Ь;
3)	вектор [ab] относительно векторов а и Ъ направлен так же,
как координатная ось Oz относительно координатных осей Ох и Оу.
Точнее, если все три вектора а, Ь и [ab] приведены к общему нача-
началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, чтобы из конца его
кратчайший поворот вектора а к вектору b был виден совершаю-
совершающимся в ту же сторону, в какую усматривается кратчайший пово-
поворот положительной полуоси Ох к положительной полуоси Оу, если
смотреть из какой-нибудь точки положительной полуоси Oz.
Для определенности предположим, что в выбранной системе
координат кратчайший поворот положительной полуоси Ох к по-
положительной полуоси Оу виден из точек положительной полуоси Oz
совершающимся против часовой стрелки. Такая система коорди-
координат называется правой. Правую систему можно охарактеризовать
еще следующим образом: направление оси Oz этой системы ука-
указывает средний палец правой руки, большой палец которой на-
направлен по оси Ох, а указательный — по оси Оу*).
*) Система координат называется левой, если оси Ох, Оу, Oz направлены
аналогично большому, указательному и среднему пальцам левой руки.

§ 55. Векторное произведение и его основные свойства	155
Соответственно выбору правой системы координат придается
определенное направление и векторному произведению [ab].
Именно, если а, Ь и [ab] приведены к общему началу, то вектор
[ab] должен быть направлен так, чтобы из конца его кратчайший
поворот вектора а к вектору Ь (т. е. первого сомножителя ко вто-
второму) был виден совершающимся против
часовой стрелки (рис. 97). Можно приме-	f [ab]
нять также «правило правой руки»: если а, Ь
и [ab] приведены к общему началу, то век-
вектор [ab] должен быть направлен так, как
направлен средний палец правой руки,
большой палец которой направлен по пер-
первому сомножителю (т. е. по вектору а),
а указательный — по второму (т. е. по век-
вектору Ь). На это правило мы и будем чаще
всего ссылаться.
168.	Понятие векторного произведения	чх	^'
имеет свой источник в механике. Имен- \^''
но, если вектор b изображает силу, при-	Рис 97
ложенную к какой-нибудь точке М, а век-
вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор [ab] пред-
представляет собой момент силы b относительно точки О*).
В векторном исчислении [ab] называют произведением
векторов на том основании, что эта величина обладает некото-
некоторыми алгебраическими свойствами произведения чисел (см.
вп° 171 второе и третье свойства). Ее называют векторным
произведением, так как она является вектором.
169.	В первую очередь мы отметим важнейшие геометри-
геометрические свойства векторного произведения.
1.	Если векторы а и Ъ коллинеарны, то их векторное произведе-
произведение равно нулю.
Доказательство. Если векторы а и b коллинеарны, то
угол ф между ними либо равен 0 (в случае, когда а и Ъ направ-
направлены в одну сторону), либо равен 180° (в случае, когда а и b
направлены в противоположные стороны). И в том, и в другом
случае sin ф = 0. Следовательно, | [ab] \ = \a\\b\ sinф = 0, т. е. мо-
модуль вектора [ab] равен нулю, а значит, и сам вектор [ab] равен
нулю.
2.	Если векторное произведение векторов а и Ъ равно нулю, то
векторы а и b коллинеарны.
*) См., например, И. М. Воронков. Курс теоретической механики. —
М.: Наука, 1966, § 44.

156	Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
Доказательство. Пусть [ab]=0; тогда |[лй]| = 0, а зна-
значит, | а 11 Ь | sin ф = 0. Если ни один из векторов а и Ь не равен
нулю, то из предыдущего равенства получаем sin(p = 0, следова-
следовательно, векторы а и Ь коллинеарны. Если же хотя бы один из
векторов аи b равен нулю, то мы вправе считать его коллинеар-
ным другому, так как нулевой вектор можно считать направлен-
направленным любым образом.
Оба свойства векторного произведения мы выскажем теперь
совместно так: векторное произведение двух векторов обращается
в нуль тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
3. Если векторы а и Ь приведены к общему началу, то модуль
векторного произведения [ab] равен площади параллелограмма, по-
построенного на векторах а и Ь.
Доказательство. Обозначим площадь параллелограмма,
построенного на векторах а и Ь, буквой S. Как известно из эле-
элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произве-
произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда
| а 11 Ъ | sin ф = S, следовательно,
\[ab]\ = S,	A)
что и утверждалось.
170. На основании последнего свойства векторное произведе-
произведение можно выразить формулой:
[ab] = Se,	B)
где е — вектор, определяемый следующими тремя условиями:
1)	модуль вектора е равен единице;
2)	вектор е перпендикулярен к каждому из векторов а и Ь;
3)	вектор е направлен так, как направлен средний палец пра-
правой руки, большой палец которой направлен по вектору а, а ука-
указательный — по вектору Ъ (предполагается, что векторы а, Ъ и е
приведены к общему началу).
Чтобы доказать формулу B), сравним условия, которые опре-
определяют вектор е, с условиями, которые определяют векторное
произведение [ab]; из этого сравнения легко заключить, что век-
векторы [ab]n e коллинеарны друг другу, причем направлены в одну
сторону. Таким образом, вектор [ab] может быть получен умно-
умножением вектора е на некоторое положительное число; это число
равно отношению модуля вектора [ab] к модулю вектора е, а так
как | е | = 1, то оно равно просто модулю вектора [ab], т. е. числу S.
Тем самым [ab] = Se, что и требовалось (рис. 98 иллюстрирует
формулу B) в случае | а \ = 2, \ Ъ \ = 2, ф = 90°).

§ 55. Векторное произведение и его основные свойства
157
171. Теперь мы установим алгебраические свойства векторно-
векторного произведения
1. Свойство а н т и п е р е с т а н о в о ч н о с т и со-
сомножителей:
[аЪ]=-[Ъа],
C)
[ab]
Рис.
т. е. векторное произведение а на Ь есть вектор, обратный вектор-
векторному произведению Ъ на а.
Доказательство. Если векторы а и Ь коллинеарны, то
как [ab], так и [Ьа] обращаются в нуль, следовательно, равен-
равенство C) справедливо. Предположим теперь, что
векторы аи Ане коллинеарны.
Заметим прежде всего, что согласно первым
двум условиям определения векторного про-
произведения векторы [ab] и [Ьа] имеют одинако-
одинаковые модули и коллинеарны друг другу; таким
образом, либо [ab] = [Ьа], либо [ab] =-[ba]. Ос-
Остается решить вопрос, какая из этих двух воз-
возможностей в действительности имеет место.
Этот вопрос решается третьим условием. Имен-
Именно, если мы сначала направим большой и ука-
указательный пальцы правой руки соответствен-
соответственно по векторам а и Ь, а затем — по векторам b
и а, то нам при этом придется повернуть кисть
руки так, что направление среднего пальца во
втором случае окажется противоположным тому направлению,
какое он имел в первом случае. Следовательно, [ab] и [Ьа] имеют
взаимно противоположные направления, т.е. [ab]=-[ba].
2. Свойство сочетательности по отношению
к скалярному множителю:
D)
E)
Доказательство. Формула E) сводится к формуле D) при
помощи перестановки сомножителей векторных произведений
в ее левой и правой частях (с последующей заменой буквы Ъ бук-
буквой а и буквы а буквой Ь). Таким образом, достаточно доказать
формулу D).
Заметим прежде всего, что если X = О или если векторы а и b
коллинеарны, то формула D) с очевидностью верна, так как в
этих случаях левая и правая части ее будут равны нулю. Предпо-
Предположим теперь, что ^Ои векторы a, b не коллинеарны.
[(Xa)b]=X [ab]
[a(Xb)]=X [ab].

158	Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
Согласно первому условию в определении векторного произ-
произведения модуль вектора [ab] равен | а \ \ Ъ | sin ф, где ф — угол меж-
между векторами а и Ь\ следовательно, модуль вектора X [ab] равен
| X11 а 11 Ъ | sin ф. По тому же условию модуль вектора Х[аЪ] равен
| X11 а 11 Ь | sin ц/, где ц/ — угол между векторами Ха и Ь. Но угол ц/
равен либо углу ф (если X положительно), либо углу тг - ф (если X
отрицательно); и в том и в другом случае sn^ = sin\j/. Отсюда
следует, что модуль вектора [(Ха)Ь\ равен модулю вектора X[ab\.
Согласно второму условию в определении векторного произ-
произведения оба вектора X[ab] и [(Ха)Ь\ перпендикулярны к каждому
из векторов аи Ь; следовательно, векторы X[ab] и [{Ха)Ь\ колли-
неарны друг другу.
Поскольку векторы X[ab] и [(Ха)Ь\ имеют одинаковые модули
и коллинеарны, они либо равны, либо взаимно обратны, т. е.
либо [(Xa)b]=X[ab], либо [(Xa)b]=-X[ab]. Остается решить во-
вопрос, какая из этих двух возможностей в действительности имеет
место. Нам придется отдельно рассмотреть случай, когда Х>0,
и случай, когда А, < 0.
Пусть Х>0; тогда векторы Ха и а направлены одинаково.
В этом случае согласно правилу правой руки векторы [(Ха) Ь] и [ab]
направлены в одну сторону; но при X > 0 вектор X [ab] направлен
также, как вектор [ab]. Следовательно, вектор [(Ха)Ь] направлен
так же, как вектор X[ab], а значит, [(Xa)b]=X[ab]. Пусть Х<0;
тогда векторы Ха и а имеют противоположные направления.
В этом случае согласно правилу правой руки вектор [(Ха) Ь] на-
направлен противоположно вектору [ab]; но при X < 0 и вектор X [ab]
направлен противоположно вектору [ab]. Следовательно, векто-
векторы [(Ха) Ь] и X [ab] направлены одинаково, а значит, [(Ха) b]=X [ab].
Мы видим, что это соотношение справедливо всегда.
3. Распределительное свойство относительно
сложения:
[a(b + c)] = [ab] + [ac]	F)
и
[(Ъ + с)а] = [Ъа] + [са].	G)
Доказательство. Формула G) сводится к формуле F) при
помощи перестановки сомножителей в ее левой и правой частях.
Таким образом, нам достаточно доказать формулу F). Заметим
еще, что при а = 0 формула F), очевидно, верна. Мы будем пред-
предполагать в дальнейшем, что а^О.
Рассмотрим сначала частный случай, когда первый вектор яв-
является единичным, а два других к нему перпендикулярны.

§ 55. Векторное произведение и его основные свойства
159
Приведем все три вектора к общему началу (^Обозначим пер-
первый (единичный) вектор через #0;_пусть ОВ и ОС^= два других
вектора (перпендикулярных к я0), OD — их сумма: OD = ОВ + OC
(рис. 99). Введем обозначения:
ОВ* = [а0ОВ], ОС* = [а0ОС], OD* = [a0OD] = [а0(ОВ + ОС)].
В силу первых двух условий в определении векторного произ-
произведения имеем
0В*=
[а0ОВ]
=l«o 1
ОВ
sin 90° =
ОВ
2)
ОВ*±ОВ.
Отсюда следует^то вектор ОВ* может быть получен путем
поворота вектора ОВ вокруг а0 на угол 90°. Кроме того, в силу
Рис. 99
третьего условия этот поворот будет виден совершающимся про-
против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора #0. Анало-
Аналогично, путем поворота векторов ОС и OD вокруг а0 на угол 90°
и в ту же сторону получаются векторы ОС* и OD *. Таким обра-
образом, вся фигура ОВ *В*С* получается путем некоторого поворота
параллелограмма OBDC; следовательно, ОВ*Р*С* — параллелог-
параллелограмм. Отсюда заключаем, что OD* = ОВ * +ОС * или
[a0OD] = [a0OB] + [a0OC].	(8)
Это и есть равенство F) в данном частном случае.
Пусть теперь а ^^ какой угодно вектор, перпендикулярный
к векторам ОВ и ОС. Обозначим через а0 единичный вектор,
направленный так же, как а; имеем а- \ а \ а0. Умножим обе час-
части равенства (8) на число | а\ и заменим \а\а0 через а; получим
[a OD] = [а ОВ] + [а ОС].
(9)

160
Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
Рассмотрим, наконец, векторы я, Ь, с, расположенные произ-
произвольным образом. Предположим, что они приведены к общему
началу О. Проведем через концы векторов Ь, си b + с прямые,
параллельные вектору а. Проведем
затем через точку О плоскость,
перпендикулярную к этим пря-
прямым; пусть она пересечет их со-
соответственно в точках Д С и D
(рис. 100).
Рассмотрим векторные произ-
произведения [ab] и [аОВ]; легко по-
понять, что они представляют собой
один и тот же вектор. В самом
деле, во-первых, модуль вектора
[ab] равен модулю вектора [аОВ ],
так как площадь параллелограм-
параллелограмма, построенного на векторах а
и Ь, равна площади прямоугольни-
ка,,_построенного на векторах а
и ОВ; во-вторых, векторы [ab]
и [аОВ] коллинеарны, так как оба они перпендикулярны к од-
одной и той_же плоскости (именно к той, в которой лежат векторы
а, Ъ и ОВ); наконец, в соответствии с правилом правой руки,
векторы [ab] и [аОВ] направлены в одну сторону. Итак,
Рис. 100
Аналогично,
[аОВ] = [аЬ].
[аОС] = [ас], [aOD] = [a (Ъ + с)].
Подставляя эти выражения в равенство (9), получаем
что и требовалось.
172. Последнее из доказанных алгебраических свойств век-
векторного произведения дает право при перемножении векторных
многочленов выполнять действие почленно. Второе свойство
позволяет объединять числовые коэффициенты векторных со-
сомножителей. Например,
[Bа + 5*) (Зс + 4rf)] = [Bа + 5*) (Зс)] + [Bа + 5*) (Ad)] =
= [Bа) (Зс)] + [E*) (Зс)] + [Bа) (Ad)] + [E*) (Ad)] =
=6 [ас] + 15 [be] + 8 [ad] + 20 [bd\.

§ 56. Выражение векторного произведения в координатах
161
Следует, однако, твердо помнить, что порядок сомножи-
сомножителей векторного произведения является существенным. Со-
Согласно первому свойству (п° 171) при перестановке сомножителей
векторного произведения нужно ставить перед ним знак минус.
Замечание. Как показано в п° 169, векторное произведе-
произведение коллинеарных векторов равно нулю. В частности, равно нулю
векторное произведение одинаковых множителей: [аа] = 0. По-
Поэтому в векторном исчислении понятие векторного квадрата не
употребляется.
§ 56. Выражение векторного произведения
через координаты перемножаемых векторов
173. Следующая теорема дает возможность вычислять вектор-
векторное произведение двух векторов, зная их координаты, т. е. про-
проекции на оси декартовой прямоугольной системы координат.
Теорема 21. Если векторы а и Ъ заданы своими координатами.
a={Xl;Yl; Zx}, b = {X2;Y2; Z2},
то векторное произведение вектора а на вектор Ь определяется
формулой
Yi Zi ш ^ Хх Zx ^ Хх Yx
Y2 Z2	X2 Z2 X2 Y2
[аЬ] =
A)
Доказательство. Предварительно составим таблицу век-
векторного умножения базисных векторов. Согласно замечанию, сде-
сделанному в конце п° 172, [и] = 0, \jj\= 0, [kk] = 0. Рассмотрим теперь
векторное произведение [ij]. Модуль вектора [if] равен площади па-
параллелограмма, построенного на векторах i и j (см. п° 169, свой-
свойство 3). Этот параллелограмм представляет собой квадрат со сторо-
стороной, равной единице, следовательно, его площадь равна единице.
Таким образом, [if] есть единичный вектор. Принимая во внима-
внимание, что вектор [if] должен быть перпендикулярен к векторам i и j
и направлен согласно правилу правой руки, легко понять, что он
совпадает с третьим базисным вектором к, т. е. [if] = к. Аналогично
рассуждая, найдем равенства: [ik] = /, [ki] =j. Остается выразить [//],
[kf] и [ik]; но [fi] = -[if], [kf] = -\jk], [ik] = -[&/]; следовательно, [ji] = -k,
[kj] = -i, [ik] = -j. Итак, искомая таблица умножения такова:
[II] = 0, [!/] = к, [ik] = -j
B)
] = -i, [kk] =

162
Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
Разложим теперь векторы с и и по базису i, j, к:
а = Xxi + Yxj + Zxk,
C)
(см. теорему 19; n° 157). На основании установленных в п° 171
алгебраических свойств векторного произведения мы можем, вы-
вычисляя [ab], перемножать правые части равенств C) почленно:
[ab] = ХХХ2 [и] +ХХ Y2 [ij] + XXZ2 [ik] +
+ ZXX2 [ki] + Zx Y2 [kj] + ZXZ2 [kk].
Пользуясь таблицей B) умножения базисных векторов, отсюда
находим
или
[ab] = (Y,Z2- Y2ZX) i- (XXZ2-X2Zx)j + (X,Y2 -X2Yx)k
Y,
[ab] =
Y, Z,
i-
Xo Z,
X, Y,
k.
D)
Мы получили разложение вектора [ab] по базису /, j, к; коэффи-
коэффициенты этого разложения представляют собой координаты век-
вектора [ab]. Таким образом,
[ab] =
Y1
Y2
zx
Z2
Xx
x2
Zx
Z2
x,
x2
Y,
Y2
A)
что и требовалось доказать.
Замечание. Для удобства вычислений по формуле A) по-
полезно координаты заданных векторов записать предварительно
в виде следующей таблицы:
Х{ Г, Z,
Х2 Y2 Z2
Закрывая здесь сначала первый столбец, потом второй и, нако-
наконец, третий, мы получим последовательно три определителя вто-
второго порядка; вычисляя их и беря второй со знаком минус, мы
тем самым найдем три координаты векторного произведения [ab].

§ 57. Смешанное произведение трех векторов	163
Заметим еще, что формуле D) (которая равносильна форму-
формуле A)) можно придать вид:
[аЬ] =
i j к
Xl Yl Zl
X2 Y2 Z2
E)
В самом деле, если развернуть этот определитель по элемен-
элементам первой строки, то получится точно то же выражение, кото-
которое стоит в правой части формулы D).
174. Пример 1. Даны векторы а = {2; 5; 7} и Ь = {1; 2; 4} Найти координаты
векторного произведения [ab].
Решение.В соответствии с замечанием, сделанным в конце предыдущего п°,
составим таблицу
2 5 7|
1 2 4)
Закрывая последовательно столбцы этой таблицы, мы получим три определите-
определителя второго порядка; вычисляя их и беря второй со знаком минус, найдем иско-
искомые проекции
lab] = {6;-I;-II
Пример 2. В пространстве даны три точки: А A; 1; 1), В B; 2; 2) и С D; 3; 5).
Найти площадь SA треугольника ЛВС.
Решение. Рассмотрим векторы АВ и АС . Согласно п° 169 (свойство 3)
модуль векторного произведения [АВ АС\ равен площади параллелограмма, пост-
построенного на векторах АВ и АС. Но искомая площадь SA треугольника ABC равна
половине площади этого параллелограмма; следовательно,
=±\[ABAC]\.
Остается подсчитать правую часть указанного равенства,
Прежде всего, пользуясь теоремой 15 (п° 135), найдем координаты векторов
АВ и АС:
АВ ={1; 1; 1}, АС ={3; 2; 4}.
Отсюда [АВ АС]={2;-1;-1} ж \[АВ АС]\ = V22 + I2 + I2 = >/б . Таким об-
разом, SA = — \[б .
§ 57. Смешанное произведение трех векторов
175. Пусть даны какие-нибудь векторы a, b к с. Представим
себе, что вектор а умножается векторно на Ли полученный
вектор [ab] умножается скалярно на вектор с; тем самым
определяется число [ab] с. Оно называется еекторно-скаляр-
ным или смешанным произведением трех векторов а, Ь, с (мы будем

164	Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
употреблять последнее название, так как оно короче). В ближай-
ближайших параграфах мы изучим основные свойства смешанного про-
произведения и укажем ряд задач, где смешанное произведение мо-
может быть с успехом использовано.
176.	Условимся говорить, что векторы а, Ь, с компланарны,
если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоско-
плоскостях. Так как геометрические векторы суть векторы свободные,
то в случае компланарности векторов их всегда возможно при
помощи параллельного перенесения расположить в одной плос-
плоскости. В частности, компланарные векторы расположатся в од-
одной плоскости, если их привести к общему началу.
177.	Если одновременно с заданием трех векторов сказано,
какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим,
то говорят, что задана упорядоченная тройка векто-
векторов; впрочем, в дальнейшем, опуская прилагательное, мы будем
говорить просто: тройка векторов. В тексте тройка векторов
будет записываться в порядке нумерации; например, если мы
пишем: а, Ь, с, то, значит, а считается первым вектором, Ь —
вторым, с — третьим; если мы пишем: Ь, с, а, то, значит, Ь счита-
считается первым вектором, с — вторым, а — третьим.
178.	Тройка некомпланарных векторов называется правой, если
составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу,
располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как рас-
расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки.
Подробнее: тройка некомпланарных векторов называется пра-
правой, если ее третий вектор расположен относительно плоскости
первых двух с той же стороны, с какой расположится средний
палец правой руки, большой палец которой направлен по перво-
первому вектору тройки, а указательный — по второму.
Тройка некомпланарных векторов называется левой, если со-
составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, рас-
располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как располо-
расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки.
Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым,
ни к левым.
179.	Пусть даны какие-нибудь некомпланарные векторы а, Ь, с.
Нумеруя их всеми различными способами, мы получим шесть
троек: а, Ъ, с; Ъ, с, а; с, а, Ь; Ъ, а, с; а, с, Ь; с, Ъ, а. При помощи
непосредственного наблюдения модели (которую легко изгото-
изготовить из проволоки) можно убедиться в том, что среди указанных
шести троек имеются три правых и три левых. При этом
а, Ь, с; Ь, с, а, с, а, Ь

§ 57. Смешанное произведение трех векторов
165
суть тройки одной ориентации, т. е. либо все правые, либо все
левые;
Ъ, а, с; а, с, Ь; с, Ъ, а
суть тройки другой ориентации *).
180. Следующая важная теорема выражает геометричес-
геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема 22. Смешанное произведение [ab]c равно объему па-
параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ, с, взятому со знаком
плюс, если тройка а, Ь, с — правая, со знаком минус, если эта
тройка левая. Если же векторы а, Ъ, с компланарны, то [ab]c = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что векторы а
и Ане коллинеарны. Обозначим через S площадь паралле-
параллелограмма, построенного на векторах а, Ъ, и через е — единичный
вектор, определенный, как в п° 170. По формуле B) п° 170 мы
имеем:
[аЪ] = Se.
Отсюда
[ab]c= S(ее) = S\ е \ ире с = Snpe с.	A)
Но пре с = ±h, где h есть высота параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь, с при условии, что основанием считается парал-
параллелограмм, построенный на векторах а, Ь (рис. 101). Таким обра-
образом, обозначая объем параллелепипеда через V и принимая во
внимание, что hS= V, из равен-
равенства A) найдем:
[ab]c = ±V.	B)
Теперь нам нужно устано-
установить, в каких случаях здесь бу-
будет знак плюс, в каких — ми-
минус. С этой целью заметим, что
npec = +h, если вектор с распо-
расположен по ту же сторону от плоскости векторов а, Ь, по какую
лежит вектор е, т. е. если тройка а, Ь, с — той же ориентации, что
и тройка а, Ь, е (см. п° 178); npec = -h, если векторы сне лежат по
Рис. 101
*) Можно указать также следующий наглядный способ различения троек.
Вообразим, что мы находимся внутри телесного угла данной тройки векторов.
Тогда, если обход от первого вектора ко второму, затем от второго
к третьему и, наконец, от третьего к первому виден совершающим-
совершающимся против часовой стрелки, то данная тройка — правая,
если по часовой стрелке — то лева я. Согласно этому
правилу тройки а, Ь, с; Ь, с, а и с, а, Ь на приложенном чертеже —
правые.

166	Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
разные стороны от плоскости векторов я, Ь, т. е. если тройки а, Ь, с
и a, b, e — различных ориентации. Но по определению вектора е
(см. п° 170) тройка a, b, e — правая. Следовательно, в форму-
формуле B) имеет место знак плюс, если а, Ь, с — правая тройка,
и знак минус, если левая. Если же вектор с лежит в плоскости
векторов а, Ь, т. е. если векторы а, Ь, с компланарны, то прес = 0,
и, как видно из равенства A), [ab]c = 0. Тем самым все утвержде-
утверждения теоремы доказаны, но в предположении, что векторы а, Ь не
коллинеарны. Остается рассмотреть случай, когда векторы я, Ь
коллинеарны. В этом случае [ab] = 0, а значит, и [ab]c = 0,
что также согласуется с формулировкой теоремы, так как если век-
векторы аи b коллинеарны, то все три вектора а, Ь, с компланарны.
Теорема доказана.
181.	Из теоремы 22 легко выводится следующее тождество:
[ab\c = a[bc].	C)
Доказательство. Так как в скалярном произведении мож-
можно переставлять сомножители, то
а[Ъс] = [Ъс\а.	D)
Далее, по теореме 22 мы имеем
[ab]c = ±V, [bc]a = ±V.	E)
Согласно п° 17 тройки а, Ь, с и Ь, с, а — одной ориентации;
поэтому и на основании теоремы 22 в правых частях равенств E)
нужно брать один и тот же знак. Таким образом, из равенств E)
мы получаем
[аЪ]с=[Ъс]а.
Отсюда и вследствие равенства D)
[ab]c = a[bc],
что и утверждалось.
182.	В дальнейшем смешанные произведения [ab]c и а[Ьс] мы
будем обозначать более простым символом: abc. То, что при этом
не указано, какие из векторов я, Ь, с перемножаются векторно,
не может вызвать недоразумений, так как [ab]c = a[bc].
183.	Подчеркнем, что из теоремы 22 непосредственно вытека-
вытекает следующее утверждение:
смешанное произведение векторов а, Ь, с равно нулю в том и
только в том случае, когда векторы а, Ъ, с компланарны.
В самом деле, то, что abc = 0, в случае компланарности векто-
векторов я, Ь, с прямо утверждается теоремой 22. То же, что abc = 0

§ 58. Выражение смешанного произведения в координатах
167
только в случае компланарности векторов а, Ь, с, следует из
этой же теоремы; именно, если векторы я, Ь, с не компланарны,
то построенный на них параллелепипед имеет отличный от нуля
объем, следовательно, аЬс^О. То же самое утверждение можно
высказать еще так:
необходимым и достаточным условием компланарности трех век-
векторов я, Ъ, с является равенство нулю их смешанного произведения'.
abc = 0.
§ 58. Выражение смешанного произведения через координаты
перемножаемых векторов
184. Теорема 23. Если векторы а, Ь, с заданы своими коорди-
координатами:
a = {Xx;Yx; Zx}, b = {X2;Y2;Z2},
то смешанное произведение abc определяется формулой
abc =
Xl Yx Zx
Х2 Y2 Z2
Доказательство. Мы имеем abc = [ab]с. По теореме 21
(п° 173),
[ab] =
Умножая этот вектор скалярно на вектор с= {Х3; Y3; Z3} и пользу-
пользуясь теоремой 20 (п° 164), получаем
Yx
Y2
Zx
Z2
Xx
X2
Zx
Z2
x,
x2
Yi
Y2
abc = [ab]c =
X,-
x, zx
x2 z2
X2 Y2
Z, =
Xx Yx Zx
X2 Y2 Z2
X, F3 Z3
что и требовалось.
Пример. В пространстве даны четыре точки: А A; 1; 1), ВD; 4; 4), СC;5;5),
DB; 4; 7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем FT тетраэдра
ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах
АВ , АС и AD; отсюда и из теоремы 22 заключаем, что VT равняется одной

168
Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов
шестой абсолютной величины смешанного произведения АВ AC AD . Остает-
Остается подсчитать это смешанное произведение. Прежде_всего найдем координаты
векторов АВ , АС, AD . По теореме 15 п° 135 имеем: АВ = {3; 3; 3}, АС = {2; 4; 4},
AD ={1; 3; 6}.
Применим теперь теорему 23:
АВ AC AD =
3 3 3
2 4 4
1 3 6
Отсюда: VT = 3.
185. Согласно п° 183 необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Отсюда и на основании теоремы 23 заключаем: если векторы а, Ь, с заданы
своими координатами:
a = {Xl;Yl;Zl}, b = {X2; Y2; Z2},
то необходимым и достаточным условием компланарности этих векторов является
соотношение
Xx Yx Zx
Х2
Y, Z,
= о,
т. е. равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат
векторов а, Ь, с.

ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
§ 59. Уравнение поверхности
186.	Как известно, некоторые простейшие поверхности (плос-
(плоскость, сфера, круглый цилиндр, круглый конус) легко поддаются
исследованию средствами элементарной геометрии. Но общая за-
задача исследования многообразных поверхностей, встречающих-
встречающихся в различных вопросах самой математики и ее приложений,
требует более совершенных методов алгебры и анализа. В основе
же применения методов алгебры и анализа лежит некоторый еди-
единообразный способ задания поверхности, именно, способ зада-
задания ее при помощи уравнения.
187.	Пусть х, у, z — произвольные переменные величины.
Это означает, что под символами х, у, г подразумеваются какие
угодно (вещественные) числа. Соотношение вида F(x,y, z) = 0,
где F(x,y,z) означает какое-нибудь выражение, содержащее
x,y,z, мы будем называть уравнением с тремя переменными
х, у, z, если F(x, у, z) = О есть равенство, верное не всегда, т. е.
не для всяких троек чисел x,y,z.
Говорят, что три числа x = Xq, у = Уо, z = z0 удовлетворяют
какому-нибудь данному уравнению с тремя переменными, если
при подстановке их в это уравнение вместо переменных оно ста-
станет верным равенством. Если F(x,y, z) = 0 является тождеством,
то ему удовлетворяют любые числа х, у, z.
188.	Важнейшим понятием пространственной аналитической
геометрии является понятие уравнения поверхности.
Что под этим подразумевается, мы сейчас объясним.
Пусть в пространстве дана какая-нибудь поверхность и вмес-
вместе с тем выбрана некоторая система координат.
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди-
координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому

170	Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии
удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой по-
поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не ле-
лежащей на ней.
Таким образом, если известно уравнение поверхности, то
относительно каждой точки пространства можно решить во-
вопрос: лежит она на этой поверхности или нет. Для этого доста-
достаточно координаты испытуемой точки подставить в уравнение
вместо переменных; если эти координаты удовлетворяют урав-
уравнению, точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют, —
не лежит.
Высказанное определение дает основу методам аналитичес-
аналитической геометрии в пространстве; суть их заключается в том, что
рассматриваемые поверхности исследуются при помощи анали-
анализа их уравнений. При этом, если поверхность определена чисто
геометрически, то исследование начинают с вы вода уравнения
поверхности. Но во многих задачах уравнение поверхности иг-
играет роль первичного данного, а сама поверхность рассматри-
рассматривается как нечто вторичное. Иначе говоря, часто заранее дается
какое-нибудь уравнение и тем самым определяется некоторая
поверхность.
189.	Если уравнение дано и мы отвечаем на вопрос: что такое
определенная им поверхность» (или «что такое поверхность, име-
имеющая его своим уравнением»), то удобно пользоваться следую-
следующей формулировкой:
Поверхность, определенная данным уравнением (в некоторой сис-
системе координат), есть геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют этому уравнению.
Замечание. Если M(x;y;z) — переменная точка поверх-
поверхности, то х, у, z называют текущими координатами.
190.	Пример. В декартовых прямоугольных координатах
уравнение
определяет сферу, центр которой находится в точке С (а; р; у) и
радиус которой равен г.
В самом деле, если M(x;y;z) — произвольная точка, то
у (х - аJ + (у - РJ + (z - уJ = СМ. Отсюда ясно, что уравнению A)
удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые уда-
удалены от точки С на расстояние г. Следовательно, геометрическое
место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравне-
уравнению, есть сфера с центром С (а; р; у) и радиусом г.

§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности
§ 60. Уравнения линии.
Задача о пересечении трех поверхностей
191.	В пространственной аналитической геометрии каждая ли-
линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соот-
соответственно этому определяется заданием двух
уравнений.
Именно, если F(x, у, г) = 0 и Ф(х, у, z) = 0 суть уравнения двух
поверхностей, пересекающихся по некоторой линии L, то линия L
есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, т. е.
точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и урав-
уравнению F(x, у, г) - 0 и уравнению Ф(х, у, г) - 0.
Таким образом, два уравнения
F(x, у г) = 0,
Ф(х, у, г) = 0
совместно определяют линию L.
Например, два уравнения
(х-1J +(у-2J +B-3J =14,
2 2 2 1
X + У + 2 = 1
совместно определяют окружность (как пересечение двух сфер).
192.	Если F(x, у, z) = 0, Ф(х, у, z) = 0, ^(х, y9z) = 0 суть уравне-
уравнения трех поверхностей, то каждое совместное решение системы
F(x, у Z) = 0,
Ф(х, у, z) = 0,
?(х, у, 2) = 0
дает координаты общей точки этих поверхностей. Следователь-
Следовательно, геометрическая задача разыскании точек пересечения трех по-
поверхностей равносильна алгебраической задаче совместного реше-
решения системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Пример. Найти точки пересечения трех поверхностей при условии, что
первая поверхность есть сфера с центром (-1; -1; 0) и радиусом 5, вторая поверх-
поверхность есть сфера с центром A; 1; 3) и радиусом 4, а третья поверхность есть
плоскость, параллельная плоскости Оху и лежащая в верхнем полупространстве
на расстоянии трех единиц от плоскости Оху.
Решение. Задача сводится к совместному решению трех уравнений
2 = 3.

172
Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии
Полагая в первых двух уравнениях z = 3 и раскрывая скобки, мы получим
х2 + у2 + 2х+2у=Ы,
х2 + у2-2х-2у= 14.
Отсюда х + у = 0, х2 + у2= 14. Следовательно, х = ± у/l , у = -х. Итак, получаем две
точки: (V7;-V7;3) и (->/7; >/7; 3).
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей
193. Здесь мы специально рассмотрим уравнение вида F(x, у) = 0.
Особенностью этого уравнения является то, что левая часть его не
содержит переменной г. Это означает, что данное уравнение на-
накладывает связь только на первые две
координаты, третья же может при-
принимать любые значения.
Мы докажем, что уравнение та-
такого вида определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, парал-
параллельными оси 02.
Обозначим буквой S поверхность,
определяемую некоторым уравнением
вида F(x, у) = 0. Пусть Мо (ль; у0; z0) —
произвольная точка поверхности S.
Так как точка Мо лежит на S, то чис-
числа Xq, Уо, z0 удовлетворяют уравнению
F(x,y) = 0; но тогда числа xq, y0, г,
где z — любое число, также удовлет-
удовлетворяют этому уравнению, поскольку
F(x, у) от z не зависит. Следовательно, при любом 2 точка M(xq; y0; 2)
лежит на поверхности S (рис. 102). А это означает, что на поверхно-
поверхности S целиком лежит прямая, проходящая через точку Мо парал-
параллельно оси 02. Таким образом, поверхность S составлена из пря-
прямых, параллельных оси 02, т. е. она является цилиндрической по-
поверхностью и расположена так, как мы утверждали.
Заметим, что на плоскости Оху в системе координат, ко-
которая задается осями Ох и Оу, уравнение F(x, y) = 0 определяет
линию, именно, направляющую рассматриваемого цилиндра. Но
эта же линия в пространственной системе координат
должна быть задана двумя уравнениями:
F(x, у) = 0,
2 = 0.
4J
Рис. 102

§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности	173
П р и м е р. В пространственной системе координат уравнение х2 + у2 = г2 опре-
определяет круглый цилиндр; направляющая этого цилиндра (окружность), лежащая
в плоскости Оху, определяется двумя уравнениями:
2 2 2
х + у = г ,
2 = 0.
194.	По аналогии с предыдущим легко понять, что уравнение
F(x, z) = 0 (в пространстве) определяет цилиндрическую поверх-
поверхность с образующими, параллельными оси Оу; уравнение
F(y,z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образую-
образующими, параллельными оси Ох.
195.	Рассмотрим в пространстве линию L, определенную урав-
уравнениями
F(x, у г) = О,
Ф(х, у 2) = 0.
Пусть
Ч(х,у) = 0	B)
есть уравнение, полученное из системы A) исключением перемен-
переменной z. Это означает, что
1)	уравнение B) является следствием системы A), т.е.
каждый раз, когда три числа х, у, г удовлетворяют обоим уравнени-
уравнениям системы A), первые два из них удовлетворяют уравнению B);
2)	если два числа х, у удовлетворяют уравнению B), то най-
найдется третье число г такое, что три числа х, у, г будут удовлетво-
удовлетворять обоим уравнениям системы A).
Согласно сказанному в п° 193 уравнение B) определяет цилин-
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ог.
Далее, вследствие первого из только что отмеченных свойств урав-
уравнения B) каждая точка линии L лежит на этой цилиндрической
поверхности, т. е. эта поверхность проходит через линию L. На-
Наконец, вследствие второго свойства каждая образующая этой по-
поверхности проходит через какую-нибудь точку линии L. На ос-
основании всего сказанного мы можем заключить, что поверхность,
определяемая уравнением Ч* (х, у) = 0, состоит из прямых, которые
проектируют точки линии L на плоскость Оху; ввиду этого ее на-
называют цилиндрической поверхностью, проектирующей линию L на
плоскость Оху (или, просто, проектирующим цилиндром).
Проекция линии L на плоскость Оху определяется двумя урав-
уравнениями
, у) = 0,
2 = 0.

174	Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии
Аналогичным путем при помощи исключения из системы A)
переменной х или переменной у можно получить проекции ли-
линии L на плоскость Оуг или на плоскость Oxz.
Пример. Пересечением двух сфер определена окружность
х2 + у2 + 22 =1,
х2 + (у-1J + B-1J =1.	C)
Найти ее проекцию на плоскость Оху.
Решение. Нам нужно найти уравнение цилиндра, проектирующего дан-
данную окружность на плоскость Оху. Для этого следует исключить z из уравне-
уравнений C). Вычитая из первого уравнения системы C) второе, получим
у+2 = 1;	D)
отсюда z= l -у. Подставляя вместо г выражение 1-ув любое из данных уравне-
уравнений, найдем
х2 + 2у2-2У = 0.	E)
Это и есть искомый результат исключения 2 из системы C).
Действительно, уравнение E) есть следствие уравнений C). Кроме того, если
хну удовлетворяют уравнению E), то первое из уравнений C) дает
X = ±yjl -х2 -у2 = ±yll + 2у2 -2у-у2 = ±A - у);
из второго уравнения системы C) имеем
2-1 = ±jl-x2 -(y-1J = ±yjl + 2y2 - 2y - y2 + 2y - 1 = ±y •
Таким образом, если два числа хну удовлетворяют уравнению E), то найдется
третье число 2, именно 2 = 1 -у, такое, что три числа х, у, 2 удовлетворяют обо-
обоим уравнениям системы C).
Мы видим, что два условия (см. выше этот же п°), которым должен удовлетво-
удовлетворять результат исключения 2 из системы C), для уравнения E) выполнены. Со-
Согласно сказанному выше уравнение E) определяет цилиндр, проектирующий дан-
данную окружность на плоскость Оху. Сама проекция дается двумя уравнениями
х2 + 2у2 -2у = 0,
2 = 0.
Так как первое уравнение приводится к виду	1-	— = 1 , то найденная
~2	Т
1	, 1
проекция является эллипсом с полуосями а = —j=,	о = —.
V2	2
§ 62. Алгебраические поверхности
196. Основным предметом изучения в пространственной ана-
аналитической геометрии являются поверхности, определяемые по

§ 62. Алгебраические поверхности	175
отношению к декартовым прямоугольным координатам ал-
алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения сле-
следующих видов:
= Q\ A)
= 0\ B)
Здесь А, В, С, Д Еи т. д. — некоторые фиксированные числа;
они называются коэффициентами указанных уравнений.
Уравнение A) называется общим уравнением первой степени
(численные значения его коэффициентов могут быть какими угод-
угодно, но при условии, что уравнение действительно содержит чле-
члены первой степени, т. е. одновременное обращение в нуль А, В, С
исключается); уравнение B) называется общим уравнением второй
степени (численные значения его коэффициентов могут быть ка-
какими угодно, но при условии, что уравнение действительно со-
содержит члены второй степени, т. е. случай, когда все шесть коэф-
коэффициентов А, Д С, Д Д Нравны нулю, исключается). Аналогич-
Аналогичный вид имеют уравнения третьей, четвертой и т. д. степеней.
Поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямо-
прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением сте-
степени п, называется алгебраической поверхностью п-го порядка.
Можно доказать, что поверхность, которая определяется алгебраическим урав-
уравнением степени «в какой-нибудь системе декартовых прямоугольных ко-
координат, в любой другой системе таких же координат определяется также
алгебраическим уравнением и той же степени п. Доказательство прово-
проводится аналогично тому, как доказывалась теорема 8 в п° 49, и основывается на
формулах преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве.
197. Общая теория алгебраических поверхностей служит пред-
предметом специальных сочинений по аналитической геометрии.
В этой книге рассматриваются только поверхности первого и вто-
второго порядков.

ГЛАВА 12
ПЛОСКОСТЬ КАК ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка
В ближайших параграфах устанавливается, что поверхности
первого порядка суть плоскости и только плоскости, и рассмат-
рассматриваются различные формы записи уравнений плоскостей.
198. Теорема 24. В декартовых координатах каждая плос-
плоскость определяется уравнением первой степени.
Доказательство. Считая заданной некоторую декартову
прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную
плоскость а и докажем, что эта плоскость определяется уравне-
уравнением первой степени. Возьмем на плоскости а какую-нибудь точку
М0(х0;у0; Zq); выберем, кроме того, какой угодно вектор (только
не равный нулю!), перпендикулярный к плоскости а.
Выбранный вектор обозначим буквой л, его проекции на оси
координат — буквами А, В, С.
Пусть М (х; у; г) — произвольная точка. Она лежит на плоско-
плоскости а в том и только в том случае, когда вектор М0М перпенди-
перпендикулярен к вектору п. Иначе говоря, точка М, лежащая на плоско-
плоскости а, характеризуется условием
М0М 1 п.
Мы получим уравнение плоскости а, если выразим это усло-
условие через координаты х, у, z. С этой целью запишем координаты
векторов М0М и п:
М0М ={х-х0; у-у0; z-z0},
n = {A;B;Q.
Согласно п° 165 признаком перпендикулярности двух векто-
векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е.
суммы попарных произведений соответственных координат этих

§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка	111
векторов. Таким образом, М0М _L n в том и только в том случае,
когда
A(x-xo) + B(y-yo)+C(z-zo) = O.	A)
Это и есть искомое уравнение плоскости а, так как ему удовлет-
удовлетворяют координаты х, у, z точки М в том и только в том случае,
когда М лежит на плоскости а (т. е. когда М0М _L n).
Раскрывая скобки, представим уравнение A) в виде
Ах+Ву+Сг + (-Ах0-Ву0- Cz0) = 0.
Далее, обозначая число -Ах0 - Ву0 - Cz0 буквой Д получим
z + D = 0.	B)
Мы видим, что плоскость а действительно определяется урав-
уравнением первой степени. Теорема доказана.
199. Каждый (не равный нулю) вектор, перпендикулярный
к некоторой плоскости, называется нормальным к ней вектором.
Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение
A(x-xo) + B(y-yo)+C(z-zo) = O
есть уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (х0; у0', г0)
и имеющей нормальный вектор п = {А; В; С}.
Уравнение вида
называется общим уравнением плоскости.
200. Теорема 25. В декартовых координатах каждое урав-
уравнение первой степени определяет плоскость.
Доказательство. Считая заданной какую-нибудь декар-
тову прямоугольную систему координат, рассмотрим произволь-
произвольное уравнение первой степени
z + D = 0.	B)
Когда мы говорим «произвольное» уравнение, то подразумеваем
при этом, что коэффициенты А, В, С, D могут быть какими угод-
угодно числами, но, конечно, исключая случай одновременного ра-
равенства нулю всех трех коэффициентов А, В, С. Мы должны до-
доказать, что уравнение B) есть уравнение некоторой плоскости.
Пусть Xq, у0, z0 — какое-нибудь решение уравнения B), т. е. тройка
чисел, которая этому уравнению удовлетворяет *). Подставляя
*) Уравнение B), как всякое уравнение первой степени с тремя неизвестны-
неизвестными, имеет бесконечно много решений. Чтобы найти какое-нибудь из них, нужно
двум неизвестным предписать численные значения, а третью неизвестную тогда
найти из уравнения.

178	Глава 12. Плоскость и прямая
числа Xq, у о, z0 вместо текущих координат в левую часть уравне-
уравнения B), мы получим арифметическое тождество
Ax0 + By0+C20 + D = 0.	C)
Вычтем из уравнения B) тождество C). Мы получим уравнение
A(x-xo) + B(y-yo)+C(z-zo) = O,	A)
которое по предыдущему представляет собой уравнение плоско-
плоскости, проходящей через точку Мо (х0; у0', г0) и имеющей нормаль-
нормальный вектор п = {А;В; С}. Но уравнение B) равносильно уравне-
уравнению A), так как уравнение A) получается из уравнения B) путем
почленного вычитания тождества C), а уравнение B) в свою оче-
очередь получается из уравнения A) путем почленного прибавления
тождества C). Следовательно, уравнение B) является уравнени-
уравнением той же плоскости.
Мы доказали, что произвольное уравнение первой степе-
степени определяет плоскость; тем самым теорема доказана.
201. Поверхности, которые в декартовых координатах опреде-
определяются уравнениями первой степени, называются, как мы зна-
знаем, поверхностями первого порядка. Употребляя эту терминоло-
терминологию, мы можем высказать установленные результаты так:
каждая плоскость есть поверхность первого порядка; каждая
поверхность первого порядка есть плоскость.
Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
МоA; 1; 1) перпендикулярно к вектору п = {2; 2; 3}.
Решение. Согласно п° 199 искомое уравнение есть
2 (х-1) + 2 (у-1) +3B-1) = 0
или
2х+
202. В заключение этого параграфа докажем следующее пред-
предложение: если два уравнения А{х + В{у + C{z + D{ = 0 и А2х + В2у +
+ C2z + D2 = 0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициен-
коэффициенты их пропорциональны.
В самом деле, в этом случае векторы Пх - {Ах\ Вх\ С{\
ип2 = {А2; В2; С2} перпендикулярны к одной плоскости, следова-
следовательно, коллинеарны друг другу. Но тогда согласно п° 154 числа
Аъ Въ С2 пропорциональны числам Аь Вь С\; обозначив множи-
множитель пропорциональности через ц, имеем: A2 = A{[i, B2 = B{[i,
С2 = Ci\i. Пусть Мо (х0; у0; z0) — любая точка плоскости; ее коор-
координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений,
таким образом, А{х0 + В{у0 + C{z0 + Dx = 0 и A2Xq + B^ + C2z0 + D2 = 0.

§ 64. Неполные уравнения плоскостей	179
Умножим первое из этих равенств на \х, и вычтем из второго; по-
получим D2 - Di\i = 0. Следовательно, D2 = Ац и
А2 В2 С2 Д2
Тем самым наше утверждение доказано.
§ 64. Неполные уравнения плоскостей.
Уравнение плоскости «в отрезках»
203. Мы знаем, что каждое уравнение первой степени
Ах + Ву+ Сг + В = 0
(в декартовых координатах) определяет плоскость. Рассмотрим
сейчас некоторые частные случаи уравнения первой степени,
именно, случаи, когда какие-либо из коэффициентов А, В, С, D
обращаются в нуль:
1)	D = 0; уравнение имеет вид Ах+ Ву+ Сг = 0 и определяет плос-
плоскость, проходящую через начало координат.
Действительно, числа х = 0, у = 0, г = 0 удовлетворяют уравне-
уравнению Ах+Ву+ Cz = 0. Следовательно, начало координат принад-
принадлежит плоскости.
2)	С=0; уравнение имеет вид Ax+By + D = 0 и определяет плос-
плоскость, параллельную оси Ог (или проходящую через эту ось).
Действительно, в этом случае нормальный вектор п = {А; В; С}
имеет нулевую проекцию на ось Ог (С=0); следовательно, этот
вектор перпендикулярен к оси Ог, а сама плоскость параллельна
ей (или проходит через нее).
3)	В=0 и С=0; уравнение имеет вид Ax+D=0 и определяет
плоскость, параллельную координатной плоскости Оуг (или совпа-
совпадающую с ней).
Действительно, в этом случае нормальный вектор п = {А; В; С}
имеет нулевые проекции на оси Оу и Ог (В=0 и С=0); следова-
следовательно, вектор п перпендикулярен к осям Оу и Ог, а сама плос-
плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но
это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ах + D = 0,
параллельна плоскости Оуг или совпадает с ней. В том же самом
можно убедиться иным путем, так: представим уравнение Ах + D = 0
D	D
в виде х =	и положим -—- = а; получим
А	А
х=а.
Согласно этому уравнению все точки плоскости имеют одинако-
одинаковые абсциссы (х=а) и, следовательно, расположены на одном

180	Глава 12. Плоскость и прямая
расстоянии от плоскости Оуг («впереди», если а > 0, «позади», если
а<0); следовательно, плоскость, определяемая таким уравнением,
параллельна плоскости Оуг. Отсюда ясно также, что а есть вели-
величина отрезка, который отсекает плоскость на оси Ох (считая от
начала координат). В частности, если D = 0, то и а = 0; в этом слу-
случае рассматриваемая плоскость совпадает с плоскостью Оуг. Та-
Таким образом, уравнение х=0 определяет плоскость Оуг.
204.	По аналогии с предыдущим легко установить, что:
1.	Уравнение вида Ах+Сг + В = 0 определяет плоскость, па-
параллельную оси Оу (или проходящую через нее); уравнение вида
Ву+ Сг + В = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох (или
проходящую через нее).
2.	Уравнение вида Ву + D = 0 определяет плоскость, параллель-
параллельную плоскости Охг (или совпадающую с ней); уравнение вида
Сг + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оху (win
совпадающую с ней). Последние два уравнения могут быть на-
написаны соответственно в виде у = Ъ и г = с. Здесь b n с суть вели-
величины отрезков, которые отсекают эти плоскости на координат-
координатных осях (первая — на оси Оу, вторая — на оси Ог). В частности,
уравнение у = 0 определяет плоскость Охг, уравнение г = 0 опре-
определяет плоскость Оху.
205.	Пусть дано уравнение плоскости
Ах + Ву+ Сг + О = 0
при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен
нулю. Такое уравнение может быть приведено к некоторому спе-
специальному виду, который бывает удобен в ряде задач аналити-
аналитической геометрии.
Перенесем свободный член D в правую часть уравнения; мы
получим
Ву+ Сг = -В.
Поделим затем обе части уравнения на -D; из предыдущего найдем
Ах By Сг Л
-D
X
D '
' -D '
у
D '
-D
Z
D
или
Вводя обозначения
D r D	D

§ 65. Нормальное уравнение плоскости	181
получим
Это и есть тот специальный вид уравнения плоскости, который
мы хотели получить. Здесь числа а, Ъ, с имеют весьма простой
геометрический смысл. Именно, а, Ъ, с суть величины отрезков,
которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каж-
каждый от начала координат). Чтобы убедиться в этом, найдем точ-
точки пересечения плоскости с координатными осями. Точка пере-
пересечения плоскости с осью Ох определяется из уравнения этой
плоскости — + ^- + — = 1 при дополнительном условии у = О, z = 0;
а о с
отсюда х=а и, таким образом, величина отрезка, отсекаемого
плоскостью на оси Ох, действительно равна а. Аналогично уста-
устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Оуи Oz,
имеют величины, равные соответственно Ъ и с.
Уравнение вида A) принято называть уравнением плоскости
«в отрезках».
Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на коор-
координатных осях отрезки а = 2, Ь = -3, с = 4.
Решение. На основании предыдущего получаем искомое уравнение сразу:
|--^ + ^ = 1 или 6х-4y+3z-l2 = 0.
§ 65. Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
206. Мы рассмотрим еще один специальный вид записи урав-
уравнения плоскости, известный под названием нормального
уравнения плоскости.
Пусть дана какая-нибудь плоскость тс. Проведем через начало
координат прямую п, перпендикулярную к плоскости п, — мы
будем называть эту прямую нормалью, — и пометим буквой Р
точку, в которой она пересекает плоскость тг (рис. 103). На нор-
нормали введем положительное направление от точки О к точке Р
(если точка Р совпадает с точкой О, т. е. если данная плоскость
проходит через начало координат, то положительное направле-
направление нормали выберем произвольно). Обозначим через а, р, у углы,
которые составляет направленная нормаль с осями координат,
через р — длину отрезка ОР.
Мы выведем уравнение данной плоскости тс, считая известны-
известными числа cos a, cos p, cos у и р. С этой целью возьмем на плоскости тс
произвольную точку М и обозначим через х, у, z ее координаты.

182
Глава 12. Плоскость и прямая
Очевидно, проекция вектора ОМ на нормаль равна ОР, а так как
положительное направление нормали совпадает с направлением
Рис. 103
отрезка ОР, то величина этого отрезка выражается положитель-
положительным числом, именно, числом р; таким образом,
A)
прй ОМ =р.
Заметим теперь, что ОМ = {х; у; z}. Отсюда и согласно следствию 3
теоремы 20 (п°165)
пря ОМ = х cos а + у cos р + z cos у.	B)
Из равенств A) и B) следует, что х cos a + у cos р + z cosy=p, или
х cos а + у cos р + z cos у-р = 0.	C)
Это и есть уравнение данной плоскости (ему, как видим, удов-
удовлетворяют координаты х, у, z каждой точки Л/, лежащей на дан-
данной плоскости; если же точка М не лежит на данной плоскости,
то ее координаты уравнению C) не удовлетворяют, так как тогда
пр„ ОМ Фр).
Уравнение плоскости в форме C) называется нормальным урав-
уравнением плоскости', в этом уравнении cos a, cos p, cos у суть направ-
направляющие косинусы нормали, р — расстояние плоскости от начала
координат.
207. Пусть дана произвольная плоскость. Построим ее нор-
нормаль п и назначим на нормали положительное направление так,
как было описано в предыдущем п°. Пусть, далее, М * — какая

§ 65. Нормальное уравнение плоскости	183
угодно точка пространства, d — ее расстояние от данной плоско-
плоскости (см. рис. 103).
Условимся называть отклонением точки Л/* от данной плос-
плоскости число +d, если М * лежит по ту сторону от плоскости, куда
идет положительное направление нормали, -d, если Л/* лежит
с другой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плос-
плоскости будем обозначать буквой 5; таким образом, b = ±d, причем
полезно заметить, что 5 = +d, когда точка М * и начало координат
лежат по разные стороны от плоскости, и 5 = -d, когда
точка М* и начало координат лежат по одну сторону от
плоскости (для точек, лежащих на плоскости, 5 = 0).
Теорема 26. Если точка М* имеет координаты (х*; у*; z *),
а плоскость задана нормальным уравнением
xcosa +
то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой
5 = х *cos a + у *cos р + z *cos у-p.	D)
Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль;
пусть Q — ее проекция (см. рис. 103); тогда
b = PQ=OQ-OP,
где PQ, OQ и ОР суть величины направленных отрезков норма-
нормали: PQ, OQ и ОР. Но OQ = npnOM * ОР=р; следовательно,
5 = пр„ОМ*-;?.	E)
Согласно следствию 3 теоремы 20 (п° 165)
np^ ОМ * = х cos a + у cos p + z cos у.	F)
Из равенств E) и F) получаем
5 = x*cos a + y*cos p + 2*cos у-/?.
Тем самым теорема доказана.
Заметим теперь, что x*cosa +y*cos p + 2*cosy-/? есть не что
иное, как левая часть нормального уравнения данной плоскости,
где вместо текущих координат подставлены координаты точки М*.
Отсюда получаем следующее правило:
Чтобы найти отклонение какой-либо точки М* от некоторой
плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плос-
плоскости вместо текущих координат подставить координаты точки М*.
Полученное число и будет равно искомому отклонению.
Замечание. Если требуется найти расстояние от точ-
точки до плоскости, то достаточно вычислить по только что ука-

184	Глава 12. Плоскость и прямая
занному правилу отклонение и взять его абсолютную
величину.
208. Теперь мы покажем, как привести общее уравнение плос-
плоскости к нормальному виду. Пусть
Ax+By+Cz + D = 0	G)
—	общее уравнение некоторой плоскости, а
х cosa + y cosp + 2 cos у-;? = 0	C)
—	ее нормальное уравнение.
Так как уравнения G) и C) определяют одну и ту же плос-
плоскость, то согласно п° 202 коэффициенты этих уравнений про-
пропорциональны. Это — означает, что, помножив все члены урав-
уравнения G) на некоторый множитель \х, мы получим уравнение
+ \iD = 0,
совпадающее с уравнением C), т. е. мы будем иметь
\\А = cos a, |ii? = cosp, jaC=cosy, \iD = -p.	(8)
Чтобы найти множитель \х, возведем первые три из этих равенств
в квадрат и сложим; получим
\i2 (А2 + В2 + С2) =
Но согласно п° 140 правая часть последнего равенства равна еди-
единице. Следовательно,
Число (а, по умножении на которое общее уравнение плоскости
приобретает нормальный вид, называется нормирующим множи-
множителем этого уравнения. Нормирующий множитель определяется
формулой (9), но не вполне: остается неопределенным его знак.
Для определения знака нормирующего множителя используем
четвертое из равенств (8). Согласно этому равенству \iD = -p, т. е.
\iD есть число отрицательное. Следовательно:
знак нормирующего множителя противоположен знаку свобод-
свободного члена нормируемого уравнения.
Замечание. Если D = 0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать по желанию.
Пример. Даны плоскость Зх-4у+ I2z+ 14 = 0 и точка МD; 3; 1). Найти
отклонение точки М от данной плоскости.
Решение. Чтобы применить правило, изложенное в п° 207, надо прежде
всего привести данное уравнение к нормальному виду.

§ 66. Уравнения прямой
185
С этой целью находим нормирующий множитель:
-1	_ 1
л/32+42+122 13 '
Умножая данное уравнение на ц, получим искомое нормальное уравнение плос-
плоскости, имеем
- — (Зх - Ay + 12z +14) = 0.
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем
8 = - — C • 4 - 4 • 3 + 12 • 1 + 14) = -2 .
Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена
от нее на расстояние d=2.
§ 66. Уравнения прямой
209. Мы уже указывали в п° 191, что в пространственной ана-
аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пере-
пересечение двух поверхностей и определяется заданием двух уравне-
уравнений. В частности, каждую прямую линию мы будем рассмат-
рассматривать как пересечение двух
плоскостей и соответствен-
соответственно этому определять заданием
двух уравнений первой степе-
степени (конечно, в декартовых коор-
координатах).
Пусть в пространстве установ-
установлена некоторая декартова прямо-
прямоугольная система координат. Рас-
Рассмотрим произвольную прямую;
обозначим ее буквой а (рис. 104).
Обозначим через кх и тг2 какие-
нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а,
и предположим, что уравнения этих плоскостей нам известны;
запишем их в виде
о/
Рис. 104
Ахх + Вху + Cxz + Dx = 0 и А2х
С2г + D2 = 0.
Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей щ
и тг2, то она определяется совместным заданием двух уравнений:
Ахх + Вху + Cxz + Dx = 0,
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
A)

186	Глава 12. Плоскость и прямая
210.	Представим себе, что нам заранее даны какие-нибудь
два уравнения первой степени (пусть они написаны в виде A)).
Всегда ли они совместно определяют некоторую прямую? Оче-
Очевидно, это будет в том и только в том случае, когда соответ-
соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг
с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей
щ = {Ay Вх\ С\} и п2 = {А2; В2; С2} не коллинеарны. Вспомнив, что
условием коллинеарности двух векторов является пропорцио-
пропорциональность их координат (см. п° 154), заключаем:
два уравнения вида A) совместно определяют прямую в том
и только в том случае, когда коэффициенты Аъ Bh Q одного из них
не пропорциональны коэффициентам Аъ В2, С2 другого.
211.	Через каждую прямую проходит бесконечно много раз-
различных плоскостей; ясно, что существует бесконечно много
возможностей выбрать из них какие-нибудь две. Отсюда сле-
следует, что всякую прямую можно определять двумя уравнения-
уравнениями бесконечно многими различными способами. Мы укажем
сейчас весьма простой прием, который позволяет, зная урав-
уравнения двух плоскостей, проходящих через данную прямую, «ском-
«скомбинировать» из них сколько угодно новых уравнений, каждое из
которых определяет плоскость, также проходящую через дан-
данную прямую.
Пусть даны некоторая прямая а и уравнения двух различных
плоскостей тгх и тг2, проходящих через эту прямую:
Ахх+Вху+Cxz +Dx = 0 и А2х+В2у + C2z + D2 = 0.
Возьмем какие-нибудь два числа а, р, не равные одновременно
нулю, и составим равенство
а (Ахх + Вху + Cxz + Dx) + р (А2х + В2у + C2z + D2) = 0 B)
или, в иной записи,
pC2) z + (aDx + pZ>2) = 0.	C)
Легко убедиться в том, что все три числа аАх + р^42, аВ{ + pi?2
и ocQ + pC2 не могут быть одновременно равными нулю. Действи-
Действительно, если aAi + $A2 = 0, аВ{ + $В2 = 0, aQ + pC2 = 0, то
А2 а' В 2 а' С 2 а
Так как числа а и р не равны нулю одновременно, то отношение
— не может быть неопределенным; поэтому из предыдущих

§ 66. Уравнения прямой	187
пропорций следует, что Аь Въ Q пропорциональны Аъ Въ Съ
т. е. что нормальные векторы заданных плоскостей щ = {Ах; Вх; Q}
и п2 = {А2; В2; С2} коллинеарны; но это невозможно, так как за-
заданные плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом.
Поскольку все три числа аА{ + $Аъ аВ{ + $В2 и aQ + pQ не
могут одновременно исчезнуть, равенство C) есть уравнение.
Ясно, что это — уравнение первой степени, значит, оно опреде-
определяет некоторую плоскость.
Далее, так как уравнение C) является следствием уравнений
Ахх+ Вху + С{2 + А = О и А2х+ В2у + C2z + D2 = О, то каждая тройка
чисел (x;y;z), удовлетворяющая этим двум уравнениям, удов-
удовлетворяет также и уравнению C). Отсюда следует, что каждая
точка, лежащая на пересечении плоскостей щ и тг2, лежит также
на плоскости, которая определяется уравнением C). Иначе гово-
говоря, уравнение C) (или равносильное ему уравнение B)) опреде-
определяет плоскость, проходящую через прямую а.
Итак, если
Ахх + Вху + Схг + Dx = 0 и А2х + В2у + C2z + D2 = О
— уравнения двух плоскостей, проходящих через некоторую пря-
прямую, то уравнение
а (А1х + В1у+ Схг + А) + Р (А2х+В2у+ C2z + D2) = 0 B)
определяет плоскость, которая проходит через ту же прямую.
Пользуясь этим предложением, можно упрощать уравнения
прямой. Например, уравнения прямой
Х + у + 2 + Ъ = §,
х+у-z-5=§
можно заменить более простыми, если скомбинировать их, беря
сначала ос=1, C=1, а потом ос=1, Р = -1; именно, мы получим
таким путем уравнения
х + у -1 = О,
которые определяют ту же прямую, что и первоначально данные.
212. Пусть некоторая прямая а определена уравнениями
Ахх + Вху + СХ2 + А = 0,
А2х + В2 у + С22 + D2 = 0.
как пересечение двух плоскостей щ и тг2. Мы знаем, что уравнение
a(Alx+Bly+ СХ2 + А) + Р (А2х+В^у+ С22 + D2) = 0 B)

188	Глава 12. Плоскость и прямая
при любых численных значениях а, р (не равных одновременно
нулю) определяет плоскость, проходящую через прямую а. Дока-
Докажем, что значения а, р всегда можно подобрать так, чтобы урав-
уравнение B) определило любую заранее назначенную плоскость, про-
проходящую через прямую а.
Так как каждая плоскость, проходящая через прямую а, опре-
определяется заданием, кроме прямой а, еще одной своей точки, то
для доказательства высказанного утверждения достаточно пока-
показать, что в уравнении B) числа а, р всегда возможно подобрать
так, чтобы определяемая им плоскость прошла через любую за-
заранее назначенную точку М*(х*;у*; 2*).
Но это ясно; в самом деле, плоскость, определяемая уравне-
уравнением B), будет проходить через точку М*, если координаты точ-
точки М* удовлетворяют этому уравнению, т. е. если
а(Ахх*+ Вху* + Схг*+ Dx) + р(А2х* + В2у*+ C2z* + D2) = 0. D)
Будем считать, что точка М* не лежит на прямой а (только этот
случай нам и нужен). Тогда хотя бы одно из чисел Ахх*+ Вху*+ Схг *+
+ ЬЬ А2х*+В2у*+C2z*+D2 не равно нулю, следовательно, равен-
равенство D) является уравнением первой степени с двумя неизвестны-
неизвестными а, р. Чтобы найти неизвестные а, р, нужно одной из них при-
придать численное значение произвольно, а другую вычислить из этого
уравнения; например, если А2х*+ Bjy*+ C2z*+ В2ф0, то а можно
взять каким угодно (не равным нулю), а р соответственно опреде-
определить равенством
Axx*+Bxy*+Cxz*+Dx
Итак, уравнением вида B) можно определить плоскость, про-
проходящую через какую угодно заранее назначенную точку про-
пространства, а значит, любую плоскость, проходящую через дан-
данную прямую а.
213. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту
же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида B) назы-
называется уравнением пучка плоскостей, поскольку оно при соответ-
соответствующих значениях а, р определяет все плоскости некоторого пучка.
Если а Ф 0, то, полагая — = X, получим из уравнения B)
Ахх + Вху +Cx2 + Dx + rk (А2х + В2у + С22 + D2) = 0.	E)
В таком виде написанное уравнение пучка плоскостей в прак-
практике решения задач более употребительно, чем уравнение B).
Существенно, однако, заметить, что так как при переходе от урав-

§ 67. Направляющий вектор прямой	189
нения B) к уравнению E) исключается случай а = 0, то уравнени-
уравнением вида E) нельзя определить плоскость А2х +В2У+C2z +D2) = 0,
т. е. уравнение вида E) при различных X определяет все плоскости
пучка, кроме одной (кроме второй из двух данных).
§ 67. Направляющий вектор прямой.
Канонические уравнения прямой.
Параметрические уравнения прямой
214. В целях удобства решения ряда задач в аналитической
геометрии используется некоторый специальный вид уравнений
прямой, который сейчас будет указан. Этот специальный вид
уравнений прямой можно получить из общих ее уравнений пу-
путем алгебраических преобразований; однако мы предпочтем уста-
установить его непосредственно; тем самым будет отчетливо выявле-
выявлена геометрическая суть дела.
Пусть дана какая-нибудь прямая. Каждый не равный нулю век-
вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется
направляющим вектором этой прямой. Указанные векторы назы-
называются направляющими потому именно, что любой из них, буду-
будучи задан, определяет направление прямой.
Направляющий вектор произвольной прямой мы будем обо-
обозначать буквой а, его координаты — буквами /, т, п:
Мы выведем сейчас уравнение прямой, проходящей через данную
точку Мо (х0; у0; z0) и имеющей данный направляющий вектор
а = {1;т;п}.
Эти уравнения получаются весьма просто. Пусть М(х;у; г) —
произвольная («текущая») точка прямой (рис. 105). Вектор
М0М =(x-xo;y-yo;z-zo)
коллинеарен направляющему вектору а= {/; т; п].
Следовательно, координаты вектора М0М пропорциональны
координатам вектора а:
Х-Х0 ^У-УО =2-20	^
I	m	n
Этим соотношениям, как мы видим, удовлетворяют координа-
координаты каждой точки М(х;у; г), лежащей на рассматриваемой пря-
прямой; напротив, если точка М (х, у, г) не лежит на этой прямой,

190	Глава 12. Плоскость и прямая
то ее координаты не удовлетворяют соотношениям A), так как
в этом случае векторы М0М и а не коллинеарны и координаты
их не пропорциональны. Таким образом, урав-
S нения A) представляют собой уравнения пря-
прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; г0)
в направлении вектора а- {/; т; п).
Уравнения прямой полученного сейчас специ-
специального вида мы будем называть каноническими.
Рис*	Координаты /, m, n любого направляющего
вектора а прямой называются направляющими параметрами этой
прямой. Направляющие косинусы вектора а называются направ-
направляющими косинусами той же прямой.
215. Пусть некоторая прямая задана двумя общими урав-
уравнениями:
Ахх + Вху + Cxz + Dx = 0,
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.	B)
Покажем, как составить канонические уравнения этой
прямой.
Обозначим плоскости, определяемые данными уравнениями,
через тгх и тг2, нормальные векторы этих плоскостей через щ и тг2.
Чтобы составить канонические уравнения данной прямой, нужно:
1)	найти какую-нибудь ее точку М0(х0; у0; z0); для этого следу-
следует задать численное значение одной из неизвестных координат
хо? Уо? zo и подставить его вместо соответствующей переменной
в уравнения B); после этого две другие координаты определятся
из уравнений B) путем их совместного решения;
2)	найти направляющий вектор а={1;т;п}. Так как данная
прямая определена пересечением плоскостей т^ и къ то она пер-
перпендикулярна к каждому из векторов щ и п2 (см. рис. 104). По-
Поэтому в качестве вектора а можно взять любой вектор, перпенди-
перпендикулярный к векторам щ и пъ например, их векторное произведе-
произведение: a- [/I1/I2]. Поскольку координаты векторов щ и п2 известны:
щ = {Ai\ Bi\ C\}, n2 = {А2; В2; С2}, для вычисления координат век-
вектора а= {/; т; п] достаточно применить теорему 21 (п° 173).
Пример. Найти канонические уравнения прямой
Зх + 2y + 4z-U = 0,
2х + у - Ъг -1 = 0.
Решение. Полагая, например, хо=1, находим из данной системы: уо = 2,
20 = 1; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: МоA; 2; 1). Теперь най-
найдем направляющий вектор. Имеем: щ = {3; 2; 4}, п2 = {2; 1; -3}; отсюда а= [щп2] =

§ 67. Направляющий вектор прямой	191
= {-10; 17; -1}, т. е. /=-10, т= 17, п = -\. Канонические уравнения данной прямой
мы получим, подставляя найденные значения х0, у0, 20 и /, т, п в равенства A):
х-1 _ у-2 _ 2-Х
_Ю 17 " -1 '
216. Пусть даны канонические уравнения какой-нибудь пря-
прямой. Обозначим буквой t каждое из равных отношений, которые
участвуют в этих канонических уравнениях; мы получим
X - Х0 _ у - у0 _ 2 - 20
I	m
Отсюда
¦ = t.
х = х0 + It,
у = у0 + mt,	C)
2 = 20 + Ht.
Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точ-
точку Мо (хь; Уо', 20) в направлении вектора а={1; т; п}. В уравнениях C)
t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр,
х,у,2 — как функции от t; при изменении t величины х, у, 2 меня-
меняются так, что точка М(х;у; 2) движется по данной прямой. Пара-
Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях,
когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.
Пример. Даны прямая
х-2 _ у-Ъ _ 2-4
1 " 1 " 2
и плоскость 2х + у + 2-6 = 0. Найти точку их пересечения.
Решение. Дело сводится к тому чтобы определить х, у, 2 из трех данных
уравнений (мы имеем два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Необ-
Необходимые вычисления будут более простыми, если повысить число неизвестных
(и число уравнений) до четырех, полагая —	= —	=	 = t; отсюда
x=2 + t, y=3 + t, 2 = 4 + 2t.
Подставляя эти выражения в левую часть уравнения данной плоскости, мы сра-
сразу приходим к одному уравнению с одним неизвестным:
2B +0+ C + 0+ D + 20-6 = 0.
Решая это уравнение, находим: t = -l, следовательно, координаты искомой точ-
точки суть х- 1, у = 2, 2 = 2.
217. Условимся считать, что t есть число секунд, прошедших
от некоторого условного момента времени («момент пуска се-
секундомера»), а уравнения C) будем рассматривать как урав-
уравнения д в иж е н и я точки М(х; у; 2) (см. п° 45). Постараемся
уяснить себе характер этого движения.

192	Глава 12. Плоскость и прямая
Прежде всего, из предыдущего ясно, что движение точки М
является прямолинейным, причем совершается оно по прямой,
которая проходит через точку Мо в направлении вектора
а={1;т; п).
Далее, легко убедиться в том, что движение точки М, определя-
определяемое уравнениями C), есть движение равномерное. В самом
деле, согласно уравнениям C) имеем
x-XQ = lt, y-yQ = mt, z-zQ = nt.
Последние три равенства равносильны одному векторному урав-
уравнению
М0М =at.
Отсюда видно, что за время t секунд точка М проходит путь
М0М, равный вектору а, удлиненному в «t раз». Таким образом,
путь, проходимый точкой М, пропорционален времени t, а это
и означает, что движение точки М равномерно.
Подсчитаем, наконец, скорость движения точки М. С этой
целью заметим, что за первую секунду (от ^=0 до t=\) точка М
проходит путь М0М = а. Следовательно, скорость v движения
точки Мчисленно равна модулю вектора а, т. е. v = V/2 +т2 +п2 .
Итак, уравнения C) определяют прямолинейное и равномерное дви-
движение точки М(х; у; г) со скоростью v = V/2 +т2 +п2 в направ-
направлении вектора а={1; т; п}; точка Мо (х0; у0; z0) является началь-
начальным положением переменной точки М(х; у; г) (т. е. при ^=0 точ-
точка М совпадает с точкой Мо).
Пример. Составить уравнения движения точки M(x;y;z), которая, имея
начальное положение МоA; 1; 1), движется прямолинейно и равномерно в на-
направлении вектора s= {2; 3; 6} со скоростью v = 2\.
Решение. Сравнивая модуль вектора s, который равен V22 + 32 + 62 =7 ,
с заданной скоростью v = 21, мы видим, что в качестве вектора а нам нужно
взять вектор s, удлиненный в три раза, т.е. а={6;9; 18}. Искомые уравне-
уравнения суть
x=l + 6t, y=l + 9t, 2 = 1 + 18*.
§ 68. Некоторые дополнительные предложения и примеры
218. В аналитической геометрии часто требуется составить
уравнения прямой, зная две ее точки. Мы решим сейчас
эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные точки
Мх (хг; уг; гх) и М2 (х2; у2; z2).

§ 68. Дополнительные предложения и примеры	193
Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве на-
правляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять век-
вектор а= МХМ2 , отсюда
1 = х2-хь т = у2-Уи n = z2-zx.
Назначая точке Мх (хх; ух; zx) ту же роль, какую играет в п° 215
точка Мо, получим
Х-ХХ = у-ух = 2-2{
Х2 -Хх у2- ух 22-2х'
Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, прохо-
проходящей через две данные точки: Мх(хх;ух; zx) и М2(х2;у2; z2).
219. Решим также в общем виде следующую задачу: соста-
составить уравнение плоскости, проходящей через
три различные точки: Мх (хх; ух; zx), М2(х2; у2; z2)
и M3(x3;y3;z3),
Обозначим через х, у, z координаты произвольной точки М
пространства и рассмотрим три вектора: М}М = {х - х{; у - у{; z - z{},
МХМ2 ={х2-хиу2-уи z2-z{} и МХМ3= {x3-xl;y3-yl;z3-z]}.
Точка М лежит на плоскости МХМ2М3 в том и только в том слу-
случае, когда векторы МХМ, МХМ2 и МХМ3 компланарны; со-
согласно п° 185 условием компланарности этих трех векторов явля-
является равенство нулю определителя третьего порядка, составлен-
составленного из их координат. В данном случае имеем
х-хх у-ух z-zx
Х2 -ХХ у2- ух 22 - 2Х
х3-хх у3-ух z3-zx
= 0.
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точки
Мь Мъ М3, так как ему удовлетворяют координаты х, у, z точки М
в том и только в том случае, когда она лежит в этой плоскости.
220. В ряде задач аналитической геометрии требуется знать
условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух
прямых, а также прямой и плоскости. Выведем эти условия.
1) Пусть даны две плоскости:
Ахх + Вху + Cxz + Dx = 0,
А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
Данные плоскости параллельны в том и только в том слу-
случае, когда их нормальные векторы пх = {Ах; Вх; С\}, п2 = {А2; В2; С2}

194
Глава 12. Плоскость и прямая
коллинеарны (рис. 106; совпадение плоскостей мы рассматрива-
рассматриваем сейчас как особый случай параллельности). Отсюда и соглас-
согласно п° 154 получаем условие параллельности двух плоскостей:
Данные плоскости перпендикулярны в том и только в том
случае, когда их нормальные векторы перпендикулярны (рис. 107).
Отсюда и согласно п° 165 получаем условие перпендикулярности
двух плоскостей:
Рис. 106
2) Пусть даны две прямые:
Рис. 107
X
X
- Xi
h
-x2
y-
m
_ y-
У\
1
У2
Z — Z^
z-z2
/2	т2	п2
Данные прямые параллельны в том и только в том случае,
когда их направляющие векторы а{ = {/х; т{; щ}, а2 = {/2; т2; п2} кол-
коллинеарны (рис. 108; совпадение прямых мы рассматриваем сей-
сейчас как особый случай параллельности). Отсюда получаем усло-
условие параллельности двух прямых:
h
ml nx
Данные прямые перпендикулярны в том и только в том случае,
когда их направляющие векторы перпендикулярны (рис. 109; в про-
пространстве перпендикулярные прямые могут быть и не пересекающи-
пересекающимися). Отсюда получаем условие перпендикулярности двух прямых:

§ 68. Дополнительные предложения и примеры
195
3) Пусть даны прямая
х-х0 = у-у0 =z-z0
I	m	n
и плоскость
Рис. 108
Рис. 109
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае,
когда направляющий вектор этой прямой а={1;т;п} перпенди-
перпендикулярен к нормальному вектору плоскости п = {А; В; С} (рис. ПО;
случай, когда прямая лежит в плоскости, мы рассматриваем как
особый случай параллельности). Отсюда получаем условие парал-
параллельности прямой и плоскости:
А1+Вт+ Сп = 0.
Прямая перпендикулярна к плоскости в том и только в том
случае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен
нормальному вектору плоскости (рис. 111). Отсюда получаем ус-
условие перпендикулярности прямой и плоскости:
I
m
Рис. ПО	Рис. 111
Далее приводится ряд примеров с числовыми данными.

196	Глава 12. Плоскость и прямая
221. Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
Зх + 2 у + 5z + 6 = О,
х + 4у + 32 + 4 = 0
параллельно прямой
х-1 _ у -5 _ 2 + 1
3 " 2 " -3 '
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей (см. п°п° 212, 213), про-
проходящих через первую из данных прямых:
Зх+2у+52 + 6 + Х(х + 4у+32 + 4) = 0.	A)
В этом пучке мы должны выбрать плоскость, параллельную второй данной пря-
прямой; дело сводится к тому, чтобы найти надлежащее численное значение X. Пред-
Представим уравнение A) в виде
C + X) х+ B + 4Х) у+ E + ЗХ) 2 + F + 4Х) = 0.	B)
Искомая плоскость должна быть параллельна прямой
х-1 _ у-5 _ 2 + 1
3 ~ 2 " -3 '
Используя условие параллельности прямой и плоскости, получаем для неизвест-
неизвестной величины X уравнение
3 C + X) + 2 B + АХ) - 3 E + ЗХ) = 0.
Отсюда Х=1. Подставляя найденное значение X в уравнение B), найдем:
4x+6y+82+10 = 0 или 2х+Зу + 42 + 5 = 0.
Пример 2. Дана прямая
Зх - 2у - 2 + 4 = 0,
х - 4у - 32 - 2 = 0.
Найти ее проекцию на плоскость 5х+ 2у+ 22 - 7 = 0.
Решение. Нам следует найти плоскость, которая проходит через данную
прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда искомая проекция опреде-
определится как пересечение этой плоскости с данной. Составим уравнение пучка плос-
плоскостей, проходящих через данную прямую:
Зх-2);-2 + 4 + Мх-4.);-32-2) = 0.	C)
Искомая плоскость определится этим уравнением при некотором значении X;
его мы должны найти. Представим уравнение C) в виде
C + X) х+ (-2 -4Х)у+ (-1 - ЗХ) 2 + D - 2Х) = 0.	D)
Искомая плоскость должна быть перпендикулярна к данной. Используя ус-
условие перпендикулярности двух плоскостей, получаем для неизвестной величи-
величины X уравнение:
5 C + X) + 2 (-2 - АХ) + 2 (-1 - ЗХ) = 0.
Отсюда Х=1. Подставляя найденное значение X в уравнение D), найдем уравне-
уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно к данной

§ 68. Дополнительные предложения и примеры	197
плоскости: 4х - 6у - 4z + 2 = 0 или 2x-3y-2z+ 1 = 0. Проекция данной прямой
на данную плоскость определяется уравнениями
2х - Зу - 2z +1 = О,
5х + 2у + 2г - 7 = 0.
Пример 3. Найти расстояние от точки РA; 1; 1) до прямой
х-11 _ у-18 _ 2-4
2 " 5 " -2 '
Решение. Проведем через Р плоскость а, перпендикулярную к данной
прямой, и найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Иско-
Искомое расстояние от точки Р до данной прямой будет равно расстоянию от точки Р
до точки Q.
Согласно п° 199 уравнение плоскости а можно написать в виде
А(х- I) + В(у- I) + C(z - I) = 0;
эта плоскость должна быть перпендикулярна к данной прямой. По условию пер-
перпендикулярности прямой и плоскости имеем
2 " 5 ~ -2 '
выбирая здесь множитель пропорциональности для простоты равным единице, на-
находим А = 2, В =5, С =-2. Итак, плоскость имеет уравнение 2(х-1) + 5(у-I)-
-2B - 1) = 0 или 2х + 5у - 22 - 5 = 0. Теперь мы должны найти точку Q, в которой
эта плоскость пересекается с данной прямой. Для этого нужно уравнения данной
прямой решить совместно с найденным уравнением плоскости а. Поступая так,
как было показано в п° 216 (см. пример в конце этого п°), найдем координаты
точки Q: х=5, у=3, 2 = 10. Искомое расстояние d от точки Р до данной прямой,
равное расстоянию между точками Р и Q, найдется по известной формуле:
d = VE -1J + C -1J + A0 -1J = л/ИИ - 10 .

ГЛАВА 13
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды
222.	Согласно изложенному в п° 196, поверхности второго по-
порядка суть те, которые в декартовых координатах определяются
уравнением второй степени. В этой главе будут рассмотрены раз-
различные представители класса поверхностей второго порядка.
Прежде всего мы рассмотрим эллипсоид и два гиперболоида; эти
поверхности являются пространственными аналогами эллипсов
и гипербол на плоскости.
223.	Эллипсоидом называется поверхность, которая в некото-
некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется
уравнением
2 2 2
— + ТТ + — = L	A)
а Ь с
Уравнение A) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Постараемся уяснить себе форму эллипсоида и изобразить его
на чертеже. С этой целью мы употребим так называемый «метод
параллельных сечений».
Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, парал-
параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плос-
плоскостей определяется уравнением вида z = h, а линия, которая по-
получается в сечении, определяется двумя уравнениями:
2,2	2 '
а Ь	с
z = h.
Отсюда видно, что 1) при условии | h \ < с плоскость z = h пересе-
пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды
199
расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz
и Oyz; 2) величины й*и J* имеют наибольшие значения при
h = 0 (тогда а*=а, b*=b); иначе говоря, самый крупный эллипс
образуется в сечении координатной плоскостью 2 = 0; 3) при воз-
возрастании | h | величины а* и Ь* убывают; 4) при h = ±c величины
а* и Ъ* обращаются в нуль, т. е. эллипс, образуемый сечением
эллипсоида A) плоскостью z = с или плоскостью z = -с, вырожда-
вырождается в точку; иначе говоря, плоскости z = ±c касаются эллипсоида;
5) при | h | > с уравнения B) определяют мнимый эллипс; это
означает, что плоскость z = h при \h\> с с данным эллипсоидом
не встречается совсем.
\2
Рис. 112
Совершенно аналогичная картина выявляется при рассмот-
рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными коор-
координатным плоскостям Oxz и Oyz. Отметим только, что сама плос-
плоскость Oxz пересекает эллипсоид по эллипсу, который опреде-
X2 22
ляется уравнениями —2~ + —2" = 1 и у = 0, плоскость Oyz —
~ * с	? ^,
по эллипсу, который определяется уравнениями —г- + — = 1
Ь с
и х=0 (см. рис. 112, где показаны сечения эллипсоида A) плос-
плоскостями Оху, Oxz и г-К).
Сопоставляя изложенное, мы можем заключить, что эллипсо-
эллипсоид есть замкнутая овальная поверхность, обладающая тремя вза-
взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. При данном
выборе координатной системы эти плоскости совмещены с плос-
плоскостями координат.
224. Величины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида. Если
все они различны, эллипсоид называется трехосным. Рассмот-
Рассмотрим случай, когда какие-либо две из величин а, Ь, с одинаковы.
Пусть, например, а = Ь. Тогда уравнения F) определяют окруж-
окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при а-Ъ эллипсоид

200	Глава 13. Поверхности второго порядка
можно рассматривать как поверхность, образованную вращением
эллипса вокруг одной из его осей. Если эллипсоид образован вра-
вращением эллипса вокруг его большой оси, он называется вытяну-
вытянутым эллипсоидом вращения', эллипсоид, образованный вращением
эллипса вокруг меньшей оси, называется сжатым эллипсоидом вра-
вращения. В случае а = Ь = с эллипсоид является сферой.
225.	Рассмотрим уравнение
х2 у1 г1 ,
-5-^-5—1.	C,
Левая часть его содержит такое же выражение, что стоит слева
в каноническом уравнении эллипсоида. Так как это выражение > 0,
а справа в уравнении C) стоит -1, то уравнение C) не определяет
никакого действительного образа. Уравнение C) ввиду аналогии
с уравнением A) называют уравнением мнимого эллипсоида.
226.	Теперь мы займемся гиперболоидами. Существуют два
гиперболоида: однополостный и двухполостный.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, кото-
которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат
определяется уравнением
а1 Ъ1 с1	К)
Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, опре-
определяемая уравнением
Уравнения D) и E) называются каноническими уравнениями
гиперболоидов.
227.	В этом пункте мы будем исследовать однополостный ги-
гиперболоид:
а2 Ь2 с2
Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Оуг.
Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
*2
а2 с2
= 0.

§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды
201
Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположен-
расположенную симметрично относительно координатных осей Ох, Ог и пе-
пересекающую ось Ох (в точках (а; 0; 0) и (-а; 0; 0)). Сечение плос-
плоскостью Оуг определяется уравнениями
Ъ2 с2 '
х = 0.
Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрич-
симметрично относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Оу (в точках
@; Ь; 0) и @; -Ь; О)).
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостя-
плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из та-
таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а сечение
гиперболоида этой плоскостью определяется уравнениями
у2
h2
Отсюда видно, что 1) любая полуплос-
полуплоскость z = h пересекает гиперболоид D)
по эллипсу с полуосями
** =
расположенному симметрично относи-
относительно плоскостей Oxz и 0у2\ 2) вели-
величины а* и Ь* имеют наименьшие зна-
значения при h = 0 (тогда а* = а, b* = b);
иначе говоря, самых малых размеров
эллипс образуется в сечении коорди-
координатной плоскостью 2 = 0 (он называ-
называется горловым эллипсом однополостно-
го гиперболоида); 3) при бесконечном
возрастании | h \ величины а* и Ь* бес-
бесконечно возрастают (рис. 113).
Сопоставляя изложенное, можем
заключить, что однополостный гипер-
гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяю-
расширяющейся в обе стороны от горлового эллипса. Однополостный
гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными
Рис. 113

202	Глава 13. Поверхности второго порядка
плоскостями симметрии; при данном выборе координатной сис-
системы эти плоскости совмещены с плоскостями координат.
228.	Величины а, Ь, с называются полуосями однополостного ги-
гиперболоида. Первые две из них (а и Ь) изображены на рис. 113.
Чтобы изобразить на чертеже полуось с, нужно было бы построить
основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол, определяемых
сечением однополостного гиперболоида плоскостями Oxz и Oyz.
Заметим, что в случае а - Ъ уравнения F) определяют окруж-
окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при а = Ь одно-
полостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность,
образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей,
а именно той, которая гиперболу не пересекает.
229.	Здесь мы исследуем деухполостный гиперболоид
а2 Ь1 с1
Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz.
Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
а2 с2 '
У = 0.
Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположен-
расположенную симметрично относительно координатных осей Ox, Oz и пе-
пересекающую ось Oz (в точках @; 0; с) и @; 0; -с)). Сечение плос-
плоскостью Oyz определяется уравнениями
Ъ2 с2
Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрич-
симметрично относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Oz (также
в точках @; 0; с) и @; 0; -с)).
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостя-
плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из та-
таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а сечение
гиперболоида этой плоскостью определяется уравнениями
а2 Ь2 с2 '
z = h.	G)

§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды
203
Отсюда видно, что 1) при условии | h \ > с плоскость z - с пересекает
двухполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями
а
расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz
и Oyz; 2) при возрастании | h | величины я* и #* возрастают;
3) если | h | возрастает бесконечно, то я* и #* возрастают так же
бесконечно; 4) если | h |, убывая, прибли-
приближается к с, то а* и Z>* также убывают и при-
приближаются к нулю; при h = ±c имеем: а* = 0,
Ь* = 0; это означает, что эллипс, образуемый
сечением плоскостью z = с или плоскостью
z = -с, вырождается в точку, иначе говоря,
плоскости z = ±с касаются гиперболоида;
5) при | h | < с уравнения G) определяют мни-
мнимый эллипс; это означает, что плоскость
z = h при | h | < с с данным гиперболоидом
не встречается совсем (рис. 114).
Сопоставляя изложенное, можем заклю-
заключить, что двухполостный гиперболоид есть
поверхность, состоящая из двух отдельных
«полостей» (отсюда его название — «двух-
«двухполостный»); каждая из них имеет вид бес-
бесконечной выпуклой чаши. Двухполостный
гиперболоид обладает тремя взаимно перпен-
перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе ко-
координатной системы эти плоскости совмещены с плоскостями
координат.
230. Величины а, Ь, с называются полуосями двухполостного
гиперболоида. На черт. 114 изображена только величина с. Что-
Чтобы изобразить на чертеже а и Ь, нужно было бы построить основ-
основные прямоугольники гипербол, определяемых сечением двухпо-
двухполостного гиперболоида плоскостями Oxz и Oyz.
Заметим, что в случае а-Ъ уравнения G) определяют окруж-
окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при а-Ъ двухпо-
двухполостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, об-
образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а имен-
именно, той, которая гиперболу пересекает.
Рис. 114

204	Глава 13. Поверхности второго порядка
§ 70. Конус второго порядка
231. Рассмотрим уравнение
а Ъ с
Особенностью уравнения A) является то, что оно однородно,
т.е. все его члены имеют одну и ту же степень (=2). Отсюда
проистекает следующая геометрическая особенность определяе-
определяемой им поверхности.
Если некоторая точка М (отличная от начала координат) ле-
лежит на этой поверхности, то все точки прямой, которая прохо-
проходит через начало координат и точку М, также лежат на этой
поверхности.
Докажем наше утверждение. Пусть М — точка с координата-
координатами (/; т; п), N — какая угодно точка прямой ОМ. Согласно п° 216
координаты х, у, г точки N определяются равенствами
х = It, y = mt, z = nt,
где t — некоторое число. Предположим, что точка М лежит на
рассматриваемой поверхности; тогда
I2 т2 п2
I т п .
—г + —	- = 0.
Но в таком случае
а2 Ь2 с2
а2 Ъ2	с2	(а2 Ъ2 с2
следовательно, точка N также лежит на этой поверхности. Утверж-
Утверждение доказано.
Заметим, что тем же самым свойством обладает каждая поверх-
поверхность, которая в декартовых координатах определяется одно-
однородным уравнением (поскольку в проведенном сейчас рассуж-
рассуждении мы ничем, кроме однородности данного уравнения, не
пользовались). Иначе говоря, поверхность, определяемая
однородным уравнением, состоит из прямых, проходящих через
одну точку, именно — через начало координат. Такая поверх-
поверхность называется конической, или просто конусом. Прямые, из
которых составлен конус, называются его образующими, точка,
через которую все они проходят, называется вершиной конуса.

§ 70. Конус второго порядка
205
В частности, поверхность, которая в некоторой системе декар-
декартовых координат определяется уравнением вида A), называется
конусом второго порядка.
Чтобы уяснить себе форму конуса второго
порядка, достаточно рассмотреть его сечение
какой-нибудь плоскостью, не проходящей
через начало координат (т. е. не проходящей
через вершину). Возьмем, например, плос-
плоскость г-с. Сечение конуса этой плоско-
плоскостью определяется уравнениями
B)
2 = С.
Очевидно, оно представляет собой эллипс
с полуосями а, Ъ, расположенный симмет-
симметрично относительно координатных плоско-
плоскостей 0X2 И 0у2.
В согласии с этим обстоятельством ис-
исполнен рис. 115, где дано изображение ко-
конуса второго порядка.
Заметим, что если а = Ъ, то эллипс, определяемый уравнения-
уравнениями B), есть окружность с центром на оси 02, и, следовательно,
конус оказывается круглым.
232. Рассмотрим уравнение
Рис. 115
у2
C)
Это уравнение определяет единственную действительную точку:
х=0, у = 0, 2 = 0. Однако ввиду аналогии с уравнением A) его
часто называют уравнением мнимого конуса.
§ 71. Параболоиды
233.	Существуют две поверхности, которые являются простран-
пространственными аналогами парабол на плоскости. Их называют пара-
параболоидами (эллиптическим и гиперболическим).
234.	Эллиптическим параболоидом называется поверхность, ко-
которая в некоторой системе декартовых прямоугольных коорди-
координат определяется уравнением
A)

206	Глава 13. Поверхности второго порядка
(при положительных р и q). Уравнение A) называется канони-
каноническим уравнением эллиптического параболоида. Исследуем эту
поверхность методом сечений.
Прежде всего рассмотрим сечения координатными плоскостя-
плоскостями Oxz и Oyz. При у = 0 из уравнения A) имеем: x2 = 2pz; таким
образом, сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
х2 = 2pz,
Мы видим, что оно представляет собой восходящую параболу,
симметричную относительно оси Oz, с вершиной в начале коор-
координат; параметр этой параболы равен р. Сечение плоскостью Oyz
определяется уравнениями
и представляет собой аналогичным образом расположенную па-
параболу с параметром q.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостя-
плоскостями, параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из та-
таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, а сечение
параболоида этой плоскостью определяется уравнениями
+2»,
Р Я	B)
z = h.
Отсюда видно, что 1) при h > 0 плоскость z = h пересекает эллип-
эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями а* = y/2hp,
b* = *j2hq, расположенному симметрично относительно плоско-
плоскостей Oxz и Oyz; 2) при возрастании h величины я* и Ь* возраста-
возрастают; 3) если h возрастает бесконечно, то а* и Ь* возрастают также
бесконечно; 4) если Л, убывая, приближается к нулю, то а* и Ь*
убывают и также приближаются к нулю; при h = 0 имеем а* = 0,
Ь* = 0; это означает, что эллипс, образуемый сечением парабо-
параболоида A) плоскостью 2 = 0, вырождается в точку; иначе говоря,
плоскость z = 0 касается данного эллиптического параболоида;
5) при h < 0 уравнения B) определяют мнимый эллипс; это озна-
означает, что плоскость z = h при h < 0 с данным параболоидом не
встречается совсем (рис. 116).

§ 71. Параболоиды
207
Сопоставляя изложенное, можем заключить, что эллиптичес-
эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обла-
обладает двумя взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными плоскостями симметрии; при
данном выборе координатной систе-
системы эти плоскости совмещены с ко-
координатными плоскостями Oxz и Oyz.
Точка, с которой совмещено начало
координат, называется вершиной эл-
эллиптического параболоида; числа р
и q называются его параметрами.
Заметим, что в случае р = q урав-
уравнения B) определяют окружность
с центром на оси Oz. Отсюда следу-
следует, что при р = q эллиптический па-
Рис-
раболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг ее оси.
235. Поверхность, которая в некоторой системе декартовых пря-
прямоугольных координат определяется уравнением вида
22 =
У
Я.
C)
(при положительных р и #), называется гиперболическим параболои-
параболоидом. Займемся исследованием этой поверхности.
Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоско-
плоскостью Oxz. При у = 0 из уравнения C) имеем х2 = 2pz; таким обра-
образом, сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
х2 = 2pz,
у = 0.
D)
Мы видим, что оно представляет собой восходящую параболу,
симметричную относительно оси Oz, с вершиной в начале коор-
координат; параметр этой параболы равен р.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостя-
плоскостями, параллельными плоскости Oyz. Каждая из таких плоскостей
определяется уравнением вида x = h, а сечение параболоида этой
плоскостью определяется уравнениями
x = h.
E)

208
Глава 13. Поверхности второго порядка
Отсюда видно, что при любом h плоскость х = h пересекает гипер-
гиперболический параболоид по нисходящей параболе, расположенной
симметрично относительно плоскости Охг (см. п° 120). Все эти
параболы, как показывает первое из уравнений E), имеют общий
параметр, равный q; вершина каждой из них лежит на линии, ко-
которая образуется сечением параболоида плоскостью Охг, т. е. на
восходящей параболе, определенной уравнениями D) (рис. 117).
Рис. 117
Заметим, что каждая плоскость у - h пересекает гиперболичес-
гиперболический параболоид по восходящей параболе, что видно из уравнений
р 1
y = h,
определяющих такие сечения; одно из этих сечений, а именно,
соответствующее значению h = 0, было рассмотрено нами в пер-
первую очередь.
На рис. 117 изображен кусок гиперболического параболоида;
край изображенного куска составлен из двух отрезков восходя-
восходящих парабол, плоскости которых параллельны плоскости Охг,
и двух отрезков нисходящих парабол, плоскости которых парал-
параллельны плоскости Оуг.
Рассмотрим, наконец, сечения гиперболического параболои-
параболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая плос-
плоскость имеет уравнение г = h, а сечение параболоида этой плоско-
плоскостью определяется уравнениями
х
Р
У
= 2Й,
= h.

§ 72. Цилиндры второго порядка
209
Отсюда мы видим, что плоскости z = h пересекают гипербо-
гиперболический параболоид по гиперболам, расположенным симмет-
симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz. Если h > О, то соот-
соответствующая гипербола пересекает плоскость Oxz, если h< О, —
гипербола пересекает плоскость Oyz; при h = О гипербола вырож-
вырождается в пару прямых (на рис. 117 изображено одно сечение па-
параболоида плоскостью z = h для случая h > 0).
Все изложенное позволяет заключить, что гиперболический
параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно пер-
перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе
координатной системы эти плоскости совмещены с координат-
координатными плоскостями Oxz и Oyz. Точка, с которой совмещено на-
начало координат, называется вершиной гиперболического парабо-
параболоида; числа р, q называются его параметрами.
§ 72. Цилиндры второго порядка
236. В заключение нашего обзора рассмотрим уравнение вто-
второй степени, не содержащее текущей координаты z. Мы можем
написать его в виде
Ах +2Bxy+Ly +2Dx+2Ly+ г = 0.	A)
Согласно п° 193 уравнение A) определяет цилиндричес-
цилиндрическую поверхность (или, как говорят короче, — цилиндр) с об-
образующими, параллельными оси Oz. Поскольку уравнение A)
есть уравнение второй степени, определяемая
им поверхность называется цилиндром второго
порядка.
Заметим теперь, что уравнение A) по суще-
существу не отличается от уравнения A) §41, кото-
которое в декартовых координатах на плоскости
определяет линию второго порядка. Отсюда зак-
заключаем, что сечение рассматриваемого цилинд-
цилиндра плоскостью Оху есть линия второго порядка.
В зависимости от характера этой линии мы име-
имеем цилиндры второго порядка следующих типов.
а) Эллиптический цилиндр (рис. 118); при по-
помощи надлежащего выбора координатной сие-	I
темы его уравнение может быть приведено к виду Рис. 118

210
Глава 13. Поверхности второго порядка
Если а = Ь, то цилиндр оказывается круговым.
б) Гиперболический цилиндр (рис. 119); его уравнение может быть
приведено к виду
У
= 1.
az bz
в) Параболический цилиндр (рис. 120); его уравнение может быть
приведено к виду
у2 = 2рх.
'0
Рис. 119
Рис. 120
Кроме того, возможен случай, когда левая часть уравнения A)
есть произведение двух множителей первой степени. Тогда ци-
цилиндр «вырождается» в пару плоскостей.
Наконец, возможно еще, что уравнение вида A) совсем не имеет
вещественных решений (например, х2 + у2 = -\) и, следователь-
следовательно, совсем не определяет никакого геометрического
о бр а з а. Относительно такого уравнения принято говорить, что
оно «определяет мнимый цилиндр».
§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Конструкции В.Г.Шухова
237. Обзор различных типов поверхностей второго порядка
(см. §§ 69-72) сейчас же обнаруживает, что среди них имеются
линейчатые поверхности, т. е. поверхности, составленные из пря-
прямых: конусы, цилиндры. Но оказывается, что кроме конусов
и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка явля-
являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический пара-
параболоид. Этот факт «на взгляд» не очевиден, однако легко доказы-
доказывается алгебраически. Проведем доказательство для однополост-
однополостного гиперболоида.

§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида	211
Представим каноническое уравнение однополостного гипер-
гиперболоида
в виде
или
а1 Ь1 с1
±1 ?. 1 у—
а1 с1	б2'
Рассмотрим далее два уравнения первой степени:
-НИИ)
где аир — некоторые числа, не равные одновременно нулю.
Если аир фиксированы, то уравнения B) совместно определя-
определяют прямую; меняя аир, получим бесконечную систему прямых.
Заметим теперь, что, перемножая уравнения B) почленно, мы
получим уравнение A). Отсюда следует, что каждая из этих
прямых целиком лежит на одно полостном
гипербол оиде. В самом деле, если координаты х, у, z неко-
некоторой точки удовлетворяют двум уравнениям B), то они удовлет-
удовлетворяют также уравнению A); таким образом, каждая точка пря-
прямой, определяемой уравнениями B) при любых а, р (не равных
одновременно нулю), лежит на рассматриваемом однополостном
гиперболоиде, т. е. на нем лежит вся эта прямая.
Покажем, наконец, что через каждую точку одно-
однополостного гиперболоида проходит одна и
только одна прямая из указанной системы.
Пусть Мо(хо; у0; г0) — произвольная точка однополостного гипер-
гиперболоида; так как координаты ее удовлетворяют уравнению ги-
гиперболоида, то
Будем искать такие числа а, р, чтобы соответствующая им пря-
прямая системы B) проходила через точку Мо. Так как координаты

212	Глава 13. Поверхности второго порядка
точки Мо должны удовлетворять уравнениям этой прямой, то для
определения неизвестных а, р мы имеем два уравнения:
Если 1 + — ф О, то из первого уравнения этой системы находим
Ь
$ = ка, где положено
хо + zo
k = -*—f-.	E)
При р = ка также и второе уравнение системы D) будет удовлет-
удовлетворено; это следует из соотношений C) и E). Подставим $ = ка
в уравнения B), считая а каким угодно, но не равным нулю. Так
как оба уравнения в каждой своей части имеют после этой под-
подстановки множитель а, то а можно сократить. Мы получим вполне
определенную пару уравнений
х z j (Л у
Ъ
которой соответствует одна вполне определенная прямая; эта пря-
прямая проходит через точку Мо (так как числа аир выбирались
с соблюдением равенств D)).
Если же 1 + —= 0, то формула E) теряет смысл, но при
Ъ
1 + — = 0 непременно 1 - — ф 0. В таком случае решение систе-
Ъ	Ъ
мы D) можно найти, исходя из второго ее уравнения, после чего,
аналогично предыдущему, можно доказать, что и в этом случае
через точку Мо проходит одна-единственная прямая системы B).
Итак, уравнения B) при различных значениях аир определя-
определяют бесконечную систему прямых, которые лежат на однополост-
ном гиперболоиде и покрывают его сплошь. Эти прямые называ-
называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.

§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида
213
Мы показали, что однополостный гиперболоид составлен из
прямых, т. е. является линейчатой поверхностью. Но, более
того, однополостный гиперболоид является дважды линейчатой
поверхностью. Это означает, что он обладает двумя систе-
системами прямолинейных образующих.
В самом деле, аналогично уравнениям B) можно составить
уравнения
F)
Уравнения F) также определяют систему прямолинейных обра-
образующих однополостного гиперболоида, причем отличную от той,
которая определена уравнениями B).
Однополостный гиперболоид с двумя системами своих пря-
прямолинейных образующих изображен на рис. 121.
Рис. 121
Рис. 122
238. Не вдаваясь в детали вопроса, укажем, что гипербо-
гиперболический параболоид
X
р
У
также имеет две системы прямолинейных образу-
образующих, из которых одна определяется уравнениями

214	Глава 13. Поверхности второго порядка
а другая — уравнениями
Изображение гиперболического параболоида с его двумя сис-
системами прямолинейных образующих дано на рис. 122.
239. Знаменитому русскому инженеру Владимиру Григорье-
Григорьевичу Шухову принадлежит идея использования линейчатого ха-
характера однополостного гиперболоида в строительной технике.
В. Г. Шухов предложил конструкции из металлических балок,
расположенных так, как расположены прямолинейные образую-
образующие однополостного гиперболоида (вращения). Такие конструк-
конструкции оказались легкими и прочными. Они часто применяются
для устройства водонапорных башен и высоких радиомачт.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными
1. Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел аь а2, Ьь Ъ2.
«1 .
а2 Ь2
A)
Число ахЪ2 - a2b1 называется определителем второго порядка соот-
соответствующим таблице A). Этот определитель обозначается симво-
символом
; соответственно имеем
ах Ъх
а2 Ъ2
= ахЪ2 - a2bx.
B)
Числа аъ аъ Ъъ Ь2 называются элементами определителя. Гово-
Говорят, что элементы аъ Ь2 лежат на главной диагонали определителя,
а элементы аъ Ъх — на побочной. Таким образом, определитель
второго порядка равен разности между произведениями элементов,
лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,
-2 5
-4 3
= -2-3-Н)-5 =
2. Покажем, как применяются определители второго порядка
в задаче исследования и разыскания решений системы двух урав-
уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух уравнений:
а2х + b2y = h2
C)

216
Элементы теории определителей
с неизвестными х, у (коэффициенты аъ аъ Ъъ Ъ2 и свободные
члены /*ь h2 предположим данными). Пара чисел х0, у0 называется
решением системы C), если эти числа удовлетворяют системе C),
т. е. если при замене букв х, у соответственно числами х0, у0 каждое
из уравнений C) становится арифметическим тождеством.
Будем разыскивать все решения системы C); попутно мы про-
проведем ее исследование, именно, выясним, в каких случаях систе-
система C) имеет только одно решение, в каких случаях — более одного
и в каких случаях она совсем не имеет решений. Мы употребим
общеизвестный прием исключения неизвестных: умножим обе час-
части первого уравнения на Ъъ второго — на -Ь{ и затем полученные
равенства сложим почленно; тем самым неизвестное у исключается,
и мы получим
(aib2 - a2bi) x = b2hx - bxh2.	D)
Аналогично, исключая из системы C) неизвестное х, найдем:
(ахЪ2 - a2bl)y=alh2 - a2hv
Введем обозначения:
А =
h
h2 b2
a2 h2
E)
F)
Тогда уравнения D) и E) можно будет написать так:
Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвест-
неизвестных системы C), называется определителем этой системы. Опре-
Определитель Ах получается путем замены элементов первого столбца
определителя А свободными членами системы C); определитель Ау
получается из определителя А при помощи замены свободными
членами системы C) элементов второго столбца.
Предположим, что А ф 0. При этом условии из уравнений G)
найдем
Ах	АУ
или, в развернутом виде:
х =
h
h2
«i
а2
h
Ъ2
h
b2
5 У
«1
а2
«1
а2
h
h2
h
b2
(8)

§ 1. Определители второго порядка	217
Эти формулы, очевидно, дают решение выводной системы, состоя-
состоящей из уравнений G). Они же дают решение исходной системы C).
Чтобы убедиться в этом, следует неизвестные х, у в левых частях
уравнений C) заменить по формулам (8); после такой замены (в ре-
результате «раскрытия» определителей А, Ах, Ау и несложных выкла-
выкладок, которые легко проведет сам читатель) обнаруживается, что
левая часть первого из уравнений C) равна числу hu а левая часть
второго из уравнений C) — числу h2, а это и означает, что форму-
формулы (8) определяют решение системы C).
На основании изложенного мы можем высказать следующее утверж-
утверждение: если, определитель А системы C) не равен нулю, то система
имеет единственное решение; оно определяется формулами (8).
3. Предположим теперь, что А = 0. Если при этом хотя бы один из
определителей Ах, Ау отличен от нуля, то система C) совсем не
имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместны).
В самом деле, если А = 0, но хотя бы один из определителей
Ах,Ау не равен нулю, то по крайней мере одно из равенств G)
является невозможным, т. е. система G) не имеет решений. Но
в таком случае и система C) не имеет решений, так как система G)
выведена из системы C), следовательно, каждое решение систе-
системы C), если бы таковое имелось, было бы решением системы G).
Если же А = 0, но вместе с тем Ах = Ау = 0, то система C) имеет
бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений систе-
системы есть следствие другого).
В самом деле, если А = Ах = Ау = 0, т. е. если
аф2 - a2bi = 0, axh2 - a2hx - 0, bxh2 - b2hi = 0,
то коэффициенты при неизвестных и свободные члены данных
уравнений пропорциональны. А это означает, что одно из уравне-
уравнений системы получается путем умножения всех членов другого урав-
уравнения на некоторый общий множитель, т. е. в системе есть лишь
одно существенное уравнение, например, a{x+biy = hh другое же
является его следствием. Но уравнение вида alx+bly = hl всегда
имеет бесконечно много решений, поскольку одной из двух неиз-
неизвестных х, у можно придавать численные значения по произволу,
а вторую определять соответственно из уравнения (например, если
Ь{ Ф 0, то, назначая произвольно х, мы можем определять у по фор-
муле: у = —1——Ц.
*i
Замечание. В этих рассуждениях предполагалось, что каж-
каждое отдельно взятое уравнение системы имеет решение. Если рас-
рассматривать и такие системы, в которых содержатся противоречивые

218
Элементы теории определителей
равенства, то высказанное утверждение будет неверным. Напри-
Например, система
0-х+0-з>=1,
удовлетворяет условиям: А = О, АХ = О, Ау = 0; однако, эта система не
допускает ни одного решения.
4. Итак: если определитель системы C) не равен нулю (Л^О), то
система имеет единственное решение (определяемое формулами (8));
если А = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет их беско-
бесконечно много.
Пример 1. Найти все решения системы
Зх + 4у = 2,
2х + 3у = 7.
Решение. Подсчитаем определитель системы:
3 4
А =
2 3
= 3-3-2-4 = 1.
Так как А ф 0, то система имеет единственное решение, определяемое фор-
формулами (8). Найдем Ах и А^:
2	4
7	3
3	2
2	7
= 2 • 3 - 4 • 7 = -22 ,
= 3-7-2-2 =
Отсюда
-22
= -22,
17
А 1
Пример 2. Найти все решения системы
Зх + 4у = 1,
6х + 8у = 3.
Решение. Подсчитаем определитель системы:
А =
3 4
6 8
= 3-8-4-6 = 0.
Так как А = 0, то данная система либо совсем не имеет решений, либо имеет
их бесконечно много. Чтобы установить, какая именно из этих двух возмож-
возможностей осуществляется, найдем Ах и Ау:
= 8-12 = -4
=9-6=3.
Так как А = 0, но Ах^0, А^О, то данная система решений не имеет.
1
3
3
6
4
8
1
3

§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени	219
Замечание. К тому же выводу можно прийти сразу, если помножить
все члены первого уравнения на 2 и вычесть результат почленно из второго
уравнения; мы получим при этом 0=1, т.е. противоречивое равенство. Сле-
Следовательно, данные уравнения несовместны.
Пример 3. Найти все решения системы
Зх + 4 у = 1,
= 2.
Решение. Коэффициенты при х, у — те же, что и в примере 2; поэтому
Д = 0. Следовательно, данная система либо совсем не имеет решений, либо
имеет их бесконечно много. Но, как легко заметить, второе уравнение системы
есть следствие первого (получается умножением всех членов первого уравне-
уравнения на 2). Таким образом, поскольку система сводится к одному уравнению,
она имеет бесконечно много различных решений; мы получим их, придавая х
численные значения произвольно и находя соответственные значения у по
формуле
1-Зх
У
5. Рассмотрим, в частности, систему двух однородных уравне-
уравнений с двумя неизвестными
ахх + Ьху = 0,
т. е. систему уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет нулевое решение х= О,
у = 0. Если А ф 0, то это решение является единственным; если же
А = 0, то однородная система, кроме нулевого, имеет бесконечно
много других решений (поскольку для однородной системы воз-
возможность отсутствия решений исключена). Эти же выводы можно
сформулировать еще так: однородная система (9) имеет ненулевое
решение в том и только в том случае, когда А = 0.
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени
с тремя неизвестными
6. Займемся решением системы однородных уравнений
ахх + bxy + cxz = 0,
а2х + Ъ2у + c2z = 0	A)
с тремя неизвестными х, у, z. Предположим, что
п{ Ьи1 *0.	B)
а2 Ъ2

220
Элементы теории определителей
Запишем систему A) в виде
ахх + Ьху = -cxz,
а2х + Ъ2у - -c2z
C)
и будем считать, что неизвестной z здесь предписано какое-нибудь
численное значение. При определенном численном значении z сис-
система C) имеет единственное решение, которое мы получим, приме-
применяя формулы (8) § 1:
х =
-схг
-c2z
а\
а2
h
b2
h
b2
17 — --
•> У
ax
a2
ax
a2
-cxz
-C22
h
b2
D)
Числа x, у вместе с числом z составляют решение заданной сис-
системы A); различным численным значениям z соответствуют раз-
различные решения системы A) (система A) имеет бесконечно мною
решений, так как z можно выбирать произвольно).
Придадим формулам D) более удобный вид. Прежде всего заме-
J2 -C2Z
на основании этих равенств формулы D) можно переписать так:
E)
ТИМ,
что
-0,2
-С22
bx
ъ2
bx
ъ2
Введем обозначения:
'НИ
bx
ъ2
я:
С2
h
ъ2
ах
а2
С2
h
ъ2
Z
Д. —
—
т —
У
ах сх
а2 с2
ах
а2
ах
а2
С2
h
ъ2
2,
з -
ах Ъх
а2 Ъ2
F)
теперь из формул E) имеем
х =
А{2
_ ^1
У =
_ ~А22
G)

§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени	221
2
Обозначим -г— буквой L В таком случае г = А3 t, a x и у согласно
формулам G) будут выражаться равенствами x = Ax-t, у- -Л2 • L
Получаем формулы
x = Avt, y = -A2-t, z = Art,	(8)
которые определяют все решения системы A) (каждое отдельное
решение получается при каком-либо определенном численном зна-
значении t).
Для практики вычислений полезно заметить, что определители
Аь А2, А3 получаются при помощи поочередного вычеркивания
столбцов таблицы
fax Ъх сх
,а2 Ъ2 с2
7. Предыдущий вывод проводился в предположении, что А3 ф О
(см. неравенство B)).
В случае, когда А3 = 0, но хотя бы один из определителей Аь А2
не равен нулю, вывод сводится к предыдущему переменой ролей
неизвестных (если, например, А2 ф О, то следует предполагать, что
произвольные численные значения предписываются неизвестной у,
а х и г соответственно определяются из уравнений системы). Окон-
Окончательный же результат получается тот же самый, т. е. все решения
системы снова определяются формулами (8).
Если же все три определителя Аь А2, А3 равны нулю, т. е.
Ъхс2 - Ъ2сх = О, ахс2 - а2сх = О, аф2 - Ъха2 = О,
то коэффициенты уравнений системы A) пропорциональны. В этом
случае одно из уравнений системы есть следствие другого: одно
уравнение получается умножением всех членов другого на некото-
некоторый численный множитель. Таким образом, при А{ = О, А2 = О, А3 = О
система фактически сводится к одному уравнению. Такая система
естественно имеет бесконечно много решений; чтобы получить ка-
какое-нибудь из них, следует двум неизвестным предписать произ-
произвольно численные значения, а третье найти из уравнения.
Пример 1. Найти все решения системы
= О,
7х + 2у + 4z = 0.

222
Элементы теории определителей
Решение. Согласно п° 6, имеем
Д1 = 4, Л2 = -44, Д3 = -29.
Все решения данной системы определяются формулами
x = 4t, y = 44t, 2 = -29t,
где t может принимать любые значения.
Пример 2. Найти все решения системы
Зх + 2у - Зг = О,
6х + 4у - 6z = 0.
Решение. Мы имеем Ах = 0, А2 = 0, А3 = 0; система содержит лишь одно
существенное уравнение (второе получается почленным умножением первого
на 2). Любое решение системы состоит из трех чисел х, у, 2, где х, у — какие
Зх + 2v
угодно, а г = —=-^- .
§ 3. Определители третьего порядка
8. Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел аъ а2, аъ, Ъх,
Ь2, Ъъ, сь с2, съ:
Ъх сх
а
1
а2 Ь2
аъ Ъъ
A)
Определителем третьего порядка, соответствующим таблице A),
называется число, обозначаемое символом
ax bx
а2 Ъ2
и определяемое равенством
ах ох сх
а2 Ъ2 с2
я, Ы c-i
Ьхс2аъ
-схЬ2аъ - Ьха2съ - ахс2Ьъ. B)
Числа аъ аъ а3, Ъъ Ьъ Ь3, сь съ с3 называются элементами опреде-
определителя. Элементы аъ Ъъ с3 расположены на диагонали определите-
определителя, называемой главной; элементы а3, Ьъ С\ составляют его п о-
б о ч н у ю диагональ.
Обратим внимание читателя на то, что первые три слагаемых
в правой части равенства B) представляют собой произведения

§ 3. Определители третьего порядка
223
элементов определителя, взятых по три так, как показано различ-
различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.
ч / \ .'
.* \
«4 h ....;.cl )	(%-.,А /
\/ ''-, \ У
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства B),
нужно перемножить элементы определителя по три так, как пока-
показано различными пунктирами на той же схеме справа, после чего
у каждого из найденных произведений изменить знак.
Указанное сейчас правило, называемое правилом треугольни-
треугольников, позволяет без напряжения памяти написать формулу B), а так-
также вычислить определитель третьего порядка с численно задан-
заданными элементами (без того, чтобы предварительно выписывать
формулу B)).
Например,
3 -2 1
-2 1 3
2 0-2
= 3 • 1 • (-2) + (-2) • 3 • 2 + (-2) • 0 • 1 - 2 • 1 • 1 -
- 3 - 0 - 3 - (-2) - (-2) - (-2) = -12.
9.	Определители широко применяются как в самой математике,
так и в ее приложениях. Немного далее мы покажем применение
определителей третьего порядка в вопросе исследования и решения
системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. Но
сначала нам придется познакомиться с некоторыми свойствами опре-
определителей. Ряд важнейших свойств определителей сообщается в сле-
следующем п°; все пояснения, относящиеся к этим свойствам, мы будем
проводить, имея в виду определители третьего порядка; однако сами
свойства присущи определителям всех порядков (понятие определителя
порядка выше третьего изложено в конце настоящего приложения).
10.	Свойство 1. Величина определителя не изменится, если
все его строки заменить его столбцами, причем каждую строку за-
заменить столбцом с тем же номером, т. е.
C)
«1
fl3
 С1
^3 С3
=
«1
С1
«1
*2
с2
«1
^3
сз

224
Элементы теории определителей
Это свойство можно выразить еще так: если поменять местами эле-
элементы определителя, расположенные симметрично относительно глав-
главной диагонали, то величина определителя останется неизменной.
Для доказательства этого свойства достаточно применить пра-
правило треугольников к левой и правой части равенства C) и срав-
сравнить полученные результаты.
Замечание. Свойство 1 означает равноправность строк
и столбцов определителя; поэтому дальнейшие свойства определи-
определителя, присущие его столбцам и строкам, достаточно доказывать
только для столбцов или только для строк.
Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк опре-
определителя равносильна умножению его на -1.
Например,
D)
Для доказательства равенства D) достаточно применить правило
треугольников к его левой и правой части и сравнить полученные
результаты (точно так же устанавливаются аналогичные равенства,
соответствующие перестановке других столбцов определителя).
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столб-
столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
В самом деле, пусть А какой-нибудь определитель, имеющий
два одинаковых столбца. Если мы переставим эти столбцы, то,
с одной стороны, в силу свойства 2 определитель изменит знак. Но,
с другой стороны, поскольку переставляемые столбцы одинаковы,
их перестановка не может изменить определителя. Следовательно,
А = -А, т. е. 2А = 0, или А = 0.
Например,
а\
«2
fl3
h с,
b2 c2
b3 c3
ci
сз
b2
h
3 3
5 5
7 7
17
= 0.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или
одной строки определителя на любое число к равносильно умноже-
умножению определителя на это число к.
Иначе это свойство можно высказать так: общий множитель
всех элементов одного столбца или одной строки определителя мож-
можно вынести за знак определителя.

§ 3. Определители третьего порядка
225
Например,
ках
ка2
ка3
Ъх сх
Ъ2 с2
й3 с3
= к
щ
а2
аъ
h
b2
с3
1
3
7
0
0
0
5
8
2
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что опре-
определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содер-
содержит множителем один элемент из каждой строки и из каждого
столбца (см. формулу B) п° 8).
Свойство 5. Если, все элементы некоторого столбца или не-
некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.
Это свойство есть частный случай предыдущего (при к- 0).
Например:
= 0.
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов
или двух строк определителя пропорциональны, то определитель ра-
равен нулю.
Это свойство следует из свойств 4 и 3. В самом деле, если эле-
элементы двух столбцов определителя пропорциональны, то элементы
одного из них получаются умножением элементов другого на не-
некоторый общий множитель. Вынося этот множитель за знак опре-
определителя, мы получим определитель с двумя одинаковыми столб-
столбцами; согласно свойству 3 он равен нулю.
Например,
= 0.
Свойство 7. Если каждый элемент п-го столбца (или п-й стро-
строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то опре-
определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей,
из которых один в п-м столбце (или соответственно в п-й строке)
имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые', элемен-
элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни
и те же.
8
10
6
4
5
3
7
9
11
= 2
4
5
3
4
5
3
7
9
11

226
Элементы теории определителей
Например,
«1
d2
a\
b2 c2
h c3
+
ax
a2
№
b\
b2
h
c\
Съ
а[+а[ Ъх
а2 + а2 Ъ2
а'з + я з h
Для доказательства этого равенства достаточно применить
правило треугольников к определителям, записанным в его левой
и правой части, и сравнить полученные результаты.
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или не-
некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого
столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множи-
множитель, то величина определителя при этом не изменится.
Свойство 8 вытекает из свойств 7 и 6; поясним это на примере.
Пусть к элементам первого столбца прибавлены элементы второго
столбца, умноженные на некоторое число к. Тогда согласно свой-
свойству 7 имеем
a2
аъ
+ kbi
+ kb2
+ kb3
b\
b2
Ьъ
c\
C2
съ
=
a\
a2
«3
b\ ci
b2 c2
Ьъ съ
+
kbx
kb2
kb3
b\
b2
Ьъ
ci
C2
Съ
Второй из полученных определителей имеет два пропорциональ-
пропорциональных столбца. Следовательно, по свойству 6 он равен нулю; получа-
получаем равенство
«1-
a2-
аъ-
\-kbx
vkb2
укЪъ
b\ c\
b2 c2
h съ
=
a2
аъ
h
b2
которое в данном случае и выражает указанное свойство определителя.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгеб-
алгебраического дополнения и минора.
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры
11. Рассмотрим определитель
А= а2 Ъ2 с2 .	A)
а3 Ь3 с3
По определению (см. п° 8)
А = ахЪ2съ + Ъхс2аъ + сха2Ъъ - схЪ2аъ - Ъха2съ - ахс2Ъъ.	B)

§ 4. Алгебраические дополнения и миноры	227
Соберем здесь члены, содержащие какой-нибудь один элемент опре-
определителя, и вынесем этот элемент за скобки; величина, остающаяся
в скобках, называется алгебраическим дополнением этого элемента.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать боль-
большой буквой того же наименования и с тем же номером, что
и буква, которой обозначен сам элемент. Например, алгебраи-
алгебраическое дополнение элемента ах будет обозначаться через Аь эле-
элемента Ьх — через Вх и т. д.
Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов
какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
А = ах
а2А2 + а3А3,
Ь2В2 + Ь3В3,
с2с2+с3а,
А = ахАх л
А = а2А2 л
А = аъАъ л
-Ъ\
\-Ы
,в2-
fc2C2,
^Зс3.
C)
D)
E)
Д = с1С1-
Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно
записать правую часть формулы B) в виде
А = ах (Ъ2с3 - Ъ3с2) + а2 (Ъ3сх - Ъхс3) + а3 (Ъхс2 - Ь2сх);
величины, стоящие здесь в скобках, являются алгебраическими
дополнениями элементов аъ а2, а3, т. е.
Ъ2с3 — Ъ3с2 = Ах, Ъ3сх — Ъхс3 = А2, Ъхс2 — Ъ2сх = А3.
Отсюда и из предыдущего получаем
А = ахАх + а2А2 + а3А3,
что и требовалось. Остальные равенства C-5) доказываются анало-
аналогично. Запись определителя согласно какой-нибудь из формул C-5)
называется разложением его по элементам некоторого столбца или
некоторой строки (первая формула дает разложение по элементам
первого столбца и т. д.).
12. Минором некоторого элемента определителя называется опре-
определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и стол-
столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Например,
Ъ2 с2
минором элемента ах определителя А является определитель
а2 с2
минором элемента Ьх является определитель
и т. д.
Оказывается, что алгебраическое дополнение любого элемента опре-
определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим зна-
знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если
это число — нечетное. Чтобы убедиться в справедливости этого

228
Элементы теории определителей
утверждения, читатель должен рассмотреть алгебраические допол-
дополнения всех элементов определителя и сравнить их с минорами.
Указанное сейчас обстоятельство существенно облегчает использо-
использование формул C-5), так как позволяет записывать алгебраические
дополнения элементов определителя сразу, просто «глядя» на этот
определитель. При этом еще полезно иметь в виду следующую схему:
где знаком плюс помечены места тех элементов, для которых ал-
алгебраические дополнения равны минорам, взятым с их собствен-
собственными знаками.
Пример. Вычислить определитель
А =
разлагая его по элементам первой строки.
Решение.
2
5
3
4
12
9
6
19
17
12
9
19
17
-4
5
3
19
17
+ 6
5
3
12
0
Замечание. Вычисление определителя при помощи разложения по эле-
элементам столбца или строки можно упростить, если предварительно преобразо-
преобразовать этот определитель, используя свойство 8. Именно, умножая элементы
некоторого столбца (или некоторой строки) на любой множитель и прибавляя
их затем к элементам другого столбца (или другой строки), мы получим новый
определитель, равный данному; при надлежащем выборе множителя можно
добиться того, чтобы один из элементов полученного определителя оказался
равным нулю Двукратное применение такой операции может дать определи-
определитель, равный данному, у которого два элемента одной строки (или одного
столбца) будут равны нулю. Вычисляя полученный определитель при помощи
разложения его по элементам указанной строки (или столбца), мы должны
будем подсчитать лишь один минор, так как два минора из трех умножаются
на элементы, равные нулю. Так, например, вычисляя предложенный в преды-
предыдущем примере определитель А, преобразуем его предварительно так: приба-
прибавим к элементам его второго столбца элементы первого столбца, умноженные
на (-2), затем прибавим к элементам его третьего столбца элементы первого
столбца, умноженные на (-3), мы получим
А =
Разлагая этот определитель по элементам первой строки, находим
А = 2-
2
5
3
0
2
3
0
4
8
2 4
3 8
-0-
5 4
3 8
+ 0-
5 2
3 3

§ 4. Алгебраические дополнения и миноры
229
13. Здесь мы сообщим некоторые предложения, важные для ре-
решения и исследования системы уравнений первой степени с тремя
неизвестными *).
Пусть дан определитель
А =
а2 Ъ2
а3 h
A)
Разложим его по элементам какой-нибудь строки или какого-ни-
какого-нибудь столбца, например, по элементам первого столбца:
А = ахАх + а2А2 + а3А3.	F)
Заменим в правой части этого равенства числа аь аъ а3 любыми
числами hu Нъ h3; тогда правая часть равенства F) будет представ-
представлять собой разложение по элементам первого столбца определите-
определителя, который получается из определителя А заменой элементов его
первого столбца числами къкък3\
h2A2 + h3A3 =
h2A2
3A3
h2
ъ2
С2
G)
Выберем теперь в качестве /*ь h2, h3 элементы второго или тре-
третьего столбца данного определителя (т.е. возьмем hi=bu h2 = b2,
h3 = b3 или hi = сь h2 = съ h3 = c3). В таком случае определитель G)
будет иметь два одинаковых столбца и, следовательно, будет равен
нулю; получаем равенство
Ь3А3 = 0	(8)
^ + ^ + ^ = 0.	(9)
Если мы будем исходить из разложения А по элементам его
второго столбца, то аналогичным путем получим равенства
или
а2В2 + а3В3 = 0,
A0)
A1)
Исходя из разложения А по элементам третьего столбца, получим
равенства
ахСх + а2С2 + а3С3 = Ъ,	A2)
		*1С1 + *2С2 + *3Сз = 0.	A3)
*) Аналогичные предложения, относящиеся к определителям высших по-
порядков, используются для решения и исследования системы уравнений первой
степени с любым числом неизвестных.

230	Элементы теории определителей
Кроме того, шесть подобных равенств имеет место для строк опре-
определителя.
На основании изложенного мы можем сформулировать следую-
следующее свойство определителей.
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь
столбца (или какой-нибудь строки) определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другого столбца (или дру-
другой строки) равна нулю.
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными
14. Рассмотрим систему трех уравнений
а2х + b2y + c2z = h2,	A)
а3х + Ъ3 у + с3г = h3
с неизвестными х, у, г (коэффициенты аъ Ъъ..., с3 и свободные
члены /*ь /j2, h3 предположим данными).
Тройка чисел Xq, y0, z0 называется решением системы A), если
эти числа удовлетворяют уравнениям системы A), т. е. если при
замене символов х, у, г числами х0, у0, г0 каждое из уравнений A)
станет арифметическим тождеством. Займемся разысканием всех
решений системы A); попутно проведем ее исследование, именно,
выясним, в каких случаях система A) имеет только одно решение,
в каких случаях— более одного, в каких случаях она совсем не
имеет решений.
В последующих рассуждениях основную роль будет играть опре-
определитель
А =
ах Ъх сх
а2 Ъ2 с2
h
B)
составленный из коэффициентов при неизвестных; он называется
определителем данной системы.
Будем, как и раньше, обозначать символами Аь Аъ ... алгебраи-
алгебраические дополнения элементов аь аь... определителя А. Умножим обе
части первого уравнения системы A) на Ах второго — на Аъ третье-
третьего — на Аъ, а затем почленно сложим эти уравнения; получим
(ахАх + а2А2 + аъА^) х + (ЬХАХ + Ъ2А2 + ЪЪА^) у + (схАх + с2А2 + с3А3) г =
= (hxAx + h2A2 + h3A3).

§ 5. Системы трех уравнений первой степени
231
Отсюда и на основании свойств 9 и 10 имеем (см. первое из
равенств C) п° 11, а также равенства (8) и (9) п° 13)
А • х =
Аналогично найдем
h2A2 + h3A3.
А • у = hx Д + h2B2 + h3B3,
C)
D)
A-z = h1C1 + h2C2 + h3C3.	E)
Правые части уравнений C), D) и E) обозначим соответственно
символами Ах, Ау, А2. Тогда уравнения C), D), E) примут вид
А-х = Ах, А-у = Ау, A-z = A2,	F)
причем, как следует из п° 13 (см., например, формулу G) п° 13)
• G)
h2
h
h
b2
h
C2
C3
, Ay =
ax
a2
«3
К
h2
h
C2
c3
» Az =
al b\
a2 b2
a3 b3
К
h2
h
Полезно заметить, что определители Ах, Ау, А2 получаются из опре-
определителя А при помощи замены соответственно его первого, второ-
второго и, наконец, третьего столбца столбцом свободных членов данной
системы.
Предположим, что А^О; при этом условии из уравнений F)
находим:
х =
A
У =
2 =
A
(8)
Эти формулы, очевидно, дают решение выводной системы, со-
состоящей из уравнений F). Они же дают решение и исходной сис-
системы A). Для доказательства следует подставить в уравнения сис-
системы A) вместо х, у, г их выражения (8) и убедиться, что каждое
из уравнений A) будет удовлетворено. Выполним эту подстановку
для первого уравнения; мы имеем
A
blBl
h2B2 + h3B3) +
A
— h2 {axA2 + ЪХВ2 + cxC2
h2C2 + h3C3) =
-h3{alA3+blB3+clC3).

232
Элементы теории определителей
Но согласно девятому свойству определителей
ахАх + ЪхВх + схСх = А,
а согласно десятому свойству
ахА2 + ЪХВ2 + схС2 = О,
ахА3 + ЬхВ3 + схС3 = 0.
Таким образом,
А
А
А2
А
т. е. числа х, у, г, определяемые формулами (8), удовлетворяют
первому уравнению данной системы; совершенно аналогично дока-
доказывается, что они удовлетворяют двум остальным уравнениям.
Все изложенное позволяет сделать следующий вывод: если А ф 0,
то система A) имеет единственное решение, оно определяется фор-
формулами (8).
Пример. Дана система
х + 2 у + 2 = 4,
3x-5y + 3z = 1,
2х + 7у- z = 8.
Найти все ее решения.
Решение. Подсчитаем определитель системы:
А =
1
3
2
2
-5
7
1
3
-1
= 33.
Так как А ф 0, то данная система имеет единственное решение, которое опреде-
определяется формулами (8). По формулам G) имеем
= 33, А = 3 1 3=33, А2=3 -5 1=33.
4
1
8
2
-5
7
1
3
-1
1
3
2
4
1
8
1
3
-1
1
3
2
2
-5
7
4
1
8
Следовательно, х=1, у=1, 2 = 1.
15. Предположим теперь, что определитель системы A) равен
нулю: А = 0.
Если в случае А = 0 хотя бы один из определителей Ах, Ау, А2
отличен от нуля, то система A) совсем не имеет решений (как
говорят, уравнения этой системы несовместны).
В самом деле, если А = 0, но хотя бы один из определителей
АХ9 Ау, А2 не равен нулю, то по крайней мере одно из равенств F)
является невозможным, т. е. система F) не имеет решений.
Но в таком случае и система A) не имеет решений, так как
система F) выведена из системы A), следовательно, каждое решение

§ 5. Системы трех уравнений первой степени
233
системы A), если бы таковое имелось, было бы решением систе-
системы F). Например, система
х + у + 2 = 2,
Ъх + 2у + 2г = 1,
Ах + 3 у + Ъг = 4
не имеет решений, так как А = 0, а Ау = 1 ф 0. В том, что данные урав-
уравнения несовместны, можно убедиться и непосредственно; именно,
складывая почленно первые два из них и вычитая полученный ре-
результат из последнего, мы найдем 0 = 1, т. е. неправильное равенство.
Нам остается рассмотреть случай, когда А = 0 и также Ах = 0, Ау = 0,
А2 = 0. Но этим случаем мы займемся немного позднее, после того,
как исследуем так называемые однородные системы.
16. Однородной системой трех уравнений первой степени с тре-
тремя неизвестными называется система вида
ахх + Ьху + cxz = 0,
а2х + b2y + c2z = 0,
а3х + Ъъ у + c3z = 0,
(9)
т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х = 0, у = 0, г = 0;
оно называется нулевым. Если А ф 0, то это решение является един-
единственным.
Мы докажем, что если А = 0, то однородная система (9) имеет
бесконечно много ненулевых решений. (В этом случае либо какое-
нибудь одно ее уравнение является следствием двух других, либо
какие-нибудь два уравнения суть следствия третьего.)
Сначала проведем доказательство, предполагая, что хотя бы один
из миноров определителя А отличен от нуля; пусть, например,
а2 Ъ2
При этом условии первые два уравнения системы (9) имеют беско-
бесконечно много совместных ненулевых решений, определяемых фор-
формулами
х =
t, y = -
ax
a2
c\
c2
t,
2 =
ax
a2
b2
t
A0)
при любом значении t (см. п° 6, формулы (8)). Нетрудно убедиться,
что в случае А = 0 все эти числа удовлетворяют также и третьему

234
Элементы теории определителей
уравнению системы (9). В самом деле, подставляя их вместо неиз-
неизвестных в левую часть третьего уравнения системы (9), находим
а3х + Ь3у + c3z = \ а3
b2
-h
ax cx
a2 C2
+ C3
ax
a2
bx
b2
= A-t.
Мы получаем в результате подстановки нуль, так как по условию
А = 0. Таким образом, формулы A0) при любом t определяют реше-
решение системы (9); если гф 0, то это решение будет ненулевое. В рас-
рассмотренном случае система имеет лишь два существенных уравнения
(третье уравнение есть следствие первых двух).
Предположим теперь, что все миноры определителя А равны
нулю; тогда любая пара уравнений (9) имеет пропорциональные
коэффициенты, следовательно, как бы мы ни выбрали в системе
(9) два уравнения, одно из них будет получаться умножением всех
членов другого на некоторый общий множитель (в связи с этим
см. п° 7). Значит, в системе (9) будет лишь одно существенное
уравнение (два других будут его следствиями). Такая система,
очевидно, имеет бесконечно много ненулевых решений (так как двум
неизвестным можно приписывать любые численные значения, а тре-
третье находить из единственного существенного уравнения системы).
Тем самым наше утверждение доказано. Полученный результат
можно сформулировать следующим образом:
однородная система (9) имеет ненулевые решения в том и только
в том случае, когда А = 0.
Пример 1. Система
х + 2у + 2 = 0,
3x-5y + 3z = 0,
2х + 1у - 2 = 0.
имеет только нулевое решение, так как
х + у + 2 = 0,
22 = 0,
Пример 2. Система
имеет бесконечно много ненулевых решений, так как
1 1 1
А =
2 3 2
= 0.
4 5 4
Все решения определяются формулами A0), согласно которым
x = -t, y = 0, z = t
при любом t.

§ 5. Системы трех уравнений первой степени	235
Пример 3. Система
х+ у + 2 = 0,
2у + 22=0,
также имеет бесконечно много ненулевых решений, так как Д = 0. В данном
случае все миноры определителя А равны нулю и система сводится к одному
уравнению: x + y+z = 0. Любое решение системы состоит из трех чисел: х, у, 2,
где х и у — какие угодно, а г--х-у
17. Вернемся к произвольной неоднородной системе
+cxz = h^
а2х + b2y + c2z = h2,	A)
а3х + b3 у + c3z = h3
Мы докажем, что если А = 0 и система A) имеет хотя бы одно
решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
Пусть числа xq, у0, z0 составляют некоторое решение системы A);
подставляя х0, у0, z0 в уравнения A) вместо неизвестных, мы полу-
получим арифметические тождества:
CiZQ =hb
а2х0 +b2yQ +c2z0 = h2,	A1)
a3xQ+b3yQ+c3zQ = h3.
Вычтем почленно тождества A1) из соответствующих уравнений A)
(первое тождество A1) вычтем из первого уравнения системы A),
второе тождество — из второго уравнения и третье тождество —
из третьего уравнения); получим
- х0) + Ьх(у - у0) +с1B-20) = 0,
а2(х - х0) + Ь2(у -уо) + c2(z - 20)= 0,	A2)
а3(х -хо) + Ь3(у-у0) + c3(z-z0) = 0.
Введем обозначения:
х-хо = и, y-yo = v, z-zo = w.	A3)
Теперь равенства A2) перепишутся так:
ахи + bxv + cxw = 0,
а2и + b2v + c2w = 0,	A4)
= 0.

236	Элементы теории определителей
Это есть однородная система трех уравнений первой степени с не-
неизвестными u,v,wnc теми же коэффициентами при неизвестных,
что и у данной системы A). Она называется однородной системой,
соответствующей данной неоднородной системе A).
Так как по условию А = 0, то согласно п° 16 однородная систе-
система A4) имеет бесконечно много различных решений. Отсюда сле-
следует, что и данная система A) имеет бесконечно много различных
решений; именно вследствие равенства A3) каждому решению и, v, w
системы A4) отвечает решение
системы A). Тем самым наше утверждение доказано.
На основании доказанного сразу получаем следующее предло-
предложение.
Если А = 0 и также Ах = Ау = А2 = О, то система A) либо совсем не
имеет решений, либо имеет бесконечно много решений (в последнем
случае по крайней мере одно из уравнений системы будет след-
следствием других; такая система называется неопределенной).
Пример 1. Система
х + у+ z=l,
2x + 2y + 2z = 3,
Зх + Зу + 3z = 4
(удовлетворяющая условиям Д = 0, Лх = 0, А^^О, А2 = 0) не имеет решений.
В самом деле, даже первые два уравнения этой системы несовместны, так как,
умножая первое из них на 2 и вычитая его затем почленно из второго, мы
получим невозможное равенство 0 = 1.
Пример 2. Система
Зх + у - 2 = 1,
5x + 2y+3z = 2,
8x+3y + 2z = 3
(удовлетворяющая условиям Д = 0, Лх = 0, Ay = 0, Л2 = 0) имеет бесконечно мно-
много решений. В самом деле, третье уравнение этой системы является следствием
первых двух, именно, получается при помощи почленного их сложения. Та-
Таким образом, данная система имеет лишь два существенных уравнения:
Зх+ у - 2 = 1.
5x + 2y + 3z = 2.	u
Чтобы найти все их совместные решения, запишем систему (*) в виде
Зх+ у = 1+ z,
= 2-3z.

§ 5. Системы трех уравнений первой степени
237
1 + 2
2-32
3 1
5 2
1
2
¦ - 5z, y-
3
5
1 +
2 _
3 1
5 2
2
Зг
и будем считать, что неизвестной 2 здесь предписано какое-нибудь численное
значение. Применяя формулы (8) п° 2, найдем
1-142.
Числа х, у вместе с числом 2 составляют решение данной системы; данная
система имеет бесконечно много различных решений, так как численное значе-
значение 2 можно выбирать произвольно.
§ 6. Понятие определителя любого порядка
18. В общей задаче решения и исследования систем уравнений
первой степени со многими неизвестными и во многих других вы-
вычислительных задачах математики приходится иметь дело с опреде-
определителями п-то порядка (п = 2, 3, 4,...). Теория определителей произ-
произвольного порядка строится в общих чертах аналогично изложенной
нами теории определителей третьего порядка; однако фактическое
построение ее со всеми деталями требует ряда вспомогательных пред-
предложений и тем самым представляет некоторые трудности. Эта тео-
теория, как и теория систем уравнений первой степени со многими
неизвестными, излагается в любом курсе высшей алгебры *).
Мы ограничимся лишь следующими указаниями:
1.	Определитель порядка п задается квадратной таблицей чи-
чисел (элементов определителя), имеющей п строк и п столбцов;
обозначается определитель порядка п аналогично определителям
порядка 2 и 3.
2.	Минором некоторого элемента определителя порядка п назы-
называется определитель порядка п-1, получаемый из данного путем
вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых располо-
расположен этот элемент.
3.	Алгебраическое дополнение некоторого элемен-
элемента определителя есть минор этого элемента, взятый со своим зна-
знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении кото-
которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком,
если это число — нечетное.
4.	Определитель равен сумме произведений элементов какого-
нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Тем самым вычисление определителя порядка п сводится к вычис-
вычислению п определителей порядка п-1.
*) См., например, «Курс высшей алгебры» А. К. Сушкевича.

238
Элементы теории определителей
5. Все изложенные нами выше свойства определителей относят-
относятся к определителям любого порядка.
Пример. Вычислить определитель
А =
4	4
2	5
2	8
8	7
Решение. Разлагая этот определитель по элементам верхней строки, т. е.
представляя его в виде суммы произведений элементов верхней строки на их
алгебраические дополнения, находим
А = 2
2
2
8
5
8
7
7
5
3
-4
4
3
2
5
8
7
7
5
3
+ 4
4
3
2
2
2
8
7
5
3
-6
4
3
2
2
2
8
5
8
7
= 296.
Замечание. Вычисление определителя можно упростить, если предва-
предварительно воспользоваться свойством 8 (см. п° 10 и замечание в конце п° 12).

Учебное издание
ЕФИМОВ Николай Владимирович
КРАТКИЙ КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет: О.А. Пелипенко
Оформление переплета: А. Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 15.12.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 13,21. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5 -9221 -0252 -4
785922 102520