МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ
РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
).П. РАЗМЫСЛОВ
ВВЕДЕНИЕ
В
ТЕОРИЮ A/lfEBF*
И ИХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Издательство
Московского университета
1991

ББК 22.14
Р 17
УДК 519.4
Рецензенты: чл.-корр. АН СССР, 1
профессор А.И.Костриким
доктор
физико-математических наук Ю.А.Бахтурин i
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Размыслов Ю.П.
Р 17 Введение в теорию алгевр и их
представлений. - М.: Изд-во Моск. ун-та 1991. -
105 с.
ISBIM - 5 - 211 - 01992 - X
Изложены основные понятия и методы теории
представлений. Описаны неприводимые
представления для алг-в&р Ли Гейзенверга9 простой
трехмерной алгевры Ли над алгебраически замкнутыми
полями. Указаны практические методы вычисления
спектров классических операторов теории
представлений. Приведена классификация простых ко- \
нечномерных алгевр. |
Для студентов младших курсов механико-мате-1
матического факультета МГУ. 1
077(02)-91-ваказное ББК 22 Д4
(Б) Московский государст-
1SBM5 -211-01992-Х зенный университет,
1991

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Лекция
Лекция
Пекци* 2.
Лекция 3.
Лекция 4.
Лекция 5-
Пенция 6.
Пекция
(\екция
Лекция
7.
8.
9.
/1екция 10.
Лекция 11.
Лекция 12.
Лекция 13.
Лекция 14.
Пенция 15.
Лекция 16.
4
Принеры ассоциативных алгевр
и алгевр Пи 5
Представления простой
трехмерной алгевры Ли (char Ke£> 9
Леммы о спектре,
централизаторе, ововщенных функциях 15
Представления простой
трехмерной алгевры Ли (charК >0> 21
Кл ас сификаци я неприводимых
конечномерных представлений
простой трехмерной алгевры
Ли 25
Леммы о совственном векторе,
аппроксимации, ововщенных
Функциях 31
Теорема Пуанкаре - Биркгоффа
- Витта 36
Алгевра разделенных степеней 42
Алгевры Ли дифференцирований 48
Гомоморфизмы Тэйлора.
Неприводимые представления
трехмерной алгевры Ли Рейзенвер-
ra (char К >0) 54
Инъективная оволочка. Леммы
об аь-^нуляторе. Теорема
плотности 62
Инъективная оволочка. Леммы
об аннуляторе. Теорема
плотности 68
Строение конечномерных
ассоциативных алгевр 74
Радикал в ассоциативных ал-
геврах 31
Ограниченная провлема Куро-
ша. Теорема Левицкого -
Ширшова 86
Неприводимые преде тав л ени я
алгевр Бейля над полями
положительной характеристики 92
Вычисление в арифметическом
случае минимального полинома
для гамильтониана квантовой
задачи о движении электрона
в кулоновом поле 96
-3-

Предисловие
В математике основные понятия и методы те!
ории представлений занимают видное место. Благо!
даря им различные алгебраические структуры, воз-]
никающие в различных областях математики, полу-1
чают единое описание. Функциональный анализ,!
дифференциальные уравнения и геометрия, кванто-1
вая механика широко используют такие структуры.!
Поэтому представляется заманчивым изложить ос -I
новные понятия теории представлений алгевр до}
изучения этих курсов. Однако здесь имеется одна]
существенная трудность s большинство традиционных!
задач этой теории, имеющих "прикладное" значение!
дпп указанных выше фундаментальных областей ма-1
тематики, содержат в сво&й постановке в качестве!
основного поля - поле действительных или ком-]
плексмых чисел. Из-за этого многие из них имеют]
решение в Бесконечномерных пространствах и мето-I
ды их решения являются существенно Бесконечно-1
мерными. Поэтому эти задачи вместе с теорией]
представлений принято считать трудно доступными!
для понимания студентов младших курсов. В данном!
пособии в качестве модельных вывраны задачи 1
классификации неприводимых представлений трех-3
мерной алгевры Ли Гейзенверга и простой трехмер-1
ной алгевры Ли над алгебраически замкнутыми по-\
лями, причем в первую очередь основное внимание I
уделяется полям положительной характеристики, I
так как в этом случае все неприводимые представ-J
ления этих алгевр конечномерны и их классифика-1
ция может выть понята студентами 1-го курса ме- I
ханико—математического факультета во 2~м семес-|
тре. Опыт чтения автором в 1986-90 ггш
спецкурсов длщ студентов первого и второго курсов
показал, что эти задачи позволяют изложить студентам
младших курсов существенную часть содержательных
э**етодо» теории представлений: леммы о спектре,
централизаторе, собственных векторах, обобщенных
функциях, аннуляторе и др. Записки этих
спецкурсов составили основу данного учевного пособия.
\
-4-

Лекция 0
Цель читаемого слекурса: познакомить
студентов младших курсов с первоначальными понятиями
теории ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Я предполагаю, что слушатели спецкурса
знакомы с определениями поля, линейного
пространства и способны привести примеры этих объектов.
Напомню, что характеристикой поля К
называется минимальное натуральное число р, для
которого
. 1+t + f,,+1 , = 0 .
р-раз
Обозначение: char К.
Определение 0Ш0» Поле К называется алгеь-
раически замкнутым, если любой многочлен f<t) с
коэффициентами из поля К раскладывается в кольце
многочленов KCtl на линейные множители-Я
Теорем* 0.0 т Лювое поле К можно вложить в
алгебраически замкнутое поле.■
Определение 0.1. Линейное пространство А
над полем К с заданной на нем Билинейной
операцией * s АЙА > А называется К-алгеврой.
Билинейность операции означает, что операция X
дистрибутивна справа и слева, а также линейна по
каждому аргументу:
<a+b)*(c+d)=a*c+a*d+b*c+b*d <a,b,c,d€A>,
oc-(b*d> = <<x-b)*d = b*(oc-d) (ot€K).B (0.0)
В данном спецкурсе почти все К-алгевры Будут
либо ассоциативными алгеврами, т.е.
удовлетворять тождеству
<а*Ь>*с=а*(Ь*с> ,
либо алгеврами Ли.
Примеры ассоциативных an гевр
Пример 0.1. Само поле К является
одномерной К—алгеврой, если в качестве операции
£:КВК——> К взять операцию умножения в поле К-И
Пример 0.2. Алгевра многочленов
является счетномернои коммутативно-ассоциативной
алгеброй, ее элементы 1, t» t* , •-., t^, ... as-
разуют вазис KCt3.B
Пример 0.3. Линейное пространство
формальных степенных рядов
IA-I26I

KCt3 £l£ t zi«0 ai-ti I Oii провегают поле К >
является Бесконечномерной
коммутативно-ассоциативной алгеброй относительно операции:
(Е^ аг11)»СЕ^ ^-t^) dli zkZ0 Mk-tk, (0.1)
где
def г к
*k 4=0 ~s~rk-
Эта алгевра KCCtll называется алгеврой степей-
них рядов от о а»ой переменной t. ( Вопрос*
является ли эта алгевра счетномерной, какова ее
ра змернос ть?)|
Все выше приведенные ассоциативные алгевры
выли коммутативными.
Пример ё.4ш Линейное пространство МП*К)
всех квадратных пхп матриц над полем К,
является п*-мерной ассоциативной алгеврой относительно
операции "Я" умножения матриц. Эта алгевра
называется полной матричной алгеврой над полем К.|
Следующие задачи и теорема 0.1 частично
объясняют, почему полные матричные алгевры играют
такую важную роль в теории ассоциативных ^дгевр»
Задача Ф.1, Доказать, что лювая
конечномерная ассоциативная алгевра над полем К
вкладывается в М (К) для подходящего натурального
числа Пг ■
Определение 0.2* Линейное отображение
ф:А^ > А2 называется гомоморфизмом К-алгевры
А* в К-алгевру А2> если
Ф<а*Ь) === ф<а>*ф<Ь> . (ajb^Aj)
Линейность отображения ф означает, что
ф(а+Ь) =§= ф(а)+ф(Ь) <а,Ь€А) ,
ф(осЬ) £Ш£ о(-ф(Ь) <а,Ь€А) .
изоморфизмом называется взаимнооднозначный
гомоморфизм. ■
Определение Ф.З. Линейное подпространство
I в К-алгевре А называется идеалом, если для
любых элементов i€I, a€A справедливы включения:
aXi el, i)(a € U
Задача 9.2, Доказать, что в полной
матричной алгебре М (К) нет нетривиальных идеалов,
т.е. идеал I алгевры МП<Ю совпадает либо с ну-
-6-

левым идеалом, либо со всей алгеврой.■
Теорема Ф.1. Пусть А - конечномерая
ассоциативная апгввра над алгебраически замкнутым
полем К и А не содержит нетривиальных идеалов.
Тогда К-алгевра А либо изоморфна некоторой
полной матричной К-алгевре М (К), либо А -
одномерная К-алгевра с нулевым уможением.В (Без
доказательства. )
Задача Ф,3» Доказать, что если основное
поле К имеет нулевую характеристику, то в
алгебре М (К) не существует матриц P,Q, для которых
выполняется равенство
P*Q-Q*P «1 (0.2)
(здесь 1 - единичная матрица). ■
Укажем еще на одну задачу, которая на первый
взгляд не имеет отношения к развираемой теме.
Задача Ф.4. Пусть г - действительное
число, лежащее на интервале (0,1) и
0myitli2ixz. ..цд... (0.3)
- некоторое его представление в десятичной
системе исчисления. Доказать, что если для
некоторого фиксированного натурального числа m в любом
m-развиении этой записи
112 2 mm»*
в котором все w- (i=l,...,m) содержат одинаковое
число цифр, нарушается одно из неравенств
wi>wi + l* то г "~ Ра1*иональное число, Более того,
его десятичная запись (0.3) имеет период, не
превосходящий число т-1.Ц
Определение Ф»4. Линейное пространство L
над полем К с заданной на нем Билинейной
операцией С,3: LBL —> L называется алгеврой Ли,
если для любых элементов a,b,c€L выполняются
тождества кососимметричности
Са,ЬЗ = ~СЬ,аЗ ( Са,аЗ = 0 ) (0.4)
и тождество Якоби
ССа,ЬЗ,сЗ + ССЬ,сЗ,аЗ + ССс,аЭ,ЬЗ = 0. ■ (0.5)
Пример Ф*5ш Трехмерное линейное
пространство над полем действительных чисел R является
алгеврой Ли относительно операции векторного ум-
-7-

пожения. (На самом деле, в определении вектор-
ного произведения поле R несущественно и
аналогичная трехмерная алгебра может выть определена
нам. любым полем К.)Я
Два следующих примера отражают два пути,
которые исторически привели к построению
конкретных моделей алгевр Ли.
Пример 0,6. Пусть А - произвольная
ассоциативная алгевра над полем К относительно
операции умножения X. Введем на линейном пространстве
А новую Билинейную операцию С,Э: АЙА —> А,
полагая
Са,ЬЭ £i£ a*b-b*a (a,b€A). (0.6)
Непосредственная проверка показывает, что дпщ
так введенной операции С,3 выполняются тождества
(0.4), (0.5) и, следовательно, линейное
пространство А наделено структурой алгебры Ли. Эту
алгевру Ли обозначают через А ~~ и называют an-
геврой Пи, ассоциированной с ассоциативной an-
геврой А.|
Пример Ф*7. Пусть V - произвольное
линейное пространство над полем К. Обозначим через
End^V множество линейных преобразований
(линейных операторов) пространства V, т.е.,
EndKV *Ш±
ЙЙ i A:V—>V| A(oc-v)=oc-A(v), A(u+v)=A(u) +A(v)
для любых ос€К и v€V >.
Множество End^V имеет естественную структуру
линейного пространства относительно операций:
(А+В)»v £^£ A-v+B-v, (oc-A).v Й11 a-(A-v)
(а€К, v€V, A,B<EEndKV).
Более того, множество End^V можно наделить
естественной структурой ассоциативкой К-алгевры,
полагая
A*B-v ^i* A-(B-v).
Пусть на пространстве V задана структура К-ал-
гееры относительно операции X:VttV >V.
Рассмотрим в End.,V подмножество
&&rb,V ^fi i D€DerKV| D- (ufcv) = (D-u) *v+u* (D» v)
u,v провегают V >.
-8-

Элементы этого множества называются
К-дифференцированиями К-алгевры V. Очевидно, что
множество Der^V всех К-дифференцирований К-алгевры V
является линейным подпространством в End^V.
Непосредственная проверка показывает, что для
любых двух дифференцирований Dj,D2 К-алгевры V и
любых элементов u,v€V выполняется равенство
(D1XD2 - D2*Di>-<uXv) =
= ((0^2 - D2XD1)-u)Xv + uX((D1XD2 - D^D^-v),
которое показывает, что множество всех К-диффе-
ренцирований К-алгевры V является подалгеврой Ли
алгевры Ли в (EncLAO ~ , ассоциированной с
ассоциативной К-алгеврой End^V. Эта алгевра Ли
называется апгешрои Пи дифференцирований К-алгевры
V. ■
Задача Ф.5. Показать, что подмножество
sl(2,K) US± < [г ^ J т?<х^ € к j
является подалгеврой Ли в алгевре Ли М0<К> "" ,
ассоциированной с полной матричной алгеврой
М2<К) второго порядка. Доказать, что
а) если R - это поле действительных чисел,
то алгевра Ли si(2,R) немзоиорфна трехмерной
R-алгевре Ли из примера 0.5,
в) если С - это поле комплексных чисел, то
алгевра Ли si(2,С) изоморфна трехмерной С-алгев-
ре Ли из примера 0.5. ■
Лекция 1
Вернемся к основному определению, данному на
предыдущей лекции.
Определение 1*1, Линейное пространство А
над полем К с заданной н& нем Билинейной
операцией X : А$А > А называется К-алгеврой. (Ри-
линейность операции означает, что операция *
дистривутивна справа и слева, а также линейна по
каждому аргументу).■
Из этого определения вытекает, что hsl
множестве А имеется три операцииг +, -, X, Первые
две из них — это операции линейного пространства
-9-

С • s КйА > А - операция умножения вектора на
элемент поля).
Пусть te^ I i€I> - некоторый Базис простран-
транства А. Тогда в А для любых индексов i,j € I
должны выполняться равенства
е4*е. * Е^т с,к.-е. (с, к.€К), (1.0)
1 j k*I ifJk ifJ
где для фиксированных i,j лишь конечное число
к
коэффициентов с- отлично от нуля. Элементы
с ^ к . называетея с г руктурнммн коме тли глам К-ал-
гевры А.
Ясно, что структурные константы полностью
определяют операцию *: АЙА > А и,
следовательно, К-алгевру А. Действительно, если задан
произвольный навор элементов
i c.k .€К | i,j,k€I> <1.0#)
*о
из поля К такой, что при фиксированных i,j лишь
к
конечное число элементо с- отлично от нуля, то
1» j
дпщ произвольных двух векторов
х = Ei€I «i-ej, у = EUl Р.-в. («^ Р^Ю
из линейного пространства А можно определить
произведение хХу этих векторов, полагая
~- Ек€1< Е1€1Е,€1 «1-^-с1^>-ек '
Это определение операции умножения К: АЙА > А
корректно и задает на линейном пространстве А
над полем К структуру К-аягевры.
Зааача 1.Ф. Указать соотношения между
структурными константами К—алгевры, которые
обеспечивают
а) коммутативность,
в) антикоммутативность,
в) ассоциативность
алгевры А. Выписать уравнения для структурных
констант, которые гарантируют, что К-алгевра А
является алгеврой Ли.И
Задауа /./. Алгеврой кватернионов над
полем К называется четырехмерная К-алгевра с
Базисом 1, el, e2, еЗ и умножением "Xм, заданным
следующей таблицей:
-ю-

1
el e2 e3
1
el
e2
e3
1
el
e2
e3
el
-1
-e3
e2
e2
e3
-1
-el
e3
-e2
el
-1
а) доказать, что если К - это поле
действительных чисел, то в алгевре кватернионов лювой
ненулевой элемент обратим;
в) доказать, что есп\> К — это поле
комплексных чисел, то алгевра кватернионов изоморфна
алгевре матриц второго порядка над тем же полем.|
Задача 1,2, Над алгевраически замкнутым
полем описать К с точностью до изоморфизма все
а) двумерные К-алгевры Ли, в) трехмерные К-ал -
гевры Ли.■
Тема 1, Задание апгевр образующими и
определяющими соотношениями. Неприводимые
представления трехмерной апгевры Пи,
Пусть М ассоциативная К—алгевра квадратных
матриц порядка п относительно операции умноже-
ния матриц (см. пример 0.4).
Типичным примером постановки задачи в теории
представлений является спедующая задача.
1. Найти в алгевре М матрицы h,e ,e_,
которые удовлетворяют следующим уравнениям:
е+*е_ - e_J*e+ = h;
h*e+-e+Sh=e+; h*e__-e _Sh=-e_.
(Обычно эти уравнения условно записывают
следующим овразом:
Ce+,e_3=h; Ch,e+3=e+; Ch,e_3=-e_, (1.1)
имея ввиду, что Сх,уЗ это обозначение для
х*у-у*х (см. пример 0.6).)
2. Найти для матрицы, соответствующей
оператор у К а эимира
h_= h*h+e+*e_+e_*e+ , (1-2)
рее ее собственные значения., Я
Эт_. рэдачу можно воспр»-1н. nark , ■" ал диофанто
ъь\ у раьнечич, которые с/.---*»?- f ешт t в алгевре

матриц li .
Аналогичная задача может выть поставлена и
для алгебры эндоморфизмов End^V произвольного
линейного пространства V над полем К (см- пример
0.7).
Приведем два примера решений уравнений (1.1).
Пример 1 ml9
= (i/2 0 Ч . (0 1/2^ . le 0\
h { 0 -1/2) » е+ [0 0 ) ' - U 0)-И
Притер 1.2» V ~ пространство Бесконечно-
дифференцируемых функций от одной переменной t
(например на интервале (0,1)). Положим
e_=d/dt; h=t*(d/dt); е+=(t*t/2>*<d/dt>. ■
Решение э*да¥И* Сначапа рассмотрим случай,
когда основное поле имеет нулевую
характеристику, например К можно считать полем комплексных
чисел.
Обозначим через V линейное К—пространство,
состоящее из всевозможных векторов столбцов
высоты п с элементами из поля К. Отождествим an-
гевру матриц М с алгеврой всех линейных
преобразований End^V линейного пространства V,
полагая, что произвольная матрица а^Мп переводит
каждый вектор v€V в вектор a-v, где - - операция
умножения матрицы на вектор.
Допустим, что поставленная задача уже нами
решена и матрица h имеет вид
[hll> h12'-'-,hlnl
h =
iii «i
\ nl
n2'
.,h
nn
Обозначим через v вектор из V, для которого
справедливо равенство
h-v=9v <в-ЕК>.
Если v*0, то такой вектор называется совственным
вектором для оператора h, а элемент поля в -
соБС-г^енным значением h.
П&кма 1+Ф, Для любого линейного
преобразования Н в конечномерном линейном пространстве W
над ал-еьраически замкнутым полем К существует
соБственный вектор. Собственные вектора
оператора Нч отвечающие различным собственным
значениям, линейно независимы.
•12-

Цоктэлтепъстшо первого утверждения
проводится вез труда, если заметить, что множество
всех совственных значений оператора Н совпадает
с множеством решений алгевраического уравнения
det(H-t•1)=0, и воспользоваться алгевраической
замкнутость» основного поля К. Для
доказательства второго утверждения леммы предположим, что
H-vi=9i -vi (i=l,2, , з)
и
oci-у.+а0-у0+ ... +е- -v = 0 (ос. €Ю ,
1122 ss 1'
где все 6.,..., в - попарно различные элементы
поля К, a v«,«.., v - ненулевые векторы. Тогда,
применяя к овеим частям последнего равенства q
раз оператор Н, имеем
0^-«1-vl+ ... + e?e<xs"vs = 0 (q-#, ,s-l).
Эту систему равенств можно рассматривать, как
систему линейных однородных уравнений
относительно "неизвестных" ai"vi <i = h. »-?ь),
определитель которой является определителем Вандермон-
дал Так как все в- различны между совой, то этот
определитель отличен от нуля и все ai*vi
(i=l,...,s) должны равняться ну/«и>. Но тогда
а*, и . . ,<х равны нулю и векторы v*. . . . , v линей
но независимы. Лемма доказана. ■
Пенна 1*1. Вектора w=e+-v, u=e_-v
являются совственными дпя h и (0+1), (6—1) - их сов
ственные значения.
Цоншэатепьстшо» Из соотношений (1.1) имеем
h-w = h- (e+-v)=(h*e+-e+*h) -v+(e+*h) -v =
= Ch, e+3 • v*-(e+3€h) -- v=e+• v*-e+ - (h- v) =
= (1+9)-w.
Для вектора и утверждение леммы доказывается
аналогично. В
Следствие 1» Если char К = 0 (или п
меньше, чем char К), то среди векторов вида
Ce^-vl q=0? !,...> <o£-v| q=0, i,...>)
есть нулевые.
йокшэлтепъство» Предположим противное.
Тогда по лемме 1.1 все зт* вектора являются
совственными для h с сог( .-* с • ыми значениями в,

(1+6),..., (q+6),. . . . Согласно условию
следствия 1 эти собственные значения различны при
q=0,1,•.., п. Следовательно, соответствующие им
совственные вектора (а их число равно п+1)
линейно независимы по лемме 1.0, что противоречит
n-мерности пространства V. ■
0пр*А*пени9 1.2. Ненулевой вектор и
называется стшртим вектором в V, если
е+ - и = 0 & h-u=ji• u .
Совственное значение ji оператора h называют
сглршин. Ш
Спсдстши* 2, Если char К = 0 (или п
меньше, чем char К), то в пространстве V есть
старший советвенный вектор. ■
Обозначим его через v0, а через ц
соответствующее совственное значение. Определим
последовательно вектора v0, v«, v~» • ••» полагая
v -f- e?-v0 ( q=0,1,2,... ) . (1.3)
По следствию 1 леммы 1.1 начиная с некоторого q
все вектора в этом ряду Будут равны нулевому..
Пусть N - целое число такое, что
vN*0, a vN+1= 0.
Обозначим через W подпространство, порожденное
векторами v0,v*,...,v^. Из леммы 1.1 и
определения векторов v. (1.3) вытекает, что
h-vq=(M-q)v e_-v =viK| (q=0,1,...,N). (1.4)
Следовательно, линейные преовразования h,e_
переводят подпространство W в севя. Выясним, как
действует на вектора v оператор е+.
e+-vq+l = e+-e^-vq= Се+,е.З-Vq+e_-e+-vq =
= h-vq+e_-e+-vq = (p~q)vq+e_-e+-vq = ...
... =< (M~q) + (ja-q+l)H- ... +(р-2) + (ц~1)+р>Уд =
= {(qfl)p-q(q+l)/2)vfl <q=0,1,...,N).
т
Окончательно получаем
e+-vq+1 = (q+1)(M-q/2)v^ (1.5)
Так как ^|у|+1=0» то ПРИ 4=N из этой формулы
получаем
(N+l) tji-N/2)=0 . (1.6)
-14-

Тогда в спучае charК = 0 или dimKV=n<charK
элемент Ж-1 не равен нулю в поле К и из (1.6)
получаем значение старшего собственного значения цг
ji = N/2 . (1.7)
Формулы (1.3), (1.4), (1.5), (1.7) полностью
определяют действие линейных преобразований h,s+,
е_ на подпространстве W (dim^W^N+l).
Зшдлч*
Злдлул 1,3, Показать, что при любом
натуральном N заданные формулами (1.3)-(1.5), (1.7)
линейные преобразования h,e+,e_ в N+1-мерном
пространстве W удовлетворяют соотношениям (1.1).
Уведиться, что при атом характеристика основного
поля К не имеет значения. ■
Злдлчл 1,4, Доказать, что если N+1 < charК
(либо charK=0), то в линейном пространстве W не
существует совственного ненулевого
подпространства W# , дл^ которого
h-W* с W1 Ь e+-W# с W9 Ь e_-W# с W# . ■
3*A*v* 1.5, Показать, что если N+1 > charK>
>0, то в линейном пространстве W такое
собственное ненулевое подпространство W* существует. ■
Злдлул 1,6, Найти действие оператора
Казимира к в пространстве W. ■
Лекция 2
В предыдущей лекции было начато решение
задачи о трех операторах (матрицах) h,e+,e_,
удовлетворяющих соотношениям
Ce+,e_l=h; Ch,e+3=e+5 Сп,е_Э=-е_ (1.1)
Для любого натурального п нам удалось найти
некоторое решение первой из этой задачи. Можно
доказать, что в случае алгебраически замкнутого
поля нулевой характеристики эги решения являются
типичными и из них можно построить лювое
решение- Над полями положительной характеристики
существуют принципиально другие решения. Для того,
чтобы их найти необходимо ввести новые понятия и
выяснить овщие связи между ними.
Зада** 2-0* Доказать, что оператор Казимира
к —~=ь е+£е_+е ^e^+hfch коммутирует с операторами
-15-

e+, e_, h.
Определение 2.0, Пусть Н - произвольное
линейное преовразование пространства V над полем
К (dimKV произвольно). Спектром оператора Н
называется следующее подмножество поля К:
de-f
Spec H -=- <ос€К I Н-ос-1 - необратимое
линейное преобразование*. ■
Напомним, что отовражение H:V —> V
линейного пространства V в севя называется линейным
преобразованием (оператором), если
Н-(u+v) = H-u+H-v, (для любых u,v€V, ос€Ю
Н-(oc-v) = ос-(H-v),
и оператор Н обратим, если Н -
взаимнооднозначное отображение.
Пемма о спектре . Пусть размерность линей-
ногэ простр-антва V меньше, чем мощность
алгебраически замкнутого поля К. Тогда спектр лювого
линейного оператора Н € End^V непуст.
ЦокшзатепъствОш Для любых v€V, H€EndKV
обозначим через Spec H следующее подмножество в К:
{*€К | уравнение (Н-ос-1)-x=v - неразрешимое
Ясно, что
SpecyH с: Spec H (0*v<SV) . (2.1)
Допустим, что Spec H - пустое подмножество в
К длъ некоторого ненулевого v€V. Тогда для
любого otSK уравнение
(Н-ос-1) -x=v
разрешимо. Пусть v - одно из решений этого
уравнения. Тогда мощность множества £v | ос€К>
равн<? мощности поля К. (Действительно, если
v =v^ & «ФР, то из равенств
(Н-ос-1) -v =v , (H-P-l)-v^ =v (2.2)
ос ос
выте.ает, что (ос—Р)-v =0, т.е. v =v«=*-0 и v
Аол^вн был бы быть нулевым вектором, что
противоречит выбору v.)
гак как по условию леммы мощность поля К
стр<-о вольте размерности пространства У, то
среди векторов множества iv^ I ос€Ю должны выть
линейно зависимые вектора* Тогда
-16-

для некоторых различных oc^, «2» - - - » «ro ^ К и
некоторых ненулевых р^, ?2,..., ^т€К- Применяя к
овеим частям равенства (2.3) линейное
преобразование (Н-«1-1)Х(Н-о(2-1)Х. ..*<Н-ат-1) и учитывая
первое из равенств (2.2), получаем, что
CEq=l *q ' <H"-ai ■1>*.-. *(Н-а^1) *... *(Н-ост-1) > - v=0.
(2.4)
Таким овразом, доказана
Пеннш 2,1 . Если размерность линейного
пространтва V меньше, чем мощность К и для
некоторого ненулевого вектора v подмножество Spec H
пусто, то существует такой ненулевой многочлен
f(t)€KCt3, что
f(H)-v=0 . (2.5)
йейстшитепъно, положим
i (t) USitz « р . (t-« -1) *. . . * <t-o£?l > X. .. X (t-oc • 1) > .
q—1 q 1 q m
Этот многочлен ненулевой, так как
f (<x_) = F • (ос -ос* )-...- (ос -ос„) •. . - - (ос -ост) *0
q qql qq qm
для некоторого чиспа q. Тогда утверждение (2.5)
вытекает из (2.4).|
Спедствие . Если размерность линейного
пространтва V меньше, чем мощность К и для
некоторого ненулевого вектора v подмножество SpecvH
пусто, то линейное подпространство W, натянутое
на вектора v, Н-v,..., Hq•v,... конечномерно и
H-W с W.
йокшзштепьстшо . Из равенства (2.5)
заключаем, что
Hq--f (H) -v=0 (q=0,l,. ..)
и любой вектор Hq",-s-v, где s= deg -f, выражается
в виде линейной комбинации предыдущих векторов
H1+s-v (i<q). Следовательно,
dinu.W < m = deg f.
Следствие доказано.■
Окончание доказательства пенны о спектре.
Допустим, что утверждение леммы неверно, т.е.
Spec H пуст. Тогда из включения (2.1) получаем,
2-I26I 1Г

что Spec H пуст для любого ненулевого вектора
v€V. По следствию леммы 2.1 подпространство W
конечномерно и H-W с W. По лемме 1.0 в простран-
ве W есть советвенный вектор w, т.е.
(H—ji-D-w = 0 (дпщ некоторого ji € К ) .
Следовательно, p€Spec Н и спектр оператора Н
непуст. Полученное противоречие дрказывает лемму.■
Задача 2.1. Пусть К - алгебраически
замкнутое поле, содержащееся в поле К*, и
размерность поля К* над К строго меньше,чем мощность
поля К. Доказать, что тогда поле К совпадает с
К'.И
Задача 2.2. (Теорема Гилъверта о нулях).
Пусть А - коммутативно-ассоциативная алгевра над
алгебраически замкнутым полем К и размерность
алгевры А над К строго меньше, чем мощность поля
К. Доказать, что тогда для любого ненильпотен-
тного элемента d алгевры А существует
гомоморфизм Ф: А —> К, для которого Ф(сЛ) не равно
нулю. (Напомним, что элемент е алгевры А
называется нильпотентнын, если для некоторого натура -
N
льного числа N в А выполняется равенство е =0.)|
Определение 2.1. Гомоморфизм Фг А —> End^V
ассоциативной К-алгевры А в алгевру линейных
преобразований End^V линейного пространства
над полем К называется представлением алгевры А
в линейном пространстве V. ■
Определение 2.2. Подмножество линейных
преобразований
С Йё£ {c€EndKVl V d€A Ф(d)*c=c*fc (d)> (2.6)
называется централизатором представления'
Ф:А —> Endj^V ассоциативной алгевры А в линейном]
пространстве V. ■
Предложение 2.1. Централизатор С
представления Ф: А > End-xV является К-подалгеврой в]
End^V, содержащей единицу.
Показатель ство. Ясно, что С - линейное]
подпространство в К и что единичный оператор
содержится в С. Непосредственно из определения!
(2.6) цлщ любых с*,с^€С, d€A) получаем
(с^с^ЯФ^^с^с^Ф^^с^Ф^)*^^

= <с1ХФ(с!))Хс2=(Ф(<^)^с1)Хс2=Ф(с1)Х(с1^с2).
Это показывает, что произведение элементов из
централизатора лежит в С. Предложение доказано.!
Определение 2.3,- Представление Ф алгевры А
в линейном пространстве V называется
неприводимым, если
а) Ф(А)Ф0;
в) в пространстве V нет инвариантных
подпространств относительно действия алгевры А,
т.е. если для некоторого подпространства W
справедливы включения Ф(с1) -W с W (d провегает алгев-
ру А), то W совпадает либо с V, ливо с нулевым
подпространством. ■
Задача 2.3. Показать, что естественное
представление
Ф : li > End^V
п к
алгевры матриц порядка п в п—мерном линейном
пространстве V является неприводимым-■
Пени* о центрлпиэаторе. Пусть Ф:А —> EndKV
- неприводимое представление ассоциативной
алгевры А в линейном пространстве V и основное /т-
ле К алгебраически замкнуто и имеет мощность
Больше, чем размерность пространства V. Тогда С=
= К-1, т.е. централизатор С представления
совпадает со скалярными операторами.!
йоказатепъство. Пусть с€С. По лемме о
спектре спектр элемента с непуст- Это значит,
что для некоторого ос€К оператор с-ос-1 неовра-
тим. Следовательно, отовражение с-ос-1 не
является взаимнооднозначным и ливо
а)(с—ос-1)-v=0 (дл^ некоторого ненулевого
вектора v€V),
ЛИБО
в) (с-ос-1) -V*V (т.е. овраз отображения с не
совпадает с V).
Случай в). Рассмотрим линейное
подпространство v, dg£ (c-oc.d.v
Ясно, что дпщ любого d€A Ф(й) • Vf =Ф^> • (с-ос« 1) -V=
= (с-ос-1) -0(d) -V с V. Т.е. V* - Ф
(А)-инвариантное подпространство в V. Так как V* не равно V,
то 0 = V#= (с-ос-1)-V. Следовательно, (с-ос-1) -
нулевой оператор и с=ос»1.
Случай а). Рассмотрим линейное
подпространство
V# йш£ Ф(Ъ)-v+P-v (b провегает А, а Р - К).
-19-

Ясно, что для любого d€A
Ф(с1)-У#= Ф(с1) -{Ф(Ь) -v+P-v> =
= Ф(с1)-Ф(Ь) ^+Ф(с1)-^-у=Ф(с1ХЬ-н^-с1)-v с V*.
Т.е. V1 - Ф(А)-инвариантное подпространство в V.
Так как V* ненулевое , то V = V*. Но тогда
(с-ос-1) -V = (с-ос-1) -V# = (с-ос-1) -{Ф(Ь> .v+F-v}=
= Ф<Ь) • (с-ос-1)-v +Р-_(с-ос-1)-v = 0
Следовательно, (c-oc-1) — нулевой оператор и с=ос-1.
Таким овразом, в обоих случаях с€К-1 и лемма
доказана.!
Критерий неприводимости представления.
Предложение 2.2. Пусть Ф: А > EndKV -
неприводимое представление ассоциативной
К—алгебры А и v - произвольный ненулевой вектор из
V. Тогда линейное подпространство
V§= A-v ^i£ { ф(с!)-у I d€A>
совпадает с V.
Доказательство. Из равенств
Ф<е-к1) -v=$(e) -v*-<t>(d) -v,
F-<<ft(d)-у) = (ф<Р-а>>-v <e,d<EA, Р<ЕК)
вытекает, что V1 - линейное подпространство в V.
Равенство
Ф(е) - W(d) -у)=Ф(е)*ФЫ) -у=Ф(еЭЮ) -v
показывает, что V* — инвариантное
подпространство относительно операторов из Ф(А). Поэтому из
определения 2.3 неприводимости представления Ф
получаем, что либо V=V# (и утверждение
доказано) , либо V* - нулевое подпространство. Это
значит, что
Ф^)-у = 0 (для любого d € А) . (2.7)
Рассмотрим одномерное подпространство W с
вектором v в качестве Базиса. Тогда из (2.7)
получаем, что Ф^)-М = 0си1, т.е. W- одномерное ина-
риантное подпространство в V относительно всех
операторов из Ф(А). Пользуясь вновь
неприводимостью представления Ф, заключаем, что V=W. Но
тогда в силу равенства (2.7) все операторы Ф^)
действуют нулевым овразом на V, т.е. Ф(А) -
нулевая подалгевра в End^V. Это противоречит
свойству а) определения 2.3 неприводимости
представления Ф. Следовательно случай V'=V невозможен.
-20-

Предложение 2.2 доказано.■
Зша*ч* 2,4т (Я+нн* Шурт)* Доказать, что
централизатор С неприводимого представления Ф
является телом, т.е. в алгебре А любой ненулевой
элемент имеет обратный»■
П*кцмя 3
Э*д#у« Зтёш Доказать, что
С...ССа,ЬЗ,ЬЗ,...,ЬЗ=
i i
п-раз
* E.20(-l>j-CJ-bj-a.b<n"j). ■ (3.0)
В этой лекции мы продолжим решать задачу об
операторах h, e+,e_,k, Сформулированную в лекции
1 (см. (1.1), (1.2)).
В лекции 1 выл разовран случай, когда dim^V-
= п < • и К — алгебраически замкнутое поле
нулевой характеристики. Было доказано, что в любом
таком линейном пространстве существует ненулевое
линейное подпространство W с Базисом, состоящим
из векторов v0,v-,...,v^, в котором искомые
линейные преобразования h, e+, е_ действуют
следующим ОБразом:
h-vq=(N/2-q)-vq; e_»vN=0, e~-vq=vq+1;
(q=0,1,...,N-1);
«+-v0=0, e+#vq+i e <Q+1>-<<N-q)/2)-vq
(q=0,1,...,N-1). (3.1)
Из этих формул непосредственно получаем, что
k"v0 * e+-*_.v0+e_-e+.v0+h.h-v0 =
(1-(N/2)+(N/2)-(N/2))-v0=(N/2+l)-N/2-v0. (3.2)
Задачи 1.3, 1.4 показывают, что для любого
натурального числа N формулы (3.1) задают операторы
hje^e^CEnd^W, которые являются решениями
уравнений (1.1) (это справедливо над любым полем К),
и в пространстве W нет ненулевых собственных
подпространств, инвариантных относительно
действия всех трех операторов h,e+,e_ (это
справедливо дпя любого поля К нулевой характеристики, а
также в случае char К > IM+1).
.Хтог.т
2^1261 -21-

Резюмируем:
Two рема 3.1. Пусть в конечномерном
линейном пространстве над алгебраически замкнутым
полем К, где поле К имеет либо нулевую
характеристику, либо dim^V < char К, действуют линейные
преобразования е+,е_,п, связанные соотношениями
(1а 1). Тогда в V существует ненулевое
подпространство W с вазисом v0, v-,...,v^|, в котором
операторы е+,е_,п действуют по формулам (3.1).
Более того, если пространство V неприводимо
относительно действия операторов е+,е_„п, то V=W и
k = (N/2)•(N/2+1)-1- ■
В качестве повторения предыдущего материала
докажите это утверждение.
Теперь перейдем к решению основной задачи в
случае, когда charK=p > 0.
Мы Будем дополнительно предполагать, что
dinyV < |К | и что действие операторов е+,е_,п
неприводимо на пространстве V.
Обозначим через А наименьшую К-подалгевру в
End^V, содержащую искомые линейные
преобразования e^e^jh. Ясно, что эта алгебра содержит
множество мономов от e+,e„,h:
м Йе£ M<e+,e_,h> Й§£
UMi <d1Xd2X--.Xd | dt€ <e+,e_fh>, q=l„2,...>,
а также любые линейные комбинации таких мономов
Е.^о^-и, <ос.€Кч w.€M<e.„e ,h>„ s=l,2, >.
<3.3)
Так как все такие линейные преобразования
образуют К-падпространство в End.„V, а произведение
лювых двух операторов вида (3.3) также преаста-
вимо в таком виде, то К-апгевра А совпз#зет с
множеством всех зпементов вида (3.3).
Лемма 3.2. Любой элемент d алгевры А
представим в виде
'.. г-ь г0
d = Zr.mr щГ р (r0« r+**"--> '*- *е+ *п , (3.4)
где Р<г0,г + ,г_)*К, г0Чг + ч> _ М , г0+г++г„>0.
Цокшзатеяъство• Достдто жо показать, что
любой моном из множества ?i<e^,e__,h) можно выра-

зить в виде (3.4). Из индуктивных соображений
достаточно рассмотреть моном вида
e^*e2*hm*d (d€{e+,e_,h>). (3.5)
Рассмотрим различные случаи.
1. Если d=h, или т=0 & d=e+, или q=0 & m=0 8c
& d=e_, то моном (3.5) имеет вид (3.4).
2. Если т>0 & d=ew (ir€{+,->), то
ekXe2*hmXew = ek»e2xh(m"l)X(Ch.eir3 + е *h> =
— + w — + it it
=ir(e^e^h(m"1)^eir) + (e^e^ h(m"1}K ew)*h.
Мономы в круглых сковках имеют меньшую длину и
приводятся к виду (3.4) из индуктивных
соображений.
3. Если m=0 & q>0 & d=e__, to
е**е5*е_ = «*Хе2""1Х<Се.|.,е_Э + е_*е+) =
= ekXe5"1»h + (ekXe2""1^e >*&».
Первое слагаемое имеет вид (3.4), а во втором -
моном в круглых сковках выражается из
индуктивных соображений в виде линейной комбинации
элементов el*e;j. (i+j i k+q). Лемма доказана.■
Обозначим через ids А —> End^V естественный
гомоморфизм вложения А в End^V.
Пенна 3.2. Операторы е£, е^, hD-h (charK*p>
> 2) лежат в централизаторе С представления id
алгебры А в пространстве V.
Цоклэттфпъсгво. Пусть d££e+?e_,h}. Тогда
из (1.1) и (3.0) имеем
0 =C...Cd>e4.3,,..,e4,3= Ъ.% (-1) J -С£ .eJ*d*ejD~j) «
р-раз
« d*e£ - eP*d .
Следовательно, dfce??- e|?*d и элемент ej коммути-
рует с любым элементом e+,e_,h. Но тогда е+
коммутирует с любым элементом множества М, более
того, с любым элементом вида (3.3), т.е. со всеми
элементами алгебры А. Это доказывает, что е^€С.
р
Аналогично доказывается, что е_€С.
-23-

Из (1.1), (3.0) вытекает, что
0 = Ch,...,Lh,Ch,d3 3...3-Ch,dl=hP*d-d*hP-hXd+dXh,
р-раз
т.е. {hp-h>*d=d*{hp-h}, где d<S<e+,e_,h>. Но это
значит, что (hp-h)€C. Лемма доказана.!
Следствие 1, В неприводимом представлении
id:А—>EndKV (dim^V < IK I & char К =р>2)
выполняются равенства
ep=e+-l ; еР=в_-1 ; hp-h =e0-l
для некоторых ^+j^_,O0€K.
Оокмзмтепъстшо немедленно следует из леммы
о централизаторе. В
Следствие 2т Для любого неприводимого пред
ставления
ids А—>EndKV (dimKV < |К| & char К =р>2)
К-А.пгевра А конечномерна и dim^A < р .
Ооклэттепъстшо немедленно следует из
предыдущего следствия и леммы 3.1, так как из
формул (3.4), (3.5) вытекает, что любой элемент d€A
представим в виде
г- г* га
d ^Е ^ ^ Р* (Гд.,^,^) -е_ * е * Xh0, (3.6)
где Р* (r0,r + ,r_)<EK, r09r+,r_ € N , г0,г+,г_<р.в
Теорема 3.2. Лю&ое неприводимое
представление
ids А—>EndKV (dimKV< |KI & ch^r К =р>2)
конечномерно, т.е. dim^V < «в.
Доказательство. Для любого ненулевого век -
гора v£V рассмотрим линейное подпространство
Vf Йё£ { d*v+F-v I d<EA, F€K >.
Ясно, что V**0 & A-V'crV. Поэтому V# =V и V
порождается как линейное пространство над К
векторами вида
(е_ *е+ *h w)-v (0 < г0, г + , r_ < р) .
Это доказывает, что dim^V < p°-В
-24-

Пекция 4
Мы продолжаем cfc
Мы продолжаем считать., что алгебра А —-
A(e+,e_,h) над алгебраически замкнутым полем
К положительной характеристики р задана
образующими е+,е__,п и определяющими соотношениями
Ce+*e_II=h; Ch,e+3=e+; Ch,e_:i=-e__ . (1.1)
В этой лекции мы опишем все неприводимые пред
ставления этой алгевры. По теореме 3.2 все такие
представления конечномерны. Поэтому мы можем
отождествить алгебру А с подалгеброй,
порожденной в ассоциативной алгебре всех линейных
преобразований EndKV конечномерного линейного
пространства V линейными операторами e+fe__,h,
связанными соотношениями (1.1), и считать, что в V
нет отличных от V и С0> А-инвариантных подпрос-
транств. По следствию 1 леммы 3.2 в этом
представлении ids A—>EndKV выполняются равенства
е^=9+.1; е?=6_-1; hp-h=80-l (4.1)
для некоторых Ф+,в_,6€К. Задача 2.0 и лемма о
централизаторе дают еще одно равенство для
оператора Казимира
k= e+*e_+ej*e++h*h = *-1, (4.2)
где S - некоторый элемент поля К, зависящий от
представления.
Рассмотрим следующие случаи.
Cnyva» It в_Ф0.
Обозначим через v~ собственный вектор для
оператора h, а через ц соответствующее
собственное значение. Рассмотрим последовательность
векторов
vq Й§£ e--v0 (q=0,l,2,...,p).
Из второго из равенств (4-1) и леммы 1.1
вытекает, что
vp=O_-v0, h-vq=(jj-q) -vq . (4,3)
Следовательно, подпространстве W, порожденное
векторами v0, --., v , инвариантно относительно
действия оператор© h, е_ и оператор е_ Обратим в
этом подпространстве. Из (1.1) вытекает, что
-Z5-

k= e+*e_+e_*e++h*h = 2-e_*e++Ce+, e_3+h*h =
= (h+l)*h+2-e_*e+ .
Сравнивая это равенство с (4.2) получаем
выражение для действия е+ на подпространстве W:
е+ «<е11>*<$-1-(Ги-1>Хп>/2 . (4.4)
Это показывает, что ненулевое подпространство W
инвариантно под действием апгевры А.
Следовательно, V=W. Так как собственные значения JJ-1?
М-2, -.-, \х~Р оператора h различны в поле К, то
собственные вектора v-,V2p-*-»v образуют вазис
W (см. лемму 1.0), т.е. dimKV=p.
Окончательно при 6_Ф0 имеем, что v0,...,v -
- вазис V и
vp=e-'v0'
e-'vq=vq+l* h-vq=<M-q)-vq;
e+.vq4.1 =£(*-(M-q)-(M-q-l))/2>-vq
(q=0,l,2,...,p-l). (4.5)
Таким овразом, при 8_Ф0 рассматриваемое
представление определяется тройкой параметров в_,ц,
&ш Непосредственная проверка показывает,что цпщ
любой такой тройки параметров 6_,ц,<$" (в_*0)
линейные преобразования e+,e_,h, заданные
формулами (4.5), удовлетворяют равенствам (1.1) и
задают неприводимое представление алгевры А в р-мер-
ном пространстве V (char К = р).
Спуулй 2г 6+Ф0.
Этот случай рассматривается аналогично с
заменой е+ на е_. Тогда для любого собственного
вектора и0 оператора h и соответствующего
собственного значения ц последовательность векторов
uq "~ e2'u0 (q=0,l,2,...,p-l)
образует вазис пространства V,
е = <6-l~(h+l)^h3X(eT1)/2 (4.4#)
и действие линейных преобразовании в этом Базисе
определяется формулами
-26-

e+-Uq=uq+i; h-uq=(n+q)-uq,
e_-u +1 = < (<S-(p+q+l) - (j.t+q)) /2> -u
(q=0,1,2,...,p-l) . (4.5f)
Таким овразом, при в+*0 рассматриваемое
представление определяется тройкой параметров
в+?М»^- Непосредственная проверка показывает,что
для любой такой тройки пгоаметров в+,р,6 (в+Ф0)
линейные преобразования e+,e_,h, заданные
формулами (4.5*), удовлетворяют равенствам (1-1) и
задают неприводимое представление алгевры А в
р—мерном пространстве V (char К = р) .
Случай 3: (в+=0) Ь. (в_=0) -
В этом случае е^-е^=0 и в пространстве V
существует старший вектор v0 (см. определение
1.2.), т.е.
v0*0, e+eV0 = 0» h-v0=M-v0,
и в последовательности векторов v =— ©5*v0
(q=0,1,...) вектор v заведомо равен нулю.
Обозначим через N наименьшее число такое, что v^*0 Ь.
% vN+1=0. Ясно, что N+llp. Поэтому среди
собственных значений р, р-1,..„, jj-N оператора h нет
одинаковых в поле К (char К =р>. Следовательно,
можно воспользоваться результатами лекции 1 (см.
формулы (3.1), (3.2)) и получить определяющие
формулы при лювом N+l<p для операторов e+,e_,h,k
в вазисе VgjVj, ,vN:
h.vq-(M~q)-vq; e^-vN=0, *--vq=vq+1,
e+-v0=0, e+-vq+1 = (q+l)•(M-q/2)-vq
<q=0,1 , . . .,N-1); (4.6)
k-v0=e+•e_-v0+e_•e+-v0+h•h-v0=
= 1 -р+ц-ц-v0= (ц+i ) -ц- v0. (4.7)
Здесь m=N/2, если N+Kp (см. теорему 3.1), и и ~
произвольный элемент поля К, если N+l~p.

Выясним теперь, как характеризующая
неприводимое представление тройка параметров £ц90„9£У
(1г€С+,->) связана с параметрами <в+,в_,в0>.
Положим
S* Й1£ (*+1/4)1/2.
Пенна 4.1т В любом неприводимом
лении алгевры A(e+,e_,h) справедливы
с оотношения
(4.8)
представ-
следующие
г-е^.е^+е2 = (*#р-*ш)2
(4.9)
(4.10)
йок*з*т*пъст*о. CnyvaA It в+=0 & в_=0.
Тогда по формуле (4.6) hp-h = (цР-ц)-1, а по форму-
ле (4.7) £+1/4-(р+1/2) и левая часть (4.10)
равна (рр-ц)) , т.е. равенства (4.9), (4.10)
верны.
Спучаи 2,3* Gw*0 (*€<+,->)
Тогда из (4.5)
и (4.5*) следует явный вид алщ операторов е+,е_,
h:
h «
ц 0 0 ... 0
0 jj-1 0 ... 0
0 0 ц-2...
0 0
0 ji-p+l
f0
11
0
0
0
1
...
...
0
0
0
*!
0
0
0 0 10 0
0 0...0 1 0
—w
(0 Р10
0 0 Р2
0 0 0.
1 v0 ■
...0
...0
.. р*
.. 0
р-1
л
Тогда из равенств (4.1) следует, что
имеют место соотношения (4.9) и
*V*2"-" '*p= в-тг" (4.11)
Беря детерминант от овеих частей равенства
2-e_*e+=(<£-l-h*(h+l) ) (см. (4.2), (4.4))
и используя (4.11), получаем
-28-

2-6+-в_* П1£1( (£-(ji+i) - (ц+i+l)) ж
s П^г ($+l/4-<|H-i+l/2)2) -
« П^ (^i-(M+i^l/2))-niP1 (^f + <M+i+l/2))
так как i+1/2 € Z/pZ, то, используя тождество
tp-t=* ri|£.(t-i) (малая теорема Ферма),
находим что правая часть полученного равенства
равна
С if-ц)р-(*#-м>>-«<*f +Ц>Р-<*■+М> >=
*<! i&$P-S9 ) - (jip-ji) > ■ * <*'P-*f > + <МР-Я> >"
« (*§р-*§)2+<мР-М>2 -
Из этого равенства и (4.9) заключаем, что (4.10)
справедливо при любом в *0. Лемма доказана. ■
Задача 4.Ф» Сформулировать и доказать
кпассификационнут теорему о неприводимых
представлениях адгевры А(е+,е_,п) мвд апгевраичес-
ни замкнутым попен характеристики р>2» Сколько
существует таких представлений, которые
соответствуют тройке чисел <6+,6_,б0> (см. соотношение
(4.1))? Разоврать все случаи.!
Подведем итоги. В лекциях 1-4 на примере
задачи классификации неприводимых представлений
ассоциативной алгевры А(е+,е_,п) мы
познакомились с основными общими понятиями и приемами
теории представлений, которые применяются при
исследовании основной Задачи этой теории.
Постановка основной задачи. Пусть в
ассоциативной алгевре А, заданной над алгебраически
замкнутым полем К образующими е^, е2»- - -» е и
определяющими соотношениями
* к<е1,е2'"' ■,eq)==:9k(el*e2, ' ' " 'eq} (к=1,2, • • • >*
(здесь *к,дк - алгебраические выражения от
е^,...,е ), выписаны выражения Н^Же^, е2, - - - » е_) ,
P=r(e1,e2f- - -,е )€А.
1. Описать неприводимые представления Ф:А—>
—>EndKV алгевры в пи/нвйны^ пространствах V.
2. Найти спектр оператора Ф(Н) в линейном
-29-

пространстве V.
3. Определить в V подпространство
У(Г,Ф) Й*£ Cw€V| <MD-w=0 >
решений уравнения Ф(Р)-х = 0.■
Опредепение 4.Ф. нлгеврой Вейля AR+1
называется ассоциативная алгебра, заданная над ал-
гевраически замкнутым полем К образующими z,
Рл,Pt,...,Р0, Q~,Q1,-.-, GL и определяющими
с оотношени ями
* j j i ij
P4*Q.-Q. *Р^=£. .-z (4". . - символ Кронекера) ,
СР1?гЗ = 0 = CQ. ,z3,
CPpP.3 = 0 = CQt ,0.3 (i, j=0,l,...,n).B (4.12)
Важный пример. (Задача многих теп»)
Определим в алгебре Вейля «зп+1 послеД°вательно
операторы энергии, времени, импульсов, координат:
р de£ р 4. def п .
р def р п def п
rij r3-(i-l)+j' uij u3-(i-l)+j
(i=l,2,...,n; j=l,2,3);
кинетической энергии, потенциальной энергии ку-
лонова взаимодействия п частиц с массами ль и
зарядами Z- (i=l,2,..,n)
Т Йё£ (l/2)-Ei21<P?1^P^2*#"P?3)/mi <mi€ K>»
R, .^i±{<Q - Q.f)2+(Q.-- Q.«)2+(Q,T- 0 -)2>1/2ч
l j 11 jl 1 £ 2*- * ^ J-^
U Й1£ (1/2)^."- E."f (Z, -Z./R4 .> <Z4 € K),
l-i j-l l j lj l
гамильтонианы
н Й1£ т + u,
г d-ii н - e .
В настоящее время все основные задачи для
такой алгевры А полностью решены при п=2 (атом
водорода), и частично при n-З (атом гелия).
Случай т>>4 - его "про* пен а Ферма" а квантовой
механике» Ш
~зо-

Задачи
Задача 4.1. Доказать, что в апгевре
квадратных матриц М над полем нулевой
характеристики неразрешимо уравнение
P*Q-Q*P=1 . ■ (4-13)
Задача 4.2. Доказать, что в алгебре
квадратных матриц М над произвольным полем нельзя
выБрать вазис состоящий из нильпотентных матриц.
(Матрица называется нипьг отентной, если
некоторая ее степень равна нулю.)■
Задача 4.3. Для каких полей и каких
натуральных п в алгевре М можно представить
единичную матрицу в виде суммы нильпотентных матриц.!
Задача 4.4. Показать, что в случае полей
положительной характеристики уравнение (4.13)
может иметь решение при некоторых п. ■
Пекцил 5
В предыдущих лекциях мы познакомились с
двумя важнейшими утверждениями теории представлений
- леммой о спектре и леммой о централизаторе — и
на конкретной задаче описания неприводимых
представлений алгевры A(e+,e_,h) продемонстрировали,
как эти леммы применяются в этой теории.
В теории представлений есть еще три полезные
леммы. Это лемма о собственном векторе, лемма об
аппроксимации и лемма об аннуляторе.
В этой лекции мы разверем два первых из этих
утверждений и познакомимся с простейшими
понятиями и конструкциями теории алгевр и их
представлений, которые в дальнейшем позволят нам
разовраться и с Бесконечными неприводимыми
представлениями ассоциативной алгевры A(e+,e_,h).
Обозначим через V линейное- пространство,
сопряженное (или, как еще говорят, ДУШПЪИОФ) к
V. Оно состоит из линейных функционалов
(линейных функций) f:V—> К, т.е.
V* UMi {f:x —> <*,х><ЕК| <*,х+у>=<*,х>+<*,у>
<f,<x-x>=<x-<f,х> (а€Ю
(х,у € V, <х€Ю >.
-3£-

Определим стандартное отображение *:EndKV —>
—> End^V , которое сопоставляет каждому
оператору Н на пространстве V линейное преобразование
Н на пространстве V у по формуле
<H*-f,v> £t£ <f,H-v>.
Пеииа о существовании сошственного вшнто-
м
рл. Spec Н .= Spec Н . Элемент ос € Spec H тогда
и только тогда, когда либо у оператора Н, либо у
оператора Н есть собственный вектор,
соответствующий собственному значению ос.
йокшзштепьство» Пусть Т - произвольный
линейный оператор, действующий на пространстве V.
Если Т овратим, то для некоторого линейного
преобразования S € End^V должны выть справедливы
равенства S*T = T*S = 1. Применяя к этим
равенствам отображение X и пользуясь тем, что
V (А,В € EndKV) <А*В)*=В**А*
и 1 - это единица End^V , заключаем, что
сопряженный оператор Т обратим в End-Лгл
Если оператор Т необратим, то возможны два
случая.
1. Т -V=V. Тогда T-v=0 для некоторого
ненулевого вектора v€V. Допустим, что сопряженный
оператор Т обратим. Выберем функционал f так,
чтобы его значение <f,v> на векторе v выло
отлично от нуля. Тогда
0#<f ,v>=<T^(TX)~1-f ,v>= <(T^)"1-f ,T-v> =
= <(TX)~1-f,0>=0.
Полученное противоречие доказывает, что в рас-
сматриваемом спучае оператор Т необратим.
2. Т -V*V. Тогда линейное подпространство
Im T Set i w^v I уравнение T-x=w разрешимо)
не совпадает с V и можно выбрать такой ненулевой
линейный функционал f:V —> К, что все его
значения на подпространстве Im T равны нулю. В этом
случае
0 = <T*-f,V> = <f,T-V> = <f,Im V>.
-32-

Следовательно, что Т --f = 0, т.е. у оператора ТЛ
есть собственный вектор, соответствующий
нулевому собственному значению, и он не может выть
обратим.
Для любого Р€К положим Т«Н-Р-1. Тогда из
проведенного рассуждения следует, что либо оле-
раторы Т * т овратимы одновременно, либо у
одного из етих операторов есть сове таенный век-
го/> с нулевым совственным значен*** (т.е. Р€
€Spec Н & P€Spec Н и Р - собственное значение
либо для Н, либо для H ). Лемма доказана.!
Тема. Иодупи над ассоциативными апгешрами
Определение 5,1, Пусть для ассоциативной
К-алгевры А и линейного пространства V над полем
К задано K-вилинейное отображение «: ABV —> V,
которое удовлетворяет условию
(a*b) -v=a- (b-v) (a,b<SA, v€V) , (5.0)
тогда V называется левым модулем над
ассоциативной К-алгеврой А или коротко левым й-модулем.
Линейное отображение <t>:V- —> V2 называется
гомоморфизмом левых А—модулей, если для любых а€А,
v€V выполняется равенство
4>(a-v) = а-ф(у) .
Естестственным овразом определяются понятия изо-
морфи зма, мономорфизма, эндоморфизма.■
Комментарий 1, Если в определении 5.1
билинейное отображение имеет вид -:V8A —> V и
соотношение (5.0) заменить на
v(a*b) = (v-a)-b (a,b€A, v€V) (5.0f)
то V называется правым й-модулем .■
Определение 5,2, Линейное подпространство
W в А-модуле V называется й-подмодулеи, если A-W
содержится в UI. Говорят, что А—модуль является
суммой своих подмодулей V (q€I), если любой
элемент v€V представим в виде
v=v. t+v.«+..-+V. . (v. €V. ). (5.1)
Модуль V есть прямая сумма своих подмодулей V
(q€I), если разложение (5.1) единственно. Если
множество I конечно и I={1,2,...,k>, то в этом
случае пишут, что
3-1*61 -33-

v = vt# v2# ... # vk. ■
Комментарий 2. Понятия "представление
ассоциативной К-алгевры А в линейном пространстве
V" и "V - левый модуль над ассоциативной К-ал-
геврой А" являются взаимозаменяемыми.
Действительно, по каждому представлению Ф:А >EndKV
можно определить на V структуру левого
й-модуля, полагав
d-v ЙВ£ <j><d)-v (d<EA, v€V).
Наоворот, каждый певши й-модуль V определи'
ет представление Ф К-алгевры А в линейном
пространстве V, дп^ которого
0(d)-v Й§£ d.v (d€A, v<EV>.
Поетому те понятий, которые выпи введены для
представлений: неприводимость, централизатор и
др.- могут использоваться и для модулей над
ассоциативными алгеврамиш Ш
Присоединение единицы к К-алгевре. Для
любой К-алгевры А рассмотрим прямую сумму
пространства А и одномерного пространства:
Aid (P#d) I P провегает К, d провегает А>.
Введем на этом пространстве Билинейную операцию j
X, полагая
(P1#d1) * (p^ttdj) ^i£ P1-P2#(^1-d2+^2-d1+d1^d2).
(5.2)
Непосредственно проверяется, что элемент е=(1#0) |]
является единицей алгевры А.., а алгевру А можно
считать подалгеврой в А. ., если отождествить
каждый элемент d€A с элементом (0#d)€A. .. При
таком отождествлении любой элемент а алгевры А-^
однозначно представим в виде a~Pia)•&+&* 9 где
а#£А, Р(а) - некоторый элемент поля К.
Комментарий 3» Любой левый А—модуль V
можно превратить в левый модуль над алгеврой А. .,
полагав
a.v di£ P(a)-v+a'-v . (5.3)
Зададим на А- . структуру левого А-модуля
относительно операции u-a=uXa, где u«6A, a€Aicj. Ясно,
что люБое отображение е —> v, где v - элемент
произвольного А-модуля V, продолжается до
линейного отображения *s^id >V> при котором
-34-

ф(Р(а)-е+а#) = F(a)-v+a*-v. Непосредственно
проверяется, что ф — гомоморфизм А—модулей-(Это
доказывает, что Aid - свободны* А-модуль и е - его
своводнал овраэутща*.>
Обозначим через A-d линейное К-пространство,
сопряженное к линейному пространству А. .. Наде-
лим пространство A1V. структурой левого А-моду-
ля, полагая
<d-f, u> ^§i <f,u*d> <*€A^d, d,u€Aid>. (5.4)
Пенна ош лппрокскнлцим. Для любого А-моду-
ля V и любого ненулевого вектора v€V существует
такой гомоморфизм А. .-модулей
Фу:У > A*rf , что фу(у)*0 в Aid -модуле A*d .
Покаэлтепъство. Обозначим через F такой
линейный функционал на пространстве V, что
<F,v>*0 в поле К и дпщ каждого вектора w€V
определим функционал f на пространстве A.rf, полагая
<fw,d> UMi <F,d-w> (d провегает Aid ). (5.5)
Докажем, что отображение ф :w—>f яъпщется
искомым гомоморфизмом A..—модулей. Ясно, что это
отображение линейно и
<Фу(у) ,e> =<f v,e>=<F,e-v>=<F, v>*0,
<Фу(а-м),d> =<fa-w,d>=<F,d-(a-w)>=<F,(d*a)-w>=
=<fw,d^a>=<a-fw,d>= <a^v<w),d>.
Следовательно, фу переводит вектор v в
ненулевой вектор, а ф — гомоморфизм левых
A-j-moдулей. Лемма доказана.!
Следующая лемма также играет важную роль в
теории представлений и часто используется при
доказательстве существования в А-модуле V
решений системы уравнений вида
D -х « vn CDn€A. ., v €V; q = 1,2,...).
q q q l d' q * ^ -
Пенна OB "обобщенных функциях". Любой го-
моморфизм ф:Л —> A-d левого А-подмодуля J
левого модуля А продолжается до гомоморфизма
-35-

w:Aid—> A*d (wlJ - *>
левых А. .—модулей.
йоказатепьство. Рассмотрим линейный
функционал g:J—Ж, для которого
de-f
<Q?j> SSi <Ф<_1>»е> (е - единица К-алгевры Hid>»
и продолжим его произвольно до некоторого
линейке
ного отображения f: А. . —> К. Тогда f€A.rf. Как
выло отмечено выше (см. комментарий 3)
отображение е —> f продолжается до гомоморфизма А.^-мо-
дулей
»« Aid—> Aid -
при котором тг(а)~—a-f (a€A. .). Но тогда для
любых j€J, a€A, . имеем
< Tr(j)^(j),a > = < j-f ,а>-<а-ф( j) ,е> =
= <f,a- ^-<ф(а- j) ,e> = <g,a-j>-<ф(а-j), е> = 0. |j
Следовательно, тг | j = ф и тг - искомый гомомор
физм. Лемма доказана.!
Некцкя 6
В прошлой лекции мы познакомились с понятием!
левого модуля над ассоциативной К-алгеврой А.
Научились присоединять к алгевре А внешним
образом единицу е и превращать любой А—модуль V в<
модуль над этой новой ассоциативной К-алгеврой^
А... Кроме того, мы задали канонические структу
ры левого А-модуля на алгевре А-. и пространстве
ее функционалов А. .—-Нот (А. ,, Ю . и доказали для
х d id
них леммы об аппроксимации и "об обобщенных
функциях" .
В ггой лекции у нас появится один из главных
героев теории представлений - алгевра Ли. И в
Ближайшие два занятия мы увидим, что нового
привносит в разовранные конструкции этот
персонаж.
-36-

Тема, йпгевры Пи и их представ пения.
Определение 6,1. Линейное пространство L
над полем К с заданной на нем вилинейной
операцией С,3s LBL —> L называется апгеврой Пи,
если в L для любых x,y,z€L выполняются
тождества
Сх,уЗ=-Су,хЗ, Cz,z3=:0; (6.1)
Сх,гу,гЗЗ+Су,Сг,хЗЗ-Кг,Г.х,уЗЗ=*0. (6-2)
Тождество (6.1) называется тождеством
антикоммутативности. Тождество (6.2) называется
тождеством Якоби.В
Задача 6.#. Доказать, что если для
некоторого Базиса Е=£е |q€I> алгевры L с операцией
С,3: LBL —> L равенства (6,. 1), (6.2) выполняют
ся для любых x,y,z € Е, то L - алгевра Ли. ■
Комментарий. Пусть Е=£е | q€I> -
некоторый вазис в L, тогда
Ceifej3 - Eq€Ic^.eq (cij€K' i,j€K). (6.3)
Элементы с-1? поля К называютя структурными
константами алгевры Ли L. Ясно, что структурные
константы зависят от вывранного Базиса. Из
тождеств антикоммутативности (6.1) и тождества Яко-
би (6.2) следует, что
Vl'i^qt+Vl^?-^ Eq€IC?f Cqj=0
(ifj,t,r€I). (6"5>
Ясно также, что любой навор констант с,Г (i,j,r€
€1), для которого выполняются равенства (6.4),
(6.5), определяет некоторую алгевру Ли
размерности, равной мощности II I множества I.H
Задача 6„1» Доказать, что трехмерное
арифметическое линейное пространство L над полем К
относительно операции "векторное произведение"
является алгеврой Ли. (Если x=s<x1,x^,x-^>,
У=<У1,У2>Уз>' то
def
Сх,уЗ—=<х2-у3-х3-у2, х3'У1~х1'Уз* Kl"y2~x2yl>e }
Доказать, что если основное поле К алгевраически
Зх-1261 ~3?~

замкнуто, то в алгевре Пи L существует вазис h,
е+,е_ч для которого выполнены соотношения
(1.1).■
Припер 6.1т Введем на ассоциативной К-ал-
гевре А новую Билинейную операцию С,1: АЙА >
—> А, полагая
Сх,уЭЙ§£х*у-уХх (х,у€А).
Линейное пространство А относительно операции
С,1 приовретает структуру новой К—алгевры. Эту
алгевру обычно обозначают А ~ . Непосредственно
проверяется, что в ней выполняются тождества
(6.1), (6.2) дпщ любых x,y,z € А "~ . К-алгевру А
называют апгеврой Пи, ассоциированной с
ассоциативной апгеврой А.|
Предложение 6.1. Пусть А - ассоциативная
К-алгевра, L - подалгевра Ли в алгевре Ли А ~
относительно операции С,3, а Е=(е I q€I> - вазис
L, упорядоченный линейно произвольным овразом»
Пусть D=D(L) - ассоциативная К-подалгевра в
А, порожденная L, т.е. наименьшая ассоциативная
подалгевра в А, содержащая L. Тогда D как линей-
ног? пространство порождено элементами вида
г* i0 l 12 q (6.6)
Показатепъство* Любой элемент
ассоциативной подалгевры D, порожденной L, есть линейная
комбинация мономов вида
gl^g2^'"'^gt *gi^L' t=l?2»"-)- (6.7)
Так как любой элемент g€L есть линейная комби-
нация элементов из вазиса Е„ то D порождается
как линейное пространство элементами вида (6.7)
в которых д. проьегают Е. Поэтому дпщ
доказать 'м.ства утверждения леммы достаточно выразить
такче мономы в виде линейной комбинации
правильных иономов (6.6). Докажем это индукцией по
длине t монома (6.7).
Основание индукции при t = l очевидным овразом
зыг* .лчяе! с я.
Пусть для любого монома (6-7) длины t
доказано, что он выражается в виде линейной
комбинации -хравнльмых мономов длины, не превосходящей
t. lorqe an* проведения индукгиенпго шаг, из ин-
дукт»^-нь»' соображений достаточно wccnoii ть мо
-38~

ном длины t+1 вида u*g, где g€E, a u -
правильный моном длины t. Пусть и имеет вид (6.7) и
g.<q<-ш.<д*€Е & д. «<д<д.. Тогда используя
тождество Ca*to, d3=Ca, d3*b+a#Cb, с!Э, справедливое в
любой ассоциативной алгевре, полунаем
u*g = gj*. ..*gi_1*<:gXgi*...*gt-i-Cgi*. . .*gt,gD> =
= g1*...*gi_1*g*gi*...*gt+
+ £ *.gt*...*g.*...*Cg -дЭ*...*gv. (6.8)
g-~x 11ц ч_
Первое слагаемое в правой части этого равенства
есть правильный моном длины t+1, а из равенств
(6.3), примененных к Базисным элементам g, д -
вытекает, что остальные спага&ные выражаются в
виде линейной комбинации мономов дпины t, а
следовательно, по индуктивному предположению -
через правильные мономы. Предложение доказано.И
Теорема 6./ (Пуанкаре - Бнркгофф - &мтт>.
Для любой К-алгевры Пи L существует единственная
с точностью до изоморфизма ассоциативная К-ал-
гевра LHL), обладающая следующими свойствами
(—\
а) ллгевра Ли U(L) содержит L в качестве
подалгевры Пи;
б) для любого Базиса Е={е |q€I> алгевры Ли L
с заданным на нем линейным порядком вазис алгев-
ры U(L) составляют все правильные мономы вида
(6.6) ;
в) для любой ассоциативной К-алгевры А любой
гомоморфизм Ф: L —> А алгевр Ли продолжается
до гомоморфизма ассоциативных алгевр 0:U(L) —>
—> A.I
Алгевра U(L) называется универсальной
обертывающей апгеврой апгевры Пм L.
Доказательство* Овозначим через W=W(E)
множество всех иепусть< слов в алфавите Ег а
через Н=Н(К,Е) - множество всевозможных формальных
линейных комвинаций слов из W с коэффициентами
из К?
H(K,E)6!ii<:o(i-w1 + . . -^г.. -wn la-^K^w^W, n=l,2, . . .>.
Множество Н обладав е_-г^.твенной сруктурой пи
нейного пространстве ,*&д полем К. Ясно, что W
вазис этого лространстгз Ьчдадим операцию
Я: WBW > Ы на мнс*-е.-:тве слов W, полати*
u^wSfi£uw (u,w€W, liw - слево, получгющее:ч лрипи
-39-

сыванием к слову и слова w), и продолжим ее по]
дистрибутивности на все линейное пространство Н.
Непосредственно проверяется, что эта операция]
наделяет Н структурой ассоциативной К-алгевры.
Эту ассоциативную алгевру Н=Н(К,Е) называют
абсолютно свободной ассоциативной К—алгеврой с
множество* свободных образующих Е или К-апгеер&й
ассоциативных полиномов от некомму тирующих пере-
менных е<ЕЕ.
Обозначим через U=U(L) линейное
подпространство в Н, Базис которого овразуют все
правильные слова вида (6.6).
Лемма 6*2. Существует линейный оператор тг€
€ Endu.H такой, что
End^-H такой,
а)
Б)
tt(u)=li для любого u€U(L);
, если i>j;
тг (е. е ) =е е.
1 j j 1
Е с9.
q ij
в) тг Cw) =тг(атг(Ь)с) , если w=abc€W;
г) TT(H)=^U(L).
Доказательство. Линейный порядок на Е
индуцирует частичный порядок и.а. W=W(E>, при
котором u<w, если слово и имеет меньшую длину, чем
слово w, а среди слов одинаковой длины сравнимы
те и только те слова, которые имеют одинаковое
число вхождений каждой Буквы е-€Е, в этом случае
li<w <==> u=ce.u* & w=ce4 w' & е->е ..
Используя этот частичный порядок и свойство
определим оператор тг индуктивно:
Б),
1гы>йе£
w, если w€LHL)
тг (атг (е. е )Ь)
1 j
, если w=ae.e.b€W & i>j
%i aet€ U(L).
Это определение корректно, так как все слова,
встречающиеся с ненулевыми коэффициентами в
разложении элемента air(eie.)b по Базису W, строго |
меньше слова w и в w относительно рассматривав J
емого порядка нет Бесконечно убывающих цепочек |
слов . Тогда свойства а), б), г) оператора тг I
очевидны, а из двух соотношений (6.4) следует, §
что для любых е-,е.€Е I
1' j !
тг <е. е -е е. )
1 J j 1
Покажем, что
свойство в). Пусл
= Е с.^-е .
q ij q
для оператора
> w=e.e .e, (i >j>l)
(6.9)
выполняете я
Тогда

тг(е.е .е. )-тг(е. тг(е .е, )) = тг (е .е. е, -е. е, е .) +
1 j 1 1 jA J 1*1 * J
+tr(Eri(c-c|-erie1~c 9-е.е) ) = тг(е .е, е. -е, е. е .) +
qijqljliq jlilij
+Елтг(с. q-e e, -с .?
q
• ^-ee., -c .?-e^ e_+c_. ?- (e .e -e_e .) ) =
ij q 1 jl l q ll j q q j
+ЕГ|тг(с- *?■ (ene1~e1e„)+c .?• (e e.-e4e„)+
q ij qllq jl qiiq
+c•?•(e .e -e„e .)) =
++E_<c,q.c *+c ?-с*+с.?-с.Ь-e+ = 0.
^jQ 1з ql jl q il jq t
(Последние два равенства получаются из (6-9),
(6.3), (6.5)-)
Рассмотрим общий случай: w~abc. Так как
относительно введенного на W частичного порядка
и<и в W нет Бесконечно уБывающих цепочек слов,
то можно считать, что свойство в) уже доказано
для всех слов меньших, чем w. Если b€U, то все
очевидное Пусть
b=b*e e b", w=w*e-e .w",где p>q,i>j и b'e -w'e^U.
Тогда возможны три случая
1. w = de-e.fe e g. Тогда определение
оператора и и индуктивные соображения приводят к
равенствам.
тг(атг(Ь)с)=тг(атг(Ь|тг(е„еп)Ь")с)=тг(аЬ#тг(е„е„)Ь"с) =
р q p q
= тг(с!тг(е.е )-fir(e е ) д)=тг (dir (е. е )-fe e д)=тгЫ).
i j p q * l j p q*
2. j=p & b=e e b" & w=w#e.e e b"d. Сноса, ис-
J H j q i j q
пользуя определение оператора тг, индуктивные
соображения, а также у*се доказанное равенство
ir(ir(e.e )е ) =тг(е.тг(е е ) ) , получаем
1 j q i j q *
тг(атг(Ь)с)=т?(атг(тг(е e )b" )d)=Tr(w' е. тг(е e )b"d)^
j q a j q
=Tr(w#ir(e.TT(e e ) )b"d) =тг (w#tt (it (e, e )e )b"d>^
i j q i j q
=ir(w#ir(e.e )e b"d) =тг (wf тг (е. е )w")=rr(w).
i j q i j
3. p=i & q=j & w#=ab#. Тогда по определению
оператора тг и из индуктивных соображений имеем
тг(атг(Ь)с)=тг(атг(Ь'тг(е.е )Ь")с)=
1 j
=тг(аЬ0тг(е.е )b"c)»ir<w>.
1 j
-4i~

Во всех трех случаях свойство в) выполняется.
Лемма доказана.■
Окончание доказатепьстаа теоремы 6,1,
Введем на линейном пространстве IHL) операцию
умножения и-н, полагав
х.у dff тгсхку) (х>у € u<D).
Из свойства в) отображения тт вытекает, что
1г(тг(аКЬ)*с)=тг(аЬс)=тг(атг(Ь*с)).
Следовательно, U(L) - ассоциативная К-алгевра
относительно операции "-н. Ясно, что правильные
мономы овразуют вазис этой алгевры. Соотношение
(6.9) показывает, что L - подалгевра Ли в алгев-
ре Ли U(L) ~ . Это доказывает, что в U(L)
выполняются свойства а), в).
Свойство в) проверяется непосредственно,
если продолжение гомоморфизма Ф: L —> А алгевр
Ли определить следующим овразом на правильных
мономах
Ф(е- *е, * *е, ) ^it ф<е. )*Ф(е- )*...*Ф(е, )
(см. предложение 6.1). Теорема 6.1 доказана.!
Задачи
Задача 6,2, Доказать, что над
алгебраически замкнутым полем К лювая двумерная алгевра Ли
либо коммутативна (т.е. в ней выполняется
тождество Cx,yD=0), либо в ней существует вазис
th,e>, для которого Сп,еЗ=е.|
Задача 6,3, Описать все трехмерные алгевры
Ли над алгевраически замкнутым полем.■
Лекция 7
Тема, йпгешры Пи и их представ пения,
В прошлой лекциии выло введено понятие ал -
гевры Ли, как такого линейного пространства L
над полем К с Билинейной операцией С,1sLSL—> L,
относительно которой в L выполняются тождества
антикоммутативности и тождество Якови
Сх,уЗ=Су,хЗ, Cz,z3=0; (7.0)
Cx,Cy,2 3 3+Cy,Cz,x3D+Cz,Cx,y3 3=0. (7.1)
-42-

Выло показано, что лювую ассоциативную К—алгевру
А можно превратить в алгевру Ли, если операцию
С,3:АЙА >А на линейном пространстве А
определить следующим овразом: Са,ЬЭ=а*Ь-Ь*а. Эту
алгевру Ли мы назвали алгеврой Пи, ассоциированной
с ассоциативной алгеврой А и овозиачили через
Определение 7,1, Представлением алгевры Ли
L в ассоциативной К-алгевре А называется
гомоморфизм <!>:L > А , т.е. такое линейное
отображение пространства L в А, при котором
Ф(Сх,уЗ)=Ф(;<)^Ф(у)-Ф(у)^Ф(х) .
Представление Ф:1_ XEnd^V) Алгввры Ли L в
ассоциативной К-алгевре линейных преовразовании
пространства V называется представлением
алгевры Пи L # линейной пространстве v.B
Комментарий 1, Задача 6.1 показывает, что
в лекциях 1, 3 - 5 мы описали над алгевраически
замкнутым полем все конечномерные неприводимые
представления трехмерной простой алгевры Ли с
вазисом из трех элементов е+, е_, h, которые
удовлетворяют соотношениям (1 * 1). ■
Комментарий 2, Свойство в) универсальной
овертывающей алгевры LKL) алгевры Ли L (см,
теорему Пуанкаре - Биркгоффа - Витта) означает, что
лювое представление
Ф: L —> (F.ndKV) ("")
алгевры Ли L в линейном пространстве V
продолжается до представления
Ф: L —> <EndK-V) (_)
универсальной овертывающей алгевры LHL) в
пространстве V. Ясно, что и наоворот лювое
представление универсальной овертывающей U(L) задает
представление алгевры Ли. Поэтому задача описа
имя представлений алгевры Ли L равносильна зада-
че описания представлений ассоциативной алгевры
LHD - ■
Зедача 7,0. Описать над алгевраически зам
кнутым полем К пр-оиз воль ной характеристики все
неприводимые конечномерные представления тре
мерной алгевры Ли Пейзеньерга G с вазисом
-CP,Q,Z] и следующими правилами умножения:
LP,Q3 = Z, CP,Z3 " 0 = !TQ,23.1
-43-

Пополненная апгевра разделенных степеней
и ее специальные дифференцирования
При описании этих овъектов нам потребуется
две конструкции
Прямая сумма К-алгевр. Для любых двух
К-алгевр А и В относительно операции X обозначим
через А#В прямую сумму линейных пространств А,
В, т.е. множество формальных пар
А#в£§£<а#Ь | а€А, Ь€В>:
(a1#b1) + (a2#b2)^i(a1+a2)#(b1+b2) ,
Р-<a#b)£i£(p.a#P-b>,
и определим на этом линейном пространстве
Билинейную операцию *г (А#В)Й(А#В) >(А#В), полагав
(a1#b1)X(a2#b2) $ё£ (a1?6a2)#(b1+b2).
Эта К-алгевра называется прямой суммой К-алгевр
А,В.В
Тензорное произведение К-алгевр.
Зафиксируем в каждой из К-алгевр А и В Базисы Си |
|q€I>, £v |q€J>. Овсзначим через АЙВ линейное
пространство, вазис которого составляют
формальные пары u-8v.(i€I, j€J) .
Определим Билинейную операцию
*: (АЙВ) й (АЙВ) > (АЙВ)
на этом вазисе следующим овразом
1 j st q^I r€J is jt q г
где <x?s» ^Г-Ь ~ структурные константы К-алгевр А
и В соответственно, и продолжим ее на все
пространство АЙВ по дистрибутивности. К-алгевра АЙВ
называется тензорным произведением алгевр А и
В.1
Задача 7.2. Доказать, что конструкция
тензорного произведения двух К—алгевр А,В не
зависит от вывора вазисов в А и В. ■
Пусть L - произвольная алгевра Ли, E(L) - ее
некоторый линейно упорядоченный вазис, LML) - ее
универсальная овертывающая алгевра. Присоединим
к алгевре U(L) внешним овразом единицу. Тогда по
теореме Пуанкаре—Биркгоффа-Витта вазис
ассоциативной алгеЕры Uid(L) составляют правильные
мономы
-2,4-

Ol1 Я22 ••• Qqq <9i^E, 0<n£€ Z/ g|<g2---<Qq>
(7-2)
(Единица этой алгевры реализуется, когда все п.
равны нулю).
Рассмотрим алгевру Ли Б, являющуюся прямой
суммой двух изоморфных экземпляров алгевры Ли L.
Из определения прямой суммы вытекает, что
множество . -
E(G) вё£ е#0 U 0#Е
является вазисом алгевры Ли G. Линейно
упорядочим множество E(G), пола-ая, что Е#0 < 0#Е, а
элементы множества Е#0 (множества 0#Е)
упорядочены также как в E(L). Присоединим к
универсальной овертывающей U(G) алгевры Ли G внешним овра-
зом единицу. Тогда по теореме Пуанкаре - Бирк-
гоффа — Витта вазис алгевры U..(G) составляют
"правильные" мономы вида
(gt#0) 1...(g #0) q (0#gx) 1...(0#g )q . (7.3)
Пенмш 7,1» Ассоциативные К-алгевры
uid<6>eUid<L*L>' uid<L)fiUid<u
изоморфны.
Цоклзлтепъстю» Из определения тензорного
произведения двух алгевр и теоремы Пуанкаре -
Биркгоффа - Витта вытекает, что вазис алгевры
LL. <L)QU. . (L) образуют все элементы вида
g11g2^...gqq»g1 g2f..gqq (0<q,ni,mJ€ 1, gt€E(L)).
(7.4)
Зададим линейное отображение
Ф: U, .(L#L) >U, .(L)»U, .(L)
id id id
так, чтобы оно переводило Базисные элементы вида
(7.3) в Базисные элементы вида (7.4). Ясно, что
отображение Ф взаимнооднозначно» Равенство же
Ф(аХЬ)=Ф(а)*Ф(Ь) дпщ любых двух Базисных мономов
а,Ь вида (7.3) следует из определения умножения
в универсальных ассоциативных овертываюши-* ал-
геврах и того факта, что в алгевре Пи L#L
выполняется равенство С(д.#0),(0#д.)3=0, которое
равносильно равенству (д.#0)*(0#д.)= (0#д .) Жд^ #0) .
Лемма доказана.■
В силу этой п&ммы мы Будем в дальнейшем
отождествлять К-алгевру Uld(L#L) с К-алгеврой
45-

Uid(L)6Uid<L), а алгевру Ли L#L с подалгеброй Ли
LBl+lBL в К-алгевре Ли (Uid(L)»Uid<L) )
Овознаним через A:L >L#L=LB1 +1BL
диагональный гомоморфизм алгевр Ли, при котором
A(g)£S£g#gsSg»l + l»g. (7.5)
Этот гомоморфизм можно рассматривать, как
гомоморфизм алгевры Ли L в алгевру Ли
<uid<L)SUid(L>)(">"
Поэтому по теореме Пуанкаре — Биркгофа - Витта
этот гомоморфизм А может выть продолжен до
гомоморфизма ассоциативных К-алгевр
A: Uid(L) >U.d(L#L)=Uid(L)«Uid(L),
при котором
(7.6)
Используя этот гомоморфизм, определим на
множестве функционалов Q(D——Uid Билинейную операцию
X, полагая цл^ любых -f - ,-F2€Q(L), u=g-g2...g
<f 1^-F2,u> S^i <f1»f2,Au > =
= E.<fl,u.>-<f2, wt>.
В лекции 5 мы наделили пространство функционалов
0(L)= U-d структурой левого U-d—модуля, положив
<d-f,u> ^i <f,u^d> .
Л+ннл 7.2, Для любых g€L, fj^f^Od-) B к~"
-алгевре 0(L) выполняется равенство
g-(f1^f2) = (g-f l)«2+-F1^(g-f2) . (7.7)
Ооклэлтепьстшош Достаточно показать, что
Функционалы, стоящие в овеих частях равенства
(7.7), принимают одни и те же значения на любых
мономах и вида д-*д2Я.•«*9а (gi€L). Из
равенства (7.6) следует, что
A(g1^g2X...*g *д)=Е.(ui»wi)*(дй1+1йд)=
= Е1(и1^д)й wi +Eiui»(wi^g)),
поэтому
<д-(f1^f2),u>=<(f1Xf2), gt*g2*...*gq*g> =
=* <f1»f2,A(g1^g2X..-*g *g)>=ЕА<^1,ui^g>-<f2,wt>+
+ E£<f1,ui>-<f2,wiXg> « E.<g-f1,ui>-<f2,w.> +
-46-

+Et<f 1>ui>-<g--f2,wi>=<(g--F1)»f 2,Д(д1^д2^- . -*gq> >+
+<* jSHg-T^) ,Д(дх*д2*. ..*g )> =
= < (g-f t>*f 2+f 1X(g--f2> ,li>.
Лемма доказана.■
Пенит 7.3\ 0(L) -
коммутативно-ассоциативная К-алгевра.
йокаэттепьство» По теореме Пуанкаре - Бир-
кгофа — Витта вазис К-аягевры U. . образуют
правильные мономы вида (7.2). Будем овозначать этот
вазис через В. Для каждого элемента и€В
обозначим через и° такой функционал на U. ., который
на всех правильных мономах, отличных от и,
обращается в нуль, а <и°,и>=1. Множество всех таких
Функционалов обозначим через В0. Так как любой
Фукционал f€0(L)=Hom(U.d,K) определяется своими
значениями на Базисе В, то будем отождествлять
функционал f со следующей формальной Бесконечной
линейной комбинацией
Eu€B<f'u>-u° '
Непосредственная проверка показывает, что
&(g11g22...gqq)=A(g1) 1*...*{qq> q =
k k k
= (g1«H-l»g1) 1X(g2»l + l«g2) \..X(g Ш+1йд ) q=
q k. t. ti «^-t.)
"Et.i.-^VkJ— ■С1с^11"вЧЧИ"11 "V 4>?
поэтому
<(g11g2Z-..gqq) XCg^g^.-.g^) , 9l xq^. ■ . gq4> >=
0, если не выполнено хотя бы одно
из равенств п.+m.=k.;
ni=i* <mi+ni) !/mi !/ni ! >? если ni+mi==ki <i = l,
2,-..,q>- (7.8)
Более того, дп^ любых -f - ,-F^O (L>
к к^, к
<f1^2,Q11g22-.-gqq> -
-4?"

q n. п. n m- m
E []1=1Ст +n;<f1,gi -.-Qi^>-<-F2»Qi,---gi4 >•
i i * Q 1 Q
(i=l,J.,q) (7.9)
Из формулы (7.8) следует, что
(Qig2 ...gqq) ХСд^з ...gqq> =
q m1+n1 mn+nri
i-l i i ii *1 *q (710)
Из (7.10) вытекает, что законы коммутативности и
ассоциативности выполняются на "плотном Базисе"
В0 пространства функционалов G(L). Проверка этих
законов в овщем случае проводится при помощи
формулы (7.9). Лемма доказана.!
Пенна 7.4. К—алгевра 0(L) содержит единицу.
Доказательство. Единицей в 0(L) является
функционал 1°, который принимает нулевое
значение на всех правильных мономах ненулевой степени
и дяя которого <1°,1> = 1„ Действительно,
формула (7.8) показывает, что функционалы f*l° и f
принимают одинаковые значения на Базисе В
универсальной овертывающей К-алгевры U. .. Лемма
доказана. ■
Задача 7.1. Доказать, что элемент -f
алгебры функционалов 0(L) овратим в 0(L), тогда и
только тогда, когда <f,l>*0.B
Пекция $
Тема. Пополненная алгевра разделенных степеней
и алгевры Пи дифференцирования
В прошлой лекции мы ввели на пространстве
всех линейных функционалов 0(L) на универсальной
овертывающей К-алгевре LL^(L) К-алгевры Ли L
структуру коммутативно-ассоциативной К-алгевры с
единицей. Операция *:0(L)BQ(L)- >0(L) выла
задана инвариантно
<f ,Х* ,и>ЙЁь<* wf ^,Ди> (f 1,fo€0(L) , u€U. .(D).
(8.0)
Для конкрентного линейно упорядоченного Базиса
E={g. |i€I> алгевры Ли L и соответсвующего ему
-48-

Базиса В алгебры Uicj{L), состоящему из
правильных мономов,
1 *? п
9il0i2"""9i <i1<i2<---<iq» klfk2,...,kq€ H>
и дуального к В "плотного Базиса" В* нами &
получены явные формулы для операции умножения *
nt Пшу n 0 m. m0 in »
q • ^l 42 ■■■-q
q л1+п1 го,,"*"",,
=^П. ,€<«.+n.)!/(m4!-n •)>>.q,1 ...g„q q
i-l i i ii «1 "q (Q 1}
<*1*f2,g11g22.-.gqq> =
q n- n« n_ m* fli
\ L !l!i-tc.iA"<*»,g4"""gi->"<f2fgii""gi2 >-
m.+n.— ii l q 1 q
ЯЕк
(i=l,L,q> (8.2)
Кроме того, было доказано, что структура левого
U^CL)-модуля на пространстве функционалов Q(L) =
йШ£ц* следующим овразом связана с операцией *:
g-(f 1^f2) = (g-f 1)Xf2-»-f 1X(g-f2) (g€L), (8.3)
<d-f ,u>^Si<f ,u*d>, d,u€Uid(D) . (8.4)
Из формул (8.1), (8.2) немедленна вытекает
Предложен** 8.1. К-алгевры O(L^) и Q(L_2)
изоморфны тогда и только тогда, когда К-алгевры
Ли L^ и L2 имеют над К одинаковую размерность.
Действительно, формула (8»2) не зависит от
структурных констант алгевры Ли L.I
Разверем конкретные примеры.
Пример 8.1. йпгешрт Им М одномерна. Из
тождества антикоммутативности следует, что эта
алгевра овладеет нулевым умножением, т.е.
Сх,у3=0 для любых х,у€М. Обозначим через 1>
произвольный ненулевой элемент из И. Тогда E=<D>
- вазис в М, a B=CDX |i=0,1,2,... > - вазис
правильных мономов в U. . (М) . Ясно, что D1^D-i=D1 J в
id
в универсальной овертке Uid(M). Это значит, что
в рассматриваемом случае К-ллгевра Uicj изоморфна
алгевре многочленов KCD3 от одной переменной D.
"Плотный вазис" В° в пространстве функциона-
4-1Я51 -^-

лов 0(М) составляют элементы (Ю1)0 (i =0, 1, 2, . . ,|
и любой функционал f имеет вид
*=Ра-1+р. 'D0+Po-D2* + . . -+F -Dq° + . - . (Р =<f ,Dq»i
ю l q q (8.5Г
Из формулы (8.4) немедленно следует, что
D-i=Pt -10+Pr>-D1°+. ..+Р -D(q~1)0+. . . , (8.6)1
а фор«мула (8.2) показывает, что умножение в anl
гевре 0(М) производится по формуле
*<**=(£* oc.-Di0)*(X: mJP -D-*°) =
1 2 1—0 i j—0 j
= Eq«0tEi*j=qCiij-ei-V-DC,# • <8.7)
Рассмотрим два случая»
1. Характеристика основного поля К равна ну
/II»* Обозначим через KCCt3 3 К-алгевру степенны:
рядов от одной переменнной t« В ней умножение i
дифференцирование определены следующим овразом ;
1=0 1 j=0 j q=0 i+j=q l j >
%T : 2 "e'„-tq > E " q-P -t^"1 . «8.9:
at q=0 q q=l q
Определим линейное отображение Ф:О(М) КС Ct11
Тогда из (8-5), (8.7), (8.8) следует, что Ф <
взаимно однозначный гомоморфизм, т.е. в случа^
нулевой характеристики К-элгевры 0(М> и KCCtD
изоморфны. Более того, формулы (8.6), (8.9) по
называют, чти имеет место равенство
*-(D-f> - |j^O(*)>,
т.е. К алгеЕры 0(М), КС Сtil изоморфны к**" диффе|
ренциальные К-алгевры.
2. Характеристика основного поп я К равн
простому vncay р. Из формулы (8,6> следует, чтс|
D«f=0 тогда и только тогда, когдс f-cons^, т*. e
f - ^д' t° (СМ. фОрМу*! у (8.. О). ПОЭТОМ^ t»3 Г'Э^ВУ*
С»-*р - p-fp~^Df = 0 <char К - р
!
*аклк>чаем, нго р ъ степень люього фунидион?л«
^«бОЖ) егть MHOticf анта'\ Гпедовзтель чо,
fD=-"-fp,I «1° ,turv> __Jf j'l) -!с -'-f^ P-:°,
~ ш « n-'! P -^~ .

Положим
ol(M) Йе£ <:-f€0(M) кр=0>.
Ясно, что O-dl) — линейное подпространство в
СИМ), состоящее из тех и только тех функционалов
Р, для которых <f,i^=0. Поэтому dimJO<M>/О 'М>)^ t
Более того, 0^<И) - идеал в К-алгевре 0<М>, г,р.
(f^OjiM) c01(M)) Ь. (01CM)Xf С0,(М>).
Таким овразом, в отличие от случая. югд-з
char К =0, б котором К-алгевра 0(М) не имеет
делителей нуля, при charK=p>0 К-шпге*ра СНМ>
содержит наивопьший идеап коразмерности, равной
единице, состоящий из всех ее нипьпотентных эпе-
ментовш Ш
Задача 2,Ф. Перенести результаты, получен
ные в примере 8.1, на К—алгевру функционалов
0(L) для произвольной алгевры Пи L. Рассмотреть
случаи
a) char* К =рч-0;
в> char К =0 & L - коммутативная алгебр * ^и-*
k =CD1, D^,...,Dn> - ее ваз^с.|
До си- пор мы рассматривали один кпдег -vi-
геьр Ли, ив которого мы могли черпав коннрртиые
примеры, - это клас~ ллгевр Пи ассочиироБ^нмы «.
асеоциативныпи ал г еврами.
Разверем еще один важный кпасс апгевр Пи,
который в математике возни* раньше, чеч кпа*' с
апгевр Пи, ассоциированных с ассоциативными an
^еврами.
Пример 8*2. Пусть А - произвольная (неовя-
чательно ассоциаторнэч) алг&ер* н&д гплрм К.
Рассмотрим в End./^ следующее по£многкес тво
DerKA^^^^EndKA \э- f t* > = <е* ,-• > *у+х*(е-у * ТЛП.1Р
Элементы .игз^п подмножества называются К-диффе-
енцнров^^няги- ;,1ли простг, дмфференцмрованями)
,-Я1г-Э5^ь, -. ^гнг, что DervA - линейное подпр»ос
'-■лн;ть: - ~\-1 А. Непосредственная проверка по-
• языБа<гг, -«^с для любы .дифференцирован»iOi е,е' и
юбы ; , . -А
Се,е' "* • ■' :*v*='e*ef ч • (;:*■/>- 'е#*е) - ' -*у) =
^ fe. 'е' - (,<*у) ) -е* - 'е- : -*у> ) =
-•е-е* - > *„^(е- * » *г ' ^» . у^ + (ef . .^^e.^)+w^ie.e' - /) •-
- ' 'е# -е- -; ) ^vt е1 • * 'е- /> + 'е->0 ¥'е* • -% +*?*'е# -е-у* "*
= (Се,е'! > */* *-Се,£?Ч -у) .
51

Это доказывает, что Der^A - подалгебра в К-ал-
гевре (End^A) , относительно операции С,3. К-
алгевру Der^A называют апгеврой Пи
дифференцирований К-апгевры А.В
Задача 8.1. Доказать, что в
коммутативно-ассоциативной К-алгевре А для любых D€Der^A,
f,a,b «Е А выполняется равенство
-f*(D- (a*b)) = (-f*(D-a))*b+a*(f*(D-b)).
Используя его, показать, что в случае
коммутативно-ассоциативной К—алгевры А на Der^A имеется
естественная структура левого А—модуля.■
Комментарий 8*1. Благодаря тождеству
антикоммутативности тождество Якови можно переписать
двумя способами
CCx,y3,z3=Cx,Cy,za3-Cy,Cx,z3J, <8.12)
tz, Cx,y31=CCz,K3,y3-i-Cx,Cz,y3 3. (8. 13)
Овозначим для любого x€L через adx линейное
преобразование пространства L, которое действует
следующим овразом
(ad x)-v^^Cx,v3 (v € L). (8.14)
Тогда из формулы (8.12) и определения 7.1
следует, что отображение
ad: L > (EndKL) (":>
задает представление алгевры Ли в линейном
пространстве L- Это представление называется
присоединенным представлением алгевры Пи L. Из
формулы (8.13) и определения дифференцирования
алгевры вытекает, что овраз (ad L) отображения Ad
содержится в Der^L, Так как овраз алгевры при
лювом гомоморфизме является подалгеврой, то ad L
- подалгевра в алг-евре Ли DeryL всех
дифференцирований алгевры Ли L. Эта подалгебра называется
апгеврой Пи внутренних дифференцирований алгевры
Пи L.e
Пример 8.3. Пусть Е3 - комму?ативно-ассо-
циативная К-алгевра степенных рядов KCx,y,z3
от 3-х независимых коммутирующих переменных
N',y,z- Ее элементами являются формальные веско-
печные линейные комбинации вида
■f<x,y,z)£e£ Е . P(m,n,k) -xfflynzk, (8.15)
где <пчп,к провегают все неотрицательные целые {
-5Z-

числа, P(m,n,k) - элементы поля К, а умножение
производится по "дистрибутивности"2
*«V,,n,,k, P2(m2,n2,k2).xm2yn22k2)^ii
2* 2* 2
" Ет,п,кР^п'к>-^Пгк,
где р<т,п,к)Йе£
Ero=m1+ro2,n=n1+n2,k=k1+k2^l(ml»nl'kl)^2(m2»n2'k2)-
Овозначим через D линейное преобразование
пространства Е3, для которого
D --F(x,y,2)^eii: (ffl-P(m,n,k) -xm"1ynzk)
х ,у* m,n,k * ' 7
(p*(m,n,k)€K).
Из этого определения непосредственно
вытекает, что D^SDer^E.»» Аналогично определяются
дифференцирования D , D . Из задачи 8.1 следует,
что для любых f,g,h€E3 операторы
f-Dv + g-Dw + h-D, (8.16)
х у z
являются дифференцированиями алгевры Е3-
Оказывается, что это все дифференцирования алгевры
KCCx,y,z33.
Задача 8ш2, Доказать, что лювое
дифференцирование К-алгевры степенных рядов КССх,уыгЗЗ
имеет вид (8.16). (Обобщить этот результат нв
К-алгевру степенных рядов от п коммутирующих
переменных. )
Решение. Пусть D € Der^KCCx,у,z11. Тогда
-f-—D-x, gfl^D-y, h-~D-z - степенные ряды и
дифференцирование
d Й1* D-(f-D +g-D +п-0„)
А у Z
действует нулевым овразом ив х, на у, на z. Но
тогда
d-xmynzk= m.xm""1ynzkX(d-x)+n.xmyn""1zk^(d.y) +
+ k-xmyn^(d-z)^zk"1=0
и d действует нулевым овразом h3l любой многочлен
от переменных х, у, z. Поэтому для любого
степенного ряда P(x,y,z) (см.(8.15) и любого г€ N
имеем
4х-1261 ~53~

= d-<Eq:r<i:m+n+k=q P(m,n,k>-xmynZk>> =
- d-£Em+n+k=r *V*,C*Vn,k<*'V.*» -
- Em+n+k=r к<П^к *"-рт,п,к<*'У,г>> =
= Eq^r Em+n4.k=q«(m,n,k)-xmyn2k.
Так как г - произвольное натуральное число, то в
каноническом разложении степенного ряда d-P при
любом мономе к1 у-'г стоит нулевой коэффициент.
Следовательно, d-P=0 для любого Р € КССк,у,гЗЗ и
d - нулевое дифференцирование. Это значит, что
D = f-D^+g-D +h-D^.
Задача решена.!
Пекция 9
На прошлых занятиях мы ввели на пространстве
все:- линейных функционалов 0(L) на универсальной
Обертывающей К-алгевре U..(L) К-алгевры Ли L
структуру левого L-модуля и
коммутативно-ассоциативной К-алгевры с единицей. Операция Я:
0<L)SO(L> —> 0(L) и структура Uid<L>-модуля
выли заданы инвариантно:
(9.0)
<d-f,u>^S£<f,u^d>, (d,u€Uid(L)). (9.1)
Для конкрентного линейно упорядоченного
Базиса Е = Cgi Ц*ЛУ алгевры Ли L и соответсвуюшего
ему Базиса В алгевры U- . (L), состоящему из
правил ьных мономов,
■9,
(i
,kq* N )
1 2
и дуального к В "плотного Базиса" В° нами были
получены явные формулы дпя операции умножения ^
■ g_q> =
nl ni -a
(g/g^.-.g^) ^(g^g-.
1 2
1 2
'q
-54-

= <T1. - tim. -m, ) !/(m. ! -n. !>>>-gf l l. . - grtq q
11 "1 ^*q (9e jj
<f1^f2,g1 g2"---gq > =
m.+n.= 11 1 q 1 q
—к •
(i=l„*.,q) (9.2)
Кроме того, было доказано, что структура левого
U.. (L)-модуля на пространстве функционалов 0<L) =
de£ . .* п
——- и." . индуцирует представление алгевры Ли L
g-(^1^2) = (g--Fi)Vf0+-F1^(g--f2) (g<EL) . (9.4)
Из результатов лекций 6-8 вытекает, что
справедлива следующая
Теорема 9.1. К-алгевры O(L^) и 0(L2)
изоморфны тогда и только тогда, когда К-алгевры Ли
L* и 1_2 имеют над К одинаковую размерность.
Элемент -f€0(L) овратим в 0(L) тогда и только тогда,
когда <f,l>*0 в поле К и линейное
подпространство
01(L)^i^<:f€0(L) |<*,1>=0>
является наибольшим собственным идеалом в
алгебре 0(0.
Если char К = 0 & <Нтц1.=т><*9 то алгевра
0(L) изоморфна К-алгевре степенных рядов
КС Сt ^,t2,..п щt2ll от п коммутирующих переменных;
изоморфизм осуществляется отображением
ФБ: f —>
1 п (9.5)
лювое дифференцирование D алгевры степенных
рядов KCCtj,...,t 13 ( К-алгевры 0<L> ) представи-
мо в виде
D=E.!21<D-ti) •Di , (9.6)
где D. - i-я частная производная К-алгевры
KCCtj,...„tR3 3 (см. пример 8.3) ( или алгевры
0(L)).
Если char К =р>0, ГО АЛЛ ЛЮВОГО f€0(L)
справедливо равенство
-55-

-fp=<-f , 1>-1°, (9.7)
и идеал d ,
Qt (L)9e££f€0(L) |fp=0>
состоит из всех нипъпотентных элементов К-алгев-
ры 0(L).«
(См- примеры 8.1, 8-3 и задачи 7.1, 8.0 -
8.2.)
Замечание 9.1. Аналог формулы (9.6)
остается справедливой и в случае полей К
положительной характеристики, а также для Бесконечномерных
апгевр Ли: люеое К-дифференцирование D К-апгев*
ры 0<L> является специальным дифференцированием
и имеет вид
D = Ei€I(D-(g|))-Di, (9.8)
где действие 2-й "частной производной" Di на
i °
апгешре 0(L) в "координатах" (др имеет ВИД
<D, .*чад^Ь>^£<*, ад^:+1Ь>
1 г 1 (9.9)
(ад^Ь - правильные мономы, к=0,1,2,...; 1=1,2,
,...).■
Данное утверждение носит название теоремы
Э.Картана -,..- Блока — Умлсона.
Определение 9.1. К-алгевру 0(L) называют
пополненной алгеврой р^аздепеныых степеней ыад
линейным пространством L.|
Гомоморфизмы Тейлора в алгевру 0<L>
Обозначим через «:Q(L)—Ж гомоморфизм К-ал-
К-алгевры 0(L) в поле К, цпя которого
w<f)di£<f,i>.i. (9.10)
Ядро этого гомоморфизма совпадает с О*(L).
Теорема 9.2т Для любого гомоморфизма
ф:А —> К коммутативно-ассоциативной К-алгевры А
в поле Кч на которой К-алгевра Ли действует
дифференцированиями, отображение ф:А —> CHL),
заданное формулой
<$(а),и>ЙЙф(и-а) <а£А„ u€UicJ(L))5 (9.11)
является гомоморфизмом К-алгевр и
$(g-a)=g-|(a) <g€L, а«=ЕА) , (9.12)
ф(а)=о(|(а) ) (а«ЕА), (9.13)
т.е. «| - дифференциальный гомоморфизм К — алгевр
-56-

и дпщ него коммутативна следующая диаграмма
н U4L/ ( 01<L)=Rad(0<L)) )
* I *|
* К a? 0<L)/01(L)
йоклзлтепъсгю. По условию теоремы на А
задана структура U, . (L)-модуля, причем элементы
алгебры Ли действуют как дифференцирования К-ал-
гевры А. Это значит, что
g1g2«--gQ-<a^b) = ^(ui•a)^(wi-b),
где g*,g2'*"•*^n ^ L, а элементы u., w.
однозначно определяются из равенства
А ( g ± g2 „ . . gq) =1^ u± Swi .
Следовательно, дп91 любых a,b€A, d,u€U, .(L), g€L
<§(g-a),и>=ф(и*д*а)=<$<a),u*g>=<g«|(a>,u>;
<$(a*b),и>=ф(ц-(a*b))=ф(Е1<ut-a)^(wi-b)) =
= Г1ф(и1-a)^.(Wi-b> = Ei<§(a),ui>X(§(b) ,wi> =
== <$«(a)0$(b),Au> = <f(a)*f (b) ,u>
(cm. (9.1)). Это доказывает, что $:А —> 0(L) -
гомоморфизм L-дифференциальных К—алгевр. Формула
(9.13) теперь очевидна. Теорема доказана.■
Припер 9»1ш Пусть А - это алгевра
Бесконечно дифференцируемых действительных функций
Сш(0,1) от одной переменной t на интервале (0,1)
относительно операции X умножения функций. Пусть
одномерная алгевра Ли М с Базисом £D> действует
дифференцированиями на А естественным овразом
D--f (t) ^Mi jjL. f (t).
Для любой точки tpj интервала (0.1) можно
определить гомоморфизм ф алгевры А в поле действитель-
de-f
ных чисел, полагая ф(*(t))==±f(t0). Тогда из
определения (9.11) гомоморфизма ф:А —> 0(М),
следует, что
<#(f(t)),D1> = ф(0х- f(t)) = C(d/dt)1f (t)> |. . .
0
Следовательно, используя изоморфизм »J»S:0(M)~
JSKС С111 (см. пример 8.1). имеем
-f(t) —i—>х • f ^Nt^-cnV Ф3 >
q=0 0
~~~ > Eq^(f <q> <t0>/Q')-tq (9.14)
и гомоморфизм ф теоремы 9.2 в рассматриваемом
-5?-

случае осуществляет разложение любой
Бесконечно-дифференцируемой функции от одной переменной
в ряд Тейлора.■
Задача 9.1, Применить теорему 9.2 для
алгевры Бесконечно—дифференцируемых функций от
трех (конечного числа) переменных. Получить
разложение, аналогичное разложению (9.14>.|
On реле пение 9,2, Гомоморфизм f:A >0(L)
теоремы 9.2 0(L) называют твйпоровым
гомоморфизмом L-дифференциальной
коммутативно-ассоциативной К-алгевры А в точке ф: А > К.■
Темш, Представления 3-мерной алгевры Пи
Гейзенверга
Пени* 9,0, Любой неприводимый модуль V над
ассоциативной К-алгеврой А изоморфен А—подмодулю
в левом А-модуле А. ..
Доказательство. По лемме ов аппроксимации
дл^ любого ненулевого вектора w€V существует
гомоморфизм TwsV —^ Ai*H левых А-модулей, дпя
которого tw(w)*0 б А^^. Ясно, что линейное
подпространство
Ker tw =£v^Vlrw(v)=0>
является А—подмодулем в V. Этот подмодуль не
может совпадать с V, так как т <w)Ф0. Но тогда в
силу неприводимости А-модуля V Кегт =0. Это
значит, что отображение т взаимнооднозначно и осу-
ществляет вложение А-модуля V в А-модуль hVh-
Лемма доказана.!
Пример 9.2, Пусть L - это трехмерная ал-
def
гевра Ли Гейзенверга со стандартным Базисом Е—==
def
—Si"CQ,P4Z>, в котором лиева операция умножения
С,3: LSL —> L имеет вид
cp,Q3^eiz, CP,Z3^§£cQ,Z3^^0. (9.15)
Базис В универсальной свертывающей алгевры
U. .(L) составляют правильные мономы
QmPnZk ( m,n,k=0,l,24 . . . ; a<P<"Z ).
Произвольный функционал f: U. -<L) —> К
пополненной К—алгевры разаепенных степеней представим
-58-

в виде
m„n,к=0
*=Em n Лт P<m,n,k).(QmPnZk)°
( ^(m,n,k)=<^,QmPnZk> ),
и изоморфизм <&S:0(L) —> KCCK?y,z31 (char К = 0)
К-алгевры разделенных степеней и алгевры
степенных рядов от трех переменных x,y,z имеет вид
*Ss * > *т п l--« £тШЙТ*^Г-лЯ1УП2к. (9.16)
fli,п уk=0 m!■n!- к! 7
Овозначим через Dv,D -D соответствующие частные
производные алгевры KCC;,y4z3 3. Соответсвующие
им специальные дифференцирования алгевры О(L)
действуют следующим овразом
Dx.(QmPnZk)0dli(Q^lpnZk)% Dy-<QmPnZk)° ЙВ*
Йе£ (о^рп-^к/. D2.(Q'"pnzk)0 йе± ((УПр^-1)0.
Из таблицы
Р-
Z-
Q° Р°
1 ° 0 Р°
0 1° 0
0 0 1° (9.17)
«R4QmPnZka>=<R4am+1PnZk>+n.<R4QmPn"1Zk+1»
согласно замечанию 9.1, которое мы доказали в
случае полей нулевой характеристики,
Z--f = {(Z. (Q°)) -Dx + (Z- (Р°>) -D +(Z- (Z°) ) -Dz>-f=D^.f,
p.f=C(P-<Q°))-D +(P-(P°>)-D +<P-(Z°))-D
x у
Q.f={(Q. <QO) ) .Dx + (Q- (P°) ) -D +
+(Q-(Z°)) -D2>--f=Dv+(P°) •
или в степенных рядах KCCx,y,z3 3
Z-F(x,y,z)=D2-f (x,y,z) i
P-f(x4y,z)=D -i(x,y,z) ,
Q--f ()t4y9z>=DK-f (x,y,z)+y-D2-f (x.,y,z) .
Пусть основное поле К алгебраически замкнуто
и имеет Более чем счетную мощность и V -
произвольный неприводимый модуль над алг&врой Ли L.
Тогда по лемме 9.0 К/ изоморфен L—подмодулю в
0(L), на котором операторы Z.P.Q действуют по
формулам (9.18) - (9.20), а по лемме о
централизаторе
Z-v = 6-1. (9.21)
Вспомним, что б лемме об аппроксимации йену-
-59-
z>
Dz
(9
(9
(9
(9.
(9.
(9.
. 18)
V*.
. 19)
.20)
IS»)
19*)
20* )

левой гомоморфизм tws V —> 0(L) определяется по
любому ненулевому вектору w€V и линейному
функционалу FsV —> К, для которого <F,w> * 0,
следующим овраэом
<tw(v>,u> Й?£ <F,u-v>. (9.22)
Поэтому при построении вложения Ф.,:У —> CML) у
нас имеется определенный произвол, связанный с
выбором функционала F:V > К*
Пусть »эс - элемент спектра оператора Q в
пространстве V (спектр Р непуст по лемме о
спектре, так как |KI>dimKV) - Тогда по лемме о су-
шествовании собственного вектора возможны два
спуча^ш
1. У оператора Q ' есть совственный вектор в
сопряженном пространстве V ч отвечающий
собственному значению »х. Пусть F - такой
собственный вектор. Тогда
<Tw(v)4amPnZk>=<rF4QmPnZk-v>=
=<(Q*)m-F,PnZk-v> = *m-ek<Tw(v>,Рп>.
Это значит, что
tw<v) = e>;p(e«Q0)*eKp<oc-Z°)* En"0 <F,РП•v>-(Pn)°
и мономорфизм ФБЯт : V —> KCEx,y,z33
осуществляет вложение L-модуля V в L-подмодуль
Wa e~—C exp(e-K)*exp(oc-z>*f (у) |f (у)€КССуЗ3>.
Формулы (9.18*) — (9.20#) показывают, что на
пространстве Ы ^
<х 9 к?
Z- (екр(8»м)*е*р (oc-z)*f <v> ) =
=в-ехр<е-х)Хехр (a-2)*^f (у) ,
Р- <eKp<e->;>*e^p<«-z>*f (у) ) =
= exp<e-x)*exp(a-z>* &- f(у),
Q- (екр (б-х)Хехр (a«z)*:f (v) > -
= е;ср(е-к>*екр<*-zJ^e-y+qc)** (у) .
Зг* формулы показывают, что в рассматриваемом
случае неприводимый L-модуль реализуется в
пространстве КССгЗЗ, в котором
Z* = 6-1; Р« = ~г; Q» = <вт+ос)* • (9.23)
Замечание 9.2» Обозначим через А
ассоциативную подалгебру в End^KCLr33, порожденную
14
-60-

операторами Q..P вида (9.23), а через W -
неприводимый А—подмодуль в А—модуле КССгЗЭ,
изоморфный L—модулю V- Тогда из критерия
неприводимости модуля (см. предложение 2-2) следует, что
дпя любых элементов w*0,u€W существует а€А
такой, что a-w=u. Полагая в этом равенстве
w(r)=P-u(r)—-и# (r) и учитывая, что любой
элемент алгевры А представим в виде конечной
линейной комбинации элементов вида Q1 -Р-* (i,j=0,1,
2,...), заключаем что любой элемент и(г)
неприводимого модуля L-модуля W удовлетворяет
дифференциальному уравнению вида
a0(r) -u(n)+a1(r) -u(n""1) (r)+.. .+aR(r) -u(0) (r)=0,
где многочлены a. (r)€KCrD и число п зависят от
u(r), а через и J (г) овозначена i-я прозводная
степенного ряда и(г). Если основное поле К
совпадает с полем комплексных чисел, то из теории
дифференциальных уравнений следует, что любой
степенной ряд удовлетворяющий такому уравнению
задает аналитическую функцию. Следовательно,
любой неприводимый L-модуль рассматриваемого вида
реализуется аналитическими функциями от одной
комплексной переменной»■
2. У оператора Q есть со&ствекный вектор в
пространстве V. Тогда для некоторого 0*v€V
q.v=m-v (ц€Ю, (9.24)
а по лемме о централизаторе
Z=e-1 <в<ЕК). (9.25)
Полагав
v.deip^v (i=0,1,2,...), (9.26)
непосредственно проверяем, что
Q-vi= Q-P1-v=CQ,Pl3-v+P1-Q-v=-i•e-vi_1+M»vi ,
(9.27)
т.е. линейное подпространство W=£v. I i=0,1,...>
выдерживает действие операторов Q и Р.
Следовательно, V=W в силу неприводимости L-модуля V.
Непосредственная проверка показывает, что при
любых 0Фв,ц€К формулы (9.24) (9.27) задают
неприводимое действие операторов P,Q и CP,03=Z.
Если 6=0, то операторы Р и Q должны
коммутировать между собой. Но тогда по лемме о
централизаторе dimKV=l.
Таким овразом, при наличии собствсжого век -
-6У-

тора > оператора Q неприводимый L-модуль допус
кавт явное рписание-Я
Задача 9,2» Описать все неприводимые L-mo-
модули над алгевраическн замкнутыми полями
положительной характеристики.■
Пекция 19
Тема. Ииъ&ктнвные модупи над ассоциативными
апгеврани
Определение 10,1, Модуль W над
ассоциативной К-алгеврой А называется инъектишным, если
для любого А-модуля М и пм>бого его А—подмодуля
М# произвольный гомоморфизм А-модулей сг: М*— W
может выть продолжен до гомоморфизма it: М —: W
(1г1м^=ф). ■
Критерий Вера инъективности иодупя
Пенна 10, Ф, А—модуль W инъективен тогда и
только тогда, когда любой гомоморфизм ф: J —'• W
произвольного подмодуля J левого А-модуля А. ,
продожается до гомоморфизма А—модулем т:
йокаэатепьство« НеоБ одимость условия
очевидна (см. определение 10.1 инъекгивности моду
ля) .
Докажем его достаточность. Пусть fl^M* W -
некоторый гомоморфизм А—модулей и Mf - подмодуль
А-модуля М. Обозначим через S множество, элемен
тами которого являются пары (V, «:->>, где V -
А-подмодуль е М, содержащий М# , а «. - гомомор
физм А-модуля V в W, для которого о lMt = сг.
Введем на множестве S частичный порядок, при кого-
ром <Vj„ •-..> с: (V,-»., •>.->) тог о а ч только тогда, юг-
да V, с V^ ?/ '«-,!,, =->1 . Та** как для любого in-
1 *. - vi -
нейно упорядоченного подмножества "• r^n' "^ 'q^*'
в множестве ^з пара (Ч1* ,.-.-•*« , ^ае
является элементом множества 3, для иоторого
<1.' - сп^ С (V* „ .' > <q^I > * то множество 5 о^но-
-62-

сительно введенного час > чного порядка
удовлетворяет условиям леммы ис «и- и, следовательно,
содержит некоторый маь .игольный элемент (Учтг>.
Покажем, что V~M. Допустим противное?. Тогда
V*M и в М существуем эли-1?ит т. не лежащий в V,
Обо значим через V# А-подмодуль в М, состоящий из
все»: элементов вида
v+u-m+P-m <v€V4 u^A, P€K).
Мы знаем (см. лекцию ег;) , что отсвражение е —'> m
продолжается до гомоморфизма ф:А * > М левы<
А. .-модулей, пр«и котогом *'а*-а-т. Обозначим че-
рез J левый А-подмодугь в ^ieT равный
ф""1(М#П 4»(Aid^) —'j-A^ |ф^)€М§3 .
Тогда из условия, напиж&ннпго на А-модуль Ыщ го
момос-физм тг-ф:Л—>W можно продолжить до
гомоморфизма левых А-модулей T2^id :> W" Опргяепип
К-линейное отовгажение тг§ : V* W, полагая
it* (v+u-m+P'fn)^S^Tr(v)+u-T(e)+^- !-(е) , (10. 1)
где v€V, u€A„ Р€К. Проверим корректность этого
определения. Для этого достаточно показать. что
если v+u-m+P-nii=0 в М, то
if <v)+u-T(e)+p-T(e)=0 М^.2)
в W. Так как v=-u-m-P-m, 10 ^£М*Пф<А г, > я
-u-e -P-e€J. Но тогда
—и-т(е)—Р-т(е)=т (-и-е-Р-е) =
= тгф(-и-е-Р-е) =-тг (-и-т-Р*го> =тг < v) ,
а это другая запись равенства '50.2)- Не?пос:ре
дственно из определения (10.1) пгавраармия it'
следует, что п#: V* > W -гомог^-фигп А—молу пей
и я9 \у =«»■ Но тогда
<V„ii> С ^Ч * . гг# ) * (У.тг 1 -''.**'i,
что противоречит максигальмпс »< г.'/пч'нтй { >
множестве? S.
Следовательно, V=M и ч: гч~~ -'V - мск^г^ - <
до прение гомоморфизма «г: М1 ^ Тени* ч ,i • ~ *
на.Щ
*.*
jwAa'ji^rtbCrfi, 3- .г Т -.? Of: -> Vl ',-» ^? „. , • Ml
лекинк *•'"* к м-ите$-1.1 гэрэ Ч*
-63-

Свойства инъ&ктивных модупей
Определение 1Ф.2. Декартовым произведением
некоторого множества левых А—модулей W lq€I>
называется левый А—модуль
nq€IVq U9t< <-..,vq,...)|vq€Vq>f
в котором
de-f
a-(...,v,...) =-— (...,a-v,...>,
а сложение двух Бесконечных строчек (...,v*,...),
(...,v",...) производится покомпонентно.■
Пенна 1Ф.2. Пусть все А-модули V <q€I)
инъективны. Тогда их декартово произведение
П ^jV также инъективный А-модуль.
Показатель ство, Обозначим рассматриваемое
декартово произведение через V и для каждого q€I
определим отображение тг :V—>V ч переводящее
произвольную Бесконечную строчку (...,v ,...) в
ее q-ю компоненту v . Очевидно, что это линейное
отображение, а из определения 10.2 декартова
произведение А—модулей следует, что тг гомомор-
фи зм А—мод у л ей.
Пусть <г: М# > W - некоторый гомоморфизм
А-модулей и М# - подмодуль некоторого А—модуля
М. Обозначим через *г гомоморфизм
тг <г: М# > V„ .
Тогда из инъективности модуля V следует
существование такого гомоморфизма т : М > V , для
которого та1м/=0"а- Определим отображение тг:М —>
—> W, полагая
de-f
тг (m) =— (. . . , т (т) ,...).
Из этого определения немедленно следует, что
тг:М—>W - гомоморфизм А-модулей и для любого
т#€М*
тг (т# ) = (- . - ,тг <г(т# ) , . - . )=(г(т* ) ,
т.е. тг - искомое продолжение гомоморфизма <г:М*—>
П ...V . Лемма доказана.!
Q^I q
Задач* 10,2, Доказать, что если декартово
{V
q
-64-
П ...V . Лемма доказана.!
q^I q
Задач*
произведение А-модулей £V lq£I> является инъек-

тивным А-модулем, то каждый А—модуль V (q€I)
должен выть инъективным А-модулем*В
Теорема 10.2, Любой А-модуль V
вкладывается в некоторый инъективный А-модуль.
Показатепъство, По лемме об аппроксимации
(см. лекцию 5) цп^ любого ненулевого вектора v€
€V существует гомоморфизм А-модулей $V*V >А, .,
для которого $v(v>*0 в A^d-
Обозначим через W (v€V) левые А—модули,
изоморфные А. ,, а через Ф - отовражение из V в
декартово произведение А-модулей W , для которо-
ф(„)ЙВ*(...,фу(ы) ,...) Ы*0 ==> Ф<И)Ф0>).
Ясно, что отовражение Ф является гомоморфизмом
А-модулей и его ядро равно 0. По теореме 10.1
все А—модули A-"d инъективны. Поэтому их
декартово произведение также инъективный А-модуль.
Следовательно, Ф: V > П £t,W - искомое вложение
А-модуля V в инъективный А-модуль. Теорема
доказана. ■
Пенна 10*2. Пусть А-модуль V есть прямая
сумма конечного числа свои::: А-подмодулей V^,
V^,...,V . Тогда V - инъективный А-модуль тогда
и только тогда, когда инъективным А~модулем
является каждое прямое слагаемое V-.
Ооказатепьсгао. Ясно, что прямая сумма
конечного числа А-модулей V.,V^,...,V изоморфна
декартову произведению этих А—модулей. Поэтому
утверждение леммы J0.2 следует из леммы 10.1 и
задачи 10.1.Я
Пенна 20.3ш Пусть А-модуль V содержит под
модуль W, который является инъективным А-моду-
лем. Тогда V=W#V , т.е. А-модуль V
раскладывается в прямую сумму А-подмодуля W и некоторого
А-подмодуля V*.
Ооказатепьство, О во значим через cr:W—>W
тождественный гомоморфизм А модуля W. В силу
инъективности А-модуля W этот гомоморфизм можно
продолжить до гомоморфизма А—модулей ir:V—>Ы.
Это значит, что tt<w)=w для любого w£W „ Im<ir>= W
и тг2=тг. Положим
5-1261 ~б5~

V« йШ1 Кег (тг) ^ei {v€V |ir<v>=0>.
Тогда любой вектор v€V представим в виде
v=tt(v)+v* (vi^iv~ir(v)) . (10.3)
Ясно, что tt(v) € W, а тг (v# ) =тг (v) -it* (v) =0, т.е.
Vе€Vf. Это показывает, что V=W+Vf- Допустим, что j
«€ЫПУ#, тогда из включения w€W получаем, что
ir(w)=w!I а из включения w€V' следует, что тгЫ)=0, . |
т.е. w=0. Это значит, что WflV#=0 и представление ;
(10.3) единственно, а сумма подпространств W+V' J
прямая. Лемма доказана.! |
Замечание 10*1, При доказательстве леммы |
10.3 было доказано, что дпя любого гомоморфизма |
tt:V >v й-модупя V # с#в* такого, что тг2=тт,
справедливо разложение V=Ker(n)# Im <тг) .■
Задача 20*2» Доказать, что левые модули |
^n^id и ^n*id над п°лной матричной К-алгеврой
(М )- * изоморфны.■
Задача 10*3, Доказать, что левый модуль. Mn J
над полной матричной К-алгеврой II инъективен.И
п
Задача 20*4» Описать все левые модули над
полной матричной алгеброй М над полем К,
которые не содержат собственных ненуп&вых. М
-подмодулей. Доказать, что все такие модули инъектив-
НЫш
Навросок решения. Любой такой Мп~модуль V
по лемме об аппроксимации оопускает ненулевой 1
гомоморфизм !
Ф:У —>W ~—<Nn>*d . j
Так как <MV)*0 и в М —модуле V нет нетри- |
виальных подмодулей, то КегФ = 0 и Ф оеушествля- |
ет вложение М -модуля V в левый М—модуль W. 1
Поэтому дпя решения задачи достаточно описать те *
Н^-подмодули V в мнъектишном Мп-нодул* W, v >•* \
рые не имеют нетривиальных подмодулей* Е-. *.ны 4
два случая:
1. М -V = 0. Тогда Мп-модуль V одномерен.
2. 0*М -V=V. Тогда М -модуль V неприводмм и
для любого vEV и единичного элемента 1 аягевры
М справедливо р»авенство 1-v = v.
Лемма 20*4. Для любой ассоииативной К-ал-
-ее-

гевры А с единицей К-алгевра Aid изоморфна
прямой сумме двух К-алгеврг поля К и А.
йоказатепьство. Любой элемент d алгевры
А..однозначно представим в виде d=^-e+a (P=P(d)€
€К, a=a(d)€A), где е - единица алгевры AicJ.
Тогда также однозначно следующее представление
элемента d в алгевре А. .
r id
d=P-(е-1)+а# (a#=a+F*-l € А), (10.4)
где 1 - единица К-алгевры А- Поэтому А- . прямая
сумма подпространств А и К-<е—1). Так как
(е-1)2=е-1, (е-1)*а = 0 = а*(е-1),
то подпространство К-(е—1) является идеалом в
А-., который как К-алгевра изоморфен полю К.
Следовательно, К-(е-1)*А=А*К-(е-1)=0. Это
доказывает лемму 10.4.1
Рассмотрим линейный функционал
для которого
sp<d)£8£p+tr(af )=F+F-n+tr(a) (10.5)
(см. равенство 10.4), и Билинейную форму
b:(M ).,G(li ). . Ж, для которой
b(dl4d2)^e£sp(di^d2) ш (10.6)
Непосредственная проверка показывает, что эта
випинейная форма симметрична, ассоциативна и
невырождена, т.е.
Ь(и,у)=Ь(у,х), b(x*z,y)=b(x,z*y);
b(d, (M ). .)=0 ===> d = 0.
* n i d
Рассмотрим отображение w:*M *. .—^^n^id* дпя ко~
торого
<тг(и) ,d>Ss£b(ufd) (u,d € <Mn>id>-
Так как форма b невырождена, то Кег(тг)=0. Тогда
dirr^dm w>=dimK(Mn)ic|=dimK(Mn)^d и Im (тг) = (МП ) *d-
Из ассоциативности, симметричности формы b и
определения структуры М—модуля на (М ). , имеем,
что
<тг(а-и) ,d>=b(a*u,d)=b(d,a*u)=
= b(u,d*a) =<тг (u) „d#a>= <a-ir(u),d>
и тг осуществляет изоморфизм левых Mr-moдулей
-67

(Mn)ld и (Mn)fd. (См- задачу 10.2.)
По лемме 10,4 левый М -модуль М является
п п
прямым слагаемым в инъективном М—модуле (li ) .,.
г n J n 1 а
Следовательно, он инъектнвен. (См. задачу 10.3.)
Если М -V=0, го одномерный М —модуль
изоморфен прямому слага&пому К-(е-1) в инъективном
М—модуле (Мп > •-j и, следовательно, инъективен.
Если М «V10, то неприводимый М -модуль V
является подмодулем в прямом слагаемом М .
Нетрудно видеть, что естественное разложение
произвольной матрицы в сумму п своих столбцов задает
разложение левого инъективного II -модуля М в
п п
прямую сумму п экземпляров стандартного
п—мерного неприводимого М -модуля. Следовательно,
стандартный неприводимый п—мерный М—модуль является
инъективным по лемме 10.2. Отображение v >
—>vXE. . (где Е- • - i-я диагональная матричная,
единица1 задает гомоморфизм М -модуля V в i-й
столЕец. Так как v=v^(Е<4+Е_>_ + «..+Е ), то
1 1 jLjL ПП
М —модуль V изоморфен стандартному. (См. задачу
10.4. )■
Пекцня 11
к
Тема» Инъективная о&опочка. Пенны ов аннупягорё
Теорена плотности
Определение 11,0, Инъективный А—модуль Р
называется иньективной овопочкой А—модуля М,
если М — подмодуль в Р и любой ненулевой
А—подмодуль в Р пересекается с М по ненулевому
подмодулю. ■
Теорена 11,1, Для любого А-модуля М
существует единственная с точностью до изоморфизм*
инъективная оволочка.
Доказательство, Единственность инъективноЙ
овопочкм. Пусть имеются два инъективны:-: А-моду
ля Р., Pr-уч содержащие- М в качестве А—подмодуля-
Тогда тождественный гомоморфизм id: М —"■• М мо*
но продолжить до гомоморфизма А—модулей тг:Р1—>
-68-
«

—> Р2- Если Pi - инъективная оболочка А-модуля
М, то ядро Ker (тг) гомоморфизма тг равно нулевому
подмодулю, так как в противном случае (Кегтг)ПМФ
Ф 0, что противоречит тому, что irlM=id -
тождественное отоБраженне. Следовательно, тг -
мономорфизм и А—подмодуль 1т(тг)=тг-Р1 в Р^ содержит М и
изоморфен Р-. Так как Р- - инъективный А—модуль,
то по лемме 10.3 Pr>=ir-P1#PJt>. Поэтому если Р^ -
инъективная оБолочка М=тг-М, то Р^ПМ=0 и Р^ —
нулевой подмодуль в Р0, т.е. Р^=тг-Р-.
Следовательно, тг - мономорфизм и эпиморфизм. Это
доказывает существование для любых двух инъективных
Оболочек Р-, Р^ А-модуля М такого изоморфизма тг,
который действует тождественно на М.И
Существование иньектнвной о&опочки. В силу
теоремы 10.2 можно считать, что М лежит в
некотором инъектмвном А-модуле W. Обозначим через S
множество всех А-подмодулей модуля W и
рассмотрим в нем два подмножества S. и S^. К S- отнесем
те и только те подмодули V, для которых М С V и
любой ненулевой подмодуль в V пересекается с М
не по нулевому подмодулю. К S2 отнесем те и
только те А—подмодули V, для которых VflM=0.
Множества S-, S^ частично упорядочены
относительно естественного включения модулей. Ясно,
что если CV |q€I> - произвольное линейно
упорядоченное по включению подмножество А—модулей из
Sj, то А—модуль U £»V , включающий в севя все
подмодули V (q€I), также содержится в S^ .
Поэтому по лемме Цорна в частично упорядоченном
множестве S* имеется максимальный элемент.
Обозначим этот подмодуль через Р-. Аналогично
получаем, что максимальный элемент есть в S^.
Обозначим его через Р^». *~
Так как Р?ПМ=0, то P2nPj=0 (в противном
случае ненулевой подмодуль Р.-,ПР- в Р. должен был
бы пересекать М по ненулевому под модулю).
Следовательно,
vSi£p1+p^=p1#p2.
-69-

О во значим через сг гомоморфизм проектирования
А-модуля Р.#Р^ на Р-, при котором
<r<Pl#p2>£e±Pl <(г2=<г; Pj^Px» Рз^г^
Так как W - инъективный А-модуль, то этот
гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма тг: W —>
W А-модуля W в севя. Так как
тг lv=cr, то (Pj с: 1т(тт) >&тг |р =id |p ^(Р^ сКег(тг)).
Допустим, что Р.Ф1т(тг). Тогда в силу
максимальности А-модуля Р* в множестве S« в Im тг найдется
ненулевой А—подмодуль L, для которого LflM=0;
следовательно, А—подмодуль тг~ (L) строго содержит
Р« и в силу максимальности Р0 в S2 существует
ненулевой вектор т€тг (L)flli. Но т=тг(т) € 1_ЛМ=0.
Полученное противоречие m=0 & тФ0 доказывавает,
что 1т(тг)=Р«.
2
Следовательно, тг =тг и по замечанию 10. 1 W=
Im (тг) #Кег (тг) . Из леммы 10.3 заключаем, что таг да
Р1=1т(тг)- инъективный А-модуль. По построению Р^
содержит М и любой ненулевой А-подмодуль в Р*
имеет с М ненулевое пересечение. Это доказывает
существование инъективнои оболочки для А-модуля
М. Теорема 11.1 полностью доказана.!
Для любого А-модуля М и любого подмножества
S в М положим
Ann S =^£a€Aidi a-S = 0 в модуле М >.
Первшл п*ннм ов аннупяторе. Пусть v - такой
элемент А—модуля V, что d-v=0 длщ любого d€
€Ann<v*,...,v >. Тогда в централизаторе End^I*V)
инъективнои оболочки I(V) А-модуля V существуют
такие элементы с*9с^9»*ш9с9 что
v=c-•v^+c^-v^+...+с ■v . (11.1)
йоктзшгепьство.
Достаточность. Если d€ AnnCv^,v2,- - - *v У ,
то d€A. - и d-v.=0 <i=l,...,q). Так как элемент d
i a i •
коммутирует со всеми е., то из равенства (11.1)
спедуетщ что d-v=0.
Неошходиностъ ш Овозначим через Р1,Ро5---
...,Р q изоморфных экземпляров инъективнои обо-
-70-

лочки I(V) А—модуля V, а через Р — их прямую
сумму. Элементами А-модуля Р являются всевозможные
строчки
(w|5«2*•"■'wn) (w^I (V) ) ,
и по определению прямой суммы
de-f
d- (w1?w9, . . - , w )-s±(d-w1,d-W2» ■ • • »d"wQ) (d*fAid> .
Поэтому подстановка s на множестве £l,2,...,q>
индуцирует эндоморфизм с А-модуля Р, дл^
которого
de-f
cs.(Wl,w2,...,wq)^-(wsa),ws(2),...,ws(q)) .
Обозначим через w элемент (v-,v0,.-.,v )€Р.
Тогда из условия леммы спедует9 что отображение
de-f
<r:Aid«w —> Р, для которого <г (d -w) --- (d • v, 0, - - .
...,0), корректно определено и является
гомоморфизмом А- .—модулей. Гак как по лемме 10,2 Р -
инъективныи А-модуль, то этот гомоморфизм можно
продолжить- до некоторого эндоморфизма тг:Р >Р.
Тогда
(v,0, ,0)=Tr-w=Tr-?9~0<c i ) - ivt ,0, ,0) ,
s
где s - подстановка, переводящая i->2->...—>q—>1.
Проектируя ове части этого равентсва hsl первое
прямое слагаемое Р-, получаем, что в инъективной
оболочке Р* А-модуля V имеет место равенство
(11.1) для некоторых c-^End/vP*. Так как Р«~1(V),
то равенство (11.1) имеет место и в I(V). Лемма
доказана.■
Вторая лфяна о* яннупитор*. Пусть v - такой
элемент неприводимого А-модуля V, что d-v=0 для
любого d€ Ann£v-,...,v>. Тогда в
централизаторе C=End^V существуют такие элементы с: ^^с^. ш а
...,cq, что
v=c1-v1+c2-v2+...+c -v , (11,2)
йоклэштепьстшо, Первая лемма об аннуляторе
утверждает, что равенство (11.2> имеет место в
инъективной оволочке I(V) А-модуля V для
некоторых c.€End~I(V>- Так как А-модуль V неприводим,
то для любого элемента с, лежащего в
централизаторе А-модуля 1(V), А-модуль c-V
а) либо равен нулю и c-V cz V,
-71-

б) либо неприводим и (c-V)flV*0, т.е. c-V=V,
это значит, что с |..€EndAV. Следовательно, все
операторы с *9 т,.,с в равенстве (11-2) переводят
V в V и являются эндоморфизмами А-модуля V-
Лемма доказана.■
Лемма Шура. Централизатор C=EndHV любого
неприводимого А-модуля V является телом, т.е. в
алгевре С любой ненулевой элемент имеет оврат-
ный.
Ооказатепьс т&о. Сопоставим каждому
элементу сК-А линейное преобразование Ф(d), дпя
которого *(d>-v ^^ d-v (v«6V) .
Пусть с€С. Рассмотрим линейные
подпространства
Ker c^itcv€V|c-v=0>, Im c^i£ Cc • v |v«EV> .
Так как элемент с коммутирует с любым оператором
из Ф(А) , то
<Md)-Ker<c> сКег(с); $<d) -Im(c) с 1ш(с);
и Кег(с), Im(c> являются инвариантными
относительно Ф(А) подпространствами в V. Тогда для этой
пары подпространств имеются следующие
возможности
•СКег(с), Im<c)> = CV,V>, {0,0}, C0,V3, CV,0>.
Первый и второй случай невозможны для любого
оператора с в любом ненулевом пространстве, в
третьем случае с=0. Четвертый случай
показывает, что с - взаимнооднозначное отображение и,
следовательно, имеется овратное отображение Ь,
для которого Ь^с=1=сХЬ. Но тогда умножая
равенство Ф (d) &c=c*:#Cd> слева и справа на b получаем,
что Ф Сс*>:*Ь=Ь£Ф <d) , а это значит, что b также
лежит в централизаторе С.■
Теорема ппотностм* Пусть vi»wi <i=l,2,...
...,k) - произвольные элементы неприводимого
А—модуля V, причем v- , v^,, - . » , v. линейно
независимы над телом C=End/vV« Тогда в алгевре А сущее -
твует такой элемент d, что в модуле V
выполняются равенства
d-v.=wi (i=l,2,...,k).
ОоказагепьствОш Так как элементы V|,v^,...
...,v. линейно независимы над End~V\ то по
второй лемме об аннуляторе для каждого i€Cl,2,...?
k> найдется элемент d.€A, . такой, что
-к-

di-vi=w,i,*0, di-vJ= 0 (itj).
Так как А-модуль V неприводим, то wi=ai"wi Аля
некоторого ai €А. Но тогда d -— a^-d-SA -
искомый элемент алгебры А. Теорема доказана.!
Определение 11.1. Представление Ф: А >
—>End^V ассоциативной К-алгевры А в линейном
пространстве V называется точным, если Кег(Ф)=0.|
Теорем* 11.2. Если у конечномерной
ассоциативной алгевры А над алгебраически замкнутым
полем К есть точное неприводимое представление,
то алгевра А изоморфна некоторой полной
матричной апгевре М над полем К.
йокаэатепъстшо. Пусть Ф:А—>EndKV - точное
неприводимое представление. Тогда для любого
ненулевого вектора v€V линейное пространство
Ф(А) .v=Mi^(d) -v |d«EA3
совпадает с V (см. лекцию 3, критерий
неприводимости представления). Следовательно,
dim^V^dim^fA) -vldim^CA) Idim^A
и пространство V конечномерно. А так как лювое
алгебраически замкнутое поле Бесконечно, то по
лемме о централизаторе C=EndftV=K-l и любой вазис
^vl'v2*"""'vn* линейного К-пространства V
состоит из линейно независимых элементов над
централизатором С. Для любого линейного оператора Ь€
€ End^V положим
Wi«i£b-vi (i=l,2,...,n) .
Тогда по теореме плотности в алгевре А найдется
такой элемент d, что Ф^> • v. =w. =b-v. , т.е.
линейное преовразование (Ф^)~Ь) действует нулевым
овразом на вазисе пространства V, т.е. Ф^)=Ь.
Это означает, что Ф отовражает А на всю К-алгев-
ру EndjAf, которая изоморфна полной матричной ал
гевре М над полем К. Так как КегФ=0, то
гомоморфизм Ф:А >End^V~M взаимнооднозначен.
Теорема доказана.■
Задача 11.0. Если у конечномерной
ассоциативной алгевры А нал полем К есть точное
неприводимое представление, то алгевра А изоморфна
некоторой полной матричной ялгевре MR над неко-
6-I26I
-73-

торым телом С. ■
Определение 11.2. К-алгевра А называется
простой К-алгеврой, если АЯАФ0 и в ней нет
двусторонних идеалов, отличных от нулевого идеала и
всей алгевры.
Задача 11.1. Простая конечномерная
ассоциативная алгевра А над алгевраически замкнутым
полем К изоморфна некоторой полной матричной ал -
гевре М над полем К. ■
Решение. Превратим линейное К-пространство
de-f
А в левый А—модуль, полагая d-a^-id^a (d,a€A)
Овозначим через V минимальный ненулевой А-подмо-
дуль в А-модуле А. Возможны следующие случаи.
1. A-V=0. Тогда
V*A dfii CE^v^a. |q=l,2,...; v^V, a^A^} -
ненулевой двусторонний идеал в А- Следовательно,
VXA=A. Но тогда А*А=А*CVXA)=А-(VXA)=0, что
противоречит простоте алгевры А.
2. A*V*0. Тогда V - неприводимый А—модуль.
Овозначим через Ф:А >End.rV представление,
которое индуцировано структурой А-модуля на V. Так
как Кег(Ф)- двусторонний идеал в А, а Ф(А)Ф0, то
Кег(Ф)=0 в силу простоты К-алгевры А. Следова
тельно, Ф - точное неприводимое представление
конечномерной К—алгевры А и доказываемое утвер
ждение вытекает из теоремы 11.2.■
Задача 11.2. Доказать, что лишая простая!
конечномерная ассоциативная алгевра А над пр'Оиз
вольным полем К овладает единичным элементом.■
Лекций 12
Тема. Строение конечномерных ассоциативных
апгевр
Определение 12.1. Двусторонний идеал I aa-\
социативной К—алгевры А называется нилъ-иде- „
алом, если любой его элемент нильпотентен, т.е.,
in=0 для некоторого натурального числа п,
зависящего от i€I.|
Определение 12.2. Двусторонний идеал I
ассоциативной К-алгевры А называется нилъпотен»
тным, если для некоторого натурального числа Щ
в алгевре А выполняется равенство

i ^Xi 2*- • -^i|M = # (для любых i ^, i 2» - • • ? ifl€ D-B
Пенна йнАРУКневкча. Пусть А -
ассоциативная К-алгевра и I — двусторонний идеал в A, a J
- двусторонний идеал в К-алгевре I. Тогда в I
содержится двусторонний идеал М К-алгевры А
такой, что J с М и идеал
МХМХМ Й8= -с Em P(m1,m2,m3)-flijXn^Xfi^l
1 Р(т1,т2>т3>€К, т.€М >
содержится в J.
Показатель ство. Положим
М === A, .XJXA. . =
id id
= *Еа ,а f j^<ai*J*a2)-a1XjXa2IMK, a^A^jSJ*.
Ясно, что М - двусторонний идеал в А- Так как J с
С I и I - двусторонний идеал в А, то М
содержится в I. Из определения идеала М вытекает, что
МХМХМ как линейное пространство порождается
элементами
(ах*jt^a2> X <а3*j2^a4}*(a5*J3*a6} (ai €Ai d» J i €J}■
(12.0)
Но элементы
b «=a « X j - ^a^Xa-y, b,y=a «Xa^Xj-^Xa/
содержатся в М, а, следовательно, и в I, а так
как по условию леммы J - двусторонний идеал в I,
то bjXj^Xb- <Е J. Это доказывает^ что все
элементы вида (12.0) принадлежат J- Лемма доказана.В
Следствие. Пусть ассоциативная К—алгевра А
не содержит нильпотентных идеалов и I -
минимальный ненулевой двусторонний идеал в А. Тогда I
- простая К-алгевра.
йоказатепъствош Так как 1*1 - двусторонний
идеал в А и этот идеал содержится I, то в силу
минимальности и ненильпотентности идеала I
должно выполняться равентсво 1=1X1. Следовательно,
К-алгебра I овладает ненулевым умножением.
Овозначим, через J - некоторый ненулевой
двусторонний идеал в К-алгевре I. Тогда по лемме
Андрукиевича существует двусторонний идеал М
алгебры А, для которого (li с: 1)&<0ФЛ с М) . В силу
минимальности идеала I отсюда следует, что М=1.
Но I=IXI=IXIXI=MXMXM с J. Следовательно, I=J и в
К-алгевре I нет нетривиальных двусторонних
идеалов. Вместе с равенством 1X1=1 это доказывает
пр«остоту К—алгевры I. Следствие доказано. В
Теорена 12*1ш Лювая конечномерная ассоци-
-?5-

ативная К-алгевра А, не содержащая нетривиальных
нильпотентных двусторонних идеалов изоморфна
прямой сумме простых К—алгевр.
йоказатепьство. Пусть 1^ - произвольный
(ненулевой) минимальный идеал К-алгевры А (его
существование вытекает из конечномерности А)-
Идеал I- - простая К-алгевра (см. следствие из
леммы Андрукиевича). Следовательно, в К-алгевре
I- есть единичный элемент е^ (см.
11.1, 11.2 и теорему 11.2). Тогда
e1^I1=I1=I1^e1, e1^A=I1=A^e1.
Следовательно, для любого элемента d€A
ливы равенства
задачи
справед
е ^сИе jfcdfce x=d*e t,
е1*е1=е1'
т.е. элемент е- коммутирует со всеми элементами
алгевры А. Более того,
(а-а^е1)^е1=0 & (a-afce^ * (ЬХех)=0 (а,Ь<ЕА);
(а.-а.¥.е г) * (b-b*e х) = (а*Ь-а*Ь*е х) ;
(а*е t)*(b*e t) = (a*b)*e x.
Из этих формул следует, что любой элемент d ал
гевры А однозначно представим в виде
d = d?fe1+(d-d^e1) ,
а множество
A#^£{(d-d*el) |d<EA>
является идеалом в К-алгевре А. Следовательно,f
A=I«#A# и любой идеал в К-алгевре А' являетсяЛ
идеалом в К-алгевре А. Поэтому в К-алгевре Af |
нет нильпотентных идеалов и из индуктивных соов- |
ражений А' является прямой суммой своих мини- ,:
мальных идеалов 1^, I-,,, ..., I , которые являют- ;
^ v> q |.
ся простыми К-алгеврами. Теорема доказана.■ **'
Т&ор&на 22.2. Яювая конечномерная ассоци- %
ативная алгевра над алгебраически замкнутым
полем, не содержащая нетривиальных нильпотентных!
двусторонние идеалов, изоморфна прямой сумме
некоторых полны:-: матричных алгевр над тем же самым
полем К.
йоказат&пъство немедленно следует из
теоремы 12.1 и задач 11.1, 3.2. ■
-76-

Раз верен нес копь ко практических способов
доказательства существования и построения таких
разложений.
Начнем с развора некоторых задач.
Задача 12.9. Доказать, что если квадратная
матрица d над произвольным полем К нильпотентна,
то все ее собственные значения равны нулю.Я
Задача 22ml» Доказать, что если квадратная
матрица d над произвольным полем К нильпотентна,
то tr(dn)=0 для n=l,2,... (tr(d) - след матрицы
d>.B
Задача 12.2. Доказать, что если основное
поле имеет нулевую характеристику и дп^
квадратной матрицы d порядка q выполняются равенства
tr(dn)=0 (n=k+l,.,.,k+q), (12.1)
то d - нильпотентная матрица-■
Решение задачи 12.0. Выверен матрицу с над
алгевраическим замыканием поля К, чтобы матрица
d"=c~~ *d*c имела жорданов вид. Так как
(d,,)q=(c"1^d^c)q=c~1Xdq^c, (12.2)
то матрицы d", d нильпотентны одновременно. Жор-
данова матрица d" имеет вид
ух* X X . . . ЭЕ ^
0 р2 X . .. *
0 0 ц3 . . . *
.0 0 0 ц
(12.3)
q /
Такая матрица нильпотентна тогда и только тогда,
когда все совственные значения ji-, р~* • • ■» ^а'
матрицы d" равны нулю. Так как у матриц d и d"
собственные значения одинаковы, то из формулы
(12.2) заключаем, что тоже самое верно и для
матрицы d.B
Решение задачи 12.1. Непосредственная
проверка показывает, что tr(a*b)=trCbXa) для любых
a,b € М . Поэтому для любой невырожденной
матрицы с€М,
q -1
tr(c xXdXc)=tr(d). (12.4)
Выверем матрицу с над алгевраическим замыканием
поля К, чтобы матрица d"=c
6X-I26I -77-
поля К, чтобы матрица d"=c *d*c имела жорданов

вид- Так как tr<d)=tr<d")=цj+...+nq (см. (12.4),
(12.3)), а все собственные значения нильпотен-
тной матрицы равны нулю, то tr(d)=0. Ясно, что
если d - нильпотентная матрица, то матрица dn
также нильпотентна. Поэтому tr(dn)=0 (п=1,2,..). |
Решение задачи 12.2. Рассуждения,
проведенные выше показывают,
что
112 2 s s
где 6j,...,
8 -
s
попарно различные собственные
эыaiчeния матрицы d, a
»!'
tm - их кратности
(m.
.+ms=q)
Поэтому система равенств (12.1)
дает следующую однородную систему линейных
уравнений порядка s
в
V0!
е
е
в2
5
•г
т4
.ер
12-^2
= 0.
Так как в-,...,в
свующий им определитель Вандермонда
нуля. Поэтому
попарно различны, то соответ-
отличен от
■4-ej-0
Так как все
(i = l,...,s) .
— положительные
(12.5)
т. — положительные целые числа, а
charK=0, то равенства (12.5) могут выполняться
только в том случае, когда все собственные
значения в«,...,в матрицы d равны нулю. Но тогда d
- нильпотентная матрица (см. задачу 12.1)-в
Рассмотрим левое представление L: А >End.rА
ассоциативной К—алгевры А в линейном
пространстве А:
L(d)-а Йв£ d*a.
Пусть К-алгевра А конечномерна. Определим
Билинейную форму ЬдгАйА—Ж, полагая
bA(x,y) ^^ trft(L(x^y)) = trA(L(K)*L(y) ) .
Из основного свойства следа tr(X£Y)=tr(Y*X)
немедленно вытекает, что К—Билинейная форма Ьд
симметрична и ассоциативна, т.е.
bA<x,y)=b(y,x>; bA(x^y,z)=bA(x,y^z)=bA(y,z^x)
•78-

<x,y,z принадлежат К-алгевру А).
Задача 12,3\ Доказать, что для любого
двустороннего идеала I конечномерной К-алгевры А
и любых и,у € I справедливо равентсво
bj (x,y)=bA(x,y>. ■
Предложение 12.1, Аннулятор Билинейной
формы ЬД:АЙА—Ж
Ann bA—- £d€A | bA<d?y)=0 для любых у€А >
является двусторонним идеалом в алгебре А- Этот
идеал содержит любой ниль—идеал К-алгевры А.
(Доказательство. Из свойства
ассоциативности Билинейной формы b вытекает, что если d£
€Ann b^, то
bA(a*d*c,y)=bA(d,c*y*a)=0.
Следовательно, Ann bA~ двусторонний идеал в А.
Пусть d принадлежит некоторому двустороннему
ниль—идеалу- Тогда для любого у€А элемент d£y
нильпотентен, в частности, нильпотентна матрица
L(dXy). Используя задачу 12.1, получаем, что
bA<d,y)=trA<L(d)*L<y)>=trA<L(d*y))=0,
где d€Ann bA- Предложение доказано.■
Задача 12„4. * Используя задачу 12.2,
доказать, что дп^ произвольной ассоциативной алгевры
А над полем нулевой характеристики идеал Ann bA
является ниль-идеалом.■
Следствие. Если у конечномерной
ассоциативной К-алгевры А Билинейная форма ЬА:А£А—Ж
невырождена, то К-алгевра А есть прямая сумма
своих минимальных двусторонних идеалов, которые
изоморфны простым К-алгеврам.
Ооказательетво немедленно вытекает из
теоремы 12.1 и предложения 12.1, если заметить,
что любой нильпотентный идеал является
ниль-идеалом. Ш
Но возможно другое волее простое
рассуждение, которое позволяет обойтись вез теоремы
плотности и наличия в минимальной идеале I
алгевры А еДИНИЧНОГО 9ЛФМ*НТШш
Рассмотрим прямое дополнение
I-j. de£<;cl€AI bA<d,y)=0 для любых у€1>
к идеалу I относительно Билинейной формы Ьд. Из
ассоциативности Билинейной формы bA:ASA—-Ж вы-
-79-

текает, что для любых a,c€I, d€A, y€I
bA<a*d*c,y)=bA<d,c*y*a)=0 ,
т. е. I-1- - двусторонний кдеап в A- f \
Допустим, что идеал 1П1-1- отличен от ыулщ, | |
Тогда 1Л1-1- =1 в силу минимальности идеала I и 5 i
Ьд(1,1>=0. Т.е. длщ лювых i-,i^€I, а€А
0=bft(ij,i2*a)=bA(i jfci0,a), т.е. i^Xi^Ann(Ьд>=0.
Следовательно, I =0, а так как в А нет по уже }
доказанному ниль-идеалов, то 1=0, что
противоречит минимальности идеала. I.
Следовательно, Ifll-J*=0. А так как форма ЬД
невырождена, то
dim^I+dinyl-1- = dim^A,
и из соображений размерности A=I + I-L, Более того,
А=1#1-Ч Так как 1Я1-1- С 1П1^ = 0 & 1-Ч« с 1П1-1- =
=0, то
(a1+d1)^(a2+d2)=a1^a2+d1^d2 (a^a^I, d1,d2€I-L>.
Задача 12.3 показывает, что формы bj, bjj.
также невырождены и разложение К-алгевры А в
прямую сумму минимальных идеалов существует из
индуктивных соображений.■
Задача 12,5, Любой двусторонний ниль-идеал
в конечномерной ассоциативной алгевре над <ал-
гевраически замкнутым) полем является нильпотен-
тным идеалом.■
Пример 12.1, Пусть G - произвольная груп-|
па. Линейное пространство
KCG3 === { Ei(^i-gi) I P^K, g^G >,
Базис которого составляютя элементы группы G,
относительно Билинейной операции *:KEG3SktG3 >
—ЖГБЗ, заданной "по дистривутивности"
<£-*• -д.>*<£ Р .-g > ="=*= Е-Е . <<х .-*.)• (д, *д > ,
называется групповой алгеврой группы G над
полем К.
Непосредственная проверка показывает, что в
случае конечной группы G порядка 1G|=п
1|G|, если g=i (1 - единицы группы ВЬ
0 , если gtl
И
т.е. Билинейная форма Ь ншвыротденш в групповой
алгевре тогда и только тогда, когда характерис-\
-80- |

тика основного попя К не лепит порядок п
группы 6.
Следовательно, ш случае алгевраически зли-
кнутого попя К, характеристика которого не де-
пит порядок конечно* группы 6, групповая алгев-
pa KCG3 изоморфна пряной сумме полных матричных
К-алгевр» порядки которых зависят от группы G-B
Пекция 13
Тема» Радикап в ассо хиативных апгеврах
Определение 13,0, Левый А-подмодуль в
ассоциативной К-алгевре А называется левым
идеалом в К-алгевре А.Я
Определение 23»1» Радикалом ассоциативной
К-алгевры А называется пересечение ядер Кег Ф
всех неприводимых представлений Ф:А—>Епс1.Л/
К-алгевры А в линейных пространствах V.■
Конструкция фактор-модуля» Пусть М -
некоторый левый А-модуль, W - его произвольный левый
А-подмодуль. Введем на М отношение
эквивалентности ~, полагая, что
m<~m0 <==> mj-fljj^ W .
Обозначим через M/W множество классов
эквивалентности, которые имеют вид m+W. Наделим множество
M/W сруктурой линейного К-пространства, полагая
Р-(m+W) £§£ Р-m+W (Р€К),
(m1+W)+(m2+W) ^ei (m1+m2)+W.
Непосредственная проверка показывает, что это
определение не зависит от вывора представителей
т,т1?т2 в классах m+W, m-+W, n»2+W и,
следовательно, корректно- Это линейное К-пространство
называют фактор-пространством линейного
пространства М по подпространству W. Это
фактор—пространство наделяется структурой А—модуля
относительно операции
a-(m+W) Sfi a-m+W <a<EA, m<EM) . (13.0)
Непосредственно проверяется, что это определение
корректно. А-модуль M/W называют фактор-модулем
А—модуля М по подмодулю W.■
Описание неприводимых й-модулей» Пусть V -
неприводимый А-модуль и v - произвольный его
ненулевой элемент. Как мы знаем отображение е—>v
-8i~

единичного элемента К—алгевры A^d в v
продолжается до гомоморфизма Ф:^<н—^9 п^и котоРом
ф(сЛ> йй£ d*v (d€Aid).
В силу неприводимости А—модуля V 1т(ф)=\/. Так
как ф - гомоморфизм, то а-Кегф d Кегф и W = Кегф
- А-подмодуль в левом А—модуле А. .. Ясно, что
ф(с!+Кегф) =ф(сЛ) ,
Ф<с1+Кегф)=0 <==> с1€Кегф (13.1)
и ф:А-j >V корректно индуцирует линейное
взаимнооднозначное соответствие ф: А- ./Кегф >V.
Формулы (13.0), (13.1) показывают, что это
"индуцированное" отображение является изоморфизмом
А—модулей V и А. ./Кегф. Таким овразом, любой
неприводимый й-модуль является фактор—модулем
левого й-модуля Aid. Кроме того, из
неприводимости А-модуля V следует, что Кегф -
максимальный й-поднодуль в Aid, т.е. в левом А-модуле
А* . нет А-подмодулей, содержащих Кегф, отличных
от Кегф и А^д. Более того, для лювого
максимального й-подмодуля W, отличного от идеала А,
фактор-модуль Aid/W является неприводимым»
Действительно, в фактор-модуле A^d/W нет
нетривиальных А-подмодулей, а для любого элемента
a€A\W имеем, что
a-(e+W)=a+W*0 в Airf/W,
т.е. A-(A. ./WM0.
id
Таким овразом, нами получена
Пемма 13.0. Любой неприводимый А—модуль V
изморфен фактор-модулю левого А—модуля А, . по
его максимальному подмодулю. В частности, dim^Vl
< dimKAid. ■
Определение 13.2. Элемент а ассоциативной
К-алгевры А называется
а) квазирегулярным, если элемент 1+а (1 -
- единица в Aid) овратим в К-алгевре Aid-
в) певоквазирегулярным если элемент 1+а
имеет левый обратный в A-d, т.е. и*(1+а)=1 в Aid
для некоторого u€A^d-
в) правоквазирегулярным если элемент 1+а
-82-

имеет правый обратный в Aifj, т.е. (1+а)*ц=1 в
Hid для некотоР°го Ll^^iH* в
Комментарий 23.1. Пусть а — нильпотентный
элемент К-алгевры А и ап=0 в А. Тогда
(l+a)^(l+i:"~j <-а)1)=1-(-а)п=1 ,
т.е. нильпотентные элементы ассоциативной
алгебры являются квазирегулярными элементами этой ал-
гевры.
Определение 13.3. Идеал I ассоциативной
К-алгевры А называется к* азирегулярным (левоква-
знрегулярнын) идеалом, если все его
элементы квазирегулярны (левоквазирегулярны). Ш
Комментарии 13.2. Любой ниль-идеал в
ассоциативной К-алгевре является квазирегуляр-
ним (см. комментарий 13.1)-И
Пемма о квазирегул ярмом подпространстве.
Пусть основное поле К алгевраически замкнуто и
размерность К-алгевры А строго меньше, чем
мощность поля К. Тогда любое одномерное
подпространство V, состоящее из левоквазирегулярных
элементов, состоит из нильпотентных элементов.
Ооказательство. Пусть 0Фа€А и все элементы
вида Р-а (Р пробегает поле К)
левоквазирегулярны. Тогда все элементы
(а+Р-1) <р*€К\0>
имеют левый обратный. Так как алгевраически
замкнутое поле К Бесконечно, то мощность множества
левых обратных
{(a+P-l)""1! р*€К\0> (13.2)
ратна мощности поля К. Так как dinyA<|K|, то
dim^A. .< |К | и в множестве (13.2) есть линейно
зависимые элементы. Пусть
Ei = l «i-^-VD"1 = 0'
где ое- ,Р-€К\0. Умножая ове части этого равенства
справа на (а-р\ •1)-...- (a—F •1) получаем, что
для ненулевого многочлена f(t)~-
==E.mi«,-<t-P,>-...-(t-p\ f)-(t-P ^.)-...-(t-F >
i=l i 1 l-l l+l m
f (a)=0 в К-алгевре Aicj. Так как поле К
алгебраически замкнуто, то многочлен i(t) можно
представить в виде
~83~

f <t)=e0.(t-e1)«... -(t-eq>-tk
(e0,eif...,e € K\0)
и в A.j имеет место равенство
0=f(а)=е0-(а-е^-... •<а-е >-an
<e0,e1,... ,е € к\0>.
Так как элемент <а-6) овратимы в А., при в*0, то
из последнего равенства полунаем, что а =0, т.е.
а - нильпотентный элемент. Лемма доказана.■
Спедствие. Если основное поле К
алгебраически замкнуто и имеет мощность строго Больше
размерности ассоциативной К-алгевры А, то любой
ее левоквазирегулярный идеал (левый или
двусторонний) является ниль-идеалом.И
Пенна 13.1. Любой левый
левоквазирегулярный идеал J в произвольной ассоциативной К—ал-
гевре А является квазирегулярным.
Доказательство. Пусть a€J. Тогда элемент
(1-а) имеет левый овратный в алгевре &\л* т.е.
Ь*(1-а)=1 для некоторого Ь€А.^. Так как линейное
пространство А- . есть прямая сумма своих
подпространств К-1 и А, то b предстаВимо в виде
P-1+d <Р€К, d€A) и равенство
1=(Р-1+d)X(1-а)=Р-1+ (d-a-d*a>
равносильно двум равенствам P=l, d=(d—1)Ха.
Второе равенство показывает, что d€J.
Следовательно, b=(l+d) и b имеет левый овратный в А- ., т.е.
сХЬ=1 в А. . цп9к некоторого с€А- .. Но тогда
(l-a) = (c*b)*(l-a)==c*(b*(l-a))=c,
т.е. элемент b является не только левым, но и
правым обратным к элементу (1-а). Лемма
доказана. ■
Теорема 13.1. Радикал ассоциативной
К-алгевры А совпадает с ее наибольшим двусторонним
квазирегулярным идеалом.
Оокаэатепъство этой теоремы распадается на
несколько лемм.
Пенна 13.2. Любой левый А-подмодуль в
К-алгевре А, состоящий из левоквазирегулярных
элементов, содержится в радикале алгевры А.
рокауагепьстшо. Пусть Ф:А—>EndKV -
произвольное неприводимое представление К—алгевры А в
линейном пространстве V и L - некоторый левый

А-подмодуль в А. Ясно, что
Ф(А)-(Ф(Ы^>=Ф(АХ1->-v С Ф(Ь)-v.
Поэтому линейное подпространство Ф(1-)^ (v -
произвольный вектор из V) является
Ф(А)-инвариантным.
Пусть L состоит из левоквазирегулярных
элементов. Допустим, что Ф(1-)^=У. Тогда Ф(а)-у=^
(или, что тоже самое <j>(l-a)-v=0) дпя некоторого
a€L. Но элемент (1-а) имеет левый овратный в
А^. Поэтому
0=Ф((1-а>-1>-0=Ф((1-а ~1)-< 1-Ф(а) >-v=v.
Т.е. v - нулевой вектор и У=Ф(1-)-у=0, что
противоречит неприводимости представления Ф.
Следовательно, Ф(1_) -v=0 для любого v€V. Но
это значит, что Ф(1_)=0, т.е. L с Кег Ф дп^
любого неприводимого представления Ф К-алгевры А.
Лемма доказана.■
Пенна 13.3. Пусть некоторый элемент а
К-алгевры А не лежит ни в каком левом
А—подмодуле К-алгевры А, состоящем из левоквазирегуляр-
ныу. элементов. Тогда существует такое
неприводимое представление Ф:А —> End^V, что Ф(а)Ф0.
Доклзатепьство. Для произвольного
фиксированного элемента d€A, . рассмотрим в левом А-мо-
дуле Aid левый А-подмодуль Wd —Ь Aid*< 1-dXa) .
Если l^Wj, то
l=(P-l+r)*(l-d*a) (для некоторых 0ФР€К, г€М.
Это значит, что —d*a - левоквазиовратный
элемент. Так как левый А-модуль Aid*a содержит
элемент а, то в нем по условию леммы не все
элементы левоквазиовратимы. Поэтому для некоторого d€
€Aid левый А-подмодуль W. не содержит 1, но
содержит (l-d*a). Овоэначим через J максимальный
А-подмодуль в левом А-модуле А-., который не
содержит 1, но содержит (l-d*a). Существование
такого подмодуля следует из стандартного
рассуждения с использованием леммы Цорна. Ясно, что J -
максимальный А-подмодуль в «i<j- *Действительно,
любой левый А-подмодуль в А^, содержащий 1,
совпадает с н^С|-> Также ясно, что J не содержит а.
(Действительно, l-d*a € J и если вы элемент а
принадлежал J, то модуль J должен выл вы содер-
-85-


зажать элементы dXa, (l-d*a)+d*a=l, что
противоречит тому, что 1 не принадлежит J). Поэтому
фактор-модуль V^icj^1* неприводим и в нем a-(l+J)=
=a+J#0+J. Т.е* для соответвующего неприводимого
представления Ф:А—>V Ф(а)*0. Лемма доказана.!
Из лемм 13.1 - 13.3 вытекает
Теорема 13*2. Радикал ассоциативной К-алге-
вры А совпадает с ее нанбольшим левым
квазирегулярным идеалом. ■
Так как радикал есть пересечение
двусторонних идеалов, то радикап ассоциативной алгевры -
двусторонний идеал и теорема 13.1 есть следствие
теоремы 13.2.1
Лемма о квазирегулярном подпространстве
показывает, что в случае алгебраически замкнутого
поля К большой мощности имеет место
Теорема 13.3. Пусть основное поле К
алгебраически замкнуто и имеет мощность Больше, чем
размерность ассоциативной К-алгевры А. Тогда
радикал алгевры А является наибольшим (левым)
ниль-идеалом. ■
Пекцмя 14
Тема. Ограниченная провпема Курота.
Теорема Певицкого - Ширшова
Пусть Х=£к-,*2»•■- * " счетный (или конечный)
алфавит, W=W(X) - множество всех непустых слов в
алфавите X, Н=Н(К,Х) - абсолютно свободная
ассоциативная алгебра над полем К с множеством
свободных образующих X. Базис алгевры Н(К,Х)
состоит из всех слов множества W, а операция *:Н8Н—>
—> Н производится по дистрибутивному закону
Элементы К-алгевры Н мы будем называть
полиномами.
Определение 14.0. Пусть f=f(Х|,х9,...,хт)
— произвольный полином из К-алгебры Н. Говорят,
что в ассоциативной К-алгебре А выполняется
тождество -f=0, если -F (а, , a2f - - - ? ат> = 0 в алгебре
А дл<я любых ее элементов а^, а2» - - - * ат-
Ассоциативную К-алгевру А называют Pl-апгеврой, если
в ней выполняется нетривиальное тождество -f=0 (f
-86-

- ненулевой полином в Н).■
Задача 24,0» Доказать, что если в
ассоциативной PI-алгевре А выполняется нетривиальное
тождество степени т, то в А выполняется
полилинейное тождество
xro*m-l"- xl""Er€Sm(e-*l)^<r'x<r(m)x<r(m-l)--'x<r(l)==0'
т (14-0)
где сумма Берется по всем подстановкам на
множестве {1,2,...,т>, отличным от единичной.!
Определение 24.1. Элемент d ассоциативной
К-алгевры А называется апгевраическнм, если
линейное подпространство, натянутое на элементы dn
(п=1,2,...), имеет конечную размерность, т.е.
dr= e[I^ ^.(d^d1 (14.1)
для некоторого натурального числа г и некоторых
элементов Pi (d) поля К. Минимальное число г, дпщ
которого справедливо равенство (14.1),
называется степенью апгевраичности элемента d.
Ассоциативная К-алгевра А назывется апгевраической,
если любой ее элемент алгевраичен.■
Провпема Курота. Верно ли, что лювая
ассоциативная алгебраическая К-алгевры А с конечным
числом образующих конечномерна? (Верно ли, что
лювая ассоциативная ниль-алгевра с конечным
числом образующих нильпотентна?)|
Задача 24.2. Доказать, что в конечномерной
ассоциативной К-алгевре А выполняется тождество
Капелли
Ег€8.в«п<г)-хс<1>У1>сг<2>У2---ке<1«-1>У«-1*г<«>-в»
где сумма верется по всем подстановкам <г на
множестве €1,2,...,m>, sgn(<r)=±l в зависимости от
четности подстановки <г, am вольте, чем dim^.B
Задача 24.2. Доказать, что если в
алгебраической К-алгевре А степень алгевраичности всех
ее элементов ограничена, то в А выполняется
некоторое нетривиальное тождество.■
Теорема Певицкого. Лювая ассоциативная
алгебраическая PI-алгевра А с образующими а^,...
...,aR конечномерна.
Оокаэатепьс гво (Ширшов). Пусть Х= Ихj,...
...,х >. Введем на множестве слов W=W(X>
частичный порядок, при котором:
а) слова u,w € W несравнимы между совой тог-
-84-

да и только тогда, когда одно из них есть
строгое начало другого;
б) сравнимые слова u, w сравниваются
лексикографически:
u=vx4uf<w=vx .w* <===> i<j.
* j
Пенна 14.Ф. Пусть d,e,a,u€W и a=du=ue.
Тогда
a^d^d- Se |d-|< |d | & t - Id |+ |d" |« la |. <14.2)
Доказательство» Если |d|>|u|, то (14.2)
справедливо при dH=u.
Пусть |d |< |u |. Тогда из равенства du~ue
заключаем, что u=duf. Следовательно, ddu#=du#e,
что равносильно равенству a'=dui=ule- Так как
лпглна. слова а1 меньше длины слова а, то из
индуктивных соображений
а§= dkd- «с Id" |< Id |, т.е. a=dk4"1dM Sc \d" |< |d |.
Лемма доказана.■
Определение 14.2. Слово w€W называется
(ассоциативно) в-развиваемым, если его можно
представить в виде
w=awmwm-l---w2wlb' где %>%-!>■-->w2>wl' *»b€W.l
Пенна 14.1. Пусть, Бесконечное слово
W^X • J X J nX ^-ГаваХ^-в*! lXj_^A=».X|,Xrt,»i..,X.#"/
не является m-разБиваемым. Тогда для любого
натурального числа к найдется такое слово d€W, что
w = wfdkw" Sc Id Km .
Доказательство. Пусть Х={хj,...,xR>. Выве-
рем натуральное число N так, чтобы оно было
Больше, чем m-к. Обозначим через W(N,w)
множество тех слов длины N, которые имеют Бесконечное
число вхождений в Бесконечное слово w.
Ясно, что мощность множества W(N,m) мень•
те т. Действительно, допустим, что а^,*2* •••»ащ
- различные слова в множестве W(N,m). Так как
слова одинаковой длины всегда сравнимы между
собой, то можно считать, что а>а^ Л >.•.>а«>а1.
Так как каждое слово ai€W(N,m), то оно
встречается как угодно далеко справа в Бесконечном
слове w. Поэтому и можно представить в виде
и = w'a b аж -Ьв ....a«b0a1w".
Полагая w.««a. b . (i = l ,2, . .. ,m) и замечая, что w >
>w ->...>*»,, получаем m-разБиение Бесконечного
-88-

m—неразвиваемого слова w
W *"• W W-_ W— i • • ■ W^W i W •
Полученное противоречие, доказывает, что
|W(N,w) |<m.
Так как каждое слово длины N, не
принадлежащее W(N,w), имеет конечное число вхождений в
Бесконечное слово w, а в W имеется только
конечное число слов дль^ны N, то w=vb, где в веско-
hbvhom спове Ь птшое подспово длины N
принадлежит W(N,w)=W(N,Ь).
Рассмотрим следующие разложения Бесконечного
j слова b
\ b=b!aibj <i«l,2,...,m; lb? |=i Sc |a. |=N).
Тогда по построению Ь все a^€W(N,w). Так как
|W(N,w) |<mf то среди а^9а^- - -, ат есть
одинаковые слова. Пусть a~-ai=a . (i<j). Тогда
-i a=a4=du Sc a=a .=ue Sc
j Se |d|=j-i<mSc |u|= N-(j~i) >m-(k-1).
] Применяя к слову а лемму 14.0, получаем равен-
1 ство а=а. =dkd", т.е. M=eb?dkd"b'.t. Лемма доказа-
на. ■
Задача 14,3» Доказать, что если
Бесконечное слово и не является «-развиваемым, то w -
периодическое слово и его период меньше т, т.е.
w = w'd" & Id Km. ■
Пенна 14.2. Для любых натуральных чьлсел
\ *,п,г найдется такое натуральное число
| N=N(m,n,r), что лювое m-неразвиваемое слово w
длины, Большей N, зависящее от п Букв,
представило в виде w=w#drw", где длина Id| слова d
меньше т.
ЯоказатепъствОш Допустим противное. Тогда
цл* некоторых фиксированных натуральных чисел
I в,п,г найдутся т-неразвиваемые слова w^ <i€ N )
1 в алфавите Х=-Сх* , ..., х ), каждое из которых
нельзя представить в виде
wi=sW|drwV (длина |d- | слова di меньше т) <14.3)
' и длины которых монотонно возрастают. Обозначим
I длимы слов wA через Nj. Так как последователь-
' 7-I26I 'М-

de-f
ность E1=st <;и^ |i € M > Бесконечна, а алфавит X
конечен, то в X можно выврать Букву»*.«, которая
являвтся первой в Бесконечном числе слов
рассматриваемой последовательности Е«. Обозначим
через Е2 подпоследовательность в Е«, которая
состоит из тех и только тех слов, которые
начинаются с Хц- Так как последовательность Е2
Бесконечна, а алфавит X конечен, то в X можно
выврать Букву х<2» которая явпяетсщ второй в
Бесконечном числе слов подпоследовательности Е«-
0 во значим через Е-» подпоследовательность в Е~»
которая состоит из тех и только тех слов,
которые начинаются с xixxi2" Продолжая проводить это
рассуждение, на q—м шаге мы выверем Букву х<а€
€Х и построим Бесконечную подпоследовательность
Е в EQ_i» состоящую из тех и только тех слов,
которые начинаются с х..х,2-■mXinm Так как Длииы
N. слов w. монотонно возрастают, то это
рассуждение можно провести для любого натурального
Hi^tcfia q. Обозначим через w Бесконечное слово,
для которого w=xiixi2"'шХ1а""'' т'е" такое
Бесконечное слово, в котором начальный отрезок
длины q совпадает с начальным отрезком длины q во
всех словах из подпоследовательности Е . Так как
лювое подслово т-неразвиваемого полслова т—не-
развиваемо, а все слова в Е т—неразвиваемы, то
любой начальный отрезок х*ixJ2"''xia Бесконечно"
го слова и ffi-неразвиваем. Но это значит, что
Бесконечное слово w т-неразБиваемо» Но тогда по
лемме 14.1 w=w#drw". Следовать, но, для q=§±
ЯШ£|wf |+г» Id! лювое слово из подпоследователь-
тельности Е начинается с ы*dr. Но это
противоречит тому, что представление (14.3) невозможно
для любого слова из Е|. Полученное противоречие
доказывает лемму.■
Н&нма 14*3* Если в ассоииативной К—алгевре
А с конечным множеством образующих Х=Сх^,Х2»---
-90-

...,xn> выполняется полилинейное тождество
(14.0) степени т, то вазис алгевры А можно выв-
рать в множестве, состоящем из т-неразвиваемых
мономов.
йоказлтепъстао. Так как К-алгевра А
порождена элементами х,,х0,...,х . то любой ее эле-
1 2 п*
мент является К-линейной комбинацией мономов.
Пусть w - m-разбиваемый моном и w=aw w _t...wtb
nt Al A x
- его т—разБиение. Тогда в силу тождества (14.0)
в алгевре А выполняется равенство
aw«wm-l---*lb =
^rSS Cir#l> Pr'awr(m)w<r(in-1)---W<r(l)b- (14e4)
Из него вытекает, что любой m-развиваемый монсзм
выражается в виде линейной комбинации мономов
той же длины, но меньших его относительно
лексикографического порядка. Так как существует лишь
конечное число мономов фиксированной длины, то
отсюда из индуктивных соображений получаем, что
все m-разБиваемые мономы могут выть выражены в
виде линейной комбинации т—неразвиваемых мономов
той же длины. Лемма доказана.!
Из лемм 14.2, 14.3 и задачи 14.0 легко
выводится следующая
Теорема Ширшова, Если в ассоциативной
К—алгевре А с конечным множеством образующих X =
{XpXjj .--|Х ) выполняется нетривиальное
тождество степени m и любой моном степени меньшей, чем
т, является алгебраическим элементом алгевры А,
то К—алгебра А конечномерна.
Доказательство. Обозначим через г максимум
степеней алгевраичности в алгевре А мономов
степени меньшей m и пусть N=N(m,n,r) - это то
число, существование которого утверждается в лемме
14.2.
Тогда А как линейное пространство по
рождлятся всеми мономан*, степень которых не
превосходит IM—1 - Действительно, из задачи 14.2 и
леммы 14.0 следует, что А порождается m-неразбива-
емыми мономами. Если такой моном w имеет степень
большую, чем N-1, то из леммы 14.2 и равенства
(14.1) получаем
w=w'drw"=i:r:;| Pi(d).w#diw" (^t(d)€K, Id Km).
Из этого соотношения вытекает, что любой т-не-
развиваемый моном степени большей, чем N-1, вы-
-91-

ражается в виде линейной комбинации мономов
меньшей степени и утверждение теоремы следует из
индуктивных соображений.■
Теорема Левицкого есть частный случай
теоремы Ширшова.■
Из задачи 14.3 и теоремы Левицкого вытекает
положительное решение ограниченной провлемы
Куроша:
Следствие* Если в ассоциативной К-алгевре
А с конечным множеством образующих X-tx.^x»»-*-
. ..,х > все элементы щшляются алгебраическими
элементами (ниль—элементами) и их степени апгев-
раичности <ниль~порядки> ограничены ш
совокупности, то К—алгевра А конечномерна (нильпотен-
тна).■
Пецин 15
Тем*. Неприводимые представления anreap Вейпл
над попяии положительной характеристики
В этой лекции мы вудем предполагать, что
основное поле К является алгебраически замкнутым,
имеет Более чем счетную мощность и его
характеристика равна простому числу р>0.
Иачнеи со случай -£=1:
A^f €P,Q,1| PXQ-Q^P^^PT.ti- 1 >, (15.1)
т.е. А^ - ассоциативная К-алгевра с единицей 1,
заданная двумя образующими P,Q и одним
определяющим соотношением
рко-оар^лГ^Г-й -1, (is. 1 •)
где ft - ненулевой элемент поля К.
Непосредственная проверка показывает, что
срр,аз«х:Р^ pjcp,Q3Pp~J""1=p.nP=T-tS-pp'"1=0, (is.2)
СР,оРэ«еР:;£ QJCP,Q3Qp"J""l=p-^=T-1:i-Qp"l=0. (15.2M
Из этих равенств вытекает, что элементы Р , Q
коммутируют со всеми элементами алге&ры А1 и,
следовательно, их овразы лежат в централизаторе
любого представления алгебры А*.
Для любого элемента D алгебры А. и любого
■-9Z-

представления ф вудем овоэначать через Ь
оператор ф(0).
Т+ортмт 15,1т В любом неприводимом
представлении ф:А| ^ndj^V выполняются равенства
Р°=Л£-1, Qp«Ag-l <Лр,л0€К) (15.3)
и dimKV=p. Более того, для любых Ау,Лд
существует с точностью до изоморфизма ровно одно
неприводимое представление, в котором справедливы
равенства (15.3).
0окяжшг*пъствош Ясно, что лювое неприводимое
представление ф индуцирует неприводимое
представление трехмерной алгевры Ли Гейзенверга
L=<P,Q, 1> с: А-"" относительно операции С,3.
Поэтому для некоторых Ар, Дд соотношения (15.3)
должны выполняться в таком представлении в силу
(15.2), леммы о централизаторе (см. лекцию 2) и
однозначной разрешимости уравнен/ия tD=l над по-
лем К. Тогда для оператора Р существует сов-
ственный вектор 0*v такой, что P-v=Ap-v. Полагая
v. USi QJ"1^ (j=l,2,e..,p+l), (15.4)
получаем
Vp-H* AQ'V15 P-vj + iac<QJxP'#-CP,QJ3)-v=^p-Qj-v+
-» j-lH-^^T.QJ-"l-v=^p.v .^j+j-li-^T-v .. (15.5)
Следовательно, ненулевое подпространство W,
натянутое на вектора v-,...,v , инвариантно отно-
сительно действия операторов P,Q и в силу
неприводимости ф все пространство V должно совпадать
с W, в частности, dim^Vip. Применяя функцию trv
к овеим частям равенства (15.I1). получаем
равенство 0-J-i-h-dim^V, которое может иметь место
только при dimwV=p.
Непосредственная проверка показывает, что
УЧ Л,
при любых Лр,Лд операторы P,Q, заданные
формулами (15.4), (15..5) в р-мерном пространстве,
удовлетворяют соотношениям (15.I1), (15.3).
Полагая М »*-^РТ-0»Р апщ любого собственно-
7х-1261 ~Э2~

го вектора 0*w€V оператора М, из равенств
•л. de<f "^ de-f >ч
M-w=P-w, w+—— Q-w, w_—— P-w получаем
M-w±=(CH,Q3+QKM) -w=(-Jh-Jrr2.Q-w+Q-P-w) = (P±1i) -w.
Откуда следует, что w и P можно выбрать так,
чтобы все вектора
щ Йё£ qJ"*1^ (j=l,2,...,p+l)
были ненулевыми и удовлетворяли равенствам
M-w .=(?+(j-1) -ti) -w . , (15.6)
j j
P-w.^^CCPpQl—i^T-M) •w.=-JrT-(^+(j-2) -ti) -w. .
(15.6*)
Из этих равенств следует9 что рассматриваемое
представление неприводимо. Кроме того, беря в
Базисе {и. | j=l,2,...,р> детерминант от обеих
УЧ УЧ /Ч
частей равенства M*-4—1-ОХР и используя (15.3),
(15.6), получаем, что любое соовственное значе-
ние Р оператора М удовлетворяет следующему
уравнению
^p-np~1.^=det(M)=-J::lp.det(Q) -det (Р)=-/Г1рлр.лр.
(15.7)
Ясно, что это уравнение является характеристи-
УЧ.
ческим для М. Теорема доказана. ■ ,
3*д*ч* 15,1, (О» одномерном а***+ним */>#*-
трон* в купоновом поп*в) Для каждого
неприводимого представления алгешры Вейля А* вычислить
характеристический полином оператора
Н $&& ^-Р2-2е2-0ж1 (jj,Ze2€K)* ■
Рассмотрим спучли /£=3: ассоциативная алгебра
А3, обладающая единичным элементом 1, задана
образующими Рх,Ру,Р2, ^x'^y'^z и определяющими со-
отношениями
CPU,QU3= ^FT-fc-l (u€<x,y,z>), CPU,QV3=0 (u#v),
^u^v3*0^0!!'0^3 <"rv€Cx,y,z>), (15.8)
где h - ненулевой элемент поля К.
3*A*v* 15,2m Доказать, что алгебра Вейля A3
изоморфна тензорному произведены* (см. лекцию 7)
трех экземпляров алгебры Вейля А«: А^ЗА^ЗА^.
Показать, что отображение
-44-

Px >РЙ1«1 Ру МЗРЙ1, P2 МЙ1ЙР,
Qx >0Й1Й1 Qy >1SQ»1, Q2 MBIBQ (15.9)
продолжается до изоморфизма А^А^н^Зн^. ■
Творена 25,2, В любом неприводимом
представлении Ф:А3 >EndKW выполняются равенства
Рр=ор-1 Рр=ор-1 Рр=ор-1
rx px *» у py 1' z pz *»
oP-xp-l, GP=yP-l, QP=2P-1, (15.10)
x 9 у ' * z
где рх,py,pz,x,y,z - подходящие элементы поля К
и dimKV=p . Более того, для любого навора таких
элементов существует единственное с точностью до
изоморфизма неприводимое представление, для
которого справедливы равенства (15.10)*
Ооказатепьство, Из изоморфизма (15.9),
определения тензорного произведения алгевр и фор-
мул (15.2), (15.2М следует, что операторы P{j*Q{j[
(u€Cx,y,z>) лежат в централизаторе представления
ф. Поэтому формулы (15.10) справедливы в силу
леммы о централизаторе. Так как уравнение tp=oc
имеет единственное р-кратное решение над полем
характеристики р, то из этих равенств вытекает,
что спектр оператора Р (u€{x,y,z>) состоит из
единственного элемента р . Опредепттие соотноше-
S\ S\ SS.
ния (15.8) показывают, что операторы Р ,Р ,Р
х у z
коммутируют между собой и должны иметь общий
собственный вектор w*0, для которого
Px-w=px-w, Py.w=py-w, Pz-w«p2-w. (15.11)
Обозначим через W* линейное подпространство
в W, порожденное векторами
Wi,i,q"~ Qx^y*^-* (i,j,q=0fl,2,...). (15.12)
Из формул (15.10) имеем
Wi+P,J,q=X "*i,j,q 9 wi,j+p,qS=y "Wi,j,q '
wi r,4-n=zP-wi a * (15.13)
т.е. подпространство W* порождается векторами
Cw. I i,j,q«0,1,...,р-1> и dinLJrf'ip3. Так как
СРц^^^.^Т-г^-О^""1, CPU,QV3=0 (u*v€*x,y,z>)
-95-

(см. (15.5), (15.8)), то
<Р -р -1>-n4 . „.fe(q+l)-JrT-t»-w. . rt . (15.14)
z ^z i,j,q+l M i,j,q
Из формул (15. ID-(15. 14) следует, что
а) W* - инвариантное подпространство в W от
УЧ. УЧ
носительно действия операторов Р ,Q (u€£x,y,z>);
б) если вектора Cw. . I i,j,q=0,1,...,р-1>
были бы линейно зависимы, то вектор w=w0 0 0
выл бы нулевым;
в) в W1 нет нетривиальных лин&йных.
подпространств, инвариантных относительно операторов
Pu,Qu (u<S{x,y,z>).
Следовательно, W=W#, <w, . „ | i,j,q=0»1,...,
19 j* q
p-l> - вазис в W и формулы (15.11)-(15.14) эада-
ХЧ /Ч
ют неприводимое действие операторов PU#QU <u€Cxf
y,z>).
Более того, непосредственная проверка пока-
УЧ УЧ
зывает, что операторы F>U»QU (u€<x,y,z>),
заданные формулами (15.11)—(15.14), являются
решениями уравнений (15.8) при любых значениях р .р .р «
х у z
х,у,z € К. Теорема доказана. ■
Задача 15.3. Для любого целого числа ft
описать все неприводимые представления алгевры
Вейля Ал (см. определение 4.0) над алгебраически
замкнутым полем положительной характеристики. ■
flew** 16
Тема. Вычисление в арифметическом случае
минимального полинома для гамильтониана
квантовой задачи о движении электрона
в кулоновом поле
Пусть А3 - алгевра с единимей, определенная
в лекции 15, и Р ,Р ,P,Q,Q , Q — ее
канонические образующие, удовлетворяющие соотношениям
(15.8). Выражение
-96-

н£@£ <l/2|i) - (P2+P2+P2)-(Ze2) Л1 (Q*+Q*+Q*) (16-1)
(M,Z,e€K> x у z x у z
назыается гтнипътониянон А**т+ми* шпентроит ш
нупоновом попе. Принято думать, что задача о
спектре оператора Н при Z=l тесно связана со
спектром атома водорода, уровни энергии которого
задаются хорошо известной формулой
R/i2 , <i*l,2,3,...), (16-2)
где R - некоторая фиксированная действительная
константа, называемая not сттмтоЯ Рнд**рг*рл.
В этой пвкции мы разверем задачу о спектре
оператора Н в ПШШОМ Н*прНФОЛ*НОН прШАСТШФП****
К-лпг+шрш В*Лпл A3f ногал поп* К лпгешрлнческм
этн&нуто и имеет попожмтепъмут хтректермстику,
рлвмут произвопъмому простому нечетному чмспу р.
В этом случае мы можем воспользоваться
классификацией неприводимых представлений алгебры А-.
(см. теорему 15.2) и считать, что такое
представление Ф:А-» >End^V задается шестью
характеристическими параметрами р fpw>p_,x,y,z€K, для
х у z
которых выполнены равенства
pp=pp-i, pp=Pp.i, рр=Рр-1,
X *Х * У У 2 *Z *
QP=xP.J, QP=yP-l, 0P=2P-t. <16.3)
x у z
Зшмечшмме 16*1 Матричное равенство
[а а#Л2 /а2+а#-аи 0 "\
\olh -ос ] ~ \ 0 ос2+а#-оси j
показывает, что извлечение квадратного корня из
оператора, вообще говоря, Более чем
конечнозлачна я функция. Поэтому интересующий нас оператор
Н SSt T-Ze^-R l (T=(l/2p) - (P^+P^+Pz>) , (16-4)
х у z
где
луг
требует дополнительного уточнения. Для этого
возведем ове части равенства (16.5) в р-ю сте-
уч уч уч.
пень. Тогда, так как операторы Q ,Q , Q коммути-
х у z
руют между совой, из равенств (16.3) получаем
х у z ^
-97-

Полагая последовательно
г йШ& (х2+у2+22>1/2 (r,x,y,z€K>, (16.7)
Й UMi (1/rP,.(Q2+6J+Q2)<Р*1>/2, (16.7.,
R-1 йШ1 <1/гР). (02+02*82, (P-D/2 (16.7»)
х у z *
из равенства (16.6) заключаем, что R
удовлетворяет равенству (16.5). Можно показать (докажите
это!), что с точностью до знака (16.7f) задает
единственное решение уравнения (16.5) в
множестве операторов {f (Q?+Q^+Q^) I -f(t)€KCt3>, поли-
х у z
до -л-2 >ч2
полиномиально зависящих от оператора (Gn+Q +Q ).
Поэтому естественно придать гамильтониану (16.4)
следующий смысл
>ч >ч2 Л2 Ао 2е^ л2 л2 л2 (о—1)/2
Н=(1/2р) - (Р^Ру+Рр- ^- (Q^+Qy-Юр 1р *' . (16.8)
Этот гамильтониан полиномиально зависит от опе-
УЧ УЧ
раторов PU»QU (u€Cx,y,z>) и рационально от
параметров r,Z,e,ji€K. Именно его мы Будем иметь
ввиду в наших дальнейших рассмотрениях. ■
УЧ
Вычислим характеристический полином det(H-
уч
—Е-1)€КСЕЗ оператора Н. Для этого введем
следующие обозначения
а ^1Ц.й.(р2^2+р2>=й.6хт, a de£R, hi%a+,a i.
(16.9)
Зтнечлние 16,2т Очевидно, что для любого
Е€К
w*4 УЧ УЧ О >Ч г|^Х 1 л л
det(H-E-l)=det(R- (g-Ze^-1)), где g З^Ь *-.е+-Е-е_.
Р (16.10)
Т.е. вычисление характеристического полинома дпщ
>ч
оператора Н равносильно (при г*0) вычислению со-
>ч
ответетвующего полинома для оператора д.
Непосредственно проверяется, что
ССе+,е_!],е+Э=Ь • е+, ССе+,е_Э,е_Э=-Ъ -е__, (16.11)
УЧ **шь£. 1 >Ч УЧ 4 УЧ Л-О -^О УЧО УЧ
h абь ^-Ce+,e_3= ^■.R-C(PJ+PJ+PJ),R3=
«^■Ъ.^. < (QxPx+ayPy+Q2P2)+R(Pxax+PyQy+PzQ2)R-1}=
=|--/:rr-{(QxoPx+Q oP +QzoPz>-4i-4:rr>, (16.12)
-93-

где через 8 о? овозначен элемент
а *е +р *а .
r U U U U U U
Эти равенства показывают, что трехмерное линей-
ное пространство G -5t K-e+«t-K-e_+K-h является
при М0 простой трехмерной алгеврой Ли, на
которой симметрическая Билинейная форма (,):GBG—Ж,
равная половине половине формы Киллинга, т.е.
(Х,у) ^ii (1/2)-tr6(ad(x),ad(y)),
принимает следующие значения
<e+,e_)=hz, (h,h)=h^, <е+, e+) = (e_,e_) = (h, е+)=0.
(167l3)
Следовательно, для вычисления в р -мерном пред-
УЧ
ставлении ф: А-—>End.,V полинома det..(g-t • 1) €
€KCtl, достаточно научиться вычислять полином
УЧ
det,.(g-t-l) (g€G) в любом неприводимом
представлении t:G—>End|JM трехмерной алгевры Ли G.
уч ys.
Особо отметим, что так как оператор e_=R
является овратимым, то для решения этой задачи
достаточно ограничиться только такими
представлениями. ■
Неприводимые представ пени* простой
трехмерной алгевры Пм в модулярном
случае.
Такие представления выли классифицированы в
лекциях 3, 4. Мы воспользуемся этим описанием
применительно к рассматриваемому случаю.
Непосредственная проверка показывает, что
для присоединенного представления ad:G—>EndKG
для любого g€G справедлива формула
detG(t-l-ad(g))=t3-(g,g)-t,
откуда по теореме Гамильтона-Кэли
ad(g)3-(g,g)(D~l)/2-ad(g)=0.
Применяя последнее соотношение над полем
характеристики р>2, в универсальной овертывающей U(G)
имеем
Cgp,u3=ad(g)p-u=(g,g)(P"1}/2-ad(g)-u=
= (g,g) (P""1)/2-Cg,u3 <u€G) .
Откуда немедленно вытекает по лемме о централи-
-99-

заторе следующая
Яшина 16т1, Все элементы вида
gP-(Q,g)(P"1)/2.g (g€G>
коммутируют с любыми элементами алгевры U(G>.
Более того, в любом неприводимом представлении
t:G—>End V для любого g =--т(д) выполняется
равенство
др-(д,д)(р"1)/2-8=лР-1 (16.14)
для некоторого лQ€K. В частности,
£Р=АР-1, еР*ЛР-1, hP-ftP-^h^P-l. ■ (16.14')
Хорошо известно (см. задачу 2.0), что
элемент Казимира
к ^*= е *е +е *е +h*h=2-e -e^+h-h+h^ (16.14м)
также коммутирует с любыми элементами r(U(G)), a
по лемме о централизаторе к —-- т(к)=£-1, где &=
=6'(т)€К. Но тогда
е+= |-el1^(^-l-(ti-h+h2)). (16.15)
В частности, ограничение оператора Н (см.
(16.4), (16.9)) на неприводимом факторе W имеет
почти знакомый вид (см. задачу 15.1)
Н*е 1X(1-e^-Zez)==1-P^+=£-R 2-Ze2-R *, (16.16)
где Рр«±-J-i .е~ -h, R "* е_ - овратимый опе-
УЧ УЧ
ратор, причем операторы PR и R связаны
соотношением Гейзенверга
CP^R^^FT-ti-l (16.17)
(это следует из формул (16.11), (16.12)).
Используя результаты лекции 4, из равенств
УЧ
(16.11), (16.12) получаем, что если h-v=P-v
(0#v€W,P€K), то все ненулевые вектора
vq+1^£ e^-v (q=l,2,...,p)
УЧ
(оператор е овратим!) являются собственными для
УЧ
оператора h и отвечают советвенным значениям
P-q -n (q=0,1,...,р-1) соответственно, в частное -
ти, сЛт^Зр. Но тогда из леммы 16.1 и равенств
(16.14), (16.141), (16.15) вез труда получается
следующая классификация нужных нам неприводимых
-100-

представлений.
Т*орена 16ml, Над алгебраически замкнутым
полем К (charK*2) лювое неприводимое представление
УК
т:6 >EndKW, в котором оператор е_ обратим,
имеет размерность равную рис точностью до
изоморфизма однозначно определяется значениями
четырех параметров Л+,Л_,Л~,&, удовлетворяющих со-
отношениям (16.14*), (16.15), а также
алгебраическому уравнению
2.ЛР.Л^Л2Р»(Л/^^Р4.Р-^Л/^1Ж5'>2. (16.18)
Более того, для каждого такого навора значений
такое неприводимое представление существует. Оно
реализуется в Базисе v*f...,v следующим дей-
УК УК
ствием операторов h,e_
h.Vl АЙ (•-£• (i-1)) -vt (i=l,2,...,p),
e_.v £St Л^-Vj, e_*v.^St v.4>1 (j<p), (16.19)
где P - решение уравнения r^-4ip -0=^5, (см.
также (16.14*)), а действие оператора е+
задается формулой (16.15), и в нем выполняются
равенства (16.14*), (16.13). ■
(Отметим, что соотношение (16.18) получается
из (16.14') применением функции det^ к овеим
частям равенства (16.15) в Базисе собственных
УК
векторов оператора h (см. (16.19), а также
доказательство формулы (4.10) в лекции 4).
Спедстм*. Характеристическое уравнение для
собственных значений ос оператора
g Й££ (1/й)-е+ЧЕ-е_
имеет вид
аР-<г2Ь^2)(Р-1)/2.а=//йР-ЕР.ЛР . (16.20)
Так как (g,g)=-2E/p (см. (16.13)), а из не-
УК УК
четномерности W и явного вида операторов е+,е_ в
вазисе tv±У (см.(16.19), (16.15)) вытекает
равенство detw(g)*det(e+/p)-det(E-e_), то
уравнение (16.20) есть следствие леммы 16.1 (см.
(16.14)). ■

Вычисление параметров Л+,Л_,Л0
Построим в р -мерном пространстве V
представления алгевры А-^ неуплотмяемую цепочку
G—инвариантных подпространств 0-Vs d .. . с Vj с: \>0=
=V. Так как оператор е_ овратим на V, то отсюда
следует, что любой фактор-модуль W.=~V.,/V.
2
неприводим, его размерность равна р и s=p .
Более того, каждое из подпространств V^
инвариантно относительно действия операторов
T^Sid/p)^1-^ (см. (16.4), (16.9)), e_=R. Но
тогда из формул (16.4) в силу коммутативности
УЧ
между собой операторов Р. следует, что
(|i.f)P=-i- (p2P+p2P+p2P)=l. (р2+р2+р2)Р-1 (16.21)
^ 2Р х У 2 2 х У z
(см. (16.3)). Аналогичные соображения (см.
(16.3), (16.6), (16.7)-(16.7")) приводят к
равенству
^P=RP=rP.l=((x2+y2+z2)1/2)P.l . (16.22)
Наконец непосредственное вычисление выражения
f|P-ftP~ -h с использованием явной формулы (16.12)
для h (см. также (15.7)) показывает, что
hp-*ip"l-h-i:u€€x 9 У9 2> (( ^T.qu^pu) ^p~^^-qu*pu) =
= (^РГ)Р-(х-р +ур +z-p )р-1 . (16.23)
х у z
Пенна 16.2» На любом неприводимом факторе
W.—-V. «/V. Б-модуля V тройка
характеристических констант h+9ft_m9h0 принимает одно и то же
значение, причем,
Л0=(^Т) - (x.px+y.py+z.p2) , (16.24)
A_=r=<x2+y2+z2)1/2, (16.25)
А =4-г•(р2+р2+р2). (16.26)
+2 х *у *z
Доказательство* Равенства (16.24), (16.25)
следуют из прямого срашненнщ (16.22), (16.23) с
соответствующими соотношениями в (16.14*). Равен-

ство (16.21) показывает, что все собственные
значения оператора р-Т на V равны (1/2)• (р +
х
2 2 уч л
+р +р ); аналогично е+, е_ на каждом W имеют
только по одному совственному значению Л+, Л_
соответственно. Поэтому, применяя к равенству
р-Т=е_ -е+ (см. (16.9)> функцию det^ получаем
искомое соотношение (16.26). Лемма доказана. ■
0*йств*ф до V алгеБ>ы Пи so(3,K)
Положим
Lx^t4jrT- (Qy*Pz-Qz*Py), Ly^Si^T. (QzXPx-QxXPz),
L^ll^T. (Q XP -QXPv) . (16.27)
z x у у x
Непосредственно проверяется, что
СЦ.Ц^-'п-Ц,, С^.^З^-Ц, СЦ.Ц^-Ц,, U6.28)
С2 2§£ C2+L2+L2=
ХЧ*^> АО УЧ /Ч. УЧ Л » УЧ ХЧ
=2-eJ*e^4i-h+h2 ^Si k=<y.i (16.29)
(см. (16.21))
и операторы L . L ,L коммутируют с T,R,e.,e „h.
л у Z "+■
Т.е. алгевры Ли so (3,K) ^^K-L^+K-L +K-L и Б
задают прямую сумму в т(А-»;), а центры их овертыва-
ющмх алгевр совладают. Используя К—линейность
Функции g >Vgp-(g,g)(p l)/2-g<EK (см. (16.14))
для лювого р—мерного неприводимого представления
произвольной простой трехмерной алгевры Ли9
нетрудно показать,, что
(u*v, u,v«Kx,y,z>). (16.30)
Откуда вытекает, что если тройки чисел Cx,y,z>,
3
£р , р ;, р > не пропорциональны, то в р -мерном
модулэ над so(3,K) все неприводимые факторы
р—мермы.
-103-

Теперь из равенств (16.3), (16.18), (16.20),
(16.24)-(16.26)Р а также из алгевро—геометричес-
ких соображений, связанных с неразложимостью
уравнений вида (16.18) и (16.20) над полем
рациональных функций, вез труда получается следующее
утверждение.
Тф&р+нл 16,2 Лювое неприводимое
представление алгебры Вейля Ф^"*—>End^V над
алгебраически замкнутым полем К характеристики р>2 с
точностью до изоморфизма однозначно определяется
двумя тройками числовых параметров г »—(x,y,z),
р ~-(рх,р ,Р2), которые в этом представлении
удовлетворяют следующим операторным равенствам
рР=р£-1, Q£=up.l, (u<*x,y,z>). (16.3')
При r=vx +у +z *0 в ф(А_) определены трехмерная
УЧ.
алгевра Ли (см. (16.9)) с оператором Казимира к
(см. (16.14")) и оператор Н (см. (16.4),
(16.8)), все собственные значения & и Е которых
являются всеми решениями следующих уравнений
<Ч*+*-Ъ -hp"*-V*-^-b-c)-c-<C?fp3fCrf?3>, (16.31)
0(P^(=jb-.E)<p-n/2ea=£r.(5i_e<^->_E)>p (вя2ш2)р
(16.32)
где С,3 и <,> обозначают естественные векторное
и скалярное произведения в трехмерном
арифметическом линейном пространстве над К. Более того,
(16.31) и (16.32) при подстановке в них вместо &
ХЧ УК
и Е операторов к и Н соответственно превращаются
в верные операторные равенства, а при
<Сг,рЗ,Сг,рЭ>*0 (г*0)
(б+но<3,К))~модуль V* Ф vl (gW'l , где &i9 9S -
#
все корни уравнения (16.31) относительно S9 V~ ,
is
V«. - неприводимые р-мерные 6- и so(3,К)-модули,
однозначно определяемые характеристическими
равенствами (16.14), (16.24)-(16.26) и (16.29),
(16.30) при S=Si. ■
-104 -

Замечание 16.3. Весь <од проведенного выше
рассуждения неназойливо подвигал нас к \ ой 1оч»-ь*
зрения, что характеристические величины
?=(х,у,г), рГ=(рх,ру,р2) ,
неприводимого представления ф2"^ >EndKV с меду
ет принять за классические координаты и импульсы
электрона в трехмерном пространстве, а кванто*,.
механические наблюдаемые PU,QU, L =fc , Н связаны
с ними операторными соотношениями (16.7* > .
(16.31) при *=к, (16.32) при Е«Н-
Учебное издание
Размыслов Lpnii Литиршович
Введение в теорию алгебр и их представлен
Зав. редакцией Л.А.Николова
Редактор А.К.Тюлина
Художественный редактор К.М.АОбрянскап:
Технический редактор О.В.Андреева
Н/К
Подписано в печать 2.04.91
Формат 60x90 Vl6. Бумага офс. & 2
Офсетная печать
Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 4,6
Тираж 500 экз. Заказ й 1161 . Изд. J,? 2I75
Цена 15 коп. Заказное
Ордена "Знак Почета" издательство МГУ.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена "Знак Почета" изд-ва „JV.
II9899, Москва, Ленинские горы