АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ОЛИМПИАДЫ
АЛГЕБРА
КОМБИНАТОРИКА
Ответственный редактор Л. Я. Савельев
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск • 1979

УДК 510
В сборнике помещены статьи сотрудников
Института математики Сибирского отделения АН
СССР. Рассказывается об опыте работы
физико-математической школы при ИГУ, обсуждаются
вопросы воспитания математической и логической
культуры учащихся. Материалы сборника могут быть
использованы для факультативных занятий и во
внеклассной работе.
Книга рассчитана на широкий круг читателей:
преподавателей и учащихся средней школы,
студентов педагогических институтов и всех
интересующихся математикой.
ОЛИМПИАДЫ. АЛГЕБРА. КОМБИНАТОРИКА
Ответственный редактор Лев Яковлевич Савельев
Редакторы издательства В. Я. Дятлов, И. П. Зайцева
Художественный редактор Т. Ф. Иаминина
Художник С. М. Кудрявцев
Технический редактор А. В. Сургаиова
Корректоры О. А. Макеева, В. К. Тришипа
ИБ JSli 9911
Сдано в набор 24.11.77. Подписано к печати 5.09.78. МН 02089.
Формат 84х108'/з2. Бумага типографская Л« 3. Обыкновенная гарнитура.
Высокая печать. Усл. псч. л. 9,2. Уч.-изд. л. 9. Тираж 40 000 экз.
Заказ Лз 779. Цена 60 коп.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99,
Советскач, 18.
4-я типография издательства «Наука», 630077, Новосибирск. 77,
Станиславского, 25,
0 055F2) —79 Б3~21~~36~78 ©Издательство «Наука», 1979,

ОТ РЕДАКТОРА
Век, в который мы живем, является веком
необычайного научного и технического прогресса.
Большую роль в этом прогрессе играет
математика. Ее методы применяются сейчас почти во всех
областях знания. Математический язык
становится универсальным языком науки. Это, в свою
очередь, требует от сегодняшних школьников более
глубокого знания математики. В школах
осуществлен переход на новые программы, издается
популярная математическая литература. Однако
далеко не все элементарные вопросы математики,
знакомство с которыми, несомненно, было бы
полезно школьйикам, отражены в соответствующей
литературе.
Настоящий сборник составлен из статей
сотрудников Института математики Сибирского
отделения АН СССР. Они рассказывают о
проблемах современного математического образования и
о некоторых разделах логики, алгебры, теории
чисел и комбинаторики. Статьи написаны
популярно и в то же время подводят к серьезным
научным и методическим проблемам. Тщательный
подбор материала, современное его изложение
делают сборник полезным каждому
интересующемуся, математикой.
3

С. Л. СОБОЛЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
В СССР
Бурное развитие математики, возрастание ее роли
в науке и технике вызвало необходимость изменения
содержания и уровня изложения школьного курса
математики.
Перестройка преподавания математики в школе —
дело сложное. Нелегко выделить из разросшейся
математической науки то, что нужно будет будущим
ученым, инженерам, просто культурным людям к концу
нашего века и началу следующего. Нелегко написать
новые учебники и пособия в соответствии с теми
требованиями сегодняшней школы, которые уже
осознаны, и, наконец, перестроить курсы математики в
десятках тысяч школ СССР.
Конечно, львиная доля труда по этой перестройке
ложится на плечи учителя. Степень трудности
перехода к новым программам зависит от того, какова
общая математическая подготовка учителя, что он
знает помимо обычно преподаваемого им курса. Для
многих десятков тысяч учителей такой переход означает
изменение всего того, к чему они привыкли за всю
свою педагогическую деятельность, ипогда
продолжавшуюся не один десяток лет. Ему и его ученикам будет
гораздо легче справляться с изучением математики по
новой .программе, если они будут общаться с более
широкими кругами математиков, знакомиться с новыми
идеями и т. п.
В повышении математической культуры учащихся
и учителей заметная роль принадлежит
математическим олимпиадам — организованным конкурсам
учащихся старших классов в решении математических
задач повышенной трудности. Поэтому мне показалось
4

уместным рассказать о матоматпческих олимпиадах,
проводимых в Советском Союзе.
Первая олимпиада по математике в нашей стране
была организована в Ленинграде в 1934 г. по
инициативе профессоров Ленинградского университета
(Делоне, Тартаковского и др.). На следующий год
олимпиада прошла в Москве, а вслед за этим и в других
городах Советского Союза. В дальнейшем эти
соревнования расширяются. В I960 г. была организована
Всероссийская математическая олимпиада, а с 1967 г.
ежегодно проводится Всесоюзная математическая
олимпиада.
Опыт математических олимпиад оказался
заразительным. В скором времени к математическим
присоединяются олимпиады по физике, а ватем по химии.
В последнее время проводятся также соревнования но
биологии и другим школьным дисциплинам. Каждый
на первых трех туров всесоюзной системы олимпиад —
школьные, районные и областные (краевые) — состоит
из трех протекающих практически одновременно
соревнований по разным наукам, с разными
участниками. Четвертый тур — республиканские олимпиады.
И, наконец, заключительный, пятый тур — Всесоюзная
олимпиада — проходит тоже одновременно в трех
городах Советского Союза: математики в одном месте,
физики в другом, а химики в третьем
(математические — в Тбилиси, Ленинграде, Киеве, Симферополе,
Риге, Челябинске, Кишиневе, Ереване).
Чтобы дать представление о масштабах олпмпиад-
ной деятельности, приведу песколько цифр. Первый
тур в принципе охватывает всех школьников нашей
страпы, и, следовательно, в нем принимают (или могут
принять) участие несколько миллионов человек.
Районные и городские олимпиады имеют дело уже со
значительно меньшим контингентом участников.
Областные, которые представляют собой третью ступень
всесоюзной системы олимпиад, собирают по нескольку
сот человек каждая, а в сумме это составляет 50—
60 тысяч учащихся. Во Всесоюзной олимпиаде
участвуют обычно около 600 человек.
Всесоюзная система олимпиад захватывает
большую часть учебного года. Школьные и районные
олимпиады проходят в ноябре — декабре, областные п
5

краевые — в январе (их проводят областные Отделы
народного образования), республиканские приурочены
к концу марта. Всесоюзная математическая
олимпиада проходит в середине апреля в разных научных
центрах СССР поочередно. Участниками каждой слег
дующей ступени олимпиады являются победители
предыдущих. Помимо этого к заключительной олимпиаде
присоединяются и ученики специальных
физико-математических классов.
Всесоюзная математическая олимпиада отбирает
участников для международных соревнований.
Кроме того, олимпиады проводятся и в отдельных
городах по инициативе местных органов просвещения.
Некоторые высшие учебные заведения Советского
Союза, такие как МГУ, ЛГУ, Московский энергетический
институт и другие, в целях отбора будущих
слушателей устраивают свои локальные олимпиады по
математике. Однако все эти частные олимпиады не входят
в систему олимпиад СССР и с Всесоюзной олимпиадой
не связаны.
Помимо всесоюзной системы олимпиад в СССР есть
еще одна — Всесибпрская олимпиада. На этой
олимпиаде я остановлюсь подробнее. Она была
организована в 1962 г. Сибирским отделением Академии наук
СССР и Новосибирским государственным
университетом. Всесибпрская олимпиада вначале охватывала
Сибирь и Дальний Восток. Позднее в нее включились и
союзные республики Средней Азии.
Всесибпрская олимпиада начинается в ноябре и
заканчивается в конце августа. Она состоит из трех
туров. Первый, заочный, начинается после публикации
в журнале «Квант» и в периодической печати текстов
задач по математике, физике и химии. Учащиеся 7—
10 классов самостоятельно решают эти задачи и
отправляют решения в адрес олимпиадного комитета
Сибирского отделения АН СССР. За период с ноября до
конца января комитет получает 8—10 тысяч писем
от учащихся. После проверки решений задач олимпи-
адный комитет через органы народного образования
рассылает приглашения на второй тур олимпиады,
который совпадает с областными и краевыми
олимпиадами и проводится, таким образом, в январе. Этот тур
имеет две цели: с одной стороны — отбор участников
G

предстоящей Всесоюзной олимпиады, с другой —
отбор учеников для летней физико-математической
школы при Новосибирском государственном университете,
в которой проведут один месяц будущие* участники
третьего тура Всесибирекой олимпиады.
Во время второго тура в областные центры, где
проходят соревнования, олимпиадным комитетом
направляются специальные бригады из 6—9 человек,
которые проводят собеседования с участниками.
Ежегодно из Новосибирска выезжают около 30 таких
бригад. Это помогает также установлению более тесных
связей с учителями, которые всегда приезжают на
олимпиады со своими питомцами.
Победители второго тура Всесибирской олимпиады
и участники, успешно прошедшие собеседование,
приглашаются в летнюю физико-математическую школу
(ЛФМШ) при Новосибирском университете, о которой
я уже упоминал, где с ними ведутся специальные
занятия.
Летняя физико-математическая школа при НГУ
каждый год проводится в Академгородке под
Новосибирском. В ней обучаются около 600 человек, большая
часть которых (около 85%) —это наиболее
отличившиеся участники второго тура олимпиады. Кроме того,
в школу приглашаются лучшие ученики заочной
физико-математической школы при НГУ, а также
победители областных олимпиад по техническому
творчеству (радиоэлектроника, авиамоделизм и т. п.).
Приглашения рассылает олимииадный комитет Сибирского
отделения АН СССР.
Летняя ФМШ устраивается на берегу Обского
водохранилища, чтобы дать ученикам возможность
сочетать учение с отдыхом. Занятия D часа в день)
можно разбить на два вида. С одной стороны — это
лекции видных ученых, с другой — занятия по
решению задач, служащие также подготовкой к
предстоящему третьему туру олимпиады. Тематика лекций
весьма разнообразна. Это и популярное изложение
задач, не связанных со школьным курсом, и более
глубокий анализ воцросов, затрагиваемых в школе.
Рассказывается, например, о диофантовых уравнениях,
о более глубоких вопросах «школьной» алгебры, о
некоторых разделах высшей математики в доступной

форме, о комбинаторике п т. д. Цель лекций — не
обучение, а пробуждение интереса к математической
науке. Программы таких курсов намечаются лекторами —
большей частью это высококвалифицированные
математики из числа научных работников — и
утверждаются советом школы.
Кроме лекций, школьники встречаются с учеными,
работающими в институтах Сибирского отделения АН
СССР, беседуют о науке, ее задачах, ее роли в нашем
обществе, о личности ученого и о многих друшх
интересных для учащегося воиросах.
Третий тур Всесибирской олимпиады проходит
сразу после окончания летней школы. Задачи его,
разумеется, труднее, чем задачи первых двух туров.
Победители третьего тура получают право поступления
в физико-математическую школу-интернат при
Новосибирском университете.
Программы ФМШ несколько шире программы
общей десятилетней школы и нацелены на то, чтобы
приучить учащихся к математическому образу
мышления. Школа была открыта в 1962 г. Опыт, который
накоплен с того времени, по-видимому, оказался
удачным. Многие воспитанники ФМШ успешно трудятся
в различных областях науки.
По очевидным соображениям, задачи для олимпиад
уже с первого тура выбираются таким образом, чтобы
их решение не получалось прямым применением
сведений школьного курса. Сама их постановка в
большинстве случаев (хотя и пе всегда) тоже необычна
для школьников и учителей. Решение олимипадных
задач требует некоторой изобретательности и догадки.
Задачи должны быть «красивыми». Я думаю, не
нужно пояснять это не поддающееся точному определению
понятие. Трудность задач, конечно, возрастает от тура
к туру. Первый тур —- совсем «школьный»,
дальнейшие все больше и больше от этого отходят.
Систематизировать олимпиадные задачи не просто,
так как они, по сути дела, должны быть нетипичными.
Выглядят школьными по своей постановке
преимущественно задачи геометрические. Образцом может
служить вадача Всесоюзной олимпиады 1973 г. для
9-го класса.
9

i. Лап угол с вершиной 0 и окружность, кадающай~
ея его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно
ОВ проведен луч, пересекающий окружность в точке
С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е,
а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке К. Доказать,
что ОК=КВ.
.А
я . в
Решенпе. Треугольники ОЕК п OAK подобны,
так как /LOKA у них общий, a /-EOK=Z-OAK
(поскольку АС\\ОВ, a /LOCA = /LOAК). Поэтомущ?— -д%
следовательно, ОК2=ЕК-АК. С другой стороны,
ВК2=ЕК-АК по теореме о касательной п секущей.
Из написанных равенств получаем ОК=ВК (см.
«Математика в школе», 1973, № 5, с. 75, 77.)
Есть ряд задач со школьным материалом, но в
нешкольной постановке, как, например, задача,
предложенная 10-классникам на Всесоюзной олимпиаде
1973 г.
2. Дано число
А _ (jL±^EEL)"t
где тип — натуральные числа (?п, п^2). Доказать,
что существует такое натуральное число к, что
Решение. Уравнение х -\-— = п имеет два
взаимно обратных корня
__ п + У*Г^1 ^ , ^
хх, х% — - , хх ^ 1 ^ хг%
• »
9

Легко видеть, 4td
1
Отсюда следует по индукции, что если х + — ««- це-
лое, то хт + — — также целое. Пусть
X
_ п + Уп*~^Ъ
1 1
Тогда х -| = п — целое. Отсюда хт ^—- = А: — также
целое. Так как я^1, то также smj>l. Следовательно,
хт есть корень уравнения УЛ—--= А,больший пли рав-
у
ный 1. Поэтому 4 = хт = ——^ (см* «Математика
в школе», 1973, № 5, с. 80, 82.)
Более легкая задача такого рода рекомендована
для областных олимпиад в 1974 г.
3. Найти х, удовлетворяющее уравнению
р^+УЗ^с==х2--5х+7.
Решение. Возводя в квадрат обе части, получим
2У(ж-2)C-*) = (*2-5:г+7)-2-1 =
= - (*-2) C-х) (х2-5х+8).
Следовательно, я=2 п х=3 удовлетворяют уравнению.
В области 2<ХЗ, где уравнение определено, имеем
Правая часть уравнения, равная 1— (я—2) C—х),
меньше 1. Отсюда следует, что данное уравнение ые
имеет других корней, кроме 2 и 3.
Систематически встречаются задачи, относящиеся
к теории чисел. Такова, например, задача,
предложенная на заключительном туре Всесоюзной олимпиады
1967 г. щя учащихся 9-го класса.
10

4. Цифры некоторого числа переставили и сложили
полученное число с исходным. Доказать, что если
сумма равна 1010, то исходное число делилось на 10.
Решение. Пусть а — исходное число, b —
измененное число и а+6=1010. Обозначим цифры числа а
через а\, ..., ап, а числа Ь — через Ь\, ..., Ьп. Нужно
доказать, что ап=0.
Допустим, что апФ0. Тогда
*»+&»= 10,
an-i+bn-.{ = 9,
а{+Ь{ = 9.
Отсюда (ах+.. .+ап) + (&i+.. .+Ьп) = 10+9(и-1)".
Так как Ь\, ..., 6Л есть перестановка цифр а\, ..., ап,
то 6i+.. .+bn=ai+.. .+я„. Поэтому 10+9(я—1) -—
четное число, а число и — нечетное. Но так как
а+Ь=1010, то п=10. Полученное противоречие и
доказывает, что ап=0. (См. «Математика в школе»,
1967, № 5, с. 81.)
Такого же типа задача была рекомендована для
областных олимпиад 1974 г. для учащихся 10-го
класса.
5. Доказать, что число 1971-1972-1973-1974+1
есть полный квадрат.
Решение. Пусть л =1973. Тогда
1971-1972-1973-1974+1= (л-2)(л-1)л(л+1)>1 —
= /г4-2/*3-/г2+2/г+1= (/г2—/г—IJ.
Много ставится задач, относящихся к неравенствам.
Для решения их нужно иногда исследование
поведения функций, а иногда некоторые своеобразные
комбинаторные построения. Примером может служить
задача, предложенная учащимся 9-го и 10-го классов
на Всесоюзной олимпиаде 1972 г.
6. Дано несколько квадратов, сумма площадей
которых равна 1. Доказать, что их можно поместить без
наложений в квадрат площади 2. (См. «Математика
в школе», 1972, № 5, с. 72.)
11

Решение. Пусть c^d^a\
ian% a] + ...+
+ «n^ -j"- Индукцией по п докажем, что п
квадратов со сторонами ai, ..., ап можно разместить без
наложений в прямоугольнике cXd,
При п=1 это очевидно. Предположим, что
утверждение доказано для числа квадратов, меньшего и,
где и^2. Положим oh = ах + ... + Gh* sh =* ai +
+ ... + а\. Числа rum определим условиями
ar^a<ar+i, &т^ т> < *т+|.
Случаи 1. sr^z Чр. Тогда*Л —«г<—р—»
так как иначе имели бы sn>-j- вопреки условию.
Покажем, что c^ai+аг- Допуская противное,
будем иметь 02 > с Отсюда
«1 + «5
*а =
+
-г я-1
«?+«s
+ Й1«2> —>
-^ 2 ^ 2 '
что противоречит условию.
Таким образом, имеем (с—aj) > а2> аг+{>. . .> ап
и ar+1 -|* ... -{- ап ^ ^ • По индуктивному
предположению все квадраты, начиная с (r-fl)-ro, можно
разместить без наложений в прямоугольнике (с—a\)Xd
(на рисунке —- DXB\CD), а все п квадратов — в
прямоугольнике cXd.
В
Ар
ь
в<
1
*2
с1
С-а1
А
v1
Случай 2. s,<-4
и т=п. Тогда
5п — 51 ^ JJ
2 __ Q\ (d — aA)
""ai jf #
a yd
Покажем, что a^d—a\. Допустим, что ai>d—al#
Тогда fli > — и 5/ ^ 5i > "Т" вопреки условию.
12

Таким образом, (d—й\)^а]^а2^.. .^ап и а\ +
+ • • • + а1 ^ -—2—" • ^° индуктивному
предположению все квадраты, начиная со 2-го, можно уместить без
наложений в прямоугольнике (i\X(d—a\) (на
рисунке — Л\ВВ\С\), а все п квадратов — в прямоугольнике
a{Xd н тем более в прямоугольнике cXd.
Случай 3. sr<-y п п^т+1. Как и в случае 2,
(d—d\) ^a\^a2^ ...*^яп. Сверх этого
^ /71 (d + <lt) 2_ *l (<* — *t)
*т — *l ^ 2 и 1 —; ^ .
По индуктивному предположению все квадраты со 2-го
по т-й можно разместить без наложений внутри
прямоугольника aiX(d—a{) (на рисунке — А{ВВ{СХ).
Если мы покажем теперь, чго 8т>—-^ то будем
^ (с— ах) d .-.
иметь sn — sw <^ ^ • Но индуктивному
предположению все квадраты, начиная с (т+1)-го,
разместятся без наложений в прямоугольнике (c—a\)Xd (на
рисунке — D\B\CD), а все п квадратов — в
прямоугольнике cXd.
Заметим сначала, что яг ^ —. Действительно, так
как a2^(i\^kd—a\% то г^2. Если предположить, что
аг>-у, то сумма площадей квадратов со сторонами
г/2, ..., аг (на рисунке — заштрихованная часть) будет
больше или равна половине площади прямоугольника
А\А2В2С\, а а\ больше площади прямоугольника
А2ВВ[В2, так как а\ > аг+\>Л2В. Следовательно, будем
иметь:
2(sr—si)>@r — а{)а\ u 2sx >(d — ar) at + a2u
. axd -
откуда sr > -j-f что противоречит условию.
Поскольку *r<-y < -—g—-< sm+b то r^m n
e|+...+et>SL<E^b>-.e!-a«1+1>U^il-
-«f_e»-^ + D-«?)-eI.
13

Так как по доказанному аг<4р, то <*?<—<—•
Следовательно, $т > -у- + Hj аН > ^~» что и
требовалось.
Среди олимпиадных задач встречаются задачи
логические. Одна из задач такого типа была предложена,
например, на заключительном туре Всесоюзной
олимпиады 1974 г. для учащихся 10-х классов.
7. По окружности написано 50 чисел, каждое us
которых равно +1 или —1. Требуется узнать
произведение всех этих чисел. За один вопрос можно узнать
произведение трех стоящих подряд чисел. Какое
наименьшее число вопросов необходимо задать!
Решение. Пусть с\% сг, ..., cso — данные числа,
выписанные по окружности. Положим: /i = ciC2C3, '/2—
= С2С3С4, ..., /5o=C5oCiC2. Поскольку каждое d равно
+ 1 ИЛИ —1, ТО С? = 1. ПОЭТОМУ С\С2. . . C50 = /l/2. . . /50.
Таким образом, задав 50 вопросов и узнав каждое из
произведений /i, /2, . •., /50, мы можем вычислить
произведение С\С2,.. ceo данных пятидесяти чисел.
Покажем, что знак произведения с\С2,.. сьо нельзя узнать
при помощи меньшего числа вопросов.
Пусть неизвестно хотя бы одно произведение /i =
= CiC2C3. Сравним два набора чисел: ,
+1, +1, +1, +1, +1, +1, ...,"+1;
+ 1,-1,+1,-1,-1,+1.....-1.
В первом из них все числа равны +1. Во втором
наборе числа Си Сз» Се, С9, ..., с^ равны +1, а числа
С2, С4, с5, С7, Се, ..., С49, Сбо равны —1. В обоих наборах
/2=/з=, ..=/5о=+1» т. е. ответы на все заданные
вопросы одинаковы. Но произведение С\С2. .. сзд все*
50 чисел из первого набора равно +1, а из второго —
равно —1. Таким образом, наименьшее число вопросов,
которое необходимо задать для решения задачи, равно
50. (См. «Математика в школе», 1974, № 6, с. 61, 63.)
Близко к логическим задачам стоят комбинаторные,
как, напрцмер, задача Всесоюзной олимпиады 1970 г.
для учащихся 10-х классов.
14

8. Все целые неотрицательные числа, в
десятичной записи которых не больше п цифр, разбиты на
две группы. В первую группу входят все числа с
четной суммой цифр, во вторую — с нечетной суммой
цифр. Доказать, что сумма к-х @ < к<п) степеней
всех чисел первой группы равна сумме к-х степеней
всех чисел второй группы.
Решение. Пусть Nn — множество целых
неотрицательных чисел, меньших 10"; En n Оп — его
подмножества, состоящие из чисел с четной и нечетной
суммой цифр соответственно. Для произвольного
подмножества X^Nn через ok(X) обозначим сумму к-х
степеней чисел из X. Индукцией по п докажем, что если
0^к<п, то oh(En)=oh(On).
При п=\ имеем: Е{={0, 2, 4, 6, 8}, Oi={l, 3,
5, 7, 9} и к=0. Так как 0°=1, то o0(El)=o0(Oi)=5.
Предположим, что ок(Еп)=ок(Оп) для всех /с,
0<Zc</i, и пусть /с<гг+1. Поскольку числа из Nn+\
и только они представимы (и притом однозначно) в
виде Юх+у, где x^Nn и y^N\, то
ок(Еп+х)= 2 (iOz+y)k + 2 (Юх + у)\
По формуле Ньютона
к
(ю* + У)к = 2 ciio*-'**-V.
Отсюда
ofc(tfn+i)- 2 CilO^a^dE^a^N,).
1=0
Для o*@«+i) формула аналогична. Следовательно,
имеет место равенство ок(Еп+\)=ок(Оп+\). (См.
«Математика в школе», 1970, № 5, с. 70.)
Встречаются задачи игровые, в которых нужно
найти правильную стратегию (см., например, «Математика
в школе», 1972, № 5, с. 73, задача 10 для учащихся
8-х классов).
Мы расцениваем олимпиады как несомненно
полезные начинания. За рубежом мне приходилось слышать
15

а критические высказывания, главным образом по
поводу их воспитательного значения. Если бы вокруг
математических олимпиад создавалась обстановка,,
напоминающая ту, котбрая подчас возникает в некоторых
странах вокруг профессионального спорта, то такого
рода опасения могли бы иметь основание. Думается,
однако, что это не так. Для сравнения стоит
упомянуть, что подобные конкурсы — обычное явление у
учащихся в области искусства, и вреда от них не
видно. То, что награды и притом разной степепи получают
все добившиеся определенных результатов и число
награжденных не ограничено заранее, спимает саму
возможность конкурентной борьбы, которая могла бы
быть неприятной. Туров в олимпиадах много,
получение люоой награды — почетно. К тому же в число
вадач каждого тура обычно вводится одна — легче
остальных — «утешительная» задача, которую решают
почти все. .
Возможная несправедливость в отношении тех
участников, которые не смогли получить достаточно хоро-
шую подготовку, во Всесибнрских олимпиадах
компенсируется занятиями с участниками олимпиады во
время летней ФМШ.
Но и «спортивная» часть математических олимпиад
имеет свою полезную сторону. Предлагая юношам
и девушкам задуматься над решением известных, хотя
и трудных задач, эти олимпиады приближают их к
романтике истинного научного поиска.
В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть,
что олимпиады приносят пользу не только
школьникам, но и их учителям. На олимпиады в областных
центрах и Всесоюзную вместе с каждыми тремя
учениками приезжает по одному учителю. На олимпиаде
учитель —- свои человек. Он уносит с собою после ее
окончания запас новых знаний, запас воодушевления
о активности.
Главная ценность математических олимпиад — не
в выявлении победителей и награждении
отличившихся в этом соревновании, а в том общем подъеме
математической культуры учащихся средних школ, кото*
рому эти олимпиады, несомненно, способствуют,
id

Д. М. СМИРНОЙ
ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ
В ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ
ПРИ НОВОСИБИРСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
В Советском Союзе появился новый тип средних
школ, отличающийся весьма высоким уровнем
преподавания математики. Об одной из таких школ — фп-
вико-математпческой школе при Новосибирском
университете — нам и хотелось бы рассказать,
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ШКОЛЫ
Физико-математическая школа (ФМШ) при
Новосибирском государственном университете (ИГУ)
является начальным эвеном в системе подготовки науч-
tex кадров физико-математического профиля в Сибир-
)м отделении АН СССР. Идею создания подобных
школ высказывал еще М. В. Ломоносов: «При
университетах должна быть гимназия, без которой
университет как пашня без семени. Здесь следует
преподавать школьные предметы так, чтобы вышедшие
оттуда должны быть способны приступить к занятиям
высшего порядка в университетах». ФМШ-пнтерпаты
были открыты в начале 00-х годов по постановлению
Совета Министров СССР при Московском,
Новосибирском, Ленинградском и Киевском университетах.
Система отбора учащихся в ФМШ при НГУ,
которая подробно описана в статье академика С. Л.
Соболева, позволяет комплектовать школу учащимися,
у которых уже проявились (а иногда и сложились)
интересы к математике или физике. В школу
приходит много способных ребят, которые избирают в
дальнейшем математику или физику, химию или биологию
своей основной профессией. Высокий процент уча-
17

щихся в ФМШ с ярко выраженными интересами к
математике или физике заметно выделяет ФМШ среди
других школ с углубленным изучением математики
дли физики.
ФМЩ-интернаты при ведущих университетах были
вадуманы с целью привлечения в науку способных
школьников, живущих вдали от крупных научных
центров. ФМШ-интернат при НГУ и система отбора
в него обеспечивают школьникам самых отдаленных
районов Сибири, Дальнего Востока, Казахстана и
Средней Азии те же возможности для прихода в
науку, какими располагают ученики лучших школ
университетских городов.
Преподавание математики, физики, химии и
биологии ведут в основном научные сотрудники
академических институтов и опытные преподаватели НГУ..
Зачисление в ФМШ проводится только через
летнюю ФМШ в 8, 9 и 10-е классы. Поэтому обучение
в школе трех-, двух- и одногодичное. ФМШ при НГУ
рассчитана примерно на 550 человек.
За последние пять лет в ФМШ неуклонно растет
число учащихся, приехавших из сел (в 1973 г.— 48%).
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Руководство деятельностью ФМШ осуществляет
ученый (попечительский) совет, состав которого
объявляется ректором университета на каждые три года.
Совет разрабатывает учебные планы ФМШ,
определяет содержание и методы преподавания курса
математики, физики, химии, биологии и утверждает состав
лекторов и преподавателей.
По учебному плану на математику приходится:
в 8-м классе —- 7 часов в неделю, в 9-м классе — 8
часов, в 10-м классе в первом семестре — 8 часов в
неделю, во втором семестре — 6 часов при двух- и
трехгодичном обучении и 9 часов при одногодичном
обучении.
В 9—10-х классах преподавание математики
осуществляется через основной курс лекций B часа в
неделю), практические занятия F—7 часов в
неделю) и систему спецкурсов.
18

В конце каждого семестра учащиеся сдают
письменный и устный экзамен по математике и физике.
С 1973/74 учебного года письменный экзамен по
математике проводится в 9-х классах в конце каждой
четверти.
Общее число уроков в неделю в 9—10-х классах
при двух- и трехгодичном обучении не превышает 30.
Это дает возможность учащимся этих классов иметь,
кроме выходного дня, еще один свободный от уроков
день в неделю. В.этот день учащиеся слушают лекции
по специальным курсам, работают в лабораториях
академических институтов по сиециальным программам и
в школьных кружках.
Назовем спецкурсы по математике, которые
читались за последние, четыре года: теория чисел, общая
теория множеств и функций, алгебраические структуры
и матрицы, геометрические преобразования,
геометрические построения и элементы теории Галуа, геометрия
в ее историческом развитии, вероятность и
информация, элементы математической логики и др.
Некоторые из спецкурсов сопровождались работой
кружков. Отдельные учащиеся 10-го класса слушают
спецкурсы вместе со студентами 1-го курса университета.
С 1970/71 учебного года введен вычислительный
практикум и спецкурс по программированию. В
университете и в Вычислительном центре учащиеся
знакомятся с работой современных ЭВМ.
По окончании ФМШ учащиеся сдают экзамены на
аттестат зрелости так же, как и в обычной школе.
Разница состоит лишь в том, что экзамены по математике
и физике проводятся по программам ФМШ. Оценки
по обычным школьным предметам выставляются в
аттестат, а оценки по курсам математики п физики по
программам ФМШ — в приложение к аттестату.
В приложение заносятся также все оценки по
сданным спецкурсам и лабораторным практикумам.
Большое внимание уделяется выработке
устойчивого и глубокого интереса к математике.
Преподаватели добиваются более полного и неформального
понимания предмета, углубляют и расширяют обычные
школьные программы и стараются увлечь учащихся
романтикой научного поиска, предлагая для решения
нестандартные, интересные задачи.
ю

ПОСТАНОВКА ОСНОВНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Программа основного курса математики в ФМШ
в отличие от спецкурсов имеет тенденцию стать
устойчивой. Это относится в первую очередь к двухгодичной
ФМШ, на долю которой приходится половина
принятых учащихся и из которой более всего выпускников
поступает на математический факультет НГУ. На
первых порах программа основного курса математики
ФМШ в значительной мере зависела от лектора и
нередко дублировала университетские программы
первого курса. Не было органической связи программы
обычного школьного курса математики с высшей
математикой. Например, ученики владели понятием
верхней грани числового множества, но пе умели
пользоваться им при определении длины окружности, длины
дуги окружности и т. д.
В начале 70-х годов положение изменилось.
Преподавание математики было направлено на накопление
фактов и, особеыпо, разнообразных связей, на которых
базируется современное университетское преподавание
математики. В настоящее время курс математики
двухгодичной ФМШ представляет собой систематический
курс, рассчитанный на школьников, которые в
будущем изберут математику или физику своей основной
профессией. Он естественным образом продолжает п
углубляет программу по математике
общеобразовательной школы и органически соединяет в себе
элементарную математику с элементами высшей. К нему, как
ветви к дереву, пристраиваются основные спецкурсы.
Основной курс содержит много
наглядно-геометрического материала. В то же время уделено большое
внимание чисто логической и качественной стороне.
В курсе лекций обсуждается большое число олим-
ппадных и конкурсных задач. Широко используется
журнал «Квант».
Рассмотрим более детально содержание основного
курса лекций по математике в У-м классе
двухгодичной ФМШ.
Первый семестр. Множества и операции над ними.
Геометрическая фигура как точечное множество. Множество
точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Множество, середиц хорд, высекаемых данной окружностью
20

на прямых, проходящпх через данную точку. Множество серб-
дин хорд, высекаемых в данной окружности сторонами
прямого угла, который вращается вокруг своей вершины, лежащей
внутри окружности. Выпуклые фигуры на плоскости.
Множества точек на координатной плоскости.
Натуральные числа. Аксиомы Пеаяо. Метод
математической индукции. Математический софизм: «Все натуральные
числа равны между собой». Прогрессии.
Делимость целых чисел. Простые числа. Теорема Эвклида,
решето Эратосфена. Будет ли простым число 2071?
Сравнения но модулю. Функция Эйлера ц(п) и ее явное
выражение. Теорема Ферма — Эйлера.
Отображения. Условие обратимости отображения. Условие
обратимости функции у = аг, " . Обратная функция и ее гра-
cx-yd
Bх - 1 при х > О,
фик. Имеет ли ооратную функция у = \
U — а при х < 0?
Натуральная степень бинома Ньютона. Формула для
биномиальных коэффициентов. Перестановки и сочетания.
Знакомство с вероятностью.
Рациональные числа и их изображение на числовой оси.
Линейный порядок в Q.
. Разложение рационального числа в бесконечную
десятичную дробь. Основная теорема: если п и 10 взаимно просты,
то несократимая дробь т/п разлагается в чистую
периодическую десятичную дробь с длиной периода 1/ц>(п).
Дне задачи, которые привели к понятию иррационального
числа. Действительные числа как бесконечные десятичные
дроби. Линейный порядок в /?.
Сечения в Q без пограничного числа. Задание
действительных чисел сечениями в Q.
Абсолютная и относительная погрешность. Вычисления с
заданной точностью.
Ограниченные числовые множества. Теорема о гранях.
Предел последовательности. Формульная запись
определения предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Сходимость монотонной и ограниченной последовательности.
Число е. Теоремы о пределах.
Сумма квадратов и кубов первых п натуральных чисел.
Площадь под параболой. Давление воды на плотину в форме
траиеции. Предел отношения (lft-f ... +nk)/nk при п—>-оо.
Площадь под параболой у = рхн и под графиком
произвольного многочлена. __
Предел отношения (I+ ... +Уп)/п]/п при п—> оо.
Расход воды при сливе через плотину прямоугольной формы.
Понятие о сумме числового ряда. Условие сходимости
геометрического ряда. Число е как сумма ряда.
Векторы-отрезки и оиерации над ними. Координаты
вектора. Операции над векторами в координатной форме. Косинус и
синус угла в пределах от 0 до 180°. Проекция вектора на ось.
Правильные многоугольники. Вычисление сумм: cos72e-f
-fcosU4°, cos400+cos80°+cosl200+cosl60°. Скалярное
произведение и ею свойства.
21

Синус угла 18*. Длина стороны правильного 10-угольника,
вписанного в окружность радиуса 1. Золотое сечение.
Возможность деления окружности на р равных частей
(р — простое), формулировка теоремы Гаусса.
Теорема косинусов. Формула Герона. Теорема синусов.
Нормальное уравнение прямой на плоскости. Общее
уравнение 1-й степени с двумя неизвестными. Другие виды
уравнения прямой на плоскости.
Производная многочлена. Уравнение касательной к
параболе у = хп и к графику произвольного многочлена.
Второй семестр. Теорема о выпуклых
многоугольниках. Длина окружности как верхняя грань периметров
вписанных выпуклых многоугольников. Длина окружности как
предел. Формула для вычисления длины окружности. Задача: в
треугольник вписана окружность, а вокруг окружности описан
квадрат; доказать, что внутри треугольника находится больше
половины периметра квадрата. Длина Дуги окружности. Ради-
анная мера угла.
Числовая окружность. Тригонометрические функции
числового аргумента. Определение периодической (вообще говоря,
частичной) функции. Периодические функции с основным
периодом. Выражение основного периода функции f(kx+а) через
основной период /(х). Графики функций у = sin (ля + 1), у =,
X Л
s=sin—, y = sin —. Непериодичность функции у = sin х+{х}щ
Л X
Теорема сложения для косинуса и ее следствия.
Простые гармонические колебания. Тригонометрический
двучлен a cosax-f 6 sin ax. Условие периодичности суммы двух
простых гармонических колебаний. Тригонометрические
многочлены.
Обратные тригонометрические функции.
Тригонометрические уравнения и неравенства. Иллюстративный пример
уравнения tg х = У2 — 3 if Зх.
Многочлены Чебышева y = cos(/iarccosx) (л=1, 2, ...).
Графики функций у = arcsin (sin x) , у = arcsin (sin 2л:) и т. д.
Определение предела функции (на языке
последовательностей). Бесконечно малые. Теоремы о пределах. Предельный
переход под знаком синуса и косинуса. Предел отношения
sin х/х при х —> 0.
Производная. Вычисление (хп)' (л—натуральное), (sin*)',
(cosx)', (tgx)', (ctgs)'. Уравнение касательной к графику
функции в данной точке. Под каким углом синусоида y«sin x
пересекает ось х-ъ в начале координат? При каком значени к
график функции y = sin кх пересекает ось х-в в точке *=0
под углом 60°? График функции у = x-fsino:; в каких точках
касательная к нему параллельна прямой у~х?
Операции над действительными числами. Аксиомы поля
действительных чисел. Арифметический корень из
положительного числа (существование и свойства). Степень
положительного числа с рациональным и иррациональным показателем.
Алгебраические иррациональные уравнения и неравенства.
Пределы величин} п и \' а (а>0) при п—> оо. Переход
к пределу в показателе степени с постоянным основанием.
22

Теорема существования логарифма. Свойства логарифма.
Переход от одного основания логарифма к другому.
Общая степенная функция. Показательная и
логарифмическая функции. Переход к пределу под знаком логарифма
и в основании степени с постоянным показателем.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Комбинированные неравенства вида
)'2-5.г-3.гг-Ь2.г>2.г.З*-У2—Ъх—Зх2+4.г2-3*;
х Iog2V2.r—*2—^х—\ > (}'x+l)log2y2x—ж2—х;
5x-f)Ur2+x3—*4log2 x> (*2—*)log2 *+5+5V6-fx—z2.
Пределы, связанные с числом е. Производная
логарифмической и показательной функций. При каком основании
график y = loga * касается прямой у = х?
Непрерывность. Непрерывность функции, имеющей
производную. Производная сложной функции. Производная
произведения и частного.
Максимумы и минимумы функции. Необходимое условие
экстремума. Промежутки убывания и возрастания функции.
Вторая производная. Достаточные условия экстремума
функции. Применение производной к исследованию функций и
построению графиков. Предел отношения In х/х при х—*- оо.
График функции у = х\пх,
В 10-м классе двухгодичной ФМШ основной
лекционный курс по математике читается лишь в 1-м
семестре. Во 2-м семестре он продолжается
факультативно и рассчитан в основном на тех, кто к этому
времени четко выберет математику своей будущей
профессией. Поскольку основные принципы построения
курса математики можно видеть из подробного анализа
программы для 9-го класса, мы ограничимся кратким
описанием содержания основного и факультативного
курсов лекций в 10-м классе.
Комплексные числа. Корни из 1. Предел комплексной
последовательности. Формула Эйлера для мнимых показателей.
Показательная форма комплексного числа. Логарифмы
комплексных чисел. Целые комплексные числа. Метод Гаусса для
вычисления числа я.
Делимость многочленов. Деление с остатком. Деление на
х — а. Теорема о сопряженных корнях вещественных
многочленов и ее следствия. Формулы Виета.
Определители и их свойства. Матрица и ее ранг. Обратная
матрица.
Системы линейных уравнений. Исключение неизвестных.
Элементарные преобразования матриц, инвариантность ранга.
Критерий совместности системы. Исследование систем
частного вида.
23

Основные теоремы о непрерывных функция*. Условия
постоянства функции.
Неопределенный интеграл. Простейшие дифференциальные
уравнения. Закон распада радия. Задача о форме зеркала
прожектора.
Определенный интеграл и его приложения к вычислению
площадей в объемов.
Стереографическая проекция. Теорема Эйлера о
выпуклых многогранниках. Теорема о гранях: всякий выпуклый
многогранник имеет, по крайней мере, одну 3-, 4- или
5-угольную грань. Типы правильных многогранников.
Движения плоскости. Группы симметрии п точечные груп-
пы. Виды симметрии ограниченных фиг>р. Симметрия
орнаментов. •
Движения пространства. Равенство фигур в пространстве.
Группы симметрии правильных многогранников.
Преобразования подобия Подобные и гомотетичные
фигуры Подобие окружностей и сфер. Группа преобразования
подобия.
Преобразование инверсии. Инвариантные окружности.
История 5-го иостулата Эвклида. Аксиома параллельности
и аксиома Лобачевского. Модель Пуанкаре плоскости
Лобачевского. Основные задачи на построение на этой модели.
Изображение окружности. Параллельные в смысле Лобачевского. Угол
параллельности.
НЕКОТОРЫЕ ИТОГП РАБОТЫ ФПШ
Выше уже отмечалось, что ФМШ-ннтернаты
являются школами нового типа. Отдельные моменты в
их работе являются дискуссионными. Но опыт в
целом нам представляется положительным п ценным *.
Можно надеяться, что такие школы при
университетах получат в будущем более широкое
распространение.
Значительная часть (от 70 до 80%) выпускников
ФМШ при ИГУ ежегодно поступает в НГУ.
Небольшая часть выпускников поступает в Московский
университет и Московский физико-технический институт.
Остальные (за исключением единиц) поступают в
другие вузы страны. Прпмефно каждый пятый-шестоп
первокурсник НГУ — выпускник ФМШ. Среди лучших
студентов математического факультета НГУ большую
часть составляют выпускники ФМШ.
* Об опыте ФМШ-пнтерната при Московском унпверспте-
те см. статью «10 лет физико-математической школе ара
МГУ*.— «Математика в школе*, 1974, № 2, с 5S—01.
24

В последнее время обсуждается вопрос о том, как
усилить влияние ФМШ-интернатов на
общеобразовательные школы. По опыту Московского университета
этого можно достичь путем расширения заочной ФМШ.
При НГУ численность учащихся заочной ФМШ
доведена до 2000 человек. Занятия в заочной ФМШ
проводятся в форме письменных консультаций и
письменных контрольных работ. Однако качественному росту
заочной ФМШ при НГУ препятствуют огромные
пространства Сибири и Дальнего Востока, затрудняющие
развертывание сети консул ьтпунктов. Расширению
очной и заочной ФМШ в Сибири и.на Дальнем
Востоке будут способствовать, по-видимому, новые
университеты, открытые в последние годы и поддерживающие
тесные контакты с Новосибирским научным центром.
Опыт преподавания математики в ФМШ оказался
полезным в работе с учителями* математики. Опираясь
на этот опыт, ученые Новосибирского Лкадемюродка
оказывают им помощь в освоении новых программ
по математике. Новосибирский университет ведет
работу с учителями непосредственно на базе ФМШ-ип-
терната. Ежегодно при ФМШ проходят зимняя и
летняя школы для учителей сельских школ и школ
города Новосибирска. Приведем тематику циклов лекций
для учителей:
Элементы математической логики.
Периодические функции в школьном курсе
математики.
Векторы и связанные с ними вопросы программ
8, 9 и 10-го классов.
Определители, матрицы и системы линейных
уравнений.
Предел п задачи на суммирование.
Производная и интеграл.
Геометрические преобразования.
Комплексные числа и правильные многоугольники.
Вычислительный практикум.
Накопленный ценный опыт преподавания
математики в физико-математических школах будет
распространяться также через учебные пособия, которые
разрабатываются.
25

Б. А. ТРАХТЕНБРОТ
О ВОСПИТАНИИ
МАТЕМАТИКО-ЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ
УЧАЩИХСЯ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Общепризнано, что до сих пор в курсе математики
отсутствует обучение школьников точно
сформулированным правилам и приемам рассуждения. В связи
с этим в педагогических кругах ширится убеждение,
что в рамках школьного обучения полезно привлечь
в разумной мере символику и технику преобразований
математической логики.
В последние годы методическая литература
обогатилась рядом публикаций (см. библиографию в конце
статьи), в которых обстоятельно трактуются
различные аспекты общей проблемы внедрения элементов
математической логики в школьную программу и
анализируются результаты соответствующих экспериментов.
Начиная с середины пятидесятых годов автор этих
строк неоднократно имел возможность высказывать
свои соображения на эту тему перед разными
аудиториями и, в частности, выступать перед учителями и
школьниками. Некоторые из этих соображений
излагаются в данной статье; они, кажется, не повторяют
упомянутых выше публикаций и, возможно,
окажутся полезным дополнением к ним. Адресуя эту статью
учителем математики, автор предполагает, что они
уже прочли хотя бы одну из указанных публикаций и
что у них уже состоялось первое знакомство с
предметом, о котором идет речь.
Усвоение элементов математико-логического языка,
конечно, не является самоцелью/ На этой основе
появляется возможность научиться логическому анализу
математических предложений (теорем, аксиом,
определений), т. е. умению явно выделять операции логики
высказываний (Д, V, П, ->) и кванторы (Vf 3)?
26

посредством которых рассматриваемое предложение
строится из более элементарных частей. Такой анализ
весьма полезен даже в тех случаях, когда он не
слишком продвинут в глубину, т. е. когда «элементарные
частицы» сами по себе еще достаточно сложны, но мы
не желаем или не в состоянии подвергнуть их
дальнейшему анализу. В статье В. Г. Болтянского и др.
[1] это убедительно разъяснено применительно к
анализу логической структуры теорем. Чаще всего эта
структура имеет вид
(VQ)(A(Q)-+B(Q)), A)
в котором отражены, с одной стороны, общность
утверждения (справедливость для всех Q), а с другой —
присутствие в нем двух составных частей: условия
теоремы A (Q) и ее заключения B(Q). В тех случаях,
когда выделение условия и заключения
затруднительно, логический анализ может ограничиться лишь
явным указанием всеобщности утверждения. Так
обстоит дело, например, с предложением
(Va) (V6) (a2-b*= (а+Ь) (а-Ь)), B)
начинающимся двумя кванторами общности.
В качестве другого типа теорем без явного
расчленения на условие и заключение в [1] указаны так
называемые теоремы существования, которые
записываются в виде
(Ух)(Эу)А(х, у? C)
или в аналогичной форме, содержащей большее число
переменных. Таковой является, например, теорема:
«около любого треугольника можно описать
окружность», иначе говоря, «для каждого треугольника ABC
существует точка Л/, равноудаленная от его вершин».
Соответствующая запись с использованием математи-
ко-логической символики имеет вид
{VAABC)(ZM)(d{A, M)=d(B, M)=d{C, Л/)). D)
В процессе логического анализа математических
предложений вырастает и укрепляется интуитивное
27

понимание того, что без искажения смысла
предложения возможны некоторые перестройки (иначе говоря —
преобразования) полученной логической структуры.
Такие перестройки называют тождественными
логическими преобразованиями. Их практическое значение
заключается в следующяем: если какое-нибудь одно
из двух предложений, исходное или преобразованное,
уже доказано, то и другое может считаться
доказанным. Зачастую тождественное логическое
преобразование предложения в основном сводится к
перестановке местами некоторых составных его частей,
выявленных в результате логического анализа. Так,
например, обстоит дело при перестановке кванторов,
переводящей предложение B) в предложение
(V6) (Уа) (а2-Ь'= (я+ф) {а-Ь)). B')
Точное и полное описание всех преобразований такого
сорта, конечно, осуществимо; оно составляет
содержание соответствующего раздела математической логики.
Однако в рамках школьного курса делать это явно
нецелесообразно. Здесь можно ограничиться указанием
лишь некоторых, достаточно легко обозримых и легко
запоминаемых, но вместе с тем «хорошо работающих»
тождественных логических преобразований.
Разумеется, от удачного их подбора и обоснования, а также от
выбора запоминающихся формулировок для них во
многом зависит успех дела, т. е. реальная возможность
пользоваться ими для проведения и проверки
доказательств. Передавая «на вооружение» учащимся ту
или иную систему тождественных преобразований, мы
одновременно должны предостерегать их от соблазна
некритического применения таких логических
преобразований, которые не являются тождественными,
а следовательно, могут «исказить» смысл предложения,
невзирая на некоторые внешние, но обманчивые
аналогии и ассоциации. Так обстоит, например, дело с
перестройкой формулы A) в формулу
{VQ)(B(Q)+A{Q)i • (П
путем перестановки местами условия теоремы и ее
заключения. Хорошо известно! что доказательство ка»
28

кой-либо одпой из двух взанмообратных теорем не
может рассматриваться и как доказательство другой.
Несколько по-другому обстоит дело при
преобразовании предложения вида
(Ух)А(х) . E)
путем замены квантора общности квантором
существования в предложение
(Ъх)А(х), E')
ели обратном преобразовании E') в E). Ни одно из
$тих взаимообратных преобразований не является
логически тождественным. Однако если C) доказано,
уо тем более можно считать доказанным «более
слабое» утверждение E'). Ото не верно для обратного
преобразования, ибо доказательство (ГO) без
дополнительной аргументации не может-фассматрнваться как
доказательство «более сильного» утверждения E).
В связи с этим условимся называть логическое
преобразование допустимым, если выполнено условие:
каждый раз, когда это преобразование применяется к
жакому-либо доказанному (или признанному истин-
рым) предложению, получается предложение, которое
дгакже следует признать доказанным (истинным).
Итак, преобразование (Vx)A(x) в (Ях)А(х)
допустимо, обратное же преобразование не допустимо. С дру-
Еой стороны, тождественное логическое преобразование
характеризуется тем, что как оно само, так и обратное
Цс нему преобразование допустимы. Допустимые
преобразования, которые не являются тождественными,
^ожно называть ослабляющими, а обратные к ним —
усиливающими. Конечно, имеются и такие
преобразования, что ни они, ни обратные к ним не допустимы;
|гсловимся называть их неконтролируемыми
преобразованиями.
Понятно, что уровень математико-логической
культуры учащихся во многом зависит от того, каким
запасом допустимых (и, в частности, тождественных)
преобразований они умеют пользоваться, а также от
Кения избегать логических ловушек, связанных с не-
юнованным применением недопустимых преобразо-
р&шш, будь то усиливающие или неконтролируемые.
29

Нам представляется, что в математическом плане'
единый подход и удобную мнемонику для опознавания
допустимых логических преобразований полезно
развить путем интерпретации логических связок и
кванторов в терминах максимума и минимума. Сама по
себе такая интерпретация — вещь неновая в науке,
однако в популярной и методической литературе она,
как будто, еще не была использована в достаточной
мере. Ниже мы изложим в общих чертах фактический
материал, относящийся к этому подходу.
f 2. СТАРШИЙ СРЕДИ МЛАДШИХ
И МЛАДШИЙ СРЕДИ СТАРШИХ
Пионеры выстроены прямоугольником в т
шеренгах по п человек в шеренге или, что то же самое, в п
колоннах по т человек в колонне. В каждой шеренге
выбирается младший по возрасту, а среди выбранных
таким образом т пионеров выбирается самый старший.
Вместе с тем в каждой колонне выбирается старший,
а среди этих п старших выбирается младший.
Доказать, что старший среди младших по шеренгам не
старше младшего среди старших по колоннам *.
Опыт показывает, что многие ученики 5—8 классов
успешно справляются с этой задачей. Во всяком случае
даже те, кто самостоятельно ее не решают, легко
понимают предлагаемое доказательство и вполне готовы
к восприятию и активному обсуждению смежных
вопросов. Это позволяет надеяться на достаточно
естественное и эффективное восприятие учащимися
излагаемого ниже материала, важного и для воспитания их
общей математико-логической культуры. Как уже
указывалось в § 1, речь идет о связи между обычными
понятиями максимума и минимума, с одной стороны,
и логическими связками и кванторами — с другой.
Однако здесь пока воздержимся от какого-либо
рассмотрения логической стороны дела и сосредоточим
внимание на обстоятельстве, касающемся правильного
обращения с понятиями максимума и минимума.
* Из олимппадных задач «на доказательство» для
учащихся неполной средней школы.
30

Приступая к разбору задачи, предварительно
полезно разъяснить учащимся следующее. Может
оказаться, что при выборе старшего или младшего в
рассматриваемой группе пионеров обнаруживаются две
или более равноправные кандидатуры, например в
данной колонне имеются три пионера одного и того же
самого старшего возраста. В таком случае
подразумевается, что любой из этих кандидатур может быть
отдано предпочтение.
Само решение очевидно из рис. 1а—1в, на которых
а изображает старшего среди младших по шеренгам,
р — младшего среди старших по колоннам. Конечно,
можно представить себе и такую ситуацию, когда а
совпадает с р, т. е. один и тот же пионер оказался
выбранным в качестве старшего среди младших по
шеренгам и в качестве младшего среди старших по
колоннам. Но в таком случае доказываемое
утверждение становится очевидным: ведь этот пионер не может
быть старше самого себя. Поэтому далее
предполагается, что а и Р не совпадают.
Случай 1. аир оказались в одной шеренге,
обозначенной горизонтальной штриховой линией на
рис. 1а. Поскольку а — младший в своей шеренге, он
не старше р.
Случай 2. аир оказались в одной колонне
(вертикальная штриховая лийия на рис. 16). Поскольку
Р — старший в своей колонне, а не старше его.
Случай 3. аирв разных шеренгах и разных
колоннах. На рис. }1в указаны шеренга для а и
колонна для р. Пусть ч — пионер, занимающий позицию
на пересечении выделенной шеренги и выделенной
колонны. Тогда а не старше if (сравни со случаем 1)
и if не старше р (сравни со случаем 2). Следовательно,
а не старше р.
ос
fi
i
р\
i
з-—j/.
1а •
16
Рис. 1.
U
31

До сих пор задача рассматривалась нарочито в сво-
ей конкретной и наивной формулировке, однако
учащиеся легко поймут, а может быть и сами
догадаются, что если отвлечься от математически
несущественных деталей, то фактически речь шла о следующем.
Дана прямоугольная таблица чисел, вроде той, которая
изображена на рис. 2. В каждой строке выбирается
наименьшее (минимальное) число, а в каждом столбце —
наибольшее (максимальное). Потом сравнивается
наибольшее среди указанных наименьших — обозначим
его буквой а — с наименьшим среди указанных
наибольших — пусть оно обозначено через Ь.
Оказывается, что всегда, т. е. независимо от способа заполнения
таблицы, а^Ь.
Конечно, таблица (рис. 2), в которой встречаются
отрицательные числа, не может уже
интерпретироваться как таблица возрастов пионеров в
соответствующих позициях (шеренги — строки, колонны — столб*
цы). Выявленная закономерность носит общий
характер; она допускает интересные и, как видно будет
в дальнейшем, неожиданные интерпретации и
применения. Здесь же уместно остановиться на следующей
игровой интерпретации:
2
-1
4
0
20
—2
1
5/2
5
з
6
1
Рис. 2.
Прямоугольная таблица чисел, называемая платежной
таблицей, предъявляется двум игрокам. Ход игрока А
заключается в выборе произвольной (по его
усмотрению) строки таблицы, а ход игрока В— в выборе
столбца. После того, как каждый сделал свой ход,
партия считается законченной и А получает от В
сумму, указанную в платежной таблице на пересечении
выбранной строки с выбранным столбцом; если это
число отрицательное, то это означает, что А
выплачивает игроку В соответствующую сумму. Например,
если А выбрал вторую строку, а В первый столбец, то А
выплачивает 1. Возможны два варианта разыгрывания
партии.
33

1. Первый ход делает игрок А и сообщает
партнеру В о сделанном выборе. Затем свой ход
объявляет Я.
2. Игрок В делает первый ход и сообщает его
партнеру А, после чего А объявляет свой ход.
Может создаться впечатление, что первый вариант
более выгоден для игрока А, ибо он предоставляет
ему инициативу и привилегию «первого удара».
Впрочем, допустимо и такое предположение: для игрока
А может оказаться предпочтительнее тот или иной
вариант в зависимости от предъявляемой платежной
таблицы.
На самом же деле разбор нашей задачи показывает,
что (при разумном ведении игры обоими игроками)
у игрока А никогда нет оснований предпочитать
первый вариант. Иначе говоря, ему всегда выгодно
уступить первый ход противнику. Проверим
справедливость этого утверждения.
'Пусть А делает первый ход и называет строку с
номером L Тогда игрок В (разумно) назовет тот
столбец, который высекает в i-й строке наименьший
выигрыш. Поэтому Л, приступая к своему первому ходу
(играя разумно!), должен объявить ту строку, которая
обеспечивает ему наибольшее среди меньших по
строкам.
Точно так же легко понять, что если В делает
первый ход, то А имеет возможность получить
наименьший среди наибольших по строкам выигрышей.
Остается напомнить, что наибольшее среди
наименьших по строкам не превышает наименьшего среди
наибольшего по столбцам.
Итак, игроку А выгоднее отказаться от «первого
удара» и уступить ход противнику, заставив его тем
самым раскрыть свой замысел.
В заключение полезно ввести и закрепить
общепринятые обозначения и термины. Пусть дана некоторая
конечная последовательность чисел, например,
3, -2, 0, 7, -2.
Тогда max C, -—2, 0, 7, —2) обозначает наибольшее
(максимальное) ереди чисел, встречающихся в этой
последовательности, или, короче, максимум этой после-
2 Заказ № 779
83

довательности. Аналогично вводится обозначение
min C, —2, 0, 7, —2) для минимума (для наименыпег
го вначення) последовательности. В дапном случав
тахC, —2, 0, 7, —2) =7, minC, -2, 0, 7, -2) =-2,
причем максимальное значение достигается один раз,
а минимальное — два раза. Если последовательность
записана в общем виде
то наряду с записями max(ai, аг, •»., ah) и minfai,
02» ..., cih) применяется сокращенная запись max a^
ruin aj, а иногда и просто max (Zj, minflj (в тех случа-
;'<А > i
ях, когда ясно, какие значения принимает ипдекс /).
Возвращаясь к нашей задаче, замечаем, что общий вид
прямоугольной таблицы чисел с т строками и п
столбцами таков:
Яп 012... flu... «1*
й'21 #22 • • • <*2j • • • а2п
di\ dil . . . Clij . . . din (¦)
Qm\ ci,„2 - . . o,Hj... amn
т. е. при i^m, j^ti элемент ati расположен на
пересечении i-u строки и /-го столбца. Обозначим через
flit °2, ^з, ... соответственно минимум первой строки,
минимум второй строки и т. д. Итак,
fli = min{fln, Я12, ..., flin}=min au,
a2 = inin{flf2i, a22, ..., a2n}=min a2i,
i<n
Вообще,
tfi = imn{tf,i, rt,2, .. ., ff,„} = minfly.
;<n
Накопец, пусть а — наибольшее из чисел Я|, аг, ..., ат.
Это может быть записано любым из нижеуказанных
способов:
a = max{ai, #2, ..., а„) = тах я( = тах min ац.
34

Точно так же вводятся обозначения для максимумов
по столбцам:
&1 —тах{ац, 021, ..., ami}=max ац%
i<m
ft,= max {а\и a2j, ..., о„ч} =nu\x ац,
и для минимума отих максимумов:
Ь = т'т{Ь{, 62, ..., ?„} = min fc;=min max а&
В этих обозначениях решение пашей первоначальной
задачи привело к установлению следующего общего
факта: какова бы ни была прямоугольная таблица (*)f
справедливо неравенство
max min a.j^min max atj. - FJ
i j j г
Упражнение. Доказать справедливость
неравенства
max min a.^miii max ai}. F')
j i i j
Указание. Столбцы и строки меняются ролями.
§ 3. НЕРАВЕНСТВА И ТОЖДЕСТВА
С ЭКСТРЕМУМАМИ
Предыдущее обсуждение дает повод для более
систематического рассмотрения неравенств и тождеств,
связанных со сравнением экстремумов, т. е.
максимумов it минимумов.
Mo-первых, совершенно очевидно, чго всегда
miii^Ti, х2, ..., .r;.)^max(*i, х2, ..., л*), G)
причем равенство возможно в том и только в том
случае, когда
Допустим теперь, чго мы имеем две
последовательности хь х2, ..., xk м yi, у2, ..., Ук- Тогда, если
2*
U

то очевидным образом
min(xb х2, . •., xh) ^min(yu у2, ..., */*),
(8)
max(*i, х2, ..., хк) ^max(i/i, у2, ..., У*)-
Менее очевидными (и, возможно, несколько
неожиданными) являются соотношения для специального
случая, когда yi = — хх, у2 = —х2, ..., Ук = —Хк'
min (—¦*!, —*2, ..., — *к) =— max(X|, *2, ..., *0»
тах(—хь — х2, • • -1 — Хн) =— шт(х\, х2, ..., хк).
Иначе говоря, при выносе знака минус (множителя
—1) за знак экстремума происходит инверсия, т. е.
минимум переходит в максимум и максимум в
минимум. Проверим, например, первое из тождеств (9).
Пусть max(#i, x2l .. ., xh) достигается на числе хи т. е.
Xi^xu х^х2, ..., хС^хк. Но в таком случае
—Si^—*ь — я»^— *2, • ••> —Хх^—Хк, так что
число —xt, равное —max(*i, x2, ..., хк), есть минимум
.последовательности —х\, —х2, ..., — xh.
Далее переходим к рассмотрению ситуаций,
подобных отмеченной в предыдущем параграфе, а именно,
таких, когда имеется прямоугольная таблица и,
следовательно, можно рассматривать минимум максимумов
(короче, минимакс), максимум минимумов (макси-
мин), минимум минимумов, максимум максимумов.
Легко понять, что имеется всего 8 способов сочетания
максимумов и минимумов по строкам и по столбцам;
они сведены в таблицу (см. A0)) с использованием
системы обозначений, принятой нами ранее:
min min atj
i i
max max atj
i J
min max au
i ;'
max min atj
i ;
В левом столбце перечислены ситуации, когда сначала
Яв
<
min
)
max
i
max
i
min
;
min
г
max
i
min
i
max
i
an
al}
au
ail
«)
6)
e)
*)
A0)

экстремумы берутся по строкам, а потом другой
экстремум берется но полученным результатам. В
правом столбце указаны ситуации, в которых сначала
обрабатываются столбцы, при этом каждое из
выражении, заполняющих его, получается из
соответствующего (на той же горизонтали!) выражения левого
столбца путем перестановки экстремумов. 13 среднем
столбце указано, какое соотношение (тождества или
неравенства) возникает в результате упомянутых не-
рестановок. Неравенства 10г и 10в были ранее
установлены, см. F) и F'). Равенства 10а п 106
достаточно очевидны. Так, паиример, равенство 10а отражает
тот факт, что паимепынее число во всей прямоугольной
таблице а^~ ^10 можно было бы обозначить min я^ —
i<m
i<n
может быть найдепо двумя способами: как мипимум
минимумов по строкам или как минимум минимумов
по столбцам.
Все это можпо резюмировать в виде следующего
легко запоминаемого правила: при перестановке
однотипных экстремумов значение результата не
изменяется; при перестановке разнотипных экстремумов
всегда максимип не больше минимакса.
Важное замечание. Особое вппмапие следует
обратит!» на то, чго здесь подразумевается под
перестановкой экстремумов.^. Преобразование max min atj
i 1
в min max atj — перестановка, а преобразование
J i
max min a{i в min max ai} — пег! Дело в том, что, гово-
i j i J
ря об экстремуме, мы различаем не только максимумы
и минимумы, но и индекс, указывающий, как берется
этот экстремум: по строкам или по столбцам. Кстати,
при сравнении шах min #0 с min max at) нельзя гаран-
« j i г
тировать неравенство вида max min^min max, как
видно из следующего простого примера прямоугольной
таблицы:
Здесь min flu==max 0^=*-!; min tf2j=max #2j=l. Co-
37

ответственно тахпппа0=1, а это больше, чем
i ;
min max a^= — 1.
i i
Таблица соотношений A0) не исчерпывает всех
соотношений (равенства или неравенства), имеющих
место между восемью перечисленными выражениями.
Помимо соотношений, возникающих за счет
перестановки экстремумов, можно указать и такие, которые
возникают за счет инверсии экстремума, т. е. замены
максимума минимумом или наоборот, но без
изменения индекса, например
min min а0^тт шах a4j^max max д,7.
i J i ; i J
Это является непосредственным следствием неравенств
G) и (8). В конечном счете все соотношения,
имеющие место между восемью возможными парными
сочетаниями экстремумов, можно наглядно изобразить
в виде следующей диаграммы, в которой для простоты
опущено а,-,-:
min
1
min
1 J
min
J
mm
i
.-«;
\
III
1 max min
J Ь
к/
IV
min max
1 J'
В крайних «коробках» заключены по два равпых
выражения; если из какой-нибудь «коробки» ведет
ориентированный путь (вдоль одной или нескольких
стрелок) в другую,- то выражение, заключенное в первой,
не больше, чем выражение, заключенное в другой. Эта
диаграмма, исчерпывающая в следующем смысле:
никаких других соотношений, кроме тех, которые в ней
указаны, между рассматриваемыми выражениями не
* существует. Иначе говоря, во всех случаях, явно не
указанных в диаграмме, имеет место ситуация несрав-
88

нимостп: для пары рассматриваемых выражений
нельзя гарантировать тождественного равенства или
тождественного неравенства. Например, ранее (см.
Важное замечание) уже была показана невозможность
стрелок, ведущих от I к IV и от III к II; невозможна и
стрелка из III в I, ибо в противном случае по
ориентированному пути из III через 1 в II получилось бы,
что max min a,-j^min шах <7ц. Так же обстоит дело и в
; i J г
других случаях.
§ 4. ДАЛЬНЕЙШИЕ УТОЧНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ
В предыдущем параграфе фактически уже
сформулированы соотношения между выражениями с
экстремумами, которые представляют интерес для техники
логических преобразований. Зная их наизусть, можно
развивать и применять эту технику подобно тому, как,
выучив наизусть таблицу умножения однозначных
чисел, можно умножать и любые многозначные числа
согласно известному алгоритму умножения. (А почему
бы и впрямь не помещать на обложках школьных
тетрадей наряду с таблицей умножения диаграмму A2)?)
Однако предварительно необходимо преодолеть еще
кое-какие трудности. Некоторые из них связаны с
формальной стороной дела, а именно, со спецификой
употребляемых обозначений (см. ниже пункты I, II).
Другие же касаются самого содержания установленных
ранее воотношений и естественного обобщения и
расширения этого содержания (см. пункты III, IV).
I. Функциональная символика. Учащиеся хорошо
знают, что последовательность — это функция,
областью определения которой служит некоторое
множество М натуральных чисел, а именно, если
последовательность бесконечна, то М —* весь натуральный ряд
N, если же она. конечна и состоит из п членов, то М
состоит из натуральных чисел 1, 2, ..., п и AfoN.
Поэтому для записи последовательностей можно
пользоваться обычной функциональной символикой,
например, фупкция а(х), где хеЛ/={1, 2, 3},—это то же
самое, что последовательность яA), аB), аC) или,
в «индексных» обозначениях, а\% я?2, аз- Соответствен-
39

но max а (я) и mina(<r) —это в точности то же самое,
«ел/ асе м
что раньше обозначалось через max a< и min а,. Это
замечание относится и к прямоугольной таблице,
которая является, по существу, функцией от двух
аргументов, каждый со своей областью определения:
а (ж, у), где х^М, уеР. Пусть, например, М= {1,2,3},
Р={1, 2, 3, 4}. Тогда max min а(д:, у) — это то же
самое, что раньше обозначалось через max min a,>
i<3 )^Л
Пользуясь впредь функциональной символикой, мы,
как и прежде, в тех ситуациях, где ясно, какие области
определения имеются в виду, или там, где не
существенно, какие это именно области определения, не будем
их указывать. Например, будут встречаться
обозначения вида max а (я), max min а (я, у) и т. п.
х х у
И. Сокращенные, развернутые и смешанные
записи. Вместо развернутой записи вида тах[аA), яB),
аC)] или в общем случае max[a(l), a B), . . ., а (и)]
обычно пользуются сокращенной записью вила
max a (.г) с разъяснением того, какое множество М
зсем
имеется в виду.
Однако если первоначально задана
последовательность с индивидуально выписанными ее членами,
например а, 6, с, d, то приходится пользоваться
развернутой записью, в данном случае шах (л, 6, с, d).
Понятно, что могут встретиться и смешанные записи,
допустим
max min[fl(.z), b(x), с(х), d(x)]y A3)
эсеЛ!
смысл которой очевиден: сначала при каждом
фиксированном х берется минимум четырех чисел, а потом
берется максимум по х. Иначе говоря, если для
определенности Л/={1, 2, 3}, то речь идет о максимпне
для прямоугольной таблицы (см. (На)), причем
сначала берутся минимумы по ее строкам, а йогом
максимум этих минимумов.
а(\) b(\)c(\) d(\)
в B) ЬB)сB) d{2) A4а).
вC) 6C)сC) dC)
40

Разумеется, с таким же основанием можпо было бы
считать, что речь идет о таблице' (см. 146)), причем
аA) аB) eC)f
ЬA) 6B) Ь(З),
A46)
сA)сB)сC),
d(l) dB) dC).
сначала берутся минимумы по строкам, а потом
максимум этих минимумов. Для нас важно лишь то, что
в смешанной записи A3) мы опознаем максимин и,
следовательно, можем применить неравенство типа
шах min^min max, которое в данной конкретной
ситуации примет вид
max min[a(;r), b(x), с{х), d(x)] <
X
^mfnfmax a(x), шахЬ(лг), тахс(г), maxd(i)]. A5)
X X X X
Разобранный пример в полной мере разъясняет, каким
образом мы намерены впредь расшифровывать
диаграмму A2) в тех случаях, когда анализируются
выражения, содержащие (хотя бы частично) развернутые
записи для экстремумов. Тем не менее приведем
сводку некоторых соотношений с использованием
функциональной символики, а также развернутых записей для
двучленных последовательностей. (Звездочками
помечены соотношения, в которых встречаются
развернутые записи.)
Группа 1. Умпожение на—1 (изменение знака):
—тах(а, Ь)=т\п(— а, — Ь), A6.1)*
—max a(x) = min( —a(x)), A6.2)
X X
—min(a, fc)=max( — я, —Ь), A6.3)*
—т'та(х) = тах(—а(х)). Л 6.4)
X X
Группа 2. Перестановка однотипных
экстремумов:
maxmaxa(i, */) =тах max a(#, у), ,A6.5)
к у ух'
41

таХтах[а(д;У, Ь(х)] = max[max а(х), тахЬ(я)],
х х х
A6.6)
minmina(x, у) =min min a(x, у), A6.7)
ху ух
min min [a (x), fc(x)] =niin[min a(ar), minfc(x)]. A6.8)
X XX
Группа 3. max min^min max:
max min a (x, j/)^miumaxa(i, */), A6.9)
x у у *
max[mina(x), min b(x)] ^inin шах[«(х), b(^r)],
XX X
A6.10)
max min [a (x), b(x)] < min [max a(x), max Ь(я)].
X XX
(i6.il);
III. Произвольные области определения. До сих
пор в качестве областей определения функций
встречались лишь такие множества, которые удовлетворяют
двум требованиям: во-первых, они конечиы, а
во-вторых, содержат в качестве элементов лишь натуральные
числа. То, что второе требование не существенно для
наших рассмотрений, достаточно очевидно. В самом
деле, пусть М— (не числовое!) множество пионеров
{Коля, Вася, Петя, Миша}, а функция а(х) при хеМ
задает возраст пионера х. Следовательно, шах а (я) и
X
min а (х) —возраст старшего п соответственно млад-
X
шего среди ребят. Разве значения этих экстремумов
изменятся, если присвоим пиоиерам номера (причем,
может быть, и не в том порядке, в каком они
перечислены выше) и рассмотрим экстремумы для
четырехчленной последовательности? Точно так же обстоит
дело с функцией двух аргументов а(х, у), где х^М,
у^Р. Если М насчитывает т элементов, Р—п
элементов, то можно считать, что по-прежнему имеем дело
. с прямоугольной таблицей, каждая из т строк которой
названа одним пз элементов множества Л/, а каждый
пз п столбцов — одним из элементов множества Р.
Итак, при рассмотрении функций, аргументы которых
определены на множествах с элементами произвольной
42

природы, установленные ранее соотношения для
экстремумов, в частности соотношения A6.1)—- A6.11),
сохраняют силу. А как быть в случае бесконечных
последовательностей и вообще в случае функций,
определенных на бесконечных множествах? В этом
случае среди рассматриваемых чисел может не быть
наибольшего, может не быть наименьшего, может не
оказаться ни того, ни другого.
Для последовательности
3,2, 1,0, 1/2, 1/3, 1/4,..., 1/и, ...
максимум равен 3, минимум 0, а для
последовательности
3, 2, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/и, ...
максимум по-прежнему равен 3, но минимума не сут
щесгвует. Таким образом, выражение min{ezi, ai, аз,...
..., ап...} или выражение max{r/i, #2, аз, ..., а„, ...}
может и не иметь смысла. Тем более это справедливо
для сложных выражений типа maxmina(t, /), когда
только одно из множеств Л/, Р или оба бескопечны.
Однако во всех случаях, когда такие и подобные им
выражения осмыслены (т. е. соответствующие
экстремумы существуют), неравенства и тождества,
установленные выше, сохраняют силу. Не случайно поэтому
в диаграмме A2) и в сводке A6) были опущены
указания на то, какие области определения
имеются в виду.
Все эти обстоятельства для более опытного
математика вполне очевидны, хотя и требуют несколько
большей аккуратности при формальном их изложении.
А нужна ли такая формализация в школьной
обстановке прп рассмотрении интересующего нас материала?
Нам представляется, что здесь можно обойтись
иллюстрациями па подходящих примерах. При этом полезно
иллюстрировать сразу общую ситуацию, когда речь
идет об экстремумах функций одного или двух
аргументов, причем аргументов, принимающих не
обязательно числовые значения.
IV. Более сложные выражения. Наконец,
последнее обстоятельство, на которое необходимо обратить
здесь внимание, связано с рассмотрением выражений
43

типа max mm mina'ft,/, ArJ, в которых встречается боль-
i f н
те двух (в данном случае их гри) экстремумов,
применяемых подряд друг эа друтм. Из диаграммы A2)'
и сводки A6) нетрудно вывести полезные
соотношения и для таких случаев. Проиллюстрируем это на
следующих примерах:
max min min a(f, /, к) ^min max min a(i, /, k), A7.1)
i I h j i h
ибо максимин, примененный к min a (J, /, /с), не больше
k
минимакса, примененного к minez(Z, /, fc),
h
min max min a(it /, к) ^min ma* max a(iy /, к), A7.2)
i i h ) i h
ибо-правая часть получается из левой путем замены
min на max. Из A7.1) и A7.2) непосредственно еле-
ft ft , . ,
дует также:
max min min a(i, /, к) ^min max max a (I, /, к). A7.3)
i j ft j i h
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛОГИКЕ
Как известпо, в формальной логике интересуются
только значением истинности предложений, отвлекаясь
от их содержания. Эти значения зачастую
отождествляют с единицей и нулем, причем верному
предложению приписывается значение истинности «1», а
неверному—значение истинности «О». При такой «ариф-
метизации» значений истинности сами логические
выражения можпо до некоторой степепи рассматривать
как своеобразные арифметические выражения, что
позволяет переносить на них многие полезные
закономерности, известные для обычных математических
выражений. 13 частности, оказывается, что установленным
в предыдущих параграфах соотношениям для
выражений с экстремумами неносредственно соответствуют
важные логические закономерности. Прежде чем
показать это, сделаем несколько замечапий по поводу
логической символики.
41

Собственно говоря, однозначно установившейся
логической символики не существует. Так, для
логических связок и для кванторов в ходу такие обозначения:
дизъюнкция: V; конъюнкция: &, Л ; квантор
общности: V и Д, причем «для всех х» записывается
соответственно (V-г), Л; квантор существованиями V,
х
причем «существует х» записывается соответственно
Cх), V; отрицание: П.
X
Понятно, что выбор того или другого из указанных
обозначений не является принципиальным фактом. Тем
не менее с точки зрения удобочитаемости и
унификации изучаемого материала выбор может оказаться
более удачным или менее удачным. По мотивам, которые
скоро прояснятся, для нас предпочтительны
обозначения Л и Л , а также V и V, в которых содержится Ha-
ЭС X
мек (вполне оправданный!) на родство конъюнкции с
квантором общности, дизъюнкции с квантором
существования. Еще одно замечание по поводу конъюнкции
и дизъюнкции. Они обычно употребляются инфиксно,
т. е. соответствующая связка пишется между частями
формулы, которые она связывает: aVb, a f\b, a&b.
Здесь соблюдена традиция, идущая от арифметических
бинарных операций +, X, .\ —, которые также
употребляются в инфиксной записи. Между тем в обычной
функциональной символике символ двухаргументной
(и вообще мнЬгоаргументной) функции употребляется
префиксно, т. е. впереди аргументов: j(x, у), g(x,y,z)
и т. п. Разумеется, нет никаких принципиальных
препятствий к тому, чтобы ввести префиксную запись для
дизъюнкции, конъюнкции, а заодно и для
арифметических операций, например +(я, Ь) вместо а+6,
Л (я, Ь) вместо а /\Ь и т. п. И в самом деле,
префиксная запись иногда применяется, а в обсуждаемой
нами ниже ситуации она была бы более привлекательной.
Однако приходится считаться с устойчивой традицией
инфиксного употребления бинарных операций, о чем
свидетельствует, в частности, то, что такое
употребление сохранено и в основных языках
программирования.
Возвращаясь к «арифметизации» значений
истинности, легко заметить, что она превращает конъюнкцию
45

и дизъюнкцию в максимум и минимум соответственно:
А
0
0
1
1
в
0
1
0
1
ААВ
0= min@, 0)
0 = min@, 1)
0= min(l, 0)
1 = min A, 1)
АуВ
0 = max @, 0)
1 = max @, 1)
1 = max(l, 0)
1 = max A, 1)
Что же касается предикатов, то в результате ариф-
метизации они предстают в виде функций (вообще
говоря, с бесконечными областями определения!),
которые могут принимать лпшь два значения: 0 и 1
(подчеркнем, что их аргументы вовсе не обязаны
принимать числовые значения). Рассмотрим для
определенности одноместный (одноаргументный) предикат Р(х)
с областью определения М. Но смыслу квантора
общности высказывание Л Р{х) или, что то же самое,
х
(Vx)P(x) верно, т. е. имеет значение истинности 1,
если функция Р(х) принимает всюду в М значение 1;
оно неверно, т. е. принимает значение 0, если хотя бы
для какого-нибудь х0^М значение Р{х0) равно 0.
Иначе говоря, для высказывания Л P(z) значение истин-
.Y
ности в точности равно minP(x), Аналогично
проводе
ряется, что по смыслу квантора существования
значение WP(x) (или в других обозначениях C#)^(я))
х
в точпости равно тахР(х). Здесь уместпо заметить,
X
что если бы мы употребляли для дизъюнкции и
конъюнкции префиксную запись, то родство конъюнкции с
квантором общности и с минимумом, а также родство
дизъюнкции с квантором существования и максимумом
нашло бы полное и оправданное отражение и в
обозначениях:
Л (А, В) равпо тт(Л, B),f\P(x) равно minP(x)%
X X
VD, В) равно тах(Л, В), УР(х) равно тахР(х).
X X
Отсюда уже ясно, что простая замена в соотношениях
для выражений с экстремумами обозначения max сим-
46

ёолом V п обозначения min символом Д может
породить интересные соотношения логической природы.
Здесь важно подчеркнуть, что, поскольку в логических
выражениях встречаются лишь функции,
принимающие конечное число значений (а точнее — два
значения), существование экстремумов наверняка
обеспечено независимо от того, конечны или нет области
определения функций (предикатов).
Очевидно, что обнаруженная связь между
логическими связками и кванторами, с одной стороны, и
экстремумами—с другой, возникает не за счет того, что
в качестве значений истинности выбраны именно 1 и 0.
С таким же основанием можно было бы взять любые
два других числа, лишь бы значение верного
предложения было больше значения не норного
предложения. Пользуясь этим, мы несколько отклонимся от
обычно принятой «арифметизацин» и, сохраняя 1 как
значение верного предложения, примем — 1 за
значение неверного предложения. Это позволяет дать
естественное арифметическое истолкование для логической
связки ~~] (отрицания), а именно, отрицанию
соответствует изменение знака значения истинности (т. е.
умножение на —1). Тем самым появляется
дополнительная возможность перенесения известных
арифметических соотношений (см., например, @)) па более
широкий круг логических выражений, в которых наряду
с конъюнкцией, дизъюнкцией и кванторами
допускается и отрицание.
Применительно к выражениям с экстремумами мы
уже неоднократно пользовались терминами
«тождественное равенство» и «тождественное неравенство».
Хотя нз контекста и было ясно, что под этим
подразумевается, имеет смысл обратить здесь внимание на
некоторое общее понимание этих терминов по сравнению
с тем, которое обычно принято в школьной алгебре.
Согласно школьному определению, «выражения
называются тождественными (лучше —- тождественно
равными), если они имеют одинаковые числовые значения
при всех допустимых значениях входящих в них букв».
Здесь, конечно, имеется в виду, что сами-то входящие
в выражение буквы могут принимать лишь числовые
вначения. Понятно, что выражение max (я, Ь)
тождественно равно выражению max F, а) в смысле только
47

что сформулированного определения. Однако когда
говорят о тождественном равенстве выражении
max max а(х, у) и max max a(x, у), то под допустимы-
х у ух
ми значениями буквы а подразумевают не числовые,
а функциональные значения. Иначе говоря, эти
выражения принимают одинаковые значения, какие бы
конкретные функции ни были обозначены буквой а.
Точно так же обстоит дело, когда говорят о
тождественном неравенстве
mina(^) ^maxa(x).
X X
Обращаясь к логическим выражениям, мы
сталкиваемся с аналогичной ситуацией, ибо в такое выражение
могут входить как буквы, для которых допустимыми
значениями являются 1 (верно) п 0 (неверно), так
и буквы, обозначающие предикаты; для них
допустимыми значениями являются функции, принимающие
значения 1 и 0. Именно такое расширительное
понимание термина «допустимое значение» имеется в виду,
когда о каких-нибудь логических выражениях 81, S3
утверждается, что для них имеет место тождественное
равенство или тождественное неравенство.
Тождественное равенство логических выражений
обычно называют равносильностью. Например, если 81
есть ~1"~М и S3 есть А, то SI равносильно 93.
Допустим теперь,что для некоторых логических
выражений St, S3 тождественно имеет место неравенство
«St не больше 93». Это значит, что коль скоро при
некоторых допустимых значениях St верно (т. е. принимает
значение 1), то и 33 верно (т. е. также принимает
значение истинности 1). Пользуясь терминологией,
введенной в § 1, можно сказать, что St не слабее S3 или,
иными словами, что переход от St к S3 является
допустимым логическим преобразованием.
Наша ближайшая цель — дать список допустимых
логических преобразований (или, что то же самое,
тождественных логических неравенств) и, в частности,
тождественных логических преобразований (или, что
то же самое, равносильностей), непосредственно
вытекающих из тождественных равенств и неравенств
A6). Для этого достаточно в списке A6) заменить
всюду max на V, min на Д и знак — (минус) на """]•
48

В результате будут получены соотнотения, которые
следует воспринимать как тождественные логические
равенства и неравенства; сами же логические
выражения, встречающиеся в них, окажутся записанными с
префиксными конъюнкциями и дизъюнкциями.
Справедливость высказанного утверждения
непосредственно вытекает из подмеченной выше интерпретации' для
логических связок Д, V, кванторов и отрицания.
Учитывая обычную приверженность к инфиксной записи,
мы воспроизведем этот список именно в таком виде.
Ниже рве означает «равносильно», а несл.—«не
слабее».
Группа 1.
П (AVB)
~i(VP(*))
X
П(ААВ)
X
Группа 2.
W4(*, у)
ос у
V(A(x)VB(x)J
К
ААА(х,у)
х у
/(А(х)АВ(х))
К
Группа 3.
х у
(/\A(x))V(AB(x))
рве (ПА) /\ПВ),
рве ЛПР(х)),
К
ряс (-\A)V(~\B)t
рве V{~\P(x)).
X
рве VV4(x, у),
у х
рве (VA(x))V(VB(x))
X X
рве /\/\А(х, у),
V х
A9.1)*
A9.2)
A9.3)*
A9.4)
'A9.5)
, A9.6)*
A9.7)
рве (АА(х)) Д(ЛЯ(*)).
ОС X
несл. /\VA(x, у),
у х
seca.h(A(x)VB(x)),
.A9.8)*
"A9.9)
A9.10)*
XX X
V(A(x)hB(x)) несл. (VA(x))A(VB(x)).
X X К
A9.11)*
В заключение рассмотрим несколько примеров
логического анализа предложений и обсудим
обоснованность применения к ним тех или иных логических
преобразований,
49

I. Пусть последовательность записана в
функциональной символике:
аA), аB), ..., а{п), ... B0)
Тогда предложение «последовательность B0)
является арифметической прогрессией» запишется так:
VA(«(»+l)=e(n)+d). B1)
d n
Ослабляющее преобразование A9.9) переводит B1),
в предложение
AV(fl(n + l)=a(n)+d). B1')
п d
Поэтому если B1) верно, то подавно верпо B1/)\
В данном конкретном случае легко понять, чго BГ)
верно вообще для любых последовательностей.
Предложение «последовательность B0) является
геометрической прогрессией» запишется так:
' V,\(«(n+l)=a(n).g). B2)
Логическая структура B2) такая же,* как п в B1).
Разумеется, и в данном случае допустимое
преобразование A9.9) приводит к предложению
AV(«(n+l)=a(H)-<7), B2')
п q
которое наверняка истинно, коль скоро B2) истинно.
Однако в отличие от предыдущего примера
предложение B2') верно не для любых последовательностей
(предлагаем читателю установить, для каких именно
последовательностей справедливо B2')).
Рассмотрим теперь отрицание утверждения B1 )f
т. е. утверждение «последовательность B0) не
является арифметической прогрессией»:
1Vh(a(n+M~*a{n)+d). B3)
й п
Применение равносильностей группы 1 преобразует
B3) «без искажения смысла» в предложение
AV"l(e(i»+ll = fl(/*H-rf). B3')
d о
50

Поскольку обычно для отрицания равенства
применяется символ Ф, наряду с B3') возможна и запись
ЛЧ(а(п+1)Фа(п)+с1)щ B3")
II. Обозначим через R+ множество положительных
действительных чисел, через Q — множество всех
рациональных чисел. Тогда известная теорема об
умножении степеней запишется так:
Л Л Л (а*, а*-«*+*•). B4)
«eR+ *»^Q V«^Q
Все перестановки однотипных кванторов представляют
собой тождественные логические преобразования и не
искажают смысла этого предложения. Его отрицание
может быть тождественно преобразовано к виду
V V V (**' • a*f ^ а" •+*'). B4')
III. Пусть даны уравнения /(я)=0 и ?(х)==0.
U(x) = 0
Утверждение «спстема уравнений { имеет ре-
— \8 (х) = 0
шение» запишется так:
V(/(*)=0A*(*)=*0). B5)
Ослабляющее преобразование A9.11) преобразует B5)
в высказывание
;(V(/(*)=0))A(V№)=0)). B5')
Заметим, что B5') утверждает более слабый факт,
а именно, что каждое из уравнений в отдельности
имеет решение.
IV. Более сложный пример связан с анализом
определения предела а последовательности. Рассмотрим
предложение «число а есть предел последовательности
аA), аB), ..., а(и), ...». Пусть R+ — множество всех
положительных действительных чисел, N — множество
всех натуральных чисел, Nm — множество тех
натуральных чисел, которые не меньше т. Тогда предло-
51

жение запишется так:
Л V Л (|а(п)-в|<е). B6)
eeR+WGNneNm
В качестве полезного упражнения предлагается
сравнить B6) с каждым из следующих двух
предложений:
V Л Л (Мп)-а|<е), B6')
m^NeGR+"^Nm
AAV (\а(п)-а\<в). B6")
e«ER+weN neNm
Школьная программа, особенно разделы «Алгебра»
и «Учение о функциях», включает достаточно
обширный материал, в связи с которым напрашиваются
записи с использованием кванторов. Приведенные
примеры в какой-то мере иллюстрируют эту ситуацию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Болтянский В. Г. Как устроена теорема?— Математика в
школе, 1973, № 1, с. 41—49.
2. Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д. Геометрия 7.
М., «Педагогика», 1974.
3. Столяр А. А. Элементарное введение в математическую
логику. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1965.
4. Столяр А. А. Применение современного математического
языка в школьном курсе математики.— В кн.: Линейная
алгебра и геометрия. М., «Просвещение», 1967.

А. С. МАРКОВИЧЕВ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
ВВЕДЕНИЕ
Замечательный английский математик Г. X. Хардп
утверждал, что элементарную теорию чисел следует
считать одним из наилучших предметов для
первоначального математического образования. Она требует
очень мало предварительных знаний, а предмет ее
понятен и близок*; методы рассуждений, применяемые ею,
просты, общи и немногочисленны; среди
математических наук нет равной ей в обращении к естественной
человеческой любознательности. Действительно,
многие вопросы ставятся настолько конкретно, что обычно
допускают «экспериментальную» числовую проверку;
многие достаточно глубокие проблемы допускают
наглядную геометрическую интерпретацию (например,
нахождение «пифагоровых троек»). К тому же
элементарная теория чисел наилучшим образом сочетает
дедуктивное и интуитивное, что весьма важно в
преподавании математики. Теория чисел дает ясные и
точные доказательства и теоремы безукоризненной
строгости, формирует математическое мышление и
способствует приобретению навыков, полезных в любой
отрасли математики. Зачастую решение ее задач требует
преодоления значительных трудностей, математической
изобретательности,^ отыскапия новых методов и идей,
находящих продолжение в современной математике.
В пользу изучения теории чисел говорит и то, что при
всяком сколько-нибудь глубоком математическом
исследовании в разных областях мы часто наталкиваемся
на сравнительно простые теоретико-числовые факты.
Настоящая статья отражает опыт преподавания
темы «Элемептьт теории чисел» общего курса
математики в физико-математической школе при Новосибирском
53

государственном университете. Содержание первых
трех параграфов относится к вопросам делимости
целых чисел и разложения на простые множители. В
следующих параграфах рассмотрены сравнения и классы
вычетов. Отметим сразу, что введение здесь множества
Zm и рассмотрение ряда его'свойств было обусловлено
необходимостью приготовить заранее простые и
содержательные примеры математических объектов, с
которыми учащийся будет постоянно встречаться при
более глубоком изучении алгебры и знание которых
облегчит усвоение этой теории. Поэтому, например,
теорема Эйлера излагается на языке множества Zm, тем
более что при этом демонстрируются некоторые
теоретико-групповые способы рассуждений.
§ 1. ДЕЛИМОСТЬ.
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Говорят, что целое число а делится на целое число
6=И=0, если существует такое целое число с, что а=Ьс.
Записывают это так: Ь \а («а делится на Ь» или
«Ь делит а»). Еще в этом случае принято говорить, что
а является целым кратным числа Ь.
Из определения сразу вытекает, что
Ь\а=> т- b\a=$\b\\a.
Имеют место следующие свойства делимости:
(i) а\а— рефлексивность;
(и) (Ь\а и а\Ь)=Ца = 6или а = — Ь)— антисиммет- .
ричность; I
(ш) (Ъ \а и а\с)=>Ь\с —транзитивность]
(iu) (b\a и b\c)=>b\ (ax-\-cy) для любых х, #<=Z;1
(v)(b\a и|6|>|и|)=*а=0.
Задача 1.1. Доказать свойства (i) — (v). \
Теорема 1.1 (о делении с остатком). Всякое целое
число а можно и притом единственным способом
выразить через положительное число b в форме
a=bq+r,
еде 0^r<b; q и г — целые.
М

Доказагельство. I. Представимость. Ёс-
лий\а,то г=0. Пусть b не делит а. Возьмем вначале
a>Q и рассмотрим числа вида у=а—Ьх> Пусть Y —
множество положительных значений у. Нетрудно
заметить, что YФ0. В самом деле, если а>0, то
а—6-ОеУ. По принципу наименьшего числа* в Y
существует наименьшее число г>0. Соответствующее
значение для х обозначим q, т. е.
r=a—bq.
Покажем, что r<b. Рассмотрим г—6 = а—fc(g-fl).
Заметим, что г—6 —число вида а—Ъх (x=q+l).
Кроме того, это число строго меньше г, так как 6>0.
Следовательно, r—b&Y и г— Ь^О. Если бы число r—b
равнялось нулю, то a—bq = b, a = b(q-\-i)f что
невозможно, так как по нашему предположению b не делит
а. Пусть теперь а<0. Ввиду только что доказанного
\a\=bq+r1 где 0<г<6, a=b(-q) —г= 6(—g+1)-f-
-j-ft_r? Где 0<6—r<6.
II. Единственность. Допустим, что
a = bq+r, 0<г<Ь;
a = 6qr1-f-r1, 0^Г!<6.
Тогда bq+r=bq{-\-ru b(q — ql)=r[—г. Однако |п—г|<
к<6. Действительно, сложив неравенства 0^г<6 и
— 6<—ri^O, получим — 6<г—г\<.Ь, а поскольку
Ь\гх —r,ri—-г=0. (см. свойство (t;) в начале § 1), то
ri = г. Так как в Z нет делителей нуля (т. е. из того,
что ху = 0, следует, что либо ?=0, либо */ = 0), то
&fai-5)=0=*gi-g = 0f
т. е. qi = q> Теорема доказана.
Число q называется неполным частным, г —
остатком от деления а на 6. Например, —4=3-(—2)+2,
(—2) — неполное частное, 2 — остаток от деления
(-4) па 3.
* Принцип наименьшего числа состоит в том, что всякое
непустое подмножество множества натуральных чисел имеет
наименьший элемент.
55

Теорема о делении с остатком выражает тот факт,
что всякое целое число а, не кратное Ь, должно
встретиться где-то между двумя последовательными
кратными Ь, а именно между bq и b(q + l).
Задачи и упражнения.
1.2. При делении целого числа а на 13 получается
неполное частное 17. Найти наибольшее значение
делимого.
1.3. Делимое 100, остаток '6. Найти делитель b и
неполное частное q.
1.4. При делении а на Ь получается частное q и
ненулевой остаток г. На какое натуральное число п
нужно умножить а, чтобы при делении на b частное
увеличилось в п раз?
1.5. Какие остатки могут давать при делении на 9
кубы целых чисел?
1.6. Доказать, что произведение -
а) двух последовательных натуральных чисел
делится на 2;
б) трех последовательных натуральных чисел
делится на G;
в) пяти последовательных натуральных чисел
делится на 120.
1.7. Доказать, что произведение двух последних
цифр квадрата целого числа четно.
1.8. Пусть {/ — последняя цифра числа 2\ Тогда
2n=i0x-{-y. Доказать, что эту делится на 6.
1.9. Доказать, что 72п—42п делится на 33.
1.10. Доказать, что произведение всех делителей
натурального числа п равно nk/2, где к — число
делителей.
1.11. Доказать, что произведение к
последовательных натуральных чисел делится на к\ (см. задачу 1.6).
(Решение. 1 - 2- 3 - .... & = 6п+* ~~
целое число).
1.12. Доказать, что из любых п целых чисел можно
выбрать одно или несколько так, чтобы сумма
выбранных чисел делилась на п.
(Решение. Обозпачим данные числа через
Яь fl2, ..., Яп и рассмотрим суммы S\ = au S2 = ai-\-a2l
S3=ai+tf2+a3, • • •» Sn = a]+a2+ ... +ап. Допустим,
что ни одно из них не делится на п.
56

Тогда они при делении на п могут дать самое
большее (п— 1) различных остатков: 1, 2, 3, ..., п—1,
и поэтому обязательно найдутся две суммы, которые
дадут одинаковый остаток; пусть это будут, например,
Sk и Si (&</). Тогда аЛ+1-Ья*+2+. • .+<*i делится на п.)
1.13. Доказать, что 1*+2"+3*+...+ ("— 1)*, где
к — нечетное число, делится на п.
§ 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ.
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Пусть a, b<=Z. Целое число d такое, что d\a, d\b
называется общим делителем чисел а и 6. Так как
d^|a|, то существует наибольший общий делитель
(если только а и 6=7^=0). Наибольший общий делитель
(НОД) чисел а и b принято обозначать (а, 6).
Непосредственно из определения следует, что
(а,Ь) = (\а\, \Ь\).
С давних времен известен вычислительный процесс,
позволяющий для данных положительных целых чисел
а и b найти их наибольший общий делитель. Процесс
этот называется алгоритмом Евклида и основывается
на следующем замечании: если a = bq-\-r1 0^r<fc, то
(я, b) = (b, г). Таким образом, задача нахождения
НОД чисел а и "Ь сводится к более простой задаче
нахождения НОД чисел b и г, причем г<Сб.
Докажем вначале наше замечание. Пусть б —
общий делитель а и Ь. Тогда 6\г — а — bq, т. е. 6 —
общий делитель b и г. Обратно, всякий общий делитель
чисел b и г будет общим делителем чисел а и Ь. Итак,
множество общих делителей пар а и b и b и г одной
то же: (а, Ь) = (Ь, г).
Приступим теперь к нахождению наибольшего
общего делителя чисел а и Ь. Пусть а и b —- положитель-
. ные целые числа,
a—bqx-\-rb 0^Г!<6.
Если ri = 0, то процесс обрывается и b — искомый
наибольший общий делитель. Если же пХ), то делим
b на г\:
57

Если г2 = 0, то процесс обрывается и г\ — искомый
наибольший общий делитель. Если же /*2>0, то делим г\
на г2:
Г1 = г2<7з+гз, 0^г3<г2,
и т. д.: 6>Г1>Г2>.. .^0. Через конечное число
шагов (а именно^ самое большее через Ъ шагов)
указанный процесс оборвется:
гЛ-1 = гп?п+1+Гп+1, гп+1 = 0 (гпФ0).
Таким образом, (я, fr) = (fc, п) = (г|, г2)=...
...= (г„_2, r„-i) = (r„-i, ''п) = (гп, 0)=ги, т. е.
последний ненулевой остаток гп равен искомому, наибольшему
общему делителю чисел а и ft.
Алгоритм Евклида называют также методом
последовательного деления.
Следующая теорема выражает основное свойство
наибольшего общего делителя.
Теорема 2.1. Для любых а и b из Z существуют
такие целые числа х и у, что (a, b)=ax-\-by.
Доказательство достаточно провести для
случая, когда а и Ъ — положительные целые числа.
Выпишем алгоритм Евклида для чисел а и Ь:
a = b<]i+ru
b = r]q2+r2,
/V-3 = '\.-2?n-l+r„-l,
7"а-2-==Гп-1<7п + '*ти
Гн-1=>*п<7п+1.
Отсюда (а, 6) =г„ = гЛ-2+г»-1(—?„) =г„-зи+г»-21,,=...
Ввиду важности этого свойства наибольшего общего
делителя дадим ему еще и другое доказательство.
Рассмотрим множество S всех целых чисел, представимых
в виде ах-\-Ьу, где х, i/gZ. Очевидно, что S содержит
бесконечно много положительных и отрицательных
чисел (в частности, а и 6), а также нуль. Среди доложи-
58

тельных целых чисел, лежащих в S, существует,
конечно, наименьшее, пусть р. Оказывается, что S есть
множество всех целых кратных числа р. В самом деле,
возьмем любое с из S. Мы можем представить с в
виде c=pq+r, где q и г —целые, 0^г<р. Так как
P&S, то и pq^S. Далее, с—pq^S, так что reS. Но
г<р, ар — наименьшее положительное целое в 5.
Следовательно, г=0 и с есть целое кратное числа р.
Итак, р делит все элементы множества 5, в частности
р\а и р\6. Если d есть наибольший общий делитель
чисел а и 6, то p^d. С другой стороны, d\(ax -t- by)
при всех х, yeZ, так что 6 делит любой элемент р из
5. Следовательно, d^p. Таким образом, d=p, что и
доказывает теорему.
С понятием наибольшего общего делителя чисел а
и b тесно связано понятие наименьшего общего
красного. Наименьшее общее кратное [a, b] целых чисел а
и b (где а и 6=^0) есть наименьшее положительное
целое число, которое делится одновременно и на а,
и на 5.
Теорема 2.2.Наименьшее общее кратное
положительных целых чисел а и b является частным от
деления произведения этих чисел на их наибольший об*
щий делитель:
[а,Ь]=аЬ/(а,Ь).
Доказательство. Пусть f=abj(a, b). Так как
(а, Ь)\а, (а, Ь) \Ь, / - (-^} • b =^V} • а, то / — общее
кратное чисел а и Ь. Пусть теперь g — какое-либо
общее кратное чисел а и Ь. Рассмотрим число
П 8 • (а, Ъ)
/ "~ ab *
В силу теоремы 2.1 (a, b)=ax+by при некоторых
х, ^eZ, поэтому
J_ _j g (ax + by) LXA-JL7,
f ab b ~*~ a U*
О 0
Ho —, -^—целые числа, так что/\?. Отсюда f^g и
/ — наименьшее общее кратное чисел а и 6, т, е.
59

Заодно установлено, что наименьшее общее кратное
двух чисел делит общее кратное этих чисел.
Теорема 2.3. Если ab делится па с, (а, с) = 1, то b
делится на с.
Доказательство. В.самом деле, ab — общее
кратное чисел а и с, следовательно, [a, c\\ab; но по
теореме 2.2 [а, с]=ас; ac\ab, поэтому с\Ь.
Целые числа а и b называются взаимно простыми,
если их наибольший общий делитель равен 1. В силу
теоремы 2.1, если а и b взаимно просты, то найдутся
х, yeZ такие, что
ах-\-Ьу=\.
Задача 2.1. Решить в целых числах уравпепие
ах-\-Ьу = с
(О
(а, 6, c<=Z).
(Решение. Отметим прежде всего, что для
разрешимости этого уравнения в целых числах
необходимо, чтобы (а, Ь)\с. Действительно, если d== (a, 6), то
a = a\d, 6 = fejd, уравнение A) принимает вид
(alx + b]y)d = c
и может иметь целые решения только в „том случае,
когда с делится на d (см. свойство (iv) в пачнле § 1).
Покажем теперь, что условие (а, Ь)\с является
достаточным для разрешимости уравнения A) в целых
числах.
Из первого доказательства теоремы 2.1 следует,
что можно найти одно из целочисленных решений х\ у'
уравнения
ax-\-by = d,
а стало быть, п одпо пз решений уравпсппя A):
достаточно для этого взять
60

Итак, мы уже знаем одно из целочисленных
решений исходного уравнения: дг0, уо. Пусть х, у —
произвольное решение этого уравнения. Тогда из равенств
ах+Ьу = с и ax0-\-byo=c
получаем
а(х—х0) +Ь(у-у0) = 0; у - у0 = - -J- (х - z0),
пли I/ — i/0 = — ~- (х — х0), где ai и bi уже взаимно
просты. Так как у—уо — целое число, ах(х—х0)
делится на Ьи (аь bi)=l, то по теореме 2.3 (х—х0) делится
на Ьи т. е. х—#o=bi?, где JeZ. Но тогда y—yo=—ait1
и получаем
* = *о + 4"'' Ув»о--г - B)
Таким образом, доказано, что всякое решение
уравнения A) имеет вид B). Обратно, легко проверить, что
всякая пара целых чисел х, у вида B) является
решением уравнения A). В самом деле,
ах + by = а (х0 + -J- /J + Ь ( 0 — -J- Vj = лд:0 -|- Ьу0 +
+ (-т-т-)'~« + ° = *
Пусть два натуральных числа а\ и а2 взаимно
просты. Поставим перед собой задачу: найти целое
число, которое при делении на эти числ^ образует данные
остатки г\ д г2. Существование такого числа вытекает
из того, что уравнение а\Х\—а2Х2=Г2—г\ разрешимо
в целых числах х\ и х% (а\ и а2 взаимно просты),
а именно, искомым является, например, число а\Х\\-
г\-Г\=а2х2+Г2.
Оказывается, что аналогичное утверждение
справедливо и для случая т^2 чисел.
Теорема 2.4. (Китайская теорема об остатках).
Пусть а\, а2, ..., Ят-ь аш — натуральные числа, каждые
два из которых взаимно просты, п, г2, ..., гт —
произвольные целые числа. Существуют целые числа
61

Х\, *2, ...f ^m-i, Xm, удовлетворяющие системе уравне*
ний
aiX\+ri = a2X2+r2 — .. .—amxm+rm. B'J
Доказательство будем вести индукцией по т.
При т=2 теорема верна. Предположим, что теорема,
верна при т^2. Пусть аи аг, ..., ат, aw+\ — попарно,
взаимно простые натуральные числа, ги *, ..., rm, rm+if—
произвольные целые числа. Из индуктивного
предположения следует, что существуют х\, ..., iweZ такие,
что
fli#i+n = fl2#2+r2==:-. . = атх,п-\-гт.
Но каждое из чисел аи ..., ат взаимно просто с числом
ат+и поэтому и произведение я^.. а,п взаимно просто
с am+i, стало быть, найдутся целые у и z такие, что
a\d2.. .am^~flm+ i3 = rTO4i--alxl—- r< (t=l, 2, ..., m).
Отсюда
или
aty +*il + ''i =^m-i2 -:-rwM,
и в качестве решении х\, х>щ..., хт, хт±\ системы
уравнений B') можно взять
х\ = 1 * '" т у ±xt (/==1,2,... m), .r'm+1 = z.
ai
Теорема доказана.
Название теоремы объясняется тем, что если
каждые два из т (т^2) натуральных чисел ai, <ь, ..., ат
взаимно просты, то существует целое число, которое
при делении на эти числа дает любые заданные
остатки Ги гг, ..., г,„. Увеличивая его на любые кратпыо
числа а\а2... a,„, мы получим бесконечное множество
натуральных чисел, дающих при делении на
01, #2, ••¦, 0т соответственно остатки п, г2, ..., гш. Ки-.
тайцы довольно давно владели этой теоремой, во
всяком случае в III веке.
о2

42
42
02
63
42
121
231
189
1
4G2
| 63
3
2
]
i
i
Задачи и упражнения.
Для практического нахождения НОД двух чисел
можно применить следующую схему:
625 |_231 525=231-2+63
231 = 63-3+42
63=42-1+21
42=21-2
Последний ненулевой
остаток есть г4 = 21, вначит
E25, 231) =21.
2.2. Найти B59, 119), F188, 4709)'.
2.3. Найти все целочисленные решения уравнения
15*—9г/ = 6.
2.4. Сколько решений в целых неотрицательных
числах имеет уравнение Зх+5г/=1000?
2.5. Найти целые положительные числа а и 6, если
(а, Ь) = 15, [я, 6] =840.
2.6. Пусть ft — любое целое положительное число.
Доказать, что (ак, 6ft) = (я, 6) ft; [ak, 6ft] = [а, 6] ft.
fa b \
2.7. Пусть 6eN,o\a,6 \6. Доказать, что1~3~» "б") —
(а,Ь) (а Ь \ , Г а Ь Л _ [«, Ь]
=Т~> в частности^Тб)' (STwj ~ lf [Т* ЧГ| JT~-
2.8. Если (я, 6) = 1, то (а, 6с) = (я,с). В частности,
если (а, 6) = 1, (я, с) = 1, то (а, 6с) = 1.
2.9. Если каждое из чисел aj, «2, ...» Яп взаимно
просто с каждым из 6j, 62, ..., 6m, то и произведение
«i«2. • -Яп взаимно просто с произведением 6162. ..6m.
(Воспользоваться задачей 2.8.)
2.10. Доказать, что (a, 6) = (a+6, [a, &])'.
2.11. Док1зать, что из условия (я, 6) = 1 следует,
что (а+6, я&) = 1, (а—6, а6) = 1.
2.12. Натуральные числа а и Ь взаимно просты.
Доказать, что не существует числа d, большего 2, на
которое бы делились одновременно а+6 и а2+62.
2.13*. Всякое целое число, делящее одновременно
а\, ..., а„, называется их общим делителем. Всякое
63

целое кратное всех данных чисел, называется их
общим кратным.
Доказать, что существуют наибольший ОД и
наименьшее ОК чисел ai, ..., ап. Найти способ
отыскания НОД и НОК более чем двух чисел.
(А именно,
(аь аг, ..., ап) = (... ((ai, аг), аз), ..., ап)
[аи а2, ..., ап] = [...[[aj, а2], <*з], ..., ап]).
2.14. Доказать, что abc=[a, Ь, с] (ab, ас, fee), где
а, Ь, с — целые положительные числа.
(Решение, [а, ft, с] = fa, [ft, с]]; (а, 6, с) = ((а, ft), с);
[е. Г*>, с]] ((aft, ас), Ьс) = [а, [ft, cll(a(ftf c)f be) = [a, [ft, с] ]
{a (ft, с), [ft, с] (be)) = [a, [ft, с]] (a, [ft, c]) (ftc) =
«=a[ft, c] (ft, c)=aftc.)
2.15*. Доказать, что для целых положительных
чисел аь ..., а»
где Л = aia2.. .а„, d= (Ль ..., Лп), Л , = — (;= ^ 2,..., /г)\
§ 3. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Целое положительное число р называется простым,
если p>i и р не имеет других положительных
делителей, кроме себя и 1. Целое число а>1, не
являющееся простым, называется составным; такое число можно
представить в виде произведения двух чисел, каждое
из которых больше 1. Делитель числа а, отличный от
а и 1, называется собственным делителем. Число 1
в ряду натуральных (т. е. целых положительных)
чисел стоит особо и не причисляется ни к простым, ни
к составным.
Целое число а называется простым (соответственно
составным), если \а\—простое (соответственно
составное) число.
Пусть a, 6eZ, p — простое, причем р\ ab, p не
делит а. Тогда р\Ь. В самом деле, если р не делит а, то
(а, р) = 1 и по теореме 2.3 р\Ь. Отсюда вытекает,
следующее утверждение, часто называемое теоремой\
Евклида:
64

Теорема 3.1. Если простое число делит
произведение двух чисел, то оно должно делить хотя бы одно из
этих чисел.
Основная теорема арифметики. Всякое натуральное
число п>\ может быть разложено на произведение
простых положительных множителей, и это разложение
единственно с точностью до порядка сомножителей.
Хотя некоторые арифметические предложения
в книге VII «Начал» Евклида эквивалентны основной
теореме, первую точную формулировку теоремы и ее
доказательство дал Гаусс в 1801 г. в «Арифметических
исследованиях».
Заметим вначале, что справедлива
Лемма.'Всякое натуральное число м>1 имеет хотя
бы один простой делитель.
Доказательство. В самом деле, пусть М —
[множество всех положительных делителей числа п,
[больших 1 (это множество непусто, так как п^М).
ро принципу наименьшего числа М содержит
наименьшее число р. Докажем, что р — простое. Так как р^Му
то р>1 и р\п Пусть l<:q^p и q\p. Тогда деЛ/,
^поскольку <7>1 и q\n. Отсюда q = p.
I Доказательство теоремы. . I.
Возможность. Будем рассматривать простое число как
«произведение» простых, состоящее только из одного сомно-
ркителя. Для числа 2 утверждение очевидно, так как
\2 — простое. Докажем утверждение для числа п,
считая, что оно уже доказано для любого числа, меньшего
\п. Если п — простое, доказывать нечего. Если п —
составное, то n=ab, где 1<а<м, КЬ<Сп. По мы уже
[знаем (в силу индуктивного предположения), что а и
Ь разлагается в произведение простых. Подставив их
[разложение в равенство n = ab, получим разложение п
;на простые множители.
II. Единственность. Предположим, что все
числа, строго меньшие и, имеют единственное разложе-
вие на простые. Допустим, что п имеет два разложения:
n = PiP2p3... =?1?2?3..м '
Где pi и qj — простые. Так как р\ делит произведение
9i(?2tf3...)> то в силу теоремы 3.1 (Евклида) оно
должно делить либо gi, либо #2<7з... Если р\ делит q\, то
^1 = ^1, так как эти числа простые. Если р\ делит
65

?2?з..., то но индуктивному предположению р\
совпадает с одним из д. Мы можем сократить на общее
простое р оба представления и опять воспользоваться
индуктивным предположением. Таким образом, оба
представления совпадают.
Теорема доказана.
Разложение вида п =» р*1/)**... р*к (pi — простые,
l<Pi<P2< ....*<Pa) называется каноническим
разложением.
Заметим, что в то время как возможность
разложения на простые следует непосредственно из
определения простого, доказательство единственности
разложения получается не сразу. Приведем пример,
принадлежащий Гильберту, показывающий, почему
эти два предложения столь отличаются друг от друга.
Рассмотрим систему всевозможных чисел вида
4&+1, A:eN, замкнутую относительно умножения, но
не замкнутую относительно сложения и вычитания:
1,5, 9, 13, 17, 21,25, 29, ...
Определим «псевдопростое» как число этой системы
(отличное от 1), которое не разлагается в'этой
системе на собстценные делители. Числа 5, 9, 13, 17,
21 —псевдопростые., 25 — первое не псевдопростое
число. Как и раньше, можно доказать, что каждое
число этой системы либо само псевдопростое, либо
может быть разложено на псевдопростые множители.
Но в этой системе разложение числа на псевдопростые
не всегда является однозначным, например, число 693
имеет два разложения:
693 = 9-77 = 21.33,
где 9, 77, 21, 33 — псевдоиростые.
Таким образом, любое доказательство
единственности не может опираться лишь на определение простого
и свойства умножения, оно обязательно должно где-
нибудь использовать сложение и вычитание, поскольку
иначе его можно было бы применить к только что рас-'
смотренной системе чисел.
Задача 3.1. Почему для системы {4Л+1, /c^N}
не проходит доказательство единственности разложения
на псевдопростые, аналогичное приведенному нами
W

доказательству единственности разложения целых
чисел на простые?
Теорема Евклида (о бесконечности числа простых).
Множество всех простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что
множество простых чисел конечно. Тогда существует самое
большое простое число, пусть Р. Рассмотрим число
m=PI + l. Оно не делится ни на какое простое число,
вплоть до Р. Поэтому либо между Рит должно быть
какое-нибудь простое число, либо простым является
само т. И то и другое противоречит нашему
предположению о том, что Р — наибольшее простое число.
Задача 3.2. В последовательности натуральных
чисел имеются сколь угодно длипные «куски», не
содержащие простых чисел.
Задача 3.3. Если п — натуральное число, строго
большее 2, то между п и п\ содержится по меньшей
мере одно простое число.
Дадим теперь несколько отличное от только что
приведенного доказательство теоремы Евклида о
бесконечности множества простых. Допустим, что 2, 3, 5,...,
Р — множество всех простых чисел и Р — наибольшее
из них. Число 2-3-5« .•.. «Р-f-l не делится ни на одно
простое до Р включительно. Но тогда оно либо само
простое, либо делится на простое, большее Р.
Следовательно, простых чисел бесконечно много.
Пользуясь этим доказательством, мы можем оценить
сверху величину л-го простого числа рп. Докажем, что
рп<2271~",гс >Л, причем рп<22П-1 при и>1. В самом
деле, предположим, что
Pi < 2, р2 < 22, р3 < 24, ..., рп < г2*.
Тогда
ря+, < л • р, • ... • Р. + К 21+2+-+2"-1+К22П.
Задача 3.4. а) Доказать, что имеется бесконечно
много простых чисел вида 4/с — 1.
б) Доказать, что имеется бесконечно много простых
чисел вида 6А: — 1.
(Решение. Допустим, что q\, qi, ..., ^ —
Множество всех простых чисел вида 4Аг — 1 и Q — наибольшее
8«
67

из них. Рассмотрим число m = 4<7i72... Q — Л. Пусть
т = г?* ... г*'1 — его разложение на простые
множители. Все Г{ не могут быть 'числами вида 4А;+1> так
как в этом случае и само т должно иметь вид 4fc;-|-l.
Стало быть, т обладает простым делителем вида
4/с — 1. Но таким делителем не может быть ни q\, ни
G2, ..., ни Q. Получили противоречие с
предположением о конечности множества простых чисел вида 4А:—1.
Аналогично доказывается утверждение б.)
Для составления таблицы простых натуральных
чисел, не превосходящих данного п, существует простой
способ, называемый решетом Эратосфена. Выписываем
числа
2,3,4,5,6,7,8,9, 10, ... C)
Первое число этого ряда есть 2, оно простое.
Вычеркнем из ряда C), как составные, все числа,
кратные 2, кроме самого числа 2. Следующее за 2 первое
невычеркиутое число есть 3, оно не делится на 2
(иначе мы его бы вычеркнули), следовательно, оно делится
только на 1 и на самого себя, т. е. оно простое.
Вычеркиваем теперь из ряда C) все числа, кратные 3, кроме
самого числа 3 и т. д.
Пусть мы уже вычеркнули все кратные простых
чисел до Амго включительно. Первое из невычеркнутых
чисел, большее рА, есть простое число ph+\ — оно не
делится ни на 2, ни. на 3, ..., ни на ph (иначе мы его бы
вычеркнули). Заметим к слову, что оно пе превосходит
Pi/>2..-P*+l. Приступая к вычеркиванию чисел,
кратных pA+i, следует начинать сразу cpjj+i, так как все
невычеркнутые, меньшие рЦ+ь будут простыми.
Действительно, всякое составное число а, меньшее Ри-ь па-
ми уже вычеркнуто как кратное его наименьшего
простого делителя, который не больше 1/а<.Рк-
Понятно также, что составление таблицы простых
чисел, не превосходящих п, закончено, как только
вычеркнуты все составные, кратные простых, не
превосходящих Улг.
Задачи и упражнения.
3.5. Доказать, что для простого числа р из условий
Р\(а + Ь) п Р\аЬ следует, что р\а и p\b.
68

3.6. Найти (а, Ь) и [я, Ь], зная каноническое
разложение целых положительных чисел а и Ь.
3.7. (Теорема Лежандра). Доказать, что показатель,
с которым данное простое число р нходит в [тзложенпо
на простые множители числа п\, равен
*-[тН*] + - + [7]+-
(Указание. Воспользоваться тем, что среди чисел 1, 2,
3, ... п имеется |"Т" чисел, кратных р, из них —3- чисел,
кратных р2, и т. д.).
3.8. Найти число двоек в разложении на множители
числа (п+1)-(п+2). ... -(л+л —1)-2и.
3.9. Доказать, что л! не делится на 2П.
(Воспользоваться результатом задачи 3.7, очевидным нера-
г 1 Н I П ! I П I
венством farj^o: и соотношением -п—i—Z~ *~ • • • Т" ~7Г"*""
+ ...= л.)
3.10. Пусть /с — количество делителей числа /г.
Доказать, что /с2<4/г.
3.11. Доказать, что если число, все цифры которого
суть единицы, простое, то число его цифр должно быть
простым. Показать, что это условие не является
достаточным. (Известно, однако, что 11 и 11...1, где
единица повторена 23 раза, простые (см. [1Г>)Э
с. 27-28).)
3.12. Если р — простое число, не равное 3, то число,
записываемое р единицами, не делится на /?.
3.13. Доказать, что всякое простое число, большее
3, имеет вид 6&+1 либо б/с+5.
3.14. Доказать, что квадрат любого простого числа,
большего 3, имеет вид 12/c+l.
3.15. Доказать, что если простые числа, большие 3,
образуют арифметическую прогрессию, то разность
прогрессии делится на 6.
3.16. Простые числа а\, a<i, ..., ар образуют
арифметическую прогрессию, причем а\>р, р— простое число.
Доказать, что разность прогрессии делится на р (и
даже на произведение 2-3« ... *р простых чисел до р).
3.17. Доказать, что при делении простого числа на
30 в остатке получается простое число.
69

3.18. Доказать, что простое число пе может быть
представлено в виде суммы нескольких последователь;
ных нечетных чисел.
3.19. Доказать, что если 2"+1 — простое число, то
п — степень числа 2.
(Указания: для к нечетного ак-\-Ьк = (а+b) (ак-]—ак~2Х
ХЬ+...+(_1)*-1&*-|.)
Пьер Ферма A601—1GG5) ошибочно полагал, что число
2а7П+1при любом натуральном т является простым числом.
Однако это предположение, опирающееся на то, что числа
2*1 + 1 = 5, 2*2 + 1 - 17, 2а3 + 1 = 257, 2*4 + 1 - 65537
являются простыми, было опровергнуто Эйлером, заметившим,
что 2а5 + 1 -=» 641 «6700417. Приведем изящное доказательство
этого факта, принадлежащее Беннету: число 641 = 54-h24 = 5-27-H
+1 является одновременно делителем чисел 54—228+24-22S u
54-228—1, следовательно, является также делителем их разности,
равной числу 232+1. Впрочем, общий вопрос о том, при какпх
значениях показателя формулы 22?п +1 дает простые числа,
остается до спх пор нерешенным.
3.20.* Любые два различных числа Ферма 22™ + 1
и 22П + 1 взаимно просты.
(Р е га е н п е. Предположим, что n>m и обозначим через к
разность п -т. Пусть </\227П+ 1 и «*\2*п+1. Полагая х= 2*т,
получаем
B*п+1)-2 »«»-! 2JUl 2*
22™ + 1 - x+i "x х + ... — It
так что 22W+ l\B*n+l)-2. Отсюда следует, что<*\B2П+1)—
— 2, так как d\2*n + 1, то d\2. Но числа Ферма нечетны,
следовательно, d=l.)
3.21. Доказать, что при п>2 числа 2П— 1 и 2п+1
не могут быть одновременно простыми.
(Указание. Рассмотреть остатки от деления на 3).
3.22. Доказать, что если число 2Р — 1, где р —
простое, само является простым, то число 7V=2P~1 BР — 1J
равно сумме всех своих делителей, за исключением его
самого.
(Р е ш е н п е. Делителями числа /V, кроме самого TV, являются
числа 1, 2, 22,..., 2*-а, 2*-1, B*—1), 2B*-!),..., 2"-2B*-'),
70

Сумма всех этих делителей A+2+24- ... +2р~'+2р~]) + A +
+ 2 + ... +2"-2) • B*—1) = 2*—1 + BР-1—1) • Bр—1) =2*-1 X
ХB*-1)«=Л.)
Число, равное сумме всех своих делителей, за
исключением его самого, Евклид называл совершенным.
Евклиду же принадлежит утверждение задачи 3.22.
Приведем несколько совершенных чисел:
р=2, 7V=2-B2-l)=2-3=6;
р = 3, iV=22- B3—Д)=4-7 = 28;
р=5, Л^=24- B5—1) = 1631 = 406; *
р=71 iV=26-B7-l) = 127-64=8128.
Однако вопрос о том, для каких простых р число
2Р — 1 — простое, исключительно труден, и ответ на
него не известен до сих пор; не известно даже, конечно
ли число таких р. Заметим, например, что 211 — [ =
= 2047 = 23-89 — число составное. В настоящее время
благодаря использованию электронных вычислительных
машин известно 23 совершенных числа, самым
большим из них является число 211212 B11213—1), которое
состоит из 3376 цифр.
Еще в XVIII веке Эйлером было доказано, что
всякое четное совершенное число имеет вид 2Р_1 • BР—1),
где р и 2Р — 1 — простые. Существуют ли нечетный
совершенные числа, не известно по сей день. (Подробнее
о совершенных числах см. [9], очерк 19, а также [20]).
3.23. Числа р, р2-\-2 —¦ простые. Доказать, 4tq
р3-\-2 — простое.
3.24. Найти все простые числа, являющиеся
одновременно суммами и разностями двух простых чисел.
3.25. Доказать, что наименьшее число N, взаимно
простое с каждым из чисел 1, 2, 3, ..., п, число простое.
§ 4. СРАВНЕНИЯ
В делом ряде вопросов, в том числе во многих
вопросах теории делимости, существенным является
именно остаток от деления. Таков, например, вопрос
о приведении тригонометрических функций аргумента
а (а — произвольное действительное число) к
функциям от аргумента, значение которого заключено между
7i

О п 2л пли даже между 0 и л/2 и требует нахождения
остатка при делении а на 2л и л/2. Совершенно
элементарным практическим вопросом, требующим
определения остатка от деления на 24, является вопрос:
«в котором часу произошло событие, случившееся
через а часов после b часов пополуночи».
При решении многих задач одно число можно
заменять другим, имеющим тот же остаток при делении на
соответствующее число т. Допустим, если нужно найти
последнюю цифру при умножении 447 на 2346, то нет
необходимости перемножать исходные числа,
достаточно вместо этих чисел рассмотреть их последние цифры
(или, что то же самое, остатки от деления этих чисел
на 10), 7*0=42, так что последняя цифра
произведения 447*2346 равна 2. Еще одна задача. Пусть
требуется установить, что произведение трех последовательных
целых чисел к(к+\) (к-\-2) делится на 3. Нетрудно
понять, что для проверки этого утверждения достаточно
заменить числа /с, &+1, к+2 на числа 0, 1, 2, либо
1, 2, 0, либо 2, 0, 1 в соответствии с тем, делится ли
число А: на 3 нацело, дает остаток 1 при делении на 3,
либо остаток 2.
Таким образом, мы воочию убедились, что иногда
числа,' имеющие одинаковый остаток при делении па
какое-то число т, выступают в определенном смысля
равными.
Определение. Пусть т — целое число, строго
большее 1. Целые числа а и b называются сравнимыми
по модулю т (в обозначениях a = fc(modm), если при
делении на т они дают один и то же остаток.
Другими словами, числа а и b сравнимы но модулю т, бели
а — b делится на т нацело.
Докажем, что отношение сравнимости есть в
некотором смысле равенство, а именно, «равенство в
отношении остатков от деления на т». Для того чтобы
оправдать такое словоупотребление, покажем, что
отношение сравнимости обладает свойствами, которыми
обладает и обычное равенство:
1) as=a(mod m)— рефлексивпость;
2) если a=6(mod /и), то b=sa(mod т)~
симметричность;
3) если a = 6(mndm), b = c(mod/n), то ass
esc (mod m)" — транзитивность. В самом деле, 1) а—а
72

делится на m; 2) если а — Ь делится на т, то и Ь —а==
= — (а — Ь) делится на т, наконец, 3) если а— b
делится на т, 6-с делится на т, то (а — 6) + (Ь — с) =
=а — с делится на т.
Более того, если ai = 6i(modm), a2==b2(mod m), то
ai+a2=6i+Mm°d w), ai^HSE^^fmod m), т. е.
сравнения по одному и тому же модулю можно складывать
и перемножать. Докажем последнее из этих свойств:
а\а<1—- b\b2 = a\d2—a\b2 + 0162—6162 = 0i(#2 — 62) +
+ (ai — 61N2 и, очевидно, делится на т, если а\ — 6i и
й2 — 62 делятся на т.
Задачи.
4.1. Пусть a==6(modm), A: — произвольное
натуральное число. Тогда a* =fe*(mod m).
4.2. На какую цифру оканчиваются числа О811,
2,0(H, З9999? Каковы последние две цифры числа 151974?
4.3. Доказать, что для любого натурального к число
а**— Ьк делится на а — b (a — b ф{)).
(Решение: а=6(гшн1(атг Ь)), следовательно,
tf*==fcA(mod(a--6)), а*-6*=0(пнн](л-6)).)
4.4. Доказать, что a2k~]-\-b2k~l делится на я+6,
а'2к — Ь2к делится на а-\-Ь при любом натуральном А'
(а + Ь?=0).
Пусть N=anan-\.. .o2«i^o — некоторое число,
представленное в десятичной системе счисления, т. е.
N=an. 10"+flB-i• 10n-]+ ... +л2-102+", • 10 f o0
(tfo, fli, • ••> я«-ь an — цифры числа, которые могут
принимать значения 0, 1, 2, ..., 9). Тогда 10=1 (mod3),
поэтому 10*2=1 (mod 3) для любого натурального А*, т. е.
ah- 10"=a,(mod 3) и N=an• 10л + ... +ах • 10+а0=
= an-f-... +ai+ao(«nod 3); таким образом, число дает
при делении на 3 тот же остаток, что и сумма его
цифр. Отсюда вытекает известный признак делимости
числа на 3.
4.5. Представляя целое число в обычной десятичной
системе счисления, вывести признаки делимости на
9, 11.
4.6. Представляя целое число в системе счисления
с основанием 100, вывести признак делимости на 101.
4.7. Представляя целое число в системе счисления
73

с основанием 1000, вывести признаки делимости па 37,
7, 11, 13.
4.8. Некоторое число записывается в десятичной
системе счисления при помощи 1974 единиц и
некоторого количества нулей. Может ли это число быть
квадратом целого числа?
4.9. Доказать, что если число делится на 99, то
сумма его цифр не меньше 18.
Предположим теперь, что a = b(mod m), б — общий
делитель чисел а и 6, т. е. a=a'6, Ь=6'б. Верно ли,,
что fl'=ft'(mod7tt)? Другими словами, можно ли
почленно делить сравнение на одно и то же число? Число
а—Ь={а'—Ь')б делится на т, и утверждать, что
а'— Ь' делится на тч можно лишь в случае, когда б и
т взаимно просты. В общем случае деление обеих
частей сравнения на одно и то же число может привести
к нарушению сравнения. 'Так, например, 1-3==з
ss5-3(mod6), однако l^.r>(mod6).
4.10. Пусть a=6(inodm), б — общий делитель
чисел я, b и т. Тогда -^- = -?-(mod —).
4.11. Если a = b(modm\), a = fc(mod m2), то оз
= 6(mod[mi, /П2]), где [т\, т?] —наименьшее общее
кратное чисел т\ и Шч.
(Р е ш е н и е. Число а — Ь делится и на ть и на т2.
Тогда т2-[т!,т2] = т^той, где d=(rai, m2), ml =
= m[d1 m2 — m[cL Число —— делится на wj, —
на л?о, причем (mi, т'2) = 1, поэтому а—г~ делится на
m'l/n'o, a — b делится Hamim'od.)
Следуя аналогии между сравнениями и
равенствами, поставим вопрос о решении сравнения первой
степени
ах вв b(mod m). D)
Пусть хо и х — некоторые решения исходного срав*
нения; тогда а(х — хо) ==0(mod m). Пусть d
—наибольший общий делитель чисел а и т. В силу задачи 4.10
^(z-x0) = 0^mod-y)
74

a fff
п, так как-^- и -j-взаимно просты, то
х — х0 ===o(inod -y-j, х== zJmod —-]•
Обратно, если хо является решением сравнепия D),
то и всякое ?=.r0(mod— J является решением
сравнения D). Итак, чтобы найти все решения сравнения
ax^sb(mod т), достаточно найти хотя бы одно его
решение х<>. Но поскольку ax=b(modm) тогда и
только тогда, когда найдется целое число */о такое, что
я.го+т*/о=&, для нахождения х0 можно применить
указанный в § 2 способ решения в целых числах
уравнения ах-\-ту = Ь.
4.12. Решить сравнения 27.r=6(mod 51),
В заключение параграфа сформулируем еще две
задачи.
4.13.* Доказать, что для простого р Cp-i в
(-lLmodp).
4.14.* Доказать, что при нечетном т
—* / \
(т _i) !==(_!) 2 ^SLzJjj^odm).
§ 5. КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ. МНОЖЕСТВО Zm
Все целые числа принято разбивать на четные и
нечетные в зависимости от того, какой остаток они
дают при делении на 2. Аналогично относительно
деления на 3 все целые числа распадаются на'З класса:
числа вида 3/г, ЗАг+1 (т. с. дающие при делении на 3
остаток 1), 3&+2 (дающие остаток 2). Для общего
случая, когда речь идет о делимости на целое число
га>1, можно прийти к мысли объединить все числа,
дающие при делении на т один и тот же остаток,
в один класс и рассматривать все целые числа
относительно их принадлежности к одному из этих классов.
Задача 5.1. Записать в виде сравнения
следующее условие: «—38 и —3 дают при делении на 7
одинаковые остатки».
Задача 5.2. Охарактеризовать сравнениями целые
числа следующего вида: а) четные, б) нечетные;
в) 5/:+:!, /.crZ; i) 'i/c-2, fce=Z.
75

Для каждого agZ обозначим через [а]т (или, если
нет опасности спутать, через [а]) совокупность всех
тех целых чисел х, что x=a(mod га). Будем [а]т
называть классом вычетов по модулю га, а число а — его
представителем.
Используя свойства рефлексивности,
симметричности и транзитивности отношения сравнимости но
модулю га (свойства 1) — 3) предыдущего параграфа),
покажем, что множество Z всех целых чисел распадается,
на га непересекающихся классов [а],„. В силу свойства
1) а^[а]. Далее, если &е[а], то [&] = [а]. В самом
деле, яе[а] влечет x=a(modm). Соотношение
&=a(modra) влечет a = b(\nodm) (симметричность);
из #2=a(mod га), a=fr(mod га) ввиду транзитивности
следует, что x^b(nwdm), т. е. #е[Л]. Поэтому \а]^
S[fe]. Обратно, если х^[Ь], то х=Ь(июАт)ч Ь=
Esa(modra) и, стало быть, .re[а], т. е. [&]^[я].
Включения [я]^[Ь] и [Ь]^[а] показывают, что [а] =
= [Ь]. Итак, различные классы вычетов не имеют
общих элементов и каждое целое число а содержится
. в классе вычетов [а].
Совокупность [а]т представляет из себя класс
чисел, дающих при делении на га тот же остаток, что и
число а. Удобно в качестве представителей классов
вычетов выбирать числа, заключенные между 0 и га — 1.
Таким образом, множество Z распадается на га
непересекающихся классов:
[0], [1], [2] [те-1].
Обозначим множество этих классов через Zm. (В тех
случаях, когда можно не опасаться путаницы,
элементы множества Z,„, т. е. классы выметов, иногда
обозначают просто 0, 1, 2, ..., т — 1.)
В то время как целые числа при пито изображать ,
точками на числовой прямой, элементам Zm удобно'
дать геометрическую интерпретацию, используя
числовую окружность. Л именно, представим себе,,
что числовая прямая «навернута» на окружность дли- \
ны га, так что числа из класса 0, т. е. ...—га, 0, га, 2raf \
Зга попадают в нулевую точку, числа ...—га+1, '
1, га + 1* 2га+1, Зга+1, ... совмещаются со следующей
«целочисленной» точкой окружности -—1 и т. д. При
70

m=5 эту ситуацию можно изобразить следующим
образом:
...5,0,5,10,...
В этой схеме сравнимые между собой по модулю 5
числа попадают в одну и ту же точку числовой
окружности, а несравнимые — в разные точки окружпости.
Всякий класс вычетов вполне характеризуется любым
числом, лежащим в нем, т. е. любым своим
представителем.
Введем в Zm операцию сложения, положив по
определению [а] + [Ь] = [а+Ь]. Это определение
корректно, так как не зависит от выбора представителей
в классах [а], [Ь]. Действительно, возьмем в классах
[а] и [Ь] других представителей: я'е[а], fe'esfft]. Так
как, a'=rf(modm), b's=fc(mod m), то a'+b'*=a-{-
+ Ь(тоА /и), следовательно, of + V e [a + b] или
[а'+Ь'] = [а+Ь].
Задача 5.3. Написать таблицу сложения в Z5.
Докажем, что сложение в Zm ассоциативно:
([<i) + [b]) + [c] = [a+b] + [c] = [(a+b)+c] =
[а+(Ь+с)] = [а] + [Ь+с] = [а] + ([Ъ] + [с]).
Задача 5.4. Доказать коммутативность сложения
в Zm.
Очевидно, что Аласб 0 играет в Z%m относительно
сложения ту же роль, что и обычный нуль в
множестве целых чисел: [a]+0=[a].
Как обычно, элемент х называется
противоположным элементу а, если а-{-х=0.
Задача 5.5. Найти все пары противоположных
элементов в Z5, в Zm,
Задача 5.6. Доказать, что любое уравнение вида
a+x=b (a, b^Zm) имеет в Zm единственное решение.
Умножение в Zm определяется следующим образом:
[a]-[b] = [ab].
Задача 5.7. Доказать корректность этого
определения (т. е. независимость от выбора представителей).
77

Задача 5.8. Выписать таблицу умножения для
Задача 5.9. Доказать коммутативность,
ассоциативность умножения и дистрибутивность умножения
относительно сложения.
Относительно умножения Zm устроено несколько
хитрее, чем относительно сложения. Досмотрим,
например, на таблицу умножения в Z6:
2-3 = 0, 3-4=0.
Если мы рассмотрим Z12, то увидим, что 2-6 = 0,
4-6=0, 6-6=0, 8-6 = 0, 34=0, 38=0. Таким
образом, в Z6 и в Z\2 имеются элементы, сами не равные 0,
однако дающие в произведении 0 — совсем не так, как
для целых чисел. Элемент хфО называется делителем
нуля, если существует такой уфО, что х-у = 0.
Очевидно, что у также является делителем нуля.
Задача 5.10. Доказать, что если m — составное,
то в Zm есть делители нуля.
Элемент х такой, что а*х=*1, называется обратным
элементу я, а элемент а в этом случае называется
обратимым. Нетрудно показать, что делитель нуля но
имеет обратного. В самом деле, предположим, что х —
делитель нуля. Тогда найдется такой уфО, что я-г/ = 0.
Если х обратим, то у него есть обратный: а>а=1, или
в силу коммутативности умножения а»х=1. Но тогда
(а-х) -у=у, а- (ж-у)в«а«0«я0. В силу ассоциативности
умножения (а-х) «i/вва. (х«у), т. е. !/=0, вопреки
предположению.
Задача 5.11. Если у элемента существует
обратный, то он единствен.
Естественно теперь заняться вопросом: какие же
элементы в Zm обратимы?
Теорема 5.1. Элемент [а] обратим eZm тогда и
только тогда, когда а и тп взаимно просты.
Доказательство. В самом деле, если (а, гп)=я
= 1, то по теореме 2.1 найдутся целые х и у такие, что
ax-{-my=l, т. е. [a]*[z]=l. Обратно, если [а]
обратим, то найдется целое число х такое, что [а] • [х] = 1,
а стало быть, и такое целое число у, что ax+my=l,
т. е. (я, т) = 1.
В качестве следствия теоремы 5.1 находим, что
78

в Zm произведение обратимых элементов — спова
обрати мый элемент.
Кроме того, в* Zp (p — простое число) всякий
элемент, не равный 0, обратим.
Задача 5.12. Доказать, что в Zp (p — простое
число) любое уравнение вида a-x=b (a, b^Z9i a?=0)
имеет и притом единственное решение.
(Решение. Как это принято, обозначим элемент,
обратный элементу а, через а*. Если бы существовал
элемент х такой, что а-х=Ь, то a~lax=a~lb, т. е. х
обязательно должен быть равен а~]Ь, и совсем
очевидно, что (aa~l)b = b1 т. е. #, равный а~хЬ, является
решением данного уравнения.)
Задачи и упражнения.
5.13. Каким классам вычетов по модулю 6
принадлежат все простые числа? По модулю 30?
5.14! Найти, чему равны в Z13 сумма 7+9 и
произведение 7-9.
5.15. Найти элементы, противоположные 19 в Z2j.
5.16. Какие элементы в Z6 обратны сами себе?
5.17. Какие элементы в Z!0 являются делителями^
нуля?
5.18. Доказать, что в Zzx выполнено равенство
13+23+...+303=0.
5.19. Доказать, что 1,975+2,975+... 19751975 делится
па 1975.
5.20. Доказать, что* в Zm имеет место равенство
1"+2Л+...+(т-1)А=0 (т и к — нечетные).
§ 6. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ
Обозначим через (р(т) число целых положительных
чисел, не превосходящих т и взаимно простых с т.
Например, фA) = 1, фB) = 1, <рC)=2, фD)=2,
фE)=4, фF)=2, •.. Функция ф определена для всех
положительных целых чисел и называется функцией
Эйлера. Из определения следует, что при т>1
значение ф(^) равно числу обратимых элементов в Zm.
Докажем, что функция Эйлера мультипликативна,
т. е. что справедлива
Теорема 6.1. Если тип взаимно просты, то
ф(/7М) =ф(/п) ф(л).
79

Для доказательства расположим все целые числа от
1 до пт в виде следующей прямоугольной таблицы:
/
т+ 1
2т + 1
• • •
I {п-1)т + 1
2
т+2
2т+2
• • •
(п-1)т*2
3
т + 3
2т+3
• • •
[п-Ут+3
• • •
. . .
. . .
. . •
• • •
т
т + т п 2т
2т+ т с3т
• • •
пт
Нетрудно понять, что если в каком-то столбце стоит
число, взаимно простое с т, то и весь столбец состоит
из чисел, взаимно простых с т: элементы одного
столбца являются представителями одного и того же класса
из Zm, а этот класс обратим тогда и только тогда, когда
любой его представитель взаимно прост с т
(теорема 5.1). Таких столбцов, состоящих из взаимно простых
с т чисел, ровно ф(т). Заметим теперь, что в каждом
столбце стоит п попарно несравнимых между собой по
модулю п чисел; если im-\-k=jm-\-k (mod я), то
(/-/')msO(modn), откуда i—/sO (mod n) (см. § 4),
но поскольку 0^/, /<rc, то i—j. Среди них ср(п)
взаимно просто с п. В силу задачи 2.8 любое число а
взаимно просто'с тп тогда и только тогда, когда оно
взаимно просто и с т, и с п; поэтому в нашей таблице
ровно <р(/к)ф(к) взаимно простых с тп чисел. Теорема
доказана.
Теорема 6.1-может быть использована для
вычисления (?(т). Каждое целое т>1 представляется в виде
так что ф (т)= q,(p*i) ф (р«г) ... ф (л«*)в Следовательно,
чтобы вычислить ф(т), достаточно знать значения
4>(ра) для всех простых р.
Задача 6.1. Доказать, что <р(ри) = р'А—ра~1.
80

Задача 6.2. Доказать, что cp(m) = m{l J...
Впрочем, утверждение последней задачи можно
получить непосредственно. Для этого в ряду чисел
1, 2, ..., /ft вычеркнем все числа, делящиеся на ри
Tarn
ких чисел, очевидно, будет ~' Произведя вычеркивание
для г=1, 2, ..., ку можно было бы считать, что число
к
взаимно простых с т чисел равно т — ? — ^если бы
среди чисел, вычеркнутых при различных i, не имелось
бы одинаковых. Но такие имеются — это числа,
делящиеся одновременно на р{ и р) при Ьф]\ их должно
было быть \ » если бы не учитывались несколько
раз числа, делящиеся одновременно на три различных
простых числа ph ph pt и т. д. Поэтому
T*i upipJ &ipipipi
; piPt..-pk { -?рг ffPiPj
** PiPjPi ' Pip* ... ph)
e m i1~" 7Г; I1" Тг) • • ч1~~ 7w
Перейдем теперь к основной цели нашего
параграфа — к теореме Эйлера.
Возьмем из каждого элемента множества Zm, т. е.
из каждого класса вычетов по модулю /п, по одному
представителю: а0, ль ..., ат-\. Тогда, если а взаимно
просто с т, то [аа0], [аа{\, ..., [flflm-i] представляют
из себя все т элементов множества Zm. Действительно,
[яд*] = [яя;], ЬФи влечет аа^аа^той т), т. е.
а (а,—tfj)=0 (mod/ft). В силу взаимной простоты а и /ft
получим, что cii—а,=0 (mod /ft) и [а<] = [а,] вопреки
предположению.
81

Задача 6.3. Пусть [а\], [а2], ..., [^Ф(т)] —все те
классы вычетов по модулю т, которые являются
обратимыми элементами в Zm. Если а взаимно просто с т1
то [fl^i], ..., [a««f(w)] является множеством всех
обратимых элементов в Zm (иными словами, все aat взаимно
просты с m, aat и яя; при различных /,/ лежат в разных
классах вычетов, т. е. аа<Фаа}(то([т)).
Теорема Эйлера.Если а и т взаимно просты, то eZn
справедливо равенство
[а]ф(т) = 1
(или на языке сравнений аф(ш) = 1 (rnodm)).
Доказательство. В самом деле, пусть [flj], ...
..., [Яф<т>] —все обратимые элементы из Z,„. Тогда из
задачи 6.3 следует, что [а] [я|], ..., [а] [апт)] — все
обратимые элементы в Zmy взятые, вообще говоря, в
другом порядке. Имеем
[о\][а2] ... [<*,(«>] =
= МЫ-ММ- ...•МК»)] =
•= М*(Ж,ЫЫ...К«)].
Отсюда, сократив па [а\] [а2] ... [^(m)] (другими
словами, умножив обе части равепства на элемент,
обратный к [fli] [02] ... [я<кт)] — такой ст^ществует в силу
следствия к теореме 5.1), получим утверждение
теоремы.
Для простого р зпачеппе Ц)(р)=р—1. Потому
справедлива «малая теорема Ферма»:
Теорема 5.2.apz==a (modp).
Задача 6.4. Дать непосредственное
доказательство «малой теоремы Ферма».
Теорема Эйлера позволяет по обратимому элементу
ceZm найти его обратный:
a*<m> = l, a-u*{m)~\*=i,
т. е. а?{т)~1 г- обратный к элементу а.
В соответствии с этим решение уравнения ах=Ь%
a, fceZm, где а — обратим, представится в виде х=
eaf|m,-Ii (см. задачу 5.12).
Задача 6.5. Решить сравнение 27язз6 (mod 51)'.
(Решение. Воспользовавшись результатами § 4,
82

находим, что это сравнение эквивалентно сравнению
9я=2(шос117). Для простого р имеем ф(^)=р—1,
поэтому
*зз9,5-2(пшс117).
Далее, по модулю 17
92=13, 94з=-1, 96=92-94==-13 = 4,
98=1, 914 = 4, 915=2.
Итак, ?s=4(mod 17).)
» Задача 6.6. Найти все целочисленные решения
уравнения \5х—9у = 6.
Следующий результат, известный под названием
теоремы Вильсона, был без доказательства приведен
в книге английского математика Варинга
«Алгебраические размышления» A770) п впервые доказан Лаг-
рапжем A736—1813).
Теорема Вильсона. Если р — простое число, то
'(/?—1)! + 1 делится на р.
Доказательство. При /; = 2
утверждение'теоремы очевидно. Пусть р>2. Из рассуждений § 5
(задачи 5.11 и 5.12, теорема 5.1) следует, что для любого
элемента а из множества 1, 2, ..., р—-1 элементов Zp
существует, и притом единственный, обратный
элемент а~1 из того же множества. Предположим, что
а=а-К Тогда а2=1, а2-1 = 0, (а-1) (а+l) = 0,и
ввиду отсутствия в Zp делителей нуля либо я=1, либо
а=р—1. Таким образом, элементы 2, ..., р—2
разбиваются на пары взаимно обратных элементов,
2-3. ....(р-2) = 1,
12-3....-(р-2).(р-1)=р-1,
и потому 1-2- ... .(р—1)+1 = 0, откуда п следует
утверждение теоремы.
Задача 6.7. Если (т-т-1)!+1 делится на //г, то
m — число простое.
(Решение. Предположим, что m — число
составное, тогда его можно представить в виде m=k'l,
i<.k<m. Следовательно, к будет входить в качестве
сомножителя в произведение 1*2*3* ... • (от—1) и
83

1-2- ... • (m—1У + 1 не делится на ft. Тем более
1-2... (m—1)+1 не делится на т.)
Стало быть, установлено характеристическое
свойство простых чисел: целое положительное число т
просто в том и только в том случае, когда (л1—1)! + 1
делится на т.
Задачи и упражнения.
6.8.* Доказать, что 2j <p(rf)= иа,где суммирование
производится по всем делителям числа т.
(Решенпе. Обозначим через Аъ множество всех тех чисел
от 1 до т, которые имеют с т наибольший общий делитель б.
Очевидно, что для различных б множества Аь не
пересекаются, причем каждое целое число от 1 до т попадет в соответ
ствующее Аъ\
A,2, ...,m}= U Ль, Л6 ГМб' — 0, если 8=?б'.
Ч-гг) эл
Нетрудно понять, что в At ровно (р I _ элементов. Если б
т
пробегает все делители т, ю -г- юже будет иробигать все
делптели т:
6\т. ч / </\т
т =
Можпо привести и друюе, более формальное решение этой
задачи. Пустып— р**р*2 ... p*h. Так как делители числа т ы
имеют' вид d =р?1/'о2-. ./>Рл«гДе O^p.^at, то по теореме 6.1
2ф(«0 = 2 ф^М1...^)-
pi..-..рл v ;
- 2 ф(р?0 ф Ы')...ф(р2*).
0<Pi<ai
После перегруппировки слагаемых получаем
2 ф(^) = (фA) + ф(/>1) + ... + ф(р?,))х
d\m
х(фA) + Ф(/'г) + ...-Ьф(/>",))---.-(фA) + ФЫ-^...
— + ф (К*)) - (J + (л - *) -1- Ы -pi) + - •'•
sj

~. + (pv-pv-l))(l + (p%-l)+...
...+(рз'-^"!))-...-A + (Л-1) +
+ Ы-рк) + -.. + (р?--Рьк-1))-
6.9. Показать, что если (Ь, т) = 1, то [в], [л-f-M,
[а-\~2Ь], ..., [а+(т—1N] —различные элементы tm
(см. доказательство теоремы 6.1).
6.10. Определить остаток от деления па 7 числа
31975. ()Статок от деления на 12 числа 456654+789987+
+ 123321.
6.11. Доказать, что числа N и № оканчиваются на
одну и ту же цифру.
6.12. Доказать,, что в Zp (р — простое)
(а1 + а2+ ...+ ah)p = я? + а\ + .;;. + а\.
6.13. Доказать, что если р — простое число, не
равное 2, 3, 5, то число, записываемое (р— 1)-й единицей,
делится на р (см. Задачу 3.12).
(Указан и е. Воспользоваться теоремой Ферма.)
6.14. Доказать, что, каково бы ни было целое
положительное число га, существует число, заппсываемое
единицами и нулями, которое делится на га.
6.15. Пусть р — простое число. Доказать, что
;(р-2)!-1 —0(modp).
ЛИТЕРАТУРА
Учебники по теории чисел
1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., «Наука». 1972.
2. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. М., «Наука», 1965.
3. Чапдрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию
чисел. М., «Мир», 1974.
Книги серии «Популярные лекции по математике»
4. Воробьев Н. И. Признаки делимости. М., «Наука», 1974.
Ъ Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.,
Гостехиздат, 1ПГ>П.
6. Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. М.,
«Наука», 1969.
Я5

7. Фомин С. В. Системы счисления. М., «Наука», 1964.
Книги серии «Библиотека математического кружка»
8. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы.
М.— Л., Гостехиздат, 1952.
9. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М., «Наука», 1906.
10. Шклярский Д. О., Ченцов II. Н., Яглом И. М. Избранные
задачи и теоремы элементарной математики, ч.
1.'Арифметика и алгебоа. М., «Наука», 1976.
11. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные вадачи в
элементарном изложении. М., Гостехиздат, 1954.
Книги разной трудности
12. Берман Г. II. Число и наука о нем. М., Гостехиздат, 1960.
13. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.,
«Просвещение», 1967.
14. Серпинский В. 100 простых, но одновременно и трудных
вопросов арифметики. М., Учпедгиз, 1961.
15. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о иростых
числах. М., Физматгиз, 14N3.
16. Серпинский В. 250 задач но элементарной теории чисел. М.,
«Просвещение», 1968.
17. Шнцрельман Л. Г. Простые числа. М.—Л., Гостехиздат,
1940.
Статьи из журнала «Квант»
18. Егоров А. А. Сравнения по модулю и арифметика
остатков.— «Квант», 1970, № 5, с. 27—33. •
19. Башмаков М. И. Нравится ли вам возиться с целыми
числами.— «Квант», 1971, № 3, с. 15—20.
20. Депман И. Я. Совершенные числа.— «Квант», 1971, № 8,
с. 1—6.
21. Вагутен В. Н. Алгоритм Евклида и основпая теорема
арифметики.—«Квант», 1972, № 6, с. 30—35.
22. Гинднкнн С. Г. Дебют Гаусса.—«Квант», 1972, № 1, с. 2—11.
23. Гинднкнн С. Г. Малая теорема Ферма.— «Квант», 1972, № 10,
с, 2-9.
24. Кордемский Б. А. Так или ие так действовал Ферма?—
«Квант», 1972, № 7, с. 11—13.
25. Кудреватое Г. А. Сравнения.— «Квант», 1972, № 9, с. 16—21.
26. Бендукидзе А. Д. О простых числах.— «Квант», 1973, № 1,
с. 2-9.
27. Варнаховский А. С. Тайны совершенных чисел и
дружественных пар.— «Квант», 1973, № 10, с. 71—74.
28. Гиндикин С. Г. Золотая теорема.— «Квант», 1973, № 1,
с. 2-9.
29. Вельский А. А., Садовский Л. Е. Кольца.— «Квант», 1974,
№ 2, с. 2-7.
30. Колмогоров А. Н. Решето Эратосфена.— «Квант», 1974, № 1,"
с. 77.
31. Матиясевич Ю. В. Формулы для простых чисел,— «Квант».
1975, Ко 5, с. 5-13.
32. Башмакова И. Г. Пьор Ферма.— «Квант», 1976, № 8, с. 3—11.
33. Кириллов А. А. О иоавильных многоугольниках, функции
Эйлера и числах Ферма.— «Квант», 1977. N° 7, с. 2—9.
86

Ю. Н. МАЛЬЦЕВ
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
Цель настоящей статьп — докапать одпозначпость
разложения на простые элементы в некоторых
областях чисел, замкнутых относительно сложения и
умножения (целые гауссовы числа Z[i], i2= — 1; числа
вида л + Ьр, где d, fceZ, p3=l) и дать приложение
к. некоторым задачам теории чисел. Наиболее подробно
разбирается вопрос о разрешимости некоторых
уравнении в целых числах. Например, описываются все
целые решения уравнения
х2+т/2 =z2
п ^оказывается неразрешимость в целых числах
уравнения
я3+!/3=23.
Эти примеры являются частными случаями следующей
так называемой великой теоремы Ферма: уравнение
xn+yn~zn
не разрешимо в целых числах прп п>2. Эта
«теорема» до сих пор пе доказапа. Попытки ее решить
привели ряд выдающихся математиков (Куммер, Деде-
кинд, Кронекер) к созданию алгебраической теории
чисел.
§ 1. ОСНОВЙАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
Рассмотрим множество целых чисел Z= @, ±1,
±2, ...}. Структура этого множества относительно
умножения связана с понятием простого числа. Число
87

p^Z называется простым, если рФО, ±1 и р не имеет
делителей, не равных числам ±1, ±р. Например,
2, —11 — простые числа, а 15=3-5, 8=23 —
составные. «Простота» этих чисел объясняется следующей
так называемой основной теоремой арифметики:
Теорема 1. Каждое целое число //=й=0, ±1 обладает
представлением
п=ргр2* ... <ph
в виде произведения конечного числа простых чисел
Р\ч • • .| Рн (we обязательно различных), и это
представление однозначно с точностью до порядка
сомножителей и умножения на ±1.
При доказательстве мы будем пользоваться так
называемым принципом наименьшего числа: каждое
непустое множество неотрицательных чисел Ха7*
содержит наименьшее число.
Предложение 1.1. Пусть a, fceZ и Ь>0. Тогда
существуют целые числа с, г такие, что
a = b.c+r% (|)
где 0^r<Zb, причем числа с, г однозначно определены.
Доказательство. Пусть с — такое целое число,
что с<-у <с+ 1 и г—а—Ь'С. Тогда г^О, ?>>г, т. е.
разложение A) доказано.
Пусть также,существуют С\, Г\^Ъ такие, что
а = Ь-с^ги
Тогда* Ь\ (г—Г\), п так <как |r—ri|<6, то r=ri
U С=С\.
Предложение доказано.
Предложение 1.2. Пусть числа а, Ь взаимно
просты. Тогда существуют xQ, i/0eZ такие, что
ах0+Ьу о=1.
Доказательство. Рассмотрим множество Л/=
= {ax-\-by\x^Z, j/eZ}. Так как числа х, у пробегают
все множество Z, то М содержит положительные числа,
* Обозначение а \ Ъ означает, что а делит 6.
88

среди которых выберем наименьшее d0. Докажем, что
с?0^=1 и, так как d0^M, то для некоторых чисел
х0, J/o^Z
l = d0=ax0+byo.
Согласно предложению 1 имеем
a = d0C[+ru 0<n<d0; ft = d0c2+r2, 0<r2<d0,
следовательно, числа
г, = а—d0c=a(l~x0c,)'4-b(—y0Ci)\
r2=ft—d0c2 = a(—x0c2) + ft(l—J/oC2)
принадлежат множеству Д/. В силу минимальности d0
числа ri=r2=0 и d0|a, d0|ft, т. е. d0=l.
Предложение 1.3. Пусть р\а-Ь, где я, ft, peZ
и р — простое число. Тогда либо р\а, либо р\Ь.
Доказательство. Пусть р не делит ни а, ни ft.
Тогда числа р \\ а взаимно просты и по предложению 2
найдутся целые числа х0 и уо такие, что
p*o+aVo=l.
Умножим левую и правую части этого равенства на ft
и заметим, что р\ {px^b+aby^Si. e. p\b. Противоречие
доказывает предложение.
Следствие 1А. Пусть p\ai02.. мк), где яь ..., akeZ
и р — простое число. Тогда некоторое число аи
1 < i < ft, делится на р.
Доказательство следует из предложения 1.3.
Доказательство теоремы 1.
а) Существование разложения на
простые множители. Очевидно, что достаточно
провести доказательство для положительных чисел.
Фиксируем некоторое число /г^1 и предположим (по
индукции), что для чисел п'<п существование искомого
разложения доказано. Если п — простое число, то
доказывать нечего. В ином случае п=а'Ь, где а>1,
ft>l, и. по предположению индукции а = ргр2*..,
...-/>г, b=qr..*-q9 и а-Ъ = рг ... 'Pr-qi- ... •?,.
б) Однозначность разложения на
простые множители. Пусть п = р\-.. .-pt = qr.. ,*qri
где pi, •.., q, — простые числа. Согласно следствию 1.4
89

некоторое число qix = ± Pi, т. е. имеем равенство
Р2--. .-p. = d=g2'.. .-gr,
считая i'i = l. Доказательство следует из возможности
повторения этого процесса.
При исследовании задач теории чисел часто
рассматривают алгебраические свойства множеств,
отличных от Z, в арифметике которых теорема 1 не
справедлива. Приведем пример множества с одной (бинарной)
операцией — умножением, где существуют
неоднозначные разложения на «простые» элементы.
Пример. Пусть М — множество натуральных
чисел вида 4/с-|-1, т. е. Л/={1, 5, 9, 13, ...}. Пусть
а, Ь^М. По определению я|Ь, если существует ceil/
такое, что Ь = а-с. Элемент р^М назовем простым,
если из равенства р = а-Ь, а, 6еМ, следует р=а либо
р = Ь. Следующие числа: 21, 57, 9, 133 являются
простыми в М и 21-57 = 9-133, т. е. разложение элементов
в Л/ на простые элементы неоднозначно.
Существуют числовые множества, замкнутые
относительно сложения и умножения, арифметика которых
(как мы убедимся дальше) достойна изучения. По не
все такие множества удовлетворяют теореме 1.
Приведем пример_такого множества. Пусть Л/ =
= Z-fZy—5={а+ЬУ—5|а, Ь^Ъ). Заметим, что если
а, ре Л/, то а±^еЛ/ и а-^еМ. Далее, а|р, если
существует ч^Л/ такой, что p = a*if. Элемент л назовем
простым, если из разложения я = а-[5 следует, что а|1
либо р|1. Изучим сначала числа f&M, которые
делят 1. Пусть 7*6=1, беЛ/ и т = Д+ЬУ—5, 6 = c-fdy^5.
Полагая ч==а—ЬУ—5, 6 = с—d^—5, имеем равенства
*у-6= 1= (Y'T) (б#б). Так как числа 7*7» б-б
—натуральные, то 1 = ')сч = я2+5Ь2 и, следовательно, я = ±1,
6=0, откуда 7 = ±1- Итак, число ат^ОеЛ/ является
простым в Л/, если аф±1 и все его сомножители сов-
падают с числами ±а, ±1. Докажем, что числа 3, 7,
1±2У—5еЛ/ являются простыми в М и 3-7 =
= A+2У—5) A—2У—5). Тем самым будет отмечена
неоднозначность разложения на простые элементы
в Л/. Пусть N{a)—a-a, а^Л/. Тогда N(a-$) =
¦=iV{a)-Ar>(P) и N{a) —натуральное число.
W

1) 3 — простой элемент в М. Пусть 3=a-fJ, где
а, РееЛ/. Тогда NC) = 9 = ЛГ(а) -N($) и, так как
N(*)?=\, #((}) = 1 (иначе a=±_l_ или (J = ±l), то
/V(a)==W(|})=3. Пусть а = а+Ьу--5.:Тогда a2+5b2 = 3
и, следовательно, 6 = 0 и о2=3. Противоречие.
2) 7 — простой элемент в М. Аналогичные
рассуждения дают равенство «2+562=7, где a, 6eZ, которое
невозможно.
3) 1±2У—5 — простой элемент в М. Если
l±2i^b = a-$, то ЛГA±2У^)=21 = ЛГ(а)-ЛГ(р) ц
Лт(а-)=3 либо N(a)=7. Случаи 1), 2) опровергают
эти возможности.
§ 2. ЦЕЛЫЕ ГАУССОВЫ ЧИСЛА
Изучим подробно арифметику так называемых
целых гауссовых чисел. Пусть G = Z-f-Z/== {a-(-&/|a, beZ,
г2 = — \}. Множество G замкнуто относительно
сложения и умножения. Пусть a==a+WeG. Положим а=
= a—_bi, и норма числа а по определению есть N(a) —
= a-a=a2+b2. Легко проверить, что N(a*$)=N(a)X
XV(j}), где офеС Заметим, что a|ji (а делит.?), если
существует число *fj^G такое, что p = a*if. Элемент
eeG назовем единицей, если е|1, п, следовательно,
е делит каждый элемент из G. Элемент леС
называется простым в G, если из разложения л = а-(*
(a,peG) следует, что либо [5|1, либо а|1.
Оказывается, что для множества G справедлив
аналог теоремы 1 и в этом смысле арифметика G близка
к арифметике Z.
Предложение 2.1. Пусть aeG. Тогда
1) a<=Z=^jV(a)=a2;
2) Л'(а) = 1 ^а|1;
!0, если а = 0,
1, «глм а= ± 1, ± ?,
> 1, если а=^=0, ± 1, =ь f;
4) если N(ct) — простое число в Zy то а — простой
элемент в G,
91

Доказательство. 1) Очевидно. Докажем 2)*
Пусть а|1, т. е. для некоторого числа 0eG имеем
оф = 1 и, следовательно, N(a)N($) = 1, Лг(а) = 1.
Поэтому N(a) =а2+Ь2=1, если a=a+bi. Отсюда
следует, что а = ±1, Ь=0 либо а = 0, 6 = ±1, т. е. а =
= ±1, гЫ. Если теперь Af(a) = l, то а=±1, ±*,
и очевидно, что а|1. Так как N(a) —целое
положительное число, то 3) следует из 1) и 2).
Докажем 4). Пусть a=jJ-i(. Тогда из N(a) =
=N($)N(y) следует одно из равенств yV([J) = l либо
#(•]() =1, т. е. либо р|1, либо ч11. Предложение
доказано.
Читатель без труда покажет, что 3 — простой
элемент в G, но #C) =9 — не простое число в Z, т. е.
обращение утверждения D) неверно.
Отметим аналогию формулировок следующих
предложений с формулировками предложений из § 1.
Предложение 2.2. Пусть a, [5eG и ?=5^0.
Тогда существуют л, peG такие, что
а=л.р+р, 0^N(9)<N($).
Доказательство. Число -g- можно представить
в виде
-j = х + yl,
где х, у — рацпопальные числа. Пусть и, i?^Z такие,
1 1
что \х~- ц|^-тт-, \х — у|^—. Положим n = u+vi a
р=а—я?. Тогда р, яе6 п
IpI = ipi
• я
т. е. N(p) = |p|2<N(P) = IM2- Предложение доказано.
Например, пусть a—l+2i, [} = 3+*. Найдем я, р
такие, что а=л?+Р- Имеем
? 1 + 2/ _
0 3-j-i "~ 2 ^ 2
92

Согласно доказательству предложения 2.2 в качестве я
можно взять либо Л|= l-f-0-i=l, либо Я2 = 0-Н=г,
т. е. числа л, р определены неоднозначно.
Предложение 2.3. Пусть л — простой элемент
в G и n|a-fi. Тогда л|а либо л|[}.
Доказательство. Пусть л не делитнп а, ни р.
Тогда найдутся числа 6, p^G такие, что
а=л.6+р, 0<УУ(р) <#(л).
Рассмотрим в G подмножество М={ах-\-пу\х, yeG}.
Ясно, что реЛ/ и в М существует элемент if = a?o+
-\-луфО, норма N(y) которого минимальна.
Докажем, что #(ч) = 1. Так как N(p)<N (л),то 0<#(чХ
^N(p) <#(л). По предложению 2.2 имеем я=
= т-ч+х, где 0^Лг(х) <N(y), откуда следует, что
х = а( —тЯо)+яA—туо)^М. В силу выбора f имеем
х = 0 и я = т«7. Из простоты элемента я и неравенства
Лт(,у)<Лг(я) следует равенство Лг(^) = 1, т. е. ч|1.
Поэтому число lf,P== (аР)хо+яB/о?) делится' на я,
т. е. Tf-|J = n'|i, jieG, и Р = Я'~-, — eG.
Предложение доказано. . .
Теорема 2.4. Кыждый элемент aeG, а=т^0, ±1, ±i
имеет разложение па конечное число простых
элементов us G, причем такое разложение однозначно с
точностью до порядка сомножителей и умножения
на ±1, ±i.
Доказательство аналогично доказательству
теоремы 1.
Как мы отметили раньше, 3 — простой элемент в G.
Докажем бесконечность множества простых чисел в G.
Пусть Л1, *..., Яг — все простые числа в G. Тогда по
теореме 2.4 найдется простой делитель я числа
1+яг...'Яг, который, очевидно, отличен от всех
Яь ..., яг. Итак, в множестве G существует
бесконечное число простых элементов. Описание простых
элементов дает следующая теорема:
Теорема 2.5. Простые гауссовы числа
исчерпываются элементами следующих трех множеств:
1) е-р, где р — простое число (в Z) вида 4n-f-3
и е = ±1, ±i,
2) е.A±/), где е = ±1, ±t,
93

3) e(x+iy), г(х—гу), где х, т/>0, х — четное
число^ х2-\-у2 — простое (в 7j) число вида 4я+1; е=»
= ±1, ±/.
Для доказательства теоремы 2.5 предварительно
докажем теорему Вильсона и ее следствие.
Теорема 2.6. Пусть р — простое число (в Z). Тогда
Доказательство. Пусть яе{2, 3, ..., р—2}.
Тогда а взаимно просто ср и согласно предложению 1.2
найдется число х0^ {2, 3, ..., р—2} такое, что
р\(ах0—1). Легко видеть единственность такого числа
в множестве {2, 3, ..., р—2}. Таким образом, числа
множества {2, 3, ..., р—2} разбиваются на пары
(я, х0) такие, что axQ=\-\-pz, zeZ. Следовательно,
2-3- ... .(p-2) = l+p-z'f z'geZ.
Поэтому число (р—1)! + 1 делится на р.
Следствие 2.7.Пусть р — простое число вида 4/r-f-1.
Тогда р|(я2+1), где п=Bк)\.
Доказательство. Заметим, что р\[Dк)\-~
— B&I2]. Действительно, DЛ)!=(р—1) • (р—2) • ...
... .(р-2Л)-B&).BЛ-1). ... -2-l = p-s+[Bk)l]*,
где s^Z. По теореме 2.6 р| [1+(р—1)!].
Следовательно, р\ {п2+1).
Доказательство Теоремы 2.5. Числа a, {JeG
назовем ассоциированными, если a=[i-e, где е|1.
В этом случае пишем, что а~[$. Яспо, что если a~ji,
то Р~а, н если а~р, P~T(i то a~f. Пусть я —
простой элемент в G. Тогда N(n)=nn^Z и n\N(n). Если
N(n)=p\-P2- ... шРг, где ри ..., Рг — простые числа
в Z, то по предложению 2.3 найдется простое число pt
такое, что п\ри Обозначим р{ через р. Если n\q, где
q -г простое число, не равное р, то для некоторых
.г, i/eZ имеем p-x-\-g-y = l и д|1. Итак, я делит
единственное простое число p^Z. В этом случае N(n) \N(p)
и N(p)=p2. Следовательно, либо N(n)=p, либо
ЛГ(д)=р2 Пусть jx = .T+i/i n p = /ik-\-s, где 5=1, 2, 3.
Случай 1. р = 2. Так как я|2, 2= A+0A—О
и 1гЫ— простой элемент в G, то по теореме 2.4 я=з
= A±0е» где в 11.
Случай 2. р=4к+3. Имеем р=л-6 и р2=х2+У2,
так как сумма двух квадратов целых чисел при деле-
04

нпп па 4 не дает в остатке 3. Поэтому N(n)=N(p)
и, следовательно, iVF) = l, т. е. 6|1. Итак, л~р.
Случай 3. /? = 4/с+1. По следствию 2.7 л|(^2+1),
где п=Bк)\. Так как п\р и n2-\-l=(n+i)(n—i), то
я| (rc+i), либо jx | (n—i). Заметим, что числа л п р не
ассоциированы. Действительно, предположив
противное, получим, что либо /?| (n-j-i), либо p\(?i—/), т. е.
либо p(a+bi)=n+i, либо р(а-\-Ы)=п-~/, где я, fe^Z.
Эти равенства противоречивы, так как р не делит 1.
Поэтому N(n)<N(p) и N(n)*±*x2+y2=p. Простым
перебором единиц убеждаемся, что элементы #+**/,
x—iy не ассоциированы. Так как х2-\-у2 — нечетное
число, то одно из чисел х, у является четным.
Теорема доказана.
Отметим важпый факт, полученный прп
доказательстве случая 3.
Следствие 2.8. Простые натуральные числа вида
р = 4А;-|-1 представимы в виде су,ммы двух квадратов
целых чисел.
Теперь легко доказать усиление этого следствия.
Теорема 2.9. Натуральное число п представило в
виде суммы двух квадратов {натуральных чисел) тогда
и только тогда, когда простые сомножители вида 4&+3
числа п входят в разложение числа в четных степенях.
- Доказательство. Пусть п=х2-\-у2 и a=x-\-yi.
Тогда n=N(a). Рассмотрим разложение числа а на
простые элементы Л1, ..., л,?:
а=Я1 • Л2* • • • • Jtr.
Выделим те простые элементы ль нормы которых
N (л1) =* Pi — простые числа. Понятно, что Чр,-=4А%+
+ 1, 2. Остальные простые элементы обозначим через
л1. Тогда jV (я*) *=» q*f где д< — тоже простое число
(см. доказательство теоремы 2.7). Следовательно,
п = N (а) = N (л^ ... N (л г) = рх ... q\ .... Докажем
h. h *}\L Oil
обратное утверждение. Пустьп = pi ... p8*q\ ... qr r,
где р\, ..., pr -— простые числа вида 4/c-J-l, 2, a (/i, ...
#.., gr — простые числа вида 4/c+3; ku и^Ъ.
Рассмотрим целое гауссово число a = ail ...ase x
X?i! •••grUri гДе <*<eG u N{at)=pu i=l, ..., 5 (это
95

возможно в силу теоремы 2.7), откуда следует, что
N(a)=n, т. е. п представимо в виде х2-\-у2, где а=.
s=zx-\-yi. Теорема доказана.
Применим доказанные результаты к решению дио-
фантовых уравнений.
Пример 1. Рассмотрим днофантово уравнение
где я, у^Ъ, 2>0„ х, у — взаимно простые числа, т. е.
наибольший общий делитель (х, у) = 1. Имеем
(x+yi) (x—yi)=z\ Пусть а —простой делитель этих
чисел в G. Тогда а|2.г и а\2у. Следовательно, а|2,
и если а не делит 1, то а~1~Н. Если a=l+i, то для
некоторых a, 6eZ имеем A+0 (а+60 =x+yi и
{/-—#=26, х-\-у = 2а, т. е. числа х, у — нечетные и 2 —
четное. Поэтому 4|ze и х2-\-у2=4и-\-2 — противоречие.
Итак, а=1 (или а|1). По теореме 2.7
x+yi—z(a-\-bi)\ х—/yi=e/(a—bi)% 2 = а2+62,
где ее'= 1.
В частности, пусть 5=2. Тогда x = a2—b2, y = 2ab,
z = a?+b2. Тем самым описаны взаимно простые
решения хорошо известного уравнения
x2+y2 = z2.
Пример 2. Уравнение y2+A=zz имеет
единственные решения в натуральных числах # = 2, 2 = 2; у=11,
2 = 5.
Действительно, считая у нечетным числом, имеем
B+1/0 B-yi)=z\
п если простой элемент дЕб делит 2-\-yi и 2—yi, то
л|2, т. е. л ~A+0- Поэтому для некоторых w, u^Z
имеем A+0 (u-\-vi) =2-\-yi, откуда следует, что
u—y=2, u+v=y и у — четное число. Итак, числа
2+н/, 2—iy взаимно просты. По теореме 2.7 2+#?=
= (a+fe03 И 2 = а3—Зяб2, так что a=2, 6=1, 2=5,
у=11 или а= —1, 6=1, 2 = 2, г/ = 2. Пусть теперь
у = 2у\ — четное число. Тогда 2 = 22i и j/i + l = 2zi, j/j—
нечетное число. Заметим, далее, что (*/i+0 (t/i—О =*
¦=A+0. Поэтому
1+^1= A+0 («+&03, l=(a+6)(a2-4a6 + 62),
96

т. е. я —±1, Ь = 0 пли а = 0, Ь=±1 и y=z = 2.
Подобные примеры можно продолжить.
Предоставим читателю следующее упражнение: доказать, что
уравнение у2+2=х3 имеет единственные целые реше-
ния_?*=3, у = ±5. (Указапие: рассмотреть множество
Z(y-2) = {a+&y^2|a, 6geZ}).
§ 3. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ ВИДА а + Ьр,
ГДЕ р - КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ ИЗ ЕДИНИЦЫ,
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ
НЕРАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ *3+?/3 = *s
В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
В предыдущем параграфе мы, используя
арифметику целых гауссовых чисел, нашли все взаимно простые
целые решения уравнения
x2+y2=z2.
Вопрос о неразрешимости уравнения
xn+yn*=zn, п>2,
в целых числах (проблема Ферма) тесно связап с
алгебраической структурой множества Z[g], где ?п=1.
Проиллюстрируем это для /г=3.
Итак, пусть *S=Z+Zp1 где р = —г}—Ь — h i2=—-1.
р3= 1. Числами .1, р, р2= — 1—р исчерпываются корни
уравнения л:3—1 = 0. Заметим, далее, что множество S
замкнуто относительно сложепия и умпожения..
Поэтому аналогично предыдущим определениям введем
определения. Пусть a, p, eeS.
1) a|(J (а делит (i), если существует y^S такой,
что p = a«if.
2) е называется единицей, если е|1.
3) а и р называются ассоциированными, если для
пекоторой единицы ceS справедливо равенство <х=
4) Элемент ле? называется простым, если я не
имеет делителей, отличных от л и единиц. Модуль
комплексного числа a-f-6-p равен 72VBa—bJ+3b2.
4 3aia.i ^l 77?
97

Назовем нормой числа rx-=a \ Ь-р полое число N(a)=$
=з |а|2=74Bа—6J+3-6^J. Легко . проверить
мультипликативность нормы: для любых a, $^S
справедливо равенство N (а- $) =N (a) N ($).
Лемма 3.1. Элемент t^.S является единицей тогда
и только /тогда, когда е = ±1, ±p, rhp2.
Доказательство^ Ясно, что числа ±1, ±р, ±р*
делят число 1. Пусть ell. Тогда для некоторого е'е*?
имеем равенство е«е — 1, и, следовательно, /V(e)K
XiV(e/) = l, т. е. Лг(е) = 1. Пусть е = а+6р. Тогда
Bа—ЬJ+362=4 и имеет место одип из следующих
случаен:
2а-Ь = ±2, ft = 0, *
2а—6 — ±1, 6 = 1,
В первом случае а—±1, во втором а=р, t+p=—р2,
в третьем а=— р, р2== — 1—р.
Если a==p-if, то Лг(а) :^Л7([}), и, следовательно,
аналогично целым гауссовым числам можно доказать,
что каждый элемент из S представляется в виде
конечного произведения простых элементов.
Единственность такого разложения основывается па
следующей лемме.
Лемма 3.2. Пусть я: — простой элемент в S и п не
делит а. Тогда существуют ^ feS такие, что
аE+лч = 1.
Доказательство. Рассмотрим множество А/ =
= {<хх+пу\ху y^S}. Пусть е0 — элемент множества М
с минимальной нормой №(го)фО. Покажем, что е0—
единица. Рассмотрим числа а±ео, а±рео, а±:р2еэ.
Среди них существует хотя бы одно, имеющее нормуг
строго меньшую, чем N(a). Действительно, N(a)^
^N(eq) и среди векторов ±ео, ±рео, ±р2е0 на комгь
лексной плоскости существует, по крайней мере, один,
имеющий с вектором a jrnwi, заключенный между
уия, Обозначим этот вектор, через 6. Тогда (см.^
рисунок)/ 0<Ф<-~ и /V(a+6) = |a|2+|6|2~2|a|>C
X | б I cos ф < | а |2, т. е. N(a+8)<N{a).
98

Пусть ai = a+fi. Если
!V(ai)^^V(eo),To,
рассуждая аналогично, получим,
wo ЛГ(а|+«|) <#(а,).
Гак какN(a),N(a\),...—
целые положительные чи-
Ьла, то в результате
поучим число a+7'€о такое,
wo W(a-Heo) < N(e0).
Гак как а+Кво^Д/, то а+Тео=0, т. е. е0|а.
Аналогично докажем, что ео|я, так что либо ео|1, либо я|а.
Последнее невозможно. Лемма доказана.
Теперь, чтобы доказать единственность разложения
ia простые множители, мы должны дословно повторить
рассуждения предыдущего параграфа.
Теорема 3.3. Уравнение
*3+y3+z3=0 A)
Це разрешимо в множестве S.
Как следствие этой теоремы получаем теорему Фер-
ма для третьих степеней, т. е. имеем неразрешимость
1 целых числах уравнения
Заметим, что, исследуя на разрешимости
уравнение A), можно считать #, у, z — попарно взаимно
простыми числами (в S). Действительно, если л\х и п\у,
Причем я — простой элемент, то в силу однозначности
раздожения на простые множители n\z. Так как
рг=ях1, у=пу\, z = nzx и N(x\)<N(x), N(y{)<:N(y),
ft(z\)<N(z), то хи У\, Z\ являются решениями
уравнения A) с меньшими нормами. Продолжая этот
процесс, получим попарно взаимно простые решения.
Пусть d=l—р.
Лемма 3.4. Пусть ае?. Тогда
1) d—простой элемент в S и 3= A—р) A—p2)f
2) одно из чисел а, а+1, а—1 делится на d,
*3) если dl(a-l), то d4l(a3-l), .
4) если d\ (а+1), то d4ja3+l.
Доказательство. Заметим, что iV( 1—р) =
B=/V(l^p2)=3 и если d=p^, то 3=N(d)=Ntf)N(>t)
9J

п либо р|1, либо -у11, т. е. й- простой элемент. Бса
а=а+6р, то
N{a) =a2-ab+b2, N(a+1) =N(a) + Bа+1-6),
ЛГ(а-1) =#(а) + (-2a+l+ft)
п, как легко показать, одно из этих чисел делится на
т. е. одно из чисел а, а+1, а—1 делится на d. ДокЩ
жем 3). Пусть а—1 —p-d. Тогда
a3-l=(a-l)(a-p)(a-p2)=d-p(dp+l-p)X
Х(^+1-р2)=<ЭД+1)(Ж+Р)
(Р+Ц-р)-(р-р»)=0, d|[(p-p»)_(p_l)].
Поэтому одно из чисел р, р + 1, р+1+р делится на a
4) доказывается аналогично.
Итак, пусть существуют взаимно простые решенад
хч У, z уравнения A). Согласно лемме 3.4, если d щ
делит ни одного из х, у, z, то d4| (±1±1±1), т. a
d4|(±l) либо d4[(±3). Последнее невозможно, та|
как ^(d4)=34>^(±3)=9. Пусть d\z и z = zrdn, гд|
d не делит z\. Тогда
*3+r/3+e-d3"z?=0, B|
где е = 1. Покажем невозможность последнего равен!
ства, даже если е — произвольная единица множестве
S. При этом будем пользоваться схемой доказательсц
ва из [2].
Лемма 3.5, Если уравнение B) разрешимо в 5, ri
и>2.
Доказательство. Так как d не делит ни одной*
из х, у, z\, то d\(xz-\-y3) и, следовательно, но лемм^
3.4 d|(±l±l). Последнее возможно, если d\(x—i\
и d\(y+i). В этом случае d4|(r*—1), d4\(if+l)
d?|e.</3n-2i, так что 4^'Зп и /г>2.
Лемма3.6.х-±±, Ч^> X^P-^S.
Доказательство. Действительно,
и если^^еЯ, то
100

-7- -—5 »ei» —— 1 A + р)уел.
Так как одно из чисел # + */, #+PJ/, х+р2у делится на
it, то лемма доказана.
п х ~\-у я + р*/ х + Р2и
Заметим, что среди чисел —j^'» —т1-^» —т~~-
никакие два не делятся на d, так как их попарные разности
Ьавны числам у, A + р)у, р#, пе делящимся на d.
В силу равенства
Р//Ч01-1) -3 _ * + ?/ * — Р.У * + Р2//
имеем, что число ~j^ делится на d3(n~n. Случаи, ког-
,3(/i_i) I х + pw i3(w—1) 1-я + P2*V. ^
да d к —^ или сГ } | 'у ^ разбираются
аналогично. Итак
x-\-y=-d'n~ *u, х-\~ ру — d-v, х -\- p2y — d»w,
— 82i = U'VW. C)
При этом числа щ у, w^S попарно взаимно просты.
Действительно, каждый простой делитель я
какой-нибудь пары этих чисел являлся бы делителем разности
левых частей равенств C), т. е. делит либо dy, либо
A—р2)*/, либо рA—р)у. Но n?=d, поэтому п\у, т. е.
п\х. Это противоречит взаимной простоте х и у.
Следовательно, каждое из чисел щ и, w ассоциировано с
кубом некоторого числа из*? : u = u\>et1 v = v\'S2, w =
=м>1#в8, где ei, 82, ез — единицы в S.
Имеем
* + У = e^d371"-^?, х + РУ = e2duu х + р2у = e2dw\,
№.
где ии i>i» ы>1 — попарно взаимно простые числа и d
не делит ни одного из них. В силу равенства 1+р+р2=
= 0 сумма левых частей D), умноженная
соответственно на 1, р, р2, равйа
0 = е^3п~2.и\ + pe2Jv* + p2e3dwl,
101

откуда следует, что
v\ + г'ш] + e"<fn-*u] = О,
где е' =* р--2-! е"=р2- -*— единицы в 5. Покажем, чт!
е'«=±1. Иначе е/=±р, ±р2,и,так как сРК^+е'ю?)
то по лемме 3.4 d3| (±1±р2). Последнее отношение
очевидно, невозможно. Противоречие доказывает раф
решимость в S уравнения
x3+I/3+c-d3(n-IJ3=0,
где #, у, z — попарно взаимно простые числа, не деля
щиеся на d. Итак, исходя из равенства B), мы полз
чили равенство E). Предполагая в равенстве B)
минимальным числом ^2, получим противоречш
Теорема 3.3. доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М., «Наука»
1964.
2. Шнирельман Л. Г. Простые числа. М.— Л., Гостехиздат, 1940

Л. Я. САВЕЛЬЕВ
ЛЕКЦИИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Сколько элементов в даппом множестве?
К этому вопросу сводится большое количество
самых разных задач:
Сколько слагаемых в сумме, представляющей
степень бинома?
Сколькими способами можно выбрать определенное
количество из имеющихся предметов?
Сколькими способами могут распределиться
частицы но областям фазового пространства?
Сколько ганлоидпых наборов может образоваться
из данного диплоидного набора хромосом?
Комбинаторика изучает способы подсчета числа
элементов множества. Она формулирует правила
подсчета для некоторых простых множеств. Удачное
использование этих правил позволяет подсчитывать
число элементов в более сложных множествах.
Появление мощных вычислительных машин резко
увеличило возможности комбинаторики и расширило
ее приложения. Комбинаторные методы применяются
сейчас в теории вероятностей, статистике, экономике,
теории игр, физике, химии, биологии и многих других
областях науки, техники и производства.
Лекции посвящены классическим задачам
комбинаторики о числе перестановок, выборок, размещений и
разбиений. Рассматриваются, в частности,
перестановки и выборки с повторениями. Обсуждаются правила
сложения и умножения для числа элементов.
Отдельная лекция посвящена биномиальной и
полиномиальной формулам. Подробно описывается принцип
индукции, на который опираются доказательства некоторых
предложений.
103

В лекциях используется язык теории множеств.
Каждая лекЦия начинается примерами и
заканчивается задачами, пояеняющими ео содержание. Часть из
них дает представление о простейших приложениях
комбинаторики в физике и биологии.
Лекции рассчитаны на школьников, учителей,
студентов и преподавателей педагогических институтов.
Лекция 1.
ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ II УМНОЖЕНИЯ
В этой лекции описывается математический язык,
используемый для определения понятий перестановки,
выборки, размещения, разбиения и формулировки
связанных с ними задач.
Рассматривается принцип индукции, который ис-
пбйьзуется при доказательстве многих математических
предложений.
Правила сложения и умпожения играют большую
роль, в комбинаторике и имеют разнообразные
приложения. Правило сложения формулируется в лекции
как аксиома. При помощи принципа индукции из него
выводится общее цравило сложения для нескольких
множеств. Правило умножения получается как
следствие общего правила сложения.
0.1. Множества и отображения
Язык теории мпожеств очень удобен и широко ис-
цользуется в различных областях математики.
1.0.1. Множества
Представление о понятии множество
вырабатывается у каждого человека с раннего детства. Он постоянно
сталкивается с различными множествами людей,
животных или вещей: родственников, домашних
животных, игрушек.
Каждое непустое множество А составлено из
некоторых элементов а, &, с, ...
10 i

Пример 1. Множество L букв латинского
алфавита составлено из элементов а, 6, с, d, e, /, g, h% i% /,
ft, /, m, л, о, р, д, г, s, t, и, и, w, х, у, г.
Пример 2. Множество F цифр составлено из
элементов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Пример 3. Множество X решений квадратного
уравнения х2—1=0 составлено из элементов —1, +1.
То, что множество А составлено из элементов
я, 6, с, ..., выражается равенством Л = {а, 6, с, ...}.
Например, F={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Рассматривается также пустое множество О, не
имеющее элементов.
Пример 4. Множество вещественных решений
квадратного уравнения #2+1 = 0 является пустым
множеством.
Тот факт, что элемент а принадлежит множеству Ау
выражается символом аеЛ, отрицание этого факта —
символом а Ф А.
Пример 5. aeL, а & F, \<?L, i^F.
Множество A [J В, составленное из всех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из
множеств А или Z?, называется их объединением.
Пример 6. {0, 2, 4,6, 8} U {1.3,5, 7, 9} = F, {1} (J
U@,1} = {0,1}, {1,2,3} U {2,3,4} = {1,2,3,4}.
Пример 7. Объединением множеств Л = {1} и
5={0; 1} решений квадратных уравнений х2—2я+
+ 1 = 0 и х2—х=0 является множество A (J В = {0, 1}
решений уравнения (х2—х) (х2—2#+1) =0.
Множество ^П^ составленное из всех элементов,
которые принадлежат каждому из множеств А в. В,
называется их пересечением.
Пример 8.{О,2,4,6,8>П{1.3,5,7,9} = 0, {1} f)
П<0,1} - {1}, {1,2,3} П {2,3,4) = B,3}.
Пример 9. Пересечением множеств Л = {1} и
Д= {0, 1} решений квадратных уравнений х2—2я+
+1=0 и я2—я=0 является множество A f] В = {1}
решений составленной из них системы.
Если пересечение множеств А и В пусто, то
говорят, что они не пересекаются. Объединение
непересекающихся множеств А я В называют их суммой и
обозначают символом А-\-В. Пересечение множеств А и В
обозначается также символом АВЩ
105

Пример 10. {0, 2, 4, 6, 8} + {1, 3, 5, 7, 9} =* F,
{0,2, 4, 6, 8}. {1,3, 5,7,9} =0.
Каждое множество Л, составленное из некоторых
элементов множества В, называется его частью.
Говорят также, что множество А содержится в
множестве В, и пишут А^В. Если А не содержится в В, то
пишут А (? В.
Призер 11. {1}е{0,1}, {1,2, Я}?{2,3,4}.
Часть В—Л, составленная из всех элементов
множества В, не принадлежащих его части Л, называется
ее дополнением до множества В.
Пример 12. F- {0, 2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7, 9},
{0, 1}-{1} = {0}, {1, 2, 3}-{2, 3} = {1}.
Алгебраические операции с множествами, как и
операции с числами, обладают свойствами
ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности:
(А+В)+С=А + (В+С), А+В = В+Л,
(А+В).С=А.С+В'С.
Кроме того, операции с множествами обладают и
некоторыми особыми свойствами.
2.0.1. Отображения
Понятие отображения связано с интуитивно ясным
понятием образа. В жизни на каждом шагу
приходится людей, животных или вещи заменять некоторыми
их образами: фотографиями, рисунками, описаниями,
звуками.
Если для каждого элемента х множества А
определен в качестве образа элемент у множества В, то
говорят, что А отображено в В.
Пример 1. Равенство у=л:2 определяет
отображение множества А всех вещественных чисел в
множество В положительных чисел.
В определении отображения существенно, что для
каждого элемента х множества А определен
единственный образ у из В.
Отображения обозначаются буквами /,?,&,...•
Образ у элемента х при отображении / обозначается
символом f(x). Отображения'называются также
функциями, а образы — значениями.
106

Пример 2. Для квадратичной функции / верны
равенства/@)=0,/A) = 1,/B)=4,/C)=9,/(-1) = 1.
Бели каждый элемент множества В является
образом некоторого элемента множества Л, то говорят, что
множество Л отображается на множество В.
Пример 3. Квадратичная функция отображает
множество всех вещественных чисел на множество
положительных чисел.
Если каждые два различные элемента имеют
различные образы, то отображение называют взаимно од-
позначным.
Пример 4. Квадратичное отображение
множества отрицательных чисел на множество положительных
чисел взаимно однозначно. Квадратичное отображение
множества положительных чисел на себя взаимно
однозначно. Квадратичное отображение множества всех
вещественных чисел на множество положительных не
взаимно однозначно: ( —1J=( + 1J=1.
Взаимно однозначное отображение множества Л на
множество В называется изоморфизмом.
Пример 5. Квадратичные отображения
множества отрицательных чисел на множество положительных
чисел и множества положительных чисел на себя
являются изоморфизмами.
Изоморфизм множества Л на множество В
называется также подстановкой вместо Л множества В.
Пример 6. Таблица определяет подстановку
вместо букв латинского алфавита их номеров:
аЬcde... х у г
12 34 5... 2425 26*
Изоморфизм множества Л на себя называется
автоморфизмом или перестановкой.
Пример 7. Таблицы определяют перестановки
цифр:
х 10123456789 х 10123456789
${х)\012 34 56 7 8 9' % (х)\ 987 6 543 2 10*
(Перестановка s называется тождественной.)"
Пример 8. Таблицы определяют перестановки
букв:
X
Ты
107

abc\ /abc\ fabc\ (abc\ labc\ labc\
a be)' \aeb)f [cab/* [bca)y \c Ь a)' [b a c)9
В этих таблицах под каждой буквой помещен ее
образ. Нетрудно проверить, что таблицы примера 8
описывают все возможные перестановки множества
А={а, 6, с}.
Если существует изоморфизм конечного
множества А на конечное множество В, то эти множества
имеют одинаковое число элементов. Обратно: если
конечные множества А и В имеют одинаковое число
элементов, то существует изоморфизм А на В.
Пример 9. Мпожества А = {а, Ь, с}, В={1, 2, 5}
изоморфны и имеют одинаковое число элементов:
п(А)=п(В)=3.
Пример 10. Множества А= {Л, ?}, В={1, 2}
изоморфны и имеют одинаковое число элементов:
л(Л)=и(В)=2.
Множество f~l(y) всех элементов из А, образом
которых является элемент у из В, называется
прообразом этого элемента.
Пример 11. Для квадратичной функции / верны
равенства /-*@) = {0}, /-i(i) = {_i, Ц.
Пример 12. Если / изоморфизм А на В, то
прообраз каждого элемента у множества В состоит из
некоторого единственного элемента # множества А;
fl(y) = {*}-
*Ч Отображение множества А в множество В
называется семейством элементов из В с индексами из А.
Пример 13. Каждое семейство b0l bu fc2, ...
элементов из В с индексами из множества натуральных
чисел N— {0,1,2,...} называется последовательностью
элементов множества В.
Пример 14. Рассмотрим множества А = {1, 2} и
В={0, 1, 2, 3}. Среди семейств #i, х% элементов из В
с индексами из А существуют такие, сумма значений
которых равна трем. Эти семейства называют
решениями уравнения #1+^2=3. Их четыре: #i = 0, #2=3;
#i = l, #2=2; #i=2, #2=1; #1 = 3, #2=0.
Замечание. Семейство пе нужно смешивать
с множеством его значений. Различные семейства
могут иметь одинаковые множества значений. В
примере 14 первое и четвертое семейства имеют одно и то же
мпожество значений {0, 3}, а второе и третье— {1, 2}.
108

1.1. Принцип индукции
Принцип индукции можно принять в качестве
аксиомы. Этот принцип представляется интуитивно
ясным чи выражает одно из основных свойств
упорядоченного множества
N= {0, 1,2,..., л, л+1, ...}
натуральных чисел.
1.1.1. Формулировка принципа индукции
Рассмотрим произвольную часть М множества N.
Прпнцип индукции можно сформулировать следующим
о'бразом.
Если 1) число О принадлежит множеству М\
2) для каждого натурального числа п из того, что п
принадлежит множеству Л/, следует, что число тг+1
принадлежит М,
то множество М равно N.
Используя сокращенную логическую спмволику,
можно записать принцип индукции в форме, которая
легко запоминается.
Принцип индукции. Если 1) 0<=Л/, 2) п^М=>п+
+1е=ДГ,
то M=N.
Используя интуицию, можно пояснить принцип
индукции следующим рассуждением. По условию 1
число 0 принадлежит множеству М. По условию 2 отсюда
следует, что число' 1 принадлежит М. Значит, по
этому же условию число 2 принадлежит М. И так далее.
Все натуральные числа принадлежат множеству М.
2.1.1. Формула суммы
арифметической прогрессии
Докажем, используя припцип индукции, формулу
для суммы п первых члепов арифметической
прогрессии с /с-м членом a-\-bk:
2 (a-\-bh) = an + b{-Z=^ A)
0</<<п
для произвольных а, Ь и натурального числа п.
109

Для того чтобы доказать равенство A), достаточно
доказать равенство ^
2 ft = <^-n B)
для каждого натурального числа п.
Если п=0, то суммы в левых частях равенств A)
и B) по определению равны 0.
Рассмотрим множество М всех натуральных
чисел т, для которых верно равенство
V к = {^1^. C)
0<ft<m
1). Число 0 принадлежит множеству Л/ @<=3f),
гак как при т=0 равенство C) эквивалентно
равенству 0=0.
2). Для каждого натурального числа п из того, что
п принадлежит множеству Л/, следует, что число я+1
принадлежит М (п^М => п-\-\^М).
В самом деле, для каждого натурального числа п
верно равенство
S * = 2 к Л-п. D)
0<Л<п-И 0<Л<п
Если число п принадлежит множеству М, то для него
верно равенство B) и из равенств B) и D) следуют
равенства
2 („-!)„ [(„ 4-1) -Ц(|, + 1) /I (л + 1)
К 2 + " 2 ^ 2
0<А<п+1
Из этих равенств вытекает, что число я+1
принадлежит Л/.
Таким образом, условия 1 и 2" принципа индукции
выполнены, и, следовательно, множество М совпадает
с множеством N всех натуральных чисел. Значит,
равенство B) верно для каждого натурального числа //.
3.1.1. «Теорема» о равенстве
*всех натуральных чисел
Для того чтобы подчеркнуть важность тщательной
проверки каждого из условий 1 и 2 принципа
индукции, рассмотрим известный софизм.
110

«Теорема». Все натуральные числа равпы.
«Доказательство» 1. Достаточно доказать,
что каждое натуральное число I больше каждого
натурального числа к или равно ему: 1^к. Отсюда следует,
что для каждых натуральных чисел п и т верны
неравенства п^т, т^п и, значит, п=т.
Рассмотрим множество М всех натуральных
чисел т, больших или равных к.
1. Если &=0, то Ое=Л#.
2. Для каждого натурального числа п из /геЛ/
следует n+i^M: если п^к, то тем более л+1^к.
По принципу индукции отсюда «следует», что
A/ = N, и все натуральные числа больше числа к или
равны ему.
Замечание. Условие 1 принципа индукции
выполнено для /с=0. В этом случае верно и высказанное
утверждение о числе к. Если &>0, то число 0 не
принадлежит множеству Л/, условие 1 принципа индукции
не выполнено и применять этот принцип нельзя;
«Доказательство» 2. Определим множество М
следующим образом: произвольное натуральное число
т принадлежит мпожсству А/, если каждые /п+1
натуральных чисел равны, и не принадлежат М в
противном случае.
1. Ясно, что ОеЛ/, так как каждое натуральное
число равно самому себе.
2. Для каждого натурального числа п>0 из леЛ/
следует л+1^Л/. Действительно, предположим, что
каждые н+1>1 натуральных чисел равны.
Рассмотрим произвольные и+2>2 натуральные числа ки
&г, • • •» kn+h *n+2. По предположению, числа ки к2,...
..., кп+\ равны и числа к2, ..., &п+ь кп+2 равны. Числа
&2, ...» &П+1 принадлежат каждому из этих множеств.
Поэтому все рассматриваемые /*+2 числа, ки к2, ...
•.., &п+ь кп+2 равпы.
По принципу индукции отсюда «следует», что
Af=N и каждые и+1 натуральных чисел равны между
собой.
Замечание. Условие 2 принципа индукции
выполнено для л>0. Доказано, что если каждые два
натуральных числа равны, то и любое множество
натуральных чисел состоит из равных чисел. Если п=0,
то из п^М не следует /г+1еЛ/. Из того, что каждое
111

натуральное чпело равно самому себе, не следует, что
каждые два натуральных числа равны. Условпе 2
принципа индукции не выполнено, и применять этот
принцип нельзя.
2.1. Правила сложения и умножения
Правило сложения для двух множеств выражает
основное свойство числа элементов конечного
множества. Это правило можно принять в качестве аксиомы.
Интуитивно оно представляется очевидным.
1,2.1. Правило сложения
Условимся число элементов конечного множества А
обозначать символом п(А).
Пример 1. Число элементов пустого множеств
ва О равно пулю: п(О)=0.
Пример 2. Число элементов множества
{а},образованного единствепным элементом а, равно едиппцеЗ
п(Ы)=1.
Пример 3. Число элементов множества F =*j
= {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, составленного из цифр,
равно десяти: n(F) = 10.
Правило сложения. Число п(А-\-В) элементов сум-\
мы А-\-В не пересекающихся конечных множеств А
и В равно сумме п{А)+п(В) чисел п(А) и п(В) эле<
ментов этих множеств.
Правило сложепия можно записать коротко следукр
щим образом:
п(А + В)=п(А)+п(В) (АВ = 0).
П р и м е р 1.
п({1,2, 3, 4, 5, 6}) =«({2,4 6})+п({1, 3, 5}).
Пример 2.
>г({а, Ь, с, ..., у, z})=ra({a, e, i, о, и})+]
+n({b, c,d, ..., у, z}).
П р и м е р 3.
п({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0})?=и({0, 1, 2, 3, 4, 5})-f-
^({5,6,7,8,9}).
112

Замечание. Пример 3 показывает, что условие
rA 6 = 0 об отсутствии у множеств А и В общих
элементов существенно для правила сложеиия.
2.2.1. Общее правило сложения
Используя принцип индукции, легко вывести из
правила сложения общее правило сложения для
конечного семейства множеств.
Рассмотрим семейство (/'(#) )*ел, элементы F(x)
которого являются попарно но пересекающимися
конечными частями множества U и которое имеет
конечное множество индексов А. Условимся объединение
множеств этого семейства называть также его суммой
и обозначать символом Jj F (х).
А-6Л
Пример 1.
?/={1,2, 3,4, 5,6},
F@) = {2, 4, 0}, FA) = {1, 3, 5},
Л-{0, 1},
2 F(x)~F(Q) + F{l) = U.
«ел
Пример 2.
?/={000, 001, 010, 100, 011, 101, ПО, 111},
F@) = {000}, /<'A) = {001, 010, 100},
FB) = {011, 101, ПО}, FC) = {lil>,
Л = 40, 1,2,3},
2 F (х) = F @) + F A) -\- F B) + F C) ^ U.
д.е.4
II р п м е р 3.
?/={0, 1,2, 3,4, 5, 6. 7, 8,9};
F@) = {0, 1, 2}, F('S) = {3, 4, 5}, F(G) = {6, 7, 8};
Л = {0, 3, 6},
У *' (*) = F @) -f /• C) -г F @) - {0,1, 2,3,4,5, 6, 7, $
xe a
113

Общее правило сложения. Число nl 2j F(x)\
элементов суммы ^ F (х) попарно не пересекающихся ко~
печных множеств F(x) равно сумме ^ п (F (х)) чисел
n(F(x)) элементов этих множеств.
Рассмотрим множество М всех помсров m таких,
что общее правило сложения верно для всех семейств
(F(x))xeA попарно не пересекающихся конечных
частей F(x) мпожсства ?/, имеющих множество индеи-
сов Л, составленное из m элементов.
1. Число ОеЛ/. Это вытекает из определений. В
самом деле, если множество А имеет 0 элементов (т. е.
является пустым множеством О), то по определению
сумма 2 F(x) пустого семейства множеств (F(x))x^0
равна пустому множеству (?, а сумма 2j n U1 (х)) пу-
стого семейства чисел (n(F(x))x^0 равна числу 0.
Следовательно,
"B *»Wi@) = 0= 2 п(Г(г)).
\*еО У *ео
2. Для каждого натурального числа т, если нгеЛ/,
то т+1еЛ/. В самом деле, рассмотрим семейство
(F(x))xeB попарно не пересекающихся копечных
частей F(x) множества ?/, имеющее множество
индексов 5, составленное из /га+1 элемента. Из правила
сложения вытекает, что для каждого элемента Ь^В и
множества А = В— {Ь} остальных элементов верны
равенства
и (У, *'(*)) = и( 2 F(x) + F(b)) =
"»f S F(x)) + n(F{b)).
Множество А состоит из т элементов. Поэтому, гели
т^М1 то
"B *»)= 2 n(F(x)),
\л€Л у .хел
114

следовательтм,
»B *») = S w(F(*)) + "(F(b)) = 2 »(F(*)),•
\хев / же А зсе в
т. е. m+i^M.
Таким образом, условпя 1 и 2 принципа индукциа
выполнены, н, значит, множество М совпадает с
множеством N всех натуральных чисел. Общее правило
сложения верно.
Пример 1.
п({2, 4, 0} + {1, 3, 5})=л({2, 4, 6})+п({1, 3, 5}).
Пример 2.
п({000} + {00], 010, 100} + {011, 101, 110} + {111}) =
= п({000})+п({001, 010, 100})+n({011, 101, 110}) +
+ «({111}).
И р и мер 3.
п({0, 1, 2} + {3, 4, 5} + {6, 7, 8}) =
= «({0, 1, 2})+я({3, 4, 5})+л({6, 7, 8}).
Замечание. Пример 1 повторяет пример 1
пункта 2.2.1. Это повторение поясняет тот факт, что
правило сложения для двух множеств является частным
случаем общего правила сложения.
3.2.1. Правило умножения
Из общего правила сложения выводится правило
умножения.
Рассмотрим произвольные множества А и В.
Каждые элементы а^А и Ь^В определяют упорядоченную
пару ab. Множество всех таких пар называется
декартовым произведением множеств А, В и обозначается
символом АХВ.
Пример 1.
А=В={0, 1,\.., 9}, АХВ= {00, 01, ..., 99}.
Пример 2.
A = {a,b,...;h), B={1,2, ..., 8};
АХВ= {а\, я2, ..., А8}.
115

Пример 3.
Л={я,Ь, ...,/*}, »={1, 2, ..., 8};
ЯХЛ={1а, 2a, ..., 8h}.
Замечание. Примеры 2 и 3 показывают, что
АХВфВХА.
Правило умножения. Число п(АХВ) элементов
декартова произведения АХВ конечных множеств А и В
равно произведению п(А)*п(В) чисел п(А) и п(В)
элементов этих множеств.
Для каждого элемента х^А обозначим символом
F(x) множество всех упорядоченпых пар ху,
составленных из элемента х и произвольного элемента у^В:
F(x) = {x}XB.
Эти множества попарно не пересекаются, и число
элементов в каждом из них равно числу элементов
множества В:
n(F(x))=n(B). .
Сумма всех множеств F(x) равпа декартову
произведению АХВ множеств А и В:
2 F(x)= S (ПхВ) = АхВ.
По общему правилу сложения из сказанного
следует^ что
и(Лх?)= 2 n({x)xB) = n{A)-n(B).
Правило умножения доказано.
Пример 1.
и({0, 1, ..., 9}Х{0, 1 9}) =
= "({0, 1, ..., 9}).и({0, 1 9}).
Пример 2.
*!({*, Ъ, ..., Л}Х{1, 2, ..., 8}) =
= п({а, 6, ..., Л}) •*({!, 2, ..., 8}).
116

Пример 3.
»({0, 1}Х{0, 1} = и({0, 1})-п({0, 1}).
Упражнение. По аналогии с общим правилом
сложения сформулировать и доказать общее правило
умножения.
4.2.1. Задачи
Рассмотрим некоторые задачи, поясняющие
использование правил сложения и умножения.
Обозначим буквами А и В произвольные конечпые
множества.
Правило вычитания. п(В—А) = п(В) — п{А)
(А?В).
— По предположению, множество А является
частью множества В, значит, оно не пересекается со
своим дополнением В—А. По правилу сложения
отсюда следует, что
п(В)=п((В-А)+А)=п(В-Л)+п(А),т
откуда вытекает доказываемое равенство.
1 Пример.
л ({О, 1, ..., 9}-{0, 2, 4, 6, 8})=л({0, 1 9}) —
-и({0, 2, 4, G, 8}).
Правило объединения, п (A (J В) = п (А) + п (В) —
- п(АВ).
— Из определений объединения, пересечения и
дополнения множеств следует, что
Ли =ЛЛ-( ' — 4 ), А{В-АВ) = 0.
По правилам сложения и вычитания отсюда вытекает,
что
п (A U В) = п (А) + п (В — АВ) = п (А) + п (В) — п (АВ).
Пример.
п ({О,1,2,3,4, 5} U {5, 6,.7,8, 9}) = п ({О,1, 2, 3,4, 5}) +
+ и ({5, 6, 7, 8, 9»-л ({5».
117

8адача 1. На экзамене по математике были
предложены три задачи: одна по алгебре, одна по
геометрии, одна по тригонометрии. Из 1000 абитуриентов
задачу по алгебре решили 800, по геометрии — 700, по
тригонометрии — 600. При этом задачи по алгебре и
геометрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и
тригонометрии — 500, по геометрии и тригонометрии —
400. А 300 абитуриентов решили все задачи.
Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?
Решение. Обозначим множество всех
абитуриентов буквой U, решивших задачу по алгебре —
буквой А, по геометрии — буквой В, по тригонометрии —
С. Последовательно применяя правило объединения,
получаем:
п(А (J В (J С) = п (A U В) + /г(-С) - п((А [] В)С) -
« п (А) + п (В) - п (АВ) + п(С)-п (AC (J ВС) =
*= л (А)+п {В)+п (С)-п (АВ)-п {АС)-п (ВС)+п(АВС).
Подставляя данные в условии задачи числа, нахо-
дпм, что
п(А U В U С) = 800 + 700 + 600 -
_ 600 - 50Q - 400 + 300 = 900.
По правилу вычитания отсюда следует, что
n{U-(A\jB\JC)) = n(U) - п(А U В (J С) =•
= 1000 - 900 = 100.
Таким образом, 100 абитуриентов не решили ни
одной задачи.
Задача 2. Из 100 опрошенных студентов 24 не
изучают ни английский, ни немецкий, ни французский
языки. 48 изучали английский, 8 — английский и
немецкий, 26 — французский, 8 — французский и
английский, 13 — французский и немецкий, 28 —
немецкий.
Сколько студентов среди опрошенных изучают
английский, немецкий и французский языки)
Решение. Обозначим множество всех
опрошенных студентов буквой U, изучавших английский
язык — А, немецкий — В% французский — С.
lib

Используя правило разности, находим, что среди
опрошенных число студентов, изучавших английский,
немецкий, пли французский язык (хотя бы один из
них), равпо
и(А U В U С) - n(U) -n(U -(Л UB[JC))=>
« 100 - 24 - 76.
Из равенств, полученных при решении задачи 1,
и условий данной задачи следует, что
п {ABC) = n (A U В [J С) - п (А) - п (В) - п(С) +
+ п{АВ) + п {АС) + п {ВС) = 76 - 48 -
-28-26 + 8 + 8-1- 13 = 3.
Итак, среди опрошенных студентов английский,
немецкий и французский языки (каждый из них)
изучают 3 студента.
Задача 3. В ожесточенной драке более 70%
участников повредили глаз, 75% — ухо, 80%— руку,-
85% — ногу.
Каково наименьшее количесетво повредивших глаз,
ухо, руку и ногу!
Решение. Обозначим множество всех участников
драки буквой U. Множество участников драки,
повредивших глаз,—буквой А, повредивших ухо — В, ру-
ь*У — С, ногу — D.
Из условия задачи и правила сложения следует, что
число повредивших глаз и ухо можно оценить так:
п (АВ) = п {А) + п {В) — n(A\JB)^
Аналогично для числа повредивших глаз, ухо п руку
п(ЛВС) ='п(ЛВ) -Ь п(С) - п(АВ \JC)>
Точно так же оценивается число драчунов, которым
особенно не посчастливилось и которые повредили
119

глаз, ухо, руку и ногу:
п (ABCD) = п {ABC) + п (D) — п (ABC [j D)>
Таким образом, ответ: ^10%.
Замечание. Эту шуточную задачу придумал
Льюис Кэррол — учитель математики и автор книги
«Алиса в стране чудес».
Задача 4. Сколько трехзначных чисел делится
на пять?
Решение. Трехзначное число делится на 5, если
и только если оно оканчивается цифрой 0 пли циф-.
рой 5.
Рассмотрим множество А = {10, 11, ..., 99} всех
двузначных чисел и множество б={0; 5}. Количество
трехзначпых чисел, делящихся на 5, равно числу
элементов декартова произведения АХВ множеств А и В.
По правилу умножения
п(АХВ) =п(А)-п(В) =90-2= 180.
Следовательно, существует ровно 180 трехзначных
чисел, делящихся на 5.
3.1. Задача о числе слов
Рассмотрим задачу о числе слон, образованных из
букв данного алфавита.
1.3.1. Формулировка и решение задачи
Задачу о числе слов можно сформулировать
следующим образом.
Задача 5. Сколько слов длины а можно
образовать, используя алфавит из к букв?
Решение. Рассматривая частные случаи /г= 1,2,3
и применяя правило умножения, можно предположить,
что число таких слов равно кп. Используя принцип
индукции, нетрудно доказать это.
Рассмотрим множество М всех натуральных чисел
т, для которых число слов длины т+1*из к различных
букв равно кт+1ш
120

1. Число Ое=Л/, так как слов длины 1 из к
различных букв можно образовать к=к].
2. Для каждого натурального числа п если п^М, то
и+1еЛ/. Это следует из правила умножения.
Рассмотрим алфавит А из к различных букв и множество В
всех слов длины я-f-l из этих букв. Число всех слов
длины и+2 из к различных букв равно числу
элементов декартова произведения АХВ множеств А и В.
Если леЛ/, то п(В) =kn+l и по правилу умножения
п(АХВ)=п(А)-п(В)=к.кп+* = к<п+»+\
так что п+1еД/.
По принципу индукции из сказапного следует, что
множество М совпадает с множеством N всех
натуральных чисел. Значит, для каждых натуральных чисел
п>0 и к существует ровно кп слов длины и,
составленных из к различных букв.
Задача о числе слов часто встречается в различных
приложениях.
2.3.1. Гаплоидные наборы хромосом
Простейшая модель образования половых клеток,
или гамет, в организме связана с независимым
распределением каждой хромосомы каждой из имеющихся
в диплоидном наборе п пар по двум образующимся
гаметам. Гаплоидный набор п хромосом, попавших в
гамету, можно описать словом длины п, составленным
из 2 букв а и Ь. По доказанному таких слов
существует ровно 2\ Столько же существует гаплоидных
наборов хромосом.
В частности, дрозофила характеризуется
диплоидным набором и = 4 пар хромосом. Число гаплоидных
наборов хромосом для нее равно, следовательно, 24= 16.
Человек имеет диплоидный набор из и=23 пар
хромосом. Значит, число гаплоидных наборов для человека
равно 223=8 388 608.
Лекция 2.
ПЕРЕСТАНОВКИ
Классической задачей комбинаторики является
задача о числе перестановок, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно пере-
121

ставить п различных предметов, расположенных на п>
различных местах?
1.2. Промеры
Рассмотрим песколько примеров.
Пример 1, Сколькими способами можно
переставить три монеты 1, 2, 3 копейки, расположенные
соответственно на трех местах с номерами 1, 2, 3?
Каждую перестановку монет 1, 2, 3 копейки на
местах с номерами 1, 2, 3 можно описать перестановкой s
множества А =» {1, 2, 3}. В частности, если каждая
монета остается на своем месте, то соответствующая
перестановка является тождественной и описывается
таблицами
х |1|2[3| /1 2 3\
*B)|1|2|3| [\ 2 Sf
Если монеты 1 п 2 меняются местами, то
соответствующая перестановка описывается таблицами
* П12131 /12 3\
*(*)|2|1|3| ^2 1 ЗуГ
Вообще, если каждая монета х переставляется на
место $(х), то соответствующая перестановка
описывается таблицей, верхняя строка которой составлена
из значений х, а нижняя — из расположенных под
ними соответствующих значеиий s(x):
1 2 3W1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3\ /12 3\ /12 34
1 2 Зу' [2 1 Зу' 'ч3 2 \у [1 3 2у \2 3 \у \Ъ 1 2I
Нетрудно непосредственно проверить, что эти
таблицы описывают все возможные перестановки
множества 4 = {1, 2, 3}.
Таким образом, монеты 1, 2, 3 копейки на местах
с номерами 1, 2, 3 можно переставить
1-2.3 = 0
способами.
122

Пример 2. Сколькими способами можно
пересадить четырех гостей si-, 38, ff, 3), сидящих
соответственно на четырех местах 1, 2, 3, 4?
Каждую пересадку гбстей S&, 38, <&, 3> на местах
1, 2, 3, 4 можно описать подстановкой вместо Л«=з
= {1, 2, 3, 4} множества B={st, 9$, <в, 3>]. Если на
место х пересаживается гость s(x),to соответствующая
подстановка описывается таблицей, верхняя строка
которой составлена из значений х, а нижняя — из
расположенных под ними соответствующих значений s(x):
/1234\/1234\/1234\/1234\
\&я92>у \я&$?)у [avst&y [avs>sty
1 2 3 4 \ / 1 2 3 4 \ /123 4 \ /123 4 \
авяя>у \Фаяз)у [&$жщ [<ё>з$@ау
/12 3 4\ /12 3 4 \ /12 3 4\ /12 3 4\
\аз>ч?&у \2>&9яу \®ъаяу \s6vaay
/ 1 2 3 4 \ /123 4 \ /123 4 \ /123 4 \
\&Я2>з\ \ЛэШ>-в\ [a&sIVy [яФФ&у
/123 4\ /123 4\ /123 4\ /123 4\
\&я>яъу \Ф&я#у\2)%жъу \а>яъау
I 1 2 3 4\ / 1 2 3 4 \ /1 2 3 4\ /1 2 3" 4 \
\avs>ay [va&ssy \<&Ф&&у [&2>зв&у
Нетрудно убедиться в том, что эти таблицы
описывают все возможные подстановки вместо Л ={1,2,3,4}
множества В= {s&, Я, Ф, 2)}. Действительно, в
букву зФ отображается либо номер 1, либо номер 2, либо
номер 3, либо номер 4. В каждом из этих случаев в
остающиеся три буквы 3$, У, 2) произвольным образом
отображаются остающиеся три номера: либо 2, 3, 4,
либо 1, 3, 4, либо 1, 2, 4, либо 1, 2, 3. Соответствующие
подстановки описываются столбцами полученной
таблицы, подстановок.
Таким образом, гостей *я/, 38, *&% SD йа местах
1, 2, 3, 4 можно пересадить
6.4 = 1.2-3.4 = 24
способами.
123

Пример 3. Сколькими способами можно
переставить буквы в слове camel?
Каждую перестановку букв в слове camel можно
описать подстановкой вместо А = {1, 2, 3, 4, 5}
множества В= {с, а, т, еч /}. Если па каждое место х в слово
ставится буква s(x), то соответствующая подстановка
описывается таблицей, верхняя строка которой
составлена из значений х, а нижняя — из расположенных
под ними соответствующих значений s(x). Например,
Рассуждая по апалогии с примером 2, подсчитаем
. число всех таких подстановок. В букву а отображаехся
либо номер 1, либо номер 2, ..., либо номер 5. В
каждом из этих случаев в остающиеся четыре буквы
с, /я, е, I произвольным образом отображаются остаю-.
щиеся четыре номера: либо 2, 3, 4, 5, либо 1, 3, 4, 5, ...,
либо 1, 2, 3, 4. Из примера 2 ясно, что таких
подстановок 24.
Следовательно, буквы в слове camel можно
переставить
24-5=1-2-3-4:5=120
способами.
2.2. Формула для числа подстановок
Рассмотрим произвольные натуральное число п
и множества Л, В, состоящие каждое из п элементов.
По определению подстановкой вместо А множества В
называется взаимно однозначное отображение Л на В.
Обозначим символом S(A, В) множество всех
подстановок вместо А множества В. Число этих подстановок,
т. е. число элементов множества $(А, В), определяется
числом элементов множеств Л, В и обозначается
символом ?i\ (эн-факториал).
В частности, если п = 0 и множества Л, В пустые,
то множество S(A, В) состоит из нустой подстановки и
0! = 1.
124

Если /i=l и каждое из множеств Л, В состоит из
единственного элемента, то, очевидно, множество S(A,B)
состоит из единственной подстановки вместо элемента
из А элемента множества В. Следовательно,
1! = 1. •
Если га=2 и каждое из множеств Л, В состоит из двух
элементов:
А = {а,Ь}, B={c,d),
то множество S(Л, В) состоит из двух подстановок:
Следовательно,
2! = 1!2= 1-2 = 2.
Подсчет числа подстановок в примерах 1, 2, 3,
показывает, что
3! = 2!-3= 1-2-3, 4! = 3!-4=1-2-3-4,
5! = 4!-5=1-2-3-4-5.
Эти равенства подсказывают общую формулу для
числа подстановок. Используя общее правило
сложения и принцип индукции, нетрудно доказать, что для
каждых натурального числа дг>0, множества Л из п
элементов и множества В из /г элементов число п\ всех
подстановок вместо Л множества В равно
произведению 1- ... «/г чисел 1, ..., п.
Для и = 0 условимся символом 1- ... *п обозначать
число 1. При этом условии для каждого натурального
числа п верна
Формула для числа подстановок: и! = 1- ### •п.
— Рассмотрим множество М всех натуральных
чисел т, для которых т! = 1- ... «т, т. е. натуральных
чисел m таких, что для каждых множества Л из m
элементов и множества В из m элементов число всех
подстановок вместо Л множества В равно 1- ... *ш.
1. Натуральное число 0 принадлежит множеству Л/,
так как т! = 1 = 1- ... чп при пг = 0.
125

2. Для каждого натурального числа п верно
предложение: если п принадлежит Л/, то я+1
принадлежит М.
Действительно, рассмотрим произвольные
натуральные числа п и множества Л, В, состоящие каждое из
п+1 элементов. Рассмотрим произвольный элемент Ь
множества В. Для элемента х множества Л обозначим
символом F(x) множество всех подстановок вместо Л
множества В, при которых х отображается в 6.
Рассмотрим семейство (F(x))xmA. Множества F(x)
попарно не пересекаются, и их сумма равна множеству
$(Л, В) всех подстановок вместо А множества В. Это
вытекает непосредственно из определений. Если
подстановка s принадлежит множеству F(x) и множеству
F(y) для некоторых х и у из Л, то пз взаимной
однозначности s и равенств s(x) = b=s(y) следует
равенство х=у. Значит, при каждых различных х п у
множества F(x) и F(y) не пересекаются. Каждая
подстановка s вместо Л множества В отображает Л на В.
Следовательно, s(x) = b для некоторого хеЛ, так что
s принадлежит множеству F(x) и
%F(x) = S(A,B).
Для каждого х^А множество F(x) подстановок
вместо Л множества В, отображающих х в 6, геоморф-
но множеству S (Л -—{#}, В— {&}) всех подстановок
вместо Л — {х} множества В—{Ь}. Действительно,
каждая подстановка s^F(x) определяет подстановку
t^S(A — {я}, В— {Ь}) со значением t{y)=s(y) для
каждого у^А — {х}. Различные подстановки s из F(x)
определяют по этому правилу различные подстановки
f, и каждая подстановка t из S(Л — {х}у В— {Ь})
определяется некоторой подстановкой s из F(x).
Следовательно, правило определяет взаимно однозначное
отображение F(x) на 5(Л —{ж}, В—{6}) и эти множества
имеют одно и то же число элементов п\
Если п принадлежит множеству Л/, то и! = 1 •..,•/&.
Отсюда и пз общего правила сложения следует, что
(л + 1)! = п/ 2 F(*rt - S n(F (ж)) =*
\хеА у «ел
= п\ . (П + 1) = 1 • , . . . П • (П + 1).
126

По принципу пидукцип из доказанного вытекает,
что формула для числа подстановок верна.
Доказательство поясняет
Пример. Рассмотрим множества 4={1, 2, 3} и
В={а, Ь, с}. В этом случав
'<•>-{(?")• (!.")}• »««•*)• <¦•«»-
(/] 2 3\ /123\)
^C) = {(actj'(Ca6JJ'^({1.2},{«,c}) =
""{(«с)'(с я)/'
Первые подстановкп s множеств F определяют первые
подстановки t соответствующих множеств S, вторые —
вторые подстановки из S.
В примере 2 при b—s& множества F описываются
столбцами рассматриваемой там таблицы подстановок.
Из формулы для числа подстановок, в частности,
следует, что число всех перестановок (взаимно
однозначных отображений на себя) произвольного
множества из п элементов равно п\ = \- ... -п.
Формула для числа подстановок дает решепие
классической задачи о числе перестановок: п различных
предметов, расположенных на п различных местах,
можно переставить /г! = 1« ... *п способами.
3.2. Задачи
К задаче о числе перестановок п различных
предметов но и различным местам сводятся следующие
задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно
расположить в ряд на книжной полке пять различных книг?
Отпет: 5!== 1-^3-4-5 = 120,
127

Задача 2. Сколько сигналов можно составить,
меняя порядок семи различных флагов: красного,
синего, зеленого, желтого, коричневого, черного, белого?
Ответ: 7! = 1 • 2• 3• 4• 5• G• 7 == 50>i0.
Задача 3. Сколькими способами можно
разместить десять различных писем по десяти различным
конвертам?
Ответ: 10! = 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10=3 628 800.
Задача 4. Сколькими способами можно
расставить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы
никакие две из них не были на одной горизонтали или
вертикали?
Решение. Рассмотрим множество Л ={1,2,3,4,
5,. 6, 7, 8} номеров горизонталей и множество В =
= {я, Ь, с, d, e, /, g, h) букв, обозначающих вертикали
шахматной доски.
По условию задачи па каждой горизонтали с
номером х должна стоять ладья. Обозначим букву,
обозначающую вертикаль, на которой находится эта ладья,
символом s (х). Кроме того, по условию задачи на одной
вертикали не может быть две ладьи или больше.
Значит, буквы 5(х) различны для различных номеров х.
Следовательно, каждое расположение ладей,
удовлетворяющее условию задачи, описывается подстановкой
вместо А множества В.
Например, расположения ладей по диагоналям
доски оппсщваются подстановками
/12345678N /12345678\
yabcde / g hj \}ig f edchaj
Искомое число расположений ладей на доске равпо
числу всех подстановок вместо А множества В1 т. е.
числу
8! = 1-2-3-4-5-6-7.8 = 40 320.
4.2. Белковый код
Разложение молекул белка приводит к 20
различным аминокислотам. Молекулы нуклеиновых кислот,
содержащихся в хромосомах, составляются из 4 нуклео-
тидов: Аденина, Тимина, Гуанипа, Цитозпиа. Из этих
4 нуклеотидов можпо составить 20 различных троек:
AAA, ААТ, ААГ, ААЦ, АТТ, АТГ, АТЦ, АГГ, АГЦ,
128

АЦЦ, ТТТ, ТТГ, ТТЦ, ТГГ, ТТЦ, ТЦЦ, ГГГ, ГГЦ,
гцц, ццц
(в этих тройках не учитывается порядок нуклеотидов
и некоторые из нуклеотидов повторяются).
Между 20 аминокислотами и 20 тройками
нуклеотидов существует некоторое соответствие —
белковый код.
Задача 5. Сколькими способами каждой из
двадцати различных аминокислот можно взаимно
однозначно поставить в соответствие некоторую из
двадцати различных троек нуклеотидов'}
Ответ: 20!
Замечание. Как нетрудно проверить, число 20!
больше числа 1016. Поэтому безнадежно пытаться
раскрыть белковый код, действуя наугад. Если считать,
что на проверку каждого соответствия потребуется
всего 1 минута, то на проверку всех 20! соответствий
потребуется больше 1010 лет. Этот срок значительно
превышает предполагаемый возраст пашей солнечной
системы.
Лекция 3.
ВЫБОРКИ
Классической задачей комбинаторики является
задача о числе выборок, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать
m из п различных предметов?
1.3. Примеры
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сколькими способами можно вйбрать
две из трех монет 1, 2, 3 копейки?
Каждую выборку т = 2 из п = 3 монет 1, 2, 3
копейки можно описать частью Y множества 5 = {1,2,3},
составленной из т = 2 элементов. Если выбираются
монеты 1,2 копейки, то У= {1,2}; 1,3 копейки — У==
= {1,3}, 2,3 копейки — Y= {2, 3}. Эти части
составляют класс 0>2({1, 2, 3}) = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.
Нетрудно установить зависимость между числом
( 9 ) множеств этого класса и числом 3! перестановок
множества В={1, 2, 3}. Каждые подстановка $ вместо
5 Заказ № 779
129

Л = {1, 2} множества Y и подстановка t вместо
В—Л={3} множества В— Y оиределяют
перестановку и множества /?={!, 2, 3}:
Y
{1,2}
{1,3}
{2,3}
S
(")
(-)
(!з2)
(ii)
(-) -
*
(!)
(з)
Га)
(?)
(?) 1
и
A")
(J")
(»Э
G")
(»?)
(Jifl
В этой таблице для каждого множества Y в
соответствующих строках столбцов s и t расположены
подстановки множеств S(A, Y) и S(B—A, B—Y). Множества
F(Y)=S(Ay Y)XS(B-A, B-Y) пар этих подстановок
s, Ь не пересекаются и в сумме образуют множество,
число элементов которого равно числу всех
перестановок множества В. В соответствии с правилом
умножения число пар подстановок s, t в каждом из множеств
F(Y) равно произведению 2!-C—2)! числа всех
подстановок s из S(A, Y) па число всех подстановок t из
S(B—A, B—Y). Число множеств F(Y) равно числу
( ? [множеств Y в классе ^(О, 2, 3}). В соответствии
с правилом сложения из сказанного следует, что
|!).2.C-2>,3!; C2)=щ|^_ = 3.
Таким образом, выбрать две из трех различных
монет можно | у ) = 3 способами.
130

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать
двух из четырех гостей *я?, &, Ф, 3O
Каждую выборку т=2 из и=4 гостей зФт&^^Ф
можно описать частью Y множества Z?= {л#, $?, ®\ iZ)},
составленной из т=2 букв, обозначающих выбранных
гостей. Эти части составляют класс
^2({^, Л, У, SD}) =
= {{^, Я), {^,«г {^,0}, {Л, V}, {*,?>},{*, ЗД.
Как и в примере 1, существует зависимость между
числом ( 9 | множеств этого класса и числом 4!
перестановок множества B={st, 9&, Ф, 2)}. Каждые
подстановка s вместо А = {.я?, &} множества Y и
подстановка t вместо В—A={W, &)} множества Я—У
определяют перестановку и множества B={st, #, <ё\ SD):
у 1*1 * Я
{.*, за)
{¦*. V)
1 ia,3&\
\a за)
fa за\
[а за)
fa за\
[за a)
fa за\
[за a)
fa за\
[a v)
fa за\
[a v)
fa за\
\v a)
(a 38\
[v a)
(V 3>\
\V 3b)
(9 2>\
W 2)) !
(9 2>\
\3> 9)
(V 2>\
\38 St))
\s> за)
/V 2>\
[35 s>)
(V 2>\
\2D 3f)
fa за w 2>\
\a за <& st>)
fa за & з>\
[a за.& <&)
fa за <& 2>\
\за a <& 2>)
\fa ® 9 sd\
\\за a 2> ъ)
\fa зи v s>\
\a <& за 2>)
\fa за <& 2>\
\[a v 2> за)
\fa за <e 2>\
\\v a 38 2))
\fa 38 яг 2)\
\\v a 2) за)
: I : I : I
S* 131

Упражнение. Закончить составление таблицы.
Снова множества F(Y)=S(A, Y)XS(B—A, B—Y)
пар подстановок s, t, описываемые средними клетками
таблицы, не пересекаются и в сумме образуют
множество, число элементов которого равно числу всех
перестановок множества S. В соответствии с правилом
умножения число пар подстановок s, t в каждом из
множеств F(Y) равно произведению 2!- D—2I числа
всех подстановок s из S(Л, Y) на число всех
подстановок / из 5F—Л, В— У). Число множеств F(Y)
равно числу ( J множеств У-в классе 3*2({^, ¦#, Ф^З)}).
В соответствии с правилом сложения из сказанного
следует, что
Q). 21. D-2)!-4!, Q) = 2-TT5lL_r = 6.
Таким образом, выбрать двух из четырех различных
гостей можно [ 1=6 способами.
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать
три из пяти букв слова 'camel?
Каждую выборку т = 3 из я=5 букв с, а, т, е, I'
можно описать частью У множества В={с, а, т, еч /},
составленной из выбирающихся т=3 букв. Эти части
составляют класс
5*з({с, а, т, е, /}) = {{с,.а, т}, {с, а, е}, {с, т, в},
{а, т, е}, {с, а, /}, {с, т, /}, {а, т, /}, {с, е, /},
{а, с, /}, {ад, е, I}}.
Как и в примерах 1, 2, существует зависимость
между числом I ] множеств этого класса и числом 5!
перестановок множества В={с, а, т, е, I}. Каждые
подстановка s вместо А={с, а, пг) множества У и
подстановка t вместо б—А множества B—Y определяет
перестановку и множества В= (с, а, т, е, /};
1Я2

{с, а, е)

Множества F(Y)**S(A, Y)XS(B-A, В-У) пар
подстановок s, t, описываемые средними клетками
таблицы, не пересекаются и в сумме образуют множество,
число элементов которого равпо числу 5! всех
перестановок множества В. Число пар подстановок s, t в
каждом из множеств F(Y) равно произведению 3!-E—3)!,
а число множеств F(Y) равно числу ( ) множеств Y
в классе ^з({с, я, w, e, I}). Поэтому
(J). 31E-3I-5!,' (^-jj^-io.
Следовательно, выбрать три из пяти различных
букв можно [ ] = 10 способами.
2.3. Формула для числа выборок
Рассмотрим произвольные натуральное число п,
натуральное число т^п и множество В, составленное из
п элементов. Каждую часть У множества В,
составленную из т элементов, условимся называть выборкой
т из п элементов мпожсства В, Класс всех таких
выборок обозначим символом ^>т(В). Число этих выборок
(т. е. число множеств класса ?Рт{В)), определяется
числами л, т и ооозначается символом
О-
* В частности, если т = 0, то класс &и(В) состоит из
пустого множества и
Если m = l, то класс ЗР\{В) состоит пз элементарных
частей множества В и
о
" =г П.
Примеры 1, 2, 3 показывают, что
\2)-21C-2I* \2) = 21D-2I» \д) ~ 3115-3I*
134

Эти равенства были получены благодаря тому, что
каждая перестановка множества В эквивалентна выбору
его части Y и подстановке вместо некоторой части А
множества В этой части У, а вместо части В—А —
части B—Y. Поэтому число п\ всех перестановок
множества В равно произведению числа ( | всех рассмат-
\т)
риваемых выборок и чисел /п!, (и—т)\ всех
подстановок вместо А множества У, а вместо В—А множества
В— У. Это равенство позволяет выразить число выборок
через число перестановок. По такой схеме и
доказывается общая
" I e 2J
т/ т\> (п — т)\.
— Рассмотрим произвольное множество А класса
2РШ(В). Каждое множество Y этого класса определяет
множество
F(Y)=S(A, Y)XS(B-A,B-Y)
пар s, t подстановок s вместо А множества У и
подстановок t вместо В—А множества В—У. Рассмотрим
семейство (F (У))уе*т(В) -
Так как множества S(Ay У) попарно не
пересекаются, то множества F(Y) попарно не пересекаются.
Каждая пара подстановок s, t из каждого
множества F(Y) определяет перестановку и множества В со
значением u(x)=s(x) для каждого х^А и значением
u(x)=t(x) для каждого ieB—Л. Различные пары
подстановок s, t определяют по этому правилу
различные перестановки и. И каждая перестановка и
множества В определяется парой s, t из множества
F[u(A)], образованной сужением s на А и сужением
t на В—А перестановки и. Следовательно, данное
правило определяет изоморфизм суммы множеств F(Y)
рассматриваемого семейства на множество ?(#,#) всех
перестановок множества В и эти множества имеют одно
и то же число элементов п\.
По правилу умножения и по формуле для числа
подстановок для каждого множества У класса &т{В)
число пар подстановок s, t в множестве F(Y) равно
произведению т\ (п — т)\. По общему правилу сложе-
Формула для числа выборок*.
135

ния из сказанного следует, что
л1«и( 2 F(Y))= 2 n(F(Y))
Значит,
п
т\ {п — w)!.
О-
т\ (н — т)\
Формула для числа выборок доказана.
В частности, для каждого натурального числа п
верны равенства
ИУ_ л! _ »! ,
О 0! (и-О)! и! '
17
п)
2
1! (л —1)!
и!
"" 2! (м-2)!
G)-
п
(W-
п (л -
!
1)!
-1)
Формула для числа выборок дает решение
классической задачи о числе выборок: т из п различных
предметов можно выбрать I J = п\/т\ (п — т)\
способами.
3.3. Задачи
К задаче о числе выборок т из п различных
предметов сводятся следующие задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно выбрать
3 из 5 различных книг!
Ответ: | | = — = Ю
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать
2 из Ъ различных шаров!
Ответ: | ) =-Д- = ю
Ь/ 2!3! 1и-
136

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать
13 из 52 различных карт!
°твет;Aз)=ш1)Г = 635013559600-
Задача 4. Сколькими способами можно составить
комиссию из трех человек, выбирая их из четырех
супружеских пар так, чтобы в комиссию не входили
члены одной семьи!
Решение. Но условию задачи в комиссию
должны быть выбраны члены 3 из имеющихся 4 семей. Эти
семьи можно выбрать
^3/~3!1!~4
способами. В каждой семье избранным может быть
каждый из 2 членов семьи. По правилу умножения
отсюда следует, что из каждых 3 семей можно составить
2Х2Х2 = 23=8 комиссий, удовлетворяющих условию
задачи, а всего 4X8=32 такие комиссии.
Замечание. Комиссию, в которую входят любые
3 из имеющихся 8 человек, можно составить
способами.
4.3. Модель Ферми — Дирака
И качестве приложения формулы числа выборок
рассмотрим физическую модель Ферми — Дирака.
Рассмотрим m частиц, распределенных по п
различным областям фазового пространства. Предположим,
что частицы не отличаются друг от друга и что в
каждой области фазового пространства может находиться
не более одной частицы (т^п). Состояние
рассматриваемой системы определяется указапием областей
фазового пространства, в которых находятся частицы.
Задача 5. Сколько существует различных
состояний системы в модели Ферми — Дирака!
Ответ. I.
137

В частности, если т = 10.и /г= 100, то число
различных состояний системы равно
(ТоУ^жш-17310309456410-
Л екцпя 4.
РАЗМЕЩЕНИЯ
Классической задачей комбинаторики является
задача о числе размещений, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно
выбрать и разместить по m различным местам m из п
различных предметов!
1.4. Примеры
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сколькими способами можно выбрать
и разместить по двум местам 1, 2 две из трех монет
1, 2, 3 копейки!
Каждые такие выбор и размещение можно описать
выборкой У двух из трех элементов множества В==
= {1, 2, 3} и подстановкой s вместо множества Л =
= {1, 2} выборки У: на место х^А размещается
монета s(x)^Y. Выборки У и подстановки s составляют
первый и второй столбцы таблицы примера 1 из 1.3.
Рассматриваемые ( ^ ) == 3 выборки У образуют класс
&J(В)- Каждая выборка У определяет множество
S(Л, У) из 2! = 2 подстановок s. Всего в этих
множествах
подстановок. .
Таким образом, выбрать и разместить по 2
различным местам 2 изЗ различных монет можно 6 способами.
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать
и разместить по двум местам 1, 2 двух из четырех
гостей Ж, ®, «\ 2D!
Каждые такие выбор и размещение можно описать
138

выборкой двух из четырех элементов
множества В = {^, &, *&, 3)} и подстановкой s вместо
множества А = {\, 2} выборки У: на место яеЛ
размещается гость s(i)e7.
/4\
Рассматриваемые! л I =6выборок У образуют класа
?№) = {{&,$}, {&,<&}, {&,&}, {Я, У},
{Я, 2>), {V, &}}.
Каждая выборка У определяет множество S(A, У) из
2! = 2 подстановок s:
*M.<*.»»-{(j,i).(^i)}.
Всего в этих множествах
подстановок.
Итак, выбрать и разместить по 2 различным местам
2 из 4 различных гостей можно 12 способами.
Пример 3. Сколько трехбуквенных слов можно
составить из букв слова camel?
Составление каждого такого слова сводится к
выбору и размещению по трем местам 1, 2, 3 трех из пяти
букв с, а, т, е, /. Эти выбор и размещение можно
описать выборкой У трех из пяти элементов множества
i4 = {l, 2, 3} выборки У: на место хеЛ ставится буква
|(х)еУ.
/5\
Рассматриваемые I ^ I = 10 выборок У образуют
класс fPz(B). Каждая выборка У определяет
множество S(А, У) из 3! = 6 подстановок s. Всего в этих
множествах
5<8) = (
з)'3, = E^3Й = 5-4-3 = 60
подстановок.
139

Таким образом, из букв слова camel можно
составить 60 трехбуквенных слов.
2.4. Формула для числа размещений
Рассмотрим произвольные натуральные числа п и
т^п, множество А из т элементов и множество В из
п элементов, часть Y мпожества В, составленную из т
элементов. Каждую подстановку s вместо множества
А части Y назовем размещением множества А по
множеству В. Число всех таких размещений, т. е. число
элементов множества 2 S(A, У), определяется
числами я, т и обозначается символом п{т).
В частности, если т=0, то множество размещений
состоит из пустой подстановки и
Если т=1, то множество размещений состоит аз
подстановок элементарных частей ьцюжества В и
Примеры 1—3 показывают, что
оB) _ 31 ,B) __ 41 сC) __ 61
""C-2)!' ~"D-2)Г ~" E —3)Г
Эти равенства были получены непосредственно из
определения размещения через выборку и подстановку
но формуле для числа выборок. Используя эту
формулу, легко убедиться в том, что число п1т) размещений
множества А из т элементов по множеству В из п
элементов выражает
Формула для числа размещений:' w<w> = —^—-?.
— По данному определению размещения задача
сводится к вычислению числа элементов суммы
2 S(A, Y)
ye^>m(B)
множеств S(A, Y) подстановок вместо мпожества Л,
составленной из т элементов части Y множества В.
Так как множества S(A, Y) попарно не пересекаются,
то по общему правилу сложения
140

В последней сумме каждое из слагаемых равно т!,
(п\
а число слагаемых равно I 1. По формуле для числа
выборок отсюда следует, что
^_ п\ _ п\
т\ (л — т)\ (л— m)Y
Формула для числа размещений доказана.
Из формул для числа размещений и для числа
подстановок следует, что при т^2 число размещений
равно произведению чисел п, ..., и—/м+1:
В частности,
и«> = л(л-1), лC) = /г(гс-1)(л-2).
Формула для числа размещений дает решение
классической задачи о числе размещений: выбрать и
разместить по т различным местам т из п различных
предметов можно п{т) = п\/(п—т)\ способами.
При т=п задача о числе размещений сводится к
задаче о числе перестановок. В соответствии с этим
верно равенство
nln) = nl
3.4. Задачи
К задаче о числе размещений по т различным
местам т из п различных предметов сводятся следующие
задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно выбрать
и разместить в ряд па книжной полке 3 из 5
различных книг?
Ответ: 5(8) = 5-4-3 = 60.
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать
и разместить в ряд 2 из 5 различных шаров?
Ответ: 5B, = 5.4=20.
И(тп)
-:
141

Задача 3. Сколько существует телефонных но-
меров, состоящих из пяти различных цифр?
Ответ: 10E) = 10-9-8.7-6=30240. .
Задача 4. Сколькими способами можно
обозначить треугольник, отмечая его вершины большими
латинскими буквами?
Ответ: 26C) = 26-25-24=15600.
4.4. Статистический контроль
Контроль качества продукции обычно производят,
проверяя часть имеющихся изделий. Если доля
негодных изделий среди проверяемых велика, то продукция
бракуется, если нет — считается доброкачественной.
Иногда при проверке используется
последовательный выбор с возвращением: выбранное наугад изделие
проверяется и возвращается к остальным. В этом
случае одно и то же изделие может проверяться несколько
рае. Так выбрать m из п различных предметов можно
пт способами. Столькими же способами можно
составить слово длины т из п букв.
При последовательном выборе без возвращения ил
имеющихся п изделий наугад выбирается 1-е,
проверяется и откладывается. Из оставшихся (я—1)
изделий наугад выбирается 2-е, проверяется и
откладывается, и т. д.
Задача 5. Сколькими способами можно
последовательно и без возвращения выбрать m из п различных
изделий?
Ответ: n(m).
Просто выбрать сразу m из имеющихся п
различных изделий можно I I способами. В частности, если
т=5 и и=100, то 1005=1010;
100E) = 100.99-98-97.96=9034 502 400«9.109;
/100\ 100^5)
(б J^1^-75 287 520.
Замечание. При коптроле большой партии с
помощью последовательной проверки сравнительно малой
ее части практически безразлично, возвращается
проверяемое изделие или нет.
142

Л е к ц п я 5.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА
Знаменитая биномиальная формула Ньютона
используется в самых различных рассуждениях. Ее
естественным обобщением является часто применяемая
полиномиальная формула.
1.5. Правило симметрии
В биномиальной формуле используются числа
При действиях с ними бывает полезно
/ п \ ( п
Правило симметрии:!
г . \т) \п — т j
Это правило непосредственно следует из формулы
дли числа выборок. Оно выражает тот факт, что
каждая выборка Y каких-нибудь т из п элементов
множества В определяет свое дополнение B—Y, состоящее пз
п—т элементов.
Описательно правило симметрии означает, что
безразлично, какие пз т и п—т рассматриваемых
предметов считать выбранными, а какие — оставшимися.
В частности, в примерах 1 и 3 из 1.4 было бы удобнее
считать выбранными соответственно одну мопету и две
буквы, игравшие роль оставшихся.
2.5. Правило Паскаля
(п\
При подсчете чисел I I иногда удобпо
использовать правило, сформулированное Паскалем.
В соответствии с определением выборки как части
множества можно использовать символ для числа
выборок при каждом целом т:
О-
О ("КО),
О • (п < т).
Равенства нулю при w<0 и п<т соответствуют то-
143

му, что множество из п элементов не содержит частей
со строго отрицательным числом элементов или с
числом элементов, строго большим п.
/п + 1\ (п\. ( п >
Правило Паскаля:\ I = I 1 + 1 а
— Если т<С0, то обе части равенства Паскаля
равны нулю. Если т = 0,< то оно сводится к равенству
1 = 1+0, если m = rc+l,— то к равенству 1=0+1, если
т>/г+1, то обе части равенства Паскаля равны нулю.
Если 0<т</г+1, то, используя формулу для
числа выборок, получаем
СИ
т—\] т\(п — т)\ ' (/п — 1)!(л — т+ 1)!
—т— r-rr-i (М — 771 + 1 + 771) = —гт г-ТТТ :
/я1(и —ю+1)!х ' ' ' т!(л — w+l)l
(я + 1)! />* + !'
"w!(n + l-w)! \ m
Правило Паскаля верно и в этом случае. ч
При 0<т^п правило Паскаля выражает тот факт,
что каждая выборка т элементов из гс-f-l либо содер- :
жит некоторый данный элемент, либо нет, причем чпс- ;
ло выборок первого типа равно числу выборок т—1
элементов из п остальных, а число выборок второю
типа — числу выборок т элементов из п.
Наглядно правило Паскаля выражается
треугольником Паскаля:
На т-ом месте п-\\ строки
1 этого треугольника расио-
1 1 ложено число ( |. На-
1 2. 1 \т)
13 3 1 чальпая строка треуголь-
1 4 A f 4< 1 пика и начальное место
1 5 ю ю э 1 каждой строки считаются
нулевыми. Боковые сторо-
иы треугольника Паскаля
образованы числами 1.
А каждое т-е внутреннее число (/г+1)-й строки
@<im<in-\-l) в соответствии с правилом Паскаля
равно сумме расположенных над ним (ш—l)-ro u т-го
144

чисел я-й строки. Например, отмеченное на рисунке
равенство 10=4+6 соответствует равенству
ю-сна
Упражнение. Выписать 10-ю строку
треугольника Паскаля.
3.5. Предварительное обсуждение
формулы Ньютона
Заметим, что в строке треугольника Паскаля с но-
(п\
мером и=0, 1, 2, 3, ... число I I, стоящее на месте
И1=0,..., и, является коэффициентом при хтуп~т в
равенстве для л-й степени {х-\-у)п суммы х-\-у
произвол ьныл чисел х и у:
(х + у? ~ 1 • у -\- 1 . х: ~ (о) ^!~° + A) *1»1'
(г f J/L = 1 • Уг + 2х;/Ч 1 • х* = Q J x»i/2-° +
+О»"+(!)*¦»-•
(* + УK = 1 • </я + Зх</г + Зх'у + 1 • х* = К ) *У-0 +
+ (^v- + Q)-v-=+Q),v-«.
Эта закономерность имеет общий характер и
выявляется следующим рассуждением.
Ясно, что (х-\-у)п является полиномом n-й степени
относительно переменной х:
(*+0)"=он-»)-...-(*+?)=
i=eo^.+oiZI_+_... +am*m+.... +апх\
145

Раскрывая скобки в произведении п сумм х+уу
получить т-ю степень хт можно в тех и только тех
случаях, если в каких-либо т суммах х-\-у выбрать в
качестве множителей слагаемое х, а в остальных
(п—т) — слагаемое у. Эго можно сделать I I
способами. Следовательно,
. • • + [т] *туп- '"+••. -I- Гп) *пуп~п = уп +
+ "^ + • • • + т1(я-«I *"»""" + • • • + Л
Коэффициенты при хшуп"т в правой части составляют
н-ю строку треугольника Паскаля. .
Найденное для (х+у)п равенство является
развернутой биномиальной формулой.
4.5. Доказательство формулы Ньютона
Приведем сокращенную запись и доказательство
биномиальной формулы, основанное на правиле
Паскаля и принципе индукции.
Рассмотрим произвольные числа х, у и натуральное
число п. Условимся считать, что нулевая степень
каждого числа равна единице: z°=l для* каждого числа г
(в частности, для числа 0).
Формула Ньютона: (х + у)п = ^ f J xmyn~m.
* — Рассмотрим множество М всех натуральных
чисел /г, для которых такое равенство верно при каждых
числах х и у. *
1. Число 0 принадлежит множеству Af, так как
при п—0 обе части рассматриваемого равенства
обращаются в 1.
2. Для каждого натурального числа п верно
предложение: если дгеЛ/, то я+1еЛ/.
146

Действительно, еслп иеЛ/, то
хт уп~т =
-(*+») 2 (п) *v-m= 2 (п)
0<тп<п \W/ 0<m<n \m/
Заметим, что
(_:)-•• ц.)-0-'
Добавим к первой из полученных сумм равное нулю
слагаемое, соответствующее значению —1 индекса
суммирования. Затем изменим интервал суммирования,
перейдя снова к положительным значениям ипдекса.
Рассматриваемая сумма при этом не изменится:
2 (пУ,+у-'п= 2 ("W+v-
0<„m<n W/ -1<l<n \l )
<K/+l<n+b W + 1) "~ 1/
"V / " \^,/»+»)-т
/г
Аналогично
2 (nVrV"+,)-m=. 2 (nWn+,)-w.
Используя эти равенства и правило Паскаля,
получаем
(*+y?+i= 2 ( п ,Wn+,)-m +
+ 2 ("W'+,,-m~ -2 \( п <W"
+ fn)] ^vn+,)"m - 2 fn + 4wn+1)-w.
W/J 0<m<n+l\ w /
147

Значит, п+1еЛ/.
По принципу индукции из пунктов 1 и 2 следует,
что множество М совпадает с множеством N всех
натуральных чисел, т. е. что доказываемое равенство
верно для каждого натурального числа п и произвольных
чисел х, у.
5.5. Неравенство Бернуллп
Используя формулу Ньютона, легко доказать, что
для каждых числа с5>1 и натурального числа и>1
верно классическое
Неравенство Берну л ли: сп > \-\-n (с—1).
— По формуле Ньютона для каждого натурального
числа п и чисел х = с—-1, у=1 верны равенства
с»-(*+ i)n= 2 {п)*ш-
По условию х>0 и п^2. Следовательно, каждое
слагаемое в полученной сумме строго положительно и в
ней по меньшей мере три слагаемых. Значит,
2 f")x»>l+w.c-i-^f^x»>l + nx
и неравенство Бернуллп верно.
П р и м е p. (l + щ}ПШ > 1 + Ю00 ± > 10.
6.5. Полиномиальная формула
Естественным обобщением формулы Ньютона
является формула для степени суммы нескольких
слагаемых.
Рассмотрим произвольное натуральное число п, на*
туральное число к^2 и числа хи ..., хк. Условимся
символами wi, ..., щ обозначать произвольные
натуральные числа, в сумме равные п:
В частности, при к= 2 и хх=х, х2=у, используя
предлагаемую символику и формулу для числа выбо-
148

рок, можно записать формулу Ньютона следующим
образом;
Верна обобщающая ее
Полиномиальная формулах
(*. + ... + *>>"- 2 ^Ьгг^
— Рассмотрим множество Л/ всех натуральных
чисел ft—2 таких, что для числа ft доказываемое
равенство верно при каждых числах Х\% ..., х* в
натуральном числе п.
1. Число 0 принадлежит множеству Л/, так как при
к = 2 доказываемая формула эквивалентна формуле
Ньютона.
2. Для кажд9го натурального числа I верно
предложение: если /еЛ/, то 1+\&М.
Рассмотрим произвольное натуральное число I и
число к=/+2. Если /еМ, то, используя формулу
Ньютона, для каждых чисел Х|, ,.., хк, хк+\ и
натурального числа п получаем
(*i+...+M-***i)" =
_ У V я! т\ т% rnk n _
~~ ? ** т\ {п-т)\ /«,! ...#/iJ Xl ''' ** **+' "-
0<m<n mlt. ,тл «
Значит, /+1 = (ft+1)-2e=A/.
По принципу индукции из пунктов 1 и 2 следует,
что множество М совпадает с множеством N всех
натуральных чисел, т. е. доказываемое равенство верно для
произвольных натурального числа &^2, чисел хи ...
..., хк и натурального числа п.
149

Пример. Для каждых чисел х\, #2» ^з верны
равенства
/ , , чй 2! 2 0 0, 2! 020,
(хг + х% + *3J = 2Г0Ш *Г1*Л + 0!2Ш Г,ГЛ +
. 2! 0 0 2, 2! 110, 2! i о 1 ,
+ ШШ\ х***х* + ТТТШ *№ + ТШГП т****з +
+ OlTlTi *W*r3 = х'\ Л А + Л -Ь 2.Г!Т2 4- 2-г^з + 2х2хй.
7.5. Задачи
Используя биномиальную формулу, можно решить
следующие задачи.
Задача \. Дока-шть, что для каждого
натурального числа п верно равенство
Т.
/I СИ-
m=0 v
Решен и с.Используя формулу Ньютона для чисел
#«=^¦¦1, получаем
2"-A + 1)"» 2 L imi"~",= 2
м^-0
Задача 2. Сколько всего существует частей
множества, составленного us n элементов!
Решение. Рассмотрим множество А,
составленное из п элементов и класс У*(А) всех частей
множества А. Задача заключается в определении числа
элементов множества !?(А). Для каждого номера тп^п
рассмотрим класс fPn,(A) всех частей множества /1,
составленных из m элементов. Ясно, что множества
SPm{A) попарно не пересекаются и их объединение
равно множеству ?Р(А). Например, если Л={0, 1}, то
^о(Л) = {0},^1(Л) = {{0}, М), 02(A) = {А},
&(А) = {О,{0}, {1},Л}.
По правилу объединения, формуле для числа выборок
и равенству задачи 1 из сказанного следует, что
160

п (&(А)) - J п (Рт (А)) = ^ (!) = 2П-
Таким образом, существует ровно 2П частей
множества, составленного из п элементов.
Задача 3. Сколькими способами можно выбрать
некоторые из п различных предметов!
Решение. Число способов, которыми можно
выбрать 0, ..., /и, ..., п предметов из п различных
предметов, равно числу всех частей множества, составлепного
из п элементов, т. с. числу 2".
Задача 4. Доказать, что для каждого
натурального числа лг>0 верно равенство
™^о -т
Решение. Используй формулу Ньютона для
чисел х=~ 1 н J/=1, получасы
ж- 0 ч / т—О Х /
Задача Г). Доказать, что для каждого натурально-
го числа п>0 верны равенства
0<2т<п \2т/ 0<2т+1<н \2f7l -J- 1/
Р е ш е н и е. Обозначим рассматриваемые суммы
четных и нечетных биномиальных коэффициентов
буквами а и Ь соответственно:
а —
oom-cn \2w/ o<2m+i^« \2m + 1/
Из равенств задач 1 и 4 следует, что
a-f& = 2n, а—Ъ = 0
п, значит,
а=Ь = 2-,-2п = 2п-1.
161

Задача. 6. Сколько всего существует составлен*
ных из четного числа элементов частей множества, со*
стоящего из п элементов?
Ответ: 2п~х (и>0). Столько же существует
составленных из нечетного числа элементов частей
рассматриваемого множества.
Задача 7. Сколькими способами можно выбрать
четное число предметов из п различных предметов?
Ответ: 2п~1 (я>0). Столькими же способами
можно выбрать нечетное число предметов.
Задача 8. Какие из биномиальных
коэффициентов
(п\ (п\ (п\
I П Г '" #М Г *""' V / явЛЯЮТСЯ наибольшими?
Решение. Сравним коэффициенты для каждых
соседних номеров m и (м+1). Как нетрудно
проверить, для каждых натурального числа п и номера т<п
верны равенства
U+1//UJ
п\ / п\
(т+ 1)!(л —т — 1I /т! (л — т)\ m+V
Рассмотрим для номера т следующие три
возможных случая.
1. Если ni-\-l^n/2y то 2w-f2^/i, m+2^rc—го,
ra+l<Ot— m u *
U.)/C)=s>' (»n-i<f)....
2. Если m^n/2, то 2m^n1 m^n—my m-fl>rc-m
(.;,)/C)-sn<« (->f). »
3. Если т</г/2<т+1, то 2m<n<2m~{-2, л=
= 2w+l, m+l = rc—m и
U,)/C)-?т5- (-<x<- + «)- *>
Рассмотрим для номера дг два возможных случая.
1) Предположим, что число п четное, и рассмотрим
помер
**•>

^ п
Последовательно используя соотношения 1, легко
убедиться в том, что для каждого номера т<т верно
неравенство
Аналогично, последовательно используя соотношение 2,
легко убедиться в том, что это неравенство верно и для
каждого номера т>т.
Например, для номера m=m—1 из соотношений 1
следует, что
Ш=ц.)/(:)>' (-м--~г).
а для номера т = т-\-\ из соотношений 2 следует, что
o/(s)-(-;.ms)<« («-+¦>*>
Таким образом, если число п четное, то наибольшим
является коэффициент с номером т=п/2. Все
остальные коэффициенты строго меньше его.
2) Предположим теперь, что число п нечетное,
в рассмотрим номер
(л — 1)
Последовательно пспользуя соотношения 1, легко
убедиться в том, что для каждого номера т<т верно
неравенство
Аналогично, последовательно используя соотношения 2,
легко, убедиться в том, что это неравенство верно и для
каждого номера m>m-fl.
153

taK как m=(n—l)/2<w/2<(w + l)/2^-m-fi, то
из соотношений 3 следует, что
т) U + 1/*
т
Таким образом, если число п нечетное, то
наибольшими являются коэффициенты с номерами т=(и—1)/2
и /71+1 = (/г+1)/2. Все остальные коэффициенты
строго меньше их.
Задача 9. Доказать, что для каждых
натуральных чисел I и п верно равенство
'n + m\(n+l + V
m )Г \ I
V (n + m\/n+l + l\
><m</\ m Л \ I I
0<7П</
Решение. Заметим, что
о-сг:
= 1.
Заменив слагаемое с номером т=*=0 п последовательпо
используя правило Паскаля, получаем
' п -\- m
0<m</ \ m
2
\<m<
+
+ ...+
n -I- 3
n + 1
0
n + I
I
+ ... -I-
CTKtv
I
Задача 10. Доказать, что для каждых строго
положительного числа Ь<.\ и натурального числа л>1
верно неравенство
Ья<1//?A-Ь-).
Решение. Используя формулу Ньютона для
чисел дг= 6~! — 1 >0 и */=1, получаем
154

> 1 + и* + l^f^x* > Лх « n (Ь~% - i).
Следовательно,
\t\) it требовалось доказать.
U p u мер. f 1 - щУи0° < L— - 1/Ю.
loO
Л с к ц п я 0.
РАЗБИЕНИЯ
Классической задачей комбинаторики яиляетоя
задача о числе выборок*, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно разбить
п различных предметов на к грипп 1, ..., 1с по п\,..., пк
предметов'}
1.6. Примеры
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сколькими способами можно разбить
три мсненты 1, 2, 3 копейки на три группы 1, 2, 3 по
одной монете?
Каждое такое разбиение можно описать разбиением
множества Д*=ь{1, 2, 3} из п=Ъ элементов на /с-|-1=зЗ
попарно не пересекающиеся части В\, В^ В3,
состоящие каждая ив П1 = и2=лз=1 элементов и в сумме
равные В. При каждом таком множестве #з множества
A\=BU A2^ssB2 образуют разбиение из ти=2 элемей-
тов мпожества А=В—В^ на к=2 части, состоящие
каждая из m\ = n\ = i, т2=л2=1 элементов. Число
( 2 \ „ B\
[ л * \ таких разбиений равно числу 1-1- выборок 1
( 3 ^
элемента из 2. Следовательно, число I , , , I всех раз-
155

биепий трех монет на три нумерованные группы по
одной монете выражается равенствами
_3! 2!_
1!21'1! 1!
3!
1! 1! 1!
= 6.
Таким образом, число рассматриваемых разбиений,
как и следовало ожидать, равно числу перестановок
трех монет по трем местам.
Пример 2. Сколькими способами можно разбить
четырех гостей st-% 9&, #, 25 на две пары 1, 2?
Каждое такое разбиение можно описать выборкой
т=2 из /i=4 элемептов множества #= (^,^,^,2)}.
/ 4 \
Поэтому число I о о) рассматриваемых разбиений рав-
но числу I 2 I таких выборок:
(г, г)= (,2 j= 2га в 6-
Итак, разбить четырех гостей на первую в вторую
пары можно шестью способами:
1
2
{<&,<%)
{<&,&)
{&,<&)
{Я,®}
№,2))
{Я,&)
{Я <#)
\&,2>)
{Я,Ф)
{&,&)
{Ъ,2))\
{•*.Я}|
Таблица иоказывает, что нумерация пар
существенна: симметричные относительно середины разбиения
отличаются только номерами пар.
Пример 3. Сколькими способами можно разбить
пять букв слова camel на четыре группы 1, 2, 3, 4 так,
чтобы в группах 1, 2, 3 было по одной букве, а в
группе 4 — две буквы!
Каждое такое разбиение можно описать разбиением
множества ff={c, a, m, е% 1} из я=5 Элементов на
&+1=4 попарно не пересекающиеся части В\% /?2, #з,
В^ состоящие соответственно из /i| = n2=n3=l, п4=2
элементов и в сумме равные ff. При каждом таком
множестве В% множества А\ = В\, А<1*=Вг, А}=Вд обра-
156

зуют разбиение множества Л=В — Я4 на &=3 части,
состоящие каждая из /h, = hi = 1, /П2=И2==1, /н3=
/ 3 \
= н3=1 элементов. Число I , , .1 таких разбиений
равно подсчитанному в примере 1. Следовательно, чис-
/ 5 Л
ло I , , . о! всех разбиений пяти букв на четыре
группы 1, 2, 3, \ соответственно из r*i^=l, //2=1, «3=1,
Я4 = 2 букв выражается равенствами
U 1,1,2) ~UM».M/ 2^х
v 3! _ 51 (.
N 1! 1! 1! " 1! 1! 1!2! """" UU*
Таким образом, разбить пять букв на четыре
нумерованные группы, первые три из которых состоят из
одной, а четвертая — из двух букв, можно
шестьюдесятью способами.
2.6. Формула для числа разбиений
Рассмотрим произвольное натуральное число и,
натуральное число к^2 и натуральные числа щ, ..., иА,
в сумме равные и:
"\+ ... +fh*=n.
Рассмотрим произвольное множество Л из и элементов
и попарно не пересекающиеся множества А\, ..., Ак
соответственно из п\9 ..., пк элементов, в сумме
равные А:
А,+ ...+Ак=А.
Условимся называть каждое такое семейство Л^ ..., ЛА
множеств Hi, ..., пк-разбиением множества А. Число
всех Hi, ..., иА-разбиений определяется числами
н, Hj, ..., пк и обозначается символом
( " )•
В частности, если /с=2, то каждое hi, иг-разбиениё
Ль Л2 множества А из hi+H2=h элементов
определяется выборкой А\ некоторых Hi из н элементов множе-
157

ства А. По формуле для числа выборок отсюда следует,
что
(п )-^-
Примеры 1—3 показывают, чло
U.1.W 1,1М1' \2'2/ 2! 2!' ^1, 1, 1э 2/ ЩИ
Г2!'
Эти равенства были получены использованием формулы
для числа выборок и индукцией. По такой схеме
получается и общая
Формула для числа разбиений:
— Рассмотрим множество Л/ всех натуральных
чисел /с—2 таких, что для числа А: равенство верно для
каждых рассматриваемых чисел п, п\, ..., пк и
множества А.
1. Число 0 принадлежит множеству Л/, так как при
к=2 доказываемая формула эквивалентна формуле
для числа выборок.
2. Для каждого натурального числа I верно
предложение: если /еЛ/, то /+1еЛ/.
Рассмотрим произвольные натуральные числа п\,...
• •., я*, nh+u в сумме равные /г, и множество В из п
элементов. Выборка Z каждых nk+\ из п элементов
множества В определяет множество R(Z) всех /ij, ..., rcft,
и*+|-разбиений Si, ..., В„, BA+j множества В, для
которых Bk+]=Z.
Множества R(Z) попарно не пересекаются и в
сумме образуют множество R всех п\, ..., nh, мА+1-разбие-
ний множества В:
fl=2/?(Z).
I n \
Число множеств R(Z) равно числу I I выборок Z
произвольных nk+i из п элементов множества В,
158

Каждое при надлежащее Й(#) разбиение Ви ...» В*,
#fc+i множества В определяет пи ..., иЛ-разбиение
fii, ..., вЛ множества A = B—Z из и — wA+i элементов.
Различные разбиепия из Ii(Z) определяют различные
такие разбиения множества А. И каждое п\, ...,
/^-разбиение Аи ..., Ак множества Л = Д—Z определяется
принадлежащим R(Z) разб1гением А\, ..., Ak, Z
множества В. Следовательно, число разбиений в R(Z) рав-
но числу! I всех пи ..., /?А-разбнепий множе-
ства /1 из п—Пы\ элементов.
По правилу сложения для числа элементов из
сказанного вытекает, что число всех разбиений из R равно
произведению числа множеств R(Z) на число
разбиении в каждом из них:
( п ) -.( П \ ( п~~ П*+] \
Ui. ...,wA, л*-и/ ~U/<H/ Ui> ....лк/
Рассмотрим произвольное натуральное число I и
число к=1-\-2. Если 1^М, то, используя только что
доказанное равенство и формулу для числа выборок,
получаем
( п )= ±
\пг, . ..,ий, nk+i I nk+i\(n —
'X
г»А+11(л-лЛ+1)|
(*-*Л+1)! = wL
а/х! ... пЛ пх\ ... и.!
Значит, Z+l=(ft+l)—2еЛ/.
По принципу индукции из пунктов 1 и 2 следует,
что множество М совпадает с множеством N всех
натуральных чисел, т. е. доказываемое равенство верно
для произвольных натуральных чисел к^2 и /ii+. •.
Формула для числа выборок дает решение
классической задачи о числе разбиений: п различных
предметов на к групп 1, ..., к по п\ч ..., nh предметов
можно разбить п\1(п\\ ... пк\) способами.
В частности, если в каждой группе ровно по одному
предмету, то разбиения сводятся к перестановкам:
U.".,ibinrTr-w!-
159

Замечание. Формула для числа разбиений
позволяет записать доказанную в предыдущем параграфе
полиномиальную формулу в следующем эквивалентном
виде:
<*i + ... + **)"= 2 ( п )*?•••*?•
п,,...,пА \п\1 • • •> nh/
( " )
Появление чисел I I в качестве коэффп-
\пх, ..., nh/
циентов при х\х ... х^ не случайно: раскрывая,
скобки в произведении п сумм х\+. ..+**, получить
хлх • • • x7kh можно в тех и только в тех случаях, если
в п\ суммах х\+.. ,+хк выбрать в качестве
множителей слагаемое х\, ..., в пк суммах — слагаемое хк. Это
можно сделать I способами
3.6. Задачи
К задаче о числе разбиений п различных предметов
на к групп 1, ..., к по п\, ..., пк предметов сводятся
следующие задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно расселить
восемь студентов по трем комнатам: одноместной,
трехместной и четырехместной!
0твет: A,3,4) ^ттшт^280-
Задача 2. Сколькими способами четверо юношей
могут пригласить танцевать четырех из шести
девушек!
( 6 ^ 61
UTBeT-U.M.l,2^ ~ 111! II И 2! ~
J60.
Задача 3. Сколькими способами можно
раскрасить в красный, синий и зеленый цвет по два из шести
различных предметов?
°ТВвТ:B,2,2)=2т1г2!==90-
Задача 4. Сколькими способами можно распре-
делить пять шаров 1, 2, 3, 4, 5 по трем ящикам 1, 2, 3
так, чтобы в них попало соответственно 1, 2, 2 шара?
160

0тв'ет:\1, 2,2J~ TT^I-
Задача 5. Сколькими способами можно
распределить 10 специалистов по 4 цехам № 1, № 2, № 3,
№ 4 так, чтобы в них попало соответственно 1, 2, 3, 4
специалиста?
0твет: (l, 2,3, 4J = lOTTl ^ 1260°-
4.6. Модель Максвелла — Больцмана
Рассмотрим п частиц, распределенных по к
различным областям 1, ..., А* фазового пространства.
Предположим, что частицы отмечены номерами 1,
2, ..., п и что в каждой области фазового пространства
может находиться любое количество этих частиц. В то
же время будем считать, что состояние
рассматриваемой системы определяется числами п\, ..., пк частиц
в 1, ..., &-й областях фазового пространства
независимо от номеров частиц. Условимся описанную модель
называть моделью Максвелла — Больцмана.
Пример. Модель Максвелла — Больцмана для
/1=^3 частиц и к = 2 областей фазового пространства
описывается таблицей, в левой половине которой
расположены номера частиц, находящихся в данной
области, а в правой — число этих частиц.
Распределение 1
Г /
\1 2 5
Г/ 2
1 3
I 2 5
1
2
I J
г I
j
2 I
;
2 3
1 3
I 7 2
\ 1 г з
Ч ' ' 1
Состояние
\ 1
5
2
1
I
О
2 I
О I
1
2
3
бЗаьаз Л» 779
101

Существует A,n = 2*=-8 различны* распределений
и==3 частиц по к = 2 областям. И сосгоянпп /?i, n2
\п^п2)
систему приводит I n n I распределении.
Задача б. Сколько распределений п частиц
приводят систему в состояние п\, ..., nh в модели
Максвелла — Больцмана!
Решение. Каждое такое распределение
описывается л? 1, ..., нл-разбиепием множества 4={1, ..., п}
номеров частиц. Поэтому число этих распределении
( п \
равно числу I п н- I соответствующих разбиений.
Задача 7. Сколько всего существует различных
распределений п частиц по к областям фазового
пространства в модели Максвелла — Больцмана!
Решение. Используя полиномпальпую формулу
при Х\ = . • .=:гл=1, убеждаемся в том, что число всех
рассматриваемых распре делений выражается
равенством
2 ( п \-(l + ... + i)*«ft».
п» пк \П\, •• •» Пк)
Задача 8. Сколько всего существует возможных
состояний системы в модели Максвелла — Больцмана!
Это число такое же, как и в модели Бозе —
Эйнштейна. В лекции 8 будет доказано, что оно равно
I - п 1. В частпости, если я = 3 и &=2, то
/2 + 3 —1\ 4! ,
3 ="ЗПТ = 4'
в соответствии с рассмотренным примером.
Лекция 7.
ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Если некоторые из переставляемых предметов
одинаковы, то содержание задачи о числе перестановок
можно выразить вопросом: сколькими способами мож-
162

но переставить п предметов к различных типов 1, .. .
..., к по Mi, •..» th предметов, расположенных на п
различных местах 1, ..., п?
1.7. Примеры
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сколькими способами можно
переставить три монеты 1, 2, 3 копейки по трем различным
местам?
Ответ на этот вопрос был дан во второй лекции:
3! = 6 способами.
Пример 2. Сколькими способами можно пере-
садить близнецов из двух различных пар s4>, si и 3S, ЗВ
на четырех местах 1, 2, 3, 4?
Каждую пересадку близнецов si, si, &, Я на
местах 1, 2, 3, 4 можпо описать отображением /
множества Л = {1, 2, 3, 4} в множество B={si, &}: на место х
пересаживается близнец f(x). По аналогии с
подстановками такие отображения описываются таблицами
/ 1 2 3 4 \ / t 2 3 4\ / 1 2 3 4 \ /1 2 3 4\
" \st>siu?y \&Я&Яу \&ЯЯау \Я&Я>Яу
/1 2 34 \ /1 2 3 4\
[яая&у [aaststj
Каждое такое отображение / определяется 2, 2-раз-
биением f~x(si), f~l(&) множества А:
{1,2}, {3,4}; {1,3}, {2,4}; {1,4}, {2,3};
{2,3}, {1,4}; {2,4}, {1,3}; {3,4}, {1,2}.
Число отображений / равно числу
( 242 ) = ^21 = 6
всех 2, 2-разбиений множества из 4 элементов.
Таким образом, каждая пересадка близнецов из
двух пар на четырех местах эквивалентна разбиению
множества этих четырех мест на два для первой и два
для второй пары. Это разбиение можно провести
шестью способами.
6*
163

Пример 3. Сколькими способами можно
переставить буквы в слове canal?
Каждую перестановку букв в слове canal можно
описать некоторым отображением / множества А =
= {1, 2, 3, 4, 5} в множество В= {с, ау л, /}: на
место х ставится буква f(x). Каждое такое отображение
определяется 1, 1, 1, 2-разбиением /-,(с)> /~Ча)» f~lin)*
f"l(l) множества А. Следовательно, число
рассматриваемых отображений / равно числу
(l,l,l,2Je TiTlmi^00
всех 1, 1, 1, 2-разбиений множества из 5 элементов.
Таким образом, каждая перестановка букв в слове
canal эквивалентна разбиению множества пяти
элементов на четыре группы, первые три из которых
состоят из одного, а четвертая — из двух элементов. Это
разбиение можно провести шестьюдесятью способами.
2.7. Формула для числа нерестановок
с повторениями
Рассмотрим произвольные натуральное число л^1,
натуральное число к^2 и натуральные числа /*i, ...
..., пк, в сумме равные п:
ni+...+nh = n.
Рассмотрим множество
4={1, .. ., п}
и произвольное множество
В={Ьи ..., bh}
из к элементов, занумерованных в каком-либо порядке.
Каждое отображение / множества А в множество 5,
при котором прообразы /"'(fei), ..., f~l(bk) элементов
bu .. •> bh состоят соответственно из щ, ..., пк номеров:
n(f-4bi))=nu...,n(f-4bb))=nh9
условимся называть wi, ..., гсЛ-перестаиовкой множест-
m

ва В. В частности, если п~к и А~В при стандартной
нумерации, то 1, ..., 1-перестановки являются
обычными перестановками множества номеров 1, ..., п.
Число всех И|, ..., //^-перестановок множества Z?,
как и число всех п\, ..., /гЛ-разбиений множества Л,
( п \
обозначим символом I п п у Это оправдывает
Формула для числа перестановок с повторениями:
^//|f ...,nk) '«,! ...wfc! *
По определению каждая п\, ..., ///.-перестановка
множества В определяет п\ч ..., //А-разбиение /-1 (Ь\),...
•.., /"ЧМ множества Л. Различные перестановки /
определяют различные разбиения множества Л. И
каждое Я|, ..., ял-разбиение А\, ..., Л* множества Л
определяется «i, ..., ^-перестановкой / множества В
со значениями /(я) =6| для каждого хеЛь ...,/(#) =
= ЬЛ для каждого хеЛл. Следовательно, число п\, ...
..., яА-перестаповок множества В равно числу /м, ...
..., /?А-разбиений множества Л и доказываемая
формула эквивалентна формуле для числа разбиений.
Полученная формула для числа перестановок с
повторениями позволяет решить сформулированную в
начале параграфа задачу: п предметов к различных
типов 1, ..., к по Л|, ..., пк предметов, расположенных
на п различных местах 1, .,., пу можно переставить
п\/(п\\ ...nh\) способами.
3.7. Задачи
К задаче о числе перестановок с повторениями
сводятся следующие задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно
расположить в ряд пять книг: два одинаковых романа и три
одинаковых томика стихов?
. О т в е т: ( 2?з ) = "ЩзГ = 10в
Задача 2. Сколько сигналов можно составить,
меняя порядок семи флагов: один красный, два синих,
три зеленых и один белый?
165

Ответ: ( ^ 2, 3, 1 ) " Ч»2?зм» ** ^*
Задача 3. Сколько различных слов можно
образовать^ переставляя буквы в слове «анна»!
4 4! R
Решенле. у 2,2 ) "" 121 == D
(Все эти слова нетрудно выписать: айна, ннаа,
анан, аанн, наан, нана.)
Задача 4. Сколько слов можно составить из 5
букв а и не больше, чем 3 бг/яа 6?
Решение. Используя равенство задачи 9 из
лекции 5, получаем
5 + 0V , /5+1\ , /5-| 2\ /5 + 3N
5, 0 ] ~>-[ 5,1 ) г[ 5,2 } + [ 5,3 J ~
-П0И8гип2н5+»3)-
-E+Гм)-&-«-
Задача 5. Для решения задачи с помощью
вычислительной машины используются в определенном
порядке по две программы каокдого из трех типов
а, Ь, с. В списке указаны 88 последовательностей из
шести программ: aabbec, ааЪсЪс, aaebbe, ....
Все ли такие последовательности вошли в список?
Решение. Число всех рассматриваемых
последовательностей выражается равенствами
( 2, 2, 2 ) _ '
6! -90.
2!2!2!
В имеющемся списке нет двух последовательностей.
Лекция 8.
ВЫБОРКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Рассмотрим задачу о числе выборок, содержание
которой можно выразить вопросом: имеется по m
предметов каждого из п различных типов; сколькими
способами можно выбрать m из этих п-тп предметов?
166

i.8. Йрямеры
Рассмотрим несколько примеров.
Пример i. Имеется по две монеты 1, 2, 3
копейки. Сколькими способами можно выбрать две из этих
шести монет*}
Каждую такую выборку можно описать
отображением / множества А = {1, 2, 3} в множество N = {0, 1,
2, ...} натуральных чисел: монет достоинством х
копеек выбирается f(x) штук. Используя стандартпый
порядок номеров 1, 2, 3, составляющих множество Л,
эти отображения можно описать строками, в которых
на месте с номером х расположено соответствующее
этому номеру значение f(x) отображения /:
011, 002, 020, 101, ilO, 200.
В частности, первая из этих строк описывает
отображение / со значениями /A)=0, /B) = 1, /C)=1;
вторая - /A) =0, /B) =0, /C) =2.
Условимся натуральные числа 0, 1, 2, ...
обозначать также соответственно символами 0, 01, 011, ... .
При этом условии рассматриваемые отображения /
будут описываться также строками
00101, 00011, 00110, 01001, 01010, 01100.
Каждая из этих строк начинается с нуля и состоит
из /г = 3 нулей n m = 2 единиц. Поэтому она
определяется выборкой /2 — 1 = 2 номеров мест нулей из
л+т—1 = 3 + 2—1=4 померив 1, 2, 3, 4:
{1,3}, {1,2}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}
(считается, что нуль в начале каждой строки занимает
место с номером 0).
Таким образом, задача о числе выборок с
повторениями т = 2 из п-т = С) монет дг = 3 видов сводится
к задаче о числе выборок без повторений гс—1=3—
— 1 = 2 из п + т—1 = 3+2—1 = 4 номеров 1, 2, 3, 4.
В соответствии с этим число интересующих нас
выборок выражается равенствами
107

Заметим, что в конечном счете каждому
рассматриваемому отображению / была поставлена в
соответствие выборка
элементы которой определяются равенствами
У1=/A)+1, Ife«/(l)+/B)+2.
Р частности, если /A)=0, /B)=/C) = 1, то j/i = l,
у2=3, если /A)=/B)=0, /C)=2, то j/i = l, j/2=2.
Пример 2. В гости приглашены четыре
различные пары st>, 33, W, 3) близнецов. Сколькими
способами можно выбрать двух из восьми гостей!
Каждую такую выборку можно описать
отображением / множества А = {s&, #, Ч?, 2)} в множество
N={0, 1, 2, ,..} натуральных чисел: из пары х
выбирается f(x) близнецов. Используя алфавитный
порядок букв, составляющих множество Л, эти
отображения можно описать строками, в которых на месте
с порядковым номером буквы х в множестве А
расположено соответствующее этой букве значение }(х)
отображения /:
ООН, 0002, 0020, 0101, ОНО, 0200, 1001, 1010, '
1100, 2000.
В частности, первая из этих строк описывает
отображение / со значениями /(^)=0, jCS) =0, f(?) = \,
fB>) = 1; вторая - f(st) = 0, fC&) = 0, f(&) = 0,
/(iZ>)=2.
Условимся натуральные числа 0, 1, 2, ...
обозначать также соответственно символами 0, 01, ОН, . .\ ,
При этом условии рассматриваемые отображения /
будут описываться также строками
000101, 000011, 000110, 001001, 001010,
001100, 010001, 010010, 010100, 011000.
Каждая из этих строк начинается с нуля и состоит
из п=4 нулей и т = 2 единиц. Поэтому она
определяется выборкой п—1=3 померов мест нулей из
п+т—1 = 4+2—1 = 5 номеров 1, 2, 3, 4, 5:
1G8

{1, 2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5},
{1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}
(считается, что нуль в начале каждой строки занимает
место с номером 0).
Таким образом, задача о числе выборок с
повторениями т = 2 из и*т=8 гостей п=А пар сводится к
задаче о числе выборок без повторений и—1 = 4—1=3
из n-fm—1=4+2—1 = 5 номеров 1, 2, 3, 4, 5. В
соответствии с этим число интересующих нас выборок
выражается равенством
Заметим, что в конечном счете каждому
рассматриваемому отображению / была поставлена В
соответствие выборка
У={У\, #2, !/з},
элементы которой определяются равенствами
0i = /(ai) + if [/2=/(a,)+/(a2)+2,
Уз-/(в|)+/(а2)+/(а3)+3,
где «1 = ^, а2 = $, 03=^1 Я4=.2>.
В частности, если f(a\) =f(a2) = 0, /(я3) =/(^4) = lf
то [/i = l, [/2=2, [/з=4, если /(а,) =/(я2) ==/(а3) =0,
/(а4)=2, то j/i=l, [/2=2, [/з=3.
Пример 3. S детском наборе имеется по три
одинаковые буквы с, а,-/и, е, Z. Сколькими способами
можно выбрать три из этих пятнадцати букв?
Каждую такую выборку можно описать
отображением / множества А = (с, а, т, е, 1} в множество N =
= {0, 1,2,...} натуральных чисел: букв х выбирается
f(x) штук. Используя данный порядок букв с, а, т,
е, Z, составляющих множество Л, эти отображения
можно описать строками, в которых на месте с
порядковым номером буквы х в множестве А расположено
соответствующее этой букве значение f(x)
отображения /:
00111, 01011, 01101, 0Н10, 01002, 01020, 01200, ...
169

В частности, первая из этих строк описывает
отображение / со зиачениями /(с)=0, /(«)=0, /(т) = 1,
/(e) = 1, /@ = 1; вторая-/(с) =0, /(л) = 1, /(т)=0,
/@ = 1,/@ = 1-
Условимся натуральные числа 0, 1, 2, 3, . ..
обозначать также соответственно символами 0, 01, 11,
0111, ... При этом условии рассматриваемые
отображения / будут описываться также строками
00010101, 00100101, 00101001, 00101010,
00100011, 00100110, 00101100, ...
Каждая из этих строк начннае1ся с нуля и
состоит из /i = 5 нулей и т='6 единиц. Поэтому она
определяется выборкой л—1 = 5—1 = 4 номеров мест
нулей из п+т—1 = 5+3—1 = 7 номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7:
{1, 2, 4, 6}, {1, 3, 4, 0}, {1, 3, 5, 6}, {1, 3, 5, 7},
{1,3,4,5}, {1,3,4,7}, {1,3,0,7},...
(считается, что нуль в начале каждой строки занимает
место с номером 0).
Таким образом, .задача о числе выборок с
повторениями т = 3 из /г-т=15 изображений дг=5 букв
сводится к задаче о числе выборок без повторений /г— 1 =
= 5—1 = 4 из п+т—1=5+3—1 = 7 номеров I, 2, 3,
4, 5, 0, 7. В соответствии с этим число ишересующих
нас выборок выражается равенством
Заметим, что в конечном счете каждому
рассматриваемому отображению / была поставлена в
соответствие выборка
У={Уи 1/2, !/з, 1/4},
элементы которой определяются равенствами
У.=/(а.)+1,УЯ = /(«|)+/(в2)+2,
0з-/(а,)+/(а2)+/(а8)+3,
У4=/(а.) +/Ы +/Ы +/(«4) +4,
где ai = c, ао=а, аз^/га, а4=е, as=l.
170

В частноетп, еглп j(n\) =/(«2) ~0, /(a3)=/(#4) =
/(«5) = 1, то 1/| = 1, !/2 = 2, ^з = 4, у4 = В;. если /(д,)=0,
/(Л2) = 1, /(яз)=0, /(«4). = /(«1ь)=«1, то 2/1 = 1, У2 = 3,
1/з = 4, #4 = 6.
2.8. Формула для числа выборок
с повторениями
Рассмотрим произвольные натуральные числа пу
т>0 и множество А из п элементов. Каждое
отображение / множества А в множество N= {0, 1, 2, ...}
натуральных чисел, сумма 2 /(*) значений f(x)
которого равна т, назовем выборкой с повторениями m
из п элементов множества А.
Докажем, что число всех таких выборок выражает
Формула для числа выборок с повторениями:
n + m — 1 \ / п +пг — 1 \ (я + w — 1I
Упорядочим мпожество А произвольной
нумерацией его элементов:
А = {а} а,,}.
При этом условии каждая выборка с повторениями /
каких-либо m из п элементов множества А определяет
выборку без повторений
У={Уи .--, У«-\}
возрастающих номеров
yfc=/(ai)+-.+/("*)+"* (KiO-1)
из множества
»={lt ..., n + m-i).
Различные отображения / определяют различные
такие выборки Y. И каждая выборка У={#1, ..., уп-\)
занумерованных в возрастающем порядке я—-1 из
и+тю— 1 элементов множества В определяется отобра-
171

женпем / со значениями
/(Л|)=0|-1,
сумма которых, как нетрудно проверить, равна т:
^/(х)=2/Ы = (»-1-(л-1) +
+ ((л +го—1) — У« -1) = '"•
Из сказанного вытекает, что число выборок с
повторениями / произвольных т из п элементов
множества А равно числу выборок без повторений Y
произвольных /г—1 из п-\-т— 1 номеров множества S, и
доказываемая формула для числа выборок с
повторениями следует из доказанной формулы для числа выборок
без повторен nit.
Таким образом, если имеекя по т одинаковых
предметов каждого из п различных типов, то т из
/ и -\- т — 1\
этих п т предметов можно выбрать ! т ]спо-
собами.
3.8. Задачи
К задаче о числе выборок с повторениями
сводятся следующие задачи.
Задача 1. Сколькими способами можно выбрать
три книги из трех одинаковых романов и трех
одинаковых томиков стихов?
( 2 + 3 - 1 \
Ответ:! q J" 4; среди выбранных могут
быть 0, 1, 2, 3 экземпляра романа.
Задача 2. Сколькими способами можно выбрать
13 из 52 стандартных карт, различая их только по
масти!
/4 + 13-П ггп
Ответ:! ло I = 5oU; способов
намного
меньше, чем при различии по масти и по значению.
Задача 3. Сколько всего существует результатов
опыта, заключающегося в подбрасывании двух
одинаковых игральных костей!
172

Ответ:' о 1 ¦* 21; если костп различные,
то 3(>.
Задача 4. Сколькими способами можно выбрать
два элемента из п различных пар одинаковых
элементов!
(п + 2-1 \__. (n + l\ (n + i)n .
Ответ:^ 2 ) ~~ [ 2 ) * ч
п способами выбираются два одинаковых элемента,
8 V 2 I спос°бами — два разные элемента; по правилу
Паскаля
" •*Ш")+(;)-('П
Замечание. Задача 4 имеет отношение к биоло-
/» + 1\
гии: п аллельных генов #i, ..., alt определяют I ? I
(п\
генотипов; среди них п гомозигот аха\, ..., апап и I 2 1
гетерозигот а\а2, ..., ап.\ап.
Задача 5. Сколькими способами можно выбрать
три из двенадцати букв А,А,А,Т,Т,Т,Г,Г,Г, Ц, Ц, Щ
/ 4 + 3 - 1 \ оп
Отве г:1 3 I ~ zu-
Замечание. Буквы Л, Г, Г, Z/ обозначают нук-
леотиды Аденин, Тимнн, Гуанин, Цитозпн. Число
троек нуклеотидов оказывается равным числу
аминокислот, на которые разлагаются молекулы белка. Эти
тройки были выписаны при решении задачи 5 в
лекции 2.
4.8. Задача о разложении числа
на слагаемые
Формула для числа выборок с повторениями
позволяет ответить на вопрос: сколькими способами
натуральное число п можно представить в виде суммы к
натуральных чисел, учитывая порядок слагаемых?
173

Рассмотрим произвольные натуральные числа л,
к^2. Каждое семейство х\, ..., хк натуральных чисел,
в сумме равных п, условимся называть
положительным решением уравнения
Х\+. ,.+Хк — П.
Если патуральные числа х\, ..., xh строго
положительны, то такое семейство х\, ..., xh будем называть
строго положительным решением уравнения Х|+.. .-\-хк = п.
Рассматриваемый вопрос о разложении
натурального числа п на к натуральных слагаемых эквивалентен
вопросу: сколько существует положительных решений
уравнения^-}-.. ,+хл = я?
Каждое такое решение х\ч ..., xh является выборкой
с повторениями / со значениями f(l)=x\, . .., f(k) =
= хк, составленной п элементами множества Л='{1, ...
/A)+...+/(*)=«.
Число таких выборок / выражается равенствами
к + п — 1 \ / А- + л — 1 \ = (Дг ч- л/ — 1)!
ft—1 )~~[ п )т~ /«ц*-1I '
Таким образом, существует (к-{-п—\)\/п\(к—\)\
положительных решений х\, ..., хк уравнения х\-\-...
.. .-\-хк = п и столько же способов разложения
натурального числа п на к натуральных слагаемых.
Пример. Число положительных решений х\, х2
уравнения
Х\-\-Х2 = 3
выражается равенствами
2-1 ) [ 3 j ~ 31B-1)! ~ *'
Эти решения: 0, 3; 1, 2; 2, 1; 3, 0.
Задача о числе строго положительных решений
*ь •••» xh уравнения х\+.. .+хк = п сводится к задаче
о числе положительных решений у\, ..., ук уравнения
У\+. ..+Ук = п-к.
174

Каждое строго положительное решение х\% ..., хк
уравнения х\-\~. . .4-a***Ai определяет иоложительное
решение Jfi«=#i—1, ..., Ун=хк— 1 уравнения у\+...
.. ,4-j/fc=/i—к. Различные решения х\, ..., хк
определяют различные решении у\, ..., ук. И каждое
иоложительное решение уи •••» Ук уравнения У\+...+Ун=
= п—к определяется строго положительным решением
x\ = yi + l, ..., хк = ук+\ уравнения х{+...+хк=п.
Следовательно, число строго положительных решений
х\> ..., xh урашюния х\+. ,.+хк=п равно числу
/ к -+ (п — к) — 1 \ / п — 1 \
положительных решенуй t/i, ..., ук уравнения yi+...
Пример. Число строго положительных решений
хи х% уравнения
Xi~{-X2 = 3
выражается равенством
Эти решения 1,2 и 2,1.
5.8. Модель Бозе — Эйнштейна
Рассмотрим п частиц, распределенных по к
различным областям 1, ..., к фазового пространства.
Предположим, что частицы одинаковы и что в
каждой областл фазового пространства может находиться
любое количество из них. Состояние рассматриваемой
системы определяется числами щ, ..., пк частиц в
1, .. ., А:-й областях фазового пространства.
Условимся описанную модель называть моделью
Бозе — Эйнштейна. Она отличается от модели
Максвелла — Больцмана предположением об одинаковости
частиц. В модели Бозе — Эйнштейна не существует
различных распределений частиц, определяющих
одинаковые состояния системы. А в модели Максвелла —
Больцмана с различными частицами такие
распределения существуют.
175

Задача &. Сколько всего существует возможных
состояний системы в модели Бозе — Эйнштейна?
Решение. Число состояний системы в модели
Возе — Эйнштейна, как и в модели Максвелла — Больц-
мана, равно числу всех семейств к натуральных чисел
п\, ..., nh, в сумме равных п:
Каждое такое семейство является выборкой с
повторениями п из к элементов множества А = {1, ..., к}.
Следовательно, число состояний системы в модели Бозе —
Эйнштейна, как и в модели Максвелла — Больцмана,
к + п — 1 \
Это число равно числу способов, которыми можно
представить натуральное число п в виде суммы к
натуральных чисел, если учитывать порядок слагаемых.
Связь между такими представлениями и состояниями
в модели Бозе — Эйнштейн становится очевидной,
если частицами считать единицы, а областями фазового
пространства — слагаемые.
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев Л. Я. Комбинаторика и вероятность. Новосибирск,
«Наука», 1975. Первый раздел книги расширяет и углубляет
материал этих лекций.
2. Ежов И. И., Скороход А. В., Ядрен ко М. И. Элементы комби-
. наторики. М./ «Наука», 1977. Книга знакомит с основными
понятиями и методами комбинаторики.
3. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М., «Наука», 1969. В книге
в занимательной форме рассказывается о комбинаторных
методах и задачах.
4. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств.
М., «Просвещение», 1965. В книге, в частности, описываются
и используются некоторые комбинаторные методы. Книга
рассчитана на школьников старших классов.
5. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
математику. М., Изд-во иностр. лит., 1963. Первые главы
этой книги посвящены элементам логики, теории множеств
и комбинаторики. Книга рассчитала на студентов младших
курсов.
6. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М., Изд-во
Ыостр. лит., 1963. В книге дается систематическое
описание комбинаторных методов и решается большое количество
задач. Книга написана для научных работников и
инженеров.
равно

СОДЕРЖАНИЕ
От редактора 3
С. Л. Соболев. Математические олимпиады в СССР 4
Л. М. Смирнов. Преподавание математики в
физико-математической школе при Новосибирском
университете 17
Общая характеристика школы —
Организация преподавания математики . 18
Постановка основного курса математики . 20
Некоторые итоги работы ФМШ 24
Б. А. Трахтенброт. О воспитании математико-логической
культуры учащихся 26
§ 1. Введение —
§ 2. Старший среди младших и младший среди
старших 30
§ 3. Неравенства и тождества с экстремумами 35
§ 4. Дальнейшие уточнения и обобщения . . 39
§ 5. Приложения к логике 44
А. С. Марковичев. Элементы теории чисел .... 53
Введение —
§ 1. Делимость. Деление с остатком ... 54
§ 2. Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида . 57
§ 3. Простые числа 64
§ 4. Сравнения 71
§ 5. Классы вычетов. Множество Zm .... 75
§ 6. Несколько замечательных теорем ... 79
Ю //. Мальцев. Основная теорема арифметики ... 87
§ 1. Основная теорема арифметики .... —
§ 2. Целые гауссовы числа 91
§ 3. Теория делимости чисел вида а+Ьр и ее
приложение к доказательству
неразрешимости уравнения s3+y3=z3 в целых числах 97
Л. Я Савельев. Лекции по комбинаторике .... 103
1. Правила сложения и умножения .... 104
2. Перестановки 121
3. Выборки 129
4. Размещения 138
5. Формула Ньютона 143
6. Разбиения 155
7. Перестановки с повторениями 162
8. Выборки с повторениями 166