Д.Я. ПЕТРИНА
ССИВАНОВ
АЛРЕБЕНКО
УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ МАТРИЦЫ
РАССЕЯНИЯ

Д. Я. ПЕТРИНА. С С. ИВАНОВ, А. Л. РЕБЕНКО
•
УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ МАТРИЦЫ
РАССЕЯНИЯ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22.31
ПЗО
УДК 530.145
Уравнения для коэффициентных функций матриц
рассеяния, Д. Я. Петрина, С. С. Иванов,
А. Л. Ребенко — М.: Наука, Главная редакция
физико-математической литературы.
В монографии выведены и исследованы уравне-
уравнения для коэффициентных функций матрицы рассея-
рассеяния. Разработан метод решения уравнений в евкли-
евклидовой области с импульсными и пространственными
обрезаниями. Для моделей бозонного поля в двумер-
двумерном пространстве и для неполиномиальной нелокаль-
нелокальной модели получены решения без импульсных обре-
обрезаний при бесконечном объеме. Показано, что моде-
модели квантовой теории поля в евклидовой области мож-
можно рассматривать как гиббсовские системы классиче-
классической статистической физики.
Рис. 52, библ. 208 мазв.
20402-021 © «Наука». Главная редакция
П __ 111 -78 1704020000 физико-матс-матич^ском
053@2)-79 литературы. 1'О

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие > ...... 7
Некоторые обозначения 8
Введение 9
Глава I. Уравнения для функций Грина ......... 13
§ 1. Матрица рассеяния . 13
1.1. Матрица рассеяния для моделей скалярного поля . . . 14
1.2. Матрица рассеяния для модели Юкавы 15
1.3. Матрица рассеяния в квантовой электродинамике ... 16
§ 2. Функции Грина скалярного поля 17
2.1. Уравнения Гейзенберга для взаимодействующих полей . . 17
2.2. Определение функций Грина 19
§ 3. Уравнения для функций Грина 21
3.1. Вывод уравнений для функций Грина с помощью уравнений
Гейзенберга 21
3.2. Связь функций Грина с S-матрицей 24
3.3. Вывод уравнений для функций Грина с помощью обобщен-
обобщенной теоремы Вика 26
3.4. Уравнения для перенормированных функций Грина . . 27
§ 4. Уравнения в функциональных производных 30
4.1. Порождающие функционалы 30
4.2. Уравнение для G {/} 32
4.3. Функциональное представление матрицы рассеяния . . 34
4.4. Уравнения для связных частей функций Грина ... 37
§ 5. Уравнения для функций Грина (взаимодействие Юкавы) . . 39
§ 6. Уравнения эволюционного типа для функций Грина ... 44
Глава П. Уравнения для коэффициентных функций 46
§ 7. Уравнения резольвентного типа для коэффициентных функций Fn 46
7.1. Взаимодействие скалярных полей с лагранжианом B.1) 46
7.2. Взаимодействие Юкавы 51
§ 8. Алгебраическая эквивалентность уравнений для коэффициентных
функций и функций Грина 55
8.1. Связь функций Грина с коэффициентными функциями S-мат-
рицы 55
8.2. Уравнение для производящего функционала коэффициентных
функций F п 57
8.3. Уравнения для связных частей коэффициентных функций 60
§ 9. Уравнения эволюционного типа для коэффициентных функций F 61
9.1. Скалярное взаимодействие 62
9.2. Взаимодействие Юкавы 65

4 Оглавление
Глава III. Уравнения для коэффициентных функций в евклидовой области 71
§ 10. Переход в евклидову область в уравнениях для коэффициентных
функций 71
10.1. Взаимодействие Я (: ср4: ) 72
10.2. Взаимодействие Юкавы 84
§. 11. Уравнения для коэффициентных функций в терминах операторов
рождения и уничтожения внешних линий (евклидовых опе-
операторов поля) 90
11.1. Скалярное взаимодействие 90
11.2. Взаимодействие Юкавы , , 95
§ 12. Введение объемного и ультрафиолетового обрезаний . , , 102
12.1. Объемные обрезания 102
12.2. Ультрафиолетовые обрезания 105
Глава IV. Связь евклидовой и конструктивной теорий поля в двумерном
пространстве-времени 107
§ 13. Функциональные пространства 107
13.1. Пространства Фока . , . 107
13.2. Евклидово пространство Ж < , ПО
13.3. Пространство гг B, dp) Ill
§ 14. Гамильтонианы конструктивной квантовой теории поля . .115
14.1. О перенормировке гамильтонианов в конструктивной теории
поля 115
14.2. Взаимодействие к ( :ср4 :J 117
14.3. Взаимодействие Юкавы Y2 122
14.4. Аппроксимированные гамильтонианы 127
§ 15. Производящие операторы уравнений для коэффициентных функ- 134
ций в пространстве Ж
15.1. Скалярное взаимодействие 134
15.2. Взаимодействие Юкавы К2 136
15.3. Производящие операторы Н (h, и, е) 142
§ 16. Связь между гамильтоновым и евклидовым подходами в квантовой
теории поля 145
16.1. Равенство средних 145
16.2. Формула Фейнмана — Каца — Нельсона .... 147
Глава V. Исследование уравнений для коэффициентных функций в конечном
объеме 152
§ 17. Евклидова S-матрица в конечном объеме ...... 152
17.1. Скалярное взаимодействие ........ 152
17.2. Интегрируемость в &г B, dp) ....... 153
17.3. Асимптотичность ряда теории возмущений .... 157
17.4. Формула типа Фейнмана — Каца — Нельсона при х = со 159
17.5. Коэффициентные функции без импульсного обрезания в мо-
модели Юкавы У2 162
§ 18. Термодинамические пределы 164
18.1. Скалярное взаимодействие 165
18.2. Взаимодействие Юкавы 166
18.3. Формула Гелл-Манна — Лоу для функций Грина в конеч-
конечном объеме 167
§ 19. Уравнения резольвентного типа и слабое асимптотическое раз-
разложение в пределе бесконечного объема 169
19.1. Некоторые предварительные построения .... 169
19.2. Уравнения резольвентного типа в слабой форме . . , 174
19.3. Коэффициентные функции при бесконечном объеме . . 176

Оглавление о
Глава VI. Уравнения для коэффициентных функций при бесконечном
объеме . . . . ..... 180
§ 20. Гильбертово пространство трансляционно-инвариантных функций 180
20.1. Пространства hj^ g 180
20.2. Ортогональность пространств hjj o ..... 182
20.3. Определение пространства h 183
§ 21. Производящий оператор уравнений резольвентного типа в про-
пространстве hT 184
21.1. Постановка задачи 184
21.2. Алгебраическая структура оператора А .... 186
21.3. Область определения оператора А 190
§ 22. Свойства оператора А. Существование решений для аппрок-
аппроксимированного уравнения 194
22.1. Свойства оператора А 194
22.2. О решении уравнения резольвентного типа в hT . .201
§ 23. Исследование гамильтониана системы N частиц в пространстве hN 205
23.1. Постановка задачи 205
23.2. Система бозонов с потенциальным взаимодействием в про-
пространстве h? 207
§ 24. Гамильтониан взаимодействия модели X (: <р4 :J в пространстве hT 213
Глава VII. Исследование матрицы рассеяния методами равновесной ста-
статистической механики 222
§ 25. Сведения из равновесной классической статистической механики 222
25.1. Об аналогии между моделями евклидовой квантовой теории
поля и классической статистической механикой . . . 222
25.2. Корреляционные функции 223
25.3. Уравнения Кирквуда — Зальцбурга для корреляцион-
корреляционных функций 225
25.4. Решение уравнений Кирквуда — Зальцбурга .... 228
25.5. Описание бесконечных систем равновесной статистической
механики в рамках формализма канонического ансамбля 232
§ 26. Уравнения Кирквуда — Зальцбурга для коэффициентных функ-
функций матрицы рассеяния 23G
26.1. Производящий функционал для матрицы рассеяния и S-кор-
реляционные функции 230
26.2. S-корреляционные функции при конечном объеме для не-
неполиномиальных моделей со сглаженным пропагатором '¦',','•
26.3. Уравнения типа Кирквуда—Зальцбурга для S-кор-
реляционных функций 241
26.4. Решение уравнений Кирквуда — Зальцбурга . . . 246
26.5. Предел последовательности р при стремлении объема к
бесконечности ^ 249
26.6. Модели с нефинитным jg (a) 251
26.7. S-корреляционные функции в рамках канонического ан-
ансамбля 253
Глава VIII. Уравнения квантовой электродинамики 257
§ 27. Уравнения для функций Грина 257
27.1. Уравнения Швингера 258
27.2. Функциональные уравнения ....... ?6О
§ 28. Уравнения для коэффициентных функций l<<>3

6 Оглавление
28.1. Уравнения резольвентного типа ...... 263
28.2. Уравнения эволюционного типа 265
28.3. Уравнения евклидовой квантовой электродинамики , , 268
§ 29. Исследование уравнений для коэффициентных функций . . 272
29.1. Уравнения для функций Fm п с формфактором . . . 272
29.2. Пространство, в котором определен оператор Л ... 276
29.3. Свойства производящего оператора 278
29.4 Существование решения уравнения B9.3) .... 280
Заключение 284
Литература 285
Именной указатель 291
Предметный указатель 293

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая монография посвящена исследованию матрицы рас-
рассеяния моделей квантовой теории поля. Направление в современ-
современной теоретической физике, которое ставит себе целью исследовать
модели квантовой теории поля методами современной математики,
получило название конструктивной квантовой теории. Поэтому мож-
можно сказать, что предмет данной монографии — конструктивная тео-
теория евклидовой матрицы рассеяния, а сама монография является
книгой по современной математической физике.
Авторы пытались изложить материал так, чтобы он был доступен
для читателей, владеющих аппаратом квантовой теории поля и зна-
знакомых с методами функционального анализа, и чтобы книга была
внутренне замкнутой. Поэтому в ней много места уделено выводу
уравнений, переходу в евклидову область; приводятся все (иногда
сложные) выкладки; большинство сформулированных утвержде-
утверждений доказываются.
Авторы благодарят Н. Н. Боголюбова, В. С. Владимирова и
Д. В. Ширкова за критические замечания и поддержку. Авторы
благодарны М. К. Поливанову, О. И. Завьялову и В. Н. Сушко,
прочитавшим рукопись и сделавшим ряд критических замечаний и
предложений, способствовавших ее улучшению.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Элементами d-мерного псевдоевклидова пространства являются векторы
х = U°, xl,x2, . . .,xs), d=s+l. Метрика определена с помошью тензора
gHV . gUV = 0 при v=^ [t) g00 = _ gll = _ _ = _gSS = ,
Для производных по хи введены следующие сокращения:
з
A=0
Спиноры, сопряженные по Дираку, обозначаются следующим образом:
ij) (х) = (— i) я)) (ж) 7° Для модели Юкавы и ч(з (а;) = -ф (х) у" для квантовой элект-
электродинамики в зависимости от того, какое представление выбрано Для •у-штрии,-
Для известных функциональных пространств выбраны следующие обозна-
обозначения:
Rd {Rs) — евклидово d-мерное (s-мерное) пространство;
6^2 (R ) — пространство квадратично-интегрируемых функций, заданных
на Rd;
У^2.(> — пространство квадратично-интегрируемых функций с весом р;
^2 B, dfi) — пространство квадратично-интегрируемых функций на множестве
2 по мере d(i, заданной на 2;
?6p(S,d(i) — пространство интегрируемых в степени р функций по мере d\i,
заданной на 2;
??со B, dp.) — множество интегрируемых функций с любой степенью:
С — поле комплексных чисел;
Со — множество ограниченных функций;
С^° — множество ограниченных бесконечно дифференцируемых функций.
Остальные пространства будут вводиться по ходу изложения.
Значком (g) будем обозначать прямое произведение

ВВЕДЕНИЕ
В последние годы решены уравнения для коэффициентных функ-
функций в евклидовой области моделей скалярного поля в двумерном
пространстве-времени и нелокальных неполиноминальных моделей,
т. е. для моделей, в которых ультрафиолетовые расходимости не
возникают. Решены также уравнения для коэффициентных функций
моделей взаимодействующего скалярного и фермионного полей и
квантовой электродинамики с пространственными и импульсными
обрезаниями. В монографии сделана попытка математически стро-
строго и последовательно изложить эти результаты. Таких строгих ре-
результатов, полученных методами функционального анализа и с
помощью аналогий между квантовой теорией поля и статистиче-
статистической физикой, накопилось довольно много в периодической лите-
литературе, и возникла настоятельная необходимость привести их в
порядок.
Матрица рассеяния полностью задается своими коэффициентны-
коэффициентными функциями, и проблему ее построения можно свести к задаче ре-
решения уравнений для коэффициентных функций.
Основным методом исследования матрицы рассеяния в кванто-
квантовой теории поля до недавнего времени был метод теории возмуще-
возмущений. Начатые в пионерских работах Фейнмана — Швингера —
Дайсона исследования матрицы рассеяния по теории возмущений
получили свое завершение в работах Боголюбова и его школы.
В итоге в рамках теории возмущений была построена ковариантная,
причинная, унитарная, конечная в любом порядке по теории воз-
возмущений матрица рассеяния.
В работах Боголюбова — Ширкова — Медведева — Поливано-
Поливанова были сформулированы аксиомы теории матрицы рассеяния и да-
дана их реализация по теории возмущений. Если бы к этому еще
доказать сходимость рядов теории возмущений для матрицы рассея-
рассеяния (конкретных моделей) или просуммировать их, то была бы по-
построена полная теория матрицы рассеяния с общей системой акси-
аксиом и их нетривиальной реализацией.
В связи с этим в последнее десятилетие повысился интерес к
проблеме существования матрицы рассеяния, первоначально за-
заданной формальным рядом теории возмущений, к задаче сходимос-
сходимости или суммируемости рядов теории возмущений.

10 Введение
Для решения этой задачи был предложен новый метод исследо-
исследования матрицы рассеяния с помощью уравнений для коэффициент-
коэффициентных функций, которые полностью определяют матрицу рассеяния
и играют основополагающую роль в теории матрицы рассеяния Бо-
Боголюбова — Ширкова — Медведева — Поливанова.
Для i /вода уравнений был использован прием, многократно
применявшийся как в квантовой теории поля, так и в статистичес-
статистической физике. А именно, из формальных рядов теории возмущений
можно вывести некоторые тождественные соотношения между ко-
коэффициентными функциями. Эти соотношения объявляются урав-
уравнениями для коэффициентных функций, и задача о сходимости или
суммируемости рядов теории возмущений сводится к доказатель-
доказательству существования решения уравнений для коэффициентных функ-
функций.
Были получены два типа линейных уравнений для коэффици-
коэффициентных функций — эволюционного и резольвентного типов. Ите-
Итерации уравнений эволюционного типа воспроизводят весь ряд тео-
теории возмущений для коэффициентных функций, итерации уравне-
уравнений резольвентного типа — ряд теории возмущений без вакуумных
петель. Первыми удобно пользоваться для исследования матрицы
рассеяния моделей с импульсными и пространственными обрезани-
обрезаниями, вторыми — при доказательстве существования предела для
коэффициентных функций при снятии обрезаний.
Для решения этих уравнений оказалось удобным перейти в об-
область с чисто мнимой энергией или временем — в евклидову об-
область.
Был разработан метод решения уравнений, основанный на
евклидовом пространстве Фока и операторах рождения и уничто-
уничтожения внешних линий диаграмм или евклидовых полевых операто-
операторов. В основе метода лежит то обстоятельство, что производящие
операторы уравнений являются аналогами обычных гамильтониа-
гамильтонианов взаимодействия, а операторы рождения и уничтожения внешних
линий сохраняют статистику.
Вначале доказывалось существование решений уравнений для
моделей с формфактором или пространственным и импульсным об-
реаанием, причем выяснилось, что для бозонного поля ряды тео-
теории возмущений являются расходящимися, но асимптотическими,
а для взаимодействующих фермионных и бозонных полей ряды
теории возмущений просто сходятся.
Последующей задачей было снятие обрезаний в решениях.
Эта задача оказалась весьма близкой к задаче о существовании термо-
термодинамического предела для функций распределения или корреля-
корреляционных функций в равновесной классической статистической фи-
физике и для моделей с неполиномиальным взаимодействием решалась
с помощью методов, развитых Боголюбовым в статистической
физике.

Введение И
В результате для ряда моделей получено решение уравнений
для коэффициентных функций без обрезаний в евклидовой области.
Так как по решениям в евклидовой области можно воспроизвести
теорию в псевдоевклидовой области, то на этом пути можно постро-
построить решения нетривиальных моделей квантовой теории поля.
Параллельно этому подходу, который можно математически оха-
охарактеризовать как операторный или функциональный, развивался
вероятностный подход, в котором основные величины квантовой тео-
теории поля связываются с математическим ожиданием случайных
процессов. Такой подход изложен в монографии Саймона
[146].
Настоящая монография ставит себе целью подытожить резуль-
результаты, полученные в первом (функциональном) подходе и является
попыткой последовательно изложить исследования уравнений для
коэффициентных функций операторным методом.
Монография состоит из восьми глав.
В первой главе монографии выведены уравнения для функций
Грина и уравнения в вариационных производных для производяще-
производящего функционала. Построены формальные решения для производяще-
производящего функционала.
Во второй главе выведены уравнения эволюционного и резоль-
резольвентного типов для коэффициентных функций и показана их экви-
эквивалентность уравнениям для функций Грина.
В третьей главе с помощью голоморфного продолжения получе-
получены уравнения для коэффициентных функций в евклидовой области.
Введены операторы рождения и уничтожения внешних линий диа-
диаграмм и уравнения записаны в операторной форме.
В четвертой главе построены решения для моделей скалярного
поля и модели Юкавы с пространственным и импульсным обреза-
обрезанием. Решения строятся на основе изучения производящих опера-
операторов в евклидовом пространстве Фока.
В пятой главе построены решения без импульсных обрезаний;
показывается, что в слабом смысле можно снять объемные обреза-
обрезания; для бозонного поля изучаются вопросы термодинамического
перехода к пределу.
В шестой главе уравнения для коэффициентных функций рас-
рассматриваются непосредственно при бесконечном объеме в специфи-
специфических гильбертовых пространствах трансляционно-инвариантных
функций. Решены определенные аппроксимированные уравнения.
Показано, что в таких пространствах можно определить гамильто-
гамильтонианы квантовой теории поля как операторы.
В седьмой главе неполиномиальная нелокальная модель скаляр-
скалярного поля изучается методами классической статистической физи-
физики. Вводятся S-корреляционные функции для матрицы рассеяния и
уравнения Кирквуда — Зальцбурга и доказывается, что S-кор-
S-корреляционные функции, и вместе с ними и коэффициентные

12 Введение
функции, существуют при бесконечном объеме и являются голо-
голоморфными функциями по константе связи в некоторой окрестности
нуля. Изучаются аналогии между моделями квантовой теории
поля и равновесной статистической механикой.
В восьмой главе изучаются уравнения для коэффициентных
функций квантовой электродинамики. Показано, что после введе-
введения надлежащих обрезаний решения являются целыми функциями
по константе связи.

Глава I
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Функции Грина были введены в квантовую теорию поля Бо-
Боголюбовым [13], Швингером [199, 200], Гелл-Манном и Лоу
[36]. Они определяются как средние по вакууму от произведе-
произведения упорядоченных во времени квантованных полей. В отличие
от нелинейных уравнений для взаимодействующих квантован-
квантованных полей, уравнения для функций Грина линейны. Благодаря
этому удобно исследовать модели квантовой теории поля с по-
помощью уравнений для функций Грина. В настоящей главе будут
выведены уравнения для функций Грина [86, 89, 132, 155, 162,
173, 199] для двух моделей взаимодействующих скалярных и
спинорных полей.
§ 1. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Напомним основные положения, которые лежат в основе тео-
теории матрицы рассеяния E-матрицы). 5-матрицу обычно опре-
определяют как оператор в пространстве состояний, связывающий
начальное состояние Ф(—оо) с конечным состоянием ф( + оо)
соотношением
ф(+ oo) = S®(—оо).
Квадраты модулей соответствующих матричных элементов опе-
оператора S определяют вероятности переходов процессов рассея-
рассеяния элементарных частиц.
В работах Томонаги, Швингера, Фейнмана и Дайсона F2,
165, 168, 198] оператор 5 был построен методом теории возму-
возмущений в виде разложения по степеням взаимодействия:
J [ J, (x) dxj,
A.1а)
где {?] (х) — лагранжиан взаимодействия.
Особую наглядность S-матрице придал Фейнман, который пер-
первым использовал графическое изображение для ее матричных
элементов. Матричные элементы изображались в виде диаграмм
и были даны правила вычисления вкладов от этих диаграмм.
В работах Боголюбова и Ширкова [24, 25] было дано аксио-
аксиоматическое построение 5-матрицы. Было показано, что на осно-

14 Уравнения для функций Грина Гл. I
вании таких общих физических требований, как лоренц-инвари-
антность, причинность, локальность и унитарность, можно раз-
развить теорию возмущений для матрицы рассеяния и построить
ее в виде разложения A.1а).
Вместе с тем при построении рядов теории возмущений обнару-
обнаружились серьезные трудности, связанные с расходимостью отдельных
членов ряда и со сходимостью ряда в целом.
Наличие расходимостей в отдельных членах ряда теории воз-
возмущений для матрицы рассеяния и сомнения относительно сходи-
сходимости всего ряда, а также принципиальная непригодность рядов
теории возмущений при больших константах взаимодействия вызва-
вызвали к жизни новое направление — аксиоматический подход в теории
S-матрицы. В аксиоматическом подходе [14, 15] считается, что
S-матрица существует и на теорию налагаются такие разумные и с
точки зрения физики необходимые требования, как лоренц-инва-
риантность, причинность, локальность, спектральность и некоторые
требования математического характера. Используя эту информа-
информацию, изучают свойства основных величин теории — матричных
элементов S-матрицы.
Это направление позволяет установить фундаментальные и об-
общие факты и некоторые важные соотношения между наблюдаемыми
величинами [15]. Однако оно лишь извлекает следствия из основ-
основных постулатов теории и не дает метода определения основных ее
величин.
Для детального динамического описания теории нужно знать
характер взаимодействия системы, т. е. задать лагранжиан взаимо-
взаимодействия и по нему найти S-матрицу, которая удовлетворяет всем
требованиям общей теории.
Рассмотрим более детально структуру матрицы рассеяния для
тех моделей, которые исследуются в настоящей монографии.
1.1. Матрица рассеяния для моделей скалярного поля
Рассмотрим пример самовзаимодействующего скалярного поля
с лагранжианом:
?,(*) = —Я,: Ф«(х):
в представлении взаимодействия. Здесь ср0 (х) — свободное скаляр-
скалярное поле Если подставить это выражение в разложение A.1а),
раскрыть Т-произведение по теореме Вика и собрать члены при оди-
одинаковых нормальных произведениях свободных полей ср0 (х), то
мы получим представление S-матрицы в виде разложения по нор-
нормальным произведениям свободных полей:
-~= [dx1...dxnFn{xi,...,xn):%(x1)...%{x):. A.16)

§ ] Матрица рассеяния 15
Коэффициенты /-*„ (лг,, ..., хп) при нормальных произведениях
: ф0 (*!)...ф0 (х„) : называются коэффициентными функциями мат-
матрицы рассеяния [14, 15]. Они являются симметричными функциям»
по переменным хи ...., х„ и выражаются формальными степенными-
рядами по константе взаимодействия X:
Fn (х1г. . ., *„)=.
<?=0
где Flnk> (xv. . ., х„) есть сумма вкладов всех диаграмм Фейныана с
k вершинами и п внешними линиями
В аксиоматической теории матрицы рассеяния [14, 15] разложе-
разложение A.16) кладут в основу общей теории, налагая на функции
Fn(xu ..., хи) определенные требования, которые обеспечивают
выполнение аксиом теории.
Целью настоящей книги является построение уравнений для
коэффициентных функций в конкретных моделях взаимодействия
и нахождение их решений вне рамок теории возмущений.
1.2. Матрица рассеяния для модели Юкавы
Модель Юкавы описывает взаимодействие фермионного и ска-
скалярного полей. Лагранжиан взаимодействия этой модели имеет
вид
<?, (х) = - X ^ : %,а М %л М Фо W :• ' 1 3>
01=1
Разложение S-матрицы по нормальным произведениям свободных
полей будет иметь более сложную алгебраическую структуру, во-
первых, из-за того, что спинорное поле имеет d компонент, а во-
вторых, из-за того, что S-матрица должна описывать взаимодей-
взаимодействие как частиц, так и античастиц. Это разложение имеет вид
S= ^ 2 j dxi ¦ ¦ ¦ dxndyi ¦ ¦ ¦ Аутдал . .. dzmFm,n (а^,, ...,атут»
m.n=0al am
B, Pm
PA, • • - Pm2m; x, *„): %,ai (г/i) • • • \am (Ут) %Лг Bt) • • •
• • ¦ %,fim (Zm) Фо (*l) ¦ ¦ • Фо (Xn)- ¦ П .4}
Коэффициентные функции Fm,n(...) симметричны по переменным
xv...,xn и антисимметричны по переменным a^v. . -,атут »
l> • • ' Pm2m-

46 Уравнения для функций Грина Гл. I
1.3. Матрица рассеяния в квантовой электродинамике
Лагранжиан взаимодействия в квантовой электродинамике име-
имеет вид
а,3=1 и=0
где tyQ „ (х) и ip0 р (х) — свободные электроннопозитронные поля, a
4,р(*) — свободное электромагнитное поле. Из-за векторного ха-
характера электромагнитного поля До.цМ выражение для матрицы
рассеяния будет иметь еще более сложную алгебраическую струк-
структуру, чем в случае взаимодействия Юкавы:
5= У I У 2 \ctxl...dxndyi...dymdz,...
. . dzmPm,n (a,t/,, . . -, атг/т; P,2j, . . ., Ртгт; цЛ. ¦ ¦ -. МЛ) X
х : %^ (Уг) ¦ ¦ ¦ Vm (Ут) %,ь (г,) ¦ • - ^0,Вш (г J Л0<Ц1 (хх). .. Ло ^ (хJ:.
Как и в случае взаимодействия Юкавы, функции Fm_n (, ..) симмет-
симметричны по переменным ^х,, . . ., \inxn и антисимметричны по пере-
переменным «,#!, .. ., атут и PjZj, . .., pmzm.
В заключение настоящего параграфа отметим, что матрица рас-
рассеяния (а значит, и коэффициентные функции) тесно связана с дру-
другим важным объектом теории квантованных полей — функциями
Грина. Функции Грина и матрица рассеяния обладают взаимно
дополняющими свойствами.
Модели квантовой-теории поля раньше обычно исследовались с
помощью уравнений для функций Грина, поэтому в первой главе
будет сделано небольшое отступление от основной темы книги.
В ней будут выведены уравнения для функций Грина и построены
их формальные решения.
Однако нам представляется целесообразным исследовать моде-
модели квантовой теории поля с помощью эквивалентных уравнений для
коэффициентных функций, которые, на наш взгляд, менее сингу-
сингулярны, чем уравнения для функций Грина, обладают высокой сим-
симметрией и более удобны для строгого математического исследования.
Во всех остальных главах книги будут исследоваться уравне-
уравнения для коэффициентных функций.

§ 2 Функции Грина скалярного поля 17
§ 2. ФУНКЦИИ ГРИНА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
2.1. Уравнения Гейзенберга для взаимодействующих полей
Рассмотрим модель нелинейного вещественного скалярного
поля с массой \i и константой взаимодействия К, описываемую ла-
лагранжианом
2 (*) = ?„ (*) + ?,(*). B-1)
где
^ () дУ № а"ф () * (Р2 М
Символом : ... : *) обозначен результат вычитания из произведения
операторов ср (х) всевозможных вакуумных средних (как будет
видно из дальнейшего, это нужно для сокращения в решениях урав-
уравнений для функций Грина сингулярностей при совпадающих аргу-
аргументах).
В общем случае такое произведение определяется рекуррентной
формулой
: ф (xj . . . ф (хп): =
П
= ср (Xl). .. ф (*„) - ^ 2 (фо> Ф Ц.) ¦ ¦ • Ф (^;,)фо) '• Ф(*/,) ••¦ Ф(^„_г):,
r=2 P'
B.2)
где сумма "V берется по всем разбиениям индексов 1,...,л на
р'
различные группы it, . . ., ir, jlt-. ¦ ., jn_r, причем t4 < B < ... < ir,
/i</2<- ••</„_, и 2^.rs^.«, а Фо — вакуумный вектор, который
мы определим ниже. Если поля (р(хх),..., ф(%„) свободные, то
:ф (Xj). . . ф (хп): означает нормальное произведение этих полей, а
формула B.2) выражает обычную теорему Вика ([251, § Щ-
Вариационный принцип стационарного действия 6Л = 0 **), где
А= [^?(x)dx — действие системы, приводит к уравнению Клейна —
Гордона с нелинейным членом:
— апа"ф (х) — Ц2Ф (х) == (? — ц2) Ф (х) = 41: ф3 (х):. B.3)
Поле ф (х) является операторнозначной обобщенной функцией.
Операторная структура этой функции определяется одновремен-
одновременными коммутационными соотношениями
_ = о,
*) См., например, [30], § 4.
**) См., например, [25], § 2.
2 Д- Я. Петрина и др.

18 Уравнения для функций Гринэ Гл. 1
которые являются обобщением коммутационных соотношений меж-
между координатой и импульсом в квантовой механике.
Приступим к решению уравнения B.3), т. е. к определению опе-
оператора ф (х), удовлетворяющего B.3) и B.4). Рассмотрим вначале
уравнение B.3) при Л. == 0:
(? — н.2)Ф(л0 = О. B.5)
Уравнение B-5) описывает свободное, невзаимодействующее поле
Ф0(л:); его решение имеет вид ([25], § 11)
Фо (х) = <P,t (х) + ф;г (х),
где
Здесь
К w = ^ 1 * ^щт *4 <*)¦ <2-6>
= "9" \ > , :(дп% (*)) • + F :Фп
2 J ^ZJ
Используя B.6), нетрудно проверить, что поле Фо (х) удовлетворяет
коммутационным соотношениям B.4). Чтобы получить решение
уравнения B.3), введем полный гамильтониан системы
НХ^=НО + ХН1, B.7)
где Но—свободный гамильтониан:
dx =
= U (fc) a+ (fc) сГ (fc) dk, B.8)
¦ — гамильтониан взаимодействия:
): dx. B.9)
Покажем теперь, что решение уравнения B.3) можно представить
формулой
(р(х) = е \@,х)е \ B.10)
Легко получить из B.10), что
ДФ (jc) = е'^Дф,, @, х) е~~и°Н% B.11)
и
доФ (х) = 1еи°Н% [Нх, ф0 @, х)]_е~1Х°"\ B.12)
Используя B.7)—B.9) и коммутационные соотношения B.4), на-
находим, что
[Hv Ф0 @, х)}_ = - idQq> {х) 1^. B.13)

$ 2 Функции Грина скалярного поля 19
Подставляя B.13) в B.12) и дифференцируя B.12) по х°, получим
а02Ф(х) = ie"H%[Hk,аоФ (х) \3ML.e~bfiH\ B.14)
Аналогично B.13) находим
[нх, аоФ (х) i^^l=- ;д<р0 (о, Х) + щ2% (о, х) + т ¦. ф-> $, ху..
Тогда B.14) примет вид
а'ф (х) = ех"И% [Дф0 @, х) — [а2ф0 @, х) — 4Я: Фо3 @, х):] е~^Н% =
= АФ(^) — (а2ф(д;) — 4Я:ф3(*):, B.15)
откуда следует, что решение B.10) удовлетворяет уравнению B.3).
Разумеется, решение B.10) носит чисто формальный характер.
Чтобы придать строгий математический смысл выражению B.10),
необходимо построить самосопряженный оператор Н%, действующий
в определенном гильбертовом пространстве. При решении этой за-
задачи обычно сталкиваются с рядом серьезных математических труд-
трудностей. Прежде всего, это объемные и ультрафиолетовые расходи-
расходимости, а также проблема существования вакуумного состояния, т. е.
такого собственного вектора Фо, для которого
/^Ф„ = 0. B.16)
Преодоление этих трудностей составляет основную задачу конструк-
конструктивной теории поля. Обычно сначала рассматривается модель в ко-
конечном объеме V или, что то же самое, неполностью включенное
взаимодействие с интенсивностью 0 <! g (х) < 1, сосредоточенной
в V. Ультрафиолетовые расходимости устраняются понижением раз-
размерности пространства-времени или же введением обрезания при
больших импульсах. Для такой модели с обрезаниями строятся ре-
решения. Дальнейшей задачей является нахождение подходящего спо-
способа снять введенные обрезания. Такая программа была частично
реализована для двумерных моделей в серии работ [44, 46, 47, 141].
Существует другой подход к описанию взаимодействий кванто-
ванных полей. Он заключается в том, что вместо нелинейного опера-
операторного уравнения B.3) рассматривают систему линейных урав-
уравнений для функций Грина. К выводу таких уравнений мы приступим
в следующем параграфе.
2.2. Определение функций Грина
Для скалярного поля л-точечная функция Грина определяется
следующим выражением:
Сп 1*1. ...,*„) — (Фо. Т (Ф (xj... <р (*„)) Фо), B.17)
Z* 19

20 Уравнения для функций Грина Гл. I
где
Т (Ф (xt)... Ф (хп)) = 2 е К ~ *?.) • • ¦ е<*?„_, - *?„) <Р Ц,)~Ф<*«П)
B.18)
— хронологическое произведение операторов ф (xt)... ф (хп), символ
\* означает суммирование по всем перестановкам t\,..., in индек-
р
сов 1,...,/г, a 9(jco> = 1 для х°>0 и Э(л:о) = О для л;°<0.
Для свободного скалярного поля функции Грина вычисляются
явно е помощью теоремы Вика для Г-произведения (см. [25J, § 19):
° (xv ...,xn) = (Qb, Т (ФО (х,)... Ф0 (хЛ)) Qb) =
-JJD' (x(j - xt) ...\DC {xin_^ - xin) для п четного, B.19)
Gn(xv ..., xn) = 0 для п нечетного.
В формуле B.19) Qb обозначает вакуумное состояние для свобод-
свободного бозе-поля, а Р' означает, что ix<. t'2< ... <С in_i < in. Функ-
Функция D' (х — у) является функцией Грина уравнения Клейна —
Гордона и представляется в виде
f Dc (х - у) = (Qb, Т (Фо (х) Фо (у)) Йь) =
^P/_p,_ie- B.20)
Она является обобщенной функцией, при х = у интеграл B.20)
расходится. Получим из B.19) одно важное соотношение, которое
понадобится нам в дальнейшем. Разобьем для этого сумму \ в
правой части выражения B.19) на л— 1 сумм так, чтобы в каж-
каждом члене 1-й суммы присутствовала функция — If {хг — х2), в
каждом члене 2-й суммы—функция -г- Dc (jc, — х3) и т. д., и нако-
наконец, каждый член (п— 1)-й суммы содержал — Dc (xt — хп). Если
вынести в каждой сумме эти функции за скобки, то оставшиеся
части в силу определения B.19) будут функциями Грина от л—2
переменных. Следовательно, мы получим формулу
uni*ti ¦ ¦ •> Хп) = \ ~ ' х— г' "~2\Х2, . . ., Xr—\,Xr+\t • • •< Хп).
г=2
B.21)

§ 3 Уравнения для функций Грияа 2!
Функции Грина введены, согласно формулам B.17) и B.18),
чисто формально через произведения функций Хейвисайда 6 (х*>)
на операторнозначные обобщенные функции ф (х), структура кото-
которых пока неизвестна. Мы используем выражения B.17) и B.18)
для вывода уравнений для функций Грина. Будем для этого фор-
формально дифференцировать B.17), используя уравнение B.3) и ком-
коммутационные соотношения B.4). Как определить уравнения для
функций Грина, чтобы они имели смысл, мы покажем позже, поеле
попытки решить их по теории возмущений.
Приступим теперь к выводу уравнений для функций Gn.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
3.1. Вывод уравнений для функций Грина с помощью уравнений
Гейзенберга
Подействуем на выражение B.18) оператором
Ai = —f + • • • Ч ^ •
1 1
Так как пространственные переменные х\,...,х> входят только в
операторы поля, то из B.18) следует, что
Д,Г (Ф (Xl). .. Ф (*„)) = Т (Д1Ф (хг) Ф (д^). .. Ф (*„)). C.1)
Продифференцируем выражение B.18) по переменной х\. Для это.
го разобьем сумму в B.18) на п сумм, в каждой из которых перемен.
ная х\ стоит на фиксированном месте. Учитывая, что <У> (х°) =
= 6 (х°), получим
doj (Ф (хО .. . Ф (*„)) = Т (д„Ф (ЛЧ) Ф (х-,)... Ф (*„)) +
О / V^ vO \ А / vO vO \ А { vO ___ уО \ (Т) / v \ ID t Vt Л ID i V ^ . 1
p
n—1
r=2 P
ХбЙ-й I...6(х? — л°)ф(х. ).. .<P(xtr)<p(xJ
...Фи
r=2 p
),ф(^.)|_

22 Уравнения для функций Грина Гл. I
В силу коммутационных соотношений B.4) второй член в C.2)
обращается в нуль, и поэтому
дпТ(<p(*i)... ф (ха)) = Т (dolcp (Xl) Ф (хг)... Ф(хп)). C.3)
Дифференцируя C.3) по х° и выполняя те же операции, что и в
C.2), получим
dliT (ф (xt)... Ф (хп)) = Г(до2,ф (JCi) Ф (*2)... ф (хп)) +
r=2 P
X ф (Х,ш) . - . Ф (jCtr_!) б (х° — х\) [а01ф (Xl), ф (Х,Г)]_Ф (Х,г+,) . . . Ф (Xtn).
Используя снова B.4), имеем
dliT(ф(хО... ф(х„)) = Г
- 2 й<*1 — ^^Ср W • • • фМф(хг+1). .. ф (*„)). C.4)
г=2
Уравнение Гейзенберга B.3) вместе в формулами C.1) и C.4) при-
приводит к соотношению
). C.5)
Учитывая B.2), выразим :ц>3(х): через обычное произведение:
: ф3 (Xl): = ф» (хО — 3 (Фо, Ф (Xi) Ф (%) Фо) Ф {хг).
Функция (Фо, Ф (х) ф (у) Фо) есть двухточечная функция Вайтмана,
которая при х = у совпадает со свободной *), т. е.
(Фо- Ф (*l) Ф (*l) Фо) = ^2 @) = TD~ <0) = С-
Тогда
: Ф3 (Хх): = Ф3 (хО - ЗСф (Xl). C.6)
Подставляя C.6) в C.5), усредняя по физическому вакууму и ис-
используя определение функций Грина B.17), получим уравнения для
функций Gn(xlt....xn):
, xx, xv xv ..., xn) — l2KCGn(хг,..., xn) +
— xr)Gn_2(x2,. ..,xr-[,xr+u...,xn). C.7)
*) См., например |197], гл. 17, § 2.

§ 3 Уравнения для функций Грина 23
Уравнения C.7) содержат слагаемое с бесконечной константой
С. Как будет видно из дальнейшего изложения, при решении урав-
уравнений C.7) по теории возмущений возникают расходящиеся выра-
выражения, часть которых и компенсируется этим слагаемым (сингуляр-
(сингулярности при совпадающих аргументах). Эти уравнения очень часто
называют уравнениями Швингера [199, 201].
Преобразуем C.7) в интегральное уравнение, обращая оператор
Hi — Ц2. Для этого будем считать, что правая часть в уравнении
C.7) известна, и разрешим его относительно функции G {хи ..., хп).
Эта процедура неоднозначна, так как к определенному решению
всегда можно прибавить функцию, которая обращается в нуль под
действием оператора Di — Ц2. Чтобы избавиться от этой неодно-
неоднозначности, потребуем, чтобы при К = 0 интегральное уравнение,
соответствующее C.7), совпадало с B.21).
При А. = 0 уравнения C.7) примут вид
= ^ '6 (*1 ~~ *<¦) G"-2 (*l. • • -. Xr-i, Xr+i Хп). C.8)
г =2
Для п = 2
(П1 - ц2) G2 (xv хг) = i6 (х, - х2), C.9)
и вышеуказанное требование приводит к тому, что
G2 (xv хг) = G°2 (xlt хг) = -f D° Ui — Ч)
и
Gn(Xx, . . ., Xn) = Gn(X! Xn) =
со
= 2 -TDC{xi~x')G°n-2(x*> • • ->x'-uXr+i xn). C.10)
r=2
Теперь, учитывая C.9), C.10), C.7) можно переписать в виде
Gn (*! хп) = — 4tl f dylDc (хг — у) Gn+2 (у, у, у, хг *„)
y-j- lf(xl-y)Gn{y,x7, xn) +
J_qc/x x )G (x x Xr+i x ). C.
2

24 Уравнения для функций Грина Гл. I
Полагая в C.11) ^ = О, действительно получаем B.21), C.10).
Удобно ввести следующие графические обозначения:
X
У и»
C.12)
О - рсго).
Уравнение C.11) в обозначениях C.12) примет вид
Заметим, что, в силу инвариантности лагранжиана B.1) отно-
относительно замены <р (х) ->- — ф (л;), функции Грина также должны
обладать такой инвариантностью. Тогда, в силу определения B.17),
для п = 2k — I (k = I, 2, ...)
Gn (xv ..., хн) = — Gn {xv ..., xn) = 0, C.14)
а уравнение C.11) справедливо для п = 2k.
3.2. Связь функций Грина с 5-матрицей
Свяжем функции Грина с матрицей рассеяния. Для этого выра-
выразим их через операторы полей в представлении взаимодействия.
В таком представлении функции Gn будут иметь вид
Gn (xlt..., хп) = V (йь. Т (Фо (xL)... Фо(х„) S) Qb), C.15)
где 50 = (Qft, 5Qfc) — сумма вкладов от всевозможных вакуумных
диаграмм Фейнмана. Выражение C.15) эквивалентно выражению
B.17). Чтобы установить это, покажем, что функции C.15), как и
функции B.17), удовлетворяют уравнениям C.11). При доказатель-
доказательстве этого утверждения будем следовать работе [132]. Сформулируем
утверждение, которое принято называть «обобщенной теоремой Ви-
Вика» [132] (см. также [25], § 34).
Обобщенная теорема Вика утверждает, что вакуумное ожидание
от хронологического произведения п + 1 линейных (свободных)

§ 3 Уравнения для функций Грина 25*
операторов АВ\ ... В„ равно сумме п вакуумных ожиданий хроноло-
хронологических произведений тех же операторов со спариваниями од-
одного из этих операторов со всеми остальными, т. е.
(О„, Т (АВХ.. . Вп) пь) = 2 (Оь. Т (АВ, ...Bt... Bn)Qb). C.16)
Справедливость формулы C.16) непосредственно вытекает из
обычной теоремы Вика для Г-произведений ([25], § 19) и того фак-
факта, что вакуумные ожидания нормального произведения любого
отличного от нуля числа неспаренных операторов равны нулю.
Действительно, применяя теорему Вика к Г-произведению левой
части выражения C.16), получим сумму, каждый член которой со-
содержит определенным образом спаренные операторы А, Ви ..., Вп.
Если теперь объединить все члены, содержащие спаривание опера-
оператора А с Blt то получим выражение
(пь,Т(Яв1В2...Вп)пь). C.17)
Далее, объединяя все члены, содержащие АВ2, получим (Qb,
Т (ABiBz...Bn)Qb) и т. д. Сумма членов типа C.17) является правой
частью выражения C.16), что и доказывает теорему. (Для случая,
когда все операторы являются свободными скалярными полями,
обобщенная теорема Вика фактически доказана нами в § 2.2.)
Чтобы применить эту теорему к выражению C.15), нужно обоб-
обобщить понятие хронологического спаривания на случай, когда один
из операторов не является линейным по полю ф0 (х) (см. [25], § 34).
Введем сначала операцию спаривания оператора ср0 (х) с лагран-
лагранжианом (Xi (у). Выражение фо?6 естественно определить как сумму
нормальных произведений со всеми возможными спариваниями опе-
оператора фо с операторами, входящими в {?¦}. Например, для <?i (у) =
= —X : ф|* (у) : получим по определению
j (У) ¦= - 4Ьф0 (х) ф0 (у): Ф^ (у):. C.18)
Для определения хронологического спаривания оператора ф0 (х) с
S-матрицей воспользуемся разложением матрицы рассеяния в ряд
теории возмущений A.1). Тогда
Фо (x) S = 2, "tjt 2j W1 (Фо (x) ^i (xi) -^j (xj) ¦•¦?, (xn))

26 Уравнения для функций Грина Гл. I
Из-за симметрии по переменным интегрирования это выражение
можно представить в виде
(«-!)! J J Xi' " ° '
n—l
= Iii^w)dx)dXi---dx-
). C.19)
3.3. Вывод уравнений для функций Грина
с помощью обобщенной теоремы Вика
Применим обобщенную теорему Вика к выражению C.15):
n (*!,.. ., хя) = So ' (Яь> Т (Фо (Ха) • • • Фо (*») Фо («О ^) ^ь)
.. . Фо (JCr) • • • Фо (хп) S) пь). C.20)
Используя формулы C.18) и C.19), получим
^п (•"¦1' • ¦ ¦» ^п):==
= - 4Л j dx -L Dc (Xl — т) So-' (Qb> Г (Фо (лд...% (xn): Ф»( д^): S)Qb)+
-j- Dc(д;, -xr) 50-' (Qb> Г (Фо (х2)... Фо^.-i) Фо (*г+1)
С учетом B.2) и определения C.15) имеем
Gn(xv .. .,хп) = — 4/Я, \ dx— и {хх — я)и„+2(л:,л:,л:,xv . .., хп) +
С 1
1 ( 1 / i. П./
^ rf (v y\(~i Iy y y y \ D 9]\
—г- LJ \Xi — лг) yJn—2 ^л2> • • ч лг_1, лг±\, . . ., лп). \a.?i)
Уравнения C.21) совпадают с уравнениями C.11).
Перепишем цепочку уравнений C.21) в виде одного операторно-
операторного уравнения для всей последовательности функций Грина. Введем
для этого оператор В, действующий на последовательность / = {/„}

§ 3 Уравнения для функций Грина 27
по формуле
(Bf)n ixlt ...,*„) = — HI ^dy\Dc (xx — у) /„+2 {у, у, у, х2, ...,хп) +
+ 12UC j dy -I Dc (xL -у)[п(у,х.л,..., ха) +
lDc(*1-*r)/.-2(*2,..-,xr-i,xr+i,...,xn)- C.22)
r=2
При п < 2 последний член обращается в нуль. Тогда для последо"
вательности функций Грина G = {Gn}^L2 имеем уравнение
G = ?G + G2, C.23)
где
Формальное решение уравнения C.23) имеет вид
C.24)
n=0
Правая часть C.24) является разложением в ряд теории возмущений
для всей последовательности функций Грина и может быть выраже-
выражена вкладами от диаграмм Фейнмана.
3.4. Уравнения для перенормированных функций Грина
Для того чтобы выражение C.24) было решением уравнения
C.23), необходимо, чтобы степени оператора В были определены
на G\ и чтобы весь ряд C.24) в каком-то смысле сходился. Отложим
исследование второй задачи до четвертой главы, а сейчас покажем,
что в общем случае степени оператора В не определены на G°. Дей-
Действительно, выражение ВЮ\ содержит член, соответствующий вкла-
вкладу от диаграммы
-lDc(xl-y)^Dc(y-z)J-lD(z-x2). C.25)

28 Уравнения для функций Грина Гл. I
Используя представление B.20), преобразуем выражение C.25) к
виду
16Л2
X [dqxdq2 5 5 l- (,3.26)
Если размерность пространства-времени d > 2, то внутренний
интеграл расходится при больших qt и q2 и, следовательно, оператор
В* не определен на G°. Такие же рассуждения можно провести и
для высших степеней В. Другими словами, вклады от диаграмм
Фейнмана при d > 2 расходятся.
При d < 2 интеграл C.26) конечен, а расходимости при сов-
совпадающих аргументах компенсируются.
Действительно, применяя оператор, соответствующий первому
слагаемому в C.11), к третьему слагаемому, получаем расходящееся
выражение вида
- 1Ж jdy~ Dc U, - у) Gn {у, х2,..., хп),
которое компенсируется вторым слагаемым в C.11).
Таким образом, выражения BnG° в общем случае содержат рас-
расходящиеся интегралы. Боголюбовым и Парасюком [16, 17, 122] бы-
была развита общая теория, позволяющая выделить из этих расходя-
расходящихся интегралов сходящиеся части,— так называемая теория
^-операций. Дальнейшее развитие теория #-операции получила в
работах Хеппа [185], Циммерманна [193—195], Аникина, Завьяло-
Завьялова, Поливанова, Степанова [3—6, 161] и Щербины [207].
Согласно этой теории, применив ^-операцию к каждому члену
ряда C.24), мы получим конечные выражения или перенормирован-
перенормированный ряд теории возмущений для функций Грина. Уравнения для
перенормированных функций Грина можно получить, если ввести
перенормированный лагранжиан, т. е. к лагранжиану B.1) доба-
добавить некоторые добавочные слагаемые — контрчлены, по перенор-
перенормированному лагранжиану написать уравнения для перенормиро-
перенормированного поля и дальше воспользоваться тем же приемом, что и при
выводе уравнений C.11) для неперенормированных функций Гри-
Грина. Такие уравнения рассматривались в работах Фрадкина [177],
Джонсона [65], Циммерманна [192], Пю [133], Щербины [206] и
Завьялова [72]. Опишем вкратце эти уравнения на примере скаляр-
скалярного поля. В рассматриваемой модели перенормированный лагран-
лагранжиан имеет вид
{?геа (х) = <?о(х)+<?1Ю1(х), C.27)

•§ 3 Уравнения для функций Грина 2Э
где
#/.«» (*> = — Khz '¦ *4 М: + б^2: *2 М •¦.
Уравнение Гейзенберга для перенормированного поля выглядит так:
(? + ^2) Ф U) = - 4кгкг~1: ф3 (х): + б(х2 : ^ (х):. C.28)
Здесь zk и z отвечают за перенормировку константы взаимодейст-
взаимодействия к и поля Ф(х), 8[х2 — константа перенормировки массы. Вели-
Величины ц>(х),К и [х являются перенормированными. Поле ц>(х) удов-
удовлетворяет новым коммутационным соотношениям
[Ф (*). do<P(tf)L U,» = tz-'6(jc -j»). C.29)
Перенормированные функции Грина определяются через поля ф(х)
теми же соотношениями B.17), и из C.28), B.17) и C.29) получим
(П, + V?)Gn(xv. . .,xn) = —Akz)z-'lGn+2(x1,x1,x1,x2, ...,xn) +
+ 12X2^"' — D' @) Gn (xv x2, .. ., хп) + 6[x2Gn (х^ х2,.. ., xj —
— tz 2 s («i — xj) Gn-2 {xz,..., xj,. . .,xn). C.30)
/=2
Константы z, z^ и бр,2 можно подобрать так, что при итерации урав-
уравнения C.30) возникает только перенормированный ряд теории воз-
возмущений. Далее, константы перенормировки z, Z\ и 8[х2 можно вы-
выразить непосредственно через интегралы от перенормированных
функций Грина и тем самым исключить из уравнений как незави-
независимые величины. Мы не будем приводить здесь получаемые при этом
уравнения, так как для этого потребовалось бы вводить много до-
дополнительных обозначений. Укажем лишь, что в наиболее изящ-
изящном виде они были выведены в работе Завьялова [72] с помощью тех-
техники, развитой в [3, 41.
Так как в настоящей монографии в основном исследуются моде-
модели, в которых расходимости не возникают, то в дальнейшем мы не
будем прибегать к перенормированным уравнениям C.30) и будем
рассматривать проблему перенормировок как следующий этап в
построении нетривиальных моделей взаимодействия.
При решении уравнений для функций Грина мы будем придер-
придерживаться следующей стратегии. Вначале мы их максимально сгла-
сгладим или регуляризуем, вводя в уравнения вместо сингулярных
функций гладкие, достаточно быстро убывающие на бесконечности
функции, решим регуляризованные уравнения, а потом будем сни-
снимать регуляризацию в решениях, вводя, где нужно и контрчлены.
Эту программу начнем реализовывать с четвертой главы, а пока
приведем нужные для дальнейшего формальные соотношения для
функций Грина.

30 Уравнения для функций Грина Гл. 1
§ 4. УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Цепочку уравнений C.7) (или C.11)) можно записать в виде од-
одного уравнения в вариационных производных [31, 38, 155, 156,
173, 179, 202] для порождающего функционала функций Грина
Gn(xi, ..., хп). В настоящем параграфе будет выведено такое урав-
уравнение и получено его решение. Кроме того, используя связь между
порождающими функционалами функций Грина и их связных час-
частей, мы получим функциональное уравнение, которое восстанавли-
восстанавливает ряд теории возмущений для связных частей функций Грина,
состоящий из вкладов от связных диаграмм.
4.1. Порождающие функционалы
Введем вспомогательную гладкую действительную функцию / (х),
убывающую достаточно быстро на бесконечности. Построим с по-
помощью этой функции функционал
G {/} = (Фо> Т ехр [ i j dxj (х) ф (*)] Фо) =
со
= ? 1л \dx* ¦ • ¦dXni (Xi) • • • i(
0 ' J
который является порождающим функционалом для функций Грина»
т. е.
Gn (XX, . • M*n) = (-O\-(^%(j
Связные части функций Грина определяются рекуррентными соот-
соотношениями
Gn{x1,...,xn) =
=2 2 2G-^v---x'-.)---^^."--V' D-3)
где символ ^ означает суммирование по всем перестановкам индек-
°*
сов между группами {nj,.. .,{nk}. Например, для n = i разложе-
разложение D.3) будет иметь вид *)
G4 (xv х2, х3, х4) = G[ (xlt х2, х3, х4) +
+ Gl (xv x2, x3) Gl (хЦ + Gl (xlt xv xk) Gl (xs) +
*) Здесь приводятся определения связных частей для общего случая, не
учитывающего тип взаимодействия. Для взаимодействия B.1) разложение
D.4) будет иметь более простой вид в силу C.14).

Уравнения в функциональных производных 31
+ Gl (Xl! х3, лс4) Gl (x2) + G! (х2, х3,
+ Gl (Xl, хг) Gl (x3, x,) + Gl (xv x3) Gl (x2, x4) +
+ Gl (*!, x4) Gl (xv x3) + Gl (Xl, x2) Gf (x3) Gl (x4) +
+ Gl (xlt x3) G[ {x2) Gl {xk) + Gl (xlt x,) Gf (x2) Gf (x3) +
+ Gl (xv x3) Gl (Xl) Gl (x4) + Gl (x2, xk) G\ (Xl) Gl (x3) +
Gl (x3, x4) Gl (Xl) Gl (x2) + Gl (xt) Gl (x2) Gf (x3) Gl (x4). D.4)
Порождающий функционал для связных частей вводится согласно
формуле
п=\
t С т
= S "^г \ dXi ¦ ¦ ¦dXn1'(*J ¦•¦¦i^")Gn («!,...,xn\
Установим теперь связь между функционалами G{j} и GT{j}. Под-
C) (
ставляя разложение D.3) в D.1), получим
-^ \ dxx... dxni (хг). .. / (хп) х
п
X
со n
S S-5-°^---
Si"
n\_
^J n\ (m ,,m, ~,
Г /8n+l — 1 1
1 2 J
*
v1+.

<32 Уравнения для функций Грина Гл, I
V, = l
+ Z -%%¦№№№
v,v s=l
~ fV. + .-.+Vfc
vt vfe=l
=0/00 ( \ -n
«-i __
VI I Л1 " ' I * I i^ 'l! ""I
\V=O
= П ( Z ^ (? <* W)V= exp f 2 ? GJ {/} 1 =
n=l \v=0 Ln = l J
Итак, связь между порождающим функционалом G {/} и порожда-
порождающим функционалом для связных частей функций Грина GT{j}
выражается формулой
G{/} = exp[Gr{/}]. D.5)
4.2. Уравнение для О {/'}
Чтобы получить уравнение для функционала G {/}, выполним ва-
вариационное дифференцирование выражения D.1) по / (х):
ТТЛ in~l С
СЛ/} = i2j (я- 1I \ d*i • • • dXn~li(*i) •••!(x,,-i)Gn(x,xi,...,Xn-i).
D.6)
Действуя на выражение D.6) оператором ?* — ц2 и используя
уравнение C.7), получим
с, л;, л;, %,.. ., xn) —
es
n=0
00 1
Si Г j . • ^
/n _ j\| \ "*l • • • aXn-\] (Xi) / ^л„_1; Un_l ^lt . . ., Xn-l).

Уравнения в функциональных производных 33
Используя определение D,1), имеем
(Е3« - Иа) МЛ = ~ 4W/*.« W- 12^CG{/}- ij (x) G{j}. D.7)
Уравнение D.7) представляет собой дифференциальное уравнение
в функциональных производных. Мы запишем его в таком виде:
D.7')
Приступим к решению уравнения D.7'). Рассмотрим его для
этого при К = 0:
D-8)
Легко проверить непосредственно, что уравнению D.8) удовлетво-
удовлетворяет функционал
G0 {/} = ехр [- -~ j dx dy j (x) -±Ос(х- у) j (у)]. D.9)
При % ф 0 решение будем искать в виде [38, 173, 177]
D.10)
где А — оператор, А = А (б/б/). Тогда, с одной стороны, из D.7)
следует, что
w
^ }, D.11)
а с другой стороны, действуя оператором А на равенство D.8) и
учитывая, что А коммутирует с б/б/ (х), получим
5/V D-12)
Вычитая D.12) из D.11), получим следующее соотношение:
[/ (*), A]_G° {/} = Ш ^ AGO {j} + 1ШС -^
Следовательно, оператор А можно искать из уравнения
[A, j (х)]_ = - ША ^ - ШСА -^ . D.14)
Учитывая, что А зависит только от fi., ¦-, получаем решение урав-
уравнения D.14) в следующем виде:
[j^j^] D.16)
3 Д. Я. Петрина и др.

34 Уравнения для функций Грина Гл. I
(Формально можно использовать аналогию с функциями одной пе-
переменной, для которых \?~, х] = 1 и [/D-), x] = f' (¦?-). Тогда'
если принять /(-г-) = А, -г- = г/, то уравнение D.14) на языке
] дх
функций одной переменной есть дифференциальное уравнение вида
— = ktAy3 + k2Ay. Его решение есть функция А = С ехр | ^—f-
-J—y~ . J Решение уравнения D.7') можно теперь записать в виде
\ D.16)
Константа С* выбирается из условия G @) = 1.
Если разложить в ряд обе экспоненты и выполнить вариацион-
вариационное дифференцирование, то получим ряд теории возмущений для
функций Грина, сглаженных функциями ;' *). Чтобы получить ряд
теории возмущений для функции Грина Qn (хи ..., хп), нужно про-
продифференцировать этот ряд по / (xt)... j (xn), согласно определению
D.2), и положить / = 0.
4.3. Функциональное представление матрицы рассеяния
В настоящем пункте мы рассмотрим некоторые вопросы, свя-
связанные с функциональным представлением S-матрицы для лагран-
лагранжиана взаимодействия произвольного вида *?i (ср) = Я Г & (ср(х)) dx.
Выведем вначале несколько вспомогательных формул для опера-
торнозначных функционалов вида
оо
n), D.17)
2
п=0
где (fo(x) — свободное скалярное поле с массой ц.
Покажем, что для функционала D.17) справедлива формула
[189]**)
ТФ(фо)=:еАФ(ф0):, D.18)
где
*) Функцией ГринаGn (xf,,.. ,хп), сглаженной функциями / (*i) •••/'(*„)> на-
вывается выражение i dxx ... dxn Gn (xx xn) j {x{)... / {xn).
**) См. также [81, § 16.

§ 4 Уравнения в функциональных производных 35
Напомним, что функциональные производные по квантованным
полям определяются (см. [25], § 47) как пределы соответствующих
функциональных производных по аддитивным классическим добав-
добавкам v (х) к полям ф0 (х) при v (х) = 0.
Чтобы доказать формулу D.18), покажем, что АФ(Фо) получа-
получается из Ф (ф0), если в каждом члене разложения D.17) произвес-
произвести всеми возможными способами одно хронологическое спарива-
спаривание между операторами ф0 (х). Для этого достаточно проверить со-
соотношение
А (ф0 (*i) Фо (*г)) = Фо (*i) Фо (*2)>
которое легко следует из определений D.19) и B.20). Действитель-
Действительно, применяя оператор Д к произведению полей ф0 (х4) ф0 (х2), по
лучим
= т И йх dy т D°(х ~ у)
= Y ^' dxdy -f Dc (x - у) [8(Xi - х) 8(х2 - у) +
х2 — x)]=-j- Dc (jfd — x2) = ф0 (дг О Ф0 (х2).
д*
Аналогичным образом можно проверить, что функционал -гг Ф (Фо)
можно получить из Ф(ф0), если в каждом члене разложения D.17)
произвести k спариваний между операторами %(х). Отсюда выте-
вытекает, что теорему Вика для Г-произведения можно записать в виде
откуда и следует формула D.18).
Из определения функционала D.17) и операции нормального
произведения B.2) теперь легко получить две следующие формулы:
(Q»,: Ф (Фо + /): Й») = Ф (/) D.20;
и
s?& Ф (Фо + /) = те- Ф (Фо + /). D.21)
Введем порождающий функционал для коэффициентных функций
матрицы рассеяния:
оо
= 2 7=г
- i{Xnh D'22)

36 Уравнения для функций Грина Гл. I
Используя формулу D.20) и представление S-матрицы в нор-
нормальной форме A.1), можно записать
F {/} = (Qb, S (ср0 + /) Qb) = 5 (/). D.22')
Используя выражение S-матрицы в виде Т-экспоненты A.1) и фор-
формулы D.18), D.20) и D.21), получим
F {]} = (Q», Т ехр \И?, (ф0 + /)] Qb) =
= {Qb,: ехр [ Д (-^-Jj ехр [&, (Фо + /)]: Q») =
= (Qb,: ехр [ Д (|-) J ехр [&, (Фо + /)]: Q6j =
= ехр IД (Jr\\ (Qb,: ехр [&, (Фо + /)J: Qb) =
(! (г)) dz\. D.23)
Ill,, » гчС . v U
= ехр Нг \ dx du — D (х — и) ,...„.,
г | 2 J " < v ^' б/ (jc) о/ (i
Для взаимодействия B.1) формула D.23) примет следующий вид:
гчс . ч б2
У (*) в/ (у)
X
X ехр [ — a f dz (j* B) - 6С/2 B) + ЗСI . D.24)
Получим еще одно важное представление для функционала
F {/} в виде ряда по константе взаимодействия К. Разложим для этого
вторую экспоненту в формуле D.23) в ряд. Тогда
№=0
X I" dxt... dxn<?, (Xi)... й/ (Jfn) =
а-0
- D-25)

§ 4 Уравнения в функциональных производных 37
Если ??/ (ц>) представляется в виде нормального произведения, то
сумма в экспоненте не будет включать членов i = /'.
Представим лагранжиан <?i (х) в виде преобразования Фурье
некоторой функции Jb(a):
{?., (*1 = {?, (Ф (х)) = \ Л (a) eiamx>da. D.26)
Формально мы можем считать, что выражение D.26) задает лаг-
лагранжиан в наиболее общем виде, так как, задав подходящим обра
зом функцию Л (а), мы получим любой из известных лагранжиа-
лагранжианов. Например, чтобы получить ??; (ср (х)) = ср4 (х), нужно положить
Заметим, что дифференцирование выражения D.26) по перемен-
переменной ф (х) эквивалентно умножению на величину ш под знаком
интеграла. Это обстоятельство позволяет выполнить дифференциро-
дифференцирование в формуле D.25). Подставляя D.26) в D.25), получим
п п
X ехр[- ? «1 т Dc (xt - Х)) а,] ехр [t J] aj (jr,)] . D.27)
4.4. Уравнения для связных частей функций Грина
Чтобы получить уравнения для связных частей функций Грина,
выведем уравнение в вариационных производных для GT{j}. Исполь-
Используя D.5), получим
D.28)
Gxxx {ft = GLx {/} G {/} + 3GL {/} Gj Ш G {/} + Gj {/}' G (/>¦
Подставляя формулы D.28) в уравнение D.7), получим уравнение
(D, - И2) Gl {/} = - 4W?L{/} - 12XCGI {/} -
- l2XGTxx{j}GTx{j}-4WTx{j}s-ij(x). D.29)

38
Уравнения для функций Грина
Гл. I
Решение этого уравнения можно получить методом теории возму-
возмущений. В результате получим ряд для связных частей функций Гри-
Грина, сглаженных функциями / (до-
(довыполним в уравнении D.29) вариационное дифференцирова-
дифференцирование по / (х2), ..., / (хп) и положим / = 0. Тогда для п = 2, 3, ...
получим цепочку нелинейных уравнений для связных частей функ-
функций Грина (х = *i):
(?*, — ^¦
i%... ,хп)
хп) —
а—2
X GLm
X Gm
i Хп) + 12А,
m==0 perm
n-2
xtm+2 xin) + 4Я 2
l.m=2 perm
X
D.30)
означает переетановку аргументов xit...,xn только между
perm
pm
функциями G7m+/ и G\—m в третьем слагаемом, между Gj, Gm и
Gl-i-m+2 в четвертом слагаемом правой части уравнения D.30).
Обращая оператор ?,, — ц2, получим цепочку интегральных урав-
уравнений, которые мы перепишем в графическом виде, используя обо-
значения C.12), с той лишь разницей, что
значать связную функцию Грина:
будет обо-
обо(nj = х,. <Ъ+1П + 3%х,
т ) + х,
D.31)
и + х,
п-1-т*2

§ 5 Уравнения для функций Грина 39
§ 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
(ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЮКАВЫ)
Рассмотрим взаимодействие скалярного поля ц>(х) массы ц со
спинорным полем г|)(х) массы т. Полный лагранжиан системы
взаимодействующих полей будет иметь вид
+ y : д„фд"ф:— т: грг|з:— -^- у? : ф2:— к: грг|хр:. E.1)
Лагранжиан E.1) приводит к следующей системе уравнений для
взаимодействующих полей ty(x) и ф(х)'-
р () рд дущ
взаимодействующих полей ty(x) и ф(х)'-
E.2)
v" — /дар W =
где у" — матрицы Дирака, удовлетворяющие условию
}_ ^v^ _ _ 2gnv, E.3)
Одновременные коммутационные соотношения для полей ф (х) и
-ф(х) будут иметь вид
0, E.4)
, Ф (х')]- =
а поле ф(х) удовлетворяет обычным коммутационным соотноше-
соотношениям B.4). Совершенно аналогично определению B.17) вводятся
функции Грина взаимодействующих фермионных и бозонных полей:
.., amz/m;
= (Фо. Т (гр^ (г/4)... ^ (yj is> (Zl)... ^0m (zm)
...<р(*п))Фо)- E-5)
Здесь Ф„ — вакуумное состояние для взаимодействующих бозон"
ных и фермионных полей. Чтобы получить уравнения для функций
Gm,n, мы воспользуемся уравнениями E.2) и коммутационными со-
соотношениями B.4) и E.4). Тогда, повторяя выкладки § 3, получим

40 Уравнения для функций Грина Гл. I
следующие формулы:
(Dxt - Ца) Т (yaj (yj ... грат (ym)\ (гх)... %m (zm) Ф [xj ... <р и„)) =
= ^ (\t О/О ... ^ (гт) ^ :\ (*i) ^а (¦*!>: Ф (*г)... Ф (*„)) +
... ф (Xr-l) ф (ЛГг+l) ... ф UJ), 15.6)
_
= -ХТ (гра1 (г/И ф (г/0 ^ (г/2)... грр (гт)Ф (xj ... ф (хп)) +
X %t (Zi)... %r] (z,_,) i|>Pr+i Br+1)... ^Pm (zm) ф (At)... ф (xn)). E.7)
Используя B.2), получим
где
С = ? (Фо, ^a (jc) гра (jc) ф0) = Sp \ S~ @) = Sp ]-Sc @),
a
a Sc (a:) — причинная функция Грина, удовлетворяющая уравнению
Подставляя E.8) в E.6), усредняя по вакууму формулы E.6) и
E.7) и используя определение E.5), получим следующие уравнения:
(?*, — ^)Gm,n Кг/!,..., pm2m; xt,..., хп) =
a
; AT2, ... , ЛГП) —XC Gm,n—\ («ii/i> ••• > Pm2m> -^2 > -"I xn)~\~
., Pm2m; a:2, ... ,^_,,Afr+1,... , *„),
E.10)
•• • Pm2m; ^l> ••• • xn) =
t |im2m, (/„ Jtt *«)

§ б Уравнения для функций Грина 4)
Повторяя рассуждения §3 с учетом E.9), получим уравнения
E.10) и E.11) в интегральной форме. Мы запишем их в матрич-
матричном виде:
0т,п(У1 *») = (— Dm+1 Sp, ((— Л) j dx -j-D* (дс, — х) х
+ aC I Gw,n_i (yt ym; Zi 2m; x2 xn) — Dc (xt — x)dx +
n
+ J] — O' {xi—xT)Gmn_2(aiyi,..., pm2m; x2 xr_x, xr+x,..., xn)
E.12a>
и
Gm,n(yi *„) =
yTSc(y1 — y) Gm.n+x (y, y2 zm; y, xt xn) +
-i,n(y2 ym;zt zr_]tzr+i,... ,2m; xi xn). E.126)
Здесь Spi обозначает операцию следа по индексам, стоящим при
первых переменных функции Gm>n, т. е. при х. Уравнения E.12)
можно также переписать в операторной форме, если ввести операто-
операторы Bi и В2, определяемые правой частью уравнений E.12):
G = Bfi + GQ, E.12')
G = B,fi + G0, E.12")
Уравнение E.12'), соответствующее первому уравнению E.12),
содержит слагаемое с бесконечной константой С"; это слагаемое
нужно для сокращения сингулярностей, возникающих при совпа-
совпадении аргументов двух фермионных групп. В уравнении E.12*)
константа С" отсутствует, так как при совпадении спинорной и
скалярной переменной функция Грина не является сингулярной.

42
Уравнения для функций Грина
Гл. I
Так же как и в случае уравнений C.23), в уравнениях E.12')
и E.12") при итерации возникают расходящиеся при больших им-
импульсах выражения. Как и прежде, эти расходимости можно ис-
исключить введением в лагранжиан дополнительных контрчленов.
Нужно отметить, что для взаимодействия Юкавы E.1) введение
контрчленов необходимо даже в двумерной теории, хотя число
контрчленов для d = 2 уменьшается до одного. В гл. IV, где будут
проводиться исследования решения уравнений для функций Грина
взаимодействия Юкавы, мы выпишем явный вид этих контрчленов
и покажем, как е их помощью устранить ультрафиолетовые расхо-
расходимости.
Введем графические обозначения:
E.13)
= a ,
По замкнутым фермионным циклам берется шнур. Уравнения E.12)
в обозначениях E.13) будут иметь вид
§) + «~9 © + Ь
E.14)
Как и в скалярном случае, из уравнения E.12) легко получить
функциональные уравнения для порождающего функционала.
В случае спинорного поля обычно вводятся [201, 202] антикоммути-

§ 5 Уравнения для функций Грина 43
рующие источники внешнего поля г\ (х) и г\ (х), для которых
h (х), Ц («/)]+ = [г\ (х), ц (у)]+ = [г\ (х), ц(у)]+ = О,
Г б б 1 _[ б _6 ] : 6_ _б_] _0
[6л W ' бл (у) \+ [бп(*) ' бл (//)J+ блМ ' 6ri((/)J+
=0' EЛ5)
= [ti (Jf), ip(г/)]+ = [i\(x),У (г/)]+ = 0.
Порождающий функционал для функций Грина E.5) определяется
выражением
G{tJ,t|,/} =
= ^Ф0) Т exp [i J dx Гц (х) Ц(х) + Ц (х) ц {х) + / (х) <р (х))\ Фо) =
toini \jdyi...dyldzi...dzidxi...dxnx
l,m,n=0
X-4(yi) — Л(«/i)Сг,т.п(г/i,...,уi,Zi zm;x1(...,xn) x
XTiBj...T]B1)/U1).../(xn). E.16)
Из определения E.16) с учетом соотношений E.15) будем иметь
выражение функций Грина через порождающий функционал:
^l.m.n (i/ii •••> Уь 2i> ••• . Zm> Jfji ... > Хп) =
л,Л,/}1^=/^. E.17)
Выражение E.17) определяет функции G/,m#n при произвольных i
и т, однако требование инвариантности функций Грина относи-
относительно зарядового сопряжения приводит к равенству I = т.
Мы предоставляем возможность читателю провести нетрудный,
но довольно громоздкий вывод уравнений для функционала E.16).
В случае квантовой электродинамики такие уравнения будут по-
получены в гл. VIII.

44 Уравнения для функций Грина Гл. I
§ 6. УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
В этом параграфе мы получим другой тип уравнений для функ-
функций Грина. Эти уравнения будут описывать эволюцию функций Гри-
Грина по константе взаимодействия. Такие уравнения были получены в
работах [74, 79, 80, 89, 96]. Простоты ради будем исследовать толь-
только скалярное взаимодействие с лагранжианом B.1). Рассмотрим про-
производную по константе взаимодействия от матрицы рассеяния. Диф-
Дифференцируя выражение A.1) по %, получим известную формулу [97,
160].
F.1)
Используя теперь определение C.15), легко получить соотношение
± (S0Gn(xu ... , хп)) = (й0, Г (Ф (Xi)... Ф (*„) ± S) Qo) • F-2)
Подставляя сюда вместо -тг- выражение F.1), получим
?(S0Gn(хи ..., хп)) = i^dx(Qo, Т(: Ф*(х\: Ф(*,)... Ф(хп)S)Qo) =
= i J dx (S0Gn+4 (x, x, x, x, xu ..., xn)) —
— 6iC J dx(Sfin+2(x, x, jcj, ..., дг„)) + 3iC*[ dx (S0Gn (xu..., дг„)). F.3)
Начальное условие для такого уравнения будет выглядеть так:
р I ^о
где G" — свободная «-частичная функция Грина.
Ввиду того, что So зависит от К, в уравнениях F.3) нельзя выде-
выделить вакуумные вклады, и поэтому итерации этих уравнений будут
содержать члены, соответствующие вакуумным диаграммам. Что-
Чтобы решить уравнение F.3), введем последовательность G =я
= {S0Gn {xu...,xn)}™=0. Тогда цепочку уравнений F.3) легко пере-
переписать в виде одного абстрактного уравнения для всей последова-
последовательности G:
±G = KG, G |х=0 = (У = {G°n}Z=o. F.4)
Оператор К действует на последовательность /={/п}"=0 следую-
следующим образом:
(Kf)n (*i,..., хп) = i^dx fn+4 (х, х, х, х, *!..., хп)—
—6iC J dx fn+2 (x, x, xu ..., xn) + ЗЯ? J dx fa (xit..., xn). F.5)

( 6 Уравнения эволюционного типа для функций Грина 45
Решение уравнения F.4) можно формально записать в виде
ос
= е С°=У-7Г^С°. F.6)
Ряд F.6) является полным неперенормированным рядом теории воз-
возмущений для всех функций Грина, включая вклады от вакуумных
диаграмм.
Заканчивая рассмотрение алгебраической структуры функций
Грина и уравнений для них, нужно отметить, что этим не исчерпы-
исчерпываются возможные уравнения для функций Грина. Мы рассмотрели
в этой главе лишь известные в настоящее время уравнения, которые
получены из динамических принципов.
В последние годы в теории наметился «кинематический» подход
к нахождению или качественному описанию функций Грина. В та-
таком подходе показано, что функции Грина удовлетворяют некото-
некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных (урав-
(уравнения Гелл-Манна — Лоу [37], Боголюбова — Ширкова [20—23,
204], Овсянникова [117], Келлена—Симанзика [95, 158], Вайнбер-
га [29]). Решения таких уравнений имеют функциональный про-
произвол, но позволяют качественно получить некоторые результаты.
Уравнения для функций Грина обладают, на наш взгляд, од-
одним существенным недостатком — операторы В и К, их определяю-
определяющие, не симметричны. Так, из чисто формальных соображений яс-
ясно, что оператор К не может быть симметричным, ибо, согласно
F.5), он определяется операторнозначной матрицей, в которой от-
отличны от нуля только элементы над диагональю. В следующей гла-
главе мы получим уравнения для величин, тесно связанных с функци-
функциями Грина,— коэффициентных функций S-матрицы, которые будут
определяться симметричными операторами.

Глава II
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Матрица рассеяния единственным образом определяется после-
последовательностью своих коэффициентных функций. Коэффициентные
функции были введены в квантовую теорию поля в работах Бого-
Боголюбова— Ширкова — Медведева — Поливанова [14, 15, 24, 25].
Коэффициентные функции тесно связаны с функциями Грина, и
для них также можно вывести два типа уравнений — уравнения
эволюционного типа, образованные дифференцированием матрицы
рассеяния по константе связи, и уравнения резольвентного типа,
образованные варьированием по свободному полю. Уравнения пер-
первого типа восстанавливают полностью структуру матрицы рассея-
рассеяния, т. е. все возможные диаграммы, содержащиеся в виковском
функционале TelL', уравнения второго типа продуцируют диаграм-
диаграммы, лишенные вакуумных петель.
§ 7. УРАВНЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТНОГО ТИПА
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Fn
Линейные уравнения для коэффициентных функций Fn были вы-
выведены в работах [78—80, 124, 126] и в дальнейшем применялись
для исследования матрицы рассеяния в различных моделях кванто-
квантовой теории поля [74—77, 81—84, 127—129, 134—138, 206]. Следует
отметить, что ряд авторов [99, 103, 104, 167] рассматривали нелиней-
нелинейные уравнения для коэффициентных функций, которые следовали
из аксиом теории и при выводе которых не использовался вид ла-
лагранжиана. В настоящей работе мы не рассматриваем таких урав-
уравнений.
Для вывода уравнений резольвентного типа мы воспользуемся
известной формулой ([25], § 47), которую легко получить вариацион-
вариационным дифференцированием выражения A.1) для матрицы рассеяния:
7.1. Взаимодействие скалярных полей с лагранжианом B.1)
В этом случае выражение G.1) примет вид

§ 7 Уравнения резольвентного типа 47
Подставляя в это выражение разложение A.1) и используя теорему
Вика для Г-произведения ([25], § 19), приведем правую часть G.2)
к нормальному виду:
2 ¦¦¦dXnFn (х> *2> ¦¦¦'*п*:фо ^"'Фо (*n):=
= ^ dxi... dxnFn(xi хп) х
оо в'"
[
f!=0
X Фо (х) ф0 iXi) ф0 (х) фо (Jfj) фо (х) ф0 (х3) :ф0 (х4)... Фо (^п)'-
б(П)
+ -АН j dJfj ... d*nFn (ATj Х„) X
X Фо (х) фо (Xi) фо (х) Фо (-v2) =Фо (.х) фо (х3)... ф0 (хп): +
=Л f dJfj... dAfn/7™ (дг4 xn) фо (x) фо (х^ :ф0 (Jf) фо
- Фо (xn) ¦+ -rp=- [ dxi... dxn :ф0 (х) ф0 (х) ф0 (дг) ф0 (дг4) ...
... ф0 (х„) :Fn (*!,..., хп)\. G.3)
Выполняя в G.3) очевидные элементарные преобразования в интег-
интегралах и суммах, получим
00
y=- f dx2... ^„Fn (x, Jf2 xn) :ф0 (х2)... Фо (хп): =
... dxn (- ш) {/(п + 2)(л+1) j лг;лг;лсз х
X -j- D' (л: — x',) -|- Dc (x — x'2) -j- Dc (x - x^ X
Х2, X3, X%, ... ,Xn) -f-

48 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
п
+ 3
X /*ti \Х^9 Xqi ^2> ••• t Х^ t ••• > %п) "j—
+ 3 ' — V 6(jc — x,)8(jc — jc.) x
lx+lt+\
x Г dx', -j- D' (x — x\) Fn_2 (x[, x2 x^ х.? xn) +
, ' V 8{x — x.)8(x—x.)8(x — x.
Vn(n-\)(n—2)(n—3) ?i l*' l'' ''
X F._4 (x9_,... , x,t,..., хг>,..., xK xn)} :фо(х2)... фо(х„):. G.4)
На основании работы 1102] равенство G.4) справедливо, если равны
коэффициенты при одинаковых степенях полей ср0 (^...фр (хп).
Приведем простые рассуждения. Введем функции
Фп(х,х2,... ,хп) = -^= (Fn(x,x2,...,xn)—4il{...}), п=1,2
где фигурные скобки {...} обозначают коэффициент при :ф0 (^i) • • •
•••Фо(*п): в правой части уравнения G.4). Тогда это уравнение
примет вид
00
Ф* = 2 \ dx2... йхпфп (х, х2, ..., хп) :ф0 (х2)... <p0Un): = 0.
Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда все
ф„ (х, хг,..., х„) = 0. Действительно, из равенства (^О
следует, что ф, (х) = 0. Дальше из равенства
имеем
dx2 -j- Dc {jji — x2) Ф2 (х, х2) = 0,
и, следовательно, ф2 (х, х2) = 0. Совершенно аналогично из условия

$ 7 Уравнения резольвентного типа 49
легко получить, что
2 j -|- Dc (У1 — х2) -L Dc (у2 — х3) Ф3 (х, х2, х3) dx2dx3 +
+ -L[?(yi-y2)Q>i(x)=0.
Учитывая, что <?!(*)=(), заключаем, что Ф3(х,х2>х3)=0. Теперь по
индукции из (Оь,Г(ф((/1)...ф(^)Фж)йь) = 0 и Фг{х,х2, ... ,х()==0
A= 1,2,... ,я) следует равенство
л 1 I
\ йхг... dxn+l —Dc (yt — х2)... -г-D' (уп — xn+i) х
X Ф„+1 (х, х2,..., хп+х) = О,
что эквивалентно ф„+1 {х, х2,..., хп+\) — 0.
Приведенные рассуждения позволяют получить из равенства
G.4) цепочку уравнений для коэффициентных функций (х-*-х^:
Fn (*i> хг> ••• • xn) = 4Xt {K(" + 2) (л + 1) j dx[dx'2dx'3 x
v DcIy v"\—DciY y'\ — T)cIy y'\ v
X ~J~ i/ ^Aj Л jj -T- i-' ^-*J AjJ —7- LJ \Xi X^) Л
с', x', *', ^2» ...,*П) + ЗУ S (-^i — •«•) f dx'dx' x
x — D° (xt — x[) j- Dc (Xt — x'2) Fn (x\, x\, x2 xit xn)
it,... ,xk xn)
^ Yn{n—\)(n—2)(n — 3)
^V •V /4
X Fn_4 (Х2у •.., X.,..., X^, ... , X^, ... , ^n)/. (' .5)
Уравнения для коэффициентных функций Fn имеют одно оче-
очевидное преимущество по сравнению с уравнениями Швингера C.11).
Они не содержат бесконечной константы С, что облегчает матема-
математическое исследование их решений. В дальнейшем нам понадобятся
4 Д. Я. Петрина и др.

50 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
уравнения G.5) в графической форме. Введем для этого следующие
обозначения: кружок (") будет обозначать функцию У n\Fn(...)),
внутренней вершине \S соответствует множитель (—-Ш), внут-
внутренней линии -Z-»— *9—функция — Dc {х— у), внешней линии
п
z 4j—функция б (л: — у), а о *у — сумма
1=2
По внутренним вершинам выполняется интегрирование. В этих
обозначениях уравнение G.5) будет иметь следующий вид:
+ 3
Если формально ввести оператор А, определяемый правой частью
уравнения G.5), то в пространстве последовательностей /*"= {Fn}f
уравнение для F приобретает вид абстрактного уравнения резоль-
резольвентного типа:
F = XAF + Fi0), FiO) = (O,O,O,fo,O,...), G.5")
где /0 — вклад от вершины, умноженный на Fo = (Q0> SQ0). Реше-
Решение уравнения G.5) имеет вид
F = A — Ы)~1 F{0) = 2 bnAnF{0). G.6)
rt=0
Так как Fi0) =F0-Fl°r, где FiO)' = (o,O,O, ? O.Q. ...V то для
решения уравнения G.5) имеем
M"F@)'. G.7)
rt=0
Выражение G.7) показывает, что вакуумные вклады выделяются в
оо
виде множителя, а ряд V XnAnFi0) является рядом теории возму-
п=0
щений для матрицы рассеяния без вакуумных петель. Следователь-
Следовательно, в уравнении G.5") можно исключить вакуумные вклады и рас-
рассматривать уравнение
F'=XAF' +FW, G.8)
где F' = F/Fo.

I 7 Уравнения резольвентного тип* 51
7.2. Взаимодействие Юкавы
В случае взаимодействия E.1) вместо формулы G.1) будем
иметь три формулы:
= m(:yo(x)<po(x):S), G.9)
J), G.10)
S). G.11)
f0 (х)
65
Разложение S-матрицы по свободным полям % (х), % (х) и фо(*)
будет иметь более сложную структуру, чем выражение A.1). Опус-
Опуская спиновые индексы, запишем его в виде
^y^yl...dymdzl...dzmdxl...dxn X
X :ij>0 Ы... % (ym) Fm,n {уи ..., ут\ ги ..., гт; xif..., хп) х
Х% (zi) - *о (zm)Фо W - Фо(*п):. G.12)
Здесь /=¦„,„ ^„.п (а^,..., а,^,,,; р^^ ..., ртгт; xit..., хп), % (z) =
^{^к^оы1 Подставляя разложение G.12) в уравнение G.9),
получим
Si \)т т С
ml v-x ) fyi ••• dymdz2... dzmdxx... dxnx
X :% (У1) - % (Ут) Fm.n (У1 Ут, X, Z2, ..., Zm] Xl7 ..., Xn) X
X г|>0 (г2)... i|>0(гт) ср0 (д:^... ф0 (д:„): =
т\ХуТ\ Id^ ¦" dymdZl- dzmdxi... dxn x
X Т (:^0 (ж) Фо (х): :%{уд-Ь (Ут) X
X /*т,л У/i, ... »^/т> Zi» ... > ZmI Jfj, ... , Jfn) X
X ifo (zO - гро(zm) Фо (*i)... Фо (^n)O
=- Jdyx... dymdzl... dzmdxx... dxn x
tn.n
x {- (- If run :^0 (ft)... ^0 (г/J x

52 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
,n(у» -,ут;zu..., zm;хи...,хп)% (z2)... -ф0(zm) х
X Фо (*2) •• • Фо (*п) ¦% (Zi) ^о (*) Фо W Фс (*i) —
— (— If т :% {У1)... ^0 (ут) х
X *т,п (f/i> ••• > f/m> 2], ... > Zm, X±t ... , Jfn) X
X% (z2)... ^0(zm) ф0 (xj ... ф0 (xn) фо (x):%
x
.nlf/l» ••• > f/m! 2ц ... ,Zm;X!. ... , Xn) X
X % (zx)... i|H (zm) Фо (x2)... фо (*„) :ф0 (Jf) Фо (^2) +
- % (Ут) Fm,n (ylt ... , Ут, Zv ... , Zm\ Xlt ... , Xn) X
Xij3o (zO ... to (zm) Фо (*) Фо (^i) - Фо (ХпУ-)- G.13)
Выполняя в G.13) преобразования в интегралах и суммах и при-
приравнивая коэффициенты при одинаковых нормальных произведениях
полей (одновременно заменяя x->z1? z1-*-z, л^->•.*:), получим цепоч-
цепочку уравнений
Fm,n (Уи--- > Ут' 21> ••• Zmp ХИ ••• >Хп) =
= (— ik)Vn+l^dzdxЛп.п+i(f/i f/m".z,z2 zm;x,xlt ...xn) x
2 zm;
^ Xn) -T&iz —
i f dx у Dc(zx — x) Fm-i.n+i («/к..., yj,..., ym;
z%> •••»2„,; x, xlt..., xn) -f-

Уравнения резольвентного типа
53
(- л) (- if-11 ? (- 1Г1 -4 V /б(Zl -
®Рт-\,п-\(Уъ ¦¦¦ ,yj Ут>гг> ••• >zm;*i. — Xi,... ,хп), G.14)
где / — единичная матрица, / = ((баР)).
Графическое представление уравнения G.14) имеет вид
Как и раньше, ( nj обозначает функцию V nl(m\JFmjl (...),
внешним скалярным линиям * #\лллл^ соответствуют функции
8(х — у), внешним спинорным линиям xgi t yfr соответствует
величина баРб (у — z), a
- сумма 2 (- I)'"' btflb (У — г).
Соответственно для внутренних линий х »^vw*# == — Dc (x — у),
I
1 сС . .
а,у •]31г = — оар (г/ — z), a внутренней вершине соответствует
числовой множитель (— ik). Во внутренних вершинах выполняется
интегрирование по координатным переменным и суммирование по
дискретным индексам аир. Вывод двух других уравнений, кото-
которые соответствуют выражениям G.10) и G.11), мы предоставляем
читателю и запишем лишь их окончательный вид. Подставляя
G.12) в G.10), находим
'т,п \
Ут>
' xl> ••• > хп) ==
X — Dc
= (_ щ VIT+
г/х — x) Fm,n+i (y, y2,
dydx-1 Sc(У1-у) х
l ... , zm; x, xlt... , xn)
/4
X Fm,n—\ ( #> i/2> ••• > i/m' zl> •• • > zm> -^1' ••• ' xii ••• » ^n) ~r

54
Уравнения для коэффициентных функций
Гл. II
х — D (уг — х) х
xF,n-i.n+i(yz> — -г/т:гг,... ,zj zm;x, xl5... ,xn) +
m n
+ (- ik) (- I)—1 -L V (- I)' ^L V /б (^ - г,) б (^ - х,) ®
я ..., гт; xx х хп). G.15)
В графических обозначениях
«
^
+
+ Л (Т-0 С7.1Б0
И, наконец, из G.И) следует уравнение
Гщ.п (#i, ••• , Ут', 24, ... , 2т; Хъ ... , Хге) =
= (_ ,Я) (т + 1) (- l)m+1 -J= SPl f dy dz -L Sc (x, -
X
X
; z, zlt..., гт; x2,..., xn) —Sc(z —
i — Hi) X
/• 1 /4
X j dy—Sc{x1—y) Fm,n_! (y, yv ..., ys ym; Zl zm; xv ..., xn)+
X \dz Fm,n_i
ym; z, zj, z, zm; хг xn)-\- Sc (г—
X 6(.q — z/f)
ym; zv ..., zlt,..., zm;
,Хп),1 = (Fа,.»,)) GЛ6)

Коэффициентные функции и функции Грина
55
или
= X,
G.16')
Систему уравнений G.14)—G.16) можно также записать в опе-
операторной форме. Итерации этих уравнений восстанавливают всю
совокупность вкладов (без вакуумных петель) диаграмм Фейнмана
для лагранжиана E.1). Подчеркнем, что уравнения для коэффи-
коэффициентных функций получены совершенно формально, как и урав-
уравнения для функций Грина. В следующих главах им будет придан
четкий математический смысл после введения сглаживаний сингу-
сингулярных функций.
§ 8. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИЙ ГРИНА
В этом параграфе будет показано, что из уравнений Швингера
для функций Грина C.11) могут быть получены уравнения для ко-
коэффициентных функций S-матрицы G.5) и наоборот. Ради просто-
простоты изложения будем рассматривать только скалярное взаимодей-
взаимодействие. Вначале введем некоторые сокращенные обозначения для
сумм, которые будут фигурировать в наших рассуждениях.
1. Символом A,. .., п) мы обозначим обычную последователь-
последовательность чисел от 1 до п.
A п)
2. В сумме V суммирование выполняется по всем воз-
можным неповторяющимся /г-парам из A,... ,п).
A п)
3. "S? — сумма по всем возможным неповторяющимся /-ин-
1ц
дексам ilt... ,it из A,..., п).
8.1. Связь функций Грина с коэффициентными функциями
S-матрицы
Чтобы установить связь между функциями Грина и коэффициент-
коэффициентными функциями матрицы рассеяния, введем сначала вспомогатель-
вспомогательные «одетые» коэффициентные функции
п
Fn (Xi хп) = Уп\ j' f[ | Dl (Xj - *)) dx'Fa (*; х'п). (8.1)

56
Уравнения для коэффициентных функций
Гл. II
Подставляя теперь разложение A.1) в формулу E.15) и применяя
теорему Вика для Т-произведения, получим формулу, связывающую
функции Gn и Fn. Для n = 2k имеем
Gn(xl,...,xn) =
= Fn (xlt.. ., xn) + Yi —D4xi,—xu)Fn_2(xl,...,xil,...
(/i./ii
ti,..-,i)
v \JL. J- V l n"tr r \
)C (Xhk-i — Xju). (8.2a)
*/*>
I/* /2*J
Для n=2fe+ 1
Gn(jc,,...,xn) =
= /=¦„ (*„ ...,.
(! n)
1 — -
— D (x x-)F (x x-
A n)
..., x ,... ,x L-...
1 r^c,
t/i /
h). (8.26)
Формулы (8.2а) и (8.26) становятся более понятными, если их за-
записать в диаграммном виде:
для n = 2k
$) = 0
для п = 2k + 1
= 0
+ (п-2) +
(8.2а')
+ (п-2) +
0-
(8.26')

$ 8 Коэффициентные функции и функции Грина 5?
Легко доказать, например, методом математической индукции,
что формулы (8.2а) и (8.26) обратимы. Мы предоставляем читателю
выполнить это нетрудное упражнение. Обратная связь будет иметь
вид:
для n==2k
0 =
Л8.3>
для п = 2k + 1
0 = ©
(8.4)
Вывод выражений (8.3) и (8.4) нужно проводить аналитическим
методом, так как на диаграммах не видно кратности повторения ана-
аналитических выражений.
Пользуясь формулами (8.2)—(8.4), можно непосредственной под-
подстановкой убедиться в эквивалентности уравнений C.11) и G.5).
Такое доказательство содержится, например, в [79, 80], однако оно
требует громоздких вычислений. Вместо этого мы получим уравне-
уравнение для производящего функционала F {/} коэффициентных функ-
функций Fn и докажем его эквивалентность уравнению Швингера в ва-
вариационных производных D.7).
8.2. Уравнение для производящего функционала
коэффициентных функций Fn
Вопрос алгебраической эквивалентности может быть разрешен g
помощью уравнений в функциональных производных [139]. В этом
пункте будет получено уравнение для функционала F {/} = S{/}
D.22) и показано, что это уравнение эквивалентно вариационному
уравнению Швингера для функционала G(/). Используя G.2) и
формулы D.20) — D.22), получим
Ш7Г = - 4& (йо> Т (: [ф0 (х) + / (х)]3: S (Фо + /)) Qo). (8.5)
Раскрывая Г-произведение и используя формулы D.20), D.21)
и формулы (см. п. 3.2)

58 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
( I с 1 с
Ф0 (*) фо(*M = \ dyidy2 — D (x — yJ-D (х — y2)
I I
ф„ (X) фо (X) фо (*) S =
= i dyldy2dy3 -f If {x — yt) - Dc (x — */2) - Df (л; — y3) x
X
получим уравнение для функционала F{j} [139]:
6/ (х)
= — 4/Л. I dyxdy2dyz — Dc (х — г/х) — Dc (х — у%) — Dc (>; — г/3) х
It 1с
x) F {}}. (8.7)
Варьируя уравнение (8.7) no j (x2) ... } {xn) и полагая /=0,
получим уравнение G.5). Покажем, что уравнение (8.7) эквива-
эквивалентно уравнению D.7'). Воспользуемся связью (8.2) между функ-
функциями Грина Gn (...) и функциями Fn (...). Легко видеть, что связь
между порождающими функционалами этих функций определя-
определяется формулой
-l/2i'D-1, (8.8)
где
/ -D•/ = j dxdyj {X) j Dc (x — у)} (у).
Перепишем уравнение D.7) в таком виде:
Gx {/} = 4U j" dy | Dc (x - у) ОЙУУ (/} +
+ ШК1 Dc @) Г dy Dc (x - у) Gv {j) -^dyjDc {x-y) j (y) G {/}.(8.9)

Коэффициентные функции и функции Грина 59
Используя (8.8), находим
{j) = Fx{i}e~l/2''D" ~\dyXTD' (х -у) Ну) ?{/}Г1/г'-0-', (8.10)
{j}e-i/2hD-' -3 j ф 4 D8 (х -у) /(у) ^{/}<Г1/2/-°-; +
+ 3 4 Dc @) j' d*/ 4 D° U-y)j(y)~F{j}e~l'2l-D-1-
-(\dy\ Dl {x-y)j{y)f F{j}e-l/2hD-'. (8.11)
Подставляя выражения (8.8), (8.10), (8.11) в уравнение (8.9) и
сокращая на e~l/2l'D'', получим уравнение для F{j):
Fx {/} = 4а j dy 4 /У (x - г/) ?WB {/} -
- 12Д ^dydyi lDc(x- yt) j (Уг) 4 Dc (y, - г/) Fn {/}
О' ( ) 4 D' (* УЛIШ / Ы
12a J ^г/4ф2 4 О (x Л)
- У) ~Fy {]'} + 4И, j dydyrdy^dy, ±Dc(x- yt) jDc(x- уг) jDc(x-
— y3) lDc(x- y) j (yt) j (y2) j (y3) F {/}. (8.12)
Из определения (8.1) непосредственно следует, что
F{j} = S^F{D'*j}, (8.13)
где
Используя (8.13), легко увидеть, что уравнения (8.7) и (8.12) сле-
следуют друг из друга.
Рассмотрим кратко вопрос о формальном решении уравнения
(8.7). Перепишем его для этого в виде
, (8.14)
где :...: означает, что в произведениях операторов / (х) и ..
. .

60 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
справа стоят операторы вариационного дифференцирования, а йотом
операторы умножения на / (х). Кроме того, под знаком :...: one-
раторы j(x) и .., . коммутируют.
Так как операторы /(х) + \ йу -т-If (х — у) ... . коммутируют
между собой при разных х, то из уравнения (8.14) следует, что
ему удовлетворяет функционал
±feJ^. (8.15)
Совершенно аналогично, используя формулу F.1) и формулы
D.20), D.21) и (8.6), можно получить эволюционное уравнение
для F{/}:
^^ ^\^^ (8.16)
Так как /7{/}|/=0=1, то функционал (8.15) будет одновременно и
решением уравнения (8-16).
8.3. Уравнения для связных частей коэффициентных функций
В заключение настоящего параграфа получим уравнения для
связных частей коэффициентных функций S-матрицы.
По аналогии с функциями Грина введем производящий функ-
функционал для связных частей коэффициентных функций:
f Г (/) = 2 "?ГГ f '•• [^...dxjlixv... ,xn)j(x1)...Hxn). (8.17)
Связные части коэффициентных функций {FTn} связаны с коэф-
коэффициентными функциями {Fn} теми же формулами, что и связные
части функций Грина {Gl} с функциями Грина {Gn}:
га (Xi, • • . , Хп) =
= 2 2 2^*ч...-.**„ь--^(*/,.-.-.*ч)- (8Л8)
Легко видеть, что производящий функционал /•"(/) связан с произ-
производящим функЬионалом FT (j) формулой
T(j). (8.19)

Уравнеяия эволюционного типа
61
Подставляя (8.19) в (8.7), получаем уравнение для FT (/):
= - Ш j dy, dy2dy3 \Dc(x- У1) jDc(x- y2)} Dc (x-y3)FTyi!h!h {/}_
- I2ikj (x) j dy,dy2 \Dc(x- У1) \Dc(x- y2) FTyiy, {/} -
- 12Uf (x) j dy, \De(x- 9i) /=¦;,{/} -
dyidy2dy3 \Dc(x- y,) lDc(x- y2) } Dc (x -y3) F^{i) X
- Ш j dy,dy2dyz lDc{x- yd \D°(x- y2) \ Dc (x -y3) x
Fl {/} FTy. {/} - I2i%j (x) j dy,dy2 4 Dc (x- yx) \ ff (x-y2) x
j}FTyAi}-W(x). (8.20)
Выполняя вариационное дифференцирование по / (xz), ..., / (хп),
получим уравнения для связных частей коэффициентных функций,
которые мы изобразим графически:
0 -
§9. УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Fn
Уравнения эволюционного типа для коэффициентных функций
можно получить из формулы F.1), если подставить туда разложе-
разложение A.1) и повторить все операции § 7. Мы, однако, предложим в
этом параграфе другой метод, который позволит обойти доволь-
довольно громоздкую процедуру § 7 [83, 84].

62 Уравнения для коэффициентных функций Гл. XI
9.1. Скалярное взаимодействие
Рассмотрим операторнозначный функционал от свободных ска-
скалярных вещественных полей, заданный выражением A.1). Задание
такого функционала, в частности обычной S-матрицы, эквивалент-
эквивалентно заданию последовательности коэффициентных функций
F = {Fn (*, хп)}п=о, Fo = (Яо, SQ0).
Рассмотрим функционал S' = : ф0 (х) S: и вычислим его коэффици-
коэффициентные функции. Нетрудно подсчитать, что
:<po(x)S: =
oo
1 л
= Yt у^- \ Fn(Хи ... ,хп): (PoWyoixJ... q>0{xn): dXi. ..dxn =
) t S b()F(. . . ,*„ ... ,*„+,) X
X : (poUi)... <po(Xn+i) •¦
n=0 * i=\
4=1
Таким образом, на множестве последовательностей коэффициентных
функций F операция : q>0(jc)S: представима некоторым линейным
оператором а+ (х), действующим по формуле
F'=a+(x)F,
(9.1)
Fn (х1г ...,хп) = (а+ (х) F)n (xi, ...,xn) =
Рассмотрим теперь функционал
n
2 §Fn(xv .. .,д:п)ф0(л:)ф0(xt) X

9 Уравнения эволюционного типа 63
X : ф0 (хг).. . Фо (Xi-i) ф0 (xi+i)... ф0 (хп) :dxx...dxn =
со
= V _L^= Ccte' 4- Dc(x-x')Fn(x',
0
^ ',x1 *„_,) x
X : ф0 (xx) ¦ ..% (*„_!): dxi.. ¦ dxn-\ =
oo
[ К (*i> • • ¦, xn): ф0 (xx).. . фо (х„) :dx1... dxn,
где
К (хг,.. ., xn) = (сГ (х) F)n (xit ...,xn) —
?>'(* — x'J^n+i^'.x, xn>dx'. (9.2)
Операторы а± (х), заданные выражениями (9.1) и (9.2), являются
формальными алгебраическими операциями. Они подчиняются сле-
следующим коммутационным соотношениям:
[а" (х), а+ (х)]_ = j Dc (х — х'). (9.3)
Перепишем формулу F.1), раскрывая в правой части Г-произве-
Г-произведение:
— S = — i ^ dx {: (po(x)%(x)<pQ(x) <po(x)S : +
4 : ф0 (х) Фо (х) ф0 (х) фо (х) 5: + 6: ф0 (х) ф0 (х) фй (х) ф0 (х) 5 : +
1
1
+ 4 : фо (х) ф0 (х) ф0 (х) Фо (х) S : + : ф0 (*) Фо (х) ф0 (х) Фо (х) S :}. (9.4)
Используя введенные операции (9.1) и (9.2), уравнение (9.4) в про-
пространстве последовательностей коэффициентных функций перепи-
перепишется в следующем виде:
¦±-F=> — i\dx {a+ (х) а+ (х) а+ (х) а+ (х)
+ 4а+ (х) а+ (х) а+ (х) сГ (х) + 6а+ (х) а+ (х) сГ (х) сГ (х) +
+ Аа+ (х)а~ (х)сГ (х)сГ (х) + сГ (х)сГ (х)сГ (х)сГ (х)} F -9 5)
или

64
где
Уравнения для коэффициентных функций
а (х) = а+ (х) + аГ (х), [а (х), а («/)]_ = 0.
Гл. I]
(9.7)
Учитывая (9.1) и (9.2), перепишем уравнение (9.5) для компонент
вектора F:
1 d
\
J
dxdx\dx'2dx\dx\ X
jDc(x — x'x)... — Dc (x — x'4) Fn+i (х[, ...,x\, xt xj
+ 41/(л + 2)(л+1J [dx[dx2dx'3x
X -j- Dc (x,, — x\)... -r Dc (xk — x'3) Fn+2 (x'v ... , x'3, xv...
\)
*{. — xi.) \ dx\dx'o x
X — D (xtt — x'^-j-D (Xit — x'2)Fn(x]9x29xi9... yXto ... 9Xtit...,xn)
n
+ ,/•¦'¦ У б (Xit — xi%) b(xu — xiu) X
V n(n—\) ^J
С /1 гъС t f-t
XI //y /J /у» «__ *r \ P _
n
1 V
Vn(n-1) in — 2) in— 3) ^J
il,...,xi , xn)
:, — XU) X
или
X Fn-4
±JL
xit,... , xit,..... xn) (9.8)
fX0
(9.8')

§ 9 Уравнения эволюционного типа 65
Так как при % = 0 F\x=0 = Qo = A,0, 0,...), то формальное реше-
решение уравнения (9.6) имеет вид
F = ехр (— ik J : a4 (х) : dx) Qo. (9.9)
Раскладывая экспоненту в ряд и действуя операторами на вектор
Qo, получим полный ряд теории возмущений для матрицы рассея-
рассеяния, включающий вакуумные вклады. Уравнения (9.8) можно было
бы также получить из (9.4), подставляя туда разложение A.1),
выполняя все операции § 7 и приравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях полей ср0 (х).
9.2 Взаимодействие Юкавы
В этом случае рассмотрим функционал
l,m=0
X :^0 (Уд ¦ ¦ • % (Уд Л.«(ft •••,Уь Zi,... ,zm) г|>0(Zj)... % (zm):. (9.10)
Образуем четыре новых функционала:
. :%№:. (9.11)
Используя разложение (9.10), получим
!,m=0
X: % (#4) ... % (г/г) Fl<m (y{,..., г/,; 2lf ..., zm) % (x) ¦
па
утш f di/l - dyid2' - dZm+i:
т+1
- ^о (Уд '¦ '
2т+
Г %
i=o
X: Фо Ш - % (Уд Р\,т(Уи ..., УС, Zj, ..., zm) г|H (zt)... г|>0 (zm):,
5 Д- Я. Петрина и др.

66 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
где функция F't m вводится как результат действия некоторой ли-
линейной операции на Flm по формуле
= (Ф+ (х) F)Lm (tji, ..., уь- z4 zm) =
zlf..., г„ ..., zm). (9.12)
Здесь / = ((8«Р/)), Ф+ (х) = {Ф^Й=1.
Аналогично для функционала : ар0 (a;)S : имеем
J¦¦¦^0%-Jx
X ^Ро (S/j+i) ¦¦¦% (Уд — $С(Х — У]) Fum (Уи • • -, Уь ги ..., гт) X
X % (z4)... г|H (z J :%,... dr/idZi ...dzm =
оо
х
j dy'\ Sc (x - y') FUm {y\ yu ..., г/г_ь Zl zm) % (
oo
... ^o (zm): = > — \ dyt... dy,dZi... dzm x
X
X:i(j,)...iio (Уд F'i,m (Уи • • -, Уь Zi zm) op0 (z4)... ap0 (zm):,
где
Pl,m(yi, • ¦ ; Уй Zt, . . ., Zm) =
= (Ф~ (x) F)Um (tfi уi, zi zm) =
y'\s:(x-y')Fw.mW,yi yu zu...,zm). (9.13)
Совершенно аналогично подсчитываются коэффициентные функции

§ 9
Уравнения эволюционного типа
67
функционалов : % (х) S: и : г|з0 (х) S :. Для них соответственно
имеем
Fl.m (Ун • - • , Уь Zv . . . , Zm) =
= (Ф+ (х)F)Km(ух,...,у,; гг,...,zm) =
<8>Fi^Um(y1,...,yi,...,yl;z1,...,zm), / = ((8ac6()), (9.14)
и
F\,m (г/i, • - -. Уй Zi,. ¦., zm) = — (Ф~ (х) F)Um (уУ)..., уг;
zv. .., zm) = — (— 1)' Vm+ 1 j dz'FKm+l (ylt ...,yt;
z',Zl,...,2mL-Sc(z'-x). (9.15)
Чтобы получить уравнение эволюционного типа для функций Fiytn,
перепишем формулу F.1) для случая взаимодействия Юкавы:
JL s = - IT у : й, (х) % (х) % (х) -.Sctx}. (9.16)
Раскрывая Г-произведение, получим
Sx s = — i [ dx {¦ U> (x) % (x) ф0 (х): S + : % (x) % (x) % (x) S : +
I i I1
: 'Фо (x) % (x) Фо (x) S : + : ¦% (x)%(x)<po(x) S:
: ^o(*) ^o(x)%(x)S:+: %(x)%(x)<po(*) S : +
+ : % (x) %(x) ф0(x)S: + : %(x)%(x) Фо (х) S:}. (9.17)
Подставляя в (9.17) разложение G.12) и используя определение
операций а±{х) ((8.1) —(8.2)), Ф±(х) ((9.12) —(9.13)) и Ф*(х)
((9.14) — (9.15))> получим уравнение для последовательности коэф-
67

68 Уравнения для коэффициентных функций Гл. II
фициентных функций F = {Fi,m}™ :
^rF = — i^dx {Ф+ (х) Ф+ (х) а+ (х) + Ф+ (х) Ф+ (х) аГ (х) +
+ Ф+ (х) а+ (х) Ф~ (х) + Ф+ (х) а+ (х) Ф~ (х) + Ф+(х) Ф~ (х) аГ (х) +
+ Ф+ (х) еГ (х) Ф~ (х) — а *" (х) Ф~ (х) Ф~ (х) — а~ (х) Ф~ (х) Ф~ (x)}F.
(9.18)
Если теперь ввести операторы
ф (х) = Ф+ (х) + Ф~ (х), Ф (х) = Ф+ (х) — Ф~ (х), (9.19)
причем
[Ф (х), Ф (у)]+ = О,
[Ф- (х), Ф+ (г/)]+ = [Ф+ (х) Ф~ (у)]+ = ±Sc(x-y),
то уравнение (9.18) перепишется в виде
4к F = -1J dx: Ф (х) Ф(х)а(х):F. (9.20)
Под знаком нормального произведения операторы Ф*, Ф* анти-
антикомму тируют.
Чтобы получить теперь уравнения для компонент вектора F,
используем определение операций Ф , Ф* и а1:
Г ~dk т'п \У1' • • ' ' Ут> 21> • • • > 2т» Х1' • • • » Хп) —
т т

L у AГД^
Km ^ )/m
/=1 /'=1
Fm—\,n—\ ХУм ¦•• » Уи ••¦ > Ут> 21» ••• > 2/'» • • • » 2т> Х1' • ¦ • » XU • • • > Хп)
т "¦
I — . , 1 Пт— 1
<-1)Г"'/б ^ - *'-) ®
/'=1
х ('dx4Dc(r/, — х) х
> Уj> ••• > ^/т> 21» ••• ' 2/'» ••• > 2т> -^> -^1> ••
т
2 (-^'A
п

Уравнения эволюционного типа 69
х ^ dy y Sc (yj — у) х
г1 ^ **"
X Гт,гс— 1 (у, ух, . . . , yj, ... i Ут\ Zlt ... , Zm; Xi, . . . , JCj, . . . , Xn) -f-
X J dzFm.n-x (ylf ...,ym;z,zlt...,Z],..., zn\
xlt..., jtj, . . ., jtn) -j- S (z — Zj) -\-
+ К/Г+1V (-lr'
X Гт,п+{ (У> ^/i> -••» J/j» • • - > J/mi 2j, . . . , Zm', X, Jtj, . . . , Xn)
X /*m,«+l (^/i> • • • > i/(n> 2, Z\, • ¦ . , Z^, . . . , ZmJ Jt, ДСх, . . . , Xn) X
+ (- lf+V+l)-^- J sPl[j^dz45c(^-i/) x
X ^m+i.n-1 (г/, г/i,..., г/т; z, zv ..., zm;
xv...,Xi xn) — Sc (z — x
Jf dydzdxdx' \${x' —у) х
X /^m-i-i.n+l (У, У\, • • ¦ > г/т! 2> zl> ¦ • ¦ > zm> *» xl< • • • > xn)
X 4
x')-. Dc(x' —x)\. (9.21)

70
Уравнения для коэффициентных функций
Гл. II
В диаграммной записи
(9.2Г)
Так же как и для функций Грина, в уравнениях для коэффици-
коэффициентных функций при итерации возникают расходящиеся при боль-
больших импульсах выражения. Чтобы вывести перенормированные
уравнения, нужно исходить из лагранжиана взаимодействия
C.27), содержащего константы перенормировки. Тогда в уравне-
уравнениях для коэффициентных функций возникнут дополнительные
члены, соответствующие необходимым вычитаниям.
В последующих главах мы будем исследовать уравнения для
коэффициентных функций в двумерном пространстве-времени, что
избавит нас от необходимости введения контрчленов (по крайней
мере в скалярной теории). В случае взаимодействия Юкавы мы
укажем, как нужно изменить производящий оператор, чтобы он
соответствовал перенормированной теории.

Глава III
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
В ЕВКЛИДОВОЙ ОБЛАСТИ
Функции Грина и коэффициентные функции матрицы рассея-
рассеяния являются граничными значениями голоморфных функций.
Используя голоморфное продолжение, можно получить уравне-
уравнения для функций Грина и коэффициентных функций при чисто
мнимых временных (энергетических) переменных. Эти функции
в области с чисто мнимыми временами (энергиями) принято на-
называть евклидовыми, а саму область изменения аргументов —
евклидовой областью.
В настоящей главе мы выполним переход к евклидовой обла-
области в уравнениях для коэффициентных функций, основываясь на
разложении их в ряд по теории возмущений. В евклидовой об-
области производящие операторы уравнений можно представить
через операторы рождения и уничтожения линий диаграмм
Фейнмана [74—76, 124, 128, 134—138] (операторов евклидова
поля [113—116, 120]). В таком представлении они имеют вид
обычных гамильтонианов взаимодействия, что значительно облег-
облегчит математическое исследование рассматриваемых уравнений.
§ 10. ПЕРЕХОД В ЕВКЛИДОВУ ОБЛАСТЬ В УРАВНЕНИЯХ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Еще в 1951 г. Швингер [199], Дайсон [62] и Наканиши [108]
указали на возможность установить соответствие между кванто-
квантовой теорией поля в пространстве Минковского и евклидовой тео-
теорией поля. Последовательное описание квантовой теории поля с
помощью евклидовых функций Грина было предложено Швин-
гером [201, 202], Фрадкиным [175—177], Накано [109], Симанзи-
ком [156, 157]. В работах Ефимова и сотрудников [1, 69, 105]
методы евклидовой теории поля применялись при построении
нелокальной теории.
В последнее время Нельсон [113—116] завершил аксиомати-
аксиоматическую формулировку евклидовой теории поля на языке евкли-
евклидовых случайных полей. В работах Остервальдера, Шрадера,
Глазера [40, 121] была доказана эквивалентность аксиом евкли-
евклидовой теории поля и аксиом теории Вайтмана.

72 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. 111
10.1 Взаимодействие ^(:ср4:)
Перепишем уравнение G.5) в пространстве импульсных пере-
переменных, используя формулы преобразований Фурье функций D° (x—у)
и Fn (xit..., хп):
етк~у)
A0.1)
Fn (xit..., хп) = ^— j dpx... dpn exp I i \V-.<j J frn {plt... , pn),
С учетом A0.1) имеем
dp = ddp,
= pi x
x°
n (Pi, ... ,Pn) = ~ Mi (K(« + 2)(n+l) j й№^А;2^з X
x BflN(p1-fe1*1<g
B)d i (ца _ /j2 __ 18) Bji)d t (ц2 — k\ — (в) Bл)'г i (ц2 — ^з — is)
X g"n+2 (*j, k2> k3, P2 Pn) +
(дд B^6(p1+p fel-,2)
B*)
iki, k2, p2 pu, ... , pn)
з yi |- (ai^atft + ^
n (n - i) ^ J J Bn)d i (Ц» - k\ - i8
tj + t'z+l
X ^„-2 (*i, P2, ... , Ptf, ... , Pl2. - . Pn) +
Коэффициентные функции Fn, так же как и функции Грина, пред-
представляются через свои связные части (8.18). Нам понадобится
представление (8.33) в импульсном пространстве. Так как связные
части Fnt (хг, ... ,xni) являются трансляционно-инвариантными функ-

§ 10 Переход в евклидову область 73
циями, то их преобразования Фурье будут иметь вид
?-? (Л, ..., рщ) = б (р, + ... + рп.) FTni (plt .... рп.), A0.3)
где
Ft, (Pi Pni) = Bя)" Fl, (Pl,..., pn._i)
при p1 + ... + Pni=i0, a f?. — преобразование Фурье функции
Рщ (li. Is, • - -. Ъщ-i) (Si = *i — J:n(, - • •, 1п4-1 = Хщ-i ~хщ) по пере-
переменным Sx,. -., ini_i- Учитывая (Ю.З), запишем представление
функций дгп (рх рп) через их связные части:
2 б (/\ + ¦ • •+р'".} f"• ^'.' • • •' р^)-
Oft
Л + • ¦ + %>f"*(р/.'' ¦ •' "Ч>- (la4)
Под гололюрфным *) продолжением функций ^"п (рх,..., рп) в евк-
евклидову область будем понимать голоморфное продолжение связных
частей FTni,..., FTnk и одновременную замену
(- 0 FTni (ph,..., pQ -> FTni (pv ..., pln{). A0.5)
Запишем уравнение для связных частей f? (n=2,3,...). Такое
уравнение можно получить непосредственной подстановкой пред-
представления A0.4) в уравнение A0.2). Можно также воспользоваться
уравнением A8.12) для производящего функционала (8.17), чтобы
получить из него уравнения для функций FTn (хг хп). Переходя
после этого по формулам A0.1) к уравнениям для функций Flip^...
.... рп), получим уравнения в импульсном представлении
Fl (Pl, ...,pn) = -4%i {]/(« +2) (n+1) f dMftj X
Bn)d i (ц2 —k1 — ie) Bn)d i (ц2 — k\ — ie) Bn)d i [ц2 — (pf — fcf — /г2J — &]
X F^+2 (*x, *2, Pi — К — К Рг Рп) + 3 V(n + 2) (П + 1) X
"—2
:—: ^—— х
! (\i2 — kf — ie) Bn)d i[pL*—(kr
tn=O perm
*) Относительно основных положений из теории голоморфных функций.
см. монографию В. С. Владимирова [33].

74 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
1
- ,8]
X Fn-m (— Pim+2 — ¦¦¦— Ptn, Pim+2, - ¦ ; PlJ
m+2
V<&X
ft—2
V V
^ ^ Bя)" «In* - (P. + . . + P?,J -fe
x ! x
B"* [2 < + + / fcj B)"i l» ( +
. . . + P./ - I8j
X # (— P(l — • • • — Pir Pi, Рц) X
XFm( Pll+X . - • Pi,+m_p Pil+v ¦ ¦ •> P
X Fn—l—m+2 ( ^*i+m • • • P/n> ^«!+m> • " "• Pin)
n n—2
-J- 3 % "\ ^ d- ; ^X
x
x ^ (- ^ - - - - - PlmUm+i), Ptt, ¦ ¦., PimUmJ x
X F^m (- Plm+lUm+2) ----- Pin>Ptm+1«m+2>> ¦ ¦ ¦' Pi) I-
XFL-2 (Pi + PA + ph, ft, .. ., p/V . - .,p,f,.. ., Pn)
„ = 0). A0.6)

§ 10 Переход в евклидову область 75
Здесь, как и в D.30), ~S' означает перестановку аргументов р2,...
Регт г т
... ,рп только между функциями Fm+2 и Fn-m во втором слагае-
слагаемом правой части, между Ff, FTm и Fl_i^m+2 в третьем и между
Fl и Fn-m в пятом слагаемом. Кроме того, в пятом слагаемом
индекс im(im+i) означает, что последний аргумент функции F„(...)
есть pim, если импульс ри отсутст- lko^
вует в FL»(...). и Ptm+v если Р/,
отсутствует в F7m / # у
Переход в евклидову область осу- —¦
ществляется голоморфным продолже- ~
нием функций FTn в область p°.-+-ipd..
При этом лоренц-инвариантный квад-
квадрат вектора — Р/ = — Р02 + Р^ пере-
переходит в евклидово-инвариантный ква- Рис. 1.
драт р2. = pj _j_ (рр2_ Чтобы осущест-
осуществить такой переход под знаком интеграла в уравнении A0.6),
нужно повернуть контур интегрирования в плоскости k° на 90е
(виковский поворот контура [32]; рис. 1) и сделать замену пере-
переменной k° = ikd.
Выполнить такой поворот можно в том случае, если функция
Fn (pv ..., рп) обладает нужными голоморфными свойствами, т. е.
не имеет сингулярностей в первом и третьем квадрантах комплекс-
комплексной плоскости k°t. Мы покажем, что функции FTn (pv ..., рп) обла-
обладают такими свойствами в каждом порядке теории возмущений.
Следуя Тейлору [163], сформулируем следующую теорему.
Теорема 10.1. В каждом порядке теории возмущений функции
Fn (Pi,..., рп) являются голоморфными функциями переменных
р°,...,р° при любых комплексных р°. (i= 1,2,... ,п), за исклю-
исключением точек
°J = 0, б) Re|p?|></>2 + 4|i2)'/s, в) p* = |i», A0.7)
где p°j = ^ р°(, pJ = y^pi, I—любой поднабор индексов из
<¦€/ i€/
A,..-,п).
Приведем идею доказательства. Запишем уравнение A0.6) в
k-м порядке по константе взаимодействия X. Тогда в правой части
выражения A0.6) будут стоять члены, зависящие от низших поряд-
порядков. Чтобы не выписывать громоздких выражений, запишем

76 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
результат в таком виде:
п—1
) рТ(к—2) . pT(k-l) pT(k-2)
, Гт+2 > • • • , Гп-т » Гп-т ,
я—2
«—2
т=2
+ Me (f^-1») + (- 40 Bп)а йп4бы, A0.8)
где через Mt обозначены соответственно 1-й, 2-й и т. д. члены
уравнения A0.6).
Докажем теорему методом математической индукции. Для k=l
Fn{1) {pi,... ,рп) = — 4г Bn)d Sn4 = const, и теорема автоматически
выполняется. Предположим, что во всех порядках, меньших fe-ro,
теорема также справедлива. Следовательно, остается показать, что
операторы, стоящие в правой части A0.6) или A0.8), не нарушают
свойства голоморфности A0.7) функций FTik~1\... Те операторы,
которые соответствуют членам М3, Мъ и УИ6, не содержат интег-
интегрирований и являются операторами умножения на соответствующее
число фейнмановских пропагаторов, которые имеют полюсы типа
A0.7в). Очевидно, что они сохраняют свойства голоморфности
A0.7) функций FT{k~X). Рассмотрим члены М1г Mz и Мх. Так как
операторы, соответствующие этим членам, аналогичны по своему
действию, то мы рассмотрим наиболее трудный из них — Мх, со-
содержащий две переменные интегрирования:
Мг = — МV{n+2){n+\) Сйкхйк, х
х
Bn)d i (ц2 —k\— ie) Bn)d i (ц2 — k\ ~ ie) Bn)d i [yfi — (p, —kx —k2J —ie]
x fZ%-1] (kv kv Pi—h — fej, A,. ., pn). (io.9).
Отметим, что при d>-2 интегралы в A0.9) могут расходиться
при больших значениях импульсов 6( и k2. Поэтому в случае d > 2
мы будем рассматривать только сходящиеся выражения. Мнимая
добавка ie определяет правило обхода полюсов. Контур интегри-
интегрирования проходит таким образом, что в области положительных
Щ и Щ полюсы лежат ниже контура, а в области отрицательных энер-

<> 10 Переход в евклидову область 77
гий — выше контура (см. рис. 1). После выполнения интегрирова-
интегрирований е нужно устремить к нулю.
Рассмотрим сначала функцию
<Рп (&2> />!>•••> Рп) =
X
= — И Yin +2) (п + 1) Г dkx
X F^fr" (Л,, Лг, Pi - Л, — Л2, P2- • • •. Рп)- A0-10)
Учитывая предполагаемые свойства голоморфности функции
Fn+2~1) (• • •)> легко определить, что сингулярности подынтеграль-
г.0
K-
0 7,0 ,0 .0
* * * *
* * * *
Рис. 2.
ного выражения по переменной k\ расположены, как показано на
рис. 2. Имеем полюсы &±,, (i=l,2, 3,4):
4,i=±(fc?+^2I/2Tie,
4.2=р\-kl ± [(К + k2-Plf + tff2q= it,
A0.11a)
4.3 = - P/ ± [(- *i + P/J + ^11/2 T »e,
4.4 = po _ /e° ± [(P/ _ fe2 _ fcj2 + ^1/2 q= i8
и разрезы (/е+,5 — начала разрезов):
4,5 = -p°, ± [(p, - fciJ + 4^2]1/2 q= ie. (io. 116)
Учитывая A0.11), легко установить непосредственно из A0.10),
что функция ф„ (k2, /?!,..., рп) будет голоморфной функцией по
переменным Щ, р\,...,рап при любых комплексных Щ, p°t (i=l,
2,..., п), за исключением точек
<€/
где /'—любой поднабор индексов из {1, 2,... ,ra-f-l}, рп+1 = — кг.
Если же Im/?°, = 0, то для определения особенностей функции

78 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Ф„ (...) будем деформировать контур интегрирования в плоскости
k°- При этом в интеграле могут появиться особенности в резуль-
результате того, что при изменении k°, р\, ..., р°п сингулярности могут
двигаться и зажать контур интегрирования между какими-либо
двумя сингулярностями k+ и &_ («ртсп»-сингулярности). Такая
ситуация может возникнуть при выполнении следующих равенств:
{к\ + у?) =p°-k°2- [(к, + к2- Plf + Ц^/2 ^
= P°I-k°2- [(/», -к2-
pi - kl + [(к, + k2 - Plf + ^f2=-(k! + ^f
= -p°I-[(-
= р° - k\-[(Pl -k2-
I
A0.12)
-p°, + [(- К + P,f + v?V2=-(*? + v2I'2,
=p° - kl - [(к, + k2- Plr + И1/2.
k2-
p\ -
=p° -kl- [{PJ-k2-
Уравнения A0.12) будут справедливы при условии, что р°, =
= 2 р°{, где р°. ?(— k°,p°,...,р°) является действительным, и
I Р°г I >{РГ + 4ц2I/2, т. е. в области A0.7).

§ 10 Переход в евклидову область 79
Следовательно, можно выполнить голоморфное продолжение в
нужную нам область Продолжая внешние переменные — $ ->• ik\,
p°.-+ipd (/ = 1, 2, ..., п) в направлении против часовой стрелки,
мы одновременно повернем в том же направлении контур интегри-
интегрирования в плоскости k° на 90° Так как контур лежит вне A0.7),
он не пересечет никаких сингулярностей, что и доказывает голо-
голоморфность функции ф„ (kz, plt. .., рп) в указанной области.
Теперь, так как
1
M.-J,
то, повторяя предыдущие рассуждения, такой же поворот можно
выполнить и в плоскости k\. В результате получим после замены
k\ = ikd, kl = iki в евклидовой области
Mt = — 4 V(n + 2) (п + 1) J dkydki x
Bя)
v V
Bn)d (ц2 + k\) Bn)d (ц2 + kfj [ц3 + (p, - ki -fe3K]
x Fjife' (*i, *2, Px — ki — К Р» - , Pn)- ПОЛЗ)
Здесь dk = dh> ... dk", № = (fe1J + ... + (fedJ. В A0.13) выполнен
предельный переход е^-0. Это можно сделать, так как после по-
поворота контур не пересекает сингулярностей подынтегральных
функций Теорема доказана.
Просуммируем уравнение A0.13) по всем порядкам теории воз-
возмущений, считая, что область голоморфности полной функции
S*n (•••) = 2 ^*^п*' останется той же. Перепишем уравнение A0.6)
k
для функции <fn (Pi, ¦. ¦, рп) (Ю.З) в евклидовой области, учиты-
учитывая замену A0.5):
l, ..., р„) = - 4Я.\V{n + 2){n+\) \ dkjMJk, X
I2n)d6(pi-kl-ki-k3)
Bя)" ((.
х 1
ЗК(л
12 +
Тп+:
¦ + '
i(k
2H
Bк)"
li Ка,
n-\- 1
(p.2 + *
ra—2
^—«
Ф
/
Bя)
• • ,
/
^¦1 I/
perm
d (ц3
/»n)
1
+

Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
х Bn)a6(Pi-kj-k2-k3) х
Bп)" (м-2 + *?) Bя)" (ц2 + 4 Bя)" (ц2 + *§)
X frL+2 (klt kx, Pi,, ..., Ptm+l) tfn-m (k3, Pim+2, ¦ • > Ptn) +
n—2
t,m—2 perm
Г rfMVfe,Bn)de(Pi-
J
Л?) Bя^ (м-2 + ftf)
f (*i, Pi,, - - - , Pit) &m (k2, Pil+V ..., Pi,+m_i) X
l-l-m+2 (k3, pllJrm, ..., Pin) +
,/№- С*)'" (Pi+P,. -*!-*.' V
2
I (*i, *2, P2. • • • . Р/„ ¦•-,Pn)
¦ - - , Pin) \~Pj
2я)*6 (Pl + ри + Ph - k) y
' (ц2 + fe2)
xrI-2 (й, p2 p,v • - •. Pu, ¦ ¦ ¦. PJ +
2n)d б (Pi
Определим разложение полной евклидовой коэффициентной функ-
функции через ее связные части выражением A0.4), т. е. таким же выра-
выражением, как и в псевдоевклидовой области. Тогда уравнение A0.14)
для евклидовых коэффициентных функций #"„ (р,,..., рп) можно по-
получить следующим образом. Сначала нужно переписать уравнение
A0.14) в координатном пространстве, используя формулы A0.1),

§ 10 Переход в евклидову область 81
которые для евклидовой области будут иметь вид
P2 + I
Fn (xt, ...,*„) = -^j \ dpt... dpn exp f — i \t р,х}) g"n{pv..., pn),
A0.15)
dp^dp1 ... dpd.
Затем по формуле (8.18) надо перейти к уравнению для функционала
связных частей FT и, используя (8.19), записать уравнение для
функционала F {/} , из которого непосредственно будут следовать
уравнения для функций дгп(ри ..., рп) (см. § 8):
Гп (Pi,..., р») = - 4Я |l/"(n+2)(n+l) \ dkxdkzdk3 X
d-k -k2-k3)
Bn)d (|л2 + k\) Bn)d (jx» + fe2) Bn)d (|д.2 + fe2)
X S^n+2 (kV k2, k3, /72, . . . , pn) +
X
} " - Bn)u (uz 4- k\) Bn)"(na 4- «)
X^7* /?> b n n n \
x* n \ 1* 2* г 2' ¦ ¦ ¦ * A/ * • • • * г*п)
+
x &п-
Г dk ^^(P'+pi. + pi,-*¦)
3 X
У"п(п—1)(п — 2)(п — 3)
л—1,2,... A0.16)
Отметим, что уравнения A0.14) получаются из A0.16) непосред-
непосредственной подстановкой A0.4)—A0.3). Воспользовавшись формула-
6 Д. Я. Петрина и др.

82 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. Ш
ми A0.15), запишем уравнения A0.16) в координатном простран-
пространстве:
Fn (х„ ..., х„) = — 4А, V(n+2)(n+l) f dx'tdx'9dx'3 X
X Go (х, — x[) Go (д;г — х2) Go (Ху — х'3) Fn+2 (x\, x2, x'v xv ...,хп) +
П
+ 3 ^ f dx[dx'28 (ху — xQ Go (x — x\) Go (x — x'2) x
^ **» l-^p ^2* -^2' * * ' ' ^i,' • • ¦ » %n) *T*
X Гn—2 l-^i» -^2> • • • ¦ %{ > • • • »*^*:n> • " ¦ * JCn) *T*
— *;) x
Vnln-l)(n-2)(n-3)
X /"n—4
A0.17)
До сих пор мы выполняли переход в евклидову область в урав-
уравнениях резольвентного типа, в которых вклады от вакуумных диа-
диаграмм выделяются в виде множителя. Этот множитель можно сокра-
сократить во всех членах уравнения A0.17). В уравнениях эволюцион-
эволюционного типа вакуумные вклады связаны операторным соотношением
с коэффициентной функцией F4 (xu х2, х3, д;4). Поэтому при перехо-
переходе в евклидову область нужно установить, как изменится Fo. Так
как связная часть вакуумного вклада FT0 пропорциональна б @),
т. е. объему системы V, то при переходе в евклидову область (t ->-
-> it) V изменится на iV, а следовательно, /^ -*¦ i Fl, что соответ-
соответствует A0.5). Мы не будем приводить здесь подробных выкладок
для уравнений эволюционного типа. Приведем их окончательный
вид:
в евклидовой области

§ 10
Переход в евклидову область
83
X
+ 4 V(n +2) (n + 1) X) Г dkxdk2dk.,
4=1
1, &2> *3» &4> Pl> • - - » i
Bл)" 8 (p^ — ft, — ft2— ft»)
X
+ 6
X
X
X ^"n_2
x
P.,,
X
Kn(n-l)(n-2)(n-3)
»,4) ^"«-4 (Pi, • • •, plt pu pn);
A0.18)
в координатном пространстве
ж Fn(Xi,... ,хп) = У(п + 4)...(п + 1) \ djcdjc.'... dx', x
X Oq (X ATj) . . . Uq (X X4)tn^.4 (X^y - . . , X^y X-^y . . • > ATn) -[-
y'Ay''Hy'Ci (y, v'\ ^7 ^v- , v*'\ sy
X
X ''n (^p •"'г' ^1» • • • » ^'i
^, Xit • . • , Xit, . . • , Xn) -f-
o (^-, — x\) Go (xi, — x'2) x
» ¦ • ¦ > Xit, • • ¦ , JCn) -f-
6*

84 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
X ) dx'fio (xh — х\) Fn_2 (x'v *„..., x(i,.... х,,,.. ., хп) +
х Fn_4(*!,....х,,...,х.,...,хп). A0.19)
10.2. Взаимодействие Юкавы
В этом случае структура функций Грина в пространстве Мин-
ковского определяется не только зависимостью от квадрата импуль-
импульса р2 = р02— р?, но и свойствами матриц Дирака Y" E.3), которые
определяются метрическим тензором gwv. В евклидовом простран-
пространстве метрика задается тензором б^, с которым, очевидно, должны
быть связаны некоторые новые эрмитовы матрицы а^. Для них
K,av]+ = 26uv. A0.20)
В случае 4-мерного евклидова пространства выберем [202]
ак = YoYfc {k = 1, 2, 3), а4 = YoYs's. ls = Q oJ . %. = — tyo".
A0.21)
в двумерном пространстве времени можно выбрать A26]
Совершим сначала переход в евклидову область в уравнении G.15).
Перепишем для этого G.15) в импульсном пространстве, используя
формулы перехода
e
— у) — Bn)d j ape
m? — pz — is
п,п{У\, ••• , Ут\ Zit ... , 2m; Xlt ... , Xn) =
m m n
. \ I
X
с , m m n
) f «p И ? yiPi - ? zrt +1
x ffm,a (Pi pm; p; pmi k^..., kn)dp!... dpm dp;... dp'Jk^ ...dkn.
A0.22)
Тсйгда получим
S-mtn (Pli ••• » Pm> Pj» ••• » Pm» &1» ••• > ^n) ==
B^^+^-pi) ^i2 x
i2 — Я— te) B)dB 2j)

i 10 Переход » евклидову область 85
X ffm,n+l {q, Pv ••• f Pw P\y — > P'ri '» K> ••• f kn) +
+ (-iX)J=V\dqBn)dHq-kt-pl) ^^ ¦> x
У п *-Л J Bn)"t (/и2 — q2 — te)
<=i
X ^"m.n-1 (?, Pg Pm, P\, «. , Prf ku — » *i» — > kn) +
t, kv..., kn) + (- iX)(- If i- V (- I)'-1 x
X y= J /• Bя)"б(р; — Л — *,) ^Jm-bn-! (ft
p'r ..., p'.,..., ///, ftx,..., fej,..., kn). A0.23)
Рассмотрим первый член уравнения A0.23)
S'm.niPi, ••• , Pm- P\> — у P'm' kU — > kn) =
-M (-yv+^-«) x
ctt ^ y
Bя)"« (ц2 — P — ie) Bn)di(m2—q2—ie)
X &m.n+i(q, p2, — , Pm; />', P^; f, *i, -.. kn) + ... A0.24)
В уравнениях A0.24) структура сингулярностей имеет такой
же характер, как и в уравнениях A0.2). Поэтому мы можем повто-
повторить все рассуждения предыдущего пункта. В результате получим
следующее уравнение:
&т,п (А, •¦• , Рт, Р\ Р'т, К — . К) =
X J- m,n+l \Qj P%j • •• 7 Pm> P\' ••• > Pm'i h »i» ••• » ^n) T ••• >
. + ((?y (io.25)

86
Коэффициентные функции в евклидовой области
Гл. 111
Проделаем теперь в A0.25) замену [134—138, 202]
= О» ехр
Как мы уже указывали, aft = 'y0'y* (?=1,2,..., s),
Учитывая сюйства матрицы ехр — i-|o,j ,
ехрI± l^L а ЛJ = ± iad,
— t-j a J
приходим к выражению
X
-г'т^])- <10-26)
A0.27)
A0.28)
^' ft- - ' Pm> P[> - • /V ^. ^1. - • K) + .» ,
Выполняя подобные преобразования во всех членах уравнения
A0.23), приходим к уравнению для g"m<n в евклидовой области:
3~т,п (ft, ••• , Рт, Р[, ¦¦¦ , Р'т', ki, ... , kn) =
dqdtka,, Bn)d8(q + t — p1) Щ .+ т^+' X
X
Bn)d (и-
d (и-2
1 /• CtC ¦ 1 ¦
-s= V \ do Яа., Bп) S (о — /?, — ?,) д-
Bn)d (nfi + (ft
x
, pn; p\,..., p^,;

Переход в евклидову область 87
мЛ(-1)"-'-^- V (- D'-l
(_ if-'
я
P,...., p] р'„;> ki к Ю- A0.29)
Аналогичные уравнения следуют из G.14) и G.16).
При переходе в евклидову область в уравнениях эволюцион-
эволюционного типа нужно учесть, что для связных частей вакуумных вкла-
вкладов осуществляется замена
Fl.o-^iF'o.o. A0.30)
Так как в дальнейшем для модели Юкавы мы будем исследовать
лишь уравнения эволюционного типа, то приведем их окончатель-
окончательный вид после перехода в евклидову область:
-#?Wm.n(P\> — > Рт'> Р\> — . Рт} К> — » kn) =
/t=l
X
I g^m-Un-l (Pi. — . P/f. -•• . Рту Pj» — » P'h<
m m—\ m
1 \^ ; i\/i-l(—1) \^ t 14/2—1
¦ —--— > ( — 1 I =— \ (— 1)
V m *—* у т -^
/l=l B=1

88 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
т n
U К »¦. К) + 2 (- 1 Г1 -р^г 2 j d(? a^iBjl)'6 ((? ~ ^ ~ ki) x
ad, ~
,..., kt,..., Ю + J] (-1)'-^ 2 j^5*».»-i(ft. - • a»;
л л оку' + ^j.)
X ad+l Bn)d8 (p; -q'-kt) + Vn+l 23 (- 1Г' j dq dt ad+l X
X
X ^*m(n+l(9. Pi. ••• . Pj> - » Pm; Pj. — . Pm'> *' kl> •'• ' kn)
n
n+l2i (— ir4d?'(fi^.n+1(ft,..., pm; q',p\,..., P]
-h (— I)m+I (m + 1) -4= V Spx f f <fy d<7' ad.. Bn)d8 (q — qr— k,) X
"rf+i"
<=1
X 7~7Т7ТТ~^Г ^ m+i.i-1 (9» Pi> ••• » Pm»
x Гт+ьп+1 (?. a, ..., &»; ?'. p;,..., fa t, h,..., kn) x
1
A031)
У
ч ' g+i J
Bn)d (?'" + nfi) Bn)d (V2 +

$ 10 Переход в евклидову область 89
Введем теперь свободную евклидову функцию Грина для фер-
мионных полей.
Согласно формулам A0.26) и A0.27) получим
+%+1 ,A0-32)
iii .da
px = p1x1 + ... + p x .
Формула перехода A0.22) в евклидовой области примет вид
*т,п \Уъ ••• 1 Ут' zi> •¦• > zm> XV ••• > хп) =:
X &т,п (Л К) dp1... dkn. A0.33)
Перепишем уравнение A0.31) в координатном представлении, hg-
пользуя A0.15) и A0.32) —A0.33):
d С 1 .
dA. m*rt V*/l» ••• 9 Ут> ^1» -•• » *m' Л1» *•* > лп/ —
т т
~~ /m 2j '~ ' /^ 2j '~
т
7 7 ¦ г г у \ -4- ' V I IV1-1
®Уп -\-\\dxGo (уи — д;) Fm-i,n+\ (ill, •••. Уи дт',
т п
, z;V ..., zm; х, хг хп) + ^](— 1)/~1^г S б(^ ~*f) x
X J 4» ad+iSB til — У) Fm,n-i (У, Ух Ур - . Ут>
т п
1 гт, х» ..., xt,..., дг„) + V (- IO -т= V, f dz X

90 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Л " Е
X Fm_„_! (yv ..., ут; z, г„ ..., zh ..., zm; хь..., х-о ..., хп) S (г—г,)Х
x ol.,,6(z, — x-t) + Vn + 1 2(— 1)' l \dy dxa.,SE (w,- — у) х
J 1
A \Jq ytjj X) Гm,n-\-\ Vi/» i/i» •• • > Уp • ¦• > i/m» ^1' • •• » ^m» -^» -^1» ••• » ^n) ~\
m
+¦ J «4- 1 2л (— 1) ~ .1 dzdx Fm_n+l(yv ... , ym; z, zlt... , Zp ... , гт;
(m + 1) X
n
X —7= > Sp, \ dydza. S (xt — y) Fm+Un^ (y, yL ym;
-,— _.v v V \ С / -7 V \ _J_ ^ 1 X ' N/
^, Z\t ... » 2n, л^» ... , Xf> ... , л„)о ^ — лг7 T" V— A/ ^*
X (m + 1) j/n+ 1 Spx [J dy (iz dx dxf a>d+lSB {xf — y) X
\s Li (it It ft * *У *? "У * Y ? ^1 N^
X SB(z — x')G0(x'~x)}. A0.34)
§ И. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
В ТЕРМИНАХ ОПЕРАТОРОВ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ
ВНЕШНИХ ЛИНИЙ (ЕВКЛИДОВЫХ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ)
Исследование уравнений A0.16)—A0.19), A0.29), A0.31) ос-
осложняется тем, что они имеют довольно сложную алгебраическую
структуру. Как мы покажем в настоящем параграфе, можно ввести
некоторые операторы, которые очень напоминают операторы сво-
свободных полей. С помощью этих операторов уравнения переписы-
переписываются в довольно простом виде, пригодном для математического
исследования.
11.1. Скалярное взаимодействие
Выполним в уравнении A0.16) и A0.18) замену
п
Для уравнений A0.17) и A0.19) эквивалентная замена имеет вид
Fn (Xl, ..., хп) = f] J dx'Gy* {x, - х-.) Fn (x[, ..., х'п), A1.2)
i

§ II Евклидовы операторы поля 91
где
(П.З)
y)= J dzGy2 (x — г) G'« (г — г/).
После замены A1.1) или A1.2) в уравнениях резольвентного типа
A0.16) и A0.17) выполним симметризацию по переменным pt и xi
соответственно. Это означает следующее. В процессе самого вывода
уравнений A0.16) или A0.17) первая переменная была выделена
среди остальных. Совершенно аналогично мы можем записать урав-
уравнения резольвентного типа с выделенными переменными р2, р3, ...
..., рп (х2, ..., хп). Если теперь сложить все эти п уравнений, разде-
разделить обе части на пи учесть симметричность коэффициентных функ-
функций по своим аргументам, то получим
п (Pi. ¦¦ ¦, Рп) = - ¦? {V(n+2)(n+D х
X &п+2 (kl, К k3, Pi, ... , р^ рп)
„
X ^„(fei, &j, /?!, ... , p(V ... , pif, ... , pn) +¦
x
Vn(n—Y)
X ^4-2 (>h, pv ... , p4,... , pu pn) + , ' — X
x У —¦— P|'* Pi'-—P" Pf4 x
X Гя-4 (Л Рг,' - ' Pit> •" '
A»)}

92 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. Ill
В координатном пространстве это соответствует выражению
Fn (xit..., *„) =
= ~~Т- {V> + 2) (п + 1) ? j dx'dx\dx'2dx?}>* (xty - х') х
(x'-x'2)Gv2 (x'-x'3) Fn+2 (x[, x2, x3, Xl,..., x.,..., xn)+
+ 32J dx'dx'.dx'2Gw (xt - x') Gtf* (xt - x') G}f> (x' —x'.)x
X GJ/2(x' — x'2) Fn(x\, x2, xv ..., xtt,..., xh,..., xn) +
n
+ 7^=rf S I m^W2 К ~ *'> °ГК - x') x
X Go/2(^, — ^')Gi/2(^' — x[) Fn_2 (x[, Xl,..., xv ..., xv ..., xj +
[dx'Gy2{x. — x') x
x G'/2 (xlf - x')Gi/2 (jc4i -x'l G'/2(xit -x') x
xFn_4(Jfi,.... xtt,..., xtt,..., xn)\. A1.5)
Совершенно аналогично для уравнений эволюционного типа
х
n
-6 S "
X

§11
Евклидовы операторы поля
93
X
Pi Ptt. — • Pit> — > Pn) —
-«(fel> л P.,'
х
x дгп~ЛР1 Plt Pu Pn). (П.6)
и в координатном пространстве
^ * п \Х\ > • • • > Хп)
J
-4 I'' (n+2)(n+l) J J dx dx[dx;dxpo'> (^ - x) G'/2 (x - x,') X
x Gy2(x - ^)G'/2 (x — x'3) Fn+2 (x\, x'r x'3> xj. xh,..., xn) —
6 J j dx dx\dx\Gf (xCi - x) G'/2 (x(f —x) G'/2 (X—XJ) G'/2 (x-Xj) X
* ^fj* *"
*l'1 n-2^1' •*!• •" »
n
1 у
Vn{n— \)(n — 2){n— 3) ^J
хО'/Чх(,-х)О^(хA-х:
v/ /? /у у
— 1Ш*
> X
xB) —
- x) x
A1./)

94 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Введем теперь операторы, действующие по следующему правилу:
(а+ [к) f)n (kv ..., kn) = -y=. ? 8 (k — kt) fn-x (kt kt,..., *„),
i
(П.8)
{a~ (k) f)n (*i,.... *B) = К n + 1 h+i (k, kv ... , *„),
а также операторы, действующие в координатном пространстве:
(а+ (х) f)n (xv ..., хп) = -у=. ? G1/2 (х — xt) /„_, (xlt..., хь ..., дс„),
A1.9)
(а~ (х) /)„ (xj,..., хп) = Vn+ 1 ? dx'G\/2(x — х') fn+l (х', хг,..., хп).
Операторы A1.8) и (П.9) связаны соотношением
где a (k) = а+ (*) + а" (— k), dk = dtt ... dka, k2 = (klf+ ... +{ka)\
Легко проверить, что они удовлетворяют следующим выражениям:
= G0(x — y), A1.11)
[а (х), а {у)]_ = 0.
Мы называем операторы а±(х) (или a±(k)) операторами рожде-
рождения и уничтожения линий феинмановских диаграмм в евклидовой
области переменных х (или k). Эти операторы в неявном виде фигу-
фигурировали в работе [124], их явный вид был выписан в работе [74].
Позже они были введены Нельсоном в работах [113—116] при аксио-
аксиоматической формулировке евклидовой теории поля.
Составим из операторов A1.8) евклидов оператор числа частиц
Nh = J a-1- (k) a" (k) dk. A1.12)
Ясно, что
W)n (kl< - • К) — nfn (*1. - . *„),
A1.13)
(Ф Шь) /)„ (*lf ... , *„) = Ф (Л) fn (*lf ... , kn).

§ II Евклидовы операторы поля 95
Используя операции A1.8), A1.9), A1.13), можно уравнения A1.4)—
A1.7) записать в пространстве последовательностей F = {F,,}~
в операторном виде:
F= — 4KAF + F0, A1.14)
где
A = NVl j dkx... dkk 2 ^ f^Ji + •••+g*j^-_ X
^—1 Г 4-
X/7 /?* \'н [Ъ \ п (Ъ V — Л/l \ Wv н (у\'п^ (y\' ^11 1 ^\
ru = U, 0, 0, л —= ,
Оператор А называется производящим оператором уравнений
резольвентного типа. Степени оператора на векторе А полностью
восстанавливают ряд теории возмущений без вакуумных диаграмм
для матрицы рассеяния в евклидовой области.
Совершенно аналогично получим уравнение эволюционного типа
ж = ~НР- О1-17)
Здесь
Н = \ dkx... dkk ' ' 4 — X
:a(ki)...a(ki):= [йх:аЦх):. A1.18)
X:
При К = 0 S-матрица равна единице, т. е. коэффициентные функ-
функции Fn = б„0 или F \^_0 = Qo = A, 0, 0, . ..).
Оператор Н называется производящим оператором уравнений
эволюционного типа. Его степени на Qo восстанавливают полный
ряд (включая вакуумные вклады) теории возмущений для матри-
матрицы рассеяния:
12=0
11.2. Взаимодействие Юкавы
Чтобы выполнить в уравнениях A0.28)—A0.31) замену, подоб-
подобную замене A1.1), введем следующую матрицу-функцию:

96 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Используя свойства A0.27), A0.28) и раскладывая в ряд
легко получить следующее тождество:
elS{k> (ak + mad+i) ё~'Ш) = e2iSlk> (ak + mad+l) =
A1.20)
откуда получим
Теперь замена A1.1) для уравнения A0.22) будет иметь вид
"т,п (Pl> • • •• Рт> Р\> ¦ • •> Рт> &1> ¦ ¦ ¦> К) =
'=' Bn)d>2
Bn)d>2 V р\ +
$т,п (Pi, • • -. Рт< Р[, ¦ ¦ - Р'т, К *„>
x ® y^^Y\ \ . (Ц.22)
Антисимметризируя *) уравнение A0.29) по импульсу рг и вы-
выполняя замену 01.22), получим
#",„,„ (Pi. • • мРт; Pi. • • •. Р'т> К> ¦ ¦ •> К) =
= I ± VK+1 2 (- I/ J ^ Л ^^ e'^aa^e-^V^ X
1
V
1 ^^^
Bn)d/2 Vp) + m2 Bn)d/2 /q* + m? Bnf2 YP + fi2
x 3m,n+\ W. Pi. • • •, Pj, • • -. pm; pi, ¦ • •. p'm; U klt..., kn)
Id9 K5
Vk2 + p?
*) Под антисимметризацией понимается операция, при которой складываются
« делятся на т уравнения, получающиеся из A0.22) перестановкой р, рт с
учетом антисимметричности функции Fm n по аргументам р^,. ->Рт-

§ 11 Евклидовы операторы поля 97
Х Ят,п-\ (<7. Pv • ¦ •. Ph ¦ ¦ -. /W P'l' ¦ ¦ - Рт> ki ki'-' " kn) +
X
Bn)d б (р'„ — ps+0
X -,
m2
,n-\,n+\ ^Pl' • • •• Pi' ¦ ¦ •' Pm> Pv ¦ • •' P'r' • ¦ " Pm' iy ^J' ' - ¦' ^n) +
. iX
7^1
_pJx
X
Введем новые функции
Pi» • ¦., p'r,...,pm;
*!,...,*„...,*„). A1.23)
SE (x - y) = J dzS]/2 (* - 2) Sh/2 (z - y).
С помощью этих функций уравнение A1.23) в координатном про-
пространстве будет иметь вид
Гт,п \i/v • • •> Ут> %1> ¦ ¦ •> 2т> %1> • • •¦> ^п) ==
7 Д- Я. Петрина и др.

98 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Х/~1 ' (*г V*\ Р AI* 11 II II ' -У *У ' v' V Y \ f
UQ 'Л Л^) I mn_J_l \У\> УН • • •¦> У}> • • ч ?/m' '-I' • • •' ^7П> А1> Л1' •' •' Лп) Г^
Х#у *ч ' / у //'^ /? ///' /у. //. 1J ' 7-ш 7 '
x
(— I)'" j dx dx,'S^2(y, — x)ad+1Sl/2(x — г/-) ®
i
— xd Fm-l,n+l (У1> ¦¦¦'У)>-- •' Ут, Zi. • • •' 2r, . . .,
m
® Fm—\ n—1 (^1 • • •' У}' • • •> Ут'' ZV> • • ¦> Zy, . . ., Zm',Xv . . ., Xj, . . ., Xn).
A1.25)
Введем операторы
(Ф+(й)/)гт(а]/71,. .
, m
¦?<-
j i
A1.26)
(Ф«(^)/)/л
и формально сопряженные им
(Ф(Г
= (— 1)'
A1.27)

§ 11 Евклидовы операторы поля 99
(фр" (it) f)m, foiPi. • •
X /,_!,„, (<*iPi> • • •> ctjP],.. ., a,/?,; p>;,..., $mp'm).
Соответствующие операторы в координатном пространстве будут
иметь вид
сГ (х) f)im (a^!,.. ., агуи PiZi,.. ., pmzm) =
X /r>m_, (o^!,..., aiyt; Pa, . .., p7z7-,. .., pmzm),
(Фа W f),m (a^!,. .., aiyu p^!,. .., Pm2m) =
X //+1 m (fit/,', a,i/!,. .., aryr, PjZl ..., pmzm),
A1.28)
im (ajt/L . .., агг/г; Р^г,. .., pm2m) =
X
X fli(n+, (a^,..., atyi, fizj, Рхг^ ..., pmzm) 5^2 (z', — x)ep,
W /)im КУ1, • • •. «/г/г! Pa, ..., Pm2m) =
X /,_,
Операторы Ф*(л;) и Фт (л:) уже не будут сопряжены друг другу,
так как матрица |/а<*+1 не эрмитова.
Определим теперь полные операторы таким образом:
х (Фб^ (k) + Фо~ (к)) = Ф»1" (х) + Ф" (х).
A1.29)

100 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. II!
X (Ф+ Ik) - Фв- {k)) (j/ad+/S(\a = Ф+ (х) - Ф\7 (х).
Введенные операторы подчиняются следующим коммутационным
соотношениям:
[Фа (/г), Ф| (/г')]+ = ба3б (/г - /г'),
A1.30)
[Фа (х), ф| (у)]+ = S? (х — г/)а3,
[Фа (х), Ф3 (</)]+ = [Фа (х),
I С Jk(X-y)
= 28,—Lj- ' . rffe,
ае Bn)d J /fe2 + m2
A1.31)
[Ф (X), Ф («/)]+ = [Ф (X), Ф {y)]+ = [Ф (X), Ф (y)]+ = 0.
Операторы A1.28), A1.29) были впервые введены в работах
[134—138] при исследовании уравнений квантовой электродинами-
электродинамики. Мы называем их операторами рождения и уничтожения линий
фейнмановских диаграмм в евклидовой области переменных. В не-
несколько другом виде такие операторы были получены в [120].
Введенные операторы Ф*(х) и Ф4" (х) позволяют переписать
уравнения A1.23) и A1.25) в операторной форме:
F^XA^F + F0, A1.32)
где
At = NTl I dqidq2dt X
v
2л)а/2 V q\
X :Ф f (%) У^е18Шаа+1е-18ш К^7Ф (?1; а @= =
а(х):, A1.33)
x K^Te'S(pW.^s"'V^T, o.... V
Здесь ^ — оператор числа фермионных линий одного сорта.

§ И Евклидовы операторы поля 101
Совершенно аналогичные операции мы могли бы проделать и
для уравнений, соответствующих G.14) и G.16). Они примут вид
F°, A1.34)
где
A2=~NYX ^dq-idq^it x
v Bя)^6 (ц - qt + 0
А ^ ~ J " А
т2
X: Ф (q2) У^е18шаа+1е-1$ш К^Тф+ (<?,) a (t): =
= NT1 j dx :Ф (х) «Й+1Ф+ (х) а(х):. A1.35)
Соответственно, для уравнения G.16)
F = XA3F + F°, A1.36)
где
NTl$dddt X
2 /q\
А
a+
X :Ф(д2) K^Te'S(l?2)ad+1e's<1?l) l^iO (ft) a+ @ : =
,+1
:ф (х) а,+1Ф (x) a+ (x):, A1.37)
и, наконец, для уравнения A0.31)
^ A1.38)
где
J Bя)^2 /q] + m* Bя)^2
x :Ф (<?2) V^elSi Mad+le-tSi<h) ]/^Тф (ft) a (t): =
= ^dx :Ф (x) ad+lO (x) a (x):. A1.39)
Итерации уравнений A1.32), A1.34) и A1 36) восстанавливают ряд
теории возмущений для матрицы рассеяния, не содержащей вкла-
вкладов от вакуумных диаграмм:
F = 2 ГЛ7^° = J| ГЛ2Я = 2 A-W- A1.40)
п=0 п=0 /1=0

102 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. Ill
Итерации уравнения A1.38) восстанавливают полный ряд теории
возмущений для S-матрицы:
где
Оператор Н называется производящим оператором уравнений эво-
эволюционного типа для взаимодействия Юкавы [134, 138]. В работе
[120] он фигурировал под названием евклидова действия.
§ 12. ВВЕДЕНИЕ ОБЪЕМНОГО И УЛЬТРАФИОЛЕТОВОГО
ОБРЕЗАНИЙ
В последующих главах мы приступим к исследованию уравне-
уравнений A1.14), A1.17), A1.32), A134), A1.36) и A1.38). Задача со-
состоит в том, чтобы подобрать некоторое функциональное простран-
пространство, в котором производящий оператор был бы хорошо определен,
а соответствующее уравнение имело решение, принадлежащее дан-
данному пространству. Однако, например, для уравнений A1 17) и
A1.38) такого пространства подобрать нельзя, так как степени опе-
оператора Н порождают вклады от вакуумных диаграмм Фейнмана, ко-
которые пропорциональны множителю б @) = с». Кроме того, при
d > 2 для скалярной теории и rf>l для взаимодействия Юкавы
ядра производящих операторов перестают быть квадратично ин-
интегрируемыми, что приводит к появлению расходящихся при боль-
больших импульсах интегралов (ультрафиолетовые расходимости [30,
§ 7]). Указанные трудности приводят к тому, что возникает необхо-
необходимость ввести объемные и ультрафиолетовые обрезания.
12.1 Объемные обрезания
Так как в евклидовом пространстве все координаты равноправ-
равноправны, то под объемом V будем понимать объем d-мерного куба:
если x?V, то x = (xi,..,Xs) ? V, a xd^T. Объемное обрезание в
операторы А, Н, Ах, А2, А3 вводится с помощью некоторой функции
h(x)? C^ (Ra), О^/г(л;)^ 1, для которой supp/ic=F. В импульсном
пространстве это эквивалентно замене
Bn)d8(k)-+h(k), A2.1)
гдеЛ(&) — преобразование Фурье функции h(x). Кроме того, в урав-
уравнениях A1.14), A1.32), A1.34) и A1.36) указанную замену нужно

§ 12 Объемное и ультрафиолетовое обрезание 103
выполнить и для вектора F". После замены A2.1) операторы А,Н,
Av A2, А3 будут иметь следующий вид:
A{h)=~N-l[dk1...dkk
X a+(/fei) :а(/?2). ..a(kk): = N~l j dx Л (х) а+ (я) :ая(х):, A2.2)
Я(Л)= f dxh(x):al(xy., A2.3)
Л, (ft) = /Vr1 j dxft (x) :Ф+ (x) ad+1<D W a (*):, A2.4)
Л2(й) = Nf1 j dxh(x) :Фи)а^+1Ф+ (л;)а(л;):, A2.5)
Л3 (ft) = /V^1 ^dxh (x) :Ф U) a,i+1<D W a+ (л;):, A2.6)
при этом
H (ft) = j dx ft (x) :ф (х) ай+1Ф U) a (x):. A2.7)
В дальнейшем будет рассматриваться частный случай функции
h(x):
h(x) = g(x)x(xd). A2.8)
Рассмотрим теперь другой вид конечно-объемной аппроксима-
аппроксимации, отвечающей дискретному импульсному представлению. Если
наша система погружена в d-мерный куб V с ребром /, то поле дол-
должно быть периодической функцией по каждой пространственной
координате с периодом /. Тогда импульсное пространство нужно
разбить на непересекающиеся кубы Ik,v с длиной ребра 2л/1, в
каждом из которых импульс принимает конкретное постоянное
значение. Введем следующие обозначения:
,V= {n \n = (nv ...,пф л, = 0, ± 1, ± 2,..., i = 1, 2,..., d},
A2.9)
Из условия периодичности некоторой функции ф (лс) ее фурье-пре-
образование в таком представлении имеет вид
2я»
«ел

104 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. Ill
где пх = я1*1 + • • • + ndxd. Устремляя / к бесконечности, можно
в пределе перейти к непрерывному представлению. При таком пе-
переходе
Bn/lf-+dk, A2.11)
A2.12)
Используя A2.11) и A2.12), перепишем в представлении A2.9) опе-
оператор N. Пусть Ху — характеристическая функция куба IkV. Рас-
Рассмотрим операторы
A2.13)
где k?Tv, C±(xkv) = ^C±(k')x^,(k')dk' (С —один из операторов
а, Ф, Ф). Для операторов A2.13) выполняются следующие комму-
коммутационные соотношения:
A2.14)
[Фа. V (k), Ф|. v (*')]+ = барб„-,
где 8ftft', 6аР — симюлы Кронекера.
Теперь, в соответствии с A2.10) — A2.12), для операторов Ф (х)
и ф(х) получим следующие аппроксимации:
ikx
a=i
A2.15)
Из A2.15) или же непосредственно из A0.15) и A0.22) получим
аппроксимации для Go (х — у) и SE (x — у):
av (x) av (y) = [a- (x), a+ (y)]_ =
A2.16)

§ 12 Объемное и ультрафиолетовое обрезание 105
Фу(Х) Фу (У) = {Фу (X), Ф? (?/)} =
1 I
__ 1 у „-Щх-у)ak + mad+l __ 0? ,„ Л
И, наконец, для оператора Н получим представление
tlV
= v3/2 /j 4
V
4 .4
^ V k\ + m2 У К
X :Фу (ftx) /
= J dx : ф„(х) а^+1Фу (фу(х):. A2.17)
v
12.2. Ультрафиолетовые обрезания
Введение ультрафиолетового обрезания сводится к тому, что
интегрирование по импульсным переменным будет проходить не по
всему пространству, а по некоторому ограниченному множеству.
Мы будем рассматривать два вида обрезаний. В первом случае ог-
ограничение будет наложено на переменные к = (к1, ..., ks):
а во втором случае — на все d переменных импульса к.
|ft*|<x, i =1,2 d. A2.19)
Эти обрезания вводятся в операторы С (а, Ф или Ф) по следую-
следующему правилу:
cx(x)^l6x(x — y)C(y)dy,
A2.20>
cxW = ^x(x-y)C(y)dy,
где
eK(^)=-^+5je*'"'x(9i.xl)^l. A2.21)
Здесь
(=1, 2, хх = х, х2 = х = (х, х0), Х!=д:, Хг = х,
«2) =№

106 Коэффициентные функции в евклидовой области Гл. III
Подставляя A2.20) в A2.3) и A2.7), получим для скалярного вза-
взаимодействия
Н (h, иг) = Г dxh (х): а^ (х): =
Г au ,,^i+ • + *4) X (*г. >«f) • - • X (*4. >«4) ... ...
= \ dk,... dki === / :а (k.)... а (й4):
A2.22)
и для взаимодействия Юкавы
V q\ + m* Bn)dr2 V
X :Ф (q2) V^TieiiiUh>ad+le-iS{qil У^Ф (9l) a@:. A2.23)
Обрезание в оператор Hv и в функции G0,y и Sy вводится таким
образом, что суммирование в формулах A2.16) и A2.17) распрост-
распространяется только до | k | ^. х. Соответствующие конечные суммы
обозначим через Ну>н> G0,v.Xi и S^*'#

Глава IV
связь евклидовой и конструктивной теорий
ПОЛЯ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
В настоящей главе мы приступаем к математически строгому
исследованию уравнений для коэффициентных функций S-матри-
цы в двумерном евклидовом пространстве. Будет установлено, что
при наличии пространственных и импульсных обрезаний уравне-
уравнения для коэффициентных функций модели скалярного поля и мо-
модели Юкавы обладают единственным решением. Будет доказана
формула Фейнмана — Каца — Нельсона, позволяющая выразить
функции Грина в евклидовой области как через производящий опе-
оператор уравнений для коэффициентных функций и операторы рож-
рождения и уничтожения внешних линий (операторы евклидова поля),
так и через гамильтониан и свободные полевые операторы при мни-
мнимых временах. В связи с этим § 14 будет посвящен изучению га-
гамильтонианов конструктивной квантовой теории поля.
§ 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введенные в § 12 обрезания позволяют определить производящие
операторы уравнений для коэффициентных функций в соответ-
соответствующих функциональных пространствах. В настоящем парагра-
параграфе мы введем все необходимые пространства для гамильтонианов и
производящих операторов рассматриваемых моделей.
13.1. Пространства Фока
Введем традиционные для квантовой теории поля пространства
состояний — пространства Фока g*.
а) Пространство Фока &ь для скалярного бозе-поля. По опреде-
определению #*;,= С © 5*jn), где «п-частичные» пространства 3^"' образо-
ваны как симметричные тензорные произведения
Г1П) = gr?u(g>s...(g>sgrr, A3.1)
п
причем gr?" = <?2 (Rs), a Rs — евклидово пространство переменных
х\ ..., Xs (р1,..., ps). Скалярное произведение функций / = {/„}^=0

108 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
и g = {gn}™=0, принадлежащих пространству 3~ь, определяется
обычным образом:
(/,?) = 2 (/n,gj, A3.2)
где
(/п. gn) = J dxt... dxjn (xu ...,xn)gn (xit..., xn) =
= Bn)~sn J dPi.. . dpJ(Pi,..., pjgipt,.... />„),
if о, ёо) = logo, f(xit..., жп) =
exp (фа + .. . + ipn*n) hpi,---,Pn)dPf- dpn,
x = (jc1, ..., ^s), dx = dx*. .. dxs,
а норма
1/2
Состояние без частиц описывается вакуумным вектором Qb =
= {1, 0, 0,...}, который является нижайшим собственным векто-
вектором свободного гамильтониана На.ь:
k. A3.3)
Оператор числа частиц Nb= f а* (к) а (к) dk.
Операторы #о.ь, Л/ь являются положительными самосопряжен-
самосопряженными операторами в %fb.
б) Пространство Фока $) для ферми-поля спина 1/2. Ферми-
онное поле спина 1/2 описывается уравнением Дирака
а матрицы v" подчиняются соотношению E.3).
Решение уравнения A3.4) в двумерном пространстве-времени
(s=l) можно представить через операторы рождения и уничтоже-
уничтожения фермионов b*(p), b(p) и через операторы рождения и уничто-
уничтожения антифермионов Ь'*(р) и Ь' (р):
% W = -^ j dpe-^ (em™°v+ (p)b'* {p)+e-^°v-(-p) b (- p)),
A3.5)
где
Здесь

§ 13 Функциональные пространства 109
Отметим, что в случае s = 3 существует по два оператора рождения
и уничтожения для частицы и античастицы, отличающиеся проек-
проекцией спина на ось г ± 1/2.
Введем одночастичное пространство для ферми-частицы следу-
ющиу образом:
Так как /-частичное пространство для одного сорта частиц должно
описываться антисимметричными функциями координат (импуль-
(импульсов), то оно вводится как антисимметричное тензорное произведе-
произведение вида
Фоковское пространство для частиц двух сортов (фермионов и
антифермионов) определяется по формуле
д, $ A3.6)
1.т=)
Вакуумный вектор Qf описывает состояние без частиц и является
нижайшим собственным вектором оператора энергии
A3.7)
и оператора числа частиц
Nf = ^dp [b* (p) b (p) + b'* (p) b' (p)\.
в) Полное фоковское пространство $. При рассмотрении взаи-
взаимодействия между бозонами и фермионами возникает необходимость
ввести полное фоковское пространство как тензорное произведение
пространств Зь и %(.
Вакуумный вектор для полного гамильтониана свободной энергии
Ho = Ho,b + Ho.f A3.9)
и оператора числа частиц
N = Nb + N,
также является прямым произведением векторов Qb и Q?:
Q = Qb®Qf. A3.10)
Скалярное произведение двух векторов /{/,>т>„}~ и g ={glmj%>,
принадлежащих gr, определяется формулой
(/.?)= 2 (/1.».-'g'.-> A3>П)
1,т,п=0

\ 10 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
где
К Вт
х h.m.n {<*лУ\> • • • > ««З'г! Pi*f • • • > Pm^i»; «!,..., arn) X
Функции f(...) и g(...) симметричны по переменным хи ... ,ж„ и
антисимметричны по a^j, ..., а;_у; и Р^,... , Ртгт.
13.2. Евклидово пространство J^
Евклидово пространство J(b бозе-поля [74, 114, 124] вводится
по аналогии с пространством 5V
Jk, = C ©tb\ A3.12)
где
Вакуумный вектор обозначим через йо,ь.
Скалярное произведение в таком пространстве определяется
формулой
ОО X)
¦1=0 п=0
J 4ft • • • d^n/n (A, • • •. A,)gB (A, • • -. А,). A3.13)
п=0
dx = dxi... dx*, dp = d/?1... d?d.
Функции /(...) и g(...) симметричны по своим аргументам.
Для евклидовых ферми-полей [120, 134 — 136, 138]
Ж, = С ф Ж? ®ЖТ> A3.14)
(.171=1
причем

§ 13 Функциональные пространства 11}
Вакуумный вектор обюначим через Qo>,. Полное евклидово про-
пространство определяется соотношением
A3.15)
а вакуум —
Qo = Qoib®Qo,f. A3.16)
13.3. Пространство ??2B,ф)
Определим сглаженное евклидово поле следующим образом:
A3.17)
где функции f(k)?t?2.P(Rd), а <&,Р (Я ) —гильбертово пространство
квадратично интегрируемых функций с весом р (к) = —з—! .
Сглаженные операторы a+(f) и a~(f) действуют в jffr, согласно
формуле
A3.18)
(а- (/) ?)п (ku ... , kn) = КМЛ j dk-^p== Vn+l (k, kt
В свою очередь из A3.17) и A3.18) следует условие коммутатив-
коммутативности операторов a(f):
[^ (Л, а(?)]_ = 0. A3.19)
Обозначим через jZH множество конечных последовательностей
в Жь вида ? = (?„, V,,. .., ?„, 0, 0,...), где п — произвольное
натуральное число. Для всех действительных f, для которых
/(^)€ ^2,р (-^?d), на множестве $0 операторы a(f) симметричны и,
более того, самосопряжены в существенном, т. е. а (/) \ = а* (/)
[12, 26, ПО]; последнее означает, что замыкание оператора a{f),
взятое по области $„, совпадает с сопряженным оператором [30].
Рассмотрим теперь линейную оболочку C0==[e'atf)], т. е. множе-
п
ство всевозможных линейных комбинаций вида \ о^1"" с). Равно-
A
мерное замыкание такой линейной оболочки, т. е. замыкание по
операторной норме, порождает некоторую максимальную коммута-
коммутативную банахову алгебру ЯП ограниченных линейных операторов в

J12 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
3fs g элементами т и циклическим вектором QOjb. Вектор О0>ь на-
называется циклическим, если множество C0Q0,b плотно в Jft,, т. е.
С0Оо,б = Э!1Шо=$?;,- Множество C0Qo,& является множеством линей-
линейных комбинаций экспоненциальных векторов в Jft,, которое всюду
плотно в $ь [184].
Для коммутативных алгебр с циклическим вектором справедли-
справедлива следующая теорема [39, 107].
Теорема 13.1 (Гельфанд — Наймарк). Если коммутативная ал-
алгебра ограниченных операторов ЭЛ в сепарабельном гильбертовом
пространстве ^ъ обладает циклическим вектором Q0,b, т. е.
Шпо,ь = Жь> т0 существуют такая положительная нормирован-
нормированная мера d[i, определенная на компактном хаусдорфовом множе-
множестве 2 максимальных идеалов алгебры ЯП, и такое унитарное
преобразование U пространства ffl на пространство ?4 B, ф),
которые диагонализируют алгебру ЭЛ, т. е. если
^ ^Жь и ltf =
то
(lim/)(o) = m(o)/(a), m(o)gC°B), A3.20)
или
где С° B) множество ограниченных функций в ??2B, dyi).
Если т?С, !?%„, то
Множество С B) является плотным подмножеством С0 B) в топо-
топологии равномерной сходимости, которая эквивалентна в пространст-
пространстве jfb сильной операторной топологии, т. е. сходимости по норме.
Иными словами, при изоморфизме U операторы алгебры W. пе-
переходят в ограниченные функции С0 B) на множестве 2. Действие
этих операторов в пространстве <?2B, ф,) является просто умноже-
умножением.
Доказательство теоремы приведено полностью в [106, гл. VIII].
Приведенная теорема весьма удобна для изучения виковских
мономов W = Г dki... dknw (ku ..., kn): a (ki)... a (kn): с эрмитово-
симметричными ядрами w, т. е. w (kit..., kn) = w (— kit.. ., — kn)?
? i?z (R2")- Такие виковские мономы являются присоединенными
элементами к банаховой алгебре ОН и под действием изоморфизма
U переходят в операторы умножения на некоторые квадратично
суммируемые по мере d[i функции [44, 74 — 76, 150]. Отсюда ав-
автоматически следует самосопряженность в существенном операторов
W на множестве 3HQo,&.
Совершенно аналогично мы можем построить унитарный образ
Цг B, dyi) обычного пространства Фока g"b; последнее отличается

§ 13 Функциональные пространства 113
от Jf& только размерностью импульсных переменных kt на едини-
единицу ниже [44, 56, 57, 182].
Следуя работе [98], опишем явно изоморфизм U : &ь ->•
-*^(Е, d|j.(a))^ ^2(Е, й!ц). Для этого введем в одночастичном
пространстве Фока fffi действительный ортонормированный базис
{efc}*L 1 ¦ По этому базису построим базис в n-частичном пространстве
Фока %?{ьп) согласно формуле
к гт уп .
е'К• ¦<*- = y{il+ +i+=j\ S(ei ®~-<8>gl-¦ -е*® •;• ®gft)'
A3.21)
где через S обозначен символ симметризации. Здесь п, *== 1, 2,... ;
i4, .. ., ih,... = 0, 1,.... n; h + • • • + it, + •••=«•
Введем сглаженные поля срй = (ф0, ей) = ф0 (ел) = ц>? (eh) +
+ Ф^"(еь)- В силу ортонормированности базиса {ей}~=] поля ф^, иф4
при kt Ф k2 коммутируют. Поэтому последовательность самосопря-
самосопряженных операторов {фа}^, имеет общую систему собственных век-
векторов р (а) = (р0 (а), рх (а), ...,р„ (а) ), рп ? ^п), т. е.
W(o) = XhP(o). A3.22)
Для компонент рп (а) уравнение A3.22) принимает следующий
вид:
°*Р„ (а) = Ф+ Ы рп_{ (а) + Ф- (eh) pn+l (a). A3.23)
Разложим рп(о) по базису A3.21):
рп(о)= 2 ^,..л,...И<...^-- A3-24)
'1 'ft--
Подставляя A3.24) в A3.23), получим
= Ф^(ек)^,7.^-,... (a) epV,... + Фо- (eft)^t.Vi- (°)e?^',*-i- ¦
A3.25)
Отсюда уже следуют уравнения для Ф1 ...,-ft... (a):
Д. Я. Потри на и др.

114 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
которые после элементарных преобразований приводятся к виду
в^..лк... @) = VU&l~X-i... (о) + Vk+~WpJk+i... @)- A3.26)
Решением уравнения A3.26) является функция
Р?г..,*... (а) = П//*Л(ай), A3.27)
где Я,^ @ft) — полином Эрмита гЛ-го порядка, нормированный по
1 -¦!
мере d\x (oh) = -т— е 2 <i0ft. Таким образом, установлен явный
вид рп(а) и р(а).
Поставим теперь в соответствие каждому элементу / из про-
пространства Фока функцию / @) («преобразование Фурье») от беско-
бесконечного числа переменных согласно формуле
, A3.28)
о
где скалярное произведение берется в пространстве Фока. Согласно
A3.28) каждому элементу базиса e"...,-ft... ставится в соответствие
функция
\.лк... (а) = Я/1(а1)...Я/,(аЛ)...
Через ??2B, ф), где 2 = .R°°, обозначим гильбертово простран-
пространство функций от бесконечного числа переменных oit..., ah,. ¦.,
интегрируемых по модулю в квадрате по мере
о
02
A3.29)
Ортонормированным базисом в ??2 B, d\i) являются произведения
Hit (oi) ¦ ¦ ¦ Hik (ah) ¦ .. полиномов Эрмита.
Соответствие A3.28) обозначим через U, Uf = f @); очевидно,
что
поэтому 11 является унитарным изоморфизмом. Покажем, что га.
мильтониан взаимодействия модели К (цL2) переходит при этом в one-
ратор умножения на функцию f) @) ? ^?2{~L, da). Действительно,
имеем

Гамильтонианы 115
ибо функция 1 S(k, + -.. + kj) ? ^.D) (это будет установ.
лено в § 14).
Дальше
H,f (а) = (Я7/, Ц ( 2
= 2 с*а*Аст
где
Очевидно, что
= 2
поэтому f) (а) ? ^2 B, йц).
Совершенно аналогичные построения можно выполнить и для
пространства ??2B> Ф). соответствующего пространству Jfb.
§ 14. ГАМИЛЬТОНИАНЫ КОНСТРУКТИВНОЙ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
В этом параграфе мы приведем в основном без доказательств
основные результаты, полученные Глиммом и Джафе [41—49]
для гамильтонианов X (: ср4: J и X (г|л|уфJ. Подробный обзор этих
результатов содержится в работе [50].
14.1. О перенормировке гамильтонианов
в конструктивной теории поля
Как мы уже отмечали в первой главе, построение динамики вза-
взаимодействующих квантованных полей с помощью обычных кванто-
вомеханических правил приводит к значительным трудностям.
Уже для трансляционно-инвариантных взаимодействий B.1) и
E.1) полный гамильтониан Н-А не задает в пространстве Фока gr
никакого оператора, а определяет в нем лишь билинейную форму,
степени сингулярности которой зависят от конкретного вида вза-
взаимодействия. Трансляционная инвариантность системы и бесконеч-
бесконечность пространственного объема, в котором заключена система,
приводят к объемным расходимостям, которые не зависят от вида

116 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
взаимодействия. С другой стороны, представление полевых опера-
операторов в виде фурье-компонент с как угодно большими импульсами
и энергиями приводит к ультрафиолетовым расходимостям, степень
которых зависит от конкретного вида гамильтониана.
Для того чтобы с самого начала избежать появления расходи-
мостей и определить Hi, самосопряженным оператором в д~, в кон-
конструктивной теории поля в первоначальный затравочный гамильто-
гамильтониан вводят сглаживающие функции gv (х) и %н (k). Далее, требова-
требование разумной физической интерпретации теории приводит к тому,
что при снятии обрезаний (V, к-*-оо) физические величины должны
быть конечными и не должны зависеть от способа регуляризации.
Согласно общей формальной схеме это достигается перенормировкой
полного гамильтониана системы Нк (V, х) введением в него контр-
контрчленов Ку, (V, х), которые должны компенсировать расходимости,
возникающие при устремлении V и к к бесконечности.
Задачей конструктивного подхода является определение этих
контрчленов так, чтобы обрезанный перенормированный гамильто-
гамильтониан
после снятия ультрафиолетового обрезания (и ->• оо) порождал са-
самосопряженный, ограниченный снизу оператор энергии. В следую-
следующем параграфе мы приведем ряд конкретных результатов (лемма
14.2, теоремы 14.1, 14.2 и 14.6), показывающих, что для моделей
(: ф4 :J и (: \|л|зф :J существуют операторы К% (V, х), с помощью
которых строится самосопряженный, положительный в % оператор
энергии Нх (V, оо).
Однако в других, более сингулярных моделях подобрать такие
контрчлены пока не удается (имеется в виду не формальный под-
подход). Поэтому для снятия ультрафиолетовых расходимостей здесь
применяют несколько иную идеологию. Вместе с последователь-
последовательностью контрчленов К.\ {У, х) строят такую последовательность
преобразований T(V, х), для которой существует предельное пре-
преобразование Т (V, оо), действующее из gr в новое пространство
5"геп, и такую последовательность чисел Z(V, x), что положительно
определенный оператор энергии H[en(V, оо) можно задать в grren
с помощью соотношения
(H[en(V, co)T(V,oo)O,T(V, «,)?) =
= lim Z(V,x) (Я? (V, x) T (V, x) Ф, Т {V, х) ?),
х->~
где Ф, Y ? 5Г. а (¦••) представляет собой новое скалярное произве-
произведение в пространстве д~геп и определяется соотношением
(T(V, оо)Ф, T(V, оо) V) =* limZ (К, x){T(V, к)Ф,Т(У, х) V). A4.1)

§ 14 Гамильтонианы 117
Для моделей (ф4K, (ф3L и (ф2)п^4 опеРатоР Щп был построен в
работах Глимма [42], Остервальдера [119], Хеппа [186] с помощью
усеченных уравнений Фридрихса [183]. Однако получаемые при
этом операторы Т (V, х) являются неунитарными, что создает до-
дополнительные трудности в определении скалярного произведения
A4.1). Процедура отыскания унитарных операторов T(V, x) и по-
построения Н™" была предложена Фаддеевым [166]. В работах Воло-
вича, Погребкова и Сушко [34, 131] на примере двумерной модели
Тирринга в явном виде были построены пространство физических
частиц ?ГГеп, преобразование T(V, оо) и константы Z(V,x), с по-
помощью которых определялись предельные (х->оо, V->-oo) пере-
перенормированные гамильтониан Нъ°п, поле г|;геп и функции Вайтма-
на Г„е".
Теперь мы перейдем к построению гамильтонианов конструктив-
конструктивной теории поля для моделей (: ф4 :J и (i|n|xpV Так как в нашу за-
задачу не входит изложение методов конструктивной теории поля,
хотя очень часто мы и пользуемся такими методами, то основные тео-
теоремы мы приведем без доказательств, отсылая читателя за более
подробным изложением к оригинальным работам.
14.2. Взаимодействие к (: ср4 Ог
В конечном объеме V гамильтониан взаимодействия для модели
B.1) имеет вид
p*(x):dx, A4.2)
где g (х) ? Со° (R1), 0 < g (х) < 1 и supp g (x) с V. Для гамильтониа-
гамильтониана A4.2) справедлива следующая лемма.
Лемма 14.1. Оператор H/(g) задан в $ъ на всюду плотном
множестве финитных векторов 0О и удовлетворяет оценке
\\H,(g)(Nb+l)-2\\^K(g), A4-3)
где К (g) — константа, зависящая от функции g (x).
Доказательство. Перепишем выражение A4.2) в импульс-
импульсном пространстве:
X
г— 4,
X :

3 38 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Оператор Н, (g) действует на вектор Ч/"?5ГЙ п0 следующему пра-
правилу:
= К(«+4). .. (л+l) \dkl... dk,. __ l г№т-т-',' X
J Уя у к2 + u2 yiit yk2. + I
v 4^ /& lc n n \ 1 -
/4 i rc-j-4 V!» • • • j "¦4» /M» • * • » Jrn' ~l
Х\1Г i Tp Tp If n n n \ I
xra_j_2\"'i» "'2' 3* /'l' • * • * Z7^' • • • * "n/ ~i
Щ
*2 ,_ 4,-
V P2^ + fi2 .. . /4я l/ &2 + м-2
X ^71 (^l> ^2' A> • • • > P*i> • • • > Pi,> • • • > Pn.) ¦
X Ч/„_2(А;1, p4, ... , p,,,. . . , pt-3,.. ., р„) +
I i у g(Ph + .-. + Pu)
X ЧГ„_4 (P4, . . . , PH, ..., Pi,, ..., pn).
Пользуясь определением нормы A3.2), симметричностью функций
^п (Рь ¦ • ¦ ' Рп) п0 переменным рх,... , рп и применяя неравенство
Буняковского — Шварца для сумм и интегралов, получим
где
I а (к. +
= COnst. dfct...
Чтобы завершить доказательство леммы, нужно показать, что
K{g)<oo [147J.

§ 14 Гамильтонианы 119
Действительно, используя неравенство*)
П Dя V W+V?)
получим
С ,, ,, 1В (к, + ... + fc4) V
<4 -const .\dk1...dkk—
= const'(j (FTi^)j|g(fc)|2dfc<o°-
Лемма доказана.
При действительных g (x) оператор Я7 (g) является сущест-
существенно самосопряженным [44] на области 0г = {Р (ц>0 @, /)) Qo}, где
Р (х) — полином, а
С 1 Г
<р0 @, /) = \ dx(f0 @, х) f [х) = —= \ dka (к)
J V4ltJ
fc2 + и2
8(n A4.5)
jZ5x является всюду плотной областью векторов в #V Доказатель-
Доказательство существенной самосопряженности оператора Я/ (g) основано
на изоморфизме Гельфанда-Наймарка (см. § 13) между пространством
Зч> и ^г B. Ф). гДе ^/ fe) является оператором умножения на
действительную функцию из (?2 Q>\, d\x,).
Введем в оператор Н, (g) ультрафиолетовое обрезание:
Hi {g,x)=^g(x): фо,к@,жL: dx =
= [dh,...dk, gfr+j-. + W^'b*^»)
J V^
\ + м-2... /4я i/ft? + n2
A4. 6)
Для операторов H, (g, x) и Я/ (g) справедлива следующая лемма.
Лемма 14.2. На области Фо^-З'ь оператор Hl (g) является
сильным пределом последовательности операторов Я/ (g, у):
It (g,x) = Hj (g). A4.7)
n n /;

120
Связь евклидовой и конструктивной теории потя
Г-1. IV
Доказательство. Оператор #/(?)—Н, (g, и) имеет такой же
вид, как и операторы A4. 1), A4.6), однако с ящ>ом
+¦¦ ¦ +fc4) A- х (fcr*) • ¦ ¦ У. (fc4, »I
Следовательно, для оператора H, (g) — Н, (g, к) справедлива
лемма 14. 1, т.е. для любого ^€^2с ^"
где
\\(H,{g)-H, (g, *)) V|К/Сх(g, x)
A4.8)
= const • [dk,. AK l/l!*{ki+-+kf* I l-rih, x).. -X (*4. *)la-
A4.9)
Чтобы доказать лемму, достаточно показать, что при х -*¦ оо
IX-7I '
1*1
-X X
Рис. 3.
|*1?
-\Х-1\
(g, и) ->¦ 0. Воспользуемся неравенством
Для каждого слагаемого имеем неравенство
I 1 — х(Л, х)| <-Ш1, е>0.
t,)|,
A4. 10)
A4.11)
справедливость которого очевидна, если изобразить функции 11 —
— X (fc> %I и Ife Г/"" графически (рис. 3).

§ 14 Гамильтонианы 121
Используя неравенство A4.11), получим из A4.10), что
<x-(l+|fc1|1!)...O+l*4f)- A4.12)
Подставляя A4.12) в выражение A4.9) для /^(g, x) и используя
неравенство
П
1=1 /=1 !'*/
получим
Ki(g,*)<const-xE х
к[ o + l^lVc' + I^IV Г
[ ^
L »' fc? + i»s • § |
= const .«-^ | j Л (У|^ }' j dK \g (*,)F.
Выбирая е достаточно малым, получим, что
*1(?>*Х^. A4.13)
т.е. при х->оо /Ci(g, х)->0, что и доказывает лемму 14.2.
Согласно B.7) полный гамильтониан имеет вид
Приведем без доказательства три важные теоремы.
Теорема 14.1. Оператор HK(g) является существенно само-
самосопряженным оператором на области 0V
Доказательство этой теоремы впервые выполнено в работах
[44, 141] (см. также [61, 147, 151]).
Теорема 14.2. Пусть 0<g(a?)<l, gHE^Wn^W и
Х>0. Тогда оператор Hk(g) ограничен снизу константой, за-
зависящей от g.
Доказательство теоремы 14.2 можно найти в работах [43, 46,
147].
Теорема 14.3. Нижняя граница спектра оператора Hk(g) есть-
изолированное собственное значение кратности один, т. е. су-
существует единственный вектор Ф? 6 &~ь такой, что
Ях(я)Ф* = ?«Фв. II Ф« 11=1. A4-14)
где
Ед = inf {spectrum {Hx (g))\, (Ф8, Q6) ф 0. A4.15)

122 Свь::ь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Доказательство см. в работах [47, 58, 145].
Рассмотрим теперь оператор
H,(g)~Hx(g)-Eg. A4.16)
Для оператора Нк(g) вектор Фй является собственным вектором с
собственным значением Е = 0, т. е.
Hx(g)(Dg = 0. A4.17)
Используя аргументы Гуэрры, Розена, Саймона [61], легко вычис-
вычислить следующий важный предел:
limexp [-tHK(g)]--=P0, A4.18)
где Ро—проектор на собственное подпространство с Е = 0. Дей-
Действительно, формула A4.18) аналогична формуле
@, если х > 0,
\ime-~tx =
[1, если х = 0, х?[0, со).
14.3. Взаимодействие Юкавы Y2
Гамильтониан взаимодействия для модели Y2 в конечном объе-
объеме имеет вид
Н, (g) = J : % @, х) % @, х): % @, х) g (x) dx. A4.19)
Используя B.6) и A3.5), перепишем A4.19) в импульсном простран-
пространстве [48 49]:
И, (g) = - -1- \dk dPldp2 [2|i (к) со (Pl) со (p2)]-'
[v (Л) v (- р.г) - v (- A) v (p2)] 6' (- Pl) b (- рг) а (к) +
b*(Pl)b' (p2fa(k) +
plN(-ft)a(fc)}. A4.20)
Представим A4.20) в таком виде:
Ht {g)= j dk,dPldPzA (fe, A, д) [6'* (Pl) 6* (pj +
+ 6' (- A) 6 (- p2)] a (*) + f dk dp.dp.fi (k, A, p2) x
X [6*(AN(— ft) + b'* (ft) 6' (- ft)] a (k), A4.21)

•§ 14 Гамильтонианы 123
где
А (к, Pv р2) = ~ [2A (к) со (Pl) со (ft)]-'-2 g (к + pi + А) X
X [v (ft) v (— ft) — v (- ft) v (ft)] = _ -±_ (ц (*) со (ft) со (ft)]- X
X g (к + рг + р.,) [со (ft) со (ft) — Pl/>2 — m]]U2 sgn (ft — р2), A4.22)
В (к, Ръ Рг)^ -L [2(i (fc) со (л) со (р2)]~1/2 г (к + Л + а) X
X [v (ft) v {р2) + v (- Л) v (- ft)] = - -1- [jx (fc) to (ft) со (рг))"ш X
X g (к + Pl + р2) [со (Pl) to (Л) + PlPi + m^]1/2. A4.23)
Легко проверить, что ядра A4.22) и A4.23) не являются квадратич-
квадратично интегрируемыми функциями и, следовательно, оператор Н, (g)
не определен в gr. Чтобы определить оператор A4.19)—A4.21) в
пространстве дг, необходимо ввести в A4.19) — A4.21) ультрафио-
ультрафиолетовое обрезание х. Так же как и в A4.6), имеем
Н, (g, *) = j : %л @. *I|>0§х @, х): %/л @, ж) g(x) dx. A4.24)
Область определения оператора Н[ (g, x) в пространстве $Т уста-
устанавливается следующей леммой.
Лемма 14.3 Для оператора Ht(g, ж) справедливы следующие
неравенства [50]:
II И, (g, у.) (Nb + 1Г1/21| < К2 (g, *), A4>25)
II н, (g, х) (я0 -f ir1/2 н < л:3 (г. »с),
где /B(g, х) а /С3(?> х) —константы, зависящие от обрезаний.
Доказательство. Представим оператор A4.20) в виде
где
Н? (g, х) == j да* (fc, р1т А): 6* (л) 6* (ft) a* (k):
Здесь
bn{p) = b*(p) или Ь'*(р), или Ь(—р), или &'(—/»).
fttt(A:) = ft+(A:) или аГ(—к),
W* (к, Рь р^ = А (к, plt ft) % (к, у.) у. (ft, x) х (ft, у.)
или В (к, plt p2) % (к, х) % (ftx) х (ft, x).

124 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Так как функция wn (к, pv рг) f Со" с носителем в [— х, х] по всем
трем переменным, то ее можно разложить в ряд Фурье по триго-
тригонометрическому базису пространства (® (?.,(—х, х)K:
ш* (к, Рг, ft) = ^ ccfket (к,) в, (Pl) eh (ft), {14.27)
i.i.k
причем, в силу бесконечной дифференцируемое™ ядра wn, коэф-
коэффициенты cjjk=ciJh(g, х) удовлетворяют условию ([203], §14)
<oo. A4.28)
Тогда оператор Ha(g,x) можно представить в виде
Hf (§' х) = 2 с$* : aU (ei) ba (в)) bu {ek):, A4.29)
Цк
где
х
ап (et) = Г аа (к) ег (к) dk,
-х
X
bn (ej) = f fett (p) ef (p) dp.
Так как сглаженные операторы фермионных полей bu (et) ограни-
ограничены ([12], § 1), а бозе-операторы ап (et) удовлетворяют неравенству
то в силу условия A4.28) первое неравенство A4.25) очевидно.
Второе неравенство следует из первого, если учесть, что
II н, (g, х) (н0 + 1г1/2 II = II Hj (g, х) (Но + ir1/2 (Л/ + iI/2 х
X GV-f- l)-1/2||
Лемма доказана.
На основании леммы 14.3 легко видеть, что оператор Н/ (g, x)
определен на всюду плотном множестве финитных векторов про-
пространства g'. Более того, используя лемму Карлемана [11, 12, 93],
можно показать, что симметрический оператор Ht (g, x) имеет ну-
нулевые индексы дефекта и, следовательно, является существенно
самосопряженным оператором в дг. Для оператора Н, (g, x) спра-
справедлива еще одна важная лемма.

Гамильтонианы 125
Лемма 14.4. Оператор Н, (g, x) является ограниченным относи-
относительно оператора Но, т. е. для любого W ? D (Но) существуют кон-
константы а = а (и, g) и b — b (х, g) такие, что
IIН, (g, к) W || < а || V || + b || ЯД ||, A4.30)
причем b < 1.
Доказательство этой леммы читатель может найти в работе [92].
Определим теперь полный гамильтониан системы взаимодей-
взаимодействующих полей. Выражение Но + ХН, (g, у) при у -> оо не будет
сходиться к оператору в пространстве $'. Необходимо ввести контр-
контрчлены, позволяющие устранить ультрафиолетовые расходимости.
Такой гамильтониан будет иметь вид [41, 48, 49]
Hl_(g,*) = H0 + vx{g,n), A4.31)
где
МЯ. *) = М, (g, х) + Am(g, *)—E(g, к), A4.32)
причем
Am (g, x) = — -i- 6m2 (g, y) J : ^ @, ж): g2 (x) dx, A4.33)
a bm2(g, и)<0 и ?(g, и)<[0. Величины ? (g, и) и Sm2(g, и) вы-
выбираются таким образом, чтобы
Hk{g, x)>0 для и<оо. A4.34)
Для оператора Я (g, x) справедлива следующая теорема.
Теорема 14.4. Для 0<^(ж)<1, ^ИЕС~(^) и х<оо опе-
оператор Нх (g, у) является существенно самосопряженным положи-
положительным оператором.
Доказательство этой теоремы читатель может найти в работах
[48, 49].
Введем следующий вспомогательный оператор:
Nx = j dkyLx (k) a* (k) a (k) +
l A4.35)
где 0 ^ т ^ 1. При т = 0 N0 = N — оператору полного числа час-
частиц, при т = 1 Nl = Ни — оператору свободной энергии.
Сформулируем без доказательства следующие важные теоремы,
относящиеся к оператору Н (g, у.).
Теерема 14.5 [49]. Для любого т<1 существует константа
Mig), не зависящая от у, такая, что
A4.36)

126 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Теорема 14.6 [48, 49]. При х -»- оо оператор Нх (g, х) имеет
предел по графику
который является положительным, существенно самосопряженным
оператором. Резольвента R% (х, Q = (Hk (g, х) — ?)~' оператора
Н% (g, х) сходится по норме к резольвенте Rk (?) оператора Hk (g)
равномерно по X на любом конечном интервале (О, А,).
Примечание 14.1. Предел по графику последовательности
операторов HK(g,x) определяется следующим образом [45,48].
Пусть {9 } — последовательность векторов в области D {Hk (g, x))
таких, что существуют пределы
Нш ех = е, iim Hk(g, х)ех = ?. (Н.37>
Пусть Д.—множество всех векторов 9, удовлетворяющих A4.37).
Если D*—плотное множество в ^", то существует симметрический
оператор Нк (g) с областью D^ — D (Hk (g)) такой, что
Оператор H\(g) называется пределом по графику оператора H^(g,x).
Теорема 14.7 [48]. Гамильтониан Hx(g) имеет вакуумный век-
вектор cDg, т. е. существует вектор Ф„ ? D (Hi (g)) такой, что
Я(?)ФЙ = О. A4.38)
В интервале [O.min {[я, т}) оператор Н (g) имеет чисто дискретный
спектр конечной кратности, не содержащий точек сгущения. Про-
Пространство вакуумных векторов имеет конечную размерность.
Примечание 14.2. В отличие от взаимодействия X (ф4)г.
вакуумный вектор гамильтониана A4.31) не является единствен-
единственным при произвольных значениях константы взаимодействия К.
Однако при достаточно малых к вакуумный вектор Og является
единственным, т. е. кратность собственного значения Е°= 0 равна
единице [48].
Сформулируем еще одну важную теорему, доказательство кото-
которой читатель может найти в монографии [91, гл. IX, § 5].
Теорема 14.8. Пусть Тп и Т— инфинипгезимальные генераторы
квазиограниченных полугрупп типа р. Тогда из сильной сходимости
резольвент

§ 14 Гамильтонианы 127
для некоторого ?, Re ? > |3, следует сильная сходимость полугрупп
равномерно на любом конечном интервале t > 0.
Примечание 14.3. Полугруппа U(t) называется квазиогра-
квазиограниченной типа C [91, гл. IX, § 1], если
U@) = l.
Если C = 0, М = 1, полугруппа U(t) называется сжимающей.
14.4. Аппроксимированные гамильтонианы
Введем еще одну аппроксимацию, позволяющую рассматривать
свободное сглаженное бозе-поле в виде последовательности ограни-
ограниченных операторов в gr [138]. Для действительной f(x)?(?2(Rl)
определим свободное сглаженное бозе-поле по формуле A4.5).
Справедлива следующая лемма.
Лемма 14.5. Последовательность ограниченных операторов
Фо.е(О, /) = Фо(О, /)ехр[-есро(О, /J], е>0, A4.39)
сильно сходится на области DocicF к оператору % @, /).
Доказательство ограниченности оператора фо,е @, /) для е > 0
следует из спектрального представления
где Е% —разложение единицы, и неравенства
Справедливость представления A4.40) вытекает из существенной
самосопряженности полевого оператора ср0 @, /) [12, 26, ПО]. Схо-
Сходимость следует из того, что семейство операторов ехр [— еср0 @,
/J], е > 0, является полугруппой класса Со (класс сильно непре-
непрерывных полугрупп) [188, гл. X, § 1] и при е -»- 0 сильно сходится к
единичному оператору.
Введем теперь аппроксимацию A4.39) в операторы, которые яв-
являются полиномами по свободным бозе-полям. Такими оператора-
операторами являются гамильтониан скалярного взаимодействия A4.1) и
контрчлен Am (g, x) A4.33) в гамильтониане взаимодействия Юка-
вы. Запишем эти операторы в следующем виде:
Я, «?,*) =
Ц fc - dk, *^' + - + ^ ''(fc"^ •;• уА^2- :а (fc,)-a to): A4.41)
|^4я /Щ + ц2 ... /4л \' k'l -j- ^

128 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
II
\m(g, х) =
= - ' Ъп? tg, х) f dkldk2 __
X
J /4л Vk\+ u2 У 4л V k\ +
Х%{ки х) х (к2, х):а №1) a (^г):- A4.42)
Так же как и для гамильтониана взаимодействия Я, (g, x) модели
Юкавы (лемма 14.3), ядра операторов A4.41) и A4.42) можно
представить в виде
A4.43)
*.'¦
где в качестве базиса {et} взят, например, тригонометрический ба-
базис в (?2(—х, х). В силу бесконечной дифференцируемости функ-
функций g и х коэффициенты cim=ctm(g, x) и cij = cii(g, x) удов-
удовлетворяют неравенствам
A4.44)
Подставляя A4.43) в A4.41) и A4.42), получим
гЛ': Фо ^°' е^ фо ^0> е^ фо @' вь) Фо
C"w [фо @' бг) фо @' в]) Фо @> 6fe) Фо
— d, /)фи@, <?ft)cpo(O,e,)—(t
— (/, /)фо@, е,)%{0, eh)—{j, k)(po(O, et)%{0, e.) —

§ 14 Гамильтонианы 129
— (/. О Фо (О, е,) ф0 (О, ек) - (k, I) Фо (О, е,) Фо (О, е}) +
+ (i, /) (k, I) + (i, k) (/, О + (i, I) (/, Щ =
= Н,(g, x)+-2 J сШ1 [(t, /)(k, I) + (i, k)(j, I) + (i, I) (/, fe)],
A4.45)
Am (g, %) = ^ ci7-: ф0 (О, et) % @, ey): =
^ Ifo @, et) Фо @, ey) — (t, /)] = Am (g, x)+ — ^ cjy (t, /),
A4.46)
где
(t. /) = Фо (О, et) Фо (О, еу) =
I l
= [Фо- @, et), K @, e,)]_ = -^ J ~j~^=- dk. A4.47)
Легко проверить, возвращаясь к A4.6) и A4.33), что операторы
f y х) и Ат+ (g, x) будут иметь вид
Я/ (?, *) = j g (ж) [<pgiM @, ж) - 3GX (О)]2 dx,
A4.48)
Л/П+ (gr, x) = 2- 6m2 (g, ¦*.) J g2 (ж) ф2и @, ж) d»,
где
G @)=-|—\
и, следовательно, являются положительными операторами в д~.
Согласно A4.39) введем последовательности ограниченных опе-
операторов
Hi {g, x,e) = Я| (g, %, g) —
- 2 ^ сш* К», /) (k, D + (i, k) (/. 0 + (i, /)(/, k)], A4.49)
Am (g, %, g) = Am+ (g, %, e) —
, ^, e) =
9 Д Я. Петрина и др.

130 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
- (», /) Ф0,е @. eh) <pOiE @, et) - (i, k) фОе @, ej) q> @, et) -
- ft, /) Ф01е @, ej) Фое @, eh) - (/, А) Фое @, ег) Фое @, et) -
- (/. О Фо,е @. et) Ф0,е @, eh) - (А, /) Фо>е @, et) Ф0,Е @, е,) +
+ 3 (i, I) [k, I) + 3 li, k) (/, /) + 3 (/, /) (/, k)].
Am (g, %, e)+ = ^
Примечание 14.4. Ограниченность операторов Н, (g, и, е)
и Am (g, и, е) следует непосредственно из ограниченности опе-
операторов фо, Е @, /) и условий A4.44). Самосопряженность этих опе-
операторов также очевидна, так как операторы ф0 @, /) коммутируют.
Кроме того, операторы Hf(g, и, е) и Am^ (g> и> е) положительны,
так как их можно привести к виду A4.48). Покажем это, например,
для Am+ (g, х, г). Подставляя в A4.50) вместо ctj выражение
сц = — -у- б/n2 (g, х) Jj (g*g) (fex + fe2) x (ft,, x) x (fc2, x) X
X e; (Лг) е7- (к.г)
и переходя в координатное представление, приходим к виду A4.48)
с Фо,кИ вместо ФОи(ж), где
X 2 Ф (°> ег) ехр [— еф @, е;J] е ({к) dk.
i
Лемма 14.6. На области конечных последовательностей Do в g~
s-hmH.(g,%,e)=:H.(g,*), A4.51)
Е-»-0
s-lim Am(g, ж, е) = Am(g, у.). A4.52)
Е-»-0
Доказательство. Докажем лемму для оператора Am(g, ж, е).
Рассмотрим выражение
|| (Am (g, к, е) - Am (g, ж)) Y ||. (H.53)
где ^?^DQ и имеет iV0 компонент. Чтобы доказать A4.52), доста-
достаточно показать, что при е->-0 выражение A4.53) можно выбрать
как угодно малым. Используя A4.46) и A4.50) и коммутативность

§ 14 Гамильтонианы 131
операторов Ф0(ег), получим
|| (Am (g, к, е) — Am (g, x)) Y || = || (Am (g, x, e)+ - Am (g, x)+) ? || <
еФо @, etf] exp [- еФо @, ej)] - 1} X
|си-|Ц{ехр[-8фо(О,егJ-еФо(О,^J]-1}х
ХФО(О, е,)
|с..[||{ехр[-еф0@!егJ-еф0@, ?>^]-1}х
X Ф0@, ef) Ф0 @, ej) Y Ц. A4.54)
Так как
|| {ехр [- еФо @, etf] exp [- еФо @, e}f] - 1} Фо @, et) Фо (о, е,) У || <
< ||{ехр[- ефо @, е(П ехр [- 8Фо @, е,-J] - 1} II X
<2n0i|e,iL ik/iu imi=2noimi
St-0 S^2
и ряд V I cu I сходится, то, выбирая Л^о достаточно большими, сум-
му ^ | ctj I можно сделать как угодно малой. Следовательно,
вторая сумма в выражении A4.54) может быть как угодно малой.
Дальше, так как первая сумма в A4.54) конечна и каждый ее
член содержит оператор
ехр [— Бф0 @, etJ] ехр [— еф0 @, ejf] — 1,
который сильно стремится к нулю при s -> 0, то и первая сумма мо-
может быть как угодно малой. Это доказывает равенство A4.52). До-
Доказательство A4.51) аналогично, хотя и более громоздко.
Введем аппроксимацию в полный гамильтониан:
//06 + M//(g,x,e) для Ц:ф4:J,
' A4.55)
Яо -f XH, {g,x)+Am(g, 5c, e)—E(g, x) для Y2.
Для гамильтониана A4.55) справедлива следующая лемма.
9*

!32 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Лемма 14.7. Последовательность Н% (g, х, е) является последо-
последовательностью самосопряженных ограниченных снизу операторов и
s-lim Hx {g, х, е) = Нх (g, ос). A4.56)
е->0
Доказательство. В скалярном случае Но ь > 0, а оператор
Н, (g, ос, е) является ограниченным, стремящимся в силу леммы
14.4 при е-»-0 к полуограниченному снизу оператору
= J g И [Фо.ос И - 3GX (О)]2 dx - 6GX (ОJ J ^ (х) dx,
где
ix (Jr. ос) I2
,m f
@) = \
J
4я
dk < оо.
Для взаимодействия Юкавы Яо > 0, &m(g, x, е) — ограниченный
оператор, —? (?, х) — положительная константа, а оператор Н[ (g, x)
является /^„-ограниченным с #0-гранью, меньшей единицы (лемма
14.4). Тогда в силу теоремы, содержащейся в [91, гл. V, § 4],
оператор Hx(g, x, е) ограничен снизу. Равенство A4.56) следует из
леммы 14.6. Отметим особо, что операторы H,(g, x, е) и Atn(g, x, е)
ограничены снизу равномерно по е константами — 6GX (ОJ Г g (x) dx и
— S/n2 (g, x) Gx @) I g2 (x) dx соответственно.
Лемма 14.8. Для любых t?[0, Т] и х<оо
s-lim ехр [— Шх (g, х, е)) = ехр [— tHx (g, x)] A4.57)
е->0
как для взаимодействия A,(:cp4:), так и для Y2.
Доказательство. Так как оператор H%{g,%) является су-
существенно самосопряженным оператором на Di, то для W ^_Di со-
совокупность векторов {% = (Нх (g, x) -f С) Ч1} образует плотное мно-
множество в 3. Тогда для любого такого %и?сКе?>Р (см. при-
примечание 14.3) или ImS^O справедливо неравенство
[(Нх (g, х, е) + Q-i - (Нх (g, х) + Q-Ч г =
= (Нх (g, х. в) + S) (Нх (g, х) - Нх (g, х, в)) (Нх (g, х) + С)-1 Х-
A4.58)
Так как оператор (Нх (g, x, е) + ?)~: ограничен равномерно по е,
то, используя лемму 14.4, легко получить из A4.58), что
s-lim (Я (g, х, е) + S)-1 = (Ях (g, х) + ?)-i. A4.59)
е->0

§ 14 Гамильтонианы 133
С учетом A4.59) и равномерной по 8 ограниченности снизу опера-
операторов H^(g, х, е) утверждение леммы следует из теоремы 14.8.
Примечание 14.5. Совершенно аналогично, используя A4.7),
теоремы 14.1 и 14.2 и равномерную по х ограниченность снизу
операторов Н (g, х) [43] (см- также теорему 14.8), можно доказать
справедливость следующего предела для взаимодействия Х(:<р4:J:
s-limexpl—tf/^g, *)] = exp [-/#,(§)], *е[0,Т]. A4.60)
х-*°°
В заключение настоящего параграфа сформулируем важную теорему
для операторов A4.55)-
Теорема 14.9. Для любых t? [0, Т], х << оо us>0 справедливо
следующее разложение:
N t 'n-1
== s- lira V (- 1)" Г d^ ... f d*n ехр [- г„Я0] X
X F, (g, х, s) ехр [- (*„_, - f„) Но]. .. Уя (g, х, е) ехр [- (t - ^) Яо].
A4.61)
Доказательство. Справедливость представления A4.61)
следует из теоремы о разложении полугрупп в ряд теории возмуще-
возмущений [188, гл. XIII]. Остается доказать лишь сходимость ряда A4.61).
Из ограниченности операторов A4.49) и A4.50) и неравенства A4.25)
следует оценка
+ 1Г1/2||<*з(?. *• е). <14-62)
Используя оценку (см- лемму 14,5)
\\(Н0+ l^e-^iK-^--^, ^>0. A4.63)
и неравенство A4.62), получим
II Vx(g, х, 8)г'«.|<^^.А. A4.64)
Покажем, что неравенство A4.64) обеспечивает сходимость ряда
A4.61). Обозначим через Вп п-й член в правой части A4.61).
Используя A4.64), получим

134 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
V2e J n! ' v ;
что и завершает доказательство теоремы.
§ 15. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ОПЕРАТОРЫ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ Ж
15.1. Скалярное взаимодействие
Производящий оператор Н (Н) A2.3) уравнения A1.17) опреде-
лен в пространстве J?b на области D(Nb). Это утверждение яв-
является следствием неравенства
r2 A5.1)
где
С (hf = const- f dk,... dh ' ,*<** +••• + *«>!' < oo.
Чтобы доказать неравенство A5.1), воспользуемся формулой A1.6),
правая часть которой определяет оператор Н (h) на последователь-
последовательности функций Г = {Г«Со- Выбирая в A1.6) g-=(Nb+l)~2f,
1?Жь> заменяя б(-) на h(-) и используя определение (,13.13), по-
получим
фь + \)-2пп |Р < j dp,... dPn
h(kj + ... + fe4)
iX
4/(n + 2)(n+l) у Г ^ dkdk ь^гЪ
("т3) ,^,3 32Л^1+,2...2я^2
X /n+2(^i. *г, h, px, ... , /7(j , ... , рп) +

n (n - 1) (л-
Производящие операторы уравнений 135
X /«'*!> &2> Ръ •-. Р,у --- /V '•" Рп) +
П Г*
\dkx—~±
\ Х 1/ 9
J 2я К р- -
Pfl + Pf, + P/,-*i) y
X
(^i, Л, -. , pv - , pit, -.., /?„)
К~пЛп — \)\n — 2) (n — 3) (n — 3J
x
X
A5.2)
Применяя неравенство Буняковского — Шварца к суммам и ин-
интегралам выражения A5.2) и учитывая симметричность функций
/п(/?ь ..., рп) по переменным ри ..., р„ и определение A3.13) в про-
пространстве j/f6, получим неравенство A5.1) Доказательство того, что
С (h) <; оо, аналогично доказательству конечности константы К (g)
(см. лемму 14.1). Таким образом, оператор Н (К) определен в Jf6 на
всюду плотной области векторов. Для него справедлива следующая
лемма.
Лемма 15.1. [44, 74, 76]. Оператор Н (h) является существенно
самосопряженным оператором на всюду плотной области Dt:
D^iPiaif))^,}, A5.3)
где Р (х) — полином, а (/) = j a (x) f (x) dx, f (x) 6 (?2 (R2).
Доказательство. Симметричность оператора Н(К) следует
из вида A2.3). Далее, так как на области
H(h)DlCzD(H(h)*),
то симметрический оператор H(h) является присоединенным эле-
элементом к банаховой алгебре 59? [44] и под действием изоморфизма
U A3.20) переходит в оператор умножения на действительную
функцию f)(o)? &?zB, dp), что и доказывает утверждение леммы.
Если ввести в оператор Н (h) ультрафиолетовое обрезание х,,
то оператор Н (h, к;) будет ограничен снизу. Это утверждение

136 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
следует из того факта, что
К,- W - 3GXf @)p - 6GK. (Of | ft (x) dx, A5.4)
а оператор i h (x) [a? (*)— 3GK (О)]2 положительный. Для операто-
ров H (h, К;) и Н {h) справедлива следующая лемма.
Лемма 15.2. На области D(N2)<=J?b
s- Vim H(h,Xt) = H{h). A5.5)
Доказательство леммы совершенно аналогично доказательству
леммы 14.2. При этом нужно лишь учесть, что для i=\ %{к.,щ)=
= х (k, х), а для i = 2 г {k, и2) = х (k1, *) % {k\ и").
В силу полуограниченности оператора A5.4) справедлива следу-
следующая теорема.
Теорема 15.1. При действительном h{x)?C™ (R2), иг< оо,
Я, > 0 решение уравнения
= -H{h,xi)F, F\l=0=Qob, A5.6)
имеет вид
F (h, Х|) = ехр [- W(h, Xi)]QOi6 €Жъ- A5-7)
Примечание 15.1. В следующей главе мы покажем, что при
иг = оо вектор A5.7) также принадлежит Jfb, а предельный пере-
переход h ->¦ 1 можно выполнить в слабом смысле.
15.2. Взаимодействие Юкавы У2
В отличие от модели Я (ф*J, двумерная модель Юкавы не лишена
трудностей, связанных с ультрафиолетовыми расходимостями,
в ней лишь понижается индекс расходящихся диаграмм. Это в свою
очередь позволяет ограничиться одним контрчленом (если не учи-
учитывать перенормировки вакуума) в лагранжиане взаимодействия.
Введение контрчленов в лагранжиан не изменяет общей процеду-
процедуры получения уравнений для коэффициентных функций. Однако
производящий оператор будет содержать дополнительные члены,
соответствующие введенным контрчленам. Например, уравнение
эволюционного типа будет иметь вид
¦?=>H(h,*)F, /\=0 = Q0, A5.8)
где
Н (h, х) = Н (h, х) — Am' (ft, x) + Е' (h, %). A5.9)

§ 15 Производящие операторы уравнений !3?
Здесь
Am' (h, %) = -^Ат (h, *), E'(h, x)=~E(h, x), A5.10)
причем
Am (h, *) = — 4 6m2 (?> *) j : ax (*) :ft2 (*) *c.
? (ft, x) = E (g, x) -mes -supp x, ft W -= g (x1) % {x2).
Установим некоторые важные свойства операторов Н (h, хг) и
Am (ft, хг).
Лемма 15.3. Операторы Н (h, щ) удовлетворяют следующим
неравенствам [50]:
\H(h,K2)(Nb+ lr'^IKC^Xj,, A), A5.11)
^M*,/!), A5.12)
х,/г)О((х<ТЕ), A5.13)
8>0,
Доказательство. Чтобы доказать неравенство A5.11), пе-
перепишем оператор A2.23) в таком виде:
2
Я (h, ха) = 21 dqxdq2dt X
«.3=1
X :Фа (%) 4
q\ + m2 BяI/2|/1* + Ц2
X a (t)h (^ — ?2 +1) x (<72, x2) x (ft,
2
, qvt\ »g Ф„ fojia (*). A5.14)
Так как ядро щ»ар (ft, ft,, t; x2) g C~ по каждой переменной, то его
можно разложить по базису в пространстве (®<?2(—х2, х2)K:
_ ), A5.15)
причем [182]
2кЫ<°°- A5.16)

138 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Тогда оператор Н (h, и2) будет иметь вид
2
H(h,Kz)= ^ ^ст(а,^, ус2у.Фа(е,)Ф&(е1)а(е1<):. A5.17)
а,6=1 './.*
Неравенство A5.11) следует из A5.16) — A5.17), ибо ферми-опера-
торыФа(ег) и ф„ (ej) ограничены [12], а оператор a{ek) удовлетво-
удовлетворяет оценке
\\ar(ek)(Nb+ 1Г'/2||<1-
Докажем теперь неравенство A5.12). Очевидно, что достаточно
показать справедливость неравенства A5.12) для оператора
tfSs (Л, *) =
= J dqxdq2dt wai> (qlt q2,t; х):Ф* (q2)Фвч (ft) au (<):. A5.18)
Заметим, что ядро wa$ (qlt q.it t; у.) уже не является компактным,
но принадлежит пространству *?2{К2) ® $?%(№) ® (?z{R2\ так как
<?2, ^; *) |2 dqt dq2
а.В
Л, . ^ I ~h (qt -q2 + 0|» | X «?'„ x) x (q\, x) X «i, x) |»
= 2 \dq^dq2dt . „ — , „ . A5.19)
•' 2л У q\-\-m*2n.V q\-\-m"-2n (f- + ц2)
Доказательство ограниченности правой части A5.19) аналогич-
аналогично доказательству ограниченности константы К (g) в лемме 14.1.
Для доказательства неравенства A5.12) мы не можем применить
тот же метод, который применялся для доказательства A5.11),
так как условие A5.16) не выполняется.
Пусть для простоты Ф* (</2) = Ф+ (q2,),<$?{q1) = (Dl (<?,) и
a»(/) = a+(f). Следуя Глимму [41], введем оператор
va& W2. 0= J d^a;aB (ft, <?2, г; х)Фв+ (^); A5.20)
ясно, что
II VaV (<fc. 0 IP < I dK I ^aB @1- %• '•' *) I2- A5-21)
Далее,
Н% (А, х) = j d^adT Ф^+ (%)«- «) Va(J (%, t), A5.22)

§ 15 Производящие операторы уравнений 139
и для /?jf имеем
<Я2в(/1, *)/),,,„,„ (Pi. — • Рь Р[> —>Р'т> ki> — • kn) =
= j dq2 dt (Ф^ (q2) a+ (t) Va& (q2, t) f)Umn (Pl, ..., p(; p;, .... pm;
i
Ax, ... , A»)= Jd?ac
j
(=1
x 26^-^)(Fa3(fe 0f)i-Um,n-i(Pi> •••• ^ - • л;
x, ..., klt ... , й„) = yr- — ^ (— 1)' 'x
/
n
x 2(yap(^' ki)fti-i.m.n-i(Pi> - ' P;> -• Pi' P{> - ' P'J
1=1
k^ ... ,%, ... , A»)
dpdkdp1...dpl_ldp\... dpmdkx ... dkn_x x
x l(Va3(/>, A)/),_,,„,,„_,(a. .... p,_,; /»;,..../»;; Ax ^n_,)l
(/+ l)(n+ 1) Up dk dPl ...dPl dp\ ... dpm; dkx ... dkn x
l,m,n=0
X \(Va&(p, k)f)lnun{Px Pl\ p\, ...;p'm; klt ... , kn)\* =
= ^dpdk\\(N}+l)y2(Nb+l)l/2Va&(p,k)f\\\ A5.23)
Так как операторы Af', Afb и Fap (p, k) коммутируют, а оператор
Уаз(/?. k) удовлетворяет неравенству A5.21), то будем иметь
Ч И (А, *)/ II2 < j dp dk dq | twap (/J, k, q, x) |2 X
x||W+lI/2(^ + lI/2/|
откуда следует A5.12).

140 Связь епклидопой и конструктивной теории поля Гл. IV
Чтобы доказать неравенство A5.13), заметим, что оператор
Н (h, к2)—Н (п, щ) имеет вид A5.14), но с ядром
™аб {Яг, fe t; к) I'/ (<7«, х°) X (.Я% *°) 1V2, х°) - 1].
Следовательно, для оператора Н (п, и2) — Н (h, кг) справедливо
неравенство A5.12) с
С2 (к, h) = const • J dq1 dq2 di | wa& (qv q2, I; x) |2 x
уху \« / \ v- /
Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве леммы
14.2, приходим к неравенству
^2 (>с, h) < const- C3 (х, К) (х°ГЕ,
что и доказывает неравенство A5.13).
Лемма 15.4. При и < оо оператор Am (h, и) является существен-
существенно самосопряженным на Dx ограниченным снизу оператором в ffl.
Доказательство леммы следует из условия
и равенства
[:а2 (x):h2(x)dx= [a2 (x)h*(x)dx — G @)[h?(x)dx
и тех же аргументов, что и в лемме 15.1.
Рассмотрим теперь уравнение эволюционного типа в отсутствие
контрчленов A5.10):
¦§-='H(h,Kt)F, /=l=o=Qo- A5-24)
Леммы 15.3 и 15.4 позволяют доказать следующую теорему.
Теорема 15.2 [120, 136]. При х< оо уравнение A5.24) имеет
единственное решение, которое задается сильно сходящимся рядом
во всей комплексной плоскости по константе взаимодействия X:
оо
F= ехр[ЯЛ (А, щ)]Qo = ? -g- [И (А, х,)]пЙ„. A5.25)
п=0
Доказательство. Чтобы доказать теорему, необходимо оце-
оценить величину || [Н (А, иг)]" Qo ||. Для i = 2, и2 = и = (х°, и), исполь-

§ 15 Производящие операторы уравнений 141
зуя неравенство A5.11), получим
= \\H(h, к) <
< CL (x, h) (n + l)i/21| [H (h, x)]»->Qo II <...
...<(С1(х,/г)П(п+ 1)!]1/2. A5.26)
Оценка A5.26) обеспечивает сходимость ряда A5.25). При t=l,
xt = x для доказательства теоремы воспользуемся неравенствами
A5.13) и A5.12). Введем обозначение [120]
A = H(h, xj)— H(h, x2).
Тогда неравенство A5.13) примет вид
|| A (N + I)1| < С3 (х, /г) О ((х°Ге) = С3еи0, A5.27)
где еи„ ->- 0 при х° ->- 0. Так как операторы Н (h, хх) и Н (h, x2)
коммутируют, то справедливо равенство
[H(h, Х1)]ЧД+й(/1, х2)]"
6=0
Тогда
/г
|| (Н {К x))n Qo||< J] ( ft ) ИД* (^ (ft' И))"~Ч IK
k=0
... A (iV + I) (N+\)H{h, x)(iV + 1)/2 (iV + 1)'/2
... H(h, x) (iV + 1)/2 (N + lI/2Q01| <
n
n
X ....
*=0

142 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
п п
<6"п!
/г=0 *=0
< п\ [6еи„С3A + СО]" ? у2 < «!Р (>c°)nM(xfl), A5.28)
где
со
р (я0) = 6ехоС3 A + Сг) -> 0 при х° -> оо.
Из оценки A5.28) и того факта, что при любом к можно подоб-
подобрать х°<оо, при котором
следует сходимость ряда A5.25).
Примечание 15.2. Нетрудно заметить, что ряд A5.25)
является сильно сходящимся не только на векторе Qo, но и на всюду
плотной области векторов Do ^ Jf.
Теорема 15.3. При и<<х> уравнение
*)F, F\^Q = Q0, A5.29)
имеет единственное решение
A5.30)
Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 15.2, леммы
15.4 и того факта, что операторы Н (h, к) и Am (h, x) коммутируют.
Отметим, что теорема 15.2 доказывает сходимость обрезанного ряда
теории возмущений для матрицы рассеяния в евклидовой области.
Разложение в ряд выражения A5.30) приводит к перенормирован-
перенормированному ряду теории возмущений.
15.3. Производящие операторы Я (ft, x» е)
Так как функция h(x) имеет вид A2.9), то операторы A2.22)
у A5.10) можно переписать в следующем виде:
H(h, х) =
X exp [i (*f> +....+ ?<2 >) f\:a (k,) ... а (к,):,

15 Производящие операторы уравнений 143
kj = ^ + ^\ A5.3П
Am (h, х) = f хЧГ) dt (— -i-] 6m2(g, x) f dfe, dft2X
X <^*
x
Используя разложения A4.43), получим
# (ft, x)= 2 с4УЫ j x @ <й =a tf. et)a(t, e,)a(t, eh)a{t, efc, A5.32)
Am (ft, и) = 2 c« J X2 @ <#:a (/, e,) a (/, ej):, A5.33)
где
a(f, g) = [ a(x)e(x)dx=-± \ eikBh eJ^l a(k)dk, *» = t. A5.34)
Так как функция
х), то оператор а (Л е) является хорошо определенным самосопря-
самосопряженным оператором в Jffb. Определим последовательность ограни-
ограниченных самосопряженных операторов, аппроксимирующих опера-
оператор a(t, e):
( ((—ea2(t,e)), e>0. A5.35)
Такая последовательность сильно сходится на области определения
D(a(t,e)) к оператору a(t, е) (см. лемму 14.2).
Введем операторы ae(t, e) в выражения A5.32) и A5.33), пред-
предварительно раскрывая нормальное произведение и учитывая, что
a(t, e,) a(Uet) = [a- (t, et), a^ (/, е,)] =
i1
-«./v ...«б,
Тогда операторы #(/i, x, е) и Am(h, x, е) будут иметь вид
Я (/г, х, е) =
— (I, /) a (t, eh) a it, et) — (i, k) ag (t, e}) ae (t,et) —

144 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
— (i, I) ap U e,) ae (t, ек) — (/, k) аг (t, et) aE (t, et) —
— (/, 0 «е С' ег) ае. (*> ek) — (*. О а. V, et) аг (t, e,) +
+ (г, /) (k, I) + (i, k) (j, I) + (i, I) (j, k)\ = H (h, x, e)+ —
- 2 2 cUki [U, i) (k, 1) + (i, k) (j, I) + U, I) (j, Щ J x (О Л A5.37)
И
Am (h, x, e) = 2 cu j x2 @
= Am (ft, x, ej+ — 2, cu (i, j) ) %2(t)dt. A5.38)
U
Для операторов H(h, к, е) и Am (ft, и, е) справедлива следующая
лемма.
Лемма 15.5. На области конечных последовательностей Doczffl
имеют место следующие пределы:
s-lim //(ft, и, e) = H(h, и),
Е-»0
s-lim Am (ft, и, е) = Am (ft, и).
Доказательство леммы 15.5 аналогично доказательству леммы
14.3, если учесть, что
Для производящего оператора уравнений эволюционного типа в слу-
случае скалярного взаимодействия справедлива следующая лемма.
Лемма 15.6. Во всем пространстве jf имеет место
s-lim ехр [— %Н (ft, и, е)] == ехр [— W (ft, v)\.
Доказательство. Так как последовательность суще-
существенно самосопряженных операторов Н (ft, и, е) согласно A5.37)
равномерно по е ограничена снизу, то доказательство данной леммы
аналогично доказательству леммы 14.7.
Совершенно аналогичная лемма справедлива и в случае взаимо-
взаимодействия У2.
Лемма 15.7. На области Do имеет место
s-lim ехр [XH(h, к) — Am (ft, n, г) + E(h, и)] ==
= ехр [ХН (ft, х) — Am (А, у.) + Е (ft, и)].

§ 16 Гамильтонов и евклидов подходы 145
Если учесть теорему 15.2 и то, что операторы Am (h, к, е) и
Am (h, н) коммутируют с Я (h, х), то доказательство сводится к до-
доказательству предыдущей леммы.
§ 16. СВЯЗЬ МЕЖДУ ГАМИЛЬТОНОВЫМ И ЕВКЛИДОВЫМ
ПОДХОДАМИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Как мы уже упоминали в начале § 10, квантовую теорию поля
можно сформулировать на языке евклидовых функций Грина.
Эквивалентность аксиоматического подхода Ваитмана и евклидовой
аксиоматики, сформулированной в работах Нельсона, Остерваль-
дера, Шрадера, указывает на то, что это два подхода к одной и той
же теории. Другим важным доказательством этого является форму-
формула Фейнмана — Каца — Нельсона [94, 113, 168].
В настоящем параграфе будет предложен новый вариант вывода
этой формулы, основанный на аппроксимации неограниченных бо-
зонных операторов евклидова поля последовательностью ограни-
ограниченных операторов. Основное преимущество такой аппроксимации
состоит в том, что доказательство формулы Фейнмана — Каца —
Нельсона не зависит от вида гамильтониана и может быть выполнено
как для бозонных, так и для фермионных взаимодействий с помо-
помощью теоремы о разложении полугрупп в ряд теории возмущений.
16.1. Равенство средних
Определим для i>0 и действительной функции f{x)^(?2(R{)
оператор в пространстве gTb:
^x, A6.1)
где
Ф (/, х) = <Г'н°-йср0 @, х) е"°-о =
J
Оператор ф (t, /) определен в $ъ на области значений оператора
ё~' "о.ъ для t'">i. Введем для операторов A6.1) антихронологичес-
антихронологическое произведение по формуле
-s - m(t, х) m(t',x), если 1<.1',
T*(q>(t,x)q>(t',x'))= ^ _ A6.3)
Ф (Г, х') ф (t, x), если t' < f.
Используя A6.2) и формулу
.(for I f1 .Шх-ц(к)|д;г|
u = jfe(«, A6.4)
10 Д. Я. Петрина и др.

146 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
легко проверить, что
(Qb, Г* (ф (t, х) Ф (Г, х')) Qb) = G0{t~f,x-x')= Go (х - х'),
x^ = t, xw = t'. A6.5)
С другой стороны,
Go (х - х') = [а- (х), а+ (х)}_ = (Q06, а (х) а (х')Q0J). A6.6)
Приравнивая A6.5) и A6.6), получим соотношение
(Qb, Т* (Ф (t, х) Ф (Г, х')) пъ) = (Qo 6, a (t, х) а (Г, х') Q0J)) A6.7)
или, в терминах операторов A5.34) и A6.1),
(Qb, Т* (Ф (t, f,) Ф (t, /2)) Qb) = (QoшЬ, a (tlt f,) a {t%, /2) Qo b). A6.8)
Это равенство может быть тривиально обобщено на случай поли-
полиномов Рп (х) степени п:
(Qb, T*(Pnt(<p{tvXl)) ... PnkD>(th, xh)))Qb) =
= (Q06, P,,t(a{tlt h)) ... Pnk(a(tb, fh))Q0J. A6.9)
Бозевские операторы поля образуют кольцо [12], слабое замы-
замыкание которого содержит все ограниченные функции от операторов
поля. В силу этого равенство A6.9) можно обобщить на случай ог-
ограниченных функций:
(Qb, Г* (Ft (Ф (tx, f,)) ... Fh (Ф (th, fh)))Qb) =
= (Q06, /чИ^/О)... Fh(a(th,fh))QOib). A6.10)
Аналогично вводятся ферми-операторы:
A6.11)
где
-L- f dp е-** [в-»«Р>'о+ (p) b'* {р) + e«(P)'o- (- p) b (- p)],
A6.12)
^
»(p)<tr+6* (p) + e«<p>u- (— />) b' (—

§ 16 Гамильтонов и евклидов подходы 147
Здесь величины v* и и« определяются формулами A3.5). Введем
вспомогательные операторы следующим образом:
% С х) =? I ехР ( - ' Т «з) (~
ехР ! — * "Т
A6.13)
Легко проверить непосредственным вычислением, используя фор-
формулы
A6.14)
+ / .-_. . (« (Р) (-О YU
4 (Р) ,В (р) =
)| _ I L, (Ф°)^ />0 n615v
— 00
и формулы A0.27), что
(SEa,e(x-x'), A6.16)
С другой стороны,
Sf.a(*—**) = {Фа W.CD3" (*')} = (Qo.fr Ф„(лг)Фв(х/)О<и). A6.17)
Следовательно, из A6.16) и A6.17) для i, ^, > О
<^« г* (*«, V- *Ч С. ^')) Q/) =» (Qo,;. Oa(*№B(*')Q0#/). A6.18)
Равенство A6.18) справедливо для любого числа полей:
(Q/f Г* (^ (tv Xl) ... ^ (tn, хп) ^6)(/;, х\)... %^ (Сп, хп)) Qf) =
16.2. Формула Феинмана— Каца— Нельсона
[61, 94, 113, 155, 169]
Введение е-аппроксимации A4.39) и A5.35) позволяет единым
образом получить формулу Феинмана — Каца — Нельсона для
скалярного взаимодействия и взаимодействия Юкавы.
ю*

148 Связь евклидовой и конструктивной теории поля Гл. IV
Введем следующие обозначения:
К(Л,х,е)=1^(Л.^в)дляМ:Ф*:J,
I— "KH(h, х) + Am (h, х, е) — Е (h, х) для F2.
Через о @, ж) обозначим одно из полей фо(О, х), гр0 @, х\ или
а|50 @, х); через Q (х) обозначим одно из евклидовых полей а (х),
Ф(лг) или Ф{х). Далее, пусть функции G((-} будут ограниченными
функциями своих аргументов. Тогда справедлива следующая тео-
теорема.
Теорема 16.1. Для %(tv ... ,*„) ? Со°° (/?"),
supp у.с(О<|1</2< ... < /„ < t), ft (xt) ? С- (/?i)
t'= 1, 2,.... n и h.(x) = %f_t t](xB))g(x) имеет меспю формула
\ dt1 ... dtnX (tlt ...,tn) (fi, exp [- (* - /„) Hx (g, x)] x
X Gn (o @, fn)) ... exp [- {t2 -1,) Hx (g, x)] Gx (a@, fj) X
X exp [- (t, + t) H% (g, x)J Q) = J dt, ... dtnl (tv ... , tn) X
x (Q0,Gn(Q(-tn, D)... GAQi-tv fi))e-nh-K®o)- A6.21)
(Введение функции x(tL, ¦¦¦ , tn) необходимо в силу того, что евкли-
евклидовы операторы ферми-полей Ф (t, f) и Ф (t, f) не являются опера-
операторами в пространстве Jff.)
Доказательство. Имеем
j dtx ... din%(*lf ... , tn) (Q, exp [- (t -fj (Ho + Vk(g, x))] x
X Gn (o @, /„)) ... exp [- (*, - tj (Ho + Vk {g, x))] x
X G, (o @, M) exp [- (*, + t) (Ho + Vx (g, x))] Q) =
= lira f «Й! ... <xtfi. ». . <п)(й. exp| —(< —tn)(H0 + Vx(g, x, s))] x
X Gn (a0 @, /J) ... exp I- (t2 - /0 (HQ + Kx (g, x, в))] х
X Gx (a0, ft) exp [- (/, + 0 (Ho + Vx (g, x, e))] Q) =
= Hm lim [dti ... dtn%(tv ... , ln) x

16
Гамильтонов и евклидов подходы
149
N^....N„+1
X
<ib
A)
X
j j j
*„ .,An+1 V о о о
X exp [- 4141 J\ (Я- «• е) exp [- (^-i - #
0
X
... V% (g, x, e) exp I- (t - tn - t\l>) Ho] Gn (o0 @, /J) ...
... Г dt\n) [d&n)... [ dtin)exv[-tin'.H0]x
J J J
0 0 0
X V% (g, x, e) exp [- (*]?>_, - ^') //0J...
... F,(g, x, e)exp[(^2-tx-й»>)Яо]G, (o@, /,)) x
I — (tkn+l-i—tkn+i )no\
exp [-
lim
tx... dinx(tv .... tn) x
_ 1)*»+—+*n+l
/ | hi b I I *
*1
X
x
Hm
X
Nt
(-0
ln+1
... dtnx(tL, ..., tn) x
Oil 1/ ^cr v p\ At I v
x Gn (Q (^ - г„, /„))... Gx (Q (t - tv fj) x

150
Связь евклидовой и конструктивной теории поля
* Vf-l
Гл. IV
J ^п+1(г.*.
в->и
t1 ...dtax(h, ... ,u
J F (g, x, e)
x
X
^. У) ... б.Ш-*!, f1))e-I"h-*«0). A6.22)
Первое равенство A6.22) справедливо в силу лемм 14.6 и 14.7.
Второе равенство обеспечивается теоремой 14.9. В третьем равенст-
равенстве использованы формулы
e~'"°VAg, х, е) е'и°= V'x{g, *, г) = Vl(a(t)),
Четвертое равенство является следствием формул A6.10) и A6.19).
При доказательстве пятого равенства нужно учесть, что операторы
G; (Q (t, /)) коммутируют между собой при различных t, f, а следо-
следовательно, и с операторами Vх (g, х, е). Кроме того, на области Do
ft!
== ехр
.A6.23)
Доказательство равенства A6.23) в свою очередь вытекает из
теоремы 15.2, примечания 15.1 и ограниченности операторов
Н (h, х, е) для скалярного взаимодействия и Am (h, x, e). Шестое
равенство является следствием лемм 15.6 и 15.7.
Примечание 16.1. Предельным переходом можно дока-
доказать формулу A6.21) и для функции G (Q) = Q. Для этого достаточ-
достаточно, например, положить G (Q) = QP и совершить предельный пере-
переход при е ->- 0. Формула Фейнмана — Каца — Нельсона A6.21)
была выведена при х <; оо. Однако в следующей главе мы покажем.,
что она справедлива и при х = оо.
Формула A6.21), выведенная нами для двух моделей квантован-
квантованных полей — скалярной модели X (: ф4 :J и двумерной модели

16 Гамильтонов и евклидов подходы 151
Юкавы (: tytyy :J, может быть получена для произвольной модели,
в которой существует самосопряженный, ограниченный снизу опе-
оператор энергии. Особенно полезной она оказалась для скалярных
теорий Р (фJ, в которых эта формула выводится на языке случай-
случайных полей (см. монографию Саймона [146]). С помощью формулы
Фейнмана — Каца — Нельсона удается представить функции Гри-
Грина модели Р (фJ в виде континуального интеграла по гауссовой
мере. Такое представление дало возможность Глимму, Спенсеру и
Джафе доказать существование функций Грина при бесконечном
объеме [53, 54] (см. далее теорему 19.1).

Глава V
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ В КОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ
В предыдущей главе было показано, что уравнения для коэф-
коэффициентных функций матрицы рассеяния имеют единственные ре-
решения A5.7) и A5.25) при наличии ультрафиолетового и объем-
объемного обрезаний. Наличие обрезаний позволяет получить корректное
выражение для S-матрицы вне рамок теории возмущений. Разло-
Разложение A5.7) в ряд по константе взаимодействия X приводит к обыч-
обычному расходящемуся ряду теории возмущений [64, 85, 123, 164].
Следовательно, решение A5.7) уравнения A5.6) определяет неко-
некоторую суммирующую процедуру [118, 124, 134] для расходящегося
диаграммного ряда. В случае взаимодействия Юкавы ряд A5.25)
сходится [27, 83, 84, 87, 88, 136, 143, 178].
В настоящей главе будет показано, что в решениях A5.7) и
A5.25) уравнений A5.6) и A5.24) можно снять ультрафиолетовое
обрезание х, а в случае скалярного взаимодействия К (: ср4J и объ-
объемное обрезание h (x).
§ 17. ЕВКЛИДОВА S-МАТРИЦА В КОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ
17.1. Скалярное взаимодействие
Доказанная в § 15 теорема 15.1 устанавливает существование
решения уравнения A5.6) при х < оо:
/="(А,х) = ехр[—ЛЛ(А,х)]Оо.*еЗеь, ^>0. A7.1)
Выражение A7.1) описывает всю последовательность коэффици-
коэффициентных функций S-матрицы в евклидовой области. Разложение вы-
выражения A7.1) по константе взаимодействия К совпадает с рядом
теории возмущений для матрицы рассеяния, однако в каждом по-
порядке вместо б-функции будет присутствовать функция h (k), a
пределы интегрирования в импульсном пространстве будут ограни-
ограничены величиной х. Известно, что в двумерной теории (d = 2) в каж-
каждом порядке по К можно перейти к пределу х —>- оо. В настоящем
параграфе будет показано, что такой предел можно осуществить
и в выражении A7.1), т. е. установить справедливость
.)=F(h). A7.2)

§ 17 Евклидова S-матрица в конечном объеме 153
Более того,
—XH(h)\Q0,b?3tb. l>0, и = оо. A7.3)
Доказательство A7.2) и A7.3) выполним в два этапа. Вначале
покажем, что вектор F (К) = ехр[— IH (/z)]Qo>o € Мъ- Идея доказа-
доказательства этого утверждения состоит в следующем. Оператор H(h)
эквивалентен оператору умножения на некоторую вещественную
функцию f)(a) в ??2B, ф,). Если функция ехр (— Щ (о))? ?4B, da),
то из непрерывности изоморфизма U (см. § 13) будет следовать, что
вектор F (К) ? $?ъ и определяется как обратный образ:
U :ехр (— Ц (а)) о ехр [— кН (Л)] Q0,b. A7.4)
Затем докажем справедливость A7.2).
17.2. Интегрируемость в
[75, 76, 8
мируема по мере d\i, т. е.
Теорема 17.1 [75, 76, 82]*). Функция е~Ща) при Re?i>0
J
(o)< оо. A7.5)
Для доказательства этой теоремы проведем ряд вспомогатель-
вспомогательных построений. Выделим из оператора Н (h) полуограниченную
снизу часть. Для этого представим функцию h в виде
h (Л, + ... + &4) =/iK (*! й4) + A/iK (*!,... , kk), % > О,
где
+ ... +Л4). \kt\<x, i=l,...,4,
В результате этого оператор И (h) распадается на сумму И (hx)-\-
+ Н (Ahx), причем Н (пк) полуограничен снизу. Действительно,
= J dx h (х) (а% (х) - 3G? (О)J - 9 {CHS (О)J [ h (x) dx = BK- CK,
*' Идея доказательства этой теоремы заимствована нз работы Нельсона
[112] (см. также [61, 147]).

?54 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
причем, очевидно, Вх>-0, ибо /г(*)>0, а СХ<С00- Здесь введены
¦следующие обозначения:
Таким образом, Я (hK) эквивалентен умножению на некоторую
полуограниченную снизу функцию 1)к(о) > — Сх, а оператор H(AhK)
эквивалентен умножению на функцию Af)K(a), причем эта функция,
по воей вероятности, неограничена на 2. Для контроля скорости
роста функции Af)x (a) нам понадобится следующая лемма.
Лемма 17.1. Пусть [г] — наименьшее целое число, содержащее
данное вещественное г. Тогда существует такое х0 > 0, что для
всех к > х0 выполняется неравенство
II (Ш'1К) ILzVu.^, < const (a) exp (- ка),
a ? [0, 1/8], n(x) = [xa).
Доказательство. Так как оператор Н(h) является виков-
ским мономом степени 4, то справедлива следующая оценка:
|| Н(К) f ||^ < Сх || Н (h) Qo.b ty \\(N+lJ
для произвольного / ^ Do, N — оператор числа частиц. Отсюда по
индукции следует
Ц Нп (h)Q0,b ||де < Сх || Н (h) Q0,b ||де || (N+\f Нп'1 (Л) Q0.6 ||де <
или
II Г \\*&.ы < С" (я!J1| § |&2B,д) < Са (С,лТ || § \&М) A7.6)
где С], С2, С3, С — некоторые постоянные.
Применим неравенство A7.6) к оператору Н (А/гк):

Евклидова S-матрица в конечном объеме 155
Далее, по определению функции Д/гх имеем
lll
Без уменьшения общности положим h(k) = h(kil>)h(ki2)) и заме-
заметим, что
теперь ясно, что достаточно оценивать только одномерный интег
рал (/г'1' == xt)
dxi ...dx4
m2
-^-, 0<v<e.
Воспользовавшись известной формулой Лиувилля (см., напри-
например, [55], 4.635) поочередно в каждой группе аргументов функции
h, имеющих одинаковый знак, получим, что последний интеграл
равен
4
О

156 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
причем константа Св конечна благодаря условию 0 < ь < —
Итак,
Положим теперь п(х) = \ха). Так как величина в круглых
скобках стремится к нулю, если 2а < v, т. е. а ? j 0, -g- , то, на-
начиная с некоторого и > х0, получим окончательно
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть ц {•} — мера множе-
множества {•}; имеем последовательно
|1 {а; % (о) < — (С* + 1)} < v {сг, А^ (о) < — 1},
так как {) = f)y + Д1)и и !),< (о) > — Си. Далее, очевидно,
\jl(x) = \jl {о; Afy, (а) < — 1} <
j ^ {oJ™d\i (а) = | *
где п(х\ — произвольное целое число. Из предыдущей леммы вы-
вытекает, что для всех х > и„ последняя величина не превышает
const2 (а) ё~2* ¦ Разобьем теперь интеграл
Jexpl —
на два слагаемых:
ехр|—Ц) (а)] ф (a)-f \ ехр[—h
Воспользуемся определением абстрактного интеграла в смысле Ле-
Лебега — Стильтьеса и оценим первое слагаемое:
| j expl—
const2(a) j exp |Re K(CX + 1)] d [exp (— 2x«)l;

§ 17 Евклидова S-матрица в конечном пРъеме 157
очевидно, что такая оценка конечна, так как С„ ~ In к. Легко ви-
видеть, что второе слагаемое оценивается таким образом:
exp|
< exp [Re X (Ск„ + 1 I Г° ф (х) = exp [Re X (CK|, + 1)),
что и доказывает A7.5).
Таким образом, мы доказали, что функция ехр [— М) (сг)] лежит
в ??2B. ф), а следовательно, ее унитарный образ ехр[ — XH{h)]Q}_b
лежит в J{ при Re X >• 0.
17.3. Асимптотичность ряда теории возмущений
Рассмотрим теперь важный вопрос о дифференцируемости функ-
функции ехр [— ХН (h)]QOtb и ее асимптотическом разложении в ряд.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 17.2. Функция ехр[ — Xi) (сг|] аналитична по X в полу-
полуплоскости Re X > 0 в смысле *) {?2 B, ф).
Доказательство. Пусть Хц—произвольная точка полуплос-
полуплоскости Re X > 0. Докажем существование предела
Ит ,- I ехр |- (Хв + X) I) (а)\ - ехр |- ).ot) (g))
.) I ^
° i[i(o) = 0. A7.7)
Представим хаусдорфов компакт 2 в виде
где
24_ = {о;Ь{о)>е}, S_ = {а; fi (а) < — е}.
Соответственно такому разбиению разбивается весь интеграл
A7.7) На множестве 2_ преобразуем его следующим образом:
1 — ехр [Xt\ (g)i
М) (а)
-ехр[Ц)(а)]}2сИ(т)
*) Напомним, что дифференцируемость (аналитичность) в смысле неко-
некоторого пространства ffl означает, что пределы соответствующих конечно-
разностных отношений рассматриваются в смысле топологии, заданной в ^?.

158 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
. ,. n ., , ... I f I 1 — exp [M) (a)]
< const• f(— Re(Xo + X))\ \ .,V/V ;J
— exp[M)(cr)] 'd\i(a)\"\ A7.8)
В выражении A7.8) величина const •/(—Re (Хи + X)) конечна в
силу основной теоремы об интегрируемости и ограничена при | X |->
-»¦ 0; кроме того, величина под знаком интеграла ограничена на
2_ и стремится к нулю поточечно, тем самым стремится к нулю и
все выражение A7.8). Существование предела A7.7) на Е_ доказа-
доказано.
При доказательстве аналогичного предела на 2+ следует вынес-
вынести из-под знака модуля в интеграле величину ехр[—2ReX0l)(o)\ fJ(ff)
и воспользоваться аналогичными соображениями. При доказатель-
доказательстве этого предела на 20 подынтегральное выражение вообще не
преобразуется, так как оно ограничено само по себе на So и стре-
стремится к нулю поточечно. Теорема доказана.
Итак, производная -тг-ехр[—^1)(ст)] = I) (ст)ехр[—Xff (а)] сущест-
существует и не зависит от направления. Аналогично доказывается су-
существование всех более высоких производных. По непрерывности
изоморфизма это утверждение автоматически переносится нэ функ-
функцию F(X) = exp[— XH(h)]Q0.b.
Рассмотрим теперь вопрос об асимптотическом разложении функ-
функции F(X). Для этого рассмотрим тождество
h
Rk = ехр |— ХН (/i)l Q0,b — ? ^г^ И" (h) Q0,b =
'i=0
Ч
exp\ — Xk+]H(h)}Hk+l(h)Q0,b. A7.9)
Символом (^) мы обозначили абстрактный интеграл в смысле Рима-
на; путь интегрирования проходит вдоль луча [0, К'], где К'— про-
произвольная точка плоскости Re X >¦ 0.
Тождество A7.9) легко можно проверить, если воспользоваться
бесконечной дифференцируемостью функции ехр f— ХН (h)] Qo,&

5 17 Евклидова S-матрица в конечном объеме 15&
и формулой Ньютона — Лейбница для абстрактных интегралов
Римана:
v
\ af [/(Щ dk=f(V) -/ @),
Оценим теперь величину остатка ряда Rh; очевидно, что норма
остатка не превосходит величины
IJdA,... J ?»,*+, | -maxHexpt— А.'//(Л)]//*+I (Л)Q0.ft ||. A7.10)
о о
Очевидна следующая оценка для второго сомножителя в A7.10):
max || ехр [- Х'Н (Л)] Hk+l (Л) Qo.» || <
< max ||ехр[-2ГЯ(/1)]Оо,П|1/2||Я2(*+1)(/1)Йо.б|Г2<
?.'6[0Л1
<C(A,)||//(fc)Q0>*||*+142(*+1)[2(* + 1)]!. A7.11)
Объединяя A7.10) и A7.11), мы приходим к результирующей
оценке
11 Rh |[ < С (К) | Я, Г1 [[ Я (fa) Qo,* l!*+1 ^УпУ1' 42A+1- A7-12>
оо
Последняя оценка позволяет трактовать весь ряд V — Нп (h)Qo,b
как асимптотический ряд для функции ехр [кН (h)] по,ь в смысле
сильной сходимости в Jf; точность асимптотического тейлоровского
разложения как раз и контролируется формулой A7.12). Заметим,
что нам удалось по существу усилить традиционную оценку тейло-
тейлоровских разложений, даваемую обычно с помощью остаточного
члена в форме Лагранжа, и заменить ее более точной оценкой
A7.12).
Таким образом, в настоящем параграфе показано, что уравнения
эволюционного типа для коэффициентных функций S-матрицы в
конечном объеме имеют единственное решение, которое представля-
представляется вектором A7.3). Ряд теории возмущений для матрицы рассея-
рассеяния является расходящимся асимптотическим рядом, остаток кото-
которого контролируется формулой A7.12).
17.4. Формула типа Фейнмана — Каца — Нельсона при х= °о
В настоящем разделе докажем справедливость равенства A7.2),
т. е. покажем, что при х -*- оо вектор F (h, к) сильно сходится к век-
вектору F (h). Доказательство основывается на применении формулы

160 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Фейнмана — Каца — Нельсона. При х< оо такая формула была
получена в § 16. Покажем теперь, что формула A6.21) справедлива
и при х = оо. Нам понадобится только случай п = 0.
Теорема 17.3. Для А >0 и 0 </i U) 6 С~, h{x) = %{_t/2ttmg {x),
справедлива формула
(Q0>b, ехр [- КН (h)] Qo>ft) = (Q6, exp [- tHk (g)] Qb). A7.13)
Прежде чем доказывать формулу A7.13), установим справедли-
справедливость следующей леммы.
Лемма 17.2. Для операторов Н (п, х) и Н (h) справедлив следую-
следующий аналог формулы Дюамеля:
ехр [— Ш (h, х)] Qo.fi = ехр\—Ш (Л)] Оо.ь +
+ [ ехр [— (t — u)H (h,«)] [Н (h) — Н {h, к)] -ехр [— иН (Л)] Q0.bdu.
A7.14)
Доказательстзо [147]. В силу теоремы A5.1) вектор
/Ч/) = ехр[—/tf(A,x)lQOfft A7-15)
является единственным решением уравнения
Пусть теперь
+ f du exp [— (t — u)H (h, x)] [H (h) — H (h, x)] exp [—uH (h)} Q0.b.
о
На основании теоремы A7.2) функция G (t) является дифферен-
дифференцируемой при t >¦ 0. Тогда легко проверить непосредственным вы-
вычислением, что
*°p G@) = Q0,b, t>0, A7.17)
т. е. G (t) удовлетворяет уравнению A7.16). Тогда из единственности
решения следует, что G (t) — F (t), что и доказывает справедливость
леммы.
Для доказательства теоремы 17.3 воспользуемся формулой A6.21)
при п = 0:
(Qo.fi, ехр [—M/(A,x)]Q0.ft) = (Qft, exp [-tHx(g,x)]Qb). A7.18)
В силу теоремы 14.8 (см. примечание 14.5) правая часть A7.18)
имеет предел при х->оо, который равен (Qb, ехр [—tHx{g)]Qb).

§ 17 Евклидова S-матрица в конечном объеме 161
Следовательно, для доказательства A7.13) достаточно показать,
что
(Q0.ft, ехр (— кН (h, х,] Qo>6) -> (Q0.b, exp [— КН (h)] QOjb). A7.19)
Положим для этого в формуле A7.14) t = k и домножим скалярно
A7.14) на вектор йо,ь- Тогда, учитывая, что операторы Н (к) и
H(h,y) коммутируют, и применяя неравенство Шварца, получим
| (Qo.ft, ехр (— кН (Л, х)] Q0.b) - (Q0.b. exp [— кН (Л)] Йо.*) I <
6|| X
х || ехр I — {к — u)H(h.x)\exp\uH(h)]Q0.b\\. A7.20)
Как видно из доказательства теоремы 17.1, величина
||ехр\—(к—и)Н(/г, х)]ехр[-иН(h)]Q0.ft||
равномерно ограничена по х при ^>0и0<; и<А,. Теперь на ос-
основании леммы 15.2 правая часть неравенства A7.20) стремится к
нулю, что и доказывает A7.19). Теорема доказана.
Используя A7.13), легко установить справедливость следующей
формулы:
(Оо.й, ехр [— К (И (Л, х) + Н (h)))Q0,b) =
= (Qb, exp[—/ («о + кН, (g, х) + кН, (g))\%). A7.21)
Докажем теперь равенства A7.2) и A7.3). Пользуясь формулами
A7.13), A7.18) и A7.21), запишем следующее равенство:
|| F (Л, x) — F Ш) ||2 = || [ехр (- кН (h, х)) - ехр (- кН (Л)I Q0,ft ||2 =
= (Qo.ft, |ехр (- кН (Л, х) - ехр (- W/ (ft))]2 Q0.ft) =
= (ilo,b, ехр (— 2кН (Л, х)) Йо.ь) + (Й0.й, ехр (— 2А,// (h)) Q0,b) —
— 2(Q0.ft,exp{—Я,[//(/1,х) + //(Л)]}Йо,*) =
= (Qb, exp {- t[H0 + 2Ш, (h, x)]}Qb) +
+ (Qb, exp {- / [Ho + 2%H, (h)]}Qb) -
— 2(Qb, exp{—t[H0 + кН, (Л, х) + ЛЯ7 (/i)]}Qb)- A7.22)
В силу примечания 14.5 (см. также [147], теорема 2.21)
(Qb, ехр {-1 [Но + 2КН, (Л, х)]} Qb) ->
-*» (Qb, exp {-1 [Ho + 2кН, {h)]}Qb),
П Д. Я. Петрина и яр.

162 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
0ь, ехр{- t[H0 + ХН, (й, х) + ХН, (h)]}Qb) ->
-> (Qb, exp {- / [//„ + 2ХН, (h)}} Qb)
при x—>- се.
Следовательно, при х -> оо левая часть равенства A7.22; стре-
стремится к нулю, что и доказывает A7.2) и A7.3).
17.5. Коэффициентные функции без импульсного обрезания
в модели Юкавы Y2
В теории возмущений коэффициентные функции матрицы рас-
рассеяния для взаимодействия Юкавы содержат ультрафиолетовые
расходимости даже в двумерном пространстве-времени. Для устра-
устранения этих расходимостей в лагранжиан взаимодействия вводятся
контрчлены A4.32). В настоящем параграфе мы докажем существо-
существование коэффициентных функций матрицы рассеяния при х= оо.
Более точно, покажем, что решение уравнения A5.29) имеет слабый
предел в пространстве $? [138]. Выделим в пространстве J? множе-
множество векторов вида
Ф = J dxx... dxnf(xlt...,xn) Q* (хг)... Q* (*„) Qo,
n = 0,1,2,..., A7.23)
причем
f (xL,... , xn) e C0TO (R2n), supp f с {(Xi,... , xn) | 0 < *, < .
Здесь Q*(x)—оператор одного из полей а+(х), Ф+(х) или ф+ (х).
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 17.4. Для множества векторов A7.23) и последователь-
последовательности коэффициентных функций A5.30) имеет место следующее
равенство:
Нт(Ф, F(h, x)) =
х-»00
= J dxx... dxj (xu ...,xn) (Q, exp f — (t - tn) H% (g)] x
Xo@,xn)...expl-(t2-t1)Hk(g)\o@,xl)exp\-(tl+t)Hk(g)}Q).
A7.24)
Чтобы доказать существование предела A7.24), сформулируем две
простые леммы, доказательство которых читатель может найти в мо-
монографии [91].
Лемма 17.3 (лемма 3.6 [91]). Пусть {Тп} — последовательность
равномерно ограниченных операторов. Тогда {Тп} слабо сходятся к

§ 17 Евклидова S-матрица в конечном объеме 163
Т (Тп -Д- Т), если {(Тпи, g)} сходятся к (Ти, g) для всех и, g из
некоторой плотной области векторов в Jf.
Лемма 17.4 (лемма 3.9 [91]). Если Тп^Т в X Sn^S в
$1 и Тп, Т, Sn, S — самосопряженные операторы, то Sn Tn -^ ST
в Ж-
Для доказательства теоремы 17.4 воспользуемся доказанным в
предыдущем параграфе равенством A6.21) и перепишем выражение
(ф, F (h, x)) в следующем виде:
= j dx, ... dxj {xx xn) (Qo, Q(QXl)... Q(Qxn)/(Л'х)Й0) =
= j dxx... dxj(*lt... xn) (Q, exp| — (/ — tn) Hx {g, x)] X
X о @, xn)... exp[— (/2 — tj) H% (g, x)] a @, xt) x
xexp[—(^+0Ях(г,х)]Й). е^=(-^,дг). A7.25)
Чтобы воспользоваться леммой 17.3, выберем вначале
g,x)]. A7.26)
Последовательность операторов A7.26) равномерно ограничена по х.
Это следует из неравенства [52, 60]
q>o(O,fl<CQnst.[tfx(g,x)+l]. A7.27)
Неравенство A7.27) в свою очередь является следствием теоремы
14.5 и неравенства
Фо @,/)< const- (N0+l).
Далее, так как
ехр [- (/, + *) Нх (g, х)] ^> ехр [- (t, + 0 Нх (g)]
(см. примечание 14.5), то (Т% и, g) -*¦ (Tug) для любого g из облас-
ти определения оператора a@,f). Тогда по условию леммы 17.3
Тх = о@, U) ехр [- (tx +1) Ht [g, x)] -Л
J^T = a@, h) expf- ft + 0 Hx (g)].
ll»

164 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Выберем теперь S в виде
Так как S^J^S = exp[— (t2 — tj Hi {g)], то по условию леммы 17.4
SJ* ^ST = exp [- (t2 - tj Hx (g)} a @, /) exp [- (t, + t) Hx (g)].
Дальнейшее доказательство выполняется по индукции. Выбираем
Т^ = а @, /2) exp [- (tt - tx) HK (g, х)] X
применяя лемму 17.3, докажем, что Т ЛГ; применяя к S Т
лемму 17.4, доказываем, что S T -^U-ST и т. д. Теорема дока-
зана.
Таким образом, мы доказали принципиальную возможность уст-
устранения ультрафиолетовых расходимостей в модели Y2 вне теории
возмущений. Однако вид производящего оператора Н (h), степени
которого порождали бы перенормированный ряд теории возму-
возмущений, установить не удается. Эта задача тесно связана с теори-
теорией перенормировок, которая не рассматривается в настоящей
монографии.
§ 18. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ
Теперь рассмотрим вопрос о поведении функции ехр [—%Н (h)],
Re % > 0, при h = h (x) -*¦ 1, т. е. при устремлении «объема» сис-
системы к бесконечности, в нашем случае это устремление происходит
весьма условным образом, так как обычно термин «объем» применя-
применяется для обозначения евклидовой меры носителя функции h (x).
Так как оператор Н {h) при h ->- 1 теряет математический смысл в
пространстве^, то и норма решения A7.3), очевидно, будет стре-
стремиться к бесконечности при h -> 1. Действительно, рассуждения,
проводимые на интуитивном уровне, показывают, что разложение в
ряд нормы || exp [%H (h)} QOtb || будет содержать члены, которые при
устремлении объема V, где, скажем, V = mes • supp h {x), к бес-
бесконечности становятся пропорциональными Vk, где k — связность
диаграммы. Поэтому важно установить вне рамок теории возму-
возмущений характер расходимости нормы решения A7.3).

§ 18 Термодинамические пределы 165
18.1. Скалярное взаимодействие
Рассмотрим выражение
(Qb, ехр [- k (Но + 21Н, (/2))] Qb), A8.1)
где
о
Воспользуемся теоремой 17.3, из которой следует равенство
(Qb, ехр [- /х (Яо + 2КН, (/2))] Qb) =
-•= (Q0.u, ехр [— 21Н (h)] Qo,&), A8.2)
где h — характеристическая функция прямоугольника [О, /J х [0, /2].
Пусть, далее, Е% (/2) — нижайшее изолированное собственное
значение полного гамильтониана Но + hHi A2). В работах [46, 47,
51] показано, что ?\ (/2) удовлетворяет следующему неравенству:
Опираясь на очевидную симметрию выражения A8.2) относи-
относительно замены /4 ->- /2 и результаты [46, 47], Гуэрра в работе [59]
установил существование и единственность предела
lim ^р- = Е%. A8.3)
Более того, благодаря наличию щели в спектре полного гамиль-
гамильтониана [46] существует предел
lim ±\n(Qb,expl-l1(H0 + lHl(l2))\Qb) = Ek(l2). A8.4)
Заметим теперь, что в силу самосопряженности оператора Н (К)
справедливо равенство
|| F || = (ехр [- W (h)) Qo.ft ехр[- КН (А)] по,ьI/'г =
= (Й0,й.ехр[— 2XH(h)]Q0,bf2. A8.5)
Комбинируя теперь формулы A8.3) — A8.5), легко установить
справедливость следующей теоремы.
Теорема 18.1. Для решения уравнения A1.17) с оператором A2.3)
имеет место следующий «термодинамический» предел:
lim lim -^ ln\\F\\ = ±-Е.Л,
1> !> V г

166 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Из теоремы 18.1 следует, что, например, для суммы вакуумных
вкладов Fo = (Q0,b. exp [—ХН (h)]Qo,b) справедливо аналогичное со-
соотношение
lim lim -jV 1п/?0 = ?х. Ь>0. A8.6)
Формула A8.6) является точным математическим выражением того
факта, что плотность энергии физического вакуума единственным
образом выражается через связную часть вакуумного вклада Fo =
= In Fo.
Как свидетельствует теорема 18.1, в решении уравнения нельзя
перейти непосредственно к бесконечному объему. В этой связи в
следующем параграфе нами будут изучены другие уравнения, не
эволюционного, а резольвентного типа: являющиеся эквивален-
эквивалентом вариационного принципа G.1). Мы построим решение таких
уравнений и покажем, что оно имеет слабый предел при h (х) —>- 1,
а ряд теории возмущений для них можно трактовать как асимпто-
асимптотический в слабом смысле.
18.2. Взаимодействие Юкавы
Для изучения поведения последовательности коэффициентных
функций при устремлении объема V к бесконечности (h (x) 1)
воспользуемся введенной в § 12 аппроксимацией A2.9)—A2.17).
Для простоты рассмотрим только выражение для всей совокупности
вакуумных вкладов:
Fo (V, х) = (Йо, ехр [- %Н (V, х)] й0) =
оо
„ (_ xfn r _
п=й
... :ФУ к(х2п)а3Фук(х2п)ау(х2Пу. Qo). A8.7)
Операторы фук(х) и фук(х) ограничены, а их нормы удов-
удовлетворяют следующим оценкам:
Поэтому из A8.7) следует, что
п=0

, (У, х) | < ехр (const • Щ- г? [G^ (О)]2 Y A8.9)
§ 18 Термодинамические пределы 167
Так как
то
Так как в экспоненте стоит строго положительная величина, то
lira 4- In I ^0 (У, х) | < const (x). A8.10)
Оценка A8.10) указывает на естественную для рядов теории воз-
возмущений расходимость при стремлении объема к бесконечности
[83, 84].
18.3. Формула Гелл-Манна—Лоу для функций Грина
в конечном объеме
В гл. I мы показали, что определения B.17) и C.15) для функ-
функций Грина эквивалентны в том смысле, что функции B.17) и C.18)
удовлетворяют одному и тому же уравнению C.11). Равенство вы-
выражений B.17) и C.18) называют формулой Гелл-Манна — Лоу
[28, 187]:
Q, Т (Фо (xj ... Фо (х )) ехр [- К С dx ;Ф40 (х). I Q
. Г[ехр[- X
В настоящем параграфе мы покажем, что соотношение A8.11)
имеет место для евклидовых функций Грина в конечном объеме.
Евклидовы функции Грина определяются через евклидовы опера-
операторы поля следующим выражением:
G(x1,...,xn\h) =
(QOift, a (*t) ... а (хп) ехр [- I [ dx :a* (x): h (x) \ QMj
' J , A8.12)
(Q0i6, ехр | - X J dx :a* (x): h (x)] Q0_b)
где h(x) = x\[_t/2t/2](xm)g(x{1)). Чтобы применить методы преды-
предыдущей главы, введем сглаженную функцию Грина
G (fi,/i;...;*„,/„ | А) =
= Ui(x1)...fn{xn)G{xl xn\h)dXl...dxn. A8.13)
J

168 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Используя равенство A6.21), получим
G(t1,f1-...;tn,U\h) =
(a0ft, a V ' М - а Vw U exP l~ x \ dx :a
^o.fe,exp[— л] dx:ai(x):h(x)\Q.()ib}
_ (Q6, exp [— (t — ln) H% (g)] ф @, / n). ..
~~ (fife, exp[-2///v(g)|Qu| X
... exp (— (*2 — fx) Я, (g)| ф @, /t) exp [— (tt + 0 Ях (g)]!
(Qb, exp [- 2iHx (g)\ Qb)
Представление A8.14) позволяет снять временное обрезание, т. е.
перейти к пределу Uoo в выражении A8.12). Действительно,
используя формулу A4.18), легко получить, что
limexpl—ШхE)]аь = Рв0ь = (аь,Фв)Фв. A8.15)
В силу условия A4.15) и равенства A8 15) в выражении A8.14)
можно совершить предельный переход t -*¦ °о, домножая предвари-
предварительно числитель и знаменатель на ехр [2tE (g)] и представляя чис-
числитель выражения A8.14) в виде
), A8.16)
где
А =* е-^% (О, /п). .. «,-<'.-'.>"*<*>$ (О, М е-н^.
Тогда в силу неравенства A7.27) [52, 60] оператор А является ог-
ограниченным и предел выражения A8.16) существует и равен
= (Ф,. Ф @, fn) ехр [-(/„- /„_,) Я^ (g)] Ф @, /„_,)...
). A8.17)
Впервые такое равенство было получено в работах [54, 61 ].
Отметим, что для взаимодействия Юкавы равенство A8.17) справед-
справедливо при достаточно малых значениях константы взаимодействия К
[138], так как при малых X вектор (Dg единственный (см. примеча-
примечание 14.2).

i Уравнения резольвентного типа 16S
§ 19. УРАВНЕНИЯ РЕЗОЛЬВЕНТНОГО ТИПА И СЛАБОЕ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ПРЕДЕЛЕ
БЕСКОНЕЧНОГО ОБЪЕМА
19.1. Некоторые предварительные построения
Рассмотрим последовательность
1, ...,/„) = ^ (/4). .. а+ (/„) Qo,ft. Fh) = (:a (/,)... a(fn):Qn.b, Fh),
где
a+(f)=\~f(k)a+(k)dk, A9.2)
h exp [- IH {h)\ Q0b
t = ^ последовательность коэффициентных функ-
функций, a Fl = (QOib, exp[—^//(/t)]Q0,ft) — сумма вакуумных петель.
Так как вектор а+ (/,)... а+ (/n) Qo.b 6 Jfn» T0 выражение A9.1)
описывает коэффициентные функции Fhn(klt... >kn), усредненные с
функциями
вакуумный вклад, как очевидно из A9.2), сокращен.
Будем предполагать далее, что }-, (k) является преобразованием
Фурье функций /; (х) ? С~ (/?2); отсюда автоматически следует, что
fi {Щ g ^2,Р- Можно рассматривать выражение FhN (Д,. . ., fN) как
непрерывный полилинейный ф> нкционал над пространством С~ (R2);
по теореме о ядре он может быть единственным образом расширен
до непрерывного функционала F% (fN) над пространством С~ (R2N),
причем
где
/„ Aц,... Лп)=П 1 /„
Более того, можно обобщить наши предыдущие построения, рас-
рассмотрев произвольный вектор f = @, ft, ..., /n, 0,.. .) ? j3o и образо-
образовав новый функционал
F" (/)=(/", F"). A9.4)
Используем определение A9.1) для построения уравнений ре-
резольвентного типа; эти уравнения помогут нам построить асимпто -

{70 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
тическое разложение при бесконечном объеме для функционала
A9.4).
Докажем следующую вспомогательную лемму.
Лемма 19.1. Для любых вещественных ft(x), h (х) ? С^ (R2)
справедливо следующее равенство:
(а+ (А)... а+ (/n) Go.», F") = — к (№fl (h) а+ (/2) ...а+ (/„) Q0.6, F\
A9.5)
где ваковский полином W,t(h) есть
W,t (h) = [a' (/,), Н (ЛI_ = W'fl {h).
Доказательство. Основная идея доказательства со-
состоит в непрерывном продолжении операции коммутации оператора
a-(ii) с ограниченными элементами линейной оболочки [eia{f>] = Со
до коммутирования этого оператора с присоединенным элементом
ехр [—ХН (h )]; всюду далее Re k > 0. Заметим, что такое коммути-
коммутирование может быть интерпретировано как операция «частного»
дифференцирования по «аргументу» /. Смысл последнего замеча-
замечания проясняется ниже.
Зафиксируем некоторый «элемент» /4 ? <?г.р> без ограничения
общности предположим, что 11/^11=1. Прежде всего отметим, что
la~(/i). <?m("]_ = i(ji,f)eia(}). Действительно, опираясь на замкну-
замкнутость операторов а~ (Д) и а (/), можно перейти к пределу в равен-
равенстве
[4| ^k
n=0 J 4=0
на D (a (/)) с J?. После этого остается продолжить по непрерывно-
непрерывности операцию коммутирования на все пространство jff.
Представим теперь множество Со в виде линейной оболочки
[eiaa(lt>; emi&)], где произвольные векторы g?J? ортогональны к /1#
Легко проверить, что справедлию следующее равенство:
A9.6)
(операторы а(Д) и a(g) «независимы»).
Пусть, далее, dfij и 2^ — мера и спектр алгебры ffi, генериро-
генерированной единственным оператором а (Д), a d|i' и 2j — мера и спектр
алгебры эт\ генерированной произвольными операторами a(g), g-Lfit
причем 3Ki <2) Л1', = Э1?. Тогда из A9.6) следует, что мера ф может
быть разложена (см., например, [208], § 7) в тензорное произведе-

§ 19 Уравнения резольвентного типа 171
ние d\i =s d\it ® d\x\, причем S = 2t x 2'( есть область задания та-
такого разложения. После этого все гильбертово пространство
??2B, d\i) может быть представлено как тензорное произведение
пространств ^(Sj.dm) и ^B',, сЦ):
B, d|i) = ^2 B„ dm) (8) ?8 B',, d^). A9.7)
Спроектируем оператор // (й) на 24 х 2'. Для этого выберем
произвольный ортонормированныи базис {et} (t=l,2, ...) в &;2,р,
причем потребуем, чтобы е4 ? Д. Разложим теперь ядро виковского
полинома Н (й), т. е. функцию 4 =
2п У k\ + /и2... 2я V k\ + от2
= да (й4,..,, й4), по базису {et}:
и выделим все члены, содержащие et == /(. Тогда оператор Н (h)
представится в виде
H(h)= ^ ^^
i, I, k=u h=0
A9.8)
Из представления A9.8) вытекает, что в ^2B,d|i.) оператор H(h)
эквивалентен умножению на функцию
4=0
причем ak (а) ? <?z B, d\i), a pk (а') ? ??2 B^, dfx'j). Аналогичное пред-
представление получает и оператор Wt, (h), указанный в начале леммы:
он эквивалентен
^-Чо) Ph(o").
Введем теперь аппроксимацию функции f) некоторыми функция-
функциями тп,,л ? С:
т(,„ = 2^И^.„(ст'), A9.9)
причем

172 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Более того, потребуем, чтобы для произвольного р и / ? ??р B, d\i)
s-hm cff = akf, A9.10)
s-lim [a~, c*\J = to*-'/, a = a(a). A9.11)
Возможность такого выбора будет доказана ниже.
Из определения A9.9) следует, что в тензорном произведении
A9.6) имеет место последовательная сходимость:
s-lim m(.J = m,,/, A9.12a)
f-»oo
s-lim mra/= ?)/, A9.126)
s-lim [а-, т(.„1_/ = [a-, mn]_/, A9.12b)
s-lim [a-, mj_/=№,,/• A9.12r)
Действительно, проверим, например, предел A9.12а):
II т„/ - mt
fe=0
; (a',) | d\ (a) pkn (a')-a* (a) ^(a) |2 | / (a, a')
max pk n (a') || c\f - а*/ ||=я У || с»/ - a*/1| ^ 0;
сходимость к нулю следует из A9.10). Остальные пределы A9.12)
проверяются аналогичным образом.
Теперь докажем, что ехр(—^т(,„) аппроксимирует в сильном
смысле ехр(—Щ). Для этого прежде всего заметим, что для лю-
любого фиксированного п. и Re^>0 функция ехр(—Ят/,„) ограни-
ограничена на 2 равномерно по /. Это следует из того, что ГП(,„ — чет-
четные полиномы (степени 4) по ct и, кроме того, старший коэффици-
коэффициент /?4 t постоянен, а остальные ограничены числом п. Отсюда
следует, что
s-lim exp(— Хт,,„)
1
С другой стороны, как следует из определения A9.9), функция
ехр(—imn) стремится поточечно на 2 к ехр(—Щ и ограничена
суммируемой функцией, поэтому
s-lim ехр (— Хтп) == ехр (— Щ.

§ 19 Уравнения резольвентного типа 173
Завершим теперь доказательство леммы. Рассмотрим случай, когда
в A9.5) п= 1; так как xtii,n ограничены, по непрерывности ска-
скалярного произведения имеем
(а+ (ft)Qo.b exp (— \mt,n) Q0,b) =
== —A,([a-(/,), m,,nJ_Q0,ft,exp(—/.т,,„)йо.й)- A9.13)
Так как сходимость в строгом смысле в ??2 B, d\i) эквивалентна
сходимости операторов в Jg на векторе QOift, то из равенств A9.12)
мы можем сначала достигнуть предела по / ->оо, а затем поп->-оо.
Доказательство при п> 1 аналогично; здесь следует лишь до-
добавить, что вектор а+ (/2) . .. а+ (/„) Q0,j эквивалентен некоторому
f?t?p B, ф.). Лемма доказана.
Обоснуем теперь возможность построения последовательностей
<19.10), A9.11).
Лемма 19.2. Для того чтобы при произвольном /6??pB, d\i)
(р — любое)
s-\\mck.f = akf,
s-1 im [a~, tf]_f = kak~lf, a = a (a),
необходимо выполнение условия
s-\imci(f) — t
в смысле пространства Соболева Wf+l(da, Rl), t^R1.
11оказательство. Прежде всего заметим, что подалгебра
JRi генерируема единственным существенно самосопряженным one
ратором a(fi), поэтому пространство ??2Bi. d^i) унитарно эквива-
эквивалентно пространству ^2(^i'^CTi)> гДе ^ст) (t) = d(uOtb, EtQ0.b)', Et —
спектральная функция оператора a(/i).
Далее, заметим, что на линейной оболочке Ci = [eiaa{f)] опера-
операция [a~(fi), •] унитарно эквивалентна дифференцированию:
= f
0 т, @ -^- т2 (/).
Поэтому условия s-limc;=a и s-lim[a~, cj = 1 эквивалентны ус-
ловиям s-\\mci(t) = t и s-lim-я-С|(/)= 1 в ^2(^i> ^CTi)- Послед-
ние два предела есть не что иное, как требование сильной сходи-

174 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
мости в пространстве Соболева W\{Ri,dai). Итак, случай ^=1, (=\
очевиден.
Рассмотрим случай k — 2, /=1:
'К~
с\ ~
4 A9.14)
+1|2(сг — 0\\s {R do ,.
A9.15)
Так как ||c, — ^ll2.2,«i>dOi)<llc( — ^ Hl^w,.^ (MePa d(Ji нормирова-
нормирована), то, чтобы A9.14) и A9.15) стремились одновременно к нулю,
необходимо потребовать, чтобы c{(t)->t в W\(Rit da^. Рассуждая
по индукции, можно доказать, что для выполнения условий A9.10)—
A9.11) без вектора / необходимо, чтобы s-\imcl(t) = t в W2.(Rt,da).
'-»оо
Присутствие вектора / не вносит дополнительных осложнений.
Действительно, так как
II/(«?-а*) !!<?,«.«*.<
< II / ilav^iM II cf - ak H^4(x.rfw = ^onst. Ц с* — ^ l|^(r,d(l),
то достаточно потребовать сходимость в H^(/?l7 da). Лемма доказана.
19.2. Уравнения резольвентного типа в слабой форме [77]
Приступим теперь на основании леммы A9.1) к построению урав-
уравнений резольвентного типа. Преобразуем правую часть равенства
A9.5), фигурирующего в лемме, следующим образом:
=- 4-2 (WuWа+ м ¦ • ¦ °+ м ¦ ¦ ¦а+ (/«) Q°-6'ph)=
¦X

Уравнения резольвентного типа 1/5
X \аг (— К) а+ (/,)]_ : a (kt)... а (Л,):
а+ (А)... а
.X
X : a
= — Л(Л*(Л) a+ (A)... a+ (fn)Q0,6,
= — Л, (a+ (Д)... a+ (/„) Qo.*, Л (Л) А A9.16)
Определение оператора A(h) очевидно из последнего равенства:
a (h)=4лг' г dki... dh —рть±^-±ж^ х
X а+ (*!): а(^)... a (ft,): = W~l j а+ (а:) : аЦх): А (х) dx,
где /V — оператор числа частиц; оператор $~' хорошо определен,
так как область значений оператора A(h) ортогональна к Qo,<,.
Расширим теперь по непрерывности A9.16) на все пространство
Со00 (R2n) (оператор A* (h), очевидно, ограничен в X», которое со-
содержит С" (R2") в качестве своего плотного подмножества):
(/", F") = — \{A*{h)fn,Fb), «=1,2,... A9.17)
Представим вектор F в виде
и опустим штрих. Учитывая, что вектор / ортогонален к Qo,6, и
объединяя все уравнения A9.17), получим
(/, F*) = - Я (А* (Л) A F") + (А /?0А),
где F№ = — ХА (Л) Qo,*-
Перейдем от оператора Д*(/г) к оператору Л*(А) по следующе-
следующему правилу:
A*(h))=(A*(h)f),

J76 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
где знаком ~ отмечено преобразование A9.3); окончательно, учи-
учитывая определения A9.4), получим*)
A9.18)
Уравнения A9.18) назовем уравнениями резольвентного типа в сла-
слабой форме.
Из самого построения этих уравнений следует, что функция
«хр [- W (ЛI аоь
^ — , свободная от вакуумных вкладов, является ре-
'ч
шением уравнения A9.18). В этом решении как раз и следует со-
совершить предельный переход при h-*-l, чему мы и посвятим og-
тавшуюся часть параграфа.
19.3. Коэффициентные функции при бесконечном объеме
Рассмотрим вопрос о построении степенного разложения после-
последовательности коэффициентных функций Fh (/) при бесконечном объ-
объеме. Для этого построим п-ю итерацию уравнения
F" (f) = 2 (— M"Fa" (A** (h) I) + (— X)n+[Fn (A*'+l (h) f) A9.19)
« наследуем первые п членов разложения.
По определению F06 мы имеем
Fол (>* (h) f) = И** (h) f, /=*) - (}, 4k+l (h) Q0,ft). A9.20)
Для простоты выберем последовательность /, которая состоит из
единственной компоненты /v. В этом случае билинейная форма
A9.20) может быть представлена в следующем виде:
го},*1 (/") = (/"> A^
= J dxt... dxNh(Xi). . .h(xN) Ftf+l) (xu . . .,xM)}N(xit.. .,xN). i 19.21)
Напомним, что коэффициентная функция /7$~И)(д;1, ..., xN) представ-
представляется в виде сумм всех диаграмм Фейнмана с Af внешними линиями
(к. + 1)-го порядка без вакуумных множителей. Так как евклидов
пропагатор G (х), образующий такие диаграммы, строго положите-
положителен, а каждая диаграмма входит с одинаковым знаком, то
Р{ы+1) (*!, ..., Хм) гакже строго положительна. Аналогичное свой-
свойство мы предположим для сглаживающей функции fN (xlt ...,xN),
*) Подобные уравнения были выведены недавнов работе [ 196] на осьове
¦представления коэффициентных функций в виде математического ожидания
ют гауссовского случайного поля.

§ 19 Уравнения резольвентного типа 177
в противном случае нам придется рассмотреть отдельно ее поло-
положительную и отрицательную части. Далее, так как 0 < h (х) < 1,
supp h {х) с: V, то билинейные формы A9.21) образуют монотонно
возрастающую последовательность, зависящую от h. Рассмотрим
предельную форму to[k) (fN). Подробный анализ, который будет за-
завершен в следующей главе, приведет нас к тому, что форму ш<*>
можно будет представить в следующем виде:
to* (Л = $ 1N (ku ...,kN) W (Ь, ...,kN)dk{... dkN,
где Fffl {k{,... ,kN) — преобразование Фурье функции FkN{x{,... ,xN).
Оно имеет вид
где коэффициенты fn—связные части фейнмановских диаграмм
квадратично интегрируемы на гиперповерхностях Qn= (kit-\-...
... + kln= 0). Легко подсчитать, что (см. следующую главу)
X | fn. (k k]n ) |2У7 ( dki... dkN
так как fN (kit... ,kN) является преобразованием Фурье функции из
Со° (R2N). Итак, справедлив предел
Umtotf)(fN) = tv\k)(fN)<°°- A9-22)
/г->1
Обратимся теперь к самому функционалу Fh lfN) и положим
N N
f = ® ft. Следуя работе [53], сформулируем основную теорему
г=1
сходимости для функций Fh {f) = Fh (/,,..., fN). Пусть A {hit h2) =
= {x\hi(x)^h2(x)} и supp2/w — наименьшее замкнутое множество
К с R2 такое- что (<g) K)N =э supp f. Справедлива следующая тео-
теорема.
12 Д. Я. Петрина и др.

178 Коэффициентные функции в конечном объеме Гл. V
Теорема 19.1. Пусть X/\i2 достаточно мало и d=dist(A(hi,h2),
supp2fN). Тогда найдется константа /п1>0, не зависящая от
hi, h2, fN, такая, что
IF (fn • • • , fN) — F{h fN)\ — 0 (e~m*d). A9.23)
Сходимость равномерна по hi и h2.
Доказательство. Обозначим Ah(x) = hi (x)—Л2(х), Т0ГДа
l
r 4u-yJN) — r ()i,...,tN)=^da-^tN (tu...,tN) =
о
(QOtb,: a (/x) ...a(fN):H (AA) exp {— XH (A2 + aAA)] Qob)
!Ojb : a (/i) ...a(fN): exp [- XH (A2 + aAA)] QOfb)
X
(Q0>6, exp [- U/ (A, + ,
{QOtb.H (AA) exp [- >.W (A, + «ДА)] Й0>г>)
[Qob,exp\- W (h2 + oiAh)]Q0ib)
¦]. A9.24)
Используя A9.24), легко видеть, что равенство A9.23)*следует
из теоремы о кластерном разложении функций Грина [53] (мы при-
приводим ее без доказательства).
Теорема 19.2. Пусть Qt и Q2 — сглаженные полиномы по евкли-
евклидовым полям а (х), локализованные соответственно в областях Q4 и
Q2 cz R2. Пусть d = dist (supp Qb supp Q2). Тогда найдется кон-
константа mi > 0, не зависящая от Qlt Q%, такая, что
(Qo b, exp (— kH (A)] Qo b)
(Q0.ft,Qi exp 1- Ш (A)] QOi>) (QQbQ, ехр[-Ш (ft)] QOft) = Q d
A9.25)
Теорема 19.2 утверждает, что последовательность Fh (fN) фун-
фундаментальна и, следовательно, сходится. Отсюда следует, что
если последовательность / = {fN}i0 конечна, то сходится и весь
функционал Fh (/). Теперь перейдем к пределу в
F (f) = У ^01 Й** A) Л + /?i (А ^). A9.26)

§ 19 Уравнения резольвентного типа 179
Так как функция F (/) = F (/; к) бесконечно дифференцируема по
к [63], то, используя теорему о единственности тейлоровского
разложения для бесконечно дифференцируемых функций, из A9.26)
получаем, что
причем остаток ряда контролируется известной формулой Лагранжа
где [О, VI — интервал бесконечной дифференцируемости.
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 19.3. Пусть f={fN}!°, fN=® ft и Fft(/) — функционал,
определенный в A9.4). Тогда предельный функционал F (f)=F (к; f)
при h ->-1 существует, и разлагается в слабый асимптотический
ряд Тейлора.
В заключение настоящей главы отметим, что переход к пределу
h ->- 1 в модели со взаимодействием Юкавы выполнить не удается.
Эта модель исследовалась в ряде работ [7, 100, 101, 152—154, 205].
В работах [83, 84, 87, 101, 154, 205] были получены оценки, устанав-
устанавливающие зависимость функций Грина этой модели от объемного
обрезания. В работах [7, 10] была доказана сходимость рядов тео-
теории возмущений при бесконечном объеме с введенным ультрафио-
ультрафиолетовым обрезанием.

Глава VI
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ ОБЪЕМЕ
В предыдущих главах исследовались уравнения для коэффици-
коэффициентных функций при конечном объеме и в полученных решениях
объем устремлялся к бесконечности. Возможен и другой подход
[81, 129] — сразу иметь дело с уравнениями при бесконечном объе-
объеме, придать им математический смысл и затем исследовать вопрос
о существовании решений.
В настоящей главе уравнения для коэффициентных функций ис-
исследуются при бесконечном объеме в пространствах трансляцион-
но-инвариантных функций. Исследована структура производящего
оператора в уравнениях резольвентного и эволюционного типов.
Решено одно аппроксимированное уравнение.
§ 20. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ ФУНКЦИЙ
20.1. Пространства й#,0
Рассмотрим линейное пространство трансляционно-инвариантных
функций fn (*!, ...,xn) = fn(xl+a,...,xn + a), xt, a ? Rd, i= 1,...
, п. Функции fn зависят от (п — 1)-й независимой разностной
переменной ^ = xtl — xin,...,|rt_1 = xln_l — xin (мы используем
обозначение ? независимо от выбора разностей переменных х).
Введем скалярное произведение, задаваемое билинейной формой
(L, gn) = J <$к ¦ ¦ • ^_,k(Ei,....^-i) gn (?i, ••.. §*_,). B0.1)
и соответствующее гильбертово пространство й„= ® (<?2(Ra)f~l с
нормой \\ln\\ = (fn, fn)l/2, которая определяется скалярным произве-
произведением B0.1). Отметим, что на рассматриваемом классе функций
скалярное произведение B0.1) может быть задано эквивалентным
образом с помощью формулы
(/», gn) = Jim fjjy f dXi... dxjn(xv...,xn) gn (xv ..., xn), B0.2)
где V — компакт в Rd и | V \= mes V; мы будем рассматривать оп-
определения B0.1) или B0.2) в зависимости от удобства.

§ 20 Трансляционно-инвариантные функции 181
Определим скалярное произведение B0.1) унитарно эквивалент-
эквивалентным образом. Для этого рассмотрим преобразование Фурье в смыеле
обобщенных функций, для удобства множитель Bn)~nd/2 будет
фигурировать как в прямом, так и в обратном преобразовании
Фурье. Тогда
L (А,- - •, А.) = Bя)"/2 б(Рл + ... + рп) fn(pv..., рп_х),
где Гп (...) является преобразованием Фурье от fn (|ь ..., ?«_i).
Вместо функции f'n (...), зависящей от (и — 1)-й переменной, мы
будем рассматривать функции от п переменных fn(Pi, ..., рп), «о-
ередоточенные на гиперплоскостях
Й„ — {рг | рх + • - - + Рп = 0} и определяемые формулами
f'n (А. • • ¦ • Рп-\) = fn (A. ¦ • • • Рп) IДгЬ. ,+Pn=0,
B0.3)
7n(Pi Pn) =
Тогда в импульсном пространстве скалярное произведение B0.1)
запишется следующим образом:
(/п. gn) = (/»> ^п) = t dpx... dpn_J'n
= \jdp1... dpj> (Pi + ... + pn) fn(Pl pn)gn (plt ...,pn) =
= j dpx... dpjn{pl,...,pn) gn (Pl pn). B0.4)
Следуя работе [125], мы рассмотрим обобщение пространетва hu.
Пусть ak будет разбиением множества переменных {N} = {хх,...
..., xN} (или, эквивалентно, множества {р1 pN}) на некоторые
k подмножеств {щ} = {x?l>.... xirli},.. ., {nk} = {хи,.... xjn^. Мно-
Множества {rtj},. . ., {nh} мы будем называть связными частями разбие-
разбиения oh множества {Af} и изображать графически эту ситуацию еле-
дующим образом:
Q Q Q B0.5)
Сопоставим теперь каждому разбиению ofe множеетва {Л^} тензор-
тензорное произведение гильбертовых пространств hn, описанных выше:

182 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
(первый индекс указывает число переменных разбиваемого множе-
множества второй — епецифическую форму разбиения). Элементами про-
пространства hj/,ak являются функции вида
п„
"•' XU' •••
Функции fN.n n (...) являются трансляционро-инвариантными
по каждому из наборов переменных {«i},..., {nh}. Скалярное про-
произведение двух элементов fNak, gN_Ok^^N,ak определяется следу-
следующей формулой:
Х ^V;nx,...,nfc ^Чг • ¦• ' *1л,-1» • • • • */
Х
7J5- J ^i• • • ^«Wft^'---'*^^.^(;Cl'• ¦ • • Xn1 B0-6)
В импульсном пространстве функции h.N,ak квадратично интегри-
интегрируемы на гиперповерхностях Q% П • • • Л ^щ, ¦
Т
20.2. Ортогональность пространств hN,a
Покажем, что функции fN a и gN j, соответствующие двум
различным разбиениям множества {#} на k подмножеств, линейно
независимы; продемонстрируем это на преобразованиях Фурье.
Действительно, предположим, что fN -\- gN а> = 0. Тогда очевид-
но, что вне пересечения носителей обобщенных функций fN д и
gN a' регулярные коэффициенты при них равны нулю. С другой
стороны, пересечение носителей является многообразием низшей
размерности и поэтому имеет меру нуль по отношению к носите-
носителям обоих членов, так что мы можем положить fN a (...) —
= gN a> (...) = 0. Отметим, что линейная независимость имеет
k
весьма простую причину и проистекает из-за того, что функции
fN о (• •> и 8ц о (• • •) зависят в координатном представлении от
различных переме'нных.

§ 20 Трансляционно-инвариантные функции 183
7* Т
Более того, очевидно, что если tNa ?/1л/,од, и gN o> ?/i#,o' . то
они ортогональны в смысле скалярного произведения B0.6). Дей-
Действительно, возьмем функции fN (...) и gN > (...) финитными по
их разностным переменным и положим, что разбиения ok{N} и
а'к{Щ различаются по всем их связным компонентам. Тогда оче-
очевидно, что функция fN a -gN a, = eNa соответствует тождествен-
ному разбиению, т. е. зависит от (N—1)-й разностной перемен-
переменной; таким образом, мы получаем
Так как предел интеграла в B0.7) существует, все выражение
в целом оказывается равным нулю. Более того, используя непре-
непрерывность скалярного произведения, мы можем установить ортого-
ортогональность любых функций из /ijv,a/e и hJ]iO'. В случае, когда функ-
функции fN а и gN о' имеют р <z к — 1 независимых разностных ком-
компонент, доказательство их ортогональности аналогично,
20.3. Определение пространств hT
Рассмотрим теперь линейную оболочку [/W,oJ для фиксирован-
фиксированного k, причем предполагается, что ah произвольно. Ортогональ-
Ортогональность функций, которые соответствуют различным разбиениям,
позволяет нам ввести топологию прямой суммы, используя скаляр-
скалярное произведение B0.6). Гильбертово пространство hTNtk, образован-
образованное в результате этого, содержит вышеописанные пространства
hTN o как свои ортогональные подпространства:
7* Т
°*
Более того, заметим, что функции fN а и gN о<, принадлежа-
щие разбиению множества {N} на различное число подмножеств,
зависят вообще от различного числа переменных g. Таким образом,
можно сконструировать гильбертово пространство hli, содержащее,

184 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
как свои ортогональные подпространства, пространства hrN,k, т. е.
hN= 0 V*= Ф (Ф h-N.Ok) = ®h'NrO.
Наконец, следуя конструкции пространства Фока, мы объеди-
объединим все yV-частичные пространства в ортогональную сумму
hT= e hi.
Элементами пространства hT являются последовательности / =
=={/лД^=ь fit^hl; каждый элемент такой последовательности fN
является линейной комбинацией функций f N о, которые соответст-
соответствуют различным разбиениям множества {N}. Скалярное произведе-
произведение в hT задается формулой
2 B(W^.a*>))- <20-8>
§ 21. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ОПЕРАТОР УРАВНЕНИЙ
РЕЗОЛЬВЕНТНОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВЕ Нт
21.1. Постановка задачи
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений резольвентного ти-
типа при бесконечном объеме. Выполним прежде всего в уравнениях
подстановку, которая сводится к новой нормировке коэффициентных
функций:
m yg 1 T F*. B1.1)
Для новой последовательности F = {3^n}n=\ уравнение A1.14)
слегка видоизменяется:
F = — 4V3XAF+F°> B1.2)
где
A=2 3^80s-^62sW2+s,2_s, B1.3)
s=—1
8U — симюл Кронекера. Операторы U72+s,2^s действуют следую-
следующим образом:
2—s

§ 21 Уравнения резольвентного типа в пространстве h 185-
Bя)* б (р + . .. + р - А, - . . . - k2_s)
2я Кр^ + U2.. . 2я К&|_, + М-2
X #"w-2s (&1> • • • . &2-S. Pi,- ¦ ¦, Рк, • • ¦ , Pi2+S, • • • , Рд,),
/fe = (?A),?B>), p = tfl>,p<\ d = 2. B1.4)
Рассмотрим уравнения B1.2) в пространстве ftr. В настоящем
параграфе мы прежде всего установим, что формальные отображе-
отображения ^2+s,2—s и, следовательно, вся матрица А могут быть интер-
интерпретированы как оператор в пространстве hT с плотной областью оп-
определения D (А) = hT. Более того, так как F° ? hT, то все уравне-
уравнение B1.2) может рассматриваться как абстрактное уравнение ре-
резольвентного типа.
Проследим прежде всего, как действуют отображения W2+Si2-s.
на элементы пространства hT. Так, например, для N-u компонен-
компоненты мы имеем
(W2+s,2-sf)N(Pv.,PN) =
_ 1 V(N— 2s— 1I
2—s
X ——¦ X
2я у p? + u2 ... 2л К ft?
При p[=k1,..., p'2_$ = k2-s, P'2_s+i = Pi, . • • , p'N_2s = PN P
..., p. j_s выброшены в сумме
k
Если в B1.5) устранить интегрирования по имеющимся 6-функ-
циям, то элемент (H72+s2_s/)wприобретает алгебраическую структу-
структуру, свойственную элементам пространства h . Нам лишь толь-
только остается доказать, что регулярные коэффициенты, возникшие
вновь при соответствующих б-функциях, имеют требуемое свойства
квадратичной интегрируемости, т. е. что (Af)N 6 hj]. В этом случае
оператор окажется заданным во всем пространстве h , по крайней

186 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
мере на множестве конечных последовательностей f = {fN}^«=l; No
произвольно. Более строгое утверждение будет установлено нами
ниже.
21.2. Алгебраическая структура оператора А
Рассмотрим теперь алгебраическую структуру оператора Л.
Обозначим через tt72+Si2_s(Af) сужение оператора tt72i-s,2_s на под-
подпространство /iw_2s, т. е.
Отсюда можно легко заключить, что
№2+s>2_s = ^ W2+s,2_« (N). B1.6)
N
Теперь введем более детализированные обозначения. Для этого за-
зафиксируем в каждом из выражений суммы B1.4) первые индексы из
тех, по которым распространяется суммирование. Для члена при
s = 2 мы положим it = 1, ..., t4 = 4, для члена с s = 1 соответ-
соответственно зафиксируем индексы суммирования на значениях t4 =
= 1 i3 = 3 и далее аналогично. Операторы W2+s,2-s (N) с
фиксированными значениями индексов мы обозначим малыми бук-
буквами Гог+sz-s (N)- При этом, очевидно,
W2+S>2_s (N) = symm ro2+s,2_s (tf), B1.7)
где знаком (s) обозначается, что симметризация производится по
числу индексов 2 + s.
Далее введем оператор го2, s 2_s (N, а), который определяется как
сужение оператора ГО2+5 2_v (ЛО на подпространство /ijv_2s>o прост-
пространства hjf-2s-
Рассмотрим теперь операторы го более подробно.
s = — 1, оператор rt>i,3(W). Так как интегральный оператор,
который входит в матрицу ГО1,з(Л0, имеет три переменных интег-
интегрирования kv /г2 и k3, то для его сужений на подпространства
hl/-2s,a можно выделить три характерных случая, т. е. три харак-
характерных класса разбиений:
а) все три переменные интегрирования kv k2, k3 принадлежат
одной связной компоненте — этот класс разбиений мы обозначим
через Oj* 3;
б) две из переменных kv k2, k3 принадлежат одной связной
компоненте, а третья другой — класс разбиений а{-2;
в) все переменные kly k2, k3 принадлежат различным связным
компонентам — класс разбиений о!*!'1.

Уравнения резольвентного типа в пространстве
187
Графически эти ситуации можно изобразить следующим образом:
ft,
B1.8а)
B1.86)
B1.8в)
Обозначим теперь через ©з 3, &\\, со}''-1 интегральные операто-
операторы, которые содержатся в круглых скобках B1.8); они действуют
по следующему правилу:
а) eof^Ax^A,,^;
б) »jj:\®/4-^ni+n,_2; B1.9)
в) *>{;'•': \® Л„,® ЛП1->ЛЯ1+П>+В1_2.
Для ясности мы выпишем яьный аналитический вид перечисленных
операторов:
///>/>/>*-) ft \
п \ 1* 2) 3' f2' * * *J г r\ 9/'
B1.10а)
-J
dkldk2dk3
2я 1^'
x
,-2>' B1Л0б>

188
Коэффициентные функции при бесконечном объеме
Гл. VI
= f dkldk2dk3
X
ni+X.-. P,,1+n,-V k3> Pn1+n,
B1.10b)
Объединяя все три случая вместе, мы приходим к следующему
представлению для оператора tDi,3(Af):
причем
1,3
o = 3; 1,2; 1,1,1.
Рассмотрим теперь оператор tt>2,2-
s = 0, оператор tt>2,2(W). Здесь могут представиться только два
характерных случая:
а) обе переменные интегрирования k^ и k2 лежат в одной связ-
связной компоненте — класс разбиений а\ 2;
б) переменные интегрирования kx и k2 лежат в различных связ-
связных компонентах — класс разбиений а22.
Графически эта ситуация выглядит так:
B1.13а)
пз) • • • ( % ) .
B1.136)
Интегральные операторы ш|>2 и со2;' определяются как отобра-
отображения:
б) ^-К^К^К+п,-

21 Уравнения резольвентного типа в пространстве h 189
Аналитическая форма этих операторов имеет следующий вид:
(*,,,, BяJб (р. + р2 — К — k2) 7 ,и и ч
J 2 2nVp\ Ч-М'2-. -2яVk\ + ц2 "" "' '
x 7nt.n,{ki>p» /»„,•• *s.pni+i« ••-/',„+„,)• B1-146)
Итак, для оператора №2,2^) мы можем написать представление
№2_2(Л0 = №2,2(Л^ау + №2>2(Л?,а':1), B1.15)
причем
а
2,2
а = 2; 1,1.
в=1, оператор ttK.i(-W)- В этом случае единственная перемен-
переменная интегрирования kx может принадлежать единственной связной
компоненте — класс разбиений а' 1^о; графически:
B1.17)
Этому случаю соответствует интегральный оператор а>3,ь Действ)»
ющий так:
его аналитическая форма имеет вид
=\>
№д1(Л/).— -i. у w-*>- V(l<g>. igfflo^i» ..01). B1.18)

190 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
s = 2, оператор Го4,о (-W). В этом случае интегрирования вообще
отсутствуют и возможна единственная ситуация
*л), B1-19)
которой соответствует оператор
Он действует по формуле
2я
причем
На этом мы заканчиваем классификацию всех возможных суже-
сужений оператора Wix s,2-s{N). Если объединить формулы B1.3), B1.6),
B1.7), B1.11), B1.15), B1.18), B1.21), то мы придем к заключению,
что алгебраическая структура оператора А в пространстве hT та-
такова:
А = 2 Symm (№1.з(^- aD + «1,з W, oj-j) +
+ »1>3 W а1:^)) + 3'/2 2 ^mm (№2.2 (^2.2) + «2.2 W, ОМ)) +
Л? @)
+ У symm ш3|1 (ЛО + 3/2 ^ symm Ш4>0(Л^). B1.22)
21.3. Область определения оператора А
Приступим теперь к изучению области определения оператора А.
Справедлива следующая предварительная лемма.
Лемма 21.1. Операторы co2+s,2-s ограничены как отображения
из /in_2s в hn.
Доказательство будет проведено нами для типичных случаев:
1) <3; 2) coj.j; 3) ю4.0.

Уравнения резольвентного типа в пространстве А
191
1) Вспомним определение B0.3), связывающее функции /„(. ..)
и /п(---)> и преобразуем B1.10а) следующим образом:
2яУ р
X
X Bл) б (Л, + ...
Bя) б (Pl + . .. + р ) С dk.dk,
X
X fnj (*i, ^, Pi — fei — fe2, P2. • • •• PBl_2
Согласно определению нормы в пространстве /iBl — 2 находим
IP =
X
X
Bя)"
У p'f + м-2... V (р, - к - К? + м-2
X
X L (К, к,, р, — fej — К Рг> ¦ ¦ •• Pn,-i
'. B1.23)
Применяя в B1.23) неравенство Шварца по переменным /г,, /г2>
получаем
°1 ¦ ¦ ¦ dP _2 | \ dk\dK
(P,2
- A, -
X
x J dkxdk2 |/Bi (*lt /г2, Pj — /г, —
rnaxl \ dk'.dk'
Bя)
x
X
••'/V2)l2-
B1.24)
Заменим теперь в B1.24) переменные следующим образом: ?i=<7i>
К = Яг> Pi — k\ — k2 = 9з, Р2 = 94> • • • > Р„,_2 =Яп,' в этом слУчае

192 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
область интегрирования будет просто заменена на Qn<. Принимая во
внимание, что max достигается в точке рх = 0, окончательно по-
лучим
где
\I/2
С3 _ JM- ( Г dktdk2 5 5 " V
• i* U №2 + и2) (*2 + M'2) № + fe2J + nal /
2) По аналогии с предыдущим пунктом вынесем б-функцию
из-под знака интеграла в B1.106) и используем определение нор-
р (
мы в h у тогда получим
SLWJI1-8 f dPl...dPnt+ni_
2x
йл,+л,-2
X I \ dfe, Z2^ X
Kpf + i*» VЧ + и2 У (*, + p2 + •. + P4t_,J + ц2
С
'2— • •• — Pnj-i>p2.
' Pnt+n2—2< Рпт,' • • •» Р/
<nuaf-!rfdfeH ^^ ) f 4ft...
— ft — • • • — Pni-V ft' • •
г-2) I2-
Так как подынтегральное выражение в B1.26) не зависит от
рг, интегрирование по рх может быть снято. После этого произве-
произведем следующую замену переменных: kx= qv р2 = q2,. .., р х =
¦¦=qn_l,pn —q'v..., и заметим, что интеграция в B1.26) происхо-
происходит по переменным двух типов q и q' вдоль гиперплоскости
ОП1 П &пг- Окончательно получим
где
/~i,2_ BяГ2 /г ' хт

§ 21 Уравнения резольвентного типа в пространстве h ]93
3) Непосредственно из определений B1.20) и нормы в hk®hn
легко получить, что
a,
Аналогичным образом можем подсчитать и нормы других ин-
интегральных операторов со:
и ;.1-1II _—- r\.i.i _ <2лJ
B1.27)
,.1,1 и ^ г\,\ Г\Л
|| «2.2 || ^. ^2,2 == С--1.3-
Оценки типа тех, которые сделаны в § 17, показывают, что вышепри-
вышеприведенные константы конечны. Лемма доказана.
Лемма 21.2. Операторы №2-j-s,2-< (N) N~l равномерно ограни-
ограничены по N.
Доказательство будет продемонстрировано нами на примере
оператора W\,-.i (N). Принимая во внимание B1.7) и B1.11), получим
< symm |! щ , (N, aj 3) AT1 + №, , (N, о\.*)N~l + №, 3 (N, o\.^) N~l ||.
i—i i ¦ ...
Прокоммутируем оператор Л^ с оператором toi,3 и примем во вни-
внимание, что симметризация операторов toi,3 распространяется по
индексу ?, от 1 до W; поэтому очевидно, что
+ (N + 2yltvU3(N,o\.y)\\. B1.28)
13 Д Я- Петрина и др.

194 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
Принимая во внимание представление B1.12), может продолжить
неравенство B1.28):
V(N
j
1.3
—1.1.1
Jl,3
Более того, так как суммирования в B1.29) происходят по опера-
операторам, заданным на ортогональных подпространствах, то
i^p-(max
max | 1 ® ... <6> © •; ® ... ® l
°!;3-
Доказательство остальных случаев аналогично. Лемма доказа-
доказана. Из этой леммы и представления B1.22) мгновенно вытекает
следующая теорема, дающая достаточно полный ответ на вопрос
об области определения оператора А.
Теорема 21.1. Оператор AN ограничен в h .
Отсюда мгновенно следует, что область определения оператора
А плотна в hT и что D(A) a D (N). Более того, теорема, в част-
частности, показывает, что || Л"/70!! ^ (const)" л!. Поэтому ряд теории
возмущений, образованный итерациями уравнения B1.2), F = (l -\-
+ 4 УЗКА +... + D1 ЗЫ)" + .. .) Fn, расходится не быстрее, цем
ряд 1 + сХ + ... + {ск)пп\ + ..., т. е. с той же самой скоростью,
что и в конечном объеме.
§ 22. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРАА. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
ДЛЯ АППРОКСИМИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ
22.1. Свойства оператора Л
Приступим к изучению свойств оператора А. Прежде всего за-
заметим, что он оставляет инвариантным подпространство hi симмет-
симметрических функций пространства hT. Поэтому представляется воз-

22
Свойства оператора
195
можным рассматривать его как оператор в hj; подчеркнем, кроме
того, что так как F0^hl, то естественно предполагать, что фор-
формальное решение уравнения B1.2),
B2.1)
также окажется в /if.
Представим теперь оператор А в виде
А = 5 + Р + С,
где
S = у (symm to, (N, a? „) + 3 /- symm to2, (N, <P ) + symm to,
^t (_n i.d 1.3 @) 2.2 2.2 jA) з.
Р = 2 (symm to,f3 (Л/, o|-j) + symm toM
31/2symmto22(iV,o2:2)), B2.2)
л
Оператор S в hT является операторнозначной якобиевой матри-
матрицей, имеющей следующее представление:
S'=
0
0
S3.1
0
0
0
s2
0
s4
0
^5,3
5 5,5
B2.3)
Операторы SN_N+2 и Sn+2,n действуют из hTN+2 в hjj и соответст-
соответственно из hN в hJj+2, диагональный элемент SNiN является опера-
оператором в hjj. Алгебраическая структура этих операторов такова:
= -TT- symm
B2-4)
У
N(N+l)(N+2>
,1
B2.5)
13*

196 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
SN,N = C1/2 Sy™ №2,2 W СТ2.А ,N =
V— 1) y A ® .. .® wij „ ®. . .<g> IV, „.B2.6)
'• V'v — l) @) ZJ ^2 'Ы,N
°22.2
В полной аналогии с предыдущим параграфом легко получить оцен-
оценки на нормы операторов SN N_^2, SN+2 N, SN N:
N,N+21| < KiV(iV+l) С?,з,
B2-7)
Справедлива следующая важная лемма.
Лемма 22.1 [137]. Оператор S является симметрическим, опе-
оператором в hi.
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно
показать, что для любых /, g ? D (S) s hi выполняется равенство
(Sf,g) = {f,Sg).
Благодаря оценкам B2.7) область определения D (S) включает по
крайней мере множество финитных последовательностей из h{.
Поэтому для доказательства симметричности, принимая во внима-
внимание структуру матрицы B2.3), достаточно показать, что
n) B2.8)
NiN B2.9)
для любых fN+2?hlN+2, gN>fN€K,N-
Докажем B2.8). Для этого выберем fN+2 и gN в следующей
форме:
k Hi* ¦ • •' Af-i-2 ^^
B2.10)
где символ a {/if1 (M = N или VI = Л/ -f- 2) означает суммирование

§ 22 Свойства оператора А 197
по различным разбиениям индексов 1 М на k групп, причем
само число переменных в группах фиксировано.
В данном случае функции / (.. .) и gn _2 (.. .) сим-
метричны по переменным pv ..., рм; сверх того, выберем такие
разбиения, для которых
щ,щ — 2фпг, ...,nk. B2.12)
Представим теперь операторы SN 2 N и SN N ,_2 в форме
k k
SN,N+2 =
где операторы S ' действуют так, что переменные интегрирования
этих операторов действуют на группы переменных {nt}. Теперь для
специально выбранных функций B2.10) и B2.11) удовлетворяются
следующие равенства:
n) = (fN+a, Sfr+itNgN). B2.14)
Равенства B2.13) являются следствием условий B2.12), благодаря
которым Sn^N+JN+2_LgN и S^+2tN_LfN+2 для i = 2,...Д. Сле-
Следовательно, для доказательства леммы в этом специфическом слу-
случае достаточно показать, что
Для доказательства этого факта мы представим операторы
Sn\n+2 и Sn+2,n в следующем виде:
N
o"i 1/"Лг/Л'_1_ П
B2.15)
N+2
Положим сначала 1\ = 1; тогда
I iS '' / \ ( П П 1 Т I /7^ /7^ ^?^ \^
' N,N+-2' N+2* \rV ' " ¦' ГДГ/— ^^ J LlKiLlK'ZUK3 Л
°1 —" ^| —" ^2 — ^з)
X
2л
l/vi» *^2* 3* г i * " * *

198 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
Используя B2.10), получим
J dPidpu ¦ ¦ ¦ dpiN Jdk^x
Pidpu ¦ ¦ ¦ dpiN J
"Kp? + ^2 • • • l-A(Pt - *i - *2)a +1^2
x /4i „fc (*,, &2, Pi — ку — K, pu,..., p.^_2;...;..., /7/jv) x
x ?n^2,n2 щ (Pi' pi2> ¦ ¦ - pinij ••¦;•••• V=
x ^ nk (л. Pjv+i' ^+2; ?/,. • • - P/ni_2; •••¦•¦•- p,N)x
X ^2„„ft(ft + ^+1 + Pn+2* P,' ¦ • - P,j ¦¦•¦'••- ^) X
X Bя) -=^. B2.16)
V P? + n2 •.. К (p, + Pjv+i + Pjv+2J+ l^2
Мы совершили в B2.16) следующую замену переменных: рг — kx—
— kz=zplt kx = pN+l, kz = pN+r Произведя подобные преобразо-
преобразования для i1 = 2, ...,iV, мы получим (заменяя в каждом интегра-
интеграле рс на рг и суммируя все эти равенства)
2. gN) = VN{N+\) 2 J dPldpu... dPlNdpN+ldpN+2 x
_
x /„, nk(P» Pn+v Pn^v P,t' ¦ ¦ - Ptai_j •¦•¦.•••. PJN) X
VP\ + ц*... V(p, + PN+l
^2
B2.17)
Положим теперь в B2.15) ti=l, i2 = A/+ 1» i3 ^ Л/ + 2; тогда
2.N gN){Pl, - , P«+2) =
= v Г dk (m^(pj + pN+l+pN+2k) x
2я Kp2 + u2 . . . 2я V^+V^
...;...,Pin). B2.18)

§ 22 Свойства оператора А 199
Вводя в B2.18) представление B2.11), получим
ddd» Х
J
Х ^ а* (Л- ^И' Pn+2> P,t>
--
J/V + и2. • • ]/(р, + Рдг+1 + Pn+2Y2+ И2
nfc(^i + pN+i + aw>, ^/ni_
Производя аналогичные вычисления для всех t\, i2, i3, будем иметь
х ^,-2,П2 nfc(^i + pN+i + aw>, ^/ni_2; •••;••- piN)-
х
B2.19)
Из B2.17) и B2.19) следует B2.14). Положим теперь n^=n^—2
2 (S^ ) / (S
() (
п1 — 2 и лх; тогда ^ + ^,
+. f.Af+Jn+2> Sn) = 0 и, следовательно, равенство
B2.8) также удовлетворяется. Для случая произвольных nlt...
..., «й мы производим аналогичные вычисления. Если функции
/#+2 (•••) и ё'л' (•••) имеют различные слагаемые, принадлежащие раз-
различным разбиениям, то левая и правая части равенства B2.8) бу-
будут представлены определенным числом выражений, отвечающих
конкретным iii, ..., nk. В этом случае симметричность, т. е. равен-
равенства типа B2.8), в целом явится следствием выполнения их на каж-
каждом конкретном разбиении. Равенство B2.9) доказывается анало-
аналогично. Лемма доказана.
Лемма 22.2 [11, 12, 93]. Для того чтобы симметрический опера-
оператор S, заданный якобиевой симметрической матрицей S' B2.3),
имел нулевые индексы дефекта, необходимо, чтобы выполнялось со-
соотношение
SN,N
для любого No.

200 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
С помощью лемм 22.1 и 22.2 доказывается справедливость следу-
следующей теоремы.
Теорема 22.1. Оператор S существенно самосопряжен в hi.
Доказательство. Легко проверить, что благодаря нера-
неравенствам B2.7) выполняется критерий B2.20) и, следовательно,
симметрический оператор 5 имеет нулевые индексы дефекта, а
следовательно, он существенно самосопряжен [9].
Рассмотрим кратко оператор Р. Он имеет в пТ всюду плотную
область определения D (Р), причем легко проверить выполнение
оценки
|| Pf || < const. || (N +1)/1|; B2.21)
последняя легко следует из определений B2.2), B1.12) и B1.16)
и оценки типа B1.29). Отметим попутно важное свойство операто-
оператора Р. Если f?D(P) и все fN (N=1,2, . ..) имеют только одну
связную компоненту, то по определению Pf = 0. Более того, если
все fN имеют, скажем, только по L связных компонент, то PLf=O.
Это есть следствие того, что оператор Р уменьшает число связ-
связных компонент на 1.
Рассмотрим теперь оператор С. Справедлива следующая тео-
теорема.
Теорема 22.2 [137]. Оператор С ограничен, и для любого f ? h
выполняется следующая оценка:
-^С4,о||^-1/2/||. B2.22)
Доказательство. Оператор С действует на вектор
таким образом:
3-3/2
. 2я VpI + Цг ... 2я
X /л,_4 (Pi, ¦ ¦ ; Ри, • • -, Ри PN)-
Рассмотрим два возможных случая. Пусть /д,_4 не имеет связ-
связных компонент с /г;=4. Тогда легко видеть, что в сумме
^ общее число / \ членов ортогональны друг другу, так как
все они принадлежат различным разбиениям импульсов рк, . .., pN.

§ 22 Свойства оператора А 201
В этом случае
27-' D!J
7V— 1) .. .(N— 4)
Л-4
X
J (р2 + ,!*)... (р* + ц*) " '"-4 " 27Л/ (Л/ - 4) « '*-¦> II '
откуда немедленно следует B2.22). Пусть теперь fN_A имеет rN_i
связных компонент с nt = 4 (i = 1, 2,.. ., гЛ,_4). Тогда (t,, i2, i3, i4)"H
член суммы V не будет ортогонален к тем слагаемым, в ко-
которых переменные р.,...,р{ поменялись местами с переменными
из какой-либо компоненты ях,.... пг или между собой. Таким
N—4
образом, для каждого набора индексов в сумме У имеется
4!(l+rJV_4) неортогональных членов, так как они принадлежат
одному и тому же разбиению. В сумме останется только
N(N— 1) (W —2) (N —3)
—-— ; ^ ^ ортогональных слагаемых; поэтому
2_Г^ Л"(ЛГ— 1)(УУ — 2) (./V — 3)
HN- 1) (Л/ — 2) OV -3)(/V—4) 4!A+/-д,_4)
X D!J
Так как l+rJV_4^A//4, то неравенство B2.22) выполняется, что и за-
завершает доказательство теоремы.
22.2. О решении уравнения резольвентного типа в h'
Теперь приступим к рассмотрению вопроса о существовании ре-
решений уравнения B1.2). Заметим прежде всего, что формальные ите-
итерации уравнения B1.2) полностью восстанавливают ряд теории
возмущений
F = У D К3~ X)"A"F° B2.23)
для коэффициентных функций S-матрицы, который не содержит
вкладов от вакуумных диаграмм. Однако такой ряд расходится как

¦202 Коэффициентные функции при бесконечном объема Гл. VI
в конечном, так и в бесконечном объеме [64,164] и не может быть
рассмотрен в качестве решения уравнения B1.2). В § 19 было по-
показано, что ряд B2.23) является асимптотическим в слабом смысле.
Подчеркнем, что каждый член этого ряда является вместе с тем
элементом пространства hT. Все это позволяет надеяться, что весь
ряд B2.23) окажется асимптотическим в смысле пространства hT,
т. е. в смысле сильной сходимости по норме. Сейчас мы докажем не-
несколько строгих результатов, которые следуют из свойств операто-
операторов S, Р и С.
Прежде всего заметим, что в силу существенной самосопряжен-
самосопряженности оператора S можно построить ограниченный оператор
A+JuS) = tn-Rs(-TT-) Для констант X' таких, что \тХ'ФО;
здесь Я/= 4^3 X и S — замыкание оператора S. Рассмотрим сна-
сначала уравнение
F = X'SF + F°. B2.24)
Справедлива следующая очевидная лемма.
Лемма 22.3. Решение уравнения B2.24) существует для
Im к' Ф 0 и задается выражением
°. B2.25)
Доказательство этой леммы следует из существования ограни-
ограниченного оператора A + X'S)~l.
Рассмотрим теперь более сложное уравнение
F = — X' (S + Р) F + **. B2.26)
Лемма 22.4. Решение уравнения B2.26) существует при
Im If Ф 0 и задается выражением B2.25).
Доказательство этого факта следует из того, что оператор S и
соответственно оператор Я,(-5Т-'1 не изменяют числа связных ком-
понент. В этом случае последовательность R,[-rT-\F0 имеет толь-
\ К I
ко одну связную компоненту в каждой строчке #=1,2,... и,
следовательно, по определению оператора Р
PRs^y° = 0. B2.27)
Поэтому благодаря B2.27) выражение B2.25) удовлетворяет урав-
уравнению B2.26). Лемма доказана
И, наконец, обратимся к еще одному возможному уравнению,
аппроксимирующему основное уравнение B1.2).

¦§ 22 Свойства оператора Л 203
Теорема 22.3. Решение уравнения
(+ F° B2.28)
задается рядом
оо
/7=2(~/?e(^")^)n/°t B2>29)
где
причем радиус сходимости ряда определяется из соотношения
Доказательство теоремы следует тривиально из разложения
Неймана для резольвенты оператора (S + С). Оценка B1.30) явля-
является следствием того, что
* I Im V I -
Теорема доказана.
Интересно отметить, что уравнение B2.28) аппроксимирует
основное уравнение B1.2) не только в аналитическом, но и в более
глубоком, диаграммном смысле. А именно, можно показать, что
ряд теории возмущений B2.29) содержит все возможные диаграммы,
только с несколько меньшей кратностью.
Действительно, рассмотрим прежде всего оператор А. В тер-
терминах диаграмм он присоединяет вершину
X (
. а -Л') B2.31)
к диаграммам (п — 1)-го порядка четырьмя различными способа-
способами:
B2.32)
б) в) г)
и образует диаграммы порядка п. В случаях а) и б) эта вершина
присоединяется либо к одной связной компоненте (эти операции мы

204
Коэффициентные функции при бесконечном объеме
Гл. VI
отнесли ранее к оператору S)
©
а,)
"t ) [ "г ) • •'
B2.33)
либо к различным связным компонентам (это уже оператор Р)
» B2.34)
B2.35)
Покажем теперь, что любая диаграмма n-го порядка может быть
получена из диаграмм (п — 1)-го порядка, исключая операции а2),
^з) и б2). Для примера рассмотрим простейший случай, когда опе-
операция а2) связывает только два блока (две компоненты):
B2.36)
Так как я2 > 2 и {п2} является связной компонентой, то одна из
его внешних линий может являться результатом (или «следом»)
действия операций at) или б4); например,
B2.37)

23
Гамильтониан системы частиц
205
Таким образом, сравнивая B2.36) и B2.37), мы приходим к выводу,
что одна и та же диаграмма может быть образована двумя различ-
различными способами:
1) действием оператора S
B2.38)
2) действием оператора Р
B2 39)
Следовательно, некоторая итерация уравнения B2.28) может содер-
содержать вклады от всех топологически неэквивалентных диаграмм
S-матрицы, однако их кратности, естественно, будут меньше, чем
при итерации точного уравнения B1.2).
§ 23. ИССЛЕДОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА СИСТЕМЫ N ЧАСТИЦ
В ПРОСТРАНСТВЕ hTN
В настоящем параграфе мы рассмотрим квантовомеханическую
систему N частиц. С методологической точки зрения ее описание
значительно проще и приводит к уравнениям, которые служат по-
поучительным примером использования пространства трансляционно-
инвариантных функций.
23.1. Постановка задачи
В квантовой теории поля принято рассматривать гамильтони-
гамильтонианы как операторы, действующие в пространстве gr = д~ь. Идея
такого рассмотрения восходит к работам В. А. Фока [171 172],
который показал, что совокупность гамильтонианов HN, описываю-
описывающих потенциальное квантовомеханическое взаимодействие неопре-
неопределенного числа частиц,
(=1
s
-Xi\), B3.1)

206 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
можно редуцировать к единственному операторному выражению
I Ф (¦*) Лгр (х) dx - А \ *(¦*) Ф CV)»(I * - J» I) X
х iMjrVipOOdjrd);, B3.2>
причем предполагается, что операторы рождения \р (л:) и уничтоже-
уничтожения \\т(х) удовлетворяют перестановочным соотношениям
Благодаря этому операторное выражение B3.2) действует на вектор
/ = (/о- /i (-*i)> • • •> fN (*i ¦*«)> • • •) =
xt... йЖд/^ {xx,. .., x^) MxJ ...$ (xN) Qo, B3.3>
следующим образом (функции fN предполагаются симметричными) *):
t>(\xi-x,\>fN(xl,...,xN). B3.4)
Таким образом, гамильтониан Н B3.2) описывает систему бозонов,
взаимодействующих посредством парного потенциала 0(|ж—у\).
При определенных ограничениях на этот потенциал гамильтониан
B3.2) определен на всюду плотном в gr множестве векторов и явля-
является существенно самосопряженным оператором.
Отметим одно важное обстоятельство. Выражение B3.2). рас-
рассматриваемое как одно целое, не может быть оператором в прямом
смысле, так как бессмысленны с математической точки зрения ве-
величины ij> и \р. Они становятся операторами лишь после усреднения
с гладкими функциями /:
Поэтому все представление B3.2) следует рассматривать лишь как
весьма удобное средство для различных алгебраических построений,
а под гамильтонианом Я следует понимать оператор, который в каж-
*' В случае фермионов соответствующие функции антисимметричны.

§ 23 Гамильтониан системы частиц 20"
дом N-частичном подпространстве представляется формулой B3.1)
независимо от топологии, которой снабжено пространство функций
/*(*! xn)-
Специфическая особенность гамильтонианов HN и Н проявляется
при рассмотрении трансляционно-инвариантных систем. Общеиз-
Общеизвестно, что центр масс системы N частиц, описываемой уравнением
движется свободно; соответствующую ем> волновую функцию мож-
можно отделить и рассматривать оставшуюся трансляционно-инвари-
антную часть f'N(x1—xN,...,xN_]—xN) как волновую функцию
относительного движения. Поэтому гамильтонианы HN и Н следует
рассматривать в этом случае в пространствах функций, учитыва-
учитывающих такую трансляционно-инвариантную структуру. Более то-
того, исследование модельных гамильтонианов типа Бардина — Ку-
Купера — Шриффера (БКШ) требует дальнейшей детализации транс-
ляционно-инвариантной структуры. Оказывается (см., например,
[125]), что взаимодействие типа БКШ вообще аннулируется в обыч-
обычном пространстве Фока gr, а отлично от нуля и приводит к физи-
физически фундаментальному эффекту образования связных пар час-
частиц лишь в обобщенном пространстве трансляционно-инвариантных
функций.
Таким образом, при исследовании систем нерелятивистской
квантовой теории поля с трансляционно-инвариантным взаимодей-
взаимодействием необходимо привлекать аппарат пространств трансляцион-
трансляционно-инвариантных функций.
23.2. Система бозонов с потенциальным взаимодействием
в пространстве hT
Рассмотрим уравнение Шредингера в hT:
i —— = /yip tjt [ = \jfo r foT B3 5)
где оператор Н определяется согласно B3.2). Подчеркнем, что тра-
традиционные определения операторов рождения и уничтожения в
алгебраическом смысле сохраняются. Выберем W°N ? hN; тогда
автоматически (благодаря «диагональности» Н по N) уравнение
B3.5) можно переписать в каждом из подпространств hTN:
i -^- = HNWN = (H0JI + VN) WN, B3.6)

208 Коэффициентные функции при бесконечнее объеме Гл. VI
К решению задачи Коши этого уравнения мы и приступим в
настоящем параграфе.
Рассмотрим оператор Но в пространстве ho (напомним, что о,—
тождественное разбиение множества {N}). Для этого дифференци-
дифференциальный оператор ^i—w~ преобразуем к разностным переменным
1, = лг, — xN,. .., lN_t = лгЛ,_1 — xN; в результате этого мы получим
Яо.*-Но.о, = -4гУ,К,-4г(У, V.. ] • B3.7)
V 1 ^
i=i '
Как следствие общей теории (см., например, [91]), получаем,
что оператор HQ o является существенно самосопряженным на
классе бесконечно дифференцируемых функций с компактным носи-
носителем CZ(Rs{N-l))?hTN,Ol^hTOi.
Пусть, далее, разбиение ak произвольно; так как
то для оператора Но получим следующее представление:
1 «> ...®//0{л}<8>... <8> 1. B3.9)
Символом Но {п} мы обозначаем действие оператора На по перемен-
переменным связной компоненты {п} ? ah {Щ, т. е. в полном соответствии
о B3.7):
"оW = -^г 2 \ " Ж (S VJ2 B3-
(обозначение Ег ? {/г} подразумевает, что разностная переменная обра-
образована из переменных, входящих в множество %).
Общая теория [11, 140) показывает, что оператор HQo сущест
вен но самосопряжен на области D (Но о ) = ® D (Но {/г}), причем,
' * (=1
как и в случае оператора HQo, область определения D(H0{n}) =
= CJT (R$'"~i))[]hT. И, наконец, во всем пространстве hTN оператор
Но распадается в ортогональную сумму
Н0-+Н1=®Но,0 B3.11)
о
и. очевидно. D(til)= © D(H0yO).

$ 23 Гамильтониан системы частиц 209
Рассмотрим теперь оператор V в hra. Исходя из непосредствен-
непосредственного представления hi как тензорного произведения B3.8), легко
проверить, что
V-*-V =V 4- V
где
2 1®---®У(„>®---®1 B3.12)
®---®l'<»u.»»® •••«>• <2313>
Оператор Fo o представляет ту часть оператора умножения на
функцию ^S v(Xi — х}), в которой суммирование распростра-
i
няется по переменным каждой из связных компонент в отдель-
отдельности, т. е.
2 *,!)• B3.14)
Наоборот, в операторе У, 0 выделены такие члены суммы, в ко-
которых в каждом слагаемом присутствуют переменные из двух
различных компонент:
"(I-*!--*Л); B3.15)
при этом суммирование в B3.15) распространяется по всем возмож-
возможным парам подмножеств из разбиения о {Щ. Отметим, что часть
У, п отделяется лишь в том случае, если о — не тождественное
разбиение; если же a = al= 1, то мы полагаем У, о =0.
Распространяя действие оператора V на все пространство hT,
получаем представление
V -+ VT =© Уо.а + У Vl.o = Vl + Vl
Легко понять, что с диаграммной точки зрения такое разделе-
разделение эквивалентно следующему:
= | (V) + | • B3.16)
14 Д Я Петрина и др.

210 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
Теперь легко построить в пространстве hT действие всего опе-
оператора Но + V; естественно при этом объединить дифференциальные
операторы HQ a и операторы умножения VQ a. Итак,
Н = ИI + VT = Hi + Vl + Vf = Hi + V(, B3.17)
причем, как следует из B3.9) и B3.12),
Н\= ^ 1 ® •••® Я1 <n>® ••• ® !> B3.18)
где
Таким образом, формула B3.17) описывает выделение из опера-
оператора Н симметрической «диагональной» части Н{. Как и оператор
//о, оператор Н\ существенно самосопряжен в hT на области
D(//ir) = rr ( ® О(Я1{/г})). Заметим, что вопрос о существенной
о (n(go
самосопряженности операторов ^{/г} легко следует из критерия
Като—Нельсона [90, 111]. А именно, следует потребовать, чтобы
»(| х |) равнялся сумме t>p (| х |) + о00 (| д; |), где ор(| дг|)€ ^P(«s) и
»~ A^1) €й~ (/?'), Р>2; в этом случае Vw = Vp{n) + V~.j, Vfnle
ейР(/?<п~1)), УГп^оЛЯ5"^"). Чтобы не отягощать себя выбором
сложных условий на потенциал о (| х |), в качестве минимального
условия выберем его принадлежность к ^оо(^""^и); в этом случае
общее условие самосопряженности заведомо выполнится. Итак
справедлива следующая теорема.
Теорема 23.1. Пусть о(л:)? ??х (Rs<-n~1)). Тогда оператор су-
существенно самосопряжен в №х на области D (Н?) =
= ©( ® D(H0{n})).
Рассмотрим теперь более подробно оператор Vx.
Лемма 23.1 [125]. Оператор Vj определен и ограничен в hT
тогда и только тогда, когда v(x)^^2(Rsin~u).
Доказательство. Рассмотрим для простоты разбиение
OjW^fe xnj(xn^v .. .,xN). Тогда VUOi (сужение операто-
оператора V{) действует следующим образом:
= 2 *(\xi — ¦*>I) A,,(*i" ' ""V ¦*„,+!» ¦¦•.JfJV). B3.19)

§ 23 Гамильтониан системы частиц 211
Рассмотрим один из членов суммы B3.19) и вычислим его норму
с учетом того, что V\,<,2: /ij -*-hl'.
Wtijo,|| = Иш s(n — 1) -fyy
.... Xnj Xnt+U .... Ж^)!2 = ? d| I В (?)|2 ? d|t . . . (Rn-2 | /a, (li, • . .
. . . , L,-b In,, -.., In-2)? = || В 11^,,-П, || /a, II = С || /Ol ||. B3.20)
Формула B3.20) является следствием того факта, что разностная
переменная \ = xt—ж7- не выражается через разностные перемен-
переменные связных компонент {rct} и {Л^Х^}. Далее, та же формула
показывает, что оператор V\,a, является суммой ограниченных опе-
операторов, поэтому он определен и ограничен только в том случае,
если константа С конечна. Несомненно, то же самое касается и
всего оператора Vf = "^Vi,a. Лемма доказана.
Приведенная лемма, впрочем, далеко не полно характеризует
свойства оператора Vf. Оказывается, что оператор V\ является
нильпотентным в очень широком смысле.
Лемма 23.2. Пусть ограниченные операторы At диагональны
по о, т. е. AL: hi -*¦ hi; тогда
(](А.у1) = 0, n>N.
Доказательство. Представим оператор V\ в следующем
виде:
() Vi-k- B3-21)
k=\ \ok I 4=1
Согласно определению B3.13) очевидно, что V\tk: hi -+-hZ-i (на-
(напомним, что hZ = Ф h , k = const), причем V. , ^ 0. Положим ра-
°k k
ди простоты At = 1 и рассмотрим степень (Vf)n. Нетрудно понять,
что (\\ )п представляется в виде суммы слагаемых вида
VUkl. ¦ ¦ Ki.Jkn,A1<. . .<kn\
вторые степени операторов V\,kl отсутствуют по самому определе-
определению B3.13). Положим n = N; в этом случае возможно единст-
единственное слагаемое Км . . . К1>лг, но Км ==]/liCTi = 0 и, следователь-
следовательно, равно нулю и само слагаемое. Нетрудно видеть, что подобные
14*

212 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
рассуждения легко переносятся на случай, указанный в формули-
формулировке леммы. Лемма доказана.
Теперь обратимся к обсуждению эволюционного уравнения
B3.5). В этом случае удобно ввести «картину взаимодействия клас-
кластеров» [190, 191]. Сделаем это стандартным образом; представим век-
вектор W в виде
Чг Г
причем, очевидно,
где
Vf (t) = exp (itHl) VTX exp (itHj).
Заметим, что в силу представления B3.18) формальное выра-
выражение exp(t7#x) приобретает строгий математический смысл:
exp (itHt) = exp f it ф f У. 1 ® . . . tf4 {л} . . .
= © ( ® exp [ИН< {n}]),
причем в силу самосопряженности операторов Hi{n} оператор
ехр(##Г) унитарен. Более того, такое представление показывает,
что оператор exp (itHl) сохраняет структуру кластеров и, следова-
следовательно, удовлетворяет условиям предыдущей леммы. Теперь оче-
очевидно, что итерации уравнения B3.6)
@° ' 'л-1
S ±йГ1 J • • • f Л« • • • dtnV\(tx). . . Vl(tn)WN
п=0 0 о '
примут следующий вид:
N к t 'л-1
Щ^ d(ittf)Vl х
X exp (- iUHl) ... exp (itnHl) V\ exp (- itnHl) W°N. *j , B3.22)
так как Чг%= © ^n.h, ^N.k^hN^. Выражение B3.22) имеет смысл,
k
k
так как операторы ехр(г7Я4) унитарны, a Vx ограниченно дей-
действует из hj/,k в hTNtk-\.
Обращаясь к исходному уравнению B3.5), мы можем заключить,
что справедлива

§ 24 Гамильтониан взаимодействия модели Я.(: ф4 :)а 213
Теорема 23.2. Решение уравнения
i~4 = #?, XF° eDoahT
существует, единственно и определяется группой неунитарных
операторов exp (itH); Do —множество финитных последователь-
последовательностей из пТ¦
§ 24. ГАМИЛЬТОНИАН ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МОДЕЛИ Х(:?*:J
В ПРОСТРАНСТВЕ hT
Рассмотрим теперь гамильтониан B.9) в пространстве трансля-
ционно-инвариантных функций. В предыдущих главах вместо опе-
оператора Н1 рассматривался оператор Н; (g) = f : cpj @, х): g (х) dx,
0^g(x)f^\, suppg(x) с V. Оператор H^g) является существен-
существенно самосопряженным в обычном пространстве Фока. В настоящем
параграфе мы попытаемся определить выражение B.9), не вводя
дополнительных обрезаний. Перепишем для этого оператор Нf в
виде
Н, = ('dkt . . . dk,
2яб(kt + ...+ kt) .a{ki) . . . a(fc4): ^
У 2ma (fej) ... /2яш (fe4)
K^ • B4.1)
s=—2
Здесь W2+S?2_s ecT> моном по операторам рождения a+(fe) и унич-
уничтожения a~ (к) свободного поля а (к)=а+ (к) + а~ (—А;), действую-
действующий на столбец функций из hT по следующему правилу:
s,2-A (л. •
2—s
X V. П \ dk, —'-?= " "~r° ~ , tts x
X /jv-2. (*i *2-., Л, . . . . Рц Pi2+S PN)- B4.2)
Наша задача состоит в том, чтобы показать, что функции
W2+s2_J ?hT, если / принадлежит некоторому множеству из hT.
Для мономов с s# — 2 этот факт был доказан в § 21 для произ-
производящего оператора уравнений для коэффициентных функций мат-
матрицы рассеяния. Для гамильтониана B4.1) отличие состоит лишь

214
Коэффициентные функции при бесконечном объеме
Гл. VI
в размерности импульсных переменных. Поэтому мы не будем здесь
приводить подробных оценок, отсылая читателя к §21, а лишь
опишем алгебраическую структуру операторов U72+S,2_s. Случай s=
= — 2 будет рассмотрен подробно.
Операторы W2+St2-S представим в виде суммы:
W = ¦ W (N) B4 3^
где Г2+5>2_,(Л0 = Г2+,.2_,|\ /&_*, т. е. Г2+5>2_5 (N) fN_2s =
= (^2+s.2-s/)w» a {W2+s,2-sf)N определяется согласно B4.2).
Обозначим теперь через ro2+s,2_s(./V) оператор с фиксированными
индексами it = \, /2 = 2, . . . , i2+s = 2 -J- s в сумме B4.3) и запи-
запишем оператор W2+s,2-s(N) в виде
^2+5,2-5 (N) = symm ro2+s>2-s (N).
(s)
B4.4)
В случае s = -2 W{)A(N) = tvOA(N).
Действие операторов №2+s,2-s зависит от того, в каких разбие-
разбиениях функции f находятся переменные интегрирования kt, ...,fe2_s.
Для случая s = — 1 возможны три случая (подробнее см. [129]),
которые мы изобразим графически:
B4.5а)
©
B4.56)
0
B4.5в)
Здесь у n,j ^ Q/Л ^ ... Г „Л обозначает (nv пг, . .. ,пк)-ю
компоненту функции f ? hT, внутренней линии
соответ-

Гамильтониан взаимодействия модели А,(: ф4 :
215
ствует множитель [2жо (fc)]1/2, а вершине—фактор 2яб (pt — /е4 —
— fc2 — к3), отве4ающий за закон сохранения импульса (по внутрен-
внутренним импул сам производится интегрирование). В соответствии с
этим оператор 1в]3(Л') разбивается на три слагаемых:
№,,3 (N) = »,,з W <з) + №]>3 (#, о*-}) + №,,з W а};'-'), B4.6)
где
а 3
) =
2)
1.3
B4.7)
a = 3; 2,1; 1,1,1, а со? 3 ~~ интегральные операторы, действие ко-
которых изображено (см. B4.5)) для а = 3 — случай а), для а=2,1—
случай б) и для a =1,1,1—случай в).
Совершенно аналогично для s = 0 имеем два случая:
0.
т. е.
где
для s= 1
2.2
т. е,
B4.8)
(N) = го (N а2 ) -4- m (N «т1 >]1 С24 Q1
Л, ? * ^.^ ^.^ ^»^ Z,Z'
B4.10)
A ® . . . ®о1з , ® . . . ® 1), B4.11)

216 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
для s = 2
?} 77
'X 'Q ... Q , B4.12)
т. е.
№ (#)=-_: ' ю B4.13)
4-° У N (N — 1) (/V — 2) (Л/ — 3) '
Операторы «^ 2_ , s = —1,0, 1,2, являются ограниченными, и
их нормы удовлетворяют оценкам
|| (o?s_s 2_s || ^. C'2\s 2_s, B4.14)
где
1/2
2яКм
Г1.2_Г... 1 /f ^ У''
bl.3 (>2.2 = -^-7
1-1-1
Г2 — '
^2.2 — —?^:
Эти оценки могут быть получены точно так же, как и в §21.
Рассмотрим теперь случай s = — 2. В этом случае оператор
Wn 4 (N) состоит из пяти слагаемых:
^o.4^)=2tt'o.4^'0o..)' а==4; 3'1> 2'2; 2'1'!; 1.1.М.
B4.15)
где
Шо.4(Л/, оо.4> = V(N +\)(N + 2)(N + 3)(N + 4) x

Гамильтониан взаимодействия модели Я.(: ф4 :)j
217
а действие интегральных операторов ш0' 4 графически изображаете»
следующим образом:
а.) а-
Q) ••• Q ;
0
П, ) •
0;
0;
B4.16)
При определении оператора WQ 4 в hT мы наталкиваемся на су-
существенные трудности, связанные с появлением объемных расхо-
димостеи (вакуумные вклады). Действительно, например, в случае а)
при nt = 4 имеем

218 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл. VI
= \ dk,dk,dk3dk, - ? -—r~ x
J 2 [2яш(&г)...2яш(А;4)|1/2
X BлI/2 б (&, + к,г + кя + к,) /4 (&„ fc2, &з, к,) =
= 2я) 6@) \ dkldk2dk3dklk 1
X fk (kv кг, k3, &4) == oo. B4.17)
Аналогичный результат будем иметь и в случае в) при пх =
= п2 = 2, и в случае б) при п^ = 3, и в случае г) при пх = 2.
Следовательно, оператор Wo 4 требует дополнительной регуляриза-
регуляризации. Выполним эту регуляризацию следующим образом. Обозначим
через nN оператор ортогонального проектирования функций из hjj
на множество функций fN = fnn n , в которых переменные
&j, . . . , fc4 принадлежат либо одной из компонент с ni = 4, n~3,
либо каким-либо двум компонентам с nt = nh = 2. Если через я
обозначить оператор
я= ф Яд,, B4.18)
N=4 "
то оператор W0,4(l—я) на множестве функций из {ппт} будет
обращаться в нуль и ситуации B4.17) не возникает. Будем гово-
говорить, что функции из {ппт} отвечает разбиение о". Теперь мы мо-
можем доказать справедливость следующей леммы.
Лемма 24.1. Оператор W0,^(l —я) плотно задан в пТ
Чтобы показать это, рассмотрим операторы со«4 для двух
типичных случаев со* 4 и Wq'!'1*
il Mn J II2 = \ dp. . . . dpn 4 \ dkx . . . dk3 x
(z*1) { и. i* i, 1. 1. г.
X
,1/2
X
x ? rift . . . dpn^4K . . . d&46 (p, + . . . + рП1_4) б (&! + ... -f- fe4) x
X I in, (kv . . . , kk, px Ря1_4)|2 = (Cl,4f j dpi . . . dpni^dkx . . .
. . . dkfi (*, + k9 + &3 + fc4) б (&u + fc2 + k3 + &4 + Pl +
... + p^l /„,(*! *4, A, . . . , p,tl-4)|2- B4.19)

§ 24 Гамильтониан взаимодействия модели Я(: ф4 :)j 219
Константа О0 4 = С4 0, как показывают прямые вычисления, конеч-
конечна (см., например, § 17), а интеграл в последнем равенстве B4.19)
определен для функций, интегрируемых по модулю в квадрате на
пересечении Qni f] Qs = Qni-4 U Й4.
Совершенно аналогично для оператора со2,']-1 имеем
ГГпМ\\2= $
"IJ*
1+1,+гс3—4
J 1
2я fco (fet) со (fcj + p, + . . . + p,,^
X -r^ — i
X
P"i—2> Pl> • • • > Рп^—Ь — Рп,—1 ... Рпх+п,—Ъ-1 PiH—li ¦ • •
• • . P^t-nt—З', Рп1+п2—2 • • ¦ -Рп 1+п2+я,—4i Рщ+nj—2> • • ¦
p!. . . dp,ll+n!+n,_4dfe1dfe2dfesdfe4 x
X б (/c2 + /c, + px + . . . + pnj_2) б (/c3 + рП1_! + . . . + р«1+Пг-з) X
x б (fc4 + р„1+%_2 +... + р„1+„2+„8_4) | fni,n2,n, (К К Pv ¦ ¦ •. Рп,-2;
"S> Pnt—li • ¦ ¦ ¦> рП1+Пг—2\ ^4> Pni+n2—2> ¦ ¦ ¦ , Pnt+n,+n,—4)\ =
= (Cm'1J j dpi . • . dpni+ni+n,_4dfe1dfcjdfesdfe46 (fej -f /c2 + /c3 + fe4) x
X б (&! + /c2 + Pl + . . . + pni_2) б (fcs + pni_i + . . • + Pni+n,~z) X
X8ft+ Pnl+n,-2 + ¦¦¦+ pn,±n,+n,-i) X
^ I /«i,i2.«3 (» *2' Pl' • ' • ' Pit—2>
/c3, pni_!, . . . , р„1+„,_1, .... р„1+„2+„3_4)|2. B4.20)
Константа Co',l'1 = C\',l = Ci',2, а интеграл в последнем равенстве
B4. 20) определен для функций, интегрируемых по модулю в ква-
квадрате на гиперповерхности Q4 П ЙП1 П ^л2 П Йпз.
Оценки B4. 19) и B4.20) показывают, что операторы cojj4 и
со2;!'1 можно определить, например, на множестве C~(Q) бесконеч-
бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем и, следо-
следовательно, оператор U7O>,A—л) можно определить на всюду плот-
плотном в hT множестве конечных последовательностей, каждый член
которой принадлежит С™ (Q). Это и доказывает утверждение
леммы.

920 Коэффициентные функции при бесконечном объеме Гл VI
Таким образом, мы определили оператор №о,4. удалив из него
оператор Wu, ,п, который вносит вклад в состояние вакуума. Од-
Однако при этом мы как бы нарушили симметрическую структуру опе-
оператора И,. Действительно, если мы будем определять оператор, со-
сопряженный к оператору й^.о,
2
1/2
V N (Л- 1) (Л/-2) (/V- 3) 2j /2жи(п, I/2.../2яш(п.)
X f/V_4 (Pi, ..., pi,, ¦¦¦ ,р, .,-¦¦,
то заметим, что в область определения оператора 1^4,о будут вхо-
входить функции из {л/гг} и
= VW+ l)(N + 2) (tfТ~ЗТ(ЛГ+~4Г2 A® • • .®reg<Do.4® .. .®1),
а"
B4. 22)
где
<regco10.4/4) =
l^ fk (к,, .., fe4) < оо.
Таким образом, оператор Wl,(> уже определен в hT, и формально
Следовательно мы можем, не изменяя формально-симметрической
структуры оператора Н/, определить его в hT , заменив действие
оператора Wu,^ действием хорошо определенного оператора Wl.o.
Тогда
2
Н, = 2 ( 2 + s )U72+.,.2_, + «^о.4A -я) + Wl.o B4. 23)
2 ( 2 + s
определен в ftr на всюду плотном множестве векторов.
Хотя мы и сохранили формальную симметричность оператора
Н,, однако наличие в нем операторов, уменьшающих связность,

Гамильтониан взаимодействия модели ЯД: Ф4 ")i
221
приводит к тому, что в топологии пространства h1 он оказывается
не симметрическим. Однако в нем можно выделить некоторую сим-
симметрическую часть Я„ и оператор, уменьшающий число связных ком-
компонент, т. е.
Н,
<24.24)
где
Hs = V [4 symm го, 3 (N, о* 3) -f 6 symm го2 2 (N, а\2) 4-
N
+ 4 symm го3, (Щ +W\ () +W; 0,
Р = у [4 symm го, з (N, а\§ + 4 symm го, 3 W, а';»-1) +
+ b symm го.2, (TV, а^) + W, t A — яI.
@)
@)
Доказательство симметричности оператора Hs аналогично дока-
доказательству симметричности оператора 5 в уравнениях для коэф-
коэффициентных функций, приведенному в § 22. Разбиение B4.24)
может оказаться существенным при изучении спектра оператора Ht
в пространстве h1'.
В заключение настоящей главы отметим, что аналогичные ис-
исследования мы могли бы провести и для производящего оператора
уравнений эволюционного типа, так как по своей алгебраической
структуре он полностью напоминает оператор Я/. При определении
этих операторов в пространстве hT мы прибегаем к некоторой пере-
перенормировочной процедуре, которая обусловлена наличием в Я/
слагаемого, содержащего все операторы уничтожения. По-види-
По-видимому, от этого слагаемого можно было бы избавиться с помощью
известной процедуры Фаддеева [166], однако этот вопрос здесь не
обсуждается.

Глава VII
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ МЕТОДАМИ
РАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Модели скалярного поля с неполиномиальным лагранжианом в
евклидовой области рассматриваются как обобщенные системы рав-
равновесной классической статистической физики. Вводятся S-кор-
реляционные функции, уравнения Кирквуда — Зальцбурга и
доказывается, что коэффициентные функции и функции Грина суще-
существуют при бесконечном объеме и являются голоморфными функ-
функциями по константе связи в некоторой окрестности нуля.
§ 25. СВЕДЕНИЯ ИЗ РАВНОВЕСНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
25.1. Об аналогии между моделями евклидовой квантовой
теории поля и классической статистической механикой
В последнее время были обнаружены интересные аналогии меж-
между квантовой теорией поля и статистической физикой. Так, еще в
монографии Боголюбова и Ширкова [25] отмечалось, что произво-
производящий функционал для матрицы рассеяния играет ту же роль в
квантовой теории поля, что и производящий функционал для функ-
функций распределения в классической статистической механике. В ра-
работах Фрадкина [175, 176] о моделях с неполиномиальным взаимо-
взаимодействием уже прямо указывалось на то, что функции Грина в ев-
евклидовой области являются аналогом функций распределения рав-
равновесной классической статистической механики. Симанзик [156]
установил, что уравнения для винеровских функционалов евклидо-
евклидовых функций Грина модели комплексного скалярного поля с лаг-
лагранжианом взаимодействия t?(x)='k [<p*(*) Ф (х)]2 могут быть при-
приведены к уравнениям типа Кирквуда — Зальцбурга или Майера —
Монтроля квантовой статистики, исследованных Жинибром [71].
Глубокие аналогии между квантовой теорией поля и равновес-
равновесной классической статистической механикой были обнаружены при
исследовании неполиномиальной модели скалярного поля, введен-
введенной Фрадкиным [176] и Ефимовым [70]. В работах Фивела [170],
Петрины и Скрипника [130] было показано, что в евклидовой об-
области эту модель можно рассматривать как обобщенную модель
равновесной классической статистической механики, в которой
свободный пропагатор играет роль парного потенциала, константа

§ 25 Равновесная статистическая механика 223
взаимодействия — роль активности и, кроме того, частицы имеют
еще одну дополнительную степень свободы — свою «температуру»
или заряд.
В проблеме математического описания бесконечных систем рав-
равновесной статистической механики достигнуты значительные успе-
успехи: в работах Боголюбова и сотрудников [18, 19], в работах Рюеля
[142] доказаны теоремы существования решений уравнений для кор-
корреляционных функций или функций распределений.
Обнаруженные аналогии между статистической физикой и кван-
квантовой теорией поля наводят на мысль, что математические методы,
развитые для обоснования равновесной статистической механики,
после существенного обобщения могут быть применены к задачам
квантовой теории поля. В настоящей главе методами статистичес-
статистической физики будут исследованы коэффициентные функции и функции
Грина неполиномиальных моделей скалярного поля. В основном
мы будем следовать работе [130]. В ней были введены S-корреля-
ционные функции, выведены уравнения Кирквуда — Зальцбурга
и впервые доказано существование термодинамического предела
для моделей квантовой теории поля. Для удобства начнем изложе-
изложение напоминанием основных сведений из равновесной классической
статистической механики [142].
25.2. Корреляционные функции
Рассмотрим в рамках большого канонического ансамбля систе-
систему тождественных частиц с массой \i, взаимодействующих посред-
посредством парного потенциала Ф (х) = Ф(|*|), х ? Rd, и находящихся
в состоянии статистического равновесия с температурой Т (или с
обратной температурой Р = 1/kT, k — постоянная Больцмана)
и активностью z в сосуде Л. Будем считать, что вне сосуда имеется
бесконечное отталкивающее поле.
Такая система описывается бесконечной последовательностью
корреляционных функций
Рл=(Рл(*1)'-> Рл(*1'-' Хт)' -) = (Рл (Ml)' — »Рл((*)т)'-")>
(х„..., xm) = (x)m, B5.1)
которые определяются согласно формулам
00 n~\-tn л
X у - \ dx ,... dxm+n exp [—
aj я! л„
B5.2)

224 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
где
п
U((x)n)=U(xl хп)= ^Ф(х,—х}) B5.3)
— потенциальная энергия взаимодействия п частиц,
Е(Л,2, P)=V 4г
п=й Ап
00
= И ТгГ ) d ^W^a (Wn) ехР I— I
— большая статистическая сумма,
п
Л (Ух1п)— 1 1 ХЛ \хг)'
а ул (л;г) — характеристическая функция множества Л,
Корреляционная m-частичная функция р((л;)т) определяется как
плотность вероятности нахождения т различных частиц в точках
хх, ... , хт?Л, вне Л они полагаются равными нулю.
На потенциал Ф (х) наложим два условия:
1) стабильности
п
Ц((Х)П)= У ф(х{— х,)> — Вп, B5.5)
где В — конечное неотрицательное число;
2) интегрируемости
сл. B5.6)
Из условия стабильности следует, что большая статистическая
сумма 3 (Л, z, р) существует при конечном объеме V (Л) сосуда Л,
является целой функцией активности z и допускает оценку
|3(Л,2,р)|<егВ11/(Л\ B5.7)
где fi, = е?в. Из оценки вытекает, что при V (Л) ~> оо S (Л, z, P)
экспоненциально расходится.

§ 25 Равновесная статистическая механика 225
Числитель выражения B5 2), определяющего корреляционную
функцию р ((*)„,)> также является целой функцией z при конечном
объеме V (А) и допускает оценку
ге=О лл
< zmexp (pBm) exp [z$B,V (Л)], B5.8)
из которой вытекает, что он экспоненциально расходится при стрем-
стремлении объема V (Л) к бесконечности.
При г > 0 большая статистическая сумма 3 (Л, г, Р) отлична от
нуля как степенной ряд с положительными коэффициентами. Так
как Е(Л, О, (J) = 1, то 3(Л, О, (J) отлична от нуля и в некоторой
окрестности нуля (размеры которой зависят от V(A)).
Таким образом, при конечном объеме V (Л) корреляционные функ-
функции рл((х)т) определены как частное двух целых функций и являют-
являются мероморфными функциями с полюсами вне некоторой окрест-
окрестности нуля и действительной положительной оси. Если же объем
V (Л) устремить к бесконечности, то числитель и знаменатель в
B5.2) экспоненциально расходятся и теряют смысл. Чтобы опреде-
определить рЛ (х) при V (Л) -^-оо, нужно доказать, что расходящиеся при
V (Л) -> оо выражения в числителе и знаменателе B5.2) сокраща-
сокращаются, а «остаток» имеет смысл при некоторых г и при бесконечном
объеме. Наиболее удобным аппаратом для доказательства этого яв-
являются уравнения для корреляционных функций.
25.3. Уравнения Кирквуда — Зальцбурга
для корреляционных функций
Чтобы получить уравнения для корреляционных функций, посту-
поступим следующим образом. Выделим в U ((х)п+т) в формуле B5.2)
энергию взаимодействия первой частицы со всеми остальными:
5
и ((*WJ = 2 ф (х* ~ Xi) + и №+-i)>
1=2
где хJ+п_1 = {х2, ..., хт, хт+1,..., хт+п), и обозначим
К (*i, Ш = П (ехр [- РФ (Xl - yt)] - 1). B5.10)
15 Д. Я. Петрина и др.

226 Исследование матриц рассеяния
Для рЛ ((х)т) полечим выражение
рЛ ((х)т) = З-1 (Л, z, р) Хл (WJ ехр [- р 2 Ф (*i - хА X
1 1=2 \
Гл. VII
Х
X
п=0
Г m+" 
хехр -р ^ Ф (*i-*«) ехр[-р^((х)^.и_1
= S-1 (Л, z, р) Хл ((х)т) ехр Г - р J Ф (Хг - xt) I
X
X (ехр
п=0
m+n
i=m+I I
:S~l(A,z, р)хл(х)техр
-Р2Ф|
'=2
X
X
п=0
X
s=0
?—1
= Н-'(Л,2,р)Хл((х)т)ехр
X
(=2
n=0s=0
X
х
...dynexp[-W((x)* _,)] =
= 2H~' (Л, г, Р) Хл (WJ exp - p 2 Ф (*i - xt) X
L 1=2 J

25
Равновесная статистическая механика
227
X
n\
гг=О
-!¦
... dyn%
-**) X
со
i=2
zn+m—I
X
X
n-,) exP I -
Здесь *m, j = #х,.... xmJ_n = yn-
Если в B5.11) воспользоваться определением B5.2) функций
РЛ (WJi T0 после очевидных переобозначений окончательно получим
Г т I
РЛ (Mm) = Хл (Mm) Z ехр — Р У Ф (*! — *г) X
)п) рл
(=2
ft2 ехр — р ^ ф (^ —.
I ('=2
X
S J-
i=!
= Хл
i. до
") Рл
„1
т>1;
B5.12)
= Хл
i- ДО»)
n=l
Уравнения B5.12) называются уравнениями Кирквуда — Зальц-
Зальцбурга. Они обладают одним весьма примечательным свойством: в
них нигде не фигурирует расходящаяся при V (Л) -> <х большая
статистическая сумма. Она сократилась с соответствующим расхо-
расходящимся выражением в числителе формулы B5.2). Само сокращение
особенно наглядно видно в последнем равенстве B5.11) при т = 1,
15*

228 Исследование матрии рассеяния Гл. VII
где в первом слагаемом множитель при В-1 (Л, z, P) в точности
равен S (Л, z, P).
Если бы в определение B5.2) корреляционных функций не вво-
вводился нормирующий множитель Н~' (Л, z, P), то уравнения для та-
таких корреляционных функций при т~>\ имели бы вид B5.12), а
уравнение при т = 1 выглядело бы таким образом:
оо
В (Л, г, Р) + V -!• Г d (yynK (xL, Ш рЛ Цу)п)
:Хл'
B5.13)
и содержало бы явно В (Л, z, P). Очевидно, что, совершив переход
к новым корреляционным функциям по формуле рЛ ((*)т) ->
->-рл((л:)т) Е~' (Л, z, P), получим для новой рл(х1) уравнение B5.12).
Уравнения для рЛ {(х)т) при т > 1 однородны и после перехода к
новым корреляционным функциям не изменят своего вида.
25.4. Решение уравнений Кирквуда — Зальцбурга
Уравнения Кирквуда — Зальцбурга B5.12) представляют собой
бесконечную цепочку зацепляющихся интегральных уравнений.
Будем их решать в банаховом пространстве Е^, элементами которо-
которого являются последовательности измеримых функций, заданных
на Rnd:
^1. •••> -О» •••) =
с нормой
= sup|~ness sup |ф((л:)п)|, B5.14)
d
где ? — некоторое положительное число, которое зафиксируем
позже. В пространстве Е% зададим оператор К, который действует
на последовательность ф по формуле
Г m I
I = ехр — р "Y Ф (*! — хг) х
X Ф ((*)!,_,) + У! тх *(*iШ Ф (Wi,_,. Ш d(уУп , т > 1,
л=1
B5.15)
оо
n=l

§ 25 Равновесная статистическая механика 229
Определим еще в Е, оператор %Л, который действует на последо-
последовательность ф по формуле
(ХлФ) ((*U = Хл ((*) J Ф (WJ- B5.16)
С помощью операторов К, и хх уравнения Кирквуда — Зальцбурга
B5.12) можно компактно записать как одно операторное уравнение
для последовательности рЛ корреляционных функций:
B5.17)
где а = A,0,...).
Наряду с уравнением B5.17) рассмотрим еще уравнение
p = z/Cp + za. B5.18)
Как мы увидим позже, последовательность р, определенная из
уравнения B5.18), является пределом (в определенном смысле) по-
последовательности рЛ при V (Л) -v оо.
Оценим норму оператора К- Учтем, что из условия стабильнос-
стабильности B5.5) следует неравенство Ф (х) >• —25. С учетом этого нера-
неравенства из B5.15) получаем
| (/Сф) (х)т | < (Л)-1 е1Ш || Ф ||г B5.19)
и поэтому оператор К отображает пространство Е% в пространство
Е^.ехртву Оператор ХЛ имеет норму ||ХЛ||=1. Для того чтобы
решать уравнения B5.17), B5.18), нужно, чтобы оператор Л/д/С
отображал пространство Е% в себя при определенном Е. Из оценки
B5.19) видно, что это будет только при В — 0, т. е. для положи-
положительного потенциала. Попытаемся преобразовать уравнения B5.17),
B5.18) таким образом, чтобы определяющий их оператор отобра-
отображал пространство Е% в себя и в общем случае.
Для этого воспользуемся следующим обстоятельством. В урав-
уравнениях Кирквуда — Зальцбурга B5.17) переменная дг4 играет вы-
выделенную роль. Можно было бы вывести уравнения Кирквуда —
Зальцбурга, выделив в U ((х)п+т) энергию взаимодействия второй,
третьей или т-й частицы. Они имели бы точно такой же вид, как
и уравнения B5.12), только переменные хи х2, хг или хт поменялись
бы местами.
Из условия стабильности, записанного в виде

230 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
вытекает, что в каждой точке (JtlfJt2» — *xm) найдется такой индекс
/', что будет иметь место неравенство
2 Ф (Xj — xt) > — 25, 1ф \. B5.20)
Обозначим характеристическую функцию области, в которой выпол-
выполняется неравенство B5.20), через Qj((x)n), а через Vj((x)n) обозна-
обозначим функцию
= n}{{X)J ' B5-21)
п
Очевидно, что V vj ((*)„)= 1.
/i
Уравнения Кирквуда — Зальцбурга для рЛ ((х)т), в которых вы-
выделенную роль играют поочередно переменные xvx2,... ,хт, умно-
умножим на Vjl ((x)m), v2 ((х)т),... , vm ((x)m) соответственно и сложим.
Учитывая симметричность функций рЛ ((х)т), получим уравнение
i W^ Хл (Wm) г exp [- р
/=1 '=1.!*/
х[рА {{x)Li) + 2 J d(y)i /C(x,(«/)„)рл(Wi-i, (у)п)\,
B5.22)
(уравнение для рЛ ({xt)) остается без изменений).
Обозначим через П оператор, который переводит последователь-
последовательность ф = (ср (xx),..., ф((х))т,...) в последовательность
пг
Пф = ф (Xj, ... , ^ Vj((x)m) ф (Xj, Xv ... , Xf_v Xv X.+v ... , Xm).
С помощью оператора П система уравнений B5.22) запишется как
одно операторное уравнение вида
+ 2)СЛа. B5.23)
Заодно напишем и уравнение для р:
га. B5.24)

§ 25 Равновесная статистическая механика 231
При оценке нормы оператора П/С воспользуемся тем обстоятель-
обстоятельством, что согласно B5.20) и определению v,((x)m) имеет место
неравенство
v,((*)jexp[-p
Поэтому справедливо неравенство
| (П/Сф) ((х)т) | < е* VC(P)r-' || Ф Ц6, B5.26)
из которого следует, что оператор П/С отображает Е% в себя и для
его нормы справедлива оценка
ЦШСЖЛ^Г1, B5.27)
являющаяся наилучшей при | = С (E). Отметим, что гХЛа и га
принадлежат ??.
Уравнения B5.23) и B5.24) будут обладать единственными ре-
решениями
1гХла, B5.28)
za, B5.29)
если операторы гХЛП/С и гП/С, фигурирующие в их правых частях,
имеют норму меньше единицы.
Из B5.27) следует, что || гХЛП/С|| < 1, ||гП/С||< 1, если
\г\<е~'®в-1С<$). B5.30)
При таких г решения B5.28) и B5.29) представляются рядами, схо-
сходящимися по норме пространства ?c_i •
оо
РЛ = У (гХлП/С)"гХла =»(/ — гХ.П/С)"'гХ.о, B5.31)
^ лП/С> гХла = V - гХдП/СГ ztA
оо
р = 2 (гП/С)" га = (/ — гП/С)~' га, B5.32)
и являются голоморфными функциями г.
Последовательность р при У(Л)->-оо стремится к р в следую-
следующем смысле:
I *л «А») (РЛ ((*)т) - Р ((*W) I < Г В (Л*),
где lime(A*)^0, а Л* означает наименьшее расстояние точек
xv ..., хт а А до границы Л.

232 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
Доказательство последнего утверждения довольно громоздко,
и мы приведем его в дальнейшем для более общей ситуации.
Состояние бесконечной системы описывается последователь-
последовательностью р корреляционных функций, которые существуют и явля-
являются голоморфными функциями активности г из круга B5.30). Са-
Сама процедура стремления объема V (Л) к бесконечности называется
термодинамическим переходом к пределу.
25.5. Описание бесконечных систем равновесной
статистической механики в рамках формализма
канонического ансамбля [18]
Выше была приведена схема математического описания беско-
бесконечных систем равновесной статистической механики в рамках фор-
формализма большого канонического ансамбля Число частиц при та-
таком описании не фиксировано, определено лишь среднее число час-
частиц, система характеризуется тремя параметрами: объемом V (Л),
активностью г и обратной температурой |3.
Часто удобнее использовать формализм канонического ансамбля.
В отличие от большого канонического ансамбля, число частиц при
таком описании фиксировано, система характеризуется объемом
V (Л), числом частиц N в А или плотностью 1/о (о — удельный
объем) и обратной температурой |3. Плотность вероятности распо-
расположения N частиц в Л задается выражением
где Q (N, Л) — конфигурационный интеграл:
Q (N, Л) = j ехр [- р{/ Цх)„)] d (х)^, B5.34>
AN
и полагается равной нулю вне Л. В качестве Л можем взять шар
с центром в начале координат с объемом V(A) = V. Введем после-
последовательность функций распределения
m j D(x1,...,xm,xm+v...,xN)
AN~m
dxm+l...dxN
= FNm((x)n;A). B5.35)
Функции распределения, деленные на Vm, дают плотность веро-
вероятности расположения т частиц при произвольном расположении
остальных УУ — т. Устремим оСьем V и число частиц N к бесконеч-
бесконечности таким образом, чтобы отношение N/V оставалось постоян-

§ 25 Равновесная статистическая механика 233
ным и равным 1/ti. Такой предельный переход называется термоди-
термодинамическим.
При математическом описании бесконечных равновесных систем
статистической механики основным является вопрос о существо-
существовании функций распределения при термодинамическом переходе
к пределу и характер зависимости от плотности. Решается эта проб-
проблема, как и в рамках большого кононического ансамбля, с помощью
уравнений Кирквуда — Зальцбурга.
Опишем вкратце полученные результаты.
Введем в рассмотрение наряду с функциями F{m] еще функции
распределения
F?-l) (xv ... , хт; А) = F%-1) {{x)m; А) =
D(x1,...,xm;xm^...,xN_l)dxm+l...dxN_l, B5.36)
j
AN—l—m
где
|-pi/
Q(N—l,A)
B5.37)
Q(N-l,A)= j exp[—
Функция D ({x)N_l) задает плотность вероятности расположения
N — / (/ — положительное целое число) частиц в сосуде Л, вне Л
она полагается равной нулю.
Функции Рт~1) ((х)т; А) связаны соотношениями
А) = J^-aN_t(Л)exp |-{J ? ф(х,-*,)]X
N~l-m < i _ :
X j К(xv (y)n) F^+n-г >((*)?, (у)п;Л) d (у)\\ , \<m<N-lr

234 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
>г=1
X j К {xv (у)п) F{nN-l~h ((x)n\ ШЦ
л" >
jfc" ((*)„_,; Л) == B5.38)
л/—i
= лгзтт ал?-г <л> ехР [— Р
(=2
которые следуют из определения B5.36), если в D ((лг)л/_/) выделить
в экспоненте энергию взаимодействия первой частицы со всеми ос-
остальными и проделать те же выкладки, что и при выводе уравнений
Кирквуда — Зальцбурга в большом каноническом ансамбле.
Если в соотношениях B5.38) формально совершить переход к
термодинамическому пределу и обозначить
lim F{m~l) ((х)т; Л) =,
|/(_Л )•»»_.
B5.39)
то получим уравнения Кирквуда — Зальцбурга вида
F ((х)т) = а (в) jexp |— р j? Ф (*i —
1=2
*], m=l.
n=l
Для стабильного и интегрируемого потенциала уравнения Киркву-
Кирквуда — Зальцбурга обладают единственным решением, являющимся
голоморфной функцией плотности в некоторой окрестности нуля.
Функция а (о) также является голоморфной функцией плотности в
этой окрестности.

§ 25 Равновесная статистическая механика 235
Доказательство существования и единственности решения осно-
основано на том, что уравнения B5.40) можно записать как одно опера-
операторное уравнение
F = a(t>)/CF + a(t>)a°, B5.41)
где оператор К определен в пространстве Ег (I = 2e2pB+1) согласно
формуле
= exp
i=2
х
X
a=l
B5.42)
п=1
Используя симметричность функций распределения, можно, как и
в случае большого канонического ансамбля, показать, что после-
последовательность функций распределения удовлетворяет уравнению
F = a(t>)UKF + e(»)a°, B5.41')
где П — оператор симметризации, введенный в п. 25.4.
Оператор U.K ограничен в Е^ и для его нормы справедлива
оценка
B5.42')
если плотность удовлетворяет неравенству
iW B5-43)
Так как a(B)an?fi|, то уравнение B5.41) обладает единствен-
единственным решением, которое можно представить сходящимся по норме
пространства Е^ рядом
a(W)a0. B5.44)

236 Исследование матриц рассеяния Г.л VII
Функции F({x)m) являются пределом последовательностей
F{N~l}((x)m;A) в следующем смысле:
lim X /V((x)m)\FiN-t>«x)n;A)-F((x)m)\ = 0, B5.45)
N+oo.
если только радиусы г' и г шаров Л' и Л (Л' с Л) удовлетворяют
при этом соотношению
lim ~=0.
V-»oo '
Покажем эквивалентность большого канонического и канони-
канонического ансамблей после совершения термодинамического перехо-
перехода к пределу. Для этого заметим, что если в уравнениях B5.41)
перейти от последовательности функций F к последовательности
функций р по формуле
P(f*W = -^((*)m>. B5-46)
а функцию — а(Х>) принять за активность г, то мы придем к урав-
уравнению B5.24) для корреляционных функций большого каноничес-
канонического ансамбля.
§ 26. УРАВНЕНИЯ КИРКВУДА—ЗАЛЬЦБУРГА
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
26.1. Производящий функционал для матрицы
рассеяния и S корреляционные функции
Рассмотрим модель самовзаимодействующего скалярного поля с
лагранжианом взаимодействия Х{? (ср). Представим <? (ср) через пре-
преобразование Фурье:
1ац>:йа. B6.1)
Так как ^ — действительная функция, то преобразование Фурье
Л (а) удовлетворяет соотношению Л (— а) = Л* (а).
Ниже мы приведем различные формальные, чисто алгебраичес-
алгебраические выкладки, справедливые для произвольного Л (а), поэтому по-
пока никаких ограничений на Л (а) накладывать не будем. Функция
Л {а) может быть и обобщенной; так, в теории с лагранжианом
взаимодействия {? (ср) = к :ср4: функция ^ (а) = бD) (а).
Производящий функционал S-матрицы в евклидовой d-мерной
конечной области Л (за Л примем шар с центром в начале коор-

§ 26 Уранпеиие Кирквуда — Зальцбурга 237
динат) выглядит следующим образом (см. гл. I, § 4):
ОО П
S/" С 1 1 1—I
—г \ d (x)n d (а)п I I Л (а,-) ехр [ta.-ф (хМ X
ill \ * ¦*¦
(Xi(xfio(xt—x,)] B6.2)
{напомним, что здесь ф (х) уже не оператор, а функциональный ар-
аргумент).
Производящий функционал B6.2) при ф = 0 очень напоминает
выражение для большой статистической суммы B5.4) при активно-
активности X и парном потенциале Go (x). В самом деле, большую статис-
статистическую сумму B5.4)
оо
3(ЛД,р) = ?^
П=0
можно представить в виде
S (Л, X, р) =
^П^(«>)ехр[—
B6.3)
выражение B6.3) совпадает с производящим функционалом B6.2)
при ф = 0 и ^(а) = б(а — КР)-
Таким образом, SA @) является как бы статистической суммой
системы частиц с активностью X, парным потенциалом G0(x), при-
причем t-я частица имеет свою «обратную температуру» а] с некоторой
плотностью вероятности Jk (а). В случае статистической механики
.у?(а) = 8(а — j/p) и каждая частица имеет с вероятностью едини-
единица обратную температуру р.
Эти аналогии между моделями квантовой теории поля в евкли-
евклидовой области и классической статистической механикой можно
продолжить. Для этой цели введем S-корреляционные функции
следующим образом:
Рл ((х)т, (а)тУ = ^у ? -^ J d (x)nJtn d (a)nmtn X
х П

238 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
d (x)$n = dxm+l... dxm+n, d{a)'$!n = dam+l... dam+n. B6.4)
S-корреляциоьные функции переходят в корреляционные функции
B5.2), если в B6.4) положить Х=г, Л (сс)=8 (a— V$), Gu (х)=Ф(х).
Выясним связь S-корреляционных функций с коэффициентными
функциями. Как известно (см. § 4), коэффициентная функция
Fm ((x)m) определяется через производящий функционал с помощью
формулы
1 bmSA (Ф)
SA @) бф (х )... бф (Xl)
ф=0
B6.5)
Выразим правую часть B6.5) через S-корреляционные функции.
Для этого нам понадобятся следующие обозначения: пусть {т} —
последовательность целых чисел от 1 до т. Разобьем это множе-
множество на k непересекающихся подмножеств {%} ={iv ...,in,},...
... ,{nk} = {/i,..., jnk} с числом элементов пг,... ,nk. Обозначим та-
такие разбиения через ак. Обозначим также через К„г,..., Х„к по-
последовательности {xlk,..., xirii},... ,{хи> ..., Х)п }, а через Ь(Х„) ...
... б(ХПк) — произведение б (х.^ — х.)... б (xin — хс)... б (х. — х.)...
8(k — xjt). Тогда
= v - V -^
-x
SA@) бф (хт)... бФ (х
X j рл (xt,..., xh; аъ ... , ah) an^... a^dcc,... dah, B6.6)
где вторая сумма в правой части равенства берется по всевозмож-
всевозможным разбиениям ah множества {т} на k непересекающихся под-
подмножеств. Формула B6.6) проверяется непосредственным вычисле-
вычислением. При х1Фх2ф...фхт из B6.6) имеем
= (if j ... j йал... d(xm(Xi... amp (xt xm, at,..., am).
Из формул B6.5), B6.6) видим, что S-корреляционные функции
полностью определяют коэффициентные функции, а следовательно,
и функции Грина. Поэтому изучение коэффициентных функций и
функций Грина можно свести к изучению S-корреляционных функ-
функций.

§ 26 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга 239
26.2. S-корреляционные функции при конечном объеме
для неполиномиальных моделей со сглаженным
пропагатором [70]
В этом пункте и в дальнейшем будем предполагать, что Л (а)—
финитная ограниченная функция, сосредоточенная на отрезке
[—R, R], sup | Л (а) | = Л < оо, поэтому ?? (ф) не может быть по-
полиномом конечной степени. Модели, лагранжиан взаимодействия
которых не является полиномом, называются неполиномиальными.
Относительно пропагатора Go (х) будем предполагать, что он поло-
положительно определен, конечен в нуле и в определенном смысле ин-
интегрируем. Из положительной определенности Go (x) вытекает спра-
справедливость неравенств
п
А, (*г — х}) > 0,
B6.7)
{х, - *,) > - Go @)
которые являются аналогом условия стабильности B5.5). Эти ус-
условия выполняются, например, если вслед за Г. В. Ефимовым [70]
положить, что пропагатор Go (x) имеет представление
где D (pz) — некоторая положительная, основная, быстро убываю-
убывающая на бесконечности функция такая, что интеграл от 2 _f \
абсолютно сходится и конечен следующий интеграл:
Cdpf|exp[—рад)«1 —Hdt/ = C(a), sup C(a) = C<oo.
B6.8)
Условие B6.8) является аналогом условия интегрируемости B5.6).
Покажем, что при этих предположениях SA (ф) существует и
является целой функцией К при конечном объеме V (Л).
Действительно, из B6.2) и B6.7) вытекает оценка
2
п=0
п
X П М (al) I ХЛ

240 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
оо
т r VRfv (Л)"ехР №2а° (°И =
7?l/(A)exp|#2G0@)]}, jt = sup|^(<z)|, B6.9)
а
из которой следует, что при конечном объеме V (Л) производящий
функционал Sa (ф) существует и является целой функцией Я,, ибо
ряд B6.2) сходится абсолютно и равномерно по X. Этот результат
был впервые установлен Г. В. Ефимовым [70]. При стремлении объ-
объема V (Л) к бесконечности производящий функционал экспонен-
экспоненциально расходится. Очевидно, что это справедливо и для Sa @).
Аналогично можно оценить и числитель выражения B6.4), опреде-
определяющего S-корреляционные функции.
Имеем
n-f-m
\\ -ft \aj) %a v J' P I — A-i aia'Sfjo (xi — xi)
2? j (ед (ед х
n+m
/—1
оо
1 л ifl-f-f7l
= | X, fiTexp \тЯЮ0 @I ехр {| X, | JtV (Л) ехр f^2G0 @)]}. B6.10)
Из B6.10) видим, что числитель выражения B6.4) является целой
функцией X при конечном объеме V (Л) и экспоненциально расхо-
расходится при стремлении объема V (Л) к бесконечности. S-корреля-
S-корреляционные функции при конечном объеме V (Л) определяются, со-
согласно B6.4), как частное двух целых функций от X и являются по-
поэтому мероморфными функциями. Функция SA @) отлична от нуля
на положительной оси как степенной ряд с положительными коэф-
коэффициентами. Кроме того, SA @) = 1 при % = 0, поэтому SA @) Ф
Ф 0 и в некоторой окрестности нуля, размеры которой зависят от
V (Л). Вследствие этого S-корреляционные функции не имеют
полюсов в некоторой окрестности нуля и на положительной оси.

§ 26 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга 241
При стремлении объема V (Л) к бесконечности числитель и
знаменатель в B6.4) экспоненциально стремятся к бесконечности.
Чтобы придать смысл S-корреляционным функциям, нужно пока-
показать, что эти расходящиеся при V (Л) -> оо выражения сокраща-
сокращаются, а «остаток» существует при определенных К.
Из всего сказанного видно, что S-корреляционные функции не
только с виду напоминают корреляционные функции классической
статистической механики, но и проблемы, возникающие в связи с
обоснованием существования их предела при стремлении объема
V (А) к бесконечности, совершенно аналогичны проблеме существо-
существования соответствующего предела для корреляционных функций.
Естественно, что и решать эту проблему для S-корреляционных
функций мы будем также с помощью уравнений типа Кирквуда —
Зальцбурга.
26.3. Уравнения типа Кирквуда—Зальцбурга
для .S-корреляционных функций
Покажем, что S-корреляционные функции удовлетворяют не-
неоднородной бесконечной цепочке линейных интегральных уравне-
уравнений типа Кирквуда — Зальцбурга. Для этого поступим так же,
как и при выводе уравнений Кирквуда — Зальцбурга для кор-
корреляционных функций. Выделим из суммы
(х, - х}) = U Цх)т+п, (o)
m+n)
слагаемые, содержащие av xt,
2 alafi0(xl—xJ) =
т
1 = 1
2 aiCCj
/=m+l
и подставим в B6.4). Выполнив тождественное преобразование
exp{-f/(Wm+n, («)m+n)} =
= exp {- U* ((х)т, (a)m)} exp {- U {{х)\+т_х, (о)^,)} X
x
16 Д. Я. Петрина и др.

242
Исследование матриц рассеяния
Гл. VII
и переобозначив хт+1 = у}, атН*=$,,
{ехр [- р/?0 {yj - хх) ccj - 1} = Кг Шп, (PU
получим
РЛ (Mm- (a)m) =
n=0
X
X
si(n-,)i ^
(WJ
X
X
n=0 s=0
x f
yn+l f\ Л
хехр{-(/((х)?+п_г
x
X
y=i
s=l

26
Уравнение Кирквуда — Зальцбурга
243
—1 /.
\
\т+п—1 /.
X
-</«*W-.. К*.»
X
n=0
ч-i-n—l с
—i— \ d (yfd (PI'
я! J n л
)n)x
2
1=1
0=0
X
?+n+p_1)} =
J
P,(D-i' (*?-
= ^Хл {хд A («i) exp I- 2
I fc=2
- Xl) a, 1 x
I
п. (P)n) X
i> (У)"- (P)n)
Отсюда получаем уравнения
i) exP — 2 ai<3«(Хг
I (=2
X
X
X Рл ((*?_,, (a)?_,, (t/)n) (P)n)|, m> 1. B6.12)

244 Исследование матриц рассеяния Гл. VI!
Для т=1 получим отдельное уравнение
рЛ(х„ аг) =
= ПА (хг) Л {а,) 1 + ^.-Ж J d
B6.13)
Мы получили уравнения B6.12), B6.13), которые естественно
назвать уравнениями Кирквуда—Зальцбурга для S-корреляционных
функций. В них не содержится расходящегося при V(A)->-oo вы-
выражения SA @); фактически при выводе уравнения Кирквуда —
Зальцбурга оно сократилось с выражением SA @), которое выдели-
выделилось из числителя дроби B6.4). Если бы в определении S-корреля-
S-корреляционных функций B6.4) отсутствовал нормирующий множитель
1/5А @), то уравнения для рд ((х)т, (а)т) имели бы по-прежнему
вид B6.13), а уравнение для рл (ху, ах) выглядело бы следующим
образом:
РЛ (*i. сц) = Ъхл (*i) Л Ы [SA @) +
)п, (Ю РЛ ((У)п, (Р)пI B6.14)
A=0
и явно содержало бы SA @).
Если в уравнениях B6.12) и B6.14) перейти от последователь-
последовательности рЛ ((х)т, (а)т) к последовательности ^—щ рл ((х)т, (а)т), то
мы придем к уравнениям B6.12),, B6.13), которые не содержат
SA@)-
При выводе уравнений Кирквуда — Зальцбурга B6.12), B6.13)
переменные (xt, аг) играли выделенную роль. В силу симметрично-
симметричности функций рЛ {{х)т, (а)т) по переменным (xlt aL), ... , (хт, aj, т. е.
р (х1, «J, х2, а2, ..., хт, ат) = р (х^, а^, x[>t а.^, ... , xim, aim)
(j1? J2, ..., Jm— какой-то набор из чисел 1, 2, ..., т), S-корреляцион-
ная функция рл {(х)т, (а)т) будет также удовлетворять уравнению
B6.12), в котором роль переменных (xv ax) играют любые из пе-
переменных (х2, а2), ..., (хт, ат).
Используем это обстоятельство для симметризации уравнений
B6.12). Из условия положительной определенности функций G0(x),
записанного при —/?<аг</?, t= 1, 2, ... ,/л в таком виде:
">-Go@)^2' B6-15)

26
Уравнение Кирквуда — Зальцбурга
245
следует, что в каждой точке ((х)т, (а)т) найдется такой индекс /,
что
«fi0 {x, — xi)at> — Go @) Я2.
B6.16)
Обозначим через 6^ ({х)т, (а)т) характеристическую функцию
множества тех точек ((х)т, (а)т), в которых осуществляется нера-
неравенство B6.16). Видоизменим эту функцию так:
v, ((x)m, (a)m) = OTB;
B6.17)
Если Л] — оператор перестановки (хъ ах) с (х}, а;), то
, (а)т) =
, (a)J.
Выпишем, кроме уравнений B6.12), и все те уравнения, в ко-
которых роль переменных (xv aj) играют (xj, aj)(j = 2, ... , т), умно-
умножим их на функцию ^-((х)т, ..., (а)т) и просуммируем от 1 до т.
В результате получим симметризованные уравнения Кирквуда —
Зальцбурга:
. (a)m) =
. (a)m
(=1
X ехр —
L
X
X
, B6.18)
X
При выводе B6.18) было учтено, что

246 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
26.4. Решение уравнений Кирквуда—Зальцбурга
Уравнения B6.18) представляют собой линейную неоднородную
систему интегральных уравнений. Как и в случае классической
статистической механики, будем решать их в банаховом про-
пространстве Ei, элементами которого являются последовательности
измеримых функций
Ф = (Ф (*i. ai). Ф {(х)п, (а)п, ..., ф ((х)т, (а)т), ...), B6.19)
сосредоточенных по а на отрезке [— R, R], с нормой
|| Ф || = sup [|-m sup | ф ((х)т, (aU |, B6.20)
т (х ,а)
где \ — некоторая константа, которую определим позже.
Определим пока формально операторы К, 1 и П в этом про-
пространстве:
[ V 1
(/Сф) {{х)т, (а)т) = Л Ю ехр — 2d v*fiQ {xt — xt) ax X
L <=2 J
Ф ({x)lm_v «_,) + V ^r f d {y)\d (P)i К (xlt olf (y)n, (P) J x
X Ф ((*)?.„ (a)Li' (У)». (РУ). m> l< B6-21)
(ХЛФ) (Wm. («) J = Хл (Wm, (a)m) Ф l(x)m, (a) J, m > 1, B6.22)
(Пф) ((x)m( (a) J = 2 VJ ((x)m. (a) J л^ф ((x)m( (ajj =
= %«j 1VJ(D. i«)m)ФA4- («)Jl- B6.23)
С помощью этих операторов уравнения B6.18; запишутся компактно,
как одно операторное уравнение в банаховом пространстве ?^:
р v = ^Хл^^^л + ^Хлй« B6.24)
где il — (Л (а), 0, ..., 0).

§ 26
Уравнение Кирквуда — Зальцбурга
247
Наряду с уравнением B6.24) введем уравнение при бесконеч-
бесконечном объеме:
А,Я. B6.25)
Поставим себе целью решить уравнения B6.24) и B6.25) при оп-
определенных Я, и показать, что решение р уравнения B6.25) является
в определенном смысле пределом для рА> когда V (Л) ->• сю. Сделаем
это в несколько этапов. Докажем вначале вспомогательную
лемму.
Лемма 26.1. Оператор ПК определен и ограничен в Еь и для
его нормы справедлива оценка
II UK || ^ Л* е ° е . B6.26)
Доказательство. Из определения функций Vj((x)m, (a)m)
имеем
I
, (а)т) ехр —
L
— xt) aJ
<exp[G0@)i?2]. B6.27)
В силу условия интегрируемости справедлива оценка
R
J d (уУп j d (p)n | К {xv alt (y)n, (p)n) | <
n R
< П j ^ J dy | exp [- pG0 (y) a] - 1 | =C» (a) < &. B6.28)
Используя B6.27) и B6.28), легко получить оценку
sup | (ШСф)((*),„, (a)m)|<
x
X
A | А
exp [Go @) R2} elc \\ Ф ||. B6.29)

248 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
Для ||ШСфЦ отсюда получаем
= sup |-™ sup | (/Сф) ((х)т, (а)т
т к, а
< sup g-"^-i exp [Go @) tf2] <??c IIФ || = ^-' exp [Go @) tf2] <?
B6.30)
Из этой оценки следует, что
|| UK || < А\~х exp [Go @) Я2] е?с.
Легко понять, что минимум в правой части неравенства B6.26) до-
достигается при 1 = С~1. В дальнейшем будем рассматривать только
?, с таким |. Для нормы || П/С || будем окончательно иметь оценку
||n/C||<^Cexp[G0@)tf2+ 1]. B6.31)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 26.1. Уравнение B6.24) при
I Я, |< (АС) ехр [— Go @) Я2 — 1} B6.32)
имеет единственное решение.
Доказательство. Так как оператор %А имеет норму, рав-
равную единице, то
||
Последовательность A%AQ принадлежит ?*, а норма оператора Я,)
при Я, из круга B6.32) меньше единицы:
|| Я,ХаП/С || < | Я, ИСехр [Go @) R2 + 1] < k < 1.
Решение уравнения B6.24) поэтому существует, единственно и
представляется сходящимся по норме Е$ рядом:
Рл = 2 (ЧаП1<)П^ап = (У - ^Ani0~^XAQ. B6.33)
A=0
причем
n | Я, МС < у^ ехр [- Go @) Я2 - 1].
Решение рл является голоморфной по А. функцией в круге B6.32),
ибо ряд B6.33) в нем абсолютно и равномерно сходится.

§ 26 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга 249
Следствие. Решение уравнения B6.25) существует, един-
единственно и является голоморфной функцией К в круге B6.32), в ко-
котором его можно представить рядом, сходящимся по норме простран-
пространства Е-.:
оо
р = 2 {ШКТШ = (/ — Ш/СГ'АД, B6.34>
причем
kn | X | JC < _J_ exp [-G, @) Я2 - 11.
Из теоремы и следствия вытекает, что при достаточно малых
К (из круга B6.32)) решения уравнений Кирквуда—Зальцбурга как
при конечном, так и при бесконечном объеме представляются схо-
сходящимся рядом теории возмущений.
26.5. Предел последовательности рЛ при стремлении
объема к бесконечности
Исследуем предел последовательности S-корреляционных функ-
функций рл при стремлении объема V (Л) к бесконечности. Приведем
ради полноты изложения следующую теорему.
Теорема 26.2. Для всех X из круга B6.32) функции рЛ имеют
своим пределом при V (Л) -> оо функции р ((х)т) в том смысле, что
I Рл (WJ - Р ((*)J I < lm* (П B6-35>
где функция lim е(Я')->0, а Я' обозначает наименьшее расстоя-
ние точек xv ..., хт?А до границы сосуда Л.
Доказательство. Для Л'с Л" имеем
о < Хл» Ш т) - хА, ((у) J < 2 A -г v (уЬ). Bб.зб>
Обозначим через Л (Л с Л') множество тех точек области Л', ко-
которые отстоят от ее границы больше чем на 6. Используя B6.28)
и B6.36), докажем оценку
ess sup | %А (х)т j d ф)\ J d (уУпК (x, av (y)n, (Р)„) Х
)»» (Р)») I <¦

250 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
к
< II ф Цт+п-ххА (WJ J d (у)п j d (Р)„ х
—R
X | К (*„ об!, (у)п, Ф)п) || ХА- ((*J-р ДО»' — ХЛ' (Wi-i» (У)п) I <
< л || Ф ||5Г'+Я-1СП+1 J dp J (ехр [-РФ (у - Xl) oj - 1) | хл ((x)J I X
X [1 — xA. ДО] аУ < n |l Ф ||ЕГ+г'~'С"~'Сб, B6.37)
где
Ce = sup j dp j dx | ехр [— рФ (ж)о] — 11. B6.38)
Дальше справедлива оценка
ess sup || [{%A,RKxA» — ХдП^Хл-) ф] (ix)m) I
из которой получаем
|[ %АПК%Л. - ХАПК%А, || < ч F), B6.39)
где
B6.40)
Рассмотрим множество Л (б) тех точек сосуда Л, которые от-
отстоят от его границы больше чем на б; из оценки B6.39) следуют не-
неравенства
II ХА,/6»П^Л(Ш-ХЛ(й)П/СхЛ((/_1)б) II < т| F) при k < / - 1
А,/6»П^Л(Ш-ХЛ(й)П/СхЛ((/_1)б) I
и
Из них следует, что
< fen (б) {\\ПК У)*,
II хмшпк%М(к_тик... ХларкхА - %мт (WII < *ч (б) II п/с ||.
B6.41)
Поэтому будем иметь неравенство
II ХЛ(„,(ХАП/О*хд - ХЛ(@) (ШО* II < Ыц (б) || Ш?||s-', B6.42)
справедливое при k = 1, ..., /.

§ 26 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга
Кроме того, имеем
251
• B6-43)
n=0 n=0
Из B6.42), B6.43) и B6.44) следует
-ХЛ(!в) A - MWO-1 II <
Если / и б устремить к бесконечности, то правая часть неравен-
неравенства B6.45) стремится к нулю. Если положим К' = 18, то получим,
что существует положительная убывающая и независящая от об-
области Л функция е (X') такая, что
lira e(A/) = O
Отсюда уже следует
е(Я)
I хл(А,')РЛ—;
B6.46)
B6.47)
B6.48)
что и доказывает теорему.
Таким образом, S-корреляционные функции существуют при
бесконечном объеме и являются голоморфными функциями X в не-
некоторой окрестности нуля. Согласно B6.6) существуют при беско-
бесконечном объеме и коэффициентные функции Fт и также являются го-
голоморфными функциями X в некоторой окрестности нуля.
26.6. Модели с нефинитным Л (а) *)
Рассмотрим случай, когда носитель ji (a.) — вся прямая R1.
Очевидно, что тогда оператор Кирквуда — Зальцбурга не опреде-
определен в банаховом пространстве последовательностей функций с ком-
компактным носителем.
*) Этот пункт написан В. И. Скригшиком.

252 Исследование матриц рассеяния Гл. VI}
Покажем теперь, что если функция jk (а) достаточно быстро убы-
убывает на бесконечности, то можно найти банахово пространство по-
последовательностей функций, в котором оператор П/С не только
плотно определен, но и ограничен [159].
Теорема 26.3. Пусть $? — банахово пространство последова-
последовательностей измеримых функций (ip(*i> -¦•> хп\ а,, .... ап}> 1 с
нормой
|| ip||v= sup sup Пехр(—e|a|V
где v > i.
Тогда, если существует 6>0 такое, что
^(а)|ехр(A +6)e|a|Vlda<oo, B6.49)
справедлива оценка
||1Щ„ = !
где
+ J M (P) | exp (fiWv) | exp f- PaG0 (x)) - 1 | dxd$].
Доказательство. Так как вывод оценки || П/С||v^sup
ничем по существу не отличается от вывода оценки нормы опера-
оператора П/С в пространство последовательностей функций с компакт-
компактным носителем (т.е. когда supp^tcz[—R, R]), то мы приступим
сразу к оценке (pv(a).
Нетрудно видеть, что [159]
j dp dx \Л (Р) | exp (eiP'v) | exp [— apG0 (*)] — 1 | <
< { \Л (P) | exp A + 6)eiPiv] dp sup exp (— 6eIP|V) x
8
x[dx\ exp [— apG0 (x)\—l\< -^ f Go (x) dx sup exp | — бе101 v +
+ |apG0@)|]
(A) sup exp | - 6elPiv + | af5vG0 @) |] =
8
= Ce.v (A) exp J- | aG0 @) | + | aG0 @) | [ In -^ |a| 1 j .

§ 26 Уравнение Кирквуда — Зальцбурга 253
Таким образом,
<PV <<*) < - ехр (| а Г) + «2G0 @) + Ce>v (Л) ехр {| aG0 @) | In -М- |а|).
Последнее неравенство означает, что lim ехр (cpv (a)) = G, т. е.
|а|->оо
Таким образом, справедлив следующий вывод: решение уравне-
уравнения B6.25) существует в банаховом пространстве .'/jv тогда, когда
Jt (а) удовлетворяет условию B6.49). Это решение единственно и
представляется в виде ряда
2 (_ X)" (ПК)" АЯ
сходящегося по норме пространства ?fiv при |X|<|| ПК||v.
26.7. 5-корреляционные функции в рамках
канонического ансамбля
В этом разделе мы введем 5-корреляционные функции, которые
будут аналогичны функциям распределения канонического ансамб-
ансамбля [18].
Для этого воспользуемся следующими функциями:
DN((x)N, (a)N, A)=-.Q-i(A)f\d(ai)exp{-U((x)N, (a)N)}, B6.50)
где
N
QN (A) = f d (x)N d (a)N 1a ((x)n) exp {- U ((x)N, (a)N)} П Л («,)•
Функции DN((x)N, (a)N, А) назовем 5-каноническим распреде
лением, a QN (A) — S-конфигурационным интегралом.
Функции распределения образуем так:
(«)». Л) =
= V^d(xy+4(ayN^%A((x)N)DN((x)N, (a)N, A), B6.51)
, (а)„ Л) =
lA((x)N_k)DN_k((x)N_k, {a)N_k, Л),
= V(A).

254 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
Чтобы получить уравнения для функций B6.51), вспомним из-
известное уже тождество
ехр {-
= ехр {- (Л- ((*)„ (oU> exp {- U ((*)?_,, (a)^,)} X
X П {1 + [ехр (-a/Go to-xJaJ-Ш. B6.52)
Подставив B6.52) в B6.51), получим
F7 ((*)„ (а)., Л) =
= Vs Qnq-\^] Л Ы) хл (*х) ехр {- U1 ((*)., (а),)} X
X \й (*,)„_ d(P)v_sxA((^_1)L>w_1((^_1, (ayN_v Л)Х
x|l + 2 C*-^i((»)m. (P)J
m=l
xx) exp {- i/1 ((дг)„ (a)8)}{F^i ((x)T_,, (а)»!,, Л)
d ф)т Ki
»)». (P)». Л)}' B6-53)
где
Параметр 1/b имеет смысл плотности частиц в четырехмерном
объеме. Для s = N получим
F%{(x)N, (а)„. Л) =
= aN (Л) Л (ttl) хл (JfJ ехр {- U1 ((x)N, (aN)} Щ (WLp («)Li« Л)'
Подобным образом найдем уравнение для Ff~*((x)8, (a)s, Л):

§ 28
Уравнение Кирквуда—Зальцбурга
255
m=l
,x
' (P)m. A)},
„_*, (ab, Л)
a
N_k
)exP{—
X
Устремим 1'и JVk бесконечности, но так, чтобы плотность оста-
оставалась постоянной A/0 = const), и определим пределы всех величин:
V.N-*-oo
f ((xs), (a)s, Л),
a(t>)= lim a (A),
V.N-*-™
V,N-*-oo
= lim
, (a),, Л),
Если потребовать, чтобы F*((x)s, (a)s) = Fa((x)g, (a)s), то получим
уравнение
~"" X
m=t
X {/%_, (ML,- (a)l_.) + 2j -^г -^Г ) d (y)m d (P)m Кг Шт, (Р) J X
)Li> («)i_r (У)™. (P)™)}. B6.54)
Если положить ps ((*)*, (a)s) = Fs((^)s, (a)s)/0s и а@) = Ь, то урав-
уравнение B6.54) для Fs переходит в уравнение B6.12) для р„ и на-
наоборот.
Условие существования решения симметризованного уравнения
B6.54) в Е. таково [130]:
а (О)
— G0@)i?2—1]. B6.55)

¦256 Исследование матриц рассеяния Гл. VII
До сих пор мы лишь формально определили предельный переход,
а также равенства между Fs((x)s, (a)s) и F$ ((x)s, (a)s), a(v) и
uh(v). Используя результаты работ [18, 19], можно показать, что
в области B6.55) F? ((x)s, (a)s, Л) стремятся к Fs((x)s, (a)s) в
смысле B6.35) и что &({х)„ (a)s) = F.((x)a, (a),), afc(ti) = a(ti).
Более того, функция a(c) оказывается голоморфной функцией D в
некоторой окрестности нуля.
По-видимому, справедлива следующая физическая интерпретация
полученных выше результатов. Функцию DN ((x)N, (a)w, Л) можно
рассматривать как функцию распределения вероятностей того, что
N виртуальных частиц имеют «обратную температуру» (а\, .. ., а^,)
и находятся в точках xlt...,xN. В свою очередь (Vs)" F?((x)s,
(a)s> Л) являются функциями распределения вероятностей положе-
положения и «обратной температуры» s виртуальных частиц (при произ-
произвольном расположении и «обратной температуре» остальных N — s
частиц).
Важно подчеркнуть, что «плотность» 1/D может быть фактичес-
фактически получена, ибо уравнение Dxa (d) = К разрешимо относительно
I/O [18, 142].
В заключение отметим, что идеи статистической механики ши-
широко используются при исследовании моделей квантовой теории
поля. Так, в работе Скрипника [159] доказано существование ре-
решения уравнений Кирквуда — Зальцбурга для моделей, у которых
функция Л (а) имеет неограниченный носитель. Используя резуль-
результаты работы [130], Альбеверио и Хе-Крон [2] доказали единствен-
единственность вакуума для неполиномиальных моделей, Фрёлих [181]
установил существование матрицы рассеяния для модели синус-
Гордон. В работе Ганчковяка [35] уравнения Кирквуда — Зальц-
Зальцбурга были получены функциональными методами. В работе Гуэр-
ры, Розена и Саймона [61] исследовалась модель к (: ср1: J с по-
помощью модели Изинга (за ссылками можно отослать читателя к кни-
книге Саймона [146]. И, наконец, в работе Добрушина и Минлоса [68]
метод гиббсовских случайных полей [66, 67] был использован при
исследовании функций Грина модели К (: ф4 :J.

Глава VIII
УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Релятивистская квантовая электродинамика является одним из
важнейших и наиболее развитых разделов квантовой теории поля.
Это объясняется прежде всего реальностью электромагнитного вза-
взаимодействия и замечательным согласием между экспериментальны-
экспериментальными данными и вычислениями для большинства атомных явлений.
Блестящие результаты по вычислению лэмбовского сдвига, сверх-
сверхтонкой структуры атома водорода, аномального магнитного момен-
момента электрона продемонстрировали высокую эффективность нового
математического аппарата, развитого в пионерских работах Томо-
наги [165], Швингера [198], Фейнмана [168] и Дайсона [62].
Вместе с тем основным методом исследований в квантовой
электродинамике является теория возмущений, которая содержит
значительное число трудностей. Кроме тех трудностей, которые при-
присущи всей квантовой теории поля, существуют специфические, свя-
связанные с нулевой массой покоя фотона, векторным характером элек-
электромагнитного поля. Поэтому исследование квантовой электроди-
электродинамики — чрезвычайно трудная, но вместе с тем и очень важная
задача. Если вопросы, связанные с ультрафиолетовыми расходимос-
тями, достаточно полно изложены во многих известных учебниках
и монографиях [8, 25, 197] по квантовой теории поля, то поведение
полного ряда теории возмущений обсуждалось только в отдельных
работах [85, 87, 134—136].
В настоящей главе мы рассмотрим основные уравнения кван-
квантовой электродинамики — уравнения для функций Грина и коэф-
коэффициентных функций S-матрицы. Очень важным является вопрос о
решении таких уравнений как в рамках теории возмущений, так
и вне ее.
§ 27. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Впервые замкнутая система уравнений для функций Грина была
получена Швингером [202]. Более удобной, как для развития функ-
функциональных методов решения, так и для обобщения на квантовую
статистику, оказалась система функциональных уравнений, учи-
учитывающих взаимодействие с внешними источниками бозе- и ферми-
полей. Последние очень детально исследованы в работах Е. С. Фрад-
Фрадкина [173—177].
17 Д- Я Петрина и др.

258 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
27.1. Уравнения Швингера
Рассмотрим полный лагранжиан системы взаимодействующих
полей, описывающий процессы квантовой электродинамики:
1=0
3
'• 2 Zj 6 s • a/ a/
m,n=O
3
n=0
Используя вариационный принцип, получим следующие уравнения
движения:
-> я
п=0
~ 3
_
+ т)= - ^ ^ & №п (х), B7.2)
В дальнейшем мы будем придерживаться обозначений книги
Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова [25]. Напомним, что
— 1/
п=-0 1=0 л=0
ij) = i?y°, а у11 ((х= 0,1,2,3) — матрицы Дирака, удовлетворяющие
условию
Ищутся решения системы дифференциальных уравнений B7.2),
которые удовлетворяют одновременным коммутационным соотно-
соотношениям для операторов \|з, \|з и Jh:
^ (х), А (У)\ = [^ (х), % {У)} = \Л„ (х), \ {у)]_ = 0,

27
Уравнения для функций Гринэ
259
(х), Ду(у)]_ = ig^V(х-у),
[Ч> (х), У (у)]+ = [Ч> (х), Ч> {у)}+ =
[Ч>(х), У (у)}+ = 7°б3 (х -у), х
Определим функции Грина следующим образом:
Gm.n (у, г; х) =
B7.4)
= (Фс Т (%л Ш ...%т (Ут) % B,) • • • %т Bт) Л^ {Хд ... ^ (Хп) Фо).
B7.5)
Здесь г|з (г/), г|з (г), ^ (х) — гейзенберговы оператрры спинорного и
электромагнитного полей; Фо — физический вакуумный вектор;
щ,..., fiv—векторные индексы, ц,г= 0, 1, 2,3; alt..., ат; $и..., Рт —
спинорные индексы, аь р\,= 1,2, 3, 4.
Используя определение B7.5), уравнения B7.2) и одновремен-
одновременные коммутационные соотношения B7.4), получим следующую це-
цепочку уравнений для функций Грина:
ц=о
Х G
m2m; ^ДГ,, . . ., \1пХп) =
р*т2т; цг/1( р,,^, .. ., \inxn)
х
m—2,n
,....am{/m;Pi2i....,
a=n
1=1
m-2 л
B7.6)
17*

260 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
Х
а,р
п
— 2 ?'/1Ц'6 (*1 — xi) Gm,n-2
Ц2Х2, . . ., \1;Хр . . ., \1пХп).
Решение системы B7.6) удается получить, если свести эту беско-
бесконечную систему к замкнутой системе трех функциональных урав-
уравнений. Мы изложим здесь метод получения такого решения, сле-
следуя работе Е. С. Фрадкина [173].
27.2. Функциональные уравнения
Как и в § 4, введем порождающий функционал для функций Гри-
Грина следующим образом:
2 (т). Л- /) =
= (Фо. Т ехр [ i j dx (r| (х) Ч> (*) + Ч> (х) х\(х) + Л (х) / (*))] ф0) =
jl-\-m-\-n
l,m,n=0 a* ai
jl-\-m-\-n n
TWyy1...dyldz1...dzmdx1...dxn x
Pi.-.Pm
Ui V-n
X TJa, (Уг) • • • ^О/О^.т.л Pm ^ЛЦп^
X T)pm (zra). . . rjPi (Zl) Л (xx). .. Л (xj. B7.7)
Варьируя B7.7) по т|, ч\ и /, получим
I (ft)
l,m,n=O
(- 1)' J dy\. .. dy]dz\.. . dzmdx\ ...dx'n
x
X TJ(У[) -Ч (Уд Gl+l,m,n (Ук y'v ¦ ¦ ->y'v z'v ¦ ¦ •' zm< x'v ¦ ¦ ¦' x'n) X
xt1B;)...t1B;)/(x1').../(x,;), B7.8)
i V
6r)
= i V -r-—r- (— \)l+m dy\... dy'Az, ...dz'dx,... dx x
^^ l\m\n\ v ' J ' ml л
x л (У\) • • • rj («/;) GItin+lin (y; yj; zl г;..., zm; x[ x'n) x
XtiB;)...tiB;)/(x1').../(x;), B7.9)

со
bZ .
«/(*) —'
(,m,n=0
Уравнения для функций Грина 261
^dy[...dy\dzl...dz'mdx[...dx-nx
х ц (у\).. . т) (</,) G; m я+1 (r/J,..., у\; z\,..., z'm, xu x\,.. ., х'п) х
X т) (z\). .. т) (г^) / (л:,') . .. } (х'п). B7.10)
В формулах B7.8) — B7.10) мы опустили спиновые и векторные
индексы. Действуя операторами (дУ1 — т), (дч-\-т) и ?*, на вы-
выражения B7.8), B7.9) и B7.10) соответственно и используя урав-
уравнения B7.6), мы получим следующую систему функциональных
уравнений:
•* з
фУ1 — т) = — ie \/¦ ,,.», ..-. . -
2
ц=0
Граничными условиями для этой системы являются
bZ 8Z Ы п . -
"^Г = ^ = ~бГ = 0 при ' = 4 = 4 =
B7.11')
Рассмотрим сначала систему B7.11) для случая свободных по-
полей, т. е. при е = 0:
(I, + /и2) = -Ai BХ) Zo> B7.12)
Легко проверить, что решение системы B7.12) имеет вид
Zo = ехр [- j dxdy {tF(*)-Lsc(x — y)K) (у) +
ц=0

262 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
где
—у)—
BяL у nfi - р2 - te U/J>
¦ _и) — — —! f eiku~m dk B7 14}
' W~ BяL ) e & + ie ' l-/-^)
p = po-f _ pY.
Решение B7.13) удовлетворяет системе B7.12) в силу соотношений
(дх — m)Sc{x — y) = — d(x — y),
Sc (у - х) (дх + т) = б(„ - 0), B7.15)
Для е^=0 будем искать решение B7.11) в виде
г = Лг0, B7.16)
где оператор А не зависит от г), т) и /*\ Как и в скалярном слу-
случае (см. § 4), уравнения B7.11) приводят к следующим соотноше-
соотношениям для оператора А:
р,=0
_H_t_/. B7.17»
u=o
[Л, f („)] = е Sp 7M
6ti (х) бг) (х)
Система B7.17) дает следующее выражение для оператора А:
B718)
Окончательное решение уравнений B7.11) запишется следующим
образом:
X ехр |— Г dx dy lr\ (x) -^- Sc (x — у) г\ (у) +
y f (х) ig ™DCO (x - у) Г (У)}] ¦ B7.19)

§ 28 Уравнения для коэффициентных функций 263
Константа С выбирается в соответствии с начальными условиями
B7.11).
Раскладывая первую экспоненту в выражении B7.19) в ряд по
константе е и проводя вариационное дифференцирование, получим
ряд теории возмущений для S-матрицы. Однако выражение B7.19)
полезно тем, что его можно пытаться осмыслить и вне теории возму-
возмущений. Для некоторых моделей это может привести к желаемому
результату при введении некоторых обрезаний.
§ 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Линейные уравнения для коэффициентных функций квантовой
электродинамики были впервые получены в работе [126]. Решения
этих уравнений в виде рядов совпадают с рядами теории возмуще-
возмущений для матрицы рассеяния. Если это решение уравнений резоль-
резольвентного типа, то ряд не содержит вкладов от вакуумных диаграмм
S-матрицы, а если решение эволюционного уравнения, то оно соот-
соответствует полному ряду теории возмущений для матрицы рассея-
рассеяния.
28.1. Уравнения резольвентного типа
При выводе этих уравнений мы поступим так же, как и в случае
взаимодействия Юкавы. Используя представление матрицы рас-
рассеяния в виде Г-экспоненты
S = Т exp It f ?, (х) dx , B8.1)
где
?, (*) = — « -X (х) Y*p% (x) А (х):,
получим следующие три формулы:
&)•• Я B8.2)
% ): S) V?Pj, B8.3)
(по повторяющимся индексам производится суммирование). Под-
Подставим теперь сюда разложение S-матрицы по свободным полям:
со
5 = 7i i!/-r ( аУ1 ¦ • • йУтй*\ • • ¦ dzmdxj, ...dxnx
Q
m,n=Q

264
Уравнения квантовой электродинамики
Гл. VIII
X :iptti Ы ¦ ¦ • \т (Ут) Fm.n (oGi«/i» • • -. сстут; р^,.... pm2m;
i,.. ., iinxn) ip (zt).. . % (zj Л (Xj) ... Л (л;»):. B8.5)
Выполняя необходимые преобразования (см. § 6), получим следую-
следующую систему уравнений:
m,n (Ук ¦¦ •• У ml гх,. . ., zm; ц^,.. .,цпхп) =
= (_ 1е)У7Г{Г\ J d^ d^ / ± Sc (у, - у) ig^Dl {у, -х)х
Х Fm,n+l (У' У2> ¦ ¦ ¦' Ут- Zl Zm\ [LX, Ц^, . . ., [1пХп) +
X Fm.n-l (У' Уг> ¦ ¦ •' Ут, Zi, ¦ • ., 2m; \к^у, . . ., \ltXt, . . ., \кпХп) +
dx igwDcu (yt —
px,
X (г/i —
ie)- —
^* (ft II *
т 1 „_i Vi/2» • * • i/m» ¦
..,z} zm;
zj, ..., zm;
,..., y,nxn), B8.6)
= (— ie)Vn
ym;z, z2,...,zm;
x
(x - Zi) i S" (г - 24) 7Д
, ym; z,z2,...,гт;
X -j-& (z -zl)yllib(z1-xt)
{- ie) К

28 Уравнения для коэффициентных функций 265
<g> [ dx ig^Dn (г, — х) Fm_Un+l (у» -,У), -, Ут> г2,. .., zm;
m n
x, м,.... цпхп) + (- ie) (~ ХJ~ У] (- I)'"' щ 2 6B1 ~ У*>Х
X бB, — Л:г) V^' ® Fm-l,n-\ (У» ¦ ¦ •• УР • ¦ "> У™> Z2> ' • " ZmJ
li1xl,...,[iixi,...,[inxn), B8.7)
'"ш.л (^/i> - . ¦> i/m> 2i, . . ., 2m; (J-jAJi, . . ., l^nXn) =
X ^n+Ln-l (^' ^' ¦ ¦ ¦' Ут> Z>ZV ¦ ¦ •' 2m; ^2. ¦ ¦ •' №п) — & (Z — X,}
m
S( 1)'~1 $ uF-n-x (Уи ¦' -'^m;2>2l> ¦ • -^ • • -Zmi
1=1
4- Sc (г — л:г) ум '
X Fm.n-l (^' »l» ¦ • - У» ¦ ¦ •> Ут> zi> ¦ • - Zm; ^2> • • •>
m m
x
хб (дс — ги) y ® ^m_,,n_, (f/i. ...,y}>..., ym; 2i, •.., zh, ...,zm;
,...,VnXn)- B8.8)
28.2. Уравнения эволюционного типа
Чтобы получить уравнения эволюционного типа, мы запишем
формулу, которая легко следует из B8.1):
-§- = - iT (J d* :* W v^ W ^M (x):). B8.9)

66 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
Такая формула использовалась в ряде работ [97, 160]. Подставляя
в B8.9) разложение B8.5), получим, как и в предыдущем случае,
, . . ., ЦпХп) =
(- I)' (- 0 / j dy их 4-S' (yt - у) ig^D^ (у,- х) х
Х Fm,n+l (У> У» ¦ ¦ ¦' У1' ¦ ¦' Ут> Zl» " ¦ •» Zm; И"*. [Х,Х,, . ., [XnX,t) +
т п
(- I)' J^ ^ б (^ - *f) (- 0 Vй' j % т Sc (^ - у) X
-— г—
(У> Уи---> У}' ¦ - Ут.1 zl» • ¦ •' zm> №i, ¦ -, Wi, . . ., \inXn)
^ j т)Я+1 , • - ., J/m; z,,. . ., ^,. . ., zm;
I—1
\uc, ii,xu . .., \xnxn) — Sc (z — Zj) igmDc0 (x — z7-) (— i)
~ 1);~' Ti S1d2 f"'•"-' ^''' 'Ут> z'z"' '"
. . ., \itXi, . ., \inxn) —Sc(z — Zj) (— 0 ч*1Ь(г, —
X ( 0 м
(- 0 Vм ® J dx ig^Dl [yu - x) Fm_Un+{ (У1, . . ., yu, ...,ym;
Zlf . . ., Z;y . . ., Zm, [XX, [Х4Х4, . . ., llriXn) +
+ (- l)m+1 -pU 2 SPi [(- 0 /' I dy dz i- S< (x, -y)x
. . .,zm; [хЛ,. . ., [Aj*f, . . .,[xnxre) x

§ 28 Уравнения для коэффициентных функций 267
m-l.n-l (#1- ¦¦¦>У1> —i/mJZl» ¦¦•.2,v ->zm<
+ (- l)m+1 (m + 1) K^+T Sp. [(-1) / [dydzdx-^S^(x-y)x
L J
* *tfj-fl.n-t-l w» ^1' • ¦ ¦' #"»> 2> 21» • ¦ ¦> 2m> ¦*¦> *l» • • ¦> xn) X
x}5cB-x) ig^Dl (y — x)]. ^28.10)
Так как в дальнейшем мы будем исследовать лишь уравнение
B8.10), перепишем его в импульсном представлении:
dp
/1 0
ц=0
is)
X Fmn+l (Ч> Р
Х (
'=1 /=1
-1)/-11d<? BяL6 (<? -Р/ ~Йг) (~ °7"'х
ц=0
X BяLб(p. — q + t)(— i)-f+ -L- V V (—
iiJ х
X

268 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
т т 3
BлL X
j
ц=0
X о (Р). — Р,- + Ц (— Ц Т ® {2п)ц-{t2 + fe) X
х Pm_Un+x (p,_-r_m; P',_^_m: J*i-»» *!-«' J*. О +
(m + 1) (— l)m+1 -y=- ^ Sp \ dq dq' BjxL8(q'— q — kt) (— i
=i
m-\- a r* , , ,
V ' " /* (OD ' Q V *Ц/\ К/ч)Х
BяL i(nfi — q'2 — is) J '
J(-4^ ^g(-1)/ ftS
x (- о
+ (m + 1) (- lf+y^+T 2 Sp [jd<7^'*B^)*6(<7'-<7+O(-t)v№ X
X BлL«(т2+92—te) m+i.e+l ^' ''l-n» ^ ' ^l-n' ^l-n' K-n> V" Q X
' gm 1
tf'2 — te) BnLi (/2 + ie) J'
A BяL i (m2 + tf
28.3. Уравнения евклидовой квантовой электродинамики
В этом разделе мы осуществим переход в евклидову область пе-
переменных в уравнении B8.11).
Чтобы перейти к уравнениям для евклидовых функций, необхо-
необходимо осуществить целый ряд преобразований. Мы проделаем этот
переход в выражении для Fm,n+\. В остальных членах уравнения
B8.11) все будет аналогично. Перепишем B8.11) в виде
ё т,п (^l-m» Pi—ш» ^l-n' ^l—n> =
- п'2 J J dc>dt 12^ь^ -р>+*) 7Д (- о
o

§ 28 Уравнения для коэффициентных функций 269
„ щ + д ет v
Л BяL i(m2— q2 — is.) BяL i (*2 + ie) A
X Fm.n+x (<?> Р,_^; ^ •*' '' •*!-«• *l^ + • • • B8'12)
Здесь /7j_n = /?!,..., /?„; /^^ = Pi,..., /?._,, pm,. . ., Pn; \ix_v,
fc,_v = {Xj, fej,.. ., [iv, kv. Чтобы перейти в евклидову область, в урав-
уравнении B8.12) нужно осуществить ряд замен.
Замена I: Fm,n = {®y°)"Fm,n. Так как функция Fm%n зависит от
2т спиновых переменных, то каждая матрица у0 умножается по
своим индексам. Умножая B8.12) слева на матрицы у0 и вставляя
1 = y°y° между m + q и Fm,n^\, получим для F'm>n выражение (при
этом распишем сумму по и и выражение т + q):
)/~1 J J d(ldt <- 0 B"L6 iq — Pi+1) Y° X
A BяL i (m2 — q2 — ie) Y BяL t" (*2 + te)
x f;,n+1 (<?, plJf_j p\_m; 0, /, и,_„. k,_n
(-!)'"' J Jd(?dz BлL6 (9 - л+о (-
m + qoyo—gy _1
X BяL i (m2 — fl2 — fe) ' BяL i (t2 4- te) X
X F'mn+X (q, Pi_?_^, p\_m; ii, t, ^_n, Л,_в) + . . B8.13)
Замена II: переход к евклидовым импульсам. Произведем в
B8.13) замену
q* = iq*, f = №, p) = iff., р]0 = 1р*, Щ = 1к\,
/=1,2 т; /=1,2, ..,п.
F'm,n (Pl-m* P'l-n,' 1*1. fel- • ¦ - 0> ktf ¦ ¦ ¦> 0- fe!m> • • - IV fe») =
= (')m^;.n (P,^,; Pi_m; И;- *i 4, kti,.... 4, ^ [inkn).

270 Уравнения квантовой электродинамики Г.-. VIII
Сделаем после этого поворот контура интегрирования в плоскостях
q°, Р. Тогда уравнения для новых функций примут вид
~de ^m.n (P\-m> P\-m> h—ri> K-t) =
X
'-->'-' H
48* (<? - p, + t) y^ -^j- X
— my0 — iq* — qy»y . ».4i
B8.14)
здесь 92 = (91J + (92J + (<73J + (94J, d49 = dq4q4q4cf.
Замена III: переход к матрицам а. Проделаем замену [202]
F'm,n(•¦•) = ( ® ехр[i-л1у%13^mFmn(...)(® ехр[4-
где у5 == V°V1V2V3« 'з = ( 3 I« °з — матрица Паули. Эта замена
\0 о,/
подобна замене I. Роль матрицы у0 выполняет матрица exp(-j niy°y&l3),
а умножение производится не только слева, но и справа. Введем
новые матрицы а4 = у075*з> a = Y°V. a5 = /y°. для которых выпол-
выполняются следующие соотношения:
fa")' = сЛ aV + aV = 26*\ (ехр [ ± -J- nfa«|J= ± ia4.
B8.15)
Учитывая B8.15), получим для F":
~de m,n (Pl—m< Р\—т> ^1—я' ^1—п' ==
~1)/-12 Яdq dt (~1) BяL6* (<? - ^ + о «а
B8.16)
здесь oi-q-\- та5 — а1^1 + а2?2 + «V + aV + та0.

§ 28 Уравнения для коэффициентных функций 27!"
Замена IV: преобразование типа Фолди — Вотхойзена. Рассмот-
Рассмотрим оператор exp[i5(^)], где
Используя B8.15), легко получить следующее равенство:
ехр [iS(q)]{a-q + та5) ехр [— iS(<?)] =
= ехр [2iS (q)] (а ¦ q + та5) = a6 V~m? + q2. B8 17
Перепишем уравнение B8.16) для функций Fw, которые определим
= ^exp[iS(Pa)]Fmn(Pl_m;р\_т; рх_п,k{_n) g^exp[-iS{pj
ы
^ f«.« (Pl-m' P'l-m' f1!-»' K-n) =
Учитывая B8.17), получим для F%,n(. ..):
4
(-!)'"' 2 JIdqdt (~} BltL64 {q ~Pi+t)x
l'
H=l'
X exp [iS (pj)] a» exp [— iS (<?)] a5 X
X FZ.n+i (<?, P^j^J. P\_m; h-n> K-n> V" 0
n m
y-. V V (- I/ Jrf^(— 1) Bя)*б* (<? - pj - kL) exp iS (Pi)an' X
X exp [— iS (q)] a5Fm,n~i {q-Pvj>_JP\-m'< ^_T-n' ki-l-J +
,"=1 ц=1
х F^,nMi (pl_m\ q'i p ~, ', \li_n' k\—n> M1' 0 ab (— 1) BлL X
X б* (/?;., -q + t) exp [iS (<?')] <*» exp [- iS (p'r)\ +

272 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
х <„_, (Pl_m; <?', p;_?,_m; ^_?_п, kx_TJ а5 х
X exp \iS (q')] о1*' ехр [- iS (р')} (- 1) Г2л)*б* (Р;„ — <? - kt) +
X ехр [iS (<7')] а"' ехр (— iS (q)) ай X
x BлLб (P) - p;., + 0 exp [iS (p,)\ a» exp [- iS {p'..)\
X б4 (q — q' + 0 exp [iS (<?')] a»* exp [— S (q)] a* X
m m n
+ (- If-1 -L, V (-1/ -J7- У (- 1У" it- У (- 1) BяL
il /'l 11
х б4 (р, — p'jr — ftj) exp [iS (Pl)] a*1 exp [— iS (p'f,)] ®
® FZ-i,n-i (pt r ;/>'- ;ia - ,ft, r ); B8.18)
v \—j—m r l—j'—m t—l—n \—l—n '
здесь <&7 = dVBjtL Km2 + <72, dt = i
§29. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ФУНКЦИЙ
29.1. Уравнения для функций ?т.„ с формфактором
Чтобы придать строгий математический смысл уравнениям
B8.18), введем в них вместо б-функций гладкие функции / (р -f-
4- р' +- k) — f (— р — р' —k) и формфактор gr (p, p', k), который

§ 29 Исследование уравнений 273
обладает следующими свойствами:
S-(p,p';k)=gr(p',p; — k); дГ(р,р';0) = 0. B9.1)
Тогда уравнения для функций Fw с формфактором будут иметь вид
(индекс W опустим)
Ж Fm.n (Pl-m> Р\-т> h_,,' *1-J =
. 4
VT+l
X Fm,n+i (<7. P2-m> P'l-m' V" *> Mw K-r) +
- k,) ab X
X /7ш/г_1 (q, p2_m; p[_m; ^2_n, fe2_n)
¦myti-\-\ j,\\dqdtF ., (o. ',q,P0 ', l^, t, u. , k. )X
n_x {px_m, q, p2_m; ^i^, k2_J X
X aT (<?, p[\ ц„ - *,) + (m + 1) (- lf+1 V'n ^ j j ^ ^' X
X Sp [Г (</', <?; ц,, - kt) cLbFm+Un_x (q, px_m, q', p[__m; ^2_л, fe2_J a5j
A .
+ m (_ if-1 -^^qri _!l Jk ^ J л r (Pl, /v, ц,
2
H=l
l <7'' P'l-m'" ^!_n. *i_n, Ц. 0 a5
® F^,^ (P2_m, p2_m; ^-„' *2-„)- B9-2)
18'/2 Л. Я. Петрииа и др.

274
Уравнения квантовой электродинамики
Гл. VIII
Здесь введены операторы антисимметризации Ар, и А • вместо
р\
т пг п
(— l)'" и ^ (— l)' и симметризации Pki вместо ^? , а
Г (р, р'; ц, k) =
= (- 1) Bл)*exp [/S (р)] а» ехр [- *S(/)] fip'-p + k)?(p, р'\ к).
Уравнения B9.2) можно переписать в операторной форме:
dF/de = nAF, B9.3)
где F — столбец функции Fm,n {m,n = 0,\,2,...):
B9.4)
(n, т)-я строчка зависит от непрерывных переменных рг,.. ., рт;
р', ¦ ¦, р ! &i> • • •» kn и является тензором я-го ранга и спинором
2т-го ранга. Оператор А может быт представлен в виде матрицы
Л' =
О О А03
0 0 0 0
^23
о о
о
^14
о л
0
ASi 0 Л34
0 А,, 0
25
о а,6 о
4лк 0 А..
0
0
0 Аы 0
0 Л58 0
Л65 0 Л69 0
^*,fe+i ' r^n,n+i "т" An>n+l> Апп_
B9.5)
B9.6)
^¦k,k—\ '
т,т
т,т т,т—1 > о
ra,/i-U0
т,т+1'0
2т = й, B9.8)
Р —
1 т,п+1
= (_. 1 fm /МЛ -^ V f С
11=1
х

§ 29
Исследование уравнений
A\
li = l
п.п— 1 ш+1,/1—1
m .m-r-l
= - (т
'•^И
т Sp [
275
«5)i-m- B9-9)
B9.10)
q; ^, -
X
a»),^, B9.12)
т,т—\
= - т
А ,
X (аТ («у, р\; щ, — ft,) а5L, B9.
. />;; И- О а5)и
2
= - т
А .
т п п ^ \rl*r\* it* 1/
= — (т + 1)]/п + 1 ^ J J J dqdq'di{®ab\_m Sp [а5Г(^', ?; |i,flo'X
а5),_т. B9.16)
х
18»

276 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
В этих формулах (<8>a5)i_n—произведением матрица5, каждая
из которых умножается по своей группе индексов. Оператор т)
(см. B9.30)) определяется соотношением
(r\F)m п(.. .) = ( \)т(® аь)\-тРт „(...)(® a5)i_m • B9.17)
В следующем пункте мы введем пространство, в котором действуют
операторы B9.6)—B9.8), и установим их свойства.
29.2. Пространство, в котором определен оператор А
Рассмотрим функции 4Vn(/?,_m; р\_т; &!_,). симметричные по
kv...,kn и антисимметричные по рх,. . . , рт и р[,. .. , р'т. Постро-
Построим из таких функций столбцы вида B9.4). Тогда пространство Jf,
в котором каждой паре элементов Т и Ф сопоставляется число
п,т=0
= 22
т,л=0 ц, цл
X Spi_m {[Wm,n (Р^т, Р\_т, !!,_„, *!_)]* X
х Фт.« (/>,_„; р',_т; h-n'fei-«)}<°°
где
dPi^m = dpi--- dpmdkx_n = dkl... dkn,
Spi-m(Vm.n(. . .)Фт.п (¦¦¦)) =
ХРт>л ^ai> ¦ ¦ ¦ ' am' Pl' • • • ' Pm^ Фтл (a" • • • • a"»; Pl» • • • > Pm)'
В ft
l Pm
является гильбертовым пространством, если его пополнить относи-
относительно нормы
7
Пространство Jf представляет собой прямую сумму гильбертовых
пространств J?m,n.
Рассмотрим теперь оператор А, заданный матрицей B9.5) в
пространстве J?. Докажем следующую лемму.
Лемма 29.1. Для оператора An,n+i> который задан выражени-

§ 29 Исследование уравнений 27/
ем B9.10), и для Фт,п+\ (: Жт n+i справедливо следующее неравен-
неравенство
II Ап,п+1Фт,п+11| < cm Уп+ 11| Фт,л+1 \\, B9.18)
т.т
где
I 4 |1/2
с== ) V Г Г Г Ип Ил nt <in i г Сп- п- I. л |2|
Доказательство. Перепишем левую часть неравенства
B9.18) в следующем виде:
II Д,.„+1 Фт.я+1 II2 - "V (. - - f dp^Jp'^Jki-n X
4 |
X Spi_m ^ f f dfl Л (® абJ_т(а5Г (р,, <7; и, Л а8) X
Теперь легко получить B9.18), если в каждом члене суммы APt
сделать замену p.-+pt (/ = 1, 2, ..., m), воспользоваться антисим-
антисимметричностью функции Ф и применить неравенство Шварца по
переменным q и I. Лемма доказана.
Заметим, что для операторов B9.10)—B9.16) можно доказать
аналогичные неравенства. Используя все эти неравенства, легко
получить следующую оценку для оператора А:
|| (ЛФ)т>я || < 2ступ + 1 || Фт.я+11| + 2бтл
+ с(т+ 1) Уп
с{т+ 1) Vn + 1II Фт+1.л+1 || + cm Vn || Фт-i.n-i || B9.19)
для любого Ж
Из B9.19) следует, что оператор А неограничен в j^f. Однако
его можно определить на всюду плотном множестве G финитных
столбцов Фб^. которые, начиная с некоторого N0 = {m0,n0}, для
всех N > N(> имеют Фц = 0. Действительно, используя неравенство
B9.19) для такого Ф, имеем
ЦЛФ1К/СЦФ11,
где
К = с(Зт0Уп0+ 1 + Зт0 |/л0 + (т0
+ (т0 + 1) Уч + 1),
Это доказывает наше утверждение.

278 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
29.3. Свойства производящего оператора
Как видно из уравнения B9.2), производящий оператор не яв-
является симметрическим во введенном пространстве Н. Более того,
из-за неположительности матрицы аъ нельзя подобрать простран-
пространство, в котором он был бы симметрическим, а следовательно, ме-
методы, развитые в работах [124, 198], неприменимы для решения
уравнения B9.3). Можно, однако, сохранить свойство симметрич-
симметричности производящего оператора, но уже в пространстве с индефи-
индефинитной метрикой, которая вводится с помощью оператора ц.
В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства произ-
производящего оператора, а вопрос существования решений уравнения
B9.3) будет исследован в следующем разделе.
Лемма 29.2. Для операторов Д*,*±ь Ак,к±-м определяемых со-
соотношениями B9.6) — B9.7), справедливы следующие свойства сим-
симметрии:
(Ak ,*±1Ф*±1, Тк) = (Ф*±1, Ak±KkWh),
B9.20)
(Л./г±зФ*±з, Wh) = (Ф*±3, Ak±i,k, Ч"ь)
для любых Ч
Доказательство. Чтобы доказать лемму, очевидно, доста-
достаточно показать справедливость B9.21), например, для Ак,к+ъ или..
что то же самое, для Ап,п+\ '•
т,т-\-\
{Ап.п+l Ф/Л+1.Л+2, ХРт.п) =
= 2 j • • • J dPi-m3p\-Jbi-« sPi-m I f (- 1) (m + 1) Vn~+~1 x
Hi... ..M.n "
x 2 Шd(? dq'dt {®a6) '-m Spi (aT (q'q; v> ^ a°x
a=l
X Offl+u+i (q, p,_m; q', p\_n; n,_n. ki-n, \i, t))(® a6)i_mJ* X
X Тт.„ (/?,_„; p\_ *)
m, и,„п
x

§ 29 Исследование уравнений 279
А
A ^
X (- 1) (т
+1,4+1.Л«). B9.21)
m+l.m
Лемма доказана. При ее доказательстве были использованы лишь
свойства симметричности функций Фи ?.
Рассмотрим теперь билинейную форму (АФ, 40, ФУ € G.
Используя представление B9.5) для оператора А, представление
Ф и 4я в виде столбцов B9.4) и лемму 29.2, получим
оо
{АФ, ?) =
2
*.*_зТ*_з) = (Ф, Л?). B9.22)
мял
к=\ *=3
Итак, оператор А определен на всюду плотном в ffi множестве
G финитных столбцов, удовлетворяет равенству B8.22) и, следова-
следовательно, симметричен.
Следуя работам [11, 12], рассмотрим следующий аналог леммы
Карлемана [93].
Лемма 29.3. Для того чтобы оператор А, задаваемый на финит-
финитных векторах матрицей B9.5), имел индексы дефекта (О, 0), до-
достаточно, чтобы
- = оо. B9.23)
max ( || ^+hAM
Доказательство леммы не представляет значительных труднос-
трудностей и может быть выполнено, например, методом, который предло-

280 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
жен в работе [12], с некоторыми изменениями, касающимися двой-
двойственности индекса N. Кроме того, оно приведено в [134].
Используя теперь представление операторов B9.6)—B9.16)
и неравенство B9.19), легко получить, что
max (|| An+i,n \\, \\ AN,N+i \\, |l
Следовательно, условие B9.23) выполнено, а значит, симметричес-
симметрический оператор А имеет индексы дефекта @, 0) и является существен-
существенно сопряженным оператором [5].
Формально решение уравнения B9.3) можно записать в виде
F = exp (er\A) Fo, Fo = A,0,0). Если понимать под exp(er\A)F0 ряд
Fo' B9-24)
то га-й член ряда будет соответствовать всем диаграммам Фейнмана
га-го порядка в разложении евклидовой 5-матрицы в ряд теории
возмущений. При этом в каждой веркцине диаграмм надо поставить
формфактор $Г (р, р'\ k), а б-функцию заменить на гладкую функцию
f( + ' + k).
29.4. Существование решения уравнений B9.3)
Оценка B9.19) для оператора А (а следовательно, и для опера-
оператора цА) показывает, что решение B9.24) уравнения B9.3) метода-
методами теории возмущений приводит к расходящемуся ряду. Однако,
как мы покажем ниже, эта оценка является грубой и не может слу-
служить критерием расходимости ряда. Для доказательства сходи-
сходимости или расходимости итерационной процедуры необходимы более
тонкие сведения об операторе цА.
В настоящем пункте мы покажем, что производящий оператор
представляется через операторы типа рождения и уничтожения, и
для формфакторов менее общего типа можно доказать сходимость
ряда теории возмущений, а следовательно, существование решения
уравнения B9.3). Сделаем для этого в B9.2) замену (при этом урав-
уравнение B9.2) запишем без формфактора)
Рт.п {Pi_m; P\_m\ {*,_„, kl-n) ~
= 11 ,„ Ч2 п/^-Ч- т-п {Pi-m' Pi-m' ^-«' kx-n) x
.=1 BлJ V tf + m?

§ 29 Исследование уравнений 281
Тогда для столбца F получим следующее уравнение:
dF/de = HF, B9.26)
где оператор Н можно представить в виде
d*k d*k dH B")*6№i-fe, + <) x
l 2 M*i)M*JMQ X
X : Ф (kt) A» (kt; k?) Ф (fc2f A (t):; B9.27)
здесь
A» {k{, k2) = V~tf exp [iS (kj)] a* exp [- iS (k2)
Фа (k) = Фа" (k) - Фа (k), B9.28)
Операторы ?* (k), Y* (k) и Лц± (t) удовлетворяют следующим со-
соотношениям:
k')]+ = Цк- k') 6a3, [Ф
[A* (k), Av+ (k')}- = б (k - k') e^v, [Л11* (й)]* = Л*± (/г).
Введем операторы
= J Лц (/г) / (k) ф (/г), ф (k) =
_ _ _ B9.29)
фо (/) = j фа (k) f (k) dp (k), dp (k) =
Тогда «сглаженные» операторы B9.29) удовлетворяют в обычном
фоковском пространстве следующим коммутационным соотноше-
соотношениям:
B9.30)
19 Д. Я. Петрина и др.

282 Уравнения квантовой электродинамики Гл. VIII
¦
Из соотношений B9.30) следует, что операторы Ф*(/) и Ф* (/)
ограничены:
||ф?(/)|1 = ||Фа(/)||<||Л1^. B9.31)
Введем в оператор B9.27) формфактор вида
б (k, + k2 + t)^4>1 (кг) Ф2 (k2) Ф @, B9.32)
где ф^Лх), ф2(Л2)е^2.ц". а ф@ €&.,*•.
Более точно, б-функцию можно приблизить линейными комби-
комбинациями произведений указанного вида. Возможность такой аппрок-
аппроксимации следует из того, что б (kx + k2 + t) есть слабый предел
последовательности функций g-n = hn (к\ + k2 + t) 0rt (kx, k2, t) x
Х(^л-*б, 0Равн-^1, 0»€^2,^,^,~2), каждую из которых в свою
очередь можно приблизить линейными комбинациями формфакто-
ров из (?2 -2 ® <?2-2 (8) ^2~2. Тогда уравнение B9.26) примет вид
B9.33)
Используя B9.32), можно представить #(ф) в виде
4 ^
Н (ф) ==2 Яй (Фх; ?2) Лй (Ф), B9.34)
2
И=1
где
= J J rfjl (fex) ф (k2) Ф1 (/гх): ф [Ы А1* (Лх^ Ф (fe2): Ф (- fe2) B9.35)
представляет собой билинейную комбинацию ограниченных опера-
торов ф*(ф), ф*(ф) и, следовательно, является ограниченным.
Обозначим [| jB^ (Фх ; Ф2) 11 = Ьц- Для оператора Лй(ф) и для любого
вектора с конечным числом компонент No справедлива оценка
II А" (Ф)/№) || < const .|| ф || \^±^-J/2 II /№) II. B9.36)
Формально решение уравнения B9.33) можно записать в виде
оо
F = ехр [еН (Ф)] Fo = ^ -J Нп (Ф) Fo. B9.37)
п=0

§ 29 Исследование уравнений 283
Чтобы показать, что вектор F существует и представим рядом
B9.37), рассмотрим норму вектора H"((f)F0. Учитывая B9.31) и
B9.36), легко получить следующую оценку:
II Нп (Ф) Fo || < const • 2 II КII Л* (Ф) Н"-1 (Ф) Fo ||<
n=i
< const -n1'2 2 6ц II ^""I (Ф) ^o II < - - -
ц=1
...<(n!)I/2[const-2 &J li ^oll = с"(/г!I/2- B9.38)
Из B9.38) следует, что
fi=O
во всей комплексной плоскости е.
п п
е с

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей монографии развит метод решения уравнений для
коэффициентных функций матрицы рассеяния в евклидовой облас-
области с импульсным и пространственным обрезанием. Для модели
X (ф*J и неполиномиальной нелокальной модели бозонного поля
построены решения при бесконечном объеме и без импульсных об-
обрезаний. В этих моделях единственные расходимости — это объем-
объемные расходимости вакуумных петель, которые можно эффективно
выделить.
Мы почти не касались вопроса о решении уравнений, которые,
кроме объемных, содержат и ультрафиолетовые расходимости.
Естественно, что при исследовании таких моделей необходимо при-
привлекать теорию перенормировок.
Мы не рассматривали также вопрос о реконструкции коэффи-
коэффициентных функций в псевдоевклидовой области по коэффициентным
функциям в евклидовой области. На языке функций Грина этот во-
вопрос решен в работах Остервальдера — Шрадера и Глазера. Было
бы интересно разработать аналогичные процедуры и для коэффи-
коэффициентных функций и сформулировать такие аксиомы для матрицы
рассеяния в евклидовой области, которые бы обеспечивали справед-
справедливость аксиом Боголюбова — Медведева — Поливанова для мат-
матрицы рассеяния в псевдоевклидовой области.
Это — предмет для дальнейших исследований.

ЛИТЕРАТУРА
1. Алебастров В. А., Ефимов Г. В.— Comm. Math. Phys. 1973, v. 31, p. 1.
2. Альбеверио, Хе-Крон: Albeverio S., Hegh-Krohn R.— Comm. Math. Phys.,
1973, v. 30, p. 171.
3. Аникин С. А., Завьялов О. И.— ТМФ, 1976, т. 26, с. 162.
4. Аникин С. А., Завьялов О. И.— ТМФ, 1976, т. 27, с. 425.
5. Аникин С. А., Завьялов О. И., Поливанов М. К.— ТМФ, 1973, т. 17, с. 189.
6. Аникин С. А., Поливанов М. К.— ТМФ, 1974, т. 21, с. 175.
7. Арефьева И. Я — ТМФ, 1973, т. 14, с. 3; т. 15, с. 207.
8. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.:
Наука, 1960.
9. Ахиезер Н. И., Глазман И. М.— М.: Наука, 1969.
10. БасуевА. Г.—ТМФ, 1975, т. 22, с. 203.
11. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных
операторов.— Киев: Наукова думка, 1965.
12. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука, 1965.
13. Боголюбов Н. Н.— ДАН СССР, 1954, т. 99, с. 225.
14. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического
подхода в квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.
15. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории диспер-
дисперсионных соотношений.— М.: Физматгиз, 1958.
16. Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С— Изв. АН СССР, 1956, т. 20, с. 585.
17. Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С— Acta Math., 1957, v. 97, p. 227.
18. Боголюбов Н. Н., Петрина Д. Я-, Хацет Б. И.— ТМФ, 1969, т. 1, с. 251.
19. Боголюбов Н. Н., Хацет Б. И. A949).—ДАН СССР, 1949, т. 66, с. 3217.
20. Боголюбов Н. Н., ШирковД. В.— ДАН СССР, 1955, т. 103, с. 203.
21. Боголюбов Н. Н., ШирковД. В.— ДАН СССР, 1955, т. 103, с. 391.
22. Боголюбов Н. Н., ШирковД. В.— ЖЬТф, 1956, т. 30, с. 77.
23. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.— Nuovo Cimento, 1956, v. 3, p. 845.
24. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.— УФН, 1955, т. 55, с. 149.
25. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.—
М.: Наука, 1973.
26. Борхерс, Циммерман: Borchers H. J., Zimmermann W.— Nuovo Cimento,
1964, v. 31, p. 1047.
27. Букафури, Кайаниело: Buccafuri A., Caianiello E. D.— Nuovo Cimento,
1958, v. 8, p. 170.
28. Бьёркен, Дрелл: Bjorken Т., Drell S.— Relativistic quantum mechanics,
Relativistic quantum fields./ McGraw Hill, New York, 1965.
29. Вайнберг: Weinberg S.— Phys. Rev., 1973, v. D8, p. 3497.
30. Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей/
(перев. с англ.— М.:, Мир, 1968).
31. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и ста-
статистике,— Л.: ЛГУ, 1976.
32. Вик: Wick G. С—Phys. Rev., 1954, v. 96, p. 1124.
33. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных перемен-
переменных.— М.: Наука, 1964.
34. Волоеич И. В., Сушко В. Я.—ТМФ, 1971, т. 9, с. 211.

286 Литература
35. Ганчковяк: Hanckowiak J.— Functional derivation of the Kirkwood—Sal-
sburg equation and its application to quantum field theory.— Wroclaw, Prep-
Preprint, 1975.
36. Гелл-Манн, Лоу: Gell-Mann M., Low F. E.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 350.
37. Гелл-Манн, Лоу: Gell-Mann M., Low F. E.— Phys. Rev., 1954, v. 95, p. 1300.
38. Гельфанд И. М., Минлос Р. А .— ДАН СССР, 1954, т. 97, с. 209.
39. Гельфанд И. М., Наймарк М. А.— Матем. сб., 1943, т. 12E4), с. 197.
40. Глазер: Glaser V.— Comm. Math. Phys., 1974, v. 37, p. 257.
41. Глимм: Glimm J.— Comm. Math. Phys., 1967, v. 5, p. 343; v. 6, p. 61.
42. Глимм: Glimm J.— Comm. Math. Phys., 1968, v. 10, p. 1.
43. Глимм: Glimm J.— Comm. Math. Phys., 1968, v. 8, p. 12.
44. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— Phys. Rev., 1968, v. 176, p. 1945.
45. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— Comm. Pure Appl. Math., 1969, v. 22,
p. 401.
46. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— Ann. Math., 1970, v. 91, p. 362.
47. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— Acta Math., 1970, v. 125, p. 203.
48. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.—Ann. Phys.. N. Y., 1970, v. 60,
p. 321.
49. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— J. Funct. Anal., 1971, v. 7, p. 323.
50. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— In: Statistical Mechanics and Quantum
Theory. Ed. by De With an Stora.— New York, Gordon and Breach, 1971.
51. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.—Comm. Math. Phys., 1971, v. 22,
p. 1.
52. Глимм, Джафе: Glimm J., Jaffe A.— J. Math. Phys., 1972, v. 13, p. 1668.
53. Глимм, Джафе, Спенсер: Glimm J., Jaffe A., Spencer T.— Ann. Math., 1974,
v. 100, p. 585.
54. Глимм, Спенсер: Glimm J., Spencer T.— The Wightman axioms and the mass
gap for the P (q>J quantum field theory.— N. Y., Preprint, 1972.
55. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений.— М.: Наука, 1971.
56. Гросс: Gross L.—Trans. Amer. Math. Soc, 1962, v. 105, p. 372.
57. Гросс: Gross L.— In: Proceedings of the fifth Berkeley symposium on mathe-
mathematical statistics and probability.— Univ. Calif. Press, Berkeley, 1968.
58. Гросс: Gross L.— J. Funct. Anal., 1972, v. 10, p. 52.
59. Гуэрра: Guerra F.— Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 1213.
60. Гуэрра, Розен, Саймон: Guerra F., Rosen L., Simon B.— Comm. Math. Phys.,
1972, v. 27, p. 10.
61. Гуэрра, Розен, Саймон: Guerra F., Rosen L., Simon B.— Ann. Math., 1975,
v. 101, p. 111.
62. Дайсон: Dyson F. J.— Phys. Rev., 1949, v. 75, p. 1736. (Имеется перевод в
кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики.— М.: ИЛ, 1954.)
63. Димок: Dimock J.— Comm. Math. Phys., 1974, v. 35, p. 347.
64. Джафе: Jaffe A.— Comm. Math. Phys., 1965, v. l,p. 127.
65. Джонсон: Johnson R. W.— J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 2161.
66. Добрушин Р. Л.— Функц. анализ и его приложения, 1968, т. 2, вып. 4,
с. 31.
67. Добрушин Р. Л.— Функц. анализ и его приложения, 1969, т. 3, вып. 1,
с. 27.
68. Добрушин Р. Л., Минлос Р. А.— Функц. анализ и его приложения, 1973,
т. 7, вып. 4, с. 81.
69. Ефимов Г. В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей.— M.i
Наука, 1977.
70. Ефимов Г. В.— ТМФ, 1970, т. 2, с. 302.
71. Жинибр: Ginibre,— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 238.
(Имеется перевод: Математика, 1965, т. 12. с. 238.)
72. Завьялов О. И.— ТМФ, 1976, т. 28, с. 27.
72. Завьялов О. И., Степанов Б. М.— ЯФ, 1965, т. 1, с. 922.

Литератур* 287
74. Иванов С. С: Ivanov S. S.— On the generating operator for Green's functions
equations.— Киев: Препринт ИТФ-70-27, 1970.
75. Иванов С. С. Equations for the 5-matrix elements in g (ф4J theory.— Киев-
Препринт ИТФ-72-15Е, 1972.
76. Иванов С. С. Исследование рядов теории возмущений для матрицы рассея-
рассеяния методом уравнений для коэффициентных функций.— Киев: Канд. дис-
диссертация, 1972.
77. Иванов С. С. Weak asymptotic expansion of coefficient functions at infinite
volume.— Киев: Препринт ИТФ-74-42Е, 1974.
78. Иванов С. С, Петрина Д. #.— ДАН СССР, 1969, т. 188, с. 776.
79. Иванов С. С, Петрина Д. Я-, Ребенке А. Л. On the equations for the S-mat-
rix coefficients functions in quantum field theory. — Киев: Препринт
ИТФ-73-92Е, 1973.
80. Иванов С. С, Петрина Д. Я-, Ребенка А. Л.— ТМФ, 1974, т. 19, с. 37.
81. Иванов С. С, Петрина Д. Я-, Ребенка А. Л.— ТМФ, 1975, т. 23, с. 160.
82. Иванов С. С, Петрина Д. Я-, Ребенке А. Л.— В сб. Проблемы физики
ЭЧАЯ, Атомиздат, 1976, т. 7, вып. 3.
83. Иванов С. С, Ребенке А. Л. On convergence of the perturbation series in (he
field theory models containing fermions.— Киев: Препринт ИТФ-71-38Е,
1971.
84. Иванов С. С, Ребенке А. Л.— ТМФ, 1972, т. 11, с. 190.
85. Иоффе Б. Л.— ДАН СССР, 1954, т. 94, с. 437.
86. Иоффе Б. Л.— ДАН СССР, 1954, т. 95, с. 761.
87. Пенни, Гартенхауз: Yennie D. R., Gartenhaus S.— Nuovo Cimento, 1958,
v. 9, p. 59.
88. Кайаниело: Caianiello E. R.— Nuovo Cimento, 1956, v. 3, p. 223.
89. Кайаниело: Caianiello E. R. Combinatorics and Renormalization in Quantum
Field Theory. W. A. Benjamin, Inc., 1973.
90. Kama: Kato Т.— Trans. Amer. Math. Soc, 1951, v. 70, p. 195.
91. Kamo: Kato Т.— Progr. Theor. Phys., 1961, v. 26, p. 99.
92. Kamo Т. Теория возмущений линейных операторов.— М.: Мир, 1972.
93. Карлеман: Carleman Т.— Ark. Mat. Ast. Fys., 1934, v. 24B, №11.
94. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.— М.: Мир, 1972.
95. Келлен: Collan С. G., Jr.— Phys. Rev., 1970, v. D2, p. 1541.
96. Кериму: Kershaw D. S.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 798.
97. Киржниц Д. А.— ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 551.
98. Кошманенко В. Д., Самойленко Ю. С— УМЖ, 1975, т. 5, с. 667.
99. Леман, Симанзик, Циммерман: Lehmann H., Symanzik К., Zimmermann W.
— Nuovo Cimento, 1955, v. 1, p. 205.
100. Ленфорд: Lanford О. Е.— Construction of quantum fields interacting by a
cutoff Yukawa coupling. / Princeton Univ., Thesis, 1966.
101. Мак Брайан: McBryan О.—Comm. Math., Phys., 1975, v. 45, p. 279.
102. Медведев Б. В., Павлов В. П., Поливанов М. К., Суханов А. Д.— ТМФ, 1972,
т. 13, с. 3.
103. Медведев Б. В., Поливанов М. К-— ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. ИЗО.
104. Медведев Б. В., Поливанов М. К- Международная зимняя школа теорети-
теоретической физики при Объединенном институте ядерных исследований.— Дуб-
Дубна: ОИЯИ, 1964, т. 1, с. 77.
105. Моеилевский О. А. Некоторые вопросы нелокальной квантовой электроди-
электродинамики частиц произвольного спина.— Канд. диссертация, Дубна.
106. Морен К. Методы гильбертова пространства.— М.: Мир, 1965.
107. Наймарк М. А. Нормированные кольца.— М.: Гостехиздат, 1956.
108. Наканиши: Nakanishi N.— Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 1957, v. 17,
p. 401.
109. Накано: Nakano Т.— Progr. Theor. Phys., 1959, v. 21, p. 241.
ПО. Нельсон: Nelson E.— Ann. Math., 1959, v. 70, p. 572.
111. Нельсон: Nelson E.—Math. Phys., 1964, v. 5, p. 332.

288 Литература
112. Нельсон: Nelson E. / In: Mathematical theory of elementary particles. Ed. by
R. Goodman and I. Segal.—MIT Press, 1966, pp. 69—73.
113. Нельсон: Nelson E.— In: Proceedings of Summer Institute of Partial Diffe-
Differential Equations.— Berkeley, 1971.
114. Нельсон: Nelson E.— J. Funct. Anal., 1973, v. 12, p. 97.
115. Нельсон: Nelson E.— J. Funct. Anal., 1973, v. 12, p. 211.
116. Нельсон: Nelson E. / In: Constructive quantum field theory. Ed. G. Velo(
A. Wightman. Lecture notes in physica—Springer Verlag, Berlin—Heidelberg-
New York, v. 25, 1973.
117. Овсянников Л. В.— ДАН СССР, 1956, т. 109, с. 1112.
118. Огиевецкий В. И.— ДАН СССР, 1956, т. 109, с. 919.
119. Остервальдер: Osterwalder K-— Thesis, ETH, Zurich, 1970.
120. Остервальдер, Шрадер: Osterwalder K-, Schrader R.— Helv. Phys. Acta,
1973, v. 46, p. 277.
121. Остервальдер, Шрадер: Osterwalder K-, Schrader R.— Comm. Math. Phys.,
1973, v. 31, p. 83; 1975, v. 42, p. 281.
122. Парасюк О. С— Изв. АН СССР, сер. матем., 1956, т. 20, с. 843.
123. Петерман: Peterman A.— Helv. Phys. Acta., 1953, v. 26, p. 291.
124. ПетринаД. Я — Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, т. 32, с. 1052.
125. Петрина Д. Я — ТМФ, 1970, т. 4, с. 389.
126. Петрина Д. Я-, Ребенке А. Л. Green function equations in quantum Elec-
Electrodynamics — Киев: Препринт ИТФ-68-59, 1968.
127. ПетринаД. Я- Иванов С. С— ДАН СССР, 1973, т. 210, с. 59.
128. Петрина Д. Я-, Иванов С. С, Ребенке А. Л. Тезисы Международного семи-
семинара по функциональным методам в квантовой теории поля и статисти-
статистической физике.—М.: ФИАН СССР, 1971, т. XII с. 7.
129. Петрина Д. Я-, Иванов С. С, Ребенке А. Л. Generating operators and Ha-
miltonian in the model g (tp4J at infinite volume.— Киев: Препринт
ИТФ-72-163Е, 1972.
130. Петрина Д. Я-, Скрипник В. И.— ТМФ, 1971, т. 8, с. 000.
131. Погребков А. К-, Сушко В. Н.— ТМФ, 1975, т. 22, с. 159.
132. Поливанов М. К-— ДАН СССР, 1955, т. 100, с. 1061.
133. Пю: Pugh R. E.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 740.
134. Ребенке А. Л. On the equations for the matrix elements of the Euclidean quan-
quantum Electrodynamics.— Киев: Препринт ИТФ-71-37Е, 1971.
135. Ребенке А. Л.— ТМФ, 1972, т. 11, с. 301.
136. Ребенке А. Л. Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассея-
рассеяния в квантовой электродинамике.— Киев; Канд. диссертация, 1972.
137. Ребенке А. Л. Equations for coefficient functions of S-matrix in g (tp4J theory
at infinite volume.— Киев: Препринт ИТФ-74-41Е, 1974.
138. Ребенко А. Л. Euclidean Fermi fields and Green function without momentum
cutoff in the Yukawa2 field theory.— Киев: Препринт ИТФ-74-54Е, 1974.
139. Ребенко А. Л. The Equations in Functional Derivatives for the Coefficient
Functions of S-matrix.— Киев: Препринт ИТФ-76-73Е, 1976.
140. Pud: Reed M.—J. Funct. Anal. 1970, v. 5, p. 94.
141. Розен: Rosen L.— Comm. Math. Phys., 1970, v. 16, p. 157.
142. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.— М.: Мир, 1971.
143. Саймон: Simon В.— Nuovo Cimento, 1969, v. 59A, p. 199.
144. Саймон: Simon В.— Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25, p. 1583.
145. Саймон: Simon В.— J. Funct. Anal., 1973, v. 12, p. 335.
146. Саймон Б. Модель P (tpJ эвклидовой квантовой теории поля.— М.: Мир,
1976.
147. Саймон, Хе-Крон: Simon В. Н., Hegh-Krohn R.—J. Funct. Anal., 1972*
v. 9, п. 121.
148. Сигал: Segal I.— Trans. Amer. Math. Soc, 1956, v. 81, p. 106.
149. Сигал: Segal I.— Ann. Math., 1956, v. 53, p. 160.
150. Сигал: Segal I.— Proc. Nat. Acad. Sci., 1967, v. 57, p. 1178.

Литература 289
151. Сигал: Segal I.— Ann. Math., 1970, v. 92, p. 462.
152. Сейлер: Seiler E.—Comm. Math. Phys., 1975, v. 42, p. 163.
153. Сейлер, Саймон: Seiler F., Simon В.—J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 2289.
154. Сейлер, Саймон: Seiler E., Simon B.— Bounds in the Yukawa2 quantum fi-
field theory. Upper Bound on the pressure, Hamiltonian bound and linear lower
bound.— Princeton, Preprint, 1975.
155. Симанзик: Symanzik K.— Lectures at a Summer school for high energy phy-
physics.— Yougoslawia, 1961.
156. Симанзик: Symanzik K-— J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 510.
157. Симанзик: Symanzik K. / In: Proceeding of the International school of phy-
physics «Enrico Fermi» Ed. R. Tost.— Varena, Acad. Press, 1969.
158. Симанзик: Symanzik K-— Comm. Math. Phys., 1970, v. 18, p. 227.
159. Скрипник В. И. On the convergence of perturbation series for the S-matrix
correlation functions in nonpolynomial models at an infinite Euclidean volu-
volume.— Киев: Препринт ИТФ-72-175Е, 1972.
160. Софер, Висконти: Soffer Т. С, Visconti A.— Phys.'Rev., 1967, v. 162, p. 1386.
161. Степанов Б. М.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1963, т. 27, с. 819.
162. Тейлор: Taylor J. Q.— Suppl. Nouvo Cimento, 1963, v. 1, p. 859.
163. Тейлор: Taylor J. Q.— J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 1720.
164. Тирринг: Thirring W. E.— Helv. Phys. Acta, 1953, v. 26, p. e3.
165. Томонага: Tomonaga S.— Progr. Theor. Phys., 1946, v. 1, p. 27. (Имеется
перевод в кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики.— М.: ИЛ,
1954, с. 1).
166. Фаддеев Л. Д.— ДАН СССР, 1963, т. 152, с. 573.
167. Файнберг В. Я- Международная зимняя школа теоретической физики при
Объединенном институте ядерных исследований.— Дубна: ОИЯИ, 1964.
168. Фейнман: Feynman R. P.— Rev. Mod. Phys., 1948, v. 20, p. 367: Phys. Rev.,
1949, v. 76, p. 749; Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 769. (Имеется перевод в кн.:
Новейшее развитие квантовой электродинамики.— М.: ИЛ, 1954, с. 138).
169. Фельдман: Feldman J.— Nucl. Phys., 1973, v. B52, p. 608.
170. Фивел: Fivel D.— Phys. Rev., 1971, v. D4, p. 1653.
171. Фок В. A. Zs. F. Phys., 1932, v. 75, p. 622.
172. Фок В. A.— В сб. Работы по квантовой теории поля.— Л.: ЛГУ, 1957.
173. Фрадкин Е. С— ДАН СССР, 1954, т. 98, с. 47.
174. Фрадкин Е. С— ДАН СССР, 1955, т. 100, с. 897.
175. Фрадкин Е. С—ДАН СССР, 1959, т. 125, с. 311.
176. Фрадкин Е. С— Nucl. Phys., 1963, v. 49, p. 624.
177. Фрадкин Е. С— Труды ФИАН, 1965, т. 29, с. 7.
178. Франк: Frank W. H.— J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 363.
179. Фрёлих: Frohlich J.— Helv. Phys. Acta, 1974, v. 47, p. 265.
180. Фрёлих: Frohlich J.— Adv. Math., 1977, v.23, p. 119.
181. Фрёлих: Frohlich J.— Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, p. 833.
182. Фридрихе, Шапиро: Friedrichs К., Shapiro H. N.— Proc. Nat. Acad. Sci.*
1937, v. 43, p. 336.
183. Фридрихе К- Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.—
М.: Мир, 1969.
184. Хе-Крон: Hegh-Krohn R.—Comm. Math. Phys., 1971, v. 21, p. 244.
185. Xenn: Hepp K— Comm. Math. Phys., 1967, v. 6, p. 161.
186. Xenn: Hepp K.— Systems a un nombre infini de defres de liberte.— Sprin-
ger-Verlag; 1970.
187. Xenn К. Теория перенормировок.— M.: Наука; 1974.
188. Хилле Э. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: ИЛ,
1962.
189. Хори: Hori S.— Progr. Theor. Phys.; 1952; v. 7; p. 578.
190. Хунцикер: Hunziker W.— J. Math. Phys.; 1965; v. 6; p. 6.
191. Хунцикер: Hunziker W.— In Lectures in theorytical physics,—New York
Gordon and Breach v. X-A 1968.

290 Литература
192. Циммерманн: Zimmermann W.— Comm. Math. Phys., 1967, v. 6, p. 161.
193. Циммерманн: Zimmermann W.— Comm. Math. Phys., 1969, v. 11. p. 1.
194. Циммерманн: Zimmernann W.— Ann. Phys. 1973, v. 77, p. 536.
195. Циммерманн: Zimmermann W.— Ann. Phys., 1973, v. 77, p. 570.
196. Чуешов И. Д. Об уравнениях для S-матрицыв евклидовой теории.— Киев:
Препринт ИТФ-76-68Р, 1976.
197. Швебер С. Введение в релятивистскую теорию поля.— М.: ИЛ, 1963.
198. Швингер: Schwinger J.— Phys. Rev., 1948, v. 74, p. 1439; Phys. Rev., 1949,
v. 75, p. 651; Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 79.
(Имеется перевод в кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики.—
М.: ИЛ, 1954, с. 12).
199. Швингер: Schwinger J.—Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), 1951, v. 37, p. 452,
455. (Имеется перевод: ПСФ, 1955, т. 3).
200. Швингер: Schwinger J.— Phys. Rev., 1951, v. 82, p. 664.
201. Швингер: Schwinger J.—Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), 1958, v. 44, p. 956.
202. Швингер: Schwinger J.—Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 721.
203. Шилов Г. Е. Математический анализ (второй специальный курс).— М.:
Наука, 1965.
204. ШирковД. В.— ДАН СССР, 1955, т. 105, с. 972.
205. Шрадер: Schrader R.— Ann. Phys., 1972, v. 70, p. 412.
206. Щербина В. А.— ТМФ, 1973, т. 14, с. 342.
207. Щербина В. А. Некоторые свойства Я-операции для полей с локальным вза-
взаимодействием.— М.: Докт. диссертация, 1975.
208. Эдварде Р. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1969.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алебастров В. А. 285
Альбеверио (Albeverio S.) 256, 285
Аникин С. А. 28, 285
Арефьева Н. А. 285
Ахиезер А. И. 285
Ахиезер Н. И, 285
Басуев А. Г. 285
Береза некий Ю. М. 285
Березин Ф. А. 285
Берестецкий В. Б. 285
Боголюбов Н. Н. 13, 28, 45. 46, 222, 223,
258, 285
Борхерс (Borchers H. J.) 285
Букафури (Buccafnri A.) 285
Бьёрксн (Bjorken Т.) 285
Вайнберг (Weinberg S.) 285
Вайтман (Wightmann A.) 285
Васильев А. Н. 285
Вик (Wick G. С.) 17, 24, 25,
Висконти (Visconty A.) 289
Владимиров В. С. 73, 285
Волович Н. В, 117, 285
285
Ганчковяк (Hanckowiak J.) 256, 286
Гартенхауз (Gartenhaus S.) 287
Гелл-Манн (Gell-Mann M.) 13, 45
286
Гельфанд И. М. 112, 286
Глазер (Glaser V.) 286
Глазман Н. М. 285
Глимм (Glimm J.) 115, 117, 138, 151, 286
Градштейн Н. С. 286
Гросс (Gross L.) 286
Гуэрра (Guerra F.) 122, 165, 256, 286
Дайсон (Dyson F. J.) 13. 71, 257, 286
Джафе (Jaffe A.) 115, 151, 286
Джонсон (Johnson R. W.) 28, 286
Димок (Dimok J.) 286
Добрушин Р. Л. 256, 286
Дрелл (Drell S.) 285
Ефимов Г. В. 71, 222, 239, 240, 286
Жинибр (Ginibre J.) 222, 286
Завьялов О. И. 28, 29, 285, 286
Иванов С. С. 287
Иоффе Б. Л. 287
Иенни (Yennie D. R.) 287
167,
Кайаниелло (Caianiello E. R.) 287
Карлеман (Carleman Т.) 124, 279, 287
Като (Kato J.) 210, 287
Кац (Кае М.) 145, 147, 287
Келлен (Collan С. G.) 287
Киржниц Д. А. 287
Кошманенко В. Д. 287
Леман (Lehmann H.) 287
Ленфорд (Lanford О. Е.) 287
Логунов А. А. 285
Лоу (Low F. Е.) 13, 45. 167, 286
Мак Брайан (МсВгуап О) 287
Медведев Б. В. 46, 285, 287
Минлос Р. А. 256, 286
Могилевский О. А. 287
Морен (Maurin К.) 287
Наймарк М. А. 112, 287
Наканиши (Nakanishi N.) 71, 287
Накано (Nakano Т.) 71, 287
Нельсон (Nelson E.) 71, 94, 145. 147, 153,
210. 287. 288
Овсянников Л, В. 45, 288
Огиевецкий В. И. 288
Остервальдер (Osterwalder К.) 71, 117, 288
Павлов В. П. 287
Парасюк О. С. 28, 285, 288
Петерман (Petermann A.) 288
Петрина Д. Я. 222, 285, 287, 288
Погребков А. К. 117, 288
Поливанов М. К. 28, 46, 285, 287, 288
Пю (Pugh R. Е.) 28. 288
Ребснко А. Л. 287, 288
Рид (Reed M.) 288
Розен (Rosen L.) 122, 256, 286, 288
Рыжик Н. М. 286
Рюэль (Ruelle О.) 223, 288
Саймон (Simon В.) 11, 122, 151, 256. 286,
288, 289
СамоЙленко Ю. С. 287
Сейлер (Seiler E.) 289
Сигал (Segal I.) 288, 289
Симанзик (Symanzik К.) 45, 71, 222, 289
Скрипник В. И. 222, 251, 256, 288, 289
Софер (Softer Т. С.) 289
Спенсер (Spenser Т.) 151, 286
Степанов Б. М. 28, 286
Суханов А. Д. 287
Сушко В. Н. 117, 285, 288

292
Именной указатель
Тейлор (Taylor J. G.) 75, 289
Тирринг (Thirring W. Е.) 289
Тодоров И. Т. 285
Томонага (Tomonaga S.) 13, 257, 289
Фадеев Л. Д. 117, 221, 289
Файнберг В. Я. 289
Фейнман (Feinman R. Р.) 13, 145. 147,
257. 289
Фельдман (Feldman J.) 289
Фивел (Fivel D.) 222. 289
Филлипс (Phillips R. S.) 289
Фок В. А. 205, 289
Фрадкин Е. С. 28, 71, 222, 257, 289
Франк (Frank W. Н.) 289
Фрёлих (Frohlich J ) 256, 289
Фридрихе (Friedrichs К.) 117, 289
Хори (Ногу S.) 289
Хунцикер (Hunzicer W.) 289
Циммерманн (Zimroermann W.) 28. 290
Чуешов И. Д. 290
Шапиро (Shapiro H. N.) 289
Швебер (Schweber S.) 290
Швингер (Schwinger J.) 13. 23. 71. 257,
290
Шилов Г. Е. 290
Ширков Д. В. 13. 45, 46. 222. 258. 285,
290
Шрадер (Schrader R.) 71. 288. 290
Хацет Б. И. 285
Хе-Крон (Hegh-Krohn К.) 256, 285, 289
Хепп (Нерр К.) 28. 117, 289
Хилле (Hille E.) 289
Щербина В. А. 28, 290
Эдварде (Edwards R.) 290

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Активность 223, 232
Алгебра банахова 111—112
Ансамбль большой канонический 223
— канонический 232
Антикоммутационные соотношения (см.
Коммутационные соотношения для фер-
ми-полей)
Антисимметризации оператор 274
Антисимметризация уравнений резольвент-
резольвентного типа 96
Аппроксимация гамильтонианов 127. 131.
144
— дискретная периодическая 103
— полевых операторов ограниченными 127,
130. 143
— производящих операторов 142
— уравнений резольвентного типа при бес-
бесконечном объеме 203
Базис ортонормированный в пространстве
Фока 113
Банахова алгебра 111—112
Бозе-поля (см. также Операторы полевые.
евклидовы) 107. ПО
Больцмана константа 223
Вакуумное среднее 17. 35. 146
Вакуумные вклады 24, 44. 50. 82. 87. 166
Вакуумный вектор 17. 19. 39. 109. 126.
259
Вариационное дифференцирование поро-
порождающих функционалов 32—37. 43, 57—
61. 260—262
S-матрицы 46, 51. 263
Вариационный принцип 17
Вектор циклический 112
Вероятности переход 13
— плотность 224, 232
Взаимодействие между полями 13—17. 39.
258
Взаимодействия гамильтониан (см. Га-
Гамильтониан)
— интенсивность 19
— константа 15, 17
— лагранжиан (см. Лагранжиан)
— степень 13
Вика мономы 112
— поворот контура интегрирования 75
— теорема 17, 25. 35, 47
обобщенная 24. 26
Гамильтониан аппроксимированный 127—
134
— взаимодействия скалярного поля 117—
121
Юкавы 122—125
— полный 18. 121—122
. нижняя граница спектра 121
— —перенормированный 116, 125—126
— свободный для скалярного поля 18. 108
— фермионного поля 109
— системы нерелятивистских частиц 205
Гамма-матрицы 39. 84. 258
Гельфанда—Наймарка изоморфизм 112. 113
теорема 112
Гиперповерхность (гиперплоскость) 181
Голоморфности область для коэффициент-
коэффициентных функций 75, 79
— продолжение коэффициентных функций
в евклидову область 73. 75, 79
Грина функция взаимодействующего ска-
скалярного поля 19, 24
— — взаимодействующих фермионных и
бозонных полей 39
в квантовой электродинамике 259
евклидова 89
перенормированная 27—29
свободного скалярного поля 20
— —, связная часть 30
— —, связь с коэффициентными функция-
функциями 56
с S-матрицей
уравнения Дирака (причинная) 40
— — уравнения Клейна—Гордона 20
Действие системы 17
Дирака матрицы 39, 84, 258
— уравнение 108
Евклидова область 71, 87
Евклидово пространство Фока ПО
Евклидовы коэффициентные функции (см.
Коэффициентные функции)
— поля (см. Операторы евклидова поля)
— уравнения (см. Уравнения)
— функции Грина (см. Грина функция евк-
евклидова)
Изоморфизм Гельфанда—Наймарка 112. 113
Интегрирования контур 75, 76
. сингулярности 77. 78
Интегрируемости условие на потенциал 224
Карлемана лемма 199, 279
Квадрат вектора евклидово-инвариантный
75
лоренц-инвариантный 75
Кирквуда—Зальцбурга уравнение 222. 225.
227, 234
Клейна—Гордона уравнение 17
Коммутационные соотношения для евкли-
евклидовых бозе-полей 94, 111. 281
ферми-полей 100, 281
— — — источников внешнего спинорного
поля 43
— — — перенормированиых операторов
поля 29
частиц в нерелятивистской кванто-
квантовой механике 206

294
Предметный указатель
Коммутационные соотношения, одновре-
одновременные для скалярных полей 17
— —, — — ферми-полей 39
— —, — — электромагнитного поля 258,
259
Константа перенормировки заряда 29
— — массы 29
поля 29
Контрчлены в лагранжиане 28, 29, 125
Конфигурационный интеграл 232
Корреляционные функции 223
Коши задача для уравнения Шредингера
208, 213
Коэффициентные функции 14, 15, 16
, преобразование Фурье 72, 73. 84
, связные части 60
— —. связь с функциями Грина 57
Лагранжиан вещественного скалярного по-
поля 14, 17
— взаимодействия Юкавы 15
— квантовой электродинамики 258
— неполиномиальиый 37, 236
— перенормированный 28
— системы взаимодействующих скалярных
и спинорных полей 39
Матрица операторнозначная якобиева 195,
274
— рассеяния (S-матрица) 13
Мера rfn(o) 114
Метрический тензор 8, 84, 258.
Множество Со 8
— Cq° 8. 102. 219
— С°B) 112
— &а П1
-&<*> B. dn) 8
— плотное 112
Нормальное произведение операторов поля
15, 17
Нормировка коэффициентных функций 184
Область евклидова 71, 87
—- определения оператора 190
— плотная (см. множество плотное) 185
Обрезания объемные 102, 116
¦—ультрафиолетовые 105, 116
Ограниченность операторов относительная
125
— — ферми-полей 138
Операторы евклидова бозе-поля 94. 103, 111
ферми-поля 98. 100, 101, 103. 281
— —электромагнитного поля 281
—, определяющие уравнения (производя-
(производящие) для функций Грина 41, 44
—, коэффициентных функций 50
—, при бесконечном объеме 184
— полевые (см. Поле)
— рождения и уничтожения линий фейнма-
новских диаграмм (см. Операторы евк-
евклидовых полей)
— числа частиц 108, 109
Перенормировки константы 29
Перестановочные соотношения (см. Комму-
Коммутационные соотношения)
Поле вещественное скалярное 17
¦ свободное 18
— фермионное свободное 108
— электромагнитное 258
Полугруппа квазиограниченная 127
— класса Со 127
Полугрупп теорема о разложении в ряд
теории возмущений 133
Порождающий (производящий) функцио-
функционал для коэффициентных функций 35
связных частей коэффициентных
функций 60
S-матрицы 35, 237
функций Грина 30. 43. 260
распределения 222
Потенциал парный 223
Предел последовательности операторов по
графику 126
— термодинамический 165, 233, 234
Проектирования оператор 122, 218
Произведение нормальное 15, 17
— прямое 8, 41. 52. 53, 54, 109, 111
— скалярное 108—110, 114, 190, 181. 182. 184
— тензорное 107, 109, ПО, 111. 209
— хронологическое (Г-произведение) 14, 20
Производящий оператор (см. Операторы,
определяющие уравнения)
— функционал (см. Порождающий функ-
функционал)
Пррпагатор Фейнмана 76
сглаженный 239
Пространство банахово ?|, Эр* 228, 232
— гильбертово трансляционно-инвариант-
ных функций 180, 183
— евклидово фоковское ПО
-2М«<*) 8, 112
— Si, 0 8, 111
— SMS. dn) 8. Ill, 112
-S"p(S, rfn) 8
— Rd(Rs) 8
— псевдоевклидово 8
Разбиение множества переменных {AT} 181
Разложение в ряд по теории возмущений
(см. Теория возмущений)
— Неймана для резольвенты 203
Расходимости объемные 164. 240. 241
— рядов теории возмущений 194, 201
— ультрафиолетовые 19
R-операции теория 28
Самосопряженность в существенном 111
для гамильтонианов 119. 121, 135
Симметризация уравнений резольвентного
типа 91
Скалярное поле (см. Поле)
S-корреляционные функции 237
S-матрица в квантовой электродинамике 16
— для взаимодействия Юкавы 15
скалярного взаимодействия 13. 14
Спаривание полевых оператороз 104, 105,
129
хронологическое 25, 35, 47
Стабильности условие 224, 229
Статистическая сумма 224
Сходимость подгруппы 126
¦ последовательности операторов по
графику 126
сильная 126, 132, 136, 153,152,163,164
слабая 162. 163, 163
— резольвент 126
Температура обратная 223. 237
Теорема Гельфанда — Наймарка lis
— об ограниченности снизу полного га-
гамильтониана 121

Предметный указатель
295-
Температура о голоморфном продолжении
коэффициентных функций 75
— о единственности нижайшего собственно-
собственного вектора полного гамильтониана
121, 126
— — решения уравнений для S-корреля-
ционных функций 248
— о разложении полугрупп в ряд теории
возмущений 133
— о решении уравнений для коэффициент-
коэффициентных функций 136, 140, 142, 153
— о сильной сходимости полугрупп 126
— о существенной самосопряженности пол-
полного гамильтониана 121. 125
— о существовании коэффициентных функ-
функций при бесконечном объеме 178
Теории возмущений ряд для коэффициент-
коэффициентных функций 50, 101, 102, 280
S-матрицы 13
функций Грина 45
Трансляционно-инвариантные функции 72,
190
.преобразование Фурье 73. 181
Г-экспонента 13, 36, 263
Уравнение Дирака 108
— Клейна—Гордона 17
Фейнмана диаграммы 15, 24, 27, 71, 102
— пропагатор (см. Пропагатор)
Фолди—Вотхойзена преобразование 271
Формула Гелл-Манна—Лоу 167
— Дуамеля 160
— Фейнмана—Каца—Нельсона 148, 159
Характеристическая функция 104, 224
Хевисайда функция 20, 21
Циклический вектор 112
Швингера уравнение для функций Грина
(см. также Уравнения для функций
Грина резольвентного типа) 23, 259
Эквивалентность уравнений для коэффи-
коэффициентных функций и функций Грина 55
Энергия потенциальная системы л-частиц,
224
Юкавы модель взаимодействия 15

Дмитрий Яковлевич Петрина,
Станислав Станиславович Иванов,
Алексей Лукич Ребенке
УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
М., 1979 г.. 296 стр. с илл.
Редактор И. Г. Вирко
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Г. В. Подвольская, Н. Д. Дорохова
ИБ № 11120
Сдано в набор 11.10.78. Подписано к печати
17.01.79. Т-01857. Бумага 60X90'/ie. тип. №. 1.
Высокая печать. Литературная гарнитура.
Условн. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 21,31. Тираж
4000 экз. Цена книги 2 р. 40 к. Заказ № 8-1077.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Киевская книжная типография научной книги
республиканского производственного объеди-
объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР,
252004, г. Киев, ул. Репина, 4.