Адаптивные системы автоматического управления летательными аппаратами - Соколов Н.И., Рутковский В.Ю., Судзиловский Н.Б.

Автор: Соколов Н.И. Рутковский В.Ю. Судзиловский Н.Б.
Теги: техника средств транспорта воздушный транспорт авиация и воздушные соединения воздушные линии и аэропорты авиация летательные аппараты теория автоматического управления издательство машиностроение
ISBN: 5-217-00146
Год: 1988
Похожие
Системы автоматического управления летательными аппаратами
Исполнительные устройства систем управления летательными аппаратами
Автоматические сервисные станции для обслуживания электрических беспилотных летательных аппаратов
Бортовые терминальные системы управления
Текст
                    ДЛЯ ВУЗОВ
Н.И.Соколов
В.Ю.Руплковский
. Н.Б.СуОзи.ювский
АДАПТИВНЫЕ
1 СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
; ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ
АППАРАТАМИ
ДЛЯ ВУЗОВ
Н.И.Соколов
В.Ю.Рутковский
Н.Б.Судзимвский
АДАПТИВНЫЕ
СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ
АППАРАТАМИ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
авиационных специальностей вузов.
МОСКВА
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1988
ББК 39.52
С 59
УДК 62977.017.2 (075.8)
Рецензенты: кафедра теории автоматического регулирования и
авиационной автоматики КНИГА, д-р техн, наук Ф. А. Шаймар-
данов
Соколов Н.И. и др.
С59 Адаптивные системы автоматического управления лета-
тельными аппаратами: Учеб, пособие для студентов авиа-
ционных специальностей вузов / Н,И, Соколов, В.Ю, Рут-
ковский, Н.Б. Судзиловский, — М,: Машиностроение, 1988-
208 с.: ил.
ISBN 5-217-00146
Изложены принципы формирования структуры и методы расче-
та параметров быстродействующих беспоисковых адаптивных систем
автоматического управления (САУ) летательными аппаратами.
Приведены различные методы идентификации переменных па-
раметров объекта управления в нестационарной системе.
Рассмотрены принципы построения беспоисковых адаптивных
систем управления объектами с медленно меняющимися парамет-
рами.
С
3606030000-136
038 (01)-88
136-88
ББК 39.52
ISBN 5-217-00146
© Издательство ’’Машиностроение”, 1988
ВВЕДЕНИЕ
В.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ АДАПТИВНЫХ САУ
Проектируемая система автоматического управления должна отве-
чать заданным техническим требованиям при изменении в широких пре-
делах параметров объекта управления и элементов регулятора, характе-
ристик управляющих и возмущающих воздействий при жестких энерге-
тических ограничениях некоторых элементов.
Для многих систем управления летательных аппаратов (ЛА) харак-
терна большая неопределенность условий их работы. Сведения о действи-
тельных значениях параметров объекта управления бывают весьма не-
точными, а законы их возможных изменений известны весьма прибли-
зительно, недостаточны сведения о начальном состоянии САУ, неопреде-
ленны сведения о возможных входных сигналах и возмущающих воз-
действиях. Часто внешние воздействия и некоторые параметры системы
приходится описывать статистически. При большой степени неопреде-
ленности и жестких энергетических ограничениях процедура синтеза си-
стемы управления ЛА должна предусматривать одновременное решение
задач формирования максимально эффективного управляющего ус-
тройства и наилучшего (в некотором смысле, оптимального) алгоритма
управления, использующего апостериорную информацию, получаемую
в процессе функционирования системы.
Адаптивной будем называть систему, в которой для уменьшения
степени неопределенности и достижения заданных показателей качества
процессов управления осуществляется целенаправленное принудитель-
ное изменение параметров и структуры управляющего устройства на ос-
нове текущей (апостериорной) информации.
Адаптивные САУ обычно являются нелинейными и нестационарны-
ми, Поведение таких систем описываются нелинейными дифференциаль-
ными уравнениями с переменными коэффициентами.
Следует подчеркнуть^ что при отсутствии энергетических ограниче-
ний достижимы любые показатели качества управления и нет необхо-
димости прибегать к адаптивным системам. Поэтому, если энергетичес-
кие возможности не ограничиваются, то требуемые показатели качества
управления могут быть получены с помощью какой-либо неадаптивной
системы одного из нижеследующих видов. Это может быть система из
класса линейных систем с эталонной моделью [ 7], или систем, устойчи-
вых при бесконечно большом коэффициенте усиления [13], систем
3
с управлением по принципу ’’локализации” [ 2], систем переменной
структуры [4]. К таким системам также следует отнести автоколеба-
тельные системы [5], параметрически инвариантные компенсационные
системы [ 24], некоторые системы с параметрическими связями.
Известно, что перечисленные системы сохраняют свою работоспособ-
ность при значительных изменениях параметров объекта управления и
могут приближаться к системам, оптимальным в смысле качества пере-
ходных процессов [6]. Некоторые из этих систем иногда называют си-
стемами с пассивной самонастройкой. Можно сказать, что они обладают
свойством координатной адаптации. Ниже системы указанного класса
будем относить к системам, эквивалентным адаптивным,
В.2.	ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ САУ
НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Возьмем некоторую нелинейную нестационарную САУ, которая опи-
сывается уравнением
С1 UbIX.	. О =Q2 *ВХ, ,...
dt	dtn	dt
d хвх	dtp .
••	•> : - ,4>,
dtm	dt
xBX — входной сигнал; р — возмущение, действующее на систему.
Это уравнение в форме ’’вход—выход” иногда удается представить вне-
сколько более удобном ввде, когда его правая и левая части будут со-
держать суммы, в которых слагаемые являются произведениями вцда 4
4 /	\ *ВЬ1Х	z ч ^*вх
A (Xi, г)---Т--- И Bj (Xj, t)-7- ,
dtK	dt1
где Xi — некоторые координаты состояния.
Так как координаты системы Xj являются функциями внешних
воздействий и параметров системы, то можно написать Аь (х/, t) =
= Ак (хвх, 7, а (0) , где г — параметры регулятора: a (г) — параметры
объекта управления?
Если обозначить через pz- некоторые оценки качества САУ, то pz- =
=Fi (г, а (Г), хВх, • Можно ставить задачу оптимизации pz«.
Очевидно, что в общем случае при оу = var с учетом многочисленньгх
ограничений значения pz- могут не удовлетворять требованиям при г =
= const. Поэтому решение задачи следует искать на пути построения адап-
тивных САУ при формировании таких законов изменения параметров
г, при которых обеспечивается достижение оптимума заданной оценки р;*.
lijCTb при некоторой структуре регулятора существуют такие зна-
4
чения его параметров г, при которых обеспечивается оптимизация
оценки Pj при текущих значениях *(f), хвх, Первое возможное реше-
ние будем искать в классе систем с поисковыми колебаниями. Организу-
ем пробные движения по параметрам регулятора г. Например, каждый
параметр будем принудительно изменять по гармоническому закону с
фиксированной частотой, отличной от частот пробных движений других
параметров. С помощью узкополосных фильтров можно выделить реак-
цию системы на- каждое поисковое движение, оценить эту реакцию,
а затем произвести целенаправленное изменение параметров регулято-
ра с целью достижения оптимума оценки pz- [ 7].
'Технические решения могут быть различными, но для всех решений
характерными будут поисковые движения по параметрам регулятора
7. Информация об а (г), хвх, здесь не требуется. Основным недостатком
данного принципа управления является большое время отыскания опти-
мума, которое обычно гораздо больше времени регулирования. Адаптив-
ные системы, в которых осуществляются поисковые движения парамет-
ров регулятора для достижения оптимума заданной оценки качества, на-
зываются системами экстремального управления или, в частном случае,
системами с экстремальной настройкой корректирующих устройств [7].
Другое решение можно искать в классе систем, в которых измеряют-
ся а, хвх, 1^и в' зависимости от их значений осуществляется перестройка
параметров регулятора и, если требуется, структуры с целью получения
оптимального значения оценки р;-.
Целесообразно различать два принципа измерения текущей инфор-
мации:	_
а)	непосредственное измерение хвх, и измерение параметров среды
(например, скоростного напора, высоты полета ЛА и т. п.), однозначно
определяющих а (г). В этом случае будем получать адаптивные САУ с не-
замкнутыми цепями настройки параметров регулятора.
Отметим, что в линейных динамических системах можно найти
функциональные связи между соответствующими параметрами регуля-
тора ri и параметрами a (t) объекта, и теоретически можно организовать
требуемую подстройку г. Но в сложных нелинейных системах выявить
функциональные связи между измеряемыми значениями хвх, и пара-
метрами регулятора практически невозмоэ^що. Поэтоь^у в общем случае
в беспоисковых динамических системах^пути использования результа-
тов непосредственного измерения хвх и ф неопределенны и задача не ре-
шается;
б)	определение текущих значений а, хвх, путем соответствующей
обработки измеряемых координат состояния САУ основного контура.
Этот путь приводит к адаптивной САУ с замкнутыми вспомогательными
контурами подстройки параметров регулятора. Адаптивные САУ ра-
зомкнутого типа принципиально менее точны. Поэтому большие надеж-
ды возлагаются на адаптивные САУ замкнутого типа. Их особенность
5
состоит в том, что в системе измеряются координаты состояния и, еле-
довательно/основная проблема построения системы заключается в отыс-
кании алгоритмов обработки измеренных х/ с целью выделения инфор-
мации об a, xBX, ip9 и вторая проблема состоит в определении алгоритмов
изменения структуры и параметров регулятора на основе получаемой в
процессе работы информации. В таких системах время измерения
(наблюдения) и время обработки информации принципиально являются
конечными величинами и, как правило, они больше длительности пере-
ходной функции системы. Это необходимо учитывать при реализации си-
стем рассматриваемого класса.
Перспективным с точки зрения возможностей технической реализа-
ции является третий возможный путь, не требующий большого времени
измерения (наблюдения) и обработки результатов. Он заключается в
придании динамической системе таких особых свойств с помощью кор-
ректирующих устройств, которые позволяют значительно уменьшить
время получения и обработки текущей информации. Практически, если
в системе будут существовать ’’быстрые?’ движения, характеристики
которых будут зависеть от переменных параметров, например, yi =
= Fz(r, a(t))9 то технически можно выделить информацию об этих дви-
жениях^ в явном виде выразить связь ц = С/ (у/) и использовать эту за-
висимость для соответствующей подстройки параметров регулятора.
При таком подходе удается осуществить решение задачи на основе
анализа свойств системы в замкнутом состоянии. Примером такого ро-
да может служить автоколебательная система со специальной параметри-
ческой связью. В системе создаются высокочастотные автоколебания,
амплитуда которых определяется величиной fcpfc0 (t), где кр — коэффи-
циент усиления регулятора; kQ (t) — изменяющийся коэффициент уси-
ления объекта управления. Можно написать Ас = kpkQ (t), гдеЛс — амп-
литуда автоколебаний. Если организовать принудительную подстройку
кр по правилу кр =Ас/к0 (t), то произведение fcpfc0 (Г) будет постоянной
величиной, не зависящей от переменного параметра к0 (t), или
(О =Л^о (О/^о (О =const.
Амплитуда автоколебаний будет постоянной (почти постоянной) вели-
чиной. В данном случае текущую информацию о значении к0 легко полу-
чать измерением амплитуды автоколебаний, циркулирующих в системе,
которые выделяются из сигналов с помощью специального полосового
фильтра.
Отметим, что в общем случае для построения адаптивных САУ всег-
да характерна сложная проблема измерения параметров объекта и внеш-
них воздействий за относительно малые промежутки времени, что за-
трудняет построение таких систем.
Дадим определение беспоисковой адаптивной САУ, которое будет
использоваться в книге. Беспоисковыми адаптивными будем называть
системы, в которых на основе получаемой в процессе работы текущей
6
информации о параметрах объекта управления (или о параметрах систе-
мы) и параметрах возмущающих воздействий осуществляется прдауди-
тельное изменение параметров регулятора (и, может быть, изменение
структуры) с целью обеспечения оптимального режима работы системы.
Таким образом, необходимым признаком беспоисковых адаптив-
ных САУ является использование текущей (апостериорной) информации
о параметрах элементов САУ и возмущающих воздействиях, получаемой
в процессе работы. Время отыскания оптимума в таких системах может
оказаться значительно меньшим, чем в системах экстремального управ-
ления.
В.З.	МЕТОДЫ СИНТЕЗА АДАПТИВНЫХ САУ
И ОСОБЕННОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
КОНТУРОВ ПОДСТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ
Математические модели адаптивных САУ принципиально являются
нестационарными, что даже в случае линейных моделей объектов управ-
ления приводит к сложнейшим проблемам синтеза систем по заданному
комплексу технических требований с учетом различных ограничений.
В настоящее время наряду с детерминированными методами исслё-
дования и расчета систем получили большое распространение статисти-
ческие методы. Они позволяют при исследовании и проектировании си-
стем учитывать различные случайные факторы: случайные воздействия,
случайный разброс параметров устройств системы и самого объекта
управления. Разработаны методы статистической оптимизации, которые
позволяют при определенных условиях находить параметры и структуру
проектируемых систем управления по заданным или выбранным кри-
териям.
Наиболее завершенным метод аналитического конструирования
регуляторов оказывается в случае, когда в качестве критерия оптималь-
ности используется математическое ожидание функционала, являющего-
ся квадратичной формой координат состояния системы управления
[6, 8]. При выборе критерия оптимальности в форме Летова—Калмана
для линейного нестационарного объекта управления решение получает-
ся в вцде нелинейного матричного дифференциального уравнения типа
Риккати с переменными коэффициентами. При высоких порядках урав-
нения объекта его решение приходится проводить на ЭВМ. Для задач
синтеза систем терминального управления удается сформулировать обо-
снованные требования в виде граничных условий для фазовых коорди-
нат в фиксированный момент времени, что облегчает решение задачи син-
теза в замкнутой форме.
Вариационные методы оптимизации систем известны как методы
аналитического конструирования регуляторов.
7
Большой практический интерес представляет вариант метода анали-
тического конструирования регуляторов по критерию обобщенной рабо-
ты, предложенный А.А. Красовским [8]. Этот метод приводит к реше-
нию в виде линейного матричного дифференциального уравнения с пе-
ременными параметрами. Его решение с помощью ЭВМ осуществляется
достаточно просто и позволяет получить параметры оптимального регу-
лятора.
Перечисленные выше методы используются и при проектировании
адаптивных систем [ 6]. Необходимо всегда иметь в виду, что сложность
решения задачи синтеза весьма существенно зависит от выбранного
функционала качества управления. Составляющие выбранного функцио-
нала имеют определенный физический смысл и в значительной степени
предопределяют некоторые характеристики динамических систем. Сле-
дует отметить, что с их помощью все же не удается учитывать некоторые
весьма существенные факторы, характерные, например, для системы
регулятор—самолет. Ими не учитываются статические ошибки, время ре-
гулирования, перерегулирование, величины дисперсий помех по неко-
торым промежуточным координатам. Поэтому в процессе решения задач
синтеза систем управления приходится прибегать к итерационным проце-
дурам и изменять или уточнять весовые коэффициенты составляющих в
функционалах качества, посредством которых оптимизируется система.
Перечисленные выше методы не всегда позволяют выбрать опти-
мальную структуру системы. Для некоторых методов структуру прихо-
дится выбирать из интуитивных соображений, основанных на опыте со-
здания аналогичных систем. Тогда оптимальность системы достигается
лишь в пределах выбранной структуры.
При проектировании систем автоматического управления и стаби-
лизации летательных аппаратов, и в том числе адаптивных систем, необ-
ходимо учитывать такие существенные факторы, как ограниченная мощ-
ность исполнительных устройств, наличие интегрирующих звеньев в ос-
новных контурах, влияние случайных возмущающих воздействий,
Технически* подстройка параметров в САУ может осуществляться с
помощью множительных устройств (наличие множительных устройств
является характерным признаком для адаптивных САУ). Идеальное мно-
жительное устройство изображено на рис. В.1.
При х3 (t) = const, х2 (О = kiXi (t). При х3 = var и х3 > 0 получим
=/c1x3 (t) , где к =чы. Тогда
Рис. ВЛ
(О-
Пусть известна структура системы (рис. В.2).
Рассмотрим два варианта:
a)	Wo (s) = к0 (t). Привод безынерционный
ИпрО) = 1, измерение параметров идеальное х2 (О =
8
Рис. В.2
= kxi (t) = [^1Ао (01х i (0 (см. рис. B.2, a). Тогда xBbIX =kQ (t)kxv (t) -
= Mo (0*i (OMo (0;
б)	привод инерционный: Wn(s)-k3l (Ts + 1) (см. рис. B.2,6)
*2 (0=*i ('Xi (t)l k0(t)-,
Txp + xp =xx (r>3^iAo (0;
ХВЫХ ~^0 (OXpj
Xp "^вых/^о (0 >	(0 >	»
xp “Хвых/^о (0 + (V^o (О) *вых ""
“Хвых/^о (/) ~^вых^о (0^ ко (0>
T j	( 1 _Tk'0(t) ч = k3kxxx(j)
Г (tx Хвых + Хвых (т /д TT~) —I, ------------>
M)	K0(t) kQ(t) ko(t)
Tkr0(t)
^ХВЫХ + (1 T 77г" ) ХВЫХ "к 3^1X1 (t) .
Ko
Отсюда следует, что даже при идеальном измерении переменных па-
раметров наличие инерционных элементов между идеальным множитель-
ным устройством и элементами с переменным параметром не позволяет
сделать систему стационарной.
В,4, КЛАССИФИКАЦИЯ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
ПО НЕКОТОРЫМ НАИБОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ
Среди всего многообразия адаптивных систем можно выделить два
наиболее существенных класса.
1. Самонастраивающиеся системы с перестраиваемыми параметрами
регулятора при неизменной его структуре.
2. Самонастраивающиеся системы, в которых для достижения требу-
емого качества управления в процессе нормальной работы осуществляет-
ся перестройка параметров и структуры регулятора.
9
В книге рассматриваются адаптивные САУ первого класса. Ниже тер-
мин ’’адаптивные САУ” будет использоваться как синоним термина
’’самонастраивающиеся САУ”.
По характеру решаемых задач адаптивные системы можно разделить
на три группы.
1.	Системы с самонастройкой по входному сигналу, образующие
первую группу адаптивных или самонастраивающихся систем автомати-
ческого регулирования.
2.	Системы с самонастройкой по информации об изменяющихся па-
раметрах объекта или параметрах системы управления.
3.	Системы с самонастройкой по входному сигналу и по информации
об изменяющихся параметрах объекта или сйстемы управления.
В книге рассмотрены адаптивные системы второй группы.
Структура всякой адаптивной САУ такова, что в ней можно выде-
лить основной контур управления и вспомогательный контур. Основ-
ной контур содержит функционально необходимые элементы: объект
управления, измерительные элементы, усилитель, исполнительный эле-
мент и, если это необходимо, корректирующие устройства.
Элементы основного контура должны обладать такими энергетичес-
кими характеристиками, которые позволяют достигнуть цели управ-
ления.
Вспомогательным называется контур, осуществляющий подстрой-
ку параметров регулятора таким образом, чтобы обеспечить заданное
качество САУ при переменных параметрах объекта управления или си-
стемы. Вспомогательный контур осуществляет выделение, измерение и
обработку информации о переменных параметрах из сигналов, циркули-
рующих в САУ, и в соответствии с этой информацией подстраивает па-
раметры регулятора.
По способу самонастройки адаптивные САУ подразделяются на адап-
тивные системы разомкнутого и замкнутого типов [ 24],
1. Адаптивные САУ разомкнутого типа — это системы с разомкну-
тым вспомогательным контуром настройки параметров регулятора. Для
работы вспомогательного контура здесь требуется знание зависимостей
изменяющихся параметров объекта управления от внешних факторов.
2 Адаптивные САУ замкнутого типа — это системы с замкнутым
вспомогательным контуром настройки параметров регулятора.
В книге рассматриваются адаптивные САУ разомкнутого и замкну-
того типов.
В сигналах, циркулирующих в замкнутой системе автоматического
управления, содержится полная информация об изменении параметров
основного контура управления. Основная проблема при построении адап-
тивных систем замкнутого типа заключается в разработке способов вы-
деления этой информации. Теоретически знание этой информации позво-
ляет спроектгуовать оптимальную адаптивную систему по заданным тех-
ническим требованиям.
10
Очевидно, что анализ свойств динамической системы (объекта)
возможен только тогда, когда система (объект) находится в возбужден-
ном состоянии. Возбужденное состояние может быть результатом нор-
мальной эксплуатации системы. Сигналы, циркулирующие в такой си-
стеме, можно использовать для извлечения информации об изменяющих-
ся параметрах. Однако задача извлечения информации об изменяющихся
параметрах из сигналов, циркулирующих в системе, является в общем
случае сложнейшей проблемой, во многом не решенной до сих пор.
Поэтому при решении конкретных задач во многих случаях пред-
ставляется целесообразным специально вводить в САУ дополнительные
воздействия, которые упрощают решение задачи получения информации
о переменных параметрах.
По этому признаку можно выделить два типа адаптивных САУ.
1. Беспоисковые адаптивные системы — это системы, в которых ин-
формация о переменных параметрах извлекается из естественно цирку-
лирующих сигналов в основном контуре.
2. Поисковые адаптивные системы — это системы, в которых для
определения требуемого направления изменения параметров регулятора
организуются специальные поисковые движения изменяемых парамет-
ров регулятора.
В книге рассмотрены только беспоисковые адаптивные САУ.
11
Ч А С Т Ь I. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ,
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ АДАПТИВНЫМ
ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОБ ЪЕКТАМИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.1.	ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ, ЭКВИВАЛЕНТНОЙ АДАПТИВНОЙ
В частном случае в ограниченном фазовом пространстве путем выбо-
ра структуры и параметров регулятора жесткой структуры можно обес-
печить инвариантность (квазистационарность) некоторых оценок pz- от
параметров объекта a(t). Т. е. изменение параметров a (t) в конечных
пределах не будет влиять на_величины pi9 [pi ~ Fi (г)], и минимум pz-
будет полностью определяться г, где г = const.
Чем полнее будет использована априорная информация об элементах
и услдвиях работы системы при проектировании САУ и чем слабее энер-
гетические ограничения, тем большими возможностями будет обладать
система управления с регулятором жесткой структуры и с постоянными
параметрами.
Встречаются технические задачи, когда оценки должны быть_заданы
функциями некоторых параметров объекта управления, т.. е. рДа/(Г) ] =
= F^r, а (г)], и эти задачи в частных случаях решаются с помощью регу-
лятора жесткой структуры и с постоянными параметрами. Задача сво-
дится к определению г и F, (параметров и структуры регулятора) , Если
эти оценки будут определяющими, то система управления с нестацио-
нарным объектом и регулятором жесткой структуры и с постоянными
параметрами будет отвечать заданным техническим требованиям, т. е,
системы указанного типа в этом смысле будут эквивалентны адап-
тивным.
Обычно при оценке работоспособности САУ пользуются показателя-
ми качества вцда: длительность переходной функции гр, перерегулирова-
ние а, колебательность М, СКО и т. д.
Две разные САУ будем считать эквивалентными, при заданном на-
боре оценок, если они характеризуются одинаковыми показателями ка-
чества.
В адаптивной САУ постоянство показателей качества при изменении
в широких диапазонах параметров объекта управления достигается за
счет принудительного изменения структуры и параметров (или только
параметров) регулятора.
В эквивалентных адаптивным САУ постоянство показателей качест-
ва при изменении параметров объекта может быть достигнуто за счет ор-
ганизации в САУ многотемповых движений, где все изменения перемен-
ных параметров переводятся в изменение ’’быстрых” парциальных дви-
жений, которые не проявляются в регулируемой координате.
12
Итак, эквивалентными адаптивным будем называть многотемповые
или двухтемповые САУ, в которых путем выбора структуры и парамет-
ров регулятора изменение параметров объекта управления переводится в
изменение характеристик быстрых движений при сохранении неизменны-
ми характеристик медленных движений, которые и определяют обоб-
щенные показатели качества.
Придать требуемые свойства динамической системе можно путем ор-
ганизации соответствующих координатных и в некоторых случаях коор-
динатно-параметрических связей в САУ.
Рассмотрим пример параметрической связи в системе (см. рис. В,2, б),
гДе ^пр —^з/ (Ts + 1) > Wq =fc0 (t).
Множительный элемент описывается выражением х2 (О==^1-Хвых (f) X
Хх,.(О.
Пусть х*ых (г) = 1/ |хвых (г) |.
Тогда
Тхр + хр =к3х2 (О =*1Х*ых (t)х 1 (т);
•*вых —^0 (О*р> *р —^ВЫх/^0 (О 5	’
Г <	1 _Тк’о«\„
Хвых + (7—777	,2Г. Мвых
=Л1*£ых (0*1 (О =к1--------Х1 (О;
1хвых (О I
™вых(О1 .	.	( ... 1	_П^(Г)
~к	Хвых + 1*вых (О I (т~777 ~2~)Хвых
*о(0
=Mi(0; *вых(0 =Q(x\ (О,к0 (г)),
к0 (t) не зависит отхх (Г).
Это нестационарное нелинейное уравнение и в общем случае ожидать
благоприятного эффекта от этой связи нельзя.
С другой стороны, при правильной организации параметрических
связей в некоторых случаях САУ можно придать свойства, эквивалент-
ные адаптивным.
1.2.	МЕТОД ’’ЗАМОРОЖЕННЫХ” КОЭФФИЦИЕНТОВ
Наиболее распространена форма математических моделей в настоя-
щее время — это запись в переменных пространства состояния или в фор-
ме вход—выход, как правило, в виде дифференциального уравнения вы-
сокого порядка.
В общем случае для нестационарных линейных математических мо-
делей не существует аналитических решений. На основе гипотезы ’’фи-
зического замораживания коэффициентов” [ 14] независимо от формы
записи математической модели решение с требуемой точностью можно
13
получить численными методами, причем справедливость ’’физического
замораживания” доказана.
На основе гйпотезы ’’формального замораживания” коэффициентов
[ 14] для частных случаев можно получить приближенные аналитические
решения, дающие наглядную связь между динамическими свойствами
модели и коэффициентами.
В основу метода ’’формального замораживания” коэффициентов по-
ложены понятия и методы решения стационарных линейных уравнений,
которыми заменяется исходная нестационарная модель. Представляют
интерес для практики два варианта ’’формального замораживания”
коэффициентов, отличающихся принципом замораживания. В первом
варианте ’’замораживанию” подвергаются коэффициенты нестационар-
ного дифференциального уровнения п-го порядка, записанного в форме
вход—выход, являющегося математической моделью нестационарной
системы управления.
В общем случае справедливость ’’формального замораживания” не
доказана, однако известно, что в некоторых случаях корни характерис-
тического уравнения, полученные формальным замораживанием исход-
ного нестационарного уравнения, могут быть близкими или часть из них
равными корням обобщенного характеристического уравнения (ОХУ)
[ 14]. Это, во-первых, в случае, когда корни постоянны для всех фикси-
рованных tj во всем рассматриваемом интервале времени Т, во-вторых,
в случае, когда корни постоянны (почти постоянны) в подынтервале
времени tf, где t* ^tp (T—ni?, tp — эффективная длительность импульс-
ной переходной функции), а на интервале Т они переменны. Второй ва-
риант является основой традиционного метода "замороженных коэф-
фициентов ”. Условием применения метода будет то, что за время эффек-
тивной длительности переходной функции системы коэффициенты неста-
ционарного уравнения изменяются мало.
Метод ’’замороженных коэффициентов” — самый наглядный и прос-
той. Его широко применяют на практике, но можно указать на некото-
рые существенные недостатки, которые вызывают недоверие к методу.
Этими недостатками являются следующие:
1)	традиционный метод ’’замороженных коэффициентов” не гаран-
тирует достоверность полученных результатов. Можно привести примеры,
когда при исследовании с помощью метода ’’замороженных коэффици-
ентов” система оказывается устойчивой, а в действительности она будет
неустойчивой;
2)	с другой стороны, переменный параметр за время эффективной
длительности переходной функции может изменяться в десятки раз,
т. е. метод ’’замороженных коэффициентов” неприменим, а результаты
решения этим методом могут оказаться удовлетворительными.
Можно предположить, что первый недостаток объясняется тем, что
тонкости законов изменения переменных коэффициентов не улавлива-
14
ются при расчете по методу ’’замороженных коэффициентов” и поэтому
в некоторых ситуациях возможен качественно неправильный результат,
т. е. решение, получаемое методом ’’замороженных коэффициентов”,
будет ’’негрубым”. Мера негрубости в большой мере зависит от законов
изменения переменных коэффициентов нестационарного уравнения.
Второй недостаток можно исключить уточнением условия применимости.
Приведем соображения, позволяющие выделить нестационарные
уравнения для частных случаев, которые уверенно можно исследовать
методом ’’замороженных коэффициентов”, а также модифицированным
методом ’’замороженных коэффициентов”, применимого к гораздо бо-
лее широкому классу нестационарных уравнений по сравнению с тради-
ционным методом ’’замороженных коэффициентов”. Сформулируем
три следствия, непосредственно вытекающих из теоремы о перемножении
двух функций в вещественной области:
Следствие 1. Если преобразования Лапласа C(t) и jq (t) являются
дробнорациональными функциями, C(s) имеет q только действительных
отрицательных полюсов sk> а Хг (s) имеет m полюсов, то преобразование
Лапласа произведения X2(s) = L[x2 (t) ]=L[cO)*i (f) ] будет иметь
q - m полюсов, равных полюсам Xr (s), смещенных влево на sk.
Пусть C(s) =А (s)/B (s) и Xi (s) = N(s)/M(s), имеющие соответст-
венно q действительных отрицательных полюсов и m произвольных
полюсов.
Тогда
z 1 A (sk) N (s - sk)
X 2	2/ —---------------- ,
fc = l B'(sk) M(s - sk)
или X2 (s) = S -----*------------------------------------,---v—
k = l B' (sk) (s- sk+	[($-$£ + 01) + Til-
Так как $к только действительные отрицательные полюсы, то в зна-
менателе будем иметь смещенные влево полюсы Xi (s), число которых
равно q. m.
Следствие 2. Если C(s) и Хг (s) являются дробнорациональными
функциями и C(s) содержит один нулевой полюс и q — 1 действительных
отрицательных полюсов, то преобразование Лапласа Х2 (s) =Z,[c(r)jq (f)]
будет иметь q (m — 1) полюсов, полученных из полюсов хг (t) смещением
влево на sk нт полюсов, равных полюсам Xi (s).
Если записать подробно преобразование Лапласа х2 (s) через преоб-
разование Лапласа A (s)/B (s)	M(s), то непосредственно из этого
выражения следует вывод, сформулированный в следствии 2.
Следствие 3. Если лапласовы изображения С($) и Xr (s) имеют по
одной гире комплексных сопряженных полюсов с отрицательными
действительными и одинаковыми мнимыми частями, то Х2 (s) =L [ с (т) X
X Xi (t) ] будет иметь левый действительный полюс второй кратности
и равный ему нуль и пару левых комплексных полюсов.
N(s - sk)
15
Q
Покажем это. Пусть для Х2 ($) = S [A (s^y В (sk)][N (s ~ s^y М (s —
к = 1
—Sk)]9rneq = 2,_A (s)=N(s)= 1; B(s) = (s+ а)2 + k2;M(s) = (s+ 0)2 + к2;
$Ь2=-а±/к, s1>2 =“0±/к. Тогда
x2(s)= S —----------------—-----z- =------- ®
k = iB’ ($k) (s - sk + Pr + x2 ($+ a+ 0)* *+ 4k2 (s+ a+ 0)2
Рассмотрим нестационарное уравнение вида
СП	+ Сп~ 1 ^^ВЫХ + ••• + С1 (О*ВЫХ + Хвых ”"хвх»
гдес/СОХ),
Преобразование Лапласа этого уравнения (при нулевых начальных
условиях) можно представить в виде
^вых О) *вх (5)	[ сп (^)*вых 1	[ c/i- 1 К(ых 1) 1 •”
••• ^[с1 (О*вых] •
Пусть это уравнение можно представить системой из двух уравнений,
одно из которых нестационарное, а другое — стационарное, и, следова-
тельно, характеристическое уравнение, полученное путем формального
замораживания исходного нестационарного уравнения, будет иметь т
постоянных корней, которые будут истинными корнями ОХУ.
Пусть коэффициенты уравнения за время эффективной длительнос-
ти импульсной переходной функции изменяются на величину Де,, где
Дс/ — малая величина, не равная нулю, и на интервале времени t*, где
t+ >+ Гр (Гр — время эффективной длительности импульсной переход-
ной функции), остальные п —щ корней также определяются по формаль-
ному характеристическому уравнению и они будут близки корням ОХУ,
Следовательно, в рассматриваемом случае преобразование Лапласа
нестационарного уравнения при Хвх (s) = Vs приближенно можно пред-
ставить дробнорациональным выражением вида
^вых
= 1-s” AnW
s Л=1 B'n(sk)
X
— (S-SJt+	...[{S-Sk+ Pl)2 + «11...
a0
16
X ----------—----------------------------------------------
* = 1	<-s~sk+ “i/)U-^+«2/)-[(s-^ + 0i)2+Kil-
<7p	°	Ai (sfc)
2;	-	,
k = 1 B'l (Sk)— (S-Sk+ alj)(s-sk+ a2j)- [(.s-Sk+ Pl)2 + K2]...
ao	(1.1)
где полюсы ац, Ofy, — постоянные на интервале и переменные на
интервале Т ё [0, «*],	постоянные на Т G: [6, <»] и£[с/(О]=
= Cj(s) = Aj (s)/Bi (s) - некоторая дробнорациональная функция. По ус-
ловию Cj(t) изменяются мало за время Тогда q(f) можно с высокой
точностью заменить кусочно-постоянной функцией Cj[t — /7р], На
рис, 1.1 приведен график некоторой функции cz(r) и заменяющая этот
график кусочно-линейная функция, На рис. 1.1 переменная А£ых —
импульсная переходная функция, Преобразование Лапласа этой кусоч-
но-линейной функции будет
у [с0/+ Дспе”^Р + Дс2/е“2^Р + ,„].
С учетом указанной замены Хвых ($) будет равно
— (S + ttio)(s + <*20) ••• [(*+ 01)2 + *11...
“° AcJne-sfPs”-1
— О + an)(I+ «21)... [(s + ft)2 + к?]„.
eo
._________________со(л-1)*”~1_____________
(s+ a10)(j + “го) - 10 + Pi)2 + «11
eo
AcK^-pe-^Ps"-2__________________ _
— 0 + «11)0 + «21)... 10 + ft)2 + «11 ...
e0
c01	__
— 0+ «1о)(*+ «20>	l(»+ Pl)2 + «11-
°Ъ
Acji© ^P
— (S+ <*11)(S+ «21)... 10+ Pl)2 + K21...
ao
Пусть входной сигнал будет
вида хвх(Г) = 1 + gt, где g = 1/Гр,
Тогпа
Ьхвх(0 «у [ 1 + е~"р +
+ е“ 2srP + е~ 3srp+=
= 1 K(e“sfP).
Рис. 1.1
17
Преобразование Лапласа выходного сигнала будет
v =	(е- S,P)
^ВЫХ V?	----- “j------------------------------------
—- (s+ «io)(s+ O2o) -[(s+ 01)2+ к2)...
_	Aclne-srPs"_1 F(e-*fP)
— (J+ an)(j+ 02!)... [(s+ 0j)2 + <2]...
e0
.________c0(n-ip”~2K(e S'P)____________
— (s + O£io) U + «20) ••• I (* + Pl)2 + «11 •••
e0
Act (n- i)e“ stP V (e~IfP)
— (s+ «11) (s+ «21) - [<s+ 01)2 + K21-
e0	_ ct
. ___________coiK(e "P)________________
-J- 0+ aio)(s+ «io) - [(*+ Pi)2 + к2] -
e°	Acne“,fpr (e-sfP)
— (s+ an)(s+ <Xn)..,[(s+ Pi)2 +
a0
Если в конце каждого интервала Гр импульсная переходная функция
принимается равной нулю, то можно записать
^вых 0) ~^вых1 0) + -^ВЫХ2 (s) + ^выхз 0) + •**»
Y М-1-
гдеХВЫХ1 (s) ~	"7
— 0+ аю)(*+ «го) -. [(*+ Pi)2 + к2]
ао
_	со(л-1)$л“2
— (j + a10) (j + o^o)... [ (j + 0O2 + кi)
a0
CO1
(cOn + Ac1„)e-“Ps" 1
— (S + a10) (S + «20) ••• [ (J + 01)2 + K2)] -
e0
^ВЫХ2 (S)e S P “ у--- — ~
---(s + an)(tf +a2i) - [(*+0i)2+ki]
a° _
(co(n-l) +	(л-1)е Stpsn 2	_ _
— (S +«11) (J + «2!)... [ (J +0!)2 +Kj] ...
e°
(с01+Дсц)е stP
— (J+ otn)(j+ «21)... [(s+ 0i)2+ K2!)...
a0
18
Перепишем эти выражения
/— 0+ Лю)0+ “го)- [(S + 01)2 + «11 } *ВЫХ1 («) =4";
( O(f	J	s
J- (s + aH)(s + a2i)...I(s+ 01)2 + к?]...} Хвых2 (s)e-stP =
"° -st
- e "p
s
Каждое уравнение автономно исследуется, например, на устойчи-
вость, и вывод о характере решения исходного нестационарного уравне-
ния делается на основе этих автономных уравнений.
Таким образом, в предположении, что коэффициенты уравнения на
границе интервалов изменяются скачком на Ас/, и конечные и начальные
условия на этих границах равны нулю, точный метод исследования неста-
ционарных уравнений заменяется методом ’’замороженных коэффици-
ентов”. При этом методе исследования законы изменения коэффициен-
тов уравнения не влияют на характер решения.
Отметим, что в действительности, если даже Дсх — малая величина
на интервале времени fp, но не равная нулю, то в границах интервалов
конечные и начальные условия не будут равняться нулю. Так что урав-
нения в системе не будут автономными, и тогда на характер решения
могут влиять законы изменения переменных коэффициентов. Можно
утверждать, что существуют также условия, при которых решение ис-
ходного нестационарного уравнения, полученное методом ’’заморожен-
ных коэффициентов”, будет ’’грубым” к законам изменения перемет-
ных коэффициентов.
Рассмотрим эти условия.
Утверждение 1. Пусть корни характеристического уравнения, полу-
ченного путем формального замораживания линейного нестационарного
уравнения
СП (0*вых + сп- 1 (^>вых + ’** + С 1 (0ХВЫХ + -^вых ~*вх>
где с, (0 > 0, переменные, слабо отличающиеся друг от друга на сосед-
них интервалах /jp и t (j+ р (соответственно) и находящиеся в левой
полуплоскости. Тогда решение исходного нестационарного уравнения,
найденное методом ’’замороженных коэффициентов”, будет’’грубым”,
если преобразования Лапласа переменных коэффициентов можно пред-
ставить дробно-рациональными выражениями, имеющими не более од-
ного нулевого полюса, а все остальные полюсы действительные и отри-
цательные, т. е. корни, найденные по ’’замороженным” характеристичес-
ким уравнениям, будут близки истинным корням обобщенного харак-
теристического уравнения.
Действительно, из выражения (1.1} в соответствии со следствиями
19
1 и 2 наличие действительных и отрицательных полюсов ведет к сме-
щению полюсов слагаемых в правой части только влево, и длй случая,
когда полюс s% =0, полюсы слагаемых остаются на месте.
Таким образом, наличие переменных коэффициентов, принадлежа-
щих указанному классу, не приводит к ’’негрубост tf’ решения.
Утверждение 2. Пусть корни характеристического уравнения, полу-
ченного формальным замораживанием линейного нестационарного урав-
нения си(0х<12х+ c„-i (0*"вых+ - + С1 (04ых + *вых =Хж, гдес$)>
> 0 — переменные, соответственно слабо отличающиеся друг от друга на
интервалах fzp и t (Z + р, и находятся в левой полуплоскости, Решение,
найденное методом ’’замороженных коэффициентов”, будет грубым, но
если Ci (s) и Хвых (s) будут иметь хотя бы по одной паре комплексных
полюсов с одинаковыми мнимыми частями, то переходная функция
будет содержать колебательную составляющую.
Действительно, если по крайней мере пара комплексных корней бу-
дет постоянной и будет равняться ~cq + /к i и —	—/к х и пара полюсов
Cz(s) также будет комплексной и равняться, например, — 0i + Ai и
“01 " Л1> то по крайней мере одно из слагаемых выражения (1,1)
в соответствии со следствием 3 будет иметь множитель вида
____________2Ki(s+ax + ^i)
(s + cq + ft)4 + 4к? (s + ai +/М2 '
Во втором варианте принцип ’’замораживания” отличается тем, что
’’замораживанию” подвергаются параметры отдельных элементов систе-
мы. При получении дифференциального уравнения системы в целом
пользуются методами, действительными для стационарных уравнений,
При записи в форме ’’пространства состояний” и в форме ’’вход-
выход” в данном случае результаты получаются одинаковыми и они бу-
дут отличаться от результатов исследования полного нестационарного
уравнения, разрешенного относительно искомой координаты» Это связа-
но с тем, что при переходе от записи в форме пространства состояний к
записи в форме одного дифференциального уравнения элементы матриц
подвергаются дифференцированию, и результаты дифференцирования
будут принципиально различными в зависимости от того, будут ли эле-
менты матрицы функциями времени или будут приняты постоянными,
К сожалению, законы изменения параметров самолетов априори
неизвестны, однако диапазоны их изменения в зависимости от режима
полета известны. Поэт'бму практически параметры летательного аппарата
считаются фиксированными, и общее уравнение получают по правилам,
действительным для стационарных систем.
20
1.3. ДВУХТЕМПОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Системы управления нестационарным объектом описывается диффе-
ренциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Естествен-
но, что изменение коэффициентов дифференциального уравнения приво-
дит к решению, зависящему от параметра характеризующего момент
приложения воздействия. Оценка работоспособности технической систе-
мы управления проводится по некоторым обобщенным критериям. На-
пример, линейные САУ оцениваются по быстродействию, перерегулиро-
ванию, колебательности, по коэффициентам ошибок и т. д.
Обобщенные критерии могут быть одинаковыми для различных
САУ даже при существенном несовпадении решений соответствующих
дифференциальных уравнений. Эти обобщенные критерии по существу
оценивают свойства системы управления в низкочастотной области, ко-
торые достаточно точно описываются вырожденным дифференциальным
уравнением, решением которого являются ’’медленный’ парциальные
движения.
Выбирая структуру и параметры регулятора, можно сделать так, что
эффект изменения параметров нестационарного элемента сводился бы
к двум случаям:
1) к изменению характеристик ’’быстрых” парциальных движений
при неизменных характеристиках ’’медленных” парциальных движений;
2) к изменению некоторых характеристик ’’медленных” парциаль-
ных движений в требуемых пределах и в нужном направлении и к изме-
нению характеристик’’быстрых” парциальных движений.
Нестационарные системы управления, обладающие свойствами 1
или 2, относятся к псевдо стационарным [ 24], Псевдостационарные си-
стемы, обладающие свойством 1, будем относить к системам первого ти-
па, а системы, обладающие свойством 2, будем относить к системам вто-
рого типа.
Представим нестационарную систему в виде последовательного со-
единения двух звеньев, отличающихся друг от друга темпом движения
(рис. 1.2), где $ ) — импульсная переходная функция модели
’’быстрых^’ парциальных движений системы и h2 (t, О — импульсная пе-
реходная функция модели’’медленных” парциальных движений системы.
Тогда для псевдостационарной системы первого типа импульсные пе-
реходные функции звеньев будут h2 (I, 0 « h2 (f) (т. е. не зависят от 5)
Для псевдостационарной системы
второго типа импульсные переходные
функции звеньев будут (t, $) и
Л2(Л £), т. е. функции и h2 нестар
ционарные и зависят от параметра.

Рис. 1.2
21
Однако h2 (t, £) — импульсная переходная функция, характеризую-
щаяся тем, что от параметра % зависит только время импульсной пере-
ходной функции, а не ее форма.
Пусть дифференциальные уравнения первого и второго звеньев
(см. рис. 1.2) линейной нестационарной системы в общем случае име-
ют вид
1) сп_т	Cn-m-i	° + - + Ci (0*1 + Xi =
”^O^BX>
2) dm (О*вых +	1 (^вых + ... + (Охвых + Хвых — X1 >
т. e. в общем случае первое и второе звенья описываются дифференци-
альными уравнениями с переменными коэффициентами. Тогда для псев-
достационарной системы первого типа дифференциальные уравнения бу-
дут иметь вид
О cn-m(t)x[n-m)+ cn_m-i (f>i("_w-1)+... + ci(r)x1 + xi=Z>oXBx;
2) ^тхвых + &т- 1хвых + ••• + ^^вых + хвых ~Х1 •	G-3)
Первое уравнение описывает ’’быстрые:” парциальные движения в
системе, оно линейное, нестационарное.
Второе уравнение описывает ’’медленные” парциальные движения.
Оно линейное, стационарное.
Для псевд©стационарной системы второго типа дифференциальные
уравнения будут иметь вид
1)	{t)x[n~m) +сп_т-1 (t)x[n~m-1) + ... + С1 (0*1 + Х1 =Мвх; 4
2) dm^ +	(0хв(^х-1) + ...+</1^(О^ых+Лвых=^1- ’
Первое уравнение линейное, нестационарное, второе линейное, неста-
ционарное с переменной длительностью, но с постоянной формой им-
пульсной переходной функции [ 24].
Для систем рассматриваемых типов отношения соседних коэффи-
циентов дифференциальных уравнений, описывающих ’’быстрые!” пар-
циальные процессы, существенно больше отношения соседних коэффи-
циентов вторых уравнений, описывающих ’’медленные?’ парциальные
процессы. Поэтому процессы в динамических системах такого типа в
основном определяются вторыми уравнениями, если решения первых
уравнений при этом устойчивые.
Таким образом, если система управления, состоящая из регулятора
жесткой структуры с постоянными параметрами и существенно неста-
ционарного объекта, обладает некоторыми стационарными свойствами,
то такой системе будет соответствовать эквивалентная модель, состоя-
щая по крайней мере из двух последовательно соединенных звеньев,
отличающихся друг от друга темпом движения, и одно звено, характе-
разуемое ’’медленными” движениями, должно обладать указанными
стационарными свойствами.
22
1.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ’’ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ”
К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Пусть в ’’малом” нестационарная система с жесткой структурой ре-
гулятора является линейной.
В любую систему регулятор вводится для того, чтобы упорядочить в
ней движение. Естественно, что назначение регулятора в системе с не-
стационарными элементами то же, но наряду с задачами, которые ре-
шаются в стационарной системе (устойчивость, требуемая реакция
на внешние управляющие и возмущающие воздействия), добавляется
задача обеспечения заданных свойств при параметрических возмущениях.
Регулятором жесткой структуры при соответствующем выборе па-
раметров можно обеспечить двухтемповое движение, характеризующе-
еся упорядоченностью ’’медленных” парциальных движений при измене-
нии в широком диапазоне параметров объекта.
1. Псевдостационарные системы первого типа. Для них характерно,
что эффект изменения переменных параметров переводится в изменение
характеристик ’’быстрых” парциальных движений. Это значит, что при
эквивалентном представлении такой системы нестационарным будет пер-
вое звено. Второе звено, которое практически определяет показатели ка-
чества процессов, описывается дифференциальным уравнением с посто-
янными коэффициентами.
Очевидно, что в соответствии с [ 14] первое звено можно считать
квазистационарным, а вся система в целом будет псевдостационарной.
Для оценки стационарности системы в цфом целесообразно пользо-
ваться следующим определением.
Определение 1. Если нестационарную систему автоматического
управления можно представить в виде последовательного соединения не-
стационарного и стационарного звеньев и если коэффициенты диффе-
ренциального уравнения нестационарного звена изменяются несущест-
венно за время переходной функции или за период колебаний нестацио-
нарного звена, то такую систему будем относить к псевдостационарным,
При исследовании системы первого типа важнейшим вопросом яв-
ляется оценка устойчивости движений в первом нестационарном звене
(что возможно при приближенном методе) и определение параметров
движения (показателей качества) второго звена, которое можно счи-
тать стационарным. Если первое звено можно отнести к квазистационар-
ным, то оценку устойчивости движения этого звена можно приближенно
проводить известными методами, действительными для стационарных
САУ.
Определение 2. Если коэффициенты дифференциального уравнения
линейного нестационарного звена системы первого типа изменяются так,
что выполняются условия
|с,(г+ Д8)-с,(01 <|с/(Г)|,
23
и коэффициенты уравнения второго звена постоянные, то будем считать,
что такую систему мржно исследовать модифицированным методом
’’замороженных коэффициентов” (с учетом законов изменения коэф-
фициентов) ,
Здесь Cj(t) — коэффициенты дифференциального уравнения неста-
ционарного звена1; Д6 — период ’’быстрых” парциальных колебаний
(или, если звено неколебательное, время переходной функции) 1-го
звена.
Величину Д6 можно приближенно определить априори ’’заморозив”
коэффициенты нестационарного уравнения и решив его.
Если при найденном Д6 указанные неравенства выполняются, то
проведенное решение достаточно точное. Если неравенства не выполня-
ются, то метод ’’замороженных коэффициентов” будет неприемлем для
исследования данного нестационарного уравнения. Величина Д5 в подоб-
ного рода системах существенно меньше периода ’’медленных” парци-
альных колебаний или времени эффективной длительности переходной
функции системы.
Очевидно, что если в общем случае нестационарная система управле-
ния характеризуется почти постоянными показателями качества, то со-
ответствующее дифференциальное уравнение с переменными коэффи-
циентами будет иметь специфичный вид, что принципиально позволяет
выделить из множества нестационарных уравнений, описывающих
процессы в нестационарных системах, такое, которое может описывать
процесс в системе первого типа и заменить это нестационарное уравнение
системой из двух дифференциальных уравнений.
Утверждение 3. Если характеристическое уравнение
Z1 + an^iSn~x + ,„ + amsm +	+ аХ5+ ao=O
имеет m действительных доминирующих корней, то отношение соседних
коэффициентов этого уравнения будет удовлетворять неравенству
gm+J ак
ат+1+1 ак+1
где Z = 0, 1, 2,	п-т-1, к =0t 1, 2,т-2, т-1.
Если с^,	, с^_2, .„,с^ + р otfn,..., Oj, а3 — корни характеристичес-
кого уравнения и для них действительны неравенства |о^| > |ц|, где
/ = 1, 2, ..., т “ 1, т nj = т + 1, т + 2, ..., п — 2, п — 1, и, т, е, т корней
доминирующие, то с помощью теоремы Виета несложно показать спра-
ведливость утверждения 3.
В работе [ 14] показано, что если методом ’’замороженных коэффи-
циентов” определены корни формального характеристического урав-
нения для i фиксированных значений г, и если из них 7V корней для всех
tj постоянные, то эти корни являются корнями исходного нестационар-
ного уравнения.
24
Утверждение 4. Если характеристическое уравнение, формально по-
П
лученное из дифференциального уравнения Г в/ = Ло^вх Для
/=0 вых
некоторых фиксированных значений времени Г/, взятых на отрезке вре-
мени Т, где Т > Гр (Гр — время эффективной длительности импульсной
переходной функции) будем иметь тп постоянных по модулю корней, то
дифференциальное уравнение можно заменить системой из двух урав-
нений
п-m
Е С7(Г>1(О=ао*вх;
1=0
тп fi\
^0^ыХ=х1’со(0=Ь
где коэффициенты с,- (t) определяются по правилам, действительным для
уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть известны ш постоянных по величине корней исходного урав-
нения Oij, (#2, «з,	, тогда
7'dix^=d +d	+ d ,x(w-2)+	+
|а«^ых “т*вых ат-1хвых am-2*BbIX т •"
+ ^1ХВЫХ. + ^О^ВЫХ —Х1 •
где
dm =-------------:
m Цп -. “з“2а1
dm . =----------- +-----------+ ... +----------
'П~1	О^.. аЗ«2	••• аЗа1 0^-1 - O2«l
d, = -1— + —-— + +-Д— + — ;
1	 Otm-1 «2	«1
d0=t
Исключая из первого уравнения переменную xlt получим
dmcn-m (*>Вых + [сп-тп (fflm- 1 + cn-m- 1	+
+ Lcn-m (^т- 2 + сп-т-1 (^т-1 + сп-т-2	+ ,rt
+ [с3 (Odo + С2 (0^1 + Cl ^d2 +^з]*вых + [с2 (0<*0 + С1 (0^1 +
+ ^2]^» ых + [Cj(r)d0+^] •*ВЫХ+^0*ВЫХ Д0*ВХ*
Приравнивая коэффициенты при соответствующих производных по-
лученного уравнения и исходного, получим систему из п + 1 уравнений:
25
cn-m (fftm ~ап (0>
сп-т (?№т - 1 + сп-т- 1 (0dm ~ап- 1 (О>
сп-т (f)dm-2 + сп-т - 1 (0dm- 1 сп-т- 2 (0dm ~ап-2 (0 >
сз <f)dQ + с2 + С1 (t)d2 + с0 (t)d3 =a3(t);
с2 (t)dQ + с2 (t)dx + с0 (t)d2 ~а2 (г);
сх (гИ0 + с0(Г)<Л =ai(r).
Взяв п — т + 1 первых уравнений из этой системы» получим систему
независимых уравнений, решая которую получим неизвестные.
Утверждение 5. Если отношения коэффициентов дифференциального
уравнения S ^i(r)xj^v = Яохвх» действительного на интервале Т, где
1=0 вы
Т > Гр (Гр — время эффективной длительности импульсной переходной
функции), удовлетворяют условиям
*о(ОМ1 (0=^1 + Д1 (О;
(0/*2 (0=л2 + &2 (0;
ат-2 (01 ат- 1	1 + &т- 1 (О'*
ат- 1(01ат (0~^т +	(О»
где |Д/(Г)| <Rj иди <п, то методом, действительным для стационарных
уравнений, это нестационарное уравнение можно приближенно заменить
системой из двух уравнений:
п-т
S C/(r)xi — floxBX>
1=0
т
S djXBblx —х 1,
1 = 0
где первое нестационарное уравнение описывает’’быстрые” парциальные
колебания, а второе уравнение описывает ’’медленные” парциальные дви-
жения.
Действительно, если формальное характеристическое уравнение для
всех фиксированных значений Гу будет иметь т постоянных по модулю и
доминирующих корней, то будет справедливым
ао (fj)l ai (0=^1 +	(0 =
_	1 ••• а2а1	+Д f ¥
1 ••• «2 + - + (Хт- 1 ...	1
26
al (tj)l а2	+ ^2 ({/)“
^^-1- 02+ ... +	... Q^i
= —-----—----------------------+ д2 (6);
о3+ 0^_2... О3О2О1 2V^’
ат - 1 ((/)/ ат ({/) &т +	({/)	+ ••• + а1 +	(fj)>
где |Д/(Г/)| <Ri-
Отсюда, если для отношений соседних коэффициентов справедливы
неравенства |Д/(/у)| <Я/, где i = 1, т, то формальное характеристическое
уравнение при фиксированных tj будет иметь т постоянных (или почти
постоянных) доминирующих корней.
Следовательно, на основании утверждения 3 исходное нестационар-
ное дифференциальное уравнение можно заменить системой из двух
уравнений.
Справедливость модифицированного метода ’’замороженных коэффи-
циентов” оценивается обычным образом по первому нестационарному
уравнению, т. е. определяется формальное характеристическое уравнение
нестационарного звена для фиксированных моментов времени и оцени-
вается величина изменения переменных коэффициентов за период коле-
баний этого звена.
2.	Системы второго типа. В этих системах изменение переменных па-
раметров нестационарных элементов приводит к изменению эффектив-
ной длительности импульсной переходной функции системы управления
в некоторых пределах при сохранении ее формы и к изменению харак-
теристик ’’быстрых” парциальных движений.
Дифференциальные уравнения эквивалентной модели для этого
случая имеют вид (1.4).
Оба уравнения нестационарные. Первое уравнение, описывающее
’’быстрые” парциальные движения, неупорядоченно, переменные коэф-
фициенты его могут быть любыми, никаких особых условий здесь не
наложено.
Второе уравнение, описывающее ’’медленные” парциальные движе-
ния, приближенно описывает движение всей системы. При изменении пе-
ременного коэффициента (г) решение сохраняет форму, но изменяется
длительность импульсной переходной функции.
Оценку исходной системы автоматического управления с точки зре-
ния принадлежности ее к псевд©стационарным или существенно нестаци-
онарным можно проводить отдельно по вспомогательному и вырожден-
ному уравнениям, если они известны. Вырожденное уравнение относит-
ся к нестационарным уравнениям особого класса.
Путем замены независимой переменной это уравнение заменяется
эквивалентным уравнением.
Определение 3. Систему автоматического управления, относящуюся
ко второму типу, будем считать псевдосгационарной, если коэффициен-
27
ты вырожденного эквивалентного уравнения несущественно изменяют
свои значения за время эффективной длительности его импульсной пе-
реходной функции и коэффициенты вспомогательного уравнения несу-
щественно изменяются за период ’’быстрых” парциальных колебаний или
время импульсной переходной функции звена, описываемого этим урав-
нением.
Определение системы уравнений (1.4) из исходного нестационарного
уравнения является сложной проблемой, решение которой в настоящее
время отсутствует. Однако, если САУ относится к системе второго типа,
то путем замены независимой переменной соответствующее дифферен-
циальное уравнение можно привести к уравнению первого типа, перейти
к эквивалентной модели системы первого типа и найти вспомогательное
и вырожденное уравнений этой модели.
Пусть дифференциальное уравнение нестационарной системы имеет
ввд
Оп-т ('Ч(£ + Qn-m- 1 (0^ ° + - +	+
+ jn~1	° + -.+ ‘Р(0«1*вых+ до*вых =аохВх. (1.5)
Форма вхождения переменного параметра у (t) в коэффициенты при
низших производных позволяет надеяться, что соответствующая си-
стема будет второго типа,
Вводим независимую переменную х, при этом t —z (х),
dz =z' (x)dx и </>[z (х)1/ z' (x) = 1.
Если tp (t) — некоторая положительная, необращающаяся в нуль функ-
ция, имеющая п производных, то после соответствующих преобразова-
ний уравнения (1.5) получим уравнение вцда
Qn-mlz(X)l __°Пхвых + Г&п-т-llz (Х)1 _
/к(Х)] dxn L </’~1[2(X)J
~Nn-! [z'	(X)] 1 —+ - +
+ {an ~Nm [z' (x), z" (x), z'" (x).... ]}--+
+ \an-1 ~Nm-1 [z' (x), z" (x), z'" (x),...	- y* + ... +
I	J d^-i
+ {a2 ~Ni [z' (x) z" (x). z" (x) ... ] } -3*— + до*вых =«о^вх-
Утверждение 6. Если в эквивалентном нестационарном уравнении
28
полученном из исходного путем замены независимой переменной, на за-
данном интервале изменения х будут удовлетворяться равенства
+	(х) •
ei(X)“-Vl[z'(X), z"(x)J
-----------;--------------+ Д2 (X)
а2 (X) -JV2[z (х), Z (X),... 1
°m-l-^m-lU,(X),z"(X),-1
“m (X) -Nm[z'(X), z"fX).-]
где |A/(x)l <Ri', <?i(x)_M[z'(x), z"(x), z”'(x)« •••] - коэффициенты coot-
ветс^дующего эквивалентного уравнения, то это уравнение приближенно
можно заменить системой из двух уравнений
п-т
s Ci(x>r=ao*Bx;
z=0
и коэффициенты этих уравнений определить по правилам, действитель-
ным для уравнений с постоянными коэффициентами,
Определение 4. Если коэффициенты нестационарного дифференци-
ального уравнения, полученного из эквивалентного дифференциального
уравнения, будут удовлетворять неравенствам
|с,(х + Д6 )—с,- (х)| < |q (х)1.
то такое уравнение можно исследовать методом ’’замороженных коэф-
фициентов” и, следовательно, к исходной нестационарной системе приме-
нить метод ’’замороженных коэффициентов”.
Здесь Д6 — период ’’быстрых” парциальных колебаний или время
переходной функции первого нестационарного звена.
Величину Д6 приближенно можно определить путем решения перво-
го уравнения рассматриваемой системы для некоторых фиксированных
значений
Если неравенство не выполняется, то метод ’’замороженных коэф-
фициентов” к исследованию указанного уравнения неприменим.
3.	Автоколебательные нелинейные системы управления с высокочас-
тотными внешними возмущениями. Широко известен важный класс не-
линейных стационарных систем управления [ 19], в которых осущест-
вляется вибрационная линеаризация.
Уравнение, описывающее гармонические колебания в системе,
можно считать вспомогательным нелинейным уравнением.
Очевидно, что если уравнение, описывающее’’быстрые” парциальные
движения, будет нелинейным, то тем не менее в ограниченном фазовом
29
пространстве система в целом может быть близка по свойствам к линей-
ной, если уравнение, определяющее ’’медленные” движения в такой си-
стеме, линейное. В ограниченном фазовом пространстве динг лические
свойства такой системы, так же как и в линейной, могут определяться
обычными показателями качества, применяемыми для оценок линей-
ных систем.
4.	Автоколебательные нелинейные нестационарные системы управ-
ления с высокочастотными внешними возмущениями. Из множества не-
линейных нестационарных САУ можно выделить узкий класс систем, в
которых за счет высокочастотных автоколебаний или же высокочастот-
ных внешних возмущений осуществляется вибрационная линеаризация.
Если структура регулятора и параметры выбраны так, что влиянием
переменных параметров, характеризующих изменение демпфирующих
свойств нестационарного объекта, можно пренебречь и переменным
будет только коэффициент усиления объекта, то амплитуда ’’быстрых”
парциальных движений однозначно связана с переменным коэффициен-
том объекта.
Методом гармонической линеаризации в предположении, что система
является псевдостационарной, получаем два уравнения, нелинейно свя-
занных между собой, — уравнение, описывающее’’медленные” движения,
и уравнение, описывающее гармонические колебания.
Уравнение, описывающее гармонические колебания системы, явля-
ется вспомогательным нелинейным нестационарным уравнением.
Для фиксированных значений Г, т. е. в предположении, что модифи-
цированный метод ’’замороженных коэффициентов” действителен,
определяем частоту автоколебаний
Если при этом будет справедливо определение 2, то метод ’’заморо-
женных коэффициентов”, положенный в основу такого деления, спра-
ведлив, и исследования будут достаточно точные.
Для нелинейных нестационарных систем с линеаризацией за счет
высокочастотных внешних возмущений период этих возмущений заранее
известен и применимость модифицированного метода ’’замороженных
коэффициентов” непосредственно исследуется по дифференциальному
уравнению с помощью определения 2.
Методом гармонической линеаризации можно также исследовать и
СПС.
Если СПС характеризуется скользящими режимами, то аналогично
автоколебательным системам, в предположении, что модифицированный
метод ’’замороженных коэффициентов” действителен, находим вспомо-
гательное уравнение. Определяем период Tq ’’быстрых” колебаний (в
отличие от автоколебательных систем, эти’’быстрые?’ колебания в устой-
чивой системе будут затухающими) и проверяем справедливость иссле,
дования с помощью модифицированного метода ’’замороженных коэф-
фициентов”.
30
Для идеальной СПС Tq “*0 и модифицированный метод ’’заморожен-
ных коэффициентов” применим всегда.
Таким образом, к узкому классу линейных и нелинейных нестацио-
нарных систем жесткой структуры, характеризующихся двухтемповым
движением, можно применить модифицированный метод ’’заморожен-
ных коэффициентов”, что существенно упрощает исследования и позво-
ляет выработать аналитические методы синтеза таких систем.
1.5. МНОГОТЕМПОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМАХ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Линейные и линеаризованные системы управления с регулятором
жесткой структуры в принципе могут обеспечить устойчивость и требуе-
мые показатели качества управления нестационарным объектом при из-
менении его параметров в любом конечном диапазоне. При этом с расши-
рением диапазона изменения переменных параметров принципиально
должна расширяться полоса пропускания частот регулятора жесткой
структуры. В результате этого возникают определенные трудности прак-
тической реализации таких систем при наличии внутренних и внешних
шумов и ограниченной мощности исполнительного органа (насыщения
привода). Существенное сужение полосы пропускания частот регуля-
тора без изменения показателей качества можно обеспечить, если допус-
тить определенную вариацию закона распределения корней, определяю-
щих ’’медленные’’ парциальные движения.
Следовательно, желательно, чтобы закон распределения корней,
определяющих ’’медленные” парциальные движения в системе управле-
ния, изменялся в нужном направлении в зависимости от изменения па-
раметров объекта, но показатели качества при этом должны отвечать тех-
ническим требованиям.
Модель такой системы управления можно представить в виде после-
довательного соединения трех звеньев в общем случае с переменными
параметрами (рис. 1.3). Здесь hx (гь £) — импульсная переходная функ-
ция модели’’быстрых” парциальных движений, аналогично предыдущим
двум случаям.
Характеристики этих ’’быстрых” парциальных движений зависят
от значений переменных параметров объекта.
Импульсная переходная функция соединения двух последователь-
ных звеньев — второго и третьего — будет определяться выражением
я23 (t, 0=f h2 (t~т3&3 (т, &Т.
е
Л'г(Ц)
хвых

*г

Рис. 1.3
31
Приближенно показатели качества системы при условии, что темп
’’быстрых” парциальных движений существенно выше темпа ’’медлен-
ных” парциальных движений определяется выражен ием Я23 (G О» ь е-
Я (Г, 5) приближенно равно Я23 (г, $), где Н (t9 £) — импульсная пере-
ходная функция системы.
Однако характер изменения h2 (t, £), h3 (t, £) в зависимости от пере-
менных параметров объекта существенно различен, При минимальных
значениях переменных параметров объекта характеристики импульсных
переходных функций h2(i, 0 и h3 (f, %) могут быть близкими, и каждое
из звеньев существенно влияет на показатели качества всей системы в
целом. При увеличении переменных параметров объекта импульсные пе-
реходные функции h2 (t, £) и h3 (f, £) изменяются различным образом.
При максимальных значениях переменных параметров объекта свойства
последовательного соединения звеньев практически будут определяться
третьим звеном, т. е.
нгз (Л О«Лз (Л О и fi(t, у «h3 (t, i).
Парциальные движения второго звена становятся при этом достаточ-
но ’’быстрым^’ и мало проявляются в выходной координате системы.
Особенность систем с двухтемповыми движениями состоит в том,
что в них может существовать движение, период колебаний которого су-
щественно изменяется в зависимости от значений переменных парамет-
ров (от ’’медленных” до ’’быстрых”, влиянием которых на показатели
качества всей системы можно пренебречь).
Рассматривая модель такой системы (см. рис, 1,3), можно заметить,
что второе звено обладает особыми свойствами, Характеристики парци-
ального движения этого звона переходят из ’’медленных” в ’’быстрые?’
движения.
Рассматривая расположение корней на комплексной плоскости в
предположении, что система является псевдостационарной, можно отме-
тить, что в рассматриваемом случае имеются корни, которые при увели-
чении параметров объекта управления переходят из области корней с ма-
лым модулем в область корней с большим модулем.
В системе будут наблюдаться три вида парциальных движений, в
связи с чем имеет смысл такие системы, в отличие от двухтемповых,
отнести к многотемповым. Для таких систем характерным является так-
же и то, что соответствующие вырожденные дифференциальные уравне-
ния для различных фиксированных значений параметра ip (г) имеют раз-
личный порядок, изменяющийся от некоторого максимального до не-
которого минимального значения.
В многотемповых системах имеются большие возможности мини-
мизации полосы пропускания частот регулятора по сравнению с двухтем-
повыми, что в принципе приводит к существенному повышению помехо-
защищенности системы и существенно расширяет возможности таких
систем с учетом нелинейностей типа насыщения.
32
1.6. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ’’ЗАМОРОЖЕННЫХ” КОЭФФИЦИЕНТОВ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОТЕМПОВЫХ СИСТЕМ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в
некоторой линейной системе - управления нестационарным объектом,
модель которой представлена на рис. 1.3, запишем в виде
1)	(t)x[n~m~1) + с„_ш_2 (r>i("-w-2) + - +
+ cixi + хг =Ь0Хы,
2) Amrf (t)x^ + Ат_ 1 (t)x^~ О + ... +
+Л1¥?1(0х2 + х2 =хх;
3)Л])^2 (1)хвх +хвых ~х2-
Системы автоматического управления, которые описывается ука-
занной системой уравнений, будем относить к системам третьего типа.
Первое уравнение линейное, нестационарное, описывает ’’быстрые”
парциальные движения в системе управления. К этому движению предъ-
являются следующие требования,. Оно должно быть устойчивым при из-
менении параметров во всем реальном диапазоне и темп движения дол-
жен быть существенно выше темпа’’медленных” парциальных движений,
т, е, коэффициенты |cf-(r)|	(01Д™ всех значений t.
В принципе первое уравнение при выполнении указанных требова-
ний может быть и нелинейным — это не приведет к изменению показате-
лей качества всей системы. Второе дифференциальное уравнение — ли-
нейное нестационарное особого класса, для которого длительность со-
ответствующей импульсной переходной функции изменяется с изменени-
ем	но форма импульсной переходной функции остается неиз-
менной.
Процессы, которые описываются этим уравнением при (Отах» по
темпу совпадают с темпом ’’медленных” парциальных движений, а при
(Omin могут приближаться к темпу ’’быстрых” парциальных движе-
ний. Это значит, что при некотором значении (f) ><^(0min это движе-
ние будет проявляться в выходной координате всей системы, и поэтому
это движение должно быть достаточно задемпфированным,
Третье дифференциальное уравнение линейное, нестационарное опи-
сывает ’’медленные!” парциальные движения, которые определяют движе-
ние в системе при (Г)тах >Ч>1 (0 (Omin-
В частных случаях третье уравнение может быть с постоянными ко-
эффициентами. Если показатели качества системы должны быть посто-
янными, то (?) может изменяться в небольших пределах, Третье урав-
нение в общем случае может иметь порядок больше единицы.
33
Линейная модель системы управления нестационарным объектом в
общем случае может состоять из большего числа звеньев, чем указано
на рис. 1.3, т. е. в исходной нестационарной системе управления можно
выделить более трех парциальных движений, отличающихся друг от дру-
га темпом движения и характером изменения темпа.
Пусть для исходной нестационарной системы автоматического управ-
ления определена математическая модель в вцце системы из трех урав-
нений и определены коэффициенты C{(f\ Aj^i (t), D^2 (О этих УРав"
нений.
Для оценки свойств системы третьего типа достаточно рассмотреть
стационарные свойства каждого звена в отдельности. Если каждое из
трех звеньев соединения, которое эквивалентно исходной системе, бу-
дет квазистационарным, то исходная система будет псевдостационарной.
Первое дифференциальное уравнение, описывающее процессы в
первом звене, определяет ’’быстрые” парциальные движения.
Если найден период Aj ’’быстрых” парциальных движений или
время эффективной длительности импульсной функции первого звена и
коэффициенты первого дифференциального уравнения несущественно
изменяются за время Ai, то это звено будет квазистационарным.
Если второе дифференциальное уравнение, описывающее процессы
во втором звене, будет вида (JL.6) и коэффициенты соответствующего
эквивалентного уравнения несущественно изменяются за время эффек-
тивной длительности импульсной переходной функции, полученной из
решения этого эквивалентного уравнения, то второе звено будет квази-
стационарным.
Третье звено, как правило, описывается дифференциальным урав-
нением невысокого порядка. В общем случае коэффициенты этого урав-
нения переменные, и оно относится к уравнению особого класса.
Если третье дифференциальное уравнение, описывающее процессы в
третьем звене, приводится к соответствующему эквивалентному урав-
нению, и коэффициенты этого уравнения несущественно изменяются за
время эффективной длительности импульсной переходной функции, по-
лученной из решения эквивалентного уравнения, то третье звено будет
квазистационарным. К вырожденным уравнениям здесь будем относить
второе и третье уравнения. Первое уравнение, как и прежде, будем счи-
тать вспомогательным.
Если исходное нестационарное уравнение описывает физические про-
цессы в системе первого, второе или третьего типа, характеризуемой раз-
нотемповостью движений, и если ’’медленные” парциальные движения бу-
дут обладать стационарными свойствами, то приближенно исходное урав-
нение можно разделить на систему уравнений, описывающих парциаль-
ные движения.
34
Для этого желательно исходное нестационарное уравнение
преобразовать так, чтобы коэффициент при *вых был постоян-
ным. Затем анализируются отношения коэффициентов исходного неста-
ционарного уравнения а0 (f)/ai (г); ах (t)/a2 а2 (t)/a3 (г); а3 (Г); ...
и если при этом выполняются П.З, то приближенно исходное уравнение
можно представить в виде системы из двух уравнений, где одно из этих
уравнений будет нестационарным.
Если это нестационарное уравнение будет высокого порядка и ана-
лиз отношений коэффициентов позволяет надеяться на разнотемповость
в его решении, то заменой независимого переменного вида t = z (х),
d% (х)
где х = f------- + С, <p[z (х) ] — коэффициент при первой производной,
<£[ (х) ]
находим соответствующее эквивалентное уравнение.
Это эквивалентное нестационарное уравнение при выполнении
утверждения 6 заменяем системой из двух уравнений, одно из них бу-
дет нестационарным. Если это уравнение будет описывать ’’быстрые”
парциальные колебания, что можно приближенно оценить по отношению
коэффициентов, то для фиксированного значения Х{ находим характе-
ристические уравнения, определяем корни, находим Д5, и если неравен-
ства |q(x + Д6) — q(x)| <q(x) удовлетворяются, то исходное диффе-
ренциальное уравнение можно исследовать методом ’’замороженных ко-
эффициентов”. Д6 — длительность эквивалентной импульсной переход-
ной функции или, если процесс колебательный, период колебаний неста-
ционарного звена, с,(х) — коэффициенты соответствующего уравнения.
Если для исходного нестационарного уравнения не выполняются ус-
ловия утверждения 5, то заменой независимой переменной переходим к
эквивалентному нестационарному дифференциальному уравнению. При
удовлетворении утверждения 6 переходим к системе из двух уравнений,
где первое уравнение будет нестационарным.
При необходимости к полученному первому уравнению снова приме-
няем замену независимой переменной и разложение на систему из двух
уравнений и так до тех пор, пока замена нестационарного уравнения си-
стемой из двух уравнений будет давать приемлемую точность и выде-
ленное нестационарное уравнение будет описывать движение примерно
одного темпа.
Определение 5. Если исходное нестационарное уравнение некоторой
многотемповой системы управления с помощью возможно неоднократ-
ной замены независимой переменной разлагается с приемлемой точ-
ностью на систему уравнений, одно из которых нестационарное и осталь-
ные стационарные, и для нестационарного уравнения выполняется усло-
вие |с, (х + А5) “ Cj (х)| < |q (х)1, где q (х) — коэффициенты и Д5 - дли-
тельность импульсной переходной функции (или период колебаний)
звена, описываемого данным нестационарным уравнением, то исходное
35
нестационарное уравнение можно исследовать модифицированным
методом ’’замороженных коэффициентов”.
Если на каком-либо этапе разложение нестационарного уравнения на
систему из двух уравнений дает большую погрешность, то такое разло-
жение исходного нестационарного уравнения будет необоснованным,
Если не удовлетворяется неравенство |с/(X + Д5)~ cz(x)| < |<7 (х)1>
то может оказаться, что модифицированный метод ’’замороженных
коэффициентов” нельзя применить к исследованию исходного нестацио-
нарного уравнения.
Очевццно, что модифицированный метод ’’замороженных коэффи-
циентов” применим к сравнительно узкому классу уравнений. Но этот
класс дифференциальных уравнений описывает процессы в таких систе-
мах автоматического управления объектами с переменными параметра-
ми, которые представляют большой практический интерес.
1.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА САУ
Пусть к системе управления объектом с переменными параметрами
применим метод ’’замороженных коэффициентов”. Тогда реальную не-
стационарную систему управления заменяем h стационарными система-
ми управления, которые описываются h дифференциальными уравнения-
ми с постоянными коэффициентами.
Для оценки исходной системы необходимо произвести оценку ста-
ционарных систем управления. Трудоемкость такой оценки нестационар-
ной системы с помощью известных стационарных методов исследования
будет в h раз выше по сравнению с оценкой обычной стационарной САУ,
Поэтому возникает необходимость разработки простых приближенных
методов оценки устойчивости, времени регулирования, перерегулирова-
ния, колебательности обычных систем управления непосредственно
по коэффициентам дифференциального уравнения.
L Необходимые и достаточные условия устойчивости [24] ,
Пусть характеристическое уравнение имеет вид
п
S а/,гдеая = 1.,
z=0
Назовем показателем устойчивости X, отношение [ 14] произведе-
ний двух коэффициентов с индексами i + 2, i — 1 к произведению двух
коэффициентов с индексами i + 1, z, где i = 1, 2, •tt9 н 3, п 2. Тогда
_ ai+2ai -1	. _ e3e0 . . _ fl4el Ф . _ в5а2 ,	_ аП-1аП-4
Л> ——— -----J Ai —  J Л о ----L j A3 —---j Am — 3 — ------«
*2*1	*3*2	*4*3	an-2an-3
.	_ anan-3
Kn-2 ~	----•
an- lan-2
36
Условие X, < 1 является необходимым условием устойчивости,
Динамическая система будет устойчивой, если показатели устойчи-
вости удовлетворяют неравенствам X, < 0,465. Условие X/ < 0,465 явля-
ется достаточным условием устойчивости (для всех z).
2. Приближенные оценки качества системы [24,14}.
Если процессы в САУ описываются линейными дифференциальны-
”	^**вых
ми уравнениями вцца S а/ ------- =^оЛ’вх» т- е- в правой части уравне-
но	dtl
ния нет производных, то показатели качества (быстродействие, перере-
гулирование, колебательность) можно [ 14] определить непосредственно
по коэффициенты дифференциального уравнения с помощью показа-
телей быстродействия —а^а^ и формы процессов = a\/a2aQ\ 62 =
=р2/азЯ1; «з —а\/а^а2.
Построены номограммы в координатах 8lt 82 для фиксированных
53 (см. П.1), по которым легко определяются время нарастания ?н,
перерегулирование р, колебательность.
3. Чувствительность показателей устойчивости, быстродействия и
формы процессов [ 55].
Обозначим
= Д/+ 2Д/_ 1^+2	1 W
1 ai + мфц. i(a)V//(a)
где о — переменный параметр, являющийся аргументом некоторых
функций fa для случая, когда они входят сомножителями в коэффици-
енты уравнения, т. е. в вцце Л /	(о),
Тогда чувствительность показателей устойчивости X/
SK‘ = д [ Д« + 2Д|-1^Ч-2(О)У'»-1(0г) ]
° да ai+ ^фц.1 (а)ф;(а)
Чувствительность показателя быстродействия 0О
s?o _ Э f	,
° Эа W
Чувствительность показателей формы процесса
^1^	Э	/	(g)J2	?
°	да	( а0а2ф0(а)ф2(О)J
J	1а2^2^)12	1	.
° да \а1а3ф1(а)ф3(а) J
у53 =_Э_ /	tfl3^3(g)l2	]
° да ( а2а4ф2 (а)ф4 (a) J
37
ГЛАВА 2. СТРУКТУРЫ САУ, ЭКВИВАЛЕНТНЫХ АДАПТИВНЫМ
2.1.	МНОГОТЕМПОВОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ
В СИСТЕМАХ /ПРАВЛЕНИЯ
Многие автоматические системы при определенных допущениях уда-
ется описывать с помощью линейных математических моделей. Таким
образом, можно сказать, что линеаризованной системе с постоянными па-
раметрами соответствует определенное характеристическое уравнение.
Часть корней этого уравнения, как правило, по модулю оказывается су-
щественно меньше остальных корней. Если в правой части дифференци-
ального уравнения системы нет производных, то показатели качества
соответствующей системы с достаточной точностью определяются корня-
ми с малыми модулями.
Если удастся выбрать структуру системы и параметры управляющей
части так, что с изменением параметров объекта характеристики ”мед-
ленных” парциальных движений будут практически неизменными, а
изменению будут подвергаться характеристики ’’быстрых” парциальных
движений, т. е. изменение параметров объекта управления будет как бы
переводиться в изменение характеристики ’’быстрых” движений, то в
выходной координате эти движения практически не будут проявляться,
и показатели качества системы будут неизменными.
В настоящее время достаточно хорошо изучены различные типы си-
стем управления, которые могут обладать такими свойствами. К таким
системам относятся САУ с эталонными моделями, САУ, устойчивые при
к -> 00, системы переменной структуры (СПС), автоколебательные САУ
и нелинейные САУ с высокочастотными внешними возмущениями.
2.2.	СИСТЕМЫ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ
Известны различные способы использования эталонных моделей в
беспоисковых самонастраивающихся системах. Рассмотрим некоторые
структуры таких систем с эталонной моделью [ 17], которые теоретичес-
ки могут обеспечить требуемое качество управления нестационарными
объектами:
системы с инверсной моделью в обратной связи (рис. 2.1) ;
системы с эталонной моделью, включенной параллельно основному
контуру (рис. 2.2);
системы с эталонной моделью в прямой цепи регулятора (рис. 2.3);
системы с эталонной моделью, включенной параллельно некоторым
функционально необходимым элементам основного контура упраления
(рис. 2.4).
Все указанные системы характеризуются двухтемповыми движения-
ми, причем при соответствующем выборе параметров управляющей час-
ти с изменением переменных параметров объекта у них изменяются ха-
38
Рис. 2.4
рактеристики ’’быстрых” парциальных движений. К исследованию таких
систем применим модифицированный метод ’’замороженных коэффи-
циентов” (см. гл. 1).
Рассмотрим некоторые основные особенности систем с моделью.
Системы с инверсной моделью в обратной связи
Рассмотрим САУ, структурная схема которой представлена на
рис. 2:1.
Передаточная функция прямой цепи передачи воздействий системы
имеет вид
kW = WxkW2W3WQ,
И7!, W2,	~ передаточные функции функционально необходимых
элементов; Wo = Wo (s, t) — ’’замороженная” передаточная функция
объекта с переменными параметрами.
— инверсная модель.
Передаточная функция системы с моделью имеет вид
*вых _ kW
^вх 1 + kWWM
При к ->оо получим ^выхМвх « 1/WM. Таким образом, при к ->©©
влияние объекта с переменными параметрами на показатели качества
исключается. При проектировании WM выбирается так, чтобы показатели
качества системы удовлетворяли заданным требованиям.
Очевидно, что при к -> ©о возникает проблема обеспечения устойчи-
вости рассматриваемой системы. Устойчивость системы оценивается по
выражению 1 + kWWM. В реальных условиях значение к выбирается ко-
39
нечным из условии удовлетворения заданным требованиям качества,
Перепишем передаточную функцию системы в виде
*вых =
Хвх’ 1 + *И/И/м И/м ‘
Условно систему управления можно представить в виде последова-
тельного соединения следящей системы с передаточной функцией Wc =
=-----——— и инверсной модели 1/WM. Объект с переменными парамет-
1 + лИ'И'м
рами входит в
Примерное постоянство показателей качества регулирования будет
соблюдаться, если минимальное быстродействие Wc будет хотя бы на
порядок выше быстродействия инверсной модели 1/WM, Из этого усло-
вия можно выбрать коэффициент усиления к,
Рассмотрим И7 = И'хИ'зИ'зИ'о» где, например, Wi =&1,	= 1, W3 =
= А 3/В3 (s), WQ (s, t) = kQ (t)bQ (t)/BQ (s, t), и перепишем знаменатель пе-
редаточной функции Wc в виде
k^kkWbQtf) = *3(s)B0U 0+*1М3к0(г)Ь0(г)
+	м	53(s)50(s, Г)	М’
Очевидно, что если полином В3 (s)BQ (s, t) имеет степень п9 то при
=сл_ 1 +	+ cQ (где q выбраны из условия удовлетворе-
ния требуемым показателям качества) и при изменении kQ (t)bQ (г)
в любых конечных диапазонах путем соответственного выбора 'к систе-
му с передаточной функцией Wc всегда можно сделать устойчивой.
Однако чистые производные реализовать технически нельзя, так как
реальные устройства обладают инерционностью и, следовательно, будут
вносить запаздывания. С учетом запаздываний, появляющихся при техни-
ческой реализации производных, степень полинома знаменателя Wc
будет не менее 2п — 1, и проблема устойчивости в таком случае не ре-
шается.
Технически задача формирования системы решается проще, если вы-
бирать модель, описываемую полиномом низкой степени (первой или
второй) так, чтобы инверсная модель в основном удовлетворяла требо-
ваниям качества, и вводить дополнительные корректирующие устройст-
ва, охватывающие функционально необходимые элементы регулятора,
для обеспечения устойчивости Wc. Структура системы, составленная из
указанных соображений, приведена на рис. 2.5, где
Bki\s)	Bk3\s)
Передаточная функция этой системы имеет вид
^вых _	"'м*!**^	1
40
Рис. 2.5
Устойчивость системы можно исследовать с помощью уравнения
1 + kW3 % + kWk2 + тзИ'з =0.
Выбором корректирующих устройств можно обеспечить низкую
чувствительность к переменным параметрам объекта. Но такие свойства
в рассматриваемой системе реализуются за счет расширения полосы про-
пускания частот, что ведет, в свою очередь, к уменьшению помехозащи-
щенности САУ,
Системы с эталонной моделью, включенной параллельно-основному кон-
туру управления
Рассмотрим свойства системы, структурная схема которой пред-
ставлена на рис. 2.2.
Передаточная функция системы имеет вид
-^вых _ W +
kkWWk i^kkWkW
где Wk =
AkW
BkW
При достаточно больших кк динамические свойства системы при-
ближенно определяются передаточной функцией
*вых ~ кк^^к
Хвх 1 + kkWWk
И'м *WcWMt
kkWWk
Если при больших кк быстродействие процессов в Wc =
для [fc0 (Г)&0 (OLnin будет примерно на порядок выше быстродействия
процессов в модели WMf то показатели качества процессов системы при-
ближенно будут характеризоваться моделью Хъых/Хъх ^WM. При устой-
чивой эталонной модели устойчивость системы определяется ввдом Wc,
Характеристическое уравнение части системы, описываемой переда-
точной функцией WQ9 имеет вцц 1 + kWWk или, при принятых ранее обо-
значениях, В3 (s)Bq (s, t)Bk 0) + кк^ккА3kQ (f)bQ (t)Ak (s) = 0.
Для обеспечения устойчивости при изменении Аг0 (г)Z?o (Г) в из-
вестных конечных пределах может потребоваться введение дополнитель-
ных корректирующих устройств, охватывающих элементы регулятора.
41
Рис. 2.6
В общем случае характе-
ристическое уравнение систе-
мы можно привести к виду
s" + ап_.^~ * + ... + (ат2^
+	+ .+«i2s +
+аОг)^о (О^о (0 —
где а, = const иа12 = const.
Выбором параметров регулятора в этой структуре теоретически
всегда можно обеспечить приближенное равенство А^х » Wm^bx и
устойчивость системы при изменении kQ (t)bQ (г) в любом конечном диа-
пазоне.
Но все это достигается за счет расширения полосы пропускания час-
тот. Поэтому реализованная система будет обладать малой помехозащи-
щенностью.
Пример. Структурная схема системы с инверсной моделью представ-
лена на рис. 2.6. Дано 0,1 <&0 (г) <10.
Требуется обеспечить переходный процесс с показателями качества
Гр =0.28 ... 0,3, р <5%, 5С =0 (5С — статическая ошибка).
Инверсную модель выбираем в виде =0,1 ($ + 10),тогда 1/WM =
= 10/ (s + 10). Выходная координата модели удовлетворяет заданным
требованиям.
Пусть инерционное ’’запаздывание?’ JVM равно т =0,0001 с. С учетом
запаздывания передаточная функция реализованной инверсной модели
будет WM = 1000(s + 10)/ (s + 10 000).
’’Замороженная” передаточная функция системы с указанной ин-
версной моделью
K(S =_________________________($ + 10 000)404 (г)_____________
s4+ 102 4 02$3+2615-104$2 + [140406+104A: (Г) ]$+5 407 + 104fc(Г)
При изменении k(t) в диапазоне 0,1 ... 10 система с инверсной мо-
делью будет устойчивой.
Отсюда видно, что САУ с моделью малочувствительна к изменению
параметров объекта.
Оценим работоспособность системы при наличии помехи, действую-
щей на вход системы с учетом нелинейности в виде ’’насыщение” в
приводе.
Пусть л^х =%w (Г) + хВхи(О, гДе ^х,ю (О - полезный сигнал и
ХвХ'П. (t) =0,01sin2000r — помеха. Приближенно на вход привода эта-по-
меха будет поступать с коэффициентом передачи Хт/Хвх = 2000, тогда
Мтах~2000-°.01~20-
Пусть с датчика, измеряющего выходную координату объ-
екта, поступает помеха л^Ь1ХЛ = 0,01sin2000r. Тогда Хпр/Льыхл
_ 2403($+10)403	.	. .Лал
№ -----2----i--- И Ипо тпах ^4000.
($ + 10 000) ^npimax
42
Если привод входит в насыщение, например , при |хпр I = 16, то рас-
сматриваемая система будет практически неработоспособна. Примерно
те же результаты будут при включении эталонной модели параллельно
основному контуру управления.
2.3.	СИСТЕМЫ, УСТОЙЧИВЫЕ ПРИ к -и»
Метод построения структурных схем, устойчивых при сколь угод-
но большом коэффициенте усиления, изложены в работе [ 13], где покат
зано, что эти структуры будут удовлетворять условиям устойчивости
при изменении в сколь угодно большом конечном диапазоне парамет-
ров объекта управления.
При этом в зависимости от изменения параметров объекта время ре-
гулирования и другие показатели качества меняются. Подробный анализ
структурных схем, помещенных на рис. 2.7 и 2.8, проведен в [ 13] и раз-
работаны рекомендации по выбору и построению структур САУ высокой
точности (с большими коэффициентами усиления).
На основе анализа устойчивости с помощью вспомогательного урав-
нения сделан вывод о том, что целесообразно охватывать обратными свя-
зями все звенья системы.
Сделан общий вывод о целесообразности построения структурных
схем, аналогичных изображенной на рис. 2.7. Такие схемы рекомендо-
ваны ина случай, когда объект управления имеет переменные параметры.
Показано, что если нескорректированная САУ описывается диффе-
ренциальным уравнением л-го порядка, то требуется ввести п усилителей
из которых п — 1 следует охватить стабилизирующими устройствами
Рис. 2.7
Рис. 2.8
43
описываемыми дифференциальными уравнениями первого Порядка,
С учетом изложенного,структурная схема САУ, где объект и привод
описываются ’’замороженной” передаточной функцией
=w{s, t)=—---------------—.
ХВХ	,(я)+	+	+ ai(r)s+ fl0(f)
будет иметь вцц, представленный на рис, 2.7, где WjC =ц/ (s + О'/),
Для простоты принимаем
1	~кп ~~к»
ai =а2 =а3=...=а„ = а,
’’Замороженная” передаточная функция САУ
^вых ______________________________________кп (s 4-
*вх	(^+о^+а)<л-1)р+ал_1(г)^-1+...+1/71(^+ао(г)] +
+ ($ +	{t)k
_ __________________________(s+	_____________
т (ms+ (Х+ m(^n~1[sn + an^i (г)/1-1 + ... +	(r)s+ д0(г)]4- (s+ tyn~Xb (Г)
где т = 1/ к.
При т 0, вырожденное уравнение принимает вцц
^вых (у + oi)n~lb (г) _ J
Хвх (S 4- а)п~хь (г)
Вырожденное уравнение будет всегда устойчивым и в соответствии с
ним переходная функция имеет Гр =0,
Вспомогательное характеристическое уравнение получается из пол-
ного характеристического уравнения путем подстановки s =q/m\
П	нП~1
т(т4-+ а+	a„_, (f)_l_+
т	"J1
т	т
+ 01 (0о0 (г)] +	+ af- *b (0 = 0,
т	т
После умножения на тп ~1, получим
(<?+ а+	+ дл_! (Оли/1-1 + ... + flj	+
+ а0 (Г>л"]+ m"-1 (— + cCft~ib{t)-i>.
т
При т 0
(q + ay~lqn + qn~lb (г) = 0,
44
После деления на qn 1 получаем вспомогательное уравнение
(7 + а)п~1 q + b (Г) = О,
из которого следует, что чем больше b (t), тем больше должно быть зна-
чение а или тем меньше постоянная времени стабилизирующего устрой-
ства а =1/Г.
Таким образом, при известном b (г) по вспомогательному уравне-
нию однозначно определяются стабилизирующие устройства. Коэффи-
циент усиления к выбирается из условия справедливости вырожденно-
го уравнения, т. е. приведенный метод синтеза позволяет выбрать струк-
туру и параметры САУ с учетом физической реализуемости корректиру-
ющих устройств (стабилизирующих устройств).
В линейной постановке задачи завышенное значение/: ведет к техни-
ческому усложнению САУ, что не связано с принципиальными трудностя-
ми. Однако при наличии нелинейностей типа насыщения и с учетом воз-
можных помех завышенные значения к могут привести к значительным
осложнениям при техническом осуществлении САУ указанной струк-
туры.
2.4.	СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
Из всех возможных систем с переметной структурой (СПС) рас-
смотрим системы, характеризуемые ’’скользящими” режимами в неко-
торой зоне вблизи положения равновесия.
В общем случае СПС описываются нелинейными дифференциальны-
ми уравнениями, т. е. относятся к нелинейным САУ,
Однако при определенной структуре и параметрах в системе может
возникать скользящий режим и тогда приближенно система будет описы-
ваться линейными дифференциальными уравнениями. Реальная система
при этом приобретает все свойства линейных САУ. Скользящий режим
при t характеризуется бесконечно большой частотой колебаний и
бесконечно малой амплитудой, т. е. в пределе эта система линейная.
СПС, характеризуемая скользящим режимом, обладает свойствами па-
раметрической инвариантности [ 4],
Пусть имеется объект, описываемый линейным дифференциальным
уравнением с переменными коэффициентами:
^”хвых	z х °П 1хвых	, х _ .
------— + ап_ 1 (Г)-------+ ... + а0 (О*вых -Ф+ F.
dtn	dtn~l
Здесь ai (f) — функции параметров объекта, меняющиеся произволь-
но в некоторых известных пределах. F (t) — возмущение, действующее
на вход объекта, ограниченное по модулю; ф — управляющее воздейст-
вие, приложенное ко входу объекта.
45
Ошибка регулирования x(t) = xBK(t') ~xBblx(t). Управляющее воз-
действие ф должно быть таким, чтобы х(г) = 0. Так как хвых (г) =
=xBX(t) ~х(/),то
d” (хих - х)	dn~1 (хвх - х)
— -- +	(0-------------- + ... + а0 (t)(xBX -X) =ф+ F,
dtn	df-1
dnx	4п~*х	d"*Bx
или —— + ап_ j (?)——- + ... + а0 (Г)х--— + ... +
dtn	dtn~l	dtn
+ a0(t)xBX-(^+F).
Приведем уравнение к нормальной форме Коши
Xi —х,
dxx
х>=—'
dx2
Хз.=^т:.
dxn-t
Хп^—’
dxn п	п а1Хт>х
dt i = 0	r = 0 dtl
В «дерном пространстве х/(Г) является составляющей «-мерного
вектора х(г), который в каждый момент определяет состояние системы.
Задача выбора системы управления состоит в том, чтобы выбрать
такое управление V/, при котором с течением времени х, (t) ->0, и харак-
тер процесса не зависел бы от изменяющихся параметров д, (г). Если счи-
тать систему квазирелейной, то решение сведется к определению гипер-
плоскости переключения в «-мерном фазовом пространстве (если систе-
ма описывается уравнением 2-го порядка, то к определению линии
переключения) и к обеспечению существования скользящего режима при
заданных сигналах.
Определим условие существования скользящего режима при изме-
нении параметров объекта в заданных диапазонах для свободного движе-
ния системы, имея в виду, что многие внешние возмущения можно заме-
нить соответствующим изменением начальных условий.
Свободное движение САУ описывается системой уравнений
-£~=xi+i (/=1>2....(я-1));
£ а,-1(Г)х,-ф.
dr 1 = 0
46
Здесь ф— разрывная функция
Ф= /ф1 при 4(х)>+0,
( Ф2 ПРИ q(x)<~0.
Пусть
Фо~ (Ф1 ~Ф1)1Ъ Лф=(ф1-ф)12-
Отсюда управляющее воздействие
01 =0О + Д0 при ^ > + 0;
02 =0О ПРИ
Пусть уравнение гиперплоскости переключения имеет вид
q(x) = s ciXi.
i = 0
Тогда
00 dx* .
—t-----Cr,~dT +
При cn = 1 получим
~ = S [c,_ 1 -a(-_ 1 (r)K - ф.
dt /=1
Условия существования скользящего режима запишутся как
п
2 [’(с,-1 -«/-1 (ОК ” Ф/о ”дФ/о <0 при q > + 0;
i= 1
п
. S [ (Ci-1 -di-1 (OK - Фю + дФ/о > 0 при q < -0.
Л—1	п	п-1
Е CiXi+1=cn[- Z а/+1(0*/“Ф]+ 2 CiXj+1,
'=1	/ = 1	i=l
Пусть некоммутируемая составляющая управляющего воздействия
п
ф0 х = S u?_	, Тогда неравенства могут быть записаны как
п
2 [с,- -а,'_ 1 (0“«®_ 1 К “Дф/ <0 при q >+ 0;
п
Z [с, —а,-1 (/)—и? . ]х, + Дф, > 0 при q < — 0
1—1	II
или Д^/ > S [с,-1 _а,_ 1 (0	. К ПРИ <7 > + °;
i = 1	1
(21)
Дф,- <- S [q_! -а/_ 1 (0_и?_ 1К при q <-0.
i = 1
Можно взять Д0 постоянным, при этом найдется такое значение
|х/|, при котором условия (2.1) не удовлетворяются. Поэтому выбор
47
имеет большое значение. Для удовлетворения условий (2,1) можно.
п
выбрать Дф = Е Ди/_ jx/, где при х/ > 0 коммутируемая составляющая
*=1	п
управляющего воздействия положительная j > 0 и Е Дн/_ хх/ >0,
i=l
при х/ < — 0 коммутируемая составляющая отрицательная Дн/_ j <0 и
п
Е Дн/_ iXj > О? Здесь Аф зависит от х/, Можно Дн/_ х выбрать так, что-
i=l
бы условие (2.1) всегда выполнялось.
Действительно, при Ди,_ i >	i (0 неравенства (2,1)
будут выполняться при любых х/. Закон изменения управляющего воз*
п
действия имеет вид 0 = Е jx,,
/ = 1
ГД.	=“»+Д“' "<>"«>“;	(2.2)
( щ2 =и“2 -Дм, при qxi < О,
При таком законе управления вектор фазовой скорости направлен
к гиперплоскости q (х) = 0, Следовательно, изображающая точка стре
мится к гиперплоскости переключения при любых начальных условиях
При а,-min (0 <а«шах достаточно выбрать Ди,_ i >q_ j ~a,min -
”u? для обеспечения скользящего режима.
Из (2.1) следует, что закон управления содержит нелинейную состав-
ляющую. Коммутируемый сигнал, пропорциональный фазовой коорди-
нате, приобретает знак, определяемый знаком произведения суммы
п
фазовых координат с некоторыми весами q = Е c/u, на фазовую коор-
/=1
динату х/.
Известно, что можно составить эквивалентную структурную схему
СПС, которая будет содержать в своем составе множительное устройство,
а также модульные звенья,
СПС является примером структур, содержащих необходимый приз-
нак адаптивной САУ, но не относящихся к адаптивным,
О помехозащищенности СПС
Управляющее воздействие ф представляет собой сумму некоммути-
руемых производных (до п — 1 производной включительно) с соответ-
ствующими коммутируемыми составляющими производных. Величины
управляющих воздействий определяются условиями существования
скользящих режимов, частота которых теоретически стремится к беско-
нечности. Это означает, что в идеальном случае полоса пропускания час-
тот регулятором стремится к бесконечности. Такая система будет обла-
дать плохой помехозащищенностью.
48
При практической реализации СПС эквивалентны системам, устойчи-
вым при к -► и их помехозащищенность будет близкой к помехоза-
щищенности структур, устойчивых при к
2.5.	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
О методе исследования автоколебательных САУ
В нелинейной автоколебательной САУ эффективный коэффициент
усиления регулятора по медленной составляющей сигнала обратно про-
порционален амплитуде автоколебаний, которая, в свою очередь, являет-
ся некоторой функцией переменных параметров объекта управления.
Причем если амплитуда автоколебания при некоторых структурах САУ
прямо пропорциональна коэффициенту усиления объекта, зависимость
ее от других параметров объекта более сложна.
САУ технически работоспособна при амплитуде автоколебаний,
не превышающей некоторое максимальное значение, поэтому пределы
изменения переменных параметров объекта управления, при которых
САУ сохраняет свою работоспособность, жестко ограничены. Их можно
значительно расширить путем выбора рациональной структуры САУ,
Анализ и синтез таких систем удобно проводить на базе метода гар*
монической линеаризации.
Известно, при выполнении условия
(г)
где (г) — внешнее воздействие; Т — период автоколебаний нелиней-
ной САУ, процессы в некоторой нелинейной системе приближенно можно
описать следующими уравнениями:
В (р)х0 + A (p)F0 (x0)=S (р>вх (Г),
Bi (р)х* + A (p)(q+ р)х* =0,
Си
где Fo (xq) — функция смещения соответственно для медленно меняю-
щейся составляющей; х0 — медленно меняющаяся составляющая; —
высокочастотная колебательная составляющая.
Учитывая, что FQ (х0), как правило, является непрерывной плавной
функцией, при малых значениях х0 ее можно линеаризовать, т, е.
Го (*о) ~^экв*о?
Тогда уравнение для медленно меняющейся составляющей можно
записать в вцце В (p)xQ + А (р)кЗКВх0 = s ф)хвх (t), где &экв — эквива-
лентный коэффициент усиления нелинейного усилителя, т. е. по отноше-
49
нию к медленно меняющимся внешним воздействиям такая система
ведет себя как линейная.
В связи с этим при медленно меняющихся воздействиях автоколе-
бательную САУ можно заменить эквивалентной линейной.
Выбор рациональной структуры нелинейной САУ
при переменном коэффициенте усиления объекта управления
Эквивалентный коэффициент усиления нелинейного усилителя ав-
токолебательной системы обратно пропорционален амплитуде автоколе-
баний. Поэтому эффект самонастройки наиболее сильно проявляется в
системе с амплитудой автоколебаний, прямо пропорциональной перемен-
ному параметру объекта управления. В связи с этим рациональной струк-
турой релейной САУ будем называть такую, в которой переменные па-
раметры объекта управления можно заменить одним обобщенным пере-
менным параметром, и амплитуда автоколебаний которой будет прямо
пропорциональна этому обобщенному параметру.
Структурная схема релейной автоколебательной САУ приведена на
рис. 2.9. Все элементы, за исключением релейного усилителя, линейные.
По отношению к медленно меняющимся воздействиям такая система
ведет себя как линейная.
Заменяя релейный усилитель (на рис. 2.10 обведен пунктирной ли-
нией) линейным с коэффициентом усиления &экв, получим САУ, мед-
ленные процессы в которой приближенно описываются линейным
дифференциальным уравнением. Соответствующая передаточная функ-
ция имеет вид
^вых (О _	экв
*вх (*)	1+ ИМ^2(^эквИМ*)^о(*)*
Пусть коэффициент усиления объекта Wo (s) — переменный, медлен-
но меняющийся. В этом случае объект будет квазистационарным, и для
исследования системы применим метод’’замороженных” коэффициентов
Ai	А 2^ 2	А	Ar\k(t)
W2(s)=~H)’ W3(s)=r^’
&1\S)	0 2 vJ	**3vl	Oq\S)
— коэффициент усиления объекта управления.
Рис. 2.9
50
’’Замороженная” передаточная функция системы имеет вид
Л |Л 2Л 3Л Qk 2kэкв^ 3^ С* )
^вых.(s) _ В (s) В 2 (з) В 3 (s) Вq (s)	•
^вх )	Л 1Л 2Л 3Л о^2^эквА:зЛ (f )
Вх (s)B2(s)B3(s)B0(s)
Амплитуда автоколебаний А = Лс^(х0), где Лс - амплитуда авто-
колебаний системы при отсутствии возмущающих воздействий. Она
определяется только параметрами САУ, а (х0) определяется параметра-
ми системы и внешними возмущениями.
При малых значениях |х0| — медленно меняющегося сигнала на вхо-
де нелинейного элемента, т. е. при небольших отклонениях от положения
равновесия, (х0) близка к единице. Тогда Л является функцией только
параметров САУ.
Для указанной структуры А будет прямо пропорциональна перемен-
ному параметру к (t):
Л = Лс =Лс0£ (f),	(2.4)
где Лс0 - постоянный коэффициент.
Так как при малых отклонениях
Fo Оо) ~^экв-*о ^^экв-^оМс»	(2.5)
то эквивалентный коэффициент усиления обратно пропорционален амп-
литуде автоколебаний, т. е. £экв =&ЭквоМс-
После подстановки выражения (2.4) в (2.5), получим
^экв*о ~^экв о-^оМсо^ О’ ) ?
или кЭКВ — ^экво/^со^ (О >	(2»6)
гдеЛ^кв =const.
Подставив выражение (2.6) в (2.3), получим
Л 1Л 2Л 3Л Qk 2k экв^ 3
^вых(5) _ AqqBi (s)B2 (s)B3(s)Bq (s)
*вх(*)	Л jЛ 2 Л 3Л Qk 2^экв 0^3
Л cqB 1 (S)B 2 (S)B3 (s)Bq (s)
Таким образом, получена передаточная функция, коэффициенты,
которой не зависят от переменного коэффициента k(t) при малых
отклонениях.
Рассмотрим структуру, приведенную на рис. 2.11, где И^.у^) —

Рис. 2.10
51
передаточная функция корректирующего устройства. Ее передаточная
функция имеет следующий вид:
Л	2Л 3Л ()к2kж&к^к} (t)
^вых (s ) =________B1(s)B2{s)B3(,s)Bq(s)____________
^bx(s) Л 1Л2Л 3Л о^2^экв^з^1	^экв^ 3^ 3А Ку (s)
В \ (s)B ^{s)B 3 (s)Bо (s)	В з (s) В Ку (s )
Выражение (2.6) справедливо для структуры, изображенной на
рис. 2.10, но множитель Лс0 будет другим - А'с0.
Подставив выражение (2,6) в (2.7), получим
Л 1Л 2^2^ЭКВ(И(И зк з
*вых ) 	A qqB \ {s)B 2 (S)B 3 {s)Bq (s)
*bx(s)	1Л 2Л 3Л о^2^экв^3	кЭКВк 3Л 3А ку (s )
1 + --------------------— + —------------------
А сбВ J (s)B2 (s)B3 (s)Bq (s) A CQk (t)B3 (s)BKy (s)
В этом равенстве коэффициент k(t) входит в третье слагаемое зна-
менателя. Следовательно, при структуре, приведенной на рис. 2,10,
принципиально невозможна компенсация переменного параметра объек-
та управления. Таким образом, из анализа приведенных структур САУ
можно сделать следующий вывод: принципиально полная компенсация
переменного коэффициента усиления в автоколебательных САУ возмож*
на лишь в структуре, передаточная функция которой для медленно меня-
ющейся составляющей содержит только произведение коэффициентов
кэквк (f ) •
Выбор рациональной структуры нелинейной САУ
при нескольких переменных параметрах объекта управления
Кроме коэффициента усиления переменными часто являются коэ-
фициенты демпфирования и собственная частота объекта управления.
Амплитуда автоколебаний и частота в общем случае будут нелинейными
функциями параметров объекта управления. Поэтому здесь и для струк-
туры, приведенной на рис, 2.11, принципиально полная компенсация пе-
ременных параметров невозможна.
Однако во многих задачах выбором структуры и параметров регуля-
тора можно уменьшить влияние переменности демпфирующих коэффи-
циентов объекта и обеспечить параметрическую инвариантность САУ.
Если влияние демпфирующих коэффициентов объекта мало, то на
динамические свойства системы будут оказывать влияние только коэф-
фициенты усиления ki и собственная частота объекта управления с^.
В этом случае для структуры, приведенной на рис. 2.11, будет вы-
полняться условие компенсации переменных параметров объекта управ-
ления.
52
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Структурная схема автоколебательной САУ изображена на рис. 2Д2,
где
Ъ Oik i
И'о 0) = -г----2------------
s + b2is + b ijs + b Qj
(fa иb2i, bit, bOi — переменные параметры);
A jr i	Ajcq(s)
Wk 2 (s) = —2 - ; Wk 3 (s) =-----5^-^-----,
5jtoW	1 +
Заменяя релейный усилитель линейным эквивалентным, получим пе-
редаточную функцию линеаризованной системы для медленно меняю-
щихся сигналов в виде
Л 1Л з^эквА 31 ($) X
^вых О)  В ко	1 (s)^2	31
^вх (5)
Л 1Л 2AjdA 31 (s)^31^экв^ 0/
Вк0 (051 (052 (s)531 (О[«3 + b2is2 + b us + Z>0/]
x ^3i^o/^oi
+ b2is2 + bus + * Of]
к2A 2A]q2 (^)	Ako 2A з i (s)k3 }kжвк{Ьq/
B2<S)Bk0(.s)	B2(s)Bk0{s)B31 (s)[s3 + b2is2 + bliS+ Z>0/]
(2-8)
Выбором Bko (s)4fc2	0 (s) можно обеспечить малый вес состав-
ляющих коэффициентов b2j, Ьц, bOi>
53
Решающее влияние будет оказывать произведение кца&. Но во все
слагаемые выраженйе (2.8) это произведение входит совместно с &экв,
т- е- ^экв^ог
Как и выше
_	^экво
Подставляя выражение (2.9) в (2.8), получим также эффект ком-
пенсации переменных коэффициентов объекта автоколебательной САУ.
Таким образом, для автоколебательной САУ вопрос выбора рациональ-
ной структуры весьма важен.
Возможные пределы изменения параметров объекта управления
ограничены допустимой амплитудой автоколебаний. В связи с тем, что
амплитуда автоколебаний прямо пропорциональна коэффициенту усиле-
ния объекта управления, в большинстве реальных случаев допустимо
увеличение kQ примерно на порядок (при этом А будет также увеличи-
ваться на порядок).
2.6. О ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОСТИ САУ
РАЗЛИЧНОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотренные здесь двухтемповые системы управления (линейные
и нелинейные) формально позволяют обеспечить заданные показатели
качества при измедении параметров объекта управления в любых конеч-
ных пределах. Этот эффект практически достигается за счет того, что
полоса пропускания частот выбирается большой, так что все изменения
параметров приводят к изменению характеристик высокочастотных ко-
лебаний, которые практически не проявляются в регулируемой коорди-
нате. Формально, чем выше частота высокочастотных колебаний, тем
менее они заметны в выходном сигнале и казалось бы полосу пропуска-
ния частот системы целесообразно выбирать как можно большей. В
действительности любые из рассмотренных систем, во-первых, содержат
элементы с нелинейной статической характеристикой (типа насыщение)
и, во-вторых, они работают в условиях сравнительно интенсивных высо-
кочастотных помех.
Это значит, что при большой частоте’’быстрых” парциальных движе-
ний в системе и тем более, если они будут иметь резонансный характер,
помехи соответствующей частоты будут многократно усиливаться и
могут привести к ’’забиванию” нелинейного элемента, т. е. система будет
помехонезащищенной.
Отсюда следует очевидный вывод, что система должна удовлетво-
рять заданным показателям качества при минимально возможной полосе
пропускания и при этом на высоких частотах частотная характеристика
не должна иметь резонансных всплесков.
54
Критерием помехозащищенности в указанных условиях будет зна-
чение дисперсии (или СКО) на входе нелинейного элемента при выпол-
нении требований на показатели качества.
С этих позиций рассмотренные двухтемповые системы будут иден-
тичны. Если требования на показатели качества различны, то это естест-
венно приведет и к различным величинам дисперсии (или СКО) на вхо-
де нелинейного элемента.
ГЛАВА 3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ
КОМПЕНСАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Структуры параметрически инвариантных компенсационных систем
управления (ПИКС) в общем случае относятся *к трехтемповым, т. е.
этим структурам соответствуют эквивалентные модели третьего типа.
По сравнению со структурами, характеризующимися двухтемповым
движением, структуры ПИКС обладают более высокой помехозащищен-
ностью.
3.1.	ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЙ ПИКС
В структурах ПИКС, наряду с малой чувствительностью к перемен-
ным параметрам, принципиально достижима и малая чувствительность
к высокочастотным помехам и неучитываемым малым постоянным
времени стационарных звеньев. Формально это объясняется тем, что
в неполностью наблюдаемых и неполностью управляемых структурах
ПИКС с помощью физически реализуемых корректирующих устройств
число независимо выбираемых коэффициентов соответствующей мате-
матической модели (в форме ’’вход—выход”) можно сделать больше,
чем и, где п — размерность модели и, следовательно, наилучшим образом
выбрать величины всех слагаемых (постоянных и переменных) коэффи*
Рис. 3.1
55
циентов математической модели и при этом п выбирается минимально
возможным.
1.	В объекте управления с переменными параметрами измеряются
входная и выходная координаты:
а)	пусть передаточные функции звеньев структуры (рис. 3,1) равны
А ъ	к л (г )Ь л
W3 = д	= —д	> (*о О’) =^omin ••• ^omax)•
__ %mks k 1s к + ••• +	+ £о
И,*° ~	Вко (s)	’
пк	пк~1
_ ^3nks * + tl3nk-i$ + ... + Д3р + Д30
И^3“
Bfco(s)
пк~^	пк~2
_^2nk-lS + P2nk-2S + .. + Д2Р+Д20
™к2 -
в к о (S)
^1 =
Ак1
sBko(s)’
тк ^пк^ где Пк - степень полинома Вко (5) • Здесь
и
далее индексы типа Зпк двойные, т. е, 3, Пк и т. п.
Пусть при синтезе коэффициенты уравнения САУ формируются толь-
ко за счет параметров д2/-, д3/,	к2.
Знаменатель передаточной функции рассматриваемой структуры в
общем ввде будет
Sn + ап- 1 (Р-2П- 1)^л 1 + ап-2 (Р-2П-2> Р’ЗП-г)5” 2 + ... +
+ ат + 1 (Дгт + Ь Р-Зт + 1)$™	+ \.ат (Дгди, Мзди) +
+ ат	+ 1ат- 1 (Дгдл- Ь Дзди - 1) + ат (^тк~1)
ХМО]*™-1 + + kl (Д21, Дз1)+ а" ($1)М0]*+ ^о(^х)^о(О.
где д2л- 1 =^2Пк~ ь Р-2П-2 = (Д2И£- Ь ^2Пк~ 2)> Д2П- 3 =
= (Ц-2Пк- 1, Ц-2Пк-2> ^2Пк~з\ ..., Д22 = (Д2Ь Д20), Д21 =M2oJ
ДЗЛ- 2 ~Р-Пк> РЗП-3 ~~ (Р-ЗПк* У'ЗПк- 1Х МЗИ- 4 = (^ЗПк^
Рзпк- ь и-зпк-г), •••, Д32 = (Мзь А^зоХ Дз1 =Дз(р
Из этого выражения следует, что наибольшими возможностями
для получения оптимального решения будем располагать при независи-
мом формировании коэффициентов при операторах высокой степени и
при независимом формировании обоих слагаемых в коэффициентах при
низших степенях операторов s, начиная с ди, в коэффициенты которых
линейно входит переменный параметр к0 (г),
Для рассматриваемой структуры общее число ’’управляемых” коэф-
56
фициентов будет п + т, где п — п3 + п0 + Пк + 1 и т =	+ 1, Отсюда
п + т = п3 + п0 + njc + тк + 2. Здесь п3 — степень полинома В3 (s),
Ио — степень полинома Во (s), Пк — степень полинома знаменателей кор-
ректирующих устройств.
Корректирующие устройства, охватывающие безынерционный
усилитель, позволяют сформировать Пк коэффициентов (степень полино-
ма Ак 2 (s) будет равна и^ — 1).
Корректирующее устройство, охватывающее привод и усилитель,
даст возможность сформировать + 1 коэффициентов и корректирую-
щее устройство с передаточной функцией Ако (S)/Bko (s)> позволяет
сформировать т коэффициентов, где т — тк + 1 и	(тк — CTeB
пень полинома Ако (?))• корректирующее устройство Aki (s)/Вко О)
позволяет сформировать один коэффициент (свободный член уравне-
ния) . Таким образом, всего в этой структуре формируемых с помощью
корректирующих устройств коэффициентов будет Пк + Пк + 1 + тк +
+ 1 + 1 = 2лк + тк + 3.
Общее число ’’управляемых коэффициентов” должно быть п3 + nQ +
+ Пк + тк + 2. Приравняв 2пк + тк + 3 =п3 + nQ + Пк + тк + 2, полу-
чим Пк~По + п3 + 1.
Так как тк — независимая величина и Пк ^тк9то выражение для
определения значения Пк будет вида
Выражение (3.1) дает необходимое условие независимого формиро-
вания коэффициентов математической модели;
б)	пусть объект управления структуры, приведенной на рис. 3.1,
содержит интегрирующее звено. Передаточная функция этого объекта
_ и. _^о(0^0
6уд"
Передаточные функции И'з,	аналогичны случаю а. Так
как объект содержит интегрирующее звено, то астатизм первого поряд-
ка в системе обеспечивается без специального ввода интегрирующего
звена.
Следовательно, передаточная функция компенсационного фильтра в
J
данном случае будет Wk i =---г •
Вко^
Аналогично случаю а общее число ’’управляемых” коэффициентов
должно быть п + т, где для данной структуры п =п3 + п0 + Пк нт=тк
(по — степень полинома sB0(s)), следовательно, п + т = п3 + п0 +
+ ”к + ™к-
С помощью корректирующего устройства Wk 2 можно сформировать
Пк коэффициентов.
С помощью Wk з можно сформировать Пк + 1 коэффициентов. С по-
57
(3.2)
пк
мощью корректирующих устройств и можно сформировать
тк + 1 коэффициентов. Всего с помощью корректирующих устройств
в данной структуре можно сформировать пк + пк + 1 + тк + 1 =	+
+ тк + 2 коэффициентов.
Из равенства п3 + nQ + пк + тк ~ 2и^ + тк + 2 определяем мини-
мально возможное значение nkt при котором* можно сформировать
п + т коэффициентов:
пк =^3 + Ио “ 2,
Так как тк — независимая величина и пк тк, то окончательное
значение^ определяется из выражения
и3 + и0-2
тк J
в)	пусть исполнительный орган содержит интегрирующее звено. Пе-
редаточная функция исполнительного органа будет
Л з
И/3=----— .
3 sB3(s)
Передаточные функции ^кз» ^кг аналогичны предыдущим
к q (г )Ь0
случаям. Передаточная функция объекта управления равна Wo =-----
В о($)
В системе астатизм первого порядка можно обеспечить без ввода до сум-
матора интегрирующего звена,
Следовательно, передаточная функция компенсационного фильтра
будет
BkQ (*)
Для того чтобы система обладала эстетизмом первого порядка, по-
лином числителя передаточной функции не должен иметь свободно-
го члена, т. е.
пк	пк~1
Рзпк5 * + Дзи^-Р + . + М31*
"'i ’—------------7^---------------------
Как и ранее, всего ’’управляемых” коэффициентов должно быть
п + т, где для данной структуры п = п3 + п0 + пк и т = тк + 1 (п3 -
степень полинома sB3 (s)). Следовательно, п + т =п3 + nQ+ пк + тк + 1.
Корректирующее устройство позволяет сформировать пк коэффи-
циентов, корректирующее устройство И^з позволяет также сформиро-
вать пк коэффициентов. Корректирующие устройства и ^к\ дают
тк + 2 коэффициентов.
Составим равенство
и3 +	+ пк + тк + 1 =пк +	+ 2,
Откуда
пк = п3 + nQ - 1,
58
Выражение для определения значения будет вида
n*>max (3-3)
Итак, для структуры ПИКС, в которой корректирующие устройства
введены по выходным сигналам усилителя, исполнительного органа,
объекта управления, в зависимости от вида передаточных функций W3 и
WQ степени полиномов знаменателей передаточных функций корректи-
рующих устройств выбираются по формулам (3.1), (3.2), (3.3).
2.	В объекте управления с переменными параметрами измеряется
выходная и промежуточная координаты.
Рассмотрим структуру ПИКС, в которой дополнительно введено
корректирующее устройство по промежуточной координате нестационар-
ного объекта управления.
Пусть нестационарный объект управления описывается ’’заморожен-
ной” передаточной функцией
т, *0(')
H/o<s)=^F’
"О
т. е. полином Во (s) с постоянными коэффициентами.
Иногда ’’замороженную” передаточную функцию можно представить
в виде
*о(0 = *1(0
Bq(s) B01(s)
^—z=Wol(s,t)WO2(s,t).
в Q2\s)
Объект'управления представляет собой некоторое единое физичес-
кое устройство, параметры которого коррелированы между собой.
Пусть между kr (t) и к2 (t) имеет место прямая корреляция с коэф-
фициентами корреляции, равными единице.
Пусть наряду с измерением выходной координаты имеется устройст-
во, измеряющее промежуточную координату объекта управления. Для
компактности записи и большей наглядности результатов примем
*1(0 = k2(t)
Bqi(s) в q2(s)
Используя все измеримые координаты исходной САУ, построим
структурную схему ПИКС (рис. 3.2).
Если
А3 ш _ Ак1 ш _ Ak2(.s)
w‘ = 1- "'3=-^.
w - Акз  w = Ак01 (s)	• w -
кз ВкоЮ ’ *01 ВкоЮВогЮ ’	*°2 Вк0 (»)’
Рис. 3.2
то ’’замороженная” передаточная функция такой системы
.х-	л*1лз><
Ф(*> 0“ --------------------5---------------
В3 (s)BQ (s)BkQ (5)+ Ak\к2А(0+ къА^3 (5)^0 W +
х^(0____________________________________
+кгА bAk3	W + кз4 1 (rMjtoi (s) + къА(ПА^ь ОТ
Если И%1, И%2 и ^кз аналогичны п, 1,а и
(34)
_ ^2тк* к+%2тк-13тк 1 + ... + |21* + $20
^02  --------------------——------------------;
(s)
к +	к + ••• + $lls + $10
^01 =-----*---------К--—---------------------,
&къ \s)
где mQ то после подстановки этих выражений в (3,4) и приведения
подобных членов, получим передаточную функцию, полином знамена-
теля которой в общем случае будет иметь вид
+ аП- 1 (P’in- 1)5” 1 + аП-2 (Д2И-2, Дзи-з)5” 2 + ... +
+ ат + 1 (Д2ш + 1, Дзт + 1)^ + 1 + [ат (Д2т, Дзт) +
+ ат (ilm)ki (0 +	(^2т^)^1 (01^” + 1агп- 1 (Д2ш~ Ь Дзт-1) +
+ ат - 1	1)М0 + ат- 1 (£2 т^- 1)^1 (01^ 1 + ... +
+ [Д1(Д21, Дз1)+ <4гг(£и)^1 (0+ а 1 (£21)^1 (01s + ao(4fciXi (О»
(з;5)
где обозначения д2/, Дз/ аналогичны принятым выше.
. Из этого выражения следует, что переменные параметры ki(t) и
ki (г) входят множителями в некоторые слагаемые коэффициентов при
низших степенях оператора $.
60
Когда переменные параметры входят в такой форме в коэффициен-
ты уравнения, оценки чувствительности по показателям устойчивости
будут существенно меньшими, чем для случая, когда переменные пара-
метры входят в них линейно (см, ниже),
Это значит, что заданные требования к показателям качества в такой
структуре можно обеспечить при пониженной полосе пропускания час-
тот регулятора;	_	_
В данной структуре выбором коэффициентов д2/ и Мз/ нужно сфор-
мировать п — 1 постоянных коэффициентов уравнения (3.5), с помощью
коэффициентов £0/ нужно сформировать т коэффициентов при перемен-
ном множителе к\ (г), с* помощью коэффициентов нужно сформиро-
вать тп коэффициентов при переменном ‘ множителе к] (г) и выбором
обеспечить требуемое значение свободного члена уравнения (3.5).
Всего в данной структуре с помощью корректирующих устройств
должно быть сформировано п + 2т коэффициентов, где п =nQ + п3 +
+ 1 + wjt, т —т^ + 1 и — степени полиномов числителей передаточ-
ных функццй	Из условия физической реализуемости коррек-
тирующих устройств < wjt •
Для рассматриваемой структуры корректирующее устройство
позволяет сформировать коэффициентов, с помощью з формиру-
ем + 1 коэффициентов, с помощью И%о 1 формируем + 1 коэф-
фициентов, с помощью И%о формируем + 1 коэффициентов, с по-
мощью 1 формируем один коэффициент.
Следовательно, можно определить из равенства nQ + п3 +	+
+ 2(тк + 1) = 2л£ + 2(mjc + 1)+ 2, откуда=л0 + пз ” Ь
С другой стороны, так как из условия малой чувствительности т
>3 (см. ниже), то, следовательно, для данной структуры > 2.
Тогда значение должно определяться из выражения
пк >max + ”3 J ,	(3.6)
Аналогично, если исходные данные по функционально необходимым
элементам будут соответствовать случаям 1, о, 1, в, то для рассматривае-
мой структуры значения г% выбираются из выражений (3,1) и (3,2),
3. О некоторых особенностях структуры ПИКС,
Отметим, что поскольку структура ПИКС специально формируется
неполностью наблюдаемой и управляемой, т, е. в структуре имеет место
компенсация, то математическая модель в форме ’’вход—выход” не учи-
тывает ряд степеней свободы. Размерность математической модели в
форме пространства состояний может быть существенно выше размер-
ности математической модели в форме’’вход—выход”, При технической
реализации корректирующих устройств точного равенства полюсов пере-
даточной функции нельзя обеспечить. Поэтому порядок дифференциаль-
ного уравнения реальной системы из-за неточного соблюдения указан-
ных условий принципиально может привести к несоответствию реальной
61
системы и модели, еслц математическая модель синтезирована не тру-
бой”. Например, корректирующие устройства выбраны неустойчивыми
или нули объекта управления, которые компенсируются в модели, на-
ходятся в правой полуплоскости. Отсюда следует, что корректирующие
устройства ПИКС должны быть устойчивыми, и нули, подлежащие ком-
пенсации, должны находиться в левой полуплоскости. Необходимо,
чтобы синтезированная модель, записанная в форме ’’вход—выход”
была бы малочувствительной к неучтенным малым постоянным времени.
Несмотря на то, что система — ПИКС принципиально является не
полностью наблюдаемой и не полностью управляемой, но при выполне-
нии перечисленных дополнительных ограничений, синтез, проводимый по
передаточной функции или по дифференциальному уравнению в коорди-
натах хвых и хйх, гарантирует получение требуемых характеристик ре-
альной САУ.
3.2.	РЕАЛИЗАЦИЯ ЖЕЛАЕМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В КЛАССЕ ПИКС
1.	Модель инерционной части объекта управления введена в коррек-
тирующее устройство, охватывающее привод.
Пусть передаточные функции функционально необходимых элемен-
тов не имеют нулей. Желаемую математическую модель проектируемой
САУ в ограниченном фазовом пространстве принимаем линейной. Пере-
менный параметр входит линейно в коэффициенты уравнения. Реализа-
ция ведется в классе помехоустойчивой структуры ПИКС. В зависимос-
ти от технических требований на величину статической ошибки и наличия
интегрирующих звеньев в прямой цепи привод—объект решается вопрос
о необходимости ввода интегрирующего звена перед сумматором.
Пусть перед сумматором введено одно интегрирующее звено. Тогда
максимальная степень полинома числителя передаточной функции кор-
ректирующего устройства И%о (?) будет равняться mk =т - 1, где ди- на-
ивысшая производная математической модели, в коэффициент которой
входит переменный коэффициент к0 (t), Если перед сумматором не вво-
дится интегрирующее звено, то =т.
Пусть структурная схема синтезируемой САУ будет вцда (см.
рис. 3.1), где
w _k0(t)b0	=_^_.	.
0	B0(s) ’*	3	53(s)’	° Вк0Ю
w -АкЗ^ .
Рк з —---------,
3	5jto(*)
_Ak2(s) .
к2 Bk0(s)’
Akl
Bko(s)
Wkl Ы =
п3 и/10 — соответственно степени полиномов В 3 (s) hB0(s).
62
Тогда передаточная функция САУ будет
ф ($) =----------------------------------...
Jfijto (J)^3 (W0 (s) + k2Ak2 (W3 (Wo (№ +
...	______________________________ , (3.7)
+ ^гАкз (s)Bq(s)s +k2A^cQ(t)bQAkQ(s)s+ Akik2A^Q(t)bQ
где параметр k0 (t) принимает разные значения в диапазоне fcOmin» ^omax*
Полиномы числителей передаточных функций корректирующих ус-
тройств в общем виде будут
4to(s)=WW*+	+ • + *1S+ *°*
Ак2 (®)— М2П£— Is + ^2Пк~ 2s к + ... + M21s'*' М20»
Ak3<s)=p.3nksnk + 113пк-^Пк~1 + ... + M31s+ Изо
и полином знаменателя B^q (s) =sn* + Qn^-isnfc 1 + ... + Qrs + £)0,где
коэффициенты fy, ii2it n3i и Qi неизвестны.
Здесь BkQ (s) представляет собой полином, коэффициенты Qi кото-
рого будут конечными и определяются из условия удовлетворения за-
данным оценкам и технической реализуемости.
Пусть желаемая математическая модель оптимальная, в некотором
смысле, структура которой соответствует структуре синтезируемой САУ,
будет вида
*§х
ф ($) =----------------------------w----г------------->
Х*о(О
+ (fli + *1 kQ(t))s+ a^cQ(t)
где п —nQ + п3 +	+ 1, т. е. степени полиномов знаменателей и числите-
лей передаточных функций (3.7) и (3,8) согласованы.
Если выбором параметров корректирующих устройств будет выпол-
нено равенство Ф ($) = Фо ($) при изменении kQ (t) в заданном диапазоне,
то будет обеспечено совпадение динамических свойств проектируемой
САУ с динамическими характеристиками оптимальной в некотором
смысле математической модели (3.8).
Если из условия малой чувствительности к переменному параметру
(О выбрано значение т9 то ~т — 1, и значение находится из
_ Гц3 + п0 — 11 z
выражения — max <	т (для случая, когда введено инте-
[тко J
грирующее звено до сумматора в прямой цепи регулятора).
Здесь формально общее число выбираемых коэффициентов и д3/
равно и ~ 1 и равно требуемому числу формируемых постоянных слагае-
мых в знаменателе выражения (3.8).
63
Выбирая и Ак 1 можно сформировать т + 1 слагаемых, содержа-
щих множителем изменяющийся коэффициент к0 (t).
Если составить систему уравнении приравниванием соответствую-
щих коэффициентов при операторах передаточной функции проектируе-
мой САУ в классе ПИКС и оптимальной математической модели, то чис-
ло неизвестных будет равняться числу уравнений, т, е, формирование
структуры и степеней полиномов передаточных функций корректирую-
щих устройств ведется с учетом обеспечения равенства числа уравнений
числу неизвестных системы уравнений, где число уравнений равно п + т,
Система уравнений, полученная путем приравнивания соответствую-
щих коэффициентов при операторах выражений (3.7) и (3.8), распада-
ется на две подгруппы.
Первая подгруппа получается из приравнивания коэффициентов при
соответствующих операторах выражения
sBkO (^3 (®)®0 0) + ^2^к2 0)^3 (5)^0 (s)s + к2А зАкз (s)Bq (s)s —
=s" + aS-is"-1 + <2s”-2 + ... + a°mhm +	+ ... + (3-9)
+ a2’s2 + a^s2 +
Так как Bk0(s) = s*k + Qnk-i^k~l + ... + Qis + Qo иЛЛ2(«) =
- М2и£-	1 + ем +	+ д20 м.-, то сумму двух слагаемых левой час-
ти выражения (3.9) можно привести к виду
sB3 (s)8o (s)[sn* + (Qnk-1 +	+ ... +
+ (Qi + fc2g2i)s+ (Qo + fc2M2o)].
Обозначим Qnk-i + kz4znk-i = tnk-i, .... Q\ + Л2д21 =fi,0o +
+ k2fi2Q = fo> где f/ — искомые параметры. Подставив в левую часть выра-
жения (3.9) значения Ак з ($), В3 ($), ($) и проведя простые преобра-
зования, получим полином степени п.
Если коэффициенты левой части равенства (3.9) при соответствую-
щих о перат opax_s,_являющихся функциями неизвестных ft и д3/-, обо-
значить как a, (ft, д3/), где
/ —	—1 и£и-1	ь	ь ^Пк~2\ —м f2 =
~ (S1, fo)> f 1 =fo> Мзи-1 =Дзл£>
Дзи-2 = (Дзи£, Мзи£-1)> Дз2 ~ (Мзь МзоХ Дз1 =Дзо»
то система уравнений первой подгруппы будет вида
ап-1 (Sn-1;
ап-2 (£и-2» Дзи-г)-ап-2>	(3.10)
а2 (?2, Д32) = ^2»
а1 (?Ь Дз1)=а1' '
64
В нескольких первых уравнениях (в зависимости от степени полино-
ма В3($)) левые части уравнений могут быть функциями только fp
Если корректирующие устройства будут интегрирующими звеньями,
то	В системе неизвестных будет п — 1, и число уравнений так-
же п — 1. Система уравнений линейная.
Если главный определитель системы уравнения не равен нулю, то
система уравнений определенная и будет иметь единственное решение.
Если главный определитель системы равен нулю и хотя бы один част-
ный определитель не равен нулю, то система уравнений несовместная и
не имеет решения.
Если главный определитель системы и все частные определители рав-
ны нулю, то решение будет иметь место только тогда, когда ранги матри-
цы и расширенной матрицы будут равны.
Вторая подгруппа уравнений получается из равенства
^2^з^о (О*о + 1 + fwjt-+ ••• + Ак 1)“
=ат (0^ + ат- 1^0	1 + ... +	(0s + (О
и будет иметь вид
к2^3^)0?0 =а°1f >
^2^3^(Hfcl =до.
В указанной структуре эта подгруппа состоит из т + 1 независимых
уравнений и решается однозначно.
Таким образом, в зависимости от свойств системы уравнений первой
подгруппы, которые определяются характеристиками исходных функ-
ционально необходимых элементов и техническими требованиями к
САУ, могут возникнуть трудности при реализации желаемой математи-
ческой модели.
Качественные выводы о возможности решения первой подгруппы
системы уравнений можно сделать по равенству (3.9). В левой части ра-
венства выделим общий множитель BQ (s)s. Получим
(s)[Bkо (s)B3 (s) V к2Ак2 (s)»3 (s) + k2Ak 3 (s)] =
=s" +	+ ^-2s""2 + ... + m+ ... + a°2's2 +
После сокращения s будем иметь
*0 (s)U?fcO (s)#3 (s) + ^2^k2 (0^3 (s) + ^2^fc3 (s)]
=s"-1 + a^iSn-2 + ... +	+ ... +	a?'.	(3.11)
65
Так как степень полинома BQ(s) равна nQi то степень полинома в
квадратных скобках левой части уравнения (3.11) будет равняться п —
— и0 — 1, а число искомых неизвестных этой квадратной скобки равно
п —1.
Выбором неизвестных можно сформировать полином в квадратной
скобке любого ввда, но полином Во ($) от этих неизвестных не зависит.
В указанном случае для любого ввда полинома BQ (s) определитель
системы уравнений, полученных из равенства (3.11), всегда равен нулю,
т. е. система не имеет единственного решения.
Необходимым и достаточным условием неравенства нулю главного
определителя, полученного из равенства (3.9), будет замена полинома
BQ (s) в третьем слагаемом левой части равенства другим полиномом
CQ (s) той же степени, нули которого не равны нулям полинома BQ (s)
и полинома В з (s).
Равенство (3.9) перепишется в ввде
Вко 0)»з (s)®o (s) + к2^кг (s)B3 (s)B0 (s) +
+ k2A3Ak3(s)C0(s)=sn-1 + aZ-is”-2 + ... + a£'s+ a?'.	(3.12)
В структуре ПИКС такая замена принципиально возможна всегда.
Для этого передаточную функцию корректирующего устройства, охваты-
вающий исполнительный орган и усилитель, выбираем в ввде
ИЬ 0)= -------Р-------и Вк0 (s)=C0 (s) П (S + 00,
В0 (S) П (s + а.)	1
/ = 1
где П — символ произведения, / = 1, к, к = ~nQ9 т. е. в корректирую-
щее устройство введем модель объекта. Передаточные функции осталь-
ных корректирующих устройств должны быть
_ Ак0 (S)
Wk 2-------J---------. Нк0----------------,
Co(s) П (s + a.-)	co(s) П (s+ а.-)
/=1 ' /=1 7
WkX =
______Akl______
к
sC0(s).n (s+a,)
В соответствии со структурой (рис. 3.1) передаточная^ функция
системы будет
Ф(5) =-------------f-----------------------------
1 + -^^2^0 + к2^к2 + k2w3wk3 + ^з^о^о
66
После преобразования передаточных функций получим
^1^2^ 3 х
ф(х) =---------
sC0 (s) П (5 + а;)в3 (s)Bq (s) + k2Ak2 (S^Q (*) +
7 = 1
X к 0 (t)b о
+ к2A yAfc 3 (s)Cq (s)s + кзА3кф(Г)ЬоАко (s)s + Ак1к2кф(Г)Ь$
Как и ранее первая подгруппа системы уравнении получается из ра-
венства
sC0 (s) П (s + с^)бз (з)В0 ($) + кгАкгВ3 (s)B0 (s)s
+
+ к2А3Акз (sKo (s)s = sn + a„L iSn 1 + ... + а%'s2 + a^'s.
На корректирующие устройства при этом накладываются дополни-
тельные ограничения, заключающиеся в том, что в знаменатели переда-
точных функций корректирующих устройств	И^оО)
должен в качестве множителя входить полином Со ($), а в знаменатель
передаточной функции корректирующего устройства 3 ($) должен
входить полиномBQ (s) , причем CQ (s) ^Bq (s) hB3 (s).
к
Множитель П (s + а) представляет собой произведение полино-
/--1	7	к
мов первой степени с разными нулями, т. е. П (s + a-) = (s + cq) (s +
7=1
+ a2) ... (s + Ofc), где к ~~nQ. ПриВ0 (s), не содержащим нуля в пра-
вой полуплоскости, реализация корректирующих устройств не вызыва-
ет принципиальных затруднений.
2.	Модели инерционной части объекта управления и привода введены
в корректирующее устройство, охватывающее усилитель.
Введение модели объекта управления в корректирующее устрой-
ство позволяет получить определенную систему уравнений и фор-
мально получить единственное решение. К сожалению, в зависимости от
исходных данных и технических требований к системе, некоторые из
неизвестных могут получиться отрицательными, что при реализации тре-
бует введения положительных обратных связей Эти связи могут ока-
заться глубокими, что фактически приведет к тому, что реализуемая со-
ответствующая система будет ”не грубой” к изменению параметров ре-
гулятора и, следовательно, неработоспособной.
Укажем алгоритм формирования помехоустойчивой структуры
ПИКС, допускающей исключение положительных обратных связей.
Пусть структура выбрана в классе помехоустойчивой ПИКС, С уче-
том условия технической реализуемости степень полинома знаменателя
передаточной функции корректирующего устройства, охватывающего
67
Рис. 3.3
объект, привод, усилитель выбираем равной —тк (тк ~ степень поли-
нома числителя), Введем встречно-параллельное корректирующее ус-
тройство, которое охватывает усилитель, причем полином знаменателя
его передаточной функции имеет вид (s)B3 (s)Bq (s), т. е. будет
содержать модель компенсационного фильтра и модель инерционных
частей привода и ооъекта управления.
Структурная ,схема системы приведена на рис. 3.3, где
Ак2 W
И'л 2 (s) =--------------,
Bko&)B3(s)Bo(s)
Л£о(О w _	_ Л3
ко ВкоЮ’ kl Bk0(s) ’	3	fi3(s)’
_ *0*0(О
° Во (») '
Тогда передаточная функция системы будет вида
1*2^3 х
Ф($) =
sBko (s)B3(s)Bq (s) + к2Ак2 <s)s +
X bQk(t)
+ *2^3*0* (ОЛ£о(*)* + А к lk2b 0к О (О *
Если степень полинома Ак2 (0 выбрать равной Пк + п3 + nQ - 1, где
п3 и и0 - соответственно степени полиномов В3 (s) и BQ (s), то число
неизвестных будет равно числу уравнений первой подгруппы и, кроме
того, все уравнения этой подгруппы будут автономными и легко реша-
ются. Таким образом, для структуры, приведенной на рис. 3.4, соответ-
ствующая система уравнений будет состоять из автономных линейных
уравнений, что даст единственное решение. Очевидно, что в данном
случае главный, определитель первой подгруппы уравнений не равен
нулю. При указанной структуре проектируемой системы достаточным
условием неравенства нулю главного определителя будет равенство
степени полинома Ак2 (5) значению Пк + п3 + и0 “ 1. Отметим, что
трудоемкость решения пои этом будет наименьшей.
Формально, корректирующее устройство может получаться слож-
ным для реализации, по крайней мере, на аналоговых элементах. В та-
68
ком случае возможны эквивалентные перестроения, как, например, за-
мена звена 2 на Два параллельно включенных более простых коррек-
тирующих устройства
BkoW)B3(s)Bo(s) Bko(s) B3(S)BO(S) '
Такого рода корректирующие устройства возможны в том случае,
если все элементы прямой цепи устойчивые (или, по крайней мере,
нейтральные).
При реализации на ЦВМ эквивалентные перестроения теряют смысл,
Итак, алгоритм формирования помехоустойчивой структуры ПИКС
’’грубой” к изменению параметров регулятора может быть представлен
в следующем воде:
если обобщенная передаточная функция объекта будет иметь в
числителе полином первой степени и в знаменателе полином степени
и0, то регулятор должен содержать три физически реализуемых коррек-
тирующих устройства:, в прямой цепи регулятора перед внутренним сум-
матором, в обратной связи охватывающей усилитель и в обратной связи,
охватывающей обобщенный объект.
Полиномы знаменателей корректирующих устройств в прямой цепи
и в обратной связи, охватывающей обобщенный объект, должны быть
одинаковыми, а полином знаменателя^корректирующего устройства,
охватывающего усилитель, должен содержать в качестве множителей по-
линомы знаменателей: корректирующего устройства в прямой цепи,
привода и объекта управления,
3.	Дополнительное корректирующее устройство введено по проме*
жуточной координате объекта,
Структурная схема ПИКС для случая, когда по промежуточной ко-
ординате объекта управления введено дополнительное корректирующее
устройство, приведена на рис. 3,2.
Передаточная функция этой структуры будет ввда (3.4) и при при-
нятых обозначениях, в общем случде, знаменатель этой передаточной
функции можно представить в ввде (3.5).
Рис. 3.4
69
Пусть желаемая (оптимальная) передаточная функция математи-
ческой модели имеет вид
л /ч	«0*10 СОХ
Фож V ) =---------------------------------------------- 
„п^„0 „п-1, „о „п-2.	.„О „т + 1 , ,0' О".	„,ч.
s + «n-ls +an-2S + "' + am+ls + (am + amk™(t) +
Ч-	...Л*20-}-------------------------------------- (3.13)
+<"*10(^20(0)^+ (^.i+e’ljfciotO+C^iolO x
x fc20 (Г ) ) 5 m~1 + ... +	<T* 10 (')+ «?"'* 10 (0*20 (0)s + *0* 10 (0*20 (0
где n = n3 + nQ + n% + 1, т. e. степени полиномов знаменателей и числи-
телей передаточных функций (3.4) и (3.13) согласованы. Функции
k1Q (Г) и k2Q (t) имеют прямую корреляцию. Степень полинома знаме-
нателя передаточной функции корректирующего устройства определена
х.	Г пз + п0 ” 1 I
из выражения >max <	j .
Всего общее число формируемых коэффициентов будет равно чис-
лу уравнений и равно п + 2т.
Приравняв коэффициенты при соответствующих операторах Полино-
мов знаменателей передаточных функций (3.4) и (3.13), получим систе-
му уравнения, решая которую, найдем искомые параметры регулятора.
Необходимое условие положительности главного определителя будет
выполнено, если корректирующие устройства будут описываться пере-
даточными функциями вида
К/ -	Ак1  w - Ak2(s)
Wk 1-------1--------. ™к 2-------£---------,
Со О) п 1 (s + ар	Со (J) п J (S + ар
^*3(S)	Л*о1(*)
^кз--------1-------; и/*01----------------------,
В0($)П (s+ а.)	co(s) п (s+ a )B02(s)
/=1 ' /=1 '
_	Л&02 (О
^02 “-------1-------,
Со (*) П (S + а.)
/ = 1 7
где к = пь и нули полинома Со (s) не будут совпадать с нулями по-
линомовВ0($) иВ3($).
Отметим, что передаточная функция И%01 содержит в знаменателе
полином В02(^)» являющийся частью полинома знаменателя объекта
управления, что позволяет формировать коэффициенты передаточной
функции САУ. В частных случаях полином В02($) можно не вводить.
70
Таким образом, в корректирующие устройства И^з 0)и ^01 (s) в °б-
щем случае должны вводиться соответственно модели объекта и модель
части объекта. С учетом введенного обозначения =2, + &2д2г- выпишем
систему уравнений. В этой системе уравнений можно выделить три
погруппы уравнений:
первая подгруппа уравнений
ап- 1	1) ~~ап-1 ’
аЛ-2(£и-2, Дзи-2)""а<^-2'
а2 (?2» Д32)"“^2 J
Д31)="1';
вторая подгруппа уравнений
Ji	\ —
am-\i
ft\___ Qfl
al (£11)“01 ,
третья подгруппа уравнений
<(ГгтЛ)=<";
\ —„О'".
MbiHi ;
«о <Ак)=^.
Система уравнений определенная, следовательно, и выделенные под-
группы системы уравнений также определенные.
Уравнения, входящие во вторую и третью подгруппы уравнений, яв-
ляются автономными и легко решаются. В зависимости от исходных дан-
ных и выбранного полинома Со (s) искомые неизвестные и д3/ могут
оказаться отрицательными, что практически означает наличие положи-
тельных обратных связей в реальной САУ. Также отрицательными могут
оказаться и коэффициенты и %2i.
Ограничения вида >0 и £2/- >0 можно удовлетворить при форми-
ровании вырожденной желаемой передаточной функции.
Ограничениям вида fy > 0 и д3/ > 0 можно удовлетворить в некото-
рых случаях корректировкой полной желаемой передаточной функцией
системы. Естественно, что удовлетворение дополнительным ограниче-
ниям в жестких структурах идет за счет расширения полосы пропуска-
ния частот, т. е. за счет снижения помехоустойчивости САУ.
71
Решением второй и третьей подгрупп систем уравнений однозначно
определяем значения £2/ и А^-
Решая первую подгруппу уравнений, получим значения д3/. При ре-
шении первой подгруппы уравнений также выбираются коэффициенты q.
Задавшись значениями оу (минимально возможными) с учетом воз-
можности реализации, составим систему уравнений, из решения которой
определяем д2/ и к21
Здесь некоторые коэффициенты могут оказаться отрицательными.
Если это недопустимо, то выбором q или некоторым изменением коэф-
фициентов желаемой передаточной функции в некоторых случаях можно
скорректировать наше решение,
В рассматриваемом случае предполагалось, что значения и законы
изменения переменных параметров обеих частей объекта управления
одинаковые. В этом случае удается значительно повысить помехозащи-
щенность системы управления при введении корректирующего устройст-
ва по промежуточной координате объекта.
Если переменные параметры обеих частей объекта управления бу-
дут независимыми друг от друга, то введение корректирующего ус-
тройства по промежуточной координате вообще не дает положительного
эффекта.
3.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПИКС
Считая, что на основе анализа первой подгруппы уравнений (3.10)
окончательно уточнена размерность модели, и если нужно проведены
корректировка желаемой математической модели, а также выбор поли-
нома с0 0) , можно окончательно выписать подгруппы системы уравне-
ний, решение которых даст искомые параметры регулятора.
В случае ввода корректирующего устройства по промежуточной ко-
ординате объекта управления система уравнений будет состоять из трех
подгрупп уравнений, решая которые, находят искомые параметры ре-
гулятора: д3/, или ?ly-, l2j-
Если_корректирующее устройство И%3 отсутствует, то д3г-=0, Неиз-
вестные fy для любой из рассмотренных структур будут функциями оу и
д2/, Поскольку структуры определены, то эти функции также определе-
ны. Значения аргументов оу и д2/ подлежат определению из системы
уравнений, полученной приравниванием коэффициентов при соответст-
вующих операторах полиномов, Получим нелинейную систему алгебра-
ических уравнений:
Qnk- 1 (а1, <*2, •••)+ k2^2nk- 1
Qnk — 2 (^1» ^2, •••) *** ^2М2И£“ 2	2»
(3.14)
01 (аЬ <*2, •-) + ^2^21 “fb
Co (ab ^2» •••) + ^2^20
72
В конкретных случаях с учетом принятых рекомендаций по выбору
корректирующих устройств эта система уравнений решается элемен-
тарно.
Действительно, если корректирующие устройства содержали бы
Пк — п0 интегрирующих звеньев, т, е, Ofr = 0, что в теоретическом плане,
предпочтительнее, то система уравнений (3,14) была бы линейной:
01 q— 1 + ^2^2Пк-1 —
cnQ-2 + ^2^2Пк~2 =
.................................................... (ЗЛ5)
^2^21 =fl>
^2^20 = fo
и решение не вызвало бы затруднений.
Значения оу не берутся равными нулю из-за трудности технической
реализации и влияния нелинейностей, имеющих место в реальных САУ,
Поэтому исходя из условия технического осуществления коррек-
тирующих устройств задаемся достаточно малыми значениями оу, такими,
при которых не возникает трудностей реализации, и подставляем вы-
бранные значения aj в систему уравнений (3,14) , слагаемые Qj становят-
ся известными, система уравнений будет линейной, и к2ц2^ определяются
однозначно.
Основным ограничением при выборе величин Oj будет выполнение
неравенств > 0.
Значение к2 целесообразно выбрать таким, чтобы корректирующие
устройства можно было бы реализовать на пассивных элементах. Показа-
телем такой возможности будет выполнение условия, чтобы коэффици-
енты при операторах числителя были меньше соответствующих коэф-
фициентов при операторах знаменателя передаточных функций коррек-
тирующих устройств.
При известном к2 определяются значения д2/, Мзь £/* Итак, в процес-
се расчета определяются неизвестные Cj.OLj, д2/, ДзЛ	^2*
3.4.	ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ,
МАЛОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ К ПЕРЕМЕННОМУ ПАРАМЕТРУ
ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Линейная нестационарная математическая модель синтезируемой си-
стемы может обладать некоторыми стационарными свойствами, если
она будет принадлежать к классу уравнений (1,3), (1.4) или (разд. 1,6
(часть I).
Если в реальной системе на изменение показателей качества оказы-
73
вает влияние коэффициентов kQ, то от уравнений (1.3), (1.4) и разд. 1.6
можно путем исключения промежуточных координат перейти к уравне-
ниям следующего ввда:
а)	из уравнений (1.3) при сг (t)=c2 (0=— =сп-т (г):
® (Omin ^6 (f)^9 (Отах, ® (^Xnin >Ф
А’+ 1 ^Dj dj+ i ^dj, Aj — ^j(Pirdi)
получим
S	J л z \	*ВЫХ	. 4? /	. J X	d XBbIX	__
Z	AjO (t)	-	+ S (aj + dj) -	”^охвх^
f = m+l	at1	/‘-=0	dtJ
”	л a	^7*вых	. i? .	^/хвых
Z	AjO (t)	-	+ S dj -	^o*bx*
j = m+ 1	dtJ	/=0	dtJ
Поделим правую и левую части на коэффициент, стоящий при выс-
шей производной, и получим
" ^,хвых . S? . z.x о ^,хвых . , ч 0
2 aj -	+ 2 (f)a - kQ(t)a qXbx,
j = m+l at1 / = 0	7 du
где an = 1, aj =Aj/An, k0 (Г) = 1/ 0 (r),
tz? —dj/An,	(*o *” 0*
При 1 <fc0(r) ^£o(Omax, m >4 и при X,<0,465 показатели63,63,6!
и z будут неизменными и, следовательно, показатели качества процесса
будут постоянными;
б)	из уравнений (1.4) присд (t) =c2(t) =—=сп_т (t)=Drip(t)\
Di+ i <Dj<dj, dj+ x <dj\
(/)min (0	1, ^(/)min >0, ^0 ~
на основе стационарного подхода получим приближенное выражение
Л глл 1 1	d^'хтаиту	ftl •	d^XntTV
S 4.^ + 1 (t)------^_+ s d,-^ (0------— =xBX.
/=m+l^	dt) j=0147^ dti
Поделив правую и левую части уравнения на Апут + 1, получим
j = m+\	dtJ 7 = 0	' dtJ
где an = 1, aj =Ajl An,am+i ~J (t) = l/^m+1 (r) =
= ^0 (0, af =af /An> 0Q = V ^n-
При 1<&О(Г) (r)max, w >3 показатели63,62, б! будут неизменны-
ми, z0 изменяется. Следовательно, форма переходной функции будет
неизменной, а длительность — переменной;
74
в)	из уравнений 2), 3) разд. 1.6, исключая переменные х2, при
^1 (О =с2 (О =...	<р2 (Г) = 1, когда
А’+ J ^Dj ^dj, dj+ i dj,	(0^ L *P1 (7)min > 0, T0
на основе стационарного подхода получим также уравнение и-го поряд-
ка, где коэффициенты при низших производных будут функциями
<У (t)9 где о7 (0 = 1/ (Г). Уравнение будет достаточно сложным, поэтому
при практических расчетах будем пользоваться приближенным уравне-
нием, записанным в форме
	2 1 а!----+ 2, °	+ (ОЯоХвых =
/=т + 1 dtJ 7=1	dtl
— от* 1 (O^Ol^BX*
где от + 1 (0 =	(0, ап = 1- Показатели lj в общем случае не кратны
целым числам.
Показатели 63,62 и 5 х иг в этом случае изменяются,но таким обра-
зом, что показатели качества переходной функции остаются в заданных
пределах.
Рассмотрим оценки чувствительности показателя устойчивости для
указанных структур уравнений.
Для структуры а. Оценка чувствительности показателей устойчивос-
ти будет
+ 1 —	+ 2) _ а^ат + 3
^0 О)	ЪкQ (г)	ат+ 1ат+ 2
Лт_3= 8(4-2fc0 (f)a^ + t/ flm-i*o<f)am*o<f)) -
*°(0	&0(r)
=- am-2a'”+1 .
Sk j = 0 для всех остальных значений i;	— отрицательная. Увели-
че^ие £0(г) ведет к уменьшению показателя устойчивости Xw-i>
S, т*const, и с увеличением к0 (t) может нарушиться не только не-
* о ** *
равенство Хт < 0,465, но система может даже стать неустойчивой
Для структуры б
^m+I —	\/^о (^ат + з/ат + \ат + 2) _
*°(г)	ан о (о
о
_ amQm+3	1
°т+\0т+2 (щ + l)m+^/k,Q (г)'
75
«, кт = ^^а<т	\/ko(t'>am+ 2/атат+ 1)
*о(0
_ат- 1ат + 2	1
атат+ 1 (т + 1)т+^Д?(О ’
st' = 0 для всех остальных значений i.
Л о и)
Обе оценки чувствительности показателей устойчивости положитель-
ные. При возрастании kQ (t) показатели + i и \т увеличиваются, и
при некотором к^рнт система становится неустойчивой.
Для структуры в. Оценки чувствительности будут
xm+1 — tamafn + з/дги + lam + 2)™ +\Ао _
*о<0	&0(О
s^m ________________a^_lam+2(tm- i ~ Im) .
k° (0	+ t (m + l)m +y/k0(t)m~lm~l+lfn+1
SK£o j =0 при/>m + 1, <	=#0 при/<m.
Выбором значений lm, lm-i, ..., l2, h можно обеспечить требуемую
длительность переходной функции при изменении kQ(f) в заданном
диапазоне, и чувствительность будет примерно такой же, как и для
структуры б, но значительно меньше чувствительности для структуры а.
Чувствительность по показателю устойчивости X/ для структур бив
является функцией т.
Теоретически приди ->оочувствительность показателя устойчивости
к переменному коэффициенту стремится к нулю. Казалось бы, что целе-
сообразно стремиться к большим значениям т. Однако практически уве-
личение m может быть достигнуто за счет увеличения порядка дифферен-
циальных уравнений, описывающих процессы в корректирующих устрой-
ствах, что приведет к увеличению порядка математической модели п>
Это значит, что чувствительность структуры б и в к неучтенным малым
постоянным временц будет стремиться к бесконечности, т. е. математи-
ческая модель будет нереализуемой. Кроме того, в реальных условиях
такая реализация о2 (г) — Сп +\Ао (О)*» как правило, невозможна и чем
больше т, тем с большей погрешностью осуществляется реализация
</(/). Поэтому существует некоторое оптимальное значение т. Для
определения значения т, близкого к оптимальному, рассмотрим струк-
туру б и вычислим чувствительность показателя устойчивости при 1 <
(?) <100 для т = 1, т = 2, т = 3, т =4.
7Ъ
Обозначим
атат + 3
----Т------ь2т>
ат + 1ат + 2
Тогда для т = 1,4 будем иметь соответственно
+1|	= 1 л •	+ 11	= 1___п •
dfc0(r) /и = 1	А;о (г) »zn= 2	6^8 ^2»
5fc”(r)lm = 3 = f26,4	...^0(0 ^=4“ 19б"^4'
Для структуры в при неизменной длительности переходной функции
будем /меть
сЛт + 1|. =л ________fl___* сЛт + 1 I =л
^o(f) m = 1	1 ^ЮО2-^ ’	*о(0'т=2 Й2 Зз/1ОО3- /?’
0*7И+1| =П	/3	о*7И+1| =П /4_____________
^0(0^ = 3.23 44Д^4-/з’’	^0(01ш = 4
Здесь значения *для случая т = 1 и 2 заметно отличаются от
случая ^/значения для т = 3 и 4 близки к случаю б, т. е. чем боль-
ше тем медленнее убывает чувствительность показателя устойчивости
при дальнейшем увеличении т.
На основании полученных результатов и с учетом требований на по*
стоянство показателей качества и простоты реализации квазиоптималь-
ное значение т будем считать равным трем.
3.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЖЕЛАЕМОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗ УСЛОВИЯ
ТРЕБУЕМОЙ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОСТИ
Известно, что при действии на систему управляющих сигналов и
помех параметры и структуру линейной системы можно выбрать из
условия минимума средней квадратичной ошибки.
Однако реальные системы управления будут нелинейными и поэто-
му высокочастотные помехи могут приводить к существенному изме-
нению динамических свойств системы и даже к потере устойчивости.
Это, например, возможно в тех системах, у которых существуют
цепи, усиливающие высокочастотную помеху, поступающую затем на
нелинейный элемент со статической характеристикой типа насыщения.
Поэтому, чем меньше будет полоса пропускания регулятора, тем
большей помехозащищенностью будет обладать САУ при действии вы-
сокочастотных помех.
77
В регуляторе наиболее легко изменяемыми являются корректирую-
щие усройства. Поэтому минимизацию полосы пропускания частот регу-
лятора целесообразно осуществлять путем минимизации полосы пропус-
кания частот корректирующих устройств.
Возникает задача оптимального выбора коэффициентов математичес-
кой модели системы и коэффициентов передаточных функций коррек-
тирующих устройств в зависимости от места ввода высокочастотных по-
мех и расположения определяющих типичных нелинейностей из условия
максимальной помехозащищенности с учетом требований на показатели
качества синтезируемой системы. Таким образом, ставится задача мини-
мизации дисперсии на входе нелинейного элемента при действии высоко-
частотных помех.
Обозначив дисперсию на входе нелинейного элемента при действии
высокочастотной помехи через Dni = Fz (q, b) и учитывая, что параметры
объекта b принимают различные значения в области/?, можно задачу син-
теза представить в виде
supFj (qf Z>)-Hnf, b^R
при выполнении всех ограничений, указанных выше.
1. Вычисление дисперсии на входе нелинейного элемента при дейст-
вии помех на вход системы. Передаточная функция модели структуры
ПИКС (рис. 3.4) по выходу усилителя при внешнем сигнале, действую-
щем на вход системы, имеет вцд
X2(s)_	B3(s)B0(s)x
^ВХ (^) sB^qB3(s)Bq (s)+ А з^0/^0/^2+ ^2^3^0/^оИ^О	+
Х41*2___________________________
+ к2А эАкз (S)BQ (s) + к2Ак2 (S)B3 <*)
Перепишем передаточную функцию Х2 (s)/ArBX (s) в форме
X2(s) =	А0
aQ
Первый множитель этой передаточной функции формируется из ус-
ловия удовлетворения системой всех требований в режиме управления.
Коэффициенты второго множителя определяются функционально необ-
ходимыми элементами и являются заданными. В первом множителе
можно выделить в явном вине вырожденную передаточную функцию
*01
7	J	2	’
s + а3р + а2 Is + ° 1 1'' + °01
гдеа31 =й3/а4;а2| =<z2/a4;an	=до/а4-
78
Тогда, если т + 1 =4 и формирующий фильтр k^sj (г$ + 1) (r2s +
+ 1) , хвх ! — белый шум, получим
*2<*) =  х
^вх1 (*) sn+an_isn~l +	— + д4(54+^3i^3+fl2i52+ai is+floi
х л к\к 2*ф (В о (js)B3 (js))
а4а01 OTS + 1)(^+ D
Дисперсия Dn j на выходе усилителя в этом случае будет равна
D 7|_________________________________________д*х
21Г 01(/со)" + an_ j Qw)"-1 +... + лД (/ш)4+ а31 </ш)3+
х	121^1^2 121Г ВО<№з(Ю 1|2,
ч- ... ---------------------- |2|---- |2|[---------------]|2C?CJ,
+ ^2i O‘w)2 + *i 1 (/<*>)+до11	(Tj/a> + DCr^’+ 1)
Пусть ац =а/1[ЛОг (0] и> в частности, а01 =tfoi^o (О, и ПРИ этом п°-
казатели качества неизменные. Интеграл с ход nt ся, потому что степень
числителя подынтегрального выражения меньше степени полинома зна-
менателя.
- k$>w
Формирующий фильтр (fju + 1 НТ^чЬ" +~ 1) И ФУнкционально
необходимые элементы, описываемые выражениями И/3 (/<j) и Wo (/со),
заданы. Следовательно, третий множитель подынтегрального выражения
В3(/Чо)Во(7Чо)
—-------------------Г задан и при степени полинома числителя больше
Ti (ja> + IMtyGH 1) 1	F
степени полинома знаменателя этот множитель будет представлять со-
бой функцию, стремящуюся к бесконечности при со -> о© и не равную ну-
лю при со > 0.
Минимизировать величину дисперсии Dn j практически можно толь-
ко рациональным формированием первого множителя подынтегрального
выражения, который однозначно определяется математической моделью
синтезируемой системы. Математическая модель системы управления яв-
ляется фильтром низких частот. Соответствующая амплитудно-частотная
характеристика в области низких частот не будет иметь практически ре-
зонансных всплесков, если по условию переходная функция синтезируе-
мой системы характеризуется перерегулированием не больше 5 или 10%
и может пересекать линию установившегося состояния не более двух раз.
В области высоких частот амплитудно-частотная характеристика прин-
ципиально может иметь резонансные всплески, что, очевидно, будет спо-
собствовать увеличению ЬП1.
Учитывая сказанное выше, можно утверждать, что минимальное зна-
чение дисперсии £)п1 будет иметь место тогда, когда будет минимальным
79
71____________________д4х
27Гбо 1^4 0	+ ... + *4! (/СО)^+ Д3 1 (/СО)^ +
< х *01 /
+ л 21 0k>)2 + а 11 0? w) + а о 1
Можно утверждать, что минимальное значение D* 1 будет соответст-
вовать мжимальному значению	j, т, е. D*r =MrDn j,
Так как полная математическая модель формируется из вырожден-
ной модели при соблюдении достаточных условий устойчивости (X/ <
< 0,465) и показатели качества этих моделей приближенно равны, то
минимальное значение дисперсии
ОД = ^44^ Л —. -3 - г-------------------------:------1’"“
277^01^4 о (JU>) + *31(7^) + *21 (7^0 + а 1+ а 01
определяется дисперсией D* , т, е, Z>** —M2D*X,
Окончательно можно записать
D** =M2D*r =M2MxDnX.
Так как
£>** = — ,7ni
III 27Г ф! 111
вдвО1
So	,	41*2
Т° °nl ~ М Vf 7ff 4 l /nl ~2~2--’
Л/2^12Я Ф1	afafa
т - °?t	As
где/П1 - Л -—г---------;—з------;—5--------:--------l2dw =
0 (/<*>) + *31 (/<*>) + ^210^) + flnO’w)+ *01
*01*31	^1^2^з
= -----------------------2- = -3—>	(3.16)
2 (*11*21*31 - *11 - *01*31)	22° (616263 - 6! - 63)
Таким образом, приближенно при заданных показателях качества
можно выбрать такие значения 6Х, 62,63 иг, при которых обеспечивает-
ся минимум дисперсии Z>ni и при этом удовлетворяются требуемые по-
казатели качества.
2. Вычисление дисперсии на входе нелинейного элемента при дейст-
вии помех на вход корректирующего устройства.
а). Пусть к корректирующему устройству (см, рис, 3,4) приложена
помеха хп0.
Передаточная функция от выхода усилителя к точке приложения по-
мехи хп0 будет иметь вцд
Х2 =	______________________________^0(^2 х
sB]cq(s)B3(s)B^(s) +A3(s)AQjboAk}k2^ к2А^^фоАк^ (s) +
...	.	p 17)
+ k2A э4*3 (s)B0 (J) + k2A)c2 WB0 («)Я3 (s)
80
Помеха хп0 содержит среднечастотные и высокочастотные компо-
ненты, что является характерным для летательных аппаратов. Целесооб-
разно эту помеху представить как белый шум, пропущенный через фор-
мирующий фильтр ввда
.
ф <гр + 1) (r2s + 1)
Тогда
X (1} = Sok$s
п0^' (T1S + 1) (т2у + 1) ’
где£0 — спектральная плотность белого шума.
Если желаемая передаточная функция будет вида
^вых _	д4^01
•^вх	sn + ayi—isn ^ +... + Д4(S4+^21floi)
то выражение (3.17) можно представить в виде
*2 _ g4^01^0	 х
-^по	sn + an-isn 1 + ...+а4(54+аз153+а21^ + ап5+до1)
х МзйМ)
Если дисперсию на вхрде привода обозначить как Z)n0, то эта диспер-
сия будет равняться
Пп0=-^Ф_/| а^01Ак0аа>Уш	рх
(/<*>)”+tfn_i(/a>)n 1+...+a4[G‘w)4+e3i(ja>)3+... + aoi]
Л2В3(/а>)ВоОш) ,
X -----------------------г dev,
д4д01<т1/^+ 1)(T2/W + 1)
Аналогично п.1 приближенно значение дисперсии можно представ
вить в виде
г» ~	а4а01Ак0 (j(V)fCV	i9j
Mi О  -----22— J I -----a----------5---------- I «CO,
JV1 яа Afl 01 0 (J co) + a 31 (J co) + ... + a q 1
гдеA/j — некоторый постоянный множитель.
Обозначим
Л —; д ; з ;---------------о---------------I *^п0 •
О 0<*>) +flai(/<^) +^210^0) + а 11 G’co) + Д01
81
Тогда
т
^ПО д, — 22	п0’
N1 Яа 4а о j
^1^2^3	о ~ ^1^2^3
где/п0 = з ----------- _ " [$о + $2--4“" (51^2 “ 1) +
2z (Oio2o3 — OiO3)	z4
S1S2 ,
+—V- Gi -2^о)]>	(3.18)
Z
еслиЛЛо(«)=^2 + $1S+ $0.
При заданных показателях качества, пользуясь выражением (3.18),
можно выбрать такие значения 6lf 62, ^з ии, при которых обеспечивает-
ся минимум дисперсии Z)no- С помощью номограмм (см. приложение)
и выражений (3.16) и (3.18) можно выбрать окрестность 5П 52,-63
из условия удовлетворения показателям качества и минимальной чувст-
вительности к высокочастотным помехам.
Из расчетов следует, что при указанных требованиях и заданном
kQ — const выбор значений 63 = 1,4 ... 1,33,52 = 1,8,5 j =2,2 дает величину
дисперсии Z>n0 в окрестности минимума.
Значения коэффициентов полного уравнения а3, a2t а\, Oq зависят
не только от значений коэффициентов я31, я21, аг ь я01, но и от того,
как сформированы коэффициенты уравнения при высоких степенях з.
Если коэффициенты при высоких степенях s сформированы из ус-
ловия больших запасов по устойчивости (например, показатели устой-
чивости X, < 0,465), то коэффициенты а3, а2, alf а0 будут намного боль-
ше, чем для случая X/ =0,465. При этом дисперсия Z)nl почти не изменя-
ется, в то время как £)п0 будет велико.
Таким образом, из анализа выражения (3.18) следует, что минимум
величины Z)n0 (или Jn0) можно обеспечить путем минимизации 5 п .6 2
и оптимизации 83, максимизации z и максимизации при удовлетворе-
нии требованиям на показатели качества и устойчивости при любом фик-
сированном значении переменного параметра.	___
Итак, удалось приближенно выразить функционал Z>no =
через показатели качества 6/, z и параметры корректирующего устройст-
ва ?2> £ i > £о и указать на номограммах области, соответствующие мини-
мальным значениям Dn0 при удовлетворении всем ограничениям.
б)	. Пусть помеха хп3 поступает на вход корректирующего устройст-
ва Wk3 (см. рис. 3.4).
Передаточная функция от выхода усилителя к точке ввода помехи
хпз будет иметь вид
-^2^) _	X
*пЗ (s) sBkQ (W3 (s)BQ (s)+A зкоФо^к rk2+ k2A з^оИоИйо (s) +
x B3 (s)BQ (s)s_________________
+ k2AзАкз (Wo (s) + k2Ak2 (W3 (Wo (s) ’
82
X2	fl0 s	^2
или 7~-Г7- = --------—----------------------—	(s)B3 (s)B0 ($)<.
пЗ() s +ew_jj	+... + e^s +... + ais+e0 ®
Аналогично пункту а максимальная помехозащищенность при по-
мехе, действующей на вход корректирующего устройства, обеспечива-
ется при минимальных по абсолютному значению 6/ при одновременном
выполнении требований на показатели качества, указанные выше, т. е.
на выходе усилителя в этом случае будем иметь минимальное значение
дисперсии £)п3.
3.	Вычисление дисперсии на входе нелинейного элемента при одно-
временном действии помех в различных точках системы.
В реальных условиях помехи одновременно поступают в различные
точки САУ, причем интенсивность этих помех может быть различной и
зависит от свойств элементов и условий работы системы. Если система
будет линейной в ограниченном фазовом пространстве и помехи некор-
релированы, то действительно правило суперпозиции и дисперсию от по-
мехи на выходе усилителя (или на входе привода) можно найти путем
суммирования дисперсий от отдельных составляющих помех, действую-
щих в различные точки САУ. Следовательно, если на систему одновре-
менно действуют помехи хвх.п, хПо> *пз (см- рис- 34), то величина дис-
персии на выходе усилителя будет определяться выражением
Вх2 +^по + Лтз-
Подставив в выражение Dx<2 аналитические выражения для Z)nl,
Z>no> ^пз> гДе известны: аналитические выражения помех, передаточные
функции функционально необходимых элементов, структура корректи-
рующих устройств и структура желаемых передаточных функций, прин-
ципиально с помощью вычислительных цифровых машин можно отыс-
кать значения коэффициентов желаемой передаточной функции и кор-
ректирующих устройств, при которых обеспечивается минимум диспер-
сии на входе привода.
Для высококачественных систем управления нестационарными ле-
тательными аппаратами определяющими являются помехи, поступающие
на входы параллельных корректирующих устройств. В этом случае ми-
нимум будет иметь место при минимальных по абсолютному значению
коэффициентах полинома знаменателя передаточной функции системы,
выбранной в классе ПИКС при удовлетворении требованиям на показа-
тели качества.
Структуры ПИКС допускают реализацию синтезированной матема-
тической модели с минимальными по абсолютному значению коэффи-
циентами. Если интенсивность помех хп0, хп3 существенно различна, то
имеется возможность снизить DX2 ослаблением обратной связи по соот-
ветствующей координате. Например, если интенсивность хп3 на порядок
выше интенсивности хп0, то коэффициенты 3 ($) можно обнулить при
некотором из метении корректирующих устройств ($) с тем, чтобы
быстродействие системы оставалось бы неизменным.
83
3.6.	ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ИЗ ОБЩИХ ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМЕ
1.	Формирование вырожденных уравнений при tp = var. При формирова-
нии оптимальной математической модели проектируемой системы в за-
висимости от технических требований следует стремиться к моделям
класса б или в.
Пусть желаемая переходная функция характеризуется перерегули-
рованием 5% и временем нарастания не больше fHmax, При изменении kQ
в заданных пределах время нарастания Гн изменяется от fHmax (ПРИ
^отт) Д° некоторого заранее неограниченного значения rHmin (ПРИ
fcomax)» Соответствующая система должна быть максимально помехо-
защищенной.
Математическую модель выбираем из класса б, где т =3.
Тогда желаемое вырожденное уравнение будет иметь вцц
Хвых + В1ах^х + в2О2х^х+В1а3хвых+В0й4хвых=В0д4хвх,(ЗЛ9)
гдеа4 = k0(t).
Коэффициенты вырожденного уравнения, выраженные через 6/
иz, будут
_5i6263	6i5^63	3_ 616263	616263
Л3а--------; В2о2---------; В^3------5; Воа4=----5—
Z •	Z.
z?
2i
и при fcOmin = 1 имеем
_611621631	_611621631	_ 611621631
в, -	; В2 -5	; в,	,
_511^21^31
Я о —-4----- '
z 1
При Лотах = 1 длительность переходной функции будет максималь-
ной, равной заданной. Максимальная помехозащищенность обеспечивает-
ся при 61 =2,2,62 = 1,8,63 =1,4.
Тогда желаемое вырожденное уравнение будет
5,55	(3)	. 21,9	(2)	и- 48,3	♦	.48,3
ХА*' + —:— х?/' +	+ —5—^вых + д" *вых
ВЫХ Z1/a	ВЫХ 22/о2	ВЫХ 23/о2 "ВЫХ 24/q4
_ 48,3
4, л ХВХ*
И/о*
При изменении к0; Изменяется а/, что в данном уравнении приводит
к изменению коэффициента масштаба времени.
Обозначим zi =z1/о, где zx =?Нтах/*н» тогда
.(4) +
вых
5>55 Х(3)
Z; ВЫХ
+ 2Ых(2)
z 2 лвых
48,3 •	48,3	_ 48,3
з” ХВЫХ +	4 ХВЫХ 4 ХВХ'
2i	Zi	Zi
84
Очевидно, что с увеличением kQj будет увеличиваться а/ и, следова-
тельно, уменьшаться Zj. Это значит, что форма переходной функции бу-
дет неизменной при увеличении kQt но длительность переходной функции
будет уменьшаться. Например, при увеличении kQ в 100 раз Zj уменьшит-
ся ву100 = 3,16 и во столько же раз уменьшится длительность переход-
ной функции. Значения бр 62» 63 остаются при этом неизменными, фор-
ма переходной функции не изменяется и помехозащищенность модели
будет максимальной.
Итак, вырожденное желаемое уравнение (3.19) определено.
2.	Формирование вырожденных уравнений при tH = const.
Пусть желаемая переходная функция характеризуется перерегули-
рованием 5% и временем нарастания Гн = const при изменении kQj в ука-
занных пределах. Так как время нарастания переходной функции
должно оставаться постоянным, то структура математической модели
должна относиться к классу в, где т = 3 (рис. 3.5).
Тогда желаемое вырожденное уравнение будет иметь вцц
Хвых +Л3<Л*вых+Веа/Чых +51°/1хВых+ВоЛвых=50о4Хвх.
(3.20)
где о4 = к$ (г); В/ и Ц подлежат определению из условия максимальной
помехозащищенности и удовлетворения указанным выше требованиям.
Определим коэффициенты уравнения (3,20) для fcOmin = 1* Так как
ох = 1 при fcomin = 1, то Bj ^i=Bjt и, следовательно,
_ ^11^21^31	_^11^21531	_511521$31
Вз —----------I В 2	2---- ’	1	3---- ’
*1 л *1
_^11^21^31
Во -з---------'
z 1
В соответствии с (3.5) выбираем 6ц = 2,2, б21 = 1,8, 631 = 1,4 и
='р/'нь где Гр ~ заданное время регулирования и гн1 — нормирован-
ное время" нарастания переходной функции, определяемое по номограм-
ме. При возрастании к^ возрастает о =ДД0 (0\ и коэффициенты вырож-
денного уравнения Вцг* будут возрастать, но по условию время нарас-
Рис. 3.5
85
тания (быстродействие) переходной функции должно оставаться неиз-
менным. В данном случае выполнение требования = const возможно
только при изменении 6/ и z^. Таким образом, при возрастанииkQ будет
наблюдаться уход 51Z, 62/, $3, из окрестности точки с координатами
531 = 1,4, 621 = 1,8,	=2,2, т, е. уход из области квазиоптимальных
значений коэффициентов вырожденного уравнения, следовательно, с
увеличением к0 будет происходить уменьшение помехозащищенности.
Существуют такие значения 61Z, 62z, 63z, при которых уменьшение по-
мехозащищенности будет минимальным, и в то же время будут оста-
ваться неизменными показатели качества переходной функции при уве-
личении kQ.
На номограмме (см. рис. П.3) приведена кривая 10, представляю-
щая собой геометрические места точек с координатами 622, 612 иб32 =
= 631 =1,4 для kQ = 10, и при постоянном времени нарастания, равном
времени регулирования переходной'функции для выбранной точкиЛ .
Аналитическое выражение этой кривой будет
Z	с 3 2
£ _ V*0max°21° 1120	_ .	.
О22	-=--------, ZQ —Z2/Zi «Н1/‘Н2-
\Л>12
Это аналитическое выражение получено из равенства
^31^21^11	_ ^32^22^12
~4 ^Огпах	4
21	z2
путем приравнивания свободных членов вырожденных уравнений для
fcOmin ~ 1 и к0 = fcOmax. Здесь 531, 621, 6И, z n z2 известны. Также из-
вестны ГН1 — время нормированной переходной функции при kQ = 1;
Гн2 — время нормированной переходной функции при kQ = fcOmax.
Таким образом, при fcOmax = 10; fcOmin и “const расчетная точка с
координатами 612, 622 (при 631 = 532 =1,4) находится на кривой 10
(см. номограмму рис. П.З).
Запишем выражения, связывающие между собой 531 ,521,6Х х и532,
82 2 > 12 > ДЛЯ ^Omin — 1 и ^отах:
О213	О212	02 1
^32“S31 ——, 622”б21 -j j—, 5i2-5ii— ----------— .
а21/	У/	а2
Так как 532 = 631, то Оз3! = 1 и 2/3 = /2. Если величины 6л,
512> 521> 522 известны и a2 = V^ornax, а^2-*3-*4 = 622/621 и
а2/1-/2-4 =512/5ц легко определить величины l2 l\, I3 икоэффициен-
ты вырожденных уравнений.
При &Отах коэффициенты уравнения будут равны
и для любого промежуточного значения kOj коэффициенты будут
равны В3о^, B2oj2, Qi = >Дор гДе #2, ^з, 1з известны.
86
Приб31 =632 получаем 82/ = 82/К —) 2/1_/2“4 . Отметим, что при
дп
малом приращении 621* эта функция близка к линейной.
При линейной зависимости между 62/ и 61Z- с помощью номограмм
можно графоаналитически определить коэффициенты желаемого вырож-
денного уравнения. На номограмме (например, для 63 =1,4) выбирают-
ся координаты и 62 в окрестности оптимальной области (5j =2,2 и
62 = 1,8) и проводится прямая линия, так чтобы она не пересекала тех-
нической границы (ТГ) (практически эта прямая должна касаться; гра-
ницы области ТГ), По формуле
__ \Aomax^21^ 11 Гн1
6 21 - —-«=---------—
л /X 3.	t-
V°n	ш
путем выбора 5j2 и соответствующих которые получаются при пере-
сечении прямой линии с линиями времени для выбранной координаты
6П-, определяется 52/, Решением будут значения 52| и5и-, которые дадут
точку, лежащую на прямой линии. Следовательно, будут определены
612, 6 2 2 и 8 з 2 з1»затем Zi, 12,?з и коэффициенты вырожденного урав-
нения, оптимального в указанном смысле.
Следовательно, вырожденное уравнение, удовлетворяющее всем тре-
бованиям, определено, но технически точная реализация коэффициентов*
вида в САУ жесткой структуры невозможна, даже если есть неко-
торая возможность съема информации о промежуточных координатах
объекта управления. Поэтому целесообразно при выборе коэффициен-
тов вырожденного уравнения для данного случая сразу исходить из при-
ближенных решений.
3.	Переменный параметр входит в коэффициенты уравнения линейно
Пусть в реальной САУ рассматривается только линейная форма
вхождения в коэффициенты переменного параметра к0 (г) (самый тяже-
лый вариант). Время нарастания Гн = const. Тогда вырожденное диффе-
ренциальное уравнение при т = 3 будет
Хв(ых + (Д3 +	+	+	+	+
х *вых + ^о^о№ых ”"^(Ло1хвх-	(3-21)
Величина fcOmin на номограмме (63 = 1,4) соответствует точке с ко-
ординатами = 2,2; 621 = 1,8 координаты искомой точки 612, 522,
для &отах находятся в первом приближении с помощью прямой, прове-
денной из точки с координатами 612»82 2.
Так как 631 =632 = 1,4, то значения 512 и 622 при принятом пред-
положении находятся по формуле
®2i ~~ [y^Omax^ 21^11 II] Он 1 /	)
87
путем подстановки различных значений 6П- и соответствующих значе-
ний Гнр
Коэффициенты вырожденного уравнения будут равны
для fcomin — 1
_ 631621^11	_ S31621M1	_ ^31^21^11
#31	;-----; #21 — —--------; в 11 г---------;
zi	d	4
_ ^31521^11
^01-------4-----i
z\
ДЛЯ ^omax
__ 832622612	_ ^32^22^12	_ ^32^22^12
#32-------1----->"2 2	5---->"12	з--->
Z2
_ ^32^22^12
"02	4	»
z2
где631 —632 и 6 2 p 5ji»622»6i2»zijZ2 известны.
Из систем уравнений
#3 + B3%omin =^31 1	В2 + ^2^0min =^21 1
&3 + ^З^Ошах ~^32j	&2 + ^2^0шах ~~^22J
Bi + 2?i&omin ~~В11 ]
Bi + 2?i&omax “«®12J
определяем ^з, В'з, В2, В2, B'i, В".
Вырожденное уравнение (3,21) будет удовлетворять заданным тре-
бованиям при fcOmin и fcomax'
Промежуточные 6 j/ 62/, а также 632* находятся по формулам
(b; + b'iW
^1/ z_Z п1К ч_ .	>
(В2 + В2к Qj)B Qjk Qi
= (в'2 + д^0,)2_
(Вз + в'^кqi) (.b'i + B^k^i)
. = (в'3+ Взк0()2
3i в'2+в';кы	'
Полагая 53, постоянной величиной, по найденным значениям 62/ и
6П- для различных строим кривую линию. Если эта кривая выходит
за линию ТГ, то осуществляем следующее приближение.
Полагаем___________
_\Аотах^21^ 11 Гн1
Путем последовательных приближений находим 62 2 и 6 *2 для кОтах*
88
Определяем коэффициенты В*', В§", B2f В*", В*', В*" для fcOmax
вырожденного уравнения (для &omin они остаются неизменными)»
строим кривую линию. Если она не пересекает ТТ, но близка к ней» то
расчет можно считать завершенным.
4. Переменный параметр входит в коэффициенты уравнения линей-
но при tHmin ^tHmax
Пусть переменный параметр kQi входит линейно в коэффициенты ма-
тематической модели. Время нарастания не больше Гнтах Он “ ^н1 и
='н2 при *01 = *0тах и ^oz = *отт» т. е. ограничено сверху и снизу).
Задача состоит в том» чтобы максимально приблизиться к математи-
ческой модели структуры б.
В идеальном случае (см. п. а) коэффициенты вырожденной матема-
тической модели находятся с помощью номограммы по формулам, при-
веденным выше, где 5 3 j, 5 21» 611 неизменны при kQj = van
В действительности, при линейном вхождении переменного парамет-
ра в коэффициенты уравнения координаты 631, <521 • 5ц остаются неиз-
менными только для £omin и &Отах, Для остальных промежуточных зна-
чений кQi координаты точки 631, 62 j, j перемещаются» и для некото-
рых значений kQj, где &omin ^^отах» решение вырожденного урав-
нения может оказаться неудовлетворительным.
Для определения коэффициентов вырожденного уравнения» макси-
мально приближающегося к оптимальной математической модели, мож-
но использовать следующий метод.
Предполагая, как и для случаям, что изменение переменного коэф-
фициента kQi приводит только к изменению коэффициента масштаба вре-
мени Zj при неизменности координат номограммы 531,621,6Х1, кото-
рые выбраны в окрестности оптимальной области (например, 631 =1,4,
62 j = 1,8, 611 = 2,2), можно определить коэффициент масштаба времени
для ^отах путем приравнивания коэффициентов при s вырожденных
уравнений для fcOmin и fcOmax:
^31^21^11 _ *0тах ^31^21^11
z2	^omin zf
где z2 — коэффициент масштаба времени для случая kQj =^omax’ zi ~
коэффициент масштаба времени для случая &omin'
Коэффициент масштаба определяется из условия удовлетворе-
ния ^нтах'
Из указанного соотношения имеем_____________
1М* "-^Отах/ (^Omin^i) ИЛИ ^2 “_\Аг1^оттУ ^Отах”
При ^omin = 1 значение z 2 =\Д1АОтах<
Так как 631, 621, Z\ и z2 известны, то легко определить коэф-
фициенты вырожденных уравнений для ^Omin> ^3i»^2i’^ii’^oi»a
Д™^0max: ^32> В3з> В12»Вq2«
89
Вырожденное уравнение в общем виде при линейном вхождении пе-
ременного параметра будет
Хвых + ^3 + ^3^0/)хвых + (^2 + ^2^о/)*вых + (^1 + #1£й/)*вых +
+ Во^о№ых ~~В о^оР^вх*
Составив системы уравнений аналогично в, определяем коэффици-
енты В'3, Вз, В2, В2, Bl, В'/.
Полученное вырожденное уравнение будет удовлетворять всем тре-
бованиям при &omin и ^отах и может не удовлетворять при промежуточ-
ных значениях kQi.
Так как коэффициенты В^ В", Во определены, то для kOj определя-
ем 63/, 62ь наносим на номограмме соответствующие точки (для
выбранных kQj) и соединяем их линией. Получим фигуру, которая
в общем случае может выйти за пределы технически допустимой облас-
ти номограммы. Проводим корректировку решения. В результате н£
скольких последовательных приближений можно получить решение,
достаточно близкое к оптимальному.
5. Формирование полной математической модели.
Пусть вырожденное уравнение для kQj = fcOmax определено и имеет
вид
*вых + ^3 + ^3^Отах)*вых +	+ ^2^0max)^B^x + (^1 +
+ ^1^отах)-^вых + сЛотах-*вых "“^о^отах^вх*
Обозначим отношения соседних коэффициентов этого уравнения:
_ ^(Лотах	_	+ ^i^omax
^0 f ц ~ j 1 f ff	f
Bi+ В^отах	&2 + ^2^omax
_ B2+ B2kOmax —
K2 ~i-----”777	’ K3 + Вэстах-
"3 + "3*0max
Выразим достаточные условия X/ < 0,465 через величины к0, кь к2,
к3. Они для рассматриваемого уравнения имеют вид
=Ко/ ^2	0,465; Х2 =к1/ к3 <0,465.
Дополненное уравнение должно характеризоваться теми же показа-
телями качества, что и найденное вырожденное при соблюдении приня-
тых достаточных условий устойчивости. Отсюда следует, что первые от-
ношения соседних коэффициентов дополненного уравнения должны сов-
падать с соответствующими отношениями коэффициентов найденного
вырожденного уравнения. Для дополненного уравнения (при повыше-
нии порядка на единицу) отношения его младших соседних коэффици-
ентов имеют вид
Кдо ~к0’	Кд2 —к2; Кдз — К3.
90
Кд4 находится из достаточных условий устойчивости в виде к2/ *д4 =
= 0,465 или Кд4 «2,15к2. При повышении порядка дополненного урав-
нения еще на единицу принимаем Х4 =0,465, откуда находим кд5:
*4=Кдз/кД5 или КД5 =2,15к3.
При необходимости дальнейшего повышения порядка дополнен-
ного уравнения находим соответствующие величины отношений его со-
седних коэффициентов аналогичным образом:
*дб = (1/0»465)Кд4 =2,15кд4, учитывая, что кд4 =2,15к2, получим
кДб =2,152к2, далее
Кд7 =кд5/0,465 =2,15кд5 =2,152к3;
Кд8 Кдб/0,465 2,15кд6 2,153к2;
Кд9 =кд7/0,465 =2,15кД7 =2,153к3;
Отсюда видно, что отношения коэффициентов дополнейного урав-
нения, полученные с использованием достаточных условий устойчивос-
ти в виде X/ =0,465, могут быть выражены через отношения соседних
коэффициентов вырожденного уравнения формулами
кд/ = 2,15г”1к3,где/ — нечетное г =(/-1)/2,/> 5
кд/ =2,15гк2, где/- четное г= (/ —2)/2, />6.
Используя формулы (3.22), легко определить величины коэффици-
ентов полного уравнения, которое будет
хвых + КД(«- 1)*вых ° + an-^(n-2}X^-2} + ... + 2,15a5K2[xB^x +
+ (53 + В$к0 (0)*вых + •••+ (®1 + -®1^о (0)хвых + (г)хВЬ1Х] =
о^о (0хвх-
(3.22)
3.7. ПРИМЕР СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ
С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ
Дано:
5*о	,
ц/0 ($) = —__— передаточная функция объекта управления, где к0
переменный параметр - непрерывная функция времени, 1 <*о‘(О <100;
1000
(s + 5) (s + 200)
^з0) =
— передаточная функция исполнительного ус-
тройства;
(s)=*i = 1 — передаточная функция чувствительного элемента
(он принимается безынерционным);
91
PV2 (s)=k2 — передаточная функция усилителя (он принимается без-
ынерционным) ,
Требуется составить структурную схему и определить параметры
системы автоматического управления жесткой структуры с постоянны-
ми параметрами для следующих технических требований:
а)	время нарастания переходной функции Гн.тр ^0,3 с;
б)	максимальноелеререгулирование ртах <5%;
в)	порядок астатизма v = 1 (статическая ошибка Дст =0);
г)	система должна быть максимально помехозащищенной в смысле
минимума дисперсии помехи на входе привода (исполнительного устрой*
ства) по отношению к высокочастотной помехе, действующей на выходе
объекта;
д)	в системе не допускаются внутренние дополнительные положи-
тельные обратные связи.
В качестве примера взят объект управления, рассмотренный в до-
кладе Д. Кохенбургера на втором конгрессе ИФАК, а затем в книге [ 13].
Формирование структуры САУ
Структуру системы определяем в классе помехоустойчивых струк-
тур ПИКС, Внутренние дополнительные обратные связи вводим по всем
технически доступным для измерения внутренним координатам (выхо-
ды: усилителя, исполнительного устройства, объекта). Обозначим их пе-
редаточные функции соответственно (s)> ^кз 0, ^to (0* В прямую
цепь перед сумматором вводим последовательное корректирующее ус-
тройство с передаточной функцией 0 и идеальное интегрирующее
устройство — Wi = 1/s для обеспечения требуемого астатизма (см,
рис. 3.5). Для достижения требуемой ”грубост1Г системы (малой чув-
ствительности к изменениям параметра fc0J) выбираем т = 3,- где т —
старшая степень з, начиная с которой в коэффициенты характеристичес-
кого полинома замкнутой системы впервые входит переменный пара-
метр kOj.
Это. позволяет определить степень полинома числителя передаточ-
ной функции корректирующего устройства (s):
тк ~т "“1 = 2,
Степени полиномов знаменателей передаточных функций корректи-
рующих устройств определяются из условия
(п3 + и0-1
И£=шах
и3 + и0 — 1 = 2 + 1 — 1 = 2, Пк = 2,
где п3 — степень характеристического полинома исполнительного устрой-
ства; nQ — степень характеристического полинома объекта управления.
92
Следовательно, п% =2.
Для того чтобы система уравнений для расчета параметров проекти-
руемой системы была определенной, передаточные функции корректи-
рующих устройств выбираются в виде
и,	/ч-	лк2<^
™к 1 w “ Г «4.	’ ™к* '* s>“	’
^0 v) + ^2/	Cq ($)	СХ-2'
/ч- АкзЮ	^fco(s)
W*3 W “ 77—7777—777 ’ Wko V) ~ r ,, гп\ >
(S + 5) (S + «2>	С0 (*) (s + а2>
Со (s)=s + ах ¥=s + 5, s + 200,
фбозначим
Л*20)=Д15+ Moi ^jt3(s)=72s2 + 71$+ 70;
Ako(s)=%2s2 + 11s + 1о>
Тогда передаточная функция сформированной помехоустойчивой
исходной структуры ПЩСС может быть записана ка$с
500МЛ1*2«1“2*Ш-
Ф($)~ ---т----------j-----------------------2--------------- ••• “»
s°+ (210+fi)?+ (2025 + 210fi+ 1000k272)s + (5000+ 2025^ +
+ 210fo+ 1000k27i+ 1000k2a1a2+50G0k2£2kO()s3+ (5000jj +
<— ... ----------------------------------------------------- —>
+ 2025?o+ 1000k27o+ 1000k2«i7i+ 5000k2£ikOJ)s2+ (5000^ +
о ...------------------------------------------,	(3.23)
+ 1000^2^1To+ 5000^2^0^*0/)^’*’ 50004^1^2^1^2^*0/
где fi =<Xi +a2 + £2дь f0 =«i«2 + *2Mo>
Определение желаемой передаточной функции САУ
Структура желаемой передаточной функции должна соответствовать
структуре найденной передаточной функции исходной САУ»
Отсюда
<ь ( —	Л°^01
^*0Ж V/ ”7	§	4 7^ ~з “77” “J ~~i	77. "	~
soe5s’+a4s4+ (а3+<гзк01)5 + («г+вгМ* + (ei+ei*oi)?+eo*o(
Вырожденное уравнение
s4+ (Вз +B'3'koi)s3 + (р'2 + B^koi)s2 + (B'i + Bikoi)s+ Воко=0
(3.25)
получаем из (3.24) обращением в нуль коэффициентов характеристи-
ческого полинома, начиная с s5 и выше. Вырожденное уравнение обеспе-
чивает реализацию основных требований к показателям качества пере-
ходного процесса.
93
Коэффициенты вырожденного уравнения определяются следующим
образом:
1.	Задаемся рабочей точкой (см. рис. ПЗ) Ао, где 621 = 1,8,6«х =2,2,
63 х = 1,4, Гнн = 1,54 для режима kOj = 1, и вычислим по соответствующим
формулам коэффициенты вырожденного желаемого уравнения
s4 +B3is3 + B2iS2 +BuS +BOi =0.
Получим уравнение
s4 + 28,45s3 + 577,36s2 + 6513,84s + 32,8 • 103 =0.
2.	Из точки А0 проводим прямую линию AqA х так, чтобы она каса-
лась ТГ. Свободный член вырожденного уравнения для fcOmax = 100 обо-
значим В 0 2 • Т огда
^32^22^^2 (^Н Н2)4
5о2 =*oi*Omax = Ю0ЯО1 = -32 22- - 4"н2	,
(гн.тр)
где622»^12>^н.н2 — подлежат определению.
Выбрав точку на прямой и подставив коэффициенты точки 632 =
= 631, &2i> и значения £н.н1 и ^н.тр в формулу, определяем значение
Bqi- Если BQi <В02» то, выбирая на прямой следующие точки, снова про-
водим расчет по указанной формуле. Искомыми будут значения 622 =
=3,05,6х 2 =3,99, Гн.н2 =2,38, при которых BQ2 ~BOj • 100.
3.	Выписываем вырожденное желаемое уравнение для fcOmax = Ю0
s4 + 135,6s3 + 13059s2 + 413 556s + 3,28 • 106 = 0.
4.	Коэффициенты B-, В" (i = 1,3) определяем из системы уравнений
в; + 5з=28,45	I , В2 + B2=B2i =577,36	1
Вз+ Вз • 100 =Дз2=135,б/ В2 + В2 • 100=В22 =13059/ ’
В’} + В"=Вц =6513,84	1
В\ + В" • 100 =Вг 2 =413556J
Подставляя найденные значения в (3.25), получим
s4 + (27,35+ l,08*o/(O)s3 + (451,28+ 126,08fco/(r))s2 +
+ (2402,3 + 4111,54fcOI- (r))s + 32,8 • 103 koi (0 = 0.
5.	Так как
=	(д'1 + B2kQi)2 s =	(B2 + B2koi)2
( B2+ 82^Qi)BQkQj	(B3 + B3kQi)(B\ + B\kQj)
(B3 + B&oi')2
53	“	-H------ ’
(8 2 + 82k Qi)
то, задаваясь значениями kGi из диапазона 1 ^kQi < 100, строим траекто-
рию качества AQbA 1 (см. рис. ПЗ). Траектория качества заходит в недо-
пустимую область. Поэтому, развернув эту траекторию относительно
94
точки Ао на угол, при котором эта траектория не будет заходить в не-
допустимую область, снова определяем значения 822 = 5,3, 612 = 13,3,
fH.H = 2,18, которые должны лежать на прямой, соединяющей концы
развернутой траектории, и снова рассчитываем по пп. 2.3.4. Определив
новые значения В-, В-', Во, опять строим траекторию качества для 1 <
< ЮО.
В данном случае траектория качества не пересекает ТГ.
6. Вырожденное уравнение будет вида
s4 + (27,02+ l,41*o/(O)s3 + (378,84+ 198,5 2*0I (Г)>2 +
+ (1944,7 + 4569,1*0/(0)5 + 33250*о/(т) = 0-
Дополняем вырожденное уравнение яри kOj = 100 до полного, ис-
пользуя достаточные условия устойчивости \ = 0,465:
s6 + 371s5 + 9315s4 + (2,531 + 0,13*0/ (0) • 106sa + (35,43 +
+ 18,56*о/(О) ' 106s2 + (181,9 + 427,3*о/(0)106s +
+ 3109-106*o/(0=0.	(3.26)
Полученное выражение является желаемым характеристическим
уравнением. Оно соответствует заданным требованиям качества работы
системы, квазиоптимальной по помехозащищенности на входе привода.
О строгой оптимальности системы на действие высокочастотных помех
говорить нельзя, так как расчет проводился приближенно по номо-
граммам.
Определение параметров регулятора
(3.27)
Приравнивая коэффициенты выражения (3.23) соответствующим
коэффициентам (3.26), получим систему уравнений, которая распада-
ется на две подсистемы:
5000*2Г2 =0,13 • 10б;	1
5000*2fi =18,56-106; I
5000*2fo =427,3 • 106; |
5000*2«ia2 =3109- 106,J
2025 ++ 210fi+ 1000*2у2=93515;
5000 + 2025f i + 210f0 + Ю00*2Т1 + 1000aj*2T2 =2,531 • 106;
5000Ji + 2O25fo + 1OOO*27o + 1000ai*27i =35,43 • 106;
5000fo + 1000«i*27o =181,9 • IO6;	>
fi +210=371.
В результате решения системы (3.27) получим искомые коэффи-
циенты
*2?2 =26,*2h =3712, *2fo=85460, к2аха2 =95661,54.
<3.28)
95
Рис. 3.6
Из соотношении (3.28) можно определить f 1э f0, k2i 7г,
&27о> задавшись определенным значением
Решение здесь имеет место при любом cq =#5 и cq =#200.
Однако только при некоторых значениях «1 в решении не будет неиз-
вестных с отрицательным знаком, т. е. в системе не будет положитель-
ных обратных связей.
При = 9 положительные обратные связи отсутствуют. Выбрав
«1 =9, решаем систему уравнений (3.28). Получим f i =161, f 0 = 1975,35.
При «2 =50 и так как + а2 + k2Pi =fi = 161, cqa2 + k2nQ = 1975,35
получаем
k2nQ = lQ2\ Mo =1525,4; fc2 =1370;
Mo =19113,7; Mi =1284; М2 =57,6.
На рис. 3.6 показан вид переходных процессов системы, которые в
целом отвечают поставленным требованиям (kQ =1 ... 100).
Коэффициент передачи системы на высоких частотах (со > 2000 срх)
равен Л (со) = 26. Если со стороны датчиков действует помеха xnQ =
= 0,01 sinгде со > 2000 с“х, то на вход привода поступает сигнал с
амплитудой |хпр 1=0,26.
96
Ч А С Т Ь II. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ГЛАВА 4. ПРОБЛЕМЫ И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
4.1.	ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
В априорно выбранной математической модели невозможно учесть
все многообразие явлений, возникающих в функционирующих системах.
Часто вне поля зрения остаются шумы элементов, изменения парамет-
ров элементов, изменение внешних возмущений и т. д. Поэтому постро-
енная математическая модель может не отражать в требуемой степени
свойства реальной системы^ возникают следующие задачи:
а)	построение достаточно точной модели системы (объекта и элемен-
тов) , которая будет использоваться при проектировании системы управ-
ления.
Процедуру выявления свойств и особенностей системы (объекта
и элементов) в процессе изучения и эксперимента и получения некото-
рых операторов (уравнений), связывающих входные и выходные сигна-
лы, называют идентификацией в широком смысле.
б)	получение информации о параметрах системы (объекта, элемен-
тов и возмущений) в процессе функционирования САУ. Из-за техничес-
ких ограничений при идентификации в процессе функционирования си-
стемы желательно иметь как можно больше априорной информации, на-
пример, о характере связи между сигналами (структурах оператора или
дифференциального уравнения), характере возмущений и точках воз-
действия, характера внутренних возмущений.
Процедуру получения информации о параметрах системы в процес-
се функционирования САУ называют идентификацией в узком смысле.
Получение текущей информации в процессе нормального функцио-
нирования требует введения воспринимающих устройств и разработки
алгоритмов преобразования результатов измерения. Можно указать на
некоторые важнейшие условия, которые необходимо учитывать при про-
ведении испытаний или эксперимента:
а)	для определения характеристик САУ необходимо осуществлять
изменение координат, т. е. движение системы. Необходимые для экспе-
римента движения могут возникать в процессе нормальной эксплуата-
ции (пассивный эксперимент) и при введении в систему дополнитель-
ных воздействий (активный эксперимент);
б)	экспериментально полученный результат достоверен только в том
случае, если наблюдение проводилось на достаточно длительном интер-
вале времени. В реальных условиях, как правило, возникает необходи-
мость в минимизации времени наблюдения при сохранении требуемой
97
достоверности результатов. Важнейшей проблемой является также ми-
нимизация времени обработки экспериментальных данных или макси-
мизация скорости обработки. Поэтому при разработке процедуры экс-
перимента необходим оптимальный выбор времени наблюдения и допус-
каемой скорости обработки данных, не приводящих к существенной ди-
намической погрешности;
в)	если целью эксперимента является лишь общий характер зависи-
мостей, то требования к постановке эксперимента существенно снижают-
ся, однако и здесь скорость получения экспериментальных данных нель-
зя неограниченно увеличивать;
г)	измерения можно проводить непосредственно или косвенно, ког-
да одна величина сопоставляется с другой. При использовании косвен-
ного метода необходимо проверить однозначность исследуемой и изме-
ряемых величин. При косвенных измерениях, как правило, точность
измерения меньше, но зато скорость получения данных может быть зна-
чительно увеличена.
4.Х ИДЕНТИФИКАЦИЯ АВТОНОМНОГО
ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
1.	Объект нестационарный, но за время эффективной длительности
переходной функции параметры объекта изменяются незначительно.
Идентификация должна протекать за время, меньшее времени эффектив-
ной длительности переходной функции.
Пусть дифференциальное уравнение имеет вид
х(л) +	1 (0х(и_ ° + ... + <4 (t)x + a0(t)x=a0i (Г)хвх.
Пусть имеются измерительные устройства, которые позволяют из-
мерять все п производные, т. е. х^п', х<л-1\ ...,х их, хвх измеримы.
Требуется определить х (t), ..., ах (X), а0 (X), а01 (X). Очевидно, интер-
вал времени ДХу, на котором надо определить эти коэффициенты, должен
быть таким, что коэффициенты можно считать постоянными, т. е.
ап-1 (0-ап-1, о» (0 =«ю. ао (0 =«00. а01 (О=«ою - постоянные
величины.
Измеряемых ординат должно быть столько, чтобы число уравнений
равнялось бы числу неизвестных. В нашем случае число ординат равно п.
Тогда система алгебраических уравнений будет вида
) + ап— 1,о4	1^+... д010*вх1>
х2 )+ап-1,ОхЖ *) + ••• “д010хвх2>
Xn-1 + ап~ 1,о< 1 + •••	а010ХВХЛ-1.
98
Если измерения будут идеальные, то система уравнений будет опре-
деленной и будет иметь единственное решение, т. е. получим значения ко-
эффициентов на отрезке времени Д/у. Для определения а, (Г) на сле-
дующем отрезке времени Д// + i также необходимо составить аналогич-
ную систему алгебраических уравнений и решить их.
Отметим, что практически с приемлемой точностью могут измерять-
ся производные невысокого порядка (не выше третьего).
2.	О влиянии погрешности измерительной аппаратуры. Измерение
входных и выходных сигналов ведется с некоторой погрешностью.
Если предположить, что момент первой выборки и интервал дискрет-
ности выбраны правильно, то в зависимости от характеристик измери-
тельной аппаратуры всегда найдется минимальное значение входногр
сигнала, при котором из-за слабой обусловленности матрицы Хвых
результаты идентификации будут недостоверными. Таким образом, всег-
да можно указать такие интервалы времени, при которых в работу си-
стемы будет вводиться заведомо ложная информация о параметрах си-
стемы. Всегда существует некоторое критическое значение входного сиг-
нала при заданной величине погрешности измерительной аппаратуры
или критическое значение погрешности при заданном входном сигнале,
при котором дальнейшее изменение этих критических значений на малую
величину приводит к совершенно неправильным результатам идентифи-
кации.
Положение 1. Рассматриваемый метод идентификации ’’негрубый”
по отношению к погрешности измерительной аппаратуры, виду и величи-
не входных сигналов.
3.	О влиянии возмущений, действующих на динамическую систему.
Для оценки влияния возмущений на точность идентификации рассмот-
рим задачу идентификации динамической системы, описываемой линей-
ным дифференциальным уравнением второго порядка, при условии, что
интервал дискретности выбран наибольшим, измерительная аппаратура
идеальная, управляющий сигнал л^х представляет собой единичную сту-
пенчатую функцию, возмущение задано в виде импульса шириной г,
сравнительно малой интенсивности по сравнению с интенсивностью
входного сигнала. На рис. 4.1 приведена структурная схема системы
идентификации.
Пусть xBX = 1 [ t ], F импульс высотой 0,5 и шириной т =0,5 приложен
Рис. 4.1
99
Рис. 4.2
в момент t = 2 с. W(s) =—----—------ =
10	v (s+a)(s+7)
= —х~5у(~;+ р~ • Измерения л^х,^ых,^ых,
Хвых проводятся в моменты времени t = 0,5
и t = 2,5 с, измерения идеальные (без погреш-
ности). На рис. 4.2 приведены графики, ил-
люстрирующие работу схемы.
В табл. 4.1 приведены значения измеренных величин в точках =0,5
и t2 =2,5.
Тогда
^ВЫХ1	*вых 1 ( =0,664 • 0,208 -0,6 • 0,24 =“0,01,
^BbIX2,5 *ВЫХ2,5 J
т. е. определитель отрицательный (решение не существует). Всегда су-
ществует некоторое критическое значение входного сигнала при данном
неизмеряемом возмущающем воздействии или критическое значение не-
измеряемого возмущающего воздействия при заданном входном сигна-
ле, что дальнейшее изменение этих критических значений на малую ве-
личину приводит к принципиально неправильным результатам идентифи-
кации. Аналогично влияние и ненулевых начальных условий.
Положение 2. Рассматриваемый метод идентификации ’’негрубый”
по отношению к неизмеряемым возмущающим воздействиям, ненуле-
вым начальным условиям и к величине и форме входных сигналов.
4.0 влиянии неучтенных малых постоянных времени.
Динамическая система, как правило, описывается математической
моделью высокой размерности. Идентифицировать такую систему рас-
сматриваемым методом затруднительно. Целесообразно при идентифика-
ции математическую модель выбирать минимальной размерности, при
которой идентифицируются только медленные движения. Однако су-
ществующие реальные ’’быстрые” движения динамической системы в
этом случае также измеряются измерительной аппаратурой и приводят к
искажению результатов измерения характеристик ’’медленных” изме-
рений.
Таким образом, ’’быстрые” движения, вызываемые наличием малых
постоянных времени, оказывают такой же эффект, как и высокочастот-
ные помехи.
Поэтому целесообразно реальную динамическую систему предста-
Таблица 4.1
г	хвх	*вых	хвых	*вых	10*Bx ~*вых
0,5	1	0,325	0,664	-0,6	10,6
2,5	1	0,743	-0,24	0,208	9,792
100
вить математической моделью малой размерности, отражающей ’’медлен-
ные” движения системы, на которую действуют высокочастотные неиз-
меряемые помехи, определяемые характеристиками ’’быстрых” движе-
ний системы.
При этом выводы, полученные в п. 3, будут действительны и в дан-
ном случае.
Положение 3. Рассматриваемый метод идентификации ’’негрубый”
по отношению к неучитываемым в математической модели малым пос-
тоянным времени динамической системы.
Таким образом, если параметры изменяются заметно за время пе-
реходной функции объекта, то рассматриваемый метод идентификации,
который может показаться наиболее t перспективным, оказывается
’’негрубым” даже для автономного объекта управления.
Однако при определенных условиях в конкретной ситуации данный
метод идентификации может обеспечить вполне приемлемые результаты.
4.3.	МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
В АДАПТИВНОЙ САУ
Обычно при идентификации используются сигналы, измеряемые на
входе и выходе идентифицируемого объекта.
Но в системе с обратной связью входной сигнал, действующий на
объект управления, является некоторой функцией не только внешнего
возмущения, но и выходного сигнала объекта. Поэтому возникают опре-
деленные особенности при идентификации объекта, являющегося частью
системы по сравнению с автономным объектом.
Если же регулятор содержит переменные параметры, то возникает
дополнительная проблема разделения информации о переменных пара-
метрах объекта и переменных параметрах регулятора.
Очевидно, что при исследовании процессов идентификации можно
пользоваться различными формами их математического представления и
при этом результаты исследований должны быть адекватными.
Общие результаты в наглядной форме можно получить при исследо-
вании линейной стационарной или квазистационарной системы. Наиболее
наглядным с позиции аппаратурной реализации соответствующих алго-
ритмов идентификации для линейных систем будет описание процессов
с помощью преобразования Фурье.
1.	Идеализированная система.
Пусть система - линейная, ее структурная схема приведена на
рис. 4.3, где И'р — передаточная функция регулятора, И/о — передаточ-
ная функция идентифицируемого объекта управления.
Пусть измерению при идентификации подлежат хвх и Хвых, *вх —
некоторое внешнее воздействие, специально подаваемое на вход системы.
101
Тогда
*вых = И'оИ'р = И'р
Хвх 1 + И'рИ'о ° 1 + И'рИ'о
Рис 4 1	^ВЫХ
и	где-------передаточная функция,
^вх
Эти два измеренных сигнала позволяют вычислить коэффициенты
И^И/р
оператора вида 
1+ W QTV
, и если коэффициенты Wp известны, то прин-
ципиально можно вычислить и коэффициенты оператора Wo.
Но если объект нестационарный и описывается оператором Wo (s, t),
то указанная форма записи будет недействительной.
Однако если за время наблюдения параметры И'о (s, Г) мало изменя-
ются, то
*вых W'o^.DW'pCs)
------~-------------------- , S=]O).
*вх 1 + r)H'p(s) ’
Здесь если Wp(s) известно, можно составить систему уравнений, ре-
шая которую, получим параметры оператора И'о (s, t).
В реальных условиях идентификация даже в узком смысле встреча-
ется с большими трудностями.
2.	Пусть измеряются хвых и Хр. Для достижения требуемой точности
идентификации необходима информация о всех внешних возмущениях.
Пусть внешние воздействия будут л^х hF0. Система линейная квази-
стационарная, принцип суперпозиции действителен и можно по отдель-
ности для каждого воздействия рассмотреть задачу идентификации.
Пусть причиной возбуждения САУ будет хвх, тогда
Хр _	^вых _ И'рИ'ог
1вГ“Г+^р^ог ’	Х + И'рИ'о
Поделив второе выражение на первое, получим
Ар
Если причиной возбуждения будет Fo, тогда
^вых _ ^ог ' Хр _ ^pWOt ^вых _ 1
’ *77 1 +"И'рИ'о, ’ Хр ~ 77 ’
т. е. в зависимости от места приложения воздействия идентифицируются
либо объект, либо инверсная функция регулятора. Если Хвх hF0 дейст-
вуют одновременно, то принципиально будет ошибка идентификации.
3.	Негрубая система идентификации.
102
Пусть причиной возбуждения будет хвх, а измеряются только хр и
*ВЫХ> то
^вых
Хр gjJM'oFTlEp' ot'
Если любой из сокращенных множителей описывает неустойчивые и
близкие к неустойчивым движения, то из-за погрешности измерения или
вычисления результаты могут быть совершенно неправильными. Сокра-
щение возможно, если множители описывают устойчивые, достаточно
демпфированные движения и измерительная аппаратура высокоточная.
4.	Идентификация объекта в адаптивной САУ.
Пусть измеряются хвх, хр и хвых:
*вых И'о (s, t)Wp(s, t) Хр = И'рО, г)
Хвх 1 + OH'pCs. О И	1 +РИ0(s, O^pCs, О’
Пусть хвх — гармоническая функция. Можно найти векторы
= А!	= А2
^вх	» ^вх
^вых
^вх
Хр _ A J (to/)
^вх -4 2 (^/)
еЯ*1	(w')] =а(^) + /0(с^).
Тогда
и^о о=а(^)+/^(w).
В отличие от случая измерения двух координат — здесь принципиаль-
но все правильно. Однако, в общем случае, указанный метод идентифи-
кации может дать приемлемый результат только при медленном измене-
нии переменных параметров объекта управления.
4.4.	СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТА
УПРАВЛЕНИЯ В АДАПТИВНОЙ САУ
Пусть структурная схема системы управления имеет вид (рис. 4.4).
Здесь у — случайное адаптивное возмущение с нулевым математическим
ожиданием.
Параметрь) объекта и регулятора мало изменяются за время пере-
ходной функции; W0(s, 0 и И'р'фД) ~ ’’замороженные” передаточные
функции объекта и регулятора; F — стационарная случайная функция;
F и <р не коррелированы между собой.
Выходной сигнал
^вых —^о О^р (]'<*>) +	•
103
Рис. 4.4
Умножим обе части этого
вырахсения на F^-joS):
F(-/co)XBblx (7<о) = Wo (f'aj, ty X
X Хр jui) + >p(jai)F(—jbi).
Применим операцию математического ожидания к обеим частям
уравнения:
)]=и/0 t)M[xp
Тогда
SFXBUX (fa) ” Wo (fa, t)SXpF (fa) +	(fa)-
Из условия некоррелированности сигналов F и <р вытекает S^p(jco) =
= 0. Частотная характеристика объекта определяется из соотношения
И'о (/ со, 0 =
^ГХвых
•S'XpF (/<*>)
Здесь для определения W0(/co, t) необходимо измерение координат
^вых» хр и входного возмущения FQ.
Рассмотренные методы идентификации объекта управления с пере-
менными параметрами в адаптивной системе действительны тогда, ког-
да переменные параметры изменяются мало за время переходной функ-
ции системы. Время идентификации в этих методах больше времени пе-
реходной функции системы. Это объясняется тем, что все эффективные
методы идентификации Являются интегральными, т. е. дающими резуль-
тат только после изучения свойств системы на всем интервале времени,
на котором просматриваются переходные составляющие изучаемого
процесса.
При управлении современными ЛА возможны режимы, когда за
время переходной функции САУ параметры объекта изменяются сущест-
венно. Это означает, что при использовании рассмотренных методов
идентификации адаптивные системы управления такими объектами мо-
гут не дать требуемого качества управления, поскольку запаздывание
в подстройке параметров регулятора будет слишком велико.
4.5.	КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Решение задачи идентификации параметров объекта управления
рассмотренными выше методами не позволяет организовать эффектив-
ное автоматическое управлений многими ЛА с переменными парамет-
рами.
104
Возникает задача поиска таких методов идентификации, которые,
может быть, с некоторой потерей точности измерений позволили бы за-
метно сократить время идентификации.
Например, если параметры ЛА известны, то, обозначив скорость по-
лета - V, плотность воздуха — р, число Маха — М, получим, что эффек-
тивность рулей можно записать как некоторую функцию
АЭф =Ф(КР, М).
Измеряя К, р и М и зная вид функции Ф, можно для каждого момен-
та времени найти действительное значение А^эф, т- е- появляется возмож-
ность идентифицировать переменный параметр объекта управления.
Измерительные элементы, измеряющие значения V, р, М и, например,
скоростной напор рК2/2, принципиально являются инерционными эле-
ментами. Поэтому будет иметь место определенное запаздывание, что
приведет к появлению ошибок. Но эта инерционность может быть на по-
рядок меньше инерционности самого объекта. Поэтому*запаздывание
при определении Аэф путем обработки входного и выходного сигналов
объекта управления может быть на порядок больше запаздываний, вы-
званных инерционностью измерительных элементов.
Если соответственная частота и демпфируйте силы объекта являют-
ся известными однозначными функциями К, р,М, то также появляется
возможность их идентификации за время, гораздо меньшее времени
идентификации путем анализа входного и выходного сигналов, действу-
ющих на объект.
Данный принцип идентификации с учетом конечности времени
наблюдения и времени обработки может дать удовлетворительную точ-
ность в определении параметров ЛА за время, гораздо меньшее времени
переходной функции.
При такой идентификации будем иметь адаптивную систему разомк-
нутого типа, т. е. систему с разомкнутым вспомогательным контуром.
4.6.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ПОДСТРАИВАЕМОЙ МОДЕЛИ
Может показаться, что имеется принципиальная возможность сущест-
венного уменьшения времени идентификации объекта управления путем
использования подстраиваемой модели по мгновенному значению рассо-
гласования между выходными сигналами модели и объекта.
Структурная схема системы идентификации приведена на рис. 4.5.
Пусть объект управления с переменными параметрами будет пред-
ставлен линейным звеном с ’’замороженной” передаточной функцией
И'о 0, и передаточная функция модели имеет вид WM (s, t).
В звене осуществляется требуемое преобразование сигнала
рассогласования е = хвых ”хм, и сигнал х3 изменяет в нужном направле-
105
Рис. 4.6
Рис. 4.5
нии параметры модели WM (s, t). Однако е 0 в двух случаях: а) когда
параметры объекта равны параметрам модели и б) когда замкнутый
контур с моделью (обведенный штриховой линией) быстродейст-
вующий.
Для того чтобы оценить принципиальные возможности такой схемы
идентификации, допустим, что объект управления является простейшим
к (t)
динамическим звеном вида И'л (s, t) = —-—.
Ts + 1	ь
Л м
Структура модели изображена на рис. 4.6, где WM = —--х4 (t) =
гм^ + 1
= Xp(r)x3(r) и Хр(0 - некоторая функция времени, преобразование
Лапласа которой будет рациональной дробью Xp(s) =Л (s)/B(s), все q
полюсов которой простые (метод ’’замороженных” коэффициентов дей-
ствителен) и х3 (s) =Lx3 (t):
L
Я
S
к=1
A (sfc)
в (Jjt)
4 A (sk)
2-Г--И'фО-
Ar=15 (sfc) *
A (sk) u, /
M"
Я A (Sfc)
Хм (S) =И'м (0,2 -г^-Х3 (s~sk) = WM (s)
к=1В (sjt)
, A (s-sk)	?
-,*) H'ol («“«*)*] = „-7—у =»М0 Д -7—
В -sjq )	к=1В (5fc)
—s^)XM (s ~~sk).
Пусть
Л (s) _ c
В (s)	4
Тогда
n
Sj =0; —----- =c
в (j*)
и XM (s) + XM (s) И/м (s) И/ф (s)c =cWM (s)	(s) Wo (s,	,
XM(S)	t~)C
Xp(r) 1+ И'м(«)И'ф(»)« ’
106
Подставив значения WM (s)
й Ио-О, Г), получим
*м(*) _	с^м^ф($)
Хр (s )	T^s + 1 + к мс И'ф (s )
X
Ts + 1
Рис. 4.7
ЛГ 1
Если И'ф =--, то —“*^(0 при Г->°°.
5	Хр
Из этого выражения следует, что при И'ф (s) = 1 схема идентифика-
1 +кмс 1
ции будет устойчивой при ——--:
*
^м(5) к (г) _ ^вых(^)	с^м^о(5)
Хр (О ~ Ts + 1 ” Xp(s) ( TMs + 1 +
при С -*о° ИЛИ км ~>оо,
т. е. хм (t) ~хвых (t).
Если Хр (Г) будет ступенчатой функцией отрицательного знака, то
A (sk) __ # ^м(5) _	“ скм	k(t)
в'(sfc)	Хр (s) TMs + 1 — кмс Ts + 1
(при WQ (s) -1),
и схема идентификации будет неустойчивой.
Для обеспечения устойчивости системы при ступенчатом сигнале
любой полярности желательно ввести в алгоритмы идентификации
х* (r)=^p(Osignxp(z).
Схема идентификации должна иметь вид, представленный на рис. 4.7,
где Хр (t) =± c(t). Система эквивалентна линейной.
Из анализа следует, что выходная координата модели как бы следит
за выходной координатой идентифицируемого объекта управления.
Однако такое совпадение выходной координаты и координаты моде*
ли осуществляется не потому, что параметры объекта совпадают с пара-
метрами подстраиваемой модели, а потому, что быстродействие модели
гораздо выше быстродействия объекта управления.
Таким образом, в данной схеме идентификации наблюдается не
идентификация переменных параметров объекта управления, а иденти-
фикация некоторых координат состояния.
Быстродействие такой идентификации очень высоко и теоретически
может равняться бесконечности, но при этом возникает проблема обеспе-
чения устойчивости. Проблемы построения адаптивной системы второй
группы такая идентификация не решает.
107
4.7.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОСНОВНОГО КОНТУРА
УПРАВЛЕНИЯ АДАПТИВНОЙ САУ
В адаптивную САУ, как правило, входят объект с переменными па-
раметрами и регулятор с некоторыми принудительно изменяемыми па-
раметрами. Динамические свойства основного контура зависят от этих
переменных параметров. Задача идентификации основного контура
может быть значительно проще, чем задача идентификации объекта
управления, являющегося частью основного контура.
Пусть передаточная функция системы в общем случае имеет вид
z4 А (*)[*об(О1
---------------
где &об (t) —к2 (t)kQ (t) — обобщенный параметр:
B(s)=s"+ S a’s> + S
/=1 '	i=0 1
A(s)=bms?” +	+ ... + & JS+ Ьо
при= 0, z —1, т, A(s)—bQ.
Амплитудно-частотная характеристика
_Ь о^об (О
При
b о
со “>0; Фо (со) = lim Ко (со) = —
cu->0	а0
Приближенно
а0
При
1-	гл z Ч-Моб(О
СО ~*°°, Фо (со) — 11Ш Ло (со) —----.
|сол|
Приближенно при 00 > со > со2, т. е. в некоторой полосе частот можно
получить
ч *об(О*0
Фо (“>) ~---------•
ICO I
Из этих выражении следует, что йри со 0 для всех линейных САУ с
астатизмом первого порядка эквивалентных адаптивным амплитудно-
частотная характеристика будет иметь один и тот же вид и не зависит от
^об (О •
108
При со -> о° для всех линейных эквивалентных адаптивным САУ амп-
литудно-частотная характеристика будет прямо пропорциональна значе-
нию обобщенного переменного коэффициента &об(0- Это значит, что в
полосе частот от некоторой со2 до со ->«>принципиально возможна иден-
тификация обобщенного переменного параметра &об(0> причем, чем
больше частота, тем точнее идентификация при меньшем времени наблю-
дения»
Частота со/, на которой возможна такая идентификация, должна быть
такой, чтобы	. Следовательно, возможность такого вида
идентификации обобщенного переменного параметра не зависит от вида
Поэтому в любой линейной структуре, содержащей обобщенный
переменный параметр kQ^(t) =kQ (t)k2 (О» всегда можно выделить час-
тоту (л), сс2 °°, на которой теоретически возможна идентифика-
ция этого параметра. Если частота со, на которой проводится идентифи-
кация, высокая, то выделяемый здесь сигнал, несущий информацию о
*об(0> может оказаться настолько мал, что с помощью реальной аппара-
туры его нельзя измерить.
Действительно, в любой линейной САУ, являющейся фильтром низ-
ких частот при со чувствительность к обобщенному параметру стре-
мится к нулю. Пусть / - чувствительность. Тогда
*об (О ] =	- Фо М = Цг •
ок об (О	|сол|
Очевидно, что при со -><»чувствительность/-*0. Для выбранной час-
тоты со/ чувствительность/(со/, kQ§ (t) ) =const.
4.8.	ПРИБЛИЖЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ПАРАМЕТРОВ ОСНОВНОГО КОНТУРА
Полином В (s) передаточной функции Ф (s) для линейной стационар-
ной системы не зависит от места приложения воздействия и от коорди-
наты, которая выбрана за выходную величину. Вид полинома Л($)
будет зависеть от координат, которые приняты за входную и выходную.
Пусть передаточная функция системы, записанная в координатах
вход—выход, имеет вид
ф ($) =:--------------------------------------------.
s"+e„_1(r)s" 1+а„_2(ф" 2+...+ fll(Os+ao*oa)
Можно указать в системе такие промежуточные координаты, при ко-
торых степени A (s) и В ($) будут близкими друг к другу, но не одинако-
выми. При этом можно выбрать такую величину со > со2, ПРИ которой
будет справедливо приближенное выражение
Ф0(о>)«
*об (*)
\^П-т\
109
Всегда можно указать для специально сформированного основного
контура такие значения со2 <со2, но, с другой стороны, со2 > wi, ПРИ RO"
торых Фо (<^) приближенно будет
\bm (ja))m +	(/CJ)'Z2-1 + ...+ bfa (/C0)Z1|Aro6(/)
ф0 (<*>) ~	---------------м----’
| (jco) + ап- х (Г) (j'gS) + ...+ ai2 (О (JW \
где значения li и 12 будут зависеть от выбранного значения cd2, т. е. амп-
литудно-частотная характеристика будет функцией переменного парамет-
ра £об(0 и переменных параметров ап_х (г),	а/2 (Г), изменение кото-
рых приводит к изменению характеристик высокочастотных движений
при неизменности низкочастотных движений.
Очевидно, для каждого конкретного значения частоты со/ будет
своя зависимость
Фо(a>i)=Fi(ko6(t),a„._1 (t),...,ai2(t), w,).
Найти значения &об(0> an-i(t\ •••, al2 (0 теоретически возможно,
если переменные коэффициенты будут изменяться медленно и в каждый
момент времени будем измерять амплитуды KQ (со/) для частот /, где
число i определяется из условия совместности системы уравнений.
Практически такая задача во многих случаях трудно реализуема, по-
скольку при таком решении требуются фильтры ”с острой” настройкой
на указанные частоты, сложные вычислительные устройства и требуемое
время наблюдения и обработки может быть достаточно большим.
При определенных структурах основного контура часто можно ука-
зать область ’’средних” частот, в которой величина дисперсии, например,
на входе привода существенно зависит от переменных параметров и ин-
тенсивности высокочастотных помех. Если существует некоторый физи-
ческий параметр в регуляторе, изменением которого можно изменять
величину дисперсии в этой полосе частот и тем самым обеспечивать ра-
ботоспособность системы, то при автоматической подстройке параметра
по измеряемой величине дисперсии будем иметь некоторую адаптивную
систему. В этой адаптивной системе наряду с основным контуром управ-
ления существует и вспомогательный контур, который подстраивает
параметр регулятора по величине дисперсии, являющейся интегральной
оценкой переменных параметров объекта управления и интенсивности
помех.
В данном случае будет иметь место некоторая приближенная иденти-
фикация параметров системы управления.
Если измеряется дисперсия D2 на входе нелинейного элемента и она
не должна превышать некоторого значения D2Q при действии помех со
спектром частот со! <со <°°, то можно записать
_ ^0”4(/<<»*об(О ,2, к]Ш	.2	2
2 ir Q В(]Ы)	(Т1/а>+ 1)(т2/со+ 1) Ф °	20»
110
где So — спектральная плотность помехи — белого шума; /со = s;
ks
-т-——————формирующий фильтр; Л (s)fco6(T)/fi(s) -пере-
(тр + 1) (t2s + 1)
даточная функция системы относительно выбранных координат; И'ф —
высокочастотный фильтр, через который пропускается сигнал со входа
нелинейного элемента. Назначение фильтра И'ф состоит в выделении вы-
сокочастотных сигналов с .частотой со > сох. Простейшим фильтром по-
добного рода будет звено с передаточной функцией И'ф = Ts/(Ts + 1).
В результате величина дисперсии Z)2o будет определяться частотны-
ми свойствами системы и элементов в диапазоне частот со > сох.
Если £Об(0 =^р(О^о(О> гДе ^р(0 “ коэффициент усиления регу-
лятора, kQ (г) =fcOo (О^о (О, где ^оо (О “ коэффициент усиления объек-
та управления и bQ(t) — собственная частота объекта управления, то,
организовав принудительное изменение величины кр = R(D2)t можно
приближенно поддерживать величину D2 о в заданных пределах при изме-
нении переменных параметров объекта в значительных пределах.
Но при этом важно, чтобы остальные показатели качества (время
регулирования, перерегулирования, колебательность) оставались бы в
допустимых пределах.
В реальных условиях этого можно достичь путем специального фор-
мирования структуры основного контура управления.
Например, структуру ПИКС всегда можно сформировать так, чтобы
при любых реальных законах изменения переменных параметров объек-
та управления в ней возникали бы ’’среднечастотные” расходящиеся дви-
жения. В то же время изменением кр эти * *’среднечастотные” движения
можно стабилизировать.
Переменные параметры а/ (?) могут изменяться по сложным законам,
но для определенных структур качественная однозначная связь между
величиной дисперсии и переменными параметрами может сохраняться.
Причем, чем больше тем эта связь ближе к прямо пропорцио-
нальной, тем меньше время идентификации, т. е. вспомогательный кон-
тур будет быстродействующим. Очевидно, реальные значения сох надо
выбирать с учетом времени и точности идентификации.
4.9.	РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОСНОВНОМ КОНТУРЕ
И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
Пусть передаточная функция основного контура будет вида
00^0
(? + %(t)s+ G)Q)(sn~2 + an_3sn~3 + ... + аг5+ а0)
<4	с
где звено —-----------=- характеризует быстрые движения в системе
• + ?(r)s + <4
автоматического управления.
Ш
Амплитудно-частотную характе-
ристику Такой системы качественно
можно представить в виде (рис. 4.8).
Частота соо резонансных колеба-
ний, амплитуда которых зависит от
коэффициента демпфирования £ (t),
остается постоянной.
Можно указать такие значения
£ (Г), при которых амплитуда колеба-
ний на частоте соо достигает таких
величин, при которых система становится неработоспособной.
Теоретически путем введения вспомогательного контура (прида-
ние системе адаптивных свойств) можно обеспечить работоспособность
системы.
Для этого, в первую очередь, надо решить задачу идентификации пе-
ременного параметра % (I) в указанной системе и затем, по полученной
информации, осуществить изменение некоторого параметра в регуляторе
так, чтобы осуществилась компенсация коэффициента % (Г).
Задача идентификации теоретически в данном случае решается прос-
то. Для этого необходимо выделить высокочастотные колебания с час-
тотой сор. Выделение этих колебаний технически осуществляется с по-
мощью резонансного фильтра, настроенного на частоту сор. Амплитуда
выделенных высокочастотных колебаний со0 будет однозначной функ-
цией %(t) и, следовательно, по измеренной амплитуде колебаний на
частоте сор можно однозначно оценить возрастает или уменьшается коэф-
фициент демпфирования £ (/).
Очевидно, что при возрастании частоты сор (при удалении от рабочей
полосы пропускания) условия идентификации улучшаются, т. е. будет
уменьшаться время идентификации, увеличивается точность идентифи-
кации при той же скорости изменения параметра &об(0 и упрощается
реализация резонансного фильтра.
Однако, с другой стороны, увеличение сор ведет к расширению поло-
сы пропускания частот регулятора и, следовательно, в общем случае
к уменьшению помехозащищенности.
Для фильтров ”с острой” настройкой характерным недостатком
будет миграция частоты настройки в зависимости от внешних условий
(температур, внешних наводок). И самым существенным ограничением
при построении такого рода адаптивных систем будет невозможность в
общем случае сформировать структуру основного контура так, чтобы
влияние переменных параметров нестационарного объекта не сказыва-
лось на изменении частоты сор.
При изменении параметров объекта будет наблюдаться изменение
собственных частот системы управления, а также характеристик и дру-
гих ’’парциальных” движений, в результате чего амплитуда колебаний на
112
частоте сор не будет однозначной функцией физического параметра
^об (О •
Практически здесь должна реализоваться приближенная идентифика-
ция. При приближенной идентификации нет необходимости выбирать
фильтр с острой настройкой.
ГЛ А В А 5. БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ БЕСПОИСКОВЫЕ
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
5.1.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
БЕСПОИСКОВЫХ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
В общем виде адаптивная САУ замкнутого типа может быть описана
следующей системой уравнений:
х= А(Ь, г, х, ед Г);
г =G(b, г, х, <р, t),
где х — вектор состояния системы, у — вектор внешних воздействий;
b — вектор параметров объекта; г — вектор параметров регулятора си-
стемы.
Первое уравнение описывает процессы в основном контуре управле-
ния, второе — во вспомогательном (контуре самонастройки).
В общем случае каждый контур управления содержит нелинейные
и нестационарные элементы. Кроме того, контуры управления могут
быть связаны между собой нелинейным образом.
Процессы в такой системе будут описываться нелинейными неста-
ционарными дифференциальными уравнениями, решения которых в
конечной форме, как правило, не существует. В зависимости от выбран-
ных принципов построения основного и вспомогательного контуров, от
метода идентификации, от характеристик элементов в некоторых слу-
чаях указанную систему уравнений можно с достаточной точностью заме-
нить приближенными уравнениями, имеющими аналитическое решение.
Если назначение вспомогательного контура адаптивной САУ состоит
в том, чтобы перестраивать параметры регулятора только в зависимости
от переменных параметров нестационарных элементов, то вектор пара-
метров регулятора принципиально не должен зависеть от вектора внеш-
них воздействий <р и вектора состояния системы х.
Будем считать, что используемые в данной работе принципы построе-
ния основного и вспомогательного контуров управления адаптивной си-
стемы и технические характеристики элементов, из которых состоит
система управления, позволяют с достаточной для практики точностью
обеспечить указанную независимость векторов.
113
Тогда математическую модель системы можно записать в виде
x=F(b, 7,x,ip,t)\ г = F(b, r,t),	_
где уравнение вспомогательного контура r — G(b, rf t) не зависит от ко-
ординат состояния и внешних возмущений.
Это уравнение, как правило, нелинейное, нестационарное, но гораз-
до меньшего порядка, чем исходное. В некоторых случаях может быть
найдено его решение, и возможности исследования этого уравнения го-
раздо шире, чем исходной системы уравнений. Если решение второго
уравнения получено, то, подставляя это решение в первое уравнение,
получим уравнение основного контура, параметры которого являются
известными функциями времени.
Очевидно, что решение такой задачи принципиально проще, чем реше-
ние системы уравнений для общего случая. Во многих задачах, представ-
ляющих интерес для практики, процессы в основном контуре прибли-
женно можно описать линейными квазистационарными уравнениями.
Действительно, если адаптивная система должна обладать постоянст-
вом некоторых показателей качества при медленных воздействиях, то
такая система в ограниченном фазовом пространстве будет эквивалентна
некоторой стационарной или квазистационарной линейной модели.
Это значит, что основной контур управления в общем случае может
быть нелинейным, но в ограниченном фазовом пространстве ’’медлен-
ные” парциальные движения этого контура будут описываться линейны-
ми стационарными или квазистационарными дифференциальными
уравнениями. При этом основной контур будет относиться к классу эк-
вивалентных адаптивным системам, и его исследование не встречает
принципиальных трудностей.
Вспомогательный контур замкнутого типа описывается нелинейны-
ми дифференциальными уравнениями. Но так как порядок этих уравне-
ний может быть небольшим и при анализе и синтезе часто достаточно
иметь приближенное их решение, то исследование вспомогательного кон-
тура также часто не вызывает принципиальных затруднений.
Приближенно в ограниченном фазовом пространстве исследование
такой адаптивной системы можно вести путем исследования каждого из
этих контуров.
Исследование во всем фазовом пространстве можно вести путем
аналогового моделирования или же с помощью ЦВМ.
Для адаптивной системы разомкнутого типа математическую модель
системы можно записать в виде
х = F(b,r, х г = Ф(К, р, М),
где Ф — некоторая алгебраическая функция скорости, плотности возду-
ха, числа Маха и т. д. Инерционность измерительных элементов мала
по сравнению с инерционностью ЛА и ею можно пренебречь [ 8].
114
Очевидно, если основной контур в ограниченном фазовом простран-
стве описывается линейными дифференциальными уравнениями по от-
ношению к медленным воздействиям, то исследование такой системы
не намного усложняется по сравнению с обычной эквивалентной адаптив-
ной САУ.
Расчет адаптивных САУ такого рода будет состоять из следующих
этапов:
1)	синтез основного контура адаптивной системы как квазистацио-
нарной системы;
2)	синтез вспомогательного контура;
3)	исследование динамики в целом и уточнение выбранных пара-
метров.
5.2.	ФОРМИРОВАНИЕ ОСНОВНОГО КОНТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ РАЗОМКНУТОГО ТИПА
Структура основного контура управления нестационарным объек-
том должна быть сформирована таким образом, чтобы технически име-
лась возможность изменением физических параметров регулятора в
соответствии с информацией о переменных параметрах объекта управ-
ления или о некоторых обобщенных характеристиках объекта (или
основного контура) обеспечить требуемые критерии в процессе нормаль-
ного функционирования системы.
Рассмотрим некоторую простейшую динамическую систему, струк-
турная схема которой приведена на рис. 5.1.
Здесь уравнения отдельных звеньев будут вида
*1 —к1хе=А0Хе', х2 =xi ~х3; х3 = |2*вых + Ь*вых;
х4 =к2х2; *об(0 =к0(О6о(ОJ *р + *з*р =£3*3*4;
1	••	*1(0 .	*о(0
£^(О *вых + JwTF Хвых + 7^(7Г *вых ХР-
Корректирующее устройство идеальное. ?2, |1( Ло — параметры кор-
Рис. 5.1
115
ректирующих устройств, которые можно принудительно изменять в*
зависимости от рабочей информации о переменных параметрах объекта
управления.
Уравнение регулятора будет иметь вид
Хр + а Зхр — к3а3к2А qXbx ~^здз^2^о*вых “^здз^2 (^г^вых+^х-^вых) •
Дифференциальное уравнение основного контура управления (на
рис. 5.1 этот контур изображен сплошными линиями) при условии, что
все переменные параметры являются некоторыми функциями вре-
мени, будет
^4*вых

^3jCBbIX
~dJ~
/	*i(O'	i	" ~
+ 1 *0	+ 21	*06(0 + 1-7^7-1 +«3*1(0 +
Ч	Лоб v )	Лоб v )
+ *3 I Атт|'*об(0 + *здзМ2*об(0 У	+
J dt
+ {a3b0(t)+ ||коб(0 + I1 *об(0 +
7 ^вых (	b (ъ (O J
+ k3a3k2iiko6(t) f ——+ j Дз1. ? ;• 1*об(0 +
,	,	. ,	,4 I *0(0 ",	)
+ k3a3k2AokQ§(t)+	| *o6(f) V хВЬ1Х =
= £3а3Л Qk2kOQ (х)хвых.
Это уравнение описывает физические процессы в нестационарной
системе, где с целью увеличения наглядности и уменьшения трудоемкос-
ти вычислений корректирующие устройства выбраны идеальными. Пред-
положим, что переменные параметры объекта являются аналитическими
функциями времени. Следовательно, производные от переменных пара-
метров существуют и их можно вычислить.
Очевидно, что достаточным условием сохранения требуемого посто-
янства показателей качества в данной системе будет наличие в регулято-
ре параметров-, изменением которых можно обеспечить неизменность ко-
эффициентов рассматриваемого дифференциального уравнения.
Формально неизменность коэффициентов при л®Ых, *вых> ^вых мож-
но обеспечить соответствующим изменением $2, и неизменность
коэффициента прил®Ых изменением^. Коэффициенты |2, входят
в слагаемые в виде множителей и легко^ технически изменяются.
Технически изменение величины а3 можно организовать путем вве-
дения специальной обратной связи в приводе (рис. 5.2). Передаточная
функция привода при этом будет вида
116
_______к3^3_____
s (s + д3(1 + *зУ))
Таким образом 2з = а3 (1 + к3у), где 7- изменяемый коэффициент.
Здесь также идеальное корректирующее устройство.
Пусть при
*1 (0+ 2I AvlMO +“з=вз;
Лд V)
мо+	+ А Г+ «змо+
+ аз I ~7,х~ I ^д(0 **к3а3к2^2ко (0 = Q2
~	b\ (t) /	, bl (Г) "
lJr77Tl^^ + lT77Tl ^д(0+^зМЛ(0 =Сь
Лд(Г>	*д(О
ba(t) f	bQ(t)
a 3 I k I ^об + ^За3^2^(Лоб (f) + I Г “  I *0б (0 —Co>
*д U )	Коб V )
где Qi заданы, обеспечиваются требуемые показатели качества. Тогда
коэффициенты регулятора а3, ^2, %19 Ло должны принудительно
няться по законам
a3=Q-bt (0-2А—- |Лоб(0;
*06 V )
, *1(П '	. 1
«2 “ ------------------------------
изме*
ft
к3а3 X
X ^2^q6 (Г)
~	, *1(0 /	. *1(0
21 ~Д з^о (О ~ I.	\ I *об (О ~1г 7n I Лоб (О
_	*обЮ	*06 V?
Л3413^2^06 )
~ . МО	. *0(0
°	Лзвз*об(О
(5.1)
Очевидно, для технической реализации
указанных законов необходима информа-
ция о переменных параметрах объекта
управления к0 (Г), Ьо (Г), bv (Г), их произ-
водных и вычислитель.
Рис. 5.2
117
В настоящее время построение быстродействующих вычислителей
не представляет технической проблемы.
Основной проблемой здесь является решение задачи идентификации,
которая в общем случае не решается.
Однако часто специальным выбором основного контура эту задачу
можно настолько упростить, что появляется техническая возможность
построения адаптивной САУ.
5.2.1. Рассмотрим некоторые особенности работы идеализированной
структуры основного контура, приведенной на рис. 5.1, применительно к
задаче управления летательным аппаратом.
Если с помощью датчиков с приемлемой точностью измеряются К,
р, М, ..., то с помощью вычислителя определяются с некоторой погреш-
ностью искомые значения Ь/ (t) и kQ (Г). Формально с помощью вычисли-
теля также можно найти производные требуемого порядка от />/(/) и
кд (Г), тогда из выражения (5.1) легко определяются искомые значения
0з,$2,$ь^о>и тем самым решается задача построения адаптивной САУ.
В действительности, значения И, р,М, ... измеряются приближенно,
и вычисленные значения bt(t) и &о(О будут заметно отличаться от ре-
альных. При дифференцировании^ погрешности резко усиливаются,
и конечные вычисленные значения а3, £2, $1,Л0 могут не соответство-
вать реальным значениям. Поэтому подобного рода адаптивная САУ не
будет удовлетворять заданным техническим требованиям и необосно-
ванно ожидать положительный эффект при учете производных от пере-
менных параметров в рассматриваемых адаптивных САУ.
Очевидно, погрешность вычисления а3, $2 Л ь 0 будет уменьшаться
при уменьшении скорости изменения переменных параметров &/(/),
kQ(t). При незначительном изменении переменных параметров объекта
за время переходной функции системы величины производных от пере-
менных параметров будут малы, и соответствующими слагаемыми в
(5.1) можно пренебречь.
Тогда коэффициенты а3, £2, £ i, Ао приближенно будут определяться
из равенств
а з =2з	(0;
__ Qi о (О  а з^1 (О.
&3Яз&2&об(О	/с
= 61-*э*о(О ,	}
1	*3я3*2*об(О ’
А =_______£р____
° *ЗаЗ*2*об(О *
Из (5.2) следует, что погрешности измерения и вычисления bj(t)
будут сказываться на результате работы системы.
Рассмотрим несколько подробнее выражения (5.2). Если проекти-
118
(5-3)
руемая система должна обладать высоким быстродействием, и быстро-
действие объекта управления ниже или равно быстродействию системы,
то могут быть справедливы неравенства |Z>0 (01 Сз, 1^1(01 Сз> и
(5.2) можно переписать в виде
~ ~	= Q2 ~ *3*4 (О
д3^бз» 2 fc3fl3fc2fco6(f) ’
° *здз*2*об(О 9	1	*з°з*2*об(О
Здесь для построения адаптивной САУ необходима информация о
переменных параметрах br (t), bQ (t), коб (0» которая используется для
постройки изменяемых параметров регулятора 12, 51, Л 0.
В частном случае при некоторых выбранных значениях Q2, Qi, Qq,
2^ и (Г), Z>0 (Г) выражения Q2 ~ ^3^1 (0 const, Qr ~a3bQ (Г) «const.
Поэтому для удовлетворения заданным требованиям достаточно Иметь
информацию только о *об (t).
Однако поскольку *об(0 =*о(О^о(О, то Для построения адаптив-
ной САУ данного типа необходима текущая информация о переменных
параметрах к0 (Г) и bQ (Г).
По сравнению с предыдущим случаем количество измеряемых пе-
ременных параметров уменьшилось на единицу.
Но в данном случае коэффициенты $2> $х, Ло будут функциями
только одного обобщенного коэффициента *об (Г), т. е.
t	62	t - gl
З^З^об(О
А _ s.____________	(5'4)
0	*3*3*2*06(О 9
ИЛИ $2*2аз*з*об(0 =<?2; $1*ЗдЗ*2*об(0 =G15 ><0*3*3*2*06 (О =Со-
Отсюда следует, что приближенно требуемые ^значения 20, Qit Q2
можно обеспечить принудительным изменением ~*2 по закону к2 =
=1/*об (О при постоянных значениях $ 2, $1 ,^о-
Отсюда следует, что в основном контуре достаточно перестраивать
только один параметр к2.
В рассматриваемом частном случае в адаптивной САУ должен пере-
страиваться один параметр по текущей информации о двух переменных
параметрах, что значительно легче по сравнению с предыдущим случаем,
где перестраивались три параметра по текущей информации о трех пере-
менных параметрах.
Основной недостаток рассмотренной структуры состоит в том, что
корректирующие устройства предполагались идеальными, т. е. выраба-
тывающими ’’чистые” производные. При наличии высокочастотных
помех и нелинейностей типа насыщение адаптивная система может ока-
заться неработоспособной.
119
Рис. 5.3
5.2.2. Пусть структура основного контура выбрана из класса ПИКС
(рис. 5.3).
Корректирующие устройства должны быть физически реализуемыми.
Метод ’’замороженных коэффициентов” действителен. Производными от
переменных параметров пренебрегаем.
Передаточные функции функционально необходимых элементов
имеют вид
s2 + bl(t)s+ b0(t)	s(s+e3)
Выше было показано, что для обеспечения малой чувствительности
к переменным параметрам объекта в регуляторах жесткой структуры це-
лесообразно так формировать структуру корректирующего устройства
^о, чтобы параметр ков(1) входил в четыре последних слагаемых ха-
рактеристического полинома.
В основном контуре адаптивной САУ осуществляется подстройка
параметров регулятора в соответствии с информацией о переменных па-
раметрах объекта управления, что уменьшает чувствительность САУ к
переменным параметрам. С другой стороны, технически подстройка
всегда осуществляется с некоторой погрешностью, которая в некоторых
случаях может быть значительной. Следовательно, основной контур
должен также относиться к классу малочувствительных структур, хотя
и не в такой мере, как системы, эквивалентные адаптивным. Поэтому
структуру выбираем такой, чтобы параметр kQ§(t) входил в три
последних слагаемых характеристического уравнения.
Тогда передаточные функции корректирующих устройств будут
_	^2s2 +	__ ^ki
Wk0 ~ (S+ ap(s + ар > Wkl~ (s + ap(s + ар ’
Ввиду того, что с помощью W^2 необходимо формировать три ко-
эффициента, функция должна иметь вид
W + До
к2 (S+ap(s+ap(s+ер •
Независимо формируемых параметров регулятора здесь шесть -
Д1, До, 5г, 51, ^ki • Два параметра регулятора eq и в общем случае
входят нелинейным образом и являются избыточными.
120
Передаточная функция основного контура
,	Aiakik^iko^b^t)
ф(«, t) = —5----------------------------------2-------- -►
(S + * *1 (Ф+ *о (0)[s (s+ ар (s+ Ог) (s+ а3)+ к2 (g2s + Др+
+ Яо>«] + *о (О[Л2Л3в3Ло (г) (|2s2+ $• х$)+ к0 (t)k2k3a3A/clko6 (О ]
Если а2 и а2 выбрать достаточно малыми, то
s(s + aj) (s + 02) (s +a3) «s4 + a3s3
и Ф(«, t) будет равно
______________Л^г^зМОМО__________________
s6+ [a3+ k^+bi (r)]s5+ [Л2Д1+ Л2Д2*1 (О+вз*! (0+
+ *0 (0]s4+ 1Л2М0+ *2^1*1 (0+ *2^2*0 (0+ 63*0 (0]s3 +
+ [*2Ро*1(0+ Л2Д1*о(О+*2*363^2*0 (0*o(0]sJ+ [*2До*о(О+
+ кзкэаз^ко (O*o (0]»+ Л£1Мзбз*о (O*o (0
Пусть желаемая передаточная функция, удовлетворяющая всем
техническим требованиям, будет иметь вид
__________________Со____________________
ФжО) s6 + ejJ5 + q4s4 + Q3s3 + q2s2 + Q1S + Qo
Из Ф($, t) и Фж (s) можно получить систему уравнений:
д3 + к2ц2 + МО =6$;
*2Д1 + k2n2bi (Г) + д3*1 (Г) + Ьо (Г) =С4;
к2ц0 + *2Mi*i (г) + к2ц2Ь0 (t) + a3b0 (t)=Q3;
*2Д(А (0 + Mi*o (0 + *2*звз$2*о (0Ло (0=2г;
*2^0*0 (0 + *2*ЗаЗ&1*о(0*о(0 —Cl i
^Л1*2*ЗвЗ*о(?)*О (0=бо*
В этой системе уравнений переменными коэффициентами являются
*1(0, *о (?), *0 G) • Коэффициенты 65,64,63,62,61, во постоянные.
Из системы уравнений следует, что можно путем принудительного изме-
нения Параметров корректирующих устройств д2, д1г д0, f2, $1( Аы
при изменении (Г), b0(t), k0(t) в конечных диапазонах обеспечить
формально требуемое равенство в любой текущий момент времени.
Требуемые законы изменений д2, дь д0, |2, A/t х определяются
из соотношений
121
-«3-^(0);
*2
Ml =-T- (<?4 ~k2li2bO (0 “«3*1 (f)-t>0 (0);
Л-2
Mo = ~fc~ (2з “^2M1^ 1 ($“^2M2^o(0~fl3^o(0);
*2 = k2k3a3k0(t)b0(t) (G2 -*2до*1 (О -*2Д1Ь0 (0);
k2k3a3k0(t)b0(t) <-G1 k^obo (0),
A	Q°
^2^3fl3^o <O*0 (t)
Если текущая информация о значениях bY (t), b0(f)t k0(t) извест-
на, то с помощью вычислителя для каждого момента времени находятся
требуемые значения Дз, Дь До, $2, $i Mfc 1 •
Отметим, что при знакопостоянной функции kQ(t)b0(t) система
управления будет ’’грубой”.
При к0 (t)b0 (t) =0 система управления будет ’’негрубой”.
При известных исходных данных путем анализа указанной системы
уравнений для каждой конкретной системы управления легко выявля-
ются возможные упрощения при технической реализации вспомогатель-
ного контура и корректирующих устройств.
При определенных исходных данных некоторые из искомых коэф-
фициентов (5.2) могут оказаться отрицательными. В системе появятся
положительные обратные связи, что может сделать систему ’’негрубой”.
Путем уточнения размерности математической модели системы, прене-
брежением наименьшей из учтенных постоянных времени в системе иног-
да можно избежать появления положительных связей. В общем случае
всегда можно избежать введения положительной обратной связи путем
корректировки желаемого характеристического полинома (домножени-
ем всех коэффициентов, начиная с оператора / на постоянную величину).
При этом расширяется полоса пропускания частот системы.
В некоторых частных случаях может оказаться, что коэффициенты
д2, Дь До будут практически постоянными величинами, и тогда число
подстраиваемых коэффициентов уменьшится до трех.
Если при этом приближенно будут удовлетворяться неравенства
&2До^1 (0 ~ ^зД1^о (0 2з и ^зДо^о (0	21 дая всех значений Г, то
следовательно, в системе должен принудительно подстраиваться один па-
раметр к2 по текущей информации о к0 (t) и Ьо (г).
5.2.3. Пусть в прямой цепи регулятора введена обратная модель
объекта.
122
Рис. 5.4
Структура основного контура выбрана из класса ПИКС (рис. 5.4).
W3 (s)>	(s> О, ^2 (s) = k2 - передаточные функции функционально
необходимых элементов контура.	^%o(s) — передаточ-
ные функции корректирующих устройств. Передаточная функция
1 *оо ($. О
И'оо (V)M0 = Ап-ЧЪтГ’
^00^' Mv)
где кх (г) =[1/^об(01 представляет собой произведение передаточной
функции некоторого инерционного звена на инверсную модель объекта
управления; (BOq(s9 t)/k0o(t)) — инверсная модель объекта управле-
ния; (s, t) =Во (з, t). Степень полинома В00(s) равна степени поли-
нома В00 (s, t).
Коэффициенты полинома 2? 00 ($) можно выбирать из условий удоб-
ства реализации.
Для того чтобы система управления была совместной и определен-
ной, в корректирующее устройство, охватывающее усилитель, введены
модели инерционного звена 1/В00 ($) и привода 1/В3 (s), т. е.
w. Aki(t)
Передаточная функция данного контура будет
ЛЛ1Д00 U 0*2*3^3*06 (0*1 (О
,	.	Вко&)в00 (s)B3 (О^оо 0.0
Ф(х. л = ----------------------------------------—------>
Л*1^00 иО*2*Из*об (0*1 (О *2Л*2 (О
Bicq(s)Boq(s)B3(s)Bоо (s, t) BkoB3(s)Boo(O
Ч— ...-----------------------------
Bqq(s. 0*2*3ЛзЛ*о*об (O*i (f)
Boo (ОЯз (OBfco (O^o (J.')
Пусть Boo (s> t) =^o (s> t) =j2 +	(0s + ^0 (0; т- e-на основе те-
кущей информации о переменных коэффициентах полинома осущест-
вляется идеальная подстройка коэффициентов полинома (параметров
фильтра W00tf))-
123
Тогда
Boo to, 0>4£1^2*з*з*об (О *1 (О________
' Bq (s, OOfco to)*3 (s)Bqq to) + k2Ak2 to)] +
+Д00 to O[*2*3*3^fco to)*o6 (O ki (0 +^£1*2*3*3*06 (O ki (0 ]
_	Я£1£2*зд3*об(0*1(0_________________________
BkO (0^3 (Wqq (s)Ak2 (s)*2+ *2*3*3Л£о (s)*o6 (0*1 (0 +>4£ 1*2*3*3*06 (О *1(0
Если текущая информация о *об (t) известна, то при идеальном из-
менении коэффициента кх (Г) из условия кх (f) = 1/*об (I) (где *об (t)>
> 0) будем иметь *об (f)*i (О =*oo“const, т- е- нестационарная система
управления в идеальном случае будет обладать неизменными динамичес-
кими и статическими свойствами.
Если математическая модель системы, удовлетворяющая заданным
техническим требованиям,имеет вид
^опгг>?	_	9
sn + Qn-isn 1 + Qn-2sn 2 + ... + Q2s2 + ep+ Qq
то, составив систему уравнений путем приравнивания соответствующих
коэффициентов математической модели и передаточной функции основ-
ного контура, имеющей вид
,zv	>4^1^2*3^3*00
ф ($) = -------------------------------------------------
BkQ (s)B3 (s)Bqq (5)+ *2>4fc2 to)+ *2*^4З^ЛО (s)*00+ ^£1*2*3*3*00
однозначно определяем все параметры регулятора.
Для того чтобы такое решение существовало, в данном случае необ-
ходимо посредством выбора коэффициентов числителей передаточных
А w	>4£2to)	>4£0(5) Akl
функции -———-—-—— , ~—— и ——— иметь возмож-
вкъ to) в з to) в оо to) ^?£oto) *£oto)
ность независимого формирования п коэффициентов, где и =и0 + п3 +
+ пк (л£ — степень полинома 2?£0($)). Из условия физической реали-
зуемости Пк ~тпк, и тогда п =п0 + п3+ Шк-
С помощью корректирующего устройства Л£0($)//?£0($) форми-
руем Шк коэффициентов, с помощью AkjBkQ (s) - один коэффициент,
Ак2 to)
и тогда с помощью —-——--——----------- нужно сформировать Шк2
Bko(s)B3(s)Boo(s)
коэффициентов, где /и^г =«0 + «з + вгк ~Шк -1 =л0 + п3 -1.
Степень полинома А к 2 ($) должна равняться п —1, чтобы имелась воз-
можность формирования коэффициентов, начиная с оператора s"""1, и
тогдаЛ*2(5)=дп-1«л~1 + Mn_2s"-2+ Мт^+1«тл + 1.
В рассматриваемой структуре требуемое число формируемых пара-
124
метров однозначно выбирается с помощью физически реализуемых кор-
ректирующих устройств, описываемых передаточными функциями
——и И^о. На практике идеальная подстройка
неосуществима. Однако рассматриваемая структура при правильном
формировании исходной математической модели будет ’’грубой” к по-
грешностям подстройки параметров, она будет менее чувствительной,
чем предыдущая структура.
Корректирующих устройств в регуляторе может быть больше трех,
т. е. можно дополнительно «ввести, например, по измеряемой выходной
координате привода корректирующее устройство, что иногда позволяет
упростить вид корректирующего устройства с передаточной функци-
ей И^2/
Достоинством рассматриваемой структурной схемы основного кон-
тура является возможность технической реализации системы с мини-
мально возможной полосой пропускания частот отвечающей условию
’’грубости”.
Рассматриваемая структура применима только для устойчивых
объектов управления — в этом ее основной недостаток.
5.2.4.	Информация о переменных параметрах объекта управления
всегда имеет погрешности, которые в реальных условиях могут дости-
гать значительных величин.
Очевидно, в этих условиях приобретает особую важность придание
основному контуру ’’грубости” по отношению к переменным парамет-
рам. Эквивалентные адаптивным структуры являются ’’грубыми” к
переменным параметрам. Практически, целесообразно ориентироваться
на структуры ПИКС, так как они, наряду с ’’грубостью” к переменным
параметрам, обладают ’’грубостью” к размерности и к высокочастотным
помехам.
Структуры, приведенные на рис. 5.3 и 5.4,относятся к классу ПИКС.
Однако по некоторым показателям возможности этих структур неодина-
ковые.
В общем случае с целью повышения помехозащищенности при нали-
чии нелинейности типа насыщения, например, в приводе надо минимизи-
ровать полосу пропускания частот регулятора при удовлетворении тре-
бований по показателям качества системы. Пусть при этом д2, Мь До»
?2, в структуре, рассмотренной в 5.2.2, необходимо подстраивать
по текущей информации о Ь1 (Г), b0(t)9 k0(t)9 т. е. по трем идентифи-
цируемым параметрам подстраивают шесть параметров структуры. В
зависимости от требований, от характеристик функционально необходи-
мых элементов, некоторые из подстраиваемых параметров могут ока-
заться отрицательными, что может привести к необходимости введения
глубокой положительной обратной связи. Ее введения можнр избежать
за счет расширения полосы пропускания частот регулятора, но это приво-
дит к уменьшению помехозащищенности.
125
Кроме того, в структуре число подстаиваемых параметров в общем
случае равно размерности математической модели основного контура и
может оказаться достаточно большим.
Формулы для вычисления значений подстраиваемых параметров тре-
буют для своего решения дополнительного вычислителя.
В структуре, приведенной на рис. 5.4 и рассмотренной в п. 3, при ана-
логичных условиях должны подстраиваться три параметра bx(t) ,bQ(t)
и кх (t) полинома B00(s, О по текущей информации о 6о(О,
kQ (t). Параметры остальных корректирующих устройств не зависят от
переменных параметров объекта, т. е. в рассматриваемой структуре по
трем идентифицируемым параметрам должны подстраиваться три пара-
метра. В общем случае число подстраиваемых параметров для рассматри-
ваемого типа объекта должно равняться п0 + 1, где — порядок диффе-
ренциального уравнения объекта управления. Причем bx(t) —bx(t),
b'Q (t) =*o (0 > (О = V (Ло (f)bQ (Г)), г e. если известны bx (Г), d0 (t),
(0 > T0 практически дополнительных вычислений не требуется. В этом
смысле структура рис. 5.4 значительно более простая по сравнению со
структурой рис. 5.3.
Однако рассматриваемая структура рис. 5.4 не работоспособна, если
объект управления является неустойчивым, т. е. структура, приведенная
на рис. 5.4, при этих условиях будет ’’негрубой”.
Если диапазоны и изменения br (t) и b0 (Г) незначительные и прибли-,
женно можно считать bx(t) = const, bQ(t) = const, то передаточную
функцию Koo(s) можно принять равной единице и структура, приве-
денная на рис. 5.4, будет совпадать со структурой, приведенной на
рис. 5.3, при тех же условиях.
В структуре при этих условиях подстаиваемым будет один параметр
к^ (t) по информации о двух параметрах Ьо (Г) и k^t).
5.2.5.	Влияние определяющих типовых нелинейностей на работу
адаптивной САУ.
Практически к определяющим нелинейностям можно отнести насы-
щение скоростной характеристики привода, зону нечувствительности и
нелинейность типа ’’упор” по выходной координате привода. Принимая,
что подстройка осуществляется идеально, приходим к обычной задаче —
нелинейная система управления может быть исследована методом гармо-
нической линеаризации.
Если основной контур синтезирован из условий максимальной поме-
хозащищенности по минимуму величины дисперсии на входе нелинейно-
го элемента при известных характеристиках помехи, то по соотношению
между величиной дисперсии и линейной зоной нелинейного элемента
можно выделить неработоспособные САУ. Причем одним из методов мо-
жет быть ослабление требований к показателям качества системы. Вторым
методом является замена привода другим с лучшими характеристиками.
Влияние зоны нечувствительности при наличии насыщения в сильной
126
мере зависит от соотношения между линейной зоной и зоной нечувстви-
тельности.
Практика показывает, что если ширина линейной зоны на порядок
больше, чем зона нечувствительности, и при условии, что помехи различ-
ного рода ”не забивают” привод, система в ограниченном фазовом про-
странстве будет вполне работоспособной. При этом в некоторых струк-
турах наличие зоны нечувствительности будет давать статическую ошиб-
ку, которая в зависимости от исходных данных может быть очень ма-
ленькой и практически не влиять на показатели качества систем. В дру-
гих структурах (в зависимости от вида линейной части) возможно воз-
никновение автоколебаний с амплитудой, ограниченной по величине этой
зоной нечувствительности. В зависимости от структуры и параметров ли-
нейной части и требований к динамике системы при нелинейной харак-
теристике привода типа насыщения динамическая система может быть
неустойчивой при очень слабых возмущениях. При этом наличие даже
идеальных контуров адаптации не сможет изменить в лучшую сторону
динамические свойства системы.
Реальные системы характеризуются целым рядом других нелиней-
ностей, что в общем случае затрудняет синтез систем. Если все эти нели-
нейности существенно влияют на процессы в системе, то система будет
характеризоваться чрезвычайным разнообразием возможных движений,
что ограничивает возможности управления или даже делает вообще не-
возможным управление объектом. Поэтому важнейшим яв’ляется вопрос
согласования отдельных линейных и нелинейных элементов системы
управления.
Если иметь в виду нелинейности типа ’’насыщения”, то такое согла-
сование вполне реально. Практически это означает, что значение ’’насы-
щения” элемента должно быть выбрано таким, чтобы сигналы на входе
последующих элементов не выходили за некоторую допустимую гра-
ницу.
5.3.	ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР РАЗОМКНУТОГО ТИПА
Вспомогательный контур разомкнутого типа содержит измеритель-
ные элементы (датчики), измеряющие факторы внешней среды, влияю-
щие на значение параметров объекта управления, вычислители, вычисляю-
щие коэффициенты дифференциального уравнения объекта управления
по измеренным факторам внешней среды, множительные устройства, с
помощью которых осуществляется подстройка параметров регулятора
основного контура по известным коэффициентам дифференциального
уравнения объекта управления и некоторые преобразовательные устрой-
ства, согласующие сигналы указанных элементов.
Измерительные элементы (датчики) — это технические устройства,
127
обладающие определенной инерционностью, физические процессы в ко-
торых в общем случае описываются интегродифференциальными урав-
нениями. Современные вычислители отличаются большим быстродейст-
вием, инерционность физических процессов в них пренебрежимо мала.
Современные множительные устройства и преобразовательные устройст-
ва также можно принять безынерционными, поэтому динамика вспомо-
гательного контура будет определяться измерительными устройствами.
Если быстродействие переходной функции вспомогательного конту-
ра (в предположении, что этот контур описывается линейным диффе-
ренциальным уравнением) мало, то из-за больших фазовых смещений
во вспомогательном контуре динамические свойства адаптивной САУ
будут ухудшаться.
В реальных условиях при наличии инерционностей во вспомогатель-
ном контуре и ограниченных по модулю высокочастотных помех, воз-
можны случаи, когда приемлемые технические решения практически
можно получить только за счет введения корректирующих фильтров.
Максимальными возможностями обладают адаптивные САУ с без-
ынерционными цепями адаптации, поэтому целесообразно формировать
вспомогательный контур из элементов, обладающих максимальным
быстродействием.
5.4.	ФОРМИРОВАНИЕ ОСНОВНОГО КОНТУРА СИСТЕМЫ
СО ВСПОМОГАТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ
ЗАМКНУТОГО ТИПА
В зависимости от того, как сформирован основной контур управ-
ления адаптивной САУ, задача идентификации может значительно упрос-
титься и время идентификации может быть относительно небольшим.
Если ставится задача построения адаптивной системы с быстродействую-
щим вспомогательным контуром, то время идентификации должно быть
значительно меньше времени переходной функции системы.
Из методов идентификации параметров или характеристик основно-
го контура, могущих обеспечить указанное требование и обладающих
’’грубостью”, являются методы, приведенные в гл. 4 (разд. 4.8, 4.9)
которые позволяют проводить только качественную идентификацию.
5.4.1.	Пусть в объекте управления изменяется только коэффициент
усиления.
Рассматривается структурная схема основного контура из класса
ПИКС, передаточная функция объекта и других функционально необхо-
димых элементов не имеют нулей. Объект управления имеет невысокую
размерность. В дальнейшем также будем иметь в виду, что переменный
параметр (коэффициент усиления) должен входить в коэффициенты при
низших производных, начиная с третьей производной.
128
Рис. 5.5
Пусть передаточная функция объекта управления имеет вид
*о (О *о
$2 + Ьр +ь0
Передаточные функции остальных элементов аналогичны п. 5.2.2.
Выбранная структура основного контура изображена на рис. 5.5. Переда-
точная функция основного контура управления будет
*о*о(О
Ф	5—п----------2----'>—п------------“
+... + a3s + (а2+д2*0<0)^ + (*1 + * 1*о<О)$+*о*о(О
*0*0<0
“ В (s, Г) ’
где а,, а2, а\ — постоянные, значение которых определяется выбором
корректирующих устройств, охватывающих элементы регулятора, зна-
чения а2, а", а0 определяются корректирующим устройством, охватыва-
ющим нестационарный объект.
Если путем подстройки организовать требуемые зависимости а2 и
а", ао> то в идеале передаточная функция будет иметь коэффициенты по-
стоянные и их можно с помощью корректирующих устройств подобрать
равными коэффициентам желаемой математической модели
s + Qn-\sn + ... + во
Тогда
an- 1 -Qn- 1, • ••, a3 ~~Q3> a2 + fl2*o (Omin “O2,
a\ *+ ai&o (Omin “01, flo*o (Omin “Co*
Основной задачей здесь будет идентификация kQ (t) за малое время.
Амплитудно-частотная характеристика рассматриваемого основного
контура будет иметь вид
апкп (г)
1ф(М! = ° ° - •
\в (/w, 01
Из этого выражения следует, что теоретически при а? 00 имеется
возможность идентификации kQ (г) за малое время (при а? |Ф(/са)| =
129
— ^о(О)- Однако в гл. 4 было показано, что при этом чувствительность к
переменному параметру стремится к нулю.
С целью повышения чувствительности к обобщенному параметру
частоты со, на которой проводится идентификация, необходимо умень-
шить, т. е. практически идентификащы должна проводиться на частотах
со, лежащих в пределах coj <со <со2, где coi определяется рабочей по-
лосой пропускания частот. Возможность такой идентификации будет за-
висеть от вида полинома В (/со, t).
Рассмотрим АЧХ линейных эквивалентных адаптивным САУ в ин-
тервале частот coj <со <со2. Известно, что эквивалентные адаптивным
САУ при некотором значении kQ (t) находятся на колебательной границе
устойчивости. Во многих случаях существует простая аналитическая
связь между значениями АЧХ замкнутой САУ и значениями переменно-
го параметра при со = сор (сор — частота колебательной неустойчивости),
где coi <со <со2:
B(ja>) = U[bj,ko6(t)] + jV[u,ko6(t)].
При нахож; ли системы на колебательной границе устойчивости со-
ответствующее ей выражение В (/со) обращается в нуль (при подстановке
со = сори^о (Г) =£о(Огр)>
^(^р, ^а(Огр)	(Огр) =0-
Отсюда
^рДо(Огр) “0;
Hup,M0ip) =0.
Выделяя в одном из указанных уравнений в явном виде &о(Огр>
можно получить, например,
^(^р До (Огр) ”’”^o(G;p) + *о (ОтрЯ 1 (сор) =0,
или~Яо(сор) + kQ(t)ipRi (сор) =0.
Для текущего значения kQ(t) ^&о(Огр в предположении, что
сор const, имеем
- к0 (0) =R i (а>р)[~*^?. +	(01
или U(a>p, k0(t)) =Л1(а>р)[-^^--Л0(г)] =
1 (С0р)[^0 (Огр —^0 (0 ]
приМО **М0гр-
Аналогично
V(<*Ф, *о (0)	(<*ф)[*о (Огр ~*о (О ] •
130
Тогда
|Я(7ч)1=	*о (0 + iv Gv ко (01 =
=xA i (сор) + Ci (сор) • kQ (t) ур[ 1 - (Г)гр 1»
ж z ч_ aQk0(t) _	aQkQ{t)
Ф°(<Jp)” lfi(/wD)| Гг	*о(П , ’
рЛ <я1(^р)+ ei(wp)fc0(')ip[i - -г——]
*0v'rp
т. е. приЛ0(г) =fco(r)rp,<I>o(wp)_*00-
Чувствительность
чч д аоко(г)
ко (0)— - т~ 7	“
dkQ(t) |Я(/€ОР)|
__ доу^ 1 (<*ф)+ Cl (<^p)L^o(Oip-kQ(t) ]-а$ко	(u?p)+ Cj (p^p)
[*i (cop)+ ei (c^)]k0 (On,- (o ]2	r~’
При£0 (О “**0 (Огр чувствительность J(cop, k$ (г)) -►«>, т.е. чувствитель-
ность J будет переменной.
Теоретически при наличии вычислителя при известном Фо(<*ф)
можно вычислить значение kQ (t). Практически при ошибках измерителя
и наличии динамических ошибок значение к0 (t) может быть получено с
очень большой погрешностью.
Поэтому при таком подходе целесообразно обеспечить качественную
идентификацию, т. е. получать информацию лишь о знаке приращения
обобщенного переменного параметра kQ (Г). Так как в рассматриваемых
структурах чувствительность при kQ(t)	стремится к бесконеч-
ности, то небольшое изменение kQ (г) может дать существенное измене-
ние амплитуды ’’быстрых” колебаний на частоте сор, что даже при значи-
тельных помехах способствует расширению технической возможности
качественной идентификации обобщенного параметра. Отметим, что по-
скольку в рассматриваемой САУ практически можно организовать толь-
ко качественную идентификацию, то на основе данного метода идентифи-
кации необходимо строить адаптивные САУ со вспомогательным конту-
ром замкнутого типа.
На рис. 5.6 приведены графики АЧХ основного контура адаптивной
САУ, построенные по принципу эквивалентных адаптивным САУ (гра-
фики АЧХ для линейной системы с моделью и для ПИКС) для
*оз (О>*02 (01 >*01 (О-
В действительности сор не постоянно, а изменяется в некоторых пре-
делах.
Известно, что автоколебательные нелинейные САУ можно прибли-
женно исследовать методом гармонической линеаризации с помощью
131
Рис. 5.6
Ф(ш)
систем из двух уравнений. При этом динамические свойства таких си-
стем по отношению к медленным воздействиям можно описать линей-
ным уравнением [ 19].
Второе уравнение позволяет определить периодические движения в
системе и найти амплитуду и частоту первой гармоники. При выполнении
некоторых условий амплитуда автоколебаний будет прямо пропорцио-
нальна обобщенному переменному параметру системы &2экв(О^о(О,
где &2экв(0 — коэффициент усиления некоторого эквивалентного уси-
лителя, которым можно в такой системе заменить нелинейный элемент.
Измерением амплитуды автоколебания в указанной нелинейной си-
стеме можно получить значение переменного параметра к0 (t) =
=Ac(t)IACQ (где Ac(t) — измеряемая амплитуда автоколебаний, Лс0 —
амплитуда автоколебания системы при kQ (Г) mjn = 1).
СПС описывается нелинейными дифференциальными уравнениями
[3]. Однако ’’медленные” парциальные движения здесь также описы-
ваются линейными дифференциальными уравнениями, а ’’быстрые” —
нелинейными. Известно, что для исследования таких систем можно при-
менить метод гармонической линеаризации. При этом в подобной систе-
ме также можно выделить высокочастотные слабозатухающие движения,
которые с помощью соответствующей аппаратуры можно измерить и по
их амплитуде определить знак приращения kQ (t).
Таким образом, эквивалентные адаптивным структуры в области
средних частот обладают такими особенностями, которые позволяют
провести качественную идентификацию обобщенного переменного пара-
метра.
На рис. 5.7 приведена АЧХ для специального автоколебательного ос-
новного контура для трех значений &о з (О До г (О До i (О, где з (О =
= 3£0 (Г); к02 (f) =2к(Г).В полосе частот со = 0 ... соп. АЧХ достаточно
точно описывает динамические свойства реальной системы. При со > соп
контур будет существенно нелинейным, и частотная характеристика те-
ряет смысл. На частоте сор в системе существуют незатухающие периоди-
ческие движения, где амплитуда первой гармоники пропорциональна
значению к0 (Г). На частотах 2сор, Зсор, 4сор,... будут иметь место гармо-
нические составляющие указанного периодического движения.
132
АЧХ для СПС во многом совпадают с АЧХ для автоколебательного
контура. Разница в том, что высокочастотные колебания при kQ (Г) <
< к0 (t) гр будут затухающими с частотой, стремящейся к бесконечности
при к0 (Г) < ко (Г)гр.
Идентификация переменного коэффициента основного контура ста-
новится технически возможной, если частота о?р будет квазипостоянной
при изменении к$ (Г). При этом частота сор должна выбираться оптималь-
ным образом, т. е. достаточно близкой к рабочей полосе пропускания с
целью повышения помехозащищенности, и, с другой стороны, эти движе-
ния не должны проявляться в управляемой координате.
В помехозаЩищенИых структурах ПИКС эти требования можно вы-
полнить всегда.
5.4.2.	Рассмотрим процедуру выбора параметров основного контура
для случая, когда переменным параметром будет kQ (г).
Пусть остальные параметры объекта управления и элементов регуля-
тора, за исключением кх (г), постоянные. Коэффициент усиления усили-
теля кi (^принудительно изменяется по информации о kQ(t) так, чтобы
выполнялось условие &o(O^i(O const. В коэффициенты передаточ-
ной функции основного контура параметры kQ(t) и к^ (t) должны вхо-
дить только в виде произведения, что выполняется в структурах, где уси-
литель кх (t) и объект управления Wo (s, t) охватываются общими обрат-
ными связями (см. рис. 5.5).
Для того чтобы обеспечить заданные показатели качества и мини-
мальную полосу пропускания частот регулятора, необходимо с помощью
корректирующих устройств иметь возможность формировать коэффи-
циенты aw-i, ап-2> —, аз> а2> а1, ао (т- е- п коэффициентов) передаточ-
ной функции (5.3).
Корректирующее устройство И^2 выбирается так, чтобы имелась
возможность формирования коэффициентов ап-1, ап_2>	^4- Струк-
тура корректирующего устройства Wkn выбирается так, чтобы перемен-
ный параметр kQ(t) входил в коэффициенты при операторах s3, s2, s и
s° = 1. Выбором параметров И^о можно сформировать коэффициенты
а3, а2> а1- Выбором A fa определяется коэффициент а0.
Так как идентификация kQ (Г) в реальных условиях всегда будет
связана со значительной погрешностью и, кроме того, математическая
модель основного контура приближенная, то основной контур должен
быть ’’грубым” к переменному параметру kQ (t). В связи с чем потребу-
ем, чтобы спроектированный основной контур сохранял заданные пока-
затели качества при неработающем вспомогательном контуре при
изменении kQ (t), например, в 1,5-2 раза. Увеличение kQ (г) приводит к
увеличению коэффициентов при s3, s2, s И s° = 1 и, следовательно, наибо-
лее интенсивно при этом будут изменяться 63 и 64. Значение 63 с увели-
чением к0 (г) будет увеличиваться, а 64 будет уменьшаться. Так как ко-
эффициент а3 =а3 + a3kQ (Г), то изменение kQ (t) в два раза при одинако-
133
вых а3 и а3 приведет к изменению а3 в 1,5 раза, и при изменении kQ (Г)’
в 1,5 раза а3 изменится в 1,25 раза. При этом 63 увеличится соответст-
венно в 1,5 и 1,25 раза и 64 уменьшится в 1,5 и 1,25 раза.
Из номограмм следует (см. рис. П1, П2, ПЗ, П4), что показатели
качества при этом мало изменяются, если в качестве расчетного листа но-
мограммы взять лист с <53 = 1,4 и на этом листе выбрать точку с коорди-
натами =2,2,62 =1,8.
Для определения желаемой математической модели, удовлетворяю-
щей указанным требованиям, сначала с помощью номограмм определя-
ем коэффициенты вырожденного характеристического полинома четвер-
той степени^4 + B31s* + B21s2 + Вц$ + В01-
Так как координаты рабочей точки равны 63 = 1,4, 62 =^1,8,6i =2,2
и /н = 1,53, то по формулам гл. 3 определяем значения В31, В21,
Вц,В()1-
Определение полного характеристического полинома ведется из дос-
таточных условий устойчивости и ^обеспечения заданной частоты сар
слабозатухающих колебаний, которую определяем по формуле сор =
~\Лз/а5-
Если о)р известно, то в полном характеристическом полиноме коэф-
фициент а5 определяется из выражения а5 —а3/ са2. Значение а?р, с од-
ной стороны, должно выбираться минимально возможным, с целью по-
вышения помехозащищенности, а с другой стороны, не может быть мень-
ше некоторого граничного значения (сор)гр, при котором ’’быстрые” дви-
жения мало проявляются в выходной координате адаптивной САУ.
Поэтому сор будем выбирать из соотношения о>р = (4 ... 5)а>п, где
рабочая полоса пропускания частот системы автоматическо-
го управления. При известных требованиях на показатели качества син-
тезируемой системы и известных значениях 63, 62, 5i, z рабочая полоса
пропускания определяется по номограммам, приведенным в приложе-
нии (рис. П.2).
Коэффициенты а5 и а3 являются коэффициентами полного характе-
ристического полинома и до определения этого полного уравнения они
неизвестны. С другой стороны, коэффициенты а3 и а5 в общем случае
выражаются через отношения соседних коэффициентов к0,	к2, к3,
к4,	к9, к10 т. е. а3=... к1г к6, к5, к4, к3 иа5 =... х7к6к5 и их отно-
шение будет равно a3/as = к4к3. Величина к3 определяется требованием
на показатели качества и для каждого конкретного случая, т. е. выбран-
ного вырожденного характеристического полинома, эта величина из-
вестна.
Тогда значение к4 = со2/ *з = (4... кз-
Таким образом, значения к0, кь к2, к3 находятся по вырожденному
характеристическому полиному, значение к4 определяется по приведен-
ному выражению, значения к6, к7 ... ку ... определяются из достаточного
условия устойчивости по выражению к/ = ку_2/Ху_2 = 2,15к7_2, и с
134
целью получения малодемпфированных колебаний на частоте сор показа-
тель устойчивости Л3 выбираем в диапазоне 0,55 ... 0,65, и тогда к5 =
~*зМз-	______
Если все значения к/ (где j = 0, (п —1)) для искомого характеристи-
ческого полинома определены, то коэффициенты этого полинома опреде-
ляются из следующих выражений:
^п- 1 =кп- 1, ап- 2 ~~КП~ 1КП- 2, •••, аП-]~ Кп- 1кп-2кп— 3 ••• КП-]9 •••
CIq —...
Так как структура основного контура системы сформирована и
выбрана из класса помехоустойчивых ПИКС, то формально характерис-
тические полиномы основного контура реальной системы и желаемой ма-
тематической модели согласованы.
Приравняв соответствующие коэффициенты желаемого характерис-
тического полинома и характеристическоп>полинома реальной сйстемы,
получим совместную систему уравнений, решение которой даст искомые
значения параметров корректирующих устройств основного контура.
5.4.3.	Пример: на конкретном примере рассмотрим подробно проце-
дуру решения задачи синтеза основного контура адаптивной САУ для
случая, когда единственным переменным коэффициентом будет kQ (Г).
Пусть в принятом объекте управления (см. рис. 5.5) коэффициент
усиления kQ(t) изменяется в диапазоне 1 ... 100,	=0,1, Ьо =3. Переда-
точная функция привода будет W3 = 10/ [s (s + 10)].
Требуется при всех значениях kQ (t) обеспечить: длительность пере-
ходной функции Гр =1 с, перерегулирование р<5%, статическую ошибку
6СТ =0. Полоса, пропускания частот регуляторам должна быть минималь-
ной. Корректирующее устройство, охватывающее нестационарный объ-
ект, выберем таким, чтобы переменный коэффициент kQ(t) входил в
характеристический полином, начиная с оператора s3. Тогда
_	%3s3 +	+
kQ~ (s+ fli)(s + «2)(s+ a3)
С помощью корректирующего устройства, охватывающего усили-
тель, необходимо иметь возможность формировать коэффициенты ха-
рактеристического полинома, по крайней мере, при операторахs4 , s$,
s6, Передаточная функция этого корректирующего устройства будет
=	Дз13+ ц2и2 + ДР
к2 (S+0^)0+«2)0+a3)(s+10) ’
Л £1
Как обычно, передаточная функция = —уу ~ ~ —у -	) *
Характеристический полином системы будет
(s 2 + 0,1s + 3) [s (s + cti) (s + otj) (s + a3) (s + 10) + k2 (m3s3 +
+ n2s2 + Mis)s]+ ЗЛ1 (Ok21Ofco(0(£3s3 + l2s2 + £jS +
+ MOfcCOAM
135
Здесь c*i, Qjj, a3 выбираются с целью достижения простоты техничес-
кой реализации. Коэффициенты д3, д2, Дь Ь, Акг (а также к2)
искомые.
Для простоты записи положим «1 =0^ =аз = 0- Тогда после некото-
рых преобразований характеристический полином основного контура
будет иметь вид
s7 + (10,2 + Ar2jLt3)s6 + (к2ц2 + ОД^Мз)*5 + (Л2Д1 + 0,1&2д2 +
+ Зк2ц3 + 30)s4 + (0,1*2М1 + 3&2д2 + ЗОА^з^ (t)kQ(t))s3 +
+ (ЗЛ2Д1 + 30fc2$2*i <0*о (О2 + (30fcj (t)k2 £ifco(0)s +
+ 3Q4jti*i (0*o(0fc2-
Сформируем желаемый характеристический полином, отвечающий
заданным требованиям.
Вырожденный характеристический полином будет
s4 + В з$3 + В 2s2 + В + Bq,
где коэффициенты В 3, В 2, В i В0 определяются с помощью номограмм.
Берем номограмму для 63 =1,4, при 62 = 1,8,=2,2иг =tpltH
1/z = 1,53, Тогда коэффициенты В3, В2, Bit BQ соответственно будут
равны 8,5,51,3, 1,74, 264.
Вырожденный желаемый характеристический полином будет
s4 + 8,5s3 + 51,3s2 + 174s + 264.
Здеськ0=264/164=1,52,К1 =174/51,3 =3,4, к2 =51,3/8,5 =6,04,кэ=8,5.
Дополняем вырожденный полином, используя достаточные условия
устойчивости и, кроме того, специально организуя ’’быстрые” движения
частоты о?р в основном контуре. С целью повышения точности и умень-
шения времени идентификации частота сор должна быть заметно выше
частоты медленных движений, но, с другой стороны, о)р должна быть ми-
нимально возможной. Выбираем частоту а>р в четыре раза выше рабочей
полосы пропускания частот основного контура, т. е. о>р =4а)п, где соп —
рабочая полоса пропускания частот (а>п - определяем из соответствую-
щих номограмм). Необходимо также обеспечить слабодемпфированные
движения на частоте сор. Для этого Х3 берем равным 0,55. Остальные
коэффициенты дополненного уравнения выбираем на основе достаточ-
ных условий устойчивости (т. е. X/ = 0,465).
Быстрые движения возникают при изменении параметра kQ(t),
который впервые входит множителем в коэффициент при операторе
s3. Приближенно со2 = a3/as = (а3/а^)1 (а^а5) = к3к4. Для рассматривае-
мого случая о?п = 2,4 • 1,53 = 3,7, тогда сор =3,7 • 4 = 14,8, со2 =220.
Следовательно, к4 =кр (к3 =220/8,5 =20.
азаб Кз	Кз 8 5
По условию Х3 =----= ^——0,55,к5=-—— — 15,4; Х4 —
J	* а4а5 К5	5	0,55	0,55	’ ’	*
136
=-----,Таккака7 = 1> то Л4 =к4/к6 =0,465, к6 =к4/Х4 =26/0,465—56.
Д5Л6
Желаемый характеристический полином будет
S1 + K6s6 * В + k6k5s5 + k6k5k4s4 + k6k5k4k3s3 +
+ «6К5К4К3К252 + 106 + K6K5K4K3K2K1S+
+ «6^5к4^3к2к1«о-
Подставив значения к/, получим
s1 + 56s6 + 86s5 + 25500s4 + 191000s3 + 1,15 • 106s2 + 3,9bl06s + 5,94.
Приравняв коэффициенты при соответствующих операторах s
характеристического полинома синтезируемой системы и желаемого ха-
рактеристического полинома, получим систему уравнений
10,1 + £2д3 =56;
£2д2 + &2ДзО,1 + 4,5 =865;
^2М1 + ^2^2 0,1 + &2 д3 3 + 30 = 25 500;
fc2Mi 0,1 +	+ 30fci (0fc2fco (0Ь = 191 000;
к2^3± 3Qki(t)k2kQ(t)^2 = l915 • 106;
30МОМо(ОЬ=3,91 • 106;
30Л*+ i^i(0^2^o(0=5,94.106.
Из решения этой системы уравнений получим
^2^2^46, к2ц2^357, к2Ц1 ~ 25 261.
Если принять кг (г) kQ (г) =1, то
А^з =185 903/30 =6197; к2$2 =36 000;
Mi =150000; к2Ак1 =198000.
Таким образом, основной контур, в котором при возрастании
к0(Г) возникают слабо демпфированные движения, на частоте сор = 14,8
сформирован. С помощью специально организованного вспомогательно-
го контура, путем изменения кг (г), можно обеспечить кх (t)kQ(t) =1.
5.4.4.	Пусть в объекте управления изменяются коэффициент усиле-
ния, собственная частота и демпфирование.
Передаточная функция объекта управления имеет вид
М)МП
s2 + ^i (Os + b0 (г)
Структура основного контура выбрана из класса САУ, эквивалент-
ных адаптивным, аналогично рассмотренной в п. 5.4.1 (см. рис. 5.5).
Все коэффициенты математической модели объекта переменные.
В общем случае число перестраиваемых параметров в регуляторе опре-
деляется числом переменных параметров в объекте.
137
Подбором коэффициентов усиления в корректирующих устройст-
вах можно обеспечить минимально возможное для конкретной задачи
значение рабочей полосы пропускания частот и обеспечить заданные зна-
чения показателей качества. При этом основной контур должен быть
’’грубым”. Структуру корректирующих устройств выбираем такой, что-
бы переменный коэффициент ко$(г) =к0(Г)Ь0(1) входил во все коэф-
фициенты при низших производных, начиная с третьей производной.
Передаточная функция корректирующего устройства, охватывающе-
го объект и некоторые элементы регулятора, будет
_ hj3 + Ь*2 + $1*
kQ (s+ ах)(г + C*2)(s+ а3)’
Передаточную функцию корректирующего устройства И^2 выберем
вида
и1 = Дз*3 + Да*2 + Д1* + До
к2 (S+ «1)(5+ а2)(*+ «з)(*+ 10) ‘
Если д0 =# 0, то число формируемых коэффициентов в уравнении
будет восемь, на единицу больше порядка уравнения. В результате появ-
ляется возможность выбором До в коэффициенте при первой производ-
ной формировать коэффициент при множителе bQ (Г). С помощью под-
страиваемого принудительно коэффициента kQ (Г) в регуляторе обеспе-
чивается изменение произведения кх (t)koQ(t) в требуемом направлении.
Возможность принудительного изменения £х, ?2, £з в коэффициентах
при первой, второй и третьей производных позволяет обеспечить задан-
ные показатели качества в адаптивной системе при минимально возмож-
ной полосе пропускания частот.
Пусть «1,	, а3 будут малыми. Тогда для простоты анализа примем
ах =0^ =а3 =0. Характеристический полином
s7 + (10 + bi (Г) + &2д3$6 + (106х (Г) + 60 (Г) + к2ц2 +
+ 6Х (0*2Мз>5 + G0&0 (0+	+ bi (t)k2ii2 + 60(Г>2д3>4 +
+ (*2Мо + Ъ1 (t)k2iii + bQ(t)k2^2 + 10^! (0£2$3^об(Ф3 +
+ (6Х (ffanQ + 60(0&2ДХ + lOArj (0*2$2*об(0*2 +
+ (б0£2д0 + 10^1 (0М1*об(0)* +	(0М*1*об(0-
В этом полиноме требуемые значения коэффициентов при s6, s5,
s4 обеспечиваются выбором величин д3, д2, дх. Требуемые значения
коэффициентов при s3, s2 обеспечиваются выбором £3 и |2. Требуемые
значения коэффициентов при s1 и s° обеспечиваются выбором £х йЛ^х
(или ki (Г)). Слагаемые к2ц0, 6Х (ОЦдь bQ (1)к2ц2 в коэффициенте при
s3 и слагаемые 6Х (О^гМо, Ь0(Г)к2цл в коэффициенте при s2 предопре-
делены требуемыми значениями коэффициентов при операторах s6, s5,
s4, s3 и изменяются в диапазонах, определяемых 6Х (г) и 60 (г). В зави-
138
симости от диапазонов изменения bx(t)9 bQ(t) и от динамических
свойств проектируемой системы, весовые значения коэффициентов, со-
держащих £1(0 и £о(О, могут быть незначительными по сравнению с
коэффициентами, содержащими £3, $2, и тогда задача сведется к рас-
смотренной в п. 5.4.2.
В этом разделе рассматривается задача, которая не сводится к зада-
че, приведенной в п. 5.4.2. Рассматриваемая структура в рамках приня-
тых ограничений принципиально не решает задачи компенсации влияния
всех переменных параметров объекта управления, что непосредственно
следует из вида характеристического полинома. Формально, если допус-
тить, что £3, £2> могут принимать любые положительные и отрица-
тельные значения, то при наличии текущей информации о £х (Г), £0 (Г),
£о(О можно сформировать любые, в том числе и требуемые значения
коэффициентов при низших степенях оператора s. Однако наличие отри-
цательных значений коэффициентов говорит о положительных обрат-
ных связях, что может сделать реальную систему ’’негрубой”. Кроме то-
го, получение текущей информации в быстродействующей системе с замк-
нутыми цепями адаптации является нерешенной проблемой.
В реальных условиях с помощью подстройки параметров k1(t)9
g3, f2> f 1 на основе текущей и априорной информации компенсируется
не только изменением &об (О, но и в определенных пределах влияние
слагаемых b0 (t)k2p0 Ьо	(0*2^2, Ь1	Неко-
торая недокомпенсация переменных параметров в рассматриваемой
структуре подавляется путем расширения полосы пропускания частот
регулятора.
При некоторых значениях £х (Г), bQ(t), kQ(t) в основном контуре
появляются специально организованные слабозатухающие „быстрые”
колебания. При этом будет наблюдаться нарушение достаточного усло-
вия устойчивости. Так как коэффициент к0$ (г) входит множителем в
коэффициенты, начиная с оператора s3, то наибольшее нарушение доста-
точного условия устойчивости будет для \ с индексом / = 3. Приближен-
но требуемую частоту слабозатухающих колебаний можно будет опреде-
лить по формуле
=<\Аз/д5,
где а3, а5 — коэффициенты характеристического полинома и о)р =
— (4... 5)о;п.
Аналогично п. 5.4.2, используя а>п (рабочая полоса пропускания),
отношения коэффициентов к/, номограммы, достаточные условие устой-
чивости =0,465 (для/ = 5 ... (и~2),определяем значения к5,к п-2,
кп-1 и затем желаемый характеристический полином, с помощью кото-
рого определяются параметры регулятора.
5.4,5.	Пример, Пусть передаточная функция объекта управления
будет
139
^об К)
s2 + />1(f)s +Z>0(O
гдеЛоб(Г) =ko(t)b0(t); k0(t) =1 ...20; b0(t) =3 ...210,M0 =
=0,1 ... 7. Допустим, что параметры b0(t) iibx{t) являются линейными
функциями kQ(t), т. е. bQ(t) = —8 + 11Л0(Г) и = — 0,264 +
+ О,364Ло (О • Передаточная функция привода равна W3 = 10/ [s(s + 10)].
Передаточная функция
и) _ 1з«3 +	+
к0~ (j+ ара* a2)(s + а3)
p3s3 + д2? + P1S + До
и Wki = -----------------------------,
к2 (s + «i) (s + а2) G + а3) (s + ю)
_	Ак\
kl (s+с^нл-a2)(s+а3) '
Коэффициенты £3, £2, Дз» Дз» Д1» До» ^ki определяются в процессе
расчета. Коэффициенты aif с^, а3 избыточные и выбираются произволь-
но с учетом простоты технической реализации. Для простоты расчета при-
мем «1 =0^ =а3 =0.
Требуется при всех значениях kQ(t)9 b1(t)9 bQ(t) обеспечить дли-
тельность переходной функции tp =1 с, р^5%, статическую ошибку 6СТ =
= 0. Полоса пропускания частот регулятором должна быть минимально
возможной.
Характеристический полином реальной структуры в общем случае
будет вида (5.4). Из этого полинома следует, что если параметры регу-
лятора выбраны так, что все технические требования выполняются при
i'o (О = 1, bv (t) =0,1 и bQ (t) = 3 и при этом регулятор обладает мини-
мально возможной полосой пропускания, то при увеличении параметров
объекта наиболее интенсивно будут изменяться Х3, 63,52,61,в резуль-
тате чего система может оказаться неустойчивой и неудовлетворяющей
показателям качества. Принудительным изменением кх (г) в данных ус-
ловиях можно обеспечить устойчивость системы, но при некоторых зна-
чениях kQ(t)9 bx (Г), Ь0(Г) не будут удовлетворяться требуемые пока-
затели качества. Если наряду с принудительным изменением кх (Г)
организовать также изменение £ 3, £ 2, £ i или некоторых из них, то воз-
можности выполнения • всех технических требований увеличиваются.
Выбираем желаемый характеристический полином системы для
объекта управления с параметрами kQ(t) = 1, b^ (Г) =0,1 и bQ(t) =3.
Так как исХрдные данные аналогичны п. 5.4.3, то процедура выбора
желаемого характеристического полинома, приведенная в п. 5.4.3, оста-
ется без изменения.
Желаемый характеристический полином будет
s7 + 56s6 + 856ss + 25 500s4 + 191000s3 +
56	15,4	26	8,5	6,04
140
+ 1,15 • 106s2 + 3,91 • 106s + 5,94 • 106.
3,4	1,52
Система уравнений для k0 (?) =1, bx (?) =0,1, Z>0 (?) =3 будет
IQ + b! (?) + к2ц3 =56;
*2Мг + bi (0*2Мз + 10£>i (?)+ *o (0=865;
*2Mi + bi (?)Л2д2 + *о(О*2Мз + 10Ьо(0 = 25 500;
bi (0*гД1 + bo (О*гМг + 10fc0 (0*1 (0*o (0*2$з = 191 000;
М0*гМ1 + 10&О(0*1 (0*о(0*2?2 =1.15 • 106;
1О&о(О*1 (О*о (0*2<1 =3,91 • 106;
1ОЬо (0*1 (О*о (0*24ti =5,94 • 106.
При изменении (возрастании) kQ(t), bi(t)9 bQ(t) изменяется зна-
чение Х3 (возрастает), что свидетельствует об уменьшении запаса устой-
чивости и при этом возрастает амплитуда ’’быстрых” движений. Вспомо-
гательный контур выделяет ’’быстрые” движения и в соответствии с при-
ращением амплитуды осуществляется уменьшение сигналов и ?2.
Величины коэффициентов и связаны нелинейным образом с £3
или с ?2. Эти зависимости можно определить расчетным путем.
Оценим работоспособность адаптивной системы при к0(Г\ = 20,
МО =7, МО =2Ю.
В соответствии с расчетом при*о(О = 1, Ь х (Г) =0,1 ид0(г) =3 (см.
п. 5.4.3), *2д2 =46Л2д2 =857, к2^ = 28 262, к2$3 =6197,Мз =36000,
£2£1 =130000,к2Акх = 198 000. Коэффициенты *2д3,*2д2,*2Д1 остают-
ся неизменными при изменении kQ (t),bx (t), d0 (t). Подстраиваемыми
коэффициентами будут £3, ?2, Дц. В левую часть системы уравне-
ний подставим *2д3, *2д2, к2Ц1 и kQ(t) =20, bv(t) =7, bQ(t) =210,
получим (при&! (О =1)
10 + fci (0+ к2ц3 =63;
*2М2 + bx (t)k2p3 + 10d j (Г) + Z>0 (r) = 1459;
*2Mi + bx (t)k2n2 + М0*2Дз + 10fc0 (0=43 019;
M0*2Mi + Ьо(О^2Д2+ ЮМ0М0Мз=357 797+ 42000M3;
d0 (0*2Mi + 10d0 (O^o (0*1 (ОМ2 = 5>,3 • 105 + 42000M2;
10d0 (Г) kQ (0*i (0*2? 1 =42 000*2 i i;
10MO*i (O*o (0*2^i =420004*!.
Значение *2?3 определяем из условия X3 =0,55;
63(357 797 + 42 000*2$3)
X3 = ——-------------=0,55.
3	1459’43 019
141
Откуда 357 797 + 42000*^ =558 000 =а3 и
, „ _ 558 000- 357 797 _ 200 303 _ . „
263	42 000	42 000
Величину *2|2 определим из условия 83 =1,2. Так как 83 =к3/ к2 и к3 =
= 13,4, а 82 =1,2, то к2 =кэ/ 83 = 13,4/1,3 =10,3.
Отсюда
а2 5,3 • 106 + 42 000
2 д3 558000
558 000 • 10,3 -5,3 • 106 = 42000*2£2,
[5.75-5,31 • 106 =
k2*2~--------«ООО----	10’7-
Значения k2% i и ^2Л^1 наД° выбрать так, чтобы показатели качест-
ва остались неизменными. Следовательно, при 63 = 1,3 значения 62,
и zy должны быть такими, чтобы rp = 1 с, р<5% колебательность отсут-
ствовала.
Выбор 52, 61 и Zi проводим на основе номограммы (лист 63 =1,3).
Из выражений 62 = к2/кь =к1/ ко> 1/z =к0 ~аъ/а\ и номограммы
(лист 63 =1,3) подбираем требуемые значения коэффициентов.
Задаемся 62 с некоторым запасом, например 62 =2,2. Тогда 62 =
= 2,2 = 10,3/к 1, Ki = 10,3/2,2 =4,9 и =4,9/к0- В выражении 6Х =4,9/к0
с помощью номограммы значения бх и б2 подбираем так, чтобы время
регулирования соответствовало заданному. При б! =2,3 и к0 = ,1,7
время регулирования будет 1 с.
Определяем к2^х. Так как = 4,9 =а\/а2 =aylS,15 • 106,	=
= 42000М1 =4,9 • 5,75 • 106=28,1 • 106,к2^ =28,1 • 10б/42000=670.
Определяем *2Л^1. Так как к0 = 1,7 =<2o/fli > то ао = 1,7^1 = 47,6 X
X106 и k2Akl =(4,76/42000) • 106 =1130.
Определим значения *2?3, к2%2, к2^1гАц1к2 для *0(7) = 2,80(7) =
=—8 + 11*0(О =14, dj (Г) =-0,264 + О,364*о (Г) =0,464.
После подстановки значений *0 (7) = 2, b0 (7) = 14, Ь2 (7) =0,464 в
исходную систему уравнений получим а6 =56,5,а$ =897,а4 =26443. Из
условия Х=0,55 получим (при*0(7) =1)
а3-5б,5	_ 0,55-897-26443
897 -26443	>55 и fl3	56 5	230000.
Так как *2лцЬi (0 + b0 (7)*2д2 = 25 261 • 0,464 + 857 • 14 =23 900 и
1О8о (0*1 (0*о (ОМг =280*252,то *2f2 = -	2,39 ‘104 =740.
Если 83 принять равным 1,4, то
«2 =«з/5з=8,7/1,4=6,22 и
354 000 + 280* 2 |2
«2 =»=/“’ “-нет-------------
142
т ; с _ 6,22 • 230000 - 354 000 _оолп - i шб
Тогда k2h - -------—----------—3840, а2 - 1,43 • 10°.
Выбираем fc2£i и к2А^х из условия удовлетворения заданным тех-
ническим требованиям с помощью номограммы (лист 53 = 1,4).
Пусть Ь2 = 1,9, тогда	= к2/Ь2 = 6,22/1,9 =3,28 и^ =К1Д2 =3,28 X
X 1,43 • 106 =4,7 • 106. *2h = 4’7ОП10" =16800.
2о0
При Si =2,1, к0 = 3,28/2,1 = 1,57, и длительность переходной функ-
ции будет удовлетворять техническому требованию.
При этомя0 =fliKo = 4,7 • 106 * 1,57=7,35 • 106 и
7.35 • 106
М*1 =	=25 400.
ZOU
Определяем значения *2£э> *г£г, *2$ 1 ,кг^к\ для k0(t) =5,b0(t) =
=-8+ ll*o(O =4,7,Z»i(0 =“О^64 + О364Ло (О = 1,56.
Подставив в левую часть уравнений k0(t) = 5, b0(t) —41,bi{t) =
= 1,56, получим (*i (?) =1) :
10+ 1,56 +*2д3 =57,6;
к2ц2 + *2Дз1,56+ 10-1,56 + 47=989,2;
*2Д1 + к2ц21,56+ 10-47 + *2д3 -47=29 221;
Лг/МЗб + ЛгДг • 47 + 10 • 47 -кг (?)*25h =79800 + 2350*2h;
к2рх - 47 + 10 • 47 • *i (?)*25t2 =1,09 • 106 + 2350*2$2;
10 • 47*i (?)*25h =2350*2iji;
10-47*2^15=2350*2/1*1.
57,6a 3
Из условия X3 = 0,55 получим ^9221 ,989 2 -0,55;
аз= ^221’9f?f0’55 =27 600;
*2$3 ~
276 000 - 79 800
2350
=83.
Определяем *2^2 - Так как 63 принято неизменным, то
«2 =
9,45	,ас_а2_ 1.09-106+ 2350*2l2
— - “О, /э и о,/5 — — — —---------------------
1,4	«3	276 000
а2 = 1,86 - 106.
Тогда
. к _ 276 000 -6,75 - 1,09 • 106 _ 770000 _^о
к^2 ~---------------------------------------328.
2350
143
Выбираем &2Si и к2А^\ так, чтобы удовлетворить заданным требо-
ваниям. Пусть 62 =1,9, тогда
К1 =к2/ 32 =6,75/1,9 =3,56 и ах =кга2 =3,56 • 1,86 • 10* =6,6 • 10б.
TO.»M.=!^=2S10.
Так как при 51=2,15кО”	1,66 заданные технические требования
выполняются (см. номограмму, лист 63 =1,4), то а0 =fliK0 =6,6 • 106Х
X 1,66 = 10,9 • 106 и	=4650.
Для *0(7) = Ю, 6о(О =“8 + 11*о(О = Ю2, b 1(Г) =-0,264 +
+ 0364£о(О =3,38. Значения £2£3, fc2£2,£2$i,fc2/lfci, при которых вы-
полняются технические требования, определяются из выражения:
6
по условию----=0,55, где а6 =59,4;as = 1147,8, а4 =33 88Г,
а4а 5
_ 0.55-33 881-1148 _оглллл
а, = —-----—-------- -360000,
л	59,4
Так как
*2М1&1 (0 + к2ц2Ь0 (О - 172 700,
10&о(О*1 (ОМОМэ =10200Мз
ид3=172700 + 10200Мэ-то
, > _ 360000- 172700 _ 187300	_1О .
к Л д =-------------— --------- —18,4.
2€3	10200	10200
Так как к3 =а3/а^ = 360000/33 881 = 10,7 и <53 = 1,2, то к2 = 10,7/1,2 =
2,58 • 106 +10200*2£2
=8,9иК2=«2/*з=--------------------=8,9,
, я _ 8,9 -360000- 2,58 • 106
к, $ 1--------------------—61.
22	10200
Если Ь2 =2,1, то К! =8,9/2,1 =4,24ив1 =к1а2 =4,24-3,2 • 106=13,54Х
X 10б и*2$i = 13,54 • 10б/10200 = 1300.
С помощью номограммы выбираем 6 х и к0 так, чтобы удовлетворя-
лось заданное требование:
к0 = 4,24/6! =4,24/2,2 = 1,92; а0 = 1,92 • 13,54 •: 10б =26 • 106; к2Ак1 =
=26- 10б/10 200 =2550.
Для k0(t) = 15, b0(t) =-8 + 11*о(О = 157, 6j(T)=-0,264 +
+ 0,364&о(Г) =5,2определяем значения А;2^зД2^2,А:251,^2Л^1,при ко-
торых выполняются технические условия.
„	-Z1 О -1ЭПС -ООЛП1 _ о,55 • 38 491 • 1305 _
Получаем ав —61;2,а5 — 1305 ;д4 —З8 491ия3 —------------—
61,2
144
= 452000; к2ц1Ь1 (Г) + к2ц2Ь0 (Г) = 267000,	=
= 23 600. Тогда к2%3 = (456000 - 267 000)/23 600 = 8,0. Так как кэ =
=а3/*4 = -§Уг- =117,6з = 1.2, то к2 = 11,7/1,2 =9,75.
Тогда
3,97 • 106 + 23 600fc2$2
-------------------=9,75;
452 000
, „	9,75 • 452 000 - 3,97 • 106 _ 4,4 • 10б - 3,97 • 106 _430000 _,о -
= —---------------------~~-------------------------- —1о,3
252	23600	23600	23600
Выбираем к2%2 и Л2Л*1. Пусть 62 = 2,2, тогда к, =-ур- ^4,4 иа1 =
=4,4а2 =4,4  4,07 • 10^ = 193 • Ю6, к2^ =	=815 и при Si =
= 23; «о = 4,4/23 = 13; а0 = Mi = 1,9 • 19,3 • Юб =53,6 • 10б;М*1 =
= 36 * 106/23 600 = 1530. Значения &2$3, ^2^2, ^2?ь приведены в
табл. 5.1.
Таким образом, при выбранных значениях д3, д2, Д1 (До = 0) и
£3, ?2> 11, dfci в расчетных точках в предположении, что переменные
параметры Л>х (Г), Л>0(^), &о(О изменяются по приведенным законам,
синтезированный основной контур удовлетворяет техническим требова-
ниям.
Точное удовлетворение заданным требованиям будет обеспечивать-
ся с помощью вспомогательного контура по информации об амплитуде
’’быстрых” колебаний с частотой сор путем подстройки параметра кор-
ректирующего устройства £з и параметров £2, | х, Аь i, определенных об-
разом связанных с | з.
В реальных условиях законы изменения k0(t)9 b1(t)9 Ь0(Г) могут
существенно отличаться от выбранных.
Из анализа конкретного примера следует, что при существенном от-
личии законов изменения kQ(t), bQ(f)9 bx (t) от заложенных в расчет.
Значения к2 £3, к2 £2, к2 ti, к2
Таблица 5.1
к. (О			fc3 € 1		^313/^31з	Mi/М.	
1	6197	36 000	136 000 198 000		5,84	21	32
2	740	3840	16 800	25 400	5,2	22,7	34,6
5	83	328	2810	4650	4,0	34	56
10	18,4	61	1300	2550	3,3	71	139
15	8	18,3	815	1530	2,3	102	190
20	4,77	10,7	670	ИЗО	2,24	140	237
145
адаптивная система остается работоспособной. При учете априорной ин-
формации о законах изменения k0(t)9 bQ(t)9 bx (t) (пусть приближен-
ных) при синтезе адаптивная система указанного типа будет малочувст-
вительной к погрешностям подстройки и к некоторым неточностям в
априорной информации.
5.5. ФОРМИРОВАНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
ЗАМКНУТОГО ТИПА
Пусть в объекте управления kQ (t) будед переменным.
Во вспомогательном контуре управления регулируемой координа-
той будет перестраиваемый коэффициент регулятора, который должен
изменяться так, чтобы показатели качества основного контура остава-
лись примерно неизменными.
Для рассматриваемых быстродействующих адаптивных САУ второй
группы типовая структура вспомогательного контура имеет вид, пред-
ставленный на рис. 5.8, где ОК - основной контур управления; к°б (t) -
обобщенный переменный коэффициент основного контура управления;
£об(Г) = *о(ОЫО — переменный коэффициент объекта; к2 — под-
страиваемый коэффициент регулятора; СИ — система идентификации;
ЗН — звено настройки; &10 — значение коэффициента kQ(t) при номи-
нальном значении &об (О.
На выходе схемы идентификации при постоянных параметрах системы
/оо	'
/-------> /I 1Фо(/<^)12^2(ш)5х(
--------------------- 
/F2(o>)Sx(G>)do
О	оо
Проанализируем это выражение. Интеграл £ |Ф0(/а>)|2/*а (o>)Sx (о>)Х
Xdcj можно представить в виде суммы двух слагаемых
Wp+ А
Л= f |Ф0(М2^(<о)5х(о)с?Ш,
(л>р — Д
/2 = WpFA^(w)^0(w)|25x(w)dw+	7 ^(со)|Ф0(о>)|25х(а>)Х
о	cjp + д
XJgj.
Обозначим сор = 1/Т2 - резонансная частота реального полосового
фильтра, которая выбирается равной частоте ’’быстрых” колебаний ос-
новного контура; Д =	— полоса пропускания реального полосового
фильтра.
Если £ < 1, т. е. полоса пропускания реального полосового фильтра
146
Рис. 5.8	Рис. 5.9
мала или его избирательность велика, то в интервале частот [а?р ~
— Д, сор + Д] с достаточной степенью точности можно положить
sx м ~sx (Wp), F2 (со) «F* (Ор),
где Sx (сор) и F2 (а>р) представляют собой усредненную спектраль-
ную плотность входного сигнала и усредненную АЧХ полосового фильт-
ра в интервале частот [а>р + Д, сор — Д].
При этих условиях можно записать
Wp + А
Л —F2 (u^Sx (сор) / |Ф0(/^)1
<*>р — А
FZ (“р)5х (°р) Wp/ Д |	(<^ (^р)2Д.
о)р — А
Определяющим устройством вспомогательного контура, от которо-
го в основном зависит быстродействие и точность работы этого контура,
а следовательно, и работоспособность быстродействующей адаптивной
САУ, является устройство идентификации. Остальные элементы этого
контура являются обычными, типовыми, принятыми в практике постро-
ения систем управления.
55.1. Схема идентификации обобщенного коэффициента.
На рис. 5.9 приведена схема идентификации основного контура
управления, в котором идентификации подлежит обобщенный коэффи-
циент &об (t)9 где Фо (/со) — амплитудно-частотная характеристика основ-
ного контура управления; ПФ — полосовые фильтры; В — квадратичные
детекторы; НФ — низкочастотные фильтры; ДУ — делительное.устрой-
ство.
Определим зависимость между z и обобщенным коэффициентом
^об (О Длн квазистационарной системы.
Пусть на входе основного контура действует случайный стационар-
ный сигнал л^х со спектральной плотностью Sx (со).
147
Амплитудно-частотная характеристика реального полосового
фильтра,
Т1 (со)
F(co) = । --------- -------.
х/(1 -Т^СО2)2 + 4|2т^2
Средние значения квадратов величин л^х и л^ых на выходах низко-
частотных фильтров будут
*7x1 =1/ff	(.^)Sx(u)du,
О
*ВЫХ1 = 1/я / |Ф0 (Ml2/^ (cS)Sx (cS)db}.
О
Если на частоте соо = сор в основном контуре имеет место резонанс
и ординаты АЧХ на этой частоте существенно больше, чем на всех других
частотах, то интенсивность помех по сравнению с полезным сигналом
можно считать незначительной, и выделяемый сигнал в полосе частот 2Д
несет полезную информацию о внутренних свойствах системы. Прене-
брегая помехами, получим
*вых	(ор)5х(а>р)|фо(/Ч)|22Д,
DD1A 7Г	7Г	*	*	*
у 2
4^=|ф0оч)12;
^ВХ1
так как I2 .
Это значит, что в указанных условиях зависимость между z и
Ф0(/сор) однозначно определяется в полосе частот, смещенной относи-
тельно рабочей полосы пропускания системы, и принципиально
возможно сделать время качественной идентификации меньше времени
переходной функции основного контура и обеспечить такую идентифи-
кацию при значительном изменении переменного параметра за время
длительности переходной функции.
В установившемся состоянии эта зависимость
/у 2	'
"*ВХ1
где в некоторых случаях |Ф0 (/сор)| будет нелинейной функцией kQ(t)
и кх (Г). В общем случае |Ф0(Л*>р)1 будет функцией kQ(t), bQ(t) и
MOfci (f) и ПРИ некоторых значениях этих параметров |Ф0(/wp)| будет
стремиться к о©.
Это означает, что свойства основного контура такие, что z не-
зависимо от мощности входного сигнала и независимо от места прило-
жения возмущающего воздействия. Поэтому в адаптивных системах с
148
основным контуром, принадлежащих к классу адаптивных эквивалент-
ным САУ, при идентификации достаточно измерять только сигнал Хвых
или некоторую промежуточную координату основного контура, т. е.
схема идентификации может быть значительно упрощена.
Отметим, что в указанном случае по значению z невозможно точно
установить значение переменных параметров, но можно судить о качест-
венном характере изменения некоторых коэффициентов основного кон-
тура управления.
Если АЧХ основного контура будет иметь резонансную частоту сор
в пределах рабочей полосы пропускания и полосовой фильтр с острой на-
стройкой будет работать на этой частоте, то между основным контуром и
вспомогательным будет ’’глубокая” связь. Процессы будут описываться
нелинейным нестационарным уравнением, и разделение уравнений будет
необоснованным.
По результатам анализа отдельных уравнений (основного контура и
вспомогательного контура) нельзя сделать однозначный вывод о свойст-
вах адаптивной системы в целом.
5.5.2.	Передаточная функция схемы идентификации.
Передаточную функцию (ПФ) схемы идентификации WZji (s) =
= L[z(t)]/L[A (/)] можно определить по огибающей среднего квадратич-
ного значения узкополосного случайного процесса полосового фильтра.
Пусть передаточная функция полосового фильтра имеет вид
^п.т(5)
T\s2 + 2^T2s + 1 ’
где сор =1/72 — резонансная частота.
Подадим на вход фильтра амплитудно-модулированный сигнал с час-
тотой сор:
<Ро (Г) =<рт зтШсозсорГ,
где <р0 (t) =<pmsin£2 (f) — гармонический закон изменения огибающей.
Частотная характеристика ПФ
И'п.ф (М =—2------2-----, Т22 = 1/ Ы2
V rl (/со)2 + 2г2€ (/<*>)+ 1 р
Эквивалентная частотная характеристика ПФ по огибающей
»» . (М = ______________Т'11су , =
Ф	П + 2|/(СОр + П)СОр
Т i/c^p
2wpn П2
—гтг ----------+
WP + П w + Q
149
^п.ф	-И'п.ф<7^)1 w= Wp + Я
= _____________i^pT!__________
2ырП Я2
-----—~	~ + 2?/wp
cjp + Л cjp + И	F
Если сор > Q, то Q2/ (cop + Q) ~ 0, 2copS2/ (cop + Q) ~ и
ц/п.ф (/П) = —---------------- и’ следовательно, И/сп(s) -к0/(ts + 1),
2?	1
----/а + 1
% <^р
где кQ =Т1сор/2£, т =1/$сор при % -►ОЛо > т •
Условие Q <сор означает, что за отрезок времени Т2 =1/сор парамет-
ры системы изменяются мало.
Чем больше скорость изменения параметров, тем больше должна
быть несущая частота, для того чтобы иметь основания для применения
метода огибающих.
Дифференциальное уравнение схемы идентификации будет
Го + z =М (О •
5.5.3.	От вида звена настройки существенно зависят процессы само-
настройки. Обычно в системах используются звенья настройки следую-
щих трех видов:
И'знхО) ^знг(5) ~kn/s^ ^знз(5) ~(^н/$) +к€.
Выбор того или иного типа звена настройки должен определяться в
процессе исследования динамических свойств контура самонастройки с
учетом требований, предъявляемых к адаптивной системе в целом.
55.4.	Передаточная функция основного контура известна и принци-
пиально она может быть использована при описании вспомогательного
контура. Однако, используя специфику основного контура быстродейст-
вующей адаптивной системы, математическую модель основного конту-
ра можно значительно упростить. Пусть переменным в основном конту-
ре будет параметр &об(0 (см. п. 5.3.1). В установившемся состоянии
имеем
/ ч-	*о*об(П
Фо (^р) ~ -Ч	—
1 (k)p + Q i (^>р)^об (О гр (1 — ^об О’) /^об (*) гр)
_^z ч _________*об ^)______
Р 1 -^об G) /^об (О гр
При Лоб(0 > близких к &0б(Огр> сор ~ const. Следовательно, основ-
ной контур можно представить в виде произведения передаточных функ-
ций двух звеньев. Одно колебательное звено можно описать уравнением
150
второго порядка. Передаточную функцию этого звена можно предста-
вить в виде
4
"Р 9 L.	о •
s + 2£/cops + сор
ь —	1 Г1 *°б(О
Если в этом звене — —------ (1 “ -—------), то в установившем-
2*об(О *об(Огр
ся состоянии
“р
|и/р| =
|(/сор)2 + 2$/С0р/С0+ со2|
Амплитуда на частоте со = сор, со = сор^/Г— £2 будет
СОр
1^р(ор)|=	=1/21^
V<- “р + wp> + *&р
^об (О
(1 —^об (О /^об (О гр
При 1 это звено достаточно точно отражает свойства основного
контура в высокочастотной области.
Итак, с учетом того, что во вспомогательном контуре выделяются
только высокочастотные колебания частотой сор, при анализе динамики
вспомогательного контура учитываем от основного контура только зве-
но, описывающее ’’быстрые” колебания.
Таким образом, передаточная функция основного контура в данном
ХВЫХ	Wn
случае будет ----« —	.
ХВХ s + 2?/СОр5 + СОр
Пусть непрерывное возбуждение осуществляется сигналом
XBx(s) =сор/ (з2 + со2), 5/^ 1 - const, Zr0(r)=const,
тогда
хВых(О w4r[-sin(^ -<op0e_^wPfsin^- + wpr)] =
^5/ z	z
При xBX(0 = sincopJ график выходного
сигнала будет (при - const, рис. 5.10) коси-
нусоида, промодулированная переходной
функцией. Так как в данном случае интерес
представляет огибающая и требуется найти
дифференциальное уравнение по огибающей,
то смещение по фазе на 90° высокочастотной
составляющей не имеет значения (вместо си-
нусоиды будет косинусоида).
151
Так как =f[ kQ$ (t) ] и k0Q (Г) переменный и пусть скорость изме-
нения k0Q (t) незначительна, так что
(О
Д*0б (О =- g-— Т2 <коб (Г) (Т2 =2тг/о>р),
то полученная формула достаточно точно отражает влияние &об(0 на
характер протекания процесса.
В установившемся состоянии л^ых (О будет представлять гармони-
ческий сигнал частоты сор. В переходном режиме этот гармонический
сигнал промодулирован преходной составляющей (1 —	и пе-
1
ременным множителем -р- .
Я
В нашем случае Лвых = Л(Г). Найденная переходная составляющая
представляет собой решение дифференциального уравнения первого по-
рядка (при “const ) вида + ^сорЛ (0 = WpWa72 или X
X  ~	+ А (Г) =Nq/ 2£z. Обозначим
^ок	кОК — l/2£j ,
Wo— постоянная величина, являющаяся огибающей гармонического сиг-
нала jfex частоты сор, т. е. л^х —7Vosincjp/\
С уменьшением постоянная времени ток увеличивается и может
достигать значительной величины. Коэффициент усиления kQK также при
этом увеличивается. Уравнение основного контура по огибающей будет
т°к + Л (Г) -kOKN0.
Если < 1 и fjtop < 1, то ток > 1 и приближенно
(г)	.	dA (t) _ ^ок А	.
^ок—~j~	^^окМ) 111111 37— ~	^о^р/2,
аг	аг т ок
т. е. изменение fy, а следовательно, и kQ (t) не будет влиять на величи-
ну Л (Г).
Поэтому тОк надо выбирать такой величины, чтобы процесс в
данном звене устанавливался за время, значительно меньшее длительнос-
ти переходной функции адаптивной системы. Если Мо (f) за это время
будет малым, то A(t) «NQl2%i, т. е. изменение kQ(t) непосредственно
приводит к изменению Л (t), что можно использовать во вспомогатель-
ном контуре для изменения кх (г) в регуляторе.
Дифференциальное уравнение вспомогательного контура
Система уравнений:
то^-+и=Мо(0; М0=М;
к\ (t) ~~кн f zdt\ k0Q (f) — (0/^1 (^)
0
152
Рассмотрим дифференциальные уравнения вспомогательного конту-
ра для различных вариантов звеньев:
Пусть ^<1,	£ю = 0.
Звено настройки £i (Г) =£€z.
Тогда -1-	+ А (г) =JV0/ 25,,
dt	1
Т^Г =М(0» Лоб(0 =М0/п(0 -с.
После исключения z, A (t) получим
тр d2kx (г)^ т0 dkx(t)=NQ
il^pkoke dt2 кок€ dt	’
Здесь f/'=/[£o(0, ki (0] является переменной величиной. Уравнение
нелинейное. Свободный член этого уравнения равен нулю. Вспомогатель-
ный контур будет неработоспособным.
2.	Пусть $/<1, $<1.
Тогда	+ А (Г) =N0/ 25,, т0 £- + z = М (г).
fjCOp at	1 at
Звено настройки кг (Г) =£6z, £об (О =ко (0/£1 О =с-
Исключая Л (t), получим
то d2z * . то +	1 z =
^GJpkQ dt2 k(y kQ dt kQ
Исключая z, получим
T0 d2k ! (r) + Tp j._________ dk! (0	1___
5,o>pfc0*e dt2 ^oke koke '	koke *
=
Уравнение нелинейное. Вспомогательный контур может быть устой-
чивым. Звено настройки интегрирующего вида приведет к обнулению
свободного члена уравнения.
3.	Возможное решение может быть в специальном введении коррек-
тирующего устройства. В данном случае корректирующее устройство
должно иметь вид реального дифференциального звена
Тк\* =zi(s)
Tk2s + 1 z (5)
Тогда в первый вариант системы уравнений добавятся уравнения
dz 1	dz ~
Тк2-аГ + 2 =Тк t —, к. (Г) = keZ.
153
Звено настройки	(1-_— ).
Исключая A(t),znzlf получим
T0rfc2 d2k (Г) + , т0 +
dt2 ^i^p^o^ki^e
ЧТк2 ^1(O+ T0 k (t\=NQ
+ ЗД1*е dt k0Tklke 1U 2gz
Вспомогательный контур может оказаться устойчивым.
Как следует из рассмотренных вариантов, исполнительный орган
(звено настройки) выбирать интегрирующим нецелесообразно, полосо-
вой фильтр можно делать высокой добротности. Тогда необходимо вве-
дение реального дифференцирующего устройства во вспомогательный
контур, где желательно 2 Тк i.
5.6. ПОДХОД К АНАЛИЗУ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
Адаптивная система с замкнутыми цепями адаптации описывается
сложными нелинейными нестационарными интегродифференциальными
уравнениями, аналитическое исследование которых часто практически
невозможно. Детальное исследование таких систем базируется на мето-
дах моделирования и макетирования. Для систем, где в качестве основ-
ного контура выбрана структура, эквивалентная адаптивной, и организу-
ется подстройка по информации об амплитуде ’’быстрых” колебаний,
возможно приближенное исследование путем приближенной оценки
влияния вспомогательного контура управления, если математическая
модель этого контура известна.
ГЛ А В А 6. БЕСПОИСКОВЫЕ САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ
СМОДЕЛЬЮ
6.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ТИПЫ СИСТЕМ С МОДЕЛЬЮ
В беспоисковых самонастраивающихся системах (БСНС) пере-
стройка параметров регулятора происходит таким образом, чтобы регу-
лируемая координата замкнутой системы при любых параметрах объек-
та, принадлежащих области их допустимых изменений, и при любых до-
пустимых управляющих воздействиях вела себя так же, как выходная
координата некоторой системы, называемой моделью и обладающей за-
данными динамическими свойствами [ 20].
Модель может выбираться из условий, предъявляемых к показате-
лям качества процессов управления или из условия оптимального зна-
154
чения некоторой меры качества, характеризующей работу замкнутой
системы. Мерой качества можно выбрать ту или иную интегральную
оценку, среднюю квадратичную ошибку, если воздействия, приложенные
к реальной системе, являются случайными функциями времени и т. д.
Физически модель реализуется в виде некоторого звена, выпол-
ненного на аналоговых элементах на основе заданного вида дифферен-
циального уравнения или в виде подпрограммы общего математического
обеспечения цифровой управляющей машины. На вход модели должны
подаваться управляющие и, если возможно, возмущающие воздействия,
приложенные к реальной системе.
БСНС с моделью могут строиться по схеме прямого адаптивного
управления и по схеме непрямого адаптивного управления.
В случае прямого адаптивного управления ошибка рассогласования
между выходными координатами системы и модели непосредственно ис-
пользуется для перестройки коэффициентов регулятора с целью свести
эту ошибку к нулю или к допустимо малой величине. Схема системы
изображена на рис. 6.1, где О — объект; Р — регулятор; М — модель;
УА — устройство адаптации,х^ых — выходная координата системы; хм —
выходная координата модели; е = хвых “хм; к — вектор перестраивае-
мых коэффициентов регулятора; х^х — управляющее воздействие;
/- возмущение; — выходная координата регулятора.
Объект и регулятор, замкнутые главной обратной связью, образуют
основной контур системы. Это первый уровень управления объектом.
Модель и устройство адаптации, на которое в общем случае могут пода-
ваться кроме е еще и л®Ых, хм, хр> *вх, Л образуют второй уровень
управления — управление коэффициентами регулятора. Таким образом,
структура общей системы носит иерархический характер. Целью самона-
стройки является сведение к нулю ошибки е =хвых ~хм при переменных
и заранее неизвестных параметрах объекта.
В случае непрямого адаптивного управления в процессе нормальной
работы системы производится идентификация объекта. Идентифика-
ция — это в общем случае определение структуры и параметров объекта.
Однако обычно структура объекта известна, т. е. известен тип диффе-
ренциального уравнения, которым описывается объект и необходимо
лишь оценить его параметры. Для оценки параметров существует в на-
стоящее время достаточно большое число методов, из которых наиболь-
шее применение находит метод.наименьших квадратов. После идентифи-
кации объекта на основании уравнений, описывающих модель, вычисля-
ются коэффициенты регулятора из условия, чтобы коэффициенты урав-
нения замкнутой системы были равны соответствующим коэффициен-
там уравнения модели. Модель в этом случае называют неявной, по-
скольку не требуется ее реализации в виде некоторого физического
звена.
Схема подобной системы изображена на рис. 6.2, где И — идентифи-
155
Рис. 6.1
Рис. 6.2
катор; а — оцениваемые параметры объекта; см — параметры модели
(остальные обозначения соответствуют рис. 6.1). В простейшем случае,
например, если в объекте изменяется лишь один коэффициент усиления
и требуется обеспечить сг =с1м =Z:1a1, где сг — коэффициент усиления
замкнутой системы, устройство адаптации представляет из себя делитель
(^1 =С1 мА* 1) или в цифровом виде подпрограмму, реализующую опера-
цию деления.
Естественно, что в БСНС с моделью, как и в других типах адаптив-
ных систем, перестройка коэффициентов регулятора происходит не
мгновенно. Требуется время на идентификацию, на сам процесс пере-
стройки коэффициентов и т. д., т. е. в этом случае возникают определен-
ные требования к качеству процессов адаптации.
Основными вопросами, возникающими при синтезе БСНС с моделью,
являются синтез основного контура, синтез алгоритмов адаптации, т. е.
алгоритмов, по которым работают устройства адаптации, перестраиваю-
щие коэффициенты регулятора, синтез алгоритмов идентификации. В
данной главе мы будем рассматривать лишь системы прямого адаптив-
ного управления линейными объектами, следовательно, вопросы, связан-
ные с теорией идентификации, с вопросами синтеза БСНС для нелиней-
ных объектов затрагивать не будем.
6.2.	ОСНОВНОЙ КОНТУР. АДАПТИРУЕМОСТЬ
Первой задачей, возникающей при синтезе основного контура, яв-
ляется отыскание такой структуры корректирующих устройств, пере-
стройкой параметров которых можно добиться совпадения операторов
замкнутой системы и модели, т. е. возникает проблема адаптируемости.
156
Пусть основной контур, состоящий из линейного объекта и линейно-
го регулятора, описывается дифференциальным уравнением
ьп (а, ЗДых + b»~1 6 * Чых ° + ••• + ьо(ё, к )хвых =
=сП1 (fl, к )х(в"Ых + - + с0 (fl, к)хВК + г, (а, к^ +.„+ r0 (a~k)f, (6.1)
где Хвых — выходная координата; л^х,/ — управляющее и возмущающее
воздействия; к); i = 0, л; Cj(a, к)\ j = 0, л^, rv(a, к),Р = 0, I - коэф-
фициенты^ основного контура, зависящие от вектора коэффициентов
объекта а и векТора перестраиваемых коэффициентов регулятора к.
Выберем в качестве модели звено с постоянными коэффициентами,
обладающее заданными динамическими свойствами и описываемое урав-
нением
^М,Л*М	+ ••• + ^М,ОХМ —+ •••
••• + СМ,О**ВХ +	+ rM9of9	(6*2)
где хм — выходная координата модели; dMZ-, i = 0, л, cMj, j = 0, ль гм>р,
р =0,1 — постоянные коэффициенты. Будем предполагать, что система
(6.1) и модель (6.2) имеют одинаковые начальные условия. Тогда ос-
новной контур называется полностью адаптируемым [ 17,28] по выходу
хвых по отношению к воздействиям хвх, Это справедливо, если
для всякого вектора a G где — допустимая область изменения
a(t), найдется единственный вектор fc°G Пд;, где допустимая область
изменения к, тогда имеет место тождество
*вых(^9XbTuft а> ^"°) ”*м G,*вх>/) •	(6*3)
Для линейных систем легко найти критерий полной адаптируемости.
Запишем уравнение объекта, полагая для простоты, что / = О,
(М)
где л^ых — выход объекта; — координата регулирующего органа;
by, р = 0,Ь - 1, d0 — коэффициенты объекта, которые могут в процессе
нормальной работы системы принимать постоянные значения из неко-
торой допустимой области, или изменяться во времени настолько мед-
ленно, что скоростью их изменения можно пренебречь, т. е. справедлива
гипотеза квазистационарности, и с (6.4) можно оперировать как с урав-
нением с постоянными коэффициентами. Уравнение (6.4) можно пере-
писать в операторном виде
В (?) *ВЫХ —(6*5)
h b-l V
гд$В(р) = Р + S Ьррр, р = d/dt.
157
Испольнительный механизм и корректирующий контур пусть описы-
ваются уравнениями
+ //_ 1х</_ 1} + ... + 10хр =иих^ + ... + и0х2;
*2=*вх~*з;	(6.6)
сС*з )	^с— 1*3	^ + ... + с0*3 Мв(Ых ••• + ^О^вых»
или в операторной форме
Z .	и .
ь(р)хр=и(р)х2; L(p)=Z Ijp1', и(р)=Ъ и-р1;
1=0	/=1 '
*2 =Хвх-*з;	(6.7)
С(р)х3 =К(р)хвых, С(р) = S ср1, К(р)=Ъ k pi,
1 = 0	/=0 7
где х2 — входная координата исполнительного механизма; х3 — выход-
ная координата корректирующего контура; Zz; i = 0, Z; uy, j = 0, u — по-
стоянные коэффициенты исполнительного механизма; q, i — 0, с, kj,
j — Qtk— перестраиваемые коэффициенты регулятора.
Уравнение модели (6.2) в операторной форме будет (f = 0)
Вм (р)хм “^м (р)хвх >
л	«1	(6Д)
Вм (Р) bwiP >	(Р) S см]Р^>
1 = 0	/=0
Исключая из (6.5) и (6.7) промежуточные координаты хр, х2> х3, по-
лучим
(5(р)£.(р)С(р)+ dQU(p)K(P))xBUX=dQU(p)C(p)xBX.	(6.9)
Чтобы выполнялось условие полной адаптируемости (6.3), очевид-
но, необходимо и достаточно иметь
В (p)L (р)С (р) + d0U(p)K(p)=BM(p)9
d0U(p)C(p)=CM(p).
В системе (6.10) неизвестными являются q (z =0, с); (j = о, к).
Чтобы была возможность выполнить (6.10) прежде всего необходимо
выбрать порядки С(р) и К(р) так, чтобы порядки полиномов, стоящих
в правых и левых частях равенств (6.10), совпадали. Это необходимое
условие полной адаптируемости основного контура (6.5), (6.7). Его
можно записать в виде
b + Z + с =п9 если b + Z +
и^к=п, если d + Z +c<fc;	(6-И)
158
Приравнивая в (6.10) коэффициенты при одинаковых степенях р, полу-
чим систему линейных алгебраических уравнений
+ Pi,2ci + - + Р1,с+ 1се + Р1,с+ 2^0 + - + Р1,с + + 2кк =^ь
Рп + 1,сс0 + Рп+ 1, 2е 1 + ••• + Рп + 1,е+ 1сс + Рп + 1,с+ 2^0 + •••
••• + Рп + 1, с + к + 2кк = Яп + Ь
Ри+2,1с0+	+ Рп+2,с + 1сс =4п+2>	(6.12)
Рс+ к+ 2,1со + ••• + Рс+ 2,с+ lcc Qc+ к+ 2>
где Рф (i, У = 1, с + Л + 2), (i = 1/и + «i + 2) определяются коэффици-
ентами операторов В (р) ,L (p) ,U(p) и коэффициентом dQ.
Запишем систему (6.10) в матричной форме,«введя обозначение
хт =11с0, Cl,...» сс, к0,кк II = ||х1( х2,.... Ха||, «=С + к + 2;
Р1,ь —» Р1,с+ к+ 2
р= ........................
|| Рп + п! + 2, Ь •••> Рп + п 1 + 2,с+ к + 2
<71
;Q= <72
; (6.13)
Qn + п 1 + 2
Px = Q.
Необходимым и достаточным условием полной адаптируемости ос-
новного контура (6.5), (6.7) является условие совместности и опре-
деленности системы (6.13). Его можно выразить через расширенную мат-
рицу системы (6.13)
А —
Pl, 1, •••> Рп + п ! + 2» 41
(6-14)
Рп+ ni + 2,1> •••» Рп + п! + 2,с+ к+ 2 л Ус+ к+ 2
Система (6.13) совместна когда ранг расширенной матрицы А равен
рангу матрицы Р. Матрицу А называют матрицей адаптируемости. Тогда
критерии полной адаптируемости можно сформулировать следующим
образом: основной контур будет полностью адаптируемым тогда, когда
при всех допустимых значениях р^ ранг матрицы адаптируемости равен
рангу матрицы Р.
В качестве примера определим, удовлетворяет ли условиям полной
адаптируемости основной контур, описываемый уравнениями:
(р2 + biP + ь2)*вых =d(P<p; hPXp =Х2\ х2 =хвх -Х3;
<ч)*з =(ЛзР3 + к2Р2 + *лР+*о)*вых;	(6.15)
О’мзР3 + buiP2 + Ьм1Р+ Ьмо)хм -Смо^-вх-
159
Выражение (6.10) записываются в виде
(р* + b1p + b2)l1pc0 + d0(k3p3 + к2р2 + к,р+ к0) =
=Ьм3р3+ Ьм2р*+ Ьм1р + Ьм0;	(6.16)
^0с0 ~СМО-
Как видно из (6.16), необходимые условия полной адаптируемости
(6.11) выполнены. Отметим, что (6.11) выполняются и для более прос-
той структуры регулятора, когда К(р) — kQ + кхр + к2р2 или даже для
K(p)=kQ.
Запишем теперь систему (6.12):
Z i^o + 0 *	+ 0 * /tj + 0*^2 +	з >
*1^0 + 0 • kQ + 0 • кг + dQk2 + 0 • к3 =Ьм2з
b2l\CQ + 0 • к0 +dok! + 0 • к2 + 0 -к3 =Z?M1;	(6.17)
О • с0 + dQkQ + 0 • t 0 • к2 + 0 • к3 =Z?M0;
doco + ° • kQ + 0 • кг + 0 • к2 + 0 • к3 =см0.
Для нее матрица адаптируемости имеет вид
Z1	ООО	d0	Z?M3
А=	0	0 dQ О	/г io\
Ь21г	0	do	О	О	ЬМ1
О	d0	О	О	О
do	0	0	0	0	^мо
Легко видеть, что матрица А имеет ранг а = 5 (Ьм3 Ф 0), равный рангу
матрицы Р. Следовательно, рассматриваемый основной контур будет
полностью адаптируемым. Отметим, что если К (р) упростить и предста-
вить, например, в виде К(р) =kQ + ktp + к2р2, то ранг матрицы А будет
меньше 5, и основной контур уже не будет полностью адаптируемым
(в (6.18), этому соответствует нулевой элемент, стоящий на пересече-
нии первой строки и пятого столбца. Условие полной адаптируемости —
|Р| ¥=0.
6.3.	ОБОБЩЕННЫЙ НАСТРАИВАЕМЫЙ ОБЪЕКТ
Синтез основного контура целесообразно проводить в два этапа. На
первом этапе объект и исполнительный механизм дополняют корректи-
рующими контурами с тем, чтобы полученная замкнутая система за счет
соответствующей перестройки коэффициентов корректирующих конту-
ров описывалась уравнением с постоянными коэффициентами, которое
соответствует модели с заданными динамическими свойствами. Такая
система называется обобщенным настраиваемым объектом (ОНО)
[16, 20]. Затем для стационарного ОНО синтезируют дополнительные
корректирующие устройства так, чтобы окончательная замкнутая систе-
ма обладала заданными показателями качества или была оптимальной
160
по выбранному крите-
рию. Таким образом,
структура системы мо-
жет быть представлена в
виде, приведенном на
рис. 6.3, где И'о (з, t),
И^и.м (s) - передаточные
функции объекта и ис-
полнительного механиз-
ма (в И'о 0 время t
Рис. 6.3
рассматривается в соот-
ветствии с гипотезой ква-
зистационарности как параметр), i ($, 0 — передаточная функция
корректирующего контура ОНО (контур может состоять из нескольких
звеньев), * = 2,3 — передаточные функции корректриующих ус-
тройств.
Заметим, что в качестве модели ОНО может быть выбрано звено,
которому реальный объект и исполнительный механизм (измерительное
устройство здесь и далее предполагается идеальным, т. е. его передаточ-
ная функция полагается равной единице) не соответствуют ни при каких
значениях параметров объекта. Например, если нам надо синтезировать
систему, оптимальную по быстродействию, для объекта и исполнитель-
ного механизма, описываемых полным уравнением второго порядка с
переменными коэффициентами, то в качестве модели ОНО целесообраз-
но выбрать стационарное двойное интегрирующее звено. Это связано с
тем, что для него построение оптимальной по быстродействию системы
намного проще, чем для колебательного звена или двух последователь-
но соединенных апериодических звеньев. Так выбрать модель можно и
в том случае, если W0(s, 0WH.M (s) =#cM/s2 при любом сочетании пара-
метров объекта. Очевидно, эту идею нельзя использовать без самона-
стройки даже при стационарном объекте. Действительно, выбрав (0
для стационарного объекта так, чтобы система описывалась передаточной
функцией a/s2, а = const, мы придем к идее ОНО. Но небольшое изме-
нение параметров объекта или исполнительного механизма приведут к
тому, что это соединение будет соответствовать неустойчивому звену
(что не может быть при наличии самонастройки), и оптимальная замкну-
тая система может также стать неустойчивой.
Приведем другой пример. Пусть требуется синтезировать оптималь-
ную систему из условия минимума средней квадратичной ошибки при
случайном д^х (t) для нестационарного объекта. Здесь также удобно сна-
чала синтезировать стационарный ОНО и для него уже решать задачу син-
теза оптимальной системы. Можно привести и другие примеры, не свя-
занные с синтезом оптимальных систем.
Таким образом, смысл введения понятия ОНО состоит в том, чтобы
161
синтез системы управления нестационарным объектом разделить на две
более простые подзадачи: синтез ОНО и синтез системы для стационар-
ного ОНО. Однако не следует забывать, что на перестройку коэффициен-
тов корректирующих устройств ОНО требуется определенное время. В
связи с этим указанное выше разделение общей задачи синтеза на две яв-
ляется условным и необходима проверка работоспособности (устойчи-
вости, качества процессов управления) общей синтезированной системы.
Отметим, что синтез структуры ОНО удобно проводить на основе
теории инвариатности и что в более общем случае можно ставить задачу
синтеза ОНО с переменными коэффициентами, изменяющимися во вре-
мени по заданным законам.
6.4.	ИНВАРИАНТНОСТЬ В САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМАХ
Рассмотрим проблему инвариантности в самонастраивающихся си-
стемах. Она заключается в синтезе такого класса систем управления, в
котором происходит комйенсация влияния на выходную координату
системы как внешних возмущений, так и изменений ее параметров
[ 10,,18].
Рассмотрим условия абсолютной инвариантности системы по отно-
шению к внешним воздействиям и параметрическим возмущениям, под
которыми будем подразумевать отклонения параметров системы относи-
тельно их заданных желаемых значений, при которых она удовлетворяет
требованиям, предъявляемым к показателям качества процессов управ-
ления.
Пусть система управления описывается уравнениями
П/-,*=1,и.	(6.19)
п
Ъац(р, t)Xj + ain + i (р, t)xn + i =ajf(p,
Здесь Xi — обобщенные координаты; хп + i — координаты второго
канала [ 18], введенного для компенсации внешних воздействий и па-
раметрических возмущений,— внешние воздействия, ay (р, t) — опера-
торы второго порядка по p—d/dt с переменными коэффициентами, за-
висящими от параметров объекта, ац п + \(p,t) — оператор второго кана-
ла (второго порядка по р). Требуется так выбрать структуру второго
канала (оператор а^п + i (р, t) и структуру корректирующих устройств,
формирующих + 1), чтобы при нулевых начальных условиях системы
(6.19) координата х{, являющаяся регулируемой координатой, не зави-
села от fj, i = 1, п и от коэффициентов операторов (параметрических воз-
мущений) Мц(р, t) = aij(p, t) — а^(р), где a?.(p) — стационарные Опера-
торы с желаемыми коэффициентами, т. е. требуется обеспечить Xj(t) = 0.
Перепишем систему (6.19) в виде
л	п
Si^(p)x/=a//(p,	t)xj-aitn+ j (р, f)xn+1. (6.20)
162
Путем преобразований, не нарушающих равносильности (6.20) и новой
формы ее записи, к которым относятся [ 10]:
1)	перестановка двух уравнений системы одного на место другого;
2)	умножение одного какого-либо уравнения системы на постоян-
ную величину, отличную от нуля;
3)	прибавление к одному какому-либо уравнению другого уравне-
ния этой же системы, предварительно подвергнутого действию некото-
рого оператора с постоянными коэффициентами В(р), сведем (6.20)
к виду
п	"
4о (P)xi =Л = 2 bi(p, ftf, + 2 с, (р, t)x{ + сп + i(pt t)xn+ !.(6.21)
1=1	r= 1
Здесь часть воздействий может, естественно, равняться нулю. Кроме
того, те из/у, по отношению к которым инвариантность х1 не требуется,
в (6.21) надо приравнять к нулю. Условие абсолютной инвариантности
(*) = 0 ПРИ нулевых начальных условиях на основании (6.21) запи-
шется в виде
F1 = 0
или
п	п
Cn+i<P, t)xn+ 1 =~ 2 bi(p, %~ 2 с{(р, t)x{.	(6.23)
1=1	1=1
Отсюда следует, что структура второго канала должна соответствовать
уравнению
п	п
Gi+ 1(р» ?)хп + 1 “““ Ё Fi(p9	Cj(p, t)xi.	(6.24)
/=1	1 i=l
Условия абсолютной инвариантности будут выполняться, если
Сл+1(р, t)=cn+l(p, ty,
Biip.f^bitp.ty _______ (6.25)
С/ (p, t) = ci (p> 0. I= 1, »•
Коэффициенты операторов bi(pt f), Cj(p, t), cn+ i(p, t) зависят от пара-
метров объекта. Поэтому для обеспечения условий инвариантности ксг*
эффициенты операторов второго канала Сл+1(р, t)9 Bi(p, t), Cj(p, t)
должны быть перестраиваемыми. Естественно, целесообразно выбирать
второй канал и место его включения так, чтобы оператор Сп+ l(p, t)
имел постоянные коэффициенты. Тогда реализация второго канала
упрощается, так как Сп + i (р, t) становится стационарным. Как пбказы-
вает практика, это всегда можно сделать.
При условии, что Сп + 1 (р, Г) является стационарным в (6.25),
второе условие обеспечивает инвариантность Xi по отношению к внеш-
ним воздействиям //, а третье — по отношению к параметрическим воз-
мущениям.
163
Обычно перестройка коэффициентов корректирующих устройств,
реализующих операторы Bi(p, t) и С/(р, Г), производится разными кон-
турами самонастройки и даже можно их перестраивать по разным типам
алгоритмов. Причем выполнение условия Bi(pt t) = bj(p, t) не влечет за
собой выполнение Ci(p, f) =Cj(p, t).
В этом случае при соблюдении (6.25) говорят, что система обладает
свойством двойной инвариантности (по отношению к fi и по отношению
к параметрическим возмущениям).
Однако существуют системы, в которых выполнение второго усло-
вия в (6.25) ведет за собой автоматически выполнение третьего условия
и наоборот. В этом случае говорят, что система обладает свойством дву-
кратной инвариантности.
Таким образом, на основании (6.24) можно синтезировать ОНО.
При этом необходимо учитывать все вопросы, связанные с физической
реализуемостью и грубостью инвариантных систем [ 10].
6.5.	СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ ОНО
Рассмотрим объект, описываемый уравнением
d	q i
+"s1*ip.(0<)x= 21 di*('4(a) + А	<6-26)
ВЫХ	ВЫХ a-Q	*	р=0
где b1P (t), ala (Г), q^ (t) - переменные коэффициенты. Будем считать,
что они либо могут принимать постоянные значения из некоторой задан-
ной области, либо изменяются настолько медленно, что скоростями их
изменения можно пренебречь.
Исполнительный механизм будем описывать уравнением
= Д UjX^.	(6.27)
Исключим из (6.26) и (6.27) промежуточную координату регулирую-
щего органа Хр. В результате получим уравнение
+д	= if °(б-28)
где коэффициенты Ьр (Г) зависят от Ь1Р и /,•;
- отд10£(г) HUf9 qp(f) - от^^(Г) и liy
n=b + / х, d =aY + u9 v =44 + /.
Уравнение (6.28) запишем в операторной форме
164
В (р, О*вых =D(р, t)x2 + Q(p, t)f;
л-1
B(p,f) = l + S bv(t)P‘,	(6.29)
P=0
h
D(p,t) = S da(t)pa-,
a = 0
Q(p,t)=i qAt)pP.
/3=0 p
Предположим, что из условий простоты синтеза корректирующих ус-
тройств Wki(s), i = 2, 3 целесообразно, чтобы операторы В(р, t\ D(p, t)
и Q (р* t) принимали значения
Во (р) =1? + V W Do (р) = S d°apa, Q0(p} = Q
P=1 v	a=0
соответственно. Тогда в качестве модели надо выбрать звено, описывае-
мое уравнением .
Во (р)хм —Do (p)xit	(630)
где входная координата ОНО. Условие Qq(p) =0 соответствует аб-
солютной инвариантности ОНО по отношению к/(Г) или полной компен-
сации возмущения /(f). Однако обычно полной компенсации не требует-
ся и можно выбрать 20 (Р)	0 из условий заданных показателей качест-
ва процессов стабилизации.
Представим операторы В(р, f), D(p,f)HQ(p,t) в виде
В(р, f)=B0(р)-АВ(р, f);
D(p,t)=D0(p)+ AD(p,f);	(631)
Q(p, t) = £Q(p,t),
гдеДв(р, t) = S1 AZ>p(r)pp; Abv(t) =b^~bv(t);
P=0
h
w(p,t)= s Ma(r)p“; Ma(t)=da(t)-d°ai
a = Q
^Q(p,t)= % MAt)^-, bqAt)=qAt),
^=0 H	PH
и запишем (6.29) следующим образом:
Bq (Р)хвых =Dq (р)х2 + ДВ(р, Г)хвых + ДО(р, t)x2 + Д{2(р, 0/ (6.32)
Для компенсации параметрических возмущений и / введем второй ка-
нал, выходную координату которого обозначим, как и на рис. 6.3,
через х3. Тогда
х2 =хг ~х3.	(6.33)
165
и уравнение (6.32) перепишем так:
Во (Р)хвых =0о (Р)*1 + ^В (р, О*Вых + М>(р, t)x2 + Д2(р, Г)/-
~D0(p)x3.	(6.34)
Из (6.34) следует, что ОНО будет соответствовать выбранной
модели (6.30), если
Do (Р)хз =&В(р, 0*вых + &D(p, t)x2 + Д2 (р, t)f.	(6.35)
Отсюда выходная координата второго канала х3 должна формироваться
корректирующими контурами, реализующими следующее уравнение:
Do 1 (?)*з = 0*вых + ДЛ^(р, t)x2 + AR(p, f)f.	(6.36)
Условиями абсолютной инвариантности координаты л^ых по отноше-
нию к f и параметрическим возмущениям Abp(f), Ada(t),
будут
^oi(p)=£>o(p);
ДК(р,Г) = ДЯ(р,г);
ду(р,г)=Д£)(р,0;	(6,37)
&R.(p,t) = &Q(p,t).
Следовательно, корректирующий контур (s, t) ОНО состоит из трех
звеньев с передаточными функциями:
^ТТ’
0oi(s)	Р=о
ДЛГ(®,0 = S Дпа(0«“;	(6.38)
001 (s)	а = 0
ДЛ(5,г)= s Дг^(оА
001w	0=0
коэффициенты которых Мр(Г), Дц*(0 и br$(t) должны перестраи-
ваться в соответствии с (6.37) по следующим законам:
№p(t) =ДЬР(Г)-,
(6.39)
Дгр(Г)=^(Г).
Если в системе имеется идентификатор, с помощью которого удается
оценить параметрические возмущения Abp(t), Д^а(Г) и Дцр(1), то реа-
лизация законов (6.39) не представляет труда. В системах прямого адап-
тивного управления законы (6.39) требуется реализовать, не проводя
оценку параметров Объекта.
Заметим, что в результате синтеза мы получили оператор D01 (р)
с постоянными коэффициентами. Этот оператор соответствует Сп + i (р, t)
166
(см. разд. 4). Структурная схе-
ма ОНО изображена на
рис. 6.4. Поскольку п обычно
много больше h, то порядок
числителя звена ДЛ? (s, t}jDQ i (s)
выше порядка знаменателя
(п -1 > h ), и, следовательно, это
звено является физически нереа-
лизуемым. Звено ДУ($, ftfDQ 1 (s)
физически реализуемое, так
как у него порядки числителя и
знаментеля совпадают. Физичес-
кая реализуемость звена ДЯ($,
О/АмО) зависит от соотноше-
Рис. 6.4
НИЯ величин v и h. При v < h это звено физически реализуемо. Отсюда
следует, что синтезированную структуру, в которой при выполнении
(6.39) обеспечиваются условия абсолютной инвариатности, надо рас-
сматривать как предельную. Эту структуру принципиально можно упро-
щать, так как требование л^ых (t) =хм (f) в технических системах не яв-
ляется необходимым и требуется лишь л^ых (0 % хм (0 • Найдем харак-
теристическое уравнение полученного в результате синтеза ОНО. Для
-ДГр ых )
этого найдем его передаточную функцию Ф($) =--------
Xi (s)
пользовавшись уравнениями в изображениях Лапласа
(f=0), ВОС-
в(S, 0XBbIX(s) =D(s)(*i (s) "*з (S));
%3( ) РО1О) Хвых(5) DoiW Х2()’	(6,40)
%2 (s) — 7777Г-^вых 0) •
Исключая промежуточные переменные, получим
,/ч_*вых(*) _	D ($)	„ п
Ф (s) =-----------------------------------------------. (6.41)
*i(*) В (s, ОИ>о1 (0+ AW(*, 0]+ D (s)AK(s, t)
Знаменатель передаточной функции есть характеристический многочлен
ОНО (t — параметр). Следовательно, характеристическое уравнение име-
ет вид
В (X, О[^о 1 (X) + ДУ(Х, 0] + (Х)Д/С (X, Г) = 0,	(6.42)
его порядок П1 —п + Л.
При выполнении условий абсолютной инвариантности Р01 (X) =Р0(Х);
Dq (X) + ДУ (X, t) = D (X, Г), В (X, t) + ДАТ (X, Г) =В0 (X), уравнение (6.42)
будет
^(Х,^о(Х) = 0.	(6.43)
167
Порядок (6.43) равен п + h =zn1, т. е. при выполнении условия абсолют-
ной инвариантности не происходит понижения порядка характеристичес-
кого уравнения, что свидетельствует о грубости синтезированного ОНО.
Понижение порядка характеристического уравнения за счет условий
компенсации означает обращение в нуль коэффициентов при старших
производных в дифференциальном уравнении, описывающем систему.
Тогда небольшая перекомпенсация, которая всегда возможна в реальной
системе, приведет к тому, что эти коэффициенты станут отрицательными
и система будет неустойчивой. Такие системы относятся к классу не-
грубых.
Так как в (6,43) множителем входит D(X, f), то когда нули пере-
даточной функции последовательно соединенных объекта и исполнитель-
ного механизма переходят в правую полуплоскость, ОНО при выполне-
нии условий абсолютной инвариантности становится неустойчивым. Сле-
довательно, условие ДУ(р, t)= &D(p, t) надо соблюдать только тогда,
когда корни D (X, f) = 0 лежат в левой полуплоскости. При переходе их
в правую полуплоскость нужно изменять цель самонастройки или учиты-
вать при синтезе алгоритмов адаптации и при синтезе Wki(s), i — 2, 3,
тот факт, что ОНО неустойчивый.
В заключение раздела отметим, что синтезированный ОНО при ну-
левых начальных условиях является полностью адаптируемым, посколь-
ку из (6.39) следует, что любому набору переменных коэффициентов
объекта соответствует единственный набор перестраиваемых коэффи-
циентов, корректирующих контуров, при котором л^ых(Г) = xM(t).
В этом случае нет необходимости вычислять матрицу адаптируемости.
В качестве примера рассмотрим синтез ОНО для летательного
аппарата, уравнения движения которого в продольной плоскости имеют
вид [11]:
# + 011# + д12а=а13^»
(6.34)
-е,
где & — угол тангажа; а — угол атаки; 0 — угол вектора скорости;
6 — угол отклонения руля высоты; an, 0j2, 0i3, а42 — коэффициенты
летательного аппарата, которые мы будем считать изменяются медленно,
что позволяет использовать гипотезу квазистационарности.
Сведем эту систему к одному уравнению
$+ b2&+	+ d06,	(6.45)
где Ь2 = 042 + а1 1,	=а11а42 + а1 2»	=а1 3> do = а\3^4 2.
Будем предполагать для простоты, что рулевая машинка с жесткой
обратной связью имеет настолько большое быстродействие, что для зада-
чи синтеза ОНО ее можно принять в виде идеального звена и положить
5 =х2. Пусть из условий синтеза Mfe/(s), / = 2, 3 целесообразно модель
168
ОНО выбрать в виде минимально-фазового звена, описываемого урав-
нением
+	+ *0<>м =<*?*! +	(6.46)
Ц= const >0, i=0, 2, d?= const > 0, j = 0,1.
В соответствии с (6.31)
ДВО. t) = (Ь2 -ь2)р2 + (ft?-t>i)p + ь0 = дь2 (Op2 + (Op+Д*о.
Д^о -b0,
^D(p,t) = (dx -d°i)p + (d0 -d°0)=д^ (t)p + Mo (0 •
Особенностью данного примера является то, что для нейтрального объек-
та (6.45) мы выбрали модель с положительным самовыравниванием.
В результате получили ДЬ0 = bQ = const. Корректирующие контуры на
основании (6.38) имеют передаточные функции
ДК _ M2s2 + Д*р + Д£о
^oiW d^s +doi
Л	Л	(6- 47)
Ддг _ Дл! S + Дл0
£>01	^11 + ^0 1
Условия абсолютной инвариантности
^11 =^?; ^01 = ^0 i
Д£2(г)=д2>2(0; ^1(0=д^1(0; ^o(0=^o=const; (6.48)
Дй1(0=м1(0; Дио(О=^о(О-
Как видно, необходимо перестраивать четыре коэффициента и пер-
вое из корректирующих устройств физически не реализуемое. Его надо
упростить, положив либо Д&2 =0, либо наоборот, надо повысить порядок
знаменателя. Этот вопрос решается на основании анализа ошибок, возни-
кающих в этих случаях в системе. Эти ошибки будут определяться диапа-
зоном изменения коэффициентов объекта.
6.6. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ АДАПТАЦИИ
ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА
Основной проблемой, возникающей при построении самонастраиваю-
щихся систем, является синтез алгоритмов адаптации, т. е. синтез зако-
нов изменения перестраиваемых коэффициентов корректирующих ус-
тройств без идентификации объекта, обеспечивающих выполнение цели
самонастройки
Хвых О’)	(0 •	(6.49)
Синтез алгоритмов адаптации можно проводить различными метода-
169
Рис. 6.5
ми, среди которых наибольшее распростране-
ние получил прямой метод Ляпунова. Следуя
[20], рассмотрим идею синтеза алгоритмов
адаптации прямым методом’ Ляпунова на
простейшем примере объекта первого порядка
с одним переменным коэффициентом
^вых + (О^вых	const;
Хр =х2; Х2 =*! -х3.	(6.50)
в качестве модели выберем устойчивое апериодическое звено
хм + йо*м do =<io, bo = const > 0.
(6-51)
Для этого случая корректирующее устройство ОНО будет усилителем с
перестраиваемым коэффициентом, поскольку
лв(р, 0=Ь% —ь0 (0=ДЬ0 (0. Do (р) =d0.
Следовательно,
*	3 = 'ъ (P~^i >	О=^о(О, 001 Ф)=<*01.	(6.52)
^01
Выберем в (6.52) <iOi =^о =^о- Тогда структурная схема ОНО для
данного примера будет иметь вид, приведенный на рис. 6.5. Введем в рас-
смотрение ошибку е =хвых — хм и получим уравнение для е, вычитая из
(630) уравнение (631),
€+ Ь$е = (Д60~М0)хВЬ1Х.	(6.53)
Обозначим Д2>0“М0 =у и назовем у параметрическим рассогласованием.
Очевидно, если у =0, то координата е асимптотически стремится к нулю,
т. е. по истечении некоторого времени практически
Хвых (0 “хм (0 •
Чтобы обеспечить у =0 при изменении ДЬ0 (Г), необходимо коэффициент
усиления изменять. Для этого нужно иметь либо какое-то исполнитель-
ное устройство, либо соответствующую подпрограмму. В абсолютном
большинстве случаев закон изменения Д£о (Г) принимают в виде
(0=^(0,	(634)
где — алгоритм адаптации, который надо синтезировать из условия
е = 0 или lim е (t) = 0.
t -> СО
Из (6.53) и (6.54) получим систему
e=Z>ge+ ухвых;
y=~t(t) + г,
где г = dAbQjdt — скорость изменения параметрического возмущения,
которой мы ранее пренебрегали.
170
Обратимся снова к цели самонастройки. Прежде всего требуется,
чтобы lim е(Г) = 0. Кроме того, если lim у (t)=0, то операторы ОНО и
t оо	t “* 00
модели при t -> 00 совпадают. Тогда, измеряя Мо (t), мы тем самым
идентифицируем объект, т. е. начиная с некоторого момента времени,
когда можно принять М0(Г) ~ ДЬ0(Г), мы имеем оценку b0(t) =bQ -
— ДЬ0 (Г), а ее можно использовать для построения более совершенной
системы. Например, можно ставить задачу перестройки модели в зависи-
мости от параметров объекта, что требуется в ряде практических задач,
можно организовать систему предупреждения о предаварийных ситуациях
в объекте и т. д. Следовательно, цель самонастройки состоит в том,что-
бы невозмущенное движение £е, у] было прежде всего устойчиво. Бо-
лее полно цель выполняется, если это движение будет асимптотически
устойчиво по е и максимально. Это необходимо, чтобы оно было
асимптотически устойчиво в целом равномерно по начальным условиям
е (/«J, у (Го) и начальному моменту времени 10 [ 9]. Условия устойчивости
невозмущенного движения
е =0,7=0	(6.56)
системы (655) будем находить, пользуясь прямым методом Ляпунова..
В качестве функции Ляпунова выберем
У=ке2 + у2.	(657)
Найдем производную V в силу уравнений возмущенного движения
(655), полагая г =0;
К=2кеё + 2Ty=“2/cdge2 +	2кеу^-2уф.	(658)
Если алгоритм адаптации выбрать из условия ~2уф + 2кеу(р = 0, т.е,
^=/<ехвых,	(659)
то К=“72к/>ое2.	(6.60)
Функция К, как это видно из (6.60), является в пространстве £е, у} зна-
копостоянной отрицательной, в подпространстве е — знакоопределен-
ной отрицательной. Следовательно, движение (656) устойчиво, а по
ошибке е движение асимптотически устойчиво, и алгоритм (6.5?)
решает поставленную задачу.
Рассмотрим более подробно движение системы при. t -*<». Посколь-
ку lim е(г) =0, то х(°°) = хм (<»), и из второго уравнения (6.55) сле-
t -► оо
дует, что
lim 7(0=0, lim y(t) =Уо =const.	(6.61)
t “► оо	t “► оо
С другой стороны, из первого уравнения (6.55) имеем
iim jxBbIX=jo lim хвых(Г) =0.	(6*62)
t “► оо	Г -► ОО
171
Рис. 6.6
Если воздействие (t) таково, что
хм (°°)	0, например при Xi = const или
Xi = ksincoo^ А = const > 0, то из (6.62)
приходим к заключению, что = 0, т. е.
несмотря на то, что V в полном простран-
стве £е, является функцией лишь
знакопостоянной, невозмущенное дви-
жение (6.56) устойчиво асимптотически.
Структурная схема системы может
быть изображена в виде, приведенном на
рис. 6.6, где перечеркнутый прямоуголь-
ник соответствует умножителю.
Рассмотрим теперь синтез алгоритмов адаптации для ОНО, струк-
турная схема которого приведена на рис. 6.4. Объект и исполнительный
механизм описываются уравнением (6.2S). В качестве модели выберем
минимально-фазовое звено, уравнение которого в операторной форме
имеет вид (6.30). Положим для простоты в (6.37) £>о1(/0 =^о(Р)-
Тогда из (6.29), (6.31), (6.36) и учитывая, что х2 = х1 ~х3, находим
(I — параметр):
Во (р>вых ~АВ(р, 0*вых + Do (р)Х1 + ДО(р, Oxi ~D0 (р)х3 -
-	ДО (р, 0*з + AQ ф, Of=Do (Р) х 1 + ДВ (р, t)xBUX +
+ AD (р, t)x2 + Д(2(р, t)f—Do (р)х3 =D0 (p)xi + АВ (р, 0*вых +
+ ДО (р, t)x2 + AQ (р, t)f~ АК (р, 0хвых “ AN(p, t)x2 ~AR(p, t)f=
=D0 (p>i + ( AB(p, 0 _ AK(p,	(AD (p,t) -AN(p, t))x2 +
+ (AQ(p,t)~AR(p,t))fl	(6.63)
Вычитая из (6.63) уравнение модели (6.30), получаем уравненйе для
ошибки е =хВых —*м:
В0(р)е = [АВ(р, t)~AK(p, Оквых + [ AD(p, t)~
-	AN(р, 0lx2 + [Д2 (р, 0 _ AR (р, ОУ,
или в дифференциальной форме
е1») + Vbje <-> - Д [ДМ') -	t
Л	,
+ Б [Ada(t)-Ana(t)]x%+ Б [дМО-ДгДОУ00-
а = 0	/3=0	и и
Введем следующие обозначения:
€Р=Хр+1, ДЬр(Г)- Дкр (Г) = ур+ 19	(6 65)
^a(0“Ana(0=za+ ь ^(0“^(0=^+ 1
172
и перепишем (6.64) в следующей форме:
х=Ах+
где хт =11*1, х2,хп||; f = ||0, О, ...,Л ||;
О	1	0 ... О	II
О	О	1	...' О
-ь°0 -ь<{	-i»+J|
(6.66)
(6.67)
р=о 7l'+ 1	* a=OZ“+ 1Р (а) + 0=(Л+ lfW'
Уравнение (6.66) аналогично (6.53) для описанного выше примера.
Координаты ур+ i, za + ь sp + j представляют собой рассогласование ко-
эффициентов операторов системы и модели. Будем по-прежнему назы-
вать их параметрическими рассогласованиями. Целью самонастройки,
очевидно, является сведение к нулю координатного рассогласования
(е^. 0), а в более общем случае и параметрических рассогласований, т. е.
Ур+ 1 = 0, za + 1 =0, $0+ 1 =0«	(6.68)
Заметим, что из (6.64) с учетом (6.68) следует, что поскольку при этом
правая часть уравнения (6.64) равна нулю, а модель устойчивая, то не-
смотря на ненулевые значения *в^х> и координатная ошиб-
ка е асимптотжески стремится к нулю. Если рассматривать движе-
ние системы в пространстве {х,у, z, sj , где
УТ =11У1,У2,-,УП11' ZT =||zi,Z2,...,Zp+ 1»,
Т___II	и	(O.Ojp)
-	S “Ikl, 52,	Sp + 1 II,
то условия (6.68) и e = 0 сводятся к равенствам
х = 0, у=0, z=0, s =0.	(6.70)
Пусть перестраиваемые коэффициенты изменяются по следующим
законам:
dbkv	dAna	d^re
—‘bv-	Sr-=*,l-	(6.71)
где фу1),	— искомые алгоритмы адаптации. Дополним (6.66)
уравнениями для у, z, s. В результате получим систему
х=Ах+ у=~фу + гу; г=~ф2 + rz; s?=^ + rt;
Фу- НФуо> Фу 1> •••> Фу,п-1II > Ф2 ~ H^z о> Фг1> •••> Фг/г II >
^=Н^о> Фи,-, Ф&1;
гу = Нгуо.'уь -, Гу.п-1II; гт2 = ||гг0, г21,.... r2h||; rj = l|rso,rsi, -, г,pl;
4д/>р(г)	4д4а(г)	4Д<7д(Г)	(6.72)
гУр~ dt- ; Гга ~	;	" ~dt ;
р = 0, л-1; а=0, Л; 0=0, tf.
173
Целью самонастройки является обеспечение устойчивости невозму-
щенного движения (6.70) системы (6.72)
Рассмотрим сначала случай, когда ry —rz =rs = 0. Этот случай соот-
ветствует тому, что параметры объекта неизвестны, но постоянны или
они меняются очень медленно по сравнению с перестраиваемыми пара-
метрами Мр, ДЛа, Дгр. Кроме того, будем предполагать, что функции
а также фур, фга) непрерывны и ограни-
чены (ограниченность х^у (Г) накладывает условия d^ >а9 dhQ +	>
, где a =const > 0).
В качестве функции Ляпунова выберем [ 16, 20]
V = кхтРх + jTEloy + zTE2z + sTE3s,	(6.73)
где к = const > 0, Еь Е2, Е3 - единичные матрицы размерности и X и,
(Л + 1) X (Л + 1), (v + 1) X (v + 1), Р — симметричная матрица размера
п Хм.
Вычислим V:
V = k(xtPx + хтРх) + yTElty + jTEloy + zTE2z + zTE2z +
+ sTE3s+ $тЕ3$=к[(Лх + £)тРх + xTP(4x + {•)] +
+ 7TEi^ + .yTE2j + zTE2z + ztE2z + sTE3s + sTE3s .
Учитывая, что поскольку (Ах)т =хгЛт и P — симметричная матрица, то
$тРх=хгР$ И7ТЕХ7 =7TEloy; ztE2z =ztE2z, stE3s =stE3s.
Тогда из (6.74) имеем
V = kxtQx + 2кхтР$“2УТЕ1^ — 2ztE2i//z “2stE3i//s,	(6.75)
где Q=ATP+ РА.
Поскольку модель устойчива, то матрица А неособая, и корни ха-
рактеристического уравнения |А — ХЕ| — 0 лежат в левой полуплоскости.
Тогда любой определенно-отрицательный квадратичной форме j^Qx
в (6.75) соответствует определенно-положительная квадратичная форма
хтРх [ 12]. Следовательно, если
кхтР£-утЕ!|//у -ztE2i//z -sTE3i//s-0,
(6.76)
то при V =xTQx, где aFQx — определенно-отрицательная квадратичная
форма, V будет определенно-положительной (yTElty, zTE2z и sTE3s -
определенно-положительные квадратичные формы) и невозмущенное
движение (6.70) устойчиво. Очевидно, всегда можно выбрать Q так, что
xTQx будет определенно-отрицательной, что в дальнейшем и предполага-
ется выполненным. Асимптотическую устойчивость при этом гарантиро-
вать нельзя, так как в полном пространстве { х, у, z, s | V является
только знакопостоянной, так как в V не входят координаты yf z, s.
Раскроем отдельные члены, входящие в выражение (6.76) :
кхтР£=к|рС1, х2,...,хп\\Х
о
о
Pll Р12 — Pin
Рп 1 Рп2 ••• рп
fl
174
— (Pinxi + Р2пх2 + — + Pnnxn)f\ “ 2 Рр+ 1 nxv+ ifi —	(6.77)
Р=0
/Eii//0= У\,У2,-,Уп
’/'уо
Фу1
Фу,п-1
X
_И-1
=71^0 + 72^1 + ... + УпФу,п-1 Уу+ 1ФУр,
ztE2^z= S za+itZ0li
а=0
«’Ез’/'б =Д0 S/j+iV's/j-
Тогда с учетом (6.77) и выражения для f\ из (6.67) условие (6.76)
примет вид
Ka("f1	,х(^ + S za + 1x<“> + S s3+1/w)-
Р=0	а=0	/3=0
л-1	h	V
“ 2 Уу+\ФуУ~ S ?а+1Ф2а ” S $0+ 1 V'sfl ”0.	(6.78)
V=Q	а=0	0=0
Если алгоритмы адаптации выбрать
^Р = котсвых«	(6.79)
фга=кох$а); ipsfi=KofW’
то равенство (6.76) выполняется и невозмущенное движение (6.70)
устойчиво. Поскольку при алгоритмах (6.79) V = m?Qx в подпростран-
стве х знакоопределенная отрицательная функция, то lim х = 0, т. е.
t -► °°
координатное рассогласование е —Двых “*м стремится с течением време-
ни к нулю и с некоторого t =Т можно считать, что *вых(0~ хм(Г).
Большое значение имеет вопрос об асимптотической устойчивости
движения (6.70)г. Рассмотрим эту задачу для изучаемого ОНО. (строгое
изложение этого вопроса см. [ 16].)
Поскольку lim х = 0, то lim о = 0 и, следовательно, Диа и
I —► оо	f —► 00
Дгр с течением времени стремятся к постоянным величинам. Примем
гу =r2 =rs = 0, тогда из (6.65) следует
lim ?у+ i = const =у°+ х;
t -► о©
lim za+ j =const =z°+ j;	(6.80)
t -► oo
lim Sp+ ! = const = $0+ x.
175
С другой стороны, из первого уравнения (6.72) имеем lim 5=0,
► оо
т. е. lim fi (t) = 0, что выполняется лишь при
f —► оо
Д’»* /<й=0-	(6-81>
Если система функций (Г), х^ (t) и (Г), не стремящихся
к нулю при t , является линейно независимой, то Ур + 1 =^2+1 =
=s? + iE 0, что свидетельствует об асимптотической устойчивости движе-
ния (6.70) в пространстве {х,у, z, sj .
Требование линейной независимости указанных выше функций на-
кладывает ограничение, в первую очередь, на вид воздействия Xi(f),
которое определяется в данном случае видом ^вх(0-
_	N
Пусть, например, /(Г) = 0. Тогда, если xBX (г) = S qsinco/Г, то при^р + i,
:=1
za +1, sp +1 = const имеем линейную систему, и координаты , л^ых и х2
содержит такое же число гармоник. Легко подсчитать, что система функ-
ций	и *2°^ (О будет линейно независимой при№=(и+ h + 2)/2,
где N — целая шсть числа. Если/(7) ф 0 измеряется и подается на мо-
дель, то Хвх(Г) и /(Г) вместе должны иметь N гармоник разной час-
тоты.
Таким образом, асимптотическую устойчивость имеем тогда, когда
xBX(t) и/(0 имеют ’’богатый” спектр.
Заметим, что с помощью рассматриваемых систем с моделью можно
проводить идентификацию объекта. В этом случае надо подстраивать не
регулятор, а коэффициенты модели, т. е. модель и система меняются
местами. Тогда условия асимптотической устойчивости системы с алго-
ритмами (6.79) являются условиями идентифицируемости объекта.
Алгоритмы (6.79) требуют измерения (п - 1) чистых производных
от е и от л^ых, Л — чистых гуоизводных от х2 и v — чистых производных
от /. Естественно, что реализовать это невозможно. Однако надо учиты-
вать, что (6.79) получены из достаточного условия устойчивости движе-
ния (6.70). Как показывает практика их применения, они допускают
упрощения и могут быть выполнены на физически реализуемых эле-
ментах.
В качестве примера рассмотрим синтез алгоритмов адаптации для ле-
тательного аппарата, для которого ОНО синтезирован в предыдущем
разделе [ см. соотношения (6.47) ]. Выберем матрицу вида
<5=
IQ11
0
0
0	0
#22 б
о #33
#11, #22, #зз <0-
176
Квадратичная форма x^Qx — i*i + <122*2 + <7зз*?. очевидно, является
определенно-отрицательной. Выпишем уравнение
Q=ATP+PA,
Я11 ° о
О Ц22 О
О 0	*7з	з
о о
1 0
О 1
Ри	Р12	Р13
Р21	Р22	Ргз
Р31	Р32	Рзз
б 1 О
О 0	1
-bQQ -*? -ь°2
Рп	Р12	Р13
Р21	Р22	Ргз
Р31	Р32	Рзз
Выполняя операции умножения и сложения матриц и приравнивая
соответствующие элементы, получим девять уравнений:
1) “*оРз1 “Р13*о ~<1и> 2)"ЬоРз2 + Рп “Рхз*? =0;
3)“"^оРзз + Р12 ~Р13^2 ='О; 4)рц “^1Р31 “b^p23 =0;
5)Р12 "^1Р32 + Р21 “^1Р23 =t?22i 6)Р13 “^1РЗЗ + Р22 “^2Р23
7)Р21 "^2Рз1 "^оРзз =0; 8)р22 ~^2Рз2 + Рзх ~^?Рзз = 0;
9)Р23 ~Ь2Рзз + Р32 “^2РЗЗ =<133-
При решении этой системы надо учитывать, что
Pjf=Pji' z = 1»2»3
(матрица Р - симметричная). Следовательно, мы имеем не 9, а 6 неиз-
вестных р#ГНо с учетом симметрии Р уравнения 2 и 4, 3 и 7, 6 и 8 соот-
ветственно совпадают. Поэтому система содержит тоже только 6 урав-
нений.
Решая ее, находимрр+1Л; р = 0, 1, 2; п=3
Р13~ ^о-’
20 0
lO	lO
.0
*2<<?22 + “o’ 411 + To 4зз)
_	b0	bl
P33	= 5
”2
n	^22+—o-^ll +“o^33
=_ ^33	^0	b2
₽33	2ft§	(2 (ftg-ftM)) '
Заметим, что p± 3, р2з, р3з >0, так как модель устойчивая, а для устой-
177
Рис. 6.7
чивости модели b°f д®, Ь2 > 0 и “^1^2 < 0* Тогда алгоритмы (6.79)
примут вид
dAki	j#
—-----=ко —;
dt	dt
dbk2	d2&
—	1~ Ko —x— \
dt	dt2
d&rift
—-----= ko6;
dt	’
</Anx
—;— — ко —
dt dt
O=p33 4t"+p23 77+Р1зе; € = 0-&M.
dr dt
Структурная схема ОНО с контурами самонастройки приведена на
рис. 6.7.
6.7. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ АДАПТАЦИИ
МЕТОДОМ ГРАДИЕНТА
Следуя [ 20], рассмотрим идею этого метода на простейшем примере
ОНО первого порядка с одним переменным коэффициентом. Пусть
объект и исполнительный механизм описываются уравнениями (6.50),
модель — уравнением (651), корректирующее устройство — уравнением
(6.52). Переменным коэффициентом является £0(f), перестраивае-
178
(6.82)
(6.83)
мым - М0(Г). Структурная схема ОНО изображена на рис. 6.5. По-
прежнему считаем, что bQ (7) меняется настолько медленно, что при син-
тезе алгоритмов адаптации можно пользоваться гипотезой квазистацио-
нарности.
Передаточная функция ОНО имеет вид
dQ
передаточная функция модели
d о
S + Dq
В качестве меры рассогласования между движениями системы и модели
выберем
I=F(e) = e2; e=xBbIX-xM.	(6.84)
Величина I зависит от е (70), но нас в дальнейшем будет интересо-
вать зависимость I от bQ и Мо. В соответствии с методом градиента
Мо(7) изменяется таким образом, что мера рассогласования I или
критерий качества в каждый момент времени уменьшается, т. е. dl/dt <
< 0 при любом значении Г >/0 и е ¥=0. Этому требованию удовлетворя-
ет алгоритм вида
dbkQ
dt	d&kQ ’
где X = const > 0 — коэффициент усиления, 37/ ЭМ0 — градиент измене-
ния I по величине Мо.
Действительно,
di = de Зе dAk0
dt 6 dt	е ЭД£0 dt
С учетом (6.85) имеем
37 __о Эе . bl
26‘34*7
=-4хе2(^)2<0’
З^о
(6.85)
(6.86)
de Эе _
b&kQ € ЭД&0
= 2Хе
(6.87)
что и требуется в методе градиента. Представим алгоритм (6.85) в виде
Эе	дхВых
dt	o&kQ	oAJcq
и	Эе _ Эхвых
Частная производная -т----— —:, поскольку хм не зависит от Мо.
ЭДЛ0 34fc0
179
(6.88)
дхВых
Производная —------=и0 носит название функции чувствительности.
ЭД^о
Ее легко получить, дифференцируя уравнение ОНО.
*ВЫХ + (Ро + А^о)ХВЫХ
по параметру Мо,
«*	оД/Cq
Э*ВЫХ ч , ZL . А,_ Ч ЗхВцх
Э
ЭД^о
™ IT < ~алТ-) +	+ АлТ~ =-Хвых-
оМ0	ЭА&0
Таким образом, чтобы получить функцию чувствительности надо ко-
ординату ЛвдХ подать на звено с передаточной функцией
(6.89)
Wu (s, b0, Д*о) =-	=-W(s, b0, ДЛ0).	(6.90)
s + Dq +
Из (6.89) и (6.90) видно, что для определения функции чувствитель-
ности необходимо знать bQ (Г). Однако если bQ (г) мы можем измерять,
то необходимость в алгоритме (6.87) отпадает, так как в этом случае
Мо легко вычисляется: Мо —bQ(f). Выход из этого положения
может быть найден следующим образом. Предполагается, что контур са-
монастройки, перестраивающий М0(Г), работает идеально, т. е. Ьо +
+ Мо =Z>o. Тогда Uq можно получить на выходе звена с передаточной
функцией —	(s). Но это будет некоторая приближенная функция чув-
ствительности Uq (Г) или, как ее иногда называют, квазифункция чувст-
вительности. Алгоритм (6.87) перепишется в виде
d^Q/dt =-2\€Uq.	(6.91)
Структурная схема системы приведена на рис. 6.8. Если сравнить
алгоритмы адаптации, полученные прямым методом Ляпунова и мето-
Рис. 6.8
дом градиента, то по структуре
они довольно похожи. Однако
если первые гарантируют усло-
вие lim е = 0, то вторые этого
Г -► оо
не гарантируют. Изложенная ме-
тодика легко распространяется
на ОНО произвольного порядка.
В качестве меры рассогласова-
ния выбирают более сложную
функцию, чем (6.84), а именно:
7=[F(p)e]2, е = х?ых-*М.(6^2)
где р = d/dt\ F(p) — линейный
оператор.
180
Например,
7=(е("-О+ ап_2^~2 + ...+^о«)2-
В соответствии с методом градиента перестраиваемые коэффициен-
ты должны изменяться по следующим законам:
4Лку
-аГ~~
аДпа _
dt Хпа
d^rp
д!
дДкр
bl
ЬДпа
bl
dt 'v₽ bbr? ’
где Xna, Xfд =const(> 0, v = 0, h - 1, a =0, n, 0=0, v .
Учитывая"(6.92), алгоритмы адаптации (6.93) перепишем в виде
рМр=-2Х*1>Г(р)е ~ - (F(p)e);
о Лк у
рДпа =-2XnaF(p)e-^— (F(p)e);
оД/Iq
рДгр=-2\^(р)е —^—(F(p)e);
ОЛГр
Поскольку не зависит от Лку, Лп^ и Лгр, то
(F(py) =	(F(p)XwaL);
оЛк у	оку
(f(p^=4t <F<P)xBb«);
дЛпа
(F(p)e) =	(Г(р)хвых).
оЛгр	огр
Принимая во внимание, что
(6.93)
(6.94)
(6.95)
, э	d-e =	d* Э;	свых	d' = ~rUkv\ dt1
дДкр	dt1		ЪЛку	
Э	d'e	= ?_	Э*вых	d(
ЭДпа	dt1	dt'	ЭДла	• uncn dt1
э	d'e	= di	3*вых	d{
ЬДгр	dt*	dt1	ЪЛгр	dt1
где Uhp, ипа, urp — функции чувствительности, окончательно имеем
181
phkv=-2\kvF(p)eF(p)ukv,
p£nia=-2\naF(P^F(p^na,	(6-96)
pArp =- 2XrpF(p)eF(p)urp.
Таким образом, основной проблемой при реализации алгоритмов
(6.96) является отыскание функций чувствительности, что является
предметом теории чувствительности [ 22].
Запишем выражения для функций чувствительности в изображениях
Лапласа:
Ukv(s} =
д ^вых (s)
ЭД/tp
Una (О
3 ^вых )
ЭДиа
<W =
Э Я'вых )
ЭДгр
(6.97)
где ХВых (s) Wi (s, bp, da, qp, Дкр, Ana, Дг^)Х1 (s),	(s, bp, da, q$, Дкр,
Ьпа, Д?р) - передаточная функция ОНО по выходу хвых (вход - хО.
Найдем Ukp(s\ Utka (з) и Urp(s). Предварительно вычислим
Wi (s, bp,...), W2 (s, bp,...), W3 (s, bp,...),
полагая DQ x (s) =DQ (s).
Здесь
r, z4 D(s)Dq(s)
(s) =----------
147 a (s)
В (s^i	Dn(s)B(s)
Ai (S)
Q (s)Dq (s) - D (s)AR (s)
и/3 (S) =----------------------+ Q (J) AV(S);
(6.98)
X(s)
п/ t и ч_^вых(у)
W3(s, bp, ...)=----
3V’ V' ’ F(s)
A (s) =B (s)D0 (j) + D (s)AK (s) + В (s)4/V(s);
Л-1	„	h
ДК($)= S Mvsv,AN(s)= S Диа5а;
P=0	a=o
AR(s)= E res?.
0=0 H
182
Тогда
тт „-^oW ащ,) ^D(s)D0(S)
^fcp(s) 2	T77	(s)	.2 D(s)s X\ (s) —
A1 (s) оДЛр	A (s)
D(s)D0(s) A(s) /5ч=_£21^Х (si
A 2 (,)	( } D Щ)о (s) Авых (S) A (s)	X™* <*> •
Вычисляя аналогично, находим
dHMs))	£>(s)D0(s)
Una(s) = —-----Xv (s)=------—?— B(^Xl (s) =
ЭДл*	A2 (s)
Как видно из выражений, для U^v(s), Unoi(s), Urp(s)9 для вычисле-
ния функций чувствительности необходимо знать параметры объекта
или коэффициенты полиномов В (s) и D(s), которые неизвестны. В свя-
зи с этим предполагают, что быстродействие контуров самонастройки
настолько велико, что можно считать выполненными соотношения
(6.37) с достаточной степенью точности. Тогда
A (s) =В (s) (По (s) + ДУ0) + D (s)AK (s) =В (s)D (s) + D (s)4K (s) =
=D(s)fio(s)
и квазифункции чувствительности будут
=-	sl,Jf"“x (5) >
Следовательно, чтобы получить квазифункцию чувствительности, на-
до координаты л^ых» х2, f и их производные соответственно подать на вхд-
1
ды устройств с одинаковыми передаточными функциями — -----------.
В
1 По-прежнему гарантировать условие lim е = 0 с алгоритмами
t -+ оо
(6.96) нельзя.
Следует заметить, что существует большое количество вариантов ме-
тода градиента. Во многих из них коэффициенты ХЛа, \р являются
переменными, и различные варианты отличаются способом выбора их
183
изменения. Известен также метод скоростного градиента [26], который
состоит в том, что ищется производная Z=</?(e, е, е,...), где е, е, ...) —
некоторая функция, обладающая непрерывными частными производны-
ми по	Дгр. Алгоритмы адаптации выбираются в виде
d^kv __	Э*вых
----3W;
' d^na __	Эхвых
т;—	^па	;
dt
dArp Зхвых
"эд^Т*
ГЛАВА 7. БЕСПОИСКОВЫЕАДАПТИВНЫЕ
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО ДЕЙСТВУЮЩИМ
ВСПОМОГА ТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ
7.1.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ
Общая схема беспоисковой самонастраивающейся системы, в кото-
рой обеспечивается автоматическая стабилизация динамических харак-
теристик основного контура управления может иметь вид, представлен-
ный на рис. 7.1. Если динамические характеристики объекта изменяются
медленно, т. е. так, что их можно считать постоянными в течение длитель-
ности импульсной переходной функции системы, то параметры и харак-
теристики устойчивого основного контура системы в течение этого про-
межутка времени тоже можно считать постоянными (это также значит,
что система остается достаточно ’’грубой”). Вычислитель, имеющийся
в составе автомата перестройки параметров, определяет отклонения ди-
намических характеристик основного контура от требуемых. Он выра-
батывает управляющие сигналы и исполнительные устройства автомата
Рис. 7.1
184
настройки параметров перестраивают управляющую часть основного
контура.
Для осуществления процессов перестройки параметров необходима
информация о действительных динамических характеристиках (или пара-
метрах) объекта управления или основного контура системы. Поэтому
объект или система в процессе работы должны подвергаться пробным
воздействиям. Такими воздействиями могут быть регулярные или слу-
чайные стационарные воздействия. При обработке информации, поступа-
ющей в вычислитель автомата настройки параметров, требуется опреде-
ленное время для накопления достаточно достоверной информации и
фильтрации помех. Все эти причины приводят к тому, что вспомогатель-
ный контур — контур перестройки параметров оказывается медленно-
действующим по сравнению с основным контуром.
Предложено множество схем реализации беспоисковой самонастрой-
ки. В некоторых схемах, например, подвергаются контролю частотные
характеристики при определенных значениях частоты, либо — временные
характеристики в виде импульсных переходных функций, заданные ве-
личинами в определенные моменты времени, т. е. в нескольких точках.
Многие системы автоматического управления, в том числе и системы
управления летательными аппаратами, описываются обыкновенными
дифференциальными уравнениями достаточно высокого порядка. Среди
них имеются такие, для которых движение определяется парой комп-
лексно сопряженных корней характеристического уравнения, располо-
женных наиболее близко к мнимой оси комплексной плоскости по срав-
нению с другими корнями [7, 20]. Таким образом, корни этой пары
оказываются доминирующими. Следовательно, характеристическое урав-
нение такой системы можно представить в виде
7V(s)(s2 + 2$a>os+ соо) = 0‘
Характер распределения доминирующих корней при проектировании
системы почти всегда является известным. Для обеспечения требуемого
качества процессов необходимо реализовать соответствующие величины
параметров соо и £> считая, что можно приближенно положить N(s) = 1.
В процессе работы такой системы необходимо проводить определение
действительных значений cj0 и £, и если они отличаются от требуемых,
производить их перестройку.
В случаях, когда доминирующими являются два простых веществен-
ных корня, то упрощенное характеристическое уравнение системы рас-
сматривается в виде
(s + a)(s + 0) =0.
Более сложными являются упрощенные математические модели при
трех доминирующих корнях:
(s+ a)(s2 + 2{jcjos+ <^о) = О,
или (s + a) (s + 0) (s + 7) = 0.
185
Во всех рассматриваемых случаях имеются в виду системы, описы-
ваемые дифференциальными уравнениями, в правой части которых не
содержится производных.
В системе, изображенной на рис. 7.1, будет производиться перестрой-
ка параметров лишь при наличии сигналов х^х иХцых. Причем вспомога-
тельный контур не позволяет распознавать присутствие составляющих от
возмущающих воздействий, которые могут быть приложены как к
объекту управления, так и к управляющей части основного контура.
Кроме того, нужно отметить, что при отсутствии внешних воздействий
перестройка параметров не ведется, несмотря на то, что динамические ха-
рактеристики объекта при этом могут изменяться весьма существенно.
7.2.	АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА ДЕМПФИРОВАНИЯ
Рассмотрим случай, когда динамические свойства основного конту-
ра адаптивной системы приближенно характеризуются упрощенным диф-
ференциальным уравнением второго порядка:
^^2 + 2^о-^-+^(0=^(0,	(7-1)
dt1	dt
где x(t) — выходная координата системы; g (t) — управляющее воздей-
ствие; со0 — частота свободных колебаний; % — коэффициент относи-
тельйого демпфирования.
Дифференциальному уравнению (7.1) соответствует импульсная
переходная функция
h(t)=Ae~atsinajt,	(7.2)
где А — а>0/\/1 — |2; а=; а> = Ю(д/1 ~%2 - частота собственных коле-
баний.
При медленном изменении !• и выражение для импульсной пере-
ходной функции можно использовать в виде (7.2), считая a=a(t)
и ы = co(f) медленноменяющимися функциями времени. Пусть в рас-
сматриваемом примере частота свободных колебаний со0 остается неиз-
менной, т. е. изменяющимся параметром является только коэффициент
относительного демпфирования £. При этом импульсная переходная
функция h' (t) оказывается зависящей от одного медленноменяющегося
параметра % (t), который приближенно принимается постоянным на ин-
тервале, необходимом для его определения [ 20].
Для осуществления самонастройки в рассматриваемом случае мож-
но использовать схему, в которой подается дополнительное (пробное)
воздействие /пробив) в биде импульса. Если реакция системы на это
воздействие может быть выделена на фоне реакций на воздействия g ft)
то на выходе системы будет наблюдаться реакция, приближаю-
186
щаяся к импульсной пере-
ходной функции. Схема
реализации такой системы
представлена на рис. 7.2.
Возможны различные
способы определения ве-
личины текущего значе-
ния £ (t) по импульсной
переходной функции. Так,
например, если можно
считать g(0 ~0и/(Г)
« 0, то при импульсном
входном воздействии	Рис, 7.2
/пробн (О Л™ * > О согласно (7.1) получим
d2t 2
d х
2w° dF
(7.3)
При таком способе определения £ необходимы: знание точной величины
со0, возможность измерения величины x(t) и формирования ее первой и
второй производных. Рассматриваемый способ позволяет получать не-
прерывные измерения величины £. Однако применение данного способа
в практике оказывается затруднительным, особенно из-за необходимос-
ти измерения второй производной, а также в связи с требованием точно-
го знания величины со0.
Другие возможные способы определения величины £ при импульс-
ном пробном воздействии [5, 20] построены, например, на использова-
нии двухполупериодного выпрямителя или квадратора для выделения
сигнала, содержащего информацию о величине а = а>0£. Величину £ при-
ближенно можно также определить, измеряя положительные и отрица-
тельные полуволны импульсной переходной функции или смежные амп-
литуды колебаний переходной функции. Предложены и другие способы
определения £, например, путем измерения сдвига фаз колебаний между
импульсной переходной функцией и ее производной. Можно вычислять
величину отклонения £ от требуемого значения по числу перемен знака
h* (t) на ограниченном промежутке времени, где это число> например,
может быть принято т = 2 ... 4.
Длй всех систем с определением коэффициента £ требуется исполь-
зование пробных сигналов достаточной интенсивности. Практически из
сигналов, циркулирующих в системе замкнутого типа, отделить необхо-
димую информацию в виде импульсной переходной функции оказывает-
ся очень непросто из-за различных возмущений, всегда имеющих место.
187
Даже та ’’зашумленная” информация, которую удается получить, требует
времени существенно большего, чем длительность импульсной переход-
ной функции. При отличии величины % от расчетной вся самонастраиваю-
щаяся система оказывается нелинейной, так как перестройка % произво-
дится в функции выходного сигнала и аналитическое описание процессов
при этом становится весьма сложным.
7.3.	АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНТРОЛЕМ
ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ
И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО НЕСКОЛЬКИМ ТОЧКАМ
Следует отметить такие предлагаемые способы формирования
беспоисковых СНС, которые предусматривают контроль и подстройку
динамических характеристик основного контура системы управления по
нескольким точкам [1,7]. Это требует использования пробных сигналов
и соответствующих устройств, с помощью которых можно было бы об-
наруживать отклонения динамических характеристик системы от задан-
ных при нескольких избранных значениях аргумента (частоты или вре-
мени) .
Получение необходимой информации об отклонениях динамических
характеристик, ее обработка и реализация при перестройке системы тре-
буют достаточно большого времени по сравнению с длительностью пе-
реходных процессов в основном контуре. Кроме того, сами условия воз-
можности применения подобного подхода основываются на предположе-
нии относительной медленности изменения параметров объекта управле-
ния. Такие условия позволяют для описания процессов в СНС использо-
вать методы, применяемые для исследования и расчета стащюпарных
систем.
Рассмотрим пример системы [ 7] с минимально-фазовым основным
контуром. В такой системе достаточно контролировать, например, его
амплитудную частотную характеристику. Для осуществления самона-
стройки в основной контур вводится настраиваемое последовательное
корректирующее устройство, число параллельных настраиваемых кана-
лов которого равно числу контролируемых точек амплитудной частот-
ной характеристики-основного контура (рис. 7.3). Характеристика ос-
новного контура разомкнутой системы путем самонастройки должна
приближаться к характеристике его эталонной модели %($), которая
содержится в составе автомата настройки параметров. Она задается же-
лаемой передаточной функцией осйовного контура в разомкнутом со-
стоянии.
Не обязательно связывать число контролируемых точек амплитуд-
ной характеристики в интервале рабочих частот модели с числом изменя-
ющихся параметров объекта. Оно может быть и меньше и больше него.
188
Рис. 7.3
Символическая передаточная функция W(p) обобщенного объекта (где
р = d/dt) включает в себя характеристики собственно объекта и испол-
нительного механизма.
^ф2, И'фз, ... №фП — передаточные функции резонансных фильтров,
Д — детекторы, к/р — интегрирующие устройства.
Передаточные функции корректирующих устройств x/W, содержат
переменные коэффициенты усиления х/, которые являются выходными
сигналами интегрирующих устройств. На выходе интеграторов имеются
вентили, которые обеспечивают пропускание лишь положительных значе-
ний х/. При нормальной работе схемы х, могут быть только положитель-
ными. Выбор Wt и X, должен обеспечивать во всей рабочей области
примерное равенство передаточной функции системы в разомкнутом
состоянии и передаточной функции эталонной модели. Такое условие,
при переходе к частотным характеристикам, позволяет написать
к
S x/K'jQcj)
i=l
|H'(/w)l
. С этой целью рекомендуется И7, выбирать в виде резонансных или уз-
кополосных фильтров. Если амплитудная частотная характеристика
должна, например, контролироваться в к точках, т. е. на частотах =
= где i = 1, к, то частотные характеристики корректирующих ус-
тройств должны отвечать условиям
при cj=£ra>i, < = 1, к.
При выполнении таких условий, т. е. когда полосы пропускания фильт-
ров не перекрываются, а пробный сигнал представляется периодической
189
функцией с ’’равномерным” в рабочем диапазоне частот линейчатым
спектром '
к
то можно показать, что дифференциальные уравнения, описывающие
процессы самонастройки, составленные относительно переменных х, [7],
принимают вид
Х/+ ailW'(/zco1)||Uzl-(/zw1)X|=aJ|IV3(;7wi)|, i = I,к.
Поскольку ai — положительные постоянные величины, переходные про-
цессы самонастройки оказываются устойчивыми.
Однако реализация подобной самонастраивающейся системы ослож-
няется возможным снижением запасов устойчивости основного контура
управления, поскольку наличие в нем корректирующих устройств в
виде полосовых фильтров может приводить к существенному отличию
его фазовой частотной характеристики от требуемой эталонной.
Примером системы с контролем временной характеристики может
служить беспоисковая СНС с контролем импульсной переходной функ-
ции [7], схема которой приведена на рис. 7.4. Схема содержит в основ-
ном контуре последовательное корректирующее устройство с числом па-
раллельных настраиваемых каналов, равным числу контролируемых то-
чек временной динамической характеристики системы. Для получения
Рис. 7.4
190
информации об отклонении характеристики системы от заданной эталон-
ной в системе могут использоваться пробные периодические кратковре-
менные импульсы или шумовые сигналы /пробН (t) • Имеется ряд других
предложенных схем СНС и способов перестройки параметров управляю-
щего устройства основного контура [ 1].
В качестве фильтров корректирующего устройства в рассматривае-
мой системе (см. рис. 7.4) используются Линии задержки с настраивае-
мыми коэффициентами передачи х/, символические передаточные функ-
ции которых имеют вид xze ~Tip. Их импульсные переходные функции
представляют собой совокупность к импульсов в виде
Х1Г[01 х2Г[т1],...,хлГ[тЛ_1].
Если обозначить импульсную переходную функцию обобщенного неста-
ционарного объекта /*о(Г, т)> то импульсная переходная функция ос-
новного контура в разомкнутом состоянии будет иметь вид
, к
Л (t, т) - S Xjh0 (t, т + т,_ 1).	(7.4)
z=l
Пробная составляющая Дхпробн выделяется из сигнала Дх с помощью
фильтра с передаточной функцией И'ф. Этот фильтр не пропускает посто-
янную и низкочастотные составляющие. Контур самонастройки содер-
жит задатчик к значений (точек) желаемой импульсной переходной
функции разомкнутого основного контура самонастраивающейся систе-
мы, (2к “ 1) линий задержки, 2к множительных устройств, & сглаживаю-
щих фильтров, к интеграторов.
Символическая передаточная функция перестраиваемого корректи-
рующего к- канального устройства основного контура может быть пред-
ставлена в виде
к т п
Wk(p)=? хр-Ъ-'Р,
1=1
для которой, если временные интервалы взяты одинаковыми, величины
временного сдвига определяются выражением
7/_1 =(/-!) = (1-1)^-, /=1Л
где Тр — номинальное время регулирования основного контура.
Сигнал рассогласования в основном контуре состоит из двух состав-
ляющих
Дх=ДхПр + Дхш>
где ДХщ — помехи. Реакция основного разомкнутого контура на цоэ-
действие Дх может быть представлена как
Хвых(') = X й'(Г, т)Дх(т)с/т.
191
В автомате настройки параметров вырабатываются управляющие
сигналы в виде
(// (f) “"Хвых (t) Дхцр (t ~т/) — / h (t, т) X
— оо
х [Дхпр (О + Дхш (т) ] Дхпр (t -Ti)dT.	(7.5)
Если сигнал Axnp(f) является стационарной случайной функцией време-
ни и Дхпр (t), и Дхш (t) не коррелированы, то
М £[Дхпр О’) +	О') ] Д*пр (f -Ti)j =Rnp (т + Tj-t) +
+	(7.6)
где Яцр — является автокорреляционной функцией для XnpJ — центри-
рованная случайная функция.
_ Учитывая (7.5) и (7.6), величины щ можно представить как щ =
= щ + би/, т. е. выделив математические ожидания щ и центрированные
составляющие Ьщ, которые выражаются в виде
Щ =_Sx)h,{t,	+ Ti-t)dr,
.8uj= f h'(t, T)ti(t,T)dT.
—-оо
Если хпр в полосе пропускания основного контура может рассмат-
риваться как белый шум, то
^пр (т + Ti	(т + Ti ~~t) \	’	(7 7)
Так как параметры объекта и настраиваемые параметры корректирую-
щих устройств изменяются медленно, то основной контур приближенно
можно считать стационарным и тогда
Ui=S^h' (т,).	(7.8)
Отсюда видно, что при использовании пробных сигналов в виде бе-
лого шума величины математических ожиданий сигналов пропорциональ-
ны значениям импульсной переходной функции разомкнутой системы в
моменты времени т/. Сравнение этих сигналов с опорными
позволяет вырабатывать необходимые воздействия на перестройку па-
раметров Xi корректирующего устройства. При условии достаточной
медленности изменения параметров обобщенного объекта управления и
инерционности основного контура удается составить дифференциальные
уравнения контура самонастройки относительно параметров х/ и при
определенных допущениях привести их к стационарным уравнениям с
запаздывающим аргументом. На основе этих уравнений можно дать оцен-
ку устойчивости процессов самонастройки и исследовать связь [7]
192
требуемой точности самонастройки с количеством контролируемых то-
чек характеристик h* (t, т) и величиной Тр, а также указать примерное
время самонастройки.
7.4.	АДАПТИВНЫЕ САУ, ПОСТРОЕННЫЕ
НА СРАВНЕНИИ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ
И НИЗКОЧАСТОТНОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ
Для ряда систем автоматического управления нестационарными
объектами, если синтез основного контура проведен соответствующим
способом [20, 23], обеспечение заданного качества процессов управле-
ния удается получить путем изменения коэффициента усиления усилите-
ля в основном контуре. Роль пробных сигналов при этом могут выпол-
нять помехи и управляющие воздействия.
Часто случайные возмущения, воздействующие на летательный ап-
парат, можно считать стационарными, поэтому целесообразно использо-
вать их в качестве пробных сигналов при формировании беспоисковой
адаптивной системы. Пусть точность работы системы оценивается сред-
ним квадратичным значением ошибки
е 2 = Ьт зу f е2 (t)dt.	(7.9)
Структурная схема основного контура рассматриваемой системы
представлена на рис. 7.5, где W0(s, 0 — передаточная функция объекта
управления; Knp(s) — передаточная функция привода; к — перестраи-
ваемый коэффициент усиления усилителя.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид
’w/(5,0=^np(OH'o(s, Г).
При стационарном случайном входном сигнале и неизменных па-
раметрах основного контура величина средней квадратичной ошибки
будет
где SBX(co)— спектральная плотность входного воздействия. Для рас-
сматриваемой системы при постоянных параметрах объекта получим
Рис. 7.5
X *$вх
193
Проанализируем влияние параметра к на среднюю квадратичную
ошибку. Обозначим
" Х/’S ) I	\	J
|1 +	(/со)|2
Найдем частную производную е 2 по к\_
Зё2 _ 1	°? Ье2 (к, со) с z 4z/z	„
чг -L ~------------Sx	(7•1 2)
3* 2тг -оо fa
где Э£2-^'	(к, ш)Р(к, со);	(7.13)
Ок
Р(к, со) — вещественная частотная характеристика системы, отличающей-
ся от рассматриваемой тем, что усилитель в ней перенесен из прямой це-
пи в цепь главной обратной связи, т. е. она соответствует передаточной
функции
(S)	1 + ^H'npG)W'o(s) ‘
Если система устойчива при к -*«>, то lim Е2 (к, со) = 0, как это
к -* оо
следует из (7.11).
Однако в реальных системах величина к ограничена условиями ус-
тойчивости. Поэтому величина к не может быть взята больше, чем неко-
торая допустимая - £дрп* Отсюда следует,что всегда Ё1 (к, со)^0. Выра-
зим спектральную плотность ошибки через спектральную плотность вход-
ного сигнала
1
Sc (со) -----------------------г- Se * (со).’
|1 + *И'1Ч>(/со)И'о(/о>)|2
Учитывая (7.11), (7.13) и (7.14),вместо (7.12) можно написать
4“ ="Т 7se(u)P(k, cS)da>.
Ok «	°°
(7.14)
(7-15)
Вещественная частотная характеристика обычно является функ-
де~2
циеи знакопеременной. Поэтому в общем случае величина — может
OR
быть положительной, отрицательной или равной нулю, в зависимости от
функцииР(к, со).
На рис, 7.6 изображены вещественные частотные характеристики при
различных значениях к, для отклонений от некоторого фиксированного
к=к*.
Увеличению соответствует уменьшение положительных значений
Р(к, со) в области низких частот и, наоборот, уменьшение к соответству-
ет увеличение Р(к, ы) в области низких частот и уменьшение абсОлют-
194
ных значений Р(к, со) в области частот
со > со0, где со0 — частота, для ко-
торой Р(к*,	=
При со > со0 Р(к, со) обычно может
многократно менять знак, но при этом
будет достаточно малой по' абсолютной
величине и lim Р(к, со) = 0. Поэтому в
си -♦ °°
расчет принимаются только значения
Р(к, со), соответствующие области частот
первой перемены знака.
Обозначим к = kQ, которому соответствует экстремум функции
е 2, т. е.
де 2 ।
Ьк к=к$
-0.
(7.16)
Выражение (7.16) является условием баланса низкочастотной
0 < со < соо и высокочастотной (соо < со <°°) составляющих средней
квадратичной ошибки е 2.
Информацию о перемене знака де2/ Ък можно использовать для са-
монастройки системы по параметру к. Однако при этом необходимо,
чтобы при изменении параметров объекта стабилизация общего коэффи-
циента передачи — ^общ основного контура системы в разомкнутом со-
стоянии обеспечивала примерное постоянство характеристики Р(к, со).
(В составе &общ величины к и £об являются сомножителями.). Кроме то-
го, нужно иметь в виду, что для систем, обладающих достаточно хороши
ми показателями качества регулирования, величина площади, ограничен-
ной положительными значениями кривой Р(со), существенно больше,
чем величина площади, ограниченной ее отрицательными значениями.
Поэтому в цепь автоматической настройки регулируемого параметра к
целесообразно ввести корректирующий фильтр с передаточной функ-
цией И^ф!^), который обеспечивал бы получение приведенной вещест-
венной частотной характеристики необходимой формы, т. е. такой, при
которой баланс энергий низкочастотной и высокочастотной составляю-
щих выходного сигнала этого фильтра соответствовал бы требуемый
величине £обЩ; Корректирующий фильтр осуществляет также фильтра-
цию постоянной составляющей ошибки е. Тогда, обозначив выходной
сигнал фильтра , получим выражение для его средней квадратичной ве-
личины в виде
7 \W^(j^\2Se^)d^.
Z7i ““ОО *
Дифференцируя е 2 по к, получим
Эе?	1 °о	.
— =--i- J |И/ф1 (ju)\2P(k, u)Se(u)du.	(7.17)
Ofc	Я — оо
195
Учитывая, что полученное выражение является функцией четной, и
пренебрегая величинами, лежащими в области со > со™, где о>гр — неко-
торая граничная частота, за которой значения Р(к, со) не учитываются,
перепишем (7.17) в виде двух интегралов: одного — для положительных
значений Р(к, со), соответствующих низкочастотной составляющей (для
со < соо), а другого - для отрицательных Р(к, со), соответствующих
высокочастотной составляющей (для со0 <со <а>гр) :
Эе ?	?	~
—(j, ш)\2Р(к, o)Se(o)dW-
Ok	я о
? <*>гп
f l^i(/w)l27’(^w)Se(w)do.	(7.18)
я wo
При реализации автомата настройки параметра к можно использо-
вать метод градиента. В простейшем случае можно выбрать скорость из-
менения перестраиваемого параметра Тс прямо пропорциональной (с
противоположный знаком) величин’е (7.18) :
dk -_ч
~ЗГ * Ьк '
(7-19)
где X — коэффициент пропорциональности.
Цепь автомата настройки параметров должна будет содержать кор-
ректирующий фильтр и две параллельных ветви, одну с фильтром низких
частот, другую — с фйльтром высоких частот, сигналы которых выпрям-
ляются и их разность интегрируется согласно (7.19), что и определяет
требуемую величину к.
Таким образом, алгоритм самонастройки по параметру можно пред-
ставить в виде
к = — [ f |И/ф! (Jd)|2Р(Л, w)Se(W)dw +
я О
+ / |И'ф1(М12Р(*, w)Se(w)dw]A.	(7.20)
Структурная схема самонастраивающейся системы, в которой реа-
Рис. 7.7
196
лизуется алгоритм саамонастройки (7.20), представлена на рис. 7.7.
Характер процесса самонастройки в рассматриваемой системе будет за-
висеть от величины и от вида входного сигнала (Г). Например, если
0< со < соо, Для Sx (со) =# 0, а для со > со0 Sx (со) « 0, то к будет изменять-
ся, хотя параметры основного контура при этом могут быть равны тре-
буемым. Из этого следует, что применение подобного способа самона-
стройки должно соответствовать условиям применения системы. Спектр
возможных случайных воздействий должен обеспечивать нормальное
функционирование контура самонастройки. При отсутствии этих воздей-
ствий перестройки параметра к не будет.
197
ПРИЛОЖЕНИЕ
198
199
200
201
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Воронов А.А., Рутковский В.Ю. Современное состояние и перспективы раз-
вития адаптивных систем // Вопросы кибернетики. Проблемы теории и практики
адаптивного управления. 1985.113 с.
2.	Востриков А.С. Управление динамическими объектами. Новосибирск» НЭТИ,
1979,97 с.
3.	Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М.: Энергоиздат,
1981. 304 с.
4.	Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной струк-
турой. М.: Наука, 1967. 335 с.
5.	Козлов Ю.М., Юсупов Р.М. Беспоисковые самонастраивающиеся системы,
М.: Наука, 1969. 455 с.
6.	Красовский А.А., Буков В.Н., Шендрик В.С. Универсальные алгоритмы опти-
мального управления непрерывными процессами., М.: Наука, 1977. 271 с.
7.	Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем.
М.: Физматгиз, 1963.468 с.
8.	Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их анали-
тическое конструирование. М.: Наука, 1973.560 с.
9.	Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.:
Физматгиз, 1959. 211 с,
10.	Кухтенко А.И. Проблемы инвариантности в автоматике. Киев, ГИТЛ
УССР: 1963. 376 с.
1	Г. Лебедев А. А., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилотными
летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1965,528 с.
12.	Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения, М.-Л.: Гостехиздат,
1950. 386 с.
13.	Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования вы-
сокой товдости ’’Наука”, 1967.
14.	Многорежимные и нестационарные системы автоматического управления /
Под ред. Б.Н. Петрова. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.
15.	Основы теории автоматического управления: Учебник для авиационных ву-
зов / В.С. БулыгиЯ, Ю.С. Гришанин, Н.Б. Суд зилов с кий и др.; Под ред. Н.Б, Суд-
зил ов с ко го. М.: Машиностроение, 1985.512 с.
16.	Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-
параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1982. 242 с.
17.	Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д., Крутова И.Н. Некоторые
вопросы беспоисковых самонастраивающихся систем. Т. I, II Ц Изв. АН СССР.
Сер. Техническая кибернетика. 1976. № 2. С. 154-163. № 3. С. 142-154.
18.	Петров Б.Н, О применении условий инвариантности // Труды II Всесоюзно-
го совещания по теории автоматического регулирования. М.-Л.: Изд-во АН СССР,
1955. Т. 2. С. 241-246.
19.	Попов Е.П., Пальтов Й.П. Приближенные методы исследования нелинейных
автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960. 792 с.
202
20.	Принципы построения и'проектирования самонастраивающихся систем
управления / Б.Н. Петров, В.Ю. Рутковский, И.Н. Крутова, С.Д. Земляков. М.:
Машиностроение, 1972. 259 с.
21.	Росин М.Ф., Булыгии В.С. Статистическая динамика и теория эффективное*
ти систем управления. М.: Машиностроение, 1981. 312 с.
22.	Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М.:
Наука, 1981. 457 с.
23.	Системы автоматического управления объектами с переменными парамет-
рами. Инженерные методы анализа и синтеза / Н.И. Соколов, Б.Н. Петров, А.В. Ли-
патов и др. М.: Машиностроение, 1986.
24.	Современные методы проектирования систем автоматического управления/
Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева, М.: Машиностроение,
1967. 702 с.
25.	Соколов Н.И. Об управлении нестационарными объектами с помощью ре-
гуляторов жесткой структуры с постоянными параметрами. В кн.:Задачи динамики
управления летательных аппаратов / Под ред. Б.Н. Петрова // Тр. МАИ. 1972.
Вып. 240.
26.	Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента и ее применение в задачах адап-
тивного управления // Автоматика и телемеханика. 1979, N® 9. С. 99-101»
27.	Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.; Наука,
1968. 400 с.
28.	Ядыкин И.Б. О свойстве адаптируемости регулятора в адаптивных систе-
мах управления // ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 2, С. 310-313.
203
ПРЕДМЕТНЫЙ У КА ЗА ТЕЛЬ
Автомат перестройки параметров 184,
185
Адаптация координатная 4
Адаптируемость 156
Алгоритмы адаптации 156,169
Амплитуда автоколебаний измеряе- ’
мая	132
Вектор перестраиваемых коэффициен-
тов регулятора 157
Градиента скоростного метода 184
Движения многотемповые 12
Дисперсия на входе нелинейного эле-
мента 78, 80, 83
Идентификация в узком смысле 97
- в широком - 97
Инвариантность двойная 164
- двукратная 164
Квазифункция чувствительности 180,
183
Контур вспомогательный 10
Контура вспомогательного типовая
структура 146
Контур основной 10,155
---минимально-фазовый 188
----полностью адаптируемый 157
Корни доминирующие 26
- формального , характеристического
уравнения 24
Матрица адаптируемости 159
Мера качеству 155
- рассогласования 179
Метод ’’замороженных” коэффициен-
тов модифицированный 15
Модель 154
- инверсная 39
- эквивалентная 12
Модели полной математической фор-
мирование 90
Объект обобщенный настраивае-
мый 160
Оценки качества системы приближен-
ные 37
Оценка стационарности 23
Ошибка координатная 173
Показатели быстродействия 37
- устойчивости 36
- формы процессов 37
Полином характеристический желае-
мый 136,139
-----вырожденный 136
Рассогласование параметрическое 173
САУ адаптивные замкнутого типа 10
---разомкнутого - 10
Связь параметрическая 13 .
Системы автоколебательные 29,49
Система автоколебательная со специ-
альной параметрической связью 6
Система адаптивная 3
---беспоисковая 11
---поисковая 11
Система с пассивной самонастройкой 4
Системы многотемповые 32
-	с инверсной моделью в обратной^
связи 38
-	псевдостационарные 21, 23
-	- второго типа 21
---первого - 21
Системы регулирования экстремально-
го 5
Составляющая управляющего воздей-
ствия коммутируемая 48
-----некоммутируемая 47
Структуры ПИКС особенности 61
204
Схема идентификации обобщенного
объекта 147
Управление адаптивное прямое 155
---непрямое 155
Управляющая часть основного кон-
тура 185
Уровень управления первый 155
---второй 155
Условия идентифицируемости объек-
та 176
- устойчивости необходимые и доста-
точнее 36
Устройство корректирующее настраи-
ваемое последовательное 188
Фильтр высокочастотный 111
- корректирующий 195
Фильтры узкополосные 189
Функция передаточная системы ’’замо-
роженная” 51
---схемы идентификации 149
- чувствительности 180
Чувствительность к обобщенному пара-
метру 109
- показателей быстродействия 37
---качества 37
Чувствительность показателей устойчи-
вости 37
---формы процессов 37
205
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................     3
ВЛ. Определение адаптивных САУ.................................. 3
В.2.	Принципы построения адаптивных САУ нестационарными объек-
тами ..........................................................  4
В.З.	Методы синтеза адаптивных САУ и особенности технической реали-
зации контуров подстройки параметров.........................    7
В.4.	Классификация адаптивных систем по некоторым наиболее сущест- (
венным признакам..............................................   9
Часть I. Системы автоматического управления, эквивалентные адап-
тивным ................................................    .....	. 12
Глава 1. Методика исследования систем управления объектами с пере-
менными параметрами............................................... 12
1.1.	Понятие системы, эквивалентной адаптивной..........'...... 12
1.2.	Метод’’замороженных” коэффициентов..................  ,.	. 13
1.3.	Двухтемповые движения в системах автоматического управления . . 21
1.4.	Применение метода ’’замороженных коэффициентов” к исследова-
нию линейных систем с переменными параметрами.................  23
1.5.	Многотемповые движения в системах с переменными параметрами . 31
1.6.	Применение метода ’’замороженных” коэффициентов к исследова-
нию линейных многотемповых систем с переменными параметрами. ... 33
1.7.	Приближенные методы определения показателей качества САУ.... 36
Глава 2. Структуры САУ, эквивалентных адаптивным.................. 38
2.1.	Многотемповость собственных движений в системах управления... 38
2.2.	Системы с эталонной моделью.............................   38
2.3.	Системы, устойчивые при к -»°°..........................   43
2.4.	Системы с переменной структурой. ......................... 45
2.5.	Автоколебательные системы................................. 49
2.6.	О помехозащищенности САУ различной структуры.............. 54
Глава 3. Параметрически инвариантные компенсационные системы
управления...........................................      ,	. . . 55
3.1.	Формирование структуры помехоустойчивой ПИКС.............. 55
3.2.	Реализация желаемых математических моделей в классе ПИКС. ... 62
3.3.	Определение параметров ПИКС............................... 72
3.4.	Формирование математической модели системы, малочувствитель-
ной к переменному параметру объекта управления................. 73
3.5.	Определение коэффициентов желаемой математической модели из
условия требуемой помехозащищенности........................... 77
3.6.	Этапы формирования оптимальной математической модели из об-
щих требований к системе.  .................................... 84
3.7.	Пример синтеза системы управления объектом с переменным коэф-
фициентом усиления............................................. 91
206
Часть II. Адаптивные системы автоматического управления.............97
Глава 4. Проблемы и методы идентификации.....................«...	97
4.1.	Задачи идентификации.....................................97
4.2.	Идентификация автономного объекта управления.............98
4.3.	Методы идентификации объекта управления в адаптивной САУ.... 101
4.4.	Статистический метод идентификации объекта управления в адап-
тивной САУ...................................................103
4.5.	Косвенные методы идентификации объекта управления.......104
4.6.	Идентификация объекта управления с помощью подстраиваемой
модели.....................................................  105
4.7.	Идентификация основного контура управления адаптивной САУ . . . 108
4.8.	Приближенная идентификация параметров основного контура «... 109
4<9.	Резонансные колебания в основном контуре и идентификация .... И1
Глава 5. Быстродействующие беспоисковые адаптивные системы.......113
5.1.	Математические модели беспоисковых адаптивных систем.....ИЗ
5.2.	Формирование основного контура системы управления при вспомо-
гательном контуре разомкнутого типа........................  115
5.3.	Вспомогательный контур разомкнутого типа . . ......	.... 127
5.4.	Формирование основного контура системы со вспомогательным
контуром замкнутого типа.....................................128
5.5.	Формирование вспомогательного контура замкнутого типа....146
5.6.	Подход к анализу адаптивных систем.....  .	л........	154
Глава 6. Беспоисковые самонастраивающиеся системы с моделью.......154
6.1.	Основные понятия. Типы систем с моделью..................154
6.2.	Основной контур. Адаптируемость......................    156
6.3.	Обобщенный настраиваемый объект..........................160
6.4.	Инвариантность в самонастраивающихся системах......,.....162
6.5.	Синтез структуры ОНО.  ..........................  '.....164
6.6.	Синтез алгоритмов адаптации прямым методом Ляпунова......169
6.7.	Синтез алгоритмов адаптации методом градиента............178
Глава 7. Беспоисковые адаптивные системы с медленно действующим
вспомогательным контуром.......................................  184
7.1.	Математические модели систем.............................184
7.2.	Адаптивные системы с определением коэффициента демпфирова-
ния ..........................................................186
7.3.	Адаптивные системы с контролем импульсных переходных функ-
ций и Частотных характеристик по нескольким точкам. ..........188
7.4.	Адаптивные САУ, построенные на сравнении высокочастотной и низ-
кочастотной составляющих сигналов.............................193
Приложение......................................198
Список литературы...........................    202
Предметный указатель............................204
207
Учебное пособие
Соколов Николай Иванович, Рутковский Владислав Юльевич,
Судзиловский Никита Борисович
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ
Редактор Г.П. Филипповская
Художественный редактор ВЛ. Лебедев
Технический редактор О.В. Чеботарева
Корректор О.Е. Мишина
ИБ№5497
Сдано в набор 05.03.87.	Подписано в печать 7.01.88.	Т-05105.
Формат 60X84 1/16.	Бумага офсетная № 2.	Гарнитура Пресс Роман.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,09. Усл. кр.-отт. 12,32. Уч.-изд. л. 13,17.
Тираж 2460 экз.	Заказ 499	Цена 45 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство „Машиностроение”,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Отпечатано в Московской типографии № 9 НПО „Всесоюзная книжная палата”
Госкомиздата 109033, Москва, Волочаевская ул., 40 с оригинала-макета,
изготовленного в издательстве „Машиностроение” на наборно-пишущих машинах