/
Автор: Виленкин Н.Я. Шварцбурд С.И.
Теги: математика математический анализ естественные науки учебное пособие издательство просвещение
Год: 1969
Текст
Н. Я. ВИЛЕНКИН, С. И. ШВАРЦБУРД
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ IX-X КЛАССОВ
СРЕДНИХ ШКОЛ
С МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СПЕЦИАЛИЗАЦИЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО сПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1969
Виленкин Н. Я. и Шварцбурд С. И.
В 44 Математический анализ. Учеб. пособие для
IX—X классов сред, школ с мат.
специализацией. М., „Просвещение", 1969.
576 с.
Учебное пособие для средних щкол с математической специализацией,
снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая
ранее (1968 г.) книга „Алгебра* того же авторского коллектива, может
быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной
школы.
6-6
345-69 517.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя
Глава I. Действительные числа
§ 1. Рациональные числа. Неравенства (15). 1. Множество
.рациональных чисел (15). 2. Отношения порядка и их свойства (18). 3. Действия
над неравенствами (24). 4. Геометрическое изображение рациональных
чисел (23). 5. Несоизмеримые отрезки (24).
§ 2. Действительные числа (26). 1. Бесконечные десятичные дроби
(26). 2. Бесконечные десятичные дроби и процесс измерения отрезков
(27). 3. Действительные числа (30). 4. Упорядоченность множества
действительных чисел (31). 5. Десятичные приближения действительных
чисел (32). 6. Рациональные числа и бесконечные периодические
десятичные дроби. (33). 7. Теорема о разделяющем числе (36). 8. Необходимое и
достаточное условие единственности разделяющего числа (38). 9.
Арифметические действия над действительными числами (39). 10. Модуль
числа и его свойства (44). 11. Геометрический смысл модуля (45). 12.
Превращение периодических десятичных дробей в обыкновенные (46).
13. Рациональные и иррациональные числа (48).
Краткие исторические сведения (50).
Глава II. Числовые последовательности и их пределы
§ 1. Последовательности. Прогрессии (52). 1. Определение
последовательности (52). 2. Способы задания последовательностей (53). 3.
Монотонные последовательности (56). 4. Арифметическая прогрессия (57).
5. Сумма первых членов арифметической прогрессии (58). 6.
Геометрическая прогрессия (61). 7. Формула общего члена геометрической
прогрессии (62). 8. Сумма первых членов геометрической прогрессии (64).
9. Индукция (66). 10. Метод математической индукции (69). 11.
Неравенство Бернулли (73).
§ 2. Предел последовательности (74). 1. Устанавливающиеся
последовательности (74). 2. Процесс радиоактивного распада (76). 3.
Сходящиеся последовательности. Предел последовательности (77). 4.
Геометрический смысл понятия предела (в0). 5. Бесконечно малые
последовательности (82). 6. Свойства бесконечно малых последовательностей (84).
7. Теоремы о пределах последовательностей (88). 8. Примеры
вычисления пределов последовательностей (91). 9. Определение N по е (93).
10. Пределы и приближенные вычисления (97).
§ 3. Признаки существования предела последовательности. Число
е (98). 1. Вводные замечания (98). 2. Грани числовых множеств (99).
3. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (100).
4. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (104).
5. Теорема о стягивающейся системе отрезков (106). 6. Предельный пе-
реход в неравенствах (109). 7. Формула сложных процентов (111).
8. Число е (113). 9. Вычисление пределов, связанных с числом е (114).
Краткие исторические сведения (115).
Глава III. Функции : а
§ 1. Функции и способы их задания (117). 1. Вводные
замечания (117). 2. Общее определение функции (118). 3. Числовые функции
числового аргумента (118). 4. Аналитическое задание функций (120).
5. Задание функции несколькими аналитическими выражениями (123).
6. Функциональная символика (127). 7. Сложные функции (129). 8.
График функции (131). 9. Преобразования графиков (135). 10. Графики
общей квадратичной и дробно-линейной функций (137). 11. Графики
суммы, произведения и частного функций (145). 12. Таблицы значений
функций (148). 13. Функции нескольких переменных (149).
§ 2. Элементарное исследование функций (152). 1. Вводные
замечания (152). 2. Область определения функции (153). 3. Четные и.нечетные
функции (154). 4. Ограниченные и неограниченные функции (158).
5. Полюсы функции. Вертикальные асимптомы (159). 6. Периодические
функции (163). 7. Исследование знака функции (165). 8. Возрастание и
убывание функций (168). 9. Максимумы и минимумы функции (170).
10. Предел функции при х->оо (171). 11. Горизонтальные и наклонные
асимптоты (174). 12. Общая схема исследования функции (178).
§ 3. Непрерывные функции (180). 1. Задача о площади квадрата
(180). 2. Понятие непрерывной функции (181). 3. Точное определение
непрерывности (182). 4. Приращение функции (183). 5. Доказательство
непрерывности некоторых функций (185). 6. Непрерывность суммы и
произведения (188). 7. Непрерывность сложной функции (189). 8.
Арифметические операции над непрерывными функциями (190). 9. Теорема о
промежуточном значении (191). 10. Обратная функция (195). 11.
Теорема об обратной функции (197). 12. Точки разрыва (198).
§ 4. Предел функции (201). 1. Определение предела функции в
точке (201). 2. Односторонние пределы. Скачки функции (203). 3. Свойства
предела функции (205). 4. Вычисление пределов функций (206).
Краткие исторические сведения (209).
Глава IV. Производная . : : *
§ 1. Производная (211). 1. Средняя скорость изменения
функции (211). 2. Мгновенная скорость прямолинейного движения (213).
3. Производная (214). 4. Производная постоянной (216). 5.
Производная линейной функции (216). 6. Производная квадратичной
функции (217). 7. Производная степенной функции с натуральным
показателем (217). 8. Касательная к кривой (219). 9. Выражение углового
коэффициента касательной через производную (220). 10. Уравнение
касательной (221). И. Непрерывность дифференцируемых функций (222).
12. Вторая производная (223). 13. Производные высшего порядка (223).
§ 2. Техника дифференцирования (224). 1. Производная суммы (224).
2. Производная функции «/=Си (225). 3. Производная произведения (226).
4. Производная частного (227). 5. Дифференцирование сложной
функции (228). 6. Дифференциал функции (229). 7. Инвариантная запись
дифференциала функции (231). 8. Применение понятия дифференциала
к приближенным вычислениям (232).
§ 3. Применение понятия производной к исследованию функций (233).
1. Возрастание и убывание функции (233). 2. Необходимое условие экст-
ремума (238). 3. Первое достаточное условие экстремума (240). 4.
Второе достаточное условие экстремума (244). 5. Направление выпуклости
графика (246). 6. Точки перегиба (247). 7. Применение понятия
выпуклости к доказательству неравенств (248). 8. Построение графиков функций
с помощью производной (249). 9. Отыскание наибольших и наименьших
значений функции на отрезке (251). 10. Задачи на наибольшие и
наименьшие значения (252).
Краткие исторические сведения (254).
Глава V. Тригонометрические функции 256
§ 1. Площадь круга и длина окружности. Числовая окружность (256).
1. Площадь круга (256). 2. Квадрируемые области. Площадь
сектора (259). 3. Длина дуги кривой. Длина окружности (261). 4. Радианное
измерение дуг и углов (264). 5. Обобщение понятия о дуге (265). 6.
Обобщение понятия об угле (266). 7. Единичная числовая окружность (267).
8. Соответствие между точками числовой прямой и числовой
окружности (268).
§ 2. Тригонометрические функции (269). 1. Определение
тригонометрических функций числового аргумента (269). 2. Знаки
тригонометрических функций (271). 3. Связь функций sin x и cos х (272). 4.
Тригонометрические функции угла (274). 5. Вычисление значений синуса и
косинуса для некоторых значений аргумента (275). 6. Определение
тангенса и котангенса (278). 7. Геометрическое изображение tgx nctg x (280).
8. Выражение тригонометрических функций через одну из них (282).
9. Гармонические колебания (287).
§ 3. Свойства тригонометрических функций (289). 1. Периодичность
(289). 2. Отыскание периода (290). 3. Формулы приведения для sin x и
cos х (292). 4. Формулы приведения и соотношения периодичности для
тангенса и котангенса (299). 5. Непрерывность функций sin x и cos x
(302). 6. Возрастание и убывание тригонометрических функций (304).
7. Графики функций sin x и cos x (306). 8. Графики функций tg x и
ctg х (308) 9. График гармонического колебания (313).
§ 4. Тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические
функции {315). 1. Множество значений аргумента, соответствующих
данному значению тригонометрической функции (315). 2. Промежутки
главных значений для тригонометрических функций (319). 3.
Тригонометрические уравнения (321). 4. Тригонометрические уравнения,
приводящиеся к простейшим (322). 5. Обратные тригонометрические функции (326).
§ 5. Формулы сложения для тригонометрических функций и их
следствия (330). 1. Некоторые факты векторной алгебры (330). 2.
Разложение радиус-вектора (331). 3. Вывод формул сложения для синуса и
косинуса (332). 4. Преобразование выражения a coscof-f b sincof к виду
A sin(<of-f а) (335). 5. Сложение гармонических колебаний с одинаковой
частотой (337). 6. Формулы сложения для тангенса и котангенса (339).
§ <j6. Частные случаи и следствия формул сложения (341). 1.
Тригонометрические функции двойного аргумента (341). 2. Выражение
тригонометрических функций двойного аргумента через tgx (343). 3.
Тригонометрические функции кратных аргументов (344). 4.
Тригонометрические функции половинного аргумента (346). 5. Преобразование
произведения тригонометрических функций в сумму (350). 6.
Тригонометрические многочлены (352). 7. Понятие о гармоническом анализе функций
(354). 8. Представление суммы тригонометрических функций в виде
произведения (355). 9. Биения (360).
5
§7. Дифференцирование тригонометрических функций (361). 1. Пре-
simc
дел функции —-— при х —>0 (362). 2. Производные функций y=sin x и
#=cos х (364). 3. Понятие о дифференциальном уравнении (368). 4.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний (370). 5.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (372). 6.
Дифференцирование обратных тригонометрических функций (374).
Краткие исторические сведения (375).
Глава VI. Степенная, показательная и логарифмическая функции . . . 37У
§ 1. Степенная функция (379). 1. Степенная функция с натуральным
показателем (379). 2. Функции у= хП и их графики (382). 3. Функция
у= ух (385). 4. Степенная функция с рациональным показателем (387).
5. Вычисление пределов иррациональных функций (388).
§2. Показательная функция (390). 1. Показательная функция на
множестве рациональных чисел и ее свойства (390). 2. Степень с
иррациональным показателем (391). 3. Показательная функция на
множестве действительных чисел (393). 4. Свойства степеней с
действительными показателями (396).
§3. Логарифмы и логарифмическая функция (397). 1. Определение
логарифма (397). 2. Логарифмическая функция (398). 3. Свойства
логарифмической функции (398). 4. Логарифмы и алгебраические
операции (401). 5. Логарифмирование и потенцирование (403). 6. Связь между
логарифмами при разных основаниях (404).
§ 4. Дифференцирование показательной и логарифмической
функций (406). 1. Пределы, связанные с числом е (406). 2. Производные
функций у=ех и у=ах (410). 3. Производная логарифмической функции (411).
4. Логарифмическая производная (412). 5. Дифференциальное уравнение
для показательной функции (414). 6. Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний (417). 7. Гиперболические функции (420).
Краткие исторические сведения (424).
Дополнение к главе VI. Десятичные логарифмы (425). 1.
Десятичные логарифмы (425). 2. Таблицы десятичных логарифмов (427).
Глава VII. Элементарные функции. Трансцендентные уравнения и
неравенства 430
§ 1. Элементарные функции (430).
§2. Трансцендентные уравнения и неравенства (433). 1.
Предварительные замечания (433). 2. Общие приемы решения трансцендентных
уравнений (434).
§3. Тригонометрические уравнения (436). I. Подстановки в
тригонометрических уравнениях (436). 2. Универсальная подстановка (441). 3.
Использование формул для тригонометрических функций кратных
аргументов (443). 4. Решение тригонометрических уравнений методом
разложения на множители (444). 5. Тригонометрические неравенства (446).
6. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические
функции (452).
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения и
неравенства (453). 2. Показательные неравенства (454). 3. Логарифмические
уравнения (455). 4. Логарифмические неравенства (457).
6
§5. Приближенное решение уравнений (460). 1. Задача о
приближенном решении уравнений (460). 2. Отделение корней (460). 3. Метод
хорд (461). 4. Метод касательных (464). 5. Метод последовательных
приближений (466). 6. Геометрический смысл последовательных
приближений (467). 7. Сжимающие отображения и метод последовательных
приближений (468).
§6. Доказательство тождеств и неравенств с помощью
дифференциального исчисления (472). 1. Доказательство тождеств (472). 2.
Доказательство неравенств (474). 3. Сравнение роста показательной и
степенной функций (478).
Краткие исторические сведения (483).
Глава VIII. Интеграл
§ 1. Неопределенный интеграл (485). 1. Первообразная (485).
2. Свойства неопределенного интеграла (487). 3. Непосредственное
интегрирование (488). 4. Техника интегрирования (489). 5.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (495). 6. Составление
дифференциальных уравнений (497).
§2. Определенный интеграл (499). 1. Введение (499). 2. Площадь
криволинейной трапеции (500). 3. Доказательство существования
площади криволинейной трапеции (502). 4. Понятие определенного
интеграла (504). 5. Теорема о разбиении отрезка интегрирования (508). 6.
Обобщение понятия определенного интеграла (509). 7. Оценки интегралов (509).
8. Определенный интеграл как функция верхнего предела (512). 9.
Формула Ньютона — Лейбница (514). 10. Приближенное вычисление
интегралов (516). 11. Вычисление площадей с помощью определенных
интегралов (517). 12. Объем цилиндрических тел (519). 13. Объем пирамиды и
усеченной пирамиды (520). 14 Объем тела вращения (524). 15. Общая
формула для вычисления объема тела по площадям параллельных
сечений (529). 16. Объем тел, получаемых при вращении симметричных
фигур. Теорема Гюльдена (530). 17. Площадь поверхности вращения (534).
Краткие исторические сведения (538).
Глава IX. Ряды
§ 1. Бесконечные числовые ряды (540). I. Вводные замечания (540).
2. Основные определения (541). 3. Сходящиеся и расходящиеся
ряды (542). 4. Свойства сходящихся рядов (544). 5. Необходимый признак
сходимости ряда (545). 6. Признак сравнения для рядов с
неотрицательными членами (546). 7. Признак Даламбера (548).
§2. Ряды с членами произвольного знака (551). 1. Теорема
Лейбница (551). 2. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (553).
§3. Степенные ряды (556). 1. Функциональные ряды (556). 2.
Степенные ряды (556). 3. Разложение показательной функции в степенной
ряд (557). 4. Разложение тригонометрических функций в степенные
ряды (559). 5. Разложение логарифмической функции в степенной ряд (560).
6. Биномиальный ряд (563). 7. Извлечение корней с помощью
биномиального ряда (564). 8. Вычисление интегралов с помощью степенных
рядов (565). 9. Применение рядов к выводу приближенных формул (567).
10. Степенные ряды в комплексной области (569). 11. Логарифмическая
функция в комплексной области (572).
Краткие исторические сведения (573).
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным
пособием по курсу математического анализа для учащихся IX
и X классов школ с математической специализацией.
Излагаемый в ней учебный материал тесно связан с учебным
материалом курса алгебры для тех же школ, изложенным в книге
«Алгебра» К Во многих местах данной книги есть ссылки на
книгу «Алгебра». Учителю нужно следить за тем, чтобы
изучение математики на основе этих двух книг проводилось так,
чтобы соответствующие темы были вовремя пройдены и могли
служить основой для продвижения вперед. Например, надо,
чтобы тема «Тригонометрия» по курсу математического
анализа была изучена раньше, чем тема «Комплексные числа» по
курсу алгебры, тема «Степени с дробными и отрицательными
показателями» по курсу алгебры предшествовала теме
«Показательная и логарифмическая функции» по курсу
математического анализа.
Как и в книге «Алгебра», здесь многие теоретические
вопросы излагаются на более высоком уровне, чем в массовых
школах. Много внимания уделено таким фундаментальным
понятиям, как понятие действительного числа, предела
последовательности и функции, непрерывности функции и т. д. При
введении показательной функции обосновывается существование
степени с иррациональным показателем, доказана
непрерывность этой функции. Строго доказано существование обратных
функций для тригонометрических и показательной функций.
В данную книгу включены все изучаемые в массовой школе
вопросы, связанные с понятием функции, детально разобран
вопрос об элементарных приемах изучения функций. Наряду
1 Н. Я. В и л е н к и н, Р. С. Г у т е р, С. И. Ш в а р ц б у р д, Б. В.
О в ч и н с к и й, В. Г. А ш к и н у з е. Алгебра, с Просвещение», 1968.
8
с этим здесь изложены и некоторые вопросы, обычно
изучаемые в высших учебных заведениях — понятия производной и
дифференциала, элементы интегрального исчисления, начала
теории рядов в действительной и комплексной областях, методы
приближенного решения уравнений и т. д. По замыслу авторов,
все эти вопросы излагаются в тесной связи с задачами
элементарной математики. В частности, на основе интегрального
исчисления изложены вопросы, связанные с измерением
геометрических величин (вычисление площадей и объемов). Методы
дифференциального исчисления применяются для изучения
элементарных функций и построения их графиков, для
приближенного решения уравнений.
Повышение теоретического уровня изложения потребовало,
естественно, поисков новых методических подходов. В качестве
основы изложения был выбран «принцип разделяющей точки
двух числовых множеств». (Этот же путь предлагали Б. Г. Пев-
ный и В. М. Алексеев.) Последовательное применение этого
принципа позволило сделать наглядными такие понятия, как
понятия квадрируемой фигуры и определенного интеграла,
строго определить степень с иррациональным показателем и т. д.
Поэтому учителю надо в начале изучения курса
математического анализа уделить внимание этому принципу, изложенному в
главе «Действительные числа».
Авторы отдают себе отчет, что тема «Действительные числа»
является одной из самых трудных в курсе. Тем не менее они
начинают изложение именно с этой темы, так как без прочного
фундамента, которым является теория действительного числа,
здание математического анализа не может быть построено так,
как это нужно в школах с математическим уклоном. В
зависимости от уровня подготовки класса учитель может выбрать
соответствующий план изучения этой главы., Например, может
оказаться целесообразным, введя вначале понятие
действительного числа и сформулировав возможность выполнения
арифметических действий над ними, отложить до более
позднего времени ознакомление с принципом разделяющей точки и с
периодическими десятичными дробями (принцип разделяющей
точки впервые используется при доказательстве теоремы о
стягивающейся системе отрезков; периодические же десятичные
дроби целесообразно изучать в связи с бесконечной
геометрической прогрессией). В более подготовленных классах
действительные числа можно изучить сразу, затратив на изучение 10—
12 часов. При этом здесь, как и в других местах, достаточно
ограничиться материалом, напечатанным крупным шрифтом,
9
оставив остальной текст главы как материал, предназначенный
для внеклассной работы с лучшими учениками или для
повторения.
Вторая глава посвящена числовым последовательностям (в
частности, прогрессиям) и понятию предела. Здесь, как
правило, крупным шрифтом набраны формулировки теорем,
относящихся к теории пределов, в то время как доказательства этих
теорем отнесены в мелкий шрифт. Дело педагогического такта
учителя отобрать те из этих доказательств, которые можно
провести в том или ином классе. Специальный пункт посЕящен
методу математической индукции. Понятие предела
последовательности вводится исходя из рассмотрения физического
примера радиоактивного распада, но после длительного
обсуждения дается в точной математической формулировке. Здесь
учитель должен обратить особое внимание на усвоение е—N-
формулировки и разобрать предлагаемые упражнения,
направленные на сознательное усвоение этой формулировки. В той же
главе вводится число е и вычисляются площадь круга и длина
окружности. Оба эти понятия определяются иначе, чем это
принято в распространенных учебниках,— площадь круга
определена как число, разделяющее два числовых множества —
площадей многоугольников, содержащихся в круге, и площадей
многоугольников, содержащих этот круг. Такой подход
позволил обойти многие методические трудности, связанные с
понятием площади. Длина окружности определена на основе
понятия е-оболочки данной линии.
Глава III посвящена понятию функции. После знакомства с
этим понятием и связанными с ним понятиями области
определения, графика, суперпозиции функций и т. д. изложено
элементарное исследование функций и изучены понятия
непрерывности функции, обратной функции, предела функции. Авторы
полагают, что выпускник средней школы с математическим
уклоном должен владеть не только методами изучения функций,
даваемыми дифференциальным исчислением, но и некоторыми из
элементарных методов изучения (разумеется, не слишком
утонченными— элементарные методы служат для грубого
исследования функции, а более тонкие задачи решаются мощными
методами дифференциального исчисления). По мнению
авторов, полноценное усвоение понятия функции предполагает
умение построить график функции, не прибегая к методам
дифференциального исчисления, а используя лишь точки
пересечения графика с осями координат, изучение полюсов функции
и ее асимптот и т. п. Отметим, что в отличие от
распространению
ного порядка изложения авторы считают понятие
непрерывности функции более первичным, чем понятие предела функции
в точке.
В главе IV вводится понятие производной и даются примеры
применения этого понятия к исследованию функций. Поскольку
читатель еще не знаком с тригонометрическими функциями,
показательной и логарифмической функциями, техника
дифференцирования развита не слишком далеко, а особое внимание
уделено смыслу понятия производной, ее приложениям к механике
и геометрии. Учитель может опустить при первоначальном
изложении вопрос о дифференцировании сложной функции и
понятие дифференциала, вернувшись к ним на более позднем
этапе работы. Вопрос о применении понятия производной к
исследованию функций изложен в двух планах — наивном и
более строгом. Учитель может ограничиться рассмотрением
этого вопроса на базе физических представлений о мгновенной
скорости. В более подготовленных классах можно разобрать
и строгие доказательства соответствующих утверждений. Мы
избрали вариант изложения, не опирающийся на теоремы Рол-
ля и Лагранжа. При изучении понятия дифференциала надо
обратить внимание на приложение этого понятия к
приближенным вычислениям.
Глава V посвящена тригонометрическим функциям. Мы
начинаем изложение сразу с тригонометрических функций число*
вого аргумента, вводя важное понятие числовой окружности,,
аналогичное понятию числовой оси. Основным практическим
приложением тригонометрических функций является их
приложение к изучению периодических процессов (в основном —
колебаний). Поэтому мы рассматриваем некоторые задачи о
разложении многочленов от sin л: и cos л: на гармонические
колебания. В конце главы рассматривается дифференцирование
тригонометрических функций и дифференциальное уравнение
гармонических колебаний. Изложение таких вопросов, как
формулы приведения для тригонометрических функций, теоремы
сложения для этих функций и доказательство их
непрерывности, несколько отличается от обычного.
В главе VI изложены вопросы, связанные со степенной,
показательной и логарифмической функциями. При этом
основное внимание уделено принципиальным вопросам (определению
степени с иррациональным показателем, непрерывности
показательной функции, существованию логарифмов), в то время
как потерявшим в настоящее время свое значение вопросам
техники вычисления с помощью логарифмов уделено мало вни-
11
мания. Глава кончается вычислением производных от
показательной и логарифмической функций и рассмотрением
дифференциального уравнения для показательной функции.
Глава VII называется «Элементарные функции.
Трансцендентные уравнения и неравенства». В ней рассмотрены
некоторые методы решения тригонометрических уравнений и
неравенств, а также показательных и логарифмических уравнений
и неравенств. Здесь же изучен вопрос о приближенном решении
трансцендентных уравнений методами хорд, касательных и
последовательных приближений. Авторы не стремились
изложить всю совокупность методов решения трансцендентных
уравнений. Основное внимание было уделено рассмотрению идей,
лежащих в основе различных методов решения — введение
новых неизвестных, разложение левой части уравнения на
множители и т. д. При этом даны указания по выбору новых
неизвестных в ходе решения тригонометрических уравнений.
Читатель, знакомый с техникой интегрирования
тригонометрических функций, легко установит связь сделанных здесь
рекомендаций с подстановками, делаемыми при таком
интегрировании (в частности, с универсальной подстановкой). Мы
полагаем, что не весь материал этой главы должен проходиться
сразу после изучения темы «Показательная и логарифмическая
функции». Большую часть главы лучше использовать при
повторении в X классе, чтобы своевременно создать у учащихся
навыки, которые понадобятся им при обучении в вузах.
В главе VIII изложены основы интегрального исчисления и
даны некоторые его приложения к геометрии (вычисление
площадей, объемов тел вращения и т. д.). При изучении
неопределенного интеграла никоим образом не следует детально изучать
технику интегрирования. Достаточно, чтобы учащийся умел
интегрировать простые функции. Как уже отмечалось,
определенный интеграл вводится здесь не как предел интегральных
сумм, а с помощью понятия разделяющей точки. Теорему
существования определенного интеграла достаточно рассмотреть
лишь для кусочно-монотонных непрерывных функций —этот
класс функций с избытком достаточен для всех приложений к
геометрии. Отметим, что часть материала этой главы было бы
естественно излагать в курсе геометрии, что повлекло бы за
собой уменьшение объема курса математического анализа. Однако
отсутствие учебников геометрии, в которых вопросы измерения
геометрических величин изучались бы с точки зрения
интегрального исчисления, заставило нас включить этот материал в
данную книгу.
12
Наконец, в главе IX даны основные понятия, относящиеся
к теории рядов, показано, как вычисляются с помощью рядов
элементарные функции, и выяснено, как определяются
элементарные функции комплексного аргумента (в частности, дана
формула Эйлера).
Как уже отмечалось, книга написана в нескольких планах.
Основной материал набран крупным шрифтом. Добавочные
вопросы и доказательства многих теорем набраны мелким
шрифтом или отмечены звездочкой. Преподаватель может
остановиться на них в зависимости от уровня подготовки учащихся.
При желании учитель может отложить изучение понятия
производной до того момента, когда будут изучены
тригонометрические функции, а также показательная и логарифмические
функции. При таком плане изложения надо будет дать все
сведения по дифференциальному исчислению в одном месте.
Мы предпочли выбранный в книге план изложения, так как
считаем необоснованным само разделение математики на
элементарную и высшую. Изучаться должна единая математика,
служащая надежной базой как для практики, так и для
успешного обучения в вузе. Понятие функции должно пронизывать
всю школьную математику, давать ей прочную основу и
идейную направленность. Только такой подход может
предотвратить превращение большинства разделов школьной математики
в набор рецептов.
В книге приводятся упражнения не только традиционного
типа, но и упражнения, поясняющие теорию и служащие для
закрепления теоретического материала. Не все упражнения
должны решаться подряд. К некоторым из них учитель может
вернуться при повторении. Разумеется, помимо приведенных
здесь упражнений, учитель может использовать задачи и
упражнения из других источников. Отметим, что опыт работы по
ротапринтному изданию первого варианта этого учебника
показал, что даже те учащиеся, которые решили далеко не все
упражнения книги, получили тем не менее достаточно прочную
подготовку.
Наряду с материалом, относящимся к курсу
математического анализа, книга содержит и некоторые вопросы, связанные с
вычислительной математикой (оценка интегралов, вычисление
значений функции с помощью рядов, приближенное решение
уравнений). Если в школе вопросы вычислительной
математики входят в другой курс, то указанные разделы должны
изучаться в нем. В противном случае их можно изучить в курсе
математического анализа.
1&
Книга может быть использована в качестве учебного
пособия в работе с учащимися математических техникумов. Она
может принести пользу и студентам педагогических институтов,
поскольку показывает связь между школьной математикой,
которую им предстоит преподавать, и математикой, которую они
изучают в институте. Авторы надеются также, что их книга
позволит учителю массовой школы увидеть с иных, более
высоких, позиций излагаемый им курс. Многие изложенные здеаг
вопросы могут быть использованы для проведения
факультативных занятий.
Работа авторов над книгой распределилась следующим
образом: главы I, II, III, IV, VIII и IX написаны Н. Я.
Виленкиным, главы V, VI и VII — совместно Н. Я. Виленкиным и
С. И. Шварцбурдом. С. И. Шварцбурд принимал участие в
подборе и разработке упражнений ко всем главам книги. Ему
принадлежит разработка содержания курса, установление связей
между этим курсом и курсами алгебры, вычислительной
математики и программирования, организация ротапринтного
издания первого варианта книги и руководство всей
экспериментальной работой, позволившей выяснить методическую
пригодность или непригодность различных вариантов изложения
материала и выработать окончательный текст книги. В течение
четырех лет С. И. Шварцбурд сам вел преподавание по
материалам, легшим в основу создания этой книги.
Авторы выражают благодарность В. Г. Ашкинузе за
предоставление материалов, на основе которых было написано
добавление к главе VI о десятичных логарифмах.
В процессе подготовки рукописи к печати важную роль
сыграли критические замечания и многочисленные советы
рецензентов книги К. В. Темко и М. И. Граева, а также редактора
книги Ю. А. Гастева. Авторы выражают им глубокую благодарность.
Пользуясь случаем поблагодарить читателей, отметившим ряд
недосмотров в нашей книге «Алгебра», просим дальнейшие
замечания (по обеим книгам) присылать по адресу: Москва, Е-43,
Нижняя Первомайская ул., 14, кв. 1, С. И. Шварцбурду.
\
Глава I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Рациональные числа. Неравенства.
1. Множество рациональных чисел. В восьмилетней школе
рассматривают лишь рациональные числа. Они возникают при
измерении величин. Пусть надо измерить некоторую величину
(длину отрезка, вес камня и т. д.). Для этого выбирают
некоторую единицу измерения (метр, килограмм и т. д.) и смотрят,
сколько раз она содержится в измеряемой величине. Может
случиться, что данный отрезок имеет длину ровно 17 м или что
данный камень весит ровно 12 кг. Однако часто при измерении
остается некоторый остаток: данная величина не измеряется
абсолютно точно выбранной единицей измерения, не кратна ей. В
этом случае выбирают другую, более мелкую единицу
измерения, деля первоначальную единицу на равные части. Например,
метр делят на сантиметры, килограмм — на граммы и т. д. Если
новая единица измерения содержится в старой п раз, то ее
называют я-й частью первоначальной единицы измерения. Если в
измеряемой величине новая единица измерения укладывается
тп „
ровно m раз, то говорят, что эта величина равна — старой
единицы измерения. В этом случае говорят, что измеряемая
величина соизмерима с единицей измерения.
Символ— называют обыкновенной дробью, или
отношением. Для того чтобы символы — можно было
рассматривать как числа, надо определить для них арифметические
операции, научиться сравнивать друг с другом и, в
частности, устанавливать, когда две дроби выражают результат
измерения одной и той же величины, то есть какие дроби
надо считать равными друг другу.
Все эти понятия определяются исходя из соответствия
между дробями и выражаемыми ими величинами. Позднее,
15
когда мы дадим все необходимые определения, можно
будет забыть о происхождении определений из операции
измерения и считать их аксиомами, определяющими понятие
рационального числа. Поскольку обоснование действий над
дробями, исходящее из операции измерения, давалось уже
в восьмилетней школе, мы лишь напомним здесь
соответствующие определения.
Дроби -~- и ^ получаются при различных способах
измерения одной и той же величины (в первом случае
первоначальная единица измерения делится на п частей, а во
втором — на пр частей).
Покажем, что верно более общее утверждение: если
ms=nr, причем s=^0, пфО, то дроби -^- и — выражают
результат измерения одной и той же величины. В самом
деле, выберем за новую единицу измерения—ю часть
исходной. Она содержится ms раз в величине, измеряемой
дробью -^—, и пг раз в величине, измеряемой дробью —.
Так как по условию, ms = пг, то величины, измеряемые
дробями -^- и -j-, равны друг другу. Обратно, если эти
дроби измеряют одну и ту же величину, то ms=nr.
Поэтому, если ms=nr, причем пфО, яфО, мы будем называть
дроби — и — эквивалентными и писать —. На-
6 9 3
пример, —--jg-^ —
Естественно считать, что все эквивалентные друг другу
дроби —это разные записи одного и того же числа. Мы
будем рассматривать не только дроби, числитель и
знаменатель которых —натуральные числа, но и дроби,
числитель и знаменатель которых — любые целые числа (с
единственным исключением, что знаменатель не может
равняться нулю). Итак, вводим следующее определение:
Рациональным числом называют класс всех
эквивалентных друг другу дробей---, где т и п — целые числа, пфО.
Таким образом, хотя дроби-^и-^ различны, они
являются записью одного и того же
рационального числа. Мы не будем в дальнейшем различать эквива-
16
лентные друг другу дроби и будем считать их равными,
например, -|" = -^-.
Для того, однако, чтобы проделанное нами расширение
запаса чисел было плодотворным, следует позаботиться,
чтобы множество чисел нового рода — рациональных —
включало в себя уже имевшееся в нашем распоряжении
множество целых чисел.
Как известно читателю из курса арифметики, целое
число т можно записать в виде дроби -^-. Все дроби вида
^- эквивалентны дроби -у-. Поэтому мы
отождествляем целое число т с классом дробей {~~~}- Для каждого
рационального числа г, не равного нулю, есть одна и
т
только одна запись в виде г = —, где тип — взаимно
простые целые числа и я>0. Например, —д- = —у. Такую
запись будем называть записью г х в виде несократимой
дроби.
Числа — и ^— мы будем, как обычно, называть
противоположными и писать ^^ в виде ——. Действия над
рациональными числами определяются формулами:
т , г ms±nr . т г тг . /Л ,т#
п — s ns ' п s ns
т г ms
п s пг
Эти определения не зависят от выбора записи рациональных чисел.
т
Для дробей вида -т— эти определения приводят к тем же результатам
что и для целых чисел:
т , _г_ _ т±г т г _ тг
Т" ± Т" ~~ Г~' "Г ' 1 ~ 1 '
Легко проверить, что сложение и умножение рациональных чисел
коммутативны и ассоциативны, а также что умножение дистрибутивно
относительно сложения.
Сложение и вычитание рациональных чисел выражают
соответствующие действия над величинами, например, сложение и вычитание
отрезков. Умножение же рациональных чисел отвечает переходу к новой
единице измерения. Пусть величина а равна — единицам измерения.
п
2 Заказ 2541 17
Примем а за новую единицу измерения. Если величина х содержит
— новых единиц измерения я, то в ней — • — старых единиц. Это
s п s
истолкование удобно, если — и -^- — положительные числа. В слу-
п s
чае когда эти числа могут принимать отрицательные значения, оно
выражает операцию измерения направленных отрезков.
Упражнения
1. Доказать, что каждое рациональное число может быть бесконечно
многими способами записано в виде дроби -5L, где т и п — целые
п
числа.
2. Доказать, что любое рациональное число г, отличное от нуля,
имеет обратное ему число гъ то есть такое, что ггх=\.
3. Доказать, что если — „ Hh-t — ГЛ.
a) JL±J-
п s
ffll . Гх
4. Доказать,
п
„ т1 ч- г1 ■
ПХ St '
что:
"1
б) HL
п
S
г
S
Si
JJ-; b)J?-.-L
Si П S
а) Л. + Л = Л + «.;
п s s п
6)(lL + JL.)+±- = IL+(S- + JL);
\ п s I q n \ s q I
в) JL._L=_L._^L; r)iL.(-L.±) = (.£.-!-V-^;
п s s п п \ s q ) \ п s J q
Д) JULiJL + JL) = HL . _L + JUL - JL.
n \ s q ) n s n q
5. Докажите, что два отрезка, соизмеримые порознь третьему,
соизмеримы между собой.
6. Покажите, что если J^L- = JUl-, то существуют такие т9, л3, Р> Я*
что тъ—тхр, п^—ПхР, т9=^т2^ ns=mq.
7. Докажите, что если отрезки АВ и ВС, лежащие на одной прямой,
соизмеримы с единицей и имеют длины rlt гг, то отрезок АС имеет
длину гг + г*.
8. Стороны АВ и АС прямоугольника ABCD соизмеримы с единицей
длины и имеют длины Гх и га соответственно. Докажите, что площадь
прямоугольника равна гхг%.
2. Отношения порядка и их свойства. Назовем рацио-
т
нальное число а—— положительным* если тип имеют
п
одинаковые знаки, и отрицательным в противоположном
3 7
случае. Например, -g- и —= — положительные числа, а
18
--q — отрицательное число. Ясно, что если тип имеют
одинаковые знаки, то тр и пр также имеют одинаковые
знаки, поэтому данное выше определение положительности и
отрицательности рациональных чисел не зависит от выбора
их записи в виде дроби.
Понятия положительности и отрицательности
рациональных чисел обладают следующими хорошо известными
свойствами:
1) Для каждого рационального числа либо а=0, либо
а положительно, либо а отрицательно.
2) Если а~— положительно, то — а = ——
отрицательно.
3) Сумма положительных чисел положительна, а
сумма отрицательных чисел отрицательна.
4) Произведение двух положительных чисел
положительно, произведение двух отрицательных чисел
положительно, а произведение положительного числа на
отрицательное — отрицательно.
Если а — положительное число, то— также является
положительным числом. Если а — отрицательное число,
то — отрицательно.
Введем теперь отношение порядка для рациональных
чисел. Пусть а и b — различные рациональные числа. Если
(а— Ь) — положительное число, то говорят, что а больше Ьу
и пишут: а>Ь. Если же (а—Ь) — отрицательное число, то
говорят, что а меньше Ь, и пишут: а<Ь. Записи вида a<J)
и Ь<а мы будем называть неравенствами.
Выведем некоторые свойства отношений порядка.
1) Если a>bt то 6<а.
В самом деле, неравенство а > b означает, что число
а—b положительно. Но тогда число Ъ—а ——(а—Ь)
отрицательно, а потому 6<а.
Точно так же доказывается, что если а<&, то 6>а.
2) Если а>Ь и 6>с, то а^>с.
В самом деле, неравенства а>Ь и Ь>с означают, что
числа а—b и b—с положительны. Но тогда положительна
и их сумма
(а—Ь) + {Ь—с)=а—с.
Так как (а—- с) — положительное число, то а>с.
2*
19
Так же доказывается, что если а<Ь и &<£, то а<с.
Заметим, что из неравенств а>6 и с>Ь нельзя сделать
никаких выводов относительно чисел а и с: может иметь
место любой из трех случаев а>с, а<с и а=с. То же
самое может быть, если а<Ъ и с<Ь.
3) Так как сумма положительных чисел положительна,
то из неравенств а>0 и 6>0 следует а4-6>0. Точно так
же доказывается, что из неравенств а<0 и &<0 следует
а+Ь<0.
4) Так как произведение положительных чисел
положительно, то из неравенств а>0 и 6>0 следует а6>0. Точно
так же доказывается, что из неравенств а<0 и Ь<0
следует а6>0, а из неравенств а>0, &<0 (или а<0, &>0)
следует ab<S).
5) Так как число, обратное положительному,
положительно, то из неравенства а>0 следует—>0. Точно так
же из неравенства а<0 следует —<0.
Из свойств 4) и 5) вытекает следующее утверждение:
6) Если а>0 и &>0, то -у>0.
Если а<0 и 6<0, то -т->0.
Если а>0 и 6<0 (или а<0 и 6>0), то -т-<0.
7) Так как число, противоположное положительному
числу, отрицательно, то из неравенства а>0 следует—а<0.
Точно так же из а<0 следует — а>0.
Наряду со строгими неравенствами a>6, a<6 часто
рассматриваются нестрогие неравенства a>6, a<&.
Запись яС>& означает, что число а либо больше числа Ь,
либо равно ему. Поэтому такую запись чайо читают так:
число а не меньше числа Ь. Точно так же запись #<&
читают: число а не больше числа Ь. Свойства нестрогих
неравенств аналогичны свойствам строгих неравенств. Кроме
того, из неравенств a<6, 6<a следует, что а=6.
Отметим еще следующие свойства отношений «больше»
и «меньше» для рациональных чисел:
8) Среди рациональных чисел нет ни наибольшего, ни
наименьшего. В самом деле, если а — рациональное число,
то (а+1) больше, чем a, a (a—1) — меньше, чем а.
9) Среди положительных рациональных чисел нет
наименьшего числа. В самом деле,, пусть а — положительное
20
рациональное число. Тогда уа — тоже положительное
рациональное число, причем ясно, что —а<а.
10) Между любыми двумя рациональными числами
найдется по крайней мере еще одно рациональное число. В
самом деле, если а и Ъ—рациональные числа, причем а<&,
а+Ь
то #i =»—£ рациональное число, причем ясно, что
Из свойства 10) вытекает, что между двумя
рациональными числами а и Ь лежит бесконечно много
рациональных чисел. Сначала мы находим одно такое число а19 потом
число а2, лежащее между а и аи число аъ между а и а2
и т. д.
Упражнения
9. В множестве натуральных чисел введено естественное
отношение порядка. Есть ли среди элементов этого множества наибольший?
Есть ли среди них наименьший?
10. В множество всех целых чисел введено естественное отношение
порядка. Есть ли среди элементов этого множества наибольший и
наименьший элементы?
11. Пусть Ri — множество всех рациональных чисел, меньших чем 1.
Есть ли среди этих чисел наименьшее? Есть ли среди них наибольшее?
12. Пусть /?! — множество всех рациональных чисел таких, что а<\.
Есть ли наибольшее среди этих чисел?
3. Действия над неравенствами. В начальной алгебре
изучались различные действия над равенствами. Там было
показано, что равенства можно почленно складывать,
умножать обе части равенства на одно и то же число,
отличное от нуля, и т. д.
Сейчас мы рассмотрим аналогичные свойства неравенств.
1. Если а>Ь и c>d, то a-\-c>b-\-d. Если же а<Ъ и
c<jd, то a+c<b+d. Иными словами, неравенства
одинакового смысла можно почленно складывать.
В самом деле, пусть а£>Ь и c>d. Тогда числа а—b и
с—d положительны. Следовательно, положительно и число
(a—b) + (c—d)=a+c—b—d=a+c—(b+d).
Это и означает, что a+c>b-\-d. Точно так же
доказывается вторая половина утверждения.
2. Если а>Ь, то для любого числа с имеет место
неравенство а-\-с>Ь+с. Точно так же, если а<Ь> то для
любого с имеем а+с<Ь+с.
21
Предоставляем доказать это утверждение читателю.
3. Если ayb и с — положительное число, то асу be.
Если а<Ь и с — положительное число, то ас<Ьс.
Иными словами, при умножении обеих частей
неравенства на одно и то же положительное число смысл
неравенства не изменяется.
В самом деле, так как а>6, то (а—Ь) — положительное
число. Но тогда и число (а—Ь) с=ас—be положительно, а
потому ас>Ьс.
Совершенно так же доказывается вторая часть
утверждения.
4. Если ayb и с — отрицательное число, то ас<СЬс.
Если а<Ь и с — отрицательное число, то асу be.
Иными словами, при умножении обеих частей
неравенства на отрицательное число, оно заменяется неравенством
противоположного смысла.
В самом деле, пусть ayb. Тогда (а~Ь) — положительное
число, и, поскольку с<0, {а—Ь) с=ас—be является
отрицательным числом. Следовательно, ас<Ъс. Точно так же
доказывается вторая часть утверждения.
5. Если a<Jb и c<d, то а—cyb—d. Иными словами,
если из некоторого неравенства почленно вычесть
неравенство противоположного смысла, то получим неравенство
одинакового смысла с первоначальным.
Для доказательства заметим, что из c<d вытекает
— су — d. Складывая неравенства ayb и —су—d,
получаем а—cyb—d.
6. Если а>Ь>0 и cydyO} то acybd. В самом деле, в
силу свойства 4) из а>Ь и £>0 следует acybc, а из cyd и
6>0 следует bc>bd. Поэтому acybd.
Точно так же доказывается, что из Ь<а<0 и d<c<0
следует 0<ac<bd.
7. Если 0<&<а, то при всяком натуральном п имеем
0<СЬп<ап. Иными словами, неравенство с положительными
членами не нарушится, если обе его части возвести в
степень с одним и тем же натуральным показателем п.
В самом деле, по свойству 6) из неравенства 0<6<а
следует, что 0<Ь2<а2. После этого из 0<&2<а2 и 0<&<а
следует, что 0<63<а3 и т. д. Ясно, что таким путем мы
рано или поздно дойдем до любого натурального
значения п.
8. Если числа а и b одного знака и й<#, то — < -т-.
22
В самом деле, из того, что а и Ъ имеют один и тот же
знак, следует неравенство 0<а6. Кроме того, по условию
Ь<а. Но тогда
4 Х- = (а—Ь) •—V- > О,
как произведение положительных чисел. Значит, — < -г-
9. /?сда a, fc, с, d — положительные числа и b<^a, £<d,
а . ъ
то —>—■
В самом деле, из неравенства c<d вытекает, что -^"<"7*
Перемножив почленно неравенства а>6 и — > -р
получим неравенство — > -р
Упражнения
13. Доказать, что найдется такое N, что при любом n>N
выполняется неравенство 2/2>и1<>.
14. Доказать, что найдется такое N, что при всех n>N выполняется
неравенство 2*+2я+1 _ А < А.
3л2_2 3 100
15. Доказать, что найдется такое N, что при всех n>N выполняется
неравенство 1000-2Л< 1 -2* ... -п.
16. kp человек выстроились в ряды и шеренги (k рядов, р шеренг).
Кто выше: самый высокий среди самых низких в шеренге или самый
н изкий среди самых высоких в ряду?
17. Существует ли такое число С, что для всех целых п выполняется
неравенство
л»—2л+1
< С?
п*—3
18. Существует ли такое число С, что для всех целых п выполняется
неравенство
!_£±L_|< с?
4. Геометрическое изображение рациональных чисел.
Напомним, как изображают рациональные числа на прямой
линии. Возьмем прямую /, выберем на ней направление,
начало отсчета О и отрезок ОЕу длину которого примем
за единичную (рис. 1). Каждому рациональному числу а
сопоставим точку А на прямой / такую, что
о 1 2 а
1 1 1 1 ^
О Е A L
Рис. 1
23
1) длина отрезка О А равна а, если а>0, и (—а), если
а<0;
2) точка А лежит справа от О, если а>0, и слева от О,
если а<0.
В дальнейшем прямую /, на которой выбраны
направления, начало отсчета О и единичный отрезок, будем
называть числовой осью. Изображение рациональных чисел на
числовой оси позволяет наглядно истолковать различные
понятия, относящиеся к этим числам. Например,
неравенство а<Ь означает просто, что точка оси, соответствующая
числу а, лежит левее точки, соответствующей числу 6.
5. Несоизмеримые отрезки. Мы поставили в соответствие
каждому рациональному числу некоторую точку на
числовой оси. Так как между любыми двумя рациональными
числами а и Ь есть бесконечно много рациональных чисел,
то рациональные точки на прямой лежат всюду плотно —
какой бы малый отрезок мы ни взяли, на нем найдется
бесконечно много точек с рациональными координатами.
Возникает вопрос: исчерпывают ли точки с
рациональными координатами всю прямую?
Поскольку рациональные числа соответствуют лишь
таким точкам А, что отрезок ОА соизмерим с единичным
отрезком, то этот вопрос можно поставить так: существуют
ли отрезки, несоизмеримые друг с другом?
Одним из важнейших открытий математической науки
было обнаружение факта, что несоизмеримые отрезки
существуют, что рациональных чисел недостаточно для
измерения любых отрезков (этот факт был открыт в древней
Греции в школе Пифагора).
Чтобы доказать существование несоизмеримых отрезков,
докажем сначала следующую арифметическую лемму:
Лемма. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен двум.
Иными словами, для любого рационального числа а мы
имеем либо а2<2, либо а*>2.
В самом деле, предположим, что рациональное число а
такое, что а2=2, существует. Запишем его в виде
несократимой дроби а =—. Тогда имеет место равенство -~- = 2,
или что то же, p2=2q*. Из этого равенства видно, что р1
делится на 2, а потому и р делится на 2. Таким образом,
р=2т, где т — целое число. Но тогда мы имеем 4т*=2<72,
то есть q2=2m2. Отсюда видно, что q\ а потому и q де-
24
лится на 2. Но тогда дробь — имеет вид
-^- и ее можно сократить на 2, вопреки
предположению. Итак, рационального
числа а такого, что а2=2, не существует.
Перейдем теперь к доказательству
существования несоизмеримых отрезков. Оно Рис 2-
вытекает из следующего утверждения:
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Чтобы доказать это утверждение, применим теорему
Пифагора. По этой теореме имеем (рис. 2):
АВ2 + ВС2 = АС2.
Так как АВ=ВС> то отсюда следует, что
АС \2
ш
2.
АС
Это равенство показывает, что отношение —т^- не может
выражаться рациональным числом а, так как иначе мы
имели бы а2=2, а таких рациональных чисел не существует.
Доказательство существования несоизмеримых отрезков оказало
глубокое влияние на ход развития греческой математики. Поскольку
греки не знали других чисел, кроме рациональных, а отношения
отрезков не выражаются, вообще говоря, рациональными числами, греки
стали развивать всю математику геометрически, не опираясь на понятие
числа.
Лишь в XIX веке удалось построить строгую теорию чисел нового
вида, называемых иррациональными числами (это сделали Кантор,
Вейерштрасс, Дедекинд и другие математики). Основная трудность
заключается здесь в том, что теорию иррациональных чисел надо строить
чисто арифметически, не опираясь на геометрические рассмотрения.
Только при таком построении иррациональные числа можно употреблять
для измерения величин, отличающихся от длины — площадей, весов,
объемов и т. д. Ведь именно в отвлечении от конкретных свойств
измеряемых величин и заключается всеобщность понятия числа,
обеспечивающая его применимость в вопросах самого различного характера.
Построение теории иррациональных чисел мы проведем в следующем
параграфе.
Упражнения
19. Доказать, что не существует рационального числа такого, что
20. Доказать, что если а — целое число, не являющееся точным
квадратом (то есть а=£Ь2, где Ь — целое число), то оно не является и
квадратом никакого рационального числа.
21. Доказать, что если а — целое число, не являющееся кубом целого
числа, то оно не является и кубом рационального числа.
25
22. Докажите, что если катеты прямоугольного треугольника имеют
целочисленную длину, то гипотенуза либо также имеет целочисленную
длину, либо несоизмерима с катетами.
23. Пусть а, Ь, с — целые числа. При каком условии уравнение
ах*+Ьх+с==0 имеет рациональные корни? Докажите необходимость и
достаточность этого условия.
§ 2. Действительные числа
1. Бесконечные десятичные дроби. Мы видели, что
рациональных чисел недостаточно для того, чтобы измерять
любые отрезки, и потому нам надо строить числа нового
вида — иррациональные числа. Первый шаг, который мы
сделаем в этом направлении, может показаться
удивительным; мы оставим лишь десятично-рациональные числа. Так
м
называют числа, которые можно записать в виде у™ , где М—
целое число. Читатель, несомненно, знаком с записью таких
чисел в виде конечных десятичных дробей, например. 3,14
или —62,21. Хорошо известны правила действий над
конечными десятичными дробями и сравнения этих чисел по
величине.
Поскольку для решения задачи измерения отрезков
недостаточно рациональных чисел, тем более недостаточно чисел
десятично-рациональных. Но мы покажем, что если вместо
конечных десятичных дробей взять «десятичные дроби»
с бесконечной последовательностью десятичных знаков,
то с их помощью можно выразить результат измерения
любого отрезка. Такие «десятичные дроби» мы будем
называть бесконечными десятичными дробями.
Примерами таких «дробей» могут служить:
а) 0,383838... (38 повторяется бесконечно много раз);
б)—2,101001000100001... (после 1-й единицы идет 1 нуль,
после 2-й —2 нуля, ..., после п-й единицы — п нулей и т. д.);
в) 16,1234567891011121314... (после запятой выписываются
по порядку все натуральные числа).
Заметим, что любую конечную десятичную дробь можно
записать и как бесконечную, добавив после последней ее
цифры бесконечную последовательность нулей (3,740000...
вместо 3,74; 4,000... вместо 4 и т. п.).
Мы будем обозначать бесконечные десятичные дроби
так:
±iV, a^a^...,
где N— натуральное число или нуль, а а1у а2, а3... — цифры
26
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, для дроби б) N=—2,
а1=1, а2=0, а3=1, а4=а5=0, а6=\ и т. д.
Важно иметь в виду, что никакая запись вида ±Nfaiaia8... сама по
себе отнюдь не указывает закона выписывания последовательности
десятичных знаков (цифр), обозначенных в такой записи многоточием
(это, конечно, относится и к приведенным выше примерам: под
0,383838... — если не делается никаких дополнительных пояснений или
это не ясно из контекста — может подразумеваться любая из дробей
0,3838383838..., 03838380000..., 0,383838111..., 0,3838387134510067..., и т. п.).
Бесконечные десятичные дроби пока что являются лишь
некоторыми бесконечными наборами цифр. Для того чтобы
их можно было рассматривать как «настоящие числа», надо
уметь ответить на следующие вопросы:
1) Как сравнивать по величине бесконечные десятичные
дроби?
2) Как выполнять арифметические операции над
бесконечными десятичными дробями?
3) Как выражать через бесконечные десятичные дроби
рациональные числа (не являющиеся конечными
десятичными дробями, например -«-)?
Кроме того, чтобы связать задачу измерения
произвольных отрезков с вводимым здесь аппаратом бесконечных
десятичных дробей, необходимо понять, как мы приходим
при измерении отрезков к десятичным дробям и какой
отрезок соответствует данной десятичной дроби.
Ответам на эти вопросы посвящен данный параграф.
Упражнения
24. Следующие рациональные числа представить в виде конечных
десятичных дробей:
а) А; б) -L; в)?17; г) Ji; д) —^_; е) -?!£
' 4 } 200 J 400 ' 625 ' 125 ' ' 2500
25. Вычислить выражения:
а) (2.1—1,965); (0,12-0,45) _ 1; 0,25 .
0,0325:0,13 0,16-625'
б) (0,45 : 0,9) + (0,9: 0,45) + (1,5:3) + (0,242 :0,11): (2,3-1,26).
2. Бесконечные десятичные дроби и процесс измерения
отрезков. Выясним, в первую очередь, как возникают
бесконечные десятичные дроби при измерении отрезков. Этот
вопрос равносилен вопросу о выражении в виде
бесконечной (или конечной) десятичной дроби координат точек на
числовой оси. Ведь если мы научимся выражать десятич-
27
ными дробями координаты всех точек на прямой, то
одновременно научимся выражать такими дробями и длины
всевозможных отрезков. В самом деле, любой отрезок
можно совместить с отрезком на числовой прямой, один
из концов которого совпадает с началом отсчета О, а
второй конец А лежит справа от точки О; координата конца
А и даст длину отрезка.
Для краткости мы будем в дальнейшем обозначать
точки на числовой оси их координатами. Вместо того чтобы
говорить «точка с координатой 3,84», будем говорить
просто «точка 3, 84». Отрезком [а, Ь] мы будем называть
отрезок, начало которого имеет координату а, а конец —
координату Ь.
Итак, пусть а-—некоторая точка числовой оси, лежащая
справа от О. Мы хотим сопоставить этой точке некоторую
конечную или бесконечную десятичную дробь — координату
этой точки. Для этого сначала определим целую часть
координаты. С этой целью возьмем на оси точки с целыми
координатами 0; 1; 2; 3; ...; п\ ... . Эти точки разбивают
полуось [0, оо] на бесконечное множество отрезков:
[0; 1]; [1; 2]; [2; 3]; ...; [щ п+\\\ ...
Вообще говоря, точка а принадлежит только одному из
этих отрезков. Однако, если она совпадает с одной из
точек деления, скажем, если а=3, то а принадлежит как
отрезку [2; 3], так и отрезку [3; 4].
Возьмем отрезок, которому принадлежит точка а (если
а — одна из точек деления, то берем любой из двух
отрезков, общим концом которых является а). Например,
пусть а принадлежит отрезку [5; 6] (рис. 3). Разобьем этот
отрезок на десять равных частей точками 5,0; 5,1; 5,2; 5,3;
5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0. Точка а принадлежит одной
из этих частей (или если она — одна из новых точек
деления, то двум частям, для которых а —общий конец).
Выберем часть, которой принадлежит точка а. Пусть,
например, это будет часть [5,3; 5,4]. Разделим часть [5,3; 5,4] на
десять равных частей точками 5,30; 5,31; 5,32; ...; 5,40 и
д 1 2 з * 5 б '
, i Н ! 1 1 • I —
0 о
Рис. 3
снова выберем ту из этих частей, которой принадлежит
точка а. Пусть, например, это окажется отрезок [5,36; 5,37].
28
Описанный процесс продолжается бесконечно. «Отчет»
об этом процессе можно дать в виде бесконечной
десятичной дроби —на первом шагу мы нашли ее целую часть, на
втором — первую цифру после запятой, на третьем — вторую
цифру после запятой и т. д. В нашем случае первые
десятичные знаки имеют вид 5,36... .
В общем случае получается бесконечная десятичная
дробь вида.
Здесь N — целая часть дроби, ах показывает число десятых,
а2 — число сотых и т. д.
Совершенно так же строятся бесконечные десятичные
дроби для точек, лежащих слева от точки 0. В результате
мы ставим в соответствие точкам оси дроби вида
±N,aia2as...an...y
причем точкам, лежащим справа от 0, соответствуют
десятичные дроби со знаком плюс, а точкам, лежащим слева
от 0— дроби со знаком минус.
Как правило, мы получаем для каждой точки единственную
десятичную дробь — ведь на каждом шагу у нас был лишь один выбор — взять
вот отрезок, на котором лежит точка а. Осложнения возникают лишь
в случае, когда точка а сама является одной из точек деления,
например, если а = 5,3. В этом случае а является общим концом двух
отрезков. В нашем случае это отрезки [5,2; 5,3] и [5,3; 5,4]. Здесь процесс
определения десятичных знаков «раздваивается!. Мы можем выбрать
либо первый отрезок, либо втерой. Посмотрим, что будет в каждом из
этих случаев.
В первом случае мы выбираем отрезок [5,2; 5,3]. Разделим его на
десять равных частей точками 5,20; 5,21; ...; 5,29; 5,30. Ясно, что наша
точка #=5,3 принадлежит последней части [5,29; 5,30] и потому второй
цифрой после запятой является цифра 9. Разделим отрезок [5,29; 5,30]
на десять равных частей. Снова точка а принадлежит последней из этих
частей [5,299; 5,300], а потому и третья цифра после запятой равна 9.
И сколь бы долго ни продолжался описанный процесс, мы будем все
время получать цифру 9. Поэтому этот процесс описывается
бесконечной десятичной дробью 5,299.,., все цифры которой, начиная со второго
места после запятой, равны 9.
Если же мы выберем вначале отрезок [5,3; 5,4], то на каждом
следующем шагу точка а будет принадлежать самой первой части, а
именно частям [5,30; 5,31]; [5,300; 5,301] и т. д. Поэтому процесс описывается
уже десятичной дробью 5,3000..., все цифры которой, начиная со второго
знака после запятой, равны нулю.
Таким образом, точке а соответствуют две десятичные дроби. То же
самое будет для всех точек деления (так называемых
десятично-рациональных точек). Им соответствуют две десятичные дроби, из которых
одна кончается нулями, а вторая — девятками. Отметим, что точке О
тоже соответствуют две десятичные дроби: 0,0...0... и — 0,0...0... . Это
29
показывает, что бесконечные десятичные дроби, кончающиеся
последовательностью девяток (например, 0,519999...), равно как и дробь
—0,000..., не нужны для измерения отрезков — длину отрезка всегда
можно выразить дробью, не имеющей такого вида (например, дробью
0,520000...).
3. Действительные числа. Введем теперь следующее
определение:
Определение. Бесконечная десятичная дробь
±N,axa2...an...
называется действительным числом, если она не кончается
последовательностью из одних девяток и не имеет вида
-0,000....
Числа x=N,a1...an... и у = ~N,av.. an... называются
противоположными; мы пишем тогда у = —х. Кроме того,
нуль, по определению, считается противоположным самому
себе. Числа вида Nyav..an... называются положительными,
а вида —N,av.. an... — отрицательными (напоминаем, что
N — число натуральное).
Мы показали выше, что каждой точке оси соответствует
некоторое действительное число — ее координата. При этом
различным точкам оси соответствуют различные
действительные числа.
В самом деле, если А и В— различные точки оси, то при достаточно
большом п отрезок длины -Ц окажется меньше отрезка АВ. Если
разбить ось на отрезки длины -- , то точки А и В окажутся на двух
10Л"И
различных отрезках, не имеющих даже общего конца. Это показывает,
что координаты точек А и В различны: они отличаются друг от друга
или в целых частях или в (п + 1)-м десятичном знаке после запятой.
Теперь рассмотрим вопрос, все ли действительные
числа необходимы для измерения отрезков. Иными словами,
выясним, для любого ли действительного числа
х = ±N,ala2...an...
найдется точка А оси, координатой которой является это
число. Предположим для определенности, что х —
положительное число. Рассмотрим на оси отрезки вида
[ ^ 10 ^ Юа ' v^ 10 ^ 10* ]' —
30
Ясно, что каждый следующий из этих отрезков является
частью предыдущего, причем среди этих отрезков есть
отрезки сколь угодно малой длины. Геометрически очевидно,
что существует одна и только одна точка А,
принадлежащая всем отрезкам (1). Ее координатой и является число х.
Утверждение, которое мы назвали «геометрически очевидным», на
самом деле является одной из форм, в которых проявляется свойство
непрерывности прямой. Это одна из формулировок так
называемой аксиемы непрерывности:
Если дана система отрезков
AxBi , . .. , АпВп, ...
на прямой линии, причем каждый следующий из этих отрезков является
частью предыдущего, и для любого отрезка CD найдется такое п, что
отрезок АпВп меньше CD, то существует одна и только одна точка А
на прямой, принадлежащая всем отрезкам АпВп.
Если бы прямая была «проколота» в какой-то точке, то была бы
последовательность вложенных друг в друга отрезков, не имеющих общей
точки, а именно последовательность отрезков, стягивающихся к
«проколу».
Итак, соответствие
точка оси —► ее координата
обладает следующими свойствами:
а) каждой точке оси соответствует одно и только одно
действительное число, причем разным точкам
соответствуют разные числа;
б) каждое действительное число является координатой
хотя бы одной точки оси.
Эти свойства означают, что соответствие между
точками оси и их координатами взаимно-однозначно.
4. Упорядоченность множества действительных чисел.
Мы построили множество действительных чисел.
Определим теперь в этом множестве понятия «больше» и «меньше».
Эти понятия должны быть определены так, чтобы в
случае конечных десятичных дробей они приводили к тому
же результату, что и определение, сформулированное на
стр. 19.
Введем понятие неравенства сначала для
положительных действительных чисел. Пусть
х=М,ауагаг„. ak...
y=N,bxb2b3... bk...
— два таких числа, причем хфу. Мы будем говорить, что
*<У, если либо M<N, либо M=jV, но ах<Ьъ либо
31
M=N, а^Ъх, но а2<&2> и т- Д- Иными словами, *<у, если
существует такое п, что
M=N, ах=Ь19 a2=b2,..., an-\=bn-\
и ап<СЬп. Например, имеем:
3,14159... < 3,14162... .
В самом деле, целые части и первые три знака после
запятой у этих чисел равны, а четвертый знак больше у
второго числа.
А теперь определим отношение порядка для любых
действительных чисел. Именно, положим:
1) если а — отрицательное число, Ъ — положительное
число, то а<Ь.
2) Если а и Ь— отрицательные числа, причем —а>—6,—
а<Ь.
3) Нуль меньше всех положительных чисел и больше
всех отрицательных чисел.
Можно показать, что введенные сейчас отношения с больше» и ••
сменыне» для действительных чисел обладают теми же свойствами, что
и для рациональных, а именно:
а) Для любых двух различных действительных чисел а и Ь
выполняется одно из двух: а<Ъ или Ь<а.
б) Если а<Ь и Ь<с, то а<с.
При этом, если а и Ь — десятичные рациональные числа, то
введенное сейчас определение приводит к тому же результату, что и данное
в п. 3, § 1.
5. Десятичные приближения действительных чисел. Пусть
х = ±N, аха2..ш ап... —
действительное число. Если оно положительно, то
десятичным приближением числа х по недостатку с
точностью до п-го знака после запятой называют число
N^axa2... an. Число же Муахаг...ап + у^ называют
десятичным приближением числа х по избытку (с той же
точностью). Например, если
х=3,286930...,
то его приближением по недостатку с точностью до
третьего знака после запятой является 3,286, а приближением по
избытку с точностью до четвертого знака после запятой —
число 3,2870.
Очевидно, что по мере возрастания точности
десятичные приближения числа х по недостатку возрастают, а по
избытку — убывают.
32
В самом деле, ясно, что при т<п
N,aia2... ат < N, а1а2... ат... ап
и
N,axa2... am + J^ > N^a*.. am... an + ^L.
Если число х = —N,axa%... an... отрицательно, то его
приближением по избытку является число —Ыуах... ап, а
по недостатку — число N,av.. ап—у^.
Если число х десятично-рационально, то есть если его
десятичная запись кончается последовательностью нулей:
х= ±N,ala2...anOO...O,
то при дс>0 оно совпадает со своим приближением по
недостатку, имеющим точность г^, а при *<0 с аналогичным
приближением по избытку.
Упражнения
26. Докажите, что если для положительной бесконечной десятичной
дроби все приближения с недостатком, начиная с /i-го, совпадают, то
все цифры дроби, начиная с некоторой (с какой?), суть нули.
27. Существует ли наименьшее число, большее чем 0,52?
28. Каково наибольшее действительное число, меньшее 0,9, в запись
которого не входит цифра 9?
29. Каково наименьшее действительное число, большее 7,6, в
бесконечную десятичную запись которого не вводят цифры 0,1 и 2?
6. Рациональные числа и бесконечные периодические
десятичные дроби. Выясним, как вкладываются в множество
действительных чисел рациональные числа — пока лишь
десятично-рациональные числа записаны в виде десятичных
дробей.
Возьмем какое-нибудь рациональное число, скажем —.
Найдем соответствующую ему десятичную дробь. Будем
для этого делить число 5 на 11:
5,0 I и
4 4 0,4545...
~~60
50
60
50
3 Заказ 2541
33
Процесс деления приводит к бесконечной десятичной
дроби 0.454545... . Выясним, как связана она с
рациональным числом-^-. Ясно, что 0,4<-£-<0,5; 0,45 <Д- < 0,46; ...
5
0,454 <-ту- < 0,455 и т. д. Но это значит, что бесконечная
десятичная дробь 0,454545... выражает процесс измерения
отрезка, равногоуу единичного отрезка.
Итак, мы видим, что если — рациональное число, то
для получения соответствующей этому числу бесконечной
десятичной дроби надо делить р на q по правилу деления
чисел в десятичной системе счисления.
Выясним теперь, чем характеризуются десятичные дроби,
соответствующие рациональным числам, чем выделяются они из множества
5
всех бесконечных десятичных дробей. Числу -ут соответствует дробь
0,454545... . Мы видим, что в этой дроби бесконечно много раз
повторяется комбинация цифр «45». Такую бесконечно много раз
повторяющуюся комбинацию цифр называют периодом,, а бесконечную десятичную
дробь, образованную бесконечным повторением одной и той же
комбинации цифр, — частой периодической дробью. Например,
0,142857142857142857... —
чистая периодическая десятичная дробь. Для краткости такие дроби
записываются так: 0,(142857).
Иногда вместо чистой периодической дроби получается дробь, в
которой сначала идут несколько десятичных знаков, а потом
начинается период, например, 0 21474747...
Такую дробь называют смешанной периодической десятичной дробью и
обозначают 0,21(47).
Причину появления периодичности можно понять, рассматривая,
2
например, процесс перевода дроби -у в бесконечную десятичную дробь:
2
20
"14
60
56
40
•"35
50
—49
10
~~ 7
30
""28
20
0,285714
34
В процессе деления последовательными остатками являются числа
6 4 5, 1, 3, 2. По достижении остатка 2 цикл завершается, и мы снова
возвращаемся к делению 20 на 7. Повторение было неизбежно, так как
все остатки меньше, чем делитель 7, а потому иных остатков, кроме
1 2 3 4. 5, 6, появиться не могло. Поэтому какой-то остаток должен
был повториться (остаток 0 не мог появиться, так как — не является
дробью вида —£-— и потому не преобразуется в конечную десятичную
дробь).
В разобранном выше примере повторение обнаружилось, когда
деление 20 на 7 встретилось во второй раз. При этом деление 20 на 7 было
также первым шагом всего процесса деления. Однако могло случиться,
что повторится не первый шаг процесса деления, а какой-нибудь
другой шаг этого процесса. Рассмотрим, например, разложение в десятич-
173
ную дробь числа _:
990
0,174
173
1730
" 990
7400
"6930
4700
~~396и
740
Повторение возникло здесь при вторичном появлении остатка 740.
Покажем, что при обращении рационального числа — в десятич-
п
ную дробь всегда получается либо конечная десятичная дробь, либо чистая
периодическая бесконечная десятичная дробь, либо смешанная
бесконечная десятичная дробь. Не теряя общности, можно считать, что дообь-^L —
п
правильная. При делении на п может получиться не более, , чем п
различных остатков: 0, 1, 2, ..., п—1. Если на каком-то шагу ч получится
остаток нуль, то процесс деления оборвется, и мы получим конечную
десятичную дробь. В противном случае мы получим бесконечно много
остатков, ни один из которых не равен нулю. Так как число различных
остатков не более, чем п—1, то не позднее, чем на (п—1)-м шагу
деления мы получим остаток, равный одному из предыдущих. Начиная с
этого места, весь процесс деления повторяется. При этом, если
повторившийся остаток совпадает с числителем дроби, то процесс деления
повторяется целиком, и мы получаем чисто периодическую бесконечную
десятичную дробь. Если же повторившийся остаток совпадает с одним
из промежуточных остатков, встретившихся ранее, то процесс
повторяется не целиком, и мы получаем смешанную бесконечную десятичную
дробь.
Заметим, что конечные десятичные дроби можно
рассматривать как частный случай бесконечных периодических
з*
35
дробей. Например, вместо 0,48 можно писать 0,48000... или
же 0,48(0). Поэтому мы можем сказать, что каждое
рациональное число представляется в виде периодической
(чистой или смешанной) десятичной дроби.
Мы покажем ниже, что и, обратно, для каждой
бесконечной периодической десятичной дроби есть равное ей
рациональное число.
7. Теорема о разделяющем числе. В дальнейшем мы
будем часто использовать одно свойство множества
действительных чисел, называемое теоремой о разделяющем
числе.
Пусть А и В — два числовых множества. Мы будем
говорить, что множество В лежит справа от множества А,
если из а£А, b£B следует, что а<Ь (иными словами,
каждое число а из А не больше любого числа Ъ из В).
Например, если А —множество чисел а, для которых
а<2, а В — множество чисел ft, для которых ft>3, то
множество В лежит справа от множества А. В этом случае
любое число с отрезка [2, 3] обладает следующим
свойством: если а£А, то а<с, а если Ь$В, то &>£ (рис. 4а).
Введем следующее определение:
Пусть множество В лежит справа от множества А.
Число с называется разделяющим эти множества, если для
любого числа а из А выполняется неравенство а<£, а для
любого числа Ь из В — неравенство ft>c.
В разобранном выше примере все числа отрезка [2, 3}
разделяли множества А и В. Если же А —множество всех
рациональных чисел г, для которых г<2, а В — множество
всех рациональных чисел s, для которых s>2, то эти
множества разделяются единственным числом с=2 (рис. 4 б).
Теорема о разделяющем числе. Пусть множество В
лежит справа от множества А. Тогда есть хотя бы одно
число с, разделяющее множества А и В.
111111 щ 11111111 и • 11 i м 11111111111111
А 2 3 В
Рис. 4а
1 м | | i | IIl111I I МI i I I» ! I I IЧ iI 1111 I 1 I 111 111
А 2 В
Рис. 46
36
A ' 3
|П I I I M I I I IH -H I II I r 1 1 II l I 1 П *~
M M+f N N+1 L
Рис. 5
Наметим доказательство этой теоремы. Возьмем отрезки вида
ы /i+l], где п пробегает множество всех целых чисел. Так как
множество А лежит слева от £, то среди отрезков, содержащих точки из А,
есть самый правый отрезок. Обозначим его через [М, М+1]. Точно так
же есть самый левый из отрезков, содержащих точки множества В.
Обозначим его через [N, N+1] (например, если Л —луч (—оо, JLl, a
#_луч [3, + оо), то М=\ и N=3). Так как множество В лежит справа
от А, то возможны лишь два случая: либо M<N, либо M=N. В первом
случае целое число М + 1 разделяет множества А и В (рис. 5).
Рассмотрим второй случай: M=N. Предположим для простоты, что
N>0. В этом случае разделим отрезок [N, N+l] на десять равных частей
и выберем самый правый отрезок Г N+-^-9 N 4-/72l^t , содержащий
точки из А, и самый левый отрезок NV+_Z?i N + -^Ц— > содержащий
точки из В. Если эти отрезки не совпадают, то точка N+ Шх —
разделяет множества А и В. Если они совпадают, то делим отрезок
ГлЧ-—JL-, N + !Ь1 — 1 на десять равных частей и продолжаем описанный
процесс далее. Снова возможны два случая: в первом — на каком-то
шагу получаются два различных отрезка. Тогда разделяющей точкой
является одна из точек деления. Во втором случае на каждом шагу
выбираемые отрезки совпадают. Мы знаем, что «отчет» о таком процессе
выражается бесконечной десятичной дробью
c=N, пхПъ... .
Это число с и разделяет множества А и В. В самом деле, покажем,
что для любого числа а из А имеет место неравенство а<с. Если бы мы
имели а>с (рис. 6), то при достаточно большом значении п точки а и с
попали бы на разные отрезки деления длины _. А тогда отрезок, на
котором лежит с, не был бы самым правым отрезком деления длины
—, содержащим точки из множества А. Это показывает, что а<с.
Точно так же доказывается, что если b € В, то Ь>с.
—*—I—I—hM—»—
а еА
Рис. 6
37
8. Необходимое и достаточное условие единственности
разделяющего числа. Мы сталкивались выше с примерами
двух типов. В одних случаях множества А и В разделялись
целым отрезком, а в других они разделялись единственным
числом с. Сейчас будет сформулировано необходимое и
достаточное условие для того, чтобы множества А и В
разделялись лишь одним числом.
Назовем отрезок [а, Ь] разноцветным, если один его
конец а принадлежит множеству А, а другой конец Ъ —
множеству В. Мы будем говорить, что существуют сколь
угодно малые разноцветные отрезки, если для любого
положительного числа г>0 найдутся разноцветный отрезок
[а, Ь\ и содержащий его отрезок [а, р] с рациональными
концами, длина которого меньше, чем е, р—а<е.
Нам пришлось ввести отрезок [a, [J], так как мы еще не умеем
вычитать друг из друга действительные числа; если бы мы это умели, то
сказали бы проще — если для любого е>0 найдется разноцветный
отрезок [а, Ь], длина которого меньше е, Ь—а<е.
Теорема. Пусть множество В лежит справа от
множества А. Для того чтобы эти множества разделялись
лишь одним числом, необходимо и достаточно, чтобы
существовали сколь угодно малые разноцветные отрезки.
Доказательство. Докажем сначала, что сформулированное
условие достаточно. Пусть есть два числа сх и с2, С\<сч% разделяющие
множества Лив (рис. 7). Тогда при достаточно большом п числа С\ и с2
принадлежат отрезкам деления длины —, не имеющим общих концов.
Значит, есть хоть один отрезок \— т~* , лежащий между с* и с2:
сх <
Но тогда, если а£А, Ь£в, то а<с1<с2<Ь, а потому отрезок [а, Ь]
содержит отрезок -^-, m . Ясно, что длина любого отрезка с
рациональными концами, содержащего отрезок [а, &], больше, чем —- , а
потому не существует сколь угодно малых разноцветных отрезков.
т m+i A
С " JU* 10п о
\ ч \ I I *-
А с, с2 А
Рис. 7
38
II t I I i I I ! 1 i-4——~~+ I ! i I l) I I 1 I I I I I *-
А С/. О Р В
Рис. 8
Итак, если множества А и В разделяются более чем одним числом,
сколь угодно малых разноцветных отрезков нет. Достаточность условия
доказана.
Докажем теперь, что это условие необходимо. Пусть есть лишь одно
число с, разделяющее множества А и В. Зададим е>0 и возьмем отрезок
[*, Р] с рациональными концами такой, что а<с<р и Р—а<е (в качестве
такого отрезка можно выбрать, например, отрезок \сп——- сп-\- — ,
где сп —- десятичное приближение числа с с точностью до ——, и п
достаточно велико). Покажем, что на отрезке [а, р] есть хоть одно число
из множества А. В противном случае все это множество лежало бы
слева от числа а, в то время как все множество В лежит справа от
числа с. Но тогда все числа отрезка [а, с] разделяли бы множества А
и В (рис. 8), что противоречит предположению о единственности
разделяющего числа. Итак, мы нашли число а из множества Л, лежащее
на отрезке [а, с]. Точно так же мы найдем число b из В, лежащее на
отрезке [с, р]. Отрезок [а, Ь] разноцветен и лежит на отрезке [а, р] с
рациональными концами, длина которого меньше, чем е. Значит, наше
условие выполнено. Необходимость условия тоже доказана.
Упражнения
30. Найдите отрезок, разделяющий множество А дробей вида
f———1 и множество В дробей вида ] "* —1.
I п2-г 1 / I л2+4 J
31. Найдите число, разделяющее множество А дробей вида I—-—I
I п*+1 /
и множество В дробей вида!—^—>.
1/ia+lJ
9. Арифметические действия над действительными
числами. Определим теперь арифметические
действия—сложение, вычитание, умножение и деление действительных
чисел. Начнем с действия сложения. Пусть заданы два
действительных числа х и у. Обозначим через А числовое
множество, состоящее из всевозможных сумм вида p-\-q,
где р — рациональное число, не превосходящее х, a q—
рациональное число, не превосходящее у (/?<*, ЯКУ)- Через
В обозначим числовое множество, состоящее из
всевозможных сумм вида r-+s, где г—рациональное число, не
меньшее, чем х, a s — рациональное число, не меньшее, чем у.
Так как /?<х<г, <7<#<s, то p+qKr+s. Значит, множе-
39
ство В лежит справа от множества Л. Следовательно, есть
по крайней мере одно число, разделяющее эти два
множества.
Покажем, что это число единственно. Для этого достаточно
доказать, что существуют разноцветные отрезки сколь угодно малой длины.
о
Зададим е>0 и возьмем настолько большое значение п, что — < е.
Пусть десятичное приближение числа л* по недостатку с точностью до
1 / т
-— равно , а такое же приближение числа у равно -— Тогда
w<x<Jw~H -wr<y<fw- Поэтому числ0 w + жпринад"
ill т-Х— 1
лежит множеству Л, а число —I— + "*~ — множеству В. Но
J 10я КУ2
( /+1 , т+1 \ _ (±_ , т_\ = _2_
I 10" 10" / WO* ^ {(У1) 10"
< е.
Значит, существуют сколь угодно малые разноцветные отрезки, и
потому, в силу теоремы п. 8, множества А и В разделяются
только одним числом. Это единственное число, разделяющее
множества А и В, называют суммой чисел х и у и обозначают х+у.
Итак, суммой действительных кисел х и у называют
такое число х-\-у, которое не меньше всех сумм вида р+Я
(р и ? —рациональные числа, р<*, <7<£/) и не больше всех
сумм вида r+s (г и 5 — рациональные числа, r>*, s>y).
Разностью действительных чисел х и у назовем сумму
х и числа —у:
х—У = х + (—У).
Из определения сложения действительных чисел непосредственно
вытекает, что имеет место коммутативный закон: для любых
действительных чисел х и у имеем:
х+у=У+х
— обе суммы разделяют одни и те же множества.
Лишь немногим сложнее доказательство ассоциативного закона для
сложения действительных чисел:
х + (у + г)=(х + у) + г.
В самом деле, обозначим через А множество чисел вида l+p-\~q, где
/, р, q — рациональные числа такие, что 1<х, р<у, q<z, а через В —
множество чисел вида m + r+s, где т, г, s — рациональные числа такие,
что т>х, r>y, s>z. Как х + (y+z), так и (x-\-y)+z разделяют
множества А и В. Нетрудно проверить, что эти два множества разделяются
только одним числом. Поэтому х-\-(у+г) = {х+у)+г.
Теперь определим умножение действительных чисел.
Пусть х и # —положительные действительные числа.
Обозначим через А множество чисел вида pq, где р и q — поло-
40
жительные рациональные числа такие, что р<*, д<У.
Через В обозначим множество чисел вида rs, где г и s —
рациональные числа такие, что r>xy s^>y. Ясно, что
множество В лежит справа от множества Л, и потому эти
множества разделяются по крайней мере одним числом.
Покажем, что множества А и В разделяются только одним числом.
В самом деле, пусть Рп *— десятичное приближение по недостатку
числа х с точностью до —, а -^- — такое же приближение числа у.
Тогда мы имеем
-W 10" ' 1W У 10*
и потому число ^^принадлежит множеству А, а число-А™ Щ^ '-—
J 102л 102л
множеству В. Но
(Рп+1)(Яп+1) _ РпЦп = Рп+Яп+1
\02п \02п 10271
Так как -Ё£г < х> ~т£г < У> то
10* 10л
Pn+Qn+1 < *+У+1
Ю2л 10й '
Если е>0, то при достаточно большом л выполняется неравенство
х-гу-\- ^ и потому
10й J
(Ря+1)(<Уп+1) _Мй < е
102л 102"
Мы доказали, что существуют сколь угодно малые разноцветные от
резки, а потому множества А и В разделяются только одним числом
Это число и называют произведением чисел х и у.
Итак, произведением положительных действительных
чисел х и у называют число ху, которое не меньше всех
чисел вида рд (р и д — рациональные числа, /?<#, д<СУ) и
не больше всех чисел вида rs (r и 5 — рациональные числа,
r>x, s>y).
Произведение положительного действительного числа на
отрицательное, отрицательного на положительное и
произведение двух отрицательных действительных чисел
определяются в соответствии со следующим «правилом знаков»:
х (—У) = (—х) у = — ху, (—х)(—у)=ху
41
(здесь хну положительны). Кроме того, как и для
рациональных чисел, имеем:
*-0=0-*=0, х\ = \х=х.
Из данного выше определения умножения
действительных чисел вытекает, что оно коммутативно, ассоциативно
и дистрибутивно относительно сложения:
ху = ух;
х (yz) = (ху) г\
* (У+z) = ху+хг.
Наконец, рассмотрим вопрос о делении действительных
чисел. Пусть х — положительное действительное число.
Обозначим через А множество всех чисел вида—, где 5 —
рациональное число, не меньшее, чем х, s^x, а через В—
множество всех чисел вида —, где г — положительное
рациональное число, не большее, чем х. Из неравенства
r<;*<s вытекает, что— <;—, а потому множество В
лежит справа от множества А. Следовательно, есть хотя бы
одно число, разделяющее эти множества.
Докажем, что это число единственно. Пусть ™п — десятичное
приближение числа х с точностью до —- по недостатку, тп^=0. Тогда
тп ^ v <- тп~т— Следовательно, число принадлежит мно-
— множеству В. Но
10" 10"
10я
жеству А,
10"
а число
10Л
10"
тп тп+\ тп(тп+\)
Покажем, что при достаточно большом значении п дробь .
тп{тп-\-\)
станет меньше любого наперед заданного числа е>0. Для этого
выберем некоторое рациональное число а между нулем и х, 0<а<х (рис. 9).
■+■
™п тп+1
10п 10п
а
Рис. 9
42
При достаточно большом п мы будем иметь ./j*V- > а, а потому
*в < — и тем более < Но тогда
10* 10я . 10Л .11 1
тп(тп±\) тп тп+\ 10" a* 10"
Увеличивая, в случае необходимости, значение п, мы получим, что
_L. . _ < е. А тогда и
— < е.
тп тп+\
Итак, существует сколь угодно малый разноцветный
отрезок, а потому множества А и В разделяются единственным
числом.
Это число обозначают — и называют обратным числу х.
Если х—отрицательное действительное число, то полагают
J_ = 1_
X —X
Из определения обратного числа— следует, что при
X
Пусть теперь х и у — два действительных числа, причем
У=£0. Частным от деления числа х на у называют число
У ~~ У '
Из определения этого числа вытекает, что
у У у У
Мы определили, таким образом, все арифметические действия над
действительными числами и убедились, что все эти действия
возможны, за исключением деления на нуль. При этом суммой, разностью,
произведением и частным двух действительных чисел х и у являются
действительные числа. Как говорят, множество действительных чисел
замкнуто относительно арифметических операций (исключая деление
на нуль). Множество чисел, замкнутое относительно арифметических
операций, называют числовым полем. Итак, множество действительных
чисел — числовое поле.
Упражнения
32. Докажите, что если х>у, u>v, то x-\-u>y-\-v.
33. Докажите, что если х>у>0, u>v>0, то xu>yv.
43
34. Докажите, что если х>у>0, то 0<— <
х у
35. Докажите коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность
относительно сложения действительных чисел. Докажите, что если
xj=0, то х-— = 1.
X
10. Модуль числа и его свойства. Пусть а —
действительное число. Его модулем, или абсолютной величиной,
называют число \а\, определяемое так:
а, если а>0;
а =
-а, если а<0;
0, если а=0.
Например, I--g-l =-f; ]7] = 7; |0| = 0.
Из определения модуля видно, что для любого числа
модуль положителен или равен нулю, причем |а| = 0 тогда
и только тогда, когда а=0.
Установим некоторые неравенства, связанные с модулем
числа. Очевидно, что для любого числа а имеем
— |а|<а < \а\
(если а > 0, то а=\а\, если а<0, то а = — |а|).
Докажем следующее утверждение: неравенство |6|<|а|
равносильно неравенству —|#|<&<|а|.
В самом деле, пусть | Ь \ < \а\. Тогда — \b \ > —\а\. Но —16|<6<|6|.
Поэтому тем более —\а\ <Ь < \а\. Значит, из неравенства |£|<|#|
вытекает —| а \ < Ь < [ а \.
Обратно, пусть —\а\ < Ь < \а\. Умножим все члены этого
неравенства на —1. Мы получим, что \а\ > — Ь > — \а\ (при умножении на —1
знаки неравенства меняют смысл).
Полученное неравенство можно записать так:
— \а\<—*Ъ<\а\,
Таким образом, и Ъ и — Ь лежат между —| а | и /а |. Но \Ь\ равен
или Ь, или— Ь. Поэтому — |#|<|&|<|я|. Утверждение доказано.
Из доказанного утверждения вытекает следующее
важное неравенство: |а+6|< \а\ -\- \Ь\.
В самом деле, мы имеем
—\а | < а < \а\
Ч Ь \ < Ь < \Ь\.
Складывая эти неравенства, выводим, что
■4M + l*|]<*f*<M + 1H
44
Но это неравенство равносильно, по только что доказанному
утверждению, неравенству
Очевидно, что | а-\-Ь | = | а | + | Ь | тогда и только тогда, когда а и Ь
имеют одинаковые знаки (или когда одно или оба из этих чисел равны
нулю). Если же знаки а и Ь различны, то | а+b | < | а | +1 Ь |.
Так как а = (а—6)+Ь, то из доказанного неравенства
следует, что \а\ < | а—Ь\ + \Ь\, и потому
\а-Ъ\>\а\-\Ь\.
Точно так же
\а-Ь\>\Ь\-\а\.
Наконец, отметим, что в силу определения умножения и
деления действительных чисел
И1-1«М»1; т
№• *"••
11. Геометрический смысл модуля. Понятие модуля
числа имеет простой геометрический смысл. Именно, \а\ есть
не что иное, как расстояние от начала отсчета О до
точки Л, изображающей число а.
Несколько сложнее доказать, что для любых двух чисел
а и ft выражение \а—Ь\ равно расстоянию между
изображающими их точками А и В. Для этого надо разобрать все
возможные расположения точек Л, В и О. Мы ограничимся
рассмотрением случая, когда а>0, Ь<0 (рис. 10). В этом
случае а—Ь=а+(—ft), причем а>0 и —&>0. Но тогда
|a-6|-|a+(-6)| = |a| + |-ft| = |a| + |6|.
Но в этом случае точки А и В расположены по разные
стороны от точки О, и потому расстояние АВ равно сумме
расстояний О А и ОВ, АВ = О А + ОВ. Поскольку
\а|=ЛО, |ft| = OB, то получаем, что
\а-Ъ\ = \а\ + \Ь\=ОА+ОВ=АВ.
Точно так же рассматриваются все остальные случаи.
О а
Рис. Ю
45
Упражнения
36. Указать на числовой оси множества М, определяемые
следующими неравенствами:
i | х—2 | < 3, ( |х-3| + |*+3|<10,
aj | |*+6|>5; ' { | jc—1 | > 2;
6) / jc—4 | 4- I A:-h4| <0; . f |x-4|<6,
' I x>t.
a)
> 3; 6) |"f+f| < 2; B) ' (X~4) {X~2) ' < 8*
37. Доказать, что t Равно большему из чисел а и b, a
a-\-b—\a—o\ —меньшему из этих чисел.
38. Решить неравенства:
х+2
х-\
39. Доказать, что выражение
I \х-у | + * +y-2z | + | х-у \+х+у + 2г
не меняется при перестановке букв х, yt z.
40. Доказать, что
1+|*+&| 1 + М 1+| A f
12. Превращение периодических десятичных дробей в обыкновенные.
Мы доказали в п. 5, что любое рациональное число г может быть
представлено в виде чистой или смешанной периодической десятичной
дроби. Справедливо и обратное утверждение: для любой (чистой или
смешанной) периодической дроби существует равное ей рациональное
число (при обращении которого в десятичную дробь получается эта
периодическая дробь).
А) Чистая бесконечная периодическая десятичная дробь равна простой
дроби, в числителе которой стоит период, а в знаменателе — число, со-
стоящее из стольких девяток» сколько цифр в периоде десятичной дроби.
Б) Смешанная бесконечная десятичная дробь равна простой дроби, в
числителе которой стоит разность между числом, составленным из цифр
от запятой^ до начала второго периода', и числом, составленным из цифр
от запятой до начала первого периода: в знаменателе стоит число,
составленное из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких
нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.
Например,
0,(351) = 5^1 = ii;
v ' 999 111
0 47(612) =.47612-47 - 47'565 - 1057
99900 99900 2220
В самом деле, положим
х = 0,351351351....
46
Тогда
100^=351,351351351...
и потому
100х—x=351
351
Значит, х = —gg—
Точно так же, если
х=0,47612612612... ,
100дг=47,612612...
100 000*=447612,612612...
И ПОТОМУ
100000 л—100jc = 47 612—47,
а значит,
у_ 47612—47
99900
Предоставляем читателю провести соответствующее рассуждение для
общего случая.
В дальнейшем мы будем отождествлять рациональное число с
соответствующей десятичной дробью (конечной или бесконечной).
Упражнения
41. Обратите в обыкновенные дроби следующие периодические
дроби:
а) 0,(45); б) 0,28(37); в) 0,00(15); г) 3,(716).
42. Вычислите:
0,8(5)+0,17(1)+0,8(3)+0,1(6)
0,8(5)—0,17( 1 )+0,8(3)-0,1 (6)
43. Какие из следующих утверждений верны, а какие ложны?
Несократимая дробь — может быть представлена в виде конечной
b
десятичной дроби:
а) тогда и только тогда, когда Ъ не делится ни на какое простое
число, отличное от 2;
б) если b не делится ни на какое простое число, отличное от 2;
в) только тогда, когда b не делится ни на какое простое число,
отличное от 2;
г) тогда и только тогда, когда Ъ не делится на 3;
д) если b не делится на 3;
е) только тогда, когда b не делится на 3.
44. Какие из следующих утверждений верны и какие ложны?
Рациональное число-2L может быть представлено в виде конечной
п
десятичной дроби:
а) тогда и только тогда, когда п не имеет других простых
делителей, кроме 2 и 5;
б) если п не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5;
в) только тогда, когда п не имеет других простых делителей, кроме
2 и 5.
47
(Указание. Принять во внимание, что несократимость дроби
JH- не оговаривается. )
п J
45. Какие рациональные числа имеют два существенно различных
иредставления в виде десятичной дроби?
46. Может ли рациональное число иметь три существенно различных
представления в виде десятичной дроби?
13. Рациональные и иррациональные числа. Назовем все
действительные числа, не являющиеся рациональными, иррациональными
числами. Поскольку рациональные числа представляются периодическими
десятичными дробями, то иррациональные числа — это бесконечные
десятичные дроби. Примером такой дроби может служить дробь
0,01С011000111...,
где первая цифра после запятой — нуль, вторая — единица; потом идут
два нуля и две единицы, три нуля и три единицы и т. д. Докажите
сами, что эта дробь непериодическая!
Выясним еще, как расположены друг относительно друга
рациональные и иррациональные числа. Мы покажем, что множество
рациональных и множество иррациональных чисел как бы перетасованы друг с
другом, что между любыми двумя действительными числами есть
бесконечное множество рациональных и иррациональных чисел.
Заметим сначала, что между любыми действительными числами х и
у лежит отрезок вида г, г+—], где
г—М, ага2... ап.
Это сразу вытекает из определения неравенства действительных чисел.
Таким образом, между двумя действительными числами лежит хоть
одно десятично-рациональное число. А тогда таких чисел бесконечно
много: мы выбираем сначала одно из них, скажем г, потом берем
число между Гг и у и т. д.
Итак, между любыми двумя действительными числами аир лежит
бесконечное множество десятично-рациональных чисел.
А теперь докажем, что между х и у лежит бесконечно много
иррациональных чисел. Опять сначала построим одно из них. Выберем
между х и у отрезок вида \ г, г+—1, где г=М, аг ... ап. А теперь
припишем к числу последовательность нулей и единиц по следующему
правилу: сначала один нуль и одну единицу, потом один нуль и две
единицы, потом один нуль и три единицы и т. д. Мы получим число
вида
М, ага2 ... ап 01011011101111... . (1)
Нетрудно видеть, что оно лежит между г и г + — (а тем самым
между х и у) и иррационально, поскольку десятичная дробь (1)
непериодична.
Упражнения
47. Выписывается бесконечная десятичная дробь по следующему
правилу: первая цифра после запятой равна нулю, вторая — единице;
48
\ потом выписывают один нуль и две единицы, один нуль и три
единицы и т. д. Доказать, что эта дробь непериодична.
48. После запятой выписывают подряд все числа в десятичной
записи: 0,123456789101112131415161718192021... .Доказать, что получается
непериодическая дробь.
49. Указать рациональное и иррациональное числа, лежащие между
числами
0,312000102...
0,311999016... .
50. Отрезок [0,1] деляг на десять равных частей и выбрасывают
третий отрезок, оставляя его правый конец. Ту же операцию
выполняют с каждой из оставшихся девяти частей и повторяют это бесконечно
много раз. Какие числа останутся в результате этой операции? С
помощью каких цифр они записываются?
51. Опишите процесс образования множества чисел, в десятичную
запись которых не входят цифры 3 и 8.
52. Доказать, что число У 5 иррационально.
53. Доказать, что число У\Б иррационально.
54. Доказать, что число У~3 + У 5 иррационально.
55. Доказать, что число у 3 иррационально.
56. Известно, что а — иррациональное число; доказать, что число
— также иррационально.
а
57. Рационально или иррационально число 0?
58. Указать два иррациональных числа, разность которых
иррациональна.
59. Указать два иррациональных числа, сумма которых рациональна.
60. Указать два иррациональных числа, произведение которых
иррационально.
61. Указать два иррациональных числа, произведение которых
рационально.
62. Пусть а — положительное иррациональное число. Может ли
Уа быть рациональным числом?
63. Пусть а и Р— иррациональны, а а+р«-рационально. Показать
что числа а—р и а+2р иррациональны.
64. Пусть а и р— иррациональные числа, г — рациональное число
Какие из следующих чисел могут оказаться рациональными:
а+4р; а-ы; YT; УТ\ ар; аг;
/Т+Г; lAz-rYT; V«+YTt Уг+ут?
65. Доказать, что между любыми двумя различными^действительны-
ми числами найдутся рациональные числа и найдутся иррациональные
числа.
66. Может ли между двумя различными действительными числами
быть только 1000 рациональных чисел?
4 Заказ 2641
49
Краткие исторические сведения
Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была открыта
в V веке до н. э. в пифагорейской школе (древняя Греция). Это
открытие показало, что для измерения геометрических величин
недостаточно рациональных чисел. Поскольку понятия иррационального числа
греческая математика не знала, стали производить действия
непосредственно над геометрическими величинами, а не над выражающими их
числами. Это привело к созданию «геометрической алгебры», следы
которой остались в таких терминах, как сквадрат», «куб» и т. п. В IV
веке до н. э. греческий математик Теэтет разработал детальную теорию
квадратических иррациональностей (к таким иррациональностям
приводят все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой).
Однако оказалось, что и квадратичных иррациональностей
недостаточно для того, чтобы, например, построить ребро куба, объем которого
вдвое больше объема данного куба.
Греческий математик Евдокс (IV в. до н. э.) разработал теорию
отношений геометрических величин и метод доказательства теорем об
измерении геометрических величин, получивший название «метода
исчерпывания». Определения Евдокса сводят вопрос об отношении
любых однородных геометрических величин к вопросу об отношении
соизмеримых величин.
Работы Теэтета и Евдокса дошли до нас лишь в изложении,
сделанном Евклидом в книге «Начала» (IV в. до н. э.).
После упадка греческой математики исследования иррациональных
чисел велись арабскими математиками (к числу которых относился,
например, знаменитый поэт Омар Хайям (1044—1123), который изучал — в
геометрической трактовке — иррациональности третьей степени).
Для освобождения алгебры от геометрической формы было
необходимо создать общее понятие числа, включающее как рациональные,
так и иррациональные числа, и дать определения действий над этими
числами, не опирающиеся на геометрию. Важный шаг в этом
направлении сделал французский философ и математик Р. Декарт (1596—1650).
Он ввел произвольно выбираемый единичный отрезок и с его помощью
полностью свел действия над числами к теории пропорций. Например,
умножение чисел а и Ъ он рассматривает как нахождение такого
отрезка с, что с:а=Ь:\ (а не как отыскание площади прямоугольника
со сторонами а и Ь). В XVII—XVIII веках действовали с числами, не
слишком задумываясь над их природой, не имея точного понятия
иррационального числа. Лишь в XIX веке, когда стали предъявляться более
высокие требования к строгости математических рассуждений,
понадобилось точно определить и основное понятие математики — понятие
действительного числа, сведя его к* понятию рационального числа. Эта программа
была выполнена различными путями немецкими математиками Р. Деде-
киндом (1831 — 1916), К. Вейерштрассом (1815—1897), Г. Кантором (1845—
1918) и французским математиком Ш. Мерэ (1835—1911). Теории Дедекинда,
Вейерштрасса и Кантора — Мерэ отличались друг от друга способом
введения действительных чисел в виде бесконечных множеств рациональных чисел
какого-либо специального вида. Например, Дедекинд вводил действительные
числа как разбиения множества рациональных чисел на два непустых
подмножества, из которых одно лежит справа от другого. Кантор и Мерэ
определяли действительные числа с помощью сходящихся последовательностей
рациональных чисел.
50
Наконец, Вейерштрасс рассматривал для этой цели стягивающиеся
системы отрезков с рациональными концами
[alt bi\, [a2, hi], ..., [ап, £„],....
Хотя внешне эти три теории отличаются друг от друга, они
приводят по сути дела к одному и тому же понятию действительного числа.
На основе любой из этих теорий легко доказывается возможность
взаимно-однозначного соответствия между множеством действительных
чисел и множеством точек на прямой линии, устанавливается
упорядоченность множества действительных чисел и определяются
арифметические действия над этими числами.
При любом из способов определения понятия действительного числа
множество действительных чисел удовлетворяет аксиоме
непрерывности, один из вариантов которой приведен в п. 3 §2.
Избранный в этой книге способ построения системы действительных
чисел представляет собой нечто среднее между теориями Кантора и
Вейерштрасса; конечно, критерий единственности разделяющего числа
(п. 8 §2) также равносилен аксиоме непрерывности в любой из ее
разновидностей.
Советский математик А. Н. Колмогоров дал определение понятия
действительного числа, непосредственно опирающееся на понятие
натурального числа, а немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943)
предложил аксиоматическое определение действительных чисел, тесно
связанное с данной им же аксиоматикой евклидовой геометрии и не
нуждающееся в предварительном определении чисел какого-либо более
простого класса.
4*
Глава I'
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ИХ ПРЕДЕЛЫ
/
§1. Последовательности. Прогрессии
1. Определение последовательности. Будем ежедневно
записывать температуру воздуха в 12 часов дня. У нас
получатся некоторые числа, идущие в определенном порядке
(сначала сегодняшняя температура, потом завтрашняя и
т. д.), например:
3, 6, 4, 3, 0, -2, -4, -2, 0, -5, -3 и т. д.
Некоторые из этих чисел могут, конечно, встретиться и
несколько раз.
Точно так же, если взять кусок радиоактивного
вещества, вес которого за сутки уменьшается вдвое, и ежедневно
взвешивать его в одно и то же время, то получим ряд
чисел, идущих одно за другим, например1:
128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4 и т. д.
В этих примерах мы получали числа, идущие друг за
другом в определенном порядке. Каждому номеру п
соответствовало свое число. Например, взвешивая
радиоактивное вещество, мы на третьи сутки получили вес 32, а на
шестые — 4.
Введем следующее определение.
Определение. Пусть каждому натуральному числу п
1 Мы считаем здесь материю бесконечно делимой. На самом же
деле она имеет атомное строение. Поэтому в данном куске содержится
лишь конечное число атомов, и процесс деления когда-нибудь
закончится— все атомы распадутся. Однако мы пренебрегаем этим и
рассматриваем идеализированный процесс распада безгранично делимой
материи. В математике часто прибегают к подобному упрощению
реальных физических процессов. Это позволяет получать полезные
результаты, пренебрегая несущественными для данной задачи деталями.
Однако, всегда надо помнить о сделанных упрощающих
предположениях, иначе можно сделать ошибку, приложив полученные результаты
в случаях, где эти предположения недопустимы.
52
соответствует некоторое число ап. Тогда говорят, что
задана числовая последовательность
а>и 02,-. ап>- . (1)
Последовательность чисел (1) часто обозначают {ап}.
Примерами числовых последовательностей являются:
последовательность всех четных натуральных чисел
2, 4, 6, ..., 2л, ... ,
последовательность всех простых чисел
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...,
последовательность всех квадратов натуральных чисел
1, 4, 9, 16, 25, ..., п\ ...
и т. п.
Часто приходится рассматривать не всю числовую
последовательность, а лишь ее первые п членов. В этом случае
говорят о конечной числовой последовательности длины п.
Ее обозначают
ах, a2i ..., ап.
2. Способы задания последовательностей. Чаще всего
последовательность задают формулой, выражающей /г-й член
последовательности [ап] через п. Например, если формула
имеет вид ал=/г3, то мы можем сразу написать любой член
этой последовательности. На третьем месте стоит число
33=27, на десятом — число 103= 1000, на 25-м месте — число
253=15 625. Первые десять членов этой последовательности,
таковы:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Другой способ задания последовательности состоит в том,
что указывается правило, позволяющее вычислить /г-й член
последовательности, если известны ее предыдущие члены.
При вычислении членов последовательности по этому
правилу мы как бы все время возвращаемся назад, смотрим,
чему равны предыдущие члены. Поэтому такой способ
задания называется рекуррентным (от латинского слова
recurrere — возвращаться).
Обычно для рекуррентно заданных последовательностей
указывается формула, позволяющая выразить /г-й член
последовательности через предыдущие члены. Такие формулы
53
называют рекуррентными соотношениями. Примерами
рекуррентных соотношений могут служить
ап=ап-1±ап-2\
ап=а'п_г — ап-2 + ал-з;
ап=а1 + а2 + ... + ап-\\
а = аа*~1+Э
и т, д.
Однако задание рекуррентного соотношения еще не
определяет полностью рекуррентную последовательность.
Дело в том, что начальные члены последовательности
нельзя вычислить по рекуррентному соотношению.
Например, если соотношение имеет вид ап=ап-\.+ ап-2, то при
/г=1 получаем из него аг=а0 + а-\. А члены со значками
О и —1 в последовательность не входят. Точно так же
нельзя из этого соотношения найти а2. Поэтому значения
ах и а2 надо задать отдельно. Эти значения называются
начальными.
Итак, рекуррентная последовательность задается
рекуррентным соотношением и несколькими начальными
членами. Если ап выражено через ап-\, ... ап-Ку то надо задать
первые k членов последовательности. После этого (k+ 1)-й
член выражается по рекуррентному соотношению через
аи... ak\ (&+2)-й — через а2, ..., ak+x и т. д.
Например, пусть последовательность задана
рекуррентным соотношением
ап = 2ап-1 — 1. (1)
Здесь надо задать первый член последовательности аг.
Пусть ^=2. Положив в соотношении (1) /г=2, получим
а2=2ах —1 = 2-2—1 = 3. Далее, полагая в соотношении (1)
/г=3, находим а3=2а2—1. Но значение а2 мы уже знаем:
а2—Ъ. Поэтому а3=5. Точно так же получаем
а4=2а3—1=9, а5=2а4—1 = 17, а6=2яб-1=33.
Значит, первые 6 членов нашей последовательности таковы:
1, 3, 5, 9, 17, 33.
Задание последовательности рекуррентным соотношением
не всегда удобно: для того чтобы найти, например, #]000,
54
надо найти предыдущие 999 членов. А может случиться,
что нам нужно только а1000 и не нужны предыдущие члены.
Поэтому, когда последовательность задана рекуррентным
соотношением, бывает полезно получить из него формулу
для общего члена. Ниже мы расскажем, как это делается
для некоторых рекуррентных соотношений.
Последовательности задаются не только формулами для
общего члена и рекуррентными соотношениями. Некоторые
последовательности задают «словесно». Возьмем, например,
последовательность всех простых чисел
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... .
Мы можем найти любой член этой последовательности.
Однако нет формулы для п-го простого числа, равно как и
формулы, выражающей п-е простое число через
предыдущие. Эта последовательность задана «словесно». Словесно
задана и последовательность
1; 1,4; 1,41; 1,414; ... -
здесь записаны десятичные приближения по недостатку для
числа 1^2.
Упражнения
1. Выпишите первые шесть членов последовательностей, заданных
формулами:
а)а"—ИТГ' 6)а"~-^+Т' В)а"—^+Г' Г) ""- l-2-З...п
2. Последовательность задана рекуррентным соотношением ап\ 2 =
= #Л + ял+1. Известно, что д1г=да = 1. Выпишите первые семь членов
последовательности.
3. Пусть #л=л2_1_1. Найдите аъ, ап_^_А, а2п-\> (ап)3-
4. Выпишите первые шесть членов последовательности, составленной
из десятичных приближений по избытку для числа У 3 .
5. Попробуйте найти хотя бы одну формулу общего члена для
следующих последовательностей1:
ач _L JL А _А_ . 6M-2-JLJL
} 2 ' 22' 33' 2*' '" ' ' ' ЮГ 201' ЗОГ "" '
1 Знание нескольких первых членов последовательности не
определяет однозначно закона ее составления. Например, для
последовательности 1, 4, 9, 16, ... общий член может задаваться формулой ап=п2, так
и ап=пъ-{- (п—\)(п—2)(п—3) (п—4). Более того, для любой
последовательности существует бесконечное множество формул общего члена
бесконечной последовательности, первые члены которой образуют
данную конечную последовательность.
55
в) L ± 9 JL • е) 1 _L _L • _L
' "3 ' 9 ' IT 81 ' '*" ' ' 2уГТ' 3|ЛЗ"' 4|/"4"
гЛ — — -L J- • ж) 1. —2, 3, —4, ... .
' 1-2' 2-3' 3-4' 4-5' '"'
" 4- (4)" (4-)'■ (-$-)'•
3. Монотонные последовательности. Последовательность
{#„} называют монотонно возрастающей, если для любого
/* выполняется неравенство an<jan+i9 то есть если каждый
следующий член больше предыдущего. Если же для
любого п имеем ап>ап-\-\, то последовательность \ап] называют
монотонно убывающей1. Например, последовательность
1, 4, 9, . ., /г2,... монотонно возрастает, а последователь-
.11 1 .
ность 1, -£-, -<р .... —, ... монотонно убывает.
Если среди членов последовательности есть как такие,
которые больше предыдущих, так и такие, которые
меньше предыдущих, то ее называют колеблющейся.
Примерами колеблющихся последовательностей могут
служить:
1, -1,1, -1,..., (-1)»-1,...,
1, -2,3, -4, .... (-1)"-'-«, ... и т. п.
Упражнения
6. Доказать, что последовательность с общим членом an=nz моно
тонно возрастает.
7. Доказать, что последовательность с общим членом а„=
л2+1
монотонно убывает.
»72
8. Доказать, что последовательность с общим членом ап~-
Л2+4
монотонно возрастает.
9. Обозначим через ап сторону правильного л-угольника,
вписанного в окружность радиуса R. Доказать, что последовательность {ап}
монотонно убывает.
10. Обозначим через hn апофему правильного л-угольника,
вписанного в окружность радиуса R. Доказать, что последовательность {kn}
монотонно возрастает.
1 Аналогично вводятся понятия монотонно неубывающей (при
условии ап<ап . j) и монотонно невозрастающей (ап>ап+1)
последовательностей.
56
П. Обозначим через рп периметр правильного 2п^" - угольника,
вписанного в окружность радиуса R. Доказать, что последовательность
{рп} монотонно возрастает.
12. Доказать монотонное возрастание последовательности {Sn}, где
Sn — площадь правильного 2л + 1-угольника, вписанного в окружность
радиуса R.
13. Доказать, что последовательность \1п}, где 1п — сторона
правильного л-угольника, описанного вокруг окружности радиуса R,
монотонно убывает.
14. Пусть Rn — расстояние от центра окружности до вершины
правильного описанного л-угольника. Доказать, что последовательность
{Rn} монотонно убывает.
15. Доказать монотонное убывание последовательности {Рл}, где
Рп — периметр правильного 2/г+1-угольника, описанного вокруг
окружности радиуса R.
16. Обозначим через Sn площадь правильного 2/г"^~1 - угольника,
описанного вокруг окружности радиуса R. Доказать, что
последовательность {Sn} монотонно убывает.
4. Арифметическая прогрессия. Одной из самых простых
последовательностей является арифметическая прогрессия.
Определение. Конечная или бесконечная
последовательность, в которой каждый следующий член получается
из предыдущего прибавлением одного и того же числа d,
называется арифметической прогрессией.
Таким образом, арифметическая прогрессия определяется
равенством
an+i = an + d. (1)
Число d называют разностью прогрессии. Например, четные
числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12,
Числа
2, 7, 12, 17, 22, 27, ...
образуют арифметическую прогрессию с разностью 5.
Примером арифметической прогрессии является
последовательность путей, проходимых телом за каждую секунду
при равноускоренном движении. Если ускорение равно а и
если за первую секунду тело проходит путь 6, то за
вторую оно пройдет путь 6+а, за третью — путь Ьл- 2а и т. д.
Числа
6, b+a, b-\-2a, ...
образуют арифметическую прогрессию с разностью а.
57
Мы определили арифметическую прогрессию с помощью
рекуррентного соотношения ап+г = ап + d. Нетрудно получить
выражение п-то члена: п-ый член ах арифметической
прогрессии получается из ее первого члена а1 (п—1)-кратным
прибавлением числа d. Поэтому
ап = а, + (п - \)d (2)
У п р a у^ 11 е и и я
17. Найти восьмой член арифметической прогрессии, если ах = —3
г. d = —4.
18. Найти разность арифметической прогрессии, если
ах = 2 и ая = 23.
19. Найти номер п члена арифметической прогрессии, если
аг = 10, ап = 0 и d = —2.
5. Сумма первых членов арифметической прогрессии.
Решим следующую задачу:
Тело прошло за первую секунду 6 метров, а за каждую
следующую секунду — на 4 метра больше, чем за
предыдущую. Сколько метров прошло оно за 8 секунд?
Выпишем последовательность чисел, показывающих,
сколько метров прошло тело за каждую секунду:
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34.
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым
членом б и разностью 4. Нам надо найти сумму первых
восьми членов этой прогрессии. Разумеется, можно было
бы просто сложить эти числа. Но поучительнее следующее
решение. Запишем сумму 8 членов данной прогрессии, а под
ней — те же слагаемые, взятые в обратном порядке:
5 = 6+10 + 14+18+22+26+30+34;
S = 34+30+26^22 + 18+14 + 10+6.
Сложим почленно эти два равенства. Мы замечаем, что
34 + 6 = 30+10-26 + 14=22+18= ... =6 + 34 = 40. Поэтому в
правой части равенства получим 8 слагаемых, каждое из
которых равно 40, а в левой части получаем 25. Итакг
2S = 40-8=320 и, значит, S=160. Тело пройдет за 8 секунд
160 метров.
58
Метод, использованный для решения этой задачи,
позволяет найти сумму первых п членов любой арифметической
прогрессии1. Докажем следующую лемму:
Лемма. Пусть числа ах, а2, ..., ап образуют
арифметическую прогрессию. Тогда для любого k, 1<&<#
выполняется равенство
ak+an-k+i = at-t-an. (1)
В самом деле, по формуле (2) п. 3 имеем:
ak = a1^rd(k — \),
an-k+\ = al + d(n—k)
ап = ах + d(n— l).
Поэтому
ak + an-k+l =ai + d(k— 1) + al + d(n — k) =
2а{ + d{k—\ +n—k) = 2al + d{n—l)-=al+an.
Лемма доказана.
А теперь вычислим сумму Sn первых п членов
арифметической прогрессии:
Sn = ах + а2 + ... + ап-г +ап. (2)
Для этого перепишем ту же сумму в обратном порядке:
Sn = ап + ап~\ + ... + а2 + av (3)
Сложим почленно равенства (2) и (3). Мы получим, что
2Sn = (а, + ап) + (а2 + ап-\) + ... + (ап-\ + а2) + (ап + а,). (4)
Сумма значков в каждой скобке равна п + 1. Но по лемме
для всех k, 1<&<л, имеем ak-\-au_я+1 = а{ + ап. Поэтому
сумма (4) содержит п слагаемых, каждое из которых равно
ах-\-ап. Иными словами, 2Sn = п(а1 -\- ап).
Следовательно,
£п=_ЩаА_ (5)
1 Рассказывают, что один первоклассник сам придумал этот метод,
решая задачу: сложить первые 100 натуральных чисел. Этим
первоклассником был Гаусс. В 17 лет он выяснил, на сколько равных частей
можно разделить окружность с помощью циркуля и линейки. В
студенческие годы он доказал основную теорему алгебры многочленов
(см. „Алгебра", гл. V, § 4) и получил ряд крупнейших математических
результатов. Гаусс был прилежным и трудолюбивым студентом. В его
записных книжках великие открытия перемежаются с элементарными
упражнениями по математическому анализу.
59
Итак, сумма первых п членов арифметической
прогрессии равна сумме первого и п-го ее членов, умноженной на-^-.
Формулу (5) можно записать иначе. Так как ап =
= ах-\-d\n— 1), то
о __ n[2ai+d(n—\)]
а„- 2 •
Упражнения
20. Найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии,
если а2=4, а7=24.
21. В арифметической прогрессии S3=15, S6=40. Найти сумму
первых семи членов прогрессии.
22. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 39,
а2=Ъ. Найти S8.
23. Найти сумму первых 100 натуральных чисел.
24. Найти сумму первых 200 нечетных (положительных) чисел.
23. Сколько членов арифметической прогрессии находится между
аъ и я20? а\ и аюо? ап и аъг? ап и а^>
26. Какой член арифметической прогрессии является средним между
я,о и я20? ат_п и ат+п> ап и аш?
27. Числа {ат} образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что
а>т - 2
28. Доказать, что каждый член арифметической прогрессии есть
среднее арифметическое между равноудаленными от него членами.
29. Общий член арифметической прогрессии выражается формулой
<2£=3&4-2. Вычислить Sn, Sbn> Sn2-
30. Общий член арифметической прогрессии выражается формулой
ат=--2т—э. Найти Sm, S2m, S<m+i)8 •
31. Общий член арифметической прогрессии выражается формулой
ak—bk-\~\. Доказать, что числа Л^=Зл^+2 также образуют
арифметическую прогрессию.
32. Члены последовательности {Sn} задаются формулой Sn=2n*—2л.
Дока:ать, что числа an=Sn—Sn_{ образуют арифметическую
прогрессию.
33. Доказать, что последовательность с общим членом Sm=5m2—4m
явлгется последовательностью сумм некоторой арифметической
прогрессии.
34. Образует ли последовательность с общим членом Sm = т2-\-2т-{-5
последовательность сумм некоторой арифметической прогрессии?
35. При каких значениях а, Ь, с числа Sn=an2+bn-\-c образуют
последовательность сумм некоторой арифметической прогрессии?
Выразить коэффициенты а, Ь, с через первый член и разность этой
прогрессии d.
36. Sn = Зп2+9п . Найти аг и d.
37. Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная,
что сумма первых четырех членов равна 68, сумма последних четырех
членов равна — 36, а сумма всех членов равна 68.
60
38. Каковы могут быть стороны треугольника, если они выражаются
целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, причем
периметр треугольника равен 15?
39. Доказать, что если Sn — сумма первых п членов арифметической
прогрессии, то
a) S3n=3(S2n-Sny, б) S>n-Sn = т--п_
40*. Даны две арифметические прогрессии: одна возрастающая,
другая убывающая, у которых один и тот же первый член и модуль
разности \d\-p. Пусть Sn и сп — суммы первых п членов этих
прогрессий. Найти Д~~стя .
41*. Даны две прогрессии
a, a+b, а+2Ь,...
с, c+d, c+2d,... .
Выразить сумму
ас + (a+b) {c+d) + (a+2b) (c+2d) + ... + [а + (я—1) b] [c + (n— \)d]
через суммы Sn и ап первых п членов данных прогрессий и их
разности bud.
42*. Доказать, что если числа ах, а2, ..♦, ап образуют
арифметическую прогрессию, то:
a)_L_+ ! ■ ■ 1 п-1.
ага2 a2az an_{ an a^an
б) JL + _!_+ ...+_!_ = 2 /JL+ ... -г_Ц.
43. Найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии,
сумма первого и восьмого членов которой равна 25, а сумма третьего
и пятого членов равна 19.
6. Геометрическая прогрессия. Пусть имеется кусок
радиоактивного вещества весом М кг. Предположим, что
через сутки часть вещества распалась и осталось Mq кг
вещества, где 0<<7<1. Физические опыты показывают, что
к концу вторых суток останется Mq2 кг вещества, к концу
третьих—Ж?3 кг и т. д. Числа
М, Mq, Mq2, Mq\ ...
образуют последовательность, каждый член которой
получается из предыдущего умножением на одно и то же
число q.
Введем следующее определение.
Определение. Последовательность, каждый член
которой получается из предыдущего умножением на одно и
61
то же число q, называется геометрической прогрессией.
Число q называют отношением или знаменателем
прогрессии.
Итак, геометрическая прогрессия определяется условием
bn+i = bnq. (1)
В зависимости от значения знаменателя q характер
изменения членов прогрессии различен. Рассмотрим
возникающие здесь случаи:
а) Пусть #>1. Тогда все члены геометрической
прогрессии имеют один и тот же знак и возрастают по абсолютной
величине. Например,
2, 6, 18, 54, 162, ... (?=3)
или
-3, -6,-12, -24, -48, ... (?=2).
В этом случае числа \Ьп\ становятся и остаются впредь
больше любого числа.
б) Пусть 0<<7<1. Тогда все члены геометрической
прогрессии имеют один и тот же знак и убывают по
абсолютной величине. Например,
или
9 2_ 2_ ( __1\
А з ' 9 ' "• 1?~ 3 )'
в) q<—1. В этом случае члены прогрессии возрастают
по абсолютной величине, все время меняя знак. Например,
2, -6, 18, -54, 162, ... (? = — 3).
г) —1<<7<0. Здесь члены прогрессии убывают по
абсолютной величине и меняют знаки:
1, 2 ' 4 • 8 ' "• \ q ~ 2 )•
д) При q = \ все члены прогрессии одинаковы:
6, 6, ..., 6, ...,
а при q = — 1 отличаются друг от друга лишь знаками:
ft, -ft, ft, -ft, ... .
7. Формула общего члена геометрической прогрессии.
Выведем формулу, выражающую /г-й член геометрической
62
прогрессии через п. Из формулы (1) п. 5 при п=\ получаем,
что Ь2 = Ь^; при п = 2, что b3 = b2q = (b^q =btf2. При п = Ъ
получаем
Итак,
Эти равенства делают естественным предположение, что
Эта формула доказывается точно так же, как формула
общего члена арифметической прогрессии. Предоставляем
читателю провести это доказательство.
Упражнения
44. Найти пятый член геометрической прогрессии, если Ь2=3 и q=4,
45. Найти знаменатель прогрессии, если £2=6 и £8=384.
46. Найти число п членов геометрической прогрессии, если Ъх = — 1Г
Ья 81, ?=3.
47. Найти /?! и ?, если Ьт = -^-.
48. Вывести формулу для произведения первых п членов
геометрической прогрессии. (Указание: выразить все сомножители через
Ьх и q.)
49. Общий член геометрической прогрессии выражается формулой
bm=3-2m+s. Найти Ьъ Ьг, ..., Ьп.
50. Пусть #л=Зя+2. Доказать, что числа Ьп=2ап образуют
геометрическую прогрессию, и найти ее знаменатель.
ат
51. Доказать, что если числа Ьт=3 образуют геометрическую
прогрессию, то показатели степеней ат образуют арифметическую
прогрессию. Доказать обратное утверждение: если числа ат образуют
а т
арифметическую прогрессию, то числа Ьт=3 образуют
геометрическую прогрессию.
52. Числа Ьт образуют геометрическую прогрессию. Докажите, что
K=br-Z br+3 (r>*)'
53. Числа bm образуют геометрическую прогрессию. Докажите, что
для любых тип, т<п, имеем Ьп—Ьп_т Ьп+т.
54*. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны,
даны Ьт+п = А и Ьт_п = В. Найти Ьт и Ьп.
55*. Длины сторон треугольника образуют геометрическую
прогрессию. В каких пределах может изменяться знаменатель этой прогрессии?
56*. Каковы могут быть стороны треугольника, если они
выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем
произведение этих сторон равно 216.
57. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если увеличить
второе число на 8, то получится арифметическая прогрессия. Если
63
после этого увеличить третье число на 64, то снова получится
геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
58*. Доказать, что если члены bp, bq, br> bs арифметической
прогрессии составляют геометрическую прогрессию, то числа р—q, q—г, г—s
также составляют геометрическую прогрессию.
59*. Знаменатель геометрической прогрессии равен- ^^ .
Доказать, что каждый член (начиная со второго) этой прогрессии равен
разности двух соседних членов.
60*. Знаменатель геометрической прогрессии равен 5. Доказать, что
ее члены удовлетворяют соотношению
V2 = 4Vfi + 5V
8. Сумма первых членов геометрической прогрессии.
В книге Леонардо Фибоначи «Liber Abaci», вышедшей
в 1202 году, есть такая задача:
Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семи
мулов, каждый мул несет семь мешков, в каэюдом мешке
по семи хлебов, в каэюдом хлебе по семи ножей в семи ноэю-
нах. Сколько всего предметов?
Эта задача в ином виде встречается уже в египетском
папирусе Ринда, написанном в XIX веке до нашей эры
(и, по-видимому, переписанном с еще более древнего
папируса). В ней требуется найти сумму первых шести членов
геометрической прогрессии, а именно
S=7-f72+73+74 + 75+76. (1)
Для решения этой задачи умножим обе части равенства
на 7. Мы получим, что
7S = 72+73+74+76+76+77. (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1). Мы
получим, после приведения подобных членов, что QS—71—7.
Поэтому
S = —g^-= 137257.
Метод, использованный при решении этой задачи,
позволяет найти сумму пе: ых п членов любой геометрической
прогрессии. Пусть
&ь К •••> ьп> ••• —
геометрическая прогрессия. Мы хотим вычислить
S„-&1 + 62+... +bn. (3)
64
Умножим обе части равенства (3) на q. Так как й^—&2,
b2q=b3, ..., bnq = bn+u то
Snq=bxq + h4 + - + bnq = b2 + b3 + ... + bn+l. (4)
Вычтем почленно из равенства (4) равенство (3). При этом
слагаемые &2? b3i ..., bn, встречающиеся в обеих суммах,
приводятся к нулю. Останутся лишь два слагаемых: bn+\ = bnq в
уменьшаемом и Ь1 в вычитаемом. Поэтому имеем:
S^-S^bn+x-b^b^-^.
Отсюда находим, что
Формулу (5) можно переписать иначе. Так как Ьп=Ь^п-1,
*" ~ д-1 •
Упражнения
61. Найти Sn, если bk=3-2k+*.
62. Найти Sm* , если Ьр=2-ЗР.
63. Сумма первых п членов геометрической прогрессии выражается
формулой 4(3"—1). Найти Ьг и q.
64. Известно, что S2=25, S3=105. Найти bx и q.
65. Известно, что S2=24, S4=624. Найти Se.
о с
66. Доказать, что выражение—Ш-£ — зависит только от
знаменами— Sn_2
теля прогрессии q.
67. Сумма членов геометрической прогрессии без первого члена
равна 63—; сумма членов без последнего равна 127; сумма членов без
двух первых и двух последних равна 30. Найти прогрессию.
68*. Доказать, что если Sn, S2n> S3n — соответственно суммы п, 2п,
Зя первых членов геометрической прогрессии, то
Sn (Ssn — S2n) = (5г/г — S/i)2.
69*. Пусть q — знаменатель геометрической прогрессии, Sn—сумма
п первых ее членов, a Sn_x — сумма п—1 первых ее членов. Чему
равна сумма всех парных произведений первых п членов (то есть ЬхЬч-\-
+Мз + ... + Ьп_хЬп)?
70*. Вывести формулу для суммы квадр^чрв первых п членов
геометрической прогрессии с первым членом b и знаменателем q.
71*. Пусть blt ..., bn — геометрическая прогрессия со знаменателем q
и пусть Sn=b1 -f- ... + bn. Найти более простые выражения для сумм:
a) S1 + S2 + ... + Sn;
1 1 1
б> .* ,г + ,» Lt + - +
b-b b-b_ bn_x-bn
5 Заказ 2541
65
9. Индукция. В случае, когда математическое
утверждение касается конечного числа объектов, его можно
доказать, показав справедливость этого утверждения для
каждого объекта. Например, утверждение «Каждое четное
число, большее 2 и меньшее 20, является суммой двух
простых чисел» сразу вытекает из следующей таблицы:
4=2 + 2
6-3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5+ И
18 = 5+ 13
Точно так же утверждение «Для любого правильного
многогранника сумма числа вершин и числа граней на 2 больше
числа ребер» можно доказать, подсчитав соответствующие
числа для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и
икосаэдра1.
Многогранник
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число
вершин
4
8
6
20
12
Число
ребер
6
12
12
30
30
Число
граней
4
6
8 '
12 1
20 1
Метод доказательства, при котором мы проверяем
утверждение для конечного числа случаев, исчерпывающих
все возможности, называется полной индукцией.
Разумеется, метод полной индукции применим
сравнительно редко. Например, этим методом мы не можем
доказать справедливость утверждения «Каждое четное число,
большее 2, является суммой двух простых чисел» или
утверждения «Для каждого выпуклого многогранника
сумма числа вершин и числа граней на 2 больше числа ребер».
1 Как известно, этими многогранниками исчерпывается множество
видов правильных многогранников.
66
Дело в том, что как четных чисел, так и выпуклых
многогранников бесконечно много и проверить
утверждения для всех четных чисел или для всех выпуклых
многогранников невозможно. Проверка же утверждения для
любого числа частных случаев (гак называемая неполная
индукция) не может заменить доказательства, поскольку
всегда остается опасность, что среди неразобранных случаев
есть и противоречащие данному утверждению.
Но, хотя неполная индукция и не может заменить
доказательства теоремы, она позволяет угадать еще
неизвестный нам результат. А потом уже надо доказать этот
результат.
Рассмотрим несколько примеров.
Обозначим через Sn сумму
s --±_ + _!_+ • 1
°л ~~ 1.9. ^ 2-3 '
1-2 ^ 2-3 ^ *•• г п(п+\) '
Мы хотим получить для Sn более удобное выражение через
пу не требующее алгебраического сложения п слагаемых.
Для этого рассмотрим Sb 52, S3. Мы имеем:
°2 ~~ 1-2 ^ 2-3 ~~ 3 '
°3 "" Ь2 "*" 2-3 ^ 3-4 " 4'
Эти примеры делают естественным предположение, что
Оно будет доказано в следующем пункте.
Рассмотрим еще сумму кубов:
S= 13 + 23 + ... + я8.
Здесь мы имеем:
•Si = 18=1;
S2 = 13+23=9;
S3= 13+23+33=36;
S4= l3-f23+33+43=100.
5*
67
Мы замечаем, что числа 1, 9, 36, 100 являются квадратами
чисел 1, 3, 6, 10. Но 3-1+2, 6=1 + 2+3, 10 = 1+2 + 3+4. Это
замечание наводит на мысль, что
Srt=l3+23+ ... +п*={\+2+ ... +/г)2,
1 , л i . п(п+\)
или, поскольку 1 + 2+ ... +я = — 2 > что
S.=l»+2»+ ... +««- [-^Ц\ (2)
Разумеется, сделанное наблюдение еще не может
служить доказательством справедливости формулы (2). В
следующем пункте мы изложим метод, позволяющий доказать,
что формула (2) верна.
Неполная индукция, очень полезная для открытия
новых математических утверждений, не является, однако,
методом их доказательства. Не раз утверждения,
справедливые для большого числа частных случаев, оказывались
неверными. Например, для простых чисел р, меньших 1000,
было установлено, что 2/7~1+1 не делится на ра, и была
высказана гипотеза, что это утверждение верно для всех
простых чисел р. Однако оказалось, что это не так для
р = 1093.
После того как результат угадан, его надо доказать.
Упражнения
72. Угадайте формулы для следующих сумм:
а) 12-2*+32-42+ ... + (_i)"-i „2;
б) 1 + 1 +...+ 1
Ь4 ' 4-4 (Зя—2)(Зл+1)
в) 1-2+3-4+ ... +(—1)л-1л.
73. Угадайте формулы для следующих произведений:
•> О-гХ'Ч)- - -('-от>
б) 2>-1 33-1 (л+1)»-1
28+1 ' 3»+1 '" («-1-0»+1'
74*. Когда нечетное простое число является суммой двух квадратов?
Попытайтесь ответить на этот вопрос с помощью индукции, исследуя
таблицу:
5 = 12+22
11
68
13 = 23+3»
17=14-4*
19
23
29 = 2*+5a
10. Метод математической индукции. Индуктивные
догадки приводят обычно к гипотезам, формулируемым как
утверждения, относящиеся ко всем натуральным числам.
Последовательная проверка такого утверждения для
каждого натурального числа я, начиная с 1, осуществимая для
любого конечного числа случаев, для всего натурального
ряда, разумеется, невозможна. Но сама идея
последовательного перехода от натурального числа п к следующему за
ним числу п+1 осуществляется в строгой форме в одном
из самых важных методов математических доказательств,
называемом методом математической индукции.
Чтобы доказать некоторое утверждение, в
формулировку которого входит переменная п, пробегающая все
множество натуральных чисел, надо сначала проверить, что
оно верно при /г=1. После этого доказывают, что из
справедливости этого утверждения при #=& вытекает его
справедливость при n=k+l. А тогда доказана справедливость
этого утверждения для всех значений п. В самом деле, из
того, что утверждение верно при #=1, вытекает его
справедливость при # = 1+1=2. Но тогда оно верно и при
/£=2+1=3, #=3 + 1 = 4 и т. д. Ясно, что в конце концов мы
дойдем до любого натурального числа п. Значит,
утверждение верно для всех натуральных п.
Покажем, например, как с помощью метода
математической индукции доказать формулу ап=--а1^гс1{п—-\) для /г-го
члена арифметической прогрессии. Ясно, что эта формула
верна при л=1, так как a1=al+d(l — \). Предположим, что
она верна при n=k, то есть что ak=a1+d{k—1), и докажем,
что тогда она верна при n=k+l. В самом деле, по
определению арифметической прогрессии имеем ak+\=ak+d.
Значит, в силу сделанного предположения,
^+i=a1+d(^-l)+d=a1+dyfe=a1+d[(*+l)— 1].
Справедливость формулы для n—k+l доказана. А тогда,
как уже говорилось, формула верна для всех значений п.
Точно так же доказывается методом математической
индукции формула bn=blqn-x для я-го члена геометрической
прогрессии.
69
Применим теперь метод математической индукции для
доказательства формулы (1) п. 9:
S --1-4- * 4- ' * П
Ь2 ^ 2-3 1 — ^ п(п+\) ~~~ л+1 *
Чтобы доказать ее, заметим, во-первых, что Sx=
Ь2 "" 1 + 1-
Значит, формула верна при я=1. Предположим теперь, что
уже доказано равенство
S --L-4- 1 ' 1
Тогда
k 1-2 "Г" 2-3 ^ •- ^ Л(Л+1) Л+1'
С 1 I I * | J О | 1
1-2 ' — г k(k+\) ^ (Л+1)(Л+2) -"^^ (jfe+i)(/j+2) ~
Л+1 "•" (/г+1)(£+2) (/г+1)(/г+2) /г+2 '
Значит, из справедливости формулы (1) при n=k вытекает,
что она верна и при n=k+l. По математической индукции
отсюда вытекает справедливость этой формулы для всех
значений п. Точно так же проверяется равенство (2) из п. 9.
Мы предоставляем это сделать читателю.
Заметим, что доказательство перехода от k к £+1 должно быть
справедливым для всех натуральных значений k. Приведем типичный
лример неправильного применения метода математической индукции.
Докажем следующую неверную теорему.
«Теорема». Любое конечное множество натуральных чисел состоит
из равных друг другу чисел.
«Доказательство». Проведем индукцию по числу элементов в
множестве. При л=1 утверждение тривиально — каждое число равно
самому себе. Пусть теорема доказана для множеств из к элементов.
Возьмем множество из k-\-\ элемента аъ ..., ak, л.+1. По
предположению индукции имеем ах=а2= ... —а& Далее, по тому же
предположению имеем #2=03= ••• ==аА==ль+р Значит, а1=#2= ... =#£=#£+!• По
методу математической индукции получаем, что теорема «справедлива»
при всех значениях п.
Ошибочность проведенного «рассуждения» состоит в том, что
переход от k к /г+1 возможен лишь при k>2, а перейти от п—\ к п=2
с помощью этого рассуждения невозможно.
Иногда бывает удобно использовать другую форму математической
индукции:
Если утверждение справедливо при п=1 и из того, что оно верно для
всех натуральных чисел, меньших п, следует его справедливость для п,
то оно верно для всех натуральных чисел.
В самом деле, по условию утверждение верно при л=1. Но тогда
оно верно и при я=2. Из его справедливости при л=1 и п=2 следует,
что оно верно при п=3. Далее, из справедливости утверждения при
л=1, п—2, п=3 следует, что оно верно при л=4 и т. д.
70
Упражнения
75. Доказать, что при всех натуральных я выполняются равенства:
а) 12+22+ -. + "2 = я(я+1>(2я+1) ;
6M3+23+...+w3 = [^H)_]2;
в) 1.2.3-2.3-4+ ... +n(n+\)(n+2)=-Ln(n+\)(n+2)(n+3);
,1,1,, 1 я .
Г) -Г7Г + г> о ' + — + ~~
1-2 2-3 я(я+1) я+1
.1.1,, 1
1-4 ' 4-7 (Зя—2)(Злг+1) Зя+1
76. Доказать, что при я>2 имеем:
4 Д 9 j \ w2 j 2я
77. Вычислить суммы:
а) 1—2+3—4+ ... +(—I)"-1/!;
б) 2-12+3-22+ ... + (я+1)л2.
78. Доказать, что:
а) » + ' +■■ ■ 1
Ь2-3 ' 2-3-4 '" я(я+1)(я+2)
2 L 2 (я+1)(я+2) J
б* l2 2a п* = я (я+1) .
1-3 + 3-5 + - + (2я—1)(2я+1) 2(2/1+1)'
в). 1 ■ 1 • ! - *
15 59 (4я-3)(4я+1) 4я+1
79. Доказать, что для любого натурального я число 11л+ + 12 п+
делится на 133.
80. Доказать, что если я— четное, то 2(Уг+16л—3"—1 делится на 323.
81. Произведение 1-2-3- ... -я обозначается знаком я! и читается
так: «я факториал». Доказать, что
1-1! +2-2!+ ... +п-п\ =(я+ 1)!~1.
82. Последовательность чисел
а0, ах. ..., ап ...
составляется по следующему закону: первые два числа а0 и ах даны,
каждое же следующее равно полусумме двух предыдущих. Доказать,
что
___2£i+£o_ /2-1 а1—д0
*»- з +(~1) 3.2я-1 '
71
83. Числа последовательности
al9 й2, .... ап,...
определяются следующими условиями:
0j=2, ап=Ъап_х + I.
Доказать, что
84. Числа последовательности
аъ #2, ..., ап,...
связаны зависимостью
ап+1-2ап + ^п~\ = °-
Доказать, что если а^Ь, а2=7, то ап=2п-\-3.
85. Пусть пары чисел (a, b), (av bi), ..., (ап, bn),...
образуются по закону
ai=J±L, b^Si+L ап= a"-i + b*-i , bn= аЛЬ^
1 2 2 2 2
Доказать, что
^ = а + 4" (*~а) (1+- 2\* }
86*. Доказать тождества:
а^ _1_ + -1- 4- + 1 + 1 = JL_ 4
' 23—2 ^ 48—4 '" ^ (2лг—2)3_(2/г—2) (2л)3—2л л + 1
+ 1 + ...+ 1
л+2 2л 2/г+1
OJ-j + -+- + ... -+-
1— Л* I-*4 1-Х8 1_^2Й 1-Х 1—Х*П
87*. Проверить тождества1:
a) (l+jc)(l+^)(l+jc*)...(l+jc2n_1) = 1 + х+л:2 +*з + ... +^_I;
б>2*(Л+1) ... (*+<?)= ^" л (л+ 1)... (л+?+1).
*=1
1 Знак 2 а£ обозначает сумму всех членов последовательности
k=\
с общим членом а^ от &=1 до &=л.
72
88*. Последовательность чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (ряд Фибоначчи)
определяется следующими условиями:
ял_Н в ап + ап-\> ао=°> аг = \.
Доказать, что имеют место соотношения:
а) ап±2 = а0+а1+ ... + ап+1;
б) <*2/i+2 = а1 + а3+ ... +Д2Л+1,-
в) я2/г+1 = 1+я2 + а4+ ... +д2л ;
г) ля*л+1 = *; + *;+ ...+*■;
д) ял+1 ая+2 -дяля+3 = (-1)'1;
е) 4-^-1 «л+1 = 1-0я+1.
89*. Последовательность {ап } задается рекуррентным соотношением
причем <2i=10. Доказать, что эта последовательность монотонно
убывает.
90*. Последовательность {ап} задается рекуррентным соотношением
*я+1 = У2+ап ,
причем ао=0. Доказать, что эта последовательность монотонно
возрастает.
11. Неравенство Бернулли. Применим метод
математической индукции для доказательства одного неравенства,
с которым мы в дальнейшем неоднократно будем
сталкиваться. Это неравенство, называемое неравенством
Бернулли, имеет следующий вид:
При всех натуральных значениях п и для всех h > —1
выполняется неравенство
(\ + h)n>\+nh. (1)
Для доказательства заметим сначала, что неравенство
(1) справедливо при /г=1, так как 1 +Л= 1 + А.
Предположим, что оно справедливо при /г=&, то есть что
(1+Л)*>1+АА. (2)
Так как по условию h >—1, то 1 + А>0.
Умножим обе части неравенства (2) на положительное
число 1+ h. При этом смысл неравенства не изменится, и
мы получаем, что
(1+Л)*И>(1+АЛ)(1+Л),
73
или
(1+ й)*+1>1+£А+Л+л/1«.
Так как kh2—положительное число, то отсюда вытекает,
что
(1 +А)*+1>1+(А;+1)А.
Итак, из справедливости неравенства (1) при n=k
вытекает, что оно справедливо при n — k + 1. Кроме того, оно
верно при п—\. Значит, оно верно для всех натуральных
значений п.
Упражнения
91. Докажите неравенства:
б) (-ИГ") > "Г-
92*. Докажите методом математической индукции неравенства:
а) 1+/Т + - + 77 > /Т: б) ^Ti + 7ZT2+-+W > "Г-
§2. Предел последовательности
1. Устанавливающиеся последовательности. В этом
параграфе мы рассмотрим одно из важных понятий
математики— понятие предела последовательности.
Предварительно мы рассмотрим так называемые устанавливающиеся
последовательности.
Определение. Последовательность аъ а2, ..., а„, ...
устанавливается на числе а, если, начиная с некоторого
номера N, все ее члены равны а : aN =а, а^+1=а, а^_|_2 = а
и т. д.
Например, последовательность
о, о, ..., о, ...
устанавливается на числе 3, а последовательность
1> 2, 3, 4, 5, 5, ..., 5, ...
устанавливается на числе 5.
Если последовательность не устанавливается ни на
каком числе, то она называется ^устанавливающейся.
Например, последовательности
74
1, 2, 3, 4, 5, ..., я, ...
1, -1, 1, -1, ..., (-I)-', ...
не устанавливаются.
Докажем следующее утверждение:
Теорема. Если последовательность {ап}
устанавливается на числе а, а последовательность (bn) устанавливается
на числе Ь, то последовательность {ап+ Ьп)
устанавливается на числе а +Ь.
Доказательство. Из условия теоремы вытекает,
что найдется число Nl9 начиная с которого все члены
первой последовательности равны а.
Точно так же найдется номер N2i начиная с которого
все члены второй последовательности равны Ь.
Выберем большее из чисел Nx и N2 и обозначим его
через N: jV=max (Nu N2). Так как N>NX и jV>jV2, то,
начиная с номера N, все члены первой последовательности
равны а, а второй—равны Ь. Поэтому, начиная с номера
N> все члены последовательности {ап +Ьп] равны а +лЬ.
Совершенно так же доказывается, что
последовательность {ап—Ьп) устанавливается на числе а—6,
последовательность [апЬп) — на числе ab, а последовательность
1т;~на числе 1Г~ (последнее, разумеется, при условии,
что все Ьп^0).
Упражнения
93. Какие из нижеследующих последовательностей устанавливаются:
а) 1, 4, 9, ..., л«, ...; r) J_J_ _Ц J_ ...Д. ...;
б) 1, 3, 5, 7, 7, 7, ..., 7, ...; 2 ' 3 ' 4 ' 4 ' "" 4
Ill д) ап=т\п (15, п) (через min (a, b
В) Т ~3~' ""IT' '"''
при афЬ обозначено меньшее из чисел а и b\ min (я. #)=#)?
94. а) Выписывают последовательность десятичных знаков,
получающихся при делении 1 на 15. Устанавливается ли эта
последовательность?
б) Устанавливается ли последовательность десятичных знаков,
получающихся при делении 1 на 7? А если выписывать эти знаки группами
по 6 цифр?
95. Последовательность {ап} устанавливается, начиная с номера Nu
последовательность {Ьп} — начиная с номера N% и последовательность
icn) — начиная с номера N3. Начиная с какого номера установится
последовательность {апЬп—сп}7
75
96. Докажите, что сумма устанавливающейся последовательности и
^устанавливающейся последовательности не устанавливается.
97. Постройте пример двух последовательностей {ап\ и {Ьп} так,
чтобы одна из них устанавливалась, а вторая нет и чтобы их
произведение устанавливалось. На каком числе может установиться
произведение?
98. Постройте две неустанавливающиеся последовательности, сумма
которых устанавливается.
99- Постройте две неустанавливающиеся последовательности,
произведение которых устанавливается.
100. Постройте неустанавливающуюся последовательность {ап},
квадрат которой (то есть последовательность {ап}) устанавливается.
2. Процесс радиоактивного распада. Часто встречаются
последовательности, которые «устанавливаются» лишь
приближенно— все члены этих последовательностей, начиная
с некоторого номера, весьма мало отличаются от
некоторого числа а.
Рассмотрим процесс радиоактивного распада.
Предположим, что мы взяли кусок радиоактивного вещества весом
в 1024 г, причем за одни сутки вес вещества уменьшается
в результате распада вдвое. Будем взвешивать наш кусок
на весах, чувствительность которых равна 10 г1. Вес
вещества (если измерения производятся каждые сутки) дает
последовательность
1024, 512, 256, 128, 64, 32,16, 8, 4, 2, 1, 72, 7*, V» Via,- • 0)
Ясно, что по истечении 7 суток, когда вещества осталось
8 г, весы с чувствительностью 10 г не дадут нам
возможности отличить истинное положение вещей (наличие 8 г
вещества) от полного отсутствия данного вещества.
Возьмем более точные весы, имеющие чувствительность
в 1 г. Эти весы покажут, что после 7 суток вещество еще
осталось. Но после 11 суток (когда вещества остается
V2 г) и с их помощью не удается выяснить, есть еще
вещество или нет. А весы с чувствительностью в 0,1 г
покажут отсутствие вещества лишь по истечении 14 суток
(когда на самом деле его останется Vie г). И какой бы
чувствительности весы мы ни взяли, наступит момент,
начиная с которого мы не сможем выяснить с их помощью,
осталось вещество или нет.
Итак, последовательность чисел (1) обладает
следующим свойством: какое бы число е>0 мы ни взяли (то есть
какой бы чувствительности весы мы ни взяли), найдется
1 Это значит, что весы остаются в равновесии, если разность весов
лежащих на них грузов меньше 10 г.
76
номер N, начиная с которого клены последовательности
отличаются от нуля меньше, чем на е.
Если бы мы взяли смесь, состоящую из 1024 г
радиоактивного вещества и 2000 г нерадиоактивной примеси, то в
ходе радиоактивного распада вес этой смеси приближался
бы к 2000 г. И какой бы чувствительности е>0 весы мы ни
взяли, разность между весом смеси и весом в 2000 г
станет меньше е. Иными словами, любые весы, начиная с
некоторого момента, покажут, что осталось 2000 г смеси. На
самом же деле вес смеси изображается
последовательностью 3024, 2512, 2256, 2128, 2064, 2032, 2016, 2008, 2004,
2002. 2001, ... и т. д. Эта последовательность не
устанавливается на числе 2000, но ее члены по мере возрастания
номера приближаются к 2000.
3. Сходящиеся последовательности. Предел
последовательности. Во многих вопросах математики и ее
приложений возникают последовательности, похожие на
рассмотренные в предыдущем пункте. Эти последовательности
обладают следующим свойством: существует такое число
а, что, какое бы число е>0 мы ни задали, начиная с
некоторого номера N, выполняется соотношение \ап—а\<е.
Такие последовательности называются сходящимися к
числу а%
Отличие между сходящимися и устанавливающимися
последовательностями состоит в том, что для устанавливающихся
последовательностей, начиная с некоторого номера N, выполняется точное равенство
ап = а, а для сходящихся последовательностей это равенство
выполняется лишь приближенно. При этом для любой «степени точности» е
найдется номер N, начиная с которого равенство ап—а выполняется с
точностью до е, то есть \ап — а\ <е. Разумеется, этот номер N зависит
от е; чем меньшее е мы возьмем, тем позже равенство ап = а будет
выполняться с точностью до е, то есть тем больше будет номер N,
начиная с которого мы имеем \ап — а\ < е.
Итак, мы вводим следующее определение:
Определение. Последовательность {ап} называется
сходящейся к числу а, если для любого е>0 найдется
такое число N (зависящее от е), что при n>N выполняется
неравенство \ап—а|<е.
Число а, к которому сходится последовательность {an}f
называется пределом этой последовательности и
обозначается lim an (от латинского слова limes — предел).
П -*■ оо
Из определения сходящейся последовательности вытекает, что
всякая устанавливающаяся последовательность сходится. Ее пределом
является то число, на котором она устанавливается. Обратное невер-
77
но — далеко не все сходящиеся последовательности устанавливаются.
Например, последовательность 1, —, —, ..., —L, ... сходится к
нулю, но не устанавливается.
Для сходимости последовательности {ап} к числу а недостаточно,
чтобы для любого е>0 отклонение \ап — а\ хоть один раз стало
меньше е. Например, качающийся маятник при каждом качании проходит
через положение равновесия. В этот момент его отклонение от
положения равновесия равно нулю. Но потом маятник удаляется от
положения равновесия и, если размах колебаний не уменьшается (если
колебания не затухают), то маятник не стремится к положению
равновесия. Нужно, чтобы отклонение \ап — а\ не только стало меньше е, но и
впредь оставалось меньше е.
Характер приближения членов сходящейся
последовательности к пределу а может быть различным: они могут
приближаться к #, /ш§о все время возрастая, [либо все
'бремя убывая, либо, наконец, колеблясь около^числа а.
Например} члены последовательности
о 1 2 3 1 -L
приближаются к числу 1, все время возрастая. А члены
последовательности
приближаются к числу 1, все время убывая. Члены
последовательности
, _J_ ± L (-О""1
h 2 ' 3 ' 4 ' •••, п > ••'
приближаются к нулю, колеблясь около этого значения
(в физике такой случай встречается при затухающих
колебаниях маятника; отклонения маятника от положения
равновесия имеют разные знаки и с течением времени
приближаются к нулю). Наконец, члены последовательности
0 1 — 1 — 1 — 1
приближаются к 1, причем бесконечно много из них равны 1.
Пусть
х= ±N, #х ... ап ... —
некоторое действительное число и хи хъ ..., ал, ... — последовательность
десятичных приближений этого числа по недостатку. Тогда
последовательность {хп} сходится к xt возрастая (чем больше десятичных знаков
78
мы берем, тем ближе десятичное приближение к числу х\ если мы
возьмем п десятичных знаков после запятой, то отклонение хп от х
не больше, чем —^Г")* Последовательность же десятичных
приближений х по избытку стремится к х, монотонно убывая.
Разумеется, далеко не все последовательности имеют
предел. Если последовательность не имеет предела, ее
называют расходящейся. Примерами расходящихся
последовательностей могут служить
14 9 п2
1, -1, 1, -1, ..., (-1)»-«, ... .
Упражнения
101. Даны следующие последовательности:
U) u 2 ' T' 4 ' ' ~' -
(2) l.o, -i-. o, o.-i-, о, о, о, JL, о, о, о, о, 4-, .-;
2 3 4 о
,3, ,,= l +-|- + 4. + ... + Jrj
«-'Ч- + (т)'+-+(4-}
2 \л-1.
(5) 1, 1, ..., 1, ...;
(6) 1, -l, 1, -1 (-I)"-1, ...;
<7)l-r '-i- l>-r~;
w 23 4 ' n
(9> 1 1 1 1 1 1 1 1
w —, -p -g-. -p x, — . -^ -p ..
11 1111
11' 2 ' '"' 99' 2 ' 100 ' 3 ' '"
1
* ' T'
1
1 '
1
10'
l
2
(знаменатель дроби, стоящей на четном месте, равен числу цифр в
знаменателе предыдущей дроби);
пт 12 2 3 3 4
UU) Т' "Г* Т' ~2~' ~Т' ~3~' '" *
а) Доказать, что 0 есть предел последовательностей (1), (2), (8), (9).
б) Найти пределы последовательностей (3), (4), (10).
в) Доказать, что 1 не есть предел последовательности (1).
г) Имеют ли пределы последовательности (5), (6), (7)?
79
102. Найти предел последовательности {an}t где
— , если п — четное число,
—-—, если п — нечетное число.
103*. Что означает предложение счисло а не является пределом
последовательности {#/г}»?
4. Геометрический смысл понятия предела. Мы знаем, что
неравенство \х — а\ < е задает часть числовой оси,
лежащую между точками а — е и а + е, то есть промежуток
радиуса е с центром в точке а. Мы назвали этот
промежуток г-окрестностью точки a, a e—радиусом окрестности.
Данное выше определение предела последовательности
означает следующее: число а называется пределом
последовательности {ал}, если, какую бы окрестность точки а мы
ни выбрали, найдется номер N, начиная с которого все
точки последовательности [ап] попадают в эту
окрестность (рис. 11).
*-<5 а ш+6
—i ( i i i )
Рис. 11
Иными словами, вне любой, сколь угодно малой,
окрестности точки а лежит лишь конечное число членов нашей
последовательности.
Отсюда ясно, что добавление или исключение
конечного числа членов не влияет на сходимость
последовательности и на значение ее предела. Меняется лишь номер N,
начиная с которого члены последовательности попадают в
данную е-окрестность точки а.
Эта геометрическая иллюстрация понятия предела
позволяет сделать более наглядными доказательства
различных теорем о пределах.
Теорема 1. Последовательность аи а2, ..., апУ ... не
может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что liman=a и
lim #„=&, a=f=b. Это значит, что все члены последователь-
ности, кроме, быть может, конечного числа, лежат в
любой окрестности как точки а, так и точки Ь. Чтобы
привести к противоречию это предложение, выберем непере-
80
a-e a+e b-e ь+е
—( i ) 1--_)—
a j b
Рис. 12
секающиеся окрестности (a — e, a+e) и (6—s, 6+e) точек
a и b (рис. 12). По предположению, обе эти окрестности
содержат все члены последовательности, кроме конечного
числа. Но тогда, начиная с некоторого номера jV, члены
последовательности должны были бы принадлежать обеим
окрестностям. А это невозможно, так как окрестности не
имеют общих точек. Полученное противоречие показывает,
что сделанное предположение неверно, и потому а=&.
Выберем из последовательности {ап} бесконечно много
членов и расставим их в том же порядке, в каком они
идут в самой последовательности. Получится новая
последовательность, называемая подпоследовательностью
исходной. Например, последовательности
1, 4, 9, ..., п\ ...
3, 6, 9, ..., Зя, ...
10, 100, ..., 10", ...
являются подпоследовательностями натурального ряда чисел
1, 2, 3, ..., я, ...,
а последовательности
1, 1, 1, 1, .-, 1, ...
-1, -1, -1, -1, ..., -1, ...
являются подпоследовательностями последовательности
1, -1, 1, -1, ..., (-1)"-', ... .
Докажем сейчас следующую теорему:
Теорема 2. Если последовательность \ап) сходится к
числу а, то любая ее подпоследовательность сходится к
тому же числу.
Доказательство. Пусть в подпоследовательность
вошли члены с номерами п1У п2> пъ ... , nk, ..., причем
Ki<n2< ... <nk<... . Тогда последовательность состоит
из членов bk=ank . Зададим число е > 0. Так как lim аЛ=а,
Я -> «о
6 Заказ 2541 gl
то найдется такое N, что при n>N имеем \ап—а\ < е.
Начиная с некоторого номера /, выполняется неравенство
nt > N. Следовательно, при k> I будем иметь \bk — а\ =
= I апь — # 1 < £- Это и значит, что lim bk = а.
5. Бесконечно малые последовательности.
Определение. Последовательность а,, а2, ..., ал, ... называется
бесконечно малой, если ее предел равен нулю: lim а„=0.
Справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если аи ..., а„, ... —монотонно возрастаю-
щая последовательность натуральных чисел и с — любое
число, то последовательность
ее с
бесконечно мала.
Доказательство. По условию последовательность
\ап) состоит из натуральных чисел и монотонно возрастает.
Поэтому аА>\ и для всех п имеем ап+\ — ап>\; значит,
ап > п. Зададим е > 0 и возьмем любое натуральное число
1С \
-тг <е- Тогда при n>N имеем an^n>N
и потому
1£1<1т1<'-
А это и означает, что lim — =0, то есть что
последовала оо йП
тельность 1—1 бесконечно мала.
\ап\
Из доказанной теоремы вытекает, например, что
последовательности yjj}> \ш\ и т- Д- бесконечно малы.
Бесконечно мала последовательность масс радиоактивного вещества
<без примесей). Масса радия уменьшается вдвое за 1600 лет (точнее, за
1590 лет). Если бы миллион лет тому назад весь земной шар состоял из
радия, то сейчас от него не осталось бы ни одного атома1 (или, если
пренебречь атомным строением материи, осталось бы менее, чем Ю-"160
грамма радия). Поэтому кусок радия размером с земной шар,
рассматриваемый в процессе распада, дает бесконечно малую
последовательность, или, как говорят, является «бесконечно малой величиной».
1 Радий, имеющийся в настоящее время в земной коре, образовался
в процессе распада урана и других долгоживущих радиоактивных
элементов.
32
Понятие бесконечно малой последовательности
оказывается весьма полезным при изучении пределов. Имеет
место следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы число а было пределом
последовательности al9 а2, ..., ап, ..., необходимо и
достаточно, чтобы последовательность
ах—а, а2 — а, ..., ап — а, ...
была бесконечно мала.
Доказательство. Оба утверждения: „lim an=au к
„последовательность [ап — а) бесконечно мала" означают,,
что для любого е > 0 найдется N, начиная с которого
выполняется неравенство \ап — а|<е. Значит, эти
утверждения равносильны.
Так как ап = а + (ап — а), то из доказанной теоремьь
вытекает такое следствие:
Следствие. Если последовательность аи ..., ап, ... имеет,
предел а, то ап = а + ап, где {<хп} — бесконечно малая
последовательность. Обратно, если ап = а + ап, где {ап} —
бесконечно малая последовательность, то lim an = а.
П -*■ оо
Пользуясь этим следствием и теоремой 1, можно
находить пределы некоторых последовательностей. Например*
найдем lim * Т" Для этого выделим целую часть дроби
л->х> 21*то
2п'-Г3 :
т+1 1 1
2 л2 4-3 2 2(2л2+3)*
Но 2(2/z2+3)— монотонно возрастающая
последовательность натуральных чисел, а потому, по теореме 1,
последовательность -2(2^+37 бесконечно мала. Значит, по
следствию к теореме 2, имеем
Упражнения
104. Доказать, что последовательности
I 3"+1 Г i иг+8 /' I п«+1б /' I л!/
бесконечно малы.
83
105. Выяснить, является ли бесконечно малой последовательность
с общим членом ап = (—\)п {- n^~ .
п
106. Вычислить следующие пределы:
a) lim -^=i; г) lim ^~1 ;
6)nm_2rf+2n±l_ 3.5^+6
в) lim n~X '
6. Свойства бесконечно малых последовательностей. Из
теоремы 1 п. 5 вытекает, что последовательности {—1 и
j-Tprj бесконечно малы. Однако мы не можем пока что
сказать, является ли бесконечно малой последовательность
{ — + -2?г}> получаемая из этих бесконечно малых
последовательностей с помощью сложения. В этом пункте мы
изучим свойства бесконечно малых последовательностей.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть последовательности {сип} и {$п} бесконечно
малы. Тогда для любого е > 0 найдется такое /V, что при
n>N выполняются оба неравенства |ал | < е и [рл| < е.
Доказательство. Так как последовательность {ал}
бесконечно мала, найдется такое Nu что при n>Nx имеем
|ал|<е. Точно так же найдется такое N2, что при #>М
имеем |рл|<е. Выберем большее из чисел Nx и N2 и
обозначим его через N: N=max (Nu N2). Если n>N, то n>Nt
и n>/V2f а потому выполняются оба неравенства |art|<e,
ip„i<*.
Докажем теперь теорему о сумме бесконечно малых
последовательностей.
Теорема 1. Если последовательности {ал} и {$п}
бесконечно малы, то их сумма {<*n-t$n} тоже является
бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Зададим е>0. Так как
последовательности {oin} и {$п} бесконечно малы, то по лемме
найдется такое N, что при n>N имеем \ап\ <— и |рл| < —.
А тогда при ri^>N имеем:
1*я + Ря|<1*л1 + |Ря|<-г+ -Г =е-
84
а
А это и значит, что {ал + P„} — бесконечно малая
последовательность.
Чтобы сформулировать следующее свойство, введем
понятие ограниченной последовательности.
Определение 1. Последовательность {ап} называется
ограниченной, если существует такое число М, что для
всех п выполняется неравенство \ап\^М.
Например, последовательность {Л.} ограничена, так
как для всех п имеем ?, ,■ < 1. Последовательность in2)
неограничена, так как для любого М>\ имеем при n>N
п2>М2>М.
Заметим, что если последовательность {ап} имеет
предел, то она ограничена.
В самом деле, пусть lim ап=а. Тогда найдется такое N, что при
n>N имеем \ап — а\ < 1, то есть а—1<ап<а+\. Таким образом, вне
отрезка [а—1, я+1] могут лежать лишь элементы последовательности
#ъ ••-, ам—\- Возьмем отрезок [—М, М], содержащий все эти элементы
и отрезок [а—\, а+1]1. Тогда для всех п будем иметь \ ап\ < М. Значит,
последовательность { ап } ограничена.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Если последовательность {ап} бесконечно
жала, а последовательность \ап) ограничена, то
последовательность {апап} бесконечно мала.
Доказательство. По условию существует такое УИ,
что при всех п имеем \ап\<М. Зададим е>0. Так как
{сап } — бесконечно малая последовательность, то найдется
такое N, что при n>N имеем 1ал|<тг- ^ тогда при
/г > N имеем:
а это и значит, что последовательность {ап-ъп) бесконечно
мала.
Из доказанной теоремы следует, например, что
последовательность {~^гтт/ бесконечно мала. В самом деле,
1 Число М можно, например, выбрать так: М—наибольшее из чисел
Uil, .... Kv-il и М+ 1-
85
Г 1 ) ^ ( (—\)ПП*)
i — \ — оесконечно малая последовательность, а \ v, 27 п 1—
ограниченная последовательность.
Так как сходящаяся последовательность всегда
ограничена, то мы имеем такое следствие из теоремы 2:
Следствие. Произведение бесконечно малой
последовательности { ап } на сходящуюся последовательность {ап}
является бесконечно малой последовательностью.
В частности, бесконечно мало произведение двух
бесконечно малых последовательностей. Бесконечно мало и
произведение бесконечно малой последовательности на
некоторое число а.
Введем теперь понятие бесконечно большой
последовательности.
Определение 2. Последовательность
аъ а2, ..., anJ ...
называется бесконечно большой, если для любого А
найдется такое N, что при n^N выполняется неравенство
\ап\> А. В этом случае пишут: lim ап = оо.
Не следует смешивать понятия бесконечно большой и
неограниченной последовательностей. Общим для этих понятий является то, что
для любого А>0 найдется такое N, что \aN\ > А. Однако если
последовательность лишь неограничена, то может найтись бесконечное
множество п таких, что n>N, но \aN | < А. В случае, когда
последовательность { ап }—бесконечно большая, равенство \ап\ > А должно выполняться
не только при n=N, но и для всех n>N. Например, последовательность
2, 0, 8, 0, 32, 0, ...
(общий член 2 +(—2) )неограничена, но не является бесконечно
большой.
Если Птал = оо и все числа ani начиная с некоторого
/г->оо
номера N, положительны, то говорят, что
последовательность {ап\ стремится к -f- °°> и пишут lim ап = -f- оо. Анало-
гично определяется, что значит lim ал = — оо.
Очевидно, что если { ап } — любая
подпоследовательность натурального ряда, то lim#rt=-f-oo. Например,
имеем
Нт п* = +оо, Нт 2п = + оо и т. д.
П~+— /1-х»
86
Установим связь между бесконечно большими и
бесконечно малыми последовательностями.
Теорема 3. Если [ап] — бесконечно большая
последовательность, то { } — бесконечно малая1.
Доказательство. Зададим любое число е > 0. Так как
последовательность { ап } бесконечно велика, то найдется такое Л N, что при
n>N выполняется неравенство \ап\>—. Но тогда при n>N имеем
£
I < £. А это и значит, что \ \ — бесконечно малая последо-
\ ап\ У ап )
вательность.
Точно так же доказывается
Теорема 4. Если последовательность {ап} бесконечно
мала, то \-^—\ — бесконечно большая последовательность
(здесь, разумеется, предполагается, что при всех п а„^0).
Доказательство этой теоремы мы предоставляем
провести читателю.
Упражнения
107. Доказать, что произведение двух бесконечно больших
последовательностей— бесконечно большая последовательность.
108. Доказать, что сумма двух бесконечно больших
последовательностей одного и того же знака — бесконечно большая
последовательность того же знака.
109. Доказать, что сумма и произведение ограниченных
последовательностей — ограниченные последовательности.
110. Доказать ограниченность последовательностей, общие члены
которых задаются формулами:
лг_1 п ЮОм
а) ап = -~Г77; б) ап = -~ТТТ> В) ап = ■
п2+9 ' п д3+Г ' " 2п
111. Доказать, что последовательность с общим членом ап=
= я2 + (— 1)лд2 неограничена. Указать хоть одно значение п, при
котором ал>2 000 000. Выполняется ли это неравенство при всех
достаточно больших значениях п>
112. Последовательность {ап} задается рекуррентным соотношением
an=Y Ъ+ап__х , причем ах=У 2.
Доказать, что для всех п выполняется неравенство ап<2 и потому
эта последовательность ограничена.
113. Построить примеры бесконечно малых последовательностей
{ап) и {Ю таких, что
a) Urn JlL. = 0; б) lim-^- = +°o.
1 Частным случаем этой теоремы является теорема 1 из п. 5.
*
87
114*. Доказать, что если последовательность стремится к +оо, то
среди принимаемых ею значений есть наименьшее.
115*. Доказать, что если последовательность стремится к числу а, то
среди принимаемых ею значений есть либо наименьшее, либо
наибольшее, лиЗо и то и другое.
116. Привести пример последовательности, не принимающей ни
наименьшего, ни наибольшего значения.
117. Привести пример ограниченной последовательности, не
принимающей ни наименьшего, ни наибольшего значения.
7. Теоремы о пределах последовательностей. Опираясь на
доказанные свойства бесконечно малых последовательностей
и на связь между сходящимися и бесконечно малыми
последовательностями, выведем теоремы о пределах суммы,
произведения и частного двух последовательностей.
Теорема 1. Пусть последовательности {ап} и {Ьп} имеют
пределы: lim an—a, lim bn = b. Тогда последовательность
{an+bn} также имеет предел, причем он равен а+Ь:
lim (ап + Ьп) = а + Ъ = lim an + lim bn.
Кратко говоря, предел суммы двух сходящихся
последовательностей равен сумме их пределов.
Доказательство. Так как lim an=a и Нт6л==й, то
Л->оо П-+ао
ал=а-|-ал, Ьп — Ь+$п, где {ал} и фл} — бесконечно малые
последовательности. Но тогда
ап+Ъп = (а+ап) + (&+у = а -I- Ъ + (ал+р„).
По теореме 1 п. 6 последовательность {ал+Рл} бесконечно
мала, а тогда по теореме 2 п. 5 имеем:
lim (ап + bn) = a + b.
П-+ оо
Точно так же доказывается теорема о произведении
сходящихся последовательностей:
Теорема 2. Пусть последовательности {ап} и {Ьп} имеют
пределы: lim an=a, \imbn = b. Тогда последовательность
Я->00 Л-»- 00
{апЬп} также имеет предел, причем он равен ab\
lim anbn = ab = lim an lim bn.
п-> оо л->оо /г->оо
Кратко говоря, предел произведения двух сходящихся
последовательностей равен произведению их пределов.
88
Доказательство. Как и в теореме 1, получаем, что ап=а+ап,
bn=b-\~$n, где ап и (Зл — бесконечно малые последовательности. А тогда
я А = (я + «п) (Ь + h) = ab+ (а$п + ban + ап$п).
Последовательности \а$п}, {Ьап}, {ап$п} бесконечно малы по теореме 2 п. 6 и
ее следствию, а тогда по теореме 1 п. 6 бесконечно мала и
последовательность {аря + Ьап + ап$п). Но это значит, что апЬп равно сумме
числа ab и бесконечно малой последовательности {а$п + ban -f «лР/г}» а
потому по теореме 2 п. 5 имеем:
lim a
Наконец, остановимся на вопросе о пределе частного.
Лемма. Если последовательность {Ьп} имеет предел Ь,
отличный от нуля, lim Ъп = &, и если все Ьп Ф О, то
lim -г- = -г-.
Доказательство. Так как lim bn=b, то bn=b-{-$n, где рл — бес-
конечно малая последовательность. Но тогда имеем:
1 1 1 1 1 /_п
Таким образом, {-— — —I является произведением бесконечно ма-
\bn b )
лой последовательности { —р„ } и последовательности
ь (ь + р„) •
Покажем, что вторая последовательность ограничена. В самом деле
так как lim b (£+Рл) = />2=^0, то, начиная с некоторого номера N, имеем
а потому
-*L<A(A + P„)< ^_At,
< ,„' < 2
3/>2 £ (£ + P/i) ^2
[2 2l
——-, —- лежит лишь конечное число членов после-
3b2 b2 J
довательности |— \. Значит, она ограничена, а тогда произведем
{b (b+$n) j
ние (—$п) — бесконечно малая последовательность. Но если
b (b+h)
разность _ — — бесконечно мала, то lim — = Лемма доказана.
bn b n-+<* bn b
89
Из этой леммы получаем следующего теорему:
Теорема 3. Пусть Птал = а и Пт Ьп = Ъ, причем ЬфО и
П-+- оо Л->-оо
ясг 6П^=0. Тогда
,. а„ а
Л-*оо *Л ^
Кратко говоря, если предел знаменателя отличен от
нуля, то предел отношения двух сходящихся
последовательностей равен отношению их пределов.
Доказательство. Мы имеем -~~ = ап • -г—. По-
этому в силу теоремы 2 и леммы получаем:
lim-r^- = hma„ lim-г- = а • — = -г-.
Из теоремы 3 вытекает, в частности, такое следствие:
Следствие 1. Если {ап}—бесконечно малая
последовательность, а lim 6Л = 6 (6=^=0 и ЬпфО), то последовательность
П->оо
\~ь\ бесконеч-но мала. В самом деле,
Ит_^ = А = о.
п.+ ь„ ь
Я-»- оо ''
Следствие доказано.
Так как последовательность, обратная бесконечно
малой, является бесконечно большой, то справедливо второе
следствие:
Следствие 2. Если \iman=a^Q, а {$п} ~-бесконечно ма-
П-+ 00
лая последовательность, причем все $пф0, то
последовательность {-тр-} — бесконечно большая.
Упражнения
118. Докажите, что если lim an=a, то
Я-*ао
lim | аЛ | = \а\.
П-+ оо
(Указание: докажите и используйте неравенство
\\а\ - \b\\ < \a-b\.)
119. Приведите пример, когда существует lim | ап |, a lim an не су-
П-+ оо Л-> оо
ществует.
90
120. Последовательности { ап } и { Ьп } не имеют предела. Могут ли
иметь пределы последовательности {ап-\~Ьп} и {апЬп}? Приведите
примеры.
121. Последовательность {ап} имеет предел, а последовательность
{Ьп} его не имеет. Могут ли иметь пределы последовательности
{ап+Ьп} и {апЬп}7
122. Постройте примеры двух бесконечно больших
последовательностей {ап} и {Ьп}, для которых: a) lim _^L- = 0, б) lim Jb- существует,
П-+СО Ьп п-+ оо Ьп
но отличен от нуля, в) lim —И- не существует.
Л-> оо Ьп
123. Пусть lim an=0 и {Ьп} произвольна. Можно ли утверждать, что
П-+ао
lim anbn = 0?
Л-+0О
124. Пусть lim anbn=0. Можно ли отсюда вывести, что либо ап -> 0,
Я-* оо
либо Ьп -> О?
125. Пусть последовательности {ап} и {Ьп} сходятся к одному и
тому же пределу. Как ведет себя последовательность ait Ьъ аъ, Ьг, ...,
ап, ЬПУ ...?
8. Примеры вычисления пределов последовательностей.
Вычислим предел
1+ —
lim г— о——о
п2
По теоремам из п. 7 вычисляемый предел равен:
Hm(i + -M 1
я-ов\ п1 l + llm —
И т(5-\) = п~~п (5-lim-
/г->оо\ /
п-^ооП2
Но последовательности I—}, {—§■}, {—А бесконечно малы,
их пределы равны нулю. Поэтому
llm-^f(5-ir)-i±?(5-0)=4-
Л-^оо 2 +—— Ч '
Во многих случаях доказанные выше теоремы
непосредственно не применимы, и приходится предварительно пре-
91
образовывать выражение общего члена
последовательности. Рассмотрим следующие примеры.
1) Найти
Зп*-4п+1
Для этого разделим числитель и знаменатель на п2. Мы
получим, применяя теоремы о пределах, что
1
Зл2-4л+1 ,. 3~""7Г + 1? п^°°
^ &«' + *, +2 =11Ш —
4 , 1 Hm(3-A + _U
л /гау
л—5 + А + А Ит /5 + А + 2 \
■Ит — + Ит JL
5 + lim A + lim J* 5 '
2) Найти предел
,. л3 —6л+ 7
л"в ^ + «2 + 2 •
Как и в примере 1), деля числитель и знаменатель на я4,
получаем:
1з пъ — би + 7 t.
lim—т-j—8, п = Ит
А - А + А
/2 Л3 Л4
1 + _L+A
т и8 и4
0
1
Наконец, рассмотрим последовательность с общим чле-
ном ап = —« , е ■ Разделим числитель и знаменатель на /г.
'• п л ■+- о
Мы получим, что
,. 2л3 + 4 ,. 2+"^з
hm—2 , с = lim -- _
пж «2 + 5 «—J_+A
п п3
Предел числителя равен 2, а знаменатель бесконечно
мал. Следовательно, по следствию 2 к теореме 3 п. 7
имеем:
i. 2л3 + 4
hm 2 , с = оо.
Из разобранных примеров видно, что имеет место
следующее общее правило:
92
Правило. Если общий член последовательности
является алгебраической дробью от п, то есть если
bknk+ ... +ЬЛ
Un стпт + ... + с0
то:
а) при k=m имеем: \[тап = ——;
Л->оо Ck
б) при k<m имеем: \\тап = 0;
П-*- оо
в) при fc>m имеем: \\тап = -f со.
Л>оо
Упражнения
126. Вычислить пределы следующих последовательностей:
а) lim 6*» + 5л+1 . г) lim п*-п*+1 .
л->* 8л2+ 3 ' л->» п2-п+[ '
б) lim ?,; + ?,a+!Q - Д) Пш 1+2 + -+"-
л-оо 9л3 + 6л2 + 3 ' л-о, л2
в) lim ™ + * ; е) lim Iя+ 2'+- +*'.
127. Пусть.
Найти Ига #л.
л-> о»
128. Пусть
23— 1 33-1 л»—1
"л-l- 23+1 33+1 - л3+1 '
Найти lim an.
П-*- оо
(Указание: использовать тождество
(Н-1)я-(Н-1) + l = fc2-ffc+l.)
129. Пусть
Найти lim #„.
Л-*-оо
/
9. Определение iV no е. Доказанные выше теоремы позволяют
находить пределы некоторых последовательностей. Но в целом ряде
практических задач возникает необходимость не только найти значение а
93
предела последовательности {ап\, но и оценить, на сколько
отклоняется эта последовательность от а при тех или иных значениях п.
Например, если ап—масса радиоактивного вещества в момент времени я,
то, как мы знаем, 11т ап=0. Однако ученому, имеющему дело с этим
веществом, важно знать, в течение какого времени масса вещества
<5удет достаточно большой, чтобы с ним можно было делать те или
иные опыты.
Иными словами, нам надо уметь отвечать не только на вопрос:
•«Чему равен lim #л?», но и на вопрос: «Начиная с какого N при задан-
Л-> 00
ном е>0 выполняется неравенство \ап—а\ < £?». Сейчас мы рассмотрим
несколько таких задач.
Мы имеем
»«" 4±i- = 4".
п-+ оо 2/2 2
\п+\ 1
Определим, начиная с какого N выполняется неравенство
Так как
л + 1 II 1
2л
< £.
2л 2 I 2л '
то это неравенство выполняется, если л — натуральное число,
принадлежащее числовому лучу —, оо ). Первым натуральным числом на
№•
этом луче является число Е \—r—1+ *, где через Е (а) обозначена
целая часть числа а (то есть такое целое число л, что л<а<л+1).
Не всегда при решении неравенства \ап—а\ < е мы получаем
множество натуральных чисел, принадлежащее некоторому
числовому ЛУЧУ- Возможны следующие случаи:
а) Для любого е>0 множество решений неравенства \ап—а\<е
содержит все натуральные числа, принадлежащие какому-то числовому лучу
jc>A, и, быть может, еще конечное множество натуральных чисел. В
этом случае последовательность {ап} сходится к а.
б) Найдется такое е>0, что множество решений неравенства
| ап — а | < е не содержит «натурального числового луча* (то есть не
содержит множества натуральных чисел, принадлежащих какому-то
числовому лучу). В этом случае а не является пределом
последовательности {ап}. Может быть, что последовательность {ап} имеет другой
предел, отличный от а, а может быть, она вообще не имеет предела.
Возьмем, например, последовательность {ап} с общим членом
\ / 1 \пк 1
ап = — + _! ' Ее предел равен нулю. Положим е= Тогда
п п& 2
2 1 9 1
| а3 — О | = — < —, |а4 —01= > —, а при л>5 имеем
' 3 9 2 4 ' 16 2
1 с о 1
\ап — 01 < — + — = — < Значит, множество решений иера-
1 5 52 5 2
венства \ап — 0| < — состоит из числа 3 и из всех натуральных чи-
94
сел, принадлежащих числовому лучу х>Ъ. В данном случае значением
Му соответствующим числу £ = —, является 5 (а не 3).
Далее, докажем, что число 1 не является пределом
последовательности
1, -1,1, -1 (-i)*-1 (1)
Возьмем сначала е=3. Для всех членов последовательности (1) имеем:
\ап-а\ = \(-1)п~1-1\<3.
Значит, множество решений неравенства \ап — а | < 3 состоит из всех
натуральных чисел N. Это не означает, однако, что 1 — предел нашей
последовательности. Ведь N должно найтись не для одного
значения е, а для любого е>0. Возьмем е = Теперь надо решить
неравенство |(—1) — 1| < Оно имеет место для всех нечетных
/2—1 2k 2&
п, так как при n=2k + 1(—1) =(—1) =1 и потому |(—1) —1 | =
= 0 < Если же п четно, то (—1> =—1, а неравенство! — 1 —1|< —
неверно. Значит, при е=— множество решений неравенства \ап—а\< а
состоит из нечетных чисел-
Оно не содержит ни одного «натурального числового луча». Это и
доказывает, что 1 не является пределом последовательности (1). (Эта
последовательность вообще не имеет предела.) Мы видим, что для
опровержения равенства lim ап — а достаточно найти хоть одно е>0г
Л-*оо
которому не соответствует никакое N. Вообще, чтобы опровергнуть
любое утверждение, достаточно найти хоть один пример, когда оно
неверно. В то же время любое количество примеров, для которых
данное утверждение верно, не гарантирует его справедливости в общем
случае.
Упражнени я
130. Докажите, пользуясь определением предела, что
последовательность 2, 2, ..., 2, ... имеет пределом число 2. Какое N надо выбрать,,
если взять £ = 1000, £=0,001?
131. Докажите, пользуясь определением предела, что предел
последовательности 1, 2, 3, 4, 4, 4, ..., 4, ... равен 4. Какое N надо выбрать,
если £=10; £=2; £=1,1; £=0,01?
132. Докажите, что число 1 не является пределом
последовательности
1, -L 1, -L, 1, _L....
2 3 4
Докажите, что число 0 также не является для нее пределом. Имеет ли
эта последовательность предел?
95
133. Докажите, что
Iim 2n = 2.
Л-*оо n-f-3
Найдите первое значение N такое, что при n>N выполняется нера-
2л
п+3
134. Докажите, что
2 < 0,1. Найдите значения N для s = 0,01; £=0,001.
Hm -4— = 1.
Найдите первое значение N такое, что при n>N выполняется нера-
„2 |
венство I — 1 < 0,1. Найдите значения N для £=0,01, е=0,001.
I я2+4 |
135. Докажите, что
lim l = 0.
Найдите значения N для £=0,001; £=0,000001.
\ j_ / \\п
136. Докажите, что последовательность с общим членом. Li L_
п
стремится к нулю. Какое N надо выбрать, если £=0,001? Сколько раз
эта последовательность принимает значение нуль, если п изменяется
от 1 до 1000?
137. Общий член последовательности задается формулой
Найдите первое значение п такое, что | ап | < 0,7. Найдите первое
значение п такое, что при n>N выполняется неравенство | ап | < 0,7.
Докажите, что lim ял=0.
Л->оо
138. Дана последовательность с общим членом ап= + 0,001.
п
Ученик нашел, что ^=1,001, #2=0,501, #3=0,334 •••» л4=0,251, и решил,
что lim an = 0. Верен ли его вывод? Попробуйте найти значения N для
Л-»-ОО
е = 0,1, е = 0,01, £ = 0,0001.
139. Найдите формулу, задающую последовательность со
следующими свойствами:
а) предел последовательности равен 1;
б) первые два члена последовательности больше 1, следующие два*»
меньше 1, следующие два снова больше единицы и т. д.
п Г/1-i)
(Указание: исследуйте знак (—1) 2 при различных
значениях п.)
96
140. Найдите формулу, задающую последовательность со
следующими свойствами:
а) предел последовательности равен 3;
б) первые два члена последовательности равны 3, следующие два
не равны 3, следующие два равны 3 и т. д.
141. Найдите формулу, задающую последовательность со
следующими свойствами:
а) предел последовательности равен нулю;
б) первые миллион членов последовательности больше 1.
142^ В формулировке определения предела ученик вместо «для
любого е>0» сказал «для любого е». Покажите, что при таком
«определении» ни у одной последовательности нет предела.
143. В формулировке определения предела ученик вместо «для
любого е>0» сказал «для любого е>0». Какие последовательности будут
иметь предел при таком «определении»?
144. В формулировке определения предела ученик вместо «для
любого е>0» сказал «хотя бы для одного £>0». Докажите, что при таком
«определении» последовательность 2, 2, 2, ..., 2, ... имеет предел 7-—-.
Какое е надо для этого взять?
145. В формулировке определения предела ученик вместо «найдется
такое N, что ...» сказал «при всех N ...». Какие последовательности
будут иметь предел при таком «определении»?
146. В формулировке определения предела ученик вместо \ап—#|<£
написал ап—#<е. Докажите, что при таком «определении» число 5
является пределом последовательности 1, 1, ..., 1,.
147. В формулировке определения предела ученик вместо «для всех
n>N выполняется неравенство | аЛ—а | < е» сказал «выполняется
неравенство \aN—а\ < £». Приведите пример последовательности, имеющей
предел при таком «определении», но не имеющей предела при
настоящем определении.
10. Пределы и приближенные вычисления. Равенство lim an=a
означает, грубо говоря, что при достаточно большом значении п
отклонение ап от а достаточно мало, ап^а. Этим можно воспользоваться
для решения следующих двух задач:
а) зная процесс образования последовательности {ап}, найти
приближенное значение предела а;
б) найти приближенное значение ап при достаточно больших
значениях п.
Разумеется, здесь возникает вопрос, насколько большим надо взять
значение д, чтобы отклонение ап от а стало меньше предписанной
точности. Иными словами, приходится решать следующую задачу:
Для данного £>0 указать такое N, начиная с которого \ап—а] < е.
Мы решали такие задачи в п. 9.
Чаще, однако, приходится решать задачу а). Дело в том, что
бывают случаи, когда мы не можем указать значение некоторой
величины а9 но знаем процесс, дающий сходящуюся к а последовательность
{ап}, Нт ап=а. В этом случае за приближенное значение а принимают
значение ап при достаточно большом п. Здесь, однако, возникает
осложнение, поскольку мы не знаем значения я, а это затрудняет оценку
7 Заказ 2541
97
отклонения ап от а. В некоторых случаях удается провести эту оценку,
исходя из свойств самой последовательности.
Следует отметить, что понятие сходимости последовательности
имеет различный смысл для математика и вычислителя-практика. Для
математика важно лишь, чтобы для любого е>0 нашлось N, начиная с
которого выполняется неравенство \ап—а \ < е. Для вычислителя же
важно, чтобы для интересующей его точности е>0 значение N было не
слишком велико. Иначе для приближенного вычисления а потребуются
многие месяцы ручного счета или многие часы машинного времени.
Поэтому последовательность, сходящаяся с точки зрения математика-
теоретика, может оказаться «практически расходящейся».
Упражнение 148
а) Найти с точностью до 0,0000001 значение
при п = 974.
__ я3+6
2л3т-1
б) Можно ли считать, что £ J~ при «=148 равно Уа с точностью
до 0,00000001?
§ 3. Признаки существования предела
последовательности. Число в
1. Вводные замечания. Теоремы, доказанные в
предыдущем параграфе, позволяют во многих случаях находить
пределы последовательностей, заданных с помощью формулы.
В тех случаях, когда последовательность задана
рекуррентным соотношением, приходится прибегать к иным методам.
Пусть #!=0 и для всех п выполнено соотношение
«.+. = -*£- (1)
Предположим, что последовательность {ап} имеет предел я, a=\im an,
Л-*ое
Так как значение предела не зависит от добавления или отбрасывания
конечного числа членов последовательности, то Нт аплЛ также равен а.
П-*- оо
Перейдем в равенстве (1) к пределу при w-^oo. Мы получим, что
или же, что л-^оо л-*<х *
2
Решая это уравнение, находим а=Ъ.
Нетрудно проверить, что число 3 действительно является пределом
последовательности {ап}. В самом деле, из равенства (\) следует, что
о п __ о Д/г+3 __ Ъ—ап
98
Поэтому на каждом шагу разность 3—ап уменьшается вдвое и потому
стремится к нулю, когда п->оо. А это и означает, что lim ап=Ъ.
Примененный здесь прием носит условный характер—он основан
на предположении, что предел lim an существует. В других случаях
Л-> оо
этот прием приводит к неверным результатам. Пусть, например, ах=0 и
апМ = 2ап + 3. (2)
Если бы существовал предел lim an=at то мы получили бы из соотно-
П-+ 00
шения (2), что
а = 2а + 3,
и потому а = —3. Однако члены последовательности [ап} имеют вид:
О, 3, 9, 21, 45, ....
Ясно, что они неограниченно возрастают и последовательность не
имеет предела.
Чтобы вычислять пределы рекуррентно заданных
последовательностей, надо уметь сначала доказывать, что
искомый предел существует. Это оказывается необходимым и
в случае, когда какое-то число определяется как предел
некоторой последовательности. Здесь надо сначала
убедиться, что этот предел существует, иначе определение
окажется не имеющим смысла. Поэтому нам нужны
признаки, позволяющие установить, что данная
последовательность имеет предел. Два таких признака будут изложены
ниже.
2. Грани числовых множеств. Пусть А — числовое
множество. Назовем это множество ограниченным сверху, если
существует такое число &, что для всех элементов а из А
выполняется неравенство а^.Ь. Все числа Ь с указанным
свойством называются верхними гранями множества А.
Например, если А — множество всех рациональных чисел,
выражаемых правильными дробями —, 0<^т<^п, то число 3
является верхней гранью этого множества. Верхней гранью
для А является и число 8. Среди верхних граней
множества А есть наименьшая—число 1. Ясно, что для любой
правильной дроби мы имеем —<1. В то же время, если
*<1, то найдется правильная дробь, большая, чем х.
Мы докажем сейчас, что наименьшая верхняя грань
есть у любого ограниченного сверху непустого множества.
Теорема. Если множество А ограничено сверху и
непусто, то среди его верхних граней есть наименьшая.
7* 99
L
Доказательство. Рассмотрим два множества:
множество А и множество В его верхних граней. Из
определения верхней грани следует, что множество В лежит
справа от множества А. Поэтому существует хотя бы одно
число с, разделяющее эти множества, то есть такое, что
а<£, если а£А, и с^Ь, если b£B. Из того, что а^.с
для всех а£А, вытекает, что с само является одной из
верхних граней множества А. При этом, так как с<6 для
всех 6 £5, эта верхняя грань наименьшая. Теорема
доказана.
Наименьшая из верхних граней множества А называется
его точной верхней гранью и обозначается sup А (от
латинского слова supremum — верхний).
Множество А называется ограниченным снизу, если
существует такое число 6, что b < а для всех а£А. Любое
ограниченное снизу непустое множество имеет
наибольшую нижнюю грань. Ее называют точной нижней гранью
этого множества и обозначают inf А (от латинского слова
infimum — нижний).
Если множество А ограничено и сверху и снизу, его
называют ограниченным. В этом случае оно имеет и нижнюю
и верхнюю грани. Пусть a=inf Л, p = sup А. Тогда
множество А целиком расположено на отрезке [а, р]. Если же
отрезок [y, Ц является правильной частью отрезка [а, р],
то найдется хоть одна точка из А, не лежащая на [?, Ц.
У п р а ж н е н ргя
149. Какие из нижеследующих множеств ограничены сверху, какие
ограничены снизу, какие ограничены:
б) множество чисел вида \ * '——};
I п + 4 J
в) множество чисел вида {л2— 1};
п* \
п+\ Г
д) множество чисел вида { (—1)" л2} (п=1, 2, ...)?
150. Найдите для множеств из упр. 149 нижние и верхние грани.
3. Теорема о пределе монотонной ограниченной
последовательности. С каждой последовательностью [ап] связано
числовое множество Л, состоящее из элементов этой
последовательности. Если это числовое множество
ограничено сверху, мы будем называть саму последовательность
а) множество чисел вида
г) множество чисел вида
100
tfr й2 (*з й± а5 а6 а
Рис. 13
ограниченной сверху1. Иными словами, последовательность
\ап) ограничена сверху, если существует такое число &, что
для всех п выполняется неравенство ап^Ь.
Пусть последовательность {ап} монотонно возрастает и
ограничена сверху. Будем изображать элементы этой
последовательности точками числовой оси. Тогда каждая
следующая точка лежит справа от предыдущей, причем
существует граница, за которую эти точки не могут перейти.
Геометрически очевидно, что тогда эти точки будут
«скапливаться» около какой-то точки а, которая является
пределом данной последовательности (рис. 13)2. Эти
наглядные соображения приводят нас к следующей теореме:
Теорема. Если последовательность {ап} монотонно не
убывает и ограничена сверху числом Ь, то она имеет
предел а, причем а^Ь. Если последовательность монотонно
не возрастает и ограничена снизу числом 6, то она имеет
предел а, причем b^i а.
Доказательство. Пусть
#i < яг < ••• < ап < ...,
причем существует такое число Ь, что все ап не больше, чем Ь, ап<Ь.
Рассмотрим числовое множество Л, состоящее из всех элементов
последовательности: А = {ап}- По условию это множество ограничено
сверху и непусто. Поэтому у него есть точная верхняя грань я,
a=^sup А. Покажем, что а является пределом последовательности {ап}>
то есть что Hm an—a.
П-*- 00
Возьмем любую окрестность (а—Ь, а+Ь) точки а. Тогда хотя бы
одно из чисел последовательности [ап] попадет в эту окрестность.
В противном случае все эти числа оказались бы слева от точки а— Ь
и а не было бы наименьшей из верхних граней множества А (рис. 14).
1 1 1ии( »—« ) 1
£« а2 ап а Ь
Рис. 14
1 Аналогично определяется понятие ограниченной снизу
последовательности. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, она
ограничена (относительно ограниченных последовательностей см. п. 6,
2 Очевидно, что вместо монотонного возрастания достаточно было оы
потребовать монотонного неубывания последовательности.
101
a-6 a+6
( 1 i i i и )—i
an a b
Рис. 15
Пусть aN принадлежит окрестности (а—5, а-\-Ъ). При n>N
выполняется неравенство ап > aN > а — Ь. Кроме того, все ап не
превосходят я, так как а — верхняя граница множества А—[ап]. Таким образом,
при n>N имеем а—Ь<ап<а, а потому все элементы ап при n>N лежат
в окрестности (а—Ь, а+Ъ) (рис. 15). Это и означает, что lim an=a.
П.-*- оо
Ясно при этом, что а<Ь, так как b — одна из верхних граней
множества Л, а а—наименьшая из верхних граней.
Случай монотонно невозрастающей последовательности разбирается
точно так же.
Приведем некоторые примеры на доказанную теорему. В п. 1 мы
рассматривали последовательность {ап}, определяемую условием #i=0,
#л+1 = —*" п . Покажем, что эта последовательность действительно
имеет предел. В самом деле, #j = 0<3. Предположим, что мы уже
доказали неравенство ап<3. Тогда имеем:
_ 3+а„ 3+3 _^ и а , - 3+а" > ап+ап _ а
ап+\ - g ~2 "+1 2 2
Это доказывает, что последовательность {ап} монотонно возрастает и
ограничена сверху числом 3. Поэтому она имеет предел. Как было
показано в п. 1, lim ал=3 (в п. 1 доказательство было неполным; прове-
денное сейчас рассуждение завершает доказательство).
Докажем, что если 0<<7<1, то Нт<7л=0. В самом деле,
если 0<<7<1, Т0 последовательность чисел
q, q\ ..., q\ ...
монотонно убывает и ограничена снизу числом 0. Поэтому
она ийеет предел. Пусть lim qn=a. Перейдем к пределу
я->оо
при п-+со в равенстве qn+l=q -qn. Мы получим, что a=qa,
и поскольку ?^=1, то #=0. Итак, мы доказали, что при
0<<7<1 имеем 11т ^л=0.
Л>00
Отсюда сразу вытекает, что вообще, если |?|<1, то
lim qn=0. Докажем теперь, что если |^|>1, то l\mqn = co.
В самом деле, если |<?|>1, то —
< 1, а тогда, как мы
102
уже знаем, lim (—Г = 0. Итак, мы доказали, что
л->оо \ Ч I
lim — = 0. Но тогда lim qn = оо.
Разберем более сложный пример. Пусть последовательность {ап}
задается рекуррентным соотношением
*„+! = /2+57, (О
причем ах = Y 2 .
Иными словами, пусть
ап = У 2+ /2ТТ.. +УТ,
где число корней равно п. Мы докажем сейчас, что эта
последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом 2.
Доказательство проведем с помощью индукции. Мы имеем 0<лх<2. Пусть
уже доказано, что 0<ал<2. Тогда
и
«л+1 = /2+57 < К~2+2~ = 2.
Кроме того, ап,{ > 0.
Таким образом, для всех п имеем 0<ап<2 и #л<#л+1.
Следовательно наша последовательность имеет предел а. Чтобы найти этот предел,
возведем равенство (1) в квадрат. Мы получим:
ан+1 = 2 + ап.
Перейдем к пределу при п -> ос. Имеем:
lim a2n+l = 2+ lim an
П-+ оо Л-*- оо
ИЛИ
а2 = 2 + а.
Корнями этого квадратного уравнения являются числа 2п—1. Так как
последовательность {ап} монотонно возрастает, то ее предел должен
быть не меньше, чем а1 = ул2. Этому условию удовлетворяет лишь
корень 2. Поэтому lim an = 2.
Упражнения
151. Вычислить пределы:
a) lim J£lL; б) lim «^ .
„_«, ап—\ п->а> ап+а~п
(Разобрать отдельно случаи | я |> 1 и 0 <[ | # | < 1.)
1СЗ
152. Пусть | дс| < 1 и
Ял = (1+*)(1+*2)(1+*4) ... (1 + *2Л).
Найти lim an.
153. Доказать, что последовательность с общим членом
л2+4
монотонно возрастает и ограничена. Найти ее предел.
154. Последовательность {ап} определяется рекуррентным
соотношением
причем ах = У 3. Доказать, что она имеет предел, и найти этот
предел.
155. Пусть х>0. Доказать, что последовательность, определяемая
рекуррентным соотношением
Х + \)п-\ I X \
уп — ——:— [У\ = —Ь имеет предел, и найти этот предел.
156. Пусть at=\t ап=\ + (п > 2). Доказать, что последо-
ап-\
вательность {ап} сходится к положительному корню уравнения
а2—а—1=0.
157. Пусть <2j=0, ап=—1и1 Доказать, что последовательность
4
{ап} сходится, и найти ее предел.
ап+\
158. Доказать, что если lim
Л— 00
159. Найти пределы:
а„
= <7<1, то ап^0.
lim JL, lim JlL, lim J* (a > 1),
«-оо 2я «->» n\ n^oo "n
lim — (я>1), lim лг<7л (| ^; < 1).
Л->оо nl /z-voo
4. Сумма бесконечной убывающей геометрической
прогрессии. Рассмотрим геометрическую прогрессию
b, bq, bq\ ..., bq*~\ ... (ЬфО). (1)
Нам уже известна формула для суммы первых п членов
этой прогрессии:
Sn = b + bq + bq* + ... +bqn~l =
= b«r-i) = *(!-</") 1}
<?—1 1—9 vv ;
104
Так как Sn — сумма первых п членов прогрессии, а при
возрастании п число слагаемых неограниченно возрастает,
то естественно назвать предел lim Sn (если он существует)
П-+ 00
суммой бесконечной прогрессии (1). Выясним, при каком
условии существует этот предел. Имеем:
lim 5„ = lim Щ^- = * (i _ 11ш qny
п-+оо /2->оо * Ч 1 Ч л-> оо
Это равенство сводит вопрос о существовании суммы
бесконечной геометрической прогрессии при q=k\ к вопросу о
существовании предела последовательности {qn}. Но, как
было выяснено в п. 3, при |#|<1 lim qn=09 а при |<?|>1
Л->-00
lim qn = оо. Поэтому при \q\ < 1 lim Sn = -j—-, а при \q | > 1
lim Sn не существует. Не существует lim qn, а тем самым
П-*- оо Я-* oo
и lim S„ и при q — —1. Осталось рассмотреть случай # = 1.
Л ■+ оо
В этом случае прогрессия имеет вид 6, 6, 6, ..., Ь, ...,
а поэтому Sn=nb. Ясно, что lim #6 = оо и потому lim Sn не
существует.
Итак, доказано следующее утверждение:
Если |<7|<1, то существует сумма бесконечной
геометрической прогрессии Ь, bq, ..., bqn~x, ... со знаменателем q P
причем эта сумма выражается формулой
S = lim Sn = -—.
п 1—а
П-+ оо "
Если |<7|>1, то геометрическая прогрессия со
знаменателем q не имеет суммы.
Упражнения
160. Найти сумму прогрессии
2+А +•—+ ... + 2 + ... •
^ 5 ^ 25 5*-1
161. Найти сумму
з-А+ А-... + МУ-'-з +... .
2 4 _ 9"-»
162. Найти первый член бесконечной геометрической прогрессии,
если ее сумма равна 4, а знаменатель равен Vs*
105
Рис. 16
Рис. 17
163. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической
прогрессии, если ее сумма равна 6, а первый член равен 8.
164. Дан квадрат со стороной а. Середины его сторон соединены
отрезками. То же самое сделано с получившимся квадратом и так
далее до бесконечности. Найти сумму площадей всех получившихся
квадратов (рис. 16).
165. Из квадрата со стороной 1 удаляют крестообразную фигуру
площадью бД (рис. 17). Из каждого "оставшегося квадрата снова
удаляют такую же фигуру, причем сумма площадей этих фигур равна
2о/81. После этого удаляют 16 крестообразных фигур общей площадью
8%29 и т. д. Найти общую площадь удаленных фигур.
166. В той же задаче берем первую фигуру площадью г/Ъ) вторые—
общей площадью V25» третьи — общей площадью Vi25 и т. д. Какова
площадь выброшенного множества в этом случае?
167. Записать периодическую дробь 0,(78) в виде суммы
бесконечной убывающей геометрической прогрессии и найти сумму этой
прогрессии.
168. Вывести правило для обращения периодической десятичной
дроби в обыкновенную дробь с помощью формулы для суммы
бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
5. Теорема о стягивающейся системе отрезков.
Недостатком теоремы о монотонной ограниченной
последовательности является то, что она не дает достаточно узких
границ для предела. Мы не можем сказать, сколько
членов последовательности \ап) надо взять, чтобы получить
значение предела с нужной степенью точности. Во многих
случаях бывает удобнее пользоваться не одной
монотонной последовательностью, а двумя такими
последовательностями, с разных сторон приближающимися к общему
пределу с (рис. 18). Если мы имеем две такие
последовательности {ап} и \bn) и если имеет место неравенство
1 1 1 i и 11 i 1 < *-
Рис. 13
106
bn—#„0, то тем более имеют место неравенства \bn—c|<£ и
\а-с\<г.
Докажем следующую теорему:
Теорема 1. Пусть даны две последовательности {ап} и
{Ьп} такие, что:
\) последовательность {ап} монотонно не убывает:
ах<а2 < ... < ап < ... ;
2) последовательность [Ьп] монотонно не возрастает:
bL>b2> ... >&„> ... ;
3) для любого п выполняется неравенство Ьп > ап\
4) разность Ьп—ап стремится к нулю, когда п-+со:
lim (bn — an) = 0.
П-+- 00
Тогда существует число с, являющееся общим пределом
этих последовательностей:
с = lim an = lim bn.
п-+ оо П-+ оо
При этом для всех п выполняется неравенство
Доказательство. Рассмотрим числовое множество Л, состоящее
из элементов последовательности {ап}, и числовое множество В,
состоящее из элементов последовательности {Ьп}. Покажем, что
множество В лежит справа от множества Л. Возьмем элементы ат из А и Ьп
из В. Если т < л, то имеем по условию 1) ат < ап, а по условию
3) an<ibn, и потому ат < Ьп. Если же т > п, то имеем по условию 3)
ат<Ьт% а по условию 2) bm<bn и ат<Ьп. В обоих случаях" ат<Ьп, а
это и означает, что множество В лежит справа от А.
Отсюда вытекает, что существует число с, разделяющее множества
А и В. При этом, в силу условия 4), это число единственно. Так как с
разделяет множества Ли Б, то для любого п имеем ап<с<Ьп. Нам
осталось показать, что lim ап = lim bn = с. Так как ап < с < Ьп, то
П-*- оо Л->- оо
О < с — ап < Ьп — ап. Поскольку lim (bn — an) = О, то и lim (с — ап) = 0.
П-+ оо Л-* оо
А это значит, что lim an = с. Точно так же доказывается равенство
Л>00
lim bn — с.
Пример. Последовательности [ап\ и {Ьп} определяются
рекуррентными соотношениями:
а _ ап+Ьп b __ *n+\+bn
ап+\ — 2 n+l ~~ 2 '
причем ах =- а, Ьх = Ь, где а < Ь.
107
Доказать, что они имеют общий предел.
Пусть уже доказано, что ап < Ьп. Тогда
а . . = ап + ьп < Ьл +'bn = b
rt-j-i 2 2
_ an + bn an + an _ д
ал+1 g ~ 2 *'
*я+1 2 2 "'
°п+\ 2 2 л+1'
Таким образом, последовательность {ап} монотонно возрастает,
последовательность {Ьп} монотонно убывает и для всех п имеем ап < Ьп. Но
и а _ *л+1+*я ап + Ьп _ ап+\-ап Ьп-ап
°n+i — an+i — 2 ~~ 2 2 2
Поэтому
*я+1 - %+х < ■£=£- и llm Фп - ап) = 0.
£ П-*~ оо
В силу теоремы 1 последовательности' {ап} и {Ьп} имеют общий предел.
Теорема 1 имеет следующий геометрический смысл.
Рассмотрим отрезки \аю Ьп]. Из условий теоремы следует,
что отрезок [ап+\9 Ьп+\] является частью отрезка [ап, Ьп]
(так как ап+\>ап и Ьп+\ ^Ьп). Кроме того, условие
означает, что длины отрезков [апУ Ьп\ стремятся к нулю, когда
п->со. Неравенство an^Zc^.bn означает, что точка с
принадлежит всем отрезкам [ап9 Ьп].
Таким образом, геометрическая формулировка теоремы
такова:
Теорема V. Пусть последовательность отрезков
[аъ Ьх\9 [а2у Ь2]9 ... , [аЯ9 Ьп]9 ...
такова, что:
1) Каждый следующий отрезок является частью
предыдущего:
[Я/i+i, Ьп+Х] с К, Ьп\\
2) длины отрезков стремятся к нулю, когда /г->оо;
Ит(Ья — а„) = 0.
л-*оо
108
Тогда существует единственная точка с,
принадлежащая всем этим отрезкам, причем
с = lim ап = lim Ьп.
Говорят, что система отрезков [ап, Ьп] стягивается к
точке с. Теорему 1' называют теоремой о
стягивающейся системе отрезков.
Упражнения
169. Пусть {sn} — последовательность площадей правильных
2п+1-угольников, вписанных в окружность радиуса R, a {Sn} —
последовательность площадей правильных 2л+1-угольников, описанных
вокруг той же окружности. Доказать, что последовательности {sn} и {Sn}
имеют общий предел.
170. Пусть {рп}—последовательность периметров правильных ЧПхЛ -
угольников, вписанных в окружность радиуса/?, а {Рп} —
последовательность периметров правильных 2л+1-угольников, описанных вокруг
этой же окружности. Доказать, что последовательности {рп} и {Рп}
имеют общий предел.
171. Последовательности {ап} и [Ьп] определяются соотношениями
а±=а, Ьг=Ь(а>Ь>0),
п _ вя + 6/, и _ 2а„Ьп
Доказать, что они имеют общий предел, и найти его.
(Указание: найти функцию от ап и ЬПУ значение которой не
зависит от п.)
172. Последовательности {ап} и {Ьп} определяются соотношениями
«1 = а, Ьх = Ь (а > 0, Ь > 0),
а - *п + Ьп . _ ап + ь*п.
ап+\ о ' °п + \ " г—
2 CLn-vbn
Докажите, что они имеют общий предел.
173*. Последовательности {ап} и {Ьп} определяются соотношениями
аг = я, Ьх =Ь {а > 0, Ь > 0),
Доказать, что они имеют общий предел.
6. Предельный переход в неравенствах. Докажем
некоторые свойства пределов, связанные с" неравенствами.
Пусть все члены последовательности {ап} неотрицательны,
ап^0. Ясно, что если эта последовательность имеет
предел а, то а не может быть отрицательным числом. В самом
деле, если бы мы имели а<0, то существовала бы
окрестность точки а, состоящая из отрицательных чисел (напри-
109
0
2
1 1
u 0 ar
Рис. 19
мер, окрестность (—а> -4-]. Так как по условию ап>0, то
ни одно из чисел ап не могло бы попасть в эту
окрестность (рис. 19), что противоречит предположению: a=liman.
П-* 00
Очевидно, что доказанное утверждение остается справед-
ливыхМ и в случае, когда конечное число членов
последовательности {ап} отрицательно.
Обобщим доказанное утверждение. Имеет место
следующая теорема:
Теорема 1. Если для всех значений п, кроме, быть
может, конечного числа, выполняется неравенство ап^Ьп и
если
lim ап~а, lim bn=b, то a^b.
п-*- оо я-* оо
Доказательство. По условию мы имеем для всех /г,
кроме, быть может, конечного числа, неравенство Ъп—art>0.
Так как \\m(bn—an)=b—а, то отсюда следует, что Ь—а>09
П.-*- оо
то есть Ь>а.
Замечание. Из ап<Ьп не следует, вообще говоря, неравенство
а<Ь. Например, для всех п имеем:
— -L < J_, но lim (——) = Hm J- = 0.
П П п-+<х> V П J п+оо П
Докажите самостоятельно, что если lim an=a и lim bn=b, причем ayb,
tl-*- оо П-+ оо
то, начиная с некоторого номера N, имеем ап>Ьп.
Докажем теорему, называемую теоремой о
промежуточной переменной.
Теорема 2. Пусть даны три последовательности {ап),
{Ьп}> {сп\> причем последовательности {ап} и {сп} имеют
один и тот же предел:
lim ап = \1тсп = Ь,
Л-* оо Л-* Ов
НО
а пусть для всех п выполняется неравенство ап^Ьп^ сп.
Тогда последовательность \Ьп} сходится, причем ее предел
тоже равен Ъ.
Доказательство. Возьмем любую окрестность (6—е, 6-г£)
точки Ь. По лемме п. 6, § 1 найдется такое N, что при n>N имеем
b— z < ап < b -\- г и b — z < сп </? + £. Так как ап < Ьп< сп, то при
n>N точка Ьп принадлежит выбранной окрестности (Ь — s, b -J- e).
Итак, для любой окрестности (Ь—е, b + г) точки b найдется число N
такое, что при п > N точка Ьп принадлежит выбранной окрестности.
Но это н значит, что
b = lim bn.
It-* 00
7. Формула сложных процентов. Рассмотрим величину,
изменение которой подчинено следующему закону: за
одинаковые промежутки времени она
изменяется в одно и то же число раз. Пусть в некоторый
момент времени эта величина имела значение М, а через
промежуток времени Т—значение Mq. Тогда за любой
промежуток времени длительности Т величина меняется
в q раз. В частности, за промежуток времени [Г, 2Т] она
меняется в q раз, а потому ее значение в момент времени
2Г равно Mq-q=Mq2. Точно так же доказывается, что в
любой момент времени вида t=kT, где k — натуральное
число, значение величины равно Mqk. Иными словами,
последовательность значений величины образует
геометрическую прогрессию
ЛГ, Mq, ..., Mqk, ... .
Примером величины, меняющейся по указанному закону,
является масса радиоактивного вещества.
В случае радиоактивного распада знаменатель
прогрессии меньше единицы (количество вещества уменьшается
с течением времени). Примером величины,
увеличивающейся в геометрической прогрессии, является количество
особей данного вида животных или растений при условии
достаточного количества пищи и неизменных внешних
условий. Пусть ежегодный прирост числа особей равен р%.
Если в момент времени 7=0 число особей равно М, то
через год оно станет равным М1 = М 4- _£- == М \\ +-щ)#
Еще через год окажется М2= Мх (1 + щг ) = М (1 + -щ )
ill
особей и т. д. Вообще, число особей данного вида через п
лет будет выражаться формулой1
М,
Эта формула называется формулой сложных процентов.
По ней изменяется не только количество особей данного
вида животных или растений, но и, скажем, количество
денег, лежащих в сберкассе (по существующим правилам
это количество каждый год увеличивается на 2%).
Вообще, если величина за равные промежутки времени
увеличивается на одно и то же число процентов, ее закон
изменения дается формулой (1).
Если приращение на р% происходит не ежегодно, а
каждые Т лет (где Т может быть любым положительным
числом), то формула (1) дает количество особей в момент
времени пТ.
Сравним теперь два вида животных. Число особей
одного вида увеличивается на р% в год, а второго —на ~-%
за полгода. Если вначале число особей обоих видов
одинаково и равно М, то через год особей первого вида
будет М(\ +-jffi\ а второго М (l +^o)2.
Неравенство
1 j- -£Л* - 1 + 2Р л- Р2 ^ 1 а
200) 1 ^ 200 ^2002 ^ ^ 100
показывает, что число особей второго вида возрастает
быстрее. Если у третьего вида число особей возрастает
по закону: увеличение на-~-% за три месяца,
то здесь возрастание еще более быстрое.
Рассмотрим, что произойдет, если взять закон
увеличения: — % за — года. Тогда через один год число осо-
п п
бей окажется равным
Лп
1 Для простоты^мы предположим, что числа Mit ..., Мп, ...— целые.
Это будет выполняться, если М = \00N и п < N.
112
Разобранные частные примеры делают естественной
гипотезу, что с увеличением п выражение (2) возрастает.
Однако неясно, возрастает ли оно неограниченно или
имеет какой-то предел. Чтобы выяснить этот вопрос, надо
ри
изучить поведение последовательности (1 -1--щ^) п
п-+со. Мы рассмотрим для простоты случай, когда /7=100.
В этом случае получаем последовательность с общим чле-
ном (1 + 4-)"-
8. Число е. Докажем, что последовательность ап =
1 \п
-\ сходится к некоторому числу.
Нам будет удобнее вместо последовательности {ап} рассмотреть по-
/ 1 \л+1 / 1 \
следовательность {Ьп}9 где Ьп = (1 + — I . Так как Ьп=ап\\+—у
a lim (1+ —1 = 1, то из сходимости последовательности {Ьп} выте-
Л-00 \ П J
каст, что последовательность {ап} сходится к тому же самому пределу.
Мы докажем сейчас, что последовательность [Ьп] монотонно убьь
/ 1 \л+1 / /i+l \n+i I 1 \л
вает. В самом деле, Ьп = 11 + — I =[-^—1 , ^,_i = 11+j^iJ =*
= [и^т)п п потому
Ьп-Х = ( П Y, (_П±1_)П + ] = П2П+Х
Г~~" \М— 1/ \ П ) /я_1\Л ,„ .. ПЛ-М
Это выражение можно переписать так:
6«-i = ( п* У . -JL- = (i+-L-Y _jl_
Но по неравенству Бернуллн (см. стр. 73)
Так как
то
/г2-1
п _ л+1
1 + ^т>1 +
&«-1 > "+1 . « = 1.
6„ « «+1
8 Заказ 2541 113
Итак, Ьп_1 > bn, а это означает, что последовательность {Ьп}
монотонно убывает.
Эта последовательность ограничена снизу, так как по неравенству
Берпулли
• » V* > , + js±L > s,
ЫУ
п
Итак, последовательность {Ьп) сходится, причем ее
предел не меньше, чем 2. Этот предел обозначают е\
1 \л+1
е = lim 1 +
Я-*> 00 \
Как уже отмечалось, тот же предел имеет и
последовательность ап— (1-f ] :
llm Ц+-1Г = Hm ^ + "/ =g
>+i)
1 \Л+1
П-+ 00 \ " / Я- 00 1 + JL
Я
Число е является одним из самых замечательных чисел
в математике. Мы часто будем в дальнейшем встречаться
с этим числом.
Чтобы вычислить е, надо взять достаточно большое
значение п и вычислить /1 -\ ] . Однако этот путь
вычислений очень утомителен. Чтобы, например, получить
ответ с точностью до 0,001, надо взять примерно /г=3000.
Ясно, что возводить число 1 -f- 3Q0Q в 3001-ю степень
весьма затруднительно. Существуют более простые и быстрые
методы вычисления (см. п. 3, § 3, гл. IX).
Вот несколько первых десятичных знаков числа е\
е = 2,7182818284590... .
Это число иррационально.
9. Вычисление пределов, связанных с числом е.
Вычисление пределов многих последовательностей связано с числом
е. При этом мы используем следующее утверждение, которое оставляем
без доказательства:
Если lim ап = а и lim bn = b, причем хотя бы одно из чисел а,
П.-*- 00 П-+00
b отличи® от нуля, то
lim апЪп = аь.
114
Рассмотрим следующий пример. Вычислим
1 \3л2
Hm fl + ^jj
п»+1 ) •
Перепишем заданную последовательность так:
3/22
Числа да+1 образуют подпоследовательность натурального ряда
чисел. Поэтому из того, что Hm 11 + —- I = е, вытекает, что lim [1 -f-
Л-*оо \ П J п-+ю \
1 \«2+i t Зп2 _
+ 2|1 = е, а с другой стороны, lim 2 , * = 3. Следовательно,
п "Г1 / /г->ооД "г1
/ 1 \3л*
Hm 11 + n2+1 I = е3-
Л->Оо
Упражнения
174. Докажите, что
175. Вычислите следующие пределы:
/ 1 \5л3+3 / 1 \л*+1
a)Lm.(1+^r) : в)!1тД1 + —) •
/ 1 \4я»
б)Ы1 + ^тг) ;
Краткие исторические сведения
Задачи, связанные с арифметическими и геометрическими
прогрессиями, встречаются еще в древнеегипетских папирусах и вавилонских
клинописных текстах, составленных около 4 тысяч лет тому назад. В них
есть задачи на вычисление сумм прогрессий и более сложных последовав
тельностей (например, суммы квадратов натуральных чисел от 1 до п).
В исследованиях древних греков (пифагорейская школа) встречаются*
некоторые рекуррентно заданные последовательности. Например, для
вычисления 1^2 строились последовательности {ап} и {dn}, где ax-=di=\
" an+\=zCLnJrdn, dn+l=2an + dn. Отношение —2- при п->оо приближается»
ап
к У 2.
Метод математической индукции по сути дела применялся в
отдельных случаях пифагорейцами. Французский математик и философ Блэз
Паскаль (1623—1662) с помощью индукции дал доказательство для формулы
биномиальных коэффициентов (арифметический треугольник Паскаля).
8*
11S
51. Берпулли (1654— 1705) систематически использовал метод
математической индукции для доказательства различных математических утверждений.
Понятие предела последовательности является одним из основных
понятий математики. В настоящее время оно кладется в основу
определения почти всех понятий математического анализа (производной,
интеграла, суммы бесконечного ряда и т. д.). В XVII—XVIII веках понятием
предела пользовались великий английский математик и физик И.
Ньютон (1642—1727) и его ученики. У Ньютона понятие предела не было
еще доведено до необходимого уровня логической строгости. Лишь в
начале XIX века французский математик О. Коши (1789—1857) создал
строгую теорию пределов.
Число е ввел один из величайших математиков XVIII века Л. Эйлер
(1707—1783). Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
использовал в своих работах еще Архимед (287—212 до н. э.). А. Таке в
1654 году вывел формулу для этой суммы путем предельного перехода
из формулы для суммы конечной прогрессии.
Глава III
ФУНКЦИИ
§ 1. Функции и способы их задания
1. Вводные замечания. Одним из основных
понятий математики является понятие функциональной
зависимости. В любом явлении природы и техники можно
указать величины, связанные друг с другом так, что при
изменении одной из них меняется и другая. Если мы будем,
например, наблюдать за падением камня, то такими
величинами будут время t, протекшее с начала падения, путь s,
пройденный камнем, скорость v. Каждому моменту
времени t отвечает свое значение пути 5 и свое значение
скорости V.
Если мы посмотрим на балку, изогнутую под действием
равномерно распределенной нагрузки Q (рис. 20), то
связанными друг с другом величинами будут величина
нагрузки и наибольший прогиб балки. При этом наибольший
прогиб балки зависит от многих других обстоятельств—ее
длины, формы и размеров поперечного сечения, материала, из
которого сделана балка. Но если считать все эти
обстоятельства неизменными, то есть взять балку определенной
длины, имеющую данную форму поперечного сечения,
изготовленную из определенного сорта металла и т. д., то ее
наибольший прогиб будет зависеть только от величины
нагрузки Q.
Можно привести много других примеров, когда
величины связаны друг с другом так, что каждому значению
одной величины отвечает определенное значение другой. В
Рис. 20
117
этом случае говорят, что эти величины связаны друг с
другом функциональной зависимостью. В
восьмилетней школе рассматривались такие виды зависимости,
как прямая и обратная пропорциональности, линейная и
квадратичная зависимости. Мы изучим в этой главе более
сложные формы функциональной зависимости.
2. Общее определение функции. Пусть даны два
множества X и Y и пусть каждому элементу х множества X
поставлен в соответствие некоторый элемент у множества Y.
Тогда говорят, что задана функция у = f(x) на множестве X
со значениями в множестве Y. Обычно х называют
аргументом функции. Говорят, что аргумент х функции у = f(x)
пробегает множество X, а ее значения принадлежат
множеству Y.
С этой общей точки зрения понятие функции совпадает
по сути дела с рассмотренным в курсе алгебры понятием
отображения1. Мы можем, например, сказать, что площадь
круга является функцией, заданной на множестве X всех
кругов и принимающей значения в множестве Y
положительных чисел. Периметр треугольника является функцией,
заданной на множестве X всех треугольников и
принимающей значения в множестве Y положительных чисел. Круг,
вписанный в треугольник, является функцией, определенной
на множестве X всех треугольников и принимающей
значения в множестве Y всех кругов. Однако треугольник,
вписанный в круг, не является функцией, определенной на
множестве кругов, поскольку в один и тот же круг можно
вписать разные треугольники.
Данное здесь общее понятие функции весьма полезно,
так как позволяет охватить с единой точки зрения
различные математические факты, установить общие черты в,
казалось бы, совершенно различных объектах.
3. Числовые функции числового аргумента. В
математическом анализе имеют дело с менее общим понятием
функции. Там ограничиваются случаем, когда X и У—числовые
множества, то есть множества, элементами которых
являются числа (или некоторые совокупности чисел). Дело в
том, что при изучении явлений природы вместо самих
физических величин рассматривают измеряющие их числа.
1 См. нашу книгу сАлгебра», введение, стр. 18—19.
118
Рассмотрим, например, прямолинейное движение. Каждому
моменту времени соответствует определенное положение
движущегося тела. Поэтому мы можем сказать, что
положение тела является функцией от времени. Однако, чтобы
использовать для изучения движения аппарат математики,
надо и положение тела и моменты времени задавать
числами. Для этого выберем на прямой, по которой движется
тело, некоторое начало отсчета О, направление и единицу
длины. Тогда положение тела будет определяться числом —
его координатой х. Далее, выберем начало отсчета и
единицу измерения времени. Тогда каждый момент времени
тоже будет определяться некоторым числом ^.Зависимость
между моментом времени и положением движущегося тела
на прямой примет вид х =/(/), например *=-—- .
Итак, мы будем изучать функции, заданные на
некотором множестве X, состоящем из действительных чисел, и
принимающие числовые значения, или, как кратко говорят,
числовые функции числового аргумента. Сформулируем для
этого частного случая данное выше общее определение
функции.
Определение. Пусть X—некоторое множество
действительных чисел. Если каждому числу х из этого
множества сопоставлено число у, то говорят, что на множестве X
задана функция у = f(x) аргумента х.
Множество X называют областью задания функции или,
иначе, ее областью определения, а множество чисел вида
у = f(x), х £ X — множеством значений функции2.
Например, если на отрезке [2,5] задана функция у=х2,
то отрезок [2,5]—область задания функции, а отрезок
[4, 25]—множество ее значений.
1 Обычно в качестве начала координат выбирают точку, где тело
находилось при /=0.
2 Изученное в главе II понятие последовательности является частным
случаем общего понятия числовой функции. Именно,
последовательность— это функция, заданная на множестве N натуральных чисел.
Вместо того чтобы обозначать последовательность {ап} или аъ . .. ,
ап, . . ., мы могли обозначать ее / (п).
В дальнейшем мы будем, как правило, изучать функции, заданные
на всей числовой оси, или на некотором отрезке [а, Ь], или на
промежутке (а, Ь).
119
Надо иметь в виду, что в определение функции входит
не только закон соответствия между х и у, но и область,
где эта функция задана. Поэтому, например, функции
у = х2, — оо < jc < оо
и
у = х2, 2<*<5
различны.
Упражнения
1. Пусть X — множество неотрицательных чисел и (п(х) — п-я цифра
после запятой в десятичном разложении числа х. Является ли fn(x)
функцией от х?
2. X—множество всех положительных рациональных чисел, то есть
р
чисел вида х --= —— >0. Являются ли натуральные числа р и q
функциями от х?
3. X— множество всех положительных рациональных чисел и х =
= — —запись числа х в виде несократимой дроби. Являются ли
натуральные числа р и q функциями от х?
А. X и Y — множества всех действительных чисел. Каждому х>0
поставим в соответствие такое у, что у2 = х. Является ли это соответствие
функцией?
5. X и Y — множества положительных рациональных чисел.
Определяется ли функция следующим правилом: числу х ставится в
соответствие такое число у, что у2 = *?
6. Привести примеры функций, удовлетворяющих следующим
условиям:
а) -1 </(*)< 1;
б) | f{x) | < 2 ;
в) f(x) определена для всех х > 0;
г) f(x) определена для всех х < 0;
д) f(x) определена только для натуральных значений х;
е) f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству
— 2 < х < 3.
7. Дана функция
1 х— 1
Вычислить
/(2), / (4") . /(*). К"2- О ■/ (4") • f (УТ) •
4. Аналитическое задание функций. В математическом
анализе функции чаще всего задаются аналитически.
При этом указывается совокупность действий, которые надо
совершить над аргументом х, чтобы получить значение
функции. Таким образом, аналитическое задание функции—
120
это «программа» вычисления данной функции. Пусть,
например, функция задана формулой
У = -¥— .
Для вычисления этой функции при заданном х надо
вычислить х2, *3, затем умножить л:3 на 4, вычесть из х2
четыре и, наконец, разделить число 4л;3 на х2 — 4.
Если область определения аналитически заданной
функции явно не указана, то такой областью считают множество
всех значений аргумента, при которых имеет смысл анали-
4х3
тическое выражение функции. Например, функция j/=» 2
определена при всех значениях х, кроме х= ±2 (деление
на нуль не определено).
Функция
у = V2x— 10
определена при всех значениях х, для которых *>5, а при
х < 5 подкоренное выражение отрицательно, и потому
функция не определена.
В геометрических и физических задачах область
определения функции может не совпадать с областью определения
аналитического выражения этой функции. Например,
при постоянном объеме V0 давление газа р является
функцией абсолютной температуры Т:
(формула Клапейрона). Аналитическое выражение (1)
определено при всех значениях 7\ Однако физическая величина Г
может принимать лишь положительные значения (не может
быть температуры, равной или меньшей абсолютного нуля).
Аналогично, в формуле S = nR2 для площади круга
радиус принимает лишь положительные значения.
Приведем еще один пример, когда область определения
аналитического выражения функции не совпадает с областью ее определения,
диктуемой физическими соображениями. Пусть балка длины / покоится
на опорах и изгибается под действием равномерно распределенной
нагрузки Q. Величина прогиба меняется при переходе от одной точки
балки к другой, то есть является функцией от координаты этой точки.
Мы будем считать началом отсчета левый конец балки. Можно
показать, что величина прогиба балки в точке с координатой х задается
формулой:
_ Q'3 Г*1 2*3 , JL\ /о*
у - 24£/ \ /4 — /а — / ;» w
121
где / и Е — некоторые постоянные, зависящие от формы поперечного
сечения балки и материала, из которого она сделана.
Ясно, что с математической точки зрения функция (2) определена
для всех значений х. Однако физически имеют смысл лишь значения,
принадлежащие отрезку 0 < х < I. Ведь при х < 0 мы получим точки,
лежащие слева от левого конца балки, а при х>1 — точки, лежащие
справа от правого ее конца.
Упражнения
8. Найдите область определения следующих функций:
3* + 1 % . *2+1 е) у = 3-УГ-
а) у =
б) у =
х* — 6* + 8
7х — 5
*2—4 :
г) у
.*2;
-2x —4
Д) у = у9 - Ах
ж) у = 3— ух* — А.
6л:+ 2
в) У = ^=27
9. В круг радиуса R вписан прямоугольник, одна из сторон
которого равна х (рис. 21). Выразить площадь прямоугольника как функцию
от х. Найти область определения этой функции.
10. В равносторонний треугольник со стороной а вписан
прямоугольник с высотой х (рис. 22). Выразить площадь этого прямоугольника как
функцию от х. Найти область определения этой функции.
11. Из квадрата со стороной а вырезаны по углам квадратики со
стороной х, и из полученной фигуры сделана открытая коробка
(рис. 23). Выразить ее объем как функцию от х. Найти область
определения этой функции.
12. Известно, что объем прямого кругового цилиндра с высотой И
и радиусом основания R выражается формулой V = izR2H, а его полная
поверхность — формулой S = 2kRz + 2nRH. Выразить полную
поверхность цилиндра заданного объема V как функцию его высоты.
13. Выразить объем V цилиндра при заданной полной поверхности S
как функцию его высоты Н.
14*. В цилиндре задан периметр осевого сечения 2 р. Выразить
объем этого цилиндра как функцию радиуса R; выразить объем как
функцию высоты И.
Рис. 21
122
/
7\
Г /
7—7
/
Рис. 23
15*. Два пункта А и В находятся в стороне от железной дороги
(рис. 24). Строится шоссе из пункта А до станции С этой дороги и от
станции С до пункта В. Выразить длину шоссе как функцию расстояния
к от С до D.
16*. Всадник едет из пункта А в пункт В (рис. 25). Часть пути АС
проходит по лугу, а часть пути СВ—по песку. Скорость движения по
лугу равна V\, а скорость движения по пескуЧ>2- Выразить время,
затраченное всадником на движение, как функцию расстояния лгот Слой.
17*. В треугольнике ABC на основании АС дана точка М (рис. 26).
Проведена прямая QR \\АС. Выразить площадь треугольника MQR как
функцию расстояния х между прямыми QR и АС (длина основания
треугольника АС и его высота h даны).
18*. Задана площадь S равнобочной трапеции и угол 30° при ее
основании. Выразить периметр трапеции как функцию от длины х
боковой стороны.
19*. В круг радиуса/? вписана крестообразная фигура ABCDEFGHIKLM
с параллельными противоположными сторонами и такая, что АМ=
= FG = CD = IK = х (рис. 27). Выразить ее площадь как функцию от*.
20*. Дан сегмент радиуса R и высоты h. В пего вписан
прямоугольник высоты х. Выразить периметр и площадь прямоугольника как
функции от х (рис. 28).
21*. Выразить площадь и периметр прямоугольного треугольника с
данной высотой h как функцию длины катета х.
5. Задание функции несколькими аналитическими
выражениями. В некоторых случаях функция задается на
различных участках разными формулами. Например,
[ х2— 1 при — оо < х < 0,
у = \Ъх + 2 при 0 < х < 2,
I 1 + 5л: при 2 < х < сю .
Такие функции могут встретиться в физических задачах. Рассмотрим
путь s(t) при падении парашютиста с самолета. Пусть после прыжка
парашютист свободно падает а секунд, а затем раскрывает парашют
123
Рис. 24
Рис. 25
п •
и Ъ секунд падает с постоянной скоростью Г'и. Тогда в течение проме-
жутка времени [0, а] путь 5 парашютиста выражается формулой 5= -«г •
ga2
По истечении а секунд он пролетит путь -у . За каждую следующую
секунду его пугь равен v0. Поэтому на промежутке [а,а + Ь] путь
парашютиста выражается формулой
ga2
s = -у -f V0(i —a ) •
124
Итак, мы имеем:
1-сГ gt2 при 0 < / < а ,
"о" ga2 + V0(t — а) при а < t < а -f Ь.
Другим примером функции, заданной разными формулами на разных
участках области определения, является прогиб балки под действием
нагрузки, сосредоточенной в одной точке. Пусть оба конца балки
свободно лежат на опорах, а нагрузка сосредоточена в середине балки,
то есть в точке х — ~к~ 1(1— длина балки). Тогда па левой половине,,
то есть при 0 < х < -к~ , прогиб балки определяется формулой
Q/3 / jc_ х?_\
у - 48£/ I 3 / ~~ 4 /3 ) '
/
а на правой, то есть при -тр < х < /, —формулой
у-,_0^Г31^-4(/~*)31
у " 48£/ I6 I 4 /з J •
Мы видим, чго па разных участках получились разные формулы. Если
бы мы взяли нагрузку, сосредоточенную в нескольких точках, то
получили бы функцию, задаваемую еще большим числом формул. Однако*
функция у нас одна и та же—прогиб балки в точке с координатой х~
Только задается она на разных участках разными аналитическими
выражениями.
Примером функции, задаваемой разными аналитическими
выраженияхми на разных участках, является функция
у = Е(х) — целая часть х. Она определяется так: пусть
x = n-Jrhi где п — целое число и 0<А<1. Тогда Е(х) = п .
Например,
£(-3,5)=-4;£(74-) = 7; £(уТ)=1.
Электрические часы, в которых минутная стрелка меняет
свое положение по истечении каждой минуты, показывают
как раз значение функции E(t) на отрезке [0; 60], где t —
значение времени, измеренное в минутах.
Функцию у = х—Е(х) называют дробной частью х. Ее
обозначают {х}\ например, {7-т-| = -j- .
В при веде:.-пых выше примерах функция задавалась различными
аналитическими выражениями па разных промежутках. Иногда
функция задается разными выражениями на множествах более сложной
структуры. Примерами могут служить функция Дирихле, задаваемая так:
125
D(x)
-11
О, если х — иррациональное число,
если х — рациональное число,
и функция Римана:
О, если * —иррациональное число,
1
тх) =
, если х — рациональное число, выражающееся несокра-
к Р
тимои дробью —- .
ч
Упражнения
22. Геометрическая фигура состоит из прямоугольника со сторонами
a w b, па сторону а которого поставлен равносторонний треугольник
(рис. 29). Обозначим через S(x) площадь фигуры между нижним
основанием прямоугольника и прямой, параллельной основанию и
отстоящей от него па расстоянии х. Написать аналитическое выражение для
S(x).
23. Геометрическая фигура состоит из прямоугольника со сторонами
и и Ьу на сторону а которого поставлена полуокружность (рис. 30).
Обозначим через Six) площадь части фигуры между нижним
основанием прямоугольника и прямой, проходящей параллельно основанию
и отстоящей от него на расстоянии х. Написать аналитическое
выражение для S(x).
24. В треугольнике ABC сторона АВ^=6 см, сторона ВС=8 см и
сторона ЛС=10 см (рис. 31). Обозначим через S(x) площадь части
треугольника, отсеченной от него прямой,перпендикулярной стороне АС
и отстоящей на х см от вершины А. Написать аналитическое
выражение для S(x).
25. В равнобочной трапеции ABCD
(рис. 32), основания которой AD = а и
ВС = Ь (а>Ь), а высота равна h,
проведена прямая MN\\AB, причем AM = х.
Выразить площадь S(x) фигуры ABNM
как функцию переменной х.
26. Написать аналитическое
выражение функции у = {х— I}2 при п < х <
< п+\ (п— целое).
12b
27. Не используя знака модуля, написать аналитическое выражение
для функций:
г) У = | *2 — 5х +6 | ;
д) у = 1 -у£у-, если х^О;
О, если х=0.
а) у = -т
б) у = 4"
(* + Ulj:
(*- 1*1);
в) у= | х-З | + | л:+2 | ;
28. Проверьте, что оба выражения для прогиба балки под действием
сосредоточенной нагрузки (стр. 125) дают одинаковый результат при
х = ~сГ. Что означает этот факт?
29. Функция у = {(х) задается так:
х2, если х рационально и | х \ < 1;
—jt2, если х иррационально и | х | <1 ;
х2 + 4, если х рационально и | х \ >\;
*—х2— 4, если х иррационально и | х | >1.
Найдите значения
/w =
,(-}■).н-.>./(ф./(ф
/С)./(-f)-
6. Функциональная символика. Мы уже говорили, что»
функцию обычно обозначают так: у = f(x). Символ f(x)
обозначает всю совокупность действий, которую надо выполнить
над аргументом ху чтобы получить значение функции.
Если заменить в равенстве у = f(x) букву х каким-нибудь
числом или выражением, то указанную совокупность
действий надо сделать над этим числом или выражением.
Например, пусть задана функция f(x) = #*. Здесь для
вычисления f(x) надо возвести х в квадрат. Поэтому, чтобы
127
вычислить значение f(x-\-3), надо возвести в квадрат .v-j-3.
Иными словами, если f(x) = л2, то /(*+3) = (х+3)2. Точно
так же в этом случае
/(*») = (xy = jc6, /(а:4—1) = (л:4—I)2
и т. д.
Часто бывает, что в одной и той же задаче встречается
несколько различных функций. Тогда для каждой функции
вводят свое обозначение, например ср(я), ф(л*), F(x)y S(x)
и т. д. Пусть, скажем, f(x) =х+5и ъ(х) = *2~4 . Тогда
f(*) + <?(x) = x+5+ g^;
Иногда приходится выполнять те или иные операции над
самой функцией f(x). Например, если f(x) = xz + 2, то под
/2(*) + 3/(jc) понимают функцию (л:3 + 2)2 + 3 (л:3 + 2), а под
/»(*) + 4 - U3 4- 2)2 + 4
j^j - функцию у = ;,8+2;4+8.
Упражнения
30. Дана функция
Найти
ДО), f(i), /(-1), /(3), /(-4")' ^(^Ь К*Ь
/(а+ 4), /(а)+ 4, 4/(я)+1, /(.*»-1), /*(*)- 1, /«(*) т-5.
31. Дана функция
F(x) = л:8 + 2.
Найти
F3( О - 1, F(2y), /Ч* + 3£), F(x + 10), F(a) + 3F (b).
32. /(0=2/8 + -^- . Доказать, что для всех / 4- 0 /(/) = /(—) .
33. Найти функцию f(x), если (при х Ф 0)
,(,+ !■) = х. + -^
Х2
34. Функция у = f(x) определена (при х Ф—4) формулой
I jc | + | лс —3 1
Чх) = рг+т, •
Вычислить значения
/(2), /(0), /(-7), /(-2«), /(-3), f(e*).
128
Написать выражения для f(x), не использующие знака модуля, на уча
стках: (— оо, 4), ( — 4,0], [0,3], [3, оо).
35. Функции y=f(x) и у = <р(лг) определены так:
( х2 — Ах + 5, если х<0;
~" 1 7х + 3, если х>0;
( 2х* — х — 5, если х<0;
I х + 8, если *>0 .
Решить уравнение f(x) = <p(x).
36. Пусть /(*) = ** — Е(х) {х} .
Найти /(2,5), f(V2), f (e).
7. Сложные функции. Рассмотрим три величины /, х и у,
связанные друг с другом так, что # зависит от t, а д—от х.
Ясно, что значениям t соответствуют определенные
значения х, а тем самым и определенные значения у. Поэтому
у является функцией от t. Такую функцию называют
сложной функцией.
Приведем несколько примеров таких зависимостей, после
чего уточним понятие сложной функции.
1. Вес куба вычисляется по формуле Р = qV, где V —
его объем, a q — удельный вес материала, из которого
изготовлен куб. Но объем куба равен V = х\ где х — длина
стороны куба. Значит, вес куба является функцией
стороны куба, а именно P = qxs.
2. При нагревании металлического куба на t° длины его
сторон увеличиваются согласно формуле x = l(l -fa/°) (/—-
первоначальная длина сторон, а — коэффициент линейного
расширения материала, из которого сделан куб;. При этом
объем куба зависит от длины стороны по формуле V = хъ.
Значит, объем куба является функцией от его температуры
t°. Явное выражение этой зависимости таково:
1/= [/(1 + аО]3 = /а(1 + аП3.
Дадим теперь точное определение понятия сложной
функции. Пусть на отрезке [о, Ь] задана функция x=<?(t),
значения которой принадлежат некоторому отрезку [а, р].
Далее, пусть на [а, р] задана функция у = f(x). Тогда каждому
значению tx из отрезка [а, Ь] соответствует определенное
значение хх = <p(^i)> лежащее на отрезке [а, р]. Ему, далее,
соответствует определенное значение ух = f{xx).
Таким образом, у является функцией от t, заданной на
отрезке [а, Ь\. Эту функцию называют сложной функцией
9 Заказ 2541
129
от / и обозначают */ = /[<р(£)]. При этом х называют
промежуточным аргументом, a t — независимым переменным.
Функцию /[?(/)] называют также суперпозицией функций
f(x) и ср(/).
Примеры.
1. Пусть х = t* + 1 и у = х2.
Тогда суперпозиция задается формулой
У = «*+ I)2.
2. Пусть x = t2-\-4 и у = Y^ — х- В этом случае
суперпозиция функций не определена, так как jc = /2 + 4>4, a
функция у = l/l—* определена лишь на луче *<1.
Упражнения
37. Определена ли суперпозиция функций:
X = — /2 _ 9 ,
у = У Г?
38. Напишите выражение для суперпозиции функций, если:
а) У = УГ+Т, *= *3 + 4;
б) у = t* + 4 , * = /а; + 1;
в)* = *2+1, 1
39. Функции ^(л:) и f2(-*0 определены на множестве Л=(0, 1, 2, 3, 4)
таблицей:
X
/iU)
fi(*)
0
0
1
1
2
0
2
1
2
3
1
1
4
2
0
Составить таблицы значений для функций:
min [fxW, M*)], I /i(*)-M*) I > M/W], W/i(*)l-
40. Пусть /i(jc) и f2(v)—функции, определенные в задаче 39, а
функция g(x) принимает в точках 0, 1, 2, 3, 4 соответственно значения
1, 0, 0, 0, 0. Выразить g(x) через fx(x) и f2(x) с помощью суперпозиции
функций сложения, вычитания, умножения на число и операций min
и max. Постараться обойтись при этом возможно меньшим числом
действий. Доказать, что никакой комбинацией перечисленных операций
130
нельзя получить из fx(x) и f2(x) функцию h(x), равную 1 в точке 1 и
равную нулю во всех остальных точках.
41*. Функция f(x) называется кусочно-линейной, если ее график
является ломаной, состоящей из конечного числа прямолинейных звеньев.
Доказать, что всякую кусочно-линейную функцию у = f(x) можно
выразить через линейные функции с помощью операций сложения,
вычитания, max и min. Каким числом действий можно заведомо обойтись, если
график состоит из п звеньев?
42*. Доказать, что суперпозиция Д<р(л:)] двух кусочно-линейных
функций у = f(z) и г = <f(z) кусочно-линейна. Из какого наибольшего числа
звеньев может состоять график суперпозиции, если график функции
f(z)t состоит из п звеньев, а функции cp(z) — из т звеньев?
8. График функции. Для наглядного изображения
функций используют графики. Их обычно строят в декартовой
системе координат хОу. Графиком функции у = f(x) в этой
системе координат называют множество всех точек М с
координатами M(xj(x)), где х пробегает область
определения X данной функции.
Из определения графика ясно, что над каждой точкой
х£Х лежит ровно одна точка графика функции у = /(*). Это
определение дает в принципе и правило его построения:
надо в каждой точке х из области определения функции
отложить ординату у = /(*). Полученные точки М(ху f(x)) и
составят график функции.
Однако описанное правило становится практически
невыполнимым, если функция задана на бесконечном
множестве, а именно этот случай и является типичным, г
Поэтому практически приходится довольствоваться
приближенным графиком, эскизом графика. Самый простой
способ построения графика состоит в следующем: берут
несколько значений аргумента хи„.., хп из области
определения функции и вычисляют соответствующие значения
f(xi)> • • • > f(xn) этой функции. После этого строят точки
Щ (*i> f(xi)h • • • > Мп (хпУ /(#„)). Эти точки принадлежат
графику функции. На практике чаще всего встречаются
случаи, когда графиком функции является более или менее
гладкая линия. Поэтому, соединяя нанесенные точки
гладкой линией, получаем приближенное изображение
искомого графика.
Построим, например, график функции у = х*—1.
Выберем значения х= —2,-1,0,1,2. Им соответствуют значения
функции у = — 9,-2, — 1, 0,7. Нанесем точки Мх (—2,—9),
Mj(— If—2), М3(£,-1), М4(1,0), М5(2,7) и соединим их
линией. Мы получим график, изображенный на рис. 33.
9*
131
1-
0
1 V
у
3-
2-
f-
,4 -
hr
1 0
>
I
I—*
—>
Г1
"1 £ 3 4 x
~ 1
-z
Надо иметь в виду, что не всегда график функции
является непрерывной линией. Например, график функции
у = Е(х) состоит из бесконечного множества не связанных
друг с другом промежутков (рис. 34). Левый конец этих
промежутков присоединяется к ним, а правый—нет.
Встречаются и функции, график которых не содержит ни одного
куска непрерывной кривой. Примерами таких функций могут служить
упомянутые выше функции Дирихле и Римана. Так как на любом, сколь
угодно малом отрезке числовой прямой встречаются как рациональные,
так и иррациональные точки, то график функции Дирихле у = D(x) не
является линией в обычном смысле слова.
Графическое изображение функций обладает
существенным недостатком. График строится по конечному числу
точек. Поэтому в остальных точках он изображает функцию
лишь приближенно. Кроме того, при практическом
вычерчивании графиков вместо линии, не имеющей толщины,
получается полоска конечной толщины, проведенная
карандашом или пером. Поэтому по графику можно лишь
приближенно находить значения функции.
132
Тем не менее график—очень удобное средство, чтобы
получить общее представление о ходе функции. Во многих
случаях зависимость между физическими величинами
непосредственно задается с помощью графика, даваемого
самопишущим прибором. Например, прибор термограф дает
кривую, показывающую изменение температуры воздуха с
течением времени.
Упражнения
43. Построить по точкам графики следующих функций:
а) у = л:2+ 1;
б) у = х* + 1;
в) у = хА — 16;
16
г) у = х* -|- 4 '
*2 — 4
д) у = х* + 9 ;
*2 + 4
4
ж) у = х + ^- ;
Г jc — 3, jc < 3 ,
з)у = \
1У \ х* + 4, х> 3
44. Постройте график прогиба балки с заделанными концами под
действием равномерно распределенной нагрузки Q.
Уравнение прогиба имеет вид:
QP I х* х3 jga \
у = 24£/ 1^ /* ~ 2 /з + /2 J •
Q 9,6 f ^
Положите -tj- = уд? » а * выберите произвольно; для л: возьмите
значения 0; 0,1/; 0,2/; . .. ; /. Подберите удобнее масштабы по осям
координат.
45. Если один конец балки длины / заделан в стену, а второй
свободен (такие балки называются консольными, см. рис. 35), то при
равномерно распределенной нагрузке Q уравнение прогиба имеет вид:
QI*
24£/ I /
4 *
I»
+ 6
£^
-^Zi
Рис. 35
Рис. 36
133
Начертите график прогиба балки для этого случая, выбрав масштаб по
оси ординат 2:1.
46. Начертите график прогиба балки с опертыми концами под
действием сосредоточенной нагрузки Q(pnc. 36). Уравнение прогиба имеет
в этом случае вид:
Q/3
У = \
I х х* \ /
( 3—— 4 -р-) , 0<д:< — ,
Q/3 [J-* , (/-*)3\ _/
к48£/ \ ~1 ~~ I3 )' 2 <Л
47. Если концы балки оперты, а нагрузка Q равномерно
распределена, то уравнение прогиба балки имеет вид:
Q/3 (х* х* ..
у ~ 24£/ [ /* ~ 2 /» + /
Начертите график этой функции в том же масштабе, что в упр. 46.
Сравните его с графиком упр. 46. В каком случае наибольший прогиб
больше? Сравните полученный график с графиком упр. 44. В каком
случае наибольший прогиб балки больше?
48. Построить графики функций:
а) У = I х + 1 | ; 6) у = | х | + | *-1 | ; в) у=х+ \х].
49. Решите неравенство
х + 2 > J дг2+ 2jc — 3 | ,
построив графики левой и правой частей.
50. Тем же способом решите систему неравенств:
1
I *2 + х | < — ,
1
I *а - х | < -± .
51. На рис., 37 изображен график функции у = f(x). Постройте
графики функций:
а) у = | /(х) | ; г) у | f(x) | ; ж) у= | /( - | * | ) | ;
б) у = f ( | х | ); д) у = / (- 1 х | ); з) у = - | /(- | х | ) | .
в) j= 1/(1*1)1 ; e)j = -/(-I*|);
52. На рис. 37 изображен график функции у=/(х). Изобразите
множества таких точек М(х, у), что:
а) I У | = /(х); г) | у | = /(|х|);
б) IуI «-«*); д) |yl = IWW)l-
в) 1;у| = 1/(*)1;
Задают ли эти равенства функции?
53. Является ли окружность с центром в начале координат графиком
какой-либо функции? Существуют ли функции, график которых
целиком лежит на такой окружности? Приведите примеры четырех таких
функций.
134
Рис. 37
54. Может ли график функции быть симметричным относительно
оси абсцисс?
55. Существует ли функция, график которой переходит в себя при
вращении плоскости на любой угол около начала координат? на угол
90°? на угол 45°? на угол а?
9. Преобразования графиков. Непосредственное
построение графиков функций по точкам не всегда удобно. Для
каждой новой функции приходится заново проводить все
вычисления. Поэтому обычно поступают иначе. Сначала
строят графики некоторых стандартных функций (таких,
как у=х2, у =— и др.), а графики всех остальных
функций стараются получить из уже известных графиков теми
или иными преобразованиями. Сейчас мы рассмотрим
следующий вопрос: как, зная график функции у=/(л:),
построить графики функций
У = К*) + Ь, у = bf(x), у = f(x+a), у = f{ax).
Начнем с функции у = f(x) -f Ъ. Ясно, что ординаты
графика этой функции на Ъ больше соответствующих
ординат графика функции y=f(x). Но при увеличении каждой
ординаты графика на одну и ту же величину Ъ получается
новая линия, получаемая из заданной параллельным
переносом на Ъ вдоль оси ординат. При этом, если Ь>0, то
перенос совершается вверх, а если 6<0, то вниз. На
рис. 38 изображены графики функций у =/(.*)-f-3 и
У = /(*)-2.
Теперь выясним, как строится график функции y=bf(x).
Ясно, что каждая ордината этого графика в Ъ раз больше
соответствующей ординаты графика функции y=f(x). Здесь
135
y-f(x)+3
Рис. 38
возможны различные случаи, в
зависимости от значения Ъ.
Если &>1, то все ординаты
графика функции y—f(x) при
умножении на Ь увеличиваются
и сохраняют направление. При
0<6<1 все ординаты
уменьшаются, сохраняя направление.
Если же 6<0, то ординаты
графика умножаются на (—Ь) и
меняют направление. На рис. 39
изображены графики функций
y = 2f(x), y = ±f(x)9y = -f(x),
y=-2f(x)9y=--±-f(x).
Перейдем теперь к
построению графика функции y=f(x-^a).
Для этого возьмем точку х.
Чтобы найти значение функции
у = /(лг-t-a) в этой точке, надо:
1) прибавить к х число а;
2) если хЛ-а принадлежит области определения х
функции у=/(лг), то вычислить значение этой функции в точке
х + а.
Отсюда видно, что ордината графика функции y=*f(x+a)
в точке х совпадает с ординатой графика функции у=f(x)
в точке х-\-а. Но точка х лежит на а единиц влево от
точки х+а. Значит, весь график функции y=f(x+a)
получается из графика функции у =.•/(*) сдвигом этого графика
на а единиц влево. Разумеется, если а<0, то перенос
получится в правую сторону (перенести на —3 единицы
влево — это все равно, что перенести на 3 единицы
вправо). На рис. 40 изображены графики функций y=f(x+2) и
у=Д*-3).
Наконец, изучим график функции y~f(ax). Чтобы найти
значение этой функции в точке с абсциссой х, надо:
а) умножить х на а\
б) если ах принадлежит области определения функции
у=/(х), вычислить значение этой функции в точке ах.
Значит, ордината графика функции у = f(ax) в точке х
совпадает с ординатой графика функции у = f(x) в точке
ах. Поэтому график функции y=f(ax) получается из гра-
136
Рис. 39
фика функции y=f(x) путем деления абсцисс всех точек
графика на а. На рис. 41 изображены графики функций
у«Д2*), y = f(±-x).
10. Графики общей квадратичной и дробно-линейной
функций. Применим полученные результаты к некоторым
функциям. В восьмилетней школе уже изучалась
квадратичная функция у=ах2+Ьх-\-с. Чтобы построить ее график,
будем исходить из степенной функции у—х2. График этой
функции имеет вид, изображенный на рис. 42. Общий
случай легко сводится к случаю функции у=х2. Сначала по-
137
Рис. 40
строим график функции у=(х—а)2. Он получается из
графика функции у=х* сдвигом на а единиц вправо (рис. 43).
Далее, построим более сложный график функции у=А(х—а)2.
Он получается из графика функции #=(*—а)2 умножением
всех ординат на А (рис. 44). Наконец, построим график
функции (рис. 45)
у= Д(л:_а)2 + Р. (1)
y-f(2x)
У~№
Рис. 41
Он получается их графика
функции у=А(х—а)2 сдвигом
вверх на р единиц (читатель,
конечно, помнит, что при
а<0 мы сдвигаем график
вправо, при А < 0 ординаты
меняют знак, а при Р<0
график сдвигается не вверх,
а вниз).
Мы научились строить
график функции (1).
Оказывается, что к построению
этого графика сводится
построение графика общей
квадратичной функции
у = ах2+Ьх+с. (2) Рис.42
В самом деле, так как афО, то можно вынести а за скобки
1
\
\
\
\
\
\
У[
к
0
i
у
/
/
. 1
]>-**
7
/
/
/
X
У
-<* + ± + -т)
После этого выделим в скобках полный квадрат:
*-«[(*+*•£*+-&) +-5—£]-
.<,[(
х +
2а/
Ь2—Аас
а2
Наконец раскроем скобки.
Мы получаем, что функцию
(2) можно записать так:
У
/ . Ь \2 Ь2—4ас
Это то же уравнение, что
и (1), только здесь А=а}
J>_ „ о -Ъ%—\ас
2а
а = —
И В= —
Поэтому график функции
у =r. ax2 +,bx + с получается
из графика функции £/=*2 с
помощью следующих
преобразований:
У1
0
\
»•
1
а
.
1
/
/
ly-(x-aQF
т
/
/
1
X
Рис. 43
139
t^
\
* i
0
I
\1
!
\
\
\
)
[
V
j
J
a
i
\у-АМг
~T
l
/
/
\
1
X
Рис. 44
1) сдвига графика влево на
-gj- единиц;
2) умножения всех ординат
на а\
3) переноса графика вверх
на -^—— единиц.
Мы знаем,,что график
функции у=х2 называется
параболой. Этот график симметричен
относительно оси ординат.
Точка 0(0,0) пересечения графика
с осью симметрии называется
вершиной параболы. После
указанных выше преобразований
начало координат О переходит
в точку Af(—g;-, —^-j,aocb
ординат —в прямую, параллельную этой оси и проходящую
через точку М. Таким образом, в результате
преобразования мы получаем кривую, симметричную относительно
прямой, проходящей через точку М и параллельной оси
ординат. Эту кривую также называют параболой, а точку
М — вершиной параболы. Если
а>0, то ветви параболы
обращены вверх, а если а<0, то вниз.
Например, построим
параболу
у = __2л:2+ 16* —31.
Выделяя полный квадрат,
получаем:
—2[(х-4)1-4-]=-2(*-4)«+1.
Поэтому для построения
графика функции #=—2*2 + 16* —31
надо сдвинуть параболу */=*2
на 4 единицы вправо,
умножить все ее ординаты на —2 и
у
о
i
'
I
1
1
\
\
1
\
—■<
i
W
ч
1
А
м(а
/
1уА(х-(Х,
1
\
ц
;Р)
ftp
X
Рис. 45
140
сдвинуть кривую вверх на 1
единицу. Эти преобразования
изображены на рис. 46.
Теперь рассмотрим функцию
_ ах + ь
у ~ cx+d *
Ее называют дробно-линейной
функцией — она является
отношением двух линейных
функций у=ах-\-Ь и y^cx+d.
Укажем частные случаи
дробно-линейной функции. Если
с=0, то эта функция является
линейной: */= -^-*-t- \ • Если
же a=d=0, &=c=l, то
получаем изученную в восьмом
классе функцию у=—
(обратная пропорциональная
зависимость). На рис. 47 изображен
график функции у= —. Эту
Рис. 46
кривую называют
равносторонней гиперболой. Покажем,
что график любой дробно-линейной функции при сфО
получается из графика функции {/=-— с помощью простых
преобразований. Сначала построим график функции #=-i-. Он
получается из графика функции */ = — сдвигом вправо на а
единиц. Потом построим график функции ^ . Он
получается из графика функции У=—~ умножением всех
ординат на А. Наконец, рассмотрим функцию
л , Л
У-
Х~а
(3)
4
^—
сдвигом вверх на р единиц. В результате при Л>6 получим
141
Ее график получается из графика функции #=
н
Рис. 47
график примерно такой, как на рис. 48а; если же А < О,
то получается график, похожий на изображенный на
рис. 486.
Оказывается, что построение графика общей дробно-
линейной функции сводится к построению графика
функции (3). В самом деле, выделим из дроби у= ах^ целую
часть. Мы получим
, ± , (bc—ad)/c _ a (bc—ad)/c*
У
cx + d
с
(4)
Но это то же уравнение, что и (3), где а= ——, Р=—,
А = (be — ad)/c2. Поэтому график функции (4) получается
при с=£0 из графика функции у==— с помощью
следующих преобразований:
i\ d
1) сдвига влево на —;
142
У к- 1 1 | ] 1 1 1 1 1
Ml
1 '
I к И
ч
) N44
-ТТТТ~\м(афУ\ ТТ
гЧ 1 1
П\
М \
0 М
: ,
И
У\ 1 1 1 1 1 III
1 1 1 ll
/
1 У
м N-
у 44-
rjjpf
ITTТТ \m(*;pT\L.
сгп 1 и" Г
Hi /Г ■
Hi"' /И
\ о\ \ 1 \ \ t \ \ \
Нт i Л г
tt I4-
ггт М'
Т 1 1 II i 1 ! ' '
Л
т— —1 г*"
| | | \Х
! И 1 1
2) умножения всех ординат на (bc—ad)/c2;
3) сдвига вверх на -^- единиц.
Например, построим график функции
2* + 1
У =
х—2
Выделяя целую часть, получаем, что
Значит, для построения графика этой функции надо:
1) сдвинуть вправо график функции у=—на 2 единицы;
2) умножить все ординаты на 5;
3) сдвинуть график вверх на 2 единицы.
Окончательный результат изображен на рис. 49.
Набросок графика можно сделать и не выделяя целую
часть. Для этого заметим, что при описанных
преобразованиях оси абсцисс и ординат переходят соответственно
а
в прямые у■
х=-
а начало координат — в точку
144
I I
Рис. 49
Af(-|-,——). Поэтому мы сразу можем начертить прямые,
к которым приближается график функции у= +^ -
Остается определить, в каких частях плоскости располагается
график. Для этого заметим, что если be—ad>0, то
ординаты графика сохраняют свое направление после
умножения на (be—ad)/c2, а если be—ad<0, то после этого
умножения направление ординат изменится на
противоположное. Поэтому если be—ad>0, то график имеет вид,
изображенный на рис. 48 а, а если be—ad<0, то вид,
изображенный на рис. 48 б.
Упражнение 56. Постройте графики следующих функций:
а) у=2х*-Ьх+4; в) у= 3*~| ■; д) у = . х
х+2 ' ' 2х—\
б) у=л*-8х+20; y=s,* + 4
х-\
11. Графики суммы, произведения и частного функции.
Мы строили сейчас графики путем преобразования уже
известных графиков. Иногда удается построить график
функции у=/(л:), представив ее в виде суммы двух
функций ср(;с) и фс), графики которых уже известны.
Рассмотрим, например, функцию
. 1
у = х-\ .
* х
Мы уже знаем графики функций у=х и У=—• Они
изображены на рис. 50. А теперь в каждой точке х, где обе
функции определены, сложим их ординаты. Мы получим
график функции у=л:-{ . Он имеет вид, изображенный
на рис. 51. Так как при безграничном увеличении х
значение функции у=— неограниченно приближается к нулю,
то график функции y=*i при безграничном увеличении
х приближается к графику функции у=х, то есть к
прямой линии. Если взять очень большое значение х, то
графики функций у=х+ — и у = х практически сливаются.
Иногда вместо разложения функции в сумму функций
с известными графиками разлагают ее в произведение
таких функций. Однако надо иметь в виду, что умножение
Ю Заказ 1541 145
н
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
ординат графиков функций довольно сложное дело, и
потому построение графиков с помощью умножения
применяется сравнительно редко.
Рассмотрим следующий пример:
Построить график функции
у=(х+1)(х-2)(х-4). (1)
Нарисуем графики функций у = х-\- 1, у = х— 2, у = х — 4
(рис. 52). Они пересекают ось абсцисс соответственно в
точках —1, 2, 4. Поэтому на промежутках (—со, —1),
(—1, 2), (2, 4), (4, +оо) произведение (1) не меняет знак.
Подсчитывая знаки отдельных множителей, приходим к
следующему выводу:
на промежутке (—оо, —1) эта функция отрицательна;
на промежутке (—1, 2) она положительна;
на промежутке (2, 4) она отрицательна;
на промежутке (4, оо) она положительна.
Кроме того, ясно, что если х — очень большое
положительное число, то и значение функции f(x) — очень
большое положительное число, а если х — отрицательное число
с очень большим модулем, то аналогичным свойством
обладает и f(x). Поэтому эскиз графика функции
у=(х-\- \)(х—2)(х—4) имеет вид, изображенный на рис. 53.
ю*
147
Мы не знаем, однако, где график
функции f(x) имеет вершины.
Поэтому рис. 53 является лишь грубо
схематическим.
Построение графика функции
У=Ат^-у если известны графики
функций #=ср(*) и y=ty(x),
сводится к делению ординат этих
графиков в данных точках.
Упражнения
57. Постройте графики функций:
1 . .1
а) У=*+ —:
г) у=х* — —\
д) у=х*—4*2+4.
Рис. 53
а) у = (*-1)(*+2Х*-3);
б) у=(х2+1)(х~1);
59. Постройте графики функций:
1
б) у=х— -
в) у=х2 +
Л,
58. Постройте графики функций:
в) у=х{х*-\)(х+2).
а) у=
х2+\
б) у=
JC2—1
12. Таблицы значений функций. На практике применяют
еще табличный способ задания функций. При этом способе
дается таблица, указывающая значения функции (обычно
с некоторым приближением) для конечного множества
значений аргумента. Примерами табличного задания функции
являются таблицы квадратных и кубических корней. В них
указаны значения функций у=Ух и У—Vх ПРИ
некоторых значениях аргумента. При этом в четырехзначных
таблицах значения функций указаны с точностью до 0,0001, а
значения аргумента берутся через 0,01.
Разумеется, при табличном задании мы не получаем
функции в том смысле, как это было сформулировано на
стр. 119: не для всех значений* задано значение функции,
а сами значения функции указаны лишь приближенно.
Тем не менее во многих случаях табличное задание
функции оказывается практически удобным. Оно позволяет
148
найти значение функции без всяких вычислений (для
значений аргумента, находящихся в таблице). Для других же
значений аргумента приходится интерполировать, «читать
между строк таблицы».
Для интерполирования таблиц обычно приближенно заменяют
данную функцию многочленом. С этой целью берут л+1 значение
аргумента лг0, Xi хп, содержащееся в таблице, и строят многочлен л-й
степени, принимающий в точках х0, хи ..., хп те же значения, что и
интерполируемая функция. Как было показано в курсе алгебры (см.
tАлгебра», стр. 44), этот многочлен однозначно определен. Значения
интерполирующего многочлена в точке х и принимают за
приближенное значение функции в этой точке. Такое приближение обычно
бывает удовлетворительным в точках, лежащих на отрезке [х0, хп].
В курсе алгебры была дана формула для интерполирующего
многочлена («Алгебра», стр. 45). Здесь мы выпишем частный случай этой
формулы для п=\ (линейная интерполяция):
У = ft*o)
X—Хх
+ /<*l)
(1)
Xq—Х\ Х\—Xq
При линейной интерполяции мы заменяем дугу кривой, лежащую
между точками с абциссами хь и xif соответствующей хордой.
Формулу (1) можно переписать так:
y = «*o) + l/(*i)-/(*.)]^2L.
Х\ Xq
Отметим, что табличное задание функции часто возникает в физике
при экспериментальном наблюдении тех или иных величин. Если надо
узнать, как меняется значение физической величины у в зависимости
от значений физической величины х% ставят ряд экспериментов, в
которых придают величине х значения хи ..., хп% и наблюдают
соответствующие значения у1у..., уп величины у. Это и дает табличное задание
величины у как функции х.
Пример. Давление р (кг/см2) насыщенного пара при температуре
t°C определяется по таблице:
/
р
105
1,232
ПО
1,462
115
1,762
120
2,027
125
2,371
График этой зависимости имеет вид, изображенный на рис. 54. С
помощью этого графика легко находим, что при температуре 107,5°
давление пара равно — 1.347 кг/см2. Определите, при какой температуре
давление равно 2,100 кг/см2.
13. Функции нескольких переменных. До сих пор мы
рассматривали функции, зависящие от одного
переменного. Очень часто встречаются функции, зависящие от
нескольких аргументов. Например, площадь прямоугольника
149
2,371
2,027 --j
105 110 115 120 125 t
Рис. 54
зависит от длин его сторон х и у, объем цилиндра
зависит от его высоты Н и радиуса основания R, давление
газа зависит от объема V и температуры Г, а объем
параллелепипеда является функцией от трех переменных —
трех измерений параллелепипеда.
В общем виде понятие функции двух переменных
определяется так.
Пусть А — некоторое множество упорядоченных пар1
действительных чисел и пусть каждой паре (*, у) из этого
множества поставлено в соответствие число z. Тогда
говорят, что задана функция z от переменных х и у с
областью определения А, и пишут: z=f(x, у).
Точно так же определяются функции трех и большего
числа переменных.
Приведем некоторые примеры функций нескольких
переменных:
г = *< + у4; 2=-£g*-;
z =\/4—х2—у2 ; и = ху 4- xz + yz.
Почти все понятия, изложенные выше для функций
одного переменного, с соответствующими изменениями
переносятся на фуйкции нескольких переменных. Разумеется,
при этом получаются некоторые осложнения. Например,
таблицы для функций двух переменных должны иметь два
входа: для х и для у. Простейшим примером такой
таблицы является таблица умножения. Это таблица для
функции z=xy.
1 То есть при хфу пары (х, у) и (у, х) считаются различными.
150
Другим примером может служить следующая таблица
для функции z=x2+y2:
рч
0
1
2
3
4
5
0
0
1
4
9
16
25
1
1
2
5
10
17
26
2
4
5
8
13
20
29
3
9
10
13
18
25
34
4
16
17
20
25
32
41
5
25
26
29
34
41
50
Упражнения
60. От скольких переменных зависит путь, пройденный точкой при
равномерном прямолинейном движении? От скольких переменных
зависит этот путь, если известна скорость движения? А если известно
время, в течение которого совершалось движение?
61. Температура воздуха зависит от долготы и широты точки
земной поверхности, в которой производится измерение, от высоты над
уровнем моря и от момента времени. От скольких переменных зависит
эта температура, если измерение производится в данной точке земной
поверхности (но на разных высотах и в разные моменты времени)? От
скольких переменных зависит эта температура, если фиксирована
высота над уровнем моря?
62. Выразить площадь равнобедренного треугольника как функцию
от длин его сторон.
63. Выразить объем цилиндра как функцию от его высоты и
радиуса основания.
у-2 v2
64. Найдите значение функции у= i_ при
х2+у2
а) лг=3; у=4; б) х=0, у=\\
в) х -
-4, у=2.
65. Пусть
/U.y)=if+iL
Найдите, чему равно
а) f(t + v, t-v); в) /■(*, у);
б) f(t\ v2); г) 3/%*, y)+f(x\ у').
66. Определена ли функция
z=Y9—дг2—>2 при дг=2, у=4?
v3 v2
67. При каких значениях х и у не определена функция г=—-—L.7
х2 + у2
151
§ 2. Элементарное исследование функций
1. Вводные замечания. До сих пор мы по сути дела
строили графики по точкам. Даже в тех случаях, когда
график получался преобразованием уже известных
графиков, исходные графики строились по точкам. При
построении графика по точкам мы находим несколько точек и
соединяем их более или менее гладкой линией.
Когда мы проводим эту линию, то исходим из
оптимистического предположения, что график функции является
между найденными точками достаточно гладким, что на
участке, где мы проводим линию, у нее нет ни зигзагов,
ни скачков. В большинстве случаев, встречающихся на
практике, этот оптимизм оказывается оправданным, но в
отдельных случаях такой подход приводит к ошибкам.
Пусть, например, надо построить график функции
у = и I» ( _ 0 5V» • Таблица ее значений имеет следующий
вид:
. X
У
-3
0,10
—2
0,16
— 1
0,42
0
2,86
1
2,86
2
0,42
3
0,16
4
0,10 |
На первый взгляд график этой функции примерно такой,
как на рис. 55, а. Однако на самом деле /(0,5)=10, а
потому график имеет вид, изображенный на рис. 55, б.
Ошибка произошла потому, что мы строили график по
точкам, не исследовав предварительно функцию. Чтобы
правильно строить график, надо сначала исследовать
функцию. Наметим примерный план такого исследования. В
первую очередь надо узнать ее область определения.
Иначе мы будем при составлении таблицы значений функции
брать значения аргумента, при которых функция не
определена. После этого надо узнать, симметричен ли график
функции. Если график симметричен, то можно построить
половину графика, а вторую нарисовать по симметрии.
Далее надо узнать, где функция обращается в нуль, то
есть решить уравнение /(*)=-0. Тем самым мы найдем
точки пересечения графика с осью абсцисс. А значение
функции при х = 0 даст точку пересечения графика с осью
ординат.
152
Следующий этап
изучения функции —исследование
функции на возрастание и
убывание. Здесь мы узнаем,
где функция увеличивается,
где она уменьшается, а где
принимает самое большое
или самое маленькое
значение. Все это облегчает
построение ее графика.
Наконец, полезно узнать, как
ведет себя функция при
безграничном увеличении х.
Только исследовав с этих
точек зрения функцию,
можно начинать строить ее
график. В этом параграфе мы
и займемся исследованием
функций.
2. Область определения
функции. Мы уже говорили
выше, что областью
определения аналитически
заданной функции называют
обычно множество всех значений
jc, для которых имеет смысл
формула, задающая
функцию. Для известных нам
сейчас функций есть лишь
две причины, по которым
формула может потерять
смысл: если эта формула
приводит к делению на нуль или к извлечению корня четной
степени из отрицательного числа.
Упражнения
68. Найдите области определения следующих функций:
1
Рис. 55
а) у=.
6) у-
в) у-
х2—6л:-Ь9
х2+1
г) у =уг 10— х ;
А) J=V4*-16;
г2_
-4jc+3
7дг+5
е) у=У\6—х2;
ж) у=У х2-4\
з) >» =
и) у=
1
VT-
1
Ух2—4дг+3
153
н
-N(
-J;-
0)-.
0)[
,
\
\
V
1
\
\
^
-J -2 -f 0
1
,
/
/
i
/
/
/
1
>M(3;9) -
y=x2
1 2 3
-
! j | | ! | !
Рис. 56a
69. Чем отличается область
определения функции у— У 4—х2
от области определения
функции у =—г л ?
3. Четные и нечетные
функции. После того как
найдена область
определения функции, надо
исследовать ее на симметрию.
Рассмотрим график
функции у=х2. Возьмем на этом
графике точку М с
абсциссой 3. Ее ордината равна
32=9. С точкой тИ(3, 9)
симметрична точка N (—3, 9).
Эта точка тоже лежит
на графике функции у=х2у
так как (—3)2=9.
Вообще, какую бы
точку М графика функции
у=х2 мы ни взяли,
симметричная с ней относительно
оси Оу точка N тоже
лежит на этом графике.
Поэтому весь график функции
у=х2 симметричен
относительно оси Оу (рис. 56 а).
Функции, обладающие
таким свойством, мы
будем называть четными
функциями.
График функции у=хъ
обладает другой
симметрией— он симметричен
относительно начала
координат (рис. 56 б).
Функции с таким свойством
называют нечетными
функциями.
Выразим свойства
четности и нечетности
функции аналитически. Прежде
1 1 1 ,У[
]у
Ш1
иГ\\
IV Р !
и /И
/
/
\П\\
/
И
ill
, ■ | Т
Hi
1 1 \ух3\
/1
/ 1
/И
\ А М
\4 \ \
<у\\\\
1 \ 1 I I Vх
I I I I j
III! '
I I I I i
i i
I!
—! I I r I
Рис. 566
всего ясно, что если график функции обладает некоторой
симметрией, то область определения этой функции должна
быть симметричной относительно начала координат, то
есть вместе с каждой точкой х она должна содержать и
точку — х.
Например, отрезок [4, 4], промежуток (—5, 5) или вся
числовая прямая симметричны относительно начала
координат, а отрезок [—2, 6]—несимметричен.
Определение 1. Функция y=f(x) называется четной,
если она задана на симметричном относительно начала
координат множестве X и если для любого х£Х выполнено
равенство
f(-x) = f(x).
Определение 2. Функция y = f(x) называется
нечетной, если она задана на симметричном относительно
начала координат множестве X и для любого х£Х
выполнено равенство
/(-*) = -/(*).
Функции у=хп, заданные на всей числовой оси, при
четном п (n=2k) четны, при нечетном п (#=2&+1)—
нечетны. В самом деле,
и
Это замечание и объясняет введенную терминологию.
Функция у=х2, заданная на- множестве [—3, 8], не
является четной, так как ее область определения не
симметрична относительно начала координат.
Таким образом, чтобы проверить, является ли данная
функция четной или нечетной, надо заменить в ней х на
—х. Если после этой замены функция примет те же
значения, то она четная. Если ее значения изменят знак на
обратный, а их абсолютная величина останется неизменной,
то функция нечетна.
Разумеется, бывают функции, не являющиеся ни
четными, ни нечетными. Например,
— (*)8 -t- (— *)2 Ф хъ + *2
и
- (*)' + (—*)*¥=-[**+*■];
155
Рис. 57
значит, функция # = л:3-+-*2 не относится ни к четным, ни
к нечетным функциям.
Исследование функции на четность или нечетность
облегчает построение графика этой функции. Именно,
справедливо следующее утверждение:
Если функция y=f(x) четна, то ее график симметричен
относительно оси ординат (рис. 57). Если же функция
у — f(x) нечетна, то ее график симметричен
относительно начала координат (рис. 58).
В самом деле, пусть функция y=f(x) четна. Возьмем на
ее графике точку М (х, f(x) ). Так как /(—х) = /(*), то
точка N(—x9 f(x)) тоже принадлежит графику. А эта точка
симметрична с М относительно оси ординат. Точно так же
доказывается утверждение относительно графика нечетной
Рис. 58
156
функции—вместе с точкой М(х, f(x)) он всегда содержит
точку N(—x, —/(*))> симметричную с М относительно
начала координат.
Отметим некоторые свойства четных и нечетных функций.
1. Сумма четных функций является четной функцией.
В самом деле, пусть <р ( — х) = у(х), ф (—jc) = <\>(х) и / (х) = <$(х) + Цх).
Тогда
/ (-*) = Ф (-*) + Ц-х) = ,(*) + «|,(*) = f(x).
Значит, f(x) — четная функция. Точно так же доказывается, что сумма
нечетных функций — нечетная функция.
2. Произведение двух четных функций — четная функция, произведение
двух нечетных функций — тоже четная функция, произведение четной
функции на нечетную — нечетная функция.
В самом деле, пусть <р(—х) = ср(лг) и <\>(—х) = Цх), a f(x) = ср(лг) ty(x).
Тогда имеем:
/(-*) = *(-*) 4-х) = * (*) <K*)=/f *Л
и, значит, Дл:)—четная функция.
Разберите сами остальные случаи.
3. Если некоторая функция y=f(x) задана на симметричном
множестве X, то ее можно представить в виде суммы четной и нечетной
функции.
В самом деле, положим
f(jc)= /(*) + /(-*) , ¥х)= fM-f(-X)
ц-х) = Л-^ + Л*) = Ф)
Н-х) = /(-*)-/(*) = H,(jc).
Значит, <f(x) —четная функция, а ^(л:) — нечетная функция. Но
,(*) + «*) = Пх) + К-х) + i(x)-K-x) = /(х)
Тем самым наше утверждение доказано.
Упражнения
70. Выяснить, какие из следующих функций являются четными,
какие нечетными, а какие не принадлежат ни к одному из этих классов:
а) у=У\+х+х2 — y^l— х+х* ; Д) У = х2 - Ах + 5;
JC3— JC ч Х3+\
Тогда
г) у=/" U-Ы)2 + У (дг-1)2
157
71. Функции
a) y=3^2-jf + 7;
б) у=
х2+\
В) У =
лг3+1
Рис. 59
л: — 1 ' ' л'2+4
представить в виде суммы четной и нечетной функций.
72. На рис. 59 изображен график
функции у=1(х)у заданной на луче
0<л:<оо. Нарисуйте график четной
функции, совпадающей с f(x) при
О < х < оо. Нарисуйте график
нечетной функции, совпадающей с f(x) при
О < х < оо.
73. Чему равно /(0), если f(x) —
нечетная функция?
74. Функция f(x) равна х при 0<jc<
<оо. Продолжить ее четным образом
на всю ось.
75. Функция f(x) равна х2 при
0<л:<оо. Продолжить ее нечетным
образом на всю ось.
76. Может ли линейная функция
y=kx-{-b быть четной? А нечетной?
77. Приведите пример функции, которая не является ни четной, ни
нечетной.
78. Найти аналитические условия, при выполнении которых график
функции y=f(x) будет симметричным относительно прямой х~а.
79. Найти аналитические условия, при выполнении которых график
функции y=f(x) будет симметричным относительно точки М(а, Ь).
80. Найдите ось симметрии для графиков функций:
а) У=(х-Ъ)< + 2(*-3)*Н-5;
б) у = х2 — Зх + 5.
81. Найдите центр симметрии для графиков функций:
а) У= (х—2)з + ЦХ—2) — 6; б) у = 2(дг+4)5 + (*+4)« — 1.
4. Ограниченные и неограниченные функции. Функция
y=f(x) называется ограниченной на множестве X, если
существует такое число М, что для всех х из X
выполняется неравенство | f(x) | <; М.
Если же для каждого числа М найдется такое х0£Х,
что |/(-*0)1->^> то Функцию y=f(x) называют
неограниченной на М.
Например, функция у=х2 ограничена на отрезке [0,5],
так как для всех х таких, что 0^л:^5, выполняется
неравенство | х2\ ^ 25: На всей же числовой оси эта' функция
неограничена. В самом деле, если Ж> 1 и х>М, то
х*>М*->М. Поэтому функция у=х2 может лринимать
сколь угодно большие значения.
Функция может быть неограниченной и на: конечном
158
промежутке. Например, функция у=— неограничена на
промежутке (0,1). В самом деле, если 0<л:<-гг, то
— >М.
X ^
Упражнения
82. Доказать, что функция у=х2 ограничена на отрезке [—2, 6].
83. Какие из нижеследующих функций ограничены на всей числовой
оси, а какие нет:
1+ДГ2"' l+JC2 '
Г2 3
\+х2' х2+6х+10 *
84. Какие из нижеследующих функций ограничены на промежутке
(-1. О:
а)у= ! ; в) у= ! ; д) у= ! ?
6) У=-4-1> г) >'=-ГГГ;
jca~4 jc2+4
5. Полюсы функции. Вертикальные асимптоты.
Рассмотрим функцию у= __2 . Если л: принимает значения,
близкие к 2, то знаменатель х—2 становится малым числом, а
тогда дробь к- весьма велика по абсолютной величине.
Поэтому вблизи от точки х=2 (не принадлежащей области
определения функции у= х_2 ) значения этой функции
весьма велики по абсолютной величине. Точно так же
вблизи от точки х=3 весьма велики значения функции
1
У— (JC_3)2 •
Слова „вблизи от точки аи и „значения функции весьма
велики" не имеют точного математического смысла.
Величина в 1 мм очень мала, если речь идет о радиусе
земного шара, но очень велика, если мы рассматриваем радиус
шарикоподшипника. Величина же в 0,0001 мм мала, если
речь идет о радиусе шарикоподшипника, но велика при
рассмотрении атомного ядра. Поэтому необходимо
уточнить данные выше формулировки.
159
Рис. 60
Рассмотрим график функции у=—к (рис. 60). Проведем
горизонтальные прямые у=—10 и у = 10. Они пересекают
график функции в точках А и В с абсциссами 1,9 и 2,1
соответственно. Спроектируем эти точки на ось абсцисс.
Эти проекции ограничивают окрестность (1,9; 2,1) точки
х=2. Для любой точки х из полученной окрестности
(кроме самой точки х=2) мы имеем или —зо<—Ю (если
точка лежит слева от 2), или —^^ > 10 (если эта точка
лежит справа от 2). Эти неравенства можно объединить в
1
одно неравенство | _2 j > 10.
160
Если бы вместо прямых у =—10 и у= 10 мы взяли
прямые у = —Ю0, у= 100, то проекции точек пересечения
ограничили бы меньшую окрестность точки л;=2, а именно
(1,99; 2,01). Во всех точках этой окрестности (кроме х=2)
111
выполнялось бы неравенство ^- > 100. И какое бы
число М мы ни взяли, найдется такая окрестность точки
х=2, в которой (исключая саму эту точку) выполняется
неравенство к- > М.
I х—~ £ I
Введем следующее определение:
Определение. Точка х=а называется полюсом
функции у=/(л;), если для любого М > 0 найдется окрестность
(а—8, а-\-Ъ) точки х = а, во всех точках которой (исключая,
быть может, х=-а) выполняется неравенство \f(x)\> M.
Оговорка «исключая, быть может, х=а» сделана
потому, что в точке х=а функция, вообще говоря, не
определена (хотя, разумеется, ее можно произвольным
образом определить в этой точке). Если а — полюс
функции f(x), то говорят, что эта функция бесконечно большая
при х^-а, и пишут:
limf(x) = сю.
График функции y=f(x), имеющей полюс в точке а, по
мере приближения х к а «почти сливается» с
вертикальной прямой х=а (рис. 61). Прямая х=а называется
вертикальной асимптотой функции y=f(x).
Для функций вида
it_ а0хп 4- aYxn-x + .♦■ +ап ц\
Ъъхп+Ъ^-1* ... +Ьт
(дробно-рациональных функций) полюсами могут быть лишь
точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль,
а числитель отличен от нуля. Например, для функции
х*-\
х*—7л:+12
полюсами являются корни уравнения х2—7л:+12=0, то есть
Если и числитель и знаменатель функции обращаются в нуль при
х=с, то по теореме Безу и а0хп + ... + ап и Ь0хт + ... + Ът делятся
на х—с, а потому дробь (1) сократима. Перед построением графика
функции надо сначала сократить дробь.
11 Заказ 2541
161
o\ / j у7
I о !
J 1 *
I <5 I
^
0
*l
0
i
в
1
a
^
*
/.
/ •
Рис. 61
Поведение функции y=f(x) в окрестности полюса может
быть разным. Например, функция у = х_2 положительна
справа от полюса и отрицательна слева от него. В этом
случае пишут:
lim сг = —°°> Нт „ 0 = +°°
дг-2-0
х-2
х-2
х -2+0
(запись л;->2—0 означает, что х приближается к 2,
оставаясь все время меньше, чем 2; аналогичный смысл имеет
запись x^2-\-Q). Функция же у=,—пг2 положительна и сле-
ва и справа от полюса л:=2. В этом случае пишут:
lim ( 0)2 = lim 2)2 = +оо.
На рис. 61 (а, б, в, г) изображены разные возможные
положения графика функции y=f(x) относительно
вертикальной асимптоты.
162
Упражнение 85. Найдите вертикальные асимптоты следующих
функций и исследуйте расположение графика функции относительно
этих асимптот:
а) у=
б) у=
1
1
в) у=
jc2—jc—12
1
**-16 '
г) у =
Д) У =
е) у =
1
JC4—13^«-f36
1
1
yV—16
6. Периодические функции. В природе и технике часто
встречаются явления, которые по истечении некоторого
промежутка времени повторяются. Например, при вращении
Земли вокруг Солнца ее расстояние от Солнца все время
меняется. Но по истечении года Земля находится на том
же расстоянии от Солнца, что и в начале года. Точно так
же с течением времени меняется давление в цилиндре
паровой машины. Но по истечении одного цикла это
давление будет таким же, как и в начале цикла. Такие
периодически повторяющиеся процессы описываются
периодическими функциями. Введем следующее определение:
Определение. Функция y=f{x) называется
периодической функцией с периодом Т, если для любого числа х
из ее области определения числа х—Т и х+Т также
принадлежат этой области, причем f(x) = f{x-\-T).
Из определения следует, что для периодической
функции выполняется равенство f(x) = ((х—Т).
Примером периодической функции может служить
функция у={х}=х—Е(х) — дробная часть числа х. Если
прибавить к х единицу, то его дробная часть не изменится.
Поэтому имеем {х+1} = {*}• Это равенство показывает, что
\х) —периодическая функция с периодом 1 (рис. 62).
Рассмотрим, далее, точку М, совершающую равномерное
вращательное движение
по окружности. Предпо- \ \ \ \ \ У1
ложим, что точка
совершает полный оборот за Т
секунд. Тогда через
каждые Т секунд эта точка
возвращается в прежнее
положение. Поэтому
координаты х и у движущейся
-2 I -/ I 0\ I 1 I 2 I 3
Рис. 62
11*
163
точки являются периодическими функциями времени t с
периодом Т:
x(t+T) = x(t)
И y(*+T) = y{t).
Введем теперь понятие основного периода
периодической функции. Если Т—период функции у=/(л;), то при
любом целом k число kT также является ее периодом.
Поэтому множество периодов периодической функции
бесконечно. Обычно среди положительных периодов
периодической функции y=f(x), отличной от постоянной, есть
наименьший. Его и называют основным периодом.
Итак, основным периодом периодической функции f(x)
называют наименьший положительный период этой функции.
Покажем, что все периоды функции кратны ее
основному периоду.
Для этого заметим, что если Т\ и Тг— периоды функции y=f(x), то
числа вида kT1-\-nT21 где k и п — целые, также являются ее периодами.
Это вытекает из того, что
Kx + kTt + n Т2) = l(x + kTx) = f(x).
Предположим, что Т — основной период функции f(x), а Т\— какой-
то другой период этой функции. Возьмем все числа О, Т, 2Т, 37\ ...,
/гГ, ... . Эти числа разбивают полуось х > 0 на отрезки вида
kT < х < (&+1)7\ Одному из этих отрезков принадлежит и число Ти
kT < Тг < (k + 1)7\ Но тогда имеем 0 < Г, — kT < Т. В то же время по
сделанному выше замечанию из того, что Т и 7*i—периоды функции
f(x), следует, что 7\—kT также является ее периодом. Так как
Г—наименьший положительный период, а 7\—kT<T, то должно выполняться
равенство 7\—&Г=0, то есть Ti — kT. Значит, Тг кратно Т.
Заметим, что встречаются периодические функции, не имеющие
основного периода. Например, для функции Дирихле
( , 1, если х рационально,
D(x)= { Л
( О, если х иррационально,
любое рациональное число г является периодом. В самом деле, если
х—рациональное число, то-x+r также рационально и потому
D(x + r)=D(x)= 1.
Если же х—иррациональное число, то лг+г — также иррационально и
потому
. D{x+r)=D(x) = 0.
Так как среди положительных рациональных чисел нет наименьшего,
то у функций Дирихле нет наименьшего положительного периода.
Если функция f(x) имеет период Г, то достаточно знать
ее значения на любом отрезке вида а^х<а-\-Т. Для любой
164
II i i i 1 ' ♦ i
J -f 1
Lrl Lr
-3 \Л -1 УЛо
<r if \ 11
IT г I
Ш Ш
1 \y\ 1 yf IL
* 1/2 1 -3 LA i 5 |*
и ими
Рис. 63
точки х найдется такое k, что а<*—kT<a+T. Так как
/(*)=/(*—kT), то мы находим значение функции в точке х.
В частности, для того чтобы построить график
периодической функции, достаточно знать ее график на одном из
отрезков вида #<;*<#+7\ Смещая этот график вдоль оси
абсцисс на отрезки ±Т9 ±2Т, ±ЗГ, ..., получим график
функции y=f(x).
Пример. Пусть функция /(*) имеет период 2 и на
полуотрезке [—1, 1) совпадает с функцией у=х. Тогда ее
график имеет вид, изображенный на рис. 63.
7. Исследование знака функции. На рис. 64 изображен
график некоторой функции. Мы видим, что в одних точках
этот график расположен выше оси абсцисс, а в других—
ниже. Когда мы движемся по оси абсцисс слева направо и
проходим через точку Му функция меняет знак с + па. —.
При этом график функции пересекает ось абсцисс. Меняет
знак функция и когда мы проходим через точку N. Однако
здесь график функции не пересекает ось абсцисс, а как бы
«перепрыгивает» через нее. Точки, в которых функция
делает «скачки», называют точками разрыва этой функции.
В них график функции «разрывается». Позже мы дадим
более точное определение точки разрыва функции. Мы
покажем также, что функция вида
__. а0хп + aixn'ml+ ... +ап
М^ + М"1-1 + ... + ьт
может иметь разрывы лишь в полюсах.
Итак, чтобы изучить, как меняется знак функции, надо
найти точки двух видов:
а) точки, где функция обращается в нуль (их называют
нулями функции);
б) точки разрыва функции.
165
Рис. 64
Эти точки разбивают числовую ось на участки, на
каждом из которых знак функции не меняется. Иными
словами, знак функции может (но не обязан) меняться лишь при
переходе через эти точки. Поэтому, чтобы найти знак
функции на каждом участке, надо гзтть на нем «пробную
точку» и посмотреть, каков знак функции в этой точке.
Такой же знак будет у функции и на всем участке.
Рассмотрим следующий пример.
Определить участки постоянства знака для функции
дг2+4дг—21
лг2+Злг—4
0)
Сначала найдем нули этой функции. Дробь обращается в
нуль лишь в случае, когда ее числитель равен нулю.
Поэтому, чтобы найти нули функции (1), надо решить
квадратное уравнение х2+4х—21=0. Решая его, получаем корни
*i = -7, х2 = 3.
Найдем теперь точки, где знаменатель выражения (1)
обращается в нуль, то есть корни квадратного уравнения
х2-\-Зх—4=0. Решая его, получим корни х3 = — 4, х4 = 1.
Мы нашли четыре точки: —7, —4, 1,3. Эти точки
разбивают числовую ось на пять промежутков:
(-°°, ~7), (-7, -4), (-4, 1), (1, 3), (3, +оо).
Чтобы найти знак функции на каждом из этих
промежутков, выберем на них «пробные точки». На промежутке
166
(—oo, —7) возьмем, например, точку х——10. В этой точке
значение функции равно 119/i26> то есть положительно.
Но тогда функция положительна и при всех значениях х,
принадлежащих этому промежутку. Точно так же
доказывается, что на промежутке (—7, —4) функция
отрицательна, на (—4, 1) —положительна, на (1, 3) — отрицательна и
на (3, + оо) — положительна.
Чтобы набросать график функции f(x), выясним еще, как
ведет себя эта функция в окрестности точек х = —4 и
х=\. Уравнение (1) можно записать в виде:
Ясно, что если х близко к значению х — —4, то
знаменатель дроби (2) очень мал, а потому абсолютное значение
этой дроби очень велико. При этом, чем ближе точка х
к —4, тем больше абсолютное значение дроби (2). Это
показывает, что при приближении точки х к —4 график
функции (2) все больше удаляется от оси абсцисс. При
этом на промежутке (—4, 1), где функция (2) положитель-
-7Х -4
„Jx+7)tx-3)
У \х+Щх-1)
Рис. 65
167
на, он неограниченно поднимается вверх, а на промежутке
(—7, —4), где эта функция отрицательна, он
неограниченно опускается вниз. При этом как справа от точки —4, так
и слева от этой точки график нашей функции
неограниченно приближается к вертикальной прямой х — —4.
Аналогично ведет себя график функции в окрестности
точки х=\. График изображен на рис. 65.
8. Возрастание и убывание функций. Рассмотрим
график, изображенный на рис. 66. Будем идти по оси Ох
слева направо. При этом на отрезке [а, Ь] ордината будет
увеличиваться, на отрезке [&, с\—уменьшаться, а на
отрезке [с, d]—снова увеличиваться. Участки, на которых
при движении по оси Ох слева направо ордината графика
функции увеличивается, называются участками
возрастания функции, а участки, где при этом движении ордината
уменьшается, — участками убывания функции. Иными
словами, на участках возрастания при увеличении аргумента
увеличивается значение функции, а на участках убывания
увеличение аргумента влечет за собой уменьшение
функции.
Более точная формулировка такова:
Определение. Функция y=f(x) называется
возрастающей на числовом множестве X1, если для любых двух
точек хг и х2 из X таких, что х1 < х2, выполняется
неравенство /(#i)<A*2)- Если же для любых двух точек хи х2 из
X таких, что х1 < х2, имеем /(xj > f(x2), то говорят, что
функция y=f(x) убывает на множестве X. Если функция
y=f(x) возрастает на X или если она убывает на X, то
говорят, что она монотонна на множестве X.
Если точка движется по оси все время слева направо, то ее
координата — монотонно возрастающая функция времени. Если же
она движется все время
^| справа налево, то ее
координата монотонно
убывает. Масса
радиоактивного вещества —
монотонно убывающая
функция времени.
Примером
возрастающей функции является
X может быть отрезком,
Рис. 66 промежутком, лучом и т. д.
168
у=хп при 0<;*< оо. В самом деле, если 0^хг< х2, то
0<*?< хпу Чтобы изучить поведение функции у=хп на
отрицательной полуоси, заметим, что при четном п эта функция четна, а
при нечетном — нечетна. Отсюда вытекает, что при четном
п функция у—хп убывает на отрицательной полуоси
— оо < л;<;0, а при нечетном п— возрастает. Итак:
На луяе (О, оо) функция у—хп возрастает. На луяе
(—оо, 0) она убывает, если п четно, и возрастает, если п
неяетно.
Иначе этот результат можно сформулировать так:
Функция у—хп при неяетно м п возрастает на всей
числовой оси, а при четном п возрастает на луяе (0, -\- со) и
убывает на луяе (— со, 0).
Функция же у=—— при нечетном п убывает на лучах
(—оо, 0) и (0, +оо), а при четном п возрастает на луче
(—оо, 0) и убывает на луче (0, +оо).
Графики функций у — {х—а)п и у— __ .п получаются из
\Х а)
графиков функций у=хп и у ——— сдвигом на а вдоль оси
абсцисс. Предоставляем читателю сформулировать
утверждения о возрастании и убывании этих функций.
Упражнения
86. Докажите, что если функции у=у(х) и у=Цх) возрастают на
множестве X, то функция y=<p(jc) + <\>(х) тоже возрастает на этом
множестве.
87. Докажите, что если функция y=<p(jc) возрастает намножестве X,
то функция у =—ф(лг) убывает на этом множестве.
88. Докажите, что если функция у—^(х) возрастает на множестве X
и сохраняет на этом множестве постоянный знак, то функция у= -
убывает на X.
89. Докажите, что если функции У=<${х)иу=<\>(х) возрастают на
множестве X и положительны на этом множестве, то их произведение
у=(^(х)Цх) возрастает на X.
90. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции
а) У=(-2)*+1; б) У=зЕС=Ь+Б:
169
т)у= * ; ж) у= *•-**+1S;
; у (л:2-6л:+8)2 ; У х2—8х+\7
д) 1 з) y=i46^+^2+7;
*2+4 ' и) y=3(jt-2)4-2(jt-2r45.
9. Максимумы и минимумы функции. Рассмотрим снова
график функции, изображенный на рис. 66. Мы видели, что
на некоторых участках эта функция возрастает, на
некоторых— убывает. В точке 6, где функция от возрастания
переходит к убыванию, ее значение является наибольшим по
сравнению с соседними значениями. Такие точки
называются точками максимума функции. В точке же с, где
функция от убывания переходит к возрастанию, ее значение
наименьшее по сравнению с соседними. Такие точки
называются точками минимума функции. Точки максимума и
минимума функции называются точками экстремума (от
латинского слова extremum — крайний).
Более точно эти определения формулируются так:
Определение. Точка а называется точкой
максимума для функции y=f(x), если у этой точки есть
окрестность {а—8, а+§), в которой определена функция y—f(x) и
для всех точек которой выполняется неравенство f(x)^f{a).
При этом f{x)—f(a), лишь если х—а.
Совершенно так же определяется точка минимума —
только вместо неравенства f(x)^Cf(a) должно выполняться
неравенство /(^)>/(а).
Из данного определения ясно, что свойство точки быть
точкой экстремума зависит лишь от поведения функции в
некоторой окрестности точки а. Такие свойства функции
называют локальными (от латинского слова locus — место).
На рис. 66 точка Ъ является точкой максимума
функции y—j{x)y хотя есть точки, где значение функции
больше, чем в точке Ь,— эти точки расположены «далеко» от
точки Ь. Наглядно можно представить себе это так:
вершина горы является точкой, где высота достигает
локально максимального значения, хотя в том же
горном хребте могут быть горы большей высоты.
Ясно, что если в некоторой окрестности точки а слева
от этой точки функция у — ^(х) возрастает, а справа от нее
убывает, то а — точка максимума для ср(л:; (рис. 67, а).
Точно также, если слева от точки а функция y=z(x) убывает,
а справа от нее возрастает, то а —точка минимума для
170
<?(х) (рис. 67, б).
Например, точка л;=0 является
точкой минимума для функции у —
= х2п—мы знаем, что эта функция
возрастает при л > 0 и убывает при
*<0.
Упражнение 91. Найдите точки
экстремума для функций:
а) у=х2—4х+5; в) у=(х—4)6;
J . г) у = -(*+3)4.
б)у=.
jc2_4jc+5
2л;2 ,-3
х2+1
10. Предел функции при лг->оо.
Существенным пунктом в
исследовании функций является вопрос об
их поведении при безграничном
увеличении \х\ (мы говорим о |лг|,
так как х может удаляться по оси
абсцисс как влево, так и вправо).
Рассмотрим, например, функцию у —
Ее можно записать в следующем виде:
У = 2+- 1
Л-2+1
1
Ясно, что при увеличении |л'| знаменатель дроби 2 ^—
возрастает и потому значения этой дроби становятся сколь
угодно малыми по абсолютной величине. Поэтому при боль-
2х2+3
ших значениях |jc| значения функции у — — -$—\— очень ма-
X -j- 1
ло отличаются от числа 2. Говорят, что эта функция
стремится к 2, когда х-> оо, и пишут:
2х2+3
Вообще, запись
lim
Х-* ос
ДГ2+1
lim f{x) = Ъ
= 2.
означает следующее:
Для любого е>0 найдется такое N, что при
выполняется неравенство
\т-ъ\<г
x\>N
171
(отклонение функции f(x) от числа Ь становится меньше е,
если |*| >Л0.
Если lim f{x) = b, то говорят, что число Ъ является пре~
ДГ-оо
делом функции у=/(#) при х-+ оо.
Может случиться, что поведение функции f(x) различно
при удалении х влево и вправо.
Возьмем, например, функцию у=. ' х ~*~ , х^=0. Так как У хг = | х \
(мы понимаем здесь корень в смысле арифметического значения), то
Но
1л: | Г 1, если jc > О,
х \ —1, если х < 0.
При увеличении \х\ дробь —~ приближается к нулю и потому
V
X'
1+—-. приближается к 1. Отсюда ясно, что когда \х\
увеличивали
ется, причем х остается положительным, то у стремится к значению 1,
€сли же | х | увеличивается, но х отрицательно (то есть точка х
удаляется влево по числовой оси), то у стремится к —1. Мы пишем тогда
Um £Z±L = -i, i,m £Z±L = i
X-^ — oo X ^-^.foo X
V X2+\
и говорим, что предел функции—I !— при х ->—оо равен —1, а при
jc-> +oo равен 1.
В общем виде понятие предела f(x) при яг-^ + оо
формулируется так:
Число Ъ является пределом функции f(x) при *-> + °°»
если для любого е>0 найдется такое N, что при x>N
выполняется неравенство \ f{x) — Ъ | < е.
Точно так же определяется, что значит фраза «число Ъ
является пределом f(x), когда х->—оо».
Очевидна аналогия между понятиями «предел функции f(x) при
jc-»-+ooi и «предел последовательности {ап} при /г-*оо». Различие
состоит лишь в том, что для последовательности неравенство | ап—Ь \ < t
172
выполняется для целых значений я,
больших или равных N, а для
функции неравенство \f{x)— b\ < e
выполняется при всех значениях х,
больших или равных N. Эта аналогия
связана с тем, что последовательность
можно рассматривать как частный
случай функции, а именно как
функцию, заданную на множестве
натуральных чисел.
Пользуясь указанной аналогией,
легко сформулировать свойства
предела функции при jc->-+oo,
руководствуясь установленными выше
свойствами предела последовательности
при л-*оо. Доказательства этих
свойств проводятся точно так же,
как и в случае последовательностей.
Отметим еще аналог понятия
бесконечно большой
последовательности. Мы будем говорить, что lim f(x)=
Х-+ оо
= oof если для любого М>0 найдется
такое N, что из неравенства \х\> N
вытекает неравенство \f(x)\ > М.
Например,
lim х2 = оо,
ЛГ-00
поскольку при |*|>М>1 имеем
х2 > М% > М.
Если lim/(х) = оо, то говорят, что
Х-*- оо
функция f(x) бесконечно велика при
Х-+СО. Мы предоставляем читателю
определить смысл обозначений:
lim f(x) = -\-oo;
*-►-{-оо
lim f(x) = +oo;
Х-*- — оо
lim \(х) = —-оо;
Л"->со
lim f(x) = —оо.
Х+-00
(Соответствующие графики
изображены на рис. 68, а, <5, в, г).
Методы вычисления
пределов функций при *->оо очень
напоминают методы вычисления
пределов последовательностей.
По аналогии с результатами
п. 8 § 2 гл. II имеем:
п
0
У' х
f(x)- +oo при Х-+оо
а
f(x)- -оо при х-+оо
6
f(x)-+oonpux--oo
tf,
/ °
1
X
f(x) -'- оо при Х- - ОС
г
Рис, 68
173
Пусть
алгебраическая дробь. Тогда при т—п имеем:
Цт "о*™ + " + ат = _£о_
Х^Л МОТ + ... -г Ьт Ьа
Если п <т, то этот предел равен нулю, а если пут,
то дробь стремится к бесконечности.
Например,
У 4х*—Злг+1 __ 4 _ 1
Vm 8хЗ+6дг2 + дг—5 ~ 8 ~ 2 ;
lim -тг-т г-г- = 0;
Jf-»- оо '
hm-
ЛГ-
2дг2Н-бд:-М5
Упражнения
92. Вычислить пределы следующих функций:
о\ ит 8jc7—бдг+1 . . ,. 5х3—4дг+2 .
а) lim ! в) lim !
дг->оо 12л:7—2дг6+лг2+5 х+ос **+.*+1
б) l,m в*'+*г--*+1 г) Ит Г х* _ _2*_i
V*oo 4*»+8*-l лг+оЛ 2х2+1 4JC-1 J
93. Вычислить с точностью до 0,00001 значения функции
2*3—6дг+1
У 4дг3 + 5д:2~3
при * = 2 653 872, дг=40 712 435.
11. Горизонтальные и наклонные асимптоты.
Горизонтальная или наклонная прямая называется асимптотой графика
функции y=f(x) при д--> + оо, если при *-> + oo расстояние
от точки графика до асимптоты стремится к нулю.
Аналогично определяют асимптоту при х-> — оо. Знание асимптот
облегчает построение графика, так как кривая при больших
значениях х «почти сливается» с асимптотой.
Проще всего искать горизонтальные асимптоты. Эта
задача по сути дела равносильна отысканию предела функции
при х-*±оо. В самом деле, пусть у=Ь— уравнение
горизонтальной асимптоты при х-^ + оо для кривой y—f(x). По
определению асимптоты это означает, что при я-^ + оо
расстояние от точки кривой до точки прямой у=Ь стремится
474
к нулю. Но это расстояние есть не что иное, как \f(x) — b\,
а |/(л;) — Ь\ стремится к нулю тогда и только тогда, когда
f(x) стремится к Ь. Итак, горизонтальная асимптота имеет
уравнение у=Ь, где b-limf(x). Точно так же ищут асимп-
ТОТу ПРИ Х-> — со.
Например, найдем горизонтальную асимптоту графика
функции
Зх»+2*+4
У —"
Так как
ЛГ2 + 6ЛГ— 1
1# Зл:2+2д:+4
з,
то уравнение асимптоты имеет вид у~Ъ.
В данном случае график имеет одну и ту же асимптоту
и при л--> + схэ и х-^ — оо (поэтому мы и писали просто
Х-^оо).
Функция у =
имеет различные асимптоты при
У х2+\
х->-\-аэ и при х-+ — оо. Мы видели (см. стр. 171), что
JC 11. X
lim-
= l, lim
1.
Поэтому при х-> + оо асимптотой является прямая y=l, a
при х->—оо — прямая у — — 1. График функции у=
изображен на рис. 69.
К"
Рис. 69
175
График функции может
располагаться относительно
горизонтальной асимптоты
по-разному. На рис. 70, а
изображен график функции,
приближающийся к своей
асимптоте сверху, а на рис.
70, tf—снизу. График
функции может пересекаться с
асимптотой, причем
множество точек пересечения может
быть и бесконечным. На рис.
70, в изображен график
отклонения от положения
равновесия маятника,
совершающего затухающие колебания.
Мы видим, что эти
отклонения стремятся к нулю,
когда /->+°°, причем график
функции бесконечно много
раз пересекает ось абсцисс
(маятник бесконечно много
раз проходит через
положение равновесия).
Покажем теперь, как искать
наклонные асимптоты для
графиков
дробно-рациональных функций. Рассмотрим
следующий пример:
„„ лг3+Злг2+2л:-1
у *«+*—1 u;
Разделим с остатком
числитель на знаменатель. Мы
получим, что
х*+3х2+2х— 1 =
= (jc2+^_l)(jc+2)-bJtr-hl
и потому
у=х+2+ f+* .
х2-\-х— 1
JC-+-1
Ясно, что lim '—-- = 0. Поэтому график функции (1) при больших
лг->оо Х2-\-Х— 1
значениях л: почти сливается с прямой линией у=х-\-2. Эта линия и
является наклонной асимптотой для нашего графика.
Вообще, если степень числителя рациональной функции на 1 больше
степени знаменателя, график этой функции имеет наклонную
асимптоту. Чтобы найти эту асимптоту, надо выделить из дроби целую часть»
Эта целая часть окажется многочленом первой степени kx+b.
Уравнение y=kx+b и является уравнением наклонной асимптоты.
В полных курсах математического анализа излагается способ
отыскания наклонных асимптот для графиков более сложных функций»
Опишем (без вывода) этот способ.
Чтобы найти наклонную асимптоту для функции у=[(х) прилг-^ + оо,
сначала ищут предел
jfe = lim Kx) . (2)
ДГ^+оо X
Если этот предел существует, то потом находят предел
Ь = lim UM — kx]. /3>
В случае, когда существуют оба предела (2) и (3), график функции
y=f{x) имеет наклонную асимптоту при jc-+ + oo# и ее уравнение имеет
вид y=kx-\-b. Точно так же ищется наклонная асимптота при х-*-—<*>.
Предоставляем читателю проверить, что для функции (1) общий
метод приводит к тому же результату, что и метод выделения целой
части.
Упражпен ия
94. Найдите горизонтальные асимптоты трафиков функций и
исследуйте расположение графиков относительно асимптот:
а) у = **+* ; в) у= 2*8+4 ;
л-2+8 ' J х*+2х*+2
95. Найдите наклонные асимптоты графиков функций:
х*+4 ' J лга+4
б) у= _ ;
96. Вычислите с точностью до 0,00001 значение функции
*j+a*+i
У *2+4
при jc=2 375 891.
97. Придумайте примеры функций (в каждом случае напишите
аналитическое выражение и постройте график):
12 Заказ 2541 177
а) с заданными вертикальными асимптотами х=а, х=Ь и х=с;
б) с заданными горизонтальными асимптотами y=d и у=е;
в) с заданной наклонной асимптотой y=kx-\-m\
г) с различными комбинациями асимптот видов, упомянутых в пп.
а) —в).
12. Общая схема исследования функции. Дадим теперь
общую схему исследования функции:
1) Найти область определения функции и ее полюсы.
2) Исследовать функцию на симметрию, выяснив, не
является ли она четной или нечетной. Исследовать функцию
на периодичность.
3) Найти значение /(0), то есть точку пересечения
графика с осью ординат.
4) Найти нули функции и участки постоянства знака.
5) Исследовать поведение функции в окрестности точек
разрыва.
6) Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
7) Исследовать функцию на возрастание и убывание.
8) Найти экстремальные значения функции.
(Общие методы исследования функции на возрастание и
убывание и отыскивания экстремумов будут изложены в
дифференциальном исчислении.)
После исследования функции по этой схеме можно
чертить ее график. В случае, когда некоторые участки
графика кажутся сомнительными, надо взять несколько
дополнительных точек.
В случае, когда функция имеет горизонтальную или
наклонную асимптоты, полезно найти точки пересечения
графика функции с асимптотами. Для этого надо решить
уравнение f(x)=kx-\-b, где y = kx+b — уравнение асимптоты.
X2
Пример. Построим график функции у=—2_4 .
Применяя указанную выше схему, находим:
1) Областью определения функции является вся
числовая ось, за исключением точек х = —2, х=2, где функция
имеет полюсы.
2) Так как
(-Х)* = X2
(— х)2—4 х2—4'
то функция — четная: ее график симметричен относительно
оси ординат.
3) /(0) = 0, значит, график проходит через начало
координат.
178
4) Функция 2 4 обращается в нуль в единственной
точке х=0. Так как ее полюсами являются точки х= —2 и
#=2, то участки постоянства знака на полуоси [0, оо)
таковы: [0,2] и [2, +<х>). Методом пробных точек
устанавливаем, что при 0<*<2 наша функция отрицательна, а при
х > 2 — положительна.
5) Когда х приближается к полюсу х = 2, значение f(x)
неограниченно всзрастает. Так как на промежутке [0,2]
функция отрицательна, то при приближении к точке 2
слева значение у стремится к — оо. Если же х приближается
к 2 справа, то у стремится к +°°-
6) Так как
lim *2 = 1
то горизонтальной асимптотой является прямая х=\.
Поскольку график не может одновременно приближаться (в
одном и том же направлении) к горизонтальной и
наклонной прямой, то наклонных асимптот нет.
7) Наконец, докажем, что на промежутках (0,2) и (2, оо)
функция f(x) монотонно убывает. Для этого запишем ее в
виде
*2 = 1 + -i-
1 Г ,.2 А '
х*—4
Если х всзрастает от 0 до 2, то х2—4 монотонно возрастает
от —4 до 0, а тогда 2 , монотонно убывает от 0 до —оо.
Если же х > 2, то при возрастании х выражение х2—4
положительно и возрастает, а потому 1+ а, убывает.
Проведенное исследование позволяет нарисовать гра-
фик функции у= 2 4 при х > 0 (рис. 71). График при *<0
получается путем отражения от оси ординат.
Упражнение 98. Построить графики функций:
у2 1 у2 _Q
4+*2' л2-4х+3 ' ' х2 + 9 '
б) У=-5^-т; я)у=—^V: ж> У= *\+1 ■
9—х2 х~Л х2—9
12* 179
Рис. 71
§ 3. Непрерывные функции
Мы уже пользовались наглядным представлением о
непрерывности функции и точках разрыва. В этом параграфе
будет дано точное определение понятия непрерывности и
рассмотрены некоторые свойства непрерывных функций.
1. Задача о площади квадрата. Как известно, площадь
квадрата выражается через его сторону по формуле S=a2.
Поэтому, чтобы найти S, достаточно измерить сторону
квадрата и возвести полученное число во вторую степень.
Однако измерения всегда имеют некоторую погрешность.
Поэтому полученное при измерении число х не совпадает
в точности со стороной квадрата, а отличается от нее на
некоторое число. Чем точнее мы измерим сторону, тем
точнее получим значение площади.
Например, пусть а=3 см, и потому S = 9 кв. см. Если
сторона измерена с точностью до 0,1 см, то получится
число х, лежащее в границах 2,9<л:<3,1. Возводя все члены
этого неравенства в квадрат, получим для S границы
2,92<S<3,12, или 8,41<5<9,61 (кв. см). Отсюда видно, что
180
вычисленное значение площади отличается от истинного
не более, чем на 0,61 кв. см.
Измерим сторону квадрата точнее, сделав ошибку не
более, чем 0,001 см. Тогда 2,999<л;<3,001 и потому
2,9992<*2<3,0012, то есть 8,994001 <S<9,006001. Теперь уже
погрешность измерения площади не превышает 0,006001 кв.см.
Ясно, что площадь квадрата можно измерить сколь
угодно точно — надо лишь с достаточной степенью
точности измерить его сторону.
2. Понятие непрерывной функции. Положение дел, с
которым мы столкнулись при отыскании площади квадрата,
возникает очень часто. Во многих случаях надо найти
значение некоторой величины у, которую нельзя измерить
непосредственно. В этом случае прибегают к косвенным
измерениям. Измеряют другую величину х, функцией от
которой является yt y=f(x). Если величина х равна а, то
значение у равно f(a). Однако, поскольку измерение имеет
некоторую погрешность, мы получаем на самом деле не
значение а, а другое, более или менее близкое к нему
значение х. Во многих случаях у так зависит от х, что при
малом изменении х число у мало меняется. Поэтому если
а достаточно хорошо измерено, то есть х близко к а, то
f(x) достаточно близко к /(а).
Если величины х и у=}{х) связаны друг с другом так,
что малое изменение х влечет за собой малое изменение у,
говорят, что у непрерывно зависит от х, или что функция
y=f(x) непрерывна.
Данное сейчас «определение» непрерывности является
неточным, описательным. Мы уже отмечали, что слова
«малое изменение» не имеют точного математического
смысла. Например, изменение радиуса Земли на 1 см очень
мало, а изменение радиуса биллиардного шара на 1 см
весьма велико. Точное определение понятия непрерывности
будет дано ниже.
Заметим, что зависимость одной величины от другой может быть
непрерывной при одних значениях х и разрывной при других.
Рассмотрим следующий пример. Объем одного килограмма воды зависит
от ее температуры t°. Если температура воды лежит между 0° и 100°С,
то при малом изменении температуры объем меняется мало, Иначе
обстоит дело, если температура воды равна 0°. Здесь при самом
небольшом понижении температуры вода замерзнет, превратится в лед, *
известно, что объем 1 кг льда при 0° значительно больше, чем объем
1 кг воды при той же температуре. Значит, при 0°С зависимость
объема от ее температуры не является непрерывной, функция V=f(t°)
имеет при 0°С разрыв.
181
3. Точное определение непрерывности. Перейдем теперь
к выяснению смысла фразы «функция y=f{x) непрерывна
при х=а».
Если речь идет о косвенном измерении у путем
измерения величины х, то слова «при малом изменении х
величина у мало меняется" означают „при малой ошибке в
измерении х погрешность значения у мала». Точнее говоря,
погрешность значения у можно сделать сколь угодно малой,
если достаточно точно измерить значение х.
Величина погрешности измерения оценивается
наибольшей допустимой ошибкой, или, как говорят, точностью
измерения. Если величина а измерена с точностью 8, то это
означает, что полученное значение х отличается от точного
значения а не более, чем на 8, то есть что \х—а|<8. Мы
пишем \х—а\у а не х—а, так как не знаем, в какую сторону
сделана ошибка — получилось ли значение х, большее, чем
а, или меньшее, чем а. Разумеется, точность измерения 8
всегда положительна, 8 > 0.
Слова «погрешность измерения y = f(x) может быть
сделана сколь угодно малой» означают следующее. Какая бы
точность е > 0 ни была задана, всегда можно добиться того,
чтобы | f(x) — f(a) | < г. Добиться такой точности можно,
достаточно точно измерив значение а, то есть выбрав х
достаточно близким к а. Точность этого измерения задается
некоторым числом 8 > 0, и надо измерить х так, чтобы
выполнялось неравенство \х—а|<8.
Итак, слова «при достаточно малой ошибке в измерении х
погрешность значения у сколь угодно мала» означают
следующее. Какое бы положительное число е>0 (допустимая
погрешность для у) ни было задано, найдется такое число
8 > 0 (допустимая погрешность для х), что если х измерено
с точностью 8, то у получится с предписанной точностью е.
А теперь вернемся к «чистой математике» и введем
следующее определение.
Определение. Функцию y=f(x) называют
непрерывной в точке я, если
1) она определена в точке а;
2) для любого г > 0 найдется такое 8 > 0, что из
неравенства \х—а|<8 вытекает неравенство |/(*) — f(a) | < г1.
Поясним это определение геометрически. Возьмем гра-
1 При этом, разумеется, берутся лишь числа х из области
определения функции {(х).
182
Рис. 72
фик функции y = f(x) и
выберем на нем точку N (а, /(а).
Спроектируем эту точку на
оси координат и выберем е-ок-
рестность точки /(а) (на оси
Оу). Если функция y=f(x)
непрерывна в точке а, то
уточки а на оси Ох найдется 8-ок-
рестность, обладающая
следующим свойством: какую бы
точку х в этой о-окрестности
мы ни взяли,
соответствующая ей точка на оси Оу
находится в выбранной г-окрес-
тности точки f(a) (рис. 72).
Совершенно так же
определяется понятие непрерывности для функции двух
переменных.
Определение. Функция z = f(x, у) называется
непрерывной в точке Af(a, b), если она определена в этой точке
и если для любого £ > О найдется такое 8 > 0, что из
неравенств \х — а|<8, \у — 6|<8 вытекает неравенство
\f(x, y)-f(ay 6) |< е.
Неравенства | х—а | < о, | у— Ь | < 8 задают на плоскости
квадрат с центром в точке М(а, Ь) и со стороной 28 (рис. 73).
Во всех точках этого квадрата значение функции /(*, у)
отличается от ее значения в точке М(а, Ь) меньше, чем на г.
4. Приращение функции. При выяснении вопроса о
непрерывности той или иной функции удобно пользоваться
понятием приращения функции. Оно определяется так.
Пусть функция у =-/(*) задана
на некотором числовом
множестве (отрезке, промежутке,
луче и т. д.). Возьмем два
значения аргумента xL и х2 из
этого множества и
соответствующие им значения
функции f(xl) и f(x2). Разность
f(xi) — f(x2) показывает, на
сколько значение функции в
точке хг больше значения
функции в точке хх. Эту раз- Рис. 73
ч
0
26
1
М(а,Ь)
О
26
X
183
X
a
Рис. 74
ность называют приращением функции y = f(x) при переходе
от точки хх к точке х2 и обозначают Ау. Разность же хг—хх
значений аргумента называют приращением аргумента и
обозначают Ах.
Итак,
Дх = #2 — хи
Следует иметь в виду, что приращение аргумента и
приращение функции могут принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Например, если Д#<0, а
соответствующее значение Ау > 0, то это означает, что значение
аргумента уменьшилось, а соответствующее значение
функции увеличилось (рис. 74, б). На рис. 74, а изображен^
другая комбинация знаков Ах и Ау.
В дальнейшем, как правило, мы будем считать исходное
значение аргумента фиксированным и обозначать его х.
Тогда окончательное значение аргумента равно сумме х и
приращения Ах: х2=х-\-Ах. Поэтому приращение функции
имеет вид
Ay=f(x+Ax)-f(x). (1)
Обращаем внимание читателя на то, что Ау зависит не
только от приращения аргумента Ах, но и от исходного
значения аргумента х. Рассмотрим следующий пример. Если
у=х* и д=3, Д*=0,1, то *+Д*=3,1 и
Если же л;=4 и Д*=0,1, то *-|-Д*=4,1 и
д*/=3,12—32=0,61.
Д*/=4,12-42=0,81.
184
В случае, когда x=f(t)— координата прямолинейно
движущейся точки в момент времени t, причем точка движется
все время слева направо, Ах имеет простой физический
смысл. Это — путь, пройденный точкой с момента t до
t+M.
Упражнения
99. Для функции у=х*:
а) найти Ау, если х=э, Алг=0,1;
б) найти Ау, если х=5, Дх=0,01;
в) найти Ду, если х = \0, Дх=0,1.
100. Доказать, что приращение Ау линейной функции y=kx-\~b
пропорционально Ах.
101. Доказать, что если ^y пропорционально Ах, то функция y=f(x)
линейна.
102. Значения функции у = f(x) частично известны: /(0) = —1,
f(—7) = 13, f(3)=7, /(—9)=16. Может ли эта функция быть линейной?
103. Найти приращение Ау для квадратичной функции
у = ах2+ Ьх + с.
104. Обозначим через Q(t) количество тепла, необходимое для
нагревания некоторого тела от 0° до t° С. Каков физический
смысл ДО?
105. Обозначим через <р(/) угол, на который повернулось
вращающееся тело через t секунд после начала вращения. Каков физический
смысл Дф?.
106. Обозначим через S(x) площадь, заключенную между осями Ох,
Оу, кривой y=f(x) и прямой MN (рис. 75). В чем геометрический смысл
Ау?
107. Обозначим через 5(дг) площадь квадрата со стороной х. Каков
геометрический смысл формулы1
AS = 2*Д* + Д*2 ?
5. Доказательство непрерывности некоторых функций.
Сформулируем вновь определение непрерывности функции,
используя понятие
приращения функции.
Вместо точек а и х возьмем
точки х и х+Ах. Тогда
х—а заменится на А*, а
f(x) — f(a) на Ау. Мы
получим следующее
определение:
1 Через Ах2 обозначают
квадрат приращения Д.г, а
через Д(*2) — приращение
функции у=х2.
Рис. 75
185
Определение. Функция y=f(x), определенная в точке
а, называется непрерывной в этой точке, если для любого
£>0 найдется такое 8 > 0, что из|Дх|<о вытекает |Ду|<е.
Покажем, как, применяя это определение, доказать
непрерывность функций у=С и у=х. Для функции у=С
непрерывность вытекает из того, что f(x) = Cy f(x+bx) = C, a
потому Ау=0. Но неравенство 0 = |Д*/|<£ выполняется для
всех значений Ах и всех положительных е.
Для функции у=х мы имеем Ау^Ах. Поэтому
достаточно для любого е>0 положить 8 = е. Тогда при |Д*|<8
имеем и |Дг/|<В=з. Итак, функции у=С и у=х
непрерывны при всех значениях х.
Далее, рассмотрим функцию у= Наглядно очевидно, что при
х
малом изменении х=£0 значение — мало меняется (хотя, например, если
х
^=0,001, то при уменьшении х на 0,0005 значение — меняется с 1000
х
па 2000; однако если мы изменим значение х только на 0,000001, то
значение— изменится с 1000 до 1001 , а если х изменится на
х 999
0,000000001, то JL изменится с 1000 до 1000—100° , то есть при-
х 999999 ' 1
мерно па 0,001).
Чтобы строго доказать непрерывность функции у==— при х=£0,
X
возьмем любое £ > 0 и найдем такое Ь, что при | Дл: | < 5 выполняется
неравенство | Ду | < е. Имеем:
\Ау\ =
1 _ 1 | _ | Д* |
Х+Ах X \ \Х\ \х + Ах\
Выберем Д.* так, чтобы выполнялись неравенства:
а) | Дх | < Ш и б) \Ьх\<-Ц— Тогда мы имеем:
х+Ах\>\х\ - I A.v | >|*|- J*J
и потому
гх2
\1У\ = 1Д£] < 1**1 < _2_
1 У] \х\- | дг+Дх | ■ , 1*1 Ч х*
11 |Т| ~2"
186
Значит, функция у=—-- непрерывна во всех точках, кроме точки х=0
в этой точке она не определена).
(
У п р а ж и ения
108. Найдите такое Ь > 0, что из неравенства | а:-—3 | < о вытекает:
а) неравенство | х2—9 | < 10;
б) неравенство | jc2— 91 < 1;
в) неравенство | х2— 9 | < 0,0001.
109. Найдите такое S > 0, что из неравенства | х—2 | < о вытекает
неравенство — — < 0,01.
110. Найдите такое 5 > 0, что из неравенства | х—а\ < о вытекает
неравенство | х2—а2 | < 0,01. Рассмотрите значения а=0, 1, о, 100.
111. Докажите, что функция у=х2 непрерывна при всех значениях х.
112. Завод выпускает кубики со стороной 2 см. С какой точностью
надо изготовлять эти кубики, если погрешность объема не должна быть
больше, чем 0,1 см3?
ИЗ. Найдите значение о для функции у= , если:
х
а) аг = 10, £=0,01; в) х-0,01, £=0,01;
б) * = 1, е=0,01; г) * = 0,0001, е = 0,01.
114. Бегун пробегает 1 км приблизительно за 2,5 мин. С какой
точностью надо измерить время пробега, чтобы найти скорость бегуна
с точностью до 0,001 км/мин?
115. Пусть функция y=f(x) непрерывна па всей прямой. Доказать
непрерывность функций:
a) y=\f(x)\;
= ( /(*), если f(x) > 0,
У \ х[(х), если f(x) < 0;
I—k, если f(x) < k,
f(x), если | f(x) \ < k,
k, если f(x) > k.
116*. Докажите, что функция /(п)=/г! непрерывна при любом
натуральном п. Покажите, что это же утверждение верно для любой
функции натурального аргумента (последовательности).
117. Пусть функции у—[(х), у=у(х) непрерывны па всей прямой.
Доказать, что функции у=тах [ f(x), ф(лг> ] и y = min [/(*), 9(*) 1
непрерывны.
118. Что будет, если в определении непрерывности отбросить
требование £ > 0? Какие функции окажутся непрерывными по этому
определению?
119. Аналогичный вопрос для требования о > 0.
120. Пусть для каждого достаточно малого о > 0 существует такое
г > 0, что если \х—х0\ < В, то выполняется | f(x) — f(x0) \ < s. Означает
ли это свойство непрерывность функции y=f(x) в точке х0?
187
121. Для любого е>0 найдется такое 5>0, что из неравенства
| х—Xq | < Ь вытекает | {(х) — /(*о) | < е. Означает ли это свойство
непрерывность функции f(x) в точке х0?
122. Для любого 5>0 существует такое е>0, что из неравенства
|/(*) — /(*о)1 < е следует | х—х0 \ < Ъ. Означает ли это непрерывность
функции f{x) в точке х0?
6. Непрерывность суммы и произведения. Сумма х-\-у
является функцией от слагаемых: z = x-\~y. Наглядно ясно,
что при малом изменении слагаемых сумма мало меняется,
то есть что функция z=x+y непрерывна при любых х и у.
Докажем строго это утверждение.
Теорема 1. Функция z = x-\-y непрерывна при всех
значениях х и у.
Доказательство. Выберем любую точку М(х, у) и зададим
е>0. Если | Ах\ <-!-, |A;y|<JL, то
| А* | = | (*+Д *+У + Ау) - (х+у) | = | Ах+Ьу | < 1 А* | +
+ 1Д,|<^ + _±_==е.
А это и означает, что функция z=x+y непрерывна в точке М.
Произведение z^xy также является функцией от
сомножителей х и у. Ясно, что оно мало изменится при малом
изменении сомножителей, то есть что функция z±=xy
непрерывна при всех х и у.
Докажем строго это утверждение.
Теорема 2. Функция z=xy непрерывна при всех
значениях х и у.
Доказательство. Выберем любую точку М(х, у) и зададим
е>0. Пусть | Д* | < й и | Ay | < 5. Тогда
| Дг | = | (х+Ах)(у+Ау) — ху | = | xby+уЬх+ЬхЬу | < | хАу | + | у Ах | +
+ I АхАу | = | х | . | Ау | + | у | - | Д* | + | Ах | • | Ay \< \x | Ь +
+ \у\Ъ + Ъ* = Ъ(\х\ + \у\ + Ъ).
Итак, при I Дх 1 < Ь, | Ау | < й имеем:
\Аг\<Ъ(\х\.+ \у\ + Ъ).
Ясно, что если 5 < 1 и Ь<-—,—t—, , ., то
М + Ш+1
\te\<4\x\ + \y\ + l)< jjc| + |y| + 1 -(М1 + 1у1 + 1) = в.
Значит, функция z=xy непрерывна в точке М.
188
Упражнение 123. Найдите значение В для функции z=xy, если:
а) х=2, у=5, е=0,01; в) х= — 2, t/=5, e=0,01.
б) х = 2, у=Ь, £=100;
7. Непрерывность сложной функции. Многие функции
получаются путем образования сложной функции из более
простых. Мы покажем сейчас, что из непрерывности
составляющих функций вытекает непрерывность сложной
функции. Это утверждение почти очевидно. Ведь если х мало
меняется при малом изменении t, а у мало меняется при
малом изменении х, то при малом изменении t изменение у
также мало.
Строго это утверждение формулируется и доказывается
так.
Теорема 1. Пусть функция x=y(t) непрерывна в точке
t=a и функция y=f(x) непрерывна в точке & = ср(а). Тогда
сложная функция h=f[<f(t)] непрерывна в точке t = a.
Доказательство. Зададим е>0. Так как функция у=}(х)
непрерывна в точке Ь, то найдется такое т]>0, что из \х—Ь\ < г\ вытекает
\f(x) — /(6)| < е. Далее, функция x=<$(t) непрерывна в точке а. Поэтому
найдется такое Ь>0, что из неравенства \t—а\<Ь вытекает | <р(/) —
— ф(а)| < т]. Поскольку Ь = <f(a), x=y(t), то при \t—а\<Ь имеем
I х—b | < if], а потому
\f(x)-f(b)\=\f№]-f[<?(a)]\<e.
Это и значит, что функция y=f[f(t)] непрерывна.в точке а.
Рассмотрим теперь сложные функции в случае
нескольких переменных.
Пусть г=/(х, у) — некоторая функция от х и у, а х и у в
свою очередь зависят от t. Тогда z является сложной
функцией от t. Например, объем металлического
параллелепипеда зависит от его измерений х, у, z. При нагревании
измерения параллелепипеда меняются и являются' функциями
от температуры. Значит, объем параллелепипеда является
сложной функцией от температуры, а его измерения —
промежуточными аргументами.
Теорема о непрерывности сложной функции в случае
нескольких переменных формулируется так.
Теорема 2. Пусть функции x=y(t) и y=ty(t) непрерывны
в точке t=a, а функция z = f[X, у) непрерывна в точке
М(Ь, с), где &=ср(а;, с = ф(а). Тогда сложная функция
z = F(t)=f[y(t), ty(t)] непрерывна при t = a.
Эта теорема доказывается точно так же, как и теорема 1: сначала
по заданному е > 0 находят такое ч\>0, что из неравенств | х—Ъ \ < riy
189
\y—c\<yl вытекает \f(x, у) —f(b, c)\ < г. После этого берут такое
с, > 0, что из \t—a]<oi вытекает неравенство \х—Ь\<^, и такое
32 > 0, что из \t—а\ < Ь2 вытекает | у—с\ < тг Обозначим через 5
меньшее из чисел Ьх и Ь2. Тогда при | /—а | < о имеем \j(x, y) — f(b, с) | < е.
8. Арифметические операции над непрерывными
функциями. Мы уже знаем, что функции z = x-\-y, z^xy, z=—
от переменных х и у непрерывны (последняя из них — при
условии, что уфО). В силу теоремы о непрерывности
сложной функции получаем отсюда следующие выводы.
Теорема 1. Пусть функции у(х) и ф(*) непрерывны в
точке х=а. Тогда их сумма <?(*)+Ф(*) непрерывна в той же
точке.
В самом деле, функцию <р(*)+ФМ можно рассматривать
как сложную функцию y=u-\-v, где и = о(х), и = ф(дс). Так
как функции и+v, ср(дг), ty(x) непрерывны, то непрерывна и
функция <р(*)+Ф(*)-
Точно так же доказываются:
Теорема 2. Пусть функции у(х) и <Ь(х) непрерывны в
точке а. Тогда их произведение у(х}\>(х) непрерывно в той же
точке.
Теорема 3. Пусть функция <Ь(х) непрерывна в точке а,
причем $(а)фО. Тогда функция -гт-г- непрерывна при х=а.
Из теорем 2 и 3 вытекает
Следствие. Если функции cp(.v) и ф(*) непрерывны в точке
х=а, причем $(а)Ф0, то функция у= у*\ непрерывна в
rf\X)
точке а.
Пользуясь теоремами 1, 2, 3, легко установить
непрерывность целой рациональной функции. В самом деле, целая
рациональная функция получается из функций вида у=С и
у=х с помощью сложения и умножения. Но функции у=С
и у=х непрерывны при всех значениях х. Значит, и целая
рациональная функция
У^а0хп+ ... + ап
непрерывна при всех значениях х.
Далее, рассмотрим рациональную функцию
Как мы только что доказали, числитель
и(х) = а0хп + а^хп-Л + ... -f ал
190
и знаменатель
v(x)^b0x^+b1x^ + ... +6m
этой функции непрерывны
при всех значениях х.
Поэтому, в силу следствия к
теореме 3, рациональная функ- Рис. 76
ция f(x) непрерывна при всех
значениях х, для которых знаменатель отличен от нуля.
Упражнения
124. Пусть *=3,22±0.01, у=9,63±0,01.
С какой точностью мы знаем значения:
а) х2->2;
б) 3*+6у;
b)JL
Д) х3 + у3;
е)
,v3-f у3 .
Ж)
з)
2х+3у'
1
у-Зх
125. Сторона куба приблизительно равна 4,5 см. С какой точностью
надо ее измерить, чтобы найти объем куба с точностью до 0,01 см3?
С какой точностью надо измерить сторону того же куба, чтобы
найти его полную поверхность с точностью до 0,01 см2?
126. Скорость автомобиля приблизительно равна 60 км/ч. С какой
точностью надо измерить время, в течение которого автомобиль
пройдет расстояние 10 км, чтобы найти его скорость с точностью до
0,01 км/ч? Решите ту же задачу для расстояния в 1 км; в 100 м\ в 10 м\
в 1 м.
9. Теорема о промежуточном значении. Обычно мы
называем непрерывной линию, состоящую из одного куска;
например, линия на рис. 76, а непрерывна, а на рис. 76, б—
нет. Сейчас мы установим
связь между понятием
непрерывности функции и
наглядным понятием
непрерывности линии — графика этой
функции. Рассмотрим график,
изображенный на рис. 77. Он
состоит из одного куска.
Если мы возьмем любую точку
Л^(0| Уо) на оси ординат,
лежащую между точками с
ординатами f{a) и /(6), и
проведем через нее горизонтальную
прямую, то эта прямая
пересечет график в некоторой
f(b)
Уо{
f(a)
^J\
Рис. 77
191
}(Ь)
Уо
№
W
Рис. 78
точке. Пусть абсцисса этой
точки равна с. Тогда значение
функции в точке с равно
ординате #0 точки М, f(c) = yQ. Таким
образом, для любого числа у0,
лежащего между f(a) и /(&),
найдется такое с, что а<с<6 и
Возьмем функцию, график
которой изображен на рис. 78.
Т Точка ЛГ(0, у0) лежит между
точками с ординатами f(a) и /(&),
но если провести через нее
горизонтальную прямую, то эта
прямая не пересечет графика
функции y=f(x). Иными словами, между точками а и Ъ нет
точки с такой, что#0=/(с).
Если же взять функцию, график которой изображен на
рис. 79, то для любого значения у, лежащего между f(a) и
/(6), найдется точка с между а и Ь такая, что f(c) = y. Тем
не менее эта линия разрывна. И если вместо точек а и Ь
мы возьмем точки xY и х2 отрезка [а, 6], то убедимся, что
значение у0 лежит между /(^х) и /(л2), но ни в одной точке с
отрезка [xLi х.2] значение f(x) не совпадает с у0.
Проведенные рассуждения позволяют уточнить
наглядное представление о линии, состоящей из одного куска:
если график функции y=f(x) на отрезке [а, Ь] состоит из
одного куска, то для любых двух точек хх и х2 этого
отрезка и любого числа у0,
лежащего между f(xx) и f(x2),
найдется такое значение с, что .vx<;c<
<х2 и y0=f(c). Иными словами,
если график функции состоит
из одного куска, то эта функция
принимает все значения,
лежащие между данными двумя
значениями функции.
Мы покажем сейчас, что
этим свойством обладает гра-
—■£- фик любой непрерывной функ-
"7 "2 " ции. Иными словами, верна
следующая «теорема о промежу-
Рис 79 точном значении».
f(b)
f(*2)
Уо
f(*f)
ffa)
т
192
Теорема 1. Пусть функция У=/(х) непрерывна на отрезке
[а, б]1. Тогда для любых двух точек хх и х2 этого отрезка
и любого числа^М, лежащего между Дх^ и f(x2) найдется
с такое, что^йх1^.с<х2 и f(c)=M.
Отметим, что'Т^обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из
того, что для^'любых точек х\ и х2 отрезка [я, b\ функция принимает
на отрезкел[*|, х2] все промежуточные значения между f(x\) и /(х2), не
вытекает ее непрерывность во всех точках отрезка [а, Ь].
П р,и м"е р. Зададим;~функцию f(x) формулой
1 \( . 1 N 1 1
22Л+4 {ln-x)(x—^+г) при JL-l<x<± (/2=0, 1, 2, ...),
0 при х=0.
11. 1
Т' Т~ 2*
/(*) =
Эта функция обращается в нуль в. точках х
3 3 3 3
В точках же х= —, —, ~—, ..., , ... она принимает значение 1.
4 8 16 2п+2
Поэтому при х=0 функция терпит разрыв.
В то же время для любых точек хх и х2 отрезка [0, 1] функция f(x)
принимает на отрезке [х\, х2] все значения между f(xx) и f(x2).
Доказательство теоремы о промежуточном значении опирается на
следующую лемму:
Лемма. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке а. Если она
положительна в этой точке, f(a)>0, то существует окрестность (а—Ъ, а-\-Ь)
точки а, в которой Дх)>0.
Доказательство. Так как функция/(х) непрерывна в точке а,
то найдется такое S, что в окрестности (а—Ъ, а+Ь) точки а
выполняется неравенство \ f(x)—f(a) \ <J-£-L (мы выбрали в качестве е положи-
тельное^ число 2i£L) . А тогда при | к—а \ <Ь имеем
/(*)=/(«)+[/(*)-/(«)] > /(«)-1 /(*)-/(*) I > /(«) - ^- = ££- > о.
Тем самым лемма доказана.
Точно так же доказывается, что если функция f(x) непрерывна в
точке а и отрицательна в этой точке, то она отрицательна в
некоторой окрестности точки а.
Теперь|мы можем доказать частный случай теоремы о
промежуточных значениях.
Теорема 1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке^[а, Ь] и ее
значения на концах отрезка имеют различные знаки, то найдется
точка с отрезка [а, Ь], в которой f(x) обращается в нуль.
Доказательство. Разделим отрезок [а, Ь] пополам точкой й\.
Если f(a\)=0, то теорема доказана. Если же /(#i)¥=0, то на одной из
1 Это означает, что она непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь].
13 Заказ 2541 193
половин [а, ах] и [ах, Ь] функция y=f x) принимает на концах значения
различных знаков. Например, если f(a)<0, f(b)>0 и f(a1)<0, то такой
половиной будет отрезок [аг, Ь]. Этот отрезок снова разделим пополам
и повторим проведенное рассуждение. Либо на каком-то шагу мы
получим точку, в которой f{x) обращается в нуль, либо получим
стягивающуюся систему отрезков
[я, b]z>[alt &!]=) ... dK- Md ••• (1)
со следующим свойством: в точках alt ..., ап,... функция f(x)
отрицательна, а в точках Ь±, Ь2, ..., Ьп, ...— положительна.
По теореме о стягивающейся системе найдется точка с, общая всем
отрезкам системы (1). При этом последовательности точек а\, ..., ап, ...
и bi, ..., bn, ... стремятся к с: с — lim ап = lim bn.
Покажем, что в точке с функция y=f(x) обращается в нуль.
Предположим, что f(c)>0. Так как функция непрерывна в точке с, то по лемме
найдется окрестность (с—Ъ, с+Ь) этой точки, в которой функция f(x)
положительна. Но так как lim an=c, то, начиная с некоторого номера
N, точки ап попадут в окрестность (с—5, с+й), и в них функция f(x)
должна быть положительной. А это противоречит выбору точек ап.
Значит, неравенство f(c)>Q невозможно. Точно так же доказывается
невозможность неравенства f(c)<0. Отсюда делаем вывод, что /(с)=0.
Теорема Г доказана.
Теорема о промежуточном значении в общей формулировке без
труда сводится к разобранному частному случаю. Обозначим \(хг) через in,
f(*a) — через М; положим для определенности, что т<Му и возьмем
любое число fx, лежащее между т и М. Введем вспомогательную
функцию F(x)=f(x)—[х. Эта функция непрерывна на отрезке [а, Ь].
Применим к функции F(x) и отрезку [jti, x2] теорему Г. Мы имеем:
F(x1) = f(xl) — v. = m — [х < О
и
F(x2) = f(x2) — ц = М — ц > 0.
Значит, /^л:) принимает на концах отрезка \x\t xi\ значения
различных знаков. Но тогда есть точка с такая, что Xi<c<X2 и F(c)=0. Это
значит, что f(c)—jjl=0, то есть /(с)=[л. Теорема 1 доказана.
Упражнения
127. Доказать, что уравнение х3—Зх—1 = 0 имеет корень на отрезке
[1. 2].
128. Разбить отрезок [—4, 4] на части точками —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3
и выделить части, на которых есть корни уравнения хь—3x3jrx2—6 = 0.
129. Для функции у =— имеем /(—1) = —1, /"(1)- 1. Существует ли
х
значение х, при котором /(я)=0? Можно ли применить к этой функции
на отрезке [—1, 1] теорему о промежуточном значении?
130*. Доказать, что если функция f(x) непрерывна и ограничена на
всей числовой оси, то уравнение x=f(x) имеет корень.
194
V
10. Обратная функция. Пусть две величины связаны
функциональной зависимостью. Например, пусть задана
функция s=-^-gt2f выражающая путь, пройденный свободно
падающим телом за время /. Тогда для каждого значения
t^>0 мы можем найти значение пути s, пройденного за
время t. Но часто возникает обратная задача: за какой
промежуток времени t тело пройдет путь 5? Решая
уравнение s=z—cr- относительно /, получаем t= у —— . Мы
выбрали здесь положительное значение корня, так как по
физическому смыслу величины t она неотрицательна.
В этом примере у нас было две функции: s = ^- и t =
. Первая из них выражает зависимость
пройденного пути от времени, а вторая — обратную зависимость
времени от пройденного пути. Такие две функции
называют обратными друг другу. Иными словами, если функция
y=f(x) выражает зависимость у от х, то обратная функция
х=у(у) выражает зависимость х от у.
Уточним понятие обратной функции. В разобранном
выше примере мы выбрали положительное значение 1/—,
так как в силу физических соображений величина t должна
была принимать лишь неотрицательные значения. Если бы
это не было заранее известно, мы могли бы брать как
значение ]/-—, так и значение— 1/—^-. Обратная функция
не была бы однозначно определена. Чтобы обеспечить
однозначную определенность обратной функции, надо, чтобы
функция y=f(x) удовлетворяла следующему условию:
Различным значениям xL и х.г из области определения X
соответствуют различные значения функции: если ххфх2у то
f(xi)=£f(x2)- Этим свойством обладает, например, функция
у = д;3 на всей оси, функция у=х2 на полуоси 0<#<оо. На
всей оси функция у=х2 этим свойством не обладает: —4=£4,
но (—4)2 = 42.
Если выполнено указанное условие, мы будем говорить,
что функция y=f(x) однолистна на X. Пусть функция y=f(x)
однолистна на множестве X. Обозначим через Y
множество всех чисел вида y=f(x), где х£Х. Тогда каждому зна-
13* 195
чению у о из У соответствует единственное число х0 из X такое,
что */о=/(*о) (такое число единственно из-за однолистности
функции/(л:)). Полагая *о = ф(*/о), мы ставим в соответствие
каждому числу у0 из У единственное число х0 из X, то есть
определяем функцию х = ц(у), заданную на У и принимающую
значения на X. Ее и называют функцией, обратной к y = f(x).
Если функция y=f(x) не однолистна на X, то обратная функция не
определена однозначно. Поэтому, если f(x) не однолистна на X, из X
выделяют часть Х0, обладающую следующими свойствами:
1) функция y=f(x) однолистна на Хо\
2) множество значений f(x) на Х0 совпадает с множеством ее
значений на X.
Такие подмножества в X называют областями однолистности.
Каждой области однолистности Хо соответствует своя обратная функция
*—ф(#) такая, что значения <р(у) принадлежат Хо. Говорят, что из
«многозначной функции» выделена однозначная ветвь со значениями в Хо.
Приведем пример. Пусть задала функция у = х2 на всей
действительной оси. Тогда различным значениям х могут отвечать одинаковые
значения у. Например, (—4) 2 = 42= 16. Поэтому чтобы выделить
обратную функцию к у=х2, надо рассмотреть эту фужщш не на всей оси,
а лишь на луче [0, 4-°°). Мы знаем, что если 0^a:<jc2, to #i2<#22.
Поэтому на луче [0, +°о) различным значениям х отвечают различные
значения х2, а значит, существует обратная функция, принимающая
значения лишь на этом луче. Этой функцией является #=У#, где
У у — арифметический корень из у. Мы могли бы выбрать другое
множество X0i а именно луч [—оо, 0]. Тогда соответствующей обратной
функцией была бы 'функция х=—Уу. Заметим, что множество Х0
можно было бы выбрать и так: Хо состоит из всех положительных
рациональных чисел, всех отрицательных иррациональных чисел и нуля.
Тогда обратная функция задавалась бы так:
{ Y У у если V У рационально,
I —Y у, если У у иррационально.
Покажем теперь, как строят график обратной функции. Если
для обратной функции обозначить аргумент через х, а функцию
через у, то графики функций y=f(x) и х=ср(у) совпадают.
Разница состоит лишь в том, что для функции y=f(x) ось Ох
является осью абсцисс, а Оу — осью ординат, а для х=у(у) роль
осей меняется.
Если же обозначать аргумент обратной функции через х, а
значение функции через у, то получится иной график. Именно,
нам нужно перевести друг в друга оси Ох и Оу. Это делается с
помощью отражения всей плоскости относительно биссектрисы
первого координатного угла, то есть прямой у=х. При этом
отражении график функции y=f(x) переходит в график обратной
функции у=ф(*) (рис.80).
196
Итак, чтобы получить
из графика однолистной
функции y=f(x) график
обратной функции у =
= у(х), надо отразить
график функции y=f(x)^
относительно прямой
у=х.
11. Теорема об
обратной функции.
Множество У, на котором задана
обратная функция х —
= ф(у)> состоит из всех
чисел вида */=/(*), х£Х.
В зависимости от свойств
функций и множества Ху
на котором она задана,
вид множества У может
быть различным. Мы рассмотрим сейчас случай, когда:
1) функция y=f(x) задана на отрезке [а, Ь] и непрерывна
на нем;
2) функция f(x) монотонна на отрезке [а, Ь].
Ясно, что монотонные функции однолистны — различным
значениям х\ и х2 соответствуют различные значения f{x\)
Теорема. Если функция y=f(x) возрастает на отрезке [af b] и
непрерывна на нем, то обратная функция х = у(у) определена
на отрезке \J(a), f(b)], возрастает и непрерывна на нем.
Доказательство. Так как функция y = f(x) возрастает на [а, Ь],
то из а^.х^Ь вытекает, что f(a) ^{ (х) < f(b). Поэтому множество Y, па
котором задана функция х = у(у), является подмножеством отрезка
U(a)> f(b)]. Покажем, что оно совпадает с этим отрезком. В самом деле,
пусть f(a)^y0^f(b). По теореме о промежуточном значении
непрерывной функции найдется такое лго, что fi(*o) =*/о и а^Хо^Ь. Значит, уо
принадлежит множеству Y. Тем самым доказано, что функция х=ф(#)
задана на всем отрезке [/(a), f(b)]. Так как f(x) возрастает «а [а, Ь], то
и, обратно, из f(xi)<f(X2) следует Xi<Cx2, то есть из у\<.уг следует
<P(#i) <ф(*/г). Значит, функция х—<р(у) возрастает.
Покажем, наконец, что она непрерывна. Пусть уо — некоторая точка
отрезка [f(a), f(b)] и хо = ф(*/о). Тогда f(x0)=yo. Зададим еХ)1 и положим
yi=f(xo— е), уг=т(х0+е). Ясно, что */i<*/o<#2 (рис. 81).
1 Разумеется, е>0 берется так, чтобы точки х и xdze лежали на
отрезке [я, Ь].
197
у i
№
*2
Уо
У1
fla)
0
,
о Xq-Z х
о V
tf b х
Рис. 81
Обозначим через 5 меньшее
из чисел y0—i/i и у2—у0- Если
\у—у0\<Ь, то точка у лежит
между уг и у2: yi<y<y2. А тогда
соответствующая ей точка х =
=у(у) лежит между точками
Ф(«/1> и ф(#2), то есть между х0—£
и *о+е (напомним, что
соотношения yi=f(x0—e) и л:0—£=^(i/i)
равносильны, равно как и
соотношения #2=/(*o-f-£) и *о+е=
=Ф(#2). Итак, если \у—у0\<§, то
Так как е>0 было выбрано
произвольно, то непрерывность
функции х=у(у) в точке у0
доказана. Но у0 — любая точка
отрезка[/(а), f(b)]. Значит, х=<р\у)
непрерывна на [f(a), f(b}\.
Упражнения
131. Найти функции, обратные функциям:
а) у = 3х— 5; г) у=х2—4х+5, д:<2;
б) у=х3; д) y=jc4+2x2, х>0;
в) у=х2—4х+5, х>2; е) y = *+£(x).
132. На рис. 82 изображен график функции y=f(x). Имеет ли она
обратную? Укажите для этой функции области однолистности. Для
каждой области однолистнести постройте график обратной функции.
12. Точки разрыва. Из теоремы о промежуточном
значении следует, что график непрерывной функции состоит
из одного куска. Рассмотрим теперь график функции
у = %_1 (рис. 83). Эта функция не определена при xL= —1,
x> = l. График функции у= 2_{ состоит из трех кусков:
один из них лежит над лучом (—оо, —1), второй над
промежутком (—1, 1), а третий — над лучом (1, +°°)- Точки
хк =—1 и х2=\ являются точками разрыва функции
Вообще, точкой разрыва функции */=/(*) называют
точку х=а, в которой эта функция не является непрерывной.
К числу точек разрыва относят и точки, в которых
функция y=f(x) не определена, хотя она определена в некото-
198
рой «проколотой»
окрестности этих точек. Из
результатов п. 2 вытекает,
что целая рациональная
функция
у = а0х» + а^ + ...+ ап
не имеет точек разрыва —
она непрерывна при всех
значениях аргумента.
Точками разрыва
дробно-рациональной функции
а0хп-^а1хп~1 + ... + ап
У
Рис. 82
b0xm+blXm-1 + ... +bm
могут быть лишь точки, в которых знаменатель
обращается в нуль, то есть корни уравнения
Ь^ + Ъ^-г + ... + bm = 0.
Мы уже отмечали это обстоятельство, рассматривая вопрос
об участках постоянства знака функции (см. п. 7 §2).
Рис.83
199
Исследуем подробнее точки а, в которых знаменатель
дробно-рациональной функции f(x) обращается в нуль. В п. 5 §2
указывалось, что если в этих точках числитель не равен нулю, то
такие точки являются полюсами функции /(#), то есть что lim
х-*а
f(x)=oo. Однако мы не дали там строгого доказательства этого
утверждения, ограничившись рассмотрением примеров.
Сформулируем более общую теорему, частным случаем которой
является упомянутое утверждение о дробно-рациональной
функции.
Теорема. Пусть функции у = (р(х) и y = ty(x) непрерывны в
точке а и пусть ф (а) ФО, ф (а) = 0. Тогда lim li^L. = со.
х-+а ф(х)
Доказательство. Положим у(а)=Ь. Так как функция ср(я)
(Непрерывна в точке а, то найдется такое 6i>0, что при \х—a|<6i
выполняется неравенство \<р(х)—Ь\ < ' (мы попросту выбрали е= Ц-).
А тогда при \х—a|<6i имеем:
I ?(*) I = I <?(х)-ь+ь | > | ь\ - | ч(Ху-ь \>\ь\ —Ш_ = JAL.
Так как функция г|)(*) также непрерывна в точке а, причем г|)(а)=0, то
для любого положительного числа М найдется такое бг, что при \х—а|<бг
I h I
выполняется неравенство \ty(x) \ < * L . Обозначим через б меньшее из
чисел 6i и бг. Тогда при \х—а|<б выполняются неравенства |ф(х)|>_!—L
и |г|)(л:)|< ' '.. А тогда имеем:
<К*) I 1*1
2ЛГ
Теорема доказана.
Следствие. £с/ш в тм/се х = а знаменатель
дробно-рациональной функции f(x) равен нулю, а ее числитель отличен от
нуля, то х = а— полюс функции f(x).
Функция может иметь разрыв и в случае, когда она задается
на разных участках разными аналитическими выражениями.
В этом случае «точки стыка» могут быть точками нарушения
непрерывности (см. ниже, п. 2 § 4).
200
Упражнения
133. Найти точки разрыва функций:
(1+х)* ' J х*—5х*+6х
б),_£?=!; д),=, *'+'
в) у=
*2+6*+8 ' ' J jc*—16
x+l .
*4__20xa+64'
134. Привести пример функции, разрывной ровно в одной точке.
135. Привести пример всюду разрывной функции.
136. Привести пример функции, разрывной в точках вида х==— и
только в этих точках.
137. Доказать, что функция
fiY\= [ х2' €СЛ1И х — рациональное число,
I \х) | —х2, если х —иррациональное число,
непрерывна только в точке х=0.
138. Доказать, что функция Римана
—, если х—несократимая дробь вида -£-, <7>0,
О, если х—иррациональное число,
непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех
рациональных точках.
\139*. Построить монотонную функцию, разрывную в рациональных
точках и непрерывную в иррациональных точках.
140. Функции y=f(x), у = у(х) разрывны в точке Хо. Можно ли
утверждать, что функция */=/(*)+ф(*) тоже разрывна в этой точке?
141. Функция y=f(x) непрерывна в точке Хо, а функция у = у(х)
разрывна в этой точке. Может ли функция y=f(x)+ <p(x) быть непрерывной
при х=хо?
142. Функция y=f(x) непрерывна в точке х0, а функция */=ф(х)
разрывна в этой точке. Можно ли утверждать, что функция y=f(x)tp(x)
разрывна при х=х0?
143. Функции y=f(x) и у=у(х) разрывны в точке х0. Можно ли
утверждать, что функция y=f(x)(p(x) разрывна в этой точке?
144. Функция y=f(x) разрывна в точке Хо. Можно ли утверждать,
что функция y=f2(x) разрывна в этой точке?
§ 4. Предел функции
1. Определение предела функции в точке. На протяжении
этого курса нам неоднократно встречалось понятие предела.
Сначала мы изучали пределы последовательности,
затем предел функции при х->оо. Разберем теперь, что
201
значит фраза «функция стремится к числу 6, когда х
стремится к числу а». Рассмотрим следующий пример: функция
определена при всех значениях х, кроме *=1. Посмотрим,
какие значения принимает эта функция, если х мало
отличается от 1. Для этого возьмем значения х=2; 1,1; 1,01;
1,001; 0,9; 0,99; 0,999. Вычисляя соответствующие значения
f(x), получаем таблицу:
X
fix)
2
3
1Д
2,1
1,01
2,01
1,001
2,001
0,9
1,9
0,99
1,99
0,999
1,999
Мы видим, что, чем ближе х к 1, тем ближе значение f(x)
к числу 2. Такая картина уже встречалась нам, когда мы
определяли понятие непрерывности. Там числом, к
которому были близки значения f{x) при малых значениях \х— а\,
являлось f(a). Здесь это не так, поскольку в точке х=1
функция у=——Г" не определена. По аналогии с
определением непрерывности в точке введем следующее определение.
Опред ел ение. Пусть функция #=/(*) определена в
некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой
этой точки. Число Ъ называется пределом f(x) при
стремлении х к а, если для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что
для всех х, удовлетворяющих неравенству |я— #!<§
(кроме, быть может, самой точки а), выполняется неравенство
Ь — в < f(x) < Ь + в (то есть | /(*)—Ь | <е).
Утверждение «число Ъ является пределом f(x) при х^аъ
обозначают так: lim/(*) = &. В разобранном выше примере
х->а
х2 \
имеем: lim т— = 2.
Очевидна связь между понятиями непрерывности
функции y=f(x) в точке а и предела этой функции в той же
точке: если функция y=f(x) непрерывна в точке а и
определена в некоторой окрестности этой точки, то
lim f(x) = f(a). Обратно, если lim f(x) = f(a), то функция y=f{x)
jr-д х^а
непрерывна в точке а.
202
2. Односторонние пределы. Скачки функции. Рассмотрим
еще понятие одностороннего предела. Пусть
/v ; \ 2+3*, 1 < х < +оо.
Эта функция не определена при х=1. Так как функция
у=4—х2 непрерывна, то, если х приближается к 1,
оставаясь все время меньше, чем 1, имеем
Пт/(*) = Пт(4-л:2) = 3.
д:<1
Точно так же, если х приближается к 1, оставаясь все
время больше, чем 1, то
lim/(*) = lim (2+3.*)=5.
Х-*\ Х^\
х>\
Вообще, число b называется левосторонним пределом
функции y=f{x) при х^а, если для любого е>0 найдется
такое Ь > 0, что из неравенства а—8<*<а вытекает
неравенство |/(*) —6|<е. Левосторонний предел функции f(x)
при х-+а обозначается Hm f(x) или, проще, f(a—0). Совер-
х-+а-0
шенно так же определяется понятие правостороннего
предела функции. Он обозначается lim f(x), или /(а+0).
X-+CL + 0
Наглядное представление об одностороннем пределе
дает следующий пример. Пусть V=f(t) — объем 1 кг Н20
при температуре t°. Тогда /(—0) — объем 1 кг льда при
температуре 0°С, а /(+0) — объем 1 кг жидкой воды при
той же температуре. Из физики известно, что /(—0) > /(+0)
(это обстоятельство приводит, например, к тому, что при
замерзании воды в водопроводных трубах они лопаются).
Если в точке а существуют как левосторонний, так и
правосторонний пределы функции /(*), причем они равны
друг другу, то существуют и lim f{x)y причем он равен этим
х-+а
пределам. Если при этом /(а)=/(а—0)=/(a-f0), то функция
f(x) непрерывна в точке а.
В точках же, где существуют пределы f(a—0) и f(a-\-0),
но /(а~0) ^ Да+0), функция f{x) разрывна. И как бы мы ни
определяли значение f(x) при х=а, этот разрыв нельзя
устранить. "Число
f(a+0)-f(*-0)
называют скачком функции в точке а.
203
Рассмотрим, например, функцию
J к ' \ 2+3*, 1 < х < + оо.
Имеем:
/(1—0)=lim (4—*')=3;
/(l+0)=lim (2+Зл:)=5.
Значит, эта функция разрывна в точке jc= 1, и ее скачок в
этой точке равен 5—3=^2.
Функция же
{ 2+х, 1 <л: < -f- оо
имеет предел при *-И, так как для нее
/(1-0) =/(1+0) =3.
Если положить /(1)=3, то эта функция станет непрерывной
в точке х=1. Она будет непрерывна на всей числовой оси.
Упражнения
145. Исследовать на непрерывность, выяснить характер точек
разрывами построить графики функций:
а) Ах) = |*|;
—1, если *<0,
0, если *=0,
1, если х>0;
в) f(x)=E(x);
г) f{x)=Vx-E(Vx)\
д) у=хЕ (-L);
/ 7—*2
е) у =
7+*:
, х< — 1,
А+5| х+1 |,-1<*<3,
I *4, х>3.
146. Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
а) у= Ит__; в) ув11т х
я— * + * «->оо *а"+2а"
б)у=^^ + х"+(^)Л;
204
147. Исследовать ,на непрерывность функции f[y(x)] и ф[^(*)], где
f(x)=signx
и
а) ф(*) = 1+л:2; б) ф(*) =*(1— л:2); в) ф(*) = 1+*—£(*)•
3. Свойства предела функции. Свойства предела функции
очень напоминают свойства предела последовательности, равно
как и свойства предела функции, когда *->оо. Мы не будем
проводить здесь детальных доказательств всех этих свойств, а
лишь сформулируем их и докажем одно свойство.
1) Функция y=f(x) не может иметь двух различных
пределов при х-*а.
2) Если lim cp(x)=b и lim ^(х)=с, причем в некоторой ок-
рестности точки а1 выполняется неравенство q>(x)^ty(x), то
Ь^с.
3) Если lim ф(х)=& и lim \р(х)=Ь, причем в некоторой ок-
х-+а х-+а
рестности точки а выполняются неравенства ц>(х) ^f(x) ^ф(л:),
то lim f(x) =b.
X-+CL
4) Если функция y=f(x) имеет предел в точке а, то у этой
точки есть окрестность, в которой функция f(x) органичена.
5) Если lim ц>(х)=Ь и lim ty(x) =с, то
X-+CL X-+CL
lim [ф(*) +^{х)] = Ь + с
х-+а
U
\im[y(x)ty(x)] = b-c.
х->а
Если при этом сфО и \р(х)Ф0, то
1- <р(х) Ь
lim -77-т- = —•
6) Если lim/(*)=&, то f(x)=b + a{x), где lima(*)=°-
х~*а х-+а
Мы будем называть функции <р(х) такие, что lim qp(*)=0,
х-+а
бесконечно малыми в точке а. Утверждение 6) означает,
1 Здесь и далее мы опускаем слова «кроме, быть может, самой
точки а».
что функция, имеющая предел в точке а, равна сумме
этого предела и бесконечно малой функции.
Для примера докажем свойство 2). Предположим, что Ь>с. Выберем
непересекающиеся окрестности (6—е, b+г) и (с—е, с+е) точек Ъ и с.
Так как lim<p(;e)=fc, то найдется Si-окрестность точки я, в которой
х+а
Ь—е<<р(х)<Ь+е- Точно так же найдется 52-окрестность точки а, в
которой с—е<ф(*)<с-Ье. Выберем меньшее из чисел Ъг и Ь2 и обозначим
его через Ь. Тогда в 5-окрестности точки а имеем:
Цх) < с+ £ < Ь — е < <р(х),
и потому <\>(х) < <р(*). Это противоречит условию, что в некоторой
окрестности точки а выполняется неравенство у(х) < ty(x). Аналогично
доказываются остальные свойства предела функции. Очевидна связь
между этими свойствами и свойствами непрерывных функций.
4. Вычисление пределов функции. Вычисление предела
функции проще всего производится, если функция y = f(x)
непрерывна в точке а. В этом случае значение предела
равно /(а). Например,
1# х*+4 _ 22+4 _ _8_
х™ *2-{ ~ 22-1 ~ 3 *
Таким образом, затруднения в вычислении предела
возникают лишь в тех случаях, когда функция */=/(*)
разрывна в точке а или не определена. Во многих случаях
удается так преобразовать функцию #=/(*), чтобы при хфа
она совпала с некоторой непрерывной функцией F(x), то
есть найти такую непрерывную функцию ^(л:), что f(x) = F(x)
при хфа. Так как значение функции в самой точке не
играет роли при вычислении предела, то
lim/(*) = UmF(x)=F{a).
х-+а х^а
Рассмотрим, например, функцию
Эта функция не определена в точке х = —\. Но при хф — \
имеем:
*3+1 _ (*+i)(*2-*+l) 2
х+\ - (х + 1) ~Х —*1-1>
а функция у=х2— х+1 непрерывна при х =—1; поэтому
lim ^±1=-Нт(л:2-.г+1)=3.
х-* -1 х~г[ х-+-\
206
Далее рассмотрим функцию
У
Ух+2 — 2
х—2
Эта функция не определена при х=2. Но если хф2у то
/FF2-2 (YT+2-2) (/7+2+2) «-2
(х-2) (К^+2+2)
1
(x-2)(Vx+2+2)
ух+2+2
Функция #=
1
- непрерывна при х = 2. Поэтому
lim_V5+2-2_ = ,im _1
.г-,2 х-2 дг-,2 /л:+2+2
1
4 '
/2+2+2
При вычислении пределов оказывается весьма полезным
следующее утверждение:
1
Теорема. Если lim / х) = оо, wo lim-
0.
х^а х^а*Ух>
Доказательство. Зададим е > 0. Так как по условию
lim f(x) = оо, то найдется такая окрестность (а—5, а + Ь) течки а, в ко-
х-+а
торой (за исключением, быть может, самой точки а) выполнено нера-
1
венство | f(x) | > Но тогда в этой окрестности имеем
е
Это и значит, что lim = 0.
х+а 1(х)
Упражнения
148. Вычислить пределы функций:
Кх)\
< s.
a) lim
х*+3х*
б) lim
лг-*1
jc_e хь+х*+2х2
Зх*—4*3+1
(*-!)»
в) lim ( * - 3 \
г) lim [ 3*2+* -
л--2 L (*—
(х—2)(*2-f.v + l)
*m—1
д)* lim
jr-l Xn-\
3 ———
c)*|lim /l+*—1;
х^о х
(тип
х-2 У
целые);
207
ж)1тУ1+*+*-1-
*-0
3)* lim VT+SV-l
и)* lim
У 1 + 3** — V 1— 2* .
к) lim
л)* lim
х-+0
х-+о *+х2+2*8
г+*—ут+х*.
Vl + x-l
5x
V~x-V~>
m) lim
УЗ— x+x* —V9—2x+x2 .
x^2 x*—Zx+2
н)* lim T^+S+l :
х-+-\у2 + x—1
о)» lim VZ=b-y*=S (a>b>0).
x+a x2-a*
3/
n)* jim V a*-\-ax+x* — / a*—a*+*2 .
p)* llm vz+2-¥i+nu
*-7 frx+9 -2
149. Вычислить с точностью до 0,01 значение функции
_ х* + 2х2~3.
у x2__3x+2
а) при *= 1,0000721; б) при х=0,9999615.
150. Рассмотрим запись: lim f(x)=>A. Символу а будем придавать
дг-а «ТУ
один из 4 смыслов: 1) а есть число, 2) а есть ]оо, 3) а есть +оо, 4) а есть
— сю.
Символу А также будем придавать эти четыре смысла. Комбинируя
указанные четыре смысла а с четырьмя смыслами А, получим 16
понятий. Дайте определение каждому из них (через е и S или е и N).
151. Дайте определение обозначениям:
lim f{x)=A\ lim /(*)—+со;
х-+а—0 х-+а—0
lim /(*)=—-со; lim f(x)—A\
х-*а—0 х->а+0
lim /(*)=+<х>; lim /(*)=—oo.
x-+a+0 x—a+0
«08
Краткие исторические сведения
Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке. Но
греки рассматривали лишь «величины», .имеющие геометрическую
природу. Даже Ньютон, один :из основателей математического анализа, при
рассмотрении зависимых величин пользовался геометрическим языком.
Графическое изображение зависимости между величинами широко
применялось Г. Галилеем (1564—1642). Понятием функции пользовались по
сути дела уже французские математики П. Ферма (1601—1665) и
Р. Декарт. Однако сам термин «функция» возник лишь в 1694 году
в работах немецкого философа и математика Г. Лейбница, делящего
с Ньютоном заслугу создания математического анализа. У Лейбница
понятие функции имело очень узкий смысл. Он называл так некоторые
отрезки (абсциссу, ординату, длину подкасательной и поднормали,
радиус кривизны и т. д.), связанные с определенной точкой кривой так,
что между каждыми двумя из них существует некая зависимость.
Таким образом, и Лейбниц оставался в кругу геометрических
(Представлений. Только ученик Лейбница И. Бернулли (1667—1748) дал в 1718 году
определение функции, свободное от геометрических образов:
«Функцией переменной величины называется количество, образованное каким
угодно способом из этой переменной и постоянных».
Следующий шаг в развитии понятия функции связан с именем
ученика И. Бернулли — Л. Эйлера. В своем «Дифференциальном
исчислении» он определяет понятие функции так: «Величины, зависящие от
других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято
называть их функциями». Эйлеру же принадлежит классификация
функций по их аналитическим выражениям, детальное изучение многих
классов функций.
Однако понятие функции у Эйлера и математиков его времени было
связано с возможностью выразить функцию формулой. Например, запись
у— \х\ 0<х<2, (*)
с точки зрения математиков XVIII века, определяла не одну, а две
функции.
Оказалось, что существуют формулы, позволяющие записать такие
функции, как (*), с помощью единого выражения. В связи с этим
возник ожесточенный спор между крупнейшими математиками XVIII века —
Эйлером, Даламбером и другими, в ходе которого и было осознано
различие между функцией и ее аналитическими выражениями. В начале
XIX века французский математик Ж. Фурье (1768—1830) дал новое
определение функции, подчеркнув в нем, что главным является задание
значений функции, а совершается ли это задание некоторой единой
формулой или нет — несущественно.
После Фурье ряд математиков уточнял данное им определение
(Н. И. Лобачевский, Лакруа и др.). Наконец, немецкий математик
Л ежен Дирихле (1805—1859) сформулировал это понятие так:
«Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если
каждому значению величины х соответствует единственное
определенное значение величины у». В настоящее время к словам «каждому
значению величины х» добавляют слова «принадлежащему некоторому
множеству» и вместо «переменных величин» (выражение наглядное, но
точного математического смысла не имеющее) просто говорят об эле-
14 Заказ 2541
209
ментах соответствующих множеств: области определения и области
значения функции. Иначе говоря, понятия функции, отображения,
преобразования и т. п. теперь отождествляются (такая трактовка понятия
функции идет от определения, данного в 1875 г. французским
математиком П. Дюбуа-Реймоном).
Общее понятие числовой функции потребовало общего определения
непрерывности функции, предела функции и т. д. Соответствующие
определения, легко распространяемые и на случай отображений
произвольных множеств, для элементов которых каким-либо образом
определено понятие расстояния, так называемых метрических пространств,
дал О. Коши. Оказалось, что громадное большинство функций,
встречающихся в математическом анализе и его приложениях, непрерывно
всюду, за исключением отдельных точек. Однако введенная нами выше
функция Дирихле, равная нулю в иррациональных точках и единице в
рациональных, всюду разрывна.
Позже, в связи с развитием теории множеств, были построены
более сложные примеры разрывных функций. Общая теория разрывных
функций была создана в конце XIX—начале XX века французскими
математиками Р. Бэром (1874—1932), Э. Борелем (1871—1956), А. Лебегом
(1875—1941), Ш. Ж. де ля Валле-Пуссеном (1866—1962). Значительный
вклад в развитие этой теории внесли русские математики Д. Ф. Егоров
(1869-1931), Н. Н. Лузин (1883—1950), Д. Е. Меньшов и другие.
Глава IV
ПРОИЗВОДНАЯ
В этой главе мы изучим одно из важнейших понятий
математики — понятие производной. Оно появилось в конце
XVII века, когда математики и физики начали изучать
неравномерные движения, и отражает понятие мгновенной
скорости прямолинейного движения. Однако этим не
исчерпывается значение производной. Всюду, где есть
неравномерно меняющиеся величины, скорость их изменения
выражается производной. Понятие это встречается при изучении
и скорости изменения температуры тела, и скорости
изменения электрического тока, и скорости изменения массы
вещества при радиоактивном распаде. Встречается понятие
производной и в таких вопросах, где на первый взгляд мы
не имеем дела со скоростью изменения величины,
например при изучении теплоемкости тела при данной
температуре, линейной плотности стержня в данной точке,
касательных к кривым и т. д.
§ 1. Производная
1. Средняя скорость изменения функции. Введение понятия
производной мы разобьем на несколько этапов. Сначала
определим среднюю скорость изменения функции на
некотором отрезке. Разберем случай, когда x=f{t) — координата
прямолинейно движущейся точки. В этом случае средней
скоростью движения за промежуток времени [tu t2]
называют отношение пути, пройденного за этот промежуток, к
величине промежутка. При этом пройденный путь равен
разности f(t2) — fltx) координат точки в моменты tx и t2, a
промежуток времени равен /2 — tv Поэтому средняя
скорость выражается формулой
7, /(*»)-Ш _ *2-*i
ср h-tx - t%-tx '
211
Если положить tx ■-
v,
■t, t2 = t+At, то t2-
-U=At и потому
^x
м ■
(1)
По аналогии с понятием средней скорости прямолинейного
движения введем понятие средней скорости изменения функции
y=f(x) на отрезке [х, х+Ах]. Именно положим
f(x+\x)-f(x)
Их
\х
Итак, чтобы найти среднюю скорость изменения функции
y=f(x) на отрезке [х, х+Ах], надо приращение функции на этом
отрезке разделить на приращение аргумента.
Отношение -^ мы будем также называть разностным
отношением для функции y=f(x) на отрезке [х, х+Ах].
Как мы уже отмечали, величина Ах может быть не только
положительной, но и отрицательной. В этом случае из «более раннего»
значения функции вычитают «более позднее» и полученную разность делят
на отрицательное число Ал:.
Выясним геометрический смысл разностного отношения. Для
этого возьмем на графике функции y=f(x) точки с абсциссами
х и х + Ах. Их ординаты равны соответственно f(x) и f(x + Ax).
Поэтому Ay=f(x + Ax)—f(x) —это разность ординат в точках х
к х + Ах (рис. 84)
фициент
!{х + Ах)
хорды,
(или
Но тогда -д! — не что иное, как угловой коэф-
соединяющей точки М(х), f(x) и N(x + Ax,
иначе — секущей,
проходящей через эти точки).
Таким образом, понятие
средней скорости изменения функции
связано, с одной стороны, со
скоростью прямолинейно движущейся
точки, а с другой — с угловым
коэффициентом секущей. Связь
между этими двумя подходами
становится очевидной, если рассмотреть
график движения и принять во
внимание, что график равномерного
движения со скоростью v является
прямой линией с угловым
коэффициентом V.
, у,
0
1
i
м/
Ах
[
А/
X
Рис. 84
212
Упражнения
1. Найти среднюю скорость изменения функции у = х2 на
следующих отрезках:
[-1,2], [1,2], [-1,1], [0,4].
2. Доказать, что средняя скорость изменения линейной функции не
зависит от того, на каком отрезке она вычислена.
3. На каком отрезке средняя скорость изменения функции у = х3
больше: на [0,4] шли [1,3]?
4. Дайте определение средней угловой скорости вращающегося
тела.
5. Дайте определение средней скорости радиоактивного распада.
6. Найдите угловой коэффициент хорды, соединяющей точки кривой
у = х3, имеющие абсциссы а = 2 и л:2 = 4.
2. Мгновенная скорость прямолинейного движения.
Знание средней скорости прямолинейного движения за какой-то
промежуток времени [tu t2] дает мало информации о характере
движения за этот промежуток времени. Например, пусть вагон
находится на рельсах железной дороги Москва—Ленинград и
пусть его координаты в моменты времени t=0 ч и t = 24 ч равны
нулю. Может быть, что за это время он стоял на месте
где-нибудь в депо. А может быть, за эти сутки он побывал в
Ленинграде и вернулся обратно. В обоих случаях средняя скорость
движения равна нулю (напомним читателю, что мы определили
среднюю скорость движения формулой ^ср=-^- , где Ах —
изменение координаты точки).
Мало информации о движении ракеты дает фраза: «средняя
скорость за первую минуту движения равнялась 6 км/сек». Ведь
в самом начале движения ракета стояла на месте, потом начала
двигаться, двигалась все быстрее и быстрее и, наконец, достигла
максимальной скорости. Ясно, что конструктора ракеты
интересует не средняя скорость за какой-то промежуток времени, а
скорость ракеты в каждый момент времени.
Итак, мы видим, что во многих вопросах надо знать
мгновенную скорость движения. Однако если средняя скорость движения
определяется легко формулой vc?= -rj , то определить
мгновенную скорость движения сложнее. Ведь за нулевой промежуток
времени тело проходит нулевой путь. Поэтому определение
скорости как отношения пройденного пути к величине промежутка
времени теряет здесь силу.
213
Чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим
свободное падение тела. Закон свободного падения дается фор-
мулои * = -£—. Ясно, что средняя скорость свооодного
падения за время f^+A/] равна
-£- [U+ А/)2-/2]
Будем уменьшать длину промежутка времени, не меняя
его начала, то есть будем рассматривать среднюю скорость
vcp за промежуток [t, t+At] при все меньших и меньших
значениях А/. Тогда средняя скорость будет меняться,
причем она стремится к значению gt. В самом деле,
lim vcv = lim -^~{2t + M) = gt.
Это значение, то есть предел средней скорости за
промежуток времени [t, t+At], когда At стремится к нулю, и
естественно принять за величину мгновенной скорости
падения в момент t.
По аналогии с этим определим понятие мгновенной
скорости прямолинейного движения в общем случае.
Определение. Мгновенной скоростью прямолинейно
двиэюущейся точки в момент времени t называют предел
средней скорости этой точки за промежуток времени
[t> t+M], когда At ->0г.
Вспоминая формулу (1) п. 1 для средней скорости
движения, можно записать определение мгновенной скорости
движения так:
vurH = lim vcp = lim—^—Ti .
д^о д*-*о at
3. Производная. Введем теперь то основное понятие,
которому посвящена эта глава, — понятие производной.
Это понятие является математическим аналогом
разобранного выше понятия мгновенной скорости движения и
характеризует мгновенную скорость изменения функции в
данной точке.
1 Если этот предел не существует, то точка «не имеет скорости» в
момент /; примером может служить движущаяся точка, «мгновенно»
меняющая под действием удара свою скорость; в момент удара н е
имеет смысла говорить о мгновенной скорости точки.
214
Определение. Пусть y=f(x)— функция, заданная на
отрезке а<дг<&, и х — некоторая внутренняя точка этого
отрезка. Говорят, что функция y=f(x) дифференцируема в
точке х, если существует предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
Предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при Дх->0 называют производной функции y=f(x)
в точке х и обозначают /'(*). Таким образом,
/U+A*)-/(x)
/Ч*)=шп "*™*™*> (1)
Мы видим, что формула (1) очень похожа на формулу
для мгновенной скорости прямолинейного движения.
Можно сказать, что производная функции y=f(x) в точке х
равна мгновенной скорости изменения функции в этой точке.
Мгновенная же скорость прямолинейного движения равна
производной пути но времени: vurH=.s'(t).
Из определения производной видно, что она зависит
только от поведения функции в сколь угодно малой
окрестности точки х.
Значение понятия произзодной в математике и ее
приложениях очень велико. Всюду, где мы встречаемся с
неравномерно протекающими процессами, мы сталкиваемся с
производной. Приведем несколько примеров.
Рассмотрим явление радиоактивного распада. Это
явление характеризуется функцией m = m(t) — массой
радиоактивного вещества в момент времени t. Средняя скорость
распада за промежуток времени (/, t+M) выражается
формулой
т (t + А/) — m(t)
А мгновенная скорость радиоактивного распада в момент
t равна
,. m(t+At)-m(t)
v = 1 trn —-—■— —
Д/^0 А*
Иными словами, мгновенная скорость распада есть
производная массы радиоактивного вещества по времени, vMrii =
= m'(t). Ясно, что m'{t) — отрицательная величина: с
течением времени масса вещества уменьшается и потому при
М > 0 имеем А/тг < 0.
215
Упражнения.
7. Определить понятие мгновенной угловой скорости вращения и
дать выражение этой скорости через производную.
8. Определить понятие силы переменного тока в данный момент
времени и дать выражение для нее через производную.
9. Определить понятие лилейной плотности неоднородного стержня
в данной точке и дать выражение этой плотности через цроиаводную.
10. Определить понятие перепада температуры в данной точке
неравномерно нагретого стержня и дать выражение через производную.
11. Придумать еще два-три примера физических величин,
выражающихся с помощью производной.
4. Производная постоянной. Пусть функция y=f(x)
постоянна, то есть пусть для всех значений х она принимает
одно и то же значение С:/(х) = С. Тогда при любом
значении Ах имеем и /(х+Ах) = С. Поэтому
Ay=f(x+Ax) —f(x)=C—C=0
и, значит, ~~ =0. Поскольку предел постоянной величины
равен этой постоянной, то
C/=lim41=HniO=0.
Длг-0 Д*
Итак, мы доказали, что производная постоянной равна
нулю.
Доказанное утверждение имеет простой физический
смысл — если координата «прямолинейно движущейся»
точки сохраняет постоянное значение, то точка на самом деле
неподвижна и ее скорость равна нулю. Это и выражается
формулой С'=0.
5. Производная линейной функции. Вычислим теперь
производную линейной функции y=kx-\-b. Для этой функции
f(x) =kx+b и
f(x+Ax)=k(x+Ax)+b=kx+kAx+b.
Поэтому приращение линейной функции имеет вид
Ay=f(x+Ax)—f(x) =kx+kAx+b—(kx+b) =k-Ax.
Значит, разностное отношение для этой функции равно
--2L =k. Итак, для линейной функции разностное отношение
имеет постоянное значение k. Но тогда и предел этого
отношения, то есть производная у', имеет то же значение А:
у'= (kx+b)'=Um 4*- =limh=k. n\
216
Этот результат геометрически очевиден: угловой
коэффициент прямой y=kx-{-b равен k.
Мы доказали, таким образом, что производная линейной
функции постоянна и равна коэффициенту при аргументе:
(kx-{-b)'=k. В частности, при £=1, Ь=0 получаем: х'=1.
Формула (1) также имеет простой физический смысл.
Рассмотрим прямолинейное равномерное движение со
скоростью v. За время t движущаяся точка пройдет путь
s = vt. Поэтому если в начальный момент ее координата
равнялась х0, то в момент t ее координата выражается
формулой x=vt-{-x0. Равенство (vt-\-x0)'=v показывает, что
мгновенная скорость равномерного движения постоянна и
равна v.
6. Производная квадратичной функции. Найдем
производную для функции у=х2. Дадим х приращение Ах. Тогда
получим новое значение функции
у+Ау= (х+Ах)2=х2+2хАх+Ах2.
Значит, приращение функции у=х2, соответствующее
приращению Ах аргумента равно
Д у=х2+2х • Ах+Ах2—х2=2х • Д*+Ах2.
Поэтому разностное отношение дается формулой
Перейдем теперь к пределу при Д*-Н). Предел
разностного отношения — это производная. Мы получаем:
{х2)'=\\т{2х+Ах)=2х.
Ьх->0
Упражнения
12. а) Найти производную общей квадратичной функции
у = ах2-\-Ьх-\- с.
Вычислить производные функций:
б) #=5л:2—bx+З; в) у = — x2+3x—6;
г) */=-(*+4)2.
13. Доказать, что (х3), = 3х2.
7. Производная степенной функции с натуральным
показателем. Формулы
(*2)'=2х, (х*)'=Ъх2
217
делают естественным предположение, что при любом
натуральном п имеет место равенство
(хп)' = пх»-1. (1)
Мы докажем сейчас это утверждение.
Итак, пусть f(x)=xn. Тогда f(x-\-Ax) = (x-\-Ax)n. Применим
к (х+Ах)п формулу бинома Ньютона (см. «Алгебра», гл. I, § 1,
п. 8):
(*_]_.\х)п = хп + Схпхч~[ Ах + С2пхп-2 Ах2 + ... + &хп.
В «Алгебре» было доказано, что биномиальный
коэффициент Схп равен п. Поэтому
(х + Ах)п = хп + пхп~* Ах + ..., (2)
где все члены, обозначенные точками, содержат £* по
крайней мере во второй степени.
Из разложения (2) получаем, что
Ау = (х+ Ах)п — хч = пхп~{ Ах -f ...
и, значит,
4*- = **«-'+.... (3)
Да: ' v
В формуле (3) точками обозначены члены, в которые Ах
входит по крайней мере в первой степени.
Перейдем к пределу при Ах^О. Применяя теоремы о
пределе суммы и произведения, получаем, что
у' = Нт4^- = л*""-1
— все члены, содержащие А* хотя бы в первой степени,
стремятся к нулю, когда Ддг-*0.
Итак, формула (хпУ = пхп-1 доказана. Мы увидим ниже,
что эта формула верна для любых показателей — целых
и дробных, рациональных и иррациональных.
Упражнения
14. Доказать, что формула (1) справедлива для целых
отрицательных показателей, то есть что {х~п )'=— пх~п~х .
15. Доказать, что формула (1) справедлива для функций
_!_ J_ _L
2 3л
у=х , у = х , у=-х
218
где п — натуральное число, то есть что
х J =
(Л-±
1 V
•г 1
1 =—*
-L-i
п
?
3
Эти формулы можно записать так:
1
W = ^. (\Г7) =
2}/х
З^х*
(УГ)
8. Касательная к кривой. Перейдем к выяснению
геометрического смысла производной. Для этого нам
понадобится понятие касательной к кривой в некоторой точке М.
Пусть Г — некоторая кривая. Возьмем на ней точки М и N
и проведем через них секущую MN (рис. 85). Когда точка N,
двигаясь по кривой, приближается к точке М, секущая MN
вращается вокруг точки М.
Касательной к кривой Г в точке М называют предельное
положение секущей MN при условии, что расстояние MN
стремится к нулю.
Уточним это определение. Так как на касательной нам уже
известна одна точка М, то она однозначно определяется углом а с какой-
нибудь фиксированной прямой на плоскости. Выберем в качестве такой
прямой ось Ох. Обозначим через ср угол между секущей ММ и осью Ох.
Данное выше определение касательной означает, что
а = lim <p.
MN-+0
Итак, определение касательной уточняется следующим образом:
Определение.
Касательной к кривой Г в точке
М называют прямую,
проходящую через эту точку и
наклоненную к оси Ох под
углом а = Нт ср, где и — угол на-
MN-+0
клона к оси Ох секущей MN.
Предел а = lim © сущест-
вует не всегда. Если этот
предел не существует, говорят,
что кривая Г не имеет
касательной в точке М.
Например, кривая, изображенная "
на рис. 86 а, не имеет
касательной в точке А
(касательные, проведенные в этой
Рис. 85
219
точке к левой и правой частям
кривой, различны!). Не имеет касательной
IB точке В ,и кривая и а рис. 86 б.
(хотя и здесь, конечно, можно провести
две разные касательные к
пересекающимся в этой точке «ветвям» кривой).
Точки кривой, в которых к ней
нельзя провести касательную, называются
Рис. 86 особыми точками.
9. Выражение углового коэффициента касательной через
производную. Установим теперь связь между понятиями
касательной и производной. Пусть кривая Г является
графиком функции y=f(x), а касательная к этой кривой в
точке М не перпендикулярна оси абсцисс. Вычислим угловой
коэффициент этой касательной. Проведем секущую через
точки М и N кривой y=f(x), имеющие абсциссы х и х+Ах.
Угловой коэффициент этой секущей равен
Дх
Когда Дл:->0, то точка N приближается к точке М (см.
рис. 85). При этом секущая в пределе переходит в
касательную. Таким образом,
&кас = Пт &сек=Нп1 -
Ьх-+0 Дл:-*0
Ал:
Но Нт -^- =/' (х) и потому
*кас=П*)-
Мы доказали следующую теорему:
Теорема. Угловой коэффициент касательной к графику
функции y=f(x) в точке с абсциссой х равен значению
производной f'(x) в этой точке. Таким образом, геометрический
смысл производной состоит в следующем:
Значение f'(x0) производной в некоторой точке х0 равно
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0. Заметим, что
если lim-~- = + оо или lim -—- =—<х>, то кривая имеет вер-
A.v-*0 ЬХ &X-+0**
тикальную касательную (рис. 87).
220
У
, о
1
f'(x0)=+oo
ч
^/ х
0 *
yt
0
/5
x0 у
Рис. 87
Упражнения
16. Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у = х2—4л:+4 в точке с абсциссой х = 3.
17. Найти угловые коэффициенты касательных к параболе у=х2—4Г
проведенных \в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
10. Уравнение касательной. Напишем теперь уравнение
касательной к кривой y=f(x) в точке М с абсциссой х0. Мы
знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку
М(х0, уо) с угловым коэффициентом ky имеет вид
у—y0=k(x—х0).
Нам известна абсцисса х0 точки касания. По ней вычисляем
ординату y0=f(x0) этой точки. Угловой коэффициент
касательной равен k-f'(xo). Поэтому уравнение касательной
имеет вид:
y-f(xo) =Г(х0) (х—хо).
Пример. Написать уравнение касательной к параболе
у=х2—4х+3 в точке с абсциссой х0=4. Мы имеем
*/о=42—4-4+3=3. Далее, f'{x)=2x—4 и потому /'(4) =2-4—
—4=4. Значит, уравнение касательной имеет вид
у-3=4(х-А)
или
у—4х+13=0.
221
Упражнения
18. Написать уравнение касательной к кривой у=х3 в точке с
абсциссой *0=1.
19. Написать уравнения касательных к кривой у=х2—4х в точках
с ординатой у0 = —3.
20. Написать уравнение касательной к кривой у=х2—6л; + 2,
проходящей параллельно прямой у = —2x-f8.
21. Написать уравнения касательных к кривым у=2*2-5, у=х2—
—3*+5, проведенных через точку пересечения этих кривых.
22. Провести касательную к кривой у=У х в тбчке с ординатой
У о = 3.
23. Написать уравнения касательных к кривой у = х2— 4х-+ 3,
проходящих через точку М (2,-5).
11. Непрерывность дифференцируемых функций. Мы
выведем сейчас важную формулу, связывающую приращение
дифференцируемой функции y=f(x) с производной этой
функции.
Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в
точке х. Тогда ее приращение в этой точке выражается
формулой
Ьу= [Г(х) + а] Л*, (1)
где а стремится к нулю, когда Ах-^0.
Доказательство. По определению производной
имеем:
f'(x) = lim-|f.
Но функция, имеющая предел, является суммой двух
величин: значения предела и бесконечно малой функции.
Поэтому
где а^-0 при Ддт^О. Но тогда
ЬУ = [/'(*) + *] д*.
Теорема доказана.
При выводе формулы (1) мы предположили, что Дх^О.
При Дх=0 полагают а=0. Ясно, что утверждение теоремы
остается верным и при Длг=0.
Рассмотрим, например, функцию у=х6. Мы видели, что
у' = 3х2. Приращение Д# для этой функции имеет
следующее выражение:
А у=(х+ Ал:)3—х* = Зх2Дх+ 3 xA*2+ Дх3 = [Зл-2+3х&х+ Ах2] Ал:.
222
Здесь а = Зл:Ал:+Дд:2. Ясно, что а->0 при Ajc->0.
Из доказанной теоремы вытекает следствие.
Следствие. Если функция y=f(x) дифференцируема в
точке х, то она непрерывна в этой точке.
Нам надо показать, что
lim Ay = 0.
ДЛ'-О
Но мы знаем, что
by=f(x4 &x) — f(x) = bx[f'(x) + %]9
где lim а = 0. Поэтому
lim Ay = lim Ax • lim [/'(*) + a] = 0.
Дл->0 Ллг-0 Дл:-*0
Следствие доказано.
12. Вторая производная. Пусть y=f(x)— функция,
имеющая производную f'(x) во всех точках промежутка (a, b).
Эта производная в свою очередь является функцией от х,
и можно поставить вопрос о скорости ее изменения. Эта
скорость является производной от f\x). Производную от
производной называют второй производной и обозначают
Г{х). Таким образом, по определению,
Я*) = [/'(*)]'•
Например, если f(x)=x'\ то /'(*)== З.г2, а потому /"(*) =
= (З*2)' = 6л-.
Физический смысл второй производной — это скорость
изменения мгновенной скорости движения, или, как
говорят, ускорение движения. Точнее говоря, ускорение
прямолинейного движения равно второй производной
координаты движущейся точки по времени:
а = v' = (s'Y = s".
По второму закону Ньютона сила, действующая на
движущуюся точку, равна произведению массы этой точки на
ускорение. Этот закон записывается следующим образом:
ms"=F.
13. Производные высшего порядка. По аналогии со второй
производной определим производные высшего порядка:
производной п-го порядка функции y=f(x) называют производную от
производной (п—1)-го порядка.
Производные п-то порядка обозначают так: у^п\ f{n)(x). Таким
образом, у(п) = [у(п-1)]'.
223
Для некоторых функций легко получить общую формулу для
производных n-го порядка.
Пусть у=х™. Тогда имеем y/=mxm-i, y"=m(m—\)хт~2.
Ясно, что при п^т
у(п)=т(т—1) . . . (т—п+1)хт~п.
Предоставляем читателю доказать эту формулу с помощью
метода математической индукции. Отметим, что (*m)(m)=m!, а если
т<м, то (jt™)(n)=0.
§ 2. Техника дифференцирования
Мы видели, что решение многих физических и геометрических
задач сводится к отысканию производных, или, как принято
говорить, к дифференцированию функций. Чем больший запас
функций мы будем уметь дифференцировать, тем больше задач
сможем решить. Мы уже умеем дифференцировать степенную
функцию. Любая дробно-рациональная функция получается из
функций вида у=хп с помощью операций сложения, умножения
и деления. Поэтому, чтобы научиться дифференцировать любую
дробно-рациональную функцию, надо научиться
дифференцировать сумму, произведение и частное двух функций.
1. Производная суммы. Пусть функция у равна сумме
функций и(х) и v(x), y=u(x)-\-v(x). Возьмем некоторое значение х и
дадим ему приращение Ах. Тогда функции и и v получать
приращения Аи и Av и примут соответственно значения и-\-Аи и
v+Av. А тогда у примет значение
y+Ay=(u+Au) + (v+Av).
Так как y=u-{-v, то
Ay=Au+Av.
Значит, разностное отношение для этой функции выражается
формулой
Ау __ Au + Av __ Ац At;
Адг ~" Ах ~~ Ах Ax
Перейдем к пределу при Дл:-^0. Так как предел суммы двух
функций равен сумме их пределов, то получаем:
,. Av «. (Аи . Av \ i. Аи . л. Av
hm-x- = hm - h -1—) = lim "a Ь llm T7-
Д*-0 Л* Ajt-0 V *Х Д* ' AJt-0 Л* AJC-t A*
224
Но, по определению производной,
llm fj =«'(*)>
Длг-0 &Х
Значит, y'(x)=u'(x)+v'(x). Так как y(x)=u(x)+v{x), то эту
формулу можно переписать так:
[u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x).
Итак, мы доказали, что производная суммы двух функций
равна сумме их производных. Эта формула остается справедливой
для суммы любого конечного числа слагаемых:
[u+v+ . . . +w]'=u'+v'+ . . . +w'.
2. Производная функции у=Си. Имеет место утверждение:
Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
[Си(х)]'=Си'(х).
В самом деле, пусть у—Си(х). Дадим х приращение А*. Тогда и
иолучит приращение Аии примет значение u\-Au=u{x+Ax). А у
получит приращение Ау и примет значение
y+by=Cu(x+Ax) =C(u+Au)=Cu+CAu.
Так как у=Си(х), то Ау=САи< Отсюда получаем, чтОдГ^Сд^" •
Перейдем к пределу при Дх-Ю. Так как постоянный множитель
можно вынести за знак предела, то получаем:
^lImfe = UmC£-C1Im^-Ce'.
Ах-+Оах Длг-*0 ах &х^0ах
Равенство (Cu)'=Cuf доказано.
Пользуясь выведенными правилами и формулой (xn)/=nxn~it
можно продифференцировать любой многочлен. Например,
(5х4—3*2+6*— 1) '= (5*4) '+ (—Зх2)'+ (6х)'+ (—1) '=
= 5 (х4) '—3 (х2) '+6 (х) '=20х3—6х+6.
Упражнения
24. Найти производные многочленов:
а) у=5х3—Зх2+х— 1; б) у = х2п+3хп—1; в) у=6х*—Зх3+7х+2.
25. Провести касательную к кривой у=6х3—2х2+Ъх—1 в точке с
абсциссой Хо=1.
15 Заказ 2541 225
26. Провести касательную к кривой у = х3—3*+1 в точке с ординатой
*/о = —1.
27. Продифференцировать функцию
X9 — 3.V* f V"x~— I
у= ^ •
28. Найти следующие производные:
а) (7л:5—6x2-f-4)'"; в) \(х2— 1)6(л:3+5)10] (50);
б) (2х*—6л:4+1)(4>; г) [(х2— 1)6(л:3+5)10](42)-
3. Производная произведения. Пусть и=и(х), v = v(x) и
y(x)=u(x)v(x). Дадим х приращение Ах. Тогда и и v получат
приращения Аи и Avy и у примет значение
у+Ау= (и-{-Аи) (v+Av) ==uv-{-uAv-\-vAu-{-AuAv.
Так как y=uv, то Ay=uAv-\-vAu-\-AuAv.
Поэтому
Ау Аи . Ьи . Аи .
Ал: Ал* ' Ддг Дх
Перейдем к пределу при Дл:->0. При изменении Ал:
первоначальное значение х, а следовательно, и первоначальные значения и(х),
v(x) остаются неизменными. Поэтому их можно вынести за знак
предела:
&Х-+0 аХ Дд:-0\ аХ J Длг-0\ ЬХ ]
, 1. [Аи . \ .. Av , -. Аи ,
+ lim [jr- Av ) = u lim-—+y hm t- +
Д*-*0 \<*x / Дл-_>0 IXX Длг-0 &х
+ Hm чД lim Ди = ш/+1шЧ- и' lim Ay .
Дд:->0 *** Д*->0 Дл'^0
По теореме п. 11 § 2 имеем lim Ди=0, а потому
Ддг->0
у'= (Mi;),=ttt;/+tt/t;.
Итак, мы доказали, что производная произведения двух
функций равна сумме двух слагаемых: произведения первого
сомножителя на производную второго и произведения второго
сомножителя на производную первого.
Упражнения
29. Вычислить производные функций:
а) У=(х2—Зл:+1)(л:4—3*+1); в) у= (V*+5) (У*^4);
б) у=(х5—х+2)(х3—Зх2+4)\ г) у = ух(х*—Злг+6).
30. Вывести формулу для (uvw)'.
226
4. Производная частного. Наконец, выведем формулу для
производной отношения двух функций. Пусть и=и(х), v = v(x) и
у(х) — -~. Возьмем любое значение аргухмента х, при котором
функция v(x) не обращается в нуль. Дадим х приращение Ах.
Тогда и и v получат приращения кы и Avy а у — приращение Ау.
Ясно, что
. __ а + Au u _ vLu — ubv
V + At> V V(V + Ay) *
Разделим обе части этого равенства на Ах и перейдем к пределу
при Дх-^0. Мы получим, что
Sll Av
.г 1 • At/ i. ?;Xr " д*
Применяя теоремы о пределах отношения, произведения и суммы,
получаем, что
У' =
Аи Дг/
У2 + У lim Ду
Ддг-0
(как и в случае произведения, и и v являются постоянными при
изменении А*). Так как НтД0 = О, Нтт^-=м,и lim т- = t/, то
Дл:->0 Дд:->0ах 0 ^Х
У - \-jr) - & •
Эта формула верна лишь при условии, что и(х)ФО.
Упражнения
31. Продифференцировать функции:
б)^ = Х4 + Х1 + 1 ;
Зд; 4
32. Провести касательную к кривой у= —
в точке с абсциссой 1.
33. Найти вторые производные следующих функций:
а) у = -Д-; в) у=
*2+4 ' у л:2-Ь4
15* 227
5. Дифференцирование сложной функции.
Продифференцируем функцию
у=(2х-Ъ)К
Так как
(2х—3)4=16x4—96х3+216л:2—216х+81,
то мы имеем:
у'=64х3—288х2+Шх—2\6.
Этот способ дифференцирования потребовал разложения (2х—З)4
по формуле бинома Ньютона. Ту же задачу можно решить иначе,
не прибегая к разложению по биному. Для этого заметим, что
функцию у=(2х—З)4 можно представить в виде у= w4, где
и=2х—3. Мы умеем дифференцировать и функцию y=uk и
функцию и = 2х—3:
у'и=\и\ и'х=2К
Но у'и показывает, во сколько раз быстрее меняется г/, чем и, а
и'х — во сколько раз быстрее меняется иу чем х. Наконец, у'х
показывает, во сколько раз быстрее меняется у, чем х. Очевидно,
что если у меняется быстрее, чем и, в у'и раз, а и быстрее, чем ху
в и'х раз, то у меняется быстрее, чем х, в у'и-и'х раз. Поэтому
имеет место формула
Подставляя значения у'и и и'х, получаем:
у'х=4и3-2=8и3=8(2х—З)3.
Продифференцируем с помощью формулы (1) функцию
у=(х2+1)6. мы имеем: у=и6, где и=х2+\. В этом случае
у'и=6и5, а и'х=2х. Поэтому
у'х=6и*.2х=\2х(х*+1)5.
Мы видим, что формула (1) дает удобный метод
дифференцирования функций. Однако она была получена нами из нестрогих
рассуждений, опирающихся скорее на интуицию, чем на логику.
Приведем строгое доказательство формулы (1).
Пусть y=f(u) и м=ф(л:), причем существует сложная функция
y=F(*)=f[q>(*)]. (2)
1 Здесь у'и — производная у по и, и'х — производная и по х:
&У , „ Да
У'^ = lim 7GT ' и'х = Ит тт •
228
Ди->0 а" Д*-М> &х
Дадим независимой переменной х приращение Ах такое, что и х+Ах
принадлежит области определения функции F(x). Тогда и получит приращение Аи:
Ди=ф (х+Ах) —ф (х).
Так как у зависит от и, то у получит приращение Ау:
Ay=f(u+Au)-f(u),
где Аи определяется формулой (2). По условию функция f(u) имеет
производную f'(u). Поэтому (см. п. 11 § 1)
Ay=[f(u)+a]Au=f(u)Au+aAu, (3)
где <z->0 при Аи-^0.
Разделим обе части равенства (3) на Л* и перейдем к пределу при Ах->0.
Мы получим, что
Ау [ Р Аи АиЛ
у=^£=1тЛт^+а^г (4)
Аи , Аи
= f'(u) lim т— + lim a. lim -г- .
1х->0ах Дл»0 Ддг->Оах
Аи
Но при Д*-*-0 мы имеем Ди-*-0; тогда и а->0. Кроме того, lim -г— = м'=ф'(л:).
Поэтому получаем:
*/'=/>)ф'(*). (5>
Итак, производная сложной функции равна производной
функции f(u) no промежуточному аргументу, умноженной на
производную промежуточного аргумента и = ц(х) по
независимому аргументу.
Поскольку здесь вычисляются производные по различным
аргументам, то мы обозначили их ух\ уи', их'. В этих обозначениях
формула (5) принимает вид
Ух=Уи-их'. (6)..
Упражнения
34. Найдите производные следующих функций:
а) у=(2х2— I)7; г) у^^ГЩ,-
б) у=(6х-4)*+Ц6х-х)>+\; д) у=={уТ-1у.
1
в) У
(Зх3—1)* >
35. Проведите касательную к кривой
у=(*Ч-1)*
в точке х==1.
6. Дифференциал функции. Мы установили в п. 11 § 1
формулу для приращения функции:
Ау=/' (х) Дх+осДх.
229
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых.
Первое из этих слагаемых f (х)Ах является произведением
производной f'(x) на приращение аргумента Ах. Оно
пропорционально Ах. Второе слагаемое аДх более сложно зависит от Ах:
ведь а тоже зависит от Ах и стремится к нулю, когда Дх-Я)
(например, для функции у=х3 мы имели а = 3*Дл:--|-Дл:2). Но при
малых значениях Ах это слагаемое является произведением двух
малых величин: а и Ах, то есть оно не только само мало, но мало
по сравнению с Ах. Точнее говоря, отношение этого слагаемого к
Ах стремится к нулю, когда Ах стремится к нулю:
lim -г— = lim a = 0.
Говорят, что аДх является бесконечно малой более высокого
порядка, чем Ах. Итак, мы разложили приращение функции на два
слагаемых: одно из них пропорционально Ах, а второе является
бесконечно малой более высокого порядка, чем Ах. Первое
слагаемое, то есть f'(x) Ax, называют дифференциалом функции f(x)
и обозначают dy:
dy=f'(x)Ax. (1)
Таким образом, дифференциал функции зависит как от точки
х, в которой он вычисляется, так и от приращения Да:. Разность
между приращением функции и ее дифференциалом является
бесконечно малой более высокого порядка, чем Ах. Если }'(х)Ф0,
то эта разность бесконечно мала и по сравнению с dy. В самом
деле, если f'(x) фО, то
lim ~j— = urn ,,, чл — lim 777—ч = 0.
Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл.
Проведем в точке М с абсциссой х0 касательную к графику
функции y=f(x).
Мы знаем, что уравнение этой касательной имеет вид:
y—f(xo)=f'(xo) (х—хо).
Но х—х0=Ах, а поэтому f (x0) -Ax=dy. С другой стороны,
У—f(xo) —это приращение ординаты касательной.
Итак, дифференциал функции равен приращению ординаты
касательной. Иными словами, заменяя приращение функции ее
дифференциалом, мы заменяем график функции касательной к
этому графику в точке с абсциссой х. Ясно, что эта замена тем
более точна, чем меньше Ах. На рис. 88 дифференциал dy в точке
А составляет примерно 60%. соответствующего приращения Ау,
230
У{
0
,
/\<Р
'/
ОСА*
Т
р
В А х
Рис. 88
а дифференциал dy в точке
В —примерно 80%
приращения Аг/. Если бы мы
взяли точку еще ближе к точке
касания, то дифференциал
приблизился бы к 100%
приращения функции.
Рис. 89 показывает, что
дифференциал может быть и
больше, чем приращение
функции.
7. Инвариантная запись
дифференциала функции. Мы
определили дифференциал
функции, но еще не определяли, что
такое дифференциал аргумента.
Положим по определению, что дифференциал независимой переменной
равен ее приращению dx = Ax. Это определение естественно, так как для
функции у=х имеем #'=1 и потому dy=l-Ax = Ax.
Пользуясь введенным определением, можно записать формулу (1) п. 6
в виде
dy=f'(x)dx. (1)'
Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной
этой функции на дифференциал независимой переменной.
Форма записи (1) для дифференциала более удобна, так как она остается
верной и в том случае, когда х — промежуточный аргумент, а не
независимое переменное. Именно, пусть */=/(#) и x=(p(t). Тогда по определению
dy = y/dt. Но мы знаем, что у/ = ух*-х/, а также, что xt dt=dx. Поэтому
dy = y/dt = ух' • Xt'dt = yx'dx=f (x) dx.
Итак, форма (1)
дифференциала функции не зависит от
того, чем является х —
независимой переменной или
промежуточным аргументом. В обоих
случаях дифференциал функции
является произведением
производной функции по данному
аргументу на дифференциал
аргумента. Это свойство называется
инвариантностью формы записи
дифференциала. Заметим, что
форма записи dy = у'Ах
свойством инвариантности не обладает.
Если х— промежуточный
аргумент, х = <f{t), то Ддг = ср'(/) Д/J-
+ <*ДЛ и потому
П*)А*=/'(*)Ф'(0А'+
+af'(x)At = yt'M+af'(x)At
вместо у/At .
Уь
01
i
м/
/
/
&у\
Г
Jdy
>р
X
Рис. 89
231
8. Применение понятия дифференциала к приближенным
вычислениям. Мы знаем, что при малых значениях Ах приращение
функции отличается от ее дифференциала на малую высшего
порядка. Иными словами, если Ах достаточно мало, то можно с
высокой степенью точности заменить Ау на dy. Этим замечанием
пользуются в приближенных вычислениях. Вычислим, например,
У4,02. Это число можно рассматривать как значение функции
У=Ух в точке х+Ах, где х=4, Д#=0,02. Так как f'(x) =-
2}/1
ТО
Ух+Ах-1/х=Ау ^dy=^y=.
или
Ах
1/x+Ax^V^+^^.
2у х
0,02
Полагая здесь х=4, Д*=0,02, получаем ]/4,02«У4-]—^=2,005.
Вообще для любого показателя а верна формула (которую мы не
будем сейчас доказывать):
d(xx) = oLXx~ldx.
В частности,
d(^F)=d(^)=-i.^"'rfre!^.
г ' v ' П ПХ
Поэтому справедливы приближенные формулы
(*+ Ах)« zxx* + *х*-1Ах = х* (l + ^-) (1)
и, в частности,
^7+a5«"/F(i-+£l). (2)
Например,
^27ГЗ-«^27+1^.«3,011.
Формулами (1) и (2) пользуются на практике для оценки
погрешности функции по заданной наибольшей погрешности
значения аргумента. Например, пусть сторона куба х измерена с
точностью до Дл:=0,01 и равна 4. Тогда приближенное значение
объема куба равно V=43=64. Чтобы оценить погрешность этого
значения, надо найти AV. Так как d(x3)=3x2dx, то
AV&3x*dx=3-42-0,0l = 0,48^0,5.
Значит, V=64±0,5 см3.
232
Упражнение 36. Вычислить приближенно следующие выражения:
3 ——————
а) ^130, б) Ут, в) ^^з1 •
§ 3. Применение понятия производной к исследованию
функций
Одной из основных задач математического анализа является
изучение хода функций — отыскание участков возрастания и
убывания, экстремумов функции и т. д. Мы уже рассматривали эти
вопросы в § 2 главы III. Однако примененные там элементарные
методы исследования имеют сравнительно узкую область
применимости. Общие методы исследования функций основаны на
понятии производной. Эти методы и будут изложены в данном
параграфе.
1. Возрастание и убывание функции. Рассмотрим
произвольную функцию y=f(x). Мы будем смотреть на х как на момент
времени, а на у — как на координату точки, движущейся по оси.
При таком истолковании, как мы уже знаем, производная f'(x)
является мгновенной скоростью движущейся точки в момент
времени х. Из физических соображений очевидно, что если на
отрезке [а, Ь] выполняется неравенство f'(x)>0, то есть если в
течение промежутка времени а^х^Ь скорость точки была
положительной, то точка все время движется слева направо и ее
координата возрастает. Иными словами, верна следующая теорема:
Теорема 1. (Достаточное условие возрастания.) Если на
отрезке [а, Ь] функция y=f(x) имеет производную, причем во
всех точках этого отрезка выполняется неравенство /'(*)> 0, то
функция y=f(x) возрастает на отрезке [а, Ь]. (Напомним, что
это означает следующее: для любых двух точек xi и х2 этого
отрезка, таких, что xi<.x2, выполняется неравенство f(xi) <f(x2).)
Точно так же мы убеждаемся в справедливости следующей
теоремы:
Теорема 2. (Достаточное условие убывания.) Если на отрезке
[а, Ь] функция y=f(x) имеет производную, причем во всех
точках этого отрезка выполняется неравенство f'(x) <0, то функция
y=f(x) убывает на отрезке [а, Ь].
Примеры.
1) Доказать, что функция у=х3—9х2+30х+1 возрастает на
всей числовой оси.
Мы имеем:
у'=Ъх*— 18х+30=3[(х—3)2+1]>0.
233
Значит, исследуемая функция всюду возрастает. 1
2) Найти участки возрастания и убывания функции
у=х3—6*2+l.
Мы имеем:
#'=3*2— \2х=Ъх(х—4).
Чтобы найти участки возрастания функции, надо решить
неравенство Зх(х—4)>0. Решая его, получаем, что оно выполняется при
—оо<*<0 или 4<*< + °°. Значит, исследуемая функция
возрастает при —оо<л:<0, убывает при 0<х<4 и снова возрастает
при *>4.
3) Доказать, что при х>\ выполняется неравенство
х3—Зх+2>0.
Положим f(x)=x3—Зх+2. Мы имеем /(1)=0. Далее, f'(x) =
= 3х2—3=3(х2—1). При х>\ имеем //(л:)>0. Поэтому функция
f(x) возрастает на луче 1<*<+оо. Для любого х>\ имеем
f(x) >/(1)=0, то есть х3—Зх+2>0. Неравенство доказано.
Нам понадобятся в дальнейшем некоторые следствия из
теорем 1 и 2.
Следствие 1. Если на отрезке [а, Ь] имеет место неравенство
Г(х)<Л, то для любых двух точек Xi и х2 этого отрезка, таких,
что *i<C*2, выполняется неравенство
f(x2)—f(Xi)<A(x2—xi).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=f(x)—A(x—xi).
Производная этой функции равна
F'(x)=f'(x)—A.
Так как по условию на отрезке [а, Ь] имеем f'(x)<iA, то F'(x)<C0 и потому
функция F(x) убывает на этом отрезке. Но тогда имеем F(xi)>F(x2), то есть
f(Xi)>f(x2)—A(x2—Xi). Но это и значит, что f(x2)—f(xi)<A(x2—xi).
Точно так же доказывается
Следствие 2. Если на отрезке [а, Ь] имеет место неравенство
f'(x)>A, то для любых двух точек Х\ и х2 этого отрезка, таких,
что Xi<.x2y выполняется неравенство
f(x2)—f(xl)>A(x2—xi).
Из следствий 1 и 2 вытекает следующее утверждение:
Следствие 3. Если на отрезке [а, Ь] имеет место неравенство
\f'(x) I <^> то для любых двух точек Xi и х2 этого отрезка
выполняется неравенство
\f(x2)—f(Xi)\<A\x2—Xi\.
234
В самом деле, пусть xi<x2. Так как по условию —А </'(*) <
<Л, то по следствиям 1 и 2
—A (x2—Xi) <f(x2) —f(Xi) <A (x2—xi).
Значит,
\f(x2)—fM\<A\x2—xt\.
Точно так же рассматривается случай Х\>х2.
Рассмотрим теперь случай, когда во всех точках отрезка [а, Ь]
производная равна нулю, f'(x)=0. Это означает, что в течение
промежутка времени [а, Ь] мгновенная скорость точки равнялась
нулю. Но тогда точка оставалась в течение этого промежутка
времени неподвижной, то есть ее координата была постоянной.
Мы приходим к следующей теореме:
► Теорема 3. Если на отрезке [а, Ь] функция y=f(x) имеет
производную, причем для всех точек этого отрезка f'(x) = 0, то
функция f(x) постоянна на отрезке [а, Ь].
Докажем следствие из теоремы 3.
Следствие.Еели функции y=f(x) и у=у(х) имеют на отрезке
г [а, Ь] равные производные }'(х)=у'(х), то они отличаются на
этом отрезке лишь постоянным слагаемым.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=f(x)—ф(х). По условию производная этой функции равна
нулю:
F(x)=f'(x)-<p'(x)=0.
По теореме 3 функция F(x) постоянна: F(x)=C. Значит,
f(x)—ф(л-)=С, то есть /(*) =cp(*)+C. Следствие доказано.
В дальнейшем нам понадобится уточнение теорем 1 и 2.
Именно мы встретимся с функциями, которые на одном или обоих
концах отрезка [а, Ь] либо не имеют производной, либо имеют
производную, равную нулю. В этом случае неравенство f'(x) >0 (или
f'(x) <0) выполняется лишь во внутренних точках отрезка [а, 6].
Оказывается, что если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[ау Ь] (в том числе и на его концах), то теоремы 1"и 2
обобщаются и на этот случай. Иными словами, верны следующие теоремы:
Теорема Г. Если на отрезке [а, 6] функция y=f(x)
непрерывна и во всех внутренних точках этого отрезка выполняется не-,.,
равенство /'(х)>0, то функция y=f(x) возрастает на отрезке
[а, 6].
Теорема 2'. Если на отрезке [а, Ь] функция y=f(x)
непрерывна и во всех внутренних точках этого отрезка выполняется
неравенство /'(х)<0, то функция y=f(x) убывает на отрезке [а, 6].
Для доказательства теоремы 1' заметим, что если xi'n'xi— внутренние
точки отрезка [a, b], *i<x2, то на отрезке [хи х2] выполняется неравенство
235'
-i 1 1 1
Xj x X2 b
Рис. 90
f'(x) >0 и потому функция y=f(x) возрастает на этом отрезке. Поэтому надо
доказать лишь, что для любой внутренней точки х отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство f(a)<f(x)<f(b). Для этого возьмем точки х{ и х2у между
которыми лежит точка х (рис. 90). Мы имеем f(xi)<f(x)<f(x2). Перейдем в этом
неравенстве к пределу, когда Хр-кг+О, a x2-+b— 0. Гак как по условию
функция y=f(x) непрерывна на концах отрезка [а, Ь], то Vimf(xi) =f(a),
Xi-*-a-\-0
\\mf(x2)—f(b), и мы получим в пределе неравенство f(a)<:f(x)<f(b).
лг2 -*-Ь—0
Теорема Г доказана. Теорема 2' доказывается точно так же.
Теоремы 1, 2 и 3 имеют простой геометрический смысл.
Теорема 1, например, утверждает, что если в каждой точке графика
функции y=f\x) касательная направлена под острым углом к
оси абцисс, то при движении по кривой слева направо точка
поднимается вверх (рис. 91). В самом деле, мы знаем, что значение
производной в некоторой точке равно угловому коэффициенту
касательной к кривой y=f(x), проведенной в соответствующей
точке кривой. Неравенство /'(х)>0 и означает, что касательная
образует острый угол с осью абсцисс.
Мы «доказали» теоремы 1, 2 и 3, исходя из физических соображений
(теоремы Ги2' строго выведены из теорем 1 и 2 соответственно). Однако
такие наглядные соображения не могут считаться строгими математическими
доказательствами. Во многих случаях столь же «наглядно очевидные»
утверждения оказываются неверными.
Поэтому мы дадим теперь строгий
вывод этих теорем, не опирающийся
на физические или геометрические
рассмотрения. Сначала мы
докажем следующую лемму, которая
будет полезна и в дальнейшем.
Лемма. Пусть производная
функции y=f(x) в точке с
положительна, f'(c)>0. Тогда
существует такая окрестность (с—б, с+б)
точки с, в которой знак
приращения функции совпадет со знаком
приращения аргумента, то есть из
h<0 следует f(c+h)—f(c)<0, a
из h>0 следует f(c+h)—f(c)>0.
Доказательство. Мы
вывели выше формулу
by=f(c+h)-f(c) = [f'(c)+a]h
Рис. 91.
236
c-6 c+6
an с tn
Рис. 92.
(см. формулу (1) п. 11 § 1). Здесь а-Ч), когда Л-й). Поэтому найдется
окрестность точки с, в которой выполняется неравенство |а|</'(с). Но тогда
Пс)+а>П*)-|а|>0.
Поэтому f(c-\-h)—f (с) имеет тот же знак, что и h. Лемма доказана.
Точно так же доказывается, что если /'(с)<0, то существует окрестность
точки с, в которой знак f(c+h)—f(c) противоположен знаку h.
А теперь перейдем к строгому доказательству теоремы 1. Проведем его от
противного. Предположим, что во всех точках отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство f'(x)>0, но что есть такие две точки а\<Ь\ отрезка [а, 6], что
/(fli)^f(bi). Разобьем пополам отрезок [аи &i] точкой а*. Тогда имеет место
хотя бы одно из неравенств f(cL\)^f(a*) или f(a*)^f(bi). В противном случае
мы имели бы f (ai) <f(a*) и f(a*) <f (fr4), а потому f (at) <f(bi), вопреки
предположению.
Пусть, например, f(ai)^f(a*). Тогда мы разобьем отрезок [ait а*]
пополам и повторим то же самое рассуждение. Продолжая далее разбивать отрезки
пополам, мы построим стягивающуюся систему отрезков, которую обозначим
[аи &i]» [а2, Ь2], . . . , [ап, 6П],
таких, что f(an)>f{bn). Эти отрезки имеют общую точку с. По
предположению справедливо неравенство /'(с)>0. Поэтому по лемме найдется такая
окрестность (с—б, с+б) точки с, что в этой окрестности знак f(c+h)—f(c)
совпадает со знаком h. При достаточно большом значении п отрезок [ап, Ьп]
попадает внутрь этой окрестности (это во всяком случае произойдет, когда
длина отрезка [ап, Ьп] станет меньше радиуса б выбранной окрестности (см.
рис. 92). Но тогда из ап<с вытекает, что f(an)<f(c), а из с<Ьп вытекает,
что f(c)<f(bn), и потому f(an)<f(bn), вопреки построению отрезков
[аПу Ьп]. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение
неверно, и потому из ai<Cbi вытекает f(ai)<f(bi). Иными словами, функция
y=f(x) возрастает на отрезке [а, Ь].
Буквально так же доказывается теорема 2. Чтобы доказать теорему 3,
воспользуемся следствием 3 к теоремам 1 и 2. Из этого следствия вытекает, что
если f(x)=0, то для любого е>0 имеем:
|f(*i)-f(*i)|<e|xi-*t|.
В силу произвольности е это равенство означает, что \f(x2)—f(xi)\=0. Таким
образом, функция f(x) постоянна.
Отметим еще теоремы, в известном смысле обратные теоремам 1 и 2.
Теорема 4. (Необходимое условие возрастания.) Если функция y=f(x)
возрастает на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на этом отрезке, то ее
производная на этом отрезке неотрицательна: f'(x)^0.
Доказательство. Возьмем точки х и x+h отрезка [а, Ь]. Если А>0,
то x<.x+h, и в силу возрастания функции f(x) имеем f(x+h)—f(x)>0.
Но тогда дробь
*У /(* + *)-/(*)
Д* ~~ h
237
положительна. Следовательно, ее предел
f(x + К) - fjx)
/'(Ф
= lim
неотрицателен: f'(x)^0 (если бы мы взяли /г<0, то имели бы х+п<х и
потому f(x+h)—/(#)<0; дробь снова была бы положительной).
Точно так же доказывается
Теорема 5. (Необходимое условие убывания.) Если функция y—f(x)
убывает на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на этом отрезке, то ее производная
на этом отрезке неположительна: f'(x)^0.
Упражнения
37. Доказать, что функция
У = х +
1 + *2
возрастает на всей числовой оси.
38. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:
а) у^х3—6*2+9*+4; в) у = (х—2)5(2*+1)4;
б) у=х3(х—4);
г) у =
1 — х + *2
1
X + X2 '
39. Доказать, что при л:>0 выполняются неравенства:
4
а) хъ— -J- х3+х>0;
б) Г+T^i <1—^2+^;
16
в) а:4— -з~л:3+10л:2+л:+1>0.
40. а) На рис. 93 изображен график функции y=f(x). Нарисуйте
схематически график ее производной y=f (х).
б) На рис. 94
изображен график производной
у = f'(x). Нарисуйте
схематически график
функции у = f(x) так, чтобы он
проходил через начало
координат.
2. Необходимое
условие экстремума.
Покажем теперь, как
прилагается
дифференциальное исчисление к
отысканию экстремумов
функций. Напомним,
что точка с
называется точкой максимума
Рис, 93
238
Рис. 94
для функции y=f(x), если у
этой точки есть окрестность
(с—б, с + б), во всех точках
которой, не совпадающих с
точкой су f(x)<:f(c). Точно
так же определяется точка
минимума. Точки
максимума и минимума называются
точками экстремума
функции. Следующая теорема
дает необходимое условие для
того, чтобы точка с была
точкой экстремума функции.
Теорема 1. (Необходимое
условие экстремума.) Если
с — точка экстремума функции y=f(x), то в этой точке
производная либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство. Возможны следующие четыре случая:
а) Пс)>0; в) f'(c)=0;
б) /'(с)<0; г) f'(c) не существует.
Нам надо доказать, что в точках экстремума первые два случая не имеют
места. Проведем доказательство от противного. Предположим, что f'(c)>0.
Тогда по лемме п. 1 у точки с есть окрестность (с—б, с+б), в которой знак
приращения функции совпадает со знаком приращения аргумента. Но тогда
в этой окрестности при /i<0 мы будем иметь f(c+h) <f(c), а при h>0 будем
иметь f(c-\-h) >f(c). Иными словами, в окрестности (с—б, с+б) есть и точки,
где f(x)<f(c), и точки, где f(x)>f(c). Поскольку окрестность (с—б, с+б)
можно выбрать сколь угодно малой, точка с не является ни точкой максимума,
ни точкой минимума — она не является точкой экстремума.
Совершенно так же разбирается случай /'(с)<0. Поэтому в точках
экстремума могут иметь место лишь случаи в) иг) — в этих точках производная или
равна нулю, или не существует.
Пример. В каких точках может иметь экстремум функция
f(x)=x*—Зх+1?
Мы имеем:
/'(*)=3*2—3.
Корнями уравнения Зх2—3 = 0 являются *i = — 1, х2=\. Так
как функция За:2—3 всюду определена, то функция х3—Зх+1
может иметь экстремумы лишь в точках Xi ——1, х2=1-
Точки, в которых //(с)=0, геометрически характеризуются
тем, что в них касательная к графику функции направлена
параллельно оси Ох. В точках же, где f'{c) не существует,
отсутствует касательная к графику функции y=f(x), этот график имеет
239
6 в г
Рис. 95
излом. Экстремумы такого вида называют «пикообразными». На
рис. 95 изображены различные виды точек экстремума
непрерывной функции.
Отметим, что доказанное выше условие является лишь
необходимым. Оно позволяет отыскивать точки «подозрительные» на
экстремум — во всех остальных точках функция заведомо не
имеет экстремума. Однако может случиться, что в некоторой точке
производная равна нулю или не существует, а экстремума у
функции y=f(x) нет. Например, функция у=х3 монотонно
возрастает на всей оси и, значит, не имеет точек экстремума. Но в
точке х=0 ее производная у'=3х2
обращается в нуль (рис. 96). Ниже
мы дадим достаточное условие
экстремума.
3. Первое достаточное условие
экстремума. Мы уже говорили, что
условие «f (с) равно нулю или не
существует» является лишь
необходимым для того, чтобы с была точкой
экстремума функции y=f(x). Оно
позволяет отбирать точки,
«подозрительные на экстремум». Однако, как
мы уже знаем, среди этих точек
могут оказаться и лишние, то есть
точки, в которых функция не имеет
экстремума.
Чтобы выделить среди
«подозрительных» точек те, в
которых функция y=f(x)
действительно имеет экстремум,
применяется следующее достаточное
условие:
Теорема. Пусть с —внутренняя
точка отрезка [а, Ь], на кото*
Рис. 96
240
ром задана непрерывная функция y=f(x), и пусть эта точка
имеет окрестность (с—б, с+8) со следующим свойством: на
промежутках (с—б, с) и (с, с+6) производная не меняет знак. Если
на промежутке (с—б, с) производная положительна, а на
промежутке (с, с+б) отрицательна, то с — точка максимума функции
y=f(x). Если на промежутке (с—б, с) производная
отрицательна, а на промежутке (с, £+6) положительна, то с —точка
минимума для y=f(x). Если же на обоих промежутках (с—б, с) и
(с, с+6) производная имеет один и тот же знак, то с не является
точкой экстремума для f(x).
Доказательство. Рассмотрим первый случай: на промежутке
(с—6, с) имеем f'(x)>0, а на промежутке (с, с+д) имеем /7(л:)<0. Тогда на
отрезке [с—б, с] функция f(x) возрастает. Поэтому для любой точки х этого
отрезка имеем f(x)<f(c). Точно так же на отрезке [с, с+д] функция убывает,
а потому для любой точки х этого отрезка имеем f(c)">f(x). Таким образом,
для любой точки х отрезка [с—б, с+б] имеет место неравенство f(x)^f(c),
причем f(x)=f(c), лишь если х=с. Это значит, что в точке с функция f(x)
принимает наибольшее значение, то есть имеет в этой точке максимум.
Точно так же разбираются остальные случаи.
Полученные результаты сведем в следующую таблицу:
/'(*)
(с—*, с)
+
—
+
—
(с,с+Ъ)
—
+
+
—
Вывод
max
min
Возрастает
Убывает
При исследовании точек экстремума обычно пользуются
следующим замечанием: если *i и х2—соседние корни уравнения
/'(*)= О и если между этими корнями функция f'(x) непрерывна,
то она сохраняет знак в промежутке [xiy x2]. Это утверждение
вытекает из теоремы о промежуточном значении (п. 9 § 3 гл. III).
В силу сделанного замечания можно проводить исследование
корней уравнения f (x) — О следующим образом: если функция
f'(x) непрерывна и имеет конечное число корней, то ее корни
располагаются в таблицу, причем между соседними корнями
оставляются промежутки. В каждом промежутке между корнями вы-
16 Заказ 2541
241
бирают контрольную точку с и вычисляют значение f'(c) в этой
точке. Знак полученного значения совпадает со знаком f'(x) на
всем исследуемом промежутке. Если же функция f'(x) имеет
точки разрыва или не определена в некоторых точках, то эти точки
также включаются в таблицу.
Примеры:
1) Найти экстремумы функции
у= -у — 2х2+Зх+\.
Мы имеем:
у'=х2—4*+3.
Производная определена при всех значениях х и непрерывна.
Приравнивая ее нулю, получаем квадратное уравнение
х2—4х+3=0.
Его корнями являются числа xi=l, *2=3. Они разбивают
числовую ось на промежутки (—оо, 1), (1, 3), (3, +°°)- Выберем в
этих промежутках контрольные точки 0, 2, 4. В этих точках имеем
f (0)=3, /,(2)= —1, Г(4)=3. Составляем таблицу:
X
/'(*)
0
+
1
0
2
-
3
0
4
+
{мы указываем лишь знак производной в контрольных точках,
поскольку лишь он имеет значение при исследовании на
экстремум). Из полученной таблицы
видно, что л; = 1 — точка максимума
дляЛнашей функции, а х = 3—
точка минимума. Так как /(1) =
= 2 -у-, / (3) = 1, то график
функции схематически имеет вид,
изображенный на рис. 97.
2) Найти экстремумы функции
у=х3(4—х).
Здесь мы имеем:
у'=ЗхЦ4—х)— х*--
=x2(12—4*).
Рис. 97
Производная определена при всех
значениях и непрерывна. Прирав-
242
няем у' нулю: х2(\2—4х)=0. Корнями этого уравнения
являются *1 = 0, #2 = 3.
Как и выше, составим таблицу:
X
—1
П*)\ +
0
0
1
+
3
0
4
—
Из этой таблицы видно, что х — 0 не является точкой
экстремума, а х—3 есть точка максимума.
3) Исследовать на экстремумы функцию
у = l\x-2f+ l\x + 2)2.
Мы имеем:
3 L Ух - 2 ^с + 2 J
Приравнивая производную нулю, получаем уравнение:
T^F + T^ = (X (I)
-/л: —2 у х + 2
Решая это иррациональное уравнение, находим, что х{ = 0.
Однако, кроме найденного корня *i = 0 уравнения (1), есть еще
точки, «подозрительные на экстремум».
Дело в том, что при х2=—2 и х3=2 производная не
существует. В этих точках функция f(x) может иметь экстремум. Чтобы
исследовать найденные точки, составим таблицу:
X
Г(х)
—3
—
—2
Не
сущ.
-1
+
0
0
1
—
2
Не
сущ.
3
+
Из этой таблицы видно, что —2 и 2 — точки пикообразного ми-
нимухма, а 0 — точка максимума (с горизонтальной касательной).
з_ з_
Так как /(—2) =/(2) =2]/2, /(0)=2У4, то график функции
схематически имеет вид, изображенный на рис. 98.
16*
243
ций:
Рис. 98
Упражнение 41. Найти и исследовать экстремумы следующих функ-
а) у=х3—3x2+3*+2;
б) у=х2(х—\2)2\
х9
в) *= ^рз ;
16
ж) у=(х-\)(х-2)Цх-3)*;
з) */=(*-1)4(*+2)3;
г) У— л:(4—л;2) '
д) у=х3-Зх*+Зх+7;
е) y=xk—8х3+22х2—24x+12;
и)
к)
#=
</=
3__
= х3У(х-
3
=У(*2-
3
-I)2;
Л)"\
л) </=У(*-1)2(*+1).
4. Второе достаточное условие экстремума. Сформулированное выше
достаточное условие экстремума не всегда удобно применять, так как приходится
иметь дело со значениями производной не только в самой исследуемой точке,
но и в некоторой окрестности этой точки. Используя вторую производную,
можно дать другое достаточное условие экстремума.
Теорема 1. Если в точке с мы имеем f'(c) =0 и f"(c) >0, то с — точка
минимума для функции f(x). Если же f'(c) =0, f"(c) <0, то с — точка максимума
для f(x).
Доказательство. Обозначим функцию f'(x) через ф(х). Так как
f"(x) = [f'(x)]',TO f"(x)=q>'(x). Поэтому условия f'(c)*=0, f"(c)>0 можно
записать так: ф(с)=0, ф'(с)>0.
Из леммы п. 1 следует, что существует окрестность (с—б, с+б), в которой
знак приращения функции ф(х) совпадает со знаком приращения аргумента.
Поэтому, если с<х<с+д, то ф(*)>ф(с) =0. Поскольку у(х) =f(x), то
при с<х<с+д имеем f'(x)>0. Точно так же при с—8<х<с имеем f'(x)<0.
Итак, мы нашли окрестность точки с такую, что слева от с в этой
окрестности имеем f'(x)<0, а справа от с имеем /'(x)>0. В силу первого достаточ-
244
ного условия экстремума (см. таблицу на стр. 240) отсюда следует, что с —
точка минимума для функции y=f(x).
Точно так же разбирается случай f'(c)=0, /"(с)<0. Мы предоставляем
сделать это читателю.
Для запоминания доказанного условия экстремума представим себе, что
сверху идет дождь. Тогда при положительности /"(с) вода скапливается, а при
отрицательности Г (с)—выливается (см. рис. 99).
Данное здесь достаточное условие экстремума непригодно для
исследования пикообразных экстремумов.
Пример. Найти и исследовать экстремумы функции
у=х^—8л;2+16.
Мы имеем:
у'=4х3—16*.
Корнями уравнения 4х3—16л:=0 являются числа Xi=—2, х2=0,
х3=2.
Далее, у"=12*2—16 и /"(—2)=32>0, /"(0)=—16<0 и
/"(2)=32>0. Значит, х2=0 — точка максимума, a xi=— 2,
*з=2 — точки минимума для нашей функции.
Нам понадобится в дальнейшем следующее обобщение теоремы 1:
Теорема 2. Пусть производная f'(x) функции */=/(*) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и равна нулю в точке с. Если во всех внутренних точках этого
отрезка т"(х) >0, то значение функции в точке с является наименьшим ее
значением на отрезке [а, Ь].
Доказательство. Положим f (х) = ф (х). Условие /" (х) > 0 означает,
что ф'(х) >0, а потому функция у=у(х) возрастает на отрезке [а, Ь]. Так как
по условию ф(с) =Г (с) = 0, то эта функция отрицательна при х<Сс и
положительна при х>с. Но Ф(*) =/'(*)• Значит, /'(x)<0 при х<с и /'(л:)>0 при
х>с. Поэтому функция y=f(x) убывает при х<с и возрастает при х>с. Но
тогда f(c) —наименьшее значение функции на отрезке [а, Ь[.
Точно так же доказывается, что если f'(x) непрерывна на отрезке [а, Ь],
причем /'(с)=0, и если f"(x)<.0 во всех внутренних точках этого отрезка, то
f(c) —наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [а, Ь].
У\
f(x) >0
f(x)<0
Рис. 99
245
У1
Рис. 100
Упражнение 42. Найти и исследовать с помощью второго
достаточного условия точки экстремума для функций:
а) у=х3—9x2+15*— 3;
б) у=(х-\)(х-2)(х-3); г) у =
в) У=Г\Г#\
х* — 7х + 6
10
5. Направление выпуклости графика. При построении графиков функций
полезно исследовать, на каких участках эти графики обращены выпуклостью
вверх, а на каких — выпуклостью вниз. На рис. 100 изображены графики двух
функций. Обе эти функции возрастают, однако хорошо видно различие в их
поведении: один из этих графиков обращен выпуклостью вверх, а другой —
выпуклостью вниз. Мы уточним сейчас понятие направления выпуклости и
дадим критерий для выяснения того, в какую сторону обращена выпуклость
графика функции.
Мы будем рассматривать лишь графики функций y=f(x) таких, что:
а) на отрезке [а, Ь] функция непрерывна;
б) в каждой внутренней точке этого отрезка она имеет производную (то
есть к ее графику можно провести невертикальную касательную).
Если дуга y=f(x), a^x^b, лежит выше касательной, проведенной в
любой точке этой дуги, то мы будем говорить, что на отрезке [а, Ь] график
функции y—f(x) обращен выпуклостью вниз.
Если дуга лежит ниже касательной, проведенной в любой точке этой дуги,
то мы будем говорить, что на отрезке [at b] график функции y=f(x)
обращен выпуклостью вверх.
Докажем следующую теорему:
Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\ и имеет
во всех внутренних точках этого отрезка вторую производную f"(x). Если при
a<Cx<Cb выполняется неравенство f"(x)>0, то дуга y=f(x), a^.x^b,
обращена выпуклостью вниз, а если выполняется неравенство f'' (х) <0, то
выпуклостью вверх.
Доказательство. Возьмем любую точку с, лежащую между а и х,
а<с<х. Уравнение касательной в этой точке имеет вид y = f(c)+f'(c) {x—с).
Чтобы узнать, как располагается кривая y=f(x) относительно этой
касательной, рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=yKp— г/кас
246
Подставляя вместоукр значение f(x), а вместоук*с значение/(с) +f'(c) (х—с),
получаем;
F(x)=f(x)-f(c)-f'(c)(x^c).
Найдем F'(х) и F"(х). По правилу дифференцирования суммы имеем:
F'(x)=f'(x)-f'(c)
(напомним, что с, f(c) и f'(c)—постоянные).
Далее, находим, что F'' \х) =/"(#).
Подставим в выражение F'(х) вместо х значение с. Мы получим, что
F'(c)~f'(c)—//(с)=0. Кроме того, по условию при a<.x<Cb выполняется
неравенство ///(л:)>0 и потому F"(x)>0. Из теоремы 2 п. 4 следует, что
функция ^(л:) имеет в точке с наименьшее значение. Это значение равно:
Р(с)=№Ч(с)-Г(с)(с-с)=0.
Поэтому во всех остальных точках отрезка имеем:
F(x)^F(c)=0.
Итак, мы доказали, что во всех точках х отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство F(x)^0, то есть неравенство */Кр—*/кас^0. Это и показывает, что при
а^х^Ь кривая лежит выше касательной, проведенной в любой точке отрезка
[а, Ь], то есть что кривая обращена выпуклостью вниз.
Точно так же доказывается, что если при a<ix<ib выполняется
неравенство /"(#)< О, то кривая обращена выпуклостью вверх.
Пример. Для кривой */ = #4—6х2+4 найдем участки, где ее график
обращен выпуклостью вверх, и участки, где он обращен выпуклостью вниз. Мы
имеем у' — 4х3—\2х и */"=12л:2—12. Функция \2х2—12 меняет знаки лишь в
точках, где она обращается в нуль. Решая уравнение \2х2—12=0, находим
корни #i =—1, л:2=1. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки
(-оо,-1), (-1, 1), (1, оо).
Методом пробных точек устанавливаем, что:
на луче (—оо, —1) */">0,
на промежутке (—1, 1) */"<0,
на луче (1, оо) */">0.
Значит, на лучах (—оо, —1) и (1, оо) график обращен выпуклостью вниз,
а на промежутке (—1, 1) —выпуклостью вверх.
Упражнение 43. Для графиков следующих функций найти участки,
где выпуклость обращена вверх, и участки, где она обращена вниз:
х3
а) у = х3—6лг2+12л:-Н; в) у= у2 + 12 ;
б) J/=(*+l)4; 'V
г) t/ = y4x3—12л:.
6. Точки перегиба. Рассмотрим теперь точки, отделяющие дуги, где
выпуклость графика функции y=f(x) обращена вверх, от дуг, где она обращена
вниз. Мы докажем сейчас, что в таких точках кривая пересекает касательную.
В самом деле, если на промежутке (с—е, с) кривая обращена выпуклостью
вниз, то на этом промежутке она лежит выше касательной, проведенной в
точке с. Точно так же, если на промежутке (с, с+е) она обращена
выпуклостью вверх, то она лежит на нем ниже касательной, проведенной в точке с.
Иными словами, в точке с абсциссой с кривая переходит с одной стороны
касательной на другую (см. рис. 101).
247
Рис. 101
Назовем точки, где кривая
переходит с одной стороны касательной
на другую, точками перегиба этой
кривой. Мы доказали, что если число
с отделяет участок, где кривая
обращена выпуклостью вверх, от участка,
где она обращена выпуклостью вниз*
то с — абсцисса точки перегиба
кривой.
Чтобы найти точки перегиба
кривой y=f(x), надо вычислить f"(x) и
найти корни уравнения f"(x)=0, а
также точки разрыва для f"(x).
Найденные точки разбивают числовую
ось (или область определения f(x))
на участки, где f"(x) сохраняет знак.
Определяем направление
выпуклости кривой y—f(x) на этих участках
и находим точки, где направление
выпуклости меняется на обратное. Эти точки и являются точками перегиба
нашей кривой. Для кривой */=x4—6х2+4, рассмотренной в п. 5, этими
точками являются *i=—1, х2=1.
Упражнение 44. Найти точки перегиба кривых из упражнения к п. 5.
7. Применение понятия выпуклости к доказательству неравенств.
Обозначим через А В хорду кривой у—\(х)у лежащую над отрезком [а, Ы. Имеет
место следующее утверждение:
Теорема. Если на отрезке [а, Ь] график функции у=1(х) обращен
выпуклостью вниз, то на всем этом отрезке кривая y=f(x) лежит не выше хорды
АВ: уКр^ г/хорды. Если же график функции обращен выпуклостью вверх, то на
всем отрезке [а, Ь] кривая y=f(x) лежит не ниже хорды АВ: #кр^#хорды.
Доказательство. Пусть на отрезке [а, Ь] график обращен
выпуклостью вниз. Выберем внутреннюю точку с отрезка [а, Ь\ и проведем
касательную к кривой y=f(x) в точке М с абсциссой с. По условию кривая лежит
выше этой касательной. В частности,
точка А кривой лежит выше
точки А\ касательной, имеющей
абсциссу а, а точка В кривой лежит выше
точки В\ касательной, имеющей
абсциссу Ь (см. рис. 102). Но тогда
все точки хорды АВ лежат выше
соответствующих точек отрезка
касательной А\В\. В частности, точка
хорды, имеющая абсциссу с, лежит
выше точки М. Так как мы
произвольно выбрали значение с, то
отсюда вытекает, что все точки хорды А В
лежат выше соответствующих точек
кривой. Случай, когда кривая
обращена выпуклостью вверх,
рассматривается точно так же.
Доказанную теорему можно при-
Рис. 102 менитьдля доказательства некоторых
у\
0
1
\
гС
А,
^7\
<>
/в
в,
X
248
неравенств. Если на отрезке [а, Ь] график функции y=f(x) обращен
выпуклостью вниз, то на этом отрезке выполняется неравенство г/кр^^юрды. Приме-
а + Ь
ним это неравенство к средней точке отрезка [а, Ь]. Ее абсцисса равна —g—и
/а+Ь\ Л
поэтому в этой точке */кр=п—g—I-Ордината же хорды в середине отрезка
[а, о] равна полусумме ординат концов хорды, то есть г/хорды = о •
Из неравенства г/кр^^хорды выводим, что
f(a) + f(b)
2
»m
Это неравенство является частным случаем более общего неравенства
f[(l-t)a+tb]^(l-t)f(a)+tf(b),
имеющего место при 0=^/^1. Оно доказывается точно так же, только вместо
с — а
середины отрезка [а, Ы берется точка с такая, что « = /.
Если кривая y=f(x) обращена на отрезке [а, Ь] выпуклостью вверх, то
t(a + b\ f(a) + fib)
* \ 2 ) > 2
Пример. Пусть у=х2. Так как #"=2, то эта кривая на всей числовой
оси обращена выпуклостью вниз. Поэтому для любых а и Ь выполняется
неравенство
(а + Ъ\* а* + Ь*
\~2~~~) < —2 "
Упражнение 45. Доказать следующие неравенства:
а) 1-—)
(а+Ь\* я4 + &*
2
_ (а+Ь \» я3 + б3
б) {—g—) <—2 (при а^О, 6^0).
8. Построение графиков функций с помощью производной.
В п. 12 § 3 гл. III была дана схема исследования функции для
построения графика. Некоторые разделы этой схемы
(исследование возрастания и убывания функции, ее экстремумов и т. д.)
требуют применения дифференциального исчисления. Кроме
того, теперь мы можем дополнить схему исследования функции
исследованием на выпуклость и точки перегиба.
Построим график функции
У =
х* - 4 •
Эта функция определена на всей числовой оси, за исключением
точек Xi=—2 и *2=2. Она нечетна, так как
249
Поэтому достаточно построить график функции при х^О. Решая
л:3
уравнение £ГГГ4 = 0» виДим, что график пересекается с осями
координат только в точке х=0.
Точками разрыва для исследуемой функции являются точки
xi,2=±2. В этих точках мы имеем вертикальные асимптоты
х = —2, х—2. Легко проверить, что на промежутке (0, 2)
функция отрицательна, а на луче (2, +оо) положительна. Поэтому
lim 7TZ1 = - °°, Нт -£—. = + оо.
Изучим вопрос о возрастании и убывании нашей функции.
Для этого найдем ее производную:
, _ (х2 — 4)-Зх2 — х*-2х _ х* — 12*2
У ~ (л:2 — 4)2 ~~ (л:2 —4)2 *
Так как (х2—4)2^0, то знак производной совпадает со знаком
xk—12л:2. Разлагая на множители, получаем, что на промежутках
(О, 2) и (2, У12) производная отрицательна, а на луче (У 12,
+ оо) положительна. Значит, на промежутках (0, 2) и (2, У12)
функция убывает, а на луче (У 12, +<х>) возрастает. Отметим,
что /'(О) ==0, и потому в точке #=0 касательная к графику
горизонтальна. Но эта точка не является точкой экстремума, так как
а:4—12а:2 не меняет знака при прохождении через точку х=0.
Чтобы исследовать график на выпуклость и вогнутость,
найдем вторую производную функции:
„ 8л:3 + 96л: _ 8л:(л:2 + 12)
У (д;2__ 4)Т — (л:2 —4)3 '
Так как множитель *2+12 положителен, то у" меняет знаки лишь
в точках х=0 и х=±2. На промежутке (0, 2) имеем */"<0, а на
луче (2, +оо) имеем у">0. Значит, на (0, 2) функция обращена
выпуклостью вверх, а при (2, +оо) —выпуклостью вниз. В
точке х=0 график имеет перегиб.
Наконец, изучим поведение графика на бесконечности.
Найдем наклонную асимптоту. Имеем:
х+ 4*
Лг2 — 4 ' л:2—4
Поэтому уравнение наклонной асимптоты у=х.
По полученным данным строим график функции (см. рис. 103).
250
Рис. 103
Упражнение 46. Постройте графики следующих функций:
а) У =
б) у =
в) У =
г) у =
(х-2)Цх+2);
х* - 2л + 2
д) #= |/ 1 — х '
х —
16
1
е) у = /1 — *3
x2(* — 4)
ж)у = /(*+2)» -,V
з)у = §
jcV^i2 — 4
9. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на
отрезке. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь].
Можно доказать, что она принимает на этом отрезке наибольшее
и наименьшее значения. Пусть наибольшее значение функции
y=f(x) достигается в точке с, а наименьшее — в точке с4.
Точка с может быть или внутренней точкой отрезка [а, 6], или
совпадать с одним из его концов. Если с — внутренняя точка, то
у нее есть окрестность (с—б, с+б), целиком лежащая на отрезке
[а, Ь]. Тогда для всех точек этой окрестности имеем f(x)^f(c),
251
поскольку f(c)—наибольшее значение f(x) на отрезке [а, Ь].
Значит, с — точка максимума для /(*).
Итак, наибольшее значение/(д:) на отрезке [а, Ь] достигается
или в одной из точек максимума, или на одном из концов этого
отрезка. Точно так же, наименьшее значение функции f(x) на
отрезке [а, Ь] достигается или в одной из точек минимума, или
на одном из концов отрезка.
Для того чтобы найти наибольшее или наименьшее значение
f(x) на отрезке [а, 6], надо сначала найти все точки хи . . . , хп,
«подозрительные на экстремум» (то есть точки, в которых f'(x)
обращается в нуль или не существует). После этого следует
вычислить значения /(*i), . . . , f(xn) функции f(x) в этих точках
и значения f(a), f(b) этой функции на концах отрезка [а, Ь]. Из
полученных значений выбирается наибольшее и наименьшее. Они
и дают границы, между которыми заключены значения функции
f(x) на отрезке [а, 6].
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у=хк—2х2+5 на отрезке [—2, 3].
Имеем:
у'=4х3—Ах.
Корнями уравнения 4*3—4х=0 являются xi=—1, Jt2=0, x3=l;
концами отрезка являются точки а=—2, 6 = 3. Находим:
/(-2) = 13,/(-1)=4,/(0)=5,/(1)=4,/(3)=68.
Наибольшим из этих чисел является /(3)=68, а наименьшим
/(-1)=/(1)=4.
Упражнение 47. Найти наименьшее и наибольшее значения
следующих функций:
а) y—x+2ix на отрезке [0, 4];
б) у=х5—5хЬ+5х*+1 на отрезке [—2, 2];
в) y=xz—3x2+6x—2 на отрезке [—1, 1];
г) t/=yi00—х2 на отрезке — 6<х<8;
Д) #— у I 1 на отрезке 0^x^4.
10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения. Многие
практические вопросы приводят к необходимости найти
наибольшее или наименьшее значение некоторой функции. Иногда такие
задачи решаются с помощью неравенств (см. «Алгебра», гл. IV,
§ 4, п. 4) либо с помощью тех или иных элементарных
соображений. Однако наиболее сильные методы решения таких задач дает
дифференциальное исчисление.
252
Общий план решения задач на
наибольшие и наименьшие значения таков:
а) из числа переменных величин в
данной задаче выбирают аргумент и находят
область его изменения;
б) выражают через аргумент
функцию, наибольшее или наименьшее
значение которой надо найти;
в) находят значение аргумента, при
котором функция принимает наибольшее
или наименьшее значение, и определяют
соответствующее значение функции.
Пример. Вписать в круг радиуса R прямоугольник
наибольшей площади.
Выберем в качестве аргумента длину одной из сторон
прямоугольника и обозначим ее через х. Тогда длина другой стороны
поямоугольника равна У4/?2—х2 (рис. 104), а потому площадь
прямоугольника равна S=x^/4R2—х2. Ясно, что х меняется в
пределах от 0 до 2R. Таким образом, нам надо найти наибольшее
значение функции S=x~]/4R2—х2 на отрезке [0, 27?].
Производная нашей функции имеет вид:
S' = учд* - х2 —,i! .
Она равна нулю при x=±R~\'2 и не существует при x = 2R. Так
как 0^х^2/?, то надо сравнить значения функции S=x^/4R2—x2
в трех точках: xi=0, х2=/?У2, x3=2R (точке экстремума и на
концах отрезка [0, 2R]) и выбрать среди этих значений
наибольшее. Мы имеем: S(0)=0, S(/?-|/2)=2#2, S{2R)=0. Наибольшим
из этих; значений является S(R~\/2)=2R2. Заметим, что если
x=R^2, то и У4/?2—х2=7?]/2, а потому стороны прямоугольника
равны.
Итак, мы доказали, что среди прямоугольников, вписанных в
длинный круг, наибольшую площадь имеет квадрат.
Упражнения
48. Рассмотрите функции, приведенные в упражнениях 9—21 к п. 4 §1
гл. III, и найдите их наибольшие и наименьшие значения.
49. Выполните упражнения № 39—47 из п. 4 § 4 гл. IV книги «Алгебра»
с помощью дифференциального исчисления.
253
Краткие исторические сведения
Для задач, решаемых в настоящее время с помощью дифференциального
исчисления (отыскание наибольших и наименьших значений, проведение
касательных и т. д.), в древности не существовало систематического и
единообразного метода трактовки. Задачи о проведении касательной для каждой кривой
решались специальным методом, для чего применялись различные известные
свойства соответствующих кривых (эллипса, параболы и т. д.).
В XVII веке возник интерес к задачам на наибольшие и наименьшие
значения функций. Ряд таких задач содержится в появившемся в 1659 году
сочинении итальянского ученого Вивиани «О максимальных и минимальных
значениях», где указанные вопросы решаются по образцу древних геометрическим
путем.
Развитие алгебры и метода координат позволило привлечь к решению задач
на максимум и минимум совершенно новые соображения. Еще в XIV веке
французский математик Н. Орезм отметил, что вблизи максимального или
минимального значения величина меняется медленнее всего. Знаменитый немецкий
математик и астроном И. Кеплер (1571—1630) в появившемся в 1615 г.
сочинении «Стереометрия винных бочек» связал это соображение с решением задачи
о цилиндре наибольшего объема, вписанном в данный шар. Методы
проведения касательных к кривым, основанные на кинематических представлениях о
качении одной кривой по другой, развили ученик и сотрудник Галилея Е. Тор-
ричелли (1608—1647) и французский математик Роберваль (1602—1672). Тор-
ричелли был первым, кто применил к проведению касательных сложение
скоростей. Однако и здесь приходилось использовать в каждом отдельном случае
индивидуальные особенности данной кривой.
Только алгебраические методы обладали достаточной силой и общностью,
чтобы дать возможность решать все задачи о проведении касательных единым
образом. Такой метод был развит Р. Декартом в его книге «Геометрия» и
основан на том, что окружность, проходящая через точку А данной кривой, центр
которой лежит на нормали к кривой в точке А, имеет как бы две общие точки
с кривой, слившиеся в одну. Решая соответствующее уравнение и отыскивая
условия, когда получившееся уравнение имеет два слившихся корня, Декарт
находит касательную к кривой. Метод Декарта был развит голландским
математиком Гудде (1628—1704).
Независимо от Декарта к близким идеям пришел французский математик
П. Ферма. В 1638 г. он дает способ отыскания максимумов и минимумов,
основанный на составлении уравнений
f(x + h)-f(x) n
Выполнив деление на h, Ферма затем полагает h = 0. Таким образом, он
приравнивает нулю величину, которую мы называем производной функции f(x).
Метод Ферма непосредственно применим, если f(x)—рациональная функция.
В противном случае нужны дополнительные преобразования.
Аналогичный прием Ферма разработал для проведения касательных к
кривым. Он указал также правило для отыскания точек перегиба. Идеи Ферма
очень успешно развивали голландский математик и механик X. Гюйгенс
(1629—1695) и другие ученые конца XVII века.
Ко второй половине XVII века уже был ясно очерчен круг задач, решаемых
методами дифференциального исчисления, выявлена связь понятий мгновенной
скорости и касательной, разработаны отдельные методы решения задач.
Однако еще не был создан общий алгоритм для решения таких задач, не было
254
создано само дифференциальное исчисление. Общая теория производных и
методов их вычисления независимо друг от друга была разработана И. Ньютоном
и Г. Лейбницем в конце XVII века. Ньютон в основном опирался на
физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и
сводя к нему остальные случаи применения производных. Он называл
производную флюксией (от латинского слова fluere — течь). В то же время в
некоторых работах он подходит и к общему понятию предела функции (самый
термин «предел» введен Ньютоном).
Употреблявшиеся Ньютоном обозначения, более удобные, нежели у его
предшественников, широко применялись английскими математиками (Грегори,
Тейлор, Маклорен и др.). Еще более совершенную систему обозначений,
общепринятую и в настоящее время, разработал Г. Лейбниц. В основу Лейбниц
положил понятие дифференциала (отсюда и название «дифференциальное
исчисление»), который он трактовал как «бесконечно малое приращение», а
производную определял через дифференциалы, и считал основной задачей анализ
бесконечно малых и бесконечно больших величин (само название
«математический анализ» является сокращением от «математический анализ бесконечно
малых»). Так, Лейбниц и его ученики рассматривали кривые кагк
многоугольники с бесконечно большим числом сторон и т. п. Идеи Лейбница были
разработаны его учениками братьями Якобо*м и Иоганном Бернулли и другими.
Особо важную роль в развитии дифференциального исчисления и его
приложений сыграл вышедший в 1755 году учебник Л. Эйлера «Дифференциальное
исчисление». В этом учебнике впервые понятие производной рассматривается
аналитически, без опоры на физические или геометрические представления.
Хотя понятие дифференциала в смысле Лейбница и не является достаточ-
dy
но строгим, сама возможность рассматривать производную—^-как отношение
дифференциалов (в современном смысле) чрезвычайно удобна как в
теоретических вопросах анализа, так и для его приложений.
Строгое обоснование дифференциального исчисления на основе теории
пределов дал в начале XIX века французский математик О. Коши.
В ходе развития теории разрывных функций понятие производной было
обобщено на некоторые классы таких функций. Здесь следует отметить работы
советских математиков А. Я. Хинчина (1894—1959) и А. Н. Колмогорова.
Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
До сих пор мы имели дело лишь с функциями, значения
которых выражались через значение аргумента и постоянных с
помощью алгебраических действий. В этой главе мы познакомимся с
функциями нового типа — тригонометрическими функциями.
Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов rpivcovov —
треугольник и цетресо — измеряю.
На протяжении многих веков главным практическим
приложением тригонометрии было вычисление элементов прямолинейных
и сферических треугольников. Современные приложения
тригонометрии далеко выходят за рамки задач о треугольниках.
Оказалось, что многие явления природы, имеющие колебательный
характер (колебания маятника, электромагнитные колебания
и т. д.), описываются с помощью тригонометрических функций.
Но при этом надо рассматривать их не как функции угла, а как
функции некоторых числовых переменных (например, времени).
Как мы увидим ниже, между тригонометрическими
функциями как функциями угла и тригонометрическими функциями
числового аргумента имеется тесная связь. Тригонометрические
функции числового аргумента также допускают геометрическое
истолкование. Более того, нам будет удобно ввести их на основе
некоторых геометрических понятий, к рассмотрению которых мы
сейчас и перейдем.
§ 1. Площадь круга и длина окружности.
Числовая окружность
1. Площадь круга. Мы хотим определить понятие площади
круга. Из наглядных рассмотрений ясно, что площадь круга
должна быть больше площади любой многоугольной области,
содержащейся в круге *, но меньше площади любой многоугольной об-
1 Многоугольной областью мы называем любую область, ограниченную
одним или несколькими многоугольниками (рис. 105).
256
ласти, объемлющей круг. Это делает естественным следующее
определение:
Определение. Площадью круга называют число,
разделяющее два числовых множества: множество А площадей
многоугольных областей, содержащихся в этом круге, и множество В
площадей многоугольных областей, содержащих круг.
Геометрически очевидно, что множество В расположено
справа от множества А (площадь любой объемлющей многоугольной
области больше площади любой многоугольной области,
содержащейся в круге). Поэтому существует хотя бы одно число,
разделяющее множества А и В. Чтобы понятие площади круга было
определено однозначно, нам надо еще показать, что эти
множества разделяются только одним числом. Для этого нам
понадобятся некоторые геометрические теоремы, касающиеся
вписанных и описанных правильных многоугольников.
Сформулируем эти теоремы.
1. Площади одноименных правильных многоугольников
относятся как квадраты их апофем:
sn- н\-
В самом деле, из геометрии известно, что все одноименные
правильные многоугольники подобны, а площади подобных фигур
относятся как квадраты сходственных отрезков.
2. Если ап — сторона правильного п-угольника, вписанного в
круг радиуса R, то lim an=0.
/1—00
В самом деле, зададим е>0, возьмем точку А на окружности и проведем
окружность с центром в этой точке радиусом е. Пусть она пересекает
окружность в точке В. Обозначим через ф угол АО В (рис. 106). Найдется такое N,
Рис. 105 Рис. 106
17 Заказ 2541 257
Рис. 107
360°
что при n^N —— «р. Тогда при n^N хорда ап
ф будет меньше хорды АВ, то есть ап<е. Этэ и
означает, что liman=0.
3. Если hn — апофема правильного
п-угольника, вписанного в круг радиуса R,
то lim hn=R.
В самом деле, из треугольника ОАС
(рис. 107) мы видим, что R—^-<hn<R.
Так как по утверждению 2 имеем lim(/?— ■—-) =7?, то lim hn =/?.
Перейдем теперь к доказательству единственности
разделяющей точки. По теореме из п. 8 § 2 гл. I для этого
достаточно доказать, что lim (Sn —sn) = 0, где sn — площадь правильного
П~* 00
вписанного м-угольника, a Sn —площадь правильного описанного
м-угольника. Но апофемой описанного многоугольника является
S R 2
радиус окружности, а потому по утверждению I имеем —=~ ,
где hn — апофема правильного вписанного м-угольника. Так как
lim hn =R (см. утверждение 3), то
Но
11m ^L = цш Ц=1.
lim(S„-S„)=lims„(S^-l).
Последовательность {sn} ограничена, так как площадь любого
вписанного многоугольника меньше, скажем, площади описанного
квадрата. Так как lim(— 1) =0, то по теореме 2 п. 6 § 2 гл. II
/2-00 Sn
получаем, что lim (Sn —5 п) =0. А это и означает, что множества
Л-*- 00
А и В разделяются только одним числом, то есть что площадь
круга однозначно определена.
При этом из результатов п. 4 § 3 гл. II вытекает, что
S = \imsn = \imSn.
Л-*- 00 Л-»О0
Итак, площадь круга является общим пределом двух
последовательностей: площадей правильных вписанных п-уголъников и
правильных описанных п-угольников.
258
Наконец, докажем, что площадь круга пропорциональна
квадрату его радиуса. Возьмем два круга радиусами г и R
соответственно. Обозначим через sn площадь правильного л-угольника,
вписанного в первый круг, через s'n — площадь правильного
д-угольника, вписанного во второй круг, а через s и S — площади
кругов. Так как площади правильных многоугольников относятся
как квадраты сходственных сторон, то -— = ^г. Переидем в этом
S n A
равенстве к пределу при я->оо. Так как
lim s'n=S, lim sn=s,
П-+О0 П~*оо
TO
Равенство (1) можно переписать так:
s ___ S
Г2 "" 7?2 *
Итак, мы доказали, что отношение площади круга к квадрату его
радиуса одинаково для всех кругов. Эта величина является одной
из важнейших постоянных в математике. Ее обозначают я
(греческая буква «пи»). Число я иррационально. Его приближенное
значение таково: я=3,14159... .
Итак, зг = "^2=тс- Отсюда мы получаем формулу для
вычисления площади круга:
S = nR2.
2. Квадрируемые области. Площадь сектора. Определенное в
п. 1 понятие площади круга является частным случаем общего
понятия площади плоской фигуры. Пусть F— некоторая фигура
на плоскости. Ее называют квадрируемой, если существует
единственное число S(F), разделяющее два числовых множества:
множество А площадей многоугольных областей, содержащихся
в F, и множество В площадей многоугольных областей,
содержащих F. Это разделяющее число S(F) и называют площадью
данной фигуры.
Площади квадрируемых фигур обладают следующими свойствами:
1) Площадь любой фигуры — неотрицательное число.
2) Равные фигуры имеют равные площади.
3) Если фигуры Ft и f2 квадрируемые и не имеют общих внутренних
точек, a F— объединение этих фигур, то фигура F квадрируема и ее площадь
равна сумме площадей фигур Fi и F2:
S(Fi+F2)=S(Fl)+S(F2).
259
4) площадь квадрата со стороной 1
равна единице.
Свойства 1), 2) и 4) вытекают из
соответствующих свойств площадей
многоугольников. Поэтому в доказательстве нуждается
лишь свойство 3). Это свойство называют
свойством аддитивности площади (от
латинского слова additio — сложение).
Пусть фигуры Fi и F2 (рис. 108) квадри-
руемы и не имеют общих внутренних точек 1.
Тогда для любого еХ) найдутся такие
многоугольные области Аи #i и Л2, В2,
что:
1) AitziFiCiBu A2aF2aB2\
2) разность площадей многоугольных
областей В\ и Аи а также многоугольных об- рис ю8
ластей В2 и А2 меньше -у:
S(Bi)—S(At)< -^-S(B2)-S(A2)<-^-.
Объединение A=Ai+A2 областей А\ и А2 является многоугольной областью,
содержащейся в F=F\+F2. При этом, так как F\ и F2 не имеют общих
внутренних точек, площадь А равна сумме площадей А\ и А2\
S(A)^S(Ai+A2)=S(Ai)+S(A2).
Область В, полученная объединением областей BY и В2, содержит F, причем ее
площадь не больше суммы площадей Bi и В2:
S(B)^S (В,+В2) ^S(B±) +S(Вг)
(на рис. 108 S(B)=S(Bi)+S(B2) ).
Но тогда
S(B)-S(A)^[S(Bi)+S(B2)]-[S(Ai)+S(A2)] =
= [S(Bi)-S(Ai)] + [S(B2)-S(A2)]<^- + -i-=e.
Мы построили для любого е>0 такие многоугольные области Л и Б, что
AaFaB и разность площадей Л и В меньше е. Значит, фигура F квадрируема.
При этом площадь S(F) удовлетворяет неравенствам:
S(Ai)+S(A2)^S(F)^S(Bi)+S(B2). (1)
Тем же неравенствам удовлетворяет и число S(Fi)+S(Fn):
S(Ai)+S(At)^S(Fi)+S(Ft)KS(Bi)+S(Bt). (2)
Так как значение е>0 можно выбрать произвольно, то из неравенств (1) и
(2) вытекает:
S(F)=S(Fi)+S(F2).
Аддитивность площади доказана.
1 Для простоты на рис. 108 изображены области, граничащие по
прямолинейному отрезку.
260
Вычислим площадь кругового сектора.
Квадрируемость кругового сектора
доказывается точно так же, как и
квадрируемость круга. Далее, в геометрии
доказывают, что круговые секторы с
одинаковыми радиусами и одинаковыми
центральными углами равны друг другу.
Кроме того, как центральные углы, так и
площади секторов данного круга
обладают свойством аддитивности: если сектор
F разбит на секторы F\ и F2, то S(F) =
=S(Fi)+S(F2) и ф0=ф°1+ф°2, гдеФ° —
центральный угол сектора F, а ф°1 и ф°2 — центральные углы
секторов Л и F2 (рис. 109). Отсюда вытекает, что при заданном
радиусе R площади круговых секторов относятся друг к другу
как их центральные углы:
Si _9i°
S2 ф2° "
Но центральному углу в 360° отвечает весь круг, и площадь
круга равна я/?2. Поэтому имеем:
Рис. 109.
tzR*
360°
где ф
что
центральный угол площади сектора S. Отсюда находим,
о _ it/? у
^ — 36Г •
3. Длина дуги кривой. Длина окружности. В этом пункте мы
дадим определение длины дуги. Мы определим это понятие на
основе понятия площади. Покажем сначала, как это делается, на
примере отрезка прямой. Пусть АВ — некоторый отрезок.
Проведем через каждую точку М этого отрезка перпендикулярный ему
отрезок длиной 2е с центром в М. Точки всех этих отрезков
заполняют прямоугольник (рис. 110), площадь которого равна АВ-2г
Рис. НО.
Поэтому длина отрезка АВ равна площади S(e) прямоугольника,
деленной на 2е:
S(t)
АВ=-
2е
261
Теперь рассмотрим
ломаную ABC. Проведем через
каждую точку М ломаной отрезок
длины 2е с центром в точке Му
перпендикулярный
соответствующему отрезку ломаной
(рис. 111). Точки этих отрезков
Рис ш заполняют на рис. 111
заштрихованную фигуру. Ясно, что
площадь S(e) этой фигуры меньше суммы площадей
прямоугольников I и II на площадь -их пересечения III:
S(e)=S(I)+S(II)— S(III).
Но площадь фигуры III меньше площади параллелограмма,
ограниченного прямыми АВ, ВС, DE, FG. Площадь этого
параллелограмма равна ke2, где k зависит лишь от угла ABC и не
зависит от е. Так как S(l)=2e-AB, S(II)=2e-5C, то мы доказали,
таким образом, что
2г{АВ+ВС)— ks2<S(s)<2s(AB+BC).
Разделим обе части равенства на 2е:
АВ + ВС - ^- < 5W < АВ + ВС .
Переходя к пределу при е->0, получаем:
АВ + ВС=Пт Щ.
Аналогичная формула справедлива для любой ломаной.
Положим проведенные выше рассмотрения в основу
следующего определения длины дуги. Назовем нормалью к дуге кривой
Г в точке М прямую, проходящую через эту точку .и
перпендикулярную касательной к кривой Г, проведенной в точке М.
Проведем через все точки дуги Г нормали и отложим на каждой
нормали отрезки длины 2е с центром в соответствующей
точке дуги. Точки этих отрезков заполняют
некоторую фигуру (рис. 112), площадь которой
обозначим через S(e).
Если существует предел
/(Г)=Нт^,
то его значение называют длиной дуги Г.
262
Из того, что предел суммы равен
сумхме пределов, без труда вытекает
утверждение:
Если точка М разбивает дугу Г на
дуги Ti и Гг, причем Г4 и Г2 имеют
длину, то имеет длину и дуга Г, причем ее
длина равна сумме длин дуг Т\ и Г2.
/(Г)=/(Г1)+/(Г2).
Это свойство называют свойством
аддитивности длины дуги. Ясно, кроме
рис пз того, что равные дуги имеют равные
длины.
Применим данное выше определение длины дуги к
окружности. Нормалью в каждой точке окружности является прямая,
соединяющая эту точку с центром. Поэтому если е</?, то,
откладывая отрезки длины 2е на нормалях, получаем кольцо,
ограниченное окружностями с радиусами R—е и /?+е. Площадь этого
кольца (рис. 113) равна:
S(e)=n(R+s)2—n(R—е)2=4я/?е.
Поэтому длина окружности выражается формулой
/(Г)=Нт^ = Нт^ = 2я#.
Итак, мы доказали, что длина окружности равна 2nRf где R—
радиус окружности.
Вычислим длину дуги окружности. Так как равным
центральным углам в данной окружности отвечают равные дуги и так как
длины дуг, равно как и центральные углы, обладают свойством
аддитивности, то длины дуг данной окружности пропорциональны
соответствующим центральным углам:
/(Г2) <?2 *
В частности, если взять в качестве одной из дуг всю окружность,
то получим, что
/(Г) у
2kR 360 '
где ф — градусная мера центрального угла, соответствующего
его дуге Г.
263
Отсюда
'(Г) = тЗг* Г)
180
4. Радианное измерение дуг и углов. Мы получили формулу
для длины дуги окружности. Эта формула не слишком удобна:
коэффициент при R имеет довольно сложный вид. Чтобы получить
более удобную формулу, надо изменить единицу измерения дуг.
До сих пор такой единицей был градус, то есть -^- часть полной
окружности. Выберем теперь в качестве единицы измерения
радиан— дугу, длина которой равна радиусу, то есть-^ часть
полной окружности. Так как окружность равна 360° и в то же время
о 180°
2л; радиан, то один радиан соответствует -^- :
1 радиан=^«57°17'44,8".
Обратно, 1°=-^-радиан. Отсюда вытекают формулы для
перехода от градусной меры дуг к радианной мере:
180а
а радиан=
и
Ф = -jgo радиан.
Если дуга Г равна а радиан, то из формулы (*), п. 3 получаем
следующее выражение для ее длины:
/(Г)=аД.
Итак, длина дуги окружности равна радиусу окружности,
умноженному на радианную меру дуги.
Поскольку дуги окружности пропорциональны
соответствующим центральным углам, то и углы можно измерять в
радианах.
Мы доказали в п. 2, что площадь кругового сектора с
центральным углом ф° и радиусом R выражается формулой
5 =
Радианная мера центрального угла для сектора равна а^щ .
Поэтому
264
Упражнения.
1. Найдите радианную меру дуг:
15°, 22°30', 30°, 45е, 60°, 67°, 90е, 180*, 225°, 270°, 330°.
2. Найдите градусную меру дуг:
tz 71 71 тс тс 5тс 7тс 25л:
"Т2"' "6"» ~Т» Т' Т» IT' "12"' "18* '
3. Найдите длину дуг окружности радиуса Я =12, соответствующих
центральным углам
Найдите площади соответствующих секторов.
5. Обобщение понятия о дуге. В элементарной геометрии
дугой называют часть окружности, заключенную между двумя
точками. При этом если на окружности заданы точки Л и В, то им
соответствуют две дуги АМВ и AN В (рис. 114). Эти дуги
направлены в противоположные стороны — по дуге АМВ движение из
точки А в точку В совершается против часовой стрелки, а по дуге
ANB — по часовой стрелке. В дальнейшем мы будем считать
направление движения по окружности против часовой стрелки
положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.
Как длина дуги АМВ, так и длина дуги ANB не могут быть
больше длины полной окружности. Мы введем теперь более
общее определение понятия дуги. Для этого заметим, что из точки А
можно попасть в точку В, сделав несколько полных обходов
окружности, начинающихся и заканчивающихся в точке А, и
перейдя потом по окружности в том же направлении из точки А в
точку В. Пройденный при этом путь мы и назовем обобщенной дугой
с концами А и В. Длину этого пути, взятую с соответствующим
знаком, назовем величиной дуги АВ. В тех случаях, когда
направление движения не имеет значения, мы будем говорить просто о
длине дуги АВ.
Обобщенные дуги считаются равными,
если их можно перевести друг в друга
вращением окружности. Сумма
обобщенных дуг АВ и ВС определяется так:
сначала проходим дугу АВ, потом дугу ВС]
если дуги АВ и ВС имеют
противоположные направления, то надо удалить часть,
пробегаемую в двух противоположных
направлениях. Величина суммы дуг равна
сумме их величин.
Разумеется, теперь дуга не определя-
о
Рис. 114
265
ется однозначно заданием ее концов А и В — надо еще указать,
сколько она содержит полных оборотов и в каком направлении
делались эти обороты. Если величина дуги АВ равна /, то
величина дуги, состоящей из k полных обходов окружности и из этой
дуги, равна 2nkR-\-l, где R — радиус окружности. При этом если
£>0, то полные обходы делаются против часовой стрелки, а если
&<0, то по часовой стрелке.
В дальнейшем мы в этой главе будем иметь дело с
окружностями единичного радиуса. Для такой окружности величина
дуги, состоящей из k полных обходов окружности и дуги ЛВ = /,
равна 2лй+/.
Итак, если радиус окружности равен 1, то общий вид всех дуг,
начинающихся в точке А и кончающихся в точке В, таков: 2nk-\-l,
где I — одна из этих дуг, а & = 0, ±1, ±2, . . Л Все эти дуги
отличаются друг от друга на целое кратное 2я.
6. Обобщение понятия об угле. Подобно тому как мы
обобщили сейчас понятие дуги, обобщается понятие угла. В элементарной
геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная
двумя лучами. При таком определении получаются лишь углы
от 0 до 180°, или, в радианной мере, от 0 до я. Но угол можно
рассматривать и как меру поворота. Будем наблюдать,
например, за колесом, вращающимся вокруг неподвижной оси. Пусть в
начале вращения одна из спиц колеса была горизонтальна. Через
некоторое время колесо повернется и спица будет иметь иное
направление, образующее некоторый угол с первоначальным. При
этом существенно, в какую сторону повернулось колесо. Поэтому
угол, измеряющий поворот спицы относительно первоначального
положения, надо брать с определенным знаком — повороту
против часовой стрелки соответствует положительное значение угла,
а по часовой стрелке — отрицательное.
Если колесо совершит полный оборот, то спица, за которой
мы наблюдаем, вернется на старое место, снова окажется
горизонтальной. Но мера поворота будет равна не нулю, а 2я или
—2я. При дальнейшем вращении колеса будут получаться углы
поворота, абсолютная величина которых больше 2я. Иными
словами, любому числу а, положительному или отрицательному,
соответствует поворо! спицы на а радиан.
Мы видим, что угол, рассматриваемый как мера поворота,
может принимать любые положительные или отрицательные
значения.
1 В дальнейшем мы часто будем подразумевать, что k (или п) принимает
значения 0, ±1, ±2, . . . , не оговаривая это специальн®.
266
Рис. 115
Связь между обобщенными
углами и обобщенными дугами точно
такая же, как между обычными
углами и дугами: длина обобщенной
дуги пропорциональна обобщенному
центральному углу. В дальнейшем
мы не будем говорить
«обобщенные», а будем понимать как дуги,
так и углы в определенном здесь
смысле.
Упражнения
4. Колесо вращается с угловой скоростью л/6 рад/сек. На какой угол оно
повернется за 15 сек? за 22 сек"? за 1 мин?
5. Колесо вращается с угловой скоростью 4л рад/мин. На какой угол оно
повернется за 20 сек? за 1 мин 40 сек? за 3 мин 50 сек?
6. При полном обороте зубчатого колеса другое колесо совершает два
оборота в противоположном направлении. На какой угол повернется второе
колесо, если первое повернется на 320°? на 700°? на 1800°?
7. Единичная числовая окружность. При изучении
поступательного движения удобно считать, что точка движется по
числовой оси. Тогда положение точки в каждый момент времени
задается одним числом — координатой этой точки. Если же точка
движется по окружности, то на первый взгляд надо задавать две
координаты — абсциссу и ординату точки. Однако мы можем и
в этом случае ограничиться заданием одного числа. Для этого
надо превратить обычную окружность в числовую.
Определение. Пусть L — окружность единичного радиуса.
Она называется числовой окружностью, если на ней заданы:
а) начало отсчета Л;
б) положительное направление
движения.
В этом случае каждому числу х
соответствует такая точка М на
окружности, что одна из дуг,
начинающихся в Л и кончающихся в М,
имеет величину х. Тем самым мы по- с(я)1
ставили в соответствие каждому
действительному числу х некоторую
точку окружности. Мы будем
обозначать ее М(х) (рис. 115).
Так как длина всей единичной
окружности равна 2я, то ясно, что,
например, числу я соответствует
точка С, диаметрально противополож- Рис 116
26Г
ная точке Л, числу п/2—точка В, находящаяся на пересечении
окружности с лучом, перпендикулярным отрезку ОА и проходя-
Зтс
щим через точку О (рис. 116), а числу -^ точка D
пересечения окружности с продолжением этого луча.
При этом если два числа отличаются друг от друга на целое
кратное 2я, то им соответствует одна и та же точка на
окружности. Обратно, если два числа соответствуют одной и той же точке
окружности, то их разность является целым кратным 2л.
Упражнения
7. Отметьте на единичной числовой окружности точки, соответствующие
71 2тс те 7 7 9 и 5л Ik 17^
числам: -<р —, -g-, — -g- те, З^-тр-те, — -уте, -J-» ~4~, ~4~'"~~ ~4~ "
8. На числовой окружности отметьте приблизительно точку,
соответствующую числу 22.
8. Соответствие между точками числовой прямой и числовой
окружности. Определение числовой окружности напоминает
определение числовой оси. В обоих случаях мы выбираем начало
отсчета и направление движения. На числовой прямой надо еще
выбрать единицу измерения- Для числовой окружности единица
измерения является радиусом окружности.
Каждому действительному числу х соответствуют точка N(x) на числовой
прямой и точка М(х) на числовой окружности. Тем самым устанавливается
отображение N-+M числовой прямой на числовую окружность. Это
отображение можно наглядно представить себе как «наматывание» числовой прямой на
окружность. При этом начало координат О на прямой ставится в соответствие
началу отсчета А на окружности, положительная полуось наматывается в
положительном направлении, а отрицательная — в отрицательном направлении.
Разумеется, при этом мы считаем наматываемую «нить» лишенной толщины.
Вместо «наматывания» числовой оси на единичную числовую окружность
можно использовать другую модель: качение без скольжения числовой
окружности по числовой оси. В этом случае также существенно совпадение обоих
начал отсчета. При качении окружности вправо будут совпадать
положительные направления на числовой оси и единичной числовой окружности, при
качении без скольжения влево будут совпадать отрицательные направления.
Соответствие между точками будет таким же, как и при наматывании.
При установленном выше соответствии каждой точке числовой оси
соответствует одна и только одна точка числовой окружности. В то же время
каждой точке числовой окружности соответствует не одна, а бесчисленное
множество точек числовой оси. Это легко заметить, если катить окружность без
скольжения по оси вправо. После того как произошло касание окружности и
оси в точке N, которой соответствует число Хо на числовой оси, следующее
касание этой точки окружности с осью произойдет на расстоянии 2я вправо от
точки N, то есть когда окружность сделает полный оборот. Новой точке касания
числовой оси будет соответствовать число х0+2я. Следующее касание
произойдет в точке *о+4я, далее в точке х0+6я и т. д.
Аналогично при качении окружности влево получим числа х0—2я, х0—4я,...
Таким образом, точке единичной числовой окружности, которой соответ-
268
ствует число *о, на числовой оси будет соответствовать совокупность точек,
абсциссы которых определяются по формуле
x=x0+2nk,
где £ = 0, ±1, ±2, .... ±п, ....
Соответствие между точками единичной числовой окружности и точками
числовой оси является примером соответствия, не являющегося взаимно
однозначным. Каждой точке числовой оси соответствует одна и только одна
единичная точка числовой окружности, но не наоборот: каждой точке единичной
числовой окружности соответствует не одна точка числовой оси, а бесконечное
множество.
§ 2. Тригонометрические функции
1. Определение тригонометрических функций числового
аргумента. Перейдем теперь к определению тригонометрических
функций. Мы уже говорили, что положение М числовой окружности
можно задавать двояко: либо ее абсциссой и ординатой в
некоторой декартовой системе координат, либо ее координатой на
числовой окружности (величиной х дуги AM). Ясно, что абсцисса и
ордината точки М зависят от х. Эта зависимость имеет различную
форму при различном расположении окружности относительно
декартовой системы координат. Мы выберем следующее
расположение.
Центр окружиости поместим в начало системы координат, а
начало отсчета А на окружности — в точку пересечения
положительной полуоси абсцисс с окружностью. (Кроме того, как
говорилось выше, положительным направлением движения по
окружности будем считать направление против часовой стрелки, то есть
направление вращения от оси ОХ к оси OY1; рис. 117).
Введем теперь следующие определения.
Абсциссу X той точки М единичной числовой окружности,
которой соответствует число х, будем называть косинусом числа ху
а ординату У этой точки — синусом числа х. Обозначения
косинуса и синуса таковы: X=cosjc, Y=sinx (рис. 119). Поскольку
каждому числу х соответствует единственная точка числовой
окружности, то синус и косинус числового аргумента однозначно
определены. В самом деле, каждому числу х соответствует вполне
определенная точка М(х) числовой окружности, а для каждой
точки числовой окружности однозначно определены абсцисса и
ордината. Значит, функции cos* и sin* определены для любого
1 Мы обозначим оси ОХ и О У, так как буквой х обозначается величина
угла.
269
n
\ °
JbM
/ <rt\ \
COSX J A
X
Рис. 117
Рис. 118
действительного числа х. Функции y=cosx и y=sinx называют
тригонометрическими функциями.
Вычислим значения синуса и косинуса для некоторых значений
аргумента. В первую очередь заметим, что точка А (начало
отсчета на окружности) соответствует числу О, А=А(0).. Так как
декартовы координаты этой точки равны Х=\, 7=0, то
получаем, что
cos 0=1, sin 0=0.
Точке В пересечения окружности с положительным
направлением оси OY соответствует число -у (дуга АВ является
четвертой частью окружности, а длина всей единичной окружности
равна 2я). Так как декартовы координаты В равны Х=0, 7=1, то
cos-|-=0, sin-^- = l.
Совершенно так же, рассматривая точки С и D (см. рис. 116)„
выводим, что
Cost: = — 1, sin*: = 0,
3 3
cos — тс = 0, sin ~y я = — 1.
Для остальных точек окружности М абсолютная величина
косинуса и синуса соответствующих им чисел меньше единицы
(катет каждого из получаемых прямоугольных треугольников
меньше гипотенузы, равной единице). Таким образом, для
любого х имеем:
|cos x|^l, |sinjc|^l.
270
Упражнения
9. Может ли косинус быть равным:
а) 0,471;
б) У*-У>
УТ-1
о" г)
8
д) а + ~' <а> J)".
К2 е| IJL"
/10
е) —
ж)
з)
и)
Vio
7U »
к)
yV
л)
1/ *4-Ы '
10. Найти sin a + cos а, если:
а) а = 0°; б) а = 90°; в) а = -у.
2. Знаки тригонометрических функций. Оси координат делят
единичную числовую окружность на четыре равные части. Их
называют четвертями или квадрантами. Дуга АВ (см. рис. 113)
называется первой четвертью, дуга ВС— второй четвертью, дуга
CD — третьей четвертью и дута DA — четвертой четвертью- Из
рис. 114 видно, что в каждой четверти координаты точек
окружности сохраняют один и тот же знак. Именно, в первой четверти
Х^0, У^0, во второй Х^0, У^0, в третьей Х^0У У<0 и в
четвертой Х^>0, Уг^О. Поэтому, зная, в какой четверти лежит
точка М(х) числовой окружности, мы можем определить
знаки cos* и sin*. Например, если О^х^-^, то точка М(х)
лежит в первой четверти, и потому cosjc^O, sinx^O. Если же
2"^*^;jt, то М(х) лежит во второй четверти и cos*^0, sinxr^O.
Точно так же при яг
х^уя имеем cosxs^O, sinjcs
0, sinx^O.
Сведем эти результаты в следующую таблицу:
:0, а при
уя^л:^2я имеем cos л:
X
п
О < х < -у
1 п
пг <х <п
з
1С < X < -J- ТС
з
YY тс < х < 2тс
Четверть
I
II
111
IV
sin x
+
+
—
- .
cos х
+
—
—
+
271
У пр ажнения,
7 3
11. В какой четверти лежат точки М(х), если х равно: а) -тг те; б) -г- тс;
5 те 1
в) -д- те; г) -g-; д) 2; е) 4 -у; ж) 1,2 те; з) 0,674 те? Найдите знаки sin x и cos x
для этих значений х.
12. В каких четвертях находятся углы: а) 215°; б) 172°18'2"; в) 164°33/;
г) 297°91'; д) 100°?
13. В каких четвертях находятся углы, радианная мера которых равна:
а) 1,3; б) 2,345; в) 4; г) 1,592?
14. В каких четвертях лежат точки числовой окружности, которым
соответствуют углы: а) — 47°43'; б) —99°19'35"; в) — 310е5?
15. В каких четвертях лежат точки М(х), для которых х равно: а) —1,4я;
б) —0,674л;; в) —2; г) —1,415?
16. Найдите знаки выражений:
7 3
а) sin -g- те cos —г- те;
5 2 7
б) sin -о" к cos -F- те cos -т- и;
в) sin 1,3 cos (—1,5) sin (—1,9).
17. В каких четвертях синус и косинус имеют одинаковые знаки?
18. Какой четверти принадлежит угол х, если:
а) sin.x:=4 cos*; в) cosx = 3sin3 x\
б) sin х = cos2 х\ г) sin л:=cos4*?
3. Связь функций sin х и cos х. Значения синуса и
косинуса одного и того же аргумента х связаны друг с другом
соотношением
sin2x+cos2Jt=l. (1)
Чтобы доказать это соотношение, вспомним, что если X=cos#,
Y=sinA:, то точка М(ХУ У) должна лежать на окружности
единичного радиуса, и потому ОМ = 1 (см. рис. 119). Но из геометрии
известно, что расстояние точки М(Х, У) от начала координат
определяется формулой r2=X2+Y2. Поэтому для всех точек
М(Х, Y) на единичной окружности выполняется равенство
X2+Y2=l. Поскольку X=cosjc и Y=sin* — координаты точки
М(Х, У) единичной окружности, то они должны удовлетворять
соотношению (1). Это соотношение играет важную роль во многих
вопросах тригонометрии. Сумму sin2x+cos2jt называют иногда
тригонометрической единицей.
Справедливо и обратное утверждение: для любых двух чисел
X и У таких, что X2-{-Y2=\, найдется такое значение *, что
cosx=X, sinх=У. В самом деле, равенство X2+Y2=\
показывает, что точка М(Х, У) лежит на единичной числовой
окружности. Обозначим через х величину дуги AM, где А —начало
отсчета на этой окружности. Тогда X=cosx, y=sin*.
272
Итак, для того чтобы два числа X и Y были косинусом и
синусом некоторого аргумента х, необходимо и достаточно, чтобы
сумма их квадратов равнялась единице.
Упражнения
19. Мэгут ли синус и косинус одного и того же аргумента быть равными
соответственно:
5 12 а Ь
а) тз и is"; б) Y^Wи V^W
7
20. Вычислить cos л:, если sinx =—g5 и х лежит в четвертой четверти.
5
21. Вычислить sinx, если cosx= j^-и х лежит в первой четверти.
22. Доказать тождество (при cosx^O):
1 1 sin2 x sin4 x
cos4 x cos2 x ~~ cos2 x ~т~ cos4 x '
23. Доказать тождество (при sin x ф -g-; ф OJ :
2 sin x cos x—cos x cos x
1—sinx+sin2*—cos2 x sin x
24. Доказать, что если sinx^O, cosjc^O, то
1.1 1
sin2 x ' cos2 x sin2 x cos2 x '
25. Доказать, что если sinx^O, cosx^O, то
I • . 1 \2 , I , 1 \2 n , sin2 * , cos2 x
I s,n^+lnTTJ+l c0SX + -^77)-7 + ^^7 + ^-T'
Доказать тождества:
26. sin4 x+cos4 x= 1—2 sin2 x cos2 *.
27. sin6x+cos6x=l—3 sin2 x cos2 x.
28. sin4 x—cos4 x—1—2 cos2 л:=2 sin2 x— 1.
9Q 1 , 1 L- nnu sin хф\,
y* 1 — sin x "T" 1 + sin * ~~ cos2* p sin * =£ - 1.
30. sin2x+sin2xcos2x+cos4*=l.
31. sin2 x cos2 y+sin2 x sin2 */+cos2 x sin2 t/+cos2 л: cos2 y = l.
32. sin4 л:—cos4 x—sin2 *—cos2 x,
sin' ^"4-cos' x
33. — • y_t_prtc v— = 1— sinxcosx (при sin хфсоъх).
olll л-p"COS л
34. 3(sin4 x-f cos4 x)— 2 (sin6 x+cos6 x) = 1.
35. Заменить выражение sin4 *—sin2 x+cos2 л: тождественным ему
выражением, не содержащим cos x.
18 Заказ 2541 273»
36. Пусть sinx+cosx==m. He вычисляя отдельно sin* и cosjc, найти:
a) sin3 x+cos3 х\ б) sin4 jc+cos4 x.
37. Построить графики функций:
а) y = s'm2 x+cos2 х;
sin х
б) у-
Y1 — cos2.c
В) У
-(V
sin x
1 + sin v
/1 + sin x \ fi/'l — cos x _ -1
1 - sin x )\ У 1 4- cos x V
промежутках f 0, -£-J, | —f к) , U, -^-n ), /-у- к, 2к J .
38. Доказать, что
}/" 1 +2 sin л: cos л; = | cos лг+sin x \.
2
39. Пусть sin x cos л: = ~тр Вычислить
| sin x+cos x I
I sin x—cos x I "
40. Доказать, что при zos хФ — 1
1—cos л: I sin л: I
1 -f cos x
1 — cos x
V-
1+COSJC 1+COSX
4. Тригонометрические функции угла. Мы ввели функции
y=sinx и y=cosx как функции от числа х. По сути дела эти
функции задаются положением точки М(х) числовой окружности,
то есть являются функциями, заданными на окружности. Так как
положение начальной точки А закреплено, то можно сказать, что
функции y = sinx и y=cosx являются функциями дуги АМУ где
М=М(х) (рис. 119). Но в геометрии было доказано, что равным
дугам соответствуют равные центральные углы и обратно.
Поэтому вместо функций дуг можно
рассматривать функции углов.
~~ Итак, функции y=sm x и y = cos x
можно рассматривать как функции,
заданные на множестве всех углов:
каждому углу соответствует определенное
значение этих функций.
Мы можем поэтому говорить о синусе
и косинусе угла, измеренного в градусной
мере. Обозначение sin a° означает
следующее: значение а° надо перевести в ради-
М(х)
Рис. 119.
анную меру по формуле х=
180°
274
\
Рис. 120
Рис. 121
вычислить sin х. Такой же смысл имеет cosa°. Например*
sin30°=sin^-, cos315°=cos — jt н т. д.
Покажем, что для острых углов данное сейчас определение совпадает с
тем, которое было дано в восьмом классе. Напомним, что в восьмом классе
синусом острого угла С назвали отношение катета, противолежащего этому углу,,
к гипотенузе, а косинусом — отношение катета, прилежащего к этому углу, к.
гипотенузе:
АВ
ВС
sin С= ~тр~, cosC= ^~j'f
(см. рис. 120). При этом было показано, что синус и косинус зависят от самого-
угла, а не от размеров прямоугольного треугольника.
Чтобы показать совпадение нового определения тригонометрических
функций с первоначальным, возьмем прямоугольный треугольник DEF с острым
углом F и гипотенузой длины 1. Тогда sin F — DE и cos F—BF. Поместим этот
треугольник так, чтобы вершина угла F совпала с началом координат О, а
сторона FE пошла по оси абсцисс. Тогда точка D совпадет с точкой М числовой
окружности. Из рис. 121 видно, что абсцисса точки М равна FE, а ее ордината
равна DE. Это и показывает совпадение нового определения
тригонометрических функций с данным ранее.
5. Вычисление значений синуса и косинуса для некоторых
значений аргумента. Мы уже знаем значения функций sin x и
cos а: для х=0,-|-, т:, -^-я. Сейчас мы вычислим значения этих
функций для некоторых других значений аргумента. Мы
проведем сначала вычисления, используя градусную меру углов, а
потом выразим полученные результаты в радианной мере.
Сначала найдем sin 30° и cos 30°. Из геометрии известно, что-
катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Взяв прямоугольный треугольник ABC такой, что <£Л=30°,
получаем (рис. 122):
18* 275.
Рис. 122
Совершенно так же доказывается, что
о/\о ВС 1
sin30°=^ = ^-.
Так как sin2 30°+cos2 30°= 1, то
cos2 30°= 1—sin2 30°= 4-.
Поскольку угол в 30° лежит в
первой четверти, то cos 30° > 0 и
потому cos 30° =ly~-
sin60°=^-,cos60#=4-
Возьмем теперь равнобедренный прямоугольный треугольник.
Его острый угол равен 45°. Так как катеты этого треугольника
равны, то sin 45°=cos 45°. Поскольку sin245°+cos245°=l, то
sin2 45°= -2~и cos2 45°=-у , а потому
sin 45(
- Vi * ^г >cos 450==
V*
(угол 45° лежит в первой четверти и потому sin45°>0)
В заключение найдем sin 18° и cos 18°. Для этого рассмотрим
равнобедренный треугольник с углом 36* при вершине А (рис. 123). Углы при основании
этого треугольника равны 72*. Проведя биссектрису BD угла ABC, получим
AD
DC'
АВ
ВС
(1)
Но угол ABD равен половине угла ABCt то есть равен 36°. Значит,
треугольник ADB — равнобедренный и потому AD=BD. Далее, угол DBC равен
36е, а угол BCD равен 72°. Значит, и угол BDC равен 72°, а потому треугольник
DBC — равнобедренный, BD = BC. Тем самым доказано, что AD = BC.
Значит, из пропорции (1) следует, что
АР
DC
АВ
AD
АС
AD
(2)
Но DC=AC—AD. Полагая АВ=АС=а, AD=x,
получаем уравнение:
х а
а — х — х '
Решая его, находим: *i,2=~"2~ (— 1 =Ь )^5 ) .
Так как x=AD — положительное число, то
ж--|-(Кб-0=тг(^-1).
276
Aft
Поскольку AD=BCt то и ВС= у (/5 — 1 ) .
Теперь уже легко найти sin 18°. Для этого, опустив в треугольнике ABC
высоту AM, получим:
sin 18 = sin MAB =^g- = ~о~ ~Хв = —4 "
УК— 1
Итак, доказано, что sin 18 = ^ . Так как sin2 18°+cos2 18°= 1, то
cos 18'= У 1 - l^f-^f = 4~ ^ Ю + 2/5".
Из того же треугольника АМВ находим, что
вм /Г— 1
cos72°=—r5 =■
АВ ~ 4
sin 72°= -j-|^10 + 2}/"5 .
Если от градусной меры углов перейти к радианной мере, то
получим следующие результаты:
ТС ТС
Sin-тг- = COS-y
71 ТС
sin-г- = cos-7-
4 4
тс тс
Sin-тр = COS -g-
. тс 2тс
sin-^-cos-y
1
"" 2 ;
V*.
2 '
2 '
/5"—1
"~ 4
тс . Ztc 1 / -г=
COS — = sin -g- = -fV 10 + 2/5
Упражыения
тс
41. Что больше: sin 30° или cos -3" ?
тс тс
42. Что больше: sin-g- или sin -т- ?
3
43. Что больше: cos 18° или cos-?r л?
44. Определить величину выражении:!
2cos ( — 180°)
a) cos 0- sin 270V- ^
277
3 sin 0° 2
б) ^ЛМ> ~ sin (-90°) ~ cos 360 ;
в) sin л cos» -y +^2Z +
sin
(-£)'
r)
sin245° , sin230°
cos230°^ sos245°
sin20,l к cos20.1 т.
д) —;r + —;r-
sin ■
cos-
45. Пусть /(л:) =4 cos 3x—2 sin Зл:.
Вычислить f(0),f (-g-) Л (x) ' /(*)■
6. Определение тангенса и котангенса. Во многих
приложениях математики полезно использовать отношение . Оно полу-
cos х J
чило особое название — тангенс числа х и обозначается tgx.
Таким образом, по определению,
sin х
tg*=
cos л:
(i)
COS X
Отношение —-.—- называется котангенсом числа х и обозначается
ctgx:
ctgx=
COS X
sin x '
(2)
Итак, tg л: — это отношение ординаты точки М(х) числовой
окружности к ее абсциссе, a ctg x — отношение абсциссы этой точки
к ее ординате.
По сути дела мы уже встречались с понятием тангенса.
Угловой коэффициент прямой y=kx есть не что иное, как тангенс угла,
образованного этой прямой с положительным напоавлением оси
абсцисс (рис. 124). То же значение имеет, конечно, и угловой
коэффициент параллельной ей
прямой y = kx+b. В частности,
геометрический смысл производной
(см. п. 9 § 1 гл. IV) может быть
сформулирован так:
Производная f'(a) функции
y=f(x) в точке х = а равна
тангенсу угла между
положительным направлением оси абсцисс и
касательной к графику функции в
точке х=а.
Ясно, что функции tg х и ctg х
278
определены не для всех значений х. Функция y=tgx= — не
определена для таких значений х, что cos x=0. Но cos x —
абсцисса точки М(х) числовой окружности. А на числовой
окружности абсцисса равна нулю лишь для точек В и D пересечения
этой окружности с осью ординат (см. рис. 117). Этим точкам
отвечают значения х вида -g- +2kn и -у- + 2kn соответственно.
те
Их можно выразить одной формулой: -]- +&я. Итак, функция
y=tgx определена для всех значений х, кроме значений вида
X =• -тр + Лтс.
COS X
Функция y=ctgx=-^—^ определена для всех значений х,
кроме значений, для которых sinjc=0, то есть значений х,
отвечающих точкам пересечения числовой окружности с осью абсцисс.
Представляем читателю проверить, что эти значения х имеют вид
x=kn. Итак, функция y=ctgx определена, если хфкп.
Для всех
значений
имеет место тождество
В самом деле
х, при
tg* =
которых
1
ctgx '
определены
если БтхфО, cosx=^=0, то
tg* =
sin x __
cos x ""
1
cos x
1
ctgx *
tg* и
ctgx,
(3)
sin x
Ясно, что функции y=igx и y=cigx положительны, если
sin x и cos x имеют одинаковые знаки, и отрицательны, если знаки
sin х и cos х различны. Отсюда выводим, что tg x и ctg x
положительны в первой и третьей четвертях и отрицательны во второй и
четвертой четвертях (см. таблицу на стр. 271).
С помощью вычисленных ранее значений sin x и cos x для
тс те тс тс 2к
*=-6>Т> Т, 1оИ-5 НаХ0ДИМ:
. jc J_
. jt_ s'n 6 2 1 _ УЗ
g 6 со4 = & " ^ " 3 '
6 2
те V Г
sin -J- -у-
cosT _
279
J. rc
J. Л
^10
, -2*
**ПГ
sin-j
COS-jT
/5"
2_
2
•/3;
/ 10+2/5
V 10 + 2/5"
/fT-1
Значения ctg^-, ctg ~, ctg y, ctg у^и ctgу получаются теперь
из тождества (3).
а:
sin л:
cos х
tg*
ctg х
0
0
1
0
Не
определено
ТЕ
"То"
/5~— 1
4
1
■ TI Ю + 2/5
У 10 + 2/5"
/ 10 + 2/5"
/Г—1
71
тг
1
2
/З"
j 2
/з
3
/з"
71
!
2
V2
2
1
1
7С
"3"
W
1 2
1
2
/З"
/з"!
3
2л:
5
±/10+2/Г
4
/5"—1
4
V Ю + 2/5"
/ЁТ—1
"|/"5"— 1
У 10 + 2/5"
тс
т
1
0
Не
ределено
0
7. Геометрическое изображение tg x и ctg x. Существует
простое геометрическое правило для непосредственного определения
значения tg x без предварительного нахождения значений sin x и
cos x. Для этого проведем через точку А (начало отсчета)
касательную AT к числовой окружности и установим на ней то же
самое направление, что и на оси ординат (то есть снизу вверх)
(рис. 125). Пусть М(х) —любая точка на числовой окружности,
не лежащая на оси ординат. Проведем через эту точку и начало
280
Рис. 125
координат О прямую AM и
обозначим через N точку пересечения этой
прямой с прямой AT. Эта точка
лежит выше точки А, если
принадлежит первой или третьей четверти, и
ниже точки А, если М принадлежит
второй или четвертой четверти.
Значит, знак величины отрезка AN
совпадает со знаком tg х. Покажем, что
длина этого отрезка равна |tgx|. В
самом деле, из подобия
треугольников ОСМ и OAN вытекает, что
AM_CN
ОА~ ОС
Но ОЛ = 1, CAf=|sin x\, OC=\cosx\ и потому AN=\tgx\. Мы
видим, что длина отрезка AN равна |tgx|, а его знак совпадает
со знаком tg х. Значит, величина отрезка AN (его длина, взятая
с соответствующим знаком) равна tgx. Прямую AT называют
поэтому линией тангенсов.
Точно так же можно изобразить геометрически значение ctg x.
Для этого проведем касательную BQ (рис. 126) к числовой
окружности в точке В ее пересечения с осью ординат и выберем на
этой касательной то же самое направление, что и на оси абсцисс
(то есть слева направо). Пусть М(х)—точка числовой
окружности. Проведем через нее луч, выходящий из начала
координат О, и обозначим через R точку пересечения этого луча с
построенной касательной. Величина отрезка BR равна ctg*.
Предоставляем это доказать читателю. Прямую BQ называют поэтому
линией котангенсов.
Упражнения
46. Пользуясь указанным выше
геометрическим правилом, найти
приближенные значения:
а) tg-jg; в) tg(-62°); д) ctg -g- ;
б) tg 50°; г) tg (-104°); e)ctg(-10°).
47. Определить величину выражений:
а) a2tg*-J- + ^ctg2y ;
б) aMga0+btg*-J + c2tg*|- ;
]
ч?
т
V:
/
1
\В h
Ж
и
Рис. 126
281
3 3
в) a cos 7г + 6 cos-n" я — с sin тс ctg -к я + d sin « tg 1,3 г;
г) sin2 те — cos2 ( — 26,3*) tg it.
48*. Какие тригонометрические функции могут принимать значения:
I
а) а + —, где а ф 0;
б) 0 .--, где а >0, Ъ>0,аф Ь\
в) 1Г+Т•где а> > ь>°» а ^ &?
8. Выражение тригонометрических функций через одну из них.
Мы ввели четыре тригонометрические функции sin x, cos x, tg a\
ctgx. Для них были установлены три соотношения:
sin2x+cos2A:=l, (1)
^ cos х ' ^ '
ctgX=i^iL. (3>
fe sin х v r
Если задать значение одной из четырех функций sin jc, cos #, tgjc,
ctg jc, то соотношения (1) — (3) дают систему трех уравнений для
отыскания трех других функций К Поскольку первое уравнение
есть уравнение второй степени относительно sin x и cos x, эта
система имеет, вообще говоря, не одно, а два решения. Поэтому,,
как мы сейчас увидим, кроме задания значения одной из
тригонометрических функций, надо задать еще четверть, которой
принадлежит точка М(х). Тогда остальные функции определяются)
однозначно.
Сначала рассмотрим случай, когда задано значение синуса
sin* = a и требуется по этому значению найти значения
остальных функций. Из формулы (1) получаем, что
cos2a:=1—а2, (4)«
откуда
cosx1= у 1 — а2
или
cos х2——У 1 — аа.
1 Отсюда, между прочим, следует, что среди соотношений для sin x, cos*,,
tg x, ctg x может быть лишь три независимых. Все остальные соотношения
вытекают из них.
282
Мы видим, что если sin x = a, то
функция cos х может принимать одно из
двух значений. Причина этого ясна
из рис. 127. На окружности есть две
точки с заданной ординатой а.
Абсциссы этих точек равны по
абсолютной величине, но противоположны по
знаку. Поэтому если sin х=а, то для
cos х мы получаем одно из двух
значений, равных по абсолютной
величине и противоположных по знаку.
Чтобы получить однозначно
определенное решение, надо еще указать
четверть, которой принадлежит
точка М(х) числовой окружности.
Например, если sinx=-g- и М(х) лежит в первой четверти, то
~ш f /~ЯГ"\ 2* А. *?
cos х = у 1 — (уJ = -g- . Если же sinx = -g- и М(х) принад-
лежит второй четверти, то cos х = — I/ 1 — Uh = ^- .
Рис. 127
Зная синус и косинус, можно по формулам (2) и (3) найти
тангенс и котангенс:
tg*i=
Vl — a-
-> tg*2 =
ИЛИ
V\—a2
Ctg*i = — , Ctg*2 = - -?—
Два значения косинуса, полученные из (4), определяют две
серии ответов:
cosxx = у 1 —а2,
i{ tg*'=7rb
2 '
И {
cos x2 = — \ 1 — а2,
а
К
ctg*1 =
I
tg^2 = —
ctg*,=
/1-й2
Аналогично, если задан cos x=a, то мы получаем две серии
ответов:
283
[ sin xY= у 1 —a2,
I{ ^^^-^-Г—' II
ctgxl
1 sin x2 =
] tg*2=
ctg*2=
—
V l-
yi-
vr=
-a2,
«a
9
"?'
И здесь, если к заданному значению тригонометрической функции
добавить еще одно данное, а именно указание четверти, в которой
расположен аргумент, значения тригонометрических функций
определяются однозначно.
Перейдем теперь к вычислению значений тригонометрических
функций по заданному значению тангенса. Для этого нам
понадобится вывести новые тригонометрические формулы. Исключим
значения х, при которых cosx=0, то есть значения вида
х== у (2&+1), где k=0, ±1, ±2, ±3, .... Если поделить
почленно обе части равенства (1) на cos2*, то получим:
Если же исключить из рассмотрения значения х, при которых
sinx=0, и поделить почленно равенство (1) на sin2*, то
получим:
Равенство (6) теряет смысл, если sinx=0, то есть при x=nk,
где£=0, ±1, ±2, . . . .
Формулы (5) и (6) часто приходится применять, поэтому их
надо запомнить.
Перейдем к определению значений тригонометрических
функций, если задано, что tgx=a=£0. Проще всего найти значение
ctg*:
1 1
ь tgx a
Чтобы найти cos* и sin л:, воспользуемся формулой (5):
1 __ 1
l+tg2* — 1+я2 '
Отсюда находим для cos x два значения:
1
COSXi =
284
Так как sin #=tgx cosx, то для sinx тоже получаем два
значения:
sin хг-
.-, sin jt2=-
Итак, мы получили две серии ответов:
У\ + я2
ctg^i=4-.
COS*i =
sin^i =
1
1П
Kl + <
Ctg^2 = —,
COS Х2 =
sin л:2=
1
Чтобы получить однозначный ответ, надо, кроме значения
tgx=a, указать еще четверть, в которой находится х.
В некоторых случаях удается выразить через igx (или ctgx)
сравнительно сложные выражения, зависящие от sin x и cos x, не выражая отдельно sin x
и cos х. Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется найти значение
функции
3 sin3 х—4 cos3 x
У ~ 5 sin3 x+cos3 х *
если известно, что tgx—a. Для решения этой задачи разделим числитель и
3 tg3 х—4 „
знаменатель дроби на cos3*. Мы получаем, что у= g , 3 , « . Посколь-
За3—4
ку tgx=a, то(/=^щ-.
Такое решение оказывается возможным, если числитель и знаменатель —
однородные многочлены одинаковой степени от sin x и cos x (в нашем примере
числитель и знаменатель имели третью степень относительно sin л: и cos я).
В некоторых случаях выражение можно преобразовать к такому виду,
применяя формулу sin2x+cos2x=l.
Вычислим, например, значение функции
7 sin2 x-\-5 sin x cos x-f-4
^ ~ 6 sin л: cos х+2 cos2 x—2
при условим, что tgx=a. Перепишем заданную функцию в виде
7 sin2 х-\-Ъ sin х cos x+A (sin2 x+cos2 x)
У ~~ 6 sin х cos x+2 cos2 x—2 (sin2 x+cos2 x)
и разделим числитель и знаменатель на cos2 x. Мы получим:
7tg2*+5tg*+4(tg2;H-l)
У~~ 6tg*+2—2(tg2*+l)
11а2+5а+4
—2a2+6a
285
Упражнения
49. Доказать тождества:
а) sin х ctg x = cos x\
б) cos x tg x = sin x\
в) ctg2 x (1—cos2 x) = cos2 x;
r) tg2 *(1— sin2x)=sin2.r,
д) (1—cos2x)(l+ig2x)==tg2;r,
е) sin2 x ctg2 лг+sin2 x = 1;
ж) (l+tg2a)(l— sin2a) = l;
Ctg2 a
l
и> 7оТ7-51п*^*=с08*;
к) (ctg*-l)2+(ctgx+l)2 = ^y;
tg2a l+ctg2a _ 2
л) l+tg2a ' ctg2 a ~~tg a'
m) (l—sin A—cos Л)2=2(1—sin Л) (1+cos A);
н) sinЛ(l+tgЛ)+cosЛ(l+ctgЛ)=■П~J- + ^ГJ
o) (sin a cos 6+cos a sin 6)2+ (cos a cos 6—sin asinb)2
n) sin2 a-fcos2a cos2 b = 1—cos2 a sin2 b\
p) sin2 a sin2 6+sin2 a cos2 6+cos2 a= 1.
50. Чему равны cos x и sin x, если
2/?<7 7i
/? q &
5 sin x-f-7 cos x 4
51. Чему равно 6cosx_3sinx - если tg.v= yg-?
52. Дано ctgx =—2, причем ~2~<л:<л;.
Вычислить sin x, cos x, tg x.
3 3
53. Дано cosx =— ~f" , причем ЖЖ-п- т:.
Вычислить sin x, tg л:, ctg jc.
12 3
54. Дано sin.v=—-т^-, причем -j- л<л:<л.
Вычислить cos х, tg x, ctg x.
286
55. Упростить выражения:
a) tg2 .r—sin2 х—tg2 x sin2 x; -i/~l—cosa + 1/j+
cos a У 1+cosa У 1—«
+cos a
1+cosa r 1—cos a
6) *ga+ 1+sina ;
56. Показать, что определенная следующим образом функция // постоянна.-
г/ = (3 sin х+2 cos л:) 2+ (2 sin jc—3 cos x)2.
57. Доказать, что
а) |tga+tga|^2; б) tg2 a+ctg2 a^2.
(sin x+tg л: \ 2 sin2 лг+tg2 x
_ \ __ — .
(sinx+cos#)2—1
59. Доказать, что ctgJC_sinxC0Sjr =2tg»x.
60. Доказать, что
sin3 x(l+ctg #)+cos3 x(l+tg л:) = sin x+cos x.
61. Доказать, что
tg3 a 1 ( Ctg3a
sin2 a sin a cos a ""*" cos2 a """ ^ a ~'c ^ a'
лл rr / sin a+ctg a \2
62. Доказать, что ^ ,+sinatga j =ctg*a.
63. Дано: tg a+ctg a=m. Найти:
a) tg2a+ctg2a; 6) tga—ctg a; в) tg3 a+ctg3 a.
64. Пусть tgx= -«-. Вычислить выражения:
a) sin' *+cos* Л-; в) sin. x+cos. x I
sin3 „v+cos3 Л+3 sin x sin4 x+cos4 x
' 5 sin x— 2 cos a: * ' sin6 лг+cos6 x '
9. Гармонические колебания. Мы уже говорили во введении,
что тригонометрические функции используются для описания
колебательных процессов. Простейшим видом колебаний,
встречающимся в самых разных вопросах ф.изики и техники, является
гармоническое колебание. Рассмотрим, например, груз, висящий на
пружине (рис. 128). Если вывести этот груз из положения
равновесия, он начнет совершать колебания вверх и вниз. Обозначим
через 5 отклонение груза от положения равновесия. Можно
доказать, что 5 зависит от времени t по следующему закону:
s=A sin(coH-a). (1)
287
Этот закон и называется законом гармонических
(или синусоидальных) колебаний. Величина А
называется амплитудой колебания. Она характеризует
размах колебания и зависит от величины
начального отклонения от положения равновесия и
начальной скорости движения груза. Величина со
называется частотой колебания. Чем больше со, тем
больше число колебаний за единицу времени (число
колебаний за единицу времени равно со/2я). Наконец,
а называется начальной фазой колебания.
По тому же закону (1) изменяется сила
переменного электрического тока, возникающего при
вращении прямоугольной рамки, сделанной <из
проводящего материала, в магнитном поле: если рамка
вращается равномерно, величина тока меняется по
закону гармонических колебаний I=A sin(co£+a).
Наглядное представление о гармонических колебаниях можно
получить следующим образом. Рассмотрим точку М (рис. 129),
движущуюся по окружности радиуса А с постоянной угловой
скоростью (то есть проходящую за равные промежутки времени
равные дуги). Назовем угловой скоростью этого движения дугу,
которую точка проходит за единицу времени (скажем, за 1 сек).
Угловую скорость обычно измеряют в рад/сек. Если угловая
скорость точки равна со рад/сек, то за 1 сек точка проходит дугу
Рис. 128
в со радиан.
Рис. 129.
Будем считать, что центр
окружности находится в
начале координат О, и
рассмотрим движение проекции
вращающейся точки на ось
ординат. Ясно, что эта
проекция колеблется вверх и
в«из. Найдем закон этих
колебаний, то есть положение
проекции N точки М в
момент времени t.
Для этого нам надо еще
знать начальное положение
движущейся точки, то есть
ее положение Мщ в момент
времени /=0. Пусть в этот
момент времени величина
дуги КМ0 (К—точка пересе-
288
чения окружности с осью абсцисс) равнялась а. Через t единиц
после начала движения точка пройдет по окружности путь в at
радиан и окажется в такой точке М, что КМ = Ы+а радиан.
Найдем ординату этой точки М. Для этого проведем луч через
начало координат и точку М и обозначим через М' точку
пересечения этого луча с единичной окружностью. Мы знаем, что ради-
анная мера дуги К'М' единичной окружности (К' — начало
отсчета на этой окружности) тоже равна со/+а. Поэтому ордината
точки М' равна sin((o^+a)- Так как радиус данной окружности
в А раз больше радиуса единичной окружности, то ордината
точки М равна A sin (соЛ-а). Ту же ординату имеет и проекция .V
точки М на ось OY.
Итак, мы доказали, что если точка М равномерно вращается с
угловой скоростью со по окружности радиуса А, то закон
движения ее проекции на ось ординат выражается формулой (1).
Упражнение 65. Найти амплитуду, период и начальную фазу
гармонического колебания, заданного формулой:
а) s=5 sin Ы + -у) ; г) s = 0,3 sin (0,2 * + -j-J ;
б) 5= -j sinn(t— -g-J ; Д) 5 = я sin 3/;
j ^ ' e) s = sin(/—3).
в) s=2,73sin-2-(f + 2);
§ 3. Свойства тригонометрических функций
1. Периодичность. Мы знаем, что числам х и х+2л
соответствует одна и та же точка М числовой окружности: М(х) =
=М(х+2л). Но sin* и cos* — координаты точки М. Поэтому из
М(х)=М(х-{-2п) вытекают равенства
sinjt=sin(jt+2n), (1)
cos Jt=cos(jt+2n). (2)
Эти равенства показывают, что sin* и cosjc — периодические
функции и что 2jt — один из периодов этих функций.
Оказывается, что 2я — основной, то есть наименьший
положительный период для sin x и для cos x.
Докажем это утверждение для функции cos*. Нам надо показать, что ни
одно положительное число, меньшее 2я, не является периодом для функции
cos*. Иными словами, если 0<а<2я, то равенство
cos(x+a)=cosx (3)
не может выполняться для всех значений х.
19 Заказ 2541
289
Если бы равенство (3) выполнялось для всех значений х, то оно
выполнялось бы для #=0. А тогда мы имели бы cosa = cosO=l. Но на числовой
окружности есть лишь одна точка с абсциссой 1 — это точка А (1. 0). Ей
соответствуют значения х вида л:=2&я. Ни одно из этих значений не удовлетворяет
неравенству 0<а<2л. Поэтому если 0<а<2л, то соьафХ. Полученное
противоречие показывает, что 2л — наименьший положительный период для cos x.
Функция y — s'mx исследуется точно так же. Надо в равенстве sin(%-f-a) =
= sin.x: положить х^-^и принять во внимание, что единственной точкой
числовой окружности, имеющей ординату 1, является точка В (0, 1), которой соот-
ветствуют значения х вида %= у -\-2kn.
Из равенств (1) и (2) вытекает, что для любого целого
значения k имеют место равенства:
sin(x+2foi)=sin х,
cos(x-f-2£ji) =cos x.
В градусной мере эти соотношения записываются так:
sin(ao+360o&)=sina°,
cos(a#+360o£)=cosao.
Упражнения
66. Вычислить cos 210,1л—cos 3978°.
67. Сравнить по величине:
sin (у — 2тс| , sin (-j — 302 к \ sin (y-f- 18* ] .
68. Вычислить:
sin 3630°, sin 7245°, sin 1845°,
cos (—330°), sin(—315°), cos(—7218c).
69. Вычислить:
,(-=--182.);
a) cos (360° • 7+30°)-fsin l-j-- 182л J; 6) sin 4,1л+3 sin 6,1 л;
в) cos (216*— -g- J- cos (312*- -^ j .
2. Отыскание периода. Функции y=A sin((x)t+a) (гармонические
колебания) также периодичны. Найдем их основные периоды.
Если Т—период этой функции, то должно выполняться равенство
A sin [со (t+T) -fa] = A sin (wf+a),
или, иначе,
sin(co/+a+(oF) =sin(co£-f a). (1)
Так как основной период функции sin x равен 2л, то наименьшее
положительное значение Г, удовлетворяющее соотношению (1), таково, что соГ = 2л.
Поэтому основной период функции у=А sin(to/+a) равен Т=—. Этому же числу
равен основной период функции вида у=А cos(<dt+а).
290
Если y=f(x)—некоторая функция, определенная на отрезке [—1,1], то
существует сложная функция F(t) =/[sin((o£+a)]. Одним из ее периодов яв-
2-
ляется число Т = —~. В самом деле,
/>[/+—) = /
Sin (о, [t+-^j + я j
= / [ sin (о>* + а + 2-)] = / [sin (со/ + ^)] = F(0-
Однако, вообще говоря, нельзя утверждать, что 2л/со — основной период
функции F(t). Может случиться, что в силу каких-либо специальных свойств
функции f(x) существует период Т\ функции /[sin((o/-f а)], меньший, чем Т. В этом
2г.
случае Тх имеет вид Т{ = —, где k=2, 3, . . . .
Иногда исследуемая функция y=f(x) зависит от тригонометрических
функций с различными аргументами, например имеет вид
3 4 л х
t/ = siny х+4 sin -о дг+ 2со>"2-. (2)
Тогда сначала надо найти основной период каждой из тригонометрических
функций, входящих в выражение f(x). Так как каждое число, кратное периоду,
само является периодом, то общее кратное Т всех найденных периодов
7\, . . . , Тп является периодом функции y=f(x). Во многих случаях
наименьшее кратное периодов 7\, . . . , Тп и является основным (наименьшим
положительным) периодом функции f(x). Например, функция (2) зависит от
3 А х 3
sin-9-л;, sin-o"* и cos— Основным периодом для sin-?r x является 4г/3,
4 х
для sin у х — число Зтс/2 и для cos у— число 4г. Наименьшее общее
4г. Зги
кратное чисел -у , -п-, 4г равно 12 г. Это число и является основным
периодом функции (2). Межно доказать, что если числа шъ ... , о>л
соизмеримы друг с другом и различны, то основным периодом функции
вида
y = Ai sin(G)if+ai)+ . . . +Ап sin((DnH-an)
2к
является наименьшее общее кратное чисел 7\= — (&=1, • • • , п)-
Упражнения
70. Найдите периоды следующих функций:
а) гу = sin Зл:+2 cos 5л:;
4 7
б) y = s'm -г х + 3cos -77 лг+cos 5л:;
В) у= Y\ + COs4aT ;
2 sin 6л: — cos 4л:
г) ys= 3 sin 6л: -f- cos 4л: '
д) y = smx+3 cos 7,1л:;
19* 291
е) #=2 sin 4л:—3 sin 5л:—7 cos ("q"+ 3 1 ;
ж) y=Ysin8x—cos5x-f3;
з) y=Ycos 5,3л:—cos llx-f4 .
71. Доказать, что функции y^cos^x и у = sin л:2 не являются
периодическими.
3. Формулы приведения для sinx и cosat. Мы определили
функции у = cos х и # = sin х как координаты точки М(х)
числовой окружности. Эта окружность остается неизменной
при некоторых геометрических преобразованиях, в
частности при симметриях относительно диаметров. Окружность
имеет бесконечно много диаметров. Но, поскольку
определение тригонометрических функций связано с выбором
системы координат, естественно рассматривать лишь те
симметрии, при которых сохраняется координатный крест1.
Этими симметриями являются:
а) отражение относительно оси абсцисс;
б) отражение относительно начала координат;
в) отражение относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов, то есть прямой Y = X, а также
отражения, получающиеся комбинированием указанных выше
симметрии.
Докажите самостоятельно, что любая симметрия, сохраняющая
координатный крест, действительно может быть получена последовательным
применением нескольких симметрии вида а), б), в).
Каждому из указанных видов симметрии соответствуют
некоторые соотношения между тригонометрическими
функциями. Начнем с соотношений, связанных с
симметричностью окружности относительно оси абсцисс. Пусть Ми N—
точки числовой окружности, симметричные относительно
этой оси. Тогда дуги AM и AN равны по абсолютной
величине, но противоположны по знаку (рис. 130). Поэтому
если М = М(х), то N = N( — x).
Из симметрии точек М и N вытекает, что они имеют
одинаковые абсциссы. Поскольку абсцисса точки М(х) равна
cos*, а абсцисса точки N( — x) равна cos (— x)y то
cos|(— х) = cosx. (1)
1 При этом оси могут менять свое направление или меняться
местами.
292
Мы доказали, что cos*—четная
функция.
Далее, ординаты точек М и N
равны по абсолютной величине,
но противоположны по знаку.
Поскольку ордината точки М(х)
равна sin*, а ордината точки N(— *)
равна sin (—*), то
sin(—*) = — sin*. (2)
Значит, sin * — нечетная функция.
Теперь рассмотрим свойства
тригонометрических функций,
связанные с симметричностью
окружности относительно ее центра —
^—
у
/
t
1
—^
Лмм
У
У
№-^
Г
Рис. 130
точки О(0,0). Возьмем на числовой окружности диаметрально
противоположные точки М и N. Длина дуги MN равна тт.
Поэтому если точке М соответствует число *, то точке N
соответствует число * + тг (рис. 131). Точки М и N
симметричны относительно начала координат. Поэтому
соответствующие координаты этих точек равны по абсолютной
величине, но противоположны по знаку: если координаты
точки М равны X и К, то координаты точки N равны — X
и — У. Но координаты этих точек являются
тригонометрическими функциями от * и х + к соответственно. Мы
доказали, таким образом, соотношения:
sin (х + тг) = — sin *, (3)
cos (* + тс) = — cos *. (4)
Эти соотношения показывают, что
при увеличении аргумента на тс
функции sinxucos* меняют знак.
Числовая окружность
симметрична относительно прямой Y=X —
биссектрисы первого и третьего
координатных углов. Пусть М —
точка числовой окружности, а
N— точка, симметричная ей
относительно прямой Y = X. Ясно,
что точка N лежит на той же
окружности, причем дуга BN
равна дуге AM по абсолютной ве- Рис. 131
293
личине и противоположна ей по
знаку (рис. 132). Поэтому если
дуга AM равна х, то дуга BN
равна— ху а тогда дуга AN равна
AB-\-BN—^ — х. Иными словами,
если M = M(x)t то N=n(~ — х\.
Сравним теперь декартовы
координаты точек М н N. При
отражении в прямой У = Х
координатные оси меняются местами: ось
абсцисс переходит в ось ординат
и наоборот. Поэтому абсцисса X
точки М равна ординате V точки
;V, а ордината Y точки М — абсциссе X' точки N.
Но точка М(х) имеет координаты X = cosa* и У = sin ху
а точка #(-£- — х) — координаты
Х'= cos Съ — х) и K'=sin (-| — х) .
Отсюда вытекает, что
(тг" х)=
Рис. 132
sin
cos a:
cos
(т-*)
sin а-.
(5)
(6)
Два значения аргумента, сумма которых равна тс/2,
называют дополнительными друг к другу. Мы видим, что
при переходе к дополнительному знаяению аргумента
функция заменяется «кофункциет (синус — косинусом,
косинус— синусом). Напомним, что тг/2 соответствует в
градусной мере углу 90°. Поэтому
sin (90°—а°)= cosa°,
cos (90°—a°) = sina°.
Аналогично, переходя к градусной мере, выводим из
формул (3), (4), что
. sin(180°-fa°) =—sina°,
cos(180°+a°) = — cosa°.
Если угол a° острый, то соотношения (5') и (6') имеют
простой геометрический смысл. Рассмотрим прямоуголь-
(5')
(60
(30
(40
294
ный треугольник ABC с острым углом А, равным а°. Тогда
угол С равен 90°—-а°. Но мы знаем, что
я ВС л АВ . D ЛВ D ВС
s[nA = AC> COsA=~AC> S1TlB ^ ~АС И C0SB^~AC'
Отсюда и вытекает, что
sin A = cos С, cos A = sin С,
то есть что
sin а° = cos (90°—а°), cos а° = sin (90°—а°).
Однако это доказательство применимо лишь, если
0<а°<90°, а проведенное выше доказательство применимо
для любого значения а°.
Из доказанных соотношений вытекает ряд следствий.
Например, заменим в формуле (3) х на —л*. Мы получим,
что
sin (т.—х) = —sin (—х).
Но в силу формулы (2) правая часть этого соотношения
равна sin л*. Поэтому
sin (тг— x) = sinAr. (7)
Точно так же доказывается, что
cos (тс—jt) = —cos х. (8)
Получите формулы (7) и (8) непосредственно, используя
симметричность окружности относительно оси ординат.
Совершенно так же из формул (5) и (1) вытекает, что
sin (-§--+ *) = cos*, (9)
а из формул (6) и (2)—
cos (-|- + х) — —sin х. (10)
Далее, из (3) и (5) получаем:
sin (-y^—*) = —cos лг, (11)
а из (4) и (6)—
(-«г*—*) = ~sin x О2)
295
3
cos г
Отметим еще формулы
(о
—ъ-\-х\ = — cos*, (13)
cos (-?г*+*) = s*n*> (14)
sin (2тг—ж) = —sin x, (15)
cos (2тс—jc)=cos#. (16)
Предоставляем читателю самостоятельно установить
геометрический смысл формул (9) — (16).
Выведенные в этом пункте формулы носят общее
название формул приведения для функций sin х и cos х. Они
позволяют выразить любую функцию вида sin l^-±x\ и
C0S[~T'± г где п~ целое числ°> через sin x и cos x.
Можно доказать, что если п — четное число (то есть если
берутся тригонометрические функции от к±х или 2тс±л;), то
соответствующая формула приведения связана с
отражениями относительно одной или двух координатных осей. Но
такие отражения переводят абсциссу в абсциссу, а
ординату в ординату и лишь, быть может, меняют их знаки.
Если же п — нечетное число (то есть если берутся
тригонометрические функции от -тг±х или -^ъ±х\ , то формула
приведения связана с симметрией относительно прямых
К=Х или Y =—X в комбинации, быть может, с
отражениями относительно координатных осей. Отражения
относительно прямых Y=X и Y = — X переводят абсциссы в ординаты,
а ординаты в абсциссы, меняя, быть может, их 'знаки.
Абсцисса точки М(х) равна cos x, а ее ордината равна sin x.
Поэтому из проведенного исследования вытекает важное
правило, облегчающее запоминание формул приведения:
1) Если в формуле приведения для аргумента -£±х
коэффициент п — четное число, то название
тригонометрической функции сохраняется.
2) Если п — нечетное число, то название функции
меняется на «кофункцию» (синус—на косинус, а косинус—
на синус).
Разберем еще, как меняется знак функции. Ясно, что
если 0<х<-^-? то sinjt и cos х — положительные числа. По-
296
этому знак в формуле приведения совпадает со знаком
приводимой функции в случае, когда 0<*<-£-.
Геометрически эти правила можно сформулировать так:
1) Если угол х откладывается от горизонтального
диаметра, то название функции сохраняется.
2) Если угол х откладывается от вертикального
диаметра, то название функции меняется на «кофункцию».
3) Перед приведенной функцией ставится знак,
совпадающий со знаком приводимой функции, в случае когда угол х
острый.
Например, возьмем cos (-jgr*— *)• Так как х отнимается
от -тг-тс, то название функции надо изменить. Далее, если
3
х — острый угол, то -я-я—х лежит в третьей четверти, а в
этом случае косинус отрицателен. Окончательно получаем
cos (— тс—х) = —sin x.
Проверьте сами, что сформулированное правило
действительно охватывает все формулы приведения.
Заметим в заключение, что с помощью формул
приведения можно свести вычисление значений sin* и cos* для
любого х к вычислению значений этих функций на отрезке
[°. -г]-
В самом деле, пусть задано некоторое значение х. Это
значение лежит на одном из по л у отрезков вида [2mzt2(n+ 1)тс),
где п—целое число. Иными словами, х=2пк-\-и, где
0<«<2тг. В силу периодичности тригонометрических
функций мы имеем sin*=sin#, cos#=cosu. Таким образом, все
свелось к вычислению значений тригонометрических
функций для значений аргумента //, лежащих на полуотрезке [0;27г).
Но для любого такого значения и найдется целое число
£=0, 1, 2, 3 и число v, лежащее на отрезке [о, -^-1, такое,
что u = ~±v. Формулы приведения показывают, как в этом
случае sin и и cos и выражаются через sin?; и cos?;. Поэтому,
зная значения функций t/=smx и #=cos* на отрезке [О, -£•],
мы можем найти значения этих функций для любого х.
297
Например,
cos 5 -g- тг = cos 1 -g- it = — cos -§- = — L2~
или
. - 1 . 1 1 .Я 1
sin / -тг тс = sin 1-- = — sm-r= —o~•
о о о ^
Предоставляем читателю переписать формулы
приведения (7) — (16) для случая, когда углы измеряются градусами.
Упражнения
72. Нижеследующие тригонометрические функции привести к
одноименным функциям первой четверти:
а) sin 1000°; в) sin 129°15'; д) cos 21,7 тс;
б) cos 2462 ; г) sin (—240°5'); е) sin 14,73 п.
73. Нижеследующие тригонометрические функции привести к
функциям от аргументов на отрезке К), -т-| (или 0 < а < 45°):
a) sin 3529°; б) cos (-930°); в) cos 14,71л; г) cos 7o,3"> г.; д) sin 23;
е) sin 192 (считая я = 3,1416).
74. Вычислить:
5 т
a) sin -тг ;
б) cos у — -jt
17*
в) cos-TT- ;
75. Упрвстить
a) sin (a° - 270
вы
°);
г) sin ( - 210°);
д) sin 56,1 тс;
е) sin 36 738°;
ражения:
ж) cos 2,5 *;
з) sin 198°.
б) sin ix —~2)\
в) a2COs2 180° - sin 270, - 2аЬ cos (180°- <х°);
г) sin (90° + a) cos (270° - а) + sin (а — 90°) cos (a - 180°);
д) sin (180°+ ol) cos (180°- а) + cos (180°+«) sin (18Т-а);
е) sin I a -f -y-1 — sin I а — -у J + 3 cos a — 3 cos (2tc — a).
76. Какие из следующих функций четные, какие — нечетные, а
какие ни четные, ни нечетные:
298
а) ц = sin x -f- cos x; sin * л) у ~ x2 ctg дс;
e) */ = ;
2 — 2 cos * x M)y=xAsinx;
о) У — \ _i_ cos x * ж) u=xsinx: ч ,/-
1 ' y ' и) i/ = у cos %;
x2+ cos x 1 ч . о
в) у = л- ros * • 3># = ^sin *+*: 0) * = sln 3x cos *;
sin Зд:
г) у = sin л: cos *; и) у = x cos x\ п) у = — -j- sin 2x.
д) «/=181.1*!; K)y=XigX- p)y=tpx-X;
c) t/ == x3— sin a:.
4. Формулы приведения и соотношения периодичности для
тангенса и котангенса. Так как tg* = и ctg* = —А^- , то
& cos х ь sin л: '
из формул приведения для sin* и cosx сразу вытекают
соответствующие формулы для tg* и ctg*.
Например, из формул (1) и (2) п. 2 следует, что
± i ч sin ( — jt) — sin x , „ /1ч
tg ( — *) = —) ч = = — te *. (1)
s v ' cos ( — x) cos л: & v '
Значит, tg*—- нечетная функция. Точно так же доказывается
нечетность функции ctg*:
ctg(— *) = — ctg*. (2)
Далее, из формул (3) и (4) п. 2 получаем:
tg(tt + *)"sln(,""!:*)\ = ^^ = \%х (3)
& v ' ' cos (те -f х) — cos х ъ v '
и
ctg(* + x) = ctg*. (4)
Эти формулы показывают, что число к является
периодом как для tg *, так и для ctg *.
Покажем, что ъ есть основной (наименьший
положительный) период для */=tg * и ctg *.
Пусть равенство tg (х + а) = tg x выполняется для всех значений
х^~2 + пи. Полагая х = 0, получаем для а соотношение tg# = 0,
откуда следует, что sin# = 0. Но единственными точками числовой
окружности, ордината которых равна нулю, являются А (1,0) и С (— 1,0).
Им соответствуют значения а вида а = 2лте и я = — те -f 2/гте.
Наименьшим положительным числом из значений является — те -j- 2те = те.
Поэтому те — основной период для tgx. Точно также доказываемся,
что те — основной период и для ctgx.
Далее, из формул (5) и (6) п. 2 выводим, что
tg(T-*)eCte* (5)
299
ctg(-J-*) = tg*. (6)
Отметим еще формулы:
** (т+х) = -с{£х> (7)
ctg(-£+■*) = -tg*, (8)
tg(*-x) = -tg*f (9)
ctg (тг — ^) = —ctg*. (10)
Формулы приведения для функций tg * и ctg * также
охватываются правилом, сформулированным в предыдущем пункте.
Предоставляем читателю проверить это утверждение.
Упражнения
77. Привести к одноименным функциям аргументов первой четверти:
а) ctg 1120°17'; г) ctg v - 17,3 тс); e) ctg 13,74;
б) tg 126°; д) tg(—17,3*); ж) tg 512 (считая тс= 3,1416).
в) tg(-3729°15');
78. Привести к тригонометрическим функциям на отрезке! 0,-т-]
(или 0° < а < 45°):
a) ctg3000°95'; б) tg 2571°; в) tg 15,92ти; г) ctg 219.
79. Вычислить:
а) tg 540°; в) tg ( - 330°); д) tg 342°;
б) ctg 300°; г) ctg 225°; 5
е) ctg 31-g- тс.
80. Докажите, что:
a) tg a + tg (180°— а) + ctg (9С°+ а) = tg (360°— а);
б) sin (~2 + «1 COS (тс—а) Ctg 1-у тс + а J =
= sin IT ~~а )sin IT тс~а ) ctg \~2 "*"а);
в) COS I -g" тс + а J Sin (2тс—а) Ctg (тс + а) =
= Sin (тс — а) sin (тс + а) tg (^ — а J ;
•300
г) Ctgfy тс—a J sin fy 7i + а J sin (а — у J =
= tg (тс + а) COS (тс + а) COS (2тс — а) ;
д) sin (а — 270°) cos (я + 90°) tg (За — 180°) =
= cos (180°— a) sin (180°— a) ctg (90°— За);
е) sin (270°— a) cos (а— 90°) tg (540°+ а) =
= cos (180э+ a) sin (180°+ а) ctg (450° + а).
81. Упростить выражения:
a) 2tg а — tg (а — тс) — ctg
К*);
sin ( — a) tg (90°-f a) cos a
б> sin (180°+ а) ~~ ctg a + sin (90°+a) •
82. Доказать формулы:
a) sin (45°+ а) = cos (45°— а); б) cos (45°+ a)=sin (45° — а).
Вывести аналогичные формулы для тангенса и котангенса.
83. Упростить:
а)
2 COS (у — a) Sin (у + а) tg (тс —а)
Ctg /у + «J Sin (тс — а)
tg (180°— a) COS (180° — а) tg (90°— а)
б) Sin (90°+ a) ctg (90°+ a) tg (90°+ а) ;
tg (270°— а) sin 130° cos 320° sin 270°
в) ctg (180°— a) cos 50° sin 220° cos 360° ;
r) 2 sin 40°+ cos 130°— 3 sin 160°— cos ( — 110°);
sin8 (x — 270°) cos (360°— x)
Д) tg8 (x — 90°) cos3 (x — 270°) •
84. Доказать тождества:
а) sin2 (~ + x ) + sin* f-y — x 1 = 1;
б) tg 10° tg 20° tg 30° tg 40° tg 50° tg 60э tg 70° tg 80°= 1;
в) tg44°Ltg45°tg46°=l.
85. Упростить:
sin (270°— a)tg(180°— p) ctg (90°— a) sin (? — 90°)
a) tg (180°+p) cos (180°— a) + cos(180° —Y)tg( —a)
301
Sin ("2 я + a J tg^-J + pJ
6)
COS (тс —a) Ctg I g
86. Вычислить:
а) 10 ctg 135° sin 210° cos 225°;
б) 2 sin2 225°— ctg 330° tg 405°;
33 3r
в) 2 sin* 765°- tg" -j- * ctg -y ;
r)8 sin у cos у tg 240° ctg 210°.
87. Найти периоды следующих функций:
е
X
б) у — cos д; — 2 tg
sin (ути —(3j ctg (у + я!
cos (2тс — р) tg (т: — «)
а) г/ — — sin x + 3 tg*;
в) у = tg д; + tg2x + tg3x;
г) у = tg 7х + tg Их;
Д) У =
X X
11
ж) у = sin 2х + cos 5дг + tg8x;
з) У = Kti67+ y^ctg 5х ;
ctg-
К) # = tg 6* + tg -у .
5. Непрерывность функций sin* и cos*. Наглядное
рассмотрение показывает, что координаты Ar = cosJt и К = sin*
точки окружности М(х) непрерывно зависят от х. Докажем
строго это утверждение. Для этого возьмем на окружности
две точки М(х) и N(x+Ax)
(рис. 133). Величина дуги AM
равна х, а величина дуги AN
равна х-{-/±х. Поэтому длина
дуги MN равна | Д*| (мы пишем
1 Дх|, а не Аде, так как Дл: может
быть и отрицательным числом;
а длина дуги—всегда
положительное число).
Из рис. 133 видно,-что КМ —
катет прямоугольного
треугольника MKN, а хорда MN — его
гипотенуза. Поэтому KM<^MN.
Далее, MN<MN и потому
Рис. 133. KM<MN.
N(x+Aa)
302
Но отрезок КМ показывает, на какую величину меняется
абсцисса при г^ереходе от точки М к точке N. Поэтому
длина этого отрезка равна |ДЛП, КМ=*\ЬХ\. Так как A%=cosJ*,
то это равенство можно записать так: /<7W=|Acos х\. Мы
видели, что Mi\/ = \bx\. Поэтому неравенство KM<MN можно
записать так:
| Acos*| < |Д*|,
или, что то же самое,
I cos(*+A*)—cos*| <|"Д*1. (1)
Отсюда сразу вытекает, что y=*cosx— непрерывная функция
от х. В самом деле, зададим s>0 и положим 8=е. Тогда
если |Дд:|<о = £, то в силу неравенства (1) имеем
| cos(x+A*) — cos x\ <£. А это означает, что cos* непрерывно
зависит от х.
Точно так же доказывается непрерывность функции
y=sinx. Для этого надо использовать неравенство
KN<MN
и принять во внимание, что /CV = | Asinx|.
Так как \gx = cQg , а функции sin* и cos x непрерывны,
то функция y=\gx непрерывна при всех значениях х, кроме
значений х, для которых cos#=0. Иными словами, функция
y=tgx непрерывна во всех точках, где она определена.
Точки, в которых cos#=0, имеют вид х=пп+-^-. Так как
sin \~n+-Tf) = ±sin-^- = ± 1, то в этих точках функция tg*
имеет полюсы (см. п. 5, §2, гл. III).
Исследуем поведение функции y=tgx около точки х—-^-.
Мы уже установили, что при *=-тг функция tgx имеет
полюс, то есть стремится к бесконечности. Но слева от этой
точки, то есть в первой четверти, имеем tgx>0, а справа от
нее, то есть во второй четверти, имеем tg*<0. Поэтому
lim tg^=t= 4-оо и IimtgA-= — оо.
Функция y=ctg x= sin имеет полюсы в точках,, где
303
sin#=0, то есть в точках вида х=кп, а в остальных точках
непрерывна. При этом lim ctg.x;= — оо, Hmctg*b=-|-oo.
Упражнение
cos 2* .
3. Найдите точки разрыва функций;
а) #--=-
sin3*
б) y=Sos x+sin х-
sin
(-f)'
в) y=igx+\g-±-x\
г) У=-
Д) #=ctg 2je+ctg 3*.
sin Зх
6J
6. Возрастание и убывание тригонометрических функций.
Проследим, как меняются функции #=sin x и y=cos x при
возрастании х. Когда х монотонно возрастает от 0 до -£- ,
точка М(х) монотонно пробегает дугу окружности АВ
(рис. 134). При этом ее ордината монотонно увеличивается
от 0 до 1. Но ордината точки М(х) равна sin x. Мы доказали,
таким образом, что на отрезке [о, ~1 функция^/^sin
^монотонно возрастает от 0 до 1.
Когда х пробегает отрезок Гу, тс], точка М(х) числовой
окружности пробегает дугу ВС. При этом ее ордината
уменьшается от 1 до 0, Значит, на отрезке Г", тг] функция #=sin x
убывает от 1 до 0. Точно так же устанавливаем, что на
отрезке he, -у тс I она убывает от 0 до
— 1, а на отрезке Г-у-гс, 2тг]
возрастает от — 1 до 0. В дальнейшем
функция повторяет цикл своего
изменения с периодом 2тг.
Совершенно так же, следя за
~Х абсциссой точки, движущейся по
окружности, получаем: на отрезке
[О, -^-1 функция #=cos х убывает
от 1 до 0; на отрезке [~, -irj эта
функция убывает от 0 до —1;
на отрезке [тс, -у-тс J она возра-
304
стает от — 1 &о 0, а на отрезке [-^-^ 2* 1 возрастает от О
до 1. После этого функция повторяет цикл изменения с
периодом 2тс.
Далее, рассмотрим функцию #=tg#. Пусть х прфбегает
полуотрезок (о, -^-]. Мы знаем уже, что на отрезке [о, -у]
функция #=sin х возрастает от 0 до 1, а функция y=cosx
убывает от 1 до 0. Из убывания cos* вытекает, что
COS X
возрастает, а тогда при 0<*<-^- возрастает и функция tg x,
так как она является произведением двух положительных
возрастающих функций:
, ы sin х , 1
tgx= = sin x-
COS* COS X
Таким образом, когда х увеличивается от 0 до -^- (не
принимая аначения -^-Y tg x увеличивается, причем его
начальное значение равно 0, а по мере приближения х к -4-
значения tg* неограниченно возрастают и положительны.
Поэтому говорят, что при изменении х от 0 до -я- функция
tg х возрастает от 0 до +°°. Точно так же устанавливается,
что при изменении х от -^- до тс ( значение -£- исключается]
функция tg* возрастает от —оо до 0. В дальнейшем
функция tg * повторяет цикл изменения с периодом тс..
Предоставляем читателю убедиться, что функция #=ctg *
убывает на полуотрезке (О, -^-1 от +°° до 0, а на
промежутке Г-^-, тс) — от 0 до — оо и в дальнейшем повторяет
цикл своего изменения с периодом тс.
Упражнения
88. Определить знак разности:
а) sin 23°—sin 36°; е) tg 319°— tg 327°;
б) cos 37°—cos 18°; ж) sin 310°—sin 347°;
в) cos 29°—cos 53°; . „ЛС ( K 1 \ ,rtcf ,1 \
' ' 3) cos 5—-тс —cos о—TC \;
r) cos 212°—cos 213°; 16/ V 7 )
д) ctg 153°-ctg 154°; и) tg ( 4_1_TC j_tg( 4^_TC j.
20 Заказ 2541 305
к) sin 35°-cos 35°; м) sin 16°—cos 375°;
ч ♦ w „*„ - . н) tg218°-tg 457°.
89. Разбить отрезок [0, тс] на промежутки монотонного возрастания
и монотонного убывания функций:
а) y=sin х\ г) 0=cos х; ^ _ 1 .
б) 0=tgx; Д) ^=ctgx; I+tg2A '
х e)y = 2sln»4; з) j, = ±=!«l£-.
в) н= sin
у 2
2tg*
90. Укажите промежутки монотонного возрастания и монотонного
убывания функций:
ч х з) w=tg4x;
a) t/ = cos_; ' у 6
и) у= 1—2 sin4_i_;
б) f/=sin За:;
в) t/=sin (jp+tl); к) у== 1
г) y=sin [x-JLY
2 sin x
л) «/==_
sin (3*+Г>)
л) f/=2cos^-_j; м) t/=sin4jc+2sin2A:cos2A:+cos4 jc;
е) у = cos f JL-f 2; ) н) у^ cos *•
ж) #—sin2 a:;
7. Графики функций sin л: и cos лг. Мы исследовали
свойства тригонометрических функций. Сейчас с помощью этих
свойств будут построены графики тригонометрических
функций. Начнем с функции y=sin х.
В силу периодичности функции sin x достаточно построить
ее график на отрезке [—тг, тг]. На отрезках [тг, Зтг], [Зтг, 5тг],...
и т. д. этот график имеет тот же вид и получается путем
сдвига графика функции на отрезке [—тг, тг]. Далее, так как
функция y=sinx нечетна, достаточно построить ее график на
отрезке [0, тг]. На отрезке [—тг, 0] график получится с
помощью симметрии относительно начала координат. Наконец,
из соотношения sin (тг-—x)=sin x ясно, что достаточно
построить график на отрезке |0, -^-| . Когда х пробегает этот
отрезок, тг—х пробегает в обратном направлении отрезок
1"2"» J* ^РИ этом точки * и тг—х симметричны относитель-
306
но точки -^-. Поэтому из равенства sin (~—x)^sin x
вытекает, что график функции y=sin х на отрезке [0, -]
симметричен относительно ординаты л;=-^-.
Таким образом, все свелось к построению графика
функции #=sin х на отрезке 10, -^-1. На этом отрезке функция
sin х возрастает и непрерывна. Чтобы построить
приближенно ее график, надо найти несколько лежащих на нем точек.
Тогда, пользуясь монотонностью и непрерывностью
функции sin xy можно будет нарисовать эскиз графика.
Пусть числу х соответствует точка В(х) числовой
окружности. Разделим дугу АВ пополам точкой М1 (рис. 135, а).
Дуги АМ1 и МгВ разделим пополам точками М2 и М3
соответственно. Точкам Л, В, Ми М2, М3 соответствуют
определенные значения х: точке А — значение нуль, точке В —
значение -^-f точке М1 — значение -^-, точке М2—значение -|-
и точке УИ3 —значение-g-a. Изобразим эти значения х
точками на оси абсцисс, после чего в точке с абсциссой 0
отложим ординату точки А (то есть нуль), в точке с абсциссой
-^ ординату точки В (то есть 1), в точке с абсциссой
-| ординату точки Mi и т. д. Мы получим точки,
лежащие на графике функции y = sinx (рис. 135, #). Продолжая
описанный процесс, мы можем получить сколько угодно
Рис. 135
20*
307
точек графика. Взяв достаточно
много точек и проводя через них
непрерывную линию, получим
эскиз графика функции y=sinx.
Этот эскиз будет тем точнее, чем
больше мы возьмем точек
деления. Получающаяся кривая
изображена на рис. 135, б. Отразив
эту линию относительно прямой
*=-£-, получим график
функции #=sin*Ha отрезке [0, тг] (рис. 136). Далее, отразим
линию относительно начала координат. Мы получим график
функции f/=sin х на отрезке [—тс, it] (рис. 137). Наконец,
продолжим график периодически периодом 2тс. Получающаяся
кривая изображена на рис. 138. Она называется синусоидой
График функции y=cos х можно было бы построить
таким же образом. Но проще воспользоваться формулой при
Рис. 136
Я х
Рис. 137
Рис. 138
ведения cos *=sin (* + -yJ • Эта формула показывает, что
график функции #=cos x получается из графика функции
i/=sin х сдвигом влево на —-. Соответствующий график
изображен на рис. 139. Эта кривая называется косинусоидой
Упражнения
91. Начертите графики функций:
д) у = | sin х I;
е) у= sin I*- *
а) у=А sin x\
б) */=sin 2x;
в) y=cos [x—2L-);
г) у=г cos (*+-^-);
92. Изобразите множество точек'М(х, у) таких, что:
а) | у\ = sin х; в) | у | = sin | x |;
ж) «/=£ (sin*)p
з) y={cos х}= cos * — £(cos х).
6) \y\ = \sinx\;
г) \у\ = sin х——
Рис. 139
8. Графики функций tgx и ctgA\ Теперь построим
график функции f/=tg х. Так как период этой функции равен
х, то достаточно сделать построение на промежутке
(—y> ~5~) • При этом в силу нечетности функции tgx
достаточно взять полуотрезок I О, -^-Л.
Итак, будем строить график функции y=tgx на
полуотрезке [О, -|-). Как и при построении синусоиды, разобьем
дугу АВ (рис. 140, а) пополам точкой Ми потом разобьем
309
Рис. 140
пополам дуги АМХ и МХВ точками М2 и М3 и т. д. Каждой
точке деления дуги соответствует значение ху а именно
точке Л —значение 0, точке В значение тг и т. д. Изобразим эти
значения точками на оси абсцисс. Через точки Ми Мъ М3 и
начало координат проведем лучи до
пересечения с касательной Л Г к
окружности, проведенной в точке Л.
Обозначим точки пересечения через Ти
А теперь (рис. 140, б) в точке
Т2, Г,.
с
абсциссой —
отложим ординату АТи в
точке с абсциссой-g-
точке с абсциссой
AT,,
Рис. 141
— ординату
з
-g- те —ординату АТ3
и т. д. Получим точки, принадлежащие
графику функции y=tgx. Таким путем
можно получить сколь угодно много
точек этого графика. Соединяя
найденные точки непрерывной -линией,
получим эскиз графика функции y—igx на
310
Рис. 142
промежутке [0f -^-)(рис. 141).
Отразим эту линию относительно начала
координат. Мы получим график-
функции у = tg х на промежутке
(—^-, -J-) (рис. 142). Наконец,
продолжим полученный график
периодически с периодом тт. Получаем
график, изображенный на рис. 143.
Эта линия называется тангенсоидой.
В отличие от синусоиды или
косинусоиды тангенсоида состоит из
бесконечного множества отдельных
кусков.
График функции #=ctg*
получается из графика y—igxz помощью
соотношения ctg л: = —tg U+-^~) •
Оно показывает, что для получения
графика функции y = o\gx надо
Рис. 143
311
сдвинуть график y—tgx на -у- влево вдоль оси абсцисс и
отразить получившуюся кривую в оси абсцисс. Получается
линия, изображенная на рис. 144. Ее называют котангенсои-
дой.
Упражнения
93. Начертите графики функций:
а) У= tg-i; г) y=-Lc\g(x-l); ж) y=ctg I x-JL I;
в) y=tg2x\ B)y = \tgx\\ 2) y=*E (igx).
B)y=^tgx; e>*=tg|*|;
94. Изобразите множество точек М (х, у) таких, что:
a) \y\ = tgx; 6)\y\ = tg\x\\ в) \ y = \tgx\.
312
Рис. 144
Рис. 145
9. График гармонического колебания. Построим теперь
график гармонического колебания:
У=А sin (шх+-а). (1)
Будем исходить из уже известного нам графика функции
y=sinx.
Сначала построим график функции #=sin (*+a). Он
получается из графика функции y=sinx сдвигом влево на а
единиц (рис. 145). Далее, построим график функции
у= A sin (д:+а). Он получается из графика функции
y=sin (*-|-a) умножением ординат всех точек на А (рис. 146).
Рис. 146
313
Наконец, построим
график функции
у=А sin(u>x+a).
Он получается из
графика функции у=A sin(x-f a)
делением абсцисс всех
точек на с». Этот график
изображен на рис. 147.
При построении
графика функции
у = А sin (u>*-fa)
полезно наметить точки
пересечения графика с
осью абсцисс. Для этого
найдем значения х, при
Рис. 147 которых A sin (о)л;+а)=0.
Мы знаем, что sin<p = 0,
если ср имеет вид <р*=#тг. Поэтому u)jt+a=mr и, значит,
* = —~+п~^- - Итак, график функции у = A sin(co.v + a)
пересекается с осью абсцисс в точках вида
— —+п— , /г=0, +1, +2, ....
Найдем точки экстремума функции у = A sin (u>jc -f a)-
Функция y=sinx принимает наибольшее значение 1 в точках
вида * =-g—(-2/гтг^ а наименьшее значение — 1 в точках вида
х = —g—Ь2ятг. Отсюда вытекает, что наибольшее значение
функции A sin (aa-j-a) равно А. Оно достигается в точках,
где (вх-fa-s -|-+2#^ то есть в точках вида ;с= — (-^- +
+2ятг—а). Точно так же наименьшее значение этой функции
равно —Л. Оно достигается в точках вида х=— ( ~4
+2т—а).
314
У п р а ж н е и и е 91 Постройте графики следующих функций:
a) y=sin (x-f-D;
б) у= sm (*+-|-);
в) y=sin[jr+-|-r. j;
г) y = sin (лг—о);
д) >'=cos (л—V.);
§ 4. Тригонометрические уравнения.
Обратные тригонометрические функции
В этом параграфе мы изучим нростейшие
тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических
уравнений обычно сводится в конце концов к отысканию
значений аргумента по заданному значению
тригонометрической функции. Поэтому мы и займемся сначала этой
задачей.
1. Множество значений аргумента, соответствующих
данному значению тригонометрической функции. Если задано
некоторое число х, то существуют однозначно определенные
значения тригонометрических функций sin* и cos x.
Обратное утверждение неверно: если нам задано значение sin x
или cos л:, то ему соответствует не одно, а бесконечное
множество значений аргумента (разумеется, если выполнены
условия |sin*|<l, [cosx|<l). Мы хотим найти множество
всех значений аргумента х, для которых выполняется
равенство sin* = a (или cosx = a), где а — заданное число такое,
что |а|<1. Иными словами, мы хотим найти множество
значений аргумента, соответствующих заданному значению
тригонометрической функции.
Начнем с функции f/=sinx. Так как sin* — ордината
точки М(х) числовой окружности, то условие sin*=a означает,
что ордината точки М равна а. Поэтому М лежит на
прямой Y=ay параллельной оси абсцисс (рис. 148). Если |а|<1,
то эта прямая пересекает единичную числовую окружность
315
е) y = cos(x + -L\; л) у=6 cos f2*+yh
ж) у —sin |2#|;
з) y=cos' х
2
и) y=3sin(2x+-lj;
I 3~i
к) у = 5 sin Зх— — ;
I 2\
м) у=
n)y=3ctg(2x+Jj
о) j=tg(2*+JL);
п) y=|ctg(-|— 4)1
иу^~~
\ °
У
1
а \
Рис. 148
в двух точках; если а=1 или
а= —1, то она касается
окружности; если же |а|>1, то прямая
Y=a не пересекает единичной
окружности.
Пусть \а\ < 1. Точки Мг и М2
пересечения прямой Y=a с
единичной окружностью
симметричны относительно оси ординат.
Обозначим через В точку
пересечения оси ординат с окружностью.
Тогда дуги ВМХ и ВМ2 равны по
абсолютной величине, но
противоположны по знаку.
Пусть ВМ±=х0. Так как точке В соответствует число
то точке Мх соответствует число -^
+ хо\ -чг + хо можно представить в виде тг
дг0, а точке
М2—число
(-Г-4
Поэтому если положить -^ *о=хи то получаем М1=М1{х1)
и М2=М2(п—х1).
Итак, мы доказали, что заданному значению а, \а|<1
соответствуют две точки на единичной числовой
окружности M^xJ и М2(к—хх)9 ординаты которых равны а. Так как
при добавлении к аргументу целого кратного периода мы
получаем те же самые точки на окружности, то имеем две
серии значений аргумента, соответствующих данному
значению sinx=a:
х=х1+2кк
и
X=iz—X1+2k'K~(2k+ \)tz—xv
Существует искусственный способ объединить
(1)
(2)
две серии в
одну."Для этого заметим, что (—\)п равно 1, если n=2k — четное число,
и равно —1, если n=2k-\-l — нечетное число. Поэтому вместо двух
формул (1) и (2) можно написать одну:
эти
Например, так как sin-ii-=—-,
то общий вид дуг, соответствующих
значению а =
таков:
X = ПК + (— 1)л-
316
или, в градусной мере,
а = 180°л+(— 1)Л-30о.
Если а=1, то прямая Y=\ касается единичной числовой
окружности и мы получаем единственную серию значений
аргумента:
х = 2/гтг +-S--
То же самое имеет место, если а = —1. В этом случае серия
имеет вид:
х = 2/гтг —^-.
Теперь рассмотрим функцию y=cosx. Мы знаем, что
cos х—абсцисса точки М(х) единичной числовой
окружности. Но точки с заданной абсциссой а лежат на прямой
Х=а (рис. 149). При |а|<1 эта прямая пересекает
окружность в двух точках, симметричных относительно оси абсцисс.
Этим точкам соответствуют противоположные значения
аргумента х{ и — xv Отсюда получаем две серии значений
аргумента, соответствующих заданному значению а функции cos x:
х=2к'к+х1
лг=2&7т—хг.
Эти серии можно объединить в одно множество чисел:
x=2kn±x1.
При а=1 прямая Х=1
касается окружности, и мы
получаем одну серию:
X = 2&7Г.
То же самое имеет место при
а = —1. В этом случае мы
получаем серию:
* = (2£+1)тг.
В градусной мере получаем
при |й|< 1
~~х
х = 360°п + х.
Рис. 149
317
при а=\
х = 360°п
и при а = —1
х=180°(2/Н-1).
Например, из равенства cos 60° = -=- следует, что общий
1
вид углов, для которых cosx=-7j-, таков:
*=360оя±60°.
Наконец, рассмотрим функции y^tgx и y=ctgx. Пусть
задано значение tgx=a. Мы знаем, что tgx — отношение
ординаты точки М(х) к ее абсциссе. Поэтому равенство \gx-a
у
означает, что —=а, где X и Y — декартовы координаты
точки М(х). Иными словами, точка М(х), для которой
tg* = a, является точкой пересечения числовой окружности
с прямой Y=aX. Но прямая К=аХпроходит через начало
координат, а потому пересекается с окружностью в двух
диаметрально противоположных точках Мг и М2 (рис. 150). Им
соответствуют числа хх и ir+jcle Поскольку добавление
периода 2тг не меняет положения точки на числовой окружности,
то получаем две серии чисел ху для которых \gx*=a:
х — 2k~ -f- xx
и
Эти серии объединяются в одно
множество:
х = пъ + х1и
Точно так же для функции y=ctg*
множество чисел, для которых
ctgx=a, имеет вид:
х = пъ -f х19
где хх — одно из таких чисел.
Пример. Найти все значения х
такие, что tg* =—1. Одно из
таких значений нам известно:
Рис. 150
318
о
tgjl-7r = —1. Поэтому все такие значения даются формулой
, з
1 4
Упражнение 96. Написать общий вид чисел х таких, что:
a, sin дг= ' ; BUg х = У1; д) sin x=t2Ll.
^2 r)ctgx = -!L_;
o) cos * = — -i—- ; °
2. Промежутки главных значений аргумента для
тригонометрических функций. Мы вывели формулы, выражающие
общий вид аргументов, соответствующих данным значениям
тригонометрических функций. Они выражают общий вид
аргументов через какой-нибудь один аргумент xv Этот
аргумент может быть выбран произвольно. Например, если
дано, что sin* =-2-, то общий вид можно представить и
формулой.
и формулой
х = пк+ (-1)"4>
* = mr + (-l)"-f-.
Разумеется, такое разнообразие формул не всегда
удобно — преобразовать один вид формулы в другой не всегда
бывает легко. Чтобы избежать этой многозначности,
условились выбирать в формулах для общего вида аргументов
значения хъ принадлежащие определенным промежуткам.
Эти промежутки выбираются так, чтобы на них данная
тригонометрическая функция принимала все свои значения,
причем каждое по одному разу. Значения аргументов,
принадлежащие выбранным промежуткам, называют главными.
Например, для функции #=sinx выбирают отрезок
[—j-, -у-1. На этом отрезке sinx возрастает от —1 до 1 и
принимает все значения, лежащие в этих границах, причем
каждое по одному разу. Значение аргумента ху лежащее на
отрезке
—?г, -?г] и такое, что sin*=a, принято обозначать
arcsina (читается: «арксинус а»). Это обозначение связано с
тем, что arcus по-латыни —дуга. Поэтому arc sin а —это
дуга, синус которой равен а. Таким образом, стандартная
319
формула для общего вида аргументов х с данным значением
a=sinx такова:
х = пк+ (—1)* arc sin а.
Для функции у=со$х в качестве области главных
значений принимают отрезок [0, те]. На этом отрезке cos*
убывает от —1 до 1 и принимает каждое значение по одному
разу. Значение аргумента, принадлежащее отрезку [0, те] и
такое, что cos*=a, обозначают arc cos а (читают:
«арккосинус ат>). Таким образом, стандартная формула для
множества аргументов х таких, что cos#=a, имеет вид:
х = 2mr ± arc cos а.
Для функции y=\gx областью главных значений служит
промежуток (—^-, -^Д На этом промежутке tgx
непрерывен и возрастает от —оо до + °°. Значение аргумента х,
принадлежащее промежутку (—~, -у) и такое, что tgx=a,
обозначают arc tga («арктангенс а»). Формула общего вида
аргументов х, для которых \gx=a, такова:
х = mz + arctg a.
Для функции t/=ctg# областью главных значений
аргумента является промежуток (0, те). На этом промежутке ctgx
непрерывен и убывает от -f°° До —°°- Значение аргумента,
принадлежащее этому промежутку и такое, что ctg*=a,
обозначают arc ctg а («арккотангенс а»). Формула для общего
вида аргументов х, соответствующих заданному значению
котангенса, такова:
х = яте -)- arc ctg a.
Упражнения
97. Найти:
1 . ч / 1 \ ж) arctg (-1);
a) arc sin—; r) arc cos(—-у);
s>^; Д) arctg V^\
{1Щ e)arcctg(-X5);
з) arc cos 0;
6)arccos>^; Д) arctg ГЗ; и) arc ctg 0.
в) arc sin
320
98. Вычислить:
а) tg ( arc cos —J; г) cos (arc cos-L\; ж) tg (arc cos—Л;
б) ctg[arctg(-l)]; д) tg (arcctg Y~3); 3) ctg Гаге cos(--i)l 1
I V~2\ ( 3 \ L V о /J
в) sin arc sin2_-; e) sin arctg _; . x2\
\ A I ^ 4 / и) cos (arcctg-^-J.
99. Проверить равенства:
7U
a) arc sin x = —- — arc cos x\ 6) arc tg x =— — arc ctg x.
100. Найти значения (устно):
а) sin I arccos JL-? + arcsiniL?); r) sin arcsin -^—+arcsin (—1) ;
б) cos! a resin -I—- + arccosi-—J; д) tg farcsini-_+ arctg |^3)#
в) cos (arctg 1+arcctg 1);
3. Тригонометрические уравнения. Мы уже сталкивались
с уравнениями sin#=a, cosJc=a, tgx=a, ctgx—a. В этих
уравнениях неизвестное входило под знаком
тригонометрической функции. Это были простейшие примеры так
называемых тригонометрических уравнений. Приведем несколько
более сложных примеров:
sin2 x + sin 3* — 2tg x = 0,
cos x cos Ъх = 4 sin x cos xt
tg8 3x =* sin 6*
— тригонометрические уравнения.
Для решения тригонометрических уравнений не
существует общих правил. Известны лишь методы решения
некоторых классов таких уравнений. Все эти методы сводят
решение данного тригонометрического уравнения к решению
уравнений простейшего вида, а именно уравнений:
sinx=a, cosJt=a, tgx=a, ctg*=a.
Эти уравнения решаются на основании результатов п. 2. В
силу этих результатов решение уравнения sin*=a, где
| а К 1, имеет вид:
х=пъ + (—\)п arc sin a, (1)
где л = 0, ±1, ±2, ... .
21 Заказ 2541 321
Аналогично решение уравнения cos* = a, где |а|<1,
имеет вид:
х = 2/г7г ± arc cos a, (2)
где л=0, ±1, ±2, ... .
Решение уравнения tgx = a имеет вид:
х = пъ + arctg a, (3)
где /г=0, ±1, ±2, ..., а уравнения ctgx = a—вид:
х = tvx + arc ctg а, (4)
где /г=0, ±1, ±2, ... .
Рассмотрим некоторые частные случаи этих уравнений.
1) sinx = 0 является частным случаем уравнения sinx=a,
когда а=0. Его решение имеет вид:
* = **, (V)
где /г=0, ±1, ±2, ...,
или, в градусной мере,
х= 180°/2, (1")
где /г=0, ±1, ±2, ... .
2) cosx=0 является частным случаем уравнения cos* = a,
когда а=0. Его решение имеет вид:
х = 2/Z7T + arc cos 0 = 2/г~ ± -^-,
где /г=0, ±1, ±2, ... .
Преобразуем последнее выражение
г** ± -J- = (4/*±l)-J-.
Сумма множеств 4/г+1 и 4/г—1 является множеством
всех нечетных чисел 2/г+1. Поэтому решением уравнения
cos*=0 является
х = (2п+1)~у (20
где /г-0, ±1, ±2, ...,
или, в градусной мере,
*=90° (2п + 1), (2')
где /г = 0, ±1, ±2, ... .
4. Тригонометрические уравнения, приводящиеся к
простейшим. К уравнениям разобранного вида приводятся
322
уравнения, в которых под знаком тригонометрической
функции стоит более сложное выражение, зависящее от х. Для
решения таких уравнений надо обозначить выражение,
стоящее под знаком тригонометрической функции, одной буквой,
решить получившееся простейшее тригонометрическое
уравнение, а потом найти х, решая алгебраическое уравнение.
Рассмотрим, например, уравнение
cos (5*4—£-] = -£-.
Положим 5x-f-^- = /. Мы получим для / уравнение cos^«
=—, из которого находим, что t=2nr*±-^-. Так как t=5x+
+ -^-, то для отыскания х получаем уравнение
5*+-j- = 2/гтг ± -^-,
из которого находим:
* = -И2/1я±-з—т]-
Учащиеся часто делают при решении уравнений указанного вида
одну ошибку — находят одно частное решение для х и подставляют
в формулу общего решения. Например, решая уравнение cos (5*+-j-W
= -g- , пишут cos ( 5*+_ ) = cos _, ox+ _ = _ , x = w ,
а потом применяют формулу общего решения и пишут *=2лтс±-!1. .
60
Этот ответ отличается от полученного правильным путем. Ошибка
заключается в том, что уравнение cos (5*+-^-) = cos-^L
равносильно совокупности уравнений1 Ьх+— = 2пъ ±~, а не одному урав-
4 3
пению эх +— = —.
4 3
Иногда после решения простейшего тригонометрического
уравнения приходится решать алгебраическое уравнение
второй или более высокой степени. Рассмотрим, например,
уравнение
tg(*2 + 4*+-^-) = 1. (1)
См. «Алгебра*, гл. II, § 1, и. 4.
323
TZ
Так как 1 = tg-j-, то получаем квадратное уравнение
или
х2 + 4х — пк = 0.
Отсюда
л; = — 2 ± У 4 + тт.
Для того чтобы значения х были действительными,
должно выполняться неравенство 4 + #тс>0. Мы получаем
/г > , то есть п = —1, 0, 1 2, ... .
Итак, решение уравнения (1) имеет вид:
х = _2± 1^4+юГ, /г = -1, 0, 1, 2, ... .
Рассмотрим еще уравнение
sin (б* — -J-)- sin (2*+^-). (2)
Формула (3), п. 2 дает значения х, синус которых совпадает
со значением sin*!. В нашем случае х1 = 2х+-^-. Поэтому
из уравнения (2) имеем:
6*--J--** + (-1)" (2x+-f).
Решая это уравнение, находим, что
_ *[12/1+4+3(-1)»]
Л~~ 24[3—(—1)Л]
где лг=0, ±1, ±2, ... .
Так же решаются такие уравнения, как
cos х2 = cos (Зх—2)
или
tg*2 = tg(5*-6).
Первое из них сводится к
х2 = 2/гтг±(3л: — 2),
а второе— к
л:* = /гтг + (5л: — 6).
Предоставляем читателю закончить решение этих уравнений.
324
Многие тригонометрические уравнения сводятся к
алгебраическим уравнениям с помощью подстановок вида sinx=z,
cos#=z, tgx=zt ctgx=z. Решим, например, уравнение
6 sin2* — 5sin*-r-l = 0. (3)
Полагая sin* = z, получаем квадратное уравнение
6z2 — 5z+l =0.
Его корнями являются числа гх = -^- и z2 = -^-. Поэтому
уравнение (3) сводится к совокупности простейших
тригонометрических уравнений
1
sin* =-5-,
1
sin* =-3-.
Решая их, находим:
* = OT + (_1)«JL
х = tin -f (— 1 )п arc sin-g-.
Иногда в результате подстановки мы приходим к алгебраическому
уравнению, ни один корень которого не может быть значением данной
тригонометрической функции. В этом случае тригонометрическое
уравнение не имеет решений (хотя получившееся из него алгебраическое
уравнение имеет решения). Возьмем, например, уравнение
2 cos4 х — 7 cosa х — 4 = 0. (4)
Полагая cos х = z, получаем биквадратное уравнение
Его действительными корнями являются числа z\= 2, z% — — 2. Но ни
одно из этих чисел не может быть значением cos x. Значит, уравнение
(4) не имеет решений.
Упражнения
101. Написать общий вид углов, удовлетворяющих уравнениям:
а) sin 9л =у; г) C(gl2jc=-Jy; ») sin ( 8* + -g-J = - 1;
б) cos 6*= %£- ; д) tg 7x = - *у-; з) tg (3x+ -J-) = 0;
е) cos (б*— -j )=-Х£~; и) sin2 Бх = — ;
325
в) tg5* = 1;
3 2 7
к) cos2 (3л--60°) = -j- ; о) sin3* = -5-; т) tg —= 1;
м) tg* ^7* + -j-j = -1; p) sin 2x2= -^- ;
н) cos* Ux+ -£-] = 2; c) cos23^2= -j- ;
102. Решить уравнения:
а) sin Зле cos 2x tg 7x — 0; * 2
лх • л г л) COS-F" =— COS — ;
б) sin 4x = — cos 5x; 'э дг
JC M) COS X*= — COs5*2;
в) tg4x=-tg ~y\ 2
г sinl7x = -sinl3x; ") ctg 6,= -ctg —;
д) cos 6л: = — cos a\ o) cos (3x2— 2x) = cos 5л:;
е) tg5^ = —ctg7x; n> tg Vx=ctg3x;
ч , x x p) sin2 2л: — 3sin 2x + 2=0;
ж) sin -o- = cos -5- ; ' ^
^ ^ c) tg24x+3tg4x—4=0;
з) tg(7.+,)=-Cg(,-j); T) cosa3x_VI+V±cos3x +
и) sin fx +y ~ j= - cos(x+6^); /б"= Q
к) sin (x2+ ;:) = cos 3jt; 7
y) sin» 2x + 2 cos22jc == —;
sin Зд: — 4 cos 3x
Ф) 2 sin 3* + cos 3x = "" L
5. Обратные тригонометрические функции. Мы доказали
в п. 2, что для каждого числа а, лежащего на отрезке
J—1, 1], найдется единственное число / такое, что sin х = а
и $~К* < -§-• Это число t мы обозначили arcsina. Тем
самым определена функция r/ = arcsinx, заданная на
отрезке—1<дс<1 и принимающая значения на отрезке ~ <
<;#< "Т~ • ^ак как соотношения
326
у = arcsin x
и
: sin у,
7U ^ ^ 7С
2
равносильны, то
функция у — arcsin .v обратна
функции у = sin х.
Точнее говоря, у= arcsin* —
одна из функций,
обратных к y = s\nx. Дело в
том, что функция у =
=sin х не является
однолистной—различным
значениям х могут отвечать
одинаковые значения
sin*. Функция f/=arcsin x
соответствует области
однолистности
[--И
Рис. 151
(см. п. 10, § 3, гл. III). При других выборах областей
однолистности получатся другие функции, обратные к y=s'mx.
Каждая такая функция задается целым числом п и
имеет вид:
у = гт + ( — 1)я arcsin х.
Часто совокупность всех функций, обратных к y = sinxt
обозначают Arcsin x. Таким образом,
Arcsin ж = пк + ( — l^arcsin x.
График функции у = arcsin x получается из графика
функции y=sinx по общему правилу (см. п. 10, § 3, гл. III). Надо
провести прямую у = х и отразить от этой прямой часть
синусоиды £/ = sinx, расположенную над отрезком §-, -^-
(рис. 151). Если бы мы отразили от прямой у = х всю
синусоиду #=sin*, то получили бы кривую, изображающую
совокупность всех функций, обратных к z/=sinx, то есть
изображающую #= Arcsin* (рис. 152).
Совершенно так же определяется функция y = arccos*.
Эта функция обратна функции у— cosx. Она определена на
отрезке [—1, 1] и принимает значения на отрезке [0, тс].
Таким образом, запись */ = arccosx равносильна записи
327
Рис. 152
x=cosyt 0<(/<тс. График функции y~'arc cos х изображен
на рис. 153.
Функция */ = arctg* обратна функции y=tgx. Она
определена на всей числовой оси и принимает значения на про-
межутке( ^-, -^-J. Таким образом,
записи
У-
<У<
arctg х и х = tg у у
Рис. 153
2 \ ? \ -5- равносильны друг
другу. На рис. 154 изображен график
функции у= arctg x.
Наконец, функция y = arcctgjc
обратна функции y=ctgx. Она также
определена на всей числовой оси и
принимает значения на промежутке
(0,тс). Записи £/ = arcctg* и * = ctg у,
О < у < те равносильны. График
функции #=arcctgx изображен на
рис. 155.
328
y\
It
2
0
ft
I
^^y^arctg x
X
?
Рис. 154
§ 5. Формулы сложения
для тригонометрических функций и их следствия
В § 3 были выведены формулы приведения для
тригонометрических функций. Эти формулы связаны с некоторыми
свойствами симметрии геометрической фигуры, состоящей из
числовой окружности и координатных осей. Сейчас мы
остановимся на свойствах тригонометрических функций,
связанных с тем, что окружность переходит сама в себя при
любом вращении вокруг центра. Именно, мы получим
формулы, выражающие тригонометрические функции от суммы
двух чисел через тригонометрические функции от слагаемых.
Эти формулы называются формулами сложения для
тригонометрических функций. Они являются важнейшими
формулами тригонометрии. Для вывода этих формул надо сначала
установить связь между тригонометрическими функциями и
разложениями единичных векторов.
1. Некоторые факты векторной алгебры. В геометрии
применение векторной алгебры упрощает решение многих
задач. Векторная алгебра оказывается полезной и при
решении многих вопросов тригонометрии. Напомним некоторые
факты векторной алгебры.
Пусть на плоскости даны два взаимно перпендикулярных
вектора единичной длины i и J. Тогда любой вектор а,
лежащий в этой плоскости, можно единственным образом
представить в виде
a = Xi + Yj. (1)
В самом деле, отложим векторы /, j и а из одной и той же точки
О и проведем через точку О прямые в направлении векторов / и /. Из
конца А вектора а опустим перпендикуляры АВ и АС на эти прямые.
Ясно, что ОА = ОВ + ОС (рис. 156). Но вектор ОВ лежит на одной
прямой с вектором / и потому
получается из него умножением на какое-то
число X (именно, | X \ равно длине
отрезка ОВ, причем X > 0, если
вектор ОВ направлен в ту же сторону,
что и вектор I, и X < 0 в противнем
случае). Итак, OB=Xi. Точно так же
устанавливаем, что ОС= У/.
Поэтому
а ="04 = OB + 7)C = Xi+ Yj.
Возможность разложения вектора
а по векторам i и J доказана.
Покажем, что это разложение однозначно,
то есть что если
Рис. 156 Xxi + YJ = X2i + Y9j, (2)
330
\
то Xi= Хг и Yi=Yi. В самом деле, из равенства (2) получаем, что
(Xi-X.) i = (Y2-Y1)j. (3)
Если бы, например, мы имели Х1 Ф Хг, то Xt ~ Х2 =£ О, и потому и3
Ка —К,
равенства (3) следовало бы, что /= х —X ^' Но тогда вектоР i был
бы параллелен вектору у, а по условию эти векторы взаимно
перпендикулярны. Отсюда следует, что Хх = Х2. Точно так же доказывается
равенство Y\=Y2- Числа X и Y называются координатами вектора а.
В дальнейшем мы будем часто использовать следующее
соображение. Пусть вектор а разложен по векторам / и у,
а = xi + #/. Повернем все три вектора i,J, а на один и тот
же угол <р вокруг точки О. Мы получим три новых вектора
V% У» а • Для них имеет место та же самая формула
разложения:
a'=Xi'+ Yj'.
Иными словами, координаты вектора не меняются, если
как сам этот вектор, так и координатные векторы i и /
повернуть на один и тот же угол.
Для доказательства этого утверждения достаточно
заметить, что координаты вектора а определяются длиной
отрезков ОВ и ОС (см. рис. 157) и их направлением
относительно векторов i и у, а эти данные не меняются при
одновременном вращении векторов.
2. Разложение радиус-вектора. Пусть на плоскости
задана декартова система координат OXY. Вектор ОМ, идущий
из начала координат О в точку М, называется
радиус-вектором этой точки. Мы установим сейчас связь между
координатами точки М и координатами ее радиус-вектора ОМ.
Направим единичный вектор / по оси абсцисс, а
единичный вектор у —по оси ординат (рис. 157). Опустим из
точки М перпендикуляр MN на ось абсцисс. Если координаты
точки М равны X и F, то очевидно, что вектор ON равен
Xi, а вектор NM равен Yj. Но ОМ = ON + NM.
r = OM== Xi+Yj.
Итак, мы доказали, что координаты радиус-вектора ОМ
равны декартовым координатам его конца М.
Применим доказанное утверждение к единичному радиус-
вектору. Пусть вектор г направлен из начала координат в
331
*-' » X
**-x
Рис. 158
точку М = М(х) числовой окружности (рис. 158).
координаты точки М равны cos* и sinx, то
г— ОМ = cos*-/-f- slnx-j.
Так как
(1)
Итак, cos а: и sin*—это координаты радиус-вектора ОМ, где
М~М(х). Иначе можно сказать, что cos л: и sin x —
координаты единичного радиус-вектора, образующего угол х с
положительным направлением оси абсцисс,
3. Вывод формул сложения для синуса и косинуса.
Перейдем теперь к основной цели этого параграфа — выводу
формул сложения для функций^ = sin х и y = cos#. С этой
целью рассмотрим радиус-вектор г = СШ, образующий угол
х с положительным направлением оси абсцисс. Мы знаем*
что разложение этого вектора по единичным векторам / и j
имеет вид:
г =cos*-/ + sinJx-y.
Повернем теперь векторы /, у и г вокруг начала координат
на угол /. Тогда они перейдут в новые векторы /', у и г'.
Как отмечалось в конце п. 1, для векторов *', j'9 г' имеет
место та же формула разложения, что и для векторов:
г' = cos*-/'+ slnx-j'.
(1)
Но вектор V образует с положительным направлением оси
абсцисс угол ty так что
i'=cost-t+slnlt-j. (2)
Далее, вектор у образует с положительным направлением
.332
Рис. 159
*-Х
(3)
(4)
оси абсцисс угол -^-+*, поэтому
/=cos(-f+ *)•/+sin (-f + ')•/
Применяя формулы приведения, получаем, что
У = — sin£-/-f cost-j.
Подставим разложения (2) и (3) в (1). Мы получим, что
г' — cos#(cos7-/ + sint-j) + sinx( — sint-i + cost-j) =
= (cos x cos t — sin л: sin t)-i + (cos x sin t + sin x cos t) j.
С другой стороны, вектор гт образует с положительным
направлением оси абсцисс угол х + t (см. рис. 160).
Поэтому
r'=cos(x + t).i + sin (x + t)j. (5)
Сравним выражения (4) и (5). На основании теоремы о
единственности разложения вектора по двум координатным
векторам (см. п. 1)^имеем:
cos (x + t) = cos x cos t — sin x sin t, (6)
sin (x + t) = sin x cos ^+ cos x sin £. (7)
Приведем примеры на выведенные формулы.
1)Найти cos 75°. Имеем: cos 75° =
= cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30°— sin 45° sin 30°=
*" 2 * 2 2*2"" 4
333
2) Найти sin 75°. Имеем: sin 75° = sin(45°+ 30°) =
= sin45° cos 30°+cos45° sin 30°=^. ^f+Ц-- -\- = V* + V*
Из формул сложения для синуса и косинуса вытекают
формулы для sin(x-t) и cos (х — /). Именно, заменив в
формуле (6) значение t на — /, мы получим:
cos [x + ( — t)] = cos x cos ( — t) — sin x sin (-— t) =
= cos x cos t + sin x sin /,
то есть
cos (x—t) = cos x cos t -f- sin * sin /.
Точно так же из формулы (7) выводим:
sin (x—t) = sin x cost — cos x sin t.
Упражнения
103. Вычислить:
cos 48°; sin 27°; cos 15°; sin 12°; cos 42°; sin 15°.
7 ^4 11
ни, чти sin x — •
Вычислить:
104. Дано, что sin л: =^-^—, sin/ =-^-, причемJL<*<tc и 0</^Л-.
sin (x + 0l sin (лг—f); cos (x+t)-t cos (#—/)•
О ЛЛ О _
105. Дано: cos х =- ——, sin/ =-^-, причем тг < х <—к, -Jl <и<:
17 29 2 2
Вычислить:
sin (х+у)\ sin (я—*/); cos (x-^y); cos (х—у).
5 4 7
106. Дано: sin х = —, cos/=——, sin # =__, причем дг и и лежат
1о о 2Ъ
в первой четверти, а / — во второй четверти. Вычислить sin (х—t + u).
107. Упростить выражения:
а) cos(a+£) cos (a—P)+sin (a+P) sin (а—?);
б) Sin (а + Р) COS (а—P) + Sin (а— 0) cos (а+|3);
в) cos(30°+a) cos (30°—а)—sin (30°+а) sin (30°—я);
sin (a+b)—cos л sin b
г)
Д)
cos (a—b)—sin a sin &
2 sin a cos Ы-sin (b—a)
cos (a—b)—2 sin a sin ft
v cos (a-j-£)+sin a sin b
cos (а+fc)—cos a cos b
334
108. Доказать тождества:
а) Мп(Л+45°)=^(81пЛ+созЛ); б) J££±_*L=tga+tg ft;
в) cos (A+B) cos (Л—£) = cos2 Л—sin2£=cos2£—sin* Л;
г) cos (Л+£) +sin (Л—B)=(cos Л-f sin Л) (cos В—sin В);
д) ^'n (P—7) -(- sin (T—*) _|_ sin (g-^ = 0;
cos Э cos 7 cos 7 cos a cosacosS
sin(^+*)-cos(-|-+.*)
sin(i-+^+cos("f+^)
sin I
e) ^ : — '— = tgx;
ж) cos 2л: cos jc+sin 2x sin* = cosjt.
109. Вычислить:
а) sin I arc sin i-— + arc sin— l; в) cosfarccos— +arcsin—Y
б) sin (arc sin—+ arc sin—) ;
V 5 17 /
4. Преобразование выражения a cos ut+b sinutf к виду
A sin (otf-f-a). Закон движения точки, совершающей
гармонические колебания, имеет вид s=A sin (u>f+a) (см. п. 9, § 2).
Применив к этому выражению формулу для синуса суммы
двух углов, мы получим, что
5 =.А cos a sin a>tf -f A sin a cos u>/.
Если обозначить для краткости A cos a через 6 и Л sin a
через а, то получим, что
5 = a cos oat -\- b sin ш/.
Покажем, что, обратно, любое выражение вида acoswt +
+ bsinut можно представить в виде A sin(<ol+a)- Для этого
вынесем за скобки выражение У а2+Ь2:
-^з-£г cosa>/+ у^\Т% sinu>/J.
Но
[ Уа* + Ь*\ + [ Va* + b*\ '»
и потому существует такое значение а, что
335
Обозначив для краткости У а2+62 через А, получаем: /
a cos ш/ -|- b sin Ы = A (sin a cos а>/ + cos а sin &t).
В силу формулы (7), п. 3 это выражение можно переписать
так:
a cos о)/ + Ь sin <d/ = A sin (ш/+<*). (1)
Числа а, 6, Л, а связаны друг с другом соотношениями
а = Л sin a, 6 = i4cosa,
A=V а*+Ь\ sin a- y==, Cosa=-p^=.
Например,
3 sin 2* + 4 cos 2t = 5 sin (2f+a),
где
3 4
sina=-^-, cosa=-^-.
Рассмотренное преобразование применяется для решения
тригонометрических уравнений вида:
a cos и>х + Ъ sin a># = С.
Именно, левую часть этого уравнения преобразуют к виду
A sin (<»*+<*) и получают уравнение
A sin (a># -f a) = С.
С
Отсюда получаем sin (<*>* + а) =-т, и потому
юл; + a = mr -f (—1)л arc sin-^-.
Значит,
*=4" [*« + (—1)я arcsin-j- —а].
Отметим, что уравнение (1) разрешимо лишь при условии
I х"|<1, то есть С2<Л2. Так как Л2—а2+/?2, то получаем
следующий результат:
Для /гсого чтобы тригонометрическое уравнение
a cos юх-\- b sin o>* = С
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось неравенство С2<;а2+62.
336
В качестве примера рассмотрим уравнение
3 sin 2x + 4 cos 2x = -^-.
Преобразуем это уравнение к виду:
_5
2
5 sin (2* + а) = -|-,
4
где а = arcsin -g-. Нам теперь надо решить уравнение
sin (2x + а) = -£-. Из него находим:
*=4~[п7г+ (—i)n"T"~arcsin"r] •
Упражнения
ПО. Привести к виду A sin («t+a) выражения:
а) 5 sin 3f—12 cos 3/;
б) 7 sin (З*—-J-) + 24 cos (З/—-J-)l
в) 11 cos (2*+ -2-) +60 cos ( 2^+4-).
111. Решить уравнения:
а) 5 sin 2jc+12 cos 2x=. X3]f 3 ;
6) 8 sin ( 3x +-J-J-15 cos ( 3* +JL\ = J^L.
112. Найти наибольшие и наименьшие значения и точки экстремума
функций, а также построить их графики:
а) у = 3 sin 4jc — 4 cos 4jc;
б) t/ = — 5 sin 2x + 12 cos 2x;
в) у = sin 6* — Y 3 cos 6x;
r) t/ = 8 sin (2*——} — 15 cos (2x——\.
5. Сложение гармонических колебаний с одинаковой
частотой. Пусть даны два гармонических колебания с
одинаковой частотой о):
sx = A sin (a>/ + ax) (1)
и
52 = А2 sin (<*tf+a2). (2)
22 Заказ 2541 337
Предположим, что точка одновременно участвует в обоих
колебаниях. Тогда закон ее движения имеет вид:
5 = sl + s2 = Ах sin (со/ -f ai) + А2 sin (о)/ -f a2). (3)
Покажем, что формула (3) тоже выражает гармоническое
колебание с частотой ш. Для этого применим к обоим
слагаемым формулу синуса суммы. Мы получим, что
s — Al cos ax sin Ы -+- Al sin al cos со/ -f- A2 cos a2 sinco/ -f
+ A2 sin a2 cosco/ = (Л, sin ct1-\-A2 sin a2) cosco/ -f-
+ (Al cos aj+Л.? cos a2) sin со/.
Преобразуем это выражение согласно п. 4, положив
а = А[ sin otj -J- A2 sin a2,
& =Л1 cos oij + Л2 cos a2.
Мы видим теперь, что s можно записать в виде
s = A sin (со/ -f- a).
Амплитуда Л при этом выражается формулой:
А = yra*+b* = V(А^та,^ A2sin (х2)г +(Alcos ax + ,42cosa2)a.
Возводя обе скобки под радикалом в квадрат и объединяя
слагаемые с Л*, Аи А2 и Л2> получаем:
Л= УЖ (sin2al+cosaai)-f-2i41i42(sin aisina2+cosa1cosa2)+^2X(sin2a2-T-cos2a2)=:
= У A* +A\+2At A2 cos (af — a2)-
Начальная фаза а определяется равенствами:
а А1 sin a, + ^2 sin a2
sin a = —г = —- —л ,
откуда
Ь Ал COS 2t + А2 COS a2
cos a = — = — ■—■ —
a i41slnai + ^2sina2 -
tg a =-г- = —* г~л • (о)
& & Лх COS ах+Лг COS a2 v '
Формула (4) показывает, что получающееся колебание имеет
наибольшую амплитуду А, если cos (ax — a2)=l, то есть если ах = а2. В этом
случае оба колебания имеют одинаковую начальную фазу, а амплитуда
результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых
колебаний: A=Ai + Ai. Наименьшая амплитуда получается при cos (ax—a2)=—1,
то есть если a2=oil + п. В этом случае фазы противоположны, а ампли-
338
туда результирующего колебания равна V{AX—^г)2 = I А\—А* I • В
частности, если Ах=Аъ, то при наложении колебаний точка остается в
состоянии покоя. В физике это явление называется интерференцией
колебаний.
Заметим, что колебания удобно складывать геометрически,
представив их в форме
5t = #i cos o>/ + bx sin (at, s2 = аг cos o>t + 62sin mt.
В этом случае
s=s1-\-S2= (#i + #2) cos Ы + (61+ b2) sin o>/.
Если поставить в соответствие первому колебанию) вектор г, с
координатами (alt 6Д а второму—вектор г2 с координатами {а2, Ь2), то
сумме колебаний отвечает вектор г с координатами (а1+а2, bL — Ьг,) то
есть сумма векторов гх и Г2: г=Г!-|-га.
Упражнение 113. Найти суммы гармонических колебании:
а) $!= 3 sin It и 52 = 2 sin [2/ + -J-) ;
/ 2к\
б) S] = 2 sin 3/ и 52 = 2 sin I 3/ — —о-1 ;
в) Si = У2 sin 5/ и 52 = Y2 cos 5/;
г) Si= 3 sin (2/ + "Г" I и 52= 3 cos (2/ — -5-J .
6. Формулы сложения для тангенса и котангенса.
Выведенные выше формулы для синуса и косинуса являются
основными формулами сложения. Формула сложения для
тангенса вытекает из этих формул:
х / | ■ v = sin (лг-ft/) _ sin x cos t/+ cos дг sin t/ ...
^ ' У' cos(x-ty) cos jc cos у — sin* sin t/ * '
(здесь предполагается, что х + у ф -^- + k~f k = 0, ± 1, ...).
Полученное выражение неудобно тем, что тангенс суммы
выражается через синусы и косинусы слагаемых. Мы хотим
получить выражение для tg(*-fy) через tg* и tgr/.
Предположим дополнительно, что х и у не имеют вида -^- + k~.
Тогда cos х cos уф О, и мы можем разделить числитель и
знаменатель правой части равенства (1) на cosxeos у.
Получаем:
sin х cos у cos x sin у
ig(x4-U)— cos *cos У cosjtcosj/ _ tg дг H-tg t/
gv "ту/ cos jc cos r/ sin x sin t/ 1 — tg.*rtgr/ *
cos дг cos у cos x cos t/
22*
339
Итак,
Как следует из вывода, эта формула справедлива при
условии, что х, у и х+у не имеет вида -у -+- &*.
Заменив в формуле (2) у на — у, мы получим, что
tcr (х— и\ - г*х + г2(-У) - tg*-tgy
lgl w" 1 —te*tg(—у) " l + tgATtgy*
Итак, если Л, г/ и # — у не имеют вида-^-+ k^,
то
Совершенно так же выводятся формулы
ctg(* + y)= «**с*у-1
и
sv *} ctg*/—ctg*
Первая из них справедлива, если х, у и х -f г/ не имеют вида
for, А = 0,± 1, ... , а вторая — если х9 у и х — у не имеют
вида &7Г.
Упражнения
114. Вычислить:
tg 15°, tg 12°, ctg 42°, ctg 48°, tg 75°.
115. Дано: tgx = l,2; tg«/=0,7. Вычислить:
tg {x + y), tg (x — */), ctg (x +[y)9 ctg (j - y).
4 5
116. Дано: ctg x — -y, ctg#=-g-. Вычислить:
tg (* + </), tg (x — y), ctg (x + </), ctg (* — у).
2 4
117. Дано: ctg#= у, ctg 6= -у, ctgc=l. Вычислить ctg (я+Ь+с).
118. Вычислить:
тс 4т:
tg24°+tg21° tg -yg- + tg -yg-
a) 1 —tg24°tg21° > б) % 4k'
340
119. Доказать тождества:
ч / тс \ 1+tgx ч ctg(a + b)ctga + \
а) tg^— + * J = !_tg^; Д) ctga-ctg(a+6) = ct^ Ъ>
^ I * \ ctg* + 1 ч igM—igZa
б) ctg ^— - x J = ctgx_1 ; e) 1+tg4etg3a = tga;
tg (45°+ a) — tg (45°— a) 1
B)tg(45o+a) + tg(45o_a)= ж) ctg2,4 + tg^ = slF2j;
= 2 sin a cos a;
tg (a — b) + tg b tg*2A — tgM
r) i_tg(a_b)tgt =1§а; 3) l-tg»2^tgM ='g3>ltg^;
и) tgatg?+(tga+ tg?)ctg(a + (J)=l;
. tgaJMgl tga—tgp
K) tg(«+p) —iiF=TT—2tgat8fL
120. Проверить тождества:
1 1 ти
а) arctg — -f 2 arctg -y = —;
3 13
б) arctg -j- + arctg — = — тс;
13
в) arctg 4 + 2 arctg 3 = arctg-jtt ;
1 1 л
г) 4arctg — —arctg ^ = —•
121. Доказать, что если Л + В + С = те, то tgЛ + tg£ + tg С =
==tgA tgBtgC.
122. Найти тангенс угла, под которым пересекаются кривые у = х2
и y=Y%. (Углом между кривыми называют угол между касательными
к ним, проведенными в точке их пересечения.)
123. Найти тангенс угла, под которым пересекаются кривые
у= 4(1+*) и у = х2'
§ 6. Частные случаи
и следствия формул сложения
1. Тригонометрические функции двойного аргумента.
Если в формулах сложения положить у=х, то получим
формулы, выражающие тригонометрические функции от 2х
через тригонометрические функции от аргумента х. Например,
если положить у=х в формуле сложения для синуса
sin(x]+ у) = sin х cos у +• cos x sin у,
то получим, что
sin 2* = 2 sin x cos х. (1)
341
Точно так же из формулы сложения для косинуса
cos (х + у) = cos х cos у — sin x sin у
получаем
cos 2x = cos2* — sin2*, (2)
а из формул сложения для тангенса и котангенса выводим
Отметим, что формула (3) имеет смысл не при всех
значениях х. Именно, х не должно совпадать ни с одним из
чисел вида -|- + Ы и -^- + -^-, где k — целое число. Точно
так же формула (4) имеет смысл, лишь если х Ф -у- .
Упражнения
124. а) Пусть sin а^0,96, 0 <а <у.
Вычислить: sin 2a, cos 2а, tg 2а.
б) Пусть cos а = — -рг и sin а > 0.
Найти: sin 2a, cos 2a, tg 2oe.
в) t£ х = — 2. Найти tg 2х.
125. Доказать, что sin 2а < 2 sina, где 0 < а < -у.
126. ctga=2. Найти: sin 4a, cos 4a, tg 4а.
127. Доказать тождества:
а) 1 + cos 2х = 2 cos»*; и) 1 + sin 2* = 2cos2 (45°— х)\
б) 1 — cos 2x = 2 sin2*; г) 1 — sin 2л: = 2 sin2 (45°— х).
128. Упростить:
1 + sin 2л: *
а) (sin х + cos х)2 ; в) 2 cos2 Т~ ~ !; Д) 2 coS2a - cos 2a.
X
б) 1—2 Sin2 -у ; г) I — 8 sin2a cos2a;
342
129. Доказать тождества:
COS 2а cos a — sin а
' 1 + sin 2а cos а -f sin a '
1
б) >in 15° cos 15°= —г- ;
1 — COS а ~ COS 2а ук; tiy л — i^ig <^ ~ „•—сГ
,,\ ! =ct£a' Sin 2a
л) tg
е) tg
М.- \ Г> t
Г)5°-
2а-
-tg35°
tga =
_ #«♦« 0-.
= 2tf
tga
COS 2a
20э;
;
l
sin 2a — sin a
з) 16 cos 20° cos 40° cos 60°cos 80°= 1
tg2(45°+ a) - 1 .
1 ] tg*(45°+ а) -г 1 - sm Za' и) cos23 + cos2l _ cos 4 cos 2 r= \.
2. Выражение тригонометрических функций двойного
угла через tg*. Формулу (2), п. 1 для cos 2* можно переписать
иначе. Воспользуемся тем, что sin2* + cos2* = 1, и потому
sin2* = 1 —cos2*. Мы получим, что
cos 2* = cos2* — sin2* = cos2* — (1 — cos2r) = 2 cos2* —1. (1)
Точно так же можно доказать, что
cos2*= 1 —2 sin2*. (2)
Мы.видим, что cos 2х выражается как через sin x, так и через cos x
рационально, то есть с помощью операций сложения, умножения и
деления (впрочем, последняя операция нам не понадобилась). Для sin 2x
такого выражения нет. Мы имеем рациональное выражение для sin2*,
в которое входят обе функции sin х и cos х (формула ( 1 ) п. 1). Но
если мы попытаемся выразить cos x через sin*, то получим
иррациональное выражение
sin 2х = ± 2 sin х У\ — sin^x , (3)
где знак корня зависит от того, в какой четверти лежит х. При
попытке выразить sin 2x через cos x получаем:
sin 2х = ± 2 cos л: Yl — cos2jt . (4)
Оказывается, что и sin 2*, и cos 2* можно рационально
выразить через tg*. Это делается следующим образом.
Разделим правую часть формулы cos 2*= cos2*—sin2* на
тригонометрическую единицу 1 = cos2* + sin2*. Мы получим:
Л cos»* — sin^jc
cos 2* — —, . , .
cos^jc -f- sin2*
Если * не имеет вида ~^-+ £тс, то cos*^0 и мы можем
разделить почленно числитель и знаменатель на cos2*:
cos 2* =
sin2jc
~~ COS2JC
sin2*
т~ rns2v
1 — tg2jc
"" "1 + tg**
343
Итак, если х Ф — + Ыу то
Точно так же доказывается, что если хф~-\-Ыу то
2 —
. о 0 . 2 sin х cos x cos* 2tg я
sin 2* = 2 sin*cos*=slntje+C0,1JC = —Ш1 " TTTiiJ •
1 •" cos**
то есть что
2 tg jc
sin 2* =
l + tg** •
Выражение tg2* через tg# дается формулой (3), п. 1, a
ctg2* выражается через tg* по формуле
eta 2х - ^te'*
cigz* — 2
2tg*
Упражнения
130. Пусть y = a sin * + Ь cos *. Выразить # как функцию лишь от
х
\g -тр. Для всех ли значений jc годится полученное выражение?
131. Пусть у — 3 sin 2x + 4 cos 2*. Выразить у как функцию лишь
от tg*. Для всех ли значений х годится полученное выражение?
132. Упростить выражения:
1 — cos 2x + sin 2* cos22a — 4 cos2a + 3
a) 1 + cos 2x + sin 2* ' B> cos22a + 4 cos2a -^ 1 '
2 sinr/— sin 2r/
°' 2 sin # + sin 2y
3. Тригонометрические функции кратных аргументов. Рассмотрим
теперь тригонометрические функции от аргументов вида пху где /г —
натуральное число. При п = 2 мы выразили эти функции через sin* и
cos *. Такие выражения существуют и при других значениях п.
Например, при п—3 имеем:
sin^ = sin (2x + *)=sin 2x cos * + cos 2x sin *.
Применяя формулы для sin 2x и cos 2x, выводим, что
sin 3* = 2 sin * cos** + (cos** — sin**) sin* = 3 sin x cos2* — sin8*. (1)
Точно так же доказывается формула
cos 3*=cos8* — 3 cos * sin**. (2)
344
При л = 4 имеем:
sin 4*=sin (3* + *) = sin 3* cos x + cos Ъх sin x = (3 sin x cos2* —
--sin8*) cos *+(cos8*—3 cos x sins*) sin *=4 sin * cos8*—4 sin8* cos л:. (3)
Точно так же доказывается, что
cos 4*=cos4jc— б sin2* cos2* -f sin4*. (4)
Сравним формулы для sin 3* и cos3* с формулой куба суммы
(а + Ь)3=а* + За*Ь + ЪаЬ* + Ь*.
Видно, что если взять в этой формуле слагаемые через одно,
изменить знаки у вторых слагаемых и заменить а на cos*, Ь на sin*, то
получатся формулы для cos3* и sin3*. По той же схеме из формулы
(а + Ь)4= а* + 4а* Ь + 6а*Ь* + 4аЬ* + Ь*
получаются формулы (3) и (4). Это наводит на мысль, что тем же путем
можно получить формулы для cos nx и sinn*, исходя из формулы
бинома Ньютона:
(а + Ь)п=ап + С\ ап~1 Ь + С\ an~2b*i-...+С* an~k bk + ... + bn
{см. «Алгебра», стр. 35). Эти формулы имеют следующий вид:
cos nx = cosrt* — С* cos n~2 х sin2* + C\ cos""4 * sin4*—... (5)
и
sin nx=C1flcosn~l x sin * — C^cos"-3 * sin3* + C^cos"-5 * sin5 * — ... . (6)
Суммы (5) и (6) конечны.
Если п — четное число, n = 2k, то сумма (5) кончается членом
(—\)k sin71 *, а сумма (6)— членом (— \)k~l C\ cos * sinrt_1 *. Если же п
нечетно, л = 2£ + 1, то сумма (5) кончается членом (—l^C^cos * sin"-1*,
а сумма (6) — членом ( — l^sin"*.
Формулы (5) и (6) доказываются методом математической индукции.
При п = 1 они тривиальны: cos * = cos * и sin * = sin *. Далее, мы
предполагаем, что эти формулы верны при п = т, и доказываем, что тогда
они верны и при п — т-\-\. Для этого заметим, что
cos (т + 1) х = cos (mx + х) = cos mx cos * — sin mx sin *.
Подставим вместо cos mx и sin mx выражения (5) и (6) при п — т.
Приводя подобные члены и используя равенство С^ + С^~ l —C^x \,
убеждаемся, что получается то же выражение (5) при л = т + 1. Точно так
же доказывается, что и sin (m -f 1) * выражается формулой (6) при
/z = m-f 1.
Упражнения
133. Доказать тождества:
1 — cos 2а + sin 2а __
а) 1 + cos 2a-f гш 2а =t2a;
345
б) shtet -с"?2а =,g 2а;
COS3a — cos За
В) sin'a + Sin За = tg а;
Sin 4a COS 2a
Г) 1 -+- COS 4а ' 1 + COS 2a = tg а;
д) cos 4а + 4 COS 2а + 3 = 8 cos4a;
sin За COS За
е) — — = 2;
7 Sin a COS a
sin3a -I- sin За
Ж) COS3a — COS За = Ctg ^
1 — tgs«
з) sin 4a + cos4a-ctg 2a= -g t ;
п) 4 sin л: sin f -у — x I sin l-gr + x I = sin 3*.
134. Представить в виде произведения тригонометрических фупкци
а) sin a + cos 2a + sin 3a -f cos4a;
б) cos a -\- sin 2a + cos 3a -f sin4a;
в) sin 3a — sin 2a cos a;
r) cos a — sin a sin 2a;
д) I -f COS a + Sin a + tg a;
е) УI + cosa+ /l— cos a, если 0°< a < 90°;
ж) sin a -f 2 sin 3a ■+ sin 5a;
з) tga + tg 2a —tg 3a.
135. Доказать тождества:
а) sin25x— sin23* — sin 8*-sin 2л:;
б) cos2 (b — c) + cos2 (c — a) + cos2 (a — b) — 1 =
— 2 cos (b — c) cos (c — a) cos (л -- fr);
в) cos (b -f с — a) — cos (c -f # — 6) + cos (a + fr — c) —
— cos (a -f 6 + c) = 4 sin a cos 6 sin c;
sin 2a 4- sin o* — sin a
1 ' COS 2a -}- COS 5a -j- COS a ~~ *> *'
cos 7дг + cos Зл: — cos Ъх — cos x
A/l sin 7x — sin Здг — sin ox + sin x = ctg ***
346
4. Тригонометрические функции половинного аргумента.
Решим теперь обратную задачу: выразим
тригонометрические функции аргумента х через тригонометрические
функции аргумента х/2. Для этого воспользуемся формулами:
cos2x = 2cos2jc—1, (1)
cos 2x = 1 —2 sin2* (2)
(см. п. 2). Заменив в формуле (1) х на х/2, получаем, что
о X 1 + COS X
cos "Г = 2 •
Точно так же из формулы (2) выводим, что
sin
2
1 — COS X
2 ~~ 2
Мы получили выражения для cos2-|- и sin2 ~2" • Эти вы"
ражения определяют cos-^- и sin -у лишь с точностью до
знака. Иными словами, задание cos дс определяет значения
cos у и sin у лишь с точностью до знака. Чтобы получить
значения, надо еще знать, в какой четверти находится х.
Итак, мы имеем:
cos
-f = ±/L±«»£, (3)
х ,1/1 — cos х /Q,4
sin -у = ± у ^ > (3 )
где знак перед корнем определяется четвертью, в которой
находится х.
Например, найдем sin 15° и cos 15°. Так как cos 30° =
= ]_?, то имеем:
2
sin 15
--у.
V
/1
1—cos 30° _ 1/ 2 _ VZ—V 3
COS 15° = У 1+cos 30- = Уъ+У 3 .
* 2 2
Мы выбрали перед обоими корнями знак плюс, так как 15*
принадлежат первой четверти. Полученные формулы можно
347
упростить, воспользовавшись соотношением
VJITb = /A+vf~B ± /A~VUA'-B
(см. «Алгебра», п. 11, § 3, гл. III). Получим:
sin 15° =i(/4 - Y±) = £ЦО., cos 15° - ЩП .
Проверьте полученные результаты, подставив их в правую часть
равенства
sin 30° = 2 sin 15° cos 15°.
Совершенно так же находим cos 112°30' и sin 112°30'.
Так как cos 225° =—]__?, а 112°30' лежат во второй чет-
иерти, где cos*<0 и sin*>0, то
cos 112°30'= - i/l+cos226° = _ V2-V1L
V 2 2
sin 112°30' = 1/ 1~*°* 225° = у 2+У 2
г-у
Выясним смысл различных комбинаций знаков в формулах (3) и (3').
Если задан cos х=а, то общий вид дуг с этим значением косинуса
таков:
х = 2/27С + arccos a.
Половины этих дуг имеют следующий вид:
X 1
_^ = /271 ±-~ arccos a.
Среди найденных дуг есть дуги, отличающиеся друг от друга на
целое кратное 2тс. В пределах одного периода лежат следующие
четыре дуги:
—- arccos я, ——-arccos а> тс+-_- arccos а, тс—_L- arccos а.
2 '2 ^2 2
Все эти дуги лежат в различных четвертях, и каждой из них
соответствует своя комбинация знаков для синуса и косинуса.
Разделив почленно равенство (3') на (3), получаем, что
± х 1 л/~ 1—cos л: />|ч
tg-T = ±yTT^7- (4>
Знак перед радикалом надо брать так, чтобы он совпал со
знаком tg-j-: плюс, если-|- принадлежит первой или третьей
348
четверти, и минус, если -^ принадлежит второй или
четвертой четверти.
Точно так же выводится, что
«g-f-±/r
+ COS X
—COS X
(5>
Разумеется, формулы (4) и (5) справедливы лишь для
значений аргумента, для которых обе части равенства имеют
смысл: формула (4) при хф(2п+\)к, а формула (5) при
хф2пк.
Другое выражение для tg-y выводится так. Мы знаем,
X X
что sinx = 2 sin -s- cos -n-
X X
Y~ cos -тр
sin x
1+cos* ~~
то можно
и
2 sin
СОК
1+cos
X
—- cos
2
2 C0S2-£.
2
ратить
JC =
л:
T
=2
COS2-y
числитель
■•
и
Поэтому
знамена-
тель дроби на cos -у-:
sin*
2 1+cos*
Совершенно так же доказываются равенства
ti-f-i
ctg-g- =
— COS X
sin дг '
1+COS X
sin* '
sin л
1—cosjc *
(6)
(7)
(8)
(9)
Следует отметить, что в равенствах (7), (8), (9) левая и
правая части имеют различную область определения. Так,
в равенстве (7) область определения левой части имеет вид:
х ф (2k + 1)тс, а правой части — хфпъ. Например, 2тс входит
в область определения левой части и не входит в область
определения правой части. Это следует иметь в виду при
использовании формул (7) — (9) для решения
тригонометрических уравнений.
349
У и р а ж ii с и и я
136. Найти sin-^-, cos -?- и tg-^_, если:
a) cos «-0,8 и 0<а<^_; в> а=45°»
а=180> г) tg«=3-L и 180°<Я<270Э.
137. Пусть sina=: —, 450э<а<540°. Найти sin —.
J 625 4
138. Упростить выражения:
а) ]/
l+cos4a# в) >^l+cos8x;
2
б) 2 sin2-!L+cos а; г)
1/"sin(4H+1
Г -m(-^+.)+i"
139. Доказать тождества:
а) 1 + cos a=2 cos2JL; б) 1—cosa=:2sin2-4_•
/ < 2 2
140. Доказать тождества:
а) l+sina-2cos' (45°-4-1; г) т4^Аг = 1^
\, 2 J 1+COS 2a
cos-——-sin—- .
\ 2 2 1 frt .
sin-
cos a
e) ctg -^—^"тг^ 2 ct§ *•
6) 1—sina=2sin2 С 45°—_fL) ;
v 1 -COS 2a . COS
>; Sin 2a ' 2
141. Вычислить: cos 18°, tg 18°.
142. Доказать, что tg236°tg272°=5.
5. Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму. Формулы сложения позволяют решить
следующую задачу: преобразовать произведение
тригонометрических функций в сумму тригонометрических
функций от других аргументов.
Возьмем формулы для sin (x+t) и sin (x—t):
sin (x+t)=sinx cos^ + cosa: sin?,
sin (x—1) = sinxcost—cosxsin*.
350
Сложим почленно эти формулы и разделим обе части
получившегося равенства пополам. Мы получаем:
sinx cos t=~Y [sin (x-{-1) + sin (x—t)]. (1)
Этой формулой удобно пользоваться, если x>t. При х<Л
удобнее писать
sin хcost = — [sin (x+t)—sin(t—x)]. (Г)
Точно так же из равенств
cos(x-W)ecosx cost—sinxsin/ (2)
и
cos (x—/)=cos x cos /+sin x sin / (3)
выводим, что
cos* cos/ = -7>-[ cos(x+^)+cos(x—/)]. (4)
Если же вычесть почленно из равенства (3) равенство (2),
то получим, что
sinxsin / =-7>- [ cos(x—/)— cos(x-\-t)]. (5)
Например,
sin 5x cos3x =-y [sin 8x+sin 2x],
cos \x cos эх = -g- [cos 9x+cos (— x)] =~y [cos 9jc+cos л:] ,
sin 6x sin 2x =~y [cos(—4x)—cos 8x] =-y- [cos 4x—cos 8x].
Повторно применяя формулы (1), (Г), (4) и (5), можно
преобразовать произведения трех и большего числа
сомножителей. Например,
sin 5xcosЗх cos6х = -^-[sin 8x+sin 2x] cos 6x = -H-[sin Ьхcos 6x-f-
+ sin2xcos6x] =-j-[sin 14A:+sin2x+sin8A:—sin4x].
Если в произведение входят степени
тригонометрических функций, то полезно воспользоваться формулами:
. « 1—cos 2x 9 l+cos2*
Stir* = 2 ' COS2* = ——^ ,
sin x cosx =— sin 2x.
351
Например,
sin3* cos2* =-j- sin x sin2 2x=-g- sin x (1—cos 4#)=
= -g- sin x —g- sin x cos 4* =-g- sin * —^-sin 5* + -т-тг sin 3jc.
Упражнения
143. Представить в виде суммы тригонометрических функций:
а) 2 sin 15° cos 1(Г; б) cos x cos (*-f-l);
в) 4 sin 25° cos 15° sin 5°;
г) 8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.
144. Вычислить sin 10° sin 50° sin 70°.
145. Доказать, что
4 sin a sin (60°—a) sin (60°+a)=sin 3a.
146. Доказать, что функция F (x, у) не зависит от у:
F (х, y)=cos2#-fcos2 (х+у) — 2 cos x cos у cos (х+у).
6. Тригонометрические многочлены. Мы уже рассматривали
гармонические колебания, то есть колебания, происходящие по закону
s=A sin (wf+a), или, что то же самое, s=a cos Ы-\-Ь sin Ы. В п. 5, § 5
было установлено, что при сложении гармонических колебаний,
имеющих одну и ту же частоту, получается гармоническое колебание той
же частоты. Посмотрим теперь, что будет, если мы сложим
гармонические колебания с разными частотами. Здесь результат зависит от того,
соизмеримы ли друг с другом частоты складываемых колебаний. Если
среди этих частот есть несоизмеримые, то после сложения получается
непериодическая функция (функции, получаемые путем сложения
гармонических колебаний с несоизмеримыми частотами, называют почти
периодическими функциями; теория этих функций является интересной
главой математики).
Разберем теперь случай, когда частоты складываемых колебаний
соизмеримы друг с другом. Тогда можно выбрать общую меру <*> всех
этих частот и считать, что все частоты пропорциональны этой общей
мере. Иными словами, мы будем рассматривать лишь суммы колебаний
следующего вида
п
s=a0+2 (P>k cos kut+bk sin k<»t).
Для простоты положим о>=1. Тогда имеем
п
s=#0+2 (akcoskt-{-bk sin kt). (1)
352
Выражение (1) называется тригонометрическим многочленом п-го
порядка. Так как для всех k выполняются соотношения
cos k (*+2я) = cos (kt+2kn) = cos kt
и
sin k (/+2rc)=sin (kt+2kK)=sin kt,
n
tfo + 2 l^kCOsk(t+2K)+bksink(t+2iz)] =
n
=#0+2 (ak cos kt+bk sin kt).
Таким образом, 2тс — период многочлена (1).
Любую функцию, получающуюся из cos t и sin t и постоянных с
помощью операций сложения и умножения, можно записать в виде
тригонометрического многочлена. Для этого надо применить формулы
предыдущего пункта. Например,
3 cosa/ sin t+4 cos t sin3/ =— (1-f cos 2t) sin f+sin 2t (1—cos 2t) =
==Asin /+-|- sin t cos 2/+sin 2/— sin 2t cos 2t = JLsin t—— sin 3/+
-f sin 2t—_L sin it.
2
Заметим еще, что сумма двух тригонометрических многочленов
является тригонометрическим многочленом. Произведение двух
тригонометрических многочленов порядков тип — тригонометрический многочлен
порядка т+п. Например,
(1 + sin'M-cos 2t) (2-fcos 3/)=2+2 sin/+2 cos 2f+cos 3/+
-f sin t cos ЗН-cos 2t cos 3/=2+2 sin /+2 cos 2/+cos 3f-j-
+ ф. (sin 2t — sin At) + -L (cos 5*+cos 0 = 2 + -L cos t+2 sin/+2 cos 2t +
+ * sin 2/+cos 3/—J_ sin 4/ +-L cos Ы.
Упражнение 147. Представить в виде тригонометрических
многочленов (преобразовать к виду (1) ):
а) (sin jc+cos x) (sin 2*+cos 2х)\
б) (cos х—sin r) (cos 2x~rsin^2x);
в) (cos x—sin x) (sin 2x—cos 2л:);
г) (cos лг+sin л:) (cos 2*—sin 2x);
ч cos 3* cos 6* .
Д) — о-
cos x cos 2*
е) sin3* + cos3*;
ж) sin4* -j- cos4*;
23 Заказ 2541 353
з) sin5 2х — cos5 2x\
и) sin8* + sin3 2x +sin3 Зл;
к) cos3* cos Зх — sin3* sin 3*;
л) (1+sin * + cos *)(1—sin x + cos x) (1+sin*—cos*)(—l+sin*+cos*);
m) (1+sin *+cos *)3.
7. Понятие о гармоническом анализе функций. На рис. 161
изображен пример графика тригонометрического многочлена. Мы видим,
что среди периодических колебаний есть колебания, сильно
отличающиеся от гармонических. Возникает естественный вопрос: можно ли
представить любую периодическую функцию с периодом 2% в виде
тригонометрического многочлена. Ответ на этот вопрос отрицателен.
Например, функция
/(0 =
1
4—cos /
имеет период 2к, но ее нельзя представить в виде
тригонометрического многочлена.
Однако оказывается, что если брать не конечное, а бесконечное
множество слагаемых, то есть не конечную сумму, а бесконечный ряд
#0+2 (ak cos kt+bk sin kt),
(1)
то для всех встречающихся на практике функций с периодом 2тг ответ
положителен — эти функции можно представить в виде суммы такого
бесконечного ряда.
354
Рис. 161
Представление периодической функции в виде суммы ряда (1)
называется гармоническим анализом этой функции. При гармоническом
анализе мы разлагаем данную периодическую функцию в сумму
конечного или бесконечного числа гармонических колебаний. С таким
разложением часто приходится иметь дело в физике. Например, когда мы
разлагаем свет с помощью спектроскопа, то сложное колебание
разлагается на гармонические колебания, соответствующие отдельным
спектральным линиям. Поэтому гармонический анализ функций называют
также спектральным анализом.
8. Представление суммы тригонометрических функций
в виде произведения. Иногда приходится решать задачу,
обратную рассмотренной в п. 4, а именно, представлять
сумму нескольких тригонометрических функций в виде
произведения тригонометрических функций от других
аргументов. Для этого применяются формулы, выведенные в п. 5.
Но теперь их надо читать в обратном направлении:
sin (x+t)+s'm (*—/)=2 sin* cos/, (1)
sin(x+t)—sin (x—/)=2 cos* sin/, (2)
cos (Jt+£)+cos (x—t)=2 cosx cost, (3)
cos (x—t)—cos (x+t)=2 sin* sin/. (4)
Удобнее преобразовать эти формулы, положив x-\-t=yt
x—t=z. Тогда мы имеем х= у^г , * = У~^* , и потому из
формул (1) —(4) следует:
sinff+sinz=2 sin g* cos y~z , (5)
sin г/—sin 2=2 cos-^~ sin -^-, (6)
cosf/+cose=2 cos y^ ■ cos У~2* » (?)
cos z— cos у=2 sin-^— Sin -^-. (8)
Например,
sin 6#+sin 8x=2 sin 7x cos*,
cos 5jc+cos 11x=2 cos 8* cos 3x,
sinx+cosx=sinA;+sin (-2—xj = 2 sin-^- cos (~ x\ =
= /"2cos(-J x).
23* 355
Сумма тангенсов преобразуется так:
J_i P— Sin а 4- Sin ^ Sin а COS P-fsin p COS а sin Са+Р)
Ь "Г" ь » cos а "•" COs3 COS а COS Э COS а COS/i"
Таким образом,
tga+tgp=sin(^;.
b » ь г cosa cos<j
Точно так же доказываются формулы:
, , Q Sin (a—P)
tg а — tg В= —Цг 1
ь b r COS a COS p '
х i ± о Sin (а+3)
Ctga + ctg3 = . v T ,
ь ' s ' sin a sin £i '
лА * о sin (3—а)
ctga— ctgP =—:—. q ,
s s Sin a Sin Э
Преобразование сумм и разностей тригонометрических функций в
произведения играло важную роль в вычислительной практике XVII—
XIX веков (и даже начала ЮС в.). Оно позволяло использовать для
вычислений логарифмические таблицы (см. дополнение к гл. VI, п. 2). В те
времена была разработана техника преобразования даже алгебраических
выражений путем введения вспомогательных углов. Например, сумму
(R \ R
1-f ]и полагали: —= tg 9 (это
всегда возможно, так как тангенсом может быть любое число). Тогда
А+В = А (1 + tg 7) = A (tg 45°+tg ф)=А^Щ^-±^—.
cos 45° cos 9
Для вычисления правой части надо сначала найти вспомогательный
угол ср с помощью таблиц и воспользоваться логарифмированием (см.
гл. VI, §3, п. 5). Другим примером использования вспомогательного угла
является преобразование a cosa)/+£ sina>£ к виду A sin (a)/-f-a) (см. § 5, п. 4).
Иногда при введении вспомогательного угла используют известные
значения тригонометрических функций:
4 cos2a-3=4 ( cos2 а ——\ = 4 (cos2a—cos230°)^4 (cos a-fcos 30°)(cos a —
™c q(V>\ i£ „ <* + 30° „ c a—30° . a+30° . 30°—a.
—cos 30 )=16 cos —: cos sin —! sin =
2 2 2 2
= 4 sin (30°—a) sin (30°+a).
Этот же пример, правда, можно решить иначе, без введения
вспомогательного угла (что, впрочем, приводит к иной форме ответа):
4 rnS2„__3— 4 cos3g-~3 COS a = COS За
COS a COS a
В настоящее время, с появлением быстродействующих
вычислительных машин, ситуация коренным образом изменилась. Теперь
гораздо важнее уметь преобразовывать не сумму в произведение, а
произведение в сумму.
356
Упражнения
148. Представить в виде произведения:
а) cos 46°-fcos 34°; д) cos 40°—sin 45°;
б) cos 16°—cos 12°; e) sin 41°—cos 62°;
в) sin 71°-sin 38°; ж) sinJL +sin * .
r) sin 493+sin 41°; 10 l2
з) sin--— — cos___.
; 10 12
149. Представить в виде произведения или отношения
произведений:
а) sin ба+sin 2а; ж) sin 65°+sin 15° .
б) cos 2a—cos 8a; sin 65°— sin 15° '
В) Sin (а+Э)—Sin (а—Э); з) Sin 9g-sin За .
г) sin»*-sln»y; sin9a+sin3a '
д) sinx-cosy; и> sin*+sin3*+sin2x+sin4*;
е) tg2a— tg23- K) c°s ^+cos2x-bcos 3x+cos4x;
л) tga + ctg?.
150. Представить в виде произведения или отношения произведений:
а) sin 24°+sin 16°-f sin 40°; ж) cos 2x—sin x—sin bx;
з) sin (~^+x) + sin(-^-*)-cos*
б) sin 23°—sin 57°+sin 34°;
в) sinjc-rsin 2x + sin 3x;
г) sin a+sin Hsin-^-; ") sin -f- ~ sin—x+cos x\
д) cos (.t+y)+cos (x—y)-|-cos x; K) sin (v+y)+sin (*— y)+2 sin x\
е) sin x-f cos 2л:—sin 3*; л) sin(5x+)0+sin (3x+y) + sln 2*;
л) cos[7at—JlWcosfe*——\+s\n*x.
151. Доказать тождества:
а) sin x-fsiny+sin(;t+)')=4 cos-^- cos JL cos x~]~y
б) cos x+cos y+s'm(x+y)=4 cos (45°—-K-)x
(*°-iy
X cos (45°--МЛ cos *+>' ;
Sin(a + S)^sin(a-P) =tgactgp;
Sin (« + £)—Sin (a—?)
COS(a+^) + CQS(a-^) = £ д 0
COS (a—fi) "COS (a+>) &
357
cosa+sina =tg(45°+a);
COS a—Sin a
c) l+Ctga_^ctg(a_45o^
1-Ctga
152. Представить в виде произведения или отношения произведений:
а) 1 — cos 2a; e) 1—sin a; к) 1—tg «; 0ч l+cos(a—ft).
б) 1—cos 2a; ж) 1+cos 80°; лМ + ctga; l-cos(a—p)'
в) 1+cosa; з) l_sin70°; м) 1—ctg a; n) 1+sin(a+p);
Г) 1-COSa; и) 1+tga; И) Sin a+tg a; l-sin(*-hP)'
д)Нз1па; P)l-2sfa4-
C) 1—2 COS*a.
153. Преобразовать в произведение или отношение произведений:
а) 1-fSin a+COS а; ж) 1 — Sin a-f COS a—tg a;
б) 1—cosa+sina; з) sin a+sin ft+sin(a+P);
в) I—sina+cosa; и) Sin (7a + (3)+sin (a+fi)+sin 2a;
r) sina+cosa—1; к) sin 17°+sin 27°+sin 10°;
Д) I—sin a—COS a; л) tga+tg 2a—tg 3a.
e) 1+sin a-f-cos a+tg a;
154. Преобразовать в произведение или в отношение произведений
с помощью введения вспомогательного угла:
а) 1+2 cose; e) у~2 sin *_,. ^__+/__
б) 1-2 sin «; x)y-3tgx-i; о < а < JL;
в) 1+}^ 2 cos о; з) 3—tg*x; 2
г) 1—У~~2 sin За; и) 1—4 sin4 M) У I+cosa -/l-cosa,
д) У"1+2 cos 6?; *) 3-4 cos*a; 0 < а < -J..
а-р .
155. Доказать тождества:
а) (sina-1-sin 3)2+(cos a+cos ,3)2 = 4 cos2
б) (sin 2a-j-sin 4a)2+(c0S 2a-fcOS 4a)2 = 4 C0S2a;
B) C0S2a+C0S2P~Sin2(a + P)=2 COS a COS P COS(a + P);
гч Sin a + sin 3a+sin 5a _ ~
lJ ; 5—; = 1Ь оя»
COS a+COS 3a+COS 5a
д) Sin a-f COS a—sin [a— — \ +COS (a— — ) =Y 6 COS (a—JL.\ ;
358
[ cos #+cos_^L ) + (sin *+sin-iL\
e)- - - — = ctg-*
2 sin-L 4
2
J56. Представить в виде произведения или отношения
произведений при помощи вспомогательного угла:
а) а~^ : е) s*n *+ V 3 cos х\
а+Ъ '
б) а*— Ь2, где | Ь\<\а
ж) 3 sin 40°+4 cos 40°;
г г з) 1—2 cos2 -£-+/ 3 sin х\
B)Va+b + Ya—b, 0<b<a; 2
г) l/;al4l/^0<k.; и) *-;Sjn* .
; У а-b У a+b a+b sin*
д) a sin х + 6 cos х
157. Доказать тождества:
а) У 1-1-sin a + Y 1— sin a = 2 cos ~^_ если О < a <-^-;
6) ]/" 1+sin a — У 1—sin a = 2 sin -^-, если 0 < a <_|_
ч sin a-f-sin 3a + sin 5a + sin 7a _ -
COS a-f-COS 3a-f COS 5a -f- COS 7a
Г) tg3a-tg2a-tga = tg3atg2atga;
д) 8 cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°;
е) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° =—;
16
ж) tg20° tg403 tg 60° tg80°=3;
з) sinct^ sin3a+sin5a+ ... +sin(2i—l)a = n^
COS a-f-COS 3a-f-COS 5a-f ... + COS (2tt— l)a
И) COS a COS 2a COS 4 a COS 8a COS 16a = sin 3 a •
32 Sin a '
. /2a . (л-Ы)а
sin ._ sinv ^~ ;
2 2
к) sin a-f-sin 2a-j-sin 3a-j- ... +sin not =
a
sm_
sini^cos(f!+lia
2 2
Л) COS a -f COS 2a-f- ... -f COS № —
sin "
2
ч 2n , 4tc , 6tz 1
m) cos— + cos — -f- cos— = ——;
' 7 7 7 2
359
н) cosJL -f cos—тс = _i-.
' 5 5 2
158. Представить в виде произведения или отношения
произведений:
а) 2cos2jt+sin2* tg x\
б) V tga + sina + У tga — Sin a , 0<а< _|-;
в) 2+tg2a+Ctg2a;
г) tga+2 tg 2а+4 tg 4а+ ... + 2*""^ 2п~~га + 29 Ctg 2Ля;
Д) sin a+sin (a-f-/i)+sin (а+2Л)-г* ... +sin [a-f-(/i—1)Л];
e) cosa+cos(a+/i)+cos(a+2/i)+ ... -f cos [а+(л—1)Л].
159. Вычислить суммы:
а) cos2a+cos22a-f ...+cos22«a;
б) sin2a+sin22a-f ... +sin22na;
в) 1—cos a-fcos 2a—cos 3a+ ... -f(— \)n cos tin;
r) Sin a— Sin2a+sin3a— ... + (—\)n-~l sin/la;
д) cos a-f 2 cos 2a+3 cos 3a+ ... +/z cos ла;
е) sin a+2 sin 2a+3 sin 3i+ ... +я sin /za.
9. Биения. При сложении гармонических колебаний с близкими
частотами возникает любопытное явление — так называемые биения. На
рис. 162 изображен график суммы гармонических колебаний Si=sin 8t
и 58—sin (9/+7г). Мы видим, что амплитуда этой суммы периодически
увеличивается и уменьшается. Такое явление бывает заметно,
например, если включить в электрическую цепь две динамо-машины,
имеющие близкие, но не равные друг другу периоды. В этом случае
электрическая лампочка начинает мигать в соответствии с увеличением и
уменьшением амплитуды результирующего колебания. То же самое
явление возникает на двухвинтовом корабле, если число оборотов
винтов не совпадает друг с другом.
Чтобы разобраться в явлении биений, рассмотрим сумму двух гар-
•монических колебаний, имеющих одинаковые амплитуды, но разные
частоты
sx = Л sinfcoj/ -f ai),
S2= A Sin (co2/ -f a2).
Складывая эти колебания, получим в силу формулы (5) п. 8:
s=s1+s2 = Л [sin (co1/+a1)-fsin (fc>2*+32)] = 2Л sinf a)'^"(°2 t+
+ aJ+^l] cos[^pf+ fizfi]. (1)
Множитель sin \(*1~r<**t+ а1~т~а* изменяется с частотой (°1"t"°J2 , близ-
L 2 2 J 2
360
Рис. 162
кой к частотам о>х и со2 складываемых колебаний. Множитель же
cos p°i-°>21+ SCZSl] меняется
с частотой со=
Если частоты
о)! и со2 близки друг другу, то частота со существенно меньше, чем
сох и со2, а
а)1-|-со2
«^coj^r Ш2»
Таким образом, выражение (1) является произведением двух мно-
„ COi-t-COe
жителей, один из которых меняется с частотой д ' % а второй—с
малой частотой со :
!!? . Влияние второго множителя можно описать-
как медленное изменение амплитуды колебаний. В результате и
получаются биения с частотой со.
§ 7. Дифференцирование
тригонометрических функций
В этом параграфе будут выведены формулы
дифференцирования тригонометрических функций. С помощью этих
формул мы установим важные свойства гармонических
колебаний. Но начать нам придется с рассмотрения
некоторых пределов, связанных с тригонометрическими
функциями.
361
Рис. 163
Рис. 164
1. Предел функции
sin х
при х->0. Рассмотрим рис. 163.
Если радиус окружности равен Rt то линия АВ — это
2/?sinx, а длина дуги АСВ равна 2Rx (длина дуги равна
радиусу окружности, умноженному на радианную меру
дуги). Геометрически очевидно, что при малых значениях х
длины хорды АВ и дуги АВ «почти совпадают»: 2R s\nx^2Rx.
Значит, при малых х slnx^x. Это делает естественным
sin х
предположение, что предел функции у-
при
О
равен единице: lim
sm х
лг-0
1. Сейчас это предположение
будет доказано.
Для доказательства нам будет удобнее иметь дело не с
длинами линий, а с площадями фигур. Рассмотрим на
рис. 164 треугольник АО^, круговой сектор АОС и
прямоугольный треугольник ЕСО. Очевидно, что между
площадями этих фигур имеет место соотношение:
>\АОС
<s
LECO •
Но площадь треугольника АОС равна -уОС-ОА-sinx
= ~- R - R • sin*
по формуле SceKT
362
Я2 sin*
2
Площадь сектора вычисляется
Наконец, площадь прямоугольного
треугольника ECO равна \ ОС-ЕС =-^-/?./?tg* =^г^.
Поэтому при *>0 имеет место неравенство
R* sin х R*£ ^ R2tgx
2 < 2 ^ 2 *
Сокращая на -g-, получаем неравенство
sin л: < х <ctgx,
справедливое при х>0. Из него следует, что
или же, что
1 < * < tg* = 1
sin jc sin x cos л:'
^ sin л: ^ л
cosa: < < 1.
Последнее неравенство справедливо и при *<0, так как
sin х ,
cosa: и — четные функции.
Но мы знаем, что lim cos#=cosO = l. По теореме о про-
межуточной переменной отсюда вытекает, что
,. sin* t /1Ч
lim-j- = 1. (1)
Доказанная формула (1) позволяет вычислить многие
пределы. Например, имеем:
У sin 5* J. sin Бх Бх J5_ .. sin Бх__ 5
jf-*0 л.'-*-0 лг->0 <Э* О
Точно так же вычисляется предел
lim i^ftr =IImJta6x . _9* 6<_ = 2 Hm_sln65 . ,Im. 9* 2
х^0 sin 9* х_0 бх sin 9л: 9* 3 х^0 бх Jtr_^()sin9* 3*
Упражнение 160. Вычислить следующие пределы:
оЧ .. sin 4*
а) 1ш—-—;
л--0 Ул:
б) llm-5!2if;
jc-^o sin 7л:
в) llmJi56f;
лг^о tg 2л:
363
sin 2x
r) Hm (Указание: положить х-ъ+у)-
х-+% sin Их
д) lim 2п sin ^-;
П^ + оо Zn
е) lim х ctg2x;
ж) lim (l-x)tgJ^L;
оч и™ 1—COS АИХ .
з) hm -2 ,
лг-0 Ха
cos тх—cos nx
и) lim.
х-*о х*
\ i-„, *6 дг—sin д: .
к) hm—s ;
л) lim sin (**+2л:)—2 sin (a4-A) + sin л .
ЛГ-0
(*-f)
sin U . . ,.
м) lim i-L (У к а з a H и е: положить x——'- + y):
' * 1-2cos x 3 •"'
/ 2 cos л:—1
o) lim-
jtr-0 Л:*
n) lim (sin V x — sin 1^*—1);
p) limT^i+ti^-/i-tg, .
x-+0 sin 4л:
с) ит cosx-^5sja
лг-о sin2*
2. Производные функций y=siiiA: и y=cos-*r. Найдем
производную функции y=sinx. Рассмотрим приращение
функции Д#:
At/ = sin (х -\- Дх) — sin х.
Применяя формулу для разности синусов, получаем:
а о л:+Д*+* . я+Д*—X л / . Дл: \ . Дл:
А#=2 cos ^ ^ sin -^-g = 2 cos (лН—^-J sin -у- ,
364
и потому
д*
cos
(,+*)
sin
Д*
Л*
2
Переходим к пределу при Дх-^0, получим:
„• Ал:
= lim
cos
Дл:
Т
(*+АЙ л 2 = lim cos (x+4£) lim
. л*
slnT
2
В силу непрерывности функции cosx имеем:
Дх
lim cos\x-\--
Ллг-0 \
cos*. Из соотношения
lim
а->-0
Sin a
следует
д#
п
т
оэтому
очно так же
Выведенные
(sinx)' =
(cos х)' =
lim
Ддг-О
(sin x)r
доказывается
(cos л:)' *
нами формулы
= COS JC,
—sin x
2
Дл:
2
= COSX
формула
= —sin*.
1.
имеют любопытное физическое
истолкование. Рассмотрим
точку, движущуюся по числовой
окружности с угловой
скоростью 1 рад,/сек. Предположим,
что в начальный момент
времени эта точка находилась в
точке А пересечения числовой
окружности с осью абсцисс
(рис. 165). Тогда в момент
времени t движущаяся точка будет
находиться в точке M(t) числовой
окружности. Поэтому ее
декартовы координаты выражаются
формулами
х = cos t, у = sin t.
Рис. 165
= 1
(1)
(2)
365
Вектор скорости движущейся точки в каждый момент времени
направлен по касательной к окружности, причем его длина равна 1 (за
1 сек точка пробегает дугу в 1 радиан; поскольку радиус окружности
равен 1, то длина этой дуги также равна 1; значит, линейная скорость
движущейся точки равна 1). Угол между радиус-вектором точки M(t)
и положительным направлением оси абсцисс равен t. Поэтому угол
между вектором v линейной скорости и положительным направлением
оси абсцисс равен -JJL + f. Поскольку длина вектора v равна 1, его
проекции на оси координат выражаются формулами:
Vx = cos I ~y~ +t I = —sin /,
Vy = sin I -g- +/ J = cos t.
(3)
Ho u^— это скорость изменения абсциссы движущейся точки, а
Vy — скорость изменения ее ординаты. Мы знаем, что мгновенная
скорость прямолинейно движущейся точки равна производной ее
координаты по времени. Значит,
** = -£-= (cos*)',
at
Из этих равенств и формул (3) выводим, что
(cos/)7 = —sin t,
(sin t)' = cos t
в соответствии с выведемными выше формулами.
С помощью формул (1), (2) и ранее выведенных правил
дифференцирования можно искать производные более
сложных функций. Найдем производную функции y=tgx. Мы
sin х
имеем tg*= . Поэтому если cosa^O, to по формуле
дифференцирования частного
,. vw__ / sin х у _ cos x (sin лг)/г—sin х (cos х)' ___
V Б ~) V, COS X / COS2* ~~
cos2x+sin2A: l
COS** COS2* •
Точно так же выводится, что если sinx^O, то
(ctgx)' sjjLj-. (5)
Вычисляем теперь производную функции у=А sin^t+a).
366
Ее можно записать в виде y=Aslnu, где u=ut+a. По
формуле дифференцирования сложной функции получаем, что
y't—У'и ' u't = A COSM-(o>/ + a)' = Au)COS #=Л u)COS(a>/+a)-
Итак,
[i4sin(o>/+a)]' = Aa)cos(oj/-f a). (6)
Пример. Найти производную функции y—s'm^x. Мы
имеем у=и4, гле u=s'mx. По формуле дифференцирования
сложной функции
У'х = У'ии'х = 4//3(sin*y = 4 sin3* cosx.
Для функции же #=tg(.*4) имеем r/=tg //, где и=хК Поэтому
Ух = Уиих= cos*** ('^' = cos2(^) •
Упражнения
161. Найдите производные следующих функций:
а) f/=sin35jc; ж) у=2х sin х—(х2~2) cos *;
sin2x * l+cos2.v '
в) y=tg x—ctg х\ и) f/=sin4 (3*—1);
г) #=sin32x+cos32x; K) ^sin (Зх4—1);
яч ,._ 1 . cos (л:3)
а)у—ЩмГ' л)у= cos»x •
е) (/=(^2+1) sin Зх;
162. Выведите формулу для производной л-го порядка функций:
а) */=sin4x; б) r/=sin jc cos3.x; в) i/=sin3x.
163. Написать уравнение касательной к графику функции y=s\n2x
в точке а=
3
164. Исследуйте на возрастание и убывание нижеследующие
функции и найдите их точки экстремума. Постройте их графики
(предварительно установив период):
а) #=sin к-fcos х\
б) y—Z sin x—4 cos x\
в) (/=sin3*-r-cos3#;
г) #=sin4#+cos4;*:;
д) у=2 sin?*+sin4x;
367
с) y=sin х — 3 sin—-;
ч sin Зх .
1— cos х
з) у=х sin л-;
„)^sinx-i^ +
к) y=x+s'm х.
sin Зд:
3
165. Докажите, что функция y=2x+sln x возрастает на всей
числовой оси.
3. Понятие о дифференциальном уравнении. Пусть
материальная точка движется по прямой иод действием
постоянной силы, например, падает на Землю под действием силы
тяжести (мы пренебрегаем изменением силы тяжести при
изменении расстояния точки от центра Земли). Найдем закон
этого движения. Для этого вспомним, что по второму
закону Ньютона имеет место равенство:
F = та,
где F—сила, действующая на прямолинейно движущуюся
точку, т — масса этой точки и а — ускорение движения. Но
ускорение — это вторая производная координаты точки по
времени, а=х". Поэтому из второго закона Ньютона
следует, что
F = тх".
Но в нашем случае сила F постоянна: F~FQ. Поэтому мы
получаем для функции s(t) уравнение
mx" = FQ. (1)
р
Это уравнение можно записать в виде хп=k, где £=—£-.
Уравнение (1) не похоже на встречавшиеся нам ранее. В
него входит вторая производная искомой функции. В других
задачах получаются более сложные уравнения, в которые
входят производные различных порядков искомой функции
и могут входить сама эта функция и независимое
переменное. Такие уравнения называют дифференциальными.
Наивысший из порядков производных, входящих в
дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.
Например,
y"-\-(y'f=3x2sinx
—дифференциальное уравнение второго порядка, а
yiv+ 16г/=лг6
—дифференциальное уравнение четвертого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется
любая функция, при подстановке которой в уравнение
получается тождество.
Например, функция у=хъ является решением
дифференциального уравнения у"=6х, так как (х9)' = 3х* и (Зж8)'=6*.
368
Найдем решение уравнения xn—k. Для этого обозначим
х' через v. Тогда x"=v', и наше уравнение запишется так:
v'=k. Но мы знаем, что (kt)'=k, а две функции, имеющие
одинаковые производные, могут отличаться друг от друга
лишь постоянным слагаемым. Поэтому v=kt+cx. Так как
v=x'9 то для х получаем уравнение первого порядка:
х' — kt + сх.
Легко найти одну функцию, для которой f/(t)=kt-\-c1. Этой
kt2
функцией является f(t)=-^—\- cYt. Функция x(t) может
отличаться от f(t) лишь постоянным слагаемым. Поэтому
x(t)--*r+Ci* + c%. (1)
Мы видим, что уравнение x"=k имеет бесконечно много
решений — при любых значениях сг и с2 функция (1)
является решением этого уравнения. Физический смысл такого
обилия решений состоит в том, что задание действующей
силы еще не определяет до конца характер движения — оно
зависит еще от начального положения движущейся точки и
от ее начальной скорости. Покажем, что среди функций
вила (1) есть только одна, при которой точка имеет
заданное начальное положение и начальную скорость. В самом
деле, пусть в начале (то есть при £=0) точка имела
координату х0 и скорость v0. Эти условия можно записать так:
х(0)=х0у *'(0)=iv
kt2
Но если x(t)=-^—\-с^+с2, то х(0)=с2. Кроме того, в
этом случае x'(t)=kt+c1 и потому ^(0) = ^. Значит, условия
*(0)=х0, x'(0)=v0 дают следующие значения постоянных сх
и с2: с2=х0, ct=v0.
Итак, решение уравнения xn—kt удовлетворяющее
начальным условиям х(0)=хОУ д/(О)=0о, имеет вид:
kt2
x = —+v0t + x0.
Из физических соображений ясно, что другого решения
уравнения х"=&, удовлетворяющего тем же начальным
условиям, и не может быть —движение однозначно
определяется заданием начального положения точки, ее начальной
скорости и действующей на нее силы.
24 Заказ 2541 369
Упражнения
166. Решите дифференциальные уравнения:
а) у'=х*; в) y'=sinx; д) y"=cos Зх;
б) у'=х*+4; г) y"=cos*; e) у'=У~х.
167. Найдите такое решение дифференциального уравнения
у'=х*-\-4, что */(0)=5.
168. Найдите такое решение дифференциального уравнения у" ~хУ
что */(1)=2, /(1)=3.
4. Дифференциальное уравнение гармонических
колебаний. Пусть точка совершает гармоническое колебание:
х^А sin (а>/+а). (1)
Производная функции х равна: х'—А tocos (Ы+а), а ее
вторая производная, то есть ускорение, имеет вид:
а = д:" = -Ла)2 sin (<о/+а). (2)
Сравнив формулы (1) и (2), мы видим, что
х7= —а)2л:.
Таким образом, функция х—А sin (to/-f а), выражающая
закон гармонических колебаний, при любых значениях
постоянных Л и а является решением дифференциального
уравнения
х'г + to2* = 0. (3)
Мы знаем, что функцию х-А sin (и>/+а) можно иначе
представить в виде
x=ct cos <ot + c2 sin to/ (4)
(см. п. 4, § 5).
Покажем, что путем подбора произвольных постоянных
с1 и с2 можно добиться, чтобы функция (4) удовлетворяла
начальным условиям x(0)~xQi xf(0)=v0. В самом деле,
Х' = —Сг(0 Sin 0)/-f£2 to COS О)/.
Значит, х(0)=:съ xf(0)==c2(j). Поэтому равенства x(0)—xQi
x'(0) = vQ можно записать так:
Итак, решение уравнения х"+<о*х=0, удовлетворяющее
начальным условиям x(Q)=x0, x\0)=v0> имеет вид:
х=ха cos со/ 4- -^- sin to/.
370
Естественно, возникает вопрос, имеет ли уравнение (3) иные
решения, удовлетворяющие тем же начальным условиям. Для этого выясним
физический смысл дифференциального уравнения (3). По второму
закону Ньютона мы имеем F—ma, или, иначе, F—mx", Но по уравнению (3)
х" = — со3*, и потому F = —moAx:. Обозначим для краткости mw8 через
/?. Мы получаем, что F — —kx.
Итак, сила, вызывающая гармонические колебания, выражается
формулой
F=—kx (k>0).
Иными словами, эта сила пропорциональна отклонению точки от
положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому
отклонению. Наглядно можно представить себе, что точка,
совершающая гармонические колебания, прикреплена к концу пружины. Как
известно из закона Гука, при растяжении пружины возникает сила,
пропорциональная величине растяжения, стремящаяся стянуть пружину, то
есть возвратить точку в положение равновесия. При сжатии же
пружины возникает сила, стремящаяся разжать пружину, то есть снова
возвратить точку в положение равновесия.
С помощью физического истолкования легко убедиться, что
дифференциальное уравнение (3) имеет единственное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Предположим, что x=f(t) — решение уравнения (3),
удовлетворяющее начальным условиям f(0)=xo, f'(0)=VQ. Образуем вспомогательную
функцию
f(t)=f(t)— x0 cos со/—J!l sin со/.
со
Имеем:
F'(0=/'(0+*o <*> sin со/—v0 cos со/
и
F"(t)=f"(t) + Xotu* COS co/+0o Sin со/.
Но по предположению /"(/) = —соа/(/). Поэтому
F"(t) = — »*/(*)+V>f cos <^+*V° sinco/ = —со» [/(/)—s0 cosco/—
— J!L sin co/1 = — <**F(t).
CO J
Таким образом, функция F(t) удовлетворяет дифференциальному
уравнению x"+coa;t=:0. Кроме того, мы имеем:
F(0) = /(0) — х0 = х0 — х0=0
и
F'lO) = /'(0) - V0 = VQ - i»0 = 0.
Другими словами, для движения, описываемого уравнением x=F(t), и
начальное отклонение от положения равновесия, и начальная скорость
равны нулю. Иначе говоря, в начале точка находится в положении
равновесия и неподвижна. Так как сила, вызывающая движение,
пропорциональна отклонению от положения равновесия, то и она в
начальный момент времени равна нулю. Но тогда точка^так и останется
24*
371
неподвижной, то есть для всех / имеем F(t)=0. Это означает, что при
любом t мы имеем:
f(t)=x0 cos a>/-f--JL sin со/.
О)
Значит, уравнение х"+ь>2х=0 имеет только одно решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Упражнения
1G9. Решите в общем виде дифференциальные уравнения:
а) у"-г4у=0; б) f+l7y=0; в) у"+п*у=0.
170. Найдите такое решение дифференциального уравнения */"+
+4у=0, что г/(0)=3, у'(0)=1.
171. Материальная точка массы 20 г движется под действием силы,
пропорциональной отклонению точки от положения равновесия и
направленной к этому положению. При отклонении точки на 2 см от
положения равновесия восстанавливающая сила равна 10 г. Найти частоту
и период колебаний (мы считаем, что 1 2=980 дин). Написать формулу
для отклонения, если начальное отклонение равно 3 см, а начальная
скорость равна нулю.
5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Рассмотрим теперь случай, когда на точку, кроме силы F\, направленной
к положению равновесия и пропорциональной отклонению от
положения равновесия, действует еще другая сила, возбуждающая колебания.
Пусть эта сила сама изменяется по синусоидальному закону: F2==
=^sin[tf. Тогда общая сила, действующая на нашу точку, выражается
формулой
F=F1+F2 = — kx+A sin pf.
По второму закону Ньютона мы имеем:
F = та = тх".
Таким образом, х должно удовлетворять дифференциальному
уравнению
тх" = — kx + A sin p/.
и
Разделим обе части уравнения на /я, обозначим — через со3 и перене-
т
сем слагаемое <о2х в левую часть уравнения, В результате мы получим
уравнение
X" + 0)2* = A sin p/. (1)
т
Мы сведем сейчас это уравнение к уже решенному выше
уравнению х"+ь*х=0. Пусть р=£со. Положим x(t)=z(t)+B sin p^. Подставляя это
выражение в уравнение (1), получим:
z"—Bp sin pf + <o2z + Вы* sin p/= -d- sin p/,
m
или
z" + cA + В (o>2 — p2) sin p* =— sin p/.
372
Поэтому если выбрать значение В равным , то для z(t) полу-
/72(со2—р2)
чится уравнение z"+co2z=0. Мы знаем, что общий вид решения этого
уравнения есть z—ct cos со/+с2 sin со/. Поэтому общий вид решения
уравнения (1) есть
x(t)=ci cos со/+с2 sin со/-ь ^ sin p/. (2)
m(co2—p2)
Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям х(0)=0,
х'(°)=0. Имеем:
х'(0 = — сх со sin co/-f c2<*> cos со/ + А$ ^ cos р/. (3)
Подставляя в формулы (2) и (3) значение /=0, получаем:
x(0)=clt х'{0)=с%<* -L Л?
m (со2—р2)
ь место равенства
Отсюда находим, что
Поэтому должны иметь место равенства Ci=.0 и с2<*> + ~ =0.
J ii^. m(<oa—ра)
с2=
Таким образом,
Лр
Шсо (оа2—fi2)
*(/) = — Л? ro sin со/ + 4—a- sin Р* =
/Я(о(со2—р2) m (со2—р2)
/И<о(а>2—р*)
[со sin p/— psinp/].
Выражение, стоящее в квадратных скобках, является суммой двух
синусоидальных колебаний с частотами р и со соответственно. Мы уже
знаем, что при сложении синусоидальыых колебаний, имеющих
различную частоту, возникают биения (см. стр. 360), то есть колебания с
изменяющейся амплитудой. Так как | cosinpf—Р sin р/ \ не может стать
больше, чем <о+Р, то верхняя граница амплитуды дается выражением
1 А (со+р)
тсо (со2— р2)
ты [со—р|
Мы видим, что если р близко к со, то эта граница весьма велика.
Иными словами, в случае, когда частота силы, возбуждающей
колебания, весьма близка к частоте свободных колебаний, размах колебаний
в некоторые моменты времени очень велик. В физике это явление
называют резонансом.
Особый интерес представляет случай, когда р--=о>. Приведем без
- вывода ответ для этого случая:
А
X(t) = — . [ tot COS со/—Sin со/].
2m to2
Здесь уже получились колебания, амплитуда которых с течением
времени неограниченно возрастает (множитель со/ стремится к бесконеч-
373
ности при t-+oo). График такого,
колебания изображен на рис. 166
(здесь для простоты положено
А
2т
■=1).
Рис. 166
Упражнения
172. Решите уравнения:
а) у"+4у=5 sin Зх;
б) у"+9у^6 cos 2x;
в) у"+Щ=2 sin *-f 4 cos x.
173. Найдите решение
дифференциального уравнения
y"-\-4y=sin 4х,
удовлетворяющее начальным
условиям #(0)=0, */'(0)=1.
6. Дифференцирование
обратных тригонометрических
функций. Перейдем к
дифференцированию обратных
тригонометрических функций. Начнем
с дифференцирования функции
y=arcsinjc. Мы знаем, что
равенство */=arcsin* равносильно
тому, что x=sin у, — -^-<У < -77 •
Продифференцируем обе части
соотношения x=siny по дг. При
этом sin у надо рассматривать как сложную функцию от дг, а у — как
промежуточный аргумент. Мы получим, что
\=cosy-y'x.
Отсюда находим у'= , или, иначе,
л cosy
(arcsinx)' =
cosy
Но cosy =Y 1—sin2*/ , a sin*/=x. Поэтому cosy =У 1—x* .
Следовательно,
(arcsin x)' =-
1
(1)
VT-x*
Мы выбираем положительное значение для У 1—х2 , так как у ме
374
няется от —-?L- до _^-, а на отрезке ~*-5-> -^-| выполняется
неравенство cost/>0.
Совершенно так же доказывается, что
(arccos х)' = - yjz^2' (2)
Выведем теперь формулу для производной от функции у = arctg*.
Эта^функция определена на всей действительной оси, причем ее
значения принадлежат промежутку —-iy-< У <-тг— Равенство y = arctg*
равносильно x—\gy, где *—-5-< У <-s— Продифференцируем обе части
равенства x=tgy. Мы получим, что
1
1=-
cos2t/
и потому yJC=cos2y, или, иначе,
(arctg x)' = cos2y.
= L_-—, a tgy:
Поэтому
Но cos«y=_j:ipp a tgy=*.
(arctg*)' = _j_ (3)
Аналогично получаем:
(arcctg*)' = -_^_. (4)
Упражнения
174. Найти производные следующих функций:
а) y=arcsin«2^ e) y== arcsln_2*__.
б) y=arctg4yrx; 1_l~*2
,. ж) y = arcsin «sin*);
в) y^/arctgx*; J "
} * f s з) y-arcsin U2)+arccos (л2);
г) y=*arctg*;
x arcsin x
д) y=arcsinJc+arccos*; и) у— ,-—=-.
У 1-х2
175. Построить графики функдин:
а) y= arctg 7* ; в) y=2x+ arctgJL;
1+jc ^
б) y=x—2 arctg*; r) y=* arctg*.
375
Краткие исторические сведения
Впервые тригонометрия появилась во II веке до н. э. в
Александрии в связи с решением треугольников. Задачи астрономии привели
к необходимости вычислять элементы треугольников по заданным
другим элементам (правда, в астрономии обычно приходится иметь дело
не с обычными треугольниками, а со сферическими, образованными
большими дугами сферы). Древнегреческий ученый Гиппарх составил
в 150 году до н. э. таблицы длин хорд, стягивающих дуги с данным
числом градусов. Эти таблицы, как и более близкие к нам по времени
таблицы Менелая, утеряны. Наиболее древние дошедшие до нас
таблицы хорд принадлежат великому греческому астроному Птолемею
(II в. н. э.) и вошли в его книгу «Syntaxis Mathematica», в которой он
развивает свою систему мира. Эти таблицы содержат величины хорд
для углов с интервалами в 30', причем значения хорд даны в виде
трехзначных шестидесятеричных дробей, то есть в виде
60 602 603'
где я, Ь, с—целые числа от 0 до 59. Кроме того, эти таблицы
содержали значения разностей, что давало возможность интерполировать
через 1'. При составлении таблиц Птолемей использовал теорему о том,
что произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника равно
сумме попарных произведений длин противоположных сторон. Эта
теорема заменяла теорему сложения для синусов и позволяла вычислять
длины хорд, стягивающих суммы и разности двух дуг. Гиппарх, Мене-
лай и Птолемей развили также теорию решения сферических
треугольников.
Полухорду двойной дуги (то есть синус данной дуги) ввели
индусские математики в V веке н. э. Полную хорду они называли «джива»
(тетива лука). Иногда этим же термином обозначалась и половина
хорды, то есть синус. Кроме того, индусы применяли функции
sin versa (обращенный" синус), равную 1—cos я, и косинус. Вслед за
индусами эти функции изучали арабские астрономы и математики. В
арабской транскрипции слово «джива» писалось «джиба». Теми же
согласными обозначалось слово «джайб», > означавшее впадину, залив.
При переводе математических книг с арабского языка па латинский
возникло недоразумение, связанное с тем, что в арабской
письменности отдельными буквами обозначаются лишь согласные. Слово «джиба»
было прочитано как «джайб» и переведено латинским словом sinus,
также означающим впадину, залив.
Арабские математики (Аль-Баттани, Абу-л-Вафа, X в. н. э.) ввели
новые тригонометрические функции—тангенс и котангенс. Они
называли эти функции обратной и прямой тенью, поскольку отношение
— длины тени /, отбрасываемой шестом высотой h, к этой высоте
/г
равно ctgcp, где <р—угол наклона солнечных лучей к горизонту. По-
латыни эти функции сначала назывались итЬгд versa и umbra recta
(umbra — тень). Абу-л-Вафа установил формулы, соответствующие нашим
формулам sin 2а = 2 sina cosa и 1 — cos 2a=2 sin2a.
В 1583 году Т. Финке ввел название «тангенс» от латинского
tangere — касаться (поскольку линия тангенса касается числовой окруж-
376
лости). Термины «косинус» и «котангенс» ввел однофамилец великого
математика Джон Ньютон в 1657 году. Следует отметить, что действия
и предложения, которые греки излагали геометрически, арабы, следуя
за индусами, излагают алгебраически. Например, из уравнения
s п® — р они сразу получают sin q=D-\~Y 1-f/)2. Джабир ибн Афлах
в Севилье (вторая половина XI в.) и Насир Эддип в Иране (XIII в.)
впервые начали изучать тригонометрию как отдельную ветвь
математики, независимо от астрономии.
Первые сочинения по тригонометрии в Западной Европе восходят
к арабским источникам. Они принадлежали английским ученым Брад-
варину и Модису (середина XIV в.). Таблица тангенсов была
вычислена немецким астрономом и математиком Региомоптаном (1436—1476).
Форма, которую он придал тригонометрии, сохранялась в течение
длительного времени. Наиболее полные таблицы тригонометрических
функций составил немецкий ученый Ретикус, ученик Коперника. Они имеют
точность 10~ь и содержат синусы дуг через каждые 10". Ретикус
впервые установил связь между тригонометрическими функциями и
углами прямоугольного треугольника (до него они рассматривались
.лишь в зависимости от дуги). Он ввел функцию sec.v= (секанс
cos*
х) (название принадлежит Т. Финке).
Формулы для синусов и косинусов кратных дуг вывел французский
математик Ф. Виета (1540—1603). Он широко использовал
тригонометрические соотношения для решения алгебраических задач и получил
выражение для тс через бесконечное произведение тригонометрических
♦функций:
2 90° 90° 90° 90°
= COS——— COS COS ... COS ...
тс 2 4 8 2n
Дж. Пелль, Роберваль и другие доказали в 1647 году формулу для
tg 2а, а Я. Герман в 1706 году — для tg(a-f-?). В 1705 году И. Ламберт
получил выражения для sin 2а и cos 2а через tg а. Следует отметить,
что в этот период изучение соотношений между тригонометрическими
•функциями было тесно связано с решением треугольников.
График функции sin x впервые начертил Роберваль в связи с
изучением циклоиды — линии, описываемой точкой окружности, катящейся
без скольжения по прямой линии. Английский ученый Валлис
правильно разобрал вопрос о знаках синуса во всех четырех четвертях и
отметил, что синусоида имеет бесконечно много полных оборотов. Часть
тангенсоиды, соответствующую первой четверти, начертил Дж. Грегори
<{1668 г.), а полный график тангенсоиды дал английский ученый Котес
в 1712 году. Хр. Гюйгенс доказал различные неравенства для
тригонометрических функций и с их помощью дал приближенные решения
задачи о спрямлении дуги окружности. С помощью своих формул он
получил значение к с девятью знаками.
До Эйлера всегда рассматривали не сами тригонометрические
-функции, а длины соответствующих отрезков числовой окружности
<при этом, чтобы не иметь дела с дробями, радиус окружности
принимали равным не единице, а числу вида 10"). Современный подход к
тригонометрическим функциям впервые появляется в книге Эйлера
377
4Введение в анализ бесконечно малых» (1748 г.). Важным достижением
Эйлера было то, что он рассматривал тригонометрические функции и
при отрицательных значениях аргумента. Исходя из известных ранее
формул для sin пх и cos л*, Эйлер вывел разложения функций sin jc и
cos x в ряды (см. гл. IX) и показал, как использовать эти ряды для
вычисления тригонометрических таблиц. Он рассматривал также
суммирование рядов синусов и косинусов, аргументы которых образуют
арифметическую прогрессию, а также разложения тригонометрических
ункций в бесконечные произведения (некоторые из этих результатов
ыли получены Эйлером еще ранее). Ряд результатов принадлежит
Эйлеру и в сферической тригонометрии.
Явно определил тригонометрические функции как отношения
сторон треугольника немецкий математик Г. С. Клюгель в 1770 году. Он
же впервые ввел само название стригонометрические функции».
Глава VI
СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 1. Степенная функция
1. Степенная функция с натуральным показателем.
Одним из наиболее важных видов функциональной
зависимости является степенная зависимость. Степенной функцией
называют функцию у=хп, где п — фиксированное число.
Иногда степенной функцией называют функцию более
общего вида у=ахп, где а и п — фиксированные числа.
Многие функциональные зависимости выражаются через
степенную функцию. Например, площадь квадрата является
степенной функцией от длины стороны: s = x2, объем куба
также выражается в виде степенной функции от длины ребра:
v=x?\ путь, пройденный телом за время t при равномерно
ускоренном движении, выражается формулой s = -x-\ если
газ расширяется или сжимается без теплового обмена с
окружающей средой, то его объем V и давление р связаны
формулой p=cV~k, где с и k постоянные; при том же
процессе давление связано с абсолютной температурой газа Т
формулой р=схТ k . В последних двух примерах мы
встретились со степенной зависимостью, показатель которой—
нецелое число.
Мы уже неоднократно имели дело со степенной
функцией. Сейчас мы сформулируем полученные ранее
результаты об этой функции и дополним их. Начнем со случая
степенной функции с натуральным показателем /г>Л. Мы
знаем о ней следующее:
1) Функция ц=хп непрерывна на всей числовой оси (см.
п. 8, § 3, гл. III).
2) Функция у=хп возрастает на полуоси 0<*< + °° (см.
п. 8, § 2, гл. III).
379
3) Функция у=хп четна, если п четно, и нечетна, если
п нечетно (см. п. 3, § 2, гл. III).
4) Производная от функции у=хп равна пхп~1:
(хпу = пхп~[
(см. п. 7, § 1, гл. IV).
Отметим, что возрастание функции у=хп при хуО было
доказано элементарными средствами. Его можно доказать
также, заметив, что при л:>0 выполняется неравенство
(хпу = пхп~1 >0.
Построим график функции у=хп при #>1 (при п=\ этим
графиком является биссектриса первого и третьего
координатных углов).
Функция у=хп определена на всей числовой оси. При
четных п график функции симметричен относительно оси
ординат, а при нечетных п—относительно начала
координат (см. свойство 3). Далее, производная (хпу=пхп-{ при
четном п отрицательна на полуоси — оо<д;<0, а при
нечетном п положительна на этой полуоси. Поэтому при
четном п функция у=хп убывает на полуоси — сю<л'<0, а
при нечетном п возрастает на этой полуоси (к тому же
выводу можно прийти, если учесть симметрию графика
функции у=хп и возрастание этой функции на
положительной полуоси).
Так как при *=0 мы имеем у=0, а при х=\ у=1, то в
силу возрастания функции у=хп при 0<лг<1 имеет место
неравенство O^jt^l, а при х>1—неравенство хп>\.
Поскольку при четном п функция у=хп убывает на
отрицательной полуоси и возрастает на положительной
полуоси, точка х=0 является точкой минимума функции y=x2k.
Функция y=x2k+l не имеет минимума при х=0, так как
она возрастает и при *<0, и при х>0. Отметим, что если
п>\, то производная функции у=хп обращается в нуль
при х=-0. Поэтому в точке х=0 кривая у=хп касается оси
абсцисс. При нечетном п кривая у=хп переходит в этой
точке с одной стороны касательной на другую.
Наконец, отметим, что вторая производная функции
у=хп равна у'' = п(п—\)хп~2. Если п четно, то *Л>0 и
потому кривая у=хп обращена выпуклостью вниз. Если же п
нечетно, то #"<0 при д:<0 и #">0 при *>0. Поэтому
кривая у = хп на полуоси х<0 обращена выпуклостью вверх, а
на полуоси х>0 — выпуклостью вниз.
380
На рис. 167 изображены графики функций у=х2, у=х\
а на рис. 168 —графики функций у=х*, у=х\
Рассмотрение рис. 167 и 168 приводит к следующему выводу: если
т<п, то на отрезке [0,1] имеем хт>хп, а при х>\ имеем хт<хп.
Иными словами, если т<п, то на отрезке [0,1] функция хп ближе к нулю,
чем функция хту а при х>\ она быстрее стремится к бесконечности,
чем хт. К тому же выводу можно прийти, не пользуясь графиками
функций (вообще говоря, не слишком надежным источником
информации о свойствах функций). Именно, если т<п, то при 0<*<1 имеем
хп-т < у а П0Т0Му
хп=хтхп-т < хт.
Если же х>1, то при пут имеем хп~т > 1 и
С помощью графиков степенных функций можно
графически решать алгебраические
уравнения. Пусть, например,
надо решить уравнение
*»—3*+1=0. (1)
Запишем это уравнение в
виде
д? = З-v—1. (Г)
Решая систему уравнений
Рис. 167
Рис. 168
за!
1
/
/
и
и
г
/1
/
\
У[
Г»
1
/
/
\
y=x3i
1 1
у-Зх-1
X
Рис. 169
мы получим для абсциссы
точки пересечения уравнение (Г)-
Поэтому для приближенного
нахождения х мы вычерчиваем
графики функций у = х* и
у=3х—1, находим точки
пересечения этих графиков и берем
абсциссы этих точек. Для
уравнения (1) из рис. 169 получаем,
что ххях—1,9, *2^0,35, *3«1,6.
Упражнения
1. Какое слагаемое в выражении
0,01*5 + 4x* + 3a2 + * + 7
дает наибольший вклад при больших
положительных значениях х?
Оцените, начиная с каких значений х это
слагаемое даст больший вклад, чем
все остальные слагаемые.
2. Какая из функций
у=х3, у=х7у у=х*, у=х2
меньше остальных на отрезке [0,5]
при достаточно малом о?
3. Начертите графики функций
у=ахп
при а = —2, л=3; а = —5, я=4;
я=2, я=3; а=^Б, я=4.
4. Начертите графики функций:
а) У = -3(х+2)4+4;
б) >г*=3(*—2)«+4;
в) у=4 (х— I)3—3.
5. Решите графически уравнение
** — х2 + 3* + 1 == 0,
предварительно начертив график функции у=хА.
6. Решите графически уравнение
х3 — 6х2 + х — 2 = 0,
предварительно начертив график функции у=х3.
2. Функции у = ^тг и их графики.
1
Рассмотрим теперь
функции у = -^, где п — натуральные числа. Эти функции
определены при всех значениях х, отличных от нуля.
Рассмотрим их сначала при #>0. Так как функция у=\п при
дс>0 возрастает с увеличением дг, то функция у =^7Г
382
убывает на луче (0, +оо). При этом
lim—*-=0 и lim —jt = + co.
JT-^oo Л JT-^ + 0
Иными словами, ось абсцисс является горизонтальной
асимптотой для графика функции у = —^ , а ось ординат—
его вертикальной асимптотой.
Наконец, как и для функций у=хп, график функции
у = —5jr симметричен относительно оси ординат, а график
функции у= 2fe+1 — относительно начала координат. На
рис. 170 изображены графики функций у=—$-, у=—г, а на
рис. 171—графики функций #=—, у=—. Мы видим, что
при увеличении п график функции у=—„— сильнее
«прижимается» к оси абсцисс при неограниченном увеличении
х и слабее «прижимается» к оси ординат, когда .г
приближается к нулю.
Упражнения
7. Начертите графики функций:
ч 3 ' — 2
а) У=~, о^~' в) У=-
(х—2)2 ' J (x+3)*
*>y=--r4iT*-; *)у= 4
(х+1)* ' ' J (х-3)*
8. Какое из слагаемых выражения
1,3 100
(х— I)2 (*+2)3 (* + 1)4
является сведущим» при больших значениях xl
9. В каких точках не определена функция
г- * + 3 - 10° *
* (JC—1)Я ^ (* + 2)» (* + 1)4
Исследуйте поведение этой функции около точек, где она не
определена.
10. Какое из слагаемых выражения
х-2 + (х-2)* + *
является ведущим в окрестности точки *=2? В какой окрестности
этой точки вклад ведущего слагаемого больше вклада остальных
слагаемых?
383
Рис. 170
Рис. 171
3. Функция 3> = j/~jc. В курсе алгебры мы определили
арифметический корень п-й степени из неотрицательного
числа а («Алгебра», гл. III, § 2, п. 1). При этом осталось
недоказанным, что из любого неотрицательного числа а
можно извлечь арифметический корень любой натуральной
степени. Сейчас мы докажем это утверждение.
Теорема. Для любого неотрицательного числа а и
любого натурального кисла п существует такое
неотрицательное число х, что хп=а.
Доказательство. Мы знаем, что Нтлл = +00- По-
этому найдется такое положительное число с, что сп > а.
Применим к функции у=хп и отрезку [0, с] теорему о
промежуточном значении. Так как 0<a«<crt, а функция у=хп
непрерывна, то найдется такое значение х, 0<х<с, что
хп = а. Теорема доказана.
Из доказанной сейчас теоремы вытекает, что для любо-
го натурального значения п существует функция х = у у ,
обратная к функции у=хп. Эта функция определена на
луче 0<#<оо. Как обычно делается, обозначим аргумент
через дс, а функцию через у. Мы получим функцию #=т/~х~,
заданную на луче 0~<*<оо. Если п — нечетное число,
#=2&-f-l, то эту функцию можно продолжить на всю
действительную ось, положив при х<0
2АЛ-1 2*+1
Ух = — У—х.
В случае же, когда п четно, n=2k, у обратной функции
есть вторая непрерывная ветвь, определяемая формулой
у = —у Х .
Поскольку функция у=уг~х обратна функции у=*хпу ее
график получается из графика функции отражением от
биссектрисы первого и третьего координатных углов. На
рис. 172 изображены графики функций у=}/~х, у=^/г~х. На-
рис. 173 изображены графики функций у = ±У х, у= ±ух,
причем одновременно изображены обе ветви обратной
функции.
Свойства функции у=У х легко получаются из уже
известных нам свойств функции у=хп.
25 Заказ 2541 385
у
i
OJ
-
!
i
1
1
*
-у
~У
-fc ,
= \/х "
1 •
| ■
i
|
1
i
!''
Рис. 172
1). При нечетном п функция у = у х определена на всей
числовой оси. При четном п она определена на
положительной полуоси О^Сх< оо.
2) При нечетном п областью значений функции у—у^х
является вся числовая ось. При четном — полоэюительная
полуось О <; х < оо.
3) Функция y=V x монотонно возрастает.
4) Функция у =У х непрерывна.
Заметим, что, чем
больше пу тем медленнее воз- \щ
растает функция у=^х,
когда х-> + оо, и тем
сильнее «прижимается» ее
график к оси ординат, когда
Упражнения
1. Начертите графики
функции:
а) у = — 2 У х—1 ;
б) у = 2 /x-f-8;
в) у=УТГ\;
г) у=У^Тъ + V &-х-
Рис. 173
386
12. Какое из слагаемых выражения
х2 У~х +У (х—I)17 -4- х3 Y*
является ведущим при больших значениях х > О?
13. Найдите области определения следующих функций:
1 1
л)у=Ух-2+ /5-,; б)у=_+^_.
14. Какое из слагаемых выражения
Y~x^b + (*—3) + У~х^3
является ведущим в окрестности точки ,*=3?
4. Степенная функция с рациональным показателем.
1 пг—
Изученные нами функции у=хп, у = -рг~> У = У х
являются частными случаями функции у=хгу где г
—рациональное число. Эти случаи соответствуют значениям г вида п
—п и — (п — натуральное число). Рассмотрим теперь
функцию у=хг с любым рациональным значением
показателя г, г =—. Мы будем рассматривать эту функцию лишь
при неотрицательных значениях аргумента х\ Она
определяется формулой
р
У = х
= [у Х) .
Свойства функции у=хг таковы:
1) При г>0 функция у=хг определена на полуоси
0<дг<оо, а при г<0— на полуоси 0<*<схэ.
2) Областью значений функции у*=*хг при г>0 является
полуось 0<у<оо, а при г<0 — полуось 0<у<оо.
3) Если г>0, то функция у=хг монотонно возрастает,
а если г<0 — монотонно убивает.
4) Если г>0, то lim хТ = + оо, Нт хг = 0.
£с./ш rvee r<0, /яо lim лгг-=0, lim xT = + °°.
1 Иногда при нечетном значении q определяют функцию y=xp'Q
и для отрицательных значений х. Однако это нецелесообразно, так
как тогда мы имели бы, например, что функции у = х^* и у=х*/л
обладают разными областями определения: функция у=хЧ» определена
при — оо < х < оо, а функция у = х*^6 лишь при 0<*<оо.
25* 387
5) Функция у=хг
непрерывна во всей области
определения.
На рис. 174 изображены
графики функции у=хг при
___2_ _£
г ~ з ' з ■
Упражнения
15. Найти области определения
функций:
а) у=У~х^Ц) + /16—*2 ;
б) у=
Рис. 174
16. Доказать, что функция
У х+А - /л:
в) 0=
Ух-|/"Зх-2 *
if=x-2Kx
возрастает на луче х>1.
17. Начертить графики функций:
а) 0=/<*-2)«;
Д) У=з
1
б) (/=}/" (Х-2)3;
В) */=^" (*-2)2 + V (*+2)* е> У=8
/(*-2)«
1
1
г) г/=у" (Х-_2)2-^(^+2)2;
7 (*-2)« 7(^+2)2
1 1
7(^-2)2 т/(* + 2)1
5. Вычисление пределов иррациональных функций.
Найдем предел
Нт(угл;2+4—х).
JC-v-foo
Для этого умножим и разделим функцию на выражение
V*2+4+дг, сопряженное с |/"x2-f-4—х. Получаем:
1- /1/^2 ■ /I «Л 1- (У~Х*+А — Х) (V~XT+T+ X)
lim (у х2-\-4—.г) = lim — 7 vr !—•—— =
д:-> + оо лг-^ + оо У ха+4+ х
t. *2+4—л:2 1# *
= lim -7==== = lim
jc->+ со / *2+4 +х х^+ео / **+4+ **
388
Так как знаменатель дроби стремится к бесконечности
при л-^ + оо, то имеем:
lim (}/х2+4 — х) = 0.
Отметим, что lim (\/х2+4 — х) = + °°-
Аналогично вычисляется предел
lim (/лЧ2*+3-*) = lim ^72^^-Г1^^^3 + *>~
2л:+3
= lim - .
^ + оо /x2 + 2x + 3+ х
Разделим числитель и знаменатель дроби на х и внесем
— под знак корня. При *>0 имеем х =у х2 и потому
2+JL
,. 2х+3 ,. * «
lim ■ . — lim — =— = 1.
х_++00ух*+2х+г+х ^+~iA+JL+_i+i
Значит,
lim (У х2+2х+3—х) = 1.
Упражнения
18. Вычислить следующие пределы:
a) llmfr **+*-;
ЛГ-^оо Х + 2
б) lim
- + ~ /*»+* +1
l/ V-2-L1
в) lim r у— (рассмотреть отдельно случаи
ч Г *»+Зх+1
г) lim g-
х-+±ооуГ *3_2x2+3
д) lim (V^+T - jTx^T);
e) lim (yV+x+1 - ^^Г17+Г);
JT-V±00
ж) lim (/1—х3 + x);
JT-*±oo
369
з) lim x(V x*+\ — xy,
X -v + oo
и) lim [*T — (x2-l)TJ.
ЛГ-* + oo
19. Определить числа а и b так, чтобы
lim (y^l-*3—ax—&)=0.
§ 2. Показательная функция
1. Показательная функция на множестве рациональных
чисел и ее свойства. Зафиксируем в выражении ат
основание степени а и будем менять показатель степени г так,
чтобы он пробегал множество R всех рациональных чисел.
Мы получим функцию у=аг, заданную на множестве R.
Так как переменное г стоит в показателе, то эту функцию
называют показательной. Рассмотрим некоторые свойства
показательной функции (заданной на множестве
рациональных чисел).
1) Все значения функции y=ar, r£R положительны.
В самом деле, при любом а>0 мы имеем я^>0. С дру-
JL
гой стороны, если 6>0, то угЬ>0. Поэтому а ч =>/" ар > 0.
При а = 1 все значения функции у=аг равны 1.
2) Имеют место равенства:
а) (afty-a^; в) aras=ar+s. д) (а'У = а".
°>\ ь ) ьг> г)— = а
Свойства а) — д) доказаны в книге сАлгебра» (гл. III, § 2, п.З).
3) Если а>1, то функция у=аг возрастает^ а если
0<а<1, то она убывает. При # = 1 функция у=аг
постоянна.
В самом деле, мы знаем, что если а>6>0, то при г>0
имеем aTybr. В частности, если г>0, то при а>1
выполняется неравенство аг>1г = 1.
Чтобы доказать возрастание функции у=аг при а>1,
возьмем два рациональных числа гх и г2 такие, что гх<г2.
Тогда имеем
ar2 _ art = art (ars-r, _ J)
390
Ho r2—гх>0 и а>1, а потому аг*~г*—1>0. Тогда и
art —агг >о. Это и означает, что функция у=аг возрастает
при а>1.
Пусть теперь 0<а<1. Тогда —>1, а значит, функция
у = (—] возрастает. Но тогда функция
убывает.
Упражнения
20. Что больше: (3,2)~7 или (3,2)~4?
21. Расположите в порядке возрастания числа: (0,45)~3 (0,45)"1,
(0,45)о, (0,45)*.
22. Что больше: 2~7»5 или (0,25)3'75 ?
23. Без подробных подсчетов определите, что_больше:
а) (/2+?Т)3'5 или (/^TFT)~3,5 ;
б) (]/2~/Т)"8 илил(1/2-КТ)~2;
в) (/г+ТТ)2'5 или [Уг^/Т)~2'5 ?
2. Степень с иррациональным показателем. Мы
определили показательную функцию пока что лишь на
множестве R рациональных чисел. Теперь мы хотим определить
эту функцию на множестве D всех действительных чисел.
Для этого надо определить понятие степени с
иррациональным показателем.
Разберем сначала случай, когда основание степени а
больше, чем 1. В этом случае функция у = аг на
множестве R рациональных чисел возрастает. Естественно
поэтому определить для иррационального числа х степень ах
так, чтобы ах было больше всех чисел аг, где г<х, и
меньше всех чисел аг, где г>х. Иными словами, ах
должно лежать между числами аг, г<х, и числами аг, г>х.
Выясним, можно ли так определить ах и однозначно ли
это определение.
Обозначим множество чисел вида аТу г<Сх, через А, а
множество чисел вида ат> г>х, через В. Если аг* £А,
аг* £ В, то гг<х<г29 а потому аг*<аг*. Таким образом,
множество чисел В расположено правее множества чисел
391
А. Но тогда, как мы знаем, существует по крайней мере
одно число, разделяющее множества А и В.
Мы доказали существование числа,
удовлетворяющего поставленному выше условию: быть больше всех
чисел ar, r < х, и меньше всех чисел ат, г>х. Можно
также доказать, что это число однозначно определено.
В силу п. 8, § 2, гл. I для однозначной определенности ах
достаточно выполнения следующего условия:
Для любого е>0 найдутся такие рациональные числа гх и г2, что
rt<x<r2 и аГг — aTl < е.
Числа гх и Гг строятся так. Для любого натурального п найдутся
ill JL
« / /4-1 / /4-1 Х с П П
такие дроби— и _L_, что— < х < 'Л__ . Ясно, что а —а =
п п п п
—а п (а п — 1). Но lim а п = 1, так как по неравенству Бернулли а п —-1 < а—.
■!- I -*-
Множитель же а" ограничен, так как — < х и поэтому а п < аг, где
г—любое рациональное число, большее, чем х.
/+1 ±
Таким образом, а п—ап является произведением двух
множителей, один из которых ограничен, а второй стремится к нулю при
ill J-
/i->oo. Но тогда и ап—ап стремится к нулю, когда п-+оо. Значит,
i±_i J_
при достаточно большом п имеем: а п *—а п < е. Отсюда вытекает, что
ах однозначно определено.
Мы определили понятие степени с иррациональным
показателем при а>\. Для случая 0<а<1 оно определяется
точно так же, но множества А и В меняются местами: А
состоит из чисел аТ, г>х; В состоит из чисел аг, г<х.
Упражнения
_VJ
24. а) Что больше: 2М1 или (0,25) 2 ?
з
б) Сравните по величине степени З'8 и 3
25. Положительна или отрицательна разность
1 Следует иметь в виду, что при изменении п числитель / тоже
меняется. Поэтому было бы точнее писать не /, а /(л).
392
3. Показательная функция на множестве действительных
чисел. Для любого положительного числа а и любого
действительного числа х мы определили значение ах. Если
считать а фиксированным и х переменным, то получим
функцию у=ах, определенную для всех действительных
значений. Ее называют показательной функцией на
множестве действительных чисел. Мы будем в дальнейшем
говорить просто «показательная функция».
Установим свойства показательной функции:
1) Показательная функция определена на множестве
всех действительных чисел.
2) Все значения показательной функции
положительны.
В самом деле, пусть а>\ и х — действительное число.
Возьмем рациональное число г, меньшее ху г<Сх. Тогда
0<аг<ах. Аналогично разбирается случай 0<#<1.
3) При а>1 показательная функция возрастает, при
а<\ она убывает, а при а = \ постоянна.
В самом деле, пусть а>\ и Х\<х%. Если хх и х% — рациональные
числа, то неравенство а х < а * вытекает из свойства 3)
показательной функции на множестве рациональных чисел. Если хг —
рациональное число, а л2 —иррациональное число, той ' < а * по определению
а *. Точно так же доказывается неравенство а х < а** для случая,
когда хх иррационально, а х2 рационально. Наконец, если оба числа
Xi и #2 иррациональны, то выберем рациональное число г, лежащее
между х\ и х2- Мы получим, что а 1 < аг < а 2.
Случай 0<#<1 разбирается точно так же. При а=\ имеем ах=\.
4) При а>\ имеем lim ах= + сю, а при 0<а<1 имеем
X —»--f- оо
lim ax=0.
В самом деле, пусть М>0—любое число. Так как при а>\ имеем
lim an=-\roo, то найдется число N такое, что aN >М. Тогда при х > N
П-+оо
имеем ах > aN >М. Это и значит, что lima*= + oo. Случай 0<я<1 раз-
ЛГ-»-оо
бирается аналогично.
5) При а>1 имеем lim ax = О, а при 0<а<1 имеем
lim ax= + co.
Доказывается точно так же, как свойство 4).
393
6) Функция у=ах непрерывна при всех значениях х.
Нам надо доказать, что для любого х0 и для любого е>0 найдется
такое Ъ, что из неравенства | х—х0 \ < В вытекает J ах—ах* \ < е. Мы уже
знаем, что существуют такие числа — и tJL_, что _ < х0 <
п п п п
и | а" —а"| < е (это доказано лишь .цля иррациональных значений
хр но доказательство без изменений переносится на случай, когда
хл — рациональное число).
Так как функция у=ах возрастает при а>1, то для любых чисел
хг и *2, лежащих на отрезке —, -—_], тем более выполняется нера-
L п п \
венство |#а — а 1 \ < е. Возьмем настолько малую окрестность
(*о — &» *о+^) точки х0, чтобы она целиком лежала на отрезке
/ /+1
ti](p,,
с. 175). Тогда для любой точки я этой окрестности имеем:
\ ах—а °| < е. Это и значит, что функция у=ах непрерывна в точке
х=х0. Так как х0 — любая точка, то у=ах непрерывна при всех
значениях х.
Случай 0<#<1 разбирается точно так же.
7) При а>0, аф\ функция у=ах принимает любое
положительное значение.
В самом деле, пусть 5— положительное число и пусть а>1. Так как
Urn ах=+оо и lim ах=0, то найдутся такие числа Xi и *2, что а * < s
Х-++ оо Х-*- — оо
Хй
и а > 5.
Так как функция у=ах непрерывна на отрезке [хи х2], то по
теореме о промежуточном значении (см. стр. 192) найдется такое число х,
что ax=s.
Случай 0<я<1 разбирается аналогично.
Доказанных выше свойств функции у=ах достаточно,
чтобы построить ее график. При а>1 он имеет вид,
изображенный на рис. 176а, а при 0<а<1 — вид, изображен-
1 т
п х п
н—н*-4 h *-
х0-6 х0 х0+6
Рис. 175
394
У\
0
I
a>1 j
4i(oti)
X
a
Рис. 176a
ный на рис. 1766. Так как при любом а=^0 имеем а°=1,
то графики всех функций #=#* пересекают ось ординат в
одной и той же точке Л1(0, 1).
Упражнения
26. а) Определите знак а, если (-«-) = 2.
б) Определите знак числа а—1, если а~0,3* 2 = 5.
27. (0,37)а < (0,37)Р. Что больше: а или р?
28. Можно ли найти такое значение х, чтобы выполнялось
равенство:
rtsin*j:
2 " Л = sin х?
29. а) Постройте на одном чертеже графики функций у=2х и у=Зх
при —1<#<1 (масштаб: 1 единица — 5 см).
б) Наметьте на одном чертеже графики функций:
0=2*, $/=3-2*, 0=0,8-2*,
0=3-2*. 0 = — 0,8-2*.
30. Как по графику функции 0=с-а* определить основание а и
коэффициент с?
31. Докажите, что для любой показательной функции ((х)=сах и
любой геометрической прогрессии blt b2, b9, ... с положительными
членами найдется такая арифметическая прогрессия хъ х2, *з> •••» чт<>
для всех п будет f(xn)=bn.
395
32. Решите следующие уравнения, пользуясь, где это необходимо,
графиками показательных функций:
а) 5*=25;
б) З1"^ =81;
в) 2^=0,125;
г) 2*=0,4;
д) 52<=5;
е) 6 = 1;
ж) 4*=8;
з) 8*= 10;
и) 83-2* = 14;
X
к) 0,01^ = 70;
л) 36* = JL.
7
4. Свойства степеней с действительными показателями.
Для степеней с любыми действительными показателями
остаются верными основные свойства степеней,
выражаемые равенствами:
а) (аЬу= а*Ь*\ в) ахаУ =(*+у . д) (о*)* = а**.
(ft (±-Y -JL- ч ах х-у'
Справедливость этих свойств для любых действительных показателей
легко получается из того, что они справедливы для рациональных
показателей, и из непрерывности показательной функции.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если функция f(x) непрерывна в точке а и хъ х2, ..., хп,... —
последовательностьf сходящаяся к а, то lim f(xn)=f(a).
Л-*-оо
Доказательство. Зададим любое е>0. Так как функция f(x)
непрерывна в точке я, то найдется такое &>0, что из неравенства
\х—а\<Ъ вытекает неравенство |/(х) — /(а) | <е. Так как lim xn=a, то
найдется такое N, что при n>N \xn—a\ <Ь. Но тогда при n>N и \f(xn)—
—f(a)\ <е- Итак, для любого е>0 нашлось такое N, что при n>N
выполняется неравенство \f(xn)—f(a) | <е. Это и означает, что lim f(xn)=f(a).
Лемма доказана.
Докажем теперь, что (ab)x=axbx. Для этого выберем
последовательность рациональных чисел гь rg,..., гл,..., сходящуюся к числу х: lim rn—x.
Л-*оо
Т Г Г
Для любого п(аЪ)п—ап Ъп. Кроме того, в силу непрерывности показа-
тельной функции и доказанной выше леммы, lim(afc) n=(ab)x, lim a п=ах,
lim Ьп = Ьх. Поэтому (ab)x=\im (ab) rt = lim (апЪя)=\\т a "Urn bn=axbx.
Л-*00 Я-* 00 /l-*00 /Z->00 П-+- 00
Докажем еще свойство в), называемое теоремой сложения для
показательной функции (оно выражает значение показательной функции для
суммы двух аргументов через ее значения для самих аргументов).
396
Выберем две последовательности рациональных чисел rlt r2,..., гп, ... и
г s г s
5Ь 5г sn, ..., такие, что lim rn=x и lim sn—y. Так как а па п=а п^~ п ,
Л-*О0 П->ос
г s г s г _[_<,
то мы имеем flV = lim a n lim а п = lim (а па л)=Пт а п п —ах+У.
П-^-со П-+со П-*- оо П-*-ао
Точно так же доказываются остальные соотношения.
§ 3. Логарифмы и логарифмическая функция
1. Определение логарифма. Для различных целей
(например, для упрощения вычислений) оказывается полезным
представлять числа в виде степеней одного и того же
основания а. Это возможно благодаря доказанному выше
свойству 7) показательной функции: если а>0 и аф\, то
функция у=ах принимает все положительные значения.
Таким образом, любое число &>0 может быть
представлено в виде степени аа. Поскольку функция у=ах при аф\
монотонна, то из ххфх2 следует, что ах*Фах*. Поэтому
показатель а, для которого аа = Ь, однозначно определен.
Этот показатель а называется логарифмом числа Ъ при
основании а и обозначается loga6. Таким образом,
равенства аа = Ъ и a=logflft равносильны.
Определение. Логарифмом числа Ъ при основании
а называется показатель степени а, в которую нужно
возвысить основание а, чтобы получить число Ъ\
а- = Ъ. (1)
Например, log28=3, так как 23=8; log2-j- = —2, так как
9—2 L
Отметим еще раз, что в качестве основания логарифмов
может быть выбрано любое положительное число,
отличное от единицы.
Равенство (1), выражающее определение логарифма, „
можно записать в виде
alogab - b. (2)
Эту формулу называют часто основным тождеством
теории логарифмов.
Логарифмы по основанию е называют натуральными
логарифмами и обозначают In (1—логарифм,
п—натуральный). Таким образом, ln& = log^6.
397
Логарифмы по основанию 10 называют десятичными и
обозначают \gb\
lgfe = log106.
Упражнение 33. Вычислить:
*> l°gj_64; в) ,Ogl000^T0; 410^8
б) log3/243; г) 1с«я^®; 3
2. Логарифмическая функция. При данном основании а
логарифм числа зависит от этого числа. Рассмотрим эту
зависимость подробнее.
Определение. Функция y = \ogax, где а — данное
положительное число, не равное 1, называется
логарифмической функцией,
К логарифмической функции можно свести все те зависимости,
которые сводятся к показательной функции. Причина этого
непосредственно видна из определения логарифма: равенство у=ах можно
записать в виде x=logay; поэтому если одна из двух величин есть
показательная функция другой, то вторая величина есть логарифмическая
функция первой. Таким образом, логарифмическая функция есть
функция, обратная показательной (и наоборот). Это означает, что
показательная и логарифмическая функции описывают одни и те же
реальные явления. Рассматривая каждое такое явление, мы придем к
показательной или к логарифмической функции, смотря по тому, какую из
участвующих в нем переменных,величин будем считать независимой, а
какую — зависимой.
Так как функции у=ах и y = logax обратны друг другу,
то график логарифмической функции y = logax симметричен
относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов графику показательной функции у = ах с тем же
основанием.
Поэтому, зная вид графика показательной функции,
* легко построить график логарифмической функции (на
рис. 177 схематически изображены графики
логарифмических функций с основаниями а>1 и а<1).
3. Свойства логарифмической функции. Так как
логарифмическая функция обратна показательной, то ее
свойства вытекают из свойств показательной функции.
Сформулируем эти свойства для случая а>\.
1) Функция y=logax определена при *>0; нуль и
отрицательные числа не имеют логарифмов.
398
Рис. 177
Свойство 1) вытекает из того, что все значения
показательной функции х=аУ положительны: аУ>0.
2) Областью значений функции y=\ogax является вся
числовая ось. :
Свойство 2) вытекает из того, что показательная
функция определена на всей числовой оси.
3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания
равен единице: logfll=0, logfla=l.
Свойство 3) вытекает из того, что а°=1, аг=а.
4) Функция y=logax (а>1) возрастает. В самом деле,
при а>1 функция х=аУ возрастает. Поэтому если у^уг,
то аУ*<аУ*, и обратно, если а?* <аУ*, то yY<y2. Но это и
означает, что если ^!<jc2, то logex1<loge^, а потому
логарифмическая функция y=logflJt возрастает.
Из свойства 4) вытекает, в частности, что если а>1, то
при *>1 имеем logfl*>0, а при 0<х<1 имеем logfl*<0.
Иными словами, при а>\ логарифмы чисел, больших
единицы, положительны, а чисел, меньших единицы,
отрицательны.
5) Имеет место равенство lim logfl*=-foo. Это вытекает
из того, что \\тах=-\-оэ.
6) Имеет место равенство lim logflx=—«о. Это вытекает
из того, что lima*=0.
399
При 0<а<1 сформулированные выше свойства 1), 2) и
3) логарифмической функции y=:logax остаются
справедливыми. Последующие же свойства логарифмической
функции в этом случае будут иными:
4') Функция logfl*(0<a<l) убывает.
Отсюда следует, в частности, что если 0<а<1, то при
х>1^имеем logflx<0, а при 0<х<1 имеем logfl*>0.
50 limlogfl*= — сю (0<а<1).
6') limlogfl*=+oD (0<а<1).
Упражнения
34. При каких значениях х справедливы неравенства:
а) log7*<log72x; r) log.rl/"2"<logjrl,2;
б) log0i6*>logoi5-i.; д) log^sinJL < log, sinJL;
в) \ogjfiK\ogjfi; e) log,, (0,3) > log*3?
35. Что больше: \ogaN или log l N, если;
a) a > 1; 6) a < 1?
36. Что больше: \oga N или loga—, если:
N
а) a> 1, N > 1; в) a > 1, 0<N<\;
б) a<\, N> U г) а < 1, 0<Af<l?
При вычерчивании графика функции вида y=loga(bx+c)
обычно сначала находят область определения этой
функции. Для этого надо решить неравенство Ьх+с>0. Далее
ищут точку пересечения графика с осью абсцисс. Так как
logfll=0, то для этого надо решить уравнение Ьх+с=1.
Наконец, полезно найти точку, где у=1. Так как logfla=l,
то^для этого надо решить уравнение Ьх+с=а.
Построим, например, график функции #=log (3 — 2х).
Т
Решая неравенство 3—2*>0, получаем, что область опре-
з
деления этой функции задается неравенством *<-^-.
Чтобы найти точку пересечения графика с осью абсцисс,
решаем уравнение 3—2х=\. Из него получаем х=1.
400
Полагая ж=0,
находим, что у = log ^=1.
Т
Итак, график
функции проходит
через точки А (0, —1),
5(1,0) и имеет
вертикальную асимптоту
х= -ty- . Он изображен
на рис. 178.
Отметим, что
функция y=log { (3 — 2х)
Т"
возрастает, так как
#=log и и # = 3—2х—
1Г
y = Log^(3-2x)
Рис. 178
убывающие функции.
Упражнения
37. Найдите области определения следующих функций:
a) </=log t (4* - 8); г) у= log { (4х + 6);
б) y=logn(8-2*);
в) #=log6(—4*—6);
Д) У = log2 (* — 4) + log 1 (4-х),
2"
38. Начертите графики функций из упражнения 37.
39. Начертите график функции
#=log2 (х—4) + log2 (8-х).
40. Какая из функций t/=log3x, J/=log2* быстрее возрастает, когда
х-> + °°? Какая из этих функций больше на промежутке 0<х<1?
41. Решите те же вопросы для функций y=\og х\
y=logxx.
42. Постройте графики функций:
б) #=| logs* |;
з
a) y=\ogx |x|;
в) y = \\og9(x-2)\.
4. Логарифмы и алгебраические операции. Дальнейшие
свойства логарифмической функции позволяют выразить
логарифмы произведения, частного, степени *1ерез
логарифмы компонент действий.
26 Заказ 2541 401
1) Логарифм произведения положительных яисел равен
сумме логарифмов сомножителей:
loga(bc) = logab + logac. (1)
В самом деле, пусть а — положительное основание, Ь и с—
любые положительные числа. Обозначим logab через В, а
\ogac — через т- Тогда Ь=а? и c = at. В силу свойства
ахаУ=ах+у показательной функции имеем:
be = а? ат = a?+t.
Это равенство означает, что loga (&^) = Р+т- Н° P = logfl&,
T = log^. Поэтому logfl (be) = \ogab + \ogac.
Формула (1) показывает, что, поставив в соответствие каждому
числу *>0 его логарифм \ogax, мы получаем взаимно-однозначное
отображение множества D+ положительных действительных чисел на
множество D всех действительных чисел, при котором операция
умножения в множестве D+ переходит в операцию сложения в
множестве D.
Аналогично доказывают и следующие два утверждения.
2) Логарифм частного положительных яисел равен
разности логарифмов делимого и делителя:
^ga— = logab — logac. (2)
В самом деле, если logab=$9 logac = i, то b = a$, c = a} , и
потому
Это и означает, что
Jogfl— = Р — т = loge6 — bgac
3) Логарифм степени положительного основания равен
произведению показателя степени на логарифм основания
степени:
log^=alogfl6. (3)
В самом деле, пусть logfl6=p. Тогда Ь=а?, и потому
fr = (а? )а = а^.
Но это и означает, что
logfl&a = ap = a logfl6.
Отметим частный случай формулы (3). Если а = —,
402
1
то 6* = b = |/ b , и потому формула (3) принимает вид:
totaVT = \\agj>. (3')
Таким образом, имеем:
3') Логарифм корня из положительного числа равен
логарифму подкоренного выражения, деленному на
показатель корня.
5. Логарифмирование и потенцирование. Если число х
представлено в виде некоторого алгебраического
выражения, содержащего числа а, 6, ..., то «прологарифмировать»
это алгебраическое выражение — значит выразить логарифм
числа х через логарифмы чисел а, 6, .... Например, лога-
рифмируя выражение х=—~^— при произвольном осно-
с
вании а, получаем:
logu* = 2 logam + -у- logab—д- logac.
Отметим еще раз, что при логарифмировании действия
умножения, деления и возвышения в степень заменяются
соответственно сложением, вычитанием и умножением, то
есть более простыми действиями. Действия сложения и
вычитания каких-либо чисел уже не могут быть сведены
к действиям над их логарифмами: логарифм суммы не
выражается непосредственно через логарифмы слагаемых.
Нахождение положительного числа по его логарифму
иногда называют потенцированием1. Пусть, например,
foge* = 3 bgem—г log jt +2. (1)
Применяя правила логарифмирования и учитывая, что
2 = 2 \ogaa = \ogaa2, получаем:
mza2
logfl*=loga-47=-- (2)
у П
Но если два числа имеют равные логарифмы, то эти числа
1 Потенцирование есть не что иное, как возведение основания а
в степень с показателем \ogaN.
26*
403
равны друг другу. Следовательно, из равенства (2) ПОлу-
чаем х = А
у п .
Упражнения
43. Зная, что lg 2=0,3010, lg 3=0,4771, найти lg 75.
44. Является ли равенство
logfl (**-4)=logfl (*-2) + \oga (*+2)
тождеством? В какой области оно тождественно выполняется?
45. Является ли тождеством равенство
logfl | *2-4 | = logfl |*-2 | + logfl | х+2 |?
46. Прологарифмируйте по основанию а следующие выражения:
а)л;=|Г
a4sVlh _ Um*Vb+c
ь*+с* ' в} х „4 Уь=Ь '
б) х=у Ъ VWT; 5
)ху
а*Ь~3 с*Ут+п
1_ ■
-з 8
d у
47. Прологарифмируйте выражение х = 27Ьъс* ]А27+г:
а) по основанию 3; б) по основанию 7з-
48. Найдите х, если:
а) logfl х -=-L | \ogab - A- \ogac + logfld + 4J;
б) logfl x =± { \ogay + -|- [ logfle-2J};
в) Iogfl*=3 |-1 \ogay + -L [ logflz - -L (log^-£ 2 logflay)]}.
6. Связь между логарифмами при разных основаниях.
Выясним, как связаны между собой логарифмы одного и
того же числа х при различных основаниях а и Ь. По
определению логарифма (см. п. 1, основное тождество (2),
имеем: bogbX = x. Точно так же имеем: aogaX-=x. Отсюда
следует, что
b{ogbX = aogaX.
Прологарифмируем обе части этого равенства по
основанию а. Так как logfla = l, то получаем, что
logfl6 log** = logax.
404
Для удобства применения запишем это равенство в
следующем виде:
■w-egr- (1)
Формула (1) есть формула перехода от
логарифмов при основании а к логарифмам при основании Ъ. Она
показывает, каким образом можно находить логарифмы
чисел при любом основании &, если мы умеем находить
логарифмы чисел при каком-нибудь одном основании а.
Отметим, что при цереходе от основания а к
основанию Ь логарифмы всех чисел #>0 умножаются на одно и
то же число т = -.—=- (не зависящее от х).
Другими словами, логарифмы всех чисел при одном
основании пропорциональны логарифмам этих эюе чисел при
любом другом основании.
Геометрически это означает, что график любой логарифмической
функции y=\ogbx получается из графика любой другой
логарифмической функции y=logax растяжением (или сжатием) относительно оси
абсцисс; коэффициентом растяжения (сжатия) служит при этом число
Полагая в формуле (1) х=а, получаем, что
й^ь- - log»a-
Обозначая в формуле (1) logfl& через т, то есть полагая
Ь=ат, можно записать эту формулу в виде:
logamX=-±-logax. (2)
Таким образом, формула перехода от одной системы
логарифмов к другой может быть сформулирована
словами следующим образом: при возвышении основания
логарифмов в степень т логарифмы всех чисел уменьшаются
в т раз,
В частности, log хх = — logflx, то есть при замене основа-
а
ния логарифмов обратным ему числом логарифмы всех
чисел меняют свой знак, не изменяя своей абсолютной
величины. Из формулы (2) следует, что
\OgamXm = l0gfl*.
405
Упражнения
49. Доказать, что
50. Что больше: log x 2 или logs —?
51. Доказать, что
Я) tegaN + ^Ё7^ + ~^JN + loga< N + l^i^N = 15 l0gA,a;
6)i°g0l...« *= —i - г—; *
1 +... + !
l°ga,* 'oge„ x
в) \ogaN \ogbN + log^ log^+log^ logaiV= ^gaN^gbN\ogcN
l°8abcN
52. Зная, что log62=#, loge5=fc, найти log35.
53. Зная, что log!22=#, найти loge16.
54. Зная, что log102^ 0,301, найти log10125.
55. Доказать, что если а и Ь—длины катетов, а с—длина
гипотенузы прямоугольного треугольника, то
\ogb+ca+\ogc_ba=2 \ogb+ca \ogc_ba.
56. Упростить выражения:
а) logflJL+ logfl^+...+logfl-2±L;
б) (\ogba - \ogab)* + (log ± a — \ogai bf + ... + (log ^a — log^2„ bf\
b 2 Ь^л
lo&b l°Sb a
log*, a
в) а
§ 4. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций
1. Пределы, связанные с числом е. Мы определили
число е формулой
.-иш(и4Г, <"
п—*~ оо
где п ~натуральное число. Теперь, когда понятие степени
обобщено на любые действительные показатели, естест-
(1 \х
1-|—) . Если х
X '
стремится к бесконечности, пробегая лишь натуральные
406
значения, то из формулы (1) следует, что предел функции
/ 1 \х
j 1_1—J равен е. Мы покажем, что тот же результат
получается, когда х стремится к бесконечности произвольным
образом, пробегая любые действительные значения, как-
положительные, так и отрицательные. Иными словами, мы
хотим доказать равенство
llm(l+i)*-e. (2)
Сначала рассмотрим случай, когда *->- + оо. Пусть х— любое число,
большее 1. Обозначим через п целую часть х: п=Е(х). Тогда /г<х</г+1
и, следовательно, < — < Из неравенств п<х и < —
/1+1 X П ' /2+1 X
( \ \п / \ \х 11
вытекает, что 1 + \ < 1+—\ . А из х<п+\ и — <— следует,
V я-г1 ; V х ) х п
™('+т)*<СЧ-Г'
Итак,
1 *"' (3)
(1+^Г <('+4-)*«(1+-г)
lim (l+-L\"+' = lim U + ±Y • Um (l+l-\ = e ■ 1 = e.
Точно так же доказывается, что
1 \п
^(1+йт)=в- (5)
Когда х-> + оо, то и л-^оо. Из соотношений (3), (4), (5) и теоремы
о пределе промежуточной переменной следует, что lim (l+_L\ = е.
ЛГ-*+оЛ X )
Теперь рассмотрим случай, когда х-*—ж. Положим х = — t. Когда
Х-*- — оо, ТО *-* + оо И
lim (l+_Lr = lim (1-4-Г'=Нт (ЫГ' = lim (J—Y =
Итак, и lim (l+—] = е. Отсюда и вытекает соотношение (2).
ЛГ + -00 \ X )
407
Формула (2) лежит в основе вычисления многих
пределов. Прологарифмируем обе' части равенства (2) по
основанию е:
1=1п * = 1пНт(1+-Д*. (6)
Так как функция у=1пх непрерывна, то при а>0 имеем:
liuz=lim In*. Поэтому из равенства (6) следует, что
х-*а
l=limln(l+-i-f,
или, иначе,
limxln (1+4) =1- (7>
Если положить х=—9 то при *-^оо имеем t^O. Поэтому
равенство (7) можно записать так:
,,ШЛ£М. . ,. (8)
Введем новую переменную г, положив г=1п (1 + 0- Тогда
t = ez—1. Кроме того, г-^0, если /-►О. Поэтому из формулы
(8) следует, что
Z-+0 е 1
Покажем, как применяются формулы (2), (8), (9) для вычисления
некоторых пределов.
1) Вычислим предел
/ 2х+5 у
\ 2*+1 J
\ 2х+\
Имеем:
f 2х+5 \*+*_/1л_ 4 \^+'. /|Х 4 \2f+J 2FTT
l"2FFTj -11+2FhJ -[11+2FFTJ 4 J
Положим = г. Ясно, что при х->оо имеем z-*0. Поэтому
2лт+1 ^
Лт.(1+2ят)4 -'!» о+*)7-«•
Так как, далее,
4<*+*> = Цт 4(1+~)=?2,
Пт _^^ —
408
то
2) Предел
1lm ln(l+sin4x)
х-+0 Ъх
вычисляется так:
ln(l+sin4x) _ In (l+sin4x) # sin Ax # 4jc
ox sin 4л: 4х ох
По формуле (5) имеем:
lim Ml+sin4*) = ^ так как ^0 sin 4jc^0
х-+о sin 4л:
Кроме того, lim sin4* - 1. Поэтому
лг-о 4х
Ит 1пП+8!п4х) = Iim ln(l + sin4*) ^ llm sin 4* . Ит_4£_ =
лг-^о ох л-+о sin Ах х^о Ах х->о Ъх
3) Предел
Нт.
еах еЬх
X-+Q X
вычисляется следующим образом:
е
,ах еЬх еах j ebx j
- а — —г— • b.
х ах Ьх
Поэтому
рйх пЬх рпх 1 рЬх 1
lim 1 1_ = а • lirnJ- L - Ь - lim-£ L = а -
х-* х х^о ах х-+0 Ьх
Упражнение 57. Вычислить следующие пределы:
а) Ит (*±Ь** ж) Цт Ш (**-*+1)
2ж-1
,— 1п(*»+*+1)
б) lim f *a+2*-l У^Й; з) lim (l+3tg*xf^x.
*-«> \2х*-Ъх—2) х+о
tgX
в) lim (sin x)
i
Х*2
и) lim fcos* ) ** ;
X-+Q \ COS 2х У
Xj pCLX nbX
г) lim ■/ I—2л: ; к) lim g """g
лг-*о ' лг-^о sine*—sind*
U|T1ln(l + sln3*)
*-*o ln(l + tg4*)'
д) lim lnx lna; Hmln(l + sin3x)
x-+a X—a Л) ШП
e) lim ln cosax
x-+o In cos bx
2. Производные функций у = ех и у=ах. Найдем
производную показательной функции у=ех. Дадим х приращение
Д*. Тогда у получит приращение Д#:
А у= ех+^х —ех =ех(е*х~ 1).
Отсюда следует, что
*/'=lim ^i£tblL-^. lim elx-{.
\х-*0 Ах Ддг->0 Ах
Но мы знаем, что lim еХ~~1 = 1. Поэтому
lim-f zJ_ = l и, следовательно, у'=ех.
Итак,
(еху=ех. (1)
Мы видим, что функция у—ех не изменяется при
дифференцировании. Она удовлетворяет соотношению у'=у.
Чтобы продифференцировать функцию у=ах, вспомним, что по
определению логарифма а=е1па. Поэтому ах=ех 1па. Так как (* 1п#)' = 1па,
то по правилу дифференцирования сложной функции имеем:
(аху={ех 1п <>у=ех1па \па=ах\па.
Итак,
(ахУ=ах\па. (2)
Упражнения
58. Найти производные следующих функций:
a) £=**(*■+дг+16); в) у= ^ Д) y=sin(e*); ж) у__ ех .
6)y=exsinx; sinx e) у=Щх*-\)\ *2"И '
г) у=е ; _ e-5j:
з)>=-
59. Доказать, что функция у=еах удовлетворяет уравнению у'=ау„
60. Доказать, что функция у=хех удовлетворяет уравнению
61. Провести касательную к кривой у=х2е~х в точке *0=1.
62. Найти точки экстремума функций:
а) у=х2е~х; в) у = я*?-*2; д) у=е~х— е~2х\ ж) у =ecosx;
б) 0= д:*в~^ г) */= хЧ~х\ е) t/=e~-*sin;r; з) у—ех+е~х— 2 cos х,
63. Докажите, что функция у=ехsin x является одним из решений
дифференциального уравнения
у"_2у'+2у=0.
4.10
64. Докажите, что функция
у=ех sin jc+sin 2х
является одним из решений дифференциального уравнения
у*—2у'+2у=—2 sin 2x— 4 cos 2x.
3. Производная логарифмической функции. Найдем
теперь производную логарифмической функции. Начнем со
случая, когда основание логарифмов равно е, то есть
найдем производную функцию
у=1пх.
Равенство у=1пх равносильно равенству х=еУ.
Продифференцируем обе части равенства *=£У по х. Производная
левой части равна 1. Производную же правой части надо
вычислять по формуле дифференцирования сложной
функции:
(е>)*=(еУ)'у-у'х=еУу'х.
Итак, мы получаем, что \ = еу- ух и потому у'х=—. Но
еУ = х. Значит, (у'х)=—. Мы доказали, что
(lnAf=-i-- (D
Чтобы продифференцировать логарифмическую функцию
с другим основанием, воспользуемся формулой перехода от
одного основания логарифмов к другому основанию:
, \пх
Из этой формулы следует, что
1
\па
(log^)'=lir(lnx)'=4
Итак,
Мы видим, что формула для производной
логарифмической функции принимает наиболее простой вид, если в
качестве основания выбрано число е (в п. 2 было показано,
что это справедливо также и для показательной функции).
Именно поэтому в различных приложениях показательной
и логарифмической функции в качестве основания чаще
411
всего принимают число е. С этим связано, в частности,
введенное нами наименование для логарифмов по
основанию е — «натуральные логарифмы».
Упражнения
65. Найти производные функций:
а) */=1п (х3—1); д) t/=ln sin x\ и) у=\т&х+\п{х*)\
б) у=х In x; e) f/=ln tg x: к) (/=1п(^г+1);
в) у=хп In х; ж) у=\п*х; ]п х-1.
г) */=sin(ln х); з) */=ln4x—41п х\ *-Ы'
м) i/=ln (a:4- y"x2+l ).
66. Найти производную от y=\ogxa.
(Указание: воспользоваться формулой перехода к новому
основанию логарифмов.)
67. Исследовать на экстремум функции:
а) у=х-\п (1+.V); д) у= 1 ,п х_ат(Л&х.
б) у=х In8*; 2
я 4-2 e) y=\n cos х— cos*;
в) t/= In—1— ;
Х—3 Ж) £/=1п(1 +«""*).
г)^/=--—;
In л;
68. Выведите формулы для производных д-го порядка функций:
a) y=ln х; б) r/=ln (х-1); в) </ = In—^T3* •
л:2—Зх+2
4. Логарифмическая производная. Найдем производную от функции
Ъг (x*+\y(x*T4F {1)
у=\п j/.
(x2+*+l)eetg*
На первый взгляд этот пример довольно сложен. Однако его можно
решить совсем просто. Для этого надо преобразовать правую часть
равенства (1) следующим образом:
у= 4- In (*3+1)7(*а+4)3 = 1 [7 ,п {хг+Х) + з in (**+4)—■
о (х*+х + \)* eisx 5
—6 In (х2+л:+1)—tgjcj.
А теперь найти производную уже легко. Так как
х3+1 л;3 + 1 *
[lnU2+4)]'
«2.1 л\лг *Х
х2+4
412
[In (*"+*+!)]'- 2x + X
x*+x+\ '
то ,_ 21y2 , 6л: 6(2s+l) 1_
5(*3+l) 5(x2+4) 5(jca+x+l) 5cos2x
Мы видим, что использование свойств логарифмической функции
значительно упростило решение задачи, позволив перейти от
умножения к сложению, от возведения в степень — к умножению на числовой
множитель и т. д. Решим аналогичный пример: найти производную
функции
5/ (*3+1)7(*2+4)3 (2)
У V (*a+*+l)eetg* * *
Здесь в правой части нет логарифмической функции. Чтобы упростить
решение задачи, прологарифмируем обе части равенства (2):
i„y=i„{/"Jf!±l)!i£!±l£
(** + *+1)в
А теперь продифференцируем обе части полученного равенства.
Производную правой части мы уже знаем.— она равна
21*2 , 6* __ 6(2*+1) 1
Ь(х*+1) 5(*2+4) 5(*2+х+1) 5 cos2* '
Производную же левой части находим по правилу дифференцирования
сложной функции:
Итак, мы доказали, что
JL = 21х* + 6* _ 6(2*+1) _ 1
у 5(*8+1) 5(х2+4) 5(х2+д:+1) 5 cos2* '
Чтобы найти у', надо умножить обе части полученного равенства на у,
то есть на выражение (2):
У^-15/(^, + 1)7(^,+4),Г 21x2 6* __ 6(2*+1) 1 ]
V (x*+x+\)*etex L 5(*3-f 1) 5(*2+4) 5(jc»+jc + 1) ~" 5 cos2* J'
В ходе решения этой задачи мы вывели формулу
(In уу = -ZL. (3)
У
Эта формула носит название формулы логарифмической производной.
Ее удобно применять в случае, когда дифференцируемая функция
упрощается после логарифмирования.
Пример. Найти производную функции
V = XSinX.
413
(1)
Логарифмируя обе части равенства, получаем:
In у = sin* lnx.
По формуле логарифмической производной выводим отсюда, что
J!L=(sin* lnx)' = cos*ln* + si" * ,
У *
и потому
у'=у Г cosjc In jc -I- ?HLfLl =rsin-r Г С05ДГ {пх + sin * 1
Вообще, если y—uv, то 1п>' = у1пи, и потому
Значит,
(uvY = uv Г o'ln a + vu' 1 =и'и" In u+vuV~lu'.
Мы можем теперь доказать, что формула
(Ха)'=ах*-1
верна не только для натуральных, но и для любых действительных
показателей а.
Мы полагаем и=х, v—a. Тогда и' = \, v'=0, и поэтому по формуле (1)
(t«j/=aJC*-i. (2)
Упражнение 69. Найти производные функций:
а) у=1п ^/Щ±ШЕ1В*±Ш^- В) У = (C0S x)tgtX;
У etg2X(x*+5)* ' r)y=xxt;
б) у = -jV Ix'-W+to+by . д) у = ,** •
5 Дифференциальное уравнение для показательной
функции. Производная от функции y=Cekx равна y'=Ckekx. Она
отличается от самой функции лишь множителем к. Иными
словами, при любом значении постоянной С функция
t/=Cekx является решением дифференциального уравнения
У'=ку. (1)
Покажем, что это уравнение не имеет иных решений. В
самом деле, пусть z(x)— решение уравнения (1), то есть
пусть z'=kz. Образуем вспомогательную функцию F(x)=z
=e~kx z(x). Тогда
F'(x) = —ке-*хг{х)+е-кхг'(х).
414
Но по предположению z'=kz, и потому F'(x) = Q. В силу
теоремы 3 из п. 1, § 3, гл. IV отсюда вытекает, что F(x)—
постоянная, F(x)=C. Итак, e~kxz(x)=C и потому z(x)=Cekx.
Тем самым доказано, что уравнение y' = ky не имеет иных
решений, кроме решений вида y=Cekx.
Дифференциальное уравнение (1) имеет следующий
смысл: скорость изменения величины у пропорциональна
значению этой величины. Поэтому решение всех задач
физики и техники, в которых скорость изменения некоторой
величины пропорциональна значению этой величины,
приводит к показательной функции. Рассмотрим некоторые
примеры.
1. Известно, что скорость радиоактивного распада
пропорциональна количеству радиоактивного вещества. Иными
словами,
m'(t) = —km(t) (2)
(знак минус показывает, что количество вещества
уменьшается, а потому скорость изменения этого количества
отрицательна). Мы знаем уже, что решение уравнения (2)
имеет вид:
т = Се-*'. (3)
Чтобы найти значение постоянной С, надо использовать
начальное условие. Пусть в момент времени ^=0
количество вещества равнялось М, то есть пусть т(0)=М.
Подставляя в формулу (3) значения t=0 и /7г=М, получаем
М=С. Окончательно получаем формулу:
т = Me~ht. (4)
Обычно эту формулу записывают иначе. Обозначим через Т время, в
течение которого количество радиоактивного вещества уменьшается
вдвое (период полураспада). Тогда е~*г= -^ и мы можем записать
формулу (4) так:
m = M (e~kT ) T = m(~y) T•
Таким образом, закон радиоактивного распада выражается формулой;
2. Пусть материальная точка массы тп движется по прямой под
действием постоянной силы Fx. Сопротивление среды пропорционально
415
скорости движения. Найти закон изменения скорости, если начальная
скорость движения равнялась нулю.
В каждый момент времени / сила, действующая на точку, равна
сумме постоянной силы Fi и силы сопротивления среды,
пропорциональной скорости, Fi = — kv. Таким образом, F=Fi~kv. Но по второму
закону Ньютона F=ma, а ускорение а является производной от
скорости, a=v'{t). Мы получили, таким образом, дифференциальное
уравнение
mv'(t)=Fi—kv,
или, иначе,
v'(t)=J±-l-v. (5)
т т
Это уравнение несколько отличается от уравнения (1). Чтобы свести
его к уравнению (1), положим v(t)=z(t)+A. Подставляя это выражение
в уравнение (5), получаем:
*'(/)= А — A. z(t) ——A.
mm m
р
Поэтому если положить A=—L, то функция z(t) будет удовлетворять
k
уравнению z'(f) = — — z(t). Но тогда z(t) = Ce , а значит,
т
v(t) = Ce m +1±. (6)
k
Чтобы найти значение п стоянной С, вспомним, что начальная скорость
движения равна нулю, u(J) = 0. Полагая в (6) *=0, v=0, находим, что
F F
0=С+—*-, и потому С— — х . Итак, мы доказали, что
k " k
т =-£-(>-' т )■ (7)
-А,
С увеличением t вычитаемое е т убывает и при *-*+<х> оно стре-
-±t
мится к нулю, lim е т = 0. Но тогда мы получаем, что lim У(0=
= —-. Иными словами, скорость движения стремится к постоянному
k
р
значению —L. Примером движения с похожим законом изменения
k
скорости является падение парашютиста. Если считать, что
сопротивление воздуха пропорционально скорости падения, то движение описы-
416
вается дифференциальным уравнением (5) и потому скорость падения
стремится к постоянному значению ТЛ (напомним, что сила тяготения
постоянна и равна mg). Однако на самом деле сопротивление воздуха
падению более сложно зависит от скорости падения. Тем не менее
полученный нами результат качественно верен: скорость падения
парашютиста стремится к некоторому постоянному значению.
Отметим (без подробных решений) еще несколько задач,
приводящих к показательной функции.
Если микроорганизмы размножаются в лабораторной чашке и
имеют достаточное количество питательных веществ, то скорость
увеличения их количества пропорциональна количеству микроорганизмов в
данный момент времени; v=kN. Поэтому количество микроорганизмов
увеличивается по показательному закону N=NQekt. По тому же законы
изменялось бы количество особей любого вида животных или растений,
если бы не было межвидовой борьбы и ограниченности средств
существования.
Пусть сопротивление электрической цепи равно R, а се
самоиндукция равна L. Если включить в эту цепь источник тока с постоянным
напряжением V0, то через t секунд после включения ток в цепи
выражается формулой:
(8)
(обратите внимание на сходство этой формулы с формулой (7) — законы
изменения тока описываются теми же дифференциальными
уравнениями, что и движение материальной точки). С течением времени вычи-
-т' -г'
таемос е будет уменьшаться и стремиться к нулю: lim e = 0.
Поэтому выражение (8) при f-*- + oo стремится к пределу-—!*-. Это зпа-
R
чение, даваемое известным законом Ома: /= ° .
R
Если тело, нагретое до температуры Т0, внести в среду с
температурой Тъ то температура тела через время t выражается формулой:
T=T1 + (T9-Tl)e~kt. (9)
Здесь k — число, зависящее от формы тела и его физических констант.
К. Э. Циолковский установил формулу для количества топлива,
необходимого, чтобы придать ракете скорость V. Если масса ракеты (без
топлива) равна /я, а скорость истечения продуктов горения из ракеты
равна v0, то масса М выражается формулой
М
= m( <?*•—l).
6. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Пусть материальная точка с массой m движется по прямой,
причем на нее действуют две силы: а) восстанавливающая
27 Заказ 2541
417
сила Fl9 направленная к положению равновесия и
пропорциональная отклонению точки от положения равновесия,
F1 — —kxx\ б) сила сопротивления среды F2,
пропорциональная скорости v точки, F2 = — k2v.
Полная сила F, действующая на точку, равна Fj+F2 =
=--—kxx—k%v. По второму закону Ньютона имеем: F=mat
то есть
та = —k1x—k2v. ' (1)
Но v=x'(t), a a*=x"(t), и поэтому равенство (1) можно
переписать так:
mx"(t) = —МО-МЧО-
Мы получили дифференциальное уравнение. Разделим
обе части уравнения на т и введем для удобства следую-
ь ъ
щие обозначения: — = 2k,—-=k2+<s>2 (мы предполагаем, что
сопротивление среды достаточно мало и потому £2<——V
Тогда уравнение примет вид:
x'\t)+2kx\t)+(k2+a2)x(t)-^0. (2)
Проверьте самостоятельно, что выражение
x{t)=Ae-kt sln(ut+a), (3)
где А и а— некоторые постоянные, удовлетворяют этому
уравнению. В более подробных курсах математического
анализа доказывается, что формулой (3) исчерпываются все
решения уравнения (2).
Построим график функции (3). Для простоты
ограничимся построением графика функции
y^e-kx sln их. (4)
Эта функция определена при всех значениях х. Найдем
точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Для
этого надо решить уравнение e~kxsin ых=0. Решая его,
находим, что кривая пересекается с осью абсцисс в точках
вида
Т. п=°> ±!> ±2> -•
Чтобы найти положение точек экстремума, вычислим
производную функции (4):
у' — —ke~kx sin co*-f ц)£-*Л" cos со*.
418
Приравнивая ее нулю, получаем уравнение:
erkx { — k sin o)X-f a) cos а>*)=0,
из которого находим, что tgo)# =4-, и потому
*=-L arc tg ~+—9 az=0, ±1, + 2, ...:
о) & « со ' ' — ' — »
Для краткости положим arc tg-^-=<p. При лг=0 имеем:
fey
*o="J- и #о=* ю sin?.
■ —-(<р+я)
При /г = 1 имеем: atx == 2±ZL и ^=2 w sin (qp + w) =
~4>(<Р+7С) . п о Ф+2ти
= — е sin ср. При лг=2 имеем: х2 = 3-!— и
- Л(«р + 2*) - A(-f + 27Г)
У2=е sin (<р+ 2тт) = г sin ср.
Ясно, что при четных значениях п получаем точки
максимума, а при нечетных значениях п — точки минимума.
Уъ _ е sin у
k
Рассмотрим отношение — = г - = е . Это оз-
Уо _*.«,
е °> sin со
начает, что за одно полное колебание амплитуда умень-
шилась в е ш раз. Во столько же раз она уменьшается и в
течение остальных полных колебаний. Иными словами, при
любом п
V 2£тс
Уп
Итак, с течением времени амплитуда колебаний
уменьшается и стремится к нулю, колебания затухают. Поэтому
формулу (4), равно как и более общую формулу (3), называют
уравнением затухающих колебаний. График функции (4)
при Л=1, о)=2тг изображен на рис 179. Он заключен между
графиками функций y=e~kx и у ——e~kx.
27* 419
y=e~xsln21ix
Рис. 179
Упражнение 70. Начертите графики следующих функций:
ч -0,2* .
а) у—е sin х;
Q 3jf
б) у = 4е ' sin2jc;
в) у= 5е ' Л sin (0,5х + 1);
—о, 1*
г) у—е cos Зх.
7. Гиперболические функции. Мы уже видели, что во многих
вопросах физики и техники встречается показательная функция у—ех. Она
не является ни четной, ни нечетной, поскольку при хфО е"х Ф ех и
е~хф—е*. Разложим функцию у=ех в сумму четной и нечетной
функций. Это разложение имеет вид:
ех
_ех+е
ех—е
(1)
В самом деле,
к+е
-(-х)
_ ех-\-ё~
е-х-е-{~х)
ех—е~
2 2 2 2
Для четного и нечетного слагаемых в формуле (1) введены особые
названия. Именно, четную функцию \f— называют гиперболическим
косинусом от х и обозначают спх, а нечетную функцию е е на-
420
зывают гиперболическим синусом от х и
разом,
~~2
ch x=
sh х
ех-
обозначают sh x. Таким об-
(2)
(3)
Функции sh / и ch / связаны с гиперболой х2—у2=\ точно так же,
как функции sin/ и cost— с окружностью *2+«/2=l. Напомним, что
sin/ и cost— это ордината и абсцисса точки окружности M(t) такой,
что yjAM—t (рис. 180). Ясно, что площадь сектора АОМ единичного
t
круга равна —.
Рассмотрим теперь гиперболу х2—у2=1 и возьмем на ней такую
точку M(t), что площадь сектора АОМ=— (рис. 181). Можно дФказать,
что ордината и абсцисса этой точки равны соответственно sh/ и cht.
Как и в случае тригонометрических функций, отношение sh x к
ch x называют гиперболическим тангенсом, а отношение ch x к sh x —
гиперболическим котангенсом. Их обозначают соответственно через th x
и cth x:
th х = shx , chts= chx . (4)
ch x sh *
Гиперболические функции обладают рядом свойств, напоминающих
соответствующие свойства тригонометрических функций. Например,
р0—р0 Л ш _ £в-|-£0
shO
-0, chO
1.
Далее, имеет место равенство
ch2* — sh2 x=
1,
напоминающее тригонометрическую формулу cos2;t-f sin2jt=
(5)
= 1. Чтобы
у>
\ °
1
^Vw
JA х
у,
0
1
М
Ут
X
Рис. 180
Рис. 181
421
доказать это равенство, подставим вместо ch x и sh x их выражения
(2) и (3). Мы получим, что
ch2,-sh2^(!!+£l!j2-- [^f^f = егх+2еХ'\Х+е~2х -
е2.г^2ехе-х+е~2х 2,2
4 4 4
Перейдем к построению графиков функций y=sh x и #=ch x. Мы
уже знаем, что функция y—shx нечетна, а функция y=ch x четна.
Поэтому достаточно построить их графики на полуоси х>0. При х>0
и chx =
имеем 0<е Л*<1сеЛ\ Поэтому обе функции sh #=_ £
= —-х неотрицательны на полуоси х^О. Покажем, что они
монотонно возрастают на этой полуоси. Для этого найдем их производные:
Точно так же
,*хг-(г^)'_
= sh х.
Так как при х>0 функция ch x неотрицательна, то функция y=shx
возрастает. Точно так же, поскольку функция shv неотрицательна при
х>0, то функция y—chx возрастает на полуоси л>0.
Далее, из того, что limer=+°°> lim е~~х=®,
вытекают соотношения
lim shx = lim
д-_^_|-00 Х-++°о
ех—е~
=+оо, lim ch x =
= lim Г ^ = -Ьоо.
= 0, графики
Рис. 182
Заметим, что, поскольку lim e
функций #=sh х и y=ch x при jt-++co стремят-
ся слиться с графиком функции у =—— . При
этом график функции y=sh x остается ниже
графика у — -~-> а график функции y=chx —
выше этого графика. На рис. 182 изображены
графики функций y=sh x, y=ch x, У=—^- е*
(чтобы получить графики функций (/=sh x и
y=ch x при jc<0, мы воспользовались тем,
422
что график функции y=sh x
симметричен относительно начала
координат, а функции у =chx —
относительно оси ординат).
Построим теперь график
функции i/=th х. Мы имеем
th 0 == —— = 0. Далее, функция
y=th х нечетна, так как
^_ sh(—х) _
th(-*)=
-sh*
ch(—x)
= —th x.
ch*
Производная функции r/=th*
вычисляется так:
ch *(sh л:)'—sh x(ch *)' __
J
-f
^k
y\
0
,
y-
»
\ycthx
I 1 I
1
2
I
i
X
ch2jr
ch2*— sh2* _
1
Рис. 183
ch2* chajc
Эта производная положительна, и потому функция t/=th * возрастает
на всей оси. Наконец, имеем lim e~~2x=Q, и потому
lim th x = lim g^""g = lim * *
-2x
x++<*>ex+e~x *-*■+«> l+£~
-2л:
= 1.
Отсюда вытекает, что график функции y=th x имеет вид,
изображенный на рис. 183.
На рис. 183 изображен также график функции t/=cth x. Эта
функция не определена при #=0 и имеет в этой точке полюс.
Упражнения
71. Докажите следующие тождества для гиперболических функций:
а) sh2*=2sh* ch x\
б) ch 2*:=sh2*+ch2A:;
1
в) 1—th2x=-
ch2x
1
г) cth^jc—1 = _ f
sh*Jt
д) sh(*±«/)=sh*chr/±sht/ch*;
e),h(*±,)=**±*^
ж) shjc±sht/=2 sh
"litlurthy'
ch
*±0 .
423
з) ch x + chy = 2 ch J^±L ch x~y ;
и) ch*—ch«/=2 sh x+y sh -*z£;
к) sh2* + ch2«/ = ch2* + sh2|/;
2 sh* ch * + l '
м) sh3* =-L(sh 3* — 3 sh*);
н) ch3* = J- (ch 3*+3 ch*);
o) sh 4* = ch* (4 sh* + 8 sh3*);
n) ch 4* = 8 ch4* — 8 ch2* + 1.
72. Вычислите суммы:
a) 2 ch ^; 6) 2 sh ky.
(Указание: воспользуйтесь формулой для суммы геометрической
прогрессии.)
73. Продифференцируйте функции:
а) </=ch3*-sh3*; в) _ *2-fch2* д) «/=ch(^v-M);
б) y=*th 3*; *2+sh2* * е) //=ch(sh*).
г) y=^h*;
Краткие исторические сведения
Степени с дробными показателями и простейшие правила действий
над ними встречаются у французского математика Н. Оресма (1328—
13£2). Впрочем, уже у Архимеда есть упоминание об отношении, взя-
том в степени __. Живший в XV веке французский ученый Шюке
рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.
Немецкий математик М. Штифель (1486—1567) установил связь
между операциями над членами арифметической и геометрической
лрогрессий. Он показал, что умножению, делению, возведению в
степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют
■сложение, вычитание, умножение и деление в арифметической
прогрессии. В частности, он сопоставлял ряд натуральных чисел с рядом
степеней одного и того же основания. Штифель ввел название
«показатели» (Exponenten) и положил, по определению, cfl=\. Штифель, как и
ранее Шюке, рассмотрел простейшие показательные уравнения.
Голландский ученый С. Стевин (1548—1620), введший в европейскую
математику десятичные дроби, составил таблицы для вычисления
процентов, которые являются по сути дела таблицами показательной
функции.
Логарифмы были введены независимо друг от друга двумя
учеными— английским математиком Д. Непером (1550—1617) и швейцарцем
И. Бюрги (1552—1632). Непер развил теорию логарифмов, указал спо-
-424
собы их вычисления и составил подробные таблицы логарифмов.
Логарифмы Непера были близки к современным натуральным логарифмам.
Десятичные логарифмы были введены английским математиком Г. Бриг-
гом (1561—1630). Появление логарифмов значительно упростило
вычисления, и в течение длительного времени логарифмы были основным
средством вычислений. Французский математик Лаплас говорил, что
изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей.
Создатели логарифмов вычисляли их с помощью различных
частных приемов. Общие способы вычисления, основанные на теории
бесконечных рядов, восходят к немецкому ученому Меркатору (1620 —
1687), который установил также связь между логарифмами и
вычислением площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми х = \ и х=а и
кривой у =
X
Свойства логарифмов впервые были точно сформулированы
английским математиком Оутредом в 1648 году. Однако еще в первой
половине XVIII века логарифмирование не причислялось к алгебраическим
действиям. Лишь Эйлер в книге «Введение в анализ бесконечно
малых» (1748 г.) определил логарифмирование как второе действие,
обратное возведению в степень, и, значит, логарифм как некоторый
показатель степени. Лейбниц еще в конце XVII века применял правила
логарифмирования для решения показательных уравнений.
Дополнение к главе VI
ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
1. Десятичные логарифмы. Как мы знаем, замена действий над
числами действиями над их логарифмами значительно упрощает
вычисления. При этом с теоретической точки зрения безразлично, какое
число выбрано в качестве основания системы логарифмов. Однако
практически, в связи с употреблением десятичной нумерации, наиболее
удобными для вычислений оказываются логарифмы при основании 10.
Это связано с тем, что при основании Ю нахождение логарифма
любого числа сводится к нахождению логарифмов чисел, лежащих на
промежутке [0, 1].
Логарифмы чисел при основании 10 называются десятичными лога-
рифмами] десятичный логарифм числа х обозначается \gx.
Десятичные логарифмы чисел обладают всеми свойствами
логарифмов при основании, большем единицы; в частности, логарифмы чисел,
больших 1, положительны, а логарифмы чисел, меньших 1,
отрицательны.
Остановимся на некоторых особых свойствах десятичных
логарифмов.
1) Очевидно, lg 10=1; lg 100=2; lg 1000=3, ...; вообще, \g №n=n, то
есть логарифм числа, изображаемого единицей с последующими
нулями, равен числу этих нулей.
2) Точно так же lg 0,1 = —1; lg 0,01 =—2; lg 0,001 =—3, ...; вообще,
lg0,ln = —п, то есть логарифм десятичной дроби, изображаемой
единицей с предшествующими нулями, равен целому отрицательному числу,
абсолютная величина которого равна числу этих нулей (считая нуль
целых).
425
3) Так как lg 1=0 и lgl0=l, то для любого числа, заключенного
между 1 и 10, имеем 0<lg*<l, то есть логарифмы чисел, заключенных
между 1 и 10, заключены между Ои 1.
Пусть х — положительное число. Любое такое число можно,
очевидно, единственным образом представить в виде
х =- \0пхи
где п — целое число и 1 <:jcx< 10.
Например, 385=102-3,85; 0,000271 = 10 ~4-2,71 и т. п.
Если х представить в виде (1) (или, как часто говорят, в
нормальной форме), то \gx выразится в виде суммы двух слагаемых:
lg* = п + lg*i.
Число п называется характеристикой логарифма числа х, a lgxly
то есть логарифм значащей части х, называется мантиссой логарифма
числа х.
Таким образом, характеристика — это целая часть \gx, то есть
E(\gx), а мантисса — это дробная часть lgjt, то есть {lg*} (см. стр. 125).
Например:
а) 5400=Ю3.5,4;
lg 5400=3+lg 5,4=3+0,7324.
Характеристика этого логарифма равна 3, а мантисса равна С,7324:
E(\g 5400)^3; {lg 5400}=0,7324.
б) 7,8= 100-7,8;
lg 7,8 = 0,8921.
Характеристика этого логарифма равна 0, а мантисса равна 0,8921:
£(lg7,8) = 0; {lg 7,8} =0,8921.
в) 0,031 = Ю"2-ЗД;
lg 0,031 = —2-fig 3,1 = —2+0,4914 = —1,5086.
Характеристика этого логарифма равна —2, а мантисса равна 0,4914:
£(lg0,031) = —2; {lg 0,031} = 0,4914.
Очевидно, что логарифм каждого числа равен сумме своей
характеристики и своей мантиссы:
\gx = E(\gx) + {\gx].
Характеристика логарифма числа х легко определяется
непосредственно по виду этого числа.
4) Если х>\ и целая часть числа х содержит п цифр, то ДО*""1 <
<х<10л; следовательно, нормальная форма числа х будет 10л~1-*1, а
поэтому характеристика lg* будет п—1. Таким образом,
характеристика логарифма числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой
части этого числа,
5) Если 0<дг< 1 и первой значащей цифре в десятичной записи х
предшествует п нулей (считая и нуль целых) то Ю~л<х <10~"л + 1. Сле-
426
довательно, нормальная форма числа х оудет 10 п • хъ а поэтому
характеристика \gx равна —л. Таким образом, характеристика
логарифма правильной десятичной дроби есть отрицательное число, абсолютная
величина которого равна числу нулей, предшествующих первой значащей
цифре в записи этой дроби (считая и нуль целых).
6) При увеличении (или уменьшении) числа х в 10, 100, 1000 и т. д.
раз характеристика \gx увеличивается (уменьшается) на 1, 2, 3, ...
единиц, а мантисса не изменяется. Другими словами, мантисса \gx зависит
только от значащих цифр числа, но не от положения запятой в этом
числе. Именно это свойство десятичных логарифмов делает их наиболее
удобными для вычислений.
7) Если lgx>0 (то есть х>\), то в десятичной записи \gx цифры,
стоящие до запятой, указывают характеристику этого логарифма,
цифры, стоящие после запятой,— его мантиссу. Например, если lg*=3,7528
то \gx=3+0,7528, откуда видно, что характеристика логарифма здесь,
равна 3, а мантисса равна 0,7528.
Сложнее связь между десятичной записью отрицательных
логарифмов и их характеристикой и мантиссой. Например, пусть \gx =—3,7528,
то есть
\gx = (—3) + (-0,7528).
Число —0,7528 не является уже мантиссой логарифма, так как
мантисса не мо>лет быть отрицательной. Чтобы выделить в этом случае
характеристику и мантиссу lg.t, необходимо представить \gx в виде
суммы целого (отрицательного) числа и положительного числа,
меньшего 1. С этой целью мы второе слагаемое увеличим на 1, а первое
уменьшим на 1:
\gx = (—3—1) + (—0,7528+1) = —4+0,2472.
Таким образом, характеристика \gx в нашем случае равна —4, а
мантисса равна 0,2472.
Представление отрицательного логарифма в виде суммы целого
отрицательного числа (характеристики) и неотрицательного числа,
меньшего 1 (мантиссы), называют искусственной формой
логарифма. Искусственную форму логарифма записывают в виде одной
десятичной дроби, ставя знак минус не перед характеристикой, а над
ней; это указывает на то, что знак минус относится не ко всему
числу, а лишь к его целой части. Так, для разобранного выше примера
можно записать:
]gx = —3,7528 = 4,2472.
Для преобразования искусственной формы логарифма в обычную
десятичную запись находят по обычным правилам сумму
характеристики и мантиссы этого логарифма, например:
1,3761 = — 1 + 0,3761 = —0,6239.
Упражнения
1. Преобразовать к искусственной форме числа:
—2,7421; —0,2548; —3,8127.
2. Преобразовать к обычной форме числа:
"2,1457; 7,8383; "6,3184. /
427
2. Таблицы десятичных логарифмов. На практике, когда нужно
знать логарифмы каких-нибудь чисел, их находят из специальных
таблиц. Из сказанного в п. 1 ясно, что для нахождения десятичных
логарифмов всех (положительных) чисел достаточно иметь таблицы
логарифмов чисел от 1 до 10, или от 10 до 100, или от 100 до 1000 и т. д.
При этом в таблицах указываются лишь мантиссы логарифмов;
характеристики же определяются каждый раз непосредственно.
Для разных целей употребляются таблицы логарифмов с различной
степенью точности. В школьной практике используются
четырехзначные таблицы логарифмов, то есть таблицы мантисс логарифмов,
вычисленных с четырьмя знаками после запятой, для всех чисел,
имеющих четыре значащие цифры. В четырехзначных таблицах логарифмов
В. М. Брадиса (таблица XIII) каждая строка соответствует двум
первым значащим цифрам аргумента. Третьей значащей цифре аргумента
отвечает каждый из 10 столбцов, помеченных цифрами от 0 до 9.
Наконец, четвертая цифра аргумента учитывается посредством так
называемых поправок, приведенных для каждой строки таблицы в девяти
правых столбцах.
Пример 1. Пусть нужно найти по таблице lg 485,7. Прежде всего
по числу цифр в целой части числа 485,7 определяем характеристику
логарифма; она равна 2. Затем находим строку с номером 48 (две
первые значащие цифры аргумента) и столбец с номером 6 (третья цифра
аргумента); на их пересечении указана мантисса 6857. Наконец, в
столбце поправок с номером 7 (четвертая цифра аргумента) находим,
что для данной строки поправка составляет 6 (единиц последнего
разряда). Прибавляя эту поправку к найденной ранее мантиссе, получим
искомую мантиссу: 0,6863. Таким образом,
lg 485,7 = 2,6863.
Пример 2. Найдем lg 0,01934. Характеристика этого логарифма =
= —2 (см. п. 1). Мантиссу ищем на пересечении строки 19 и столбца 3.
Прибавив к этой мантиссе поправку, равную 9 (находим ее в столбце
4 поправок), получаем:
lg 0,01934 = 2,2865.
Для нахождения числа х по его логарифму можно использовать те
же таблицы логарифмов, действуя с ними в порядке, обратном
описанному выше. Однако в сборнике таблиц В. М. Брадиса для решения
этой задачи имеются специальные таблицы (табл. XIV), называемые
таблицами антилогарифмов1. Эти таблицы, устроенные так же, как и
таблицы логарифмов, позволяют определить значащие цифры числа х
по мантиссе его логарифма. После этого положение запятой в числе х
определяется по характеристике логарифма.
Пример 3. Найти х, если lgx = 1,2839. В таблице антилогарифмов
на пересечении строки 28 (две первые цифры мантиссы) и столбца 3
•(третья цифра мантиссы) находим число 1919. В той же строке в столб-
де поправок 9 (четвертая цифра мантиссы) находим нужную
поправку 4. Прибавляя ее к ранее найденному числу, получаем 1923; это и
1 Из определения десятичного логарифма следует, что таблица
антилогарифмов есть не что иное, как таблица значений показательной
-функции ^=10^ (для п<х<п+\, где л—-какое-нибудь целое число).
428
будут значащие цифры искомого числа. Учитывая теперь, что
характеристика \gx равна 1, получаем:
х = 19,23.
Для вычислений с тригонометрическими функциями часто
используются также таблицы функций lg sina(lg cosa) и lg tga (Ig ctga) для
углового аргумента a, выраженного в градусах и минутах (табл. XV—
XIX в сборнике таблиц В. М. Брадиса). Эти таблицы устроены так же,
как таблицы синусов (косинусов) и тангенсов (котангенсов), а потому
не требуют специальных пояснений.
Для более точных расчетов применяются более точные
логарифмические таблицы (пятизначные, семизначные, двенадцатизначные и даже •
двадцатизначные).
Упражнения
3. Вычислите с помощью таблиц десятичных логарифмов:
. 92172-5,143 .
2,184- 0,58362 '
б) 0,3261- -/474,2-V 0,0563 .
4. Сколько цифр в числе З100?
5. Что больше: 212» или 2321?
Глава VII
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Элементарные функции
Мы познакомились с целым рядом функций. Нами были
изучены функции, значения которых выражаются через
значения аргумента и постоянные посредством конечного
числа алгебрических операций (сложение, умножение,
возведение в степень с рациональным показателем), а также
степенная функция с произвольным действительным
показателем, тригонометрические, обратные тригонометрические,
показательная и логарифмическая функции. Именно эти
функции встречаются обычно в формулах, выражающих
физические законы. Все функции, получающиеся из
перечисленных с помощью конечного числа алгебрических
операций и суперпозиции (операции образования сложной
функции), принято называть элементарными функциями.
Более точное определение класса элементарных функций
таково.
Назовем основными элементарными функциями
следующие:
«/—С, у=х, y=sinx, */=arcsinx, у=ех, y=lnx.
Все функции, которые можно образовать из них с
помощью конечного числа алгебраических операций и
суперпозиции, называют элементарными.
Функции
у=ха , y=tgx, y=arc tg х, у=ах
элементарны. В самом деле,
« *1пдг А -, sin*
х =е , tg х = F-^ , ,
Sinhr-*J
arctg*=arcsin-^=--,
430
arc cos x= -л- — arc sin x ,
ax — ex ]n 2m
Элементарны и функции
ex+ sin 4x -.V* arc tg д: 4- x*
y== 1 + In2 sin * ' 0 = J/ In3 x + tg3 (2a: + 1) *
Самыми простыми функциями являются многочлены — их
значения получаются из значения х и постоянных с
помощью операций сложения и умножения. Следующий по
сложности класс функций образуют рациональные функции — для
вычисления их значений нужна еще операция деления.
Далее идут иррациональные функции, для вычисления
которых нужна новая операция — извлечение корня. Все эти
функции образуют класс алгебраических функций1.
Все элементарные функции, не являющиеся
алгебраическими, называются трансцендентными функциями. К их
числу относятся тригонометрические и обратные
тригонометрические функции, показательная и логарифмическая
функции. Отметим, что степенная функция с иррациональным
показателем трансцендентна. Трансцендентны и такие
функции, как у = esinZ*x, у = arctg3(^), у = 1п(1+4л;5). А функция
у= | х\ —алгебраическая, так как ее можно представить
в виде у = V~x\
Позже (см. гл. IX) мы установим, что в области
комплексных чисел тригонометрические функции выражаются
через показательную, а обратные
тригонометрические—через логарифмическую. Поэтому на самом деле в
комплексной области есть две основные функции: у = х и
показательная функция.
Элементарные функции обладают следующим важным
свойством: они непрерывны во всех точках, в которых
определены. Это утверждение вытекает из доказанной выше
непрерывности функций: у = с, у = х, y = sinx, у = arc sin x,
у 8 еху у=1пх, и из теорем о непрерывности суммы,
произведения, частного и суперпозиции непрерывных функций
(в точках, где они определены).
1 В математике под алгебраическими функциями понимают
несколько более широкий класс функций, но в пределах множества
элементарных функций оба класса совпадают.
431
Упражнения
1. Найти область определения следующих функций:
а) у = arc sin (х — 2); / х \
1 — 2х ж) У = агс sin I In -щ J ;
б) у = arc cos —т— ; * '
з) у = In arc sin (*2 — 2);
в) у=г=7* + 1п(<х2--хУ> и) у = ln sin*;
к) У = /4 — 9 sin2*;
г) у = У sin * + V 16—л;2;
__ з/ —i— л> У = V In sin x.
д) 0 = V* + ]/ 71Г2"~1п (2* ~ 3);
* —3
е) г/ = arc sin —^— + ln(4— х);
2. Какие из нижеследующих функций ограничены на всей числовой
оси:
ч ех . 1 „ _Хх е) </ = arctg2x+1;
a)if=-T + 7i3r; г)^-2-(^-, ); ж) ^ ln (^.,+1).
X2
б) у = у"9 — 4sin2*; R)y= ln x4_|_ 1 ;
ex — 1
3. Определить, какие из перечисленных ниже функций являются
периодическими, и найти их основные периоды:
а) у — sin2*; ж) у = {х}2 — {х} + 4;
б) у = 2 cos 4х; з) у = {2х}2 — {За:} + 4;
в) «/ = In (1 + cos Ъх); и) у = {3 sin *};
г) у = /tg6jcj K) </ = sin{*} ;
д) у =tg у-. л) г/ = sin4* + cos* х\
е) у = {х2—* + 4}, где {*} — м) у = sin6* + cos6 x.
дробная часть х\
4. Разложите на основные элементарные функции следующие
функции:
aj у = es'm зх . е) у = eaTCig х~х\ к) У = sin2 (cos2 x);
б) у = sin eSx; ж) у = *arct* (* ~ г); л) * = COs2 (sin x)>
в) y = \n[l+ cos2 4*]; з) у = arcsin2 (7jc-1); м) ^ = sin (cos2x)>
г) у = cos [1 + In2 4jc] ; и) у = sin3 (х2 —In *); н) ^ = C0S lsin2x)
д) у = arctg(£* — l);
(например , у = esin Ъх разлагается так: у = е", где и = sin v, a V = Зх).
432
5. Доказать, что функция
f(x) = У~16 — *а
удовлетворяет соотношению
fifUM)) = f(x).
6. Доказать, что функция f (х) = — удовлетворяет соотношению,
(функциональному уравнению)
/w-rt* + и = /(*)/(*+ i).
7. Доказать, что линейная функция f(x) = &х удовлетворяет
функциональному уравнению
«* + *) = «*) + %).
8. Доказать, что показательная функция {(х) = ах удовлетворяет
функциональному уравнению
/ (х +у) = f(x)f(y).
Замечание. Можно доказать, что показательная функция —
единственная функция, удовлетворяющая этому функциональному урав--
нению.
9. Доказать, что логарифмическая функция f(x) = logfl x удовлетво--
ряст функциональному уравнению
f(xy) = f(x) + f(y).
10. Доказать, что степенная функция {(х) = х* удовлетворяет функ-.
циональному уравнению
f(xy) = f{x)-f(y).
11. Доказать, что функция f(x) = cos x удовлетворяет функциональ--
ным уравнениям:
a) f{2x)= 2/i(x) - 1; 6) f &х) = 4/»(*) - 3/(дг).
§ 2. Трансцендентные уравнения и неравенства
1. Предварительные замечания. Пусть у = f(x) —
трансцендентная функция. Тогда уравнение вида f(x) = 0
называется трансцендентным. В зависимости от вида
функции f(x) различают тригонометрические уравнения,
показательные уравнения, логарифмические уравнения и т.д.
Например, sin34x — cos2x -f 1 = 0 — тригонометрическое уравне--
ние, 24* — 22дг — 6 = 0 — показательное уравнение
(неизвестное входит в показатель), a \g*x — 61gx + 5 «= 0 —
логарифмическое уравнение (неизвестное находится под знаком
логарифма).
Конечно, эта классификация очень условна, так как,,
например, уравнение 2s[nx= 1 можно считать и показатель-
28 Заказ 2541
433,,
тым, и тригонометрическим, а уравнение lg(l + 10*) == 2 —
и показательным, и логарифмическим. Поэтому мы не
будем давать «определений» тому, что такое
тригонометрическое, показательное или логарифмическое уравнение.
Обычно это будет ясно из текста.
Даже для алгебраических уравнений нет единого
метода решения: если степень алгебраического уравнения выше
четырех, то отсутствует формула, выражающая его корни
через коэффициенты с помощью алгебраических действий.
Еще сложнее обстоит дело с трансцендентными
уравнениями. Разнообразие видов этих уравнений не позволяет
надеяться на то, что для них существует единый метод
решения. Мы можем лишь указать способы решения некоторых
классов уравнений.
2. Общие приемы решения трансцендентных уравнений.
Одним из самых общих приемов решения трансцендентных
уравнений является введение нового неизвестного. Пусть
.функция у « f(x) является суперпозицией функций #=ср(и)
и и = ф(х): f(x) = <р[ф (*)]. Тогда уравнение f(x) = 0
записывается так: <р[ф(*)]=0.
Подстановка <]!(*) = и преобразует его к виду у(и) = 0,
который часто оказывается проще исходного. Если удается
найти корни ии ..., ип уравнения ф(я) = 0, то решение
уравнения f(x) = 0 сводится к решению совокупности
уравнений:
[Ф (*)="«
(при этом, разумеется, берутся лишь значения ии ..., ил»
принадлежащие области значений функции # = ф(*)).
Другой метод сведения уравнения f(x) = 0 к
совокупности уравнений основан на разложении функции
/(*) на множители. Именно если f(x) = Л(*) .. . fn(x) и
функции /,(*), ... , fn(x) определены на множестве М, то на
-этом множестве уравнение f(x) = 0 равносильно
совокупности уравнений
[fn(x) = 0
•{это доказывается точно так же, как и для алгебраических
уравнений, см. «Алгебра», гл. II, § 2, п. 2, теорема 5).
.434
Например, уравнение
sin 2х cos (Зх — -J-) sin (л:— -g") — О
равносильно совокупности
-sin2x = 0,
cos(3* —f) = 0,
|jin (*--£),= <>.
Решая эти уравнения (см. п. 4, § 4, гл. V), получаем три
серии решений:
з
х =
z
* = -4-[2тг/г
X ж= TZtl + -т:
—+
2 ^
При решении уравнений методом разложения надо помнить, что-
берутся лишь те корни уравнений fk(x) = О, для которых имеют смысл
остальные функции }т(х). Рассмотрим, например, уравнение
Составим совокупность уравнений
~sin 3* = О,
tg 2* = О,
_ COS X
Решением первого уравнения является х = "тг, второго — х = —я- ,.
а третье не имеет решений. Однако было бы ошибочным считать, что*
/ пп \
решением уравнения (1) является объединение множеств \~q| и'
{пп\
-s-f . Дело в том, что надо еще отобрать те решения каждого из
уравнений совокупности, при которых определены все три функции sin3#,..
1 „ rz(2n+l)
2
tg2xrt
Легко проверить, что при х —
функция 1/cosx-
ие определена, а потому эти значения надо исключить. Поэтому
решением уравнения (1) является объединение множеств {~q~f, {яя},то есть.
Г 7zn \
■{ —гГ-( • Далее рассмотрим уравнение
Х2 — ЪХ + 6
(■
д:2— 4.
')-»•
28*
(2),
435*
Составим совокупность уравнений
I х '
I x
L е"~*=\.
Корнями первого из них являются числа х1 = 2, *2 = 3, а второго— чи-
X
ело дг3 = 0. Но при х = 2 функция е *2 ~ 4 не определена, а при х = 0
*а — 5х + б „
не определена функция . Поэтому единственным решением
уравнения (2) является х = 3.
Вообще, пусть функция fk(x), k =* 1, ... , л, обращается в нуль на
множестве Mk и определена на множестве /У#. Тогда решением
уравнения fx(x) . .. /Л(л:) = 0 является множество А = (Мх (J • • • U ^я) П ^i П • • •
§ 3. Тригонометрические уравнения
1. Подстановки в тригонометрических уравнениях. Мы
уже отмечали, что одним из самых мощных методов
решения тригонометрических уравнений является метод
подстановки (введение нового переменного). В п.4, § 4, гл.
Убыли рассмотрены некоторые примеры решения
тригонометрических уравнений методом подстановки. Рассмотрим теперь
этот метод в общем виде. Пусть тригонометрическое
уравнение имеет вид /(sin*) = 0, где /(г) —многочлен. Тогда
подстановка sin^ = 2 сводит его к алгебраическому
уравнению /(z) = 0. Обозначим через г19 ... , гт такие корни
этого уравнения, что | zk | < 1. Тогда уравнение /(sin x)
равносильно совокупности уравнений
[~sinx = zb
Lsinx = гт.
Аналогично решаются уравнения вида /(cos*) = 0,
/(tg*)==0,/(ctg*)-0.
Часто перед выполнением подстановки приходится
делать те или иные тождественные преобразования
уравнения. Если в уравнение входят тригонометрические функции
одного и того же аргумента, то надо выразить все эти
функции через одну из них, скажем, через sin*, а потом
подстановкой sinx = z свести это уравнение к
алгебраическому.
436
Например, уравнение
5sin2 x + 3sin x + 4cos2 * = 5 -^-
преобразовываем с помощью формулы cos2* = 1 — sin2* в
уравнение
sin2 x + 3sin * — 1 JL = 0.
4
Подстановка sin* = 2 сводит это уравнение к квадратному
уравнению
z« + 3s-l-f- = 0,
из которого находим zx= -у, z2= — 3 -у. Кореньzx= — 3-у
не годится, так как| —3-у > 1. Значит, надо решать
уравнение sin * = -у . Из него получаем * = ъп + ( — 1 )п -у.
Большую роль при решении тригонометрических
уравнений играет выбор функции, через которую выражаются
остальные функции. Может случиться, что при одном
выборе такой функции получается иррациональное уравнение,
а при другом — рациональное. Ясно, что второй выбор
предпочтительнее. Рассмотрим, например, уравнение
3 cos * — 4 sin2 * = — -у .
Если положить sin * = z, то получим иррациональное
уравнение
±ЗугГ=^— 4z2« — 4".
Проще сделать подстановку cos* = z. Тогда получаем
квадратное уравнение
3z-4(l-z2) = --§-•
1 5
Его корнями являются 2х=-у, z2 = j-. Второй корень
не может быть значением cos*. Поэтому cos*= -у и * =
= 2тгд ± -J- .
437
Укажем некоторые правила, облегчающие выбор
подстановки в тригонометрических уравнениях. Мы будем
обозначать через R(z, w) рациональную функцию от z и w, то
есть функцию, получающуюся из z и w и постоянных
операциями сложения, умножения и деления. Примерами
таких функций являются
г2— ш2 (г + w) (г4 — 2да2-М) (t.
2zw ' г8 + w + 7zw* ' ^ '
Если заменить в рациональной функции R(zf w) переменную
z на cos л:, а иу на sin*, то получим функцию /?(cos*, sin д:).
Такую функцию называют рациональной функцией от cosx
и sin*. Например, делая указанную подстановку в функциях
(*), получаем функции
cos2 х — sin* x (sin x + cos x) (cos4 x — 2 sin2 x + 1)
2 cos x sin x ' cos3 л: + sin x + 7 cos x sin4 *
Мы рассмотрим сейчас уравнения вида /?(cos*, sin дг)==0.
В некоторых случаях удается свести такое уравнение к
алгебраическому уравнению относительно cos * или
относительно sin*. Именно если cos* входит в уравнение лишь в
четных степенях, то, заменяя всюду cos2* на 1-—sin2 *,
получим алгебраическое уравнение относительно sin*. Точно
так же, если sin* входит в уравнение лишь в четных
степенях, замена sin2* на 1—cos2* сводит его к
алгебраическому уравнению относительно cos*.
Решим, например, уравнение
sin4 * + 3 cos * — cos4 x — 2 = 0.
В это уравнение sin* входит лишь в четвертой степени. По
указанному правилу целесообразно заменить sin2* на 1 —
— cos2*, то есть sin4 л: на (1 — cos2*)2. Тогда уравнение
примет вид:
(1 — cos2*)2+ 3 cos * — cos4 * — 2 = 0.
Подстановка cos* = z сводит его к алгебраическому
уравнению
(l-z2)2+3z-z4— 2 = 0,
или
2г2— 3z+ 1 =0.
Решая это уравнение, находим, что 01=— z2= 1.
438
Отсюда cos^= -g-, cos^2= 1 и
[х = 2тг/г ± -|- ,
х = 2тслг.
В некоторых случаях можно свести уравнение к
алгебраическому уравнению относительно tg*. Эти уравнения
характеризуются следующим свойством: при одновременной
замене sin х на — sin х и cos х на — cos x левая часть этих
уравнений не изменяется. Например, рассмотрим уравнение
sin2x + 3 sin x cos x + 6 cos2*— 5 = 0.
Ясно, что оно обладает указанным свойством. Поэтому
здесь целесообразна подстановка tgx = z. Чтобы выполнить
эту подстановку, разделим обе части уравнения на cos2* и
примем во внимание, что Qg2 = 1 + tg2*. Мы получим
уравнение
tg2* + 3 tg.T + 6 — 5 (1 -h tg2Jc) = 0.
Подстановка tgx = г сводит его к алгебраическому
уравнению
z2 + 3z + 6 — 5(1 + z2) = 0,
или
4z«—3z—1 -0.
Корнями этого уравнения являются z,= 1, z2= — .
Поэтому нам надо решить совокупность уравнений
rtg*=i,
Из нее находим:
Г X = Ш + -£- ,
х = т.п — arctg -^- .
Следует отметить, что деление обеих частей уравнения
на cos2* не «безобидная» операция: при таком делении
можно потерять корни уравнения. Поэтому после решения
данного уравнения надо еще проверить, нет ли среди его
корней чисел, обращающих в нуль cos*, то есть чисел вида
439
-£- + кп. Проверка показывает, что эти числа не
удовлетворяют уравнению.
Подстановка tg* = z полезна и в случае, когда левая
часть уравнения однородна относительно sin* и cos*, то
есть умножается на множитель ап при одновременной
замене sin л: на a sin* и cos* на a cos*. В этом случае надо
разделить обе части уравнения на cos"* и заменить tg* на г.
Для примера решим уравнение:
2 sin4 * — 3 sin2* cos2* — 9 cos4* = 0.
Значения * = -^- + тгя не являются корнями этого
уравнения. Поэтому можно разделить обе части равенства на cos4*
и положить tg* = z. Мы получим уравнение
2z*— 3z2— 9 « 0.
Его действительными корнями являются z^ j/3, z2=—)/3".
Решая совокупность уравнений
jtg* = K3,_
|_tg*=--K3,
находим * = ъп ± -|- .
Часто уравнение не однородно, но приводится к
однородному простым преобразованием. Например, решим
уравнение
sin2* + 4 sin * cos * + 2 cos2* = 3.
Умножим правую часть уравнения на тригонометрическую
единицу l=sin2* + cos2*. Мы получим однородное
уравнение
sin2* + 4 sin * cos * + 2 cos2* = 3 (sin2* + cos2 x)y
которое решается, как было указано выше.
Упражнения
5. Решить однородные или приводящиеся к однородным уравнения:
а) a sin * + Ь cos х = 0, а Ф Ь;
б) sin2* + 2 sin x cos x + cos2* = 0 ;
в) 5 sin2* — 3 cos2* = 0;
г) sin2* — 10 sin * cos x + 21 cos2 * = 0;
д) 6 cos2* — 2 sin2* = 5;
440
е) sin2* — 2 cos2* -f-g- sin 2*=0;
ж) cos2 5* + 7 sin2 5* == 8 cos 5* sin 5*;
з) sin6* + sin4* cos2* = sin3*cos3* + sin x cos5*;
и) sin2* cos2* — 10 sin * cos3* + 21 cos4* = 0;
к) 8 sin2 -y- — 3 sin * - 4 = 0;
л) sin4* — cos4* = sin2*;
m) 1—3 cos2* = 2 sin x cos *.
6. Решите методом подстановки уравнения:
а) sin2* + -j- = sin *;
б) 2 sin2* cos * + 1 = 2 sin2* -(- cos *;
в) 4 sin3* + 4 cos2* — sin * — 3 = 0;
r) 4 cos3* — 4 sin2* — 3 cos * + 1 = 0;
д) — 6 sin * cos2* — 13 sin2* + 7 sin * + 2 = 0;
е) 2 + cos* 2* = (2 — sin 2*) 2.
2. Универсальная подстановка. Подстановки, которые
мы до сих пор рассматривали, годились лишь для
специальных видов уравнений. Другие уравнения эти подстановки
обращают в иррациональные уравнения. Существует
подстановка, позволяющая превратить в рациональное
алгебраическое уравнение любое уравнение вида R{cosxy sin#)=
= 0 (где R (z, w) — рациональная функция от г и w). Это —
лодстановка tg -75- = и. Мы знаем, что
l-tg*-| 2tg~
cos x = — , sin x = . (1)
Поэтому подстановка ig-Y = u превращает уравнение R (cos x,
sin*) = 0 в уравнение
#(LzJ£l 2u \-q
*М1 +и* ' 1+ «iV
Но левая часть этого уравнения является рациональной
функцией от и. Значит, наша подстановка привела
уравнение к рациональному виду.
441
Надо иметь в виду, что формулы (1) верны лишь при
хфъп. Поэтому после решения надо еще проверить, не
являются ли числа вида ш решениями заданного уравнения.
Рассмотрим, например, уравнение
5
3 sin х — 4 cos x = ~y .
Заменяя sin.v и cos* по формулам (1) и полагая tgy = и,
приходим к рациональному уравнению
6и _ 4(1 —и*) __ _5_
1 + и* 1 + и* ~~ 2 '
После преобразования получаем квадратное уравнение
Зи2+ 12и—13 = 0.
Его корнями являются:
-6 + /75 -6-/75
«1— з » "2 = з •
Поэтому задача свелась к решению совокупностей
уравнений
1^ 2 "™ 3
L 1& 2 3
Отсюда находим:
-6 + /75
х=2т + 2 arctg
3
х=2тг/г + 2 arctg -6~^75.
Заметим, что подстановка tg-|- = # иногда приводит к
слишком сложным алгебраическим уравнениям. В
некоторых случаях рациональное уравнение получается и при
подстановках sinх = и, cos* = # или tgx = u.
Упражнения
7. Решить уравнение
a sin х + Ь cos л: = с
с помощью универсальной подстановки. Вывести условие, связывающее
параметры а, Ь и с, при котором существуют действительные решения
уравнения.
442
8. Решить уравнения:
а) a sin х + Ь cos х =У~а*~{-Ь2 ;
б) 2sin х— 9cos* = 7;
1 + sin x 1_
в) 1 + cos x "~ 2 ;
г) ]/Tsin х + cos х = уТ;
д) /rsin(*-^) + sln(* + ^) = K2\
3. Использование формул для тригонометрических
функций кратных аргументов. Если в тригонометрическое
уравнение входят тригонометрические функции не только от
аргумента *, но и от кратных ему аргументов 2*, 3*и т.д.,
то иногда можно воспользоваться формулами,
выражающими тригонометрические функции от пх через функции от х.
После этого можно применить методы, изложенные в
предыдущих пунктах.
Рассмотрим, например, уравнение
cos 3*cos* + sin22* г-cos* g- =0.
Заменяя cos3* и sin 2* по формулам п. 2, § 6, гл. V,
получаем уравнение
(4 cos3* — 3 cos x) cos x + 4 sin2* cos2* — cos * =- = 0.
Заменим в нем sin2* на 1—cos2* и упростим получающееся
выражение. Мы получим уравнение
cos2* т- cos* о- = 0-
4 о
После подстановки cos* = z получаем квадратное уравнение
z2—х-2- -g- e 0, имеющее корни Zi^-y-, z2= 4- .
Отсюда имеем*
1
cos * = -у- ,
1
cos * = j-
* = 2тгя ± -^- ,
* = 2тг/г ± arccos ( — х) •
443
Во многих случаях такая замена приводит к слишком
сложным уравнениям. Например, применяя этот метод к
уравнению
cos 5 х cos 2x — cos 7x cos 4x = О,
получим алгебраическое уравнение 11-й степени. Ниже мы
узнаем гораздо более простой метод решения такого
уравнения.
Упражнение 9. Решить уравнения:
3
а) tg2x == ctg дг; в) cos3 х sin Зх + sin3* cos Зд: = -г-;
б) 1 + cos х + cos 2x = 0; г) cos х = cos 2x — cos Зх.
4. Решение тригонометрических уравнений методом
разложения на множители. Во многих случаях удается
преобразовать левую часть тригонометрического уравнения f(x)=0
так, чтобы она приняла вид f(x) =*fx(x) ... fn(x). Тогда, как
мы знаем, решение уравнения сводится к решению
совокупности уравнений
Ш = 0
Рассмотрим, например, уравнение
sin х 4- sin2* -f sln3* = 0.
Применим к sin*+sin3x формулу для суммы синусов, а кг
sin 2x— формулу синуса двойного угла. Тогда уравнение
примет вид:
2sin 2xcos.x;-f 2sin *cosx = 0,
или
2cos x (sin 2x -f sin x) = 0.
Вторично применяя формулу для суммы синусов, получаем
уравнение
3 х
4 sin -у-х cos -у cos* = 0.
Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:
Г . з Л
I sin-y *= 0,
I х п
COS у-=* 0,
Lcos х = 0.
444
Решая ее, получаем ответ, состоящий из трех серий
решений:
X
X
X
2т
~~ 3
=*(2л
т.
9
+ 1К
+ /№.
Иногда при разложении левой части уравнения на
множители приходится делать более или менее сложные
преобразования. Рассмотрим, например, уравнение из п. 3:
cos 5xcos 2x — cos 7х cos 4х = 0.
Преобразуем в левой части этого уравнения произведение
косинусов в суммы. Мы получим уравнение
или
-п- [cos 7x -f cos Ъх — (cos 1 lx -f- cos Зд:)] = 0,
-^-(cos7*— cosllx) = 0.
А теперь преобразуем разность косинусов в произведение:
sin9xsin2x = 0.
Наше уравнение свелось к совокупности уравнений:
"sin 9л: = 0,
Решая их, получаем:
sin2x=» 0.
х =
х —
пп
~9~
ъп
Упражнение 10. Решить уравнения:
а) sin 2х + sin x = 0;
б) sin Ъх = sin 2х + sin x\
в) sin (р -\- х) + sin х = cos тг ;
г) tgpx + tgqx = 0;
д) sin x + sin 2x + sin Зд: = 0;
е) cos 4х + cos 2x -f cos jc = 0;
445»
ж) a sin x + b cos x = a sin 2x -— b cos 2x;
з) tg x + tg2* + tg3* = 0;
и) sin x + sin 3* + sin 5л: = О;
к) sin x + sin 3* + cos x + cos 3x=0;
л) cos * — cos 2x = sin Zx\
m) cos 6x cos 3x — cos 7x cos Ax = 0;
, 3 1
cos4* — ~2"cos2jc = -к-
H) ]/ jg + cos** — ycos2* + |/ jg +
5. Тригонометрические неравенства. Как и в случае
алгебраических неравенств, различают два типа задач о
неравенствах: доказательство тождественных неравенств и
решение неравенств. Эти задачи часто можно свести к
соответствующим задачам об алгебраических неравенствах.
Например, пусть надо доказать неравенство
3cosx — 4sinx<5. (1)
Применяя универсальную подстановку tg |-= z, получаем
неравенство
3(1-21) 8г ^g
1+22 1+22^>^
Оно равносильно неравенству
8z2 + 8z + 2>0,
которое выполняется тождественно для всех z, так как
8z2 + 8z + 2 = 2(2z+l)2.
Указанный метод решения пригоден для любых неравенств
вида R(cosx, sin*) >0, где /?(cos.t, sinx) — рациональная
функция от cos л: и sinx. Однако обычно он приводит к
сложным вычислениям. В большинстве случаев выгоднее
пользоваться специальными свойствами тригонометрических
функций. Например, неравенство (1) можно доказать так.
Разделим обе части неравенства на 5 = V^32+ (—4)2:
3 4
g-cos*~ -g-sin.*<l. (2)
Но f-F-J + I—и «1, а потому существует такое а, что
3 4
sina= —, cosa = —- Значит, неравенство (2) можно пере-
о О
писать в виде sin a cos х + cosa sin x <; 1, или, что то же самое,
446
sin(a + *)< 1. А теперь уже очевидно, что оно
выполняется для всех значений хщ
Рассмотрим более сложное неравенство
Для доказательства этого неравенства раскроем скобки
в левой части, применим формулу sin2* + cos2* = 1 и
проведем дроби к одному знаменателю. Мы получим
неравенство
' sin2xcos2x ^ '
равносильное заданному.
Но sin2* cos2* = -г- sin2 2л:, и потому наше неравенство
принимает вид
sin22* ***•
Это неравенство выполняется для всех значений *, кроме
* = у &, так как sin22*<; 1. При этом ясно, что равенство
достигается, лишь если sin22*= 1, то есть в точках вида * =
— Т + "2 *
Перейдем к задачам на решение неравенств. И здесь
обычно удобнее использовать специальные свойства
тригонометрических функций, чем переходить с помощью
универсальной подстановки tg-£- = 2 к алгебраическим
неравенствам. При решении тригонометрического неравенства /(*)>-
>0 надо сначала найти период / функции/(*). После этого
на отрезке [0; I) находим точки, где /(*) обращается в нуль,
и точки, где эта функция разрывна. Пусть найдены точки
хи ••• , хп- Они разбивают отрезок [0, /] на части
[0, хх] , ... ,[**, хк+г]9 ..., [хп,1].
В силу теоремы о промежуточном значении непрерывной
функции на каждом из этих отрезков функция /(*)
сохраняет знак. Поэтому достаточно определить ее знак в одной
из точек каждого отрезка [*Л, xk+{ ]. Тот же знак она будет
иметь на всем отрезке [xk, xk+i ]. После этого остается ото-
447
брать отрезки, на которых /(*)>0. Если [xk,xk+i\— один из
таких отрезков, то и на любом отрезке
[xk+ nl, xk+l + nl], n = 0, ± 1, ± 2, ... ,
функция f(x) неотрицательна.
Таким образом, решением неравенства /(х)>0 является
множество всех точек отрезков вида
[xk + nl, хЛ+1 + nl]
таких, что /(*)>0 на отрезке [xk, xk+i], а /—период
функции /(*).
Решим, например, неравенство
sin 2a:— sin3*>0. (4)
Периодом функции sin2# является т:, а функции sin Зх—
число 2 тг/3. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 2тг.
Поэтому 2тг — период функции f(x) = sin2x — sin3*. Так как
эта функция непрерывна при всех значениях х, то остается
найти решения уравнения sin 2х — sin Зх = 0, лежащие на
отрезке [0,2тг]. Перепишем это уравнение в виде
2sinJcos|-A: = 0.
Оно сводится к совокупности уравнений
sinY=°>
cos-2~^ = 0.
Решая эту совокупность, находим, что х = 2пк или х =
= (2п + 1)-|- . На отрезке [0,2тг] лежат корни хг=0, х2 =4-, х3 =
3 7 9 о
= 5" *' ^= «, *5 = у *» ^«Jf, *7 = 2ТГ.
•Они разбивают этот отрезок на части:
[•.т].[у.М.[4*.«].["Н.
Выберем на отрезке [0, Щ пробную точку -Ц-. Мы имеем:
IT/ = sin "б" — sin IT = sin 3 sin у < 0.
-448
Значит, на отрезке 0, -^-1 неравенство (4) не имеет места.
Теперь рассмотрим отрезок -5-, -г- тс . Здесь выберем
пробную точку х = -7г. Мы имеем:
/(y) = sin2|-sin3-J = l>0.
Поэтому на отрезке ~, -=- тс выполняется неравенство (4).
Точно так же доказывается неотрицательность левой части
неравенства (4) на отрезках тс,— тс, — тс, 2тс . Поэтому
решением этого неравенства является совокупность всех
отрезков вида
^ + 2/гтс,|тс + 2птс],
Г тс + 2/гтс, у тс +, 2/гтс1 , \t тс + 2/гтс, 2тс + 2ятс 1 ,
лг = 0, ± 1, ±2, ... .
Решим еще неравенство
Наименьший период функции tgy равен 2тс, а функции
tgy равен 3 тс. Наименьшим общим кратным чисел 2тс и Зтс
является бтс. Поэтому бтс — один из периодов функции tg-£— tg ~
и, как можно показать, наименьший период этой функции).
Поэтому нам надо решить неравенство (5) на отрезке [0,6тс].
Найдем сначала корни уравнения
tgf-tg^^o.
Так как tga — tg ft = sin * ~ ^ , то это уравнение
равносильно уравнению
X
sin-тт
COS -л" COS "о"
29 Заказ 2541 449
корнями которого, лежащими на отрезке [0; 6^], являются
числа 0 и б7г. В точках, где cos 4-= 0 или cos ~ = 0, функция
f(x) = tg у — tg4- разрывна. На отрезке [0; бтг] такими точ-
3 9
ками являются ^, у^, Зя, -^т^вк.
Найденные точки разбивают отрезок [0; 6т:] на части
3-
[0; *]
от:, 7т- к
3
' 2
тг; Зтг
гтг; 5т:
, [5т:; 6т:].
Методом пробных точек убеждаемся, что решение
неравенства (5) имеет вид:
(блгтс, iz + 6/гтт),
(^ * + 6/гтт, Зтг + блгтт J ,
(-о" я + бшг, 5л: + 6/гтс) *
Решение тригонометрических неравенств облегчается, если
воспользоваться четностью или соответственно нечетностью
функции /(#). Если /(л:) —четная функция и [а, 6] — один из
отрезков, на которых /(#)>-0, то на симметричном ему
отрезке [ — Ь,—а] также имеем /(*)>-0. Если же /(я) —
нечетная функция и Д#)>0 на отрезке [a, ft], то на отрезке
[—Ьу — а] имеем /(х)<0. Таким образом, достаточно
изучить знак функции на полупериоде [0, //2], а потом распро-
И.4]. с
/ /
странить полученные результаты на отрезок
отрезка же
к
на всю ось результат продолжается в
силу периодичности.
Упражнения
И. Решить неравенства:
a) sin х < 0; г) sin х< У$ . ж) sin 2х > — cos 2*; . к) sin x ctg x > 0;
6)cos*>0; 2' 3)sin2*<cos2*; л) tg x ctg х < 0;
е) ctg л: >-1; М) Ctg Ьх > 3 '
в) tg х > 0;
450
nx х sin x — 2 cos x
н) *4(х+1) >1; с) tg 2 > sin^ + 2cosx ;
о) sin х sin 2* > sin Зх sin 4л:; т) sin x + cos л: > 1;
5 / 1 \
п) sin4* + cos4 x <-g- ; у) sin2* -tg L -J < sin2*.
p) cos2*(tg x+ 1) > 1;
12. Доказать неравенства:
a
а) ctgy> 1 -fctga, 0 < a < гс;
б) (1 — tg2*) (1 — 3tg*x) (1 + tg 2a: tg3*) > 0 для любых х из области
определения функций tg x, tg2x и tg3*;
в) cos (sin я) >0 для всех действительных *;
г) sin8* + cos14* < 1 для всех *;
д) 4 sin За + 5 > 4 cos 2% -f 5 sin а при любом а;
е) I tg а* + ctg jcJ> 2 для любого х из области определения функций
tgx и ctg *;
ж) | 5 sin х + 2 cos л: I < 6 для всех *;
з) | 3 sin л + 12 cos x | < 13 для всех *;
и) | cos * + 3 sin х | < У10 для всех *;
к) | 3 cos х — 2 sin а: | < 4 для всех х\
л) | sin a [ + | cos a | > 1 для всех a;
1
м) sin a cos a < -л- для всех a;
н) sin a + cos a < )^2 для всех a;
°) (tg а + ctga)2 > 4 для всех a, для которых одновременно
определены обе функции tga и ctg а;
п) tg4a + ctg4a > 2 для всех а из области определения обеих
функций tga и ctg a;
р) f^cosa < У2 cos ~ для всех а, при которых cos а > 0 и cos ?-> 0.
13. Доказать неравенство
8 sin л: — sin 2х < 2 (8 sin _£ — sin х J .
Пользуясь этиvi неравенством, докгжите^чго 4р2п — рп > ЧРьп—Р2п> где
pk— периметр правильного k - угольника, вписанного в единичную
окружность.
14. Доказать, что
- VT< 2 sin х + sin (x + ~) < V^-
29* 451
6. Уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции. Уравнения вида / (arcsin х) =0, / (arctg *)=
=0 и т. п. также решаются методом подстановки. Решим,
например, уравнение
2 arcsin2 х — 7 arcsin * + 3 = 0.
Подстановка arcsin х = z приводит его к алгебраическому
уравнению 2г2—7г + 3 = 0. Его корнями являются zl = 3,
22 = у. Но — у < arcsinx< у , поэтому мы берем лишь ко-
рень z = у . Решением уравнения arcsin x= у является
*=siny.
Неравенства вида / (arcsin x)>0 также сводятся к
алгебраическим неравенствам подстановкой arcsin x = z.
Упражнения
14. Решить уравнения:
а) arcsin2*——1 arcsin x + —= 0;
2 18
б) arccos2x — —! arccos * + — = 0;
4 4
3ft 7Г2
в) arcsinsje — — arcsin x + —= 0.
4 4
15. Решить уравнения:
а) arcsin (д*_3*+ 1) - -J ;
б) arctg (jc2— 4л: + 2) = — JL .
4
16. Решить неравенства:
а) — -^ < arcsin (л:2 — Зл:) < ~ ;
3 6
б) — 5 < arctg2 2л: — 6 arctg 2л: < 7.
452
§ 4. Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства
1. Показательные уравнения. Показательные уравнения
содержат неизвестное в показателе степени. Примерами
показательных уравнений могут служить
2*-4г+б = 2, 32л + 1 — 4-3*— 1,5 = 0.
В основе решения показательных уравнений лежит
следующая теорема.
Теорема. Если а> 0 и а + 1, то уравнения
а?(х)=а<р(х) (1)
?(*) = Ф(*) (2)
равносильны.
Доказательство. Если х = а — корень уравнения (2),
то ср(а) = ф(а), а тогда а*(«) e a'+(«). Обратно, если а —корень
уравнения (1), то а^а> = а'^а\ а тогда в силу монотонности
функции у = ах имеем <р(а) = Ф(а)- Теорема доказана.
Пример. Решить уравнение
2*2 -2х _- 23дг—6.
По теореме это уравнение равносильно уравнению х2—2х=
= Зх — 6. Его корнями являются Art=2, х2=3.
К уравнениям вида (1) сводятся уравнения вида
а<р<*> = &Ф(*). (3)
Мы знаем, что Ь = а1о^# Поэтому уравнение (3) можно
переписать так:
аср(Л') = дф(Л') lO^fl #
А это уравнение равносильно уравнению
ff(x) = ф(дг) log^a.
Пример. Решим уравнение
3*2-4= 5^
Мы знаем, что оно равносильно уравнению
х2— 4 = 2x1 og35.
Корнями этого уравнения являются числа
*i.2 = log35 ± V(log35)2+4.
453
Рассмотрим теперь уравнения вида f(ax) = 0.
Подстановка ах— z сводит это уравнение к уравнению /(г) = 0. Пусть
гъ ••• у zn—корни этого уравнения. Так как а* принимает
лишь положительные значения, то надо отобрать из этих
корней положительные, скажем, гь ... , zki и решить
совокупность, состоящую из уравнений
a*=zh l</<£.
Пример. Решим уравнение
4*+2*+* —24 = 0.
Так как 4*= (2*)*, 2*+1=2-2-г, то это уравнение можно
переписать так:
(2Х)2+ 2-2*—24 = 0.
Полагая 2^=2, получаем квадратное уравнение z2+2z—24=0
с корнями 2l=4, z2= — 6. Из этих корней положителен
лишь z1=4. Поэтому надо решить уравнение 2Х=4. Его
корнем является х = 2. Он и дает решение заданного
уравнения.
Упражнение 17. Решите показательные уравнения:
а) 4х+1+ 4*= 320; е) 23*.3*— 2Ъх~^З**^ — 288;
б) 5-*+ 2>-Ьх~2= 140; Ж) о,5х*-20х+е1>5 = JL ;
в) 5*— 53-*= 20; ! ^2
г) г-З'-*-1— 5-9дг-2=81; з) 4х- Ъ~~Т=Ъ +Т—22*"1;
Д) 5^—7'—35.5^+35-7'= 0; и) 4^^^ + 16=10-2 >^2;
к) 52+4+6+...-f а^одм-®'
2. Показательные неравенства. Для решения
показательных неравенств используем свойство монотонности
показательной функции. В силу этого свойства неравенство
a*w > cftw при а > 1 равносильно неравенству <?(х) > ф(х), а
при 0 < а < 1 — неравенству ср(*) < ф(л:).
Например, неравенство
2*2—4лг+2 \ 24а—13
равносильно неравенству
a?_4.v + 2>4*— 13.
Решая это алгебраическое неравенство, находим, что х< 3
или я> 5.
454
Неравенства вида f(ax) > 0, где f(z) — некоторая функция,
сводятся путем подстановки ax=z к неравенству f(z) > 0.
Пусть это неравенство выполняется на промежутке 0 < а<;
<z<p. Тогда для х получаем неравенство a<;a^<p или,
иначе, aIo2a<2< a*<alo&^. Этот тип неравенств мы уже
рассмотрели.
Упражнение 18. Решите показательные неравенства:
^ 2 ' г) | 2*- 2 | - | 2*— 1 | > | 2-4- 1 I — 5.
б) 4*—7-2*+ 12 >0;
3. Логарифмические уравнения. В основе решения так
называемых логарифмических уравнений, содержащих
неизвестное под знаком логарифма, лежит следующая теорема:
Теорема. Если а>0, аф 1, то уравнение
logfl<p(*) = bgaty(x) (l)
равносильно системе, состоящей из уравнения ср(л) = ф(л-) и
неравенств ср(*) > 0, ф(л:) >0, ш> есть системе
?(•*) = Ф(*)>
?(*) > 0, (2)
I <К*) > 0.
Доказательство. Пусть a — корень системы (2).
Тогда числа <р(а) и ф(а) положительны и равны: <р(а)>0, ф(а)>0,
<р(а) = ф(а). Отсюда вытекает, что log^<p(a) = log^(a), то есть
что a— корень уравнения (1). Обратно, пусть a — корень
уравнения (1). Тогда числа <р(а) и ф(а) положительны:
<?(а) > 0, ф(а)>0. Кроме того, имеем: log^cp(a) = logfl^(a) и
потому а1о^а^(а)= а1о&Жа). По основному тождеству теории
логарифмов отсюда вытекает, что <р(а) = ф(а). Теорема
доказана.
Пример. Решить уравнение
log2 (л:2- 6х + 1) = log2 (13- 5*). (3)
Это уравнение равносильно системе
х*-Ъх+\ = 13 — 5*, (40
х2— 6* + 1 > 0, (4")
13 — 5*>0. (4'")
455
Решая уравнение (4'), находим корни л'х= — 3, v2=4. Из
них обоим неравенствам (4"), (4"') удовлетворяет лишь
х=—3. Поэтому корнем заданного уравнения является
х=—3.
При решении уравнений вида
loge?(*) = log^(x)
следует использовать формулу перехода к новому
основанию логарифмов:
1
log^) = ^=loga[tW],0ge6.
Пример. Дано уравнение
log2* + log8* = 4.
По формуле перехода к новому основанию логарифмов
имеем:
iog8*- Ioga8 - -J- .
Уравнение теперь будет таким:
или log2x = 3. Окончательно, х = 8.
Наконец, рассмотрим уравнения вида /[logfl#] =0.
Подстановка \ogax= z преобразует такое уравнение к виду
/(г) = 0. Пусть Zj,... , zn—корни уравнения /(г) = 0. Так как
? = logfl*, то корнями уравнения f(\ogax) = 0 являются числа
Л'Л такие, что logfl^= zk, 1 <&<#. Отсюда находим: xk=ak,
1 < k < п.
Пример. Решим уравнение
(log3*)2-log3*-2 = 0. (5)
Подстановка log3* = z преобразует его к виду
г2— z — 2 = 0. (6)
Корнями уравнения (6) являются числа Zj=2, z2=— 1.
Поэтому уравнение (5) имеет корни xv— 32= 9, х2=*3-1= -^ .
Заметим, что при решении логарифмических уравнений
часто приходится использовать свойства логарифмов,
установленные в § 3, гл. VI. При этом надо иметь в виду, что
они установлены лишь для положительных значений аргу-
456
ментов, Поэтому, например, переход от уравнения logflcp(*)-f
+ l°ga<K*) = 0 к уравнению logfl [?(*) ф (х)] = 0 допустим лишь
в области, где <р(х)>0, ф(*)>0.
Пример. Решим уравнение
loge(*- 3) + loge(x + 4) = loge18. (7)
Оно равносильно системе, состоящей из уравнения log,/*2 4-
4- ^— 12) = loga18 и неравенств х — 3 > О, х+4>0.
Заменяя уравнение равносильной системой по доказанной в
настоящем пункте теореме, приходим к системе:
х2+х— 12= 18, (80
*-3>0, (8-)
д: + 4>0. (8'")
Уравнение (8') имеет корни х^= — 6, х2=5. Из них обоим
неравенствам (8") и (8'") удовлетворяет лишь х = 5. Это
значение и является решением заданного уравнения.
Упражнение 19. Решите следующие логарифмические
уравнения:
a) lg (4,5 — jc) == lg 4,5 — lg х; л) log4 (x + 12) iogA-2 = I;
VI
б) \g Yx — 5 + lg Y2x— 3 + l = lg 30; м) К log* j/3* log3x = — 1;
Б) xig5= 10(>; н) Vx = WA ;
о) lg V 75 + 5^—1= 1;
n) l°gv2 + log2* = 2,5;
P) log^+log j_ (х?Уа) = 4;
а^хг
с) log_r3flf + logei*=l;
T) (1 + log^) IOgflX \ЩЬС =
л) 4 —lgx=3yigA:; „* о t~„ ~ i о ,_ . ,
г)
д)
е)
ж)
з)
3
2|ue» * =
xlog^ =
log6 C*2~
24
loge(64>
■2_
1
66 ;
tf2*,
-11*
^
100;
a
+ 43) =
:2- 40*
>0;
= 2;
= 0;
— Irr/97 J_ ^1 2^v 9.
y) 2 log^a +3 log^a +
K)lgl0+-g- lg(27 + 3r^) = 2; Jog^
log^x
4. Логарифмические неравенства. Логарифмические
неравенства решаются на основе свойства монотонности
логарифмической функции. Однако при этом необходимо учи-
457
тывать, что логарифмическая функция определена лишь
при положительных значениях аргумента. Это налагает
дополнительные ограничения на область изменения
неизвестных.
Неравенство logflcp(#) > logfl<K*) при а > 1 равносильно
системе неравенств
( ?(*) > <К*)>
?(*)>0,
( Ф(*) > О,
а при 0 < а < 1 — системе неравенств
[ ?(*)<«К*),
?(*) > О,
I ф(*) > 0.
Решим для примера неравенство
logj_(*»- 4х+ 3) > logj_ (13 - х).
2 2
Оно равносильно системе неравенств:
[ х2— 4х + 3<13 — л,
Х2_4д: + з>0,
[ 13 —х> 0.
Решением этой системы является совокупность
промежутков
Г— 2<х< 1,
L 3 < х < 5.
Неравенства вида /(logflx)>0 упрощаются подстановкой
logax = z. Решим, например, неравенство
*
log2j_x — 5 logj_ x + 4 < 0.
2 2
Полагая log i * = 2, получаем алгебраическое неравенство
Т
z2—52 + 4 < 0, решением которого служит промежуток
1 <2< 4. Отсюда для log i х получаем неравенство 1 <
Т
<logj_ *<4. Значит, (-i)4 <*<уили1^<*<т*
458
Весьма сложны неравенства, содержащие неизвестное
как под знаком логарифма, так и в основании логарифма.
Для примера решим неравенство logt (2,5 — х) < —1. Так как
х является основанием логарифма, то должно быть #>0и
хф\. Кроме того, должно выполняться неравенство
2,5 — х > 0. Итак, допустимыми являются значения х такие,
что 0< *<2,5 и хф 1.
Так как—1 ^log^.—, то наше неравенство можно
записать в виде
log,(2,5-x)<log,4- О)
Теперь надо отдельно рассмотреть случаи х>1 их<1,
Если 1<л:<2,5, то в силу свойства монотонности
логарифмической функции заключаем, что 2,5 — #<—, то есть
х2—2,5* + 1 > 0. Решением этого неравенства является
множество, состоящее из лучей х < 0,5 и *>2. Пересечением
этого множества с промежутком 1<*<2,5 является
промежуток 2 < х < 2,5.
Если же х< 1, то из (1) следует, что 2,5— х>—• или
х2— 2,5л: +- 1 < 0. Решением этого квадратного неравенства
является промежуток 0,5 < х< 2. Пересечением его с
промежутком 0<#<1 является промежуток 0,5 < х< 1. Итак,
решением неравенства (1) является совокупность двух
промежутков: 0,5 < л; < 1 и 2 < л; < 2,5.
Упражнение 20. Решите логарифмические неравенства:
a) log^jc + log3* > 1; з) x\ogax+l > a2x;
2
(разобрать случаи а>\ и 0<а<1); И) i0&lo&*x + \<
в) log,4 < log^; <log^ logjL£±j..
г) log^4.24>log,2; 2 з
1 5
Д) lg (2* — 3) < 1; К) Jog j x > logjfi — -j ;
е) 4 log) (г—1) — log, (x-l)>5; T
{ 2 2 л) log^+p 2 < logjti, 0<p<-j;
ж) l ~ b^Agx < 1+Ig* ;
45g.
M) yXQgt*J=2L < ,. О) log,,,, (U-\)<l0gx,_xX>;
">Чёг1<°: п).овЛ2^,-4-)>1.
§ 5. Приближенное решение уравнений
1. Задача о приближенном решении уравнений. Мы
встречались на протяжении курса математики с самыми
различными видами уравнений: линейными, квадратными,
иррациональными, показательными, логарифмическими,
тригонометрическими. При этом каждый раз ставилась задача о
точном решении уравнения — надо было найти все числа,
удовлетворяющие данному уравнению.
Однако класс уравнений, допускающих точное решение,
весьма узок. Уже для алгебраических уравнений пятой
степени нет общей формулы, выражающей корни этого
уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических
действий и операции извлечения корня. Нет формул и для
решения уравнений
х — tg* + 0,5 = 0, 4* =2* и т. д.
А уравнения такого типа часто встречаются при решении
практических задач.
На практике нет необходимости непременно находить
точное решение того или иного уравнения. Обычно вполне
достаточно знать его корни с определенной степенью
точности. Поэтому возникает задача о приближенном решении
уравнений. Она формулируется так:
Дано уравнение f(x) = 0 и число е > 0. Найти кисла
Ь„ ..., ЬпУ отличающиеся от корней аи ... , ап этого
уравнения меньше, чем на г, то есть такие, что \ bk—ak | <e,
1<*<я.
В этом параграфе мы изложим некоторые методы
приближенного решения уравнения.
2. Отделение корней. Первым шагом при приближенном
решении уравнений является отделение его корней друг от
друга: мы хотим найти такие промежутки, что на каждом
из них содержится только один корень нашего уравнения.
Если функция f(x) непрерывна, то отделение корней
уравнения f(x) — 0 делается с помощью теоремы о
промежуточном значении (см. п. 9, § 3, гл. III). Именно, разбивают от-
460
резок [а, Ь], на котором ищут корни, на части точками
а = х0 < #!< ... < хп= Ь. После этого находят значения
функции f(x) в этих точках: /(х0), /(xO, ... , }(хп). Если f(xk) и
f(xk+\) имеют различные знаки, то на отрезке [xk, xk+\\
уравнение f(x) = 0 имеет по крайней мере один корень. При
этом если функция у = f(x) монотонна на отрезке [xk, xk+i],
то мы имеем ровно один корень уравнения на этом отрезке
(рис. 184).
Следует иметь в виду, что уравнение f{x) = 0 может
иметь корни и на отрезках [xkf Xk+i], Для которых f(xk) и
f(Xk+\) имеют одинаковые знаки (рис. 185). Поэтому либо
берут точки х0, хи ... , хп достаточно близко друг к другу,
либо (что лучше!) предварительно исследуют ход
изменения функции f(x) на отрезке [а, Ь].
Упражнение. 21. Отделите друг от друга корни следующих
уравнений:
а) х4- 2х3— 5х2+ 2х + 0,9 = 0 на отрезке [ — 3; 4];
б) х5- 2х*- 5х*+ 19*»- 17х + 1 = 0 на отрезке [ - 4; 3];
в) х4— 6ха-Ь х*— 1 = 0 на отрезке [ — 1; 6].
3. Метод хорд. Пусть корни уравнения /(х) = 0 отделены
друг от друга. Если мы знаем, что на отрезке [а, 6]
содержится один корень нашего уравнения, то можно принять
числа а и & за приближенные значения этого корня по
недостатку и по избытку. Однако эти приближения обычно
получаются слишком грубыми. Разумеется, можно разбить
отрезок [а, &] на более мелкие части и снова применить
теорему о промежуточном значении. Однако этот метод
очень трудоемкий. Поэтому применяются другие методы
уточнения найденных приближений.
Самым древним методом приближенного решения
уравнений является метод хорд, или ложного положения. Он
заключается в том, что кривую y = f(x) на отрезке [а, Ъ\
Рис. 184 Рис. 185
461
заменяют хордой,
соединяющей концы дуги АВ (рис. 186),
и ищут точку пересечения
этой хорды с осью абсцисс.
Абсциссу этой точки
пересечения и принимают за
приближенное значение корня.
Выведем формулу для
приближенного значения
корня, получаемого по
методу хорд. Координаты концов
А и В дуги АВ имеют вид: A(a,f(a)) и В(Ь, /(&)). Уравнение
прямой линии, проходящей через эти точки, таково:
Рис. 186
У = Па) +
Ь — а
(*- а).
Чтобы найти точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс, положим у = 0. Решая получившееся линейное
уравнение, находим приближенное значение корня:
*1=А- Лц-/(Д) /(а)' (1>
Полученное приближенное значение х} можно снова
уточнить. Для этого вычислим значение f(xj) и возьмем тот из
концов отрезка [а, Ь], в котором знак f(x) противоположен
. знаку /(*!). Пусть это будет конец Ь. Тогда к отрезку [хиЬ]
снова применим формулу (1) и получим следующее
приближение для корня:
f(b) - flxt)
/(*i).
(2>
Продолжая этот процесс, получим рекуррентно определен
ную последовательность чисел хи ... , хп, ... :
Ъ-хп
хп+1 — хп —
f(b)-f(xn)
f(*nY
(3>
Она сходится к корню уравнения f{x) = 0. При достаточно
большом значении п отклонение хп от точного
значения корня а станет меньше заданной точности вычисления
е. Поскольку точное значение а корня нам неизвестно,
обычно ведут вычисления до тех пор, пока не будет
выполняться неравенство | хп+\ — хп | < е. Если знаки функции
462
различны на отрезке [a, *J, то вместо рекуррентной
формулы (3) берут
хп+х = ха— f(Xn)_f(a) /(*„). (3y)
Пример. Найдем с точностью до 0,01 корень
уравнения х*+3х—1=0 на отрезке [0; 1]. Этот корень заведомо
существует, поскольку /(0) = — 1, /(1) =3. По формуле (1)
имеем:
*i=0-l^ .(-1) = 0,25.
Так как /(0,25)=0,253 + 3-0,25—1 ^ —0,234, то используем
формулу (2):
x,-0Xo-zl^2L) * (-0,234)^0,304.
Мы имеем / (0,304)=0,3043+3-0,304— 1 ^ —0,060, и потому
Хг = 0,304- 3i7^0°060) • (-°>060) - 0,3176.
Далее находим, что
^=0,3176- з-^о1!7^) ■(—0,0152)=0,3211.
Таким образом, мы нашли, что с точностью до 0,01
х=0,32. На самом деле с точностью до 0,0001 имеем
х=0,3222. Поэтому х± отличается от точного значения корня
примерно на 0,0011.
Метод хорд допускает существенное усовершенствование. Вместо
того чтобы проводить хорды через точки с абсциссами а и хп (или Ь
и хп), проводят хорды через точки с абсциссами хп_{ и хп. В этом
случае формула для хп\1 имеет вид:
Значения же х± и х2 вычисляются, как указано ранее. Можно
доказать, что усовершенствованный способ хорд дает гораздо более
быструю сходимость к искомому значению корня. Например, в разобранном
выше примере мы нашли Хх=0,25, ЛГ2=0,304. Поэтому
лг.=0,304 0,304-0,25 ,(_о, 060) =0,3226.
а —0,060—(-0,234) v '
Это значение отклоняется от точного значения корня менее, чем на
0,0004.
463
Упражнения
22. Найти по способу хорд положительный корень уравнения
д:3 - 2х2 + Ъх — 5 = О
с точностью до 0,01. Применить усовершенствованный метод хорд и
найти этот корень с точностью до 0,0001.
23. Решить способом хорд уравнение
с точностью до 0,001.
4. Метод касательных. При решении уравнения /(*)«= 0
по методу хорд мы заменяли кривую y=f(x) ее хордой.
После создания дифференциального исчисления Ньютон
разработал другой способ приближенного решения
уравнений, основанный на замене кривой y=f(x) касательной,
проведенной в одном из концов дуги. Уравнение
касательной, проведенной в точке с абсциссой а, имеет вид:
У = Па) + Г(а)(х-а).
Чтобы найти точку пересечения касательной с осью абсцисс,
положим в этом уравнении у=0. Мы получим, что 0=f(a)+
+/f(a)(xl—а), поэтому абсцисса х1 точки пересечения
выражается формулой
x^ = a-iw
Если бы мы провели касательную в точке х=Ь, то
получили бы для абсциссы точки пересечения формулу
№
х±= Ь-
Г(Ь)
Таким образом, в отличие от метода хорд метод
касательных дает не одно, а два приближенных значения
искомого корня. Чтобы выяснить, какое из двух значений
целесообразнее выбрать, рассмотрим рис. 187. Из этого рисунка
видно, что если кривая y=f(x) обращена выпуклостью вниз,
то касательную лучше проводить в том конце отрезка [а, Ь],
в котором функция f(x) положительна. Если же кривая
обращена выпуклостью вверх, то касательную надо
проводить в том конце, где функция f(x) отрицательна. При
другом выборе начального приближения может даже случиться
так, что точка пересечения касательной с осью абсцисс
окажется вне отрезка [а, Ь].
464
Рис. 187
Вспоминая проведенное в п. 5, § 4, гл. IV исследование
направления выпуклости кривой, приходим к следующему
выводу.
При применении метода касательных в качестве
начального приближения надо выбирать тот конец, в котором
знак функции f(x) совпадает со знаком второй производной
/"(*) на отрезке [а, Ь].
После того как получено следующее приближение для
корня, его принимают в качестве отправной точки для:
дальнейшего улучшения приближенного значения корня.
Именно, вычисляют
х - г К*1>
и т. д. Таким путем получают рекуррентно определенную
последовательность чисел х
*л+1
где
Процесс приближения ведут до тех пор, пока значения хп
и хп+\ не совпадут в пределах заданной точности.
Например, пусть нужно найти корень уравнения
гЧ-3*—1=0 на отрезке [0, 1] с точностью до 0,01. Здесь
Дд0=**+3*-1, /'(*)=3*2+3, Г(х)=6х.
Так как на отрезке [0, 1] имеем /"(*)>0, то в качестве на-
30 Заказ 2541 4gg
чального приближения принимаем х0~1 — в точке х0=1
функция f(x) положительна.
Так как /'0) = 6> то
*i = 1—§- = 0,5.
Далее, /(0,5) = 0,625; /'(0,5)=3,75, и потому
х2 = 0,5- -^-=0,33.
Далее находим:
^з=0,33 --Щ- = 0,32.
Так как #4 тоже равно 0,32, то с точностью до 0,01 корень
нашего уравнения равен 0,32.
Упражнение 24. Найти методом касательных приближенное
решение с точностью до 0,001 уравнений:
а) л:»—12*2+3=0; в) *2-Ю 1П х—3-0.
б) sin х + * = Г,
5. Метод последовательных приближений. Как метод
хорд, так и метод касательных являются частными
случаями общего метода приближенного решения уравнений—
метода последовательных приближений. Этот метод
заключается в следующем. Уравнение f(x)=0 записывают в виде
*=<?(*). После этого выбирают каким-либо образом
начальное приближение х0 и подставляют его в функцию у(х).
Полученное значение х1=ср(х0) и дает следующее
приближение. Повторяя этот процесс, получают рекуррентно
заданную последовательность чисел х0, хи ..., хп, ..., где xn+i = <f(xn).
При некоторых условиях, относящихся к функции <р(х),
существует Нтдгя = а. Если функция у(х) непрерывна, то, пе-
реходя к пределу в равенстве *л+1 = <р(*л), получаем:
limxrt+i = lim cp (*„) = ? [limxj
П-*-оо П-*-оо Л->св
или а = ср(а). Это показывает, что предел а
последовательности {хп} является одним из корней уравнения х=у{х).
Метод хорд является частным случаем метода
последовательных приближений, соответствующим записи
уравнения /(*)=0 в виде
«-*-/(*) f{x*Ifa{a) . (1)
466
Метод касательных соответствует записи уравнения f(x) = 0
в виде
Если /(а) = 0, то уравнения (1) и (2) превращаются при x=cl
в равенства а = а. Поэтому эти уравнения эквивалентны
уравнению /(х) = 0.
6. Геометрический смысл последовательных приближений.
Выясним теперь геометрический смысл метода последовательных
приближений. Очевидно, что решить уравнение х=у{х) — это то же самое, что
найти точку пересечения кривой у—у(х) с прямой у=х. Предположим,
что мы выбрали некоторое начальное значение *о- Тогда точка
М0[х0, <р(*0)1 лежит на кривой у=у(х). Проведем через эту точку
горизонтальную прямую. Она пересечет прямую у=х в точке ^[у(х0), <р{х0)].
Обозначим <р(х0) через хх. Тогда координатами точки Ni будут Nx(xi, x{)..
Проведем, далее, через точку Nx вертикальную прямую. Она пересечет
кривую у=у(х) в точке Мх [хъ <p(*i)]. Повторяя этот процесс, получим,
на прямой у=х точку N2 (х2, х2), где Jt2=cF(*i)> a потом на кривой.
у=<р(х) точку М2 [х2, <р(*г)] и т. д. Если этот процесс сходится, то
точки ЛТ0, Mv ... неограниченно приближаются к искомой точке
пересечения М.
Следовательно, геометрический смысл метода последовательных
приближений заключается в том, что мы приближаемся к искомой
точке пересечения кривой у=у{х) и прямой у=х по ломаной линии,,
вершины которой последовательно лежат на кривой и на прямой, а
стороны имеют последовательно горизонтальное и вертикальное
направления.
Если кривая и прямая расположены так, как на рис. 188, а, то
ломаная линия напоминает лестницу. Если же кривая и прямая
расположены так, как на рис. 188, б, то ломаная линия напоминает спираль.
Процесс последовательных приближений может и расходиться.
Графически это означает, что ступени лестницы (или звенья спирали>
Рис. 188
30*
46?
становятся все больше и больше, а потому точки М0, Мь ..., Мп, ... не
приближаются к точке пересечения М, а удаляются от нее.
7. Сжимающие отображения и метод последовательных
приближений. Мы видели, что процесс последовательных приближений может
как сходиться, так и расходиться. Чтобы установить условия
сходимости этого процесса, введем понятие сжимающего отображения.
Возьмем функцию у=<р(х), заданную на отрезке [а, Ъ]. Каждой точке
х этого отрезка соответствует точка у на оси ординат — образ точки х.
Если функция у=<?(х) непрерывна на отрезке [at Ь], то образом
отрезка [а, Ь] является некоторый отрезок [а1у Ъ{[ на оси ординат
(#i—наименьшее значение <р(х) на отрезке [а, Ь], а Ъ\—ее наибольшее значение па
этом отрезке) (рис. 189).
Если повернуть ось ординат на 90° по часовой стрелке, она
совпадет с осью абсцисс, и отрезок \аъ Ьх] будет лежать на оси абсцисс.
Таким образом, функции у=у(х) соответствует отображение отрезка [а, Ь]
оси абсцисс в отрезок ]alt Ьг] той же оси. Если отрезок [дь Ьх] является
частью отрезка [а, Ь], то говорят, что отображение х-+у(х) переводит
отрезок [а, Ь] в себя. Например, функции у= У х соответствует
отображение, переводящее отрезок —, 4 в его часть JL, 2 .
Определение. Отображение х->у(х), переводящее отрезок
[а, Ь] в себя, называется сжимающим, если существует такое число ц,
0<<7<1, что для любых двух точек хх и х2 отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
М*2)—'i(xi)\ < q\X2—хх\.
Например, рассмотрим отображение х->У х. Оно переводит
отрезок [1, 4]_в себя. Для любых двух точек хх и ха этого отрезка имеем
У хх >1, Ух2>и а потому
| ух2—У хх = f— — <
V Х2+У ХХ
l*2-*i|
2
Значит, х-+У х-
■ сжимающее отображение отрезка [1, 4].
Может случиться, что
отображение х->у(х)
переводит отрезок [а, Ь] в его часть,
но не является сжимающим
/ на этом отрезке. Например,
отображение х->У х
переводит отрезок [—8, 8] в его
часть [—2, 2]. Но для точек
хх = —0,008, .г2=0,008 имеем
I *2-*i I -0,016, а
|<Р(*2)—<f(*i)l =
Рис. 189
= | у 0,008-/ -0,008 | -
= 0,4 > 0,016 = 1*2—^1.
Значит, наше отображение
не является сжимающим на
[-8, 8].
468
Пусть х->у(х)—сжимающее отображение отрезка [а, Ь]. Обозначим
через [аг, Ьг] образ отрезка [а, Ь] при этом отображении. Так как
\аъ Ьх] — часть отрезка [а, Ь], то образ [аъ Ь\] является частью образа
[я, Ь], то есть частью [дь ftj. Поэтому отображение х-^-^(х) переводит
и отрезок [#!, Ьх] в его часть. Обозначим образ отрезка [а1у Ьх] через
{#2, Ь2]. Продолжая этот процесс, получим систему отрезков
[а, Ь], [alt ЬД, .... [ап, Ьп], ..., (1)
каждый из которых (кроме [я, Ь]) является частью предыдущего и его
образом при отображении х->у(х).
Докажем, что система отрезков (1) стягивается, то есть что
Ит | Ъп-ап | = 0.
Для этого сначала докажем, что при всех п имеет место неравенство
\bn+i-an+l\<q\bn-on\. (2)
В самом деле, точки Ьп + Х и ап+х являются образами некоторых
точек хг и х2 отрезка [ап, bn]: Ьп+Х=у(х2), an+y=<f(xi)* Поэтому
I Ьл+1—лл+11 = U(*2>-^i)l-
Так как отображение ц(х) — сжимающее, то | у(х2)—cp(jct) I < q\x2—*i|, а
так как точки хх и х2 лежат на отрезке [аПУ Ъп], то \х2—*i I < \bn—an\'
Поэтому | bn+l— an+l | <q\bn-—an\. Неравенство (2) доказано.
Из неравенства (2) вытекает, что для любого п
I Ьп—ап I < Яп I Ъ-а |.
В самом деле,
Ьп-*п\ <Я\Ьп_1-ап_11
bn_x-an_x \<q\ bn__2-an_2\,
I &i—a>\ \<Ц\ Ь—а |.
Перемножая эти неравенства и сокращая на
\Ьп_х-ап_х\ ... \by-at],
получим неравенство (2).
Так как 0<я<1, то из (2) следует, что
0 < lim | bn—an | < lim qn \ b—a | = 0.
Итак, если <р(л:) — сжимающее отображение отрезка [а, Ь], то
система отрезков
[а, Ь], [ai, Ьх], ..., [ап, Ъп]у .,.,
где [an^v bn+x]<—образ отрезка [аПу Ьп], стягивается (см. п. 4, § 3,
гл. II). По теореме о стягивающейся системе отрезков существует
единственная точка £, принадлежащая всем отрезкам [ап, bn]."
469
Мы покажем сейчас, что £ = <f(£), то есть что точка £ неподвиж-
н а при отображении х-+у(х). В самом деле, точка £ принадлежит всем
отрезкам [ап, Ьп]. Поэтому точка <f(£) принадлежит образам всех этих
отрезков. Но образом отрезка [ап, Ьп] является отрезок [ап ilt bn+l].
Поэтому точка ср(£) также принадлежит всем отрезкам [ant bn]. Но эти
отрезки имеют только одну общую точку. Поэтому <f(£) = £.
Мы доказали, что если х-+у(х) — сжимающее отображение отрезка
[а, Ь]у то на этом отрезке есть единственная точка £ такая, что £=<р(£).
Иными словами, на отрезке [а, Ь] есть единственное решение
уравнения х = у(х). Покажем, что если х0 — любая точка отрезка [а, Ь] и если
последовательность х0, х1у ..., хп, ... определяется условием хп+1=^(хп)9,
то эта последовательность сходится к точке £. В самом деле, точка л*0
принадлежит отрезку [а, Ь]. Поэтому точка Хх=у(х0) лежит на отрезке
[аъ bi]. Далее, получаем, что Х2 лежит на [#2, b2] и вообще хп
принадлежит [ап, Ьп]. Так как отрезки [ап, Ьп] стягиваются к точке £, то
lim xn=£.
/г->оо
Мы доказали следующую теорему:
Теорема 1. Пусть х-+у(х) — сжимающее отображение отрезка [а, Ь].
Тогда для любой точки х0 этого отрезка последовательность
лс0, Xi, ..., Xnt •••> где xn+\=<x(xn)> сходится к корню £ уравнения х=у(х)Т
лежащему на отрезке \а, Ь].
Иными словами, если отображение х-+у(х) — сжимающее на отрезке
[at b]t то уравнение х=у(х) можно решать на этом отрезке методом
последовательных приближений.
Заметим, что если отображение х-^^(х) — сжимающее на всей
числовой оси, то в качестве начального приближения можно выбрать
любую точку х0. В самом деле, пусть ср(0)=Л. Покажем, что отрезок
[—/?, R], где R > , переходит при отображении <$(х) в себя. Для
1—q
этого заметим, что если | х | < /?, то
1?М1 = |?(*)-?(0)+?(0)|<1т(0)| + |ф)-т(0)| <A + q\x\<
<A + qR<R (l—q) + qR = R.
Значит, если х лежит на отрезке [—R, R], то и ср(х) лежит на том же
отрезке. Поскольку отрезок [—/?, R] переходит в себя, то отображение
<f(x)~сжимающее на [—R, /?]. Поэтому в качестве начального
приближения можно выбрать любую точку лг0 этого отрезка. Но R—любое
число, большее, чем . Поэтому любую точку оси можно взять в
l—q
качестве начального приближения.
Нам осталось установить удобный признак для того, чтобы
отображение х-+у(х), переводящее в себя отрезок [а, Ь], было сжимающим.
Этот признак дается следующей теоремой:
Теорема 2. Пусть отображение x->*<f(x) переводит в себя отрезок
[а, Ь]. Если на этом отрезке выполняется неравенство |<р'(*)[ < <7<Ь т0
<р(*) — сжимающее отображение.
470
Доказательство. Мы знаем (см. п. 1, § 4, гл. IV), что если на
отрезке [at b] выполняется неравенство 1<р'(*)1 < Я% то Для любых двух
точек этого отрезка имеем:
I <f (*2) — <F(*i) \<Я\ хт-хх |.
Так как по условию 0<<7<1, то отображение х-^^(х)—сжимающее.
Пример. Найдем методом последовательных приближений корень
уравнения х = 1~*~cos x с точностью до 0,001. В этом примере <?(/)=
= !+«>**. но *'(*) = —^- и для всех х имеем j_i»LL|< *
2 2 J х I 2
Поэтому процесс последовательных приближений сходится при любом
выборе начального приближения х0. Положим х0=0. Тогда мы имеем:
Xl= »+cos0 =1; xt= '+cos°.83 =0,837;
*2 = J±£2LL=0,77; *«= 1+cos 0,837 = 0,835;
„ = 1+coos0-77^0,86; *,= 1+cos 0,835 = ^
xt = 1+cos0'86=0,83;
Мы видим, что с точностью до 0,001 значения х6 и л7 совпадают.
Поэтому корень уравнения с точностью до 0,001 равен 0,835.
Следует отметить, что уравнение /(jt)=0 можно различными
способами привести к виду х=у(х). Надо стараться выбрать такой вид,
чтобы на отрезке [а, Ь], где ищется корень, выполнялось неравенств©
1 ?'(*)! < Я* гДе Я < 1- При этом, чем меньше q, тем быстрее будет
сходиться процесс последовательных приближений.
Упражнение 25. Решите методом последовательных
приближений следующие уравнения:
х__ 1 е) 4—Здг-tgA'; л) х2=1п (х+1);
(*-И)2 ' ж) jc*=sinx; м) In x=4—х2;
б) *=(х + 1)»; з) x3=sin*; н) х*=е*+2;
в) *=4+|Г^; и) *=arcsin-£±L; о) х=-^ в"* ;
г)*=2+^; k)*=1 + J»^; n> 2'=^
д) дс=-|/*5—х;
471
§ 6. Доказательство тождеств и неравенств
с помощью дифференциального исчисления
До сих пор мы доказывали тождества и неравенства
элементарными методами. Сейчас мы покажем, что многие
тождества и неравенства можно проще доказывать с
помощью дифференциального исчисления.
1. Доказательство тождеств. В основе доказательства
тождеств методами дифференциального исчисления лежит
доказанная в п. 1, § 4, гл. IV теорема:
Если функции у=<?(х) и y=ty(x) непрерывны на отрезке
[а, Ь] и имеют равные производные внутри этого отрезка,
то они могут отличаться друг от друга лишь постоянным
слагаемым.
Из этой теоремы следует, что для доказательства
тождества <р(х) = ty(x) на отрезке [а, Ь] достаточно показать, что:
а) Функции ср(#) и Ф(*) непрерывны на отрезке [а, 6].
б) Во всех внутренних точках этого отрезка выполняется
равенство <р'(*)=Ф'(*).
в) Хотя бы в одной точке х0 отрезка [а, Ь] имеем
<?(*о) = 'И*о)-
Докажем, например, что
sin4*-[-2 sin2* cos2*+cos4* =1. (1)
Обе части равенства (1) всюду непрерывны. Далее,
продифференцировав обе части (1), получим тождество
4 sin3* cos *+4 sin x cos3 x—4 sin3* cos x—4 cos3* sin x=0.
Кроме того, при *=0 левая часть равенства принимает
значение 1. Значит, равенство верно на всей числовой оси.
Точно так же доказывается, что при —1<*<1 имеет
место тождество
arcsin * + arccos * ■» -£-. (2)
Обе части равенства (2) непрерывны на отрезке [—1, 1].
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем при
—1<*<1 тождество
Кроме того, равенство (2) выполняется при *-^0, так как
arcsin 0 + arccos 0 = 0 +-£- = -J-.
472
Значит, равенство (2) верно для всех значений х, —1<><1.
Наконец, докажем тождество
( 2&г4-£- —х, если 2£тг < х < (2k Jr 1)*,
arcsin(cosx) = J z /3)
I x—2&7г-}--|-, если (2£— 1)те<х<2Ате.
Для этого заметим, что производная функции #=arcsin(cosx)
имеет вид:
, __ —sin х _ —sin x
У 1—cos2* Y sin2*
Но Y sin2* = I sin x \, и потому у' — ~s D * . Таким образом,
у' = — 1, если sin*>0, и #'=1, если sin*<0. Но sinA:>0,
если 2Ат:<л:<(2й+1)7г, и sin*<0, если (2й—1)тг<л:<2/г7г.
Поэтому значения у' совпадают со значениями производных
от функций в правой части тождества (3). Чтобы закончить
доказательство тождества, надо убедиться в его
справедливости хотя бы в одной точке каждого из отрезков
J/гтг, (#-}-1)тс]. Положим х = 2&тг+-^-. Так как cos (2&7r-f--y-J = О,
a arcsinO=0, то левая часть равенства (3) при х=2Ы+ ^-
имеет значение 0. То же значение имеет и правая часть
равенства: 2&7г+ у — [2къ +-^-) =0. Аналогично рассматривается
случай, когда х принадлежит отрезку [(2k—1)тг, 2&тг].
График функции r/=arcsin(cosx) изображен на рис. 190.
Мы видим, что эта функция непрерывна, на отрезках вида
~|Л7г, (/г+1)7г] совпадает с линейными функциями, но на раз-
Рис 190
473
ных отрезках выражается разными формулами. В точках
вида х=пк функция недифференцируема — ее график имеет
излом.
У пражнение 26. Докажите следующие тождества:
1 3
а) sin6*+cos6jt =— 4- —(cos2*—sin8*)2;
4 4
б) 2(sin6A:-f-cos6x)—3(sin4*+cos*x)+l=0;
в) (cos3*—3 cos x sin2x)2+(sin3#—3 sin x cos2jc)2=1;
r) arctg лг+arcctg x = -^-;
f arccos Y I— x*> 0<*<1,
д) arcsin x= <
1 —arccos Y I—x2 у —1<*<0;
x
е) arcsin* = arctg-T===r, —\<x<\;
у 1—x2
x
Ж) arCtg X = arCSin f ', —00<J|f<oo;
V i+*2
з) arctg— = arctg x, x=£0;
X
и) 2 arccos x = arccos (2%2—1), 0<x<l;
к) 2 arcsin л: = arcsin (2x Y 1— *2), 0<х<_1-—;
9r
л) 2 arctg л: = arctg -—-^ , 0<*<1;
1—л:2
m) arcsin (sin x) = J
х—2кк, если 2£ти—JL < x <2/b+ *
2 2 '
(2Л+1)я-дс, если (2* + !)*—|_<x<(2ft+l)ic+|;
н) arctg (tg *) = х—Ь:, Лтс — _ < x < къ +-1-;
о) arcctg (ctg x) = «-hf ятг < x < (&-fl)rc.
2. Доказательство неравенств. Мы рассмотрим два
способа доказательства неравенств методами
дифференциального исчисления. Первый из них основан на теоремах о
возрастании и убывании функций. В качестве примера
докажем, что при #>0 имеет место неравенство
е*>1 + х. (1)
474
Для этого образуем вспомогательную функцию f(x) = ex—\—x
{разность между левой и правой частями неравенства).
Производная этой функции равна f\x)*=ex—\. Но при #>0
имеем ех>1, а потому /'(х)>0 и функция f(x) возрастает.
Значит, если х>0, то f(x)>f(0). Но /(0)=е°—1=0. Поэтому
е*—1—#>0, то есть ех>1+х. Неравенство (1) доказано.
Это неравенство обобщается следующим образом: при
х>0 имеет место
^>1+*+-5Г+-.+1П-- (2)
Доказательство неравенства (2) проводится с помощью
математической индукции по п. При п = \ неравенство уже
доказано. Предположим, что оно доказано для n=k:
еХ>1+х+Ж' + - + ТГ'
и докажем его для n=k+l. С этой целью образуем
вспомогательную функцию:
f(x) = ex—\—x—-^ ••• —(Xfi)!-
Производная этой функции имеет вид:
f'{x\ = Рх 1 __?£> (fe+ Vх — рх ___ 1 х _JL.
По предположению индукции она положительна при х>0.
Значит, функция f(x) возрастает при д:>0, и, следовательно,
при #>0 имеем /(*)>/(0)=0. Тем самым доказано
выполнение неравенства (2) при n=k-\-\. Но тогда оно верно для
всех п.
Мы предоставляем читателю доказать, что при *>0 и
любом натуральном п выполняется неравенство
Аналогично доказывается выполнение при *>0
неравенства
cos*>l--gf-. (3)
х2
Мы образуем функцию /(*) = cos*—\-\—щ~. Ее производная
равна /'(*) = — sin*+*- Так как при *>0 x>sinx, то f'(x)>0.
Дальнейшее рассуждение проводится точно так же, как и
выше.
475
Исходя из неравенства (3), выводим неравенств©
х3
slnx > х—^р.
Из него получаем, что
COS*< 1 2Г + "IT"
Далее выводим
sin*<x—JL + -^1
и т. д.
Другой метод доказательства неравенств основан на
свойствах функций, доказанных в п. 5, § 4, гл. IV.
Там было доказано, что если на отрезке [а, Ь] график
функции y=f(x) обращен выпуклостью вверх, то для
любого t, 0<;/<Л, выполняется неравенство:
f[ta + (l-t)b]>tf(a) + (\-t)f(b). (4)
В частности,
/(£+») >fi5fcHJbL. (5)
Если график функции y=f(x) обращен выпуклостью вниз,
то в (4) и (5) знак неравенства меняется на обратный.
Далее, мы знаем, что если внутри отрезка [at b] имеет место
неравенство /"(*)<0, то график функции обращен выпуклостью вверх, а
если имеет место неравенство f"(x)>0, то этот график обращен
выпуклостью вниз. Отсюда выводим:
Если внутри отрезка [а, Ь] имеет место неравенство f"{x)<0, то
при 0<*<1
f[ta + (1-/)*] > tfla) + (1-0Л*)-
Если же имеет место неравенство /"(*)>0, то
f[ta + (\--t)b]<tf(a) + {\-t)f(b).
Докажем, например, что при 0<а<6<тс выполняется неравенство
. a — b sina-hsin b
Для этого достаточно заметить, что вторая производная функции
y=s\nx равна у" — — sin x и потому отрицательна на отрезке [9, я].
476
Упражнения
27. Докажите, что при *>0 выполняются неравенства:
а) е~х > 1—*;
б) е-х < 1-*+!;
в)с-*>1-* + ^-^
Г) tg* >x+-±L (o<X<_J-j;
д) arcsin х> х (0 <х < l\;
с) arctg.v > х — JL_ (о<х\;
ж) arctgjc < .г —:^L -r Д1 (о<дф
з) In (\+x) > x—-*L + -£L --...+ J:
>л-1
2 3 2/1—1 '
2 3 2n
28. С помощью доказанных в этом пункте неравенств вычислить с
точностью до 0,001:
а) е0'2; б) е~0'3; в) sin 0,35; r) cos 0,15;
д) arctg 0,3; е) In 1,2; ж) In 0,85.
29. Докажите неравенства:
а) cos^+L > cosa+cosb (_j^<a<b<j^.
б) cos J+L > cosa+cosb ^_ <a<b< _3^ у
B)tg!+L< 1«а+1*"'(0<а<Ъ<-±.у
r) arcsin-£jL < arcsin qo-arcsin 6 (0<a<b<1).
a + b
~~2~ Pajupb
д) e < ~y~ (-эс <a<b<cc);
е) in-£+L > 'nfl-Mnft (0<в<ь<оо).
477
3. Сравнение роста показательной и степенной функций.
Мы знаем, что при х-^ + оо как степенная функция у=ха
(а>0), так и показательная функция
У = ах (а>\)
стремятся к бесконечности:
limx* == + оо, а>0,
lima* = + со, а> 1.
На первый взгляд кажется, что если а близко к 1, а а
достаточно велико, то ха будет расти быстрее, чем ах.
Например, при а=1,1 и а=10 имеем:
X
1 X10
1 1,1*
0
0
1
1
1
1,1
2
1024
1,21 j
3
59 049
1,331
4 1
1 048 576
1,4641 1
Рассматривая эту таблицу, трудно поверить, что 1,1* в
конце концов станет больше, чем х10. Тем не менее это
так — уже при *=1000 мы имеем в силу неравенства Бер-
нулли
1,1юоо = [(1,1)1°]юо>21о<\
Но 210 = 1024 > 103, а потому
2100 = (210)10 > 1030 = (1000)10.
Таким образом, 1,11000 > (1000)10. При х > 1000 тем более
имеем 1,1* >#10.
Справедливо следующее общее утверждение:
Теорема. Для любого k > 0 и любого a > 0 имеет место
равенство
lim *" = 0. (1)
Доказательство. Пусть п — натуральное число,
большее, чем а. В силу неравенства (2), п. 2 при х > 1
0<-
еЬх
< ^Гх <
<
1+**+»*+ ... +
<
2!
kn+1 xn+1
(м+1)!
(л+1)!
478
Поэтому
О < limJL < lim (nl\)l = 0.
Значит, lim*— = 0. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, что если а> 1, то
lim -£- = 0. (2)
В самом деле, если а>1, то ax=ekx, где £=1па>0.
Равенство (2) показывает, что скорость роста показательной
функции ах больше, чем скорость роста любой степенной
функции.
Положим в формуле (1) fe = l, ex=t. Тогда x = lnt и мы
получаем, что lim ]n*t =0, то есть lim [—п—| = 0.
1 / 1
Но тогда и lim—гт-=0- Обозначив — через р, мы полу-
чим,
что
lim —5—
0. ГЗ)
Таким образом, скорость роста логарифмической функции
при t-> + co меньше скорости роста любой степенной
функции с положительным показателем.
Положим в формуле (3) t=—. Так как In—- = — In 2, то
Z Z
lim z? In 2 = 0. (4)
Z-++0
Полученные здесь результаты облегчают исследование
выражений, содержащих логарифмическую или
показательную функции, и построение соответствующих графиков.
Пример 1. Построить график функции у=хе~х. Эта
функция определена для всех действительных значений х.
Она не является ни четной, ни нечетной, так как
f(—x) = —хе*ФКх) и f(—x) Ф —/(*).
Исследуем эту функцию на возрастание и убывание. Мы
имеем
у' = е~х — хе~х = е~х {1-х).
479
Отсюда видно, что при *>1 выполняется неравенство #'>0,
а при х<\—неравенство у'<0. Значит, на луче л:<1
функция возрастает, а на луче х>1 убывает. Точка х=\
является точкой максимума нашей функции. В этой точке имеем
у=е~1 = —. Изучим поведение функции при х-+±оэ. Мы
имеем:
lim xe~x = lim [—tel\ = —-оо.
При этом
lim ££ = lim£~*= oo
и, значит, наклонной асимптоты при .v->—со нет. Далее, мы
знаем, что показательная функция возрастает быстрее любой
степенной функции. Поэтому
lim хе~х = lim -^- = 0.
Значит, ось абсцисс является горизонтальной асимптотой
графика у = хе~х, когда *->+оо.
Наконец, исследуем график на выпуклость. Мы имеем
у" = (л— 2)е~х.
Ясно, что при х<2 имеем */"<0, а при х>2' имеем у">0. Поэтому на
луче ( —оо; 2) график обращен выпуклостью вверх, а на луче (2; +эс) —
выпуклостью вниз. Точка
. k х—2 является точкой пе-
* региба. При х -- 2 имеем
I -2 1
чн- j —*~ Нанесем на чертеж
/ х найденные точки пере-
/ сечения с осями и точ-
/ ки экстремума. Прини-
/ мая во внимание по-
/ J ведение функции при
/ I *-> — оо И при Х^+оэ»
/ получаем следующий
' J эскиз графика функ-
! ции, изображенный на
Рис. 191 рИС 191.
480
Пример 2. Построим график функции
У~~ х2-8*
Эта функция определена при всех значениях х, кроме точек
х = ± У^8. Она не является ни четной, ни нечетной. С осью
абсцисс график не пересекается, так как уравнение а р =-- О
не имеет решений. При .v=0 имеем у = —g-. Значит, точка
пересечения с осью ординат м(0, ^-).
Функция может менять знак только в точках разрыва
*i = — V8, Л"2 — 1/8. Проверяя знак функции на
промежутках ( — сю, — ]/"8), (—у\ УЪ)9 (У"8, + °°), находим, что
на луче (—оо, —]/8) она положительна, на промежутке
(—1/8, "|/8)—отрицательна и на луче (У 8,
+оо)—положительна.
Чтобы изучить возрастание и убывание функции, найдем
ее производную:
_ ех (х*-2*-8)
* — (л:2-8)а
Приравнивая производную нулю, получаем уравнение х2—
—2х—8=0 с корнями *з = — 2, х4 = 4. Эти точки вместе с
точками разрыва xl = —Y\ х2=УЪ разбивают числовую ось
на участки (-со, _/8), (-/8, -2), (-2, V8), (/8,1/4) ,
(4, +оо). Проверяя знак у' на этих участках, получаем:
на (—оо, —У~8), (—1/8, —2), (4, +°°) функция возрастает
а на (—2, 1/8), ("j/8, 4) — убывает. Отсюда вытекает, что
х3 = —2 — точка максимума, а х4=4 — точка минимума
нашей функции.
Проведенное исследование позволяет также выяснить
поведение функции в окрестности полюсов. Так как на
участках (—оо, —Y8), (—1/8, 2) функция возрастает, то
при приближении к точке х1 = —1/8 слева функция
стремится к +оо, а при приближении к этой точке справа
31 Заказ 2541 481
У1
e*
функция стремится к
— оо. Аналогично
устанавливается, что
при приближении к
точке У 8 слева
функция стремится к —оо,
а при приближении к
У 8 справа — к +°°-
Выясним теперь
поведение функции при
#->- — оо И Х^ + °°.
Так как lim ех=0, то
ех
lim 2 я =0 и потому
ось абсцисс является
асимптотой графика
при х-> — оо. Далее,
так как показательная
функция при х^ + оо
возрастает быстрее
любой степенной фун-
кции, то lim-
ЛГ-^+оо
**-8
Рис. 192
Исследование кривой
му уравнению, которое
изображен на рис. 192.
Упражнения
30. Вычислите пределы:
2*5—*2+4 .
причем легко видеть,
что при #-^ + оо
график не имеет
асимптоты,
на выпуклость приводит к сложно-
мы опускаем. График функции
a) lim
2*.
2*
б) lim2*(je10(4-5);
в) lim / * yV5+2*la+6);
г) lim
2*+2"
ж- + оо 2-^—2"
482
Д) lim
х-+ °° 2Л -|-х4
ч |. {ПХ
е) lim——;
лг-оо У JC
In3*
ж) lim 7 __
*-+<*> у х + 1
з) lim л: 1п х.
лг-Н-0
31. Постройте графики функций:
а) у=хе-х; Д) У = х In х; и) у = ес0* х\
б) у=х*е~х; е> y=ssx* 1п*; к) :y==ch *~cos *J
er+e-* ж> y=^x-atctg v; л) ^ 1П (1 + <Г*);
в) У g ; з) у=е~х sin х; м) y=cos х—In cos .v.
г) \у=хе'хг\
Краткие исторические сведения
История развития отдельных классов элементарных функций
изложена выше (см. гл. V, VI). В XVII веке функции выражали обычно
геометрически (логарифмы—в виде площадей, ограниченных гиперболой,
обратные тригонометрические функции—в виде частей площади круга
и т. д.). Общий метод представления функций в виде степенных рядов
(см. гл. IX) развил И. Ньютон. Однако общая теория элементарных
функций была развернута лишь Л. Эйлером в его книге «Введение в
анализ бесконечно малых» (1748 г.), содержащей современные
определения тригонометрических функций, показательной функции и т. д.
Эйлер же систематически изучил различные дифференциальные
уравнения, к которым приводят задачи теории колебаний.
Численные приемы решения алгебраических уравнений начали
систематически разрабатывать еще в средневековом Китае (XIII в.) и в
арабских странах как развитие известных ранее методов извлечения
квадратных и кубических корней. К глубокой древности восходит
метод хорд. Метод же касательных принадлежит Ньютону (1669 г.). Метод
последовательных приближений давно применялся в прикладной
математике. В теоретических вопросах этот метод стал играть важную
роль, начиная с работ французского математика Э. Пикара (1856—
1941).
Глава VIII
ИНТЕГРАЛ
В дифференциальном исчислении нам встретились
физические задачи, решение которых сводится к отысканию
производных. Например, для того чтобы найти скорость v(t)
прямолинейно движущегося тела, зная закон его движения s(t),
надо найти s'(t).
Часто возникает обратная задача: нам известен закон
изменения скорости тела, и по нему надо найти закон
движения этого тела. В этом случае по производной s'(t) надо
найти функцию s(t). Раздел математического анализа,
изучающий восстановление функций по их производным,
называют интегральным исчислением. Мы увидим в
дальнейшем, что отыскание площадей фигур, объемов различных
тел и т. п. вопросы также решаются с помощью методов
интегрального исчисления.
Напомним все выведенные ранее формулы для
производных и вытекающие из них формулы для дифференциалов.
Функция Производная Дифференциал
С
u+v
UV
си
а
~v~
с
хп
ах
ех
0
u'+v'
uv'+vu'
си'
VUr—UV'
V*
ev'
V2
nxn~l
axlna
ex
0
da+dv
udv+vdu
edit
vdu—udv
v*
cdv
nxn~l dx
axlnadx
exdx
484
Функция Производная
\ogax 1
lnx
xlna
x
sin л: cosx
cos* — sin*
1
t&* COS2*
ctg*
Диффе
d*
xlna
dx
X
cosxdx
—sinxdx
dx
p e ii ц и а л
cos2*
1 dx
sin2 л: sin2*
shx ch x chxdx
ch x sh x sh x dfjt
1 dx
thx
cthx
arc sin x
arc cos x
arctgx yrjr
1
arc ctg x — jq^2
en2* chtx
_L_ <**
sh2* sh2*
1 dx
/1-х2 /I=*l
1 d*
>^1-*2 /b=*^
dx
1+*2
dx
1-b*2
§1. Неопределенный интеграл
1. Первообразная. Введем следующее определение:
Определение. Функция F(x), заданная на отрезке
[я, &], называется первообразной для функции f(x), заданной
на том же отрезке, если F'(x)=f(x), или, что то же самое,
dF{x) = f(x) dx.
Так, функция F(x)=xm является первообразной для тхт-1
на всей числовой оси, так как для всех х
(хту = тхт~1.
Точно так же функция F(x)=lnx на полуоси ^(0, +оо)—
первообразная для /(*)=—•, так как при 0<х<оо
485
Операция нахождения первообразной по данной функции
называется интегрированием. Операция интегрирования,
таким образом, обратна операции дифференцирования.
Операция интегрирования (в отличие от операции
дифференцирования) многозначна. Именно, если функция F(x)
является первообразной для функции f(x), то и все функции
вида F(x)-\-С, где С—постоянное, также являются
первообразными для f(x). В самом деле, если
F'(x) = /(*),
то
(F(x) + СУ = F'{x) = f{x).
Оказывается, этим исчерпывается множество всех
первообразных для функции f(x). Иными словами, справедлива
следующая теорема.
Теорема. Если функция f{x) имеет в некотором
промежутке первообразную F(x), то выражение F(x)-\-C, где С—
произвольное постоянное, представляет в данном
промежутке множество всех первообразных функций для f(x).
Доказательство. Если Ф(л:) есть первообразная для
f(x), то производная разности Ф(х) — F(x) будет при любом
х из данного промежутка равна нулю:
[Ф(х)-Р(х)]' = Ф'(х)-Р'(х) = Кх)Ч(х) = 0;
тогда в силу теоремы из п. 1, § 4, гл. IV эта разность есть
величина постоянная. Обозначим ее через С:
Q>(x)-F(x) = C.
Отсюда
Ф(х) = F(x) + С,
т. е. любая первообразная Ф(х) функции f(x) определяется
выражением F(x) + Cy где С—постоянное.
Доказанная теорема показывает, что вопрос об
отыскании всех первообразных функций f(x) решается
нахождением какой-нибудь одной из них; если такая
первообразная найдена, то любая первообразная получается
прибавлением к ней некоторого постоянного.
Выражение F(x) + C, где С —произвольное постоянное*
то есть семейство всех первообразных, называют
неопределенным интегралом и обозначают символом
$f(x)dx.
Таким образом,
$f(x)dx = F(x) + C. (1)
486
Неопределенный интеграл функции f(x) представляет
собой множество всех первообразных функций для f(x).
В равенстве (1) функцию f(x) называют подынтегральной
функцией, выражение f{x) dx — подынтегральным
выражением, переменную х — переменной интегрирования,
слагаемое С — постоянной интегрирования.
Если произвольной постоянной С давать различные
значения, то из формулы (1) мы будем получать
соответствующие им различные первообразные для функции f(x).
Пример. Так как (х3)'=3л;2, то функциях3 является
одной из первообразных для функции Зх2.
Следовательно, \3x*dx=x*+C, где С — произвольная
постоянная.
2. Свойства неопределенного интеграла. Опираясь на
определение первообразной, легко доказать следующие
свойства неопределенною интеграла (предполагается, что
рассматриваемые интегралы существуют).
1) d$f(x)dx = f(x)dx. (1)
В самом деле, по определению имеем \f(x)dx = F(x)+C, где
F'(x) = f(x). Поэтому
d$f(x)dx=[F(x) + C]'dx=F'(x)dx=f(x)dx9
что и требовалось доказать.
2) $dF(x) = F(x) + C. (2)
Непосредственно вытекает из определения интеграла.
3) Интеграл от суммы функций равен сумме
интегралов слагаемых:
J [f(x)+*(x)]dx = ff(x)dx + J *{x)dx. (3)
В самом деле, пусть §f(x)dx = F(x) + С и §<t(x)dx = Ф(х) + С.
Тогда F'(x) = f(x), Ф'(х) = <?(х) и потому
J [*(*> + /(*)] dx = j [ F\x) -r Ф'(х)] dx = j [F(x)+<b(x)]'dx =
= j d [F(x) + Ф(х)] = F(x)+0(x) + С = j* f{x)dx + J <?(x)dx.
4) Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
§Af(x)dx = A$f(x)dx.
В самом деле, если А— постоянная, то
AF'(x) = [AF(x)Y.
487
3. Непосредственное интегрирование. «Непосредственное»
интегрирование основано на использовании результатов
дифференцирования функций.
Из всякой формулы dF(x)=f(x)dx дифференциального
исчисления вытекает соответствующая формула §f(x)dx=
=F(x)-\-C интегрального исчисления.
Например, из d(sinx) = cosxdx непосредственно получаем
[ cos xdx = sin x -f- С.
Таким образом, простым обращением таблицы
дифференциалов простейших функций получим следующую таблицу
основных интегралов:
И. J^--ln|x| + C.
III. Г axdx = -£- + С.
НГ. je*dx=e* + C.
IV. j cos xdx = sin x -f С.
V. jsinxdx =—cosx + C.
VI- llfe" = ^+C'
VIII. j chJKUc-shx + C.
IX. j sh xdx - ch х + C.
XI.
XII. Г . dx =arcsin— + C.
488
MV-J^.-ihfel+C
XV. J y==- = ln|*+V*4-al + С
(Проверьте последние два равенства
дифференцированием!)
Интегралы I—XV обычно называют табличными.
С dx
Пример. Найти I По формуле VIII, где а=4,
J у 16—х2
находим:
dx х , ^
— arcsin -г- + С.
1-
Упражнение 1. Вычислить интегралы:
а)$хЧх; т) С dx e) P_rf£_. Г dx
J 4„ r)J/25=7^ 'J*2-25' 30/CT7'
в) Г 2Чх; Д) J 25+х*' 'J K*f+15 • { '
J к) J e-3jrrf.v.
4. Техника интегрирования. Непосредственное
вычисление интегралов с помощью таблицы со стр. 488—489 удается
сравнительно редко. Поэтому для вычисления интегралов
разработан целый ряд приемов, позволяющих сводить
данный интеграл к табличным. Одним из наиболее сильных
приемов является метод подстановки или замены
переменной. В основе этого метода лежит формула
дифференцирования суперпозиции функций. Если F'(x)=f(x), то для
любой дифференцируемой функции x=y(t) имеем:
Из этого замечания вытекает, что если
$f(x)dx = F(x)+C9 (1)
то
$f[?(t)]?V)dt = FMt)]+C. (У)
Но o'(t)dt = do(t), и формулу (1') можно записать так:
$П?№>№ = Р№] + с. (2)
Формула (2) получается из формулы (1) заменой х на
v(t). Итак, в таблице основных интегралов можно заме-
нить х {слева и справа) любой дифференцируемой функцией
y(t). Часто заменяют х линейной функцией x = at+b.
Например, из формулы 1, п. 3 вытекает, что
$(ax+byd(ax+b)=(ax+^+l +C. Но d(ax+b) = adx.
Поэтому
a f (ax+b)»dx = (°*+b)n+l + с,
J п-\-\
или
f (ax+b)»dx = (ах+Ь^ +C
Точно так же из формулы IV, п. 3 вытекает, что
J cos {ax+b)d(ax + b) = sin (ax+b) + С.
Отсюда следует, что
j cos(ax-\-b)dx =— sin(ax + b) -f С.
Вообще, если
j /(*)<& = F(x) + С,
то
^f(ax+b)dx=-~- F(ix + b) + C.
В самом деле,
j /{ajH-&)dx==-i- j /(aJC+fe)d(a^+6)=-^- F(aA:+&) + С.
Например, по формуле XII имеем:
f , dx = Г , dy = -f arcsin (2*-4) + С.
По формуле XIII имеем: J ал,п£х+25 = J 9+(?x+4)« =
-■i-f I+lXj.,« --J-^e(*+-f)+c-
Вообще, если в подынтегральную функцию входит квад
ратный трехчлен, полезно выделить из него полный квадра
и принять выражение в скобках за новую переменную.
490
Приведем примеры более сложных подстановок. Из
формулы IV вытекает, что
J cos (In t)d (In/) = sin (In 0 +С,
или, иначе,
j cos (In 0 -у = sin(ln/) + C.
Из той же формулы выводим, что
Jcos(/3)d(/3) = sin(/3) + C,
или, иначе,
jcos(/3)3/2rf/ = sin(/3) + C
и т. п.
Во многих случаях удается преобразовать заданный
интеграл к виду, получающемуся из табличного интеграла
заменой х на некоторую функцию <р(/). Рассмотрим, например,
интеграл
/ = j esint costdt.
Так как costdt = d(s\nt), то /== j esintd(sint).
Этот интеграл отличается от интеграла НГ из п. 3 тем, что
х заменено на sin t. Поэтому
§esint costdt = eslnt + C.
Аналогично, вычисление интеграла
' j* cos4/ sin / dt
проводится так:
J* cos4/ sin tdt = — J cos4/d(cos0 = —1-^~ + C.
Часто при вычислении интегралов интегральную функцию
f(x) заменяют алгебраической суммой отдельных слагаемых,
после чего интегрируют каждое слагаемое и, применяя
формулу (3) из п. 2, находят интеграл для }{х).
Пример. Найти
COS2JC #
491
По формулам VI и VII, п. 3 получаем: '
f dx С sin2*+cos2* , __ С dx . с dx _j
J sin2* cos2* ~" J sin2* cos2x J cos2* ' J sin2* ~~
= tg* —Ctg* + C.
Пример. Найти
j cos4* sin3*d*.
Мы имеем: sinxdx = — d(cosx), sin2* = 1—cos2*.
Поэтому
f cos4* sin3*rf* = —J cos4* (1—cos2x)d cos * = —Г cos4*d (cos *)+
i r ft J / \ COS5* , COS7* , ~
+ J cos6*a(cos*) = £ 1 ^ \-C.
При вычислении интегралов вида J sin mx cos nxdx,
j* sin mx sin nxdx, j cos mx cos nxdx надо использовать
формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в алгебраическую сумму (см. п. 5, § 6, гл. V),
после чего интегрировать каждое слагаемое. Например,
Г sin 5* cos 2xdx = -у J [ sin 7*+sin 3*) dx = ^ j sin 7xd(7x) +
+ 2?з J sin 3*rf(3*) = —~ cos 7* ^- cos 3*+C.
Аналогично,
J cos 8* cos3*d* =— j [cos ll*+cos5*]rf*=-22" s*n U-* +
+ -r^smbx+C.
Отметим еще так называемый метод интегрирования по
частям, основанный по формуле
d(uv) = udv + vdu
для дифференциала произведения двух функций. Так как
f d(uv) = uv+C, то из этой формулы вытекает, что
j* udv + J vdu= j* d{uv) = uv + C,
и потому
J udv ~ uv —J vdu (3)
492
bibi опустили в правой части слагаемое С, так как -—\vdii
содержит произвольное слагаемое, а сумма двух
произвольных слагаемых — произвольное слагаемое).
\ Основанный на формуле (3) метод интегрирования по частям
состарит в следующем.
1 Подынтегральное выражение f(x)dx представляется каким-либо
офазом в виде произведения множителей и и dv (при этом dx входит
в av) и согласно формуле (1) данное интегрирование сводится к на-
хокдению двух интегралов: для dv и vdu.
Нахождение этих интегралов может оказаться более простым, чем
нахождение интеграла для udv.
Общих правил для разбиения на множители дать нельзя. Обычно
стараются разбить на множители так, чтобы сомножитель и упрощался
при дифференцировании (понижалась степень многочлена, логарифм
заменялся дробью и т. д.).
Пример. Вычислить интеграл
fxe*dx.
Множитель ех не меняется при дифференцировании или
интегрировании. Множитель же х при дифференцировании обращается в 1.
Поэтому полагаем
х = и; exdx = dv.
Отсюда
du=dx; v=§ exdx—ex.
Следовательно,
J xexdx = xex — j exdx=xex—ex-\-C.
Пример. Вычислить интеграл
f *2 In xdx.
Полагаем
In x = u\ x2dx = dv.
Тогда
x J 3
Следовательно,
--г""-тг+с-
Лишь для немногих классов функций удается выразить интеграл
через элементарные функции. Чаще всего интеграл f f(x)dx, где /(*)—
элементарная функция, не выражается через элементарные функции,
то есть, как говорят, „не берется в конечном виде*.
Таковы, например, интегралы
J J V 1-й2 sin** J x
493
и многие другие. Для вычисления таких интегралов применяются раз/
ложения в бесконечные ряды и некоторые другие методы.
Даже в случаях, когда интеграл берется в конечном виде, соответ;
ствующие вычисления бывают слишком сложными. Поэтому на прав
тике для вычисления интегралов чаще всего пользуются таблицами
неопределенных интегралов. Хорошая таблица имеется в «Справочнике
по математике» И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева.
Упражнения '
2. Следующие интегралы вычислить с помощью замены переменней:
dx
a) j* (Ax-7)*dx\ д) j* sin V 2 xdx; з) С d>
;, . 'W^-D* н) Г dx
») Гт7=: ж) f " ■ J VKS*-^ '
JiV 8jc—15 'J ^_6л.+8> r dx
a, J-
K) f '- .
г) $cos5xdx; J ^2-6x+J0
3. Вычислить путем разложения в алгебраическую сумму интегралыг
7—7х*+х+1 ^ д) г sine2xcos^2xdx;
X2 *
ш , *. . , л ,/~ е) f cos 8* sin 6x djc;
[±6x*+Zx+4V x dx. J
;j/~£ ' ж) f sin 12jc sin 2x dx;
в) J sin2 Sx dx; з) J cos 6x cos 3* d*.
r) J cos2 4a: dx;
4. Вычислить интегрированием по частям интегралы:
а) J х* In *d*; в) J (*-f 1) sin bxdx;
б) j *^dA:. r) j ,n x dx
5. Вычислить интегралы:
a) f x4x ■ e) f sin (е*)Мх;
°' "7i ^ » •> sin22*
J (i-f x2)arctg л:
r e*rc*mxdx 3) JV^*;
J j/i__JC2 ' и) J 81п83л: cos^x^a:;
rv Г УхЧ-4 + Vx2—4 dr к) j cos 2* cos 3x sin 4x dx;
"J
^4""16 л) f arcsin 3* dx.
arctg -?--dx.
494
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
временными. Мы уже встречались выше с некоторыми диф-
зеренциальными уравнениями. Однако мы шли обычно не
)т уравнения к его решению, а от функции к уравнению,
Ьешением которого она является. Сейчас мы рассмотрим
\бщий метод решения одного типа дифференциальных
уравнений—так называемых уравнений с разделяющимися
переменными.
1 Простейшими дифференциальными уравнениями являются
уравнения вида y'=f(x). Их можно записать так:
dy = f(x)dx.
Чт|обы решить такое уравнение, достаточно найти интеграл
от функции f(x). Иными словами, решение уравнения y'=f(x)
им^ет видгг/=| f(x)dx. Если F(x) — какая-нибудь первообразная
OT^f(Jt), то это решение переписывается так:
y=F(x) + С.
Лишь немногим сложнее решение уравнений вида
или, иначе,
правая часть которых является произведением функции от
х на функцию от у. Здесь надо сначала разделить
переменные, сделав так, чтобы левая часть зависела только от у, а
правая — только от х. Для этого, разделив обе части
уравнения на <р(£/) и умножив на dx, приведем уравнение к виду
$)=fMdx- (2)
Пусть первообразной функцией для f(x) является F(x), a
Я Ш ~ ФУНКЦИЯ й
следующим образом:
dd>(y)=dF(x). (3)
Так как у—у(х) — функция от ху то это уравнение
выражает равенство дифференциалов двух функций от xf a
именно Ф[#(*)] и Fix). Но дифференциалы двух функций
могут равняться друг другу лишь в случае, когда сами
для уу — функция Ф(у). Тогда уравнение (2) перепишется
495
функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым/
Поэтому из (3) выводим:
Чу) = F(x) + с.
Это равенство можно записать так:
Таким образом, чтобы решить уравнение
4 = /м*ао. I
надо разделить переменные и проинтегрировать обе части
получившегося уравнения. Уравнения вида (1) называют
уравнениями с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение
у' = е~2У sin 3*. (4)
Разделяя переменные, получаем:
e2ydy = sln3xdx. (5)
Проинтегрировав обе части уравнения (5), находим, что
е2у _ cos3* г
Это уравнение можно решить относительно у:
*=4-Ь [2С-
2cos 3*
3 J'
Иногда не сразу видно, что правая часть уравнения
является произведением функции от х на функцию от у.
Например, возьмем такое уравнение:
y'=l+x*+y*+x*tf. (6)
Здесь надо заметить, что правая часть разлагается на
множители:
Поэтому, разделяя переменные, находим, что
и потому
■$r = (l+*)dx.
arctgf/ = *+— +'C.
496
Значит, решение уравнения (6) имеет вид:
У = tg (.
х +
■У
Упражнение
а) ху'=у+у*;
б) хуу' = \—х2;
в) y'tgx=y;
г) ех{Уу' = Х;
6. Решить уравнения:
д) у'±1 + х*+у*+х*у*;
с) y'=cos(x+y) + cos(x—y);
1+>2
ж) /=.
дгу(1 + х2)
6. Составление дифференциальных уравнений. Мы уже
говорили, что многие задачи физики и техники решаются
при помощи дифференциальных уравнений. При этом часто
труднее всего составить дифференциальное уравнение по
условию задачи. Составление дифференциальных уравнений
напоминает составление алгебраических уравнений но
условию задачи.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Бассейн, наполненный водой, имеет форму цилиндра
высотой Н и радиусом R. В дне бассейна сделано отверстие, че-
7
рез которое через 1 час вылилось-^- всей воды. Через
сколько времени вся вода вытечет из бассейна?
Считая скорость истечения постоянной, мы
что бассейн
-г— часа. Но это
получили бы,
решение не-
из бассейна,
опустеет через
точно: ведь по мере того, как вода вытекает
скорость истечения становится все меньше и меньше, а
тому вторая половина вытечет за
большее время, чем первая. Таким образом,
решение задачи осложняется тем, что
скорость истечения воды все время
меняется. Именно, как доказывается в
физике, она равна v=kV2gh, где k—коэф-
фициен пропорциональности, g —
ускорение силы тяжести,а А—-высота
жидкости над отверстием.
Чтобы разобраться в задаче, возьмем
некоторый момент процесса и сделаем
„моментальную фотографию". Пусть
через t часов после начала истечения
уровень воды в бассейне равен А (рис. 193).
32 Заказ 2541
ПО-
L=k\f2gh
Рис. 193
497
Рассмотрим теперь небольшой промежуток времени [t9t+M].j
За этот промежуток времени уровень воды изменится на ЛА./
При этом ясно, что АА<0. По формуле объема цилиндра по-/
лучаем, что количество вылившейся воды равно &V = —тс/?2ДА,
Куда же делась эта вода? Она вылилась из бассейна в
виде цилиндрической струйки с площадью основания S и
высотой L Эта высота равна пути, пройденному водой за
время Ы. Но, как уже говорилось, мгновенная скорость
истечения равна v=kV%gK и мы можем приближенно
считать, что за «малый» промежуток времени Д/ эта скорость
остается постоянной. Поэтому l^tM=k]/2ghM и, значит,
AVttkS\f2gh&t.
Сравнивая получившиеся выражения для Д\/, приходим к
следующему приближенному равенству:
Но lim-^- = A'(/) и потому
—r,Rzbh^kSY2ghM. (1)
Это равенство приближенно, так как на самом деле за
время Д/ скорость истечения хоть и незначительно, но
менялась. Чтобы получить точное равенство, надо разделить обе
части равенства (1) на Д^ и перейти к пределу Л^-^О.
Мы получим, что — тс/?2 lim-T7- = kSy^2gh.
. — h'(t\ лл ггт
Д*
h'it) = AVb, (2)
где для краткости положено А— 2^ . Мы получили диф*
ференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Чтобы решить уравнение (2), разделим обе части на
Y~h и умножим на dt. Так как h'(t)dt=dh, то
-= = Adt%
уи
Проинтегрировав обе части, получим, что
yH = -A-t + C. (3)
Это равенство выражает связь между высотой уровня воды
h и временем t. Но в него входит неизвестная нам величина
498
С — постоянная интегрирования. Чтобы найти ее, вспомним,
что в самом начале уровень воды равнялся //, то есть при
t=0 h—H. Отсюда находим у/ Н—С и, значит,
yrh=^t + YH9 (4)
то есть
Мы не знаем еще коэффициента А. Чтобы найти этот
коэффициент, используем второе условие задачи: через 1 час
9 9
осталось -jg-всей воды. Поэтому при £=1 /г=-^Н.
Подставляя эти значения в формулу (4), находим, что
и потому A = —~2~" Таким образом, A=//(l—T") ■
А теперь уже легко найти, когда вытечет вся вода, то
есть когда будет А«0. Это будет при t=4y то есть не через
16 л
—=-, а через 4 часа.
Упражнения
7. Материальная точка массы т движется прямолинейно под
действием постоянной силы F0. Сопротивление среды движению точки
пропорционально квадрату скорости: F\ =—kv2. Вывести закон изменения
скорости с, если начальная скорость движения равна нулю, и найти
lim о.
8. Материальная точка массы т движется прямолинейно под
действием силы, изменяющейся по гармоническому закону F=A sin wt.
Сопротивление среды пропорционально скорости. Вывести закон
изменения скорости, если начальная скорость движения равна нулю.
Вывести зависимость пути от времени.
9. Найти все кривые, у которых отрезок касательной, заключенный
между осями координат, делится в точке касания пополам.
10. Найти кривые, у которых отрезок нормали от точки кривой до
оси абсцисс есть постоянная величина а.
П. Найти все кривые, у которых касательная в любой точке
отсекает на оси абсцисс отрезок, равный половине абсциссы точки
касания.
32* 499*
!
§ 2. Определенный интеграл
1. Введение. В п. 2, § 1, гл. V мы ввели понятие
площади фигуры. Ограниченная фигура F имеет площадь S(F),
если S(F) — единственное число, разделяющее множество А
площадей многоугольников, содержащихся bF, и
множество В площадей многоугольников, содержащих F.
Для того чтобы фигура F имела площадь, необходимо и
достаточно, чтобы для любого г>0 нашлись внешний
многоугольник Р и внутренний многоугольник р такие, что
разность площадей этих многоугольников меньше е:
S(P)-S(p)<e.
Мы построили в п. 1, § 1, гл. II такие многоугольники
для круга. При этом пришлось воспользоваться теорией
вписанных и описанных правильных многоугольников. Ясно,
что этот путь не приведет к успеху при определении
площади более сложных фигур (рис. 194, а, б, в, г) — в эти
фигуры нельзя вписать и около них нельзя описать
правильных многоугольников. Поэтому нужен иной путь
построения внутренних и внешних многоугольников. Сейчас
мы рассмотрим, как строятся такие многоугольники для
фигур специального вида —криволинейных трапеций.
2. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке
[а, Ь] задана непрерывная неотрицательная функция y—f(x).
Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную
осью абсцисс, прямыми х=а и х—Ъ и графиком функции
y=f(x) (рис. 195). Название „криволинейная трапеция44
связано с тем, что в случае, когда f(x) — линейная функция
f(x)=kx+b, криволинейная трапеция превращается в
обычную.
Кажется очевидным, что всякая криволинейная трапеция
име^т площадь. Однако в математике построено много па-
а б у 6 г
Рис. 194
500
радоксальных примеров, и по-. У к
тому ссылка на «очевидность» |
не может считаться строгим
доказательством. Чтобы
доказать существование
площади криволинейной трапеции,
надо для любого е>0
построить внутренний и внешний
многоугольники, разность
площадей которых меньше е.
Эти многоугольники удобнее
всего строить в виде так назы- —^t
ваемых с ту пе нча ты х
фигур.
Разобьем отрезок [а, Ъ\ на Рис. 195
части точками а = *0< хх <
<... <хп = Ь и проведем прямые х--=ау х=х19 ..., х=Ь. Эти
прямые разобьют криволинейную трапецию на части.
Рассмотрим одну из этих частей, лежащую над отрезком
[xkJ xk+i] (рис. 196). Так как функция f(x) непрерывна на
этом отрезке, то она принимает на нем наименьшее и
наибольшее значения. Обозначим наименьшее значение функции
на отрезке [xk, xk+\\ через mk, а наибольшее —через Mk.
Построим два прямоугольника с основанием [xk, xk+\\:
высота одного из них равна mk, а второго Мк. Ясно, что
первый многоугольник лежит внутри рассматриваемой части
трапеции, а второй содержит эту часть. Площадь первого
прямоугольника равна mk(xk+\— xk), а второго Mk(xk+i—xk).
В дальнейшем мы для краткости будем вместо хк+\—хк
писать &xk.
Объединим теперь все внутренние прямоугольники. Мы
получим ступенчатую фигуру, содержащуюся внутри
криволинейной трапеции (рис. 197). Ее площадь равна:
SBHyTp = mQbx0+mlbx1+ ... +mn-ibxn-i.
Короче это выражение можно записать так:
^внутр =2 mk^Xk-
Точно так же, объединяя все внешние прямоугольники, мы
получаем внешнюю ступенчатую фигуру, площадь которой
равна „_i
5ВНешн = M0bX0 + ... + Мп^Хп-х = 2 MkbXk.
k=0
501
Рис. 196 Рис. 197
Чтобы доказать существование площади криволинейной
трапеции, достаточно для любого г>0 найти такое
разбиение jc0<*i< ... <хп = Ь отрезка [а, &], что для этого
разбиения разность SBHeiu„ — SBHyTp меньше г. Эту разность
можно записать так:
Явивши - «-утр = % М^Ч - Ъ т* АХ* в £ (М*-Щ) b*k*
k=0 А«0 £=Ю
3. Доказательство существования площади
криволинейной трапеции. В предыдущем пункте мы свели
доказательство существования площади криволинейной трапеции к
следующему утверждению:
Теорема. Для любого е>0 найдется такое разбиение
отрезка [а, 6], кто для него
2(Mk-mk)bxk<e. (I)
В этом пункте мы докажем это утверждение. Для этого сначала
докажем следующее свойство непрерывных функций.
Лемма. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [я, Ь], то есть
в каждой точке этого отрезка. Тогда для любого е>0 найдется такое
разбиение а=х0<Хг< ... <хп=Ь отрезка [а, Ь], что для любого k
(k=0t l, ..., л—J) Mk—mk<£.
Доказательство. Проведем доказательство от противного.
Предположим, что такого разбиения не существует. Разобьем тогда
отрезок [а, Ь] пополам. Хотя бы для одной из половин отрезка нет
требуемого разбиения: ведь если бы можно было разбить требуемым
образом каждую половину отрезка [at b], то тем самым оказался бы
разбит и весь отрезок.
502
Выберем ту половину отрезка, которую нельзя разбить требуемым
образом, и снова разобьем ее пополам. Продолжая этот процесс,
получим стягивающуюся систему отрезков
[а, Ь], [аг, Ь{\, ..., [ап, Ьп], ..., (2)
причем ни один из этих отрезков нельзя разбить требуемым образом.
Отрезки (2) стягиваются в некоторой точке с. Эта точка
принадлежит отрезку [а, Ь] и потому функция y=f(x) непрерывна в этой точке.
Но тогда найдется окрестность (с—о, с+о) точки с, в которой
выполняется неравенство \ f(.x)— f(c) \ < JL . Если х' и х" — любые две точки
этой окрестности, то
| /(*")-/(*') I = I Цх")-№+Кс) -1(х') | < I Кх")-№ | +
-1-!/(с)-Д*') l<-J- + -f = «- (3)
Так как отрезки [##, Ь^] стягиваются к точке с, то, начиная с
некоторого номера, они лежат в окрестности (с—Ь, с+Ь). Но если отрезок
[ап, Ьп] лежит в этой окрестности, то для любых двух точек х' и х"
этого отрезка выполняется неравенство (3). А тогда имеем ДО'—m'<e,
где т! — наименьшее и Мг — наибольшее значения функции y=f(x) на
отрезке [оп, Ьп]. Это противоречит предположению, что отрезок [ап, Ьп]
нельзя разбить на части так, чтобы на каждой части выполнялось не-
равенство Мд,—mk<e, — неравенство выполняется даже без
предварительного разбиения на части.
Полученное противоречие показывает, что сделанное нами
предположение неверно и что отрезок [а, Ь] можно разбить на части
требуемым образом.
А теперь докажем теорему. Зададим £>0. По лемме найдется такое
разбиение а=х0<хг< ... <хп=Ь отрезка [а, Ь], что для всех £=0, ...,
п—1, имеем М^—т^< ——, А тогда
Ь—а
п~\ £ л-1
2 {Mk—mk)\xk < "TZ^S Лх**
л-1
Так как &Xk — длина отрезка [*£, хк^{], то V А*£ равна длине 6—а
всего отрезка [я, Ъ] и потому
л-1 е
2 (Mk-mk) Axk < -rz7a (b—a)=e.
Теорема доказана, и тем самым доказано существование площади
криволинейной трапеции.
Доказательство существования площади криволинейной
трапеции упрощается, если функция f(x) не только
непрерывна, но и монотонна на отрезке [а, Ь]. Предположим, что
функция f(x) монотонно возрастает на отрезке [а, 6]. Ра-
503
зобьем этот отрезок на п равных частей точками а=
=х0<^!< ... <хл = 6. Из монотонного возрастания функции
f(x) вытекает, что наименьшее значение f(x) на отрезке
[xk, xkvx] равно f(xk), а наибольшее — f(xk+{):
Щ = /(**), Mk = f(xk+i).
Кроме того, ДхЛ = —=-. Поэтому
k=0 £-0
Точно так же доказывается, что
5" МкЬхк=±=2- [/(*,) + ... +/(*„-,) + /(*„)]. (5)
Суммы (4) и (5) отличаются лишь двумя слагаемыми —
слагаемым f(x{X)=f(a) в (4) и слагаемым f{xn)—f(b) в (5).
Поэтому
£ И** А** -•£ ткАхк = ±£- \f(b)-f(a)\.
k=0 k=0
Отсюда ясно, что если выбрать п так, чтобы выполнялось
неравенство -^=2- [/(&) — /(a)] < е, то^ ^Ц-2%Ц<е,
а значит, криволинейная трапеция имеет площадь.
Точно так же рассматривается случай, когда функция
f(x) монотонно убывает. Легко показать, что теорема
верна и в случае, когда отрезок [а, Ь] можно разбить на
конечное число отрезков [аи &,], ..., [ал, Ьп], на каждом из
которых функция f(x) монотонна; в этом случае функцию
f{x) называют кусочно-монотонной на отрезке fa, b]. Класс
непрерывных кусочно-монотонных функций достаточен для
всех геометрических и физических приложений понятия
определенного интеграла.
4. Понятие определенного интеграла. При доказательстве
существования площади криволинейной трапеции мы встре-
тились с суммами 2 Щ^хк и 2 Mkbxk. Площадь трапе-
ции оказалась числом, отделяющим множество А сумм
504
л-1 л-1
2 Щ&хк от множества В сумм 2 Л^д*а- Такие суммы и
Л=0 6=0
разделяющие их числа встречаются во многих других
вопросах математики. Поэтому изучим их независимо от
понятия площади. Это надо сделать и потому, что до сих
пор мы считали функцию y=f(x) неотрицательной, а такие
суммы можно строить и для функций меняющих знак.
Итак, пусть y=f(x) — любая непрерывная функция на
отрезке [а, Ь]. Разобьем этот отрезок на части точками
e = *o<*i< - <хп = ь О)
и обозначим через mk наименьшее, а через Мк наибольшее
значение функции f(x) на отрезке [xk9 xk+\]. Сумма
л-1
s = 2 mk^xk называется нижней интегральной суммой для
функции f(x), соответствующей разбиению (1) отрезка
/2-1
[а, 6], a 5=2 Mkbxk — верхней интегральной суммой. Ясно,
ЧТО 5<S.
Обозначим через А множество нижних интегральных
сумм для функции /(*), получающихся при всевозможных
разбиениях отрезка [а, &], а через В — множество всех
верхних интегральных сумм для функции на отрезке [а, Ь]. Мы
докажем сейчас, что множество А располоэюено слева от
множества В, то есть что каждая нижняя интегральная
сумма sx не больше любой верхней интегральной суммы s2
(а не только меньше верхней интегральной суммы для
того же самого разбиения).
Геометрически это утверждение очевидно, так как
нижняя интегральная сумма s2 — это площадь внутренней
ступенчатой фигуры, а верхняя интегральная сумма S2 —
площадь внешней ступенчатой фигуры, и ясно, что s^Sg.
Мы хотим доказать неравенство Si<S2 аналитически, ис прибегая
к геометрическим соображениям. Для этого нам понадобится
следующая лемма.
Лемма. При добавлении к разбиению а=х0< ... <хп=Ь новой точки
с нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не
увеличивается.
Доказательство. Пусть новая точка лежит на части [xkt xk+ j]#
Ясно, что в нижней интегральной сумме меняется лишь одно слагазмое:
mk(*k+\—х*) заменяется на mk (с— х^) + mk (xk • l—с), где mk — наи-
505
меньшее значение f(x) на [хк, с], a mk—
наименьшее значение ftx) на [с, xk+l] (рис. 198).
Но тк—наименьшее значение функции f(x')
на всем отрезке [#£, xk+]], а потому mk<mk
и тк<гпк. Следовательно,
m'k (c—Xk) + mk {хк+х—с) ^ mk (c—xk) +
+ mb(xk±v-c)=mk (xk+x—xk).
с Xfo, Этим доказано, что наша замена не умень-
п-\
Рис- 1^8 шила сумму ^ mk ^xk-
k=o
Точно так же доказывается, что добавление новой точки разбиения
п-\
не увеличивает сумму 2 Mkkxk.
k=o
Из этой леммы вытекает, что добавление любого конечного числа
точек разбиения не уменьшает нижних интегральных сумм и не
увеличивает верхних.
А теперь мы можем уже сравнить любую нижнюю интегральную
сумму с любой верхней суммой. Пусть нижняя интегральная сумма s
получается при разбиении отрезка [я, Ь] точками а=х0<хг< ... <хп=Ь
а верхняя 5г — при разбиении того же отрезка точками я—
--Х < х < ... <хт = Ь. Если мы возьмем все точки хк и все точки
Xj, то получим третье разбиение отрезка [а, Ь]. Обозначим через 6 и
S верхнюю и нижнюю интегральные суммы нового разбиения. Так как
оно получилось из первого разбиения добавлением новых точек
х, ..., xm_v то, последовательно применяя доказанную только что
лемму, получаем, что $!<$. Точно так же доказывается, что 5<S2. Но
5 и S — интегральные суммы одного и того же разбиения, а потаму
5<S. Из неравенств sx<s, s<S, S<S2 вытекает, что 51<5г. Тем самым
доказано, что каждая нижняя интегральная сумма не больше любой
верхней интегральной суммы, то есть что множество А расположено
слева от множества В.
Из теор мы о разделяющем числе следует, что
существует по крайней мере одно число /, разделяющее
множества А и В, то есть такое, что для любого разбиения имеем
% ткЬхк^1 К% МкЬхк,
А рассуждения, проведенные в п. 3, показывают, что это
число единственное, то есть что множества А и В
примыкают друг к другу (предоставляем читателю проверить, что
506
по существу мы и в п. 3 не пользовались геометрическими
рассуждениями, а имели дело лишь с нижними и верхними
интегральными суммами).
Единственное число 1, разделяющее множество А
нижних интегральных сумм и множество В верхних
интегральных сумм, называется определенным интегралом
непрерывной функции y=f(x) no отрезку [а, Ь] и обозначается
I = J f{x)dx.
а
Нижние и верхние интегральные суммы можно строить не только
для непрерывных, но и для разрывных функций1. Но здесь уже может
случиться так, что множества А и В не примыкают друг к другу.
Например, пусть D(x) — функция Дирихле, равная 0 в иррациональных
точках и 1 в рациональных точках. Так как каждый отрезок [*#, xk+l\
содержит как рациональные, так и иррациональные числа, то все
Л1£=0, Мь=1, и потому все нижние интегральные суммы равны нулю,
/ п-\ \
а верхние Ъ— а I поскольку У\ \»Ах^=Ь—а\ .. В этом случае множе-
\ k=i )
ство А состоит из одного числа 0, а множество В — из одного числа
Ь—я, и эти множества не примыкают друг к другу. Если для некоторой
функции y=f(x) эти множества все же примыкают друг к другу, то
функцию называют интегрируемой на отрезке [а, Ь]у а единственное
разделяющее число для этих множеств — определенным интегралом
функции /(дг) на отрезке [а, Ь]. Мы будем рассматривать в этой книге лишь
интегралы от непрерывных функций. Все непрерывные функции, как
мы видим, интегрируемы.
Основной результат п. 2 и 3 может быть выражен теперь
следующим образом.
Площадь криволинейной трапеции F, ограниченной осью
абсцисс, прямыми х~а, х=Ь и графиком непрерывной
неотрицательной функции y=f(x), равна определенному
интегралу функции f(x) по отрезку [а, Ь\\
S(F) = )f(x)dx.
а
Мы покажем ниже, что вычисление определенных
интегралов сводится к нахождению первообразных. Для этого
установим некоторые свойства определенных интегралов.
1 Только ть и Мь имеют в этом случае несколько иное значение:
т^—это точная нижняя грань функции f(x) на отрезке [хь, *£-|-i]> a
Mk — точная верхняя грань {(х) на [.*#, xk+1].
507
5. Теорема о разбиении отрезка интегрирования.
Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь\ и с— внутренняя точка этого отрезка. Тогда имеет
место равенство:
) f{x) dx = j f(x)dx + J f(x)dx. (i)
'а а с
Это равенство имеет простой геометрический смысл —
b
если функция f(x) неотрицательна, то интеграл j* f(x) dx ра-
а
вен площади криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 199),
с Ь
а интегралы J' f(x)dx и f f(x)dx равны соответственно плоида-
дям криволинейных трапеций ABEF и EFCD. Но пл. ABCD =
= пл. ABEF + ил. EFCD, откуда и следует равенство (1).
Проведем чисто аналитическое доказательство формулы (1), не
опирающееся па геометрические соображения. Разобьем отрезок [а, с\
на части точками a=x0<xi< ... <хт=с, а отрезок [су Ь] — точками
с=хт <-rm+i<C ••• <хп—Ъ. Обозначим через /и* наименьшее значение
функции f(x) на отрезке [*£, xk^9 а через М^ — ее наибольшее
значение на этом отрезке. Тогда по определению интеграла
т—\ с т—\
J] rnk Ьхц < j f(x)dx < ^ Mk &xkt
k=0 a k=0
n-\ b n-\
2 rnkAxk < J f(x)dx < 2 Mkbxk.
с k=m
k—m
Рис. 199
Складывая эти равенства, получаем:
п—1 с ь
2 mkbxk<$f(x)dx+ §f(x)dx<
*=0 а с
п-\
Это неравенство показывает, что
ь ь
число §f(x)dx+ §f(x)dx разделяет
а с
множество А нижних интегральных
сумм на отрезке [а> Ь] и множество
В верхних интегральных сумм на
том же отрезке. Тем же свойством
508
b
обладает число \f(x)dx. Но так как существует лишь одно число,
а
разделяющее А и В, то
ь с ъ
$f{x)dx=$f(x)dx + $f(x)dx.
а "а с
6. Обобщение понятия определенного интеграла.
Понятие определенного интеграла введено пока что для случая,
когда а<&. Обобщим теперь это понятие и положим по
определению
]f(x)dx^0, (1)
а
]f(x)dx= —J f{x)dx (2)
а Ъ
при а > Ь. Эти определения естественны, так как площадь
криволинейной трапеции, в основании которой лежит одна
точка а, равна нулю. При изменении же ролей точек а и b
меняются знаки разностей &xk=xk+\ — xk, а потому меняется
и знак интеграла.
При любом расположении точек а, 6, с остается в силе
равенство (1), п. 5. Например, если а<6<с, то
J f(x)dx= $f(x)dx-t J f(x)dx= J f(x)dx— J f(x)dx
а "а Ъ а с
и потому
)f{x)dx=]f{x)dx+]f{x)dx.
а а с
Точно так же разбираются остальные случаи.
7. Оценка интегралов. Покажем, что при Ъфа
выполняется неравенство:
m<^]f(x)dx<M9 (1)
а
где т — наименьшее, а М — наибольшее значения функции
y=f(x) на отрезке [а, Ь\.
Если а<Ь, то это неравенство сразу вытекает из
определения интеграла. В самом деле, т(Ь—а) — одна из нижних
509
интегральных сумм, а М(Ь~а) — одна из верхних
интегральных сумм (они соответствуют случаю, когда отрезок [а, Ь]
ие разбивается на части). Поэтому
m(b-a)4*]f(x)dx < M(b-a).
(2)
Деля обе части неравенства на положительное число
b—а, приходим к неравенству (1).
Пусть теперь а>&. Тогда имеем:
При перемене ролей а и Ъ меняют знаки как а—6, так и
интеграл, а потому неравенство (1) остается в силе.
Геометрический смысл неравенства (1) виден на рис.200.
Неравенство (2) служит для оценки интегралов снизу и сверху.
Заметим, что это неравенство верно лишь при а<&.
з
Пример. Не вычисляя интеграла Г
ницы, между которыми он заключен.
Сначала найдем наибольшее и
хЧх
(*2+1)
г,указать гра-
наименьшее значения
подынтегральной функции на отрезке 1-у, 3|.Эти значения,
как мы знаем, принимаются либо в экстремальных точках,
либо на концах отрезка. Производная подынтегральной
функции у
(х2-Н)2
равна уг =
Рис. 200
2х—2х3
(х2-М)3 •
Приравнивая
производную нулю, получаем
уравнение
2-г — 2а:3 = 0,
корни которого равны
л^О, х2=\, х3 = —1. Из
этих корней лишь
первый принадлежит отрезку
интегрирования [-у, 3J .
Точек, где производная
не существует, нет. Нам
510
осталось найти значения функции в точке 1 и в концевых
точках уиЗ. Они равны соответственно
ло-4% /(40=4. лз) =-щ.
1 3
Наибольшее значение равно —, а наименьшее -т^-.
Так как Ь—а = 3 —^~ = 2,5, то имеем оценку
7,5 j* хЧх 2£_
100 ^ )г (jc2+1)2 ^ 4
Т
ИЛИ
x2dx
0,075<J1^r<Gl
625.
Упражнения
12. Докажите, что если f(x) — четная функция, то для любого а
] f(x)dx = 2]f(x)dx,
—а 0
а если f(x) — нечетная функция, то
а
J* f(x)dx=0.
—а
(Дайте геометрическое доказательство.)
13. Найдя наибольшее и наименьшее значения функции у=-
1+х2
на отрезке [—1, 3], докажите, что
3 dx
O^Jl—2 <4'
-1 1 + х*
14, Найдите оценки для интегралов:
к/2 4 2
a) J sin*A:rfx; б) § x*e~xdx; в) J (*2-4x+l)2c(*.
гс/4 1 0
15. С помощью равенства _!L-=arctg 1= Г —^-- докажите, что
4 J 1 + х2
ъ < 4.
511
8. Определенный интеграл как функция верхнего
предела. Мы поставили в соответствие каждому отрезку [а, Ь\
и каждой непрерывной функции y=f{x) на этом отрезке
ь
число §f(x)dx. Если [а, х]— часть отрезка [а, Ъ]9 то этой
а
части соответствует (при заданной функции y=f(x)) число
Л"
jf(x)dx. Ясно, что это число меняется с изменением х, то
а
есть является функцией от х. Обозначим эту функцию
через <!>(*):
•->(*) = ]f{x)dx.
а
Таким образом, ф(х) — это определенный интеграл от /(*) по
отрезку [а, х]. Геометрически Ф(х0) — это площадь
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
y=f(x)9 а с боков —прямыми х=а и х=х0 (рис. 201).
Мы докажем сейчас, что ф(дг) — одна из первообразных
для функции f(x), то есть что ф'(*)—/(*)• Этим будет
установлена связь между понятиями определенного и
неопределенного интегралов.
По определению производной
<L'(*)=lim Ф(*+А*)-Ф(*) .
±х-*0 Д*
X „Г + Л.Г
Но М*)= j7(x)dx, а Цх+Ах) = j f(x)dx,
у
0
[
с
Шжж.
7 X
о 1
i х
Рис. 201
и потому
<ИдН-Дх)--ф(л:)
X Х-\
J f(x)dx~] f(x)dx= J f(x)dx.
х+Ьх
JT+Длг
Поэтому
1 Х + ЬХ
д г_>о Д* J
512
приращение площади
криволинейной трапеции равно
заштрихованной криволинейной
трапеции на рис. 202).
Обозначим через т
наименьшее значение функции f(x) на
отрезке [дг, х -f Ах], а через
М—ее наибольшее значение на
этом отрезке. Тогда имеет
место неравенство:
I ЛГ + АДГ
т <— Г f(x)dx < М
Длг J
Л'
(см. п. 7). Перейдем к пределу
при Дя-^0. Так как т и М —
значения непрерывной функции
f(x) на отрезке [х, х+ Дх], то lim m=f(x) и lim M = f(x).
Дл:->0 Длг-»0
по теореме о пределе промежуточной переменной имеем и
Рис. 202
А тогда
Длг_>.о Ах
л- + Д^г
С f(x)dx=f(x).
X
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Если функция y=f{x) непрерывна на отрезке
X
[а, Ь] и если ф(х) = f f(x)dx, то Ь(х) — одна из первообразных
а
для f(x) на отрезке [а, &], то есть ty'(x) = f(x), а<х<Ь.
Упражнения
16. Функция F(x) задается формулой
F(x) = \
»-t*
*2-г1
-dt.
Найдите F'(x).
17. Найдите производные функций:
Vxsint
a) F(x)= j ^j-dt;
б) F(x)= $_™*LdL
V x
18. Найдите точки экстремума функции
-4
F(x)=l
•dt.
33 Заказ 2541
513
9. Формула Ньютона—Лейбница. Теперь мы уже можем
вывести формулу для вычисления определенного
интеграла. Пусть F(x) — какая-нибудь первообразная для функции
y=f(x). Она может отличаться от первообразной
Ь(х) = Г f(x)dx лишь постоянным слагаемым:
b(x)=F(x) + C. (1)
Чтобы найти значение С, достаточно найти его для одного
значения х. Положим в равенстве (1) х=а. Так как
а
ф(а)= ^f(x)dx=0, то получаем, что 0—F(a)-\-C и потому
C = —F(a). Но тогда
$(x) = F(x) — F(a).
Следовательно, при х=Ь получаем:
№=]f(x)dx = F(b)-F(a). (2)
а
Мы доказали следующую теорему:
Теорема. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и F(x) — одна из первообразных этой функции. Тогда
имеет место равенство:
]f{x)dx = F{b)-F{a).
а
Иными словами, определенный интеграл функции f(x) на
отрезке [а, Ь] равен разности значений любой ее
первообразной в точках b и а.
Формулу (2) называют формулой Н ьютон a—-t/Te йб-
ница в честь открывших ее независимо друг от друга
ученых.
I*
Разность F(b) — F(a) обычно обозначают F(x)
равенство (2) можно записать так: §f(x)dx = F(x)
а
Например, из того, что f хЧх = ^—\-С, вытекает
5J4
а
b
Поэтому
(3)
дз 13
1 — ^21
з з Z1>
а из J sin .vd* = — cos.*+C следует:
= —cos те—(—cos 0) = 2.
l;
'sinxdx = — cosx
"0
Значит, площадь одной полуволны синусоиды равна
2 кв. ед.
Формула Ньютона—Лейбница — одна из самых замечательных
формул дифференциального и интегрального исчислений. Она позволяет
сводить вычисление определенных интегралов (а тем самым и
вычисление площадей, и, как мы увидим дальше, объемов, и других
геометрических и физических величин) к отысканию первообразных. Этим
устанавливается совершенно неожиданная связь между, казалось бы,
совершенно разнородными геометрическими задачами: задачей о
проведении касательной и задачей о нахождении площади криволинейной
трапеции.
Выясним физический смысл формулы Ньютона—Лейбница.
Мы знаем, что мгновенная скорость движения равна производной
пути по времени v(t) = s'(t). Но если известна скорость v(t) в каждый
момент времени, то путь, пройденный с момента а до момента 6, ра-
ь
вен 5 = \v(t)dt В самом деле, разобьем промежуток времени [а, Ь] на
а
части a—t0<ti< ... <tn—b и обозначим через Vu наименьшее, а через
Vk — наибольшее значение скорости за промежуток времени [/#, tk+{\.
Ясно, что путь, пройденный за этот промежуток времени, лежит
между U&A/& и Vk^tk, а потому весь пройденный путь 5 удовлетворяет
(при любом разбиении) неравенству:
л—1 п-\
23 Vk&xk<s < 2 VkMk.
*=0 А=0
Но это и означает, что
ь ь
s= J V(t)dt = J s'(t)dt.
Упражнения
19. Вычислите интегралы:
а) J (л'2-[-4)3*/*; г) j sin 2xdx\ ж) f In xdx\
-10 4
2 ^х */2 2 x4g*x
б) J2 l/T6=F» ; Д) J C0S xdx) 3) J e**+bx* dx'
B)| 25+** ; e)| *»*</*;
33*
515
20. Подберите А и В так, чтобы выполнялись равенства:
1 1
f (Ax+B)dx=0, f {Ах + В)Чх=\.
-l -l
21. Подберите Л, В и С так, чтобы выполнялись равенства:
1 i
\ (Ax*+Bx-}-C)dx=0, f (4*2-fSx+C);t<2x=0,
-1 -1
1
j (Л*2 + ^ + С)Чх = 1.
-1
22. Докажите, что если /и—целое число, отличное от нуля, то
ТС ТС
f cos mxdx= f sinmxd;t=0.
— 7C — TC
23. Докажите, что если т и л—целые числа, причем тфп, то
ТС ТС
f sin mx sin nxdx = \ cos mx cos nxdx = Q.
— TC —TC
24. Докажите, что при любых целых тип
тс
j sinm.v cos nxdx = 0.
—тс
10. Приближенное вычисление интегралов. Мы уже отмечали
в п. 4, § 1, что лишь очень узкий класс функций может быть
проинтегрирован с помощью элементарных функций. Поэтому далеко не все
определенные интегралы можно вычислить по формуле Ньютона—
Лейбница. В тех случаях, когда интеграл не выражается в
элементарных функциях, прибегают к приближенному интегрированию. В основе
приближенных методов интегрирования лежат неравенства
п— 1 ъ п—\
2 тьЦхк <$f(x)dx < 2 M,Axk. (I)
Мы видели выше, что, выбрав отрезки разбиения достаточно малыми,
можно сделать сколь угодно малой разность
п-\ п-\
2 MkAxk— ^ ткЬхь-
*=о k=o
Тогда обе части неравенства (1) мало отличаются от интеграла.
Мало будет отличаться от интеграла и любая сумма вида
л—1
2 /(с*)Д*а, (2)
где сд, —любая точка отрезка [xk, xk\{]. Ведь такие суммы лежат
между нижними и верхними интегральными суммами. Суммы вида (2) на-
516
зывают интегральными суммами. Они зависят не только от способа
разбиения отрезка [а, Ь], но и от выбора точек с&
На практике поступают следующим образом. Разбивают отрезок
[а, Ь] на п равных частей и составляют суммы
Ь—а п~х „, v Ъ-а
(эти суммы соответствуют выбору точек ck в левых и в правых концах
отрезков [х^, xk+l\). После этого образуют среднее арифметическое
полученных сумм. Оно имеет вид:
Г
= 2 + 2j ^xk)
L k=\
(3)
Число /* и принимают за приближенное значение интеграла.
Формула (3) имеет простой геометрический смысл. Именно, мы
заменяем на каждом отрезке [*£, xk+x] кривую y=f(x) ее хордой, то
есть криволинейную трапецию обычной.
Поэтому эту формулу называют формулой трапеций.
Упражнение 25. Вычислите по формуле трапеций при п=10
интегралы:
2 4 dx *_
a) \\gxdx\ г) J п , 2)2 ; 2
о
О ^ Д) J Sin3 ЛГ^ДГ; Ж) J tgxdx.
О О
1
в) j г-** dx;
О
Значения функций брать с точностью до 0,0001.
Для интегралов б) и д) сравнить ответ с точным.
11. Вычисление площадей с помощью определенных
интегралов. Мы знаем, что площадь криволинейной трапеции
выражается определенным интегралом:
S(F) = ]f(x)dx.
а
Поскольку мы умеем уже вычислять определенные
интегралы, то можем находить площади криволинейных
трапеций. Найдем, например, площадь, заключенную между
параболой у=9—х2 и осью абсцисс (рис. 203). Сначала
найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс. Для это-
517
Рис. 204
го надо решить уравнение 9—х2=0. Мы получаем х1 = — 3,
дг2=3. Поэтому искомая площадь выражается интегралом:
5= Г {Q-x2)dx.
-3
Поскольку j (9—x*)dx = 9x—-
ТО
Найдем теперь площадь, ограниченную кривыми у=х2 и
y=*Vх (рис. 204). Для решения этой задачи найдем сначала
точки пересечения кривых у=х2 и У=У х. Для этого надо
решить систему уравнений:
У = *\
y=V*.
Решая ее, получаем хг~0, #2=1. Значит, эти кривые
пересекаются в двух точках. При 0<*<1 имеем х*-^У х, то есть
график функции у=Ух лежит выше графика функции
у=хг. Поэтому, чтобы найти искомую площадь, надо найти
площадь криволинейной трапеции над отрезком [0, 1],
ограниченной сверху графиком функции у=У х, и вычесть
из нее площадь трапеции, ограниченной сверху графиком
функции у=х2. Мы получаем:
S= \yxdx—\x4x = -|*2|
2 .Л|!_
о
з •
518
Упражнения
26. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью
абсцисс, ординатами х=0, х^2 и графиком функции у=хА+2х2-\-4.
27. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью
абсцисс, прямыми х=0, х=\ и графиком функции у=
28. Найти площадь, ограниченную одной волной синусоиды y=sin x
и осью абсцисс.
29. Найти площадь, ограниченную параболой y—x2j\-2x—8 и осью
абсцисс.
30. Найти площадь, ограниченную кривыми у=
и y=YW.
12. Объем цилиндрических тел. Перейдем теперь к
вычислению объемов криволинейных тел. Сначала мы
определим и вычислим объем цилиндрического тела. Пусть в
пространстве задана плоская фигура F и вектор /, не
параллельный плоскости, в которой лежит фигура F (рис. 205).
Отложив от каждой точки х фигуры F вектор /, получим
некоторое тело Z. Мы будем называть такое тело
цилиндрическим, фигуру F — основанием цилиндрического тела, а
вектор / — его образующей. Если фигура F —
многоугольник, то тело называют призмой.
Пусть Z — цилиндрическое тело с основанием F и
образующей I. Рассмотрим множество всех призм с той же
образующей /, основания которых содержатся в F, и
обозначим через А числовое множество, состоящее из объемов
всех призм. Далее, рассмотрим числовое множество В
объемов всех призм, основания которых содержат F, а
образующей является вектор /. По аналогии с понятием площади
криволинейной фигуры введем следующее определение:
Если существует
единственное число V(Z)y разделяющее
множества А и В, то говорят,
что цилиндрическое тело Z
имеет объем V(Z).
Из геометрии известна
формула объема призмы V = SH.
Таким образом, объем призмы
с высотой Н в Н раз больше
площади ее основания.
Отсюда вытекает, что если
основание F цилиндрического
тела Z имеет площадь S, то Рис. 205
519
это тело имеет объем, выражающийся формулой V(Z)—SHf
где Н — высота тела.
Назовем тело Z кусочно-цилиндрическим, если его
можно разбить на конечное число цилиндрических тел с
параллельными образующими. Объемом кусочно-цилиндрического
тела назовем сумму объемов его частей.
13. Объем пирамиды и усеченной пирамиды. Мы
определили, что такое объем кусочно-цилиндрического тела.
Перейдем к рассмотрению тел произвольной формы. С
каждым таким телом Т свяжем два числовых множества А и
В: множество А состоит из объемов
кусочно-цилиндрических тел, содержащихся в Г, а множество В — из объемов
кусочно-цилиндрических тел, содержащих Т. Естественно
потребовать, чтобы объем тела Т был больше всех чисел
из множества А и меньше всех чисел из множества В. По
аналогии с тем, как это было сделано для площадей,
введем следующее определение:
Тело Т имеет объем, если существует единственное
число, разделяющее множества А я В. Это единственное
число V (Т) и называют объемом данного тела.
Все тела, изучаемые в элементарной геометрии
(пирамида, конус, шар и его части), имеют объем. Мы
докажем сейчас это утверждение для пирамиды и выведем
формулу для ее объема. Рассмотрим сначала частный
случай, когда в основании пирамиды лежит треугольник,
причем вершина УИ0 пирамиды Т проектируется внутрь этого
треугольника. Обозначим через h высоту пирамиды, через
S площадь ее основания и через Q само основание
пирамиды (то есть треугольник ABC, см. рис 206).
Сначала докажем, что пирамида имеет объем. Для этого
нужно для любого положительного числа е построить два
кусочно-цилиндрических тела Z' и Z" такие, что ZraTaZ" и
1/(Z")—V(Z')0. Эти тела строятся так. Разобьем высоту
пирамиды на п равных частей точками М0, Ми ..., Мп и
проведем через точки М0, Ми ..., Мп плоскости Р0, Ръ ...,РП,
параллельные плоскости основания пирамиды (плоскость Рп
совпадает с плоскостью основания). Через Qk обозначим
треугольник, получающийся при пересечении плоскости Pk
с пирамидой Т (в частности, Qn—Qy a QQ — это точка М0).
Плоскости Ри ..., Рп-\ разбивают пирамиду на п частей:
TQ, Тъ ..., Тп-\. При k>0 часть Tk является усеченной
пирамидой с основаниями Qk и Q*+i, а Го —пирамида с
основанием Q,. Построим прямую призму Z'k с основанием Qk, за-
520
Рис. 203 Рис. 207
ключенную между плоскостями Pk и Р*+ь А>0. Эта призма
содержится в части Тк пирамиды 7\ Точно так же прямая
призма Z"k с основанием Q*+i, заключенная между теми же
плоскостями, содержит Тк (рис. 207). Таким образом,
Z'kcTkaZ"k. При k=0 мы имеем TQaZnk.
Обозначим через Z' тело, состоящее из всех призм Z'k
(k—\y 2, ..., п— 1). Это тело является
кусочно-цилиндрическим (в данном случае кусочно-призматическим) и
содержится в пирамиде Т. Точно так же тело Zn\ состоящее из
всех призм Z"ki &=0, 1, ..., п— 1, является
кусочно-цилиндрическим и содержит пирамиду Т. Итак, мы построили два
кусочно-цилиндрических тела, между которыми заключена
пирамида Г, Z'tzTaZ".
Покажем, что при достаточно большом п разность
объемов тел Z' и Z" сколь угодно мала.
Для этого заметим, что высоты призм Z'k и Z"k равны
h/n. Поэтому объем призмы Z' равен——, где Sk — площадь
h <?
треугольника Qk9 а объем призмы Z[ равен *±L. Но те-
к п
ло Z' состоит из призм Z^, ..., Z'n_v а потому его объем
выражается формулой
*=1 *=1
521
Тело же Z" состоит из призм Z", Z\ ..., Zmn__x и его объем
выражается формулой
i/(Z")= 2? WJ - 2* -^±L- e 2 ^тт- (2)
/г=0 /г=0 л *=1
Поэтому
Так как h и S постоянны, то при достаточно большом л
разность V{Z") — V(Z') становится сколь угодно малой. Мы
доказали, что пирамида Т имеет объем У(Т), причем этот
объем заключён между объемами тел Z' и Z".
V{Z')^V(T)^V{Z"). (3)
Выведем теперь формулу для вычисления объема
пирамиды. Обозначим через S(xj площадь сечения пирамиды,
параллельного основанию и отстоящего от вершины на
расстоянии х. Так как Sk — площадь сечения пирамиды,
отстоящего от вершины на расстоянии , то S ( J = Sk.
Поскольку S(x) — монотонно возрастающая функция, то, если
hb h(b Л- 1 \
<^х К i выполняется неравенство Sk^.S(x)^Sk+\.
Это означает, что
и
k=0 k=0
являются нижней и верхней интегральными суммами для
h
интеграла \S(x)dx, а потому
о
F(Z')< ]s(x)dx<V(Z"). (4)
о
Таким образом, как объем пирамиды V(T), так и интеграл
h
§S(x)dx заключены между V(Z!) и V{Z"). Поскольку при до-
г522
статочно большом п разность V(Z") — V(Z') сколь угодно ма-
ь
ла, то числа V(T) и §S(x)dx совпадают, то есть1
1/(Г) = }s(jc)dJr. (5)
о
Чтобы закончить вычисление объема пирамиды, нам
осталось вычислить интеграл (5). Для этого вспомним, что
площади параллельных сечений пирамиды относятся как
квадраты их расстояний от ее вершины. Поэтому
S(x) XL
S - Я2
и, значит, S(x)= -™-. Подставляя значение S(x) в интеграл
(5) и вычисляя получающийся интеграл, находим, что
_ _ Sh
о
иТ^4
3
(6)
При выводе формулы (6) мы сделали упрощающее
предположение, что проекция вершины пирамиды лежит внутри
ее основания. Это предположение на самом деле излишне.
Если проекция вершины пирамиды лежит вне основания,
надо соединить вершину М0 пирамиды с любой точкой D
основания и строить призмы, образующие которых
параллельны отрезку MQD. Таким образом, мы доказали, что
объем любой треугольной пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
Так как любая пирамида может быть разбита на
треугольные, это утверждение верно для любой пирамиды:
V = -3?-. (7)
Теперь найдем объем усеченной пирамиды. Пусть
площадь нижнего основания пирамиды равна S, площадь
верхнего основания равна s и высота равна А. Усеченная
пирамида получается, если от полной пирамиды высоты h отсечь
пирамиду плоскостью, параллельной основанию и отстоящей
1 Читатель, знакомый с выводом формулы объема пирамиды,
принятым в книгах по элементарной геометрии, несомненно, заметит
аналогию с проведенным сейчас рассуждением.
523
от вершины пирамиды на расстоянии a = b—h (см. рис. 208.)
Так как площади параллельных сечений пирамиды относятся
как квадраты их расстояний от вершины, то
Sa* о
и потому s=-j—. Значит, объем всей пирамиды равен
tr/ Sb „ Л Т7// яд 5л3
К'=— -, а объем отсеченной части равен К = —g- = 3^-.
Поэтому для объема усеченной пирамиды получаем
формулу:
^e^ K -~~г зьа ~ з^2 • w
Полученная формула не слишком удобна: в нее входят
величины а и bf относящиеся к полной пирамиде. Чтобы
преобразовать эту формулу, воспользуемся равенством
и заметим,
Поэт
Но
:ому
что
63-
Ъ—а
V
S = S
о? =
= А-
h
~ 3
а
И1Г
(6-
- это
■{s+
s =
a) (ft2 + a
высота
а „ а»
6 ^"Т" 62
v^
6+
аг)
усеченной
■4
■ S
= VsS.
пирамиды
Итак, формулу (8) можно записать так:
v=±-{s+s + y-sS). (9)
Иными словами, объем усеченной пирамиды равен одной
трети высоты этой пирамиды, умноженной на сумму
площадей ее оснований и среднего геометрического этих
площадей.
14. Объем тела вращения. Перейдем к вычислению
объемов тел вращения. Пусть на отрезке [а, Ь] задана
неотрицательная монотонная возрастающая непрерывная функция
y—j(x). Повернем криволинейную трапецию, ограниченную
графиком функции #=у(*),госью абсцисс и ординатами х*=а,
х=Ь, вокруг оси Ох. Мы получим некоторое тело
вращения Т (рис. 209).
524
Рис. 208 Рис. 209
Сейчас будет доказано, что это тело имеет объем,
выражаемый формулой:
v=«]mx)rdx.
а
Для этого разделим отрезок [а, Ь] на п равных частей
точками
а = *о<*1< — <хп = ь
и проведем через эти точки плоскости Р0, Рх, ••-, Рп,
перпендикулярные оси абсцисс. Эти плоскости разобьют тело
вращения на «ломтики» Т0у Ти ..., Тп-и Обозначим через Qk
круг, получающийся при пересечении тела Т с плоскостью
Pk, а через Sk — площадь круга Qk.
Построим для любого k (0<&Oi—1) прямой круговой
цилиндр Z'k с основанием Qk9 заключенный между
плоскостями Рк и Pk+u и прямой круговой цилиндр Z"k с
основанием Qk+u заключенный между теми же плоскостями. Так
как функция f(x) по условию возрастает, то часть Тк тела
вращения, заключенная между плоскостями Pk и Pk+i9
содержит цилиндр Z'k и содержится в цилиндре Z"k, Z'kczTkc:Z"k
Составим кусочно-цилиндрическое тело Zr из всех
цилиндров Z'k. Оно содержится в теле Т. Так как высота
цилиндра Z'k равна ~ , а площадь его основания равна SkJ
то объем тела Z' равен:
V(Z') = n±lV(Z'k)=%^ Sk. (1)
k=0 k=Q
525
Далее образуем тело Z", состоящее из всех цилиндров
Z"k. Оно содержит тело вращения Т, а его объем равен:
V(Z»)=%1 V(Z"k)=%l±^Sk+u
Когда k меняется от 0 до п— 1, то k+l меняется от 1 до п.
Поэтому
V(Z") = 2l-t^Sk. (2)
Суммы (1) и (2) отличаются лишь тем, что в (1) входит
слагаемое —— S0, а в (2) — слагаемое ~~а Sn. Таким
образом,
V(Z") - V(Z>)=^- Sn —*=?-S0.
Ho Sn и S0—площади сечений с абсциссами b и а и
потому постоянны. Поэтому при достаточно большом п
разность V(Z") — V{Zr) становится сколь угодно малой. Значит,
тело вращения имеет объем V(T), причем выполняются
неравенства:
V(Z') < V(T) < V(Z").
Вычислим объем V(T). Обозначим через Q(x) сечение
тела Т плоскостью Р(х), перпендикулярной оси абсцисс и
проходящей через точку с абсциссой х и через S(x) —
площадь этого сечения. Так как функция f(x) монотонно
возрастает, то и функция S(x) монотонно возрастает, а потому
при xk^x^xk+\ выполняется неравенство Sk^CS(x)^.Sk+\. Это
означает, что V(Zr) я V(Z") являются соответственно нижней
и верхней интегральными суммами для интеграла
ъ
§S(x)dx и потому
а
V(Z')< ]s(x)dx4y(Z").
а
Так как разность V{Z") — V(Z') может быть сделана сколь
ъ
угодно малой, то числа V(T) и \S(x)dx совпадают, то есть
а
V(T) = jS(x)dx.
а
526
Заметим теперь, что радиус сечения Q(x) равен f(x), a
потому площадь S(x) этого сечения равна n[f(x)]2.
Следовательно,
V(T) = J tz [/(*)]■ dx = r] \f[x)\*dx. (3)
a a
Это и есть искомая формула для объема тела вращения.
Мы вывели формулу для объема тела вращения, сделав
предположение, что, функция f{x) неотрицательна,
непрерывна и монотонно возрастает на отрезке [а, Ь].
Разумеется, условие монотонного возрастания можно заменить,
менее ограничительным условием кусочной монотонности.
Несколько более сложные рассуждения показывают, что и
условие кусочной монотонности излишне — формула (3)
верна для любой непрерывной неотрицательной функции
/ю-
Применим формулу (3) для вычисления объема конуса,
у которого радиус основания равен #, а высота равна h.
Этот конус получается при вращении вокруг оси Ох
треугольника ОАВ, где ОА=/г и AB=R (рис. 210). Уравнение
прямой ОВ имеет вид: у ^-jr*- Поэтому объем конуса
выражается формулой:
v-"Jbr*) dXs=-w-r
7t/?2/j
(4)
Далее выведем формулу для объема
усеченного конуса. Пусть основания
усеченного конуса отстоят от вершины
неусеченного конуса на расстоянии &и a=b—h
(Л—высота усеченного конуса; см. рис. 211).
Рис. 210
Рис. 211
527
Тогда из подобия треугольников ОАВ и ОА'В' имеем -— = -^-
t о R
Ьг
и потому а= -н-
Объем неусеченного конуса равен V7' =
*R*b
ооъем
отсеченной части конуса равен V
ioro конус
V=V"—V'
TzR*a*
grp—. Поэтому объем
усеченного конуса выражается формулой:
kR4 kRW %R2
-w №-**) =
3 3£2
2
izR*h
3
O+T + Ж) = "Г" (*f+*r+r«).
Итак, для усеченного конуса
(5)
Кус. кон—f~(R2+Rr+r*).
Вычислим, далее, объем шара и шарового слоя. Шар
получается при вращении полукруга вокруг оси Ох (рис. 212).
Пусть радиус шара равен R. Тогда уравнение верхней
полуокружности имеет вид: y = YR2—х2. Значит, объем шара
выражается формулой:
1/= тг J [VR2-x2)2dx = тг J {R2~-x2)dx = * ( /р* — -^-)
R*
«(«•-•tF-)—(-«-+-f)
-я/?8
Итак, Кшара=-з- it/?3.
У.
Шж
0
1
< R
X
Рис. 212
(6)
Назовем шаровым слоем часть
шара, заключенную между
двумя параллельными плоскостями.
Совершенно так же, как и для
шара, устанавливаем, что
528
где а и Ь — расстояния секущих плоскостей от центра шара.
Поэтому Ушар. ел = тг[#2(&-а)--L(ft-a) (ft» + ab + а1)]. Но
(&—а)=# —высота слоя. Итак,
К,
я//
шар. ел
*R*H— 1%.(0+аЬ+а*).
(7)
Из формулы (7) сразу получаем выражение объема
шарового сегмента. Для шарового сегмента имеем а=0, b=R—//,
и потому
V,
шар. сегм
= те/?1# - 4-^(/?-Я)а=^[27?2+2/?Я-Я2]. (8)
15. Общая формула для вычисления объема тела по
площадям параллельных сечений. Метод, примененный для
вычисления объемов пирамиды и тел вращения, является
частным случаем общего метода вычисления объемов тел
по шрощадям параллельных сечений. Именно, пусть тело Т
лежит по одну сторону некоторой плоскости Р и пусть
S(x) — площадь сечения, получающегося при пересечении
тела Г с плоскостью Р(х), параллельной плоскости Р и
отстоящей от нее на расстоянии х (см. рис. 213). Функция S(x)
отлична от нуля лишь на
отрезке [а, Ь]9 где а — наименьшее
из расстояний точек тела Г до
плоскости Р9 а Ь — наибольшее
из этих расстояний. Можно
доказать, что если тело Т не
имеет слишком сложной
формы, то справедливо
равенство
V(T) = ] S(x) dx. (1)
а
Формула (1) верна для всех
тел, встречающихся в
«школьной» математике.
Любопытно отметить, что для
таких тел все выведенные выше
формулы объемов можно объединить
в единой формуле, установленной
английским математиком Симпсо-
ном:
y=^-(Si+4S2+Ss),
О
Рис. 213
34 Заказ 2541
529
,
4n
1
1
3:|cnj
'
i
!
i
'
L^~
\s^
"4
3,
Рис. 214
где V — объем тела,// — высота
тела, Ss — площадь верхнего
сечения, Si — площадь нижнего
основания и S2—площадь
среднего сечения, находящегося на
одинаковом расстоянии от
верхнего и нижнего оснований
(рис. 214).
Проверим справедливость
формулы Симпсона для шара.
Верхнее и нижнее основания
шара — это точки. Поэтому
Ss=Si=0. Среднее сечение
шара — круг, площадь которого
равна ti/?2. Наконец, высота шара
равна его диаметру, то есть 2/?.
По формуле (1) получаем:
V =
2R
4к№=;*к&,
что совпадает с найденной ранее формулой.
Для конуса верхнее основание — точка, и потому S8=0. Площадь
нижнего основания конуса Sx равна tzR2. Наконец, имеем:
и потому S2 =— Si
4
^2
. По формуле (1) получаем:
V=
н
(4.JSJL + .*»)
zR*H
что также совпадает с найденным ранее значением.
Предоставляем читателю проверить формулу (1) для усеченного
конуса.
В более подробных курсах математического анализа показывают,
что формула Симпсона справедлива, если S(x) — многочлен от х не
D2v-2
•более чем третьей степени. Например, для конуса S(x)=—s—, а для
шара S(*) = #* — ■*".
Л*
16. Объем тел, получаемых при вращении симметричных
фигур. Теорема Гюльдена. Мы вывели для объема тела,
получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг
оси абсцисс, формулу
V=«][f(x)]*dx.
а
Пусть плоская фигура ограничена сверху графиксм
функции y=f1{x), а снизу— графиком функции y=f2(x) (причем
530
y>
w
\
(
d^-i
s'
/
y-tSsS
i b x
Рис. 215
С
~0
^
^
'
2
1
1
1
*^-
X X
Рис.
216
эти графики лежат по одну и ту же сторону оси абсцисс,
(рис. 215), а с боков — прямыми х=а и х=Ь. Объем тела,
полученного при вращении этой фигуры вокруг оси
абсцисс, равен разности объемов тел, получаемых при
вращении двух криволинейных трапеций.
Таким образом, имеем:
V=4] IfiWVdx- J \h{x)\Ux\^^]{[fx(x)Y-\Ux)Y} dx. (1)
I a a ) a
Формула (1) принимает особенно простой вид, если
кривые y=fi{x) и y=f2(x) симметричны относительно прямой
у—с, параллельной оси абсцисс (рис, 216). В этом случае
можно положить
Ш=*+/(*), fM=c-f(x)
(f(x) — расстояние от точки кривой, имеющей абсциссу х до
оси симметрии). Поэтому
а
Раскрывая скобки, получаем, что
V = Ar,c]f{x)dx.
(2)
531
Но площадь вращающейся фигуры в рассматриваемом
случае выражается формулой
S= ]{[c + f(x)]-[c-f(x)]}dx = 2]f(x)dx. (3)
а а
Сравнивая формулы (2) и (3), получаем следующий
результат:
Теорема 1. Пусть фигура F симметрична относительно
прямой, параллельной оси вращения, и расположена по
одну сторону от этой оси. Объем тела, получающегося
при вращении фигуры F, выражается формулой
V = 2tzcS,
где S —площадь вращающейся фигуры, а с — расстояние
между осями вращения и симметрии.
В качестве примера рассмотрим тор—тело, получающееся
при вращении круга вокруг непересекающей его оси
(рис. 217). Площадь круга равна тгг2. Поэтому объем тора
выражается формулой
V = 2ttV2c,
где с—расстояние от центра круга до оси вращения.
Рассмотрим теперь фигуры, имеющие центр симметрии
(рис. 218). Проведем через центр симметрии А прямую АВ,
параллельную оси вращения. Если отразить нижнюю часть
фигуры относительно прямой АС, перпендикулярной оси
вращения и проходящей через центр симметрии, получим
фигуру, симметричную относительно прямой АВ. Объем
тела, получаемого при вращении полученной фигуры,
выражается формулой 2tzcS, где с — расстояние от центра
симметрии до оси вращения, a S—площадь фигуры.
Рис. 217
у\
Рис. 218
532
Но отражение относительно прямой ЛС, очевидно, не
меняет ни площади нижней части нашей фигуры, ни объема,
получаемого при вращении этой части. Поэтому формула
V = 2tzcS
верна и для исходной фигуры. Итак, мы доказали
следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть фигура F имеет центр симметрии и
расположена по одну сторону от оси вращения. Объем
тела, получаемого при вращении этой фигуры, равен
произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой
при вращении центром симметрии.
Для доказательства достаточно заметить, что длина этой
окружности равна 2кс, a V—2tzc-S.
Рассмотрим, например, тело, образованное вращением
прямоугольника вокруг непересекающей его оси (рис. 219;.
Если расстояние центра прямоугольника от оси
вращения равно с, а его стороны равны
а и &, то объем тела вращения
выражается формулой
V = 2шЬс.
Теоремы 1 и 2 являются частными
случаями следующей теоремы,
которую обычно называют теоремой Пап-
па—Гюльдена.
Теорема 3, Объем тела,
получаемого при вращении фигуры,
расположенной по одну сторону от оси вращения, равен произведению
площади этой фигуры на длину окружности, описываемой
при вращении центром тяжести этой фигуры.
Известно, например, что центр тяжести треугольника
расположен в точке пересечения его медиан. Из теоремы
Паппа—Гюльдена получаем такое следствие:
Следствие. Пусть треугольник ABC не пересекает ось
вращения. Объем тела, получаемого при вращении этого
треугольника, равен произведению его площади на длину
окружности, описываемой при вращении точкой
пересеченая медиан треугольника.
Упражнения
31. Квадрат, имеющий сторону Ь, вращается вокруг оси,
проходящей перпендикулярно к его диагонали. Найти объем тела вращения,
если расстояние ближайшей вершины квадрата от оси вращения
равно а.
533
32. Ромб, имеющий сторону а и острый угол а, вращается вокруг
оси, проходящей через вершину острого угла, перпендикулярно
диагонали. Найти объем тела вращения.
33. Равносторонний треугольник вращается вокруг оси,
наклоненной под углом а к одной из его сторон, проходящей через его
вершину и не пересекающей самого треугольника. Найти объем тела
вращения.
17. Площадь поверхности вращения. Перейдем к
определению понятая площади поверхности вращения. Начнем с
наглядных соображений. Возьмем изогнутый кусок жести.
Если толщина жести мала, этот кусок дает приближенное
изображение некоторой поверхности. Очевидно, что объем
жести, пошедшей на изготовление этой «поверхности»,
примерно равен площади поверхности S, умноженной на
толщину жести h. Формула
V = Sh
тем точнее, чем меньше толщина жести.
Поэтому было бы естественно определить площадь любой
поверхности рассмотрев приближенно изображающие эту
у
поверхность тела «толщины» h и взяв предел lim-r-. Для
л^о п
плоских фигур такой подход приводит к тому же
результату, что и обычное определение площади. В самом деле, в
этом случае плоская фигура F приближенно изображается
цилиндром с основанием F и высотой h. Объем этого
цилиндра равен SA, где S=S(F) — площадь фигуры F. Таким
образом, если F—плоская фигура, то ее площадь S
выражается формулой
и здесь даже излишен предельный переход.
Однако точное определение «толщины» для произвольных
поверхностей потребовало бы введения некоторых новых
понятий. Поэтому мы ограничимся случаем поверхностей
вращения.
Пусть кривая Г и не пересекающая ее прямая / лежат в
одной плоскости. При вращении кривой Г вокруг оси
получается некоторая поверхность F. Пусть Г(е) — е-расширение
кривой Г. Тело G(e), полученное при вращении Г(е)
вокруг оси /, назовем е-расширением поверхности F9 a 2s —
толщиной тела G(e).
•Я4
R+£
~R
и
• ■
Рис. 220
2Е
Рис. 221
Площадью поверхности вращения F назовем предел
lim
VI*)
(1)
где 1/(е) — объем тела O(s) (г-расширения поверхности
Вычислим площадь боковой поверхности прямого
кругового цилиндра. Пусть высота цилиндра равна Я, а радиус
его основания —Л;. Если 0<£</?, то s-расширение боковой
поверхности цилиндра является телом, получаемым при
вращении прямоугольника с высотой Я и основанием 2е вокруг
оси цилиндра, причем эта ось отстоит от центра
прямоугольника на расстояние R (рис. 220). По теореме I из п. 16
получаем, что объем этого тела вращения равен площади
прямоугольника 2гЯ, умноженной на 2тг/?;
V(*) = 2еЯ • 2тг# = 4етг#Я.
Но тогда
S = lim -Ф- = lim 2тг/?Я=2т:/?Я. (2)
Итак, площадь боковой^поверхности прямого кругового
цилиндра равна произведению его высоты Н на длину
окружности, лежащей в основании цилиндра.
Далее, найдем площадь боковой поверхности усеченного
конуса. Для этого заметим, что боковая поверхность
усеченного конуса получается при вращении наклонного отрезка,
не пересекающего ось вращения и лежащего с ней в одной
плоскости (рис. 221). е-расширением этого отрезка является
прямоугольник высоты 2е, для которого отрезок EF —
средняя линия. При вращении этого прямоугольника вокруг оси
конуса получаем е-расширение боковой поверхности конуса.
1 Если этот предел не существует, то считают, что поверхность не
имеет площади.
535
Если е<г, где г — радиус меньшего основания
усеченного конуса, то прямоугольник ABCD не пересекается с осью
вращения. При вращении этого прямоугольника получается
тело вращения, объем которого по теореме 2 из п. 16 равен
произведению площади прямоугольника на длину
окружности, описываемой при вращении его центром. Но площадь
прямоугольника ABCD равна 2е/, где / — длина образующей
усеченного конуса, а расстояние центра отрезка EF от оси
R-\-r
вращения равно —^—, где г и R — радиусы верхнего и
нижнего оснований конуса (рис. 222). Поэтому имеем:
V(e) = 2е/.2тг-5±^ = 2гтг/(/? + г).
Но тогда
S = lim-^ =rJ(R+r). (3)
s->0 Z£
Итак, мы доказали, что площадь боковой поверхности
усеченного конуса равна произведению длины образующей
этого усеченного конуса на полусумму длин окружностей,
ограничивающих верхнее и нижнее основания конуса.
Отметим, что формула (2) для площади боковой поверхности
цилиндра является частным случаем формулы (3), а именно
случаем, когда r=R.
Частным случаем усеченного конуса является обычный
прямой круговой конус, для которого г=0. Поэтому из
формулы (3) вытекает, что для конуса
S= тг/?/ = -1-/с, (4)
где с=2тг/?.
Итак, площадь боковой
поверхности прямого кругового
конуса равна половине
произведения длины образующей конуса
на длину окружности,
ограничивающей его основание.
На самом деле проведенный
вывод для площади боковой
поверхности конуса не вполне строг, так как
формула (3) выведена в
предположении, что гфО (иначе мы не смогли бы
выбрать £<г). Но конус можно рас-
Рис. 222
536
сматривать как предел усеченных конусов, когда г->0, a R и наклон
образующей остаются постоянными. Переходя в формуле (3) к пределу
при г->0, мы и получаем формулу (4).
В заключение найдем формулу для площади сферы. Для
этого заметим, что е-расширение окружности при е<#
является круговым кольцом, ограниченным окружностями
с радиусами R+e и R—г. Поэтому г-расширение сферы
при £</? является телом, ограниченным двумя
концентрическими сферами с радиусами R+e и R—е соответственно.
Объем этого тела равен:
Но тогда имеем:
^(fl_e)8=8TCfl2s+_* ■.
S = lim
е-*0
У(0
2е
= hm кг = 4тг/?2.
е-0 Z£
(5)
Итак, площадь поверхности сферы равна 4тг/?2, то есть в
четыре раза больше площади большого круга.
Отметим, что формула (5) является частным случаем
общей формулы для площади поверхности сферического
пояса (сферическим поясом называют часть сферы,
заключенную между двумя параллельными плоскостями). Пусть
высота пояса, то есть расстояние между плоскостями,
равна N. Тогда имеет место формула:
5сф. пояса = 2tzRH. (6)
Мы опускаем вывод этой формулы.
Наконец, рассмотрим сферическую трапецию—область
на сфере, отсеченную двумя параллельными плоскостями и
перпендикулярными им двумя диаметральными
полуплоскостями (рис. 223). Такой трапецией
на земной поверхности является
область, ограниченная двумя
меридианами и двумя параллелями. Площадь
сферической трапеции выражается
формулой
5 = RHz,
(7)
где /? — радиус сферы, Я —высота
сферического слоя, а а—радианная
мера двугранного угла между
диаметральными плоскостями.
Рис. 223
537
Площадь поверхности связана с объемом ее е-расширения как
длина дуги с площадью е-расширения дуги. Это замечание позволяет
получить из теоремы Паппа — Гюльдена формулу для площади
поверхности вращения.
Теорема (вторая теорема Паппа — Гюльдена). Пусть линия Г не пе-
юесекает ось вращения. Тогда площадь поверхности вращения равна
произведению длины вращающейся линии на длину окружности, описанной
при вращении центром тяжести этой линии.
Например, площадь поверхности тора выражается формулой
где г—радиус вращающейся окружности, а с—расстояние центра этой
окружности от оси вращения.
Упражнения
34. Вычислить площади поверхностей тел вращения, описанных в
упражнениях 31, 32 и 33.
35. Правильный шестиугольник, сторона которого равна я,
вращается вокруг оси, проходящей параллельно из его сторон. Найти
площадь поверхности и объем тела вращения, если расстояние от оси
вращения до ближайшей стороны шестиугольника равно а.
36. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна S, а угол
при вершине В равен (3. Этот треугольник вращается вокруг оси,
проходящей через вершину треугольника перпендикулярно к основанию
треугольника. Вычислить площадь поверхности и объем тела вращения.
Краткие исторические сведения
Вычислением площадей поверхностей и объемов тел занимался еще
великий греческий математик и механик Архимед в III веке до н. э.
Результаты Архимеда были изложены в обычной для греческой
математики геометрической форме, в которой вместо современных
предельных переходов использовался так называемый метод исчерпывания»
Этот метод был пригоден для доказательства правильности уже
найденных иным способом результатов, но не для отыскания этих
результатов. В 1906 году была открыта рукопись послания Архимеда к Эра-
тосфену, из которой стало ясно, что Архимед получал свои
результаты, исходя из наглядных представлений о разбиении тел на бесконечно
малые элементы.
Первым европейским математиком, систематически употреблявшим
такие наглядные рассуждения, был И. Кеплер. В своей «Новой
астрономии» (1609 г.) он рассматривает «сумму всех радиус-векторов
эллипса», то есть разбивает площадь эллипса на бесконечно малые секторы,
вершиной которой является фокус эллипса. В 1615 году вышла книга
Кеплера «Стереометрия винных бочек», в которой он определил
объемы и площади поверхности различных тел. Многие результаты Кеплера
были новыми по сравнению с древнегреческой математикой.
К идеям Кеплера примкнул ученик Галилея Б. Кавальери
(1591—1647). Представления о бесконечно малом у Кавальери были
точнее, чем у Кеплера. Он систематически пользуется понятием
«неделимых», движением которых получаются различные фигуры. Например,
он считал, что площадь плоской фигуры представляется «совокупно-
538
стью* всех пересекающих ее прямых, параллельных какой-либо
касательной контура. Отсюда он получил «принцип Кавальери»,
позволяющий доказывать равенство площадей тех или иных фигур, равенство
объемов различных тел.
Ряд новых результатов в вычислении площадей и объемов был
получен П. Ферма, который распространил известные ранее методы
вычисления площадей параболических сегментов на случай
алгебраических кривых с дробными и отрицательными показателями. Ферма и
Б. Паскаль применяли по сути дела преобразования интегралов.
Некоторые теоремы Паскаля об объемах являются геометрическим
эквивалентом замены переменных и интегрирования по частям.
Полностью арифметизирован предельный переход был английским
математиком Валлисом. Валлис широко пользовался неполной
индукцией. Взаимно обратный характер задач о вычислении площади
криволинейной трапеции и о проведении касательной был открыт в 1664 году
английским математиком И. Барроу (1630—1677), учителем и другом
И. Ньютона. Впрочем, связь этих задач была по существу ясна уже
Торричелли и Дж. Грегори.
Исследование связи между операциями дифференцирования и
интегрирования, свободное по существу от геометрической
интерпретации, было дано И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем. Современное
обозначение интеграла {f(x)dx принадлежит Лейбницу, который рассматривал
интеграл как «сумму всех ординат». Сам знак интеграла Г является
стилизованной латинской буквой S (первой буквой слова summa).
Название «интеграл» принадлежит ученику Лейбница Якобу Бернулли.
Ньютон и его ученики (Котес и другие) рассматривали
интегрирование функций, рационально зависящих от У ах2+Ьх+с и некоторых
других иррациональных функций. Систематическое исследование
интегрирования элементарных функций было завершено Эйлером в его
книге «Интегральное исчисление». Вскоре выяснилось, что далеко не
все интегралы от элементарных функций выражаются через
элементарные функции. Великий русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894)
полностью исследовал этот вопрос для некоторых классов
иррациональных функций (так называемых биномиальных дифференциалов). Для
того чтобы выразить интегралы от элементарных функций, были
введены различные новые функции (эллиптические функции, интегральный
синус, интегральный логарифм и т. д.).
Современное понятие определенного интеграла как предела
интегральных сумм принадлежит О. Коши. Немецкий математик Б. Риман
(1826—1866) распространил определение Коши на простейшие классы
разрывных функций. Детальное изучение интегралов от разрывных
функций начинается со второй половины XIX века. Французский
математик Дарбу дал определение интеграла, принятое по сути дела в этой
книге (верхние и нижние интегральные суммы Дарбу). После
длительного периода поисков наиболее удобное определение интеграла от
разрывной функции дал французский математик А. Лебег (1876—1941).
Большой вклад в изучение различных обобщенных интегралов внесли
голландский математик Т. Стилтьес (1856—1894), французский
математик А. Данжуа, советские математики Н. Н. Лузин (1883—1950),
А. Я. Хинчин (1894—1959), А. Н. Колмогоров и другие.
Глава
РЯДЫ
§ 1. Бесконечные числовые ряды
1. Вводные замечания. Возьмем отрезок [0, 1] и разобьем
его пополам. Правую половину отрезка снова разобьем
пополам. После этого разобьем пополам отрезок |-j-, lj,
то есть правую половину отрезка [-£-, 1J и т. д.
Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение
отрезка [0, 1] на бесконечное множество от-
резкое [0, \], [-L, 4"]. ["Г' т\> " •
Естественно считать, что «сумма длин» всех отрезков,
на которые разбит отрезок [0, 1], равна длине
разбиваемого отрезка, то есть 1. Иными словами, естественно считать
верным «равенство»
Если бы мы разбили отрезок [0, 1] на три равные части,
потом разбили на три части отрезок Up l! и продолжали
бы этот процесс до бесконечности, то получили бы
аналогично, что
1 9 4 ()П—\
-T + 4+-2T+-+-FT+--1- О
В левых частях «равенств» (1) и (2) стоят «суммы»,
состоящие из «бесконечного числа» слагаемых. Возникает
вопрос, какой же смысл имеет понятие суммы для
бесконечного множества слагаемых? Он и будет изучен в этом
параграфе.
540
2. Основные определения. Числовым рядом называют
бесконечную последовательность чисел, соединенных
знаками сложения:
а!+а2+ ... +ап + ....
Например,
1+2+3 + 4+ ... +«+ ...,
(ряд 1—2" + ~з 4~ + •• м°жно записать в виде
' + (-4-) + ++(-+) + 4
Общий член последовательности ап называют в этом
случае общим членом ряда. Если задано выражение ап
через п, то легко выписать сколько угодно членов ряда.
Например, если
_ 1 1_ _ 1
и потому ряд имеет вид
1,1, .1
Г~ 92_J_1 Г ••• ~Г „2 I 1 "Г '••
12+1 ^~ 22+1 ~ "• • л2+1
Точно так же, если ап=п2, то ах=\2у а2=22, ..., и потому
ряд имеет вид
12 + 22 + ... + п2 + ....
Ряд с общим членом ап записывается кратко в виде
2 ап. Здесь 2—знак суммы, обозначения п=\ и оо
поката 1
зывают, в каких пределах изменяется п. Для
рассмотренных выше рядов запись со знаком 2 имеет вид:
оо 1 оо
л = 1 /г= 1
541
Упражнения
1. Записать первые четыре члена следующих рядов:
v п* v (-"1)я v cosniz v еП v 2"
2j л*+5' 2jn*+n+l' 2j л3 » 2j fiM+i» 2j л! >
/1=1 П=\ /1=1 /2 = 1 /2=1
«, _L v (3"~1)2
2j п* > Zl (4л+2)5 *
/2=1 л=1
2. Найти хотя бы по одной формуле общего члена для следующих
рядов:
i4-JL + JL+_l_+ •
16 81 ^ 256
1 ■ 1 + » + !+..,
12 2-3 ' 3-4 4-5
1 1 + »-!+..,
Ь2-3 2-3-4 3-4-5 4-5-6
!-. 1 + * - 1 + -
1-2 ^ 1-2-3 1-2-3-4 "'
2,2-4 . 2-4-6 , 2-4-6-8
1 ' 1-3-22 ' 1-3-5-32 1-3-5-7-4а
3. Пусть ап = 1 . Чему равны
Чп , V у ап\ ?
4. Пусть ^ 1-3-5 ...(2/z-l) ч вны
J Л 2-4-6... 2л J P
3. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Определим теперь
понятие суммы бесконечного ряда. Так как мы не умеем
складывать бесконечно много слагаемых, сведем понятие
суммы бесконечного ряда к сумме конечного числа
слагаемых. Для этого введем так называемые частичные суммы
ряда:
Sx=al9 S2^ax+a29 S3=ax+a2+a3,...,
S/I=a1+at+ - +ял, -.
Эти частичные суммы образуют последовательность
^i, о2, о3, ..., Sn, .... (1)
Если она имеет предел, то говорят, что ряд сходится,
а ее предел называют суммой ряда:
S=limS„
'л*
«-►00
542
Если же последовательность (1) не имеет предела, то
говорят, что ряд расходится и не имеет суммы.
Итак, суммой ряда называют предел
последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим некоторые примеры, в которых удается
сразу вычислить сумму ряда (и доказать тем самым его
сходимость).
С одним примером суммирования бесконечного ряда мы
уже встречались. В п. 4 § 3 гл. II была рассмотрена сумма
бесконечно убывающей геометрической прогрессии
a+ag+aq2+ ... +я<7""1+ ....
Мы доказали там, что если |^|< 1, то
S = lim Sn= lim (a+aq+ ... -f fl^-') = Hm Vf == -r^-.
П-*-оо Л-*оо П-+ oo " "
Рассмотрим теперь ряд с общим членом ап=— .. :
1 + _»_ + _!_+ о. ! -+ (2)
12 "^ 2-3 ^~ 3-4 г *•• « л(я+1)
Мы знаем (см. § 1, гл. II), что
<> _ _J_, l_ j L. i l = i L_
""" Ь2 "■" 2-3 "^ 3-4 "*"' •" ~*~ л(я-{-1) л+1'
Но тогда
5 = limS„ = lim (l-+) = l.
Итак, сумма заданного ряда равна 1.
Примером расходящегося ряда является
1-1 + 1_1+... +(_i)«-i+....
Для этого ряда
Sx=l, S2=0, S8 = l, S4=0, ....
Эта последовательность не имеет предела.
Упражнение 5. Найти частичные суммы следующих рядов и
вычислить их суммы:
. <& 1 . ^ 2*+1
а) 2j (a+n—l)(a+n) ' в' 2ut n2(n+\)* '
/2 = 1 /Z=l
oo J oc |
б) S n (Л + 3) ' Г) 2 Л2(п + 1)(А2+2) *
/2=1 V /2=1 /\ • /
543
4. Свойства сходящихся рядов. Так как сумма
сходящегося ряда есть не что иное, как предел
последовательности частичных сумм, то каждому свойству предела
последовательности соответствует некоторое свойство суммы
ряда. Укажем эти свойства.
1) Числовой ряд не может иметь двух различных сумм
(вытекает из того, что последовательность не может иметь
двух различных пределов).
2) Если ряд
a1+a2+a3+aii~a5+ .♦• +ап+ ... (1)
сходится, то сходится и ряд, полученный us (1) любой
расстановкой скобок; например,
(<*!+*«) + (аз+аА+аь)+а6+ ....
3. Пусть ряды
а±+а2+а3+ ... +я„+ ... (2)
*1+&2+*з+ - +ьп+ ... (3)
сходятся и их суммы равны соответственно s и S. Тогда
и ряд
(*i+*i) + (a2+b2)+ ... +(ап+Ья)+ ..., (4)
полученный почленным сложением этих рядов, также
сходится и его сумма равна 5+5.
В самом деле, обозначим частичные суммы ряда (2)
через sn, а частичные суммы ряда (3) через Sn:
s„=a,+a2+ ... +ап9
Sn=bL+b2+ ... +bn.
Частичные суммы ряда (4) имеют вид:
(a1+bl) + (a2+b2)+ ... + {ап+Ъп) = (а1+аъ+ ... +а„)+
+ (bi+bt+...+bJ=sa+Sn.
Так как предел суммы двух сходящихся
последовательностей равен сумме их пределов, то получаем, что
lim (sn+Sn) = lim sn+lim Sn = s+S.
П-iOO П-*ос Я->оо
4) Если ряд
tfi+a2+ ••• +a,z+ ...
сходится и его сумма равна s, то сходится и ряд
Ааг+Аа2+ ... +Аап+ ...,
544
причем его сумма равна As.
Этф утверждение вытекает из того, что
lim Asn = A lim sn = As.
П—>оо П—>оо
5) /геля сходится ряд
#i+a2+ •- +#„ + •••> (5)
/wo сходится и любой ряд, полученный из него
отбрасыванием конечного числа членов, скажем,
ak+i + ak+2+ ..♦ +ЯН-Л+ ••• • (6)
В самом деле, обозначим частичные суммы ряда (5) через
sn9 а частичные суммы ряда (6) через ол. Ясно, что
Поэтому
lim SiH-л = Hm (a!+a2+ ... +aft+oJ = ax+a2+ ... +a*+lim an.
Л->зо Л->эО Я-*оо
Это равенство показывает, что пределы lim sk+n и lim on
П->О0 Л-*0О
одновременно существуют или нет, иными словами, ряды
(5) и (6) одновременно сходятся или расходятся.
Доказанное свойство показывает, что прибавление или
отбрасывание конечного числа членов не влияет на
сходимость ряда (но может, конечно, изменить сумму ряда).
5. Необходимый признак сходимости ряда. В
приложениях используются, как правило, лишь сходящиеся ряды.
Поэтому очень важно установить признаки, по которым
можно судить, сходится данный ряд или нет. В первую
очередь установим необходимый признак сходимости ряда.
Теорема. Если ряд сходится, то его общий член
стремится к нулю.
Доказательство. Нам дано, что последовательность
§19 $2> $3> ••;> $п> *••
частичных сумм ряда
«i+fl£+ - +ап+ -
имеет предел: lim sn=s. Объединим первый и второй чле-
ны ряда:
(ax+(h)+<h+ •- +ап+ ....
35 Заказ 2541 545
Мы получим новый ряд, для которого последовательностью
частичных сумм является
52, 53, ..., S/г-И, ••• •
Но мы знаем, что этот ряд имеет ту же самую сумму:
lim sn+\=s. Но тогда
lim ап+{ = lim (sn+\—sn) = lim sn+i — lim sn = 0,
откуда и следует наше утверждение (ясно, что замена п
на я+1 не играет роли).
Полученный признак может применяться лишь для
доказательства расходимости ряда. Например, из него
следует, что ряд
1—4+9-16+ ... + (_1)«->Л«+ ...
расходится—его общий член не стремится к нулю. А о ряде
1 + -gt + 3Г+ ••• +-^Г+ —
мы пока ничего не можем сказать—его общий член
стремится к нулю, но это лишь необходимо, а не достаточно
для сходимости ряда. И действительно, есть ряды, общий
член которых стремится к нулю, но которые расходятся.
Примером такого ряда является
00 пА-1
^ п
п=1
Частичная сумма этого ряда имеет вид
1 2 , 1 3 . ,i п+1 , 2.3-...-(/i+l) 1 / , 1ч
sn = \n—+\n-^+ ... +ln—g— =ln х.2._.п =1п(л+1).
Так как lim 1п(я + 1) = оо, то этот ряд расходится.
Однако
lim ln-^±L = lnl=0.
6. Признак сравнения для рядов с неотрицательными
членами. Мы будем здесь рассматривать ряды, имеющие
неотрицательные члены: ап>0. Последовательность
частичных сумм для таких рядов монотонно не убывает:
sn =al-\-a2+ ... +an-i+an=sn-i+an>sn-i
546
и потому
Но в теории пределов было доказано, что ограниченная
сверху монотонно неубывающая последовательность имеет
предел. Отсюда вытекает следующая теорема:
Теорема 1. Если члены ряда
а,+а2+ ... +ап+ ... (1)
неотрицательны, а последовательность его частичных
сумм ограничена сверху, то ряд (1) сходится.
Эта теорема для рядов с членами произвольного знака
неверна. Например, возьмем ряд
1_1 + 1_1 + 1_1+ ... +(_!)«-!+ ....
Последовательность
51==1, 52 = 0, 53=1, 54«0, ...
его частичных сумм ограничена, но этот ряд расходится.
Отметим, что если ряд с неотрицательными членами
сходится, то для его суммы s выполняется неравенство
s>sn. Это вытекает из того, что 5Х<;52< ... s^srt<;....
Полученный признак сходимости не очень удобен для
применений — найти такое число М, что sn^M при всех я,
бывает затруднительно. Поэтому обычно используют
следующий признак сравнения рядов с неотрицательными
членами:
Теорема 2. Пусть даны два ряда
tfi+#2+ ... +ап+ ...
bi+b2+ ... л-Ьп+ ...,
имеющие неотрицательные члены. Если при любом п
выполняется неравенство an<cbn и если второй ряд сходится,
то сходится и первый ряд.
Доказательство. Обозначим частичные суммы
первого ряда через sn, а второго через Sn. Сумму второго
ряда обозначим через S. Из неравенств а^Ь» ..., #„<&„
вытекает, что
av+ ... +яЛ<А+ ... +6Я,
то есть что sn^Sn. Кроме того, из неотрицательности
членов второго ряда вытекает, что S„<S. Поэтому при
любом п имеем 5Я<5Я*<5. Это означает, что
последовательность частичных сумм первого ряда ограничена сверху, а
потому он сходится.
35* 547
Из доказанной теоремы вытекает, что если первый ряд
расходится, то расходится и второй ряд: если бы он
сходился, то по теореме должен был бы сходиться и первый
ряд.
Примеры. 1) Мы доказали выше, что ряд
■ +' ■ ■ ' •
1-2 ^ 2-3 Т "• "Г" п(п+1) т- '••
сходится. Но /Л+1)1 < ntn+\\ • Значит, сходится и ряд
"22" + "32"+ *•• + (/1+1)8 + '•• '
2) Мы доказали, что ряд
ln4 + ln-f+-+lnJ!±L +
расходится. Но при изучении числа е было доказано, что
(l+ —J <e. Поэтому и я1п (l+— )<1пг=1, а,
значит, In (l+—) < —• Отсюда вытекает, что ряд
1+Т+-+-Й- + -
расходится. Его называют гармоническим рядом.
Упражнение 6. Исследовать на сходимость ряды:
•>-г + 4-(4-)' + т(4-),+ -+т(4Г+-
3 ^ 5 ^ 7 Т
11 Т 21 ' 31 ^
г) 2+i!_ + JL + ...
22 З2
^ 2п+\ ^
^ Юл+1^ '
on
. +— + ...;
^ (Зл-1)2
7. Признак Даламбера. Доказанный выше признак срав»
нения рядов с положительными членами обладает одним
существенным недостатком: не всегда легко найти ряд, с
которым мы будем сравнивать данный ряд. Поэтому для
выяснения вопроса о сходимости рядов их сравнивают с
548
D-6 D+6 D-6 D+6
. £—i—3 1 —h . ( i )
0 D 1 0 1 D
а б
Рис. 224
некоторыми «стандартными» рядами. Самым простым из
этих рядов является бесконечная геометрическая
прогрессия, которая была изучена нами в теории пределов. Там
было показано, что ряд
a+aq+aq*+ ... +aqn~l+ ...
сходится, если |?|< 1, и расходится, если 1?|>1. Из этого
утверждения легко вытекает следующий достаточный
признак сходимости рядов, принадлежащий Даламберу:
Теорема (признак сходимости Даламбера).
Пусть
аг+а2+ ... +ап+ ... (1)
— числовой ряд с положительными членами и пусть
существует предел
Тогда если D<1, то ряд сходится, если £> > 1, то ряд
расходится, а если Z) = l, то возможна как сходимость, так
и расходимость ряда.
Доказательство. Пусть D<1. Возьмем окрестность
точки D вида (D—8, £>+8), где 0<D—8<D+8<li.
Так как lim^±L=D, то, начиная с некоторого номера N
все отношения _?2±1 будут принадлежать этой окрестности
(рис. 224а), и мы будем иметь 0<_^±1 < D + 8< lf n>N.
ап
Обозначим D+o через q и выпишем неравенства:
1 При D=0 берем интервал [0, о], где 0<5< 1.
549
Из них следует, что
aNv\<uN-q, aN+2<aN+i-q<aN-q2,
aN+z < #лч2 -q<dN-qz, ..., aN+k < aN-qk.
Таким образом, члены ряда
a>N+aN+\+ "• +fl"+*+ ••• (2)
с положительными членами не превосходят членов
геометрической прогрессии
aN + aN-q+ ... +aN-q*+ ....
Так как 0<^<1, то эта прогрессия сходится, а потому
сходится и ряд (2). Но заданный ряд отличается от него
лишь конечным числом членов. Значит, и он сходится.
Теперь рассмотрим случай D>\ (рис. 224#). Возьмем
окрестность точки D:(D — о, D +8), где D—8>1. Так как
lim !±±=*D, то, начиная с некоторого номера N, имеем:
Л->эо
а
n±L>D— §> 1,
ап
и потому ап+\>ап.
Таким образом, члены нашего ряда возрастают и не
стремятся к нулю. Значит, ряд расходится.
Наконец, рассмотрим случай, когда Z)—l. В этом случае
ряд может как сходиться, так и расходиться. Например,
для сходящегося ряда
1
Если же взять ряд
то, хотя мы снова получаем
1
£> = iim "+1 = lim —J-p = 1,
этот ряд расходится (см. стр. 548). Теорема доказана.
5.50
Рассмотрим некоторые примеры. Докажем, что ряд
1+_!_ + _!_ + ■ 1
1-2 ^ 1-2-3 ' •" ^ 1-2.3.....л ^ •-
сходится. В самом деле,
1
D=lim Ь2-з-...-(/1+1) e ]im _L_ = 0.
П-+оо 1 Л->оо Л-f-l
1-2. ... п
А теперь рассмотрим ряд
—— -4- Ь2 4- 1 nl 4- (3)
1000 ^ 10002 ^ "" ^ 1000Л ^ ,,,# w;
п 1# (л+1)! Ю00Л t. /i+l /J4
Z>=~lim ч „ „^, = hm f ' «= сю. (4)
Значит, этот ряд расходится.
Из соотношения (4) вытекает, что общий член ряда (3)
стремится к бесконечности: lim 1||Пп/г = оо. Разумеется,
вместо 1000я мы могли взять лсЛ, где х— любое число,
большее 1. Таким образом, п\ растет быстрее, чем хп,
каково бы ни было л:>1.
Упражнение 7. Исследовать на сходимость следующие ряды
с положительными членами:
.1,3,5. , 2я— 1 ,
а) — -1- — 4- -4- ... т- -+- ...:
2 23 23 2п
б) А + 2± + *±£ + + 2'5.8.... .(3/2-1) , .
7 1 1-5 ' 1.5-9 ^ "• ^ 1.5-9- ... .(4/2-3) "'
7 1 ^ 2* ^ 38 пп '
§ 2. Ряды с членами произвольного знака
1. Теорема Лейбница. Перейдем к изучению рядов с
членами произвольного знака. Сначала рассмотрим
знакочередующиеся ряды, в которых попеременно идут знаки плюс
и минус, то есть ряды такого вида:
а1-а2+а,—а,+ ... +(-1)л-,ая+ ..., ап>0. (1)
Основная теорема о таких рядах гласит:
551
Теорема Лейбница. Пусть члены знакочередующегося
ряда монотонно убивают по абсолютной величине и ап
стремится к нулю, когда п->со. Тогда этот ряд сходится.
При этом остаток ряда имеет тот же знак, что и
первый отброшенный член, и не превосходит его по
абсолютной величине. (Остатком ряда называют разность между
его суммой и частичной суммой.)
Доказательство. Возьмем частичную сумму s2n. Ее
можно записать в виде
*2п= («1—«г) + (Яз—^) + .- + К.-1—flfe/i)-
Так как а2к-\ > a2k, то четные частичные суммы образуют
монотонно возрастающую последовательность. Покажем,
что она ограничена. Для этого перепишем s2n в виде
$2п=а1—(a2—ci3) — (а4—а5)~ ... — а2п.
Мы видим, что s2n<al.
Но монотонно возрастающая ограниченная сверху
последовательность имеет предел. Поэтому существует
5= lims2n.
Так как Нта2л-м=0, то и
lim $2,1+1 = Hm s2n + km a^n+i = s.
Тем самым доказано, что наш ряд сходится, причем его
сумма меньше, чем aL.
Возьмем остаток г2п. Его можно записать в виде
г2п = а2п+\— а2п+2+ ... +(—\)k-la2n+k+ ••• •
Из доказанной теоремы следует, что он положителен и
меньше, чем а2п-и: 0<r2/2<a2n_|_i. Аналогично доказывается,
что — a2n+2<r2n+i <0.
Пример. Доказать, что ряд
1 _L . 1 * . (~1)п~1 »
I —22 "Г "32 — ••• "Г „2 I •<•
сходится, и найти, сколько его членов надо взять, чтобы
получить сумму ряда с точностью до 0,001.
Сходимость ряда вытекает из того, что он
знакочередующийся, его члены монотонно убывают по абсолютной
величине и ап стремится к нулю при п->со. Чтобы найти,
сколько членов надо взять для того, чтобы найти сумму
с заданной точностью 0,001, надо решить неравенство:
1000 •
552
Из него находим я>31. Значит, надо взять 31 член
ряда. А для знакоположительного ряда надо было бы
взять 1000 членов, чтобы получить ту же точность. Это
доказывает, что знакочередующиеся ряды сходятся
«быстрее», чем соответствующие знакоположительные ряды.
Поэтому они удобнее для вычислений. Кроме того, они
позволяют получить оценку для суммы сверху и снизу.
Упражнения
8. Исследовать, сходятся ли следующие ряды:
3^5 7 Т Т 2/1+1 ^ '
4^9 10 ^ Т и» ^ '
b)_L-J- + J__ + (-Р"-Ун) ,
' 3 5 7 ^ 2п + 1 ^ '•'"
9. Сколько членов ряда
2
л=1
(-1)"-1
надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,000001?
10. Сколько членов ряда
£j, л*+6и+5
надо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
П. Применима ли теорема Лейбница к ряду
i-_L + _L__L+J___L + _L__L
3 2 9 3 27 4 81
(«2»-i=4-e2«= -ж)?
2. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перейдем теперь к
рядам с членами произвольного знака. Во многих случаях вопрос о
сходимости таких рядов сводится к вопросу о сходимости рядов с
положительными членами. Именно, имеет место следующее утверждение:
Пусть дан ряд
di+a2+ ... +ап+ ... (1)
с членами произвольного знака. Если сходится ряд
|*il + l*i|+... +KI+ ».. (2)
составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и
заданный ряд.
553
В самом, деле, очевидно, что
О < ап + | ап | < 2 | ап |.
Но в силу условия величина \ап\ (а значит, и 2 \ап\) является общим
членом сходящегося ряда с положительными членами. Поэтому по
признаку сравнения рядов сходится и ряде общим членом ап+\ап\, то
есть ряд
*а\ + Ui I) + .- + (ап + | ап |) + .... (3)
Но заданный ряд (1) является разностью двух сходящихся рядов (3) и
(2). Значит, он сходится.
Пример. Исследовать вопрос о сходимости ряда
1—1-J- +J- + -L+-L-..
22 з1 4" 5* 6*
(далее — четыре минуса, пять плюсов, шесть минусов и т. д.).
Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
1+^-ж + - + ^+--
Этот ряд, как мы видели ранее, сходится. Значит, сходится и заданный
ряд.
Однако может случиться, что ряд, составленный из абсолютных
величин членов данного ряда, расходится, а заданный ряд сходится.
Например, ряд
,_ 1 +4- + ... + -Ы>^+
2 ' 3
сходится по признаку Лейбница, а ряд
1+ » + 1 + ... + _1 + ....
2 3 п
составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Это замечание лежит в основе следующего определения:
Ряд
tfi+02 + ... + ап+ ... (4)
с членами произвольного знака называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд
l*il + KI+ -. +\ап\+ ..., (5)
составленный из абсолютных величин его членов. Если же заданный
ряд (4) сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его
членов, расходится, то ряд называют условно сходящимся.
Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися
рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды
сходятся в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся—
в силу того, что положительные и отрицательные слагаемые взаимно
уничтожают друг друга.
Вопрос о сходимости ряда с членами любого знака часто удается
решить с помощью признака Даламбера. Если существует
D = lim
/2-х»
&П + \
ап
554
то при D<\ ряд абсолютно сходится, поскольку тогда сходится ряд
|*i|+ .- +lan\+ ... •
Если же D>1, то, как мы знаем, lim | ап+1 | = оо, и потому ряд расхо-
П-+ао
дится.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно
отличаются др\т от друга. Рассмотрим следующий пример. Возьмем ряд
'-4 + ,L-i + ... + t!pU....
Мы уже знаем, что этот ряд сходится (условно) и что его сумма
положительна. Переставим теперь члены данного ряда так, чтобы после
положительного слагаемого шло два отрицательных слагаемых. Мы
получим ряд:
[1~~Т ~~ Т) + ("Г — Т ~~ ~8~) + (Т "" 10 "" 12) + - *
Его можно переписать в следующем виде:
JL__L + J L + J_-_L +
2 4 6 8 10 12 ^ '" *
Вынося — за скобки, убеждаемся, что сумма данного ряда равна
1 / 1 1 1 (-1)«-1 ,
то есть вдвое меньше, чем сумма данного ряда. Таким образом, лишь
за счет перестановки слагаемых сумма ряда вдвое уменьшилась. Это
показывает, что в условно сходящихся рядах нельзя переставлять
слагаемые.
Абсолютно же сходящиеся ряды напоминают по своим свойствам
конечные суммы. Именно, имеет место следующая теорема:
Теорема. Пусть ряд
аг + а2 + ... +ап + ...
абсолютно сходится. Тогда любой ряд, полученный из него
перестановкой членов, абсолютно сходится, и сумма его равна сумме данного ряда.
Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать так же, как
перемножаются многочлены. Именно, если ряды
а1-\-а2+ ... + ап+ ...
Ъх + Ъ2+ ... + ЬЯ+...
абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд
<tibi+(aibt+b%ai) + (albt+a%b%+a9bi)+ ... + (anbi+an_lb2+ ... +a1bn)+...>
причем его сумма равна произведению сумм заданных рядов.
Итак, абсолютно сходящиеся ряды близки по своим свойствам к
конечным суммам. Условно же сходящиеся ряды совсем не похожи на
конечные суммы. Во-первых, при перестановке их членов сумма ряда
555
может измениться; более того, Римаи доказал, что переставляя члени
условно сходящегося ряда, можно получить любую наперед заданную
сумму и даже получить расходящийся ряд. Во-вторых, при умножении
условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.
§ 3. Степенные ряды
1. Функциональные ряды. Мы рассмотрели ряды,
членами которых были числа. Перейдем к изучению
функциональных рядов, члены которых — функции от х. Например,
2 у>/1
sin jc , sin 2л: j__ s*n nx \
~Т~ о2 Г ••* П ~2 Г •••)
1 ^ 22 ^ ••' ^ /г2
ех+2е2х+3е3х+ ... +пепх+ ... .
Переменное х может принимать бесконечное множество
значений. Поэтому с каждым функциональным рядом
связано бесконечно много числовых рядов, которые
получаются, если вместо х подставить числовые значения. Может
случиться, что при одних значениях х функциональный
ряд сходится, а при других расходится. Множество всех
значений х, при которых данный функциональный ряд
сходится, называется его областью сходимости.
Сумма функционального ряда /i(*)+/a(*)+ ••• +fn(x)+ •••
является функцией S(x), заданной в области его сходимости:
S(x)=llm Sn(x)=\im [Л(*)+/.(*)+ ... +/„(*)]•
2. Степенные ряды. Важнейшим частным случаем
функциональных рядов являются степенные ряды. Так
называют ряды вида
А0 + Ах(х-а)+ ... + Ап(х-а)" + .... (1)
Если а=0, то получим степенной ряд вида
А0 + А,х+ ...+А„х"+ .... (2)
Важность степенных рядов объясняется тем, что
вычисление их суммы сводится к арифметическим операциям и
предельному переходу; частичная сумма степенного ряда
при заданном х вычисляется с помощью арифметических
действий:
Sn(x) = Д + A(x-a) + ... +Ап(х-а)*.
После этого надо найти предел S(x) =- Urn Sn(x).
Поэтому для приближенного вычисления суммы
степенного ряда достаточно арифметических действий. Это
делает степенные ряды удобным вычислительным средством.
Функциональный ряд является суммой бесконечного
множества слагаемых. Поэтому, вообще говоря, их нельзя
почленно дифференцировать, интегрировать и т. д.1.
Однако, вообще говоря, обращение с рядами как с конечными
суммами приводит к правдоподобным результатам.
Разумеется, потом надо дать строгое доказательство
полученным результатам. Мы покажем сейчас, как находить
разложения некоторых функций в ряды, используя
почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Лишь
после этого мы докажем, что полученные ряды
действительно сходятся к разлагаемым функциям.
3. Разложение показательной функции в степенной ряд.
Предположим, что функцию у = ех можно единственным
образом разложить в степенной ряд:
е*=А0+Ахх+Аг#+ ... +Апх*+ ... (1)
и что ряд, получаемый почленным дифференцированием
ряда (1) в правой части равенства, сходится к (ехУ=ех.
Найдем при этих предположениях коэффициенты
^о> А1У ..., Апу ... .
Положим в разложении (1) х=0. Мы получим, что А0 = \.
Далее почленно продифференцируем разложение (1):
ex=Ai+2A2x+3A3x2+ ... +nAnx'l-1+ (n + l)An+ixn+ .... (2)
Сравнивая разложения (1) и (2), получаем, что
Ai=A0, 2А2=А1, оА3=А2, ..., (п-\-1)Ап+\ = Ап ....
Так как Л0 = 1, то последовательно находим:
А -*1 А -А я_!_ А »А в _!_
Ах — 1, ла — 2 1-2 ' 3 3 1-2-3 » ••' »
А _ Ап-х в * L
п ~~ —JT~ 1-2....(/г-1)./г л! •
Таким образом, если верны сделанные предположения
(что функция ех разлагается в однозначно определенный
1 Иными словами, может случиться, что ряд, составленный из
производных от членов данного ряда, не сходится к производной суммы
ряда; ряд, составленный из интегралов от членов ряда, не сходится к
интегралу от суммы ряда и т. п.
557
степенной ряд и что этот ряд можно почленно
дифференцировать), то разложение должно иметь вид:
е*=1+х+±-+... +7Й-+....
(3)
Докажем теперь справедливость разложения (3), не делая никаких
предварительных предположений. Для этого нам понадобятся
следующие утверждения:
а) Ряд
(4)
сходится для всех значений х.
В самом деле, мы имеем:
£>=lim
П-+СО
ХП + 1
ШП1
Хп
= lim
Я—изо I
/1+1
1 X 1
Так как при любом х lim —.— =0, то по признаку Даламбера ряд
п-нх> I Л+1 I
(3) сходится для всех х.
б) При х>0 и любом п справедливы неравенства
2! ^ ^ п\ ^ 2! л! ^ (л+1)!
в) При х<0 и любом п справедливы неравенства
(5)
х3
-v2"-' _*., , ., j*i , , лг2"-1
(6)
1+Jf+^ + - + 1^=ПГ<'*<1+ЧТГ + - + ^Tjj + air
Неравенство
1+*+-£- + ... + IlL < ** (х>0)
было доказано в п. 2 § 6 гл. VII. Остальные неравенства доказываются
тем же методом, который был использован в п. 2 § 6 гл. VII.
Обозначим, частичную сумму ряда (4) через Sn(x):
SnW=l+x+£ + ... + £"
2! п\
Из неравенств (5) вытекает, что при jc>0 имеет место неравенство
Sn(x)<ex<Sn(x)
еххп+\
Поэтому | ех — Sn(x) | <
(n+l)l J "*" (л+1)!
Но так как ряд (4) сходится для всех значений х, то при любом х его
общий член стремится к нулю:
„л+1
lim
/l-eo (Л+1)!
= 0.
558
А тогда и Iim \ex*~Sn{x)\ = 0. Значит, при люХюм х>0 ряд (4) сходится
к е*.
Сходимость ряда (4) к ех при дг<0 вытекает из неравенств (6).
Пользуясь рядом (3), можно находить с любой степенью
точности приближенные значения е*. Если нам надо
вычислить значение ех при х>0 с точностью до е>0, то мы
берем столько членов ряда (3), чтобы выполнялось нера-
венство (^1}! < е. Так как \e*—Sn(x)\ < е^х+ху , то
| e'-Sa(x) | < е.
Для примера вычислим значение е с точностью до 0,001.
Так как в этом случае *«-1, то надо взять столько членов
е 1
ряда, чтобы выполнялось неравенство у < -щтг. Мы
знаем, что 2<£<3. Заменяя е на 3 и решая неравенство
( , П! < 30QQ , находим я =6. Поэтому имеем:
e^l + l+-L + ±+-L + ± + ^-=2,718.
Упражнение 21. Вычислить с точностью до 0,001 значения
*'\ К*. \Ъу=.
4. Разложение тригонометрических функций в степенные
ряды. Разложим теперь в степенные ряды функции sin* и
cosx. И здесь мы сначала «выведем» эти степенные ряды
с помощью нестрогих рассуждений, а потом дадим
обоснование полученным разложениям.
Так как sin*—нечетная функция, то естественно искать
разложение sinx в степенной ряд в виде
sin[x~Alx+A2x*+A3x>+ ... +Апх2п~1+ ... . (1)
Чтобы найти коэффициент Аъ продифференцируем обе
части разложения (1). Мы получим
cosx~A1+3A2x*+5Aiixl + ... + (2л—1) Апх2«~2+ .... (2)
Полагая х=0, находим, что ^1~cos0 —1.
Продифференцируем разложение еще раз:
sin х-2.3-А2х+4.5А3х*+ -. + (2п—2)(2п—1)А„х*я-*+ .... (3)
559
Сравнивая разложения (1) и (3), получаем систему
соотношений для коэффициентов Ап:
А^—2'ЗА^ А2 = -4.5А3, ..., An-i-—(2n—2)(2n—l)An.
Так как А1 = 19 то из этой системы последовательно
находим:
а - — A__J_4=— iiaJL
/12"" 2-3 3! > Лз 4-5 5! ' •" *
Поэтому разложение (1) имеет вид:
"(2/1—1)!
По формуле (2) находим разложение cosx:
с2"-2
(2л—2)!
SInXs=x_^l + -£!_ ... + (_1}*-i_|__ + _ в (4)
CO.X-.-J + f-... + (-D-i^jr-)..... (5)
Формулы (4) и (5) выведены нами в предположении, что sin x
можно разложить в степенной ряд, причем этот ряд допускает двукратное
почленное дифференцирование. Чтобы доказать справедливость
разложений (4) и (5), не делая никаких предположений, используют неравенства1:
х—— 4- — — ... — — < sin х<х—— + _ — ...+ __£ (6)
3! ^ 5! (4/1-1)! 3! ^ 5! ^ (4л-3)! * '
и
л:2 у4 г4л~~2 < *2 ,
X* , JC4rt~4
+ тг - - + w (7>
Эти неравенства справедливы при х>0. Их доказывают точно так же,
как и неравенства (5) и (6) из п. 3. Единственное осложнение
заключается в том, что индукцию приходится вести одновременно для sin x
и cos х. Дальнейшее рассуждение ведется точно так же, как и для
функции с*.
5. Разложение логарифмической функции в степенной
ряд. Разложение функции # = ln(l+*) B степенной ряд
получается следующим образом. Предположим, что
1п(1+*)= А0+Агх+А2х*+ ... +Апх«+ .... (1)
Полагая * = 0, находим, что А0 = 0. Далее,
продифференцируем обе части равенства (1) и получим:
-jlj- -A1+2Atx+ ... +пАпх»->+ _ я (2)
1 Здесь п обозначает номер неравенства, а не члена суммы.
560
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии при | q\ < 1
1-^=1 + <7+?2+ ... +f-i+ ....
Полагая здесь <7 =—х, получаем, что
-J—=\-X+X* + ... +(_1)/.-1дЛ-1 + .... (3)
Сравнивая коэффициенты при членах разложения (1) и (3),
имеющих одинаковые степени, выводим, что
Л-1, 2Л2 = -1, ...,пАя = (-1)"-*
и потому
А _i А =__L л _ (-О""1
Поэтому разложение функции ln(l + *) должно иметь вид:
\п(\+х)-х-\+... + { l)nl +..-■ (4)
Ряд (3) сходится, если |*|< 1. Тем же свойством
обладает и разложение (4) — оно сходится к 1п(1+л:), если
И<1.
Справедливость разложения (4) при 0<х<1 вытекает из неравенств
(3)
Доказательство этих неравенств мы опускаем — оно проводится
буквально так же, как и для функции ех.
Левая и правая части неравенств (5) являются частичными суммами
х2п~1
ряда (4). Они отличаются друг от друга слагаемым —
Поэтому отклонение частичных сумм S2n_2 (х) и 52л—1 (•*) от 1П0+*) не
х2п'1
превосходит — Но при \х\ < 1 имеем:
2 л— 1
lim -4 г—<lim —1— = 0.
П-,оо 2/2—1 п->оо 2/2—1
Отсюда и вытекает, что ряд (4) сходится к 1п(1+дг).
Доказательство сходимости ряда (4) к ln(l-j-*) при —1<лг<0
довольно сложно, и мы его опускаем.
6 Заказ 2541 561
X2 , X»
~т + т •" '
X3
г!" — —
3
^32-<|П(
„2/2—1
_1_ *
" ' 2л—1
Способ, примененный для вывода формулы (4),
позволяет разложить в ряд и функцию t/ = avcigx. Пусть
arctgx = A0 + A1x + A2x2+ ... + Апхп + .... (6)
Полагая дг = 0, находим, что А0=0. Далее почленно
продифференцируем обе части равенства (6):
-±-¥ = A1+2Atx+ ... +пАпх*-* 4-.... (7)
Но по формуле суммы бесконечной убывающей
геометрической прогрессии при |л:|<1 имеем:
-^=1-Х* + Х* + ... +(_1)«-1*2*-2+ .... (8)
Сравнивая соответствующие члены разложений (7) и (8\
находим, что Лх = 1, 2Л2=0, ЗЛ3 = —1; 4Л4=0; 5Л-«=1, ... и
потому А1==\\ Л3 = —з~-; Л5 = -^-; ....
Таким образом,
(-1)л
arctg* = *—т + -=- + ...
2л—1
Сходимость ряда (7) к arctgjt при | х | < 1 доказывается точно так
же, как и для ряда (4). При этОхМ мы используем неравенства
г3 уЬ у4"-1 уЗ
*-4- + 4- - - - -4—г- <arcts * <*-4- +
3 5 4/2—1 3
jc5 ;c4rt— 1 дг4/1+1
5 4/1—1 4/2+1
справедливые при *>0.
Упражнения
12. Вычислите с точностью до 0,001 значения arc tg 0,2; arctg 0,4;
In 1,2; In 1,4; In 0,9.
13. Выведите формулу
,„4±£.=2(*+4 +£! + ... +^_+..:
1—JC \ 6 D 2/2—1
и с ее помощью вычислите с точностью до 0,001
In 2; In 3; In 1,5; In 0,8.
14. Вычислите с точностью до 0,0001 значения Р= In—-, Q^ln-|_ ,
15 24
81
/?=ln ——; докажите, что In 10^23P+17Q-j-10#, и вычислите In 10 с
оО
точное ты® до 0,005.
562
15. Докажите тождество
JL=arctg l=4arctg_ — arctg -_-.
Вычислите с помощью этого тождества значение ~ с точностью
до 0,0001.
6. Биномиальный ряд. Рассмотрим теперь разложение в
степенной ряд функции у--=(\ + ху . Мы начнем со случая,
когда у. = п— натуральное число. В курсе алгебры было
установлено, что
(1+х)п~\+Спх+С]гх*+ ... +С«х« (1)
(см. «Алгебра», стр. 35), где
пк П(П—1)-....(/7— k+\)
с*<=* -
k\ k\{n-k)\
(2)
Выведем теперь эту формулу средствами математического
анализа. Продифференцируем обе части равенства (1):
п(1+х)*-*=С1я + 2Спх+ ...+пС»пх*-К
Полагая х=0, получаем Сп = п. Вторично дифференцируя,
получаем:
п{п— l)(l+jt)"-2 = 2C2„ + ... + п(п—1) Сппхп~2 .Подстановка х=0
дает 2Сп=п(п — 1) и потому С\ = п ^Г • Продолжая этот
/>) п(п—\)(п—2) r-r f
процесс, выводим, что Сп = ——^ - и т. д. После А-крат-
ного дифференцирования получаем формулу (2).
Теперь перейдем к случаю, когда a— любое число. Мы
хотим, таким образом, обобщить формулу бинома Ньютона
на случай любого показателя а. Дословно повторяя
проведенные выше рассуждения, получаем:
(1+*). = 1 + ах +•**(=£-** + ... + «(«-П-^(*-*+1)_л*+ ... .(3)
Однако в отличие от случая, когда a — натуральное число,
мы получаем здесь бесконечный ряд. Дело в том, что при
а=я в числитель каждого члена ряда (3), начиная с (я-f 2)-го,
войдет равный нулю множитель п—п. Поэтому если а «л,
то ряд (3) состоит лишь из конечного числа членов. В
общем же случае, когда а не является натуральным числом,
все сомножители a—s отличны от нуля и ряд бесконечен.
36*
563
Доказательство сходимости ряда (3) к (l+х)7- более
сложно, чем для рассмотренных выше функций, и мы его
опускаем. Отметим, что разложение (3) сходится к (1+*)*
лишь при | х\ < 1.
Частными случаями разложения (3) являются:
1*—=(1+х)-1 = 1--х+х*-х*+ ... + (-1)я*я-1+ _. (4)
} l+x = (l+x) «1+-2-JT-L
—(—-О
2!
2
, --hH(-H) ,t
3!
i+4*-
X2 +
1
2-4
*« +
Ь3 ^ 1-3-5 4| .
2-4-6
(5)
I 2
= (1+*)
KIT
= 1- 1 r + i g)( 2 *)
2 2!
л:2 +
, 0-4-)(-4-')(-H
3!
**+...
1 —JL*4-±£ .t2 —
2 2-4
-Ш*3+--<6)
7. Извлечение корней с помощью биномиального ряда. Покажем,
как с помощью рядов извлекаются корни любой степени. Пусть надо
вычислить у'ббО с точностью до 0,001. Мы знаем, что 54 = 625. Поэтому
запишем j/650 в виде
1
1 \Т
^650 = р' 625+25 =й (l+"2g") * •
А теперь можно применить разложение для (1+л:)а :
_1 , 4 [ 4 J 1
4-25 ^ 1-2 ' 252
^650 = 5
+
= 5+
20
4000
+ ... ^5,049.
Вообще, для вычислен
564
ия -/ Nn+x заметим, что y/rNnjtx =nI 1 + ~ш)
Поэтому по формуле (7) п. 4 при а=— получаем:
п
1 ( 1
у Nn+x =N
1+
nNn
+ Ь2 \N» ) +
Беря достаточно много членов этого ряда, найдем значение •/ Nn+x
с нужной точностью е. При этом следует иметь в виду, что сумму ряда
в квадратных скобках надо вычислять с точностью до
ЛР
так
эта сумма умножается на N
Описанный прием годится, лишь если
- I < 1, так как формула
для разложения (1+;с)а справедлива лишь при | х | < 1. Поэтому,
например, нельзя вычислять корни так:
4 -(—-О
Злг- 3/7—- ,. .„. 3 , , J 3l3 )
у? =/i+6 =(i+6) =i+-3 . , Ь2
так как получается расходящийся ряд.
Упражнения
16. Вычислите с точностью до 0,001 корни:
б2 + ...,
J/690, /750, /0,0231.
17. Выведите формулу для разложения arcsinx в степенной ряд,
воспользовавшись равенством
(arcsin#)'=-
1
=(1-*а)
18. Пользуясь формулами этого параграфа, найдите разложения в
степенные ряды функций:
а) у=лх(а>0); Г) у=хе-2х;
б) у= sin^+ij; д) у=*-*4;
е) t/=cos4x;
в) y=sin2x;
ж) у = -.;
' ^ 4+х2
з) у=1п(*2—Здг+2);
лг2+7л: + 12
8. Вычисление интегралов с помощью степенных рядов.
Полученные нами формулы позволяют приближенно вы-
565
числять некоторые интегралы, не выражающиеся через
элементарные функции.
Пусть надо вычислить с точностью до 0,00001 интеграл
о,з .
f —г dx- W
о
Неопределенный интеграл J Sln* dx не выражается через
элементарные функции. Тем не менее определенный
интеграл (1) существует — он равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной осью абсцисс, ординатами х=0 и
x = 0,3 и кридой у =з——. Чтобы приближенно вычислить
этот интеграл, заменим в нем sin* степенным рядом
хг . а:5
Sin* = * 57- +
3! ' 5!
и почленно проинтегрируем (в подробных курсах
математического анализа доказывают законность почленного
интегрирования степенного ряда на промежутке сходимости):
0,3 . 0,3 0,3 . 0.3 л
"о о о 'о
0,3
== X
3-3!
03 м L_ д5 1 °'3 По 0,027 0,00243
1 5-5! — и,° 18 ^ 600
Таким образом, для интеграла (1) получен сходящийся
числовой ряд. Так как этот ряд знакочередующийся, то
для вычисления интеграла с заданной точностью е надо
взять столько членов ряда, чтобы первый отброшенный
член был по абсолютной величине меньше, чем е. Так как
надо получить значение интеграла с точностью до 0,00001, а
-4^ < 0,00001,
то, беря первые два члена нашего ряда, получим значение
Jll^Ldx = 0,3—°§L-0,29850
о
с точностью до 0,00001.
566
Упражнение 19. Вычислить с точностью до 0,0001 следующие
интегралы:
0,2 0,5 , 0.2
» ех— 1 л 1—cos х с arctg x
a) J -Г"^; б) J —^—dx; в) j —d*.
0 0 0
9. Применение рядов к выводу приближенных формул.
Многие физические законы выражаются довольно
сложными формулами. Эти формулы удается упростить, если
какая-либо величина а, входящая в выражение закона,
мала по сравнению с другой величиной 3. В этом случае
отношение Xe=z/$ таких величин мало. Разлагая функции,
зависящие от этого отношения, в степенной ряд по х и
отбрасывая члены, содержащие высшие степени х, мы и
получим искомую приближенную формулу. Разумеется, она
верна лишь для значений х, при которых отброшенные
члены пренебрежимо малы.
Приведем таблицу приближенных формул,
получающихся из выведенных ранее разложений в степенные ряды.
Функция
<1+*Г*
ехп
1п(1+ж)«
sinx^
COS*»
tgx «
arc sin x «
arc tg x « i
С точностью до
\ x* 1 Xs
1-j-ou:
L . . а(я—1) «
1 1 r2
l+x i+x+JL-
X
X
1 j
X
X
X
1 *-£i
2
л:
'-т
л:
дг
л:
X*
Х* JC3
\1+х+— -т 4г
2 6 |
х2 , л:3
х ~г • ~г
X3 1
6 1
■'-f
**.f
JC3 1
X3
567
Пример. Тяжелая нить (провод, канат, цепь) под
влиянием собственного веса провисает по цепной линии,
уравнение которой имеет вид
гдеа=—. Здесь Н — горизонтальное натяжение нити, а
q — вес единицы длины. Если х мало по сравнению с а, то
с точностью до \—\
и
е
х
а
7 , x х _LJ_^\2+-(-)3
1 „JL + ±(JL)2-±(±.)3
а ^ q \ а) 6\ а ) '
,2
а потому у~а-{-^- или
2а
Н , qx*
Это уравнение параболы. Таким образом, нить
приближенно провисает по параболе.
Упражнения
20. По таблицам десятичных логарифмов ищут логарифм числа
521 ±0,6 Имеет ли смысл пользоваться пятизначными таблицами
логарифмов? А четырехзначными? (Сравните погрешность, вызванную
неточностью значения х, с погрешностью, вызванной неточностью
табличного значения логарифма.)
21. Вычислите приближенно следующие выражения:
(l+sin0,01)3
а)/1» 6)УЩ в) Кщ\М)
г) у go.OQM-i . д) / 1,024—1 #
arctg30,03 ' 1—cos 0,03
22. Для вычисления площади кругового сегмента АВ при малом,
центральном угле 2ft применяют формулу:
Sx—dh,
3
где d —длина хорды AC, h — длина стрелы BD (рис. 225).
568
Доказать эту формулу, исходя из того, в
что
S=r*$ —— sin 2 Ь,
d=2r sin ft,
Л=г (1— cos ft).
23. Доказать более точную (с
точностью до #7) формулу
3 Id a
24. Установить, что приближенная
формула Рис. 225
s= ]/*+-£ A».
где 5—длина дуги ЛБС, верна с точностью до 85.
25. Обозначим через S длину хорды, соответствующей дуге АВ.
Доказать приближенную формулу
5- 26 + JL (25—tf).
10. Степенные ряды в комплексной области. До сих пор
мы рассматривали ряды с действительными членами.
Рассмотрим теперь ряды с комплексными членами, то есть
ряды вида
где cn^an-\-ibn. Все определения (сходимость, расходимость
и т. д ) формулируются для таких рядов точно так же, как
и для рядов с действительными членами.
Например, число s называется пределом
последовательности sl9 ..., sn, ..., если для любого г>0 найдется такое 7V,
что при ri^N выполняется неравенство | sn—s|<£ (здесь
| sn—s\ — модуль комплексного числа sn—s).
Изучение рядов с комплексными членами полностью
сводится к рассмотренному выше случаю рядов с
действительными членами. Именно, имеет место следующая
теорема:
Теорема. Для того чтобы ряд
с,+с2+... +сп+:..,
где cn=an+ibn, сходился, необходимо и достаточно, чтобы
сходились ряды с действительными членами
ах-\-а2+ ... +ап+ ...
и
569
Определим в комплексной области элементарные
функции ех, sin*, cosx. Обычные определения не переносятся в
комплексную область, так как нельзя, например, отложить
на числовой окружности дугу, равную 2—5/, а значит, и
говорить о синусе от аргумента 2—5/. Не умеем мы и
возвести е в степень 4-f-7f.
Но для действительных значений х мы имеем теперь и
другие выражения для функций еху sin*, cos*, а именно
их разложения в степенные ряды. Эти ряды имеют смысл
и для комплексных значений аргумента, так как для
вычисления суммы степенного ряда надо совершать лишь
операции сложения, вычитания, умножения и перехода к
пределу, а все эти действия можно выполнять и в
комплексной области.
Определим сначала, что значит е2, когда z—
комплексное число. Для действительных значений аргумента мы
вывели, что
е*=\+х+ж-+ ... + -_ + ....
Обобщая это равенство, определим для комплексных
значений z функцию ег формулой:
e*-l+Z+-£-+...+j£^+.... (1)
Легко проверить с помощью признака Даламбера, что этот
ряд сходится для всех значений г.
Итак, мы определили ег для всех значений z с помощью
степенного ряда (1). Например, чтобы приближенно найти
ё, подставим в ряд (1) вместо z значение /:
/f i% /4 i5
«*-•+'-t-ЗГ + "ST + -ЗГ + "5Г+ - "
-Hr + i—■)+'('-*+ Т--)-
Поэтому с точностью до 0,01 имеем:
Отмстим, что в комплексной области сохраняется основное
свойство показательной функции: для любых комплексных чисел г и w
ezew = e2+w.
570
В самом деле,
и
e« = l+w+»L + J2L+ ... + ""~Д 4- ....
2! 3! (л—1)1
Перемножим эти разложения почленно:
/ г2 г3 \ / w2 а;3 \
Л«= ^1 + 2+_ + _ + .. И 1 + w +-sr л. — + .. \ =
(г2 а>а \ /г3 г2а/ zo>a а>3 \
"2Г + zw + —) + (Ж + ~2Г + "2Г + "зГ]+-=
- 1 + (*+«>) +J- (z + ш)2 + 2. (2+^)3 + ... .
Но ряд в правой части равенства есть не что иное, как разложение
для ez+w. Поэтому
ezew = ez+w я
Точно так же определяются в комплексной области
функции sine и cos г. По аналогии с разложениями (4) и (5)
из п. 4 положим:
г3 , z* (-I)""1 z2"-1 , /оч
и
1 *" . «« , (-I)"-1 г2""2 , /чч
В комплексной области существует тесная связь между
показательной и тригонометрическими функциями. Чтобы
установить эту связь, подставим в разложение (1) вместо z
значение iz:
^=l + ,z+_+ _+__ + _ +... e
e|j_,V 22 /Z3 , *4 , 'Z6
~*~ "2! "ЗГ + 4Г + "5Г
Сгруппируем в этом разложении члены, отнеся в одну
группу члены, не содержащие в явном виде *, а в другую—
члены, содержащие в явном виде г.
"-(ЧГ + Т--М-Т+Х-■••)■ <4>
571
Но ряд, стоящий в первой скобке, является не чем иным,
как разложением для cos z, а ряд во второй скобке —
разложением для sine. Поэтому формулу (4) можно записать
так:
elz*=*zo%z + /sine. (5)
Эта замечательная формула называется^ формулой Эйлера.
Заменяя в разложении (4) z на —z, получаем:
e~lz = cos (—z)+i sin (—z) = cos z—/ sin z (6)
(функция cosz четна, так как в ее разложение входят лишь
четные степени z, а функция sinz нечетна, так как в ее
разложение входят лишь нечетные степени г).
Из формул (4) и (6) вытекает, что
eiz+e~iz /7Ч
cos 2 = ^ (7)
и
eiz—e~iz /Q4
smz = j. . (8)
Для примера вычислим ет%. По формуле (5) имеем:
етл = cos ?:-[-/sin тг = —1.
Аналогично из формулы (7) вытекает, что
cos 2/ = —Ц =-^—^3,76.
Установленная выше связь функций ez, cosz, sinz
позволяет установить следующее неожиданное свойство
показательной функции:
В комплексной области показательная функция имеет
период 2tzL В самом деле,
^/c=,cos27r+/sin27: = l,
а потому
gZ-\-2Ki == gZg2Ki __ gz
11. Логарифмическая функция в комплексной области.
Мы определили показательную функцию в комплексной
области. Введем понятие логарифма комплексного числа:
число w называется натуральным логарифмом числа
z, ^ = lnz, если ew = z. Из-за периодичности показательной
функции логарифмическая функция определена лишь с
точностью до кратного 2тг/.
572
Покажем, как вычисляют логарифмы комплексных
чисел. Из формулы Эйлера вытекает, что
z = r (cos ср + /sin <?)=/■£** .
Поэтому, если w = u-\-vi, z=ie*'1 , то из равенства ew = z
вытекает, что еиеы=>ге*'1, и потому еи = г, е~о1*=е'*1. А тогда
w = ln/, i> = ?+2£ir. Таким образом, мы доказали, что если
z = r (coscp-f/sin ср), то lnz=0+<p/«lnr+<p*"+2fc:/.
В комплексной области логарифмическая функция
многозначна, так как k может принимать любые целые значения.
Например,-4 = 4 (cos ъ+i sin т:).Поэтому In (—4) = In 4-f izi-\-2kni.
Мы видим, что в комплексной области и отрицательные
числа имеют логарифмы.
Ясно, что, поскольку показательная функция связана в
комплексной области с тригонометрическими, в этой области логарифмическая
функция должна быть связана с обратными тригонометрическими
функциями. Для примера рассмотрим функцию
w=arctgz.
По формулам Эйлера это равенство можно переписать так:
sin w eiw-e-'iw &№-\
z = tg w=-
i(eiw+e-iw} i(e2t™-rl)
Положив e-lw~t, мы получим, что г= Решая это урав-
14- iz • 14-/2
нсние, находим, что t=—' . Но это значит, что e*iw —~~ ™
l—iz l—iz
потому 2iw=\n 2 Итак,
J \-iz
o;=arc tg 2=—-— In , г .
2/ l—iz
Упражнение 26. Вычислите значения:
а) In /; r) ln (5—5/); e) arc tg /;
б) ln(^3-/); д> »п(2-2/^"3); «) arctg(l + i).
в) In (4+4/);
Краткие исторические сведения
Уже в древности Евклид и Архимед применяли изображения
величин, которые по сути дела совпадают с теперешними бесконечными
рядами. Другие бесконечные процессы (бесконечные произведения,
цепные дроби и т. д.) применялись Бомбелли, Виета и другими для раз-
573
личных вычислений. Впервые бесконечные ряды для вычислений
обратных тригонометрических и логарифмических функций применяли в
XVII веке Гюйгенс, Броункер и Меркатор.
Особенно широко применял бесконечные ряды И. Ньютон. Ему
принадлежит, в частности, формула для разложения (1+х)а при
любых значениях а (1676 г.). При вычислении коэффициентов рядов
Ньютон часто использовал метод неопределенных коэффициентов,
введенный еще Декартом. С помощью полученных им разложений в
степенные ряды Ньютон вычислял интегралы. Его разложения давали
возможность аналитически определить все известные в то время функции.
Одновременно с Ньютоном теорией бесконечных рядов занимался
Лейбниц, получивший разложение
те , 1,1 1 ,
Общую формулу для разложения функции j(x) в степенной ряд
1(х)=№+П*Н*-") + - + -Щ±-(х-аГ+ ...
вывел в 1715 году английский математик Тейлор. Однако он не
исследовал вопроса, при каких условиях имеет место это разложение.
Вообще, математики XVII и XVIII веков не придавали значения
исследованию сходимости рядов (хотя, например, Лейбниц установил носящий
его имя признак сходимости знакочередующегося ряда). Первоначально
полагали, что всякий ряд, общий член которого стремится к нулю,
сходится. Это мнение было опровергнуто Якобом и Иоганном Бернуллн,
которые обнаружили расходимость гармонического ряда
1+4 + -5- + - + 4- + --
Эйлер и его ученики широко пользовались рядами, не исследуя их
сходимости, а иногда применяли и заведомо расходящиеся ряды. Это
привело в конце концов к тому, что математика утратила критерий
правильности результатов, полученных путем применения расходящихся
рядов.
Лишь в конце XVIII и начале XIX века математики начинают
глубоко исследовать сходимость применяемых рядов. Основополагающую
роль здесь сыграли работы французских математиков Ж. Даламбера
(1717—1783), О. Коши, великого немецкого математика К. Ф. Гаусса и
норвежского математика Н. Абеля (1802—1829). В частности, Абель
впервые строго установил границы применимости биномиальной
теоремы.
Первое применение комплексных чисел к решению задач
математического анализа принадлежит Лейбницу и И. Бернулли (начиная с
1702 г.). К началу XVIII века относятся работы французского ученого
Муавра (1667—1754), установившего формулу, по сути дела
совпадающую с формулой
(cosо + /sin 'f)n — cosny+ isin n <p.
Важнейшую роль в развитии начал функций комплексного
переменного сыграл Л. Эйлер. В книге «Введение в анализ бесконечно
малых» (1748 г.) он рассматривает функции комплексного аргумента, их
574
разложения в степенные ряды. В той же книге впервые формула
Муавра записывается в современном виде и дается ее простейший
вывод. Формула
elx = cos х -f / sin x
была отмечена еще в 1716 году Котесом, но ее полное исследование
было проведено Эйлером. Эйлер же в 1749 году полиостью исследовал
вопрос о логарифмах отрицательных чисел (эти логарифмы мнимы и
многозначны).
Дальнейшее развитие теории функций комплексного переменного
связано с именами французских ученых Ж. Даламбера, О. Коши,
немецких математиков Гаусса, Б. Римана (1826—1866) и других. В
настоящее время теория функций комплексного переменного находит
обширные применения в теории упругости, аэро- и гидромеханике,
различных областях теоретической физики. Большой вклад в практические
приложения этой тоорпи сделали русские ученые С. А. Чаплыгин
(1869—1942), Г. В. Колосов (1867—1936), М. В. Келдыш, М.А.Лаврентьев,
Н. И. Мусхелншвили и др.
Наум Яковлевич Виленкин,
Семен Исаакович Шварцбурд
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие для IX — X классов
средних школ
с математической специализацией
Редактор Ю. А. Гастев
Переплет художника Б. А. Мокина
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технические редакторы В. И. Корнеева,
Е. В. Богданова
Корректоры Г. С. Попкова, Т. И.
Смирнова
Сдано в набор 30/VII—1963 г. Подписано
к печати 17/Х— 1969 г. 60x84Vie-
Бумага тип. № 2. Печ. л. 36.
Условн. л. 33,48. Уч.-изд. л. 31,72.
Тираж 30 тыс. экз. (Пл. 1969 г. № 345).
Заказ 2541.
Издательство „Просвещение" Комитета
по печати при Совете Министров
РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Типография № 2 Росглавполиграфпрома,
г. Рыбинск, ул. Чкалова, д. 8.
Цена без переплета 79 коп.
Переплет коленкор. 18 коп.