Министерство образования и науки Российской Федерации
Национальный исследовательский университет “МИЭТ”

Г.Л. Алфимов, Е.А. Альшина

Специальные разделы
математического анализа

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Москва 2011
УДК 517.55(075.8)

А53

Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. А. А. Гурченков,
докт. физ.-мат. наук, проф. В. В. Дикусар

Алфимов Г.Л., Альшина Е.А.

А53 Специальные разделы математического анализа: учеб,
пособие. - М.: МИЭТ, 2011. - 216 с.: ил.

I8В^ 978-5-7256-0617-1

Представлен материал курса “Специальные разделы математиче-
ского анализа”, относящийся к теории функций комплексной пере-
менной и теории рядов. Этот курс традиционно читается студентам
второго года обучения на факультете “Микроприборы и техническая
кибернетика” Московского института электронной техники.

Для студентов инженерных специальностей МИЭТ. Будет полез-
но любому читателю для первого знакомства с упомянутыми разде-
лами математики.

Учебное пособие

Алфимов Георгий Леонидович

Альшина Елена Александровна

Специальные разделы математического анализа

Редактор Н.А.Кузнецова. Технический редактор Л.Г.Лосжова.
Корректор Л.Г.Лосжова. Верстка авторов.

Подписано в печать с оригинал-макета 10.06.2011. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Тппез Ие\у Котап.
Усл. печ. л. 12,53. Уч.-изд. л. 10,8. Тираж 500 экз. Заказ 119.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

I8В^ 978-5-7256-0617-1

© МИЭТ, 2011
Предисловие

В пособии представлен материал курса “Специальные разделы
математического анализа”, относящийся к теории функций комплекс-
ной переменной и теории рядов. Начиная с 70-х годов XX века эта
дисциплина читается студентам второго курса Московского инсти-
тута электронной техники. Несколько поколений студентов изучали
материал данного курса по прекрасной книге А.В. Ефимова “Мате-
матический анализ (специальные разделы)”. К сожалению, эта книга
в настоящее время стала библиографической редкостью, а пересмотр
вузовских программ привел к существенному сокращению объема
курса. Этим и вызвана необходимость написания данного пособия,
адаптированного к современным требованиям и современному уров-
ню студентов.

Представленный материал разбит на три главы. Глава 1 начи-
нается с общего знакомства с комплексными числами (в предполо-
жении, что читателю до сих пор о них ничего не было известно).
Вводятся понятия комплексной плоскости, комплексной последова-
тельности, функции комплексного аргумента и производной функ-
ции комплексного аргумента. Далее определяется понятие аналити-
ческой функции и приводятся некоторые утверждения, касающиеся
этого важнейшего класса функций комплексного переменного.

Глава 2 посвящена теории рядов. Ее изложение также начинает-
ся с простейших понятий: числовой ряд, сходимость числового ряда,
основные признаки сходимости. Далее рассматриваются функцио-
нальные ряды, вводится понятие равномерной сходимости и обсуж-
даются свойства равномерно сходящихся рядов.

Материал главы 2 служит основой для того, чтобы в главе 3 вновь
вернуться к теории функций комплексного переменного, используя
аппарат теории рядов Тейлора и Лорана. В этой главе представлены
традиционные результаты о классификации изолированных особых
точек аналитических функций, вводится понятие вычета и описы-
ваются приемы, позволяющие применять вычеты для вычисления
действительных интегралов разного вида.

Каждый из разделов курса снабжен некоторым количеством за-
дач. Задачи разделены на группы А, Б и В. Задачи группы А со-
ставляют обязательный минимум. В группу Б включены чуть более
трудные задачи, а в группу В - задачи “олимпиадного” характера.
Авторы полагают, что решение задач является важнейшей состав-
ной частью обучения по данному предмету.

Предполагается, что студенты уже знакомы с основами матема-
тического анализа в традиционном объеме первого курса (интеграль-
ное и дифференциальное исчисление функций одной и нескольких
переменных, общее представление о векторном анализе). В пособии
используется традиционный для математических текстов стиль: где
необходимо, применяются кванторы V и 3, окончание доказательств
отмечено значком . Для удобства восприятия определения выделе-
ны жирной вертикальной чертой.

Авторы очень признательны доценту Б.В. Федосову за чтение
рукописи и полезные замечания. Хотелось бы поблагодарить также
слушателей курса за их многочисленные комментарии. Особо хоте-
лось бы отметить наших бывших студентов Е. Пемпеля, Д. Мирош-
никова, А. Давыдову, С. Мишина, И. Баркова, П. Титову, А. Чер-
нявского и Е. Удодову, чьи замечания позволили исправить ошибки
в тексте и, на наш взгляд, существенно улучшить изложение.
Глава 1

Элементы теории функций комплексной
переменной

1.1.	Комплексные числа

1.1.1.	Определение комплексного числа

Комплексным числом г называется упорядоченная пара
действительных чисел (х,?/). Числа х и у называются соответ-
ственно действительной и мнимой частями комплекс-
ного числа. Комплексные числа принято записывать в виде вы-
ражения г = х + гу. Символ г называют мнимой единицей, он
удовлетворяет соотношению

г • г = —1.

(1-1)

Записывают:

х = Ее(х -Нт/); у = 1т(х + гу).

Действительные числа включаются в множество комплексных чи-
сел, при этом предполагается, что их мнимая часть равна нулю. Те
комплексные числа, у которых равна нулю действительная часть,
называются чисто мнимыми.
Комплексные числа - сравнительно позднее изобретение человечества.
Формально они появились в XVI в. в трудах Кардано (того самого, чьим
именем называют формулу корней уравнения третьей степени), но он счи-
тал их бесполезными. Ученые XVII в. также не смогли оценить практи-
ческую пользу от введения комплексных чисел: Ньютон не считал ком-
плексные числа “полноценными” числами, а Лейбниц считал их “убежи-
щем божественного духа”. Лишь в XVIII в. комплексные числа удостои-
лись пристального внимания исследователей. Символ “г" был предложен
Леонардом Эйлером в 1777 г. Первые систематические изложения теории
комплексных чисел относятся к концу XVIII - началу XIX в.

Два комплексных числа = х± + гу± и	+ гу2 считают-
ся равными,	, если Х1 = Х2 и у\ = уъ- Вместе с тем нельзя

сказать, какое из двух комплексных чисел и %2 больше другого:
операция сравнения для комплексных чисел не определена. Соот-
ветственно, запись ^1 > ^2, если речь идет о комплексных числах, -
грубейшая ошибка.

1.1.2.	Действия с комплексными числами:
алгебраический подход

Пусть ^1 = Х1 + гу\, %2 = Х2 + 1у2- Введем формально следующие
действия:

1.	Сложение:	+ %2 = (^1 + ^2) + 1(,У1 + Уъ)-

2.	Вычитание: ^1 — ^2 = (^1 — ^2) + 1(У1 ~ Уъ)-

3.	Умножение:	• %2 = (^1^2 — 2/12/2) + ^(^12/2 + 2/1^2)•

Важно: комплексные числа можно умножать как многочлены,
используя соотношение (1.1).

4.	Комплексное сопряжение (обозначается г):

х + гу = х — гу.

Комплексное сопряжение обладает следующими свойствами:
• ^1 ± г2 = ^1 ± г2;

• Н =

•	^1 • г2 = ^1 • г2;

•	г • г = (х + гу)(х — гу) = х2 + у2 6 К.

Справедливы следующие полезные формулы:

Ее г = - (г + г); 1т г = — (г - г).

5.	Деление:

^1 _	+ гуг _ (ад +г?/1)(х2 - гу2) _ хгх2 + 2/12/2	. У1%2 - хру2

г2 х2 + гу2 (х2 +/2/2)(х2 - гу2) ^2 + 2/1	^2+^2

Например,

\	1	•	2 -Ь г (2 + г) (1 — 2г)	г. 

а) г=“г; б) Т+2~г= РТ22 = 0,8 “°’6г-

6.	Возведение в натуральную степень. Определим натураль-
ную степень п комплексного числа г как произведение

п раз

Таким образом, возведение в целую степень сводится к много-
кратно повторенной операции умножения.

1.1.3. Комплексная плоскость

Удобно ввести так называемую комплексную плоскость и ставить
в соответствие точке плоскости с координатами (х; у) комплексное
число х + гу (рис. 1.1). При этом действительным числам будут соот-
ветствовать точки оси абсцисс, а чисто мнимым - точки оси ординат.

Перейдя на комплексной плоскости к полярным координатам

Х = рСО8р, у = рзтр.
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:

г = р(соз р + г 8т </?).

При этом:

•	р = \/ж2 + 2/2 = \А _ так называемый модуль комплексного
числа;

•	р - так называемый аргумент комплексного числа.

Аргумент обозначается Аг§ г. Одному и тому же комплексному
числу соответствует бесконечно много значений аргумента, отлича-
ющихся между собой на величину, кратную 2тг. Например, можно
сказать, что Аг§ г = или Аг§ г = или Аг§ г = и т.д. В от-
личие от Аг§ г (бесконечно много значений) оказывается удобным
ввести еще и главное значение аргумента (обозначается аг§ г), со-
ответствующее тому значению Аг§ г, которое лежит между — тг и
7г (исключая —7г и включая тг). Например, аг§ г = Очевидно,
Аг§ г = аг§ г + 2тгА;, к Е X. Справедлива формула
	агс!§(т//гг),	х > 0;	
	7г + агс!§(т//гг),	х < 0,	У > 0;
аг§ г = <	— 77 + агс!§(?//х),	х < 0,	У < 0;
	7Г/2,	х = 0,	У > 0;
	-7г/2,	х = 0,	У < о.

Для комплексного числа 0 модуль равен нулю, а аргумент не

определен.

1.1.4- Формула Эйлера

Введем следующее определение экспоненты от чисто мнимого
числа:

ег^ = со8 ср + г 81п ср

Приведенная формула является именно определением экспонен-
ты в мнимой степени (ее не нужно доказывать!). Эта формула на-
зывается формулой Эйлера1.

Хотя формула Эйлера является определением, использование сло-
ва “экспонента” не случайно. Проверим для только что введенной
экспоненты свойство, характерное для обычной экспоненты

еа+ь = еа  еь.

Получим

е^1 . е^2 — (СО8 -Р 2 81П </?1) • (сО8 р>2 + I 8Ш </?2) =

= (сО8 р>\ СО8 р>2 — 8Ш р>х 81П </?2) + ^(ЗШ р>\ СО8 р>2 + СО8 р>\ 81П </?2) =

— е*(^1+^2). * В

1 Эйлер, Леонард (1707 - 1783) - великий швейцарский математик.
Результаты Эйлера относятся практически ко всем разделам современ-
ной ему математики и механики (список трудов составляет примерно 850
названий). С 1727 по 1741 г., а также с 1766 г. до конца жизни Эйлер
жил в Петербурге, куда был приглашен Петербургской Академией наук.

В Петербурге и был похоронен.
Отсюда следует другое свойство экспоненты: если п - натуральное
число, то



Легко проверяется также еще одно свойство экспоненты

е~^ = 1/еЧ

Формула Эйлера связывает уже введенную тригонометрическую
и так называемую показательпую форму записи комплексного чис-
ла, а именно

г = р(соз + г 8ш </?) = рег(р.

Примеры.

1.	г = 1. Модуль: |1| = 1, аргумент: аг§ 1 = 0.

1 = 1- (сое0 + г 8Ш0) = 1 • ег 0.

2.	г = г. Модуль: |г| = 1, аргумент: аг§ г =

г = 1 • (сое — + г 8т —) = 1 • ег,7Г/2.
к 2	2

3.	г = —1. Модуль: | — 1| = 1, аргумент: аг§ (—1) = тг.

— 1 = 1- (сО8 7Г -Ь г 81П 7г) = 1 • ег7Г.

4.	г = —г. Модуль: | — г| = 1, аргумент: аг§ (—г) = —

—г = 1 • (сое + г 8т ) = 1 • е-г,7Г/2.

5.	г = 1 + г. Модуль: |1 + г\ = \/2, аргумент: аг§ (1 + г) =

1 + г = \/2 • (сое + г 8т ^) = \/2 • е2'7^4
4	4

6.	г = — 81п	— гсо8 Модуль: |г| = 8т2	+ сое2 = 1. Для

нахождения аргумента отметим точку г на комплексной плоскости;
она лежит на единичной окружности в третьей четверти. Нетрудно
сообразить, что ее аргумент равен — Таким образом,

______________ 5тгг
г = е 8
Рис. 1.2. Сложение комплексных чисел

1.1.5.	Действия с комплексными числами:
геометрическая интерпретация

Использование комплексной плоскости позволяет дать геометри-
ческую интерпретацию операциям с комплексными числами.

•	Сложение комплексных чисел. Отождествим с каждым из двух
комплексных чисел и вектор с началом в точке г = 0 комплекс-
ной плоскости и концом в этой точке. Так как сложение комплексных
чисел осуществляется покомпонентно, то сумме	будет соот-

ветствовать вектор с началом в точке г = 0 комплексной плоскости и
концом в точке 21 + 22. Таким образом, сложение комплексных чисел
можно рассматривать как сложение векторов на плоскости (рис. 1.2).
Отсюда, в частности, следует неравенство треугольника:

| ^1 + %2 | < | ^11 + | %2 | •

•	Умножение комплексных чисел. При умножении комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

21 • 22 = Р1ег(р1 •	= р1(со8 9?1 + г 8ш^1) • />2(008992 + 28111922) =

=	Р1Р2{(сО8 9?1 СО8 9?2 — 81П 9?1 8Ш 922) + г(сО8 9?1 81П 922 + 81П 921 СО8 922)} =

= Р1 р2 {СО8(9?1 + 922) + г8ш(9?1 + 922)} = Р1р2е^1+ср2\
•	Деление комплексных чисел. При делении комплексных чисел
их модули делятся, а аргументы вычитаются:

^1 _ Р1ег(р1 _ р1 (соз 9?1 + г 8ш 991) • (со8 р2 — г зш р2) _

г2	р2(со82 9?2 + 8Ш2 9?2)

Р1{(сО8 р\ СО8 р2 + 81П р\ 8Ш р2} + з( — СО8 р\ 81П р2 + 8Ш р\ СО8 9?2)}

Р2 * 1

= — {СО8(^1 - р2) + 38111(921 - р2)} = !Дег^-<Р2\
р2	р2

•	Возведение в целую степень. Используем формулу Эйлера:

= [р(со8</2 + ззтс/?)]71 = [по свойству умножения] =

= рп(со8(п(/?) + г ып(прУ).

При р = 1 получаем формулу Муавра1

(сое р + г 81п р)п = со8(п9?) + г $т(пр),

что эквивалентно

_ егпср

Таким образом, при возведении комплексного числа в целую степень
модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается
на показатель степени.

•	Извлечение корня натуральной степени. Запишем

хп = ре^ =Ре^+^к\	к&Т..

Тогда

X г(у + 2тг/е)

% = рп е п .	(1-2)

В силу того, что е27гг = 1, формула (1.2) дает не бесконечное, а конеч-
ное число различных значений, соответствующих & = 0,1,...,п — 1.

1Муавр, Абрахам де (1667 - 1754) - английский математик.
Таким образом, корень п-й степени имеет п различных значений.
Нетрудно заметить, что эти значения соответствуют вершинам пра-
вильного п-угольника на комплексной плоскости, который вписан в
окружность радиуса р~ с центром в нуле.

Отдельно стоит выделить правила работы с модулями комплекс-
ных чисел:

•	1-21 + 2=2 I < |21| + |х2|;

•	1^1 • 22| = ы • |г2|;

21

22

в частности

1 _ 1

2 ” |2| ’

•	\гп\ = \г\п, пег.

Примеры.

1. Вычислить (1 + г)3.

(1 + г)3 = (\/2е'"/4^ = 23/2 Гсоа + г 8Ш = -2 + 2г.

2. Вычислить

= 220е70МЗ = 220е-2^/3 = _219(1

3. Вычислить \/Т.

при	к	=	О,

при	к	=	1,

при	к	=	2,

при	к	=	3.
4.	Вычислить ^Т+1-

УПй =	• е^/4+2^1/5

соз^ +гзш^

Чтг	। • • Чтг

СО8 20 +281П 20

СО8	+ г 8Ш

СО8	+ г 8Ш

СО8	+ г 8Ш

10/2 . ^г(тг/20+8тгА;/20) __

при	к = 0,
при	к = 1,
при	к = 2,
при	к = 3,
при	к = 4.

5.	Решить уравнение %п 1 = г, пе 2,	1.

рп-1ег(п-1)^ = ре-г^

рп-2егп^> = ! = ! . е^к

2/пк 1

р = 1, р = ----------, к Е Ъ.

1.2.	Геометрия комплексной плоскости:
основные понятия

1.2.1.	Простейшие множества точек на комплексной
плоскости

Выражение | г1 — | представляет собой расстояние между точка-
ми ^1 и ^2 на комплексной плоскости. С учетом этого можно описать
следующие множества:

•	|г — го| = а, а > 0 - окружность с центром в точке го и
радиусом а;

•	|г — го| < а, а > 0 - открытый круг с центром в точке го и
радиусом а;

•	|г — го| > а, а > 0 - внешность открытого круга с центром в
точке го и радиусом а;

•	а < |г — го| < &, 0 < а < Ь - открытое кольцо с центром в
точке го-
Полезно также представлять следующие множества:

•	аг§(г — го) = р - луч с началом в точке го, идущий под углом
р к положительному направлению действительной оси;

•	а < аг§(г —го) < (3 - внутренность неограниченного открытого
сектора с вершиной в точке го и углом /3 — а;

•	Ее г = а - прямая, параллельная мнимой оси, проходящая
через точку (а; 0);

•	1т г = Ь - прямая, параллельная действительной оси, прохо-
дящая через точку (0; 6).

1.2.2.	Понятие области и связанные с ним определения

Областью д комплексной плоскости называется множество
точек, обладающее следующими двумя свойствами:

-	открытость: вместе с каждой точкой г из д этому мно-
жеству принадлежит достаточно малый круг с центром в г;

-	связность: любые две точки из д можно соединить лома-
ной с конечным числом звеньев, все точки которой принадле-
жат д.

Примеры.

1.	|г| < 1 - область (связна и открыта).

2.	|г| < 1 - не область (связна, но не открыта).

3.	{г : |г| < 1} Ц1 {г : |г — 5г | < 1} - не область (открыта, но не
связна).

Точка го называется граничной точкой множества д, если в
любом круге с центром в точке го имеются точки, как принад-
лежащие д, так и не принадлежащие д.

Граничная точка не может принадлежать области, так как это
противоречит требованию открытости.

Примеры.

1.	г = 0 - граничная точка множества |г| > 0.

2.	г = г - граничная точка множества |г| < 1.
Рис. 1.3. Примеры односвязной (а) и многосвязной (б) областей

Совокупность всех граничных точек множества д называется
границей д (будем обозначать дд).

Примеры.

1.	Границей области |г| < 1 является единичный круг.

2.	Границей верхней полуплоскости 1т г > 0 (тоже область) яв-
ляется действительная ось.

Множество, представляющее собой объединение области д и
его границы дд, называется замкнутой областью (будем
обозначать д).

Область называется конечной, если существует такое значе-
ние Ь (единое для всей области), что любые две точки области
можно соединить ломаной, целиком лежащей в этой области,
длины менее Ь.

Пример. Открытый единичный круг является конечной обла-
стью, а открытая верхняя полуплоскость конечной областью не яв-
ляется.

Наконец, дадим нестрогое определение односвязной и многосвяз-
ной областей. Пусть С - некоторая область. Рассмотрим замкну-
тую ломаную Г, целиком лежащую в этой области. Допустим, что Г
Рис. 1.4. Стереографическая проекция

можно непрерывно деформировать, двигая ее вершины, не выходя
за пределы нашей области. Возможен такой вариант, что подобной
непрерывной деформацией, уменьшая размеры звеньев, ее можно
стянуть в точку. Если область С такова, что такой деформацией в
точку можно стянуть любую замкнутую ломаную, лежащую в С, то
область Г называется односвязной. В противном случае С называ-
ется многосвязной областью (рис.1.3).

1.2.3. Стереографическая проекция
и бесконечно удаленная точка

Оказывается удобным пополнить комплексную плоскость беско-
нечно удаленной точкой. Традиционно это делается с помощью при-
ема, называемого стереографической проекцией.

Построим следующее соответствие между точками плоскости и
сферы. Отметим на сфере две диаметрально противоположные точ-
ки, которые назовем северным (ТУ) и южным (5) полюсами. Пусть
плоскость касается сферы в ее южном полюсе. Возьмем произволь-
ную точку сферы А, отличную от ТУ, и проведем через нее и через
северный полюс Ы сферы прямую. Эта прямая пересечет плоскость
в некоторой точке А'. Поставим в соответствие точке А точку А'.
Это соответствие и называется стереографической проекцией
(рис. 1.4).

Очевидно, что каждой точке сферы, кроме северного полюса ТУ,
будет соответствовать единственная точка плоскости. Наоборот, каж-
дой точке плоскости будет соответствовать единственная точка сфе-
ры. Точка М не имеет при этом никакой соответствующей точки
плоскости.

Пополним нашу плоскость некоторой воображаемой точкой Ы',
которую будем считать образом точки 14. Соответствие между точ-
ками пополненной таким образом плоскости и точками сферы уже
будет взаимно однозначным. Заметим, что чем ближе на сфере ле-
жит точка А к ТУ, тем дальше лежит ее образ А' от образа южного
полюса (который совпадает с самим южным полюсом). Поэтому при-
дется считать, что № лежит “бесконечно далеко” от образа южного
полюса. Точку ТУ' будем называть бесконечно удаленной точ-
кой.

Мы будем считать, что бесконечно удаленная точка является гра-
ницей всей комплексной плоскости. Итак, в результате замыкания
всей комплексной плоскости (т.е. добавления бесконечно удаленной
точки) получается расширенная комплексная плоскость, ко-
торая имеет “столько же” точек, сколько и сфера. Этот новый объект
иначе называют сферой Римана.

1.3. Последовательности комплексных чисел
и функции комплексного аргумента

1.3.1. Последовательности комплексных чисел

Последовательностью комплексных чисел называется
упорядоченное счетное множество комплексных чисел {гп}.

Комплексное число г называется пределом последователь-
ности {гп} если > О ЗТУ (е) что \/п> И выполняется соот-
ношение \г — гп\ < е.

Записывают:

{гп} ~при п оо или

Пт гп = г.
п—>сю
Примеры.

1.	Пт — = 0, го - любое комплексное число,
п—»ое п

2.	Пт (соз 1° + г81п1°)п не существует (необходимо проверить,
что члены последовательности циклически повторяются, период ра-
вен 360).

Задание комплексной последовательности гп = хп + гуп соот-
ветствует одновременному заданию двух действительных последо-
вательностей {хп} и {?/п}.

Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием того, что
{гп} ~= х-\-гу прип оо является требование того, что {хп} —> х
И {Уп} У при ОО.

Доказательство. Заметим, что, если г = х + гу, то

И, \у\ < Ы < |ж| + |у|.	(1.3)

Необходимость. \/с > 0 37У(е) такое, что |г — гп| < с \/п > Ы.
Следовательно, по неравенству (1.3) имеем

\хп - х\ < |гп - г| < € и \уп - у\ < |гп - г| < е.

Значит, {хп} х и {уп} у.

Достаточность. \/е > 0 3^(е) такое, что \хп — х\ < | \/п > 7У1, а
также 37У2(б), что \уп — у\ < | \/п > 7У2- Выбирая И = шах{7У1; ТУ2},
по неравенству (1.3) \/п > К имеем

|гп - г| < \хп - х\ + \уп - у\ < е. 

Теорема 1.2 (критерий Коши сходимости последовательности).
Необходимым и достаточным условием сходимости {гп} —> г явля-
ется требование, чтобы \/г > 0 37У(б), что \/п > 7У(е) и \/т > 0
выполнялось условие \гп+т — гп| < е.

Доказательство.

Необходимость. Пусть гп = хп + гуп- Так как {гп} —> г = х + гу,
то {жп} —> х и {?/п} ~> У- Следовательно, по критерию Коши для
действительных последовательностей, \/е > 0 и \/т > 0 существует
_7У1 (е) такое, что \хп+гп — хп\ < | для \/п > Ж(е). Аналогично, \/г > О
и \/т > 0 существует Л^^) такое, что \уп+гп—уп\ < | для \/п > А^^)-
Выбирая АГ(е) = шах{АГ1; АГ2}, имеем

\%п+т	%п\ < |^п+т	^п| “Ь \Уп-\-т Уп\ <	> ^(б).

Достаточность. Из того, что \гп+гп — %п\ < е для \/п > IV (е) и
\/т > 0 следует, что

\%п-\-т Хп\ — |^п+т	^п| < & И \Уп-\-т Уп\ — |^п+т	^п| <

Таким образом, последовательности {хп} и {?/п} удовлетворяют усло-
виям критерия Коши для действительных последовательностей и
сходятся. По теореме 1.1 последовательность {гп} также сходится,
что и требовалось доказать. 

Последовательность {гп} называется ограниченной, если
ЗА е К что \/п \гп\ < А.

Если \Л4 > О 37У(А) такой, что \гп\ > А для \/п > АГ (А), то
такая последовательность называется бесконечно большой.

Примеры.

1.	Последовательность {гп} = гп, |г| > 1 является бесконечно
большой, т. к. модуль п-го члена равен \г\п и стремится к бесконеч-
ности при п оо.

2.	{гп} = гп (аналогично).

В обычном смысле бесконечно большие последовательности не
сходятся. Однако оказывается удобным считать, что все бесконечно
большие последовательности сходятся к бесконечно удаленной точке
(см. выше).
1.3.2. Понятие функции комплексной переменной

Пусть на комплексной плоскости задано множество В и закон,
по которому любому комплексному числу г из В ставится в
соответствие одно комплексное число или совокупность ком-
плексных чисел. Тогда говорят, что на В задана функция
комплексной переменной из = /(г).

Множество В назовем множеством задания функции. Со-
вокупность Е всех значений гс, которые /(г) принимает на В назы-
вается множеством изменения функции /(г).

Если каждому значению г Е В соответствует единственное зна-
чение функции, такая функция называется однозначной. В про-
тивном случае функция является многозначной.

Если функция гс = /(г), определенная в Р, однозначна и, кро-
ме того, 7^1, ^2 Е Р, таких, что , выполняется соотноше-
ние /(^1)	/(г2), то функция /(г) называется однолистной

в В. Множество В при этом называется множеством од-
нолистности .

Если гс = /(г) однолистна в В, множество ее изменения Е, то
можно утверждать, что существует обратная функция г = <Дгс), с
множеством задания Е и множеством изменения В.

Замечание. Полагая, что г = х + гу, гс = и + ги, можно рассмат-
ривать комплексную функцию гс = /(г) как две действительно-
значные функции, от двух переменных,1 и(х,у) ии(х,у) .

Примеры.

1.1х = аг-\-Ь, а 7^ 0, а,Ь - комплексные числа (линейная функция).
Функция определена на расширенной комплексной плоскости. Она
однозначна и однолистна.

1 Известно, что функции одной действительной переменной удобно
представлять графиками. Подумайте, как можно графически изображать
функции комплексной переменной.
2. гс = л/г. Функция определена на расширенной комплексной
плоскости, но не является однозначной. Каждому значению г = р ег{р.
отличному от нуля и бесконечно удаленной точки, соответствуют два
различных значения гп = ^/~р иг? = у/р ё^2+17Т. Точки, соот-
ветствующие IVI и и>2 располагаются: одна в верхней полуплоскости,
вторая - центрально-симметрична первой, в нижней полуплоскости.
Точки г = 0 и г = ею (они отображаются сами в себя) называют-
ся точками ветвления. Можно, однако, договориться и переопреде-
лить функцию так, что будет выбираться одно из значений ид
и 1Г2, скажем, то, которое соответствует точке в верхней полуплос-
кости. Так определенная функция называется ветвью функции у/г.
Эта функция является однозначной и однолистной.

1.3.3.	Элементарные функции комплексного аргумента

Перечислим основные функции комплексной переменной, кото-
рые будут играть важную роль в дальнейшем изложении.

1.	Показательная функция. Используя формулу Эйлера, запи-
шем:

ег = ех+гу = ех (сое у + г зт у).

При г действительном превращается в хорошо известную нам дей-
ствительную показательную функцию. Функция е% является одно-
значной во всей расширенной комплексной плоскости.

2.	Тригонометрические функции.

-к р~^%

8тг = ---------; созг =---------;	(1.4)

2г	2	к 7

81п г	сое г

г = ----;	с!§ г = ---.

сое г	8ш г

Это определение тригонометрических функций комплексного ар-
гумента (его доказывать не надо). Все тригонометрическое функции
являются однозначными во всей расширенной комплексной плоско-
сти. При действительном г формулы для синуса и косинуса (1.4)
получаются из формулы Эйлера, например:

егх _ е-гх СО8Х + 2 8ШХ — СО8Х + 2 8ШХ
Можно убедиться непосредственной проверкой, что такое определе-
ние сохраняет “школьные” формулы тригонометрии.

В школе многие испытывали трудности, связанные с запоминанием фор-
мул тригонометрии. Определение тригонометрических функций через ком-
плексную экспоненту позволяет быстро выводить (а не вспоминать!) раз-
личные тригонометрические соотношения, например:

2г® _	— 2гх  вт2х = 				  2г  г® _ -гх  = 2- -			  2г	_ (егж-е~гж)(егж + е~гж) _  2г  егж е~гх  			 = 2 81П X СО8 X]
з	кегх+е~гх'  СО8 X = 1 				\3	1  \	-*- / Згх . о гх . о — гх .	— Згх\  = -(е	+ Зе + Зе + е ) =  /	о

1	3

= - СО8 Зх + - СОЗ X.

4	4

1

4

3.	Гиперболические функции.

е% + е 2

сп г =----------

е% — е %

зй г =

2

.	н11 г п ей г

шг= ——;	сшг = ——.

сп г	8П г

Гиперболические функции являются однозначными во всей расши-
ренной комплексной плоскости.

4.	Логарифмическая функция. Логарифмическая функция вво-
дится как функция, обратная показательной, т.е. как решение урав-
нения г = еи!. Если записать г = |г|ег (аг§ г+27гА0 и гг = Ее гс + г 1т гг,
то из сравнения правой и левой частей получим

Ее гх = 1п |г|; 1т гх = аг§ г + 2тгА;,

где 1п - обычный действительный логарифм; к - любое целое число.
Таким образом, по определению логарифмическая функция вводится
формулой

Ьп г = 1п |г| + г(аг§ г + 2тгА;), к 6 X.

Во всей комплексной плоскости логарифмическая функция много-
значна. Главная ветвь логарифмической функции обозначается так-
же 1п г (со строчной буквы) и определяется в комплексной плоскости
формулой
1п г = 1п |г| + г аг§ г.

При этом в правой части стоит действительный логарифм, а в ле-
вой - то, что определяем, т.е. главная ветвь комплексного логарифма.
Для действительных положительных чисел аг§ г = 0, поэтому глав-
ная ветвь комплексного логарифма совпадает с обычным логариф-
мом, изучавшимся в курсе действительного анализа (см. например
[1, подразд. 4.6]). Важно не путать Ьп г и 1пг.

5.	Степенная функция. Степенная функция с произвольным (ком-
плексным) показателем степени а вводится определением

_ еа Ьп г

и по определению многозначна. Главная ветвь задается формулой
1п г

6.	Показательная функция с произвольным (комплексным) осно-
ванием. Эта функция вводится формулой

Ьп а

и, вообще говоря, многозначна. Главная ветвь задается главной вет-
вью логарифма: (Г = ег 1па.

7.	Обратные тригонометрические функции Агсзт г, Агссоз г,
Агс1§ г. Явные формулы для этих функций можно получить ис-
пользуя уже упомянутые функции. Например,

гс = Агссоз %	% = СОЗ гс = --------

е2г"' - 2ге™ + 1 = 0	е™ = г + аЛ2 - 1

=> и> = — г Ьп (-^ + л/^2 — 1) == Агссоз г.

Многозначность в последней формуле “прячется” сразу в двух ме-
стах: в многозначности функции Ьп г и в многозначности (двузнач-
ности) функции л/г. Главная ветвь функции Агссоз г обозначается
агссоз г (со строчной буквы) и соответствует выбору главной вет-
ви логарифма и значению корня с положительной действительной
частью.
1.4. Понятие предела функции комплексной
переменной. Непрерывность функции
комплексной переменной

Пределом функции /(г) в точке го называется комплексное
число гео, такое, что > О 35(е,го) > 0 такое, что при \/г,
О < |г — го | < 8 выполняется соотношение |/(г) — гсо| < е.
Записывают:

Пт /(г) = гс0.

2^20

Предел функции /(г) в точке го равен бесконечности, если
ХМ е К 35(А) > 0, такое, что \/г, 0 < |г — го| < выполня-
ется соотношение |/(г)| > А. Записывают:

Пт /(г) = оо.

2^20

Предел функции /(г) при г —> оо равен комплексному числу
гео, если Х/е > О 37? > 0, такое, что \/г, |г| >7? выполняется
соотношение |/(г) — гсо| < е. Записывают:

Пт /(г) = гс0.

Теорема 1.3. Необходимым и достаточным условием того, что
число г/’о = //() + гго является пределом функции

XX = Xх + гу) = и(х, у) + ш(х, у)

в точке го = хо + гуо является существование пределов

Пт и(х,у)=иу, Пт х(х, у) = хо,

Х^Х0,у^у0	Х^ХО,У^Уо

рассматриваемых по совокупности переменных.
Доказательство.

Необходимость. По определению предела функции /(г) в точке
го имеем, что \/г > 0 3(5(г), что |/(г) — гсо| < 8 при \/г, |г — го | < (5,
следовательно

\и(х,у) - гбо| < у/\и(х,у) - и0\2 + \у(х,у) - г0|2 = |/(г) - гс0| < г;

\у(х, у) -Хо\ < у/\и(х,у) - и0\2 + \у(х,у) - г0|2 = |/(г) - гс0| < г.

Таким образом, при |г — го | = (х — хо)2 + (?/ — 2/о)2 < $ имеем
\и(х,у) — по| < 8 и \и(х,у) — Го| < ^, что и означает существование
предела по совокупности переменных.

Достаточность. Введем обозначение

Р = \/(я - жо)2 + (у - Уо)2-

Тогда по определению предела действительной функции двух пе-
ременных \/е > О 3(51 (е), такое, что \и(х,у) — ио| < | при р < (51.
Также 3(52(е), такое, что \и(х,у) — го| < | при р < 52. Выбирая
(5 = тт{51,52}, получаем, что при р < 6 выполняется соотношение

1/0) - гс0| < \и(х, у)-и0\ + |«(ж, у) - г>0| < е.

Тем самым теорема 1.3 доказана1. 

Замечание. Пределы в теореме 1.3 понимаются по совокупно-
сти переменных. Это означает, что если предел Пт /(г) = гео су-
2^20

ществует, то он не зависит от способа приближения к точке го в
комплексной плоскости. Аналогичное замечание справедливо также
при го = оо и гео = оо.

Примеры.

1.	Пт 1/г = 0. Действительно, каким бы ни было е, можно взять
2^ ОС

К > 1/е, такое, что |1/г| = 1/|г| < 8 при |г| > К.

1 Докажите утверждение, аналогичное теореме 1.3 в случаях:

а) Пт /(г) = оо; б) Пт /(г) = гео-

2^00
2.	Пт е не существует (в отличие от действительного слу-
2^0

чая). Рассмотрим два способа приближения к пределу: (I) по дей-
ствительной оси, справа и (II) по мнимой оси, сверху. В случае (I)
предел равен нулю (действительный случай). В случае (II) сделаем
замену г = гу, и задача сведется к вычислению предела Пт е1^ ,
2/^0

который равен бесконечности. Таким образом, пределы по разным
направлениям различны, и единого предела не существует.

Функция комплексной переменной /(г) называется непре-
рывной в точке го, если существует ограниченный предел
Ит /(г) = и>0 и = /(г0).

2^20

Используя 8 — ^-терминологию, последнее определение можно пе-
реписать в следующем виде:

Функция комплексной переменной /(г) называется непрерыв-
ной в точке го, если \/е > 0 35(е) > 0 такое, что при
|г — го| < 5 выполняется неравенство |/(г) — /(го) | < 8.

Функция комплексной переменной /(г) называется непрерыв-
ной в области С, если она непрерывна в каждой точке г Е С.
Обозначение: /(г) Е С (С).

Теорема 1.4. Необходимым и достаточным условием непрерыв-
ности /(г) в С является требование, чтобы действительная и мнимая
части /(г), и(х,у) и у(х,у), были непрерывны вС по совокупности
переменных.

Доказательство. Следует непосредственно из теоремы 1.3. 
1.5.	Дифференцирование функции комплексной
переменной

1.5.1.	Производная функции комплексной переменной.

Условия Коши - Римана1. Аналитические функции

Однозначная функция /(г) называется дифференцируемой
в точке г = го, если при Дг = г — го —> 0 существует конечный
предел отношения

/Оо + Дг) - /(г0)

Пт

Дг

= гы.

Аналогично действительному анализу, выражение /'(го) назы-
вается производной функции /(г) в точке го.

Теорема 1.5 (необходимое условие дифференцируемости в точ-
ке). Если функция/(г) = и(х, у) + гг(х, у) дифференцируема в точке
го = -П) + 1уо, то существуют частные производные

их(хо,уо), иу(хо,уо), хх(хо,уо), ху(хо,уо),

и они связаны условиями Коши - Римана

их(хо,уо) = ху(хо,уо);

иу(хо,уо) = -ух(х0,у0).

(1-5)

(1-6)

Доказательство. Воспользуемся тем, что в определении произ-
водной предел не зависит от способа приближения к точке го.

1Коши, Огюстен Луи (1789 - 1857) - французский математик. Имен-
но он ввел в математику столь нелюбимый студентами г — 5 формализм,
дав тем самым впервые со времен Ньютона и Лейбница строгое обоснова-
ние основ математического анализа. Риман, Георг Фридрих Бернхард
(1826 - 1866) - выдающийся немецкий математик. Помимо теории аналити-
ческих функций, занимался вопросами обоснования геометрии. Г. Риман
обогатил математику многими понятиями, называемыми сейчас его име-
нем: интеграл Римана, римановы поверхности, римановы пространства.
1.	Дг = Дж —> 0 (приближение к точке го вдоль прямой, парал-
лельной действительной оси)

ГЫ

г^(ж0 + Дж, уо) + гг>(ж0 + Дж, уо) - и(х0,у0) - гу(х0,у0)

△®^р	Дж

= гбж(ж0,т/р) + гжж(ж0,т/р).

2.	Дг = г/\у 0 (приближение к точке го вдоль прямой, парал-
лельной мнимой оси)

р// ч _ Ит г^(жр,7/р + Дт/) + гж(жр,7/р + Дт/) - гб(ж0,т/0) - гж(ж0,т/0) _

= -гиу(хо,уо) + ъу(х0,у0).

Следовательно,

их(х0,у0) = ху(хо,уо) и иу(хо,уо) = -хх(х0,у0). 

За	мечание. Теорему 1.5 можно схематически изобразить в виде:

и(ж, 2/),ж(ж, ?/) связаны условиями
Коши - Римана в го

ЗГ(^о)

Теорема 1.6 (дифференцируемость в точке, достаточное усло-
вие). Пусть /(г) = и(х,у) + гг(х,у). Тогда, если:

а)	в точке (жо, у о) функции и(х,у) и V (х, у) дифференцируемы;

б)	первые частные производные этих функций в точке (жо,т/о)
связаны условиями Коши - Римана (1.5),(1.6),

то /(г) - дифференцируемая функция в точке го = жо + 1ус-

Замечание. Напомним, что для дифференцируемости функции
действительного аргумента р(ж,?/) в точке (жо,2/о) мало существо-
вания частных производных рж(жо,2/о), Ру(хо,Уо)- Необходимо еще,
чтобы приращения этой функции в малой окрестности точки (жо, у о)
описывались бы ее первым дифференциалом

р(х, у) - р(х0, Уо) = Рх(х0,у0)Лх + Ру(х0, уо)Ау + т](Ах, Лу),
где Дх = х — хо, Д?/ = у — уо, а функция т?(Да;, Д?/) стремилась
к нулю быстрее, чем у/(Дх)2 + (Д?/)2 ПРИ (ж, 2/)	(жсь2/о)« Поэтому

условие а теоремы 1.6 сильнее, чем просто наличие у функций и(х, у)
и г(х,?/) частных производных.

Доказательство (теоремы 1.6). Так как и(х,у) и у(х,у) диффе-
ренцируемы в точке (хо,2/о), то справедливы представления

Ди = их(хо, уо)^х + иу(хо, уо)^у +	△?/);

Ди = хх{хо,уо)^х ^ху{хо,уо)^у ^у{^х,^у),

(см. [1, подразд. 7.5]). Здесь

Дх = х-х0, /\у = у-уо,

Ди = и(гг,т/) - и(хо,?/о),

Ди = и(гг,т/) - и(хо,2/о),

причем

^(Дх, Д?/) = о ^У(Дх)2 + (Д?/)2^ = о(|Дг|);

7?(Дх, Дт/) = о ( у (М2 + (Д?/)2 ) = о(I	)•

Введем функцию (^(Дх, ^У) =	^У) + ^(Дх, Д?/). Очевидно,

^(Дгг, Дт/) = о(|Дг|). Тогда

Д/ _ /(г0 + Дг) - /(г0) _ Ди + гДг _

Дг	Дг	Дг

_ иж(жо,7/о)Дж + и27(жо,7/о)Д?/ + гиж(жо,7/о)Дж + ги2/(жо,7/о)Д?/

“	Дг	+

С(Дж, Дт/)

Дг

Г иж(жо,7/о) = ^(жо,7/о)
в силу условий <

[ иу(х0,у0) = -гж(жо,7/о)

иж(жо,7/о)Дж - гж(жо, 7/о)Д?/ + ггж(жо,7/о)Дж + гих(х0, уо)Ау

А.х + гДт/

^(Дж,Дт/)	,	.	. ,	. С(Л.х,Л.у)

+ -^-г------ = их(хо,уо) +ггж(жо,т/о) + г---------
т. е. существует предел

/(г0 + Аг) - /(г0)	,, А , х ,  /	.	-

11Ш ---------------------= / (го) = их(х0,у0) + гхх(х0,у0). 

Замечание. Из теоремы 1.6 следует схема:

1.	и(х,у), и(х,у) дифференцируемые
функции в точке го.

2.	и(х,у), и(ус,у) связаны условиями
Коши - Римана в точке го.

3/'(*о)

Замечание. Из вывода теоремы 1.6 непосредственно следует, что
/'(г) = их(х, у) + юх(х, у).

Однако, используя условия Коши - Римана, производную можно за-
писать различными эквивалентными способами:

/\г) = их(х, у) + гих(х, у) = иу(х, у) + гих(х, у) =

= их(х,у) - гиу(х,у) = иу(х,у) - гиу(х,у).

Замечание. Если функция дифференцируема в точке го, то она
и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Однозначная функция /(г) называется аналитической (или
аналитичной) в области С, если она определена в области
С, дифференцируема во всех точках г Е С и /'(г) непрерывна
в С.

Из теорем 1.5 и 1.6 следует критерий аналитичности функции
/(г) в области С.

Теорема 1.7. Необходимым и достаточным условиями анали-
тичности функции /(г) = и(х,у) + гг(х, у) в области С являются
непрерывность первых частных производных их, иу, их, ху и связь
их условиями Коши - Римана.
Доказательство.

Необходимость. Из условия аналитичности /(г) в области С сле-
дует, что /'(г) 6 С(С) и, следовательно, их(х,у), иу(х,у), хх(х,у),
иу(х,у) непрерывны в области С как функции двух действительных
переменных. Из теоремы 1.5 следует выполнение условий Коши -
Римана в каждой точке области С.

Достаточность. Так как частные производные их, иу, хх, ху не-
прерывны в области (7, то функции и(х,у), и(х,у) являются диф-
ференцируемыми в каждой точке области С (см. [1, подразд. 7.5]).
Следовательно, по теореме 1.6, существует /'(г) = их-\-гих. При этом
/'(г) непрерывна, так как непрерывны их и хх. 

Замечание. Теорему 1.7 можно схематически изобразить в виде:

1.	их, иу, хх, ху непрерывны в С.

2.	и(х,у), и(х,у) связаны условиями
Коши - Римана в С.

Пример. Рассмотрим функцию тх = гг. Ее действительная часть
и(х, у) = х2 + у2, мнимая часть и(х,у) = 0. Условия Коши - Римана
имеют вид

2х = 0; 2у = 0

и удовлетворяются только в точке г = 0. По определению можно
найти производную этой функции в точке г = 0:

/\ %/\ 7

11/(0, 0) = Пт —----- = Пт (Дх — гД1/) = 0.

Аг^О Дг Ах^0,А?/^0

Несмотря на то что условия Коши - Римана выполнены в точке
0 и производная существует в этой точке, мы не можем говорить
о непрерывности производной, существующей в этой единственной
точке. Значит, данная функция не является аналитической ни в ка-
кой области комплексной плоскости.
Теорема 1.8 (условия Коши-Римана в полярных координатах).
Пусть г = рё1^, /(г) = и(р, р) + гг(р,р). Тогда при г ф 0 условия
Коши - Римана (1.5), (1.6) эквивалентны условиям

= рир;	(1.7)

Пр = -ргр,	(1.8)

причем производная /'(г) выражается формулой

2	1

/'(г) = ~~(ир + гГр) = -(Гр - гнр).	(1.9)

Доказательство. Так как х = рсозр, у = ръшр, то

ир = их сое р + иу 81п р; Пр = —ихр 81п р + иур сое р\
Гр = Гх СО8 р + Гу 81П р\ Гр = — Гхр 81П р + Гур СО8 р.

Используя условия Коши - Римана (1.5),(1.6), имеем:

Пр = Гу СО8 р — Гх 81П р = р~ХГрР

Пр = — Гур 81П(/2 — 17^/7 81ПС/Р = — рГр.

Формула для производной (1.9) выводится с помощью следующих
преобразований:

/'(*) = |(г>у - ги^) =

(—Ухр 81Д Р + ууР сое р) — г(—ихр 8т р + иур сое р)
р(сО8 р + г 81П р)

(—гх 81п р + их сое р) — г(—их 8т р — гх сое р)

СО8 р + г 81П р

(их + г1?ж)(со8 р + г 8т р)	.

=--------------------------= их ъгх. 

СО8 р + г 81П р
Примеры.

1.	Функция ег аналитическая. Для того чтобы убедиться в этом,
проверим условия Коши - Римана

и(х,у) = ех сову;	=ех8ту-

их(х, у) = ех со8 у = гу(х,у); иу (х, у) = — ех 8т у = — гх(х, у).

2.	Функция гп, п = 1,2,3,... аналитическая. Для того чтобы
убедиться в этом, проверим условия Коши - Римана в полярных
координатах

гп = рп (со8 тир + г 81п тир);

=	п • рп • сов пр = рир;

=	— п • рп • втпр = — рхр.

1.6.	Свойства аналитических функций

Перечислим некоторые свойства аналитических функций.

Свойство 1. Пусть /(г) и д(г) - аналитические функции в обла-
сти С. Тогда:

а)	функция /(г) + р(^) является аналитической в С, причем

(/ + дУ = Г + д';	Цю)

б)	функция /(г) • является аналитической в С, причем

ХдУ = 7д + 57;

(1-Ц)

в)	функция /(г)/д(г) является аналитической в С всюду, где знаме-
натель отличен от нуля, причем

Г 9 ~ Л/

„2

Г\

9/

(1-12)
Свойство 2. Пусть - аналитическая функция в области С,
а функция /(г) определена и аналитична в области, содержащей
множество изменения Тогда функция	является анали-

тической в области С, причем

(1-13)

Доказательство. Вывод формул (1.10) - (1.13) производится так
же, как и в действительном анализе. Далее, читая их “справа нале-
во”, заключаем, что производные в левой части каждого равенства
существуют и непрерывны, так как правые части всех равенств опре-
делены и непрерывны.

В качестве примера выведем формулу для производной произве-
дения (1.11). Имеем

/(г + Дг)р(г + Дг) - /(г)р(г) =

Дг

= /(^ + Д^Ы^ + Д^) - /Ир(^ + Д^) + /Ир(^ + Д^) - /ИрИ =
Дг

= д(г + Дг) •	+	~	+ /(г) •	+	~	

Переходя к пределу при Дг —> 0, получаем формулу (1.11). Таким
образом, в С существует производная функции /(г)р(г), определен-
ная формулой в правой части (1.11), причем в силу аналитичности
/(г) и р(г) она непрерывна. Следовательно, /(г)р(г) аналитична в
С. Дополнительно в силу теоремы 1.7 получаем, что для /(г)р(г)
выполняются условия Коши - Римана. Остальные формулы - (1.10),
(1.12), (1.13) доказываются аналогично. 

Свойство 3. Пусть но = /(г) = /(х + гу) = и(х,у) + гх(х,у) -
аналитическая функция в С и /'(го) ф 0, го =	+ гуо Е С. Тогда

существует некоторая окрестность точки гео = г^о +	— /(^о)?

в которой определена обратная функция г = <Дгс), причем ф(дс)
является аналитической в \\ и

Ф'М = 1//'О).

Доказательство. Функция /(г) сопоставляет паре (х, у) пару
(и(х, ?/), г(х, ?/)). Покажем, что в некоторой окрестности точки (ио, ио)
по значениям (п, г) значения х = ж(п, г) и у = у(и,х) восстанавлива-
ются однозначно. Вычислим якобиан отображения (ж,?/) —> (п, г):

Хх,У) =

их(х,у) иу(х,у)

Ух(.х,у) ху(х,у)

= их(х,у)ху(х,у) - иу(х,у)хх(х,у) =

= [по условиям Коши - Римана] = и%.(х,у) + х?(х,у) = |//(г)|2.

По условию 7(хо, у о) 0. По теореме о неявной функции из действи-
тельного анализа, имеется некоторая окрестность 17 точки (а?о, З/о),
которая переводится функцией /(г) в некоторую окрестность IV точ-
ки (п0,Го), где:

а)	существует однозначное обратное отображение (п, г) —> (ж, у)
из IV в V;

б)	якобиан 7(ж,?/) отображения (ж,?/) —> (п, г) не обращается в
нуль при всех (ж,?/) е 17.

Обозначим г = ффхф комплексную функцию, переводящую и + гх
в х + гу. Производная этой функции в точке гх Е IV существует и
равна

ф(ш + Аш) - ф(иФ)	+ Ах) -1

™	;--------=	11111	-------;------- =	ч 

△гг^о Дгс	а^о у Дг /	/'(г)

Эта производная непрерывна, так как /'(г) непрерывна, и не обра-
щается в нуль (так как не обращается в нуль якобиан), следовательно
функция ф(гх) является аналитической в IV. 

Замечание. Пусть функция гх = /(г) имеет множество одно-
листности П и множество изменения Е. Тогда обратная функция
г = ф(гЕ) определена и аналитична на Е и имеет П своим множе-
ством изменения.

Следствие (из свойств 1-3). Функции зт г, соз г, зй г, ей г явля-
ются аналитическими во всей расширенной комплексной плоскости.
Функция г является аналитической при г 7^	+ п7т; функция г

является аналитической при г птг; функции Птг, сПтг являются
аналитическими, если г г(^ + птг) иг У штг. Функции Ьп г, а%,
2°, Агсзт г, Агссоз г, Агс1§ г также являются аналитическими, если
корректно оговорен выбор ветви многозначной функции и ее область
задания.

Действительно, первые четыре функции получаются из функции
ег с помощью операций сложения и суперпозиции, и следовательно,
являются аналитическими. Следующие четыре функции получают-
ся из первых четырех с помощью операции деления, при этом огра-
ничение на область аналитичности связано с нулями знаменателя.
Последние шесть функций являются обратными к аналитическим и
также являются аналитическими, если указать: а) “ ветвь” (т.е. зна-
чение многозначной функции, которое берется) и б) область задания,
в которой обратная функция определена однозначно.

Пример. Рассмотрим функцию /г = е% в полосе 0 < 1т г < 2тг.
Нетрудно показать, что для любого значения функции гс, не явля-
ющегося действительным положительным числом, найдется един-
ственное значение аргумента г, лежащее в рассмотренной полосе.
Действительные положительные значения /г при этом соответству-
ют одновременно верхней и нижней границам полосы (именно вслед-
ствие этой неоднозначности рассматривается открытая, а не замкну-
тая полоса). Значит, если мы удалим действительную положитель-
ную полуось, то в оставшейся комплексной плоскости главная ветвь
логарифма

г = 1п |гс| + гаг§ гх

будет определена однозначно и являться аналитической функцией.

Свойство 4. Действительная и мнимая части аналитической
функции Дг) = и(х,у) + гх(х,у) удовлетворяют уравнению Лапласа

^хх + Ауу = 0,	(1-14)

(вместо А надо подставить и или х).

Записывая уравнение Лапласа для и(х, у) и г(ж, у), мы молчаливо пред-
полагаем, что существуют не только первые частные производные функ-
ций и(х,у) и х(х,у) (что гарантируется аналитичностью /(г)), но и вторые
частные производные этих функций. Это действительно так; в дальнейшем
мы докажем (теорема 1.17), что если функция /(г) аналитична, то и(х,у)
и х(х,у) имеют частные производные любых порядков.
Доказательство. Дифференцируя первое из условий Коши -
Римана по х и второе по у, имеем ихх = гух и иуу = — гху, следова-
тельно ихх + иуу = 0. Наоборот, дифференцируя первое из условий
Коши - Римана по у, и второе по х, получаем гхх + гуу = 0. 

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются
гармоническими.

Уравнение Лапласа является одним из самых “востребованных” в науч-
ных и инженерных приложениях. Интересно то, что объекты, описываемые
уравнением Лапласа, могут иметь совершенно различную физическую при-
роду. В частности, это уравнение описывает распределение электромагнит-
ного поля в диэлектрике, процесс обтекания крыла в аэромеханике и раз-
ного рода стационарные течения в гидродинамике. Связь гармонических
функций и функций аналитических делает теорию функций комплексной
переменной очень полезной для решения конкретных инженерных задач.

Замечание. Полезной оказывается также запись уравнения Ла-
пласа в полярных координатах (получается из уравнения (1.14) за-
меной х = р сов ср, у = р8Ш(/?):

Арр + ~рАр +	= 0’

Свойство 5. Пусть в односвязной области С плоскости (х,у)
задана гармоническая функция и(х,у). Тогда существует аналити-
ческая в области С функция /(г), такая, что и(х, у) является ее дей-
ствительной частью. При этом мнимая часть г(х,у) функции
определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. Будем считать, что и(х,у) и г(х,у) связаны
условиями Коши - Римана. Запишем:

с1г = гх с/х + гу &у = — иу с/х + их с1у.

Векторное поле (—иу,их) является потенциальным (см. [2, подразд.
13.3]), так как

д ,	. д
Потенциал поля и есть г(х,?/). В точке (х\у') он представляется
интегралом второго рода по любой кривой, соединяющей точки (0,0)
и (ж, т/),

х(х\ у') =	— иу с1х + их с1у + С.

о

Здесь С - произвольная постоянная. Восстановленная таким образом
функция /(г) = и(х, у) + гг(х, у) является аналитической в С в силу
выполнения условий Коши - Римана. 

Замечание. Аналогично, по мнимой части аналитической функ-
ции можно восстановить действительную часть с точностью до ад-
дитивной постоянной.

Пример. Восстановить, если это возможно, аналитическую функ-
цию /(г) = и(х,у) + гг(х,у), если

М(Ж,7/) =	2	2,	/(1) = 1.

хл + ул

Решение.

Шаг 1. Убедимся, что функция и(х, у} - гармоническая функция,
т.е. она удовлетворяет уравнению Лапласа. Найдем частные произ-
водные их, хьхх,	, '^уу *

Складывая выражения (1.15) и (1.16), заключаем, что и(х,у) яв-
ляется гармонической функцией, следовательно, восстановление / (г)
возможно.
Шаг 2. Используя условие Коши - Римана иу = — хх, восстановим
х(х,у):

^х, У) = ~] иу^, у)<% = у (€2 + ^2)2 =

= /	2\2 =---+ С(у)’	(1Л7)

у (€ + у )	% + у2

где С (у) - произвольная функция от у (так как интегрирование ве-
лось по х). Чтобы ее найти, воспользуемся другим условием Коши -
Римана, их = ху. Дифференцируя по у выражение (1.17) и прирав-
нивая его их, получаем:

УУ =	= (~22, + 2А22 + су(у) = Д2, + 2С = и-

\ х2 + у2 у у (х2 + у2)2	(х2у2)2

Отсюда следует, что Су(у) = 0, т.е. С (у) = С, где С - произвольная
действительная константа. Таким образом, функция /(г) имеет вид

/(г) = и(х, у) + гг(х, у) = —— ---——- + гС.

X2 + у2 X2 + у2

Для нахождения константы С подставим значение г = 1 в найденное
выражение и используем условие /(1) = 1. Получим С = 0.

Шаг 3. Для того чтобы перейти от х и у к г, используем соотно-
шения

1 /	—\	1 / -А

х = - (г + г); у = — (г - г).

Тогда

х = X__________1у = (г + г) - | (г - г) =

ж2 + у2 х2 + у2 (1 ^+-у2+	^))2

г	г 1

|(г2 + 2гг + г2) - |(г2 - 2гг + г2) гг г'
1.7.	Интеграл от функции комплексной
переменной по кривой на комплексной плоскости

1.7.1.	Некоторые определения

Гладкой кривой в комплексной плоскости называется множе-
ство точек г = г(^) = х(1) + гу(1), где I е [а; Ь] - действительный
параметр, причем действительнозначные функции х(1), у(1) об-
ладают следующими свойствами:

1)	х(1),у(1) - непрерывные функции на [а; Ь] и непрерывно
дифференцируемые функции на (а; 6);

2)	(х'(1))2 + ф 0 при I е [а; 6];

3)	не существует двух различных значений I = и I =
(а; 6), таких, что одновременно имеют место равенства
х(^1) = х(1^) и = 2/(^2) (соответствует тому, что у кривой
нет точек самопересечения).

Точки г(а) и 2(6) будем называть концами кривой.

На гладкой кривой можно ввести ориентацию, указав направ-
ление движения вдоль этой кривой. Конец кривой, соответствую-
щий началу движения, будем называть начальной точкой глад-
кой кривой, а другой конец - конечной точкой этой кривой. Па-
раметризация порождает естественную ориентацию гладкой кривой,
соответствующую увеличению параметра I. При этом, однако, ничто
не запрещает ввести на той же кривой противоположную ориента-
цию (главное, чтобы ориентация была оговорена).

Кусочно-гладкой кривой в комплексной плоскости называ-
ется упорядоченное объединение конечного числа гладких кри-
вых, такое, что последняя точка каждой предыдущей кривой
является начальной точкой последующей.

Ориентация кусочно-гладкой кривой при этом естественно по-
рождается ориентацией гладких кривых, которые ее составляют. В
дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые нами ку-
сочно-гладкие кривые также не имеют точек самопересечения.
Замечание. Гладкая кривая имеет конечную длину. Это следует
из формулы для длины гладкой кривой, заданной параметрически
в виде х = х(1), у = у(1), I 6 [а; Ь\:

ъ

Ь = I уШ)2 + (у'О2
а

Так как кусочно-гладкая кривая составлена из конечного числа глад-
ких кривых, то она также имеет конечную длину.

Замечание. Кривая замкнута, если ее начальная и конечная
точки совпадают. Замкнутую кривую мы будем называть конту-
ром. Условимся в качестве положительного направления об-
хода контура принимать направление, при котором внутренняя об-
ласть, ограниченная данным контуром, остается слева от направле-
ния движения.

Пусть однозначная функция /(г) задана на кривой С в комплекс-
ной плоскости. Как и в действительном анализе, введем разбие-
ние кривой С. Для этого расставим на С последовательно точки
го, гх,..., гуу в порядке, определенном заданной на С ориентацией.
Далее, на каждой дуге	с концами в точках гп_х, гп возь-

мем произвольную точку г*, п = 1,... ТУ (рис. 1.5). Таким образом,
разбиение 2 зависит от расположения точек го, гх,..., гуу и точек
гх*,г^,...,г^

2 = Я(г0, гг,..., гуу; гх, г^,..., г^).

Назовем мелкостью разбиения величину р{2) = шах |Агп|,
п=1,2,...,7У

где Агп = гп — гп~х. Составим интегральные суммы

8(2) = ^^^.	(1.18)

П=1
Рис. 1.5. Разбиение кривой на комплексной плоскости

Если при	0 существует предел интегральных сумм,

не зависящий от разбиения кривой С (т.е. от выбора точек
го,..., гуу и г^,..., г^), то этот предел называется интегра-
лом от функции /(г) = и(х,у) + 1/и(х,у) по кривой С:

[ /(г)йг = Пт 5(7).

У	р(Я)^0

с

1.7.2.	Связь интеграла по кривой с действительными
интегралами второго рода

Так как

/(г)Дг = (и(х, у) + гх(х, т/)) • (Ах + гДт/) =

= (иДх — хД?/) + г(хДх + иД?/),

интегральную сумму (1.18) можно переписать в виде
ТУ

-5(^) = ^{и(х*п,у*п)/\хп - «(ж*,у*)Ауп} +

П=1

+ г^{и{х*п,у*п)^уп + х{х*п,у*п)^хп}-,

П=1

гп = ХП + Щп, Ажп = Не %п - Ее гп-15 Дт/П = 1т %п - 1т гп_х.

Получаем, что действительная и мнимая части 8(Я) представ-
лены интегральными суммами криволинейных действительных ин-
тегралов второго рода

И / Л,+

Устремляя мелкость разбиения к нулю, получаем:

ф.») Л - ,Л Л7 +. / Ф. ,Л Л, + ,Л (1.19)

С	С	с

Замечание. Достаточным условием существования криволиней-
ных интегралов второго рода

А(х,у) (1х + В(х,у) д/у

у

является кусочная непрерывность функций А(х,у), В(х,у) на кри-
вой 7, по которой ведется интегрирование. Поэтому кусочной непре-
рывности /(г) на кривой интегрирования достаточно и для суще-
ствования интеграла по кривой в комплексной плоскости. Аналитич-
ность функции в области, содержащей кривую, тем более является
достаточным условием существования интеграла по этой кривой (но
в силу вышесказанного требование аналитичности является избы-
точным).
1.7.3.	Свойства интеграла от функции комплексной
переменной по кривой в комплексной плоскости

Перечислим некоторые свойства интегралов от функции комп-
лексной переменной. Свойства 1-3 непосредственно вытекают из
свойств криволинейных интегралов второго рода.

Свойство 1 (зависимость от направления).

У /(г) Аг = - У /(г) Аг.

АВ	ВА

Замечание. Интеграл по контуру С в положительном направле-
нии будем обозначать /с+ /(г)с1г или просто /с /(г) (1г. Интегрирова-
ние в отрицательном направлении мы будем обозначать /с_ /(г)<1г.

Свойство 2 (аддитивность).

Сг

С2

+С*2

где С1 + С2 - дуга, состоящая из дуг С± и С^-

Свойство 3 (линейность).

Свойство 4. Справедлива оценка

(1-20)

Интеграл в правой части - это интеграл первого рода, а (1з - элемент
длины. Кроме того, если |/(г)| < М и Ь - длина кривой С, то

(1-21)
Доказательство. Пусть

7 = 7(20,2!,...,	2^,22, , 2^)	-

некоторое разбиение кривой С. Тогда из неравенства треугольника
следует, что

ту

Еж)ж

П=1

ТУ

<Е1Ж)Ж1-

П=1

Устремляя мелкость разбиения р(Х) к нулю, получаем:

ту

П=1

лг	г

Е1Ж)1жж / жж

п=1	У

откуда вытекает неравенство (1.20). Формула (1.21) следует из фор-
мулы (1.20) и свойств интегралов первого рода. 

Свойство 5 (сведение к обычному интегралу). Пусть С - гладкая
кривая, задаваемая представлением А(^) = х(1) + гу(Т), а < I < Ь,
причем ориентация этой кривой порождается ее параметризацией.
Тогда

ъ

У /(^) = У / (А(«)) Х'(1) м,
С	а

где А'(г) = х'(1) + гу'(1).

Доказательство. Распишем интегралы второго рода в формуле
(1.19) (см. [2, подразд. 13.2]):

/(г) (1г = У\и (1х — V с1у) + г с1х + и (1у) =

с	с	с

ъ

= У{и(хХ,уХ))  х'Х - г(х(1),у(1})  у’(1)} <11+
а
ь

+ г У {«(х(^),у(^)) -х'(Ь) + ф(<),т/(<)) •?/'(*)} ЛЬ =
а

Ъ

= У{и(х(Ь), у(ьУ) + гх(х(Ь), у(Ь)) • [х'(Ь) + гу'(Ь)] ЛЬ =

а

Ъ

= у /(А(*))А'(*) ЛЬ. 
а

Пример. Посчитаем интеграл

1= [

с

где Ср - окружность с центром в точке го и радиусом р, проходимая в
направлении против часовой стрелки. Введем параметризацию кон-
тура Ср, Ср : г = го + рег(р, 0 < <р < 2тг. Тогда

27Г

Г гр Лр .

1	= / ----:--= 2тгг.

У ре1^
о

Заметим, что результат не зависит ни от р, ни от го.

1.8.	Теорема Коши и первообразная функции
комплексной переменной

1.8.1.	Теорема Коши в односвязной области

Нам потребуется следующее утверждение из курса действитель-
ного анализа:

Формула Грина. Пусть С - конечная область на плоскости, при-
чем дС - кусочно-гладкий контур. Пусть функции Р(х,у),(^(х,у)
непрерывны на замыкании множества С (обозначение С), а их част-
ные производные существуют и непрерывны в С. Тогда

дР
ду

с1хс1у.

Пусть С - область в комплексной плоскости. Функция /(г) на-
зывается аналитической в замкнутой области С, если
/(г) - аналитическая в С и /(г) непрерывна в С.

Теорема 1.9 (теорема Коши для односвязной области, первая
формулировка). Пусть С - конечная односвязная область с кусочно-
гладкой границей 30 и /(г) - аналитическая в С. Тогда

У /С?) йг = 0.

ао

Доказательство. Так как /(г) - аналитическая в С, то /'(г) су-
ществует и непрерывна в С. Тогда	также непрерывны

в С. Кроме того, в силу того, что /(г) - аналитическая в (7, функции
и(х,у), г(х,у) непрерывны в С. Имеем

да	да	да

По формуле Грина

У /(г) (1г = УУ (—гх — Пу) (1х(1у + г (их — гу) (1х(1у =
да	а	а

= [по условиям Коши - Римана] =

= УУ (иу — Пу) (Шу + г УУ (уу — Гу) Шу = 0. 
а	а
Теорема 1.10 (теорема Коши для односвязной области, вторая
формулировка). Если /(г) - аналитическая в односвязной области
С, то для любого кусочно-гладкого контура С С С

У /(^) = 0.
с

Доказательство. Следует непосредственно из теоремы 1.9. 

Замечание. Требование односвязности в теоремах 1.9 и 1.10 яв-
ляется существенным. Например, пусть (7 = {г:1<|г|<3} (коль-
цо, многосвязная область) и /(г) = 1/г. Тогда

/ — = 2тгг / 0.

Ы=2

1.8.2. Теорема Коши в многосвязной области

В случае многосвязной области теорема Коши также справедли-
ва, если правильно определить понятие “интеграла по границе обла-
сти”.

Теорема 1.11 (теорема Коши для многосвязной области).
Пусть /(С) - аналитическая в конечной замкнутой области С, причем
С - многосвязная область, ограниченная снаружи кусочно-гладким
контуром Со, а изнутри - конечным числом кусочно-гладких конту-
ров С1, С2, ..Сп (рис.1.6). Тогда

У /(^) <1~ = У /(х)	+ У /(г) Лг + ...+ У /(х) Лг = 0.

дС	с+	сг-	с„

Доказательство. Проведем гладкие кривые 71,72, ••• ,7п (так
называемые разрезы), соединяющие контур Со с контурами С±, С2,
..., Сп и не пересекающиеся между собой (см. рис. 1.6) (примем на
веру, что это можно сделать всегда). Тогда область, полученная из
С удалением разрезов 71,72, ••• ,7п, будет односвязной. Ее полная
граница состоит из контура Со, проходимого в положительном на-
правлении, контуров Ст, С2, • • •, Сп, проходимых в отрицательном
Рис. 1.6. Иллюстрация к доказательству теоремы Коши для многосвязной
области

направлении, и разрезов 71,72, ••• ,7п, проходимых дважды в про-
тивоположных направлениях. По теореме 1.10 интеграл по границе
этой области равен нулю. Учитывая то, что вклад от интегралов по
разрезам 71,72, • • •, 7п равен нулю, получаем

У /(г)	+ У /(2) Лг + ... + У /(2) Лг = о,

с+	сп

что и требовалось доказать. 

1.8.3. Неопределенный интеграл от функции
комплексной переменной

Нижеприведенная теорема говорит о том, что помимо производ-
ной функции комплексного аргумента, можно определить также пер-
вообразную функции комплексного аргумента.

Теорема 1.12. Пусть С - область и /(г) - функция, непрерыв-
ная в этой области. Пусть для любого кусочно-гладкого контура 7,
целиком лежащего в С
У Ж) = 0.	(1.22)

7

Тогда:

а)	существует функция

г

РН = / Ж) <Х,

20

где интеграл берется по кусочно-гладкой кривой, соединяющей точ-
ки г и го, причем его значение не зависит от этой кривой;

б)	функция Е(г) аналитическая в С и Е'(г) = /(г).

Доказательство, а) Покажем, что условие (1.22) гарантирует
нам, что интегралы по всем кривым, соединяющим точки г Е С и
го Е (7, равны. Рассмотрим две разные кривые, 71 и 72, соединяю-
щие точки г и го (рис. 1.7). Предположим для простоты, что они не
пересекаются г. Рассмотрим контур, образованный этими кривыми,
причем проход от го к г осуществляется по кривой 71, а от г к го -
по кривой 72 (см. рис. 1.7). Тогда по условию (1.22) имеем

У /(г) Л:: = У /(г) Лг - У /(г) <1х = О,

71” ЩГ	71”	7г”

и интегралы по обеим кривым равны. Таким образом, функция

г

РН = У Ж)

20

определена однозначно, что доказывает п. а.

1 Подумайте, как изменить доказательство, чтобы учесть, что кривые
71 и 72 могут пересекаться.
1т г

О

Рис.1.7. Иллюстрация к доказательству теоремы 1.12

б) Пусть г - произвольная точка (7, а Дг достаточно мало, чтобы
точка г + Дг лежала в области С. Рассмотрим интеграл по отрезку
прямой, соединяющему точки г и г + Дг.

У /(€) = у /(е) - У /(€)	+ Аг) -

2	20	2о

(справедливо для любой кривой, соединяющей точки г и г + Дг).
Составим выражение

Р(г + Дг) — Р(г)
Дг

1^1	/	<

< ТАТТ < гта?л 1	~	' 1Лг1 = < гта?л 1	~	(-1-23)

|Аг| ^е[^,^ + А^]	^[г^+Дг]

В силу непрерывности /(г) для любого е > 0 найдется такое 5(е),
что если длина отрезка интегрирования |Дг| < 5(е), правая часть
неравенства (1.23) будет меньше е. Следовательно, левая часть тоже
меньше е, и существует предел

г Г(г + Дг)-Г(г)
пт --------------

△2^0	Дг

= Р'(г) = /(Р).

При этом Р(г) - аналитическая, так как она дифференцируема, и ее
производная по условию непрерывна. 

Функция существование которой гарантируется теоремой
1.12, называется первообразной функции /(г). Первообраз-
ная определена с точностью до произвольной аддитивной ком-
плексной константы.

Замечание. В силу теоремы Коши аналитические функции, за-
данные в односвязной области, имеют первообразную.

1.9.	Интегральная формула Коши
и ее следствия

1.9.1.	Интегральная формула Коши

Основным результатом данного подраздела является следующая
теорема.

Теорема 1.13 (интегральная формула Коши). Пусть С - конеч-
ная область с кусочно-гладкой границей 30. Пусть - аналитиче-
ская в замкнутой области С и Е С любая точка области С. Тогда
справедлива формула

= (1-24)

90+

(знаком “+” отмечено положительное направление обхода).

Формула (1.24) называется интегральной формулой Коши,
а интеграл в ее правой части - интегралом Коши.

Доказательство.

Шаг 1. Рассмотрим круг И с центром в точке го и радиусом р,
целиком принадлежащий области С. Вырежем этот круг из области
С. Получившаяся многосвязная область С\И снаружи ограничена
границей области дС, а изнутри - окружностью ур. При этом р может
быть выбрано произвольно, лишь бы П целиком лежал в области С.
Заметим, что функция /(г)/(г — го) аналитична в С\Р, и поэтому
к ней применима теорема Коши для многосвязной области

}	7

7-

Направление обхода на ур выбрано по часовой стрелке. Индекс “ми-
нус” у говорит о том, что это - отрицательное направление обхода
относительно круга И (для области С\И контур ур - также часть
границы, но то же направление обхода является для области С\И
положительным.) Далее, очевидно

(1-25)

7+

Шаг 2. Рассмотрим интеграл

I = [	~	(1-26)

7	€ — го

Ур

С одной стороны,

€-^о У € - 20	У € - 20

7р	7р	7р

Вводя параметризацию ур : = го + рег(р, (1^ = грег{р с1(р, получим:

Т / № п А 7^	/* /(€) п X 9 .

1 = / ------ аЕ - т(2о) / ---:--= / —----------т(го) • 2тгг.

У € - 20 К 07 у ре^ у е - 20 к 07

7р	0	7р
С другой стороны,

Г Ж) - Жо)

7 € -	4

ур

< / 1№) - 1Ы\ Лк _ Г	,л, <

7	1€-^о|	7 р

7р	7р

тах|/(^) - /(г0)|

< 2тгр  —------------= 2тгтах |/(С) - Жо)|.

Р	ее7р

Здесь дз - дифференциал дуги. Последнее неравенство справедливо
при любом р. В силу непрерывности /(г) во всей области (7 заклю-
чаем, что шах |/(^) — /(го) | —> 0 при р 0. Поэтому

Т	>9 • П

I = / --------Жо) • 2тп = 0.

.7 ч

Ур

Используя равенство (1.25), получаем утверждение теоремы. 

Замечание. Формула Коши верна как для односвязной, так и
многосвязной области, только в последнем случае д(}+ - полная гра-
ница области, проходимая в положительном направлении.

Замечание. Интеграл Коши имеет смысл для любого взаимного
расположения точки го и замкнутого контура Г (не проходящего
через го) в области аналитичности /(г). При этом



1 Г Ж)

2ттг У - г0

Жо),
0,

если го внутри Г;
если го вне Г.

Непосредственным следствием из теоремы 1.13 является так на-
зываемая формула среднего значения.
Теорема 1.14 (формула среднего значения). Пусть /(г) - функ-
ция аналитическая в области С и - любая точка С. Пусть Иц -
круг радиусом К с центром в точке полностью содержащийся в
С. Тогда

2 77

/Ы =	[ /(*о + и е^) Лр>.	(1.27)

27Г У

о

(Проще говоря: значение аналитической функции в некоторой
точке го равно среднему значению этой функции на окружности с
центром в точке го.)

Доказательство. Возьмем в качестве контура интегрирования в
формуле Коши (1.24) границу круга дИп, т.е. окружность с центром
в го и радиусом К . Вводя на этой окружности параметризацию

е = г0 + Ее^, (% = гПе^

получаем:

277

Ж) = У- [
У	У

ЭОП	0

Замечание. Иногда вводят элемент длины окружности

дз = К

и записывают формулу среднего значения в виде

/Ы=2^ / /ир/А'	(1’28)

Важно не перепутать дз и (1^ в формуле (1.28): если это сделать,
интеграл окажется равным нулю по теореме Коши.

1.9.2. Принцип максимума

Из формулы среднего значения следует замечательное свойство
аналитических функций, так называемый принцип максимума.
Теорема 1.15 (принцип максимума). Пусть функция /(г) - ана-
литическая в замкнутой области С, не равная тождественно посто-
янной. Тогда ее модуль |/(г)| достигает наибольшего значения на
границе дС.

Прежде чем доказывать эту теорему, докажем вспомогательную
лемму, которая, впрочем, представляет интерес сама по себе.

Лемма. Пусть в области С задана аналитическая функция /(г)
и во всей области С выполняется равенство

1Ж1^>о.

Тогда /(г) = сопз! в С.

Доказательство леммы. Пусть

/(г) = и(х, у) +	у), г = х + гу.

По условию леммы в области (7 выполняется равенство и2 +г2 = А2.
Продифференцируем последнее равенство по х и по у. Получим

иих + ггх = 0, ииу + ггу = О,

или в силу условий Коши - Римана

иих — хиу = 0, ииу + хих = 0.

По условию ТУ > 0, следовательно, хотя бы одна из функций и(х, у)
и г(х, ?/) не является тождественным нулем. Таким образом, в С дол-
жен тождественно обратиться в нуль детерминант

'^х

иу их

2 ,	2

= их + иу.

Отсюда следует, что и = сопе!. Из условий Коши - Римана получаем,
что одновременно и V = сопе!. Лемма доказана. 

Доказательство теоремы 1.15. Предположим противное: пусть
|/(г)| достигает наибольшего значения во внутренней точке го, и это
значение равно М. Дальнейшие рассуждения разобьем на три шага.
Рис. 1.8. К доказательству теоремы о принципе максимума (шаг 2)

Шаг 1. Возьмем окружность 7д с радиусом К и центром в точке
го (соответствующий круг полностью лежит в (7). Запишем формулу
средних:

2тг/(г0)= / /ЫМ

и возьмем модуль от обеих частей равенства

2тгМ =

У /(го + п е^)	< У |/(г0 + К е^)| <1р < 2ттМ.

Следовательно,

У |/(г0 + /?е^)| <1р = 2тгМ.

О

Шаг 2. Докажем1, что тогда |/(г) | = М на 7д. Действительно, ес-
ли хотя бы в одной точке г* е 7д (рис. 1.8) выполнилось неравенство

1 Логика этого рассуждения та же, что и при решении задачи: “Средний
вес 10 человек 1000 кг. Доказать, что либо они все весят 100 кг, либо
найдется хотя бы один, который весит больше 100 кг.”
|/(г*)| < М, то имеется дуга окружности Сх, содержащая точку г*,
для всех точек которой также выполняется соотношение |/(г)| < М.
Пусть (/?* - центральный угол (в радианах), соответствующий этой
дуге. Получаем строгое неравенство

у'|/(г0 + /?е^)|
Сг

Обозначим оставшуюся часть окружности С<2- Центральный угол,
соответствующий этой части окружности, равен (2тг — </?*). Значит,

27Г

2тгЛ/ = у |/(2о + Д е^)И<р =
о

= У |/(г0 + К е^)|	+ У |/(^о + И е^)|	<

Ст	С2

< р*М + (27Г -	= 2тгМ.

Полученное противоречие доказывает, что |/(^)| = М на 7д.

Шаг 3. Точно такие же рассуждения справедливы для любой
окружности с центром в точке го и радиусом, меньшим К. Следо-
вательно, |/(г)| = М в круге радиусом К с центром в точке го. Но
по доказанной выше лемме это означает, что /(г) = сопз! в круге
радиусом К с центром в точке го.

Покажем теперь, что |/(г)| = М не только в этом круге, но и
в любой точке г* области (7, а /(г) постоянна во всей области С.
Соединим точки го и г* кривой А (это можно сделать, так как С -
область). Кривая А пересекает 7д в некоторой точке. Пусть это точ-
ка гх. В точке гх выполняется равенство |/(гх) | = М. Возьмем круг,
целиком принадлежащий (7, с центром в точке гх и радиусом 7?х-
Те же рассуждения показывают, что в этом круге |/(г) | = М, и по
лемме функция /(г) постоянна. Повторяя ту же процедуру, возьмем
точку пересечения построенного круга с кривой А (пусть это будет
точка г2) и построим еще один круг с центром в г2 и некоторым ра-
диусом Т?2 и т.д. Действуя таким образом, можно за конечное число
Рис. 1.9. К доказательству теоремы о принципе максимума (шаг 3)

шагов1 дойти до точки г* и установить, что |/(^о)| = |/(^*)| = М и
/(го) = /(г*). Теорема доказана. 

Пример. Найдем

шах |г2 + г|.
+ <1

Функция /(г) = г2 + г является аналитической в круге |г| < 1, по-
этому наибольшее значение модуля этой функции в заданном круге
достигается в какой-то точке на границе круга, т.е. на окружности
|г| = 1. Введем параметризацию на окружности |г| = 1, г = ег<^,
<р Е [0; 2%). Тогда на этой окружности

|г2 + г|2 =	|е2г<^ + ег<^|2 = |(со8 2(/р + со8(/?) + г(8Н12(/? + 8Н1(/?)|2 =

= (сО8 2р) -Ь СО8 (/?)2 -Ь (8Ш 2р) -Ь 81П +)2 =

= СО82 2(р -Ь 2 СО8 2(р СО8 ср -Ь СО82 ср +

+	81П2 2(р -Ь 2 81П 2(р 81П ср -Ь 81П2 ср =

= 2 + 2 сое 2ср сое + + 2 81п 2ср 8т + = 2 + 2 сое р>.

Очевидно, что последнее выражение имеет максимум, равный 4. Та-
ким образом, мы нашли максимум квадрата модуля рассматривае-

мо, что число шагов будет конечным, примем без доказательства.
мой функции. Максимум модуля самой функции /(г) в круге |г| < 1
при этом равен \/4 = 2.

В свете теоремы 1.15 возникает естественный вопрос о том, где
достигается минимум модуля аналитической функции. Оказывает-
ся, что при некотором дополнительном условии минимум модуля до-
стигается также на границе области.

Теорема 1.16 (о минимуме модуля). Пусть функция /(г) - ана-
литическая в замкнутой области С, такая, что она: а) не равна тож-
дественно постоянной и б) ни в одной точке С не обращается в нуль.
Тогда ее модуль |/(г)| достигает наименьшего значения на границе
дС.

Доказательство. Так как /(г) не обращается в нуль ни в од-
ной точке (7, в С определена функция р(г) = 1//(г). Эта функция
является аналитической в (7, и, следовательно, |р(^)| достигает мак-
симума на границе дС. Но точки максимума |р(^)| совпадают с точ-
ками минимума |/(г)|, таким образом, точки минимума |/(^)| также
лежат на границе дС. Теорема доказана. 

1.10.	Формула Коши для производных
и ее следствия

1.10.1.	Теорема об интегральном представлении
производных аналитической функции

Обобщением интегральной формулы Коши (1.24) является так
называемая формула Коши для производных.

Продифференцируем обе части формулы Коши по г, предполагая, что
дифференцирование по параметру под знаком интеграла законно. Полу-
чим:

/и =

да	да
Повторяя дифференцирование п раз и учитывая, что

дп
дгп

п\

(€ - ^)п+1 ’

получаем формулу:

Приведенные выше рассуждения не являются строгими, так как
дифференцирование по параметру под знаком интеграла не всегда
возможно. Обоснование приведенным выше рассуждениям содер-
жится в следующей теореме.

Теорема 1.17. Пусть С - конечная область, ограниченная ку-
сочно-гладким контуром, и /(г) аналитична в замкнутой области
С. Тогда внутри С существуют непрерывные производные любого
порядка функции /(г), причем верна формула

/(«)(г) = Д [	(1-29)

’ к 7 2тгг У (€ - г)п+1	к 7

90

Соответственно все производные также являются аналитическими
функциями.

Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1.29)
только для п = 1 (при п > 1 формула доказывается по индукции, од-
нако выкладки получаются довольно громоздкими). Будем исполь-
зовать следующие обозначения: М - максимум модуля функции /(г)
на границе области ЗС, Р - длина границы дС.

Шаг 1. Заметим, что при любых комплексных г и Дг справед-
ливы равенства:

1	1	Дг

- г - Дг ^-г	(^ - г - Дг)(^ - г) ’

1	1	_	Дг

(€ - г - А2)(^ - г) (?-2=)2	(^-2-Аг)(^-2:)2'
Пусть г лежит внутри области (7, а - на границе дО. Обозначим
через Ъ кратчайшее расстояние от г до границы 3(7, Ъ = ппп \г — ^|.

При |Аг| < Ь/2 получаем оценку:

1 1

(€ - г - Аг)(С -	(€“^)2

|А^1	<

|€ - % - Аг| • |С - г|2 “

- (|е-г|-1|Дг|)-|€-г|2 " Гз1Лг1'	(к3°)

В приведенных выше выкладках было использовано неравенство
|е-г| - |Аг| > Б - (Б/2) = Ь/2.

Шаг 2. Покажем, что разность

к ’ 7 Аг 2тгг 7 (€ - ^)2
да

стремится к нулю при Аг —> 0. По определению производной это и
будет означать, что /'(г) вычисляется по формуле (1.29). В соответ-
ствии с теоремой 1.13 значения функции /(г) во внутренних точках
области (7 можно выразить с помощью формулы Коши

Ю = 5^ /	(1'31>

да

Выполним следующие преобразования:

/(г + Аг) - /(г) =

Аг

=	/ Ж)	=

Аг I 2ттг /	— (г + Аг) 2ттг 7	— г /

\ да	да	/

2тК7: /	(е- (г + Аг) ” а7*)	=

да

1 [ №

%ТП У й - г - Аг)(€ - г)
да


Аг)

/(г + Аг)-/(г)	1 Г Ж)

Аг	2ттг У (^ — г)2

ас

= ± [________Ш_______<к-±[ ае =

2ттг У (е-г-дг)(е-г) ? 2ттг У - д2 ?

да	да

= 2^/Ж) ((е-г-д^)(€-г) " (Г7^)

да

Отсюда, предполагая, что |Дг| < Ь/2 и используя формулу (1.30),
получаем:

1 Г	1	1	РМ

\1^д\ <	] 1М)1 • (е_г_АгЖ_г) -

да

Таким образом, при Аг —> 0 выражение /(г, Аг) стремится к
нулю, что и доказывает формулу (1.29) в случае п = 1. 

Замечание. В случае функций действительной переменной из
дифференцируемости не следует существования высших производ-
ных. Например, функция /(х) = х|х| непрерывна на всей числовой
прямой, и имеет на всей числовой прямой непрерывную производ-
ную /'(ж) = 2|х|, однако /"(ж) оказывается не определена в точке
х = 0. Это существенное отличие свойства аналитичности (в смысле
функций комплексной переменной) и дифференцируемости (в смыс-
ле функций действительной переменной).

1.10.2. Теоремы Мореры и Лиувилля1

Теорема 1.18 (теорема Мореры). Пусть /(г) непрерывна в об-
ласти С, и для любого контура у Е С выполнено равенство

/(г) с/г = 0.

7

Тогда /(г) аналитическая в С.

1 Морера, Джачинтпо (1856 - 1909) - итальянский математик, до-
казал теорему 1.18, носящую его имя в 1886 году. Лиувилль, Жозеф
(1809 - 1882) - французский математик.
Доказательство. Пусть точки го и г лежат в области (7. По
условию теоремы существует Р(г) =	/(^) где интеграл берет-

ся по любой кривой, соединяющей точки го и г, и целиком лежащей
в С (см. теорему 1.12). При этом функция ^(г) является аналитиче-
ской также по теореме 1.12. Но производная аналитической функции
также является аналитической функцией по теореме 1.17. Следова-
тельно, Г'(г) = /(г) является аналитической функцией. Теорема до-
казана. 

Замечание. Теорему Мореры можно рассматривать как обрат-
ную теорему к теореме Коши (теорема 1.10) в следующем смысле.
Пусть область С - односвязная и функция /(г) - непрерывна в С.
Тогда два утверждения эквивалентны: А) /(г) - аналитическая в С
функция, и Б) для любого кусочно гладкого контура 7, целиком ле-
жащего в С, Д /(г) с/г = 0.

Теорема 1.19 (теорема Лиувилля). Функция /(г), аналитичес-
кая на всей комплексной плоскости, модуль которой ограничен на
всей комплексной плоскости, является константой.

Доказательство. По условию /(г) - функция, аналитическая на
всей комплексной плоскости, и ЭМ, такое, что |/(г) | < М для любых
г. Выразим значение /'(г) в произвольной точке г через значения
/(г) на окружности Сл радиусом К с центром в точке г

На окружности С л имеем

|?-г|=Л.

Оценим |/'(г)|:

Л - 2тт У П2 - 2тг-И2 И’
ся

Это соотношение справедливо для любого К. Устремляя К к беско-
нечности, получаем, что |/х(г)| = 0, т.е. /(г) = сопз! для любого г.
Теорема доказана. 
1.11. Задачи

Группа А

1.	Найдите ошибку:

• ГТ	1

2.	Приведите пример комплексной последовательности, которая
была бы неограниченной, но не являлась бы бесконечно большой.

3.	Считая г комплексным, преобразуйте, избавившись от возве-
дения в степень

3 81п г — 4 81п3 г.

4.	Представьте в алгебраической форме:

а) Ьп (—3 + 4г); б) 1Ь.7гг.

5.	Найдите |г| и аг§ г, если г = соеа — шпа, гг < а <

6.	Решите уравнения:

а)	г2 — (4 + 4г)г + 6г = 0; б) г4 — 16 + 16г = 0;

в)	8тг = 2;	г) 111г = 2;

д)	ег% = егг.

7.	Вычислите:

/	7Г	7Г \ 6

г СО8----81П —

\	36	36/

8.	Вычислите (укажите все значения выражений):

а) ^/(1 + г)22 — (1 — г)22; б) Ьп(8шг).

9.	Найдите шт \% — 3 — 2г| при |г| < 1.

10.	Выясните, сколько решений в комплексных числах имеет
система уравнений (сами решения находить не обязательно)

( |г-2г + 1| = \/5,

I Ы = 2.
11.	Нарисуйте на комплексной плоскости место тех точек г, для
которых:

а) шт(|г — 1 — г|, |г + 1 + г|) < 2\/2;	б) |г + 1|2 — |г + г|2 = 1;

в) тах(|г — 1 — г|, |г + 1 + г|) < 2д/2;	г) |г|2 — 6|г| < — 8;

Д) Не = 0.

12.	Точка г совершает один оборот, двигаясь по единичной
окружности против часовой стрелки. Выясните, как при этом дви-
жется точка |г-3.

13.	Функция комплексной переменной /(г) = и{х^у) -\-гх(х,у),
г = х + гу задана своими действительной и мнимой частями:

и(х,у) = ех ~у со8 2х?/, х(х,у) = ех ~у вт2ху.

Восстановите /(г) как функцию переменной г.

14.	Выделите действительную и мнимую части функции /г = е^2.

15.	Используя определение производной, найдите производную
функции /(г) = г • Ее г в тех точках, где она существует.

16.	Являются ли аналитическими в какой-нибудь области ком-
плексной плоскости функции: а) гс = г2 • Ее г; б) гс = гее ?

17.	Найдите область аналитичности функций:

а) /('•) =	б) /(*) = е»-е2(1-»)-

18.	Дана функция и^у) = е-2/со8х — е2ж8т2?/. Является ли
и{х^у) действительной частью некоторой аналитической функции
/(г)? Если да, найдите эту функцию.

19.	Дана функция х{х^у) = 2со8хсй?/ + у2 — х2. Является ли
г(х, ?/) мнимой частью некоторой аналитической функции /(г)? Если
да, найдите эту функцию.

20.	Найдите те значения параметра а, при которых функция
и(х, у) = а(х4 + у4) — 4х2у2 является действительной частью некото-
рой аналитической функции.
21.	Выясните, при каких значениях п функция и(х, у) = хп — уп
является действительной частью некоторой аналитической функ-
ции.

22.	Функция и(х, у) является гармонической в некоторой области
С и не является при этом константой в С. Будет ли гармонической
в С функция и2(х,?/)?

23.	Докажите, что если функция /(г) аналитична в некоторой
области С и принимает только чисто мнимые значения, то в области
С она является тождественной константой.

24.	Докажите, что если функции /(г) и /(г) являются одновре-
менно аналитическими в одной и той же области (7, то /(г) является
константой.

25.	Вычислите интеграл г (1г, где I - контур, проходимый в
положительном направлении и состоящий из половины единичной
окружности {|г| = 1,0<(/?<7г}и диаметра единичной окружности,
лежащего на действительной оси {—1 < Ее г < 1}.

26.	Вычислите интеграл (г + I)2 (1г, где I - единичная окруж-
ность, проходимая в положительном направлении.

27.	Вычислите интеграл сов г е8тг (1г, где I - треугольник с
вершинами г а = — 1, %в = |(—\/3 + г), гс = |(\/3 + г), обходимый по
часовой стрелке.

28.	Вычислите интеграл /7(г2 — г) (1г, где 7 - кривая в комплекс-
ной плоскости, задаваемая уравнением г(1) = 12ег1, I Е [0; тг].

29.	Вычислите интегралы

а) (г2 + е8тг) (1г; б) (1г,

где I - единичная окружность, проходимая в положительном направ-
лении.

30.	Вычислите интеграл

У е% (1г,

где I - дуга синусоиды у = зтх от точки г = 0 до точки г = тг.
31.	Вычислите интеграл

(1г

(г - г0)2’

где I - окружность радиуса К с центром в точке го, проходимая в
положительном направлении.

32.	Вычислите интеграл

е/ (1г

где I - единичная окружность, проходимая в положительном направ-
лении.

33.	Вычислите интеграл

/81п2 г (1г

г - г

где I - окружность \г\ = 2, проходимая в положительном направле-
нии.

Группа Б

1.	Придумайте пример области, целиком лежащей в единичном
круге, но не являющейся конечной.

2.	Решите уравнения

а) г8 + г4 + 1 = 0; б) г5 = г.

3.	Даны два комплексных числа, а и /3, такие, что

Найдите наибольший угол треугольника Оа/3 в комплексной плоско-
сти.
4. Докажите, что для значений г, соответствующих точкам ок-
ружности с радиусом 2 и центром в г = 0, выполняется соотношение

г2 — 1 “ 3

5.	Известно, что % + | = 2 соз . Чему равно г60 +	?

6.	Найдите шестидесятую производную функции

7.	Выясните, какую наибольшую мнимую часть может иметь
комплексное число г, удовлетворяющее уравнению | созг| = 1.

8.	Найдите все значения г, для которых 1= 1.

9.	Найдите ошибку в рассуждениях (парадокс Бернулли):

(—г)2 = г2	2Ьп (—г) = 2Ьп г	Ьп (—г) = Ьп г.

10.	Решите системы уравнений:

11. Выясните, сколько решений имеют системы:

а)

|г + Зг | + |г — 3| = 6;

\г — 1 + г| = \г — 2 + 2г|;

б)

| г + Зг | = \г — 1 — г |;

(|г| — |г — 2|)(|г| — |г — 2г|) = 0.

(сами решения находить не нужно).

12. Выясните, во что переводит единичный круг преобразование
13.	Выясните, во что переходит при отображении гс = % + -
окружность |г| = К.

14.	Выясните, в какую фигуру переводит функция /(г) = 1/г:

а) полуплоскость Ее г > 1; б) полосу 1 < 1т г < 2.

Найдите площади получившихся фигур.

15.	Выясните, в какую фигуру переводит функция /(г) = г2
эллипс х2 +	= 1.

16.	Выясните, в какую фигуру переводит функция /(г) =
квадрат 0 < Ее г < , 0 < 1т г < |. Найдите площадь этой фигуры.

17.	Докажите, что если функция /(г) = и(х, у) + у) являет-
ся аналитической во всей комплексной плоскости и и(х, у) = 3,
то /(г) является тождественной константой.

18.	Докажите, что если функция /(г) = и(х,у) + гх(х,у) явля-
ется аналитической во всей комплексной плоскости и

г(х, у) = и2(х, у), ^х,у,

то /(г) является тождественной константой.

19.	Докажите или опровергните следующее утверждение: если
7 и 7 - два контура, симметричных друг другу относительно дей-
ствительной оси, а /(г) - некоторая интегрируемая на 7 функция, то
Д /7) <1х = /(7 <1х.

20.	Докажите или опровергните следующее утверждение: если
для любого контура 7 для непрерывной функции /(г) справедливо
соотношение Д /(г) с/г = Д /(г) с/г = 0, то /(г) является константой.

21.	Докажите или опровергните следующее утверждение: если
/(г) - функция, аналитическая во всей комплексной плоскости, то
для любого замкнутого 7 выполняется соотношение

/(г) (1г = 0.

7
22.	Вычислите:

а) шах к ; б) тах |г2 + 1

Ы<11 I Ы<1'

23.	Используя теорему Мореры, докажите аналитичность функ-
ции:

24.	Функция /(г) является аналитической во всей комплексной
плоскости, причем /(0) = 0. Может ли оказаться так, что уравнение
|/(г)| = 100 не имеет решений?

25.	Вычислите интегралы:



ф-1)

где I - окружность с центром в г = 0 и радиусом 2, проходимая в
положительном направлении.

Группа В

1.	Про комплексные числа г и гс известно, что |г — 1| <1/2 и
\гс — г\ < 1/2. Может ли так случиться, что |г/гс — 1| < 1/2?

2.	Сумма трех комплексных чисел равна нулю, сумма их квадра-
тов также равна нулю. Чему равна сумма четвертых степеней этих
чисел?

3.	Докажите, что для любых г, гс числа г,1/г, гс,1/гс лежат либо
на одной окружности, либо на одной прямой.

4.	Пусть |а| = \Ь\ = |с| = г. Докажите, что

аЬ + Ьс + ас
а -\-Ъ + с

= г.

5.	Про многочлен р(г) = г2 + аг + Ь с комплексными коэффи-
циентами а и Ь известно, что |р(г)| = 1 при \г\ = 1. Докажите, что
а = Ь = 0.
6.	Найдите произведение попарных разностей корней степени п
из единицы.

7.	Выясните геометрический смысл неравенства |2г| > |1 + г2|.

8.	Последовательность комплексных чисел го, гх, г2, ... опреде-
лена следующим образом: го = / + ^07 и гп+1 = 7^1 • Найдите г2оов-

9.	Внутри круга находится 3000 желтых (неподвижных) точек и
одна красная (подвижная). Величина 8 определяется как произведе-
ние расстояний от красной до каждой из желтых точек. Докажите,
что величина 8 достигает своего наибольшего значения, когда крас-
ная точка лежит где-то на границе круга.
Глава 2

Основные понятия теории рядов

2.1.	Понятие числового ряда.

Некоторые свойства числовых рядов

2.1.1.	Определение числового ряда. Ряды сходящиеся
и расходящиеся

Пусть {ап} - последовательность чисел (вообще говоря, комплекс-
ных) .

Бесконечная сумма членов последовательности {ап} называет-
ся рядом. Обозначение: ак (или ^2^21а/с).

к=1

Конечные суммы 8п = &к называются частичными
суммами ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится после-
довательность его частичных сумм

Пт 8п = 8.
п—>сю

Предел последовательности 8 называется суммой ряда. Обо-
значение: ^2^! а к = 8.
Бесконечная сумма	а к называется п-м остатком

ряда ^4°=1ак. В случае сходящегося ряда п-й остаток ряда
будем обозначать Нп.

Очевидно, что в случае сходящегося ряда

®к — “Ь Пп.

к=1

Пример. Пусть ([ - любое комплексное число. Бесконечная гео-
метрическая прогрессия

является рядом. Рассмотрим последовательность частичных сумм
этого ряда

п
8п = ^дк~1.

Умножим обе части последнего равенства на д

<18п = д^ дк~г = Я + 92 +   • + д”-1 + дп = 8п-1 + дп.

к=1

Следовательно,

1 -дп
1-4

Если \д\ < 1, то дп 0 при п оо. При этом последовательность
частичных сумм 8п сходится к значению Если \д\ > 1, последо-
вательность частичных сумм не имеет конечного предела, следова-
тельно, ряд расходится.

2.1.2.	Свойства сходящихся рядов

Теорема 2.1. Пусть ряды &к и	сходятся, са и съ -

числа, вообще говоря, комплексные. Тогда ряд

^{саак Н- съЬк)

к=1
также сходится и

Ч- Съ&к) — Са СЬ& Ч- С/,	Ь&.

к=1	к=1	к=1

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы

п	п	п

$п —	^(са(1к Ч- Сь^к)') Ап — ^кч Вп —	Ь&.

к=1	к=1	к=1

По условию существуют пределы	Ап,	Вп. Но

8п = саАп ЧЧ съВп

и по свойству пределов существует и предел последовательности 5П,
причем

Пт 8п = са Пт Ап + съ Пт Вп,
п—>сю	п—>сю	п—>сю

что и доказывает теорему. 

Пример.

00 9 ^)к । о ок	00 ок	00 ок	00	1	°°	1

ЕО ' I  о	. X—X—о _ х—Л -Ь , X—Л -Ь

------;--- = 3  > ^ + 2  > — = 3- > —+2-> — =
0/с------/	0/с	/	0/с	/	2^

к=0	к=0	к=0	к=0	к=0

3	2	17

1 - 1/3 + 1 - 1/2 “ У’

Замечание. Теорема 2.1 гласит, что при почленном сложении
двух сходящихся рядов получается сходящийся ряд. Вместе с тем
справедливы и следующие утверждения:

•	если один из рядов сходится, а другой расходится, то при
почленном сложении этих рядов получается расходящийся ряд. Дей-
ствительно, если бы в результате почленного сложения сходящегося
ряда ^2^! ап и расходящегося ряда 522^1 получился бы сходя-
щийся ряд

сп, сп = ап ЧЧ Ьп.)

п=1
тогда ряд ^2^=1Ьп можно было бы получить почленным вычитанием
рядов ^2^2Х сп и ^2^2Х ап5ипо теореме 2.1 он оказался бы сходящим-
ся;

•	если оба ряда расходятся, то их почленная сумма может быть
как сходящимся, так и расходящимся рядом. Например, в случае
расходящихся рядов

их сумма будет расходящимся рядом, а если взять



почленное сложение дает сходящийся ряд (проверьте).

Теорема 2.2 (критерий Коши сходимости ряда). Для сходимо-
сти ряда ^2^=1С1к необходимо и достаточно, чтобы \/с > 0 37У(е),
такое, что \/п > ТУ и \/т > 0 выполнялось соотношение

|^п+1 + &п+2 + • • • + «п+т| <

(2-1)

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных
сумм 8П ряда 2222^=1 и применим к ней критерий Коши сходи-
мости последовательности комплексных чисел (теорема 1.2): после-
довательность 8П сходится тогда и только тогда, когда > О
Ч7У(б), такой, что \/п > и \/тп > 0 выполняется соотношение
|^п+т	5П| = |^п+1 Ч- ^п+2 Ч- • • • Ч- ап_|_т | < <5. И

Пример. Рассмотрим гармонический ряд ^22^1 р Возьмем лю-
бое п и т = п. Тогда

1 1	1

ап+1 + ап+2 + • • • + а2п —  ч---—- +	— >

п + 1 п + 2	2п

1	1	1 _ п _ 1

> 2п 2п + 2п 2п 2

Таким образом, для гармонического ряда не выполняется критерий
Коши т.е. этот ряд расходится.
Теорема 2.3 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
ап сходится, то ап 0 при п ос.

Доказательство. В формуле (2.1) возьмем т = 1. Тогда, ес-
ли ряд сходится, то \/е > 0 ЗТУ(б), такой, что \/п > ТУ выполняется
соотношение |ап+1| < что, по определению предела последователь-
ности, эквивалентно тому, что	ап = 0. 

Рассмотрим ряд

1-1 + 1-1 + 1-1 + ...

(2.2)

Типичное “доказательство” его сходимости заключается в попарной груп-
пировке подряд идущих членов:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +... = о + о + о + ... = 0.

Другая расстановка скобок, однако, приводит к другому ответу:

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - ... = 1 - 0 - 0 - ... = 1.

Вместе с тем по теореме 2.3 мы немедленно заключаем, что этот ряд рас-
ходится. Стоит, однако, отметить, что на заре математического анализа
ряду (2.2) было посвящено немало дискуссий. Например, Лейбниц вслед
за флорентийским монахом Гвидо Гранди использовал ряд (2.2) как ил-
люстрацию божественного создания мира (“единица”) из ничего (“нуль”).

2.1.3. Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд &к называется абсолютно сходящимся, если сходит-
ся ряд из модулей ХХ1 Ы-

Теорема 2.4. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится в
обычном смысле.

Доказательство. Если ряд из модулей \&к\ сходится, то
для него выполняется критерий Коши:	> 0 ЗТУ(е), такой, что

\/п > ТУ и \/т > 0 выполняется соотношение

|^п+11 + \ап-\-2 I + • • • + |&п+т| <
Но тогда

|^п+1 + &п+2 + • • • + ^п+т| < |^п+11 + \ап-\-2 | + • • • + |&п+т| <

Следовательно, для ряда &к также выполняется условие кри-
терия Коши и он сходится. 

Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.

Говорят, что если ряд &к сходится, а ряд, составленный
из модулей ^2/^ \&к\) - расходится, то говорят, что этот ряд
сходится условно.

Представим блоху, прыгающую по числовой прямой, п-му прыжку бло-
хи соответствует действительное число ап; при этом |ап| - длина прыжка
блохи, а знак числа ап определяет направление прыжка: если ап > 0 -
прыжок вправо, если ап < 0 - прыжок влево. Тогда:

а)	ряд 52^=1«п, если он сходится, указывает на точку, в которой ока-
жется блоха в конце времен;

б)	ряд $22^х а" I’ если он сходится, дает расстояние, которое проскачет
блоха к концу времен.

Теорема 2.4 есть обоснование достаточно очевидного факта, что если
расстояние, которое проскакала блоха, конечно, то ее можно найти в неко-
торой конечной точке числовой прямой.

2.2. Ряды с неотрицательными членами

2.2.1.	Теоремы о сравнении рядов с неотрицательными
членами

Теорема 2.5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами
сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его
частичных сумм {5П} была ограничена сверху. При этом если

8 = 8ир{5п},
то 8 - сумма ряда.
Доказательство. Так как все члены ряда неотрицательны, то
{5П} - возрастающая последовательность. Утверждение теоремы 2.5
следует из теоремы о пределе возрастающей последовательности,
(см. например [1, подразд. 3.4]). 

Пример. Рассмотрим ряд	Покажем, что этот ряд схо-

дится.

1 + 92	+ 02	+ ’ ’ ’ “I 2	< 1 + 1-9	+ 9—О +	• • • + 7-—

22 З2 п2 1 • 2	2 • 3 (п —	1)п

1

п — 1

2.

Итак, у ряда с положительными членами ограничена последователь-
ность частичных сумм. Следовательно, этот ряд сходится.

Теорема 2.6 (первый признак сравнения). Пусть ап > 0 и
Ьп > О, причем имеется такой номер по, что \/п > по выполняется
неравенство ап >ЬП. Тогда:

а)	если ряд 522=1 ап сходится, то сходится и ряд 522=1 Ьп;

б)	если ряд 522=1 Ьп расходится, то расходится и ряд 522=1 ап.

Доказательство.

а)	Очевидно, что ряды

ап и	ап

П=1	П=По

сходятся или расходятся одновременно. Пусть Ап - последователь-
ность частичных сумм ряда ^^=По ап, а Вп - последовательность
частичных сумм ряда ^^=По Ьп. По условию Ап > Вп при п >
Если сходится ряд 522^п0 ап, то ограничена последовательность его
частичных сумм Ап. Следовательно, также ограничена последова-
тельность Вп, и по теореме 2.5 ряд ^^=По Ьп сходится. Таким обра-
зом, ^2^=1ЬП также сходится.

б)	Пусть ряд 52^X1 ап сходится. Тогда по п. а сходится и ряд
522^1 чт0 противоречит условию. Теорема доказана. 
Теорема 2.7 (второй, или предельный, признак сравнения).

Пусть ап > 0, Ьп > 0 и существует предел

Пт у— = /,	0 < I < ею.

п 'х Ьп

(2-3)

Тогда ряды ('и и ^2^=1ЬП сходятся или расходятся одновре-
менно.

Доказательство. Если имеет место (2.3), то \/е > 0 37У(е) такое,
что \/п > ТУ (е) выполняется соотношение

Это неравенство означает, что \/п > ТУ (е) выполняется неравенство

7	аП	7

I — с <С. -—	I е.

Это, в свою очередь, означает, что (/ — с)Ьп < ап < (1+е)Ьп. Посколь-
ку € может быть выбрано произвольно малым, выберем его таким,
чтобы I — € > 0. Пусть ряд 522=1 Ьп сходится. Тогда по теореме 2.1
сходится и ряд 522^1 (^ + По первому признаку сравнения (тео-
рема 2.6) оценка ап < (/ + с)Ьп влечет сходимость ряда 522^1 а,)-
Напротив, если ряд 522^1 расходится, то, применяя первый при-
знак сравнения и оценку (/ — с)Ьп < ап, заключаем, что ряд 522^1 ап
также расходится. 

Примеры.

Для того чтобы выяснить, сходится данный ряд или расходится,
стоит попробовать подобрать другой ряд, сходимость или расходи-
мость которого известна, и использовать теоремы сравнения.

1.	Ряд 522^1 8Ш2^па • Справедлива оценка

< 81п2 па < 1
- 2П - 2П’

а ряд Е2"=1 сходится (это бесконечная геометрическая прогрес-
сия) . Тогда по первому признаку сравнения исходный ряд тоже схо-
дится.
2.	Ряд 52X1 1+у^- Начиная с п = 2, справедливо равенство:

1 1

1 + у/п п

Ряд 52X1 п Расх0Дится (гармонический ряд), следовательно, по пер-
вому признаку сравнения расходится и исходный ряд.

3.	Ряд 52X1 (Д “ 81П п)- В СИЛУ ТОГО, ЧТО Нтп_>оо(1 - 8Ш ^) = 1,
для этого ряда не выполнено необходимое условие (предел п-го члена
сходящегося ряда должен быть равен нулю, а это не так). Поэтому
ряд расходится.

4-	Рад Е“=1 (1 — соз^). Это ряд, все члены которого положи-
тельны. Покажем, что этот ряд сходится или расходится одновре-
менно с рядом 52X1 X Действительно,

1 - СОЗ	1 -	-	+ 0 (??))	7Г2

11Ш ----1—- = пт -------------,---------- = —.

И -ч	1	'X	1	2

Ряд 52X1 7^2 сходится, следовательно, по предельному признаку
сравнения сходится и исходный ряд.

5.	Ряд

521п

п=5

1+М

1-^

Это - ряд с положительными членами (так как при п > 5 имеем
О <	~ < 1 и, следовательно,	> 1 —т.е. под логарифмом

стоит число, большее 1). При п оо

77	77

1

- = - + о

п п

Поэтому при п оо

1п ( ! + 2 ” )	= 1П (1 +	-)	- 1п (1 -	-)	=

V 1 —	- /	\	п/ \	п/

\	О п /

=	- + о

п
Таким образом,



Пт

= 27Г

и по предельному признаку сравнения наш ряд расходится.

2.2.2.	Признак Даламбера и радикальный признак Коши

для рядов с неотрицательными членами

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными
членами являются признаки Даламбера1 и Коши.

Теорема 2.8 (признак Даламбера). Пусть ^^=1ап - ряд с по-
ложительными членами, ап > 0, и существует предел

Тогда:

а)	при I < 1 ряд ап сходится;

б)	при I > 1 ряд ап расходится, причем в этом случае ап
не стремится к нулю (не выполнено необходимое условие сходимости
ряда);

в)	при1 = 1 ничего сказать нельзя, т.е. требуется дополнительное
исследование.

Доказательство.

а)	Пусть I < 1. Возьмем с = (1 — /)/2 (положительное число),
при этом I = 1 — 2г, т.е. I + с = 1 — с. Так как Ппц^^ = I, то,
начиная с некоторого номера ЛГ(е), все частные отличаются от

I не более чем на е. Иными словами, при п > И имеем

1 Даламбер, Жан Лерон (1717 - 1783) - французский ученый энцик-
лопедист, философ, математик и механик.
Обозначим </ = 1 — €, д<1. Имеем

о/у+1 < «ту#,

^7У+2 < ату+1</ < а^ср,

о^+з 5 «^+2 <2 5	5 аыд ,

сьм'+р < ^7У+р—1(/ < ... < и^д^.

Ряд

<7. Д/ + <7. Д/7 + <7.	+ . . . + <7.	+ . . .

сходится, так как это - бесконечная убывающая геометрическая про-
грессия со знаменателем 0 < д < 1. Следовательно, по признаку
сравнения (теорема 2.6) сходится и исходный ряд.

б)	Пусть I > 1. Тогда имеется 8 = (/ — 1)/2, т. е. что I = 1 + 2е, т.е.

I — е = 1 + е. Аналогично случаю а найдется такой номер ЛГ(е), что
при п > Ы имеем

1 < 1 -Ь 8 — I — 8 < ----------- < I + 8.

ап

Но это означает, что

^ту+1 > «ту;

«^+2 > зд+1 > «ту;

> ЗД+р-1 > ... > «дг,

т.е. все члены ряда, начиная с 7У-го, ограничены снизу положитель-
ной константой «ту > 0 и не стремятся к нулю. По необходимому
условию (теорема 2.3) ряд расходится.

в)	Рассуждения не применимы при I = 1. 

Замечание. Признак Даламбера можно использовать также для
исследования сходимости рядов с комплексными членами ^^=1ип.
Если существует предел Птп^оо 1^+11 _ ц т0
| ип |
•	при I < 1 сходится ряд 52221 \ип\, следовательно, ряд 52221 (1п
также сходится, причем абсолютно',

•	при I > 1 имеем Птп^оо \ип\ 0, т.е. не выполняется необходи-
мое условие (теорема 2.3). Следовательно, ряд 522=1У//' расходится;

•	при I = 1 ничего сказать нельзя.

Теорема 2.9 (радикальный признак Коши). Пусть ('и -
ряд с неотрицательными членами, ап > 0, и существует предел

Пт {/77^ = I.

Тогда:

а)	при I < 1 ряд 52221 ап сходится;

б)	при I > 1 ряд 52221 ап расходится, причем в этом случае ап
не стремится к нулю (не выполнено необходимое условие сходимости
ряда);

в)	при1 = 1 ничего сказать нельзя, т.е. требуется дополнительное
исследование.

Доказательство.

а)	Рассмотрим последовательность {у/ап}. Так как I < 1, возь-
мем с = (1 — /)/2 > 0, при этом 1 = 1 — 2е и / + € = 1 — с. Обозначим
</ = 1 — €. По условию теоремы I является наибольшей предельной
точкой { у/ап}', это означает, что лишь конечное число членов по-
следовательности {у/ап} больше д (если бы это было не так, либо
существовала бы большая предельная точка этой последовательно-
сти, либо последовательность была бы неограниченной). Таким об-
разом, существует такой номер К, что для всех п > ТУ выполняется
соотношение < д, т.е. ап < дп. Итак, наш ряд мажорируется
сходящейся геометрической прогрессией 52221 Уп и п0 первому при-
знаку сравнения (теорема 2.6) сходится.

б)	Так как I - предельная точка последовательности, то для любо-
го с > 0 для бесконечного числа членов последовательности { у/ап}
выполняется соотношение

I — с <С. у/ап <7 I е.
Выберем е так, чтобы I — е > 1 (это можно сделать в силу того, что
I > 1). Тогда получаем, что для бесконечного числа членов ряда ап
выполняется соотношение ап > 1 и, следовательно, Птп^оо ап 0.
Таким образом, необходимое условие сходимости ряда не выполнено,
и ряд расходится.

в)	Рассуждения не применимы при I = 1. 

Замечание. Радикальный признак Коши можно использовать
также для исследования сходимости рядов с комплексными членами
ип. Если существует предел 11111/,^^ у/\ип\ = Ц то:

•	при I < 1 сходится ряд ^2^21 \ип|, следовательно, ряд ^2^21 и,>
также сходится, причем абсолютно',

•	при I > 1 имеем Птп^оо \ип\ 0, т.е. не выполняется необходи-
мое условие (теорема 2.3), следовательно, ряд ^2^21 расходится;

•	при I = 1 ничего сказать нельзя.

Замечание. Если о ряде ^22^1 ап известно лишь, что

Пт йп+1 = I = 1 или Пт \/7Ц = 1 = 1,
ап	п—^ос

то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например,
оба ряда

Е- и ЕЛ
п=1	п=1

удовлетворяют условию I = 1, но при этом первый расходится, а
второй сходится.

Замечание. Для применения радикального признака Коши ча-
сто оказывается полезной формула

Пт д/п = Пт (е1пп)х/п = цт е — = е° = 1.
п—»ое	п—»ое 4	7	п—»ое
Замечание. Для применения радикального признака Коши по-
лезно знать также асимптотическую формулу (так называемая фор-
мула Стирлинга1)

п! = пп е~пев(п), |0(п)| < -Д

которую приведем без доказательства.

Примеры.

1.	Рассмотрим ряд

Применим признак Даламбера

2тг+1

Пт а?г+1 = Пт =	----- = О-

ап п—^ос	п—»ое П + 1

гь	п\

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

2.	Рассмотрим ряд

Применим признак Коши

поэтому этот ряд сходится.

3.	Рассмотрим ряд

1 Стирлинг, Джеймс (1692 - 1770) - шотландский математик. Стро-
го говоря, в его работах упомянутая формула не встречается, но следует
непосредственно из других его результатов.
Применим признак Коши

поэтому этот ряд расходится.

2.2.3. Интегральный признак Коши

Теорема 2.10 (интегральный признак Коши). Пусть функция
/(х) монотонно убывает на промежутке [1, оо) и /(х) > 0. Тогда
ряд

П=1

и несобственный интеграл

У/(ж) Лх
1

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. При к < х < к-\-1 в силу убывания /(х) имеем

/(А:) >/(ж) >/(А: + 1).

Проинтегрируем последнее неравенство по отрезку [к; к + 1]

к+1

++)> У /(ж) <1х>+к + 1)
к

(это соответствует тому, что площадь под кривой у = /(х) на про-
межутке [к] к + 1] (рис.2.1) заключена между площадями большего
и меньшего прямоугольников, которые равны /(&) и /(А: + 1) соот-
ветственно). Суммируя эти неравенства от к = 1 до к = п, получим:

п	п+х	п+1

^21+) > / /(х)	> ^2/(+

к=1	У	к=2
Рис. 2.1. К доказательству интегрального признака Коши

откуда следует неравенство для частичных сумм ряда 8п

(2-4)

Далее:

а)	Используем правую часть неравенства (2.4). Во-первых, если
несобственный интеграл сходится, то при любом п

следовательно,

Иными словами, последовательность частичных сумм ряда с неот-
рицательными членами ограничена сверху, следовательно, ряд схо-
дится. Во-вторых, если ряд расходится, то его последовательность
частичных сумм 8п стремится к бесконечности при п оо. Соот-
ветственно и интеграл /(х) (1х стремится к бесконечности при
п оо, значит у^00 /(х) Лх расходится.

б)	Используем левую часть неравенства (2.4). Во-первых, если
ряд с неотрицательными членами сходится к некоторой сумме 5, то
\/п 8п < 8. Значит,

п+1

8 > Зп> У /(ж) Нх.
1

Таким образом, при любом интеграл /(х) Лх ограничен
и, следовательно, несобственный интеграл /(х) Лх сходится.
Во-вторых, аналогично заключаем, что если расходится интеграл
/1° /(х) Лх, то частичные суммы 8п неограничены и ряд также рас-
ходится. 

Примеры.

1.	Ряд 52X1 X’ а > 0 (ря() Дирихле1). Имеем /(п) = и ряд
сходится тогда же, когда и интеграл

Г Лх
Л ха'
1

Но

<	(1-а)^”1	1-а’	а^1

1п^, а = 1.

Значит, при а > 1 ряд Дирихле сходится, а при а < 1 - расходится.

1 Дирихле, Петер Густав Лежен (1805 - 1859) - немецкий ма-
тематик. Основные достижения относятся к математическому анализу и
теории функций, где Дирихле были доказаны основополагающие резуль-
таты о представлении функций рядами Фурье.
2-	Ряд Е7=1 (п+1)1п(п+1)- Рассмотрим интеграл

е

Г (1х

/ 7---,4	/---тт = [Замена I = 1п(х + 1)]	=

7 (х +1) 1п(ж +1)	1	к л

1

М€+1)

=	= 1п(1п(^ + 1)) — 1п1п2.

1п 2

При —> оо это выражение стремится к бесконечности, значит, ин-
теграл

Г (1х

/ (х + 1) 1п(х -Ы)
1

расходится. Следовательно, и исходный ряд расходится.

2.3.	Знакопеременные ряды.

Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля

2.3.1.	Признак Лейбница1

Назовем ряд с действительными членами знакопеременным,
если не все члены ряда имеют один и тот же знак. Среди знакопе-
ременных рядов выделим знакочередующиеся.

Знакочередующимся называется ряд, каждые два последо-
вательных члена которого имеют различные знаки.

Пример. Если Упап > 0, то ряд	1)п+1ап - знакочереду-

ющийся ряд.

1 Лейбниц, Готфрид Вилъгелъм (1646 - 1716) - немецкий физик,
математик и философ, один из создателей (вместе с Ньютоном) диффе-
ренциального и интегрального исчисления.
5

^2	$6 $8

57 55 53 8^

Рис.2.2. К доказательству признака Лейбница

Теорема 2.11 (признак Лейбница). Если последовательность
{ап} монотонно убывает, причем \/п ап > 0 и	ап = 0, то:

а)	знакочередующийся ряд	1)п+1ап сходится;

б)	при любом п сумма ряда 8 и частичная сумма ряда 8П связаны
соотношением

8П\ < &п+1-

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда четного
порядка

2к
82к = 52(-1)п+1а„.

П=1

Их можно записать в виде

8эк = (а1 — а2^ + («3 —	+ • • • + {а2к-1 — а2к)'

Каждая скобка положительна, следовательно 8^к < 8<2к+2, т.е. по-
следовательность частичных сумм четного порядка возрастает. Но
8%к можно также записать в виде

8ък = «1 — («2 — «з) — («4 — «б) — • • • — («2/С-2 — &2к-1) ~ &2к-

Таким образом, 8^к < «1- Это значит, что возрастающая после-
довательность {52/с}, к = 0,1,... ограничена сверху. Следовательно,
существует предел

Пт 82к = 8.

к^оо
Рассмотрим теперь последовательность нечетных частичных сумм

^2к-1 = «1 — («2 — «з) — («4 — «б) — • • • — («2/с-2 ~ «2/с-1)•

Каждая скобка положительна, следовательно 52А;+1 < §2к-1, т. е. по-
следовательность частичных сумм нечетного порядка убывает. Кро-
ме того, {52/с+1 } стремится к тому же пределу, что и {З^к}• Действи-
тельно, в силу того, что 1ппн^эс ап = О,

Пт 52&+1 = Пт (З^к + «2/^+1) = 3 + 0 = 3.
к—>ос	к—>ос

Сказанное означает, что последовательность четных частичных
сумм приближается к пределу 3 снизу, в то время как последова-
тельность нечетных частичных сумм приближается к тому же пре-
делу сверху (рис.2.2). Это в свою очередь означает, что

3 — Ззк < ^2/с+1 — 31к = ^2/с+1;

32к-1 — 3 < 32к-1 ~ З^к = ^2/с-

Следовательно, |5 — Зп\ < ап+1, что и требовалось доказать. 

Пример. Ряд Лейбница1

у- (-1)п

2п +1

п=0

сходится по признаку Лейбница, в силу того, что последовательность
ап = 2п+1 монотонно убывает, и 1ппн^эс 2п+1 = 0- Вместе с тем ряд
из модулей

У -4—

2п + 1

П=1

расходится (для доказательства этого факта можно использовать
предельный признак сравнения, сравнив данный ряд с гармониче-
ским рядом). Таким образом, ряд Лейбница представляет собой при-
мер сходящегося ряда, у которого, однако, абсолютной сходимости
нет.

тРяд, сумму которого тг/4 нашел Лейбниц (1673 г.).
2.3.2.	Признаки Дирихле и Абеля1

Теорема 2.12 (преобразование Абеля). Справедлива формула

п	п— 1

^к^к — ®пВп ^(^/с+1 ак^-Вк’)
к=1	к=1

где Вп = У%=1 Ьк.

Доказательство. Пусть

$п = СцЬ1 + «2^2 + • • • + &П^П-	(2.5)

Заметим, что

Ьк = Вк-Вк_1.	(2.6)

Подставим выражение (2.6) в (2.5)

$п = «1В1 + «2(^2 _ ^1) + ... + ап(Вп — Вп_\) =

= («1 — «2)^1 + (^2 — &з)^>2 + • • • + (&п-1 — ап)^>п-1 + аПВп =
п— 1

— «пВп ^(^А?+1	&к)-Вк. И

к=1

Преобразование Абеля является аналогом формулы интегрирования по
частям для сумм. Оно применимо и для действительных, и для комплекс-
ных чисел «1,... ап, Ъ±,.. .Ъп.

Теорема 2.13 (неравенство Абеля). Пусть последовательность
{ак} монотонна, и существует такое В, что при к = 1, 2,..., п

|61 + ... + Ьк\ < В.

1 Абель, Нильс Хенрик (1802 - 1829) - норвежский математик. За
свою короткую жизнь (всего 27 лет) успел очень многое, введя в матема-
тический обиход понятия абелевой группы и абелевых интегралов. В част-
ности, Абель доказал неразрешимость в радикалах произвольного урав-
нения степени выше четвертой. Жил в нужде, при жизни не был признан.
Тогда

п

^к^к

к=1

< В(|а11 + 2|ап|).

(2.7)

Доказательство. Если {&&} монотонна, то возможны два слу-
чая.

1. Последовательность не возрастает, т.е. при к = 1,..., п — 1
выполняются неравенства	В этом случае

|^/с+1 СЬк | — 0>к	С^к-\-1'

Используем преобразование Абеля

п

^к^к

к=1

п— 1

к=1

/ п—1

В I (&А;	Ч- |&п|

\/с=1

— В(а\ — ап + |ап|) < В(|&1| + 2|ап|).

2. Последовательность не убывает, т.е. при к = 1,... ,п — 1
выполняются неравенства < «а?+1- В этом случае

|^/с+1	®к\	&&+1	(%к'

Имеем

п

С^к^к

к=1

п— 1

|^/с+1	^||В,| -|- |(2п||5п|

к=1

/ п—1	\

— В I	(2Д;) -|- |&П| I -

\/с=1	/

= В(ап — «1 + |ап|) < В(|&11 + 2|ап|).

В обоих случаях неравенство (2.7) справедливо, что и требовалось
доказать. 
Теорема 2.14 (признак Дирихле). Пусть справедливы следую-
щие утверждения:

•	последовательность {ап} монотонно стремится к нулю;

•	последовательность частичных сумм {Вп} ряда ^^=1ЬП огра-
ничена.

Тогда ряд 52X1 а^п сходится.

Доказательство. Так как последовательность частичных сумм
{Вп} ограничена, то имеется такое В, что \/п > О \ВП\ < В. Для
произвольного целого р > 0 справедлива оценка

п+р

к=п

-^п-\-р

— Вп\ < \Вп+р| + \ВП\ < 2В.

Так как {ап} монотонно стремится к нулю, то \/е > 0 ЗТУ(б), что
\/п > ТУ (е) выполняется неравенство

Ы <

При п > используя неравенство Абеля (2.7), получаем оценку:

п+р

^Дк
к=п

< 2В (|ип| -|- 2|ап+р|) < с.

Согласно критерию Коши ряд 52X1 ап^п сходится, что и требова-
лось доказать. 

Для решения задач с использованием признака Дирихле полезно
иметь в виду следующее утверждение:

Утверждение. Суммы

п	п

У2 8Ш ка и ^2 СО8 ка

к=1	к=1

ограничены одной и той же константой при любом п 6 У иа 2тг1,
где I - целое.
Доказательство. Заметим, что

^8шЬ = 1т (^еЛа)=1т

/с=1	\/с=1	/	\/с=1

^созЫ = Ке (^е^“)=В,е

к=1	\к=1	/	\/с=1

Воспользуемся формулой суммы п членов конечной геометрической
прогрессии

Ь1 + м + ь1Я2 + ... + Ь^-1 =

куда подставим = ега, д = ега.

ега ^ап _

е |га(п+1)

81П

• (У

81П

(а(п+1) , • • а(п+1) \ • па
СО8 —к 2	+ г 8Ш 2	) 8Ш 2

• (У

81П т/

а(п+1) • па	•	а(п+1) • па

СО8 —к 2 7 81П	. 81П —к 2 7 81П

• а	~I-	• а

81П	81П

Следовательно,

п

81п ка

к=1

п

сое ка

к=1

а(п+1) • па
81П —к 2 7 81П

• а
81П

СО8

а(п+!) па
2	8111 2

что и требовалось доказать. 

Замечание. При а = 2тг/ первая из рассматриваемых сумм рав-
на нулю, а вторая стремится к бесконечности при п оо.

ега _ !
Пример. Рассмотрим ряд

Е°° 8тпа	, л 7	7	~

-----, а ф 2лк, к Е 7.

п

п=1

Последовательность частичных сумм 52Х18^ппа ограничена, по-
следовательность {^} монотонно стремится к нулю. Значит, этот ряд
сходится по признаку Дирихле. Вместе с тем абсолютной сходимо-
сти нет. Чтобы убедиться в этом, оценим п-й член ряда из модулей
снизу

8т па
п

81п2 па
п

1 сое 2па

2п 2п

К ряду 52X1 СО8^па применимы те же аргументы, что и к исходному
ряду, следовательно, он сходится также по признаку Дирихле. В то
же время ряд 52X1 расходится. Таким образом, ряд из модулей
расходится. Итак, исходный ряд сходится условно.

Теорема 2.15 (признак Абеля). Пусть справедливы следующие
утверждения:

•	последовательность {ап} монотонна и ограничена (стремление
к нулю не обязательно);

•	РЯД 52X1 Ьгъ сходится.

Тогда ряд 52X1 апьп сходится.

Доказательство. Последовательность {ап} ограничена, следо-
вательно, ЗМ, такое, что \ап\ < М, п = 1,2,... Возьмем произволь-
ное €. Так как ряд 52X1 сходится, то по критерию Коши найдется
такой номер ТУ (е), что при п > ТУ(е) и при любом р > О

\Ьп + ^п+1 + • • • + ^п+р| < туту-

О1г1

Тогда по неравенству Абеля при п > ТУ(е) и при любом р > О

|^п^п З- ^п+1^п+1 Я- • • • сьп-\-рЬп-\-р\ <	(|ап| -|- 2|ап+р|) < с

О1г1

И ПО критерию Коши ряд 52X1 ап^п сходится. 
Пример. Рассмотрим ряд

81п па

п

77
СО8 —,
П

а 7^ 2тг1.

Ряд ^2^1 81Пппа сходится (см. предыдущий пример). Последователь-
ность сое - монотонна и ограничена. Значит, ряд сходится по при-
знаку Абеля.

Замечание. В признаке Абеля нельзя пренебречь требованием
монотонности {ап}. Например, пусть ап = (—1)п и Ьп =	. Ряд

52^=1 (~п сходится, а последовательность {(—1)п} ограничена (но
не монотонна). Ряд ^22^1 ап^п = 22^=1 ПРИ этом расходится.

Сформулированных выше признаков сходимости, как правило, достаточ-
но для того, чтобы выяснить сходимость или расходимость большинства
рядов, возникающих в типичных приложениях. В более трудных случа-
ях сходимость или расходимость ряда удается доказать, используя более
сильные утверждения, например признак Гаусса, формулировку и дока-
зательство которого можно найти в курсе [3]. Вместе с тем в некоторых
случаях установление сходимости или расходимости ряда оказывается са-
мостоятельной трудной задачей. В качестве примера приведем ряд

оо

V_____-___

П4| 8тп| ’
п=1	1	1

про который, по-видимому, до сих пор неизвестно - сходится он или рас-
ходится.

2.4.	Об изменении порядка суммирования
членов ряда

Рассмотрим ряд

(-1)п+1

п

Он сходится в силу признака Лейбница. Кроме того, его сумма 8 в
силу теоремы 2.11 удовлетворяет неравенству |5 — 1 + 1/2| < 1/3, т.е.
5^0. Умножим каждый член нашего ряда на 1/2. Имеем
1

1 1

1 1

1 1

1

8

1

9



1

2

Сложив первый и второй ряды, получим ряд:

в котором члены совпадают с членами исходного ряда, но перестав-
лены местами. Таким образом, получаем, что 5 = |5, следовательно,
5 = 0. Но это противоречит тому, что 5^0.

Разгадка полученного противоречия заключается в том, что ре-
зультат суммирования бесконечного количества слагаемых может
зависеть от порядка суммирования. Таким образом, в бесконечных
суммах от перемены мест слагаемых сумма меняется.

Разумеется, речь идет не о любых перестановках членов ряда.
Например, если мы захотим переставить местами первые 100 членов
сходящегося ряда, а остальные суммировать в прежнем порядке, на
сумме ряда такая перестановка не скажется, так как частичные сум-
мы 5П, начиная с п = 100, останутся прежними. Сумма ряда может
измениться, если при перестановке окажется задействовано беско-
нечное число членов ряда.

2-4-1- Перестановка местами членов абсолютно
сходящегося ряда

Рассмотрим произвольный ряд из комплексных чисел
Обозначим и* ряд, составленный из тех же чисел, но взятых
в другом порядке.

Теорема 2.16. Если ряд ^2^=1ип сходится абсолютно к сумме
8, то и ряд	также сходится, причем имеет ту же сумму 8.
Доказательство. Введем обозначения

п	п

8п = ^ик, 8*п = ^и*к.

к=1	к=1

Кроме того, если исходный ряд сходится абсолютно, то существует
предел 8 неубывающей последовательности частичных сумм

п

8п = У21и/г1> $ = Ит ^п-

к=1

Зафиксируем произвольное е > 0. Тогда существует такой номер
7У(б), что

\ип| = 8 — 5уу(е) < -,

П=7У(е) + 1

т.е.

8 = |гн| + |?/2| + |^з | + • • • + |^ту(е) I + |^(е)+1| + |^(е)+2 I + • • • •

5ту(5)	сумма < г/2

Это означает, что для остатка ряда	ип справедлива оценка

П=7У(е) + 1

\8-8Щг)\ =

< К1 <

П=7У(е) + 1

€

2’

т.е.

8 — и± + П2 + щ . + имг + ^лг(е)+1 + ^ту(е)+2 + • • • •
^(е)	сумма по модулю < е/2

Выберем теперь такой номер М (е), чтобы частичная сумма

М(5)
5^(е) = 52 ик
к=1
включала все слагаемые, которые входят в сумму

ЛГ(е)

= ик-
к=1

Помимо слагаемых из 5уу(е)5 в ^м(е) ВХОДЯТ еще слагаемые, но-
мера которых больше ЛГ(е). Более того, при любом т > М(е) сумму
8*п можно представить в виде

5т — иг + и2 + и3 + ... +	+ ^ту(е)+1 + • • • + им(с) +

содержит все члены ?/1,..., пуу(е)

“Ь ^м(е)+1	^м(е)+2 Я- • • • Я- кьт 81^(8) “Ь

Модуль |Е^| не превышает суммы модулей своих слагаемых. Так как
номера этих слагаемых больше ЛГ(е), все они содержатся в сумме

Е 1и"1-

П=7У(е) + 1

Следовательно,

1С1 < Е Ы < |.

П=7У(е) + 1

Таким образом, для любого т > М(е)

|5 - 8*т\ = |5 - (8Ще) + О| < |5 - 5ЛГ(е)| + |14| < е.

Значит,

Пт 8*т = 8,
т^-сю

что и требовалось доказать. 

2-4-2. Теорема Римана об изменении порядка
суммирования членов условно сходящегося ряда

Если ряд не сходится абсолютно, переставлять местами члены
ряда нельзя. Это утверждает приведенная ниже теорема, доказанная
в 1854 г. немецким математиком Георгом Риманом.
Теорема 2.17 (теорема Римана). Если ряд с действительными
членами	сходится, но при этом абсолютной сходимости нет,

то можно так переставить члены ряда, чтобы его сумма равнялась
любому действительному числу А или ±оо.

Доказательство.

Во-первых, заметим, что в последовательности {ап} есть и поло-
жительные и отрицательные члены (если бы это было не так, ряд
сходился бы абсолютно). Соберем все положительные члены в под-
последовательность {а+}, а отрицательные - в {а“}. Обе эти под-
последовательности состоят из бесконечного числа членов. Действи-
тельно, если бы хоть одна из них имела конечное число членов, это
означало бы, что, начиная с некоторого члена ТУ, члены последова-
тельности {ап} не меняют знак. В этом случае ряд ап должен
сходиться абсолютно, что эквивалентно абсолютной сходимости ряда
ап, который по условию абсолютно не сходится.

Во-вторых, рассмотрим два знакоположительных ряда

52 ап и 52ьап)-

П=1	П=1

Докажем, что оба эти ряда расходятся. Рассмотрим частичные сум-
мы

мм	мм

8м = ^ап; 8М = ^\ап\-,	311 = ^а+-, 8^ = 52 (-ап)-

П=1	П=1	П=1	П=1

Последовательность {^д/} - сходится, {^д/} - расходится. Последо-
вательности {5м}> {%} состоят только из положительных
членов. Пусть среди первых М членов ряда ап имеется к по-
ложительных и I отрицательных. Тогда

8м = 4 - 8Д; §м = 4 + 8Д.

Поскольку	—> оо, то хотя бы одна из последовательностей

{5м}, {5м1 также неограниченно возрастает. Но так как {^д/} схо-
дится, то обе последовательности	неограниченно возрас-

тают, иначе их разность не могла бы сходиться. Таким образом, оба
ряда ЕХ1 и ЕХ1(“аД) расходятся.
В-третьих, составим ряд из членов ряда ап, переставлен-
ных по следующему алгоритму1. Пусть для определенности А ко-
нечно и положительно. Будем брать слагаемые из {«+} до тех пор,
пока частичная сумма не превзойдет А. Это обязательно случится,
так как	—> оо. В этот момент остановимся. Разность между

полученной частичной суммой и А не будет превышать последнего
слагаемого. Далее будем брать слагаемые из {«“} до тех пор, пока
частичная сумма нашего ряда на станет меньше, чем А. Это обяза-
тельно произойдет, так как	—> оо. Остановимся в тот самый

момент, когда сумма нашего ряда станет меньше, чем А. Разность
между А и получившейся частичной суммой при этом не превыша-
ет последнего слагаемого. Продолжая действовать таким образом,
мы получим ряд, составленный из членов исходного ряда, взятых в
другом порядке. Но разность между А и частичными суммами ря-
да стремится к нулю, так как каждый раз оценивается некоторым
членом ряда, со все большим номером. Следовательно, наш ряд схо-
дится к А.

Предлагается самостоятельно придумать, как модифицировать
предложенный алгоритм выбора членов {&+} и {«“}, чтобы в ре-
зультате получилась сумма ряда А < 0 и А = ±оо. 

Выражение “условная сходимость”, по-видимому, связано именно с дока-
занным утверждением: т.е. ряд все-таки сходится, но при дополнительном
условии - не изменять порядок суммирования.

Подводя итог, сформулируем следующие утверждения:

•	переставлять местами слагаемые в бесконечной сумме можно,
если эта сумма сходится абсолютно;

•	в случае, если абсолютной сходимости нет, разумеется, допусти-
мы перестановки членов ряда, затрагивающие лишь конечное число
слагаемых. В то же время перестановки, затрагивающие бесконеч-
ное число членов ряда, вообще говоря, приводят к изменению его
суммы.

1 Указанный алгоритм напоминает общение продавца и покупателя, же-
лающего купить товар ценой А. При этом покупатель имеет для оплаты
монеты достоинством , а, • • • , в то время как продавец дает сдачу
монетами достоинством , . . . .
2.5.	Функциональные ряды
и понятие равномерной сходимости

2.5.1.	Понятие функционального ряда

Пусть {и(г)} - последовательность функций, вообще говоря, от
комплексного аргумента г Е С, где С - некоторое множество в ком-
плексной плоскости.

Выражение

к=1

называется функциональным рядом, заданным в С.

При каждом конкретном г функциональный ряд превращается в
числовой ряд, сходящийся или расходящийся.

Если при любом г Е С соответствующий числовой ряд сходится
к некоторому комплексному числу и' = /(г), то /(г) называет-
ся суммой функционального ряда, а сам ряд - сходящимся
в С. При этом говорят, что область С принадлежит множе-
ству сходимости функционального ряда.

Аналогично числовым рядам определяется понятие частичной
суммы ряда 5п(г) =	ик(^- Кроме того, если функциональ-

ный ряд сходится к некоторой сумме /(г), можно, как и раньше,
определить остаток ряда

= /(^) - 8п(г) = икЕ)-
к=п-\Л

Таким образом, если ряд сходится в С к функции /(г), то для
любого г Е С

> 0	г) такое, что при любом	п >	г)
|#п(Х)| = |/(г) - 5„(г)| = ^2 икЕ)  к=п-\-1	< €
Пример. Рассмотрим ряд

(-1)

п + |г|2

Этот ряд определен во всей комплексной плоскости. Все члены ря-
да действительны, причем ряд знакочередующийся. Он сходится по
признаку Лейбница и остаток ряда по теореме 2.11 не превосходит
своего первого члена

|ад| = Е

(-1)

/с = п+1

к + |г|2

п + 1 + |г|2 п + 1

Таким образом, для любого е при всех п > IV (е), где IV (е) - целая
часть 1/е, выполняется следующая оценка |Яп(г)| < е. Следователь-
но, ряд сходится при любом г.

2.5.2.	Равномерная сходимость функционального ряда

Для того чтобы обосновывать справедливость разнообразных дей-
ствий с рядами, нам потребуется новое понятие.

Ряд 52^=1	(г) называется равномерно сходящимся в С

к /(г), если

> О	(не зависящее от г!) такое, что

при любом п > и из С

1-йп(г)| = |/(г:) - 5„(г)| = Е

/с = п+1

Если мы сравним определения сходящегося функционального ряда (см.
выше) и только что приведенное определение равномерно сходящегося
функционального ряда, можно заметить, что отличие имеется только в
одной детали - не должно зависеть от значения г. Именно это отличие
и является решающим.
Замечание. Понятие равномерной сходимости бессмысленно без
указания множества, где эта равномерная сходимость рассматрива-
ется. Один и тот же ряд может равномерно сходиться в одной обла-
сти и не сходиться равномерно в другой.

Пример. Рассмотрим ряд

/(Ж) = |>\	(2.8)

к=0

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, заключаем, что /(х) = при — 1 < х < 1, а при
прочих х ряд расходится. Остаток ряда равен

тп+1

Лп(х)= У хк = ---------.

1 — X

/с=п+1

Построим графики Кп(х) при различных п как функций х. Заметим,
что:

•	все В,п(х) стремятся к бесконечности при х 1;

•	при х — 1 имеем Кп(х) —> 1/2 при п нечетных, в то время
как Кп(х) —1/2 при п четных;

•	при каждом фиксированном х, их / -1 имеем

Пт 7?п(х) = 0.

п—^ос

В каждой точке интервала (—1; 1) остатки В,п(х) стремятся к ну-
лю с ростом п. Поэтому при каждом значении х Е (—1; 1) ряд схо-
дится. В то же время равномерной сходимости на интервале (—1; 1)
нет. Наличие равномерной сходимости на интервале (—1; 1) означало
бы, что для любого е > 0 нашелся бы такой номер ЛГ(е), что для всех
п > ЛГ(е) все графики Кп(х) лежали бы в полоске (—е;е) (рис.2.3).
Очевидно, это не так. В то же время можно показать, что равномер-
ная сходимость имеет место на любом интервале х Е (—1 + 5; 1 — 5),
5 > 0.

Теорема 2.18 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).
Ряд 52&Х1 сходится равномерно в С тогда и только тогда,
когда \/с > 0 37У(е) (не зависящее от г), такое, что для всех
п > Ы (е) и т > 0 и для любых % Е С имеет место неравенство
|^п+т(^) ЗД| < С.
Рис.2.3. Графики остатков геометрической прогрессии (2.8), 2?2(ж), Вз(ж),
2?4(ж), 2?5(ж). Видно, что при каждом фиксированном х остатки Вп(ж)
стремятся к нулю при п оо. Вместе с тем на всем интервале (—1; 1) рав-
номерной сходимости ряда нет: наличие равномерной сходимости означало
бы, что для любого е имелась бы полоска шириной 2е, такая, что, начиная
с некоторого номера АГ, все графики Кп(х) укладывались в эту полоску.
Очевидно, это не так
Доказательство.

Необходимость. Пусть 22^=1'^а?(^) сходится равномерно к /(г).
Это означает, что \/е > О 37У(б), что при любом п > 7У(е) и г е С
выполняется неравенство |/(г) — 5п(г)| < г/2. При т > 0 имеем
также |/(г) — 5п+т(г)| < е/2. Следовательно,

|5п+т(г) - 5„(г)| = |(/(г) - 5„(г)) - (/(г) - 5„+т(г:))| < | “•" | =
что и требовалось доказать.

Достаточность. Зафиксируем любое г е С. При этом заданном
г имеем числовой ряд, для которого выполняется критерий Коши.
Следовательно, данный ряд сходится. Таким образом, в О опреде-
лена функция /(г) = Ишп^оо 5п(г). Зафиксируем значение г. По
условию такое, что \/п > 7У(е) и т > 0 имеет место неравен-
ство

Мг)-5п+тй1<^	(2-9)

При фиксированном п > 7У(е) устремим в неравенстве (2.9) т к
бесконечности. Но Птш^х 5п+т(г) = /(г), поэтому в пределе имеем

|5п(Х) - /(г)\ < г

для любых п > и г Е С. Это и означает равномерную сходи-
мость. 

Доказать равномерную сходимость функционального ряда часто
бывает непросто. К счастью, для большого количества рядов, возни-
кающих на практике, эту проблему решает признак Вейерштрасса1
равномерной сходимости рядов.

Теорема 2.19 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости
ряда). Если существует номер по, такой, что при \/к > по справед-
лива оценка \иДг)\ < а^, сц. > 0, % Е С, и ряд сц. сходится, то
12^=1 сходится равномерно в С.

1 Вейерштрасс, Карл (1815 - 1897) - немецкий математик.
Доказательство. При к > по имеем

52 ик^

к=п-\-1

т	т

< 52 \икИ\ < 52 ак-

к=п-\-1	к=п-\-1

Числовой ряд &к сходится. Из критерия Коши (необходимость)
для этого ряда вытекает, что \/е > 0 существует такое что
\/п > тах{по, Л^(е)} и \/т > 0 справедливо неравенство

&к <

к=п-\-\

Но тогда и для функционального ряда	пРи любом т > О

и п > тах{по, 7У(б)} справедлива оценка

52 ик^

к=п-\Л



Поэтому, в силу критерия Коши равномерной сходимости (достаточ-
ность, теорема 2.18), ряд	равномерно сходится. 

Примеры.

1.	Рассмотрим ряд

СО8 ПХ

При всех х е К справедлива оценка

СО8 ПХ

у/п3 + X2

1

— п3/2

Ряд 522=1 ^72 сходится, следовательно, исходный функциональный
ряд равномерно сходится на всей числовой прямой.

2.	Рассмотрим ряд

у/Йх

1 + П4Х2
Найдем наибольшее и наименьшее значения п-го члена на всей чис-
ловой прямой. Для этого возьмем производную

/ у/пХ V д/п • (1 + п4х2) — у/пХ • 2хп4 д/п(1 — п4х2)

\1 + п4х2/	(1 + П4Х2)2	(1 + П4Х2)2

Максимум п-го члена как функции х находится в точке х = ^,
минимум - в точке х = — Таким образом,

1 + п4х2

1 + "4 • (2 2п3/2'

Итак, на всей числовой прямой модуль п-го члена рассматривае-
мого функционального ряда мажорируется п-м членом сходящегося
ряда. Значит, по признаку Вейерштрасса рассматриваемый ряд схо-
дится равномерно на всей числовой прямой.

2.6.	Свойства равномерно сходящихся рядов

2.6.1.	Непрерывность суммы равномерно
сходящегося ряда из непрерывных функций

Теорема 2.20 (непрерывность суммы). Пусть и к (г) непрерыв-
ны в области С и ряд	равномерно сходится к /(г). Тогда

/(г) также непрерывна в области С.

Доказательство. Напомним, что означает непрерывность /(г)
в некоторой точке %у. \/е > 0 35, такое, что при \% — го| < 5 имеем
|/(г) — /(го)| < е. Надо доказать, что это условие выполняется в
любой точке го 6 С.

Во-первых, так как	равномерно сходится к /(г), то

> О существует такой единый (не зависящий от г) номер IV (е),
что при г, го 6 С выполняются неравенства

р	г

|/(г:) - 5Же)(г)| <	|/(г0) - 5ЛГ(е)(г0)| < -

С)	С)

Во-вторых, так как щДг) непрерывны в С, то и их конечная сум-
ма, 5уу(е)(г), также непрерывна. Это означает, что существует такое
6 > 0, что при |г — 2о| < имеем

|^(е)(^) - 5лг(е)(г0)| <

Таким образом, при \х — хо| < д получаем, что

т-/ы1<

<	|/0) - >5ме)0) +5'дг(е)(г) - 5лг(е)(20) + 5;у(е)Оо) - /(20))| <

<	|/0) - >5Ме)0)| + |5дг(е)(2:) - 5;у(е)Оо)| +

+ |/(^о) - ^(^(го)! <т + т + т=е,
ООО

что и требовалось доказать. 

Пример. Рассмотрим ряд

2
о	Лу	ьЬ

-------1- -I--------------1-

1 + ж2	(1 + ж2)™

Это геометрическая прогрессия с первым членом х2 и знаменателем
1/(1 + х2). Знаменатель меньше единицы при всех действительных
х, за исключением х = 0. Поэтому при х 0 сумма ряда равна

лГ.2
-9
~1	1	= 1 + Х *

1	+ х2

Вместе с тем при х = 0 все члены ряда равны нулю. Таким образом,

2	X2	х2	Г 1 + х2, х/0,

1 + ж2 (1 + х2)п	1 о, X = 0.

Сумма ряда разрывна в нуле, следовательно, на любом интервале
числовой прямой, включающем точку х = 0, равномерной сходимо-
сти нет.
2.6.2.	Интегрирование равномерно сходящегося
функционального ряда по кривой

в комплексной плоскости

Теорема 2.21 (интегрирование ряда из непрерывных функций).
Пусть Г - кусочно-гладкая кривая, функции непрерывны на Г,
к = 1,2,... и	равномерно сходится к /(г) на кривой Г.

Тогда

/	= ^ /	(2-Ю)

А‘ = 1

Доказательство. Так как щДг) непрерывны на кривой Г, то ин-
тегралы /г (1^ конечны при всех к = 1,2,.... Далее, пусть длина
кривой Г равна Ь. Из равномерной сходимости 22^=1'^а?(^) следует,
что \/е > О ЗТУ(б), такое, что при \/п > 7У(е) и \/г Е Г выполняется
неравенство

|Дп(^)1 = 1/(Л-^(г)|<|.

Тогда остаток проинтегрированного ряда (2.10)

Л = I/(€)

А‘ = 1

при п > ТУ(е) оценивается следующим образом:

I(ЛО - -МО)

< 11Л0-М01 =
г

(здесь, как обычно, дз - элемент длины).

Таким образом, ряд в правой части формулы (2.10) сходится к
левой части этой формулы, что и требовалось доказать. 
Пример. Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию при \1\ < 1, I е К

п=0

(2.П)

Ряд в правой части формулы (2.11) равномерно сходится на любом
отрезке I 6 [—х;х], 0 < х < 1. Проинтегрируем наш ряд по отрезку
[0; х] (это и будет кривая Г из теоремы 2.21)

агс^ж = [	= ]Г(-1)П [ 12п А =

о	"=° о

п=0

х2п+1

2п + 1

Теорема 2.21 гарантирует нам, что полученный функциональный
ряд сходится при |х| < 1. Например, при х = получаем интерес-
ный ряд для вычисления числа тг:

7Г	111	1	1

— = агс1рг —= = —=-— Н-—-----— -Ь ....

б 7з X з-з-Тз 5-з2-Тз 7 • з3 • X

От полученного нами разложения арктангенса - один шаг до того, чтобы
посчитать сумму ряда Лейбница

подставив в полученный ряд х = 1. Но мы не можем сделать этот шаг,
так как теорема 2.21 не гарантирует нам законность предельного перехода
х 1 (нет сходимости исходной геометрической прогрессии при х = 1).
Этот переход, однако, оказывается законен, что гарантируется следующей
теоремой (также носит имя Абеля и выходит за рамки нашего курса):

Если ряд 12^1 сходится, то Итж^1_0 12^1 апхП = 122^1 С1п-

В нашем случае ряд, полученный в результате предельного перехода х 1,
сходится по признаку Лейбница, что означает справедливость равенства
(2-12).
2.6.3.	Операции с равномерно сходящимися рядами
из аналитических функций

В этом подразделе мы изучим вопрос о том, какие операции мож-
но выполнять с равномерно сходящимися рядами

(2.13)
к=1

состоящими из аналитических функций.

Теорема 2.22 (теорема Вейерштрасса, и. 1). Пусть все члены
ряда (2.13) - аналитические функции в области С, и ряд (2.13) схо-
дится равномерно в любом замкнутом круге В С С к функции /(г).
Тогда /(г) аналитична в С.

Доказательство. Рассмотрим любую точку го области С. По-
кроем ее некоторым кругом Р, который вместе со своей границей
лежит в области (7. По условию в этом круге ряд (2.13) сходится
равномерно. Если все члены ряда (2.13) - аналитические (а, следо-
вательно, и непрерывные) функции, то согласно теореме 2.20 сумма
ряда /(г) также непрерывна в В. Далее, пусть Г - любой контур,
целиком лежащий в В. По теореме 2.21

У /(г) йг = У2 У Мг) = 0
к= 1

(все члены ряда равны нулю, так как функции щДг) аналитические).
Поскольку контур Г - любой, то по теореме Мореры функция /(г)
аналитична в В, и, следовательно, в окрестности точки го. Но го -
любая точка области (7, поэтому функция /(г) аналитична в (7, что
и требовалось доказать. 

Теорема 2.23 (интегрирование ряда из аналитических функ-
ций). Пусть иДг) - аналитические функции в конечной односвязной
области С и 'мДг) равномерно сходится к в С. Пусть го -
произвольная точка области С. Тогда:
а)	ряд из первообразных



(2.14)

сходится к функции Г (г) = / /(^) Л;,*

б)	ряд (2.14) сходится равномерно в С.

Доказательство. Заметим, во-первых, что первообразная
существует и однозначно определена, так как область (7 односвязна,
а /(г) аналитична по теореме 2.22. Далее, область С конечна и одно-
связна, следовательно, можно указать такую конечную длину Г, что
любую точку г Е С можно соединить с точкой го кусочно-гладкой
кривой 7г, имеющей длину меньше Ь. Проинтегрировав обе части
равенства

Ж) = ЕЫ€)
к=1

по кривой (это возможно по теореме 2.21), заключаем, что утвер-
ждение а справедливо.

Докажем утверждение б. Рассмотрим остаток ряда (2.14)

г	п 2	2

ад = I ле) - Е /Ы€) ск = I ад

20	^=120	20

где ^п(€) — /(€) — ^п(€) " остаток ряда (2.13). Будем считать, что
интегрирование от го до г велось по упомянутой выше кривой е ~. Из
равномерной сходимости ряда (2.13) во всей области С следует, что

> О можно выбрать такое ЛГ(е), что \/п > IV (е) для остатка ряда
Яп(€) при всех Е С выполняется неравенство

|ад| <

-О

Тогда, так как длина меньше I, а г - произвольная точка С, имеем

г




что и означает равномерную сходимость ряда (2.14) в области (7. 

Теорема 2.24 (теорема Вейерштрасса, п. 2, 3). Пусть все члены
ряда (2.13)	- аналитические функции в области С и ряд (2.13)

равномерно сходится в любом замкнутом круге И С С к функции
/(г). Тогда:

а)	исходный ряд можно дифференцировать сколько угодно раз,
т.е. при % Е С и любом натуральном р справедливо равенство

/(Р)(^) = Е4Р)(^)> ^=1,2,...;	(2.15)

к=1

б)	в любом замкнутом круге В С С ряд из производных (2.15)
сходится равномерно.

Доказательство. Докажем п. а. Рассмотрим произвольную точ-
ку г е С. Покроем ее кругом Пр с центром в точке г и радиусом р
достаточно малым, таким, чтобы весь круг целиком поместился в С.
Границу круга Пр обозначим Гр. Зафиксируем номер производной
р. Очевидно, что так как

Ж) = ЕЫ€),	(2.16)

к=1

то, если г,

р'-	/(€)	= у' М€)

2тгг (^ — г)^+1 2тп (^ — г)^+1

Сходимость последнего ряда равномерная на контуре Гр. Это сле-
дует непосредственно из равномерной сходимости на контуре Гр ряда
(2.16). Действительно, равномерная сходимость ряда (2.16) означа-
ет, что для любого €, начиная с некоторого номера для любого

е Гр имеем:

|Дп(€)1 =

52

к=п-\-1
Рис.2-4- Иллюстрация к доказательству теоремы 2.24, п. б

Тогда для любых е Гр справедлива следующая оценка остатка:

Ер! Ы€)

2тп (С - г)Р+1

/с=п+1

р! Д»(€)

2-тгг — г)Р+1

--------8.

27грР+х

Правая часть не содержит что означает равномерную сходимость
рассматриваемого ряда.

По теореме 2.21 обе части последнего равенства можно проинте-
грировать в положительном направлении по контуру Гр

/ р! /(€)	= V /

У 2тгг - г)р+1 У 2тп - г)р+1 ’

из чего по формуле Коши для производных получаем:

/(р)(^) = ^24Р)(2)-

к=1

Но г - любая точка области (7, следовательно, п. а доказан.

Докажем п. т.е. равномерную сходимость ряда (2.15) в любом
замкнутом круге Т С С. Возьмем круг П радиусом р. Рассмотрим
также круг К чуть большего радиуса, р + б/, (I > 0, с тем же центром,
также целиком лежащий в С (такой круг существует, так как С -
область, рис.2.4). Обозначим 7 границу круга К. Длина 7, очевидно,
равна Ь = 2тг(р + ^). Рассмотрим остатки рядов (2.13) и (2.15)

сю	п

52 М7 = /7) -	= М7;

А?=п+1	к=1

к=п+1



(мы уже знаем из утверждения п. а, что ряд (2.15) сходится в (7,
поэтому говорить об его остатке уместно). Остаток Яп(г) является
аналитической функцией в С, так как /(г) является по теореме 2.22
аналитической функцией в (7, и каждый член ряда является анали-
тической функцией в С по условию. Значит, для любой точки г из
Р справедлива формула Коши для производных

<}(г) =

р! [ Щ

2тгг / (^ — г)^+1

Ряд (2.13) равномерно сходится на контуре 7 по условию. Значит,
\/е > О можно выбрать ЛГ(е), что при п > 7У(е) и при любом ( Е 2
будет справедливо соотношение

<е

2тг</',+1
р\Ь

Тогда для остатка Яп^ (2) при п > 7У(е) и любого % е Я справедлива
оценка

Дп(€)
(€ -

<р\ [ |ад

-2^/ ке-^г1

7

Тем самым п. б также доказан. 

Замечание. Сходимость ряда из производных можно утвер-
ждать только в области (7, но никак не в замыкании С. Например,
ряд ^2^! 77 равномерно сходится в замкнутом круге |г| < 1, так как
по признаку Вейерштрасса он мажорируется там сходящимся рядом
12^1 ^2- Рад из производных	при этом по теореме 2.24

сходится в открытом круге |г| < 1, но в точке г = 1, лежащей на
границе круга, расходится.

Теорема 2.24 показывает возможность дифференцирования рав-
номерно сходящегося ряда из аналитических функций. Если от тре-
бования аналитичности отказаться, заменив его требованием диф-
ференцируемости и ограничившись рассмотрением рядов с действи-
тельными членами, аналогичное утверждение становится более гро-
моздким логически. Приведем без доказательства соответствующую
теорему.

Теорема 2.25. Пусть:

•	функции непрерывно дифференцируемы на отрезке [а; Ь\;

•	ряд, составленный из производных и'к(х), равномерно схо-
дится на [а; Ь\;

•	ряд и^{х) сходится хотя бы в одной точке с е [а; Ь].

Тогда ряд Е^1 ик(х)

а)	равномерно сходится на всем отрезке [а; Ь\;

б)	его сумма з(х) непрерывно дифференцируема;

в)	з'(ж) = Е^1ЧС4

Примеры.

1.	Ряд

^2 $шпх

сходится на всей числовой оси по признаку Дирихле1 к некоторой
функции /(т). Формально продифференцируем этот ряд. Получен-
ный ряд

СО8 ПХ

п=1

1 Можно доказать и равномерную сходимость этого ряда на любом от-
резке [а; 6], не содержащем точек х = 2тг/, I Е X.
не только не сходится равномерно, но и вообще расходится. Поэтому
дифференцирование было незаконным.

2.	Ряд 1 + 1 + 1 + ... имеет формальную производную 0+0 + 0 + ....
Несмотря на то что ряд из производных равномерно сходится (так
как вообще не зависит от х), дифференцирование было незаконным,
поскольку исходный ряд расходился.

Подведем итог сказанному об операциях над равномерно сходя-
щимися рядами. Положение дел оказывается следующим:

•	сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого - непре-
рывные функции, есть функция непрерывная]

•	сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого - анали-
тические функции, есть функция аналитическая]

•	равномерно сходящиеся ряды можно интегрировать по кривым
в комплексной плоскости;

•	можно брать первообразные членов равномерно сходящегося ря-
да, при этом результат также будет равномерно сходиться;

•	если члены ряда - аналитические функции, то дифференци-
ровать равномерно сходящиеся ряды можно; результат тоже будет
равномерно сходиться;

•	если члены ряда - непрерывно дифференцируемые на отрез-
ке функции, то можно формально продифференцировать ряд, а по-
том выяснить, равномерно ли сходится ряд из производных. Если
равномерная сходимость имеет место, то дифференцирование было
законным.

2.7. Задачи

Группа А

1.	Докажите или опровергните утверждение: если ряды ап
и ^2^=1Ьп расходятся, то ряд ^^=1апЬп также расходится.

2.	Последовательность ап, п = 1,2,... такова, что все ап > 0 и
ряд ^2^1 ап сходится. Выясните, сходится ли ряд ^22^1 гДе хп
наибольший корень квадратного уравнения:

а) х2 — 2апх — 1 = 0; б) х2 — 2апх —	= 0.
3. Выясните, сходятся ли ряды:

а)	ЕХ1^1п(1 +		б)	52п=1	1 .
		п / ’			1+^ ’ п п
в)	п! е  2—/П=1 пп ’		г)	52п=1	
д)	1 1 ЬЗ , ЬЗЗэ ,  1	1-5	1-5-9	1-3-5-7 । 1-5-9-13	* * *’	е)	52п=1	1
					(п—1пп)2 ’
ж)	V00	1 •  Е^п=1 П1птг •)		з)	52п=1	/ 2+(-1)” \п  у 5+4*(—1)” у ’
4.	Докажите или	опровергните	следующее утверждение: если		

ряд ЕХ1 сходится, то и ряд ЕХ1 ап СХОДИТСЯ.

5.	Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник с кате-
тами, равными 1. Используя его в качестве начального, строим по-
следовательность примыкающих друг к другу прямоугольных тре-
угольников таким образом, что: 1) гипотенуза каждого предыдущего
прямоугольного треугольника является катетом следующего прямо-
угольного треугольника; 2) второй катет каждого из этих треуголь-
ников равен 1; 3) все треугольники имеют общую вершину. Резуль-
татом является ломаная спираль, обходящая вокруг общей вершины
этих треугольников. Какое число оборотов вокруг общей вершины
сделает спираль - конечное или бесконечное?

6.	Выясните, можно ли произвольным образом менять порядок
суммирования ряда:

б)

7.	Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд

1 1 1 1111 1

+ 2 + 3 + ’' ’ + 10 ” 11 ~ 12 ~ 13 ~	~ 20,+    

10 штук	10 штук
8.	Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряды:

а) Е“=1(-1)п^ (то) ;

в) Е~=1(-1)п-то;

в) Ьп=1 ^+1’

г)

9. Сходится ли ряд

ч х-^ое (-1)™ 1пп.

2^п=1 п ’

агс1§2(хп)

, пх/п
п=1

равномерно при х е (—оо; оо)?

10. Сходится ли ряд

равномерно в полуплоскости Ее г > 1?

Группа В

1.	Блоха прыгает по координатной плоскости. Первый прыжок
она делает из точки (0; 0) в точку (1; 0). Каждый следующий пры-
жок блохи в 2 раза короче предыдущего и образует с направлением
предыдущего прыжка угол в 60° против часовой стрелки. В какую
точку прискачет блоха к концу времен?

2.	Шахматный конь стоит на некоторой (стартовой) клетке шах-
матной доски. Затем он начинает выполнять ходы, как обычно, бук-
вой “Г”, причем после каждого хода измеряется расстояние гп от
центра клетки, где он находится в текущий момент, до центра стар-
товой клетки (п - номер хода). Может ли конь двигаться так, что
РЯД ЕХ1 сойдется?
3.	Два игрока по очереди пишут члены ряда 522^1°^- Задача
первого - чтобы ряд сошелся, задача второго - чтобы ряд разошелся.
У кого из них нет шансов выиграть и почему?

4.	Докажите или опровергните следующее утверждение: если
ряд ^2^21 ап сходится, причем все ап > 0, то и ряд ^2^21 ап сходится.

5.	Сходится ли ряд 522=1 где " количество цифр в
десятичной записи п?

6.	Выясните, сходится ли ряд 52221	— агс!§(п2)).

7.	Уравнение соз г = 2 имеет бесконечное множество корней. Вы-
берем из них те, которые лежат в первой четверти комплексной плос-
кости и пронумеруем эти корни в порядке возрастания их модуля.
Пусть - получившаяся последовательность. Выясните, сходится
ли ряд 5X1

8.	Каждый член числового ряда равен разности предыдущего
и пред-предыдущего членов (именно в таком порядке). Может ли
такой ряд сходиться?

9.	Нетрезвый студент шагает по плоскости. Каждый его следу-
ющий шаг меньше предыдущего, и длина шага стремится к нулю.
После каждого шага он поворачивает направо на одно и то же число
градусов. Может ли он уйти бесконечно далеко?

10.	В доме, в котором 100 этажей, работает лифт. В журнале
лифтер фиксирует моменты	• • • приезда лифта на каждый

этаж (отсчитываются с момента запуска лифта). Он также записы-
вает числа «1, «2, • • •? принимающие значения ± 1, ± 2,..., ± 99; при
этом модуль числа ап соответствует числу этажей, которые лифт
проехал между двумя остановками в моменты 1п_± и 1п, а знак ап
указывает направление движения (“вверх” означает “+”). Сходится
ли ряд 5X1 77?

11.	Выясните, сходится ли ряд

81П4 П

П
к=1

12.	Вычислите сумму квадратов корней уравнения г100 = 1.
13.	Сколько членов ряда ^2^ наД° взять, чтобы найти
его сумму с гарантированной точностью до 10-3?

14.	Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряды:

(~1)п .

1пп + ( —1)п ’

б) Е

П=1

(-1)"

100 81П п + п

15.	Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд

п=1

где ап =

к=1

16.	Найдите область сходимости функциональных рядов (обяза-
тельно нарисуйте):

17.	Выясните, сходится ли ряд

1 + СО8 X

2 -Ь СО8 X

равномерно при всех х Е К.

18.	Выясните, является ли функция, заданная рядом

аналитической в полуплоскости 1т г > 0.

19.	Вычислите:

а) Пт	6)	1т. Е

П=1	Х 2 П=1

27? / ОС	\

»)

0 \п=1	/
Группа В

1.	Вычислите:

\ 1

а) > агс!§ —--------------;

7	ь п2 + п + 1

П=1

П=1





Ек

2к ’
к=1

2.	Вычислите1:

2-(Зт+п+(т+п)2)

/с=О,т=О

3.	Пусть /(п) - число единиц в двоичной записи числа п. Рас-
смотрим сумму

п + п/

п=1

Является ли рациональным число е3? (Предполагается, что извест-
но, что 1112 = 1 — I + I - I + • • • •)

4.	Вычислите:

2-> (%к+1 _	- ?кУ

1 Задачи 2-5 предлагались соответственно в 1960, 1981, 1984 и 2001
годах на математических лично-командных соревнованиях студентов аме-
риканских университетов Ри1пат сотреННопз. Эти традиционные мате-
матические конкурсы проводятся ежегодно начиная с 1938 г. (исключение
составили военные 1941 - 45 гг.). Они являются очень популярными (около
300 команд и 2000 участников) и считаются одними из наиболее престиж-
ных математических студенческих соревнований не только в США, но и
во всем мире. Названы в честь Уильяма Лоуэла Патнама, организатора
первых соревнований.
5.	Пусть < п > - ближайшее целое число к числу у/п. Вычислите
сумму

5_ А 2<п> +2-<п>

/	211

п=1

6.	Рассмотрим гармонический ряд	ап = Выбросим

из этого ряда все члены ап, у которых в десятичной записи номера
п содержится цифра 9. Будет ли сходиться полученный ряд?

7.	Можно ли указать такой сходящийся ряд аП5 что
расходится?

8.	Исследуйте на сходимость ряд

где хп - положительные корни уравнения х = занумерованные
в порядке возрастания.

9.	Исследуйте на сходимость ряд

“ (_1)<т(п)

п
к=1

где сг(п) - число единиц в двоичной записи числа п.

10.	Выясните, сходится ли ряд

У _______1.

п2 + т2

к=1,т=1

11.	Бесконечная последовательность действительных чисел об-
разована по правилу

^п+1 -- “Ь Ч ^1 ------ !•

Сходится или расходится ряд ^2^1Х уу- ?

12.	Каждый член числового ряда равен разности предыдущего
и пред-предыдущего членов (именно в таком порядке). Может ли
такой ряд сходиться?
Глава 3

Степенные ряды, ряды Лорана и теория вычетов

3.1.	Степенные ряды

3.1.1.	Определение степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

п=0

- 20)П.

Здесь сп, п = 0,1,2,... и го - комплексные числа, при этом сп
называются коэффициентами ряда.

Изучим область сходимости степенного ряда.

Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

^2сп(х - го)п

(3-1)

сходится в точке , то он сходится и в любой точке, расположенной
ближе к го, чем гх, причем в любом замкнутом круге

Ск = {|г - г0| <	- г0|}, /се(0;1)

сходимость ряда равномерная и абсолютная.
Рис. 3.1. К доказательству теоремы Абеля

Доказательство. Пусть г - любая точка круга С к (рис.3.1).
Представим п-й член ряда в виде

сп(^ - г0)п = сп(гх - г0)п •

г - г0

^1 -

Заметим, что так как ряд (3.1) сходится в точке гх, то в силу
необходимого условия сходимости ряда существует М, такое, что
|сп(гх — г0)п| < М при всех п. Получаем следующую оценку:

|Сп(^ - ^о)П| = |Сп(^1 - ^о)П| •

< Мкп, 0 < к < 1.

^1 - ^0

Таким образом, в круге С^,к е (0; 1), сходимость ряда, во-первых,
абсолютная (ряд из модулей мажорируется бесконечно убывающей
геометрической прогрессией и, следовательно, сходится), а, во-вто-
рых, равномерная (по признаку Вейерштрасса, теорема 2.19). Теоре-
ма доказана. 

Из теоремы Абеля вытекают следующие важные утверждения:

1.	Если степенной ряд (3.1) расходится в точке г2 го, то он
расходится в любой точке, отстоящей от го дальше, чем Действи-
тельно, если бы ряд сходился в какой-нибудь точке гз, отстоящей от
го дальше, чем г2, то по теореме Абеля он сходился бы и в
2.	Область сходимости степенного ряда - круг (говоря так, все
же будем иметь в виду, что этот круг может иметь как нулевой, так
и бесконечный радиус, вырождаясь соответственно в точку или во
всю комплексную плоскость). Радиус круга сходимости называется
радиусом сходимости степенного ряда. Вне круга ряд расходит-
ся, а на границе круга - может и сходиться, и расходиться (например,
в некоторых точках границы может сходиться, в некоторых - расхо-
диться) .

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3.1) мож-
но применить радикальный признак Коши. Имеем

Пт у/\сп(г - 20)п| = |х - 2=о| • Пт У|сД
п—^ос

Обозначим

Нт УЫ = I.

72—>СЮ

Верхний предел последовательности определен всегда, хотя может
быть бесконечным. Используя радикальный признак Коши, заклю-
чаем, что область сходимости ряда определяется равенством:

। । 1

|^-^о| < у,

т.е. ряд сходится в круге радиусом Я = 1/1. Формула

1 = Нт УЫ

ТЕ п—»ое

называется формулой Коши - Адамара1. Если I = 0, ряд сходится
во всей комплексной плоскости (Я = оо), если I = оо, ряд сходится
только в точке г = и больше нигде (Я = 0). Заметим также, что
примененный нами признак Коши позволяет утверждать, что за пре-
делами круга сходимости ряд расходится, и при этом не выполняется
необходимое условие.

3.	Пусть ряд (3.1) сходится в круге |г — г0| < Л. Тогда его сум-
ма является в этом круге аналитической функцией. Действительно,
все члены ряда - аналитические функции, а по теореме Абеля ряд

1 Адамар, Жак (1865 - 1963) - французский математик.
сходится равномерно в любом замкнутом круге |г — го| < р, р < К.
Следовательно, в любом таком круге сумма ряда является аналити-
ческой функцией по теореме Вейерштрасса (теорема 2.22). Значит,
она аналитическая во всем открытом круге |г — го| < Н.

4.	Пусть область сходимости ряда (3.1) - открытый круг радиусом
7?, |г — 2о| < 77, и внутри этого круга ряд сходится к функции /(г).
Тогда при | г — го | <77 справедливы формулы

//(г) = ^пс„О-20)п-1;	(3.2)

п=0

г

[ Ш = ^Мп+1-	(3.3)

п=0
20

Действительно, по теореме Абеля наш ряд сходится равномерно
в любом замкнутом круге Ср = {|г — го| < р}, 0 < р < 77 и его
(ряд) в этом круге можно дифференцировать (по теореме 2.24) и
интегрировать (по теореме 2.23). Так как 0 < р < К - произвольно,
то формулы (3.2) и (3.3) справедливы в открытом круге |г — го| <77.
При этом полученные ряды (стоящие в правой части формул (3.2) и
(3.3)) будут снова сходиться равномерно в Ср при любом 0 < р < 77,
следовательно, дифференцирование и интегрирование можно повто-
рять сколько угодно раз.

Используя формулу Коши - Адамара, найдем радиусы сходимо-
сти рядов (3.2) и (3.3). Так как

Пт у/п\сп\ = Пт ?/	= Пт Д\сД

п—»ое V П + 1

то заключаем, что радиус сходимости не меняется при дифферен-
цировании или интегрировании степенного ряда.

Пример. Рассмотрим ряд

°° ~п
Ер-
Используя формулу Коши - А дамара, найдем его радиус сходимости

1 = Ит л/- = 1 Я = 1.

К п—><Х) V п

Следовательно, ряд сходится в круге |г| < 1 и расходится вне его.
Изучим сходимость ряда на границе |г| = 1. Абсолютной сходимо-
сти на границе, очевидно, не будет, так как ряд из модулей совпа-
дает с гармоническим рядом и соответственно расходится. Введем
параметризацию границы г =	, р Е [0; 2тг). Подставим последнее

выражение в ряд

сов пр
п

81ПП(/2
п

(3-5)

При р 2тгА;, к Е 7 последовательность сумм сов пр огра-
ничена константой, не зависящей от АГ (см. подраздел 2.3.2), последо-
вательность {^} монотонно стремится к нулю. Значит, при р 2ттк,
к Е 7 первый ряд в правой части выражения (3.5) сходится по при-
знаку Дирихле. При р = 2ттк, к Е 7 он расходится, это соответствует
точке г = 1. Второй ряд в правой части выражения (3.5) сходится
по признаку Дирихле при любом р. Значит, исходный ряд сходится
на границе условно всюду, кроме единственной точки г = 1. Оконча-
тельно представление о сходимости/расходимости ряда (3.4) в раз-
личных точках комплексной плоскости дает рис.3.2.

3.1.2. Разложение в ряд аналитических функций

Рассмотрим теперь другую задачу: каким образом можно сопо-
ставить данной аналитической функции /(г) степенной ряд, кото-
рый бы сходился к /(г) в некотором круге? Ответ на этот вопрос
дает теорема Тейлора1.

1 Тейлор, Брук (1685 - 1731) - английский математик и физик. В ра-
ботах Тейлора, помимо прославившей его формулы разложения функции
в ряд, содержатся начала теории исчисления конечных разностей, являю-
щиеся в настоящее время “рабочим инструментом” вычислительной мате-
матики. Кроме того, Тейлору приписывается изобретение формулы инте-
грирования по частям.
Рис. 3.2. Область сходимости ряда

Теорема 3.2 (теорема Тейлора). Если /(г) - функция, анали-
тическая в круге \% — 2о| < т0 существует единственный сте-
пенной ряд

52сп(г-г0)п,
п=0

(3.6)

который сходится в этом круге к функции /(г), причем

Сп = ~./(П)Ы.
п\

(3-7)

Доказательство.

Существование разложения. Возьмем любую внутреннюю точ-
ку круга г, \% — го| < К. Построим какую-нибудь окружность Ср с
центром в точке го и радиусом р < К, так, чтобы г лежала внутри
нее. Функция /(г) аналитична внутри этой окружности, поэтому по
формуле Коши

/(*)

1 [ шуу

2ттг У — г
сР
Преобразуем подынтегральное выражение

1 _ 1

€ - 2	- 20 - (2 - 2=0)

1 1

Так как

€ -

то можно воспользоваться формулой суммы геометрической про-
грессии

Ряд в правой части последнего равенства - это степенной ряд
по степеням (г — го). По теореме Абеля он сходится равномерно в
замкнутом круге радиусом р с границей Ср. Значит, этот ряд можно
подставить в формулу Коши и проинтегрировать по окружности Ср.

1 [ /(€)

2тгг /	— г

с

= -[(ш-у (г~го)п)

(% =

•(2-2О)П = ^Сп(г-2о)П,
п=0

где по формуле Коши для производных

(€ - ^о)п+1 п!

(3.8)

что и доказывает существование разложения.

Единственность разложения. Пусть функция /(г) разлагается
в некий степенной ряд, который сходится к /(г) в некотором круге
|г - г0| < К

/(х) = Со + С1(2 - 20) + с'2(2 - 20)2 + . . . .
В силу равномерной сходимости этого степенного ряда в любом круге
|г — 2о| < р, §< р < К мы имеем право продифференцировать его
сколько угодно раз. Продифференцировав т раз, получим:

+ с^+1 • (т + 1) • т • ... • 2 • (г - г0) +

+ ст+2 • (т + 2) • (т + 1) • ... • 3 • (г - г0)2 + ... .

Подставляя в последнюю формулу % = го, получаем:

/т)(го)=т!4

ИЛИ

Эта формула совпадает с формулой (3.8), что и доказывает един-
ственность. Теорема полностью доказана. 

Замечание. Представление функции /(г) рядом вида (3.6) с ко-
эффициентами (3.7) называется разложением функции в ряд Тей-
лора. Формулы для коэффициентов разложения в ряд Тейлора, оче-
видно, совпадают с формулами для коэффициентов многочлена в
формуле Тейлора, которая изучалась в курсе действительного ана-
лиза (см. [1, подразд. 5.9]).

Ряд Тейлора при го = 0 называется рядом Маклорена1. Вспоми-
ная коэффициенты многочленов, построенных с помощью формулы
Тейлора для элементарных функций в курсе действительного ана-
лиза (см. [1, подразд. 5.10]), можно записать для этих функций раз-
ложения в ряды Маклорена:

1.	Экспонента. Явный вид коэффициентов ряда немедленно по-
лучается из формулы (е2)^ = е%. Имеем

1 Маклорен, Колин (1698 - 1756) - шотландский математик.
Экспонента ег - функция аналитическая во всей комплексной плос-
кости, поэтому и разложение справедливо во всей комплексной плос-
кости. Можно проверить, используя формулу Коши - Адамара, что
радиус круга сходимости равен бесконечности:

(при вычислении последнего предела была использована формула
Стирлинга).

2.	Синус и косинус. Имеем

81пг

(-1)пг2п+\
(2п + 1)! ’

,п ~2п

СО8 % = >	---.	.

.	(2п)!

п=0	'	}

Для вывода этих разложений можно использовать явные формулы
для производных:

(8тг/2п) = (—1)п8тг;	(со8г/2п) = (—1)псо8г;

(8тг/2п+1) = (—1)псо8г; (со8г/2п+1) = (—1)п+18шг.

Синус и косинус - функции, аналитические во всей комплексной
плоскости. Соответственно представления их рядами Маклорена так-
же справедливы во всей комплексной плоскости.

Утверждается, что именно из сравнения рядов для синуса, косинуса и
экспоненты Эйлер вывел свою знаменитую формулу е1^ = соер + 2811199
(проверьте формулу Эйлера, подставив в нее эти три ряда).

3.	Геометрическая прогрессия

Ряд абсолютно сходится внутри круга |г| < 1 (проверяется формулой
Коши - Адамара), вне этого круга расходится. На границе круга ряд
также расходится, так как п-й член ряда не стремится к нулю при
п оо.
4.	Главная ветвь логарифма

1п(1 + г) = - ^2

П=1

Этот ряд получается интегрированием ряда для геометрической про-
грессии. Ряд абсолютно сходится внутри круга |г| < 1, на границе
круга ряд сходится условно всюду, кроме точки г = — 1 (проверьте,
параметризовав границу формулой % = и используя представле-
ние (—1)п = егП7Г).

5.	Главная ветвь арктангенса

(_1)пг2п+1

= Х 2„ + 1

п=0

(3-9)

Этот ряд можно получить интегрированием ряда для геометриче-
ской прогрессии

=^г-

При любом р < 1 геометрическая прогрессия равномерно сходится в
замкнутом круге |г| < р. Следовательно, ряд для арктангенса (3.9)
также равномерно (и абсолютно) сходится в этом круге. Таким обра-
зом, можно гарантировать сходимость ряда (3.9) во всем открытом
единичном круге |г| < 1. Можно проверить, используя параметри-
зацию г = ег^ для границы круга и признак Дирихле, что во всех
точках границы, кроме г = г и г = — г этот ряд сходится условно. В
точках г = г и г = — г ряд (3.9) расходится.

6.	Степенная функция с произвольным действительным показа-
телем. При любом действительном а имеем

—^(1 + г)а = а(а — 1)... (а — к + 1)(1 + г)а к.

В результате получаем ряд

(1 + г)“ = 1 + ^2

а(а — 1)... (а — п + 1)
п\
Если а - натуральное число, ряд обрывается после конечного числа
членов (при этом получается формула бинома Ньютона). Для про-
чих действительных а ряд абсолютно сходится при | г | < 1 (проверь-
те, здесь удобно применить признак Даламбера) и расходится при
|г| > 1. На границе круга сходимости ряд сходится абсолютно при
а > 0, расходится при а < — 1 и сходится условно во всех точках
границы, кроме г = — 1 при — 1 < а < 0.

3.2. Единственность определения аналитической
функции

3.2.1.	Правильные и особые точки.
Нули аналитической функции

Точка го 6 С называется правильной точкой функции
/(г), заданной в С, если в некотором круге |г — го | < р(^о)
(р(го) > 0 - радиус круга) существует разложение функции
/(г) в степенной ряд

/(^) =	- 20)П, |г - г0| < р(г0).	(3.10)

п=0

Все точки, которые не являются правильными, называются
особыми точками функции /(г).

По теореме Тейлора (теорема 3.2), если функция /(г) является
аналитической в области (7, то все точки области (7 являются для
нее правильными, так как в каждой точке области существование
ряда гарантируется теоремой Тейлора.

Если функция /(г) - аналитическая в С и /(го) = 0, го 6 (7, то
го называется нулем аналитической функции /(г).

Если функция /(г) аналитическая в С и го 6 С - нуль функции
/(г), то

0 = /(г0) = со + С1(г0 - г0) + с2(г0 - г0)2 + ... = с0.
Поэтому разложение /(г) в точке го в этом случае начинается не с
нулевой степени (г — го), а как минимум с первой

/(*) = 52 Сп» - 20)П.

п=1

Возможно, однако, что разложение (3.10) начнется и с более высокой
степени, чем первая. Введем понятие порядка нуля функции /(г).

Если в разложении (3.10) для функции /(г)

Со = С1 = С2 = • • • = Сп—1 = 0, сп 0,
то точка го называется нулем п-го порядка функции /(г).

Замечание. Если г = го является нулем п-го порядка функции
/(г), то

= 52Ск^ ~ 2°)к = 2о)п • 52 ск+™(2 - 2о)к-
к=п	к=()

Обозначая

л(г) = 52а+п(г _ 2°^к’

к=0

получаем формулу

/С) = (г-г0)’г-/1С), /1(го)^О.

(3.11)

Очевидно, верно и обратное утверждение: если аналитическая в неко-
торой окрестности точки го функция /(г) допускает представление
(3.11), то г = го является нулем п-го порядка функции /(г). Дей-
ствительно, в силу аналитичности /(г) в окрестности точки г = го
функция /1(г) также аналитична в некоторой окрестности этой точ-
ки. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора

/1(г) = 52сй(2: - г°),С’ со 7^0.

к=0
Соответственно для /(г) получаем ряд

/(*) = с'к_п(г - г0)к.

к=п

Отсюда следует, что г = го является нулем п-го порядка функции
/(г). Итак, аналитическая в некоторой окрестности точки г = го
функция /(г) имеет точку го нулем порядка п, тогда и только то-
гда, когда в этой окрестности точки го справедливо представление
(3.11).

Теорема 3.3. Пусть г = го является правильной точкой для
функций р1(г) и причем р1(г) имеет в точке г = го нуль по-
рядка П1, а #2(2) имеет в той же точке нуль порядка п^, и п± > п^.
Тогда:

а)	произведение Р1(г) • дД^) имеет в точке г = го нуль порядка
П1 + п2;

б)	частное Р1(г)/р2(^) имеет в точке г = го нуль порядка П1 — п?;

в)	к-я (натуральная) степень функции Р1(г) имеет в точке г = го
нуль порядка кп^.

Доказательство. Докажем п. а, пн. б и в доказываются анало-
гично. Если Р1(г) имеет в точке г = го нуль порядка П1, то суще-
ствует функция /1(г), такая, что

510) = (г - 2о)П1/1(г),	Л0о)^0.

Аналогично существует функция /2 (г), такая, что

5г0) = О - 2о)П2/2(г), /гОо) 0 0.

Перемножая эти равенства, получаем:

50) ЕЕ 510) • 520) = О - ^о)П1+П2/10)/20) = О - ?0Г+П2/(г),

причем /(го) = /1(^0) • /2 До) 7^ 0- Следовательно, р(г) имеет в точке
г = го нуль порядка П1 + П2, что и требовалось доказать. 

Укажем два рецепта нахождения порядка нуля г = го функции
/О).
Рецепт 1. Попытаться в явном виде найти степень п и аналити-
ческую функцию Л (г), такую, что /1(г0) ф 0 и /(г) = (г-г0)п• /1(г).

Рецепт 2. Используя явные формулы для коэффициентов раз-
ложения аналитической функции в ряд Тейлора

Сп = ^/(п)Ы,	(3.12)

п\

заключаем, что в нуле п-го порядка справедливы соотношения:

Ж) = Г(г0) = ... =	1 ’ (г0) = 0, /^ (г0) + О,

т.е. для нахождения порядка нуля функции /(г) необходимо нахо-
дить последовательно значения производных /(г) в точке го до тех
пор, пока не будет найдено первое ненулевое значение. Порядок нуля
будет равен порядку соответствующей производной.

Примеры.

1.	Для функции /(г) = (1 — г3)100 точка г = 1 является нулем со-
того порядка. Действительно, следуя рецепту 1, функцию /(г) мож-
но представить в виде (3.11)

/(г) = (1 - г)100(1 + г + г2)100 = (г - 1)100(1 + г + г2)100,

где п = 100 и Д(г) = (1 + г + г2)100, причем

/1(1) = (1 + 1 + I)100 = 3100 ^0.

2.	Для функции /(г) = зтг точка г = 0 - нуль первого порядка.
Действительно, вычислим, следуя рецепту 2:

8тг|г=0 = 0,	(8тг)/|г=0 = сое 0 = 1^0.

Результат можно проверить непосредственным разложением в ряд

г3 г3

Следовательно, со = 0, но щ = 1	0.
3.	Для функции /(г) =	— 1 точка г = 0 - нуль второго

порядка. Действительно, следуя рецепту 2, имеем:

Результат также можно проверить непосредственным разложением
в ряд

Следовательно, со = щ = О, С2 = 1	0.

4.	Для функции /(г) = зт100 г-агс1§2 г точка г = 0 - нуль порядка
102. Действительно, функция /1(г) = зтг имеет в точке 2 = 0 нуль
первого порядка, значит, по теореме 3.3, п. в функция /2(2) = зт100 г
имеет в точке г = 0 нуль сотого порядка. Далее, находим, что функ-
ция /з(^) = агс!§г имеет в точке г = 0 нуль первого порядка. Это
следует из того, что

агс^2|г=0 = 0, (агс^г)'|г=0 = 7—2

-Ь I Л

= 1^0.

2 = 0

По теореме 3.3, п. в функция /4(2) = агс!§2 % имеет в точке % = 0 нуль
второго порядка. Наконец, используя теорему 3.3, п. а, получаем, что
общий порядок нуля функции /(г) = /2(2) • А(л) равен 102.

Теорема 3.4 (о нулях аналитической функции). Пусть /(г) -
аналитическая функция в области С, и существует последователь-
ность попарно различных точек {гп} е С, п = 1,2,..., таких, что
= 0? причем существует предел Пш^оо гп = а, причем а е С.
Тогда /(г) = 0 во всей области С.

Доказательство состоит из двух шагов.

Шаг 1. Докажем, что /(г) = 0 в круге Вр с центром в точке а
и радиусом р, соответствующим расстоянию от точки а до границы


Рис. 3.3. Иллюстрации к доказательству теоремы 3.4: а - шаг 1; б - шаг 2

области С (рис.3.3,а). Так как /(гп) = 0, а функция /(г) аналити-
ческая, и, следовательно, непрерывная, то /(а) = 0. При этом /(г)
аналитическая во всей области (7, и, следовательно, в Пр. В этом
круге справедлива теорема Тейлора и /(г) разложима в степенной
ряд

/(г) = с0 + С1(г - а) + с2(г - а)2 + ... .

Так как а - нуль функции /(г), то с() = 0. Тогда можно записать
/(г) = (г - а) • (щ + с2(г - а) + с3(г - а)2 + ...) = (г - а)/1(г),
где Д(г) представлена степенным рядом

/1(г) = С1 + с2(г - а) + с3(г - а)2 + ... ,

который имеет тот же радиус сходимости, что и ряд для /(г) (про-
веряется формулой Коши - Адамара).

Таким образом, функция /1(г) аналитична в круге Вр и имеет,
очевидно, те же нули, что и функция /(г). К функции /1(г) также
применимы приведенные выше рассуждения, из которых следует,
что С1 = 0, и существует аналитическая функция /2(г), такая, что
/1(г) = (г — а)/2(г) в том же круге Вр. Повторяя ту же процедуру,
получаем последовательно, что все сп = 0, п = 0,1, 2,... . Это озна-
чает, что в круге Вр функция /(г) тождественно равна нулю.

Шаг 2. Докажем теперь, что /(г) = 0 не только в круге Вр, но
и во всей области (7. Пусть г* - любая внутренняя точка (7. Соеди-
ним точки а и г* кусочно-гладкой кривой 7, целиком лежащей в
области (7. Пусть наименьшее расстояние от точек кривой 7 до гра-
ницы (7 больше некоторого значения д. Пусть кривая 7 пересекает
границу круга Вр в точке Точка является пределом некото-
рой последовательности нулей функции /(г) (ведь /(г) = 0 во всем
круге Вр, значит, такая последовательность существует), поэтому по
только что доказанному утверждению /(г) = 0 в некотором круге
с центром в точке и радиусом, меньшим или равным (1. Граница
этого круга также имеет точку пересечения с кривой 7 и описанную
процедуру можно повторить (рис.3.3,б). Покроем таким образом всю
кривую 7 кругами, в каждом из которых /(г) = 0. Точка г* попадет
в последний круг, откуда заключаем, что /(г*) = 0. Так как г* -
произвольная точка области, то теорема доказана. 

Следствие. Аналитическая функция, тождественно не равная
нулю, имеет конечное число нулей в любой замкнутой подобласти
своей области аналитичности.

Пример. Функция /(г) = 8т(1/г) - аналитическая во всей ком-
плексной плоскости без точки г = 0. Эта функция имеет бесконечное
число нулей г = 1/ттп, п = 0,1,2,... . Это множество нулей имеет
предельную точку г = 0, что, однако, не противоречит теореме 3.4,
так как точка г = 0 не принадлежит области аналитичности /(г).

3.2.2. Понятие об аналитическом продолжении

Теорема 3.5 (о единственности определения аналитической
функции). Пусть две функции Д(г) и /2(2) - аналитические в С и
существует последовательность точек гпе(7,п = 1,2,..., такая, что
Птп^оо = а, причем а е С и = /2(г„). Тогда Л (г) = /2(г)
во всей области С.

Доказательство. Рассмотрим функцию б(г) = /1(г) — /2(2). Эта
функция является аналитической и обращается в нуль во всех зна-
чениях {гп}, п = 1,2,... . Следовательно, по теореме 3.4 б(г) тож-
дественно равна нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы. 
Говорят, что функция /(г) является аналитическим про-
должением функции заданной на некоторой кусочно-
гладкой кривой 7 с С во всю область (7, если /(г) аналитиче-
ская в С и /(г) = (Дг) на 7.

Теорема 3.6 (о единственности аналитического продолжения).
В области С может существовать единственная аналитическая
функция, принимающая заданные значения на данной кусочно-
гладкой кривой у С С.

Доказательство. Выберем на кривой 7 какую-нибудь бесконеч-
ную последовательность точек {гп} Е 7, п = 1,2,..., сходящуюся к
некоторой точке, также принадлежащей 7. По теореме 3.5 функция
/(г) однозначно определяется своими значениями /(27), /(27), • • •,
что и доказывает теорему. 

Важным частным случаем аналитического продолжения с кри-
вой в комплексной плоскости является аналитическое продолжение
в комплексную плоскость функции, заданной на действительной
оси. Соответствующая проблема формулируется таким образом:

На интервале (а; 6) действительной оси (возможно, на всей дей-
ствительной оси) задана функция Дх). Можно ли найти анали-
тическую функцию /(г), определенную в некоторой области С ком-
плексной плоскости, содержащей интервал (а; 6) действительной
оси, такую, чтобы значения /(г) и на интервале (а; 6) совпа-
дали?

Достаточно очевидно, что не для любой функции ср(х) аналити-
ческое продолжение можно построить. Возьмем, например, действи-
тельную функцию Дх) = |х|, заданную на интервале (—1; 1). Правая
и левая производные <р(х) при х = 0 не равны друг другу

Нт	- У(0)	= 1:

х^0+0	X

Нт	- У(О)	= -1.

х^0-0	X

Значит, функция комплексного переменного, совпадающая с 1р(х)
при г - действительном и принадлежащем интервалу действитель-
ной оси (—1; 1), не будет дифференцируема при г = О (так как для
дифференцируемости необходимо, чтобы производные по всем на-
правлениям в комплексной плоскости были равны между собой, а
это не имеет места). Следовательно, она не будет аналитична ни в
какой области, содержащей интервал действительной оси (—1; 1).

Следствие (из теоремы 3.6). Элементарные функции комплекс-
ной переменной ег, зтг, созг, 1п2 (как главная ветвь комплексной
функции Ьп г) являются единственными аналитическими продол-
жениями действительных функций ех, зтх, созх, 1пх.

Действительно, при действительных значениях г = х значения
функций комплексной переменной ег, зтг, созг, 1пг, определенных
в главе 1, совпадают со значениями действительных функций ех,
зтх, созх, 1пх. Например,

ех+г'° = ех (СО8 о + г зт 0) = ех.

Далее, в нашем курсе было установлено, что ег, зтг, созг, 1пг -
функции аналитические. Значит, по теореме 3.6 эти функции пред-
ставляют собой единственно возможные аналитические продолже-
ния действительных элементарных функций ех, зтх, созх, 1пх в
комплексную плоскость.

В заключение обсудим еще одну ситуацию, связанную с анали-
тическим продолжением. Пусть аналитическая функция /(г) пред-
ставляется в круге |г — го| < В рядом ^2^осп(г — го)п, причем
радиус сходимости этого ряда также равен В. Зададимся вопросом:
возможно ли аналитическое продолжение /(г) в круг большего ра-
диуса \% — 2о| <	> К' > В1 Отрицательный ответ на этот вопрос

дает следующая теорема.

Теорема 3.7 (об особой точке на границе области сходимости
степенного ряда). Пусть /(г) разлагается в степенной ряд

/со = 22	- го)п

(3.13)

п=0

с конечным радиусом сходимости В. Тогда на границе круга сходи-
мости имеется хотя бы одна особая точка /(г).
Доказательство теоремы 3.7 мы опустим.

Пример. Рассмотрим разложение в ряд функции /(г) =

Функция /(г) является аналитической во всей комплексной плос-
кости, кроме точки г = 1. Поэтому радиус сходимости указанного
ряда равен расстоянию от точки го = 0 (где производится разложе-
ние) до точки г = 1, т.е. К = 1 (нетрудно проверить по формуле
Коши - Адамара). Если разложить ту же функцию, но, взяв го = 2г,

1

1 - г

1 - 2г - (г - 2г)	1 - 2г 1 -

4	7	1 —2г

1	(г - 2г)”

1 - 2г ’	(1 _ 2г)п’

п=0 '	7

получим, что радиус сходимости ряда равен расстоянию от точки
г = 2г до точки г = 1, т.е. \/5, что также легко проверяется формулой
Коши - Адамара.

3.3.	Ряд Лорана1

3.3.1.	Кольцо сходимости ряда Лорана

Пусть го - фиксированная точка комплексной плоскости. Ря-
дом Лорана называется ряд вида

^2 сп(г — г0)п.

1 Лоран, Пьер Альфонс (1813 - 1854) - французский математик и
военный инженер.
Строго говоря, запись в виде приведенной бесконечной суммы
требует указания порядка суммирования членов ряда Лорана. Запи-
шем (пока формально, не заботясь о сходимости) ряд Лорана в виде
суммы двух рядов

ое	-1	ос

Е сп(2-2ог=	Сп(2_го)" + ^Сп(2_2о)".	(з.14)

п= — ос	п= — ОС	п=0

Второе слагаемое в (3.14) называется правильной или регу-
лярной частью ряда Лорана, в то время как первое слагаемое
называется главной его частью.

Теорема Абеля и следствия из нее позволяют вывести следующие
свойства правильной части ряда Лорана:

•	правильная часть ряда Лорана абсолютно сходится в некото-
ром круге |г — 2о| < ^1 (будем считать, что ф 0) и является в нем
аналитической функцией;

•	вне круга | г — го | < правильная часть ряда Лорана расхо-
дится (причем при этом не выполняется необходимое условие сходи-
мости) ;

•	в любом меньшем замкнутом круге |г — го| < В!г < В\
правильная часть ряда Лорана сходится равномерно.

Рассмотрим теперь главную часть ряда Лорана. Сделаем замену
€ =	* Тогда главная часть ряда Лорана принимает вид

у>_по-2о)-п = у>_пг.

П=1	П=1

Полученный ряд является обычным степенным рядом. Он абсолютно
сходится внутри некоторого круга |^| < Кроме того, он равномер-
но сходится в любом меньшем замкнутом круге |^| <	/?2 < В'2.

При обратном переходе от к г получаем, что главная часть исход-
ного ряда Лорана сходится во внешности круга |г — го| > 7^2, причем
она равномерно сходится во внешности любого большего открытого
круга \х - 20| > К'2.

Таким образом, используя теорему Абеля и следствия из нее,
можно констатировать, что:
Область сходимости
правильной части
ряда Лорана

Область сходимости
главной части
ряда Лорана

Область сходимости
ряда Лорана

Рис.3.4. Область сходимости ряда Лорана (кольцо) есть пересечение об-
ласти сходимости его правильной части (внутренность круга | г — го | < Н1)
и области сходимости его главной части (внешность круга | г — го | > )

•	главная часть ряда Лорана абсолютно сходится во внешно-
сти некоторого круга |г — го| > /?2 (будем считать, что К2 Ф оо) и
является там аналитической функцией;

•	внутри круга |г — го| < Ръ главная часть ряда Лорана расхо-
дится (причем при этом не выполняется необходимое условие сходи-
мости) ;

•	во внешности любого большего круга |г — го| > В!2, К2 > Ь?2
главная часть ряда Лорана сходится равномерно.

Если Т?2 < ^1, то существует общая область сходимости главной
и правильной частей - круговое кольцо К2 <	— ^о| < Я1 (рис.3.4).

При этом 7?1 выражается через коэффициенты сп, п = 0,1,2,... по
формуле Коши - Адамара

2- = ЙЫ
П]

а Т?2 определяется коэффициентами с_п, п = 1, 2,... , причем

В.2 = Нт \/|с_п|.
п—»ое

Из сказанного можно сделать следующие выводы:

• поскольку оба ряда как правильной, так и главной частей схо-
дятся в кольце Т?2 <	— 2о| < Вл абсолютно, ряд Лорана в целом
также сходится абсолютно в этом кольце. При этом вопрос о по-
рядке суммирования членов ряда Лорана снимается: по теореме 2.16
сумма ряда не зависит от порядка суммирования;

•	сумма ряда Лорана - функция аналитическая в кольце
7? 2 < — 2о| < Их как сумма двух аналитических функций, соответ-
ствующих правильной и главной частям;

•	вне замкнутого кольца В) < |г — го| < 7?1 один из рядов -
либо правильной, либо главной части расходится. Таким образом,
вне замкнутого кольца 7? 2 <	— го | < 7?1 ряд Лорана расходится

(как сумма сходящегося и расходящегося рядов);

•	в любом меньшем кольце В'2 < | г — го | < В!г, В'2 > В^, В'х < Их
ряд Лорана сходится равномерно.

Подводя итог, подчеркнем, что область сходимости ряда Лора-
на - некоторое кольцо, которое можно нарисовать, найдя области
сходимости его главной и правильной частей. Попутно следует за-
метить, что может оказаться, что область сходимости ряда Лорана
отсутствует (при 7? 2 > Вх), вырождается во внешность некоторого
круга (при Их = оо), вырождается во всю комплексную плоскость
без одной точки (при Их = оо, В<2 = 0).

Примеры.

1.	Рассмотрим ряд

Это - ряд Лорана, у которого имеется только главная часть. Найти
его область сходимости можно с помощью радикального признака
Коши

I = Пт

Отсюда следует, что область сходимости этого ряда \г + г| > 2 -
внешность круга с центром в точке го = — г и радиусом К = 2.

2.	Рассмотрим ряд
Правильная и главная части ряда Лорана представлены рядами

3™

и

Используя формулу Коши - Адамара, нетрудно проверить, что
ряд для правильной части сходится в круге |г| < 3, в то время как
ряд для главной части сходится во внешности круга |г| > 2. Отсю-
да получаем, что рассматриваемый ряд Лорана сходится в кольце
2 < |г| < 3.

3.3.2.	Теоремы о разложении в ряд Лорана

Теорема 3.8 (теорема Лорана, существование). Если функция
/(г) аналитическая в кольце Т = {7? 2 <	— го | < 7?1}, то она разло-
жима в этом кольце в ряд Лорана, /(г) =	сп(2 — 2о)п, причем

коэффициенты сп можно вычислить по формуле

” - 27Г. у (е _ го)п+1, п - 0, ±1, ±2,... ,	(3.15)

где С - произвольная окружность, проходимая в положительном
направлении, с центром в точке %$, целиком лежащая в кольце Т.

Доказательство.

Шаг 1. Возьмем произвольную точку г внутри кольца Т. Постро-
им две окружности: С\ :	— го| = В!г и С2 |^ — го| = 7^ с центром

в точке го и радиусами и К2, так, чтобы

Т?2 < Л2 < |г — го| < 7?^ <

Применим к кольцу К'2 < | г — го | < В!г формулу Коши (это можно
сделать, так как /(г) в этом кольце аналитична и сама формула
Коши применима для многосвязных областей). Получим

2лг у — г 2/кг ,]	— г
Рис. 3.5. К доказательству теоремы Лорана. Кольцо Т и контуры интегри-
рования, используемые при доказательстве

Здесь знаки “+” и ” над контуром интегрирования означают, со-
ответственно, положительное и отрицательное направления обхода.

Шаг 2 (разложение функции /1(г)). Обозначим

€ -

На окружности С\ :	— го| = значение А не зависит от при-

чем выполняется неравенство А < 1. Поэтому, используя формулу
суммы бесконечной геометрической прогрессии, можно записать:

1

€ -	- (^ - ^о)	€ -

По теореме Вейерштрасса этот ряд равномерно сходится на С\ (ма-
жорантный ряд |^Д0| 122= о ФункЦия /(€) аналитическая в за-
данном кольце Т, следовательно, она непрерывна и ее модуль огра-
ничен на контуре Ст, целиком принадлежащем кольцу Т. Поэтому
сп(г - г0)п,

С?

данный ряд можно умножить на /(^) и почленно проинтегрировать
по Ст. Получим

/11» =

где

1

Сп ~ 2» 7	- 2о)п+1 ’	•

Шаг 3 (разложение функции /Ж)). Обозначим

№

С -

г - г0

На окружности С2 : |С — ^о| = ^2 значение В не зависит от
причем выполняется неравенство В < 1. Поэтому можно снова
разложить, используя формулу суммы бесконечной геометрической
прогрессии:

1

1 1

- г0 - (г - г0) г - г0

€-г0
г —20

По теореме Вейерштрасса этот ряд сходится равномерно на С2 (ма-
жорантный ряд	Домножим этот ряд на /(^) и про-

интегрируем почленно по С2 по

ми

2?П ВВ (2 ~ 2о)к+1
°с2-

<Х-

Обозначим п = к + 1. Тогда можно записать

/2(2) = У~^с_га(2 - 20) ”,
где введено обозначение

= ~ А / ««« -	* = А /	"«

Шаг 4- Подынтегральные функции в выражениях для сп и с_п
аналитичны в кольце Т. Поэтому в силу теоремы Коши значения
соответствующих интегралов не изменятся при деформации (непре-
рывной!) контуров интегрирования С\ и С2 в кольце Т. Это позво-
ляет записать общее выражение

1 [ лем
2717 У (С -	+ 1 ’

п = 0, ±1,±2,... ,

где С - произвольная окружность, проходимая в положительном на-
правлении, с центром в точке го, целиком лежащая в кольце Т. Окон-
чательно для /(г) получаем

/(г) = ЛО) + А0) =

=	- Ж" + ^2с-п(г - 2°) п = 52 сп(2-2о)п-

п=0	п=1	п= — сю

Так как г - произвольная точка кольца Т, ряд сходится к /(г) всюду
внутри данного кольца. Теорема доказана. 

Теорема 3.9 (теорема Лорана, единственность). Если функция
/(г) является аналитической в кольце Т = {7?2 <	— го | < 7?1}, то

ее разложение в ряд Лорана /(г) =	сп(г — го)п единственно,

причем коэффициенты разложения определяются формулами (3.15).

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Пусть Сп - окружность радиусом К с центром в точке
го, М - целое число. Тогда

20)М 1

Сн

<7г =

О,
2ттг,

М^О;
М = 0,

(3.16)
где окружность Сц проходится в положительном направлении.

Доказательство леммы. Вводя параметризацию г = го -\-Кег(р,
О < ср < 2тт, получаем:

Сн

27Г

м~г Лг = гПм [ еш*	.

7	I 2ттг,

О

М^О;

М = 0.

Тем самым лемма доказана. 

Доказательство теоремы 3.9. Докажем, что коэффициенты сп
определяются формулами (3.15) однозначно. Пусть имеется другое
разложение функции /(г) в ряд Лорана

Ж> = Е

в том же кольце ЛЧ <	— ^о| < ^1- Выберем окружность С л ради-

усом К, В.2 < К < Вл с центром в точке го- На этой окружности ряд
сходится равномерно, поэтому его можно умножить на (г — го)-п-1
(где п - любое целое число) и проинтегрировать по С к в положи-
тельном направлении. Получим

Г /(г) с/г

У (г — г0)п+1

С'я

(г - ^Г~П~Х

(1%

(3-17)

и по лемме

п 7^ ш;

п = тп.

Таким образом, в правой части равенства (3.17) остается един-
ственное слагаемое. Отсюда имеем

Г /(г) с/г

У и-го)’^1
ся

= 2тт1с'п,

т.е. сп = с'п, что и требовалось доказать. 
Примеры.

1.	Разложим в ряд Лорана функцию /(г) = —--— при го = 1.

г(г — 1)

Представим /(г) в виде суммы простых дробей

1 _ 1 1
г(г — 1) г — 1 г

Первая дробь уже является членом разложения в ряд Лорана. Для
того чтобы выписать разложение второй дроби, можно действовать
двумя способами, получив в результате разложения в двух различ-
ных областях.

Разложение 1. Используем замену гс = г — 1, тогда г = гс + 1, и
формулу суммы геометрической прогрессии

м < !•
п=0

Возвращаясь к исходной переменной г, окончательно получаем:

фЬ) = гт + Е(-1>"+,(-1)“
к 7	п=0

Разложение второго члена справедливо при |г — 1| < 1. Соответ-
ственно весь ряд сходится при 0 < | г — 11 < 1 (это кольцо, у которого
внутренний радиус равен нулю, не путать с кругом). Правильная
часть ряда Лорана состоит из бесконечного числа членов, главная
часть - из одного члена 1/(г — 1).

Разложение 2. Используя ту же замену и' = г — 1, снова приме-
ним формулу суммы геометрической прогрессии, но выделив знаме-
натель 1/гс:

Возвращаясь к исходной переменной г, окончательно получаем:

— 2

Е (-1Г(г-ф.

п= — сю

1

Ф - 1)
Ряд сходится при |г — 1| > 1 (это кольцо, у которого внутренний
радиус равен 1, а внешний - бесконечности). Правильная часть ряда
Лорана отсутствует, главная часть состоит из бесконечного числа
членов.

Таким образом, мы получили два различных разложения нашей
функции в ряд Лорана. Наличие двух разложений в ряд Лорана для
одной и той же функции не противоречит теореме о единственности
разложения в ряд Лорана, так как эти разложения соответствуют
различным непересекающимся кольцам, в которых раскладываемая
функция аналитична.

2.	Разложим в ряд Лорана функцию /(г) = е~~, го = 0. Исполь-
зуем тот факт, что ряд для функции е™ сходится во всей комплексной
плоскости, поэтому для любого г 0 0 имеем

1.11	(-1)п

г 2!г2	п\гп

п=0

Выписанный ряд сходится во всей комплексной плоскости без
точки г = 0. Такую область сходимости можно интерпретировать
как кольцо, у которого внутренний радиус равен нулю, а внешний -
бесконечности. В этом случае ряд Лорана имеет бесконечную глав-
ную часть, а правильная часть представлена единственным членом
1, соответствующим п = 0.

Напомним следующее определение:

I Проколотой окрестностью точки го называется окрест-

| ность точки го без самой точки го.

Примером проколотой окрестности точки го является множество
Рд = ^к\{^о}5 где ~ круг радиусом К с центром в точке го.
Множество Вц можно интерпретировать как кольцо с внутренним
радиусом, равным нулю. Если некоторая функция /(г) является ана-
литической в по теоремам 3.8 и 3.9 существует единственное
разложение функции /(г) в ряд Лорана в Вц. В дальнейшем мы
будем называть такое разложение разложением в ряд Лорана в
окрестности точки го.
3.3.3.	Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной

точки

Ряд вида 522=-эс спгп, сходящийся во внешности некоторого
круга г < |г| < оо, называется рядом Лорана в окрест-
ности бесконечно удаленной точки. При этом глав-
ной частью ряда Лорана в окрестности го = оо называется
52X1 сп^п, а правильной - 52°=-оо сп^п-

Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной
точки функции /(г), которая аналитична во внешности некоторого
круга, существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно
сделать замену переменной ^ = |, провести разложение функции
/(|) в ряд Лорана в окрестности точки = 0 (это разложение
существует по теореме Лорана), а затем вернуться к исходной пе-
ременной. Так удобно действовать и на практике, когда требуется
построить разложение в окрестности бесконечно удаленной точки.

Выпишем в явном виде коэффициенты сп разложения /(г) в
окрестности бесконечно удаленной точки. Пусть это разложение име-
ет вид

/оо = 52 ,:т:-

Умножим обе части этого равенства на г-п-1 и проинтегрируем в
положительном направлении по окружности С#, такой, что вне ее
функция /(г) уже не имеет конечных особых точек. Получим

По лемме к теореме 3.9

/ т—п— 1

О,
2тгг,

п = т.

б/г =

п 7^ ш;
В результате получаем формулу, аналогичную (3.15)

27П 7 гт+х ’	’	’	’

с+

Пример. Разложим в ряд Лорана в окрестности бесконечно уда-

ленной точки функцию /(г) = ——тт. Сделаем замену = 1/г
— 4)

и разложим получившееся выражение, используя формулу суммы
геометрической прогрессии, справедливую при |^| < 1/2:

оо	оо

_______ —	\^(Лр2\п — Х'' дп -(2п+3)

_ 4) - ! _ 4€2 - * 2^ ) - 2^4

'	}	п=0	п=0

Ряд сходится при 2 < |г| < оо и состоит только из правильной части.

3.4. Изолированные особые точки
аналитической функции

3.4.1.	Понятие изолированной особой точки

Точка 'о / оо называется изолированной особой точкой
функции /(г), если существует такая проколотая окрестность
точки го, 0 < |г — го | < р, что:

•	функция /(г) является аналитической в этой проколотой
окрестности;

•	точка го является особой для функции /(г).

Другими словами, в некоторой окрестности особой точки го функ-
ции /(г) не должно быть других особых точек этой функции.

Примеры.

1.	Функция /(г) = 1/г, очевидно, является аналитической при
г / 0. Точка го = 0 является изолированной особой точкой этой
функции (она, вообще, единственная, ни в какой проколотой окрест-
ности го = 0 нет других особых точек).
2.	Рассмотрим функцию

л*) = Л-

81П -
г

Она имеет особые точки там, где знаменатель обращается в нуль,
т.е. при = 1/(тгп), п = ±1; ±2;.... Каждая из этих особых точек
является изолированной. Имеется также особая точка г = О (там,
где знаменатель не определен). В любой ее окрестности имеется бес-
конечно много особых точек гп. Соответственно г = 0 - неизолиро-
ванная, особая точка.

3.	Для функции

М = 7?

точка го = 0 не попадает под определение изолированной особой
точки в нашем понимании, так как функция /(г) не является одно-
значной. Если мы зафиксируем одну из двух ветвей функции у^,
задав ее для точки г = рег<^, скажем, условием

то такая функция станет однозначной. При этом она не будет да-
же непрерывной в любой проколотой окрестности точки го, так как
рег7Г = ре-г7Г = — р, но

4; = Л/^) Л/^) = -4?

\/Я	,/рг

Такой тип особых точек называется точками ветвления и в нашу
классификацию не попадает.

Как указывалось выше, проколотую окрестность 0 < |г — го | < р
можно интерпретировать как кольцо с внутренним радиусом, рав-
ным нулю. По теореме Лорана (теорема 3.8) аналитическую в этой
проколотой окрестности функцию /(г) можно разложить в ряд Ло-
рана (это разложение, как уже указывалось, называется “разложе-
нием вблизи особой точки го”)

/о)= 52 с,у-^о)п.
Очевидно, что если из ряда Лорана выкинуть главную часть, функ-
ция, представленная рядом правильной части, “хорошо” себя ведет
не только при 0 < |г— го| < р, но и в точке г = го. Ее значение в точке
г = го равно со, и эта функция аналитична во всем круге |г — го| < р-
Таким образом, “особенное” поведение функции в точке г = го опре-
деляется главной частью ряда Лорана. Далее мы рассмотрим три
случая, когда главная часть ряда Лорана отсутствует, имеет ко-
нечное число членов и имеет бесконечное число членов.

3-4-2- Устранимая особая точка

Если главная часть ряда Лорана с центром разложения в осо-
бой точке го отсутствует, то го называется устранимой осо-
бой точкой.

Теорема 3.10. Изолированная особая точка го функции /(г) яв-
ляется устранимой тогда и только тогда, когда /(г) ограничена в
некоторой проколотой окрестности точки го, 0 < |г — го| < г, т.е.
ЭМ, г, |/(г)| < М при 0 < |г — го| < г.

Доказательство.

Необходимость. Функция /(г) является аналитической в некото-
рой проколотой окрестности 0 < | г — го | < р (это следует из определе-
ния изолированной особой точки). Если главная часть ряда Лорана
функции /(г) отсутствует, то

/0) = ^сп(г-го)п.	(3.18)

п=0

Соответственно, функцию /(г) можно доопределить по непрерывно-
сти в самой точке го: 1ппг^~0 /(г) = со. Из разложения (3.18) следует,
что в некоторой замкнутой окрестности |г —	< г, г < р доопреде-

ленная таким образом функция /(г) является аналитической, сле-
довательно, непрерывной, а значит и ограниченной, т.е. существует
М, такое, что |/(г) | < М при |г — го | < г. Тем самым необходимость
доказана.
Достаточность. Разложим /(г) в ряд Лорана и рассмотрим вы-
ражение для коэффициентов главной части (см. теорему 3.8)

с-п = ^- [/(€)(€ - ^о)”"1 п > о,
27П 7

где Са - некоторая окружность с центром в точке го и радиусом а,
целиком лежащая в проколотой окрестности 0 < |г — го| < р (там,
где функция аналитична). Сделаем замену — го = аег<^, = гаё1^.
Тогда

|с-п|= I /(€)(€-^о)""1^ <

У |Ж +ае^)|	|ае^|	< апМ.

Но значение а может быть взято сколь угодно малым, следователь-
но, при любом п > 0 коэффициенты с_п = 0, что и требовалось
доказать. 

Замечание. При доказательстве необходимости мы увидели, что
если изолированная особая точка го функции /(г) - устранимая, то
существует конечный предел

с0 = Пт /(г).

(3.19)

2^20

Очевидно, обратное утверждение тоже справедливо: если го - изоли-
рованная особая точка функции /(г), и существует конечный предел
(3.19), в некоторой проколотой окрестности точки го функция /(г)
ограничена и по теореме 3.10 точка го является устранимой. Это ука-
зывает на практический путь доказательства того, что го - устрани-
мая особая точка. Необходимо вычислить предел 1ппг^~0 /(г). Если
этот предел существует и конечен, то изолированная особая точка
функции /(г) является устранимой.

Пример. Функция
имеет устранимую особую точку г = 0. Действительно, запишем раз-
ложение в ряд для нашей функции

1 ул (-1)пг2п+1 г2 г4
(2п + 1)! = “ ЗГ + 5!

У полученного разложения нет главной части. Функцию /(г) можно
доопределить по непрерывности значением /(0) = 1. Доопределен-
ная функция является аналитической во всей комплексной плоско-
сти. В любой замкнутой окрестности нуля эта функция является
ограниченной.

3-4-3- Особая точка типа полюс

Если главная часть ряда Лорана с центром разложения в изо-
лированной особой точке го содержит лишь конечное (но нену-
левое) число членов, то такая точка называется полюсом. По-
рядком полюса называется такое наибольшее положительное
П, ЧТО С_п отлично от нуля.

Пример. Функция

имеет в нуле полюс порядка 2. Действительно, разложение в ряд
Лорана для /(г) при го = 0 совпадает с самой функцией, правильная
часть отсутствует, ас~1 = —1 и с~2 = 1.

Теорема 3.11. Изолированная особая точка го функции /(г) яв-
ляется полюсом тогда и только тогда, когда	|/(г) | = оо (неза-

висимо от способа стремления к го/ При этом в некоторой окрест-
ности го справедливо представление

/0) =	,	(3.20)

7	(г-20)т	У 7

где 0(г) - функция, аналитическая в некоторой (не проколотой!)
окрестности точки го,' тп - порядок полюса.
Доказательство.

Необходимость. Пусть особая точка го является полюсом поряд-
ка т. Так как особая точка го является изолированной, функция
/(г) является аналитической в некоторой проколотой окрестности
О < |г — го| < Р- В окрестности точки го по определению полюса
порядка т можно записать

Ж> = Сп(г-го)п =

п=—тп

= (г- г0)“т Е - ^о)п = (^ - ^оГтф),
п=0

причем для 0(г) справедливо разложение

Ф(х) = с_т + с_т+1(г - г0) + с_т+2(г - г0)2 + ... .

Этот ряд сходится во всей (а не только проколотой!) окрестности
О < |г — го| < р, значит, </>(г) - аналитическая (а следовательно, и
непрерывная) функция при 0 < |г — го | < р- Кроме того, имеем
^)(г0) = с_т 0. Но тогда

Пт |/(г) | = Пт	—- =

71	|(г-г0)т|

что и требовалось доказать.

Достаточность. Если 1ппг^го |/(г)| = оо, то \Л4 > 0 Зе, такое,
что при любом г из проколотой окрестности 0 < | г — го | < е выпол-
няется соотношение |/(г) | > А. Возьмем (например) А = 1 и зафик-
сируем соответствующее ему е. Выберем г = тт{р, е}. Тогда функ-
ция р(г) = дту ограничена и аналитична в проколотой окрестности
0 < |г — го| < г точки го- Следовательно, по теореме 3.10 го является
для нее устранимой особой точкой. Более того, 1ппг^~0 р(г) = 0, зна-
чит, р(г) можно доопределить в точке го нулем. Для доопределенной
таким образом функции р(г) существует такое натуральное число т
и аналитическая при |г — го | < г функция Р1(г), что

5(г) = (г - г0)тр1(г),	51(го)^О
(см. подразд. 3.2.1). Тогда

/7г) = 1 = .
ф) (г - г0)тР1 (г)	(г - г0)т

При этом функция ф(г) является аналитической в |г — го| < г и
</>(г0) 7^ 0- Разлагая ффФ) в ряд Тейлора (это можно сделать в силу
аналитичности), получаем:

- го)п;

п=0

/<Л) = 7--- ш + 7------\т-1 + • • • + Сп+т(^ - ^о)П,

(г-г0)т	(^-^о)т 1

что и требовалось доказать. 

Замечание. Как следует из доказательства теоремы 3.11, в неко-
торой окрестности полюса го порядка т функция /(г) представима
в виде

(г - 20)т’

причем ф(%о) ф 0. Тогда функция имеет в точке го нуль т-го
порядка. Отсюда следует рецепт определения порядка полюса: по-
рядок полюса го для функции /(г) совпадает с порядком нуля го для
функции утру Как посчитать порядок нуля, написано в подразделе
3.2.1.

Замечание. Справедливо и более общее утверждение (предла-
гается доказать самостоятельно). Пусть функция /(г) представима
в виде

причем функция ср (г) имеет в точке го нуль порядка а функция
^(г) имеет в точке го нуль порядка Ш2, причем > ггц. Тогда /(г)
имеет в точке го полюс порядка — ггц.
Пример. Рассмотрим функцию

ж> =

1 — ей г

Нетрудно проверить, что функция </?(г) = 1 — сйг имеет в точке
го = 0 нуль второго порядка, а функция ^(г) = г3 имеет, очевидно,
в точке го = 0 нуль третьего порядка. Таким образом, функция /(г)
имеет в точке го = 0 полюс порядка 3 — 2 = 1.

Пример. Для уже рассмотренной функции

/ы =

точка го = 0 не является полюсом, несмотря на то, что при любом
выборе ветви функции у/г получаем 1пп~^о /(г) = сю. Как уже го-
ворилось выше, такой тип особых точек называется точками ветв-
ления и в нашу классификацию не попадает.

3-4-4- Существенно особая точка

Если главная часть ряда Лорана с центром разложения в осо-
бой точке го содержит бесконечное число членов, то точка го
называется существенно особой точкой функции /(г).

Пример. Функция

/И =

имеет существенно особую точку г = 0. Действительно, в силу того,
что ряд для экспоненты сходится во всей комплексной плоскости (см.
стандартные разложения подразд. 3.1.2), можно записать

е

=

Правильная часть представлена только одним членом с со = 1, в то
время как главная часть содержит бесконечное число членов.
Если изолированная особая точка го является существенно осо-
бой для функции /(г) , то предел 1ппг^~0 /(г) не существует. Это
следует из приведенной ниже теоремы (теорема Сохоцкого - Вейер-
штрасса)1.

Теорема 3.12 (теорема Сохоцкого - Вейерштрасса). Если го -
существенно особая точка функции /(г), то для любого комплексно-
го числа А (в том числе и Л = х) существует последовательность
точек гп го, такая, что /(гп) А при п оо.

Доказательство.

Во-первых, существует последовательность гп го, такая, что
/(гп) ~> сю при п оо. Если бы это было не так, то |/(г)| был огра-
ничен в некоторой проколотой окрестности точки го. В соответствии
с теоремой 3.10 это бы означало, что го - устранимая особая точка.

Во-вторых, для любого конечного числа А имеется одна из двух
возможностей:

а)	в любой проколотой окрестности точки го имеется точка г,
такая, что /(г) = А;

б)	существует какая-то проколотая окрестность 17 точки го, в
которой /(г) не принимает значения А.

Если реализуется возможность а, то теорема доказана. Действи-
тельно, последовательность г& можно выбрать, построив систему
вложенных окрестностей точки го, сжимающихся к самой точке го
(например, 0 < \г — го| < к = 1, 2,...) и взяв в каждой из этих
окрестностей соответствующую точку, такую, что /(г^) = А. Если
реализуется возможность б, перейдем к рассмотрению функции

5(г) = /(г)-А'

В-третьих, функция р(г) является аналитической в этой про-
колотой окрестности 17. Точка го не является для р(г) ни полюсом,

1 Сохоцкий, Юлиан Васильевич (1842 - 1927) - русский математик.
Теорема была доказана независимо Ю.В. Сохоцким и К. Вейерштрассом,
причем работа Сохоцкого была опубликована за 8 лет до появления рабо-
ты Вейерштрасса.
ни устранимой особой точкой, так как в каждом из этих случаев
существовал бы конечный или бесконечный предел

Пт /(г) = Пт

Таким образом, го является существенно особой точкой для д(г).
Тогда (см. выше) имеется последовательность г^ —> го, такая, что
д(г/с) —> оо. Но для этой последовательности имеем

1Ш1 /Ой) =

Пт А +

Л -х \

1

9^к)

Что касается возможностей а и б в доказательстве теоремы 3.12, оказы-
вается справедливым и более сильное утверждение, называемое “большой
теоремой Пикара”:

Теорема (Э.Пикар, 1880). Если го - существенно особая точка
функции /(г), то для каждого А оо, за исключением, быть может,
одного исключительного значения А = Ао, существует такая последо-
вательность точек го, п оо, что ф(гп) = А.

Это означает, что для “подавляющего большинства” значений А реали-
зуется именно возможность а.

Схематически классификация особых точек функции комплекс-
ной переменной представлена на рис.3.6.

Замечание. Пусть го является изолированной особой точкой
функции /(г). Рассмотрим предел 1ппг^~0 /(г). Имеются следующие
возможности:

•	этот предел конечен. Тогда мы можем заключить, что го -
устранимая особая точка функции /(г), см. подразд. 3.4.2;

•	этот предел бесконечен. Тогда мы можем заключить, что го -
полюс функции /(г), см. подраздел 3.4.3. При этом будет конечен
предел

Пт /(г)(г - г0)т,
2^20

где т - порядок полюса;
Особые точки

Неизолированная
особая точка^^

Пример: 2 - О,

ЛУ= —Ц-

8Ш —

Точка ветвления.

Пример: 2 = 0,
?(х)= ^1/2

Пример: 2 = 0,



81П 2

2

Устранимая
особая точка.

Изолированная особая точка

Существенно
особая точка.

Пример: 2 = 0,
/&= е~

Полюс.

Пример: 2 = О,

Рис. 3.6. Типы особых точек функции комплексной переменной

•	этого предела не существует. Тогда методом исключения можем
констатировать, что го - существенно особая точка функции /(г).

Доказывать несуществование предела функции /(г) при г —> го
можно разными способами. Например, достаточно указать хотя бы
одну кривую, проходящую через го, такую, что /(г) не имеет предела
при приближении к го вдоль этой кривой. Можно также указать две
кривые, проходящие через го, такие, что пределы /(г) при г —> го
вдоль этих кривых различны.

Табл. 3.1 представляет собой резюме сформулированных выше
утверждений. Следует заметить, что приведенная классификация
применима только к изолированным особым точкам. В неизолиро-
ванной особой точке, а также в точке ветвления разложение в ряд
Лорана вообще невозможно, поэтому эти точки не относятся ни к
одному из рассмотренных типов.
Таблица 3.1

Типы особых точек и поведение функции вблизи них

Тип  особой точки	Пт /(г)	Главная часть ряда Лорана
Устранимая особая точка	Конечен	Отсутствует
Полюс порядка т	Бесконечен, но  Э Пт /(г)(г - г0)т	Содержит не более т членов
Существенно особая точка	Единого предела не существует	Содержит бесконечное число  членов

3-4-5. Особенность в бесконечно удаленной точке

Точка г = оо является изолированной особой точкой функции
/(г), если существует К, такое, что /(г) не имеет особых точек
при \г\ > К.

Для определения типа особой точки г = оо используем преобра-
зование г = Это преобразование переводит точку г = оо в = 0.
Будем считать, что тип особой точки функции /(г), г = оо совпадает
с типом особой точки функции /(|) при = 0. Тогда оказывается,
что наша классификация применима и к точке г = оо, с той разни-
цей, что, как мы знаем, главная и правильная части разложения при
г = оо меняются местами.

3-4-6- Определение типов особых точек: примеры

1.	Классифицируем особые точки функции

=	( 1 Л2-

— г)2
Очевидно, что /(г) - аналитическая всюду, кроме точек г = 0 и
г = г. Функция р(г) = дту = г(г — г)2 имеет о = О нулем первого
порядка и г = г нулем второго порядка. Отсюда следует, что г = 0 и
г = г являются для /(г) соответственно полюсами первого и второго
порядка.

Отдельно следует рассмотреть особую точку г = оо. Так как су-
ществует предел

Пт /(г) = Пт 1	= О,

то точка о = ос является устранимой особой точкой функции /(г).

2.	Классифицируем особые точки функции

р/ \	•	1

Дг) = % 8ш

Функция /(г) является аналитической всюду, кроме точки г = 0. За-
пишем для /(г) разложение в ряд, справедливое во всей комплексной
плоскости, кроме точки г = 0

п= — сю 4	7

Очевидно, оно содержит бесконечное число отрицательных степеней
г, следовательно, г = 0 - суищественно особая точка. Отдельно сле-
дует рассмотреть особую точку г = оо. Сделаем замену г = |, тогда
Л|) = при г —> оо имеем —> 0, и так как существует предел

Пт ——- = 1,
е-о е

то г = оо является для /(г) устранимой особой точкой.

3.	Классифицируем особые точки функции

А
“------•

8ш г

Функция /(г) имеет особенности в точках, где знаменатель обра-
щается в нуль, т.е. г/с = тг&, к - целое. Сразу заметим, что существует
предел

д'И = (

Пт---- = 1,

зт г

поэтому при к = 0 особая точка г = 0 - устранимая. Для исследова-
ния остальных особых точек рассмотрим функцию

ч 1	81п г

/О) г

Выясним порядок нулей А; Д 0. Возьмем производную

)/

г соз г — 8ш г

г1

При к Д 0 имеем

У(^) = д'(пк) = Д-Н 0,

ттк

следовательно, г^ = тгк, при к Д 0 являются нулями функции р(г)
первого порядка. Таким образом, они же являются полюсами пер-
вого порядка функции /(г). Последовательность г^ неограничена,
следовательно, во внешности любого, сколь угодно большого, круга
содержится бесконечно много особых точек г^. Отсюда следует, что
г = оо является неизолированной особой точкой функции /(г).

3.5.	Вычеты

3.5.1.	Понятие вычета аналитической функции
в изолированной особой точке

Вычетом функции /(г) в изолированной особой точке го на-
зывается число

Кез /(г) = Д //(€) <%,

2тгг у

с

где интеграл берется в положительном направлении по любой
окружности С, охватывающей точку го и целиком лежащей в
той проколотой окрестности точки го, где /(г) аналитична.
Очевидно, что значение вычета не изменится, если контур инте-
грирования (окружность С) деформировать (но деформация долж-
на быть непрерывной!).

Что такое вычет, знал уже Гаусс (самое начало XIX в.). Однако широ-
кое использование этого понятия в математической литературе началось
со времен Коши, который и создал теорию вычетов в 20-х гг. XIX в. Для
обозначения вычета функции /(г) в точке го в настоящее время исполь-
зуются и другие виды записи: Вез [/(г);го] и Кез/(го). В русскоязычной
литературе встречается также обозначение Выч[/(г);го].

Вспомним формулу коэффициента ряда Лорана для разложения
функции /(г) в особой точке го

1 Г Ж) _п ,9	,,9П

Сп ~ 2ттг У (е - г0)”+1 ’ П ~ °’	’ ’'''	(3’21)

С

(С - произвольная окружность, проходимая в положительном на-
правлении, с центром в точке го, целиком лежащая в проколотой
окрестности го, где /(г) аналитична). Очевидно, что

Вез /(г) = С-1.

Последняя формула может считаться альтернативным определени-
ем вычета.

3.5.2.	Формулы для вычисления вычетов

Метод вычисления вычета определяется типом особой точки. Ука-
жем эти методы для всех трех типов особых точек: устранимой осо-
бой точки, полюса и существенно особой точки.

1.	Пусть го - конечная устранимая особая точка функции /(г),
го оо. Тогда главная часть ряда Лорана разложения /(г) в точке
го отсутствует и, следовательно,

Вез /(г) = С-1 = 0.

Таким образом,вычет функции в конечной устранимой особой точ-
ке равен нулю.
2.	Пусть го - полюс первого порядка функции /(г), го сю. Раз-
ложим функцию /(г) в точке го в ряд Лорана

/(л) =	1 + V с„(г - г0)п.

2~2°	п=0

Умножим обе части последнего равенства на (г — го) и возьмем пре-
дел при г —> го- Очевидно, получим

Пт /(г)(г - г0) = Пт с~1 + сп~1(г - г0)п = с~1.
2^20 \	'	/

\	П=1	/

Таким образом, получаем формулу вычисления вычета в полюсе
первого порядка:

Кез /(г) = Пт /(г)(г - г0)
2 — 2о	2—>2о

Имеется вариант этой формулы, если функция представима в ви-
де частного двух функций, аналитических в некоторой окрестности
точки го

п } У(?У

причем </?(го) 7^ 0, а имеет в точке го нуль первого порядка

Кез /(г) = Пт /(г)(г - г0) = Нт	211' =

НС) = У^о)

(при преобразовании знаменателя мы учли, что ^(^о) = 0)- Итак,

Кез /(г) =

2 = 20

Н^о)

#(Ло)
3.	Пусть го - полюс т-го порядка, т > 2 функции /(г), го сю.
В этом случае

/(л) = 7---+ 7----------—Ш-1 + • • • -----—Ь	сп(г - г0)п.

(г - г0)т (г - г0)т 1	г - г°

Умножим обе части последнего равенства на (г — го)ш

/(г)(г - г0)т = с_т + с_(т_1)(г - г0) + ... +

+ С-1(г — го) + со(г — го)т + С1(г — го)т+1 + ... .

Продифференцируем полученное выражение т—1 раз по г, при этом
пропадут все степени (г — го), меньшие т — 1. Получим

^т-1	“ го)т} = (ш - 1)! с-1 + т\ с0(г - г0) +

+ (т + 1) • т • (т — 1)... 4 • 3 • С1(г — го)2 +

+ (т + 2) • (т + 1) • т ... 5 • 4 • С2(г — го)3 + ... .

Перейдем к пределу при г —> го и разделим обе части равенства
на (т — 1)!, после чего в правой части равенства останется только
с-1. Окончательно получим

Кез /(г) = —Ц- Пт	~

2 = 20	(Ш — 1)! 2^20 агт 1

4.	Если го - существенно особая точка функции /(г), то хорошего
рецепта нахождения вычета в этой точке нет. Необходимо или запи-
сать разложение функции в ряд Лорана и взять коэффициент при
(г — го)-1, или посчитать вычет по определению.

Примеры.

1.	Найдем вычеты во всех особых точках функции

~ 2т(г + 1)’
Точка г = 0 - полюс т-го порядка. Вычет находится по стандартной
формуле

х 1	, лт~х г 1 1

2=о	(гп — 1)! 2—>о	1 Цг + 1) ]

= —Ц-у • (-1) • (-2) • • • • • (1 - т) = (-1)™

(гп — 1)!

Точка г = — 1 - полюс первого порядка.

ж = Иг) = ^; ^(г) = г+1;

Кез /(г) =	= —	= (-1

г=-1	#(г) г=-1 гт г=-1

2.	Найдем вычеты во всех особых точках функции

Особые точки этой функции - решения уравнения гп = 1

2тт7ег	.	.

г/с = е п ; к = 0,1,..., (п — 1).

Все они являются нулями первого порядка знаменателя. Для того
чтобы убедиться в этом, возьмем производную знаменателя и под-
ставим в нее значения 27,.:

(г” - 1)1=гь = пг”-1 ф 0, к = 0,1,..., (п - 1).

Для функции /(г) значения 27. являются полюсами первого порядка.
Поэтому

Кез /(г) =

2 = 2^

п— 1
к

2—п
к

П

Ответ можно упростить, учитывая тот факт, что %% = 1. Получаем

г2
Кез /(г) = —

2 = 2/с	П

1 4тт7ег
= — е п .

п
3.	Найдем вычеты во всех особых точках функции

А
“------•

81п г

Особыми точками /(г) являются нули знаменателя = тгк, к Е X.
Среди них выделяется го = О, соответствующая к = 0. Эта точка
является устранимой. Поэтому

Кез/(г) = 0.

2 = 0

Остальные особые точки являются полюсами первого порядка. Ис-
пользуя формулу для вычета в полюсе первого порядка, имеем:

Еез /(г) =	= (—

СО8 7Г/С

4.	Найдем вычет в особой точке г = 0 функции

Л-0 = е“1/г.

Разложив в ряд Лорана функцию /(г) в точке г = 0

-1/2	.	1	1	1

г 2!г2	З!г3	’

убедимся, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечно мно-
го членов, т.е. г = 0 является существенно особой точкой. Коэффи-
циент при г-1 в этом ряде равен —1, следовательно,

Кез/(г) = -1.

2 = 0

5.	Найдем вычет в особой точке г = 0 функции

X	/	1

У(г) = СО8 I СО8 -

Эта точка является существенно особой. Действительно, если г —> 0
вдоль действительной оси, г = х, то Птж^о со8(со8 -) не существует.
Непосредственное разложение /(г) в ряд Лорана трудно осуществи-
мо. Вместе с тем нетрудно сообразить, что

Кез/(г) = 0.

2 = 0
Пусть разложение /(г) в ряд Лорана имеет вид

/(^) = . . . Н-Ту-1---Ь Со + С\% + С2^2 + ... .

г2 г

Так как /(г) - четная функция, то

Ж) = /Ж) = • •  +	- — + Со - С1г + с2г2 + ... .

г2 г

Приравнивая коэффициенты этих двух разложений, заключаем, что

С-1 = — С-1 = 0.

3.5.3. Основная теорема теории вычетов

Важность понятия вычета определяется следующей теоремой.

Теорема 3.13 (основная теорема теории вычетов, или первая
теорема о вычетах). Пусть /(г) - функция, аналитическая в области
С, за исключением конечного числа изолированных особых точек,
^1,^2,...,^, лежащих в С. Тогда

ТУ

/(€)	= 2тп Не8 Ж)

Доказательство. Обведем каждую из изолированных особых то-
чек гп контуром 7П (рис.3.7). В многосвязной области, ограниченной
дС и контурами уп, функция /(г) является аналитической. По тео-
реме Коши для многосвязной области

/ ЖМ + Е [ ЖМ = о,
ас+ "Ж,.

где как обычно “+” означает интегрирование по контуру против ча-
совой стрелки, а - по часовой стрелке. Перенеся второе слагаемое
в правую часть, поменяв направление обхода контуров уп и вспоми-
ная определение вычета, получаем желаемое утверждение. 
Рис. 3.7. К доказательству основной теоремы о вычетах

В некоторых изданиях эта теорема называется “теоремой Коши о выче-
тах”, что можно считать данью традиции. В настоящее время известно,
что еще до Коши эту теорему знал Гаусс, называя ее “золотой теоремой”.

3.5-4- Вычет в бесконечно удаленной точке

Пусть го = оо - изолированная особая точка аналитической функ-

ции /(г).

Вычетом функции /(г) в изолированной особой точке
го = оо называется число

Кез /(г) =	<%,

2=00	2тгг у

где интеграл берется в отрицательном направлении по произ-
вольному замкнутому контуру С, вне которого /(г) не имеет
особых точек (кроме г = оо).

Используя формулу из подразд. 3.3.3 для коэффициентов ряда
Лорана разложения функции в г = оо

од* п_а±1±2.................

27П 7 гп+х ’	’	’	’	’

с+

заключаем, что

Кез /(г) = —С-1.

г=ое

Таким образом, имеется важное отличие: если особая точка го
является конечной точкой комплексной плоскости, вычет в этой осо-
бой точке равен коэффициенту с_± из разложения в ряд Лорана; в
случае точки го = оо вычет равен коэффициенту с_х разложения в
ряд Лорана, взятому с противоположным знаком.

Замечание. Если го = оо является устранимой особой точкой,
вычет в ней не обязан равняться нулю.

Пример. Функция /(г) = | имеет устранимую особую точку
го = оо, так как

Пт - = 0.

Но | совпадает со своим лорановским разложением при го = оо,
состоящим из единственного члена. Соответственно

Еез /(г) = — С-1 = —1^0.

Теорема 3.14 (вторая теорема о вычетах). Пусть /(г) - анали-
тическая функция во всей комплексной плоскости, за исключением
изолированных особых точек гх, г2,..., гуу-1 и изолированной особой
точки гуу = оо. Тогда

ТУ

Е Кез /(г) = 0.

П=1

Доказательство. Рассмотрим С - произвольный замкнутый кон-
тур, охватывающий все (ТУ — 1) конечных изолированных особых то-
чек гх,..., гуу-1- По основной теореме о вычетах

у- / /(€) < = Е Кез /(г).

2тгг I	х=хп

С+	и-1
Но интеграл слева по определению равен — Везг=оо/(г), следова-
тельно, теорема доказана. 

Первая и вторая теоремы о вычетах позволяют вычислять инте-
гралы по замкнутым контурам от функций, аналитических во всей
плоскости, кроме конечного числа особых точек.

Примеры.

1.	Вычислим интеграл

г

У г2 + г

с+

где контур С представляет собой окружность |г — г\ = 1. Функция
/(г) = имеет две особые точки, полюса первого порядка = г
и ^2 = —У, но только ^1 лежит внутри контура интегрирования. По
первой теореме о вычетах получаем

I = 2тгг • Вез

г=г

= 2тгг •

1

2г

2.	Вычислим интеграл

Ы=з

г (1%.

Особые точки функции /(г) =	- это полюса первого порядка

г =	+ тгА;, к Е X. Только две из них,	и	лежат

внутри контура интегрирования. Поэтому

I = 2тп • ^Вез /(г) + Пез^ /(г)^ =

зт г	зт г

(созг)' ^_тг (созгУ

\	2	\	/ г-

= 2тгг • (—1 + (—1)) = — 4тгг.

3.	Вычислим интеграл

ге1/2 с/г.
Функция /(г) = ге1/2 имеет единственную конечную особую точку
г = 0, причем эта точка лежит внутри контура интегрирования.
Найдем вычет /(г) в этой особой точке. Для этого разложим /(г) в
ряд Лорана, используя стандартное разложение экспоненты:

ге 7 = г

(1 + ^ + 2^ + 3^ + -'-)-г + 1+2^ + 3^+---

Главная часть этого ряда Лорана содержит бесконечное число чле-
нов, следовательно, г = 0 - существенно особая точка. Коэффициент
при г-1 равен значит, Ве8г=о/(^) = Окончательно получаем

I = 2ттгЕе8/(г) = ттг.

2 = 0

4.	Вычислим интеграл

/* г2 + 1

У гюо + ! Л-

\г\=2

Подынтегральная функция /(г) = здесь имеет 100 особых то-
чек, = е( +юо) 5 п = 0,..., 99. Все они являются полюсами первого
порядка и располагаются на единичной окружности, т.е. лежат внут-
ри контура интегрирования. Для вычисления интеграла с помощью
первой теоремы о вычетах нам пришлось бы проделать довольно
неприятную работу - найти вычеты во всех 100 особых точках, их
просуммировать, а затем умножить результат на 2тгг:

99

I = 2тгг 5^ Вее /(г).

2 = 2гг
п=0

Используем вторую теорему о вычетах, которая гласит, что

99

У" В-е8 /(^) = - В-е8 /СД

' г=гп	2=ое

п=0

Найдем вычет /(г) в особой точке г = оо. Разложим /(г) в ряд
Лорана в точке о = ос
/(2) = (22 + 1).

1

(1 + рМ

22 + 1	/	1	1	1	\ _

г100	( 1 ~ гюо + -200 ”1" -ЗОН ~	~

111111

Т98	7100 - -198 “ -200	-298	-300 + ' ' ' '

Из этого разложения ясно, что с_1 = 0 (так как члена, соответству-
ющего г-1, в разложении нет). Отсюда немедленно заключаем, что

I = —2тгг Кез /(г) = 0.

2 = СЮ

3.6. Вычисление действительных интегралов
с помощью вычетов

Часто приходится сталкиваться с ошибочным представлением о том,
что умение считать интегралы “вручную” никому не нужно, так как любой
интеграл можно посчитать с помощью какой-нибудь мощной компьютер-
ной программы. Для того чтобы развеять это заблуждение, предлагается
посчитать с помощью компьютерной программы интеграл, зависящий от
действительных параметров и 99, 0 < 99 < ^:

I—	совшх

]_оо х4 + 2х2 соз 2(^ + 1 Х

Этот интеграл весьма важен для приложений, так как является косинус-
преобразованием Фурье локализованного сигнала, описываемого функцией

х4 + 2х2 соз 299 + 1 ’

Ответ, который выдает для этого интеграла программа Мар1е (использо-
валась версия 8), одна из наиболее распространенных программ аналити-
ческих расчетов, выглядит еще сложнее, чем исходный интеграл. Можно
поэкспериментировать с различными конкретными значениями парамет-
ров а? и 99, но результат почти всегда будет плачевным.
Вместе с тем, используя теорию, изложенную в данном подразделе и
привлекая мощь Мар1е для нудных промежуточных расчетов, интеграл счи-
тается без проблем:

— Xе С°8</? ।-----------------— СО8(|с<Д 8Ш(^) + —— 8111(|ссл| 8Ш(/?)

2	( СО8 (р	811К/9

3.6.1.	Несобственные интегралы
от быстроубывающих функций

При дальнейшем рассмотрении будем считать устранимые осо-
бые точки правильными, доопределяя в них рассматриваемую функ-
цию по непрерывности до аналитической. Соответственно у доопре-
деленной таким образом функции возможны лишь два типа изоли-
рованных особых точек: полюс и существенно особая точка.

Лемма (о быстроубывающих функциях). Пусть /(г) - аналитич-
на в верхней полуплоскости 1т 2 > 0, за исключением некоторого
числа изолированных особых точек, причем существует Ко, такое,
что при \х\ > Ко выполняется оценка

\м\ <	<3-22)

для некоторых М > 0 и 5 > 0. Тогда:

а)	в верхней полуплоскости имеется лишь конечное число особых
точек %п, п = 1,..., И;

б)	/1пп /(€)	= 0, где Сп - полуокружность |г| = К, лежащая

Ся

в верхней полуплоскости.

Доказательство. Заметим, что в силу условия (3.22) вне окруж-
ности |г| = Ко в верхней полуплоскости у функции /(г) нет особых
точек. Действительно, в окрестности полюса и существенно особой
точки модуль функции может принимать сколь угодно большие зна-
чения, а это запрещено условием (3.22) (напомним, что устранимые
особые точки мы считаем правильными, см. выше). Внутри окруж-
ности |г| = /?о в верхней полуплоскости может лежать лишь конеч-
ное число изолированных особых точек. Если бы это было не так,
существовала бы сходящаяся подпоследовательность, состоящая из
особых точек. Предел этой последовательности представлял бы со-
бой неизолированную особую точку, что запрещено условиями лем-
мы. Следовательно, п. а доказан.

Так как при |г| > 7?о в верхней полуплоскости у функции /(г) нет
особых точек, интеграл /($) (1^ корректно определен при любом
К > Ко и

У /(€) < У |/(€)1

С'к	Св

что и доказывает п. б. 

Замечание. Пункт а леммы остается справедливым, если усло-
вие (3.22) заменить более общим условием

1™ |/(г)| = 0.

Теорема 3.15. Пусть /(х) определена на всей действительной
оси -оо < х < оо и существует аналитическое продолжение /(г)
этой функции в верхнюю полуплоскость 1т 2 > 0 комплексной плос-
кости, имеющее там некоторое число изолированных особых точек и
удовлетворяющее условиям леммы. Тогда

/ /(х) (1х = 2тгг Вез /(г), 1т%п > 0,

-Ье	П=1

где ^1,^2,...,^ - особые точки /(г), лежащие в верхней полуплос-
кости (по лемме о быстроубывающих функциях их число конечно).

Доказательство. Пусть К > Ко. Рассмотрим контур Г (рис.3.8),
состоящий из отрезка действительной оси [—7?; К] и полуокружности
С к • {Н = К, 1т г > 0}. По основной теореме теории вычетов

У /(€)	= У /($) Лх + У /(г) <1х = 2-кг Нез /(г).

Г+	-к	Сп	П=1
1т з > О

Рис.3.8. К доказательству теоремы 3.15

Переходя в этом равенстве к пределу при К оо и учитывая то, что
по лемме о быстроубывающих функциях второй интеграл в левой
части стремится к нулю, получаем требуемое равенство. 

Замечание. Если /(х) - четная функция и удовлетворяет усло-
виям теоремы 3.15, то

+?°	ту

/ /(х) (1х = тгг 5^ Кез /(г), 1т гп > 0, п = 1,..., ТУ.

7	“

О

Замечание. Аналогичная теорема справедлива, если существует
аналитическое продолжение /(х) не в верхнюю, а в нижнюю полу-
плоскость. Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.

Примеры.

1.	Посчитаем интеграл

Г (1х
=_^ ^+1'

Особые точки аналитического продолжения подынтегральной функ-
ции гп = е 4 (2/'+1>? 5 п — 0,1, 2, 3. Нас интересуют только те из них,
что лежат в верхней полуплоскости, т.е. го = е~,	= е~. Это

полюса первого порядка. Вычеты в этих особых точках равны
Откуда

I = 2тгг •

Кез —.-
2=20 г4 + 1

+ Кез
2 = 21

1 \
г4 + 1 /

1

2.	Вычислим интеграл

В силу четности подынтегральной функции

Аналитическое продолжение функции ^2^^ имеет в верхней полу-
плоскости всего одну особую точку г = г, которая является полюсом
п-го порядка. Посчитаем вычет в этой особой точке

Кез , 1 ,
2=г (г2 + 1)п

1	Г 1

(п — 1)!	(г + г)п

(—п) • (—п — 1) • ... • (—2п + 1)	(2п — 1)!

= (п — 1)!(г + г)(п+п-1)	г=- = [(п — I)!]2 • 22п-1 • г’

откуда окончательно получаем

т 1 О . ТЛ	1	7г(2п-1)!

7 — —  27П • Кез -— -г— — —-----ч л п о—т*

2 г=г (г2 + 1)п	[(п — I)!]2 • 22п-1
3.6.2.	Лемма Жордана

Еще одним утверждением, полезным для вычисления различных
типов действительных интегралов, оказывается так называемая лем-
ма Жордана1.

Теорема 3.16 (лемма Жордана). Пусть:

а)	функция /(г) - аналитическая в верхней полуплоскости, за
исключением некоторого числа конечных особых точек;

б)	существует функция с (Я) (зависящая только от Я), такая, что
с(Я')	0 при Я ос, причем |/(^)| < Д|г|).

Тогда при а > О

егаг/(г) дс = О,

Ся

где Сп - полуокружность радиусом Я с центром в с = О, располо-
женная в верхней полуплоскости.

Доказательство. Заметим, что по лемме о быстроубывающих
функциях и замечанию после нее (см. подразд. 3.6.1) особых точек
функции /(г) в верхней полуплоскости - конечное число. Поэтому
при достаточно больших Я рассматриваемый интеграл

У е“г/(г) <1х

Сп

не содержит особых точек на контуре интегрирования. Далее, при
О < р < справедливо неравенство (рис.3.9)

2
81П(/2 > — р.

7Г

1 Жордан, Мари Энмон Камиль (1838 - 1922) - французский ма-
тематик, основные труды по алгебре, теории функций, топологии и кри-
сталлографии.
Пусть % = 7?егЛ Тогда при 0 <

|^га,2 | _ |^го,(Ксо8<^+гК81П(^) । _

кгаЯсобо?	— аТ?81П(г>|	— аЯзто?	—аК —

= е	• е	I = е	Ь е 7г.

С учетом равномерного стремления к нулю функции /(г) для исход-
ного интеграла получаем оценку

егаг| е(К')

&8 =

= г(К)  У е-аНа[п^ П(1^ = 2П- е(К')  е~аН^ <
О	о

< 2П  е(П)  У е~аП (1 - е~аП) .

О

Последнее выражение стремится к нулю при К оо. Теорема дока-
зана. 

Замечание. Доказанная лемма Жордана справедлива, если /(г)
аналитична (за исключением конечного числа точек) в верхней полу-
плоскости и а > 0. Однако удобно также сформулировать несколько
дополнительных версий леммы Жордана, справедливых для отри-
цательных и для чисто мнимых а, которые могут оказаться полез-
ными.

1.	Если /(г) удовлетворяет условиям теоремы 3.16, сформулиро-
ванным для нижней полуплоскости 1т г < 0, то при а < О

^Нт У егаг/(г) = О,
Сп

где Сц - полуокружность |г| = К, 1т г < 0.

2.	Если /(г) удовлетворяет условиям теоремы 3.16, сформулиро-
ванным для правой полуплоскости Ее г > 0, тогда при а = га и
а > 0

^Нт У ешг/(г) = ^Нт е-аг/(г) = 0,
С к	С к

где Сп - полуокружность |г| = /?, Ее г > 0.

3.	Если /(г) удовлетворяет условиям теоремы 3.16, сформулиро-
ванным для левой полуплоскости Ее г < 0, тогда при а = га и а < 0

^Нт У ешг/(г) = ^Нт е-аг/(г) = 0,
с к	сп

где Сп - полуокружность |г| = /?, Ее г < 0.

4.	Все вышеперечисленные варианты леммы Жордана справед-
ливы, если интеграл берется не по всей полуокружности в верхней
(нижней) полуплоскости, а по ее дуге (меньшей, чем вся полуокруж-
ность) .

Доказательство утверждений 1-4 аналогично приведенному вы-
ше доказательству леммы Жордана.
Теорема 3.17. Пусть /(х) определена на всей действительной
оси -оо < х < оо и существует аналитическое продолжение /(г)
этой функции в верхнюю полуплоскость 1ш 2 > 0 комплексной плос-
кости, имеющее там некоторое число (конечное, по лемме о быстро-
убывающих функциях и замечанию после нее) конечных изолиро-
ванных особых точек гп, п = 1,... , ТУ и удовлетворяющее условиям
леммы Жордана. Тогда при а > 0 выполняется равенство

/ е*ах/(х) Ах = 2т V Кез [е*аг/(Д] .

-(X)	П=1

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.15 рас-
смотрим контур Г (см. рис.3.8), состоящий из отрезка действитель-
ной оси [—7?; В] и полуокружности Сц : {|г| = В, 1т г > 0}. По
основной теореме теории вычетов

к

У б"7(’) аг= / егаХ/(х) Лх + У е“г/(г)	=

г+	-к	сп

ТУ

= 2т ^2 Нез [егаг/(г)] .

П=1

Переходя в этой формуле к пределу при В оо и учитывая то, что
по лемме Жордана второй интеграл в левой части стремится к нулю,
получаем требуемое равенство. 

Замечание. Если а < 0 и /(г) удовлетворяет условиям леммы
Жордана в нижней полуплоскости, то

/ егаа7(;г) Ах = -2т Нез р"77)] ,
— СЮ	п=1 П

где сумма в правой части берется по всем особым точкам аналити-
ческого продолжения /(г), лежащим в нижней полуплоскости. До-
казательство совершенно аналогично доказательству теоремы 3.17.
Знак ” возникает из-за изменения направления интегрирования
на контуре Сд.
Лемма Жордана оказывается крайне полезной для вычисления
действительных интегралов от выражений, включающих тригоно-
метрические функции.

Примеры.

1.	Вычислим интеграл

СО8 Х(1х

X2 + 1

Заметим, что

со8 х = Ее [егж] , 8тх = 1т [егж] .

Поэтому

СО8х Лх _	егхЛх

х2 + 1 е ] ^+1

81ПЖ (1х
х2 + 1

Вычислим интеграл

егх с1х
х2 + 1

Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю
полуплоскость имеет единственную особую точку г = г. Применяя
теорему 3.17, имеем

егхс1х	егг

—------ = 2гг • г Еее ——

^22

= 2ггг —
2г

е 1	7г

= 2ггг --------= —

2г	е

Следовательно,

,	7Г 7Г

I = Ее - =
е е

Попутно мы получили равенство
8111 .Т (1Х т 7Г

= 1т-=0.

хл + 1 е

Это и не удивительно в силу нечетности подынтегральной функции.

2.	Вычислим интеграл1

егшхх дх
х2 + 1

ш 6 К, ш 7^ 0.

Подынтегральная функция допускает аналитическое продолже-
ние /(г) = ег(Л?гг/(г2 + 1) как в верхнюю, так и в нижнюю полуплос-
кость. Рассмотрим два случал.

Случай 1	> 0). В этом случае интеграл вычисляется, как и

в предыдущем примере, с использованием теоремы 3.17. Подынте-
гральная функция /(г) имеет единственную особую точку (полюс
первого порядка) в верхней полуплоскости, г = г, поэтому

г

= 2тгг Вез —--------

г=г + 1

= 27П

= е

2%

Случай 2	< 0). В этом случае применить теорему 3.17 непо-

средственно нельзя. Воспользуемся замечанием к этой теореме, п. 1.
В нижней полуплоскости функция /(г) имеет один полюс первого
порядка, г = — г. Следовательно,

Лиг ~

1(ш) = — 2тгг Вез —----= — 2тгг ----

к }	г=-г г2 + 1	2г

= —7гг е

Объединяя случаи 1 и 2, получаем формулу:

= 81§пс<; 7гг .

1 Интегралы такого типа чрезвычайно важны, в частности, в физи-
ке. Данный интеграл представляет собой преобразование Фуръе функции

№) =
Рис. 3.10. К вычислению интегралов Френеля. Контуры Сп и Ь - дуги
окружностей радиусом К и К2 соответственно, 72 параметризуется фор-
мулой г = ег7Г/4^, I е [0; Я]

В последней записи фигурирует функция 81§п 01 (“сигнум”), кото-
рая определяется так:

8ЩПС^ = <

01 > 0

01 = 0

01 < 0

3.	Вычислим интегралы Френеля1

с1х.

Рассмотрим вспомогательную функцию /(г) = егг и контур, по-
казанный на рис.3.10,а. Внутри этого контура /(г) - аналитическая
функция и поэтому

/ + + / е2г2 г':' =

71 Сн 72

1 Интегралы Френеля возникают в задачах оптики и представляют со-
бой пример несобственных интегралов от неубывающих функций, которые
при этом сходятся.
Заметим, что

а также

параметризация г = е ^,	6 (0; К)

В последней формуле мы использовали интеграл Пуассона

Рассмотрим оставшийся интеграл по дуге С л- Сделаем замену
г = %//;, выбрав ту ветвь квадратного корня, где	. При

такой замене каждая точка г = Кег(р дуги Сд преобразуется в точку
I = Я2е2г(р, а вся дуга С л преобразуется в дугу Б, представляющую
собой 1/4 окружности радиусом Я2 (рис.3.10,б). Тогда

Сн

— (И.

К последнему интегралу применима лемма Жордана (см. п. 4 заме-
чания после ее доказательства), таким образом

^Нш егг (1г = 0.

Ся
Рис.3.11. Иллюстрация к теореме о “половине вычета” (теорема 3.18)

Отсюда заключаем, что

поэтому

3.6.3. Теорема о “половине вычета”
и интегралы типа / Лх

о х

Теорема 3.18 (о “половине вычета”). Пусть /(г) имеет в точке
2 = 2о полюс первого порядка, причем /(г) аналитична в проколотой
окрестности 17 = {г : 0 < |г — го| < ро} точки го- Тогда

Пт / /(^) Л^ = лг - Кез /(г),

где Ср = {|г| = р, ро < аг§ %< р0 + л} - полуокружность, целиком
лежащая в 17, причем —л<ро<л (рис.3.11).

Доказательство. Рассмотрим в 17 разложение /(г) в ряд Лора-
на. Так как го - полюс первого порядка, оно имеет вид

/(г) = С-1 + с0 + С1(г - г0) + с2(г - г0)2 + ... = С-1 + ^(л)-

г - г0

г - г0
Функция представлена правильной частью ряда Лорана функ-
ции /(г), она аналитическая в окрестности |г — го| < р, причем су-
ществует конечный предел 1ппг^~0 'ф(г) = со- Вводя параметризацию
г = го + регч\ получаем:

^(г) с/г = У + регП Р	0.

Ср	<Ро

Кроме того, непосредственное вычисление дает

^о+тт

Пт [	1	= С-1 • Пт [ ^6. с1р = 7ггс_1 = ттг Вез /(г).

с-оУ г-г0	р-о ] рег^	г=г0 к 7

Ср	<р0

Сумма последних двух равенств и дает утверждение теоремы. 

Теорема 3.18 позволяет вычислять интегралы еще одного класса,
важного для практических приложений.

Пример. Вычислим интеграл

о

Рассмотрим вспомогательный интеграл

Г е1*
11=	— аг,

г

где контур 7 составлен из двух отрезков действительной оси [—7?; —г]
и [г; В], г, В > 0, и двух полуокружностей Сг и Сц радиусами г и В,
расположенных в верхней полуплоскости (рис.3.12). Внутри такого
контура функция егг/г не имеет особенностей, значит,
По лемме Жордана

Г ег%

Пт / — (1х = 0.

7 г

сп

В точке г = 0 функция егг /г имеет полюс первого порядка, поэтому
по теореме 3.18

/е^

— (1% = —7гг • Пен — = —7гг.
%	2=0 %

Таким образом,

(7 е1х [ е™ ।

/ — (1х + / — (1х	= 7гг.

7 х	х I

Сделав во втором интеграле замену х	— х, получим:
кг = Пт

2г 8шх

х

Откуда

/81П X 7 7Г
------ ах = —.
х 2
о

Существует много типов интегралов, которые удобно вычислять с
помощью теории вычетов. Интересующимся стоит порекомендовать,
например, книгу А.Н. Тихонова и А.Г. Свешникова [4] или книгу
М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [5]. Там можно найти много кра-
сивых приемов, применимых, в том числе, к интегралам вида

Помимо приемов для вычисления интегралов, заинтересованный чи-
татель найдет в упомянутых выше книгах элегантные “трюки” для
вычисления сумм рядов, а также для получения изящных асимпто-
тических формул. Этот материал, однако, выходит за рамки нашего
курса.
3.7. Задачи

Группа А

1. Найдите область сходимости степенного ряда:

2.

Коэффициенты степенного ряда ап при п оо стремятся к

константе, равной А. Чему равен радиус сходимости этого ряда?

3.	Коэффициенты степенного ряда изменили: каждый коэффи-
циент степенного ряда умножили на его номер. Как изменился ра-
диус сходимости степенного ряда?

4.	Коэффициенты степенного ряда изменили: первый умножили
на 2, второй - на 4, третий на 8, четвертый на 16 и т.д. Как изменился
радиус сходимости степенного ряда?

5.	Выпишите первые три (нулевой, первый и второй) члена раз-
ложения в ряд Тейлора функции

/(^)=4-
сп г

в точке г = 0.

6.

Разложите в степенной

ряд по степеням г функции:

а) /(г) = г зт2 г;

в) /(г) = 1п

г) /(г) = У Лг
о

(1пг - главная ветвь функции Ьп г). Укажите, где полученные раз-
ложения справедливы.
7.	Проинтегрируйте обе части равенства

----- = 1 + г + г2 + 2.3 + _

1 — г

по окружности |г — 1| = 1. Объясните “неожиданный” ответ.

8.	Пусть радиус сходимости ряда сп%п равен 2. Найдите
радиус сходимости ряда К,Т=о сп^п-

9.	Пусть радиус сходимости ряда сп%п равен 2. Найдите
радиус сходимости ряда п100спгп.

10.	Функция /(г) имеет в точке г = О нуль первого порядка,
а функция р(г) имеет в той же точке г = О нуль второго порядка.
Нуль какого порядка имеет в точке г = 0 функция (/(г) + д(г))2?

11.	Выясните порядок нуля г = 1 функции

/(г) = г5 - 2г3 - 4г2 + 9г - 4.

12.	Выясните порядок нуля г = 0 функции /(г) = г2 йш3 г.

13.	Вычислите с точностью до е = 0,1 интеграл

1/2

е~х с1х.

о

14.	Выясните область сходимости ряда Лорана:

(г-г)п	Зп	гп

а' пЗп +^(г-г)2п’	'	2Н’

п=0	п=1 4	7	п= — сю

15.	Разложите в ряд Лорана в кольце О < |г + 1| < 3 функцию 16

% + 4

г2 - г - 2 ’



16. Выпишите разложение в ряд Лорана функции:

ж> =

9
соз^ г

г3

б) /(г) = 8ш
Укажите область применимости представленных разложений.

17.	Выясните тип особых точек функций:

у	1 %

а) = б) /(г) = (^7

18.	Для функции /(г) точка г = 0 является устранимой осо-
бой точкой, а для р(г) - существенно особой точкой. Особой точкой
какого типа будет о = О для функции /(г)д(г)?

19.	Точка 2 = 1 является для функции /(г) полюсом первого
порядка. Особой точкой какого типа будет точка г = 1 для функции

Ф) = (г-1) /2(г)?

20.	Как известно, вычет функции /(г) в конечной устранимой
особой точке равен нулю. Верно ли обратное утверждение: если в
конечной особой точке вычет функции /(г) равен нулю, то эта точка
является устранимой?

21.	Точка г = 0 является полюсом первого порядка для функции
/(г), причем вычет функции /(г) в этой особой точке равен 1. Чему
равен вычет функции

в той же особой точке г = О?

22.	Найдите вычеты функции /(г) во всех ее изолированных
особых точках:

23.	Равен ли вычет функции /(г) в особой точке 2 = ос вычету
функции /(^) в точке г] = О?
24.	Функция /(г) имеет изолированную особую точку г = г0-
Найдите вычет Ве8г=го /'(г).

25.	Вычислите интеграл

/• е1Л

/ ~----7

/ ? +4

где С - окружность |г — 2г | = 1, проходимая в положительном на-
правлении.

26.	Вычислите интегралы:

а) / г3 8т | Уг; б) /(г2 + % + 1)е1/дл,
с	с

где С - окружность |г| = 1, проходимая в положительном направле-
нии.

27.	Вычислите интегралы:

х / г2	Г йг

а)	/	-—	Лг\ б)	/	—,

]	ат %	у	сп г

с	с

где С - окружность |г| =4, проходимая в положительном направле-
нии.

28.	Вычислите интеграл

Г (1г

с

где С - окружность |г| = 2, проходимая в положительном направле-
нии.
29.	Вычислите интегралы:

а)

в)

д)

ж)

х~ Лх

х4 + 1 ’

(1х
(х2 + 2х + 2)2’

X 81П х с1х
х2 + 4,т + 5 ’

(1х
(ж2 + 1)3 4 5 6’

X СО8 X (1х
х2 — 2х + 2 ’

е~2гх (1х
х2 — 4л х — 5 ’

Группа Б

1.	Найдите множество значений г, где сходится условно ряд

2. Коэффициенты степенного ряда ап, начиная с некоторого но-
мера, циклически повторяются. Чему равен радиус сходимости этого
ряда?

3. Радиус сходимости ряда	равен 2, а радиус сходи-

мости ряда Ьпгп равен 1. Чему равен радиус сходимости ряда
12Хо(а»1 + Ответ обоснуйте.

4. Найдите суммы:

») Е

П=1

2п(п + 1)
п!

б)

У—.

к

5. Найдите главную часть ряда Лорана при го = 0 функций

а) /(г) = —4—;	б) /(г) = с1ё22.

81П 7Гг

6. Ряд Лорана 522=-эс спгп сходится в кольце 1 < |г| < 2. Най-
дите область сходимости ряда Лорана 522^-ое сп^п•
7.	Найдите ошибку в рассуждениях:

/(х) =	= 1 + г + 22 + ...,

следовательно,

— И-----1--2 + • • • •

Значит, разложение р(г) имеет бесконечную главную часть, поэтому
г = 0 - существенно особая точка д(г). С другой стороны, очевидно,
1

что д[г) =-----р =---- и нуль - правильная точка.

1	- - г - 1

8.	Функция /(г) является аналитической во всей комплексной
плоскости, но не многочленом. Особой точкой какого типа является
точка г = 0 для функции /(г) + /(1/г)?

9.	Для функции /(г) точка 2 = 0 является полюсом первого
порядка, а для р(г) - существенно особой точкой. Особой точкой
какого типа будет г = 0 для функции /(г)д(г)?

10.	Найдите вычет в точке г = 0 функций:

а) /(г) = соз ^8ш ^8ш-^ ; б) /(г) = (с!§г)2012.

11.	Найдите вычеты во всех особых точках функций:

а)	Я*)	-99 + г98 +... + 2 + 1;

б)	= (1 + г)(1 + ^2)(1 + г4)... (1 + г2")!

1

СО8 § СО8 7 . . . СО8 777 ’

2	4	2п



1 - %'
12.	Может ли интеграл от функции 1/ 8шг по некоторому за-
мкнутому контуру С быть равен Ютг? (Укажите такой контур или
докажите, что такого контура не существует.)

13.	Студент вычислил интеграл по некоторому замкнутому кон-
туру от функции и этот интеграл оказался равен тг/2. Контур
стерли. Докажите, что в вычислениях имелась ошибка.

14.	Студента попросили найти вычет некоторой функции в неко-
торой особой точке. Точка была устранимая, но студент принял ее за
полюс первого порядка. Применив соответствующую формулу и не
сделав вычислительных ошибок, студент получил ответ. Совпадает
ли его результат с правильным?

15.	Студента попросили найти вычет некоторой функции в по-
люсе первого порядка. Растерявшись, он применил формулу для на-
хождения вычета в полюсе третьего порядка, не совершив при этом
вычислительных ошибок. Получил ли он правильный результат?

16.	Известно, что /(г) - аналитическая функция во всей ком-
плексной плоскости, за исключением точки г = 0, где /(г) имеет
полюс первого порядка. Известно также, что

/(г) (1г = У /2(г)	= 2тт,

с

где С - единичная окружность, проходимая в положительном на-
правлении. Вычислите интеграл

17.	Найдите функцию /(г), если известно, что: а) она анали-
тическая во всей комплексной плоскости, кроме точки г = 0, где
она имеет полюс первого порядка; б) /(г) = /(1/г); в) /(1) = 1;
/(-1) = -1-

18.	Точка 2 = 0 является полюсом первого порядка для функции
/(г), причем вычет функции /(г) в этой особой точке равен 1. Чему
равен вычет в этой особой точке функции /(зшг)?
19.	Известно, что функция /(г) - аналитическая во всей ком-
плексной плоскости, кроме точки г = 0, где она имеет полюс первого
порядка. Известно также, что /(г) = /(1/г). Вычислите интеграл

где С - единичная окружность, проходимая в положительном на-
правлении.

20.	Известно, что функция /(г) - аналитическая во всей ком-
плексной плоскости, кроме точки г = 0, где она имеет полюс первого
порядка. Известно, что интеграл

равен нулю. Чему равен интеграл /с/2(г) где С - единичная
окружность, проходимая в положительном направлении?

21.	Функция /(г) - нечетная. Она не имеет особых точек на
мнимой оси, а в правой полуплоскости имеет единственную особую
точку г = 1 с вычетом, равным 1. Выясните, есть ли у этой функции
другие конечные особые точки и вычислите интеграл

1 = /
с

где С - окружность радиусом 2, проходимая в положительном на-
правлении.

22.	Для произвольного значения А придумать последователь-
ность г/с —> 0, такую, чтобы е^1%к А (существование последова-
тельности гарантируется теоремой Сохоцкого).

23.	Функция /(г) такова, что:

а) Пт /(г) = 1; б) Вез /(г) = —1.

2=СЮ

Найдите Кезг=оо /2(г).
24.	Докажите, что если го = оо - изолированная особая точка
функции /(г), то

Кед/(г) = -К€8^/(0.

25.	Докажите, что если го = оо - устранимая особая точка функ-
ции /(г) и	/(г) = А, то

Кез /(г) = Пт г (А — /(г)).
г=сю

26.	Может ли функция

2 соз г + г1 2 — 1

иметь в комплексной плоскости полюса порядка большего 1?

27.	Может ли функция

«/ 'А/	~	72 7з	ДГ

1 + ^ + т + <г + --- + тгг

иметь при каком-нибудь п в комплексной плоскости полюса порядка
большего 1?

28. Вычислите интегралы:

Группа В

1. Каждый коэффициент ап степенного ряда равен разности

предыдущего и пред-предыдущего коэффициентов (именно в таком
порядке). Каков радиус сходимости такого ряда?
2.	Известно, что функция /(г) - аналитическая в некоторой
окрестности точки г = 0, причем на действительной оси принимает
действительные значения, а на мнимой - чисто мнимые. Докажите,
что /(-г) = -/(г).

3.	Просуммируйте ряд

/(г) - а0 + — +	+ ... ,

где а0 = 1, ах = 1, ап+1 = ап + ап-!, п = 1,2,... .

4.	Вычислите

Вез ( зт | % Н— | |
г=0 \ \ % / /

с точностью до четырех значащих цифр (оцените погрешность).

5.	Вычислите интегралы:

ОО	27Г

а) / п 6 б) /

-оо	О

6.	Используя теорему о “половине вычета”, вычислите интегра-
лы:

/зт2 х	Г зт3 х

—-—	ах, б)	/	—5—	ах.

X2	7	X6

о	о

7.	Выясните, при каких натуральных п функция

~ (г + 1)п - гп - 1

имеет полюса порядка 2 и больше?

8.	Пусть /(г) - аналитическая функция в проколотой окрестно-
сти нуля И = {г| 0 < |г| < 1} и

У \/(х + гу)|2 Лх Лу < оо.

о

Докажите что г = 0 - устранимая особая точка.
Литература

1.	Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2 т.
Т. 1. - М.: Наука, 1983. - 484 с.

2.	Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2 т.
Т. 2. - М.: Наука, 1983. - 448 с.

3.	Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2 т.
Т. 2. - М.: Изд-во Московского университета, 1995. - 624 с.

4.	Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций ком-
плексной переменной. - М.: Физматлит, 2010. - 336 с.

5.	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
Предметный указатель

Аналитическое продолжение
144

Вычет 173

-	в бесконечно удаленной
точке 180

-	в полюсе т-го порядка,
т > 2 175

-	в полюсе первого порядка
174

-	в устранимой особой
точке 174

Геометрическая прогрессия 75

Интеграл

-	Коши 53

-	неопределенный, от
комплексной функции 50

-	по кривой в комплексной
плоскости 42

Интегралы Френеля 194

Комплексная плоскость 7
Комплексное

-	сопряжение 6

-	число 5

-	число, аргумент 10

-	число, модуль 10

-	число, извлечение корня
13

Кривая

-	гладкая 41

-	замкнутая 42

-	кусочно-гладкая 41

Лемма

-	Жордана 188

-	о быстроубывающих
функциях 184

Множество

задания функции 21

изменения функции 21

Неравенство Абеля 95

Нуль функции 139

-	определение порядка 141

Область 15

-	конечная 16

-	односвязная 16
Ограниченность сумм

Ед=1 8Ш ка и 52^=1 СО8 ка
96

Ориентация кривой 41

Преобразование Абеля 94
Признак

-	Абеля 98

-	Вейерштрасса,
равномерной сходимости
109

-	Даламбера 83

-	Дирихле 96

-	Коши, интегральный 88
-	Коши, радикальный 85

-	Лейбница 92

-	первый, сравнения рядов
80

-	предельный, сравнения
рядов 81

Принцип максимума 57
Проекция стереографическая

17

Ряд

-	гармонический 77

-	Дирихле 90

-	знакочередующийся 91

-	Лейбница 93, 114

-	Лорана 147

-	Лорана, в окрестности
бесконечно удаленной
точки 158

-	Маклорена 135

-	остаток 74

-	степенной 128

-	сходящийся 74

-	Тейлора 133

-	функциональный 105

-	частичная сумма 75

Сходимость ряда 74

-	абсолютная 78

-	критерий Коши 77

-	необходимое условие 78

-	равномерная 106

-	условная 79

Теорема

-	Абеля 129

-	Вейерштрасса о
равномерно сходящихся
рядах 115, 117

-	Коши для многосвязной
области 49

-	Коши для односвязной
области 48

-	критерий аналитичности
функции 32

-	Лиувилля 65

-	Лорана 151

-	Мореры 65

-	о “половине вычета” 196

-	о достаточном условии
дифференцируемости в
точке 29

-	о единственности
аналитического
продолжения 145

-	о минимуме модуля
аналитической функции 61
- о необходимом условии
дифференцируемости в
точке 28

-	о непрерывности суммы
равномерно сходящегося
ряда 111

-	о нулях аналитической
функции 142

-	о первообразной ряда из
аналитических функций
116

-	о порядке суммирования
членов абсолютно
сходящегося ряда 101

-	о почленном
дифференцировании ряда
функций действительной
переменной 120

-	о существовании
первообразной 50
- об интегрировании
равномерно сходящегося
ряда 113

-	Римана о суммировании
условно сходящегося ряда
103

-	Сохоцкого -
Вейерштрасса 167

-	Тейлора 133

-	теории вычетов, вторая
180

-	теории вычетов, первая
178

Точка

-	бесконечно удаленная 17

-	граничная 15

-	особая 138

-	изолированная 159

-	полюс 163

-	устранимая 161

-	правильная 138

-	существенно особая 166

Уравнение Лапласа 38

Условия Коши - Римана

-	декартовы координаты 28

-	полярные координаты 33

Формула

-	Грина 48

-	Коши, интегральная 53

-	Коши, для производных
62

-	Муавра 12

-	среднего значения 55

-	Стирлинга 86

-	Эйлера 9

Функция

-	8тг,со8г 23

-	Агсзш г, Агссое г 24

-	8Йг,с11г 23

-	ег 22

-	Ьп г 24

-	аналитическая 31

-	восстановление по
действительной части 39

-	гармоническая 38

-	непрерывная 27

-	однозначная 21

-	однолистная 21
Оглавление

Предисловие.............................................3

Глава 1. Элементы теории функций комплексной пере-
менной .............................................5

1.1.	Комплексные числа..................................5

1.1.1.	Определение комплексного числа (5); 1.1.2. Дей-
ствия с комплексными числами: алгебраический подход (6);
1.1.3. Комплексная плоскость (7); 1.1.4.Формула Эйлера (9);

1.1.5.	Действия с комплексными числами: геометрическая
интерпретация (11).

1.2.	Геометрия комплексной плоскости: основные понятия.14

1.2.1.	Простейшие множества точек на комплексной плоско-
сти (Ц); 1.2.2. Понятие области и связанные с ним опреде-
ления (15); 1.2.3. Стереографическая проекция и бесконечно
удаленная точка (17).

1.3.	Последовательности комплексных чисел и функции комп-
лексного аргумента.....................................18

1.3.1.	Последовательности комплексных чисел (18); 1.3.2. По-
нятие функции комплексной переменной (21); 1.3.3. Элемен-
тарные функции комплексного аргумента (22).

1.4.	Понятие предела функции комплексной переменной.
Непрерывность функции комплексной переменной...........25

1.5.	Дифференцирование функции комплексной переменной..28

1.5.1.	Производная функции комплексной переменной. Условия
Коши - Римана. Аналитические функции (28).

1.6.	Свойства аналитических функций....................34

1.7.	Интеграл от функции комплексной переменной по кривой
на комплексной плоскости...............................41

1.7.1.	Некоторые определения (41)1 Связь интеграла по
кривой с действительными интегралами второго рода (48);

1.7.3.	Свойства интеграла от функции комплексной перемен-
ной по кривой в комплексной плоскости (46)-

1.8.	Теорема Коши и первообразная функции комплексной
переменной.............................................47

1.8.1.	Теорема Коши в односвязной области (47); 1.8.2. Теоре-
ма Коши в многосвязной области (49); 1.8.3. Неопределенный
интеграл от функции комплексной переменной (50).
1.9.	Интегральная формула Коши и ее следствия..........53

1.9.1.	Интегральная формула Коши (53); 1.9.2. Принцип мак-
симума (56).

1.10.	Формула Коши для производных и ее следствия......61

1.10.1.	Теорема об интегральном представлении производных
аналитической функции (61); 1.10.2. Теоремы Мореры и Лиу-
вилля (64).

1.11.	Задачи...........................................66

Глава 2. Основные понятия теории	рядов...............74

2.1.	Понятие числового ряда. Некоторые свойства числовых
рядов..................................................74

2.1.1.	Определение числового ряда. Ряды сходящиеся и рас-
ходящиеся (74); 2.1.2. Свойства сходящихся рядов (75);

2.1.3.	Абсолютно сходящиеся ряды (78).

2.2.	Ряды с неотрицательными членами.................79

2.2.1.	Теоремы о сравнении рядов с неотрицательными чле-
нами (79); 2.2.2. Признак Даламбера и радикальный признак
Коши для рядов с неотрицательными членами (83) 2.2.3. Ин-
тегральный признак Коши (88).

2.3.	Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница, Дирихле и
Абеля .................................................91

2.3.1.	Признак Лейбница (91); 2.3.2. Признаки Дирихле и Абе-
ля (94).

2.4.	Об изменении порядка суммирования членов ряда.....99

2.4.1.	Перестановка местами членов абсолютно сходящегося
ряда (100); 2.4-2. Теорема Римана об изменении порядка сум-
мирования членов условно сходящегося ряда (102).

2.5.	Функциональные ряды и понятие равномерной сходимости . 105
2.5.1. Понятие функционального ряда (105); 2.5.2. Равномер-
ная сходимость функционального ряда (106).

2.6.	Свойства равномерно сходящихся рядов...............111

2.6.1.	Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из
непрерывных функций (111); 2.6.2. Интегрирование равномер-
но сходящегося функционального ряда по кривой в комплекс-
ной плоскости (113); 2.6.3. Операции с равномерно сходящи-
мися рядами из аналитических функций (115).
2.7.	Задачи...........................................121

Глава 3. Степенные ряды, ряды Лорана и теория
вычетов...........................................128

3.1.	Степенные ряды...................................128

3.1.1.	Определение степенного ряда. Область сходимости
степенного ряда (128); 3.1.2. Разложение в ряд аналитиче-
ских функций (132).

3.2.	Единственность определения аналитической функции..138

3.2.1.	Правильные и особые точки. Нули аналитической функ-
ции (138); 3.2.2. Понятие об аналитическом продолжении
(Ш).

3.3.	Ряд Лорана.......................................147

3.3.1.	Кольцо сходимости ряда Лорана (147); Теоремы о
разложении в ряд Лорана (151); 3.3.3. Ряд Лорана в окрест-
ности бесконечно удаленной точки (158).

3.4.	Изолированные особые точки аналитической функции..159

3.4.	1. Понятие изолированной особой точки (159);

3.4-	2. Устранимая особая точка (161); 3.4-3. Особая точка
типа полюс (163); 3.4-4- Существенно особая точка (166);

3.4-	5. Особенность в бесконечно удаленной точке (170);

3-4-6. Определение типов особых точек: примеры (170).

3.5.	Вычеты...........................................172

3.5.1.	Понятие вычета аналитической функции в изолирован-
ной особой точке (172); 3.5.2. Формулы для вычисления вы-
четов (173); 3.5.3. Основная теорема теории вычетов (178);

3.5.4-	Вычет в бесконечно удаленной точке (179).

3.6.	Вычисление действительных интегралов с помощью вы-
четов ................................................183

3.6.1.	Несобственные интегралы от быстро убывающих функ-
ций (184); 3.6.2. Лемма Жордана (188); 3.6.3. Теорема о “по-
ловине вычета” и интегралы типа	с1х (196).

3.7.	Задачи...........................................200

Литература.....................................210

Предметный указатель.......................211